И. К. Парно
Производная
и ее применение
к иссле
ованию
функций
И.К. Парно
Производная
и ее применение
к исследованию
функций
Падание 2-е, исправленное
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ПРОСВЕЩЕНИЕ** МоСКВа 1968
Пособие представляет собой перевод книги И. К,
Парно «Предаря темелор «Деривате» ши «Студиул ва-
риацией функциилор» ын класа XI а школий медий»,
изданной на молдавском языке в 1960 г.
166-67
ПРЕДИСЛОВИЕ
В связи с предполагаемым введением в курс математики
средней школы темы «Производная и ее применение к ис-
следованию функций» возникла необходимость в создании
соответствующего пособия для учителя.
В настоящем пособии предлагается один из возможных
вариантов изложения темы; изложение сопровождается,
там где в этом есть необходимость, методическими указа-
ниями. При этом тема разбивается на две части: I) производ-
ная (глава II), 2) применение производной к исследованию
функций (глава Ш). Этим двум частям предпосылается в
главе I краткое изложение следующих вопросов: общее
понятие функции (§1), предел функции (§ 2), понятие о не-
прерывности функции (§ 3).
Изучение производной и ее применений следует сопро-
вождать сообщением учащимся соответствующих истори-
ческих сведений.
На изучение в школе темы «Производная и ее примене-
ние к исследованию функций» отводится 33 часов, которые
можно распределить примерно следующим образом.
Производная (гл. II)
Скорость прямолинейного движения, понятие о
мгновенной скорости (§ J)........................... 3	часа
Упражнения на определение скорости изменения
переменных величин (§2)	1	час
Производная (§3).................................1	час
Геометрический смысл производной, касательная
к кривой (§4)............ . .	.....	1 час
Производная функций у = с, у = х, у = и + v (§ 5)	1 час
Производная произведения двух функций (§6) .	1 час
Производная степени с натуральным показателем.
Производная степени с любым показателем. Производ-
ная многочлена (§7)................................. 2	часа
Повторение. Решение примеров на дифференциро-
вание (§9)	.	.	........... 2 часа
3
„	sin x
Предел отношения —-—, когда х стремится к нулю
(§10)..............................................
Производные тригонометрических функций (§11)
Понятие о второй производной. Ускорение (§ 12)
Повторение. Решение примеров на дифференциро-
вание ....................................  ......
Контрольная работа и ее анализ • • •	• .
1 час
2 часа
1 час
2 часа
2 часа
Применение производной к исследованию функций (гл. III)
Признаки возрастания и убывания функций (§ 1)
Максимум и минимум функции, нахождение их с
помощью производной (§2)..........................
Примеры исследования хода изменения функций (§ 3)
Задачи на нахождение максимума и минимума функ-
ций (§4)....................................
Графическое решение уравнений (§5) .	. .
Формула бинома Ньютона и ее применение к при-
ближенным вычислениям (§6)
Повторение ..................
Контрольная работа и ее анализ
3 часа
4 часа
3 часа
3 часа
1 час
1 час
1	час
2	часа
Считаю своим приятным долгом выразить искреннюю
благодарность доценту Кишиневского университета Волко-
ву И. Ф., старшему преподавателю Бельцкого пединститута
Мейлихзону А. С., старшему научному сотруднику АН
МССР доценту Сибирскому К. С., инспектору Министер-
ства народного образования МССР Спатару К. Г., научному
сотруднику НИИШ МССР Спатару Н. X. и др. за сделанные
ими при чтении настоящего пособия в рукописи замечания
и предложения, способствовавшие его улучшению.
Рукопись была прочитана также проф. Н. Я. Виленки-
ным и методистом Ждановского района Москвы Г. Н. Бу-
хановым. Весьма признателен им за замечания и предло-
жения, сделанные в связи с подготовкой книги ко вто-
рому изданию.
И. Парно
ГЛАВА Г
ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ
$ I. Общее понятие функции
1. В курсе алгебры и элементарных функций учащиеся
ранее изучали различные функции: линейную функцию у =
= ах + трехчлен второй степени у = ах2 + Ьх 4- с, сте-
пенную функцию у — хг, показательную у = ах, логариф-
мическую у = loge х, тригонометрические у = sinx, у ~
— cos х, обратные тригонометрические у = arcsinx, у =
— arccos х и др.
Опираясь на эти знания, переходим к формированию у
учащихся общего понятия функции. С этой целью напом-
ним им определение понятия функции: переменная величина
у называется функцией переменной величины х (называемой
аргументом), если существует правило (закон), согласно
которому каждому значению х, принадлежащему некоторому
множеству чисел, соответствует определенное значение пе-
ременной у.
Аргумент называется иначе независимой пе-
ременной, а функция — зависимой пере-
менной.
Правило (или закон), о. котором упоминается в этом опре-
делении, носит название правила (или закона) соответ-
ствия; закон соответствия может быть задан формулой,
таблицей и т. д.
Множество значений переменной х, о котором говорится
в определении называется областью определе-
ния (существования) функции, а значения переменной
х из этой области называются допустимыми зна-
чениями величины хх>.
*) Если функция задана формулой без указания области ее
определения, то уславливаются под областью ее определения счи-
тать Множество значений аргумента, для которых аналитическое вы-
ражение имеет смысл*
5
Множество значений функции называется областью
ее изменения.
Обычно области определения и изменения функций —
это числовые промежутки — конечные или бесконечные.
Конечный промежуток ограничен двумя
вещественными числами а и b {а < 6), которые называются
его концами; разность b — а называется его длиной.
Концы промежутка могут быть включены в его
состав или нет. В зависимости от этого различают:
замкнутый промежуток — множество всех чисел х,
удовлетворяющих условию
а < х < Ь\
такой промежуток обозначается через la, Ь ];
полуоткрытый промежуток — множест-
во всех чисел х, удовлетворяющих условию
а < х < b или а < х < 6;
такой промежуток обозначается соответственно через [а, Ь)
или (а, &];
открытый промежуток — множество всех
чисел х, удовлетворяющих условию
а < х < Ь\
такой промежуток обозначается через (а, &).
Числовые промежутки могут быть ибесконечны-
м и. Так, промежуток (—оо, +оо) есть множество всех
вещественных чисел; промежуток (а, +оо) есть множество
всех чисел, удовлетворяющих условию х > а, а промежуток
[а, + °0) ест£ множество всех чисел, удовлетворяющих
условию х > а; промежуток (— оо, b) есть множество всех
чисел, удовлетворяющих условию x<Z b, а промежуток
(— оо, 6] есть множество всех чисел х, удовлетворяющих
условию х < Ь.
Следует предложить учащимся решить несколько приме-
ров на нахождение области определения различных функ-
ций и области их изменения.
Примеры.
1)	Областью определения функции у = Зх + 2, а также
областью ее изменения является множество всех действи-
тельных чисел, т. е. промежуток (— оо, +оо).
2)	Областью определения функции у = 10* является мно-
жество всех действительных чисел, т. е^ промежуток (—оо,
6
4-оо), а областью ее изменения — множество всех поло-
жительных чисел, т. е. промежуток (0, + оо).
3)	Областью определения функции у =tgx является мно-
жество всех деиствительнь^х чисел, отличных от— + ял,
где А = 0, ± 1,± 2,..., а областью ее изменения— множест-
во всех действительных чисел, т. е. промежуток (—оо, +«>).
4)	Областью определения функции у — arccosx является
множество всех значений х, удовлетворяющих условию
— 1 х < 1, т. е.и^^межуток [ — 1, + 1 ], а областью ее
изменения — мне всех значений у, удовлетворяющих
условию 0 < у т. е. промежуток [0, л].
2. Работу по введению общего понятия функции можно
провести по аналогии с работой по введению на первых уро-
ках алгебры в VI классе понятия «любого» числа.
Учащиеся знают, что, если речь идет о каком-нибудь
конкретном числе, мы записываем его с помощью
цифр или произносим его наименование, например 37 (три-
дцать семь) или 3,14 (три целых и четырнадцать сотых); и т. д.
если же мы рассматриваем любое (произвольное) число,
то мы обозначаем его буквой, например в алгебраическом
выражении 5а буква а может означать (при отсутствии
ограничений) любое число.
Аналогично при изучении конкретных функ-
ций в VIII—X классах мы их записывали следующим
образом:
у = ах + Ь; у = ах2 + Ьх + с; у — а* и т. д.
и соответственно называли линейной функцией, трехчленом
второй степени, показательной функцией и т. д. А теперь, в
связи с тем что нам предстоит изучать общие свойства функ-
ций, мы должны перейти от конкретных функций к л ю-
б ы м (произвольным) функциям; для этого нужна соответ-
ствующая .символика (вообще для того или иного обобще-
ния и способа его выражения нужна буквенная символика).
Чтобы совершить этот переход, выделим то общее, что име-
ется во всех приведенных выше примерах конкретных
функций: каждому из допустимых значений переменной х
соответствует определенное значение переменной у; это
и означает, что у есть функция от х. Предложение «у есть
функция от х» условимся записывать так:
у = f (*);
7
читается это равенство следующим образом: <игрек равно
эф от икс».
Подобно тому как.в алгебре различные величины в одном
и том же вопросе обозначаются различными буквами: а, Ь,
с, ..., s, I, точно так же функции, заданные различными
законами соответствия, мы будем обозначать при одновре-
менном их рассмотрении отличающимися один от другого
символами: у = Дх), у = ф (х) и т. д.
3. Значение функции Дх) соответствующее значению а
аргумента х, обозначается через Да). Говорят, что f (а)
есть частное значение функции Дх), которое она при-
нимает, если аргументу х придать частное значение а.
Например, если Дх) = ха — 3 и положить х = — 1,
— 2, 0, 3 и т. д., то получим:
Д- 1) = -2, Д-2) = 1, ДО) - -3, ДЗ) -6 и т. д.
• С целью привития учащимся навыков в вычислении част-
ных значений данной функции для различных значений аргу-
мента следует предложить им упражнения, аналогич-
ные следующим:
1) 'Дана функция
вычислить Д—2),
2) В равенстве
заменить х на —,
X
ДО), /(0,5), Да), Дх + 1), Дх + 0,01),
,w = _j£±i.
рха + qx + г
на — х, т. е. вычислить f(—\ f(—х).
' 4. В связи с упражнениями на вычисление частных зна-
чений функции уместно ввести понятие пр вращения
переменной величины.
Изучение переменной величины начинается обычно с
рассмотрения того приращения, которое она приобретает,
изменяясь в некотором -процессе (того изменения, которое
она в этом процесс? претерпевает), при переходе от одного
численного значения (назовем его начальным зна-
чением^ другому (назовем его конечным зна-
чением).
а
Пусть, например, переменная величина х1* имела в не-
который момент {в некотором состоянии) данного процесса
численное значение 2 (начальное значение), а в каком-либо
яз последующих моментов (в каком-либо последующем со-
стоянии) приняла значение 2,07 (конечное значение). Раз-
ность между конечным численным значением и начальным
2,07 — 2 = 0,07	(1)
называется прираа&нием переменной величины х.
Из (1) выводим, что *
"	2,07 = 2 + 0,07,
значение) равно начальному
ние.
значение переменной через
т. е. конечное значение (
(старому) значению плюс
Если обозначить нач
х, а приращение — через Дх (читается «дельта икс»),
где Д заменяет слово «приращение»2*, то конечное ее зна-
чение выразится в виде суммы х + Дх.
Подобным же образом, если величина у получит в своем
изменении приращение Ду, а ее начальное значение было у,
то ее конечное значение будет у 4- Ду; точно так же для пе-
ременной величины и получим ее конечное значение и +
4- Ди нт. д.
Для геометрического изображения приращения Дх, так
же как и для переменной величины х, пользуются числовой
осью. Пусть М—точка на оси (черт. 1), соответствующая на-
чальному значению х данной нам переменной, a N — точка,
соответствующая конечному значению х 4* Дх. Направлен-
ный отрезок MN с началом в At и концом в N изображает
на-оси приращение Дх рассматриваемой переменной.
О
х

1
ДХ
N
X
Х+ДХ
.Черт. 1
Ч Для наглядности представим себе, что №это длина пути,
пройденного каким-либо движущимся телом.
На латинском языке разность называется differentia. Для
обозначения приращения переменной величины взята буква дельта
(4) греческого алфавита, соответствующая латинской букве d.
Если бы точка N оказалась левее точки М, то прираще-
ние Ах было бы отрицательным. Так, например, если на-
чальное значение какой-либо переменной равно 5, а ее ко-
нечное значение равно 3,8, то приращение этой перемен-
ной величины будет
3,8 —5 = — 1,2.
Перейдем к формированию понятия приращения
функции. С этой целью рассмотрим функцию у = х2
и вычислим ее значения, соответствующие различным зна-
чениям, которые принимает независимая переменная (ар-
гумент) х1*. Пусть 1,5 — начальное значение аргумента,
а 2 — его конечное значение. Соответствующие значе-
ния функции у = х2 будут
(1,5)2 = 2,25 и 22 = 4.
Черт. 2
а ее приращение
Вычитая из конечного значения
функции начальное, получим при-
ращение функции
4 — 2,25 = 1,75.
Таким образом, приращению
2—1,5 = 0,5	.
аргумента соответствует прираще-
ние функции, равное 1,75.
В случае, когда начальное и
конечное значения аргумента рав-
ны соответственно х и х + Дх
Х (черт. 2), соответствующие значения
функции у = х2 будут
х2 и (х + Ах)2,
будет
(х + Дх)2 — х2 = 2хАх + (Дх)2.
Таким образом, приращению Дх аргумента соответствует
приращение Ду функции, равное 2хДх + (Дх)2.
Вообще, чтобы вычислить приращение Ду функции у =
= f(x), соответствующее начальному значению х и прира-
щению Дх аргумента:
а)	придадим аргументу начальное значение х и полу-
чим начальное значение f(x) данной функции',
Ч Можно предположить, что у — площадь квадрата со сторо-
б)	заменим в выражении fix) начальное значение х ар-
гумента на его конечное значение х + Дх и получим ко-
нечное значение fix + Дх) функции',
в)	вычтем из конечного значения функции ее начальное
значение и получим искомое приращение
Ду = fix + &х) — fix)
функции, соответствующее начальному значению х и при-
ращению &х аргумента.
Из предыдущего равенства и равенства
У = f(x)
получим соотношение
у + Ду = fix + Дх),
т. е. конечное значение fix + Дх) функции равно начальному
значению (у) функции плюс ее приращение (Ду).
Решим несколько примеров на вычисление приращения
функции1*.
Упражнение 1. Дана функция у = 2х — 1. До-
казать, что равным приращениям аргумента .соответствуют
равные же приращения функции.
Такие примеры следует решать в дальнейшем вплоть до темй
«Производная».
11
Решение. Это свойство функции можно усмотреть:
а) путем составления таблицы значений переменных х и у;
б) построением графика функции у = 2х — 1 (черт. 3);
в) проведением доказательства в общем виде:
Ду = (2(х + Дх) — 1 ] — [2х — 11 = 2Дх.
Из равенства Ду = 2Дх вытекает, что Ду и Дх — прямо
пропорциональные величины и что равным приращениям ар-
гумента соответствуют равные же приращения функции.
Примечание. Вообще приращение Ду линейной функ-
ции у = ах + Ь прямо пропорционально приращению. Дх
аргумента.
Действительно,
Ду = 1а (х + Дх) + Ь1 — lax + Ь ] =’аДх,
где а — постоянная и, следовательно, Ду и Дх — прямо
пропорциональные величины.
Упражнение 2. Дана функция у = х2. Доказать,
что равным приращениям аргумента соответствуют нерав-
ные' приращения функции.
Решение. Это свойство функции можно усмотреть:
а) путем составления таблицы значений переменных х и у;
rd
Черт, 4
Й
б) построением графика функции у=х2 (черт. 4);
в) вычислением приращения Ду в общем виде:
Ду = (х 4- Дх)а—&
Ду = 2хДх -|- (Дх)2.
Мзлоследнего равенства вытекает, что значение приращения
Ду зависит от начального значения х аргумента.
Упражнение 3. Дана функция у— —. Вычислить
х
Ду, если начальное - значение аргумента х=3, а прираще-
ние Дх=1.
Решение.
.	__ 1 _ £	=2—1 =______L
^|*=3 х-(-Дх х1ь~3,	4	3	12*
I Дх=1	I Дх=1
Упражнение 4. Дана функция у= —* . Вычис-
лить Ду, если начальное значение аргумента х = — 1,
а приращение Дх = 6,5.
Решение.
д	х4-Дх х-	л
Ду , —------------------< = 2.
I	2(x-j-Ax)a—1	2№— II*“ Т*
| Д*=0,5	1	'	| Дх=0,5
5.	Пользуясь обозначениями у = Дх), у = Г(х), у =
•= <р(х) и т. д., можно выразить с помощью формул некото-
рые свойства функций.
Примеры.
а) Функция называется периодической , если
Существует отличное от нуля число, которое, будучи при-
бавлено к любому допустимому значению аргумента, не
изменяет значения функции.
Известно, например, что
sin(x + 2л) = sinx, cos(x 4- 2л) = cosx,
tg (х 4- я) •» tg х, ctg (х 4- «) = ctgx.
Обозначив любую из этих функций через Дх), а период —
буквой р, можно выразить их свойство периодичности од-
ной-единственной формулой.*
13
Кх + р) = ftx)1».
б)	Функция называется четной, если ее значение не
изменяется при изменении знака аргумента.
Так, например, имеем:
(—х)2 = х2, (—х)2" = х2", cos(—х) = cosх, | — х| = |х[.
Обозначив любую из этих функций через /'(х), можно
выразить их свойство быть четными одной-единственной
формулой:
F ( - х) = Р(х)2>.
в)	Функция называется нечетной, если она изме-
няет свое значение на противоположное при изменении зна-
ка аргумента.
Так, например, имеем:
(—х)3=—х3, (—х)2'И1=—х2"*1, sin(—х)~—sinx,
tg(— х)=— tgx.
Обозначив любую из этих функций через <р (х), можно
выразить их свойство быть нечетными одной-единственной
формулой:
ф ( —*) = —ф (х)3>.
Примечание. Существуют функции, которые не явля-
ются ни четными, ни нечетными.
Примеры.
а)	функция у = 2х не является четной, так как
2гх =/= 2х (х =# 0); одновременно эта функция не является
нечетной, так как 2~х Ф — 2х;
б)	Функция у = ах + b не "является четной при а -Ф 0,
так как а (—х) -{-b ах -Ь^х^О); одновременно эта функ-
ция не является нечетной при i> ¥= 0, так как а(— х) +
4- 6 #= — (ах + Ь).
1) Чтобы построить график периодической функции, имеющей
период» равный рг достаточно сперва построить часть графика, со-
ответствующую любому промежутку длины р, например промежут-
ку (0, р), а затем перенести полученную кривую вдоль оси Ох влево
и вправо на р, 2р, Зр и т. д. При этом предполагается, что вместе с
каждым значением х в область определения функции входит не
только число х + р, но и число х — р.
2) График четной функции симметричен относительно оси OY.
3> График нечетной функции симметричен относительно начала
О системы координат.
14
Черт. 5
6. При повторении с учащимися пройденного в предыду-
щих классах о функциях и их графиках необходимо будет
перейти от геометрического изображения (построения гра-
фиков) функций, заданных уравнениями с числовыми коэф-
фициентами (у= 2х, у = — у — 2х + 1, 2х + у — 3 =
= 0, у = х2 — 2х + 3,
функций, заданных ура-
внениями с буквенными
коэффициентами (у =
==ах, у — ах + Ь, у =
= ах2 + Ьх + с, у —ах
и т. д.), а затем и к гео-
метрическому изображе-
нию (построению графи-
ка) произвольной функ-
ции.
Чтобы изобразить
геометрически произ-
вольную функцию, вы-
берем на плоскости пря-
моугольную систему координатных осей XOY (черт. 5) и
рассмотрим какую-либо функцию
у = f(x).	(1)
Уравнение (1) означает, что по каждому значению аргу-
мента х из области существования функции можно опре-
делить соответствующее значение функции у. Станем при-
давать аргументу х допустимые значения; определим из
уравнения (1) соответствующие значения функции у и
построим на плоскости XOY точки М с координатами х
и у. Совокупность точек М образует некоторую линию, ко-
торую назовем графиком рассматриваемой нами функции
У = f(x).
Таким образом, графиком функции у = f(x) называется
множество всех точек (геометрическое место точек) на плос-
кости, координаты которых удовлетворяют уравнению (1).
§ 2. Предел функции
"1. Согласно новой программе по математике учащиеся
будут изучать следующие разновидности предельного пере-
хода;
15
а)	предел последовательности,
б)	предел переменной величины,
в)	предел функции.
Предел переменной величины можно определить следую-
щим образом1’: постоянная величина а называется пределом
переменной величины х, изменяющейся в некотором процессе,
если абсолютная величина разности х — а, начиная с неко-
торой определенной стадии (состояния) процесса стано-
вится и во всех его последующих стадиях (состояниях)
остается сколь угодно малой (меньше любого положитель-
ного числа).
Это определение предела охватывает собой в одинаковой
мере и разновидность а) и разновидность б) предельного
перехода.
В самом деле, последовательность является пере-
менной величиной, как это видно из следующего
определения: последовательность — это переменная вели-
чина, значения которой, принимаемые ею в некотором про-
цессе, могут быть все занумерованы (поставлены в соответ-
ствие с числами натурального ряда)2*.
Переменные величины, которые, изменяясь в опреде-
ленном процессе, имеют предел3*,обладают некоторыми важ-
ными свойствами. Двумя из этих свойств мы будем пользо-
ваться при изучении темы «Применение производной к ис-
следованию функций» (гл. III). Сформулируем эти свой-
ства.
*) Под словами «переменная величина х в данном процессе
имеет своим пределом постоянную величину а» следует понимать
тот факт, что «разность х — а, начиная с некоторого момента (не-
которой стадии) процесса, становится и во всех дальнейших ста-
диях остается как угодно малой по абсолютному значению...!
(А. Я. Х и н ч и и. Педагогические статьи, М., 1963, стр. 61).
Л, It	** “Ь I т-
2)	Пример последовательности: а„ =------. Если п принимает
п
в некотором процессе значения 1, 2,3, ... t то переменная величина
ап принимает соответственно значения:
2	_3	4_	п+1
1 * 2 ’ 3 ' п 9
3)	Напомним учащимся, что существуют переменные величины,
которые, изменяясь в некотором процессе, не имеют предела. При-
мер: переменная величина а, где а — угол между часовой и минут-
ной стрелками часов, в процессе хода этих часов не приближается
ни к какой постоянной величине,
й
Если в некотором процессе х -> а и- а > 0 (а < О),
що, начиная с некоторой стадии (некоторого состояния) про-
цесса, и х > О (х < 0).
Иными словами, если переменная величина, изменяясь
> некотором процессе, стремится к положительному (отрица-
тельному) пределу, то и сама она, начиная с некоторой ста-
дии этого процесса, положительна (отрицательна).
n-S а а+6
Черт. 6
Действительно, предположим, что а > 0. Изобразим
значения переменной х и числа а точками на числовой оси
(черт. 6).
Пусть число б > 0 выбрано так, что выполняется нера-
венство а — б > 0. Отложив на оси ОХ влево и вправо
ОТ точки А по отрезку длины б, найдем точки Р и Q (черт. 6),
Которые изображают соответственно числа (а — б) и
(а б). Так как (а — б) и (а 4- б) — положительные чис-
ла, то все числа, содержащиеся в промежутке (а — б,
а 4* в) (окрестности1* точки а), также положительны. В
данном процессе х стремится к а, поэтому, начиная с не-
которой стадии этого процесса, точка М окажется внутри
отрезка Р Q и будет оставаться там во всех последующих
стадиях рассматриваемого процесса. Это означает, что зна-
чения переменной х, начиная с некоторой стадии процесса,
будут содержаться в промежутке (а—б, а + б) и, следова-
тельно, переменная величина х станет и будет оставаться
положительной2* во всех последующих стадиях рассматри-
ваемого процесса.
Аналогично в случае, когда а < 0 (черт. 7) и х -*• а,
точка М, начиная с некоторой стадии процесса, окажется
Кнутри отрезка PQ, а х станет и будет оставаться wpGSS-
тельным3* во всех последующих стадиях рассматриваемого
.Процесса.	' * •*
** Окрестностью точки а называется любой промежуток (а — б.
« 4- б), где б > 0.
•* Если на протяжении всего процесса изменения переменной х
тонка М находится вправо от точки О, то в этом случае х имеет
только положительные значения.
*> Если на протяжении всего процесса изменения переменной х
точка М находится влево от точки О, то в этом случае х имеет толь-
ко отрицательные значения,
Д7
II. Если в некотором процессе х -> а и, начиная с неко-
торой стадии (некоторого состояния) процесса, х > О
(х < 0), то а> О (а < О).
Иными словами, предел положительной переменной не
может быть отрицательным, а предел отрицательной пере-
менной не может быть положительным.
Черт. 7
Действительно, предположим, что, начиная с некоторой
стадии процесса, х> О, т. е. движущаяся точка Л4, кото-
рая изображает значения переменной величины х, находит-
ся на оси ОХ справа от точки О (черт. 7) и остается там во
всех последующих стадиях рассматриваемого процесса.
При этих условиях предел а переменной величины х не мо-
жет быть отрицательным числом.
В самом деле, если допустить, что предел переменной х
является отрицательным числом (а<0), то вокруг точки Л,
которая изображает это число (черт. 7), можно было бы
построить окрестность (а — б, а + 6), которая содержит
только отрицательные числа, и, так как х а, отсюда сле-
довало бы, что точка М окажется внутри отрезка PQ,
т. е. значения переменной х станут отрицательными в дан-
ном процессе. Но это противоречит условию х > 0.
Итак, предположив, что а < 0 , мы пришли к противо-
речию. Это означает, что число а не может быть отрица-
тельным, следовательно, а 0.
Примеры.
1) Переменная величина х, принимающая положитель-
ные значения
1; 1,9; 1,99;’	1,99 ...9;
и девяток
стремится к положительному числу 2.
2) Переменная величина х, принимающая положитель-
ные значения
1 1	1 J	1
* 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ ‘	’ 2Л *
стремится к 0.
18
Предположим теперь, что, начиная с некоторой стадии
процесса, х < 0, т. е. движущаяся точка М, которая изобра-
жает значения переменной х, находится на оси ОХ слева от
Сточки О (черт. 6) и остается там во всех последующих ста-
диях рассматриваемого процесса.
Рассуждая аналогично предыдущему, мы убедимся, что
при этих условиях предел а переменной величины х не
может быть положительным числом, т. е. а < 0.
Вч:вязи с понятием предела числовой последовательнос-
ти в X классе изучаются достаточные условия существова-
ния предела переменной величины1*, а также теорема о пре-
деле суммы, разности, произведения и частного двух пе-
ременных величин2*.
Последняя теорема постоянно применяется в задачах на
отыскание предела переменной величины. На применение
этой теоремы следует предложить учащимся упражнения,
подобные следующим:
а)	В некотором процессе величина с принимает одно и
то же значение. Найти lime в этом процессе.
Ответ, lime = е.
б)	В некотором процессе переменная величина х->а,
а е является постоянной величиной. Найти lim(ex).
Ответ. lim(ex) = са.
в)	В некотором процессе х а, а п — натуральное чис-
ло: Найти limx®.
Ответ, limx" — ап.
г)	В некотором процессе х е, а Р (х) = aQx2 + atx +
+ aft, где е0, av а2 — постоянные величины. Найти
ПтР(х). Рассмотреть также случай многочлена n-й степени.
Ответ, lim Р(х) = Р(а).
д)	В некотором процессе х -> с, а Р(х) и Q(x) — много-
члены. Найти lim .
<?(*)
*) Если переменная величина при своем изменении монотонно
возрастает (убывает) и в то же время остается меньше (больше) не-
которой постоянной величины, то эта переменная величина имеет
предел.
2) Если в некотором процессе величины х и у имеют соответст-
венно пределы а и б, то и переменные я+у, х—у, ху и — (последнее
У
при условии, что у не обращается в нуль и b 0) также имеют
пределы, и эти пределы соответственно равны: а + £, а — b, ab, —.
b
19
Ответ.	при условии, что
2. Здесь полезно также рассмотреть случай, когда пе-
ременная величина, участвующая в некотором процессе,
стремится к нулю (имеет своим пределом нуль): х->0.
Согласно определению предела переменной величины
это означает, что абсолютная величина разности х— О,
а значит, и абсолютная величина переменной х, начиная
с некоторой стадии процесса, становится и во всех его пос-
ледующих стадиях остается сколь угодно малой (меньше
любого положительного числа). Такая переменная величина
называется бесконечно малой (в данном процес-
се).
Итак, переменная величина х называется бесконечно ма-
лой в данном процессе, если она, начиная с некоторой ста-
дии процесса, становится и во всех его последующих стади-
ях остается по абсолютной величине сколь угодно малой
(меньше любого положительного числа}.
Примеры.
1) Переменная величина х, принимающая значения
111 1
2 * 2»* 2s ’ ' * * ’ 2”’
представляет собой бесконечно малую.
2) Переменная величина х, принимающая значения
является бесконечно малой.
Пользуясь теоремой о пределе суммы, разности, произ-
ведения и частного двух переменных величин, легко уста-
новить следующие свойства бесконечно малых:
Сумма (разность} двух бесконечно малых есть бесконеч-
но малая.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых
есть бесконечно малая.
Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно
малая.
О Вопрос о пределе переменной величины изложен более
подробно в статье <06 изложении темы сПределы» в курсе алгебры
IX класса средней школы», И. К- Парно, Сборник статей по мате-
матике (В помощь учителю). ИУУ МССР, Математическое общество
МССР, Кишинев, 1961.
20
Произведение бесконечно малой на постоянную есть бес-
рцоминд малая.
Произведение конечного числа бесконечно малых есть бес-
^дВнечно малая.
Примечание. Следует подчеркнуть, что частное двух
: > дачно малых не обладает свойством, аналогичным пе-
^р^леияым выше. Так, например, частное двух бесконеч*
цзэдйых — , в котором х в числителе и х в знаменателе суть
Зх
Фякные, бесконечно малые, равно у на всем протяжении
данного процесса и не является бесконечно малой.
3. Изменения переменных величин, принимающих
^участие в том или ином процессе, могут протекать весьма
!t’~--''разно; Так, кроме изменений, при которых пере-
пщдя величина х неограниченно приближается к неко-
^рбй, постоянной величине а (при которых х стремится
.я), есть изменения, в которых переменная величина не
приближается к какому-либо числу (не имеет предела), а
Неограниченно возрастает по абсолютной величине.
•* •
Черт. 8
Черт. 9
 Рассмотрим, например, точку, которая движется по оси
ж,в положительном (черт. 8) или отрицательном (черт. 9)
ааефавлении, неограниченно удаляясь от точки О.
Обозначив величину отрезка ОМ буквой х, можем ска-
что в этом процессе х неограниченно возрастает по
Йбболютной величине, т. е., начиная с некоторой стадии
<са, становится и во всех его последующих стадиях ос-
тается больше по абсолютной величине любого положитель-
^гочисла, как бы велико оно ни было. При этих условиях
Величина х называется бесконечно большой
в пянном процессе. О такой величине мы говорим, что она
стремится к бесконечности, и записываем
это так: х-> оо1*.
Если переменная величина х в ее неограниченном воз-
растании по абсолютной величине принимает, начиная с не-
которой стадии процесса, только положитель-
ные значения, то это записывают так: х ->-|-оо, если же
переменная величина х, начиная с некоторой стадии про-
цесса, принимает только отрицательные зна-
чения и неограниченно возрастает по абсолютной величине,
то записывают это так: х-*- —оо.
Примеры.
। 1) Если п—число сторон правильного вписанного в ок-
ружность многоугольника, то в процессе бесконечного уд-
воения числа сторон этого многоугольника, начиная с квад-
рата, п принимает значения
4, 8, 16, 32, 64,...
и неограниченно возрастает, т. е. может стать сколь угодно
большим, например большим, чем 10 000. Действительно,
после двенадцатого удвоения мы получим многоугольник
с числом сторон, равным 16 384. Таким образом, перемен-
ная величина п является бесконечно большой и принимает
только положительные значения, следовательно, и-> 4- оо.
2) Если в некотором процессе переменная величина t
принимает отрицательные значения
—5, —8, —11, —14, —17,
которые составляют арифметическую прогрессию, то она
(величина t) может стать сколь угодно большой по абсолют-
ной величине и, следовательно, в этом процессе t -> — оо.
3) Если в некотором процессе переменная величина k
принимает значения
0, -1, +1, —2, 4-2, -3, 4-3,... ,
неограниченно возрастая по абсолютной величине, то в
этом процессе fe-^-oo.
В последующем нам необходимо будет использовать не-
которые важные свойства бесконечно больших величин.
Сформулируем эти свойства.
» Следует подчеркнуть, что эта запись означает единственно то,
что в рассматриваемом процессе переменная величина х неограни-
ченно возрастает по абсолютной величине.
1) Если в некотором процессе переменная величина х,
^ищнАая от нуля, стремится к бесконечности, то перемен-
ная величина — стремится к нулю в этом процессе.
Действительно, в процессе неограниченного возрастания
Абсолютной величины х абсолютная величина разности -—
становится и остается меньше любого сколь угод-
X
до малого положительного числа1).
2)с Если в некотором процессе переменная величина х,
отличная от нуля, стремится к нулю, то переменная ве-
личина — стремится к бесконечности в этом процессе.
X
3)	Если в некотором процессе переменная величина х
стремится к бесконечности, то переменная х + с, где с —
постоянная, также стремится к бесконечности.
4)	Если в одном и том же процессе переменная xt стремит-
ся к бесконечности и переменная х2 стремится к бесконеч-
ности, то и произведение х±х2 также стремится к бесконеч-
ности в этом процессе2 3).
5)	Если в одном и том же процессе переменная х стремит-
ся к бесконечности, а переменная г стремится к пределу,
отличному от нуля, то произведение хг стремится к бес-
конечности в этом процессе.
В частности:
6)	Если в некотором процессе переменная х стремится
к бесконечности, ас — постоянная, отличная от нуля, то
произведение сх также стремится к бесконечности в этом
процессе.
4. Опираясь на знания учащихся о пределе переменной
величины, переходим R формированию у них понятия о п р е-
деле функции.
» Рассмотрим, две переменные величины х и у, связанные
между собой функциональной зависимостью у= f(x), и пред-
положим, что х,‘изменяясь в некотором процессе, стремит-
ся к а8) и отлично от а, тогда переменная у, будучи функцией
от х:
О Это свойство, а также свойства 2—6 следует пояснить уча-
щимся с помощью соответствующих конкретных примеров.
2> Отметить, что сумма и частное двух бесконечно больших вели-
чин не обладают аналогичным свойством.
3> Здесь а означает некоторое число или символ оо.
23
а)	либо стремится к некоторому пределу I,
б)	либо неограниченно возрастает по абсолютной вели-
чине,
в)	либо не стремится к пределу (не имеет предела).
Примеры.
а) Переменная у = f (х) стремится к некоторому пре-
делу I.
1) Рассмотрим функцию у = Дх) = х2. Если в некото-
ром процессе х а, то limx2 = lim(x • х) = limx х
X limx=a ♦ а = а1', число а2 называют пределом функции
у — Дх) = х2 при х -> а и записывают limx2 = a2.
х-* а
В частности,
limx2 = 9; limx2 = Г, limx2 = —.
х-*3	х -*—1	1	4
2
Зх 4- 5
2) Рассмотрим функцию у = f (х) = —и предполо-
жим, что в некотором процессе переменная х неограни-
ченно возрастает по абсолютной величине. Функция
у — —Т5 может быть записана в виде у = 3 -|- —, откуда
о 5
У —3 =
X
5
Когда х оо, величина — становится сколь угодно малой
х
по абсолютной величине, поэтому согласно определению
число 3 есть предел функции у в этом процессе:
lim у = lim 3*~*~ - = 3.
Х-» оо X -+ оо X
Вообще, если функция у = Дх} стремится к пределу I,
когда х стремится к пределу а, принимая значения, от-
личные от а, то число I называют пределом функции у =
= Дх) и пишут:
Иту = / или Нт/(х)=/.
х+а	х->а
б) Переменная у = Дх) неограниченно возрастает по
абсолютной величине.
Предположим теперь, что нам дана функция у = f (х),
которая неограниченно возрастает по абсолютной величине
при х-^а4. Тогда функцию Дх) называют бесконечно боль-
D Здесь а означает, как и выше, некоторое число или символ оо.
24
шой при х-+ а. Тот факт, что функция у = f(x) бесконеч-
но большая при х а, записывают так:
1ш1/(х) = со1*.
х
Если функция у = Дх) неограниченно возрастает по аб-
солютной величине при х-»- а и, начиная с некоторой ста-
дии этого процесса, становится и остается положительной
(отрицательной), то это записывают так:
limf (х) = -f' со
х*а
[Пт/(х) = — оо].
Примеры.
Нт-----
Ж-.2Х — 2
Вт — — со;
х-ОХ*
1-	1
lim-------— — со.
Х-.0 —х2
в) Переменная у = Дх) не стремится к пределу.
1)	Рассмотрим функцию у = sinx и предположим, что
в некотором процессе переменная х неограниченно возра-
стает по абсолютной величине. Известно, что в таком про-
цессе переменная величина у — sinx колеблется между +1
и — 1 и не стремится к какому-либо определенному числу,
т. е. у = sin х не имеет предела, когда х оо.
2)	Рассмотрим функцию у = [х], которая выражает наи-
большее целое число, не превосходящее числа х. Например,
[1,7]= I; [3] = 3; [3,14159...] = 3; [— 2,5] = — 3.
Построим график этой функции, принимая во внимание,
что
если — 1 -С х < 0, то [х] = — 1,
»	0<С х < 1	»	[х] =	О,
»	1<х<2	»	[х]=	1,
»	2 < х < 3	»	[х] =	2,
»	3 < х < 4	»	[х] =	3,
Из этих соотношений следует, что график функции у =
— Дх) состоит из ряда отрезков, параллельных оси ОХ,
О Необходимо подчеркнуть, что эта символическая запись яв-
ляется условной и указывает на свойство функции Дх) неограничен-
но возрастать по абсолютной величине, когда х стремится к а.
Черт. 10
не имеющих правого конца (черт. 10). Каждый из этих от-
резков изображен стрелкой, указывающей своим острием
на точку, не принадлежащую графику.' Например, как про-
межуток 2 < х< 3, так и соответствующий отрезок гра-
фика не содержит точки с абсциссой х = 3; точка с этой
абсциссой принадлежит следующему промежутку 3 < х <
<.4 и соответствующему отрезку графика; этот последний
промежуток и соответствующий ему отрезок графика не
содержит точки с абсциссой х = 4; точка с этой абсциссой
принадлежит следующему промежутку 4 < х < 5 и соот-
ветствующему отрезку графика; и т. д.
Выяснив все это, поставим вопрос: «Имеет ли функция
у = [х] предел, когда х стремится, например, к 2?»
Если х —> 2, принимая значения из промежутка 1 < х<
< 2, то у = [х] сохраняет постоянную величину, равную
1, следовательно, у 1; если же х->- 2, принимая значе-
ния из промежутка 2 < х< 3, то у = [х] сохраняет пос-
тоянное значение, равное 2, и, следовательно, у->2.
Таким образом, функция у — [х] не стремится к одному
и тому же числу, когда х стремится к пределу 2 любым спо-
собом. В этом случае говорят, что функция у = [х ] не имеет
предела, когда х -> 2.
3)	Рассмотрим функцию у — 2* и предположим, что в
некотором процессе переменная х стремится к нулю.
26
Если х~>0, принимая, например, значения
1111.
1 ’ 2 ’ 3 ’ 4 ’
то функция у .принимает соответственно значения
2, 4, 8, 16,
т. е. стремится к бесконечности.
Если же х—>-0, принимая, например, значения
1
з ’
то функция у принимает соответственно значения
1111
2 ’ 4 ’ 8 ’ 16’
и стремится к нулю.
Итак, функция у не стремится к одному и тому же числу,
когда х стремится к пределу 0 любым способом. Это озна-
£
чает, что функция у = 2х не имеет предела, когда х -* 0.
Вообще, если функция у = f(x) не стремится к одному
и тому же числу, когда х стремится к а, то говорят, что
не существует предела функции у — f(x), когда х-*-а.
Вернемся к случаю а) и, принимая во внимание сказан*
ное относительно примеров 2 и 3 в случае в), сформулируем
следующее определение:
Если переменная у = f(x) стремится к числу I, когда х
стремится любым способом к пределу а, принимая значения,
отличные от a, /по говорят, что функция у —f(x) имеет
своим пределом число I, когда х стремится к а, и записывают
это так:
Пт у = i или lim / (х) = 2)1).
х-+а
Примечание. Поскольку функции являются переменны-
ми величинами, к ним применяются свойства I, II (стр. 17,
18), а также теорема о пределе суммы, разности, произве-
дения и частного (стр. 19).
1) Отсюда следует, что переменная величина у = Дх) может
иметь в одном и том же процессе лишь единственный предел.
27
Примеры.
1) Так как
2х — 1
lim -------
х -»о Зх + 2
то (свойство I), начиная с некоторой стадии процесса пре-
дельного перехода (при достаточно малых по абсолютной
•величине значениях х), -—- <0.
3x4-2
2) Если, например,
lim f (х) = т и lim <р (х) = п,
х+а	х->а
ТО
lim [f (х) -|- ф (х)] = lim f. (х) + lim ф (х) = т 4* п.
х-*а	х-*а	х-*а
§ 3. Понятие о непрерывности функции
О кривой линии АВ (черт. 11) говорят, что она непре-
рывна, т. е. что ее можно начертить, не отрывая каран-
даша от бумаги. Кривая линия CD (черт. 12) непрерывна в
промежутках (alt ,{a2,ri), а в точках с абсциссами х=.
= а, и х = Oj она
У1	имеет разрывы;
о такой кривой мы
__________________________________________ говорим, что в точ-
£____________________xs ках с абсциссами
'	х = с, и х = Oj ее
непрерывность на-
рушена.
* Каждую из этих
—— — ..........-—---	кривых можно рас-
О	Л сматривать как
'	график некоторой
Черт. И	функции. Естест-
венно поэтому на-
звать функцию непрерывной, если ее график весь
представляет собой непрерывную кривую, а в противном
случае назвать ее разрывной в соответствующих
точках.
Этой идее непрерывности функции, возникшей на основе
непосредственного наблюдения геометрической линий,-
Черт. 12
являющейся графиком данной функции, можно придать
аналитическую фэрму.
Рассмотрим с этой целью функцию у ’= Дх), график
которой (черт. 13)—непрерывная линия. Пусть х и х4-Дх—
два близких значения аргумента; им соответствуют зна-
чения функции: у = Дх) и у 4- Ду = f(x 4- Дх). Точка
М с координатами х, у и точка М' с координатами х 4-
4- Дх, у 4- Ду принадлежат графику функции, а точки N
И N' -г- соответственно проекции их на ось ОХ. Мы знаем,
Что разность Дх между конечным значением х 4- Дх аргу-
мента и начальным его значением х является приращением
аргумента, а разность
Ду = Дх 4- Дх) — Дх) у»
между конечным значе-
нием Дх 4- Дх)'функции
и начальным ее значе-
нием Дх) является при-
ращением функции.
Рассматривая началь-
ное значение х аргумента
как постоянную, начнем,__
неограниченно прибли- О
жать конечное значение
х 4- Дх аргумента к его
Черт. 13
начальному значению х
{в этом процессе приращение Дх аргумента стремится к ну-
лю). Тогда при условии, что график рассматриваемой нами
функции является непрерывной линией в окрестности точ-
29
ки Af, ордината M’N' (черт. 13) будет стремиться совпасть
с ординатой МЛ/, а приращение Ду функции будет стремить-
ся в этом процессе к нулю1*. Таким образом, если для оп-
ределенного значения х аргумента выполняется равенство
lim Ду = О,
Дх -»-0
то данная функция непрерывна в точке х, а если для неко-
торого значения аргумента это равенство не выполняется,
то говорят, что функция разрывна в этой точке2*.
Итак, чтобы установить, является или не является дан-
ная функция непрерывной в точке (для определенного зна-
чения х аргумента), поступают следующим образом:
а)	подставив в выражение f(x) вместо х значение х + Дх,
получают конечное значение f(x + Дх) функции;
б)	вычтя начальное значение f(x) функции из ее конечного
значения f(x + Дх), находят приращение функции:
Ду = К*+ Дх) — f(x);
в)	ищут предел этого приращения при Дх О, рассмат-
ривая х как постоянную.
Если найдем, что lim Ду = 0, то функция является не-
прерывной в точке х, в противном случае функция претер-
певает разрыв в этой точке.
Примеры.
1) Пусть у = Дх) = ах + Ь.
Подставив в эту функцию х + Дх вместо х, получим:
Дх + Дх) = а (х + Дх) + Ь.
Вычислим затем приращение функции:
Ду = Кх + Дх)— Дх)=	+ Дх)+Ь—(ах + 6)~ аДх.
Найдем предел приращения Ду, когда Дх—>0;
lim Ду = lim (аДх) = а • 0 = 0.
Дх -* 0	Дх -* 0
Следовательно, линейная функция у = ах + Ь непре
рывна при любом значении х аргумента (черт. 14)*
D Это означает, что достаточно малому изменению аргумента х
соответствует сколь угодно малое изменение функции у.
2) Значению х аргумента соответствует точка на оси ОХ, по-
этому говорят, что функция непрерывна (разрывна) в точке.
80
Черт. 14

Упражнение^ Показать, что функция у = ах2 +
4- Ьх + с является непрерывной в любой точке х.
2) Пусть нам дана функция у = f(x) ~ [х], которая,
как мы знаем, выражает наибольшее целое число, не пре-
восходящее число х (см. стр. 25).
По графику этой функции (черт. 10, стр. 26) находим,
что точки с абсциссами 0,+1, +2, +3, являются точка-
ми разрыва.
Упражнение. Доказать путем отыскания предела
Ду при Дх-> 0, что функция у = [х] претерпевает разрыв
в точке с абсциссой х = 2.
Определение понятия непрерывности можно сформули-
ровать еще следующим образом.
Рассмотрим функцию у = f(x), график которой являет-
ся непрерывной линией (черт. 15).
31
Пусть а и х — два близких значения аргумента; им со-
ответствуют значения функции: Да) и f(x). Точка М с ко-
ординатами a, f(a) и точка М‘ с координатами х, f(x) при-
надлежат графику функции, а точки N и N' являются со-
ответственно их проекциями на оси ОХ. Представим себе
процесс, в котором х -> а; тогда при условии, что график
данной функции является непрерывной линией в окрестно-
сти точки М, ордината M'N' будет стремиться совпасть
с ординатой MN в этом процессе, т. е. Дх) -*• Да), когда
х-*-а.
Таким образом, если в точке а (для значения аргумента,
равного а) выполняется равенство lim Дх) = f(a), то функ-
х ->а
ция у = f(x) непрерывна в точке х — а, в противном случае
мы говорим, что функция претерпевает разрыв в этой точке.
Примеры.
1. а) Пусть у = f (х) = ах*	Ьх -|- с. Вычислим предел
этой функции, когда х-»-а.
lim f (х) = lim(ax84~b*4~c) = lim(ах2)-]- lim(bx)limс
ж-* а	ж-*а	х-*а	x-*a ж-*а
= а • lim(x • х)-}-& • limx-{-c =
х-»а	х-» а
==а
Итак,
= а • limx limx-|-6 • а~{-с =
х—а х + а
а • a-j-b • а-(--с = аа2 -|- Ьа 4- с = f (а).
limf (х) = [(a)
х-*а
и, следовательно, трехчлен второй степени у = ах8 +
+ Ьх + с является непрерывной функцией для любого
значения а аргумента (черт. 16).
б) Доказать, что многочлен
Р(х)=а„хл4-ая_1хЛ-14- ... -f-ajx-f-ao
является непрерывной функцией для значения аргумента
X,— с.
2. а) Пусть
Эта функция претерпевает разрыв в точке х — 2 (х = 2 —
корень уравнения х8 — Зх + 2 = 0).
32
Действительно, данная функция
неограниченно возрастает по абсо-
лютной величине, когда х -> 2, кро-
ме того, эта функция не определе-
на для значения аргумента, рав-
ного числу 2, следовательно, не
существует /(2).
б) Доказать, что функция, дан-
ная в 2а), претерпевает разрыв в
точке х — 1.
в) Дана функция
Черт. 17.
В какой точке эта функция разрывна и почему?
3. Функции sinx и cosx непрерывны в любой точке
х — а, т. е.
lim sin х — sin a, lim cos x = cos a.
к ->a	к -+a
-Это можно наглядно пояснить на тригонометрическом
круге радиуса 1 (черт. 17).
§ 4. Краткие исторические сведения
Понятия переменной величины и функ-
ции возникли в XVII веке под влиянием новых Запросов
естествознания и техники.
Впервые ввел эти понятия французский ученый Р. Д е-
к а р т (1637 г.).
Термин «функция» появляется (в 1692 г.) у Г Лейб-
ница, хотя и в несколько ином понимании, нежели совре-
менное.
Определение понятия функции, близкое к современному,
Находим у И. Бернулли (1718 г.). Это понятие приоб-
ретает современную общность в определениях' Н. И. Ло-
бачевского (1834 г.) и Л. Д и р и х л е (1837 г.).
Обозначение переменных или искомых величин послед-
ними буквами латинского алфавита (х, у, г, ...) введено в
общее употребление Р. Декартом (1637 г.), а знак функции
«/(х)»— Л. Эйлером (1734 г.)..
Термин «limes», а также первые шаги в создании теории
пределов мы находим у И. Ньютона (1686 г.).Совре-
менная теория, пределов возникает в начале XIX в.
2 Закаа 689
33
ГЛАВА П
ПРОИЗВОДНАЯ
§ 1. Скорость прямолинейного движения» понятие
мгновенной скорости
1. Одним из наиболее важных вопросов, которые могут
возникнуть в связи с изучением переменных величин, яв-
ляется вопрос о скорости (быстроте) изменения этих вели-
чин.
Так, например, в процессе движения какого-либо ма-
териального тела расстояние его от места отправления яв-
ляется переменной величиной, а скорость изменения этой
величины, другими словами, скорость движущегося тела,
представляет собой, как известно, одну из важнейших ха-
рактеристик процесса движения. Точно так же очень важ-
но с точки зрения теоретической и практической знать,
например, скорость изменения температуры какого-либо
тела в процессе его охлаждения (нагревания) или ско-
рость изменения количества вещества, которое образуется
в данной химической реакции, и т. д.
Черт. 18
2. Итак, поставим перед собой задачу определения ско-
рости изменения переменных величин.
Начнем с определения скорости точки М, которая дви-
жется по прямой OS1* (черт. 18) из начального положения
О, т. е. скорости изменения пути, пройденного точкой. До-
пустим, что закон движения точки М задан уравнением
s = 8,5^
(1)
где t — время в секундах, отсчитываемое от начала движем
ния, as — путь в метрах, пройденный точкой М за это вре-
-1) Последующее рассуждение существенно не изменится, если
точка будет двигаться по кривой.
34
мя. Из уравнения (1) следует, что каждому значению вре-
мени t соответствует вполне определенное значение прой-
денного пути s, т. е. уравнение движения определяет путь
($) как функцию времени (/).-
Определим из (1) значения пути, пройденного точкой М
в различные, как угодно выбранные промежутки времени;
вычислим затем отношение каждого из найденных значе-
ний пути к соответствующему промежутку времени. Ре-
зультаты этих вычислений запишем в следующую таблицу:
Началь- ное зна- чение аргумента	Конечное значение аргумента	Прираще- ние аргу- мента	Начальное значение функции	Конечное значение функции	Прира- щение функции	Отношение прираще- ния функ- ции к при- ращению аргумента
t	/-4-ДГ	д<1)	S	S -f- Д$	д«1)	Д$ "д7
2	5	3	17	42,5	25,5	8,5* *
9	13	4	76,5	110,5	34	8,5
4	11	7	34	93,5	59,5	8,5
4	4,01	0,01	34	34,085	0,085	8,5
			А	А		• •	•	А	А •	•
t	t + ы	I ы	| 8,5/		8.5Д/	8,5
Из этой таблицы мы видим, что отношение пройденно-
го точкой пути к соответствующему промежутку времени
является постоянной величиной. Известно, что движение,
в котором отношение пути к времени, за которое он пройден,
есть постоянная величина, называется равномерным дви-
жением, а отношение пути к соответствующему промежутку
времени называется скоростью равномерного движения.
Если обозначить скорость буковй р, то на основании опре-
деления можно написать для равномерного движения фор-
мулу2’	As
V = --.
ы
О Напомним здесь учащимся определения приращений аргу-
мента и функции.
s
2) Поясним учащимся, что известная им формула v = —• является
*
д$	, .
частным случаем формулы v = —, поскольку s и I представляют
Д/
собой соответственно приращения s — 0 и t — 0.
2*
35
Упражнение. Скорость равномерного движения
определяется по формуле v = ~ . Означает ли это, ч!о.
величина скорости зависит от пути и времени?
3. Перейдем теперь к определению скорости тяжелой
материальной точки в свободном падении (в пустоте)1*, т. е.
скорости изменения пути, пройденного ЭТОЙ точкой.
Если время t отсчитывается от начала падения, тогда
путь s (л), пройденный точкой за это время, определяется,
как известно, уравнением
s = В.	(2)
г 2
где £^9,81-^-.
сек2
Из уравнения (2) следует, что каждому значению /соот-
ветствует вполне определенное значение s, т. е. закон дви-
жения определяет путь (s) как функцию времени (/).
Определите из (2) значения пути, пройденного движу-
щейся точкой в различные промежутки времени; вычислим
затем отношение каждого из найденных значений пути к
соответствующему промежутку времени. Полученные ре-
зультаты запишем в следующую таблицу:
t	t -	h AZ	Д/	S	$ + As	As	As Д/
2	5		3	2g	12.5g	10,5g	3.5g
2	3		1	2g	4.5g	2,5g	2.5g
2	2,1		0,1	2g .	2,205g	0,205g	2.05g
2	2,01		0,01	2g	2,02005g	0,02C05g	2,005g
9 t	t -	p Д/	д/	to |0Q	4	(2/+Д0 Ы £	'So
Из этой таблицы мы видим, что отношение пройденного
точкой пути к соответствующему промежутку времени уже
не является постоянной величиной, как в случае равномер-
ного движения. Движение, в котором отношение пути,
пройденного движущейся точкой, к промежутку времени,
1) Мы рассматриваем движение в пустоте, чтобы избежать необ-
ходимости учитывать сопротивление воздуха.
36
за которое он пройден, есть величина переменная,
называется, как известно, переменным дви-
жением, а отношение пути к промежутку вре-
мени, за которое он пройден, называется средней
скоростью переменного движения на соответству-
ющем участке траектории, например на участке
ММ' (черт. 19).
Если обозначить среднюю скорость символом
Ьср, то согласно определению мы получим фор-
мулу
В частности, средняя скорость в течение
промежутка времени Д£ между моментами t и
t + Д/переменного движения, заданного урав-
нением s= выражается формулой
«ср = gt + f Д'-	(3)
At
Черт. 19
Из этой формулы видно, что иср зависит от
двух величин, а именно: от начального значения аргу-
мента (0 и от приращения аргумента (Д/).
Чтобы определить скорость движения точки в данный
момент времени (скорость движения тяжелой материаль-
ной точки в свободном падении), рассуждаем следующим
образом.
Чем меньше промежуток времени Д/, тем Меньше ста-
новится соответствующий участок пути ММ'. а средняя
скорость приближается к скорости точки в момент /, ког-
да она находится в положении М (черт. 19). Поэтому, если
обозначить скорость точки в момент t буквой и, то можно
сказать, что средняя скорость vcp стремится к о, когда со-
ответствующий промежуток времени А/ стремится к нулю.
Таким образом, искомая скорость v есть предел средней
скорости оср, когда А/ стремится к нулю:
v — lim ос„.
at-»o
Подставив в это равенство значение оср из (3),
о — lim (gt + д/j = gt»,
	At - 0 \	2	/
О В этом предельном переходе начальное значение аргумента t
есть величина постоянная.
(4)
найдем:
37
Следовательно, из уравнения движения, заданного у рав-
ном падении (в пустоте) растет пропорционально проме-
жутку времени, истекшему от начала падения.
Положив в формуле (5) t = 2, найдем, что скорость в
этот момент равна 2g. С другой стороны, результаты вы-
числений, записанные в таблице на странице 36, показы-
вают, что именно к этому числу 2g приближаются значения
средней скорости:
2,5# 2,05# 2,005# .
когда Д/ уменьшается, приближаясь к нулю.
4. Решим теперь в общем виде задачу об определении
скорости движения в данный момент. Обозначим буквой t
время, отсчитываемое от начального момента t = 0, а бук-
вой s — путь, пройденный движущимся телом за проме-
жуток времени от начального момента до момента /. Для
простоты можно допустить, что траектория движения есть
прямая линия1*. Так как каждому значению t соответству-
ет вполне определенное значение s, то путь s есть функция
времени I:
S = f(t).
(6)
Это соотношение выражает закон движения. Чтобы опре-
делить скорость v движущегося тела в данный момент /,

М Л5 ft'
Черт. 20
рассмотрим еще некоторый последующий момент t + А/. За
промежуток времени Д/ между моментами t и t + Д/ дви-
жущееся тело пройдет путь (черт. 20):
Д$ =- f(t + ДО - ДО,
и, следовательно, средняя скорость тела на участке тра-
1) Последующее рассуждение существенно не изменится, если
точка будет двигаться по кривой.
38
ектории ММ' (средняя скорость в течение промежутка
времени между моментами t и t + Д0 будет
с₽ ~ Д/	ы '	10
Чтобы найти скорость движения тела в данный момент
времени, рассуждаем так.
Чем меньше промежуток времени Д/, тем ближе зна-
чение средней скорости t>cp к скорости v тела в момент tt
т. е. v есть предел иср, когда Д/ стремится к нулю:
г As v /(/ + Д0 — f(t)
v = lim — = lim	—L——
м-*о Д/ at-*o Ы
Таким образом, скоростью движущегося тела в момент
времени t будем называть предел, к которому стремйтся
отношение пройденного пути (As) к соответствующему
промежутку времени (Д/), когда этот последний стремит-
ся к нулю.
У пражнения.
1) Путь s, пройденный телом в свободном падении (в пу-
стоте) с начальной скоростью и0, определяется формулой
s = f(t) =о0/4-^ А
Найти, пользуясь этой формулой, скорость тела в мо-
мент времени t и вычислит^ затем эту скорость для I = 3,
если известно, что о» = 5 — --, а е = 9,81 ——.
сек	сек2
Указание. Конечное значение пути получим, ес-
ли подставим / + А/ вместо t в выражение /(/)-
f (t + ДО = м*+до+ f (t + A0a-
4Ы
2) Закон движения точки задан формулой
s = 5/г 4- 1,8£
Определить скорость движения точки в некоторый мо-
мент I и вычислить ее для t — 2,2.
39
§ 2* Упражнения на определение скорости изменения
переменных величин
В предыдущем параграфе мы выбрали в качестве пе-
ременной величины путь, пройденный движущимся телом
за промежуток времени /, и определяли скорость его из-
менения.
Перейдем к решению аналогичной задачи для других пе-
ременных величин, например температуры тела, силы,
электрического тока, количества вещества, которое обра-
зуется в данной химической реакции.
Упражнени ях>.
1) Температура Т° некоторого тела изменяется при ох-
лаждении по закону Т = —0,3<а, где I — время, выражен-
ное в секундах.
Требуется:
ча) найти среднюю скорость изменения температуры для
промежутков времени, указанных в данной ниже таблице*
t	t-f- At	At	т	г i	h А7	Д/	Д7 At
3	4	1					
3	3,1	0,1					
3	_ 3,01	0,01					
1	» * I + Д/	• • д/		*	в	•	
р ДТ
б) определить lim —, т. е. скорость изменения темпе-
At->o Д/
ратуры в момент времени Z; -
в) пользуясь формулой, полученной в пункте б), найти
скорость изменения температуры в момент времени t = 3;
полученное значение сравнить со значениями средне^
скорости, вычисленными в пункте а).	* т
О Желательно упражнения 1—3 этого параграфа решить в клас-
се, а упражнения 4—5 включить в домашнее задание.
40
2) Сила электрического тока / (амперов) изменяется по
закону / = 0,6/2, где t— время, выраженное в секундах.
Т ребуется:
а)	вычислить среднюю скорость изменения силы тока /
для нескольких промежутков времени, выбрав начальный
момент t = 5 и постепенно уменьшая приращение? А/, как
в предыдущем упражнении. Результаты вычислений запи-
сать в таблицу;
б)	вычислить скорость изменения силы тока / в момент
времени t\
в)	вопрос, аналогичный пункту в) иа	Уп*
ражнения.	'
3) В некоторой химической реакции р^Йз^ется Q г ве-
щества в промежуток времени от иачалййго момента до
Момента времени t (сек.).
Требуется:
а)	найти среднюю скорость оср химической реакции в те-:
чение промежутка времени А/ между моментами t и /-4- АС
если известно, что Q = /(/);
б)	найти скорость v химической реакции» в некоторый
момент времени /.
Ответ.
а) °'’- Ti ------ь-----
At —О Д/ At —0	Д/
4) Закон изменения переменной величины Г задан фор-
мулой
Т= 0,4/2 — 0,1/.
Вычислить скорость изменения этой величины: а) для
значения t аргумента, б) для значения t '= 2.
5) Закон изменения переменной величины Q задан фор-
мулой
Q = 3/s4-t
Вычислить скорость изменения этой величины: а) для
значения t аргумента, б) для значения I — 5.
41
§ 3. Производная
В предыдущих двух параграфах мы занимались опреде-
лением скорости изменения различных переменных вели-
чин, а именно: пути, пройденного движущимся телом, тем-
пературы некоторого тела в процессе его охлаждения (на-
гревания), количества вещества, которое образуется в дан-
ной химической реакции.
Способ вычисления, которым мы пользовались при оп-
ределении скорости изменения рассмотренных нами выше
переменных величин, можно применить вообще к любой
функции (переменной величине) у = Дх) для вычисления
скорости ее изменения.
Действительно, если мы от некоторого значения х~ ар-
гумента (начального значения) перейдем к новому его зна-
чению х 4- Дх (конечному значению), то функция у при
этом получит приращение Ду = Дх 4- Дх) — Дх), а от-
ношение
„ - ДУ _ / (*4~А*)—/(*)
с₽ ~ Дх ~ Дх
даст нам среднюю скорость изменения функции у на участ-
ке (х, х + Дх). Чем меньше будет приращение Дх аргу-
мента, тем ближе будет значение средней скорости сср к
скорости v изменения функции у — f(x), соответствующей
данному значению х аргумента, т. е. скорость изменения о
функции у = Дх), соответствующая данному значению х
аргумента, есть предел средней скорости vco = —, когда
F Дх
Дх стремится к нулю-.
=lim К*.
Лх-»оДх лх->о Дх
Сопоставляя теперь операции, которые мы выполняли, в
задачах, рассмотренных нами в двух предыдущих парагра-
фах, мы замечаем, что во всех этих задачах делалось по су-
ществу одно и то же, а именно: приращение функции дели-
лось на приращение аргумента, а затем вычислялся предел
того отношения, когда приращение аргумента стреми-
лось к нулю. г
Этот предел (когда он существует) называется производ-
ной функции у = Дх).
Сформулируем следующее определение:
Производной функции называется скорость ее измене-
ния или предел отношения приращения функции к прира-
щению аргумента, когда это последнее стремится к нулю.
Производная функции у — f(x) имеет, вообще говоря,
различные значения для различных значений аргумента х
и обычно обозначается через у', или /'(•*)> или
Операция отыскания производной от данной функции
называется дифференцированием1* этой функции.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующей об-
щей схемой для вычисления производной (дифференциро-
вания):
1)	выберем допустимое значение х аргумента (началь-
ное значение аргумента)', ему соответствует вполне опре-
деленное значение у = f(x) функции (начальное значение
функций)-,
2)	заменим в выражении f(x) начальное значение х ар-
гумента его конечным значением х + Дх; получим конеч-
ное значение f(x + Дх) функции-,
3)	из конечного значения f(x 4- Дх) функции вычтем ее
начальное значение f(x); получим приращение функции
Ду = Кх + Дх) — f(x), соответствующее приращению Пах
аргумента-,
4)	составим отношение этих двух приращений-.
Ау _/(х-|-Дх)—/(х)
Дх	Дх ’
5)	наконец, перейдем к отысканию предела этого отно-
шения, когда Ах стремится к нулю2*-, если этот предел су-
ществует, получим производную f(x) функции f(x).
Пример Е Найти производную линейной функции
у = ах + Ь.
Решение. Для вычисления производной этой функ-
ции воспользуемся данной выше общей схемой:
*) Операция вычисления производной называется дифференци-
рованием ot латинского слова differentia (разность). Такое название
операции связано с тем, что при вычислении производной берут от-
ношение двух приращений (разностей): Дх+Дх)—/(х) и (х+Дх)—х.
а) Напомним учащимся, что значение х аргумента в этом про-
цессе предельного перехода рассматривается как постоянная (из-
меняется только Дх) и может быть выбрано произвольно из области
определения функции.
43
1)	начальному значению х аргумента соответствует на-
чальное значение f(x) = ах 4- Ь функции;
2)	заменим в выражении /(х) = ах 4* Ь начальное зна-
чение х аргумента конечным его значением х 4- Дх; полу-
чим конечное значение функции
Дх 4- Дх) — а(х 4- Дх) 4- Ъ\
3)	из конечного значения функции вычтем ее начальное
значение; получим приращение функции
Ду = f (х-]-Дх) —f (х) = а(х+Дх) 4~& — (ах4"0>'
Ду == f (х 4- Дх) — f (х) = аДх, •
соответствующее приращению Дх аргумента;
4)	найдем отношение этих двух приращений:
Ду _ 7(*4-Дх>—/ (х) = аА* _ а.
&х	\х	Дх
5)	перейдем, наконец, к отысканию предела этого отно-
шения, когда Дх стремится к нулю:
lim — = Нт ((*4-Дх)—/ (*) _ цт а _ а;
Дх-оДх Дх-0	Дх	Дх-»О
найденный предел
у' = f' (х) = (ох *4“ Ь)' = а
и есть производная функции у = /(х) = ах 4- Ь.
Следовательно, производная линейной функции равна
постоянному числу, а именно коэффициенту при х.
Пример 2. Найти производную квадратной функции
у = /(х) = 9х2 — 9х 4- 3.
Решение. Будем следовать общей схеме.
О у =/(х) = Эх2 —9x4-3;
2)	У 4- Ду = f (х 4- Дх) = 9 (X 4- Дх)2 — 9 (X 4- Дх) 4- 3;'
3)	Ду — f (х 4~ Дх) — f (х) = 9 (2х 4- Дх) Дх — ЭДх;
4)	АЛ= t (х +	<х>=9 (2х+Дх)Дх--8Дх=9(2х4_Дх)_9
7 Дх	Дх	TSx	КТ/
5)	- lim — = lim 19 (2х 4- Дх) — 9] = 18х — 9.
Дх -»о Дх Ах —о
Ответ.
Г(х) = (Эх2 — Эх 4- 3)' = 18х — 9.
44
Упражнение. Найти4значение производной из
примера 2 для значений аргумента х = 0, 1, 2 путем под-
становки, а также следуя общей схеме.
 Ответ. f\0) = —9; f(1) = 9; f (2) «= 27.
Упражнения для домашнего задания.
1) Найти пройзводные функций: у = 8х — 5, у =
— Зх3 — 5х + 6, у — ах2 + с.
2) Найти значения производных из упражнения 1) для
значений аргумента х = 0; —1,5 путем подстановки, а
а также следуя общей схеме.
§ 4. Геометрический смысл производной, касательная
к кривой лийии
^Рассмотрим функцию
У = Кх),	(1)
и пусть кривая С (черт. 21) есть график этой функции в пря-
моугольной системе координат X0Y
Займемся отысканием производной функции (1), сле-
дуя общей схеме, и одновременно истолкованием с точки
зрения геометрической каждого шага этого процесса.
1)	Выберем допустимое
значение х аргумента; ему
соответствует вполне опре-
деленное значение у — f(x)
функции.
2)	Выберем значение х-\-
Дх аргумента, близкое к
1) Возьмем на графике
функции точку М с коорди-
натами х, у ~ f(x) — NM =
=АГР.
2) Возьмем на графике
функции близкую к точке М
Черт. 21
45
его начальному значению;
этому значению соответству-
ет значение у + Ду = ](х 4-
-J- Дх) функции.
3)	Найдем приращение
функции
Ду = f(x + Дх) — f(x),
соответствующее прираще-
нию Дх аргумента.
4)	Составим отношение
приращения функции к со-
ответствующему прираще-
нию аргумента; получим
Ду
среднюю скорость — изме-
Дх
нения функции на участке
(х, х 4- Дх).
5)	Перейдем к отысканию
предела этого отношения,
когда Дх стремится к нулю
(значение аргумента х в
этом процессе предельного
перехода есть величина по-
стоянная); если этот предел
существует, получим произ-
водную f(x) функции f(x)
(скорость изменения функ-
ции у = /(х) в точке с абс-
циссой х).
другую точку М' с коорди-
натами
х 4- Дх, у + Ду =
= f(x 4- Дх) = ЛГЛГ
3)	Приращению абсцис-
сы Дх = NN' = МР
соответствует приращение
ординаты Ду — N'M' —
— NM = PM'
4)	Составим отношение
соответствующих прираще-
ний ординаты и абсциссы
ду _ РМ'
Дх МР
= tgo’>,
получим тангенс угла о, обра-
зуемого секущей MS, прове-
денной через точки М и М'
графика с осью ОХ абсцисс.
5)	В процессе предельно-
го перехода, когда Дх стре-
мится к нулю, абсцисса х
есть величина постоянная,
поэтому точка М на графи-
ке неподвижна. Когда Дх
изменяется, неогран ичен но
приближаясь к нулю, точка
М', двигаясь по кривой, не-
ограниченно приближается
к М, как к своему предель-
ному положению, а секущая
MS вращается вокруг точки
М, неограниченно прибли-
жаясь к предельному поло-
жению М Т (если этот предел
существует)- прямая МТ
называется касательной к
кривой в точке /И1 2); одновре-
1) с — греческая буква «сигма».
2) Необходимо объяснить учащимся, что это определение каса-
тельной к кривой является более общим, чем известное им из курса
геометрии определение касательной к окружности.
46
менно угол Ц, образуемый секу-
щей с осью ОХ, будет прибли-
жаться, как к своему преде-
лу, к углу т1*, образуемому
касательной с осью 0Х\
Таким образом,
lim — = lim ?—"	= цт tga = tgr
Дх->оДх Дх-*0	Дх	Дх-0
т. е. производная функции у = Дх) в точке х равна тангенсу
угла, образуемого с осью ОХ касательной к графику функ-
ции в точке с абсциссой х.
Тангенс угла, образуемого прямой с осью ОХ, назы-
вается, как известно, угловым коэффициен-
том этой прямой; поэтому полученное выше предложение
можно сформулировать также и следующим образом: произ-
водная функции y=f(x) в точке х равна угловому коэффици-
енту касательной к графику функции в точке с абсциссой х.
Примеры.
1)	Найти угловой коэффициент касательной к параболе
у — х2 в точке с абсциссой х =	.
Решение. Находим производную функции у =х2:
Ду = (х-|- Дх)2 — х2 = (2х Дх) Дх,
= 2х + Дх,
Дх ’
lim — = 2х; у' = (х2)' = 2х.
Дх-ОЛ*
Чтобы найти угловой коэффициент касательной к пара-
нг	Л	о	1	1	,
боле в точке с абсциссой х == —, полагаем х = — в v ;
получим:
у I । — 2х — 1,
р у [х= —
От — греческая буква «тау».
2) В качестве наглядного пособия можно использовать палочку
или линейку, закрепленную булавкой или гвоздиком в точке М чер-
тежа на классной доске и вращающуюся вокруг этой точки, начи-
ная от положения секущей MS до совпадения с касательной МТ\
одновременно полезно проследить за изменением в этом процессе
угла секущей с осью ОХ.
47
Черт. 22
следовательно (черт. 22, а),
tgr , = 1, t j =45°.
р Г	Г*='2
2)	Найти угловой коэффициент касательной к параболе
у — ах2 в точке с' абсциссой х.
Решение. Находим производную. функции у =»
= ах2 в точке с абсциссой х:
Ду ==а(х +Д*)а — ах2 — а(2х -|-Дх) Дх,
— = а(2х4- Дх),
Lx
lim — = 2ах.
дх-»оДх
Ответ.
tgr = у' = 2ах,
где т — угол, образуемый касательной с осью ОХ.
Примечание. Из полученного в примере 2) ответа
вытекает способ построения касательной к параболе.
Действительно, из треугольника PMN (черт. 22, б) на-
ходим:
у =PN • tgr, или
ах® = PN • 2ах.
Отсюда PN= ~, т. е. Р есть середина отрезка ON — х.
Таким образом, чтобы построить касательную к параболе
48
у = ах2 в ее точке М(х, у),
опускаем из этой точки пер-
пендикуляр MN на ось ОХ,
делим пополам отрезок
ON = х и середину его Р
соединяем с точкой М.
Прямая РМ и есть иско-
мая касательная.
3)	Найти угловой коэф’
фициент касательной к па-
раболе у = —х2 + 4х —
— Зв точке с абсциссой
х = 2.
Решение. Находим
= —х2 + 4х — 3:

О
производную функции у =
Ду =—(х+Дх)2 -]- 4 (х 4- Д*)—
— 3 —(—ха + 4х —3),
Ду = — (2х 4~ Л*) Дх + 4Дх,
^ = -(2х4-Дх)+4,
lim — = — 2x4- 4, у' — — 2х 4- 4.
Дх о Дх
Чтобы найти угловой коэффициент касательной к пара*
боле в точке с абсциссой х = 2, полагаем х =2 в у':
у' =-2x4-4,	=0,
|х=2	|х=2
следовательно,
tgx = 0, т = 0°,
|хч=2	|х=2
т. е. касательная к данной параболе в точке с абсциссой
х = 2 параллельна оси ОХ (черт. 23).
У пражнения для домашнего задания.
1)	Найти угловой коэффициент касательной к параболе
у — О- х2 в точке с абсциссой х = 4-. Чему равен угол,
3 Заказ 589
4Э
образуемый касательной в этой точке с осью ОХ? По-
строить график.
2)	Найти угловой коэффициент касательной к параболе
у = 2х — х2 в точке с абсциссой х. Чему равен угловой
коэффициент и угол, образуемый с осью ОХ касательной в
точке с абсциссой х = 1? Построить график.
§ 5. Производные функций: у=с\ у—Х’, у=й-|-о
До сих пор при отыскании производной мы пользова-
лись общей схемой их вычисления, которая была получе-
на нами непосредственно из определения производной.
.	В дальнейшем выве-
дем формулы и правила
дифференцирования, ко-
торые в большой мере
|	облегчат нам вычисле-
ние производных.
с	с	1. Производ-
ная п о с т б* я иной.
—.---------------—>------Функция, сохраняющая
0 х	х*йХ X одно и то же значение
Черт 24	для любого значения ар-
гумента, есть постоян-
ная величина’, она обозначается обычно буквой с:
Таким образом, значениям х и х + Дх аргумента соот-
ветствует одно и то же значение с функции (черт. 24), сле-
довательно,
Ду = с—с = О
Дх
Поэтому имеем:
lim — = 0;
дх-о Дх
у = (с)' = On.	(I)
П Замечаем, что значение производной у'= (с)' = 0 совпадает
со значением углового коэффициента tgO° = 0 прямой у = с.
«50
Итак, производная постоянной равна нулю.
Примеры.
(4)' = 0;
(|)' = 0; (JZ2)' = 0;
(л)' = 0; (У2)' = 0.
(-5,8)' = 0;
2. Производ-
ная функции у=х.
Дана функция у=х.
Каждое значение этой
функции равно значе-
нию, которое принима-
ет аргумент х. Напри-
мер, если х =4, то и у =
= 4, если х — —1,7, то
и у = —1,7, и т. д. Гра-
фиком этой функции яв-
ляется биссектриса пер-
вого и третьего коорди-
натных углов, образуе-
Черт. 25
мых осями координат ОХ и OY (черт. 25).
Значениям х и х 4- Дх аргумента будут соответствовать
значения у = х и у + Ду = х + Дх функции, следова-
тельно,
Ду = Дх и — = 1.
Дх
Тот же результат мы получим, рассматривая треуголь-
ник МРЛГ (черт. 25); в котором катеты МР = Дх и РМ'—
= Ду равны, так как
^М 'МР = 45°.
Следовательно, имеем:
lim — — lim 1 = 1;
Дх -* 0 &Х дх ** о
у' = (х)' = Ph	(II)
Итак, если функция равна независимому переменному
(аргументу), то ее производная равна 1, или, короче, про-
изводная независимой переменной равна 1.
О Замечаем, что значение производной у' == (x)r = 1 совпадает
со значением углового коэффициента (tg45°=l) прямой у = х.
3*
51
3. Производная суммы функций.
Рассмотрим сумму двух функций
у = и + V,
где и = f(x) и v = g(x), и допустим, что для некоторого
значения х аргумента существуют производные: и' = f'(x)
и v' = g'(x).
Следуя общей схеме дифференцирования, имеем:
у 4~ Ду -= (и + Ди) + (v + Дар
y=u + v
Ду = Ди -р Ду,
Ду	 Ди	।	Ду
Дх	Дх	Дх	’
Ду	..	Ди	.	Ду
Jim — =	lim----f-	lim —,
дх-оДх дх-»оДх дх-^оДх
а так как
lim — = и', lim — = v',
д*-»оДх	дх-^оДх
то получаем:
у' = и' v', или (и -{- и)' = u'-j- v'.
(Ш)
Таким образом, производная суммы двух функций равна
сумме их производных (если каждое слагаемое в отдельно-
сти имеет производную).
Подобным же образом можно показать, что
(и — о)' = и' — v'.
Правило дифференцирования суммы можно распрост-
ранить на случай суммы любого числа слагаемых. Напри-
мер:
(и — о + &Y = 1(и — v) + wY = (и — v)' + а»' =
= и’ — v’ 4- и>',
О Напомним учащимся, что
Да = f (х + Дх) — f (х)
________________________________________
и + Да — f(x + Дх),
точно так же о + До = g(x + Дх), т. е. конечное значение функции
равно ее начальному значению плюс ее приращение.
52
т. е. производная алгебраической суммы функций равна ал-
гебраической сумме их производных (если существует произ-
водная каждого слагаемого в отдельности).
У пражнения.
1)	Найти производную функции у = Зх.
Решение.
у'=(3х)'=(х+х+х)' = (х)'+(*)'+(*)'= 1+1+1 = 3,
(Зх)'= 3.
2)	Найти производную функции у = 5х2, зная, что
(х2) = 2х (см. пример 1, § 4).
Решение.
у' = (бх2)' = (х2+х2+х2+х2+х2)'= (х2)' 4- (х2)'+ (х2)'+
+ (х2)' -Их2)' = 2х + 2х + 2х + 2х + 2х = 10х,
(5х2)' =10х.
3)	Найти производную функции
у — 5х2 — Зх + 11,
зная, что (5х2)' = 10х, (Зх)' = 3.
Решение.
у' = (бх2 — Зх + 11)' = (бх2)' — (Зх)' + (11)' = 10х — 3.
В качестве домашнего задания предложим учащимся
следующие упражнения:
1)	Найти производную функции у — 4х.
2)	Найти производную функции у = Зх2, если известно,
что (х2)' — 2х.
3)	Найти производную функции у = Зх2 + 4х — 7,
зная производные функций из предыдущих двух упраж-
нений.
§ 6. Производная произведения двух функций
Рассмотрим произведение двух функций:
у = uv,
где и = f(x) и v = g(x), и допустим, что для некоторого
значения х аргумента существуют производные:
и' = ['(х) и v' = g'(x).
53
Следуя общей схеме отыскания производной, имеем:
у -f- Ду = (и 4- Ли) (у -|- До)
у = uv
Лу—(и-]- Ли) (о 4“ До)—uv=
= иЛо -f- иЛи 4- Да До,
Ду	Ди । Ди > Ди Ди *
— — и-----L- V---L_------Дх,
Дх	Дх Дх Дх Дх
lim — = и lim — 4~о lim — 4" Пт —  Нт — • lim Дх1’,
дх-.оДх дх-оДх дх-»оДх дх-*оДх дх-оДх дх-»о
а так как
lim — = и', lim — = o', Пт Лх — О, (О
дх-оДх	дх-^оДх	Дх-*о
то из (1) следует:
у' — uv' 4- ои' 4~ а' • о' • 0; (ио)' = ио' 4~ vu'. (IV)
Таким образом, производная произдведения двух функций
равна первой функции, умноженной на производную вто-
рой, плюс вторая функция, умноженная на производную
первой (если каждый сомножитель в отдельности имеет
производную).
Полагая в (IV) и = о, получим: (и2)' = 2ии'
Пользуясь формулой (IV), найдем производную про-
изведения	у = си,
где с — постоянная величина, а и = f(x):
у' = (си)' — си' 4- ас',
и так как с' = 0, то получим:
у' = си', или (си)' — си'.	(V)
Итак, производная произведения постоянной на функцию
равна произведению постоянной на производную функции.
Правило дифференцирования произведения двух сом-
ножителей можно распространить на случай произведения
любого числа сомножителей.
Например:
(uvw)' = [(ut>)ui]'= (uv)w' 4~ (uv)'w~
— uvw' 4“ (uv' 4- u'v)w —
=UVW' 4~ uv'w 4- u'vw.
О Когда Дх стремится к нулю, значение х аргумента, а такж<
соответствующие значения функций u = Дх) н и = g(x) остаюто
постоянными.
64
Полагая в последней формуле и — v = w, найдем:
(и8)' « Зи2и'.
Примеры.
О У = х\
у'— (Х‘Х)' = (х)г‘Х-[-х (х)' — х + х = 2х, (х8)' — 2х.
2)	у == х8,
у' — (ха-х)= х8.(х)'4~ х^х2)' =х2.1 4-х.2х = Зх;
(х3)' = Зха
3)	у = 5х,
у' = (5х)' = 5. (хУ = 5, (5х)' = 5.
4)	у — Их8,
/МП-*2)'= И-2х = 22х, (Их8)' = 22х.
5)	у ~ Их8— 5х-|-8,
у' = 22х — 5.
Для домашнего задания предложим учащимся упраж-
нения, аналогичные приведенным выше. Например,
найти производные функций:
у = х1; у — х8; у = Зх1; у = бх8; у — бх8— Зх* х8.
§ 7. Производная степени с натуральным показателем.
Производная степени с любым показателем.
Производная многочлена
1.	Производная степени с натуральным показателем.
Дана функция
У = хп,
где показатель п — натуральное число. Чтобы найти про-
изводную этой функции, используем полученные выше ре-
зультаты:
(х)' = 1 = х»,	(1)
(х2)' = 2х,	(2)
(х3)'^ Зх2.	(3)
Замечаем, что производная каждой из степеней х1, х3,
х8 равна произведению показателя степени аргумента х на
его степень с показателем на единицу меньшим.
Докажем, что вообще
(х")' — пх?~1.	(VI)
Для этого достаточно показать, что если формула (VI)
справедлива для п = k, то она справедлива и для п —
= А + 1.
55
Итак, допустим, что
(хй)' = Ах*-1,
и вычислим производную функции хй+1:
(Х*+1)' = (Xй. х)' = xk-(x)' 4~ (ХЙ)'.Х.
Применяя формулы (1) и (4), получим:
(хй+1)' = х* -f- Ах*-1 • х =
= х6 4- kxk = (k 4-1) Xй.
(4)
Итак, формула (VI) справедлива и для п = k 4- 1- Но
выше мы установили, что формула верна для n= 1, 2, 3,
следовательно, она верна и для п = 3 4- 1 = 4; но если
она верна для и = 4, то она верна и для п = 4 4- 1 = 5,
и т. д.; пользуясь методом математической индукции, убе-
димся, что формула (VI) справедлива для любого натураль-
ного числа п1*.
Примеры.
1)	у == х5; у' = бх4.
2)	у = х23; у' = 23х22.
3)	s —	f2; v = s' = gt.
Применяя такой же способ рассуждения, что и при вы
воде формулы (VI), найдем, что
(и")' =пип~1и'.
В частности:
1) ((ах -|- &)"]' = п {ах 4- А)"-1 (ах 4~ Ь)' = па {ах 4- Ь)п~г
и
2) [(а 4- *)ПГ = п (а 4- х)п-1.
Примечание. В курсе математического анализа дока-
зывается, что справедлива более общая формула
(х’)' = vx’-1,	(VII)
D Формулу (VI) можно вывести, пользуясь общей схемой:
Ду
lim — «= хя-1 -4- к*"1 + .. • 4-	* = пх""1.
56
где v1) — любое действительное число, а х > 0.
Примеры.
2)	’"-577-
3) (х^'=/2 х^-х.
2.	Производная одночлена у = схп:
у' = (схпУ = С‘(хп)’ = псхп~\	(VIII)
Примеры.
1)	у = 15х4; у' — бОх3.
2)	у = — Эх5; у' = — 45х*.
3.	Производная многочлена у — апхп й^х"-1
а^с2 -J- atx 4“ ао:
у' = папхп~* -|- (п — 1) a„_txn~2 -|- ... -f- 2а2х а,. (IX)
Примеры.
1)	у = 7х* — 2х34-5х24-х— И;
/ = 28хэ —6х24~ Юх+ 1.
2)	s = o0Z-b|/2;
U = s' =v0 + g/.
О v — греческая буква «ни».
2) Для функции у = у^и, где и = f (х) >0, можно доказать, что
______ и'
= (уи)'=-----Действительно, следуя общей схеме, имеем:
2 V и
Ду
f\u — у и
Ах
&и
и 4-Au — у и
Au
Au
Au	Ay
—: lim ——
=~ • lim —
и Дх -* о Ах
=_« и'. Отметим, что в
и
= lim.
Дх -• < .	. ,
этом выводе мы, в частности, осноЕывались на том, что lim Au =0
_____________________	Дх -»о
u + Au =-|Ли, т. е. на непрерывности функций и и jA*.
и что lim
57
4.	Упражнения для домашнего задания.
1)	Найти производные функций: у = 7; у — 8х7; у =
= Зх + 7; у = ах 4- Ь\ у = Зх® — 8х 4- 7; у = ах® 4-
4- Ьх 4- с-, у — Их* — 8х® + бх® — х — 28; у = ах5 4-
4- Ьх* 4- сх’ 4- dx® 4- ex 4- f.
2)	Дан закон движения точки на прямой:
s = 150 4- 38/ — 5/®,
где s — путь в метрах, а /— время в секундах. Найти ско-
рость движения точки.
§ 8.	Производная частного двух функций
Рассмотрим частное двух функций:
У = ~ (v 0),
где и = f(x) и v = g(x), и допустим, что для некоторого
значения х аргумента существуют производные:
и' = f'(x) и v' = g'(x).
Следуя общей схеме отыскания производной, имеем:
у+Ду=_2£±^_
Ду =
и
V
и  и (и + Ди) — и (v 4-До) оДи — «До
и
Ду =
Дх
v (у Ду)
Ди	До
и — — и —
Дх	Дх
lim ** =
Ди	Ди1)
v • lim — — и-lim ——
дх->оДх	Дх
/До \
Vi u-Mim — • lim Дх 1
\ Дх -* О Дх Дх -»о /
(1)
О Когда Дх стремится к нулю, значение х аргумента, а также
соответствующие значения функций и = f(x) и о = g(x) остаются
постоянными.
58
а так как
lim ~ = и'; lim — = v'\ lim Дх = О,
Дх-*оДх	Дх-оЛ*	Дх-0
то из (1) получим:
, _	—w' • / и V______ U'V — v'u	/у\
V (V -|- V' • 0) ’ \ V )	V*
Итак, производная частного двух функций равна произ-
водной числителя, умноженной на знаменатель, минус
производная знаменателя, умноженная на числитель, все
деленное на квадрат знаменателя.
Пример.
= >4-х».	, = (1 4-	4- х3) - (1 4-	+ **) _
у 14-х3’ у	(14-х*)2
2х — Зх2 — х«
“	(14- Xs)2 *
Примечание. Пусть дана функция
у = — (с ¥= 0),
с
где знаменатель с— постоянная. Эта функция может быть
записана в виде произведения:
С
Применяя формулу (IV), получим:
и /-
с I
и
с
и'с — с'и   и'с— 0 • и  и'с  и'
&	с®	с
,	1	, и
у = — и — —
с с
т. е. производную числителя делим на знаменатель.
Тот же результат мы получим, применяя формулу (X):
(и \
с }
Примеры.
Зх —5	,	(Зх —5)'	3
1) у = —-—; у' =	= -
(XI)
1) Сравнить этот результат с полученным выше путем примене-
ния формулы (VII).
59
Упражнения для домашнего задания.
Вычислить производные функций:
л2 — Зх —3
х2—1 ’
4)
§ 9. Упражнения на нахождение производной
1. Необходимо повторить с учащимися правила диффе-
ренцирования (формулы I—XI) и проделать достаточное
количество упражнений, посвятив этому примерно 2 часа.
В конце желательно провести короткую контрольную
работу, рассчитанную на 15—20 мин., для выяснения сте-
пени усвоения учащимися правил дифференцирования ал-
гебраических выражений.
2. Полезно также решать задачи, аналогичные следую-
щим:
Черт. 26
1) Найти, в какой точке пара-
болы
касательная параллельна осн ОХ.
Решение.
Найдем угловой коэффициент
касательной к параболе в точке с
абсциссой х:
у' = —2х + 1; tgr = — 2х + 1
и приравняем его к нулю:
— 2х + 1 = 0; х = —; tgx t = 0.
з
Итак, касательная к параболе у ~ х + у в точ-
ке с абсциссой х = — параллельна оси ОХ (черт. 26).
Найдем ординату точки касания:
60
Следовательно, точка, в которой касательная к данной
параболе параллельна оси ОХ, имеет координаты х =—,
у == 1.
2) Дан закон движения точки по прямой:
з = 158 + 40/ — 5/2,
где t— время в секундах, as — путь в сантиметрах.
Определить:
1) Скорость точки в этом движении; 2) момент останов-
ки точки; 3) путь, пройденный точкой до остановки.
Решение:
Находим скорость точки:
s' = 40 — 10/, v = 40 — 10/
и приравниваем ее нулю:
40—10/= 0; / = 4; ^|/=4=0.
Следовательно, в момент времени / = 4 сек. скорость
точки равна нулю (точка останавливается).
Найдем значение s (выраженного в сантиметрах), соот-
ветствующее значению / = 4 аргумента:
S, /=4 = 158 4- 40/ - 5/а! г=4 = 228; S| = 228.
Таким образом, мы нашли, что: 1) искомая скорость
v — 40 — 10/; 2) точка остановится в момент / = 4 сек.;
3) путь, пройденный точкой до остановки, равен 228 см.
Упражнения к § 5 — 9. Вычислить производные
функций:
1) у = (х— а)(х — Ь) (х — с);	2) у = х2 (а х)9(Ь — х)4;
61
§ 10. Предел отношения ——когда х стремится к нулю
X
Этот предел нам понадобится при вычислении производ-
ной функции sinx.
В данном случае мы не можем применить теорему о пре-
деле частного, поскольку предел знаменателя равен нулю.
Поэтому нужно найти иной путь для отыскания предела
этого отношения.
Замечаем, что отношение есть четная функция:
X
sin (—х)   — sinх __ sinx
—X	— х х 1
следовательно, в процессе предельного перехода достаточ-
но рассмотреть только положительные значения аргу-
мента х (х > 0). Кроме того, так как х стремится к нулю,
можно ограничиться значениями х, меньшими —. На чер-
теже 27 дуга AM радиуса 1, измеренная в радианах, рав-
на х1*, МР = sinx, OP = cosx, AT = ТС = tgx, a AM —
хорда, стягивающая дугу AM.
Так как перпендикуляр МР
короче наклонной AM, а хорда
AM короче дуги AM, то
sinx < х,	(1)
С другой стороны, дуга АМС мень-
ше объемлющей ломаной АТС;
но длина дуги АМС равна 2х, а
длина ломаной АТС равна 2tg х,
следовательно,
2х < 2tgx, или х < tg х; (2)
соединяя неравенства (1) и (2), получим:
sinx<x < tgx,
(3)
О Напомним учащимся, что радианная мера дуги (угла) дается
формулой х = т- , и так как мы взяли Я — 1, то х = I, следова-
л\
тельно, число х, которое выражает меру дуги в радианах, равно
числу /, выражающему длину этой дуги в линейных единицах.
откуда
cosx
sin x ’
(4)
Умножив каждую часть неравенства (2) на sinx (sinx > 0),
найдем:
sm х
> cosx,
(5)
а вычитая почленно (5) из равенства 1 = 1 = 1, будем
иметь:
0 < 1 —	< 1 — cos	(6)
X
Пользуясь чертежом 27» видим, что 1 — cosx = АР <
< AM < AM == x, т. e. 1 — cos x < x, следовательно,
из (6) получим:
0<1-^<х,	(7)
или
sinx
X
(8)
Но в процессе стремления аргумента х к нулю абсолютная
величина х становится сколь угодно малой; поэтому из
(8) следует, что при х->0 абсолютная величина разности
— 1 становится и остается меньше любого положи*
X
тельного числа, а это значит, что
lim-^ = in
х-0 X
То обстоятельство, что-^2-^ стремится к 1, когда
X
х -> 0, можно усмотреть, например, иа/следующих данных:
П Если заменить в приведенном здесь доказательстве букву х
другой буквой, то результат не изменится. Например, подставив
х	1- SinZ 1
вместо х букву г, получим: hm -------= 1.
z
63
Arc 2°	0,03490658»;
Arc 1°~ 0,01745329;
Arc 30'	0,00872664;
siq 2° = 0,3489942;
sin 1°^ 0,01745241;
sin 30'	0,00872654.
Упражнения.
1)
Найти
lim
v — 0
sin nx
X
Решение.
lim = lim
X-0 X x-0 nxt
n — n • lim
x — 0
sin nx
nx
Ho nx можно заменить буквой z, и, принимая во вни-
мание, что lim z ~ 0, получим:
х->0
sinnx	sinz .
lim ----= hm-------- = 1.
x^Q ПХ г-0	2
Следовательно,
sin nx	.. sin nx
lim ----- — n • lim-----— n •
x-0 x	x-0 nx
2) Найти lim sin .
x —о sin/их
Решение.
lim
sin nx
x -.0 sin mx
.. /sin nx
hm (-------
x—0 \ nx
mx. n
=lim
x -0
sin nx
nx
x-o sin mx
sin/nx tn)
.. n n
hm — = —.
x-o m m
3) Найти lim
x-0 X
Решение.
lim = Hm
X-0 x	X - 0 \ x COS X /
smx I .	1	-
=lim-----.---------- 1- — = 1.
x-o x Ijmcosx 1
x —0
7ГП
0 Arcn° обозначает радианную меру — дуги в п°.
180
64
Упражнения для домашнего задания.
гх
sin —-
Найти: 1) lim -; 2) lim ; 3) lim -in3x.
х-о х	х-»о х* х - о sin 4х
§11. Производные тригонометрических функций
1.	Известно, что закон гармонического колебания выра-
жается формулой
Чтобы изучить это движение, нужно уметь вычислять про-
изводные тригонометрических функций (см. § 12, пример 2).
2.	Производная функции у = sinx.
Следуем общей схеме вычисления производной:
у = sin к
'	. Дх\ . Дх
&х
Ах
ДУ =
Дх
Дх
sin —
Дх
~2
&х
где z — —. Когда Дх 0, то стремится к нулю и пере-
менная z:
lim —
Дх 0 Дх
sin z
-----— COS X,
2 -♦ О
поскольку
1.	/ . Дх\	1. sin г	1
lim cos х -|---— cos х и lim-------= 1;
дх-о	\	2/	?->о г
таким образом,
	(sinx)' = cos х* 1*.	(ХИ)
1) Если заменить букву х в этом выводе другой буквой, резуль-
тат не изменится. Например, подставив вместо х букву и, получим:
Av . sin (и 4- Ди) — sin и
lim — lim —-—!--------------- — COSU.
дц-оДи Лк->0	Ди
65
3.	Производная функции у = sin и, где и = ах + Ь.
Следуем общей схеме вычисления производной:
у _]_ Ду = sin (и	Ди)
у — sin ц___________
Ду = sin (и 4- Ди) — sin и;
Ду	sin (и 4- Дм) — sin и	sin (и 4- Ди) — sin и Ди
' - 	— 2 “ ““ 11 1 * “*' 1 "  । • -•
Дх	Дж	Ди	Дх*
lim = lim . sMu + M-sinu . ljm Д«
дх-»о Дх дх-»о	Ди	дх~оДх
Но при Дх -► 0 стремится к нулю и Ди, поэтому
,. Ду	sin (и 4- Ди) — sin и .. Ди	,
пт т2- = lim -----—-— ------------- hm— = cos и-и'.
дх-»оДх ди-о	Ди	дх«оДх
Следовательно, возвращаясь к старым обозначениям, по-
лучим:
[sin(aJt-|- 6)]' = cos (ах-]- b)• (ах4~ b)';	(1)
[sin (ах -j- b) ]' == a cos (ar -|- 6).	(XIII)
4.	Упражнения.
1)	у = sin(2x+1); у'= cos(2x4-1).(2x4-1)'=
= 2 cos (2x4- О?
2)	у = sin Зх; у' = cos Зх. (Зх)' = 3 cos Зх;
3)	у = — 4 sin (7 — 2х); у' = — 4 cos (7 — 2х) • (7 —
— 2х)' = 8 cos (7 — 2х).
Для домашнего задания предложим учащимся упраж-
нения, аналогичные приведенным выше.
5.	Производная функции у = cos (ах + 6).
Чтобы найти эту производную, используем формулу (1):
у = cos (ах 4- b) = sin — 4- (ах -|- 6) :
2
у' = [cos(ах4-6)1'= |sin — 4-(ax4-6) | =
I 2	J
[Л 4- (ox 4- 6)]. 14 4- (ax4- 6)Г=
L	L ~
COS
1) Выражение — + (ax + b) может быть записано в виде
2
где 6i = -j4-6.
66
= — sin (ax 4- b) • (ax -|- b)'.
Таким образом,
[cos (ax 6)1' = — sin (ax + b) • (ax -|- b)';
[cos (ax + 6)]' = — a sin (ax -f- b). (XIV)
В частности, при a = 1 и b = 0 имеем:
(cosx)' = —sinx.	(XV)
Упражнения.
1)	у = cos(5x + 2); у' — — sin(5x + 2) (5х + 2)' =
—5sin(5x + 2).
2)	у = cos3x; у' = —sin3x • (Зх)' — —3sin3x.
3)	у = — 2cos(3x— 1); y'=2sin(3x—1) (Зх—1)' =
6sin(3x—1).
6.	Упражнения для домашнего задания.
Найти производные функций:
у = cos(Зх — 1); у = cos2х; у = — •—cos(4x1).
2
7.	Производная функции у — tgx:
у' = (tgx)'=
(sin х)' cos х — (cos х/ sin х
cos2 л
cos2 х 4~ sin2 х ___ 1
cos2 x cos2 x9
(w =
(XVI)
8.	• Производная функции у = c tgx:
>s x у , (cos x)' • sin x — (sin x)z » cos x
n x /	sin2 x
— sin2 x — cos2 x
sin2x
sin3 x
(ctg x)' = —
1
sin2 x
(XVII)
67
9.	Упражнения для самостоятельной работы в
кружке.
1) Найти производную функции у = tg (ах + 6).
2) Найти производную функции у — ctg(ax + b).
§ 12- Понятие о второй производной. Ускорение
1. Производная у' = f'(x) функции у = f(x) есть так-
же функция от х, tn. е. от того же аргумента, что и сама
функция у. Можно поэтому поставить вопрос об отыскании
производной функции у' Если функция у' == f'(x) имеет
производную,то она обозначается через у" = f"(x) й на-
зывается второй производной или производной вто-
рого порядка от функции у = f(x).
Примеры.
1) у = х3 — 5х2 + 7х— 1; у' •= Зх2 — 10х + 7; у" =
-бх—10.
2) у — sin х; у' = cos х; у" — — sin х.
2. Механический смысл производной второго порядка.
Если равенство s = f(t) выражает закон движения неко-
торой точки» то s' = f'(t) выражает скорость v этой точки в
момент времени t. Но и скорость точки зависит от времени
t (изменяется в зависимости от времени), кроме случая рав-
номерного движения. Если за промежуток времени от мо-
мента t до момента / + Д/ скорость приобретает некоторое
приращение Ди, то отношение ауср = — называется, как
известно, средним ускорением в течение про-
межутка времени между моментами / и t + Д t. Если Д / —>
-> 0, то среднее ускорение ауср стремится к некоторому
пределу ш, представляющему собой ускорение точки в
момент времени /,• т. е. ускорением точки в момент времени
t называется предел, к которому стремится отношение
приращения (Av) скорости к соответствующему проме-
жутку времени (&t), когда этот последний стремится к
нулю. Таким образом, ускорение есть скорость изменения
скорости, или производная скорости по времени:
v' = s"-r'(0.
Поскольку согласно закону Ньютона ускорение про-
порционально силе, действующей на точку, то можно оде-
63
лать вывод о том, сколь важное значение имеет изучение
ускорения в механике.
Примеры.
1) Зная закон падения тела в пустоте
s = ~2 ^+yo/+so>
можем определить его скорость
0>
ускорение
W = v' = s" = g
и силу, которая действует на тело массы tn,
F = mw = mg.
2) Закон гармонического колебания точки задан фор
мулой
s = asin(coZ 4-а).
Определим скорость точки в этом движении
v = s' = aw cos (со/ 4- а)
и ускорение
ьу = v' = s" = — a<o2sin(<o/ + а) = —q2s.
Отсюда согласно закону Ньютона
F = —mto2s,
где т — масса точки.
3. Тема «Производная» на этом заканчивается. Далее
следует посвятить примерно 2 часа обзорным урокам с
целью приведения в систему знаний, умений и навыков,
приобретенных учащимися по теме, выяснения связи меж-
ду основными положениями этой темы и подготовкой к конт-
рольной работе.
ГЛАВА HI
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 1. Признаки возрастания и убывания функций
1. Рассмотрим функцию у = f(x), заданную в промежут-
ке (а, Ь). Функция f(x) называется возрастающей
(у. б ы в а ю щ е й) в промежутке (а, Ь), если для каждых двух
значений xi и х2 аргумента х, принадлежащих этому про-
межутку, из неравенства хг> xt следует неравенство
(черт. 28, 29):
/(х2)>Дх1) [/(ХгХДх,)].
2. При изучении изменения функций возникает вопрос
об определении промежутков, в которых функция возрас-
тает или убывает. Этот вопрос может быть решен с помо-
щью производной.
Действительно, допустим, что функция у = Дх) опре-
делена в промежутке (а, Ь) и имеет производную. Если она
возрастает в промежутке (а, 6), а х и х + Дх являются
значениями аргумента, принадлежащими этому проме-
жутку, то из неравенства
х-ЬДх>х, или Дх>0, (1) следует неравенство
Дх + Дх)>Дх), или Ду = Дх +Дх) —Дх)>0, (2)
и, следовательно,
Ду _ f (х 4- Дх) — f (х) q
&х	Ах
70
В таком случае предел этой величины, когда Дх стре
мится к нулю, т. е.
Jim
дх-*о Дх
не может быть отрицательным
(свойство II, стр. 18).
Итак, если функция f(x) воз-
растает в промежутке (a, Ь), то
ее производная не может быть
отрицательной в этом промежут-
ке, т. е. f'(x) > О1*.
Аналогично докажем, что если
функция f(x) убывает в промежут-
ке (а, Ь), то ее производная не
Черт. 30
может быть положительной в этом промежутке, т. е.
Г(х) > 0* 2).
Эту связь между направлением изменения функции (ее
возрастанием или убыванием) и знаком производной можно
усмотреть непосредственно на чертеже, если принять во
внимание, что производная равна тангенсу угла, образуе-
мого с осью ОХ касательной к графику функции.
Так, рассматри-
вая график возрас-
тающей функции
(черт. 31) (убывающей
функции, черт. 32),
видим, что угол, об-
разуемый с осью ОХ
касательной к гра-
фику в различных ее
точках, острый (ту-
пой) и, следовательно
тангенс этого угла по-
ложительный, т. е.
/'(*)> 0 (отрицатель-
Черт. 31
О Заметим, что множество точек, в которых f'(x) = 0, не долж-
но заполнять никакого промежутка (с, d), содержащегося в (а, Ь).
Следует объяснить учащимся, что если f (х) = 0 в промежутке (с, d),
т. е. скорость изменения функции f(x) равна нулю, то функция и е
изменяется, является постоянной (не возрастает и не убы-
вает) в соответствующем промежутке.
2) Аналитическое доказательство этих двух предложений может
быть опущено и заменено объяснением, основанным на геометриче-
ских ^соображениях.
71
ный, т. е. f'(x)<0). Может также случиться, что в некото-
рых точках графика касательная параллельна оси ОХ;
тогда угол, образуемый этой касательной с осью ОХ, ра-
вен нулю, и, следовательно, тангенс этого угла равен нулю,
т. е. /г'(х)=0.
Примеры.
1)	Функция у —х2 возрастает в промежутке (0, + оо),
а ее производная у' — 2х положительна в этом промежут*
ке (черт. 33).
Черт. 33
Черт. 34
Та же функция у = х2 убывает в промежутке (—со, 0),
а ее производная у' = 2х отрицательна в этом промежутке
(черт. 34).
72
2)	Функция у = sinx возрастает в первой четверти, а ее
производная у' = cosx положительна в этой четверти,
(черт. 35).
Та же функция у = sinx убывает во второй четверти, а
ее производная yf = cosx отрицательна в этой четверти.
Черт. 35
2
Черт. 36
О
Упражнения для домашнего задания.
Пользуясь графиком каждой из функций:
у = Зх — 6; у = — 2х + 5; у — -Ц
найти, какая из них возрастает или убывает. Вычислить для
каждой из этих функций производную и проверить, соот-
ветствует ли ее знак характеру изменения функции.
3.	Допустим, что функция у = f(x) определена в проме-
жутке (а, Ь) и имеет производную. Покажем, что если про-
изводная f'(x) положительна в промежутке (а, Ь) (в от-
дельных точках промежутка эта производная может обра-
щаться в нуль1 2*), то функция Дх) возрастает в этом про-
межутке^.
Действ и тел ь но, имеем:
lim ~ lim -^-+	~?	= f' (ж),	(1)
дх»оАх Дх-*»о	Дх
О Предполагается, что производная может равняться нулю
лишь в отдельных точках промежутка (a, Ь}, не обращаясь при этом
тождественно в нуль ни в каком промежутке, содержащемся в (а, Ь).
2) В тексте это предложение доказывается при условии, что
f'(x) > 0. Случай, когда производная обращается в нуль в отдель-
ных точках, нужно будет объяснить с помощью графика функции
(например, у = х3).
73
где * и х + Дх являются значениями аргумента, принад-
лежащими промежутку (а, Ь) и поскольку f'(x) > 0, то
из соотношения (1) для достаточно малого Дх (начиная с
некоторого момента процесса) следует (свойство I, стр. 17),
что
7(х + Ах) —/(х)	0
Дх
(2)
При Дх > О из неравенства (2) получим, что
Дх + Дх) — Дх) > 0, или Дх + Дх) > Дх),
т. е. функция Дх) возрастает в окрестности любой точки х,
принадлежащей промежутку (а, Ь). Будучи возрастающей
в окрестности любой точки х промежутка (а, Ь) функция
Дх) возрастает в этом промежутке.
Аналогично докажем, что если функция Дх) определена
в промежутке (а, Ь) и имеет производную f'(x) и эта про-
изводная отрицательна в промежутке (а, Ь) (в отдельных
точках промежутка эта производная может быть равной
нулю, не обращаясь при этом тождественно в нуль ни в ка-
ком промежутке, содержащемся в (а, Ь), то функция убы-
вает в этом промежутке^.
4.	Примеры.
1)	Пусть дана функция у = х®. Ее производная у' =
= 3х® положительна при х=#0 и равна нулю только в
точке х = 0, следовательно, функция у = х® возрастает в
промежутке (—оо, 4-со) (черт. 37).
1
2)	-Производной функции у = —
является у = —
; эта производная отрицательна, следовательно.
функция у убывает.
3)	Функция у = х — sinx возрастает, так как ее произ-
водная у' = 1—cosx неотрицательна, обращаясь в нуль
для значений:
х = 2kn(k =0, +1, ± 2, ...).
4)	Дана функция у = х4. Ее производная у' = 4х® по-
ложительна при х > 0, отрицательна при х < 0, следо-
Ц Аналитическое доказательство этих двух предложений может
быть опущено и заменено объяснением, основанным на геометри-
ческих соображениях.
74
вательно, функция у —х4 возрастает в промежутке
(О, Ч-оо) и убывает в промежутке (—оо, 0).
5. Упражнения для домашнего задания.
Показать, что функция у == —2х3 убывает в промежут-
ке (—оо, +оо).
2)	Узнать, является ли функция
2х — 1
У “ Зх + 2
возрастающей или убывающей.
3)	Возрастает или убывает функция
у = х + cosx?
4)	Определить промежутки, в которых функция у =
=— 2х* возрастает, убывает.
§ 2. Нахождение максимума и минимума функции
с помощью производной
1.	В предыдущем параграфе было рассмотрено несколько
функций I у = х3,
ладают свойством только возрас-
тать или только убывать во всей
области их определения (для
всех допустимых значений аргу-
мента х). Такие функции, как
известно, называются монотон-
ными. Однако на практике мы
встречаем функции, которые не
являются монотонными. Такова,
например, функция у = х4 или
функция, график которой изо-
бражен на чертеже 38.
2.	Рассмотрим функцию у =
= Дх), заданную в промежутке
(а, Ь), график которой. изобра-
жен на чертеже 38, и допустим,
что эта функция имеет произ-
водную. Мы видим (черт. 38),
что функция у = Дх) возрастает
в промежутке (a, q), в точке Ct
она переходит от возрастания к
sin х I, которые об-
75
о
Черт. 38
убыванию, затем в промежутке (q, функция убывает, в
точке С2она переходит от убывания к возрастанию и т. д.
Мы видим, кроме того, что в точке Ci(x = ci), в кото-
рой функция переходит от возрастания к убыванию, ор-
дината наибольшая (значение функции наибольшее) по
сравнению с ординатами соседних точек (значениями функ-
ции в соседних точках). При этих условиях зна-
Черт. 39	Черт. 40
чение функции f(x) в точке х = q называется макси-
мумом функции y = f(x). Другой максимум функция
имеет в точке х = с3.
Мы замечаем также, что в точке Cz(x==c^9 в которой
функция переходит от убывания к возрастанию, ордината
наименьшая (значение функции наименьшее) по сравнению
с ординатами соседних точек (значениями функции в со-
76
седних точках). При этих условиях значение функции у =
= f(x) в точке х = с2 называется минимумом функ-
ции у = f(x). Другой минимум функция имеет в точке
х = с4.
Таким образом, когда мы говорим, что функция у =
= Дх), заданная в промежутке (а, 6), имеет в точке х = с
максимум (что Дс) есть максимум функции), это означает,
что существует окрестность точки х = с, в которой для
всех значений х=£с имеем: [(c) > Дх) (черт. 39).
Аналогично, когда мы говорим, что функция у = Дх),
заданная в промежутке (а, 6), имеет в точке х = с мини-
мум (что Дс) есть минимум функции), это означает, что су-
ществует окрестность точки х = cf в которой для всех
значений х#=£ имеем: Дс)<Дх) (черт. 40).
3.	Отсюда следует, что при исследовании функции, кро-
ме промежутков, в которых функция возрастает или убы-
вает, необходимо также определить точки, в которых функ-
ция имеет максимум или минимум (если такие точки су-
ществуют). Эта последняя задача также может быть решена
с помощью производной.
Рассмотрим функцию у = Дх), заданную в промежутке
(а, Ь) и допустим, что эта функция имеет производную. При
этих условиях покажем, что если функция достигает в точ-
ке х — с максимума (если f(c) есть максимум функции
Дх)), то производная этой функции равна нулю при х = с
(т. е. Д(с)-0).
Действительно, если Дс) есть максимум функции, то это
означает, что существует окрестность (с—б, с+б) точки с,
в которой для всех значений х #= с имеем: f(c) > Дх) или,
введя обозначение х = с4-Дс, имеем:
Дс) > f(c+ Ac) и Дс + Дс) — Дс) <0.	(1)
Следовательно, если f (с) — максимум функции, то при
достаточно малом Дс ее приращение Дб + Дс) — Дс) от-
рицательно.
- Что же касается приращения Дс, то оно может быть ли-
бо положительным, либо отрицательным. Рассмотрим каж-
дую из этих возможностей.
1) Если Дс>0 (точка с + Дс на оси ОХ находится
справа от точки с) (черт. 41), то из (1) следует, что
f (с ~F	— f (с) < о
Дс
77
и поэтому предел этой величины, когда Дс стремится к ну-
лю, т. е
Дс - о	Ас
не может быть положительным (свойство II, стр. 18), т. е.
Г(с) <0.
2) Если Дс < 0 (точка с 4- Дс на оси ОХ находится сле-
ва от точки с) (черт. 42), то из (1) следует, что
f(c + &c)-f(c) п
Дс
и поэтому предел этой величины, когда Дс стремится к ну-
лю, т. е.
lim H£+Ac)-J(c)
Дс
не может быть отрицательным (свойство II, стр. 18), т. е.
Г (с) > 0.
Поскольку число f (с) не может быть ни положитель-
ным, ни отрицательным, то отсюда следует, что оно равно
нулю, т. е. /'(с) = 0.
>) Это равенство получается из определения производной:
lim--------;-----------= f (х),
Лх-»о	Дх
в котором вместо буквы к подставлена буква с.
78
Черт. 43
Подобным же образом докажем, что если f(c) есть ми-
нимум функции f(x), то Г (с) = О1*.
4.	В том, что в точках максимума и минимума функции
ее производная равна нулю, можно убедиться и непосред-
ственно, пользуясь чертежом. Действительно, касатель-
ная к графику функции (черт. 43) в точках А и В, в которых
функция переходит от возрастания к убыванию или от
убывания к возрастанию (в точках, в которых функция дос-
тигает максимума или минимума), параллельна оси ОХ.
Значит, угол, образуемый касательной с осью ОХ, равен
Нулю, а отсюда следует, что и тангенс этого угла равен ну-
лю (tg 0°= 0), поэтому производная функции в этих точках
равна нулю2*.
5.	Итак, имеет место теорема: если в некоторой точке
функция3) достигает максимума или минимума, то ее
производная в этой точке равна нулю.
Утверждение, обратное этой теореме, было бы невер-
ным, так как может случиться, что производная равна ну-
лю в некоторой точке (касательная к графику функции па-
раллельна оси ОХ), а значение функции в этой точке не
есть ни максимум, ни минимум. Так, например, производ-
> Аналитическое доказательство этих двух предложений мож-
но опустить и заменить объяснением, основанным на геометрических
соображениях.
2) Напомним учащимся, что /'(*) = tgr, гДет — угол, образуе-
мый касательной к графику функции у = f(x) с осью ОХ.
3) Предполагаем, что эта функция имеет производную.
79
Если в промежутке (ct_1T с,), где I — 1, 2, 3, . . , п,
производная f'(x) положительна (отрицательна), а в непос-
редственно следующем .за ним промежутке (q, £П1) она
отрицательна (положительна), то f(ct) есть максимум (ми-
нимум) функции Дх).
Если же в двух последовательных промежутках (cw, q)
и (сп cf+1) знак производной один и тот же, то в точке с
абсциссой х = функция у = f(x) не имеет ни максимума,
ни минимума.
Примечание. В каждом из промежутков (1) произ-
водная f'(x) сохраняет один и тот же знак.
Действительно, если допустить, что производная f'(x) в
каком-либо из этих промежутков, например в (^_15 с),
меняет свой знак, то, предполагая ее непрерывной (при-
нимающей между двумя данными ее значениями все про-
межуточные значения), она, проходя от значения одного
знака, например положительного, к значению другого
знака, например отрицательному, пройдет и через значе-
ние нуль. А это означало бы, что внутри промежутка су-
ществует такое значение у(сН1 < у <ct) аргумента, для
которого fr(y) — 0, что противоречило бы условию, соглас-
но которому q, с2, .	, сп — все действительные корни
уравнения f'(x) = 0 в промежутке (а, Ь).
Четвертый шаг. Составить таблицу хода изме-
нения функции^.
Пятый шаг. Построить график функции.
6.	Пример. Применим это правило для исследова-
ния хода изменения функции
у = f(x) = —х2 + 4х — 3.
Функция у определена в промежутке (—оо, +оо).
Первый шаг. Находим производную данной функ-
ции.
у' = —2х + 4.
Второй шаг. Приравниваем производную нулю и
решаем полученное уравнение:
—2х + 4 = 0; х = 2.
1) Как составляется таблица хода изменения функции, будет по-
казано ниже.
82
Третий шаг. Определяем знак производной в каж-
дом из промежутков:
(—оо, 2), (2, + °°)-
Для этого достаточно определить знак производной при
каких-нибудь значениях аргумента х, взятых по о д н о м у
из каждого промежутка1*, например:
для х = 0 из промежутка (— со, 2),
» х = 3 »	»	(2, + со).
Таким образом, находим, что производная положи-
тельна в промежутке (—со, 2) и отрицательна в промежут-
ке (2, +со).
Четвертый шаг. В таблицу хода изменения
функции, кроме корней производной, вводятся координа-
ты точек пересечения графика функции с осями ОХ и OY и
концы области определения функции.
Находим точки пересечения графика с осями коорди-
нат. Полагая у = 0 в равенстве у = —х2 + 4х — 3, имеем:
•*—х2 4- 4х — 3 = 0; х2 — 4х + 3 = 0.
Отсюда, решив это уравнение, получаем:
х=1, у = 0; х = 3, у = 0,
т. е. две точки на оси ОХ (точки пересечения графика с
осью ОХ).
Полагая х = 0 в равенстве у = —х2 + 4х — 3, имеем:
х = 0; у = —3,
т. е. точку на оси OY (точку пересечения графика с осью
OY). Следовательно, полагая у = 0, а затем х = 0 в ра-
венстве у=7(х), мы находим соответственно точки пересе-
чения графика функции с осями ОХ и OY.
Наконец, вычисляем предел функции f (х) при х	—со
и х -> Ц- оо:
lim (— х2 4- 4х — 3) = lim
X -* — оо	X *♦ — со
3W)
Xs
= limx2. lim
X * ОС X	—“СО
О В каждом из этих промежутков, как было выяснено выше,
производная у' = f'(x) сохраняет тот же знак.
2) Здесь применяется свойство 5 (стр. 23).
4*
83
Подобным ясе образом lim (—: х -*4- °°		найдем,	что 3) =		— со.	
Значения аргумента и функции, а водной, которые мы определили выше щую таблицу:					также знак произ- , внесем в следую-	
X	—оо	0	1		2	3	—|—оо
У'	—1—	""Н	—1—		0		—
У	— оо х^ — 3	о /		1	\ о	— оо
состоящую, как видим, из трех строк.
В первой строке, обозначенной слева буквой х, записа-
ны значения аргумента из области определения функции,
расположенные в порядке возрастания, а именно: действи-
тельные корни производной, абсциссы точек пересечения
графика функции с осями OX, OY, концы области опреде-
ления функции.
Во второй строке, обозначенной слева символом у', запи-
сано значение нуль производной и указан ее знак в соот-
ветствующих промежутках.
В третьей строке, обозначенной слева буквой у, запи-
саны соответствующие значения функции и проставлены
стрелки «X» и «\»; стрелка, направленная вправо вверх
(X), показывает, что у возрастает (в промежутке, в котором
у' положительна), а стрелка, направленная вправо вниз
(\), показывает, что у убывает (в промежутке, в котором
у' отрицательна).
Из значений функции, которые записаны в третьей
строке, выделяется значение f(2) = 1 — максимум функ-
ции.
Эта таблица дает нам полную картину хода изменения
функции и называется таблицей хода измене-
ния функции.
Пятый шаг. Выбираем на плоскости систему
XOY осей координат. Строим относительно этой системы
точки, имеющие своими координатами соответствующие
84
значения аргумента (х) и функции (у), записанные в таб
лице хода изменения функции.
Последовательно соединяя эти точки в порядке возрас-
тания значений аргумента х, получим кривую, которая
изображает ход изменения функции у = — х2 -|- 4х — 3
(черт. 48).
Эта кривая — парабола. Точка
с координатами х = 2, у = 1 яв-
ляется вершиной параболы.
Таким образом, определение
всех значений аргумента, при ко-
торых производная обращается в
нуль, определение абсцисс точек
пересечения графика функции с
осями координат, концов области
определения функции, а также и
соответствующих значений фун-
кции, определение знака производ-
ной, составление таблицы хода
изменения функции и построение
графика функции — все это, вместе
УМ
Черт. 48
взятое, составляет исследование хода изме-
нения данной функции.
7. Упражнение для домашнего задания.
Исследовать ход изменения функции
у = f(x) = х2 — Зх 4- 2.
§ 3. Примеры исследования
хода изменения функций
Пример 1. Исследовать ход изменения функции
у = Кх) = 4хэ + Зх2 — 18х.
Решение.
Функция у определена в промежутке (—ео, +оо).
1) Находим производную данной функции:
у' = f (х) = 12х2 + бх — 18 = 6(2х2 + х — 3).
2) Приравниваем производную нулю:
6(2х2 + х — 3) = 0.
Решив это уравнение, находим его корни:
з
2
85
3) Определяем знак производной в каждом из проме
жутков:
Для этого достаточно определить знак производной при
каких-нибудь значениях аргумента х, взятых по одному из
каждого промежуткаL), например:
из промежутка
для
3'
— оо
»
X = О

»
»
»
Пользуясь разложением производной, на множители
у' = (2х + 3) (х — 1), находим, что при х = — 2 оба со-
множителя (2х + 3) и (х — 1) отрицательны и, следователь-
{	3\
но, в промежутке I—оо,-----------1 производная положи-
\	2 /
тельна. Таким же образом найдем, что в
/	3 л
I —	11 производная отрицательна, а в
(1, +°о) она положительна1 2).
промежутке
промежутке
4) Находим точки пересечения графика с осями коор-
динат.
Полагая у — 0 в равенстве у = 4х + Зх2 — 18х, име-
ем:
4х3 + Зх2 — 18х = 0, х(4х2 + Зх — 18) - 0.
Отсюда, решив это уравнение, получаем:
х = 0, у = 0;
8
, У = 0;
— 3 + 3 |<33
= 1,7
у = 0,
т. е. три точки на оси ОХ (точки пересечения графика с
осью ОХ)\ точка х = 0, у = 0 одновременно принадлежит
и оси OY (есть точка пересечения графика с осью OY).
1) В каждом из этих промежутков производная у' == f(x) сохра-
няет один и тот же знак.
2) Знак производной в различных промежутках можно также
установить, пользуясь теоремой о знаке трехчлена второй степени.
8$
Вычисляем предел функции f (х) при х->— сои
lim (4х® Зг2 — 18х) = lim 4х® . lim 11	. —
X “>—оо	X -* — 99	Х**—ао \	4 X
18 1 V)	.
----. — I = — со • 1 = —оо.
4 х2/
Так же найдем, что
Определив эти значения аргумента и соответствующие
значения функции, составляем таблицу хода изменения
функции:
20,25
Из значений функции, которые записаны в третьей стро-
ке, выделяются значения: f(—1,5) == 20,25 — максимум
функции и f(l) =—11—минимум функции.
5) Выбираем на плоскости систему X0Y осей координат.
Строим относительно этой системы точки, имеющие своими
координатами соответствующие значения аргумента (х) и
функции (у), записанные в таблице хода изменения функ-
ции. Кривая, проходящая через эти точки (черт. 49), изо-
бражает ход изменения функции у = 4х3 4- Зх2 — 18х.
Пример 2. Исследовать ход изменения функции
у = (х—I)3 + 2 = х3 — Зх2 + Зх + 1.
Решение. Функция у определена в промежутке
(—со, Ч-оо).
1) Находим ее производную:
у' = Зх2 — 6x4-3 = 3(х2—2х+1) = 3(х—I)2.
1) Здесь используется свойство 5 (стр. 23).
87
2) Решаем уравнение
Находим:
3(х—1)2 = 0.

Черт. 49
3) Определяем знак производ-
ной в каждом из промежутков:
(—оо, 1),	(1, + со).
Находим, что производная' поло-
жительна в обоих промежутках1*.
4) Находим точки пересечения
графика с осями координат.
При у = 0 имеем:
(*— 1)8 + 2 = 0, (х — I)8 = — 2,
х = 1 — {<2"= —0,26....
При х = 0 имеем:
Вычисляем предел функции
f(x), когда х->—оо и х->+со:
lim [(х — 1 )3 —|- 21 = — со;
X — со
lim [(х — I)8 + 2] = + оо.
<Ю
Составляем таблицу хода из-
менения функции:
Из этой таблицы мы видим, что функция у = (х—1)3+2
возрастает в промежутке (—оо, -Ьоо) (не имеет ни максиму-
ма, ни минимума).
О Этот результат можно получить, непосредственно заметив,
что у' = 3 (х—. 1)* > 0 при х^1.
88
5) Строим график функции (черт. 50).
Пример 3. Исследовать ход изменения функции
Решение. Функция у оп-
ределена для всех значений аргу-
мента х, отличных от 5, т. е. она
определена в промежутках (—оо, 5),
(5, 4-оо).
1)	Находим ее производную:
, = (Зх—7)'(х—5) - (х—5)' (Зх - 7) =
У	(х-5?
_ _	8
“	(* - 5)»‘
2)	Эта производная сохраняет
один и тот же знак во всей об-
ласти определения (— оо, оо):
-----«— <0.
(X - 5)а
Черт. 50
3)	Определяем точки пересечения графика с осями ко-
ординат:
У = 0, х = ; х = 0, у = -
□	о
4)	Вычисляем предел функции, когда аргумент х стре-
мится к бесконечности:
7	/	7\
• о	3 ——	lim 13 — —
lim = lim--------------- =	= 3,
X -* оо х — 5 ж—оо 5	/	5 \
1 — — lira 1 — —
х X - о» \ х /
Поскольку рассматриваемая нами функция не определена
в точке х = 5, необходимо выяснить направление ее изме-
нения, когда х стремится к 5, принимая значения, большие
(меньшие) 5.
С этой целью заменим в выражении /(х) аргумент х
значениями 5—h и 5+ft и устремим положительное
ft к нулю:
X	У	*У
1	11	11
2	10	20
3	9	27
4	8	32
5	7	35
6	6	36
7	5	35
•	•	
10	2	20
11	1	11
Примечание, Из решенной
выше задачи видим, что произведение
ху двух положительных чисел, сум-
ма которых х + у есть постоянная
величина, достигает максимума, когда
эти числа равны между собой.
Для иллюстрации этого вывода
составим таблицу, выбрав, например,
х + у = 12. Из таблицы видим, что
произведение ху достигает максимума
(36), когда х = у = 6.
Задача 2. Из квадратного лис-
та картона вырезают по углам равные
квадраты со стороной х (черт. 53).
Сгибая края прямоугольной фор-
мы, получают открытую коробку. При
каком значении х вместимость короб-
ки наибольшая?
Решение. Пусть сторона данного квадрата равна а.
Так как основание коробки — квадрат со стороной а—2х,
а ее высота равна х, то объем v коробки выразится так:
v ~ (а—2х)2 • х = 4х3 — 4ах2 + а2х.
Необходимо, следовательно, исследовать ход измене-
ния функции
v = 4х3 — 4ах2 + а2х
в области допустимых значений аргумента:
О < х
а
Находим производную этой функции
v' = f'(x) = 12х2 — 8ах + а2~
Приравниваем производную к нулю и решаем получен
ное уравнение:
12х2 — 8пх-|~а2 = 0; х = -|-, х = у.
_	а
Поскольку допустимые значения аргумента х меньше —
то второй корень этого уравнения
отбрасываем.
94
Остается определить знак производной в промежутках:
Пользуясь разложением производной на множители:
/'(•*) — (2х — а)(6х — а),
находим, что
2а3
27
следовательно,
есть максимум функции.
X	0	а б"	а 2
v'	+	0	
V		2а3 27	
Ответ. Вместимость
коробки наибольшая
при х .
Задача 3. При
каком условии получа-
ется наибольшая сила
тока от батареи смешан-
ного соединения из п
одинаковых гальванических элементов при данном внешнем
сопротивлении R.
Решение. Пусть каждый элемент	п
имеет электродвижущую силу, рав-	v
ную е (вольт), и внутреннее сопротив- /
ление г (омов). Предполагая, что /
число л делится нацело на х, и сое- I
динив последовательно по х элемен- \
п	\
тов, получим — == у групп элементов \
с электродвижущей силой ех и внут- q
ренним сопротивлением гх1}. Соеди-
нив затем параллельно эти у групп из	ЧеРт- 54
х элементов каждая, получим бата-
рею с электродвижущей силой ех и внутренним сопротив-
лением:
гх   гх  гх2
у	п	п
X
<> Здесь следует повторить из курса физики тему «Последова-
тельное и параллельное соединение элементов».
95
Применяя закон Ома,найдем силу тока от этой батареи:
I__ ех _______ пех _____ пе
& гха Rn 4- гх2 Rnx-1 + гх
п
Так как числитель пе в последнем выражении — вели-
чина постоянная, то сила тока / будет наибольшей, когда
знаменатель ^Rnxr1 + гх будет наименьшим.
Итак, вопрос сводится к изучению хода изменения
функции
f(x) = Rnx“l + гх
в области допустимых значений аргумента:
о < х < л.
Производная этой функции
£/ / \ Rn . гх2 — Rn
обращается в нуль, когда
гх2 = Rn. Отсюда находим:
«	1/пг"
V т>
произ-
Если х < |/ —, то гх2 < Rn, гх2 — Rn<0. Следова-
l/"Rn
тельно, для значении аргумента, меньших I/ —,
водная отрицательна. Если же х>	то rx2>Rn и
гх2 — Rn> 0. Следовательно, для значений аргумента, боль*
1 Г Rn
ших I/ —. производная положительна.
1 Г Rn
|/ —, производная положительна.
Таким образом, f () есть минимум функции f (х)
а значит, сила тока 7 при х
мальное значение1*.
принимает макси-
1) Вычисляя это значение силы тока 1, получим последователь*
но:
96
Rn
Замечаем, что из ра-
венства Rn~rx2 следует:
г
R = —,
п
гх2	гх
где — = — есть внут-
п	у
реннее сопротивление
батареи. Следовательно,
сила тока / от батареи гальванических элементов прини-
мает максимальное зничение, когда внешнее сопротивление
гх
равно внутреннему сопротивлению у •
Ответ. Сила тока от батареи смешанного соединения п
гальванических элементов достигает наибольшего значе-
ния, когда внешнее сопротивление равно внутреннему со-
противлению.
Примечание. Найденные для х и у значения
л/Rn	пг
Х= у — , у= у -R
вообще иррациональные числа, поэтому на практике при
смешанном соединении элементов выбирают для величин х
и у целые значения, наиболее близкие соответственно к
числам
fW
R
о
п
О
Задача 4. В башню, ширина которой AM—а (черт.
55), необходимо внести лестницу, имеющую длину / > а.
При какой наименьшей высоте MN двери возможно это
выполнить?
Решение. Наименьшее значение высоты двери сов-
падает с наибольшим значением величины МС.
Обозначив Z.ABD через х, имеем:
АВ = /cosx, МВ — АВ — AM = /cosx — а,
МС = МВ • tg х = (/ cos х — a) tg х = /sinx — atgx.
97
2) Решаем уравнение
3(х— 1)г = 0.
Находим:
*1.2 — 1.
3)	Определяем знак производ-
ной в каждом из промежутков:
(—оо, 1), (1, оо).
Находим, что' производная поло-
жительна в обоих промежутках1).
4)	Находим точки пересечения
графика с осями координат.
При у = 0 имеем:
(х — 1)3 + 2 = 0, (х — 1)3= — 2,
х = 1 — уЛ2’=—0,26....
При х = 0 имеем:
у = 1.
Вычисляем предел функции
Дх), когда х —>—оо и х—>-f-oo:
lim [(х—1)э-|-2] = — со;
lim [(х — I)8 4-2] = + оо.
X -♦+ ео
Составляем таблицу хода из-
менения функции:
Черт. 49
X	—оо	—0,26...	0	1	4~о°
у'	+	+	+ о +
У	—оо	f 0	/1	1/Х2/Л-|‘°° *
Из этой таблицы мы видим, что функция у = (х—1)8+2
возрастает в промежутке (—оо, 4-оо) (не имеет нн максиму-
ма, ни минимума).
0 Этот результат можно получить, непосредственно заметив,
что y’s3 (* —-1)* >0 при х^>1.
88
5)	Строим график функции (черт. 50).
Пример 3. Исследовать ход изменения функции
Решение. Функция у оп-
ределена для всех значений аргу-
мента х, отличных от 5, т. е. она
определена в промежутках (—<х>, 5),
(5, 4-со).
1)	Находим ее производную:
Z = (Зх—7)'(х—5) - (х-5)' (Зх - 7) =
У	(х-5)»
= — 8
(X - 5)»’
2)	Эта производная сохраняет
один и тот же знак во всей об-
ласти определения (— оо, + оо):
------— <0.
(х - 5)»
Черт. 50
3)	Определяем точки пересечения графика с осями ко-
ординат:
А	7	п	7
у = о,	X = -;	х = 0, у == -.
О	о
4)	Вычисляем предел функции, когда аргумент х стре-
мится к бесконечности:
7	,	/	7\
в	3 — —	lim (3 — —I
lim = lim--------------- =	= 3,
X ** оо X — 5 Х-ооо 5	/	5 \
I — — lim (1 —— I
X X» оо \ х/
.. Зх — 7	»
1>т ---------- 3.
Поскольку рассматриваемая нами функция не определена
в точке х = 5, необходимо выяснить направление ее изме-
нения, когда х стремится к 5, принимая значения, большие
(меньшие) 5.
С этой целью заменим в выражении Дх) аргумент х
значениями 5—h и 5*ЬЛ и устремим положительное
h к нулю:
4) функция убывает в окрестности точки х = с, и Цс)
не есть ни максимум, ни минимум функции (черт. 47)1).
Основываясь на рассмотренных выше четырех случаях
хода изменения функции у = f(x) в окрестности точки
х = с, где с — значение аргумента, при котором производ-
ная у' — /'(•*) обращается в нуль (т. е. f’(c) = 0), а также
на связи, существующей между направлением изменения
функции и знаком ее производной* 4, составим следующую
схему исследования хода изменения функции:
Случаи	Знак f'(x) в промежутке		Форма кривой	При Х=С функция / (X)
	с—«<х<с			
♦ - 1	—1—	—*	чертя 44	имеет максимум
2	—		черт. 45	минимум
3			черт, 46	возрастает, не имеет ни максимума, ни минимума
4	-		черт. 47	4 убывает, не имеет ни максимума, ни минимума
Таким образом, из изложенного выше вытекает следую-
щее правило исследования хода изменения функции у =
=* Дх), заданной в промежутке (а, Ь).
Первый шаг. Найти производную функции^.
Второй шаг. Приравнять производную нулю и
решить полученное уравнение. 'Пусть q, q, . . . , сп — все
действительные корни этого уравнения в про-
межутке (а, Ь), расположенные в порядке возрастания.
Третий шаг. Определить знак производной в каж~
дом из промежутков'.
(A)» ^i)> (^i>	» (^л> ^л+1)> где Сд = а и ся+, = b. (1)
О При этих условиях точка с абсциссой х = с называется точ-
кой перегиба кривой.
а> Предполагается, что в окрестности точки х — с производная
обращается в нуль только при х = с.
*> Предполагается, что функция у = Дх) имеет производную.
4 Заказ 589
81
Черт. 44
Черт. 45
ная у' = 3№ функции у= № обращается в нуль при х = О,
но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни мини-
мума, являясь возрастающей в промежутке (—оо, 4-со),
(см. § 1; п. 4).
Вообще могут представиться следующие случаи при
исследовании хода изменения функции у = f(x) в окрест-
ности точки х — с, где с — значение аргумента, при кото-
ром производная у' = /'(х) обращается в нуль (т. е. /'(с) =
= О)1»:
1)	в точке х = с функция от возрастания переходит к
убыванию, и f (f) есть максимум функции f(x) (черт. 44);
2)	в точке х — с функция от убывания переходит к воз-
растанию, и f(c) есть минимум функции f(x) (черт. 45);
3)	функция возрастает в окрестности точки х — с,
и /(с) не есть ни максимум, ни минимум функции f (л)
(черт. 46)* 2);
О Предполагается, что в окрестности точки х — с производная
/'(х) обращается в нуль только в точке х — с.
2) При этих условиях точка с абсциссой х=с называется точкой
перегиба кривой.
80
2)	Решаем уравнение
3(х— I)2 = 0.
— 1 •
Находим:
Черт. 49
3)	Определяем знак производ-
ной в каждом из промежутков:
( 1 °о, 0» 0» 1
Находим, что' производная' поло-
жительна в обоих промежутках1).
4)	Находим точки пересечения
графика с осями координат.
При у = 0 имеем:
(х — I)84-2 = 0, (х—П3 = —2,
х = 1 — з/Г= — 0,26....
При х = 0 имеем:
у = 1.
Вычисляем предел функции
f(x), когда —оо и х->+оэ:
lim Цх—1)34-2]= — со;
X-* —«
lim [(х — I)8 4- 2] = 4- со.
ео
Составляем таблицу хода из-
менения функции:
0
0
Из этой таблицы мы ввдим, что функция у = (х—1)84-2
возрастает в промежутке (—оо, 4-оо) (не имеет ни максиму-
ма, ни минимума).
1) Этот результат можно получить, непосредственно заметив,
что у' = 3 (х — I)8 > 0 при х^1.
88
5)	Строим график функции (черт. 50).
Пример 3. Исследовать ход изменения функции
Зх —7
У = 7Г
5	УП
Решение. Функция у оп-
ределена для всех значений аргу-	*
мента х, отличных от 5, т. е. она	/
определена в промежутках (—оо, 5),	/
(5, Ч-оо).	/
1)	Находим ее производную:
, = (Зх-7)'(х-5) - (X-5Y (Зх - 7) =
У	(-v-б)»	(
________8	/
(х - 5)»	/
2)	Эта производная сохраняет ~т~ —----------1---*
один и тот же знак во всей об- / у	*
ласти определения (— со, + со):
8	.	Черт. 50
(х — 5)’ <
3)	Определяем точки пересечения графика с осями ко-
ординат:
У = 0, х = ^-; х = 0, У = р
О	о
4)	Вычисляем предел функции, когда аргумент х стре-
мится к бесконечности:
•	,	3 —— lim (з ——)
lim = lim----------- =	= 3,
х -* «о х 5 х -* « .	5	/	5 \
I — — hm 1 — —
х X - ~ \ х /
 • Зх — 7	„
hm -----= 3.
X “* ое х 5
Поскольку рассматриваемая нами функция не определена
в точке х = 5, необходимо выяснить направление ее изме-
нения, когда х стремится к 5, принимая значения, большие
(меньшие) 5.
С этой целью заменим в выражении /(х) аргумент х
значениями 5—Л и 54-й и устремим положительное
ft к нулю:
3(5 — ft) — 7
(5 — ft) — 5
-t + 3;
n
lim f (5 — h) = lim
Л-0	h-0
3(5 +ft) —7
(5 + ft) - 5
/(5 + Й) =
lim f (5 + h) = lim f— + 3^ = + co.
й-0	л-oyft /
5) Составим таблицу хода изменения функции:
f(5-h)
Черт, 51
6) Строим график
функции
у = 3*~7 (черт. 51).
Этот график являет-
ся кривой, состоящей
из двух ветвей, и на-
зывается гипербо-
лой.
Упражнения
для домашнего задания.
Исследовать ход из-
менения функций:
а) у =f(x) =
= (х - 1) (4х2 + lx + 1);
б) У — f (х) =—(x-f-
+ 2)4-5;
90
Пример 4. Исследовать ход изменения функции
У = Кх) — sinx — cosx
в промежутке (0, 2л).
Решение.
1) Находим производную
у' = cosx + sinx.
2) Приравниваем производную к нулю:
cos х 4- sin х = О
Решая это уравнение, найдем:
, _	,	Зя	7к
tgx = — 1; Xj= —; х2 =
4	4
3) Составляем таблицу хода изменения функции:
X	0	Зтс 4	7к 4	2к
у'		0	—	0	+	
У	-1 /	0	\	-/2	/	г —1
Из значений функции, которые записаны в третьей стро-
(Зх\
—) = 0 — максимум функции
4 /
(7К\
— 1 = — у 2 — минимум функции.
4 /
4) Пользуясь данными предыдущей таблицы, можно
построить кривую, изображающую ход изменения функ-
ции у = sinx—cosx.
Упражнения. Исследовать ход изменения функ-
ций.
3) у = Зх — 5;
5) у = — 2х2;
2) У =—
О
4) у = — 2х+7;
6) у = ^-х2—1;
91
7) у = хй — Зх;
9) у = 3 4- 5х — 2х2;
11) у = х3 — бх -|- 5;
13) у = х* — 2х2 — 3;
17) у = $1пх—|"cosx
8) у = 2x2-f- 5х —3;
уЗ у2
Ю) у = ^-±--2х + 3;
12) у = 1-|-^-—р
1л\	*4-2
4 V “г
.	2 + Зх — 2х2
W) , -	<+, ;
в промежутке (0, 2л);
18)	у = х—sinx в промежутке (0, л);
19)	y = cos2x-|-x в промежутке (0, л);
20)	у = sin 2х -j- 2х в промежутке
$ 4. Задачи на нахождение максимума
или минимума функций4
Во многих теоретических и практических задачах ста-
вится вопрос о нахождении максимума или минимума не-
которой переменной величины (функции).
Займемся решением такого рода задач.
Задача 1. Какой из всех прямоугольников с пос-
тоянным периметром 2р имеет наибольшую площадь?
Эту задачу можно сформулировать также и следующим
образом: «Необходимо огородить прямоугольный участок
земли наибольшей площади,
имея в своем распоряжении
строительный материал для за-
бора данной длины».
Решение. Обозначив сто-
.	I роны прямоугольника (черт. 52)
*	буквами х и у, а его площадь
Черт. 52	через s, найдем:
)) В этом параграфе представлены офра&цы решения как про*
стых/так и более сложных задач. Предлагая учащимся такого рода
задачи, учителю следует тщательно подбирать их в порядке посте-
пенно возрастающей трудности. С этрй целью можно использовать,
например, сборник задач по алгебре П, А. Ларичева (см. список
литературы на стр. НО).
92
2х + 2у = 2р, х + у = р,
у = р — X, s — ху = х(р — х) = рх — X2.
Остается исследовать ход изменения функции
s = f(x) = рх — х2.
Область допустимых значений аргумента определяется
неравенствами
О < х < р.
Находим производную данной функции:
s' = f(x) = Р - 2х.
Приравниваем производную к нулю и решаем полу-
ченное уравнение:
Определяем знак производной в каждом из промежут-
ков:
находим, что f' ( — > О и f' ( — 'i < 0. Следовательно,
\ 4 J	>\ 4 /
функция s —f(x) ~ рх — х2 достигает максимума при
т. е. прямоугольник с равными сторонами
(квадрат) имеет наибольшую площадь.
Черт. 53
Ответ. Из прямоугольников постоянного периметра
наибольшую площадь имеет прямоугольник с равными
сторонами (квадрат).
93
X	У	*У
1	11	11
2	10	20
3	9	27
4	8	32
5	7	35
6	6	36
7	5	35
•	•	*
10	2	20
11	1	11
Примечание. Из решенной
выше задачи видим, что произведение
ху двух положительных чисел, сум-
ма которых х + у есть постоянная
величина, достигает максимума, когда
эти числа равны между собой.
Для иллюстрации этого вывода
составим таблицу, выбрав, например,
х + у — 12. Из таблицы видим, что
произведение ху достигает максимума
(36), когда х = у = 6.
Задача 2. Из квадратного лис-
та картона вырезают по углам равные
квадраты со стороной х (черт. 53).
Сгибая края прямоугольной фор-
мы, получают открытую коробку. При
каком значении х вместимость короб-
ки наибольшая?
Решение. Пусть сторона данного квадрата равна а.
Так как основание коробки — квадрат со стороной а—2х,
а ее высота равна х, то объем v коробки выразится так:
v = (а—2х)2 • х = 4х3 — 4ах2 + а2х.
Необходимо, следовательно, исследовать ход измене-
ния функции
и = Кх) — 4х3 — 4ах2 + а2х
в области допустимых значений аргумента:
О
а
2'
Находим производную этой функции
v' = f'(x) = 12х2 — 8ах + а2.
Приравниваем производную к нулю и решаем получен-
ное уравнение:
12х2 — 8ах-[-а2 = (У, х = ~, х = у.
то второй корень этого уравнения
Поскольку допустимые значения аргумента х меньше —,
^х = у j отбрасываем.
94
Остается определить знак производной в промежутках:
Пользуясь разложением производной на множители:
f'(x) — (2х — a)(fix — а),
находим, что
следовательно,
есть максимум функции.
v'	+ 0	1 
	2а3	
V	27	
2а3
27
О т в е т. Вместимость
коробки наибольшая
а
при х ==—.
Задача 3. При
каком условии получа-
ется наибольшая сила
тока от батареи смешан-
ного соединения из п
одинаковых гальванических элементов при данном внешнем
сопротивлении /?.
Решение. Пусть каждый элемент
имеет электродвижущую силу, рав-
ную е (вольт), и внутреннее сопротив-
ление г (омов). Предполагая, что
число п делится нацело на х, и сое-
динив последовательно по х элемен-
те
тов, получим — = у групп элементов
X
с электродвижущей силой ех и внут-
ренним сопротивлением гх1}. Соеди-
нив затем параллельно эти у групп из	Черт* 54
х элементов каждая, получим бата-
рею с электродвижущей силой ех и внутренним сопротив-
лением:
гх   гх  гх2
	л ~	—	’ р
у	п	п
X
й Здесь следует повторить из курса физики тему «Последова-
тельное и параллельное соединение элементов».
95
Применяя закон Ома,найдем силу тока от этой батареи:
у_________ ех _______ пех _____ пе
гх2 Rn + гх2 Rnx-1 + гх
п
Так как числитель пе в последнем выражении — вели-
чина постоянная, то сила тока I будет наибольшей, когда
знаменатель Rnxr1 + гх будет наименьшим.
Итак, вопрос сводится к изучению хода изменения
функции
в области допустимых значений аргумента:
о < х < я.
Производная этой функции
£/ /.а	/?л .	__ гх2 — Rn
X2
гх2 = Rn. Отсюда находим:
п т ГШ
X2
обращается в нуль, когда
, то гх2 < Rn, гх2 — Rn< 0. Следова-
тельно, для значении аргумента, меньших у —,
водная отрицательна. Если же х> 1/ то гх2>/?п и
гх2 — Rn 0. Следовательно, для значений аргумента, боль-
ших 1/ —. производная положительна.
произ-
у , производная положительна.
Таким образом, / ( У j есть минимум функции / (х),
,	Ч Г Rn
а значит, сила тока / при х = у — принимает макси-
мальное значение1’.
1> Вычисляя это значение силы тока /, получим последователь*
но:
пе
пек
пех
2Rn
96
о
п
о
Г(Х)
Замечаем, что из ра-
венства Rn—rx2 следует:
гу2
R = —,
п
/(*)
гх2 гх
где — =
п
реннее
батареи. Следовательно,
сила тока / от батареи гальванических элементов прини-
мает максимальное зничение, когда внешнее сопротивление
гх
R равно внутреннему сопротивлению у-
— есть внут-
у
сопротивление
Ответ. Сила тока от батареи смешанного соединения п
гальванических элементов достигает наибольшего значе-
ния, когда внешнее сопротивление равно внутреннему со-
противлению.
Примечание. Найденные для к и у значения
i/fln i/nr
у _ , у= у _
вообще иррациональные числа, поэтому на практике при
смешанном соединении элементов выбирают для величин х
и у целые значения, наиболее близкие соответственно к
числам
1 Г Rn -j Г пг
V - И V R •
Задача 4. В башню, ширина которой АМ=а (черт.
55), необходимо внести лестницу, имеющую длину I > а.
При какой наименьшей высоте MN двери возможно это
выполнить?
Решение. Наименьшее значение высоты двери сов-
падает с наибольшим значением величины МС.
Обозначив £ABD через х, имеем:
АВ = /cosx, МВ = АВ — AM = /cosx — а,
МС = МВ • tg х = (/ cos х — a) tg х = /sinx — atgx.
97
Черт. 55
Таким образом, нам нужйо
изучить ход изменения функции;
МС = Дх) = I sin х — a tgx
в промежутке (0, у),
где
а
у — arccos — .
Производная этой функции
f (*) = Icos х —
a	I cos3 х — а
cos2 л- cos2x
обращается в нуль при
I cos3 х = а, откуда
cosx = |/ у, Х = arccos
Если х
arccos 1/ у»
то cosx
и
I cos3 X
т. е. для значений аргумента х, меньших arccosj/* у
г,про-
изводная положительна.
Если же х
то
cos X
и
О arccos 1
Y
следовательно, для зна-
чений аргумента, боль-
ших arccos 1/ у, про-
изводная отрицатель-
на1*.
о

/(*)
О Пользуясь чертежом, можно установить непосредственно, что
МС, изменяясь от 0 до 0, проходит через максимум.
98
Таким образом, f (arccos у -j- J = (1^t2 —°2) 2 ecTb
максимум функции MC = f (x).
Ответ. Наименьшее значение высоты двери совпадает
з
с наибольшим значением МС и равно (у4/*—
Задачи для домашнего задания
1) Доказать, что сумма двух положительных перемен-
ных, произведение которых равно постоянной, принимает
наименьшее значение при равенстве слагаемых.
Указание. Из равенства ху = р, где р — постоянная,
имеем:у = —. Нужно исследовать ход изменения функ-
ции s == / (х) = х 4- — в промежутке (0, +оо).
2) Известно, что проч- ность балки с прямоуголь- ным поперечным сечением прямо пропор циоиальна ширине и квадрату высо- ты этого сечения. Каковы размеры сечения балки на- М	А \ 6 ° х	Л / ь 	х \y7-x 	 Jf	П	R.
ибольшей прочности, если известно, что она получена 1) Чтобы вычислить /	3 / я \	!	а \ . f I arccos 1/ — I =• 11 —	sinx 1 \	V I )	\	cosx]	cos 3 /*'	л 3Г~	® ния: у / = л, у а = а, тогда cos х — - Н—	(sinx.	= / —— -— \ cosx/	|cosx«=-£ \	а> =	— а2) К к2—а2 = К(Х2 — а2)3	Черт, 56 з /, введем обозначе- X —л/ ~ Г 1 1	t уЧ2—а2 лч -, sin х st I—	Отсюда V	X ~~а.. = 1 — —— )/Х2— а2= X	\ X а/ = = 2 2 .
9*3
в результате обработки круглого бревна, диаметр ко-
торого равен d.
Указание. Прочность балки определяется формулой
Т -- сху2,
где с — постоянная, а у® = d2 — х2 (черт. 54).
Нужно исследовать ход изменения функции
Т = f (х) == ex (d2 — х®)
в промежутке 0 < х < d.
Ответ.
х =
d.
Примечание. При проверке домашнего задания следует
показать геометрическое построение сечения балки наи-
большей прочности, которым пользуются на практике
плотники при обработке лесоматериала. Это построение
заключается в следующем: диаметр АС (черт. 54) делят
точками Е и F на три равные части, затем восставляют к
нему из этих точек перпендикуляры ED и FB (по разные
стороны диаметра) до пересечения соответственно в точках
D и В с окружностью. Соединяя прямыми точки А, В, С и D,
получают искомый прямоугольник (ABCD).
Действительно, поскольку ВС = х есть средняя про-
порциональная между CF = — и АС = d, то имеем:
3
ВС = х =
3) По одну сторону прямой MN расположены две точки
А и В. Определить положение точки С на прямой MN та-
ким образом, чтобы сумма АС2 4- СВ2 имела наименьшее
значение.
Указание. Введем обозначения (черт. 56).-
АА, — a, BBl = b, Afti = I, Afi == х;
отсюда CBj = I — хи
АС2 + СВ2 = (а2 + х2) 4- [Ь2 4- (/ — х)8] = f (х).
Задача сводится, таким образом, к изучению хода измене-
ния функции f (х).
4) Нужно изготовить резервуар цилиндрической формы
без крышки наибольшей вместимости, если известно, что
100
площадь поверхности резервуара равна постоянной величи-
не зХ).
Указание. Обозначим радиус основания резервуара че-
рез х, высоту — через у, а объем — буквой v, тогда будем
иметь:	__
_ , „	s—nx*/	Л
$ = ях3 2яху, у — —I отсюда 0 < х < I/ — I •
и = ях2у=ях* s~n— = у($Х— лх8), 2v=sx — nx?=f(x).
Таким образом, задача сводится к отысканию максиму-
ма функции Дх).
Задачи
1.	Разделить число 24 на такие две части, чтобы их про-
изведение было наибольшим.
2.	Имеется 240 м проволочной сетки. Этой сеткой тре-
буется огородить прямоугольный участок земли так, чтобы
площадь участка была наибольшей. Найти длину и ширину
этого участка.
3.	Из всех прямоугольников данной площади найти пря-
моугольник наименьшего периметра.
4.	Из всех прямоугольников, вписанных в данный тре-
угольник, найти прямоугольник, имеющий наибольшую
площадь.
5.	Из листа железа, имеющего форму квадрата со сто-
роной 54 см, вырезаны по углам равные квадраты со сто-
роной х. Из оставшейся части, сгибая края прямоугольной
формы, получают коробку. При каком значении х вмести-
мость коробки наибольшая?
6.	Требуется изготовить открытую жестяную банку ем-
костью в а литров. При каких размерах банки на ее изго-
товление пойдет возможно меньшее количество жести?
7.	В прямой круговой конус вписан цилиндр; найти,
при каких размерах цилиндра полная поверхность его бу-
дет наибольшей или наименьшей.
8.	Окно имеет форму прямоугольника, завершенного по-
лукругом. Дан периметр фигуры. Каковы должны быть ее
размеры, чтобы окно пропускало наибольшее количество
света?
О Умение решать задачи, подобные данной, имеет большое прак-
тическое значение с точки зрения экономии материала при изготов-
лении, например, цилиндрических банок.
101
§ 5. Графическое решение уравнений
Графики функций можно использовать при решении
уравнений.
Действительно, если перенести все члены уравнения в
одну его часть, которую обозначим через /Дх), то уравне-
ние примет вид F(x) — 0. Требуется найти корни этого
уравнения, т. е. те значения аргумента, которые обращают
в нуль функцию F(x).
Для этого достаточно построить на миллиметровой бу-
маге график функции у = F(x) и определить абсциссы то-
чек пересечения этого графика с осью ОХ\ эти абсциссы и
будут корнями данного уравнения.
Графическое решение уравнения можно упростить, если
некоторые члены уравнения перенести в одну часть уравне-
ния, а остальные — в другую, придав уравнению вид
Дх) = g(x).
Тогда вопрос сводится к построению двух более простых
графиков функций
у = Дх) и у = g(x)
и определению абсцисс точек пересечения этих двух гра-
фиков. Решение уравнений этим способом значительно упро-
щается, если одна из этих двух функций, например у =
= g(x), является линейной: g(x) = ах + Ь.
Так, например, уравнения второй и третьей степени
х® 4- рх + q = 0, х3 + рх + q = О
могут быть представлены в виде
х® = — рх — q, Xs = — рх — q',
тогда корни каждого из этих уравнений мы найдем, опре-
делив абсциссы точек пересечения прямой
У = — Рх — q
с графиком функции у = х® или функции у — х3.
Примеры.
1) На чертеже 57 представлено графическое решение
уравнения
»	9	7	Л
х3----х----= 0
4	2
102
и найден его корень, равный 2.
Если подставить это число в
уравнение вместо х, убедимся,
что уравнение решено прави-
льно.
2) Решить графически урав-
нение
2Х3 — Зх2 + 2х + 2 = 0.
Решение. Данное нам
уравнение можно записать в
виде
2х3 — Зх2 = — 2х — 2,
следовательно, нужно постро-
ить графики функций
у = 2х3 — Зх2 и у = — 2х — 2.
Составим таблицу хода из-
менения функции
у = 2х3 — Зх2
Черт. 57
3
2
0	\	-1
0
н затем построим ее график и график прямой
у — — 2х — 2.
На чертеже 58 показано графическое решение уравне
ния
2х3 — Зх2 + 2х + 2 = 0;
найден один действительный корень, равный------. Путем
2
ЮЗ
подстановки этого числа в уравнение убеждаемся в пра-
вильности его решения
Упражнения для домашнего задания.
Ук
Черт. 58
Решить графическим методом уравнения:
2) 2л3 — 5х* + 6х— 2 = 0.
§ 6. Формула бинома Ньютона
В качестве еще одного примера применения производ-
ной выведем формулу для степени бинома: (а + х)п, где
п — натуральное число. Для случая n = 1,. п = 2, п = 3
формулы нам известны:
(а -|- х)1 = а+х‘,
(а-j-x)8 — а* 4- 2ах 4-х8;
(а 4- *)’ — а8 4- За8х 4~ Зах84- х8.
Рассматривая эти тождества, замечаем, что правая часть их
является многочленом соответственно 1-й, 2-й и 3-й степе-
1) Следует предупредить учащихся,что графическое решение
уравнений дает, как правило, лишь приближенные значения кор-
ней.
104
ни, расположенным по возрастающим степеням буквы х.
Легко убедиться, основываясь на правиле умножения
многочленов, что результат возведения бинома (а + х) в
степень с натуральным показателем, большим 3, также
будет многочленом степени, равной показателю бинома,
например:
(а + х)’ = Ьо + М + № +	+ Ь4х* + М*. (О
где b0, bi,..., b6— постоянные. Покажем, как найти эти
коэффициенты.
Так как равенство (1) есть Тождество, то оно справедли-
во при любом допустимом значении х1’, следовательно, и
при х = 0. Положив в обеих частях равенства (1) х — 0,
получим: а5 = Ьо. Отсюда следует, что свободный член
многочлена равен первому члену бинома в степени с пока-
зателем, равным показателю бинома.
Поскольку левая и правая части тождества (1) представ-
ляют две равные между собой функции от х, то производ-
ные от обеих частей его также равны между собой, т. е.
[(а+х)5]' = фо + Ьх + М2++64х* + &5х*)'
или
5 (а+х)* = + 264х+ЗЬ3х2 + 4&4х* + 5Ь^х*,	(2)
Полагая в тождестве (2) х => 0, получим:
5а* = Ь4,
5
т. е. коэффициент bt = — а*.
Чтобы найти следующий коэффициент Ь2, вычислим про-
изводную от обеих частей тождества (2):
[5 (а + х)*]'= [6, + 2^+ 3^ + 4&4х» + 5Ь&^]',
5 • 4 (а4- х)а = 2&24- 2 • ЗЬ3х + 3 - 4Ь4х* + 4.5bsx®, (3)
а отсюда, полагая х = 0, найдем:
5 • 4аа = 2Ьа
и затем
Ь В данном случае областью допустимых значений аргумента
является промежуток (—ов, +<х>).
105
Подобным же образом найдем и остальные коэффициенты:
[5 • 4 (а + х)2]' = [262 + 2.3!>зХ + 3 • 4ft4x2 4- 4 • 5&4х®]';
5.4.3(а4-х)2 = 2-3&34-2-3.464х + 3.4.5&5х2;	(4)
5-4-За2 = 2-36,;
[5.4.3 (а + х)2]'=(2 - ЗЬ3 -f- 2*3 * 4btx 4- 3 - 4. б^х2)';
5.4.3-2 (а 4-х) = 2-3-4-644~2-3-4.5Z>sx;	(5)
5.4.3.2а = 2-3-4д4;
,	5-4-3-2	5-4.3-2
Ь. —-------а —---------а\
[5.4.3-2(а4-х)Г = (2.3.4644-2.3 4.5fe5x)';
5-4-3-2-1 = Ь2.3.4.5д6;
.	5.4-3.2-1
bs =---------.
8	1-2.3*4-5
Подставив найденные значения коэффициентов &о, bit bit
b3, bit b5 в (1), получим:
(a 4- x)5 — a5 4- -- a‘x 4-	08x2 +
a2x? 4-
(6)
Это тождество представляет собой частный случай (для
л = 5) формулы, называемой биномом Ньютона.
Рассуждая, как и выше, получим, исходя из тождества
(а 4- х)" = Ьо 4- 64х 4- Ь^2 4-	4- bn-iX"-14- 6„х",
общую формулу бинома Ньютона:
(а 4- х)п = ап 4~ ~ а^х -f-
п (л — 1)
1 2
1*2-3	"*
л(и-1)(л-2) ... [п—(fe—1)]
1*2-3 k
п (л — 1) (л — 2) ... [л (л — 1)]
1.2*3 Г
(7)
Многочлен, стоящий в правой части этого равенства, на-
зывается разложением бинома.
106
Если обозначить каждый член разложения буквой Т со
значком внизу, указывающим порядковый номер этого чле-
на, то для (Л + 1)-го члена разложения найдем из (7):
,	_ я(п—1)(п —2) ... |n~(fe —1)]
А+1	loot,	U X ,
(8)
Полагая в этой формуле k = 0, 1, 2, .... п, получим по-
следовательно:
7, = а"», Т2=-ал-1х, Т3 = -п(п~|)- ап^х2,
1	2 I	3 Ь2
—
п (п — 1) (п — 2) ... [п — (п — 1)]
Ь2-3 п~
т. е. все члены разложения (7).
Примеры. 1) Найти разложение бинома (а + х)®.
Решение.
(а +*)6 — d* + ~dx
а4х2+
6-5-4
1-2-3
а3х®4-
6*5-4.3
1-2-3-4
аРх4-}-
6-5.4-3-2
1.2.3-4-5
ax5.-j-
6-5.4-3.2.1 в
1-2-3.4-5-6 Х *
Выполнив соответствующие сокращения, получим:
(а + х)® = а® + 6а5х + 15а4х2 + 20а3х3 + 15а2х’ +
+ бах5 + х6.
2)	Найти разложение бинома (1 — х)5.
Решение.
5-4-3-2 .
1.2.3-4
5-4-3
1-2-3
5-4-3-2-1
1-2-3-4-5
х5 = 1 — бх-}- Юх2 — Юх3 + бх4 — х5.
3)	Найти девятый член разложения (1 + у^)15.
Решение.
^9 ~ T’s+i =
1) Выражение
смысла; условимся
)8 = 25 740.
15-14-13-12-11 -10-9-8
Ь2.3.4-5-6-7.8
п(п—1)(л—2) ... [л—(ft—1)] L Л
---------1	---------------при k = 0 не имеет
считать его в этом случае равным единице.
107
4)	Вывести приближенную формулу
(1+ а)" »
1 + па,
(9)
где а > б достаточно мало по сравнению с 1.
Решение. Применяя формулу разложения (7), по-
лучим:
(l + fl)" = l + 2La+
Л (Я— 1)лв
Ur
1.2
л(п—1)(п—2)
1-2.3
... +а".
(Ю)
Полагая, что число а настолько мало, что можно прене-
бречь членами разложения, содержащими его квадрат, куб
и т. д., отбросим все члены разложения (9), начиная с тре-
тьего до последнего включительно. Получим в результате
искомую формулу (9).
5)	Вычислить (1,003)10 по формуле (9).
Решение.
(1.003)10 = (1 + 0,003)10 « 1 + 10 • 0,003 =
= 1,03.
Упражнения для домашнего задания.
1) Найти разложения биномов:
(а 4- х)4, (а 4- х)в, (с2 — х)в.
2) Найти 7-й член разложения (а — у)1®.
Найти 5-й член разложения 4~— I •
\а* г I
4) Вывести приближенную формулу
(1 — а)п ~
1 — па,
(11)
где а > 0 достаточно мало по сравнению с 1.
5) Вычислить (1,005)*, пользуясь формулой (9).
6) Вычислить (0.9998)20, пользуясь фюрмулой (11).
Тема «Применение производной, к исследованию функ-
ций» на этом заканчивается. Далее следует посвятить один
урок повторению пройденного и затем провести контроль-
ную работу.
103
§ 7.	Краткие исторические сведения
Разработкой приемов решения задач о проведении ка-
сательной к кривой занимались в начале XVII в. П. Ф е р-
ма иР. Декарт.
Приемы решения таких задач послужили в 1638 г. пред-
метом научной дискуссии между Декартом и Ферма; эта
дискуссия привела, в частности, к новому пониманию каса-
тельной как предельного положения секущей.
К 1629 г. Ферма предложил способы нахождения наи-
больших и наименьших значений переменных величин.
Вычисления, применяемые Ферма при решении задач о
проведении касательных и об отыскании экстремумов (т. е.
максимумов или минимумов функции), были равносильны
вычислению производной.
Теория производных была выработана И. Ньютоном в
1665—1666 гг. и несколько позже (в середине 70-х годов) —
Г. Лейбницем.
Переменные величины Ньютон называл флюентами, а
скорости их изменения, т. е. производные, — флюксиями.
Операция вычисления производных была названа Лейб-
ницем дифференцированием. Знак Дх был введен в 1755 г.
Л. Эйлером. Обозначение О- было предложено (1875 г.)
Г. Лейбницем, а обозначения у', f (х) (1770 г., 1779 г.)—
Ж. Лагранжем.
Таблица производных
I.	(су = о.
II.	(х)' - 1.
III.	(и vy = и' Ц- v'.
IV.	(ut>)' = uv' 4’ vu'.
V.	(си)' == си'.
VI.	(х")' = их""1.
VII.	(х’)' =vx’-1, х>0.
VIII.	(сх")'= пех"-1.
IX.	(апхя4-с„_1хя-1-|- а4х-|-а0)'—
= паях""1 + (л— 1) ап_1Х^а 4-	4- 2OjX -f- at.
/ и у   u'v — v'u
\ V J u2
109
xi. (2LY=^.
\ с ) с
XII.	(sin х)' = cos х.
XIII.	[sin (ах +&)]' = «• cos (ах -|- Ь).
XIV.	(cos (ах 6)]' = — a sin (ах + Ь).
XV.	(cos х)' — — sin х.
XVI.	(tgx)' = -L-.
COS3 X
XVII.	(ctgx)'=-------5—.
4 6 ' sin2*
ЛИТЕРАТУРА
1.	Г. M. Фихтенгольц, Математика для инженеров,
ч. I, М. — Л., 1932.
2.	А. Н. Барсуков, Алгебра, ч. II. Учебник для 8—10
классов, М.» 1957.
3.	В. М. Б р а Д и с., Н. С. Истомина, А. И. М а р ку-
ше в и ч, К. П. Сикорский, Алгебра. Учебное пособие,
изд. 2, М., 1960.
4.	Н. Н. Лузин, Дифференциальное исчисление, изд. 7,
М., 1961.
5.	Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и ин-
тегрального исчисления, т. I, изд. 5, М., 1962.
6.	Н. Н. Т а р а с о в, Курс высшей математики для технику-
мов, изд. 11, М., 1961.
7.	А. Я. X и н ч и н, Краткий курс математического анализа,
М., 1957.
8.	П. А. Л а р и ч е в, Сборник задач по алгебре, ч. II, изд. 8,
М., 1957.
9.	О. И. С м и р н о в а, Функции в курсе 10 класса, М., 1956.
10.	А. Г. Гольдберг, Функции и их исследование. Про-
изводная, Л., 1957.
11.	М. С. Гельфанд, Преподавание темы «Производная
функция», М., 1958.
12.	Л. Н. Милованова, Функции и их исследование,
М., 1958.
13.	И. Г. Башмакова, А. Н. Колмогоров,
А. П. Юшкевич, Статья «Знаки математические» в БСЭ.
14.	А. П. Юшкевич, Статья «Дифференциальное исчисле-
ние» в БСЭ.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
ГЛАВА I
Функции и пределы
§ 1.	Общее понятие функции
§ 2.	Предел функции ....
§ 3.	Понятие о непрерывности функции
§ 4.	Краткие исторические сведения
ГЛАВА II
Производная
§ 1.	Скорость прямолинейного движения, понятие мгновен-
ной скорости .......................................
§ 2.	Упражнения на определение скорости изменения пере-
менных величин
§ 3.	Производная	..........................
§ 4.	Геометрический смысл производной, касательная к
кривой линии
§ 5.	Производные функций: у = с\ у ~ х\ у = и -1- v
§ 6.	Производная произведения двух функций . . . .
§ 7.	Производная степени с натуральным показателем.
Производная степени с любым показателем. Производ-
ная многочлена ........................
§ 8.	Производная частного двух функций
§ 9.	Упражнения на нахождение производной
о	sinx
§ 10.	Предел отношения-----, когда х стремится к нулю
§ 11.	Производные тригонометрических функций
§ 12.	Понятие о второй производной. Ускорение
ГЛАВА III
Применение производной к исследованию функций
§ 1.	Признаки возрастания и убывания функций .......
§ 2.	Нахождение максимума и минимума функции с помощью
производной .................................
§ 3.	Примеры исследования хода изменения функций . . .
§ 4.	Задачи на нахождение максимума или минимума функ-
ций .	...
§ 5.	Графическое решение уравнений
§ 6.	Формула бинома Ньютона
§ 7.	Краткие исторические сведения
Таблица производных
Литература .....................................
Иван Константинович Парно
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
Редактор Г. С. Уманский
Художественный редактор Н, А. Володина
Технический редактор Af. Г. Чацкая
Корректор М. В. Голубева
Сдано в набор 15/IX-66 г. Подписано к
печати 29/111-67 г. 84 X 108*/а». Типограф-
ская № 2. Печ. л. 5,88 (З.Б). Уч.-изд. л. 4,78.
Тираж 100 тыс. экз. (Тем. пл. 1967 г., Кв 166).
АО 4760.
Издательство '«Просвещение» Комитета по
печати при Совете Министров РСФСР. Мос-
ква, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский полиграфический комбинат Рос-
главполиграфпрома Комитета по печати при
Совете Министров РСФСР. Саратов, ул.
Чернышевского, 59. Заказ 589.
Цена 13 коп.
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA