/
Похожие
Текст
Е. И. ЛЯЩЕНКО
ИЗУЧЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
В КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ
ВОСЬМИЛЕТНЕЙ V
ШКОЛЫ ____J
МИНСК 1970
ЙХУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИКИ
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ БССР
Е. И. ЛЯЩЕНКО
ИЗУЧЕНИЕ
ФУНКЦИЙ
В КУРСЕ
МАТЕМАТИКИ
ВОСЬМИЛЕТНЕЙ
ШКОЛЫ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАРОДНАЯ АСВЕТА» МИНСК 1970
Лященко Е. И.
<7199 Изучение функций в курсе математики восьми-
летней школы. Мн., «Нар. асвета», 1970.
176 с. С илл. (Науч.-исслед. ин-т педагогики М-ва просвещения
V БССР). 41 000 экз. 22 к.
В этом пособии автор разрабатывает единый подход к изло-
жению некоторых вопросов курса математики восьмилетней
школы на основе понятия функции. Для осуществления этой
задачи предложена методика изучения первоначальных понятцр
(величины, координатной плоскости, множества и др.). Дана
система изучения элементарных функций геометрическим и ана-
литическим методом, отвечающая некоторым требованиям новой
программы. Рассмотрены пути соединения учения о функциях $
другими основными разделами математики — уравнениями и
неравенствами.
Пособие рекомендуется учителям математики восьмилетней
школы. —Библиогр.: с 174—175... ,
51(07)
6-6
134-70М
Евдокия Ивановна Лященко
Изучение функций в курсе математики
восьмилетней школы
Издательство «Народная асвета» Государственного комитета
Совета Министров БССР по печати, Минск, Ленинский проспект, 85.
Редактор В. В, Амбражевич. Обложка художника Г. П. Кричевского. Худо-
жественный редактор Я. Я- Карпинович. Технический редактор /VI. Р. Кали-
берова. Корректор Л. Н. Жаков ко.
Сдано в набор 15/VI 1970 г. Подписано к печати 17/XI 1970 г. Формат
84х108|/з2- Физ. печ. Л. 5,5. Усл. печ. л. 9,24. Уч.-изд. л. 8,05. Тираж 41000 эьч.
Заказ 260. Цена 22 коп.
Полиграфном бинат им. Я- Коласа Государственного комитета Совета Мини-
стров БССР по печати, Минск. Красная, 23.
ВВЕДЕНИЕ
Основные понятия функции до сих пор пред-
лагалось систематически изучать только в IX —
X классах. До IX класса учащиеся в основном
занимаются операционной математикой. Резкий
переход к исследовательскому началу в IX
классе обычно бывает очень труден. Опытная
проверка показала, что без ущерба для опера-
ционной стороны математики в начальной и
восьмилетней школах можно систематически
вводить идею функции и осуществлять иссле-
довательский подход к изучению основных по-
нятий математики, что фактически и преду-
сматривается новой программой.
Предлагаемая работа рекомендует изучать
начальные основы математики и алгебры с функ-
циональной точки зрения. Осуществление тако-
го подхода к изучению основных понятий ма-
тематики дает возможность значительно раньше
(VII — VIII классы) с помощью графического, а
иногда и аналитического методов сознательно
изучить свойства основных элементарных функ-
ций. В пособии излагается система введения
начальных понятий математики (величина, чис-
ло, множество, числовая ось. координатный
метод и др.) и начал алгебры (буква как мате-
матический символ, определение функции, об-
ласть определения функции и др.). Кроме того,
в работе изложена единая система исследования
свойств ряда функций (линейной, квадратной,
3
простейшей кубической, f (х) == —, показатель-
ной) элементарными средствами и показаны не-
которые пути применения свойств рассмотрен-
ных функций к решению уравнений и практи-
ческих задач, а также дан общий метод введе-
ния понятия обратной функции и исследованы
свойства ряда обратных функций.
Изучение всех вопросов автор предлагает
проводить на основе определенным образом по-
добранных упражнений. Пособие содержит око-
ло 400 упражнений. По основным темам приве-
дены примерные самостоятельные и контроль-
ные работы.
Основное содержание работы было провере-
но автором и группой учителей математики
средних школ № 3, 30, 50 г. Минска (тт. Бош-
ковой Л. Д., Вигдорович С. Л., Семеновой М. М.,
Лещинской С. Д.). Изложение функций в таком
плане оказалось вполне доступным для уча-
щихся восьмилетней школы.
Автор благодарен учителям, принявшим
участие в опытной проверке материала настоя-
щей книги.
ГЛАВА I.
Некоторые основные
понятия
начальной математики
§ 1. Функциональная пропедевтика
в арифметике
Изменение содержания школьного курса математики
заключается не только во введении новых тем и вопро-
сов, но в большей мере в современном изучении традици-
онных вопросов школьной математики, современное изу-
чение традиционной математики заключается в изменении
ее идейной основы и логической организации материала.
Определяющими идеями математики восьмилетней шко-
лы следует считать: функциональную, теоретико-множест-
венную, логическую и алгоритмическую. Функциональная
идея — основная среди названных. Она реализуется как в
специальном изучении вопросов, непосредственно относя-
щихся к понятию функции, так и в придании большин-
ству понятий математики восьмилетней школы функцио-
нальной направленности. Даже арифметический материал
в I—III классах дает в этом направлении большие воз-
можности, без введения специальной терминологии знако-
мит учащихся с основными идеями функции: изменением,
зависимостью, соответствием.
Знакомство это может быть осуществлено с помощью
понятия величины, решения текстовых задач, изменения
результатов арифметических действий при изменении ком-
понентов и др.
В школьном курсе математики широко используется
понятие величины. Понятие величины в своем развитии
претерпело изменения, подобно другим основным понятиям
математики (число, функция и др.).
Величину как первоначальное понятие математики
нельзя определить путем указания родового признака и
видового отличия. Понятие величины может быть введено
либо описательно, либо с помощью системы аксиом, рас-
крывающих его свойства.
&
Изучение понятия величины в школе возможно осу-
ществить концентрически. В первом концентре можно рас-
смотреть понятие величины с чисто практической точки
зрения, путем указания только отдельных характеристик
этого понятия (сравнимости, аддитивности). Во втором кон-
центре — познакомить учащихся с изоморфным понятием
величины — множеством значений величины (действитель-
ными числами) и дать его определение в виде системы
аксиом.
К изучению понятия величины и сейчас в школе обра-
щаются фактически .дважды: при изучении обыкновенных
дробей и при изучении действительных чисел. И в первом
и во втором случаях к понятию величины обращаются в
связи с измерением величин, в основном длин отрезков.
Следует заметить, что в современных школьных учебниках
и задачниках по арифметике не уделяется должного вни-
мания формированию понятия математической величины.
Так, пользуясь термином «величина», учащиеся часто не
знают, что конкретно можно отнести к данному понятию.
На вопрос, обращенный к учащимся VI класса, «Будут ли
стол, площадь класса, аппетит, трамвай и т, д. математи-
ческими величинами?» большинство учащихся не смогли
правильно ответить.
В начальных классах школ можно осуществлять систе-
матическое формирование понятия величины, чтобы учащи-
еся смогли подметить на основе анализа конкретных при-
меров, что различные математические абстракции (обобще-
ния) имеют одинаковые свойства.
Например, рассматривая длины различных предметов,
можно отметить у всех длин общее свойство — быть выра-
женной числом. Аналогичен пример с площадями, объема-
ми и т. п.
Величину, как математическое понятие, характеризует
сравнимость с однородной ей величиной. Поэтому одним
из основных этапов формирования понятия величины в
школе следует считать измерение величин. Прежде всего
должно быть прочно усвоено учащимися основное свойство
математической величины — величина может быть
измерена величиной того же рода, приня-
той за единицу измерения. Поэтому одним из
основных этапов формирования математического понятия
величины есть сознательное изучение единиц измерения
величин. Следует отметить, что одна и та же величина
6
может быть измерена различными по величине единица-
ми, то есть более крупными и более мелкими.
Например, длина может быть измерена и с помощью
миллиметра, и с помощью километра — в зависимости от
того, что конкретно требуется измерить по условию за-
дачи.
Результат измерения величины соответствующей еди-
ницей измерения есть число, которое показывает, сколь-
ко раз единица измерения содержится в измеряемой ве-
личине. Это число называется числовьш значением вели-
чины. /
Для сознательного усвоения основного свойства вели-
чины — ее измеряемости — необ,ходима большая системати-
ческая работа по изучению метрической системы мер.
С этой целью можно использовать различные таблицы пе-
ревода метрической системы мер. Например:
км М . дм см мм
1 м 0,001 • 1 10 100 1000
пг Ц кг г мг
1 кг 0,001 0,01 1 1000 1 000 000
Это простейшие таблицы метрической системы мер.
Позднее, в V классе, можно привести более полные таб-
лицы перевода мер веса и длины. Они могут быть следу-
ющей формы и содержания.
км м дм см мм
км 1 1000 10 000 100 000 1 000 009
м 0,001 1 10 100 1000
дм 0,0001 0.1 1 10 100
см 0,00001 0,01 0,1 1 10
мм 0,000001 0,001 0,01 0,1 1
7
т ц кг г мг
т 1 10 1000 10002 1000»
Ц 0,1 1 100 10» Ю8
кг 0,001 0,01 1 1000 1000®
г 0,000001 0,00001 0,001 1 1000
мг 0,000000001 0,00000001 0,000001 0,001 1
Приведенные таблицы могут быть оформлены крупным
планом и вывешены в классе для постоянного пользова-
ния с целью лучшего запоминания.
На кружковых занятиях можно познакомить учащих-
ся с таблицами перевода мер из одной системы в другую.
В ходе изучения величины и ее свойств трудно ото-
рвать, допустим, свойство измеряемости величины от свойс-
тва аддитивности. В процессе работы с величинами у
учащихся должно сформироваться отчетливое понимание,
что величине с математической точки зрения присущи те
же математические закономерности, что и числу, являю-
щемуся ее численным значением. Поэтому однородные ве-
личины можно сравнивать, так как можно сравнивать ре-
зультаты их измерения — числа. Однородные величины
можно складывать, так как можно складывать результа-
ты измерения величин — числа.
Постоянное акцентирование внимания учащихся на
том, что величинам с математической точки зрения при-
сущи те же закономерности, что и числам, поможет при-
вести учащихся к выводу: в математике говорить о ве-
личине— это все равно, что говорить о ее числовом зна-
чении, то есть о числе. Поэтому систематическая работа
do измерению величин и арифметические действия над их
числовыми значениями, кроме содержательного формиро-
вания математических отношений и знакомства кс идеей
изменения и соответствия, еще помогут осуществить под-
готовку понятия действительного числа.
Упражнениями, способствующими подготовке понятия
математической величины и числа, могут быть задания
по измерению длин стола, подоконника, ширины и дли-
ны класса с разной степенью точности (вначале с точнос-
тью до метра, затем с точностью до дециметра, сантимет-
ра и т. д.). Проделанная в таком направлении работа бу-
дет хброшей подготовкой к сознательному восприятию по-
нятия соизмеримости и несоизмеримости отрезков и, сле-
довательно, введения иррациональных чисел.
Итак, результаты измерения величин выражаются чис-
лами. Математические операции над величинами есть
фактически операции над их числовыми значениями, то
есть над числами.
Естественно, возникает вопрос: есть ли необходимость
в более углубленном знакомстве с математическим поня-
тием величины, если в конечном счете мы придем к чис-
лам и действиям над ними?
На этот вопрос можно ответить так: в сознательном
обучении математике главную роль играет умение уча-
щихся осмысленно устанавливать математические отно-
шения между различными объектами. Объектами мо-
гут быть: величины, математические символы, предло-
жения и т. п.
Если учащиеся с первых лет .обучения математике бу-
дут устанавливать математические отношения между от-
влеченными объектами, числами и т. п., то знания их
будут более формальны и не будут служить основой для
развития. Если же учащимся раскрывать сущность прос-
тейших математических отношений с помощью понятий,
которые лежат в основе их жизненного опыта, то есть с
помощью понятия величины,—формируемые математи-
ческие отношения будут более осознанно восприниматься.
Для примера приведем три упражнения для учащихся
II класса.
1. Длина классной комнаты, где занимается II «А»
класс, больше, чем длина классной комнаты, где занима-
ется II «Б» класс, на 2 метра. Как определить длину
классной комнаты II «Б» класса?
Решение. Длина классной комнаты И «Б» класса =
= длине классной комнаты II «А» класса — 2 метра.
Определить длину классной комнаты II «Б» класса,
если длина классной комнаты II «А» класса равна
9 метрам.
Решение. Длина классной комнаты II «Б» класса =
= 9 метров — 2 метра = 7 метров.
2. На одной полке лежало 59 книг, на другой — на
15 книг меньше. Сколько книг на второй полке?
Решение. 59 книг — 15 книг = 44 книги.
-3. Чему равна разность чисел 18 и 7?
9
Решение, 18 — 7=11.
Во всех приведенных упражнениях рассматривается
разностное отношение. Если с ним познакомить учащихся
с помощью упражнения 3, то усвоение будет основано толь-
ко на акте памяти, и применить данное отношение к ре-
альной ситуации учащийся не сможет. Если же процесс
формирования приведенного математического отношения
начать с упражнения 1, то результаты наблюдаются иные.
Данное отношение учащиеся наблюдают в действительно-
сти, сами принимают участие в выяснении математичес-
кой закономерности между длинами классных комнат, вы-
полняют измерение и т. п. Усвоению математического
отношения активно способствует реальность задачи, ее
непосредственная выполнимость. Поскольку в упражнении
2 ситуация несколько искусственна, то она воспринима-
ется с меньшим эффектом, чем в первом. И совсем фор-
мальное усвоение отношения наблюдается, если использо-
вать только упражнение 3.
Хотя разностное отношение усваивается учащимися для
простейших случаев без большого труда, однако созна-
тельно им пользоваться учащиеся не всегда могут. Обыч-
но это Наблюдается, когда учащиеся должны заниматься
более сложными математическими отношениями, в кото-
рые разностное отношение входит как составная часть.
Объяснись такое положение можно только формальным
усвоением сущности этого отношения. Если же формиро-
вание отношений будет вестись на смысловой основе, то
есть с привлечением общего понятия математической ве-
личины, то вероятность сознательного усвоения, а значит
и применения в сложных отношениях простых математи-
ческих отношений, будет более значительна.
Надо отметить также, что в формировании математи-
ческих отношений не малую роль играет форма записи
решения упражнения. Форма записи решения упражнения
в значительной мере способствует пониманию математи-
ческого отношения, раскрывает сущность упражнения и
тем самым служит основой для формирования понятий
зависимости и соответствия. Математические отношения
между величинами могут быть записаны с помощью сло-
весной или числовой, а позднее и буквенной формулы, с
помощью таблиц, диаграмм или графиков, с помощью во-
просов и ответов на них и др.
Особую трудность представляет запись отношения
ю
между известными и неизвестными величинами в тексто-
вой задаче. В начальной школе для установления такого
отношения чаще всего используется вопросно-ответная
форма. Она наиболее трудна для понимания сущности ма-
тематических отношений между известными и неизвестны-
ми величинами текстовой задачи. Кажущаяся ступенча-
тость (вопросы и ответы на них) в формировании отноше-
ния, заложенного в содержании задачи, фактически снима-
ет целостность восприятия отношений. Мы считаем, что
формирование математических отношений с помощью тек-
стовых задач будет эффективнее, если их раньше начинать
решать методом выражений (словесных, числовых, буквен-
ных), наглядно показывающих отношение между величи-
нами задачи в записи решения.
Например, предлагается учащимся IV класса решить
задачу: «Для интерната, где обучается 460 учащихся,
куплено хлеба— 100 кг белого по 18 коп. за килограмм
и 200 кг черного, по 14 коп. за килограмм. Сколько де-
нег пошло на покупку хлеба для каждого учащегося?»
С помощью плана задача решалась бы следующим
образом:
1. Сколько денег уплатили за весь белый хлеб?
18 • 100 = 18 (руб.)
2. Сколько денег уплатили за весь черный хлеб?
14 • 200 = 28 (руб.)
3. Сколько денег уплатили за белый и черный хлеб
вместе?
18 + 28 = 46 (руб.)
4. 'Сколько денег пошло на покупку хлеба для каждого
учащегося?
46 : 460 — 10 (коп.)
Разрозненность вопросов не дает возможности усмот-
реть математическое отношение между всеми данными и
искомой величиной задачи. Решив ее таким образом, уча
щиеся часто не могут справиться с аналогичной задачей,
вернее, с задачей, в которой математическое отношение
аналогичное рассмотренному, а фабула иная.
Например: «Магазин получил огурцы: из первого кол-
хоза 8 ц по 12 руб. за центнер, из второго колхоза 4 ц
11
по 9 руб. за центнер. Определить среднюю цену одного
центнера заготовленных огурцов».
Если" же учащиеся начальных классов, начиная с прос-
тейших задач, приучены к составлению вначале словес-
ных формул, затем числовых и позднее буквенных, то
этим самым будет выработано умение выяснять общую
сущность математических отношений, заложенных в усло-
вии каждой задачи. Такая работа служит хорошей осно-
вой для общего математического развития учащихся и
пропедевтикой идеи функции.
Первая задача может быть решена с помощью словес-
ной и числовой формул.
Решение. Деньги на каждого ученика =
цена белого хлеба X колич. кг + цена черного хлеба X колич. кг
число учеников
18 • 100+ 14 - 200
460
= 10 (коп.)
Аналогично можно записать словесную и числовую
формулы решения второй задачи.
Средняя цена 1 ц —
цена I ч из 1 колхоза х колич. ц + цена 1 ц из II колхоза X колич. ц
колич. ц из I колхоза + колич. ц из II колхоза
------Гр8-------- 11 (руб<)
Систематический анализ ({оставляемых по условию за-
дач словесных и числовых формул дает лучший резуль-
тат в вопросе обучения учащихся существу математики,
чем решение большого числа задач с помощью вопросов
и ответов на них, которые в конечном счете не создают
общего плана соотношения между данными и искомыми
величинами в задаче.
Уяснению сущности математических соотношений по-
могает решение задач методом составления таблиц.
Например, выясняя соответствия между временем
движения, скоростью движения и изменением скорости
движения, при решении задач можно составить таблицы,
аналогичные приведенным ниже. Например:
1. Ступеньки эскалатора в метро движутся вниз со
скоростью 75 см в секунду, а человек бежит вверх по
ступенькам со скоростью 90 см в секунду. Поднимается
или опускается человек? С какой скоростью?
12
2. Заменить в тексте задачи 1 число 90 числом 60.
Решить получившуюся задачу.
3. Ступеньки эскалатора движутся вверх со скоростью
80 см в секунду. Человек идет также вверх со скорос-
тью 50 см в секунду. С какой скоростью человек подни-
мается вверх?
4. Ступеньки эскалатора опускаются вниз со скорос-
тью 75 см в секунду, и человек опускается вниз со ско-
ростью 40 см в секунду. С какой скоростью человек
опускается вниз?
f Номера з^дач 1 2 3 4
Движение эскалатора вверх Движение эскалатора вниз 75 см 75 см 80 см 75 см
Движение человека вверх Движение человека вниз 90 см 60 см 50 см 40 см
Скорость подъема Скорость спуска 15 см 15 см 130 см 115 см
Задачи приведенного содержания на первый взгляд ка-
жутся простыми, но в них заложены весьма плодотвор-
ные идеи — изменения, зависимости и соответствия. Ре-
шение же их с помощью таблиц позволяет более нагляд-
но установить правило соответствия между величинами и
тем. самым на конкретных примерах готовить введение
понятия функции.
Особенно важно с помощью таблиц решать простей-
шие задачи на движение. Например:
1. Велосипедист ехал со средней скоростью 12 км в
час. Какой путь он пройдет за 2 часа? за 3 часа? за
5 часов и т. д.?
Скорость 12 12 . 12
Время 2 / 3 5
Путь 24 36 60
13
2. Велосипедист проехал за некоторое время 20 км.
Сколько километров он бы проехал, если бы ехал в 2 раза
быстрее? в 4 раза быстрее? в 5 раз быстрее? в 2 раза
медленнее? в 4 раза медленнее?
Время Изменение скорости Путь
увеличилась в 2 раза 40 км
увеличилась в 4 раза 80 км
Постоянно увеличилась в 5 раз 100 км
уменьшилась в 2 раза 10 км
уменьшилась в 4 раза 5 км
Анализ первой таблицы приводит к следующему вы-
воду: если время увеличивается, а скорость остается по-
стоянной, то и путь увеличивается. В III классе, в кото-
ром данная задача может быть решена, очевидно, вести
разговор о пропорциональности увеличения еще рано, но
готовить к этому выводу учащихся необходимо. Анализ
второй таблицы приводит к следующему выводу: при по-
стоянном времени с увеличением скорости увеличивается
пройденный путь, причем, во сколько раз увеличивается
скорость, во столько раз увеличивается и расстояние.
Аналогичный вывод можно сделать и при уменьшении
скорости.
Систематическое знакомство с изменением величин и за-
кономерностями этого изменения составляет значительную
часть работы на уроках математики в начальной школе.
Мы уже отмечали, что осуществлять это возможно при
решении задач с изменяющимися величинами, но не ме-
нее значительная работа может быть проведена при изме-
нении компонентов действий и выяснении влияния этого
изменения на результаты действия. Уже во II — III клас-
сах на числовых выражениях можно выяснить измене-
ние суммы и разности при изменении слагаемых, вычита-
емого и уменьшаемого. Позднее, при выполнении дейст-
вий умножения и деления в V классе, эта работа долж-
на получить завершение в виде алгебраических формул.
Приводим один из возможных вариантов вывода законо-
мерностей изменения компонентов действий и полученных
результатов для действий сложения, вычитания, умножения.
Изменение суммы с изменением слагаемых:
1. а) 3 + 5 = 8; (3 + 2) + 5 = 8 + 2; (3 + 2) +
+ (5 + 7) = (3+5)+(2 + 7) = 8 +9;
б) 1,4+ 4,8 = 6,2; (1,4+ 5,2)+(4,8 + 6,3) = 6,2 +
+ (5,2 + 6,3);
в) а + Ь = с; (а + т) + (6 + л) = с + (т + л).
2. а) 5 + 4 = 9; (5 — 2) + (4 — 3) = 9 — (2 + 3);
б) 12,46 + 5,7 = 18,16; (12,46 — 2,3) + (5,7 — 3,8) =
= 18,16-(2,3+ 3,8);
в) а + b = с; (а — т) -f-(b — п) = с — (т + л).
3. а) 8+ 12 = 20; (8 + 5) + (12 — 4) = 20 +(5 — 4);
б) 5,7 + 6,8 = 12,5; (5,7 + 8,4) + (6,8 - 4,5) = 12,5 +
+ (8,4-4,3);
в) а + b = с",
если лг > л, то (а + т) + (Ь — п) = с + (т —л);
если л > т, то (а + tri) + (Ь — п) = с — (л — лг).
Изменение разности с изменением уменьшаемого и
вычитаемого:
1. а) 15 — 6 = 9; (15 + 3) — 6 = 9 + 3;
б) 7,5 —4,8 = 2,7; (7,5 + 1,5) —4,8 = 2,7 + 1,5;
в) а — b = с; (а + лг) — Ъ = с + т.
2. а) 21 — 8 = 13; 21 —(8 ± 3) = 13 + 3;
б) 12,4-7,6 = 4,8; 12,4 - (7,6 ± 3,1) = 4,8 + 3,1;
в) а — b = с; а — (Ь ± т) = с + т.
3. а) 18 —6= 12; (18 —4) —(6 — 2) = 12 —(4 —2),
б) 14,6 — 5,9 = 8,7; (14,6— 2,5)— (5,9 — 1,3) = 8,7 —
-(2,5-1,3);
в) а — b =с;
если т > л, то (а —/л) — (Ь — п) — с — (т — п);
если л > т, то (а — nt) — (b — л) — с — (п — т)
Изменение произведения с изменением сомножителей:
1. а) 3 • 5 = 15; (3 • 2) • (5 • 3) = 15 • (2 • 3);
6) 1,5 • 1,2 = 1,8; (1,5 • 4) • (1,2 • 3) = 1,8 • (4.3);
в) а • b = с; (а • т) • (Ь • п) — с • (т п).
2. а) 8 • 9 = 72; (8 : 4) • (9 : 3) = 72 : (4.3);
б) 9,5 • 2,4 = 22,8; (9,5 : 5) • (2,4 : 2) = 22,8 ; (5 • 2); '
в) а • Ь = с; (а : лг) • (b : ti) = с : (т • л).
15
3. a) 2 • 16 = 32; (2 • 4) • (16 : 2) = 32 • (4 : 2);
б) 4,8 • 6,4 = 30,72; (4,8 • 12) • (6,4 : 2) = 30,72 • (12 : 2);
в) а • Ь = с; (а • т) • (Ь : п) =« с • (т : п).
4. а) 9 • 7 == 63; (9 ± 5) • 7 = 63 ± (5 • 7);
б) 8,6 • 3,5 ~ 30,1; (8,6 ± 7) • 3,5 = 30,1 ± (3,5 • 7);
в) а • b = с\ (а ±т) • Ь = с ±(Ь • т) и т. д.
В процессе работы с математическими величинами и
их численными значениями необходимо выработать навык
оценки реальности значений величины. Если это не будет
сделано в младших классах, то и в старших классах при
решении текстовых задач методом составления уравнения
учащиеся иногда записывают ответы вида: 24,5 машины
или 13,7 человека. Рассмотрение допустимых значений ве-
личины, кроме этого, будет хорошей подготовкой для усвое-
ния в будущем понятия области определения функции.
При решении арифметических примеров необходимо
указывать на допустимые границы уменьшаемого, вычита-
емого и делителя в области тех чисел, с которыми уча-
щиеся знаКомы.
Каким должно быть число х в области целых поло-
жительных чисел, чтобы можно было выполнить указан-
ные действия: а) х 4- 2 = , б) х — 1 = , в) = ,
г) -у-= , д) х • 3 = . Когда будут изучены новые
числа: целые отрицательные, дробные положительные и
отрицательные и т. д., круг аналогичных вопросов может
быть значительно расширен.
Не менее результативная работа по определению до-
пустимых значений величины может быть проведена и при
решении текстовых задач. Конкретное условие задачи явля-
ется основанием для установления реальных (конечно, не
точных) границ изменения величины. Например, если в
задаче идет речь о числе необходимых машин для пере-
возки груза, то учащийся должен уметь выяснить, что
число искомых. машин должно быть целое; затем, исходя
из величины груза, он должен установить возможные гра-
ницы изменения искомой величины и т. д. Позднее
(VI класс) учащиеся точно таким же методом будут уста-
навливать границы изменения переменной и область до-
пустимых значений функции.
Предложенная система работы по пропедевтике идеи
функции на арифметическом материале далеко не полная,
16
однако и она показывает, что в начальной школе можно
систематически проводить мысль о величине и ее изменя-
емости, о соответствии одних величин другим и т. п.
Такое изучение математики в I — IV классах будет не
только пропедевтикой понятия функции, а следовательно
и математических отношений, но оно будет способство-
вать приобретению умения находить основные связи меж-
ду величинами и их численными значениями.
Упражнения для II — III классов, с помощью которых
можно готовить учащихся к пониманию идеи изменения.
1. В первый день школьники до обеда собрали 50 кг
орехов и после обеда еще 35 кг. Во второй день до обе-
да было собрано 50 кг орехов и после обеда еще 45 кг.
Не решая задачи, сказать, в первый или во второй день
было собрано орехов больше и на сколько?
2, Вчера в магазин привезли 4 ящика конфет по Юка
в каждом ящике. Сегодня привезли таких же ящиков в
2 раза больше, чем вчера. Во сколько раз сегодня кон-
фет привезли больше, чем вчера? Решить задачу для слу-
чая, если сегодня привезли ящики по 12 кг конфет в
каждом.
3. В первый месяц ученик купил 15 тетрадей и израс-
ходовал из них 12. Во второй месяц он купил 18 тетра-,
дей, а израсходовал снова 12 тетрадей. В который месяц
у ученика осталось больше тетрадей и на сколько? Отве-
тить на вопрос задачи, не производя вычислений. Можно
ли таким же образом ответить на вопрос задачи, если во
второй раз ученик израсходовал 14 тетрадей?
4. На заводе были изготовлены две партии станков:
одна из 40 станков, а другая из 80 станков.' Каждый день
выпускалось по 10 станков. На изготовление какой
партии станков потребовалось больше дней и во сколь-
ко раз?
5. а) В классе 39 человек: 16 мальчиков и х девочек.
Чему может быть равно х?
б) В классе 39 человек, но мальчиков на 2 больше,
чем в условии задачи а). Как изменилось значение х по
сравнению с его значением в задаче а)?
в) Всего в классе 39 человек, но мальчиков на 2
меньше, чем в условии задачи а). Как изменилось значе-
ние х по сравнению с его значением в задаче а)?
Упражнения для III — IV классов, с помощью кото-
рых можно изучать измеряемость величины.
17
10. Составить таблицу чисел и соответствующих им
процентов.
Числа 1 2 5 10 23 0,5 0,12
Проценты 100
§ 2. Метод координат
Современный стабильный задачник и учебник по ал-
гебре да и существующая методическая литература вы-
сказывают рекомендации о первоначальном знакомстве с
предметом алгебры на аналитической основе. И лишь в
VII классе предлагается изучать координатный метод и
давать отдельным алгебраическим выражениям геометри-
ческую интерпретацию. Существующее положение было
бы оправдано, если бы к школьному курсу алгебры под-
ходили только как к предмету о системах объектов и
конечных операций над ними. Школьный курс алгебры не
носит такого характера, поэтому операции алгебры должны
рассматриваться и как средство преобразования и упро-
щения аналитического вида функций, отображающих реаль-
ную сущность явлений. А идея функции в свою очередь
немыслима без геометрического толкования. Таков один из
критериев введения на ранних этапах обучения математике
начальных элементов координатного метода. На основе дан-
ных экспериментальной и опытной проверки можно сделать
вывод, что идея функции должна пронизывать и курс ариф-
метики, поэтому введение начальных элементов коорди-
натного метода в III — IV классах вполне оправдано, и
многие понятия арифметики (целое число, дробь, задачи
на движение и т. п.) могут быть значительно проще изу-
чены с помощью числовой оси и системы координат.
Практика показывает, что не следует стремиться на
ранних этапах обучения алгебре (III — V классы) к опера-
циям над символами (числа, буквы), так как это не пред-
ставляет основной трудности. Не имея под собой содер-
жательного начала (смыслового, наглядного и т. п.), опе-
рации быстро сводятся к чисто формальным преобразова-
ниям. Поскольку чувственное и логическое восприятие у
20
подростков развивается неравномерно, то следует содер-
жательно (чувственно) развивать логическое. Геометричес-
кий образ (наглядный образ) дает содержательный мате-
риал для развития обобщений и абстракций.
Чтобы познакомить учащихся с координатной плос-
костью, необходимы хотя бы первоначальные сведения о
целых числах.
Целые числа
Множество целых чисел состоит из множества нату-
ральных чисел, нуля и множества целых отрицательных
чисел.. С помощью группы конкретных задач можно ввес-
ти понятие отрицательного числа.
1. Отряд вышел из лагеря и прошел 3 км. Где он
сейчас находится?
Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо знать
направление, в котором движется отряд: на юг, на север,
на юго-запад и т. п. Если отряд идет на север, то услов-
но его местонахождение можно обозначить следующим
образом: с—3 км1.
2. Температура воздуха изменилась на 5 градусов по
сравнению со вчерашней. Как изменилась температура?
Для ответа на вопрос задачи не достает данных. Не
указано, теплее стало на 5 градусов или холоднее. Если
потеплело на 5 градусов, то условно запишем: т — 5О1,
если похолодало, то х — 501.
3. Пароход проплывает вверх по реке от станции К
3 км и останавливается, затем проплывает еще 2 км.
Указать местонахождение парохода.
Опять для ответа необходимо знать направление по-
следующего движения парохода: вверх или вниз. Если
пароход прошел еще 2 ос вверх, то обозначим: в — 2 км,
если вниз, то н — 2 км.
Предлагая другие аналогичные задачи, убеждаемся,
что должны будем с каждой новой задачей вводить но-
вые буквы перед числами, чтобы с их помощью харак-
теризовать реальное положение вещей. Но в действитель-
ности так не поступают.
Например, температуру ниже нуля, то есть холод, за- * 3
1 Обозначения с — 3 км, т — 5°, х — 5° следует читать «на север
3 /си», «тепла 5°», «холода 5°».
21
писывают со значком «—» (минус) и говорят: темпера-
тура — 2° (минус 2 градуса). Температуру выше нуля, то
есть тепло, записывают со знаком « + » (плюс) и говорят:
температура 4-10° (плюс десять градусов). Аналогично
можно записать и местонахождение отряда в первой задаче.
Движение на юг обозначим со знаком «+», а на север —
со знаком «—». В задаче движение парохода вверх обо-
значим со знаком «+», вниз — со знаком «—».
Обычно одно направление принимается за положитель-
ное и характеризуется положительными числами, то есть
со знаком «4-», которые мы уже раньше изучали, тогда
для характеристики противоположного понятия вводятся
новые числа — отрицательные, которые перед собой имеют
знак «—»: —5, —3, —6 и т, д.
Из рассмотренных примеров не трудно заметить, что по-
ложительные целые числа и натуральные числа это одно
и то же множество целых положительных чисел, но для
противопоставления их отрицательным числам мы перед
ними иногда будем ставить знак «+». Число 0 (нуль) не
положительное и не отрицательное.
Числовая ось
Для наглядного изображения числа, а следовательно и
более осмысленного восприятия, можно воспользоваться
числовой прямой. Понятие «числовой луч» может быть
введено в IV классе, в V классе в связи с изучением
отрицательных чисел можно дать и понятие «числовая
ось». Числовую ось можно получить следующим образом.
На произвольной прямой отметим любую точку, обо-
значим ее буквой О и пусть она соответствует числу 0
(рис. 1). Затем вправо от этой точки с помощью опреде-
ленной единицы масштаба будем откладывать отрезки.
В конце первого отрезка поставим цифру 1, в конце вто-
рого— 2, третьего — Зи т. п. Таким образом, вправо от 0
на прямой будем отмечать все ранее известные целые по-
ложительные числа. Влево от 0 можно аналогично отме-
чать вес отрицательные числа.
-2 -7 О
Рис. 1.
22
Иногда на прямой, где отмечены числа, указывают на-
правление (рис. 2).
Рис. 2.
Стрелка показывает, в какую сторону от 0 следует
отмечать положительные числа. Тогда в противоположную
сторону от 0 отмечаются отрицательные числа. Стрелка
может указывать направление и слева направо и, наобо-
рот, справа налево, но в практике обычно принято первое
направление, указанное на нашем чертеже.
Прямая, на которой указано начало отсчета чисел, на-
правление отсчета положительных чисел и имеется едини-
ца масштаба, называется числовой прямой (осью) (рис. 3).
Л А В .0
» » • • »
-2 0 12 3 4
Рис. 3.
На числовой прямой, учитывая данный масштаб, опре-
деленным точкам соответствуют определенные числа. На-
пример, точке А соответствует число 4- 2, точке В — чи-
сло 4- 3, точке D — число + 4, точке К — число — 2 и
т. д. (рис. 3). И наоборот, каждому целому числу соот-
ветствует определенная точка данной числовой оси. На-
пример, числу 3 соответствует точка Л, числу — 1 со-
ответствует точка В и т. д. (рис. 4).
В ' А
Рис. 4,
Числовую ось можно плодотворно использовать при
изучении сравнения чисел. Ранее известное положение о
сравнении чисел очень хорошо может быть использовано
при сравнении отрицательных чисел. А именно, из двух
чисел то больше, которое расположено правее на числовой
оси, и то меньше, которое расположено левее на числовой
оси.
23
С помощью числовой оси облегчается объяснение ме-
ханизма сложения и вычитания чисел (положительных и
отрицательных) (рис. 5).
Рис. 5.
Так как числу на числовой оси соответствует отрезок,
то действия над числами можно объяснить как действия
над отрезками. Например, числу 4-.1 соответствует отре-
зок ОД, числу 4-3—отрезок ОС, числу —1—отрезок
ОЕ и т. п. Если требуется сложить числа 4-3 и 4-1,
то для этого надо сложить длины отрезков ОС и ОД.
В процессе сложения отрезок, равный сумме ОС 4- ОД, бу-
дет оканчиваться в точке, которой на числовой оси соот-
ветствует цифра 4~ 4. Действительно, 4- 14-3 = 4-4.
С помощью отрезков можно показать сложение любых
целых чисел. Допустим, нужно найти сумму чисел 4- 3 и
— 2. Отрезок 4 3 направлен слева направо, а отрезок
— 2 направлен справа налево. Сумму их можно получить,
если выполнять тот же механизм сложения отрезков толь-
ко с учетом направления, то есть от конца отрезка 4- 3
отложить отрезок —2, но направление его противополож-
ное по сравнению с отрезком 4- 3 (рис. 6). Точка D соот-
Рис. 6.
ветствует сумме отрезков +3 и —2, то есть это будет
4- 1. Аналогично можно показать сложение отрицательно-
го и положительного числа.
Действие вычитания целых чисел несколько сложнее
иллюстрируется с помощью числовой оси, однако тоже
возможно. Например, требуется от числа 4- 5 отнять число
4- 2, это значит от отрезка длиной в 5 единиц требуется
отнять отрезок длиной + 2, то есть фактически сложить
два отрезка разного направления. Механизм вычитания
24
целых чисел такой же, как и сложения, только к уменьшае-
мому прибавляется отрезок, противоположный вычитаемо-
му. Допустим, от числа — 4 требуется отнять число + 2,
это значит, что к числу —4 необходимо прибавить число
— 2, а действие сложения отрезков, соответствующих чи-
слам, уже учащимся известно.
Значительно сложнее объяснить действия умножения
и деления целых (положительных и отрицательных) чисел
с помощью числовой оси. Мы пока не нашли никакого
наглядного образа для иллюстрации механизма умноже-
ния и деления отрицательных чисел, поэтому правило
знаков при умножении и делении постулировали и пред-
ложили учащимся его запомнить. Только благодаря срав-
нительно большой тренировке учащиеся смогли научиться
правильно выполнять названные действия.
Хорошо изученная числовая ось значительно облегчает
введение координатной плоскости.
Координатная плоскость
При первоначальном знакомстве с координатной плос-
костью в V классе можно одновременно изучить две ос-
новные задачи координатной плоскости: нахождение ко-
ординат точки и построение точки по ее координатам.
Изучение свойств чисел с помощью числовой оси дол-
жно приучить учащихся к мысли, что для характеристи-
ки точки на числовой оси достаточно знание одного числа
с его знаком.
А если точка расположена не на числовой прямой?
Как в этом случае она может быть охарактеризована
числом?
Например, как определить положение города на плане,
положение электрической лампочки на потолке и т. д.
Из аналогичных примеров не трудно выяснить, что поло-
жение точки на плоскости не может быть охарактеризо-
вано одним числом. Для этого необходимы два числа,
определенным образом записанные. Чтобы ббъяснить
природу этой пары чисел, характеризующей положение
точки на плоскости, введем понятие координатной плос-
кости.
Координатная плоскость представляет собой плоскость,
на которой указаны две числовые оси, пересекающиеся в
нашем случае под прямым углом. Горизонтальная ось на-
25
зызается осью абсцисс или осью ОХ (иксов). Вертикальная
ось называется осью ординат или осью 0Y (игреков).
Вместе они называются осями координат. Точка О
есть начало системы координат. По оси абсцисс вправо
от начала координат отмечают положительные числа, вле-
во— отрицательные. По оси ординат вверх от начала ко-
ординат откладывают положительные числа, вниз — отри-
цательные.
Оси координат делят плоскость на четыре четверти,
называемые квадрантами. Четверти нумеруются римскими
цифрами в порядке, указан-
ном на рисунке 7.
Чтобы оха ра кте ризовать
числами, например, положе-
ние точки А на координат-
ной плоскости, достаточно из
точки А провести под прямым
углом к оси ОХ прямую до
- пересечения с осью ОХ. За-
тем провести такую же пря-
мую к оси OY. Точке, полу-
чившейся при пересечении
прямой AD с осью ОХ, со-
ответствует число, которое
называется абсциссой точки А. Точке, получившейся при
пересечении прямой АВ с осью OY, соответствует число,
которое называется ординатой точки А. Абсцисса и ордина-
та точки А называются координатами данной точки на ко-
ординатной плоскости.
Координаты точки условились записывать всегда в
определенном порядке. На первом месте в скобках после
названия точки записывают абсциссу точки, на втором —
ординату. В нашем примере точка А имеет координаты к
и у, и условно это записывается следующим образом
А(л; у).
Следовательно, чтобы охарактеризовать числами поло-
жение точки на координатной плоскости, надо определить
ее координаты, то есть из данной точки провести прямые
линии под прямым углом последовательно к осям ОХ и
OY и найти числа, соответствующие точкам пересечения
этих прямых с осями. Эта задача называется нахождени-
ем координат точки, данной на координатной плоскости.
Существует задача, обратная данной, когда по извест-
ие
ным координатам точки треоуется построить ее на коор-
динатной плоскости.
Например, дана точка К (— 3; 2). Построить ее на ко-
ординатной плоскости. Для этого на оси абсцисс находим
точку, которой соответствует число —3, и проводим из
нее прямую линию под прямым углом к оси ОХ. На оси
ординат находим точку, которой соответствует число 2,
и из нее тоже проводим прямую
лом к оси 0Y. Пересечение этих
прямых даст точку К (рис. 8).
Значит, пара чисел, записан’
ных в определенном порядке (на
первом месте абсцисса, а на
втором ордината), определяют
положение точки на плоскости.
Мы уже отмечали, что раннее
введение координатного метода
необходимо для иллюстрации
простейших математических от-
ношений, устанавливающих со-
линию под прямым уГ’
ответствие между двумя величи-
нами, когда эти величины переменные. Используя метод
координат, можно научить учащихся рассматривать любую
геометрическую фигуру как совокупность точек, удовле-
творяющих определенному правилу их построения.
Очевидно, на первых порах знакомства с понятием гра-
фика нет необходимости давать определение этого понятия,
тем более, что учащиеся еще не знакомы с понятием
функции. Но учителю надо иметь в виду, что определение
графика должно будет удовлетворять следующим требо-
ваниям:
1) Поскольку нет необходимости различать функцию и
ее график, то график может быть построен для любой
функции, множество пар которой можно установить.
2) При построении графика функции надо принимать
во внимание область определения функции.
Позднее, при изучении функций и их графиков в VI
классе может быть дано следующее определение графика
функции.
График функции — множество точек координатной плос-
кости, абсциссы которых есть значения аргумента, а орди-
наты — соответствующие значения функции, при этом значе-
ния абсцисс принадлежат области определения функции.
27
Начальному формированию понятия графика способ-
ствует параллельное рассмотрение непрерывных и прерыв-
ных графиков. Наряду с построением графиков движения,
изменения температуры и других непрерывных графиков
надо строить графики посещения библиотеки учащимися
в соответствии с отведенными им днями, график соответ-
ствия ряда натуральных чисел количеству простых чи-
сел и др.
Например, для построения графика, устанавливающего
соответствие между натуральным числом и соответствую-
щим ему количеством простых чисел, составляется табли-
ца простых чисел.
Составим таблицу простых чисел, не превосходящих,
например, 40.
2 7 17 29
3 11 19 31
5 13 23 37
Пользуясь данной таблицей, не трудно установить,
сколько простых чисел предшествует какому-либо нату-
ральному числу. Например, перед числом 3 одно простое
число 2, перед числом 4 — два простых числа 2 и 3 и т. п.
График этого соответствия представляет собой мно-
жество точек, построенных на основе установленного от-
ношения.
На оси ОХ откладываем значения натуральных чисел,
на оси ОУ — число, показывающее, сколько простых чи-
сел предшествует данному натуральному числу (рис. 9,
9
д
7
6
5
О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 19 16 17 X
Рис. 9.
28
масштаб: OX — 5 мм--одно натуральное число, 0Y —
5 мм * * количество простых чисел)1.
Построение такого графика, кроме повторения целого
ряда вопросов из арифметики, способствует усвоению пра-
вильного понимания самого понятия графика.
В дальнейшем, при изучении различных функции и их
свойств, надо периодически обращаться к построению гра-
фиков дискретных функций. Такая работа нужна для то-
го, чтобы у учащихся не сложилось неверное представ-
ление о графике функции, как только о непрерывной
линии.
Формирование начальных основ графической грамотно-
сти можно осуществлять с помощью упражнений.
Упражнения для V класса, с помощью которых мож-
но вводить числовую ось.
1. Объяснить смысл предложения: «Сегодня днем тем-
пература + 15 градусов; —3 градуса; 0 градусов;
— 7 градусов».
2. Придумать два предложения, содержащих отрица-
тельные числа, и разъяснить их смысл.
3. Показать на модели термометра, где будет нахо-
диться верхний конец ртутного столба, если температура
выражается числами: —10°; —3°; +40°; 0°; + 12°.
4. Отметьте на числовой оси точки, соответствующие
числам: —3; + 2; +8; —6. Какие целые числа нахо-
дятся между числами 4- 8 и — 6?
5. Отметьте на числовой оси числа: 0; +3; —5; —3;
+ 8; —7; + 1; —2; — 1. Сравните числа: а) 0 и + 3,
б) — 2 и +3, в) +1 и +8, г) 0 и + 5, д) — 7 и
+ 1, е) —5 и —3, ж) +8 и 0, з) +1 и +10,
И) —7 и 0.
6. Расположите числа +9; —40; —15;. 0; + 1; —7;
+ 7; —9 в порядке возрастания, пользуясь при этом
знаком неравенства.
7) Расположите числа — 1;+ 9; +4; — 12; —5; +10;
— 3; —9 в порядке убывания, пользуясь при этом зна-
ком неравенства.
Упражнения для V класса, с помощью которых можно
вводить координатную плоскость.
1 В данном и последующих примерах с координатной плоскостью
масштаб будет указываться для каждого случая отдельно.
29
1, На числовой оси отметьте точку М (—2). Укажите
на этой оси две точки Л и В, расположенные от точки
М на расстоянии трех единиц. Чему равны координаты
точек Л и В?
2. Не изображая точек на числовой оси, скажите, ка-
кая из двух точек расположена правее: А (—3) или
В (—4), А(3) или В (4), А (—4) или В (3), Л (3) или
В (—4), а потом покажите на чертеже.
3. Изобразите на числовой оси точки Л (1) и В (—3).
Найдите середину отрезка АВ, запишите ее координату.
Рис. ю.
зо
4. На числовой оси даны две точки А (—3) и В (—8).
Найдите расстояние между этими точками и координату
середины отрезка.
5. Дана числовая ось (рис. 10). Найти: а) числа, соот-
ветствующие точкам А, В, С, D\ б) длины отрезков ОД,
АВ, DC в единицах масштаба.
6. а) На оси OY взята точка с координатой —5. Ка-
ковы ее координаты на плоскости? б) На оси ОХ взята
точка с координатой 6. Каковы ее координаты на плос-
кости?
7. Дана координатная систеАма (рис. 11). Назовите ко-
ординаты точек, указанных в координатной системе.
8. Построить точки А (2; 3),
В (2; 2), С (2; 0), D (2; -1),
Е (2; —2). Как располо-
жены построенные точки?
Как будут расположены точ-
ки, если они имеют одинако-
вые ординаты?
9. Закрасьте цветным ка-
рандашом ту часть координат-
X ной плоскости, где лежат точ-
ки, имеющие: а) абсциссу,
большую 3, ординату, мень-
шую— 2; б) абсциссу, мень-
шую 5, но большую 1, ор-
динату, большую —10, но меньшую 5; в) абсциссу х = 4
и ординату у == 4.
10. Изобразите на координатной плоскости точки
А (4; 1), В (3; 5), С (-— 1; 4) и D (0; 0). Соедините после-
довательно полученные точки. Какая фигура у вас полу-
чилась? Какова длина ее стороны? Найдите координаты
середин сторон полученной фигуры. Возьмите на коорди-
натной плоскости четыре точки (укажите их координаты)
так, чтобы они служили вершинами квадрата.
11. Электропоезд прошел 420 кль Определить по гра-
фику, сколько часов он был в пути (рис. 12, масштаб:
ОХ— 0,5 см «--* 1 ч; OY—0,5 см <-* 50 км).
а) Электропоезд шел 2 ч. Определить по графику, ка-
кой путь он прошел за это время.
б) На графике движения электропоезда указана точка
А. Что можно определить с помощью координат этой
точки?
12. Дан график движения самолета. Можно ли по
графику установить, какой путь пролетел самолет за
2 часа? Как определить время движения самолета, если
он пролетел расстояние 1000 км (рис. 13, масштаб: Ot —
1 см<—>1 ч, OS — 0,5 см<— >250 км).
31
13. Можно ли поставить все числа на координатных
осях координатной плоскости, имея только те данные, ко-
торые указаны на рисунке 14.
14. Можно ли что-либо определить по приведенному
на рисунке 15 графику движения?
15. На координатной плоскости дана точка А (2; 5).
Постройте новую точку Дх, ордината которой больше на
две единицы, чем ордината данной, а абсцисса прежняя.
Какое положение на плоскости занимает точка А отно-
сительно точки Д?
16. Точку В(0; —4) переместить по оси ординат на
4 единицы вверх. Записать координаты нового положе-
ния точки В.
17. Точку Д(—3; —2) переместить вправо параллель-
но оси абсцисс на 2 единицы и затем опустить вниз па-
раллельно оси ординат на 2 единицы. Записать коорди-
наты нового положения точки Д.
Рис. 14.
18. Построить точки так, чтобы их координаты удов-
летворяли равенствам: а) х — у, б) у = —х, г) у == х + 2.
19. Где на координатной плоскости лежат точки, если
известно, что:
а) ординаты каждой из них больше 5, но меньше 7;
б) ординаты каждой из них равны по абсолютной ве-
личине, а абсциссы имеют противоположные знаки.
20. Какому условию должны удовлетворять координа-
ты точки:
а) лежащей на биссектрисе I и III координатных углов;
б) лежащей на биссектрисе II и IV координатных углов.
32
- '21. Записать координаты точек, отмеченных на пря-
мей, в таблицу (рис. 16, масштаб: ОХ— 1 мм-- 1; OY —
1 мм — — 1).
22. На координатной плоскости изображен график из-
менения температуры воздуха в течение суток. Определить
°; Ot —
по гр
1 мм
(рис. 17, масштаб: 0t°—
а) самую высокую (низкую) температуру суток и в какое
время ее наблюдали; б) в какой промежуток времени
температура повышалась (понижалась); в) с какой темпе-
ратуры началось повышение; г) была ли температура ни-
23. Пешеход шел со скоростью 4 км в час. Какое рас-
стояние он пройдет за 2 часа? 3 часа? 4 часа? 5 часов?
Постройте график движения пешехода.
1'8. Конечные множества
, Великим достижением математики конца XIX и нача-
ла XX века является обоснование математики на основе
теории множеств. «Теоретико-множественная концепция не
> Зак. 260
33
только доставила основной в настоящее время стандарт
математической «строгости», но и позволила в значитель-
ной мере разобраться в разнообразии возможных матема-
тических теорий и их систематизировать... точка зрения
теории множеств себя вполне оправдала в том смысле,
что благодаря ее проведению из конкретных математичес-
ких исследований практически исчезли случаи длитель-
ных неясностей и разногласий по вопросу о корректности
определений и достаточной убедительности доказательств
отдельных теорем»1.
Школьный предмет математики не может оставаться
в стороне от прогрессивных достижений науки, прочно
составивших ее фундамент. Вопросы теории множеств в
школьном курсе математики тоже могут послужить тем
связующим звеном, которое необходимо в объединении
разнообразных его разделов и предметов и, главное, в
едином истолковании основных понятий математики.
Определение функции как соответствия между двумя
множествами и функциональный подход к различным по-
нятиям математики создает возможность единого идейного
истолкования школьного предмета математики вообще и
предмета алгебры в частности. Точечные преобразования
в геометрии как основа изучения свойств геометрических
фигур объединяют алгебру и геометрию на одной основе —
основе теории множеств.
Понимая научность и универсальность идеи множеств,
в последнее время ряд ученых Советского Союза и за ру-
бежом осуществляют введение в школьный курс матема-
тики отдельных вопросов теории множеств и целой сис-
темы математического образования на основе теории мно-
жеств.
Целесообразно к изучению отдельных понятий теории
множеств обращаться дважды: в IV классе дать понятие
о конечном множестве, основной символике и терминоло-
гий} в VIII классе познакомить с бесконечными множест-
вами при изучении действительных чисел.
Знакомстве с конечными множествами можно начать
с примеров:
Как можно назвать всех учащихся IV «А» класса?
Решение: группа, коллектив, класс, множество
и т. п.
БСЭ, т. 26, стр. 477.
34
Как можно назвать всех учащихся, перечисленных в
списке журнала вашего класса?
Решение: список, множество учащихся и т. п.
Какие примеры множеств есть у вас в классе? (Мно-
жество парт, множество портфелей, множество пионеров
и т. п.)
Привести примеры других известных учащимся мно-
жеств: множество домов в городе, множество деревьев в
лесу, множество книг на книжной полке или в библиоте-
ке и др. Рассмотрение примеров аналогичного содержа-
ния послужит основанием для введения термина «мно-
жество», характеризующего многое как единое.
Если множество содержит конечное число элементов,
то его называют конечным.
Например, множество деревьев в лесу конечно, а мно-
жество точек на окружности бесконечно. Множество мож-
но записать путем перечисления его элементов. Например,
М = {2, 4, 6, 8, 10).
Одновременно с понятием «множество» вводится поня-
тие «принадлежность элемента данному множеству». На-
пример, ученик К. из IV класса принадлежит множеству
учащихся IV класса или число 4 принадлежит множест-
ву натуральных чисел и т. д.
Всякое множество состоит из элементов. Например,
элементами множества парт в классе являются парты, эле-
ментами множества натурального ряда чисел являются це-
лые положительные числа и т. п.
Иногда вместо того чтобы употребить термин «принад-
лежит множеству» употребляют термин «является элемен-
том множества». Например, число 3 является элементом
множества натуральных чисел. Светлана К- принадлежит
множеству учащихся V класса.
Существует два способа задания множеств: перечисле-
ние элементов множества и описание правила, показываю-
щего принадлежность элементов рассматриваемому множе-
ству. Множество считается заданным, если перечислены все
его элементы. Этот способ задания множеств применим
только для конечных множеств. ‘
Например, дано множество чисел {2, 5, 7, 11}. Об
этом множестве можно сказать, что оно состоит из 4 эле-
ментов, которые перечислены. Или, например, конечное
множество учащихся {Светлана К., Володя Я., Игорь Р.,
Сережа М., Ирина Р.) задано перечислением его элемен-
£*
35
тов. Если же назвать множество учащихся V класса, по-
сещающих кружок «Юный математик», то тем самым бу-
дет указано характеристическое свойство данного мно-
жества и будет' ясно, как с его помощью можно опреде-
лить, кто из учащихся V класса принадлежит рассматри-
ваемому множеству, а кто нет. Условно принадлежность
элемента множеству обозначается значком £; поэтому,
если число 15 принадлежит множеству М = {1, 2, 3, 4,
5,..., 40}, то это можно записать следующим образом:
15
О двух конечных множествах можно говорить, что
они равны, если они состоят из одних и тех же элемен-
тов. О равных множествах можно говорить, что это оди-
наковые множества. Если же два конечных множества не
равны, то либо в первом есть элементы, не принадлежа-
щие второму множеству, либо наоборот. Например,
{1, 2, 3, 4}^{1, 2, 4} или {3, 5, 7} {4, 5, 7), но
3, 4, 5, 7} = (7, 5, 4, 3}, то есть порядок расположения
элементов в заданных множествах не влияет на условие
равенства, если оба множества состоят из одних и тех
же элементов. При этом надо заметить, что во множе-
стве не должно быть одинаковых элементов. Нельзя за-
писать, что дано множество (2, 8, 3, 7, 9, 7, 4}, сле-
дует записать {2, 8, 3, 7, 9, 4). Например, множество
простых делителей числа 60 будет {2, 3, 5}, но не
{2, 2, 3, 5}.
Понятия пустого и единичного множеств трудны для
сознательного усвоения учащимися, однако эта трудность
вполне преодолима, если указать отличие единичного
множества от одного элемента множества.
Множество, не содержащее ни одного элемента, назы-
вается пустым множеством. Все пустые множества рав-
ны между собой. Необходимость введения такого мно-
жества можно объяснить хотя бы тем, что, задавая мно-
жество характеристическим свойством его элементов, мы
не знаем заранее, существует ли хоть один элемент, об-
ладающий этим свойством. Например, говоря о множест-
ве корней уравнения в определенной области чисел, мы
не могли бы высказать этого утверждения, не решив пер-
воначально уравнения. Наличие же пустого множества
избавляет нас от этого.
Множество, состоящее из одного элемента, называется
единичным множеством. Надо различать одноэлемент-
36
ное множество {5}, элементом которого является одно
натуральное число 5, и сам элемент, в нашем примере
число 5. О множестве можно говорить, что оно одноэле-
ментно, двух-, трех- и т. д. элементно; конечное или
бесконечное; пустое или непустое. 5 — это число и поэ-
тому о нем нельзя сказать, что оно одноэлементное, о
нем можно сказать, что оно четное или нечетное, простое
или составное и т. п.
Введение же пустого и единичного множеств значи-
тельно упрощает всю теорию множеств, придает строй-
ность доказательству ее теорем и выводов.
Все предлагаемые здесь вопросы теории множеств мо-
гут быть изучены с помощью упражнений, связывающих
ранее изученные вопросы из арифметики с Новыми поня-
тиями из теории множеств. При этом надо заметить, что
вопросы теории множеств, которые предлагается изучать
в IV классе, кажутся на' первый взгляд простыми. Но в
то же время они заключают в себе сравнительно боль-
шую степень обобщения для учащихся этого возраста
Поэтому первые упражнения должны быть практически
применимые. После того как теоретическая сущность во-
проса будет ясна, можно дать небольшое число примеров
с формальным содержанием, но с какой-либо интересной
операцией.
1. Имеется множество фамилий учащихся вашего клас-
са. Укажите характеристический признак элементов, при-
надлежащих данному множеству.
2. Назвать несколько элементов множеств: а) множест-
ва учащихся вашей школы, б) множества окон с южной
стороны школы, в) множества деревьев в саду школы.
Указать в каждом. случае способ задания множества.
3. Отметить на числовой оси точки, соответствующие
натуральным числам, меньшим 7; натуральным числам,
меньшим 2; натуральным числам, меньшим 1. Назвать и
записать в каждом случае множество чисел.
4. Записать путем перечисления элементов множество
натуральных чисел, не больших 12. Чему равно число
элементов этого множества?
5. Изобразите на числовой оси множество чисел, не
больших 40, но больших 25. Какое это будет множество
чисел? Сосчитать и записать числа, принадлежащие это-
му множеству.
6. Какое множество целых чисел находится между
37
числами: а) —3 и 3; б) 0 и 1,9; в) —2,5 и —0,6? От-
метьте на числовой оси полученные множества целых
чисел.
7. Назовите множество учащихся вашего класса и
множество мест за партами в вашем классе. Будут ли
учащиеся вашего класса и места за партами находиться
в однозначном соответствии?
8. Назовите множество фамилий из списка журнала
вашего класса и множество учащихся, находящихся сей-
час в классе. Будут ли эти множества в однозначном со-
ответствии? Когда это соответствие нарушается?
9. Назовите множество учеников, стоящих в шеренге
между третьим и восьмым включительно и множество
учеников между одиннадцатым и восемнадцатым, не вклю-
чая крайних. Какие получились множества чисел?
§ 4. Буквенная символика
Использование буквенной символики при работе по но-
вой программе предлагается начинать с I класса. До
IV класса буква как математический символ принимается
в качестве неизвестного компонента действия. По новой
программе в IV классе буква рассматривается как мате-
матический символ переменной.
Несмотря на то что буква как математический символ
вводится в I классе, все-таки основное внимание в на-
чальной школе должно быть направлено на работу с чис-
лом, на вычисления, на расчеты. Буква как математичес-
кий символ привлекается только в тех случаях, где тре-
буется подчеркнуть общность математических отношений
для различных чисел. Основная работа в этих классах
проводится в направлении накапливания фактов, различ-
ных видов простейших зависимостей (математических от-
ношений) и способов их нахождения, а также записи раз-
личных математических отношений — словесных, число-
вых и буквенных формул, таблиц, диаграмм и др. Кроме
того, большое внимание уделяется выяснению идей изме-
нения, зависимости и соответствия.
Формирование сознательного использования буквенной
символики в I—V классах необходимо вести в двух на-
правлениях: 1) в направлении получения более высокой
38
степени абстракции, позволяющей глубже изучать свойст-
ва математических отношений, а следовательно, и свойст-
ва реальных процессов; 2) в направлении выяснения со-
держания буквы как математического символа по отноше-
нию к ранее известным математическим символамчис-
лам.
Проводя работу в первом направлении, надо показать
учащимся, что на определенном уровне развития науки
необходимо было отвлечься от конкретных особенностей
предметов и явлений и рассматривать в каждой науке
только ей присущие свойства, для математики, например,
сравнимость, аддитивность и др. Необходимо учащихся
подвести к выводу, что для более глубокого изучения
только математических свойств и отношений между явле-
ниями действительности надо отказаться от ряда конкрет-
ных и ненужных для математики свойств предметов и яв-
лений, в том числе и от количественной (числовой) ха-
рактеристики. Аналогично мы поступили уже однажды,
когда от конкретных величин с их физическими, хими-
ческими свойствами перешли к числам (математическим
характеристикам величин).
В процессе развития математики и обучения учащихся
основным для математики стала не только и не столько
числовая характеристика величины или результат счета
предметов, сколько те математические отношения, в ко-
торых находятся значения величин — числа. Кроме того,
предметом изучения науки математики стали не только
числа (математические характеристики величин и резуль-
тат счета предметов), но и другие произвольные объекты,
предметы, геометрические фигуры, математические предло-
жения и т. п. Чтобы выяснению математических отноше-
ний между произвольными объектами, предметами, матема-
тическими предложениями и т. п. не мешали их конкрет-
ные количественные характеристики, последние можно за-
менить любым произвольным символом. Таким символом
избрали в алгебре в основном буквы латинского алфавита.
Чтобы подвести учащихся к этому выводу, можно рас-
смотреть несколько примеров.
Первая группа примеров.
1. Турист идет со скоростью 5 км в час в течение
2 ч. Какой он пройдет путь? (Решение. Путь = ско-
рость х время = 5 - 2 = 10.)
2. Паровоз идет со скоростью 45 км в час в течение
39
4 ч. Какой путь он пройдет? (Решение. Путь — ско-
рость х время = 45 • 4 = 180.)
3. Чему будет равно произведение чисел 2,4 и 0,5?
(Решение. Произведение = 2,4 -0,5=1,2.)
4. Сколько стоит 3 кг хлеба по цене 14 коп. за ки-
лограмм? (Решение. Стоимость = цена единицы х коли-
чество килограммов =14*3 = 42.)
Вывод. Совершенно различные понятия (путь турис-
та, путь паровоза, стоимость, произведение) возможно оп-
ределить с помощью одного и того же математического
действия. Различные величины: скорость и время, множи-
мое и множитель, единица товара и количество товара
находятся в одинаковом, с точки зрения математики, от-
ношении друг к другу. Для изучения свойств этого от-
ношения совершенно неважно, что находится в таком от-
ношении: путь и время или стоимость хлеба и его коли-
чество. Важно только, в каком математическом отноше-
нии они находятся. В дальнейшем, когда свойства опре-
деленных отношений будут изучены, эти свойства можно
будет применять к реальной действительности, но в про-
цессе выяснения свойств нет необходимости иметь дело
с конкретными объектами, так как индивидуальные свой-
ства объектов никакой роли не играют для выяснения
свойств математического отношения.
Вторая группа примеров.
1. Турист идет со скоростью 4 км в час в течение
2 ч. Какое расстояние он пройдет? (Решение. Расстоя-
ние = скорость х время = 4-2 — 8.)
2. Турист шел со скоростью 4 км в час в течение
1,5 ч, затем увеличил скорость и в течение 0,5 ч шел со
скоростью 5 о в час. Какое расстояние он прошел? (Ре-
шение. Расстояние = 1-я скорость х 1-е время -|-2-я ско-
рость х 2-е время = 4 • 1,5 + 5 • 0,5 = 8,5.)
3. Турист шел в одном направлении со скоростью 4 км
в час в течение 3 ч, затем повернул обратно по той же
дороге, но со скоростью 4,5 км в час, и шел в течение
1,2 ч. На каком расстоянии он будет находиться от того
места, из которого первоначально вышел? (Решение.
Расстояние = 1-я скорость х 1-е время — 2-я скорость X
X 2-е время = 4 3— 4,5 • 1,2= 12 — 5,4 = 6,6.)
Вывод. Одни и те же величины (расстояние, ско-
рость, время) при различном движении находятся в раз-
личных математических отношениях. Особенность этого
40
отношения зависит от характера движения, а не от числен-
ного значения величин скорости и времени. Чтобы изу-
чить эти отношения более глубоко, совсем не обязательно
каждый раз писать словесные или числовые формулы.
Если обозначить данные в задачах величины какими-то
определенными символами, которые не несут на себе ни
количественной, ни качественной характеристики, то ма-
тематическое отношение становится более ясным и более
доступным для изучения.
Например, выражения вида: S = vt; . S = 4- v2f2i
— v2t2 более доступны для изучения отношения
между величинами задачи, чем выражения: 4-2 = 8;
4- 1,5 + 5 -0,5 = 8,5; 4-3 — 4,5- 1,2 = 6,6.
Третья группа примеров.
1. На школьной вешалке висят М пальто. Пальто Ми-
ши К. тоже висит на этой вешалке. Как записать, что
пальто Миши К. принадлежит множеству пальто, вися-
щих на вешалке в школе? (Решение. Обозначим паль-
то Миши К. буквой а, тогда а£М.)
2. Как записать, что число 3 принадлежит множеству
натуральных чисел N. (Решение. 3£ЛЛ)
Вывод. Для различных множеств, независимо от
конкретных свойств элементов множеств, существует еди-
ная запись принадлежности элементов множества своему
множеству.
После рассмотрения приведенных групп примеров и
выводов из них можно сделать следующее обобщение:
для общности суждений и более глубокого изучения
свойств и законов математических отношений между чис-
ленными значениями величин, элементами множеств, ма-
тематическими предложениями и т. п. нет необходимости
в каждом конкретном случае количественно различные
понятия называть собственными именами, их можно обо-
значить условными символами — буквами.
Это один из способов методического обоснования вве-
дения буквенной символики в преподавании математики.
Более трудным с методической точки зрения является
вопрос о природе буквы по отношению к ранее изучен-
ным понятиям — числам, величинам.
При использовании буквы как математического симво-
ла в уравнениях и при записи обобщающих положений
(арифметических законов, общего правила изменения ком-
понентов и результатов действия) к понятию буквенной
41
символики учащиеся подходили на основании простой
аналогии: сначала буква была числом, в первом случае
конкретным, во втором — любым. Затем буква нашла при-
менение в другом случае, в формуле,, для выражения со-
ответствия между переменными, то есть она (буква) те-
перь стала символизировать переменную. Например:
1. Велосипедист двигается со средней скоростью 12 км в
час. Какой путь он пройдет за 2 часа? за 3 часа? за 4 ча-
са? за 5 часов? за 6 часов? за t часов?
Решение. = 12 • 2 — 24,
S3 = 12 -4 = 48,
S4 = 12 • 5 = 60,
S5 = 12 • 6 = 72,
St = 12 • t = 12/.
Какое значение может принимать t в формуле S =*
= 12/?
2. На покупку тетрадей имеется 2 руб. Сколько мож-
но купить тетрадей, если одна тетрадь стоит 2 коп.»
8 коп., 25 коп., и коп.?
г* 200
Решение. с1 = -^-==100,
200
200 q
С3 = 25 = 8*
В первом примере, если руководствоваться только вы-
полнимостью математической операции 12 • /, то / может
принимать любые значения и вместо / можно поставить
любое положительное или отрицательное число. Если же
руководствоваться реальным смыслом задачи, то / не мо-
жет быть очень большим числом и не может быть отри?
дательным числом. Например, / = 2 млн. часов — нере-
альное значение для / в данной задаче.
Во втором примере даже сама математическая опера-
ция (деление) накладывает ограничение на выбор п.
Прежде всего п не может быть равно нулю. Затем, учи-
тывая реальный смысл задачи, и не может быть отрица-
тельным числом.
42
Итак, в наших примерах буква уже не любое произ-
вольное число, как было в примерах с обобщением ариф-
метических законов, и не одно определенное число, как
в случае линейных уравнений.
В названных примерах буква есть символ переменной.
Это новое понятие довольно трудное для понимания уча-
щимися IV класса, поэтому надо приложить максимум
усилий для доступного изложения этого понятия.
В отличие от переменных в математике еще рассмат-
риваются постоянные (константы). Постоянная — есть впол-
не определенный элемент любого множества.
Например, во множестве {3, 5, 7, 11} константы бу-
дут числа 3, 5, 7, 11, то есть постоянная определяет имя
каждого элемента множества. Если рассмотреть непре-
рывный процесс изменения каких-то величин, то одни из
них в рассматриваемом процессе меняются, то есть полу-
чают различные числовые значения, другие остаются не-
изменными. Те величины, которые во время протекания
процесса не меняют своего значения, и есть постоянные
величины.
Переменная же есть такой символ, содержание кото-
рого аналогично содержанию константы, но только в от-
личие от последней она принимает различные значения.
С понятием переменной неразрывно связана область прини-
маемых ею значений. Множество принимаемых значений
переменной может быть пустым, конечным и бесконечным.
Следовательно, к моменту систематического использования
буквы как математического символа учащиеся должны
отчетливо представлять, что буква как символ перемен-
ной в линейных уравнениях принимает одно определен^
ное значение (приемы установления области определения
этой переменной будут рассмотрены ниже); в тождестве —
это любое число; в формуле, устанавливающей соответст-
вие между переменными,—это определенное значение из
области допустимых значений.
В процессе формирования понятия переменной необхо-
димо эту мысль постоянно подчеркивать и формировать
понимание переменной только вместе с областью ее опре-
деления.
Упражнения для введения буквенной символики.
1. Пешеход идет со скоростью 5 км в час. Какое рас-
стояние он пройдет за 2 часа? за 3 часа? за 4 часа? за
5 часов? за t часов? Обозначить путь, пройденный пеше-
43
ходом, буквой S и вычислить его для каждого случая.
Построить график движения пешехода.
2. Тетрадь стоит 2 коп. Сколько будет стоить п тет-
радей? Обозначить стоимость п тетрадей буквой с и напи-
сать формулу стоимости. Вычислить по этой формуле сто-
имость 5 тетрадей, 7 тетрадей, 10 тетрадей. Построить
график соответствия между отдельными значениями коли-
чества тетрадей и их стоимостью.
3. Составить таблицу множеств значений давления
лыжника, соответствующих приведенному множеству зна-
чений его веса, если площадь лыж была неизменно равной
36 кв. дм.
Вес 35 37 40 45' 48 50 « 55
Давление ч
а) На основании данных таблицы записать формулу
соответствия давления лыжника и его веса при неизмен-
ной площади опоры.
б) Проследить, как изменяется давление лыжника при
увеличении веса по графику.
в) В каких границах, учитывая реальные возможности,
может изменяться значение веса и давления.
4. Составить таблицу значений давления лыжника, соот-
ветствующих приведенному значению площадей лыж, если
вес лыжника неизменно равен 44 кг,
Давление
Площадь 20 24 25 30 32 34 36 40
а) На основании таблицы записать формулу соответст-
вия давления лыжника и площади опоры при неизменном
весе.
б) Нанести данные таблицы на координатную плоскость
и проследить по графику, как изменяется давление лыж-
ника при изменении площади опоры.
44
5. При посеве кукурузы на гектар высевают 0,8 ц
(при всхожести 96%). Написать формулу для вычисления
веса высеваемой кукурузы на а гектарах.
а) Составить таблицу значений веса высеваемой куку-
рузы и соответствующего множества значений площади.
Площадь (а) 3 4 5 6 7 8 9
Вес кукурузы (Р)
б) Построить график соответствия указанных множеств,
в) Может 'ли а принимать отрицательные значения?
г) Каков характер изменения Р с изменением а?
6. Завод выпустил за t дней Р тонн продукции, что
на т тонн выше планового задания. Что при этих уело-
Р t Р — mt-.
виях обозначают выражения: —; -р-; —
k
7. Будут ли целыми или дробными числа: ЗА; -у;
0,26m; 189а; а + Ь • При каких значениях букв на-
званные числа будут целыми, дробными?
8. В одном кошельке т коп., в другом — денег нет.
В каждый кошелек добавили по 3 коп. В каком кошельке
денег больше? При каком т денег в обоих кошельках ста-
нет поровну?
9. Указать несколько значений а, при которых справед-
ливы неравенства: — а < 0; а < — а\ а = — а\ а> —сг,
— а > 0.
10. Если а =/= 0 и Ь 0, то можно ли утверждать, что
а + Ь =# 0; ab = 0; а — Ь =£ 0?
11. Из двух городов, расстояние между которыми 120 км,
вышли одновременно навстречу друг другу две машины.
Одна проходит 30 км в час, вторая — 42 км в час. Через
сколько часов они встретятся? Дать графическую иллюст-
рацию решения.
12. Из двух городов, расстояние между которыми 120 км,
вышли одновременно в одном направлении машина и вело-
сипедист. Машина идет со скоростью 40 км в час, а вело-
сипедист — 12 км в час. Через сколько часов машина до-
гонит велосипедиста? Решить графически. Обозначить рас-
стояние буквой S и написать формулу пути для случая,
45
когда велосипедист идет со скоростью v км в час, а маши-
на км в час. Вычислить по формуле, через сколько
часов машина догонит велосипедиста, если: 1) f — 10,5 км
в час, Vt = 45 км в час; 2) v = 14,2 км в час, = 42,3 км
в час.
13. Парашютист находится на высоте 150 м и в каж-
дую минуту опускается (в среднем) на 15 м9 а планерист
с высоты 50 м в каждую минуту поднимается на 10 м.
Через сколько минут они будут на одинаковой высоте и
на какой именно? Решить таблично и графически.
14. Один самолет опускается с высоты 1700 м со ско-
ростью 300 м в минуту, а второй — с высоты 1400 м
опускается со скоростью 160 м в минуту. Определить, че-
рез сколько минут после начала спуска они будут на оди-
наковой высоте. Задачу решить с помощью таблицы
с точностью до 0,1 мин.
15. Вычислить числовые значения алгебраического вы-
1 а д 1 1 л 1 1
ражения а == b при b = ~9 ч-; 0;----------г;-----Со-
ставить таблицу соответствия значений а и Ь. Начертить
график. Пояснить характер изменения графика.
16. Вычислить числовое значение алгебраического вы-
ражения г/= 2а + 3 при а =— 3; —2; —10; 0, 1; 2,3.
Установить графически характер соответствия между мно-
жеством значений а и множеством значений у. *
17. Какое значение принимает выражение у = а-\-2Ь*.
а) при Ь= 100, а — кратном 10; б) при а= 100, b — крат-
ном 10. Изобразить несколько значений у на числовой оси.
18. Какое будет множество значений алгебраического
выражения т =
если х — — 5;
и соответственно у= 1; 3; 4; —4;
— 3; —1; 0; 1; 3; 5
— 6; —2; —7. При
каких значениях х и у выражение tn = не имеет мате-
матического смысла? Результаты вычислений изобразите
в виде таблицы с двумя входами.
19. Вычислить значения алгебраических выражений:
а) За—62; б) 3(а— Ь)2\ в) (За — 6)2; г) [3(а — 6)]2 при
а = —3; — 2; 0; 2; 3; 5 и Ь = =1; 0;
20. Вычислить значение алгебраического выражения:
а) 31 а | + 81 Ь | + 3 при а — — 2, Ь = — 7; а = 2, 6 = 7;
а = — 0,02, 6 = 1,6;
46
б) при а = —3,3; — 4; 4; — 1; 1.
21. Поясните на конкретных примерах, что 2п — общий
вид четного числа, 2п + 1 — общий вид нечетного числа.
Какое алгебраическое выражение следует назвать общим
видом числа, кратного 3, почему?
22. Доказать, что: а) произведение двух последователь-
ных целых чисел делится на 2; б) произведение трех по-
следовательных целых чисел делится на 6.
Самостоятельная работа по теме «Алгеб-
раические выражения и их арифметическая
интерпретация».
Вариант I
1. Для класса, состоящего из а учеников, нужно ку-
пить тетради из расчета каждому ученику по т тетрадей
и, кроме того, п тетрадей для классного руководителя
Обозначить количество тетрадей буквой с и написать фор-
мулу количества купленных тетрадей. Вычислить это ко-
личество при: а) а = 35, т = 2, п = 10; б) а = 38, т = Зг
п = 3. Какие значения могут п{ринимать а, т, п?
2. Записать частное от деления произведения чисел т
и п на их разность. Вычислить при т = 2,4» п = — 1»3.
3. Найти числовое значение алгебраического выражения
у =—^~ + 3 при х =—3; —2; —1; 0; lj 2; 3. Начер-
тить график соответствия двух множеств — данного и
множества, которое будет получено после вычисления со-
ответствующих значений у.
Вариант 11
1. Турист ехал на велосипеде т км, а затем шел пеш-
ком п км. Сколько часов он находился в пути, если на
велосипеде он ехал со скоростью v км в час, а пешком
шел со скоростью и км в час? Записать формулу и по ней
вычислить время при: а) т = 2 п = и = 4,2, и =
= 12,5; б) /п = 4,2, и = 3,8, v = 15, п= 1,1. Какие значе-
ния могут принимать указанные в задаче буквы?
2. Записать частное от деления суммы чисел т и п
на их произведение. Вычислить при /п = —3,8, п = 0,41.
47
3. Найти числовое значение алгебраического выражения
у — — Зх 4—при х — 3; — 2; — 1; 0; 1; 2; 3. Вы-
чертить график соответствия множеств — данного и мно-
жества, которое будет получено после вычисления соот-
ветствующих значений у.
§ 5. Определение функции
Систематический курс алгебры VI класса можно начи-
нать с определения функции, если этому предшествовала
соответствующая подготовка, то есть было дано понятие
о множестве, величине, переменной, введена буквенная
символика и дан координатный метод.
Для введения понятия функции и ее определения можно
рассмотреть группу упражнений.
1. Цена одной газеты 2 коп. Обозначить стоимость
п газет буквой с и записать формулу стоимости п газет.
Решение, с = 2 • п.
2. Туристы, пройдя деревню М, в настоящее время на-
ходятся на расстоянии 5 км от нее. На каком расстоянии
от этой деревни будут находиться туристы через 2,5 часа
(через 4 часа, 2 часа тому назад, через t часов), если они
идут со средней скоростью 3,5 км в час? Написать общую
формулу пути
Решение. St = 5-ъ 3,5 • 2,5
Sg = 5 4~ 3,5 • 4 = ..«
S3 = 5 4- 3,5 • (—- 2) = ...
S, = 5 4- 3,5 • t.
3. На рисунке дан график изменения температуры воз-
духа в течение суток (рис. 18, масштаб: ОХ — 0,5 см ** 2 ч,
OY — 0,5 см “-2°).
Определить по графику (с точностью до 0,5°) темпера-
туру воздуха в 2 часа ночи, в 8 часов утра, в 12 часов
дня, в 8 часов вечера.
с Решение.
2 часа ночи** — 2,5“j
У—< 8 часов утра ** 4- 2°;
/ 12 часов дня** 4-6,4°;
Z____________ 8 часов вечера ** +3,6е.
®| / 4. При нагревании железного
рис is, стержня опытным путем получили
48
следующие результаты длин стержня, соответствующих оп-
ределенной температуре:
0° 50° 100° 150° 200° 250°
/ м 1 1,0006 1,0012 1,0018 1,0024 1,0030
Пользуясь таблицей, определить длину стержня при
температуре 100°, 200°, 0°.
Решение. 100° 1,0012;
200° — 1,0024;
0° —1.
При выполнении подобных упражнений обращается вни-
мание учащихся на то, что во всех упражнениях при на-
хождении множества значений одной величины надо иметь
множество значений другой величины и знать правило, с
помощью которого можно, получить определенный элемент
другого множества.
В первом примере сущность правила в том, что цену
газеты следовало умножить на число газет и тогда полу-
чить стоимость всех газет.
Во втором примере правило заключалось в умножении
и сложении; в третьем примере — в проектировании точек
графика на соответствующие оси; в четвертом примере —
в нахождении соответствующих элементов множеств, по-
мещенных в таблице.
В каждом из приведенных примеров имелось два мно-
жества значений величин и правило, с помощью которого
между этими множествами устанавливалось соответствие.
В математике принято это правило называть функцией, а
множества — значениями аргумента и значениями функций.
Определение. Правило, по которому каждому эле-
менту х из множества X ставится в соответствие опре-
деленный элемент у из множества Y, называется функцией.
Правило это может быть записано в виде формулы
(упр. 1, 2), в виде графика (упр. 3). в виде таблицы
(упр. 4).
Для обозначения правила пользуются символом f.
Например, в упражнении 1 / — есть указание на то, что
определенное значение аргумента п надо умножить на 2,
чтобы получить соответствующее ему значение функции,
которое чаще обозначается f(x), а в нашем примере f(n)
49
В символической записи это будет выглядеть следующим
образом:
f (л) = 2 • п, где п — значение аргумента, f — функция,
f(ri)— значение функции.
В левой части равенства f (п) — 2 • и стоит символичес-
кая запись правила, а в правой части уже конкретно ука-
зывается это правило (расшифровывается).
В процессе формирования определения функции надо
систематически обращать внимание на различие и общность
понятий функция и ее числовое значение.
С понятием функции учащиеся фактически знакомятся
в III классе, только называют это понятие то выраже-
нием, то таблицей, то задачей, записанной словами, и т. п.,
поэтому можно сделать обобщение всех этих способов
записи значения функции и указать недостатки и преиму-
щества каждого из них.
В обучение основам алгебры входит изучение свойств
простейших функций, которые как основные очень часто
встречаются в практике и входят в виде составляющих
в сложные функции. Такой простейшей функцией будет
функция вида f (х) = kx + b. Эта функция будет первой,
свойства которой будем изучать подробно.
Рассматривая группу примеров, на основании которых
было введено определение функции, надо обратить вни-
мание учащихся на два существенных момента: сущность
самого правила и область определения функции.
Первый момент (сущность самого правила) учащимся
фактически известен, так как на протяжении всего курса
математики они занимались установлением соответствия
между элементами множеств: решая задачи с помощью
плана или числовой формулы, устанавливали соответст-
вие между данными и неизвестными величинами; анало-
гичная картина при решении арифметических примеров.
При построении графика с помощью проектирования уста-
навливали соответствие между значениями двух перемен-
ных. Составляя таблицы эмпирическим путем, получали
соответствие между значениями двух переменных и т. п.
При введении определения функции эти вопросы при-
обрели большую определенность и конкретность. Теперь
уже учащиеся должны понимать, что все это не разные
задачи, а только разные формы выражения соответствия
между элементами множеств.
После установления единства всех ранее рассмотрен-
L0
ных задач возникла необходимость выяснить, при каких
условиях и для каких множеств правило соблюдается
всегда или, возможно, оно имеет какие-то ограничения,
то есть надо обратить внимание учащихся на область оп-
ределения функции.
Поскольку элементы множества значений аргумента
могут принимать значения произвольно, то мы должны
оговорить, какое это будет множество значений, всегда
ли и все ли его элементы будут удовлетворять функции
или при определенных значениях аргументов соответствие
будет нарушаться, то есть с помощью данного правила
(функции) соответствие между элементами двух множеств
установить нельзя.
Надо особое внимание обратить на то, что значит
«удовлетворять функции», когда эта функция дана в виде
задачи (словесно выражено правило), в виде формул (пра-
вило записано аналитически), в виде графика или таблицы.
Множество значений аргумента функции, записанной
словесно, удовлетворяет этой функции, если Оно не на-
рушает содержательного смысла задачи. Если эту словес-
ную запись можно перевести на язык символов (записать
в виде числовой или буквенной формулы), то должны
выполняться все математические операции, указанные в
аналитической записи задачи.
Например, брату п лет, а сестра на 3 года моложе.
Сколько лет сестре? Установить область определения
функций (область изменения аргумента).
Решение. f(n) — n — 3.
Согласно выполнимости операций в области рациональ-
ных чисел, п может быть любым числом. Учитывая же
реальный смысл задачи, п может быть только положитель-
ным числом. Далее, оно не может принимать значения,
меньшие или равные 3. Если считать продолжительность
жизни человека не превосходящей 200 лет, то областью
определения значений функции будет множество положи-
тельных чисел от 4 до 200.
Когда значения функции записаны аналитически, об-
ласть изменения аргумента устанавливается на основании
выполнимости тех математических операций, которые за-
писаны в условии значения функции.
Например, даны следующие функции: a) f (х) = 2х — 5;
б) f (х) =
f(x) = "7(7 УгГ* Тр^У ется установить,
51
каким может быть аргумент в каждом из приведенных
случаев.
а) Для f(x) = 2x— 5 в области рациональных чисел
операции умножения и вычитания выполнимы всегда. Зна-
чит, значения этой функции имеют смысл для любых х
во множестве рациональных чисел. А какой была бы об-
ласть определения значений этой функции, если бы она
рассматривалась во множестве натуральных чисел? Оче-
видно, область определения значений функции f(x) =
= 2х— 5 сузилась бы. При х< 2 операция вычитания была
бы невыполнима, следовательно, х могло бы принимать
значения только большие 2, то есть х > 2. Поэтому,
прежде чем гогорить об области определения значений
функции, следует всегда указывать, во множестве каких
чисел рассматривается та или иная функция, и только
после этого приступать к установлению области изменения
аргумента.
б) Для / (х) = х в области рациональных чисел х
может быть любым числом, кроме х= 1, так как при
х — 1 невыполнима операция деления (на нуль делить
нельзя ни в одной области чисел).
тт X 1
в) Для f (х) — х,х, 2) в °бласти рациональных -чисел х
может быть любым числом, кроме х = 0 и х = — 2, так
как при х = О и х — — 2 знаменатель дроби ———
обращается в нуль.
Если же значение функции дано в виде графика, то
область определения значений функции устанавливается
путем проектирования точек на ось ОХ.
Например, на рисунке 19 (масштаб: ОХ — 0,5
OY — 0,5 1 мм3) функция задана графически.
Мы не знаем, как изменяются значения функции вне
данного на координатной плоскости графика, поэтому не
можем сказать, что t (температура) может быть любым
числом и для любого значения найдется вполне опреде-
ленное значение V (объема). Возможно, что для каких-то
больших или малых температур процесс изменения объема
будет подчиняться иному правилу (функции), или при ка-
кой-то температуре тело испарится, объем его вообще
нельзя будет определить, а на графике не будет точки,
которая бы соответствовала данной температуре. Поэтому
52
Щойъел) ।
Рис. (9.
говорить об области определения значений функции, ко-
торая задана на графике, можно только в пределах дан-
ного графика. В нашем примере f изменяется от t\ до t*9
то есть < Г <
Если об особенностях
конечных точек графика
или одной из них ничего
неизвестно и чертеж не дает
никаких ограничений, то
областью определения зна-
чений такой функции будет
все множество действитель-
ных чисел.
Область определения
значений функции f (х),
данной на рисунке 20, —
любое положительное чи-
сло.
Область определения
значений функции, данной
на рисунке 21,— любое
действительное число.
Областью определения
функции, значения которой
даны таблично, будут толь-
ко те значения аргумента,
которые приведены в таб-
лице.
53
Например, задана функция таблично:
/° — 150 — 50 0 100 200 300
V мм3 200 202 203 207 220 245
Областью определения этой функции будет множество
{—150; —50; 0; 100; 200; 300}.
Если сумеем от табличного задания функции перейти
к аналитическому, то тогда можно будет находить об-
ласть определения значений функции, заданной уже ана-
литически.
Итак, область определения значений функции для каж-
дой функции устанавливается с учетом специфики правила
(формула, график, таблица), и это учащиеся должны раз-
личать. В процессе обучения вызывают затруднения слу-
чаи установления области определения значений функции,
заданной аналитически, поэтому им и уделяется боль-
шое внимание. При этом надо рассматривать и примеры
установления области определения значений функций, за-
данных графиком или таблицей.
Для изучения понятий: функция, аргумент, область
определения функции, способы задания функций можно
предложить ряд упражнений следующего содержания.
1. Дано соответствие между:
а) множеством значений высоты прямоугольника и
множеством значений основания при постоянной площади;
б) множеством значений веса товара и множеством
значений стоимости его при- постоянной цене единицы
товара;
в) множеством значений веса однородного тела и мно-
жеством значений объема при постоянном удельном весе;
г) множеством значений скорости и множеством зна-
чений времени в равномерном и прямолинейном движе-
нии при постоянном расстоянии и др.
Указать в каждом соответствии: 1) аргумент и функ-
цию; 2) записать в каждом случае закон соответствия
аналитически, таблично и графически; 3) установить в
каждом случае область определения функции.
2. Указать область определения функций: a) f(x) =
54
= 2х + 1; б) f(x) = в) /(х) = г) f (х) =
2 , v г, к _ 2х + 1
х(х — 2)’ ~ (2х—1)(х + 2) *
3. Установить область определения следующих функ-
ций:
X — 3 — 2 — 1 0 1 2 • •
f (X) = Х2 9 4 1 0 I 4 • • •
X 1 2 3 4 5 6 7 8 • ► •
f •. 1 /<*) = — X 1 I 2 1 3 1 ~4 1 5 1 6 1 7 1 8 ее
4. Установить область определения функций, данных
на рисунках 22 и 23.
Рис. 22.
65
Рис. 23.
Самостоятельная работа по теме «Функ-
ция и ее об ласть. определения».
Вариант I
1. Дано соответствие между периметром квадрата и
длиной его стороны.
а) Выбрать аргумент в данном соответствии.
б) Записать закон соответствия аналитически и4 таб-
лично.
в) Установить область определения данной функции.
2. Установить область определения значений следующих
функций: a) f (х) =
б)
56
Вариант П
1. Дано соответствие между временем и нормой расхо-
дования материала при постоянном его запасе.
а) Выбрать аргумент в данном соответствии.
б) Записать закон соответствия таблично и аналити-
чески.
в) Установить область определения этой функции.
2. Установить область определения функций:
а) f(x) (х —2) • (х — 3)’
б)
X — 2 3 4 5 6 • •
/(*) — б 7 9 И 13 • • я
ГЛАВА II.
Линейная
ЭЙ
ункция
Линейная функция обобщает свойства, которыми обла-
дает очень большое число реальных процессов (равномер-
ное и прямолинейное движение, линейное и объемное рас-
ширение тел при нагревании и охлаждении, стоимость то-
вара и др.). Поэтому изучение свойств линейной функции
представляет большой практический интерес. Кроме того,
свойства этой функции в сравнении с другими функциями
(квадратной, степенной, показательной, логарифмической
и др.) значительно проще и для понимания учащимся
VII класса вполне доступны.
Приступая к изучению свойств линейной функции, сле-
дует разъяснить учащимся смысл слов «изучение свойств
функции». Изучить свойства функции — это значит выяс-
нить, как изменяются элементы одного из множеств (мно-
жество значений функции) при определенных изменениях
элементов другого множества (множество значений аргу-
мента) — возрастают, убывают, постоянны, приобретают
наибольшие или наименьшие значения, в каких границах
может изменяться каждое из рассматриваемых множеств,
и т. д.
Изучение свойств функции можно проводить аналити-
ческим путем, то есть без помощи графика. Но можно
функцию, заданную аналитически, словесно или таблично,
представить в виде графика и рассмотреть изменение гра-
фика в связи с изменением множества значений аргумента,
то есть выяснить вид графика и от чего зависит его изме-
нение.
Учитывая определение функции, данное выше, линей-
ную функцию можно определить следующим образом:
Линейная функция есть такая функция, у которой пра-
вило (закон) соответствия между элементами множеств
Б8
может быть, записано формулой f (х) = kx + b, где k и b —
параметры, принимающие любые числовые значения.
Изучать свойства линейной функции можно двумя ме-
тодами: графическим (с помощью графика) и аналитичес-
ким (с помощью понятия приращения функции).
§ 1. Исследование свойств линейной функ-
ции графическим методом
Прежде чем исследовать свойства линейной функции
графическим методом, надо научить учащихся строить
график линейной функции,
устанавливать вид графика
линейной функции по ее ана-
литическому заданию и вы-
яснять геометрический смысл
параметров k и Ь.
Построение графика ли-
нейной функции можно по-
казать двумя способами: с по-
мощью нескольких точек и
по двум точкам, причем по-
строение графика по двум
точкам можно выполнять пос-
ле обобщения вида графика
линейной функции.
Построить график функ-
ции f (х) = 2х + 1 (рис. 25):
Рис. 25.
X — 2 — 1 0 1 2
Цх) — 3 — 1 1 3 5
После того как построен один график линейной функ-
ции по точкам, можно выполнить следующие лаборатор-
ные работы.
Лабораторная работа № 1.
Построить график функции f (х) = 1,5х— 1. Построение
выполнить по нескольким (например, шести) различным
59
значениям х и соответствующим значениям f(x). Сделать
вывод о положении полученных точек на координатной
плоскости.
В этой же координатной плоскости построить графики
функций: f (х) — — х — 1; f (х) = Зх.—1; / (х) = — 2х — 1
(рис. 26).
Рис. 26.
Оборудование: миллиметровая бумага, линейка, каран-
даш, измеритель.
Сделать общий вывод о расположении точек каждого
графика линейной функции на координатной плоскости.
Вывод. Точки графика линейной функции располо-
жены на прямой линии, то еб!ь график линейной
функции есть прямая линия.
Этот вывод в VII классе можно не доказывать, а
ограничиться только эмпирическими данными, а после
изучения вопросов подобия можно рассмотреть как задачу
на доказательство.
Затем учащиеся выполняют лабораторную работу № 2.
60
Лабораторная работа № 2.
1 Построить график функции f (х) = х + 4.
В этой же координатной плоскости (рис. 27) выпол-
нить построение графиков следующих функций: f(x) =
'x~l-,f(x) = ±x-3- f(x) = ±x + 1.
At At it
Сравнить рисунки 26 и 27 и сделать вывод относи-
тельно положения графика в координатной плоскости в
зависимости от k и Ь.
Вывод. Параметр k характеризует угол наклона
графика функции f(x)=kx-\-b к положительному на-
правлению оси ОХ, поэтому его называют угловым коэф-
фициентом прямой; параметр b — есть ордината точки,
в которой график функции f (х) = kx + Ь пересекает ось ОУ.
Итак, лабораторные работы дали основание сделать
вывод, что график функции f (х) = kx -f- b есть прямая
линия, которую характеризуют параметры k и Ь.
Поскольку любую прямую линию можно опреде-
лить двумя точками, то график f(x) = kx + b можно по-
строить по двум точкам. Например, график функции
61
f(x) — 2x + 1 (рис. 28) можно построить по точкам Л (0; 1)
Систематическое исследование свойств функции надо
начинать в VII классе с графического метода, как более
наглядно иллюстрирующего свойства функции, во-первых,
Рис. 28.
и, во-вторых, помогающего
формировать графическую
культуру учащихся, что очень
важно при изучении функций
вообще.
Изучение свойств линей-
ной функции графическим ме-
тодом можно выполнять по
следующей схеме:
1. Вычертить график.
2. Установить область оп-
ределения значений функции.
3. Установить область из-
менения значений функции.
4. Установить промежут-
ки возрастания и убывания
значений функции.
5. Определить корни функции.
6. Определить четность функции.
7. Определить значения функции, соответствующие
аргументу, равному 0.
Исследуем функцию f(x) = -x-x—1 графическим ме-
тодом.
1. Начертим график
(рис. 29) по точкам
Л(0; —1) и В (2; 0).
2. Установим область
определения значений
функции. Учитывая воз-
можность выполнения
математических опера-
ций, указанных в анали-
тическом задании функ-
ции, устанавливаем об-
ласть определения зна-
чения функции,
Рис. 29.
62
Значения аргумента рассматриваем во множестве ра-
циональных чисел. Операции умножения 1-^- • х) и вы-
читания (-g-* — во множестве рациональных чисел
выполнимы, значит, область определения значений функ-
ции f(x) = 4- х—1 есть любое рациональное число. На
графике это множество чисел оси ОХ.
3. Установим область изменения значений функции.
Действия умножения • xj и вычитания ^-^-х— О
выполнимы в области рациональных чисел, следовательно,
множество рациональных чисел есть область изменения
значений функции. На графике это множество чисел оси OY.
4. Установим промежутки возрастания и убывания
значений функции.
Используя график функции, можно дать следующее
понятие о возрастании и убывании значений функции.
Значения функции возрастают, если точка, дви-
жущаяся по графику функции слева направо, под-
нимается снизу вверх.
Значения функции убывают, если точка, движущая-
ся по графику функции слева направо, опускается
сверху вниз.
Для данной функции имеем: точка, движущаяся слева
направо, поднимается снизу вверх, значит, значения функ-
ции возрастают. Причем нет таких значений аргумента,
при которых движение точки изменило бы направление.
Значит, для всех рациональных чисел f(x)=-^x— 1
возрастает.
5. Определим корни функции.
Корень функции—это абсцисса точки, в которой график
функции пересекает ось ОХ.
График данной функции пересекает ось ОХ в точке с
абсциссой 2, значит, корень функции f (х) = х — 1 ра-
* • £
вен 2 (х = 2).
6. Определим четность функции.
Четной функцией называют такую функцию, график
которой симметричен относительно оси ОУ, например
функция f(x) = a.
63
Нечетной функцией называют такую функцию, график
которой симметричен относительно начала координат, на-
пример функцию f (х) = kx.
Функции, которые не симметричны ни относительно .на-
чала координат, ни относительно оси ОУ, есть ни четные
и ни нечетные. К таким функциям относится и функция
f(JC) = 4'x — L
После исследования некоторого числа линейных функ-
ций учащиеся должны будут сделать вывод, что, кроме
двух частных случаев f (х) == а и f (х) == kxt линейная
функция ни четная и ни нечетная.
7. Определим значение функции, соответствующее ар-
гументу, равному 0.
Графически значение функции, соответствующее аргу-
менту, равному 0, есть точка, в которой график функции
пересекает ось OY. Для нашей функции это будет точка
с ординатой, равной — 1.
При неоднократном исследовании свойств линейных
функций можно будет установить, что такой точкой будет
всегда точка, ордината которой равна Ь.
После ознакомления с общей схемой исследования
свойств линейной функции графическим методом можно
на 2—3 примерах закрепить этот метод исследования.
Например, исследовать свойства функции f (х) = — 2х + 1
Рис. 30.
(рис. 30).
1. Область определения
функции — множество рацио-
нальных чисел.
2. На множестве опреде-
ления функции от — оо до
+ оо значения функции убы-
вают от + оо до — со.
3. Корень функции х =
4. Функция ни четная и
ни нечетная.
5. График функции пере-
секает ось OY в точке Л (0; 1).
Аналогичное исследование
провести для функций f(x)=
= —х + 2, f(x) = 3x—1.
64
Рис. 31.
Зная свойства графика линейной функции, можно ре-
шать упражнения с практическим содержанием (на исполь-
зование свойств графика линейной функции).
Приводим несколько примеров таких упражнений.
1. На рисунке 31 (мас-
штаб: ОХ — 1 мм ** 1 секу
0Y — 1 мм 1 ле) изображе-
ны графики движения двух
тел.
а) Чем отличается первое
движение от второго?
б) Определить скорость
движения каждого тела.
в) Какое из тел начало
движение позднее и на сколь-
ко единиц времени?
' г) Через сколько единиц
времени после начала движения первого тела тела встре-
тятся?
д) Какое расстояние между телами в начале движения
второго тела?
’ 2. Два поезда вышли в одно и то же время навстречу
друг другу из городов А и В, расстояние между которыми
равно 486 км. Встретились они в 9 ч утра, причем первый
прошел на 54 км больше, чем второй, затем они продол-
жали движение с прежней скоростью. Первый пришел в
В в 12 ч 36 мин. Когда второй поезд пришел в А? (Ре^
длить графически с точностью до 1 минуты.)
3. Турист заметил, что в 9 ч утра он был в 25 км от
намеченного пункта, а в 12 ч 30 мин — в 14 км от него.
Установить с помощью графика, в какое время он закон-
чит свой путь, двигаясь равномерно, если по дороге устроит
привал на 50 мин.
После решения нескольких упражнений с практическим
содержанием можно исследовать графическим методом
свойства любых линейных функций.
4. Построить графики следующих функций: f{x) »=
= — 2х 4- 3; f (х) ---i-x — 4; f (х) ---g- х; f (х) =» 2;
f(х) « 0; /(х) = - 1.
С помощью графиков выяснить свойства названных
функций.
I Зак. 260
03
5. Написать уравнение прямой, параллельной прямой
f(x) = 1,5х и проходящей через точку Л(0; 2).
6. Написать аналитический вид линейной функции,
график которой пересекает оси координат в точках А (0; 3)
и В (7; 0).
7. При каких значениях а график функции
f (х) = ах 4- 3 параллелен графику функции f (х) ==
= 0,7х—4?
8. Начертить график = 1, если: а) а = 3 и Ь =4;
б) а = — 1 и b = 1; в) а — —2 и i = — 3. Пояснить гра-
фический смысл параметров а и Ь.
9. Найти отрезки, которые отсекают прямые на коорди-
натных осях от начала координат, если аналитический
2 1
вид линейных функций следующий: a) f (х) = -х- х — 1 -j-;
О • о
б) f(x) = 4-* + 2-T-
10. Как надо переместить прямую у = 2х, чтобы
получить прямую, имеющую аналитический вид
у = 2х + 1?
11. Путем какого преобразования прямой у = х мож-
но получить прямую у = а — х?
По данной теме может быть выполнена следующая са-
мостоятельная работа.
Вариант 1
На рисунке 32 (масштаб: ОХ — 1 мм 1 сек, OY —
1 мм —* 1 >и) изображены графики движения двух тел.
а) Какое из тел начало
движение позднее и на
сколько минут?
б) Через сколько минут
после начала движения пе-
рвого тела тела встрети-
лись?
в) Определить скорость
движения каждого тела.
г) Какое расстояние ме-
жду телами вначале движе-
Рис. 32. ния первого тела?
66
2. Вычертить график функции /(х) ~ —5х. Не выполняя
нового построения, установить относительно полученного
графика свойства функции /(х) = 5х + 2.
3. На одной и той же координатной плоскости постро-
ить графики функций: f (х) = 0,4х + 4 и f (х) — —2х + 4.
В чем сходство и в чем различие полученных графиков?
1 мин, 0Y —
1 ж) изображены графики движения двух тел.
SM
1(нин)
Рис. 33.
Вариант II
На рисунке 33 (масштаб: ОХ — 1 мм -
1 мм
а) Какое из тел начало движение позднее и на сколько
минут?
б) Через сколько минут
после начала движения
первого тела тела встрети-
лись?
в) Определить скорость
движения каждого тела.
г) Какое расстояние
между телами вначале дви-
жения первого тела?
2. Начертить график
функции f(x) = 2x. Не вы-
полняя нового построения,
строенного графика свойства функции f (х) = — 2х.
3. На одной и той же координатной плоскости постро-
ить графики функций f(x) = 0,2x — 3 и f (х) = 1,6х— 3.
В чем сходство и в чем различие полученных графиков?
установить относительно по-
§ 2. Исследование свойств линейной функции
аналитическим методом
Пользуясь графическим методом для исследования
свойств линейной функции, учащиеся получат определен-
ный запас знаний по вопросу исследования свойств функ-
ций. При этом надо отметить, что с помощью графического
метода исследования не всегда точно можно обнаружить
некоторые свойства функций (точки максимума или мини-
мума, точки перегиба и т. п.).
Наиболее точным методом исследования, дающим воз-
можность делать более верные выводы о характере пове-
дения функции, является аналитический метод.
8*
67
Аналитический метод исследования функций осуществ-
ляется с помощью понятия производной В VII классе
учащиеся незнакомы с этим понятием да-и нет острой не-
обходимости его вводить. После введения характеристи-
ческого свойства линейной функции с помощью понятия
приращения функции можно вполне глубоко исследовать
свойства линейной функции аналитическим методом.
Кроме того, знакомство с понятием приращения функ-
ции дает большие возможности для иллюстрации изучен-
ных свойств линейной функции на практических примерах
(эмпирические функции)
Понятие приращения функции можно вывести с по-
мощью ряда задач,
1, В результате нагревания квадратной пластины со
стороной 4 см длина стороны стала равна 4,02 см. Вы-
числить изменение площади пластины.
Решение = 4 • 4 = 16 (кв. см),
S2 = 4,02 - 4,02 16,16 (кв. см).
S2 — Si = 16,16— 16 ss 0,16 (кв. см).
2. Маятник часов совершает одно колебание в течение
0,499 сек вместо того, чтобы совершать его в течение
0,5 сек (часы спещат на 3 мин в сутки). Как надо изме-
нить длину маятника, чтобы часы шли правильно, если
учесть, что формула для исправления хода часов L = 99/а
(£ — длина маятника в сантиметрах, t — время колебания
в секундах).
Решен йе. Lx = 99 • 0.4992 = 24,65 (ом)
£а = 99 • 0,52 = 24,75 (см).
L2 — Lx = 24,75 — 24,65 = 0,1 (см)
Вывод. Маятник надо удлинить на 0,1 см
3. Дан график изменения температуры с изменением
времени (рис. 34, масштаб:
1*1 ОХ—1 мм^^\ сек; OY —
1 мм -•* Г).
По графику установить
1 изменение температуры, если
время изменялось так: а) от
2 сек до 3 сек; б) от 4 сек
/ до 6 сек.
~О 1(сек) Решение, а)
= 3 сек — 2 сек = 1 сек ,
Рис. 34. t; -= 2° - 1,5° = 0,5°;
68
б) /4 — /3 = 6 сек — 4 сек — 2 сек,
Г3 = 5Э—3° = 2°.
В каждом случае мы вычисляли изменение значений
аргумента и соответствующее ему изменение значений
функции. Изменение значений функции и
значений аргумента принято называть
приращением. Приращение может быть положитель-
ным и отрицательным. Так, если бы в примере 1 происхо-
дило не нагревание, а охлаждение пластины, то длина
стороны стала бы равна 4 см (первоначально она была рав-
на 4,02 см).
Вычислить приращение площади пластины.
Р е’ш е н и е Sj = 4,02 • 4,02 16,16 (кв. см),
S2 = 4 • 4 = 16 (кв. см),
S2 — S} = 16—16,16 ~— 0,16 (кв. см).
Поскольку функция устанавливает соответствие между
множеством значений аргумента и множеством значений
функции, то изменение значений аргумента (приращение
значений аргумента) влечет за собой определенное изме-
нение значений функции.
Например, дано значение функции /(х) = 2х—1. До-
пустим, что первоначальное значение аргумента хг = 3, а
после изменения х2 » 4. Приращение значения аргумента
можно записать так:
х2 — х1 = 4 — 3 = 1.
Вычислим изменение значений функции:
f(jq) = 2- 3-1 = 5, = 2 • 4— 1 = 7,
f(x2)-f(x1) = 7-5 = 2.
Для линейной функции f(x) = kx + b, если &=/=0, из-
менение значений х обязательно влечет за собой измене-
ние значений f(x). В нашем примере переменная х полу-
чила приращение Д х = х2 — Xi = 4 — 3 = 1, переменная
f (х) — приращение Д f (х) = f (х2) — f (xj = 7 — 5 = 2.
Характеристическое свойство линейной функции заклю-
чается в следующем: для линейной функции f(x) = kx 4- b
приращение функции &f(x) пропорционально приращению
. ч Д f (х)
аргумента Дх, и отношение приращений 7 есть вели-
чина постоянная, равная угловому коэффициенту k линей-
ной функции.
Названное свойство можно проиллюстрировать на при-
мере.
09
f(x) = 2x + 3.
1) xx = 4, f(xx) = f(4) = 2 • 4 + 3 = 11,
*2 = 6, f (x2) = /(6) = 2 • 6 4- 3 = 15,
Ax=x2— xx= 6 — 4 = 2, A f (x) —f (хЛ—f(xx)= 15—11=4,
“Kx =T = 2. k = 2, значит,
Af(x) _
2) xx = 5, f (х0 = f (5) = 2*54-3=13,
*2 = 2, f(x2) =/(2) = 2 • 2 + 3 = 7,
Ax = x2— xx = 2 — 5 = —3, Af (x) = f (x2) — f (xx) =
= 7—13 = —6,
—— = = 2, k = 2, значит.
Ax —□
Af(*) __
&x
Можно привести доказательство этого свойства и в
общем виде: f (х) = kx + b,
А х = х2 —хь f (xi) = kx! + b9 f (х2) = kx2 fr,
Д f (x) = f (x2) — f (xx) = kx2 + b — kxx — b~k (x2 — Xi),
A { — X1- = k (так как x2 — хг #= 0). Значит,
Ax x2 — xx i. f ,
= fe, что и требовалось доказать.
При изучении характеристического свойства линейной
функции необходимо отметить, что данным свойством об-
ладает только линейная функция, поэтому оно и называ-
ется характеристическим, то есть необходимым и доста-
точным для характеристики линейной функции. Изучая
квадратную функцию, можно отметить, что ее характери-
зует свойство постоянства вторых разностей переменной,
для кубической — постоянство третьих разностей перемен-
ной и т. п.
Например, для /(х) = 2х2 имеем:
X 1 2 3 4 5 6
У = f(x) = 2х2 2 8 18 32 50 72
Найдем первые и вторые разности */ — /(х).
Первые разности:
70
& Уг ~ Уъ — 6,
Д Уг = Уз — У^ 18 — 8 = 10,
Д Уз = У1~—Уз = 32— 18 = 14,
Д !/4 — Уь Уь — 30 32 = 18,
Д Уъ ~ Уз Уь = 72 50 = 22.
Вторые разности:
Д у2 — Д У\ = Ю — 6 — 4,
Ду3 — Дг/о =14— 10=4,
Ду4-Ду3= 18—14 = 4,
Ду5-Ду4 = 22- 18 = 4.
Постоянство вторых разностей значетай* квадратной
функции не трудно доказать и в общем виде, но мы не
будем здесь подробно на этом вопросе останавливаться.
Однако даже такое знакомство с характеристическими
свойствами квадратной и кубической функций послужит
хорошей базой для введения понятия производной в стар-
ших классах. С помощью же характеристического свойства
линейной функции можно осуществить исследование ее
свойств аналитическим методом уже в VII классе.
План исследования линейной функции аналитическим
методом несколько иной по сравнению с планом исследо-
вания свойств функций графическим методом. Теперь по-
строение графика будет итогом исследования, а все харак-
теристики линейной .функции устанавливаются аналити-
чески.
Исследование функции аналитическим методом про-
водится по следующей схеме:
1. Установить область определения-функции.
2. Установить область изменения значений функций.
Область определения функции и область изменения
значений функции устанавливается так же, как и при гра-
фическом методе исследования свойств функции.
3. Найти промежутки возрастания и убывания значений
функций.
Значения функции будут возрастающими в данном
промежутке или для данного множества чисел, если по-
ложительному приращению значений аргумента соответст-
вует положительное приращение значений линейной функ-
ции, то есть > 0 или k > 0.
Значения функции будут убывающими в данном про-
межутке или для данного множества чисел, если положи-
71
тельному приращению аргумента соответствует отрицатель-
ное приращение значений линейной функции, то есть
Ш<0 или Л<0
а х
Доказательство возрастания и убывания значений ли-
нейной функции можно провести аналитически.
Чтобы функция f (х) = kx + b была возрастающая, не-
обходимо выполнение неравенства > о.
Рассмотрим справедливость этого неравенства для зна-
чений k > 0 и k < 0
I. Пусть k > 0 и х2>*ъ тогда /(х2) — /(Xi) == kx2 4- b —
— kxy—b=k (x2 — xx) > 0, значит, ~ > 0,
X2 X\
Если x2 < хь то доказательство аналогичное. Сущность
неравенства не меняется как для положительных значе-
ний, так и для отрицательных.
2. Пусть А < 0 и х2 > хь тогда f (х^ — f (х^ =
= kx2 + b — kx2 — b — k(x2 — xr) < 0, значит, 0.
X2 Xi
На основе аналитического доказательства можно сде-
лать вывод: если k > 0, то линейная функция возрастаю-
щая; если же k < 0. то f (х) = kx + Ь — убывающая
функция
3. Определить корни функции.
Корнем функции называется то значение аргумента,
при котором значение функции обращается в нуль
4. Определить четность функции.
Функция четная, если справедливо равенство /(—х) =
+ /(*), то есть функция при изменении знака аргумента
не меняет ни своего знака, ни своей величины для любых х
из области определения функции. Функция нечетная, если
справедливо равенство f (—х) = — f (х), то есть, если функ-
ция при изменении знайа аргумента изменяет свой знакг
но остается гой же по абсолютной величине.
5. Определить значения функции, соответствующие
api ументу, равному нулю.
6 Построить график функции.
Исследуем по данной схеме функцию /(х) = —Зх 4 1.
I. Область определения /(х) = — Зх+ 1 — любое ра-
циональное число, так как учащиеся VII класса еще
действительных чисел не знают.
2 Область изменения значений функции / (х) = — Зх -к
+ 1 — также все рациональные числа, так как действия
72
умножения и вычитания во множестве рациональных чисел
всегда выполнимы.
3. Промежутки возрастания и убывания.
Так как для / (х) — — Зх + 1 k = — 3, а при k < О
линейная функция убывающая, то f (х) = — Зх + 1 —
функция убывающая.
4. Корень функции
— Зх + 1 = 0, х = При х = значение функции
обращается в нуль.
f (4") — — 3 • 4“ + 1 = - 1 + 1= °- Значит, 4 есть
\ О / О О
корень функции f (х) = —Зх + 1
5. Четность функции.
f (х) = — Зх + 1, J (— х) = + Зх + t
Знак перед Зх изменился, а перед 1 остался прежний.
Значит, f(x) = — Зх + 1 ни четная и ни нечетная.
6. Значения функции, соответствующие аргументу, рав-
ному нулю.
f (х) ~ — Зх + 1, х = О, значит,
f(0) = —3 - О 1 = 1
7. График /(х) = —Зх + 1.
График функции пересечет ось ОХ
у = 0 , ось OY — в точке (х = 0; у =
в
1).
точке
По полученным точкам
строим график f (х) =— Зх± 1
(рис. 35).
Большой интерес как ди-
дактический, так и практиче-
ский представляет использо-
вание характеристического
свойства линейной функции
в исследовании эмпирических
функций.
Пример. При исследо-
вании зависимости силы тре-
ния дерева по дереву от силы
давления брусок нагружался
разными грузами и передни- рис
гался равномерно по горизон-
тальной поверхности деревянной доски. В результате про-
веденного опыта были получены следующие данные:
73
D (сила давления) 60 160 260 360 560 760
T (сила трения) 17 47 76 108 168 227
Записать приблизительную формулу, устанавливающую
соответствие между силой трения и силой давления.
Решение. Предположим, что эта формула будет
иметь вид линейной функции, то есть [(D) — kD 4 b. Это
значит, что надо выяснить следующее: если {60, 160,
260, 360, 560, 760} — множество значений аргумента, а
{17, 47, 76, 108, 168, 227}—множество значений функ-
ции, то удовлетворяют ли эти множества характеристи-
ческому свойству линейной функции, то есть будет ли
л f (D)
1 'D величиной постоянной для данных двух множеств.
После этого надо наити значение А, так как k =
1) О, ==.60, D2 = 160, AD = 160 — 60 = 100, f (Dt) = 17,
/(D2) = 47, A/(D) =f (D2) -/(DJ = 47- 17 = 30,Ц<^ =
_ §2 л з
— wo — u>15-
2) D2 = 160, D3 = 260, AD = 260 — 160 = 100, f (Da) =
=47, f (D3) = 76, A f (D) = f (D3) - f (D2) = 76 - 47 = 29,
A f (^) 29 _ Q QQ
AD ~ 100 ’ \
3) D3 = 260, D* = 360, A D = 360 — 260 =100, f (D3) =
= 76, f (D<) = 108, A f (D) = f (DJ — f(D3) = 108 - 76 = 32,
A / (D)_______32 ___
ad “ юс ~ u,d2‘
4) D4 = 360, D5 = 560, A D = 560 — 360 = 200, [ (D4) =
= 108, f (D6) = 168, A / (D) = / (D6) — f (D^ = 168 — 108 =
cn A / (D) 60 (у
= 60’ - AD~ = “260" = °’3’
5) D5 = 560, De = 760, A D = 760 — 560 = 200, f(D6) =
= 168, f (De) = 227, A f (D) = / (D6) — f (Ds) = 227 — 168 =
Л f (D) 59 Л „nr
~ ’ A/J “ 200 ~
Получили множество {0,3; 0,29; 0,32; 0,3; 0,295} зна-
« А / (Р)
чении —.
д D
Все они очень близки л»руг к другу. В силу неточно-
сти инструментов измерения могли быть допущены ошибки,
74
но, очевидно, зависимость между силой трения и силой дав-
ления, представленная в указанной таблице, соответствует
линейной функции (отклонения от 0,3 очень незначитель-
ные). Значит, можем определить k\
- 0,3 + 0,29 + 0.32 4-0,3-И 0,29 1,5
Л “ 5 ~ 5 ~ U’6'
Для определения Ь составим уравнение:
kDv + b = f (Dt).
0,3 • 60 + b = 17, b = 17— 18 = — 1.
Приближенная формула, устанавливающая соответствие
между силой трения и силой давления, примет следующий
вид: 7^0,3 D — 1, где 7 = /(£>).
Задачи аналогичного содержания представляют боль-
шую пользу, так как учащиеся видят на конкретных при-
мерах применимость математики к реальным процессам.
Не меньшую познавательную ценность имеют и упраж-
нения следующего содержания.
Дана таблица значений линейной функции:
X —3 —1 0 1 3
У —1 5
Написать аналитический вид функции и заполнить сво-
бодные места в таблице.
Решение. Так как заданная таблично функция ли-
нейная, то ее аналитический вид будет f (х) == kx + b. Требу-
ется найти значения k и Ь. В таблице известны два значения
f(x) и соответствующие им значения х, подставляя их в
/\х) = Ах + А, получим систему двух линейных уравнений
относительно k и Ь.
Решив систему, найдем: b = — 1, 5 = ЗА — 1, А — 2.
Значит, у = f (х) = 2х — 1.
Найдем значение функции у = f(x) = 2х— 1 для х =
«=-3; -1; 1.
3) = 2 • (—3)—1 = —7;
f(- 1) = 2 • (—1)—1 = — 3;
/(1) = 2 • 1 — 1 — 1.
X —3 —1 0 1 3
—7 —3 —1 1 5
75
После знакомства с понятием приращения линейной
функции может быть дано более строгое определение воз-
растающей и убывающей функции:
а) функция будет возрастающей в данном промежутке,
если положительному (отрицательному) приращению аргу-
мента в указанном промежутке соответствует положительное
(отрицательное) приращение линейной функции, то есть
б) функция будет убывающей в данном промежутке,
если положительному (отрицательному) приращению аргу-
мента в этом промежутке соответствует отрицательное (по-
ложительное) приращение линейной функции, то есть
В зависимости от того, как изменяются приращения ли-
нейной функции друг относительно друга, можно судить
0 о степени (быстроте) возраста-
£ ния или убывания функции.
Исследование свойств ли-
** нейной функции аналитическим
метолом можно осуществить
с помощью группы упражне-
/ ний следующего содержания.
/ I. По графику (рис. 36,
—z: -----------------ттТ . масштаб: ОХ — 1 мм - - 30 сек,
* ' ' OY — 1 мм -- 1°) установить
приращение температуры воды
Рис- с изменением времени от 2 до
3 и от 4 до 6 единиц.
2. Определить приращение функции !(х) = 1,5х, если х
изменяется от — 5 до — 3.
3. Первоначальное значение переменной — 2 получило
приращение 2. Определить приращение функции f(x)=z
= 0,1x4-3 при указанном приращении х.
4. Найти приращение функций f(x)==2 4 0,5х и f(x)=
= 5 — Зх, если переменная х изменяется согласно приве-
денной таблице:
5. Даны две функции f (х) = 2х + 3 и /(х) = Зх— 3.
Найти с помощью основного свойства линейной функции,
которая из функций обладает большей степенью возра-
76
стания, то есть имеет больший угол наклона к оси ОХ.
6. При нагревании железного стержня получили сле-
дующие результаты длин стержня, соответствующие опре-
деленным температурам:
Температура в градусах 0 50 100 150 200 250
Длина в метрах 1 1,0006 1,0012 1,0018 1,0024 1,0030
Написать аналитический вид функции.
7. Функция растворимости селитры и температуры
растворителя характеризуетсячтаблицей:
Температура в градусах 0 10 20 30 40 50
Количество се- литры в граммах 13,9 21,2 31,6 45,6 61,3 83,5
Является ли эта функция линейной?
8. Дана таблица значений линейной функции:
X 0 2 4 6 8 10
У 10 6
Заполнить недостающие места в таблице и написать
аналитический вид функции.
9. Дана таблица значений линейной функции:
У 1 го —1 0 1 2
X 2 6
Написать аналитический вид функции и заполнить не-
достающие места в таблице.
10. В таблице
X см 1 —1 0 1 2
У 1 to 3 1 2 3
77
даны значения некоторой линейной функции. Два из пяти
значений функции записаны неверно. Найти их и исправить.
11. Тот же вопрос к таблице
X —15 —10 0 10 15
У —33 -13 7 27 37
12. Не вычерчивая графиков функций, установить ана-
литически, какая из функций: у = 4х — 10, у = — ~х-(-
-+ 4, у ~ — х — 2, у = х + 8 возрастает медленнее и ка-
кая быстрее остальных.
13. Для функций у=1,2х—6 и у =— 2х— 8 найти
те значения х, для которых у = 0 и у < 0.
14. На прямой линии лежат две точки А (3; 5) и В(3; 7).
Точка Л4. лежащая на этой же прямой между точками А
и В, имеет абсциссу 6. Определить ее ординату. Решить
графически и аналитически.
15. Построить график функции
— 1 < х < 0.
1 + х, если
1 —х, если
0<х < 1.
16. Построить график функций: у = | х + 3 |в; у =
= |х| -t 3; у—х-\- Iх|; t/=— |x-f-l |; y=—|x]; у = |x] -+ 2.
17. Написать ана-
литический вид функ-
ции, заданной графиче-
ски (рис. 37, масштаб:
ОХ— 1 мм -- 1 ед.,
OY — 1 мм -- 1 ед.).
* Методика построения графиков функций, содержащих знак мо-
дуля, рассмотрена в гл. 3, § 3 настоящего пособия.
78
Самостоятельная работа
ванне свойств линейной
ческим способом».
по теме «Исследо-
функции аналити-
Вариант 1
1. Опытным путем получена следующая таблица для
скорости звука ил в секунду в сухом воздухе при различ-
ных температурах:
f —30 —17 —5 0 3 12 20 30
v м/сек 313 321 329 332 337 339 344 349
Найти приближенную формулу полученной функции.
2. Не вычерчивая графиков функций, установить ана-
литически, какая из функций f(x) = 4х— 10 и f(x) = х 4 8
возрастает медленнее.
3. Написать аналитический вид прямой, параллельной
прямой у — 1,5х и проходящей через точку Л(0; 2).
Вариант II
I. При растворении хлористого калия при различной
температуре растворителя получили следующие результаты:
0 10 20 30 40 50 60
т г 28,5 31,3 34,35 37,4 40,3 43,1 45,6
Напишите формулу растворимости хлористого калия
в соответствии с изменяющейся температурой.
2. Не вычерчивая графиков функций, установить анали-
тически, какая из функций f (х) = $~х + 4 и f(x) = — х —2
убывает быстрее.
3. Написать аналитически вид прямой, параллельной
у = — Зх и проходящей через точку В (0; — 1).
Контрольная работа по теме «Линейная
функция».
Вариант I
1. Поезд выходит из города М в 2 ч и идет со сред-
ней скоростью 40 км, в час. Через каждые полчаса он де-
79
лает остановку на 10 5 часов спустя после выхода
поезда вслед за ним из этого же города вышла дрезина со
средней скоростью 60 км в час. Н 1 каком расстоянии от
города М и в какое время дрезина догонит поезд, если
она идет без остановки? (Решить графически, выбрав со-
ответствующий масштаб.)
2. Исследовать свойства
функции f (х) == — 2х + 7
и на основании результатов
исследования построить
график.
3. Записать аналитиче-
ски функции, заданные на
Рис. 38. координатной плоскости
графически (рис. 38, мас-
штаб: ОХ — 1 мм - - 1 ед.; OY — 1 мм 1 ед.). Иссле-
довать свойства этих функций,
4. Построить график функции у = | х +- 3 [.
5. Дана функция:
а 0 10 20 30 40
b 13,9 21,2 31,6 45,6 61,3
Будет ли она линейной? Написать ее аналитический вид.
Вариант II
1. Из пункта, расположенного от города на расстоя-
нии 28 км, в направлении к городу вышел турист, кото-
рый проходил в час 4 км, Час спустя из города по этому
же пути вышел второй турист,
который шел со скоростью 4,5 км
в час. На каком расстоянии от
города они встретятся и через
сколько времени после выхода
первого туриста? (Решить графи-
чески.)
2. Исследовать свойства
функции [ (х) = —х — 4 и на
основании результатов исследо- рис- 39-
вания построить график.
3. Записать аналитически функции, заданные на коорди-
натной плоскости графически. Исследовать свойства этих
80
функций (рис. 39, масштаб: ОХ — 1 мм > 1 ед.;
1 мм <—> 1 ед.).
4. Построить график функции у = |х[ + 3.
5. Дана функция:
0Y —
т 0 20 40 60 80
k 55,2 65,1 75,1 85,3 95,2
Будет ли она линейной? Написать ее аналитический
вид.
§ 3. Линейные уравнения
Придание школьному курсу алгебры функциональной
направленности позволяет и уравнения рассматривать
с этой же точки зрения.
Понятие уравнения может быть введено следующим
образом.
Рассмотрим несколько пар функций и выясним, суще-
ствует ли такое значение аргумента л, при котором рас-
сматриваемые функции имеют равные значения.
1) f (х) = 2х + 5
и f(x) = —х + 4.
Строим их графики
(рис. 40, масштаб: ОХ —
2 мм 1 ед., 0Y —
2 мм - - 1 ед.).
Такое значение ар-
гумента х существует,
сно равно-----
□
2) /(%) = Зх — 4
и f(x) = 0.
Опять находим ответ Рис. 40
на поставленный вопрос
графически (рис. 41, масштаб: ОХ—2 мм-*—► ! ед.,
OY — 2 мм * - I ед.).
Значение аргумента (абсцисса точки пересечения гра-
фиков) равно 1 Д-.
81
3) f (x) = 1 — 2X И f (x) = — 2.
Строим графики функций (рис. 42, масштаб: ОХ —
5 мм — 1 ед., OY —5 мм — 1 ед.).
Значение аргумента (абсцисса точки пересечения гра-
„ фиков) равно 1,5.
' В каждом из рассмат-
Рис. 41.
риваемых случаев графики
функций пересекались, и
абсцисса точки пересечения
была техМ значением аргу-
мента, при котором значе-
ния функций равны.
В примере 2) имеем
случай, точно воспроизво-
жу дящий понятие корня функ-
ции, то есть находим абс-
циссу точки, в которой гра-
фик функции f (х) == Зх — 4
пересекает ось OX (f (х)= 0).
После рассмотрения ряда примеров делаем вывод, что
решить уравнение — это значит наити такие значения ар-
гумента, при которых значения функций равны.
Например, при каких значениях х значения функций
f(x) = 2х + 1 и f (х) — х —
— 1 равны?
Это требование можно
записать так: 2х 4 1 ~
Значение аргумента в
практике решения уравне-
ний часто называют неиз-
вестным значением аргу-
мента или просто неизве-
стным.
Задачу решения уравне-
Рис. 42.
ния нельзя ставить в отры-
ве от того числового мно-
жества, на котором определено значение аргумента.
Если в условии упражнения не указано, в области
каких чисел предлагается решать уравнения, то необхо-
димо это выяснить, прежде чем приступать к процессу
преобразований или вычислений.
Линейные уравнения и системы линейных уравнений
в VII классе решаются в области рациональных чисел.
Выполняемые вычисления и преобразования при нахожде-
нии неизвестного обычно не выводят значения корня из
области рациональных чисел.
При решении уравнений, содержащих параметры,
прежде чем приступать к выполнению преобразований,
надо установить множество допустимых значений пара-
метров и неизвестного, затем найти все корни уравнения.
Корнем уравнения называется то значение аргумента
(неизвестного), при котором значения функций будут
равны
Например,
Значение функции ) (х) = Зх—4 при х — 3 равно 5 и
значение функции /(х) = 2х— ! при х = 3 рчвно 5, зна-
чит х = 3 есть корень уравнения Зх— 4 = 2х — 1.
В процессе решения уравнения выполняются преобра-
зования, которые могут изменить область определения
неизвестного. И тогда уже будет получено новое уравне-
ние» корни которого будут иные по сравнению с корнями
исходного уравнения. Поэтому необходимо выяснить, ка-
кие преобразования не изменяют область определения
неизвестного, а какие ее расширяют или сужают.
Для выяснения этого наиболее важного вопроса реше-
ния уравнений вводится понятие равносильных урав-
нений.
Два уравнения называются равносильными, если
множество корней первого уравнения и множество корней
второго уравнения совпадают. Например, 2х — 7 = х и
3 — 0,5х = х — 7,5 равносильные уравнения, так как кор-
нем и первого и второго уравнения является число 7.
Уравнения х— 2 — 0 и х2 — 2х = О неравносильны,
так как первое уравнение имеет множество решений |2],
а второе — {0; 2}.
. Вопрос о равносильности уравнений также имеет смысл
только в том случае, если указано множество чисел, на
котором определяется значение неизвестного. В одном
множестве чисел уравнения могут быть равносильны, а
в другом нет.
Например, уравнения 2х — 2 = х и 2х — 2 f =
83
= х+ух в области рациональных чисел неравносильны,
так как |2 в области рациональных чисел не имеет
смысла. А в области действительных чисел эти уравнения
равносильны.
Введению основных теорем равносильности уравнений
может предшествовать следующая практическая работа.
I. Дано уравнение -у х + 1 = 4 — х.
1. Вычтем из обеих частей уравнения по 1, получим
-1-х = 3—х. Равносильны ли данное и полученное урав-
нения в области рациональных чисел?
Уравнение -у- х = 3 — х имеет корень х — 2 и уравне-
ние у х + 1 = 4 — х имеет корень х = 2. Значит, урав-
нения равносильны.
2. Прибавим к обеим частям уравнения по 2. Полу-
чим -1- х + 3 = б — х.
*
Уравнение у х -}• 1 = 4 — х имеет корень х = 2 и урав-
нение -1- х + 3 = 6 — х имеет корень х = 2. Значит, урав-
нения равносильны.
Пояснить эти операции графически (рис. 43, масштаб:
ОХ—2 мм~1 ед., OY — 2 мм \ ед.):
a) f (х) = 4 х + 1 Ф’ /(х) = 4 — jc (Г);
84
б) /(х) = 4"х 00. f(x) — 3—x(IF);
В) f W = 4- * + з (III). f(x) = 6 — x (III').
График очень ярко показывает, почему уравнения ос-
тались равносильными, так как график каждой из функ-
ций после преобразования сдвинулся вверх или вниз
относительно оси ОХ на несколько единиц, а взаимное
расположение их друг относительно друча осталось преж-
ним, поэтому и абсцисса точки пересечения (корень урав-
нения) осталась прежней.
II. Дано уравнение 4—х = 3.
1. Умножим обе части его на 2, получим уравнение
8 — 2х = 6 Равносильны ли эти уравнения в области ра-
циональных чисел?
Уравнение 4—х = 3 имеет корень х = 1 и уравнение
8 — 2х = 6 имеет корень х = 1. Значит, уравнения равно-
сильны.
2. Разделим обе части уравнения на —3, получим
Уравнение 4 — х = 3 имеет корень х =* 1 и уравнение
= — 1 имеет корень х = 1. Значит, уравнения равно-
сильны.
Поясним графически (рис. 44, масштаб:
ОХ —5 мм -- 1 ед., OY —5 лш-- 1 ед.):
a) f(x) = 4-x (I), Дх)-3 (Г);
б) f(x) = 8-2x (II), / (х) = 6 (II');
85
в) f(x) = (Ш), f (x) = - I (ИГ).
Рисунок 44 показывает, что взаимное расположение
графиков функций до преобразования и графиков функций
после преобразования существенно отличается, но каждая
пара графиков пересекается в точках, абсциссы которых
одинаковы, а это говорит о том, что все три уравнения
имеют один и тот же корень.
111. Дано уравнение 4—х = 3.
1. Прибавим к обеим частям уравнения по х, получим
4 = 3 + х.
Уравнение 4 — х = 3 имеет корень х= 1, и уравнение
4 = 3 f х имеет корень х= 1. Значит, уравнения равно*
сильны.
2. Вычтем из обеих частей уравнения по 2х, получим
4 — Зх = 3 — 2х.
Уравнение 4—х = 3 имеет корень х = 1, и уравнение
4 — Зх = 3 — 2х имеет корень х = 1. Значит, уравнения
равносильны.
Поясним графически (рис. 45, масштаб:
ОХ — 5 мм -- 1 ед., 0Y — 5 мм — 1 ед.):
a) f(x) = 4—х (I), /(х) =3 (Г);
б) f (х) == 4 (II), f(x) = 3 + x (II');
в) f(x) = 4— Зх (III), f(x) = 3 — 2х (III').
Взаимное расположение прямых изменилось, но аб-
сцисса точки пересечения осталась прежней, значит, все
три уравнения имеют одно и то же множество решений.
Рис. 45.
IV. Дано уравнение 4 — х = 3.
Умножим обе части уравнения на к, получим х(4 — х) =
= Зх.
Уравнение 4 — х = 3 имеет корень х = 1, а уравнение
4х — х2 — Зх имеет корни: = 0 и х2 = I (4х — Зх — х2 =
= О, х — х2 = О, х (х — 1) = 0, хх = О, х2 = 1).
Значит, уравнения неравносильны.
Не только умножение обеих частей уравнений приво-
дит к новому уравнению, неравносильному первоначаль-
ному, но и другие преобразования тоже могут привести
к такому результату.
V. Дано уравнение Зх Ч~ 1 = 9—х, корень которого
х = 2. Прибавим к обеим частям уравнения выражение
х~2. Получим уравнение Зх + 1 + - 2 = ® —х
Полученное уравнение не будет иметь корня х = 2, так
как при х — 2 обе части уравнения не будут иметь смыс-
ла. Следовательно, уравнения Зх Ч~ 1 = 9— х и Зх+1 +
1 п
Ч-----= 9 — х Ч-------неравносильны.
После рассмотрения группы примеров и графической
иллюстрации наиболее простых из них теоремы о равно-
сильности уравнений не вызывают затруднений.
Теорема 1. К обеим частям уравнения можно при-
бавить (или вычесть) выражение, которое имеет смысл при
всех допустимых значениях неизвестного. Полученное
уравнение будет равносильно данному.
Доказательство. Имеем уравнение f (х) = (х).
Корнем его будет х = а, тогда f (а) = Д (а).
Прибавим к обеим частям уравнения какое-либо выра-
жение U (х), которое в частном случае может и не зави-
сеть от х, то есть может быть постоянным.
. U (х) по условию теоремы имеет смысл при всех допус-
тимых значениях х, значит, при х = a U (а) — есть опре-
деленное число. Но от прибавления к обеим частям урав-
нения определенного числа равносильность уравнения не
нарушается Значит, f (a) f U (а) = Д (а) Ч- U (а), то есть
а — есть корень уравнения f (х) 4- U (х) = fi (х) ч~ U (х).
Можно доказать и обратное положение, что корень
уравнения [ (х) -ь U (х) == fi (х) Ч- U (х) является корнем
уравнения f (х) = fv (х)
Пусть х = Ь есть корень уравнения f(x) + L/(x) =
== Л (*) 4 U то есть f (b) + U (Ь) = Д (&) + U (Ь). В по-
87
следнем выражении £7(6)—есть число, значит, его можно
отнять от обеих частей уравнения и равносильность не
нарушается, то есть /(6) = ^ (6), отсюда b есть корень
уравнения f (х) = Д (х).
Из этой теоремы вытекает следствие: любой член урав-
нения можно перенести из одной части в другую, изме-
нив при этом знак на противоположный, в результате
получается уравнение, равносильное данному.
При использовании теоремы 1 необходимо акцентиро-
вать внимание учащихся на том факте, что прибавляемое
выражение £7(х) должно иметь смысл в области значений
неизвестного х.
Так было в примере на странице 83, когда к обеим
частям уравнения 2х — 2 х, определенного на множестве
рациональных чисел, прибавили выражение рх, которое
на множестве рациональных чисел смысла не имеет. По-
этому получили уравнение 2х—2+/х = х + рлх, не
равносильное данному уравнению.
Теорема 2. Обе части уравнения можно умножать
(или делить) на любое выражение, которое имеет смысл
при всех допустимых значениях неизвестного и отличное
от нуля, в результате чего получим новое уравнение, рав-
носильное первому.
Если f (х) = h (х) и U (х) имеет смысл в области до-
пустимых значений х и £7 (х) =£ О в этой области, то
f (х) • U (х) = fi(x) * U (х) равносильно исходному уравне-
нию. (Доказательство аналогичное доказательству тео-
ремы 1.)
Особое внимание надо обратить на то, что U (х) не
должно быть равно нулю ни при каких х из области оп-
ределения его.
В VII классе можно ограничиться рассмотрением
только приведенных здесь положений о равносильности
уравнений.
Важно, чтобы учащиеся помнили, что вопросы равно-
сильности уравнений необходимо рассматривать в тесной
связи с областью определения корней уравнения.
Большое место в обучении алгебре занимает решение
задач методом уравнений. Главная трудность при этом
заключается в выяснении отношения между величинами,
данными в условии задачи. Фактически учащиеся должны
в каждой задаче, решаемой методом уравнений, написать
88
Значения двух функций и выяснить условие равенства
этих функций.
Для введения понятия уравнения и его свойств можно
предложить следующие упражнения:
1 . При каких числовых значениях х выражение Зх — 1
будет равно выражению 17—х?
2 При каких значениях а (целых, положительных)
выражение yj-y будет равно 4?
3 Найти такие два целых положительных значения
переменной а, при которых алгебраическое выражение
а (5 — а) получает числовое значение, равное значению ал-
гебраического выражения (8—а)
4 Из множества целых положительных чисел найти
а2 Ч- 4
такое число, при котором выражение - - было бы
равно 2.
5 . При каких значениях а алгебраическое выражение
2а + 1 будет соответственно равно: 3; 5; 7; 9.
6 . Составить уравнение:
а) корнем которого было бы число 3;
б) которое бы имело два корня (3 и 4) или (1,2 и 5,4);
в) которое не имело бы корней.
7 Найти такое число х, при котором х 4- 15 состав-
ляет -у- числа 2х — 9
8. При каких значениях х функции у = 2х 4- 1 и
у = х — 1 имеют одинаковые числовые значения?
9. Установить графически, при каких значениях х вы-
ражение х — 1 положительно.
10 При каких значениях х функции у == Зх—1 и
у = 2х 4- 3 имеют одинаковое значение? Показать графи-
чески
11 Подобрать такие целые положительные значения х,
чтобы выражения: а) Зха—6х; б) Зх; в) Зх— 1; г) 2х ч- 3
были равны 0.
12 Построить линии, соответствующие уравнениям:
а) 2у — Зх 4- 4 = 0; б) у + 0,5х — 3 == 0; в) х = 0; г) у =
= —3
13. Решить уравнения:
а) х| = 2; |х|=0; 2|х| = 1,2; |х] = —1;
б) — х|=4; |3,3х| = —3,3; 4—0,4х|=0;
| — 2,5х | = 5.
89
14. При каких значениях п уравнение | тх | = п не
имеет решения?
15. Решить уравнения:
а) (х+3| —4; |0,5х —2| = 0,6; |—2х + 2|=3;
| — 2,2л: — 11 = — 2;
б) |х + 21 = х + 2; |2—х|—х — 2; |2х|+2х = 3;
|3,5х —2| = 0.
16. При каких значениях х выражение -1——равно 3?
17. Сравнить корни уравнений х — 3 = 5 и х — 34-2 =
= 5 + 2. Каким преобразованием из первого уравнения
получается второе?
18. На графике прямой выберите произвольную точку.
Вычислением убедитесь в том, что абсцисса точки явля-
ется решением уравнения прямой.
Самостоятельная работа по теме «Уравне-
ния первой степени».
Вариант /
1. Чему равно х, если 2х составляет от х — 40?
о
2. При каких значениях х функции f(x) =Ц-х— 4 и
f(x) = 2x—1 имеют одинаковые значения? Показать это
графически.
3. Равносильны ли уравнения —5-----1- 1 = х —3 и
2х —7 = 3?
4. Решить уравнение | —2х + 2| =3.
Вариант II
1. Чему равно х, если Зх — 1 меньше -у 4 2,4х на 1,2?
2. При каких значениях х функции f(x) = 2x4-1 и
I (х) = -4- 4 5х имеют одинаковые числовые значения? По-
казать это графически.
3. Равносильны ли уравнения Зх — 1 = 5х 4- 2 и
(х — 2) • (Зх— 1) = (5х 4 2) • (х — 2)?
4. Решить уравнение 1 — 0,5х + 11 = 5.
ГЛАВА III.
Исследование
элементарных
свойств
рункции
§ 1. Понятие иррационального числа н бес-
конечного множества
Прежде чем приступить к систематическому исследо-
ванию свойств отдельных функций (квадратной, степенной,
дробнолинейной, показательной, логарифмической) элемен-
тарными средствами, то есть без привлечения понятия
производной, необходимо рассмотреть два вопроса: а) по-
нятие иррационального числа; б) понятие бесконечного
множества.
До VIII класса учащиеся накапливали фактический
материал для формирования математического понятия
величины. К этому времени учащиеся уже должны знать,
что однородные величины сравнимы (измеряемы), а следо-
вательно, им должны быть знакомы основные законы
сравнения; они должны знать, что значения однородных
величин аддитивны, а следовательно, и законы суммы игл
известны. При введении иррациональных чисел на приме-
ре математической величины можно познакомить учащихся
с понятием изоморфизма в математике. Множество значе-
ний величины и математическое понятие величины —
изоморфные понятия, поэтому в математике говорить о
математической величине и множестве ее значений — это
говорить об одном и том же. Надо выяснить, какими
свойствами обладает множество значений величины, какое
это множество и какие из его свойств могут быть изучены
в восьмилетней школе. Лучше это показать на примере
измеряемости длин. Для измерения длины необходимо
ввести понятие иррационального числа.
Необходимость введения иррациональных чисел может
быть показана на двух известных примерах из алгебры
и геометрии.
91
общая
b раз.
На уроках алгебры учащиеся встречали выражения вида
V 2? УЗ? j/5^ У7~и т. п., которые не являются рацио-
нальными. На уроках геометрии они знакомились с изме-
ряемостью отрезков, и, естественно, может возникнуть
вопрос, всегда ли один отрезок или его доля уложится
целое число раз в другом от-
0____________С резке.
[/у. В качестве примера можно
рассмотреть две теоремы.
У^ Теорема 1. Нет рацио-
нального числа, квадрат кото-
рого равен 2.
д Теорема 2. Диагональ
квадрата несоизмерима с его
< уУ стороной.
уУ Доказывать будем мето-
уУ дом предположения верности
противоположного утвержде-
£ ния (рис. 46).
Рис. 46. Пусть АС и AD соизме-
римы, то есть в АС какая-то
мера для АС и AD укладывается а раз, а в AD —
Если эту меру принять за единицу измерения, то
площадь квадрата ABCD^c? кв. единиц, а площадь
квадрата АСМЕ == Ь2 кв. единиц. Д АВС = AACD =
= ACDM == &DME = ДДОЕ. Значит, Sacme = ZSabcd,
то есть b2 = 2а2; отсюда » 2, = У2, ------ра-
циональное число, а У 2 не является рациональным чис-
лом. Пришли к противоречию, так как по теореме 1 У2-
не рациональное число. Значит, наше предположение не-
верно.
После рассмотрения этих теорем учащиеся приходят
к выводу, что, кроме чисел целых, дробных и нуля, есть
еще какие-то числа, отличные от рациональных.
Теперь вполне уместно поставить вопрос: каким же
числом может быть выражена длина диагонали квадрата,
когда мера его длины есть сторона этого же квадрата?
При измерении длин отрезков возможны три случая:
1. В отрезке АВ отрезок CD укладывается целое число
раз, тогда длина отрезка АВ выражается целым числом.
2. В отрезке АВ отрезок CD не укладывается целое
92
1
число раз, но какая-то его доля, например -т-, уклады-
вается целое число раз, тогда длина отрезка АВ выра-
жается дробным числом
3. В отрезке АВ ни весь отрезок СО, ни какая-то его
доля не укладывается целое число раз. В этом случае
длина отрезка АВ не может быть выражена рациональным
числом, как и было в примере измерения диагонали квад-
рата его стороной В этом случае отрезки называются
несоизмеримыми в отличие от первых двух случаев, когда
отрезки были соизмеримы.
Затем можно показать процесс измерения отрезков во
всех трех случаях и отметить, что результат первого из-
мерения есть целое число или бесконечная периодическая
десятичная дробь с периодом нуль; результат второго
измерения — конечная дробь (бесконечная периодическая
десятичная с периодом нуль) или бесконечная периодичес-
кая десятичная дробь; результат третьего измерения —
непериодическая бесконечная десятичная дробь.
Непериодическая бесконечная десятичная дробь не
может быть представлена рациональным числом. Непе-
риодические бесконечные десятичные дроби выражают
новые числа. Эти числа называются иррациональными
(нерациональными).
Результат измерения несоизмеримых отрезков есть по-
ложительное иррациональное число. По аналогии с отри-
цательными рациональными числами и с помощью число-
вой оси не трудно пояснить существование отрицательных
иррациональных чисел. При этом важно отметить, что
с введением всех иррациональных чисел числовая ось за-
полнилась полностью, то есть теперь каждой точке
числовой оси соответствует единственное определенное
число и, наоборот, каждое число соответствует единствен-
ной и определенной точке числовой оси.
Для того чтобы возможны были операции над ирраци-
ональными числами, эти числа записывают с определен-
ной степенью точности с недостатком или с избытком.
На основании этого можно высказать основные положения
о равенстве и неравенстве иррациональных чисел.
1. Два или несколько иррациональных чисел считаются
равными, если у них равны как целые части, так и все
десятичные знаки в случае, если они все взяты с недо-
статком или с избытком.
93
2. Если целые части двух иррациональных чисел раз-
личны. то число, у которого целая часть больше, счита-
ется большим, независимо от того, какие у них десятич-
ные знаки.
3 Если целые части иррациональных чисел одинаковы,
а дробные части различные, то надо наитии первый после
заияюй десятичный знак, который у этих чисел различен,
и то из чисел, у которого этот знак больше, считается
большим, независимо от того, какие последующие десятич-
ные знаки.
Прямые операции над иррациональными числами (сло-
жение и умножение) вводятся с помощью определений.
Определение 1. Суммой иррациональных чисел
Я] и а2 называется такое число, которое больше всех воз-
можных сумм ах + а2 рациональных чисел ах и а2, удов-
летворяющих неравенствам: ах < ах и а2 < d2, и меньше
всех возможных сумм Ьх + 62 рациональных чисел Ьх и
Ь2, удовлетворяющих неравенствам: Ьх > и Ъ2 > а2.
Например, те-f- ]Л2 =3,1415... + 1,4142..., то есть
3.1 + 1,4 < к + У2 <3,2 + 1,5;
3.14 + 1,41 < т. + У 2 <3,15+ 1,42,
3,141 + 1,414 <л + УН<3 142 4 1,415;
3,1415 -(• 1,4142 <« + /2 < 3,1416 4- 1,4143 и т. д.
Определение 2. Произведением иррациональных
чисел • а2 называется такое число, которое больше всех
возможных произведений ах - а2 положительных рациональ-
ных чисел и удовлетворяющих неравенствам:
ах < а, и а2 < и меньше всех возможных произведений
- b2 положительных рациональных чисел Ьх и 62, удовле-
творяющих неравенствам: bx > at и Ь2 > <х2
Например, те • V 2 = 3,1415... - 1,4142..., то есть
3,1 * 1,4 < те - |/2~ < 3,2 - 1,5;
3.14- 1,41 < те . /2" <3,15 - 1,42;
3,141 - 1,414 < л -У2< 3,142- 1,415;
3,1415- 1,4142 <1г-УТ< 3,1416- 1,4143 и т. д.
Для операций вычитания и деления иррациональных
чисел принимается то же определение, что и для рацио-
нальных чисел, то есть разностью двух иррациональных
чисел «1 и а2 называется такое число, которое при сложе-
94
нии с а2 Дзет at. Частным двух иррациональных чисел
и «а называется такое число, которое при умножении на
а2 дает
Приведенных сведений об иррациональных числах
вполне достаточно, чтобы сформировать представление о
непрерывности числовой оси, служащей геометрическим
образом этих чисел.
Приводим некоторые из упражнений; с помощью кото-
рых возможно формирование понятия иррационального
числа.
1. Даны числа, выписать с точностью до 0,0001 с не-
достатком (с избытком) только иррациональные числа.
1,33333...; 3,141592...; 2,696969...; 0,032727...; 1,41421...;
1,5707963...; 9,86960...; 2,23607...; 0,0111213... .
2. Найти сумму (разность, произведение, частное) сле-
дующих пар чисел с точностью до 0,001:и тг; ]Л2
и КЗ? 2 и |/5? и /7?
3. В сумме чисел а + а число а — рациональное, а
число а — иррациональное. Какой будет сумма: рациональ-
ной или иррациональной?
4. Доказать: 1) что половина диагонали квадрата не-
соизмерима с его стороной; 2) что удвоенная сторона квад-
рата несоизмерима с его диагональю.
5. Отрезок tn несоизмерим с отрезком т 1) будет ли
отрезок 2т соизмерим с отрезком п\ 2) отрезок 1 -i- tn
соизмерим с отрезком п?
6. Может ли сумма (разность, произведение, частное)
двух иррациональных чисел быть рациональным числом?
После того как введено понятие иррационального
числа, можно дать учащимся отдельные сведения относи-
тельно бесконечных множеств. Уже в восьмилетней школе
нельзя ограничиться изучением только одних конечных
множеств, потому что последние не характеризуют непре-
рывные процессы. Для изучения непрерывных процессов
необходимо ввести понятие бесконечного множества.
Методика изучения бесконечных множеств сопряжена
с определенными трудностями. В восьмилетней школе
трудно даже указать более или менее строгое определение
бесконечного множества. Можно только отметить, что если
множество не конечно то оно бесконечно. Такое определе-
ние, очевидно, не раскрывает существа понятия бесконеч-
95
ного множества, но рассмотрение конкретных примеров
дает возможность вскрыть сущность бесконечных мно-
жеств.
Для изучения отдельных свойств бесконечных мно-
жеств можно использовать метод сравнения бесконечных
множеств с конечными.
При изучении конечных множеств было отмечено, что
сравнивать конечные множества можно двумя способами:
1) по количеству элементов во множестве; 2) путем уста-
новления взаимно однозначного соответствия между эле-
ментами множеств. С помощью конкретных примеров было
установлено, что вопрос о сравнении бесконечных множеств
по количеству элементов в них неправомерен, так как он
не имеет математического смысла.
Бесконечные множества могут быть сравнимы только
путем установления взаимно однозначного соответствия.
Здесь еще раз представляется возможность подчеркнуть,
что если мы знаем правило сравнения двух множеств, то,
значит, имеем функцию, определенную на одном из данных
бесконечных множеств.
Всякое конечное множество характеризуется опреде-
ленным числом. Естествен вопрос о существовании
эквивалентного понятия для бесконечных множеств. Не-
посредственным подсчетом элементов указать такую ха-
рактеристику для бесконечных множеств невозможно.
Сравнивая два бесконечных множества путем установления
взаимно однозначного соответствия между их элементами,
можно отметить для двух эквивалентных множеств общую
характеристику, которую называют мощностью множеств.
Мощность множеств — это обобщенное понятие числа эле-
ментов множеств.
Приводим несколько упражнений, с помощью которых
можно сформировать понятие бесконечного множества.
1. Дано одно множество натуральных чисел, больших
1, и второе — больших 3. Какое из этих множеств вклю-
чает в себя другое?
2. Каким будет множество чисел, больших 1? Каким
будет множество чисел, не больших 10? Указать общую
часть этих множеств.
3. Изобразить на чертеже несколько прямых, проходя-
щих через одну точку. Каким будет множество изобра-
женных прямых?
4. Частью какого множества чисел является множест-
ве
во четных чисел? Множество нечетных чисел? Множество
чисел, кратных трем?
5. Сколько есть дробей, меньших числа 3? Изобразить
несколько точек, соответствующих числам из названного
множества на числовой оси.
6. Какое множество чисел останется, если из мно-
жества натуральных чисел исключить множество простых?
7. Привести примеры бесконечных множеств, которые
можно выделить из множества дробей.
8. Изобразить на числовой оси несколько точек мно-
жества, удовлетворяющих неравенству х > 0. Каким будет
это множество чисел?
9. Найти пересечение множества прямоугольников и
множества всех ромбов.
10. Множество каких чисел надо добавить к мно-
жёству натуральных чисел, чтобы получить множество
целых чисел? Будет ли это множество симметричным от-
носительно нуля?
11. Привести пример двух бесконечных множеств,
сумма которых была бы множеством, симметричным отно-
сительно нуля, а пересечение их равнялось бы нулю (было
бы пустым множеством),
12. Определить общую часть множества рациональных
и множества иррациональных чисел.
Самостоятельная работа по теме «Ирра-
циональные числа и бесконечные мно-
жества».
Вариант I
1. Найти сумму и разность двух иррациональных чисел
и установить, рациональным или иррациональным числом
является результат:
а) 4,181188111888... —2,131133111333...;
б) 2,37424422444222... + 3,18131133111333... .
2. Найти пересечение множеств равносторонних и рав-
нобедренных треугольников.
3. Привести пример двух бесконечных множеств, пере-
сечение которых равнялось бы нулю.
Вариант II
1. Найти сумму и разность двух иррациональных чисел
и установить, рациональным или иррациональным числом
является результат:
4 Зак. 260
97
a) 17,525525552... —7,3255255525555...;
б) 6,3741122111222...+ 6,4535533555333... ,
2. Найти пересечение множества всех прямоугольников
и множества всех ромбов.
3. Привести пример двух бесконечных множеств, пере-
сечение которых было бы конечным множеством.
§ 2. Исследование квадратной функции
Исследование свойств функций элементарными способами
можно проводить по следующему плану:
1. Найти область изменения значений аргумента.
2. Определить область изменения значений функции.
3. Установить четность и нечетность функции.
4, Найти участки возрастания и убывания функции.
5. Определить максимум и минимум функции.
6. Найти корни функции.
7. Найти точки пересечения графика функции с осью ОУ.
8. Построить график функции.
Квадратной функцией называется функция, которую
можно аналитически записать в виде f (х) = ах2 + Ьх + су
где а, b и с — любые числа из множества действительных
чисел и а + 0.
Изучение свойств квадратной функции в восьмилетней
школе можно начинать с простейшего случая, когда b =
= с = 0 и функция имеет вид f (х) = ах2.
Свойства функции f(x) = ах2
1. Найти область изменения значений аргумента.
Функцию f (х) = ах2 будем исследовать на множестве
действительных чисел. Для определения области измене-
ния значений аргумента надо выяснить, выполнимы ли все
операции, указанные в аналитическом задании функции,
на данном множестве.
Возведение в степень и умножение всегда выполнимы
на множестве действительных чисел. Значит, область из-
менения значений аргумента—множество действительных
чисел.
2. Определить область изменения значений функции.
Если а > 0, то область изменения значений функции —
все положительные числа и нуль, то есть f (х) > 0, так
как при а > 0 ах2 > 0.
98
Если а < Ot то область изменения значений функции —
все отрицательные действительные числа и нуль, то есть
f (х) 0, так как при а < 0 ах2 0.
3? Установить четность функции.
f(x)=tfx2; /(— х) = а(— х)2 = ах2\
[ (х) = f (—х). Значит, f(x) = ax2— функция четная,
и график ее симметричен относительно оси OY.
В более подготовленном классе или на кружковом
занятии может быть доказана основная теорема о четности
функции.
Теорема. Любую функцию F (х), определенную на
множестве действительных чисел, можно ’ представить
в виде суммы четной и нечетной функций.
Доказательство. Пусть функция F (х) задана на
множестве действительных чисел. С ее помощью образуем
Р (х) I F (_х)
две новые функции f (х) — -—v ~ д-v—- и
Ф (х) = . Заменим в f (х) и ф(х) х на (—х) и
выясним четность этих функций.
f(—х) — f — f (х), то есть f(x) четная
функция, ф (— х) = —*—у—— —<р (х), то есть <р(х) не-
четная функция.
Сложим f (х) и <р (х). f (х) + ф(х) = —~
+ = f (х).
Значит, F (х) может быть представлена с помощью
двух функций, заданных на том же множестве значений
аргумента, но одна из них четная, а другая нечетная.
4. Согласно определению возрастания и убывания зна-
чений функции имеем: если 0, то значения функ-
ции возрастающие; если — ~ < 0, то значения функ-
ции убывающие.
Можно с помощью графика проиллюстрировать воз-
растание и убывание значений функции f(x)=ax2 (а > 0),
но лучше это доказать аналитически.
Возьмем два значения аргумента х2 и xt одного знака.
Пусть х2 > Xi > 0, а > 0, f (х2) = ах}, f (Xi) = ах\, тогда
99
О, так как
f(x2) — f(*i) = — ^) = а(х.
ci 0; х2 -|- Xi О’, х2 — Х\ О.
Следовательно, для положительных значений аргумента
—— > 0 функция возрастающая.
О и Xi < 0, тогда f (х2) — f (хх) =
D (*2 — *i) < О, так как а > О,
Пусть Хг
~ а (х$ — х*)
Рис. 47.
х2 + xt < 0; х2 — Xi > 0.
Значит, для отрицательных значений аргумента
< 0 функция убывающая.
Если а < 0, то промежутки возрастания и убывания
функции изменяются по сравнению с функцией f(x) =
= ах2, где а > 0. Там, где значения функции f(x)==ax2
при а > 0 возрастали, значения функции f(x) = ax2 при
а < 0 будут убывать и на-
оборот.
5. Определить максимум
и минимум функции.
Понятие максимума и ми-
нимума функции, по сравне-
нию с другими свойствами
функций, изученными в VII
классе, новое дл'Я учащихся
VIII класса, поэтому ему не-
обходимо уделить больше
X внимания. Кроме того, дан-
ное понятие уже в VIII клас-
се находит практическое при-
менение.
В восьмилетней школе нет необходимости вводить по-
нятие локального и абсолютного экстремума, так как будут
рассматриваться только простейшие функции, для которых
локальный и абсолютный максимум и минимум совпадают.
Поэтому можно только на отдельном примере показать,
что возможны функции, у которых есть несколько макси-
мумов и несколько минимумов и среди них есть наиболь-
ший (абсолютный) максимум и наименьший (абсолютный)
минимум (рис. 47).
В восьми летней школе рассматриваются функции, ко-
торые если и имеют максимум или минимум, то единст-
венный, и его можно определить следующим образом.
Функция /(х) имеет в точке х0 максимум, если при
100
достаточно малом h f (х0 — й) < f (х0) и / (х0 + й) < [ (х0),
то есть если значения функции f(x0) в достаточно малом
интервале (х0 + й; х0— й) больше всех значений функции
/(*)•
функция f(x) имеет в точке х0 минимум, если при до-
статочно малом й f (xQ — й) > f (х0) и f(xQ + й) > f(x^ то
есть если значения функции f(xQ) в достаточно малом
интервале (х0 + й; х0 — й) меньше всех значений функции
Для нашей функции f(x)=ax2 имеем: если а > 0, то
до значений х = 0 значения функции убывали, после х = О
значения функции стали возрастать. Значит, в точке х == О
возможен максимум или минимум.
Возьмем интервал (— 1 -J-0; 0 + 1).
f (0) =-- 0; f (— 1 + 0) = а > 0, значит, f (— 1 + 0) > /(0),
f (0 + 1) = а > 0, значит, f (0 + I) > f(0).
Следовательно, в точке х = 0 функция f (х) = ах2 при
а > 0 имеет минимум, равный /(0) —0, который обычно
записывают f (x)min = 0.
Аналогично можно рассмотреть случай, когда а < 0,
и убедиться, что до значения х = 0 значения функции
возрастают, после х = 0 — убывают. Значит, в точке х = 0
функция / (х) = ах2 при а < 0 также имеет либо максимум
либо минимум.
Проверим это предположение для промежутка
(~ 1 + 0; 0 + I).
f (0)= 0; f (— 1 + 0) = а < 0, значит, f (— 1 + 0) < / (0);
f (0 + 1) = а < 0, опять имеем f (0 + 1) < f (0)-
Значит, в точке х = 0 функция f(x) = ах2 при а < 0
имеет максимум, равный f(0)=0, который обозначают
/ СОтзх = 0.
При определении минимума функции f(x) =ах2, когда
а > 0, важно отметить, что наибольшего значения нет, и тем
самым подчеркнуть, что ветви параболы неограниченно
поднимаются вверх.
При определении максимума функции f(x) — ax2, когда
а < 0, важно также отметить, что наименьшего значения
нет, и тем самым подчеркнуть, что ветви параболы не-
ограниченно опускаются вниз.
6. Найти корни функции f(x) = ax2.
Для этого решим уравнение: ах2 = 0, х2 = 0, х =0. Корень
функции равен нулю, значит, график данной функции пе-
ресекает ось ОХ в точке х = 0,
101
7. Найти точки пересечения графика функции с осью OY.
Для того чтобы определить координаты точки пересе-
чения графика функции f (х) = ах2 с осью OY, необхо-
димо найти f (х) при х = 0: f (х) = а • 0 = 0. Значит, точка
Л(0;0) — есть точка пересечения графика с осью OY.
8. Построить график функции на основании проведен-
ного исследования.
Все полученные данные для f (х) = ах2 запишем в
таблицу.
Изменение значений функции в определенных интервалах Корни функции Точка пе- ресече- ния с осью 0Y
X (— оо; 0) ' ° 1 (0; + оо)
f (х) = ах2, а^> 0 убывает от + °° ДО 0 / Wmin = 0 возр астает от 0 до + оо х = 0 А (0; 0)
f (х) — ах2, a 0 возрастает от — оо до 0 f Wmax = 0 убывает от 0 до — оо х = 0 А (0; 0)
Однако этих данных не достаточно, чтобы сказать, что
представляет собой график функции f (х) = ах2.
Чтобы построить график функции, например f (х) = 2х2,
кроме общих характеристик его, представленных в табли-
це 1, необходимо вычислить несколько значений функции
при определенных значениях аргумента.
X — 3 — 2 — 1 0 1 2 3
[ (х) = 2х2 18 8 2 0 2 8 18
Построим график функции f (х) = 2х2 (рис. 48, масш-
таб: ОХ — 5 мм — 1 ед., OY — 5 мм-- 1 ед.).
График такой функции называется параболой.
В восьмилетней школе говорить о геометрических свойст-
вах (фокусе, директрисе и т. п.) графика f(x) — х2 нет воз-
можности, хотя на кружковых занятиях они могут быть
рассмотрены в таком, например, плане.
Докажем для функции вида f (х) = х2, или у ~ х2, что
график ее обладает определенными геометрическими
свойствами.
102
Отметим на оси 0Y точку F с координатами (0;
а на графике возьмем произвольную точку М (х; у)
(рис. 49).
Определим расстояние FM с помощью координат точек
F и Л1. Из прямоугольного треугольника FNM по теореме
// 1 \2
х2 + I у-— I, но у = х2. зна-
/ Г TV
чит, FM = 1/ У + I {/-4 -) • Преобразуем подкоренное
/ 1 \2 11
выражение — — I = + у =
/,1V
= \У ± -5-1 , отсюда
FM = у + -7-
Расстояние FM на больше ординаты данной точки.
Далее продолжим МК за ось ОХ на расстояние» рав-
ное Через точку D проведем прямую параллельно
сси ОХ (прямая LLi). Расстояние точки М до точки D
103
тоже равно Значит, FM = MD. Можно взять вто-
рую точку на графике и точно так же доказать, что и
для нее расстояния до прямой LLt и точки F будут оди-
наковы.
Значит, всякая точка графика функции у == х2 одина-
ково удалена от точки F и от прямой LLt.
Справедливо и обратное утверждение, что всякая точка,
одинаково удаленная от точки F и от прямой LLtt должна
иметь координаты, удовлетворяющие аналитическому за-
данию функции у = х2, то есть должна лежать на нашем
графике.
Пусть дана точка Mi(xi;yi). Расстояние от нее до точ-
1 Н2
xi + ----4") • Расстояние от точки М
до прямой LLt равно уг 4- Так как эти два расстояния
I
Рис. 50.
Уг = х*.
Значит, график функции
у — х2 есть множество то-
чек, одинаково удаленных
от данной точки F и от
данной прямой LLl. Точка
F называется фокусом, а
прямая LLi —директрисой.
Чтобы выяснить влия-
ние коэффициента а на вид
графика функции f(x)=ax2,
можно на одной коорди-
натной плоскости постро-
ить графики нескольких
функций с различными
значениями а.
104
Например, f(x) — 5х2, f(x) = 2хг, f (х) = х3, f (х) = 4*х2>
f (х) = -g-*8 (Рис- 50)-
На этой же координатной плоскости можно построить
графики функций: /(х) —— 5х2, /(х) = —2х2, f(x) =
= т-х2, f(x) =----i-x3, f (х) = — -|~х3, где а < 0.
Положение графиков дает основание сделать вывод,
что с ростом величины а ветви параболы все круче под-
нимаются вверх, то есть располагаются ближе к оси OY\
с уменьшением величины а ветви параболы приближаются
к оси ОХ, Аналогичная картина и для функции f(x) =ах\
когда а < 0, только ветви парабол будут обращены вниз
от оси ОХ.
Весьма полезным было бы рассмотреть, хотя бы на
внеклассных, занятиях, изменение функции f(x) = ax2 на
интервале (0; 1), когда а не очень большое по абсолют-
ному значению.
Для вывода приближенных формул в физике часто
отбрасываются члены, содержащие х2, и более высоких
степенях.
Например, (I 4- х)2^ 1 + 2х, так как для малых х
величина х2 будет очень мала.
Это хорошо видно из следующей таблицы:
X 0,1 0,01 0,001 0,0001
X2 0,01 0,0001 0,000001 ... 0,00000001
Геометрически это у обстоятельство можно объяснить следующим образом: на интервале (0; 1) дуга параболы \ f(x)=x2 (рис. 51) вбли- \ зи начала координат \ практически мало чем X. отличается от отрезка оси абсцисс. Поэтому 0 дугу параболы прибли- женно можно заменить прямой. у 1 X Рис. 51,
105
Учитывая эту особенность, можно объяснить. матема-
тическую сущность некоторых приближенных формул.
Свойства функции f(x) = ах2 + с
По аналогии с функциями f (х) = kx и f (х) = kx + b
можно заметить, что свойства функции f (х) = ах2 + с бу-
дут аналогичны свойствам функции /(х) = ах2. Надо толь-
ко иметь в виду, что график функции f(x)~ax2+c сдвинут
по оси 0Y на с единиц вверх от 0, если с > 0, и вниз
от 0, если с < 0.
В соответствии с этим замечанием область значений
функции f(x)=ax2 + c будет несколько иная по сравне-
нию с функцией f(x) = ax2, а именно: когда х изменяет-
ся от — оо до 0 и а > 0, то f (х) = ах2-}- с изменяется от
-Г- оо до с, когда же х изменяется от 0 до 4- оо, то фун-
кция изменяется от с до оо; если х изменяется от —со
до 0 и а < 0, то f (х)= ах2 + с изменяется от — оо до с,
если же х изменяется от 0 до + oot то функция изменяется
от с до —оо.
Иным будет максимальное и минимальное значение
функции f (х) = ах2 + с. Если а<0, то f(x) — ax2 + c
имеет максимум, равный с, при х = 0. Если а > 0, то
f(x) — ax2 + c имеет минимум, равный с, при х = 0.
Корни функции /(х) = ах2 + с находятся из уравнения
ах2 -г с = 0:
Если с>0, то функция f(x) = ax2 + c действительных
корней не имеет и график ее не пересекает ось ОХ; если
с < 0, то функция f (х) = ах2 + с имеет два действитель-
ных корня лу = j/"----~ и х2 — — ---симметрич-
ных относительно оси OY.
Ось 0Y график функции пересекает в точке А (0; с).
Теперь можно составить таблицу для построения гра-
фика функции f(x) = ax2 + c с учетом проведенного ис-
следования.
106
Изменение значений функции в определенных интервалах Корни Точка пересе- чения с осью 0Y
X (~Оо; 0) 0 (0; + оо) функции
f(*)~ ах2 + с убывает от 4- оо до с f (x)min== = с возраста- ет от с до 4-оо при Х1,2 = ± ~ Л (0; Id)
а>0 при с > 0 дейст- вительных корней . нет
= ах2 + с возраста- ет от — СО до с f (х)тах~ — С убывает от с до — Со при с < 0 действи- тельных корней нет
а <0 ч I <3 ° 0 -Н II С) л *4 К /1(0; Id)
Так как вид графика известен (парабола), то, выбрав
дополнительно еще 2—3 точки для х > 0 и зная (на осно-
вании исследования) положение ветвей и вершины пара-
болы, можно построить график функции f (х) = ах2 + с,
при любых а и с.
Затем на одной координатной плоскости могут быть
построены графики следующих ।
=• — 2х2 4- 1; f(x) — 2x2—1;
f (х) = — 2х2 — 1; f(x) = 2х2 + 1.
Анализируя полученные гра-
фики, можно сделать вывод, что
все они представляют один и
тот же график функции f (х) =
= 2х2, только различным обра-
зом ориентированный относи-
тельно осей координат. Влия-
ние знака при а нами было вы-
яснено выше для функции
f (х) = ах2.
О по же остается справедли-
вым и для функции f (х) =7
= ах2 + с.
Влияние коэффициента с сво-
дится к перемещению графика
вдоль оси OF на с единиц.
107
Проще перемещать оси координат параллельно самим
себе» чем график функции, поэтому нетрудно заметить,
что график функции f (х) = ах2 + с есть график функции
/(%) = ах2 только в координатной плоскости, где ось ОХ
соответственно поднята или опущена на ] с | единиц по
сравнению с положением ее для графика f (х) — ах2.
Например, построить график функции f (х) = 2х2 + 2.
1. Установим область изменения [(х).
а) При изменении х от —оо до 0 f(x) изменяется от
4- оо до 2.
б) При изменении х от 0 до 4- оо f (%) изменяется от
2 до -р оо.
2. Минимум функции f(x) = 2х2 + 2 равен f (х)т1п — 2
при х = 0.
3. Корни f(x) находим из уравнения
2х2 + 2 = О,
В области действительных чисел f (х) = 2х2 + 2 корней
не имеет.
4. Ось 0Y функция пересекает в точке Л(0; 2), так
как при х = 0 i/=2-0-h2 —2. График f(x) = 2x2 + 2
будет иметь вид параболы, поднятой на 2 единицы вверх
от оси ОХ (рис. 53).
Если ‘учесть, что график функции f (х) = 2х2 нам из-
вестен, то график /(х) = 2х2 + 2 может быть построен с
Рис. 53.
помощью сдвига оси ОХ. Положение этого графика отно-
сительно старой системы координат XOY такое же, как
и в первом случае (рис. 54).
Свойства функции f(x) = а(х 4 /и)2
Прежде чем приступить к исследованию свойств функ-
ции /(х) = а(х4 /и)2, надо показать, как она получается,
то есть отметить, что это квадратная функция вида f(x)~
= ах2 *+ Ьх + с, где ах2 -т Ьх + с есть полный квадрат ка-
кого-либо двучлена.
Можно привести такие примеры: /(х) = 2х2 + 8х 4- 8 =
= 2(л2 + 4х+ 4) = 2(х + 2)2, f(x)==3x2 + 2x + 4- =
О
/ О ] \ [ 1 \2
= + у х + -gj = 3^х-|- и т. п.
1. Область изменения значений аргумента f(x)—a(x~t
+ /н)2.
Область изменения значений аргумента /(х) —а (х4- т)2—
множество действительных чисел, так как операции сло-
жения, умножения и возведения в степень в этом мно-
жестве выполнимы.
2. Область изменения значений функции.
Если а > 0, то область изменения значений функции —
всё положительные числа, так как при а>0а(х±
+ /и)2 > 0, отсюда f (х) > 0. 7
Если а < 0, то область изменения значений функции —
все отрицательные числа, так как при а < 0 а(х 4- /л)2<0,
отсюда J(x) < 0.
3. Четность функции.
/(х) = а(х +/л)2, f(—х) = х + /л)2, ах2 ±2ахт
4- ат2 4= ах2 — 2ахт 4- am2t отсюда f (х) #= f (—х). Значит,
f (х) = а (х 4- /л)2 — функция, не обладающая свойством
четности.
Может быть, функция / (х) = а (х 4- т)2 нечетная, то
есть f(x) = —f(x)? [(—х) = а(—х±тУ, ~f(x) = —а(х+
4- лг)2, ах2 — 2ахт 4- ат2 — ах2 —: 2axtn — am2t отсюда
f (— х)-£ —f (х). Значит, f (х) = а (х 4- т)2 не обладает
свойством нечетности.
Итак, функция f (х) =* а(х 4- tn)2 относительно множест-
ва действительных чисел не обладает ни свойством чет-
ности, ни свойством нечетности. Однако нетрудно заме-
тить, что график функции f(x) — a(x + tnf будет обяза-
на
тельно симметричен относительно какой-то прямой, парал-
лельной оси 0Y, так как он представляет собой пара-
болу. Для применения свойств квадратных функций к
решению квадратных неравенств и уравнений будет весь-
ма полезно уметь находить в каждом случае ось симмет-
рии параболы.
Один из возможных приемов нахождения оси симмет-
рии параболы может быть следующий.
График функции f(x) = а(х 4- т)2 пересекает ось 0Y в
точке (0; ат2). Найдем вторую точку, в которой график
функции имеет ординату, равную ат2. Для этого решим
уравнение:
ш а(х 4- т)2 = ат2,
ах* -|- 2атх + ат2 = ат2,
ах(х + 2т) = 0,
Xi — 0, х2 = — 2m.
Значит, вторая точка будет с координатами (—2m; ат2).
В точках 0 и (—2m) по оси ОХ график функции
[(х) = а(х н- т)2 имеет равные ординаты. Следовательно,
ось симметрии параболы проходит через середину отрезка
(0; — 2m). Середина этого отрезка будет ° _
=—т. Прямая, проведенная через точку (—т), взятую
на оси ОХ параллельно оси ОУ, и есть ось симметрии
графика функции f (х) = а(х + т)2 На основании такого
вывода можно сделать еще одно заключение: парабола
f (х)= а(х 4 m)2 имеет вершину в точке (—т; 0).
4. Чтобы установить участки возрастания и убывания
функции f (х) = а (х + т)2, можно провести доказательст-
во, аналогичное доказательству для функции f (х) ~ ах2+
4- с и убедиться, что:
а) при а > 0 для значений х в интервале (— оо, — т)
значения f(x) = а(х + т)2 убывают от 4- оо до 0, для
значений х в интервале (—т; + °о) значения f (x)=a(x-\-
-t т)2 возрастают от 0 до 4~
б) при а < 0 наблюдается обратная картина, то есть
для значений х в интервале (—оо, —т) значения
f (х) = а(х 4 т)2 возрастают от —оо до 0, а для значе-
ний х в интервале (—т, + оо) значения f (х) = а(х 4 т)2
убывают от 0 до —оо.
5. На основании условий возрастания и убывания
функции f (х) == а(х + т)2 и максимума и минимума функ-
ции f(x) — ax2 можно сделать вывод, что:
ПО
а) при a>0 f(x) = a(x + m)2 имеет минимум f(x)min=
= 0 при x = —m;
б) при a<0 f (x) = a (x + tri)2 тлеет максимум
KWOnp*x=-^ . - ч2
6., Корни функции f (х) = а(х + ту находим из урав-
нения а (х 4- /л)2 == °- Р 0» значит, (х 4- т)2 = 0, отсюда
х = - /л.
7. Точка пересечения графика функции f (х) ~ а (х 4-
4-/л)2 с осью ОУ имеет координаты х = 0, у = а(04’Гл)2 =
= ат2.
Полученные данные для f (х) — а (х 4- т)2 запишем в
таблицу и построим график (рис. 55).
Изменение значений функции в определенных интервалах Корни функции Точка пе- ресечения с осью OY
х (— оо; — т) — т +Т
— а (х 4- /л)2, а>0 /(*) = = а (х + т)2, а <0 убывает от + оо до 0 возраста- ет от 0 до 4- t (x)mln == 0 f (Х)тах ~ 0 возраста- ет от 0 до 4~ 00 убывает ОТ -}- со ДО 0 х — — т х = — т А (0; ат2) А (0; a/n2)
После построения графика функции f (х) == а(х 4- т)2
надо сравнить графики функций f(x)=ax2 и f(x)~a(x+
4-гл)2 и сделать вывод: график функции f (х) = а (х 4- т)2
можно получить путем перемещения графика функции
f(x)~ax2 вдоль оси ОХ на т единиц от 0 влево, если
/и > О, или на т единиц вправо, если т < 0.
Построить на одной координатной плоскости графики
следующих функций (рис. 56): f(x) =— 2х2; f(x) = 2x2;
f(x) = 2(x-3)2; f(x) = -2(x-3)2; f(x) = -2(x + 3)2;
f (x) = 2(x + 3)2.
Данный пример еще раз подтверждает сделанный вьь
ше вывод относительно взаимного расположения графиков
функций f (х) = ах2 и f (х) = а (х 4- т)2.
111
Рис. 55.
У
Рис. 56.
112
Свойства функции f(x) — ах2 + Ьх +с
После преобразования функции f (х) = ах2 + Ьх + с к
с/х / । • 6 Ь2 — 4ас
виду f (X) - а (х 4 п)2 + т, где л = и « =-------,
становится очевидным, что функция f (х) = ах2 4 Ьх 4- с
как бы объединяет в себе свойства двух ранее изученных
функций f (х) = ах2 4- с и f (х) = а (х 4 л)2.
1. Область изменения значений аргумента функции
f (%) == а (х + п)2 4 tn — множество действительных чисел.
2. Если л > О, то значения функции изменяются от
4- оо до tn.
Если а<0, то значения функции изменяются от tn
ДО — оо.
3. Функция f (х) = а (х 4- л)а 4- tn не обладает ни свой-
ством четности, ни свойством нечетности относительно
множества действительных чисел (вывод аналогичен как и
для f (х) ~ ах2 4 с).
Ось симметрии параболы f (х) = а (х 4“ п)2 4- tn прохо-
дит через точку х = — п. Координаты вершин параболы —
/ Ь \
\ 2а; V
4. При а>0 для значений х в интервале (—оо, —л)
значения f (х) = а (х 4 п)2 4 tn убывают от 4- до т, а
для значений х в интервале (— п, 4“ °°) значения f (х) =
= а(х 4- п) 4- т возрастают от т до 4- со.
При л<0 для значений х в интервале (—со, —п)
значения f (х) — а (х 4* п)2 + т возрастают от — оо до /л,
а для значений х в интервале (— л, 4- ос) значения
f (х) = а (х 4- л)2 4- т убывают от 4 т до — оо.
5. В соответствии с условиями возрастания и убыва-
ния функции f (х) = л(х4 л)2 4 tn и принимая во внима-
ние условия максимума и минимума функций f (х) ==
= ах2 4 с и f (х) = а(х 4- tn)2, можно сделать вывод:
а) при а > 0 f(x) == а(х + rip 4 tn имеет минимум, рав-
ный tn при х = — л:
б) при а<0 f(х) = а(х 4 л)2 4 tn имеет максимум,
равный т при х == — п. При этом необходимо отметить,
что а (х 4- л)2 4 т = ах2 4 Ьх 4 с, поэтому:
а) если а > 0. то при х = f (x)min =----------.
б) если а < 0, то при х = -75—
№ — 4ас
4а
/(*)
max
6. Для нахождения корней функции [(х) = а(х -t- n)2-t-tn
б Зак. 260
113
Для f (х) —ах2 + Ьх + с имеем таблицу:
Изменение значений функции в определенных интервалах Корни функции Точка пересе- чения с осью ОУ
X / ь \ \ °°: 2а/ b 2а ( ь. । \ 1 — —: ч- оо 1 \ 2а /
f (х) = ах2 + + Ьх -Н с, а > 0 / (х) = ах2 + Ьх + с, а<0 убывает от + ос до Ь2 — 4 ас 4а возрастает от — оо до Ь2 — 4ас 4а f (x)mln “ __ b2 — 4ас ~ 4а f Wmax = ___ Ь2 — 4ас ~~ 4а возрастает от Ь2 — 4ас 4а до + оо убывает от Ь2— 4ас .4а ДО — оо Х1,2= — b ± 1/ Ь2 — 4ас ~ 2а » А (0; с)
Например, для функции f(x) = 3x2t—4x-j-5 исследование приводит к следующей таблице
и графику (рис. 57).
Изменение значений функции в определенных интервалах Корень функции Точка пересе- чения с осью 0Y
X / 2 \ °0’ 3 / 2 3 col to •
II ! s “Ь <о| убывает от + 00 Д° 4 г ( . 2 f (^)mln — 2 возрастает от J до + 00 действитель- ных корней нет А (0; 5)
или, что то же самое, f (х) — ах2 4- Ьх 4- с решим урав-
о . , , п — Ь + У Ь2 — час
нение ах2 + Ьх + с = 0, получим: , х2=
_b — Ь2 — 4ас
2а ’
7. Точка пересечения графи-
ка функции f(x)=a(x+«)2+ т
с осью OY имеет координаты:
х — 0, у — а (0+п)2 + т=ап2 4-
4- т, то есть А(0;ап2 + т)
Если учесть, что п = ~ и
Ь2 — 4ас - ч
т --------, то А (0; с).
Если приготовить шаблоны
парабол: f (х) = х2, f (х) = 2л2,
f(х) = Зх2, f(x) = 4х2, f(x) ==5ха,
f(x) = -^-x2, = х2,
f(x)= 4" A f (*) = -g- To n0"
Рис. 57.
строение графиков функций f (х) = ах2 + Ьх + с, где
а == 1 ^2; 3; 4; 5; -i-; на основании полученных
таблиц исследования не занимает много времени и зна-
чительно облегчает дальнейшую работу по изучению
свойств функций.
§ 3. Исследование свойств функций,
содержащих знак модуля
В последние годы учителя математики все чаще обра-
щаются к исследованию свойств функций и решению
уравнений и неравенств, содержащих знак модуля в усло-
вии. Данный вопрос представляет определенный интерес
с точки зрения воспитания сознательного применения по-
лученных знаний.
В восьми летней школе должны быть заложены прин-
ципиальные основы исследования свойств функций, содер-
жащих знак модуля, и показаны отдельные частные при-
емы такого исследования.
Целесообразно знакомить учащихся со свойствами та-
5*
115
ких функций после того, как они приобретут определен-
ный запас знаний по вопросу исследования функций.
Методика изучения функций, содержащих знак моду-
ля, может быть различной, а метод исследования свойств
функций надо выработать единый.
Для выработки такого метода исследования прежде
всего необходимо дать четкое определение модуля вели-
чины:
(+ а, если а > 0;
0, если а = 0;
— а, если а < 0.
Пока учащиеся твердо не усвоят понятие модуля ве-
личины, эту запись определения не следует сворачивать
даже к виду
+ а, если а>0;
1аI = . п
‘ 1 I — а, если а < 0.
В определении модуля наиболее трудным для усвое-
ния является случай |д|=—а, если а < 0, так как
внешне эта запись может подвести учащихся к непра-
вильному выводу, что модуль величины может быть и от-
рицательным числом.
На следующих примерах: | — 21 == — ( — 2) = 2,
| — 1,51 == — (— 1,5) = 1,5 и т. п.' учащиеся убеждаются
в правильности такой записи, и только после этого можно
записывать короче: | — 3 [ =3.
Единый метод исследования функций со знаком моду-
ля заключается в том, что область определения функций
разбивается на отдельные множества: 1) —оо < х < 0;
2) х = 0; 3) 0 < х < + оо, при этом выделяется множест-
во значений х, на котором f(x) принимает отрицательные
значения, равные 0 и положительные. Для каждого мно-
жества исследуются свойства функции с соблюдением
определения модуля величины.
В соответствии с этим методом исследуем свойства
ряда функций, содержащих знак модуля.
1. =
На множестве — оо < х < О f(x) = —х.
На множестве х = 0 /(х) == 0.
На множестве 0 < х < -|- оо f (х) = х.
При этом необходимо иметь в виду, что во всех трех
116
случаях получаем множество значений одной функции
f(x) = \x\, кратко это можно записать так:
f(x) = |xf =
— х, если
О, если
х, если
х< 0;
х — 0;
х > 0.
График f(x) = |x| есть ломаная линия, которой при-
Цадлежит и нулевая точка (рис. 58).
Анализ графика дает основание для следующих выво-
дов:
1) область определе-
ния f(x) = |x| — все
множество действитель-
ных чисел;
2) множество значе-
ний f (х) — | х| — множе-
ство только положитель-
ных чисел;
3) f(x)=|х|, f(—х)=
=|х|, то есть f (x)=f(—x),
значит, f (х) = | х —
четная функция. График
ее симметричен относи-
тельно оси OY;
Рис. 58.
4) для множества — оо < х < 0 функция f(x) — [ х | —
убывающая, для 0 < х < оо — возрастающая;
5) f(x) = |x| ПРИ * = 0 имеет минимум, разный 0;
6) корень функции х = 0;
7) ось OY график функции пересекает в точке А (0; 0).
Такие же свойства и такой же график имеет функция
f (х) = У х2 = | х |.
2. f(x) = -\x\.
Зная свойства функций /(х) = х2, f(x) == —х2 и f (х) =
= |х), не трудно сделать вывод, что график f(x)==
«= —[х| будет симметричен графику f(x) = |х| относи-
тельно оси ОХ (рис. 59).
Иногда у учащихся складывается неправильное пред-
ставление, что множество значений функций, содержащих
знак модуля,— есть только положительные числа. Чтобы
этого не случилось, надо сразу после построения графи-
ка f (х) = | х | рекомендовать исследовать свойства функ-
ции /(х) =.|х| ± 1.
117
3. f(x) = ]x| ± 1.
На множестве —сю < х < 0 f(x) = —х ± 1.
На множестве х — 0 f (х) = ± 1.
На множестве 0 < х < оо f(x) = x± 1.
Кратко это можно записать так:
— х ± 1,
± 1,
X ± 1,
если
если
если
х < 0;
х = 0;
х > 0.
На основании графика функций f(x) = |x| и f(x) =
= х+1 можно сразу построить график f(x) = |x|±l
(рис. 60).
У
Рис. 59.
На примере функции
f (х) = | х | — 1 видно,
что множество значений
функций, содержащи х
модуль, не всегда явля-
ется только множеством
положительных чисел.
4. f (х) = \х + 1 ].
Функции f (х) = | X I,
/(%) = —|х| и f(x) =
= | х | + 1 — симметрич-
ны относительно оси OY,
и множество значений
аргумента разбивается
на два симметричных
подмножества относи-
тельно нуля.
Для функции f (х) =s | х ± 11 ось симметрии будет
иная, поэтому надо обратить особое внимание учащихся
на множество значений аргумента, при которых он будет
отрицателен, положителен и равен нулю.
х + 1 < 0 для х < — 1;
х + 1 — 0 для х = — 1;
х + 1 > 0 для х > — 1.
Следовательно, область определения функции разби-
вается на 3 множества: — оо < х < — 1, х = — 1,
— 1 < х < оо.
Область определения функции — множество, симметрич-
ное не относительно 0, а относительно —1.
118
Теперь, согласно определения абсолютной величины
числа и установленной области определения данной функ-
ции, можем записать:
Рис. 60.
На множестве — оо<х< — 1 f(x) = — х + 1 = 1 — х.
На множестве х ~ — 1 / (х) = — 1 + 1=0.
На множестве — 1 < х < со f (%) = х + 1.
Кратко это можно записать так:
f (х) = ] х + 1
1 — х, если
0, если
L х + 1, если
График функции
f (х) = [х + 11 (рис. 61)
есть график функции
f (х) = | х |, смещенный
вдоль оси ОХ на 1 вле-
во. Аналогично графиком
f (х) = | х — 11 будет гра-
фик функции f(x) = |х|,
смещенный на 1 вправо.
Затем можно отме-
тить аналогию функции
f (х) = (аг± п)2 с функ-
цией f (х) = | х + п |. По-
этому построение графи-
ков таких функций пос-
Рис. 61.
119
ле изучения свойств квадратной функции не вызывает осо-
бых затруднений.
5. f (х) — | х^ + х.
На множестве — оо < х < О f (х) = —х 4- * = 0.
На множестве х = 0 f (х) = 0 4- 0 = 0.
' На множестве 0 < х < оо f (х) = х + х = 2х.
Кратко это можно записать так:
f(x) = |х| + х=
0, если
О, если
2х, если
х > 0.
График функции /(х)
Рис. 63.
= | х | + х изображен на рисун-
ке 62.
Свойства функции f(x) =
«= |х| -г х очень интересны: 1) функ-
ция имеет бесчисленное множе-
ство корней; 2) для — оо < х < 0
она не возрастающая и не
убывающая; 3) функция не имеет
минимума, хотя и не везде воз-
растающая.
Пример этот можно будет
использовать позднее при реше-
нии уравнений и неравенств, со-
держащих знак модуля.
6- Их) = |х| 4- х± 1.
По аналогии с графи-
ками функций f(x)~
= |х| ± 1 и f(x) = | х | 4- х
можно построить график
функции f (х) = | х | 4-
4 х ± 1 без предвари-
тельного анализа (рис.
63).
7. /(х) = |х+1| +
+ |х-2|.
Это сложная функ-
ция, и исследовать ее
возможно только в хо-
рошо подготовленном
классе или на кружко-
вых занятиях.
120
л Вначале установим область определения каждой из
двух функций Д (х) = | х + 11, f2 (х) = | х — 21:
1 —х, если х < — 1;
fl(x) = |x+l| =
О, если х = — 1;
k х + 1, если х > — L
2 — х, если х < 2;
f2(x) = |х—2|=
О, если х = 2;
х — 2, если х > 2.
Затем объединим их в одну, с учетом области изме-
нения аргумента каждой. В итоге отрицательные значения
аргумента будут при х<— 1, положительные прих>2
и нулевые — в промежутке — 1 < х < 2.
Итак,
f(x) = (х + 11 + |х — 2[=
3 — 2х,
3,
k 2х —1,
если х < —•’];
если — 1 < х
если х > 2.
2;
График функции f (х) = |х + 11 4-1х — 2| есть лома-
ная линия (рис. 64), у которой одно из трех звеньев рас-
полагается параллельно оси ОХ.
Графики функций f('x) = |x-|-l + |х— 2|+л
будут такие же по виду, как и f (х) = | х + 11 + | * — 21,
только подняты или опущены вдоль оси OY на п единиц.
Рис. 64.
121
f(x) =
1, если x < 0;
имеет смысла, если х = 0;
если х > 0.
График есть две полупрямые (рис. 65) без
конечных точек для х = 0, так как при х ~ 0 f (х) =
I Х1
==J—L не имеет смысла.
a f(x) = |%2 —1|.
Так как под знаком модуля находится симметричная
относительно оси ОУ парабола и вершина ее опущена на
1 единицу вниз от 0, то область определения распадается
на два множества: первое, где х2 — 1 > 0, то есть для
1 < х < — 1, второе, где х2 — 1 < 0, то есть для
- 1 <х< 1.
I х2 — 1, если 1 < х, х < — 1;
f (х) = [ х2 11 == I 2 J ________1 < х < 1
У
Рис. 65.
Рис. 66.
График функции f (х) = [ х2 — 11 изображен на рисун-
ке 66.
График f(x) = [ х2 — 11 — сложная кривая, обладающая
122
следующими свойствами: 1) область определения f(x)~
= |х2*— 11 — множество действительных чисел; 2) множество
значений f (х) = | х2 — 11 — положительные действитель-
ные числа; 3) четная функция; 4) участки возрастания:
а)—1<х<0, б) х> 1; участки убывания: а) х <—1,
б) 1 > х > 0; 5) функция имеет два корня: Xi — 1 и х2 =
= — J; 6) график функции пересекает ось ОУ в точке
Л(0; 1).
Ю. f(x)-| — х2 + 2х + 3|.
Под знаком модуля находится парабола, пересекающая
ось ОХ в точках х — — 1 и х ~ 3. Вершина параболы имеет
координаты (1; 3). Поэтому область определения функ-
ции f (х) = [ — х2 + 2х + 31 можно разбить на два участка:
один, на котором f(x)= —х2+2х+3 имеет положительные
значения, то есть 3>х>— 1, второй, на котором она
имеет отрицательные значения, то есть х> 3 и х <— 1.
f(x) = | — х2-(-2х+3 J =
— х2+2х4-3, если 3 > х > — 1;
|—х24-2х+3|, еслих>3 их< —1.
График функции f (х) = | — х2 +
+ 2х + 31 изображен на рисунке 67.
Анализ свойств графика f (х) —
= ] — х2 + 2х + 31 не дает ничего
принципиально нового по сравне-
нию с функцией,' рассмотренной в
примере 9.
В восьмилетней школе нет не-
обходимости рассматривать свой-
ства более сложных функций со
знаком модуля. После изучения
свойств следующих функций: f (х) =
Рис. 67.
= —; f(x) — ах3; f(x) = ax; f(x) = Vx и т. п. можно
X
рассмотреть упражнения. Исследовать свойства и постро-
ить графики функций: f (х) = 2 >х I; /(х)=-г—г; f (х) ~ х |х|;
I х
Для изучения свойств квадратной функции и функ-
ций, содержащих знак модуля, можно предложить следу-
ющие упражнения:
123
1. Определить, какие из данных функций являются
четными: f (х) = 1 —х; f (х) = 2ха — 1; f (х) = х2 + х; f(x)=
= х4 + 2; f(x) = l—х2; f(x) = r£-^ f(x) = (x3 + x) +
+ (x* + x). +
2. Исследовать свойства функций: f(x) = (x2—I)2;
f(x) — (x2 + I)2; f(x) = x— x3; f(x)=x4— 2x2 + 2.
3. Построить графики функций: f(x) = -1
f(x) = x’+l; f(x) =-Lx2 + 0,5
и определить, какая из
функций четная.
4. Представить в виде суммы четной и нечетной функ-
ций следующие функции: * f (х) = х2 + 2Х3; f (х) = 2х + 3;
f (х) = х2 + 2х 4- 1.
5. Как построить график четной функции f (х), если
он построен только для х > 0?
6. Какой вывод можно сделать о четности функции
|f (х) |, если: a) f(x)—четная, б) f(x) — нечетная?
7. Может ли функция быть одновременно -четной и
нечетной?
8. Аналитически установить, будут ли возрастающими
данные функции: f (х) = х + 4; f (х) = —2х + 1; f (х) = х2
(для —5-<х<5); f(x) =—2х2 + 3 (для —10<х<10);
f (х) — Зх2 — 2х — 2.
9. Доказать, что функция f(x)=x—х2 возрастает
при х < 3.
10. Доказать, что функция f(x) = (x+ I)2 на интерва-
ле (— 1 < х < 0) возрастает.
11. Выяснить, будут ли возрастающими данные функ-
ции: f(х) = =т4т; И*) = fW = 1 —
— V f (х) = у4х+2х.
12. Найти корни функций: f (х) = — 2х — 4;
= f(x) = x(2x-5);
13. Исследовать функции: f (х) = 2х2 4- 1; f(x) =
= 4-^+02; Z(x) = — 1,5(х + З)2 — 1; f(x) = 9x2-6x+l;
f (х) — — 0,2х2 — 5х — 2.
124
14. Указать общие и различные характеристики в гра-
фиках следующих функций: f(х) = х2; f(х) = (х — I)2;
f (х) = (X + 1Л = х2 - 1; f (X) = X2 4- 0,5.
15. Привести пример функции второй степени, которая
обращается в нуль при значениях аргумента х = 0,5 и
х = 1. Построить график этой у*
функции. \ /
16. Привести пример функ- \ /
ции, которая при х = — 2 \ /
и х ?= I по абсолютной вели- \ ' /
чине неограниченно возраста- \ /
ет. Построить ее график. /
17. На рисунке 68 (масш-
таб: ОХ — 5 лью--* 1 ед., ОУ— . /
5 леи-- 1 ед.) изображены ----------2—.-------------—
; параболы вида f (х) = ах2 + с. X
Для каждой из парабол найти f
коэффициенты а и с, / \
18. Парабола f (х) = ах2 -\- [ \
+ с проходит через точки / \
Л (10; 3) и В (—5; —4,5). / \
Найти коэффициенты а и с. / \
19. При каких значени- ' '
%2 Л Рис. 68.
ях х /(х) = -у меньше 2х.
Проиллюстрировать графически.
20. Определить с помощью приращения функции,
ветви какой из парабол f(x) = 2x2— 3 и f(x) —х2—Зх-| 4
будут расположены ближе к оси ОХ.
21. На какие два слагаемые можно разложить число
10, чтобы их произведение оказалось наибольшим?
22. В деревянном бруске, имеющем квадратное осно-
вание со стороной а и высоту h (Л < а), надо сделать
квадратный вырез. Какую нужно взять сторону основа-
ния этого выреза, чтобы полная поверхность оставшейся
части бруска была наибольшей?
23. Доказать, что функция f (х) — 6х — х2 возрастает
при х < 3 и убывает при х > 0.
24. Установить по графику уравнения ах by + с == 0:
а) какой угловой коэффициент имеет график;
б) какие отрезки отсекает график на координатных
осях;
125
в) при каком условии график параллелен оси абсцисс
(оси ординат)? _
25. Докажите, что прямая у —у Зх — 3 = 0 образу-
ет с осью ОХ угол в 60э. __
26. Построить график функции f(x) = 2x + ]Sx2 ==
= 2х 4- |х|.
27. Сравнить свойства функций f (х) = 2х2 и f (х) =
= 2х2 — 4х + 2. Указать общие характеристики их
свойств. Изобразить обе функции графически и сравнить
графики.
28. Доказать, что функция f(x) = (x—I)2 на множест-
ве — 1 < х < 0 и на множестве 0 > х > 1 убывает.
29. Почему график функции f(x)=x2— 2|х| 4- 4 не
пересекает оси ОХ?
30. Исследовать свойства функций: f (х) = 1 4- х х2 =
1 , 11 г/ X 4Н*2) с. . 2 2]х|
= 1 + х|х|; /(х) = —4Т|“; “ —х— = “л ’
31. Разделить данный отрезок на две части так, что-
бы прямоугольник, у которого эти отрезки будут сторо-
нами, имел максимальную площадь.
32. Около данной окружности радиуса г описать ромб,
имеющий: а) минимальный периметр; б) минимальную
площадь.
33. Построить кривую, все точки которой имеют те
же ординаты, что и кривая у = х2, а абсциссы больше ее
абсцисс на 1 (—1; 4; 0,5; —0,5). Как может быть полу-
чена кривая?
34. Прямоугольник со сторонами а и b изменяется
так, что диагональ его остается постоянной. Каким соот-
ветствием должны быть связаны стороны нового прямо-
угольника? Дать график этого соответствия.
35. Решить графически уравнения: х2—х — 2 = 0
(с точностью до 0,1); х2 + 8х -г 7 — 0.
36. Как получить график функции f (х) = |х2— 11, если
график функции f(x) = x2—1 известен?
37. Представить приближенно, в виде линейной функ-
ции, функцию f(x) = (2 + x)2 для малых значений х. По-
строить график полученной функции и сравнить его с
графиком данной.
38. Функция f(x)=12x — х3 на множестве значений
126
аргумента — 2 < х < 2 возрастает. Доказать это поло-
жение.
39. Исследовать свойства функции и на основании ре-
зультатов исследования построить график функции f (х) =
*+х3 „
“ 1*1 v
40. Установить общие свой- \ /
ства функций у = | х | и | у | = х. \ /
41. Напишите уравнения па- \ /
раболы, изображенной на ри- \ /
сунке 69 (масштаб: ОХ — 2 мм \ /
ед., OY — 2 мм -- 1 ед.). \ /
По теме «Квадратная функ- /
ция» могут быть выполнены----------------------------у
следующие самостоятельная и *
контрольная работы. р
Самостоятельная работа по
«Общие свойства функций».
теме
Вариант 1
1. Установить область определения функции /(х) =
2 + х
~ х2 —16 ‘
2. С помощью понятия приращения функции устано-
вить, будут ли возрастающими следующие функции:
f (х) = х + 4; f (х) = 2х2 + 1. Проиллюстрировать вы-
ясненное свойство графически.
3. Найти корни функций: f (х) = —х2 + 2; f (х) =
4. Выяснить, какая из предложенных функций четная:
f (х) = 2 — х2; f (х) = х2 + х.
Вариант II
1. Установить область определения функции f(x) =
- 1 — X
х (х — 2) ‘
2. С помощью понятия приращения функции уста-
новить, будут ли следующие функции убывающими:
127
f (x) = — x — 1; f (x) = 2x2 — 1. Выясненное свойство проил-
люстрировать графически.
3. Выяснить, какая из предложенных функций нечет-
ная: f (х) = -g-x2 — 1; Дх) = х2 + 2х.
Контрольная работа по теме «Исследова-
ние свойств квадратной функции».
Вариант I
1. Исследовать свойства функции /(х) = 2х2 —Зх + 7.
2. На какие два слагаемые можно разложить число 10
так, чтобы их произведение оказалось наибольшим?
3. Парабола Дх)=ах2 + с проходит через точки
-4(10; 3) и В(—5; —4,5). Найти коэффициенты а и с.
4. Построить график функции f (х) = | х | 4- ха.
Вариант II
1. Исследовать свойства функции f (х) == —Зх2 4- 2х—1.
2. Разделить данный отрезок на две части так, чтобы
прямоугольник, у которого эти отрезки будут сторонами,
имел максимальную площадь.
3 Парабола f(x) = axa4t? проходит через точки
А (2; 6) и В (7; 5,5). Определить коэффициенты а и с.
4. Построить график функции f (х) = v
§ 4. Применение метода исследования
свойств функций к решению и исследованию
неравенств и уравнений
Изученные свойства функций и методы их исследования
должны найти применение в восьмилетней школе при ре^
шении неравенств и исследовании уравнений.
Решение квадратных уравнений на основе известного
алгоритма не вызывает обычно у учащихся затруднений,
но решение квадратных неравенств представляет опреде-
ленную трудность. Объясняется это тем, что, решая квад-
ратные неравенства, учащиеся часто не используют зна-
ния, полученные при исследовании свойств квадратных
функций. Поэтому для решения и исследования нера-
128
девств и квадратного трехчлена необходимо применять те
зкв методы, что и для исследования функций.
; После того как свойства квадратной функции изуче-
ны, исследование квадратного трехчлена не вызывает за-
труднений.
Исследование квадратного трехчлена можно проводить
с помощью графика функции f (х) = ах2 -f- Ьх + с.
Например, дан трехчлен — Зх2 + 2х — 4. Надо иссле-
довать его свойства. Задача сводится к исследованию
свойств функции f (х) — — Зх2 + 2х — 4.
1. Множество значений х —все действительные числа.
2. а = —3 < 0. Множество значений f(x) изменяется
□ 2 — Ь2 — 4ас 4—4(—3) • (—4)
от — оо до — Зу, так как -------------------—- =
4 — 48 11 _ ч 2
“ —12 — 3 ~ й 3 •
3. Парабола функции f (х) = — Зх® -1- 2х — 4 симмет-
рична относительно прямой х = -4-, параллельной оси ОК,
— Ь —2 1
так как -я— = •=—,—
4. а = — 3 < 0. Для множества — оо < х < -о~ f (х) воз-
О
2 1
растает от — <х> до — З-х-. Для множества -%- < х < оо
о о
2
f (х) убывает от — 3 — до — оо.
о
5. При а < 0 f (х) = — Зх® + 2х — 4 имеет максимум в
6 Для нахождения корней решим уравнение:
Действительных корней нет.
7. Ось 0Y функция пересекает в точке В(0; —4).
Точка Л, симметричная точке В относительно прямой х =
1 / 2 \
= , параллельной OY, имеет координаты 1-у; —4).
На основании схемы исследования и полученного гра-
фика (рис. 70) можно ответить на следующие вопросы:
когда трехчлен будет равен нулю? когда будет положи-
129
телен? когда отрицателен? имеет ли трехчлен максимум
или минимум? где участки возрастания и убывания?
Следовательно, исследование квадратного трехчлена
ах2 4- Ьх + с не содержит ничего нового по сравнению с
исследованием квадратной функции f (х) = ах2 + Ьх + с.
После того как исследование свойств квадратного
трехчлена будет усвоено, можно не повторять все этапы
исследования, а ограничиться лишь самыми необходимы-
0
Рис. 70.
ми: нахождение корней функции, координат вершины па-
раболы, точек пересечения графика с осью OY и точки,
симметричной ей относительно прямой х =
6
2а
По полученным точкам с учетом знака коэффициен-
та а можно строить график функции f (х) — ах2 4- Ьх + с и с
его помощью получать ответы на поставленные вопросы
при решении квадратных неравенств.
Например, исследовать трехчлен х2— Зх + 1.
1. Найдем корни трехчлена:
х1^2,62, х2^0,38.
2. Вершина параболы: 4(1,5; —1,25).
3. Точка пересечения с осью OY—В(0; 1), симметрич-
ная ей точка относительно прямой х == 1,5, —С(3; 1).
График трехчлена х2— Зх+1 изображен на ри-
сунке 71.
130
По графику можем установить, что:
а) для — оо < х < 0,38 и 2,62 < х < 4- оо трехчлен по-
ложителен;
б) для = 0,38 и х2 == 2,62 трехчлен равен нулю;
в) для 0,38 < х < 2,62 трехчлен отрицателен;
г) в точке Л (1,5; —1,25) трехчлен имеет минимум,
равный —1,25;
д) для —оо <; х < 1,5 значения трехчлена убывают от
4- оо до — 1,25; для 1,5 < х < + оо значения трехчлена
возрастают от —1,25 до 4-оо.
Полученные знания об исследовании квадратной функ-
ции и квадратного трехчлена в значительной мере облег-
чают решение квадратных неравенств и систем линейных
неравенств.
Решить квадратное неравенство ах2 + Ьх + с >0 (ах2 +
-J-+ с < 0)—это значит найти, для какого множест-
ва значений х квадратная функция f (х) — ах2 -f- bx-[ с
положительна (отрицательна).
Приведем несколько примеров решения неравенств.
1. 2х2—3x4-2 >0.
а) Найдем корни неравенства 2х2 — Зх -J- 2 > 0:
2х2 — Зх + 2 = О,
3 ± /9 —8 3 ± 1
*Ь2 4 4 ’
Хх = 1, .
/ з 1 \
б) Вершина параболы А I-у;-----у I.
в) Точка пересечения с осью ОУ — В(0; 2). Точка,
Q
симметричная В (0; 2) относительно' прямой х — —, —
С (1,5; 2).
График трехчлена 2х3— Зх 2 изображен на рисун-
ке 72.
По графику можно установить, что f(x) = 2x2— Зх+2
положительна для — оо < х < 4 и для 1 < х < оо и,
следовательно, решением неравенства 2х2 — Зх 4- 2 > 0 бу-
дет два интервала (—оо; и (1; о>).
2. 2х2—х4- 4 < 0.
а) Найдем корни неравенства 2х2 — х + 4 < 0:
131
2х2 —х + 4 = 0,
1 ± lzn=32
*1,2 -=----4----•
Действительных корней нет.
б) а = 2 > 0. Парабола расположена выше оси ОХ.
Значит, множество значений х, при которых 2х2— х+
4 < 0 — пустое.
3. — Зх2 + 2х + 4 < 0.
а) Найдем корни неравенства — Зх2 + 2х + 4 < 0:
Зх2 —2х —4 = 0,
0 будет два
б) а = — 3 < 0. Ветви параболы направлены вниз от
оси ОХ (рис. 73).
Решением неравенства — Зх2 + 2х + 4
интервала (— оо; —0,87) и (1,54; + оо).
4 > 0
3 — 4х '
Данному неравенству будет удовлетворять только мно-
жество значений х, для которого числитель и знамена-
тель одновременно либо положительные, либо отрицатель-
ные, то есть надо решить квадратное неравенство
(х — 2) (3 — 4х) > 0. Решив его, получим -т- < х < 2.
132
Вообще, если имеем неравенство вида ~ 0, то его
можно заменить эквивалентным неравенством (ах+&)(сх+
+ d)^0.
В процессе решения нескольких квадратных нера-
венств становится очевидным, что для их решения нет
необходимости проводить полное исследование функции
f(x) — ах2 + Ьх + с и даже не надо строить параболу.
Достаточно знать знак а и корни трехчлена и можно
сделать выводы:
1. Если а > 0 и два корня различные, то: а) решени-
ем неравенства ах2 + Ьх + с > 0 будет множество зна-
чений х, не принадлежащее интервалу (хг; х2), где и
ха— корни уравнения ах2 -f- Ьх 4- с — 0; б) решением нера-
венства ах2 4- Ьх + с < 0 будет множество значений х,
принадлежащее интервалу (х/, х2).
2. Если а > 0 и два корня равны (ад = х2), то: а) ре-
шением неравенства ах2 4- Ьх 4- с > 0 будет все множество
действительных чисел; б) решением неравенства ах2 4- Ьх+
4- с < 0 будет пустое множество.
3. Если а > 0 и нет действительных корней, то: а) ре-
шением неравенства ах2 4- Ьх 4- с > 0 будет все множество
действительных чисел; б) решением неравенства ах2 + Ьх±
4- с < 0 будет пустое множество.
4. Если а < 0, то, поменяв знак а и знак неравен-
ства на противоположный, получим один из случаев, рас-
смотренных ранее.
В восьмилетней школе можно рассмотреть систему
двух неравенств первой степени и неравенства, приводя-
щие к такой системе.
Неравенства вида S 0 в восьмилетием
школе можно рассмотреть только в хорошо подготовлен-
ном классе или на кружковых занятиях.
Приведем несколько примеров решения систем нера-
венств.
х — 3 > 0,
1
| 2x4-КО.
Решением первого неравенства будет множество зна-
чений х > 3, решением второго неравенства будет мно-
жество значений х <---
133
Пересечением этих двух множеств будет пустое мно-
жество.
Пустое множество и есть решение данной системы.
( 2х — 3 <0,
2 <
[Зх — 4 > 0.
1
стемы неравенств
Множество значений х<1 —- есть решение первого
неравенства, множество значении х> 1 ------есть решение
второго неравенства. Пересечение этих множеств есть
множество значении 1 -у-
Х2_2х+ j п
°- 2х2 —3x4-4-^
Решение этого неравенства равносильно решению си-
0,
0.
Решение первого неравенства есть множество всех дей-
ствительных чисел, так как а = 1 > 0 и х± = х2 = 1. Ре-
шение второго неравенства есть также множество всех
действительных чисел, так как а = 2 > 0 и действитель-
ных корней уравнение 2Х2 — Зх 4- 4 = 0 не имеет.
Следовательно, решением неравенства
будет множество действительных чисел.
4 1 0
х2 4- 5х + 4
Множество решений этого неравенства
следующих двух систем
совпадает с пе-
ресечением множеств решении
неравенств:
х2 4- 2х + 1 > 0, х2 4- 2х 4- 1 < 0,
х2 -ь 5х + 4 < О И I № + 5х + 4 > 0.
Множество решений первой системы есть пересечение
двух множеств: множества всех действительных чисел и
множества значений — 1 > х > — 4.
Множество решений второй системы есть пересечение
множеств: — оо < х < — 4, — 1<х<8, — оо<х< — 4,
~ х2 4~ 2% 4- 1п
Решение неравенства х2 5д. < 0 есть п<
множества — 4 < х < — 1 и пустого множества.
134
Важным фактором является применение полученных
знаний по исследованию свойств функций к решению
уравнений, содержащих параметры. В восьмилетней шко-
ле обычно ограничиваются простыми преобразованиями и
алгоритмом для нахождения неизвестного без учета усло-
вий, при которых найденное множество значений неизвест-
ного будет или сужено, или расширено, в зависимости
от значений параметров.
Решить уравнение —----------------=------- относи-
тельно х и выяснить а) при каких т оно имеет: положи-
тельное решение; б) отрицательное решение; в) нулевое
решение; г) не имеет решения; д) имеет бесчисленное
множество решений.
Чтобы уравнение имело решение, необходимо выполне-
ние следующих условий: х #= — 1; х #= 0; + т.
Решив уравнение, получим: х = т-~ *.
После этого надо выяснить, при каких значениях т
т — 1
х — —s-------есть корень уравнения.
Так как х =/= — 1, то =£ —1, то есть tn =# — 1.
Так как х #= 0, то —#= 0, то есть tn =# 1.
Так как х =£ т, то ™ 1 т, то есть т=£ — 1.
Уравнение —у-?----------=------- имеет корень
X । 1 X X tTL
т— 1 , ,
х =—— при всех т, кроме tn = ± 1.
&
Положительное решение — > 0 уравнение имеет
при /п > 1. Так как /и #= ± 1, то полученное множе-
ство значений остается неизменным и с учетом ограни-
чений tn.
Отрицательное решение уравнение имеет, еслиtrt ~ * < О,
то есть /и < 1. Исключим из этого множества решений
т — — 1, получим множество чисел т<1, кроме т —
= —1.
Нулевое решение = 0 уравнение может иметь
135
при 1, а так как /n=# 1, то уравнение нулевых ре-
шений не имеет.
Уравнение решений не имеет, если т—1 О, а зна-
менатель равен 0, но это невозможно. Согласно нашему
общему выводу уравнение не имеет решений при т = ± 1.
Бесчисленное множество решений будет иметь уравне-
ние, если числитель и знаменатель дроби одновременно
будут равны 0. В нашем случае это невозможно.
Следовательно, если /п=/= ± 1, то:
а) —£— > 0 при т > 1;
б) —— < 0 при w < I, но без m — — 1;
в) нулевых решений уравнение не имеет;
г) уравнение решений не имеет при т == + 1;
д) бесчисленного множества решений, уравнение иметь
не может.
Остановимся еще на отдельных примерах применения
изученных свойств функций к решению уравнений и не-
равенств со знаком модуля и практических задачах.
После того как основные виды функций, содержащих
знак модуля, исследованы, решение уравнений и нера-
венств со знаком модуля не вызывает больших затруд-
нений.
При решении уравнений и неравенств с модулем реко-
мендуется поступать аналогично общим правилам иссле-
дования свойств функций, содержащих знак модуля.
Приведем примеры.
1. | х | == 3.
Рассмотрим уравнение на множестве положительных
и отрицательных допустимых значений корней.
— х = 3, если х < 0;
+ х ~ 3, если х > 0.
| х.| = 3
После этого решим каждое из полученных уравнений:
— х = 3 и + х = 3 и определим корни.
Итак, корнями данного уравнения будут: = —3 и
х% = 3.
2. jx — 21 = 3.
— (х — 2) = 3, если (х—2) < 0, то есть х< 2;
|х —2|=3 ' ’ , .
1 х — 2 = 3, если (х—2) > 0, то есть х > 2.
Решим каждое уравнение:
136
a) — x + 2 = 3, если x < 2.
x = —1 есть решение первого уравнения, так как х =
= — 1 входит в область допустимых корней уравнения.
б) х — 2 = 3, если х>2.
х = 5 есть решение второго уравнения, так как х = 5
входит в область допустимых
Итак, корнями уравнения
|х — 2| = 3 будут: Л! = — 1,
х2 = 5.
П роверим правильность
аналитического решения гра-
фическим методом. Для этого
найдем абсциссы координат
точек пересечения графиков
функций f (х) = | х — 21 и
7 (*) = з.
Действительно, прямая
у = 3 пересекает график
f (%) = | х — 2 | в точках
Л(—1; 3) и В (5; 3), абсцис-
сы которых равны соответственно. — I и 5 (рис. 74).
3. |6 —2х| = 3* + 1.
г 2х — 6=Зх-Н, если 6—2х < О, то есть
|6 2х|—Зх+1 j g — 2х=Зх+1, если 6—2х>0, то есть
' х < 3.
а) 2х — 6 = Зх + 1, если х > 3.
х = — 7 не является корнем уравнения, так как мно-
жество допустимых корней этого уравнения ограничено ус-
ловием х > 3.
б) 6 — 2х = Зх + 1, если х 3.
х = 1 есть корень уравнения, так как он входит во
множество допустимых корней уравнения.
Итак, корнем уравнения |6 — 2х| = Зх + 1 будет х=1.
Проверим графически. Построим графики функций
Д (х) = | 6 — 2х | и (х) = Зх + 1 (рис. 75).
Графики функций Ц(х) и f2(x) пересекаются только в
одной точке Л(1; 4), абсцисса которой равна 1.
4. |2х — 3| = |х + 2|.
2х — 3 =
—2х + 3, если 2х —3 < 0, то есть х < 1,5;
2х — 3, если 2х — 3 >0, то есть х> 1,5.
137
— х— 2, если х + 2 < 0, то есть Х<—2;
х -г 2, если х + 2 > 0, то есть х > — 2.
Объединим области допустимых значений корней,
а) — 2х -г 3 = — х — 2, если х < — 2.
Корней нет.
б) — 2х + 3 = х + 2, если — 2 х < 1,5.
х = -----корень уравнения.
которых равны и 5.
в) 2х — 3 = — х — 2,
если —2 > х > 1,5.
Корней нет.
г) 2х — 3 = х + 2,
если х > 1,5.
х = 5 — корень урав-
нения.
Итак, уравнение
12х — 31 =| х+ 21 имеет
два корня: хх = ~ и
х2 = 5 (рис. 76).
Графики функций
fi (*) = 12х — 31 и
f2 (*) = | х + 21 пересека-
и В (5; 7), абсциссы
Рис. 76.
138
Уравнение 12х — 31 = | х 4- 21 можно решить и мето-
дом установления интервалов, на которых уравнение име-
ет решение.
В нашем примере это:
В соответствии с полученными интервалами имеем:
1) —2x4-3 =—х~ 2 может иметь решение на интерва-
ле (— оо; —2).
2) — 2х 4- 3 = х 4- 2 может иметь решение на интервале
(-2; 1,5).
3) 2х — 3 = х + 2 может иметь решение на интервале
(1,5; + оо).
Решение полученных уравнений приводит к тому же
ответу: хг = — и х2 = 5.
5. )х|2 — 2|х|+3 = 0.
Такое уравнение решается относительно |х| и факти-
чески сводится к решению рассмотренных ранее уравне-
ний вида: | х | = ± а.
Аналогично решается и уравнение вида 2х2 4- 3 [ х | —
— 5 — 0, так как х2 всегда положительное число. Но
уравнение 2х2 — 31 х | — 5 =ч= 0 может быть решено и по
общему плану. Для этого представим его в виде двух
уравнений на соответствующем множестве значений кор-
ней.
2х2 4- Зх — 5, если х < 0;
2х2 — Зх — 5, если х > 0.
6. | х2 — 5х + 41 = 2.
— х2 + 5х — 4, если х2 — 5х 4- 4 < О,
то есть 1 < х < 4;
х2 — 5х 4- 4, если х2 — 5х 4- 4 > О,
то есть х 1 и х > 4.
а) —х24~5х — 4 = 2, если 1<х<4.
Xi = 3 и х2 = 2 — корни уравнения.
б) х2 — 5х + 4 = 2, если х 1 и х > 4.
хх = 4,6 и х2 = 0,4 — корни уравнения.
Итак, уравнение I х2 — 5х 4- 41 = 2 имеет 4 корня:
хх = 4,6, х2 = 3, х3 = 2, х4 = 0,4.
Проверим графически (рис. 77).
Одновременно с решением линейных и квадратных
уравнений со знаком модуля необходимо решать и соот-
139
У
Рис. 77.
ветствующие неравен-
ства со знаком модуля,
опираясь на общую ме-
тодику решения таких
упражнений.
1- | х| >2.
f—х , еслих<0;
|х| =
11 (х, если х > 0.
а) — х > 2, если
х< 0.
х < — 2 — решение
этого неравенства.
б) х > 2, если х > 0.
х > 2 — решение
этого неравенства.
Решением неравен-
ства | х | > 2 будут два
множества:
(—оо; —2) и (2; оо).
2. |х — 3| < 1.
— х + 3, если х < 3;
|х —3 = „
1 х — 3, если х > 3.
а) —х + 3 < 1, если х< 3.
х > 2 — корни неравенства.
б) х — 3 < 1, если х > 3.
х < 4 — корни неравенства.
Значит, неравенство | х — 3 [ < 1
2<х<4.
имеет решение
В методике решения неравенств, содержащих знак
модуля, нет ничего специфического, отличного от реше-
ния соответствующих уравнений, поэтому в данной книге
этот вопрос не рассматривается подробно.
Среди различных задач, решаемых методом уравне-
ний, особый интерес и трудность представляют задачи
на нахождение максимума и минимума квадратной
функции.
В старших классах с помощью понятия производной
эти задачи решаются сравнительно просто, но их надо
решать и в восьмилетней школе, чтобы показать практи-
140
ческую применимость математического аппарата и в то
же время продолжать исследование свойств функций.
Можно отметить общий подход к решению таких за-
дач с помощью использования графического и аналити?
ческого методов. Для этого по условиям задачи находит-
ся искомая функция, а затем ее максимальное или мини-
мальное значение.
Приведем несколько примеров решения таких задач.
1. Каковы должны быть линейные размеры прямо-
угольной площадки, чтобы длина забора в 100 м охватила
наибольшую площадь?
Решение. Пусть длина площадки х м, тогда шири-
на (50 — х) м. Искомая площадь будет: f(x) = x(50—х).
По условию задачи требуется найти, когда эта пло-
щадь будет максимальной, то есть /(х) имеет максимум.
Согласно исследованию свойств квадратной функции
имеем:
е , ч 4ас — b2 b . л
/maxW = -------- ПРИ Х = — И О < 0.
В нашем примере / (х) = — х2 + 50х, а == — 1 < 0.
Значит,
Ь __ 50 _
2а “* 2 • (— 1) “
= 25 м.
f(x) имеет максимум при х =
I
, , . 4ас — ft2 4 • (— 1) • 0 — 50s 2500 rnc
1т..Лх) — — !-7——77---------------- = —j- = 625.
4 . (— 1) 4
Значит, длина х = 25 м и ширина 50 — х = 50 — 25 =
= 25 (.и), то есть площадь прямоугольника будет макси-
мальной, если его линейные размеры равны. В этом слу-
чае прямоугольник — квадрат.
2. Какой прямоугольный треугольник, сумма катетов
которого равна 12 см, имеет Наибольшую площадь?
Решение. Пусть один катет х см, тогда другой бу-
дет (12 — х) см.
Площадь треугольника f (х) = -^-х(12—х) = —х2 +
4- 6х.
f tn ах 00
nPH* = -i = --
. 0 — 36
2 )
141
Значит, наибольшую площадь имеет равнобедренный
прямоугольный треугольник.
3. На какие два слагаемых надо разложить число 32,
чтобы произведение их было наибольшим?
Решение. Пусть х — первое слагаемое, тогда (32—х)—
второе слагаемое. Искомое произведение f(x) = x(32— х).
Надо определить /П1ах(х). Задача аналогичная первым двум
и является общей задачей данного типа.
4. Из пунктов А и В (рис. 78) по указанным стрел-
ками направлениям выходят одновременно пароход и ях-
та. Их скорости соответственно равны: = 40 км/ч и
1’2 = 16 км/ч. Через сколько времени расстояние между
ними окажется наименьшим, если АВ — 145 км.
Решение. Пусть расстояние CD будет искомым че-
рез t часов, тогда из прямоугольного Л CBD имеем:
CD = ДГ(145 —40/)2 + (16/)2.
CD и f(t) = (145 — 40/)2 + (16/)2 имеют минимум при
. Ь
одном и том же значении t = —
f(t) = Г856/2 — 11 600/ + 21 025.
. b — 11 600 q .
2a — 2- 1856 ~3»12 W-
Приблизительно через 3,12 ч расстояние между яхтой
и пароходом будет наименьшим.
5. Поперечное сечение тоннеля есть прямоугольник с
примыкающим к нему полукругом (рис. 79). Периметр
142
сечения тоннеля 250 м. Какими должны быть размеры се-
чения, чтобы пропускная способность тоннеля была наи-
большей?
Решение. Пусть хм — радиус полукруга и у м —
высота прямоугольной части тоннеля. Периметр равен
2х + 2у 4- лх, то есть 2х + 2у + лх = 250, отсюда: у =
= 125 —х------- юс.
Sce„ =/(х) = 2х(125 —х —=
= — (2 + пг)х2 + 250х-
Найдем, при каком значении х f(x) имеет максимум.
у = 125—35,01 —1,57 • 35,01 ж35.
Итак, когда х = у 35 м, сечение тоннеля будет
иметь наибольшую пропускную способность, то есть,
площадь будет 5сеч. — 4378 кв. м.
Упражнения для закрепления изученных вопросов о
решении уравнений и неравенств.
1. Исследовать квадратные уравнения: а) х2 + х +
+ 2 = 0; б) 7х2 —18 = 0; в) Зх2 —8х —2 = 0; г) 2х2 —
— х — 3 = 0; д) х2 — 4х + 1 = 0; е) Зх2 + х + 2 = 0.
2. Решить уравнения относительно х:
5 з
2х — k 4 — kx'
а х __________ 7
х — а х а 5’
3. При каких а следующие уравнения имеют положи-
тельные, отрицательные, нулевые решения, не имеют ре-
шений, имеют бесчисленное множество решений:
4. Решить уравнения, содержащие знак модуля:
а) | х — 31 — 0; б) 12 — Зх | = 5; в) 21 х | = Зх + 1;
г) |х+ 2| = Зх+ 4; д) [х—11 + |х + 2[ = 3; е) х +
+ 21 х + 11 = ] х + 21; ж) х2 — 81 х | = 45; з) | х2 + х j = 6;
и) | х2 — 5х + 31 = 0; к) х2 + 5х + 9 = 0, если | q | =6.
143
5. Отрезок длиной в 24 м разделить на такие две
части, чтобы сумма площадей квадратов, построенных на
этих отрезках, была наименьшей.
6. Уровень воды в реке в течение суток изменялся в
соответствии с формулой h = —0,2f2 + 6,4^ + 400, где
й — уровень (в см), отсчитанный от ординара, a t — вре-
мя (в ч), отсчитываехмое от начала суток. Определить, в
какие часы суток уровень воды поднимался, а в какие —
опускался. Какого наивысшего уровня достигла вода в
течение суток?
7. Из прямоугольного листа жести, ширина которого
80 мм, делают желоб прямоугольного сечения. С этой
целью по краям листа отгибают полосы (рис. 80). Какой
ширины должны быть эти полосы, чтобы получился же-
лоб с наибольшей пропускной способностью?
Рис. 80.
8. На сторонах прямоугольника, периметр которого
равен 42 см, построены квадраты. Определить, при каких
значениях сторон прямоугольника площадь всей фигуры
будет наименьшей.
§ 5. Функции f(x) — ах3 и f(x) = ~~
В восьмилетней школе надо познакомить учащихся,
кроме квадратной функции, еще с частными случаями сте-
пенной функции, а именно: f(x) = ох® и f(x) =
X
144
Свойства функции f (х) =» ах3
Исследуем ее свойства в соответствии с общим планом
исследования функций.
1. Область определения f (х) = х3.
Операция возведения в степень выполнима всегда в об-
ласти действительных чисел, поэтому областью определе-
ния f (х) = х3 и f (х) = ах3 будет множество действитель-
ных чисел.
2. Множеством значений функции также будет мно-
жество действительных чисел.
3. Четность f (х) = х3.
f(x) = x3, f(— х) = — х8, f(x) = — f(— X).
Значит, f(x) функция нечетная, то есть ее график будет
симметричен относительно начала координат.
4. Промежутки возрастания и
убывания f (х) = х3.
С изменением х от — оо до
оо f (х) = х3 возрастает от — оо
до 4-оо, то есть функция всюду
возрастающая.
5. Так как функция на множе-
стве действительных чисел возра-
стающая, то она не имеет ни мак-
симума ни минимума.
6. Корнем / (х) = х8 на множе-
стве действительных чисел будет
только х = 0.
7. Точка пересечения с осью
0Y А (б; 0).
Так как для построения гра-
фика f(x)==x3 (рис. 81) имеем
только одну точку А (0; 0), то на-
до выбрать несколько дополни-
тельных точек.
Рис. 81.
X 0 1 2 3 ОД 0,3
f (*) = 0 1 8 27 0,125 0,027
График функции f (х) = х8 носит название кубической
параболы.
6 Зак, 260
145
Свойства функции f(x) —
В традиционной программе изучение функции вида
f(x) == ~ обычно осуществлялось вслед за изучением ли-
нейной функции. Однако такой подход к месту и времени
изучения функции f (х) = не совсем оправдан. Во-пер-
k
вых, свойства функции f(x)= — по своему математиче-
скому содержанию значительно сложнее свойств функ-
ции f (х) = ах2 + Ьх + с, и для их сознательного усвоения
требуется уже определенная подготовка учащихся в вопро-
се изучения свойств функций. Во-вторых, использовать
свойства функции f (х) = кроме как при решении тек-
стовых задач на обратно пропорциональную зависимость,
нигде не представляется возможным, а для такого исполь-
k
зования вовсе не обязательно знать функцию f (х) == —
и ее свойства. Поэтому вполне уместно знакомить учащих-
k
ся со свойствами функции f (х) = — после изучения свойств
функций f (х) = kx + b и f (х) = ах2 + Ьх + с,
1. Область определения функции f (х) = .
Операция деления всегда выполнима в области дейст-
вительных чисел, кроме деления на нуль. Следовательно,
k '
область определения функции f (х) = — состоит из двух
множеств: (—оо; 0) и (0; 4-со).
2. Множество значений функции.
Если k > 0, то:
а) на множестве (—оо; 0) f(x) = ~ принимает мно-
жество значений (0; —оо);
б) на множестве (0; + оо) f (х) — принимает мно-
жество значений (+ со; 0).
Если k < 0, то:
k
а) на множестве (—со; 0) /(х)=— принимает мно-
жество значений (0; 4- со).
б) на множестве (0; +co)f(x) принимает множество
значений (0; —оо).
146
3. Четность функции.
f(x) = 4> Н-х) = --^-, f(x) = —f(—х).
* л
Функция f(x) = — нечетная, следовательно, график
ее симметричен относительно начала координат.
k
4. При & >0 функция [ (х) =— убывающая, при
УС
k< 0—возрастающая
k
5. Максимума и минимума функция /*(%) = —не имеет.
X
6. Корни функции.
fa
Так как уравнение — = 0 не имеет решений, то функ-
X
k
ция f (х) = — корней не имеет и график ее не пересекает
ось ОХ.
7. Так как х = 0 не входит в область определения
f(x) ——, то f (х) не имеет точки пересечения с осью 0Y.
" k
Для построения графика f{x) —— (рис. 82) составим
таблицу (см. стр. 148) ряда точек при £<0 и /г > О
(пусть k = ± 1).
График представляет собой четыре кривые. Это обстоя-
тельство надо всегда помнить и не ограничиваться рас-
смотрением только одной из этих кривых, расположенной
в I четверти.
k
График функции f(x) = — называется гиперболой.
Весьма интересны геометрические свойства гиперболы
(разность по модулю расстояний точек гиперболы до двух
данных точек постоянная, гиперболы имеют центр, две оси
симметрии, эксцентриситет и т. д.). Но ни с одним из этих
свойств на уроках математики в восьмилетней школе зна-
комить учащихся нет возможности. Во-первых, эти свойства
сложны в математическом отношении и требуют большой
математической культуры учащихся, во-вторых, на это
не хватает времени.
Но все же с асимптотами гиперболы учащихся восьми-
летней школы надо познакомить. Это объясняется тем, что
поведение ветвей гиперболы в точках, близких к 0 и
к ±со, может быть объяснено только с помощью асимптот.
Прежде всего надо дать определение асимптоты.
147
3 1 Ю - IlO
*r ^F пФ
_ co c J co
о CM 04 * - CM
^•4 * < 1
— CM о CM c 4
c* D co co 1
w < TF r rr
Ю tf ) Ю If _ >
to LT Э — Ю IT 5
^^4 XT rr 1 - H L
CO co I- ~ co Cf D
CM CM 1 CM
1 ~ M 1
CM -1 .. CM c 'J 1 ^-1 CM
’ CO 1 — co c* D 1 2
XF •—< tF T ^*4 tF
Ю »—< Ю II :> - Ю
* I о Л *«e •b 1 к V t c 1 5 5 H £
148
У 11
Рис. 82.
Асимптота — это прямая (кривая)» к которой прибли-
жается как угодно близко точка кривой при удалении в бес-
конечность. Асимптота — греческое слово asymptotes, что
значит «не сливающаяся».
Точка пересечения асимптот гиперболы называется цент-
ром гиперболы.
Для гиперболы вида f (х) асимптотами будут оси
координат. Для функции вида f(x) = п ± асимптотами
будет прямая у — п и ось 0Y.
Построение графиков функций f (х) = и к ним
приводящихся фактически сводится к определению поло-
жения асимптот относительно осей координат, а построе-
ние гиперболы относительно асимптот уже не вызывает
затруднений.
149
2 "Iе х
Например, надо построить график f (х) = -=—I-— = 1 4-
X
2
4----(рис. 83}. Асимптоты данной гиперболы будут у — 1
и ось ОУ. Теперь относительно асимптот, как относитель-
но новых осей системы координат, можно построить гра-
фик функции f(x) = —. Свойства графика надо рассмат-
X
ривать относительно первоначальной системы координат.
У.
Рис. 83.
Упражнения для изучения свойств функций f (х) = ах8
и f(x) = -~.
1. Выразить аналитически зависимость веса медного
куба от длины его ребра, если известно, что куб с реб-
ром 3 см весит 240 г.
Построить график этого соответствия для 0 < х < 20
и определить:
а) вес медного, куба с ребром 1 см\ 12 см\ 15 см\
б) каким должно быть ребро медного куба, чтобы он
весил 10 кг\ 20 кг?
150
2. Исследовать свойства функций:
f(x)= —2*3; /(х)=4-х8; Дх) = х8±2.
3. Выяснить аналитически и графически, в каком со-
ответствии находятся:
а) длина окружности колеса и число оборотов на опре-
деленном участке пути;
б) основание и высота прямоугольника при постоянной
площади;
в) вычитаемое и разность;
г) делитель и частное.
4. Построить графики функций f(x) = — и f(x)==—-—
и сравнить их свойства.
5. Доказать, что данные функции возрастающие:
f (х) = f (х) = —
1 ' ' X-J- 1 г ' X— 1
6. Построить график функции f (х) — *Л|— и иссле-
Iх 1
довать его свойства.
7. Известно, что переменные х и у находятся в обрат-
но пропорциональном соответствии и, кроме того, при
х = 2 у = -i-. Записать аналитический вид этого соответ-
ствия.
8. На одной координатной плоскости построить графи-
ки значений функций [ (х) = 2х и /(х) — —. Определить
координаты точек пересечения. Проверить полученные ре-
зультаты аналитически.
§ 6. Показательная функция
Показательной функцией называется функция, которую
аналитически можно записать в виде f (х) = ал, где а —
положительное действительное число и а 1.
Прежде чем приступить к исследованию свойств функ-
ции /(х) = о*, надо выяснить математическую сущность
степени с иррациональным показателем, поскольку для
значений х нет необходимости ограничиваться множеством
только рациональных чисел.
Так как при знакомстве с иррациональными числами
мы не вводили строгих доказательств, а ограничивались
иллюстрациями, то и здесь воспользуемся тем же приемом.
151
_ _ _ у 2 —i 41421
Например, вычислить 2 =2 ' ' ” .
Вычисление это можно провести, ограничившись разной
степенью точности иррационального числа ]/2= 1,41421....
Значение 2м1421 ••• может быть заменено одним из значе-
ний последовательности 21*4, 2L41, 2L414, 2L4i42, 21ЛИ21... .
При этом надо сообщить учащимся, что каждое из чисел
этой последовательности не есть число 2V<2, так как ни
одно из них не равно 2 , но с определенным ограни-
чением можно использовать эти числа, чтобы иметь дело
с конечным числом, а следовательно, и определенной опе-
рацией. Так 21-41 мы уже можем вычислить, представив
21.41 = 2.20’4 • 20 01 = 2 • 1,30 • 1,01 = 2,63. Аналогично мо-
жет быть вычислен любой член этой последовательности.
Как при введении иррациональных чисел, так и при
объяснении понятия степени с иррациональным показате-
лем не представляется возможным вводить (в восьмилет-
ней школе) понятие предела ограниченной последователь-
ности.
Перед изучением свойств показательной функции мож-
но предложить учащимся ряд упражнений, которые помо-
гут сознательному усвоению показательной функции.
1. Что можно сказать о положительном основании а,
I 2 2 1 _j_ i
если а 3 < а3; а5 < а 3; а~~2 < а-3; а 3 > а 2 •
1 1
2. Сравнить с 1
4
следующие степени:
з
3. Выяснить, что больше:
/ 1 \1в /1 \17
а) -Е-') или -=-) ; б) (0,2)2-3 или (0,3)2*3;
\ о ] \ О J
1 J. _ 1 _ 1
в) (5,2)2 или (5,2)3; г) (0,6) 3 или (0,7) 2;
2 2 1
д) (0,17) 3 или (0,17)5; е) 2 или 2.
4. Расположить по степени возрастания следующие
числа:
з ___
о 2 q0.75 q1,3 а—0,75 од о 2 ,
152
11 1
/ 1 \~“4 / 1 \0,25 / 1 У’3 ( 1 \ 2 / 1 \3 / 1 \ 3
к “Г) ’ ’ \Т / ’ к“з" / * / * ^"з" /
5. Доказать, что если k < 0, то: а) при а > 1 ak < 1;
б) при 0 < а < 1 ak > 1.
6. Вычислить: 103,51; 103942.
/ 1 V / 1 V
7. Сравнить х и у, если: а) 1-^-1 <1-9-/ ; б) (1,25)г>
>(1,25)у.
Свойства показательной функции будем изучать по
тому же плану, что и квадратной функции.
1. Область изменения значений аргумента функции
/(*) = ах-
Так как действие возведения в степень выполнимо
.в области действительных чисел, то областью изменения
значений аргумента будет множество действительных чисел.
2: Область изменения значений функции f(x) = a\
При любом действительном х f (х) = ах > 0, так как
а > 0.
3. Четность функции f (х) = а¥.
f(x) — ax, = f(x)^f(—x).
Свойствами четности или нечетности f (х) = ах не об-
ладает.
4. Промежутки возрастания и убывания функции
f (х) = а*.
Для простоты рассуждений и выводов относительно
промежутков возрастания и убывания значений функции
f (х) — ах будем рассматривать отдельно случаи: а > 1 и
а < 1.
1) а> 1. Чтобы функция была возрастающая, необхо-
. д/(х) . п
димо соблюдение условия ' > 0.
. а) Пусть х2 > > 0, тогда ах* > aXi > 0. Л f (х) =
= ах* — а*» > 0, Лх = х2 — Xi > 0, отсюда > 0.
Значит, для х>0 функция /(х) = аЛ при а> 1 воз-
растает от 0 до + со. Причем, надо заметить, что с воз-
растанием значений х значения f(x) растут значительно
быстрее, чем значения х.
б) Пусть хх<х2<0, .тогда ах* > ах* > 0, Д/(х) =
= а*2 — аЛ‘ >0, Д х = х2 — *1 > О, отсюда
А/(х) Q
Д х
153
Значит, и для х<0 функция f(x) возрастающая, при-
чем для х, стремящегося к —со, значение f(x) = ax бу-
дет очень мало, близкое к 0, но не нуль. График f (х) =
= ах асимптотически приближается к оси ОХ, но не пе-
ресекает ее. Для х, стремящегося к 4- значение f (х)
тоже будет стремиться к 4- со.
Итак, для а > 1 с изменением х от — со до 4- 00
значение f(x) возрастает от значений, близких к 0, до 4-00 •
2) а < 1.
а) Пусть х2 > хг > 0, тогда ахг<ах*, Л[(х)=ах*—
— ах‘<0, Дх —х2— хх>0, отсюда
А/U) <0
Л х
Значит, для х> 0 функция f(x) = а* при а < 1 убы-
вающая от Г до величины, близкой к нулю.
б) Пусть Х!<х2<0, тогда Д/(х)=а**—
— ах 1 < О, Д х = х2 — хх > 0, отсюда < 0.
Значит, и для х<0 функция f(x)=ax убывающая.
Причем убывает от 4- оз до 1.
5. Максимум и минимум f(x) = ax.
Так как при ц> 1 f(x)=^ax для любых х возрастаю-
щая, а при а < 1 для любых х убывающая, то /(х) — ах
не имеет ни максимума ни минимума при любом поло-
жительном а.
6. Корни f (х) — ах.
Нет таких значений х, которые бы обращали ах в нуль.
Следовательно, f(x) = ax корней не имеет, и график ее не
пересекает ось ОХ.
7. График функции f(x) = ах пересекает ось 0Y в точ-
ке А (0; 1) при любом а > 0.
Заполним таблицу для построения графика f(x)~ax
(рис. 84).
1 1 1 Изменения значений функции в определенных интервалах Корни функции Точка пе- ресечения с осью OY
X (— оо; 0) (0; + оо)
/ (х) = ах, а > 1 возрастает от » очень малых зна- чений до 1 возрастает от 1 до 4- 00 нет А (0; 1)
f (X) = а X, а < 1 убывает от 4- 00 до 1 убывает от 1 до очень малых зна- чений нет А (0; 1)
154
У
о
Рис. 84.
Чтобы иметь более ясное представление о степени воз-
растания функции f(x)~ax9 можно в одной координат-
ной плоскости построить гра-
фики следующих функций
(рис. 85):
f(x) = 2- f(x) = 3*;
f(x) = 5Ж; /(х) = 10х.
Анализ графиков дает ос-
нование сделать вывод, что
чем больше а по абсолютной
величине, тем значение функ-
ции возрастает быстрее и вет-
ви графика расположены бли-
же к соответствующим осям
координат.
Аналогичное построение
можно выполнить для функ-
ций (рис. 86):
Рис. 85.
zw = (4-)'; ^) = (4-Г’ = и М =
Анализ графиков показывает, что чем меньше а по
абсолютной величине, тем значение функции убывает
быстрее и ветви графика расположены ближе к соответ-
ствующим осям координат.
Свойства функции f (х) = ах можно изучить с помощью
группы упражнений.
1. Построить графики функций f(x)~ х2 и f(x) = 2\
155
Сравнить их относительно степени изменения каждой
из функций.
2. Построить графики функций: [ (х) — 2х; f(x) = 2Л4~2;
f(x) = 2* — 2. Сравнить свойства этих функций.
Рис. 86.
3. Построить графики функций: f (х) = 3*; f (х) = 2 • 3Л;
f (х) = Ц- • 3< Сравнить свойства этих функций.
4. Построить график функции f(x) = 2,Л1 и выяснить ее
свойства.
5. Какова область определения следующих функций:
f(x) = 4^; f(x) = 4y~2-, f(x) = 2yi^.
6. Исследовать свойства функции f (х) = ах при а = 1.
Как будут расположены графики функций при а > 1 и
при 0 < а < 1?
( 1 V*
7. Доказать, что. f (х) — 2х и f (х) = l-g-l симметричны.
Как расположены их графики?
8. Имея график функции f{x) = ax, как получить гра-
фик функции f (х) == —ах.
9. Имея график функции f(x) — ax, как получить гра-
фик фуНКЦИИ f (X) = .
10. Вычислить с помощью графика функции f (х) = 10х
(0<х<1): _ _
а) 1,70-6; б) 3,2°>4; в) |<25; г) 3 . У100.
11. Решить уравнения:
156
a) 2'= 5; б) 4’ = 12; в) 0,2х+2 = 125; г) 0,1 3 = 11;
д) (4-J = 2; е) 2х = Зх; ж) 2х = — Зх2.
12. Решить неравенства:
а) 2х >5; 6) 4х < 12; в) г) > 1;
д) 1,2Л > х.
Самостоятельная работа по теме
«Свойства показательной функции».
Вариант 1
1. Какова область определения функции f (х) = 2^“*.
2. Исследовать свойства функции f (х) = 3 • 2х и срав-
нить со свойствами функции f (х) = 2х.
3. Решить неравенство 0,5Л < 2х.
Вариант II
1. Какова область определения функции — 3.
2. Исследовать свойства функции f (х) = 2 • 3-т и срав-
нить со свойствами функции f (х) = 3х.
3. Решить уравнение 2х = — Зх.
§ 7. Обратные функции
Определение функции на множественной основе значи-
тельно облегчает введение обратной функции.
Понятие обратной функции можно дать вначале графи-
чески.
Рассмотрев часть графика квадратной функции вида
f(x) — ах2 (а > 0), расположенного в первой четверти
(рис. 87), можно показать однозначное соответствие меж-
ду множеством значений аргумента и множеством значе-
ний функции. Затем на этом же примере можно проиллю-
стрировать обратное соответствие; множеству значений
функции с помощью уже другого правила соответствует
множество значений аргумента (рис. 87).
157
Прежде чем получить аналитическую запись обратной
функции, необходимо выбрать множество значений аргу-
мента и соответствующее ему множество значений функ-
ции. Практика показывает, что выбор аргумента чаще
всего происходит произвольно, поэтому если одни эле-
Рис. 87.
менты множеств были вы-
браны в качестве значений
аргументов, то другие —
были значениями функций,
и наоборот. Правило уста-
новления соответствия в
первом и во втором случа-
ях было не одно и то же,
следовательно, для каж-
дого случая имеем различ-
ные функции.
В математике иногда
X принято одну из таких
функций называть прямой,
а другую — ей обратной.
Допустим, имеем два чис-
ловых множества:
х-{0; 1; 2; 3; ...},
1; 4; 9; ...}.
Правило, с помощью которого можно установить со-
ответствие между элементами первого и второго множеств,
заключается в следующем: элементы второго множества
получаем возведением в квадрат соответствующих эле-
ментов первого множества. Аналитически это правило
можно записать так: у — х2, где у — значения функции,
а х — значения аргумента.
Правило же, с помощью которого устанавливается со-
ответствие между элементами второго и первого множеств,
будет совсем иным. Аналитически его можно записать так-,
у = х, где х—значения аргумента, взятые из второго
множества, у — соответствующие значения функции, взя-
тые из первого множества.
Или, например, два других множества:
х = {... 0; 3; 5; 7; 9;
{... 1; 5; 9; 13; 17; ...}.
158
Правило прямого соответствия устанавливается с по-
мощью формулы у = 2х — 1, где х — значения аргумента
из первого множества. Обратная функция будет определе-
х 1
на аналитически так: у = — -t- —где х принимает зна-
чения из второго множества.
Не трудно заметить, что для получения аналитического
вида обратной функции, если известна прямая, надо ре-
шить уравнение прямой функции относительно ее аргумен-
та. Например: у = х2 — прямая функция (х — аргумент);
х = у—обратная функция (// — аргумент).
При введении понятия обратной функции необходимо
выяснить следующие положения: 1) область определения
значений обратной функции относительно прямой; 2) пра-
вило установления соответствия значений обратной функ-
ции; 3) вопрос о многозначности значений обратной функ-
ции,
1) Область определения обратной функции есть мно-
жество значений прямой функции, а множество значений
обратной — есть вся область определения прямой или
часть ее. Поэтому, если обычно ось ОХ есть ось значе-
ний аргумента, то для обратной функции это — ось зна-
чений функции, а ось 0Y — ось значений аргумента об-
ратной функции.
2) Если у = f(x) — прямая функция, то обратная ей
будет х = (//). При этом надо иметь в виду, что мно-
жество значений х прямой функции не совпадает с мно-
жеством значений х обратной функции, так как область
значений обратной функции не всегда совпадает с облас-
тью определения прямой.
3) Вопрос о многочисленности значений функции вообще
очень сложный, тем более в восьмилетней школе, однако
обойти его невозможно в связи с изучением обратной
функции для f (х) = х2.
Например, значения функции f(x) — ax2 для множест-
ва (—оо; 0) только убывают при а>0 или только воз-
растают при а < 0, следовательно, на этом участке f (х) =
= ах2 имеет обратную функцию <р(у) — —]/ах2. Соответ-
ственно на множестве (0; 4- со) прямая функция f(x) =
= ах2 будет иметь обратную у (у) = Уах2.
Таким образом, для всего множества (—со; + оо)
159
определения функции f (х) = ах2 обратная функция будет
двузначной.
Для отдельных участков области определения прямой
функции обратная будет однозначной. Поэтому обратную
функцию будем рассматривать не на всей области опреде-
ления, а на отдельных участках, где она однозначна.
Усвоению понятия обратной функции значительно спо-
собствует построение и анализ свойств графика обратной
функции. ' а
На первых порах, пока не были выяснены свойства
графика обратной функции и способ его получения, оси
координат называли соответственно осями значений аргу-
мента и функции.
При построении графика обратной функции надо иметь
в виду, что абсцисса точки графика прямой функции ста-
новится ординатой определенной точки графика обратной
функции, а ордината прямой—абсциссой обратной.
Не трудно показать, что соответственные точки гра-
фиков прямой и обратной функций симметричны относи-
тельно биссектрисы первого и третьего координатных углов
и, следовательно, график обратной функции можно полу-
чить зеркальным отражением графика прямой функции
относительно этой биссектрисы.
Доказать это можно следующим образом.
Пусть А — произвольная точка графика - прямой функ-
ций (рис. 88). Точка Аг — ей симметричная относительно
биссектрисы первого и третьего координатных углов или
прямой у = х.
Требуется доказать, что
точка принадлежит графи-
ку обратной функции, то есть
координаты ее удовлетворяют
уравнению обратной функции
(в данном случае у = ф (х) =
-+П).
Доказательство.
Если А и Ai симметричны от-
носительно прямой у = х, то
их проекции на оси ОХ и 0Y
будут симметричны относи-
тельно прямой у =з х. Дока-
зать это возможно благодаря
Рис. 88. равенству двух пар треуголь-
‘ 160
ников: Л OAtBx = Л О АВ и Д.0С£>1 = Л ODC (по катету и
гипотенузе). На основании этого можно записать, что
хг = у2 и ух — х2. Так как точка A (xt; уг) принадлежит
графику прямой функции, то у = х2. Подставим вместо
ух = х2 и '*! = у2, получим х2 = у2, отсюда у2 = ]х2. Сле-
довательно, точка с координатами (х2; у2) принадлежит
обратной функции (удовлетворяет правилу установления
соответствия).
Данное доказательство можно провести для общего
случая прямой и обратной функций, предварительно вы-
яснив справедливость положения: если у = f(x) прямая
функция, а #=ф(х) обратная, то /1<р(х)]=х, то есть,
если над значением аргумента функции последовательно
применить правила, с помощью которых устанавливается
соответствие между элементами множеств в прямой, а за-
тем в обратной функции, то значения аргумента не пре-
терпят никаких преобразований.
Доказательство этого свойства в общем виде можно
провести в более подготовленном классе или на кружко-
вых занятиях.
Затем можно рассмотреть свойства всех обратных
функций для ранее изученных прямых функций.
Функция, обратная у =/(х) = кх 4- b
Чтобы получить аналитический вид функции, обратной
данной, надо решить уравнение у = kx + b относительно х:
у ь . ч 1
х = -------г-, то естн ф (х) = пх — с, где п — -т-,
Исходя ,из аналитического вида обратной функции
f(x)=nx — с, можно сделать вывод: функция, обратная
линейной, тоже будет линейной, а график ее будет сим-
метричен относительно биссектрисы первого координатного
угла. Например,
У = f(x) = 2x4-3;
х =ф(у)= -^-х----1- (рис. 89).
Анализ графика дает основание сделать вывод, что
функция, обратная линейной, ничем принципиально не
отличается от прямой функции, только у нее другой ко-
рень и другая точка пересечения с осью ОУ.
Затем могут быть выполнены следующие упражнения.
1. Даны функции: а) / (х) = —- Зх + 1; б) / (х) = -i- х;
в) f (х) = х; г) f (х) = а; д) f (х) = 0.
Рис. 89.
Записать аналитический вид обратных им функций.
Какая зависимость существует между множеством значе-
ний прямой функции и соответствующим множеством зна-
чений аргумента обратной (множеством значений аргумента
прямой функции и множеством значений функции об-
ратной)?
2. Даны функции: a) f(x) = 4х— 1; б) f (х) = —2x4-1;
В) f(x) =---х; г) f (х) = X + 1; д) f (х) = а.
Построить графики данных функций, затем графики,
симметричные относительно прямой у = х. Написать ана-
литический вид функций построенных графиков.
Функция, обратная f(x) = ах2 4- Ьх 4- с
Вначале рассмотрим функцию, обратную Дх) = ах2(а>0).
Аналитический вид ее получим, решив уравнение у—ах2
относительно х при условии, что множество значений х
162
в прямой функции (0; со), х = у (у) = + у где у мо-
жет принимать только положительные значения.
Построим график <р (у) —
при а ~ 1 (рис. 90).
Зная свойства графика прямой функции f(x)=ax2 и
общие свойства обратной, можно выяснить свойства <р(у) =
-У-Ь
Например, f (х) = х2 —
прямая функция,
<р (У) = У~У — обратная
функция.
Для / (х) — х2, где х
рассматриваем на множест-
ве (0; со), обратная функ-
дня будет <р (у) у, где у
рассматриваем на множе-
стве (0; со).
Анализ графика <р (у) =
= У~У Дает основание сде-
лать выводы: а) область опре-
деления — множество (0; -|-
+ оо); б) множество значе-
ний функции — (0; + оо); в)
Рис. 90.
в области определения функ-
ция возрастающая; г)
Для функции f (х) = х2,
максимума или минимума не имеет.
Рис. 91.
где х задано на множестве
(—со; 0), обратная функ-
ция будет <р (у) = — у у,
где у принимает значения
(0; 4- оо).
Г рафик этой функции
изображен на рисунке 91.
Анализ графика позво-
ляет сделать выводы: а) об-
ласть определения ф (у) ~
= —]/"у—множество (0;
+ оо); б) множество зна-
чений — (0; — со); в) в об-
ласти определения функция
убывает от 0 до —оо; г) мак-
симума и минимума не имеет.
163
Можно познакомить учащихся с графиками функций,
обратных функциям: f (х) = ах2; f (х) = ах2 -4- b; f (х) =
— (ах + т)2\ f (х) = ах2 + Ьх 4- с. С помощью графиков
Рис, 92.
выяснить их свойства.
Например, построить
графики функций, обратных
данным: f (х) = 2х2; f (х) =
-2х2+ 1;f(x) — 2(х—-1)2;
f (х) = 2х2 + 2х — 1. Обла-
сти определения их рас-
смотреть: а) на множестве
значений х(0; + оо); б)
на множестве значений
х (— со; 0).
X Графики дают основа-
ние для вывода, что область
определения всех функ-
ций, обратных квадратной,
есть множество (0; + со),
то есть квадратный корень
имеет смысл в области действительных чисел, когда он
извлекается из положительного числа и 0.
В восьмилетней школе можно воспользоваться графи-
ком функции, обратной f(x) =х2, для приближенного из-
влечения квадратных корней из чисел, не представляю-
щих полный квадрат.
Например, определить с помощью графика <р (у) = V у
значения: ]Л2, У~5, ]Лб, У~7, V10 с точностью
до 0,01 (рис. 92).
Для нахождения корней третьей степени можно позна-
комить учащихся с функцией, обратной f (х) = х3, исполь-
зуя, общие принципы получения обратной функции.
С помощью графика (рис. 93) можно заметить, что
функция, обратная f (х) — х3, определена на всем множест-
ве действительных чисел (— со; -р со), поэтому корни
третьей степени можно извлекать как из положительных
чисел, так и из отрицательных.
Множество значений функции <р({/) = уЛ у возрастаю-
щее от — со до + со. Максимума и минимума ф(г/) = у/ у,
так же как и f (х) — х3, не имеет. Один из корней функ-
ции <р (у) = У у будет у = 0. График функции <р (у) = У у
пересекает ось OY в точке А (0; 0).
164;
Затем можно предложить следующие упражнения:
1. Даны функции: a) f(x) = 2x2—2; б) f(x)==x2— 4;
в) f(x) = х2 — 2x4- Г, г) f(x) = 2х24-х+ 1; д) f(x) =
Уд
Написать аналитический вид обратных им функций.
Какая существует зависимость между множеством значе-
ний прямых функций и соответствующим множеством зна-
чений аргумента обратных функций (между множеством
значений аргумента прямых функций и множеством зна-
чений функций обратных)?
2. Даны функции: a) f (х) = Зх2 — 1; б) f (х) = 3 (х2 4- 1);
в) f(x) =^3х2 — 2х — 1; г) f (x) = Зх3 4- 1.
Построить графики данных функций,, затем графики,
симметричные им относительно прямой у = х. Написать
аналитический вид функций, графики которых получены
путем симметричного отражения графиков данных функ-
ций относительно биссектрисы первого координатного угла.
3. Построить график функций: a) f(x) = -^~x2 — 1;
б) f (х) = (х —2)*; в) Цх) = (х-2)2 + 3; г) /(х) = ух’+З.
Какое условие должно выполняться, чтобы графики об-
ратных функции были графиками однозначной функции?
4. Найти область определения функций, обратных дан-
165
ным: a) f (х) — х2 — Зх -{- 1; б) [ (х) = х — 1;
г) f(x)=x2 —9; д) f(x) = y/rx~ 8.
в) f (х) == 2х3;
Функция, обратная f(x) = ах
Построим график функции, обратной f (х) = ал, где
а > 1 (рис. 94).
Функция, обратная показательной, называется логариф-
мической. Аналитически она записывается так: f (x) = log0x,
Рис. 94.
где а > 0 и а #= 1. Лога-
рифмическая функция на-
ходит очень широкое при-
менение в математической
практике, но прежде чем
показать это применение,
надо изучить ее свойства.
I. Свойства функции
f (х) — loga х при а > 1
(свойства будем изучать на
основании графика функ-
ции).
1. Область определения
f (х) = log^ х есть множест-
во положительных действи-
тельных чисел.
2. Множество значений f(x) = logox есть все действи-
тельные числа от — со до + оо. При этом необходимо
отметить, что одному значению аргумента соответствует
одно значение функции.
3. График функциит не сймметричен ни относительно
осей координат, ни относительно начала координат. Сле-
довательно, функция /(х) = logax ни четная и ни нечетная.
4. При х > 1 f (х) = logfl х положительна и возрастает
от 0 до + со. При х < 1 /(х) = logax отрицательна, и воз-
растает от — со до 0. При х = 1 / (ху = loga х = 0.
5. Функция /(х) = logax, как и прямая функция f(x)=ax,
ни максимума ни минимума не имеет.
6. График f(x)~ log, х пересекает ось ОХ в точке
Л(1; 0), следовательно, корень функции х= 1.
7. График f (х) = logflx ось ОУ не пересекает.
П. Свойства функции f(x)~ logax при а<1. На ос-
новании графика (рис. 95) исследуем свойства функ-
ции f(x) = logax при 0 < а < 1.
166
1. Область определения функции /(%) — logflx— множе-
ство действительных положительных чисел.
2» Множество значений f(x) = logax есть все действи-
тельные числа от + со до —со. /(x) = logax— функция
однозначная.
3. f (х) = loga X при
а < 1 ни четная и ни не-
четная.
4. При х > 1 функция
отрицательна и убывает от
О до — со.
При х < 1 функция по-
ложительна и убывает от
+ оо до 0.
При х =1 f(x) =
= logax = о.
5, f (х) = loga х не имеет
ни максимума ни минимума.
6. / (х) = loga х имеет
корень х = 1.
7. График функции f(x) =logax ось ОУ не пересекает.
После того как изучены свойства функции f(x) —
= k>ga х, можно дать понятие логарифма.
Из общего правила получения аналитического вида
обратных функций известно: чтобы из данной функции по-
лучить обратную, надо решить уравнение прямой функции
относительно ее аргумента. В нашем примере надо ре-
шить уравнение у = ах> но решить его ранее известными
операциями мы не можем. Поэтому записываем условно
решение так: х = loga у. Следовательно, loga у есть пока-
затель степени, в которую надо возвести основание а,
чтобы получить данное число у.
Можно отметить, что получение аналитического вида
обратных функций в основном приводит к введению новых
математических операций: 1) введение функции f (х) = ]/ах2
привело к действию извлечения квадратного корня;
2) введение функции f (х) ~ loga х привело к новому
действию — логарифмированию.
Прежде чем выяснить общие свойства логарифмов чи-
сел, полезно вычертить графики нескольких функций при
различном основании.
Например, построить на одной координатной плоскости
167
графики функций: а) /(х) = log2x; б) f(x) = log j х;
~2~
в) f (х) = log10x; г) f (х) = log±x; д) f (х) = log3x; е) /(х) =
ю
= logj^х (рис. 96)-
з
У к
Рис. 96.
Анализ построенных графиков дает возможность рас-
смотреть общие свойства логарифмов чисел.
1) Изучая свойства функции f(x)=av, отметили, что
при а > 0 ал существует при любом х.
Следовательно, все положительные числа имеют лога-
рифм. Положение графиков в I и IV четвертях подтверж-
дает этот вывод. Отрицательные числа и нуль логариф-
мов не имеют.
2) При любом положительном основании логарифм
единицы есть нуль, а логарифм самого основания ра-
вен 1 (logfl 1 = 0; logaa = 1).
3) При основании а > 1 (в наших примерах а = 2;
а2 -= 3; а3 =J0) логарифмы чисел, больших единицы, по-
ложительны, логарифмы_лисел, меньших единицы, отрица-
тельны.
4) При основании а< 1 (в наших примерах а =
1 И л, *
а = -тр а = -jyl логарифмы чисел, больших единицы, отри-
цательны, логарифмы чисел, меньших единицы, положи-
тельны.
Для практического нахождения логарифмов чисел
можно высказать еще три свойства логарифмической
168
функции, но они не вытекают непосредственно из анализа
трафика функции f(x) = logax. Эти свойства есть не что
.иное, как по другому сформулированные свойства степени
.числа.
1) Логарифм произведения нескольких положительных
чисел равен сумме логарифмов сомножителей:
loga (т • п • k) = loga т + 10ga п + loge k.
2) Логарифм частного двух положительных чисел равен
разности логарифмов делимого и делителя:
loge V = 'oga rn — logQ п.
3) Логарифм степени положительного основания равен
произведению логарифма основания степени на показатель
степени:
loga щр = р loga т.
После этого можно показать, как практически найти
логарифм того -или иного чйсла' при определенном поло-
жительном основании.
Например, определить логарифмы чисел: 2; 4; 5; 8; 12
при основании 2.
Для этого надо найти показатель степени, в которую
следует возвести число 2, чтобы получить соответственно
числа: 2; 4; 5; 8; 12. ’
21 = 2, log22 = l
22 = 4, log2 4 = 2.
2а = 5. Нет рациональных чисел, квадрат которых
равен 5.
23 = 8, log28 —3
2е = 12. Нет рациональных чисел, квадрат которых
равен 12.
Не трудно убедиться, что общего элементарного ре-
шения поставленная задача не имеет.
Для практических расчетов выбрано основание а — 10
и найдены логарифмы всех чисел при этом основании.
Полученные логарифмы объединены в таблицы.
Для теоретических выводов в качестве основания
выбрано число е ~ 2,71828... или е ^2,72.
Упражнения для изучения свойств логарифмической
функции.
1. Доказать, что f(x) — log > х и f (х) = —log3x есть
3
одна и та же функция. Решить графически.
169
2, Найти функции, обратные следующим функциям:
f(x) = 2-**1; f (х) = log10x; f (х) = log32x.
3. Построить графики функций / (х) = (log2 х)2 и f(x) =
= I logi0 х [ и определить наибольшее или наименьшее зна-
чение.
4. Если а>&, то что можно сказать о величине:
a) log3a и iog3Ь\ б) log^a и logj^ft.
2 2
5. Построить график функции f (х) = log2 х. Исследо-
вать свойства функции по графику и вычислить: a) log22,5;
б) log23; в) log, 1,2; г) log2 5; д) log20,4.
6. При помощи графика функции f(x) = 10* определить:
a) log10 12; б) log105; в) log10 0,012; г) logl0 1,4.
7. Найти логарифмы чисел:
a) Iog2 32; б) log381; в) log5125; г) log2 д) log3 -у5
е) log^a.
а
8. Какое число имеет: а) логарифм, равный 2, при
основании 3; б) логарифм, равный -д-, при основании 8;
в) логарифм, равный —2, при основании 0,6.
9. При каком основании: а) логарифм числа 32 равен
2,5; б) логарифм числа 32 равен—2,5; в) логарифм числа
10 равен —1,5; г) логарифм числа 0,75 равен 1.
10. Решить графически уравнения:
a) logюх == х—1; 6)log10x=l—0,2х; B)log2x =
= 3; г) log10x = x2.
11. Установить область определения следующих функ-
ций:
а) /'(х) = loga (—х); б) f(x) = loga(l — х); в) /(x) = logax2;
г) [ (х) = loga (1 — х2); д) f (х) = loge Ух.
12. На основании общих свойств логарифмической
функции что можно сказать об относительной величине а
и если верны следующие неравенства: a) log2 а < log2 b\
б) logj_ а > log \Jb\ в) logo,2 а < log0,2 b\ г) log10 а > log10 b,
2 2
13. Решить уравнения: a) log2x==l; б) log2x = 0;
в) log3x = -^-; г) log3х =— 2.
14. Решить неравенства: a) log2x>0; б) log i х > 0;
в) loglox<0; г) log0,2x<0; д) log3x< —L
170
15. Построить графики функций f(x) = log2x и f(x) =
= log 1 х и сравнить их свойства.
~2
16. Построить график функции / (л) = log21 х | и выяс-
нить ее свойства.
17. Построить график функций: a) f(x) = 7loS7 *—х;
б) /(x) = 3J°e<
18. Напишите уравнения прямых, симметричных у =
= Зх + 5 относительно: а) биссектрисы I координатного
угла; б) оси ОХ\ в) оси 0Y.
19. При каких значениях а и Ь прямая «/== ах 4* со-
впадает со своим симметричным изображением относитель-
но прямой у = х.
20. Будут ли указанные функции возрастающими:
a) f (х) = ]/х; б) f (х) ~= 1 — ]/х; в) f (х) = Ух + 2х.
21. Исследовать свойства функций и по результатам
исследования построить графики: a) f (х) = 1 + |/х? б) f (х)
= УТТъ в) f(х) = У4^1с. _
1/" х2
22. Построить графики функций: a) [{х) = —-;
в) f^STT
23. Написать аналитический вид функций, обратных
2
следующим функциям: a) f(x) = 2x— 4; б)/(х) — —;
в) f (*) = я2 + 2х; г) f (х) = х3 + 1-
24. Заменяя дугу ветви параболы у == ]/~х" между точ-
ками А (4; 2) и В(3; 9) хордой, найти приближенные зна-
чения (с точностью до 0,1) корней: ]/ 5 ; 6 ; /7;
У 8 при помощи линейной интерполяции.
25. Даны функции: a) f (х) = — Зх + 2; б) f (х) = 2х2 —
—1. Записать им обратные функции. Какая существует
зависимость между значениями прямой функции и соот-
ветствующими значениями аргументов обратной функции?
26. Даны функции: a) f(x) = 4х— 1; б) f (х) = —Зх +
+ 2; f(x) = 2х2, где х изменяется от 0 до + оо; в) /(х) =
= х2 — 1 х изменяется от — оо до 0. Построить графики
функций, затем построить график, симметричный относи-
тельно прямой у — х. Написать уравнение второго гра-
фика.
27. Построить график функции f(x) = ~x2—1. Ка-
171
кое условие должно выполняться, чтобы график функции,
обратной данной, был графиком однозначной функции?
28. Написать уравнение обратной функции для функ-
ции: a) f(x)=x3— 4x4-3; б) f(x) = 2x2— 4; в) f(x) =
= г) f(x) = x2 + 2x; д) f (х) = х3 4- 1. Построить ее
график.
Контрольная работа по теме
«Обратные функции».
вариант /
1. Построить графики функций, обратных данным, и
написать их аналитический вид: a) f (х) = -i-x—2; б) f(x) =
= ^-х.
2. Написать уравнение функции, заданной графически
(рис. 97, масштаб: ОХ — 1 мм^-*1 ед., 0Y — 1 мм—Л ед.).
Построить график функции, обратной ей. Какой будет
обратная функция: убывающей или возрастающей и на
каких участках — убывающей, на каких — возрастающей?
3. Решить графически уравнение: !og2x = —х4- 1.
Вариант 11
1. Построить графики функций, обратных данным, и
написать их аналитический вид: a) f (х) = — 2х 4- 1;
б) /(х)=‘х2 + 2.
172
2. Написать уравнение функции, заданной графически
(рис. 98, масштаб: ОХ — 1 мм*—-Л ед., 0Y — 1 мм—1 ед.).
Построить график функции, обратной ей. Какой будет
обратная функция: возрастающей или убывающей и на
каких участках — убывающей, на каких — возрастающей?
3. Решить графически уравнение: log2x = x — 3.
ЛИТЕРАТУРА
1. Акимов Н. Г. Величина и отношение у Евклида. Историко-
математические исследования, вып. 8. М.—Л., Физматгиз, 1955.
2. Александров П. С. Введение в общую теорию множеств
и функций. М., Физматгиз, 1948.
3 А шк ин узе В. Г. и Шоластер Н. Н. Алгебра и эле-
ментарные функции. М.» «Просвещение», 1964.
4. Барсуков А. Н. Алгебра. Учебник для VI—VIII классов.
М., «Просвещение», 1969.
5. Барыбин К. С. Методика преподавания алгебры. ’‘ М.
«Просвещение», 1965.
6. Б е р ф и н П. Г. Некоторые вопросы теории и практики уче-
ния о функциях. Брянск, «Брянский рабочий», 1956.
7. Богоявленский Д. Н., Менчинская Н. А. Психо-
логия усвоения знаний в школе. М., АПН РСФСР, 1959.
8. Брунер Дж. Процесс обучения. М., Изд. АПН РСФСР, 1962?
9. В и л е н к и н Н. Я. Рассказы о множествах. М., «Наука»,
1965.
10. Гибш И. А. Методика обучения алгебре в VI классе.
М., Изд. АПН РСФСР, 1963.
11. Гончаров В. Л. Начальная алгебра. М., Учпедгиз, 1955.
12. Г у рек ий И. И. Функции и построение графиков. М.,
«Просвещение», 1964.
13. Данилов М. А., Есипов Б. П. Дидактика. М., Изд.
АПН РСФСР, 1957.
14. Зайцев К. Е. Функции и графики в курсе алгебры.
Ижевск, Удмуртиздат, 1963.
15. Колмогоров А. Н. Ст. «Величина», БСЭ, т. 7.
16. Кочетков Е. С., Кочеткова Е. С. Алгебра и эле-
ментарные функции. М., «Просвещение», 1969.
17. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. Эле-
ментарный очерк идей и методов. М., «Просвещение», 1967.
18. Лебег А. Об измерении величин. М., Учпедгиз, 1960.
19. Макарычев Ю. Н. Система изучения элементарных
функций в старших классах средней школы. М., «Просвещение», 1964.
20. Мейер Р. А. Изучение функций в восьмилетней школе.
М., Учпедгиз, 1962.
174
21. Методика преподавания математики в восьмилетней школе.
Под общ. ред. С. Е. Лепина. М., «Просвещение», 1965.
22. Му равин К. С., Крейдлин Е. Г. Сборник задач по
алгебре для учащихся VI—VIII классов. М., «Просвещение», 1964.
23. Не ш ков К- И., Краснянская К- А. Математика,
учебные материалы для IV класса. М., «Просвещение», 1966.
24. Столяр А. А. Педагогика математики. Минск, «Вышэй-
шая школа», 1969.
25. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа,
т. 1. М., «Наука», 1964.
26. X и н ч и н А. Я- Основные понятия математики в средней
школе. В сб. «Педагогические статьи». М., Учпедгиз, 1963.
27. Эр дни ев П. М. Методика упражнений по арифметике и
алгебре. М«, «Просвещение», 1965.
28. Ш а о в М. X. Поурочная разработка темы «Функции и гра-
фики» в VIII классе. Майкоп, Учпедгиз, 1957.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I, Некоторые основные понятия начальной математики
§ к Функциональная пропедевтика в арифметике ... 5
§ 2. Метод координат .............................20
§ 3. Конечные множества . .....................33
§ 4. Буквенная символика . '...................38
§ 5. Определение функции.........................48
Глава II. Линейная функция
§ 1. Исследование свойств линейной функции графи-
ческим: методом..................................59
§ 2. Исследование свойств линейной функции аналити-
ческим методом ..................................67
§ 3. Линейные уравнения........................ 81
Глава III. Исследование свойств элементарных функций
§ 1. Понятие иррационального числа и бесконечного
множества........................................91
§ 2. Исследование квадратной функции.............98
§ 3. Исследование свойств функций, содержащих знак
модуля..........................................115
§ 4. Применение метода исследования свойств функций
к решению и исследованию неравенств и урав-
нений ..................................... .128
§5. Функции /(х)=ах3 и f(x)=-^-..............144
§ 6. Показательная функция .....................151
§ 7. Обратные функции .........................157
Литература ..........................................174
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA