Автор: Кудрявцев Л.Д.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика интегральное и дифференциальное исчисления функций многих переменных теория дифференцируемых отображений теория рядов фурье н преобразования фурье элементы функционального анализа и теория обобщенных функций
Год: 1981
Текст
Л. Д. КУДРЯВЦЕВ
Курс
математического
анализа
Том II
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов
физико-математических
и инженерно-физических
специальностей вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1981
ББК 22.16
К 88
УДК 517 @.75.8)
Кудрявцев Л. Д.
К88 Курс математического анализа (в двух томах) Учеб-
Учебник для студентов университетов и втузов. М.: Высшая
школа, 1981, т. II: — 584 с, ил.
В пер.: 1 р. 50 к.
Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисле-
исчисления функций многих переменных, теория дифференцируемых отображений,
теория рядов Фурье н преобразования Фурье, элементы функционального
анализа и теория обобщенных функций.
Предназначается студентам университетов и физико-математических и
инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других
специальностей для углубленной математической подготовки.
„ 20203—121 517.2
К 001@1)-8Г 35~81 17020500в0 ББК 22.16
© Издательство «Высшая школа», 1981
Настоящая книга является второй частью
двухтомного курса математического ана-
анализа. В ней изложены вопросы, изучаемые
обычно студентами на втором курсе. Нуме-
Нумерация глав, параграфов и рисунков в этом
томе продолжает соответствующую нумера-
нумерацию первого тома.
Глава пятая, с которой начинается этот
том, посвящена дифференциальному исчис-
исчислению функций многих переменных и по
существу является непосредственным про-
продолжением главы второй первого тома.
Дальнейшие главы содержат изложение
интегрального исчисления функций многих
переменных, теории рядов и интеграла
Фурье. Преобразование Фурье излагается
сначала в классическом виде, а затем да-
даются его обобщения для пространства L2 и
для обобщенных функций. Заканчивается
том небольшим «Дополнением», основная
часть которого касается численных мето-
методов для вычисления приближенных значе-
значений функций приближенных решений урав-
уравнений и приближенных вычислений интег-
интегралов.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(продолжение)
§ 39. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
39.1 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если функция многих переменных имеет достаточное число
непрерывных производных в окрестности некоторой точки, то эту
функцию- в указанной окрестности можно (подобно тому как это
было сделано для функций одного переменного) представить в виде
суммы некоторого многочлена и остатка, который «мал» в опреде-
определенном смысле.
Теорема 1. Пусть функция z = / (х, у) определена и непрерывна
вместе со всеми своими частными производными до порядка т
включительно (т^\) в 8-окрестности точки (хо,уо)- Тогда для
всех Ах и Ау, удовлетворяющих условию р — \/ГАх2 -\- Аг/2< б, сущест-
существует такое 6 = 8 (Ах, Ау), О < 6 < 1, что справедлива формула
1
(Ax k
+ (Tj! (
или, короче
т—\
Аг=2*НА*? + А*4Г}/(*0' ^) + r»-1(Ax, Ay), C9.1)
где
Формула C9.1) называется формулой Тейлора (порядка т—\)
для функции /, функция /V-x (Ах, Ау) — ее остаточным членом,
а его запись в виде C9.2) — остаточным членом формулы Тейлора
в форме Лагранжа.
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных 5
При ш=1 в C9.1) требует разъяснения смысл первого члена
правой части, поскольку в этом случае верхний индекс сумми-
суммирования равен нулю. В этом случае, по определению, полагается,
что этот член равен нулю, т. е. что формула C9.1) имеет вид
Дг = го(Дл;, Ау).
В дальнейшем всегда, когда встретится выражение, записан-
записанное с помощью символа 2. У которого значение верхнего индекса
суммирования меньше значения нижнего индекса будем также
считать, что это выражение равно нулю.
Доказательство. Пусть Ах и Ау зафиксированы так,
что р = Y Ахг + Ау2 < б, тогда все точки вида (х0 +1 Ах, у0 +1 Ay),
где O^t^l, лежат на отрезке, соединяющем точки (х0, у0) и
(хо + Ах, уо + Ау), и поэтому все они принадлежат б-окрестиости
точки (х0, у0). Вследствие этого имеет смысл композиция функций
z = /(*. У)
т. е. сложная функция
F(t)=f(xo + t&x, Уо + tAy), 0<f*=?l. C9.3)
Очевидно, что
x, yo + Ay)-f(xo, yo) = F(l)-F@). C9.4)
Поскольку функция f имезт в б-окрестности точки (х0, у0) т
непрерывных частных производных, то, согласно теореме о про-
производных сложной функции (см. п. 20.3), функция F также имеет
на отрезке [0, 1] т непрерывных производных и поэтому для
нее справедлива формула Тейлора порядка т— 1 с остаточным
членом в форме Лагранжа:
0<8<1, C9.5)
и в рассматриваемой окрестности точки (х0, у0) функцию C9.3)
можно т раз продифференцировать по правилу дифференцирова-
дифференцирования сложной функции (см. замечание 2 в п. 20.4), причем значе-
значения получающихся смешанных частных производных не зави-
зависят от порядка дифференцирования (см. п. 21.1).
Выразив производные Р*' (/) через производные функции
f(xt у) и положив в формуле C9.5) * = 1 (см. C9.4)), получим
требуемую формулу Тейлора для функции / (х, у). Действительно,
6 § 39. Формулы, Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перем.
из C9.3) следует, что
с, (п _ д[ dx д[ dy _
Г V> ~"dxdt ~т~ dydt ~~~
,, , df(xo+t&x, yc, + t&
* +
Отсюда для F"(t), опустив для краткости обозначения аргумен-
аргументов, получим
Вообще по индукции легко установить, что
k=\, 2, .... m. C9.6)
Положив в формулах C9.6) ^-=0 при k=\, 2, ..., m — I,
будем иметь:
F' @) = ^«.^ ДХ2 + 2 ^if^o) ДхД +ЭЩу? д 2
и вообще
Ax|+Ay|)lfc}/(.vfl, ^О), Л=1,2,...,т-1. C9.7)
При k = m, заменив t на 6/,
F^(Bt)=(Ax^x + Aij^j{m) f(xo + BtAx, yo + QtAtj). C9.8)
Подставим теперь C9.7) и C9.8) в C9.5) и положим t = \;
тогда в силу соотношения C9.4)
т — \
fe= 1
+ ы{Ахддх+АУдду){т)Нх° + ВАх' Уо+еДу), o<6<i. ?
Следствие. В предположениях теоремы 1 справедлива формула
т
Az = 2 w (Ах I+Ay I){fe) ^ ^' ^+Гт (Ах'Ау) • C9-9)
= 1
39.i. Формула Тейлора для функций многих переменных 7
причем остаточный член rm(Ax, Ау) может быть записан в каж-
каждом из следующих видов:
т
гт (Ах, Ау) = 2 е„ (Ах, Ау) Ах" Аут-\ C9.10)
где
\\тгк(Ах, Д*/)=0, к = О, 1, ..., т, р == 'J/ Ал'2 + Д//3
р-0
или
гт(Ах, Ау) = е(Ах, Ау)9»\ C9.11)
где \'\тг(Ах, Аг/) = О, т. е.
р-0
гт(Ах, Ау) = о(р™). C9.12)
Представление остаточного члена формулы Тейлора в форме
C9.12) называется его записью в форме Пеано.
Доказательство. Положим
tk (ДА, Дг/) - - дхкдут-к дхк дут-к ¦ К'5- ¦
В силу непрерывности всех частных производных порядка т
lime* (Да-, Д#) = 0.
0
Преобразуем остаток гт^(Ах, Ау) (см. C9.2)), использовав
выражение C9.13), следующим образом:
т
У Ск
х Аи)-~ У Ск дт/(*,, + 8А.у, уо + вАу) д к д к _
_ 1 "V p
um-k
А-|с+Ду|){т>/^о, Уо)+ У. е*(Д*. &&№№-*. C9.14)
fe ^= 0
где ей (Дх, Ay) = ~fe'k(Ax, Ay), и потому
lime»(Да-, Д#) = 0. C9.15)
Подставляя C9.14) .в C9.1), получим формулу Тейлора C9.9)
с остаточным членом в виде C9.10).
8 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих трем.
Покажем, что остаточный член C9.10) можно записать в виде
C9.11). Для этого положим
т
в (Ах, Ду)= ^ ^Ах' ^ [ft (тГЛ C9Л6)
k = 0
Тогда
т
гт(Ах, Дг/) = У. ek(Ax, Ay) Ax>< Ay™-* =
и так как
Ах
Р
1 и
Р
;1, то из C9.15) следует, что
Jim е (Ах, Д#) = 0. ?
О
Используя понятие дифференциалов высших порядков, фор-
формуле Тейлора можно придать более компактную форму, внешне
идентичную формуле Тейлора для функций одного переменного,
записанной также с помощью дифференциалов. В самом деле,
так как (см. п. 21.2)
d*f (х, у) = (Ах | + Ау |) Ш f (х, у), k = 0, 1, 2, ..., т,
то, полагая для краткости Мо = (х0, г/о) и М = (х0 + Д-^. № + Д#).
формулу C9.9) можно записать в виде
C9.17)
= 1
Эта форма записи формулы Тейлора наиболее проста и потому
удобна для запоминания.
Сделаем несколько замечаний к доказательствам теоремы 1 и
ее следствия. Прежде всего в условиях этой теоремы было потре-
потребовано, чтобы функция / имела непрерывные производные до
порядка т включительно в некоторой б-окрестности точки (х0, у0).
Можно было бы потребовать непрерывность в указанной окрест-
окрестности только производных порядка т, поскольку из их непре-
непрерывности вытекает и непрерывность в этой окрестности всех
младших производных данной функции, т. е. производных поряд-
порядков & = 0, 1, ..., т — \ (см. п. 20.2).
Подчеркнем, что непрерывность частных производных в б-окрест-
б-окрестности точки (хо, уо) была использована, во-первых, для того
чтобы встречающиеся частные производные н^ зависели от порядка
дифференцирования (это было использовано как при доказатель-
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных 9
стве формулы Тейлора C9.1), так и в самой форме записи этой
формулы), и, во-вторых, для того, чтобы функцию C9.3) можно
было т раз дифференцировать по правилу дифференцирования
сложной функции. Обратим внимание на то, что при т=\ сме-
смешанные производные отсутствуют; для возможности же один раз
дифференцировать функцию C9.3) по правилу сложной функции,
а следовательно, и для справедливости теоремы 1 достаточно
более слабого предположения о рассматриваемой функции /.
Именно, вместо предположения о непрерывной дифференци-
дифференцируемое™ в вышеуказанной б-окрестности точки (х0, г/0) функ-
функции / достаточно ее дифференцируемое™ в этой окрестности
(см. определения 2 и 4 в п. 20.2).
Непрерывность частных производных порядка т (в т о ч к е
(хо, г/о)) использована также при доказательстве следствия тео-
теоремы 1: она нужна для того, чтобы функции г'к(Ах, Ау), опре-
определенные формулами C9.13), стремились к нулю при р-^-0.
Подчеркнем еще, что при сделанных предположениях в фор-
формуле C9.9) доказано, что rm (Ах, Ay) = o(pm) при р->0 не в смысле
предела по любому фиксированному направлению, как может
показаться на первый взгляд из приведенного доказательства,
а в более сильном смысле — в смысле предела в точке (х0, Уо)
(почему?).
Формулу C9.1) можно несколько обобщить, если не стремиться
к тому, чтобы она была справедливой для всех точек (ха + Ах0,
Уо + Ау) б-окрестности точки (x0, у0), а.рассматривать эту фор-
формулу лишь при фиксированных Ах и Ау. Именно, если функ-
функция / определена и имеет непрерывные частные производные
порядка т на открытом множестве, содержащем отрезок с кон-
концами (х0, уо) и (хо-{-Ах, уо-{-Ау), то формула C9.1) также оста-
остается справедливой вместе с ее доказательством. Из этого следует,
что если функция / определена в выпуклой области G (см. п. 18.2)
и имеет в G непрерывные частные производные порядка т, то
для любых двух точек (х0, yo)^G и (хо-\-Ах, jo + %)eG спра-
справедлива формула Тейлора C9.1).
Упражнение 1. Пусть функция f(х, у) непрерывна вместе со своими
частными производными до порядка т включительно в некоторой окрестности
точки (х0, у0). Доказать, что ее многочлен Тейлора порядка т, т. е. многочлен
является многочленом наилучшего приближения функции f (х, у) «в бесконечно
малол окрестности точки (ц, #„)». Это означает следующее: каков бы ни был
многочлен Q(x, у), степени не большей m (т. е. в каждом его члене сумма
показателей степеней у переменных х и у должна не превышать числа т)
такой, что
f(x, y) = Q(x, у) + о(рп), n^sm, при р-э-О,
10 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перем.
где
он совпадает с указанным многочленом Тейлора Р (х, у) функции f (х, у).
Все сказанное переносится и на случай функций любого числа
переменных.
Теорема Г. Если функция п переменных y — f(xb ..., х„) опре-
определена и непрерывна вместе со всеми своими частными производ-
производными до порядка т, m 5= 1, включительно в некоторой 8-окргст-
нвети точки xlO) — (x\0), ..., •*{,"'), то справедлива формула
т — 1
где
Гт-1 (А*) =
__ ' /л.. 5 , , л., д Vm) fi.M
0<6<1, Ах=(Ахи ..., Ахп), C9.19)
а также формула
^J){fe} rra (Ал:), C9.20)
где гт(Ах) можно записать в каждом из следующих видов: либо
гт(Ах)= 2 emi...mn(Ax)Ax^...Axy, C9.21)
где lim emi тп (Ах) = 0, • р = у ^j ^
О —' О г i = 1
гт (Ах) = s (Ax) pm, lime(Ax) = 0, C9.22)
/п. е.
= о(рт), р->0.
Наконец, через дифференциалы формулу C9.20) можно записать
k= 1
39.2 Формула конечных приращений 11
Раскроем теперь скобки в формулах C9.18) и C9.19), восполь-
воспользовавшись алгебраической формулой
Для того чтобы короче записать результат, введем новые обозна-
обозначения. Положим k = (#i, ..., kn), \k\ = k1 + .. .-\-kn, k\=kx\ ...knl,
f{k) = » \k'f k ' (x - Х'У = to - x'nkl ¦ • • (xn - jCL
fe=(^i» •••> ^ — называется мультииндексом. .
В этих обозначениях формула Тейлора C9.18) с остаточным
членом в виде C9.19) перепишется в виде
I A I < m | А ; = m
Здесь как всегда, x = (a;i, ..., хп), л;<0) = (х10), ..., х^1) и
В этом виде формула Тейлора для функций любого числа пере-
переменных выглядит так же, как и для функций одной переменной.
Иногда, особенно в случае функций многих переменных, для
производных употребляется обозначение
k1+... + kn
^...дхпп
где k = (ku ..., kn) — мультииндекс. Если пользоваться этой сим-
символикой, то формула Тейлора примет вид
2
I h | < т
I А | = я|
39.2. ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ДЛЯ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Частный случай формулы Тейлора C9.18), в котором т — \,
обычно называется формулой конечных приращений Лагранжа
для функций многих переменных. В силу сделанных в преды-
предыдущем пункте замечаний к теореме 1 о предположениях, при
которых справедливы формулы C9.1) и C9.18), из теоремы Г
получаем следующее утверждение.
12 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перем.
Теорема 2. Если функция f(xi, ..., хп) дифференцируема
каждой точке некоторой выпуклой области G с R", то для
хп) и (*! + / ' ' ¦
; 1, что
vlt ..., х„) =
в каждой токе нр у с R, т
каждой пары точек (л'ь ..., х„) и (x1 + Axi, ...; хп-\-Ахп) из G
существует таког 8, 0<8<1, что
2
2
или, короче,
-f(x) = 2 дПЩМ^ C9-24)
2
где х = (хъ ..., х„), x + Ax = (x], +Axt, ..., хп + Ахп) и
Формула C9.24), как указывалось, и называется формулой
конечных приращений Лагранжа.
Эта формула, так же как' и вообще формула Тейлора, находит
многочисленные и разнообразные применения в различных вопро-
вопросах математического анализа.
Обратим внимание на то, что теорема 2 не является частным
случаем теоремы 1, поскольку в ней требуется не непрерывная
дифференцируемость рассматриваемой функции в каждой точке
множества G, а лишь се дифференцируемость. Однако доказа-
доказательство теоремы 2 фактически содержится в доказательстве тео-
теоремы 1. Действительно, как это отмечалось в замечаниях к дока-
доказательству теоремы 1 и ее следствию (см. п. 39.1), при т=1
приведенное выше доказательство теоремы 1 сохраняет силу и
при предположениях теоремы 2, т. е. при предположении лишь
дифференцируемости (а не непрерывной дифференцируемости)
функции /.
В качестве примера применения формулы C9.24) докажем
следующее утверждение.
Теорема 3. Если функция дифференцируема в каждой точке
выпуклой области G и имеет в G ограниченные частные произ-
производные, то она разномерно непрерывна в этой области.
Доказательство. Если
» = 1, 2, .... я, х-еб
(с — постоянная), то для любых двух точекх' = (х[,..., х'„) и х"
= (х[, ..., Хп) из C9.24) следует, что
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора 13
(здесь | — некоторая точка отрезка с концами в точках х' и х").
Поэтому, если задано е > О, достаточно взять 6 = —, чтобы для
СП,
любых точек /eG и х" е G таких, что р (х', х") <; б, выполня-
выполнялось неравенство
| f (*")-/(*') К е, C9.25)
а это и означает равномерную непрерывность функции / в обла-
области G.
39.3. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ОЦЕНКЕ ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА
ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА ВО ВСЕЙ ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
Остаточный член в формуле Тейлора, очевидно, зависит не
только от приращений аргументов, но и от самой точки, в окрест-
окрестности которой рассматривается разложение функции и которую
мы в п. 39.1 считали фиксированной. Теперь нас будут интере-
интересовать поведение и оценка остаточного члена в зависимости от
изменения указанной точки. Чтобы подчеркнуть эту зависимость,
мы в этом пункте будем остаточный член порядка m обозначать
rm(x. Ах), где х = (хъ ..., хп) — точка, в окрестности которой рас-
раскладывается данная функция по формуле Тейлора. Как и раньше,
&x = (Axlt ..., Ах„).
В формулах C9.21) и C9.22) будем вместо ' emi...m (Ах) и
г (Ах) соответственно писать гт ...т (х, Ах) и г(х, Ах). В даль-
дальнейшем нам потребуется оценка остаточ-
остаточного члена формулы Тейлора в форме
Пеано сразу для всей области сущест-
существования разложения по указанной фор-
формуле.
Введем сначала понятие непрерыв-
непрерывности частных производных в замыка-
замыкании открытого множества. Это требует
специального определения, так как в
граничной точке открытого множества G
даже в случае, когда функция опреде- _
лена на замыкании G множества G, поня-
понятие частной производной, вообще говоря, рис J44
не определено (см., например, точку М
границы области G на рис. 144).
Определение 1. Функция /, определенная на открытом мно-
множестве G a Rn, называется непрерывно продолжаемой на его за-
замыкание G, если существует такая непрерывная на G функция F,
что F — fnaG.
Функция F называется непрерывным продолжением функции f
(на G) и для простоты будет также обозначаться символом f.
14 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перем.
Очевидно в силу единственности предела функции, если у функ-
ции,_ определенной на G, существует непрерывное продолжение
на G, то оно единственно.
Определение 2. Функция f называется непрерывно дифференци-
дифференцируемой (соответственно т раз непрерывно дифференцируемой)
на G, если функция f определена на G и все ее частные производ-
производные первого порядка (соответственно частные производные до по-
порядка т включительно) непрерывно продолжаемы с G на G.
Упражнения. 2. Доказать, что если функция / определена на от-
открытом множестве G с; R" и имеет на нем непрерывно продолжаемую на его
замыкание G производную ~—, и в некоторой точке границы • множества G
аху
существует (односторонняя) частная производная ¦=—, то она совпадает с не-
ах1
прерывным продолжением в эту точку частной производной -^—.
ох1
3. Доказать, что для того, чтобы непрерывная функция, определенная на
ограниченном открытом множестве G с: fp1, была непрерывно продолжаемой
на его замыкание, необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно не-
непрерывней на G. Показать, что в случае неограниченного открытого множе-
множества условие равномерной непрерывности продолжаемой функции, являясь
достатс< ным для непрерывного продолжения, не является необходимым.
4. Построить пример непрерывной и ограниченной в области функции,
которую нельзя непрерывно продолжить на замыкание этой области.
Вернемся теперь к формуле Тейлора. Пусть функция / т раз
непрерывно дифференцируема на замыкании G открытого ограни-
ограниченного множества G.- Тогда, согласно результатам п. 39.1,
в каждой точке xeG имеет место разложение C9.20) функции f
по формуле Тейлора, причем стремление к нулю ет ,..т (х, Ах)
в формуле C9.21) и е(х, Ах) в формуле C9.22) при р->-о равно-
равномерно на множестве G (см. определение в п. 20.2), т. е. для
любого е>0 существует такое б = б(е)>0, что если
P="\/ 2j a*'<6, C9.26)
то
\Zmy..mn(X, Ax)\<Z И | ? (X, Ax) I < 8
для всех точек x^G.
Это в данном случае непосредственно следует из метода полу-
получения функций emi..,m и е(Ал:). Действительно, в силу ограни-
ограниченности и замкнутости замыкания G открытого множества G
непрерывные продолжения на G частных производных порядка т
данной функции равномерно непрерывны на G, поэтому (см. фор-
формулу C9.13) для случая л = 2; в общем случае справедлива ана-
аналогичная формула) если выполнено условие C9.26), то
C9.27)
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора Щ
Здесь правая часть (модуль непрерывности соответствующей про-
производной) не зависит от тоики множества G и стремится к нулю
при 6->0. Поэтому из C9.27) следует равномерное стремление
Zmv..mn к нулю на G.
Теперь можно оценить бесконечно малую е (Ах, Ау) в фор-
формуле C9.22). Для произвольного натурального я ее можно, ана-
аналогично случаю п = 2 (см. C9. 16)), представить в виде
Отсюда имеем:
\г(х, Ах),'< 2 \^mv..mn(x, Ах)\. C9.28)
ml+...+mn=m
В правой части неравенства C9.28) стоит некоторое фиксирован-
фиксированное число слагаемых; обозначим его через N. В силу уже дока-
доказанного равномерного в G стремлении к нулю функций
2т1...тп(х, Ах) для любого заданного е>0 существует такое
б = б (е) > 0, что если выполнено условие р (х, х-\- Ах) < б, то
I / л \ I 8
\?mv..mn(x, Лх)|<дг, тх-\-.,. + тп = т.
Отсюда и из неравенства C9.28) следует, что
\г(х, Ах)|<е. ?
Отметим еще одну оценку в целом остаточного члена формулы
Тейлора, получающуюся из записи его в форме Лагранжа C9.19).
Если функция / определена' на открытом множестве G и имеет
на G ограниченные частные производные порядка т, т. е. суще-
существует такая постоянная Л1>0, что
dmf (х) ¦ ал т \ !.»,_.», v г— г. /39 29)
то при. выполнении условия р (х, х-\- Ах)<^8 для всех j;eG
справедливо неравенство
\гт-г(х. Ах)| < от[ .
Это сразу следует из формулы C9.19), если абсолютные величины
каждого слагаемого ее правой части оценить с помощью нера-
неравенства C9.29) и очевидного неравенства | Axt | =^ б.
16 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих перем.
39.4. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
ПО ПАРАМЕТРУ СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
В предыдущем пункте мы встретились с понятием равномер-
равномерной сходимости на данном множестве семейства функций, зави-
зависящих от некоторого параметра, когда этот параметр стремится
к определенным значениям. Такими функциями в нашем случае
являлись гту.,тп{х, Ах) и е(л:, Ах), где роль параметра играло
Ах. В простейшем виде этот случай встречался еще раньше
в п. 20.2.
Сформулируем определение равномерной сходимости семейства
функций в общем случае.
Определение 3. Пусть X cz Rn, Y a Rm, */@) — предельная точка
множества Y или одна из бесконечностей *> оо, + оо, — оэ (по-
(последние две бесконечности имеет смысл рассматривать только
при т = 1). Пусть, далее, функция ф (х) определена для всех хеХ,
я f (х, У) — для всех х <= X и у еУ.
Функция f (x, у) называется, равномерно стремящейся на мно-
множестве X к функции ф(х) при y-*-yiQ) и пишется
fix, y)lF<P(x), У — Ут
если для любого е > 0 существует такая проколотая окрестность
f/(«/@>) точки г/@>, что для всех хеХ и всех у ^.Y{\U(ук0)), вы-
выполняется неравенство
8. C9.30)
Переменная у часто называется в этом случае параметром,
а функция f(x, у), у = Y', — «семейством функций от х» (в том
смысле, что эта функция при различных фиксированных y^Y
задает функции переменной х).
Подобно случаю равномерной сходимости последовательности
функций (см. п. 36.1) условие равномерной сходимости функций
по параметру можно сформулировать, используя понятие предела,
следующим образом.
Функция f (x, у) равномерно стремится на множестве X к функ-
функции ф(х) при г/-*-*/10' тогда и только тогда, когда
lim sup \f{x, г/)-ф(х)| = О. C9.31)
Таким образом условие/(х, у)^ц>(х), у-— у{0), равносильно
стремлению к нулю при у-^-у° функции F (у) ^ sup | f (x, у) —
— Ф(х)|. Доказательство этого утверждения совсем не сложно и
*' Бесконечности оо, +оо, —со будем для простоты называть в дальней-
дальнейшем также точками («бесконечно удаленными»).
39.4 Равномерная сходимость, по параметру семейства функций 17
аналогично случаю равномерной сходимости последовательности
функций. Его проведение предоставляется читателю.
Справедлив в рассматриваемом случае и аналог критерия
Кошн равномерной сходимости последовательностей.
Теорема 4 (критерий Коши). Для того чтобы функция f (х, у)
при у-*-у10) разномерно стремилась на множестве X к некоторой
функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого е >¦ О
нашлась такая проколотая окрестность 0 (у@)) точки у(°\ чтобы
для любых
)(\Y и y"
и любого х^.Х выполнялось неравенство
\f(x, y")-f(x, у')\<г. C9.32)
Действительно, необходимость условия C9.32), как всегда
в подобных ситуациях, легко следует из условия C9.30). Для
доказательства же достаточности следует показать, что из усло-
условия C9.32) вытекает, что для любого фиксированного хеХ су-
существует lim f(x, у) и что стремление функции f(x, у) к этому
2/-V0'
пределу при */->*/@) происходит равномерно.
Все это также рекомендуется проделать читателю самостоя-
самостоятельно.
Упражнение 5. Доказать: для того чтобы функция } (х, у), хе.Х,
г/<=Х равномерно на множестве X стремилась при y-*-y'rj> к функции <р(х),
х ^ X, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности у' еК,
У"" Фу"", я=1, 2, ..., стремящейся к у'0>, последовательность/^, yinl),
я=1, 2, ..., равномерно на множестве X сходилась к функции <р(*)-
Примеры. 1. Рассмотрим семейство функций f (x, у) = е~хи,
гдг 0=?Сл:?^1, Ог^г/< + °о. Очевидно
I 0, если дг>0,
hm f(х, у)—\ Л г,
^+c° I 1, если х = 0
(таким образом переменная у, если использовать указанную выше
терминологию, является параметром). Обозначим предельную функ-
функцию через ф (х),
( 0, если д:>0,
Фй= . ' C9.33)
[ 1, если лт = О. v '
Докажем, что стремление функции f(x, у) к ф (х) при у-*¦-{¦ со про-
происходит неравномерно. Для этого достаточно показать, что су-
существует такое ео>0, что какую бы окрестность (/(+оо)ни
взять, найдутся такие хе[0, 1] и j е'&'(+оо), что будет вы-
выполнено неравенство | е-ху — ф (х) | S= e0. Возьмем е0 таким, что
0<е0<1, и произвольную окрестность U(-{-со). Тогда, какое
бы y^U(-j-oo) ни взять, для него lim e--Vi/= 1, и поэтому най-
О
18 § 39. Формулы Тейлора и ряд Тейлора для функций многих персм.
дется такое х <= @, 1], что
е-ху _ ф (х) | = | е-ад _ о | > е0.
Таким образом, в данном случае условия критерия Коши (см.
теорему 4) не выполняются.
Однако, при любом а, 0<а<1, семейство функций f(x,y) =
= е~хи при г/-> + оо равномерно стремится к нулю на отрезке
[а, 1]. Проверим в этом случае выполнение условий критерия
Коши (см. теорему 4). Для любого е> 0 существует число т|е>О,
такое, что ё~ау]е<.в [достаточно взять любое г]>- пв|]; поэтому
для всех у ~> % и всех «е[а, 1 ] будем иметь
| е-ху — о | = ег*У<: е~аГ]е < е.
Конечно, исследование равномерной сходимости рассматривае-
рассматриваемого семейства функций можно выполнить и применив критерий
C9.31). Действительно, использовав формулу C9.33), получим
sup |er*v — ф(х)ISs sup
<<1 0<
поэтому условие C9.31) заведомо не выполняется. Если же 0<
< а < 1, то
lim sup |е~ху — <р(х) | = lirn sup e~x«= lim e-a'J=-Q.
Таким образом,
e-*v ¦& <р(х),
[О, 1] ^ ч ;
2. В случае, когда Y является множеством натуральных чисел
Y={\, 2, 3, ...}, а </1°) = + оо, приведенное определение равно-
равномерной сходимости по параметру превращается в определение
равномерной сходимости последовательности функций /„ (х) =
= f(x, п), п=\, 2, ..., на множестве X.
3. Пусть функция f(x, у) непрерывна на прямоугольнике Q —
= {(х, у): — oo<asg;es^b< + co, — (х<Zсs^у^d<-\-<х>} и
пусть joe[c, d].
Обозначим через со F, /) модуль непрерывности функции /
в прямоугольнике Q; тогда
| / (х, у) - f (х, г/„) | ^ со (| у - & |; /), (х, у) е Q. C9.34)
Правая часть этого неравенства не зависит от х и в силу равно-
равномерной непрерывности функции f на прямоугольнике Q
Итш(б; /) = 0. Поэтому из неравенства C9.34) следует, что при
6-0
у-^Уо функция f(x, у) равномерно на отрезке [а, Ь] стремится
к функции f(x, г/0).
40.1. Необходимые условия экстремума 19
Упражнение С. Доказать, что если семейство функций f(x, у), х *=
elc R", у <=Y *= Rm таково, что функции / (х, у) при любом фиксирован-
фиксированном i/eF непрерывны по х на множестве X и равномерно на этом множе-
множестве стремятся к ф (х) при у->-у10>, то <р (х) также непрерывна на множе-
множестве а:.
39.5. ЗАМЕЧАНИЯ О РЯДАХ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Если функция f{x) определена и бесконечно много раз диф-
дифференцируема в некоторой 6-окрестности точки х{0> — (х™',..., х)Т)^
е/?я, то для этой функции формула Тейлора C9.20) будет, оче-
очевидно, справедливой при любом натуральном п—1, 2, ... и
п
2 Ах? < ба. Если при этом ряд
будет сходиться к &y = f(x) — f(x^°>) (см. п. 38.2), то получится
формула
k = 1
где х = (хи ..., хя) и Xi— x'i" = kxh /=1, 2, ..., п. Отсюда, пе-
перенеся /(.v'i°') в правую часть, получим разложение функции
в степенной ряд, называемый рядом Тейлора функции /:
?=0
или, что то же
1*1 = 0
где k = (klt ..., kn) — мультииндекс.
Упражнение 7. Разложить в ряд Тейлора функцию f(x, у) =
§ 40. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
40.1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Изучаемые в настоящем и некоторых следующих параграфах
вопросы носят аналитический характер, и их доказательства
не усложняются при увеличении числа переменных. Поэтому мы
20
§401 Экстремумы функций многих переменных
проведем их рассмотрение сразу в общем п-мерном случае, ука-
указывая при необходимости их специфические особенности для
случаев п = 2 и п = 3.
Определение 1. Пусть функция f(x) определена на множестве
EaRn. Точка xw^E называется точкой строгого максимума,
соответственно строгого минимума, если существует такая окре-
окрестность U (хт) точки xw, что для всех х еУ(х@))П?, хфхк0),
выполняется неравенство f(x)<.f(x@)) соответственно неравенство
Рис. 145
Рис. 146
Таким образом, точка строгого максимума (соответственно
строгого минимума) характеризуется тем, что А/ = /(%) — f(x@)XQ
(соответственно А/>0) при всех хе(/(х@)) (]Е, хфх{0) (рис. 145).
Если же для точки jtl°> существует такая окрестность U (х{Оу),
что при всех x^U(xw)(]E выполняется условие f(x)^f(x'0))
(соответственно f (x)^f(xw)), то хт называется просто точкой
максимума (соответственно минимума).
Определение 2. Точки (строгого) максимума и минимума функ-
функции называются точками (строгого) экстремума.
Теорема 1. Пусть функция f(x), х = (хъ х2, ¦¦-, хп) определена
в некоторой окрестности точки х10); если она является точкой
экстремума функции f(x) и если в ней существует какая-либо из
производных ~- (j может принимать одно из значений 1, 2,..., п),
то она равна нулю,
df(x«>>)
= 0.
Следствие. Если функция f (x) дифференцируема в точке экстре-
экстремума х{0\ то ее дифференциал равен нулю в этой точке, df(x{0)) = 0.
Доказательство (теоремы и следствия). Пусть для опре-
определенности У= 1. Если х'°' = (л:Т) х„') является точкой экстре-
экстремума для функции /(х) = /(хх, ..., х„), то х'\' является точкой
экстремума для функции /(хъ хТ, ..., х„') одной переменной хх
(рис. 146), а поэтому если в этой точке существует производная
40.2. Достаточные условия строгого экстремума
21
~, то по теореме Ферма (см. п. 11.1) она равна нулю, т. е.
df{x>°>) dff
d хг
= 0.
Аналогично обстоит дело в случае любой переменной х} (/ ==
= 2, .... п).
Рис. 147
Рис. 148
Если функция f (х) дифференцируема в точке экстремума х@\
то в этой точке существуют все производные ¦—, t= 1, 2, ...,«,
и, согласно доказанному, все они равны нулю, поэтому и
«=1
Примеры. 1. Найдем точки экстремума функции 2 = х2 +г/2.
Точки экстремума в силу доказанного находятся среди тех, для
которых dz = 0. Так как dz = 2х dx + 2у dy, то условие dz — 0
выполняется в единственной точке @, 0). В этой точке 2 = 0,
во всех же других точках z = jt2+#2>0. Поэтому @, 0) является
точкой строгого минимума для функции 2 = х2 + г/2 (рис. 147).
2. Исследуем точки экстремума функции г = хг — у%. Поступая
аналогично предыдущему случаю, находим, что условие dz = 0
снова выполняется в точке @, 0) и в этой точке г = 0. Однако
здесь при у = 0 и любых х Ф 0 имеем z > 0, а при х — 0 и любом
у Ф0 имеем z<0. Поэтому точка @, 0) не является точкой
экстремума, и, значит, функция z — x2 — y2 вообще не имеет
экстремальных точек (рис. 148).
40.2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СТРОГОГО ЭКСТРЕМУМА
Напомним несколько определений из курса алгебры.
Определение 3. Квадратичная форма А(х) = А(хъ ..., хп) =
п
ан = ац, i, /=1, 2, ..., п, называется ¦ положи-
22 § Ш Экстремумы функций многих переменных
тельно (соответственно отрицательно) определенной, если А (х) > О
(соответственно А (х) < 0) для любой точки х <= Rn, хфО.
Квадратичная форма, являющаяся положительно или отрица-
отрицательно определенной, называется также просто определенной
(или знакоопределенной) квадратичной формой.
Определение 4. Квадратичная форма, принимающая как поло-
положительные, так и отрицательные значения, называется неопреде-
неопределенной.
Лемма 1. Пусть S — единичная сфера в R":
и пусть А (х) — определенная квадратичная форма; тогда
inf
xeS
Доказательство. Функция А(х) является многочленом
второй степени по переменным хъ ..., хп, поэтому А (х), а, сле-
следовательно, и | А (х) | непрерывны во всем пространстве R".
Отсюда вытекает, что функция | А (х) | непрерывна на компакте 5.
Согласно теореме Вейерштрасса, функция | А (х) | достигает на 5
своей нижней грани, т. е. существует такая точка х^0) е S, что
|i— inf
По определению знакоопределенной квадратичной формы
|0 для всех точек xeS, значит, в частности, ju, ==;
| () | >0. ?
Определение 5. Пусть функция f дифференцируема в точке
xw^Rn. Если d/(jtlO)) = O, то хт называется стационарной
точкой функции /.
Очевидно, что точка хт, в которой функция f дифференци-
дифференцируема, является стационарной в том и только в том случае, если
ЩР = О, i=l, 2, ..., п. D0.1)
Согласно следствию из теоремы 1, точка экстремума, в кото-
которой функция / дифференцируема, является стационарной; обрат-
обратное, конечно, вообще говоря, неверно: не всякая стационарная
точка, в которой функция дифференцируема, является точкой
экстремума (см. пример 2 в конце п. 40.1).
Теорема 2 (достаточные условия строгого экстремума). Пусть
функция f определена и имеет непрерывные производные второго
порядка в некоторой окрестности точки х{°К Пусть хт является
стационарной точкой функции /; тогда если квадратичная форма
A(dxu ..., dxn)=
i. /= 1
40.2. Достаточные условия строгого экстремума
23
т. е- второй дифференциал функции f в точке х{0), положительно
определенна (отрицательно определенна), то х@) является, точкой
строгого минимума (соответственно строгого максимума); если же
квадратичная форма D0.2) неопредгльнна, то в точке хт нет
экстремума.
Доказательство. Пусть U(xm, б0) — б0-окрестность ста-
стационарной для функции / точки л,-(°\ в которой функция / имеет
непрерывные вторые производные. Пусть точка
.... хТ
dXn)
принадлежит этой окрестности.
По формуле Тейлора (см. C9.23)), учитывая условия стацио-
стационарности D0.1), получим
Т. 2 -^jdXidxj + e(dx)p\
i, /=
где dx = (dxb
dx,,), p2 = dxi + • • ¦ + dx^, и
lim e(dx) — Q,
p-*0
D0.3)
или
"/=2i 2 -dxidx-
. /=l
'Ol) dx,- dxj
P P
;(dx)U
- D0-4)
Точка I —. • • •. --) лежит на единичной сфере S (т. е. на сфере
с центром в начале координат и радиусом, равным 1), ибо
1 / \ p /
Пусть квадратичная форма D0.2) знакоопределенна. Тогда,
согласно лемме, inf А — ц > 0. Выберем б, 0 < б •< б0) так,
s
чтобы 21 е (dx) | < ц при р < б. Тогда при р < б, т. е. при
х@) + dx <= U (х@), б) и djc^O, все выражение в квадратных
скобках в правой части формулы D0.4) будет иметь тот же знак,
My. Лг_\
что и первое слагаемое Л
йх„
dxx
dxn
—
Поэтому, если квадратичная форма D0.2) является положительно
определенной, то Д/>0, а если отрицательно определенной, то
А/<0 при xW + dxez(J№*\ 8). Значит, в первом случае *-<°>
является точкой строгого минимума, а во втором — точкой строгого
максимума.
24
§ 40. Экстремумы функций многих переменных
Пусть теперь квадратичная форма D0.2) является неопреде-
неопределенной; это означает, что существуют две такие точки dx' =
= (dx\, ..., dx'n) и dxf={dxi, ..., dx"n), что A(dx\, ..., dx'n)>0,
a A(dx"\, ..., dx'n) <0. Мы не можем
на основании этого сразу сказать, что
приращение функции А/ меняет знак
в любой окрестности точки х"", так
как точки х"" + dx' = (х'{" + dx[, ...
-\-dx'{, ..., x'if + dxn) могут, вообще
говоря, даже и не принадлежать об-
области определения функции /. Однако,
нужный нам результат будет следо-
х вать из того, что квадратичная фор-
форма A (dx) сохраняет один и тот же
знак или равенство нулю на каждой
прямой, проходящей через точку х'°\
из которой удалена сама эта точка, а значение А (— \, <1хф0,
вообще не зависит от выбора точки на этой прямой.
Рассмотрим точку dx' = (dx\, ..., dx'n). Проведем полупрямую,
начинающуюся в точке xw и проходящую через точку xl0) + dx'.
Для любой точки х = (хъ ..., хп) этой полупрямой положим
г~
dXi = xi~xT, г—1, 2, ..., п, и р=1/ 2j <^хЬ Тогда (рис. 149)
Рис. 149
1=1, 2 п,
D0.5)
где cos а,- суть направляющие косинусы рассматриваемой полу-
полупрямой. Поэтому точка
р ' "¦' ~^ j=(C0Sal' ¦••> COsan). D0-6)
лежащая, очевидно, на единичной сфере** 5 с центром х{0),
будет одной и той же для" всех точек х этой полупрямой, т. е.
точка D0.6) не зависит от расстояния р между х и %@).
Следовательно и значение квадратичной формы D0.2) в точке
D0.6), т. е. Л(—» •¦•» -—), не зависит от р. Отсюда для любой
Xb ••"dXn)>0-
точки D0.6) имеем
^ j = ц.' > 0. Выберем p0 > 0 так, чтобы при
Пусть Л
p<Po имело место неравенство 2|e(d#)|<;j.i', что возможно
*' Напомним, что для направляющих kochhj'cob справедливо равенство
cos2 ax + ¦ • • + cos2 о„ = 1.
40.2. Достаточные условия строгого экстремума
25
в силу D0.3). Тогда для любой точки х^-\-йх, лежащей на полу-
прямой D0.5) и такой, чтоО<р=1/ ^]
в формуле D0.4)
выражение в квадратных скобках будет иметь знак первого члена,
и поэтому А/>0. Итак, в любой окрестности точки х@> имиотся
точки, для которых А/>0.
Аналогично, исходя из отрицательного значения квадратичной
формы D0.2) в точке (dxl), доказывается, что в любой окрест-
окрестности точки х@) существуют точки, для которых А/<0. А это
и означает, что в рассматриваемом случае %@) не является точкой
экстремума. Ц
При практическом применении этой теоремы возникает вопрос:
как установить, будет ли квадратичная форма D0.2) положительно
или отрицательно определенной. Для этой цели может служить,
например, так называемый критерий Сильвестра положи-
положительной определенности квадратичной формы, доказываемый
в курсах алгебры. Он состоит в следующем.
Для того чтобы квадратичная форма
= А(хъ ..., х„)=
D0.7)
у которой ац = uji, i, / = 1, 2, ..., п, была положительно опре-
определенной, необходимо и достаточно, чтобы
ап > 0,
«11 «12
«21 «22
«11 «12 «13 |
«21 «22 «23
«31 «32 «33
«и «12 • • ¦ aln
«21 «22 • • • «2n
«Я1 «Л2 • • ¦ aan
Замечая, что квадратичная форма Л (х) отрицательно опреде-
определена тогда и только тогда, когда квадратичная форма — А(х) =
п
= 2 (~~ «у) xixj положительно определена, получаем, пользуясь
<", /= 1
известными свойствами определителя, следующий критерий отри-
отрицательной определенности.
Для того чтобы квадратичная форма D0.7) была отрицательно
определенной, необходимо и достаточно, чтобы
«11 «12
«21 «22
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
«
(-1)"
11 2 ¦ • •
«21 «22 • - •
«л-1
• ¦¦ «пи
26 § 40. Экстремумы функций многих переменных
Сформулируем теперь теорему 2 для случая двух переменных,
выразив условия, накладываемые на квадратичную форму D0.2),
в явном виде через вторые частные производные.
Тесрема 3. Пусть функция f(x, у) определена и имеет непре-
непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окре-
окрестности точки (х0, у0), которая является стационарной для
f(x, У), т- е- в ней
fs = h = O. D0.8)
Тогда если в (х0, у0)
Шуу-Рху>Ь, D0.9)
то она является точкой строгого экстремума, а именно строгого
максимума, если в ней
и строгого минимума, если
/лх>0.
Если же в точке (х0, у0)
Шии-Пу<0, D0.10)
то экстремума в ней нет.
Наконец, когда
иУУ-Пу=о D0.li)
в точке (х0, у0), то может случиться, что экстремум в ней есть,
и может случиться, что экстремума нет.
Действительно, если [ххф0 в точке (х0, у0), то квадратичную
форму D0.2) в нашем случае можно записать в виде
A (dx, dy) = fxx dx* + 2fxv dx dy + fuy dy* =
Wdx+bdyy + VJnjdy*] ¦ D0.12)
Все частные производные здесь и ниже взяты в точке (х0, у0).
Мы непосредственно видим, что при выполнении условия D0.9)
выражение в квадратных скобках в формуле D0.12) положительно
при dx2-\-dy2>0, т. e. A(dx, dy) является определенной квад-
квадратичной формой, а именно положительно определенной при
Ьа>0 и отрицательно определенной при /АЛ<0. Это, конечно,
следует и из вышеприведенного критерия Сильвестра. В первом
случае, согласно теореме 2, (х0, у0) является точкой строгого
минимума, а во втором — точкой строгого максимума. Если же
выполнено условие D0.10), то при dy = O, йхфО, из D0.12)
имеем sign A(dx, 0)= sign/**, а при dx=fxlJ, dy = — fxx получим
sign A,(fxy, — /л-д-) = — sign/XA., откуда следует, что квадратичная
*' Очевидно, из условия D0.9) следует, что [хх=?0 в точке (х0, ув).
40.3. Замечания об экстремумах на множествах 27
форма A (dx, dy) при выполнении условия D0.10) является неоп-
неопределенной.
Итак, полностью разобран случай
1х*ф0 и Ufyy-ПуФО.
Случай
/.™=о, !ииФ0 и Муу-ПуФО
исследуется аналогично.
Если же fxx = fyy = 0, но по-прежнему fxxfyy — fxy Ф 0, то, оче-
очевидно, fxy Ф 0, следовательно, в этом случае выполняется
условие D0.10) и A(dx, dy) = 2fxydxdy. Отсюда сразу видно, что
квадратичная форма A (dx, dy) при сделанных предположениях
является неопределенной, ибо sign A (dx, dy) = — sign A (dx, — dy).
Поэтому достаточно взять сначала dx и dy одного знака, а затем
разных знаков, чтобы получить значения квадратичной формы
разных знаков. По теореме 2 (х0, у0) не является в этом случае
точкой экстремума.
Наконец, случай fxx = fyy = fxy = O несовместим с предположе-
предположением 1хх!УУ — Цуф0. Таким образом, разобраны все возможные
случаи при выполнении неравенства {хх{уу — [хуф0.
Для завершения доказательства теоремы нам достаточно пока-
показать на примерах, что, когда имеет место соотношение D0.11),
экстремум может быть, а может и не быть.
У функции z = х2 -г 2ху -\- у2 точка @, 0) является стационар-
стационарной, и в ней zxx = zxy = zyy = 2, и, значит, выполняется условие
D0.11). Замечая, что г = (х-{-уJ, видим, что всюду z Э=0, причем
г = 0 на прямой х-\-у = 0; поэтому точка @, 0) является точкой
экстремума, правда, нестрогого.
Для функции z = ху3 точка @, 0) также является стационар-
стационарной, и в ней zxx = ZytJ = zxy = 0, поэтому условие D0.11) также
выполняется. Однако в силу того, что в формулу, задающую эту
функцию, переменные х и у входят в нечетных степенях, функ-
функция меняет знак в любой окрестности нуля, значит, @, 0) не
является точкой экстремума.
§ 40.3. ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ЭКСТРЕМУМАХ НА МНОЖЕСТВАХ
Пусть функция f дифференцируема на открытом ограниченном
множестве G и непрерывна на его замыкании G. Пусть требуется
найти_наибольшее и наименьшее значения функции / на множе-
множестве G (они существуют по теореме 3 п. 19.5). Для этого можно,
например, найти все стационарные точки функции / в G, вычис-
вычислить в них значения функции и выбрать, если, конечно, это воз-
возможно (а теоретически возможно это, например, -когда число
стационарных точек конечно), точки, в которых функция прини-
принимает наибольшее и наименьшее значения из всех значений в ста-
¦28 § 41. Неявные, функции
ционарных точках. После этого следует сравнить эти значения
со значениями, которые функция принимает на границе открытого
множества G, например, найдя, если это удается сделать, наиболь-
наибольшее и наименьшее значения функции f на границе области G.
Сравнив наибольшее и наименьшее значения в стационарных
точках с наибольшим и наименьшим значениями на границе
множества G, мы можем, очевидно, найти искомый максимум и
минимум f на G.
В случае, когда G — плоская область и ее граница является
кривой, заданной некоторым представлением x = x(t), y = y(t),
cc-iJjsSP, вопрос о нахождении экстремальных значений функции
f(x, у) на границе G сводится к исследованию на экстремум
функции одного переменного f(x(t), y(t)), что делается уже изве-
известными нам методами.
Методы, которые можно применять в многомерном случае для
отыскания экстремальных точек на границе области будут рас-
рассмотрены в § 43.
Упражнения 1. Найти экстремумы функции г = х3-\- \2ху" — \Ьх — 2\и.
2. Имеет ли функция 2 = х'!;/- — 2>х~у-\-2х-\-у экстремум в точке A, 1)?
3. Найги наибольшее и наименьшее значения функции 2 = x2 + .V2 — 4х —
— 2у-\-4 в замкнутой области, ограниченной линиями х = 4, у =— 1, х — у-=Ъ.
4. Пусть а = const >¦ 0, ? = {(х, у) : | х [ <С а, у е /?}. Найти все экстремумы
3
функции z = k- хг -\-У 6 (а2 — x2)cosy в Е и все ее наибольшие и наименьшие
значения в П.
5. Полная поверхность прямоугольного параллелепипеда равна 6а2. При
каких значениях длин ребер его объем —наибольший?
§ 41. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
41.1 НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ
ОДНИМ УРАВНЕНИЕМ
Выясним условия, при которых одно уравнение с несколькими
переменными определяет однозначную функцию, т. е. определяет
одну из этих переменных как функцию остальных. Начнем наше
рассмотрение с изучения уравнения, содержащего два неизвестных,
F(x, y) = 0.
Если функция двух переменных F (х, у) задана на некотором
подмножестве А плоскости R*xy, AczRxy и существует такая
функция одной переменной y = f(x), определенная на множестве
В a Rx, содержащемся в проекции множества А на ось Ох, что
для всех JtsS имеет место (х, f (x)) e А и справедливо тожде-
тождество F (x, f (л;)) = 0, то / называется неявной функцией, опреде-
определяемой уравнением F (х, у) = 0.
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением 29
Лемма. Пусть функция. F (х, у) непрерывна в некоторой пря-
прямоугольной окрестности
U(x0, Уо) = {(х, y):\x-xo\<t, \y-yoK4}*)
точки (л'о, г/о) и при каждом фиксированном хе(х0 — ?, хо + ?)
строго монотонна по у на интервале (у — ц, г/о + л)- Тогда, если
F{x0, г/о) = О,
то существуют окрестности U (х0) — (х0 — 5, х0 -f б) точки х0 и
У(Уо) = (у — ?. Уо + е) /поч/сы у0 такие, что для каждого х ^ U (хо)
имеется и притом единственное решение у е(/ (у0) уравнения
F (х, у) — 0. Это решение, являющееся функцией от х и обозна-
обозначаемое y = f (x), непрерывно в точке х0 и
= г/о-
Таким образом, лемма, в частности, утверждает, что при сде-
сделанных предположениях неявная функция y — f(x), определяемая
уравнением F (х, у) = 0, существует и обладает тем свойством, что
при условии ле(/(х0), y<=U(y0) равенства
F (х, у) = 0 и y = f(x)
равносильны.
Доказательство. По условиям леммы функция F(x,.y)
при каждом фиксированном х^(х0 — ?, хо + |) строго монотонна
по переменной у на интервале (уо — г\, Уе + ц), в частности на
нем строго монотонна функция F (х0, у). Пусть для определен-
определенности она строго возрастает. Выбгрем произвольное е > 0, подчи-
подчиненное лишь условию 0<C?<ii. Поскольку функция F(хо, у)
переменной у строго возрастает на отрезке [у0 — е, г/о + е], и по
условию F (л'о, г/о) = 0, то
F(x0, уо-?)<О, F(xa,
Но функция двух переменных F (х, у) по предположению
непрерывна на открытом множестве U (х0, у0) и (х0, у0 — е)е
е(/(х0, г/о), (^о, Уо + ?)^У (Хо, Уо), поэтому существует такое
6>0, 0<б<|, что в б-окрестности точки (х0, уп — г) выпол-
выполняется неравенство F (х, у) < 0, а в б-окрестности точки
(•*о, г/о + е) — неравенство F (х, у) > 0 (см. лемму 1 в п. 19.3). В част-
частности, при всех х^(х0 — б, хо-{-&) (рис. 150) будут справедли-
справедливыми неравенства
F(x, г/о-е)<0, F(x, г/о + е)>0. D1.1)
Положим
V (хо) = (хо - б, хо + б), U (у0) ^ (Уо _ е,
*' В соответствии с принятыми в курсе обозначениями окрестность точки
(х0, уа) правильнее было бы обозначить через U ((*е, #„)), а не через U(x0, y0).
Для простоты обозначений мы будем опускать вторые скобки.
30
§ 41. Неявные функции
.У,
У*
X Хо
Поскольку при фиксированном хе(/ (х0) функция F (х, у) пере-
переменной у непрерывна на отрезке [уо — е, #о + е], то ^3 условия
D1.1) согласно теореме Коши о промежуточных значениях непре-
непрерывкой функции (см. теорему 2 в п. 6.2) следует, что существует
такое г/*е(/(«у0) (см. рис. 150), что F (x, ty*) = O. В силу строгой
монотонности функции F (х, у) на
отрезке [у0 — е, г/о + е] по перемен-
переменной у, указанное у* единственно.
Таким образом, получено одно-
однозначное соответствие (однозначная
функция) х с-»- у*, x<=U (х0),
у* ^U (уо), которое будем обозна-
обозначать через /: y* — f(x).
По определению этого собтвет-
J J „. ствия для любого x^U(х0) и
V» •Vf ¦¦¦' y* = f{x) имеем
Рис. 150 р,х у*) = о и* (=U(г/о)
причем точка г/*, обладающая этим свойством, единственна. Тем
самым нами доказаны существование и единственность искомой
функции f.
Далее, по условию леммы F (х0, у№) = 0, и так как х0 е U (х0),
у0 Et/(j/0), то в силу единственности функции / имеем yo = f(x0).
Наконец, заметим, что е>0 было фиксировано произвольным
образом при условии, что е<т), и что для него было найдено
такое б > 0, что из | х — х0 | < б (т. е. из условия x^.U (x0))
вытекало включение f(x)<=U (у0), т. е. неравенство | / (х) — f{x0) | <
<е. Это и означает непрерывность функции / в точке х0. Ц
Удобные для приложения достаточные условия однозначной
разрешимости уравнения F (х, у) = 0 в некоторой окрестности
точки (х0, уо), для которой F (x0, t/o) = 0, даются следующей тео-
теоремой.
Теорема 1. Пусть функция F (х, у) непрерывна в некоторой
окрестности точки (х0, у0) и имеет в этой окрестности частную
производную Fy (х, у), которая непрерывна в точке (х0, у0). Тогда,
если
F{x0, г/0) = 0, Fy(x0, уо)фО,
то найдутся такие окрестности V (х0) и U (у0) соответственно
точек х0 и у0, что для каждого xg()(x0) существует и притом
единственное решение y = f(x)^U (у0) уравнения F (х, у) = 0'*>.
Это решение непрерывно всюду в U (х0) и yo — f(xo)-'
Если дополнительно предположить, что функция F имеет
в некоторой окрестности точки (х0, у0) частную производную
•' В этом случае говорят также, что уравнение F (х, у)=0 однозначно
разрешимо в окрестности V (х0, уо) = {(х, у): х ев U (х0), у е= U (уо)\ точки
(*oi Уо)'
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением
31
Fx(x, у), непрерывную в точке (х0, у0), то функция f(x) также
имеет в точке х0 производную и для нее справедлива формула
е /„ \ Рх (хо< у.-)
/ (Хо) = — р—г- —г.
Доказательство. В силу непрерывности функции F(х, у)
в некоторой окрестности точки (хо, у0) и непрерывности частной
производной Fy(x, у) в точке (х0, у0), существует прямоугольная
окрестность
U(x0, уо) = {(
\у-уо\<ц}
s:
точки (х0, Уо), в которой сама функция F (х, у) непрерывна,
а значения частной производной Fy (x, у) имеют тот же знак, что
и ее значение в точке (х0, у0). Поэтому при каждом фиксирован-
фиксированном хе(х0 —I. хо + 1) функция ф(г/)~/г(х, у) дифференцируема
на интервале (у9 — г), у0 + ц), а ее произ-
производная ф' (у) = Fy (x, у) сохраняет постоян-
постоянный знак. Следовательно, функция ф(г/)
строго монотонна на указанном интервале.
Таким образом все условия леммы для
функции F (х, у) в построенной прямо-
прямоугольной окрестности U (х0, у0) выполнены.
Следовательно, существуют окрестности
U (хо) = (х0—б, х0 + б), U (г/о) = (Уа—?,Уо + е)
и единственная функция y = f(x),
определенная на V (х0), такие, что при
каждом x^U(х0) имеют место включение
f(x)^U(y0) и равенство F (х, /(*)) = 0, причем функция / не-
непрерывна в точке х0.
П
g
1
1
Рис. 151
р 0
Поскольку для каждой точки (х, у), для которбй (
у <^U (г/о), существует ее прямоугольная окрестность U (х, у),
содержащаяся в прямоугольной окрестности
U0(x0, Уо) = {(х, у):\х-хо\<8, \у-Уо\<ъ}
(рис. 151), то для U (х, у) также выполняются все условия леммы.
Следовательно, в силу единственности решения }(х) уравнения
F (х, у) = 0 в окрестности Uo (x0, у0) согласно той же лемме функ-
функция y — f(x) непрерывна в каждой точке хе(/(х0).
Докажем теперь последнее утверждение теоремы. В силу
непрерывности частных производных Fx и Fy в точке (х0, у0),
функция .F дифференцируема в этой точке:
F(xo + Ax, yo + &y)-F(xo, г/0) =
= ?*(*>, yo)&x+Fy(xo, ув)Ау + г1Ах + е2Ау, D1.2)'
где
limei^lim е2 = 0, р =
р-,0 р->0
+ Ау*.
32 § 41. Неявные функции
Возьмем в формуле D1.2)
Тогда в силу условия F (x, f (х)) = 0 получим
F(xo + Ax, yo + Ay) = F(xo + Ax, f (х0 + Ах)) = О,
и так как F (х0, уо) = О, то из D1.2) имеем
Fx(x0,
Отсюда
Пусть теперь Ах->0; тогда, в силу непрерывности функции f,
Ау-*-О, а, значит, при Ах->-0 имеем р = у Ах2 + Аг/2->0, откуда
следует, что в формуле D1.3) lim ex= lim s2 = 0. Поэтому при
Ад:->0 предел правой части равенства D1.3) существует и равен
— г.,*0' •. (напомним, что Fy(x0, уо)ф0), следовательно, при
Ах->-0 существует и предел левой части, т. е. существует произ-
производная
Замечание. Если функции Fx и Fg непрерывны в окрестно-
окрестности Uo (хо, г/о) точки (х0, г/о), то производная /' непрерывна на
интервале U (х0). Действительно, применив формулу D1.4) к произ-
произвольной точке jtet/(x0) получим
»/„ч FAx, f(x))
I W- Fy(x, f(x))'
откуда по теореме о композиции непрерывных функций вытекает
непрерывность функции /' (х) на U (х0).
Аналогичным образом вводится понятие неявной функции,
определяемой уравнением
F(xu .... хп, </) = 0, D1.5)
а также формулируется и доказывается теорема, аналогичная тео-
теореме 1. Для того чтобы получить ее формулировку, достаточно
лишь в формулировке теоремы 1 под х понимать точку п -мер-
-мерного пространства, х = (хъ .... хп) е R", ¦ в частности xl°> ==
— ^л,- , ..., хп ).
Теорема 1'. Пусть функция F(x, y)=sF(xt, ..., хп, у) непре-
непрерывна в некоторой окрестности точки (х@\ у10)) и имеет в этой
окрестности частную производную Fy, непрерывную в точке (х@), г/01).
Если F(x^0>, /yi°») = 0, a Fy(x{0\ у(О))ф0, то найдутся такие
41.1. Неявные функции,' определяемые одним уравнением
33
окрестности Uх и Uy соответственно точгк х{0) и у'а\ что для
каждого x^U (х) существует, и притом единственное, решение
it f (y\ f /y* Y \ f~~ 11
zf — / \л/ — / vAl* • • • t Ал/ ^= *-* у
уравнения F(x, y) = 0*\ причем это решение y = f(x) непрерывно
на Ux и #<°' = /(jt@;).
Если, кроме того, в некоторой окрестности точки (*1°), г/<°>)
существуют все частные производные Fx., непрерывные в точке
(х^0), t/@)), то в точке х@) существуют и частные производ-
производные fx.t /=1, 2, .... п,
причем если частные произ-
производные FXjt i = 1,2,..., п, и-
Fy непрерывны в окрест-
окрестности точки (лг(°>, у<0)), то
частные производные fx су-
существуют и непрерывны в
некоторой окрестности
точки х{0}.
При этом формулы для
частных производных не -
явной функции, определя-
определяемой уравнением D1.5),
имеют вид
дР
ду_ __ _ dxj
dxi OF '
~df Рис. 152
1 = 1,.2, ..., п.
Упражнения. 1. Сформулировать условия, при которых функция
f(x), определяемая уравнением F (х, у) = 0 (теорема 1), имеет в точке {*„, уа)
непрерывные производные до п-го порядка включительно. Найти формулы
для Г(ха) и/"'(«о). „
2. С помощью теоремы 1 и ответа на предыдущие упражнения найти
достаточные условия существования функции х = <р(у), обратной к y=f(x) и
имеющей в точке у0 непрерывные производные до n-го порядка включительно.
Доказать, что
I/'WP'
I/'WP
~
-~
3. Найти ~ и -~, если у—функция, определяемая уразнсннем
cos x^Aj-xy—2.
*' На рис. 152 изображен случай, когда п=2 и окрестность Ux прямо-
прямоугольная.
2 Кудрявцев Л. Д. т. 2
34
§ 41. Неявные функции
41.2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ МНОЖЕСТВ
Прежде чем рассмотреть вопрос о разрешимости систем урав-
уравнений, введем некоторые новые понятия.
Пусть #" —я-мерное евклидово пространство, точки которого
будем обозначать через х = (хъ ..., хп), R^ — m-мерное евклидово
пространство, точки которого будем обозначать у = (у\, ..., ут)>
a Rxy' — (п + т)-мерно? евклидово пространство точек
(xi У) = (х±, ..., хп, Ух, ..., ут).
Определение 1. Пусть AaR" и В cz R™. Множество точек
(х, у) пространства R
п+т
ху
таких, что хе А и лей, называется
произведением*) множеств А и В и
обозначается Лх?(см. п. 1.2*). Та-
Таким образом,
Примеры. 1. Если А = Rn, В =
¦)П+т
Рис, 153
3. Пусть х{0) =
ность точки х<0);
2. Пусть п = 2 и Л —круг; т=\
и В — отрезок. Тогда Ах В — прямой
круговой цилиндр (рис. 153).
...140))^"иЛ = Р(^0);61)...,бя) =
1 = 1, 2, ..., /?} —прямоугольная окрест-
пусть у
/=1, 2,
моугольная окрестность точки у<°К Тогда
(X, у). |ДС, Xi |<^Uf, / — I, Z, ..., П,
yj-у'Г
бь .... бя,
и В =
т} — пря-
D1.6)
является прямоугольной окрестностью точки (х'0', у^0').
Очевидно и обратное: поскольку всякая прямоугольная окре-
окрестность точки (xw, г/@>) записывается формулой, стоящей в сере-
середине равенства D1.6), то она всегда может быть представлена
как произведение прямоугольных окрестностей точек х@) и г/<°).
Упражнение 4. Доказать, что если множества Лс/?" и В cz Rm
являются открытыми множествами соответственно в пространствах #" и R™,
то и их произведение АХВ — открытое множество в пространстве
*' Применяется также термин декартово произведение.
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений
35
41.3. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ
СИСТЕМОЙ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим условия, при которых система уравнений
/Г, /у f/\ — С) 1 — 1 О m y t— &?i ii ***~~ Dm {Л 1 7\
"i \Х> у) — и, » — 1, ?> • • • > '•*, л fc= /\ , j/ ^ i\ , (,т 1 • ' 7
или, подробнее,
* 1 (-^li • • ¦ ) Хп, У\, .. . , ут) — U,
F2(xlt .... хп, уъ ..., ут) = 0,
D1.8)
однозначно разрешима относительно уъ .,., ут в некоторой окре-
окрестности точки {х@\ г/'01), в которой Ft (х^°\ г/'0)) = 0, t = 1, 2, ..., т.
Определение 2. Пусть задана систгма функций щ — щAъ .... tn),
i=\, 2, ..., т, имгющих в некоторой точке /@) все частные
производные первого порядка. Тогда матрица, составленная из
частных производных этих функций в точке №\
или, короче,
II dui [1 . ,
II оту II
dt,
диг
ж
дит
dtx
, 2,
dt2
ди2
dtt
дит
dt2
...,
dtn
ди2
dtn
дит
••• dtn
т, j =
назызается матрицей ^коби*) данной системы функций.
Если т = п, то определитель матрицы Якоби называется опре-
определителем Якоби, или якобианом, системы функций иъ ..., ип
по переменным tlt ..., tn и обозначается следующим образом**)
ип)
Мы увидим в дальнейшем, что якобиан системы функций есте-
естественным образом возникает в различных вопросах теории функ-
функции многих переменных.
Прежде чем перейти к изложению основной теоремы, кратко
поясним на простом примере (не оговаривая все детали) идею ее
*' К. Якоби A804—1851) —немецкий математик.
D(«i, .... и„)
**' Применяется также обозначение
2»
36 §41. Неявные функции
доказательства и покажем, каким образом в ее условиях возникает
якобиан рассматриваемой системы. Пусть в какой-то окрестности
точки (х0, Уо,-г0) заданы непрерывно дифференцируемые функции
F и Ф, причем
F(x0, Уо. •?<,) = О,
Ф(х0, г/о. ?о) = 0.
Допустим, что необходимо решить систему уравнений
F(x, у, z) = 0,
Ф(х, у, г) = 0
в некоторой окрестности указанной точки, найдя из нее перемен-
переменные у = у(х) и z = i|j(x), как такие непрерывные функции ф и ife
переменной х, что ц>{хо) = уо, ^(хо) = го. Разрешив для этого,
например, первое уравнение относительно z, получим г = /(х, у).
Подставив это выражение во второе уравнение и разрешив его
относительно у, будем иметь у = ср(х). Полагая ф (х) — / [х, ц>(х)],
получим искомое решение:
Возникает, конечно, вопрос о том, при выполнении каких
условий возможно проделать указанные операции, или, точнее,
когда существуют и однозначно определены все вышеупомянутые
функции. (Естественно, при этом надо выяснить, где, т. е. для
каких значений переменных хну, определены эти функции?
Этот вопрос мы сейчас не будем подробно анализировать, чтобы
не отвлекаться от основной идеи. Он будет рассмотрен при дока-
доказательстве теоремы 2 этого пункта.)
Для того чтобы одно из данных уравнений, например первое,
было разрешимым в некоторой окрестности точки (х0, у0, z0) отно-
относительно переменной z, достаточно, чтобы (см. теорему Г в п. 41.1)
д^0' фО. Если z — f(x, у) — соответствующее решение, то,
для того чтобы уравнение, получающееся в результате подста-
подстановки этого решения во второе уравнение, Ф[х, у, f(x, у)] = 0
было разрешимым относительно переменной у, достаточно, чтобы
полная частная производная по у левой части получившегося
равенства не обращалась в нуль в точке (х0, у0), т. е. чтобы
в этой точке
дФ . дФ df
ду ' дг ду
Но согласно п. 41.1,
dF
df _од_
OF
дг
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 37
следовательно, подставляя это выражение в предыдущее неравен-
неравенство, получим, что условие разрешимости можно записать в виде"
d.(F, Ф) dF дФ dF дФ , Л .
д(у,г) ^-ду-Ж-WW^0 В Т0ЧКе (*0' Уо' 2о)'
Из этого условия, очевидно, вытекает, что в точке (х0, у0, z0)
либо-^— фО, либо "зг^О. т- е- одно из заданных уравнений
разрешимо относительно г.
Таким образом, для заданной системы уравнений неравенство
нулю в точке (х0, у0, г0) якобиана Л ' обеспечивает существо-
существование в некоторой окрестности точки (х0, Уо. z0) решения вида
Сформулируем теперь основную теорему этого пункта.
Теорема 2. Пусть функции Ft(x, у) = F,-(xlt..., х„, уи ..., ут),
1=1, 2, ..., т, непрерывно дифференцируемы в некоторой окре-
окрестности точки (jew, «/(<»), где *<°> = (х[°\ .... х^01), у^ = (у[0>, ...
.... у™). Тогда если F«(^°>, y^) = 0, t = l, 2, .... m, и если
в точке (х<0), г/@)) якобиан Л ъ '"'—~ не равен нулю, то най-
найдутся такие окрестности Ux и Uy точек х@> и у@> соответственно
в пространствах R" и R™, что для каждого x^Ux существует
единственное решение
системы уравнений D1.7):
У = Д*) = {Л = Ы*1. ••••. хя), k=l, 2, ..., т}*),
причем функции fk(x), k=l, 2, .... m, образующие это решение,
непрерывно дифференцируемы на Ux и /:(х'0|) = «/@>.
Таким образом, если выполняются предположения теоремы,
то условие
Fi(x, t/) = 0, i = l, 2, .... т, (x,y)<=UxxUy
эквивалентно условию
y = f(x), хе(/я У^иу.
*» Система функций fk(xu ..., х„), k=l, 2 т обозначена одним сим-
символом / (х), поскольку она задает определенное соответствие: точкам некоторого
множества пространства #" указанная система функций ставит в соответствие
определенные точки пространства R™, или, как говорят, отображает указан-
указанное множество пространства R" в пространство R™,
38
§ 41. Неявные функции
Доказательство. Прежде всего заметим, что.утверждение:
решение y = f(x) системы уравнений D1.7) удовлетворяет усло-
условию f(x@)) = yt0), очевидно, непосредственно следует из утверж-
утверждения о единственности решения y — f(x)^Uy при хе^и усло-
условий Fi(x(°\ #W) = 0, /=1, 2, .... m, jci°>et/,, yw^Uy.
Для доказательства теоремы применим метод математической
индукции. Для случая одного уравнения, т. е. когда т=1, тео-
теорема была установлена нами в п. 41.1. Пусть теперь она верна
для т— 1 уравнений (т>1). Докажем, что тогда она имеет
место и для т уравнений.
Покажем сначала, что каждое из уравнений D1.8), например
последнее
Fm\xU •••) хп> Уи •¦•> */яг) = 0,
можно разрешить в окрестности точки (х'°\ г/W) по крайней мере
относительно одного переменного. Действительно, по условию
теоремы, в точке (х@), у{0))
d(Pj, .... Fm)
д(Уъ •¦-. Ут)
dyi дУ
dF
dFn
а поэтому в этой точке хотя бы один элемент последней строчки
определителя Якоби отличен от нуля. Пусть для определенности
это будет последний элемент:
afm(r>y"") 'ф.о.
Отсюда в силу теоремы Г п. 41.1 следует, что уравнение
Fт (х, у) = 0 может быть разрешено относительно ут в некоторой
окрестности точки (х0, у0). Сформулируем это более точно. Обо-
Обозначим через U окрестность точки (х@), г/@)). в которой функции
Fit i = l, 2, ..., т, непрерывно дифференцируемы, и положим
дМ=(уъ ..., ут_х). Тогда найдутся прямоугольная окрестность
1/т+п-1 Трчки
(*'\ §(«)) = «,..., хТ, уТ, .... C-i) D1^)
и окрестность Vх точки у'т такие, что f/m+"-1Xt/1 с: t/, и суще-
существует единственная определенная на ит+п'г функция
Ут = ф(*а, ..., Хп, У! Ут-г), D1.10)
удовлетворяющая следующим условиям: если
(х, у) = {хъ ..., хп, Уи ,.., Ут^)
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 39
ТО
ф(*. 3) = ф(*1. •¦•> х„, уъ .... ym^)eEUl, D1.11)
fm(*i, -.., X», #1, .-., Ут-1, 4>(JC, 0)) = О. D1.12)
Кроме того, согласно той же теореме Г, функция ф(х, у) непре-
у) непрерывно дифференцируема на (Jm+n-1 и
!С. D1.13)
При этом если (х, y)^Um+n~1 и ym^U1, то система D1.8) экви-
эквивалентна системе
*Н*. */) = °. /=1. 2, ..., m-1, . ,41 14)
Ут = Ч>(х, У).
Подставим в первые т— 1 уравнения системы D1.14) выражение
D1.10). Тогда, введя обозначение
..., хл, уи ..., ^„,-0),
г=1, 2, .... m-1, D1.15)
получим следующую систему т— 1 уравнений с т-\-п — 1 неиз-
неизвестными:
D1Л6)
Фт-1 (*1, • • •. Хп, уи ..., ym-i) = 0.
При этом для (х, у) е U^"-1, ym e t/1 система уравнений
Фу(х, g)=0, / = 1, 2, .... m-1, D1 17)
эквивалентна системе D1.14).
Покажем, что система D1.16) удовлетворяет условиям, отли-
отличающимся от тгх, которым удовлетворяет система D1.8), только
тем, что т — \ замгнено чгрез т. Действительно, функции Фк,
k=l, 2, ..., in — 1, непрерывно дифференцируемы в окрестности
f/m+n-i как композиции непрерывно дифференцируемых функций. Из
условий F,-(jt<°\ ^0)) = 0, i = l, 2, ..., т, и D1.15), D1.13) сле-
следует, что Ф*(*(о), у@)) = 0, k = l, 2, ..., m-1.
Докажем, что в точке (х<0>, yW) (см. D1.9))
д(Фь ..., Фт,г
Для этого предварительно заметим, что из D1.10) и D1.15) сле-
следует, что
p.= *fL + ^*L, i,k=l,2 m-1, D1.18)
40
§ 41. Неявные функции
а из D1.12) —что
дУт
¦ = 0, k=\, 2, .... ,7i-l.
D1.19)
Теперь в определителе Л ь '"'—^- к &-му столбцу приба-
Q \Уъ ¦• • » Ут)
вим последний столбец, умноженный на ~_, k = l, ..., /и—1,
от чего, как известно, значение определителя не изменится.
Поэтому, использовав D1.18) и D1.19) и разложив получившийся
определитель по элементам последней строки, получим
д(Flt ..., Fm)
ъ .... Ут)
(*«>», у<°>)
ду
- +
Эф
_1 I
dFn
дУт
dFm
^ ду„.
дут
ду„,
дУт-i дУт
0 ^L
dFm (*'0). Уш>)
ду
д(уи ...,
и так как левая часть равенства отлична от нуля, то отлична
от нуля и правая, откуда
д(У1 Ут-д
В силу выполнения для функций Ф,, i— 1, 2,..., m— 1, усло-
условий, аналогичных условиям для функций F{, / = 1, 2, ..., т., и
согласно предположению индукции система уравнений D1.16)
однозначно разрешима относительно переменных уи ..., ут^
в некоторой окрестности точки (xw, ^@))- Точнее, пусть Um+n-1 —
прямоугольная окрестность точки (х@\ р^0)), полученная при раз-
разрешении уравнения Fm = 0- относительно переменной ут. Разложим
ее в произведение прямоугольных окрестностей U'x и V^ точек
х<°) = (>;'/", ..., х'п) и y'i' = (y'i', ..., y'm-i) соответственно в про-
пространствах R1 и R?-1 (здесь у = (уъ .... Ут^)): V-1 = V'xxU~.
Тогда существует окрестность UxczUx точки л:*0', окрестность
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 41
Uу с V7/ точки у<0) и единственная система функций
.'..'. .V. D1.20)
Ут-1 — Тт-1 \Х) — lm-\ (хи • • • » Хп),
определенных на множестве Ux и удовлетворяющих следующим
условиям: если х е Ux, то
(/,W- ..-, /m-!(*))e?/~. D1.21)
и на Ux функции D1.20) непрерывно дифференцируемы и >удов-
>удовлетворяют системе уравнений D1.16):
®i(xi, .... хп, fx(x), ..., /m-i(x)) = 0,
t==l, 2, ..... т-\. D1.22)
Важно заметить, что в силу единственности решения D1.28)
системы D1.16) при х е Ux, у ei/- и ут е U1, система уравнений
Уь = Ь(х), ^k = l, 2, .... га-1, ^к23)
эквивалентна системе D1.17).
Подставляя выражения D1.20) в D1.10) получим фугящию
от х, определенную на Ux; обозначим ее через /т:
.-., Xn, U(X), .... /m)
DК24)
Покажем, что система функций
Uk = fk(xi, ..., xn), k = l, 2 m, D1.25)
(см. D1.20) и D1.24)) и является искомой системой функций,
удовлетворяющей требованиям, сформулированным в теереме.
В самом деле, пусть Uy^U-xU1', тогда если jce(/,, то в силу
D1.21) и D1.11) /(х) = (ЛD .... fm{x))^Uy. Из D1.15), D1.22),
D1.24) и D1.12) следует, что F;(x, /(x)) = 0, t = l, 2, ..., яг,
для всех x^Ux. В силу теоремы Г и предположения индукции
функции D1.10) и D1.20), а поэтому и функция D1.24) непре-
непрерывно дифференцируемы.
Таким образом, доказано, что отображение f(x), задаваемое
функциями D1.25), является непрерывно дифференцируемым
решением системы уравнений D1.8) на множестве Ux, причем если
х е Ux, то у = / (х) е Ug. Отметим еще, что если х е U~, то система
D1.25) эквивалентна системе D1.23).
Остается доказать единственность решения системы уравнений
D1.8). Для доказательства изобразим проделанные в процессе
доказательства переходы от одних систем уравнений к другим,
42 § 41. Неявные функции
им эквивалентным, т. е. имеющим в точности те же решения,
системам в виде схемы следующим образом:
Ft(x, y) = 0, i=l, 2 т,
О
Fj(x, у) = 0, /=1, 2, .... т-1,
Ут = Ч>(х, у).
0 Фу (х, y) = Fj (х, у, Ф (х, у)), /= 1, 2, ..., т- 1,
Ф,(х, #) = 0, / = 1, 2, ..., т-1,
*Лп = ф(*. #)•
¦ О
yj = fj(x), / = 1, 2, ..., т-1,
( )
0
yi = fi(x), t = l, 2 т.
Двойные стрелки обозначают эквивалентность рассматриваемых
систем уравнений, которая имеет место во всяком случае для
х е Ux, у ^иу. Из этой эквивалентности и следует единственность
решения D1.25) системы D1.8) в рассматриваемых окрестностях,
откуда, как было отмечено выше, в силу условия Ft (x{0), г/@)) = 0,
i = l, 2, ..., т, вытекает, что f (x{0)) = yw., Q
Доказанная теорема о неявных функциях является одной из
основных теорем математического анализа и имеет много разно-
разнообразных приложений в различных его разделах. С некоторыми
из них мы познакомимся в последующих частях нашего курса.
Она является «чистой теоремой существования»: ни из ее форму-
формулировки, ни из приведенного ее доказательства не следует, вообще
говоря, никакого конкретного метода для решения системы D1.8).
Например, если все Fk, k = 1, 2, ..., m в указанной системе урав-
уравнений являются элементарными функциями, то, следуя схеме
доказательства теоремы, вообще говоря, не удастся «найти в явном
виде» все те функции, существование которых использовалось при
проведении указанного доказательства, и получить решение системы
так же в виде элементарных функций. И в действительности в этом
случае решение системы уравнений D1.8), которое существует
в силу указанной теоремы, не является, вообще говоря, набором
элементарных функций (даже если эта система состоит из одного
уравнения).
Конечно, если функции Fk элементарные и, следовательно,
задаются некоторыми формулами, то решение системы D1.8) может
быть найдено с любой степенью точности, т. е. принципиально
с любой степенью точности можно составить таблицы значений
этих решений. Фактическая же точность, с которой вычисляются
решения, определяется, конечно, конкретной целью, для которой
решается рассматриваемая система. Сама теорема 2 в этом случаа
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 43
дает объективную уверенность, что проводя правильно соответ-
соответствующие вычисления, мы действительно вычисляем искомое реше-
решение системы. Мы не будем останавливаться на численных методах
решения систем уравнений; лишь некоторые вопросы численного
решения уравнений рассмотрены в «Добавлении» в конце этого
тома.
Существенным является также то обстоятельство, что теорема 2,
как и вообще теоремы подобного типа, дает качественные методы
в данном случае для изучения свойств решений системы урав-
уравнений.
Интересно отметить, что частные производные решения системы
D1.8) при выполнении условий теоремы 2 легко выражаются
в явном виде через частные производные функций Fk, k = 1, 2,..., m.
Действительно, чтобы найти частную производную ~, надо про-
OXi
дифференцировать равенства D1.8) по xt, считая их тождествами
по xlt..., х„, т. е. подставив в них их решения yj — у}-(хъ ..., хп),
/ = 1, .... tn. Тогда получим
Эта система уравнений, линейных относительно ^—, в силу того,
что в рассматриваемой точке ее определитель не равен нулю:
d(Fly ..., Fm) Q
д(У1 Ут) - '
имеет, и притом единственное, решение, которое может быть
найдено, например, по правилу Крамера*'.
Если нужно найти все производные
—, i = l, 2,..., га, / = 1, 2, ...,/п,
то целесообразно вычислить дифференциалы обеих частей указан-
указанных выше тождеств D1.8). Использовав инвариантность формы
первого дифференциала относительно выбора переменных, получим
Эта система линейных относительно dy\, ..., dym уравнений
в силу того же условия А,1' '"' „"V Ф 0 имеет, и притом един-
*' Г. Крамер A704—1752) —швейцарский математик.
44 § 41. Неявные функции
ственное, решение. Если его найти, то коэффициент при йх{
в выражении для dy/ и будет частной производной ~.
Оба эти метода применимы и для вычисления производных
высших порядков функций yf(xu .... хп), являющихся решениями
системы уравнений D1.8) (например, в предположении, что все
функции Fk, k=l, 2, ..., т, имеют соответствующих порядков
непрерывные производные). Применяя метод дифференциалов,
следует, конечно, помнить, что дифференциалы порядка выше
первого в случае, когда они выражаются через дифференциалы
функций, имеют более сложный вид, чем когда они выражаются
только через дифференциалы независимых переменных (см. п. 21.2).
Производные высших порядков функций t/j (хи .... х„) можно
получить последовательным дифференцированием и из выражений
для первых производных ^, найденных по формулам Крамера
из указанной ранее системы уравнений
OFtdyj
dy,Wi~y)t R-i, г, ..., т,
/= i
в виде отношения двух определителей. Это отношение можно
дифференцировать столько раз, сколько раз дифференцируемы
функции Fk, k=\, ..., т. При этом, если все производные функ-
функций Fk, k=l, ..., m, до порядка г включительно непрерывны,
то будут непрерывными и все частные производные функций
У/(хи ..., хп), / = 1, .... т, до того же порядка г.
Множество (называемое также часто классом) всех г раз непре-
непрерывно дифференцируемых в области G функций обозначается через
Cr(G). Таким образом: если, дополнительно к условиям теоремы 2,
Fk е Сг (?/), k = 1, ..., т, где U — некоторая окрестность точки
(х^0), #@>), то решения y/ = yi(xu •••, хп) системы уравнений D1.7)
также принадлежат классу Cr(Ux) в некоторой окрестности Ux
точки дг*0'.
Упражнения. 5. При каких условиях, налагаемых на f и на g, урав-
уравнение y = xf (z)+g(z) определяет, в некоторой окрестности U точки (х0, уа),
функцию г (х, у) е С2 ({/)? Доказать, что если эти условия выполнены, то для
всех (х, y)<=U
6. Дана система уравнений
Найти условия, налагаемые на функцию /, при которых эта система опреде-
определяет в некоторой окрестности U точки (дг0, у6), функции и — и(х,у), v = v(x, у)
класса CL(U). Доказать, что в этом случае и^й = и всюду в и.
41.4. Отображения 45
41.4. ОТОБРАЖЕНИЯ
В этом пункте будут изучаться отображения /: Е-> Rm, Е a Rn,
т. е. такие соответствия, которые каждой точке x = (xi, ..., хп)
множества Е, лежащего в л-мерном арифметическом точечном про-
пространстве Rn (см. п. 18.1) ставят в соответствие точку у —(уъ ..., ут)
пг-мерного арифметического точечного пространства Rm. Таким
образом, /: (хи ..., хп) •—*• (уъ ..., ут), (хи ...,х„)^Е. Очевидно,
что задание такого отображения / равносильно заданию т функ-
функций fj-.E-yR, таких, что /у : хi—>-yJt j = 1, .... т, ie?, yj^R.
Эти функции
fj(x)^fj(x1,...txn), i=l,2,....,m, x^E, D1.26)
называются координатными функциями отображения f и пишется
f=(fu...,fm).
На рассматриваемые отображения обобщается понятие непре-
непрерывности.
Определение 3. Отображение f:E-*-Rm, EczRn, называется
непрерывным в точке х^°> е Е, если для любой окрестности V (w)
точки y{0) = f (х°) существует такая окрестность U (х@)) точки
что
Поскольку в любой окрестности точки *' содержится ее сфери-
сферическая окрестность, то это определение равносильно следующему.
Отображение f: E->Rm, E cRn, называется непрерывным
в точке х^°> е Е, если для любой г-окрестности точки yW = j:-(jr<°))
существует такая Ь-окрестность точки х{0\ что
f(U(x(°\ d)(]E)cU(yW, e).
Это, в свою очередь, с помощью неравенств можно перефра-
перефразировать следующим образом.
Отображение f:E-*Rm, EcRn, называется непрерывным
в точке х@> е?, если для любого е>0 существует такое 6>0,
что для всех точек х^Е, удовлетворяющих условию р (х, х@)) < б,
выполняется неравенство
Можно сформулировать определение непрерывности и в тер-
терминах последовательностей.
Определение 3'. Отображение f:E->Rm, EczRn, называется
непрерывным в точке х@) ее Е, если для любой последовательности
*' Напомним, что окрестностью точки называется любое открытое мноэке-
стбо, содержащее эту точку (см. определение 14 в п. 18.2).
46 § 41. Неявные функции
, k=l, 2,..., такой что lim д<*>=лг<°>, имеет место
fc->co
Равносильность этих двух определений доказывается анало-
аналогично тому, как это было сделано для равносильности определе-
определений предела функций по Коши и по Гейне. Проведем это дока-
доказательство.
Пусть отображение / непрерывно в точке jc@) в смысле опре-
определения 3, *(*> е Е, k = 1, 2, ... и
lim *<*> = *<•>. D1.27)
ft-юо
Зададим е>>0. Для него существует такая б>0, что при ге?,
р(х, х@))<6 выполняется неравенство р (/(*),/(д:@))<е.
В силу условия D1.27) существует такой номер k0, что для
всех k^k0 имеем*<*>et/ (jci°>, б), а следовательно и p(/(xw),
/(х@)))<е. Это и означает, что lim f(*i*>) = /(х<°>).
ft-» со
Пусть, теперь, отображение / непрерывно в точке х@) в смысле
определения 3' и пусть условия определения 3 не выполнены,
т. е. существует такое ео>О, что для любой 6>0 существует
такое xt,^U(x(°\ б)(]Е, для которого р(/(х6), /(х@)))^е„. Взяв
последовательно б = -г-, й=1, 2, ..., и положив для краткости
х(*> = х1/ь получим xi*)e{/(#, т)п?» Т: е< р(;с(А)' х@))<Т-
Следовательно, lim x^ = xw их(*>е?;однакор(/(д;(*')>/(х(О)))^ео
ft->oo
и, таким образом, последовательность {/(д;(*>)} не имеет своим
пределом точку f(x(Q)). Полученное противоречие доказывает сде-
сделанное утверждение. Q
Лемма 1. Отображение f—(f1,...,fm):E->Rm,EczRn, непре-
непрерывно в точке д:@) тогда и только тогда, когда в этой точке
непрерывны все координатные функции /ь ..., fm.
Доказательство необходимости. Пусть отображение/
непрерывно в точке х(°> е= Е, «/<°> = (у\*\ .... у'%) Й f (*«»). Согласно
определению 3, для каждой окрестности V (у@)) точки у'0), в част-
частности—для каждой ее кубической окрестности (см. п. 18.1)
Р(У{0\ е) = {у:\У1-у?'\<в}
существует такая окрестность U (х^) точки х<°>, что
f(U(x^)(]E)czP(yW, г).
Следовательно для всех xet/(x@))f]? выполняются неравенства
\Ь(х)-у'П<г, /=1,2 т.
41.4. Отображения 47
Это и означает, что все координатные функции Д, ...,/„,
непрерывны в точке х@).
Доказательство достаточности. Пусть все коорди-
координатные функции fi,--.,fm непрерывны в точке х<°> е Е, у{0) =
= (г/10), •¦¦, ym) = f\xw) и задана окрестность V (г/(о>) точки г/°>.
Тогда существует такое е>0, что е-кубическая окрестность Р(у[0\ е)
точки г/@* содержится в V (г/@))
В силу непрерывности каждой функции /у, / = 1, 2, ..., /и,
в точке х*0' существуют такие окрестности U/ = U (х@)), что при
х е У/ П ^ выполняется неравенство
D1-28)
Положим U=^\Uj. Тогда U, как пересечение конечного числа
открытых множеств Uj, будет открытым множеством, причем,
поскольку все Uj содержали точку xS0), то U также содержит ее.
Таким образом, множество U является окрестностью точки х**К
При этом, если xe.U(]E, то при всех / = 1, 2, ..., ш выпол-
выполняются неравенства D1.28). Это означает, что
f(x)<=P(yW, e),
а следовательно, f(x) s V (yw). Итак, для произвольной окрест-
окрестности V (у{0)) найдена такая окрестность U точки xw, что
D
Лемма 1 в частности показывает, что определения непрерывных
отображений отрезка, данные при рассмотрении понятия кривой
в п. 16.1 (для случая отображений отрезка в трехмерное про-
пространство) и в п. 18.2 (для случая отображения отрезка в произ-
произвольное га-мерное евклидово пространство) как отображений, коор-
координатные функции которых непрерывны, равносильны определению
непрерывных отображений отрезка, как таких отображений, кото-
которые в каждой точке отрезка удовлетворяют условиям определения 3
этого пункта.
Отображение: f:E->R™, E cz R", называется непрерывным на
множестве Е, если оно непрерывно в каждой точке множества Е.
Лемма 2. Отображение f открытого множества пространства R"
в пространство R™ непрерывно на этом множестве тогда и только
тогда, когда прообраз каждого открытого множества простран-
пространства R™ при отображении f является открытым множеством
пространства R".
Доказательство необходимости. Пусть / непрерывно
отображает открытое множество бсЙв пространствоR™ и пусть
48 § 41. Неявные функции
U — открытое множество пространства R'y : U cz R™. Покажем, что
прообраз ^(U) этого множества — открытое в пространстве R'i
множество. Если множество f^1 ((/) пусто, то утверждение очевидно,
так как пустое множество открыто.
Пусть множество f~x(?/) не пусто, т. е. существует точка
х(о) е f-i (t/) и, следовательно, / (х<0)) е О. Поскольку U — открытое
множество, то оно является окрестностью точки г/°>=/(х@)).
Поэтому, в силу непрерывности отображения/ в точке х<0) (см. опре-
определение 3'), существует такая окрестность Ux этой точки, что
/ (Ux П G) с: U, следовательно, Ux f) G с: f'1 (V). Поскольку мно-
множество LJX (] G, как пересечение двух открытых множеств Ux и G,
является открытым и х<0> е Ux f] G, то х@) — внутренняя точка
множества f~x(JJ).
Таким образом, каждая точка прообраза открытого множества U
является внутренней точкой этого прообраза, значит, он.— откры-
открытое множество.
Доказательство достаточности. Пусть / — отображе-
отображение открытого множества G пространства R" в R™ и пусть при
этом отображении прообраз каждого открытого в пространстве #™
множества является открытым в R" множеством. Пусть х<°> е G.
Покажем, что отображение / непрерывно в точке х{°К
Пусть Uу — некоторая окрестность точки у{0) = / (х(°>). Поскольку
прообраз /-1 (Uy) открытого множества Uy является, по предполо-
предположению, открытым множеством и, очевидно, xw e f~x (Uy) cz G, то
множество Ux = f-~1(Uy) является окрестностью точки х@), причем
f{Ux) = Uy. Отсюда непосредственно и вытекает непрерывность
отображения / в точке х^ (см. определение 3). Q
Пример. Рассмотрим отображение /:/?2->/?, заданное фор-
формулой f(x, */) = — +-р— 1- Согласно лемме 2 прообраз откры-
открытого множества (—оо, 0), т. е. множество точек (х, у), удовлет-
удовлетворяющих неравенству ~ + ¦— ¦< 1 (и, следовательно, составляю-
составляющих внутренность эллипса), а также прообраз открытого множества
@, -j- оо), т. е. множество таких точек (х, у), что —г + -гг>1
(эти точки образуют внешность эллипса), являются открытыми
множествами.
•Вообще, если f:Rn-+-R — непрерывная на Rn функция, то для
любого числаaefi множества {х:/(х)¦<а, х е Rn\ и {х:/(х)>а,
л: е i?"} являются открытыми множествами как прообразы открытых
множеств (—оо, а) и (а, + оо).
Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывных на
компактах функций и достижимости этими функциями их нижних
и верхних граней обобщается и на случай непрерывных отобра-
отображений. Более точно — справедливо следующее утверждение.
41.4. Отображения 49
Лемма 3. Пусть /: Л -v Rm, A cz R" — непрерывное отображение
компакта А в пространство Rm. Тогда множество f(A) также
является компактом.
Короче: непрерывный образ компакта является компактом.
Доказательство. Пусть t/-k) е/( Л) —произвольная после-
последовательность точек из /(Л). В силу определения образа множе-
множества при заданном отображении, для любого k=\,2,... существует
такая точка #'ei, что /(х(*>) = г/(*>. Поскольку Л—компакт,
то из последовательности {х<*>} можно выделить сходящуюся под-
подпоследовательность {*(fc^}, предел которой л:@) принадлежит ком-
компакту A: lim x^ = xW<= Л.
S->-00
В силу непрерывности функции / в точке х@) имеем
>) = /(*«»), т. е.
S —»-ОО S—*-ОЭ
Таким образом, из любой последовательности точек, принадле-
принадлежащей множеству /(Л), можно выделить сходящуюся, предел
которой принадлежит этому множеству. Это и означает, что
/(Л) —компакт. ?
Замечание. Из леммы 3 следует доказанная ранее теорема
о достижимости нижней и верхней граней действительной функ-
функцией, непрерывной на компакте (см. п. 19.5). В самом деле,
согласно лемме 3, множество значений такой функции является
компактом на числовой прямой, а всякий компакт на числовой
прямой имеет конечные минимальную и максимальную точки.
Это следует из того, что компакт — ограниченное множество и,
следовательно, имеет конечную верхнюю (нижнюю) грань, которая
в силу своего определения является точкой прикосновения мно-
множества. Поскольку компакт замкнут, то она ему принадлежит и
является, очевидно, его максимальной (минимальной) точкой.
Обобщается на случай отображений и понятие равномерной
непрерывности.
Определение 4. Отображение f множества Е cz R" в прост-
пространство R™ называется равномерно непрерывным, если для любого
е>0 — существует такое 6 = 6(е)>0, что для любых' точек
х' е Е и х"^Е, удовлетворяющих условию р(х', х")<д, выпол-
выполняется неравенство р (/(*')> /(-^"))<е-
Для отображений имеет место и утверждение, аналогичное
теореме Кантора (см. п. 19.6) для непрерывных функций.
Лемма 4. Непрерывное отображение компакта равномерно непре-
непрерывно.
Доказательство. Воспользуемся тем же методом, что и
при доказательстве теоремы Кантора о равномерной непрерывности
действительных функций, непрерывных на компактах (см. тео-
теорему 5 в п. 19.5).
§ 41. Неявные функции
Допустим, что существует отображение f:A->Rm, AcR",
непрерывное на компакте А, но не равномерно непрерывное на
нем. Тогда существует такое ео>О, что для любого б>0 най-
найдутся точки Хбе Л и x'i^A, для которых имеют место нера-
неравенства
Пусть б = \, х' (*) М х'т, Х"I*) ?! tf/ftf /е = 1, 2 Поскольку
Л —компакт, то из последовательности {х'^>} можно выделить
сходящуюся подпоследовательность {x'(k^}, предел х@> которой
содержится во множестве A: lim yW = #ei При этом из
>-0 при
следует, что подпоследовательность {я'^} второй последователь-
последовательности {х"(Ь)} также сходится к точке х@).
Теперь заметим, что из непрерывности отображения / в точке*'0)
явствует, что
lim / {х'Щ= lim /(х" (к*)) = f (xw),
S-»oo s —>oa
и так как
при s->-oo,
то lim p(f(x"(ks))), f(x'(kty) = Q. Это противоречит условию
р(/(/Ч /(/Wbe0. Q
С помощью доказанных свойств непрерывных отображений
можно получить одно полезное для дальнейшего свойство обла-
областей (т. е. открытых линейно связных множеств, см. п. 18.2).
Сформулируем это свойство также в виде леммы.
Лемма 5. Открытое множество является областью тогда и
только тогда, когда любые дее его точки можно соединить цели-
целиком лежаний в нем ломаной.
Доказательство. Достаточность сформулированного усло-
условия не требует доказательства. В самом деле, если у некоторого
открытого множества G czRn любые две точки можно соединить
некоторой ломаной, целиком лежащей в нем, то, поскольку вся-
всякая ломаная является кривой (см. п. 16.5), любые две точки
множества G оказываются соединимыми в нем кривой, что и озна-
означает, согласно определению (см. определение 25 в п. 18.2), что
открытое множество G линейно связно, т. е. является областью
(см. определение 26 там же).
41.4. Отображения 51
Докажем необходимость условий леммы. Пусть G — область
пространства Rn. Рассмотрим точки хей и i/eG. Согласно
определению области, существует кривая y~{r(t), a^t^b],
соединяющая в G точки х и у, т. е. г(а) = х, r(b) = ynr(t)^G,
a^t^b. Кривая у представляет собой непрерывный образ
отрезка [а, Ь], являющегося компактом и, поэтому (см. лемму 3),
сама будет компактом. Поскольку компакт у не пересекается
с замкнутым множеством Rn\G, то расстояние между ними больше
нуля (см. лемму 7 в п. 18.2). Следовательно, существует такое
число т]>0, что p(v, Ял\С)>т].
Отображение r(t), a^t^b, отрезка [а, Ь], будучи непрерыв-
непрерывным, является и равномерно непрерывным (см. лемму 4). По-
Поэтому существует такое б>0, что для любых двух точек f e
е[а, Ь] и (*е[а, Ь], удовлетворяющих условию \t" — f |<б,
выполняется неравенство
р(г(О, г(П)<1\.
Отсюда вытекает, что для любого разбиения т = {^-}' = о отрезка
[а, Ь] мелкости 6t<6 все точки ломаной Хх с вершинами r(tt),
г = 0, 1, ..., k, будут содержаться в G. (почему)? Следователь-
Следовательно, %х a G.
Поскольку началом и концом ломаной Хх являются соответ-
соответственно начало и конец кривой у, т. е. произвольно заданные
точки х и у из G, то нами доказано, что любые две точки обла-
области могут быть соединены ломаной. Ц
Пусть теперь EaR", DczzR™, у — f(x) — отображение мно-
множества Е в R™, причем f(E)c~.D и z — g (у) — отображение D
в R%, т. е. f:E->D, g:D^rRpz. В этом случае имеет смысл ком-
композиция g°f :E->Rz, отображающая множество Е с R" в р-мер-
ное пространство RZ'(g°f)^g(f(x)), x^E.
Отметим, что если отображение f{x) множества Е непрерывно
в точке х@> е Е, a g (у) определено в некоторой окрестности
точки г/@) = f(x{0)), то всегда существует такая окрестность Ux
точки х@\ что на множестве E[\UX имеет смысл композицияg-f.
Действительно, пусть Uy — окрестность точки */(°>, на которой
определено отображение g{y)\ согласно определению 3 для нее
существует такая окрестность Ux, что f{Ux[\E) cz Uy. Очевидно,
что для всех точек х ^UX(]E, и имеет смысл композиция g°f.
Напомним еще, что, согласно введенной для функций терми-
терминологии (см. п. 1.2*), отображение /: E-^-R'y, E cz Rnx называется
взаимно однозначным, или инъекцией, если разным точкам мно-
множества Е при этом отображении соответствуют разные точки.
В этом случае говорят также, что множество Е взаимно одно-
однозначно отображается посредством этого отображения на множе-
множество f(E), т. е. f:E->f(E) является биекцией. При выполнении
52 § 41. Неявные функции
этого условия на множестве f(E) существует однозначное обрат-
обратное отображение (обратная функция) /~х (у) = х, где х таково, что
f(x) = y. Поэтому f [/ (х)] = х, т. е. это тождественное отобра-
отображение (тождественным отображением множества Е называется
отображение, которое каждой точке х е Е ставит в соответствие
эту же точку).
Определение 5. Если отображение f множества Е czR" в про-
пространство R™ взаимно однозначно и непрерывно на Е, а обратное
ему отображение f-1 непрерывно на f(E), то f называется гомео-
морфным отображением, или гомеоморфизмом, а множество f(E)
называется гомеоморфным образом множества Е, или, что то же,
множеством, гомеоморфным множеству Е.
Очевидно, что если / — гомеоморфизм множества Е, то f*1
является гомеоморфизмом множества / (Е).
При гомеоморфном отображении открытого множества на
открытое образы открытых подмножеств также открыты. Дей-
Действительно, если / — гомеоморфное отображение открытого множе-
множества G на открытое же множество Г, V — открытое подмножество
множества G, W=f(V), то V = f'1(W), т. е. V является образом
множества W при непрерывном отображении /~х открытого мно-
множества Г и, следовательно, W является прообразом открытого
множества V при этом отображении. Поэтому согласно лемме 2
множество W открыто.
Рассмотрим теперь композицию непрерывных отображений.
Лемма 6. Пусть f:E-*Rm, Е с Rn, g: D ->- Rs, D ZDf(E). Если
отображение f непрерывно в точке я@) е Е, a g непрерывно
в точке /(.v@))> то композиция g°f также непрерывна в точке х[°К
Доказательство этого утверждения может быть проведено ме-
методом, аналогичным использованному при доказательстве тео-
теоремы 2 п. 5.2 и теоремы 2 п. 19.4, основанном на определении
непрерывности в терминах окрестностей. Для разнообразия дока-
докажем лемму, исходя из определения непрерывности в терминах
последовательности.
¦ Пусть x{k) e E, k— 1, 2,..., и lim xW — х^. Тогда /(#>)eD
fc-»oo
и,, в силу непрерывности отображения / в точке xi0\ имеем
lim /(xW) = /(x(°>). D1.29)
fc-»oo
В силу же непрерывности отображения g в точке /(х@)) для
любой последовательности yW e D, k=\,2,..., lirn y{k) = f (x^)
имеет место lim g (y(fc)) = g (f (x<°>)). В частности, в силу D1.29)
k —* со
при. y(k) = f (x'*'))
lim
Это и означает непрерывность композиции g°f в точке
41.4. Отображения 53
Упражнение 7. Доказать, что непрерывное взаимно однозначное
отображение компакта пространства Rn в некоторое пространство Rm является
гомеоморфизмом.
В заключение этого пункта определим, что будет пониматься
под образом кривой при заданном непрерывном отображении, и
докажем лемму о непрерывных образах линейно связных множеств.
Пусть f — непрерывное отображение множества Е a R" в про-
пространство R%, и Г —кривая, целиком лежащая во множестве Е,
т. е. задан класс эквивалентных отображений отрезков во мно-
множество Е (см. § 16).
Пусть
x(t),
— одно из представлений кривой Г. Кривая в пространстве
представлением которой является отображение
называется образом кривой Г при отображении / и обозначается
через/(Г).
Это определение корректно, так как при сделанных предпо-
предположениях f(x(t)), a^t^b, является непрерывным отображением
отрезка в пространство и, следовательно, определяет некоторую
кривую.
Лемма 7. Пусть f: ? ->- Rm непрерывное отображение линейно-
связного множества E<^Rn в пространство Rm. Тогда множе-
множество f (E) также линейно связно.
Короче:, непрерывный образ линейно связного множества линейно
связен.
Доказательство. Пусть Е — линейно связное множество
и f — его непрерывное отображение в Rm. Для того чтобы дока-
доказать, что множество f(E) является линейно связным, надо дока-
доказать, что две любые его точки можно соединить в f(E) непре-
непрерывной кривой (см. определение 25 в п. 18.2). Пусть yW e f-(E) и
г/*21 <=/(?); выберем какие-либо точки х*1' е= f1 (y^) и tf«> е= f^*>).
Поскольку хA>^?, xB)e? и Е линейно связно, то сущест-
существует такая кривая Г, что ее началом является точка хA), кон-
концом—точка х<21 и все ее точки принадлежат множеству Е.
Кривая /(Г) является искомой кривой. Действительно, ее
началом является точка </A) = /(хA))> а концом — точка yW=f(xW).
Все же другие ее точки принадлежат множеству /(?). Таким
образом, }{Е) — линейно связное множество. ?
Упражнения. 8. Отображение / : R2 -*¦ R* задано следующим образом:
(*, (/)i—*Bх, 3(/). Во что оно переводит окружность хг+(/2=1?
9. Найти образ прямой х=2 плоскости Оху при отображении /: Я2-*¦ R*.
заданном следующим образом: (х, у) i—•- (ху, у).
10. В плоскости Оху задана прямая х—с (с= const =И=0). Найти ее образ
при отображении f-.R-t-^-R1 с координатными функциями {excosy, Сапу).
54 § 41. Неявные функции
41.5. ВЕКТОРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
При изучении дифференцируемых отображений (их определе-
определение будет дано ниже, в п. 41.7) пространство Rn, в котором
лежит отображаемое множество, и пространство Rm, в которое
происходит отображение, удобнее рассматривать как векторные
евклидовы пространства (см. п. 18.4). Для простоты п-мерный
вектор с координатами (хъ ..., хп) будем обозначать тем же сим-
символом х, которым мы обозначали точку n-мерного точечного про-
пространства с теми же координатами. Это, конечно, не приведет
к недоразумениям, так как и точка n-мерного пространства и
n-мерный вектор представляют собой упорядоченный набор п дей-
действительных чисел.
Пусть EczRn и f:E-+Rm, где теперь отображение / ставит
в соответствие каждому вектору х е Е некоторый вектор у =
= / (х) е Rm. Такие отображения будем называть векторными.
Если elt ..., е„ — координатные векторы в пространстве R"
(см. п. 18.4), еь ..., гт — координатные векторы в пространстве Rm,
п т
х=(хъ .... хп)= 2 x-fii, у = (уъ ..., t/m)= 2 \)fij и «/ = /(*). то
i= 1 /¦= 1
каждая координата г//, / = 1, 2, ..., т, вектора у также является
функцией от вектора хе? и, следовательно, функцией от его
координат хъ ..., хп:
yj = fj(x) = f/(xi, ..., х„), / = 1,2,..., т. D1.30)
Как и в случае точечного пространства (см. D1.26)) функции
D1.30) называются координатными функциями отображения / и
пишется / = (Д, ..., fm).
Интерпретация я-мерных точек (хъ ..., х„) как векторов
не препятствует, конечно, рассмотрению таких свойств отображе-
отображений как их непрерывность и равномерная непрерывность. Поэтому
все сказанное об отображениях в предыдущем пункте остается
в силе и для векторных отображени-й. Напомним еще, что для
расстояния р (х, у) между векторами х и у справедлива формула
(см. в п. 18.4 формулу A8.37)) р(х, у) — \х — у\.
В качестве примера отметим, что длина \х\ вектора x^Rn
является непрерывной функцией в R". Это следует из неравен-
неравенства A8.36): поскольку для любых xo^Rn и х е R" справедливо
неравенство
IN —l*o||«S]* — *ol, то
lim \x\= lim |ж|
х-+ха \х— дго|-^О
41.6. Линейные отображения 55
41.6. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Рассмотрим специальный класс отображений пространства R"
в Rm, называемых линейными.
Определение 6. Отображение f:Rn->-Rm называется линейным
(или, более полно, линейным однородным), если для любых двух
векторов х' <= R", х" е Rn и любых двух чисел X' е R, X" е R
выполняется равенство
f (Х'х' + Х"х") = X'f (х') + X"f (x").
Из этого определения по индукции следует, что при линей-
линейном отображении / любая конечная линейная комбинация век-
векторов xU) e R" отображается в такую же линейную комбинацию
образов / (xW>), / = 1, 2, ..., k, этих векторов
/= i
Обычно линейные однородные отображения называются линей-
линейными операторами. О линейном операторе /: Rn-*-Rm говорят,
что он действует из R" в Rm.
Из определения линейного оператора непосредственно следует,
что композиция g'f линейных операторов f:Rn-^-Rm и g:Rm-+-
-+RS также является линейным оператором g'f:Rn-+Rs.
Пусть /: Rn-*- Rm — линейный оператор. Образ каждого коор-
координатного вектора ej<=Rn, / = 1, 2, ..., п, при отображении/
является вектором пространства Rm и поэтому раскладывается
по координатным векторам е,- е Rm, i = 1, 2, ..., т. Обозначим
коэффициенты этого разложения через aif:
?= 1
n
Пусть y = f{x), x= 2 xJeJ и
i= 1
Тогда в силу линейности отображения f получим
п \ п
D1.31)
п т т / п
j. D1.32)
56
§ 41. Неявные функции
Сравнив коэффициенты разложения вектора у по координат-
координатным векторам еь ..., гт в D1.31) и D1.32), получим
... -f- alnxn
D1.33)
Ут
• • • + птпХп.
Наоборот, легко проверить, что всякое отображение /: ./?"->Rm,
координатные функции которого имеют вид D1.33), является
линейным оператором.
Матрица
/'аи ... а1п'
) D1.34)
называется матрицей линейного оператора f.
Очевидно, что если D1.34) является матрицей линейного опе-
ратора f, то для любого х=
разложение
имеет место (см. D1.32))
D1-35)
Пример. Пусть яг —оператор проектирования на г-ую коор-
координатную ось, т. е.
и» (У) = я« {Уг Ут) = Уг D1.36)
(/ — фиксированное число среди чисел 1, 2, ..., т). Тогда щ
является линейным оператором с квадратной матрицей порядка га,
состоящей из одних лишь нулей кроме i-ro элемента главной
диагонали, равного единице:
О ... О 0 0 ... 0\
0
0
0
... 0
... 0
... 0
0
1
0
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
о ... о о о ... о/
С помощью операторов проектирования я,-, i=\, 2, ..., п,
легко устанавливается связь между произвольным векторным
отображением f:E^yRm, ?c/?* и его координатными функ-
функциями ft (си. D1.30)):
/i = «!•/, D1.37)
41.6. Линейные отображения 57
т. е. каждая координатная функция /,-, / = 1,2,..., гп, является
композицией отображения / с оператором проектирования зх,-.
Если ш = \, т. е. линейный оператор f:Rn->-R отображает
пространство Rn во множество всех действительных чисел, то он
называется обычно линейным функционалом.
В силу D1.33) всякий линейный функционал имеет вид
у = а1х1 + ... + апхп, D1.38)
где аь ..., ап — некоторые действительные числа.
Обозначив через а вектор с координатами (а1у ..., аг), полу-
получим, что всякий линейный функционал f:Rn-^R имеет вид
f(x) = (a, x),
где через (а, х) обозначено скалярное произведение векторов а
и х. Очевидно и обратное: каждое отображение вида х*~*(а, х)
является линейным функционалом /: R" -> R.
Упражнение 11, Установить, какие из следующих отображений линейны:
а) f:R3-+R2, причем f (х, у, г) = (х, г);
б) f:R*-*-R*, причем f(x) — — х, где х—произвольный вектор в R*;
в) f-.Rt-i-R3, причем /(*)=*+@, —1, 0), где х—любой вектор в i?>;
г) f:R2-+№, причем f(x, y) = Bx+y, у);
д) f:R2-+R2, причем f(x, у) = Bх, у—х);
е) f:R*-+R\ причем f (х, у) = (у, х);
ж) /: R2-*R, причем f(x, y)=xy.
Напомним определения некоторых операций с матрицами
(известных из алгебры). Если А = (а^) и В = (&у) — прямоуголь-
прямоугольные матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, t = l, 2, ...
..., m, / = 1, 2, ..., п, то их сумма определяется как матрица,
элемент с;у которой является суммой соответствующих элементов
матриц А и В, т. е.
Cij^Oij + bij, i = l, 2, ..., m, / = 1, 2, .... п.
Произведением матрицы А на число Я, называется матрица,
все элементы ctj которой получаются из соответствующих элемен-
элементов матрицы А умножением их на Я.
ty— Щ, * = 1, 2, .... т, / = 1, 2, ..., п.
Если число столбцов матрицы А = (а^) равно числу строк
матрицы В = (bjk), i — 1, 2, ..., т, j = 1,2,..., и, Л = 1, 2, ..., s,
то произведение АВ матриц Л и В определяется как матрица,
состоящая из элементов cik, которые определяются по формулам:
п
Отметим два нужных нам для дальнейшего свойства линей-
линейных операторов.
58 § 41. Неявные функции
m
1°. Если f и g — линейные операторы, f:Rn-*-Rm, g:Rn-+R
а К и (л — произвольные числа, то Л/-\- [ig — также линейный опе-
оператор, действующий из R" в Rm, причем, если А и В суть матрицы
линейных операторов f и g, то ХА + цВ является матрицей опе-
оператора Я/+ИЯ-
Доказательство этого утверждения производится путем его
непосредственной проверки: если
я
Di— 2 OijXj, i = l, 2, .... т
— координатные функции отображения /, а
п
/=
— координатные функции отображения g, то для координатных
функций отображения kf-\~ng будем иметь (при сложении и умно-
умножении на числа векторов их координаты складываются и умно-
умножаются на те же числа)
т. е., во-первых, координатные функции отображения
являются линейными функциями, а, во-вторых, элементами Сц
матрицы отображения Я/+М? являются числа Су = Я% -\- \ibij,
т. е. элементы матрицы ЛЛ+Ц-В, где Л = (ау), В = (&,у). Ц
2°. Если f и g —линейные операторы, f:Rn-^Rm, g:Rm-^-Rs,
то их композиция g°f также является линейным оператором
Rn-^-Rs, а ее матрица равна произведению матриц отображений g
uf.
Снова выполним непосредственную проверку утверждения. Если
п
Vi=Yi aVxh l'=1> 2,- .... т,
i= i
<—координатные функции отображения /, а
т
гк= 2 Ьыуи k=\, 2, ..., s
— координатные функции отображения g, то
1= 1 J= 1 JF= 1 /= 1 \J= 1
т. е., во-первых, координатные функции композиции g'f суть
линейные функции, а, во-вторых, элементы Сщ ее матрицы полу-
41.6. Линейные отображения
59
чаются из элементов матриц а^ и Ьм операторов/ и g по правилу
т
сщ= ^ bkiuij. D1.39)
Как было сказано, такая матрица (ckj) и называется произведе-
произведением матриц (bki) и (aij). Q
Заметим, что каждый линейный оператор /: R" -»- Rm является
непрерывным отображением пространства Rn, ибо все его коор-
координатные функции D1.33), будучи линейными, непрерывны.
Длина вектора x^Rn, как это отмечалось в п. 41.5, является
непрерывной в пространстве R" функцией. Поэтому, если / : R"->-
-> Rm — линейный оператор, то функция \f(x)\, как композиция
двух непрерывных функций, будет также непрерывной в R".
Поскольку единичный шар Q" = {х е Rn : | х | «ё 1} является
компактом, то для всякого линейного оператора /: Rn-+Rm суже-
сужение непрерывной функции \f\:Rn->-R на шар Q", т. е. функция
\f\'-Q"-*-R, ограничено:
^supJ/WK + co. D1.40)
Определение 7. Для линейного оператора (в частности — для
линейного функционала, при т = 1) /: R" -> Rm число sup |/(x)|
называется его нормой*' и обозначается через ||/||:
И/li— sup \f(x)\. D1.41)
В силу неравенства D1.40) норма любого линейного оператора
конечна.
Оценим длину образа вектора х е Rn через норму оператора /
и длину х самого вектора. Для любого х Ф 0, ле R", вектор
= т-г имеет длину \:\\
— -,— | х | = 1. Поэтому, исполь-
использовав линейность оператора /, свойство A8.34) длины вектора и
определение D1.41), получим
!/(*)!=
/ ИА
-г - = \Х\
т. е.
1/(*I<1/1И. D1.42)
Из этого неравенства следует, что при | х \ < 1 справедливо
неравенство \f(x) |<||/J. Вспомним, что непрерывная на компакте
функция достигает на нем своего наибольшего значения (см. тео-
•' Общее определение нормы будет дано в п. 57.3.
CO § 41. Неявные функции
рему 3 в п. 19.5). Поэтому функция |/|:Q"->-/?, будучи непре-
непрерывкой на компакте Q", достигает на нем своего наибольшего
значения:
1/1= sup \f(x)\=max\f(x)\,
а поскольку при |ж|<1 имеет место неравенство |/(л:)!<|/|,
то указанный максимум достигается при |л;| = 1, т. е. на единич-
единичной сфере S"-1 = {x:\x\ = l}. Таким образом,
|/|=тах|/(*)|. D1.43)
Отметим еще одно полезное выражение для нормы линейного
оператора
|/i= sup 1Ш. D1.44)
Докажем его. Используя снова свойство длины A8.34) век-
вектора, линейность отображения / и формулу D1.41), получим
sup Ш1 = sup
» sup
/(
p
Нетрудно оценить норму f/J линейного оператора / через эле-
элементы его матрицы D1.34). Замечая, что квадрат длины вектора
равен сумме квадратов его координат, применяя формулу D1.35)
и неравенство Коши-Шварца A8.2), будем иметь
Отсюда для каждого х'ФО, x^R":
Поэтому в силу D1.44)
/т п
2 2 а<" D1-45)
41.7. Дифференцируемые отображения 61
Тем самым еще раз, но уже «алгебраическим путем» доказано!
неравенство D1.40).
41.7. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Перейдем теперь к определению дифференцируемых векторных
отображений. Предварительно напомним, что функция п перемен-
переменных /: E-+R, EaRn *\ определенная в окрестноститочки jc=(xi,,...
..., хп) е Е называется дифференцируемой в этой точке, если
существуют такие постоянные аъ ..., ап (они являются частными
производными функции / в этой точке ai = -g~: (*)), что
..., xn + hn)-f(xu .... х„) =
= a1/i1+... + «A+o('i), h-+0, D1.46)
где h — (hx, ..., hn). Для отображений из п-мерного пространства
в m-мерное «о малое» определяется следующим образом: пусть U —
окрестность точки /Ge?, a: (/->/?"'; будем говорить, что а = о(х)
при x-vxq, если |а| = о(|х 1), х-*-х0, т. е. если существует такая
функция е :?/->/?, что
|a(jc)| = e(*)|*|, D1.47)
jtef/и lim s(x)~0.
х-*ха
Само собой разумеется, что | ct (дг) | является длиной вектора в про-:
странстве Rm, а \х\ — длиной вектора в пространстве R". Для
выражений вида о (х), являющихся векторами, сохраняются
обычные правила действий с символом «о малое», например,
О (х)-\-О (х) = О (X) 'При Х-^-А'о И Т. П.
Линейное отображение (линейный функционал) (hu ..., hn)i—*-
*—*alhi-\-...-\-anhn в формуле D1.46) называется дифференциалом
функции f в точке х. Обозначив его через D(x), получим
Таким образом, определение дифференцируемое™ D1.46) можно
представить в виде
Аналогично определяется и дифференцируемость отображения
в общем случае.
Определение 8. Пусть U — окрестность, е пространстве R",
точки x^R". Отображение f:U-*-Rm называется дифференци-
дифференцируемым в точке х, если существует такое линейное отображение
(линейный оператор) l:Rn-^-Rm, что
ft-*0, А<=#». D1.48)
Через R, как всегда, обозначается множество всех действительных чисел.
62 § 41. Неявные функции
Линейный оператор I называется дифференциалом отображе-
отображения f в точке х и обозначается через D(x) или более подробно,
через Dt (x).
Используя это обозначение, определение дифференцируемое™
D1.48) можно переписать в виде
Л->0. D1.49)
Матрица дифференциала Df (x) (см. D1.34)) называется про-
производной отображения f е точке х и обозначается через f (x).
Отметим, что из формулы D1.48) сразу следует, что отобра-
отображение, дифференцируемое в точке х, непрерывно в ней:
\imf(x+h) = f(x).
Теорема 3. Если отображение f:E-+Rm, E a R", дифферен-
дифференцируемо в точке х^Е, то его дифференциал в этой точке опре-
определяется однозначно.
Следствие. Дифференциал линейного отображения совпадает
с самим отображением.
Доказательство теоремы. Пусть наряду с равенством
D1.48) выполняется также равенство
h) + o(h), h^O, D1.50)
где ll: R"->-Rm, ^ — линейный оператор. Вычитая одно из этих
равенств из другого, получим
/ (А) — /х (/г) = о (Л) при h-yO,
т. е. существует такая функция е (/г), определенная на некоторой
окрестности V нуля пространства Rn, т. е. е: V-y'R, что lim e(/i)=0
й->0
и для всех fteF имеет место
l*(fc)-fi(fc)l = e(/i)|ft|. D1.51)
Возьмем теперь произвольное k e R"', тогда для всех доста-
достаточно малых t будем иметь tk e V. Поэтому в D1.51) для таких t
можно взять h — tk:
Поскольку | tk | = 1111 k I и отображения / и 1г линейны, будем
иметь
а потому
|. D1.52)
Но lim^/e = 0, следовательно, в силу свойства функции е, имеем
также Пте(Й) = 0. Переходя к пределу при f->-0 в D1.52),
41.7. Дифференцируемые отображения 63
получим \l(k) — lx(k)| = 0, т. е. для любого k<=Rn
Это и означает, что 1 = 1г. Ц
Доказательство следствия. Пусть f:Rn-*-R'n — линей-
линейный оператор. Тогда в силу линейности для любых хе]?"и
h^Rn
т. е. равенство D1.48) выполняется при / = / и о(/г) = 0. В силу
единственности дифференциала Df(x) = f. Q
Теорема 4 (линейность дифференциала). Если отображения
f: E-*Rm и g: ?->-Rm, E czR", дифференцируемы в точке хе?,
то при любых числах X и ц линейная комбинация V + Uff также
дифференцируема е точке х и
Доказательство. В силу диффгренцируемости отображе-
отображений / и g в точке х имеем (см. D1.49)):
f(x+h)=f(x) + Df(x)(h) + o(h), Л->0,
g(x + h) = g(x) + Dg(x)(h) + o(h), ft-* 0;
отсюда
- [If (x) + pg (x)] + [Wf (x) + nDg (x)] (h) + о (h), h -+ 0.
Поскольку Wf (x) -\- \iDg (x) является линейным отображением
(см. п. 41.6), то, в силу определения 8, линейное отображение
TJ)j (x)-\-\iDg (х) является дифференциалом отображения A/-|-jxg. Ц
Теорема 5. Пусть EczR", DcRm, f:E-+D, g:D-+R\
причем отображение f дифференцируемо е точке х^Е, ag —
в точке f(x). Тогда композиция g°f дифференцируема в точке х
и ее дифференциал в этой точке равен композиции дифференциалов
отображений fug:
De.f(x) = De(f(x)).Df(x). D1.53)
Следствие. Если выполнены условия теоремы, то производная
композиции отображений равна произведению производных:
<?-f)'(x) = g'(f(x))r(x). D1.54)
Как видно из приведенных формул, благодаря удачному выбору
определений и символики, в формулировках теорем имеет место
полная аналогия с одномерным случаем.
64 § 41. Неявные функции
Доказательство. В силу дифференцируемости.отображе-
дифференцируемости.отображения / имеем
f Л->0. D1.55)
Таким образом, аргумент функции g в точке y = f(x) получил
приращение
k = Df(x)(h) + o(h). D1.56)
Поэтому из D1.55) в силу дифференцируемости функции g имеем
(g-f)(x-\-h)=:g(y+k)=g(y) + Dg(y)(k) + o(k), k^O. D1.57)
Поскольку (см. неравенство D1.42))
\Df(x)(h)\^ID/(x)l\h\, D1.5S)
где норма \Df{x)\ линейного оператора Df(x) является неотри-
неотрицательным числом, то для функции k = k(h), определенной равен-
равенством D1.56) получим
limfc = O. D1.59)
ft^O
Более того, справедлива оценка
а так как при достаточно малых h имеет место неравенство
|о(/г)|<|/1|, то для таких h справедлива и оценка
\k\^(jDf(x)l+l)\h\. D1.60)
Далее, из определения o(k) (см. D1.47)) явствует, что суще-
существует такая функция е (k), что
Ппге(/г) = 0 D1.61)
и \o(k)} = e(k)\k\. Поэтому в силу D1.60) для указанных доста-
достаточно малых h выполняется неравенство
А. поскольку из D1.59) и D1.61) вытекает, что lime(A:) = 0
и следовательно,
e(fe)(|0/(*)l + l)|ft| = o(ft) пРи Л-^°-
то из D1.62) имеем |o(&)|<o(ft), /i-»-0, откуда
o{k) = o(h) при й->-0.
Это означает, что формулу D1.57) можно переписать в виде.
(g'f)(x + h) = g(y) + Dg(y)(k) + o(h), h-+0. D1.63)
где k задается nb формуле D1.56).
41.7. Дифференцируемые отображения G5
Рассмотрим теперь среднее слагаемое в правой части равенства
D1.63). В силу линейности отображения Dg(y) имеем
Dg (у) (k) = Dg (у) (Df (x) (h) + о (А)) =
= Dg (у) (Df (x) (h))+Dg (у) о (A), h -+ 0. D1.64)
Вследствие неравенства D1.42) будем иметь ] Dg (у) о (А)| s^
^\\Dg(y)\\\o(h)\, а поэтому
Dg(y)o(h) = o(h), ft + 0;
следовательно, из D1.64) получим:
Dg (у) (k) = Dg (у) (Df (x) (h)) + о (А) =
= (Dg(y).Df(x))(h)+o(h), А-+0.
Подставляя полученное для Dg(y) выражение в D1.63) и прини-
принимая во внимание, что y = f(x), будем окончательно иметь
Поскольку композиция линейных операторов является линейным
оператором, то в силу единственности дифференциала оператор
Dg(f(x))-Df(x) является дифференциалом композиции f°g, т. е.
формула D1.53) доказана.
Формула D1.54) сразу следует из нее, поскольку при компо-
композиции линейных операторов их матрицы перемножаются. Ц
Теорема 6. Отображение f = (f1,...,fm)'-E-*-Rm, E с R", диф-
дифференцируемо е точке х е Е е том и только том случае, когда
все его координатные функции ft:E-+R, t = l, 2, ..., m, диффе-
дифференцируемы в этой точке. В этом случае элементы ац матрицы
дифференциала Df (х) являются соответствующими частными
производными координатных функций:
Иначе говоря, производная /' (х) является матрицей Якоби
системы функции fi (см. определение 2 п. 41.3),
I i п \
Г(х) = \ D1-65)
и называется также матрицей Якоби отображения f в точке х.
Доказательство. 1. Координатные функции Д- — nff
(см. D1.37)) являются композицией двух дифференцируемых
Отображений: отображения /, которое дифференцируемо в точке х
по условию, и проекции я,- (см. D1.36)), которая, как всякий
линейный оператор Rm->-R дифференцируема на всем простран-
3 Кудрявцев Л. Д. т. 2
66 § 41. Неявные функции
стве Rm. Следовательно, согласно теореме 5, функции Д-, i —
— 1, 2, ..., m, дифференцируемы в точке х.
2. Пусть все координатные функции fi = nt'f отображения
дифференцируемы в точке х. В силу D1.46) это означает, что
существуют такие постоянные агу, t = l, 2, ..., т, j= 1, 2, ..., п,
что
/,• (x + h) = fi (x) + OiJi!+... + ajin + о (ft),
/i->0, t = l, 2, ..., m. D1.66)
Отсюда, как известно (см. 20.2), следует, что коэффициенты Щ]
при приращениях hj аргументов xj являются соответствующими
частными производными функций ft:
Обозначим через /: Rn-+Rm линейный оператор с матрицей (а,7).
Поскольку (о(К), ..., o(h)) = o(h)*\ то равенства D1.66) можно
записать в виде
Это и означает дифференцируемость отображения f, причем из
D1.67) следует справедливость формулы D1.65). Ц
Замечание 1. В силу формул D1.54) и D1.65), следствие
из теоремы 5 означает, что матрица Якоби композиции отобра-
отображений / и g равна произведению матриц Якоби этих отображений.
Это, впрочем, непосредственно следует и из формулы диффе-
дифференцирования сложной функции: если Zk — gkii/i, •••> Ут), k =
= 1, 2, .... s, a yi=fi(x1, .... хп), i=l, 2, .... т, то (см. B0.26))
т
дгь VI dzu dui и л п -in
¦я^ = 7 з-^#-, k=l, 2, ..., s, / = 1, 2, ..., п,
oxi ±* at/I дх,- '
i=i
что согласно правилу умножения матриц (см. п. 41.6) и означает,
что матрица (^] является произведением матриц {^) и (-J1),
\OXj I \O\fi I \OXjJ
\dxjj \'ду,)\дх/)'
Определение 9. В случае т = п определитель
*> Запись (о (К), ..., o(h)) = o(h) означает, что вектор, координаты которого
являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем h, сам является
бесконечно малой более высокого порядка, чем h при/г-»-0. Совпадение в данном
случае обозначений вектора и его координат связано с тем, что мы, чтобы не
усложнять символики, выбрали для я-мерного вектора обозначение х, в котором
не отражена его размерность. Она делается ясной, только если он записан
с помощью координат х — (хх хп).
41.7. Дифференцируемые отображения &7
матрицы Якоби D1.65) называется определителем Якоби или
якобианом отображения f:E-+R", EczR", в точке х^Е и обо-
обозначается (см. п. 41.3)
0(*i х„)
Замечание 2. Из алгебры известно, что при умножении
квадратных матриц их определители перемножаются; поэтому
при выполнении условий теоремы 5 в случае tn = n = s якобиан
композиции отображений fug равен произведению якобианов
отображений / и g
••-, г„) д(ги
д(*х, .... хп) д(уи ...,уп)д{хи
Действительно,
- det
д(Уъ •••> Уп)д(хх х„)
Замечание 3. Пусть EcR" и Id : E-+E — тождественное
отображение множества Е на себя. В координатной форме оно
записывается в виде условия равенства координат точек образа
и прообраза при этом отображении, т. е. координатные функции
имеют вид
f /v\ v i 19 п lv у \ i— р
И\л/—Ло * — 1> "* •>•) ni \ЛЪ •••> An/'Z^J-"
Если х<0) — внутренняя точка множества Е, то эти функции можно
дифференцировать в этой точке, и поскольку ~ = 0 при 1ф\ и
дх- '
г~ = 1, то матрица Якоби тождественного отображения является
единичной матрицей
П...ОК
0...1
Пусть теперь UczR", V a Rn и /: U -v V — взаимно одноанач-
ное (инъективное) отображение, a f-1:/(t/)-vt/ —обратное ему.
Тогда для любой точки x^U имеем f-1(f(x)) = x, т. е. компо-
композиция f~l°f является тождественным отображением.
Пусть отображение / дифференцируемо в точке х0 е U (следо-
(следовательно, х0 —внутренняя точка множества U, ибо только для
таких точек определено понятие дифференцируемости), а обратное
отображение /-1 дифференцируемо в точке / (х0). Поскольку /-1 °f —
тождественное отображение, то в силу формулы D1.54) имеем
(/-i)'/' = (/-1»/)' = (Id)' = ?. D1.69)
3*
68 § 41. Неявные функции
Перейдя от этого равенства матриц к их якобианам, получим
det (/-1)' det /' = 1, D1.70)
ибо det? = l.
Если отображение / задано координатными функциями D1.30),
то формулу D1.70) можно переписать в виде
д(хъ ..., хп)д(уи .... у„) ^j D171)
д(Ух, .... Уп)д{хх х„) '
Из этой формулы следует, что при сделанных предположениях
как якобиан отображения / в точке х, так и якобиан обратного
отображения f'1 в точке f(x) не обращаются в ноль.
Перепишем формулу D1.71) еще в виде
д(хъ ..., хп) 1 ,,-, уп\
д{УгУ)~д(У1 У)' К '
д(хъ ..., хп)
Эта формула является очевидным обобщением формулы для произ-
производной обратной функции одного переменного: ¦?¦ = j-.
Jx
В заключение сформулируем два полезных определения.
Определение 10. Отображение f:E-+Rm, E cRn, дифферен-
дифференцируемое в каждой точке х е Е называется дифференцируемым
отображением множества Е.
Очевидно, если отображение дифференцируемо на множестве Е,
то какова бы ни была точка х е Е, согласно определению 8
отображение / определено в некоторой ее окрестности, т. е. Е —
открытое множество.
Согласно теореме 6 отображение f~{fi, ..., fn) дифференци-
дифференцируемо на множестве Е тогда и только тогда, когда на этом
множестве дифференцируемы все его координатные функции
/1( ..., /„. Если все координатные функции непрерывно дифферен-
дифференцируемы на Е, т. е. все их первые частные производные непре-
непрерывны на Е, то отображение / называется непрерывно дифферен-
дифференцируемым отображением множества Е.
Определение 11. Гомеоморфног отображение f:G->D,ade
G и D — открытые множества пространства Rn называется
диффеоморфным отображением или диффеоморфизмом, если как
оно само, так и обратное ему отображение f~l: D->- G, диффе-
дифференцируемы.
41.8. ОТОБРАЖЕНИЯ С НЕРАВНЫМ НУЛЮ ЯКОБИАНОМ.
ПРИНЦИП СОХРАНЕНИЯ ОБЛАСТИ
Прежде всего рассмотрим вопрос о существовании отображения,
обратного данному. Как мы знаем, в случае п = 1 для непрерывно
дифференцируемой на некотором отрезке функции условие необра-
41.8. Отображения с неравным нулю якобианом
щения в ноль ее производной (которое влечет за собой ее строгую,
монотонность) является достаточным для существования обратной
ей однозначной непрерывно дифференцируемой функции. В случае
же произвольного п дело существенно осложняется: соответствую-
соответствующие точечные условия, налагаемые на дифференциальные свойства
отображения позволяют утверждать лишь что локально, т. е.
в окрестности точки, существует обратное отображение. Более
точно, справедлива следующая теорема.
Теорема 7. Пусть
y = f(x) = i D1.73)
*• Уп — In \xli • • • > xn)
— непрерывно дифференцируемое отображение открытого множе-
множества G czRn в пространство R". Если якобиан этого отображения
не обращается в ноль в точке xw e G, то существуют такие
окрестности Их и Uy соответственно точек х@) и </@) = / (*@)),
что f (х), х е Ох, является взаимно однозначным отображением
окрестности Ux на окрестность Uy, а обратное ему отображение
непрерывно дифференцируемо на множестве Uy.
Следствие. Пусть f —непрерывно дифференцируемое отобра-
отображение открытого множества G cz Rn в пространство R". Если
якобиан отображения f не равен нулю на G, то образ множества G
при этом отображении также является открытым множеством.
Доказательство. Рассмотрим функции
Они определены для всех у = (уи ..., yn)<^Ry и всех x = (xlt ...
..., xn)^GczR". С их помощью система равенств D1.73), зада-
задающих отображение /, перепишется в виде
Ft(x, y) = 0, i=l, 2 п. D1.74)
При этом функции Ft (x, у) определены и непрерывно дифферен-
дифференцируемы в некоторой окрестности точки (х^°\ у'0') (за такую
окрестность можно взять, например, GxRy)t
{кш,ут) д(Х1 хп)
Таким образом, выполнены все условия теоремы 2 настоящего
параграфа о разрешимости системы уравнений.
В силу этой теоремы уравнения D1.74), или, что то же,
система D1.73), могут быть разрешены, и притом единственным
образом, относительно переменных хи ..., хп в некоторой окре-
окрестности точки (я@), г/@)). Более подробно это означает, что суш,еГ,
ствуют такие окрестности U% и Uy, соответственно точек xw и г/10)',
§ 41. Неявные функции
х(о) е u*f y{o) G и у и такое единственное отображение
1^1 = ^1 (Уи • • • > Уп)>
D1-75)
Xn = gn(yi, •••. Ьп),
отображающее окрестность U-u в окрестность Щ, что для всех
у е t/,, имеет место тождество
Иначе говоря, для каждой точки у e(/s существует и притом
единственная точка x — g(y)^ U%, переходящая при отображении /
в точку у. Тем самым х е /-1 (у) f] Щ, g(y) является отображением,
однозначным, непрерывно дифференцируемым и обратным к / на
Положим Ux = U*x{\f-1(U!)). Тогда ^ — открытое множество,
ибо оно является пересечением двух открытых множеств U* и/-1 (?/,,)
(открытость множества f~x (Uu) следует из того, что оно является
прообразом открытого множества Uy при непрерывном отображе-
отображении f, см. лемму 2 в п. 41.4). Очевидно, что Ux отображается
взаимно однозначно на Uy, а поскольку xw^U% и f(x{0)) = y{0)^Uy,
то х@) <=?/*, т. е. ^. — искомая окрестность точки л;@). ?
Замечание 1. Окрестности Ux и Uy, фигурирующие в усло-
условиях теоремы 4, обладают еще тем дополнительным свойством,
что якобиан отображения / окрестности Ux на окрестность Uy
не обращается в ноль на окрестности Ux, а якобиан обратного
отображения /-1 не обращается в нуль на окрестности Uy. Это
сразу следует из формулы D1.71). Действительно, в силу того
что отображение / взаимно однозначно переводит окрестность Ux
в окрестность Uy и того, что / и /^ непрерывно дифференцируемы,
можно применить указанную формулу к отображению f, рассмат-
рассматриваемому на множестве Ux. Согласно этой формуле, произведение
якобианов отображений / и /-1 равно единице и, следовательно,
каждый из них не равен нулю.
Доказательство следствия. Пусть у = /(х) — непре-
непрерывно дифференцируемое отображение открытого множества G
в пространство Rn, а //^ — произвольная точка множества /(G).
Выберем какую-либо точку х@) в прообразе точки y^:x{0)^f~1(y@>),
следовательно, /(х@|) = ^0). В силу теоремы 4 существуют такие
окрестности Ux cr G и Uy соответственно точек х^ и у(°), что
f(Ux) = Uy. Следовательно, Uyaf(G). Иначе говоря, для всякой
точки (/t°'e/(G) существует ее окрестность, содержащаяся во
множестве f(G). Таким образом, любая точка множества /(G)
является внутренней для этого множества, что и означает, что
f(G) — открытое множество. ?
Замечание 2. Если при некотором отображении / для
точек х{0) и z/W = / (х(°)) существуют соответственно окрестности
Ux и UtJ, взаимно однозначно отображающиеся им друг на друга,
41.9. Особые точки 71
то говорят, что отображение f локально взаимно однозначно
в точке х@).
Если при этом отображение / непрерывно на U'х, а /~* непре-
непрерывно на Uy, то / называется локально гомеоморфным в точке л;@>
отображением или локальным гомеоморфизмом. Если, наконец,
указанный локальный гомеоморфизм является диффеоморфизмом,
то рассматриваемое отображение называется локально диффеоморф-
ным в данной точке (определения гомеоморфизма и диффеомор-
диффеоморфизма см. в п. 41.4 и п. 41.7).
Употребляя эту терминологию, можно сказать, что отображе-
отображение /, рассматриваемое в теореме 4, в каждой точке, в которой
его якобиан не равен нулю, является локально диффеоморфным
отображением.
Теорема 8 (принцип сохранения области). Образ п-мерной
области в п-мерном пространстве при непрерывно дифференци-
дифференцируемом отображении с якобианом, не обращающимся в нуль,
является областью.
Доказательство. Пусть G — область, G aRn и y = f(x) —•
отображение G в R", удовлетворяющее условиям теоремы. Согласно
следствию теоремы 4, множество /(G) открыто, а по лемме 7 п. 41.4
линейно связно. Поэтому, если G — область, то при выполнении
условий теоремы множество /(G) также является областью. Q
Упражнение 12. Построить пример непрерывно дифференцируемого
отображения некоторой плоской области, якобиан которого нигде не обраща-
обращается в нуль и которое не взаимно однозначно.
41.9. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ УРАВНЕНИЕМ,
В КОТОРОМ НАРУШАЮТСЯ УСЛОВИЯ ЕДИНСТВЕННОСТИ.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
Мы уже знаем, что если координаты некоторой точки я@) =
= (х[0), ..., х^) удовлетворяют уравнению
F(Xl, ..., хя) = 0 D1.78)
и в этой точке производная -^- не равна нулю, то при
соответствующих условиях, налагаемых на непрерывность самой
функции F и указанной производной, уравнение D1.76) разре-
разрешимо в некоторой окрестности точки xw относительно x-t и ре-
решение является непрерывно дифференцируемой функцией осталь-
остальных координат.
Естественно, возникает вопрос: а что будет в случае, когда
в точке х@) частные производные по всем аргументам обраща-
обращаются в нуль — определяет в этом случае уравнение D1.76) ка-
какие-либо функции или нет? Остановимся на этом вопросе, од-
однако ввиду его сложности ограничимся рассмотрением двумер-
двумерного случая.
72 § 41. Неявные функции
Итак, будем рассматривать уравнение
F(x, у) = 0, D1.77)
где функция F определена и непрерывно дифференцируема в не-
некоторой окрестности точки (х0, у0), такой, что
F(x0, */o) = O. D1.78)
Пусть
Fx (хо, Уь) = Fy (ж„, у0) = 0. D1.79)
Покажем, что и при выполнении этих условий уравнение D1.77)
иногда может быть разрешено в окрестности точки (х0, г/о) отно-
относительно одной из переменных, так что получится непрерывно
дифференцируемая функция; однако это можно сделать, вообще
говоря, не единственным образом. Таким образом, условие
Fi (хо, у0) + F\ (х9, г/0) =^0, D1.80)
которое в нашем случае (см. D1.79)) не выполняется и которое
позволяет применить теорему 1 о неявных функциях к одному
из переменных, естественно назвать условием однозначной раз-
разрешимости уравнения D1.77).
Определение 12. Точка (х0, уо), координаты которой удовлет-
удовлетворяют условиям D1.78) и D1.79), называется особой точкой
уравнения D1.77).
Особая точка называется изолированной, если существует
ее окрестность, в которой она является единственной особой
точкой.
Геометрически это означает, что если уравнение D1.77) явля-
является неявным представлением какой-либо кривой, то в окрест-
окрестности особых точек этого уравнения кривая, вообще говоря, не
является графиком некоторой гладкой однозначной функции (как
это имеет место при выполнении условия D1.80)); здесь воз-
возможны разные особгнности, которые мы сейчас и рассмотрим.
Введем для краткости записи обозначения
Fxx (хо, г/о) = Fix, FXy (х0, г/о) = Fxy, Fyy (х0, у0) = Fyy.
Теорема 9. Пусть функция F (х, у) определена и дважды не-
непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности изолирован-
изолированной особой точки (ха, у0) уравнения D1.77) и пусть
F» ро _ Р«2 -А- О
* ххг уу ' ху ztz «•
Тогда, если
D1.81)
то (лг0, Уо) является изолированным решением уравнения D1.77),
т. е. существует окрестность точки (х0, г/0) никакая точка ко-
41.9. Особые точки 73
торой, кроме (х0, уй), не удовлетворяет уравнению D1.77); если
же
D1.82)
то уравнение D1.77) разрешимо в некоторой окрестности точки
(ло, Уо)> н0 не однозначно: имеются две различные дифференциру-
дифференцируемые функции, удовлетворяющие уравнению D1.77). Поэтому
(*о> Уо) называется в этом случае двойной точкой.
Например, если
D1.83)
то существуют две дифференцируемые функции /х(х) и f^ix),
определенные в некоторой окрестности точки ха и такие, что в
этой окрестности F(x, h(x)) = 0, F(x, f3(x)) = 0, причем f1(x0) —
= и(хо)= Уп, а производные функции fi(%) и fz(x) в точке х0
являются различными корнями уравнения
Fxx-\-2Fx°ylt + F°mk2 = 0*\ D1.84)
Доказательство. Пусть выполнено условие D1.81).
Вмьсте с D1.79) оно достаточно для наличия строгого экстре-
экстремума функции F (х, у) в точке (х0, у0) (см. теорему 3 в п. 40.2).
Поэтому существует окрестность U точки (х0, у0), такая, что при
(х, у) ев U и (х, у)Ф(х0, гд>) либо всегда F(x, y)>F(x0, у0),
либо всегда F (x, y)<F(x0, y0), и так как F(x0, yo) = O, то
F (х, у)фО для всех (х, у) €Е U, (х, у) Ф (х0, у0), т. е. (х0, у0)
является изолированным решением уравнения D1.77)**).
Пусть теперь выполнено условие D1.82). Разложим функцию
F (х, у) по формуле Тейлора в окрестности точки (х0, г/о) до сла-
слагаемых второго порядка; тогда, приняв во внимание условия
D1.78) и D1.79), получим:
F(x, y) =
= \- [Fxx (х - ХоТ + 2П„ (х - х0) (у - г/о) + F*m (у - ytf] + о (г\
D1.85)
где г —У (х — ХоJ + (у — уоУ2- Положим х — x0 = rcos(p, y — yot=
= rsincp. Очевидно, (г, q>) —полярные координаты точки (х, у),
причем в качестве начала полярной системы координат принята
точка (х0, уо).
*' Корни этого уравнения вещественны и различны в силу условий D1.82)
и D1.83).
**' В доказательстве этого утверждения используется не то, что (х0, уа)
является изолированной особой точкой, а лишь то, что она является просто
особой точкой, в которой выполняется условие D1.81).
74 § 41. Неявные функции
В этих координатах
х> y) = ~Y (F"xx со52ф + 2F%y cos ф sin ф + F"yy sin2 ф) -f о (г2) =
где
^ (Ф) = F°« cos2 ф + 2F% cos ф sin ф + ^ sin2 q>, D1.87)
или при ф^^-B&+1), 6 = 0, ±1, ±2, ....
/> (Ф) = cos2 Ф {Flx + F^ tg ф + Fly tg2 Ф). D1.88)
Предположим теперь, что выполнено также и условие D1.83).
Пусть кг и кг — корни уравнения D1.84) и пусть ф^ап^й]. и
Ы&2- Тогда
Ф1^=±я/2, ф2^=±я/2, D1.89)
и из D1.88) следует, что
Р (Ф) = cos2 ф (tg ф - tg ф1) (tg ф - tg ф2). D1.90)
Из формулы D1.90) видно, что функция Р(ф) при ф^=
Ф~Bк,-\-\), k = 0, ±1, ±2, ... обращается в ноль только для
Ф = ф1 + &л и Ф = фг + &гс, k — 0, ±1, ±;2, ..., причем при пе-
переходе аргумента через эти значения она меняет знак. Нам бу-
будет удобно интерпретировать Р(ф) как функцию точки окруж-
окружности С с центром в точке (х0, у0) и радиуса, равного 1 (такой
радиус выбирается для простоты, чтобы длины дуг совпадали
с углами ф).
Пусть е>0. Обозначим через U1 = U1(&) открытый угол,
определяемый неравенством щ — е < ф < фх + е, т. е.
соответственно положим
U2 = {(r, ф): фа-е<ф<ф24-е};
при этом выберем е>0 столь малым, чтобы 11г и ?/2 не пере-
пересекались и не содержали в себе полуоси ординат, а значит, и
вообще вертикальных полупрямых (последнее всегда можно вы-
выполнить вследствие условий D1.89)).
Пусть U* и U* — углы, центрально симметричные с ?/х и ?/2
относительно точки (х0, у0):
Щ = {(г, ф): фа + л — е < ф < ф2 + л + &}.
41.9. Особые точки
75
В силу выбора числа е множества Ult U2, Uf и Щ попарно не
пересекаются (рис.154).
Рассмотрим теперь Р (ф) как функцию точки вышеуказанной
окружности С Точку окружности С, которой соответствует по-
полярный уголф, будем для простоты также обозначать через ф. Уда-
Удалим из указанной окружности интервалы с центрами в точках фъ фа,
Фх + я и ф2-г-я длины 2s*';
в силу выбора е>0 эти ^у
интервалы не имеют общих
точек. Оставшееся множе-
множество, которое обозначим че-
через В, является ограничен-
ограниченным и замкнутым, а следо-
следовательно, компактом. На В
функция Р (ф) непрерывна
и не обращается в нуль,
а поэтому
inf
D1.91)
Обозначим через Кр
замкнутый круг с центром
в точке (х0, у0) и радиу-
радиусом р:
а через L9 обозначим множество, которое получается вычитанием
(в теоретико-множественном смысле, см. п. 1.1) множеств
Ult U2, U1 и U-i из круга Кр. Очевидно, что в силу D1.91)
inf |/>(
(г, ф) е L
D1.92)
выпол-
Теперь, замечая, что из D1.86) следует
F(x, у) = ^[Р(ч>) + а (г, ф)],
где lima (г, ф) = 0, выберем р>0 так, чтобы при
иялось неравенство
|а (г, (р) | <ц. D1.93)
Тогда из D1.92) следует, что для всех точек (г, (p)eLp выра-
выражение, стоящее в правой части формулы D1.92), имеет тот же
знак, что и Р(ф).
*' Интервалом длины 2е на окружности с центром в точке, полярный
угол которой равен фо, называется множество ее точек, полярные углы ср ко-
которых удовлетворяют неравенству ф0 — е<ф<фо + е.
76 § 41. Неявные функции
Множество Lp состоит из четырех замкнутых секторов (см.-
рис. 154), на каждом из которых, за вычетом их центра, функ-
функция Р (ф), а значит, в силу выбора р, и функция F (х, у) при-
принимают значения одного и того же знака, а на соседних
секторах — разных.
. Рассмотрим теперь угол U1 — UL (е). Пусть для опред^лэнно-
сти 0==2ф1«<я/2. Пересеченна замыкания 171 угла UL с верти.-,
кальной прямой х = х*, хо<.х* =sSx0 + pcos(91 + e), представляет
собой отрезок, на вэрхнем и нижнем концах которого функция
Р(х*, у\ принимает значения разного знака. Функция F(x*, у),
рассматриваемая как функция одного переменного у при фикси-
фиксированном х*, будучи непрерывной на указанном отрезке, обра-
обращается в некоторой его точке у* в нуль, т. е. для каждого х*}
где хо<х* sgATo + pcos^ -|-e), существует по крайней мере одна
точка у*, такая, что
F{x*, у*) = 0, (х*, у*) е ^(8H/Ср. D1.94)
Определим y = f1(x) как функцию, ставящую в соответствие
числу л"* число у*:
h(x*)=y*> *o<**===:х0+ рcos(qH + e).
Покажем, что при достаточно малых е и р функция /х опреде-
определена однозначно, т. е. существуют такие е > 0 и р > 0, что
при заданном х* условия D1.94) однозначно определяют у*.
Допустим противное. Возьмем последовательности е„->-0 и р„->-0
при л->-оо. Тогда существуют две последовательности точек
с одинаковыми абсциссами хп и разными ординатами у'п и yl,
такие, что
(хп, у'п) е Ux (е„) П КРп, F(xn, y't) = 0,
(хп, Уп) е U, (ел) П КРп, F (хп, у'а) = 0.
Тогда в силу теоремы Ролля на отрезке [у'п, у"п] прямой х — хп
найдется точка уп, такая, что
Fy{xn, уя) = 0, D1-95)
при этом очевидно, (хп, уп) е Ux (гп) П КОп', по условию (см.
D1.79)) мы имели еще
Fy(x0, yo) = O. D1.96)
По формуле конечных приращений, примененной к функции
Fy (x, У),
Fy (хп, уп) - Fy (х0, г/о) = Fyx (|„, т)я) (хп - х0) + Fyy (|„, т)„) (у„ - у0),
41.9. Особые точки 77
откуда в силу D1.95) и D1.96)
Fxy {In, Цп) + Fyy (?„, гь) Ь=Ь- = 0. D1.97)
Пусть (х„, уп) = (г„, %). Очевидно, | % — щ | < гп; а поэтому
из условия e4-v0 следует, что tj)n->-(pi при л-»-со, и так как
, то
Переходя к пределу в равенстве D1.97) при п-»-оо, в силу
D1.98) имеем
^ + ПА = 0, т. е. Ах = -^;
i/i/
подставляя это значение корня в уравнение D1.84), получим
Е-0 СО _ С«г _ А
1 хх1 уу 1 ху — и>
что противоречит условию D1.82).
Итак, функция y = fi{x) действительно однозначно определя-
определяется при достаточно малых 8 и р. В дальнейшем будем предпо-
предполагать, что е и р выбраны именно таким образом.
Доопределим функцию ft в точке х0, положив yo — h(,xo).
Очевидно, по самому определению функции f1(x) имеем
F(x, /x(x)) = 0, Xo=
Покажем, что в точке х0 у функции /х (х) существует правосто-
правосторонняя производная и что она равна kx. Пусть произвольно
фиксировано е>0. Из вышеизложенного следует существование
такого р = р (е) > 0, что соответствующая часть графика функции
/х (х) целиком лежит в Ux (г) (] /Ср:
(х, U (х)) е U, (г) П Кр, х0 ^ х < х0 + р cos (ф1 + е). D1.99)
Возьмем 8 = pcos(cp1 + e) и пусть х таково, что 0<х —
y = fi(x) и (х, у) = (г, (р). В силу D1.99) имеем |ф —фх|<е.
Это означает, что lim ф = (рх и поэтому lim tg9 = tg9x. По-
х-*хо + 0 х^х„+0
скольку tg ф= у~Уо, то из доказанного следует, что
цш Ш-hM^ Hm izjL=tg
т. е. у функции fi(x) существует производная справа в точке х0,
равная tgfpx^kx.
Подобным же образом из рассмотрения поведения функции
F (х, у) в угле U* доказывается, что при некотором б'>0 на
78 § 41. Неявные функции
отрезке [х0 — б', лг0] существует функция f±(x) такая, что при
х0 — б' ==S х =sS x0:
F (x, fi (х)) = 0, (х, ft (x)) e i/f, /I (*<>) = h (под производной, ес-
естественно, в данном случае понимается левосторонняя производ-
производная).
Если число р взять столь малым, чтобы в круговой окрест-
окрестности радиуса р точки (х0, у0) не содержалось других особых
точек уравнения D1.77), кроме (х0, Уо), то функция /i(x) будет
дифференцируемой и во всех точках хфх0. Это сразу следует
из доказанной выше теоремы о неявных функциях (см. теорему
1 в п. 41.1). В результате мы и получили функцию f\{x), опре-
определенную в некоторой окрестности точки х0 и обладающую всеми
требуемыми свойствами.
Аналогично доказывается существование функции /2 (х), также
являющейся решением уравнения D1.77) и удовлетворяющей
условиям теоремы, причем график этой функции проходит в
углах U2 и Щ и через точку (х0, у0).
Если F°yy = 0, а РхХф0, то все рассмотрения проводятся ана-
аналогичным образом; следует только поменять местами роль осей
Ох и Оу, так что в результате получим решения уравнения
D1.77) в виде функций от переменной y:fx(y) и /2(*/).
Если, наконец, Fxx = Fy!, = Q и, значит, F%=/=0, то проще>
всего выполнить замену переменных: х = %-\-у), y = % — t] (повер-
(повернуть оси координат на угол я/4). Тогда (как легко убедиться
непосредственно дифференцированием)
р» ро про j л pi п
т. е. в новой координатной системе получим уже изученный слу-
случай. В частности, уравнение D1.84) для угловых коэффициентов
касательных в особой точке в координатной системе |, г] имеет вид
/г2-1=0,
и, значит, к1Л = ±1. Иначе говоря, биссектрисы координатных
углов, являющиеся координатными осями в старой системе коорди-
координат х, у, суть касательные к графикам двух функций, которые
определяются уравнением D1.77) в некоторой окрестности рассмат-
рассматриваемой особой точки. Ц
Если уравнение F (х, у) = 0 является неявным представлением
какой-либо кривой, то в особой точке (х0, г/о) этого уравнения
кривая может (хотя и не обязана) иметь какие-либо особенности,
т. е. в окрестности особой точки этого уравнения кривая, вообще
говоря, не является графиком некоторой гладкой однозначной
функции.
Следует напомнить также, что множество точек, координаты
которых удовлетворяют уравнению D1.77), вообще говоря, не
является всегда кривой в смысле данного ранее определения
кривой (см. п. 16.2*), задаваемой параметрически.
41.9. Особые точки 79
Примеры. 1. Пусть дано уравнение у2 (x2Jr У2 + 1) = 0. Здесь
F(x, У) = УЧх* + у2+1), а поэтому Fx = 2xif, FM = 2х2у + 4у* + 2у.
Условия наличия особой точки D1.78) и D1.79) дают в этом
случае
*о = 0, Уо — 0.
Таким образом, особой точкой является @, 0). Однако в этой
точке кривая, определяемая уравнением, не имеет особенности,
так как оно (множитель х2-\-у%-\-\ нигде не обращается в нуль)
равносильно уравнению у — О и рассматриваемая кривая является
графиком явной функции г/ = /(л:) = О. Отметим, что, как легко
убедиться, в этом случае в точке @, 0)
FxxFm-Fly = 0. D1.100)
2. Для уравнения
(х2 + г/2)(х2 + г/2-1) = 0. D1.101)
условия D1.79) превращаются в следующую систему уравнений:
Сложив и вычтя эти уравнения, получим систему
Отсюда либо х = у — 0, либо 2л:2 -f 2z/2 — 1 = 0, однако точка (х, у),
координаты которой удовлетворяют последнему соотношению, не
является корнем уравнения D1.101) (для нее x2J\y%
(д \y -^, и, зна-
значит, ни один из сомножителей левой части D1.101) не обращается
в ноль).
Таким образом, единственной особой точкой является @, 0).
Легко проверить, что здесь выполняется условие D1.81), и, зна-
значит, точка @, 0) является изолированным корнем уравнения
D1.101). Геометрически, как это сразу видно, уравнение D1.101)
задает единичную окружность и ее центр @, 0) (это множество,
очевидно, не является носителем никакой кривой, заданной пара-
параметрически в смысле п. 16.2*).
3. Для уравнения
а а-Заху = 0 D1.102)
условия D1.79) наличия особой точки приводят к системе уравнений
80
§ 41. Неявные функции
откуда либо х = г/ = О, и эта точка удовлетворяет уравнению
D1.102), либо х = а, у = а, но координаты этой точки не являются
решением уравнения D1.102). Снова здесь @, 0) — единственная
особая точка. Нетрудно убедиться, что при этом выполняются
условия D1.82), и, значит, @, 0) является двойной точкой.
Геометрически для кривой, неявным представлением которой
является уравнение D1.102) (она называется декартов лист, и мы
с ней уже встречались в п. 14.5); точка @, 0) является точкой
самопересечения (см. рис. 61 в первом томе).
4. Для уравнения
y2_^3 = 0 D1.103)
@, 0) является особой точкой; в ней выполняется уже условие
D1.100), и тем самым в этом случае не выполняются условия
теоремы 6. Геометрически кривая, выражаемая уравнением D1.103)
и называемая полукубической параболой y — zhx3?2, имеет в
точке @, 0) касательную и расположена в окрестности этой точки
по одну сторону от нормали.
х
Рис. 155
Рис. 156
Точки такого типа называются точками возврата (рис. 155).
5. Для уравнения
г/2_Л.1 = о D1.104)
@, 0) также является особой точкой, и снова здесь выполняется
условие D1.100). Уравнение D1.104), очевидно, распадается на
два уравнения: у = х2 и у = — хг, которые задают две параболы,
имеющие в точке @, 0) общую касательную.
Особые точки, в некоторой окрестности которых уравнение
D1.77) задает две непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие
в точке (х0, г/о) общую касательную, называются точками само-
самоприкосновения (рис. 156) этих двух кривых.
Может случиться, что при выполнении условия D1.100) особая
точка окажется изолированным решением уравнения D1.77), или
его двойной точкой.
41.9. Особые точки 81.
В заключение дадим некоторые пояснения к уравнению D1,84):.
Если (х0, Уо) — особая точка уравнения D1.77), то после парал-
параллельного переноса начала координат в точку (х0, г/о) уравнение
D1.77) примет вид
F°xxx* + 2Fxyxy + rmf + о (х* + г/2) = 0, D1.105)
(здесь через х и у обозначены координаты точки в новой системе
координат, а индексом 0 наверху обозначены значения частных
производных в точке @, 0) этой системы), откуда с точностью
до бесконечно малых более высокого порядка наше уравнение
можно записать следующим образом:
F°xxx* + 2Fxyxy + Flyy* = 0. D1.106)
В случае выполнения условия D1.82) левая часть уравнения
D1.105) распадается на два действительных множителя, каждый
из которых, приравненный нулю, и дает касательные к двум
ветвям кривой в точке @, 0) (см. D1.84)). В случае же выполнения
условия D1.81) левая часть уравнения D1.106) распадается на два
комплексных множителя: «касательные мнимы». Это естественно,
так как здесь говорить о касательной не имеет смысла, ибо в этом
случае особая точка является изолированной.
Это замечание особенно удобно использовать для определения
характера особой точки в случае алгебраической кривой, т. е.
кривой, заданной уравнением
Р(х,у) = 0, D1.107)
где Р (х, у)—многочлен от двух переменных х и у. Если @,0)—особая
точка этого уравнения, то из условий D1.78) и D1.79) следует,
что этот многочлен не содержит ни свободного члена, ни членов
первого порядка, т. е. уравнение D1.107) имеет вид
где Q(x, у) — многочлен, все члены которого по крайней мере
третьего порядка. Характер поведения решений этого уравнения
определяется его главной частью, т. е. уравнением
которое является уравнением D1.106) для данного случая ибо,
как легко видеть, здесь
= Fxu и c =
Если же точка @, 0) удовлетворяет уравнению D1.107), но
не является особой, то D1.107) имеет вид
где R (х, у) — многочлен, все члены которого имеют порядок не
ниже второго. Из теоремы о неявных функциях (см. теорему 1
§ 41. Неявные функции
в п. 41.1) следует, что уравнение
Ах + By = О
является в этом случае уравнением касательной в точке @, 0)
к графику решения уравнения D1.107).
Упражнения. Исследовать поведение каждой из следующих кривых
в окрестности ее особых точек; найти касательные в особой точке.
13. у* = х* + х*. 18. у(у — 2)* = х?.
14. «/* = *« —*>. 19 4(^ = *6 + 5х4.
15. г/2 = х2 — х*. 20. (х2—ф)у = х\
16. (х2 — 9)#2 = Х4. 21. (у — xy = xi.
17. у* = х(х—ЗJ.
41.10. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ
Часто в различных вопросах математического анализа и в его
приложениях при изучении той или иной формулы, содержащей
какие-либо функции и их производные (обыкновенные или част-
частные), оказывается целесообразным перейти к другим независимым
переменным, а иногда и к другим функциям, которые связаны
с функциями, входящими в рассматриваемую формулу, определен-
определенными соотношениями. Все эти преобразования делаются на осно-
основании правил дифференцирования сложных и неявных функций.
Рассмотрим несколько примеров.
Пусть и = и(х, у). Преобразуем выражения
) И ~дх^ + dif-
к. полярным координатам г и ср. Первое из этих выражений
является квадратом длины градиента Vu функции и, т. е. равно
J Vm |2, а второе имеет специальное обозначение Аи:
<4U09>
Символ А, указывающий на применение к функции и операции
D1.109), называется оператором Лапласа *К
Из формул, связывающих декартовые координаты с полярными,
x = r cos ф, y = rsmq, D1.110)
находим:
|*- = cos<p, Щ- — rsinip, |f- = sinrp, || = rcos9. D1.111)
•' П. Лаплас A749—1827) —французский механик и математик.
41.10. Замена переменных
Применим формулы дифференцирования сложной функции:
ди ди дх , ди ду ди , ди .
-тг- = -5- -5 Ь -5— -5- = -5— COS ю + -^- Sin ф,
дг дх дг ' ду дг дх т ' ду *'
ди ди дх . ди ду ди , ди
-3- = -?- Г "И— "а^- = 3— Г Sin ф + "а- Г COS ф.
дф д* дф ' дг/ дф дх т ' дг/ т
Разрешим эти равенства относительно ~ и -^:
ди дм ди sin m дм дм . . дм cos ф ,,, « . о.
-jr- = -д- cos ф — -д -, -д— = -д— sinro +-5 — D1.112)
дх дл ^ дц> г ду дг т дф г ч '
и подставим получившиеся выражения в D1.108):
,„ f ди ди sinro\2 (ди . . ди
2 ={COSro + Sinro +
дг т дф г j ¦
[дг J + r* \dq>) •
Теперь перейдем к вычислению выражения D1.109). Продиф-
Продифференцируем формулы D1.110) сначала по х, затем по у:
дг • dm •> „ дг дф
w~rsillCfl"dl' I 0 = COS(P-^-rsmcP"aJ
дг , дф ( 1 . дг , дф
W + rcoScpW J 1=sm(P^ + /'COS(I)^r
,-, дг дф дг дда
Разрешим получившиеся системы относительно -д-, -^-, -^— и ~-;
дг дг . дф sin ф дф cos a>) ,., Пт
со8Ф 81ПФ ^=_^, -^ = -^.. D1.НЗ)
Продифференцируем теперь формулы D1.72) по х и у, тогда,
использовав D1.113), получим
д2м д I ди ди sin ф \ дг , д f ди ди sin ф \ дф
T-S- = т— -*— COS ф » — -w Ь -=— -тг— COS ф = ' -
дх% дг \дг ' дф г j дх дф \ дг ' дф
д3и 2 2 cos ф sin ф д2и , sin2 ф д2и _,
, sin2 ф ди , 2 cos ф sin ф д«
д'а д f ди . , ди cos го \ дг . д f ди . , ди cos ф \ дф
~з-г = -5— т— Sin ф + -з — Нг- +-5—I ~ Sin®+ -5 Lhr =
д$2 дг \дг т ' дф г у д(/ ' дф \ дг т ' ftp r j ду
д2м . 2 I 2 cos ф sin ф д2м . cos2 ф д2м ,
= "d72'Sln Ср~| г дТдф" г2 дф2""
, cos2 ф д« 2 cos ф sin ф ди
i - ~Qj pa ^ф~
Подставив получившиеся выражения в D1.109), будем иметь
Л д% , 1 д2и . 1 ди.
84 § 41. Неявные функции
В случае, когда в преобразуемое выражение входит не одна,
а несколько производных данного порядка, удобно применять метод
вычисления не производных, а дифференциалов. Например, считая
независимыми переменными х и у, найдем выражения для диффе-
дифференциалов dr и dф. Из формул D1.110) имеем
dx = cos ф dr — г sin ф йф, dy = sin ф dr -\- r cos ф dф,
отсюда
dr = cos <р dx-\-sin q>dy, йф =—-^JEdx + -^-^d# D1.114)
'отметим, что из этих формул также сразу получаются формулы
D1.113)).
Для функции и = и(х, у) имеем
, ди . . ди .
du = -5— wr + -»— аф =
dr ' Зф Y
"(-sin?+|"^^Uy. D1.115)
»¦ т аф г )
В выражении для дифференциала d« коэффициенты d.v и di/
являются производными ~ и -^А, поэтому из D1.115) сразу полу-
получаются обе формулы D1.112). Найдем далее вторые дифферен-
дифференциалы d2r и а2ф из D1.114):
d2r = — sin фd ф dx + cos ф dф dy =
sin2 ф dx2 — 2 cos Ф sin ф dx dy -f- cos2 ф ifi/2
2 cos ф sin ф dx2 — 2 (cos2 ф — sin2 ф) dx dy — 2 cos ф sin ф dy*
_ .
Теперь из D1.115) для d2u получим
д-и , 2 i о д-и , , , дги , » , 3« ,, , du
dr> + 2drdq + d<p*+d>r +
_ / 2 52u 2 cos ф sin ф 32« , вт2ф д2и
Отсюда и получаются выражения для вторых производных г^(
| и ^-2 как соответственно коэффициенты при dx2, 2dxdy и
Аналогичные методы применимы, конечно, и в случае, когда
производится какая-либо другая замена переменных х = х(и, v),
42.1. Понятие зависимости функций 85
y=zy(u, v), когда имеются производные высших порядков, а также
когда речь идет о функциях большего числа псфеменных.
Упражнение 22. Преобразовать выражение | Vu 2, где и = и (х, у),
к ортогональным координатам |, т), т. е. таким координатам, что
дх дх дуду _.
23. Преобразовать уравнение у"—ху'3 + еУу'3 = 0, приняв у за новую неза-
независимую переменную, а х—за функцию от у.
(Рг дЧ
24. D уравнении у^ — я7»=0 перейти к новым независимым переменным
и — х+у, v = x—y.
25. В выражении ' « [\ ~ + \ ?Й + I I"fL ?^ + fL ?У I -
1 / 1 дг , 1 dz\ ,
~~г\ ' й~"*"«^~) пеРеити к переменным и, р, а) = а»(ы, у), если и=х2,
„ . / д-w , d2w\
*=¦?' "^{жекш + д*)-
Задача 27. В n-мерном просгранстве преобразовать выражение | Хи ;2, гдг
и = и(х1 хп), к ортогональным координатам |х |я, т. е. таким коор-
координатам, что при i^k выполняется равенство
2дх/ дх/
§ 42. ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИЙ
2.1. ПОНЯТИЕ ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ
ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ
Определение 1. Пусть на открытом множестве С с: R" заданы
непрерывно дифференцируемые функции
У, = %(х), t = l, 2, .... т, х = (хъ .... xn)EEG. D2.1)
Если существуют открытое множество D в пространстве
#1^7.!., ут_х и непрерывно дифференцируемая на D функция
Ф(<Jl, ¦ • •. Уш-i). такие, что в любой точке x^G выполняются
Условия (Щ(Х) фт_х (*)) €Е Z> U Ф(ф1(х), ..., 4>m-i(x)) = (fm(x),
то функция фт называется зависимой на множестве G от функ-
функций фь .... фт-Х.
Определение 2. Если среди функций системы D2.1) есть функ-
функция, зависимая от остальных на множестве G, то эта система
называется зависимой на множестве G.
Если ни одна функция системы D2.1) не зависит от осталь-
остальных на множестве G, то эта система называется независимой
на G.
86 § 42. Зависимость функций
Иногда для краткости вместо выражения «зависимая (незави-
(независимая) система функций» будем просто говорить «зависимые (соот-
(соответственно независимые) функции».
В вопросе зависимости системы функций D2.1) фундаменталь-
фундаментальную роль играет матрица Якоби этой системы
1 = 1,2, ...,т; / = 1,2,..., л, D2.2)
I — номер строчки, / — номер столбца.
Теорема 1 (необходимое условие зависимости функций). Пусть
т^л и система функций D2.1) зависима на открытом множе-
множестве G. Тогда в любой точке этого множества ранг матрицы
Якоби D2.2) *' этой системы меньше т.
Доказательство. По условию, система функций D2.1)
зависима на G, т. е. по крайней мере одна из этих функций
зависит от остальных. Пусть для определенности фт зависит от
Фь •¦•. фт-1:
где Ф —непрерывно дифференцируемая функция от (т — 1) аргу-
аргументов уи .... ут-х. Отсюда
т-\
Эта формула показывает, что т-я строка матрицы Якоби D2.2)
в каждой точке xeG является линейной комбинацией остальных
строк этой матрицы, и, значит, ранг матрицы Якоби D2.2) меньше
т в каждой точке хеС []
Следствие 1. Пусть т — п и система функций D2.1) зависима
на G. Тогда ее якобиан ^У1 Уп\ равен нулю во всех точках мно-
° \Х1 хп>
жества G.
Следствие 2 (достаточные условия независимости функций).
Пусть т^п и пусть ранг матрицы Якоби D2.2) хоть в одной
точке открытого множества G равен т. Тогда система D2.1)
независима на множестве G.
Следствие 1 получается сразу из доказанной теоремы при
т. —п.
Следствие 2 легко доказывается от противного.
Поскольку строки матрицы Якоби D2.2) являются координа-
координатами градиентов функций D2.1), то теорему 1 можно перефрази-
перефразировать следующим образом.
*' Напомним, что рангом матрицы называется максимальное число ее
линейно независимых строк. Это число совпадает с максимальным порядком
минора этой матрицы, не равного нулю.
42.2. Достаточные условия зависимости функций 87
Если система функций D2.1) зависима в области G, то гра-
градиенты 7фь ..., ?фт этих функций линейно зависимы в каждой
точке G.
42.2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЗАВИСИМОСТИ ФУНКЦИЙ
В этом пункте сохраним обозначения предыдущего пункта и
будем, как и раньше, предполагать, что функции D2.1) непре-
непрерывно дифференцируемы на открытом множестве G a Rn.
Теорема 2 (достаточные условия зависимости функций). Пусть
ранг матрицы Якоби D2.2) системы функций D2.1) в каждой
точке открытого множества G не превышает числа г, г <.ms^n,
а в некоторой точке х{0) е G равен г, иначе говоря, существуют
такие переменные xlv ..., xjr и функцииyix = <pfl (x),..., yif = ф,г(х),
что
д(Уп У1Г) /А
d(x/v
D2.3)
Тогда все г функций, входящих в условие D2.3), независимы на
множестве G и существует окрестность точки х<-°\ такая, что
любая из оставшихся т — г функций зависит на этой окрестности
от указанных г функций.
Доказательство. Пусть для простоты записи условие
D2.3) имеет вид
д (г/ь ¦ •., Уг)
д(хъ
Ф 0 D2.4)
(этого всегда можно добиться, перенумеровав в случае необхо-
необходимости функции и аргументы системы D2.1) в нужном порядке).
Согласно следствию 2 из теоремы 1 п. 42.1., функции уъ ..., уг
независимы в G.
Покажем, что каждая из остальных зависит от них в неко-
некоторой окрестности точки х@) = (х'Г, ..., х'?'). Пусть у\0) = ф,-(х<0'),
i = 1, 2, ..., т. Рассмотрим систему первых г функций системы
D2.1):
у1 = щ{хъ ..., хп)
D2.5)
yr = yr(Xi, ..., хп).
Прежде всего выберем такое ri0, чтобы всякая точка х = (х%, ..., х„),
принадлежащая т]0-кубической окрестности точки х@), т. е. всякая
точка х, для которой |х,- — хТ' |<щ, t = l, 2, ..., п, принадле-
принадлежала множеству G : xeG. Это всегда возможно в силу его откры-
открытости.
Далее, в силу условия D2.4) и теоремы о неявных функциях
(см. п. 41.3) система D2.5) разрешима относительно переменных
§ 42. Зависимость функций
хъ .,., хг в некоторой окрестности точки (л^0), у{0)):
Х1 = /1 (Уъ ¦ ¦ ¦ , У г, Хг+Ъ • • • 1 Хп),
D2.6)
xr = fr (Уи ¦ ¦ ¦ , Уг> хг+1, • • • > Х„).
При этом функции /i, ..., fr определены и непрерывно дифферен-
дифференцируемы в некоторой окрестности точки (г/Г,..., у?', х'г\ ь ..., xf).
. Более подробно (если в качестве окрестностей брать кубиче-
кубические окрестности) это означает следующее: можно выбрать такие
числа 6 > О и т] > 0, причем для удобства взять их меньшими ц0:
8 < "По» Ц < t)oi чт0 если через f/ обозначить кубическую окрест-
окрестность точки (г/Г, ..., у'1, х'г"+и ..., х^01), задаваемую неравен-
неравенствами
\У1-У'П<Ь, « = 1, 2 г, |дс,--хП'<в, / = г+1 п,
то
1) на окрестности U функции fk, k = \, 2, ..., г определены
и непрерывно дифференцируемы;
2) Для всех точек (г/ь ..., уг, хг+ъ ..., х„)е(/ справедливы
неравенства
I fk (Уъ ¦¦¦, Уг, Хм, ¦ ¦ ¦. х„) — хТ 1 < П. ^--=1,2,...,/-;
3) на окрестности ?/ выполняются равенства
фг(/1, •••. fr, xr+1, ..., хл)==г/ь 1 = 1, 2, ..., г,
где под fk, k=\, ..., г, понимаются правые части равенств D2.6).
Рассмотрим композицию функций D2.6) и <рг+1 (х\, ..., х„),
т. е. функцию
i, .-., fr, xr+1, ..., х„), D2.7)
где /* =/а (г/ь ..., yr, Xr+i х„), k = l, ..., г. Эта сложная
функция заведомо определена и непрерывно дифференцируема
на указанной выше кубической окрестности U точки
/,.101 ..@1 „@) г(
\У\ 1 •••» Уг > хг + \, •••> Х
Покажем, что на самом деле функция D2.7) в этой окрест-
окрестности U не зависит от переменных хг+ъ ..., х„, т. е. не меняется
при их изменении, и тем самым является фактически лишь функ-
функцией переменных уи ..., уг. Для этого достаточно показать, чтр
для функции D2.7) на окрестности U выполняется равенство
%f = 0, / = г + 1, ..., п D2.8)
(см. п. 20.4 или формулу конечных приращений Лагранжа
в п. 39.2, из которой сразу следует достаточность условия D2.8)
для независимости функции от переменных хг+1, ..., х„ в выпук-
выпуклой области, а следовательно, и в кубической окрестности).
42.2. Достаточные условия зависимости функций
89
Для доказательства равенства D2.8) зафиксируем одно из }
(/ = г + 1, ..., п) и координаты xk с индексами k, принимающими
значения r-j-l, ..., j — 1, / +1, ..., ft, обозначив их через х%,
причем выберем х% так, чтобы \х% — *fe"|<S, & = r + l, ..., / — 1,
/+1, ..-, п.
Рассмотрим отображение
Hi = У и
D2.9)
yr+i = 4>r+i(fu .... //, Хг+и ..-, л;;_ь xhxf+u ..., х^),
где fl = fk(tji, ..., yr, xf+u .... jr?_i, x/, x|+I, ..., 4), куби-
кубической окрестности ?/*/) точки (yi0', ..., г/7', Х/О)), задаваемой нера-
неравенствами
\Ук-уГ\<Ь, k = l,2,...,r, }xj-xf>\<6.
Символически, чтобы подчеркнуть, какие именно переменные
меняются, изобразим отображение D2.9) в виде
(У и .... У г, *,)->-(г/ъ ••-, У г, Уг+i).
Это отображение непрерывно дифференцируемо на U{>">; его матрица
Якоби имеет вид
и потому
1
0
дуг+
д(уи ¦
<
НУъ
0
1
1дуг+г
дуг
• •> Уп
¦ ¦¦, Уп
0
0
d'/л-и dt
дуг (
Уг+l) _
хл
0
0
дх^
D2.10)
т. е. якобиан рассматриваемого отображения равен интересующей
нас производной.
На окрестности U(>"> это отображение можно представить
в виде композиции двух отображений: непрерывно дифференци-
дифференцируемого отображения
••> Х]—\, X],
Уп X'f+U ..., Xf-U Xj, Xf+U ..-
90 . § 42. Зависимость функций
окрестности UW и непрерывно дифференцируемого отображения
yi = <Pi(xu .... х„ х?+ь .... xj-u xJt 4+1 xl).
Уг = Ч>г(Х1, ..., Xr, X?+i Xj-l, X/,
Уг+l = фл+1 (*1, ¦-., Xn X?+\, ..., X*-i, Xj, X*+i Xl)
окрестности точки (хТ, ..., xr0), x'j"), задаваемой неравенствами
{Ь-хГКч, f = l, 2, ...,/-, \Х/-х?Ч<8.
В силу выбора чисел бит] композиция этих отображений,
которую для наглядности можно символически изобразить в виде
(Уъ ¦•-, У г, Xj)-^(Xi, ..., Xr, Xj)-*~(ylt ..., у r, yr+1),
определена и непрерывно дифференцируема на окрестности
Первое из этих отображений непрерывно дифференцируемо
в окрестности ?/(/) точки (у\0>, ..., y'r0', x'f), а второе непрерывно
дифференцируемо в соответствующей окрестности точки (х'{", ...
..., хг°\ xf). Поэтому из D2.10) и из свойств якобианов отобра-
отображений (см. п. 41.7) имеем
dyr+i _д(у1 у п уг+1) _д(ух у г, yr+i)d(xlt ..., хп xj) /49 1П
дх/ д(уи .... уп х/) д(хъ ..., xr, Xj) д{у^ уп xj) к ¦" '
В силу условия теоремы ранг матрицы Якоби на множестве G
меньше или равен г, следовательно,
д(уъ ¦¦¦, у г, г/л+i) = 0
<Э(*1 xr, xj)
всюду на G. Поэтому из D2.11) сразу следует, что для любой
точки (уъ ..., уг, Xj) eUW и, следовательно, для любой точки
{Уи •••) Уг> х*+\, ..., х*—\, Xj
справедливо равенство D2.8). Поскольку координаты х% были
фиксированы произвольным образом, лишь бы | х% — x'g' \ < б;
k = r-\-\, ..., /—1, /+1, ¦••, п, то это означает, что равенство
D2.8) справедливо на всей окрестности U.
Таким образом, функция D2.7) зависит только от переменных
Ух, ..., уг- Обозначив ее символом Ф, получим
qv+i(/i. •••. fr, Xr+i, •••, хп) = Ф{уъ .... yr).
Выберем теперь так б0, 60<6 я 80<г\, чтобы при \xi—x\m\<.
< б0, i = l, 2, ..., п, выполнялись бы неравенства
\У1-УГ\<8, /=1,2 г.
Это возможно в силу непрерывности функций г/, = фу {хъ ..., хп),
/=1, 2, ..., г, системы D2.5) в точке х<-°К
42.2. Достаточные условия зависимости функций 91
В силу доказанного для любой точки х 60-кубической окрест-
окрестности точки х@), т. е. для любой такой точки х = {хи ..., х„), что
|*i —*J0)|<80l t = l, 2, .... п,
будет справедливо тождество
фг+1 (X) = Ф (ф! (X), . . . , ф, (X)),
т. е. в указанной окрестности точки а'@) функции <plf ..., ц>г, фг+1
зависимы.
Аналогично доказывается и зависимость каждой из функций
ф*+г. •••. Фт от ф1, ..., фг в некоторой окрестности точки х{°К ?
Аналогично необходимому условию зависимости функций доста-
достаточные условия также можно сформулировать в терминах гра-
градиентов. Для простоты ограничимся случаем r — m — l.
Если градиенты Уфь ..., Уфт линейно зависимы во всех точ-
точках области G, то какова бы ни была точка xeG, в которой
т — \ из указанных градиентоз линейно независимы, существует
ее окрестность, в которой функции фь ..., фт зависимы. При
этом, если, например, градиенты Уфь ..., Уфт_х линейно неза-
независимы в рассматриваемой точке, и, следовательно, градиент Vq>m
в этой точке является их линейной комбинацией, то в указанной
окрестности функция ц>т зависит от функций фЬ ..., фт-1.
Следует обратить внимание на то, что достаточные условия
зависимости функций, установленные в этом пункте, имеют локаль-
локальный характер в отличие от результатов предшествующего пункта,
имеющих глобальный характер. Это означает следующее: если
система т непрерывно дифференцируемых функций D2.1) зави-
зависима на открытом множестве G с R", то согласно теореме I
п, .42.1 в каждой точке этого множества ранг матрицы Якоби
этой системы меньше т (соответственно если хотя бы в одной
точке множества G ранг рассматриваемой матрицы равен т, то
система независима на всем множестве G). Что же касается
теоремы 2 настоящего пункта, то она утверждает лишь, что если
в какой-то точке x<0) e G выполняются условия этой теоремы,
то только на некоторой окрестности этой точки (а не на
всем множестве G) данная система функций является зависимой
системой. Таким образом, действительно, утверждение теоремы 2
имеет локальный характер.
Добавим еще, что если в каждой точке х{0) открытого мно-
множества G выполняются условия теоремы 2, то, конечно, в этом
случае в некоторой окрестности каждой тючки рассматриваемая
система функций будет зависимой. Однако теорема 2 не гаран-
гарантирует, что эта зависимость будет одной и той же во всех ука-
указанных окрестностях, т. е. из теоремы 2 не следует, что в разных
точках одни и те же функции будут зависимыми от других и
что функции Ф, «осуществляющие» зависимости одних и тех же
функций, рассматриваемых на разных окрестностях, будут совпа-
92 § 43. Условный экстремум
дать в точках пересечения этих окрестностей. Следовательно,
из теоремы 2 не следует, что система функций, удовлетворяющая
условиям этой теоремы во всех точках х'^ множества G, будет
зависимой на всем множестве G в целом, в едином смысле, т. е.
в смысле определения 1. Это и означает, что теорема 2 не имеет
глобального характера.
Заметим, что существует несколько более общий подход к поня-
понятию зависимости функций, позволяющий построить глобальную
теорию этого вопроса, однако мы не будем на этом останавливаться.
Пример. Рассмотрим систему функций
и = sin {x-\- у),
а = cos (* + #). D2.12)
Якобиан этой системы равен нулю на всей плоскости
и, как легко видеть, ранг матрицы Якоби этой системы равен
единице во всех точках плоскости.
Согласно теореме 2, функции D2.12) зависимы в окрестности
каждой точки плоскости. В данном случае зависимость функций
легко находится в явном виде, например на открытом множестве
точек (х, у), для которых cos (*+#);> 0, она может быть задана
формулой v — У\ — и2.
Упражнения 1. Пусть и==х1-\-уг-\-гг, v = xy-\-yz-\-zx, w=x-\-y-\-z.
Доказать, что функции и, и, ш зависимы и найти уравнение, выражающее их
зависимость.
2. Исследовать вопрос о зависимости функций и = |3+т|3+$3, w = grj?r
Задача 28. Функция и = и (х, у) называется гармонической в плоской
области, если во всех точках этой области она удовлетворяет уравнению
Ди = 0 (см. D1.109)). Доказать, что две гармонические функции зависимы
в плоской области тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.
§ 43. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
43.1. ПОНЯТИЕ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
Пусть на открытом множестве G с R" заданы функции
yt=fi(x), i = l, 2 m, D3.1)
x = (xlt ..., xn)^G. Обозначим через Е множество точек хеб|
в которых все функции /,-, t = l, 2, :.., пг, обращаются в ноль:
E = {x:ft{x) = 0, i = l, .... m, x^G\. D3.2)
Уравнения
/,(*) = 0, t=l, 2, .... m, D3.3)
будем называть уравнениями связи.
43.1. Понятие условного экстремума
93
Определение 1. Пусть на G задана функция y — fo{x). Точка
х[0) е? называется точкой условного экстремума*^ функции fo(x)
относительно (или при выполнении) уравнений связи D3.3), если
она является точкой обычного экстремума этой функции, рас-
рассматриваемой только на множестве Е (см. п. 40.1).
Иначе говоря, здесь значение функции fo(x) в точке х<°>
сравнивается не со всеми ее значениями в достаточно малой
окрестности этой точки, а только со значениями в точках, при-
принадлежащих одновременно указанной достаточно малой окрест-
окрестности и множеству Е. Как и в случае обычных экстремумов,
можно, естественно, рассматри-
рассматривать точки просто условного
экстремума и точки строго ус-
условного экстремума.
Примеры. 1. Рассмотрим
функцию
f(x, y) = x* + t/ D3.4)
D3.5)
и уравнение связи
х + у-\=0.
Найдем условный экстремум
функции D3.4) при выполнении
уравнения связи D3.5). Из
D3.5) имеем у=\—х, откуда
f(x, 1-х) = 2*2
Рис- 157
Таким образом, при выполнении условия связи функция D3.4)
является функцией одного переменного. Ее экстремум находится
элементарно: приравнивая нулю ее производную (необходимое
условие экстремума), получим 2х— 1=0, откуда х — у."В этой
точке рассматриваемая функция, очевидно, имеет минимум (она
является многочленом второй степени с положительным коэффи-
коэффициентом при старшем члене). Значению х = -^, согласно уравне-
уравнению связи D3.5); соответствует у = -^.
1 Следовательно, в точке A/2, 1/2) функция D3.4) достигает
минимума относительно уравнения связи D3.5). Геометрически
это означает, что точка параболоида z = x2-{-y2, проектирующаяся
в точку A/2, 1/2), является самой низкой из всех его точек,
лежащих над прямой D3.5) (рис. 157). Этот пример показывает,
что точка, в которой функция достигает условного экстремума,
не является, вообще говоря, точкой экстремума этой функции.
*' Принят также термин «относительный экстремум».
94
§ 43. Условный экстремум
2. Рассмотрим функцию / (х, у)~у2~х2 и уравнение связи
у = 2х.
Имеем f{x, 2х) — 3хг, т. е. при выполнении уравнений связи
рассматриваемая функция также является функцией одного пере-
переменного и, очевидно, достигает минимума при х = 0 (рис. 158).
Значению х = 0, согласно уравнению связи, соответствует значе-
значение у = О, а поэтому функция / (х, у) = у% — х2 имеет в точке @, 0)
условный минимум относительно уравнения связи у = 2х.
Рис, 158
Следует заметить, что в этом случае сама функция f(x, у)
не имеет ни максимума, ни минимума ни в какой точке плоско-
плоскости. Таким образом, рассмотренный пример показывает, что
функция может не иметь экстремума, но при определенных
уравнениях связи может иметь условный экстремум.
В дальнейшем будем предполагать, что
1) все функции /о, /ъ .... fm непрерывно дифференцируемы
в открытом множестве G;
2) в рассматриваемой точке х(°\ векторы V/lt ..., V/m линейна
независимы, т. е. ранг матрицы Якоби
яг: , / = 1, 2 т, 1 = \, 2, .... п,
равен т —числу ее строк (строки матрицы Якоби являются
компонентами градиентов V/x, ..., V/m).
Согласно результатам предыдущего параграфа это означает,
что функции системы D3.1) независимы в некоторой окрестности
точки xw. Поскольку в и-мерном пространстве не может быть
43.1. Понятие условного экстремума 95
Дольше чем п линейно независимых векторов и ранг матрицы
не может быть больше числа столбцов, то из условия 2) следует,
что пг^п.
Согласно условию 2) в точке х{0) хотя бы один из определи-
определителей вида
d(h, .... U
¦¦•- *im)
отличен от нуля. Пусть для определенности в точке
dgi. ¦••> U _^0- D3.6)
Тогда;, в силу теоремы о неявных функциях (см. п. 41.3), систему
уравнений D3.3) в некоторой окрестности точки хш — (х'Г,..., х'п')
можно разрешить относительно переменных хи ..., х,„:
Х\ = ф1 (-^яг+1) • • • ) Хп)
D3.7)
Хт = фт \%т+1г • • • » Хп).
Подставив значения хь ..., хт, даваемые формулами D3.7)
в y = fo(x), т. е. рассмотрев композицию функции /0 и фь ..., ц>т
получим функцию
li—ftmtv v \ гп (v г ^ v Y \^{
У — /О \Ч>1 \лт±Ъ • • • » Лл/> • • •) 4>т \лт+Ъ • • • > Лл/> Лт+Ъ • • ¦ i лп)
-gix^i xn) D3.8)
от п — т переменных xm+i, ..., хп, определенную и непрерывно
дифференцируемую в некоторой окрестности точки Зс"" = (;$}+ь ...
..., х'п') в (п — т)-мерном пространстве R,n-m.
Поскольку, согласно теореме о неявных функциях, условия
D3.3) и D3.7) равносильны, то справедливо следующее утверж-
утверждение.
Точка х@> является точкой (строгого) условного экстремума
для функции /о (х) относительно уравнений связи D3.3) в том
и только в том случае, когда лН0) является точкой обычного
(строгого) экстремума функции D3.8).
Если х@) — точка обычного экстремума функции g, то она
является стационарной точкой этой функции (см. п. 40.1):
°>) = 0. D3.9)
Напомним, что дифференциал— линейная однородная функция
и его равенство нулю означает равенство нулю этой функции
при любых значениях ее аргументов, в данном случае — при
любых dxm+1, dxm+2, ..., dxR. Это возможно, очевидно, в том
и только в том случае, когда все коэффициенты при этих аргу-
аргументах, т. е. производные -^—, k = l, 2 п — т обращаются
9ft § 43. Условный экстремум
в ноль в точке xl0\ Условие D3.9) необходимо для условного
экстремума в точке л-@).
Таким образом, метод, основанный на решении системы урав-
уравнений D3.3), позволяет свести вопрос о нахождении условного
экстремума к уже изученному вопросу об обычном экстремуме.
Именно таким образом мы и поступали в рассмотренных выше
примерах. Однако выразить решение системы D3.3) через эле-
элементарные функции часто невозможно или весьма затруднительно;
поэтому желательно располагать методом, позволяющим найти
условный экстремум не решая системы D3.3). Такой способ изло-
изложен ниже.
43.2. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ
ТОЧЕК УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
В этом пункте будет предполагаться, что все функции /0,
fi, .... fm непрерывно дифференцируемы в открытом множестве G:
Теорема 1. Пусть х^0) — точка условного экстремума функции
/о при выполнении уравнений связи D3.3). Тогда в этой точке
градиенты V/o, V/b ..., V/m линейно зависимы, т. е. существуют
такие, не все равные нулю, числа Ко, К, • ¦ •, hm, что
/m = 0. D3.10)
Следствие. Если в точке х^ условного экстремума функции
/о относительно уравнений связи D3.3) градиенты V/lt ..., V/m
линейно независимы, т. е. ранг матрицы
(§?), /=1, 2, .... т, *=1, 2, ..., п,
равен т, то существуют такие Яь ..., Хт, что в этой точке
т
Vo+ 2^ = 0, D3.11)
/=i
т. е: Vf0 является линейной комбинацией градиентов V/b .... Vfm.
В координатной форме это условие имеет вид: для любого
t=l, 2, ..., п в точке х{0>
1/ш=0- D3Л2>
Функция
f W-/oM+ S V/W, D3.13)
где числа ku ¦•-, ^m удовлетворяют условию D3.12), называете»
функцией Лагранжа рассматриваемой задачи, а сами числа
^¦ь • • •» ^т — множителями Лагранжа.
43.2. Метод множителей Лагранжа 97
Условие D3.12) означает, что если х<-0) является точкой
условного экстремума функции /0 относительно уравнений связи
D3.3), то она является стационарной точкой для функции Лаг-
Лагранжа, т. е.
^ = 0, *=1, 2, ...,„. D3.14)
Прежде чем доказать теорему, разъясним се смысл и покажем,
как ее использовать для нахождения точек условного экстремума.
Прежде всего обратим внимание на то, что у функции вида
D3.13) при произвольных числах Аь ..., Ят, каждая точка ее
условного экстремума является и точкой условного экстремума
исходной функции /о, и наоборот. Мы выбираем такие значения
Я,ь .... Я„, чтобы выполнялись условия D3.12)^ т. е. чтобы дан-
данная точка условного экстремума оказалась и стационарной точкой
функции D3.11).
Для отыскания точек условного экстремума следует рассмот-
рассмотреть систему п + т уравнений D3.3) и D3.10) относительно
неизвестных х\0>, .... х'п', К, .... hm и решить ее (если это ока-
окажется возможным), найдя x'i\ .... х'п и по возможности исключив
^•1. • • ¦. Kt- Сформулированная теорема утверждает, что все точки
условного экстремума будут находиться среди найденных таким
образом точек (xf, • ¦-, *«'). Вопрос о том, какие же из них
фактически будут точками условного экстремума, требует допол-
дополнительного исследования; соображения об этом будут высказаны
в пункте 43.5 *.
Доказательство теоремы. Докажем утверждение, равно-
равносильное теореме: если в точке х10' == (х'?', ..., х'п), удовлетво-
удовлетворяющей уравнениям связи
= 0, k=l, 2, ..., m, D3.15)
градиенты-V/o, V/b ..., V/m линейно независимы, то ^@) не явля-
является точкой условного экстремума.
Итак, пусть V/o, V/b ..., V/m линейно независимы и, следо-
следовательно, ранг матрицы Якоби Ь?1, / = 0, 1, ..., m, i— 1, 2, ...
..., п, равен т+1. Тогда в этой матрице существует минор
порядка т + 1 не равный нулю. Для определенности будем
считать, что он образован первыми т+1 столбцами, т. е.
/(fc- h f™\\ фО. D3.16)
д{хъх2 *m+i) !*=*;(» ^
Множество G — открыто, а поэтому существует такое 60 > 0,
что при всех б, 0<6<60, куб
<Я = {х:\ь-х1т\<6, 1=1, 2, .... п}
лежит в G и, следовательно, на нем определены все функции
/с. /ъ • • •, fm-
4 Кудрявцев Л. Д. т. 2
да
§ 43. Условный экстремум
Зафиксируем
2, ..., *« = *«' и введем обозначения
% , i=l, 2, ..., т+Ц.
Очевидно, функции /у-{хъ ..., хт+и -С+ 2,..., х%'), j = О, 1,..., т,
определены и непрерывно дифференцируемы всюду в Q%+1- Рас-
Рассмотрим отображение OiQ^^-1 ->~Rm+1, задаваемое формулами
, •¦•» Xп )
Ут+1 — /m4-l \xl>
В силу D3.16) для точки
д (Уи ¦¦¦, Ут+l)
-f 2>
D3.17)
= (x(f, ..., хй+i) имеем
Um*i
а в силу D3.15) <3>(x*W) = (h(xW), 0, ..., О). Поэтому (см. тео-
теорему 7 в п. 41.8 о локальной обратимости непрерывно диффе-
дифференцируемого отображе-
отображения в точке, в которой
его якобиан не равен
нулю) существует такое
е >0, что на окрестности
Рис. 159
(рис. 159) определено
обратное к Ф отображе-
отображение, и, следовательно,
в любую точку этой ок-
окрестности отображается
какая-то точка из Q^+'.
В частности, пос-
поскольку при любом т),
0<т]<е, имеет место
+l
]
включение (f(xW)±i\, 0, .... 0)eV, то в кубе Qf+l найдутся
точки х'* = {х'и ..., х'т+1) и х"* = (х,...,х"т+1), отображающиеся
при отображении Ф в указанные точки окрестности V:
Ф(*'*) = №0)) + П, 0, .... 0), Ф(*"*) = (/(*@))—П. 0, .... 0).
Е ' (' ' C f?>)
() №) + П, , . ), () (/(*)П. 0, ....
Если положим для краткости х' = (х'и .... х'т+1, jC+2, ...,
И x" (Xi X' + i x'm+2, ..., X™), ТО В КООрДИНЭТНОЙ ЗЭПИСИ
И x" —
43.3*. Геометрическая интерпретация метода Лагранжа 99
(см. D3.17)) получим
/*(*') = О, k = \, 2 m, x'eQe*
h(x") = 0, ft=l, 2, ..., m,
В силу произвольности 6>0, 0<б<б0, это и означает, что
не является точкой условного экстремума. Ц
Доказательство следствия. Если векторы V/lt..., V/m
линейно независимы, то в равенстве D3.10) имеем Х0ф0, так
как в случае А0 = 0 указанные векторы в силу D3.10) оказались
бы линейно зависимыми. Разделив обе части D3.10) на Я-о, полу-
получим равенство вида D3.11). Q
43.3*. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА ЛАГРАНЖА
Дадим теперь некоторые геометрические пояснения к тео-
теореме 1. Рассмотрим для простоты случай условного экстремума
функции двух переменных z — f(x, у) при выполнении уравнения
связи ф (х, у) = 0.
Пусть функции / и ф непрерывно дифференцируемы в окрест-
ности точки (хо,уо), ^(xo,yo){d^^^)
ф (хо, Уо) = 0- В силу условия Уф (х0, у0) Ф 0, согласно теореме
о неявных функциях, уравнение <р(х, #) = 0 в окрестности точки
(лг0, у о) задает некоторую гладкую кривую, обладающую явным
представлением либо вида у = у(х), либо вида х = х(у). Поскольку
нас интересуют только достаточно близкие к (х0, Уо) точки, то
указанную кривую будем называть просто кривой ф (х, у) — 0
(т. е. попросту говоря, всюду в дальнейшем будем рассматривать
сужение функции f и ф на указанную окрестность точки (х0, у0)).
Градиент ?ф (х0, у0) является нормалью к кривой ф (х, у) — 0
в>точке (х0, уо) (п. 20.6). Обозначим через т единичный касатель-
касательный вектор к кривой ц>(х,~у) в точке (х0, у0). Пусть для опреде-
определенности рассматриваемая кривая задается уравнением у — у(х).
Если (х0, уо) — точка условного экстремума, то х0 является точ-
точкой?'обычного экстремума для функции g(x)^=f(x, g(x)) (см.
п. 43.1) и поэтому g'(x) = 0, т. е. производная функции / в точке
(*о. Уо) в направлении кривой ф (х, у) — 0, или, что то же (см.
п. 20.7), в направлени и вектора т, равна нулю,
^ Уо), т).^
4*
100 § 43. Условный экстремум
Это означает ортогональность градиента V/(х0, у0) и касательного
вектора т, что равносильно коллинеарности векторов V/(x0, у0)
и Vcp(x0, УоУ-
т. е. выполняется условие D3.11). Выполнение этого условия
в точке условного экстремума можно пояснить и другим путем.
Пусть f(x0, уо)^с. Если в точке (х0, у0) не выполняется усло-
условие D3.11), т. е. градиенты V/ и Vcp не коллинеарны, то это
означает, что в этой точке V/^О и линия уровня f(x, y) = c и
кривая ф (х, у) = 0 в этой точке пересекаются под некоторым углом
d, отличным от 0 и я (рис. 160). Поэтому в любой достаточно малой
окрестности точки (х0, у0) часть кривой у(х, у) = 0 окажется
расположенной в области f<.c (в «области меньших значений»),
а часть —в области />с (в «области больших значений»). Это
означает, что в точке (х0, у0) нет рассматриваемого условного
экстремума.
Рис. 160 Рис. 161 Рис. 162
В случае же, когда векторы V/ и Vq> коллинеарны, ?/ ф
часть кривой (f(x, y) = 0 может принадлежать некоторой окрест-
окрестности точки (х0, у0), целиком лежащей в области меньших зна-
значений /<с (рис. 161) или в области больших значений f>c.
В этом случае в точке (х<,, у0) достигается условный экстремум.
Однако в случае коллинеарности векторов V/ и Уф кривая
Ф (х, у) = 0 также может оказаться расположенной в любой до-
достаточно малой окрестности точки (х0, у0) частично в области
меньших, а частично в области больших значений функции /
(рис. 162) —тогда в точке (х0, у0) снова-не будет условного экст-.
ремума. Подобная ситуация возникает, например, когда кривые
f(x, у) —с и ф(х, г/) = 0 имеют в точке (х№, у0) общую касатель-
касательную, причем кривая f(x, у) —с расположена в достаточно малой
окрестности точки (х0, у0) по одну сторону от этой касательной,
а кривая ф (х, у) = 0 имеет в этой точке перегиб, переходя
с одной стороны касательной на другую.
Сказанное" поясняет то обстоятельство, что D3.10) является
необходимым, но не достаточным условием для
условного экстремума.
Приведенные геометрические рассмотрения вопроса об услов-
условном экстремуме распространяются и на многомерный случай.
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 101
43.4*. СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА
В этом пункте будет дано описание стационарных точек функ-
функции Лагранжа D3.13) посредством функции g(xn+1, ..., х„), вве-
введенной в п. 43.1 (см. D3.8)). Предварительно докажем одну про-
простую лемму из линейной алгебры.
Пусть задана система линейных однородных уравнений
t=l, 2, ..., m, D3.18)
и еще одно линейное однородное уравнение
п = 0. D3.19)
Систему уравнений, получаемую присоединением к системе D3.18)
уравнения D3.19), будем называть расширенной системой D3.18) —
D3.19).
Лемма. Для того чтобы расширенная система D3.18)—D3.19)
была равносильна основной системе D3.18) необходимо и доста-
достаточно, чтобы уравнение D3.19) являлось линейной комбинацией
уравнений системы D3.18).
Следствие. Для того чтобы уравнение D3.19) было линейной
комбинацией уравнений D3.18) или, что то же, чтобы вектор
ЬЩЪЪ .... Ъп) D3.20)
был линейной комбинацией векторов
ъЩаа, .... Of»), f=l, 2, .... m, D3.21)
необходимо и достаточно, чтобы каждое решение системы D3.18)
являлось решением уравнения D3.19).
Доказательство леммы. Пусть ранг матрицы (а;/) коэф-
коэффициентов системы D3.18) равен т0. Очевидно, что то^т. Если
то-<.т, то т — т0 уравнений системы D3.18) являются линей-
линейными комбинациями остальных. Отбросив те т — т0 линейные
уравнения, которые являются линейными комбинациями остав-
оставшихся, получим систему из т0 линейно независимых уравнений,
равносильную системе D3.18), причем уравнение D3.19) является
линейной комбинацией уравнений системы D3.18) тогда и только
тогда, когда оно является линейной комбинацией указанной си-
системы из оставшихся т0 уравнений. Поэтому будем с самого
начала считать, что т = т0, т. е. что ранг матрицы (atj) коэффи-
коэффициентов системы D3.18) равен т—числу уравнений этой системы.
Пусть системы D3.18) и D3.18)—D3.19) равносильны. Это
означает, что пространства их решений совпадают. Поскольку
все уравнения основной системы D3.18) входят в расширенную
систему D3.18)—D3.19), то каждое решение расширенной системы
является и решением основной системы, т, е. пространство решений
расширенной системы содержится в пространстве решений основ-
102 § 43. Условный экстремум
ной системы. Следовательно, совпадение этих пространств равно-
равносильно равенству их размерностей.
Размерность s пространства решений системы линейных одно-
однородных уравнений равна, как известно, числу неизвестных п
этой системы, из которого вычтен ранг г матрицы коэффициен-
коэффициентов системы: s = n — r. Отсюда следует, что равносильность систем
D3.18) и D3.18)—D3.19) означает равенство рангов их матриц.
Ранг матрицы коэффициентов системы D3.18) по условию равен т,
т. е. векторы D3.21) линейно независимы.
Ранг матрицы коэффициентов расширенной системы D3.18)—
D3.19) согласно сказанному в наших условиях также равен т.
Поэтому векторы (см. D3.20) и D3.21))
Ь, аъ ..., ат D3.22)
линейно зависимы. А это означает, что Ь является линейной
комбинацией векторов аъ ..., ат.
В самом деле, линейная зависимость векторов D3.22) озна-
означает, что существуют такие числа цо> Mi» •••» Иди не все равные
нулю, что
= O. D3.23)
Здесь заведомо [х0ф0, так как в противном случае векторы аг,...
..., ат оказались бы линейно зависимыми. Поделив равенство
D3.23) на цо, получим, что Ъ является линейной комбинацией
векторов аи ..., ат.
Обратно, если Ъ является линейной комбинацией векторов
D3.21), то в системах векторов D3.21) и D3.22) имеется в точ-
точности по т линейно независимых векторов, т. е. ранги матриц
«оэффициентов систем уравнений D3.18) и D3.18)—D3.19) равны.
Итак, условие, что вектор Ь является линейной комбинацией
векторов D3.21):
эквивалентно равенству рангов матриц коэффициентов рассматри-
рассматриваемых основной и расширенной системы уравнений, а следова-
следовательно, эквивалентно их равносильности. Ц
Утверждение следствия сразу следует из леммы, поскольку
системы D3.18) и D3.18)—D3.19) очевидно равносильны тогда и
только тогда, когда каждое решение системы D3.18) является и
решением уравнения D3.19) —остальные уравнения этих систем
просто совпадают. Ц : ,
Замечание 1. Доказанная лемма и ее следствия имеют
простую геометрическую интерпретацию в n-мерном евклидо-
евклидовом векторном пространстве R", т. е. в я-мерном пространстве
со скалярным произведением. Используя обозначение скалярного
произведения, систему D3.18) можно записать в виде
(а,, *) = 0, 1 = 1, 2, .... т, D3.24)
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 103
а уравнение D3.19) в виде
ф, х) = 0, D3.25)
где векторы аи ..., ап и Ь определены в D3.20) и D3.21), &х =
=: \Х\, . . . , Хп)-
Множество всевозможных линейных комбинаций векторов аъ ...
..., am образует подпространство пространства Rn и называется
подпространством, натянутым на эти векторы. Обозначим его
через %(alt .... ат).
Множество решений системы D3.24) состоит из всех векто-
векторов х, ортогональных подпространству X(аъ ..., ат). Обозначим
это множество решений через Т. Оно также является подпро-
подпространством пространства Rn.
_ Подпространства L^=^(au ..., ат) и Т называются ортогог
нальными дополнениями друг другу в пространстве Rn. .
Поскольку L = X{ax, ..., ат), то представимость вектора b
в виде линейной комбинации векторов аь ..., ат равносильна
его принадлежности подпространству L пространства Rn: b <= L.
Это условие, в свою очередь, равносильно ортогональности век-
вектора Ъ подпространству Т: bJ_T, которая означает, что для
всех х е Т имеет место равенство (Ь, х) — 0, т. е. что любое ре-
решение х системы D3.24) является решением уравнения D3.25).
Это и является утверждением следствия леммы.
Замечание 2. Напомним метод, которым можно получить'
все решения однородной системы линейных уравнений. Пусть
система D3.18) состоит из линейно независимых уравнений. Тогда
ранг матрицы его коэффициентов равен т. Это означает, что
существует минор этой матрицы порядка т, не равный нулю.
Пусть для определенности
пи -aim =?0. D3.26)
**/wl • • • ^tntn
В этом случае все решения системы D3.18) можно получить, за-
задавая произвольно последние п — т координаты вектора (х%, ...
..;, хп)- Остальные координаты однозначно находятся из системы
уравнений D3.18). В самом деле, возьмем произвольное решение
(*i°'> .... *я0)) системы D3.18). После подстановки xm+1 = .C+i, ••••
..., хп = х'п' в D3.18) получится система из т линейных уравне-
уравнений (с т неизвестными хъ ..., хт), матрица коэффициентов кото-
р'йи в силу условия D3.26) невырожденная. Поэтому существуют
единственные значения Х\,..., хт, удовлетворяющие получившейся
системе. Поскольку (х?\ ..., х'п) также было решением системы
ytO.iOJy IО Ai = X\ , ..., Хт — Xfji .
Перейдем теперь к анализу стационарных точек функции
Лагранжа.
1Q4 § 43. Условный экстремум
Теорема 2. Пусть функции f0, /ь ..., fm непрерывно диффе-
дифференцируемы в области G cz Rn, ->cl0)eG,
М*@)) = 0, i=l,2, .... m,
ы ра«г матрицы Якоби функций /х, ..., /,„ в точке х@) рявен аи.
Для того чтобы в точке xw = (xi0>, ..., -С1) градиент V/o яв-
являлся линейной комбинацией градиентов V/lt ..., V/m необходимо
и достаточно, чтобы точка х{0) = (x'm+i, ..., Лл1) бьаа стацио-
стационарной точкой для функции g(x) — g(xm+i, ..., хп) (см. D3.8)).
Напомним, что если в точке х@) градиент V/o является линей-
линейной комбинацией
V/o = X1V/1 + ... + AOTV/m, D3.27)
градиентов V/x, ..., V/m, то это равносильно тому, что сущест-
существует функция Лагранжа
F = /o-*i/i-...-W*. D3-28)
для которой точка х@^ является стационарной:
^ = °> '=1.2,...,». D3.29)
Это просто координатная запись условия D3.27), ибо в силу
D3.28)
дР _<% . dfx а д]т .
Доказательство. По условию ранг матрицы Якоби си-
системы функций fi, ..., fm в точке х{0) равен т. Будем считать
для определенности, как и в п. 43.1, что
h, .... fm)
д{хи .... хт)
D3.30)
Подставим в уравнение связи D3.3) функции D3.7), являющиеся
решением этих уравнений, и продифференцируем получившиеся
относительно переменных лгт+ь ..., х„ тождества. Получим для
точки jc@' равенства d/,-(х<°>) = 0, i=l, 2, ..., т, справедливые
для любых приращений dxm+1, ..., dxn независимых переменных
хтц, ..., хп (напомним, что дифференциал является линейной
функцией, определенной на всем пространстве). Использовав,ин-
Использовав,инвариантность формы первого дифференциала относительно выбора
переменных, получим, что в точке х@) выполняются равенства
^ .+§-dxm + -^-dxm+l + ...+g-dxn^O, D3.31)
oxm ¦ oxm?l ох„
i=i, 2 , m,
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 105
где dxm+i, ..., dxn произвольны, a dxlt ..., dxm находятся из
формул D3.7). Таким образом вектор
.... dxm, dxm^, ..., dxn) D3.32)
m
является решением линейной однородной системы D3.31).
Отметим, что в силу условия D3.30) значения dxu ..., dx,
при заданных dxm+u ..., dxn однозначно находятся и из системы
D3.31). Из замечания 2 следует также, что указанным способом
получаются все решения системы D3.31).
Стационарность точки х*0) для функции g(x)=g(xm+u ..., хп)
означает, что dg(xlo>) = 0. Это равенство, в силу инвариантности
формы первого дифференциала, можно более подробно записать
в виде
Ц±dXl + ... + $-dxm + -j$s-dxm,x +... + g-dxn = 0, D3.33)
axL axm oxmi ox
m
где dxm+i, ..., dxn можно задавать произвольно, a dxu ..., dx
следует находить из формул D3.7) или, что дает тот же резуль-
результат, из формул D3.31). Иначе говоря, любое решение системы
уравнений D3.31) является и решением уравнения D3.33). Со-
Согласно следствию из леммы это возможно тогда и только тогда,
когда уравнение D3.33) является линейной комбинацией уравне-
уравнений системы D3.31), т. е. когда существуют такие числа Яь...
..., Хт, что
f fm. ?
Замечание 3. Согласно замечанию 2 совокупность всех
решений системы уравнений D3.31) образует подпространство Т
пространства Rn, являющееся ортогональным дополнением к под-
подпространству L — X (V/b ..., V/m). Любой вектор уеГ ортог о-
нален каждому градиенту V/,-, а поэтому его естественно назвать
касательным вектором в точке х@} к гиперповерхности /,-(л;) = 0,
являющейся множеством уровня (см. § 19) функции /,-, /=1, ...
..., т.
Таким образом, пространство решений Т системы D3.31),
состоит из векторов, касательных одновременно ко всем гипер-
гиперповерхностям /((х) = 0, i=\, ..., m, и потому его называют ка-
касательным пространством пересечения всех гиперповерхностей
/;(х) — 0, i = l, 2, ..., ш. Напомним, что векторы касательного
пространства Т, т. е. решения системы D3.31), были обозначены
через dx (см. D3.32)).
Поскольку в точке условного экстремума согласно теореме 2
имеет место включение
то
106 § 43. Условный экстремум
Иначе говоря, градиент V/o одновременно ортогонален всем каса-
касательным dx к гиперповерхностям /,(л:) = 0, t = l, 2, ..., m:
(А/о, dx) = 0
(это другая запись уравнения D3.33)), т. е. градиент V/o перпен-
перпендикулярен касательному пространству Т в точке х@\ Но мно-
множество всех векторов, ортогональных к Yfo> образует (я —1)-
мерное подпространство То, называемое касательным пространством
к гиперповерхности fo(x) = f0(x(°'>). В силу сказанного выше*
каждый вектор из Т, будучи ортогонален градиенту V/o, принад-
принадлежит к То, т. е. Тс То.
Итак, если х{0~> — точка условного экстремума, то Т с То, т. е.
касательное пространство в точке xw пересечения всех гиперпо*
верхностей, задаваемых уравнениями связи, содержится в касатель-
касательном пространстве в той же точке гиперповерхности /0 (x) = f0 (л:@)).
Замечание 4. Из теоремы 2 еще раз вытекает следствие
теоремы 1. В самом деле, если я@) является точкой условного
экстремума, то ?("' является точкой обычного экстремума для
функции g (см. п. 43.1) и, следовательно, ее стационарной точ-
точкой. Поэтому согласно теореме 2 точка л:@> является стационар-
стационарной точкой для функции Лагранжа, т. е. выполняется усло-
условие D3.29).
43.5*. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ТОЧЕК УСЛОВНОГО
ЭКСТРЕМУМА
В этом пункте также будем предполагать выполненными все
предположения, наложенные на функции /0 и Д, { = 1, 2, ..., т,>
в п. 43.1. Пусть
— функция Лагранжа (см. D3.13)) для функции f0 и уравнений
связи D3.3). Пусть д;@) е G удовлетворяет уравнениям связи
D3.3) и является стационарной точкой функции Лагранжа, т. е.
точкой, координаты которой удовлетворяют системе уравнений
D3.12) и D3.3). Нашей целью является получение метода,
с помощью которого можно установить условия, достаточные для
того, чтобы xw являлась точкой условного экстремума рассмат-
рассматриваемой задачи.
Заметим прежде всего, что если точка )(eG удовлетворяет
уравнениям связи D3.3), то
Л/ = / (ж) - / («(»)) = F (х) - F (tf °>) = AF. D3.34)
Отсюда сразу видно, что если х@) является точкой обычноро
экстремума для функции F, т. е. AF не меняет знака в некото-
43.5*. Достаточные условия для точек условного экстремума 107
рой окрестности точки х@), то х@' является точкой условного
экстремума для функции f0.
Действительно, из D3.34) следует в этом случае, что прира-
приращение Д/о для допустимых значений х, т. е. удовлетворяющих
уравнением связи, также не меняет знака. Это достаточное усло-
условие, однако, накладывает слишком сильное ограничение на пове-
поведение функции Лагранжа F (х) в рассматриваемой точке — она
должна иметь обычный экстремум, что сильно сужает область
возможного применения указанного условия при решении задач.
Поэтому целесообразно получить более общий достаточный при-
признак условного экстремума.
Пусть х@) = (x'i\ ..., х^) удовлетворяет уравнениям связи
D3.3). Вернемся к рассмотрению функции D3.8), т. е. функции
g(x) = g(xm+1, .... х„), х = (хт+1, ..., хп), получаемой из /„(*) =
= /o(*i> •••> хп) при условии, что Хг, ..., хт являются функ-
функциями переменных дст+1, ..., хп, определяемыми уравнениями
связи D3.3) в некоторой окрестности точки х{°К Будем дополни-
дополнительно предполагать, что fo(x) и /,-(х), i=l, 2, ..., т, дважды
непрерывно дифференцируемы- в точке х^К
Выше отмечалось (см. п. 43.1), что х@'является точкой услов-
условного (строгого) экстремума для функции /0 (х) относительно урав-
уравнений связи D3.3) тогда и только тогда, когда х@> = (x'^+i,..., хТ)
является точкой обычного (строгого) экстремума для функции g(x).
Поэтому, если например, в точке xw функция g(x) удовлетво-
удовлетворяет достаточным условиям существования строгого экстремума,
то в этой точке функция /0 (х) имеет условный строгий экстремум
относительно уравнений связи D3.3). Достаточные условия для
обычного строгого экстремума были получены нами ранее (см. тео-
теорему 2 в п. 40.2). Для нашего случая они имеют вид:
= 0, i=m+\ «; D3.35)
2) .второй дифференциал
является положительно или отрицательно определенной квадра-
квадратичной формой.
При выполнении этих условий х'°> является точкой строгого
минимума или максимума для функции g(x). В силу сказанного
выше указанные условия являются и достаточными условиями
для того, чтобы лг<°> являлась точкой условного строгого мини-
минимума (максимума) для функции /0 (х) относительно уравнений
связи ^43.3). Однако они неудобны для практического использо-
использования, так как требуют знания функции g(x). Поэтому, исходи
103 § 43. Условный экстремум
из полученных достаточных условий условного строгого экстре-
экстремума, выраженных посредством функции g(x), получим достаточ-
достаточные условия того же экстремума, но выраженные только через
функцию Лагранжа и уравнения связи.
Прежде всего заметим, что в силу условия D3.6) система
D3.31) разрешима, и притом однозначно, относительно йхъ ..., dxm
при произвольно фиксированных dxm+i, ..., dxn. Систему D3.31),
выражающую равенство нулю дифференциалов функций ft{x)
в точке х@):
dfi = O, г=1, 2, ..., от,
при выполнении условий D3.3), будем записывать кратко в виде
df = O, D3.37)
где f = (fi, ..., fm).
Пусть лг<°> является стационарной точкой для функции
Лагранжа F (х) (см. D3.13)). Это означает, что dF (х{-°') = 6, т. е.
m
что в этой точке V/o+ ^ ?Д=0. В теореме 2 п. 43.4* было по-
казано, что в этом случае х(°> является стационарной точкой для
функции g(x), т. е.
dg (*«»>) =0. D3.38)
Поясним еще раз вывод этой формулы и покажем, что
. D3.39)
Это равенство следует понимать как рав иство функций п — пг
переменных dxm+1, ..., dxn. В правой части равенства D3.39)
остальные переменные dxu ..., dxm, которые входят в выражения
написанных дифференциалов, определяются из системы уравне-
уравнений D3.37) или, что равносильно (см. формулы D3.7)),
dxk = dq>k(x1, ..., х„_т), k=l, 2, .... т.
Используя инвариантность формы первого дифференциала
относительно выбора переменных и формулу D3.8), имеем
/= 1
Прибавим к этому равенству сумму (равную нулю) левых
частей тождеств D3.31), умноженных соответственно на постоян-
постоянные Я,-, входящие в функцию Лагранжа F (х) (точнее, t-e равенство
¦D3.31) умножается на постоянную Я,). Тогда, использовав уело-
43.5*. Достаточные условия для точек условного экстремума 109
вне D3.13), получим
2
._ ,Ю)
Утверждение D3.38) доказано.
Равенство D3.39) доказывается аналогичным приемом. Прежде
всего напишем второй дифференциал для функции g(x) в точке &°
/. *=1 ' jf=l
Далее, продифференцировав тождества, получающиеся в резуль-
результате дифференцирования уравнений связи D3.3), т. е. тождества
Ф-dxi-\-...-\--~dxn = 0, i=l, 2, ,.., n,
будем иметь в точке х@):
=1 7=1
Умножив 1-е равенство D3.41) на постоянную Xt, входящую
в функцию Лагранжа F(x), прибавим получившиеся выражения
к правой части равенства D3.40); тогда получим
- 2
где dxj, i—\, ..., n удовлетворяет системе уравнений D3.37).
Поскольку точка x<°> стационарная для функции Лагранжа, то
второй член получившегося равенства обращается в ноль, и тем
самым формула D3.39) доказана.
Будем говорить, что квадратичная форма d?F(xm) является
положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой
переменных dxt, i—l, 2, ..., п, при условии, что эти перемен-
переменные удовлетворяют системе уравнений D3.37), если для любых dxh
t = l, 2, ..., п, удовлетворяющих этой системе уравнений и
л
таких, что 2(dx(J>0, выполняется неравенство d2F (*@>) > О
(соответственно d?F (x^) <. 0).
Пусть точка хт удовлетворяет уравнениям связи D3.3) и
является стационарной для функции Лагранжа D3.13) и пусть
второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является
110 §43. Условный экстремум
положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой
переменных dxlt ..., dxn при условии, что они удовлетворяют
системе уравнений D3.37). Тогда из D3.38) и D3.39) следует,
что х(°> является стационарной точкой для функции g(x) и что
второй дифференциал этой функции в точке х@) является поло-
положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой пере-
переменных dxm+i, ..., dxn, и, следовательно, функция g(x) имеет
в точке Зс'0» строгий минимум (максимум), а значит, функция fo(x)
имеет в точке х@> условный строгий минимум (максимум) отно*
сительно уравнений связи D3.3).
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема 3. Если xw = (х\0), ..., х'п") удовлетворяет уравнениям
связи D3.3) и является стационарной точкой для функции
Лагранжа D3.13) и если второй дифференциал функции Лагранжа
в этой точке является положительно (отрицательно) определенной
квадратичной формой переменных dxu ¦ ¦ •. dxn при условии, что
они удовлетворяют системе уравнений D3.31), то xW является
точкой условного строгого минимума (максимума) для функции f
относительно уравнений связи D3.3).
Таким образом, чтобы исследовать стационарную точку функ-
функции Лагранжа D3.13) на условный экстремум, надо исследовать
на определенность квадратичную форму D3.39), т. е. второй диф-
дифференциал функции Лагранжа в этой точке при выполнении
условий связи D3.3) (когда дифференциалы dxu i = l, 2, ..., п,
связаны соотношениями D3.31)). При этом следует иметь в виду,
что если второй дифференциал функции Лагранжа в рассматри-
рассматриваемой точке окажется положительно (отрицательно) определенным
и без выполнения условий связи, то он будет таковым, конечно,
и при их выполнении.
Пусть, например, требуется найти точки экстремума функции
/ (х, у) = ху, когда точка (х, у) лежит на прямой х — у — О. Функ-
Функцией Лагранжа в данном случае является F(x, y) = xy — %(х — у),
и так как з- = у — ^, -г-=х-\-%, то для определения стационар-
стационарных точек функции F (х, у), удовлетворяющих условиям связи,
имеем систему уравнений
из которых следует, что х — у = 1 = 0.
Исследуем в точке @, 0) второй дифференциал функции F (х, у)
при выполнении условий связи, т. е. когда dx — dy=^O. Имеем
D3.4-2)
43.5*. Достаточные условия для точек условного экстремума ПГ
и, значит, при выполнении условий связи
dx2^Q, D3.43)
т. е. второй дифференциал D3.42), являясь неопределенной квад-
квадратичной формой, при выполнении условий связи превращается
в положительно определенную квадратичную форму D3.43). По-
Поэтому @, 0) является точкой строгого условного минимума для
рассмотренной задачи. Впрочем в данном случае это легко
усмотреть и сразу: вдоль прямой х — г/ = 0 функция f(x, у) = ху
примет вид f(x, х) = х2, имея, очевидно, в точке х = 0 строгий
минимум.
Упражнения: Найти точки условного экстремума функций при ука-
указанных уравнениях связи:
1-Нг+!
2. * = *»+*
3. и=хуг,
4. u=2+#+, + y++
5. и = 2дН-#— 2-И, х2+у2 — 2г2— 22=0.
6. Найти наибольшеезначениефункции2 = удруЬ4
7. В круг заданного радиуса вписать n-угольннк наибольшей площади.
. 8. Представить число а>0 в виде суммы слагаемых хъ ..., хп так, чтобы
произведение я?1* ... х"пп (а,->0, »=1 «) принимало наибольшее зна-
значение.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 44. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
44.1. ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА В и-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
(МЕРА ЖОРДАНА). ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Напомним кратко основные понятия, связанные с определением
n-мерного объема (площади в случае и = 2) и дадим новое опре-.
деление понятия объема (меры) множества, которое будет отли-
отличаться от введенного ранее (см. п. 31.1).
Пусть Rn — n-мерное евклидово пространство (я = 1, 2,3,...).
Его точки, как обычно, будем обозначать через x = (xi, ..., х„),
где Xi, i=l,2,..., n — координаты точки х в некоторой раз и
навсегда фиксированной системе координат. Зафиксируем целое
неотрицательное число k, (k = 0, I, ...). Рассмотрим i-ю коор-
координатную ось (i=l, 2, ..., /г), т. е. множество точек х с коор-
координатами #1 = ... = JC/_i = xivi = .. . = хп — 0. Через ее точки с коор-
координатами вида Xi = lQ-km, /л = 0, ±1, ±2, ... проведем
ортогональные этой оси гиперплоскости размерности п — 1. Мно-
Множество всех таких гиперплоскостей, построенных для всех коор-
координатных осей xit i = l, 2, ..., п, порождает семейство я-мерных
замкнутых кубов вида
w*s>x'^!!!wL' '=1«2 »}• D4Л)
где ть при i=l, 2, ..., п, пробегают независимо друг от друга
множество всех целых чисел.
Кубы D4.1) называются кубами ранга k, и их совокупность
обозначается чергз Tk, k = 0, 1,
Множество всех кубов ранга k, очевидно, покрывает все про-
пространство, т. е.
/?я= и о».
Два куба одного ранга могут иметь в качестве общих точек лишь
некоторые свои граничные точки. В случае п—1 куб D4.1)
является, очевидно, отрезком, а в случае п = 2 — квадратом.
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве
113
Число 1/10*" называется n-мерным объемом куба D4.1) и
обозначается через \iQn:
Для множества S, представляющего собой объединение конечного
или счетного числа различных кубов Q" данного ранга k, / =
= 1, 2, ...:
его n-мерный объем ц5 определяется равенством
D4.2>
Очевидно, [iS неотрицательное число или +оо.
Пусть теперь Е — произвольное множество в R". Обозначим
через Sfc = sfc(?) множество точек всех я-мерных кубов ранга k,
целиком лежащих в Е, а через Sk = Sk (E) —
множество точек всех л-мерных кубов
ранга k, каждый из которых пересекается
с множеством Е по непустому множеству
(* = 0, 1, 2, ...):
sk(E)=
Q»,
::::::::::::;:::::::::::
::::::::::;'.::::::::::
Sk(E)=
Q»,
Рис. 163
Таким образом, все кубы ранга к, содер-
содержащиеся в sk, лежат во множестве Е, а
кубы ранга k, содержащиеся в Sk, обра-
образуют покрытие множества Е (рис. 163),
т. е. sk(E) c:E c:Sk(E). При этом мно-
множество Е лежит «строго внутри» много-
многогранника Sk — Sk (E), т. е. не пересе-
пересекается с его границей dSk. Действительно,
точка x^E[\dSk не может существовать, так как будучи
граничной для Sk, она принадлежала бы грани некоторого куба
ранга к. Поскольку рассматриваемые кубы замкнуты, то по опре-
определению многогранника Sk к нему принадлежали бы и все кубы
ранга к, содержащие указанную грань, ибо она содержит точку
х е Е. Тем самым эта точка не была бы граничной для Sk.
Очевидно,
s0
... cr s«. <=
So
114 § 44. Кратные интегралы
и, следовательно, в силу определения D4.2)
ji50 =г [л5х =г... 5г |iSft =г |i5ft+13= D4.3)
Таким образом, получились две монотонные последовательности,
членами которых являются элементы расширенного множества
действительных чисел /? (см. п. 2.5), а именно, либо неотрица-
неотрицательные действительные числа, либо +сю. Поэтому для любого
множества Е cz Rn всегда существуют конечные или бесконечные
пределы
lim iisk(E) и lim fi5ft(?").
k —»¦ 00 к —> СО
Определение 1. Конечный или бесконечный предел lim (isA(.E)
называется нижней или внутренней п-мерной мерой Жордана *>
множества Е и обозначается через Е
PtE%L lim psk(E), D4.4)
а предел lim ^П-Е) называется верхней или внешней п-мертй
fe-^-J-oo
мерой Жордана множества Е и обозначается через ц*?,
(i*??i lim jiS*(?). D4.5)
fe->4-oo
?слы нижняя ц^Е и верхняя р*Е меры множества Е конечны
и совпадают, то оно называется измеримым по Жордану. Общее
значение нижней и верхней меры Жордана измеримого множества Е
обозначается через [iE и называется п-мерной мерой Жордана или
п-мерным объемом множества Е:
Для пустого множества по определению полагается A0=0.
Иногда вместо ]iE будем писать [inE, для того чтобы подчерк-
подчеркнуть, что речь идет о мере множества. Е, рассматриваемого как
подмножество именно я-мерного пространства.
В дальнейшем для простоты меру Жордана будем часто назы-
называть просто мерой, а множество, измеримое по Жордану, просто
измеримым.
Под измеримым множеством, как это показывает сам смысл
слова «измеримый», в математике подразумевается такое точечаее
множество в Rn, которое можно каким-то образом измерить, т. е.
сопоставить ему, по определенным правилам, некоторое неотри-
. дательное число, являющееся объемом в трехмерном случае, пло-
площадью в двумерном и длиной в одномерном. Если размерность
*• К- Жор дан A838—1922) —французский математик.
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве 115
пространства п ^= 3, то множество, измеримое по Жордану в этом
пространстве, называется также аудируемым, а в случае я = 2 —
квадрируемым. Термины кубируемое и квадрируемое множество
отражают собой тот факт, что указанное выше измерение множе-
множества осуществляется посредством кубов, соответственно квадратов.
Простым вычислением нетрудно проверить, что если множе-
множество Е представляет собой объединение конечного числа различ-
различных и-мерных кубов (п = 1, 2, ...) данного ранга, то оно изме-
измеримо и его мера Жордана совпадает с мерой, определенной ра-
равенством D4.2).
Для любого множества Е при каждом ? = 0,1,2,..., очевидно,
Перейдя к пределу при ?-»-оо, получим \1„.Е^0,
Отсюда вытекает следующее свойство меры Жордана.
Свойство 1°. Для всякого измеримого множества цЕ^О.
. Далее заметим, что в силу определений D4.4) и D4.5) для
любого множества Е определена конечная или бесконечная ниж-
нижняя и верхняя меры Жордана. При этом, по-
поскольку для каждого k = 0, 1, 2, ... выполня-
выполняется неравенство d^^sk(E)^\x,Sk(E), то, вы-
выполнив предельный переход при k-+co, для
любого множества Е будем иметь
Отсюда очевидным образом следует, что если
верхняя мера множества Е равна нулю, \i*E = О,
то множество Е измеримо и ц,? = 0.
Если у множества Е имеется внутренняя •
точка, то найдется такой номер k0, что мно-
множество Sk0 (E) будет непустым; следовательно [isu, (E) > 0, от-
откуда в силу D4.3), D4.4) и D4.6) будет следовать, что щ-Е^О.
В самом деле, если х — внутренняя точка множества Е, то су-
существует такое е > 0, что сферическая окрестность U (х, г) со-
содержится в Е. Поэтому достаточно взять такой ранг k0, чтобы
длина диагонали куба*' ранга k0 была меньшее:
Тогда куб Qn ранга k, содержащий точку х (такой куб, по край-
крайней мере один, всегда существует) будет целиком лежать во мно-
множестве Sko(E) (рис. 164). Поэтому
Из сказанного следует, что нижняя мера Жордана любого
открытого множества G всегда положительна: \k^G > 0.
*' Диагональ -n-мерного куба с ребром длины а равна а^п*
Мб § 44. Кратные интегралы
Отметим, что определенный нами ранее в п. 31.1 объем откры-
открытого множества совпадает с его нижней мерой Жордана. Однако,
для построения достаточно общего аналога интеграла Римана
в случае функций многих переменных понятие только нижней:
меры Жордана оказывается недостаточным. Для этой цели очень
удобно понятие измеримого по Жордану множества.
Если множество Е ограничено, то \и%Е и \х*Е всегда конечны.
Действительно, из ограниченности множества Е следует, что оно
пересекается только с конечным множеством кубов нулевого
ранга и, следовательно, So (Е) состоит из конечного числа кубов.
Поэтому согласно D4.2) ji50 (Е) < + со. Но при любом k = О, 1,...
Поэтому
О ^ nsk (E) =s? iiSk (E) === nS0 (E).
Отсюда, перейдя к пределу при k-*--\-oo, получим
О =s? щ?<pL*E =s? yS0 (Е)< + оз,
т. е. меры ц^Е и ц,*Е конечны.
Если же множество Е неограничено, то для любого k —
= 0, 1, 2, ... множество Sk(E) состоит из бесконечного количе-
количества кубов ранга k. Поэтому в силу формулы D4.2) для всех k
имеем nSk (Е) = + оо, следовательно и ,и*?' = + со, т. е. множе-
множество Е заведомо не измеримо. Отсюда:
если множество измеримо по Жордану, то оно ограничено.
Как нижняя, так и верхняя меры Жордана обладают так
называемым свойством монотонности. Сформулируем его
в виде леммы.
Лемма 1. Если Ехс:Ег, то
fx^fisg^fa, \1*Е!^ц*Е2. D4.7)
Это вытекает непосредственно из того, что при всех k =
= 0, 1, 2, ... справедливы включения
**(?,) с: s*(?,), Sk(E1)^Sk(E2). D4.8)
ибо первое из них означает, что куб ранга k, лежащий в ?ь
лежит и в Е2, а второе, что куб ранга к, пересекающийся со
множеством Elt пересекается и с ?2. И то и другое утверждения
следуют из включения Et cr Е2. Из D4.8) в силу D4.2) вытекает
справедливость неравенств
Устремив здесь k к +°°. получим в пределе D4.7).
Следствие 1. Если ?ic?8 и ц?2 = 0, то |a?i = 0.
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве 117
Действительно, в силу леммы 1
Следовательно, [i*Ex = 0, откуда и \iEi = 0. Q
Следствие 2. Если |.i? = 0 и Е—замыкание множества Е
(см. п. 18.2), то ц? = 0.
В самом деле, из условия цЕ = 0 следует, что для любого
г>>0 существует такой ранг k, что
[iSk (E) < е.
Многогранник Sk(E) состоит из конечного числа замкнутых
кубов (если количество кубов ранга k, входящих в множество
Sk(E), было бы бесконечным, то согласно D4.2) была бы беско-
бесконечной и его мера: [iSk (Е) = + ос) и, следовательно, является
замкнутым множеством: Sk(E) = Sk(E). Но Е cz Sk(E), поэтому
?c57(?) = S*(?). Отсюда n*E^ii*Sk(E) = nSk(E), т. е. для
любого е>0:
Это возможно только тогда, когда цЕ = 0. Ц
Из леммы 1 для измеримых множеств вытекает следующее
свойство.
Свойство 2° (монотонность меры). Если Ег и Е$ —измеримые
по Жордану множества и ?\ с: Е2, то
Лемма 2 (полуаддитивность верхней меры). Для любой конеч-
конечной совокупности множеств Еъ ?2, .... Ет имеет место нера-
неравенство
\\* U ?/=?= Q Р*Е- D4.10)
/= 1 ' /=1
Доказательство. Для любого ранга ? = 0, 1, 2, ...спра-
...справедливо равенство
т
i= U 5*(?>)-
В самом деле, каждый куб ранга к, который пересекается с мно-
т
жеством У Ej, пересекается хотя бы с одним из множеств Ej и
наоборот. Поэтому в силу D4.2)
т \ т ™
f=i / /=i
118 § 44. Кратные интегралы
Перейдя здесь к пределу при k-*--\-oo, получим D4.10). Ц
Следствие. Объединение конечного числа множеств меры ноль
имеет меру ноль.
Действительно, если \xEf = 0, / = 1, 2, ...,т, то в силу D4.10)
U 2>2
m
Следовательно, множество М ?} измеримо и его верхняя мера,
а потому и мера равны нулю:
Упражнения. 1. Показать, что объединение счетной совокупности
множеств жордановой меры ноль может не иметь меру ноль.
2. Доказать, что если Е± и ?2 — открытые множества, то
Указание. Полезно воспользоваться утверждением, содержащимся
в упражнении 11 п. 18.3.
Будет ли это неравенство всегда справедливым, т. е. без предположения
об открытости множеств Е\ и ?2?
3. Привести пример таких непересекающихся множеств Ех и Ег, что
Критерий измеримости множеств устанавливается следующей
теоремой.
Теорема 1. Для того чтобы множество Е было измеримым по
Жордану, необходимо и достаточно, чтобы оно было ограниченным
и чтобы его граница дЕ имела меру Жордана, равную нулю:
цдЕ = 0. D4.11)
Для всякого множества Е обозначим через оА — 0А (Е) множе-
множество точек тех и только тех кубов ранга k, которые содержатся
в Sk(E) и не содержатся в sk(E):
Таким образом, множество ak (E) состоит из замкнутых кубов, и
теоретико-множественная разность Sk (E)\sk (E) содержится bq
множестве о,,(Е) и, вообще говоря, не совпадает с ним! С дру-
другой стороны
*> Черта над множеством, как всегда, обозначает его замыкание (см. п. 18,2).
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве 119
Доказательству теоремы 1 предпошлем лемму.
Лемма 3. Для любого ограниченного множества Е с Rn спра-
справедливы включения
dEczok(E)czSk(dE). D4.12)
Доказательство леммы. Покажем сначала, что
dEczok{E). D4.13)
Поскольку Е cz Sk(E), то Е cz Sk (Е). Множество 5А (Е) состоит,
в силу ограниченности множества Е, из конечного числа замкну-
замкнутых кубов и поэтому замкнуто: Sk (Е) = Sk (E). Следовательно,
для любого & = 0, 1, 2, ..., E_czSk(E), а зна-
значит и dEczSk (Е), ибо дЕ cz E.
Возьмем какую-либо граничную точку х
множества Е: х е дЕ. В силу включения
дЕ cz Sk (E) существует по крайней мере один
такой куб Q" ранга k, что х е Qn и Qn cz Sk(E).
Если Qn не содержится в sk(E), то, очевидно,
Qnczak(E), а следовательно, и ,teoj(?),
Если же Qnczsk(E) (рис. 165), то в силу Рис. 165
включений х е Q" и Q" cz sk (Е) cz E имеем
хе?. Поэтому в этом случае все кубы ранга k, содержащие
точку х, лежат в Sk (E), ибо пересечение всякого такого куба'
со множеством Е содержит точку х и, следовательно, не пу-
пусто. Все эти кубы не могут принадлежать множеству Е — в
противном случае точка х была бы внутренней, а не гранич-
граничной точкой множества Е. Поэтому среди всех кубов ранга k,
содержащих точку х, найдется по крайней мере один куб Q?, ко-
который не содержится в sk(E), т. е. Qj czSh(E), но Q"<?sk(E).
Отсюда следует, что Qau cz ok (Е), и поскольку х е Qj} то и в этом
случае х<=ок(Е). Точка х была произвольной точкой границы дЕ,
а поэтому включение D4.13) доказано.
Второе включение D4.12), т. е. включение ак (Е) cz Sk (дЕ)
доказывается проще и даже без предположения об ограниченности
множества Е. Всякий куб Qn ранга к, лежащий в ak (E) имеет
заведомо точки как из множества Е (ибо в силу определения
множества ок (Е) всякий куб ранга к, содержащийся в этом мно-
множестве, содержится hbS4 (Е), а следовательно, пересекается с Е),
так и точки, не принадлежащие Е (ибо согласно тому же опре-
определению никакой куб ранга к, целиком лежащий в Е, т. е. при-
принадлежащий к sk(E), не содержится в oh (E)). Поскольку куб Q" —*
линейно связное множество, то в нем заведомо имеются точки>
границы множества Е (см. лемму 9 в п. 1.8.2). Это и означает,
что Q" cz Sk (дЕ), а поскольку Qn был произвольным кубом ранга k,
лежащим в ок (Е), то
xyk(E)czS!l(dE).C] D4.14)
120 § 44. Кратные интегралы
Док аз ательство теоремы. Необходимость. Пусть
Е — измеримое множество. Тогда, как доказано выше, оно огра-
ограничено. Далее, согласно определению измеримого множества
нижняя и верхняя меры множества Е конечны и равны: yi^E =
= \i*E, т. е.
lim iisk (E) = lim y,Sk (E). D4.15)
ft—>--j-00 k—> CO
Поскольку, согласно определению множества ok (E) и формуле D4.2)
]UJk(E) = ]LSk(E)-nsk(E), D4.16)
то из D4.15) следует, что
lim рок(Е) = 0. D4.17)
В силу включения D4.13) и монотонности верхней меры (см. D4.7))
при любом k = 0, 1, 2, ... справедливо неравенство
Перейдя к пределу при k-+ + oc, в силу D4.17) получим ц*дЕ=О.
Следовательно, множество дЕ измеримо по Жордану, и цдЕ=О.
Достаточность. Пусть Е — ограниченное множество и
]хдЕ = О. Тогда, по определению меры
lim nS*(d?) = O. D4.18)
fe_>.-foO
В силу включения D4.14) и монотонности меры (см. свойство 2
меры) справедливо неравенство [ю^ (Z;)?5jiSft (дЕ) и, следовательно,
(см. D4.16)) неравенство
vSk(E)-ViSll{E)^\iSl,{dE). D4.19)
Поскольку множество Е — ограничено, то его нижняя мера ц^Е
и верхняя ц*Е конечны и поэтому (см. D4.4) и D4.5)) в нера-
неравенстве D4.19) можно перейти к пределу при &->- +со. В силу
D4.18) получим
ц*?-!*»? = О, т. е.
Это и означает измеримость по Жордану множества Е. Ц
С помощью теоремы 1 легко показать, что при теоретико-
множественных операциях объединения множеств, пересечения и
вычитания их измеримость не нарушается. Предварительно заме-
заметим, что для любых двух множеств Ег и Е2, лежащих в прост-
пространстве Rn, справедливы включения (рис. 166)
U Ег) с дЕг U дЕ2, D4.20)
d(E1(]E2)czdE1\JdE2, D4.21)
D4.22)
44.1. Понятие объема в п-мерыом пространстве 121
Докажем, например, включение D4.21). Пусть \[\)
Тогда, прежде всего, ie?,fl?2, ибо из того, что х <= д {Ег П Е2)
следует, что в любой окрестности точки х имеются точки, одно-
Еременно принадлежащие к Е1 и к Е2, т. е. х является точкой
прикосновения как множества Еъ так и Е2. Если х е дЕг, или
х^дЕо, или и то и другое, то, очевидно, х е дЕу \] дЕ2. Если же
х ф dEi и х <ф дЕг, то поскольку х е Ех и х <ф. дЕъ то х является
внутренней точкой для множества Ег
и аналогично, внутренней точкой для
множествл ?2 (ибо замыкание всякого
множества состоит только из внутрен-
внутренних точек этого множества и его гра-
граничных точек; каждое из них может,
конечно, оказаться пустым). В этом
случае у точки х существуют окрест-
окрестности U1 (х) а Ех и On (x) cz Е2, пересе-
пересечение 0 (х) = иг (х) П Uo \х) которых будет также окрестностью
точки х, и, очевидно, U (х) а Ех П Е2. Таким образом, у точки х
нашлась окрестность U (х), все точки которой принадлежат мно-
множеству Ех{\Е2, т. е. х— внутренняя, а не граничная точка этого
множества: х<фд(Ех[\Е2). Полученное противоречие показывает,
что случай х ф дЕх и одновременно х ф. дЕ2 невозможен, если
6?f
Упражнение 4. Доказать включения D4.20) и D4.22).
Из. включений D4.20) и D4.21) методом математической индук-
индукции для любого конечного числа множеств легко устанавливается
справедливость включений
mm mm
д U Ej <= U dEj, д П Е} cz П дЕ]. D4.23)
/= 1 /= 1 /= 1 /= 1
Свойство 3°. Объединение и пересечение конечного числа изме-
измеримых по Жордану множеств, а также разность двух таких
множеств являются измеримыми по Жордану множествами.
В самом деле, если множества ?} измеримы, то согласно тео-
теореме 1 fid?} = 0, ч' = 1, 2, ..., т. Поэтому в силу следствия из
т
леммы 2 fi U dEj —0, а тогда (см. следствие 1 леммы 1) из вклю-
D4.23) следует соответственно, что
т т
уд U Е, = 0, »д П ?,=0.
Оторда следует, что в силу той же теоремы 1 множества (J
122 § 44. Кратные интегралы
и f] Ej также измеримы. Аналогично доказывается измеримость
f=i.
разности измеримых множеств.
Теперь можно легко доказать, что для меры Жордана спра-
справедливо неравенство, аналогичное неравенству D4.10) для верх-
верхней меры. Сформулируем соответствующее утверждение.
Для любой конечной совокупности измеримых множеств Еъ Е2,...
..., Ет справедливо неравенство
т т
nU^Si^- D424>
Действительно, если множества Et измеримы, то \i*Ei — nEi,
т
и согласно выше доказанному объединение (J Et также изме-
t = i
т т
римо, и следовательно, \х* И ?, = ц И Et. Поэтому формула
t=i >=1
D4.24) в рассматриваемом случае совпадает с формулой D4.10).
Свойство 4° (аддитивность меры). Мера объединения конечного
числа попарно непересекающихся измеримых по Жордану множеств
равна сумме мер этих множеств.
Таким образом, если ?,• — измеримые множества, Ei(]Ej = 0',
*.=?/» '. /=1> 2 т' то
т т
fi О ?«= S ^'- <4425)
i=i »=1
Докажем это. Поскольку для любого ранга k справедливо
включение sk(Ei)(\sil(Ej) cz Ei(]Ej, то из условия Eif\Ej — 0
при f Ф j следует, что sk (?/) f) sk (Ef) = ф, t =? у; поэтому со-
согласно D4.2)
Если куб ранга k лежит в некотором множестве ?,-, то он лежит
т
и в объединении \J Ei} следовательно,
1= 1
т I m \
1 = 1 ' W=l /
Отсюда в силу D4.26) и монотонности меры (в данном случае —
даже из формулы D4.2)) вытекает, что
U ?« •
1 /
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве 123
Перейдя к пределу при &-> + оо, получим
2 рЕ^р U Et. D4.27)
( = 1 i=1
С другой стороны для любых измеримых множеств справедливо
обратное неравенство D4.24). Очевидно, что из D4.24) и D4.27)
и следует равенство D4.25), т. е. аддитивность меры.
Замечание. Из свойств 3 и 4 меры вытекает, что если
к измеримому множеству присоединить или вычесть из него мно-
множество меры ноль, то полученное множество будет также изме-
измеримым, и его мера будет равной мере исходного множества.
Действительно, если Е — измеримое множество, а цЕ0 = 0, то, по
свойству 3 меры, множества Е\Е0 и Е[]Е0 также измеримы.
Далее по свойству 4 при EoczE и \хЕ0 = 0 имеем
цЕ = ц [(Е\Е0) U Ео] = \1 (Е\Е0) + fi?0 = ц (Е\Е0).
В силу же монотонности меры и неравенства D4.24) для любого Ей,
|a.Z:o = O справедливы неравенства
ц,Е ==S ц (Е U Ео) г=? ц,Е + цЕ0 = цЕ,
откуда \х(Е[]Е0) = цЕ.
В свою очередь из сказанного следует, что если к измеримому
множеству присоединить или вычесть из него какое-то множество
его граничных точек, то получится снова измеримое множество
с той же мерой, что и данное. Это вытекает из того, что в силу
теоремы 1 граница измеримого множества, а значит и любое ее
подмножество, имеют меру ноль. Таким образом, в частности,
если множество Е измеримо, то его замыкание Е = Е\]дЕ также
измеримо, причем \iE-\iE.
Обратное утверждение неверно: существуют неизмеримые по
Жордану множества, замыкания которых измеримы. Простым
примером подобного множества является множество рациональ-
рациональных точек на некотором отрезке. Оно неизмеримо (почему?), а его
замыканием является отрезок, который измерим.
Примеры измеримых множеств сколь угодно большой размер-
размерности можно получить с помощью построения цилиндров, осно-
основаниями которых служат также измеримые множества. Сформу-
Сформулируем определение цилиндра.
Определение 2. Пусть Ео — множество, лежащее на гипер-
гиперплоскости R"-1 = \х: хп = 0} пространства Rn,a и Ъ действитель-
действительные числа, а^Ь. Множество
Е = {х: (xlt х2, ..., хп-г, 0) <= Ео, а<хп ==sЬ]
называется п-мерным цилиндром с основанием Ео и образующей
(параллельной координатной оси хп) длины h = b — a.
124 § 44. Кратные интегралы
Очевидно, что, используя понятие произведения множеств
(см. п. 1.2* или 41.2) можно сказать, что цилиндр Е является
произведением множеств Ео и отрезка [а, Ь]: Е = Ео X [а, Ь]. Цели
Ей — ограниченное множество, то и цилиндр с основанием ?<>
является ограниченным множеством. Отсюда следует, что всякий
цилиндр, в основании которого лежит измеримое множество,
ограничен, ибо измеримое множество ограничено.
Теорема 2. Если Ео — измеримое по Жордану множество про-
пространства Rn~x, то всякий п-мерный цилиндр Е с основанием Ео
является измеримьш по Жордану множеством в пространстве Rn, и
11я? = А11я_1Ео. D4.28)
где h — длина образующей цилиндра Е.
Следствие. Если основание цилиндра имеет (п — \)-.мерную
меру, равную нулю, то сам п-мерный цилиндр имеет п-мерну/о
меру, также равную нулю.
Доказательство теоремы. Прежде всего заметим, что
проекция*' каждого «-мерного куба Qn ранга k является (я —1)-
мерным кубом Q"'1 также ранга k и
1. D4.29)
Обозначим через а"~\ ..., q"~~l (n — 1)-мерные кубы ранга k,
составляющие множество sk (Ео), а через Q"~',..., Qm~' — (я — 1)-
мерные кубы, составляющие Sk (En).
Пусть q"u .... q% суть n-мерные кубы из sk(E), проектирую-
проектирующиеся в куб q"~l с sk(E0). Поскольку Е — цилиндр, то число р
таких п-мерных кубоз qnr одно и то же для всех г = 1, 2, ..., /,
поэтому
М?)= U U я,- D4-3°)
i= 1 /= 1
Аналогично, число г n-мерных кубов Q," из Sk(E), проектирую-
проектирующихся в один и тот же куб Q?~l из Sk(E0), одинакозо для всех
( = 1, 2, ..., т, поэтому
m r
Sk{E)= U [}Q?,. D4.31)
i= 1 /= 1
р
Проекция множества \J qnit на ось хЛ является отрезком длины
р/10*, причем
lO^fc, D4.32)
*' Проекцией ЩХпЕ множества ?cz Rn на гиперплоскость Rn l= {x: xn=Q\
называется множество точек вида (лс1( ...-,-дсд-ь 0) Ддя каждой из которых
существует такое хп, что (хь ..., хп_х, хп) е Е.
44.1. Понятие объема в п-мерном пространстве
125
ибо все кубы <7?. содержатся в sk (Е) и, следовательно, в цилиндре Е.
Проекция же указанного множества на гиперплоскость R'1'1 пред-
представляет собой один из кубов qf~l, поэтому
2
.-= i j=\
7"/= 2
10* ^j
(= 1
1
10*
Проекция «столбика кубов» (J Q",- (рис. 167) на ось х„ есть
/= 1
отрезок длины 1(Нг, причем
D4.34)
Далее, каждый такой столбик проектируется на гиперплоскость
R"-1 в куб Qi~\ либо содержащийся в s(((?'o), л 7)
либо в ак (Ео) — Sk (Ео) \sk (Ео) (множество ок (Еа) /-\-^л-
было введено при доказательстве теоремы 1).
Поэтому
=ж 2 •i»-i(^ '=w
D4.35)
Наконец, заметим, что каждый из столби-
г
ков у Q"j, который проектируется в куб qn~l a
/= 1
р
с: sft (?¦<))» отличается от столбика у q" проектирующегося в тот
же куб qn~x, лишь двумя кубами, добавленными к нему снизу и
сверху (в смысле убывания, соответственно возрастания, коор-
координаты хп (см. рис. 148). Поэтому
г = р-\-2.
Отсюда и из неравенств D4.32) и D4.34) имеем
г „, , 2
126 § 44. Кратные интегралы
В силу этого из неравенств D4.33) и D4.35) получим
HnSk (Е) — \insk (Е) = r-^? fA^s* (Ей) +
цЕ + {h+ ) }iorA (?„),
и поскольку lim тт^ = О, lim \xek (Ео) = О, то
lim [finSft(?)-finsft(?)] = O. D4.35)
Множество Ео, как всякое измеримое множество, ограничено.
Нетрудно убедиться, что диаметры d(E0) и d(E) множеств Ео и
Е связаны соотношением d(E) = Y[d(E0)f-\-hi, из которого сле-
следует, что множество Е также ограничено. Поэтому, как было
упомянуто выше, оно имеет конечные верхнюю и нижнюю меры.
Из формул D4.4), D4.5) и D4.36) следует, что они равны: ц*Е=*
= }1%Е, т. е. множество Е измеримо.
Докажем теперь формулу D4.28). Для этого умножим нера-
неравенство
Цп-xSk (Ео) =SS>?0 =SS \kn-lSk (Ео)
на h. Применив неравенства D4.32) и D4.34), будем иметь (см.
также D4.33) и D4.35))
Hnsk (Е) = j^ n^Sk (Ео) =? h\iE0 =? -щ fAn-iSft (Ей) = \inSk (E),
причем обе части получившегося неравенства в силу D4.36) стре-
стремятся при &->-оо к одному и тому же пределу \хЕ, откуда и
следует формула D4.28).
Задача 29. Построить пример неизмеримой по Жордану области.
Задача 30. Доказать, что мера Жордана не зависит от выбора декартовой
системы координат.
44.2. МНОЖЕСТВА МЕРЫ НОЛЕ
В предыдущем пункте было установлено, что множество изме-
измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его граница имеет
меру ноль. Поэтому важно иметь признаки, по которым можно
было бы установить, что множество имеет меру ноль. Достаточно
общим примером множеств меры ноль являются цилиндры, в осно-
основании которых лежат множества меры ноль (см. следствие из
теоремы 2). Другой широкий класс множеств меры ноль дается
в нижеследующей теореме.
Теорема 3. График всякой непрерывной на компакте функции
имеет меру ноль.
Доказательство. Пусть функция y = f(x) = f(x1,,..,xn)
непрерывна на компакте A a R". Пусть Е — ее график, т. е.
44.2. Множества меры ноль
127
множество таких точек (х, у) = (хъ ..., х„, у) в /г-мерном про-
пространстве Я"/1, что (хъ ,.,,л„)е4 a y = f{xu ..., *„):
Покажем, что (я + 1)-меРная мера Жордана множества ? равна
нулю. Множество А будучи компактом, ограничено. Поэтому
существует такое натуральное число /п, что я-мерный куб
Р,п = {х: -m
m, i = 1, 2, .... л}
содержит множество /i:Pmz3y4. Тем более куб
также содержит А : Pm±i zd A n, более того, каким бы ни был
k 0 12 й
р m
куб Q некоторого ранга k = 0, 1, 2,
жеством А, т. е. Qcz Sk (А), он
также содержится в Pm+i:Qc=
с~Рт+1. Поэтому при любом k
имеем Sk (А) с: Рт+1. Здесь и в
дальнейшем через Sk (A), Sk (E),
как и в п. 44.1, обозначаются
множества точек всех кубов
ранга k, соответствующих про-
пространств, пересекающихся с мно-
жествами A cz Епх, Е с Rtf1.
Множество Sh (E) распадается
на конечное число «столбиков»
пересекающийся со мно-
мноy\
ш
-А -«
Рис. 168
3f
Sk , каждый из которых состоит
из (п-\- 1)-мерных кубов ранга k,
имеющих одну и ту же проекцию (см. сноску на с. 124)Q'Jb про-
пространство R" (на рис. 168 изображен случай п = \):
1°, npySl° = Qf, ? = 0, 1, 2,
Sh (Е) =
<44.37)
Обозначим через со (б) модуль непрерывности функции /на А.
Замечая, что диагональ (диаметр *') я-мерного куба с ребром
длины 1/10* равна ]/n/10fe, для высоты Л*0 каждого столбика S^
имеем (см. рис. 149) оценку
/V"/t\ 2
Tib s^^- СО \ I ~т~ • Ттгт.С/б!
\10*/ 10*
Действительно, для оценки высоты Ajj,'1 к расстоянию соAО*-*}/гл)
между наибольшим и наименьшим значениями функции f(x) на
*' Определение диаметра мвожества см. определение 11 в п. i9.fi,
128 § 44. Кратные интегралы
кубе 0{С) достаточно добавить длины ребер самого нижнего и са-
самого верхнего кубов рассматриваемого столбика SlfeJ) (эта оценка
достигается, когда точки графика, соответствующие указанным
экстремальным значениям, окажутся на гранях кубов ранга k).
Из D4.37) и D4.38) получаем:
Поскольку функция / непрерывна на компакте, она равномерно
непрерывна на нем, и поэтому lim со(l(h*]/~/i) = 0, и поскольку
fe— + 00
2
lim — = 0, то из D4.39) имеем lim \iSk(E) = O, а это и озна-
fc_4-oo 10* fe^oo
чает, что [д,*? = 0, следовательно, и jj.?" == 0. Q
В силу теорем 2 и 3 всякое ограниченное множество, границу
которого можно представить как объединение конечного числа
множеств, каждое из которых представляет собой либо часть гра-
графика непрерывной на ограниченном замкнутом множестве функции,
либо часть цилиндра с основанием меры ноль, является изме-
измеримым множеством, ибо, в силу аддитивности меры, мера гра-
границы указанного множества равна нулю, и, следовательно, согласно
теореме 1 оно измеримо. Таким образом получено описание доста-
достаточно широкого класса множеств, измеримых по Жордану и часто
встречающихся в математическом анализе и его приложениях.
Так, например, плоские множества (криволинейные трапеции,
«секторы» кривых, заданных в полярных координатах, а также
тела вращения, площади и соответственно объемы которых вычис-
вычислялись в § 32 с помощью одномерного интеграла Римана, являются
измеримыми по Жордану множествами, ибо, как нетрудно убг-
диться, их границы имеют меру ноль.
Подобным же образом измеримы по Жордану параллелепипеды
и эллипсоиды, в частности — шары, так как их границы можно
представить в виде объединения графиков непрерывных на ком-
компактах функций.
Заметим, что в § 31 было введено понятие меры mesG для
открытых множеств. Сравнивая ее определение с определением,
приведенным в п. 44.1, видим, что mes G = n#G, т. е. введенная
в § 31 мера является нижней мерой Жордана. Однако в силу
сказанного выше все рассмотренные в примерах § 32 множества
были измеримыми по Жордану и, следовательно, для них мера
mesG являлась мерой Жордана, т. е. для них имело место
G G
f
Представляет интерес обобщить теорему 3 на случай пара-
параметрически заданных множеств, в частности —на случай пара-
44.2. Множества меры ноль
129
метрических кривых. Оказывается, что даже в этом случае одной
лишь непрерывности рассматриваемых кривых недостаточно для
того, чтобы они имели меру ноль. Существуют, например, кривые
Xi = xt(t), a^t^b, t = l, 2, ..., п (XjG) — непрерывные на неко-
некотором отрезке [а, Ь] функции), называемые кривыми Пеано*',
которые проходят через каждую точку некоторого n-мерного куба
и, следовательно, не имеют меры ноль.
Задача 31. Построить пример кривой Пеано.
Теорема 4. Всякая плоская спрямляемая кривая имеет меру
ноль.
Доказательство. Пусть задана спрямляемая кривая у,
длина которой равна S. Пусть, далее r — r(t), a «g t ==g b, — неко-
некоторое представление кривой у. Разобьем
ее последовательно, т. е. в порядке воз-
возрастания параметра t, точками г (tt),
tt <= [a, b], i = 0, 1, ..., т, t0 = a,tm = b,
на т равных по длине частей, т. е. возь-
возьмем такое разбиение х = {Щ^™ отрез-
отрезка [а, Ь], чтобы длина каждой части у,-
(кривой у), задаваемой представлением
Г = ГЦ), *,_!</*=?*!, 1=1, 2, .... Л1,
имела длину S/m.
Обозначим через /С,- замкнутый круг
с центром в точке г (tt-i) и радиусом S/m.
Поскольку дуга yt имеет длину S/m и ее начало является центром
круга Кг, то вся она лежит в этом круге (рис. 169). Отсюда
вытекает, что вся кривая у содержится в объединении кругов /(,¦:
т
У^ U *'•
1 = 1
Следовательно, в силу монотонности и полуаддитивности верхней
меры (см. леммы 1 и 2 в п. 44.1)
рис> 169
т
U
D4-4°)
— 1 , i = 1,..., т **\ поэтому из D4.40) имеем
ц*у ==g nS2/m. Левая часть неравенства не зависит от т, а пра-
правая—стремится к нулю, при т-> + °°, вследствие чего 0 Ц
= 0.
*' Д. Пеано A858—1932) —итальянский математик.
**' Действительно, окружность С, являющуюся границей круга К,, можно
представить как объединение двух полуокружностей, каждая из которых пред-
представляет собой график непрерывной на отрезке функции. Поэтому согласно
теореме 3 (лС = 0, следовательно, всякий круг К является измеримым множе-
множеством.
5 Кудрявцев Л. Д. т. 2
130 § 44. Кратные интегралы
Упражнение 5. Доказать, что всякая спрямляемая кривая в трех-
трехмерном пространстве имеет меру ноль.
Из теорем 1 и 4 следует, что всякое ограниченное плоское
множество, граница которого является спрямляемой кривой, изме-
измеримо.
44.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА
Сформулируем определение кратного интеграла Римана. Для
этого введем прежде всего понятие разбиения измеримого мно-
множества и понятие мелкости этого разбиения.
Пусть Е ¦— измеримое по Жордану множество, EaRn. Конеч-
Конечная система т = {?(}*= i° непустых измеримых по Жордану мно-
множеств Ei, i = 1, 2, ..., г0. называется разбиением множества Е,
если
1) попарные пересечения множеств Et имеют меру ноль:
o\ I I P. — F-
z/ U '~~ '
Число 6T = max d {E{), где d (Et) - диаметр множества Eit
i=\, 2 ?„
называется мелкостью разбиения т.
В силу аддитивности меры Жордана для всякого разбиения
т = {?,•}!•= i° множества Е имеем
>=1
Действительно, пусть при фиксированном i Е* = \j Et f) ?) и
Е* — II Е*. Тогда, в силу п. 1) определения разбиения множе-
i= 1
ства ii (Ei fl Ej) = 0, 1ф j, поэтому pEf ^ 2 Iх № П Ei) = °> т- е-
/
цЕ* = 0. Отсюда [хЕ* ^ ^ \iE* = 0, следовательно ц,Е* = 0. Кроме
того, множества ?*, Е(\Е* = ЕГ »==!. 2, ...,i0, попарно не
<о 'о
пересекаются и в силу п. 2) \J Ef*\JE*= \J Et = E. Поскольку
i= I i— I
то из всего этого, вследствие аддитивности меры следует, что
44.3. Определение кратного интеграла 131
Для простоты обозначений иногда вместо {?*}!•= i° будем писать
Пусть т= {?,} и т' = {?¦/} — разбиения измеримого множества Е.
Разбиение т' называется вписанным в разбиение т, если для
каждого Е) е т' существует такой элемент Ei e т, что Е] с ?,-.
В этом случае пишут т'J- т или т —^т'.
Отметим два свойства разбиений множества.
1°. Если х -$%' и х' Нт", mo x -$х\ f
2°. Для любых двух разбиений х' = {Е'с] и х" = {?'/} измеримого
множества Е существует такое его разбиение х, что х^-х' и
тЬ- т".
Свойство 1° очевидным образом следует из определения вписан-
вписанного разбиения. В качестве же указанного в свойстве 2° разбиения т
можно взять множество всевозможных непустых пересечений
E't[\E;.
Примером разбиения измеримого множества является совокуп-
совокупность всевозможных непустых пересечений данного множества
с кубами некоторого фиксированного ранга k. Отсюда видно, что
для всякого измеримого множества существуют разбиения сколь
угодно малой мелкости.
Определение 3. Пусть на измеримом по Жордану множестве
Е czRn задана функция у — f (х) = / (хъ ..., х„) и х = {Ei}l= i° — неко-
некоторое разбиение множества Е; выберем произвольным образом точки
^'' ?Е Е{, i = 1, 2, ..., i0. Сумма вида
|] D4.42)
i= l
называется интегральной суммой Римана функции f.
Подобно случаю функции одного переменного определение
кратного интеграла можно сформулировать, используя понятие
предела последовательности или «язык е —б».
Определение 4. Число А называется интегралом Римана от
функции f по измеримому по Жордану множеству Е с: Rn, если
какова бы ни была последовательность разбиений Tm — {E?}\z\ ,
т — \, 2, ..., множества Е такая, что мелкости разбиений хт
стремятся к нулю при /и->-}-оо: lim 6Tm = 0, и каковы бы ни
были точки ?(<1 m> e Ef, i=\,2, ..., f(m), последовательность инте-
интегральных сумм crTm(/; ?<'• m>, ..., g('(m)> m)) при m->-fco имеет
своим пределом число А:
lim fftm(/; E<I'm), ...,?('<m)'m)) = ^. D4.43)
Интеграл от функции / по множеству Е обозначается через
\ f (x)dE или § ...\f (*ь хй, .... дся)dxtdx% ... dxn.
132 § 44. Кратные интегралы
Если существует интеграл \ f (x) dE, то функция / называется
интегрируемой по Роману на множестве Е. Интегрируемые по
Риману функции часто будем называть просто интегрируемыми.
Равенство D4.43), т. е. определение интеграла, кратко запи-
записывается в виде формулы
\f(x)dE=Umax. D4.44)
т
В терминах е и б этот предел означает следующее: для любого
е>0 существует такое 8г^>0, что каково бы ни было разбиение
х = {?¦«}}= i° множества Е мелкости 6t<6s и каковы бы ни были
точки Ц') е Е{, / = 1, 2, ..., i0, выполняется неравенство
D4.45)
Обычным путем доказывается, что определения D4.43) и D4.45)
предела интегральных сумм эквивалентны.
Отметим, что определение интеграла D4.44), в случае, когда
п — 1, а множеством, по которому производится интегрирование,
является отрезок, формально не совпадает с данным ранее опре-
определением интеграла Римана от функции одной переменной, так
как там рассматривались лишь разбиения отрезка на отрезки,
а теперь рассматриваются всевозможные разбиения отрезка на
измеримые по Жор дану множества. Однако, можно показать (это
будет сделано в п. 44.7*), что при я=1 оба определения для
случая, когда множество, по которому производится интегриро-
интегрирование, является отрезком, равносильны, т. е. приводят к одному
и тому же понятию интегрируемости функции и к одному и
тому же понятию интеграла.
При определении интеграла по множеству Е cz Rn можно для
составления интегральных сумм использовать не все элементы
разбиений т множества Е, а отбрасывать те слагаемые, которые
соответствуют элементам разбиения, замыкания которых пересе-
пересекаются с некоторым фиксированным множеством меры ноль. Про-
Проанализируем это обстоятельство подробнее.
Пусть Е — измеримое множество, Еос:Е и т = {?,•}!•='i° — раз-
разбиение множества Е. Обозначим через х(Е0) совокупность тех
элементов разбиения т, замыкания которых не пересекаются со
множеством Ео:
x{Eu) = {Ei:Ei[\Eo^0, f.-et}, D4.46)
а через т0 (Ео) — наоборот, совокупность тех ?,¦, для которых их
замыкания E-t пересекаются с Ео:
¦го(Ео)^{Е1:Е1(]Еофф, ?гет). D4.47)
44.3. Определение кратного интеграла
133
Лемма 6. Пусть Е—измеримое по Жордану множество про-
пространства Rn, Eocz E и цЕо — 0. Тогда
lira
D4.48)
Суммирование в формуле D4.48) происходит только по тем
индексам i, для которых Et ее т0 (Ео)-
Доказательство. Пусть Ео с: Е и цЕ0 = 0; тогда и ^? = 0
(см. в п. 44.1 замечание после доказательства аддитивности меры).
Поэтому для любого е >> 0 существует та-
такой ранг k, что
nSft(?0)<e. D4.49)
Здесь, как всегда, Sk(E0) обозначает сово-
совокупность точек всех кубов ранга k, пере-
пересекающихся со множеством Ео и, следова-
следовательно, покрывающих его: Ео с: Sk (Eo).
Напомним, что Ео лежит строго внутри
многогранника Sk (Ео), т. е. не пересека-
пересекается с его границей (см. п. 44.1). По-
Поскольку множество Ео ограничено и замк-
замкнуто, а граница dSk(E0) многогранника Рис- 17°
Sk(Eo), как играница любого множества,
замкнута, то Ео и dSk(E) находятся на положительном расстоя-
расстоянии б друг от друга (см. лемму 7 в п. 18.2).
= р(?0, dSk(E))>0.
D4.50)
Поэтому всякое множество D с диаметром A (D), меньшим чем 6,
пересекающееся со множеством Ео cz Eo, будет целиком лежать
в Sk(E0) (рис. 170). Действительно, если d(D)<<5 и существует
x<EEDf\E0, то (см. D4.50)) D cz U (х, б) a Sk (Eo), где, как обычно,
U (х, 8) — шаровая окрестность точки х радиуса б.
Пусть теперь т= {?,} — разбиение множества Е мелкости бт <6\
Тогда для всякого элемента Et этого разбиения, замыкание кото-
которого пересекается с множеством Ео, т. е. для каждого Et ge т0 (?о),
будем иметь Et a Sk (Eo)- Поэтому
Следовательно, в силу D4.49)
2 ц?, = |1 U
e. ?
Введем еще одно обозначение. Пусть Е — измеримое множество,
т ={?,¦};= t — некоторое его разбиение, Е^сЕ. Для всякой функ-
134 § 44. Кратные интегралы
ции /, определенной на Е, положим (см. D4.46) и D4.47))
= %,)№ ЕA) Ew)= 2 /ОТ ^. D4.51)
Эта запись означает, что суммирование в правой части равенства
происходит только по тем индексам i, для которых ?;ет(Ео).
Как всегда ?<'> <= ?г. Для симметрии записи обычные интеграль-
интегральные суммы Римана можно по аналогии записывать в виде
Вместо символа суммирования 2 иногда для краткости будем
i
писать 2-
х
Теорема 5. Пусть Е —измеримое по Жордану множество про-
пространства Rn, т= {?;},¦ = i° — его разбиение, ?,с Е и |л?о = О.
функция / ограничена на множестве Е, то риманов интеграл
^f(x)dE= lim ax
существует тогда и только тогда, когда существует предел
lim
При этом, если последний предел существует, то он равен
интегралу § / (х) dE.
Доказательство. Для всякого разбиения т—{Е{}'=\° мно-
множества Е у каждого элемента Et либо его замыкание Ei не пере-
пересекается со множеством Е„, и тогда ?;Ет(?0) (см. D4.46)),
либо — пересекается (см. D4.47)), а тогда ?г-ето(?о). Следова-
Следовательно, х = х(Ео)\}хо(Ео), причем ъ(Е0) и То^о) не имеют общих
элементов.
Положим
Здесь суммирование в правой части равенства происходит только
по тем индексам i, для которых ?;ето(?о). Очевидно, что для
любой интегральной суммы Римана ах справедливо равенство
(см. D4.42) и D4.51))
От = 0т (в.) + <Tt. (в.)- D4.52)
В силу ограниченности на Е функции / существует такая постоян-
постоянная Л4>0, что для всех хе? выполняется неравенство \f(x)\^M.
44.3. Определение кратного интеграла 135
Поэтому
Поскольку согласно лемме 6
lim 2 ц?, = 0, то lim аТо(Ео) = О.
В силу этого из равенства D4.52) следует, что интегральные
суммы ат и at(?0) одновременно имеют или нет пределы при
6t->0, причем, если эти пределы существуют, то они равны. ?
Из этой теоремы следует, что, если функция определена и огра-
ограничена на некотором измеримом множестве Е, то при определении
интеграла, как предела интегральных сумм, в них можно отбра-
отбрасывать все слагаемые, соответствующие элементам разбиения,
замыкания которых содержат граничные точки, ибо множество
Еа=дЕ имеет меру ноль (см. теорему 1 в п. 44.1).
Из теоремы 5 следует также, что если функция / определена
и ограничена на измеримом множестве Е, то изменение ее зна-
значений на некотором множестве EQcz E меры ноль, в результате
которого снова получается ограниченная на Е функция, не влияет
ни на интегрируемость функции, ни на значение интеграла от
функции, если он существует. Это сразу следует из того, что,
при указанном изменении функций сумма оХ(е0) не меняется,
а в силу теоремы 5, если ее предел при 6t->0 существует, то
он равен интегралу jj / (x) dE:
lim
Из этого замечания, в частности, следует, что функция /
является интегрируемой на измеримом множестве Е тогда и
только тогда, когда на этом множестве Е интегрируема всякая
функция, получающаяся из f произвольным изменением ее значе-
значений в граничных точках, т. е. на множестве Ef\dE, таким, что
эти значения остаются, однако, ограниченными. При указанной
операции не меняется и значение интеграла \f(x)dE. Все это
следует из того, что граница измеримого множества, а значит,
и любая ее часть, имеют меру ноль.
Таким образом, интегрируемость и значение интеграла от
функции по множеству Е не зависят от значений функции в гра-
граничных точках измеримого множества Е, если только эти значе-
значения ограничены.
136 § 44. Кратные интегралы
44.4. СУЩЕСТВОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА
Простейшим примером интегрируемой по Риману функции
является произвольная числовая функция /, определенная на
некотором множестве Е czR", мера Жордана которого равна нулю:
^? = 0. В этом случае для любого разбиения x — {Ei\li=\' мно-
множества Е будем иметь ц?'1 = 0 для всех i=l, 2, ..., ?, и потому
при любом выборе точек ?<<>?=?•; получим / (^(l)) fx?"j = 0, и, следо-
следовательно, (см. D4.42))
Отсюда, согласно определению интеграла, он существует в этом
случае и равен нулю:
$/(je)d?=limat = 0.
бт—>о
Поскольку функция / произвольна, то в частности, она может
быть и неограниченной. Иначе говоря, условие ограниченности
функции не является необходимым для ее интегрируемости по
Риману на произвольном измеримом по Жордану множестве.
Вспомним, что для интегрируемости функции по Риману на отрезке
условие ограниченности функции было необходимым (см. теорему 1
в п. 27.2). Однако, с некоторым видоизменением теорема об огра-
ограниченности интегрируемой функции оказывается справедливой и
для рассматриваемого здесь интеграла.
Предварительно докажем лемму.
Лемма 7. Пусть функция f определена на измеримом по Жор-
Жордану множестве Е, т = {?,-}!•= I" — разбиение этого множества и
Е* — объединение всех элементов этого разбиения, имеющих поло-
положительную меру: Е* — (J Е(.
ц?,. >0
Если функция f неограничена на множестве Е*, то каково бы
ни было число М>0, можно так выбрать точки I'^ef,-, что
будет справедливо неравенство
? = 1
¦ м.
Следствие. Пусть функция f определена на измеримом по Жор-
Жордану множестве Е. Если у множества Е существуют сколь угодно
мелкие разбиения, для которых функция f неограничена на объе-
объединении всех их элементов положительной меры, то функция f
неинтегрируема на Е.
Доказательство леммы. По условию леммы множе-
множество Е* является объединением элементов Et положительной меры
44.4. Существование интеграла
137
разбиения т. Поскольку всякое разбиение состоит из конечного
числа элементов, то Е* является конечной суммой указанных
множеств Et <= т. Поэтому, если функция / неограничена на мно-
множестве Е*, то она неограничена и на некотором множестве Et
положительной меры. Пусть для определенности им будет мно-
множество Е\. В силу неограниченности функции / на Ег можно
выбрать такую последовательность |„" е Ej, n = \, 2, ..., что
будет иметь место равенство lim /(|^') = oo. Зафиксируем каким-
п—»со
либо образом остальные точки |1'> ее Et при г = 2, 3, ..., /0.
п
Поскольку сумма 2 / (?(()) \^Et — фиксированное число и
i = 2
> 0, то в сумме
при п->оо первое слагаемое стремится к бесконечности, а вто-
второе—постоянное; отсюда
lim
л->оо
= -f- CO.
Поэтому для любого числа М>0 можно подобрать такой номер
iio = iio(M), чт0 будет справедливым неравенство
Доказательство следствия. Если функция / интегри-
интегрируема на множестве Е, т. е. существует предел
lim ^l
то для любого е > 0, например для е = 1, существует такое
б„ >0, что для всех разбиений т = {?',-}1=10 множества Е мелко-
мелкости б < бп при любом выборе точек |1'> е ?,- е т выполняется
неравенство
и, следовательно, неравенство
(х) dE +
D4.53)
138 § 44. Кратные интегралы
Если же функция / удовлетворяет условиям следствия, то
у множества Е существует разбиение т мелкости 6t<60, для
которого функция / неограничена на объединении всех элементов
положительной меры этого разбиения. Тогда по лемме 7 сумму
2 /A('')мД" можно сделать сколь угодно большой по абсолютной
i=i
величине за счет выбора точек ?('> е Ei e т. Поэтому такая функ-
функция не может быть интегрируемой —для нее не выполняется усло-
условие D4.53). ?
Покажем теперь, что если пренебречь множеством меры ноль,
то всякая интегрируемая функция будет ограниченной.
Теорема 6. Если функция f интегрируема на множестве Е,
то существует такое множество ЕйаЕ меры ноль: \iE0 = Q, что
функция f ограничена на Е\Е0.
Доказательство. Пусть функция / интегрируема на Е,
и указанного в теореме множества Ео не существует. Возьмем
любое бо>0 и какое-либо разбиение т множества Е мелкости
бт<б0. Обозначим через Е* объединение всех элементов поло-
положительной меры. Тогда множество Е\Е* является объединением
конечного числа множеств Et <= т меры ноль, и поэтому оно само
имеет меру ноль: ц (Е\Е*) = 0. Вследствие этого по сделанному
предположению функция / неограничена на множестве Е*. Отсюда,
согласно следствию из леммы 7 получаем, что функция / неин-
тегрируема. Q
Покажем теперь, что для важного класса измеримых по Жор-
дану открытых множеств теорема об ограниченности интегрируе-
интегрируемой функции полностью сохраняется. Для доказательства этого
нам понадобится одна геометрическая лемма.
Лемма 8. Непустое пересечение замкнутого п-мерного куба
с открытым множеством п-мерного пространства имеет положи-
положительную нижнюю меру Жордана.
Следствие. Для любого открытого измеримого по Жордану мно-
множества существуют сколь угодно мелкие разбиения, все элементы
которых имеют положительную меру.
Доказательство леммы. Пусть Q — л-мерный куб, G —
открытое множество пространства Rn и Qf|G=/=0. Какова бы ни
была точка х ее Q f) G, в силу открытости множества G существует
такая ее окрестность U (х), что
U(x)c:G. D4.54)
Нетрудно убедиться, что во множестве U (х) всегда имеется внут-
внутренняя точка у куба Q. В самом деле, может случиться, что
сама точка х является внутренней для куба Q и тогда можно
взять у — х. Если же х — граничная точка Ky6aQ. то она является
граничной и для множества его внутренних точек. Поэтому ее
окрестность V (х) заведомо содержит внутреннюю точку у куба Q
44.4. Существование интеграла 139
(рис. 171). В силу определения внутренней точки (см. п. 18.2)
существует такая ее окрестность V (у), что
V (у) с Q. D4.55)
В силу D4.54) и D4.55) справедливы включения
U(x) (]V(y)^U (х) с G, U(x)f]V (у) с= V (у) с Q;
поэтому
D4.56)
Поскольку yeE.U(x) и j/e У ((/), то пересечение U(x)[]V(y) не
пусто, ибо содержит во всяком случае точку у. Далее, будучи
пересечением двух открытых множеств, оно
также является открытым и потому (см.
п. 44.1)
В силу свойства монотонности нижней меры
(см. лемму 1 в п. 44.1) из D4.56) имеем
т. Рис. 171
Из двух последних неравенств явствует,
что n,(QnG)>0. ?
Доказательство следствия. Пусть G — измеримое
открытое в Rn множество. Зафиксируем разбиение пространства #я
на кубы некоторого ранга k. Множество кубов Q этого ранга,
имеющих непустое пересечение со множеством G, является конеч-
конечным, ибо множество G, в силу его измеримости, ограничено.
Перенумеруем все указанные кубы: Qi. Qz, • ••> Qh- Множества
Ei = Qi f]G Фф, t = l, 2, ..., г'о. измеримы и образуют разбиение
т ={/;,•}'•=I" множества G. Действительно, с одной стороны ?; =
•о
<=Qi(\GczG, следовательно, \J EtczG, а с другой — каждая
точка xeG, как и всякая точка пространства Rn принадлежит
хотя бы одному кубу Q ранга k: х е Q f) G. Тогда Q fl G ^ х,
т. е. при некотором i Q = Qi, поэтому х ^Qt(]E = Et cz \J E{.
i= 1
h
Таким образом, \J Et=^G.
t=i
Далее, Ei{\Ej cz QiOQj- Если пересечение Q^flQ/ непусто, то
оно представляет собой куб размерности, меньшей чем п, и, сле-
следовательно, является графиком непрерывной (даже линейной)
функции на компакте. Поэтому его мера равна нулю: iiQt f| Qj — О,
откуда и [xEi (] Ej = 0, 1Ф j. Наконец, согласно лемме 8 цЕ; > 0.
140 § 44. Кратные интегралы
Очевидно, что существуют сколь угодно мелкие разбиения т ука-
указанного вида. Действительно, каково бы ни было 6>0, достаточно
взять такой ранг к, чтобы "j/"n/10*-<6 (d (Q) = 10-*}/~п — диаметр
куба Q ранга k) и тогда
й(Et) = d(Qi ПG)^d(Qi) = 1(HVn<6, /=1, 2, .... t0,
и поэтому бт <С б. Ц
Теорема 7. ?сш функция интегрируема на открытом мно-
множестве, то она ограничена.
Доказательство. Пусть функция / интегрируема на откры-
открытом множестве G. Тогда, согласно определению интеграла, мно-
множество G измеримо по Жордану, а на основании следствия из
леммы 8, существуют сколь угодно мелкие его разбиения, все
элементы которых имеют положительную меру. Очевидно, что
в силу леммы 8 для разбиений, построенных при доказательстве
следствия из указанной леммы, объединение всех их элементов
положительной меры совпадает с самим множеством G. Если
функция / была бы неограниченной на G, то, согласно следствию
из леммы 7, она была бы неинтегрируемой.
Замечание. Как видно из приведенного доказательства
теоремы 7, открытость множества G потребовалась лишь для
того, чтобы показать, что существуют его разбиения сколь угодно
малой мелкости, все элементы которых имеют положительную
меру. Тем самым для всех множеств, обладающих этим свойством,
интегрируемость на них функций влечет за собой их ограничен-
ограниченность.
Легко, например, можно убедиться в том, что замыкание G
любого измеримого открытого множества G также имеет сколь
угодно мелкие разбиения, мера всех элементов которых положи-
положительна. Действительно, достаточно снова взять все кубы Q;
ранга k, имеющие с G непустое пересечение. Тогда они будут и
подавно иметь непустое пересечение с замыканием G множества G:
Qi fl G zd Qi П G =5^ 0 ¦ При_ этом, поскольку Sk (G) — замкнутое мно-
множество hGcSj(G), to G cz Sk(G). Следовательно, если положить
Ei = Qif\G, где Qt(]G^ ф, то т = {?,¦} образует покрытие замы-
замыкания G множества G, ибо многогранник Sk(G) состоит только
из указанных кубов Qit и по лемме 8
Упражнение 6. Построить пример функции, неограниченной и интег-
интегрируемой на множестве положительной меры.
Если функция / ограничена на измеримом множестве то, как
и в одномерном случае, можно определить верхние и нижние
суммы Дарбу.
44.4. Существование интеграла 141
Определение 5. Пусть f — функция, ограниченная на измери-
измеримом по Жордану множестве Е,х= {?*}!•=i° — разбиение множества Е,
пц= inf f(x), Mi= supf(x), i=l, 2, ..., i0.
Тогда суммы
называются соответственно нижними и верхними суммами Дарбу.
Для сумм Дарбу и интегральных сумм Римана справедливы
очевидные неравенства
sT s=s ox sg Sx.
Как и для функций одной переменной, для любых двух раз-
разбиений Ti и т2 справедливо неравенство
st, sS STa.
Теорема 8. Для того чтобы ограниченная на измеримом по
Жордану множестве Е cz R" функция f была интегрируемой по
Риману на этом множестве необходимо и достаточно, чтобы
lim (ST-sT)=0. D4.57)
При выполнении этих условий
lim S, = lim sT = \f (x) dE. D4.58)
Условие D4.57) равносильно следующему
lim 2 со (/;?,) ixEt = 0, D4.59)
«0
где (о(/; ?;) — колебание функции / на множестве ?,• ет= {
Доказательство этой теоремы проводится аналогично одномер-
одномерному случаю и рекомендуется проделать читателю самостоятельно.
Упражнение 7. Сформулировать определения пределов D4.57) — D4.59)
с помощью последовательностей и используя «е-б-язык».
Теорема 9. Если функция непрерывна на измеримом по Жор-
Жордану компакте, то она интегрируема на нем.
Доказательство. Пусть Е — измеримый компакт, Е a R'1,
а / — непрерывная на нем функция. Всякая функция, непрерыв-
непрерывная на компакте, ограничена (см. п. 19.5) и равномерно непре-
непрерывна (см. п. 19.6) на нем. Поэтому и здесь доказательство
142 § 44. Кратные интегралы.
протекает аналогично одномерному случаю (см. п. 27.5): легко
получается оценка
где со (б, /) — модуль непрерывности функции /. Из этой оценки
сразу следует выполнение условия D4.59), а поэтому, согласно
теореме 8, и интегрируемость функции /. Q
44.5*. ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ РАЗРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
Непрерывность функции не является необходимым условием
интегрируемости: существуют и разрывные интегрируемые функ-
функции. Достаточно широкий класс разрывных интегрируемых функ-
функций устанавливается следующей теоремой.
Теорема 10. Если функция ограничена на измеримом по Жор-
дану компакте и множество ее точек разрыва имеет жорданову
меру ноль, то эта функция интегрируема по Риману.
Доказательство. Пусть функция / определена и ограни-
ограничена на компакте, т. е. на ограниченном замкнутом множестве
Е a R". В силу ограниченности функции / на Е существует такая
постоянная М > 0, что для всех х е Е выполняется неравенство
\f(x)\^M. D4.60)
Пусть Ео — множество точек разрыва функции f. По условию
теоремы цЕ0 = 0, а поэтому для любого фиксированного 8 > 0
существует такой ранг k, что
Это следует из того, что в данном случае, согласно определению
меры, lim iiSk(E0) = 0. Пусть многогранник Sk(E0) состоит из
Й-+ + СО
кубов Qi, Q2,..., Qi. Обозначим через Pj куб, получающийся из Q/
преобразованием подобия с центром в центре куба Q/ и коэф-
коэффициентом подобия равным трем; тогда
/=1, 2, ...,/. D4.62)
Положим Р— (J Pj. В силу неравенств D4.61) и D4.62) имеем
I S S
цР = и\\ Р,^У [хР,= У 3rau,Q/ = 3"Li5ft(?o)<-r^r. D4.63)
Отметим, что множество Р получается из Sk (Ео) окаймлен!1ем
последнего полосой кубов с ребрами длины 10"*, поэтому всякое
44.5*. Об интегрируемости разрывных функций
143
множество А с диаметром d(A), меньшим чем 1(Н, пересекаю-
пересекающееся с множеством Sk(E0), содержится в Р (рис. 172):
1(Н, A()Sk(Eo)^0=>AcP. D4.64)
Обозначим теперь через G множество внутренних точек мно-
многогранника Sk (Ео). Очевидно, G — открытое множество, а поскольку
Е
•
по условиям теоремы Е замкнуто, то
множество F = E\G также замкнуто,
причем в силу ограниченности Е мно-
множество F ограничено, поэтому F — ком-
компакт. Далее, множество Ео лежит внутри
многогранника Sk(Ea), т. е. ?0с:О |
(как отмечалось выше, см. п. 44.1, это |
справедливо вообще для любого мно- |
жества Е и вытекает из определения {-
многогранника Sk (?)). Отсюда явствует, |
что функция f непрерывна на ком- [_
пакте F, а поскольку, кроме того, мно-
множество F измеримо, как разность двух
измеримых множеств Е и G, то сог-
согласно теореме 9 функция / интегрируема
на F. Поэтому для выбранного выше
е>0 существует такое б>0, что для любого разбиения хр
множества F мелкости 6tF<6 выполняется неравенство
SXF-sXF<~, D4.65)
где Stp и sXF — верхние и нижние суммы Дарбу функции /, соот-
соответствующие разбиению хр множества F.
Пусть
S0 = mm{l(H, 6} D4.66)
т= {?«•}!=1° — какое-либо разбиение множества Е мелкости 6т<бй.
Очевидно, что xF^{Ei(]F}, где Ei(\F=?0, является разбиением
множества F мелкости STFss;6t<6o, и поэтому в силу D4.66),
для Хр выполняется неравенство D4.65).
Положим
Mi = sup / (х), т( = inf / (х),
Sx =
2
Mi= sup f(x), tn[= inf f(x),
EnF ezEnF
min(Etf]F).
144 § 44. Кратные интегралы
Каждое множество ?j?t либо пересекается с G, либо нет.
В случае непересечения, т. е. если Ei[\G=0, то EtczF, и для
таких индексов i имеем Mi = M'i, mi = mi, Ei(]F = E[.
Поскольку Е{Фф и Et с: Е = F U G, то из ?,- f] G — 0 сле-
следует, что EicF и, следовательно, Ei(]F=^0. Поэтому, заме-
заметив, что в ниженаписанных суммах все слагаемые неотрицательны,
получим:
2 Fp^. D4.67)
Б.
Если же Е^вФф, то в силу D4.64) и D4.66) ?;сРи
поэтому для этих индексов i (см. еще D4.63))
4 = |1 U ?,-
Использовав очевидные неравенства (/П; [ sgM, \ Mi\^M, i =
= 1, 2, ..., t0, непосредственно вытекающие из D4.60), и при-
применив неравенство D4.68), будем иметь
<у- D4-69)
Из D4.67) и D4.69) вытекает, что
Отсюда, согласно теореме 8, следует интегрируемость функции /
на множестве Е. Q
44.6. СВОЙСТВА КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА
В этом пункте будут рассмотрены свойства кратного интеграла,
аналогичные свойствам интеграла от функции одного переменного
по отрезку. Напомним, что интегрируемость какой-либо функции
(по Риману) на некотором множестве предполагает его измери-
измеримость по Жордану.
44.6. Свойства кратного интеграла 145
1°. Пусть Е —измеримое множество; тогда \dE = \x,E.
Действительно, в данном случае подынтегральная функция
тождественно равна единице. Поэтому, если т = {?,-}!¦= \° — некоторое
разбиение множества Е, то (см. D4.41))
\ dE = lim ^ V-Ei — F1^'
2°. Пусть Е и Е* — измеримые множества, Е* а Е и функ-
функция f ограничена и интегрируема на Е; тогда она интегрируема
и на Е*.
В самом деле, множество Е**—Е\Е* также измеримо, как
разность двух измеримых множеств. Пусть т* = {?*} — разбиение
множества ?* мелкости &%* и т** = {?**} — разбиение множества
Е** мелкости 8г**^8г*- Тогда т = {?*, ?**} является разбиением
множества Е мелкости бт = 6т*. Если
сот = 2_j w(/. -с») V't-i + 2j '
X* х**
И
х*
то, очевидно, 0 sc; (Ox* sg сот. Но lim cot = O, а поэтому lim coT» = 0,
откуда и следует интегрируемость функции / на множестве Е*
(см. D4.59)).
3°. Аддитивность интеграла по множествам. Если Е' и Е" —
измеримые множества, Е = ?' U Е", ?' [}Е"=ф и функция f
ограничена и интегрируема на множестве Е, то интегралы
\f (x) dE' и ^ (a) dE" существуют и
dE = \f(x)dE' + \f(x)dE". D4.70)
Поскольку существование интегралов \if(x)dE' и ^f(x)dE"
следует из свойства 2°, то нуждается в доказательстве лишь фор-
формула D4.70). Пусть т' = {?,•} и х" = {Я/} — разбиения соответственно
множеств Е' и ?"'. Тогда т = {Е'(, Е]} является разбиением мно-
множества Е, и его мелкость равна наибольшей из мелкостей раз-
разбиений 6х- и 6t":6T = max{6x', fix"}-
Пусть gi» е ?,', лУ) е ?/.
D4,71)
146 § 44. Кратные интегралы
В силу интегрируемости функции / на множествах Е, Е' и Е"
lim ax = U (х) йЕ, lim о> = \ f (х) dE', lim crx» = \f(x) dE".
6->0 б'->0 6>0
Поэтому, переходя к пределу в равенстве D4.71) при бт->-0
получим D4.70).
Замечание. Следует обратить внимание на следующее
обстоятельство: может случиться, что функция f определена на
множестве E = E'[jE", где Е' и ?" —измеримые множества, Е' П
(]Е" = ф, интегралы \f(x)dE' и \f(x)dE" существуют, а интеграл
\ f (x) dE не существует.
Поясним сказанное на примере. Пусть (г, <р) — полярные коор-
координаты точки на плоскости,
0, если г<1,
?' = {(г, ф): г < 1} —открытый круг, Е" = {{г, ф): /- = 1} — окруж-
окружность. Очевидно, \iE" = 0, а поэтому, несмотря на то, что функ-
функция / неограничена на Е" она интегрируема и \f(r, ф)сШ" = 0.
Существует и интеграл § / (г, ф) d?' = 0. Однако, интеграл
^ / (г, ф) йЕ по замкнутому кругу Е — Е'\] Е" не существует.
Действительно, множество Е представляет собой замыкание области,
поэтому у него существуют сколь угодно мелкие разбиения, все
элементы которых имеют положительную меру. Следовательно
(см. замечание к теореме 7), всякая интегрируемая на Е функция
ограничена, а заданная функция f неограничена и потому
не интегрируема.
Важно отметить, однако, что для ограниченных функций
подобной ситуации быть не может: если функция / ограничена и
интегрируема на измеримых множествах Е' и Е", Е'[}Е"=ф, то
она интегрируема и на множестве E — E'\j E", причем справедлива
формула D4.70). Это будет доказано в п. 44.7*.
Заметим лишь, что в случае, когда одно из множеств Е' или
Е" имеет меру ноль, то интегрируемость ограниченной функции /
на их объединении, в предположении ее интегрируемости на каж-
каждом из них, можно получить почти дословным повторением рас-
рассуждений, проведенных при доказательстве теоремы 10. В самом
деле, пусть f интегрируема и ограничена на измеримых множе-
множествах Е' и Е", ц?" = 0, E = E'\JE". Тогда, если, как и в указан-
указанном доказательстве, построить множество G гэ ?" (множество Е'
играет здесь роль множества Ео из теоремы 10) и положить F =
= E\G, то будем иметь F с: Е" и, следовательно, в силу свой-
свойства 2° интегралов, функция / окажется интегрируемой на мно-
множестве F, откуда, как и выше, вытекает ее интегрируемость на
44.6. Свойства кратного интеграла 147
множестве Е, а, значит, в силу свойства 3°, и справедливость
формулы D4.70), где \f{x)dE' = Q.
Подобным методом, только более сложным путем, можно дока-
доказать и общее утверждение.
4°. Линейность интеграла. Если функции Д и Д. интегрируемы
на множестве Е, то для любых чисел Ях и А2 существует интеграл
\ (x) + А2/2 (х)] dE и справедливо равенство
*)] dE = kx\h(x) dE + Цh (x) dE.
5°. Если функции fug интегрируемы и ограничены на неко-
некотором множестве, то и их произведение и отношение f/g (при
in{|g"|>-0) интегрируемы на этом множестве.
6°. Интегрирование неравенств. Если функции fug интегри-
интегрируемы на множестве Е, и для всех х ^.Е выполняется неравенство
f(x)^g(x), то ]f(x)dE^lg(x)dE.
Т. Если функция f интегрируема и ограничена на множестве
Е, тогда и ее абсолютная величина |/| интегрируема на нем,
причем | \ f (x) dE | < $ | / (х) | dE.
Доказательство свойств 4°, 5°, 6°, 1° проводится совершенно
аналогично одномерному случаю (см. п. 28.1).
8°. Монотонность интеграла от неотрицательных функций по
множествам. Если Е и Е* —измеримые множества, ?*сЯ, функ-
функция f неотрицательна, ограничена и интегрируема на Е, то
lf(x)dE*^f(x)dE. D4.72)
Действительно, в силу свойств 2° и 3° интегралы ^f(x)dE*
и ^ f (x) d (Е\Е*) существуют и
\ f (х) &E = \f (x) dE* + \ f (x) d (E\E*).
Поскольку f(x)^O, то в силу свойства 6Q
а отсюда и следует неравенство D4.72).
9°. Пусть функция f интегрируема и неотрицательна на изме-
измеримом открытом множестве G, x° e G, функция f непрерывна
в /почке х^ и /(jc(o')>0. Тогда
\f{x)dG>Q. D4.73)
Действительно, в силу непрерывности функции / в точке
для любого е > 0 существует такая окрестность U = U (x@)) этой
точки, что для всех x^U выполняется неравенство /(л;@)) — е<
<.f(xXf(xw) + e. При этом в силу открытости множества G
окрестность U всегда можно выбрать так, чтобы U czG.
148 § 44. Кратные интегралы
f (xl0>)
Выбрав е = „ получим для него такую окрестность U, что
для всех х, принадлежащих этой окрестности будем иметь / (х) >
> 2— Отсюда, применяя последовательно свойства 8°, 6° и 1°,
найдем, что
ибо fxf/>0, как мера всякого открытого множества. Ц
Отметим непосредственное следствиг из свойства 9°.
Следствие. Если функция f непрерывна, интегрируема и неот-
неотрицательна на измеримом открытом множестве G и не является
тождественным нулем, то \jf(x)dG'>0.
10°. Полная аддитивность интеграла по множествам. Пусть
функция f ограничена и интегрируема на множестве Е, a {Ek},
k—l, 2... — последовательность таких измеримых множеств
Eka E, что
lim цЕк = \хЕ. *> D4.74)
Тогда
lim \f(x)dEk = \f{x)dE. D4.75)
feJ
В силу аддитивности интеграла имеем:
\f(x)dE-]f (x) dEh = \f (х) d (E\Ek).
Поскольку по условию функция / ограничена, т. е. существует
такая постоянная М у> 0, что \f{x)\^M для всех х е Е, то
$ | / (*) | d (E\Ek) <: At] d (Е\Е„) =
По аддитивности меры имеем ц (Е\Еk) = цЕ — \xEk, следова-
следовательно
Отсюда в силу D4.74) и следует D4.75). Q
11°. Теорема о среднем. Пусть функции fug ограничены и
интегрируемы на множестве Е. Если функция g не меняет знака
на Е и т s=s / (x) sg M, х^Е, то существует такое число А,
т s^ Я sg M, что
*> С последовательностями измеримых множеств, обладающих свойством
D4.74).мы уже встречались, см. например, теорему 2 в п. 31.2.
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу 149
Следствие. Пусть Е — измеримое линейно связное множество
или замыкание линейно связного множества. Тогда если функция f
ограничена, интегрируема и непрерывна на Е, то существует
такая точка | <= Е, что \jf(x)dE — f (|) цЕ.
Теорема о среднем доказывается совершенно аналогично одно-
одномерному случаю (см. п. 28.2). Для получения следствия надо
использовать теорему о промежуточных значениях функции,
непрерывной на линейно связном множестве или на его замыкании
(см. п. 19.5).
44.7*. КРИТЕРИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИЙ
РИМАНА II ДАРБУ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
Пусть функция / определена и ограничена на измеримом по
Жордану множестве Е, т = {EiY^f — его разбиение, mi = mif,
to to
Mi = sup f, st = 2 tn,iiEi, ST=2 Mi[iEi — нижняя и верхняя
E c= i i= i
суммы Дарбу, соответствующие разбиению т. Положим
, /* = infST; D4.76)
/* называется нижним, а I* —верхним интегралом Дарбу функ-
функции /. Оказывается, что нижний и верхний интегралы Дарбу
являются не только соответственно верхней и нижней гранью
интегральных сумм Дарбу, но и их пределом при условии, что
мелкость разбиений стремится к нулю.
Теорема 11. Если функция f ограничена на измеримом по Жор-
Жордану множестве Е, то
/* = lim su I* = lim 5T.
Доказательство. Установим справедливость первой фор-
формулы (вторая доказывается аналогично). Пусть \f(x)l^M, x<=E,
а е>0 задано. В силу определения D4.76) существует такое
разбиение т* = {Е*\ множества Е, что
Sx*>/*-y. D4.77)
и
Здесь Sx*=Y. mfiiEf, mf = inff, t = l, 2, ..., t0- Пусть
(=i в?
Eo = M dEf. D4.78)
ti
150 § 44. Кратные интегралы
Поскольку каждое множество Е* измеримо, то \xdEf = 0> поэтому
цЕ0 = 0. Следовательно, существует такой ранг k = k(z), что
D4.79)
Покажем, что для любого разбиения т = {?/}/={' множества ?
мелкости 6т-<10~* выполняется равенство
/,-e<st</». D4.80)
В силу произвольности s>0 это и означает, что lim sT = /.,..
Неравенство s^s^I^ непосредственно вытекает из определения
нижнего интеграла /„. (см. D4.76)). Поэтому надо доказать лишь
неравенство
St>/s_e D4.81)
при условии 6T<10-fe.
Пусть Sft = Sk(Ео) состоит из кубов Qlt ..., Qm. Аналогично
тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 10, обо-
обозначим через Р] куб, получающийся из Qj преобразованием
подобия с центром в центре куба Q/ и коэффициентом подобия,
равным 3, / = 1, 2, ..., т. Положим
т
Р=[)Р„ G = E\P. D4.82)
Из определений множеств Р и G следует, что множество G
отделено от многогранника Sk (Eo) «полосой» кубов с ребрами
длины 10~fe. Прежде всего оценим меру цР. Из определения мно-
множества Р (см. 44.82)) и неравенства D4.79) имеем (сравните
с D4.63))
=з»
Далее заметим, что для любого множества A cz E с диаметром
й{А) < 10^*, пересекающимся со множеством G : А П G ф 0, суще-
существует и притом единственное множество Ef e т* такое, что
AczEf. D4.84)
Действительно, выберем какую-либо точку х е Л П G. Поскольку
Л с Я, то ,?е ?, и поэтому точка х содержится в некотором
элементе ?* разбиения т*. Для этого элемента и выполняется
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римма и Дарбу 151
включение D4.84). В самом деле, если это включение не имело бы
места, то нашлась бы точка г/еЛ\?*. Поскольку х^Л, у^А
и d (A) < 10~ft, то р (х, у) < 10-*. Следовательно, отрезок с концами
в точках х и у, имея длину, меньшую, чем 10"*, и один конец х
во множестве G, не пересекается со множеством Sk (Ео), ибо оно
отделено от G полосой ширины 10-*. Однако из того, что один
конец отрезка принадлежит некоторому множеству, в данном
случае — множеству Е*, а Другой нет, следует (см. лемму 9
в п. 18.2), что на этом отрезке существует точка zed?*. Но
(см. D4.78)) dE'faEoaSh(Eu), т. е. zeaSk(E0). Следовательно,
указанный отрезок пересекается со множеством Sk (Eo). Полученное
противоречие и доказывает вложение D4.84).
Докажем единственность множества Ef, удовлетворяющего
включению D4.84). Пусть существует еще одно множество ?| е т*,
такое, что АаЕ%, k=?i. Тогда АсЕ*{]Е?- Если пересечение
Et П Е% содержало бы хоть одну точку, являющуюся одновременно
внутренней для множеств Ef и Е%, то эта точка была бы внут-
внутренней и для пересечения Ef f| Е%, а тогда имело бы место нера-
неравенство \iEf П Е% >¦ 0. Это неравенство противоречит определению
разбиения (см. п. 44.3), в силу которого ц,?*П?1 = 0 при 1фк.
Следовательно, каждая точка пересечения Е*(]Е%, поэтому и каж-
каждая точка множества А, является граничной точкой по крайней
i
*
мере для одного из множеств Ef, El- Но тогда A cz (J дЕ*
— EoczSk (Ео)- Это невозможно, так как множество Л пересека-
пересекается со множеством G, которое не пересекается с Sk (Eo)- Проти-
Противоречие получилось из предположения о существовании второго
элемента Е% из г*, содержащего множество А. Следовательно
такой элемент единственен.
Возьмем теперь произвольное разбиение т = {?)}/= i° множества Е
мелкости 6T<10'ft. Нижнюю сумму Дарбу
/о
mJ= inf fM' /=1) 2) •••' i°'
разобьем на два слагаемых, соответствующих тем Е/, которые
пересекаются со множеством G, и тем, которые с ним не пересе-
пересекаются и, следовательно, целиком лежат в множестве Р (см.
D4.82)).
D4-85)
Использовав очевидное неравенство
\щ\^М, / = 1, 2, .... /о, D4.86)
152
§ 44. Кратные интегралы
где \f(x)\^M, xe?, и оценку D4.83), получим
5 2 \mj\ PEJ ^ M S ^^у ^
E.czP
В частности, У ШуцЕу > — -|-. Поэтому из D4.85) имеем
Теперь заметим, что d (?,) гс; 8Х < 10~ft, поэтому для каждого
Ej, пересекающегося со множеством G, в силу D4.84) существует
такое ?*ет*, что EjdEf. Обозначим через G,-объединение всех
тех Ej, которые пересекаются с G и содержатся в Ef:
Gi= U Ej.
Группируя в сумме 2 rtyy^Ej слагаемые, содержащиеся в
одном и том же множестве G,-, запишем ее в виде
? D4.88)
Для оценки внутренней суммы, заметим, что для любого ?=1,
2, ..., ?0 согласно очевидному равенству
Ef = (?? П GO U (Е?\Од = G, U (??\С,-)
(второе равенство следует из включения G,- с: ?*) имеем
D4.89)
?.cG
J
Оценим второе слагаемое. Каждая точка х е ?*\G,- принадлежит
некоторому множеству ?ует:хе?/. Это ?) не может пересе-
пересекаться с G, так как всякое ?;-ет, пересекающееся с G, целиком
содержится в некотором элементе разбиения т* (см. D4.84)).
Поскольку пересечение ?) fl Ef непусто: х е ?) П ?*. то в данном
случае этим элементом может быть только множество Е*, т. е.
Ej cz Ef. Но тогда, в силу определения множества G,-, имело бы
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу 153
место включение Е/ a G,- и, следовательно, х е G,-. Это противо-
противоречит предположению, что х е Ef\Gi. Итак, множество ?} не
пересекается с G и поэтому Е/ с: Р. Отсюда, в частности, вытекает,
что ieP. Поскольку х — произвольная точка множества ?7\G,-,
то E?\Gi с: Р, и поэтому ??\G,- с: ?? П Р.
Использовав это включение и неравенство D4.86), получим
Подставив это неравенство в D4.89), будем иметь
Теперь заметив, что из включения Ej aGt a Ef следует нера-
неравенство mf^mj (нижняя грань подмножества не меньше, чем
нижняя грань самого множества), получим
2!
откуда
Просуммировав обе части по i от 1 до г0. в силу D4.88)
будем иметь
|] mfpE, - М 2 № Л Р = Ь* - М S M^f П Р.
Поскольку, согласно D4.83)
то
D4.90)
Применив теперь последовательно неравенства D4.87), D4.90)
и D4.77), получим
> ^ m#?/ — з^ > «х
т. е. неравенство D4.81), а следовательно, и теорема 11, дока-
доказаны. ?
С ее помощью можно установить два критерия интегрируе-
интегрируемости ограниченной функции.
154 § 44. Кратные интегралы
Теорема 12 (критерий Дарбу). Ограниченная на измеримом
по Жордану множестве функция интегрируема по Риману тогда и
только тогда, когда ее верхний и нижний интегралы Дарбу равны.
Доказательство. Пусть /^ и /*—соответственно ниж-
нижний и верхний интегралы Дарбу функции f, ограниченной на
измеримом множестве Е. Следовательно, для любого разбиения
т множества Е выполняются неравенства (см. D4.76))
=?=/*=s=St. D4.91)
Необходимость условия '1^ = 1*. Если функция /
интегрируема на множестве Е, то (см. D4.57))
lim (Sx — st) = 0,
и поскольку О «S /* — /* s=S Sx — sx, то /,. = /*.
Достаточность условия /„. = /*. Если 1^ — 1*, то в
силу теоремы 11
lim (ST —st)= lim St — lim sx = I* — /* = 0,
6t->o
и поэтому, согласно теореме 8 из п. 44.4, функция / интегриру-
интегрируема. Ц
Теорема 13 (критерий Римана). Ограниченная на измеримом
по Жордану множестве Е функция f интегрируема по Риману
тогда и только тогда, когда для любого е>0 существует та-
ког разбиение т множества Е, что
St-st<8, D4.92)
где sx и St —нижняя и верхняя суммы Дарбу функции f, соот-
соответствующие разбиению т.
Доказательство. Если функция f интегрируема на мно-
множестве Е, то для нее выполняется условие D4.57) (см. теорему
8 в п. 44.4). Справедливость D4.92) следует из определения пре-
предела сумм Дарбу при бт->0.
Если, наоборот, выполняется условие D4.92), то в силу
D4.91) при любом е>0 справедливо неравенство 0«^/* — /#<в
и потому /„. = /*. Отсюда, согласно теореме 12 и вытекает, что
функция / интегрируема на множестве Е. Q
Итак, вспоминая определение кратного интеграла, данное
в п. 44.3, теорему 8 из п. 44.4 и теоремы 12 и 13 этого пункта,
получаем эквивалентность следующих пяти утверждений:
1) функция f интегрируема на множестве Е, т. е. сущест-
существует предел lim ах = \ f (x) d?'»
2)
6,
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу 155
U
3) lim 2 ю(/> ?"/)n^j = 0, т — {Ei}\"=\ —разбиение множе-
ctnea E;
4) для любого г >• О существует такое разбиение т множества
Е, что Sx — st<;e;
5) /* = /*.
Таким образом выполнение каждого из этих условий равно-
равносильно существованию интеграла ^f(x)dE, причем
\f(x)dE= limoT= lim sx= lim Sx.
J бг-»о 6t^o 6t^o
Замечание 1. Доказанные теоремы позволяют теперь без
труда доказать аддитивность интеграла по измеримым множест-
множествам для ограниченных функций (см. п. 44.6, свойство 3) в сле-
следующем виде: если ограниченная функция f интегрируема на не-
непересекающихся множествах Ех и Е2, то она интегрируема и на
множестве Е = Е1[)Е2.
Действительно, если функция f ограничена и интегрируема
на множествах Е± и Е2, то, в силу теоремы 13, для любого е>
>0 существуют разбиения тх и т2 соответственно множеств Ех
и Е2 такие, что
5т, - *, < |, 5tl - *, < |. D4.93)
Поскольку т = Т!ит2 является разбиением множества ? =
и соответствующие ему верхняя Sx и нижняя st суммы Дарбу
выражаются через аналогичные суммы Дарбу, соответствующие
разбиениям ti и т2, по формулам S^ —STl-[-ST2, st = sTl + sX!!, то
вычитая из первого из этих равенств второе, получаем в силу
D4.93)
St-st= Etl -
Из выполнения этого условия следует (снова согласно тео-
теореме 13), что функция / интегрируема на множестве Е.
Замечание 2. Как уже отмечалось в п. 44.3, для функций
одной переменной, определенных на отрезках, мы располагаем
двумя определениями интеграла, а именно, определением, данным
в п. 27.1—с помощью разбиений отрезков только на отрезки, и
определением из п. 44.3 —с помощью разбиений отрезков на лю-
любые измеримые по Жордану множества. Эти два определения
эквивалентны.
Докажем это. И при первом и при втором определении необ-
необходимым условием интегрируемости является ограниченность
рассматриваемой функции: см. теорему 1 в п. 27.2 и замечание
к теореме 7 в п. 44.4. (отрезок является замыканием интервала,
т. е. замыканием открытого множества). Поэтому рассмотрим
156 § 44. Кратные интегралы
ограниченную на некотором отрезке [а, Ь] функцию /. Пусть
«о
для этой функции существует интеграл /= lim У! ft^A^Et в
6° =
t t\
смысле п. 44.3, т. е. для всевозможных разбиений т = {?;}[•=V
отрезка [а, Ь] на измеримые по Жордану множества ?,-. Тогда,
если ограничиться лишь частью разбиений т, для которых все
множества ?/ являются отрезками, то при 6t->0 предел инте-
тральных сумм ^ / A«)^» по указанной части разбиений также
будет существовать и будет равен тому же числу /. Следова-
Следовательно, если существует интеграл в смысле п. 44.3, то он су-
существует и в смысле п. 27.1.
ь
Пусть, наоборот, существует интеграл I = '\f(x)dx в смысле
а
п. 27.1. Тогда согласно теореме 2 из п. 27.4
lim (ST — st) = 0, где т —разбиение отрезка [а, Ь] на отрезки.
Следовательно, для любого е >¦ 0 существует такое б > 0, что
для всякого разбиения т отрезка [а, Ь] на отрезки длин, не пре-
превышающих б, справедливо неравенство Sx — st<e. Но уже из
того, что существует по крайней мере одно разбиение т, для ко-
которого выполняется неравенство Sx — st<Ce, следует, согласно
теореме 13 из этого пункта, что функция / интегрируема в смы-
смысле определения п. 44.3.
Итак, оба определения интеграла по отрезку действительно
эквивалентны.
Замечание 3. Из доказанного вытекает также следующее
усиление достаточных условий интегрируемости функции, дока-
доказанных в теореме 2 из п. 27.4: для интегрируемости функции f
на отрезке [а, Ь] в смысле определения интеграла в п. 27.1 до-
достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлось хотя бы одно такое
разбиение т отрезка [а, Ь] на отрезки, что для нижних и верх-
верхних сумм Дарбу соответствующих этому разбиению, выполня-
выполнялось бы неравенство Sx — st<8.
Действительно, в этом случае функция f интегрируема на
отрезке [а, Ь] в смысле п. 44.3, а потому, согласно доказанному,
и в смысле п. 27.1.
Замечание 4. Из предыдущего замечания непосредственно
следует, что функция f, ограниченная на некотором отрезке
[а, Ь] и интегрируемая по Риману на любом отрезке [а, ч\], а<
<т]<&, интегрируема и на всем отрезке [а, Ь] (это факт был
отмечен нами без доказательства в п. 33.1). Действительно, если
\f(x)\^M, х<=[а, Ь], и задано е>0, то выберем б, 0<б<й —
— а, так, чтобы б<^. Тогда в силу интегрируемости функции
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 157
/ на отрезке [а, Ъ — 8] существует такое его разбиение т, что
если st и Sx — нижняя и верхняя суммы Дарбу функции для
этого разбиения, то
Обозначим через т0 разбиение отрезка [а, Ь], получающееся
из разбиения т0 отрезка [а, Ь — 8] добавлением точки Ь: то =
= тиШ, и пусть mo= inf f(x), Mo= sup f(x). Если sTo и
[Ь-6, Ь] [Ь-6, Ь]
5То —нижняя и верхняя суммы Дарбу функции для разбиения
То, ТО
Поэтому
и, следовательно, согласно замечанию 3, функция / интегриру-
ex\ia по Риману на отрезке [а, Ь].
§ 45. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
Перейдем теперь к свойствам кратного интеграла, связанным
со специфическими чертами, отличающими многомерный случай
от одномерного. Использование этих свойств часто существенно
облегчает вычисление конкретных кратных интегралов. Полные
доказательства будут проводиться лишь для случая функций
двух переменных. Общий, и-мерный случай, в идейном отноше-
отношении не отличается от плоского, однако рассуждения там прини-
принимают более громоздкий и трудно обозримый вид.
45.1. СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ
В настоящем параграфе будет показано, что интегрирование
функций многих переменных может быть сведено к последова-
последовательному интегрированию функций одной переменной. Начнем
с того, что определим понятие повторного интеграла.
Пусть на отрезке [а, Ь] заданы непрерывные функции ц>(х)
н i|)(#), такие, что q>(x)^ty(x), a&^x&cb, и пусть на множестве
(рис. 173)
Е = {(х, у):а^х^Ь, у(х)^у^Ц(х)} D5.1)
определена функция f(x, у).
Если для любого фиксированного xe[e, b] функция f(x, у),
как функция переменного у, интегрируема на отрезке [ср(.г), О]
158 § 45. Сведение кратного интеграла к повторному
т. е. при любом х е [а, Ь] существует интеграл § / (х, у) dx и
функция
F(*) = $ /(х, y)djf D5.2)
интегрируема на отрезке [а, Ь], то интеграл
J S /(*, y)dy\dx D5.3)
называется повторным интегралом и обозначается через
Ь ф(*>
D5.4)
Функция F(x), задаваемая равенством D5.2), называется
интегралом, зависящим от параметра х. Таким образом, повтор-
повторный интеграл D5.4) является интегралом от
интеграла, зависящего от параметра (см. так-
также § 53, 54).
Заметим, что множество Е, задаваемое
формулой D5.1) измеримо в смысле плоской
меры Жордана и замкнуто. Действительно
_ fc_ из непрерывности функций ф и if» на отрез-
п * х ке [а, Ь] следует их ограниченность, а по-
Рис 173 этому множество Е ограничено. Далее, его
граница дЕ состоит из графиков указанных
функций ф и *$, а также, быть может, отрезков прямых х = а и
х — Ь. Каждое из указанных множеств имеет меру ноль (см. теорему
3 в п. 44.2), а поэтому и граница дЕ множества Е также имеет
меру ноль. Наконец, множество Е задается с помощью нестро-
нестрогих неравенств а «^ х <; Ь, ф (х) <; у <; г|э (х), где функции ф и %
непрерывны, следовательно, эти неравенства сохраняются и при
предельном переходе, откуда и вытекает замкнутость множества
Е. Таким образом, Е — измеримый компакт.
Достаточные условия для возможности сведения двукратного
интеграла к повторному даются следующей теоремой.
Теорема 1. Пусть функция / (х, у) непрерывна на множестве
Е, заданном формулой D5.1). Тогда
Ь t|j (x)
\\f(x, y)dxdy=[dx \ f{x, y)dy. D5.5)
Е а <р(х)
Доказательству теоремы предпошлем следующую лемму.
Лемма 1. В предположениях теоремы 1 функция D5.2) непре-
непрерывна на отрезке [а, Ь].
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 159
Доказательство леммы. Прежде всего заметим, что
интеграл D5.2) существует при любом х^[а, Ь]. Действительно,
функция }(х, у), будучи непрерывной по совокупности перемен-
переменных хну, непрерывна по каждому из них. Поэтому указанный
интеграл существует как интеграл от непрерывной по у функции
на отрезке [ф(д:)( ty(x)].
Выполнив в этом интеграле замену переменной у на t по
формуле
0 = Ф(*)+Й(*)-Ф(*)]*, 0<*<1, D5.6)
получим
1
F (*) = $/ [х, Ф (х) + (ф (х) - Ф (х)) Ц ($ (х) - Ф {x))dt. D5.7)
о
Положим
g (х, t) = f[x, у (х) + ft? (дс) - Ф (х)) t] (\Ц (х) - ф (х)).
Поскольку функция g(x, t) получается с помощью арифмети-
арифметических операций и композиции из непрерывных функций /, ф,
Щ> и D5.6), то в силу теоремы о непрерывных функциях (см.
п. 19.3 и 19.4) g(x, t) непрерывна по совокупности переменных
х, t на прямоугольнике
Таким образом, для функции F (х) (см. D5.2)) в силу D5.7)
имеет место более простое представление
= \g(x, t)dt
о
(более простое в том смысле, что в нем постоянны пределы инте-
интегрирования).
Пусть теперь х^[а, b], x-\-Ax^[a, b].
Обозначим через «а (б; g) модуль непрерывности (см. п. 19.6)
функции g(x, t). Тогда
1
с, t)dt-\g{x, t)dt <
б о
, t)-g{x, f)\dt^u>{\Ax\; g). D5.8)
Функция g(x, t), будучи непрерывной на ограниченном
замкнутом множестве А, равномерно непрерывно на нем, а поэтому
(см. п. 19.6) Нтш(б; g) =0. Отсюда в силу неравенства D5.8) имеем:
lim [F(x + Ax)-F(x)] = 0,
160
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному
что и означает непрерывность функции F (х), определенной фор-
формулой D5.2). ?
Доказательство теоремы. Прежде всего заметим, что
интеграл, стоящий в правой части равенства D5.5), т. е.
f{x, y)dy,
является интегралом от непрерывной функции (см. лемму) и
потому существует.
Разобьем теперь множество Е на части Еу, i, / = 1, 2, ..., k,
следующим образом. Рассмотрим разбиение xk = {JCj}i=o отрезка
[а, Ь] на k равных отрезков:
а = х0 < хх <... < хк = Ь,
Ь — а
>1 — '| ^1 . . . , К,
и пусть
Фо (х) = Ф (х),
Ф1 (х) = Ф (х) + ~ Й (*) - ф (л:)],
ФУ (*) = Ф (X) + ^ (х) - ф (х)],
X
Рис. 174
Фа (х) =
Положим Ец = {(л;, г/): х^г < л; s=sл:,-, ф,--1 (д;) ==с i/ sS фу (л:)}, и пусть
т! = {?¦;;}, i, / = 1, 2, ..., k. Очевидно, что х% является разби-
разбиением множества Е (рис. 174).
Теперь имеем:
f(x,
ч>(х)
dx \ fix,
ft xi
fix,
Положим
fe fc
D5.9)
и Aftf =
, y), e, / = 1, 2, .... Лг.
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 101
Заметив, что
X.
р.Е{,= \ |ф,(х) - ф,^ (л:)] dx,
xi-i
получим
xt 4j (л) к( ф,- (х)
\ dx \ f(x, у)йу^Ми \ dr \ dy=x
*i-i b-iU) xi-i ф/1(д:)
xi
= МЦ $ [<P/(x)-<pf-i(x)]dx=Mij\iEij, D5.10)
xi-i
и аналогично,
\ dx \ f(x, y)dy^mijV.Eif. D5.11)
С помощью неравенств D5.10) и D5.11) для повторного интеграла
D5.9) получаем следующую оценку через нижние и верхние
суммы Дарбу st* и 5Т* функции f(x, у):
k ft Ь $(х)
S ^niijuEij^dx ^
» = 1 ( = 1 a <j (a)
Z, I, MwEy-Sr*. D5.12)
Для мелкости б * разбиения т| области G имеем lim б * = 0.
Действительно, как уже отмечалось, функции ф и ф в силу
своей непрерывности ограничены на отрезке [а, Ь], т. е. сущест-
существует такая постоянная М > 0, что j ф (х) \ ===: М и [ if) (.r) | «s M для
всех х е [а, Ь]. Поэтому для диаметра d (?«,-) каждого множества
?f/ e т}; имеем в силу определения функций ф;-
v^
где (о (б, \j;) и со (б, ф) — модули непрерывностей функций ф и ф.
Следовательно, бт* = max d (?,7) ^S ^ V(b — аK + 4М2 ->¦ 0 при k ->
-V + CX5- Поэтому, в силу интегрируемости функции f(x, у) на ?
(см. п. 44.4),
lim sT*= lim St*=JJ/(a:, y)dxdi/.
Iz —* oo ft —»¦ оэ (j
Переходя теперь к пределу в неравенстве D5.12) при fe-э-оо,
получим формулу D5.5). ?
6 1{удрявцев Л. Д. т. 2
162
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному
Если множество Е таково, что существуют такие непрерывные
функции а (у) и Р(г/), а(у)^$(у), c^y^d, что
<4513)
a
а функция f(x, у), как и раньше непрерывна на Е, то в силу
равноправия переменных х и г/, из теоремы 1 следует, что
а Ь
Рис. 175
? с а (у)
D5.14)
Если же для множества Е справедливо
как равенство D5.1), так и D5.13) (рис.
175), то приравняя правые части равенств
D5.5)_и D5.14), для непрерывной на множе-
множестве Е функции f(x, у) получим формулу
Ь ф М dp (У)
\dx \ f(x, y)dy = \dy \ f (x, у)dx,
а <р (х) с а ((/)
D5.15)
выражающую собой правило перемены порядка интегрирования
в повторных интегралах.
Отметим, что условия, при которых были доказаны форму-
формулы D5.5), D5.14) и D5.15), могут быть ослаблены.
у'=1
-1
о
1
Рис. 176
Рис. 177
Пример. Вычислим интеграл от функции z = x2y по конеч-
конечной области G, ограниченной частью параболы у = х* и прямой
у=1 (рис. 176). Имеем
1 1
^ $ xlydxdy= \ х2dx $ t/dy —
— i
- 1
- 1
Если требуется вычислить двойной интеграл по множеству,
которое нельзя задать в виде D5.1) или D5.13), то для того
45.2. Обобщение на п-мерный случай. 163
чтобы использовать полученные формулы, надо попытаться раз-
разбить данное множество на части, каждая из которых будет уже
иметь, вид D5.1) или D5.13) (рис. 177). Если это удастся сде-
сделать, то в силу аддитивности интеграла по множествам (см.
п. 44.6) вычисление данного интеграла сведется к вычислению
интегралов по указанным частям, а последние с помощью фор-
формул D5.5) и D5.14) могут быть сведены к однократным.
Упражнения. Вычислить интегралы:
2. ^jfiyzdxdy, ? = {(*, у): у >0; ху < I;
'е
3. Цхйхйу, Е = {(х, у):х< 20; у<20; х-у+5>0, xy>Q\.
4. ^
5. \\^dxdy. 8. \\ e-x' + 2x
О у 0 Ь
1/2 1 11
6. $ \cos{x* + l)dxdy. 9. J J e"'/:idxdy.
0 2 </ 0 /у
11 10
7. ^ \ sin (лЗ -1) dx dy. 10.
Изменением порядка интегрирования упростить выражения (функция f
непрерывна во всей области интегрирования):
1 У 3 1
11. \dy \ f{x, y)dx+\dx \ f{x,y)dy,
0 > 1 т*
1 Yx 4 \lx
12. )dx [ f{x, y)dy + Stdx \ f(xf y)dy.
0 о l a
1 x' 3 C-*)/2
13. $ dx $ f {x, y) + ^ dx $ f(x, y) dy.
ob 10
ь x с
14. Доказать формулу Дирихле \dx $ f (*, у) dy = ) dy \ / (>;, y) dx.
a a ay
45.2. ОБОБЩЕНИЕ НА п-МЕРНЫЙ СЛУЧАЙ
Рассмотрим сначала трехмерный случай. Пусть Е czRs и
функция f (х, у, z) определена на Е. Обозначим через Еху проек-
проекцию множества Е на координатную плоскость переменных х и у
164
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному
(рис. 178):
Еху={(х, у, 0): существует такое г, что (л:, у, г)е?[.
Если множество Е имеет вид
Е = {(х, у, z):(x, у)<=Еху,
, у)}.
где функции фх (х, у) и tyi(x, у) непрерывны на множестве Еху,
которое в свою очередь представимо, например в виде D5.1),
а функция f (х, у, г) непрерывна на
исходном множестве Е, то справедлива
формула, аналогичная формуле D5.5),
$ $ $ / (х, у, г) dx dy dz =
е'
Ь ф<*) $,(*, г/)
= \&х \ dy J /(х, г/, z)dz. D5.16)
а ф(х) rpi(x, (/)
Объединив в правой части два внешних
интеграла, можно переписать D5.16) в
виде
$$$/(.*:, у, z)dxdydz =
>>
f{x, y, z)dz. D5.17)
Exy Ф1 (i. rt
Обозначим, теперь, через ? (х) сечения множества Е плоско-
плоскостями, перпендикулярными координатной оси Ох,
Е (х0) = Е(] {(х, у, z):x = x0}.
Объединив в правой части формулы D5.16) два внутренних инте-
интеграла, получим:
ь
W\fix, у, z)dxdy dz =\dx jj § f(x, y, z)dydz. D5.18)
k а Ё (a)
Таким образом, формулы D5.17) и D5.18) показывают, что
в трехмерном случае существует два способа сведения трехмер-
трехмерного интеграла к повторному, содержащему интегралы меньшей
кратности.
В частном случае, когда f(x, у, z) = \, имеем (см. свойство 1°
кратных интегралов в п. 44.6) \^\ dx dy dz = \х,Е, (\хЕ — объем
множества Е), $$ dydz = \iE(x), (ju? (.v) площадь сечения Е (х)).
Е (л)
Таким образом
ь
p,E = \pE(x)dx. D5.19)
а
45.2. Обобщение на п-мерный случай
165
— объем тела равен интегралу от переменной площади сече-
сечений Е (х).
Пример. Найдем объем эллиптического цилиндра высоты/г,
в основании которого лежит эллипс с полуосями а и Ь. Взяв
за координатную плоскость ху плоскость од-
одного из оснований цилиндра, а за ось г —
его ось симметрии, перпендикулярную осно-
основаниям (рис. 179), получим согласно фор-
формуле D5.19) \хЕ — jj цЕ (г) dz. Но Е (г) эллипс
б
с полуосями а и Ь, а поэтому (см. пример 4
в п. 32.1) цЕ (z) = nab, следовательно цЕ =
h
б
Аналогично трехмерному случаю кратные
интегралы от функций любого числа пере-
переменных п > 3 можно свести к повторным
интегралам. Пусть R" — п-мерное простран-
пространство, R'1'1 гиперплоскость х„ = 0, i:c:^,
Рис. 179
Xl...xn
проекция
множества Е на гиперплоскость переменных хи ..., а-л_1, т. е.
на R"-1:
и .... хл_1( 0): существует такое д-„, что
Пусть существуют такие непрерывные на Ех ...х функции
ф(л'х, ..., xn-i) и ¦$(*!, .... -Vn-i), что мнон<ество Е состоит из
точек x = (xlt .... xn-i, х„), для которых
(хи ..., хп-1)^ЕХх...Хп %, ф(лгх, ..., *„_!) =scА'„<-ф(xi xn-i).
Пусть множество Ех ...х измеримо в смысле (п — 1)-мерной
меры Жор дана и замкнуто. Тогда аналогично двумерному слу-
случаю (см. п. 45.1) доказывается, что Е также измеримо, но ужа
в смысле n-мерной меры, и замкнуто, а потому является ком-
компактом.
Если функция / (х) = / (л-ь ..., х„) непрерывна на компакте Е,
то справедлива формула
я раз
\ ... \ f (Aj, .. . , Хя) dXl .. . dxn =
Е
Xl... dxn-г
/ {xlt .... Jee-i) dxn, D5.20)
166
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному
которая сводит интегрирование функции п переменных к после-
последовательному интегрированию функции одной переменной и функ-
функции п — 1 переменных.
Если проекция EXi... х множества Е на гиперплоскость Я"
в свою очередь может быть представлена в виде, аналогичном
виду множества Е, то получившийся в правой части равенства
D5.20) (п— 1)-кратный интеграл можно свести к (п — 2)-кратному.
Продолжая этот процесс, если, конечно, это возможно, дальше,
придем к формуле вида
п раз
J ... ^/(xi, ..., xn)dxx... dxn =
\
хг) V-i
dx3...
V-l)
i, ..., xn)dxn.
Таким образом, в рассматриваемом случае интегрирование
функции от п переменных сводится к последовательному инте-
интегрированию п раз функций одной пере-
переменной.
Обозначим, теперь, через Ех ,..х про-
проекцию множества Е в пространство R^... Xm%
а через Е(xlt ..., xm) — сечение множе-
множества Е гиперплоскостями размерности п —
— пг, проходящими через точку (хи ..., хт,
у^—-j-л—ц—*т 0, ..., 0) и ортогональными подпростран-
/ у I ству R71...xm- Объединив в формуле D5.21)
/—— ч^ m первых и п — m последних интегрирова-
П ний, получим
2,
1
ч
V
Рис. 180
т раз
Е
п — m раз
dx1...dxm
... dxn
i, .... xn)dxm+i...dxn. D5.22)
xm)
Если f(xlt ..., xn)^l на Е, то из этой формулы аналогично
D5.19) получаем
JJ ь ..., xm) dxt.... dxm. D5.23)
Пример. Вычислим интеграл от функции f(x, у, г) = ху2г3
по конечной области G, ограниченной поверхностями г — ху,
у — х, х=1 и 2 = 0 (рис. 180). Применив формулу D5.16), будем
45.3*. Обобщенное интегральное неравенство Минковского 167
иметь
1 к ху
1у4у \ z*dz =
0
Упражнения. Вычислить интегралы:
15. $$$ zdxdydz, ? = {(*, у, г): x*+
16. \)\\j{x+y+z)xiy'iz'idxdydz, Е = {(х, у, г) : х^О; #2=0; гз=0;
17. J J J Dл: — у + г) dx dy dz; область Е ограничена частями поверхностей
х=0, у = 0, г = 0, х+у=1, г==2—х2.
18. | J J г2 rfx dy dz; область Е общая часть шаров
45.3*. ОБОБЩЕННОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ НЕРАВЕНСТВО МИНКОВСКОГО
В качестве еще одного примера применения правила пере-
перемены порядка интегрирования докажем одно часто приемняемое
интегральное неравенство.
Пусть функция f(x, у) непрерывна на прямоугольнике Д =
= {(д:, у):а^х^Ь, c^y^d]. Тогда она, очевидно, при любом
фиксированном у е [с, d] непрерывна по х на отрезке [а, Ь\ и
при любом фиксированном х е [а, Ь] непрерывна по у на отрезке
[с, d].
Для любого р > 1 справедливо обобщенное неравенство Мин-
Минковского
Ш!(х, y)\dx\dy\ ^\dx\\jf(x,y)\Pdy\ . D5.24)
Положим
F(y)=\\f(x, y)\dx. D5.25)
а
Функция F непрерывна (см. лемму 1 в п. 45.1) и неотрицательна
на отрезке [с, d]. Поэтому ее р-я степень также интегрируема
d
и неотрицательна на этом отрезке, и 0==?^Fp(y)dy<i + oo.
168 § 46. Замена переменных в кратном интеграле
d
Если ^Fp(y)dy = O, то, в силу непрерывности функции F,
с
будем иметь (см. свойство 9 п. 28.1): F(y)s=0 на [с, d]. Поэтому
из формулы D5.25) в силу того же свойства следует, что при
любом у е [с, d] имеет место / (.г, у) == 0 на [а, Ь], т. е. / (х, у) ==
sO на Д. В этом случае неравенство D5.24) очевидно справед-
справедливо.
d
Пусть \Fp(y)dy>0. Тогда, изменив порядок интегрирования
с
и применив неравенство Гельдера B8.48), получим в силу D5.25)
\
5 Fp (у) dy = I Fp-1 (y) \\ I / (x, y) | dx] dy =
с [a J
Л
l/p rd ->\/q
d -il/p rd ->\/q
\\f(x, y)\pdy\ \\F^P-V(y)dy\ dx, D5.26)
где —]— = 1 и, следовательно q(p—\) — p. Сократив обе части
id \\/q
равенства D5.26) на множитель (\Fp(y)dy\ фО, будем иметь
\с I
id \ lip Ъ xd -] 1/р
;, у)\Р dy\ dx.
Подставляя сюда D5.25), получаем неравенство D5.24). Условие
непрерывности функции / не является существенным для спра-
справедливости неравенства D5.24) и может быть ослаблено. Для
простоты доказательства в качестве области определения функ-
функции / был взят прямоугольник. При более общих предположе-
предположениях доказательство неравенства Минковского, основанноэ на
той же идее, можно найти в монографии Г. Г. Харди, Д. Е. Литтль-
вуда, Г. Полна «Неравенства». М., 1948, 179 — 180.
§ 46. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
46.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МОДУЛЯ ЯКОБИАНА
В ДВУМЕРНОМ СЛУЧАЕ
Пусть G —открытое множество на плоскости Rlv, G* — откры-
открытое множество на плоскости Щу, F — отображение G на G* и
М = (а, »)еС, М* = (х, y)e=G*, F(M) = M*.
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана 169
Отображение F задается парой функций
х = х(и, v), y = y(u, v). D6.1)
Будем предполагать, что F удовлетворяет следующим усло-
условиям:
1) оно взаимно однозначно отображает G на G*;
2) оно непрерывно дифференцируемо на G;
3) якобиан J (и, е)~д!ц' v) не обращается в нуль на G.
Заметим, что отображение F-1, обратное к F, также является
непрерывно дифференцируемым взаимно однозначным отображе-
отображением с якобианом, не равным нулю на G* (см. п. 41.7). Поэтому,
в частности, отображение F является диффеоморфным отображе-
отображением открытого множества G (см. определение 11 в п. 41.7) на G*.
Если у — простой замкнутый контур, лежащий в G, то в силу
взаимной однозначности отображения F его образ у* = F (у) также
является простым замкнутым контуром.
Лемма 1. Пусть Г — открытое ограниченное множество и
TczG. Тогда T* = F(T) также ограниченное открытое множе-
множество и
D6.2)
Доказательство. Поскольку F и F — гомеоморфные ото-
отображения, то при каждом из них открытые множества отобра-
отображаются в открытые. Следовательно, внутренние точки какого-либо
множества, например, Г или, соответственно Г* переходят во
внутренние точки его образа, а граничные —в граничные.
В самом деле, пусть для примера М — внутренняя точка мно-
множества Г, т. е. существует ее окрестность U = U(M), лежащая
в Г: U с: Г. Тогда окрестность U* —F(U) точки М* = F (М) лежит
в Г*: U* с: Г*, т. е. М* внутренняя точка множества Г**'.
Пусть теперь М граничная точка множества Г, М* = F (М)
и U*— окрестность точки М*. В силу гомеоморфности отображе-
отображения F множество t/ = F-~1(F*) является окрестностью точки М,
а поскольку МедГ, то в окрестности 11 имеются как точки,
принадлежащие множеству Г, так и не принадлежащие ему. Сле-
Следовательно, в окрестности U* точки M*—F(M) (поскольку эта
окрестность является образом окрестности U = U(M) точки М
при отображении F) также есть точки, как принадлежащие мно-
множеству Г*, так и не принадлежащие ему, т. е. граничные точки
действительно отображаются в граничные:
F(dY)czdY*. D6.3)
*' Мы получили это утверждение как прямое следствие только гомео-
гомеоморфности отображения F. Конечно, в данном случае это следует сразу из
Солее сильных сделанных выше предположений (см. следствие из теоремы 7
в п. 41.8).
170 § 46. Замена переменных в кратном интеграле
Поскольку аналогичные рассуждения справедливы и для об-
обратного отображения, то в формуле D6.3) можно заменить знак
включения знаком равенства, т. е. выполняется условие D6.2).
Кроме того, из открытости множества Г в силу доказанного выте-
вытекает и открытость множества Г*. Далее, поскольку Г —ограни-
—ограниченное множество, то замкнутое множество Г также ограничено.
Поэтому согласно лемме 3 из п. 41.4, множество F(T) ограни-
ограничено. Из ограниченности множества F (Т) вытекает и ограничен-
ограниченность множества Г* = /Г(Г), ибо F (Г) с: F (Г). ?
Следствие. Если в предположениях леммы 1 граница Г состоит
из конечного числа кусочно-непрерывно дифференцируемых кривых,
то открытые множества Г и Г* квадрируемы.
Доказательство. Если у непрерывно дифференцируемая
кривая, лежащая во множестве G, и и = и(t), v = v (t), a^t^b —-
некоторое ее представление, то функции u(t) и v (t) непрерывно
дифференцируемы на отрезке [а, Ь]. При отображении F кривая у
перейдет в кривую у* = F (у) с представлением
x(f) = x(u(f), v(t)), y(t) = y(u(t), v(t)), a^t^zb,
у которого в силу формул дифференцирования сложной функции
(см. п. 20.3) и теоремы о непрерывности композиции непрерыв-
непрерывных функций (см. п. 19.4) функции x(t) и y(t) также имеют
непрерывные производные на отрезке [а, Ь]. Следовательно, кри-
кривая 7* —также непрерывно дифференцируема. Отсюда, очевидно,
сразу вытекает, что если у — кусочно-непрерывно дифференцируе-
дифференцируемая кривая, т. е. является объединением конечного числа непре-
непрерывно дифференцируемых кривых (см. п. 16.3), то у* —также
кусочно-непрерывно дифференцируемая кривая.
Если теперь граница дТ открытого множества Г с G состоит
из конечного числа кусочно-непрерывно дифференцируемых кри-
кривых, то и граница ОТ* открытого множества Г*сС* также,
в силу сказанного выше, состоит из конечного числа кусочно-
непрерывно дифференцируемых кривых. Следовательно, как дГ,
так и дТ* спрямляемы (см. теорему 1 в п. 16.5), вследствие
чего они имеют меру ноль (см. теорему 4 в п. 44.2). Поэтому
в рассматриваемом случае открытые множества Г и Г*, имея
границы меры ноль, — квадрируемы. Q
Пусть теперь (и0, !H)eG и h некоторое число. Рассмотрим
замкнутый квадрат S (рис. 181) с вершинами в точках
(«о, v0), (uo + h, v0), (ив+к, vo + h), («о, vo + h). D6.4)
Пусть S czG (при достаточно малом h это включение всегда вы-
выполняется; почему?). Гранина dS квадрата S, состоящая из
четырех его сторон, очевидно, является простым замкнутым ку-
кусочно-гладким контуром. В силу следствия из леммы 2 множество
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана
171
S*=F(S) (см. рис. 181) представляет собой замкнутую квадри-
руемую область (то, что S* — замкнутая область, следует из
принципа сохранения области, см. п. 41.8).
Изучим поведение отношения
pF(S)/nS*>, D6.5)
при стремлении h к нулю.
и. В
Рис. 181
Введем обозначения:
X (Uq, Vq) = Xq, у (Uq, Vq) = I/o,
ди
= 021,
ди
: Й221 U — Ыо — i
В силу дифференцируемости функций D6.1) справедливы фор-
формулы
х = х(и, v) = xo+an(u-uQ) + a12(v-vo) + eir,
где функции е( = 8|(и0, v0, Аы, Ау), i—l, 2, стремятся к нулю
при /¦->0.
Наряду с отображением F рассмотрим линейное отображение F
плоскости Ruv на плоскость Rly, задаваемое формулами
% = Хо + ап (и — и0) + а12 {о - v0),
g = yo+<ki(u — uo) + a2i(v-vQ). ' ' '
Из аналитической геометрии известно, что при линейном отобра-
отображении образ всякого параллелограмма, в частности — квадрата,
является параллелограммом, причем отношение площади послед-
последнего к площади отображаемого параллелограмма равняется абсо-
абсолютной величине определителя отображения, который для отобра-
*' Здесь, как всегда, цЕ обозначает меру (в данном случае —площадь}
множества Е.
172 § 46. Замена переменных в кратном интеграле
жения Р совпадает с якобианом J {и, v) отображения F в точке
(«о, v0). Таким образом, в рассматриваемом нами случае для ото-
отображения D6.7) имеем
Т^Н &"а" | = |У(«о, vb)\. D6.8)
Непрерывно дифференцируемое отображение F в окрестности
точки («о. Vo) отличается от линейного отображения F на беско-
бесконечно малую функцию более высокого порядка, чем приращение
аргументов (см. D6.6)). Покажем, что отсюда следует справедли-
справедливость равенства
lim ^ :, — | J (u0, vo)\. D6.9)
h >0 ^
Более того, покажем, что стремление к пределу в этом равенствг
происходит равномерно на любом компакте, лежащем в открытом
множестве G. Сформулируем этот результат в виде теоремы.
Теорема 1. Пусть отображение F открытого множества G cz
czR'fw на открытое множество G* cz Ri,, взаимно однозначно и
непрерывно дифференцируемо на G и пусть его якобиан J (и, v)
не обращается в ноль на G. Тогда, если S — квадрат с верши-
вершинами D6.4), то
LL-^j^Mo, р0) |-I-e («о, t'o, h), D6.10)
где функция е = е(ы0, v0, h) при h—>-0 стремится к нулю равно-
равномерно относительно (и0, v0) на любом компакте AczG*K
Следствие. Для любой точки (и0, v0) открытого множества G
выполняется равенство D6.9).
Доказательство. Покажем, что площадь образа квад-
квадрата S при отображении F отличается от площади образа этого
квадрата при линейном отображении F на бесконечно малую более
высокого порядка, чем площадь h2 самого квадрата 5, и эта
оценка равномерна на любом компакте AczG, т. е. что
D6.11)
где е стремится к нулю равномерно на множестве А, когда дли-
длина h стороны квадрата S стремится к нулю (определение равно-
равномерного стремления функции к пределу см. в п. 39.4). Поскольку
(см. D6.8))
\iF(S)=\J(u0, vo)\\lS D6.12)
то из D6.11) непосредственно следует утверждение теоремы, т. е.-
формула D6.10).
Таким образом, А э (и„, vu).
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана
173
Переходя к доказательству формулы D6.11), зафиксируем
прежде всего множество А. Поскольку А компакт и A czG, то
функции е, = е,(«0, v0, Аи, Av), t=l, 2 (см. D6.6)) равномерно
стремятся к нулю на множестве А при г-»-0 (см. замечание
к теореме 4 в п. 20.2, а также п. 39.4). Множества А и Efl0\G
не пересекаются и замкнуты, и кроме того, А ограничено, а по-
поэтому (см. лемму 7 в п. 18.2) r\ = p(A, E'uV\G)>0.
В дальнейшем будем h всегда выбирать таким, что |Л|<!-Д=.
В этом случае из того, что (щ, уо)еЛ, следует, что SczG.
Оценим расстояние между образами одной и той же точки
квадрата S при отображениях F и F. Пусть
= (x, у) и
= (x, у).
Тогда из D6.6) и D6.7) получим х = Х-\-гхг, у = у~\-?2г и, следо-
следовательно,
p(F(M), F(М)) = У{х-xf + (y- yf = г V^+Ц.
Поскольку г — расстояние от вершины (и0, v0) квадрата S до
точки М е S, a | h \ у — длина диагонали квадрата S, то, оче-
очевидно, выполняется неравен-
неравенство г sg; | h | У2, а потому Sg
имеем ________^____
d = sup p (F (M), F (М)) ^
MeS
^\h\e3(u0, t»0, h), D6.13)
где 83 = e3 (»q, v0, ft) =
= sup 1/(е? + е|)при /i-^0
Ales
стремится к нулю равномерно
на множестве Л. Рис. 182
Построим замкнутый S/' и открытый S;**' параллелограммы
со сторонами, параллельными сторонам параллелограмма S=F(S)
и отстоящими от его соответствующих сторон на расстояние d
(рис. 182), так, чтобы
SiC:S = F(S)czSe. D6.14)
Прежде всего покажем, что при достаточно малых h множе-
множество St не пусто. Более того, покажем, что параллелограмм S,-
содержит в себе круг радиуса d с центром в центре параллело-
параллелограмма 5.
*' «» —начальная буква латинского слова exterior (внешний).
**' «/'» — начальная буква латинского слова interior (внутренний).
174
§ 46. Замена переменных в кратном интеграле
Обозначим через а и Ь длины сторон параллелограмма 5,
а через На и Нь — длины его высот, опущенных соответственно
на стороны длин а и Ь (рис. 183). Для доказательства того, что
при достаточно малых h круг радиуса d с центром в центре па-
параллелограмма S содер-
содержится в §i, очевидно,
достаточно установить
справедливость при до-
достаточно малых h нера-
неравенств
4d<Ha, Ы<НЬ.
D6.15)
Докажем это. Пусть для
определенности сторона
параллелограмма S дли-
длины а соединяет вершины,
являющиеся при отображении F образами вершин (щ, v0) и
(uo-\-h, ve) квадрата S, т. е. соединяет точки (х0, у0) и (К
+ Н) Тогда
Рис- 183
а = Уа\ф? + ay? =\h\ V
Аналогично,
D6.16)
D6.17)
Функции ау = Яу(ы0, v0), i, j—l, 2 являются значениями со-
соответствующих частных производных функций х (и, v) и у (и, v)
в точках («о. Vo) компакта А. В силу предположенной непрерыв-
непрерывности этих частных производных они ограничены на множестве А,
т. е. существует такая постоянная Ci>0, что на А выполняются
|| 1 2
неравенства
О
, i, /=1, 2.
1
р |y| /
Отсюда и из формул D6.16) и D6.17) следует, что
D6.ia>
D6.19)
Далее, по предположению, якобиан J {и, v) отображения F,
являющийся непрерывной функцией, не обращается в ноль на
множестве G, а следовательно, и на компакте А. Поэтому суще-
существует (почему?) такая постоянная с2>0, что на множестве А
выполняется неравенство
J(u,
D6.20)
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана 175
Заметив, что \х§ = aHa = bHb = \J (ы„, vo)\h2, получим (см.
D6.18), D6.19) и D6.20)):
т. е.
|А|^?^1яв, D6.21)
]h]^?lflHb. D6.22)
Располагая этими оценками, легко доказать справедливость
неравенств D6.15). Действительно, использовав неравенства
D6.13), D6.21) и D6.22), получим
V*Ha, D6.23)
Hb. D6.24)
Выберем теперь такое б > 0, чтобы при | h | < б и (щ, vQ) e A
выполнялось условие
— i—2-< I. DD.25)
Это всегда возможно в силу того, что функция е3 = е3 («о, у0. Л)
(см. D6.13)) стремится к нулю равномерно на компакте А при А-М).
Из D6.23), D6.24) и D6.25) следует, что при |А|<6 выполняются
неравенства D6.15), откуда, в частности, вытекает, что множе-
множество Sj не пусто. В дальнейшем в ходе доказательства будем
всегда предполагать, что | А | < 6.
Множество Se\5/ назовем рамкой и обозначим через R:
Рамка R представляет собой объединение четырех не обладающих
общими внутренними точками трапеций, высоты которых имеют
длину 2d, а средние линии совпадают с соответствующими сто-
сторонами параллелограмма S. Поэтому i>,R — 4d(a + b).
Заметим, что если множество S,- было бы пустым, то подсчет
площади рамки R пришлось бы делать иначе: указанные выше
трапеции превратились бы в треугольники, у которых стороны
параллелограмма S уже не являлись бы, вообще говоря, средними
линиями.
/76 § 46. Замена переменных в кратном интеграле
Из полученного для площади \iR paiviKH R выражения, в силу
неравенств D6.13), D6.18) и D6.19), следует, что \iR =<
sg8 [r2 Cie3/i2. Положив е4 = 8 У2 схг3, окончательно будем иметь:
цЯ^е^2, D6.26)
где функция е^ равномерно стремится к нулю на компакте А
при /i->-0.
Покажем теперь, что площадь множества F (S) отличается от
площади параллелограмма S = F(S) не более чем на площадь
рамки R. Для этого прежде всего установим, что
Si с F (S) cz §е. D6.27)
Действительно, если M^S, то Р(М)^§ и согласно D6.13)
p(F(M), F(M))^d.
Далее, по построению множество Se содержит все точки пло-
плоскости, находящиеся от параллелограмма S на расстоянии, не
превышающем числа d. Поэтому F (М) eS(u включение F (S) а
cz §„ доказано. Осталось доказать, что 5, с: F (S). Прежде всего
заметим, что
F (dS) cz R. D6.28)
Действительно, если Mi=dS, то F(M)^dS и, согласно D6.13),
p{F(M), F(A4)) =sd. Но по построению рамка R содержит все
точки плоскости, отстоящие от границы д§ параллелограмма 5
на расстояние, не превышающее числа d, а поэтому F (М) s R
и включение D6.28) доказано. Поскольку при сделанных предпо-
предположениях граница dF (S) образа F (S) квадрата S совпадает с об-
образом F (dS) границы dS квадрата S (см. лемму 1 п. 46.1), то
включение D6.28) можно переписать в виде
dF (S) cz R. D6.29)
Пусть теперь Мо — центр квадрата S. При отображении F он
переходит в центр М0 = Р(М0) параллелограмма 5. Пусть Q —
замкнутый круг радиуса d с центром в точке Мо (величина d
определяется формулой D6.13)). Выше было доказано, что Qcz
cz§t. Если Mt = F(M0), то согласно D6.13^ р (М|, Мп)<S d и,
следовательно, МЩeQ, а поэтому и jM(*g S{. Таким образом,
S~i содержит заведомо одну точку F (S), а именно образ М<;
центра Мо квадрата S при отображении F.
Покажем теперь, что и все точки §i принадлежат F (S). До-
Допустим противное: пусть существует такая точка М* е S,, что
46.2. Замена переменных в двукратном интеграле 177
^() (см. рис. 183). Всякий отрезок является, очевидно,
линейно связным множеством, а поэтому, согласно лемме 9 из
п. 18.2, на отрезке М%М* с концами в точках Mf, и М* найдется
точка границы OF (S) множества F(S). Этой точкой не может
являться М*, поскольку множество F (S) замкнуто (см. лемму 3
в п. 41.4), и следовательно, dF (S) с F(S), а по предположению,
M*<^F(S). Поэтому точка пересечения множества dF(S) с от-
отрезком Af*M* является внутренней точкой параллелограмма Sit
а это противоречит включению D6.29).
Таким образом, не существует точки М* е Sh для которой
одновременно M*<s?F(S), поэтому §icF(S). Формула D6.27)
доказана.
Из D6.14) и D6.27) следует, что
H§i < (xF (S) sg fxSe, n§i ^ ,uF (S) =sc ц§е,
и, следовательно,
| pF (S) - MF (S) К (xS, - MS, = n^.
Поэтому в силу D6.26)
^:z4h\ D6.30)
где е4 стремится к нулю равномерно на компакте А при /г->-0.
Положим
ifiti^L, D6.31)
тогда из D6.30) следует, что | е | ==s | e41 и поэтому е равномерно
на множестве А стремится к нулю при Л—>-0. Из D6.31) имеем
т. е. мы получили формулу D6.11), откуда, как это уже отмеча-
отмечалось, сразу следует D6.10). Ц
46.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВУКРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Вначале сохраним обозначения и предположения предыдущего
пункта, в частности, будем предполагать, что F является взаимно
однозначным непрерывно дифференцируемым отображением от-
открытого множества G с Rauv на открытое множество С*с^й
с якобианом, не равным нулю на G. Пусть Г и Г* квадрнруемые
(и, следовательно, ограниченные) открытые множества, Г с: G,
Г* с: G* и пусть при отображении F множество Г отображается
на Г*. Тогда Г и Г* компакты, внутренние точки Г переходят
во внутренние, а граница Г отображается на границу Г*.
178
§ 46. Замена переменных в кратном интеграле
Теорема 2 (формула замены переменных в двукратном интег-
интеграле). Пусть функция f(x, у) определена и непрерывна на Г*.
Тогда
/ (x, y)dxdy=^f[x (и, v), у (и, v)] | !|?-g | Аи dv. D6.32)
Доказательство. Заметим, что входящие в D6.32) интег-
интегралы существуют как интегралы от функций, непрерывных на
замыкании квадрируемых областей. Действительно, по условию
функция f(x, у) непрерывна на Г* и якобиан д(хи' ^ — на Г,
а функция f[x(u, v), у (и, v)] непрерывна на Г как композиция
непрерывных функций.
Возьмем разбиение ранга k плоскости Rav на квадраты. Ранг k
выберем столь большим, чтобы всякий квадрат этого ранга, пере-
пересекающийся с Г, целиком содержался в G (почему такой ранг
существует?). Обозначим
через Г,-, i = l, 2, .... ik
всевозможные непустые
пересечения внутренно-
внутренностей (множества внут-
внутренних точек) квадратов
ранга k с множеством Г.
Множества Г,- квадриру-
емы и открыты, ибо их
границы имеют меру
ноль, так как состоят,
вообще говоря, из части
границы соответствую-
соответствующего квадрата ранга k и части границы множества Г. Совокупность
rk = {Г|-}'-~ 1* образует разбиение множества Г, причем, очевидно,
i
ь
V
i
(
\
J
t
<i
V
и в
У
Рис. 184
lim6T =0.
D6.33)
Пусть далее, r* = F(T,); при этом граница Г,- отображается на
границу Г*, а поэтому граница Г*, вообще говоря, состоит из
части границы множества Г* (эта граница в силу предположенной
квадрируемости множества Г* имеет меру ноль) и части кусочно-
гладкой кривой, являющейся образом границы соответствующего
квадрата и имеет поэтому также меру ноль. Из сказанного сле-
следует, что Г* является квадрируемым открытым множеством. Из
взаимной однозначности отображения F следует, что совокупность
та = {Г*}|^!* образует разбиение множества Г* (рис. 184).
Оценим мелкость разбиения т?. Пусть 8k диаметр квадрата
ранга k [очевидно, bk = j3 и Afi=(xi, yi)(=Tf, M| = (x2, y2)
46.2. Замена переменных в двукратном интеграле 179
еГ?. Тогда существуют такие Л^еГ,- и М2еГ,-, что F(Mi) =
— Mf, F (Мг) = М*, причем р(Мъ Мг)<6А. Следовательно,
р (Af?, MS) = У (хг - х2K + (у, - у2?
^|/«2(^; x) + (o2Fk; у), D6.34)
где со F; х) и со (б; г/) —модули непрерывности функций х — х(и, v)
и у~у(и, v) на компакте Г. В силу непрерывности этих функ-
функций на Г они равномерно непрерывны, и поэтому (см. п. 19.6)
lim со (б*; х) = lim ю (б*; у) = 0. D6.35)
Из D6.34) для диаметра й(Г*) получаем
d(Tf)= sup p(Air, м?)^ ]/¦©»(«*; *) + юг(°*; у),
и, следовательно,
6Т*= sup «f(r?)^y»«F*; *) + о>2(бу>
* fl
а поэтому в силу D6.35)
Hm6T.=0*>. D6.36)
Отберем теперь только те элементы разбиений xk и т|, замы-
замыкания которых не пересекаются с границами дТ и дГ* множеств Г
и Г*. Обозначим их соответственно через тА(дГ) и т!(дГ*):
xk(дТ) = {Г,: Г, еть Г,ПдГ == 0},
т* (дГ*) = {Г?: ГГ е т|, ГГ П с5Г* = 0}.
В силу сделанных предположений Г?ет|(дГ*) тогда и только
тогда, когда Г,-етА(дГ); при этом тА(дГ) состоит из тех и только
тех элементов r.-etj, которые являются целыми квадратами,
содержащимися вместе с их границами в множестве Г.
Составим интегральные суммы ox*(drt) (см. п. 44.3) для функ-
функции f(x, у), взяв в качестве точек (&, т^еГ^ ет?(дГ*) образы
каких-либо вершин {щ, vt) соответствующих квадратов Г,:
Ь = *(«ь »*), ^ = У(«ь о,). D6.37)
*' Нетрудно убедиться, что равенство D6.36) можно непосредственно по-
получить из равномерной непрерывности непрерывного отображения компакта
(см. лемму 4 в п. 41.4).
180 § 46. Замена переменных в кратном интеграле
Иначе говоря, рассмотрим суммы вида
*,!(*••)= 2 fib. *№. D6-38)
Как известно (см. теорему 5 в п. 44.3), в силу выполнения
условия D6.36)
. y)dxdy. D6.39)
С другой стороны, для r* = F(r,-), для которых Г; является квад-
квадратом, и, следовательно, для Г,-етА(дГ), согласно теореме 1
предыдущего пункта,
|d7 = |J(«it о^ц^ + вцГ,, D6.40)
где е = е(И(, у,-, бт ) на компакте Г равномерно стремится к нулю
при ?->0. Подставляя D6.37) и D6.40) в D6.38), получим
ЪПдг*)^ 2 /[*("«•. vi), У(Щ, Vi)]\J(uh Vi)\\iTi +
е г(-ет/(<5Г)
+ ^ e/[*(u,-, о,-), y(ult t»,)]^,-. D6.41)
Суммирование в этих суммах распространено на все индексы i,
для которых Г,- не пересекается с границей Г. Для первой суммы,
стоящей в правой части равенства D6.41), в силу условия D6.33)
имеем (см. теорему 5 в п. 44.3)
lim 2 f[x(tii, vt), y(uh Vi)]\J(tii, у,)
к
(ы, v), у (и, v)]\J(u, v)\dudv.
Что же касается второй суммы в равенстве D6.41), то она стре-
стремится к нулю при &->-сю. Действительно, в силу непрерывности
функции f[x(u, v), у {и, v)\ на компакте Г она ограничена на нем,
т. е. существует такая постоянная С>0, что
\f[x(u, v), у (и, v)] |==? С, (и, !>)бГ.
Если фиксировано произвольное ео>0, то в силу равномер-
равномерного на Г стремления е к нулю при &->-сх> можно выбрать k0
так, чтобы при k^k0 выполнялось неравенство
-^ для
46.2. Замена переменных в двукратном интеграле 181
всех (uh vi) <= Г,-, Г,- с: Г, тогда:
г,.етА(аг)
Итак,
Iimo4(dr) = l\f[x(u, v), у (и, v)]\J(u, v)\dudv. D6.42)
Из D6.39) и D6.42) и следует непосредственно формула D6.32). Q
Доказанная теорема легко обобщается и на несколько более
общий случай, когда якобиан отображения D6.1) может обра-
обращаться в ноль на границе области интегрирования, а само отобра-
отображение быть не взаимно однозначным на этой границе. Точнее,
справедлива следующая теорема.
Теорема 2'. Пусть G и G* открытые квадрируемые мно-
множества: CciJit, G*czRxy, и
X — X[U, V),
у = у(и, v)
— непрерывное отображение G на G*, взаимно однозначно и непре-
непрерывно дифференцируемо отображающее G на G*, якобиан ^1*' У1
этого отображения не обращается в ноль на G и непрерывно про-
продолжаем на G. Тогда, если функция f(x, у) непрерывна на мно-
множестве G*, то
$§/(*• y)dxdy= J J/[*'(«, v), у (и, v)]
д (х, у)
д {и, v)
dudv.
Доказательство. Пусть Г*, &=1, 2...—последователь-
2...—последовательность ограниченных открытых квадрируемых множеств, граница
которых состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых, и
, Г»
Н11
В качестве Г*, можно взять, например совокупность всех
внутренних точек множества Sk(G) (см. п. 44.1). Пусть Г| = F(I\);
тогда Ti также является ограниченным открытым квадрируемым
множеством и
оо
n = F(rft)'cG*. ПсПи, [J H = G*.
/t i
182
§ 46. Замена переменных в кратном интеграле
Из выполнения этих условий следует, что (см. теорему 2. п. 31.2)
lim \iTk = nG, limp.ri = uG*. D6.43)
Для каждого из множеств Г*, k = 1, 2, ..., выполняются все
условия теоремы 2 этого пункта, поэтому
$$/(*, y)dxdy=^f[x(ut v), у (и, v)}\P§rO)\dudv. D6.44)
Функция /(х, у), как непрерывная на G* функция, интегри-
д (х, у)
по тем же
руема на G*, а функция f[x(u, v), у {и, у)]
соображениям интегрируема *) на G. Поэтому в силу выполнения
условий D6.43) получаем (см. свойство 10° в п. 44.6):
lim \\f(x,
h —* СО —,^t
lim C f f[x(u, v)y(u, v)]
*^« iftJ
, y)dxdy.
3 (x, y)
5^u, v)
G*
du dv =
Переходя к пределу при &->оо, в равенстве D6.44) в силу фор-
формул D6.45) мы получим искомую формулу замены переменного
в интеграле. Ц
Замена переменных в кратном интеграле часто существенно
упрощает его исследовгние и вычисление. При этом в отличие
от однократного интеграла нередко целью замены переменного
является не упрощение подынтегральной функции, а переход
к более простой области интегрирования, даже ценой некоторого
усложнения подынтегральной функции.
Пример. Вычислим интеграл ЭД cosпУх* + у2dxdy.
Для этого введем новые переменные г, <р (полярные коорди-
координаты) по формулам
. D6.46)
Тогда
д(х,у)
д (г, <р)
cos<p — r
sincp rcoscp
= г. Отображение D6.46) отобра-
отображает прямоугольник G = {(г, ф):0<г<1, —л<;ф-<я} (здесь г
*' Напомним, что в силу условий теоремы эта функция непрерывно про-
продолжаема с множества G на G, причем значения продолженной функции на
границе множества G не влияют на значение интеграла (см. п. 44.3).
46.2. Замет переменных в двукратном интеграле
183
и ф рассматриваются как декартовы координаты на плоскости г, ф)
взаимно однозначно, непрерывно дифференцируемо и с якобианом,
не равным нулю, на круг К = {(*, у): *2 + г/2< 1}, из которого
исключен радиус, лежащий на отрицательной части оси Ох, т. е.
на множество (рис. 185) G* =
•"**> >i
{( у) 0 }
Замкнутый же прямоуголь-
ник G при отображении D6.46)
переходит в замкнутый круг
G* = K, причем на границе G
это отображение уже не взаимно
однозначно. Якобиан отображе-
отображения D6.46) непрерывен на G,
причем в одной точке границы,
в начале координат, он обраща-
ется в ноль. Все условия, на-
накладываемые на отображение D6.1)
выполняются для отображения 6
' «-Я"
Рис 185
) в теореме 2' этого пункта
D6.46), а поэтому можно приме-
применить формулу замены переменного в интеграле:
cosnYx2+У2dxdy=
0<г<1
— Я<Ч)<Я
2Я 1
Г 1 "I
г sin яг t If- . 4
-jj— q--J smnrdr = --•
Формула D6.32) замены переменных в двойном интеграле
может быть доказана и для более общего случая, в частности,
когда якобиан отображения обращается в ноль в области интегри-
интегрирования, а подынтегральная функция имеет разрывы. Если мно-
множества указанных точек имеют меру ноль и отображаются также
во множества меры ноль, причем эти множества разбивают области
интегрирования G и G* на конечное число открытых множеств,
на каждом из которых подынтегральная функция продолжаема
до непрерывной вплоть до границы функции, то формула D6.32)
непосредственно следует из доказанного выше.
Упражнения. 1. Пусть / (х, у) = 2я (a.2—i/2) sin it (x—yJ, a E — квад-
квадрат с вершинами A, 0), @, 1), (—1, 0), @, — 1). С помощью замены пере-
переменных и = х+у, v = x—y вычислить интеграл ЭД/(х, y)dxdy.
2. Переходом к полярным координатам вычислить интеграл
*, y)dxdy,
где
а) /(*, у) =
б) Цх, у) =
, 0<x<y};
184 § 46. Замена переменных в кратном интеграле
46.3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
Формулы
х — х(и, v), y = y(u, v) D6.47)
можно рассматривать не только как отображение, но и как пере-
переход от одной системы координат к другой, вообще говоря, криво-
криволинейной. Поясним прежде всего понятие криволинейной системы
координат.
Пусть G — некоторое открытое множество на плоскости Щи и
каждой точке М = (х, j/)eG, а значит, и каждой упорядоченной
паре чисел (х, у), являющихся координатами точки М в выбран-
выбранной прямоугольной системе координат, поставлена в соответствие
пара чисел (и, v) таким образом, что разным точкам Мг и М2
соответствуют разные пары (иъ vi) и (ы2. v2). В этом случае
говорят, что на множестве G задана система координат и, v.
При этом если точке М соответствует пара (и, v), то пишут
М = (и, v). Каждая пара (и, v) является функцией точки М е G,
поэтому и каждый из ее элементов и и v также является функ-
функцией точки М :и = и (М), v = v (M), или, что то же, ее декартовых
координат:
Ы=="!Х' У)' D6.48)
v = v(x, у).
Обратно, каждой паре (и, v) из рассматриваемого множества
пар соответствует точка MeG, т. е. точка М есть функция
пар (и, v): М = М (и, v), а поэтому ее декартовы координаты х и
у также являются функциями указанных пар (и, v). Иначе говоря,
справедливы формулы D6.47), задающие отображение, обратное
отображению D6.48).
Множества точек (х, у) е G, удовлетворяющих условию
и (х, у) = иа и соответственно v (х, у) = va, где и0 и у0 некоторые
фиксированные постоянные, называются координатными линиями
в системе координат и, v.
Используя формулы D6.47), координатные линии можно запи-
записать в виде
Х = Х{"- V); D6.49)
v),
соответственно в виде
Х = Х{"- °t D6.50)
у = у(и, Vo).
В случае декартовых координат координатные линии суть пря-
прямые, в общем же случае — некоторые кривые, задаваемые пред-
представлениями D6.49) и D9.50). Этим и объясняется название «криво-
«криволинейные координаты» (рис. 186).
46.3. Криволинейные координаты
185
Будем предполагать, что функции D6.47) удовлетворяют на G
всем условиям, при которых была выведена формула D6.32) замены
переменного в интеграле, в частности, что они непрерывно диф-
дифференцируемы и что якобиан g *' У1 не равен нулю на G. В силу
этого координатные линии в окрестности каждой точки из G
являются непрерывно дифференцируе-
дифференцируемыми кривыми.
Исследуем, какой смысл будет иметь
в этом случае модуль якобиана. Зафи-
Зафиксируем какие-либо значения и0. Дм, v0,
Av. Пусть Мо = («о, »о), Г —множество
всех точек, криволинейные координаты
и, v которых удовлетворяют неравен-
неравенствам щ < и < «о + Дм, v0 < v < v0 + Ay,
и пусть: Г cz G. Множество Г называ-
называется координатным (криволинейным)
параллелограммом. Множество Г открыто
(почему?), и его граница представляет
собой кусочно-гладкий контур (он состоит из кривых вида х —
=х («о, v), у = у(и0, v), где v0 =C v ==?_vQ + Av и т. п.), поэтому Г квад-
рируемая область. Вычислим ее площадь (см. рис. 186). Приме-
Применив формулу замены переменного в интеграле и интегральную
теорему о среднем (см. п. 44.6) получим
Рис. 186
Г
Mo < и < «о + A"
t>0 < о < p0 + Да
a («. t»)
C(x,
C(u,
if)
V)
3(JC,
J/)
Л1
В силу непрерывной дифференцнруемости функций D6.47)
д(х, у)
а (и, v)
х, у)
д(и, v)
jM»
где lim e = 0. Таким образом,
д (х, у)
д(и, v)
м.
Аи Av -j- e Аи Av.
D5.51)
Формула D6.51) показывает, что модуль якобиана в точке
(«о, v0) представляет собой коэффициент главной части площади
координатного параллелограмма с вершиной в точке (и0, у0) отно-
относительно произведения AuAv при Аи--\- Ду2->-0. Это замечание
часто используется на практике при вычислении якобиана пре-
преобразования криволинейных координат в декартовы. Покажем
186- § 46. Замена переменных в кратном интеграле
это на примере полярных координат г, q>. Зафиксируем какие-
либо значения г, r-f-Ar, Ф и ф + Аф и рассмотрим координатный
параллелограмм Г (рис. 187), образованный координатными
линиями г, r-f-Ar, ф и ф + Аф. Длины двух его сторон равны
соответственно Аг и г Аф. Вычислив площадь этого параллело-
параллелограмма так, как если бы он был обык-
обыкновенным прямоугольником, будем
иметь
[дГ?«г Аг Аф.
Таким образом, коэффициент у
произведения АгАф оказался рав-
равным г, откуда естественно ожидать,
Рис 187 что д *' л = г. В действительности
(см. пример в п. 46.2) так и есть. Это
произошло потому что при наших неточных вычислениях площади Г
допущена ошибка более высокого порядка малости, чем произ-
произведение АгАф при А/-а + Аф2->0. в самом деле, вычислив |дГ
как разность площадей двух секторов, получим
^Г = ^ я (г + Л/-)* - ^ яг2 = г Аг Дф + \ Аг2 ДФ.
46.4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В я-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Все сказанное в предыдущих пунктах этого параграфа вместе
с доказательством переносится и на «-мерный случай, поэтому мы
ограничимся лишь формулировкой соответствующих теорем.
Теорема 3. Пусть Gx<^Rnx и GtczR?- открытые множества,
x — F(t) = {xi = Xi(tu ..., tn), i = 1, 2,..., n\ — взаимно однозначное
непрерывно дифференцируемое отображение Gt на Gx, якобиан
J @ = д G/, ...', \) которого не равен нулю на Gt. пусть далее
S — /г-мерный куб:
( = 1,2 n|cG(,
Тогда lim ^^ = |У(^°')|; при этом, если
ftO И0
), h),
то для любого компакта AczGt функция е(/<°>, h), № <= А,
равномерно стремится к нулю на А при h-^0.
Теорема 4. Пусть: 1) Gx и Gt — измеримые открытые множе-
cmec^Gxcz Rnx, GtcR'}\ 2) х = F (t) — непрерывное отображение Gt
на Gx, взаимно однозначно и непрерывно дифференцируемо отобра-
46.4. Замена переменных в п-кратном интеграле
187
жающее Gt на G/, 3) якобиан J(/) = dJ**' "" х.п]- этого отображе-
0 (Гъ ..., tn)
ния не обращается в ноль на Gt и непрерывно продолжаем на G/.
Тогда если функция f(x) непрерывна на множестве Gx, то
Упражнения. Написать формулы замены переменных в тройных
интегралах для преобразований координат:
3. x=/"cosit)cos(p, y = cos\Jj sin ф, г = г sin
(сферические координаты).
4. x=acos ф, y = r sin ф,
(цилиндрические координаты).
= г,
— со <С г
Замечание. В силу формулы замены переменного для любого
измеримого множества GczRn и любых криволинейных координат
Uu ..., ип справедлива формула
S
д(хи ..., хп)
В частности, если
д(хи ..., хп)
(«1 и„)
= 1,
ux ... dun
то
д(иъ ..., ип)
\ ... \dxx ... dxn = \ ... \du± ... dun-
D6.52)
D6.53)
Условие D6.52) заведомо выполняется, если Ui, ..., и„ также
являются декартовыми координатами в пространстве R", и следо-
следовательно, выражаются через хъ ..., ха с помощью линейного пре-
преобразования, определитель которого равен ±1;
п
i = 1
i=l, 2, ..., п,
Левая часть формулы D6.53) равна мере p.G множества G
«в координатах xlt ..., xnt> (см. свойство 1° кратного интеграла
в п. 44.6), а правая часть этой формулы в случае, когда ии ...
..., ип — декартовы координаты, равна соответственно мере мно-
множества G «в координатах ии ..., «„». Таким образом, формула
D6.53) показывает, что мера открытого измеримого множества не
зависит от выбора декартовой системы координат.
Справедливости ради следует заметить, что при доказательстве
формулы замены переменных в кратном интеграле мы использо-
использовали тот доказываемый в геометрии факт, что при аффинных
(т. е. невырожденных линейных) отображениях абсолютная вели-
величина определителя преобразования равна отношению объема парал-
188 § 47. Криволинейные интегралы
лелепнпеда, являющегося образом некоторого куба к объему этого
куба.
Упражнения. 5. Пусть G = {(a', у, г): 1 < х <. 2; 1 < х-\-у <С 3;
С "[' (* dv с/и clz
1 < х-j-у + # + z <c 5}. Вычислить интеграл \ \ \ ;—:—' ;—-путем пере-
J .' J (х + {/) (* + f/ i z)
хода к переменным и, v, ш, связанным с х, у, z соотношениями х-\-у-\-г = и,
x-\-y—uv, x—uvw.
6. Пусть G = \(x, у, г): х < yz < 2х; у < zx <1y; z < ху <: 1z). Вычислить
интеграл \\\xyzdxdydz путем перехода к переменным (/, v, w, связанным
с х, у, г соотношениями ux—yz, vy=zx, wz = xy.
§ 47. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
47.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
Пусть в трехмерном пространстве R3 задана кривая у ={/•(/);
a^t~~b) (см. § 16). Мы будем рассматривать однозначные функ-
функции F, определенные на точках r(t) этой кривой: F = F(r(t)).
Если p(t), а «с т <; ,6 — какое-либо другое представление той же
кривой у и t = t(x), as^T^sp —отображение отрезка [a, P] на
отрезок [a, b], осуществляющее эквивалентность этих представле-
представлений (т. е. t — Цх), a < т ^ р — допустимое преобразование пара-
параметра, см. п. 16.1), то, поскольку значение функции F опреде-
определяется лишь точкой кривой, будем иметь
Рассматриваемые функции F принимают, вообще говоря, раз-
различные значения в точках кривой, соответствующих различным
значениям параметра, но совпадающих как точки пространства
(см. кратные точки в п. 16.1). Такая точка зрения соответствует
физической интерпретации кривой у, например, как траектории
движения материальной точки, а функции F — как некоторой силы,
действующей на нее, и зависящей не только от положения точки
в пространстве, но и от момента, в котором эта точка находится
в данном месте. Кроме того, такой подход дает и определенные
математические преимущества, которые будут видны в дальнейшем.
Из сказанного следует, что указанные функции, заданные на
кривой, нельзя рассматривать как функции, определенные на
некотором множестве пространства R3 и потому, строго говоря,
их нельзя обозначать через F (х, у, г), где х, у, г —декартовы
координаты пространственных точек. Однако в рассматриваемых
ниже вопросах такое обозначение является традиционным, поэтому
мы будем его употреблять. Если всегда помнить, что в этих
вопросах речь идет о функциях, определенных на точках кривых,
то его использование не приведет к недоразумениям.
47.1. Криволинейные интегралы первого рода 189
Пусть теперь задана спрямляемая ориентированная кривая у,
причем r(s) = {x(s), y(s), z(s); 0sSs==s5} —ее представление, где
в качестве параметра взята переменная длина дуги s и пусть
А = г @) и B = r (S) — начальная и конечная точки этой кривой.
В этом случае будем писать у = АВ. Противоположно ориенти-
ориентированную кривую обозначим В А.
Определение 1. Пусть на точках г (s) кривой у задана неко-
некоторая функция F. Тогда выражение \ F (х, у, z)ds, определяемое
АВ
по формуле
\ F(x, у, z)ds = $F(%(s), y(s), z(s))ds, D7.1)
АВ «
называется криволинейным интегралом первого рода от функции F
по кривой АВ.
Этот интеграл обозначается также символами
\ F[r(s)]ds и §F[r(s)]ds, или, короче, ^
аЪ v v
Таким образом, хотя определение криволинейного интеграла
первого рода и связано с понятием кривой, т. е. с геометрическим
образом, оно сводится к обычному интегралу по отрезку, и поэтому
на криволинейный интеграл переносятся все свойства обычного
интеграла.
Отметим некоторые специфические свойства интеграла D7.1)
1°. I ds^S.
АВ
Это очевидно.
2°. Если функция F непрерывна в точках кривой у как функ-
функция параметра s, т. е. если непрерывна функция F [r (s)], Oscss^S,
то интеграл \Fds существует.
v
В самом деле, согласно определению D7.1), интеграл )Fds
v
S
сводится к интегралу ^F[x(s), y(s), z(s)]ds от непрерывной функ-
0
ции по отрезку, который, как известно, существует.
3°. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориен-
ориентации кривой:
^ F(x, у, z)ds= ^ F{x, у, z)ds.
АВ ВА
Действительно, пусть M = r (s) — точка кривой АВ as — длина
дуги AM. Если а = S — s, то а равняется длине дуги ВМ (рис. 188).
190 § 47. Криволинейные интегралы
Функция r — r(S — о), O^a^S, является представлением кри-
кривой ВА, поэтому, выполнив в интеграле D7.1) замену перемен-
переменного s — S — a и заметив, что ds — — da, получим
s
\ F(x, у, z)ds = \F[x(s), y(s), z(s)]ds =
АВ О
= -$ F[x(S-a), y(S-a), z(S-o)]do =
s
s
= lF[x(S-o),y(S-o),z(S-o)]do= $ F (x, y, z) da.
Это свойство криволинейного интеграла первого рода связано
с тем, что, согласно определению, длина дуги кривой считается
положительной независимо от конца, от ко-
которого она отсчитывается.
Прежде чем перейти к следующему
свойству, заметим, что ^F ds, как и вся-
v
*г(о} кий интеграл, является пределом соот-
соответствующих интегральных сумм; специ-
Рис. 188 фика этого случая состоит лишь в том, что
эти суммы можно описать в геометрических
терминах, связанных с кривой у, по которой ведется интегрирова-
интегрирование. Сформулируем это более точно.
4°. Пусть т¦= {s,-}f=o° — разбиение отрезка [О, S], & е [s,-_i, s,],
As,- = st — s,--! — длина дуги кривой у от точки г (s,-_x) до точки
t'o
r(st)r i — l, 2, ..., k, u <sx— ^F[r(?,)]As,-. Тогда, если функция
F[r(s)] интегрируема по Риману на отрезке [О, S], то
lim ax = lFds. D7.2)
Действительно, ах, очевидно, является интегральной суммой
о
Римана интеграла \F[r(s)]ds, и поэтому формула D7.2) непосред-
о
ственно следует из D7.1).
Формула D7.1) очень удобна для изучения свойства интеграла
^F ds, однако она далеко не всегда удобна для его вычисления,
так как нередко бывает очень сложно или даже практически
невозможно найти представление данной кривой, где за параметр
47.2. Криволинейные интегралы второго рода 191
взята переменная длина дуги. Укажем поэтому формулу для инте-
интеграла \F ds при любом параметрическом представлении кривой у.
v
5°. Пусть у —гладкая кривая (см. определение 16 в п. 16.4),
г (/)={ф @> Ф @> X @> а *S / «S Ь} — ее непрерывно дифференцируемое
представление, и следовательно, ф'2@+^'2 @ + '2(^H
Пусть функция F непрерывна на кривой у (в том смысле, что
функция F [/¦(/)] непрерывна на отрезке [а, Ь]). Тогда
(t)dt. D7.3)
В самом деле, при сделанных предположениях кривая у спрям-
спрямляема, и переменную длину дуги s = s(t) можно принять за пара-
параметр (см. следствие 2 из теоремы 2 в п. 16.5) и потому интеграл
[Fds имеет смысл. Выполнив замену переменного s = s(t) в пра-
v
вой части равенства D7.1) и вспомнив, что (см. п. 16.5)
•ЗГ= Vxt +yt +zt ,
получим формулу D7.3).
Из D7.3) следует, что для данной кривой значение интеграла,
стоящего в правой части равенства D7.3), не зависит от выбора
параметра на кривой, ибо при любом выборе параметра этот
интеграл равен интегралу, стоящему в левой части этого равенства.
47.2. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
Ряд математических и прикладных задач приводит к криво-
криволинейным интегралам другого типа. Например, если г —г if)
является радиус-вектором движущейся материальной точки, a F=
^F{f) — сила, действующая на эту точку, то естественно опре-
определить работу силы F вдоль траектории Г рассматриваемой точки
как интеграл \Fdr или, если F=(P, Q, R), a dr=(dx, dy, dz),
г
в координатной записи как интеграл
\Pdx + Qdy + Rdz. D7.4)
г
Вспоминая, что (см. п. 16.5)
*» Напомним, что это условие означает отсутствие особых точек иа кри--
вой (см. определение 15 в п. 16-4).
192 § 47. Криволинейные интегралы
где f = (cosa, cosp, cos у) — единичный касательный вектор, инте-
интеграл D7.4) можно представить формально в виде
\ (Р cos а + Q cos р + R cos у) ds.
Сформулируем теперь строгое определение интегралов вида
D7.4). Пусть у — АВ — гладкая ориентированная кривая, т. е.
непрерывно дифференцируемая ориентированная кривая без особых
точек. Тогда существует такое ее непрерывно дифференцируемое
представление
г@ = {* = ф@. У = ${*), г = х@; а^*^Ь}, А = г(а), В = г(Ь),
что
Пусть s = s(t) — переменная длина дуги, 0 «=s s «S S, S — длина
всей кривой у, отсчитываемой от конца A, (coscc, cosp, cosy) —
единичный касательный вектор к кривой, a — a(s), p = P(s),
Y = y(s). О-^st^S, и пусть функция F, как и в предыдущем
пункте, определена на множестве {/¦(/), a^t^b] всех точек кри-
кривой у.
Определение 2. Интеграл ^ F (х, у, z) dx определяется по фор-
АВ
муле
$ F(x, у, z)dx= § F (х, у, z) cos ads. D7.6)
АВ АВ
Аналогично, по определению, полагается
\ F (х, у, z)dy= \ F (х, у, z) cos p ds,
АВ АВ
§ F (х, у, z)dz= \ F (х, у, z) cosy ds. D7.7)
АВ АВ
Интегралы вида D7.6) и D7.7) называются криволинейными
интегралами второго рода от функции F по кривой АВ.
Естественность этих определений видна из формул D7.5).
Отметим некоторые свойства криволинейных интегралов вто-
второго рода, ограничиваясь для краткости только случаем инте-
интеграла D7.6).
1°. Если функция F непрерывна на кривой у, т. е. непрерывна
функция F[r (t)], a^ts^b, то интеграл D7.6) существует.
Действительно, при сделанных относительно кривой у пред-
предположениях функция t — t(s), (/ — параметр на кривой у, s — пере-
переменная длина дуги) непрерывно дифференцируема на отрезке [О, S],
а поэтому функция cosa = -jr-j- непрерывна на этом отрезке и,
47.2. Криволинейные интегралы второго рода
193
следовательно, в силу свойства 2° криволинейных интегралов пер-
первого рода (см. п. 47.1) интеграл D7.6) существует. Ц
В дальнейшем в этом пункте для простоты будем предполагать,
что функция F непрерывна на кривой у. В этом случае все
написанные ниже интегралы заве-
заведомо существуют.
2°. Криволинейный интеграл
второго рода меняет знак при из-
изменении ориентации кривой, т. е.
$ F(x,y,z)dx = — \ F(x,y,z)dx.
Гв в~а
В самом деле, если а —угол,
образованный положительным на-
направлением касательной к кривой
АВ с осью Ох, а а' — угол, обра-
образованный положительным направлением касательной к кри-
кривой ВА с осью Ох, то для соответствующих точек будем иметь
а' = а+я (рис. 189), и, следовательно, coscc'= — cosa.
Использовав теперь свойство независимости криволинейного
интеграла первого рода от ориентации кривой (см. п. 47.1), получим
\ F(x, у, z)dx= \ F(x, у, z)cosa'ds = — $ F(х, у,
в~А ва Sa
= _ $ F(x, у, z)cosads = — $ F(x, у, z)dx.
Лв А~В
Таким образом, это свойство криволинейного интеграла вто-
второго рода вытекает из того факта, что криволинейные интегралы
\ F (х, у, z) dx и \ F (х, у, z) dx
ав iA
равны соответствующим криволинейным интегралам первого рода,
подынтегральные выражения которых отличаются только зна-
знаком. П
3°. Если F — непрерывная на кривой у функция, то для инте-
интеграла D7.6) справедлива формула
^ F(х, y,z)dx = \F[Ф (О, Ч>@, %@1Ф' @ dt. D7.8)
Гв а
Действительно, согласно определению D7.6),
s
^ F(x, у, z)ds = \F[x(s), y(s), z (s)] cos a (s)ds.
A~B °
194 § 47. Криволинейные интегралы.
Выполнив в интеграле, стоящем в правой части этого равен-
равенства, замену переменного s = s(t) и замечая, что (см. D7.5) cos«=j
dx xt
= ~ds = Т7"' ПОЛУЧИМ
s
$F|>(s), y(s), z (s)] cos a (s) ds =
ft
Отметим, что мы доказали также, что интеграл, стоящий
в правой части этой формулы, не зависит от выбора параметра
на кривой, сохраняющего ее ориентацию.
В частном случае, когда за параметр t можно взять перемен-
переменную х, т. е. когда кривая у обладает представлением у = у(х),
z = z(x), a^x^b, и, следовательно, не имеет кратных точек,
функция F является однозначной функцией не только точек кри-
кривой, но и соответствующих точек пространства (в этом случае
разным точкам кривой соответствуют разные точки пространства
и наоборот).
Формула D7.8) принимает в этом случае вид
ь
\F(x, y,z)dx = \F[x, у (х)г z(*)]dx. D7.9)
V а
4. Интеграл § F (х, у, z) dx является пределом соответствую-
АВ
щих интегральных сумм, описываемых в терминах, связанных
с кривой у, точнее: пусть % = Щ\\^ —разбиение отрезка [а, Ь],
Ьх — его мелкость, 1,-е [/,-_ь t{\, i — \, 2, ..., i0, и
где Axi = x(ti) — x(ti-1), тогда
lim 0T= \ F(x, у, z)dx. D7.10)
et-° Гв
В самом деле, по формуле конечных приращений 'Лагранжа
Axt = ф' (т]г) А^-, где
r\i€E[ti-i, ti], Ati^ti-ti-u J = l, 2, .... to,
поэтому
0T= ft Flr (tt)W (Ч) Ы,.
i= 1
47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра 195
Положим
Сумма at является интегральной суммой Римана для функции
F[r(t)]q>(t), поэтому
ь
\\mot = \F[r(t)\<f'{f)dt. D7.11)
С другой стороны
«о
|5Т - ат | sc 2] \F[r (Ш! |ф' (Т1,-) - ф' (Ъ) | Mi ^
i= 1
«s;(oFT; ф') (b — a) sup
где to (б; ф') —модуль непрерывности функции ср'. Так как из
непрерывности функции F [r (t)] на отрезке [a, b] следует, что
sup \F[r (t)]] <сю, а из непрерывности функции ф' на том же
отрезке следует, что lim ю (бт; ф') = 0, то lim (aT — aT)=0. Поэтому
бт^о бх-»о
в силу D7.11) получим
ь
lim ot = 5F
6°
Отсюда, согласно свойству 3, следует формула D7.10). Ц
Мы остановились только на тех свойствах криволинейных
интегралов, которые связаны со спецификой их определения,
с кривой, по которой производится интегрирование. Естественно,
что, поскольку рассматриваемые интегралы сводятся к обычным
интегралам по отрезку, на них переносятся и различные их свой-
свойства (линейность относительно интегрируемых функций, интег-
интегральная теорема о среднем и т. д.).
47.3. РАСШИРЕНИЕ КЛАССА ДОПУСТИМЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
ПАРАМЕТРА КРИВОЙ
Непрерывно дифференцируемая ориентированная кривая без
особых точек определялась нами (см. п. 16.1 и 16.2*') как кривая,
имеющая непрерывно дифференцируемые векторные представления
r(t), a^ts^b, такие, что r'(t)=?Q на отрезке [а, Ь]. В качестве
допустимых преобразований параметра при этом рассматривались
такие функции
, t(a) =
7*
196 § 47. Криволинейные интегралы
которые были непрерывно дифференцируемыми и имели положи-
положительную производную на отрезке [а, Ь]. Это требование, однако,
часто оказывается слишком обременительным. Например, для
дуги у единичной окружности с центром в начале координат
представления
= 1, и x = sint, у = cost,
оказываются неэквивалентными в этом смысле. Да и само пред-
ставление г/ = 1/^1 — х2, Os^xs^l, не определяет в нашем смысле
непрерывно дифференцируемую кривую, поскольку у него при
х = 1 производная не существует. Поэтому естественно расширить
класс допустимых преобразований параметров и допустимых
представлений непрерывно дифференцируемых кривых. Это можно
сделать следующим образом.
Рассмотрим совокупность векторных представлений r — r(t),
a^t^b, непрерывных на отрезке [а, Ь] и непрерывно диффе-
дифференцируемых на интервале (а, Ь). Допустимым преобразованием
параметра будем называть всякую функцию t = t(x), а^те^Р,
t(a) = a, t($) = b, непрерывную на отрезке [а, Р], непрерывно
дифференцируемую и имеющую положительную производную
на интервале (а, Р). Как всегда, два представления называются
эквивалентными, если можно перейти от одного к другому
с помощью допустимого преобразования параметра.
Определение 3. Класс эквивалентных представлгний указанного
типа задает непрерывно дифференцируемую кривую, если в этом
классе существует по крайней мере одно представление г = г (t),
a^ts^b, непрерывно дифференцируемое на всем отрезке [а, Ь].
Определение 4. Непрерывно дифференцируемая кривая назы-
называется кривой без особых точек, или, короче, гладкой кривой, если
при некотором ее представлении r(t), a^t^b {а значит, и при
всех ее представлениях) выполняется условие г'(()фО, a<it<ib.
В смысле этого определения два вышеуказанных представления
дуги окружности оказываются эквивалентны и задают гладкую
кривую.
Остаются в силе и все данные выше определения криволиней-
криволинейных интегралов и их свойства, естественно, при учете того, что
при некоторых представлениях кривых можем получить несоб-
несобственный интеграл.
Следует подчеркнуть, что расширение класса представлений
кривой позволяет производить вычисление криволинейного
интеграла при более разнообразных представлениях кривой.
Например, интеграл \Р (х, y)dy, где v —рассматриваемая выше
7
дуга единичной окружности, а Р — непрерывная на у функция,
7.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым 197
можно вычислить, пользуясь обоими указанными представлениями:
(х, у)dy = -
я/2
]Р(х, y)dy = — \ P(sint, cos t) sin tdt.
V 0
В первом случае здесь может получиться несобственный
интеграл.
Вместе с тем при доказательстве теорем можно выби-
выбирать «хорошие представления», т. е. непрерывно дифференцируемые
вплоть до концов отрезка, а проведенные рассмотрения окажутся
справедливыми и для расширенного понятия кривой.
Упражнение 1. Доказать, что при новом определении непрерывно
дифференцируемой кривой у = {х (О» У if), г (t)} ее длина выражается формулой
ь
$ У х'*-\-у'*-\-г'г dt, где написанный интеграл, вообще говоря, несобственный.
а
47.4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО
КУСОЧНО-ГЛАДКИМ КРИВЫМ
Определение 5. Если кривая у кусочно-гладкая, т. е. предста-
вима в виде объединения конечного числа гладких кривых уи у2, ...
..., ук, а функция F (х, у, z) по-прежнему определена на точках
кривой у, то, по определению, положим
\ F (х, у, z)dx=]? \F (x, у, z) dx.
Если у — кусочно-гладкая кривая и x — x(t), y = y(t), z = z(t),
a^t^b, — ee кусочно-гладкое представление, то также будем
писать
\F(x, у, z)dx=\F[x(t), y(t), z(t)]x'(t)dt
у а
(здесь производная х' (t) может быть не определена в конечном
числе точек отрезка [а, Ь]), понимая интеграл, стоящий в правой
части равенства, вообще говоря, в несобственном смысле.
Аналогичные определения имеют место и для интегралов
вида D7.7). В дальнейшем придется иметь дело с суммами
интегралов вида D7.6) и D7.7), т. е. с интегралами вида D7.4),
где Р, Q и # —некоторые функции, определенные на точках
кривой у. Согласно определениям D7.6) и D7.7), справедлива
}98 § 47. Криволинейные интегралы
__^_____________—. , -.. .. i . i j
¦формула
$ Р их + Q dy + R dz = \ (Р cos a + Q cos р + R cos у) ds.
У V
Замечание 1. Если Г обозначает конечную совокупность
кусочно-гладких ориентированных кривых yh i=l, 2, ..., k, то,
по определению
к k
\Fds= 2 \Fds' lFdx= 2 \Fdx н т. д.
Замечание 2. Мы дали определение криволинейных инте-
интегралов для кривых, лежащих в трехмерном пространстве ^3.
Совершенно аналогично они определяются и для кривых, лежащих
в любом «-мерном пространстве Rn, п — 2, 3, 4, ... . Криволи-
Криволинейные интегралы в и-мерном пространстве обладают свойствами,
аналогичными рассмотренным выше в трехмерном случае, причем
доказательства их также совершенно аналогичны приведенным
выше. Поэтому мы не будем останавливаться ни на формулиров-
формулировках, ни на доказательствах соответствующих утверждений.
Упражнения. 2. Доказать, что данные в настоящем пункте определе-
определения криволинейных интегралов по кусочно-гладким кривым не зависят от
способа разбиения этих кривых на гладкие дуги.
3. Вычислить криволинейный интеграл \ Vx + 2y dx + Vx + у dy, где Г —
г
треугольный контур с вершинами О @; 0); В B; 0), С B; 4).
, „ „ ., С x^dy — y^dx
4. Вычислить криволинейный интеграл \ —Н?—\п > гДе Г —дуга
астроиды x = acos3/, y = asm3t, ограниченная точками (а, 0) и @, а).
47.5. ФОРМУЛА ГРИНА
Определение 6. Пусть простой замкнутый контур у является
границей ограниченной плоской области G. Если ориентация
контура выбрана таким обра-
образом, что при обходе контура у,
соответствующем возрастанию
параметра, область G остается
слева (такой обход обычно назы-
Роломишельная Отрицательная вается обходом контура против
ориентация ориентация направления движения часовой
Рис 190 стрелки), то эта ориентация
называется положительной, в
противном же случае (т. е. когда
обход контура производится по направлению движения часовой
стрелки) — отрицательной (рис. 190).
Положительно ориентированный контур будем обозначать у*,
а отрицательно ориентированный — через у~. Эти понятия опреде-
47.S. Формула Грина 199
лены не строго, не в точных математических терминах. Однако
мы не будем давать здесь точных определений, е одной стороны,
потому что это нельзя коротко сделать, а с другой стороны,
поскольку в дальнейшем во всяком отдельном случае рассматри-
рассматриваемая ориентация всегда будэт конкретно указываться. Тем
самым наше «общее» определение положительной и отрицательной
ориентации простого замкнутого контура послужит лишь для
геометрической наглядности рассматриваемых ниже вопросов.
В дальнейшгм плоскую область G, замыкание которой может
быть представлено одновременно в виде D5.1) и D5.13) (см. рис. 156),
будем для кратности называть
элементарной областью. ^
Теорема 1 (формула Грина *). ^
Пусть G — плоская область и ее
граница у является кусочно-глад-
кусочно-гладким контуром. Пусть область G с
может быть разбита на конечное
число элементарных областей G**'
с кусочно-гладкими границами ~q
-у,-, i = 1, 2, ..., k. Пусть, далее,
в замкнутой области G заданы Рис- 191
функции Р (х, у) и Q (х, у), непре-
непрерывные на G вместе со своими частными производными -=г- и -^-. ***'
Тогда справедлива формула
Ut С,
|*О0 * G Р(Ж
-\—; " '"¦¦ ¦ д—i
i i
И $-?)**-$ ""+«*• D7Л2>
G у*
Доказательство. Пусть сначала область G сама элемен-
элементарна и, следовательно, ее границу можно представить как
объединение графиков двух кусочно непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых функций ф(х) и ф(х), ф(х) ==со])(х), а^х^Ь, и, быть может,
отрезков прямых х = а и х = Ь, а также как объединение двух
графиков кусочно непрерывно дифференцируемых функций а, (у)
и р (у), <х(у)^$(у), cs^y^d и, быть может, отрезков прямых
у = с и y = d (рис. 191).
В этом случае, применяя правило сведения двойного интеграла
к повторному, теорему Ньютона —Лейбница (п. 29.3) и формулу
*> Дж. Грин A793—1841) —английский математик.
**' Это означает, что {Gijj-Ilf является разбиением замкнутой области G
(см. п. 44.3).
***' Непрерывность частных производных на G понимается как их непре-
непрерывность на открытом множестве G и их непрерывная продолжаемость на
границу G (см. п. 39.3).
200 § 47. Криволинейные интегралы
D7.9), имеем
a Lq>(x)
, * (*)] - Р [х, ф (х)]} dx = \p [х,
с
— $/>[*, (p(x)]dx = \ Р(х, y)dx— \ P(x, y)dx =
a DC Яв
^- \Р{х, y)dx- \P(х, у)dx. D7.13)
СО АВ
Замечая, что для отрезков ВС и DA
<\ Р(х, y)dx= J P(x, y)dx = 0 D7.14)
ВС DA
(это сразу следует, например, из формулы D7.6), ибо здесь
x==const и потому cosa = 0), и, сложив равенства D7.13) и
D7.14), получим
dx- [ Pdx- [ Pdx-
a аЪ bc cl) 6a v+
D7.15)
При этом получилась ориентация граничного контура у, при
которой следуют последовательно одна за другой точки А, В,
С, D. Эта ориентация является положительной (см. определение 6)
н обозначается через у+.
Совершенно аналогично, исходя из того, что область G эле-
элементарна, выводится формула
^ D7.16)
Сложив D7.15) и D7.16), мы получим формулу Грина D7.12)
для рассматриваемого случая.
Рассмотрим общий случай. Пусть область G разбита на обла-
области d, i = l, 2, ..., k, указанного в условиях теоремы вида.
В силу доказанного для каждого i = 1, 2, ..., k
Ш
G
vt
47.5. Формула Грина
201
Сложив эти равенства, получим
2 И (^-f-
,¦=1 С.
В силу аддитивности двойного
(см. п. 44.6) будем иметь
D7-17)
интеграла по множествам
2 Ш?~?Н»-И
1 = 1 С,
#-¦?)**• D7Л8)
В сумме, стоящей в правой части равенства D7.17), криво-
криволинейные интегралы берутся дважды по всем внутренним частям
границ yit областей G,-, т. е. таким дугам кривых yit которые
являются частью границ двух областей Git t' = l, 2, ..., k, и,
следовательно, не входят в границу области G; при этом ориен-
ориентации этих дуг кривых Y» противоположны (рис. 192). В силу
Рис. 192
Рис. 193
изменения знака криволинейШго интеграла второго рода при
изменении ориентации кривой сумма двух криволинейных инте-
интегралов по указанным частям кривых у,- равна нулю. Поэтому
в правой сумме формулы D7.17) останутся только интегралы
по положительно ориентированным частям границы у области G,
дающие в сумме \ Pdx + Qdy. Таким образом,
=\ Pdx + Qdy.
1=1
D7.18')
Из D7.17), D7.18) и D7.18') следует формула D7.12) в общем
случае. Ц
Пусть G — ограниченная область на плоскости R2 и пусть
ее граница состоит из конечного числа простых контуров, которые
будем называть граничными контурами. Если граничный контур
является одновременно и границей неограниченной области,
лежащей в R2\G, то будем называть его внешним, а если он
является одновременно и границей ограниченной области, лежа-
§ 47. Криволинейные интегралы
щей в R2\G, то — внутренним. Так, нарис. 193 контур уе внеш-
внешний, а контуры Yii и угг внутренние.
Если граница области G состоит из .внешнего контура уе и
внутренних контуров уп, yi2, ..., yim и если область G может
быть разбита на конечное число элементарных относительно обеих
координатных осей областей с кусочно-гладкими границами, т©
справедлива формула
Ve 1 = Чц
Функции Р и Q, как и выше, предполагаются непрерывными
6Р 3Q „ - ^
вместе со своими производными -^— и -^ в замкнутой области G.
Доказывается эта формула так же, как и D7.12), если только
заметить, что в сумме, стоящей в правой части равенства D7.17),
останутся криволинейные интегралы, по положительно ориентиро-
ориентированным частям внешнего контура и по отрицательно ориентиро-
ориентированным частям внутренних контуров (см. рис. 193,).
Отметим еще, что в формуле D7.19) все контуры (как внешние,
так и внутренние) ориентированы таким образом, что при их
обходе область интегрирования остается слева.
Определение 7. Пусть граница dG ограниченной плоской обла-
области G состоит из конечного числа простых кусочно-гаадких кон-
контуров. Совокупность этих контуров, ориентцрованных так, что
при обходе по каждому из них область G остается слева (справа),
называется положительной (отрицательной) ориентацией гра-
границы G и обозначается также dG (соответственно —dG).
Формулу Грина можно распространить и на еще более широкий
класс областей. Для этого заметим, что в силу доказанного
формула Грина справедлива для треугольника, а значит, и для
любого многоугольника. Поэтому предельным переходом, аппрок-
аппроксимируя границу области конечнозвенными ломаными, можно
получить формулу Грина для любой области (и даже просто
открытого множества), граница которой состоит из конечного
числа кусочно-гладких кривых. Мы, однако, не будем останавли-
останавливаться на доказательстве этого факта, а ограничимся лишь его
формулировкой. При этом, используя определение 7, мы запишем
формулу D7.19) в более компактном виде.
Теорема 1'. Пусть граница плоской ограниченной области G
состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых. Тогда, если
¦функции Р, Q, -5— и -~ непрерывны на G, то
•J j Л OX Oti I j
G dG
¦где UG — положительно ориентированная граница области С
47.6, Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов 20S
Формула Грина является для кратных интегралов аналогом
формулы Ньютона — Лейбница для однократных интегралов: и
в той и в другой формуле интегралы от производных по области
интегрирования выражаются через значения функции на границе
указанной области (в случае формулы Грина эти значения еще
интегрируются).
Упражнения. С помощью формулы Грина вычислить следующие
криволинейные интегралы, где Г — простой замкнутый контур, состоящий из
частей кривыж, уравнения которых указаны для каждого интеграла (направление
обхода контура — положительное
5. $|
г
-dxJ\-2\nxdy\ 2х + у = 4, х=\, у=0.
dx dy. „о „__t
47.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ С ПОМОЩЬЮ КРИВОЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛОВ
Положив в формуле Грина Q •= х, Р = 0, получим* J J dx dy =.
с
s= ^ х dy и, следовательно,.
v+
nG=\xdy. D7.20)
т+
Аналогично, положив Р = —у,, Q = 0, получим
цб = - \.y.dx. D7.21)
v+
Складывая формулы D7.20) и D7.21), будем иметь
dy-ydx. D7.22)
Примеры. 1. Найдем с помощью формулы D7.22) площадь,
ограниченную эллипсом -2 + п = 1. Используем его параметри-
параметрическое представление: x = acos?, y — bsint. Применив формулу
D7.22), получим искомую площадь:
2я
S = \ {xdy-ydx = \ab \ (cos21 + sin21)dt = nab.
7* 0
204 § 47. Криволинейные интегралы
Сравнивая этот метод вычисления площади, ограниченной
эллипсом, с приведенным раньше (см. пример 4 в п. 32.1), легко
убедиться, на сколько здесь меньше объем вычислений.
2. Найдем площадь, ограниченную астроидой (см. в т. 1, рис. 75)
я = a cos3/, y = asin3t, 0^ts^.2n. Замечая, что здесь возрастание
параметра t соответствует положительной ориентации контура,
имеем:
-ydx^—^ (cos4 sin21+ sin4 cos2 t)dt =
о
In
Упражнения. С помощью криволинейного интеграла вычислить пло»
щадь фигуры, ограниченной линиями:
8. x = t2, y = t3, x=\, </ = 0.
9. у- = 4 — х, х=\, у—\ (в первой четверти).
47.7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЗНАКА ЯКОБИАНА
ОТОБРАЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
Пусть F — взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое
отображение плоской области G с R2UV в плоскость Rly с якобианом,
всюду в G не равным нулю. Тогда в силу принципа сохранения
области множество G* =F(G) также является областью (см. п. 41.8),
а якобиан, в силу его непрерывности, сохраняет знак на G
(см. теорему 4 в п. 19.5), т. е. либо всюду на G положителен,
либо всюду отрицателен.
Пусть в координатной записи отображение F задается фор-
формулами
х = х(и, v),
У = 9(и, v). D7.23)
Лемма 1. Если у — кусочно-гладкая кривая, лежащая в G, то ее
образ у* == F (у) при отображении F также будет кусочно-гладкой
кривой.
Доказательство. Пусть сначала у — гладкая кривая, т. е.
непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек (см. опре-
определения 15 и 16 в п. 16.4), и пусть
u = u(t), v = v(t), a^t^b,
— некоторое ее представление. Тогда на отрезке [а, Ь] функции
«@ и v (t) непрерывно дифференцируемы и f^j -f- \j() >0-
Представлением кривой у* = F (у) будет являться пара функций
47Л. Геометрический, смысл знака якобиана-отображения 205
которые в силу свойств композиции непрерывно дифференцируе-
дифференцируемых функций (см. п. 19.3 и 20.3) также будут непрерывно диф-
дифференцируемыми. Покажем, что кривая у* также не будет иметь
особых точек. В самом деле, поскольку
их дхйи . дх dv
dy ду du ду dv
dt du dt dv dt '
то, рассматривая эти равенства как систему линейных уравнений
относительно ~ и -^, видим, что если в некоторой точке t e [a, b]
выполнялись бы равенства -^ = ¦— — 0, то в силу необращения
в ноль якобиана
дхдх
д (х, у)
д(и, v)
диди
ду ду
dudv
указанная система имела бы единственное решение, которым
является нулевое решение, т. е. в той же точке t были бы спра-
du dv n
ведливыми равенства -гг = -п = 0 и тем самым соответствующая
точка кривой у была бы особой, что, по предположению, невоз-
невозможно.
Итак, если кривая у —гладкая, то кривая y*=^(y) также
гладкая. Отсюда сразу следует, что образ кусочно-гладкой кривой
при рассматриваемом отображении является также кусочно-гладкой
кривой, ибо кусочно-гладкая кривая (см. определение 16 в п. 16.4)
представляет собой объединение конечного числа гладких
кривых. ?
Пусть, теперь, Г с G, Г — ограниченная область, и ее гра-
граница дТ является простым кусочно-гладким контуром y (такие
границы называются кусочно-гладкими). Пусть далее, T*=F(T).
Тогда в силу принципа сохранения области множество Г* —также
область, и кроме того, ее граница дТ* есть образ границы дТ
области Г (см. лемму 1 в п. 46.1), т. е. дГ* —F(dT). Поэтому
граница дТ* также является простым (в силу взаимной однознач-
однозначности отображения F) кусочно-гладким (согласно лемме 1 этого
пункта) контуром у*. Следовательно, по контурам у = дТ и у* =
= д Г* можно вычислять криволинейные интегралы. Пусть обла-
области Г и Г* таковы, что к ним применима формула Грина,
например, они удовлетворяют условиям, налагаемым на область
в теореме 1 п. 47.5. (На самом деле, как уже отмечалось, при
сделанных предположениях формула Грина всегда применима,
однако это не было доказано).
206 § 47. Криволинейные интегралы
Обозначим через -у1" как обычно, положительно ориентирован-
ориентированный контур у (см- п- 47.5). Пусть
u = u(t), v = v(t),
— представление контура у+ и, следовательно,
x = x[u(t), o@], y = y[u{t), v(t)], a^t^b, D7.24)
— некоторое представление контура у*.
Будем предполагать еще, что существуют смешанные произ-
дгу д*у
водные ^^ и gjg^- и что они непрерывны, а следовательно,
и равны друг другу во всех точках области G.
Согласно формуле D7.20),
1 D7.25)
где е = +1, если ориентация контура у* положительна, и е = — 1
в противоположном случае. Иначе говоря, е = —J- 1 (соответственно
е =— 1), если положительному обходу данного контура у соответ-
соответствует при отображении D7.23) положительный же (соответственно
отрицательный) обход контура y* = F(y).
Преобразовав интеграл D7.25) по формуле D7.8) и исполь-
использовав представление D7.24) контура у*, будем иметь:
К получившемуся интегралу применим формулу Грина
(см. теорему 1 в п. 47.5). Положив Р = х~, Q — xM^ и заметив,
что в этом случае
Хди dv' dv ~~ ди ди + Х
ди ~ ди ди + Хди dv' dv ~~ ди ди + Х dv ди
(здесь нами используется потребованное выше существование
д*у дЧ \
вторых частных производных ^^ и 5jj4-j, получим
dQ_dP_d*cfy_axcty _ д (х, у)
ди dv ди dv dv ди д (и, v)'
откуда
J
47Л. Геометрический смысл знака якобиана отображения
207
Левая часть этого равенства больше нуля, значит, правая
часть также положительна, и так как якобиан отображения D7.23)
не меняет знака, то это возможно лишь в том случае, когда
*'
'd(u,v)
НИ
>0, т. е. когда число.е имеет тот же знак, что и якобиан
в этом случае
д(х, у)
Тем самым знак е не
зависит от выбора контура y. а определяется знаком якобиана,
который один и тот же во всех точках области G.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Если выполнены сделанные выше предположения,
то справедлива формула
[д (и, v)
dudv.
D7.26)
Кроме того, если Л*' Ц>® на Г, то е = + 1, иначе говоря, ест
якобиан отображения F положителен, то положительному обходу
всякого контура у с G, являющегося границей ограниченной области
Г с: G, при отображении F соответствует положительный обход
контура у* = F (у), являющегося границей ограниченной области
T* = F(T). Если же якобиан ^ <*' VJ <0 на Г, те = -1, т. е.
положительному обходу всякого контура у указанного типа соот-
соответствует при отображении F отрицательный обход контура
* F()
y (y)
Таким образом, геометрический смысл знака якобиана состоит
в том, что в случае положительного якобиана ориентация контура
при отображении сохраняется, а при отрицательном — меняется.
С помощью формулы Грина D7.19) формула D7.26) легко
обобщается на случай, когда граница области Г состоит из конеч-
конечного числа кусочно-гладких замкнутых контуров.
Отметим еще, что с помощью формулы D7.26) можно без труда
получить более простое доказательство теоремы 1 из п.46.1
о геометрическом смысле модуля якобиана. Действительно, пусть
Мо е Г, d (Г) — диаметр области Г, и область Г каким-либо
образом стягивается к точке Мо и, следовательно, d (Г) ->• 0. По
теореме о среднем (см. п. 44.6)
поэтому
цГ* \д(х, у)
иг [а(и, о)
В силу непрерывности якобиана
и
lim
d(D-»0
д(х, у)
д(и, v)
и
д(х, у)
д (ur v)
208 § 47. Криволинейные интегралы
следовательно
lim
<*(Г)-0
д(х, у)\
д(и, v) \ма'
D7.27)
т. е. мы доказали формулу D6.9) и в некотором смысле даже
в более общем виде; так, здесь Г — не обязательно квадрат (правда,
на отображение F мы наложили несколько более сильные условия,
,, д*у дгу
потребовав непрерывности смешанных производных д . и , \ ¦
и возможности применения формулы Грина для области Г*).
Нетрудно убедиться и в том, что стремление к пределу в фор-
формуле D7.27) происходит равномерно в смысле, указанном в тео-
теореме 1 п. 46.1.
Несмотря на простоту вывода формулы D7.27) (достигнутую
во многом за счет более сильных предположений), следует отме-
отметить, что доказательство теоремы 1, приведенное в п. 46.1, идейно
предпочтительнее, так как оно лучше раскрывает сущность вопроса,
связанную с тем, что дифференцируемое отображение в малом
достаточно хорошо аппроксимируется линейным отображением.
47.8. УСЛОВИЯ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА
ОТ ПУТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Все кривые (контуры), рассматриваемые в этом пункте, будут
всегда предполагаться кусочно-гладкими; для краткости это не
будет каждый раз специально оговариваться. Отметим еще, что
во всякой области G любые две ее точки все-
всегда можно соединить кусочно-гладкой кривой,
например ломаной (см. лемму 5 в п. 41.4),
лежащей целиком в G.
Пусть задана плоская область G и на
ней определены непрерывные функции Р =
= Р(х, у) и Q — Q(x, у). Рассмотрим вопрос
о том, при выполнении каких условий криво-
Рис. 194 линейный интеграл \ Pdx + Qdy при про-
Тв
извольно фиксированных точках ^gG hBgG не зависит от
выбора кривой АВ, их соединяющей и лежащей в G.
Лемма 2. Условие независимости рассматриваемого криволиней-
криволинейного интеграла от указанного пути интегрирования равносильно
равенству нулю интеграла по любому замкнутому контуру, лежа-
лежащему в области G.
Доказательство. 1. Действительно, пусть для любого
замкнутого контура у cz G имеет место равенство
$Р dx + Qdy = O, и даны две кривые (АВI и (/ШJ, соединяю-
v
щие в G точки А я В (еж. рис. 194). Обозначим через (ВАK
47,8. Условия независимости криволинейного интеграла 209
кривую, получающуюся из (АВJ заменой на ней ориентации на
противоположную. Объединение (АВ)Х U (ВАJ кривых {АВ)г
и (ВА)ъ является замкнутым контуром, поэтому
$ Pdx + Qdy = 0; D7.28)
( is)i U (ВА)г
но
( ab)i
= ^ Pdx + Qdy- \ Pdx-i-Qdy. D7.29)
Из D7.28) и D7.29) следует, что
$ Pdx + Qdy= ^
(ab)i
т. е. криволинейный интеграл ^ Р dx-\-Qdy не зависит от пути
интегрирования /4S с: G при фиксированных Леб и BgG.
2. Обратно, пусть интеграл \Р dx-\-Qdy не зависит от пути
интегрирования в указанном смысле и задан замкнутый контур у,
лежащий в G. Выберем на нем две точки А и В ф А; тогда
\+ I = $- $ =0,
лв ?й Тв (
где (Л?I обозначает кривую, получающуюся из кривой ВА заме-
заменой на ней ориентации на противоположную. ?
Сформулируем критерий независимости интеграла от пути
интегрирования.
Теорема 3. Пусть функции Р (х, у) и Q(x, у) непрерывны
в плоской области G. Для того чтобы криволинейный интеграл
^ Р dx-j-Qdy при фиксированных точках A^GuB^GHe зави-
Тв ^
сел от пути интегрирования АВ a G, необходимо и достаточно,
чтобы выражение Р dx-\-Q dy являлось полным дифференциалом
некоторой функции и = и(х, у), определенной в области G:
D7.30)
(это равносильно тому, что^ = Р, ^" = Q, (x, y)^G).
При выполнении этого условия для любых двух точек
А = (х0, ft)GG и В~(хъ yjEG и любой кривой АВ, соеди-
210 §47. Криволинейные интегралы
няющей эти точки в G : АВ с= G, имеет место тождество
^Pdx + Qdy^u (хъ У1) - и (х0> Уо). D7.31)
АВ
Доказательство необходимости условия D7.30).
Допустим, что рассматриваемый интеграл не зависит от пути
интегрирования, лежащего в обла-
области G, а только от его начальной и ко-
конечной точек. Пусть Мо = (х0, у0) е G,
М = (х, j/)eG и М0М — некоторая
кусочно-гладкая кривая, соединяю-
соединяющая в G точки Мо и М (такая кри-
кривая, даже ломаная, всегда суще-
существует, см. лемму 5 в п. 41.4). По-
Положим
Л?
Рис.195 и(М) = и(х, у)М
Функция и(х, у) однозначна, так как значение и(М) = и(х, у)
не зависит от выбора кривой, соединяющей в G точки Мо и М.
Покажем, что
Зафиксируем точку М = (х, у), а точку Mh = (x + h, у) ,
О, выберем так, чтобы отрезок MMh, соединяющий М и Mh
(который, очевидно, параллелен оси Ох и имеет длину \h\),
содержался в G (рис. 195). Для всех достаточно малых чисел h
такой выбор всегда можно сделать (почему?). Тогда имеем
u(x + h, y)-u(x, #) =
= 5 Pdx+Qdy- J Pdx + Qdy^ \ Pdx + Qdy.
^ MM
MMh
Вдоль отрезка MMh координата у постоянна, поэтому
\ Qdy = O и, следовательно, и (х -J- h, у) — и (х, у) = $ Pdx=*
MMh MM.
x+h "
= \ P (t, y) dt. Применив интегральную теорему о среднем,
х
получим
u(x + h, у)-и(х, у) = Р(х + Ыг, y)h,
откуда
«<*+», У)-и(*,У) в р {х+ т> у)
47.8. Условия независимости криволинейного интеграла 211
Правая часть этого равенства в силу непрерывности. функции
Р (х, у) имеет предел при /i->0, следовательно, и левая часть
при й-*0 имеет предел. Перейдя к пределу в D7.32), будем-
иметь *?*> = />(*, 0.
Совершенно аналогично доказывается и равенство и ?' =
<=Q(x, у).
Итак, существование функции и (х, у), для которой имеет
место соотношение D7.30), доказано.
Пусть теперь A gG, В gG, AB — некоторая кривая, сое-
соединяющая в G точки Л и 5, и пусть x = x(t), y = y(t),
at^t^b — ее представление и, следовательно, А = (х(а), у (а)),
В = (х(Ь), уф)). Тогда
\ Pdx + Qdy=\{P[x(t), y(t)]x'(t) + Q[x(t), y(t)]y'(t)}dt =
AB "
Г [du(x(t),y(t))dx , du(x(t), y(i))dy]Jf
J L dx dt + Ту Tt\M=s
a
s=\ut(x{t), y(t))dt = u[x(b), y(b)]-u[x(a), y{a)] = u{B)-u{A),
a
т. е. формула D7.31) также доказана.
Доказательство достаточности условия D7.30) для
независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
непосредственно следует из формулы D7.31). Действительно,
начальная точка любого замкнутого контура у совпадает с конеч-
конечной, а поэтому в силу D7.31)
Согласно лемме 2 это и означает независимость соответству-
соответствующего криволинейного интеграла от пути интегрирования. Ц
Заметим, что хотя доказанная теорема и дает необходимые и
достаточные условия независимости криволинейного интеграла
от пути интегрирования, эти условия трудно проверяемы.
Если сузить класс рассматриваемых областей, то можно полу-
получить существенно более простой и эффективный критерий. Введем
следующее определение.
Определение 8. Плоская область G называется односвязной,
если, каков бы ни был простой контур у a G, ограниченная
область Г, границей которой является у, содержится в G.
Образно говоря, односвязность области означает, что область
не имеет «дыр». Круг является примером односвязной области,
круговое кольцо — неодносвязной (рис. 196).
212 § 47. Криволинейные интегралы
Прежде чем формулировать другой критерий независимости
криволинейного интеграла от пути интегрирования, докажем
лемму, которая понадобится при доказательстве этого критерия.
Лемма 3. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны в области
G,y — гладкая кривая, лежащая в G, х — х (t), y = y{t), a^t^b, —
ее представление, т= {^}1-=о° — разбиение отрезка [a, b], kt —лома-
—ломаная с вершинами в точках (x(ti), y(ti)), i = 0, 1, ..., /0 (см. п.16.5).
Тогда
lim J Pdx + Qdy=\Pdx + Qdy. D7.33)
6%
Заметим, что в силу равномерной непрерывности на отрез-
отрезке [а, Ь] функций х (t) и у {t) длины звеньев ломаной Кх, т. е.
длины отрезков с вершинами в точках
(*(*,--i). y(tt-i)) и (x(tt), y(t,)), при at-»-0
также стремятся к нулю.
Доказательство. Кривая у явля-
является компактом; поскольку этот компакт
не пересекается с замкнутым множест-
Рис 19б вом Rxy\G, то расстояние между ними
больше нуля (см. лемму 7 п. 18.2).
Пусть Ti — какое-либо число, такое, что
Р(Т> Rxy\G) > т) >0. Обозначим через уп совокупность всех точек
плоскости, находящихся от у на расстоянии, не большем, чем т).
Множество уп ограничено, замкнуто (см. в п. 18.3 лемму 11) и
В силу равномерной непрерывности функций x(t) и y(t)
на отрезке [а, Ь] существует такое число бо>О, что для любых
двух точек ? s [a, b] и t" e [а, Ь], удовлетворяющих условию
| V — t" | < б0, выполняется неравенство
р(ЛГ, М") = V[x (f) - х (t')f + [у it") - у (t')f < ть
где M' = (x(t'), у (С)), ЛГ = (*(О. У(П) (сравнить с лем-
леммой 4 в п. 41.4). Все точки отрезка с концами в точках
М' и М", очевидно, также находятся от точки М' на расстоянии,
не большем чем т] и поэтому лежат во множестве уп и, следова-
следовательно, в G. Это означает, что если мелкость бх разбиения т
отрезка [а, Ь] такова, что 8t ¦< б0> то все точки ломаной Кх лежат
в G и для таких разбиений т имеет смысл интеграл J Pdx-\-Qdy.
Рассмотрим интегралы § Р dx и \ Р dx. Положим
v \
Xi = x(ti), yi = y{U), Pi = P(xh yt), Axi = xi-xi.1, i = l, 2, ..., i0,
t=i
47.8. Условия независимости криволинейного интеграла 213
Как известно (см. п. 47.2, свойство 4),
\ D7.34)
Пусть, далее, Mi = (xh г/,) — вершины ломаной Яг; тогда
$Pdx=2] S Pdx- D7-35>
С другой стороны, заметим, что (употребляя обозначения из
п. 47.2)
$ dx = ^ cos a ds = \Mi-iMi\ cos a = Axit
поэтому
в,=2л^=2 5 ^d*- <47-36>
Обозначив через Lx длину ломаной At, через 5 — длину кривой
у, а через <о (б; Р) — модуль непрерывности функции Р (х, у)
на компакте •уя и заметив, что в силу определения кривой: LS
из D7.35) и D7.36) получим
\Pdx-ox ^2 \ \P-Pi\dx
Отсюда в силу равномерной непрерывности функции P(x, г/)
на множестве уп имеем lim (\ Pdx — ox\ = Q, и, значит, в силу
D7.34)
lim ? Pdx = ^Pdx. D7.37)
Аналогично доказывается и равенство
lim \Qdy = \Qdy. D7.38)
Из D7.37) и D7.38) непосредственно и следует утверждение
леммы, т. е. формула D7.33). ?
Замечание. Утверждение, аналогичное лемме, справедливо
и для криволинейных интегралов в пространстве, причем дока-
доказательство пространственного случая проводится по той же схеме,
что и для плоского.
Теорема 4. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны
-, дР dQ
вместе со своими частными производными ^- и ^— в плоской
214 §47. Криволинейные интегралы
области G. Для того, чтобы криволинейный интеграл \ Pdx + Qdg
при произвольно фиксированных точках Леб и В eG не зависел
от пути интегрирования АВ с G, необходима, а если область G
односвязна, — то и достаточно, чтобы во всех точках области G
дР 6Q
выполнялось равенство ^~ = ^-.
Доказательство необходимости. Пусть рассматри-
рассматриваемый интеграл не зависит от пути интегрирования, лежащего
в области G, а только от его начальной и конечной точек. Тогда
согласно теореме 3 существует функция и = и(х, у) такая, что
du — P dx + Qdy, т. е. такая, что ^ = Л щ — Q- Поскольку
дР д2и дО д*и дР
dj-dJd-х'й^дЧЬ-у и по Уровням теоремы производные ^ w
дЬ дЧ дги
^р, а следовательно, и смешанные производные ^—j- и к—з- непре-
непрерывны, то (см. гг. 21.1) они и равны, т. е. ;p=gj.
Доказательство достаточности. Пусть теперь область G одно-
связна и во всех ее точках g~ — g-- Если у — кусочно-гладкий
простой замкнутый контур, лежащий в G, и Т>— ограниченная
область, границей которой является у, то, применив формулу
Грина (здесь используется односвязность области G), получим
Если кривая у, лежащая в G, имеет конечное число точек
самопересечения, то последовательно для каждой ее «петли»
yk, k=\, 2, ..., k0, являющейся уже простым замкнутым конту-
контуром1, в> силу доказанного имеем $ Р dx-\-Qdy = 0, откуда следует,
что и для всей кривой у
[Pdx + Qdy = 0. D7.39)
v
Переходя к рассмотрению общего случая-, обратим прежде
всего внимание на то, что рассмотренным приемом равенств*»
D7.39) доказывается и для случая, когда у является замкнутой
конечнозвеннои ломаной. С геометрической точки зрения отличие
состоит лишь в том, что самопересечение конечнозвеннои ломаной
может состоять не только из конечного числа точек, но и конеч-
конечного числа отрезков, что лишь незначительно усложняет рассужде-
рассуждение. Возможность применения формулы Грина к конечной области,
ограниченной конечнозвеннои ломаной, следует из того, что
47.8. Условия независимости криволинейного интеграла S15
такую область можно разбить на треугольники, которые, оче-
очевидно, являются элементарными ^ относительно -обеих' координата
ных осей областями. Следовательно, в этом случае выполняются
предпосылки теоремы 1 п. 47.3.
Любая же замкнутая кусочно-гладкая кривая у, лежащая
в G, может быть сколь угодно точно аппроксимирована замкну-
замкнутыми конечнозвенными ломаными, поэтому предельным переходом
равенство D7.39) может быть получено и для любой замкнутой
кривой из й. Проделаем это.
Пусть у — кусочно-гладкая замкнутая кривая в области G,
заданная некоторым представлением г (t), a-s^ts^b, и являющаяся
объединением тладких кривых уь ¦ ••>"?*¦ Впишгм в каждую
кривую yf, / = 1, 2, .... к, ломаную Я,-. Объединение всех лома-
ломаных Яу, / = 1, 2, ..., k, образует замкнутую ломаную Я, соответ-
соответствующую некоторому разбиению т отрезка [а, Ь\. В силу дока-
доказанного
а,
Но, согласно лемме,
Нш \Pdx + Qdy= \Pdx + Qdy, / = 1, .... k,
и, следовательно,
lim
поэтому
0. П
r, dP dO -. , ,
Иногда условие g- = aj называют критерием полного диффе-
дифференциала в односвязной области, поскольку согласно теоремам 3
и 4 это условие необходимо и достаточно для того, чтобы выра-
выражение Pdx + Qdy в области G являлось дифференциалом некото-
некоторой функции и{х, у), (х, у) eG.
В заключение этого пункта отметим, что требование одно-
односвязности рассматриваемой области при доказательстве достаточ-
достаточности условий теоремы 4 для независимости кривояияейног®
интеграла от пути интегрирования является существенным и его
нельзя отбросить. Подтвердим это примером.
Пример. Пусть Р(х, у)=— х2^у2 , Q(x, y)= ^^.
Легко проверить, что
216 § 47. Криволинейные интегралы
для всех точек плоскости, исключая начало координат @, 0).
Это следует, например, из того, что
D7.41)
Таким образом, в этом случае за область G можно взять
всю плоскость с «выколотым» началом координат: G — R2\{@, 0)}.
Область G, очевидно, не односвязна. В качестве замкнутого
контура возьмем единичную окружность Yo = {* = cost, y = sint,
0/2} тогда
2Я
Vo V. О
Следовательно, в этом случае условия D7.40) выполнены, и
существует замкнутый контур у0, по которому интеграл не равен
нулю. Нетрудно убедиться, что вообще по любой окружности уг
радиуса г с центром в начале координат
\Pdx + Qdy = 2n. D7.42)
Далее, каков бы ни был простой кусочно-гладкий контур у,
являющийся границей ограниченной области Г, содержащей
начало координат (в этом случае говорят, что контур у содержит
внутри себя начало координат), для него также
\ 2n. D7.43)
v
Для доказательства этого возьмем окружность уг такого радиуса
г, что угаТ; тогда 7 и Уг не пересекаются. Соединив контуры
у и уг отрезками Хх и Я2, как показано на рис. 197,— получим
два замкнутых контура уг и у2, не содержащих внутри себя
начала координат и состоящих из дуг у'г и у" окружности уг,
частей у' и у" контура у и отрезков кг и Я2.
В силу условия D7.40) для этих контуров справедливы равен-
равенства
Сложив эти равенства и опустив для краткости подынтегральные
выражения, получим (рис. 197):
v2 v'+ 4 y'r~ Ч у"+ 4 1'r XT
"S+S-J — S = S —
y*± -у"-*- yfJf у"+ y+
47.8. Условия независимости криволинейного интеграла
217
Отсюда в силу D7.42) и следует D7.43). Более того, это равен-
равенство выполняется и в случае, если контур у, обходя «один раз»
вокруг начала координат, образует конечное число «петель»,
не охватывающих начало координат (рис. 198), ибо интеграл по
этим петлям равен нулю.
у
Я7 \
¦ >
<-*
-»
>»¦
У
—aj J г
Рис. 197
Рис. 198
Если Мо — фиксированная точка рассматриваемой области G,
jMogG, M^G, МйМ — какая-либо кривая, соединяющая в G
точки Мо и М, то и(М)= \ Pdx + Qdy будет уже много-
лим
значной функцией, значения которой определяются выбором раз-
различных путей, соединяющих точки Мо и М. Если Yo — какая-либо
фиксированная кривая, соединяющая Мо и М, то все значения
функции и в точке М задаются формулой
n, n = 0, ±1, ±2, ...
То
— каждый обход вокруг начала координат изменяет значение
функции и (М) на величину ±2я в зависимости от направления
обхода.
В данном случае в этом легко убедиться и непосредственно:
из формулы D7.41) следует, что
где
поэтому
Arctg—) —некоторое фиксированное значение Arctg —;
X JQ X
= Arctg -f.
Вдумчивый читатель заметил, что многие рассуждения, про-
проведенные в этом примере, не зависят от конкретного вида функ-
функций Р и Q и являются справедливыми всегда, когда мы имеем
. 218 § 48. Несобственные кратные интегралы
дело с одной изолированной «особой точкой», т. е; точкой, в кото-
которой нарушается условие D7.40). Конечно, пр-и однократном
«обходе» такой особой точки будет получаться не 2я, а, вообще
говоря, какое-то другое число.
Результат, аналогичный теореме 4, тшеет место и когда Y—'
пространственная кривая (см. п. 52.6).
Упражнения 10. Доказать формулу
И, . . Г С (ди dv , ди dv\ , , , Г да ,
G О у\-
где G — плоская область, для которой справедлива формула Грина, у— огра-
ограничивающий ее контур, v — единичная внешняя нормаль к контуру у, а Д —
оператор Лапласа (см. п. 41.10).
11. Вычислить интеграл \ 2 (х-{-у2) dx+Dx</ + cosу) dy, где Г— произвола
г
ная кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки A, 0) и (§, т)).
12. Пусть Г — произвольный простой замкнутый кусочно-гладкий контур,
ограничивающий область, содержащую начало координат. Вычислить интеграл
С ех
\
при положительном направлении обхода контура Г.
§ 48. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
48.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Как и ранее для однократных интегралов, введем понятие
несобственного кратного интеграла, т. е. кратного интеграла от
функций, которые либо неограничены, либо определены на неогра-
неограниченной области. Определение кратного несобственного интеграла
сформулируем в таком виде, что оно будет охватывать оба ука-
указанных случая (ср. с п. 33.1).
Определение 1. Пусть G —открытое множество {ограниченнее
или неограниченное) в п-мерном пространстве Rn. Последователь-
Последовательность открытых множеств Gk, k=\, 2, ..., будем называть
последовательностью, монотонно исчерпывающей открытое множв'
ство Gx если:
1) GkczQM, k=\, 2, ...;
оо
2) U Gk = G.
k= i
Здесь G, как всегда, означает замыкание (см. п. 18.2) мно-
множества G.
Определение 2. Пусть на открытом множестве G задана
функция f (ограниченная или неограниченная), интегрируемая по
Римаму на любом измеримом по Жордану открытом множестве D,
48.1. Основные определения 219
таком, что D aG. Функция f называется интегрируемой в несоб-
несобственном смысле на открытом, множестве G, если для любой после-
последовательности открытых измеримых множеств Gk, А = 1, 2, ...,
монотонно исчерпывающей множество G, существует предел
lim [fdGk, не зависящий от выбора указанной последовательно-
k—>оо
cmuGk, k=l, 2,
Этот предел называется несобственным интегралом от функ-
функции f по открытому множеству G и обозначается через ^fdG,
или белее подробно^
\\\(ъ х2, .
о
Таким образом,
\fdG= Wm\fdGk. D8.1)
k*оо
k—*-оо
Если интеграл \f dG существует, то говорят также, что он
сходится, а в противном случае —что он расходится.
Следует заметить, что в случае п=1 данное определение
несобственного интеграла не эквивалентно определению несобст-
несобственного интеграла от функции одного переменного, данного в § 33.
Это связано с тем, что. в указанном параграфе мы в качестве
множеств Gk брали лишь интервалы, т. е. одномерные открытые
измеримые множества весьма специального вида. Поэтому введен-
введенное в настоящем параграфе понятие несобственного интеграла D8.1)
будем применять только в случае п^ 2, сохранив для случая
п = 1 прежнее понятие несобственного интеграла.
Если открытое множество G измеримо по Жордаиу и функ-
функция / интегрируема на G, то несобственный интеграл от функции /
совпадает с обычным интегралом Римана, — это следует из полной
аддитивности интеграла Римана (см. п. 44.6).
Определение D8% 1) позволяет перенести на несобственные
интегралы ряд свойств собственных интегралов: аддитивность
интеграла по множествам, линейность интеграла, интегрирование
неравенств, сведение кратного интеграла к повторному, формулу
замены переменного и др.
Например, если х = F (и) — непрерывно дифференцируемое
взаимно однозначное отображение открытого множества D с: R"
на открытое множество G с: Rnx и якобиан / («) этого отображения
нигде не обращается в ноль на D, то для любой непрерывной
на G функции f справедлива формула замены переменного
в интеграле:
220 § 48. Несобственные кратные интегралы
Доказать это можно точно так же, как доказана теорема 2'
в п. 46.2; следует только вместо полной аддитивности интеграла
использовать определение D8.1).
Используя аддитивность несобственного кратного интеграла,
определение D8.1) можно переписать в другом эквивалентном
виде. Замечая, что для измеримого открытого множества FcG
справедливо равенство
S/dG-$/dr = $fd(G\f), D8.2)
можно сказать, что интеграл \f dG сходится тогда и только
тогда, когда для любой последовательности измеримых открытых
множеств Gk, k = 1, 2, ..., монотонно исчерпывающей множество G,
существуют интегралы ^fd(G\Gk) и
Упражнение 1. Доказать формулу D8.2); в частности, показать, что
интегралы ^fdG и ^fd(G\f) одновременно сходятся или расходятся.
48.2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Теорема 1. Пусть функция f неотрицательна на открытом
множестве G a Rn. Тогда, какова бы ни была последовательность
{Gk} открытых измеримых по Жордану множеств Gk, монотонно
исчерпывающих множество G, предел
Vim \f(x)dG, D8.3)
ft-»oo
конечный или равный + оэ, всегда существует.
Если он конечен, то интеграл ^f(x)dG существует, и, следо-
следовательно, предел D8.3) равен этому интегралу, если же предел
D8.3) бесконечен, то интеграл \f(x)dG не существует.
В последнем случае пишут ^ f (x) dG —-\-оо. Это оправдывается
тем» что в силу сформулированной теоремы для любой другой
последовательности {Dk} открытых измеримых множеств Dk,
монотонно исчерпывающих множеств G, имеем lim \f{x) dDk = +оо.
Доказательство. Очевидно, что теорема будет доказана,
если показать, что в предположении неотрицательности функции f
на открытом множестве G для любой монотонно исчерпывающей
область G последовательности измеримых множеств Gk, & = 1, 2,...
существует конечный или бесконечный предел
и этот предел не зависит от выбора указанной последовательности.
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 221
Пусть Gk, k — \, 2, .... — последовательность измеримых мно-
множеств, монотонно исчерпывающая открытое множество G. Тогда,
согласно определению такой последовательности, Gk с: Gk+i, а так
как /ЗгО, то $/dGk^\fdG^i, k = \, 2,... и, следовательно,
всегда существует конечный или бесконечный предел
Пусть теперь Dk, k = 1, 2, ..., — какая-либо другая последо-
последовательность измеримых множеств, монотонно исчерпывающая
открытое множество G. В силу доказанного выше существует
конечный или бесконечный предел
lim \fdDk = I2.
Покажем, что
/i = /.. D8.4)
Для любого фиксированного элемента Gk первой последователь-
последовательности существует номер k0 = k0 (k) такой, что
GkczDko. D8.5)
В самом деле, если бы указанного номера k0 не нашлось, то для
любого натурального /л = 1, 2, ..., существовала бы точка x{m) e
<=Gk\Dm. Открытое множество Gk, будучи измеримыми по Жор-
дану, является ограниченным, поэтому его замыкание Gk представ-
представляет собой замкнутое ограниченное множество, т. е. компакт.
В силу его ограниченности последовательность {х(т)} также огра-
ограничена и, следовательно, согласно теореме Больцано — Вейершт-
расса (см. п. 18.1, теорему 2), из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность {jcC'v)}. Если х@) = lim х(т^, то из зам-
_ V-*+co
кнутости множества Gk вытекает, что xw еО4 и потому х0 е G.
Но тогда в силу свойства 2 монотонно исчерпывающих последо-
последовательностей (см. определение 1) найдется номер пг0 такой, что
Дпоэл;(о!. Поскольку Dmo — открытое множество, то оно является
окрестностью точки xw и, следовательно, содержит почти все
точки сходящейся к л;@) последовательности {л;('п^}. Обозначим
через v0 какой-либо такой номер, что mVo^m0 и хР"^ЕОт„
Тогда в силу свойства 1 монотонно исчерпывающих последова-
последовательностей х^1^ е Dmv , но поскольку x(mv») e Gk, то это проти-
противоречит выбору последовательности {x(m)}. Тем самым существова-
существование указанного выше (см. D8.5)) номера k0 доказано (впрочем,
его существование следует также непосредственно из леммы
Гейне —Бореля, см. п. 18.3, так как система {Dk} образует откры-
открытое покрытие компакта Gk).
222 § 48. Несобственные кратные интегралы
Теперь заметим, что в силу условия /:>= 0 из включения D8.5)
вытекает', что $ f dGk e? $ / dDkll. Но, очевидно, \ f dDka s? /2, поэтому
при любом k — 1, 2, ...
Перейдя в этом неравенстве к пределу при k-+co, получим
Подобным же образом доказывается и неравенство /iS=/2. Q
Пример. Рассмотрим интеграл I = §e~xt~ytdxdy. Положим
Gk — {(x, у): x2-f-*/2<&2}. k = \, 2 Эта последовательность
является последовательностью открытых квадрируемых множеств
(в данном случае просто кругов), монотонно исчерпывающей всю
плоскость R2.
Пусть Ik = ^ егхг-Уг dxdy. Перейдем к полярным координатам:
е*
2Л k
Gk Ь О
Отсюда, согласно определению D8.1),
/ = lim Ik = п. D8.6)
Формула D8.6) позволяет найти величину интеграла
+00
^ erx*dx,
—со
называемого интегралом Пуассона*} и часто встречающегося
в приложениях. Действительно, обозначая через Dk квадрат
|х|==?&, \y\'^k, k=\, 2, ..., и применив к интегралу по Dk от
функции е~х*~у2 формулу сведения кратного интеграла к повтор-
повторному (см. п. 45.1), получим
ft-»OO
fe k k Ik \
lim ? dx \ e~*t-»*dxdy= lim \ \ erx*dx)
Ik у /+оо \а-
lira (у е~* dx U| e-*dx\.
*» С. Пуассон A781 —1840) —французский физик и математик.
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 22Э
Поэтому из D8.6) сразу следует, что
Теорема 2 (признак сравнения). Пусть на открытом множе-
множестве G выполняются неравенства 0«c/(x)sgg-(x), xeG. Тогда из
сходимости интеграла § g (x) dG следует сходимость интеграла
$ / (х) dG, а из расходимости интеграла § / (х) dG следует расходи-
расходимость интеграла ^ g (x) dG.
Эта теорема доказывается аналогично подобной теореме в
одномерном случае (см. п. 33.3).
В качестве примеров и эталонов для сравнения с другими
интегралами рассмотрим интегралы
D8.7)
dXl...dxn D8.8)
)a'
Первый интеграл берется по внешности единичного шара; вто-
второй — по его внутренности.
Для исследования этих интегралов удобно ввести сферические
координаты р, <pb ..., <рл_х в я-мерном пространстве. Они вводят-
вводятся по формулам
Х\ = р COS ф„_! COS ф„_2 ... COS ф2 COS <pi,
х2 = р cos ф„_! cos ф„_2 • • • cos ф2 sin фх
х3 = р cos фл_х cos ф„_2... cos фз sin <p2,
Xt = р cos фя_!... cos фг sin ф;_х,
D8.9)
где
я -~<Ф/<|, / = 2, 3,
С помощью этих формул декартовым координатам хх, ¦ ¦ ¦, хп
точки пространства сопоставляются сферические координаты р,
Фь ..., ф„_ь и обратно. При этом следует иметь в виду, что,
подобно полярным координатам на плоскости, здесь не существует
полного взаимно однозначного соответствия между множествами п
чисел (хь ..., х„) и (р, Фь ¦ ¦ ¦, Фя-i).
Отметим, что р = YA + -.-+х%.
224 § 48. Несобственные кратные интегралы
Элементарными, но несколько громоздкими вычислениями,
которые не будем здесь приводить, можно показать, что якобиан
этого преобразования имеет вид
xu.'.:Xi) = рп~г cos ^со$г ?з • • •cosn ^
Положим для краткости
Ф (ф2, • • •, фя-l) = COS ф2 COS2 ф3 . . . COS"-2 ф„-1.
Легко убедиться, что Ф(ф2, ..., фя-^З^О и что
2я nil nil
с==5 \ ••• S ф(ф2..-Ф«-1)с?ф1..-Жр™-1>0.
О — я/2 — я/2
Это сразу следует из свойства 9 кратных интегралов в п. 44.6.
Исследуем теперь сходимость интеграла D8.7). В качестве
последовательности открытых измеримых множеств Gk, ?=1,2,...,
монотонно исчерпывающей внешность единичного шара Q, возьмем
последовательность множеств
Gk = [х = (р, фь .... Фя-i): 1 + -?- < Р <
Перейдем к сферическим координатам:
k 2я Я/2 я/2
==5 \ \ ... \ Р"-Х-аФ (ф2, .... фл-1.
, 1_ О —Я/2 —я/2
Таким образом, вопрос о сходимости интеграла D8.7) свелся
оо
к сходимости интеграла J рга~1~аф, который, как известно (см.
1
п. 33.3), сходится при л—1—а<—1, т. е. при а>п, и расхо-
расходится при а^п. Итак, доказана следующая лемма.
Лемма 1. Интеграл D8.7) сходится, если а больше размерности
пространства, и расходится в противном случае.
Рассмотрим теперь интеграл D8.8). Положив
!--?-}, ? = 3, 4, ....
48.2. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак 225
получим
¦-;
"i
~2я
0
... dx
n
2
Л
~ 2
it
n)
я
?
я
"~ 2
~ЙФ (ф2. • • • . фл-
Таким образом, вопрос о сходимости интеграла D8.8) свелся
к сходимости интеграла § р"-1-" ф. Этот интеграл, как известно,
о
сходится, если п—1—а> —1, т. е. если а<п, и расходится
в противном случае. Полученный результат сформулируем снова
в виде леммы.
Лемма 2. Интеграл D8.8) сходится, если а меньше размер-
размерности пространства, и расходится в противном случае.
Подобно одномерному случаю (см. п. 33.3) с помощью интег-
интегралов D8.7) и D8.8) можно сформулировать критерии сходимости
несобственных кратных интегралов, однако мы не будем на этом
подробно останавливаться.
48.3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ФУНКЦИЙ, МЕНЯЮЩИХ ЗНАК
Определение 3. Несобственный интеграл $ / dG называется абсо-
абсолютно сходящимся, если сходится интеграл §j/|dG.
Для изучения абсолютной сходимости интеграла от функции
/ (л;) нам будут полезны функции
{x)' если fW^0> f (x) = f—f№' если /(*)<°.
0, если /(x)<0, '~( ' \ 0, если/(х)>0.
Легко видеть, что
и = Щ±, f.=lUj±. D8.10)
0<М*)<|/(*)|, 0</_(х)<|/(*)|, D8.11)
/(*) = /+(*)-/-(*), \f(x)\ = U(x) + f-(x). D8.12)
Из формул D8.10) следует, что если функция / интегрируема,
по Риману, на некоторой измеримой по Жордану области, то и
функции /+ и /L интегрируемы по Риману на этой области; из
8 Кудрявцев Л. Д. т. 2
226 § 48. Несобственные кратные интегралы
первой формулы D8.12) следует обратное утверждение. Поэтому
из D8.10)— D8.12) следует, что интеграл \fdG абсолютно схо-
сходится тогда и только тогда, когда сходятся интегралы ]f+dG и
Как и в случае несобственных интегралов от функции одного
переменного, из абсолютной сходимости кратного интеграла сле-
следует его сходимость (при этом, конечно, рассматриваются только
такие функции, которые интегрируемы на каждом открытом
измеримом множестве, содержащемся вместе со своим замыканием
в открытом множестве, по которому производится интегрирова-
интегрирование). Это сразу получается на основании формул D8.11), первой
формулы D8.12) и из теоремы 2 настоящего параграфа (см.
п. 48.2). Однако для кратных несобственных интегралов спра-
справедлива и обратная теорема.
Теорема 3. Если кратный интеграл \f dG (яЭ=2) сходится*
то он и абсолютно сходится.
Эта неожиданная на первый взгляд теорема связана с отли-
отличием определения несобственных интегралов от функции одного
и п переменных (я>1), указанных в начале этого параграфа*).
Доказательство теоремы. Пусть интеграл \\ dG абсо-
абсолютно расходится, т. е. для некоторой (а значит и для всякой,
см. теорему 1 в п. 48.2) последовательности открытых измери-
измеримых по Жордану множеств Gk, k=\, 2, ..., монотонно исчер-
исчерпывающей открытое множество G, имеем lim S, \f\dGk — -\-oo.
k—>со
Без ограничения общности (переходя, если надо, к подпоследо-
подпоследовательности) можно предполагать, что
l\f\dGk+1>3\\f\dGk + 2k, k=l, 2 D8.13)
Пусть Ak = Gkir^\Gk; тогда Ak — открытое измеримое множе-
множество, и так как GhaGk+1, то (рис. 199) Gk+1==Ak\JGk, и, сле-
следовательно,
*' Отметим, однако, что можно было бы и в л-мерном случае получить
ту же связь между сходимостью и абсолютной сходимостью интеграла, что и
в одномерном случае, если соответствующим образом ввести определение
несобственного n-кратного интеграла. Например, в случае интегралов по всему
пространству для этого достаточно в определении интеграла в качестве эле-
элементов монотонно исчерпывающей последовательности брать только п-мерные
шары с центром в начале координат. Впрочем, если применить к одномерному
интегралу определение несобственного интеграла, данное в п. 48.1, и понимать
одномерный интеграл Римана в смысле § 44, то теорема 3 вместе с ее доказа-
доказательством будет справедливой и нри я=1.
48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак
227
Отсюда в силу неравенства D8.13) § |/| dAk>2 [ |/| dGkJr2k.
Используя вторую формулу D8.12), получим
Пусть для определенности
и, следовательно,
тогда
D8.14)
Нашей целью является получение неравенства подобного типа
не для функции /+, а для функции /. Для этого, казалось бы,
можно просто отбросить точки, в которых функция /+ обращается
в ноль; тогда на оставшемся множестве мы имели бы / = /+.
Однако получившееся множество может,
вообще говоря, оказаться неизмеримым, а
поэтому мы будем действовать несколько
обходным путем.
Из неравенства D8.14) следует, что при
любом достаточно мелком разбиении т =
= {?,}t=i° множества Ak (см. п. 44.3) для
любой интегральной суммы Римана имеем
JS /+ (|,) V.E, > ^ | /! dGk + k,
t^ 1
Ь ^Eh i = 1, 2, ..., /о-
Выберем указанное разбиение т открытого измеримого множе-
множества Ak таким, чтобы все элементы ?,• этого разбиения также
были открытыми измеримыми по Жордану множествами — это
всегда возможно (см. п. 44.4). Обозначим через Е* те множества
Ei е т, для которых f+ (|) > 0 во всех точках | е ?,-; тогда,
выбирая 1г^Е{фЕ* так, что /(?;) = 0, получим
D8.15)
где (а также и в дальнейшем) знак «штрих» у суммы означает,
что суммирование распространяется только на те индексы i, для
которых Ei = Ef. Положим ?A = (J'?* (см. рис. 199). Очевидно,
i
что Bk — открытое измеримое множество, лежащее во множе-
множестве Ak, а т* = [Ef} является его разбиением. На замыкании
этого множества /+>0 и, следовательно, /+ = /. Из неравенства
D8.15) следует., что для нижней суммы Дарбу Sx* функции f на
8*
228 § 49. Некоторые приложения кратных интегралов
множестве Bk справедливо неравенство sT* 5э § / dGk + k. Отсюда,
очевидно, следует, что
. D8.16)
Заметим, что /Ss—|/| и, следовательно,
\fdGk^-\\f\dGk. D8.17)
Сложив неравенства D8.16) и D8.17) получим:
\\k. D8.18)
Пусть Dk = Bk[]Gk, k = \, 2, Очевидно Dk — открытое
измеримое множество и
G*cD,cGft+1, * = 1, 2, .... D8.19)
В силу того, что множества Bk и Gft не пересекаются (так как
не пересекаются множества Ak и Gfe) из D8.18) имеем J/dDk^
^zk, откуда
lim ^/dDA = + oo. D8.20)
fc-*oo J
Из включения D8.19) следует, что множества Dk, k=\, 2, ...,
образуют последовательность измеримых открытых множеств,
монотонно исчерпывающую открытоз множество G, ибо таковой
являлась заданная последовательность Gk, k=\, 2, ..., поэтому
равенство D8.20) означает, что интеграл \fdG расходится. Ц
Итак, для кратных интегралов сходимость несобственного
интеграла ^fdG эквивалентна его абсолютной сходимости.
Упражнение 2. Заменив в определении кратного несобственного инте-
интеграла всюду открытые множества областями (в частности, рассматривая только
монотонно исчерпывающие данную область последовательности, состоящие
только из измеримых областей), покачать, что и при таком «более узком»
определении кратного несобственного интеграла сохраняется теорема 3.
§ 49. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
49.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ И ОБЪЕМОВ
Пусть Е — измеримое множество в Rn. Как известно (см.
п. 44.6).
ji? = $d?. D9.1)
Таким образом, с помощью n-кратного интеграла можно вычислять
меру измеримых множеств в я-мерном пространстве (площадь —
49.1. Вычисление площадей и объемов 229
в двумерном, объем —в трехмерном). Если л-кратный интеграл
D9.1) можно свести к повторному (см. § 45), то вычисление меры
измеримого множества Е n-мерного пространства сведется к вычи-
вычислению (я —1)-кратного интеграла.
Пусть, например, D — открытое измеримое множество в (л — 1)-
мерном пространстве Rx~\.,*nl, *» = /(Xi, ..., хп.х) - неотрица-
неотрицательная функция, определенная и непрерывная на замыкании D
множества D, а
G = {* = (*!, .... хп):(хг xn_i)<=D, 0<xn<f(xu ..., хп^)}
(таким образом, G является л-мерным аналогом криволинейной
плоской трапеции, рассмотренной нами в п. 32.1). Тогда
fiG^dG^dD \ dxn=\f(xu...,xn-.1)dD,
о
т. е.
л—1 раз
= \ ... \ f {хъ ..., xn-i)dxy... dxn-t.
Меру произвольных (необязательно измеримых по Жордану)
в частности неограниченных, открытых множеств пространства Rn,
п 5; 2, если ее понимать в смысле определения п. 31.1 и 31.2,
т. е. как нижнюю меру Жордана, можно вычислить с помощью
несобственных интегралов. Действительно пусть G — произволь-
произвольное открытое множество в R" и Gk, k — \, 2, ..., — последова-
последовательность открытых измеримых множеств, монотонно исчерпываю-
исчерпывающих множество G (см. п. 48.1). Тогда, как известно (см. п. 31.2),
lim yiGk = \iG. Но в силу D9.1) \iGk = \dGk, а поэтому ;xG ==
ft-> со
= lim \dGk.
По определению же кратного несобственного интеграла,
lim \dGk = \dG. Таким образом ^G = ^fdG, где интеграл в пра-
k
k
k +О0
вой части понимается, вообще говоря (а именно, если G не явля-
является измеримой областью), как несобственный.
Остается лишь показать, что для любого открытого множе-
множества G всегда существует последовательность измеримых мно-
множеств Gk, k—l, 2, ..., монотонно исчерпывающая заданное
множество G. Докажем это.
Рассмотрим последовательность Tk, k—l, ..., разбиений про-
пространства Rn на кубы (см. п. 44.1) и обозначим через Qk л-мер-
ный открытый куб, определяемый следующим образом:
xn):\Xi\<k, f=l, 2 л}.
230
§ 49. Некоторые приложения кратных интегралов
Число кубов данного ранга k (см. п. 44.1), содержащихся в Qk,
а следовательно, и подавно в пересечении G П Qk, конечно. Обо-
Обозначим эти замкнутые кубы Ръ ..., Pjk\
P,<=Tk; Pj<^G[\Qk, /=1,2,...,/*.
Через Gft обозначим множество внутренних точек множества
'k
У Pj. Например, в случае, изображенном
/= 1
на рис. 200, множество Gk состоит из внут-
внутренних точек двух квадратов Рг и Я2 и ин-
интервала, получающегося отбрасыванием вер-
вершин этих квадратов из их общего ребра.
Множества Gk, k=\, 2, ..., и являются
открытыми измеримыми множествами, обра-
образующими последовательность, монотонно ис-
исчерпывающую данное открытое множество G.
Напомним, что для вычисления объемов
тел часто оказывается удобным метод сече-
нии: см. формулу D5.23).
Упражнение 1. Доказать, что построенная
последовательность множеств G^, k=l, 2, ..., дейст-
действительно образует последовательность измеримых множеств, монотонно исчер-
исчерпывающих данное множество G.
49.2. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
С помощью кратных интегралов можно вычислить различные
физические величины: массу и заряд тела, центр тяжести, момент
инерции, поток жидкости, потенциал тела и т. п.
Найдем в качестве примера центр тяжести плоской фигуры.
Пусть в некоторой квадрируемой области G распределена неко-
некоторая масса, вообще говоря, с переменной поверхностной плот-
плотностью р (х, у), т. е. на замыкании G области G задана некото-
некоторая неотрицательная и непрерывная функция р(х, у). Область G
с распределенной в ней массой будем называть фигурой S,
а величину
М = Цр(х, y)dxdy D9.2)
Рис. 200
— ее массой. Если p(.v, у) — не тождественный ноль, то М>0.
Определим и найдем центр тяжести фигуры 5. Возьмем какое-
либо разбиение t = {G,}, t = l, 2, ..., k, области G (см. п. 44.3).
Множество G,- с распределенной в нем массой плотности р(х, у),
(х, у) е G/, назовем фигурой S{. Выберем по некоторой точке
(&, т),-) е G,-. Величину m; = p(|,-, T]r) \iGt назовем приближенным
значением массы фигуры St (естественность такого названия еле-
49.2. Физические приложения кратных интегралов 231
дует из формулы D9.2)). Величины же т,-& и т,-т),- назовем при-
приближенными значениями статических моментов фигуры Sh i =
= 1, 2, ..., &, соответственно относительно координатных осей
Оу и Ох (естественность этого названия следует из того, что
статическими моментами материальной точки массы m с коорди-
координатами (х, у) относительно осей Ох и Оу называются величины
ту и тх, см. п. 32.6). Наконец, величины
D9-3)
назовем приближенными т-моментами фигуры 5 относительно
осей Ох и Оу, а их пределы при 8т~»-0
1 im Sx (т) = SX, lim Sy (т) = Sy
— статическими моментами фигуры S относительно осей Ох и
Оу. Эти пределы при сделанных предположениях существуют.
Действительно, из формул D9.3) видно, что Sx(x) и Sy(x) явля-
являются интегральными суммами Римана для функций ур (х, у) и
хр (х, у), а потому
Sx =\\ур(х, у) dx dy, Sy = ^ \ хр (х, y)dxdy. D9.4)
а а
Определение 1. Точка (х0, у0) называется центром тяжести
(центром масс, центром инерции) фигуры S, если статические
моменты относительно координатных осей материальной точки
массы М, равной массе всей фигуры S и находящейся в точке
(Хо, Уо) равны соответствующим статическим моментам фигуры S,
т. е. если
Мх0 = Sy, Му0 = Sx.
Из формул D9.2) и D9.3) получаем
f f хр (х, у) dx dy \ \ ур (х, у) dx dy
r _'G .._*<?
Упражнение 2. Доказать, что центр тяжести фигуры не зависит от
выбора системы координат.
В качестве примера рассмотрим «криволинейную трапецию» G,
порожденную графиками непрерывных неотрицательных функций
f{x) и g(x), 0<g(*)eS/(*). a^x^b:
G = {(.v, y):a<x<b, g(x)<y<f(x)}.
232 § 50. Элементы теории поверхностей
Пусть р (х, #) = 1. Поскольку J J dx dy = \iG, то
G
f(x)
J
a g\x) a
Ь f (x) b
G a ? U)
отсюда
b b
2nyo\iG — n\fi{x)dx — n\g2{x)dx.
a a
Здесь в правой части равенства стоит объем тела, получен-
полученного вращением криволинейной трапеции G вокруг оси х-в; — мы
пришли ко втор ой теореме Гульдина.
Теорема (Гульдин). Объем тела вращения плоской фигуры
вокруг не пересекающей ее оси равен произведению площади этой
фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести этой
фигуры.
Пример. Вычислим с помощью второй теоремы Гульдина
объем jxQ тора Q, полученного вращением круга (х — af-\-у* ¦¦
О < г sg а вокруг оси Оу:
Упражнения. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линиями:
3. </2 = 2х, *+4г = 4, у3=1; р(х, у)=х+у.
4. у = 2х, #=—2, у=4х-2; р(х, у) = 2\х\ + \у\.
Найти статические моменты относительно осей координат однородной
плоской фигуры (р = ро = const), ограниченной заданными линиями:
5. у2 = 4х, х + у^=3, х = 0.
6. у=х3, х + у = 2, х = 0.
Найти координаты центра масс плоской фигуры, ограниченной указанными
линиями:
7. x2-f</2 = 4, jc2 + i/2=1, y^sQ; p = p0 = const.
8. у* = 4х, у = 2, x=0; p(x, y) = x.
9. r — V2, r = 2 БШф @г?ф??я/2, r^Vty, p = p0=const (г, ф — поляр-
полярные координаты).
10. x = acos>t, y — asin3t, y=Q (Osg^sgn), p = p0 = const.
§ 50. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
50.1. ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть в пространстве R3 фиксирована декартова система
координат х, у, г. Декартовы координаты в плоскостях, в кото-
которых лежат отображаемые области, будем обозначать буквами и,
v, сами эти области — буквой D, рассматриваемые их отображе-
отображения — буквами /, г, р (быть может, с теми или иными индексами),
50.1. Понятие поверхности 233
Как обычно, через D будем обозначать замыкание области D
(напомним, что D называется замкнутой областью), а через dD—
ее границу (см. п. 18.2). Для образов точек М = (и, ti)eD при
указанных отображениях будет употребляться как запись вида
f{M), так и вида f(u, v).
Непрерывной поверхностью S называется всякое множество
точек трехмерного пространства R3, заданное как непрерывный
образ некоторой замкнутой плоской области D. Само рассматри-
рассматриваемое непрерывное отображение г (и, v) замкнутой области D
на множество S называется представлением поверхности (или,
подробнее, параметрическим представлением) и пишется
S ={/-(«, о): (и. v)e=D].
Переменные и, v называются координатами, или параметрами,
непрерывной поверхности S.
Для непрерывной поверхности S = {/¦ = /¦ (и, v):(u, c)eD}
множество точек пространства R3, заданное как образ границы dD
области D при отображении г (и, v), называется краем поверхности S
и обозначается через dS:
dS={r(u, v):(u, v)edD}.
По аналогии с определением кривой можно ввести понятие
эквивалентных отображений, но на этот раз не отрезков, а отобра-
отображений замкнутых плоских областей в трехмерное пространство R3,
и считать по определению, что два эквивалентных непрерывных
отображения задают одну и ту же непрерывную поверхность
(см. п. 50.2*). Отображения, осуществляющие эквивалентность
двух представлений одной и той же поверхности, называются
допустимыми преобразованиями параметров.
При заданном представлении г (и, v), (и, v) e D, некоторой
непрерывной поверхности и при фиксированных значениях пара-
параметров и, v через г (и, v), естественно, обозначается точка этой
поверхности, в которую npji рассматриваемом представлении
отображается точка (и, v) e D.
Подчеркнем, что представление непрерывной поверхности не
является обязательно взаимно однозначным отображением. Точка
непрерывной поверхности 5 = {r(w, v)\ (и, o)efl}, в которую
при данном отображении г (и, v) отображаются по крайней мере
две различные точки замкнутой области D, называется кратной
точкой, или точкой самопересечения этой поверхности.
Таким образом, если точка М непрерывной поверхности
является кратной точкой последней, то при заданном представлении
г (и, v), (и, и)еД этой поверхности существуют по крайней мере две
такие точки (ыь а^еОи (ы3, v2) e D, что г (ии t»i) = г (и2, о2) = М-
Отображение' г (и, v) можно задавать в координатном виде:
г (и, v) = (x(u, v), у (и, v), z(u, v))
234 § 50. Элементы теории поверхностей
и в векторном:
r = r(u, v),
где г (и, v) — радиус-вектор с концом в точке г (и, v) e R3.
В дальнейшем будут изучаться прежде всего дифференциаль-
дифференциальные свойства поверхностей определенных классов, состоящих из
«достаточно гладких», т. е. достаточное число раз (непрерывно)
дифференцируемых поверхностей. Определим, например, понятие
непрерывно дифференцируемой поверхности.
Непрерывно дифференцируемой поверхностью называется мно-
множество 5 пространства R3, заданное как непрерывно дифферен-
дифференцируемый образ некоторой замкнутой плоской области.
Само рассматриваемое непрерывно дифференцируемое отобра-
отображение замкнутой области D на множество S называется, как и
выше, представлением этой поверхности, причем, по определению,
считается, что два непрерывно дифференцируемых отображения
замкнутых плоских областей задают одну и ту же непрерывно диф-
дифференцируемую поверхность, если они эквивалентны относительно
непрерывно дифференцируемых преобразований (см. п. 50.2*).
Аналогичным образом определяются и другие специальные
классы непрерывных поверхностей: дважды непрерывно диффе-
дифференцируемые поверхности и вообще п раз непрерывно дифферен-
дифференцируемые поверхности.
Если за параметры в одном из представлений непрерывной
поверхности можно взять какие-либо две координаты простран-
пространства R3 (например, если существует замкнутая область D на пло-
плоскости ху и функция » = /(*, у), (х, y)^D, являющаяся пред-
представлением рассматриваемой непрерывной поверхности), то такое
представление называется явным.
Очевидно, что если непрерывная поверхность допускает явное
представление, то она не имеет кратных точек.
В дальнейшем непрерывную поверхность там, где это не смо-
сможет привести к недоразумениям, будем называть просто поверх-
поверхностью.
Пример. Поверхность, задаваемая представлением
# = /-cosi|)cosq>, # =
является сферой с центром в начале координат и радиусом г,
у которой весь меридиан q> = 0 состоит из кратных точек.
В следующем пункте будет дано другое, в некотором смысле
более детализированное, определение поверхности. Целесообразно,
видимо, при первом чтении пропустить следующий пункт и вер-
вернуться к нему лишь тогда, когда в этом почувствуется внутрен-
внутренняя необходимость.
50.2*. Параметрически заданные поверхности 235
50.2*. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
ЗАДАННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Для строгого определения поверхности необходимо прежде
всего ввести понятие эквивалентных отображений замкнутых
плоских областей.
Определение 1. Непрерывное отображение f замыкания D некото-
некоторой плоской области D в трехмерное пространство R3 называется
эквивалентным непрерывному отображению /i замыкания Пг плоской
области Dt в то же пространство R3, если существует такое
гомеоморфное (см. определение 5 в п. 41.4)_ отображение F замк-
замкнутой области D на замкнутую область Dlt при котором внут-
внутренние точки переходят во внутренние, а граничные — в граничные
(т. е. D отображается на D1} a dD на dDx), и для каждой точки
М gD выполняется равенство
f(M)=h[F<;M)l E0.1)
т. е. / = /x.F.
В этом случае F называется отображением, осуществляющим
эквивалентность отображений f и Д. Если / эквивалентно отобра-
отображению /ь то пишется /^/i.
Схематически определение эквивалентных отображений можно
изобразить диаграммой, где стрелками изображены рассматри-
рассматриваемые отображения и результат отображений не зависит от выбора
пути на диаграмме:
Очевидно, что; 1) всякое отображение эквивалентно самому себе:
/~/ (здесь отображением, осуществляющим эквивалентность,
является тождественное отображение). Легко убедиться, что
2) f~flt то /х~/,
3) а если f^fin h^h, то /¦~/2.
Если / и /i — эквивалентные jenpepbiBHbie отображения соот-
соответственно замкнутых областей D и Di, то из E0.1) следует, что
образы множеств D и Di при отображениях / и /i совпадают:
f{D) = h{Dl). E0.2)
Заметим еще, что условия, наложенные на эквивалентные
отображения в определении 1, независимы. Именно, из того, что
F является гомеоморфным отображением замкнутой области D на
замкнутую область D\, не следует, что оно переводит внутренние
точки во внутренние. Например, если D = {(u, и): w2 + p2< 1} —
круг, a Di = {(u, v): 0<м2 + о2< 1} — круг с «выколотым» цент-
236 § 50. Элементы теории поверхностей
ром, то тождественное отображение (очевидно, являющееся гомео-
морфным) D на Di переводит внутреннюю точку @, 0) области D
в граничную точку @, 0) области D1.
Перейдем теперь к определению поверхности.
Определение 2. Всякое множество всевозможных непрерывных
эквивалентных между собой {см. определение 1) отображений г (и, v)
замкнутых плоских областей D в трехмерное пространство R3
называется параметрически заданной поверхностью S и обозна-
обозначается
S = {r(u, о): (и, t)ED}, E0.3)
а каждое из указанных эквивалентных непрерывных отображений
г (и, v) называется представлением параметрически заданной поверх-
поверхности S.
Если г (и, v), (и, v) e D — представление параметрически задан-
заданной поверхности S и если г (и, v) — радиус-вектор с концом
в точке г (и, v), то г (и, v), (и, t)eD, называется векторным
представлением этой поверхности 5 и пишется
S = {/-(«, v), (и, »)eflj. E0.4)
Если г (и, v) = (x(u, v), у (и, v), z(u, v)), то функции
v), y = y(u, v), z = (u, v)
называются координатным представлением параметрически задан-
заданной поверхности 5 и пишется
S = {*(«, v), у {и, v), г (и, v); (и, »)efl(. E0.5)
Очевидно, что параметрически заданная поверхность одно-
однозначно определяется каждым из своих представлений. Это позво-
позволяет, что часто более удобно, правую часть каждого из равенств
E0.3), E0.4) и E0.5) понимать не как совокупность всех пред-
представлений определенного типа рассматриваемой поверхности S,
а как некоторое вполне определенное ее соответствующее пред-
представление. _ _
Определение 3. Пусть r(M), M^D и p(Mi), Mx^D^ — два
представления некоторой параметрически заданной поверности S
и F — отображение D на D\, осуществляющее их эквивалентность
(см. определение 1).
Если Mi = F(M), M^D, Mi^Di (точка М, а поэтому и
точка Mi фиксированы), и, следовательно, г (М) = р (Мг) = Р е /?3,
то пары (Р, М) и (Р, Mi) называются эквивалентными и пишется
(Р, М)~(Р, М).
Легко проверить, что
1) (Р, М)~(Р, М);
2) если (Р, М)~(Р, Мг), то (Р, МХ)~(Р, М)\
50.2*. Параметрически заданные поверхности 237
3) если (Р, М)~(Р, Мг), а (Р, Мг)~(Р, М2), то (Р, М)~
~(Р, Мг).
Если (Р, М)~(Р, Mi) и М — внутренняя (граничная) точка
замкнутой области D, то, согласно определению 1, Mi также
является внутренней (граничной) точкой замкнутой области Вг.
Определение 4. Пусть S — параметрически заданная поверх-
поверхность. Всякая совокупность {(Р, М)}, М е D, всех эквивалентных
между собою пар (Р, М) (точка Р е^3 фиксирована) называется
точкой данной поверхности S, а точка Р — ее носителем.
Точка {(Р, М)}, M^D, поверхности S называется внутренней
(краевой) если каждая точка М является внутренней (граничной)
точкой соответствующей замкнутой области D.
Каждая точка {(Р, М)\, _М е D, параметрически заданной
поверхности 5 = {г (М), М е D} однозначно определяется каждой
парой (Р, М) е {(Р, М)\, и поскольку в этой паре Р — г(М), то
каждая точка параметрически заданной поверхности S при неко-
некотором заданном ее представлении г (М), М еД однозначно опре-
определяется точкой М, причем точка Р==г(М) является носителем
рассматриваемой точки поверхности. Поэтому для краткости точки
параметрически заданной поверхности будут, как правило, обозна-
обозначаться не символом {(Р, М)\, а просто г(М), или, что равно-
равносильно, г (и, v), где М = (и, v). В силу сказанного это обозна-
обозначение имеет однозначный смысл.
Определение 5. Совокупность всех носителей всех точек пара-
параметрически заданной поверхности S называется носителем этой
поверхности.
В силу условия E0.2) носитель параметрически заданной поверх-
поверхности (являющийся, очевидно, некоторым множеством точек в прост-
пространстве R3) однозначно определяется каждым ее представлением.
Определение 6. Точка Р е R3, являющаяся носителем двух раз-
разных точек параметрически заданной поверхности S, называется
кратной точкой или, что то же, точкой самопересечения носи-
носителя параметрически заданной поверхности.
Возвращаясь к определению поверхности, данному в п. 50.1,
видим, что то, что там было названо «.непрерывной поверхностью»,
в нашей новой терминологии называется «носителем параметри-
параметрически заданной поверхности». Попытка ввести понятие «точки
поверхности» для поверхностей с кратными точками приводит
в том или ином виде к определениям 4 и 6. Отметим, что понятие
параметрически заданной поверхности с кратными точками очень
удобно при рассмотрении ряда вопросов, изучаемых в последую-
последующих параграфах.
В дальнейшем, там, где это не сможет привести к недоразу-
недоразумениям, «непрерывная поверхность» (см. п. 50.1), или, что то же,
«носитель параметрически заданной поверхности» (см. определе-
определение 5), а также «параметрически заданная поверхность» (см. опре-
определение 2), будут называться просто поверхностью.
238 § 50. Элементы теории поверхностей
Определим теперь понятие части поверхности.
Определение 7. Пусть_ S — параметрически заданная поверх-
поверхность г (и, v), (и, v) e D, — некоторое ее представление, D'—•
область, содержащаяся в D: D' aD. Параметрически заданная
поверхность 5', определяемая представлением г (и, v), (и, »)eD',
называется частью поверхности S.
Как уже отмечалось (см. п. 50.1), понятие эквивалентных
отображений замкнутых плоских областей можно вводить не
только для непрерывных отображений, но и для других классов
отображений, например для непрерывно дифференцируемых. В при-
применении к параметрически заданным поверхностям это приводит
к непрерывно дифференцируемым поверхностям. Их определение
базируется на понятии отображений, эквивалентных относительно
непрерывно диффгренцируемых преобразований.
Определим это понятие. Как и раньше (см. п. 39.3), под
функцией, непрерывно дифференцируемой в замыкании некоторой
области, будем понимать такую функцию, которая имеет непре-
непрерывные в самой области производные, непрерывно продолжаемые
на ее границу.
Отображение некоторой замкнутой области называется непре-
непрерывно дифференцируемым, если каждая координатная функция,
задающая это отображение (см. п. 41.4), является непрерывно
дифференцируемой функцией на рассматриваемой замкнутой
области. При этом продолженные функции в этих случаях обозна-
обозначаются теми же символами, что и исходные продолжаемые функции.
Если некоторое отображение ы1 = ф(ы, v), v1 = ty(u, v) непре-
непрерывно дифференцируемо на замыкании D области D, то, согласно
сделанному соглашению, это означает, в частности, что якобиан
^' V этого отображения непрерывно продолжаем с области D
на ее замыкание D и его продолжение, обозначаемое тем же
символом, 0 У' yl, также будет называться якобианом.
Прежде всего надо сформулировать, что будет пониматься под
эквивалентными непрерывно дифференцируемыми отображениями.
Для этого введем понятие регулярных отображений.
Определение 8. Гомеоморфное отображение F замыкания D
плоской области D на замыкание Dx плоской области Dlt перево-
переводящее внутренние точки во внутренние, а граничные — в граничные,
называется регулярным отображением замкнутой области D на
замкнутую область Du если как само это отображение F, так
и обратное ему F-1 непрерывно_ дифференцируемы соответственно
на замкнутых областях D и Dv
Заметим, что всякое регулярное отображение F замкнутой
области D имеет во всех точках области D не равный нулю
якобиан. Действительно, согласно определению 8, при отобра-
отображении F образ каждой внутренней точки является внутренней
50.2*. Параметрически заданные поверхности 239
точкой. Поскольку в этих точках прямое и соответственно обрат-
обратное отображения непрерывно дифференцируемы, то их якобианы
не могут обратиться в ноль, ибо их произведение равно единице
(см. п. 41.7).
Отсюда следует, что якобиан регулярного отображения F не
равен нулю и на замкнутой области D. Действительно, в силу
непрерывной продолжаемости якобианов как прямого, так и
обратного отображений соответственно на замыкания D и F (D)
областей D и F (D) произведение этих_ якобианов равно единице
и для всех точек замкнутой области D.
Мы уже встречались с регулярными отображениями замкнутых
плоских областей специального вида, например, в п. 46.1.
Определение 9. Пусть f и fx суть непрерывные отображения
замыканий D и Dx плоских областей D и Dx в пространство R3
и пусть эти отображения непрерывно дифференцируемы в замкну-
замкнутых областях D и Dv Отображения f и fx называются эквивалент-
эквивалентными относительно непрерывно дифференцируемых преобразований,
если существует такое регулярное отображение F замкнутой
области D на замкнутую область Въ что для каждой точки
M^D выполняется условие E0.1).
Теперь можно определить непрерывно дифференцируемую
поверхность.
Определение 10. Всякое множество отображений г (и, v) замкну-
замкнутых плоских областей D в трехмерное пространство R3 непрерывно
дифференцируемых и эквивалентных относительно непрерывно диф-
дифференцируемых преобразований называется параметрически задан-
заданной непрерывно дифференцируемой поверхностью S, а каждое из
указанных отображений г (и, v) называется представлением этой
поверхности и пишется, как и раньше,
S = {r(u, v); (и, »)eD}.
Подчеркнем, что если поверхность S = {r(u, v); (и, tijefl}
непрерывно дифференцируема, то это, в частности, означает, что
каждое ее векторное представление r = r(u,v), (u,v)^D, имеет
частные производные ги и /\,*\ непрерывные в области D и
непрерывно продолжаемые на ее границу. Поскольку, согласно
принятому соглашению, продолженные функции обозначаются
*' Такие понятия, как, например, непрерывность, предел, дифференцируе-
мость естественным образом переносятся и на вектор-функции нескольких пере-
переменных. Так, функция г (и, v), определенная на области G, называется непре-
непрерывной в точке («0, vu) <= G, если lim г (и, v) = r(u0, v0). Производная
~(и0, v0) определяется равенством '
дг (ц0, tH) ^ dr (и, tH) I
ди du \и = щ'
240 § 50. Элементы теории поверхностей
теми же символами, что и продолжаемые*', то можно считать,
что функции га и /¦,, непрерывны на замкнутой области D.
Подобным образом можно определить и другие классы пара-
параметрически заданных поверхностей, например дважды непрерывно
дифференцируемые или вообще п раз непрерывно дифференци-
дифференцируемые параметрически заданные поверхности, а также понятие
их точки, носителя и их части.
Резюмируя, окончательно можно сказать, что параметрически
заданной поверхностью какого-то класса является некоторая сово-
совокупность эквивалентных между собой в определенном смысле ото-
отображений г (и, и), (и, v) e D, называемых ее представлениями.
Понятие эквивалентности определяется в зависимости от выбора
класса.
Определение 11. Преобразования параметров, осуществляющие
переход от одного представления поверхности к другому, ему экви-
эквивалентному, называются допустимыми.
Таким образом, если г {и, и), (и, u)efl и р(ии vj, (иъ ух) е
е^-два представления одной и той же параметрически задан-
заданной поверхности некоторого класса, а отображение
М1 = Ф(«, v),
1>1 = Ч|)(К, V)
замкнутой области D на замкнутую область Dx является допу-
допустимым преобразованием параметров, то для всех точек (и, njefl
выполняется соотношение (см. E0.1))
г (и, ») = р[ф(и, v), у (и, о)].
Параметрически заданная поверхность при заданном классе
допустимых преобразований параметров однозначно определяется
каждым своим представлением, поэтому, чтобы задать такую поверх-
поверхность, достаточно задать лишь одно ее представление.
50.3. ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННЫЕ НЕЯВНО
Отметим еще один подход к понятию поверхности. Если
F (х, у, z) — непрерывная в некоторой трехмерной области функ-
функция, то совокупность точек (х, у, z) таких, что
F(x, у, г) = 0. E0.6)
называется поверхностью, заданной неявно. Не останавливаясь
подробно на анализе такого подхода к понятию поверхности,
отметим лишь, что в случае если функция F удовлетворяет в неко-
*' Точнее, это соглашение было принято (см. п. 39.3) для скалярных
функций и, следовательно, для координат векторных функций, поэтому его
естественно принять и для самих векторных функций.
50.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 241
торой точке (х0, г/о, г0) условиям теоремы о неявных функциях
(см. п. 41.1), то часть поверхности E0.6) в некоторой окрестности
указанной точки (т. с. пересечение этой окрестности с данной
поверхностью) допускает явное представление, и можно сказать,
что в этой ситуации поверхность, заданная неявно, локально
сводится к поверхности, заданной явным представлением
(см. п. 50.1). Только такой случай поверхностей, заданных неявно,
встретится в дальнейшем, поэтому не будем специально остана-
останавливаться на разъяснении тех или иных понятий для поверх-
поверхностей, заданных неявно.
В качестве простейшего примера поверхности, заданной неявно,
отметим уравнение
Точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, обра-
образуют поверхность шара единичного радиуса с центром в начале
координат.
В дальнейшем будут изучаться в основном лишь непрерывные
поверхности, заданные параметрическим представлением и, вообще
говоря, с кратными точками. Они будут называться, как это уже
отмечалось, просто «поверхностями»; в случаях, когда понятие
поверхности будет пониматься в каком-либо другом смысле, это
будет специально оговариваться.
50.4. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ
Пусть
S = {r(«, v); (и, »)eD| E0.7)
— непрерывно дифференцируемая поверхность. Рассмотрим^ неко-
некоторое ее векторное представление г —г (и, v), (и, »)eD. Как
и всякое ее векторное представление, оно является непрерывно диф-
дифференцируемой вектор-функцией на замкнутой плоской области D.
Будем для простоты считать, что пересечение каждой прямой
и = и0 или v = v0 с замкнутой областью D состоит из одного
отрезка (быть может, вырождающегося в точку) или пусто. Пусть,
например, пересечение D с прямой v = v0 не пусто, тогда
r = r{u, v0), (и, vo)^D
(vo фиксировано) является представлением некоторой непрерывно
дифференцируемой кривой, которая называется координатной
линией (и-линией). Вектор
является ее касательным вектором. Аналогично определяются дру-
другие координатные линии (v-линии) с помощью представления
г = г(щ, v), (u0, v)eD
242 § 50. Элементы теории поверхностей
(«о фиксировано) и касательные к ним векторы
Определение 12. Точка г (и, v) поверхности E0.7), для кото-
которой векторы ги и rv не коллинеарны (линейно независимы), назы-
называется неособой при данном представлении этой поверхности.
В противном случае, т. е. когда векторы га и rv коллинеарны
в данной точке, она называется особой точкой поверхности при
данном ее представлении.
Если точка поверхности неособая, то в ней, в частности гаф0,
rv Ф 0. Очевидно, что точка поверхности является неособой при
данном представлении поверхности в том и только в том случае,
когда в этой точке ruXrv=/=0.
Упражнение 1. Доказать, что если г(и0, v0) является внутренней
неособой при данном представлении г (u, v), (и, v) e D, точкой поверхности S,
т. е. для этой точки (ы0, »,)eD и гиХГъф0, то некоторая часть поверх-
поверхности S, для которой точка г (ц0, va) также является внутренней, обладает
явным представлением относительной одной из осей координат.
Рассмотрим кривую на поверхности E0.7). Пусть эта кривая
задана непрерывно дифференцируемыми функциями
« = «(/), v = v(t), (u(t), v(t))eD,
т. е. представлением
r = r[u(t), v(t)], (u(t), v(t))<=D, a^t^b, E0.8)
причем и'г (t) -f- v'*(t) > 0 на [a, b].
Продифференцировав равенство E0.8), получим
dr = rudu-\-rvdv, E0.9)
здесь du — u'(t)dt, dv = v' (t) dt. Если точка поверхности, в кото-
которой рассматривается равенство E0.9), не особая, то вектор dr
является касательным к кривой E0.8). Равенство E0.9) показы-
показывает, что в данной точке г (щ, v0) поверхности E0.7) касатель-
касательная к любой кривой E0.8) на этой поверхности, проходящей
через точку r(u0, v0), лежит в плоскости векторов ru(u0, v0) и
г, («о, v0).
Определение 13. Плоскость, проходящая через точку г (щ, v0)
поверхности E0.7), в которой лежат все касательные к кривым
E0.8), проходящим через эту точку, называется касательной пло-
плоскостью к поверхности в данной точке (называемой точкой каса-
касания).
Упражнение 2. Доказать, что для любого вектора V, лежащего в каса-
касательной плоскости к поверхности S в неособой точке, существует проходящая
через эту точку кривая на поверхности S, для которой вектор v является каса-
касательным.
50.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
243
Если данная точка поверхности E0.7) неособая, то в ней всегда
существует, и притом единственная, касательная плоскость: именно
в силу E0.9) ею является плоскость, проходящая через г (и0, v0)
параллельно векторам ra(u0, v0) и rv(u0, v0). Отсюда легко
написать ее уравнение в вектор-
векторном виде. Обозначив через г0 ра-
радиус-вектор точки касания, а че-
через г —текущий радиус-вектор то-
точек на касательной плоскости, по-
получим (рис. 201):
(г-го)г„г„ = О
(в левой части равенства стоит
смешанное произведение указан-
указанных векторов).
Если г = (х, у, г), го=(хо, Уо, г0), Рис 201
то уравнение касательной плоскости в координатном виде пере-
перепишется следующим образом:
= 0.
х — х0 у — Уо z —
Ха Уа га
Х<х) y<Q ZrQ
В случае явного задания поверхности
z = f(x, у), (х, у)
будем иметь и = х, v = y и поэтому
«0 = 0, yv=l, zv — fy;
E0.10)
E0.11)
следовательно, уравнение касательной плоскости в этом случае
будет иметь вид
— Хо У — Уо Z — Zo
1 0 /„ =0,
0 1 U
откуда
z-zo = (x-xo)fx + (y-yo)fy, E0.12)
где через fx и fy для краткости обозначены частные производные
fxix, у) и fy[x, у) в точке (х0, у0).
Из этой формулы следует, что два определения касательной
плоскости для поверхности с явным представлением E0.10), дан-
данные в настоящем пункте и ранее в п. 20.5, эквивалентны. В самом
244 § 50. Элементы теории поверхностей
деле, оба определения приводят к одному и тому же уравне-
уравнению E0.12).
Определение 14. Прямая, проходящая через точку касания
поверхности с касательной плоскостью и перпендикулярная этой
плоскости, называется нормальной прямой к поверхности в указан-
указанной точке.
Ее уравнение в общем случае в неособой точке поверхности
имеет вид
*—хо У—Уа z — г0
Уп zH
yv zB
г»
xu
xv
xa
xv
Уа
Uv
В случае явного представления E0.10) эти уравнения прини-
принимают вид
. = _B-г0). E0.13)
U ~ fy
Определение 15. Всякий ненулевой вектор, коллинеарный нор-
шальной прямой, проходящей чергз данную точку поверхности,
называется нормалью к этой поверхности в указанной точке.
Примером нормали в неособой точке поверхности является
векторное произведение
вычисленное в рассматриваемой точке.
Согласно данному определению, в каждой неособой (при задан-
заданном представлении) точке г (и, v) рассматриваемой поверхности
при фиксированных значениях параметров и и v существует, и
притом единственная, нормальная прямая. Следует иметь в виду,
что если точка Р пространства является кратной точкой поверх-
поверхности, т. е. существует по крайней мере две пары параметров
(при заданном представлении) (ии v±) и (и2, v2) таких, что Р =
— г(иъ v2) = r(u2, v2), то может, конечно, случиться, что этим
парам параметров будут соответствовать различные нормальные
прямые, тем самым в указанной точке Р нормальная прямая
будет не единственна.
Для поверхности, заданной неявно уравнением
F(x, у, г) = 0,
где F (х, у, г) — непрерывно дифференцируемая в окрестности точки
(х0, Уо, г0) функция, F(x0, у0, го) = О, и в этой точке FI + FI +
+ Fl^>0, уравнение касательной плоскости в точке (х0, у0, го)
имеет вид
где Fx, Fy и Fz обозначают значения соответствующих частных
производных, взятых в точке (х0, у0, z0).
50.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 245
Вспомнив, что вектор с координатами Fx, Fy, Fzy т. е. вектор
VF = (Fx, Fy, Fz) называется градиентом функции F (см. п. 20.6),
видим, что градиент функции в данной точке поверхности F(x, у, г)—
=0 перпендикулярен касательной плоскости в этой точке, т. е.
коллинеарен нормальной прямой.
Поэтому уравнение нормальной прямой к поверхности имеет
вид
х—х„ _ у-у0 _ г-г0
Fx Fy ~ Fz ¦
Все эти формулы сразу следуют из E0.12) и E0.13). Дейст-
Действительно, если, например, Fz=/=0 и z — f(x, у) — функция, опре-
определяемая уравнением F = 0 в окрестности точки (х0, ув, г0), то
достаточно заметить, что fx =—^-, /„ = —/- (см. п. 41.1).
Если функция F (х, у, г) задана и непрерывно дифференци-
дифференцируема в области G, то для любой точки поверхности, заданной
неявно уравнением F(x, у, г) = с (с —постоянная), получим урав-
уравнение касательной плоскости и нормальной прямой того же вида,
что и в случае F = 0, если только в этой точке FJ + FJ + Ft > 0.
Множество точек (х, у, z)^G, для которых F = c, называется,
как мы знаем, поверхностью уровня функции F (см. п. 19.1).
Таким образом, градиент VF = (FX, Fy, Fz) в точке (х0, у0, z0)
поверхности уровня F (х, у, z) = c направлен по нормальной пря-
прямой к этой поверхности в точке (х0, у0, г0). Иначе говоря, гра-
градиент функции ортогонален к поверхности уровня (т. е. перпен-
перпендикулярен касательной плоскости к поверхности уровня в рас-
рассматриваемой точке).
Мы доказали существование касательной плоскости в неособой
точке у непрерывно дифференцируемой поверхности при фикси-
фиксированном ее представлении. Возникает вопрос: что будет, если
перейти к другому представлению этой поверхности? Прежде
всего, останется ли неособая точка неособой, а особая — особой?
Оказывается, что да.
Докажем это. Пусть г (и, v), (и, v) e D, и p(«i, fi), («i, t»i) eZ5lf
суть два представления одной и той же непрерывно дифференци-
дифференцируемой поверхности. Поскольку переход от любого представле-
представления непрерывно дифференцируемой поверхности к другому ее
представлению осуществляется посредством регулярного отобра-
отображения, то существует такое регулярное отображение
= Ф/("' °>' E0.14)
ОХ = Ч)(Ы, V)
замкнутой области D на замкнутую область Dlt что для всех
точек (w, c)eD справедливо равенство
г (и, о) = р[ф(и, v), $(и,о)]. E0.15)
246
§ 50. Элементы теории поверхностей
При этом, как было доказано, якобиан отображения E0.14) не
равен нулю нигде в замкнутой области D:
д(и, v)
Фи ф*
Фа Фт>
ФО, (и, v)e=D.
Продифференцировав тождество E0.15), получим
Следовательно, пара векторов pUl, pVi преобразуется в пару
векторов г„, rv с помощью невырожденной матрицы
фа Фт>
ф« Фт>
Поэтому для данной точки (и, v) векторы г„, rv будут линейно
независимыми тогда и только тогда, когда будут линейно неза-
независимыми векторы ры>, р», в точке (иг, Ui), получающейся из точки-
(и, v) с помощью преобразования E0.14), причем в случае их
линейной независимости плоскость векторов ги и rv и плоскость
векторов pUl и pOl совпадают.
Итак, неособая (особая) при данном представлении точка непре-
непрерывно дифференцируемой поверхности будет неособой (особой) и
при любом другом представлении этой поверхности, а плоскость,
касательная к поверхности в неособой точке при одном представ-
представлении поверхности, будет касательной и при другом ее представ-
представлении^
Определение 16. Непрерывно дифференцируемая поверхность,
у которой нет особых точек, называется гладкой поверхностью.
В силу доказанного выше, чтобы проверить, что данная поверх-
поверхность является гладкой, достаточно убедиться, что у нее имеется
одно непрерывно дифференцируемое представление и при этом
представлении нет особых точек.
Следует обратить внимание на то, что у гладкой поверхности*
S = {r(w, t»), (и, !))еО} векторные функции г„ и /•„ не только
непрерывны на замыкании области D, но согласно определению
и. неколлинеарны на этом замыкании D. Иначе говоря^ у глад-
гладкой поверхности E0.7) всюду на замкнутой области D выпол-
выполняется неравенство
Замечание. Из формул E0.16) следует, что
Г и Xrv= (ф„рИ1 + tfaPfi) X (ф*Р«1 + Ф^Ро.) = Ф«Фг> (Р«, X pOl
50.5. Первая квадратичная форма поверхности 247
Поскольку при допустимых преобразованиях параметров E0.14)
якобиан д^ У' нигде в D не обращается в ноль, то из получен-
полученной формулы следует, что векторные произведения г„Хг„ и р«ххрс,1
в данной точке поверхности могут обращаться в ноль только
одновременно. Но было показано, что необходимым и достаточ-
достаточным условием того, что данная точка поверхности при данном
представлении поверхности г (и, у) —неособая, является неравен-
неравенство нулю в этой точке векторного произведения ruxrv. Тем
самым еще раз доказано, что неособая (особая) точка поверхности
при одном представлении поверхности будет такой же и при дру-
другом ее представлении.
Упражнения^. Составить уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности x=2u — v, y = u2-\-v2, z = u3 — v3 в точке М C; 5; 7).
4. К поверхности xyz=\ провести касательную плоскость, параллельную
плоскости x-\-y-\-z — а = 0 (о = const).
5. Доказать, что все касательные плоскости поверхности z = xf[~\
\ % 1
\ 1
(/—произвольная дифференцируемая функция) проходят через начало координат.
6- Доказать, что все касательные плоскости, проведенные к поверхности
x=ucosv, у —и sin v, z = au-\-f(v) (a — const, / — произвольная дифференци-
дифференцируемая функция) в любой точке ее координатной линии v = c (с = const), про-
проходят через фиксированную прямую.
50.5 ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ
Зафиксируем какое-либо представление г = г(и, v), (и, !»)е6
данной гладкой поверхности и рассмотрим касательную к ней
плоскость в некоторой ее точке. Как мы видели, векторы ги и rv
образуют в этой плоскости базис. Векторы, лежащие в касательной
плоскости, будем обозначать символом dr, а их координаты отно-
относительно базиса га и г„ — через du и dv*K Таким образом
dr = radu-\-rvdv.
Найдем квадрат длины вектора, лежащего в касательной пло-
плоскости, выраженный через координаты естественного базиса ги
и г„ (в линейной алгебре это выражение обычно называется
основной метрической формой рассматриваемого пространства,
в данном случае плоскости):
| dr p = (rudu + rvdvf = rfdu2 + 2rurvdu dv + rldv*.
Введем обозначения
? = r*, F = rurv, G = rl; E0.17)
*' Это обозначение естественно, ибо если вектор в касательной плоскости
является касательным к некоторой кривой E0.8) на поверхности, то при соот-
соответствующем выборе параметра вектор dr будет являться дифференциалом,век-
дифференциалом,вектора E0.8) и, следовательно, для него будет выполняться равенство E0.9).
248
§ 50. Элементы теории поверхностей
тогда
E0.18)
Определение 17. Квадратичная форма Edui-\-2Fdudv-\-Gdvi
называется первой квадратичной формой поверхности *'.
Посмотрим, как она меняется при переходе к другому пред-
представлению поверхности (см. формулы E0.14)). Как известно (см.
E0.16)), при этом базисы в рассматриваемой плоскости преобра-
преобразуются с помощью матрицы
Следовательно, координаты векторов преобразуются с помощью
транспонированной матрицы, т. е. матрицы Якоби
7 ||фи q>J|
Если матрицу первой квадратичной формы E0.18) при пред-
представлении поверхности г —г (и, v) обозначить через А, а при
представлении р = р (иъ их) — через Аъ т. е.
Е F\\
F G '
— f*ut * —
то, как известно из курса линейной алгебры, для первой квадра-
квадратичной формы поверхности, как и вообще для всякой квадратич-
квадратичной формы,
где через /* обозначена матрица, транспонированная с матрицей
Якоби J.
Отсюда для соответствующих определителей
ИЛИ
Е F
F G
Ег t\
Fx Gx
/72 (V Г К
V-
IV! 1
q
>и ф*
¦Л
d(ut.
д(и,
2
1
V)
E0.19)
•' То, что рассматриваемая квадратичная форма называется первой, объяс-
объясняется тем, что существуют другие квадратичные формы, связанные с поверх-
поверхностью. Их изучение не входит в задачу настоящего курса.
50.6. Кривые на поверхности 249
Заметим, что по самому своему определению первая квадра-
квадратичная форма положительно определенна (действительно, если
du2 + dv2>0, т. e. dr^EO, то |dr|2>0), а поэтому ее дискри-
дискриминант положителен: EG — F2>0. В силу же отсутствия особых
точек выполняются неравенства гаф0, rv=/=0, а поэтому из
определения коэффициентов Е и G E0.17) непосредственно сле-
следует, что ?>0 и G>0.
Если известна первая квадратичная форма поверхности, то
можно, даже не располагая уравнением поверхности и не зная
ее формы, решать целый ряд относящихся к ней задач, например
находить длины лежащих на ней кривых и углы между ними,
вычислять площадь частей поверхности. Совокупность всех свойств
поверхности, которые можно установить, исходя из одной лишь
первой квадратичной формы, называется внутренней геометрией
поверхности. К рассмотрению подобных задач мы и перейдем.
Упражнения. 7. Какая из следующих квадратичных форм может слу-
служить первой квадратичной формой некоторой поверхности: a) du2-\-3dudv -\-
-\-dv2; б) du2 + Ыи dv + 9dv2; в) du2—6du dv + 13dv2; r) du2-j-2du dv — dv2.
8. Найти первую квадратичную форму геликоида (винтовой поверхности)
x=ucosv, r/=usiny, г=ач+/(и) (a=const, f—произвольная дифференцируе-
дифференцируемая функция).
9. Доказать, что первая квадратичная форма поверхности вращения при-
приводима к виду d«2+G (u)dv2.
50.6. КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИХ ДЛИН
И УГЛОВ МЕЖДУ НИМИ
Рассмотрим непрерывно дифференцируемую кривую E0.8),
лежащую на данной поверхности E0.7). Предположим, что отсчет
длины дуг s = s(t) на ней производится в направлении возраста-
возрастания параметра, т. е. что ^>0. Как известно (см. п. 16.5),
ds
dt
L
dt
, откуда d$ — \dr\, следовательно, см. E0.18),
ds2 = | dr I2 = dr2 = E du2 + 2F du dv + G dv\
поэтому
Таким образом, для длины L кривой E0.8) получаем формулу
ь Г
= i V
dtl dv I rldv\2A4-
Перейдем теперь к вычислению углов между кривыми на
поверхности.
Определение 18. Если две кривые пересекаются в некоторой
точке, то углом между ними в этой точке называется угол,
250
§ 50. Элементы теории поверхностей
образованный их касательными в указанной точке (если, конечно,
эти касательные существуют).
Пусть две гладкие кривые, лежащие на рассматриваемой
поверхности, пересекаются в некоторой точке. Обозначим диф-
дифференциалы их представлений в этой точке соответственно через
dr и бг, а коэффициенты разложений по векторам га и rv — соот-
соответственно через, du, dv и бм, би", тогда
dr = rudu~\-rvdv,
br = rubu-\-rvbv.
Поэтому если ф — искомый угол между кривыми, т. е. между
векторами dr и Ьг, то
COS
dr Ьг
Е du8u-\-F (du 6v-\-dv
v dv
\dr\\6r\ \E
u 6v-\-G
Упражнения. 10. Доказать, что для того, чтобы координатные и- и
у-линии на поверхности были ортогональными, необходимо и достаточно,
чтобы всюду на поверхности выполнялось равенство F = 6.
11. На поверхности с первой квадратичной формой dui-\-dvL найти угол
между кривыми v = 2u, v = — 2и.
50.7. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ
Пусть непрерывно дифференцируемое представление г (и, v)
рассматриваемой гладкой поверхности S определено на замыка-
замыкании D квадрируемой области D. Рассмотрим разбиение Тк
плоскости переменных и и она квад-
квадраты некоторого ранга k. Поскольку
из квадрируемости области следует
ее ограниченность, то замкнутая об-
область D окажется покрытой конеч-
конечным числом квадратов ранга k. Про-
Пронумеруем каким-либо образом все не-
непустые пересечения этих квадратов с
замкнутой областью D и обозначим
^-их через Eh i = \, 2, ..., i0. Тогда
Рис. 202 т — {Ei'.Ei ¦-
образует разбиение замкнутой области D (определение разбиения
см. в п. 44.3).
Рассмотрим множества ?,-, которые представляют собой пол-
полные замкнутые квадраты, лежащие в области D (при достаточно
малой мелкости разбиения т такие непустые множества Et всегда
существуют; почему?). Совокупность всех указанных множеств Ег
обозначим через т. (<??>) (ср. с п. 44.4).
Возьмем какой-либо квадрат Ei^r(dD) (рис. 202). Пусть
длина его стороны равна ,h, a Z3,- —одна из его вершин. Тогда
[
\
/
Pi
к
ti
/
50.7. Площадь поверхности
251
при переходе от вершины Р{ к соседним вершинам радиус-век-
радиус-вектор г (и, v) с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка, чем h, получит приращения, равные по абсолютной
величине соответственно числам \ruh\ и \rji\ ибо
r(u+h, v) — r(u, v) =
г (и, v + h)-r(u, v) =
При определении площади поверхности будем образы квад-
квадратов Et i= т (dD) заменять прямолинейными параллелограммами,
построенными на векторах rji и rji
(рис. 203). Найдем площадь такого па-
параллелограмма. Обозначив ее через Дст,-,
получим
а* = Jrjixrji \P. = \
\P. h2 =
Функции га и rv непрерывны на_ замк-
замкнутой квадрируемой области В; по-
поэтому
и-const
const
Рис. 203
°t~*u Et<=x(dD) О
E0.20)
где Ьх, как всегда, обозначает мелкость разбиения т. Очевидно,
условие, что мелкость разбиения 8t стремится к нулю, равно-
равносильно тому, что ранги k квадрильяжей плоскости, из которых
мы исходили, стремятся к бесконечности.
Для доказательства справедливости равенства E0.20) доста-
достаточно заметить, что при произвольном выборе точек Pt е ?,¦ е т,
/ = 1, 2, ..., справедливо равенство
'»
lim V Act,- = lim У] Iruxrv\P. р?,- =
Действительно, во-первых, предел интегральных сумм интег-
интегрируемой функции не зависит от выбора в данном случае точек
Pi^Ei^. r, а, во-вторых, выбрасывание из интегральных сумм
слагаемых, соответствующих множествам Et i= т, не входящих
в т (dD), не влияет, как известно (см. п. 44.3), на величину пре-
предела интегральных сумм, в нашем случае — на величину предела
E0.20).
Определение 19. Предел E0.20) называется площадью или
мерой \kS поверхности S:
\iS= lim 2 Aoj.
0
252 § 50. Элементы теории поверхностей
Для вычисления площади поверхности из E0.20) непосред-
непосредственно получается формула
D
E0.21)
Запишем ее в другом виде, выразив подынтегральное выра-
выражение через коэффициенты первой квадратичной формы. Прежде
всего заметим, что для любых векторов а и b справедливы фор-
формулы
\axb\ = \a\\b\smab,
ab = \a\\b\cosab,
где ab — угол между векторами а и Ь. Возведем в квадрат и
сложим эти формулы:
Отсюда следует, что
I г. xrv |г = rlr% - (rurvJ = EG- F\ E0.22)
поэтому формула E0.21) может быть записана также в виде
E0.23)
D
Иногда для краткости записи выражение У EG — F2 du dv обозна-
обозначается символом dS:
dS = V EG - F2 du dv; E0.24)
и называется элементом площади. Применяя это обозначение,
формулу E0.23) можно переписать в виде
Покажем, что величина площади поверхности не зависит от
выбора ее представления (при этом рассматриваются только пред-
представления, заданные на замкнутых квадрируемых областях).
Перейдем к другому представлению р = р («i, fi) данной непре-
непрерывно дифференцируемой поверхности, которое задано на замы-
замыкании ?>i квадрируемой области Dx и, следовательно, для кото-
которого преобразование E0.14) параметров «,_и в параметры ut, vx
является регулярным отображением D на D\.
В новой системе координат рассмотрим интеграл
50.8. Ориентация гладкой поверхности 253
Для сравнения его с интегралом E0.23) выполним замену пере-
переменных E0.14), что возможно, так как все предпосылки тео-
теоремы 2' п. 46.2 в данном случае выполнены. Использовав E0.19),
получим
= J J V
Таким образом, действительно, величина площади поверхно-
поверхности не зависит от выбора ее представления.
Найдем выражение для площади_ поверхности, имеющей явное
представление z = f(x, у), (х, y)^D. В этом случае и — х, v = y,
г = (х, у, f(x, у)) и, следовательно (см. формулы E0.11)),
г„ = A, 0, fx), г, = @, 1, /„),
E = rl = l+fl, F = rsv = Uu, G = r\=\+fl,
?G - /™ = 0 + Я) 0 + Я) - flfl = !+? + #; E0-25)
Упражнения. 12. Доказать, что площадь поверхности вращения,
определенная в п. 32.4, совпадает с площадью этой поверхности, определен-
определенной в настоящем пункте.
13. Найти периметр и внутренние углы криволинейного треугольника,
лежащего на поверхности с первой квадратичной формой du2 + (u2 + a2) dv2 и
ограниченного дугами кривых u = -^av2, u = —2~ea)i< u=l (a = const >0).
14. Найти площадь криволинейного четырехугольника, лежащего на гели-
геликоиде x = ucosv, у —и sin v, г —аи (а = const) и ограниченного дугами кривых
u = 0, u = a, v = 0, v=l.
15. На поверхности с первой квадратичной формой du2-{-(u2-\-a2) dv2 рас-
расположен криволинейный треугольник, ограниченный дугами кривых u = av,
и = — аи. v = l. Найти его площадь.
50.8. ОРИЕНТАЦИЯ ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В этом параграфе будем предполагать, что в пространстве
выбирается всегда правая система координат. Это означает сле-
следующее. Пусть /, / и ft —единичные орты координатных осей.
Если смотреть из конца вектора к на плоскость хОу, то вектор /
надо повернуть на угол -^ против часовой стрелки, чтобы он сов-
совпал с вектором /. В этом случае говорят также, что упорядочен-
упорядоченная тройка векторов г, j и к согласована по «правилу штопора».
Аналитически это означает, что в пространстве точек (х, у, z)
рассматриваются только такие упорядоченные базисы въ е2, е3,
254 § 50. Элементы теории поверхностей
которые получаются из упорядоченного базиса / = A; 0; 0), j =
= @; 1; 0), ft = @; 0; 1) с помощью матриц, имеющих положи-
положительный определитель (точнее, равный +1). Таким образом, если
ТП=\, 2, 3,
является базисом, задающим правую систему координат, то
Сц Ci2 С13
С32 Сзз
Все определения и понятия, связанные с координатами, вво-
вводимые ниже в этом параграфе, даются применительно к правым
системам координат.
Пусть S — гладкая поверхность (см. определение 16). Тогда
всякое ее векторное представление r = r(u, v), (и, о)ёД непре-
непрерывно дифференцируемо и гиХгг,ф0 на замкнутой области D.
Следовательно, в каждой точке поверхности 5 определен нор-
нормальный единичный вектор
?- <50-26>
являющийся непрерывной функцией на D. Кратко это обстоя-
обстоятельство выражают, говоря, что на поверхности S существует
непрерывная единичная нормаль.
Определение 2О._ Всякая непрерывная единичная нормаль v==
= v(u, v), (и, v) e D, гладкой поверхности S = {r (и, v); (и, c)eD)
называется ориентацией поверхности S.
Очевидно, что если вектор v является ориентацией поверхно-
поверхности S, то и вектор —v также является ориентацией той же
поверхности, и легко показать, что других ориентации нет.
Упражнение 16. Доказать, что поверхность может иметь только две
ориентации.
Одна из двух ориентации v или — v (произвольно выбранная)
называется положительной, а другая — отрицательной.
Таким образом, понятие положительности и отрицательности
ориентации в этом смысле не определяется однозначно самой
поверхностью, а зависит от выбора ее представления. Положи-
Положительная и отрицательная ориентации поверхности называются
противоположными ориентациями этой поверхности.
Для определенности в дальнейшем для гладкой поверхности,
заданной_фиксированным векторным представлением г = г(м, v),
(и, »)eD за положительную ориентацию будем принимать всегда
вектор E0.26).
Подчеркнем, что непрерывность нормали v рассматривается
относительно переменных н, v, а не относительно пространствен-
50.8. Ориентация гладкой поверхности 255
ных переменных х, у и z. Если поверхность имеет кратные точки,
то может случиться, что в точке пространства, являющейся носи-
носителем разных точек поверхности может оказаться несколько раз-
различных нормалей.
Чтобы при регулярном преобразовании параметров и, v
у поверхности сохранялась ориентация, необходимо дополнительно
потребовать, чтобы якобиан этого преобразования был положи-
положительным. Действительно, для преобразования параметров
«х = ф(м, v),
Wi = ^(". v)
из формул E0.16), как мы видели (см. замечание в конце п. 50.4)
следует, что
- д(ф' ^ (п хо ^
(Р« Х PJ
и, следовательно, если якобиан ¦ду>' : положителен, то векторы
ruxrv и р«,хрв, направлены в одну и ту же сторону, а если он
отрицателен, то в противоположные.
Таким образом, для поверхностей, у которых выбрана ориен-
ориентация, допустимыми преобразованиями будем считать такие непре-
непрерывно дифференцируемые преобразования, у которых якобиан
положителен.
Поверхность 5 с положительной ориентацией будем обозна-
обозначать через S+, а с отрицательной — через S~.
Подчеркнем, что всякая гладкая параметрическая заданная
поверхность всегда ориентируема, т. е. у нее всегда существует
ориентация.
Определение 21. Поверхность, у которой фиксирована одна из
ее ориентации, называется ориентированной.
Данное выше определение ориентации, разумеется, не пере-
переносится на негладкие поверхности. Примером поверхности, не
дифференцируемой в одной точке, на которой уже нельзя выбрать
непрерывную нормаль, является конус:
E0.27)
В этом случае векторное представление имеет вид:
следовательно,
гх=(\; 0;
256 § 50. Элементы теории поверхностей
Поскольку пределы lim —г=^= и lim ¦¦ г у не суще-
<*, *)-<0,0> V*2 + l/2 (x,yH0)Vx2 + y*
ствуют (почему?), то и единичная нормаль
ГхХГу
V2(x? + y*)' /2(х2 + </2) ' /2
не имеет предела при (я, «/)->-@, 0). Поэтому на конусе E0.27)
нельзя выбрать нормаль, непрерывную на
= {(
Пр
{(y) y}
Простым примером негладкой поверхно-
поверхности S, на которой существует целая линия,
вдоль которой нормали при любом их выбо-
выборе терпят разрыв, является часть двугран-
двугранного угла, изображенная на рис. 204. Ука-
Указанной линией на этой поверхности явля-
Рис. 204 ется отрезок АВ.
50.9. СКЛЕИВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Данное выше определение параметрически заданной непре-
непрерывной поверхности не охватывает все то, что интуитивно вхо-
входит в понятие поверхности. Так, можно показать, что поверх-
поверхность шара не является носителем какой-либо непрерывной пара-
параметрически заданной поверхности без кратных точек. Считать же,
что поверхность шара имеет кратные точки, представляется неоп-
неоправданным усложнением. Существуют различные пути для прео-
преодоления этого неудобства. Мы выберем путь, основанный на
склеивании конечного числа поверхностей. Склеивание поверх-
поверхностей естественным образом возникает при рассмотрении самых
простых задач. Например, боковую поверхность цилиндра есте-
естественно рассматривать как результат склеивания противополож-
противоположных сторон прямоугольника, полную поверхность цилиндра как
результат склеивания его боковой поверхности и двух оснований,
поверхность конуса как результат склеивания его боковой поверх-
поверхности с основанием и т. д.
Перейдем к точным определениям, ^эудем говорить, что у по-
поверхности S — {r = r(u, v); (и, 4)eD| ее край (см. п. 50.1)
является кривой, если граница 3D области D является кривой
(точнее, носителем кривой):
dD = {u(t), v(t); a^ts^b}.
В этом случае край dS поверхности 5 можно также рассматри-
рассматривать как кривую:
dS = {r(«@, v @); a^t^b}.
Мы определим операцию склеивания поверхностей для поверх-
поверхностей, края которых являются кривыми.
50.9. Склеивание поверхностей 257
Пусть заданы поверхности S,- = {г, (и,-, и,-); («,-, 1/,)еД(, края
<?S,- которых суть кривые, т. е. границы, dDt областей Д- явля-
являются кривыми:
h i = \, 2, ..., m.
Тогда края поверхностей dSt будут представлять собой кривые
Пусть для некоторых пар (», /), i, / = 1, 2, ..., m, t/,
задано конечное число отрезков |Д-, Ь*,-] с: [a*, bi\, акц^Ькц, и
отрезков [а*,-, Ь*,]с:[ау, ЬД с//С^Ь% k=l, 2, ..., Пц—пц, причем
как отрезки \а%, ft*], так и отрезки [оуь ft/,] попарно не имеют
общих внутренних точек, а также гомеоморфизмы ф*-: [а?,-, &*•]->
->- [й*-, b'ji], называемые склеивающими гомеоморфизмами. При этом
для любого ti e [а*,-, &*/] имеет место «склеивание»:
Л- («,• (/,¦), о, (/«)) = г, {и, (Ф*- (/,)), v, (Ф?у (/,-)). E0.28)
Обозначим через у*/ кривую с представлением
Кривые Ту называются кривыми склейки или кривыми, по
которым производится склеивание.
Очевидно, что в силу E0.28) отображение
г = г, {и, {t/), vj (tj)), tj e= [a*-, tf}t]
также является представлением кривой у*., ибо гомеоморфизмы ф*
представляют собой допустимое преобразование параметра для
кривой Vy.
Будем предполагать кроме того, что при /' Ф j отрезки
[a1h Ьц] п [а'сг, Ьц\, k=\, 2, .... nih 1=1, 2, ...nir,
не имеют общих внутренних точек, а следовательно, каждый
конец отрезка \акц, Ькц\ может принадлежать еще не более чем
одному отрезку [а'г, b'cf]. Это условие означает, что каждая кри-
кривая склейки Y*/ является частью только двух кривых yi и У/,
образующих края поверхностей S,- и S/.
Поверхности S,- и Sj называются соседними, если они склеи-
склеиваются по крайней мере по одной кривой у*.. Система склеиваю-
склеивающих гомеоморфизмов ф^. называется связной, если для любых
поверхностей Sp и Sq из рассматриваемой системы в ней сущест-
существуют такие поверхности Siv S,-2, .... Sir, что Si^Sp, Sir = St,
и каждая поверхность S,v является соседней с S,-v+1, т. е. склеена
9 Кудрявцев Л. Д., т. 2
258 § 50. Элементы теории поверхностей
с ней по одной или нескольким кривым с помощью соответствую-
соответствующих склеивающих гомеоморфизмов <p,v,-v+1, v = 1, 2, ...г — ).
Определение 22. Система поверхностей Su 52, ..., Sm со связ-
связной системой склеивающих гомеоморфизмов ф^. называется поверх-
поверхностью, склеенной из поверхностей Slt ..., Sm по кривым ykt. и
обозначается через S = {St}.
Это определение, несмотря на свою формальную громоздкость,
имеет, очевидно, простой геометрический смысл. Образно говоря,
склеенная поверхность S — {S,} представляет собой поверхности
Si, ..., Sm, у некоторых пар которых S,-, S/ отождествлены
(склеены) точки, лежащие на кривых y*- и отображающиеся друг
в друга при гомеоморфизмах Фу —в этом и состоит условие
склеивания E0.28). Безусловно, как отмечалось, кроме того пред-
предполагается, что от каждой поверхности St можно через конечное
число шагов перейти к любой другой поверхности Sj, переходя
каждый раз с некоторой поверхности на одну из соседних с ней.
Если S = {S^ — склеенная поверхность, то совокупность всех
дуг, являющихся такими частями кривых dS,-, что никакие точки
этих частей, кроме, быть может, концевых, не склеиваются ни
с какими точками других кривых dSh называется краем dS скле-
склеенной поверхности S.
Можно показать, что объединяя соответствующим образом ука-
указанные части кривых dSt, принадлежащие краю dS поверхности
5 = {S(}, можно получить конечное число замкнутых кривых
(контуров). Иначе говоря, край склеенной поверхности состоит
из конечного числа замкнутых контуров.
Примером склеивания поверхностей может служить склеивание
в сферу х2 + у2 + г2~1 двух полусфер 2 = ]/1 — х2 — уг и z =
= — ]/1 — х2 — у2, x2-f#2s?l, по их краю, т. е. по окружности
х2-\-у2 = \, z = 0. Задавая уравнение этой окружности в парамет-
параметрическом виде
t y = sint, z = 0, 0s^ts^2n
в качестве склеивающего гомеоморфизма ф: [0, 2я]->[0, 2я]
можно взять тождественное отображение отрезка [0, 2л] на себя.
С помощью склеивания гладких поверхностей можно определить
понятие кусочно-гладкой поверхности.
Определение 23. Поверхность S = {S,-}, склеенная из гладких
поверхностей Su ..., Sm, называется кусочно-гладкой поверхностью.
Поверхность кругового цилиндра, поверхность параллелепи-
параллелепипеда, дают примеры кусочно-гладких поверхностей. Прямой же
круговой конус E0.27) нельзя разбить на конечное число склеен-
склеенных гладких частей, поэтому он не является кусочно-гладкой
поверхностью в смысле определения 23. Можно обобщить операцию
склеивания поверхностей таким образом, что при формальном
сохранении определения кусочно-гладких поверхностей для такой
50.10. Ориентируемые и неориентируемые поверхноости 259
обобщенной операции склеивания в класс кусочно-гладких поверх-
поверхностей попадут уже и конические поверхности. Мы не будем на
этом останавливаться и предоставим проделать это в случае необ-
необходимости самому читателю.
50.10. ОРИЕНТИРУЕМЫЕ И НЕОРИЕНТИРУЕМЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Очередной нашей задачей является определение понятия ориен-
ориентации для поверхностей, склеенных из параметрически заданных
поверхностей.
Определение ориентации с помощью выбора непрерывной еди-
единичной нормали на поверхности оказывается в этом случае неу-
неудобным даже при отсутствии кратных точек и понимании непре-
непрерывности нормали, как ее непрерывной зависимости от точек
пространства (а не параметров склеиваемых поверхностей). Это
связано с возможным нарушением гладкости поверхности на кри-
кривых, по которым происходит склеивание.
Например, часть поверхности двугранного угла, изображенную
на рис. 204, можно рассматривать как результат склеивания двух
равных прямоугольников. Если стремиться по разным граням
к одной и той же точке на ребре этого угла, то пределы соот-
соответствующих единичных нормалей получатся разные. Ниже будет
дано такое определение ориентируемой поверхности, при котором
указанная поверхность будет ориентируемой.
Отметим, что при склеивании поверхностей даже «гладким
образом» (т. е. когда для любой кривой, по которой произведено
склеивание, в каждой ее точке можно так выбрать единичную
нормаль, что она будет пределом соответствующим образом выбран-
выбранных в окрестности этой точки единичных нормалей двух склеи-
склеивающихся поверхностей) у склеенных поверхностей могут возникнуть
качественно новые особенности: в отличие от параметрически
заданных поверхностей в этом случае не всегда на всей поверх-
поверхности можно выбрать непрерывную единичную нормаль. Примером
такой поверхности является так называемый лист Мёбиуса*'. Его
можно получить, взяв прямоугольную полоску бумаги ABCD,
один раз перекрутив ее вокруг оси симметрии MN', параллельной
сторонам ВС и AD и склеив ребро АВ с CD (рис. 205). Правда,
при таком способе образования лист Мёбиуса получается в резуль-
результате склеивания поверхности самой с собой. Однако нетрудно
получить его и склеиванием, описанным в определении 22, двух
прямоугольников ABEF и FECD (см. рис. 205).
Одной из характерных особенностей листа Мёбиуса является
то, что у него имеется лишь одна «сторона»: его невозможно, как
например боковую поверхность цилиндра, покрасить, скажем,
с одной стороны красной, а с другой синей краской. Кроме того,
*' А, Ф, МёEиус A790—1868) — немецкий математик и астроном.
6*
260 § 50. Элементы теории поверхностей
не листе Мёбиуса нельзя выбрать единичную нормаль, которая
являлась бы непрерывной функцией точки пространства.
Все приведенные соображения делают естественным попытаться
дать такое определение ориентации поверхности, для которого
поверхности, например, типа поверхности параллелепипеда оказа-
оказались бы ориентированными, а поверхности типа листа Мёбиуса—¦
неориентированными.
в
Рис. 205
Обратим внимание на то, что лист Мёбиуса может являться
носителем параметрически заданной гладкой поверхности с крат-
кратными точками, и эта поверхность, как всякая гладкая парамет-
параметрически заданная поверхность, будет ориентированной. Это,
нвнечно, не имеет никакого отношения к неориентируемости самого
листа Мёбиуса.
50.11. ВТОРОЙ ПОДХОД К ПОНЯТИЮ ОРИЕНТАЦИИ ПОВЕРХНОСТИ
Перейдем к описанию другого подхода к понятию ориентации,
основанного на склеивании поверхностей, края которых суть
кривые. Пусть S = {r = r(u, v); (и, v) eflj- гладкая поверхность,
краем которой является кривая. Положительная ориентация кри-
кривой dD = {u(t), v(t); as^ts^b} (т. е. ориентация против часовой
стрелки на плоскости и, v с правой системой координат) в cnJiy
отображения r(u(t), v(t)), asg/sgft, порождает вполне опреде-
определенную ориентацию края dS поверхности S. Эта ориентация
края dS поверхности S называется согласованной с ориентацией
(см. определение 20) поверхности S.
Естественность этого определения можно поясцить следующим
сбразом. Рассмотрим явно заданную поверхность S:z = f(x, у),
50.11. Второй подход к понятию ориентации поверхности
261
(x, y)<=D. Для нее (см. E0.10), E0.11) и E0.26))
v= -
Vi+fi+П'
Следовательно, cos vft = •
->0, т. е. вектор нормали v
образует с осью Oz острый угол и поэтому согласован с положи-
положительной ориентацией края dS поверхности 5 по правилу штопора:
ориентация контура dS соответствует направлению вращения ручки
штопора, а направление нормали v—движению самого штопора
(рис. 206).
Очевидно, что если ориентация v рассматриваемой гладкой
поверхности S согласована с ориентацией- ее края dS, то ориен-
ориентация — v согласована с противоположной
ориентацией кривой dS. Таким образом, за-
задание ориентации v гладкой поверхности
равносильно заданию ориентации кривой dS,
являющейся ее краем. Поэтому ориентиро-
ориентированный край dS гладкой поверхности S бу-
будем так же как и непрерывную единичную
нормаль v называть ориентацией поверхно-
поверхности S.
Для негладкой параметрически заданной
поверхности, краем которой является кон-
контур, его ориентацию можно принять за
исходное определение ориентации самой по-
поверхности. Пусть St и 52—две гладкие поверх-
поверхности, у которых края суть кривые, и пусть эти две поверхности
склеены (в смысле определения 22) по кривым уи ..., ут, яв-
являющимся частями краев поверхностей St и 52. Ориентации
dSt и dS2 поверхностей 5Х и 5а называются согласованными, если
каждая из них порождает на склеивающихся кривых уи ..., ут
противоположные ориентации.
Определение 24. Поверхность S, склеенная из поверхностей
$и ..., Sm называется ориентируемой, если существуют такие
ориентации dSu .... dSm краев поверхностей Su ..., Sm, что для
любых двух соседних поверхностей S,- и S/ их ориентации dSi
и dSj согласованы.
Совокупность таких ориентации, если она существует, назы-
называется ориентацией поверхности S.
Если указанной совокупности ориентации dSt не существует,
то поверхность S называется неориентируемой.
Если dSi, ..., dSm является ориентацией поверхности S = {S,-},
то совокупность противоположных ориентации также является
ориентацией поверхности S, называемой противоположной данной.
262 § 50. Элементы теории поверхностей
Можно показать, что если поверхность S ориентируема, то
никаких других ориентации, кроме двух указанных, у нее нет.
Одна из этих двух ориентации (произвольно какая) обычно назы-
называется положительной, а другая — отрицательной.
Аналогично ранее рассмотренному в1 п. 50.8 случаю ориенти-
ориентируемая поверхность, у которой фиксирована одна из ее ориентации,
называется ориентированной. При этом та из ориентированных
поверхностей, ориентация которой названа положительной, обозна-
обозначается через S+, а противоположно ориентированная — через 5".
Край ориентированной склеенной поверхности S = {S,}, как
край всякой склеенной поверхности, состоит, согласно сказанному
выше, из конечного числа замкнутых контуров. Каждый из этих
контуров в свою очередь представляет собой объединение конечного
числа кривых, каждая из которых является частью одного из
контуров dSit а именно такой частью, что все ее точки, кроме
быть может концевых, не склеиваются с точками других краев dSj.
Поэтому заданная согласованная ориентация склеенной ориенти-
ориентируемой поверхности 5 = {S,} порождает определенные ориентации
(т. е. порядки точек) на указанных кривых. Можно показать, что
эти ориентации, вместе взятые, составляют ориентации всех конту-
контуров, входящих в край dS склеенной поверхности S. Совокупность
этих ориентации контуров, составляющих край dS поверхности S,
называется ориентацией этого края, порожденной заданной ориен-
ориентацией поверхности S, или, что то же, согласованной с ней.
Обратим внимание на то, что в определении 24 ориентации
поверхности не предполагалось даже дифференцируемости склеи-
склеиваемых поверхностей Slt ..., Sm.
Если поверхность 5 склеена из гладких поверхностей
Si, ..., Sm, то для задания ее ориентации можно задать на
каждой поверхности Su ..., Sm непрерывные единичные нормали
таким образом, чтобы согласованные с ними ориентации dSt краев
поверхностей S,- были согласованы между собой в смысле опре-
определения 24, т. е. являлись ориентацией поверхности S (см.
рис. 207).
Для того, чтобы при таком задании ориентации узнать, совпа-
совпадают или нет две ориентации, достаточно проверить это лишь
в одной произвольной точке: если в ней нормали совпадают, то
они совпадают и всюду, а если они в этой точке не совпадают,
т. е. противоположны, то они и всюду противоположны, поскольку,
как выше отмечалось, существуют только две ориентации заданной
поверхности.
Однако в случае кусочно-гладкой поверхности уже нельзя
ввести понятие положительной ориентации, используя заданные
представления склеиваемых гладких поверхностей и беря на них
единичные нормали по формуле E0.26), так как эти ориентации
могут оказаться несогласованными. Поэтому в случае кусочно-
гладких поверхностей следует всегда конкретно оговаривать, что
50.11. Второй подход к понятию ориентации поверхности
263
Рис. 207
именно подразумевается в данном случае под ориентированными
поверхностями S+ и 5" заданной поверхности S.
Можно показать, что всякая кусочно-гладкая поверхность,
являющаяся границей некоторой области трехмерного пространства,
ориентируема. При этом одна из ориентации состоит из единичных
нормалей, направленных от поверхности в
область — так называемые внутренние нор-
нормали, а другая состоит из единичных нор-
нормалей, направленных от поверхности наружу
от области — так называемые внешние нор-
нормали. Примером такой поверхности является
сфера. В .качестве ее ориентации можно
взять, например, единичные нормали, на-
направленные по радиусу от точки сферы к
центру (рис. 208).
Примером неориентируемой поверхности
(в смысле определения 24) является лист
Мёбиуса.
Иногда ориентируемые кусочно-гладкие
поверхности называют также двусторонними
поверхностями: они имеют две «стороны»,
соответствующие двум выборам единичных
нормалей, задающим две ее ориентации. Со-
Соответственно неориентируемые поверхности
называются односторонними. Оправдание
этого термина было пояснено в п. 50.10 на
примере листа Мёбиуса.
Мы не будем останавливаться на матема-
математизации всех описанных наглядных сообра-
соображений и доказательстве высказанных утверждений. Это потребо-
потребовало бы методов, изучение которых выходит за рамки настоя-
настоящего курса. Упомянутые выше без доказательства общие утвер-
утверждения по существу не используются в дальнейшем изложении.
В каждом же конкретном случае, о котором будет идти речь,
можно будет всегда непосредственно указать, какая именно
ориентация рассматривается в данном случае.
Упражнения. 17. Доказать, что прямой круговой цилиндр является
кусочно-гладкой поверхностью без края.
18. Пусть заданы вектор Т и кривая V={P (")> asS,usS,b}. Цилиндриче-
Цилиндрической поверхностью S с образующей у и направляющей, параллельной вектору т,
называется поверхность, заданная представлением вида
Рис.208.
Доказать, что если кривая Y~ кусочно-гладкая, то и поверхность S
кусочно-гладкая.
264 § 51. Поверхностные интегралы
§ 51. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В этом и следующих параграфах будут рассматриваться только
поверхности, задаваемые параметрическими представлениями, и
притом только гладкие (см. определение 16 в § 50) и кусочно-
гладкие (см. определение 23 в § 50).
51.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть задана гладкая поверхность S, причем
r = r(u, v) =
= {x = x(«, v), у = у(и, v), г = г(и, у); (и, v)<^B) E1.1)
— ее представление, точнее, непрерывно дифференцируемое пред-
представление без особых точек, D — квадрируемая плоская область
и, как обычно, Е, G и F — коэффициенты первой квадратичной
формы поверхности S. Пусть, далее, на множестве точек г (и, v)
поверхности S задана функция Ф, т. е. функция Ф(г(«, v)) =
= Ф(х(«, v), у (и, v), z(u, v)). Иногда функцию Ф будем обо-
обозначать также через Ф(д:, у, г) (ср. п. 47.1).
Определение 1. Интеграл J J Ф (х, у, z) dS определяется pa-
s
венством (см. E0.24))
$$Ф(х, у, z)dS =
S
= $$Ф(х(и, v), у (и, v), г (и, v))VEG-Pdudv. E1.2)
D
Он называется поверхностным интегралом первого рода.
При определенных ограничениях, налагаемых на функцию Ф,
интеграл E1.2) существует. Так, например, он существует для
всякой' непрерывной на гладкой поверхности S = {г (и, v), (и, v) e
е?>} функции Фл т. е. для непрерывной на замкнутой квадри-
руемой области D функции Ф(г(и, v)). В самом деле, в этом
случае согласно определению 1 интеграл
$$Ф(*. у, z)dS
S
сводится к интегралу от непрерывной на D функции, который,
как; известно (см. п. 44.4), существует. Более общие условия су-
существования поверхностного интеграла первого рода могут быт>
получены из соответствующих условий существования кратных
интегралов (см. п. 44.4), примененных к интегралу, стоящему
в правой части равенства E1.2).
Пусть для простоты функция Ф непрерывна на гладкой по-
BepxHOQTH S и пусть р = р(«ь »i) = (<p'(«i. fi). ^("ъ vi)> X(«i> vd) —
другое представление этой поверхности, которое задано на замы-
51.1. Определение и свойства поверхностных интегралов 265;
кании А квадрируемой области Dx и для которого преобразо-
преобразование E0.14) параметров и, v в_«ь »г взаимно однозначно и
непрерывно дифференцируемо на D и имеет на D не равный нулю
якобиан. Если Еъ Ft и Gi суть коэффициенты первой квадра-
квадратичной формы, соответствующие этому представлению, то
\\Ф(х(и, v), у (и, v), г(ы, y
>(ыь fi)> x(wi> Vi))V Efii — F\diiidv\. E1.3)
Чтобы в этом убедиться, достаточно в интеграле, стоящем в пра-
правой части этого равенства, выполнить замену переменных E0.14)
и воспользоваться формулой E0.19). Таким образом, поверхност-
поверхностный интеграл первого рода не зависит от выбора представления
поверхности. Поверхностные интегралы первого рода встречаются
в различных вопросах математики и ее приложений. Например,
площадь поверхности (см. п. 50.7) выражается с помощью по-
поверхностного интеграла первого рода: если функция Ф(х, у, z)
тождественно равна единице на поверхности S, то формула E1.2)
превращается в формулу для площади fxS поверхности S (см.
E0.23)):
US = $$ У EG - F* du dv = $$ dS.
D 6
Если Ф (х, у, z) — плотность некоторой массы, распределенной
по поверхности S, то интеграл E1.2) дает величину массы всей
поверхности.
Пусть теперь i, J и к — как обычно, единичные координатные
векторы,
i j к
Ха Уа Zu =ddf %1 + ?% х^+*$ §* E1.4)
xv yv zv
и
v = «/|/i|, E1.5)
причем, согласно нашим предположениям, нормаль v непрерывно
продолжаема на границу области D.
Поверхность S, на которой выбрана единичная нормаль v,
обозначим через S+, а ту же поверхность, на которой выбрана
нормаль — v, — через S- (очевидно, v и — v суть две ориентации
поверхности S). Подчеркнем, что S+ и 5- определяются самой
поверхностью «с точностью до ориентации» и зависят от выбора
представления поверхности.
Определение 2. Поверхностные интегралы
у, z)dxdy и \\Ф(х, у, z)dxdy, Eh6)
. . S-
266
§ 51. Поверхностные интегралы
называемые поверхностными интегралами второго рода {при за-
заданном представлении поверхности), определяются согласно фор-
формулам
$ $ Ф (х, у, г) dx dy = \\ Ф (х, у, г) cos (С*) dS.
5 5 ф (*. У» 2) dx dy = 5 J Ф (ж, у, г) cos (— О) d.
E1.7)
где (v, ft) ы (— v, ft) — углы между векторами v, ft и, соответст-
соответственно, между —v, ft.
За основу этого определения взято, интуитивное соображение
о том, что элемент площади dS данной поверхности (см. E0.24)),
помноженный на косинус угла, который он «составляет» с пло-
плоскостью хОу, приближенно равен элементу площади dxdy этой
плоскости (рис. 209), как было бы,
если бы речь шла о площадях плоской
\z фигуры и ее проекции.
S>VT Интегралы E1.6) будем обозначать
общим символом
$$ Ф(х, у, г) dxdy. E1.8)
о
Так как (v, ft)+ (— vffc) =я
и, следовательно, cos (— v, ft) =
= —cos(v, ft), то из E1.7) получим
\\Ф(х, у, z)dxdy =
\\
У* г
E1.9)
Аналогично поверхностным интегралам первого рода, поверх-
поверхностные интегралы второго рода заведомо существуют, если функ-
функция Ф непрерывна на поверхности 5. Поскольку поверхностные
интегралы первого рода не зависят от выбора представления по-
поверхности, то поверхностные интегралы второго рода E1.6) не
зависят от выбора представления ориентированной поверхности
(иначе говоря, не зависят от выбора представления поверхности,
сохраняющего ее заданную ориентацию), но, конечно E1.8), при
данной поверхности S и данной функции Ф зависят, вообще го-
говоря, от выбора непрерывной нормали v на поверхности, т. е.
от выбора ориентации поверхности (см. 51.9)).
Выведем формулы, удобные для вычисления поверхностных
интегралов второго рода. Предварительно заметим, что изE1.4),
51.1. Определение и свойства поверхностных интегралов 267
E1.5) и E0.22) следует, что
д(х, у) д(х, у)
поэтому
$$Ф(х, у, z)dxdy = $$Ф(х, г/, г)cos(vft)dS =
^(«, v), y(u, v), z(u, v)]cos (vk)VEG - F2dudv =
D
Таким образом, опуская у функций обозначения аргументов,
имеем
1\фЛхЛу = ЦфЩ^ dudv E1.10)
S+ D
и, согласно E1.9),
^И^1- <5111)
Иногда интеграл ^Фйхйу обозначается через \^dxdy\ в этом
случае интеграл § § Ф dx dy записывается в виде J J Ф dy dx.
s- s
Таким образом,
Если поверхность S задана явно непрерывно дифференцируе-
дифференцируемой функцией z = f(x, у), (х, y)^D, то формула E1.2) прини-
принимает вид (см. E0.25))
$$ у, z)dS = $$O(*, у, f(x,
S D
а формулы E1.10) и E1.11) —вид:
(х, у, z) dx dy = \\Ф
D
, у, z)dxdy = — \\Ф{х% у, f(x, y))dxdy.
$$(х, у, z) dx dy = \\Ф (х, у, f(x, y))dxdy,
S+ D
268 § 51. Поверхностные интегралы
Здесь S+ называется «верхней стороной поверхности S» (она со-
соответствует положительной ориентации v поверхности S при
заданном ее представлении z = f(x, у), a S~ —«нижней стороной
поверхности S» (она соответствует отрицательной ориентации — v).
Эти названия объясняются тем обстоятельством, что в случае
явного задания поверхности
/ /
п =
1 о
= -/*/-/»/+*.
О 1 fy
и, следовательно,
v = / fJL—. —JL
поэтому
cos(v, k) — —p= a >0.
Отсюда видно, что угол между векторами v и k — острый, т. е.
вектор v направлен «вверх» от рассматриваемой поверхности (см.
рис. 209).
Подобно определению E1.7) определяются и другие поверх-
поверхностные интегралы второго рода:
55 Ф (х, у, z) dy dz = 5 5 Ф (х, у, z) cos (v, /) dS,
s+ s
^Ф(х, у, z)dydz = 5 J Ф (x, y, z)cos(—v, i)dS,
^ S ^ E1-12)
5 5 Ф (x, y, z) dz dx = J 5 Ф (ж, #, г) cos (v, /) dS,
1\Ф(х, у, z) dz dx = ^ 5ф (х> У> z) cos (—О) dS.
Для этих интегралов аналогично проделанному выше получдем
5 5 Ф Ф ^ = — 5 5 Ф dy dz,
\\
D
Различные задачи, приводящие к понятию поверхностного интег-
интеграла второго рода, будут рассмотрены в § 52.
51.2. Поверхностные интегралы какпределы интегральных сумм 269
51.2. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ КАК ПРЕДЕЛЫ
ИНТЕГРАЛЬНЫХ СУММ
Поверхностные интегралы могут быть получены также и как
пределы соответствующих интегральных сумм. Пусть 5 — гладкая
поверхность и r = r(«, v), (и, о)еД — ее представление, D —
квадрируемая область. Будем для простоты предполагать, что
у области D существуют сколь угодно мелкие разбиения, эле-
элементы которых — кварируемые области. Только такие разбие-
разбиения и будут рассматриваться в настоящем пункте. Возьмем какое-
либо из указанных разбиений T = {Di}}=ie области D. Обозначим
через Si, t = l, ..., to, поверхность, задаваемую представлением
r = r(u, v), (и, ч)еД. Очевидно, что все S; также гладкие по-
поверхности (система т5={5г}г-^'1° называется разбиением поверхно-
поверхности S). Пусть функция Ф(г (и,у)) — Ф(х(и, v), у (и, v), г(«, v))
непрерывна на Д и (щ, Vi)^Dh Ф; = Ф (/¦(«,-, и,)). Обозначим
через cos,- (v, k) косинус угла между нормалью v и ортом к
в точке г(щ, Vj) данной поверхности и положим
о?1=2 ф(сомС
тогда
lim аГ = ^Ф(х, у, z)dS, E1.14)
lim oi».= J 5 Ф (х, у, 2) dx ^, E1.15)
где, как всегда, бт —мелкость разбиения т. Действительно,
У,
s"
и
= 2 ИфИ"' v))VEG-Pdudv\
1= I D,
нескольку ц5,- = 5 5 VEG — f2 du dv, то
«о
h
= 2 И Ф (г («/» v>)) VEG - Р du dv.
270 § 51. Поверхностные интегралы
Обозначив теперь через ю (Ь\ Ф) модуль непрерывности функ-
функции Ф на замкнутой области D, будем иметь
с, у, z)dS-a'f
*" $$|Ф(г(а,»))-'
1 = 1 Df
Перейдя в этом неравенстве к пределу при 8t->0 и заметив,
что lim co(St; Ф) = 0, получим формулу E1.14).
\-°
Аналогично доказывается формула E.15) (произведение
Фсоз (v, к) непрерывно, а значит, и равномерно непрерывно на D).
Подобные утверждения справедливы и для интегралов второго
рода других типов A5.12).
Упражнение 1. Доказать формулу E1.15).
51.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО КУСОЧНО-ГЛАДКИМ
ПОВЕРХНОСТЯМ
Определим поверхностные интегралы по кусочно-гладким по-
поверхностям.
Определение 3. Пусть S = {S,}J=^ кусочно-гладкая поверхность
(см. определение 23 в п. 50.9) и Ф(х, у, г) —функция, определен-
определенная на множестве точек поверхности S. Тогда, по определению,
\l<S>dS = % \\OdSi. E1.16)
S i=\ S.
Определение 4. Если кусочно-гладкая поверхность S=={Sr}'^*
ориентируема и S+ = {St}i=* — одна из соответствующих ей ориён-
тироеанных поверхностей (обозначения см. в п. 50.11), то, по
определению,
$$Ф4х<& = 2 \\<bdxdy, \^dydz = ^ \\<bdydz,
1$Фйгйх = 2ЩФйгйх. E1.17)
s+ i=is+
Конечно, это определение содержательно только в том слу-
случае, когда интегралы, стоящие в правых частях равенств, суще-
существуют. Для этого, прежде всего, представления поверхностей St
должны быть заданы на квадрируемых областях.
51.3. Поверхностные интегралы по кусочно-гладким поверхностям 271
Аналогично в рассматриваемом случае определяются и интег-
интегралы по поверхности 5-={5,т}'=?.
Мы остановились только на тех свойствах поверхностных ин-
интегралов, которые связаны со спецификой их определения, с по-
поверхностью, по которой, как говорят, производится интегрирова-
интегрирование. Естественно, что, поскольку они сводятся к обычным крат-
кратным интегралам, на них переносятся и различные их свойства
(линейность, интегральная теорема о среднем и т. п.).
Замечание. Условия, налагаемые на отображения, осущест-
осуществляющие допустимые преобразования параметров для гладких
поверхностей, сформулированные нами выше (см. определения 10
в п. 50.2 и 16 в п. 50.4), часто оказываются слишком жесткими
(ср. с подобным обстоятельством для кривых в п. 47.3). Напри-
Например, при таком подходе представления части шара единичного
радиуса с центром в начале координат, лежащей в первом
октанте:
z = У\ — х2 — у2, где x2 + y2^l, х^О, г/5э=0
и
x = rcostycos<p, y = r costysincp, z = rsinif,
где О^ф^у, Os^ij)^^- не эквивалентны. Более того, первое
представление не определяет в указанном смысле непрерывно
дифференцируемую поверхность, поскольку частные производные
функции z — ~[f\ — х2 — у% не ограничены в области D =
= {(х, у): х2-f У2< 1, х>0, у>0} и не могут быть непрерывно
продолжены на ее замыкание D. Поэтому естественно расширить
определение непрерывно дифференцируемой поверхности. Сделаем
это следующим образом. _
Рассмотрим совокупность представлений r — r(u, v), (и, v) e D,
непрерывных на D и непрерывно дифференцируемых на D. До-
Допустимыми преобразованиями параметров и = ц> (иъ vj, v —
= i|)(«i, Ui) («i, i/JeDi, будем называть всякое взаимно одно-
однозначное непрерывное отображение замыкания D± плоской обла-
области Di на D, переводящее внутренние точки во внутренние, гра-
граничные в граничные, непрерывно дифференцируемое и имеющее
не равный нулю якобиан в D. Как всегда, два представления
называются эквивалентными, если можно перейти от одного к дру-
другому с помощью допустимого преобразования параметров.
Мы скажем, что класс эквивалентных представлений указан-
указанного типа задает непрерывно дифференцируемую поверхность,
если в этом классе существует по крайней мере одно представ-
представление r = r(u, v), (и, v) e D, непрерывно дифференцируемое
вплоть до границы области D.
Непрерывно дифференцируемая поверхность называется глад-
гладкой, если ГиХГъФ.® в D при некотором ее представлении г =а
272 § 51. Поверхностные интегралы
— г (и, v), (и, »)ей Площадь непрерывно дифференцируемой
поверхности с представлением r=r{u, v), (а, к)еД опреде-
определяется как значение интеграла
\\\ruxrv\dudv,
D
который, быть может, является и несобственным. Чтобы убедиться
в его существовании, достаточно выполнить замену переменного
с помощью допустимого преобразования, переводящего данное
представление в представление, непрерывно дифференцируемое
вплоть до границы области.
Аналогичным образом ослабляются требования, налагаемые на
допустимые преобразования параметра и в случае ориентирован-
ориентированных поверхностей.
При таких определениях остаются в силе все данные выше
определения поверхностных интегралов и их свойства, естественно
с учетом того, что в этом случае при некоторых представлениях
поверхностей мы можем получить несобственные интегралы.
Остаются справедливыми и все относящиеся к поверхностным ин-
интегралам теоремы, доказываемые в следующем параграфе; мы не
будем однако специально останавливаться на этом.
Упражнения. 2. Пусть S — гладкая поверхность в новом расширен-
расширенном смысле и Ф — функция, непрерывная на S- Доказать, что существуют
интегралы
$Ф(лт, у, z)dxdy, $Ф(*, у, z)dzdx, $Ф(*. У, z)dydz.
Вычислить следующие поверхностные интегралы первого рода:
3. \\x*y*dS; S={(x, у, г): *2+#2 + z2 = /?2, г=гО}.
4- П
s
—; S —часть поверхности параболоида г=ху, отсекаемая цн-
О
линдром *2-|-#2 = /?2, а г — расстояние текущей точки поверхности S от оси Ог.
Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода:
р г хг Ф г2
6. }\zdxdy, где S—внешняя сторона эллипсоида -^ + 12" + -^ — '•
о
7. $ J yzdxdy-\-zxdydz-\-xydzdx, где S — внешняя сторона поверхности,
s
состоящей из части боковой поверхности цилиндра *2-f-#2 = /?2 и частей пло-
плоскостей
х=0, у = 0, г = 0, г = Я, причем х, у, г^О.
52.1. Определения 273
§ 52. СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
52.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Вместо терминов «числовая функция точки», «вектор-функция
точки» употребляются и равнозначные им: скалярное поле, век-
векторное поле. Эта терминология подчеркивает, что значения рас-
рассматриваемых функций зависят именно от точек пространства
(в которых эти функции определены), а не от их координат, при
выборе той или иной системы координат.
Употребляя эту терминологию, можно сказать, например, что
всякое скалярное поле и — и (М), определенное и дифференцируе-
дифференцируемое в некоторой области G, порождает векторное поле его гра-
градиентов (см. п. 20.6 и п. 50.5, стр. 245): a(Af)=grada.
Определение 1. Пусть в области G *> задано векторное поле
а=а(М) и существует определенная в G функция и = и(М),
такая, что a(M) = gradu(M). Тогда функция и(М) называется
потенциальной функцией, или потенциалом данного векторного
поля**К
Вводя символ набла, v = '^ + /^+*^ (см- п. 20.7), можно
написать:
grad и = V«,
где справа стоит «произведение» символического вектора набла
на числовую функцию и.
Пусть, например, Е(М) — напряженность электрического поля,
созданного единичным отрицательным зарядом, помещенным в на-
начале координат. Тогда в точке М(у, х, г) вектор Е{М) имеет,
как это известно из физики, длину 1/г2, где г = ]/х2 + у2 + г2,
и направлен от точки М к началу координат. Отсюда получается,
что
Электрический потенциал рассматриваемого поля, т. е. функ-
функция и (М) — \ /г, является и потенциалом в указанном выше
смысле, ибо grad а (М) = Е(М).
Рассмотрим снова векторное поле а==а(М), определенное
в некоторой области G. Зафиксируем систему координат, тогда
вектор-функцию а(М) можно рассматривать как функцию трех
переменных — координат х, у, z точки М: а=а(х, у, г).
*' В этом параграфе для простоты рассматриваются только плоские или
трехмерные области G.
**> Иногда в приложениях потенциал и определяется формулой а=>
= — grad и.
274 § 52. Скалярные и векторные поля
Пусть Мо = (х0, у0, го)еС и задан единичный вектор е —
= (cosa, cos p, cosy). Проведем через точку Мо прямую в на-
направлении е:
x = x0 + tcosa, у— yo-{-i cos р, z = zo + t cosy,
— оо < ? <-f-oo.
Определение 2. Производная вектор-функции
a(x0 + tcosa, yo + t cos $, zo + tcosy)
no t при t = 0 (если она существует) называется производной век-
вектор-функции а(М) по направлению е в точке Мо и обозначается
да
через ^:
^^ cos$, z0 +1 cos у) \t.o.
По правилу дифференцирования сложной функции, опуская
для простоты обозначения аргумента, получаем
?-?cosa + ?cosP+*cosY. E2.1)
Полагая eV = cosa^-+ cos p^- + cos у -=- («скалярное произведе-
произведение» вектора е и символического вектора V), перепишем фор-
формулу E2.1) в виде
Определение 3. Если b = (bx, Ъу, Ьг) — произвольный (не обя-
обязательно единичный) фиксированный вектор, то вектор
называется градиентом вектора а по вектору Ь.
Если Ь = bb0, где | &о | = 1, то «формальными преобразова-
преобразованиями» получим
(ftV) a = (&&0V) a = b (ft0V) а = Ь~.
Переходя к координатной записи, легко непосредственно убе-
убедиться в справедливости полученной формулы и показать, что
с символом V можно обращаться при вычислениях, как с на-
настоящим вектором, не забывая, конечно, при этом, что, кроме
этого, V означает также и определенную операцию дифференци-
дифференцирования. Мы не будем здесь останавливаться на обосновании
законности таких «формальных преобразований с символом V».
Любая формула, полученная подобным образом, может быть,
конечно, получена и без применения символа V обычными обо-
52.1. Определения 275
снованными рассуждениями в координатах. Следует иметь в виду,
однако, что применение символа V часто весьма существенно
сокращает выкладки.
Вернемся снова к исходному векторному полю а = (ах, ау, аг)
в области G.
Определение 4. Пусть поле а (ах, ау, аг) дифференцируемо в не-
некоторой точке. Число ~ + —^ + -^ называется дивергенцией поля
в этой точке и обозначается через diva, m. e,
di™ = ^ + t + ^- E2-2)
Символически diva может быть записана как скалярное про-
произведение символа V и вектора а:
div a = Va
Определение 5. Вектор с координатами
даг day дах daz дау дах ,,-а ч\
'Ж/~~ дг' дг ~ ~дх' Ж Ну К >
называется вихрем, или ротором, векторного поля а — а{М) и
обозначается rota.
С помощью символа V ротор можно записать в виде следую-
следующего векторного произведения:
E2.4)
Геометрический и физический смысл diva и rota будет вы-
выяснен в дальнейшем.
Приведем пример формальных преобразований с символом V.
Если за символом V следует несколько членов, на один из кото-
которых он действует как оператор дифференцирования, а на другие
нет, то для ясности будем обозначать этот член вертикальной
стрелкой. Поясним это на примере.
Пусть / — скалярное, а —векторное поле, тогда
i
д
дх
ах
J
д
ду
ау
к
д
дг
Введем еще некоторые определения, связанные с векторным
полем а = (ах, ау, аг) в области G.
Определение 6. Пусть у —замкнутая кусочно-гладкая кривая
в области G. Интеграл
jj ax dx + ay dy + az dz.
v
276 § 52. Скалярные и векторные поля
называется циркуляцией векторного поля а = (ах, ау, аг) по кри-
кривой у и обозначается ^adr, где dr = (dx, dy, dz).
У
Если у — ориентированная гладкая кривая, / = (cosa, cosp,
cosy) —ее единичный касательный вектор, s —переменная длина
дуги, а пр* а — величина проекции вектора а на касательную, то
J a dr = $ пр< a ds.
Действительно,
У У
= § (ах cos a+ay cos Р + аг cos у) ds = $ a* ds = $ пр* a ds.
v v v
Определение 7. Поле, циркуляция которого по любой замкну-
замкнутой кусочно-гладкой кривой, лежащей в области G, равна нулю,
называется потенциальным.
Напомним, что в п. 47.8 было показано (см. лемму 2), что
условие равенства нулю интеграла ^Р dx + Qdy по ¦ любому, замк-
v
нутому контуру у cz G равносильно тому, что [ Р dx-\-Q.dy
АВ
не зависит от пути интегрирования между точками А и В.
При доказательстве этого утверждения нигде не использовалось,
что кривая у лежит в плоской области. Поэтому доказательство
леммы 2, приведенное в п. 47.8, сохраняет свою силу и для
криволинейных интегралов по пространственным кривым. Таким
образом циркуляция ^ a dr = § ах dx + ay dy -f- az dz равна нулю по
у v
любому замкнутому кусочно-гладкому контуру у czG тогда и
только тогда, когда интеграл ^.axdx~{-audy-^-azdz не зависит
АВ
от пути интегрирования, т. е. от кривой с началом в точке А,
концом в точке В и целиком лежащей в области G.
Рассмотрим в качестве примера плоское векторное поле, т. е.
поле а = (Р, Q), заданное на плоской области G: Р = Р (х, у),
Q = Q(x, у). Вихрь этого поля имеет вид
rota " " " """"' дР
*
д
дх
Р
J
д
ду
Q
k
д
дг
О
Теорема 4 п. 47.8 во вновь введенных терминах может быть
перефразирована следующим образом. Для односвязной плоской
области G потенциальность поля, существование потенциальной
52.1. Определения 277
функции и условие, что вихрь поля во всех точках равен нулю,
эквивалентны.
Определение 8. Пусть S — некоторая ориентированная поверх-
поверхность, лежащая в области G, v — единичный вектор нормали
к поверхности, задающей ее ориентацию, и S+ — поверхность S
с указанной ориентацией. Интеграл
s+
называется потоком векторного поля через поверхность S и обо-
обозначается
где
dS^vdS (или \[adS+, dS=vdS).
Очевидно, что av = npva, поэтому \\adS=\\npvadS.
s s
Обычно в потоке JjjavdS опускают индекс ориентации и пи-
s+
шут просто §§avdS, считая, что в качестве ориентации взята
s
нормаль v, стоящая в подынтегральном выражении.
В дальнейших пунктах этого параграфа мы изучим некото-
некоторые свойства векторных полей, в частности, установим в трех-
трехмерном случае необходимые и достаточные условия потенциаль-
потенциальности поля. Предварительно мы докажем теоремы об интегралах,
тесно связанные с понятиями, введенными в этом пункте.
Упражнения. 1, Доказать следующие формулы:
а) rotgradw = 0; г) rot rot c=graddiva — Да,
где&а=(Аах, &ау, &аг), а = {ах, ау, az);
б) divroto = 0; д) div (/a) = /div a+grad/a;
в) div grad и = Аи,
2. Найти поток векторного поля а = (х — 2z)i + (x+3y-{-z)l + Ex+y)k
через треугольную площадку с вершинами А(\, 0, 0), В @, 1, 0), С @, 0, i)
и ориентацией, определяемой нормалью, направленной противоположно началу
координат.
3. Найти поток векторного поля а=уЧ-{-гк через поверхность
S:{(x, у, г): г=х2-{-у2, 0sSZ;S2}, единичная нормаль к которой направ-
направлена в сторону, противоположную оси Ог. .
4. Найти поток векторного поля a — xl+yi+Vx^+y"'— I ft через про-
противоположную началу координат сторону гиперболоида *г+уг—га= 1, 0?
278 § 52. Скалярные и векторные поля
5. Найти поток векторного поля а — (ху — у2) / + ( — х2-\-ху-\-2х) j-\-zk
через противоположную началу координат сторону части цилиндрической
поверхности x2 + j/3=l, отсекаемой конусом z2 =-<г х2 ~\-у2.
6. Найти diva, если
Пусть r = xl-{-yj-\-zk, r=\r\, /—дифференцируемая всюду в /?+ число-
числовая функция, с — постоянный вектор. Найти:
7. div (f(r)r). 10. div(r2t).
8. div (re). 11. div (/(/¦) c).
9. div (grad / (r)). 12, div (cxr).
13. Найти rot а, если
a = xyzi + Bx + 3y- z)J + (x* + 22)ft,
Найти:
14. rot (cxr) 16. rot (/(/¦)/•).
15. rot ((cr) r) 17. rot (/ (/¦) c).
18. Найти циркуляцию векторного поля о=—yi-\-xj-\-ck (c=const) no
окружности (х—2J+j/2=l, лежащей в плоскости Оху.
19. Найти циркуляцию векторного поля a — yi—xj по замкнутой линии,
образуемой дугой астроиды х = Rcos3t, y=Rsin3t @^/=?я/2) и отсекае-
отсекаемыми ею отрезками осей координат.
52.2. ОБ ИНВАРИАНТНОСТИ ПОНЯТИЙ ГРАДИЕНТА,
ДИВЕРГЕНЦИИ И ВИХРЯ
Прежде всего заметим, что при ортогональном преобразова-
преобразовании декартовых координат символический вектор у преобразу-
преобразуется по правилам преобразования обычных векторов. Действи-
Действительно, пусть задано ортогональное преобразование координат
E2.5)
Для таких преобразований матрица обратного преобразования
совпадает с транспонированной матрицей, поэтому
х = апх' + а-ау' + a31z',
E2.6)
При этом, как хорошо известно, по формулам E2.5) и E2.6)
преобразуются как координаты точек, так и координаты векто-
векторов.
52.2. Об инвариантности градиента, дивергенции и вихря 279
Используя формулы E2.5) и правило дифференцирования
сложной функции, получим
д _ д дх' , д ду' , д дг' _ д д . д
~dx~dx'~dT ~f'dyr~dT + dzr~dx-audx7' + <hxdY + пз1 dF1
д _ JL дх' j_ д дУ' j_ д дг> - п д j_ п д j_ „ д /со 7\
ду ~ дх' W "+" йу' ^ "+" 5г' ~ду - пп dF + а™ дУ + пзг д?~' {-ьг-1'
д _ д дх' . д ду' . д дг' _ д д д
++a + a + a
Соответственно обратные формулы, выражающие производные по
переменным х', у', z' через производные по х, у, z будут иметь
вид
д д д д
W ~ апЖ + а*2 ~ду + Ul3~di'
dY^^-dT + ^-k + ^i' E2-8>
д д , д . д
Формулы E2.5) —E2.8) и показывают, что координаты обыч-
обычных векторов и «координаты» символического вектора у при
ортогональных преобразованных декартовых координат преобра-
преобразуются по одному и тому же правилу. В частности, из E2.8)
следует, что градиент функции и в системе координат х, у, z,
т. е. вектор с координатами ^—, -з-, -у- в системе х', у', г'
,, ди ди ди
будет иметь координаты ^р-, ^-г, ^-г, т. е. являться градиен-
градиентом и в этой системе координат. Тем самым еще раз доказано
(см. п. 20.7), что градиент функции не зависит от выбора декар-
декартовой системы координат. Поскольку вектор у преобразуется
подобно обычным векторам, то естественно ожидать, что и ска-
скалярное произведение уа не зависит от выбора указанной сис-
системы координат.
Пусть вектор а в системе х, у, z имеет координаты ах,
ау, аг, а в системе х', у', г'—координаты аХ', аи-, а?. В силу
формул E2.7) имеем
дах даи даг дах дах дах
-&r + -dT + -te=a*-dF + a*1W + a31-dr +
дау дау дау daz даг даг
+ аа -^r + au2W- + aS2 ж + ам -^ + а23 -^ + а33 -^ =
(аа + ctct + аа) + -щг
Jr (a31ax + а32ау + а33ае). E2.9)
280.
§ 52. Скалярные и векторные поля
Применяя формулы E2.5) к вектору а = (ах, ау, az), (т. е.
заменяя в этих формулах х, у, z на ах, ац, az, ах', у', г' на
ах-, ау>, аг>), получим, что выражения в круглых скобках в пра-
правой части равенства E2.9) равны последовательно ах>, ау-, а2- и,
следовательно,
дах
дх
дау
ду
дг
дх'
ду'
fry
дг'
Это равенство и показывает, что дивергенция векторного поля
в каждой точке однозначно определяется самим векторным полем,
а не зависит от выбора системы координат, как это могло бы
показаться сначала из формулы E2.2).
Векторное произведение обычных векторов в силу своего
геометрического смысла не зависит от выбора декартовых систем
координат с одинаковой ориентацией (например, векторное про-
произведение двух векторов не изменится, если от одной правой
декартовой системы координат (см. п. 50.8) перейти к такой же
другой). Поэтому естественно ожидать, что тем же свойством
обладает и «символическое векторное произведение» rot а = у х а.
В самом деле, если обозначить единичные координатные век-
векторы системы координат х', у', z' соответственно через *', у',
к', то, как известно, единичные координатные векторы /, у, к
системы координат х, у, z выражаются через V, у', к' посред-
посредством матрицы, транспонированной к матрице преобразования
E2.5), т. е. посредством матрицы преобразования E2.6):
E2.10)
Используя формулы E2.6), E2.7) и E2.10), получим:
rot а = у х а =
«11 *' 4" «21 У'
д
дх ду дг
ах ау аг
ап
«13
«31 «32 «33
/' У" к'
JL А А
дх' ду' дг'
E2.11)
52.3. Формула Остроградского — Гаусса
281
Последнее равенство доказывается так же, как для обычных
числовых матриц доказывается тот факт, что определитель про-
произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка
равеи произведению их определителей. Для доказательства этого
равенства достаточно убедиться, что в обеих его частях стоят
одинаковые алгебраические суммы одних и тех же слагаемых.
Определитель ортогонального преобразования равен +1 или
— 1, причем если это преобразование сохраняет ориентацию, то
-\- 1. Поэтому если в рассматриваемом случае выбрать системы
координат х, у, г и х', у', г', ориентированные одинаково, то
будем иметь
и «12 а13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
и, следовательно, из E2.11) получим
= *
/ У *
JL JL JL
дх ду дг
а, а„ а2
V
_д
дх'
J" V
д_ J_
ду' дг'
cty а.г>
Это: равенство и означает, что вихрь векторного поля не зави-
зависит от выбора декартовой системы координат, имеющей ту же
ориентацию, что и заданная. Заметим, однако, что если от одной
системы координат перейти к системе с другой ориентацией, на-
например от правой системы координат—к левой, то каждый вихрь
(как и обычное векторное произведение) заменится противопо-
противоположным вектором. Это следует из формулы E2.11), поскольку
определитель ортогонального преобразования, меняющего ори-
ориентацию, равен — 1.
Таким образом, вихрь векторного поля однозначно «с точ-
точностью до знака» определяется самим векторным полем, а если
ограничиться только одними правыми декартовыми системами
координат, то не зависит от их выбора.
52.3. ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ДИВЕРГЕНЦИИ
Йусть G — область в пространстве R\yz. Предположим, что на
плоскости Rly существует такая квадрируемая область Г, что
граница области С состоит из двух поверхностей 5Х и S2, зада-
задаваемых соответственно явными представлениями г = <р (х, у) и
г = г|з(л;, у), где функции ф(х, у) и г|>(дг, у) непрерывны на зам-
замкнутой области Г, ц(х, у)*^$(х, у), (х,:(/)еГ, и, быть может,
282
§ 52. Скалярные и векторные поля
из части So цилиндра, основанием которого является граница
дГ области Г (см. п. 44.1). Предположим также, что So, Sx и
S2 являются кусочно-гладкими поверхностями (рис. 210). В этом,
случае и вся граница 5 области G также будет кусочно-гладкой
поверхностью и притом ориентируемой, как всякая кусочно-
гладкая поверхность, являющаяся границей области. Внешние
нормали v поверхности S на ее гладких частях являются их
ориентациями. В силу этих ориентации гладкие части поверх-
поверхности 5 ориентированы согласованно (см. п. 50.11) и, следова-
следовательно, порождают ориентацию всей поверхности S. Эта ориен-
ориентация получается, если для каждой гладкой части поверхности,
выбрать ориентацию ее края, согласованную с внешней нор-
нормалью v на этой части по
правилу штопора.
Обозначим поверхность
S, соответственно поверх-
поверхности So, Si и S2 с выб^
ранной ориентацией (ко-
(которую будем называть
положительной) через S+,
соответственно через So,
Sf и St. Отметим, что
здесь для поверхности S^
положительной ориента-
ориентацией является ее «нижняя
сторона», а для поверхно^
сти S2 —ее «верхняя сто-
сторона» (см. 51.1).
В рассматриваемом слу-
случае выбор нормали v легко
описывается и непосредственно, т. е. без привлечения понятия
«внешней» нормали: в точках поверхности Slt в которых нормаль:
существует, надо выбрать нормаль, образующую тупой угол
с осью Ог, а в точках поверхности S2 — острый. В точках же
поверхности So выбор нормали для наших целей, как это будет
видно из дальнейшего, безразличен —мы будем брать по поверх-
поверхности S интегралы вида E1.7), которые по поверхности So равны
нулю при любом выборе нормалей, так как эти нормали всегда
перпендикулярны оси Oz.
Будем предполагать, что область G обладает свойствами,
аналогичными перечисленным, относительно всех осей координат.
Такие области будем называть элементарными областями (ср. п.
47.5). Пример элементарной области изображен на рис. 210).
Через cos a, cosp\ cos у — обозначим направляющие косинусы
единичной внешней нормали v поверхности S:
Z у
с
V/
Т
s2
Рис. 210
= (cosa, cosp, cosy).
52.3. Формула Остроградского — Гаусса 283
Теорема 1 (Остроградский — Гаусс* >). Пусть в замыкании б
области G указанного выше вида заданы функции Р =~Р (х, у, г),
Q = Q(x, у, z) и R = R(x, у, z) непрерывные на G, вместе со
э дР дО dR**) гг -,
своими частными производными -^-, -^-, -^- . Тогда
И 5
IF") dX dif dZ = И {Р СО8а+^СО8Р+^СО57) dS.
E2.12)
Эту формулу, полагая а = {Р, Q, R), можно переписать в виде
JJJdiv a dxdydz = ЭД adS+, E2.13)
G S
т. е. интеграл по области от дивергенции векторного поля равен
потоку этого поля через поверхность, ограничивающую данную
область.
Доказательство. Рассмотрим, например, интеграл
Щ-dxdydz.
Использовав обозначения, введенные в начале этого пункта,
получим
и
Г L<J>
У, Ц(х, y)]-R[x, у, (р(х,
= $$ R (х, у, z) dx dy +1\ R (x, у, z) dx dy. E2.14)
si- s?-
Заметив, далее, что на поверхности So имеет место равенство
= 0. будем иметь (см. E1.7))
U R(x, у, z)dxdy—\\ P (х, у, ;
с+ с+
° О "О
Поэтому формулу E2.14) можно переписать в виде
= 55 Rdxdy + Ц Rdxdy + \\ Rdxdy =\\ Rdxdy. E2.15)
st st st s+
*' M. В. Остроградский A801 — 1861) — русский математик j
К. Ф. Гаусс A777 —1855)—немецкий математик.
**' Непрерывность частных производных на границе понимается как их
непрерывная продолжаемость на границу области.
284 § 52. Скалярные и векторные поля
Совершенно аналогично доказываются формулы
- у Qdzd*.
E2.16)
Складывая E2.15) и E2.16) в силу определений E1.7) и E1.12)
мы и получим формулу E2.12), называемую формулой Остро-
Остроградского—Гаусса. Ц
Иногда формулу E2.12) бывает удобно использовать в виде
Справедливость такой записи непосредственно вытекает из опре-
определения поверхностного интеграла второго рода: см. E1.7) и
E1.12).
Формула Остроградского — Гаусса E2.12) может быть дока-
доказана и в случае областей G более общего вида, чем было ука-
указано, а именно для таких, для которых существует конечное
разбиение на области Gh i = 1, 2, ..., i0, рассмотренного выше
вида. Для этого достаточно написать формулу Остроградского
для каждой области G, и полученные результаты сложить; в ре-
результате получается искомая формула для области G. Действи-
Действительно, в левой части равенства в силу аддитивности интеграла
получится соответствующий интеграл по области G, а в правой
части в силу того, что внешние нормали в точках границ обла-
областей Gt, принадлежащих границам двух таких областей, направ-
направлены в разные стороны, поверхностные интегралы по соответст-
соответствующим частям границ областей G,-, в сумме дадут ноль, и оста-
останутся только интегралы по частям границ G,, составляющим в
совокупности границу области G (ср. п. 47.5). Указанные разби-
разбиения области G часто бывает удобно производить плоскостями,
параллельными координатным плоскостям.
Заметим, что среди областей такого типа есть и области,
граница которых состоит из нескольких «кусков», т. е. может
быть представлена как сумма конечного числа кусочно-гладких
непересекающихся поверхностей (ср. с соответствующими обоб-
обобщениями формулы Грина в п. 47.5).
Можно показать, что формула Остроградского — Гаусса спра-
справедлива для любой ограниченной области, граница которой со-
состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Однако
это довольно громоздко, и мы не будем на этом останавливаться,
а ограничимся лишь формулировкой теоремы.
Теорема Г (Остроградский — Гаусс). Пусть граница dG огра-
ограниченной области G состоит из конечного числа кусочно-гладких
52.3. Формула Остроградского — Гаусса 285
поверхностей, а вектор а = (Р, Q, R) и частные производные
дР dQ dR « '
~Ш' ~ду и Иг тпРеРЬ1Вны на G, тогда
% div a dxdydz^\\ a dS.
О ' дО
В качестве ориентации на гладких частях границы dG здесь
выбрана внешняя нормаль.
Например, если G = {(х, у,г):0<. а< Yx*+y2 + г2 <. Ь) — шаро-
шаровое кольцо и, следовательно, его граница состоит из двух сфер
Sx = {(x, у, z): x* + y* + z* = a*} и S2 = {(x, у, z):
то на внутренней сфере Sx надо взять нормаль, направленную
к центру шара G, и на внешней сфере S2 — от центра шара.
Формула Остроградского—Гаусса позволяет найти выражение
для объема области через соответствующий поверхностный инте-
храл. В самом деле, полагая в E2.12) Р(х, у, z)=x, Q(x, у, z)=//,
R(x, у, z) = z и заметив, что \Ц dx dy dz = \iG, получим
liG = -k- \ \ (x cos a + у cos p* + z cos y) dS,
liG— д- \ \ xdydz + ydzdx + zdxdy.
или
Формула Остроградского — Гаусса дает также возможность
установить геометрический подход к понятию дивергенции.
Теорема 2. Пусть в трехмерной области G*) определено непре-
непрерывно дифференцируемое векторное поле а = а(М). Пусть M0^G
u^D —область с кусочно-гладкой границей S такая, что M0^D,
DczG и для области D справедлива формула Остроградского —
Гаусса **\
Обозначим через S+ поверхность S, ориентированную с помощью
выбора внешней нормали, а через d {D) — диаметр области D. Тогда
Иа d5+
div«(Afo)= Hm s ||П . E2.17)
Доказательство. По формуле E2.13) имеем
HI div a dxdydz=\\ a dS+. E2.18)
*' Здесь на структуру области G не накладывается никаких ограничений.
**» Такие области D всегда существуют, например к ним относятся все
шары достаточно малого радиуса с центром в точке MQ или кубы достаточно
малого размера с центром в точке Ма.
286 § 52. Скалярные и векторные поля
Но по интегральной теореме о среднем (п. 44.6),
]§ di\ a dxdydz=div a {M)pD, M<=D. E2.19)
D
Подставив E9.19) в E2.18), Получим
_-. E2.20)
Переходя к пределу в формуле E2.20) при d(D)->0, в силу
непрерывности в точке Мо функции diva(Af) получим формулу
E2.17).
Можно показать, что величины, входящие в правую часть
равенства E2.17), не зависят от выбора системы координат
(в правую часть входит двойной интеграл от скалярного произ-
произведения векторов и объем области), поэтому отсюда еще раз
следует, что дивергенция векторного поля не зависит от выбора
системы координат.
Из равенства E2.17) следует, что правая часть этого равен-
равенства может быть принята за определение дивергенции данного
поля.
Точки векторного поля а, в которых diva#0, называются
«источниками» векторного поля. Интуитивно естественность этого
термина объясняется тем обстоятельством, что если точка является
«источником», то, как видно из формулы E2.17), для всех доста-
достаточно малых по диаметру областей D, содержащих точку Мо,
будем иметь ЭД a dS Ф 0, т. е. поток через любую достаточно
s
малую поверхность, окружающую источник, не равен нулю.
52.4. ФОРМУЛА СТОКСА. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИХРЯ
Пусть S — дважды непрерывно дифференцируемая поверхность
без особых точек в пространстве Rxyz и r = r(u, v), (и, к)еД —
ее представление, D — плоская ограниченная область, для которой
справедлива формула Грина. Допустим, что граница области D
состоит из одного простого кусочно-гладкого контура. Обозначим
через 7о положительно ориентированный контур, ограничивающий
область D, и через u = u(t), v = v(t), a^t^b — ето представле-
представление. Пусть
— ориентация на поверхности 5 (см. определение 20 в п. 50.8),
v = (cosa, cos P,_cosy). При сделанных предположениях нормаль v
непрерывна на D.
Обозначим через S+ поверхность S с выбранной на ней нор-
нормалью v. Пусть у — контур с представлением r = r(u(t), v(t)),
52.4. Формула Стокса
287
a^b. Будем говорить, что контур у ограничивает поверх-
поверхность S, а также что поверхность S натянута на контур у.
Пусть, наконец, G —область в пространстве R%yz и ScG.
При выполнении этих предположений справедлива следующая
теорема.
Теорема 3 (Стоке*'). Пусть функции Р, Q и R непрерывны
вместе со своими первыми частными производными в области G
и пусть а = (Р, Q, R). Тогда
E2.21)
т. е. циркуляция векторного поля по контуру у равна потоку
вихря этого поля через поверхность S, ограниченную контуром у.
В координатной форме эта формула имеет вид
cos a cos p cos у
jL A. jL
й*; d</ dz
P Q /?
dS,
или
-§•--§) cos а+
<62-22»
Доказательство. Рассмотрим, например, интеграл JPdx.
v
Заметив, что вдоль кривых у0 и у переменные и и v являются
функциями от t, и употребив обозначения, введенные в начале
этого пункта, получим
\Р(х, у,
), y(u(t), o@), 2(и(t), v(t))]x't(u{t), v{f))dt =
dx («, u)
y
= J P [x (u, v), у (и, v), z (u, v]
Мы здесь воспользовались формулой
, , ,j.\ /j.w дх (и @, v (t)) du
xUu(t), v(t)) = —*—^ —-nr
dx(u(f), o(Q)
dv
*' Дж. Стоке A819—1903) — английский механик и математик.
288 § 52. Скалярные и векторные поля
Применим формулу Грина к получившемуся интегралу
У ди "¦"-'* dv
P-J^-du + P jr-dv, будем иметь:
дх ди "г ду ди + дг ди) dv + диди
D
дР дх . дР ду дР дг\ дх D Л
E2.23)
Здесь приняты во внимание формулы E1.10) и E1.13). Анало-
Аналогично доказывается, что
\Q dy = И (¦§cos y ~ 5cos a
-Щ- cos а- ^-cos $)dS. E2.25)
Складывая формулы E2.23), E2.24) и E2.25), мы и получим
формулу E2.22), которая называется, формулой Сшокса. Q
Чтобы наглядней представить себе связь выбора нормали v
на поверхности 5 с ориентацией ограничивающего ее контура Y>
рассмотрим поверхность S, имеющую явное представление z =
= /(*, У), (х, !1)еГ.
Пусть 7о — положительно ориентированный на плоскости хОу
контур, являющийся границей Г, и x = x(t), y = y(t), a^t^b,—
его представление. Как и выше, ориентацию кривой у зададим
представлением
x = x(t), y = y(t), z = f[x(t), y(t)], a^t^b. E2.26)
В рассматриваемом случае контур Yo является проекцией кривой у-
Нормаль же v, как это было показано, при явном представлении
поверхности образует острый угол с осью Oz (см. п. 51.1);
поэтому если смотреть на поверхность 5 с положительного
направления оси Oz, то контур у будет ориентирован против
часовой стрелки, т. е. ориентация кривой у согласована с нор-
нормалью v «по правилу штопора» (рис. 211). Это равносильно тому,
что наблюдатель, обходящий поверхность 5 по ориентированному
52.4. Формула Стркса 289
контуру у и смотрящий на нее из конца нормали v, видит
поверхность 5 слева. Такая наглядная интерпретация согласо-
согласованности ориентации нормали v и контура у имеет то преиму-
преимущество, что она не связана с выбором системы координат и
остается справедливой для любой поверхности S, рассматриваемой
в теореме Стокса, а не только для явно заданной поверхности.
Конечно, все подобные рассуждения не являются математическими
доказательствами, а служат лишь для на-
наглядного пояснения формулы Стокеа.
Следует заметить, что формула Стокса
остается справедливой, если в ней взять
противоположную ориентацию контура и про-
противоположные нормали — V, в этом случае
обе части равенства E2.21) изменят знак на
противоположный (при этом ориентации кон-
контура и поверхности остаются согласован-
согласованными .по «правилу штопора»).
Формула Стокса может быть доказана и
для ориентируемых кусочно-гладких поверх-
поверхностей S = {Si}f='°, а именно таких, для Рис- 2"
которых поверхности S,-, i = 1, 2,..., i0, удов-
удовлетворяют условиям доказанной теоремы 3. При этом край поверх-
поверхности dS (см. п. 50.11) может состоять из конечного числа замк-
замкнутых контуров у,, /=1, 2, ..., /0.
Для доказательства этого достаточно написать формулы Стокса
для каждой поверхности S,-, г=1, 2, ..., i0, и сложить их
(ср. с обобщениями формулы Грина в п. 47.5 и теоремы Остро-
Остроградского—Гаусса в п. 52.3).
Отметим также, что в теореме 3 условие дважды непрерыв-
непрерывной дифференцируемости поверхности S было наложено только
для простоты доказательства (оно в этом случае существенно
упрощается). Формула Стокса E2.21) справедлива и при предпо-
предположении лишь гладкости поверхности S (при сохранении прочих
условий теоремы 3). Доказательство этого факта выходит за рамки
нашего курса.
Из всего сказанного следует, что формула Стокса остается
справедливой и для просто ориентированных кусочно-гладких
поверхностей S = {S,K=i° (т. е. без предположения о дважды
непрерывной дифференцируемости поверхностей S,)-
Сформулируем теорему для этого случая.
Теорема 3' (Стоке). Пусть вектор-функция а непрерывно диф-
дифференцируема в области G и пусть S = {5,}1={° — ориентированная
кусочно-гладкая поверхность и dS — ее край с ориентацией, порож-
порожденной заданной ориентацией поверхности S (см. п. 50.11). Тогда
OS
10 Кудрявцев Л. Д. т. 2
290
§ 52. Скалярные и векторные поля
Наглядно согласование ориентации контуров у,-, из которых
состоит край dS поверхности S, с ориентацией этой поверхности
и, следовательно, с ориентацией v поверхностей S, означает, что
наблюдатель, двигающийся по контуру у/> /'—Ь 2, ..., /0, и
смотрящий на поверхность S из конца
нормали v, видит поверхность S слева.
Теорема Стокеа дает возможность
установить геометрический подход к
понятию вихря векторного поля.
Теорема 4. Пусть в трехмерной об-
области G определено непрерывно диф-
дифференцируемое векторное поле а = а (М)',
Мо — фиксированная точка, MogG, v-
произвольный постоянный единичный век-
вектор, П — плоскость, перпендикулярная
вектору v и проходящая через точку Мо, S — ограниченная об-
область в плоскости П, границей которой является кусочно-гладкий
контур у, d(S) — диаметр области S; пусть контур у согласо-
согласованно ориентирован с нормалью х*>, MoeS и S czG**> {рис. 212).
Тогда***)
E2.27)
Рис 212
rotva(M0)= lim
Доказательство. По формуле Стокеа
но по интегральной теореме о среднем
Следовательно,
, M
E2.28)
Заметим, что при йE)->0и М-+М<>- В силу непрерывности
в точке Мо функции rotvc(M), переходя к пределу в E2.28)
при d(S)-+O, получим формулу E2.27). Ц
Из E2.27) следует, что правая часть его может быть принята
за определение проекции вихря данного поля на произвольный,
но фиксированный единичный вектор v. Это приводит и к новому
*' Как и в теореме 3 (по «правилу штопора»).
**' Указанные области S, очевидно, всегда существуют (почему?).
***' Через rotvo обозначена проекция вектора rota на вектор v, т. е.
rotva = npvrot a.
52.5. Свшшадалыше векторные поля 291
определению самого вихря, так как достаточно, например» взять
Vjjtf'произвольных ортогональных единичных вектора vb v2, v3,
проекциями на которые, как это хорошо известно, однозначно
определяется всякий вектор.
Можно показать, что величины, входящие в правую часть
равенства E2.27), не зависят от выбора системы координат, однако
согласованность ориентации вектора v и контура у зависит от
ориентации системы координат: при переходе от правой системы
координат к левой согласованность ориентации v и у по правилу
штопора заменяется согласованностью по правилу «антиштопора»,
т. е, при фиксированной ориентации вектора v ориентация кон-
контура у изменяется на противоположную. Тем самым интеграл
\adr при изменении ориентации системы координат изменяет
¦у
знак, а потому в силу формулы E2.27) меняет знак и rota.
Из сказанного следует, что формула Стокса E2.22) справед-
справедлива не только в правой, но и в левой системе координат, так
как при изменении ориентации системы координат и левая и
правая части равенства E2.22) меняют знак: при фиксированной
ориентации v поверхности 5 в случае изменения ориентации
системы координат изменяют знак как rota, так и контур у.
52.5. СОЛЕНОИД АЛ ЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
В этом пункте ограниченную область, для которой справед-
справедлива теорема Остроградского — Гаусса (см. п. 52.3), будем назы-
называть допустимой. Совокупность поверхностей будем называть
допустимой, если она является границей допустимой области.
Выше отмечалось (см. п. 52.3), что теорема Остроградского —
Гаусса справедлива для любой ограниченной области, граница
которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей.
Поэтому всякая такая область допустима. Очевидно, справедливо
и обратное утверждение: всякая допустимая область имеет гра-
границу, состоящую из конечного числа кусочно-гладких поверхно-
поверхностей — иначе нельзя было бы даже говорить о поверхностных
интегралах по границе.
Читатель, предпочитающий пользоваться только доказанными
фактами, может под допустимыми областями и поверхностями
понимать именно те, для которых в настоящем курсе была
доказана теорема Остроградского — Гаусса,
Определение 9. Непрерывно дифференцируемое в области G
векторное поле а = а(х, у, г) называется соленоидальным в этой
области, если его поток через ориентированную границу juo6ou
допустимой области D, затекание D которой лежит в G: D czG,
ртен нулю:
$$adS = 0. E2.29)
dD
10*
292 § 52. Скалярные и векторные поля
Граница 3D допустимой области D имеет две ориентации,
порожденные соответственно внутренней и внешней нормалями.
Очевидно, если условие E2.29) выполняется при одной ориента-
ориентации, то оно выполняется и при другой, так как соответствующие
интегралы могут отличаться только знаком.
Поясним определение соленоидальности поля на примере.
Пусть G —шаровое кольцо: часть пространства, заключенная
между двумя сферами Sr и S% с общим центром О и радиусами г
и R, r<.R, и пусть векторное полг а солгноидально в G. Тогда
его поток будет равен нулю, например,
через любую сферу S, лежащую в G
и ограничиваю дую шар, также ле-
лежащий в G (рис. 213).
Однако поток векторного поля а
через сферу Sp с центром в точке О и
радиусом р, r<ip<.R, не обязан быть
равным нулю, так как шар, ограничен-
ограниченный этой сфгрой, не содержится в обла-
области G.
Вместе с тем сумма потоков век-
Рис. 213 торного поля а будет равна нулю через
две сферы SPt и SPl с тем же центром
и радиусами Pi и р2, г<.pi<Cp2<CR, если одну из них ориенти-
ориентировать, выбрав нормаль, идущую к центру О, а другую —от
центра. Действительно, указанные сферы ограничивают шаровое
кольцо, целиком лежащее в области G, а выбранная их ориен-
ориентация является ориентацией границы, соответствующей внешней
или внутренней нормали. Поэтому по определению соленоидаль-
соленоидальности поля его поток через рассматриваемую ориентированную
границу будет равен нулю.
Теорема 5. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое
в области G векторное поле было соленоидальным в ней, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы его дивергенция равнялась нулю во всех
точках области G:
diva(M) = 0, MeeG.
Доказательство необходимости. Пусть а — соленои-
дальное в области G векторное поле и Мо ^ G. Обозначим через
Qr открытый шар радиуса г > 0 с центром в точке Мо, а через Sr^r,
ограничивающую его сферу. Поскольку все точки М е G, в том
числе и точка Мо, являются внутренними для G, то существует
такое го>0, что при г<.г0 все шары радиуса г вместе с огра-
ограничивающими их сферами Sr будут содержаться в G.
Заметим, теперь, что предел E2.17), равный значению диэер?
генции векторного поля а в точке Мо, существует для произ-
произвольных допустимых областей D, D a D c= G, диаметры которых
52.5. Соленоидальные векторные поля 293
стремятся к нулю. Поэтому он существует и при специальном
выборе D = Qr, r<.r0:
\\adS
div a (Mo)= lim —~—.
0 ^У
Г-+0
В силу определения соленоидальности поля, для всех /•</•<,
имеет место равенство
Sr
поэтому div а (Мо) = 0.
Доказательство достаточности. Пусть а —непре-
—непрерывно дифференцируемое в области G векторное поле с диверген-
дивергенцией, равной нулю во всех точках области G. Если D — произ-
произвольная допустимая область, такая, что DczDczG, то в силу
теоремы Остроградского — Гаусса
dD
= $$$div a dx dy dz = 0,
т. е. поле а соленоидально. Q
Типичным примером соленоидального поля является векторное
поле, представляющее собой в некоторой области поле роторов
дважды непрерывно дифференцируемого в этой области вектор-
векторного поля.
Действительно, если а — дважды непрерывно дифференцируемое
в области G поле, то rota является соленоидальным в G полем,
так как div rot a = 0.
Нетрудно провести правдоподобное рассуждение, убеждающее
в справедливости этого соотношения. Для этого достаточно перейти
к символическому вектору V; тогда рассматриваемое равенство
примет вид V (V х а) = 0.
Смешанное произведение обычных векторов в случае, когда
два сомножителя совпадают, равно нулю, ибо в этом случае
параллелепипед, натянутый на эти векторы, вырождается в парал-
параллелограмм, и, следовательно, его объем равен нулю. Поэтому
естественно ожидать, что указанное равенство справедливо и для
вектора V. Это правдоподобное рассуждение можно превратить
в Математически обоснованное и, тем самым, имеющее доказатель-
доказательную силу, если доказать, что символический вектор V на самом
деле обладает использованными нами свойствами, аналогичными
соответствующим свойствам обычных векторов. Это можно сде-
сделать простой проверкой, переходя, например, к координатной
записи (см. E2.2) и E2.4)).
§ $2. Скалярные и векторные поля
52.». ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
В этом пункте поверхность S, для которой справедлива тео-
теорема Стокса, будем называть допустимой.
Определение 10. Трехмерная область G называется односвязнои,
если какова бы ни была замкнутая ломаная у, лежащая в G,
существует допустимая поверхность S, также лежащая в G
и натянутая на ломаную у (см. п. 52.4).
Иногда односвязные области называются также поверхностно
односвязными.
Если рассматриваемая область G выпуклая, то существует
очень простой способ натягивания поверхностей на контур. Иско-
Искомую поверхность всегда можно взять в этом случае ш виде коиуеа
с вершиной в произвольно фиксирован-
фиксированной точке Mo e G, направляющей которого
и служит заданная кривая у. Если
— представление этой кривой и г0 —ра-
—радиус-вектор точки Мо, то искомый конус S,
натянутый на данный контур, задается
представлением
Рас, 214 г = '•+*&><«*> - Ы <52 30)
Рассматривая и и v как полярные координаты, видим, что
«представление» конуса задано на единичном круге, причем еди-
единичная окружность у<> — {(и, v}:v=l) переходит в заданный
контур у, ее цетр —в вершину конуса (рис. 214).
Слово «представление» вз&то в кавычки, так как понятие
иредетавления поверхности было введено выше лишь для случая,
когда параметры и и v являлись декартовыми координатами.
Конус E2.30) в общем случае будет иметь кратные точки и не
будет кусочно-гладкой поверхностью даже в случае, когда у —
достаточно гладкая кривая, т. е. если у — достаточное число раз
непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек. При
атом ва коаусе E2.30) будут иметься, вообще говоря, особые
точка, отличные от вершины. Чтобы устранить это затруднение
наиболее простым образом, мы и ограничились при определении
односвязйой области рассмотрением лишь контуров, являющихся
замкнутыми ломаными. В этом случае вершину конуса Мо всегда
можно выбрать таким образом, что указавнььй конус будет
кусочво-гладкой поверхностью. Действительно, при любом выборе
вершины конуса в случае, когда его направляющей являете»
некоторая ломаная у, конус распадается на конечное число-
треугольников 5,-, i = l, 2, ..., k, правда, быть может, вырожден-
52?,.П®тещшця>№ее векторные поля
^ис-
ных, т. е. превратившихся в отрезок или точку. Одной из верппт
этих треугольников будет вершина конуса Мо, а противоположной
стороной — одно из звеньев ломаной у. Каждый такой треугольник
можно рассматривать как непрерывно дифференцируемую любое
число раз поверхность и задавать его представлением, осущест-
осуществляемым линейными функциями (см. п. 16.5 и E2.30)). Если
треугольник вырожденный, то все его точки будут особыми. Однако
сколь угодно малым смещением вершины конуса можно добиться
того, что она окажется в общем положении со всеми звеньями
ломаной у. т- е- не будет лежать ни на одной прямой, проходя-
проходящей через какое-либо звено ломаной у. В ре-
результате все треугольники Sit i = 1, 2, ..., k,
станут невырожденными и, следовательно,
могут рассматриваться как гладкие поверх-
поверхности без особых точек. Сам же конус 5 ока-
окажется, таким образом, кусочно-гладкой по-
поверхностью 5 = ,{5,}J=f. При этом, поскольку
при всех достаточно малых смещениях каж-
каждой точки области она остается внутри обла-
области, вершину Mq конуса S всегда можно
выбрать в области и поэтому в силу ее
выпуклости весь конус S будет лежать в
этой области. К получившемуся кусочно-
гладкому конусу 5 можно применить теорему Стокса, иначе
говоря, этот конус является допустимой в этом пункте поверх-
поверхностью. Итак, мы доказали, что всякая выпуклая область одно-
связна.
Примером неодносвязной области является тор, т. е. область,
образуемая вращением круга вокруг не пересекающей его оси
(рис. 215).
Напомним, что поле называется потенциальным, когда его
циркуляция ^adr равна нулю по любому замкнутому контуру
v
Y с G, или, что то же, когда интеграл ) a dr не зависит от пути
%Ь
интегрирования, соединяющего в области G точки А и В. Под-
Подробнее об этом см. п. 52.1. Оказывается, что в односвязной
области векторное поле потенциально тогда и только тогда, когда
оно безвихревое. Это утверждение содержится в нижеформули-
руемой и- доказываемой теореме 6.
Теорема 6. Пусть в односвязной области G задано непрерывно
дифференцируемое векторное поле а — (Р, Q, R). Тогда эквива-
эквивалентны следующие три свойства:
1. Векторное поле а = а (М) является в области G потен-
потенциальным.
2. Существует потенциальная в G функция и — и{М), т. е.
такая функция и(М), что a — gradu, или, что то же, du=^
V96 § 52. Скалярные и векторные поля
— Pdx-\-Qdy-\-Rdz. В.этом, случае для любых двух точек.A.eft
и В eG и любви кусочно-гладкой кривой АВ, соединяющй в <»
эти точки,
\ adr = u(B)-u(A).
3. Векторное поле а = а{М) является безвихревым'. rota = 0;
в области G, т. е.
^ _ ^? ?Q_ — ?Е ^ _ д1_
ду ~~ дх ' дг ~~ ду ' дх дг '
Подчеркнем, что из теоремы 6 в частности вытекает, что
непрерывно дифференцируемое в односвязной области векторное
поле а потенциально тогда и только тогда, когда оно является
полем градиентов некоторой скалярной функции и:
Доказательство. Применим схему
Первый шаг: 1 -*-2. Это утверждение, т. е. существование
потенциальной функции, доказывается совершенно аналогично
рассмотренному раньше случаю плоской области (см. теорему 3-
в п. 47.8) и поэтому не будем приводить его доказательство.
Второй шаг:2-)-3. Утверждение 2-*¦ 3 также доказывается
аналогично плоскому случаю: оно означает просто-напросто равен-
равенство соответствующих вторых смешанных производных потенциаль-
потенциальной функции.
Утверждения 1 -*¦ 2 и 2 -*- 3 справедливы и без предположения
односвязности области G.
Третий шаг: 3-*-1. Пусть rota = 0 в G. Допустим сначала,
что у — кусочно дважды непрерывно дифференцируемая замкнутая
кривая, лежащая в G. Если существует допустимая поверхность S,
содержащаяся в G и ограниченная контуром у, то из теоремы
Стокса сразу получаем
В силу односвязности области G (см. определение 10) это
верно, в частности, для любой конечнозвенной ломаной. Поэтому,
«ели у —любая кусочно-гладкая замкнутая кривая, лежащая в G,
то, выбирая последовательность ломаных К„, вписанных в у со
52.6. Потенциальные векторные поля 2S7
звеньями, стремящимися к нулю нри л-^-:со, по лемме 3 п. 47.8,
получим
\adr= lim \ adr = 0. ?
В заключение заметим, что хотя потенциальные и соленоидаль-
ные векторные поля не исчерпывают совокупности всех возможных
векторных полей, однако, они позволяют описать широкий класс
векторных полей. Именно, при достаточно общих предположениях
любое векторное поле а представляет собой сумму потенциального
и соленоидального векторного поля. Более точно, существуют
такие скалярная функция и и векторное поле Ь, чтоа = Vu-\-rotb.
Поскольку rotVtt = 0 и div rot b = 0, то первое слагаемое является
потенциальным полем, а второе — соленоидальным.
Это предложение называется теоремой Гельмгольца * > (ее дока-
доказательство можно найти в книге: Ф. М. Морс, Г. Фешбах
«Методы теоретической физики», т. I, M., 1960).
Упражнения. 20. Доказать, что поток ротора непрерывно дифферен-
дифференцируемого в некоторой области векторного поля через любую сферу, лежащую
в указанной области, равен нулю.
21. Доказать, что
\^\ grad ф rot a dx dy dz = \\ (axgrad ф dS).
в 's
Здесь предполагается что для области G, ограниченной поверхностью 5,
применима теорема Остроградского —Гаусса.
22. Для векторных полей а = г/{ г \в и b = rj\r\ найти дивергенцию и ротор.
Являются ли эти поля потенциальными, соленоидальными? Вычислить поток
векторных полей а и Ь через сферу SR — {{x, у, г): х2+г/2 + г2 = Я2}.
23. •Вычислить поток векторного поля а — -,—щ через сферу
Уа + (г-1J = 2.
24. Пусть а, Ь и с—дифференцируемые векторные поля, и—дважды диф-
дифференцируемая скалярная функция в области G с R3 &=grad« и а — Ь-\-с,
Докааать, что для того чтобы divc = 0, необходимо и достаточно, чтобы
функция и удовлетворяла в G уравнению A« = diva (тем самым доказательство
теоремы Гельмгольца сводится к решению в области G уравнения вида Ди =
=/(*, У, г)}.
С помощью теоремы Остроградского—Гаусса вычислить поток векторного
поля а через замкнутую поверхность S, если:
25. a = (\-\-2x)i+yj+zk, $ = {(*, у, г) :
26. a = 2xi-yj+zk, S = {(x, у, г) :
Установить, какие из следующих векторных полей соленоидальны:
27. a = JcB2-
28. a = (l+2x
С помощью теоремы Стокса найти циркуляцию вектора а по контуру у, если
29. a=yi-xj+zk; v = {(*. У, г):
30. а=уЧ + гУ; у={(х, у, г):
*' Г. Гельмгольц A821 —1894) —немецкий физик и физиолог.
29$: § 53. Собственные интегралы, зави&Щие &t параметра
§ 53. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
53.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА;
ИХ НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ПО ПАРАМЕТРУ
Пусть У —некоторое множество действительных чисел» у (у)
и ty(y) — две функции, определенные на Y, <f>{y)^ty(y) и функция
f(x, у) определена на множестве
{(х, у): у е Y, х е [ф (у), $ (у)]}- E3.1)
Интегралы вида
Ф(У)= \ fix, y)dx E3.2)
<е(у)
называются интегралами, зависящими от параметра, а перемен-
переменная у называется обычно параметром.
Часто встречается тот частный случай такого типа интегралов,
когда функции ф и ф постоянны, т. е. интегралы вида
ь
<b{y)=\f{x,y)dx. E3.3)
а
Если Y является множеством всех натуральных чисел Y =
= ЛГ = {1, 2, .... п, .,.}, то, полагая f(x, л) = /„(х), я=1, 2, ...,
интеграл E3.3) можно переписать в
* виде
fl
ь
\fn(x)dx, n=\, 2, ....
а
Тем самым получилась числовая пос-
последовательность, образованная интег-
^^^^^ ралами от функций некоторой функ-
' " ' "'¦' д циональной последовательности.
Мы рассмотрим случай, когда мно-
Рис. 216 жество Y представляет собой отрезок
[а, р], функции у (у) и 1р(у) непре-
непрерывны на этом отрезке uy^s^tyiy), ys[a, p]. Пусть графики
функций ф(#) и ф(г/) и, быть может, отрезки прямых у = а и
г/=Р образуют границу ограниченной области G (рис. 216). Она,
очевидно, квадрируема (см. п. 44.1). В этом случае множество
E3.1), на котором определена функция f(x, у), является замы-
замыканием G указанной области G:
С = {(х, у); a<t/=ssp, ф(уХл<»Ш. E3:4)
В дальнейшем мы изучим свойства функции Ф (у) (ее непре-
непрерывность, правила ее дифференцирования и интегрирования)
53.1. ^Непрерывность и интегрируемость интегралов по параметру 299
в зависимости от свойств функций /(*> У), 4>(у), Ч>(У)- Некоторые
из этих свойств были получены раньше при изучении кратного
интеграла. Так, например, лемма, доказанная в п. 45.1, дает
условия, при которых интеграл, зависящий от параметра, явля-
является непрерывной функцией этого параметра. Сформулируем эту
лемму в обозначениях настоящего параграфа в виде теоремы.
Теорема 1. Если функция f(x, у) непрерывна на замыкании G
области G (см. E3.4)), то функция Ф (у), задаваемая формулой
E3.2) непрерывна на отрезке [а, р].
Утверждению этой теоремы можно придать следующий вид:
lim
У
lim I f(x, y)dx= $ Vim f (x, у)dx. E3.5)
9 — *() lim <р(у)У~*У°
Действительно, из теоремы 1 следует, что предел, стоящий
в левой части равенства E3.5), равен Ф(уа), а в силу непрерыв-
непрерывности функций ф, i|> и f, правая часть равенства также равна
$ f(x, yo)dx = <
В частности, для интеграла E3.3) имеем
ь ь
lim \ f(x, y)dx=\ lim f(x, y)dx,
У-+Уо а a У-*У«
т. е. в этом случае возможен предельный переход под знак-ом
интеграла.
В теореме о предельном переходе под знаком интеграла можно
ослабить требования, накладываемые на функцию f(x, у), потре-
потребовав вместо ее непрерывности по совокупности переменных, лишь
непрерывность по одной переменной и равномерное стремление
к пределу по другой.
Теорема 2. Пусть функция f (х, у) определена для всех х е [а, Ь]
y^Y и непрерывна по х на [а, Ь] при любом фиксированном
ijf^Y. Тогда если при у-^уо*) функция f (х, у) равномерно на
отрезке [а, Ь] стремится к <р(х) {см. п. 39.4), то
ь ь
lim § f(x, y)dx— ^ 4>(x)dx.
; : У-+Уо а а
Доказательство. Рассмотрим какую-либо последователь-
последовательность yn^Y, n=\, 2, ..., такую, что lim yn = yQ. Тогда (см.
П-*оэ
упражнение 5 в п. 39.4) последовательность yn(x) = f(x, yH)
будет равномерно на отрезке [а, Ь] стремиться к функции (р(х).
*> Здесь i/0 — число или одна из бесконечностей со, -j-co или —со.
300 § 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра
Отсюда следует (см. п. 36.4), во-первых, что ц>(х) непрерывна
и, следовательно, интегрируема на отрезке [a, b], a во-вторых, 4io
ь ь ь
lim \ f(x, yn)dx=^ lim \ <pn(x)dx = \ <p(x)dx,
п->ооа л-»ооа а
и так как это верно для любой указанной последовательности {уп\,
то теорема доказана.
Перейдем к вопросу об интегрировании интегралов E3.2),
зависящих от параметра.
Теорема 3. Пусть область G элементарна относительно обеих
осей координат, т. е.
= {(х, y):a<x<b, <Pi(
где функции ц> и ty непрерывны на отрезке [а, Р], а функции (pt
и ifi — на отрезке [а, Ь]. Тогда, если функция f {xt у) непрерывна
на замыкании 0« области G, то
= Ц j f(x,-y)dx\dy = \\ j f{x,y)dy\dx =
, y)dxdy. E3.6)
S
G
Очевидно, теорема 3 является перефразировкой соответствую-
соответствующей теоремы о сведении кратного интеграла к повторному (см.
п. 45.1).
53.2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ
ОТ ПАРАМЕТРА
При изучении диффзренциальных свойств интегралов, завися-
зависящих от параметра, рассмотрим сначала интегралы вида E3.3).
Теорема 4 (правило Лейбница). Если функция f(x, у) и ее
частная производная ' ^ непрерывны в замкнутом прямоуголь-
прямоугольнике Д = {(х, y):a^x^b, a=s?#==sP}, то функция Ф(у) =
ь
= $ / (*f У) dx дифференцируема на отрезке [a, P] и
а
d® (у) __ СдЦх, у) ,
~~dy~ - J ду пХ-
а
Таким образом, чтобы при сделанных предположениях про-
продифференцировать интеграл, зависящий от параметра, достаточно
продифференцировать подынтегральное выражение, оставляя пр'е-
делы интегрирования неизменными.
53.2.. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра 301
Доказательство. Пусть #е[а, PJ и у-\-Ау^[а, Щ,
тогда
Ф(у + Ау)-Ф(у) _ J
Здесь применена формула конечных приращений Лагранжа.
Обозначив теперь через со (б; д-) модуль непрерывности функ-
функд
ции --, получим
ь
Ф(у+Ау)-Ф(у) Cdf(x,
&У J
a
ь
5
df(x, y+9Ay) df(x,y)
ду ду
J (о (| Ау |; |) dx < со (| Ay ]; |) (ft - a). E3.7)
В силу равномерной непрерывности функции -~ на замкнутом
прямоугольнике Л имеем lim со(|Ау|; ^-) = 0; поэтому из E3.7)
Ду —0
получим
Jim
J дУ L-J
Теорема 4 легко обобщается и на случай зависящего от пара-
параметра интеграла общего вида E3.2).
Теорема 4'. Пусть: 1) функция f(x, у) и ее частная произ-
т df(x, у)
водная ' непрерывны на замкнутом прямоугольнике
ЛН(*. У)'- а^х^Ь, а<#<р},
2) С с: А (см. E3.4));
3) пусть функции (р(у) и г|) (у) имеют непрерывные на отреже
[а, Р] производные.
Тогда интеграл E3.2), зависящий от параметра, также имеет
производную на отрезке [а, Р], причем
E3:8)
,302
§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра
Доказательство. Рассмотрим функцию
о
F(y, и, v) = \f{x, y)dx,
Нетрудно непосредственно проверить, что частные производные
^L)^Lt функции F существуют и непрерывны по совокупности
переменных у, и, v. Проверим сначала существование и непре-
непрерывность частной производной ^-. Ее существование непосредст-
непосредственно следует из теоремы 4, причем
dF
df(x, у)
Докажем ее непрерывность. Пусть
idF(y, u, v) __dF(y + Ay, u + Au,
ду ~~
ду
E3.9)
$; положив
dF (у, и, v)
ду '
получим:
I л dF (y, u, v)
v-\- До
df(x,y+Ay)
a -f Au
о
df(x, y)
и -j- Au
СШ(х, у + Ду) ff(x, у)] ,
ду
v 4- А»
E3.10)
Поскольку функция y определена на прямоугольнике Д, то.
в силу вышеуказанного выбора значений аргументов все напи-
написанные интегралы имеют смысл и
|о-и|<6-в. E3.11)
Далее, из непрерывности функции ~ на прямоугольнике А
следует, что она ограничена на нем, т. е. существует такая
постоянная М>0, что для всех точек (х, j)e4 выполняете^
неравенство
Обозначив, как и выше, через соF; д~\ модуль непрерывно-;
сти функции j- на прямоугольнике А и использовав неравенства
54.1. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра 303
E3.11) и E3.12), из E3.10) получим
dF (у, и, у)
ду
V
и
+ м
а
\ djf
«4- Д«
4-М
v 4- Л»
f dx
Отсюда следует, что НтЛ —^ ц> v = о. Это и озиа-
/Д</24- Ли2 + Да2 ->0 ^
чает непрерывность частной производной ~ на множестве
Непрерывность на этом множестве частных производных
§?=-/(«*, и), ^ = /(«, У) E2.13)
очевидна.
Связь между функциями Ф и F устанавливается формулой
В силу доказанного выше функцию Ф можно дифференцировать
по правилу дифференцирования сложных функций:
^?_^.4-— — 4-— —
ду ~ ду ' ди йу ' dv Ay'
Подставляя сюда выражения для частных производных
ду' ди И до
(см. E3.9) и E3.13)) и полагая u — q>(y) и v = ty(y), получим
формулу E3.8). ?
§ 54. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ,
ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
54.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ
ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
Мы будем рассматривать интегралы вида
E4.1)
где : — оо ^ а < 6 «ё + оо, переменная у принадлежит некоторому
множеству Y и интеграл E4.1) при некоторых (в частности, при
всех) значениях у является несобственным.
304 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Определение 1. Если для каждого yo<=Y интеграл
сходится, то интеграл E4.1) называется сходящимся на множе-
множестве Y.
В дальнейшем, если не оговорено что-либо другое, будем
рассматривать только случай, когда выполняются условия:
1 6
) +
2) при любом i/eK функция /(х, у) по переменной х инте-
интегрируема, по Риману, на каждом отрезке [а, ц], где ц таково,
что а<т)<Ь.
В этом случае сходимость интеграла E4.1) на множестве Y
означает, что при любом у еК существует предел
п ь
lim \f(x, y)dx = \f(x, y)dx
(если & = -f-oo, то b — 0 = + °o). Поскольку
\f{x, y)dx-\f{x, y)dx = \f(x, y)dx,
а а л
то из сказанного при каждом фиксированном i/ёК получим
ь
lim \f(x, y)dx = 0.
Ti — Ь 0
Таким образом, если интеграл E4.1) сходится на множестве Y,
то при каждом фиксированном у eF для любого числа е > О
существует такое % = %(#)<&, что если т\г^ц<:Ь, то
ь
\f(x, y)dx <e. E4.2)
¦п
Условия, при которых для несобственных интегралов, зави-
зависящих от параметра, справедливы теоремы, аналогичные дока'
занным в предыдущем параграфе для собственных интегралов
основаны на понятии так называемой равномерной сходимости
интеграла.
Будем предполагать, как было отмечено, что интеграл E4.1)
удовлетворяет вышеуказанным условиям 1) и 2).
Определение 2. Сходящийся на множестве Y интеграл
ъ
\f(x, y)dx называется равномерно сходящимся на этом множе-
а
стве, если для любого е>0 существует такое r\e<ib, что для
54.1. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра 305
и всех ц таких, что %<т]<6, выполняется нера-
нераx, y)dx
всех y
венство
Напомним, что в рассматриваемом нами случае Ь может быть
как конечным, т. е. числом, так и бесконечным, т. е. равным
+ оо. Таким образом, в приведенном виде определение равно-
равномерной сходимости годится одновременно как для случая, когда
интегрирование производится по конечному отрезку [a, b], a несоб-
несобственный интеграл возникает за счет неограниченности подын-
подынтегральной функции, так и для случая, когда несобственный
интеграл получается за счет неограниченности промежутка инте-
интегрирования fa, +oo).
Приведенные определения сходимости и равномерной сходи-,
мости интеграла напоминают соответствующие определения для
рядов (см. п. 36.1 и 36.3). Между ними действительно имеется
связь.
Пусть {ц„} — некоторая последовательность, такая, что
4i = a. r\n^[a, b), n=\, 2, ...,и limr)n=b.
Наряду с интегралом E4.1) рассмотрим ряд
Пусть
k=l tv
/С*, y)dx.
E4.3>
Sn(y)
л-1
*= I п
(x> y)dx=\f(x,y)dx
— его частичная сумма. Тогда, если интеграл E4.1) сходится
(соответственно равномерно сходится) на множестве Y, то, оче-
очевидно, сходится (соответственно равномерно сходится) на множе-
множестве Y и ряд E4.3); при этом
¦ ь %
\f(x, y)dx=\\m \f(x, y)dx=\im S,t(у),
a л-*со o л-*со
т. ё. рассматриваемый интеграл равен сумме ряда E4.3).
Определение равномерной сходимости интеграла можно пере-
перефразировать еще следующим образом.
Определение 2'. Сходящийся на множестве Y интеграл E4. t)
называется равномерно сходящимся на этом множестве, если
ь
lim sup
о Y
— о
\f{x, y)dx
= 0.
E4.4>
306
:5& Несобственные интегралы, зависящие от 'параметра
Действительно, если интеграл E4.1) равномерно сходится на
множестве Y в смысле определения 2, то для любого е> Ф суще-
существует такое х\Е<.Ь, что выполняется неравенство E4.2) при
уеУ и Т1е^т)<й и, следовательно,
sup
ue.Y
]f(x, y)dx
откуда и следует E4.4). Обратно, если рассматриваемый инте-
интеграл равномерно сходится на множестве Y в смысле определе-
определения 2', то из условия E4.4) для любого е>0 следует сущест-
существование такого числа це, что при yeY и т)е sg т) < Ь выполняется
неравенство E4.2). Q
Если рассмотреть интеграл
то, очевидно, что условие E4.4) означает, что этот интеграл
равномерно на Y стремится к нулю при rj-vfr — 0 (здесь в тер-
терминологии п. 39.4 параметром является не у, как это было там,
а переменная ц).
Равномерная сходимость на множестве У интеграла E4.1)
означает также равномерное стремление на множестве Y функции
Л)
У)
E4.5)
при т)->& — 0 к функции E4.1).
Действительно, последнее означает (см. п. 39.4), что для
любого е>0 существует такое х\&<.Ь, что для каждого ц, удов-
удовлетворяющего условию цеsgт)<Ь, и всех i/eF выполняется
неравенство
Но
Ф(У)-Ф(У, i\) = [f(x, y)dx-]f(x, y)dxJ\nx,y)dx.
а а г)
Поэтому
Ь
5/(.v, y)dx
¦п
Таким образом условие Ф(у, ц)=^Ф(у) при т]->-6 — 0 равно-
равносильно выполнению условий определения 2, т. е. равномерной
сходимости на множестве Y интеграла E4.1).
54.1. Равщнвртя сходимость интегралов, зависящих от параметра Ш
Пример. Рассмотрим интеграл Ф(г/)= \ уе~хуdx. В каче-
о
стве множества Y возьмем полуось t/SsO (при любом */<0 этот
интеграл расходится). Легко убедиться, что рассматриваемый
интеграл сходится на Y. Для любого а>0 он сходится равно-
равномерно на промежутке [а, +со). Действительно, в этом случае
легко проверяется, например, выполнение условия E4.4):
lim sup
уе~хЫх
= lim sup е~щ = lim
т]-> 4-оо ,у г^ а T)->-f-°°
На всей же полуоси Y равномерной сходимости нет. В самом
деле,
+ 0О
lim sup \ ye~xy dx = lim
Т| -> -j- оо у > 0 _ т\-*-\-с
т. е. на множестве Y условие E4.4) не выполняется.
Теорема 1 (признак Вейерштрасса). Если существует неотри-
неотрицательная функция ф (х), определенная на промежутке [а, Ь) и
интегрируемая по Риману на каждом отрезке [а, ц], где а<.
<.r\<lb, такая что:
1) \f(x, у)\^<$(х), где a^x<cb, i/eF;
ь
2) интеграл ^ ф (х) dx сходится,
а
то интеграл E4.1) равномерно сходится на множестве Y.
Доказательство. Прежде всего, в силу признака срав-
сравнения (см. п. 33.3) интеграл E4.1) абсолютно, а значит, и просто
сходится при любом //бУ, Далее, в силу сходимости интеграла
а
\y(x)dx для любого числа е>0 существует такое цв<.Ь, что
а
Ь
если це^ч\<.Ь, то ^<p(x)dx<e,. Тогда, в силу условия 1 тео-
л
ь ь
с, y)dx <$!/(*, y)\dx*
ремы
ь
ч
а это и означает равномерную сходимость интеграла $/(*, y)dx
а
на множестве Y. Q
С помощью признака Вейерштрасса, например, сразу уста-
Г dx
навливается, что интеграл \ t /^ , а равномерно сходится на
308 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
всей вещественной оси — оо<у-< + оо. Действительно, интеграл
¦f ОО
С dx
I %— я сходится, и при любых хну выполняется нера-
— оо
венство
Из критерия Коши равномерной сходимости функций по пара-
параметру (см. п. 39.4) непосредственно получаются необходимые и
достаточные условия (также называемые критерием Коши) для
равномерной сходимости интегралов.
Теорема 2 (критерий Коши равномерной сходимости интегралов).
Для того чтобы интеграл E4.1) равномерно сходился на множестве Y,
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало
такое ц<СЬ, что для всех т)' и т)", удовлетворяющих условиям
ц<ц'<Lb, т]<г)"<й и всех i/eF выполнялось неравенство
¦П"
$ fix, у) dx
<е. E4.6)
Действительно, как было отмечено, равномерная сходимость
интеграла E4.1) равносильна равномерному стремлению к пре-
пределу функции Ф(г/, т)) (см. E4.5)), а неравенство E4.6) в обозна-
обозначениях E4.5) можно записать в виде
|Ф(#. Л") —ф0/. ч')\<?"
Поэтому теорема 2 является просто перефразировкой теоремы 4
из п. 39.4 для рассматриваемого здесь случая.
Упражнения. Исследовать сходимость и равномерную сходимость
интегралов при всех значениях параметра а, указать области изменения пара-
параметра а, на которых имеет место равномерная сходимость интегралов:
+ 0О 1
dx
— со 0
-f со 1
С ** К t
3. $ е-<*-*>'Же.
— ОО
f dx
6. Исследовать на равномерную сходимость интеграл \ /х_а\РгЬР ПРИ
о
(соответственно, при Ь > 0), р > 1.
54.2*. Признак равномерной сходимости интегралов
309
54.2*. ПРИЗНАК РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛОВ
• В этом пункте будет доказан признак равномерной сходимости
интегралов, аналогичный соответствующему признаку для равно-
равномерной сходимости рядов (см. п. 36.3).
Теорема 3. Пусть функции f(x, у) и g(x, у) определены при
а^х<С-\-со и y^Y (а — конечно, Y — некоторое числовое мно-
множество), причем функция f (х, у) непрерывна по переменной х,
а g(K> У) имеет непрерывную по х производную -Л. Если
1) функция g(x, у) при каждом y^Y монотонна по х и
равномерно на множестве Y стремится к нулю при х->оо;
2) интеграл \f(x, y)dx ограничен как функция переменных
а
ц е [a, -f- оо) и у еУ на множестве [а, + оо) х Y; то интеграл
S g(x, у)f{x, y)dx E4.7)
равномерно сходится на множестве Y.
Доказательство. Согласно второй теореме о среднем для
интегралов (см. п. 30.3*) при любых ц' и ц", а<Щ' <.ц", спра-
справедливо равенство
' y)dx==
= gW, У) $/(*, y)dx+g(i\', у) j f(x, y)dx,
E4.8)
где tjr ¦< ? •< Tf- В силу условия 2) теоремы существует такая
постоянная М > 0, что для всех (ц, у) е [а, + оо) х Y имеет
л
\М. Поэтому
место неравенство
, y)dx
5
, y)dx
\f{x, y)dx+\f(x, y)dx
\f{x, y)dx
¦n'
, y)dx
аналогично,
r\"
, y)dx
;2M.
= 2M, E4.9)
E4.10)
Зафиксируем произвольное е>0. В силу равномерного на
множестве Y стремления к нулю функции g(x, у) при х-^ + оо,
§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
существует такое т)е>а, что для всех х>щн всех
ведливо неравенство
E4.11)
С помощью неравенств E4.9), E4.10) и E4.11) из E4.8) сле-
следует, что для любых г]' > т)е и if > т)е имеет место оценка
ч"
*, y)f(x, y)dx
, У)
\f(x, y)dx
Таким образом выполняется условие Коши (см. п. 54.1) равно-
равномерной сходимости интеграла E4.7). Ц
Замечание. Можно было бы интеграл в левой части равен-
равенства оценить и не прибегая ко второй теореме о среднем, а посту-
поступая аналогично доказательству признака Дирихле в п. 33.6,
проинтегрировать его по частям. Это однако удлинило бы доказа-
доказательство и по существу были бы повторены рассуждения, прове-
проведенные при доказательстве второй теоремы о среднем.
Наличие у функции g(x, у) непрерывной производной по х
не является существенным и вызвано лишь тем, что вторая тео-
теорема о среднем в п. 28.3* была доказана при этом предполо-
предположении.
Пример. Интеграл \ ?™ХУdx равномерно сходится при
- Действительно, функция
убывает при
и lim g(x) = 0, причем, поскольку g(x) не зависит от у,
дг-» + оо
то стремление g(x) к нулю при *->--{-оо происходит равномерно
относительно у) кроме того
\ sinxydx
1 — cos т)(/ _2_
Таким образом, оба условия теоремы 3 выполнены.
Задача 32. Доказать, что если функции / (х, у) и g (x, у) определены при
+ с°
— со < a =S •* < + со и }еК, причем интеграл j /(*, у) dx равномерно
а
сходится на Y, а функция g (x, у) монотонна по ж и ограничена на множестве
+ со
[a, -f оо)хУ, то интеграл j g (x, y)f{x, y)dx сходится равномерно на У.
а
54X Свойства интегралов, зависящих от параметра З.Ц
Упражнения. 7. Пусть функции f(x) и g(x, у) непрерывны по л:,
функция g (х, у) монотонно и равномерно относительно уеК стремится к нулю
р у р
при х-*-+оо и имеет непрерывную производную ?8^*' >, xgsa, у «= Y,
а интеграл ^ f(x)dx сходится. Тогда интеграл ^ f(x)g(x, у) dx равно-
а а
мерно сходится на множестве Y.
Исследовать на равномерную сходимость интегралы:
оо
8. С e-a-KSSL^ ПрИ
оо
9.
f
. I -^rdx при р^О,
54.3. СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
При изучении свойств несобственных интегралов, зависящих
от параметра, очень часто придется иметь дело с перестановкой
предельных переходов по различным переменным. Поэтому прежде
всего докажем лемму, относящуюся к этому вопросу.
Лемма 1. Пусть X и Y— два числовых множества; функция
f{x, у) определена на их произведении XxY (см. п. 41.2): леХ,
i/ef; х0 и у0 — числа или какие-то из бесконечностей оо, -f- оо,
— оо и существуют пределы
ф(я)= limf(x, у), х^Х, и ty(y)= lim f(x, у), y^Y.
Если стремление функции f хотя бы к одному из указанных
пределов происходит равномерно, то существуют и равны оба
повторных предела:
lim lim f(x, y)= lim lim f(x, у).
Доказательство. Пусть, например, функция f (x, у) равно-
равномерно на X стремится к <р(х) при у-+у0. Тогда для любого фик-
фиксированного е>0 существует окрестность U (у0), такая, что,
каковы бы ни были у^С/(уо)(] У*> и хеХ, выполняется нера-
неравенство
|/(д;, у) — ф(х)|< 2". E4.12)
Если i/i?&(у0)(]Y и i/2ei/{y0) П У, то
*' Через и, как всегда, обозначается проколотая окрестность.
312 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Переходя здесь к пределу при х-+-х0, получим
11>Ы-!>Ы|^в. E4.13)
Согласно критерию Коши для существования предела функ-
функции (см. п. 4.11), из E4.13) следует существование конечного
предела
lim
Итак, доказано существование повторного предела
lim lim f (х, у) = А.
У -» Уо X -» х0
Зафиксируем теперь y1^C/(y0)C\Y. Тогда из E4.12) при у =
и из E4.13) при Уз-^Уо соответственно получим
\f(x, tfi)-q>(*)|<-§-, \у(У1)-А\^г. E4.14)
Для всех у еУ существует предел lim f (x, y) = ty(y)- Поэтому
Х->Хо
при фиксированном ^еУ(у0)П Y для заданного е>0 найдется
такая окрестность U(х0), что для всех хеУ(х0)П^ будем иметь
\f(x, у1)-^(у1)\<г. E4.15)
Из неравенств E4.14) и E4.15) для всех х^О(хп)[]Х имеем
что и означает существование повторного предела
A— lim ф(х)= lim lim f(x, у). ?
> Vo
Теорема 4. Пусть — оо<а<6^ + оо и функция f (x, у) опре-
определена для всех х е [а, Ь), у eF и при любом у еУ непрерывна
по х на [а, Ь). Тогда если при любом т) е [а, Ь) функция f (x, у)
равномерно на отрезке [а, т)] стремится к функции q>(x) при
у-+-уо*> и интеграл
$/(*, y)dx E4.16)
а
равномерно сходится на множестве Y, то
ьь ь
lim ]f(x, y)dx=l lim.f(x, у) их = \ ф (х) их. E4.17)
У^У У*У
*' Здесь {/о — число или одна из бесконечностей со, + со, —со.
54.3. Свойства интегралов, зависящих от параметра 313
Доказательство. Если a<ix\<ib, то в силу теоремы 2
п. 53.1 имеем
Hm \ f (х, у) dx = pirn f (x, y)dx = \ q> (x) их. E4.18)
У~>Уоа аУ->Уо а
Поэтому, согласно определению несобственного интеграла, равен-
равенство E4.17) можно переписать в виде
¦п я
lim lim \f(x, y)dx = lim ]\m^f(x, y)dx. E4.19)
Таким образом, остается доказать возможность перестановки
порядка предельных переходов для функции
а
Это следует из доказанной выше леммы. В самом деле, согласно
E4.18) существует предел lim Ф(г/, ц). С другой стороны, суще-
сущего -*Ув
ствует и предел
л ь
Hm Ф(у, т))= lim lf(x, y)dx = \f(x, у) dx,
причем здесь, согласно условию теоремы, стремление к пределу
происходит равномерно на множестве У. Следовательно, справед-
справедливость равенства E4.19) непосредственно вытекает из утвержде-
утверждения леммы. ?
Теорема 5. Пусть функция f (х, у) определена и непрерывна
(как функция двух переменных) на полуоткрытом «прямоугольнике»
{(х,. y):a^x<b, c^y^d},
; + со, —co<ic<Ld<L-\-co.
ь
Тогда, если интеграл Ф{у) = \1 (х, у) dx сходится равномерно на
а
[с, d], то он является непрерывной функцией на этом отрезкг.
Доказательство. Каково бы ни было уо^[с, d], функция
I (х, у) при у->у0 равномерно на любом отрезке [a, i\], a<i\<ib,
стремится к функции f(x, уй) (см. п. 39.4). Поэтому, согласно
предыдущей теореме (см. E4.17)),
ь ь
lim Ф(у) = 1 \\mf(x, y)dx=\f(x, y0)dx =
314 § 54. Н-есобстветые интегралы, зашсящштпараметра
Теорема 6. Если выполнены предположения теоремы 5, то
\ \\ x, y)dy. E4.20)
Доказательство. Если а < ц < Ь, то по теореме 3, п. 53 Л,
имеем
\dy\f{x, y)dx = ]dx\f(x, y)dy. E4.21)
с а ас
Функция Ф(у, ч) = $/(*, y)dx непрерывна по у и при ц-+Ь — 9
а
стремится к своему пределу Ф (у) равномерно на отрезке [с, d].
Поэтому, согласно теореме 2, п. 53.1, в левой части равенства
E4.21) можно перейти к пределу под знаком интеграла при
T)-v6 — 0:
d t\ d d
Mm \dy\f(x, y)dx= lim JФ(у, ц)dy = \ lim Ф(у, r\)dy =
•n,*0^ i\^b-0 %»*0
, y)dx;
при этом полученный предел конечен. Следовательно, при ц->-Ь — 0
существует тот же предел и у правой части равенства E4.21),
который в силу определения несобственного интеграла равен
\l, y)dy. Q
Докажем одну теорему о перестановке порядка интегрирования
для случая, когда оба интеграла несобственные.
Теорема 7. Пусть функция f(x, у) определена и непрерывна на
полуоткрытом прямоугольнике
{(х, y)
— oo<a<&s^-foo, — oo<c<dss-f oo.
Если интеграл
\f(x, y)dx E4.22)
а
равномерно сходится на любом отрезке [с, r\], c<r\<cd,a интеграл
\f(x, y)dy E4.23)
54Л Свойства интегралов, зависящих от параметра 815
равномерно сходится на любом отрезке [а, §], а<.\<.Ь, и суще-
существует один из двух повторных интегралов
\dy\\f{x, y)\dxt \dx\\f{x, y)\dy,
с а ас
то существуют и равны между собой оба повторных интеграла
d Ь Ь d
\dy\f(x, y)dx и \dx\f{x, y)dy, m. e.
с а ас
\dy\f{x, y)dx = \dx\f{x, y)dy. |54.24)
с а а с
Доказательство. Пусть, например, существует интеграл
ь d
\dx[\f{x, y)\dy 454.25)
а с
и пусть c<.r\<.d. В силу равномерной сходимости на отрезке
[с, tj] интеграла E4.22), согласно теореме 6 имеем
\dy \ f(x, у) dx = I dx I f (x, у) dy. E4.26)
с а ас
Предел левой части этого равенства при ц-^-d — О, очевидно,
равен
\dy\f(x, y)dx.
с а
Покажем, что предел правой части равенства E4.26) равен
Ь d
\dx\f{x, y)dy,
а с
т. е. что в этом случае возможен предельный переход при T|-»-d —О
под знаком интеграла. Проверим выполнение предпосылок тео-
ч
ремы 4 этого пункта. Функция Ф(л:, ц) = \Цх, y)dy непрерывна
с
по х (см. теорему 1 п. 53.1) и, согласно условию теоремы, на
любом отрезке [а, |], а<|<6, при T)->-d —0 равномерно стре-
d
мится к интегралу E4.23), т. е. к функции F (х) = \ f (x, у) dy.
с
Наконец, интеграл
Ь Ъ Ц
а ас
316 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
сходится равномерно относительно rj, c<T)<d, ибо
, y)\dy,
а интеграл E4.25), по предположению, сходится.
Следовательно, условия теоремы 4 для правой части равенства
E4.26) выполнены, поэтому
Ь d Ь d
lim \Ф(х,х\)йх=\ lim Ф (х, ц) их = \ dx \ f {x, у) dy.
Итак, доказываемое равенство E4.24) получается из E4.26) пре-
предельным переходом при ц-^-d — О. [J
Перейдем теперь к рассмотрению дифференцируемости несоб-
несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Теорема 8. Пусть функции f(x, у) и ' '*' у' определены и непре-
непрерывны на полуоткрытом прямоугольнике
— оо <i
ь ь
Если интеграл \ f (х, у) dx сходится, а интеграл \ ,' dx
а а
Ь
равномерно сходится на отрезке [с, d], то функция Ф (у) = jj f {x, у) dx
а
непрерывно дифференцируема на этом отрезке и
а
Ь
Доказательство. Представим функцию Ф(у) = jjf(х, у)dx
а
в виде сходящегося на отрезке [с, d] ряда
Ф (У) = \f (х, У) dx =f] f / (х, у) dx, E4.27)
где ri,, n=l, 2, ....—фиксированная последовательность, такая,
ь
что r\fS<=[a,b), щ = а и lim Т1„ = &, а функцию I ^ f' у dx'—
54.3. Свойства интегралов, зависящих от параметра 317
в виде равномерно сходящегося на отрезке [с, d] ряда
1*- E4-28)
п=1
Согласно теореме 4 п. 53.2, каждый член ряда E4.28) является
производной по переменной у от соответствующего члена ряда
E4.27), а поэтому в силу теоремы о дифференцировании рядов
(см. п. 36.4) сумма ряда E4.28) является производной суммы
ряда E4.27). Q
Как уже отмечалось, все предыдущие формулировки и дока-
доказательства относятся к несобственным интегралам, зависящим от
параметра, которые удовлетворяют условиям 1) и 2), сформулиро-
сформулированным в начале п. 54.1. Совершенно аналогично рассматриваются
и более общие случаи, например, когда
Г) — oos?a<&< + oo;
2 ) при любом j/еУ функция /(х, у) по переменной х инте-
интегрируема, по Риману, на каждом отрезке [|, rj], где а<;|¦<ц<СЬ.
Построенная теория интегралов, зависящих от параметра,
естественным образом переносится и на случай, когда интеграл
зависит от двух или вообще от некоторого конечного числа пара-
параметров уг, ..., уп. При этом многие формулировки определений
и теорем, а также доказательства формально остаются прежними,
если, только вкладывать новый смысл в применяемые обозначения.
Это.относится, например, к определению равномерной сходимости
и теореме о предельном переходе под знаком интеграла, следует
только считать, что у = (уи ..., у„) и уо = (у'Г, ..., у'п) — точки
и-мерного евклидова пространства, а у-+-у<> понимать в смысле
предела в этом пространстве.
54.4. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ
ОТ ПАРАМЕТРА, К ВЫЧИСЛЕНИЮ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
До сих пор в нашем распоряжении было два способа вычисле-
вычисления определенных интегралов. Первый из них исходит из опре-
определения интеграла как предела интегральных сумм и широко
используется в численных методах. С ним мы более подробно
ознакомимся в п. 60.4. Второй способ, которым мы уже посто-
постоянно пользовались, основан на нахождении первообразной подын-
подынтегральной функции и применении формулы Ньютона —Лейбница.
Оказывается, что иногда удается получать точные значения опре-
определенных интегралов, используя теорию интегралов, зависящих
от параметра. При этом ценность этого метода состоит в том,
что с его помощью в ряде случаев вычисляются интегралы от
функций, первообразные которых не являются элементарными
функциями и тем самым обычный способ использования формулы
Ньютона — Лейбница оказывается неприменимым.
§ 54. Несобственные интегралы, эавасящшог параметра
Пример 1. Пусть требуется вычислить интеграл
E4.29)
Приведем способы его вычисления, основанные на его замене
некоторым интегралом, зависящим от параметра, для которого
E4.29) является частным значением.
Рассмотрим функцию f(x, y) =
^
и интеграл
E4.30)
Очевидно, что интеграл E4.29) получается отсюда при у=1.
~, arctg ху Л ,.. „ arctg ли п ( I \ - _
Так как — s ¦- = О A) при х-vO и —р===-=О/гр===] при
jc-vl и любом фиксированном «/, то интеграл E4.30) сходится
при любом у.
Из неравенства
д{(х, у)
димости интеграла
i
С dx =!L
следует, что интеграл
E4.31)
равномерно сходится на всей вещественной оси и, согласно тео-
теореме 8 п. 54.3, равен J'(у).
Выполнив последовательно замены переменного интегрирова-
интегрирования at = cos<p и ? = tg<p, получим
1 Л/2
-I
df
1 + у2 cos2 ф
1
arctg
Отсюда, согласно определению неопределенного интеграла;,
вытекает, что
Но из E4.30) следует, что У@) = 0, поэтому С==0 и
54:4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра S19
Подставляя сюда у = 1 получаем значение искомого интеграла
E4.29)
Интеграл E4.29) можно вычислить и используя интегрирова-
интегрирование по параметру. Заметив, что _??_!_ = I уд , получим для
о
J выражение
1
Интеграл же \ * . сходится равномерно по у, ибо
к ^ (I +лЭД Vi -х1 у у и
1
ъГ ;„. ^ /-... , а интеграл \ , х ¦. сходится. По-
+x*y")Vlx* Vlx* ^V\x*
этому в E4.32) можно переменить порядок интегрирования (см.
теорему 6 п. 54.3). Тогда (используя непосредственно найденное
выше значение получающегося интеграла по х) находим
Пример 2. Вычислим значение интеграла
I* clrt nv
(«)== I ——dx. E4.33)
1 х
Можно показать, что соответствующий неопределенный интеграл
при ос =^0 не выражается через элементарные функции, и тем
самым данный интеграл нельзя вычислить обычным приемом
с помощью формулы Ньютона —Лейбница.
Интеграл E4.33) сходится при всех значениях а. Действи-
Действительно, если а = 0, то, очевидно, / @) = 0. Если же а=?0, то,
производя замену переменного t = ax, получим
+ СО
С sin/
\ -j-dt = I(\), если а>0
- ( ™^dt = — /A) если а<0
. 320 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Интеграл же /A) сходится (см. п. 33.5), поэтому и интеграл
/(а) сходится.
Для того чтобы вычислить интеграл E4.33), рассмотрим боле©
общий интеграл I (a, Р)= С g-P*sm ax dx.
Продифференцировав формально по а под знаком интеграла,
получим интеграл $ er$x cos a dx, который при любом фиксиро-
о
ванном Р>0 равномерно сходится относительно параметра а,
— оо<а< + оо. Следовательно, при Р>0 (см. т. 1, п. 26.4)
+ СО
откуда
а
'(«. P)=i-7^ + C(P) = arctg«
Но /@, Р) = 0, следовательно, С(Р) = О. Итак,
/(a, p) = arctg|, P>0.
Нас, однако, интересует значение интеграла /(а, Р) при
Р = 0. Проще всего попытаться обосновать возможность предель-
предельного перехода под знаком интеграла /(а, р) при Р-> + 0.
Зафиксируем число Ь^Ои покажем, что интеграл /(а, Р) при
любом фиксированном а Ф 0 равномерно сходится по параметру р
на отрезке [0, Ь]. Действительно, интегрируя по частям (см. там
же, п. 26.4), получим
sin ax , 1
йХ
__ 1 ах
acosax+p sin ax dx
Выберем rje так, чтобы при г|;э=т|е выполнялись неравенства
1 „о a cos ат) -|- Р sin ar\
~^е а2 + Р2
С _рЛ «cosajc-f-psin x dx
54.4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра 321
<е, что и доказывает
4-co
Г*
Тогда при т]>т]е получим 1 e-P-«JEL?L
равномерную сходимость интеграла / (а, E) по параметру {5 на
любом отрезке [О, Ь]. Теперь в силу теоремы 4 п. 54.3
./(«) = /(<*, 0)= lim /(а, В) = lim arctg ?-= у sign а;
итак
я/2, если а>0,
(«)= J -
О
ах
dx =
О, если а = 0,
— л/2, если а<0.
Следует обратить внимание на то, что дифференцирование
со
по а в E4,33) привело бы к расходящемуся интегралу jj cosaxdx.
о
Оно стало возможным, в / (я, р"), благодаря наличию множителя
е~$х, В>0, называемого «множителем сходимости». Вычисление
ОО ОО
интеграла вида j[ f{x)dx путем перехода к § e~^xf(x)dx, диффе-
6 о
ренцирования по р, нахождения полученного интеграла и пере-
перехода к пределу при |5->-0 называется «методом введения множи-
множителя сходимости».
Знание значения / (а) позволяет легко находить и значение
многих подобных интегралов. Например, легко можно показать
(и это мы используем в дальнейшем), что
+ 00
\ —я dx = \a\n. E4.34)
— оэ
Действительно, интегрируя по частям, найдем
+ ОО + ОО + ОТ
I—cos ах , (* sin ах , п i' sin ах , , ,
— оо — оо 0
Упражнения. Вычислить интегралы:
'• ln(l-faac) , ,^m ,, Fcosax+cosbx-2
(|a|<l). 14. \e-ax™Lb*dx.
10.
о
'¦¦I
COSJC
arctgax
о
11 Кудрявцев Л. Д. т. 2
322 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
54.5. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим интегралы
1
В (р, q) = \ хр-1 A - х)"-г dx, E4.35)
о
Г(8)= $ х?-Ч-*йх, E4.36)
о
называемые эйлеровыми интегралами соответственно первого и
еторого рода. Интеграл E4.35) называется также бета-функцией,
а E4.36) — гамма-функцией.
Выясним прежде всего, для каких значений параметров
р, q и s имеют смысл правые части формул E4.35) и E4.36).
Рассмотрим сначала интеграл E4.35). Подынтегральная функция
имеет, вообще говоря, две особенности: при х = 0 и при х=1,
поэтому представим его в виде
1/2 1
В(р, q) = I xP-1(l-x)^1dx+ $ х?-1 (I — х)*-1 dx.
О 1/2
1/2
Сравнивая первый интеграл в правой части с интегралом ^ x^dx,
о
1
а второй —с § A — хL'1 dx, которне сходятся соответственно при
1/2
р>0 и <7>0 и соответственно расходятся при выполнении
неравенств р^О и <7^0 (см. п. 33.3), получаем, что областью
определения бета-функции E4.35) в плоскости р, q является пря-
прямой угол р>0, <7>0-
Далее, интеграл В (р, q) равнол!ерно сходится в каждом пря-
прямом угле р 5= ро, q^q«, каковы бы ни были р0 > 0 и ^0 > 0.
Действительно, это следует, согласно признаку Вейерштрасса
(см. п. 54.1), из неравенства
хР-аA— х)«-г^хР°-1 (\ -хУ»-1, 0^х^\,
и доказанной выше сходимости интеграла
1
В (Ро, q0) = J дс"-—' A -х)«°-' djc, ро > 0, <7о > 0.
о
IIocKOvibKy всякая точка (р, q), p>0, q>0, принадлежит неко-
некоторому углу; р>ро, q>q», при соответствующем выборе чисел
Ро>0 и <7о>0, то в силу теоремы 5 п. 54.3 функция В (р, q)
непрерывна во всей своей области определения.
54.S. Эйлеровы интегралы 323
Для отыскания области определения гамма-функции E4.36)
представим ее в виде
1 +оо
r(s) = \xs~1e-*dx+ $ xs-le~xdx. E4.37)
6 i
t
Сравнивая первое слагаемое в правой части с интегралом \ xs~1dx,
о
который сходится при s>0 и расходится при s=s?O, получим,
что § xs'4'xdx сходится и расходится при тех же значениях
о
параметра s. Что же касается второго интеграла в правой части
равенства E4.37), то он сходится при всех значениях s. Это,
например, следует из справедливости при любом s равенства
xs^1e~x — о (е~х/2) для д:-^ + со и из сходимости интеграла
\ e~x'2dx = 2e 2. Таким образом, интеграл E4.36) сходится для
всех s>0 и расходится при
Покажем теперь, что интеграл E4.36) равномерно сходится
на всяком отрезке [sb s2], где 0<Si<s2<-fco. Действительно,
пусть Si=es^s2'> тогда если 0=^x^1, то
а если х Ss 1, то
1 +оэ
и так как интегралы \xs>-~le-xdx и \ x^~le~xdx сходятся, то из
6 1
формулы E4.37) в силу признака Вейерштрасса равномерной
сходимости интегралов (см. п. 54.1) вытекает равномерная схо-
сходимость интеграла Г (s) на отрезке [sb s2]. Отсюда в силу теоремы
5 п. 54.3 следует, что функция Г (s) непрерывна во всей своей
области определения.
Упражнение 15. Доказать, что функции В (р, q) и Г (s) бесконечно
дифференцируемы.
Задача 33. Доказать, что В (р, q) и Г (s) являются аналитическими функ-
функциями.
Установим некоторые свойства интегралов Г (s) и В (р, q).
Прежде всего из формулы E4.36) непосредственно получаем
r(s)>0 (s>0), E4.38)
в частности, гамма-функция не имеет нулей. Далее, проинтегри-
проинтегрировав по частям, получим
оо
0
11*
-4- с»
). E4.39)
324 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Таким образом, если s > п (я = 1, 2, ...), то
Г (s) = (s- 1) (s - 2)... (s - я) Г (s - л). E4.40)
При любом 5>0 можно выбрать целое неотрицательное число п
так, чтобы 0 < s — п ^ 1 (п = 0, 1, 2, ...), и тогда Г (s) с помощью
формулы E4.40) будет выражаться через значение гамма-функции
в некоторой точке промежутка @, 1J. Иначе говоря, зная зна-
значения гамма-функции на промежутке @, 1], можно найти ее зна-
значение в любой точке.
Заметим еще, что ГA) = 1, и, следовательно, в силу формулы
E4.40)
Отсюда видно, что гамма-функция Г (s+ 1) является продол-
продолжением функции s!, определенной только для целых s = 0, 1, 2, ...,
на всю полуось s > — 1 действительных чисел.
Из свойств бета-функции В (р, q) докажем следующие.
1. Для любых р>0 и <7>0
В(р, q) = B(q, р). E4.41)
Чтобы в этом убедиться, достаточно в интеграле E4.35) выпол-
выполнить замену переменного t — 1—x.
2. Для любых р > 0 и q ;> 1
В (Р. ?)=^тВ(р, <7-1)- E4.42)
Аналогично, в силу симметрии (см. E4.41)), для любых
и р>1
в (р. ?)=p|7-iв {р -1' я- E4-43)
Действительно, проинтегрировав по частям E4.35) и заметив,
что хр (\ — x)q~2 — хр~г (\ — х)9'2 — x'F~1(l — х)9, получим
1
В(р, q)=\(l-x)*-1d-y- = - -—— п +
0
о
V лрA — х)д~2ах = — \ хр A —;
Р Л
о
^jc"-1(l-^)«-1dx = -^-B(p, //-О-—^В(р, <7),
откуда следует E4.42), а в силу симметрии и E4.43).
3. Для любых р>0
в(р, я) = в(я, р)= ' ,2П3 '•;пA~^п, n=i. 2, ....
S4.5. Эйлеровы интегралы 325
Зта формула получается последовательным применением соотно-
соотношения E4.42), если только заметить, что В (р, 1)= \xp~1dx=—.
о
Если же и р = m — натуральное число, то В (яг, п) = 7* \_ _^- •
Между функциями В (р, q) и F(s) существует связь, которая
устанавливается формулой Эйлера
, р>0, д>0. E4.44)
Докажем ее, сл°дуя методу Дирихле. Сделаем в формуле E4.36)
замену переменного х = A + О У>
+ ОЗ
ГE) -
и положим s = p-}-7. Р>0. <7>0; тогда
4-со
о
Помножим обе части этого равенства на tp~l и проинтегрируем
no t от 0 до +°°'-
->-оо -fo° +=°
Т(Р + Я) j (т^7Л= J ^1Л Ji if^-V»1"»^. E4.45)
о о о
В интеграле, стоящем в левой части этого равенства, выполним
замену переменного t= . :
1 — X
1
= в (р> ^^ E4'46)
1 оТ^ S
о ; о
Для вычисления правой части разенства заметим, что
+ со -j- с»
о о
-f со +0°
= lira [ tP-xdt \ ypie-ie-iwydy. E4.47)
326 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
-)-оо
Действительно, обозначая Ф (t, ?) = \ yP^-le-^ut)vdy, из
оценки
О < Ф</, 0) - Ф it, I) < | ур^е-у dy,
о
-}- GO -|* °°
о о
заключаем, что при |-^- + 0 функция Ф(?, |) стремится к Ф(?, 0)
равномерно относительно ^g@, + °o) и что интеграл
^ 1р-Щ>A, %)dt равномерно сходится относительно \, ибо схо-
о
дится интеграл E4.45). Следовательно, в правой части E4.47)
можно перейти к пределу под знаком внешнего интеграла. Далее,
-f-со -\- оа
\ iP^dt \ yp^-1e-<-1^ydij =
о I
-f СО +00
= \ ур^е-Ыу $ tP^tr'vdt, ?>0, />з*1, <72sl- E4.48)
1 о
Перестановка порядка интегрирования здесь возможна в силу
+ ОО
того, что, во-первых, интеграл Р~х ^ ур+9-ге~(и^'у dy равномерно
сходится по t на любом отрезке [0, а], что следует из равномер-
равномерной оценки подынтегральной функции
y, 0 «с t =sg a,
и сходимости интеграла $ уР+я-^-уdy, во-вторых, интеграл
i
равномерно сходится по у на любом отрезке [?, 6], |>0, что
следует из равномерной оценки подынтегральной функции
и сходимости интеграла § р-1^ dl\ в-третьих, интеграл, стоя-
о
щий в правой части равенства E4.48), существует. Таким обра-
образом, законность перестановки порядка интегрирования в E4.48)
следует из теоремы 7 п. 54.3 (отметим, что здесь подынтеграль-
подынтегральная функция неотрицательна).
54.6, Комплекснозначиые функции действительного аргумента 327
Выполнив замену переменного ty= и, получим
$ y*i-hri>dy \ t^e-t dt = Г (р) ? уч-Ч'Ыу. E4.49)
I о I
Наконец,
lim jj y9-1e-'->dy^T(q). E4.50)
?~*+° |
Из E4.45) —E4.50) получаем формулу E4.44) для ps&lr <7Ssl.
Если теперь р>0 и <7>0, то, по доказанному,
Применяя соотношения E4.39), E4.42) и E4.43), получим фор-
формулу E4.44) в предположении р>0, q>0. Ц
54.6. КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО
АРГУМЕНТА
Мы будем в дальнейшем систематически рассматривать комп-
лекенозначные функции w (t) — и (t)-\-iv (t) действительного аргу-
аргумента t (функции u(t) и v (t) принимают действительные значе-
значения). Мы уже встречались с понятием предела и непрерывности
подобных функций. Производная функции до (t) определяется по
формуле
w'(t) = u'(t) + iv'(t).
Покажем, например, что, согласно этому правилу, (eiat)' =
= iaeat. Действительно,
^aty _ ^cos at _[_ j sin at)' = — a sin at + га cos at —
= га (cos at + i sin at) = iae"*'.
Аналогично определяется и интеграл (собственный или несоб-
несобственный) от функции до = ы + ш:
ь ь ь
ь
Интеграл ^ (и (х) + iv (x)) dx называется несобственным, если
а
Ь Ь
несобственен хотя бы один из интегралов § и (х) dx и § v (x) dx.
а а
Ь
При этом несобственный интеграл \{u{x)-\-iv{x))dx называется
328 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Ь ь
сходящимся, если сходятся как \u(x)dx, так и \v{x)dx. В этом
а а
случае
) (и (х) + iv (x)) dx^i^u (x) dx + i\v (x) dx.
а а а
При этом функция w называется абсолютно интегрируемой,
если абсолютно интегрируемы функции и и v.
Очевидно, что ряд свойств интегралов от действительных функ-
функций (линейность интеграла, аддитивность его по множествам и
т. п.) автоматически переносится и на комплекснозначные функ-
функции. Отметим, например, что если w (х) = и (х) + iv (x), где и(х)
и v (х) — интегрируемые, по Риману, на отрезке [а, Ь] действи-
ъ
тельные функции, то интеграл jj w (x) dx также является пределом
а
к
интегральных сумм <тт= ? И1«)Л*« (т= {х,};=о- разбиение от-
отрезка [a, b], Xi^^lr^Xi, Ax,=.v,-x,_i, i = 1, 2, ..., k). Отсюда,
как и для действительных функций, следует, что в этом случае
функция | w (х) | также интегрируема по Риману и что выпол-
выполняется неравенство
jj w (x) dx
.\\w{x)\dx.
Предельным переходом справедливость этого неравенства уста-
устанавливается и для абсолютно интегрируемых в несобственном
смысле комплекснозначных функций.
Вместе с тем в случае функций, принимающих комплексные
значения, следует быть осторожным при использовании аналогов
теорем, доказанных для действительных функций. Далеко не все
утверждения, справедливые для функций действительного аргу-
аргумента, принимающих только действительные значения, перено-
переносятся на комплекснозначные функции. С подобной ситуацией мы
уже встречались при изучении вектор-функций (см. п. 15.2 и
п. 37.9 *). Например, утверждения, подобные теореме Ролля,
а следовательно, и теореме Лагранжа о средних -значениях, на
имеют места для комплекснозначных функций. Это показывает
пример, приведенный в п. 15.2, если его записать в терминах
комплексных чисел.
Именно, рассмотрим функцию f (t) = cosi + i sin/, 0^t^2n;
тогда /@) = /Bл) =1, /' (t) = — sin t + i cos /. Поскольку | /' (t) \ ¦=
=-- j/sTn21 + cos21 = 1, то не существует такой точки | е [0, 2л],
что /' (Н) = 0. Следовательно аналог теоремы Ролля в этом слу-
случае не имеет места.
54.7*. Асимптотическое поведение гамма-функции 329
Неверным оказывается и правило Лопиталя, доказательство
которого было основано на теоремах о среднем. Подтвердим это
примером*'.
Пусть f(t) = t, g(t) = t + t2ei2, 0</<l. Поскольку согласно
формуле Эйлера eI/i2 = cos-^-4-isin-^-,
то
Поэтому lim/(/) = limg(f) = O и
lim-^ = lim(l+#"*) = 1. E4.51)
Заметив, что
получим
Следовательно
Ш.
' вслеДствие чего
g'(t)
™L = 0. E4.52)
Сравнивая E4.51) и E4.52) убеждаемся, что в данном слу-
случае правило Лопиталя не применимо.
54.7*. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ
Покажем, что асимптотическое поведение гамма-функции
T(s+1)= $ <r*xsdx, s>-l, E4.53)
о
при больших значениях независимой переменной s может быть
описано довольно простой формулой, содержащей только элемен-
элементарные функции.
Подынтегральная функция в интеграле E4.53) принимает, как
легко видеть, наибольшее значение при x = s. Выполним в этом
интеграле замену переменной интегрирования, перенеся точку
* = .s в новое начало координат: х = s + у, а затем произведя
преобразование подобия с коэффициентом, равным s: y = st, т. е.
*' Этот пример заимствован из книги У. Рудина «Основы математического
анализа». М., 1966.
330
§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
положим х = s A + f). Получим
+ a
Рассмотрим функцию
Ф@ = е-
е-'
со<;<
E4.54)
E4.55)
Поскольку ф'@ = — te-(, то при />0 функция ф убывает, при
/<0 —возрастает, а в точке ^ = 0 достигает наибольшего значе-
значения ф @) = 1. Далее, положив
ft(f)
—t<t<-oo,
получим
где при 11\ < 1
и поэтому
Ф
/2
/3
E4.56)
E4.57)
E4.58)
Итак, гамма-функция представима в виде (см. E4.54), E4.55) и
E4.57))
+ оо
— 1
/, E4.59)
описывается соотношением
где поведение функции h(t) при i-
E4.58).
Прежде чем переходить к выводу асимптотической формулы
для f(s-fl) при s-^ + co, поясним метод ее получения с помо-
помощью нестрогих, но правдоподобных
рассуждений. График функции q>(/)
имеет вид, изображенный на рис. 217.
При возрастании параметра s график
функции [ф (t)]s будет «прижиматься»
к оси переменной t и к единичному
отрезку оси ординат. Поэтому ясно,
что интеграл
/-/
Рис. 217
esh^dt,
E4.60)
j
стоящий в правой части формулы E4.59) при больших значе-
значениях s будет хорошо приближаться интегралом
— 6
E4.61)
54.7*. Асимптотическое поведение гамма-функции 331
где б > О произвольно, но фиксировано, причем с тем большей
точностью, чем больше значение параметра s. Иными словами,
если s достаточно велико, то как при —Kf< — б, так и при
f >б значения функции esh^ столь малы, что каждым из интег-
— 6 оо
ралов § eshl-^ dt и § eift^) dt можно с еысокой точностью пренеб-
— 1 б
речь. Естественно ожидать, что при фиксированном б>0 и отно-
относительная погрешность приближения интеграла E4.60) с помо-
помощью интегралов вида E4.61) может бьтаь сделана сколь угодно
малой за счет выбора достаточно большого значения параме-
параметра s.
В силу {54.58), взяв достаточно малое б>0, можно интеграл
E4.61) хорошо приблизить интегралом
6 sf2
{ e~~* dt=~l/- \ e-»*du. E4.62)
Л Г S
Если б>0, то правая часть этого равенства при s-v-J-oo стре-
стремится к интегралу Пуассона (см. п. 48.2)
jj fu2du = Y~n- E4.63)
— оо
В результате интеграл E4.60) при больших значениях s ока-
оказывается в каком-то смысле хорошо приближенным выражением
yunis (см. E4.62) и E4.63)). Поэтому естественно попытаться
доказать асимптотическое равенство
-f оо
—, s-»- + oo.
Покажем, что оно действительно имеет место. Зададим произ-
произвольно е, 0<&<у. В силу E4.58) существует такое б, 0<б< 1,
что для всех /е[—б, б] выполняется неравенство
h (t) '
2
т. е.
332 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Сл?довательно (в силу монотонности функции ех), при всех
s>0 имеет место неравенство
е 2
Интегрируя его По отрезку [—6, 6J, получим
б (l+2e)s<» в 6 (l-2e)s<»
$е 2 ?ff^5e»»(«?ff<fe 2 л> E4.64)
_б -б -а
Оценим теперь, насколько интеграл E4.61), стоящий в сере-
середине этого неравенства, отличается от интересующего нас интег-
интеграла E4.60). Вспоминая, что функция q>(t) = es/l*-r> = е~' (I +0
(см. E4.55) и E4.57)) возрастает на промежутке [—1, —б] и
убывает на [S, -j-oo), получим для всех s>l:
+ CO
0< \ csh(
(> dt —
—a
-\
— i
< (*-
б
\ e"
—в
i)ft(-
)h<j)eh«)l
—в
—i
+ 00
dt+ \ *
6
+JDO
в
+ 0О
tde-**, E4.65)
где а1 = — max {A (—8), ftF)}>0,
+ 0О
— 1
Отметим, что функция h(f) (см. E4.55)) достигает строгого
максимума в точке ? = 0, причгм /г@) = 0; поэтому h{—6)<0 и
hF)<0.
Подобным образом оцениваются и крайние интегралы в нера-
неравенств? E4.64). Выполнив замену переменной интегрирования
+|g)s f получим (см. E4.63))
+
е а dt=l/ 7гт-?;77т- \ е-"-а«=|/ /r+2e)s-
54.7*. Асимптотическое поведение гамма-функции 333
Теперь, аналогично E4.65), будем иметь
1
— б
+ °° A + 2е) st2 6
$ <? 2 Л- $ в 2
— оо — б
— б (i-(-2e)(8—1H» A +2е)/»
= ^ е 2 е 2
— со
+ оо A + 2e)(s — 1)<» (l+2f)<»
+ \ е 2 е 2
б
— б
f~bVl+2E
l + 2s)(s—ПЯ! ' '
A + 28N*
где a2 = il+^>0, С3 = Г^~
Тем же методом получается и оценка
— оо
(l+2e)(s-lN»
2 1/9тг<гГ^-аг8 E4.66)
E4.67)
Положив a = min{ai, a2, (%} и подставив E4.65), E4.66) и
E4.67) в E4.64), получим при соответствующих постоянных
С4>0 и С5>0 (зависящих от е)
+00
5
334 § 54. Несобственные интегралы, эавжящгее от параметра
Поделим полученное неравенство ка Y2
+00
1
7=5
Следовательно, для любого е > О
+ 00
j
Устремив здесь е к нулю, получим
+ ОЭ
lim ' С
S^+оэ 1 / 2Я J.
или, что то же, искомое асимптотическое равенство
+ 00
Умножив обе его части на e-V1, в силу E4.54), получим
асимптотическую формулу
Г(з+1)~ l/2ne-ssS+2\ s-> + oo, E4.68)
называемую формулой Стирлинга для гамма-функции. Эта фор-
формула является, очевидно, обобщением формулы Стирлинга для
факториала натуральных чисел (см. п. 37.8), которая получается
из E4.6S), если положить s = n, ибо Г (п-\-1) — п\ (см. п. 54.5).
54.8*. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЯДЫ
В п. 37.10* изучались разложения функций в асимптотиче-
асимптотические степенные ряды при х->-\-оо. Напомним, что ряд
называется асимптотическим разложением функции f при х~->-
->--)-оо, если его частичные суммы
54.8*. Асимптотические ряды 335
удовлетворяют условию
Понятие асимптотического разложения функции естественным
образом обобщается на ряды по системам функций, образующих
так называемые асимптотические последовательности.
Определение 3. Последовательность функций <р„ (х), я = О, I,
2, ..., определенных в некоторой проколотой окрестности точки а
(конечной или бесконечно удаленной), называется асимптотической
последовательностью при х-*-а, если для всех я = 0, 1,2,... имеет
место соотношение
фл+1 (*) = о (ц>п (х)), х-+а. E4.69)
Примерами асимптотических последовательностей при х-^-а
являются <р„ (х) = (х — а)п, если а —конечная точка и ц>п(х) = х'п,
если а=+со или а = — оо, я = 0, 1, 2,
Определение 4. Пусть ф„ (х), п = 0, 1, 2, ..., является асимпто-
асимптотической последовательностью при х-^а. Ряд
(х) + aii<pi (х) + ... + апц>п(х) +... E4.70)
называется асимптотическим рядом (или асимптотическим раз-
разложением) при х-+а заданной функции f, определенной в некото-
некоторой проколотой окрестности точки а, если его частичные суммы
Sn (х) = Оофо (х) + diVi (x) + ... + а-пЧп (х) E4.71)
удовлетворяет условию: для любого п = 0, 1, 2, ... имеет место
асимптотическое равенство
f(x)-Sn{x) = o{yn{x)\ x^a. E4.72)
Лемма 2. Пусть ц>п(х), п = 0, 1, 2, ..., —асимптотическая
при x-v-a последовательность. Для того чтобы ряд E4.70) являлся
асимптотическим разложением функции f при х-^-а необходимо
и достаточно, чтобы
f(x)-Sa(x) = 0(yn+i(x)), х^а, я = 0, 1, 2 E4.73)
Иначе говоря, ряд E4.70) является асимптотическим разложе-
разложением функции / при х->а тогда и только тогда, когда его частич-
частичная сумма Sn(x) служит приближенным значением функции f(x)
с точностью до О(фй+1(#)) при х-^а, т. е. ошибка имеет порядок
первого отбрасываемого члена.
Доказательство необходимости условия E4.73).
Соотношение E4.72) при и = 1, 2, ... можно переписать в виде
/ (а-) — Sn_! (х) — аац>п (х) = о (фй (х)), х-+а,
330 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
откуда
/(х) - S*-! (х) = апц>п (х) + о (Фй (х)) = О (ф„ (х)), х-* а, я = 1, 2 ....
т. е. выполняется условие E4.73). Q
Доказательство достаточности условия E4.73).
В силу E4.73) и E4.69) имеем
f(x)-Sn(x)=O(q>n+1(x))=O(o(<va(x)))=o(<pn(x)), x^a, я=0,1,2,...,
что совпадает с E4.72). []
Любопытно отметить, что если для любого я = 0, 1, 2, ...,
выполняется условие
x))t x-+a, E4.74)
более слабое, чем E4.72), то из него в силу E4.69) следует E4.72).
Иначе говоря, выполнение условия E4.74) для всех я = 0, 1, 2,...
означает, что ряд E4.70) является асимптотическим разложением
функции / при х->а. Действительно из E4.74) для п = \, 2, ...
имеем
/ (х) - 5Л_Х (х) = алф„ (х) + О (ф„ (х)) = О (Ф„ (х)) =
= О(о (Фл_! (х))) = о (ф^! (х)), х -»- а,
т. е. условие E4.72).
Если асимптотическая последовательность ф„ (х), п~0, 1,2,...,
такова, что существует проколотая окрестность точки а, в кото-
которой при всех я = 0, 1, 2, ... имеет место неравенство фга(х)=^0,
то аналогично случаю степенных асимптотических рядов функций
получаем:
если функция f раскладывается при х-*-а в асимптотический
ряд E4.70), то таког разложение единственно и его коэффициенты
последовательно определяются по формулам.
[п- 1
\(х)— /
Однако для практического нахождения асимптотических раз-
разложений заданных функций эта формула оказывается не всегда
удобной. Часто проще получить нужное разложение другим путем,
например, в случае интегралов при помощи интегрирования по
частям. При этом, обычно, заранее не задаются асимптотической
последовательностью {ц>п(х)}у а строят ее, исходя из свойств дан-
данной функции в окрестности точки а.
Пример. Разложим в асимптотический ряд при х->- + оо
функцию
F(x, «)= j ~dt, x>0, . E4.75)
54.8*. Асимптотические ряды 337
(а > 0 — параметр), подобрав соответствующую асимптотическую
последовательность. Поскольку
то по признаку Дирихле (см. п. 33.6) мнимая и действительная
части функции F (х, а) представляют собой, при #>0, сходя-
сходящиеся интегралы. Поэтому сходится и интеграл E4.75). Отмстим,
1Е/, 11
что действительной и мнимой частью интеграла -~ г \х , -»-1 являются
неполные интегралы Френеля (см. § 34)
-f- оо -(- °°
\ cos б2 d8, \ sin62d8.
X X
Чтобы в этом убедиться, достаточно в интеграле-^ F(х2, -2¦) сде-
сде^ F(х, 2
лать замену переменной интегрирования ? = 82.
Интегрируя по частям E4.75), получим
+ оо -\- оо
с I \ I* sit л ie'x ¦ f e" л ie'x - v I I 1 \
F(x, a)= J -FZdt = ~5r-ia J ^Fid/ = -^r-«aF(x, o + l).
Применяя последовательно эту формулу к значениям функ-
функции F, получающимся в правой части, будем иметь
F(x, a) = l^*--iaF(x
__ fe'-c ai4ix a(a+l)i3eix . (—l)"et(a+1)... (a-\-n— 1) »"+%"•
X^ ~X^~i ' Ja+i Г • • • T д;СЛ-ге »
n
— -^-тт / -— — j '—r~ri Fix, <x4-tt-t-l). E4.76)
к = 0 ^
Ряд
/i=0
является асимптотическим разложением функции F (x, a) при
Действительно, последовательность функций фя (а-) = е'хх-п~а,
« = 0, 1, ..., является, как легко проверить, асимптотической,
338
§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
а для частичных сумм Sn (х, а) ряда E4.77) в силу E4.76) имеем:
)F(x, a)-Sn(x, а)|=
+п)F (х,
= о(а+!)...
4- <ю
_«(сЦ-Ц-(и+в-1)
0
и
т. е. выполняется уашшге E4.74), и, следовательно, ряд E4.77)
действительно явл-яется асимптотическим разложением функции
F(х, а) при х-*—[-со.
54.9.* АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПОЛНОЙ
ГАММА-ФУНКЦИИ
При любом х>0 для гамма-функции Г (s) имеем
^ J J
^er4 it.
Функция
E4.78)
называется неполной гамма-функцией. Она определена при всех
действительных значениях параметра s. Найдем ее асимптотическое
разложение при х-+-\-оо. Выполняя в правой части E4.78) инте-
интегрирование по частям, получим
T(s, x)=
+ СО
5
+ 0О
Применяя последовательно эту формулу к значениям неполной
гамма-функции, получающимся в правой части, будем иметь:
Г (s, х) = xs~1e-x + (s - 1) х*-*<т* +... + (s - 1) (s - 2)...
.. .(s-n + 1)х"-пе-х + (s- 1) (s-2). ..(s-n)r (s-n, дг)==
543*. Асимптотическое разложение неполной гвлша-фунщии 339
Отсюда при п >> s — 1 имеем
Г (Sr х)-г*
= |(s-l)(s-2)...fc-n)r(s-n, x)\-
+ 00
т. е. для частичных сумм ряда
s-l)(s-2^..(«-»+l) E4.79)
и для последовательности ф„ (х) = x~"i^+1e'x, которая является,
как это легко проверить, асимптотической, при х->- + оо выпол-
выполняется условие E4.73). Таким образом ряд E4.79) является
асимптотическим разложением неполной гамма-функции Г (s, x)
при х->+оо.
В п. 54.7* был найден первый член асимптотического разло-
разложения гамма-функции Г (s+ 1) при s-^ + oo. Можно найти и сле-
следующие члены, т. е. разложить гамма-функцию в асимптотический
ряд. Он выглядит следующим образом:
()
1 1 / 2! 2 4! 12 \2
— <2я) *W + г 11 + Зсз WT + 5с* 212^ Ы + •
s-> + oo. E4.80)
Здесь {ck} — последовательность коэффициентов разложения в сте-
степенной ряд (в окрестности нуля) функции t = t(z), определяемой
равенством -у г2 = — h(t), где /г@ задана формулой E4.56).
Можно получить и асимптотическое разложение для натураль-
натурального логарифма гамма-функции. Оно имеет вид
2лBл—
n= 1
E4.81)
340 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
и называется рядом Стирлинга. Здесь В2п — так называемые числа
Бернулли, определяемые равенством
т—\
2«.„ 1 V
(все нечетные числа Бернулли, кроме Вг = —^, равны нулю).
Из формулы E4.81) с помощью потенцирования можно найти
асимптотическое разложение для гамма-функции, в котором коэф-
коэффициенты выражены в явном виде. Оно имеет вид
Доказательство формул E4.80) и E4.81) не входит в задачу
настоящего курса. Описание методов, с помощью которых полу-
получаются подобные разложения можно найти в книге М. В. Федорюка
«Метод перевала». М., 1977.
54.10. ЗАМЕЧАНИЯ О КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛАХ,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
Мы рассмотрели выше «одномерные» интегралы, зависящие от
параметра, т. е. случай, когда и переменная интегрирования и
параметр являлись числовыми переменными. Эта теория обобщается
на случай кратных интегралов, зависящих от «многомерного»
параметра, т. е. на интегралы вида
F<jj) = lf(x,y)dG. E4.82)
Здесь функция f(x, у) определена на открытом множестве GczRn
и интегрируема, по Риману, на любом открытом измеримом по
Жордану множестве Г, таком, что Т czG. Параметр у пробегает
некоторое множество Y, которое может быть, например, подмно-
подмножеством ш-мерного пространства Rm, а интеграл E4.82) пони-
понимается, вообще говоря, в несобственном смысле.
Интеграл E4.82) называется сходящимся, если при каждом
фиксированном у0 е Y интеграл
сходится. В случае П5?2 это, как известно (см. п. 48.3), экви-
эквивалентно условию сходимости интеграла
J|/(jf, yo)\dG.
Сходящемуся интегралу E4.82) (и любой последовательности
открытых измеримых по Жордану множеств Gk, k=l, 2, ...,
54.10. Замечания о кратных интегралах 341
монотонно исчерпывающей множество G) естественным образом
сопоставляется ряд, суммой которого он является:
\f(х. у)dG = $/(х, у)dd + 2 $/(jc, #)d(GM\Gk). E4.83)
*= l
Подобно одномерному случаю определяется и равномерно схо-
сходящийся интеграл.
Определение 5. Сходящийся интеграл E4.82) называется равно-
равномерно сходящимся, если для любого е>0 cyui/ecmeyem такой ком-
компакт AaG, что для каждого открытого измеримого по Жордану
множества Г, для которого А сгГ czFcrG, выполняется неравен-
неравенство
\\f(x,y)d(G\T)\<e.
Это определение равносильно следующему:
Определение 5'. Сходящийся интеграл E4.82) называется равно-
равномерно сходящимся, если, какова бы ни была монотонно исчерпы-
исчерпывающая открытое множество G последовательность открытых
измеримых по Жордану множеств G,t, k=\, 2, ..., и каково бы
ни было число в>0, существует номер k&, зависящий от данной
последовательности и числа е, такой, что для каждого номера
k^sks и всех уеУ справедливо неравенство
|$/(jc, y)d(G\Gk)\<e.
Если интеграл E4.82) равномерно сходится на множестве G
относительно параметра i/еУ, то ряд E4.S3) также равномерно
сходится на С
Для кратных интегралов, зависящих от параметра, остаются
в силе теоремы об их непрерывности, дифференцируемости и
интегрируемости, аналогичные доказанным выше. В этом легко
убедиться, и мы не будем на этом подробно останавливаться.
Встречаются интегралы, зависящие от параметра и более
сложным образом: в них не только подынтегральная функция f,
но и множество G, по которому происходит интегрирование, зави-
зависит от параметра, т. е. G — G(y):
F(y) = lf(x, y)dG(y). E4.84)
Примером такого интеграла в одномерном случае является
интеграл
Здесь G(y) состоит из двух (кроме случая у — а и у = 6) интер-
интервалов (а, у) и (г/, Ь), меняющихся с изменением параметра у.
342 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Рассмотрим аналогичный пример в n-мерном пространстве.
Пусть G — открытое множество в R", функция ji = \х {х) непрерывна
в G, р = р(дг, у) — расстояние между точками х и у, леб, це
eJ?° и а — некоторое чясло. Интегралы вида
Щ^. E4.85)
называются потенциалами и относятся к типу E4.84), так как
в них множеством, по которому производится интегрирование,
является множество G\{t/}, зависящее от у (в формуле E4.85),
мы обозначили, как это делается обычно, область интегрирования
просто через G). Если а—\ и /2 = 3, то функция {54.65) назы-
называется ньютоновым потенциалом.
Задача 34. Доказать, тг-о емш G—-измеримое по Жордану открытое мно-
множество и функция ц = |х(х) непрерывна на его замыкании G, то интеграл E4.85)
при а<и непрерывен во всем пространстве.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 55. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
55.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЯДА ФУРЬЕ. ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
Определение 1. Ряд вида
ап cosпх-\-Ьп sin пх E5.1)
называется тригонометрическим рядом.
Его частичные суммы являются линейными комбинациями
функций, входящих в систему
1) cos л:, sinx, cos2.v, sin 2x, ..., cosnx, sin/гх E5.2)
Определение 2. Множество функций E5.2) называется триго-
тригонометрической системой.
Лемма 1. Тригонометрическая система E5.2) обладает следую-
следующими сеойствами:
1. интеграл по отрезку [— л, л] от произведения двух различ-
различных функций, входящих в нее, равен нулю (это свойство назы-
называется ортогональностью *>) системы E5.2), т. е.
я
§ cos nx cos mx dx = О,
—я
п
— я
я
sinnxsinmxdx = O, пфт, E5.3)
cosnxsinmxdx = 0, m, п, =0, I, 2, ...;
— я
я я
2) \ cos2nxdx= $ sm*nxdx = n, n=l, 2, .... E5.4)
*» Происхождение термина «ортогональность» будет разъяснено в п. 58.1.
344 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Доказательство. При любых целых неотрицательных т, п,
таких, что пгфп, имеем
я я
\ sin пх sin mx dx = у \ [cos (n — m)x — cos (n + tri) x] dx —
-
sin (n — m)x я sin (n-\-m) x я
2(n — m)
Аналогично доказываются и два других равенства E5.3).
Докажем теперь E5.4):
я я
V cos2 лjc djc = -2- \ A + cos 2nx) dx = n,
— л —я
я я
\ sin* nxdx =-? \ A — cos2ft.v)dx = n. Ц
— я —я
Теорема 1. Пусть
со
= у+ У ancosnx+bns\nnx E5.5)
n=l
ы ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится расно-
мерно на отрезке [—л, я]. Тогда
я
00=4 j
— я
я я
— я
, Ь„ = -^ [ f(x) sinnxdx, n = l, 2,.... E5.6)
Доказательство. Поскольку ряд, стоящий в правой
части равенства E5.5), сходится равномерно на отрезке [— я, я],
а все его члены являются непрерывными на этом отрезке функ-
функциями, то и его сумма f(x) непрерывна на отрезке [—я, я],
а сам ряд можно почленно интегрировать (см. п. 36.4) от —л до я:
— я —я
\f(x)dx= [\y+ У ааcosnx + bnsinnx\dx =
—я x n = l /
Я со Я Я
= "к- \dx+ У а„ \ cos nxdx+ bn V si
n= 1 —я
Отсюда следует первая из формул E5.6).
55.1. Определение ряда Фурье. Постановка основных задач 345
Если ряд E5.5) почленно помножить на cos nx и sin nx (п =
= 1, 2, ...), то полученные ряды будут также равномерно схо-
сходиться на отрезке [—-я, я] (см. свойство 2 в п. 36.3).
Интегрируя почленно эти ряды и используя свойство ортого-
ортогональности E5.3) тригонометрической системы и равенства E5.4),
будем иметь
я я
$ / (х) cos пх&х— \ ап cos2 nx dx = лап,
— я —я
ZZ Я
$ / (х) sin nxdx — \ bn sin2
Из полученных соотношений непосредственно вытекают фор-
формулы E5.6). Ц
Теперь заметим, что интегралы E5.6) имеют смысл не только
для функций, непрерывных на отрезке [— я, я], а также, напри-
например, и для функций, интеграл от которых абсолютно сходится
на этом отрезке.
Напомним, что понятие абсолютно сходящегося интеграла (кгк
и просто сходящегося интеграла) было введено только для функ-
функций, определенных на некотором интервале (а, Ь), -сс<а<
<&sg+cx>, у которых существует такое конечное множество точек xiy
i = 0, I, 2, ..., k, a^xo<lx1<i...<xk^b, что функция /инте-
/интегрируема по Риману на любом отрезке [?,-, т],], где х^г < 1, <
<т]?<^- При этом, если а = — оо, тох0 = — со, а если 6=+сх>,
то хь — -\- со. Числа х0, х1у ..., xk называются особыми точками
функции.
ь
Если при этих предположениях интеграл $ \f(x)\dx сходится,
а
Ь
то всегда имеет смысл и сходится интеграл \ f (x) dx (см. п. 33.5).
а
Функции, интеграл от абсолютной величины которых сходится
на данном промежутке, называются абсолютно интегрируемыми
на этом промежутке.
Отметим, что если функция интегрируема по Риману, на не-
некотором отрезке, то ее абсолютная величина также интегрируема,
по Риману, на нем (см. п. 28.1), и, следовательно, функция,
интегрируемая по Риману на отрезке, абсолютно интегрируема
на нем.
Если интеграл от функции / абсолютно сходится на отрезке
[—я, я], то для нее все интегралы E5.6) также сходятся, так
как они представляют собой интегралы от произведения абсолютно
интегрируемой функции f(x) на ограниченную (синус или коси-
косинус), а такие интегралы абсолютно сходятся (см. лемму 2 в п. 33.5).
346 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Определение 3. Пусть функция f абсолютно интегрируема на
отрезке [—л, я]. Тригонометрический ряд E5.1), коэффициенты
которого задаются формулами E5.6), называется рядом Фурье *>,
или, более подробно, тригонометрическим рядом Фурье, а числа ап
и Ьп — коэффициентами Фурье функции /.
В этом случае пишут
апcosnx + bnsinпх.
Частичные суммы порядка п этого ряда будем обозначать через
Sn(x, f), или, короче, Sn(x). Подчеркнем, что здесь знак-'-->
обозначает не асимптотическое равенство, а просто соответствие:
функции сопоставляется ее ряд Фурье.
Теорему 1 в этих терминах можно перефразировать следую-
следующим образом.
Всякий равномерно сходяищйся тригонометрический ряд
является рядом Фурье своей суммы.
Упражнение 1. Пусть функция / абсолютно интегрируема на отрезке
[— л, л] и пусть
оо
/ (х) ~ -д~ + / п„ cos nx 4- Ъ„ sin nx.
n=\
Тогда, если функция f—четная, то &„ = 0, п=1, 2, ..., если же/—не-
же/—нечетная функция, то а„ = 0, я = 0, 1, 2
2. Является ли тригонометрический ряд
оо
2 sin nx
n2
n=l
рядом Фурье?
В этом параграфе будут изучаться периодические функции,.
т. е. такие функции /, для каждой из которых существует число
Т">0, такоэ, что при всех х, принадлежащих области определе-
определения функции /, значения х + Т и х — Т также принадлежат этой
области и выполняется равенство
Такие функции называются Т-периодическими.
Упражнение 3. Показать, что функция f, равная нулю в любой
рациональной точке и единице во всех иррациональных точках имеет своим
периодом любое рациональное число, и никакое иррациональное число
не является ее периодом.
*' Ж. Фурье A768—1830) — французский физик и математик.
55.1. Определение ряда Фурье. Постановка основных задач 347
Пусть f абсолютно интегрируема на отрезке [—я, л] и, сле-
следовательно, ей можно сопоставить ряд Фурье. Если он сходится
на некотором множестве, то сходится к 2я-периодической функ-
функции, так как все его члены 2л-периодични. Поэтому бывает удобно
и саму функцию / «периодически продолжить» с периодом 2я.
Кавычки поставлены потому, что в действительности функцию /
можно продолжить периодически только в случае, когда f (—л) =
= /(«)•
Если это условие не выполнено, то продолжением функции f
назовем 2я-периодическую функцию f, которую получим, полагая
для любой точки х^[—я, я), в которой определена функция /
(напомним, что в силу абсолютной интегрируемости функции /
на отрезке {—л, л] она определена во всех его точках, кроме,
быть может, конечного их множества),
f(x + 2nk) = f(x), k = 0, ±1, ±2, ....
Такое продолжение в случае, когда /(—ri)^f(n) приводит
к несовпадению значений функций / и f при х = я. Однако, по-
поскольку коэффициенты Фурье функции определяются с помощью
интегралов E5.6), то это не приведет к их изменению, и, следо-
следовательно, ряды Фурье данной функции / и продолженной /
совпадают.
Отметим, что при указанном периодическом продолжении
функция / может не быть непрерывной в точках 2лй, k —
= О, ±1, ±2, ..., если функция / непрерывна при х = — я и
х — л. Продолженная функция f будет непрерывной в точках 2nk,
если / непрерывна в х = — л и х = л, причем /(—я) = /(я).
Непрерывность в других точках при периодическом продолжении
сохраняется: если / непрерывна в точке хе(—л, л), то / непре-
непрерывна в любой точке x + 2kn, & = 0,_±l, ±2,
Часто продолженную функцию / будем обозначать тем же
символом f, что и продолжаемую.
Если функция / 2л-пгриодична, то при вычислении ег коэф-
коэффициентов Фурье (см. E5.6)) интегрирование можно выполнять
по любому отрезку длины 2я, например, по отрезку [0, 2я]:
2я
2я я
W ^ b ^ \ / ()sin nx
я
°п = я" UW cos пх ^х< bn = -^ \
о о
Действительно, если какая-либо функция ф имеет период рав-
равный Т и для некоторого числа a^JR интегрируема на отрезке
[а, а + Т], то при любом выборе b^R она интегрируема и на
348 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
отрезке [b, b + T\, причем
= \ <p(x)dx,
Ь а
а+Т
т.е. интеграл § q>(x)dx не зависит от выбора числа, а е#.
а
Это свойство периодических функций легко доказывается заменой
переменной интегрирования и его рекомендуется провести чита-
читателю самостоятельно.
В § 58 мы обобщим понятие тригонометрического ряда Фурье,
а именно определим и изучим ряды Фурье по произвольной орто-
ортогональной системе функций. В настоящем же параграфе будем
изучать лишь тригонометрические ряды Фурье абсолютно инте-
интегрируемых функций (см. также п. 53.6).
Прежде всего будет рассматриваться вопрос об условиях,
гарантирующих сходимость ряда Фурье. В случае же сходимости
ряда Фурье данной функции f(x) при определенных условиях мы
выясним, чему равна его сумма S(x), в частности — когда она
совпадает с функцией f(x). Будет изучаться «скорость» сходи-
сходимости рядов Фурье и условия, от которых она зависит. Будет
показано, что и в том случае, когда ряд Фурье непрерывной
функции расходится в некоторых точках (примеры таких рядов
существуют), по нему можно восстановить саму функцию во всех
точках. Мы увидим, наконец, что с определенной точки зрения
сходимость рядов Фурье естественно рассматривать не только
в обычном смысле (как сходимость последовательности частичных
сумм в точке или равномерную сходимость), но и совершенно
по-другому, а именно в смысле среднего квадратичного (см. п. 55.7,
55.8 и 55.9).
55.2. СТРЕМЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ К НУЛЮ
Большую роль в теории тригонометрических рядов играет тот
факт, что коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функ-
функции стремятся к нулю при я-»-оо. Он вытекает из доказываемого
ниже несколько более общего утверждения, часто применяемого
в исследованиях, относящихся к рядам Фурье и смежным во-
вопросам.
Теорема 2 (Риман). Если функция f абсолютно интегрируема
на промежутке (а, Ь), конечном или бесконечном, то
ь ь
lim \ f (x)cosvxdx = lim [f(x)sinvxdx — O.
Следствие. Коэффициенты Фурье E5.6) абсолютно интегрируе-
интегрируемой функции стремятся к нулю при п-*-оэ.
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю
349
Прежде чем доказывать эти утверждения, введем ряд понятий,
которые будут неоднократно использоваться в дальнейшем.
Определение 4. Для всякой функции /, определенной на всей
числовой оси, замыкание множества точек, в которых / (х) Ф О,
называется ее носителем и обозначается через supp/**.
Определение 5. Функция f, определенная на всей числосой оси,
называется финитной, если ее носитель содержится в некотором
конечном отрезке.
Определение 6. Для всякого множества Е, лежащего на число-
числовой прямой, функция
I, если jce?,
Oi если хфЕ%
называется характеристической функцией множества Е.
На рис. 218 изображена характеристическая функция полу-
полуинтервала вида [а, Ь).
1
0
1
1
1
1
а
1
1
b
У>
1 -
г
I
1
0
1 1
-*1 j 1
1 1 - j
1 1 1
J > »' *' r
i X
Рис. 218
Рис. 219
Определение 7. Функция f, определенная на всей числосой оси,
называется финитной ступенчатой функцией, если она является
линейной комбинацией конечного числа характеристических функ-
функций попарно не пересекающихся полуинтервалов [щ, bi), i =
= 1, 2, ..., т, т. е. если она представила в виде
2
E5.7)
(рис. 219), где X; (х) — характеристическая функция интервала
[сц, bi), а Я,-, i = l, ..., /га, — некоторые действительные числа.
Нетрудно убедиться, что если не требовать, чтобы полуинтер-
полуинтервалы [a,-, bi), t = l, 2, ..., т, попарно не пересекались, то полу-
получится равносильное определение. Это следует из того, что пере-
пересечение конечного числа рассматриваемых ограниченных полу-
полуинтервалов является также полуинтервалом того же вида.
Очевидно, всякая функция вида E5.7) финитна.
•' От латинского слова supportus—опора.
350 § 55. Траг<ш?шелрич.еекые ряды Фурье
Финитная ступенчатая функция / интегрируема на всей чис-
числовой сси, при этом, если ош& задана формулой E5-.?), то
— ОЭ 1=1 —00 (=1 «• ?=l
Упражнение 4. Доказать, что всякая непрерывная на отрезке функ-
функция является пределом равномерно сходящейся последовательности финитных
ступенчатых функций, носители которых принадлежат тому же отрезку.
Лемма 2. Для любой функции f, абсолютно интегрируемой на
конечном или бесконечном промеясутке с концами а и b, — oosg
=s? a < Ь =sS + °o, существует последовательность таких финитных
ступенчатых функций <р„, п=\, 2 что
1°)
2°)
Доказательство. Пусть функция f абсолютно интегри-
интегрируема на промежутке с концами а и Ь. Допустим для. опреде-
определенности, что она интегрируема на любом отрезке
[I, Т)], — 0O==?G<g<T)<?>sS + 0O
(общий случай абсолютно интегрируемой функции, см. п. 55.1,
легко сводится к этому). Тогда, согласно определению несобствен-
несобственного интеграла, для любого фиксированного числа е>>0 сущест-
существуют такие числа | и т), что
I
E5.8)
Функция f интегрируема, по Риману, на отрезке [?, т]] и,
следовательно, если обозначить через st нижнюю сумму Дарбу
функции /, соответствующую разбиению т отрезка [?, tj], то
lim sx — \f(x) dx,
\ i
где бт —мелкость разбиения т. Поэтому существует разбиение
То = {¦*»}'=* отрезка [?, т)], такое, что если sT, — нижняя сумма
Дарбу для функции /, соответствующая разбиению тв, т. е.
k
sTo = ^] m,- Ajc,-, m,- = inf / (x), Ал:,- — xt — ^-i, г = 1, 2,..., k,
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю 351
ТО
где е —фиксированное выше число.
Положим
ер(х) = { m" eC™ *-*^Х<Х!< ' = »• 2, ..., А, 5_
(О, если х<Ц или x3st|
Очевидно ср (х) — финитная ступенчатая функция,
supp<pc:;{?, rife:(а, 6') и jjqp<x)-d* = ^ ««A^ = st,.
Следовательно,
I U (*) - Ф (*)] ^ = { / (х) dx-\fp (х) dx < J, E5.10)
l 6 6
при этом поскольку y(x)^f (х), 1^х<Сц, то
Из неравенств E5.8) и E5.10) имеем:
-ф(*) | dx= J
о а
Полагая, например, е = — и обозначая соответствующие финит-
финитные ступенчатые функции ср через <р„, п—1, 2, ..., получим по-
последовательность финитных ступенчатых функций сря, для которой
выполняется утверждение леммы. Ц
Доказательство теоремы. Пусть %(х) — характеристи-
характеристическая функция полуинтервала [|, ц). Тогда для любого интер-
интервала (a, b) zd [?, т]) будем иметь
* ч
, • С / ч • j 1 • f • j 1 • cos v| — cos vri n
lim \ %(x)smvxdx= hm \ sinvxax= hm ^ ' = 0,
V —+ 00 *J V—* 00 V V—+ 00
ибо
cos v| — cos vt)
cos v|| -j-1 cos v»j I 2
V
352
§ 55. Тригонометрические ряды Фурье
Так как любая финитная ступенчатая функция является линей-
линейной комбинацией конечного числа характеристических функций
полуинтервалов рассмотренного вида, то утверждение теоремы
справедливо и для любой финитной ступенчатой функции.
. Если теперь функция / является абсолютно интегрируемой на
промежутке с концами а и b, — oo^a<6sg-)-oo, то для любого
числа е > 0, согласно лемме существует финитная ступенчатая
функция ф, такая, что
Для этой ступенчатой функции (поскольку для ступенчатых
функций теорема уже доказана) существует такое ve, что при
Iv 2iVR
\ ц>(х) sin vxdx
Поэтому, используя тождество
y(x)]-{-<p(x), при
получим
x) si
I — <p(x)] sin vxdx
ь
j ф (x) sin vx Ax
17
V ф(х) sin vxdx
Это означает, что lim \f(x) sinvxdx = 0.
v —coa
Аналогично доказывается, что
lim
55.3. ИНТЕГРАЛ ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ
Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема на отрезке
[—л, л]. Найдем удобное для исследований выражение частич-
частичной суммы Sn (x; f) ряда Фурье функции /, называемой также
просто суммой Фурье п-го порядка п = 0, 1, 2,..., этой функции.
Подставив в 5„ (х; f) выражения для коэффициентов Фурье E5.6),
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации 353
получим:
Sn(x; /) = ?•
л п я
1 Г
fc^=l —я
л: г я т
Положим
а
D»@=2"+ 2C0S^' E5Л2)
тогда формула E5.11) перепишется в виде
5Я(х; f) = ~§ Dn(t-x)f (ОЛ. E5.13)
Функция Dn (/) называется ядром Дирихле, а интеграл, стоящий.
в правой части равенства E5.13), — интегралом Дирихле.
Лемма 3. fldpo Дирихле:
.1) четная непрерывная 2л-периодическая функция, причем
2) удовлетворяет условию
l; E5.14)
3) при гф2я?, k = 0, ± 1, ±2, ..
sin
2 sin ~2"
Доказательство. Непрерывность, четность и существова-
существование периода, равного 2я, для ядра Дирихле Dn(t) непосредст-
непосредственно следует из его определения, т. е. из формулы E5.12). Из
этой же формулы следует и равенство E5.14): чтобы его получить,
достаточно проинтегрировать по отрезку [—я, я] обе части ра
12 Кудрявцев Л. Д. т. 2
354 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
венства E5.12):
Я Я л Я
—Я fc=l —Я
я
ибо при k—\, 2, ...: $ cosktdt = 0.
—я
Докажем теперь формулу E5.15). Имеем:
с„ (о=\ + 2cos #=—V sin 4- + 22 sin тcos kt =
fe= i 2 sin -„- \ ь=1 /
2 sin у L k=\
~..к k = 0, ±1, ±2
" 2"
Отметим, что в силу четности ядра Дирихле
I Dn(t)dtJ\Dn{t)dt,
—я о
поэтому
—я о
Отсюда и из свойства 2° ядра Дирихлг следует, что
>n(O^ = l- E5.16)
Заметим еще, что правая часть равенства E5.15) имеет смысл
лишь при t Ф 2nk, k — целое. Но поскольку
2 Sin—
sin (n+-At
то функцию i —— можно доопределить при t = 2nk, k = 0,
2sin у
± 1, ± 2, ..., считая ее значение в каждой из этих точек по
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации 355
определению равным я + у. Доопределенная указанным способом
функция непрерывна при t = 2nk для всех целых k.
Вернемся к рассмотрению функции /, абсолютно интегрируемой
на отрезке [—л, л]. Нас будет интересовать, в частности, предел
последовательности частичных сумм Sn (x; f) ее ряда Фурье. Заме-
Заметим, что непосредственно перейти к пределу при n-voo в правой
части равенства E5.13), т. е. перейти к пределу под знаком
интеграла, нельзя, так как предел ядра Дирихле при я-*-оо не
существует. Продолжим функцию / с полуинтервала [—л, п)
в 2л-периодическую функцию и обозначим ее также через /
(подробнее о периодическом продолжении см. в п. 55.1).
Докажем следующую лемму.
Лемма 4. Для частичной суммы Фурье Sn(x; f) абсолютно
интегрируемой 2л-периодической функции f справедливы формулы
я
Sn (х; /) = -l- J Dn @ f(x + t) dt E5.17)
»<*: f)=l,\Dn(t)[f^ + t) + f(x-t)\dt. E5.18)
Следствие. Для любых 6е@, л), х е [— л, л] частичная сумма
Sn. (x'> f) ряда Фурье абсолютно интегрируемой 2л-периодической
функции f обладает следующим асимптотическим интегральным
представлением:
б
Sn(x; /) = ^ §Dn(t)[f(x + t) + f(x-t)]dt + o(l), n-+oo. E5.19)
Доказательство леммы. Выполним в интеграле Дирихле
E5.13) замену переменной интегрирования u = t — x:
я
~ J Dn(t-x)f(t)dt =
-Х-
я
— я
я—х
Dn (и) f (х + и) da = 1 J Dn (и) f(x + u)du. E5.20)
Мы снова воспользовались здесь тем обстоятельством, что интеграл
от периодической функции по отрезку, длина которого равна ее
периоду, не зависит от положения этого отрезка на действительной
оси (см. п. 55.1), и применили это свойство к 2я-периодической
по и функции Dn(u)f(x + u). Итак формула E5.17) доказана.
12*
356 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Для доказательства формулы E5.18) представим правую часть
равенства E5.20) в виде суммы двух интегралов с промежутками
интегрирования [—л, 0] и [0, я]; в первом интеграле выполним
замену переменной « =— / и воспользуемся четностью ядра
Дирихле:
Dn(-u) = Da(u)
(см. лемму 3). В результате будем иметь:
я
Sn(x; f) = l~ \Dn(u)f(x + u)du =
о
n (и) f(x + u)du + ^ J Dn (u) / (x + u) du -
6
о
-я
n
о
я
Формула E5.18) также доказана. Ц
Доказательство следствия. Зафиксируем число б,
0<б<л, и представим правую часть E5.18) в виде суммы двух
интегралов следующим образом:
в я
Sn(x; /) = М+-И. E5.21)
о 6
Поскольку функция т- непрерывна, а следовательно, и огра-
2 sin -2-
ничена на отрезке [б, л] /именно для всех / е[б, л]: 0< t-s^
\ 2 si" У
1\ а функция /(х + 0 + /(^ —0 при любом фиксированном
j
ie(—л, л] 2л-периодична по t и абсолютно интегрируема на
отрезке [— л, л], то на [б, л] абсолютно интегрируемо и их
произведение >+i(x~ _ Поэтому, согласно теореме Рнмана
2 sin у
(см. тгорему 2 в п. 55.2) второй интеграл в правой части равен-
равенства E5.21) стремится к нулю при н-»-оо, т. е.
dt = o(l), л->оо.
2sin^-
55.4. Сходимость рядов Фурье в точке 357
Подставляя это выражение в E5.21) получим формулу E5.19).Q
Из формулы E5.19) следует одно важное свойство рядов
Фурье, называемое принципом локализации. Сформулируем его
в виде теоремы.
Теорема 3 (принцип локализации). Если f — 2п-периодическая
абсолютно интегрируемая функция, то существование и значение
предела последовательности ее частичных сумм Фурье Sn(x; f)
в любой точке х0 е [— я, я] зависит только от существования и
значения предела при п->-оо интеграла
1^ Dn(t)[f(xo+t)+f(xo-t)]dt,
о
где б — сколь угодно малое положительное число.
Подчеркнем, что в подынтегральное выражение указанного
интеграла входят лишь значения функции / на отрезке [х0 — б,
лго + б], и, тем самым, существование и значение предела частичных
сумм ряда Фурье функции / зависит только от ее свойств в окре-
окрестности точки х0, или, как говорят, от ее локальных свойств,
вблизи точки х0.
Из принципа локализации следует, что если в любой, сколь
угодно малой, окрестности точки х0 функции f и g совпадают, то
пределы lim S(Xt,; f) и lim S (х0; ^одновременно существуют или
я—*-оо я —юо
нет, причем если эти пределы существуют, то они равны. Это
тем более интересно, что ряды Фурье таких функций вообще
говоря, различны, ибо в формулы для коэффициентов Фурье вхо-
входят значения функции по всему отрезку [— я, я].
55.4. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ В ТОЧКЕ
В этом пункте будут рассматриваться 2я-периодические абсо-
абсолютно интегрируемые на отрезке длины 2я функции, которые имеют
только точки разрыва первого рода, вследствие чего в каждой
точке х0 числовой оси существуют односторонние пределы:
lim /(*о+Л) = /(*о + О), lim
ft—+0 Л—+0
Определение 8 (Лебег*1). Точка х0 называется регулярной точ-
точкой функции f, если
Очевидно, каждая точка непрерывности функции является ее
регулярной точкой.
*' А. Л. Лебег A875—1941)—французский математик.
358 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Если *¦<, — точка разрыва первого рода функции /, то под ее
односторонними производными fl (x) и /1 (х) будем здесь понимать
пределы
А-+0
В случае, когда функция непрерывна в точке х, и, следова-
следовательно, f(x + O) = f(x — O) = f(x), сформулированное определение
односторонних производных совпадает с данным раньше (см. п. 9.1).
Для удобства формулировки теоремы о сходимости ряда Фурье
введем обозначение
O). E5.22)
Очевидно, что в регулярной точке х функция !%{t) имеет вид
Нам понадобится следующая простая лемма.
Лемма 5. Для 2п-периодической абсолютно интегрируемой на
отрезке длины 2я функции f интегралы
i««L E5.23)
и и Ssin-jj-
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. Действительно, для любого б, 0<б<я
функция т- непрерывна, а поэтому и интегрируема по Ри-
2 sin ~ . .
г.:ану на отрезке [б, я]. Функция же f%(t) (x фиксировано) абсо-
абсолютно интегрируема на этом отрезке, следовательно и их произ-
ссдение — абсолютно интегрируемо на отрезке [б, я], т. е.
2С1П
МП ~р
при любом б, 0<б<я, интеграл
dt E5.24)
S 2 sin -?-
сходится (см. лемму 2 в п. 33.5).
Выберем теперь б>0 так, чтобы на отрезке [0, б] функция
fx(t) не имела особых точек (см. п. 55.1) кроме, быть может, точки
t = 0, т. е. чтобы она при любом е, 0 < е < б, была интегрируемой
по Риману на отрезке [е, б]; это всегда возможно, так как из
предположения абсолютной интегрируемости функции / следует,
55.4. Сходимость рядов Фурье а точке 359
что у нее, а следовательно, и у функции /J имеется лишь конечное
число особых точек (см. снова п. 55.1).
Теперь заметим, что функции —-— и ——г- эквивалентны при
2 sin ^
?->-0, ибо
lim — = 1;
2 sin у
поэтому по признаку сходимости интегралов, называемому приз-
признаком сравнения (см. следствие из теоремы 1 в п. 33.3), приме-
примененному к абсолютным величинам рассматриваемых функций,
интегралы
J
0
2sin-|-
одновременно сходятся или расходятся. В силу сходимости интег-.
рала E5.24), отсюда сразу следует, что интегралы E5.23) также
будут одновременно сходиться или расходиться. Q
Теорема 4 (признак Дини). Пусть f — 2л-периодическая функция,
абсолютно интегрируемая на отрезке длины 2я.
Тогда, если х является точкой непрерывности или точкой раз-
разрыва первого рода и при некотором б, 0<6<я, интеграл
Щ^- dt E5.25)
сходится, то ряд Фурье функции f сходится в точке х к значению
/(*+0)+/(*-0). E5.26)
Следствие 1. Если условия теоремы выполнены, то в любой регу-
регулярной точке функции f (в частности —во всех ее точках непре-
непрерывности) ряд Фурье этой функции сходится к ее значению
в рассматриваемой точке.
Следствие 2. Если f— 2п-периодическая функция, абсолютно
интегрируемая на отрезке длины 2л и е точке х существуют
f(x-\-O), f(x — O), f'+(x) и fi(x), то ряд Фурье функции сходится
в этой точке к значению E5.26).
Следствие 3. Ряд Фурье кусочно непрерывно дифференцируемой
на отрезке [— я, я] функции f сходится в каждой точке интервала
(—я, я) к значению E5.26), а в точках х = — л и х — п к значению
-о). E527)
360 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Следствие 4. Ряд Фурье непрерывной кусочно диффсргнцируемой
на огпргзке [— я, л] функции сходится е любой точке интерзала
(—л, я) к значению функции в этой точке, а в точках х-—— я
и х = я к значению E5.27).
Доказательство теоремы. Используя формулы E5.18)
и E5.16) будем иметь
о
Пусть интеграл E5.25) сходится. Тогда, согласно лемме 5,
сходится и интеграл
о 2 sin -g-
. /* (/) ,
иначе говоря, функция — абсолютно интегрируема на отрезке
[О, я]. Поэтому, согласно теореме Римана (см. п. 55.2)
я
lim — \ —-—— si
л^со л J 2siny
следовательно, в силу E5.28):
Следствие 1 непосредственно вытекает из теоремы в силу
определения регулярной точки функции.
Докажем следствие 2. Согласно теореме 4 достаточно показать,
что если существуют пределы /(x-f 0), /(* —0) и односторонние
производные [' (х), \'_ (х), то интеграл E5.25) сходится при неко-
некотором б > 0. Прежде всего, в силу существования конечного
пред-ла
+
55.4. Сходимость рядов Фурье в точке 361
, /*@ . , п
функция —-— ограничена в некоторой окрестности точки t = 0.
Поэтому существует такое б, 0 < б <; я, что на отрезке [С, б]
функция —— ограничена и, следовательно, не имеет особых точек,
вследствие чего она интегрируема по Риману на этом отрезке
(см. п. 33.1, а также замечание 4 в п. 44.7). Функция, интегри-
интегрируемая по Риману, абсолютно интегрируема, а поэтому интеграл
E5.25) конечен. Ц
Для доказательства следствия 3 функцию f, заданную на отрезке
[— я, я], продолжим периодически с периодом 2я с полуинтервала
[—я, л) на всю числовую ось и обозначим полученную функцию
через /. В силу определения кусочной_ дифференцируемссти (см.
определение 1 в п. 30.2) функция / удовлетворяет условиям
следствия 2. Согласно этому следствию ряд Фурье функции /,
очевидно совпадающий с рядом Фурье для /, сходится в каждой
точке х к
7(де+0)+/г(*-0)
2
Если д-еЕ(—я, л), то f(x±0) = f(x±0) и, следовательно,
/(»-0)- При г = _я указан„ый ряд
сходится к / (—л+ )+/ (—л— )^ а прИ х __ п _ к значению
(л —0)
. В силу периодичности функции /
Поэтому
/ (-я + 0)+7(-л-0)
2
?
Следствие 4 непосредственно вытекает из следствии 1 и 3. []
Заметим, что в формулах E5.26) и E5.27) сумма ряда Фурье
функции / выражена через саму функцию /, заданную на отрезке
[—я, я], а не через ее периодическое продолжение / на всю
числовую ось.
Если функция / удовлетворяет условиям следствия 4, т. е.
непрерывна и кусочно-дифференцируема на отрезке [—я, я] и кроме
того /(—я) = /(я) (т. е. ее периодическое продолжение на всю
числовую ось совпадает с ней всюду на [—я, я], включая концы),
то на' всем отрезке [—л, я] функция / равна сумме своего ряда
Фурье:
оо
f(x) = Q + ^ ап cos nx + bn sin nx.
362 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Поэтому такая функция в каждой точке отрезка [—я, я] может
быть представлена с любой степенью точности частичной суммой
ее ряда Фурье, т. е. линейной комбинацией синусов и косинусов
кратных дуг (говорят также, что указанная функция аппроксими-
аппроксимируется суммой простых гармоник *>). То, что в рассматриваемом
случае период равен именно 2я не существенно: случай произ-
произвольного периода Т > 0 легко сводится к рассмотренному простой
заменой переменного (см. п. 55.12).
Примеры 1. Найдем ряд Фурье функции ch х, —я ^ х ss; я.
Вычислим ее коэффициенты Фурье:
if.,, j.. shx
ао = -„-
—я
я
1
§ ch х cos пх dx = {—\)" я У+* а). п=1, 2,....
—я
Из чэтности функции chx слгдует, что для нее Ь„ = 0, п =
= 1, 2, Функция chx непрерывно диффгргнцируема и, следо-
следовательно, удовлетворяет условиям следствия 4 из теоремы 4;
кроме того она принимает одинаковые значения на концах отрезка
[—я, я], поэтому ее ряд Фурьз во всех точках отрезка [—я, я]
сходится к самой функции ch x:
оо
1+2 2 (-
п=1
Этот ряд сходится равномерно, что следует из его сравнения со
оо
сходящимся числовым рядом 2, 1 л 2 •
Графики функции ch л; и суммы 5 (х) его ряда Фурье изобра-
изображены на рис. 220.
2. Найдем ряд Фурье функции shx, —яз?л:^я.
В силу ее нечетности имеем
а„ = 0, п"=0, 1, 2, ...;
далее,
2y n= 1, 2,....
—л
Функция sh* непрерывно дифференцируема и удовлетворяет
условиям следствия 4 из теоремы 4, но sh(—я)#=5пя; поэтому
во всех точках интервала (—я, л) ряд Фурье функции shx cxo-
*' Простой гармоникой называют (преимущественно в физике) выражение
вида A cos пх + В sin пх, где А и S — постоянные.
55.4. Сходимость рядов Фурье в точке
363
дится к самой функции:
, —я<х<я,
и=1
sh (—л) -j- sh л л
а в точках х = —я и х = я —к значению —-—^ = 0.
У
S(x)
х
Ряд Фурье функции sh* уже не сходится равномерно к ней
на всем отрезке [— я, я] (действительно, в противном случае
его сумма должна была бы быть непрерывной на отрезке [— я, я],
а она имеет разрывы на его концах). Графики функций sh x и сум-
суммы 5 (х) ее ряда Фурье для срав-
сравнения изображены на рис. 221.
3. Разложим в ряд Фурье
функцию
/ \х) — о >
Хотя функция f выглядит нес-
несколько искусственно, ее ряд
Фурьз имеет очень простой вид |/
и позволяет получить ряд инте- *~~
ресных формул.
Продолжим функцию f 2я-пе-
рнодически с полуинтервала
[О, 2я) на всю числовую ось.
В результате получится нечетная функция, в силу чего все ее коэф-
коэффициенты Фурье ап будут равными нулю: а„ = 0, п = 0, 1, 2,
Вычислим коэффициенты Ьп. Интегрируя по частям, получим
2л
Рис. 221
л— х
smnxdx =
cos пх 2л
2л
2л 1 (• 1
— п— \ cos пх ах = —.
о 2ял .) п.
364 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Итак,
со
п х yi i х /се оол
E5-29)
со
п— х yi sin пх
2
л = 1
В силу следствия 4 теоремы 4 для 0 < х < 2я имеет место
равенство
^. E5.30)
При х = 0 это равенство, очевидно, несправедливо, так как сумма
получившегося ряда при х = 0 равна нулю, а /@)=^=0.
График суммы ряда E5.29)
изображен на рис. 222. Заметим,
что этот ряд заведомо не схо-
„ дится равномерно на отрезке
х [0, 2л], так как его сумма не
является на нем непрерывной
функцией (равномерная сходи-
Нис- 22 мость ряда E5.29) была исследо-
исследована в п. 36.3).
Заменив в E5.39) х чзрез 2х и д^ля обз части получившегося
равенства на 2, получим
T-I-2T 0<х<я. E5.31)
* = 1
Вычтем это равенство из E5.30):
со
я _ VI sin Bk— \)x
Т ~~ Zi 2k^\ '
E5.32)
Подставив получившееся выражение для -т- в E5.31), получим
п=\
Это равенство верно уже и при х = 0, а в силу нечетности обеих
частей равенства и при — я<л;<0, т. е. на всем интервале
(—я, л), но, конечно, не на его концах, в которых сумма ряда
равна нулю.
55.5*. Сходимость рядов Фурье 365
Отметим еще, что положив в E5.32) х= -?-, получим так
называемый ряд Лейбница
3-1 _JJ . -1 - ' 4-
4 1 3^5 7 ~Г"" '
который нам уже встречался раньше (см. п. 37.7, пример 2).
Упражнения. 5. Найти ряд Фурье функции f(x) — \x\, — я. =<= х =? л,
и с помощью него вычислить сумму ряда
6. Найти ряд Фурье для функций
а\ f /v\ V2 Л .-- v <~~ 9тт-
) I (X)—* i UaaX^^n,
6)f(x)=xi, — ns?ixi-~n;
в) f(x) = x2 при Ossxsgjt, а на [—я, 0) функция / продолжена нечетным
образом.
С помощью полученных разложений вычислить суммы рядов
1
55.5*. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ,
УДОВЛЕТВОРЯЮЩИХ УСЛОВИЮ ГЁЛЬДЕРА
В этом пункте мы укажем более слабое достаточное условие,
чем условие односторонней дифференцируемое™ (см. следствие 2
теоремы 4 в п. 55.4), также обеспечивающее сходимость инте-
интеграла E5.25) и, следовательно, сходимость ряда Фурье 2я-перио-
дической абсолютно интегрируемой на отрезке длины, равной
периоду, функции / к значению E5.26).
Определение 9. Функция /, определенная на интервале (х0, Ь)
называется функцией, удовлетворяющей спроса условию Гёльдера
степени а в точке х0, если существуют конечный правосторонний
предел /(хо + 0) и такие постоянные Af>0 и 8>0,' что для
любого h, удовлетворяющего условию 0</i<6, выполняется не ра-
равенство
E5.33)
Функция f, определенная на интерсале (а, х0), называется
функцией, удовлетворяющей слева условию Гёльдера степени а
в точке х0, если существуют конечный левосторонний предел
/ (х0 — 0) и такие постоянные М > 0 и б > 0, что для любого h,
удовлетворяющего условию 0<;/i<б, выполняется неравенство
\f(xo-h)-f(xo-0)\<Mh*. E5.34)
Функция f, удовлетворяющая в точке х0 условию Гёльдера неко-
некоторой степени как справа, так и слева, называется функцией,
366 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
удовлетворяющей условию Гёльдера данной степени в рассматри-
рассматриваемой точке.
Функция, определенная на некотором отрезке, называется
функцией, удовлетворяющей условию Гёльдера данной степени
на этом отрезке, если в каждой его точке она удовлетворяет
условию Гёльдера указанной степени, причем в каждой внутрен-
внутренней точке отрезка как справа, так и слева: в левом конце отрезка —
справа, а в правом—слева.
Отметим, что так называемое классическое условие Гёльдера
данной степени состоит в следующем. Функция / называется
удовлетворяющей в точке х классическому условию Гёльдера сте-
степени а>0, если существуют такие 8>0 и 7И>0, что для всех
h, |/i|<;6, выполняется неравенство
Очевидно, что в этом случае, благодаря условию и>0, функ-
функция / всегда непрерывна в точке х: из lim \h'f- = O, a>0, сле-
h —О
дует, что \imf (x-\-h) — f(x).
Аналогично определяются односторонние классические усло-
условия Гёльдера.
Таким образом, отличие рассматриваемого нами условия Гёль-
Гёльдера от классического состоит, в частности, в том, что согласно
нашему определению функция, удовлетворяющая условию Гёль-
Гёльдера в некоторой точке, может быть разрывной в ней.
Условие Гёльдера степени единица обычно называется усло-
условием Липшица*^.
Упражнения. 7. Доказать, что если функция удовлетворяет в неко-
некоторой точке условию Гёльдера степени а, то при 0<Р<а она удовлетво-
удовлетворяет в этой точке и условию Гёльдера степени E.
8. Доказать, что если функция имеет на отрезке ограниченную производ-
производную, то она удовлетворяет на нем условию Липшица с одной и той же посто-
постоянной М.
9. Доказать, что если функция удовлетворяет ка некотором отрезке клас-
классическому условию Гёльдера степени а> 1, то она постоянна на этом отрезке.
10. Доказать, что функция f(x) = xa, x^O, 0<ascl, удовлетворяет
в точке х = 0 условию Гёльдера степени а и не удовлетворяет в ней никакому
условию Гёльдера степени р > а.
Теорема 5. Пусть функция f абсолютно интегрируема на
отрезке [— я, я]. Если она удовлетворяет в /почке х ge (— я, л)
условию Гёльдера степени а, а > 0, то ее ряд Фурье сходится
в этой точке и его сумма равна
2
Р. Липшиц A832—1903) — немецкий математик.
55.5*. Сходимость рядов Фурье
367
в частности, если функция, кроме того, непрерывна в точке
х се (— я, я), то ее ряд Фурье сходится к значению функции в этой
точке:
lim Sn(x; f)=f(x).
л-*оо
Если функция f удовлетворяет условию Гёльдера справа в точке
х = — пи слева в точке х = п, то ее ряд Фурье сходится в этих
точках и его сумма в них равна
f(-n)+f(n)
Доказательство. Выберем б, 0<б<л, так, чтобы
во-первых, на отрезке [0, 6] не было других особых точек функ-
f* it)
ции -—- кроме, быть может, точки х = 0, а во-вторых, чтобы при
всех h, | h | < б, функция / удовлетворяла условиям Гёльдера
E5.33) и E5.34) в точке х. Тогда, в силу формулы E5.22) для
функции f%(t), будем иметь
f(x+f)-f(x+O)
/(*_/)_/(х-0)
t
Ш
—, а>0, сходится, то в силу приз-
о
нака сравнения сходится в нашем случае и интеграл E5.25).
Поэтому теорема 5 следует из теоремы 4. Q
В заключение заметим, что если функция / в точке х имеет
правостороннюю производную /+, то / удовлетворяет в этой точке
справа условию Гёльдера степени 1. В самом деле, из сущест-
существования конечного предела
следует, что найдется такое 6>0, что для всех h, )/г|<6, будет
справедливым неравенство
[x + h)-f(x+0) „ , , .
z f+\x) <- J >
h
откуда, положив М й | f'+ (х) \ + 1, получим
-Af<
следовательно,
Аналогичное утверждение справедливо, конечно, и для лево-
левосторонних производных.
368 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Задача 35. Функция /, определенная на отрезке [а, Ь], называется функ-
функцией класса Гёльдера На (М) на этом отрезке, если для каждой пары точек к
и x-\-h этого отрезка, х е [a, b], x-\-h e [а, Ь], выполняется неравенство
иначе гозоря, если функция / удовлетворяет классическому условию Гёльдера
олной и той же степени а и с одной и той же постоянной М во всех точках
отрезка [а, Ь].
Доказать, что если 2я-периоцичес.кая абсолютно интегрируемая на отрезке
длины 2я функция принадлежит на некотором отрезке [а, Ь\ классу Гёльдера
На(М), 0<а^1, М>0, то на всяком отрезке [а', Ь'\, содержащемся
в интервале (а, Ь): 0 <с а <С а' < Ъ' •< Ь <С 2 лряд Фурье функции / сходится к ней
равномерно.
55.6. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ МЕТОДОМ СРЕДНИХ
АРИФМЕТИЧЕСКИХ
Пусть функция / абсолютно интегрируема на отрезке [— л, л]
и удовлетворяет условию/(—я)=/(я), а следовательно, 2л-перио-
дически продолжаема на всю вещественную ось. Пусть Sn (л) —•
ее суммы Фурье, a Dn(x)~ядра Дирихле, я = 0, 1, 2, ... (см.
E5.11) и E5.12)).
Рассмотрим средние арифметические:
...+ Sn(x)
(Л
Уп (X) =
„ = o,l, 2,.... E5.35)
Сумма а„ (х) называется суммой Фгйера *' /г-го порядка функ-
функции f, а Ф„ (х) — ядром Фгйера п-го порядка.
Из формулы
(см. E5.17)) получаем
я
°»(х) = ^ J Ф, (и) f (х + и) du. E5.36)
— я
Будем исследовать поведение сумм ап(х) при n->oo, т. е.
рассмотрим суммирование ряда Фурье методом средних
арифметических (см. п. 35.15).
Изучим прежде всего свойства ядра Фейера.
Лемма 6. Ядро Фейера обладает следующими свойствами.
1°. Функция Фп(х) является четной непрерывной-2п-периоди-
ческой, причем
Ф„@)=Ц1; E5.37)
Л. Ф е й е р A880 — 1959) — венгерский математик.
55.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических 309
2°. Для всех t ядро Фейера Ф„Ц) неотрицательно: Фп{1)'^0\
я л
3°. ~
4°. При^26я, & = 0, ±1, ±2, ...:
2(«+l)sin2-|-
Следствие. При любом фиксированном 8, 0<б<л, имеет
место равенство
lim max Ф„(/) = 0. E5.38)
Доказательство. Сначала докажем свойство Г. Четность,
непрерывность и периодичность ядра Фейера следуют сразу
в силу формулы E5.35) из тех же свойств ядра Дирихле (см.
лемму 3 в п. 55.3). Далее, поскольку Dfc@) = &-(-~, & = 0, 1,
2 то
k=0
bL 2 "+" 2 J ~ 2 •
Докажем свойство 3°:
— я fe = 0 —я
В силу четности ядра Ф„ (/) отсюда следует, что
я ¦ я
=± J Ф„@*=1.
Докажем теперь свойство 4°, из которого, очевидно, следует
свойство 2°. Для 1ф2Ы, k = 0, zhl, гЬ2, ..., имеем
sin
А.= о 2sin-H-
? L_Ji_ = —L__ V
¦ 4 sin2 у 4sin22fe = 0
• - 1+1
cos.rc+iH __ S'"" 2
t t
4 sin2 у 2 sin2 -g-
370
§ 55. Тригонометрические ряды Фурье
Отметим, что формулу E5.37) можно получить, в силу непре-
непрерывности ядра Фейера, и предельным переходом из свойства 4°,
устремляя t к нулю.
Доказательство следствия. Используя свойство 4°
ядра Фейера, получим
1
max
У
Поскольку правая часть получившегося неравенства стремится
к нулю при п—уоо, то из полученной оценки сразу следует
E5.38). ?
Примерный вид графика ядра Фейера изображен на рис. 223.
В этом пункте будем рассматривать только непрерывные на
отрезке [— я, я] функции /, принимающие на его концах равные
значения: /(—я) = /(я). Оче-
Очевидно, каждую такую функцию
можно продолжить 2я-периоди-
чески с отрезка [— я, я] на всю
числовую ось R. Полученная
функция, которую обозначим
через /, будет непрерывна на
всей оси /?.
Исходная функция /, как
всякая непрерывная на отрезке
функция, ограничена, т. е. су-
су\f\ [ ]
Я X
Рис. 223
фу
ществует постоянная М>0 такая, что \f(x)\
Ясно, что тогда
у
M, ie[-n, я].
т. е. функция / ограничена на всей оси /?.
Кроме того, функция / равномерно непрерывна на всей оси /?.
В самом деле, будучи непрерывной на любом конечном отрезке,
например, на [0, 4я], она равномерно непрерывна на нем (см.
теорему 5 в п. 19.6). Это означает, что для любого е>0 суще-
существует такое б, 0 < б < 2я, что для всех х1 ge [0, 4я], х2 е [0, 4л;],
1 |8, выполняется неравенство
Но для произвольных х[ и x't таких, что \x'i — x'l\<.§ найдутся
целые числа пит, для которых Хх = х[ — 2я« е [0, 4я], хг — х\ —
— 2яте[0, 4я] _и \х1 — х2\ <_б, а поскольку в силу 2л-перио-
ДИЧНОСТИ f (Xj = f (x't), /(X2) = /D), TO
i / №) - f (X[) 1 = 1/ (Хг) - f (Xl) |
55.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических 371
Это и означает равномерную непрерывность функции f на всей
числовой оси R.
В дальнейшем будем периодически продолженную функцию
обозначать тем же символом /, что и продолжаемую.
Теорема 6 (Фейер). Если функция непрерывна на отрезке
[—я, я] и принимает на его концах равные значения, то после-
последовательность ее сумм Фейера сходится равномерно на этом
отрезке к самой функции.
Следствие. Если ряд Фурье непрерывной на отрезке [—п, я]
функции, принимающей на его концах равные значения, сходится
в некоторой точке, то он сходится к значению функции в этой
точке.
Доказательство. Пусть функция / непрерывна на отрезке
[—я, я] и /(— я) = /(я). Продолжим ее 2я-периодически на всю
числовую ось R. Оценим разность f(x) — an(x) между функцией f
и ее суммой Фейера оп, используя представление суммы Фейера
в виде E5.36) и свойства ядра Фейера, доказанные в лемме 6 и
ее следствии. Зададим произвольное е>0. Имеем
f(x)-an(x)\ =
f(x)
л
1
n
я
\ on(t)d
— Я
я
i «а>„ ^;
— я
я
f-i- (ф
— я
г; си _ f (у
J К*) 1 \х
n(t)f(x
4- А1 Л/
Т 4} ul
+ t)dt
—я —б
где 6>0 выбрано так, что значение модуля
©(б; /) функции / удовлетворяет неравенству
«(б; /)<-!-.
E5.39)
непрерывности
Это возможно, ибо функция / равномерно непрерывна на всей
числовой оси R. Поэтому для любого х ев R:
~
—6
dt = |. E5.40)
Оставшиеся два интеграла оцениваются одинаковым способом:
функция / ограничена на всей числовой прямой, т. е. сущест-
372 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
вует такая постоянная М>0, что для всех .геЛ имеет место
неравенство
|/(*)|<Л*.
Следовательно, для любого х е R:
6
(я~'6) max Фл @ <2уИ max Ф„ @.
Согласно следствию из леммы 6 правая часть полученного нера-
неравенства стремится к нулю при п->оз, поэтому существует
такое «о, что при всех п^п0 выполняется неравенство
я
dt<\. E5.41)
Аналогично, для любого ^еЛ и всех п:>-п0:
-е
п J п\ > \, \ } Л з'
Из E5.39), E5.40), E5.41) и E5.42) для произвольного x<=R и
всех п'^Па имеем
т. е. последовательность |а„} сходится равномерно на всей число-
бой оси R к функции /. Ц
Доказательство следствия. Всякий сходящийся ряд
суммируется методом средних арифметических к своей сумме
(см. п. 35.15). Поэтому, если ряд Фурье непрерывной на отрезке
[—я, я] функции, принимающей на его концах одинаковые зна-
значения, сходится в некоторой точке к какому-то числу А, то пре-
д?л последовательности средних арифметических частичных сумм,
.т. е. сумм Фейера, также равен А: если Iim Sn(x0; f) — A, то
п -»оо
Iim а„(хо) = А. Но согласно доказанной теореме \\топ(хо) =
п —юо . п —¦ со
= f(Xo), следовательно и Iim Sn(x0; /) = /(*„). Q
П — OD
Подчеркнем, что ряд Фурье функции, непрерывной на отрезке
[—я, я] и принимающей на его концах одинаковые значения,
55.7. Приближение непрерывных функций многочленами 373
может расходиться в ряде точек. Однако, согласно доказанному,
если он сходится в некоторой точке, то обязательно к значению
самой функции в этой точке.
В заключение заметим, что для непрерывной на отрезке функ-
функции, принимающей на его концах одинаковые значения, ряд
Фурье, независимо от его сходимости или расходимости в отдель-
отдельных точках, позволяет однозначно восстановить указанную функ-
функцию: достаточно образовать из его частичных сумм суммы
Фгйера — их последовательность уже сходится, и притом равно-
равномерно, к самой функции. Таким образом, даже изучение расхо-
расходящегося ряда может оказаться полезным.
55.7. ПРИБЛИЖЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ
Определение 10. Функции вида
называются тригонометрическими многочленами (полиномами)
порядка п, п — 0, 1, 2, ...*>.
Теорема 7 (Вейерштрасс). Если функция f непрерывна на отрезке
|—я, л] и /(—я) = /(я), то для каждого числа е>0 существует
такой тригонометрический полином Т (х), что
Действительно, в силу теоремы 6 (см. п. 55.6) в качестве
такого тригонометрического полинома можно взять, например,
соответствующую сумму Фейера ая (х), являющуюся, очевидно,
тригонометрическим полиномом порядка не выше п.
Теорема 8 (Вейерштрасс). Если функция f непрерывна на
отрезке [а, Ь], то для каждого е>0 существует алгебраический
многочлен Р (х) такой что
\f(x)-P(x)\<e, a^x^b.
Доказательство. Отобразим отрезок [0, я] линейно на
отрезок [а, Ь]:
Ь — а
Х — ('
п
и пусть f*(f) = /(fl+^4 Функция f* определена этой фор-
формулой на [0, я]. Продолжим ее четным образом на отрезок
[—я, 0], т. е. положим
/• (t) - f* (— 0. если f е [— я' °1-
*' Здесь считается, что В0 = 0.
374 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Полученная таким образом функция /* непрерывна на [—я, я]
(почему?) и /* (—я)=/* (—я). Поэтому, согласно теореме 7, для
любого числа е > 0 существует тригонометрический полином Т (t)
такой, что
\f*(f)-T(t)\.
8
2 *
Как мы знаем, coskt и sinkt, &=1, 2, ..., а следовательно,
и тригонометрический полином Т (t) являются аналитическими
функциями и поэтому разлагаются в степенные ряды, сходящиеся
на всей действительной прямой и, следовательно, равномерно
сходящиеся на каждом конечном отрезке (см. § 37):
со
Г(о= У, ckt*.
*= О
Если Pn(t) суть частичные суммы этого ряда, то в силу его
равномерной сходимости на отрезке [— я, jt] существует такой
номер пг, что при пЗ=пе
\T(t)-Pn(t)\<-l-, -я
Беря для определенности п = пе и полагая Р (t) — Pn (i), имеем
| /* (t) - Р (*) | < | /* (/) - 7" (О I +1T @ - Р (О К | + 5 < е ¦
Возвращаясь к переменной я, т. е. полагая t = я х ~,а , получим
<е, as
где Р (я ^—-) — очевидно, многочлен, п
\ ° — а I
Замечание. Пусть функция / непрерывна на отрезке [а,Ь].
Возьмем какую-либо последовательность чисел е„>-0, я = 1,2,...,
стремящуюся к нулю (например, е„= ]; тогда, согласно теореме
8, для каждого п = 1,2,... существует многочлен Яге (х) (здесь п
порядковый номер, а не степень многочлена) такой, что
| / (х) - Рп (х) |< е„, а < х ^ 6. E5.43)
Очевидно, при п->оо имеем Pn(x)=tf{x) на отрезке [а, 6].
Итак, всякая непрерывная на отрезке функция является преде-
пределом равномерно сходящейся на этом отрезке последовательности
многочленов. Обратное, т. е. что всякая функция, являющаяся
пределом равномерно сходящейся на некотором отрезке последо-
последовательности многочленов (и, более того, последовательности .любых
непрерывных функций), непрерывна на этом отрезке, уже дока-
доказано (см. теорему 8' в п. 36.4).
55.8. Полнота тригонометрической системы и системы степеней х 375
Таким образом, теорема Вейерштрасса устанавливает характе-
характеристическое свойство непрерывных и только непрерывных функ-
функций.
Весьма любопытно отметить, что первоначально понятие
непрерывности функции было введено нами в абстрактной общей
форме, оно никак не было связано с конкретными классами
элементарных функций, в частности —с многочленами, и тем самым
ни с какими аналитическими представлениями функций через
многочлены.
Теорема Вейерштрасса показывает, что введенный таким обра-
образом класс непрерывных функций в известном смысле не очень
далек от класса многочленов! Именно, какова бы ни была непре-
непрерывная на отрезке функция / и как мало бы ни было заранее
заданное число е > 0, всегда существует многочлен, отличающийся
на всем отрезке от функции / не более чем на е, т. е. аппроксими-
аппроксимирующий (приближающий) ее с любой, наперед заданной степенью
точности! Нетрудно получить и аналитическое представление
в виде ряда многочленов для непрерывной на отрезке функции.
Из E5.43) имеем
f(x) = \im Pn(x), as^xrscb, E5.44)
ИЛИ
со
f (х) = Р, (х) + 2 Е^я+i (*) - Рп (*) 1 E5.45)
п — 1
(Рп(х) — многочлены), причем стремление к пределу в E5.44) и
сходимость ряда E5.45) происходят равномерно на отрезке [а, Ь].
При этом, как существование предела E5.44), так и существова-
существование разложения E5.45) являются необходимым и достаточным
условием непрерывности функции / на рассматриваемом отрезке.
Это оправдывает интуитивное представление о функции как об
аналитическом выражении, составленном из независимой перемен-
переменной и постоянных посредством алгебраических и аналитических
операций.
Аналогичные замечания можно сделать и по поводу первой
теоремы Вейерштрасса (теорема 7).
55.8. ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И СИСТЕМЫ
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЦЕЛЫХ СТЕПЕНЕЙ х В ПРОСТРАНСТВЕ
НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
В этом пункте мы перефразируем доказанные выше теоремы
и выведем из них некоторые простые следствия.
Определение 11. Путь X — некоторое множество функций,
определенных на отрезке [а, Ь]. Система функций
Фх, ф.2, ..., ф„, ... E5.46)
376 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
называется полной для множества X в смысле равномерного приб-
приближения, если, какова бы ни была функция /еА, для каждого
е>0 существует такое конечное число функций срЯ], ф„2, ..., фЛА
из системы E5.46) и такие числа Я1т Я2, ..., ЯА, чпю
для всех х е [а, Ь].
Иначе говоря, система функций E5.46) образует полную
систему для множества X, если любую функцию из X можно
сколь угодно точно приблизить конечными линейными комби-
комбинациями функций системы E5.46).
Используя понятие полноты системы, теоремы 7 и 8 предыду-
предыдущего параграфа можно перефразировать соответственно следующим
образом.
Теорема 7'. Система тригонометрических функций E5.2) полна,
в смысле равномерного приближения, для множества непрерывных
на отрезке [—я, я] функций, принимающих на его концах равные
значения.
Теорема 8'. Система целых неотрицательных степеней х, т. е.
система
1, х, х2, ..., хя,..., E5.47)
полна в смысле равномерного приближения для множества всех
непрерывных на любом заданном отрезке функций.
Определение 12. Пусть функции fug определены на отрезке
[а, Ь]. Число
\U(x)-g(x)fdx
а
называется средним квадратичным отклонением на отрезке [а, Ь]
функции f от функции g*\
Определение 13. Система функций E5.46) называется полной
в смысле среднего квадратичного приближения для некоторого
множества X функций, определенных на отрезке [а, Ь], если, какова
бы ни была функция f е X, для каждого г > О существует такая
конечная линейная комбинация функций системы E5.46), что ее
среднее квадратичное отклонение на отрезке [а, Ь] от функции f
меньше г.
Теорема 9. Система тригонометрических функций E5.2) полна
в смысле среднего квадратичного приближения во множестве непре-
непрерывных на отрезке [ — я, я] функций, принимающих в точках я и —л
одно и то же значение.
*> Можно сказать и «отклонение функции g от функции /», поскольку рас-
рассматриваемое выражение не меняет своего значения, если fug поменять
местами.
55.8. Полнота тригонометрической системы и системы степеней х 377
Доказательство. Пусть / — непрерывная на отрезке [—я, я]
функция, причем/(я) =/(—я). Согласно теореме 7', для любого
8>0 существует такой тригонометрический полином Т (х), что
Отсюда для среднего квадратичного отклонения этого полинома
от функции / имеем
=, о
В дальнейшем мы увидим (см. п. 58.6), что ограничение / (я) =
= /(—я), использованное нами при доказательстве теоремы 9
(только в этом случае можно было сослаться на теорему 7'), не
является существенным. Именно, тригонометрическая система E5.2)
полна в смысле среднего квадратичного во всем множестве непре-
непрерывных на отрезке [—я, я] функций и, более того, можно
показать, что она полна в смысле среднего квадратичного и во
множестве всех функций с интегрируемым на отрезке [—я, я]
квадратом.
Заметим, что тригонометрическая сг.стша E5.2) заведомо не
полна во множестве всех непрерывных на отрезке [—я, я] функций
в смысле равномерного приближения, т. е. в смысле определения 11.
Действительно, если функция / такова, что для любого е>0
существует такой тригонометрический полином Те, что
то из условия Т'?(я) = Т'?(—я) при е->0 следует, что /(я) =
=/(— я).
При приближении функций в смысле среднего квадратичного
тригонометрическими полиномами особую роль играют частичные
суммы ряда Фурье приближаемой функции. В.следующем пункте
будет показано, что частичная сумма n-го порядка имеет наимень-
наименьшее среднее квадратичное отклонение от данной функции по
сравнению с любым тригонометрическим полиномом степени я.
Наконец, можно показать, что если функция / обладает инте-
интегрируемым квадратом на отрезке [—я, я], то отклонение от нее
в смысле среднего квадратичного ее частичных сумм Фурье Sn (x)
стремится к нулю, когда п->оо, или, как говорят, функция /
с интегрируемым квадратом является пределом в смысле среднего
квадратичного своих частичных сумм Фурье (см. об этом в п.
58.6). Все эти обстоятельства говорят в пользу изучения прибли-
приближения функций в смысле среднего квадратичного отклонения.
Аналогично теореме 9 доказывается следующая теорема.
378 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Теорема 10. Система неотрицательных целых степеней х, т. е.
система E5.47), полна в смысле среднего квадратичного приближения
во множестве непрерывных на любом заданном отрезке функций.
Доказательство. Пусть функция / непрерывна на неко-
некотором отрезке [а, Ъ]. Тогда для каждого е > 0, согласно теореме 8',
существует такой полином Р, что
откуда
' а
\f(x)-P(x)fdx<e. ?
55.9. МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ.
НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ И РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ
В этом пункте мы рассмотрим ряды Фурье для интегрируемых
функций, квадрат которых также интегрируем (здесь интегрируе-
интегрируемость понимается, вообще говоря, в несобственном смысле) на
отрезке [—я, я]. Существенно заметить, что если функция /
такова, что она имеет конечное число особых точек (см. п. 55.1)
на отрезке [— я, я], интегрируема по Риману по любому отрезку,
не содержащему ни одной особой точки и ее квадрат /2 интегри-
интегрируем на отрезке [—я, я], то из неравенства
следует, что функция |/| интегрируема на этом отрезке. Обратное,
вообще говоря, неверно. Существуют положительные функции
(например, функция \ интегрируемые на отрезке [—я, я],
квадрат которых, однако, уже не интегрируем на нем.
Таким образом, указанное множество функций с интегрируемым
на отрезке [—я, я] квадратом составляет собственное подмножество
множества всех абсолютно интегрируемых на отрезке [—я, я]
функций.
Заметим, что аналогично вводится понятие функции с интегри-
интегрируемым квадратом и для любого конечного промежутка.
Теорема 11. Пусть / — функция с интегрируемым на отрезке
[—я, л] квадратом. Тогда если Sn(x) — ее сумма Фурье порядка п, то
\ [f{x)-Sn(x)fdx = mm \ [f(x)-Tn(x)f dx, E5.48)
TnW - я
где минимум в правой части равенства берется по всем тригоно-
тригонометрическим многочленам Тп степени не выше п.
55.9. Минимальное свойство коэффициентов Фурье 379
Если а0, ап, Ъ„, я = 1, 2, ..., суть коэффициенты Фурье функ-
функции f, то справедливо неравенство
называемое неравенством Бесселя *'.
Доказательство. Пусть
л
тогда, открывая квадратные скобки в выражении
f [f(x)-Tn(x)?dx E5.50)
—л
и используя лемму 1 из п. 55.1 (в частности, ортогональность
тригонометрической системы), получим
п \
" _L V J! I D!
"о Г / nk T uk\
[я
я
— Л
Из полученного выражения видно, что величина E5.50) принимает
наименьшее значение, когда А0 = ап, Ak = ak, Bk = bk, ?=1,2,...,
т. е. тогда, когда Тп (х) является суммой Фурье Sn (x) порядка п
функции /. Первое утверждение теоремы доказано.
*' Ф. Бессель A784—1846) —немецкий астроном и математик.
380 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Если Тп (х) = Sn (х) — сумма Фурье порядка п, то из E5.51)
следует, что
[/ (х) - 5Л (л-)]2 Же = j f (х) Же - я а2» + 2 G* + 64 E5>52)
откуда
р п -,
-« |+2 о2 + *11^0.
L *=1 J
Это неравенство справедливо при любом натуральном п. Переходя
в нем к пределу при п-*-оо, получим неравенство
Г
(*)Ж:-я й1
=i J
очевидно, равносильное неравенству E5.49). Q
Из неравенства Бссс?ля следует, что для функции с интегри-
интегрируемым квадратом ряд
сходится. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю, по-
поэтому в рассматриваемом случае lim an= lim &„ = 0.
п -* со п ~+ со
Таким образом, мы еще раз установили стргмлэние к нулю
коэффициентов Фурье (см. п. 55.2), однако на этот раз для бол?э
узкого (как это отмечалось в начале этого пункта) класса функций,
чем раньше, а именно для класса функций с интегрируемым
квадратом.
В п. 58.6 будет показано, что на самом деле формула E5.49)
справедлива со знаком равенства. Здесь мы докажем этот
факт лишь для случая, когда функция / непрерывна и 2я-перио-
дична.
Теоргма 12. Пусть функция f непрерывна на отрезке [—я, я],
f (— я) = /(л) и а0, а„, Ьп, п—\, 2, ..., — ее коэффициенты Фурье.
Тогда справедливо равенство
называемое равенством Парсеваля*К
Доказательство. Для каждого е>0 в силу полноты
в смысла среднего квадратичного приближения системы тригоно-
М. Парсеваль A755— 1836 г.)—французский математик.
55.10. Характер сходимости рядов Фурье 381
метрических функций E5.2) в классе непрерывных функций,
принимающих одинаковые значения на концах отрезка [—я, я],
для функции / существует тригонометрический полином Т (х)
некоторого порядка k такой, что
я
i lU(x)-T(x)fdx<e. E5.53)
— л
Согласно же теореме 11 (см. E5.48)), для суммы Фурье Slt(x)
того же порядка k выполняется неравенство
\ [f (х) - Sk (x)f dx^ \{f{x)-T (x)f dx.
— я — я
Отсюда и из формул E5.52) и E5.53) получим:
—я
l
—л L n=l
— Л
Поскольку это неравенство справедливо при любом е>0, то его
левая часть равна нулю. Q
Следствие. Если выполнены предположения теоремы, то
lim \ [f(x)-Sn(x)?dx = 0.
л—юо л
Действительно, в силу теоремы. 12 при п-*-оо правая часть
равенства E5.52) стремится к нулю. [J
55.10. ХАРАКТЕР СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ.
ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
Изучим связь рядов Фурье функции и ее производной.
Теорема 13. Пусть функция / непрерывна на отрезке [—п, я],
/ (— л) = / (я) и пусть
f(x)~~+ ^ ancosnx + basinnx.
382 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Если функция f кусочно непрерывно дифференцируема на
отрезке [— я, л] (см. определение 1 в п. 30.2), то
оо
/' (х) г^ 2 — па„ sin nx + nbn cos «x,
т. е. ряд Фурье производной получается из ряда Фурье самой
функции формальным почленным дифференцированием*'.
Доказательство. Пусть
оо
/' (*) ~ y + 21а"cos n*+Р"sin nx-
п=1
Тогда, замечая, что/(я) = /(—я), и интегрируя по частям, получим
«о = - j /' @ Л = ~ [/ (я) - / (- я)] = 0,
— я
я я
а„ = 1 Г р (t) cos ntdt = --f(t) cos nt +v f f (i) sin ntdt = nbn,
— я —л —л
я л л
-— [ f(t) cos nt dt = — nan,
n=l, 2, .... П
Перейдем к изучению скорости сходимости ряда Фурье в зави-
зависимости от гладкости функций. Предварительно докажем лемму.
Лемма 7. Пусть функция f имеет на отрезке непрерывные
производные до порядка k — 1 включительно и кусочно непрерывную
производную порядка k(k^l)**\ причем
/^(-я) = /(Л(я), / = 0, 1, ..., fc-1,
и пусть
со
f (X) ^ у + У а" C0S пл; + ^л S 'П пх-
*' При этом без каких-либо предположений о сходимости ряда Фурьа
производной.
**' Мы говорим, что некоторая функция имеет кусочно непрерывную
производную на данном отрезке, если эта функция является кусочно непрерывно
дифференцируемой функцией на указанном отрезке (см. определение I в п. 30.2).
Тем самым, если функция имеет кусочно непрерывную производную на каком-то
отрезке, то может случиться, что в конечном числе точек этого отрезка она
вовсе не имеет производной. Например, функция f(x) = \x\ на отрезке [—1, 1]
имеет кусочно непрерывную производную, а в точке л: = 0 не имеет производной.
55.10. Характер сходимости рядов Фурье 383
Тогда
где г„ > 0 « ряд ^] е« сходится.
п=\
Доказательство. Применяя последовательно теорему 13 k
раз, получим
где либо
ап = ±п»ап, $п = ±п"Ьп, E5.54)
либо
ал = ±«^я, $п = ±пкап, E5.55)
причем по неравенству Бесселя
со
«
E5-56)
П=1
Положим е„ = ]Л4-f Рл- В силу неравенства E5.56) ряд 2
0=1
сходится.
Если справедливо E5.54), то
Аналогично,
р
-- ^П U 1 О
Подобным же образом эта оценка получается и в случае
E5.55). ?
Теорема 14. Пусть функция f имеет на отрезке [—я, я] непре-
непрерывные производные до порядка k — 1 включительно и кусочно
непрерывную производную порядка k (k^l), причем /'-" (— л) =
==/1/)(я), / = 0, 1, ..., k—\. Тогда ряд Фурье функции f равно-
равномерно и абсолютно на всем отрезке [—я, я] сходится к самой
функции f и
\f(x)-Sn(x; ,
где lim г|„ = 0 ({т]л} — числовая последовательность), a Sn(x; f) —
п —*оо
сумма Фурье порядка п функции f.
384 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Таким образом, можно сказать, что на отрезке [—я, я] равно-
равномерно выполняется оценка
f(x) — Sn(x; f) = o\n
Предварительно заметим, что если {и.,} и {у„} — последователь-
последовательности неотрицательных чисел, таких, что
эй/,
п=1 п=1
ТО
оэ Г оо Г оэ
S и»»„^ у 2 ««у S у«- <55-57>
«=1 » п=1 » п=\
Действительно, это неравенство сразу получается предельным
переходом из неравенства Коши — Шварца
N Г N Г N
2 ««*>„< I/ 2 «« I/ S у« ПРИ #-»оо (см- п- 18.1 и 35.8*)
Л=1 ' Л=1 » /1=1
(отметим, что неравенство ' E5.57) является частным случаем
неравенства C5.33) из п. 35.8* при p = q = 2).
Доказательство теоремы 14. Пусть
оо
/(*)~у+ У cimzosmx-\-bmsintnx, E5.58)
m=l
п
Sn (x; f) = а'- + a am cOS mx"Ь brn sin mx.
m=l
По лемме,
где гп таковы, что ряд
S еЦ, E5.60)
m = i
СХОДИТСЯ.
Применяя неравенства E5.57) и E5.59), оценим остаток гп(х)
ряда E5.58):
ш=л+1
n+l m=n+l m=n+l
55.10. Характер сходимости рядов Фурье 385
Положим
оо
V V Р8
В силу сходимости ряда E5.60) имеем
Пгахл = 0. E5.62)
Далее, заметим, что на отрезке [т — 1, т] выполняется нера-
неравенство ^гй^^зд (рис. 224) и, следовательно, —^^
Поэтому
оо оо т -f"°°
У — < У С — ^ "
т= п-\-\. т— п-\-\ т — I
Таким образом, из E5.61) вытекает оценка
E5.63)
о
Положим, наконец, цп = ^==укп; в силу E5.62) lim т)„ = 0.
У 2fe 1 п ->• оо
Поэтому из неравенства E5.63) получаем
п 2 \л ¦*
при этом бесконечно малая цп не зависит от точки х.
Согласно следствию 4 из теоремы 4 п. 55.4 ряд E5.58) сходится
к функции f(x), следовательно, гп(х) =
~f(x) — Sn(x, f) и, таким образом, равномер- \_
ная сходимость ряда Фурье с указанной оцен-
оценкой доказана.
Его абсолютная сходимость также дока-
доказана, так как мы получили оценку (см. E5.61))
1
tn-1 х т
Рис. 224
n
из которой следует, что ряд Фурье функции f не только абсолютно
сходится, но и что ряд, составленный из абсолютных величин
его членов и даже, более того, ряд
т= 1
сходится с той же «скоростью»
13 Кудрявцев Л. Д. т. 2
386 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
Теорема 14 показывает, что чем глаже функция /, т. е. чем
больше она имеет производных, тем быстрее сходится к ней ее
ряд Фурье. При этом неравенство E3.63) дает возможность оце-
оценивать погрешность, получающуюся при замене ряда Фурье его
п-й частичной суммой.
Из этой теоремы следует, в частности при k = l, что ряд Фурье
всякой периодической периода 2я непрерывной и кусочно-непре-
кусочно-непрерывно дифференцируемой функции (см. п. 30.2) равномерно на
всем периоде сходится к самой функции.
Упражнения. 11. Будет ли ряд Фурье функции /(д:) = | х I, —
сходиться равномерно? Будет ли равномерно сходиться ряд, полученный
почленным дифференцированием ряда Фурье этой функции?
12. Показать, что ряд Фурье непрерывной периодической кусочно-линейной
функции (определение кусочно-линейной функции см. в упражнении 6 в п. 19.6)
сходится к ней равномерно.
13. Используя результат предыдущего упражнения и результат упражне-
упражнения 6 из п. 19.5, доказать теорему 7 из п. 55.7 о равномерной аппроксимации
непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами.
55.11. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
В этом пункте покажем, что ряды Фурье можно почленно
интегрировать.
Теорема 15. Пусть f — непрерывная на отрезке [—я, я] функ-
функция и
-^--f У. ancosnx + bnsmnx E5.64)
л= 1
— ее ряд Фурье. Тогда
t t со г
J f(x)dx= [а~+ ^ \ (a*cosnx+bnsinnx)dx =
0 10
J
0 0 п=10
= Ц. + 2 ^ sin nf + ^ A - cos nt), E5.65)
я= 1
и ряд, стоящий справа, сходится равномерно.
Отметим, что утверждение о сходимости (и даже равномерной)
ряда E5.65) имеет место без каких-либо предположений о сходи-
сходимости исходного ряда E5.64).
Доказательство. Рассмотрим функцию
t
F@= $[/(*)—?-]<**¦ E5.66)
55.11. Почленное интегрирование рядов Фурье 387
Она непрерывна на отрезке [— я, л], имеет на этом отрезке непре-
непрерывную производную F' (t) = / (t) — °~ и
F (л) — F (— я) = § f(x)dx — па0 — 0.
— я
Поэтому в силу теоремы 14 се ряд Фурье сходится к ней и при-
притом равномерно. Обозначим ее коэффициенты Фурье через Ао,
Ап, Вп, п=\, 2, Тогда в силу сказанного
3nsin nt. E5.67)
n= 1
Найдем коэффициенты этого ряда. Интегрируя по частям, получим
Ля = ^ [ F(t) cos "'-" 1 --sinn/
— л
Аналогично, Вп = ~, п—\, 2
Чтобы найти Ао, положим в E5.67) t — О. Тогда, заметив, что
F @) = 0, получим
ОО СО
ф+ 2 Ап = 0, откуда 4"= 2 Ч'
п=1 п=\
Итак,
rt п *
л= 1
Отсюда и из E5.66) и следует формула E5.65), равномерная же
сходимость ряда E5.65) следует из равномерной сходимости ряда
E5.67). ?
со
2 sin nx
ТгПГ
не является рядом Фурье никакой абсолютно интегрируемой функции.
л
Отметим, что если \ f(x)dx = O и, следовательно, ао = О, то
в результате почленного интегрирования ряда Фурье функции /
снова получается ряд Фурье некоторой функции /, а именно, как
13*
388 § 55. Тригонометрические ряды Фурье
следует из доказанного,
F(x)J\f(t)dt.
о
Поскольку для любой первообразной Ф для непрерывной на
отрезке [—я, я] функции / справедлива формула Ньютона —
Лейбница
я
то условие \ f (х) dx = 0 равносильно тому, что все первообраз-
— л
ные функции / принимают на концах отрезка [—я, я] одинаковые
значения.
55.12. РЯДЫ ФУРЬЕ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ИНТЕРВАЛА.
КОМПЛЕКСНАЯ ЗАПИСЬ РЯДОВ ФУРЬЕ
Теория тригонометрических рядов Фурье 2я-периодических
функций легко переносится и на случай периодических функций
с любым периодом 11. Для этого достаточно отрезок [— /, /]
отобразить на [— я, я] с помощью линейного отображения:
тогда вопрос сведется к уже рассмотренному случаю. Рядом'
Фурье функции / с периодом 21 по исходной переменной х назы-
называется ряд
со
где
й0 = -г
t, л=1, 2, ....
В частности, если функция / четная, то
х) ^у —^ \- у ап cos —— i
п= 1
где
ая = 4 С/(/) cos 5? d/, я = 0, 1,2,...,
U
55.12. Комплексная запись рядов Фурье 389
а если / — нечетная, то
n=l
где
in — dt, n— 1, 2,
В заключение отметим еще так называемую комплексную запись
рядов Фурье, часто используемую в математике и ее приложе-
приложениях. Пусть
со
/ (х) ~ ¦—- -f- \ а„ cos ил; + 6„ sinnx. E5.68)
Как известно (см. п. 37.6),
cos пх = '- (еп*' -f ernxi), E5.69)
sin пх = „г (enxi — e~nxi) = -«- (е-'!Л' — еЛЛ'). E5.70)
Подставив E5.69) и E5.70) в E5.68), получим
ач v 1 1
/W~~2~+ ^j у(йл— я0«" +у(ая+ л')е •
п- 1
Полагая
а0 1 , ... 1 / I I ч
^0— 2 ' л— ~2~\ п "n'tг с-п — ~2~\un~T~"n4t
имеем
где, очевидно, С-„ — сп, п—\, 2, Вспомнив, что cosa±
= ette (см. п. 37.6), будем иметь
я
1 If
с„ =-2-(а„ — 6ret) = 2S J f (x) (cos пх —i sin nx)dx =
— я
_л = -*- (ап + 6,0 = 2!- J / (х) ег"А" dx, /1=1,2,....
*' Определение интеграла от комплекснозначной функции действительного
аргумента см. в п. 54.6.
390 § 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
или, объединив обе формулы и добавив случай п = 0,
я
с" = h \ f W e'l"X dx> я = 0, ± 1, ± 2 E5.72)
Подставив E5.72) в E5.71), получим
+ со я
П- — СО —Л
Итак, мы записали ряд Фурье в комплексной форме и нашли
соответствующие выражения для его коэффициентов.
Требует разъяснения лишь понятие сходимости ряда вида
E5.73).
Частичной суммой порядка и ряда
X гп E5.74)
п = — со
п
называется сумма 5„= ^ гк. Ряд E5.74) называется сходя-
щимся, если существует 5= Jim Sn, при этом S называется сум-
я-»оо
мой ряда и пишется
§ 56. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
56.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
Пусть функция / абсолютно интегрируема на всей действи-
действительной оси. Напишем для нее интеграл, соответствующий в опре-
определенном смысле ряду Фурье, в коюром суммирование по индексу п
заменено интегрированием по некоторому параметру:
+ СО
\ [а (у) cos xy + b (у) sin xy]dy, E6.1)
о
где
+ °°
А \ E6.2)
~ J I(t) sinytdt. E6.3)
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье 391
Формулы E6.2) и E6.3) напоминают формулы для коэффи-
коэффициентов Фурье.
Определение 1. Интеграл E6.1) называется интегралом Фурье
функции /.
Подставляя E6.2) и E6.3) в интеграл E6.1), преобразуем его
следующим образом:
+ СО
\ [а (у) cos ху + b (у) sin xy]dy =
о
+ оо + оо
= — \ dy \ f(t) (costycosxy + sintysinxy) dt =
О —со
+ оо + со
= i- J dy J /@ cos у (х-1) dt. E6.4)
О —оо
Подобно тому, как сумма ряда Фурье функции при опреде-
определенных условиях равна самой функции, интеграл Фурье также
представляет исходную функцию.
Теорема 1. Пусть
1) функция f кусочно-непрерывна на каждом конечном отрезке
и абсолютно интегрируема на всей действительной прямой;
2) в точке х существуют производная справа f'+ (x) и производ-
производная слева f'_(x). Тогда для указанной точки х справедлива формула
+ 00 + ОО
=9 = ± J dy J f(i) cos у (х- f) dt. E6.5)
2
о"
Доказательство. Рассмотрим интеграл
У\ +00
5 (т,) = 1 ^dy J / @ cos у (х -1) dt, E6.6)
О —оо
где т}>0, а х — фиксированная точка, в которой существуют
односторонние производные f'+(x) и f'_(x).
Очевидно, что интеграл Фурье
+ СО +00
i { dy { f (t) cos у (x-t)dt E6.7)
является пределом функции E6.6) при tj-v + oo, т. е. S (г\) является
в этом смысле аналогом частичных сумм рядов Фурье.
392 § 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
Для каждого числа |>0, согласно теореме об интегрировании
интегралов, зависящих от параметра (см. п. 53.1), имеем
\dy $ f (t) cos у (x-t)dt = $ f (t)dt\ cos у (x-t)dy =
o-6 -i о
rsi"i(*v E6.8)
Действительно, в силу кусочной непрерывности функции /(/)
прямоугольник —?=sg^==e?, 0s^y^r\, можно разбить прямыми,
параллельными оси Оу, на конечное число прямоугольников, на
каждом из которых функция / (t) cos y(x — t) будет уже непре-
непрерывной, как функция двух переменных, вплоть до границы (если
на границе указанных прямоугольников в нужном случае значе-
значениями функции / считать ее односторонние пределы, т. е. /(/ + 0)
или f_(t — Q)). Применяя теорему 3 из п. 53.1 к каждому прямо-
прямоугольнику и суммируя полученные результаты, мы и получим
формулу E6.8).
Из очевидного неравенства
+ оо
и сходимости интеграла \ \f(t)\dt следует равномерная сходи-
-— оо
мость на отрезке [0, т]] относительно параметра у интеграла
Р(У)= f f V) cos y (x-t)dt, E6.9)
— 00
т. е. функция
F(y, l)= $ f (t) cos у (x-t)dt
t
стремится к пределу E6.9) при l-v-Ь00 равномерно на отрезке
[О, tj].
Далее, функция F (у, I) непрерывна по у. Действительно,
функция / ограничена на отрезке [—' I, I]: | / (/) | «S М, — Ъ, ^ t =s? g.
Обозначим через ю(б) модуль непрерывности функции cosy (x — t),
O=sSi/=s?т), — l^t^l. Тогда lim(oF) = 0, поэтому
\F(y + Ay, l)-
|
< J \f (t) \\cos (y +Ay) (x-t) -cosy (x-i)\dt
при Аг/->0.
¦В силу теоремы 2 п. 53.1 в левой части равенства E6.8) можно
перейти к пределу под знаком интеграла при |->--}-оо.
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье 393
В результате получим
»}
Этот интеграл конечен, ибо (см. E6.6) и E6.9)) он равен ^F(y)dy,
о
где функция F (у) непрерывна как предел равномерно сходящегося
при |-*- + °° семейства непрерывных по у функций F(y, |).
Интеграл 5 (г\) является аналогом интеграла Дирихле для
рядов Фурье. Положив u = t — x (ср. E5.17)), получим
Представив получившийся интеграл в виде суммы двух:
-)- оо 0 + оо
S = S + S
— оо — оо О
и выполнив в первом из них замену и = — /, получим
+ ОО
Вспоминая (см. п. 54.4), что при т]>0
+ ОО
С sin f\t ,, я
о
получим
О
~\- со
-i 5'-
394
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
Рассмотрим, например, первый интеграл, стоящий в правой
части этого равенства. Разобьем его на два интеграла:
+ 0О 1 ОО
S =1+1-
О О 1
Поскольку
т0
является кусочно-непрерывной функцией пере-
переменной / на отрезке [0, 1], поэтому в силу теоремы 2 из п. 55.2
lim \'^ |->/:""r"/sin!)fdf = O. E6.11)
Функция
полуоси ;
то
-(-00
J
^'
также кусочно-непрерывна на любом отрезке
и так как
— oo
т. e. ''y~ ' абсолютно интегрируема на этой полуоси и, следо-
следовательно, в силу той же теоремы
lim
E6.12)
+ O0
Наконец, из сходимости интеграла \ ^^-dt (см. п. 33.6),
о
выполняя замену переменного u—j\t, получаем
+ оэ + оэ
lim [ fjL±°>sinrfdt = f(x + O) lim f ^d« = 0. E6.13)
Из E3.11), E6.12) и E6.13) следует, что
56.2. Различные виды записи формулы Фурье 395
Аналогично доказывается, что
lira l
Отсюда в силу E6.10) получаем
Поскольку предел, стоящий в левой части, равен интегралу Фурье
E6.7), то равенство E6.5) доказано. Q
Требования, накладываемые на функцию в этой теореме, можно ослабить,
потребовав, например, чтобы функция была абсолютно интегрируемой на всей
числовой оси и удовлетворяла в каждой точке обобщенному условию Гель-
дера. Мы не стали этого делать ради некоторого упрощения доказательства
(ср. с доказательством теоремы 4 и ее следствий в п. 55.4).
Упражнение 1. Доказать, что если функция / в дополнение к нало-
наложенным на нее в теореме 1 ограничениям является четной или нечетной, то
справедливы формулы: для четной функции
+ 00 +00
= — V cos ух dy \ / @ cos yt dt,
о о
цля нечетной
+ 0О +00
+ /(* —0) ^2_ С sinyxdy f f(t) sin ytdt.
о о
56.2. РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ЗАПИСИ ФОРМУЛЫ ФУРЬЕ
В дальнейшем для простоты записи будем считать, что функ-
функция / абсолютно интегрируема на всей числовой оси R и во всех
ее точках непрерывна и имеет односторонние производные. В этом
случае для всех x^R согласно теореме 1 справедлива формула
Фурье
+ 00 +00
i = -i \ dy \ f (t) cos у (x-t)dt,
и так как подынтегральная функция четная относительно пере-
переменной у, то
+ 00 +ОЭ
+ +
/ (*> = ш i йУ $ / (Оcos у(*-г) dL E6-14)
— со —оо
В силу очевидного неравенства
396 § 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
при ограничениях, наложенных на функцию /, существует также
интеграл
\ f{t) sin у (x-t) dt,
— оэ
причем в силу признака Вейерштрасса (см. п. 54.1) он равно-
равномерно сходится на всей числовой оси переменного у и, следова-
следовательно, является непрерывной функцией от у. Поэтому для любого
числа т) существует интеграл
Ay \ f (t) sin у (x-t)dt, E6.15)
— Tl —00
причем в силу нечетности подынтегральной функции относительно
переменной у этот интеграл равен нулю. Однако при сделанных
предположениях относительно функции / нельзя гарантировать
существование несобственного интеграла
-f-oo +00
\ dy \ f (t) sin у (x-t)dt. E6.16)
—00 —00
Чтобы получить нужные формулы, нам придется ввести еще одно
обобщение понятия интеграла.
56.3. ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА
Введем следующее определение.
Определение 2. Пусть функция <р интегрируема на любом ко-
конечном отрезке. Если существует конечный предел
Urn § y(x)dx, т]>0,
то он называется главным значением интеграла $ <р (х) dx и обо-
— 00
значагтся буквами v. p. *'
+ оо Т1
v. p. \ <p(jt)dx= lim \ (p(x)dx. E6.17)
09—п
Подчеркнем, что отличие этого определения от определения
-j-00
несобственного интеграла $ (p(x)dx в смысле определения п. 33.1
состоит в том, что там для функции tp, интегрируемой на люоом
*' Главное значение —по-французски valeur principale.
56.4. Комплексная запись интеграла Фурье 397
конечном отрезке, интеграл § <р (х) dx определялся как предел
-—оо
¦п
интегралов \. <р (х) dx при независимом стремлении 1 к — со и г\
к + со. Здесь же требуется существование лишь предела указан-
л ' '
ных интегралов \>(p(x)dx для частного случая, когда ? = — ц и
I
т)-э- + со.
Подобным же образом определяется и главное значение не-
несобственного интеграла в точке: пусть а<с<Ь и функция q>
при любом е>0 интегрируема, по Риману, на отрезках [а, с — е]
и [с + е, Ь] (естественно, предполагается также, что а<с — г и
ь
c-fe-<b); тогда главное значение интеграла \<${x)dx в точке с
а
определяется формулой
fp(x)dx-\- § q>(x)dx •
J
v.
Иногда, там, где это не может привести к недоразумениям,
интеграл в смысле главного значения обозначается просто симво-
символом интеграла без букв v. p.
Если для некоторой функции существует несобственный ин-
интеграл, то у этой функции существует и главное значение интег-
интеграла и оно совпадает с ее несобственным интегралом. Обратное
неверно: у функции может существовать (и, следовательно, быть
конечным) главное значение интеграла, а несобственный интеграл
быть расходящимся.
"Vе . {dx
Например, интегралы \ xdx и V — не существуют как не-
-со J?i
собственные, однако существуют в смысле главного значения,
которое в обоих случаях равно нулю.
56.4. КОМПЛЕКСНАЯ ЗАПИСЬ ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ
Вернемся к формуле Фурье E6.14) и запишем ее, используя
понятие главного значения интеграла, в другом виде. В силу не-
нечетности по у подынтегральной функции в интеграле E6.16)
имеем, согласно сформулированному определению главного зна-
значения интеграла
-f 00 -f ОО
v. p. I dy ] f(f)$iny(x-t)dt=O. E6.18)
— CO —00
398 § 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
Умножив обе части этого равенства на ?- и сложив с интегра-
интегралом E6.14), получим
+ ОО +00
$ $ E6.19)
— оо — оо
где внешний интеграл понимается в смысле главного значения.
Формула E6.19) и называется комплексной записью интеграла
Фурье-
56.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Если положить
+ 00
Ф(У) = у= $ f(f)er4*dt,
— оо
то формула E6.19) примет вид
+ 00
=\ Ф (У) е'*Уdy. E6.20)
— оо
Определение 3. Функция Ф, которая ставится в соответствие
функции f формулой
+ ОО
Ф (у) = v. p. ^= J f{t) e-w dt, E6.21)
называется преобразованием Фурье функции f и обозначается F[f]
или f.
В этом определении f(t), вообще говоря, комплекснозначна5}
функция действительного аргумента. Отметим, что функция Ф =
= F[f] может принимать существенно комплексные значения и
в том случае, когда функция / принимает только действительные
значения.
Преобразование Фурье определено, в частности, для всех абсо-
абсолютно интегрируемых функций. Употребив, например, для пре-
преобразования Фурье функции / обозначение /, формулу E6.20)
можно записать в виде
+ оо ¦
/ (дг) = v. р. г^= J f{g) cix* dy. E6.20')
Эта формула позволяет восстановить саму функцию f, если из-
известно ее преобразование Фурье /. Она называется формулой
обращения.
56.5. Преобразование Фурье '399
Определение 4. Функция х?, которая ставится в соответствие
функции f формулой
+ 00
? (у) = v. p. -±= J / @ ёУ dt, E6.22)
— 00
называется обратным преобразованием Фурье функции f и обозна-
обозначается F-X[f].
Преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье
определены на множестве функций, для которых интегралы E6.21)
и E6.22) существуют в смысле главного значения. Это множество
содержит в себе, в частности, множество всех абсолютно интег-
интегрируемых на всей вещественной оси функций, для которых интег-
интегралы в формулах E6.21) и E6.22) можно понимать как обычные
несобственные интегралы, а не только как интегралы в смысле
главного значения. Термин «обратное преобразование Фурье»
оправдывается тем, что преобразование F-1 обращает преобразова-
преобразование Фурье F. Более точно, справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Если непрерывная абсолютно интегрируемая на всей
оси функция f имеет в каждой точке конечные односторонние про-
производные, то
Доказательство. Первая формула обращения, т. е. фор-
формула F~1[F[f]] = f, является просто другой записью уже доказан-
доказанной формулы E6.19).
Покажем справедливость второй формулы обращения. По-
Поскольку косинус — четная функция, то в E6.14) можно переста-
переставить местами tux:
+ 00 +С°
f(x) = ~ [ dy С / (t) cos у (t- x) dt,
— 00 —00
в силу же нечетности синуса (ср. E6.18))
+ 00 +00
v. p. ^ dy \ f(t)smy(t—x)dt = O.
— со —оо
Поэтому наряду с формулой E6.19) имеем также
+ СО +00
— CG —CG
ИЛИ
-[-co i -f*oo
400 § 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
где внешний интеграл понимается в смысле главного значения.
Эта формула может быть переписана в виде
Отметим, что справедливость формул обращения может быть
доказана и при более слабых ограничениях на функцию, чем
существование у нее в каждой точке односторонних производных.
Лемма 2. Пусть для функций ft и /2 существует преобразова-
преобразование Фурье (соответственно обратное преобразование Фурье). Тогда,
каковы бы ни были числа Хг и Я2 для функции 'kifi+'k^ также
существует преобразование Фурье (соответственно обратное ему),
причем
+ Ш = KF [h] + 12F [/2]
(соответственно F-1 [Я^ + Я2/2] = V?-1 [Д] + L2F-X [f2]).
Это свойство называется линейностью преобразования Фурье
(соответственно обратного преобразования Фурье). Оно непосред-
непосредственно следует из линейности интеграла и из формул E6.21) и
E6.22).
Следствие. F [0] = F [0] = 0.
Действительно, например,
Впрочем, это свойство следует, конечно сразу и из формул E6.21)
и E6.22).
Лемма 3. Преобразование Фурье F, так же как и обратное
преобразование Фурье F~\ являются взаимно однозначными ото-
отображениями множества непрерывных абсолютно интегрируемых
на всей вещественной оси функций, имеющих в каждой точке одно-
односторонние производные, во множество функций, для которых ин-
интегралы E6.21) и E6.22) существуют в смысле главного значения.
Доказательство. Достаточно доказать лишь взаимную
однозначность отображений F и F'1 — остальное уже доказано
выше. Докажем, например, взаимную однозначность отображе-
отображения F. Пусть F[fi] = F[f2]; тогда
Отсюда согласно лемме 1, следует, что
tx=u. a
Преобразование Фурье во всяком случае определено для абсо-
абсолютно интегрируемых функций. В следующих пунктах будут
изучаться свойства этого преобразования. В дальнейшем же будет
показано, как преобразование Фурье обобщается на более широ-
широкие классы функций, а именно на функции с интегрируемым
квадратом (п. 58.7*) и на так называемые обобщенные функции
(п. 59.7).
56.6. Интегралы Лапласа 401
56.6. ИНТЕГРАЛЫ ЛАПЛАСА
Найдем преобразование Фурье / четного продолжения функ-
функции е"°*, а>0, с полупрямой ж^О на всю числовую прямую,
т. е. попросту говоря, преобразование Фурье функции f(x) =
= e-»i*i, —оо<д;< + оо:
+ ОЭ
+оэ
-4==
•—оо О
-f-oo 4-оо
2^ Л
i
j У
У2л\а— iy a+iyj У п а2+(/2
Применение обратного преобразования Фурье к полученной функ-
функции дает исходную функцию
+ 00
Вспоминая, что eixy = cos xy-\-i sin xy и замечая, что в силу не-
четности подынтегральной функции \ ^rp^dy — O, получим
+ ОЭ +00
а С cosxy , 2а С cos» ,
¦=— \ , , *2dy = — V , . \dy,
и J а1+У* я J а*-\-у*
— оо О
Найдем теперь преобразование Фурье f нечетного продолже-
продолжения функции е-~ах, а>0, с положительной полуоси х>0, т. е.
преобразование Фурье функции
{ х<0.
Имеем
+оэ
a-iy ^ a+iy
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
Применив снова формулу обращения преобразования Фурье,
получим
71 У J
— со О
Итак, нам не только удалось найти преобразование Фурье
рассматриваемых функций, но и получить сразу из формулы
обращения E6.20') значения двух интегралов:
С
Эти интегралы называются интегралами Лапласа.
56.7. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ АБСОЛЮТНО
ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
В этом и следующих пунктах будут рассмотрены некоторые
свойства преобразования Фурье функции f, которое, как и выше,
будет обозначаться через / или F [/]. При этом будет предпола-
предполагаться, что функция / принимает, вообще говоря, комплексные
значения, а ее аргумент, как всегда, действителен.
Лемма 4. Если функция f абсолютно интегрируема на всей
числовой оси, то ее преобразование Фурье f (у) ограничено на всей
оси, причем
' J \f(x)\dx. E6.23)
— со
Следствие. Если последовательность абсолютно интегрируемых
функций fn(x), л = 1, 2, ..., и абсолютно интегрируемая функ-
функция f(x) таковы, что
lim J \fa(x)-f(x)\dx = O,
n-»co_o0
то последовательность {fn (у)} равномерно на всей числовой оси
сходится к функции / (у).
Доказательство. Неравенство E6.23) следует из формулы
(см. E6.21))
+ СО
Гf (x) e~ixy dy' E6-24)
если только вспомнить, что | е~'ху | = 1. [~|
56.7. Свойства преобразования Фурье 403
Следствие сразу вытекает из неравенства E6.23) и линейно-
линейности преобразования Фурье, ибо
E6.23) 2п JJ
Лемма 5. Если функция f абсолютно интегрируема на всей
числовой оси, то ее преобразование Фурье f(y) непрерывно и
lim /(г/) = 0. E6.25)
Доказательство. Пусть f(x) = u(x)Jriv(x), где и(х) и
v (х) — действительные абсолютно интегрируемые функции. По-
Поскольку f (x) = u(x)-\-iv(x), то для доказательства непрерывности
функции f(y) достаточно доказать непрерывность функций и (х)
и v(x). Здесь, как всегда, и(х) и v (x) — действительнозначные
функции действительного аргумента, а и (х) и v (x) — вообще го-
говоря, комплекснозначные функции действительного аргумента.
Согласно лемме 2 из п. 55.2, для любой действительной абсо-
абсолютно интегрируемой на всей оси функции / (х) существует после-
последовательность финитных ступенчатых функций ф„ (х), «=1,2,...,
таких, что
lim § ] фя (х) — f(x) | dx = O.
В силу следствия леммы 4 последовательность {<р„(у)) сходится
равномерно к функции f(y). Для того чтобы убедиться в непре-
непрерывности функции f{y), достаточно доказать, что функции ф„(г/)
непрерывны (см. теорему 8' в п. 36.4). Покажем это. Каждая
финитная ступенчатая функция является линейной комбинацией
одноступенчатых (см. п. 55.2), точнее, характеристических функ-
функций полуинтервалов вида [а, Ь). Поэтому в силу линейности пре-
преобразования Фурье непрерывность функции / будет доказана,
если мы покажем, что для характеристической функции любого
полуинтервала [а, Ь) ее преобразование Фурье непрерывно.
Пусть со — характеристическая функция полуинтервала [а, Ь),
т. е. со(ж) = 1, если a=ss.v<fe, и со(х) = 0, если х<а или x^sb.
Тогда в силу E6.21) при уфО имеем
«(У) =тт= \ е-'л*ах = — . лГ7^ \ * -Jd(—ixy) =
х=ь i (e-iby — eria#)
404 § 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
Если же у — О, то в силу той же формулы E6.21)
ь
Ь — а
Итак,
i {iby_ e~iay)
, при
Л
i при у=0-
Очевидно, правая часть этого равенства является непрерывной
функцией при всех уфО. Покажем, что она непрерывна и при у = 0:
^ -(\ -iay+o(y))] =
т. е. функция со (у) действительно непрерывна в точке у = 0.
Таким образом доказана непрерывность на всей числовой оси
преобразования Фурье / абсолютно интегрируемой на всей число-
числовой оси функции /, принимающей действительные значения. От-
Отсюда, как было сказано, сразу следует и непрерывность преоб-
преобразования Фурье / абсолютно интегрируемой на всей числовой
оси функции / = и-}-ш, т. е. принимающей, вообще говоря, и
комплексные значения.
Равенство E6.25) следует из теоремы 2, п. 55.2. Действительно,
пусть снова сначала функция / абсолютно интегрируема на всей
числовой оси и принимает только действотельные значения, тогда
+СО +СО -.
р+С
3
f(x)cosxydx-i j f(x) sinxydx ,
где в силу указанной теоремы вещественная и мнимая части,
а следовательно, и сама функция / {у) стремятся к нулю при
г/->±оо.
Если, теперь, f = u-\-iv, то по доказанному lim й(у) =
= lim у(г/) = О, следовательно, lim /(г/) = 0. ?
у—»;+оо !/*±оэ
у—»;+о
56.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Теорема 2. Пусть абсолютно интегрируемая на всей числовой
оси функция f имеет п абсолютно интегрируемых и непрерывных
на всей оси производных. Тогда
и, E6.26)
56.8. Преобразование Фурье производных 405
и существует постоянная М>0 такая, что
. E6.27)
Доказательство. Пусть сначала функция / принимает
только действительные значения. Если / абсолютно интегрируема
на всей оси вместе со своей производной /' и эта производная
непрерывна, то
_ +OO
Поскольку интеграл J | /' (г) J dt по условию теоремы схо-
— оо
+ ОО
дится, то сходится и интеграл [ f (t) dt, поэтому в силу опре-
— 00
X
деления сходимости интеграла существуют пределы lim \f (t)dt
и, следовательно, пределы lim f(x). При этом из сходимости
+ 00
интеграла J / (t) dt следует, что указанные пределы равны нулю:
— 00
lim f(x) = O. Применив интегрирование по частям к формуле
преобразования Фурье, получим
+ 00
1 f f' I r\ р-'ХУ Нг =. ' f (r\ Р-{ХУ
СО
+ СО
Таким образом, дифференцирование функции приводит к умно-
умножению ее преобразования Фурье на множитель iy.
Если теперь f = u-\-iv, где и и v — вещественные функции, и
снова f абсолютно интегрируема вместе со своей производной
f' = u'-\~iv' и эта производная непрерывна, то
F [/'] = F [и' + iv'] = F [и') + IF [vf] = iyF [и] - yF [v] =
Формула E6.26) при п=\ доказана.
Для произвольного п она получается отсюда по индукции.
Функция F[f(n)] ограничена (см. лемму 4), поэтому верхняя
грань Л1= sup F[f(n}] конечна и, следовательно, оценка
ОЭ< 1/<+О
E6.27) следует из формулы E6.26) при k — n.
406 § 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
Итак, чем больше абсолютно интегрируемых производных
имеет функция /, тем быстрее стремится к нулю на бесконечности
ее преобразование Фурье.
Заметим, что теорема 2 вместе с ее доказательством остается
справедливой и в случае, когда производная «-го порядка рас-
рассматриваемой функции является не непрерывной, а имеет конеч-
конечное число разрывов первого рода (см. п. 5.1) при сохранении
остальных предположений. Действительно, в этом случае указан-
указанная производная на любом конечном отрезке является кусочно-
непрерывной функцией (см. п. 28.3) и потому проводимое в дока-
доказательстве интегрирование по частям законно (см. п. 30.2 и п. 33.2).
Упражнение 2. Доказать, что преобразование Фурье F (у) функции
/Wj5 равно °(^г) при у-*т-
56.9. СВЕРТКА И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Пусть функции ф и ty определены на всей действительной оси.
В различных вопросах математики часто используется так назы-
называемая свертка функций ф и г|), которая обозначается ф * -ф, или,
если х — аргумент свертки, через (ф * -ф) (л:) и определяется равен-
равенством
-J-OO
(Ф •$)(*)= $ y{t)^{x-t)dt. E6.28)
— оо
Для простоты в этом пункте будем предполагать, что рассмат-
рассматриваемые функции ф(/), \{t), %(t) принимают только действи-
действительные значения. Интеграл E6.28) заведомо существует, если
обе функции ограничены и абсолютно интегрируемы *). При
этом интеграл E6.28), и более того, интеграл
+ ОО
равномерно сходятся на всей действительной оси. В самом деле
в силу ограниченности функции г|) имеем |г]з|=^Л1, где М — посто-
постоянная, поэтому для всех х и t
и сделанное утверждение в силу абсолютной интегрируемости
функции ф вытекает из признака Всиерштрасса равномерной схо-
сходимости интегралов (см. п. 54.1)^. Из приведенных рассуждений
следует также, что если функции ф и ¦ф ограничены, абсолютно
*' Существование интеграла E6.28) можно гарантировать и при более;
общих условиях, однако мы на этом не будем здесь останавливаться.
55.9. Свертка и преобразование Фурье 407
интегрируемы и непрерывны, то и их свертка / также непрерывна,
ограничена и абсолютно интегрируема. Действительно, непрерыв-
непрерывность функции / следует из равномерной сходимости интеграла
E6.28), а ограниченность — из оценки
+ СО + оо
|(Ф*Ч>)(*)|< S W{t)^{x-t)\dt^M \ |Ф@|Л.
— со — оо
Докажем абсолютную интегрируемость свертки. Пусть / = ср*г|);
имеем
4- оо
$ I/Ml
— со
+ со
— со
+
dx= \
—
+ СО
— со
со
dx
со
ф
-|- со
\ Ф<*
— со
+ СО
— со
+ СО
+ С0
— со
+ со
E6.29)
— оо — со
Перестановка порядка интегрирования здесь возможна в силу
+ СО
того (см. теорему 7 п. 54.3), что интеграл J ](p(tI^(x — t)\dt
— со
+ СО
равномерно сходится на всей оси, интеграл § \у (t)ty(x — t)\dx =*
— со
+ со
= I ф@1 $ 1Ф (х ~~ОI dx равномерно сходится на любом конечном
— 00
+ 00 +00
отрезке (почему?), а повторный интеграл ^ dx ^ \q>(t)ty(x — t)\dt,
— оо — со
как это следует из последнего равенства формулы E6.29), суще-
существует.
Таким образом, при сделанных предположениях к функции
/ = Ф * ij) можно в свою очередь применять операцию свертки
с некоторой непрерывной ограниченной и абсолютно интегри-
интегрируемой функцией (причем снова получится функция того же
класса) или преобразование Фурье.
Операция свертки функций коммутативна и ассоциативна
в рассматриваемом классе функций. Действительно, выполнив
в интеграле E6.28) замену переменного x — t — s, получим
+ СО + СО
ф*ф= f ф (t) г|) (х — /) dt = § ф (х — s)ty (s)ds = ty*q>.
— со — со
Далее, производя в ниже написанном интеграле замену пере-
переменного t = у— |, меняя порядок интегрирования и делая замену
408 § 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
= тЬ получим
-4- со -J- оо
(Ф * Ч>) * X = $ %(y-x)dx\
— оо — оо
— оо — оо
-\- оо 4- оэ
= 5 4>(y-l)dl $ ^ (п) X (I — Tl) с?П = (¦Ф * X) * Ф = Ф * (^ * X)-
— со — оо
Возможность перестановки порядка интегрирования и в этом
случае следует из теоремы 7 п. 54.3. Действительно, исследуем
на равномерную сходимость интегралы
f dl, E6.30)
E6.31)
В силу ограниченности функций рх имеем
где М — постоянная, и поэтому
Из этих неравенств и абсолютной интегрируемости функций <р и
X следует, согласно признаку Вейерштрасса, что интегралы E6.30)
и E6.31) равномерно сходятся соответственно относительно пере-
переменных х и | (переменная у фиксирована) на любом конечном
отрезке (почему?). Наконец, существует повторный интеграл
-)- оо + оо
\ dx \
— со ¦—
Таким образом, все условия указанной теоремы 7 из п. 54.3
выполнены.
Следует заметить, что при рассмотрении сверток функций
можно существенно ослабить ограничения, накладываемые на
свертываемые функции. Однако доказательство свойств сверток
в этом случае потребовало бы прежде всего более тонких теорем
о перемене порядка интегрирования. Для простоты изложения
мы не стали этого делать.
56.10. Производная преобразования Фурье функций 4Ш
Займемся теперь изучением преобразования Фурье сверток
двух функций. Для удобства видоизменим определение свертки
добавив дополнительный множитель 1/]/2я:
+ 0О
Теорема 3. Пусть функции ф ы \р ограничены, непрерывны и
абсолютно интегрируемы на числовой оси. Тогда
Доказательство. Функции ср и г|з ограничены, непре-
непрерывны и абсолютно интегрируемы, поэтому функция ср*г|) обла-
обладает теми же свойствами, в частности, она абсолютно интегри-
интегрируема, и для нее можно рассматривать преобразование Фурье
-|- со
Меняя здесь порядок интегрирования (что возможно здесь в силу
теоремы 7 п. 54.3) и производя замену переменного x = i + s
получим
+ оо + оо
т. е. преобразование Фурье свертки двух функций равно произ-
произведению преобразований Фурье этих функций. Q
Теорема 3 также может быть доказана при более слабых
ограничениях на рассматриваемые функции, но мы не будем
на этом останавливаться.
56.10. ПРОИЗВОДНАЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ
Теорема 4. Если функция f(x) непрерывна, а функции f(x),
xf(x), ..., xnf(x) абсолютно интегрируемы на всей числовой ecu,
то преобразование Фурье функции f является п раз дифференци-
дифференцируемой на всей числовой прямой функцией и
PFWlf\ = F[x*f\, k = 0, I, .... и.
Доказательство. Пусть сначала функция / принимает
только действительные значения. Формально дифференцируя по
410" #56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье
параметру у интеграл
+ ОЭ
F[f]==lkc $ fixate
— оо
и замечая, что \xf(x)e-ixy\ = \xf(x)\, получим абсолютно и равно-
равномерно сходящийся интеграл
+ 00
— i \ xf(x)e~ixy dx, —оо<г/< + оо.
— оо
Следовательно (см. п. 54.3, теорема 8), в этом случае преобра-
преобразование Фурье F[f] функции / является диффгренцируемой функ-
функцией и
Если теперь f = u-\-iv, где и и v — действительные функции, то
F' [/] = F'[u + iv] = {F [и] + iF [v]}' = F' [и] + IF' [v] =
— — iF [xu] + F [xv] = — iF [xu + ixv] = — iF [xf].
Далее по индукции получаем, что преобразование Фурье F[f]
функции / имеет производные до порядка п включительно и
t*Fift>[fl = F[je*fl, k = 0, I, .... л. ?
Следствие. Если предположения теоремы выполнены, то все про-
производные F^[f], k~0, I, ..., п, непрерывны и стремятся к нулю
при стремлении их аргумента к бесконечности.
В силу леммы 5 следствие непосредственно вытекает из того,
что производные F^lf] являются преобразованиями Фурье абсо-
абсолютно интегрируемых функций.
Можно "показать, что если произведения вида eP\x\af(x) абсо-
абсолютно интегрируемы при определенных ограничениях, налагаемых
на о>0 и а>0, то это приводит к еще большей гладкости
преобразования Фурье, а именно оказывается, что оно принад-
принадлежит к тем или иным классам аналитических функций.
Формула, задающая обратное преобразование Фурье, отли-
отличается от формулы, задающей прямое преобразование Фурье
(см. E6.21) и E6.22)), лишь тем, что в показателе степени у числа
е под интегралом i заменено на — i, поэтому для обратного
преобразования Фурье справедливы свойства, аналогичные дока-
доказанным нами для прямого преобразования Фурье..
Упражнения. 3. Доказать, что преобразование Фурье функции / (х) =
= . 4 дважды дифференцируемо на всей числовой прямой.
4. Доказать, что преобразование Фурье функции f (j?) = xe~'*' бесконечно
дифференцируемо на всей числовой Прямой.
57.1. Метрические пространства 411
§ 57. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
57.1. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 1. Множество Х = {х, у, г, ...} называется метри-
метрически» пространством. X, если на мнооюестве упорядоченных пар
(х, у) элементов этого множества определена неотрицательная
функция р(х, у), называемая расстоянием (или метрикой), такая,
что:
1) Р (х> У) — ®> тогда и только тогда, когда х = у;
2) р(х, у) = р(у, х), JteX, jeX;
3) р(*, у)^р(х, z) + p(z, у), х<=Х, jeX, ге!
Условия 1, 2 и 3 называются аксиомами расстояния.
Элементы метрического пространства называются точками.
Примеры. 1. Совокупность всех действительных чисел R,
если расстояние между действительными числами определить как
абсолютную величину их разности: р(х, у) = \х — у\, x^R, y^R,
образует метрическое пространство.
2. Множество комплексных чисел С, расстояние между эле-
элементами которого задается по формуле р(г, г') = \г — г'\, z^C,
z'eC также образует метрическое пространство.
3. Евклидово пространство Rn размерности п (см. п. 18.1)
является метрическим пространством, если расстояние между его
точками x = (xi, ..., хп) и у — (уи ..., уп) определить по формуле
(см. A8.1))
4. Пусть Е — некоторое множество. Рассмотрим множество
ограниченных на Е функций, принимающих действительные (или
комплексные) значения. Для двух таких функций ср и ¦§ положим
Р (Ф, Ч>) = sup | ф (/) — Ч> @ |. E7.1)
/<=?
Легко проверяется, что функция р(ф, ¦§) является метрикой.
Справедливость свойств расстояния 1 и 2 ясна непосредственно.
Проверим справедливость свойства 3. Пусть ср, я|з и % — ограни-
ограниченные функции, определенные на множестве Е. Для любого
элемента /е? имеем
поэтому
412 § 57. Функциональные пространства
откуда
т. е.
р(ф. Х)=
5. Пусть G — измеримое по Жор дану открытое множество
«-мерного евклидова пространства R". Множество X непрерывных
на замыкании G множества G функций образует метрическое
пространство, если расстояние между функциями фбХи$еХ
определить по формуле
Р(Ф. 4) =
Действительно, если р(ф, г|)) = 0, т. е. ^ J яр (л:) — ф (л:) [ dC? = О,
то в силу следствия из свойства 9° кратных интегралов (см. п. 44.6)
<f>(x) = ty(x) для всех хёСи, следовательно, для всех JteC
Свойство 2° расстояния в этом случае очевидно, а свойство 3°
легко проверяется: если ф, i|> и % — непрерывны на G, то
р(ф. ч>) = $|ф(*)-х(*)[«ю=$|[Ф(*)-Ч)(х)]
В случае п—\, G = [a, b] введенная метрика для непрерыв-
непрерывных на отрезке [а, Ь] функций имеет вид
Р(Ф. Ф) = 5 |Ф (*)-»(*)| d*. E7.2)
а
Естественным образом аналогичное пространство вводится и
для функций, определенных на бесконечном промежутке. Напри-
мер^ в случае а = — оо, 6 = -f- оо для двух непрерывных абсолютно
интегрируемых на всей числовой оси функций ф и ф расстояние
определяется по формуле
+ ОО
р(Ф) i|,)= ^ \ч(х)-Ъ(х)\йх. E7.3)
Всякое подмножество метрического пространства X в свою
очередь является метрическим пространством относительно той же
метрики и называется подпространством пространства X.
Определение 2. Два метрических пространства X и X' назы-
называются изометричными, если между их точками существует
взаимно однозначное соответствие f, сохраняющее расстояние, т. е.
такое, что если
xe^X, yeX, x'szX', у' е= X',
то р(х, у) = р(х', у') (такие* соответствия также называются
изометричными).
57.1. Метрические пространства 413
Определение 3. Пусть X — метрическое пространство; после-
последовательность его точек {хп} называется сходящейся к точке х е X,
если lim р(х, хп) = 0, т. е. если для любого числа е>0 сущест-
п-юо
еует такой номер пе, что для всех номеров п ^ пЕ выполняется
неравенство р(х, х„)<.г. В этом случав пишется х~ lim xn или
п —¦ оо
х„-*-х при п-^оо и говорится, что точка х является пределом
данной последовательности.
Например, в случае примеров 1 и 2 сходимость в рассматри-
рассматриваемых там метрических пространствах означает обычную сходи*
мость числовых (соответственно действительных или комплексных)
последовательностей. В примере 3 сходимостью последователь-
последовательности является сходимость последовательности точек в п-мерном
пространстве, встречавшаяся нам раньше (см. п. 18.1). В метри-
метрическом пространстве функций, определенных и ограниченных на
некотором множестве, расстояние между которыми определяется
формулой E7.1), последовательность функций {<р„} сходится
к функции ф, если
lim sup | Ф (О-ф» @ 1 = 0,
т. е. если последовательность {ф„} равномерно на множестве Е
сходится к функции ф (см. т. I, п. 36.2).
Наконец, пример 5 дает вид сходимости последовательности
функций в смысле некоторой интегральной метрики. В случае
п=1 подобная сходимость уже встречалась в п. 55.2 (лемма 2)
и в п. 56.7 (следствие леммы 4).
Упражнение 1. Множество Е метрического пространства X назы-
называется ограниченным, если
^ sup p(.v,
величина d (E) называется диаметром множества Е. Доказать, что всякая схо-
сходящаяся последовательность метрического пространства ограничена.
Определение 4. Последовательность \х„} точек метрического
пространства X называется фундаментальной, если для любого
числа е>0 существует такой номер пг, что для всех номеров
п^гпе и т^пе выполняется неравенство
Р(хп, хт)<г.
Лемма 1. Если последовательность {хп} сходится, то сна фун-
фундаментальная.
Доказательство. Пусть lim х„ = х. Тогда для любого
л —юо
числа е>0 существует такой номер «е, что для всех номеров
п 5г пг справедливо неравенство
р(х, JCnX-g--
414 §57. Функциональные пространства
Следовательно, если «S^«8 и т^пе, то
р(х„, хт)^р{хп, х) + р(х, хот)<у + |-<е- П
Определение 5. Метрическое пространство называется полным,
если всякая фундаментальная последовательность его точек схо-
сходится к его же точке.
Очевидно, что метрическое пространство, изометричное пол-
полному пространству, также является полным метрическим про-
пространством.
Примеры. 6. Метрические пространства действительных и
комплексных чисел являются примерами полных метрических
пространств. Полным является и «-мерное евклидово простран-
пространство R" (см. п. 18.1). Рациональные числа дают пример непол-
неполного метрического пространства.
7. Рассмотрим метрическое пространство функций, определен-
определенных и ограниченных на множестве Е, расстояние между кото-
которыми определено формулой E7.1). В этом пространстве последо-
последовательность функций ф„, п = \, 2,..., является фундаментальной,
если для любого числа е>0 существует такой номер пе, что^ля
всех номеров n^sne и т^т& выполняется неравенство
Р (фя, фго) = SUp | фл (X) - фт {X) | < 6,
т. е. если последовательность {ф„} удовлетворяет критерию Коши
равномерной сходимости последовательности на множестве Е
(см. п. 36.2). В силу этого критерия последовательность {ф„} рав-
равномерно на множестве Е сходится к некоторой функции q>, т. е.
lim sup | ф (х) — ф„ (х) | = 0. E7.4)
я-ют ?
Покажем, что эта функция ф также ограничена и, следова-
следовательно, принадлежит рассматриваемому пространству. Действи-
Действительно, в силу E7.4) для любого числа е>0, в частности для
е=1, существует такой номер пь что для всех п~^пх и всех
х е Е выполняется неравенство
поэтому
| ф (X) | =?? | ф (X) - фЯ1 (х)\ + \ фЯ1 (X) |< 1 +SUP | фЯ1 (X) |.
Так как функция ф„, ограничена, то ограничена и функция ф.
Мы доказали тем самым, что рассматриваемое пространство
функций является полным.
Можно показать, что метрическое пространство функций, рас-
рассмотренных в примере 5, не является полным.
57.1. Метрические пространства 415
Для всякого метрического пространства X естественным обра-
образом вводится понятие е-окрестности U(х, е) точки ^еХ, е>0:
U(x, s) = {y:y(=R, p(y, х)<г},
а затем дословно, так же как для «-мерного пространства Rn
(см. т. I, п. 18.2), вводятся понятия точки прикосновения мно-
множества, предельной и изолированной точки, граничной и внут-
внутренней точки, замыкания А множества А, понятие замкнутого и
открытого множества.
Справедливы для произвольных метрических пространств и
леммы 3, 4, 5 и 6, доказанные в п. 18.2 для открытых и замкну-
замкнутых множеств «-мерных евклидовых пространств, причем доказа-
доказательства, приведенные в п. 18.2, сохраняют свою силу и в общем
случае.
Определение 6. Множество А метрического пространства X
называется плотным в пространстве X, если замыкание А мно-
множества А совпадает с пространством X: А = X.
Например, множество рациональных чисел плотно во множе-
множестве действительных чисел.
Очевидно, что свойство множества быть плотным в простран-
пространстве сохраняется при изометрических отображениях этого про-
пространства.
Определение 7. Полное метрическое пространство X* называется
пополнением метрического пространства X, если в простран-
пространстве X* -существует плотное в нем подмножество X', изометрич-
ное пространству X.
Например, множество действительных чисел является попол-
пополнением множества рациональных чисел.
Иногда бывает удобно «отождествить» элементы пространств X
и X', соответствующие друг другу при изометричном соответ-
соответствии пространств X и X', и тем самым рассматривать множе-
множество X как подмножество его пополнения X*. Поясним более
подробно операцию отождествления элементов двух изометрических
пространств X и У. Пусть X и У* — метрические пространства,
У а У*, f : Х-*-У — изометричное отображение. Рассмотрим мно-
множество X* = X U (У*\У), получающееся из пространства X при-
присоединением к нему множества У*\У. Таким образом: Х*\Х =
= У*\У. Определим для точек леХ* и jeX* понятие рас-
расстояния рх* (х> У)- Для удобства введем отображение F: X* -> У*,
задаваемое формулой
' Mdrf / /(*). если х€=Х,
W \*, если х<ееХ*\Х.
Ясно, что F является взаимно однозначным отображением (биек-
цией) множества.А* на У*.
416 §57. Функциональные пространства
Теперь для любых хеХ* и jgP положим
Рх*(х, y) = p(F(x),
Легко проверить, что определенная таким образом функция
Рх* (х, у) удовлетворяет трем аксиомам расстояния, и, следова-
следовательно, X* является метрическим пространством, а отображение F
изометрично отображает пространство X* на Y*, причем при
этом отображении множество X переходит в Y. Поэтому, если
множество Y было плотным в пространстве Y*, то множество X
будет плотным в пространстве X*.
Под утверждением «отождествим в пространстве Y* множе-
множество X с изометричным ему пространством F» и понимается рас-
рассмотрение пространства X* вместо Y*.
Покажем, что для всякого неполного метрического простран-
пространства существует его пополнение, т. е. покажем, что всякое не-
неполное метрическое пространство является плотным подмножеством
в некотором полном метрическом пространстве.
Теорема 1. Для всякого метрического пространства существует
его пополнение.
Доказательство.
I. Конструкция пополнения X* заданного мет-
метрического пространства X.
Две последовательности {хп} и {у„} элементов пространства X
назовем эквивалентными, если
Нтр(*я, г/„) = 0. E7.5)
п —>оо
Эквивалентность двух последовательностей {хп} и {уп} обозна-
обозначается символом {хп} ~ {уп}\ она обладает следующими свойствами:
1°. Всякая последовательность {хп} эквивалентна сама себе:
{х'}г^{хп}.
2°. Если {хп}~ {у„}, то {уа}~{хп}-
3°. Если {х„}~{уп}, a {yn}~{zn}, то {хп}~{гп\.
Нас будут интересовать только фундаментальные последова-
последовательности пространства X. Их множество распадается на непе-
непересекающиеся классы эквивалентных между собой последователь-
последовательностей. Обозначим эти классы через х*, у*, z*, ..., а их сово-
совокупность—через X*. Если фундаментальная последовательность
{хп} содержится в классе х*, то будем, как обычно, это записывать
следующим образом: {хп}^.х*.
II. Определение расстояния р* (х*, у*) в X*.
Пусть {х„\ и {г/я} —две фундаментальные последовательности
метрического пространства X. Тогда числовая последовательность
Р{хп, Уп) также фундаментальна, т. е. удовлетворяет условию
Коши (см. п. 3.7). Действительно, для любых номеров пят
Уп)
57.1. Метрические пространства 417
и, следовательно, в силу симметрии индексов п и m
у„, ут). E7.6)
Из фундаментальности последовательностей {хп\ и {у„\ сле-
следует, что для любого, числа е>0 существует такой номер пе,
что для всех номеров n^ns и /п;>=яе выполняются неравенства
Р(ха, хт)<~, 9(Уп, Ут)<у- E7.7)
Из E7.6) и E7.7) для я^иЕ и mSsne получаем
, Уп) — р(хт, ут)\<е.
Следовательно, числовая последовательность {р(х„, уп)}
является фундаментальной, т. е. удовлетворяет условию Коши и,
следовательно, сходится.
Пусть {х„}ех*, {уп\^у*. Положим, по определению,
р* (л:*, у*)= lim p(xa, у„). В силу доказанного указанный пре-
п—*оо
дел существует. Покажем, что так определенная функция р* (х*, у*)
не зависит от выбора фундаментальных последовательностей
{х„} ел;* н {уп} еу* и удовлетворяет аксиомам расстояния.
Пусть {хп\<=х*, {4}е=л:*, {у„}<=у*, {у'п\еву*. Тогда
„, Х'п)+р(х'п, у'п)+р(У„, у'п)
'п, Уп)\^Р(х„, Х'п)+(>(уп, у'п).
В силу эквивалентности последовательностей {хп}, {х'п) и соответ-
соответственно — {уп}, {у'п} получим (см. E7.5)):
lim p(xn, Xn)= lim p(yn, у'п) = 0
П-»оо п-*оо
и, следовательно,
lim р (х„, уп) = lim p (х'„, у'п).
III. Проверка аксиом расстояния для р*(х*, у*).
Пусть jjcB}ex*, {j,,}gi/*, (г,}ег*. Если р*(л-*, г/*) = 0, то
lim р (хп, уп) = 0, т. е. последовательности {х„\ и {уп} эквива-
леитны, что означает совпадение элементов х* и у*:х*=у*.
Из равенства р(хп, уп) = р(Уп, хп), перейдя к пределу при п-^оо,
получим р* (х*, у*) = р* (у*, х*), а из неравенства р(х„, уп)^
^Р(хп, zn) + p(zn, Уп) получим
р*(^*, У*)^Р*(х*, z*) + p*(z*, у*).
Итак, X* является метрическим пространством.
IV. Построение подпространства простран-
пространства X*, изометричного пространству X.
14 Кудрявцев Л. Д. т. 2
418 §57. Функциональные пространства
Пусть jceX. Последовательность хп = х, п=1, 2, ..., оче-
очевидно, фундаментальная. Поставим в соответствие каждому х е X
точку j*eX* такую, что (jejej*. Если при указанном соот-
соответствии точке х соответствует точка х*, а точке у — точка у*,
то, очевидно, при хфу будем иметь х* Фу*, причем р* (х*, у*) =
= lim р(х, у) = р(х, у), т. е. указанное соответствие осуществляет
п ->со
взаимно однозначное изометрическое соответствие между простран-
пространством X и некоторым подмножеством X' пространства X*.
Точку х* пространства X*, соответствующую при рассматри-
рассматриваемом соответствии точке jeX, мы будем для простоты обозна-
обозначать также через х, а пространство X' через X. Можно считать,
что мы просто отождествили соответствующие точки простран-
пространств X и X' (см. замечание после определения 7). В этих обо-
обозначениях имеем изометрическое включение
ХсХ*.
V. Доказательство плотности X в X*.
Покажем, что каждая точка х* пространства X* является
точкой прикосновения множества X. Для этого достаточно пока-
показать, что для любой точки х* е X* существует последователь-
последовательность хпеХ, п = 1, 2, ..., сходящаяся к х*.
Пусть х*еХ* и {хп}<=х*, ^еХ. Точку пространства X*,
содержащую фундаментальную последовательность, все члены
которой равны одной и той же точке хп, будем обозначать, со-
согласно сделанному выше соглашению, также через хп. Докажем,
что последовательность {хп}, 1;яеР, сходится к точке j*eX*.
Зафиксируем число е > 0. Из фундаментальности последователь-
последовательности {хп\ следует, что существует такой номер пг, что для всех
номеров n3=n8 и mss«8 выполняется неравенство
Р(хт, *„)<-§-. E7.8)
Замечая, что по определению расстояния в X*
р*(х*, х„)= lim p(xm, хп),
т—-со
из неравенства E7.8) для п^пе получим
р*(х*, хп)^~<е,
т. е. limp*(jc*, xn) = 0, что означает, что х* является точкой
п —> со
прикосновения множества X. Итак, Х = Х*.
VI. Док азате льство полноты пространства X*.
Пусть {х%} — фундаментальная последовательность точек про-
пространства X*. хп€= X и р* (*;, хп)<~ , я = 1, 2, .... Такие
точки хп существуют в силу плотности X в X*.
57.1. Метрические пространства 419
Последовательность {х„} фундаментальная. Действительно,
замечая, что
*( ) (x*m, xm)<
выберем
для всех
номер
Pi-
Pitt
р
в
«л
Е
*
И
так, чтобы
(х* х*) <Г 8
т^пЕ. Тогда
v Un*/f r
-J = е E7.9)
для всех п^гпе и т^пе, т. е. последовательность {*„} —фунда-
—фундаментальная.
Обозначим через л:* класс эквивалентных последовательностей,
которому принадлежит последовательность {хп}. Очевидно,
Р(^. ti) P(x, xb) +
Но из E7.9) при m-voo и п^пг получим
р* (х*, х„)= lim p(.x;m, *„)
Следовательно,
lim p* (**, х„) = 0,
а потому и
limp* (л;*, х*) = 0.
п -юо
Таким образом, мы доказали, что данная фундаментальная
последовательность {х^} сходится в X*. Полнота X* дока-
доказана. Q
Упражнение 2. Доказать, что с точностью до изометрических прост-
пространств пополнение метрического пространства единственно.
Определение 8. Числовая функция f {действительно- или ком-
плекснозначная), определенная на множестве А метрического про-
пространства X, называется непрерывной в точке х0 е А {или, более
подробно, непрерывной по множеству А в точке ха е А), если
для любого числа г > 0 существует число б = б (е) > 0 такое, что
для всех точек х е U {х0, б) f) А выполняется неравенство
Определение 9. Функция /, определенная на множестве А мет-
метрического пространства X, называется непрерывной на множестве
В а А, если она непрерывна по множеству А в каждой точке
хо<=В.
14*
420 § 57. Функциональные пространства
Упражнение 3. Сформулировать определение непрерывности в точке
ха функции /, заданной на множестве А щ х0, с помощью понятия последова-
последовательности и доказать эквивалентность этого определения с определением 8.
Дословно, так же, как и в п. 36.4 (см. т. 1), доказывается,
что предел равномерно сходящейся на метрическом простран-
пространстве последовательности непрерывных функций является непре-
непрерывной функцией.
Пример. Рассмотрим метрическое пространство ограничен-
ограниченных и непрерывных на некотором метрическом простран-
пространстве X функций f, расстояние между которыми определяется
по формуле E7.1). Поскольку фундаментальность последователь-
последовательности {/„} в смысле метрики E7.1) означает, что последователь-
последовательность {/„} удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости
на множестве X, то всякая фундаментальная последовательность
непрерывных функций {/„} равномерно сходится к некоторой
функции /. Эта функция /, как отмечалось выше, непрерывна и,
как было доказано несколько раньше в этом пункте, ограничена
на X, т. е. принадлежит рассматриваемому пространству функ-
функций.
Таким образом, пространство ограниченных и непрерывных
на метрическом пространстве X функций является полным мет-
метрическим пространством. Оно, очевидно, является подпростран-
подпространством всех ограниченных на X функций с расстоянием, опреде-
определенным той же формулой E7.1).
В частности, поскольку всякая функция, непрерывная на не-
некотором компакте А, лежащем в «-мерном евклидовом простран-
пространстве Rn, ограничена (см. п. 19.4), то пространство функций, не-
непрерывных на компакте А, с расстоянием, определенным по
формуле E7.1), является полным.
Определение 10. Пусть X — метрическое пространство. Функ-
Функция /, определенная на множестве упорядоченных пар (х, у), где
леЛ, у е В, А а X, В а X, называется непрерывной в точке
(Хо, Уо), хо е А, уо^В, если для любого числа е>0 существует
число б = б(е)>0 такое, что для всех пар (х, у) таких, что
x<=U(x0, 8) П A, y<=U(y0, б) П В, справедливо неравенство
l/(*. y)-f(xo, Уо) |<е.
Функция, непрерывная в каждой точке (х, у) некоторого мно-
множества пар, называется непрерывной на этом множестве.
Упражнения. 4. Проверить аксиомы расстояния для функции р (ф, г))),
определенной формулой E7.3) для пространства абсолютно интегрируемых не-
непрерывных на всей числовой оси функций.
5. Привести пример последовательности непрерывных функций, сходя-
сходящейся на некотором отрезке в смысле расстояния E7.2), но не сходящейся
на этом отрезке в смысле точечной сходимости (т. е. в смысле определения
3 п. 36Л).
6. Привести пример последовательности, сходящейся на некотором отрезке
в смысле точечной сходимости, но не сходящейся на этом отрезке в смысле
расстояния E7.2).
57.2. Линейные пространства 421
7. Доказать, что пространство непрерывных на отрезке [а, Ь] функций;
расстояние между которыми определяется по формуле E7.2), не является
полным.
57.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 11. Множество X = {х, у, г, ...} называется
действительным линейным пространством (или векторным про-
пространством над полем действительных чисел), если:
каждой упорядоченной паре (х, у) элементов леХ и уеХ
поставлен в соответствие некоторый элемент пространства X,
называемый суммой х и у и обозначаемый х+у;
каждому элементу лёХ и каждому действительному числу
А поставлен в соответствие единственный элемент пространства
X, называемый произведением X на х и обозначаемый ах. При
этом выполняются следующие группы аксиом:
1. а) х+у=у+х для любых хееХ и у^Х;
б) х + (у+г) = (х-fу) + z для любых х<=:Х, у еХ и гЕХ;
в) в X существует элемент, называемый нулевым и обозна-
обозначаемый О, такой, что х+0 — х для любого хе=Х;
г) для каждого х^Х существует элемент множества X,
называемый противоположным элементу х, обозначаемый через
— х и такой, что х+(—х) = 0.
2. а) lx — х для любого х^Х;
б) a (fix) = (ац,) х для любого х^Х и любых действитель-
действительных чисел к и pi.
3. a) (A + (j.)x = Ax+fix для любого xgeX и любых действи-
действительных чисел а и jj/,
б) k(x-\-y) — fac+ky для любых xgeX, у ее У и любого
действительного числа А.
Для каждой пары элементов х ее X и у ее Y элемент х + (—у)
называется разностью элементов х и у и обозначается через
х-у.
Если в приведенном определении действительного линейного
пространства всюду заменить действительные числа комплекс-
комплексными: Я, jaeeC, то получится определение комплексного линей-
линейного пространства.
Примеры. 1. Множество всех действительных (комплексных)
чисел образует действительное (комплексное) линейное прост-
пространство.
2. Пусть Е — некоторое множество. Совокупность F(E) всех
функций f.E-^R (соответственно /:?->С) при естественном
определении их сложения и умножения на действительное (ком-
(комплексное) число:
(А + h) (х) ^ h (x)+h(x), (If) (х) ?! А (! (к)),
h<=F(E), f2^F(E), f<=F(E), aee/? или аееС
422 § 57. Функциональные пространства
является действительным (комплексным) линейным простран-
пространством.
3. Множество всех многочленов от одной переменной с дей-
действительными (комплексными) коэффициентами является линей-
линейным действительным (комплексным) пространством.
4. Множество всех многочленов степеней, не превышающих
натурального п, от одной переменной с действительными (ком-
(комплексными) коэффициентами является действительным (комплекс-
(комплексным) линейным пространством.
5. Пространство всевозможных числовых последовательностей
{хп}, Xn^R (или 4еС), n^N, при естественном определе-
определении операций их сложения и умножения на число (см. п. 3.9)
также является линейным пространством.
Определение 12. Множество X', содержащееся в линейном про-
пространстве X (действительном или комплексном) называется под-
подпространством этого пространства, если все линейные комбина-
комбинации элементов множества X' содержатся в нем.
Иначе говоря, множество X' с X является подпространством
пространства X, если для любых двух элементов jeX', jeX'
и любых чисел Я ge /?, |х е /? (соответственно, ЯеС, |ieC)
имеет место включение
Очевидно, что подпространство X' линейного пространства X
в свою очередь является линейным пространством. Если X — ли-
линейное пространство и леХ, то совокупность всех элементов
пространства X вида %х, где Я — всевозможные числа, служит
примером подпространства пространства X.
Множество функций, действительнозначных и непрерывных
на некотором множестве Е a R", является подпространством про-
пространства всех действительнозначных функций, определенных на Е.
Элементы линейных пространств обычно называются точками
или векторами.
Определение 13. Конечная система векторов хъ ..., хп линей-
линейного пространства X (действительного или комплексного) назы-
называется линейно зависимой, если существуют такие числа Я.ь ...,
Х„ (соответственно действительные или комплексные), не все рав-
равные нулю, что
В противополооюном случае, т. е. когда из указанного равен-
равенства следует, что все числа Хъ Я2, ..., А„ равны нулю, система
векторов хъ ..., хп называется линейно независимой.
Определение 14. Система векторов ха, аеЕ21 (91 — некото-
некоторое множество индексов) линейнаго пространства X называется
линейно независимой, если любая ее конечная подсистема xai,
Ха2, • • • i хап линейно независима.
57.2. Линейные пространства 423
Упражнения. 8. Доказать, что если система ха, а е 91, линейно не-
независимая, то ха -ф 0 для всех а <= 91.
9. Доказать, что, для того чтобы конечная система векторов была ли-
линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы по крайней мере один из
них являлся линейной комбинацией остальных.
Определение 15. Пусть задано множество {ха, ае21} векто-
векторов линейного пространства X. Совокупность всевозможных ко-
конечных линейных комбинаций элементов этого множества, т. е.
совокупность всевозможных векторов вида
где ха. е {ха, asi}, а Xj —числа, /=1, 2, ..., k, называется
линейной оболочкой множества {ха, а е Щ.
Определение 16. Если в пространстве X (действительном
или комплексном) имеется система п линейно независимых векто-
векторов, линейной оболочкой которых является пространство X, то
оно называется п-мерным и обозначается Rn, а всякая упорядо-
упорядоченная система п линейно независимых векторов, линейной обо-
оболочкой которых является пространство R", называется базисом
пространства.
Иначе говоря, векторы еъ е2, ..., еп являются базисом прост-
пространства R", если:
1) векторы еъ ег, ..., еп линейно независимы;
2) для каждого JteJ?" существуют такие числа %lt Ag, ..., К,
что л- = Vi + V2 + • ¦ • + Кеп-
Элементы пространства Rn называются п-мерными векто-
векторами (соответственно действительными или комплексными).
Каждое п-мерное пространство называется конечномерным.
Упражнения. 10. Доказать, что в л-мерном пространстве каждая
система линейно независимых векторов, линейной оболочкой которых явля-
является все пространство, состоит из п векторов.
11. Доказать, что каждая система из п линейно независимых векторов
в п-мерном пространстве является его базисом.
Примером «-мерного действительного пространства является
«-мерное арифметическое векторное пространство (см. п. 18.4).
Аналогично этому пространству может быть построено ком-
комплексное арифметическое «-мерное пространство С. Его точками
называются упорядоченные системы п комплексных чисел: х =
= (д;1 хп) х.-^С, / = 1, 2, ..., п. При этом, если хеС,
1еС, то
и для x=(xi х»)бС" и у =
424 § 57. Функциональные пространства
Базисом в этом пространстве являются векторы e; = {6i 8'„},
где бу — так называемый символ Кронекера
i ( 1, если / = /,
О у = <
{ 0, если i Ф /.
л
Очевидно, что х = (хи ..., xn)='^l Xiei.
Другим примером конечномерного линейного пространства
является пространство $"* многочленов степеней не превышаю-
превышающих натурального п. Оно является («+1)-мерным: его размер-
размерность равна числу коэффициентов у рассматриваемых многочле-
многочленов.
Определение 17. Отображение f линейного, пространства X
в линейное пространство Y называется линейньш отображением
(или, что то же, линейным оператором), если для любых двух
элементов хgeX, jeX и любых чисел % и ц справедливо ра-
равенство
Множество линейных операторов f:X-+Y, отображающих
линейное пространство X в линейное пространство Y обознача-
обозначается через 25 (X, Y). Легко непосредственно проверить, что мно-
множество %{Х, У) при естественном определении сложения его
элементов и умножения их на число, т. е. при определении этих
операций по формулам
tfi + h)(x) ^h(xy+ h{x),hezZ(X,Y),ftezZ(X, Y),
Y), 1e/J или ХсеС,
образует также линейное пространство (действительное, если
пространства X и Y были действительными линейными прост-
пространствами, и комплексное, если они были комплексными).
Определение 18. Если f:X-*-Y и Y — линейное пространство,
то множество {x:f(x) = 0}czX называется ядром отображения
f и обозначается через ker/*':
Лемма 2. Для того чтобы линейное отображение /: Х->У
линейного пространства X в линейное пространство Y было вза-
взаимно однозначным отображением X в Y, т. е. было инъекцией,
*> От английского слова kernel —ядро.
57.2. Линейные пространства 425
необходимо и достаточно, чтобы его ядро состояло только из
нулевого элемента:
кег/ = О.
Доказательство необходимости. Очевидно, что лю-
любой линейный оператор / переводит ноль в ноль, ибо для лю-
любого хеХ имеем: /@) = /(Ох) = 0/(х) = 0. Поэтому, если / —
инъекция, то не существует х^=0, такого, что /(л:) = 0. Это и
означает, что ker/ = 0.
Доказательство достаточности. Пусть ker/ = 0 и
f(x)=f(y). Тогда в силу линейности отображения / имеем
f(x — y) — f(x) — f(y) = O, т. е. х — y^kerf и так как кег/ = О,
то х — у — О. Следовательно х = у. Это и означает, что / — инъек-
инъекция. Ц
Примером линейных взаимно однозначных отображений явля-
являются прямое и обратное преобразование Фурье в соответству-
соответствующих линейных пространствах функций (см. леммы 2 и 3 в
п. 56.5).
Определение 19. Пусть X и Y —линейные пространства. Ли-
Линейное взаимно однозначное отображение пространства X на
пространство Y называется изоморфным отображением, или изо-
изоморфизмом линейных пространств.
Если для линейных пространств X и Y существует изоморф-
изоморфное отображение X на Y, то они называются изоморфными.
Два изоморфных пространства могут отличаться лишь при-
природой своих элементов, а не свойствами линейного пространства
как такового; поэтому в дальнейшем часто мы не будем разли-
различать изоморфные линейные пространства.
Упражнение 12. Доказать, что все n-мерные линейные пространства
изоморфны между собой.
Определение 20. Линейное пространство, не являющееся конеч-
конечномерным, называется бесконечномерным.
Очевидно, что линейное пространство является бесконечно-
бесконечномерным тогда и только тогда, когда оно не имеет конеч-
конечного базиса.
Примером бесконечномерного пространства является линейное
пространство всех многочленов от одной переменной. Действи-
Действительно это пространство заведомо не имеет конечного базиса:
любая линейная комбинация заданной конечной системы много-
многочленов является многочленом степени не выше степени
старшего многочлена из указанной системы, и потому
многочлены больших степеней не могут быть получены указан-
указанным способом.
Попытка обобщить понятие базиса в случае бесконечномер-
бесконечномерных пространств приводит к бесконечным суммам, т. е. рядам
42S § 57. Функциональные пространства
вида 2 ^п^п- Для того чтобы имело смысл говорить об их
сумме в пространстве X, в нем должно быть определено поня-
понятие сходимости последовательностей. Рассмотрению одного та-
такого вида пространств посвящен следующий пункт.
57.3. НОРМИРОВАННЫЕ И ПОЛУИОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 21. Линейное пространство X (действительное
или комплексное) называется нормированным, если на множестве
его точек определена действительная функция, называемая нор-
нормой, обозначаемая \х\х или, короче, ||х|, .?еХ, и имеющая сле-
следующие свойства:
1°) 1*15*0, хеХ;
2°) |Ях|| = |Я|||х|!, леХ, Х-число;
3°) \x + y\^lx\ + \yl х^Х, jeX;
4°) если || л; | = 0, то х = 0.
Заметим, что из свойства 2° следует, что если х = 0, то ||х|| = 0.
Действительно, фиксируя произвольный элемент ieX, получим
Определение 22. Если на множестве точек линейного прост-
пространства X определена действительная функция \х\, х^.Х, удов-
удовлетворяющая только свойствам 1, 2, 3, то пространство X на-
называется полунормированным, а функция \х\ — полунормой.
Свойство 2° нормы (полунормы) называется ее однородностью,
а свойство 3° — неравенством треугольника.
Отметим, что всякое подмножество линейного полунормиро-
полунормированного (в частности, нормированного) пространства, являюще-
являющееся подпространством линейного пространства, в свою очередь
является линейным полунормированным (соответственно, норми-
нормированным) пространством.
Упражнение 13. Выяснить, будут ли выражения sup \!'"'{t)\,
ь
j I f"" @ I dt нормой? —полунормой?—для каких функций?—для каких п?
а
57.4. ПРИМЕРЫ НОРМИРОВАННЫХ И ПОЛУНОРМИРОВАННЫХ
ПРОСТРАНСТВ
1. Множество действительных чисел и множество комплекс-
комплексных чисел, если в них за норму взять абсолютную величину
чисел, образуют линейные нормированные пространства.
57.4. Примеры нормированных и полунормированных пространств 427
2. Если в действительном арифметическом n-мерном простран-
пространстве R" норму вектора х—(хъ ..., хп) е R" определить как его
длину (см. п. 18.4)
то R" будет линейным нормированным пространством.
3. Комплексное арифметическое «-мерное пространство Сп
(см. п. 57.2) будет нормированным, если положить
l*I = T/W + ---+i*»|2> * = (*!. •••> ХП)<=С.
4. В действительном арифметическом n-мерном пространстве R"
можно ввести не только норму, совпадающую с длиной \х\ его
элементов х = (хъ ..., xn)^R". Например, положим
|!оо= max |
1 = 1, 2 п
Очевидно, длина вектора совпадает с нормой |]jc Ц3- Проверим
выполнение аксиом норм для ||х|г, 1==с/-^ + °°- При г=\ по
свойству абсолютной величины чисел
При 1 <р-< + со применим неравенство Минковского (см. п. 35.8*):
у/Р I n у IP In \\/p
2
V=i / V=i
Для JjcjIoo имеем
\i + y,\ max (|
i" = 1, 2 п 1=1, 2 n
max \Xl\+ max
?= 1, 2 n i= 1, 2, ..., я
Остальные свойства норм для [jc|r, l^rs^-fco, проверяются
еще проще.
Упражнение 14, Доказать, что [ х ||ю = lim \x L, х е /?»,
р
р-»оо
Определение 23. /fee нормы \х\ и \х\* в линейном нормиро-
нормированном пространстве X называются эквивалентными, если суще-
существуют такие постоянные Ci>0 и с2>0, ч/по йля всех ^еХ
выполняется неравенство
428 § 57. Функциональные пространства
Теорема 2. В конечномерном линейном пространстве все нормы
эквивалентны.
Доказательство. Пусть X — конечномерное линейное про-
пространство. Следовательно, в нем существует базис {еи ..., еп\,
состоящий из некоторого числа n&N его элементов, и для
любого леХ имеется и притом единственное разложение
Пусть Цх| — некоторая норма в пространстве X. Покажем,
что она эквивалентна квадратичной норме
Поскольку две нормы, каждая из которых эквивалентна третьей,
также эквивалентны между собой, то из этого и будет следовать,
что все нормы любого конечномерного пространства эквивалентны.
Прежде всего заметим, что Ci —|ei| + ... + ||en|!>0, ибо для
всех &=1, 2, .... я, имеет место неравенство екф0, и, следо-
следовательно, ЦеА|>-0. Далее, из очевидного неравенства
= lxl, fc=l, 2, ..., л,
получим, используя свойство нормы, неравенство
Итак, существует такое сх>0, что для любого хе
Цл-Ц^СхЦхЦз.
Докажем теперь, что существует такое с2 > 0, что
Поскольку в случае х = 0 это неравенство очевидно выполняется
при любом c2i>0, то его достаточно доказать лишь для хфО.
Выберем базис {ег, ..., еп} в пространстве X, так чтобы он
состоял из единичных в смысле квадратичной нормы векторов
Это всегда возможно, так как если {еи ..., еп\ — какой-то базис ли-
линейного пространства, a |j-|j какая-либо норма в этом простран-
пространстве, то
также будет его базисом, причем норма всех его элементов будет
равна 1:
gft
1 9 п
57.4. Примеры нормированных и полунормированных пространств 429
Пространство X с выбранным базисом можно рассматривать
как арифметическое n-мерное пространство (см. п. 18.4). Для
этого достаточно каждому его вектору х — X\S\ -f-... + х„е„ сопо-
сопоставить упорядоченный набор п чисел (хи ..., хп) — его коорди-
координат относительно указанного базиса. При этом квадратичная
норма \х\2 является длиной вектора х:
Единичная сфера S"-1 = \х: х\ +... + х'п — 1} этого пространства
является, как известно (см. п. 18.3 и п. 18.4), компактом. Рас-
Рассмотрим на ней функцию
Из неравенства
следует, что эта функция непрерывна на всем пространстве X и,
следовательно, на сфере S"-1.
Поскольку для любой точки х е S"'1 имеем || х ||2 = 1, то х Ф О,
а потому в силу свойства 4° нормы функция / удовлетворяет на
сфере S"-1 неравенству /(л;) = |х|>0. Согласно теореме Вейер-
штрасса всякая непрерывная на компакте функция достигает на
нем своего минимального значения. Пусть функция / достигает
свой минимум на сфере S"-1 в точке х0 е S"-1. Положим
с2М, min /(x) = /(a-o)>O.
Тогда для любого х е S"-1 будем иметь:
Теперь, заметив, что для каждого хеХ, х^О, точка -тг-^р лежит
в* в
на сфере S1
и, следовательно, для нее тД- Ssc2 получим
II 1 * 1:2 II
т. е.
Эквивалентность норм \х\ и |х||2 доказана.
*' Мы воспользовались здесь неравенством \х\— \у\^\х—у\. Оно спра-
справедливо для любых элементов полунормированного пространства и легко сле-
следует из свойства 3° полунормы в определении 21 (см. ниже лемму 4 в п. 57.5).
430
§ 57. Функциональные пространства
5. Пусть снова lsgp<C + oo. Рассмотрим линейное подпро-
подпространство всех последовательностей х = (х1, ..., х„, ...), i,eS
(или х„ е С), состоящее из таких последовательностей, для
которых
я=1
Функция \х\р является нормой, что проверяется аналогично
конечному случаю (см. пример 4), так как, в частности, нера-
неравенство Минковского справедливо и для бесконечных сумм.
В случае, когда все элементы рассматриваемых последова-
последовательностей—действительные числа, их пространство с нормой
E7.10) обозначается через 1Р.
6. В п. 41.6 для линейного оператора A:R"-+Rm была вве-
введена норма по формуле (см. D1.41))
|Л|]= sup \Ax\, JteJ?".
iuii <i
Это действительно норма, в смысле определения п. 57.3, в линей-
линейном пространстве X (R", Rm), что будет следовать из дальнейших
рассмотрений.
Пусть X и Y — произвольные линейные нормированные про-
пространства и А : Х-*- У — линейный оператор. Положим
||Л|^ sup \\Ax\, E7.11)
IUIK1
где Цх! = !|х|!х и \Ах\ = \Ах\у.
В случае произвольно выбранных линейных пространств X и
Y может оказаться, что верхняя грань ||Л|, определяемая равен-
равенством E7.11), не будет конечной для всякого линейного опера-
оператора А : X -> Y.
Пусть X (X, Y) как всегда (см. п. 57.2) —множество всех
линейных операторов А, отображающих пространство X в про-
пространство Y, ХС(Х, Y) — множество тех из них, для которых
|| Л К+ оо. Покажем, что %С{Х, Y) также является линейным
пространством, а IIАII — нормой в нем. Если ^е<?,(X, Y) и
Be=Ze(X,Y),io
= sup
IUIK
|= sup
lliKl
sup
dl<l
sup \Ax\+ sup \Bx\=*lA
IUIK1 H<1
и, следовательно, А-\-В ^XC(X, Y). Для любого Я
1еС в случае комплексных пространств)
/? (или
\ХА\= sup
lllKl
|= sup
IWI<1
= |Я| sup
||и<1
оо
57.4. Примеры нормированных и полунормированных пространств 431
и, следовательно, кА^56с(Х, Y). Таким образом ХС{Х, Y) дей-
действительно является линейным пространством.
Далее, очевидно, что из E7.11) непосредственно следует, что
ЦЛ|>=0. При этом, если | ЛЦ = О, т. е. sup !Ах| = 0, то для всех х
таких, что \х|=^1 имеет место равенство ||Ллг| = О, а следова-
следовательно, и Ах = 0. Но тогда и вообще для всех леХ также
имеем Ах = 0. Действительно, если х такой элемент простран-
пространства X, что |х|> 1, то заведомо хфО, а значит
[ X \ 1
Поэтому в силу уже доказанного Л(-—^ = 0. Отсюда -р-гЛх = 0
и, следовательно, для любого х<^ X: Ах = 0. Это означает, что
Л = 0. Итак, || Л | — действительно норма в пространстве 35С(Х, Y).
Если значение || Л |, определяемое формулой E7.11) бесконечно:
|| А | = + оо, то будем говорить, что норма оператора Л беско-
бесконечна.
Норму || Л || (как конечную, так и бесконечную) можно полу-
получить и несколько другим способом. Именно, оказывается, что
X(=x. E7.12)
Для доказательства этой формулы заметим, что
sup \Ax\= sup \Ay\. E7.13)
||и<1 iilli
В самом деле, с одной стороны, очевидно, что
sup ЦЛхЦ^ sup \Ay\,
IUIK1 11*11=1
ибо при увеличении числового множества его верхняя грань
может только увеличиваться. С другой стороны, для любого эле-
элемента j;eX, такого что 0< 1*11=^1, положим уШ—?—; тогда
Ш=1 и \Ау\ = -щ\Ах\^\Ах\. Отсюда
sup || Ах\^ sup I Ay\.
llii <i lilii
Из полученных неравенств и вытекает равенство E7.13).
Теперь имеем:
|U-^T||= sup \Ay\= sup
т. е. формула E7.12) также доказана. Из нее очевидно следует,
что для любого хеХ, хфО,
432 § 57. Функциональные пространства
и. следовательно, для любого. хеХ имеет место неравенство
\Ах\^\А\\х[,
где 1^1 —норма в пространстве X, \Ах\ — норма в пространстве У,
а | Л ( — норма в пространстве %{Х, Y). Это неравенство, оче-
очевидно, является обобщением неравенства D1.42) в п. 41.6.
Существует еще один подход к понятию нормы оператора,
связанный с понятием так называемых ограниченных операторов.
Определение 24. Оператор A: X-+-Y называется ограниченным,
если существует такая постоянная с > 0, что для всех элементов
х ё X выполняется неравенство
Если А — линейный ограниченный оператор, то все постоян-
постоянные е>0, обладающие указанным свойством, ограничены снизу
нулем, , и потому их множество имеет конечную нижнюю грань.
Обозначим ее через с0:
co = inf {c:\\ ЛхЦе^сЦхЦ, xgX).
Покажем, что
Со == I Л |.
Прежде всего заметим, что справедливо неравенство
В самом деле, если бы нашелся такой элемент XjgX, что
| Лх01 > с01 х01, то нашлось бы число 8>0, для которого выпол-
выполняется неравенство || Лх01 > (с0 + е) 1 х01. Однако это невозможно,
так как согласно определению нижней грани существует такое
число с>0, что с<со + е и для всех леХ выполняется нера-
неравенство |A*|ssSc|jc||. В частности Ц Лхо!1^с||хо||<(со + е)||хо||.
Таким образом, нижняя грань с0 также удовлетворяет неравен-
неравенству, с помощью которого определяется ограниченность опера-
оператора А. Поэтому в определении постоянной с0 можно заменить
нижнюю грань минимумом:
Из неравенства | Лх|| ==Sc01^i при х^О имеем
откуда
Случай строгого неравенства
sup ^
ЬО ll^
57.4. Примеры нормированных и полунормированных пространств 433
невозможен, так как тогда нашлось- бы такое число е > Of что
и, следозательно, для любого хеХ, х Ф О, тем более было бы
справедливо неравенство
\АхЩх\<.сй — е, или
что противоречило бы выбору с0 как минимальной постоянной,
обладающей свойством ||Ах| =^с||х||, хе!
Итак,
1 Ах I „ .,
*:?0 11*1
Образно говоря, это равенство означает, что оператор А ограни-
ограничен тогда и только тогда, когда он имеет конечную норму. Таким
образом, множество ограниченных операторов составляет прост-
пространство ХС(Х, Y).
В п. 41.6 было показано, что всякий линейный оператор
A: X-*-Y в случае, когда линейные нормированные пространства X
и Y конечномерны и в качестве норм в них взяты квадратичные
нормы Ixjb и lyh, JteX, y^У, имеет конечную норму. По-
Поскольку в конечномерных линейных пространствах все нормы
эквивалентны (см. теорему 2 в примере 4), то отсюда следует,
что любой линейный оператор А, отображающий конечномерное
линейное пространство X в конечномерное же линейное простран-
пространство Y, ограничен при любом выборе норм в этих пространствах,
т. е. в этом случае
7. Линейное пространство всех ограниченных действительных
функций, определенных на" произвольном множестве Е, являю-
являющееся подпространством пространства F (Е) всех действительных
функций /: E-+-R (см. п. 57.2), превращается в нормированное,
если в нем ввести норму по формуле
E7.14)
Обозначим это пространство через S(E). В случае, когда Е явля-
является метрическим пространством, подпространство пространства
S (Е), состоящее из непрерывных на Е функций /, обозначим
через С(Е)*\ а норму E7.14) в этом пространстве будем обо-
обозначать также и через |/||с.
*' С—первая буква латинского слова continuum—непрерывный.
434 § 57. Функциональные пространства
Если Е является компактом в R", то (см. теорему 3 в п. 19.5)
=тах |
В частности, это верно для пространства С [а, Ь] функций,
непрерывных на отрезке [а, Ь] числовой прямой.
8. Пусть фиксировано число р, ls?p< + °o. Рассмотрим
множество функций /, определенных на некотором отрезке [а, Ь]
и таких, что интеграл
\\f{x)\"dx
а
сходится. Это множество, как легко проверить, образует линей-
линейное пространство, которое обозначается через RLp[a, b]*K
Положим
\\f{t)\Pdt\'P. E7.15)
Покажем, что E7.15) является полунормой в RLp[a, b]. Из фор-
формулы E7.15), очевидно, сразу следует, что 1/|р^0. При этом из
условия | / 1р = О не следует, что / = 0. В самом деле, рассмотрим,
например, функцию
1 при х = а,
0 при х е (а, Ь].
Ясно, что |/1р = 0, но функция / не равняется тождественно нулю
на отрезке [а, Ь], и потому она не является нулем линейного
пространства RLp[a, b]. .
Проверим однородность выражения E7.14): для всех /е
е RLp[a, b] и любого ),ей (или 1еС) имеем
П> -\vp \ь ~\Vp
i Ч Up = [
La
Докажем для E7.15) неравенство треугольника. Для любых /е
^RLp[a, b] и g^RLp[a, 6], согласно неравенству Минковского
для интегралов (см. п. 28.4*), получим:
\ъ
La J
П 11/Р Г6 ~\Vp
= \f\p+\eV
Итак, действительно, |/|р является полунормой (не являющейся
нормой) в линейном пространстве RLP [a, b].
*> R — первая буква фамилии Б. Римана (В. Riemann), гЬ — первая буква
фамилии А. Лебега (Н. Lebesgue).
57.4. Примеры нормированных и полунормированных пространств 435
Аналогичная конструкция справедлива и для бесконечных
промежутков; соответствующие полунормированные пространства
будем также обозначать через RLP.
9. Рассмотрим множество всех непрерывных на отрезке [а, Ь]
функций. Оно является линейным пространством. Мы уже знаем,
что в нем можно ввести норму ||/|с, определенную в примере 7
этого пункта. Можно в нем рассмотреть и полунорму E7.15),
причем в этом пространстве полунорма E7.15) является уже
нормой.
Действительно, если функция / нэпрерывна на отрезке [а, Ь]
и Шр = 0> l=sSp< + co, и, следовательно,
ь
то из неотрицательности и непрерывности функции | f (х) \р,
х е [а, Ь], следует (см. свойство 9 интеграла в п. 28.1), что
/(*) = 0 на [а, Ь].
Пространство непрерывных на отрезке [а, Ь] функций с нормой
E7.15) обозначается через CLp[a, b].
Подобным же образом строятся аналогичные пространства для
неограниченных промежутков, а также и для функций многих
переменных.
Если одно и то же множество принадлежит различным линей-
линейным нормированным или полунормированным пространствам
(например, пространства С [а, Ь] и CLp[a, b] состоят из одних и
тех же функций), то часто бывает полезным оценить одну норму
(полунорму) этих элементов через другую. Теоремы, выражающие
подобные оценки, называются обычно теоремами вложения.
Поясним сказанное на примере, сформулированном в виде
леммы.
Лемма 3. Пусть —со<а<6< + «:, 1<р< + СХ1- Если
feERLp[a, b], то
1/fi^(Ь-аI^IIZip, 7 + }=1' <57Л6>
а если f e RLP [a, b][)S [a, b], то
E7.17)
Доказательство. Принимая во внимание, что полунорма
1/||р определяется по формуле E7.15), получим, используя нера-
неравенство Гёльдера (см. п. 28.4*),
/ргь ~\1/я
436 § 57. Функциональные пространства
тем самым E7.16) доказано. Неравенство E7.17) также сразу
вытекает из определений E7.14) и E7.15) соответствующих норм:
= \\\f(t)\pdt\ ^Usup \f(t)\fdt\ =
la J (a lla.b] J J
Vp
- D
Упражнение 15. Обозначим через СгЬ2[а, Ь] подмножество простран-
пространства CL2 [a, b], состоящее из непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, Ь]
функций. Доказать, что ¦
1) C1L2 [a, Ь] является линейным, нормированным пространством, если под
нормой функции / <= СЧа [а, Ь] понимать ее норму в пространстве CL2 [а, Ь];
2) оператор дифференцирования D является линейным неограниченным
оператором D: OL2[a, b]-+CL2[a, b].
Указание: полезно рассмотреть функции sin пх е СЧ2 [— п, п].
57.5. СВОЙСТВА ПОЛУНОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
В полунормированных пространствах можно ввести понятие
сходящейся последовательности и ее предела.
Определение 25. Если последовательность {х„} элементов полу-
полунормированного (в частности, нормированного) линейного прост-
пространства X такова, что существует элемент хеХ такой, что
lim \хп — х\ = 0, то последовательность \хп) называется схсдя-
П-+ОО
1цейся по полунорме (соответственно по норме) к элементу х и
пишется х= lim xn.
п—>оо
Вводя в каком-либо линейном пространстве функций различ-
различные полунормы (в частности, нормы), будем получать различные
понятия сходимости последовательностей функций. Например,
сходимость в смысле нормы E7.14) означает равномерную сходи-
сходимость; сходимость в смысле полунормы E7.15) является уже схо-
сходимостью другого рода: она называется сходимостью в среднем,
или, подробнее, в смысле р-среднего (иногда говорят и просто
о сходимости в смысле пространства Lp). Мы уже встречались
с частным случаем сходимости такого рода при р = 1: см. лемму 2
в п. 55.2, следствие леммы 4 в п. 56.7 и метрику E7.2), а при
р = 2 — в следствии из теоремы 12 п. 55.9. При р = 2 сходимость
в среднем называется также сходимостью в смысле среднего квад-
квадратичного.
Неравенства E7.16) и E7.17) между различными полунормами
функций позволяют установить связь между различными видами
сходимостей функций.
Например, пусть последовательность функций /„, п—\, 2, ...
и функция / таковы, что
1°. Последовательность {/„} сходится равномерно на отрезке
[а, Ь] к функции /.
57.5. Свойства полунормированных пространств 437
2°. При всех и = 1, 2, ...: fn-f<=S[a, b][]RLp[a, b].
Тогда последовательность {/„} сходится к функции / на от-
отрезке [а, Ь}н в смысле р-среднего, 1 s^p<. + oo.
В самом деле, в силу E7.17) справедливо неравенство
Равномерная сходимость последовательности {/„} к функции / на
отрезке [а, Ь] означает, что
Следовательно
Упражнение 16*. Построить пример последовательности непрерывных
неотрицательных на отрезке функций, сходящейся в среднем, но не сходящейся
ни в одной точке.
Следует обратить внимание на то, что в полунормированном
пространстве у сходящейся последовательности предел, вообще
говоря, не единственен. При этом, если lim хп = а и lim xn = b,
то полунорма разности двух пределов равна нулю: ||а — Ь| = 0.
Это сразу следует из неравенства
Лемма 4. Для любых двух элементов х и у линейного полу-
нормированного пространства X справедливо неравенство
1*-у|. E7.18)
Доказательство. Так как
то
и аналогично
Из последних двух неравенств и следует неравенство E7.18). Q
Определение 26. Пусть X — линейное полунормированное (в ча-
частности, нормированное) пространство. Множество Е а X назы-
называется ограниченным, или, подробнее, ограниченным по полунорме
(соответственно по норме), если существует такая постоянная
Л1>0, что для всех х<=Е выполняется неравенство ||х|^М.
Лемма 5. Если последовательность {хп) сходится по полунорме
в X, то она ограничена.
438 § 57. Функциональные пространства
Доказательство. Пусть х = lim хп\ в силу сходимости
л-*со
последовательности существует такое п0, что если п^п0, то
\\хп — х\\^1 и, следовательно,
Положим M = max{lx1||, Jлг2!!, ..-, ||^no-il. |лг| —1— 1}; тогда,
очевидно, для всех п — \, 2, ... справедливо неравенство Ц#„||<;
На линейном пространстве с полунормой можно определить
понятие непрерывной функции. Нам в дальнейшем (см. п. 57.9)
понадобится понятие непрерывности функции одной и двух пере-
переменных на полунормированном пространстве. Определим эти
понятия.
Пусть X — полунормированное пространство. Действительная
или комплексная функция /, определенная на X, называется
непрерывной в точке JjeI, если для любого е>0 существует
такое б>0, что для всех хеХ, удовлетворяющих условию
\х — хй\<.Ь, выполняется неравенство
\f(x)-f(xo)\<e.
Пусть Y — также полунормированное пространство. Действи-
Действительная или комплексная функция /, определенная на произве-
произведении XxY, называется непрерывной в точке (х0, у0) еХхУ,
если для любого s>0 существует такое 8>0, что для всех
(х, у) <= XxY, удовлетворяющих неравенствам |х — х0J<б,
\У~#ol<6, выполняется неравенство
l/(*. y)~f(x0, Уо)\<г.
Если функция / непрерывна в каждой точке некоторого мно-
множества, то она называется непрерывной на этом множестве.
Определение непрерывности можно, конечно, сформулировать
для полунормированных пространств и пользуясь последователь-
последовательностями элементов пространства.
Например, числовая функция /, определенная на полунорми-
полунормированном пространстве X, называется непрерывной в точке х0,
если для любой последовательности {хп}, сходящейся к х0 по
полунорме пространства X: lim \хя — дг01 = 0 имеет место равен-
П-+ОО
ство lim f(xn)=f(x0).
га-»оо
Эквивалентность двух сформулированных выше определений
предела функции доказывается по той же схеме, что и в случае,
когда X — множество действительных чисел (см. п. 4.5).
Лемма 6. Полунорма \\x\\ является непрерывной функцией на
полунормированном пространстве X.
Доказательство. Пусть заданы элемент х0е X и число
е>0. Тогда для всех таких х, что \х — хо|!<е в силу леммы 4
57.5. Свойства полунормированных пространств 439
имеем ||xf — l^ol | <||х —Xol<Cs, т. е. условие непрерывности
функции на X выполняется при выборе 8 — е. Q
Определение 27. Пусть X и Y — линейные полунормированные
(в частности; нормированные) пространства. Отображение f, изо-
изоморфно отображающее пространство X как линейное простран-
пространство на пространство Y (см. определение 19), и такое¦, что для
любого хеХ справедливо равенство
называется изоморфным отображгнигм или изоморфизмом линей-
линейных полунормированных (нормированных) пространств.
Если для линейных полунормированных (нормированных) про-
пространств X и Y существует изоморфное отображгние X на Y,
то они называются изоморфными.
Два изоморфных полунормированных (нормированных) прост-
пространства могут отличаться друг от друга только природой своих
элементов, а не свойствами пространства. Поэтому в дальнейшем
мы часто не будем различать изоморфные полунормированные
(нормированные) пространства, состоящие из различных элемен-
элементов; такие пространства можно «отождествлять».
Поясним это подробнее. Пусть X и Y — линейные полунорми-
полунормированные пространства, Y c:Y*, а /: X-*- Y — изоморфное отоб-
отображение. Рассмотрим множество X* = X U(Y* \ Y), получаю-
получающееся из пространства X присоединением к нему множества
Y* \ Y. Таким образом: X*\X = Y*\Y. Определим для эле-
элементов множества X* операции сложения и умножения на число,
а также норму —они будут снабжаться индексом X*. Для
удобства введем отображение F : X* -*~Y*, задаваемое формулой
Ц/(*),если^Х
[ х еслихеХ*\Х
Ясно, что F является взаимно однозначным отображением (биек-
цией) множества X* на Y*.
Теперь для любых хеХ*,//еХ*и любых чисел к, ц положим
td^F^[kF(x) + liF(y)],
Так определенное пространство X* является линейным полунор-
полунормированным (нормированным), изоморфным пространству Y* и
содержащим X в качестве своего подмножества. Под утвержде-
утверждением «отождествим в пространстве Y* множество Y с изоморф-
изоморфным ему пространством X» и понимается рассмотрение указанного
выше пространства X* (сравните с отождествлением изометриче-
изометрических метрических пространств п. 57.1).
440 § 57. Функциональные пространства
.Упражнения. 17. Пусть X — линейное полу нормированное простран-
пространство. Элементы JteX и jeX называются эквивалентными, если \x-y\-Q.
Обозначим через X множество, элементами которого являются классы эквива-
эквивалентных элементов пространства X. Пусть х е X, у е X, jc e х, у е _у,
X — число. Определим х+у как элемент множества X, содержащий x-j-y,
а Хх— как элемент из X, содержащий Хх. Положим ||jf|~ = |*|| . Доказать,
Л. Л
что данные определения корректны, т. е. не зависят от выбора элементов
х-е х и у^у, и что X является линейным нормированным пространством
с нормой ||^||~.
18. Доказать, что функции х-\-у и Хх непрерывны на всяком линейном
полунормированном пространстве X (х и i/—элементы этого пространства,
а X — число), иначе говоря, что операции сложения и умножения на число
непрерывны в указанном пространстве.
57.6. СВОЙСТВА НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
В линейном нормированном пространстве X можно
естественным образом ввести расстояние между элементами этого
пространства. Именно, справедливо следующее утверждение.
Лемма 7. Линейное нормированное пространство X является
метрическим пространством с метрикой
р(х, у) = \х-у], E7.20)
при этом сходимость последовательностей в пространстве X по
этой метрике совпадает со сходимостью по норме.
Доказательство. Функция р(х, у), определенная форму-
формулой E7.20), действительно является расстоянием: свойства рас-
расстояния (см. п. 57.1) вытекают из свойств нормы 1° — 4° (про-
(проверьте это). Второе утверждение леммы очевидно.
Будем говорить, что метрика E7.20) порождается заданной
нормой пространства X. Например, метрика, порожденная нор-
нормой 1x1 = ~Ух\-\-.,.-{-х*п в арифметическом линейном пространстве
я-мерных вещественных векторов х — {хг, х2, ..., х„), является
метрикой евклидова пространства R", определенной форму-
формулой A8.1).
Последовательность точек пространства X, фундаментальная
относительно метрики E7.20), называется также фундаменталь-
фундаментальной относительно нормы, заданной в пространстве X.
Упражнение 19. Доказать, что множество в линейном нормированном
пространстве ограничено по норме (см. определение 26 в п. 57.5) тогда и
только тогда, когда оно ограничено как множество метрического пространства
в смысле метрики E7.20) (см. упражнение 1 в п. 57.1).
Пример. Рассмотрим пространство 1Р, последовательностей
действительных чисел с нормой E7.10). Обозначим через еп по-
последовательность, у которой п-и член равен единице, а все осталь-
остальные нули. Очевидно, что при пфт
57.6. Свойства нормированных пространств 441
Поэтому последовательность элементов е„, п—\, 2,..., простран-
пространства 1Р не может содержать фундаментальной, а, следовательно,
и сходящейся подпоследовательности.
Последовательность {еп} ограничена, ибо для всех п имеем
||ея|=1. Она образует замкнутое множество в 1Р, так как мно-
множество {е„} не имеет предельных точек в 1Р (в противном случае
в ней нашлась бы сходящаяся подпоследовательность).
Таким образом, в бесконечномерном пространстве существуют
ограниченные последовательности, из которых нельзя выделить
сходящуюся. Существуют также и ограниченные замкнутые мно-
множества, у которых не из всякой последовательности их точек
можно выделить сходящуюся.
Замечание 1. Если в линейном пространстве X введены
две нормы элементов |-|A) и Н1B)> причем они эквивалентны
(см. определение 23 в п. 57.4), то последовательность хп е X,
п=\, 2, ..., сходится к элементу хеХ в смысле нормы НA)
тогда и только тогда, когда она сходится к х в смысле нормы
Не-
Недействительно, в силу эквивалентности норм ||-р> и Ц-|B)
существуют такие постоянные d > 0 и с2 > 0, что выполняются
неравенства
Ci\Xa-X |Р> < \хп - X |<Ч SS С2 I Хп - X Ц»>.
Из этих неравенств сразу и следует эквивалентность сходимостей
последовательности {хп} к х в смысле норм |-р> и |j-||B).
Из доказанной в теореме 2 п. 57.4 эквивалентности всех норм
в конечномерном пространстве следует, что сходимости последо-
последовательностей его точек по всем нормам эквивалентны. Поскольку
сходимость по квадратичной норме |дг||2 равносильна покоорди-
покоординатной сходимости (см. п. 18.1 и 18.4), то сходимость последо-
последовательности точек в конечномерном пространстве по любой норме
равносильна сходимости числовых последовательностей координат
рассматриваемых точек относительно произвольного базиса.
Замечание 2. Отметим, что в случае, когда полунорма
не является нормой даже такая простая функция как линейная
на конечномерном линейном полунормированном пространстве
может оказаться не непрерывной. Рассмотрим, например, двумер-
двумерное арифметическое пространство X векторов х=(хъ х2) с полу-
полунормой |л:!= |xi|. Это действительно полунорма, так как |*| =
= | хх | Ss 0. Кроме того, для любого числа Я имеем he = (кхъ ?х2)
и потому || he | = | Ххг | = | Я11 xt | = | Я | ]| х |. Наконец, если у = (уъ у2)
также является элементом из X, то х-\-у = (х1-\-у1, х2 + Уг), сле-
следовательно Ix+y§ = \x1+y1\s^\xi\ + \y1\ = lxl + \\y\\. Таким обра-
образом, все свойства полунормы выполнены.
Покажем, что линейная функция f(x) = x2 не непрерывна
на X. Действительно, для последовательности дг(п) = A/п, 1) любая
точка вида х = @, дг2) (х2 произвольно) является ее пределом
442 § 57. Функциональные пространства
в смысле рассматриваемой полунормы:
lim |*<л> — дс|= lim —-0.
п —*¦ со л —»¦ со
В частности точка О = @, 0) является пределом последователь-
последовательности {х{п)}. Однако
lim
Это и означает, что функция / (х) = х2 не является непрерывной
по полунорме || х | = | хх \.
Подчеркнем, однако, что если в конечномерном пространстве
полунорма является нормой, то всякая линейная функция будет
непрерывна относительно этой нормы. Действительно, пусть
X —я-мерное линейное нормированное пространство и / — линей-
линейный функционал на X. Пусть {еъ ..., еп} — базис в X и, следо-
следовательно, любой элемент х е X представим и притом единствен-
единственным образом в виде x = Xiei + ...-{-xnen. Поскольку / — линейный
функционал, то
-... + хпея) =
xnf(en) = a1xi + ... + anxn
пхп,
где ak = f(ek), k=\, 2, ..., п, — фиксированные для / числа.
Вспоминая, что сходимость последовательности точек по любой
норме в конечномерном пространстве эквивалентна ее покоорди-
покоординатной сходимости, сразу убеждаемся, что из полученной фор-
формулы / (х) = aiXt +. • ¦ + апхп действительно следует непрерывность
функции /.
Лемма 8. Норма является непрерывной функцией на линейном
нормированном пространстве в смысле метрики E7.20).
В силу равенства E7.20) это следует из того, что полунорма
непрерывна по полунорме (см. лемму 6 в п. 57.5).
Определение 28. Линейное нормированное пространство назы-
называется полным, если оно является полным метрическим простран-
пространством в смысле метрики, порождаемой нормой данного про-
пространства.
Полное линейное нормированное пространство называется бана-
банаховым пространством *~>.
Линейное нормированное пространство С [а, Ь] непрерывных
на отрезке [а, Ь] функций с нормой E7.14) является банаховым
пространством. Мы в этом убедились в п. 57.1, когда рассматри-
рассматривали метрическое пространство непрерывных ва отрезке [а, Ь]
функций с расстоянием E7.1), которое какс |иаз порождается нор-
нормой E7.14). Мы видели, что полнот^ пространства С [а, Ь] сле-
*' С. Банах A892— 1945) — польский
57.6. Свойства нормированных пространств 443
дует из того, что сходимость последовательности в этом про-
пространстве означает ее равномерную сходимость на отрезке [а, Ь].
Теорема 3. Всякое линейное нормированное пространство содер-
содержится и плотно в некотором банаховом пространстве.
Доказательство. Согласно теореме 1 п. 57.1, достаточно
показать, что на пополнение X* линейного нормированного про-
пространства X, рассматриваемого как метрическое с метрикой E7.20),
можно продолжить с X алгебраические операции и норму. Это
можно сделать с помощью предельного перехода. Как и при
доказательстве теоремы 1, будем считать, что ХсХ*, иначе
говоря, отождествим пространство X с изометричным ему под-
подпространством построенного там пополнения X*.
Пусть, например, jeX* и jeX*. В силу плотности X
в X* существуют последовательности хп е X и уп е X, п —
= 1, 2, ..., такие, что \\тхп = х, \\туп = у.
п —*¦ оо п —у со
Покажем, что последовательность {хп-\-уп} сходится. Действи-
Действительно,
) = I (хп + уп) - (хт + ут) | <
ут).
Из сходимости последовательностей {х„} и \уп) следует, что они
фундаментальные, поэтому последовательность {хп-\-уп) также
фундаментальная и, следовательно, в силу полноты X*, сходя-
сходящаяся.
Положим, по определению,
= lim (
Аналогично с помощью предельного перехода определяется и кх,
Легко проверить, что определенные так алгебраические опе-
операции х+у, Кх для элементов пополнения X* не зависят от вы-
выбора последовательностей {хп\ и \уп), таких, что х„-*-х, уп-+у,
хп(=Х, #„ <= X, я = 1, 2, Также легко убедиться, что в слу-
случае, когда элементы принадлежат исходному пространству X,
определенные нами алгебраические операции совпадают с за-
заданными.
Определим теперь норму для *еХ*. Пусть х„ е X, п —
= 1, 2, ..., и lim хп = х. Покажем что последовательность {|х„\\
фундаментальная. В самом деле, из неравенства E7.18) для всех
натуральных пит имеем
И-^лЦ — I Хт I I ^= II хп—Хт} — Р \хп1 хт)- \OI.Zi)
Последовательность {хп}, будучи сходящейся, является и фунда-
фундаментальной, поэтому из неравенства E7.21) следует, что и чис-
444 § 57. Функциональные пространства
ловая последовательность {\хп\\ фундаментальна, а значит, схо-
сходится.
Положим, по определению,
[х\ = lim \Xn\.
п ->оо
Так определенная норма 1*1, х^Х*, не зависит от выбора по-
последовательности хп^Х, л = 1, 2, ..., такой, что х„-+х. Легко
проверить также, используя предельный переход, что для функ-
функции f*|, j;eX*, выполняются свойства нормы 1° — 4° и что
в случае хеХ мы получаем прежнюю норму. Q
В качестве примера отметим линейное нормированное про-
пространство CLp[a, b] непрерывных на отрезке [а, Ь] функций
с нормой E7.15). Эта норма при р = 1 порождает метрику E7.2).
Можно показать, что метрическое пространство непрерывных
функций с метрикой E7.2) не является полным. Согласно дока-
доказанной теореме, рассматриваемое линейное нормированное про-
пространство непрерывных на отрезке [а, Ь] функций можно допол-
дополнить до полного пространства. Это банахово пространство обо-
обозначается L[a, b].
Определение 29. Система элементов ха, а е 21 B1 — некоторое
множество индексов) линейного полунормированного пространства X
называется полной в этом пространстве, если для каждого эле-
элемента х е X и любого числа г > 0 существуют такие элементы
x<xL, ..-. ха данной системы и такие числа Яь ..., Хп, что вы-
выполняется неравенство
1 х - {Кх*г+...+Кх*п) || < е. E7.22)
Сформулируем это определение несколько иначе, введя пред-
предварительно еще одно понятие.
Определение 30. Множество Л с X называется плотным в по-
полунормированном пространстве X, если для любого элемента
х^Х и любого е>0 найдется такой элемент а^.А, что
\х-а\<ъ.
Если X — нормированное и, следовательно, метрическое про-
пространство, то определение 30 в силу E7.20) приводит к тому же
понятию плотности множества, что и определение 6 из п. 57.1.
Теперь можно сказать:
Система {х^}, а ^41 —полна в пространстве X, если множе-
множество конечных линейных комбинаций ее эмментов, т. е. ее линей-
линейная оболочка (см. определение 15 в п. 57.2) образует плотное
в X множество.
Если X является нормированным пространством, то в нем,
как во всяком метрическом пространстве, имеет смысл понятие
замыкания множества, а поскольку плотность некоторого мно-
57.6. Свойства нормированных пространств 445
жества в метрическом пространстве означает, что замыкание этого
множества совпадает с самим пространством (см. определение 6
в п. 57.1), то в этом случае определение 30 можно перефразиро-
перефразировать и таким образом:
система элементов ха, ое?1 B1 — некоторое множество индек-
индексов) линейного нормированного пространства X называется полной,
если замыкание ее линейной оболочки {см. п. 57.2) совпадает со
всем пространством X.
. С частным случаем понятия полноты для системы функций мы
уже встречались в п. 55.8.
Определение 31. Если в линейном нормированном пространстве X
существует счетное множество элементов, образующее полную
систему пространства X, то пространство X называется сепа-
рабельным.
В заключение этого пункта введем понятие базиса, а предва-
предварительно—понятие ряда в пространстве X.
Определение 32. Пусть хп, п=\, 2, ..., — последовательность
элементов линейного нормированного пространства X. Положим
sn = Xi + ... + xn, п=1, 2, ...; пара последовательностей {хп}, {sn}
называется рядом (с общим членом х„) и обозначается
E7.23)
элементы sn называются п-ми частичными суммами ряда E7.23).
Если последовательность sn, n=\, 2, ..., сходится в прост-
пространстве X, то ряд E7.23) называется сходящимся. В этом случае
предел s= lim sn последовательности sn, n= 1, 2,..., называется
я-><х>
суммой ряда E7.23) и пишется
2
п=\
Таким образом, как и в случае числовых рядов, мы будем
оо
одним и тем же символом ^ хп обозначать как сам ряд, так и
его сумму, если он сходится.
Как и для числовых рядов для рядов в линейных нормиро-
нормированных пространствах справедливы следующие утверждения.
оо
Если ряд E7.23) сходится, то сходится и ряд 2 ^х«> пРи-
чем если ¦ 2 хп = s, то ^]
я=1 п=1
446 § 57. Функциональные пространства
Если в пространстве X сходятся два ряда, то сходится и
ряд, общий член которого равен сумме их членов с одинаковыми
номерами, и его сумма равна сумме сумм данных рядов.
Определение 33. Последовательность элементов еп, п—1, 2,...
линейного нормированного пространства называется базисом, если,
каков бы ни был элемент х, существует, и притом единственная,
последовательность чисел %„, п=\, 2, ..., такая что
оо
х= ? ten- E7.24)
л=1
Таким образом, если последовательность {еп} является базисом
пространства X, то для каждого элемента х е X существует, и
притом единственная, последовательность чисел {А,„}, такая, что
для каждого е > 0 существует такой номер пе, что при всех
п^пе выполняется неравенство
«)|<e. E7.25)
Формула E7.24) называется разложением элемента х по базису
Нетрудно убедиться, что если система элементов {еп} образует
базис, то она линейно независима. Это сразу следует из единст-
единственности разложения элементов пространства по базису. В самом
деле, если бы элементы еп, я=1, 2, ..., оказались линейно зави-
зависимыми, то среди них нашлось бы конечное множество таких
епг, ..-, <?лй» что для некоторых чисел Къ ..., Kk, которые не все
равны нулю, имело бы место равенство Я^ +... + Айе„ = 0, т. е.
получилось бы разложение нуля по элементам базиса с коэффи-
коэффициентами, которые не все равны нулю. Поскольку для нуля
оо
имеется тривиальное разложение 0=2 0еп, то тем самым нару-
я=1
шено условие единственности разложения элементов по базису.
Если линейное нормированное пространство имеет базис, состоя-
состоящий из конечного или счетного множества элементов, то это про-
пространство сепарабельно. Действительно, нетрудно проверить, что
множество всех конечных линейных комбинаций элементов ука-
указанных базисов с рациональными коэффициентами счетно и плотно
во всем пространстве.
Замечание. Подчеркнем отличие между последовательностью
элементов, образующих полную систему, и последовательностью
элементов, образующих базис. В первом случае коэффициенты Kk,
k=l, 2, ..., п, в неравенстве E7.22) зависят, вообще говоря,
не только от выбора элемента хеХ, но и от выбора числа е.
Во втором же случае коэффициенты Яй, k=l, 2, ..., п, в нера-
неравенстве E7.25) определяются только самим элементом (они назы-
называются коэффициентами разложения элемента х по данному базису
57Л. Линейные пространства со скалярным произведением 447
или координатами элемента х при данном базисе) и лишь их
количество, т. е. число пе, зависит от выбора е.
Существуют сепарабельные банаховы пространства, в которых
нет базиса. В следующем пункте будет рассмотрен более узкий
класс пространств, в которых базис всегда существует.
57.7. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ
Определение 34. Действительная функция, определенная на
множестве упорядоченных пар элементов действительного линей-
линейного пространства и обозначаемая (х, у), х е X, у е X, называется
скалярным умножением, если она удовлетворяет следующим условиям:
1°) (х, У) = (у, х), jgXjeX;
2°) (fac+iiy, z) = X(x, z) + \i(y, z), x^X, y^X, z<=X, Я и
ц, — действительные числа:
3°) (х, jf)^O, xeX;
4°) если (х, а-) = 0, то х = 0.
Заметим, что из свойств 2° следует, что для любого ieX спра-
справедливо равенство
(х, 0) = 0.
Действительно, (х, 0) = (х, 0-0) = 0 (х, 0) = 0.
Определение 35. Действительная функция (х, у), определенная
на множестве упорядоченных пар элементов действительного линей-
линейного пространства X, х^Х, у е X и удовлетворяющая лишь
условиям 1, 2, 3, называется полускалярным умножением.
Аналогичным образом вводится понятие и полускалярного
(в частности, скалярного) умножения в комплексном линейном
пространстве /?. В этом случае комплекснозначная функция (х, у)
называется полускалярным (соответственно скалярным) умноже-
умножением, если она удовлетворяет свойству 2° для любых комплекс-
комплексных чисел Яиц,, свойству 3° и свойству
где, как всегда, черта над числом обозначает сопряженное ему
комплексное число.
В дальнейшем под линейным пространством будем понимать
действительное линейное пространство, если не оговорено что-либо
другое.
Результат скалярного (полускалярного) умножения двух эле-
элементов ieX, и jeF называется их скалярным (полускалярным)
произведением (х, у). Линейные пространства, для элементов кото-
которых определена операция скалярного (полускалярного) умноже-
умножения, называются линейными пространствами со скалярным (полу-
скалярным) произведением.
448 § 57. Функциональные пространства
Лемма 9. Для любой пары векторов х и у линейного простран-
пространства X с полускалярным произведением справедливо неравенство
(х, у)*^(х, х)(у, у), E7.26)
которое называется неравенством Коши — Шварца.
Доказательство. Для любого действительного числа Я
в силу свойства 3 полускалярного умножения имеем
(Кх+'у, кх + у)^0.
Применив свойства 1° и 2° полускалярного умножения, полу-
получим:
№{х, х) + 2Х(х, у) + (у,
Если (л:, х) = 0, то 2Х(х, у) + (у, у)^0. Поскольку это спра-
справедливо для любого действительного X, то (х, у) = 0 и, следова-
следовательно, неравенство E7.26) справедливо — обе его части обращаются
в ноль. Если же (л:, х)Ф О, то дискриминант получившегося квад-
квадратичного относительно Я трехчлена неположителен:
(х, У?-(х, х)(у, t/)<0,
что равносильно условию E5.26).
Следствие. Для любой пары векторов линейного пространства
с полускалярным произведением справедливо неравенство
Действительно, применив неравенство Коши—Шварца, получим:
х + у) = (х, х) + 2(х, у) + (у, у)^
^ (jc, х) + 2 V(x, х)(у, у) + (у, у) = [V(x, х) + У(У, y)Y П-
Упражнение 20. Доказать, что в комплексном линейном пространстве X
с полускалярным произведением выполняется неравенство
|(*. (/)|2«5(х, х)(у, у), х^Х, уееХ.
Если в линейном пространстве X с полускалярным произве-
произведением положить
\х[ = У~(хГ~*), хе=Х, E7.27)
то функция \х\ удовлетворяет свойствам 1°—3° полунормы. Свой-
Свойство 1° полунормы следует из свойства 3° полускалярного умно-
умножения, свойство 2° —из свойства 2°, свойство 3° полунормы —из
следстзия леммы 9.
Если же полускалярное умножение является скалярным, то
полунорма E7.27) является нормой. Действительно, свойство 4°
нормы следует из свойства 4 скалярного умножения. Таким обра-
образом, мы доказали следующее утверждение.
57.8. Примеры, линейных пространств со скалярным произведением 449
Лемма 10. Каждое линейное пространство со скалярным (соот-
(соответственно полускалярным) произведением является нормированным
(соответственно полунормированным) пространством с нормой
(соответственно полунормой), определяемой формулой E7.27),
а следовательно, и метрическим пространством с метрикой E7.20).
Полунорму E7.27) будем называть полунормой (соответственно
нормой), порожденной заданным полускалярным (скалярным) про-
произведением. Расстояние E7.20), порожденное нормой E7.27) линей-
линейного пространства со скалярным произведением, будем также
называть расстоянием, порожденным заданным скалярным произ-
произведением.
Применяя обозначение полунормы, неравенство E7.26) можно
переписать в виде
\(х, У)\^1х\\у\. E7.28)
57.8. ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ СО СКАЛЯРНЫМ
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ
1. В множестве действительных чисел R обычная операция
умножения является и скалярным умножением в смысле опреде-
определения 34.
В множестве комплексных чисел С скалярным произведением
чисел х и у является произведение ху.
2. Действительное арифметическое я-мерное векторное прост-
пространство Rn, в котором скалярное произведение векторов х==
= (хи ..., х„)<=Яп и у = (уъ .... уп)^Яп определяется по фор-
формуле (см. A8.32) в п. 18.4)
(л:, у) = х1у1 + ... + х„уп
является линейным пространством со скалярным произведением
в смысле определения 34 п. 57.7. В этом случае норма элемента
хе^л совпадает с его длиной \х\ (см. п. 57.4, пример 2):
а соответствующая метрика с расстоянием в я-мерном арифмети-
арифметическом точечном пространстве:
Напомним, что для этого пространства неравенство Коши —
Шварца было доказано, нами раньше (см. лемму 1 в п. 18.1 и
неравенство A8.39) в п. 18.4).
В арифметическом комплексном пространстве Сп (см. п. 57.2)
скалярное произведение вводится по формуле
(х, y) = x1yi + ... + xnyn,x=:(xL,...,xn)e=Cn, y = (yu ..., уп) е=Сп.
15 Кудрявцев Л. Д. т. 2
450 § 57. Функциональные пространства
3. Рассмотрим линейное полунормированное пространство
RLi[a, b] из примера 8, п. 57.4, состоящее из функций с инте-
интегрируемым (вообще говоря, в несобственном смысле) на отрезке
[а, Ь] квадратом, т. е. из таких функций /, для которых
Пусть / е RL2 [a, b] и g e RL2 [a, b]. Вспомним, что произведение
функций, интегрируемых по Риману на некотором отрезке, также
интегрируемо по Риману на этом отрезке. Поэтому на любом
отрезке [?, ц] а [а, Ь], не содержащем особых точек функций /
и g (см. п. 55.1), произведение fg также интегрируемо по Риману,
и следовательно имеет смысл рассматривать несобственный инте-
интеграл
\f(t)g(t)dt. E7.29)
а
Поскольку, кроме того, в любой не являющейся особой для функ-
функции / или g точке х справедливо неравенство
то интеграл E7.29) сходится, и притом абсолютно.
Полускалярное произведение в этом пространстве определяется
формулой
(/. g)=\f(t)g(f)di. E7.30)
а
Свойства. Г, 2°, 3° полускалярного произведения легко про-
проверяются. Полученное пространство с полускалярным произведе-
произведением E7.30) будем также обозначать через RL2[a, b].
Заметим, что неравенство E7.26) в этом случае может быть
записано следующим образом:
оно является частным случаем неравенства Гёльдера (см. п. 28.4*)
при р = q = 2 и называется неравенством Коши — Буняковского **К
Полунорма, порожденная полускалярным произведением E7.30),
имеет, очевидно, вид
/V E7.31)
*' Оно следует из очевидного неравенства ((./@ | — \g (/) jJ
**' В. Я.' Буняковский A804—1889) —русский математик;
57.9. Свойства линейных пространств со скалярным произведением 451-
т.. е. совпадает с полунормой E7.15), рассмотренной в примере 8,
п. 57.4 при р = 2. Отсюда следует, что полускалярное произве-
произведение E7.30) не является скалярным, так как в п. 57.4 было
установлено, что полунорма E7.15) не является нормой при всех
1
Однако, в подпространстве CL2[a, b] пространства RL2\a, b],
состоящем только из функций, непрерывных на отрезке [а, Ь],
полускалярное произведение E7.30) является уже скалярным,
ибо, как было показано в примере 9, п. 57.4, в этом случае
l/h = KO. f^CL2[a, b]
является не только полунормой, но и нормой.
Для расстояния между двумя непрерывными функциями / и g
в этом пространстве получаем формулу
(Ь -П/2
Р(Л g) = If-gI = {\[f(x)-g(x)f dxj . E7.32)
Мы уже встречались со сходимостью функций в смысле этой
метрики: см., например, следствие теоремы 12 в п. 55.9.
Все сказанное естественным образом распространяется и на
функции, определенные на любом бесконечном промежутке, в част-
частности на всей оси.
Упражнение 21. Пусть X — линейное пространство с полускалярным
произведением. Элементы х е X и у еУ называются эквивалентными, если
II jc — (/|i2 = (jc—у, х—у) = 0. Обозначим через X множество, элементами кото-
которого являются классы эквивалентных элементов пространства X. Пусть X е X*
уеХ, х е х, уеу, к и р, — числа. Определим А,х+|гу как элемент множе-
множества X, содержащий Хх-{-\иу, и положим (X, у) = {х, у). Доказать, что эти
определения корректны, т. е. не зависят от выбора элементов х е. X и (/е_у,
и что X является линейным пространством, а (х, у)— скалярным произведе-
произведением в нем.
57.9. СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ СО СКАЛЯРНЫМ
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ. ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Линейное пространство с полускалярным произведением яв-
является согласно E7.27) и полунормированным. Поэтому для него
определено понятие сходящейся последовательности, ее предела,
и понятие непрерывной функции (см. п. 57.5).
Лемма 11. Полускалярное произведение (х, у) является непре-
непрерывной функцией (см. п. 57.5) своих аргументов х и у на множест-
множестве X х X, на котором оно задано: хеХ, i/gX,
Доказательство. В самом деле для любых х0 е X, у0 е X,
леХ и у е X выполняется неравенство
Уо)-(х, У)\ = \(ХО — Х, Уо) + (Х, Уо — У)\*?:
^\Хо-хПу,\ + \х\\у-уо\, E7.33)
15*
452 § 57. Функциональные пространства
из которого сразу следует указанная непрерывность полускаляр-
полускалярного произведения. Действительно, если хе(/(х0, б). У^У (Уо, б),
то, заметив, что || х || =s? | х — х01| +1| х01| < | х01 + б> из E7.33) получим
\(х0, Уо)-(х, г/
Отсюда следует, что при любом фиксированном числе е > О всегда
можно выбрать б = б(е)>0 так, что при хе(/(х0, б), уе(/(у0, 6)
выполняется неравенство | (х0, у0) — (х, у) | < е; для этого доста-
достаточно выбрать б>0 так, чтобы 6|г/0|| + Aл:оЦ-о'N<е; это, оче-
очевидно, всегда возможно. Q
В пространстве X с полускалярным произведением можно
говорить о сходимости рядов по полунорме, порожденной полу-
оо
скалярным произведением: ряд ]>] хп, х,еХ, х= 1, 2,..., назы-
п= 1
вается сходящимся, если последовательность его частичных сумм
п
sn — 2 хп сходится по указанной полунорме к некоторому эле-
*= 1
оо
менту seX, который называется суммой ряда: s= ^ х„.
Отметим, что сумма ряда в пространстве с полускалярным
со
произведением определена неоднозначно. Однако, если s= У] х„
п= 1
оо
и s* = 2 хп, т- е. s и s* суть суммы одного и того же ряда,
л = 1
то j|s* — s| = 0 (см. п. 57.5), и потому для любого элемента аеХ
имеет место равенство (s*, a) = (s, а). Действительно, в силу
неравенства Коши — Шварца для полускалярного произведения
|(s*. a)-(s, a)\ = \(s*-s, a)\^\s*-s\\a\ = 0.
Из непрерывности полускалярного произведения во всехМ про-
пространстве следует, например, что ряды в пространстве с полу-
полускалярным произведением можно умножать почленно не только
на числовые множители, но и на элементы самого пространства.
Докажем это.
Лемма 12. Пусть в пространстве X с полускалярным произ-
произведением задан сходящийся ряд
оо
2j J» = si xn^X, /г=1, 2, ....
л=1
Тогда для всякого элемента аеХ числовой ряд, получающийся
из данного почленным умножением его на а, также сходится и
л= 1
57.9. Свойства линейных пространств со скалярным произведением 453
оэ
Иначе говоря, для сходящегося ряда 2 х„ и любого эле-
элемента аеХ справедливо равенство
оо ' оо ^
я=1 \я=1 /
Доказательство. Поскольку
п
s= lim 2 Xk,
то
со я / п \
У\ (х„, а)= lim У) (xk, a)= lim V xft, a =
= (lim 2х*' ^l1113^» а)-
\я-ооЛ=, /
Пример. Рассмотрим пространство RL2[a, b] из примера 3
оо
п. 57.8. Пусть ряд ^ U @ функций /„ е RU [а, Ь] сходится в этом
пространстве к функции f^RL2[a, Ъ\.
2!М0 = /@. t<=[a, Ь],
т. е. последовательность частичных сумм
этого ряда сходится к функции f в смысле среднего квадратичного:
Тогда для любой функции y(x)^RL2[a, b] согласно лемме 12
(f, ф)= 2 (/«. ф).
т. е.
Ь оо Ь
\ f (х) ф (х) dx = 2 J U (х) Ф (х) dx.
5
л— 1 а
454 § 57. Функциональные пространства
В частности, при <р=1
\f(x)dx = J^\fn(x)dx.
a л = I a
Иначе говоря,
а п=1 J n=I a
Итак, если ряд функций с интегрируемым квадратом на
отрезке [а, Ь] сходится на нем в смысле среднего квадратичного
к некоторой функции также с интегрируемым квадратом на
[а, Ь], то ряд можно почленно интегрировать.
Поскольку из равномерной сходимости последовательности
непрерывных функций вытекает сходимость этой последователь-
последовательности к той же функции и в смысле среднего квадратичного
(см. п. 57.4), то из доказанного здесь утверждения следует, что
если ряд непрерывных функций сходится на отрезке равно-
равномерно, то его можно почленно интегрировать.
Этот результат был получен нами ранее другим путем в главе
о рядах (см. теорему 9 в п. 36.4).
Определение 36. Два линейных пространства X и Y со ска-
скалярным (полускалярным) произведением называются изоморфными,
если они изоморфны как линейные пространства, и отображение f,
отображающее пространство X на пространство У и осуще-
осуществляющее этот изоморфизм, сохраняет скалярное произведение
(полускалярное произведение), т. е. для любых двух элементов
neJf и у е X выполняется равенство
(х, y) = (f(x), f(y)).
Два изоморфных линейных пространства со скалярным (полу-
(полускалярным) произведением могут отличаться лишь природой своих
элементов, а не метрическими свойствами, поэтому в дальнейшем
изоморфные линейные пространства со скалярным (полускаляр-
(полускалярным) произведением часто не будут различаться.
Поясним это на примере. Пусть X и У* — линейные простран-
пространства со скалярным (полускалярным) произведением и пусть /—¦
изоморфное отображение пространства X на множество У с: У*.
Тогда, «отождествляя» элементы пространства X с соответствую-
соответствующими им элементами множества У, можно рассматривать про-
пространство X как подпространство пространства У*. Под этим
понимается (сравните с соответствующими конструкциями в п. 57.1
и п. 57.5) рассмотрение линейного пространства X*, состоящего
из элементов пространства X и элементов множества У*\У. При
этом в пространстве X* операции сложения элементов и умно-
умножения их на число вводятся так же, как это было сделано после
определения 27 в п. 57.5, а скалярное (полускалярное) произве-
57.9. Свойства линейных пространств со скалярным произведением 455
дение (х, у)х', хеХ*, уеХ* определяется в пространстве через
скалярное (полускалярное) произведение в пространстве Y*
посредством биекции F:X*-+Y*, задаваемое формулой E7.19),
следующим образом:
(х, y)x*
где в правой части стоит скалярное (полускалярное) произведе-
произведение в пространстве Y*. Легко проверить, что пространство X*
изоморфно пространству Y*.
Упражнения 22. Доказать, что все гс-мерные линейные пространства
со скалярным произведением изоморфны между собой.
22. Доказать, что всякое и-мерное линейное пространство со скалярным
произведением полно в смысле метрики, порожденной скалярным произведением.
Определение 37. Линейное пространство со скалярным произведе-
произведением, полное в смысле метрики, порожденной заданным скаляр-
скалярным произведением, называется гильбертовым** пространством.
Просто же линейное пространство со скалярным произведе-
произведением называют также предгильбертовым пространством. Это наз-
название оправдывается следующей теоремой.
Теорема 4. Всякое предгильбертово пространство X содержится
и плотно в некотором гильбертовом пространстве X*.
Доказательство. Согласно теореме 1 п. 57.1 и теореме 3
п. 57.6, достаточно показать, что на пополнение X* линейного
нормированного пространства X можно продолжить с X скаляр-
скалярное произведение с сохранением свойств 1° — 4°. Это можно сде-
сделать с помощью предельного перехода. Действительно, поскольку
Х = Х*, то для любой пары точек хеХ* и г/еХ* существуют
последовательности точек х„еХ, j,eX, n=l, 2, ..., такие,
что
lim хп — х, lim Уп — У-
п—>а> п—>са
Покажем, что существует lim (xn, уп). В самом деле, из
неравенства E7.33) слгдует, что для всех натуральных тип
I (Хт, Ут) - (Х„, уп) | ^ I Хт - Хп 1 ] ут | + || Хп || || ут - уп \.
Так как в силу сходимости последовательности {х„} и {уп} огра-
ограничены по норме и являются фундаментальными, то из этого
неравенства следует, что числовая последовательность {(хп,уп)} —
также фундаментальная и, следовательно, сходится.
Положим, по определению, (х, у) = lim (xn, уп). Легко про-
верить, используя предельный переход, что это определение не
зависит от выбора последовательностей {хп} и {«/„}, таких, что
*' Д. Гильберт A862—1943) —немецкий математик.
456
§ 57. Функциональные пространства
Хп-^х, уп-^у, и что для таким образом определенной функции
(х, у) выполняются свойства 1° —4° скалярного произведения. Ц
Полученное гильбертово пространство называется пополнением
исходного предгильбертова пространства.
Примером гильбертова пространства является я-мерное евкли-
евклидово пространство (см. E7.8)). Другие примеры будут рассмот-
рассмотрены далее.
Упражнение 23. Доказать, что предгильбертово пространство, изо-
изоморфное гильбертову пространству, само является гильбертовым.
57.10. ПРОСТРАНСТВО ?2
Напомним (см. пример 3 в п. 57.8), что линейное простран-
пространство непрерывных на отрезке [с, Ь] функций со скалярным произ-
произведением, определенным по формуле
E7.30) обозначается через CL2[a, b].
Норма в пространстве CL* [а, Ь] оп-
определяется E7.31).
Лемма 13. Пространство CL2[a, b]
не является гильбертовым.
Доказательство. Чтобы убедить-
х ся, что всякое пространство CL2 [a, b]
не является полным, достаточно рас-
рассмотреть пространство CL2[a, b] для
некоторого фиксированного отрезка (по-
(почему?). Возьмем для определенности от-
Рис. 225 резок [—1, 1] и приведем пример фунда-
фундаментальной в пространстве CL2 [—1, 1]
последовательности функций, не сходящейся в этом простран-
пространстве.
Положим
-1,
пх, если — ~^х^~, E7.34)
1,
п=1, 2, ...
(рис. 225). Очевидно, что функции '/л(*)> п=\, 2, ..., непре-
непрерывны на отрезке [—1; 1]. Замечая далее, что | /„ (л) | =sc 1, имеем
для т > п
1 \/п
если
если
если
—
—
1
п
\^Х
п ~~~~
" ~~~~ п
:1
— 1
1/л
— 1/я
1/п
dx=S-,
—1/п
57.10. Пространство
457
откуда, очевидно, следует, что последовательность E7.34) —фун-
—фундаментальная в пространстве CL2[a, b].
Действительно, если задано е>0, то выбирая п0 так, что
8/яо<Се для всех п^п0 и всех /п>п, будем иметь ||fn — fm\<.
< — s^ — < е. Поскольку
И m/„(*) =
то естественно ожидать, что если последовательность {/„} схо-
сходится в смысле среднего квадратичного, то она сходится к той
же функции, к которой она сходится пото-
поточечно, т. е. к функции (см. рис. 226):
/(*)
def
—1 при —1
0 при х = 0,
1 при
1
-7
1
в
Рис
-/
226
/ X
Однако эта функция / разрывна и потому
fz?CL2[0, 1]. Следовательно, естественно
ожидать, что последовательность {/„} не
имеет предела в пространстве CL2 [а, Ь]. По-
Покажем это.
Нетрудно убедиться, что последовательность E7.34) сходится
на отрезке [—1, 1] в смысле полунормы E7.31) к функции /.
Действительно,
lf-fnt*]= \ \f(x)-fn(x)\*dx= t \f(x)-fa(x)\*dx^
— 1 — 1/л
+ 1 1/
ибо
ал = >-0 при п->-оо,
Si, хе[-1, 1]. E7.35)
Предел по полунорме не единственен и поэтому возникает
вопрос: не существует ли еще и непрерывной функции, которая
также является пределом последовательности {/„} в смысле сред-
среднего квадратичного. Покажем, что такой функции не существует.
Допустим противное. Пусть существует такая непрерывная на
отрезке [—1, 1] функция g(x), что
= 0. E7.36)
*' Поскольку f—fn уже не является непрерывной функцией, то здесь
символ !:q>:| обозначает уже полунорму E7.31) функции <р. Это следует иметь
в виду и в дальнейших рассмотрениях.
458. § 57. Функциональные пространства
Тогда
где оба слагаемых правой части в силу E7.35) и E7.36) стре-
стремятся к нулю при п->-со, а левая часть не зависит от п, сле-
следовательно,
тем более
$ !/(*)-?(*) !2dx = 0, $|/(*)-*(х)|гЛс = 0. E7.37)
— i о
Рассмотрим, например, случай x^sO. Поскольку функции /
и g непрерывны на интервале @, 1), то в силу E7.37) они сов-
совпадают на этом интервале (см. свойство 9 определенного интег-
интеграла в п. 28.1). Поэтому
g(+0)= Hm g(x)= lira f(x)=l.
X-++0 Ж-.- + 0
Аналогично из рассмотрения случая х=^0 будем иметь
g(-0) = lim f(x) = -l,
*-> —О
т. е. g — разрывная функция.
Полученное противоречие и доказывает утверждение. Q
Итак, линейное пространство CL2[a, b] не полно. Однако мы
знаем, что всякое предгильбертово пространство можно дополнить
до полного, в частности это можно сделать и с рассматриваемым
пространством. Мы вернемся к этому вопросу несколько позже,
а сейчас рассмотрим еще одно пространство.
Попробуем взять более широкий класс функций, чем непре-
непрерывные, а именно рассмотрим линейное пространство RL%[a, b]
функций с интегрируемым на некотором отрезке [а, Ь] квадратом
(см. пример 3 в п. 57.8) с полускалярным произведением, зада-
задаваемым формулой E7.30), и сконструируем из этого пространства
пространство со скалярным произведением.
Определение 38. Две функции f и g с интегрируемым на
отрезке [а, Ь] квадратом назовем эквивалентными, если полунорма
E7.31) их разности равна нулю:
\f-g\=V \[f(x)-g(x)fdx = 0. E7.38)
г а
Эквивалентность функций в смысле этого определения будем
символом
f~g. E7.39)
57.10. Пространство Li 4$9
Употребление в этом случае того же символа, который упот-
употреблялся для асимптотического равенства функций, т. е. для
обозначения их эквивалентности в смысле порядка их изменения
(см. определение 5 в п. 8.2), не приведет к недоразумению, так
как всегда будет ясно, о какой эквивалентности функций идет речь.
Отношение эквивалентности E7.39) обладает следующими
свойствами:
1°) /~Л
2°) если f~g, то g~f;
3°) если /~g и g^h, то f^h.
Разобьем множество всех функций с интегрируемым на отрезке
[а, Ь] квадратом, т. е. пространство RL2[a, b] на классы эквива-
эквивалентных между собой функций. Эти классы будем называть клас-
классами эквивалентности и обозначать заглавными латинскими бук-
буквами F, G, Н, ..., а их совокупность — через %. Каждую функ-
функцию /, принадлежащую классу эквивалентности F, будем назы-
называть его представителем. Кратко выражая процесс построения
множества %, говорят, что оно получается из множества всех
функций с интегрируемым квадратом «отождествлением» его экви-
эквивалентных элементов. Итак, теперь каждое множество эквивалент-
эквивалентных функций рассматривается как один элемент множества %.
Для каждого feg и каждого действительного числа Я эле-
элемент XF определяется следующим образом. Выберем какого-либо
представителя / ef, тогда функция Я/ является также функцией
с интегрируемым на отрезке [а, Ь] квадратом и, следовательно,
принадлежит некоторому классу эквивалентности, т. е. является
представителем некоторого элемента из %, который и определяется
как элемент XF.
Чтобы показать, что это определение корректно, надо дока-
доказать, это элемент XF не зависит от выбора функции fef. Дей-
Действительно, если /eF и fi^F, то fi<^f, т. е. !|/i — /|| = 0. Сле-
Следовательно, ЦА/j — Я/| = |Я| |/i — /1 = 0, а это означает, что Я/^г^Я/.
Поэтому функции ЯД и Я/ принадлежат одному и тому же
классу эквивалентности, т. е. одному и тому же элементу мно-
множества %.
Определим теперь операцию сложения элементов множества Щ.
Пусть Feg и Geg. Выберем какие-либо функции /eF и
geG. Элемент F + G определим как класс эквивалентности,
содержащий элемент / + ?• Это определение однозначно, так как
если
и, следовательно,
то
1/ж—/1 = 0, \g!-g
460 § 57. Функциональные пространства
Поэтому
т. е.
и, таким образом, функция /i + gi принадлежит тому же классу
эквивалентности, что и функция f-\-g.
Итак, для того чтобы сложить элементы из множества % или
умножить их на число, надо выбрать их представителей и про-
проделать над ними указанную операцию; в результате получится
некоторая функция; класс эквивалентности, представителем кото-
которого является эта функция, и будет результатом рассматривае-
рассматриваемой операции.
Множество % с введенными в нем операциями kF и F-\-G
образует линейное пространство. Действительно, для этих опе-
операций выполняются свойства 1°, 2°, 3° определения 11 в п. 57.2.
Проверим, например, что для любых Feg, Ge§ и любого
числа Я справедливо равенство
k(F + G) = kF + kG. E7.40)
Если /eF и geG, то, согласно определению сложения элемен-
элементов из множества %, получим f + g^.F-\-G, k(f + g) ^k(F-{-G).
Поскольку / и g —элементы линейного пространства, то k(f-{-g) =
— kf-\-kg. В силу же правила умножения элементов из § на
число и сложения этих элементов
kf<=kF, kg^kG, kf + kg<=kF + kG.
Таким образом, классы эквивалентности k(F-\-G) и kF-{-kG
содержат общий элемент k (/ -f g) = Ц + kg и, следовательно, сов-
совпадают. Равенство E7.40) доказано.
Аналогично проверяется и выполнение остальных свойств
линейных пространств (см. определение 11 в п. 57.2) для опера-
операций сложения и умножения на число элементов из множества gf-
Отметим, что нулем полученного линейного пространства g
является класс эквивалентности, содержащий функцию, тожде-
тождественно равную нулю на отрезке [а, Ь]. Этот класс состоит из
тех и только тех функций /, которыг эквивалентны нулю, иначе
говоря, для которых полунорма E7.31) равна нулю: |/|! = 0, т. е.
Определим теперь в линейном пространстве $ скалярное умно-
умножение. Пусть FeS, Geg; выберем из классов F и G каких-
либо представителей /eF и g^G и положим
(F,G)^(f,g). E7.41)
57.10. Пространство Li 461
Таким образом, для того чтобы скалярно перемножить элементы
пространства %, надо выбрать их представителей и скалярно
умножить их друг на друга (в смысле полускалярного произве-
произведения (б.30)). Полученный результат и будет равен скалярному
произведению рассматриваемых элементов из множества g.
Определение E7.41) также не зависит от выбора функций
из классов эквивалентности. Действительно, если
/ef, f,ef, g^G, g,cG,
то
/i~/. gi~g
и, следовательно,
\h-H = o, \gi-g\=o-
Поэтому, используя неравенство Коши —Шварца E7.28) получим
Таким образом (fu gi)=(/. S)-
Функция E7.41) удовлетворяет всем свойствам скалярного
умножения. Действительно, пусть /F5 Gg /#S
Я и (х — числа, тогда
(F, G)=(f, g)=(g, /)=(G, F),
(F, F)=(f, /)^0.
Наконец, если (F, F) = 0, то это означает, что для любой
функции feF имеем (/, /) = 11/12 = 0. т. е. /~0, а это, как отме-
отмечалось выше, и означает, что элемент F является нулевым эле-
элементом пространства §.
Определение 39. Линейное пространство $ со скалярным про-
произведением E7.41) называется пространством Ш.2 = Ш^[а, Ь].
Отметим, что норма 1^1!^ элемента F в пространстве Ш,2[а, Ь],
согласно E7.27) и E7.41), определяется через полунорму Iflm,
функции /eF no формуле
\Ь ] 1/2
\\ /ef, E7.42)
причем в силу доказанной однозначности определения скалярного
произведения это определение однозначно, т. е. не зависит
от выбора функции f^F.
Замечание 1. Элементами пространства Жь2[а, Ь] являются
классы эквивалентных функций, однако в математической литера-
литературе часто встречается выражение «функция из пространства Жь^>.
Это условное выражение означает просто, что речь идет о функ-
4§2 § 57. Функциональные пространства
ции с интегрируемым квадратом и, следовательно, принадлежащей
одному из рассматриваемых классов эквивалентных функций,
т. е. являющейся его представителем. Это выражение удобно,
так как операция сложения, умножения на число и операция
скалярного умножения классов эквивалентных функций сводятся
к соответствующей операции над их представителями, причем
результат не зависит от выбора указанных представителей. Это
обстоятельство в известном смысле оправдывает также^и часто
употребляющееся условное выражение «пространство RL2[a, b]
состоит из функций с интегрируемым квадратом»; в этом случае
пространство RL2 нередко обозначается просто через RL2.
Каждая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, будучи
функцией с интегрируемым квадратом на этом отрезке, принадлежит
некоторому классу эквивалентности, т. е. некоторому элементу
пространства RL2[a, b]. При этом в указанном классе нет другой
непрерывной функции, ибо если непрерывные функции эквива-
эквивалентны, то они равны.
Изучим отображение, ставящее в соответствие каждой непре-
непрерывист функции f^CL2[a, b] класс эквивалентности F e RL2[a, b]f
к которому она принадлежит; f ef. Это отображение называется
естественным отображением CL2 [a, b] в $L2 [«> Ь]. В силу самого
определения операций сложения элементов (являющихся классами
эквивалентности), умножения их на число и их скалярного про-
произведения в пространстве R~L2\a, b], сводящихся к таким же
действиям над представителями классов эквивалентности, есте-
естественное отображение является линейным и сохраняет скалярное
произведение. Оно является взаимно однозначным отображением
(инъекцией) пространства CL2[a, Ь] в пространство RL2[a, Ь],
так как если бы при этом отображении две непрерывные функции
отобразились в один и тот же элемент пространства RlL2[a, b],
т. е. в один и тот же класс эквивалентности, то они обе при-
принадлежали бы этому классу. А это, как было отмечено выше,
возможно только в случае, если они являются одной и той же
непрерывной функцией.
Для изучения его дальнейших свойств предварительно докажем
три леммы об аппроксимации функций. В них вместо || • \\RLi будем
для краткости просто писать ||-|.
Лемма 14. Пусть квадрат функции f интегрируем на конечном
или бесконечном промежутке с концами аи Ь, —оо^а<Ь^-\-оо.
Тогда для любого е>0 существует такая финитная ступенчатая
функция ф (см. п. 55.2), равная нулю вне указанного промежутка,
что
Доказательство. Предположим для простоты, что функ-
функция / интегрируема по Риману на любом отрезке [§, rj], a<?-<
57.МУ. Пространство L2 463
j. т. е. что внутри рассматриваемого промежутка с кон-
концами а и Ь нет особых точек функции / (см. п. 55.1). Общий
случай легко сводится к этому.
Пусть задано е>0. Зафиксируем так \ и rj, чтобы
I ' ь
(x)dx<~. <57.43)
Это возможно в силу того, что интеграл по отрезку [а, Ь] от
функции /2 сходится. Функция /, будучи интегрируемой, по Ри-
ману, на отрезке [|, т)], ограничена на нем:
\f(x)\^M, Z^x^n, E7.44)
М — постоянная.
Согласно лемме 2 в п. 55.2 для данного г>0 существует
такая финитная ступенчатая функция ср, что ее носитель supp q>
содержится в отрезке [1, г\], т. е. suppcpc:^, rj],
, ц] E7.45)
(это следует из формулы E5.9)) и
^-. E7.46)
Применив последовательно неравенства E7.43), E7.44), E7.45)
и E7.46), получим:
Отсюда следует, что |/ —ф[|<е. Ц
Лемма 15. Пусть ф —финитная ступенчатая функция, равная
нулю вне отрезка [а, Ь]\ тогда для любого г > 0 существует
такая финитная непрерывная на всей числовой оси функция g,
также равная нулю вне указанного отрезка, что
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай харак-
характеристической функции полуинтервала, ибо «сякая финитная
464
§ 57. Функциональные пространства
ступенчатая функция является конечной линейной комбинацией
подобных функций (см. п. 55.2). Итак, пусть задана функция
1 для
О для х<а и х^Ь,
и задано е>0. Возьмем какое-либо t]>0 так, чтобы выпол-
выполнялись неравенства
Ч<-|-. Л<—2^-.
и рассмотрим функцию g(x), график которой изображен на рис. 227.
1
Л
" а а+ц а-у
Рис. 227
При желании ее можно аналитически описать следующим образом
О для х < а и х > Ь,
х—а
для а~
для
Ь—х ,
для о — Ti s
1
Очевидно, что g(x) является финитной непрерывной на всей
числовой оси функцией. Поскольку | % (х) | s^ 1, | g (х) | е^ 1,
— OO<C^<C"f"OO, ТО
ft a + r\
IA si —JlaW s WJ "*— j LaW — g\X)\ ит
a a
6 a+ri
ft—t) a
ft a+ri
ft — T
Ь
Ь —
т. e. |x — ffl<e. ?
Лемма 16. Если / является функцией с интегрируемым квад-
квадратом на отрезке [а, Ь], то она на этом отрезке является преде-
57.10. Пространство L2
465
лом в смысле среднего квадратичного некоторой последователь-
последовательности непрерывных на всей числовой оси финитных функций /„,
л=1, 2, .... носители которых лежат на отрезке [а, Ъ\.
ь
lim |/„-/(• = lira \[fn(x)-f(x)fdx = O. E7.47)
п-юэ л->оэо
Доказательство. Каково бы ни было е>0, в силу
леммы 14 существует такая финитная ступенчатая функция ф,
равная нулю вне отрезка [а, Ь], что
а в силу леммы 15 для этой ступенчатой функции <р найдется
такая функция g, непрерывная
на всей числовой оси и равная
нулю вне отрезка [а, Ь], что
и, следовательно, (рис. 228)
У
0
Их)
0
Л
J1 1
f \
\
1
» X
Выбирая теперь некоторую чи- Рис- 228
еловую последовательность е„ ->-
->--4-0 при п-^-оо, п—\, 2, ..., и обозначая через /„ соответ-
соответствующую числу 8„ в силу указанной конструкции, функцию,
непрерывную на всей числовой оси и равную нулю вне отрезка
[а, 6], получим искомую последовательность {/„}, удовлетворяющую
условию E7.47) (определение предела последовательности функций
в смысле среднего квадратичного см. в п. 57.5) и такую, что
supp/„ cz [а, Ь] для всех п—\, 2, Ц
Определение 40. Подмножество пространства CL% [a, b] состоя-
состоящее из функций /, обращающихся в ноль на концах отрезка [а, Ь]:
:f(a) = f (b) = 0, называется пространством СЬч [а, Ь].
Очевидно, что лемма 16 означает, что любую функцию с ин-
интегрируемым на отрезке [а, Ъ] квадратом можно сколь угодно
точно в смысле среднего квадратичного приблизить функциями
из С/,г[я, Ь]. Ясно, что CL2[a, b] является линейным предгиль-
предгильбертовым пространством, и
СЦ[а, b]czCL2[a, b].
E7.48)
Вернемся теперь к естественному отображению CLt[a, Ь]->
-*-Ш,2[а, b]. ^
Теорема 5. Естественное отображение CL2[a, Ь]-*-Ш,%[а, Ь],
т. е. отображение, ставящее в соответствие каждой непрерывной
466 § 57. Функциональные пространства
на отрезке [а, Ь] функции класс эквивалентности, к которому
она принадлежит, является изоморфньш отображением простран-
пространства CL2[a, b] в Жь2[а, Ь], причем образ пространства CL2[a, b]
(а, следовательно, в силу E7.48) и всего пространства CL2[a, b])
плотен в JRL2 [а, Ь].
Доказательство теоремы 5. Обозначим через Ф есте-
естественное отображение пространства CL2[a, b] в пространства
RL2[a, b\, т. е. отображение, ставящее в соответствие каждой
непрерывной на отрезке [а, Ь] функции / класс эквивалентных
функций с интегрируемым на этом отрезке квадратом, которому
она принадлежит, иначе говоря, класс эквивалентности, предста-
представителем которого она является. Таким образом, если
/ <= CU [а, Ъ] и fe=F<=RU [а, Ь],
то <D(f) = F.
Пусть /? = Ф(/) = 0; тогда |FS = O, но /eF, поэтому и 1/1 = 0.
По свойству нормы отсюда следует, что / = 0, т. е. ядро отобра-
отображения Ф состоит только из нулевого элемента. Поскольку есте-
естественное отображение Ф линейно, то оно взаимно однозначно
отображает пространство СЬг[а, Ь] в пространство RL2[a, b]
(см. лемму 2 в п. 57.2).
Покажем, что образ пространства CL2[o, b] при этом отобра-
отображении является плотным в пространстве RL^a, Ь] множеством.
Пусть F е Жь2 [а, Ь] и функция / является представителем эле-
элемента F, т. е. / е F. Поскольку / является функцией с интегри-
интегрируемым на отрезке [а, Ь] квадратом, то, согласно лемме 3, она
является пределом в смысле среднего квадратичного некоторой
последовательности непрерывных на отрезке [а, Ь] функций /п,
обращающихся в ноль на его концах (см. E7.47)), т. е. /и>е
^CL2[a, b], n=\, 2, — Если /Be^eS,s[fli Н то> согласно
определению нормы в пространстве RL2[a, b], получим
где справа, как обычно, стоит полунорма E7.31). Отсюда в силу
равенства E7.47) подучаем
lim[Fn-F| = 0. E7.49)
п—у оо
Поскольку класс эквивалентности F являлся произвольно
фиксированным элементом пространства RL2[a, b], a Fn = Ф(/„),
где /„ — непрерывная на отрезке [а, Ь] функция, обращающаяся
в ноль на его концах, и, следовательно, ?,еФ({![г[а, Ь]);
п—1,?, ...^, то равенство E7.49) н оанаадет „платность образа
множества CL2[a, b] в пространстве RL2[a, b] при отображении Ф.
57.10. Пространство L2 467
Для доказательства же плотности образа множества ?JL2[a, b]
при его естественном отображении в пространство RL2[a, b]
заметим, что из включения E7.48) следует очевидным образом, что
Ф (CL2 [a, b]) cz Ф (CL2 [a, b]) <= RL2 [a, b].
А если в каком-либо метрическом пространстве X плотно мно-
множество А, т. е. Л = Х иЛсйсХ, то, конечно, множество В
также плотно в X, ибо AczB cz X и так как А = X, то и В — X.
Поэтому из плотности множества Ф (CL2 [a, b]) в пространстве
RL2 [a, b] следует и плотность в нем множества Ф (CL2 [a, b]). ?
Если отождествить каждую непрерывную функцию /е CL2[a, b]
с классом эквивалентных функций F e RL2 [a, b], которому она
принадлежит: / eF, т. е. отождествить f с ее образом при есте-
естественном отображении Ф, то получим, что CL2[u, b] является
подмножеством пространства RL2[a, b]:
CL2[a, b]czRL2[a, b]. E7.50)
Это включение называется естественным вложением простран-
пространства CL2 в пространство Wi2.
Итак, в силу E7.48) и E7.50) справедливы включения
CL2[a, b]czCL2[a, Ь]аЖ2[а, b],
причем согласно теореме 5
Ql2[a, b]=RLda, b]
— множество CL2[a, b], а следовательно н CLi[a, b], плотны
в пространстве RL2[a, b]. ^
Можно показать, что пространство RL[a, b] не является
полным, т. е. не является гильбертовым пространством.
Задача 37. Доказать, что пространство RL2 [а, а] не является полным.
Выше было показано (см. п. 57.9), что всякое предгильбертово
пространство можно дополнить до полного, т. е. до гильбертова
пространства. В частности, это можно сделать и с пространством
Ж2[а, Ь].
Определение 41. Пополнение предгильбертова пространства
Wi2 = RL2[a, b] называется пространством L2 = L2[a, b].
В силу определения пополнения
RL2[a, b]czU[a, b] E7.51)
и Ш2[а, b] плотно в пространстве L2[a, b], т. е.
RL2[a, b] = L2[a, b].
468 § 57. Функциональные пространства
В силу включений E7.48), E7.50) и E7.51) имеют место
естественные вложения
CL2[a, b]aCL2[a, Ь}аЖг[а, b]c:L2[a, b]. E7.52)
Оказывается, что не только RL2 плотно в пространстве L2,
но и CL2 плотно в L2.
Теорема 6. Пространство CL2[a, b] плотно в пространстве
U[a, Ь].
Следствие. Пространство CL2[a, b] плотно в пространстве
U[a, Ь].
Доказательство теоремы 6. Пусть f <= L2[a, b] и пусть
произвольно фиксировано е>0. Для простоты все элементы
пространства L2[a, b] будем также обозначать строчными латин-
латинскими буквами, хотя они, вообще говоря, и не являются функ-
функциями. Поскольку пространство L2[a, b] является пополнением
пространства RL2\a, b], то существует такой элементgel$L2[a, b],
что
Согласно включению E7.52) и плотности множества CL2[a,b]
в пространстве RL2[a, b], существует такой элемент h^CL2[a, b],
что
Поэтому
\f-h[L,^\f-g{Lt + \g-h\Lt<^ + ~ = i.
Это и означает, что множество CL2[a, b] плотно в простран-
пространстве L2[a, b]. О
Следствие очевидным образом вытекает из теоремы, так как
(как это было показано при доказательстве теоремы 5), если
подмножество А некоторого множества В, А с В, плотно в каком-то
метрическом пространстве X zd В, то и само множество В тем
более плотно в X. В данном случае CL2 [a, b] a CL2 [a, b]) cz L2[a, b]
и CL2[a, b] плотно в L2[a, b]. Поэтому CL2[a, b] также плотно
в L2[a, b].
Упражнение 24. Доказать, что если X — метрическое пространство,
А с В cz X, множество А плотно в множестве В, а множество В плотно
в пространстве X, то и множество А плотно в пространстве X.
Замечание 2. Если рассматривать пространство L%[a, b]
как пространство, получающееся из пространства RL2[a, b] кон-
конструкцией пополнения пространств, описанной в теоремах 1, 3
57.10. Пространство L-2 469
и 4 настоящего параграфа, то его элементами будут являться
классы эквивалентных фундаментальных последовательностей,
составленные из классов эквивалентных функций с интегриру-
интегрируемым квадратом. Если при этом произвести отождествление про-
пространства CL2 и RL2 с их образами в L2, как это указывалось
выше, и тем самым считать, что
то окажется, что пространство L2 состоит из непрерывных функ-
функций, из классов эквивалентных функций с интегрируемым квад-
квадратом, не содержащих непрерывных функций, и из «абстрактных
элементов», представляющих собой указанные классы фундамен-
фундаментальных последовательностей. Можно, далее, условно в смысле
замечания 1 «заменить» все элементы из пространства RL2 функ-
функциями—произвольно выбранными их представителями. Тогда
пространство L2 окажется состоящим из функций с интегрируемым
квадратом и тех же абстрактных элементов, необходимо возни-
возникающих при процессе пополнения пространства ^2,а ввиду его
неполноты. Эта «условная замена» элементов пространства RL2[a, b]
их представителями отражает точное утверждение, что операции
над классами эквивалентных функций сводятся к соответствующим
операциям над их представителями в вышеуказанном смысле.
Оказывается, и это очень интересно и важно, что указанные
абстрактные элементы можно рассматривать не как классы фун-
фундаментальных последовательностей классов эквивалентности,
а как некоторые функции, точнее как классы эквивалентных
функций в смысле определения 38, причем скалярное произведе-
произведение для них также определяется формулами E7.30) и E7.41),
только интеграл в этих формулах следует понимать не в смысле
собственного или несобственного интеграла Римана, а в более
общем смысле, в смысле так называемого интеграла Лебега. Рас-
Рассмотрение этого вопроса выходит, однако, за рамки рассматри-
рассматриваемых методов и поэтому не будет излагаться в настоящем
курсе. Его изложение можно найти, например, в замечательном
учебнике С. М. Никольского «Курс математического анализа»,
т. I, II, 2-е изд., М., 1975.
Замечание 3. Определение пространства L2[а, Ь] естествен-
естественным образом обобщается и на случай бесконечного промежутка.
Рассмотрим для определенности всю числовую ось. Для двух
непрерывных интегрируемых в квадрате на всей действительной
оси функций ф и т|> скалярное произведение определим по фор-
формуле
+ 00
$ x. E7.53)
47© § 57. Функциональные пространства
Это определение корректно, ибо интеграл, стоящий справа,
при сделанных относительно функций <р и а|э предположениях
сходится, и даже абсолютно. Это сразу следует из неравенства
Свойства скалярного произведения для E7.53) легко прове-
проверяются. Можно показать аналогично случаю конечного проме-
промежутка, что получившееся при этом метрическое пространство
непрерывных интегрируемых в квадрате функций, так же как
и предгильбертово пространство, получающееся «отождествлением»
эквивалентных функций с интегрируемым на всей числовой оси
квадратом, не является полным в метрике, порожденной скаляр-
скалярным произведением E7.53). Пополнения этих пространств совпа-
совпадают с точностью до изоморфизма и обозначаются через L2(—оо,
+ оо).
Упражнения. 25. Доказать, что функция f(х) =—т=— на отрезке [0, 1]
Ух
не является пределом в смысле среднего квадратичного последовательности
непрерывных функций.
26. Доказать неэквивалентность понятий сходимости в среднем в смысле
Li и в смысле L2 для последовательности функций.
27. Доказать, что если последовательность интегрируемых на некотором
отрезке функций равномерно на этом отрезке сходится к некоторой интегри-
интегрируемой на нем функции, то указанная последовательность сходится в той же:
функции на рассматриваемом отрезке и в среднем как в смысле Llt так и
в смысле L2.
28. Построить пример последовательности непрерывных на некотором
отрезке функций, сходящейся на нем к некоторой непрерывной функции
в среднем в смысле L2> H0 не сходящейся равномерно на этом отрезке.
29. Построить пример последовательности неотрицательных непрерывных
на отрезке функций, сходящейся на нем в среднем, но не сходящейся в смысле
среднего квадратичного.
Задача 38. Доказать, что для любого р, ls?p< + co, и любого проме-
промежутка с концами в точках а и Ь, —согс;а<; Ь г^+ со, множество непрерыв-
непрерывных на нем функций плотно в пространстве RLp {a, b).
Мы описали различные типы пространств. В анализе в основ-
основном изучаются пространства, элементами которых являются функ-
функции. Такие пространства называются функциональными.
Для простоты в примерах рассматривались функции одного
переменного. Подобным же образом, если взять линейное про-
пространство функций, непрерывных на замыкании некоторого изме-
измеримого по Жордану множества G с: R", ввести скалярное произ-
произведение по формуле (ф, i|)) = $<p\j>dG и пополнить получившееся
пространство, то получим гильбертово пространство, которое
обозначается L2(G).
При этом можно показать, что-все таким образом полученные
пространства L% (G) будут -сепарабельными бесконечномерными
гильбертовыми пространствами.
58.1. Ортонормированные системы 471
Бесконечномерность пространства L2[a, b] будет установлена
в п. 53.2, а его сепарабельность —в п. 58.3 (теорема 2).
В дальнейшем (см. п. 58.5, теорему 10) будет доказано, что
все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства
изоморфны между собой. Таким образом, изучив определенные
свойства функций одной или многих переменных, удается из
некоторых их множеств образовать пространства L2. Однако,
превратившись в точки этого пространства, функции утрачивают
многие свои индивидуальные свойства. В частности, пространства
L2 неотличимы друг от друга по числу переменных, от которых
зависят функции, из которых образованы эти пространства. Это,
конечно, нисколько не мешает применять функциональные про-
пространства с большим успехом как в чисто теоретических вопросах,
так и в приложениях математики.
Введенные в этом параграфе многочисленные определения
будут применяться в дальнейшем для описания определенных
свойств различных классов функций в привычных и наглядных
геометрических терминах (пространство, точка, расстояние, вектор,
базис и т. п.) и помогут установить аналогии, имеющиеся между
обычными га-мерными векторными пространствами и пространства-
пространствами функций, и выяснить специфические свойства бесконечномерных
функциональных пространств.
§ 58. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ БАЗИСЫ
И РАЗЛОЖЕНИЯ ПО НИМ
58.1. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
Определение 1. Пусть X —линейное пространство с полуска-
полускалярным произведением. Элементы иеХ и jeX называются
ортогональными, если (х, у) = 0, в этом случае пишется также
х ±_у.
Определение 2. Система элементов ха, aeSI, (Ж —некоторое
множество индексов) линейного пространства X с полускалярным
произведением называется ортогональной, если каждые ее два
элемента ортогональны. Если, кроме того, норма ее любого эле-
элемента равна единице, т. е. || дс„ J = 1, ос е 31, то она называется
ортонормированной.
• Очевидно, если система ха, осе 21, ортогональна и ха'ф0 для
всех а е 21, то ее можно «нормировать». Действительно, поделив
каждый элемент на его норму, т. е. умножив ха на число 1/ЦХаЬ'
получим ортонормированную систему
Напомним, что если X - пространство со скалярным произве-
произведением, то условие ЦхЦ=?О равносильно тому, что х^О
472 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
Лемма 1. Если система \ха, а е 21} элементов пространства
X с полускалярным произведением ортогональна и | ха | Ф 0 для
всех ае/1, то она линейно независима.
Доказательство. Пусть для некоторых элементов
ха/г, ajeSI, /г = 1, 2, .... п,
имеем
+ ¦ • • + ^л*ал = 0.
Умножим скалярно обе части этого равенства на xak, k — фик-
фиксировано (k=\, 2 и), получим
ибо в силу ортогональности системы (ха-, ха/г) = 0, / Ф1г. Заме-
Замечая далее, что, по предположению, хакФ0 и, следовательно
(хак, хаЛф0, получим Aft = 0, k—l, 2, ..., п.
Линейная независимость системы ха, aeSt, доказана. Ц
Докажем еще одну лемму, выражающую критерий линейной
независимости функций через скалярные произведения.
Лемма 2. Если для системы элементов хъ ..., хп пространства
X со скалярным произведением определитель
(Xi, Xij \Х\, Хг) ¦ . ¦ \Х\, Хп)
П lv И- (Х2. Xl) (Хг, Х2) . . ¦ (Х2, Хп)
KJ ^л1, . . . , XfiJ —
\Хп, Xi) .. . (Хп, ХП)
равен нулю, то система линейно зависима.
Определитель G (хъ ..., хп) называется определителем Грама*)
данной системы.
Доказательство. Рассмотрим систему п линейных урав-
уравнений с п неизвестными Я,,-, i = \, 2, ..., п:
n, xt) = 0, i=l, 2, ..., п, E8.1)
или
М*ь xt) + ... + K(xn, Xi) = 0, i = \, 2, ..., п.
Определителем этой системы является транспонированный
определитель Грама, который по условию леммы равен нулю*
Следовательно, система E8.1) имеет нетривиальное решение
Кх..., Хп (т. е. такое, что не все Я,-, /=1, 2, ..., равны нулю).
Умножим равенство E8.1) на Я,- и просуммируем по i от 1 до п:
¦¦¦ + Кхп, hxi + ¦¦¦ + Кх„) = 0.
И. Грам A850 —1916) —датский математик.
58.1. Ортонормированные системы 473
Отсюда А1дс1-т-...-т-^л#л = 0, Что означает линейную зависи-
зависимость системы Xi хп. Ц
Упражнения. 1. Доказать, что если конечная система элгментов пред-
предгильбертова пространства линейно зависима, то ее определитель Грама равен
нулю.
2. Доказать, что если {wa}—ортонормированная система, то для любых
двух ее элементов wa и wa, имеет место равенство
| ы , — (о || = l/2~i a' т^ a>
3. Доказать, что функции sin x, sin Зх, sin 5x, sin 7x, sin 9x — линейно
независимы.
Примеры 1. Тригонометрическая система функций
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cosnx, s'mnx, ... E8.2)
ортогональна в пространстве L2[ — я, я] (см. п. 57.10). Это было
доказано в лемме 1 п. 55.1.
Из формул E5.4) следует, что || sin пх\ = Уп, | cos nx | = У я,
я = 1, 2, ..., поэтому ортонормированная система, соответст-
соответствующая системе E8.2), имеет вид
1 j_ _i_ . _1_ 1 .
2. Многочлены
называются полиномами Лежандра. Из формулы E8.3) видно, что
Р„(х) является многочленом степени п:
Покажем, что система E8.3) ортогональна в пространстве L2[—1,1].
Для этого докажем более общее утверждение, а именно, — что
полином Лежандра Рп (х) ортогонален к любому многочлену
Qm{x) степени т<С.п. Заметив предварительно, что выражение
dk (x'2' 1 )л
dx*
при k — 0, 1, 2, ..., я — 1, обращается в ноль в точках д-= — ]
и х = 1, имеем, интегрируя по частям:
1
— 1
- J
— 1 — 1
= (-!№'(*) '
dxn-m-l
474 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
Таким образом,
1
$ Qm (х) Рп (х) dx = 0, т<п;
в частности,
1
' Pm(x)Pn(x)dx = 0, тфп.
— 1
Подсчитаем теперь норму полиномов Лежандра. Заметив, что
где <?„_! (х) — многочлен степени не выше п — 1, и использовав
ортогональность Рп (х) ко всем многочленам меньшей степени,
получим:
J $
щ с Pn(x)xndx = ^m I <
я1 J () J
Интегрируя последовательно по частям, будем иметь
— 1 — 1
1
-I—U Bn-4)!i 3 3 ^ ' ax-...- ^
Таким образом,
Система полиномов Лежандра, как и всякая ортогональная
система ненулевых элементов, линейно независима (см. лемму 1)
в пространстве L2 [—1, 1]. Поскольку в данном случае рассмат-
рассматриваемая система функций состоит из многочленов, то из их
линейной независимости на каком-то отрезке (в данном случае
на отрезке (—1, 1]) следует и их линейная независимость на
любом другом отрезке.
58.2. Ортогонализация 475
Действительно, если какие-то многочлены Qt(х), ..., Q»(х)
линейно независимы на отрезке [а, Ь], то они, очевидно, линейно
независимы и на всей числовой оси (всякая система функций,
линейно независимая на некотором множестве, линейно незави-
независима и на всяком больше», множестве, на котором определены
все функции рассматриваемой системы). Если бы многочлены
Qi(x), ..., Qk(x) оказались бы линейно зависимы на некотором
отрезке [а, Р], т. е. нашлись бы такие числа Ab ..., Яй, не все
равные нулю, что для всех х е [а, Р] выполнялось равенство
^iQi(x)-\-.. .+^*Qft(*) = 0, то это означало бы, что все коэффициенты
многочлена XiQ1(x)-\-... + kkQk(x) равны нулю (многочлен с нерав-
неравными нулю коэффициентами может иметь лишь конечное число
нулей). Это означает, что многочлены Qi(x), ..., Qu(x) линейно
зависимы на всей числовой оси. Полученное противоречие дока-
доказывает их линейную независимость на отрезке [ос, р].
Из линейной независимости полиномов Лежандра следует, что
любой многочлен степени, не большей п, является линейной ком-
комбинацией полиномов Лежандра Ро(х), Р\{х), ..., Рп (х). Дейст-
Действительно, в (я+1)-меРН0М пространстве многочленов степеней,
не превышающих п, любая система п -\-1 линейно независимых
многочленов, в частности указанная система полиномов Лежандра,
образует базис. Поэтому всякий многочлен рассматриваемой сте-
степени, является линейной комбинацией элементов указанной
системы.
3. Система функций {ёпх}, п — 0, ±1, ±2, ..., ортогональна
на отрезке [—л, я].
В самом деле,
— я — л
Отсюда, вспоминая, что период функции ег равен 2ni (см. п. 37.6),
при пфпг получим:
я
С «а(Л = т7-' ei(n-m)x\n =0.
J i(n—m) \-я
— л
Упражнение 4. Доказать, что последовательность функций
х
sin B«— 1)-д-, я==1, 2, ..., образует ортогональную систему на отрезке [0, я].
58.2. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ
Пусть снова X —предгильбертово пространство. Рассмотрим
следующую задачу. Пусть дана линейно независимая счетная
система элементов хп, и=1, 2, ..., пространства X. Требуется
с помощью конечных линейных комбинаций получить из нее
473 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
ортогональную систему. Оказывается, эта задача всегда имеет
решение.
Теорема 1. Пусть
хп, л = 1, 2, .... E8.4)
— линейно независимая система элементов пространства X.
Тогда существует ортогональная система элементов уп, упф0,
п= 1, 2, ..., этого пространства, такая, что каждый ее элемент
уп, п—\, 2, ..., является линейной комбинацией первых п эле-
элементов системы E8.4):
Уп = ап, i*i + а„, 2*2 + • • • + «л, пХп. E8.5)
Построение ортогональной системы {уп) вида E8.5) из линейно
независимой системы {х„} называется обычно процессом ортого-
нализации системы {хп}.
Доказательство. Положим у\ = х.\. Поскольку система
E8.4) линейно независима, то УгфО (почему?).
Пусть существуют попарно ортогональные элементы уп ф О,
п—\, 2, ..., k, ft s=l, удовлетворяющие условию E8.5). Будем
искать элемент yk+u ортогональный ко всем г/ь ..., ук, в виде
E8.6)
Из условий ортогональности
(Уи Ум) =... = (#*, #a+i) = 0 E8.7)
получаем
(Уъ #i)Pfr+i.i = (#b *a+i). •••. {Ук, Ук) Ра+1,и = (Ук, *ft+i)- E8.8)
Отсюда однозначно определяются коэффициенты Pft+i,,-, t = l,
2, ..., k. Элемент yk+i, задаваемый представлением E8.6) с най-
найденными коэффициентами P*+i,;, t = l, 2, ..., k, удовлетворяет
условиям E8.7).
Подставим в E8.6) выражения для уп, л=1, 2, ..., k, запи-
записанные в виде E8.5); после приведения подобных членов получим
Ум = ocft+i, 1*1 +... + aft+li kxk — хк+1. E8.9)
Отсюда следует, что г/Л+1 =^= 0, ибо в противном случае элементы
*ь • • •. **+1 оказались бы линейно зависимыми. Ц
Замечание. Отметим, что если какая-либо ортогональная
система элементов zn, гпф0, п—\, 2,..., пространства X такова,
что каждый элемент zn также является линейной комбинацией
первых п элементов системы E8.4):
»*/» п=1, 2, .... E8.10)
то элемент г„ отличается от элемента уп лишь некоторым число-
числовым множителем Кпф0:
гп = Куп, п=\, 2, ....
58.2. Ортогонализация 477
Докажем это. Обозначим через L(иъ ¦¦-, ип) линейную обо-
оболочку системы элементов иъ ..., ип (см. п. 57.2); L (хи ..., х„)
является я-мерным пространством, в котором элементы хи ..., хп
образуют базис (см. п. 57.2). Элементы г/,-, i— 1,2, ..., п (соответ-
(соответственно г,-, t = l, 2, ..., я), линейно независимы и содержатся
в Ь = (хъ ..., хп)\ следовательно, элементы j/,, i = l, 2, ..., пи
элементы г,-, /=1, 2, ..., п, также образуют базис в простран-
пространстве L (X! х„). Таким образом, L (хх, ..., хп) = L (уи ..., уп) =
= L(zb ..., г„), п=1, 2
Элемент yn<^L (хъ ..., хп) ортогонален подпространству
L(yi, ..., yn-\)z=L(x1, ..., Xn-t), т. е. ортогонален каждому эле-
элементу этого подпространства. Элемент же zneL(хь ..., х„)
ортогонален подпространству L (zi, ..., zn_i) = L (хь ..., xra_i).
Итак, элементы г/„ и zn п-мерного пространства L (хи ..., хп)
ортогональны одному и тому же (п— 1)-мерному подпространству
L(xt xn-i) и, следовательно, пропорциональны: гп = К„уп,
Кпф0, п = 1, 2, ... (почему?).
Отметим еще, что из
L (хи ..., xn) = L (уи ..., уп), « = 1,2,...
вытекает совпадение линейных оболочек бесконечных систем
E3.4) и E8.5).
Рассмотрим теперь систему степеней х:
1, х, х2, ..., хп, .... E8.11)
Эта система линейно независима на любом промежутке (конечном
или бесконечном). Действительно, если
п^0, E8.12)
то, дифференцируя это тождество п раз, получим
т. е. А„ = 0.
Если уже доказано, что А,Л+1 = ... = Л„ = О, то тождество E8.12)
примет вид
Дифференцируя его k раз, получим Кк = 0. Итак, Я1 = ... = ЯЛ = О,
что и означает линейную независимость функций 1, х, ..., хп.
Заметим, что поскольку функции системы E8.11), рассматри-
рассматриваемые на некотором отрезке [а, Ь], принадлежат пространствам
С [а, Ь] (см. пример 7 в п. 57.4), CL2[a, b] и L2[a, b] (см.
п. 57.10), то в этих пространствах имеются бесконечные линейно
независимые системы. Следовательно, указанные пространства
бесконечномерны, т. е. заведомо не имеют базиса, состоящего из
конечного числа элементов.
4J§ § 58. Ортонормированние базисы и разложения по ним
Если систему E8.11) взять на отрезке [—1, 1] в качестве
исходной системы E8.4) и применить к ней процесс ортогонали-
зации (см. E8.5)) в пространстве L2[—1, 1], то получим после-
последовательность ортогональных многочленов соответственно степе-
степеней 0, 1, 2, .... Из сделанного выше замечания следует, что эти
многочлены могут отличаться от многочленов Лежандра E8.3),
которые также ортогональны, лишь постоянным множителем.
58.3. ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ. ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ И СИСТЕМЫ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА
Напомним (см. п. 57.6), что система элементов Q = {xa}, ае21,
называется полной в полунормированном пространстве X, если
множество всех конечных линейных комбинаций ее элементов
плотно в пространстве X в смысле заданной в нем полунормы.
Иначе говоря, система полна, если для каждого шХи любого
е>0 существуют такие элементы ^чей н числа Яд, k=l,
2, ..., т, что
Определение 3. Полунормированное пространство X называется
вложенным в полунормированное пространство Y, если
1°) X с Y;
2°) существует такая постоянная с > 0, что для любого х е
еХ имеет место неравенство
Постоянная с>0 называется константой вложения. Вложе-
Вложение пространства X в пространство Y обозначается символом
XmY.
Легко проверить, что если XmY и 7.eZ, то X<mZ< Из
леммы 3, п. 57.4 следует, что для любого отрезка имеют место
вложения
RLp[a, b]mRU[a, b],
RLp[a, b](]S[a, b]mRLp[a, b], 1^р< + аэ. i,
Здесь во втором вложении пространство RLp[a, b](]S[a, b] рас?
сматривается с нормой !•[„,, т. е. с нормой пространства S[a, b].
Если ограничиться только одними непрерывными функциями, то
из второго вложения следует вложение
С [a, b]<sCLp[a, Ь], 1^р< + оэ. E8.13)
Отсюда, вспоминая, что при р = 2 пространство СЬ%[а, Ь] изо-
изометрически вкладывается в пространство Laja, b] (см, E7.52))
58.3. Полные системы
получаем еще вложение
С [а, Ь]шЦ[а, Ь]. <58.14)
Обратим внимание на то, что во вложениях E8.13) и E8.14)
вкладываемые пространства плотны в пространствах, в которые
они вкладываются: в случае E8.13) это следует просто из того,
что множества точек обоих пространств совпадают, а в случае
E8.14) это следует из теоремы 6 п. 57.10.
Лемма 3. Если система п = {ха}, аеЭ1, полна в полунорми-
полунормированном пространстве X, пространство X вложено в полунор-
полунормированное пространство Y и множество X плотно в простран-
пространстве Y по полунорме этого пространства, то система Q полна
в пространстве Y.
Доказательство. Возьмем произвольный элемент jeF
и любое е > 0. В силу плотности множества X в пространстве X
найдется такой элемент j;eX, что
Поскольку система п полна в пространстве X, то существует
конечное множество таких элементов xak е Q и чисел kk, k =.
— 1, 2, ..., m, что
ttl
V
k
"^ 2с'
k = 1 \\Х
где с > 0 — константа вложения X ш Y. В силу этого вложения
(см. определение 3)
\х-
Поэтому для первоначально выбранного нами элемента у
получим
m II II m
у - ^ hXak
e , e
\\Y
Это и означает плотность системы п в пространстве У. Q
Примеры. 1. Система степеней
1, х, х\ ..., хп, ... E8.15)
полна в пространствах С[й, b], CLp[a, b], l=sSp< + oo и L2.[a,fc]
для любого отрезка [а, Ь]. Действительно, в силу теоремы Вейер-
штрасса ^см- теорему 8' в п. 55.8) указанная система степеней
полна в пространстве С [а, Ь], которое согласно E8.14) вложено
480 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
в пространство L2[a, b] и плотно в нем. Поэтому по лемме 3
этого пункта система степеней E8.15) полна в пространстве
L2[a, b]. По той же лемме эта система полна и в пространстве
CLp[a, b] при любом ps=l, ибо С [а, Ь] вложено в CLp[a, b] и
плотно в нем (см. E8.13)).
Обратим внимание на то, что всякий базис в линейном нор-
нормированном пространстве является, очевидно, полной линейно
независимой системой. Обратное неверно. Например, система
степеней E8.15) хотя и образует полную линейно независимую
систему в банаховом пространстве С [а, Ь], однако не является
в нем базисом: если в пространстве С [а, Ь] некоторая функция /
оо
раскладывается по системе степеней E8.15), т. е. f(x) = 2 ап.хп,
л =0
то это означает, что написанный степенной ряд сходится равно-
равномерно на отрезке [а, Ь], и, следовательно, функция / аналити-
аналитическая на интервале (а, Ь). Поэтому заведомо любая непрерыв-
непрерывная на отрезке [а, Ь] функция не может быть представлена
в указанном виде.
2. Система полиномов Лежандра
/>.(*)=!, Рн(х)=±*УЬ1? E8.3)
полна в пространствах С[а, b], CLp[a, b], 1=^р<+сю, и
Li[a, b] для любого отрезка [а, Ь]. Это сразу следует из того,
что любой многочлен Q(x) является линейной комбинацией поли-
полиномов Лежандра (см. п. 58.1):
Q(x)=?; V>*(*)- E8.16)
Поэтому, если в каком-то полунормированном пространстве X
полна система степеней E8.15), т. е. для любого элемента /
и любого е>0 существует такой многочлен Q = Q(x), что [f —
<е, то в силу E8.16)
Это и означает полноту системы полиномов Лежандра в прост-
пространстве X.
3. Обозначим через С* [— я, л] подпространство пространства
непрерывных функций С[—л, я], состоящее из функций, при-
принимающих на концах отрезка [—л, л] одинаковые значения:
/(-я) = /(я). E8.17)
Тригонометрическая система
1, cosx, sinx, ..., cosnx, sinnx, ..., E8.2)
58.3. Полные системы 481
полна в пространствах С*[—я, я] и L2[—я, я]. Полнота три-
тригонометрической системы в пространстве С* [— я, л] была дока-
доказана раньше: см. теорему 7' в п. 55.8.
Обозначим через С[—я, л] подпространство пространства
С* [— я, я], состоящее из таких функций /, которые принимают
на концах отрезка [— я, я] значения, равные нулю: f (— я) =
= /(я) = 0. Согласно теореме 6, п. 57.10 множество С[—я, я],
а следовательно, и пространство С*[—я, я]:=эС[—я, я], плотно
в пространстве L2[—я, я]. Поэтому в силу вложения (см. 58.14))
С*[—я, n]mL2[— л, я]
и леммы 3 этого пункта тригонометрическая система E8.2) полна
в пространстве L2[—я, я].
Отметим, что поскольку условие E8.17) сохраняется при рав-
равномерной сходимости, и каждый тригонометрический многочлен
ему удовлетворяет, то тригонометрическая система заведомо не
полна в пространстве С[—я, я], так как в нем заведомо есть
функции, не удовлетворяющие условию E8.17).
Из рассмотренных примеров как простое следствие вытекает
следующее утверждение.
Теорема 2. Банахово пространство С [а, Ь] и гильбертово про-
пространство L%[a, b] являются сепарабельными пространствами.
. Действительно, сепарабельность пространства означает (см.
определение 31 в п. 57.6) наличие в нем счетной полной системы.
В указанных пространствах таковой системой является, напри-
например, система E8.15) целых неотрицательных степеней перемен-
переменной х.
58.4. РЯДЫ ФУРЬЕ
Пусть, как и раньше, X — предгильбертово пространство.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть задана система п линейно
независимых векторов ей е2, .. •, еп пространства X и фиксиро-
фиксирован некоторый вектор jceX. Требуется найти линейную комби-
комбинацию вида
aid+ ... +<*„&,, E8.18)
которая дает наилучшее приближение в пространстве X эле-
элемента х, т. е. осуществляет минимум выражения
ix-(aiei + ... + anen)i, E8.19)
или, что то же, минимум функции
\х- Z akek\\=(х- J] akek, х- J] akek) E8.20)
II k= i 1 \ *=i a=i /
от переменных аи ,.., ап.
Чг 16 Кудрявцев Л, Д. т, 2
482
§ 58. ¦ Ортонормированные базисы и разложения по ним
Геометрически это означает, что в n-мерном пространстве
Rn=z%(elt ..., еп), натянутом на векторы ехеX, ..,, е„еХ
ищется элемент, наименее удаленный от заданного элемента хт
еХ.
Если пространство X —n-мерное и, следовательно, векторы
01, ... t en образуют базис, то всегда можно подобрать такие коэф-
коэффициенты с*, k=l, 2, ..., п, что будет выполняться равенство
x = a1ei-{-...-{-anen E8.21)
и, следовательно, выражение E8.19) обратится в ноль. Если же X
не конечномерно, или конечномерно, но имеет размерность, боль-
большую, чем п, то равенство E8.21), во-
вообще говоря, осуществить невозможно
и задача состоит в отыскании линейной
комбинации E8.18), дающей минималь-
минимальное значение выражению E8.19).
Мы покажем, что сформулированная
задача всегда имеет и притом единст-
единственное решение х0, кроме того, выясним
некоторые свойства этого решения (см.
рис. 229, на котором схематически изоб-
изображена рассматриваемая задача). При-
Применяя, если надо, процесс ортогонализации (см. п. 58.2), систему
ех, ..., еп всегда можно заменить ортогональной системой не рав-
равных нулю векторов. Поэтому будем предполагать, что екФ0,
(ek, ej) = O, 1гФ}, j, k=\, 2, ..., п. Пользуясь условием ортого-
ортогональности, преобразуем функцию E8.20) следующим образом:
Рис. 229
/
U-
' х~
*=1
, ek)
E8.22)
Отсюда следует *\ что минимум выражения E8.19) достигается,
когда
ak\ek\—7iff- = 0, ft-1, 2,..., п,
*> Очевидно, что это рассуждение является непосредственным обобщением
доказательства теоремы 11 из п. 55.9.
58.4. Ряды Фурье 483
т. е. когда
Числа ak, определенные по формуле E8.23), называются коэффи-
коэффициента ли Фурье элемента х по системе еь ..., еп.
Если система еъ ...,еп ортонормированная, то формулы E8.23)
приобретают более простой вид:
а* = (х, ek). E8.24)
В случае я-мерного пространства, когда в качестве векторов
в\, ..., еп выбран базис пространства, коэффициенты Фурье век-
вектора х являются его коэффициентами разложения по указанному
базису, т. е. координатами элемента х относительно этого базиса.
В этом легко убедиться, умножив скалярно равенство E8.21) на
ek, ft=l, 2, ..., п: в результате получится E8.23).
Вернемся теперь к выражению E8.22). Если в нем в качестве
п\, ..., а„ взять коэффициенты Фурье E8.23), то получим
I* ? - ? а* Ie" »* = Iх - 2 W*I S*0, E8.25)
откуда
E8.26)
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 3. Пусть е*, екф0, k=l, 2,..., п — ортогональная
система векторов предгильбертова пространства X. Наилучшее
приближение в пространстве X вектора хеХ линейными комби-
п
нациями вида 2 a*eft осуществляется, когда ak, k = 1, 2, ..., п,
суть коэффициенты Фурье: a* = aft. При этом
inf L- |]алей|Г=Ь- ZateJ^lxf- J] a|||eft|!a^0.
«! «„I ft=l 1 II k=\ II k=l
n
Следствие 1. Элемент xo=^] aft является элементом наилуч-
шего приближения элемента х е X в подпространстве X (еъ ..., е„)
тогда и только тогда, когда элемент х—х0 ортогонален к
%(ei, .... еп), т. е. х — хо±<Х(е1, ..., еп).
Действительно, условие x — x0A-%(ei,..., en) равносильно
условию: для всех k=\, 2, ..., п имеет место равенство (х — х0,
ek) = 0. Это, в свою очередь, эквивалентно условию (х, е*) = (лг0, ek)
V» 16*
484 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
или, поскольку
условию (х, ek) — ak(ek, ek). Таким образом, условия
1, ..., еп) и ak = )*' еК
равносильны. Но второе условие означает, что числа aft являются
коэффициентами Фурье элемента х0, т. е. что х0 является элемен-
элементом наилучшего приближения. Ц
Пусть теперь задана последовательность (а не конечная система,
как выше) элементов
), «=1, 2 E8.27)
образующих ортогональную систему в пространстве X. Числа а*,
ft=l, 2, ..., определяемые по формуле E8.23), и в этом случае
называются коэффициентами Фурье элемента у по системе E8.27).
Определение 4. Ряд
Z ааеп, E8.28)
где ап, п=1, 2, ... — коэффициенты Фурье E8.23) элемента х по
системе E8.27), называется рядом Фурье элемента х по этой си-
системе. Если ряд E8.28) является рядом Фурье элемента х, то
пишется
00
х~ 2] апеп.
4=1
Определение 5. Пусть задана ортогональная система E8.27)
и элемент х е X. Наилучшим приближением элемента х с помощью
линейных комбинаций вида 2 а«А (п — фиксировано) называется
ft=i
число Еп(х), определяемое равенством
Еп (х) = inf
1, 2, ...,
где нижняя грань берется по всевозможным коэффициентам
ai а„, или, что то же, по всевозможным линейным комбина-
п
циям вида 2 a,i,ek.
A=-i
Поскольку всякая линейная комбинация элементов еъ ..., еп
может также рассматриваться и как линейная комбинация эле-
58.4. Ряды Фурье 485
ментов еи ..., еп, еиц, то, очевидно,
Еп+1(х)^Еп(х). E8.29)
Из теоремы 3 следует, что рассматриваемая нижняя грань дости-
достигается, если в качестве коэффициентов ак взять коэффициенты
Фурье, и что
= inf
х - 2 «а ;, =
" II /"
Полученный результат сформулируем в виде следствия 2 из
теоремы 3.
Следствие 2. Частичные суммы
ряда Фурье элемента иеХ осуществляют наилучшее в простран-
пространстве X приближение элемента х^Х с помощью линейных комби-
комбинаций вида щех + .-. + апвп.
Отметим еще несколько следствий теоремы 3.
Следствие 3. Если sn —частичная сумма ряда Фурье элемента
х^Х, то числовая последовательность \х — sn\ убывает:
l*-s»nK|x-se[, n=l, 2, ... E8.31)
В самом деле, согласно E8.30)
\x-Sn\ = En(x), «=1,2,...
Поэтому неравенство E8.31) является неравенством E8.29), запи-
записанным в других обозначениях.
Следствие 4. Для коэффициентов Фурье ап, п = 1, 2, ...,
каждого элемента х^Х справедливо неравенство
Z 0Л1вя1«<1хЛ E8.32)
называемое неравенством Бесселя.
Неравенство E8.32) непосредственно следует из неравенства
E8.26) при п->оо (ср. с неравенством E5.49) в п. 55.9).
Следствие 5. Если существует постоянная с>0 такая, что
\еп\^с при п—\, 2, .... в частности, если система E8.27)
ортонормированная (в этом случае можно взять с = 1), то коэффи-
16 Кудрявцев Л. Д. т. 2
486 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
циенты Фурье любого элемента иеХ стремятся к нулю при
ra = O. E8.33)
Это следует из сходимости ряда
/1=1 /1=1
ибо общий член сходящегося ряда стремится к нулю.
Естественно возникает вопрос: при каких условиях ряд Фурье
элемента х сходится?
Теорема 4. Если пространство X гильбертово (т. е. полно), то
ряд Фурье E8.28) любого элемента ieX no любой ортогональной
системе E8.27) сходится в пространстве X. Если х0 его сумма:
оо
*о= Z а^ E8.34)
«=i
то элемент х — х0 ортогонален ко всем элементам системы E8.27).
п
Доказательство. Пусть sn = 2 akek, «=1,2..., — частич-
fe=i
ные суммы ряда Фурье E8.28) элемента х по системе E8.27); тогда
я + р п + р
2 2
1
Т, а^4 =( 2 akek, 2
k=n-\-l || \k=n-sr\ *=я +
= 2 а1Ш?, л=1, 2,..., р = 1, 2,'.... E8.35)
В силу неравенства Бесселя E8.32) ряд
п= 1
сходится, и, следовательно, в силу критерия Коши для сходимости
числового ряда для каждого числа е>0 существует такой номер
пе, что при п^пг и р>0 выполняется неравенство
п + р
поэтому, согласно неравенству E8.35) при п^пе и р>0, имеем
т. е. последовательность {sn} является фундаментальной в прост-
пространстве X и вследствие полноты последнего сходится.
58.4. Ряды Фурье 487
В условиях теоремы последовательность sn сходится, вообще
говоря, не к элементу х. Пусть ее пределом является элемент х0,
оо
т. е. хо= ]>]апеп, тогда, используя непрерывность скалярного
п = 1
произведения (см. п. 57.9) и формулу E8.23), получим
(х-х0, ek) = (x, ek)~(xQ, ek) =
/ оэ \ оо
= (х, ek)-[ 2 апе„, ek\ = (x, ek)- 2J an(en, ek) =
\л=1 / «=i
= (x, ek)-ail\ek\^0, k=l, 2, ... П
Что же касается условия сходимости ряда Фурье некото-
некоторого отдельного элемента к самому этому элементу, то
его можно сформулировать в следующем виде.
Теорема 5. Ряд Фурье E8.28) элемента х предгильбертова про-
пространства сходится к этому элементу тогда и только тогда,
когда для него выполняется равенство
Ixp^fjoil^p, <58-36)
где ап — коэффициенты Фурье элемента х по системе E8.27).
Равенство E8.36) называется равенством Парсеваля.
В случае, когда система E8.27) ортонормирована, равенство
Парсеваля принимает более простой вид:
а"» ап = (Х> еп), «=1, 2,
п=1
и представляет собой обобщение теоремы Пифагора на бесконеч-
бесконечномерные пространства.
Доказательство теоремы 5. Мы имели (см. E8.25))
Переходя здесь к пределу при я->оо, получим эквивалент-
эквивалентность условия
j>o E8.37)
и условия
j
т. е. условия
|je|*=Iim Jjalle*!". П E8.38)
• «-'<»ft=i
16*
488 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
Напомним теперь понятие полной системы (см. п. 57.6) приме-
применительно только к случаю счетных систем. Система элементов
е„еХ, п = 1, 2, ..., называется полной, если множество конечных
линейных комбинаций элементов этой системы плотно в простран-
пространстве X. Это означает, что для каждого элемента леХи каждого
числа е > 0 существуют такой номер /г = п (е, х) и такие числа
Яь ..., Я„, что выполняется неравенство
E8.39)
Полнота ортонормированной системы является условием,
обеспечивающим сходимость ряда Фурье любого элемента
пространства к самому этому элементу. Сформулируем это условие
в виде теоремы.
Теорема 6. Ряд Фурье по ортогональной системе E8.27) любого
элемента предгильбертова пространства сходится к самому этому
элементу тогда и только тогда, когда система E8.27) является
полной.
Следствие. Для того чтобы ортогональная система E8.27)
предгильбертова пространства X была полной в пространстве X,
необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента ieX
выполнялось равенство Парсеваля E8.36).
Доказательство теоремы 6. Пусть X — предгильбертово
пространство и система E8.27) является ортогональной системой
этого пространства. Если для любого хеХ его ряд Фурье по
системе E8.27) сходится к х, т. е.
х = ^ а«е«> где а« =~Tifp "= *» 2> • • •» E8.40)
п=1
ТО
lim
л —>оо
*-1>*е*=0. E8.41)
Следовательно, для каждого числа е > 0 существует такая частич-
л
ная сумма sn = ^ afcefe ряда Фурье E8.28), что
lx-snl<,?, ' E8.42)
т. е. выполняется условие E8.39).
Обратно, если условие E8.39) выполняется при каких-то
коэффициентах Къ .... Я„, то оно заведомо выполняется согласно
теореме 3 и в случае, если взять Ax = a! К — ап, т. е. в этом
случае для заданного е>0 выполняется условие E8.42) при
некотором п, а значит, и при всех т>п (см. E8.31)), а это
равносильно выполнению условия E8.41). Q
Следствие непосредственно вытекает из теорем 5 и 6.
58.4. Ряды Фурье 489
Выясним теперь вопрос о единственности элемента, имеющего
оо
данный ряд 2 апе„ своим рядом Фурье.
Теорема 7. Если ортогональная система E8.27) предгильбертова
пространства X полная, то элемент х е X, у которого все коэф-
коэффициенты Фурье по системе E8.27) равны нулю, сам равен нулю.
Следствие. Из равенства всех коэффициентов Фурье у двух
элементов пространства X по полной ортогональной системе E8.27)
вытекает равенство самих элементов.
Доказательство теоремы 7. Если система E8.27) —
полная,' то согласно теореме 6 любой элемент хеХ является
со
суммой своего ряда Фурье: х— V ahen- Поэтому, если а„ = 0,
я=1, 2, ..., то и х = 0.
Доказательство следствия. Если ^ е X, х2 е X и их
коэффициенты Фурье равны между собой:
(*ь еп) _ (л2, е„) . „
li еП Is li КП ii
то для элемента х = Х\ — х2 все коэффициенты Фурье равны нулю:
(х, еп) (xi — x2, еп) (х,, еп) (х2, еп) „ , 9
и, следовательно, согласно теореме, х — 0, т. е. х^ — Хп. Ц
Замечание. Следует отметить, что если в предгильбертовом
пространстве X задана некоторая ортогональная система {еп\,
епф{), и для некоторого хе X существует его представление
в виде
оо
л=1
то оно единственно и коэффициенты хп, п—\, 2, ..., являются
коэффициентами Фурье. В самом деле, если указанное представ-
представление существует, то для любого /п= 1, 2, ... в силу ортогональ-
ортогональности системы {еп\ получим:
(оо \ оо
V у в о \ V V- (р р \ Y (р О \
/ i ляел, ст i — ^7j лп \сп, ст) — л,т \~mi Km)t
л=1 / п=1
откуда
^ _ (х, ет)
т (ет. еп) '
т. е. коэффициенты х„„ т=\, 2, ... определяются однозначно и
совпадают с коэффициентами Фурье.
Итак, если в предгильбертовом пространстве имеется полная
ортогональная система, то всякий элемент этого пространства
490 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
раскладывается в ряд по этой системе (теорема 6) и притом
единственным образом согласно сделанному замечанию. Иначе
говоря, (см. определение 33 в п. 57.6) всякая полная ортогональ-
ортогональная система {еп}, епф0, п= 1, 2, ..., в частности, всякая полная
ортонормированная система, предгильбертова пространства явля-
является его базисом.
Например, согласно результатам п. 58.3 полиномы Лежандра
E8.3) образуют базис в гильбертовом пространстве L2[—1, 1],
а тригонометрическая система E8.2) —базис в гильбертовом про-
пространстве L2[—л, л].
Теперь дадим еще один подход к понятию полноты ортогональ-
ортогональной системы в полном пространстве.
Определение 6. Ортогональная система E8.27) называется замк-
замкнутой, если в пространстве X не существует элемента, отличного
от нуля и ортогонального к каждому из элементов системы E8.27).
Теорема 8. Если пространство X полное, то ортогона,гьная
система E8.27) полна тогда и только тогда, когда она замкнута.
Доказательство. Если система E8.27) полная, хеX и х
ортогонален ко всем элементам системы E8.27), то все его коэф-
коэффициенты Фурье по системе E8.27) равны нулю (см. E8.23)),
следовательно (теорема 7), х = 0.
Обратно, пусть система E8.27) замкнутая, ^еХ и
~ 2 anen. Согласно теореме 4, ряд Фурье элемента х сходится,
со
и если #о= ^ипеп, то х — х0±_еп, п=1, 2, Поэтому в силу
со
замкнутости системы E8.27) х — хо = 0, т. е. х — хо их= ^апеп.
Поскольку х — произвольный элемент пространства X, то отсюда
в силу теоремы 6 и следует полнота системы E8.27). Ц
Задача 39. Выяснить, эквивалентны или нет понятие полной ортогональной
системы и понятие замкнутой ортогональной системы во всяком предгильбер-
предгильбертовом пространстве.
58.5. СУЩЕСТВОВАНИЕ БАЗИСА В СЕПАРАБЕЛЬНЫХ ГИЛЬБЕРТОВЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ. ИЗОМОРФИЗМ СЕПАРАБЕЛЬНЫХ
ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Теорема 9. Во всяком сепарабельном линейном пространстве X
со скалярным произведением существует ортонормированный базис
еп, я=1, 2
Доказательство. В случае, если пространство X я-мерное,
теорема очевидна (см. п. 18.4 и 57.2), поэтому будем рассматри-
рассматривать только случай, когда пространство X бесконечномерно.
58.5. Существование базиса 49 Г
Поскольку пространство X сепарабельно, то в нем существует
последовательность элементов
Ф„, /г=1,2,...,
образующих полную систему. Отбрасывая последовательно те из
элементов, которые являются линейной комбинацией остальных,
получим последовательность элементов
Ч>„, л=1, 2, ....
имеющих ту же линейную оболочку, что и исходная система {<р„}
и линейно независимых (почему?). Применив к полученной системе
процесс ортогонализации (см. п. 58.2) и нормирования (см. п. 58.1),
получим ортонормированную систему
е*. Ik* 1=1. k=\, 2, ....
имеющую ту же линейную оболочку, что и система {гр„}, а значит,
ту же, что и система {<ри}. Поскольку в силу полноты системы
{<ря} эта линейная оболочка плотна в X, то система {еп} полная.
В предыдущем же пункте (см. замечание после теоремы 7) было
показано, что всякая полная ортонормированная система элемен-
элементов предгильбертова пространства является его базисом. ?
Теорема 10. Все сепарабельные бесконечномерные гильбертовы
пространства изоморфны между собой *'.
Предварительно докажем две леммы. Первая из них обобщает
равенство Парсеваля E8.35).
Лемма 4. Пусть X — предгильбертово пространство, еп(е„Ф0),
п—\, 2 — полная ортогональная система в X, хеХ, Х
и пусть
2 2
п=1 п^= I
тогда
(х, 0)=|] anbn\enf, E8.43)
я= 1
в частности, если дополнительно предположить, что Цея||=Ь
/1=1, 2 то
ОО
(х, у) = 21 а«&"-
Формула E8.43) обобщает, очевидно, формулу для скалярного
произведения в конечномерном пространстве (см. п. 18.4).
*> Определение бесконечномерности пространства см. в п. 57.2, а изомор-
изоморфизма пространств — в п. 57.9 (определение 36).
492 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
Доказательство. По определению коэффициентов Фурье,
_ (х, ек) . (у, е1г)
поэтому имеем
2 аА|е*Р.- E8.44)
*=1
Из полноты системы еа, п = 1, 2, ..., имеем
л \
lim \x— У
л--°о
поэтому в силу непрерывности скалярного произведения при /г-*~оо
левая часть равенства E8.44) стремится к нулю, следовательно,
это имеет место и для правой части, т. е.
л
lim J) akbk\\ekf = (x, у).
Это равносильно равенству E8.43). Q
Лемма 5. Пусть X — гильбертозо пространство, ek, k =
= 1, 2, ... — ортонормирошнный базис в X и ак, k= 1, 2, ... —
оо
последовательность чисел таких, что ряд ? а\ сходится. Тогда
fe= 1
оо оо
ряд 2 aifik сходится в пространстве X, и если х= ?
то ak, k—\, 2, ... —коэффициенты Фурье элемента х.
п
Доказательство. Если sn= ? akek, то
*= Г
п+р п+р х,
\
fe=»+l *=л+
= ^ a%, *n=l, 2,..., p=l, 2
k=n+ 1
oo
2 а
и в силу сходимости ряда 2 а« он удовлетворяет критерию
П == 1
Коши для сходящихся рядов. Отсюда следует, что последователь-
последовательность {sn} является фундаментальной в пространстве X и, следо-
следовательно, сходится.
58.5. Существование базиса 493
Пусть
оо
х= lim sn, т. е. х= 2 anSn\
И —*¦ ОО „ 1
И = 1
тогда в силу единственности разложения элемента пространства
по базису (см. замечание к теореме 7)
(х, еп) = а„, п = 1, 2, ...,
т. е. а„ коэффициенты Фурье элемента х. Ц
Доказательство теоремы 10. Пусть X и Y — два сепа-
рабельных бесконечномерных гильбертовых пространства. Согласно
теореме 9, в них существуют ортонормированные базисы, соответ-
соответственно е„, п = 1, 2, ..., и fn, п = 1, 2, —
со
Пусть хеХ и х= 2 ап?п, тогда й„ — коэффициенты Фурье
п= 1
оо
элемента л; и, следовательно, по равенству Парсеваля ряд ^ й<*
»!= 1
оо
сходится. Положим у= 2 а„/„. Согласно лемме 5, это имеет
п= 1
смысл.
Отображение пространства X в пространство К, ставящее
в соответствие каждому элементу хе X указанный элемент i/eF,
и осуществляет изоморфизм этих пространств. Действительно, при
этом соответствии в силу единственности разложения элемента по
базису разным элементам пространства X соответствуют разные
элементы пространства Y. Далее, всякий элемент пространства У
поставлен в соответствие некоторому элементу пространства X
(т. е. указанное отображение является отображением на простран-
пространство Y); в самом деле, если уеК, то, разложив его в К по
базису, получим
2
п= 1
оо
Пусть х= ^ Ьпеп (такой элемент существует, см. лемму 5).
п= 1
Очевидно, что элементу х и соответствует при установленном
соответствии элемент у. Покажем, наконец, что при этом соответ-
соответствии сохраняется скалярное произведение. Это сразу следует из
леммы 4. Действительно, если
ОО ОО ОО ОО
х== 2 апеп, х'= 2 bnen, y= J) anfn, y'= ^ &«/«»
п—1 и=1 п=1 п=\
494 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
то в силу указанной леммы
со
(х, х')= _? anbn = (y, у'). ?
л=1
В качестве модели сепарабельного бесконечномерного гильбер-
гильбертова пространства можно взять пространство, элементами которого
являются последовательности действительных чисел
Х= (Xi, Х2, .. . , Хп, .. .),
со
для которых ряд 2 ¦** сходится, т. е. пространство /2 (см. при-
пример 5 в п. 57.4). Скалярное произведение в этом пространстве
вводится по следующему правилу:
если х = (хъ ..., хп, ...) и у=(у1 у„, ¦¦¦), то
со
/у fj\ __ \1 у ц
*= 1
оо
Это определение имеет смысл, ибо из сходимости рядов 2] х°ь
1 СО СО
и 2 У* вытекает и сходимость ряда 2 xkyk. Это, например,
к=\. к=\
следует из неравенства Гёльдера для рядов при /? = 2 (оно в этом
случае часто называется неравенством Коши — Шварца), но может
быть получено и из элементарного неравенства
Норма в пространстве /2 определяется согласно общему пра-
правилу по формуле
Теорема 11. Пространство 12. является сепарабельным гиль-
гильбертовым пространством.
Доказательство. Пространство /2сепарабельно, ибо после-
последовательности ek, /г = 1, 2, ..., у которых на всех местах стоят
нули, кроме k-ro, где стоит единица, образуют ортонормирован-
ный базис и, следовательно, их конечные линейные комбинации
с рациональными коэффициентами образуют счетное плотное
в пространстве /2 множество (почему?).
Полнота пространства /2 доказывается несколько сложнее.
Пусть последовательносгь
Л=1,-2, ..., E8.45)
» я= 1
58.5. Существование базиса -495
является фундаментальной последовательностью пространства 1г.
Тогда из неравенства
х <*)
k=l, 2, ..., р = 0, 1, 2, ..., л=1, 2, ....
и фундаментальности последовательности E8.45) следует, что при
любом фиксированном п числовая последовательность х(„*'> * =
= 1; 2, ..., удовлетворяет критерию Коши (см. п. 3.7) и, следо-
следовательно, сходится. Пусть lim tf® =xn- В силу фундаментальности
k —>оо
последовательности E8.45) для любого е>0 существует такой
номер ke, что при любом номере k^ke и любом натуральном р
выполняется неравенство
т. е.
Отсюда для любого фиксированного натурального числа т и подавно
)
п= 1
Переходя здесь к пределу при р-^-со, получим
и так как это верно при любом /п = 1, 2, ..., то
Таким образом, точка «/<*> = (х, — х<*>, ..., хп — д^*>, ...),
принадлежит пространству /2, но тогда и точка х= (хг,..., хп,...) =
= х'*> + у(А| также принадлежит пространству /2, а условие E8.46)
означает, что
lim x(*' = x.
Итак, мы доказали, что последовательность E8.46) сходится.
Следовательно, /2 полное пространство. [J
В силу теоремы 10 пространство 12 изоморфно каждому сепа-
рабельному гильбертову пространству.
496 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
В п. 58.3 было показано, что пространство L2[«, b] сепара-
бельно (см. там теорему 2) для любого отрезка [а, Ь], следова-
следовательно, оно также изоморфно пространству /2. Можно показать,
что и пространство L2(G), где G — измеримое положительной меры
множество /гтмерного пространства, также сепарабельно и, следо-
следовательно, изоморфно /2. Таким, образом, все гильбертовы про-
пространства интегрируемых в квадрате функций независимо от числа
переменных, от которых зависят эти функции, изоморфны между
собой.
58.6. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ИНТЕГРИРУЕМЫМ
КВАДРАТОМ В РЯД ФУРЬЕ
В § 55 изучались классические ряды Фурье, т. е. ряды Фурье
по тригонометрической системе функций, для абсолютно интегри-
интегрируемых функций. В этом пункте будет получен ряд следствий
из общей теории рядов Фурье в гильбертовых пространствах и
из свойства полноты системы тригонометрических функций в про-
пространстве L2 [— я, я] для тригонометрических рядов Фурье более
узкого класса функций, чем абсолютно интегрируемые, а именно
для функций с интегрируемым на отрезке [— я, я] квадратом,
т. е. для функций пространства RL2[— я, я] (см. пример 3
в п. 57.8).
Прежде всего заметим, что если в гильбертовом пространстве
L%[—n, я] за ортогональную систему взять тригонометрическую
систему
1, cosx, sin л:, ..., cos их, sin их, ..., E8.2)
то коэффициенты Фурье элемента /е[^[—я, я] по этой системе
будут определяться согласно E8.23) по формулам
flo = ^r(/, I), fl« = -'-(/, cos их), bH = ~(f, sin их), E8.47)
и=1, 2,...
ибо 11 Il2 = V~2n, lcosnxlLl — lsinnxJL, = Vn (см- п- 58.1).
Если / — непрерывная на отрезке [—я, л] функция, то
f^CLi,[—я, ji]cL2[—я, я]. Сравнивая формулы E8.47) для
коэффициентов Фурье функции / с формулами E5.6) (скалярное
произведение, как обычно, задается формулами E7.30)) видим,
что все они совпадают, кроме формулы для коэффициента а0,
которая в E8.47) отличается от формулы в E5.6) множителем 1/2.
Отдавая дань традиции будем в дальнейшем придерживаться фор-
формулы E5.6) для а0, т. е. будет считать, что
ао = ^(/, 1) E8.48)
58.6. Разложение функций в ряд Фурье 497
и записывать тригонометрический ряд Фурье в виде
со
у + У ап cos пх+ Ъп sin nx.
п= 1
Применяя теорему 6 к тригонометрической системе E8.2) в силу
полноты этой системы в пространстве L2[—я, я] (см. пример 3
в п. 58.3) получим следующую теорему.
Теорема 12. Каждый элемент /е!2[—я, я] раскладывается
в этом пространстве в ряд Фурье по тригонометрической системе
Лппх, E8.49)
причем справедливо равенство Парсеваля
со
~\ft=ai+ 2
Следствие 1. Каждая функция f (x) с интегрируемым на отрезке
[— я, я] квадратом
1) является пределом в смысле среднего квадратичного
(см. п. 57.5) своих частичных сумм Фурье Sn(x) no тригоно-
тригонометрической системе функций при п-*~оо, т. е.
lim \ [f(x)-Sn(x)Ydx = 0; E8.50)
2) и для нее справедливо равенство Парсеваля
л оо
(х) dx = f + 2 «« + «. E8.51)
л= 1
Следствие 2. Если функция f с интегрируемым на отрезке
[—я, я] квадратом и все ее коэффициенты Фурье по тригоно-
тригонометрической системе E8.2) равны нулю, то она эквивалентна нулю.
Здесь везде коэффициенты Фурье при п— 1,2,... определяются
по формулам E8.47), а коэффициент а0 по формуле E8.48).
Поскольку сама теорема 12 вытекает из теоремы 6, то нуж-
нуждаются в доказательстве только ее следствия.
Итак, пусть функция f(x) есть функция с интегрируемым
квадратом на отрезке [— я, я], т. е. / (х) е RL2 [— я, я] (см. при-
пример 8 в п. 57.4 и пример 3 в п. 57.8). Прежде всего заметим,
что любая ей эквивалентная функция g(x) (см. определение 38
в п. 57.10) имеет те же коэффициенты Фурье и, следовательно,
тот же ряд Фурье. Это следует из того, что полускалярное про-
произведение в пространстве RL*[—я, я] не меняется, если его
49S § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
сомножители заменить им эквивалентными (см. формулу E7.41)),
и потому, если f~g, то
ao = -^(f, \)rl,= — ig, \)rl,,
an = ~(f, cos пх)цц = ~ (g, cosnx)RLl,
bn = ~(f, sinnx)KL, = ~(g, sinnx)RL,,
Следовательно, если через F обозначить класс эквивалентных
функций, содержащий функцию f, то в силу определения E7.41)
скалярного произведения классов эквивалентных функций, т. е.
скалярного произведения в пространствеRL2[—я, я] (см. п. 57.10)
будем иметь
a9 = ~(F, \)Uv an=~{F, cosnx)^. bn=~(F, smnx)$?2,
n— 1, 2, ...,
т. е. ряд Фурье элемента F e RL2[— я, я] с L2[—я, я] совпадает
с рядом Фурье каждой функции fef. Согласно теореме 12
в пространстве L2[—я, я] имеет место разложение
F = Ц+ 2 ап cos nx+bn sin nx, E8.52)
л=1
и равенство Парсеваля
п= t
Если Sn(x) = -~ -f- 2, ак cos kx-\-bk sin kx — частичная сумма
ряда Фурье E8.52), то сходимость этого ряда в пространстве
;[— я, я] к элементу F означает, что
Пгп [ F-Sn(*) 11^=0. E3.54)
Если, теперь, /ef, io (см. E7.42))
'- Sn{x)\Li = \f(x) -Sn(x)iRLi = Л/ I [fix) -Sa(x)fdx, E8.55)
' — я
*> Индекс у скалярных и полускалярных произведений указывает, в каких
пространствах берутся рассматриваемые произведения.
5S.6. Разложение функций в ряд Фурье 499
где lf(x) — Sn(x)biL, — полунорма функции f(x) — Sn(x) в про-
пространстве RL2[— я, я], что имеет смысл, ибо / (х) — Sw (хI^
e=F-Sn<jt). Из E8.54) и E8.55) следует, что
1 im ] [f (х) - Sn (x)f dx = 1 im || / (x) - Sn (x) \RLt = 0,
т. е. равенство E8.50) доказано.
Далее, поскольку в силу той же формулы E7.42) имеют место
равенства
и поскольку коэффициенты Фурье у F и / одинаковы, то E8.51)
следует непосредственно из E8.53).
Для доказательства следствия 2 заметим, что если все коэф-
коэффициенты Фурье функции /ei?L2[—я, л] по тригонометрической
системе равны нулю, то из равенства Парсеваля E8.51) следует, что
а это согласно определению 38 из п. 57.10 эквивалентных
функций и означает, что
Итак, обратим внимание на то, что если у функции с интег-
интегрируемым квадратом все коэффициенты Фурье равны нулю, то она
не обязательно является тождественным нулем, а только эквива-
эквивалентна ему.
Оба следствия доказаны.
Из равенства Парсеваля E8.51) еще раз (независимо от тео-
теоремы 2 п. 55.2) следует, что коэффициенты Фурье функции f(x)
стремятся к нулю (ибо общий член сходящегося ряда E8.51) всегда
стремится к нулю), однако лишь для функций с интегрируемым
на отрезке [—я, я] квадратом. Поскольку всякая функция,
непрерывная на отрезке [—я, я] является и функцией с интег-
интегрируемым квадратом, то для нее также справедливо утверждение
первого следствия теоремы 12: она раскладывается в ряд Фурье,
сходящийся к ней в смысле среднего квадратичного, и для нее
справедливо равенство Парсеваля E8.51).
Второе же следствие для непрерывных функций может быть
существенно усилено. Сформулируем его в виде отдельной теоремы.
Теорема 13. Если все коэффициенты Фурье непрерывной на
отрезке [— я, я] функции равны нулю, то сама эта функция тож-
тождественно равна нулю.
500 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
Следствие (теорема единственности разложения непрерывной
функции в ряд Фурье). Если дее непрерывные функции имеют
одинаковые коэффициенты Фурье, то они тождественно равны.
Доказательство. Если функция f(x) непрерывна на
отрезке [— я, я] и все ее коэффициенты Фурье равны нулю, то
из равенства Парсеваля E8.51) имеем l/fw.2 = 0. Но полунорма
пространства RL°[—я, я] на множестве непрерывных функций
является нормой (см. пример 9 в п. 57.4), поэтому /(х) = 0 для всех
х е [— я, я].
Следствие вытекает из того, что разность двух функций, у
которых одинаковые коэффициенты Фурье, имеет коэффициенты
Фурье, равные нулю и потому является тождественным нулем. Ц
Замечание 1. Теоремы 12 и 13 были сформулированы
применительно к тригонометрической системе функций. Подобные
утверждения справедливы, конечно, для любой полной ортого-
ортогональной системы функций, т. е. системы, образующей ортогональный
базис в пространстве L2[a, b]. В частности, аналогичные утверж-
утверждения справедливы для разложений функций по полиномам
Лежандра (см. пример 2 в п. 58.3) в пространстве L2[—1, 1].
Например, если все коэффициенты Фурье непрерывной на отрезке
[—1, 1] функции по системе полиномов Лежандра равны нулю,
то эта функция равна нулю во всех точках отрезка [—1, 1].
Доказательства подобных утверждений могут быть проведены по
той же схеме, что и выше.
Замечание 2. Основным и существенным фактом, позво-
позволившим доказать теорему 12, является полнота тригонометрической
системы в пространстве L2[— я, л], которая в свою очередь основы-
основывается на возможности сколь угодно точно в смысле среднего
квадратичного приблизить на отрезке [—я, я] всякую функцию
с интегрируемым на этом отрезке квадратом непрерывной, пери-
периода 2я, функцией (см. лемму 16 из п. 57.10). Использование же
общей теории о разложении по ортогональным системам в гиль-
гильбертовом пространстве носило по существу лишь терминологи-
терминологический характер и позволило более кратко и наглядно проводить
и записывать рассуждения. В качестве примера понятия, кото-
которое весьма удобно при рассмотрении изучаемых вопросов, отметим
прежде всего понятие линейного нормированного пространства
(в частности, предгильбертова пространства), а значит, и понятие
нормы. Введение этих понятий позволило изложить теорию разло-
разложений по ортонормированным системам вне зависимости от их
конкретного вида. Эти понятия имеют разнообразное применение
и в различных других разделах математики.
В заключение, используя полученные результаты, докажем
еще одну теорему.
Теорема 14. Пусть функция f непрерывна на отрезке [—я, я].
Если ее ряд Фурье сходится равномерно на отрезке [—я, я], то
его сумма равна функции /.
58.7*. Теорема Планшереля 50 1
Доказательство. Пусть
ОО
/ (х)~ -у + ^ а„ cos nx+bn sin /г#
— сумма ряда Фурье функции /.
Прежде всего функция S (х), как сумма равномерно сходяще-
сходящегося ряда непрерывных функций, также непрерывна. Далее, в
силу теоремы 1 п. 55.1 коэффициентами Фурье функции S(x)
являются числа а0, аа, Ьп, п = \, 2,....
Таким образом, две непрерывные на отрезке [— я, я] функции /
и S имеют одинаковые коэффициенты Фурье, и поэтому в силу
сказанного выше они совпадают во всех точках отрезка [— я, я]:
f() S() тс. ?
58.7*. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ В КВАДРАТЕ
ФУНКЦИЙ. ТЕОРЕМА ПЛАНШЕРЕЛЯ
Если квадрат функции / интегрируем на всей действительной
оси, то сама функция /, вообще говоря, не абсолютно интегрируема
на всей оси, как это видно на примере функции
t /и _ *
I w — -./. , .... .
Поэтому на основании теории преобразования Фурье, изложенной
в § 56, нельзя утверждать существование преобразования Фурье
для функций из пространства L2( — oo, оо). Покажем, что в этом
случае можно определить преобразование Фурье в некотором
обобщенном смысле. Предварительно остановимся на определении
пространства L2( —оо, +°о) для комплекснозначных функций.
Пусть / и g — две непрерывные функции с интегрируемым
квадратом модуля на всей оси и принимающие, вообще говоря,
комплексные значения. Их скалярное произведение определяется
в этом случае по формуле
(А ?)= \H
Легко проверяется, что все свойства, которыми должно обладать
скалярное произведение в комплексном линейном пространстве
(см. п. 57.7), в этом случае выполняются.
502 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
Пространство L2 (— со, со), которое мы будем рассматривать
в этом пункте, определим как пополнение предгильбертова прост-
пространства непрерывных и с интегрируемым на всей оси квадратом
модуля комплекснозначных функций с. указанным скалярным
произведением (ср. с теоремой 6 в п. 57.10).
Через Ц/1| в настоящем параграфе обозначается норма элемента
/eia(-со, +со), т. е.
а также и полунорма
f(x)f(x)dx
для функций / с интегрируемым на всей оси квадратом модуля.
Выше для случая действительных функций отмечалось без дока-
доказательства (см. п. 57.10), что каждый элемент пространства L2
можно рассматривать как класс функций. Аналогичный факт
справедлив и для пространства L2 комплекснозначных функций,
причем полунорма |/|| функций / совпадает с нормой элемента
пространства Z2, которому принадлежит (в смысле, аналогичном
указанному в п. 57.10) функция /. Мы не будем останавливаться
на доказательстве этих фактов и не будем их использовать в
дальнейшем.
Комплекснозначную функцию /(х) = ф(х) + гф(х), где <р(и) и
ф(х) — действительные функции, — со<х<4-со, назовем финит-
финитной ступенчатой функцией, если финитными ступенчатыми функ-
функциями являются функции ф(х) и i|)(x) (см. определение 7 в п.55.2).
В дальнейшем для краткости финитные ступенчатые функции
будем называть просто ступенчатыми функциями.
Любые две ступенчатые функции ф (х) и if (x) можно предста-
представить в виде конечной линейной комбинации одних и тех же
одноступенчатых функций (см. п. 55.2), принимающих значения 1
и 0. Для этого достаточно взять всевозможные непустые пересе-
пересечения полуинтервалов постоянства функций ц>(х) и *ф (х). Эти
пересечения также являются полуинтервалами [x*_i, xk), k =
= 1, 2, ..., п, на которых постоянны одновременно функции ф(х)
и ty(x). Поэтому если
(Oft (Л'
•—соответствующие одноступенчатые функции, то существуют
такие действительные числа кк, jj,ft = l, 2, ..., п, что
n n
58.7*. Теорема Планшереля 503
Отсюда следует, что любая комплекснозначная ступенчатая функ-
функция / (к) = ф (х) + гф (х) представима в виде
П
/M=SS»e>*W. E8.56)
fc= i
гДе ?* — К + фь k = 1, 2, ..., га, — комплексные числа.
Лемма 6. /7г/с«гб f — комплекснозначная ступенчатая функция
и F[f] — ee преобразование Фурье, тогда
If ГЯ1Н/1-
Доказательство. Если функция / задана формулой
E8.56), то
\!Т= ] f
—да
п 4-от п
= 2 ^/S* $ «/ W w* W ^ = 2 IS* i2 (Ч - лга-i). E8.57)
Пусть теперь 0<tj< + oo! тогда
Т1 +00 +00
¦—I) —Г) —0» —OO
+ °° +i° I)
— да—oo —r\
+ 00 +O0
1J J
. E8.58)
— 00 —OO
Все преобразования здесь законны, так как на самом деле все
интегралы берутся в конечных пределах.
Поскольку действительная и мнимая части функции / (х) удов-
удовлетворяют условиям теоремы о представлении функций с помощью
интеграла Фурье (см. теорему 1 в п. 56.1), то для всехх, кроме
x — xk, k=\, 2, ..., п, имеем (см. доказательство указанной
теоремы),
+ 00
Оказывается, что в силу этого при наших предположениях в по-
последнем интеграле E8.58) можно перейти к пределу под знаком
интеграла при т]-> + оэ. Однако соответствующая теорема не была
доказана в настоящем курсе, и потому нам придется сделать
504 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
несколько дополнительных вычислений. Подставляя E8.56)
в E8.58), получим
s^dt. E8.59)
Рассмотрим поведение каждого слагаемого получившейся
суммы при t)-»- + oo. Если j = k, то, меняя порядок интегриро-
интегрирования (рис. 230) и производя интегрирование по переменной х,
получим:
1 f dx ' ^Л =
)
1
i
0
0
M sin
Поскольку
4 со
( sin t , , я
(см. п. 54.4), то
lim — (хк — лг/t-i)
Далее, очевидно,
поэтому
If* С* 4in / ltd
lim — \ dx \ -j-dt = Xk — xk-i, k=l, г, .... п.
58.7*. Теорема Планшереля
505
Покажем теперь, что при }
С
1 (*)
Пусть для определенности Xy_1<;A'/sSAVi<!^.',-- При других рас-
расположениях полуинтервалов постоянства [xf-lt Xj) и \хк-ъ хк)
о
-г
Рис. 230
Рис. 231
доказательство аналогично. Меняя снова порядок интегрирования
и производя интегрирование по х (рис. 231), с помощью анало-
аналогичных рассуждений получим
ч(**-*
+ J
(
"] ll
при
Теперь из E8.59) имеем
lim
-^-i) = J/P- О
t= 1
5jD6 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
Лемма 7. Пусть f — комплекснозначная функция, непрерывная
на отрезке [а, Ь] и равная нулю вне его, тогда существует по-
последовательность таких ступенчатых функций <рп, п = 1, 2, ....
что
lim |ф-ф„1 = 0.
п —> со
Доказательство. Для действительных функций это сле-
следует из леммы 14 п. 57.10. Пусть теперь ф = ы + ш —комплексно-
—комплекснозначная функция, непрерывная на отрезке [а, Ь]; тогда действи-
действительные функции и и v также непрерывны на отрезке [а, Ь].
Поэтому существуют такие последовательности ступенчатых функ-
функций {ип} и {vn}, что \и — ы„||->0 и 1 и — 1/я||->-0 прип->оо. Если
фл = ип + iv„, то 1ф — ф„|^|ы — un\ + \\v-vnl отсюда ||ф —ф„||г*-
->0 при п-^-оо. Ц
Лемма 8. Пусть комплекснозначная функция ф непрерывна на
отрезке [а, Ь] и равна нулю вне его, тогда
Доказательство. Пусть фл — последовательность ступени
чатых функций таких, что
lim ||ф-ф„|| = 0
п —* оо
(см. лемму 7), тогда в силу непрерывности нормы
lim || фя | = 1Ф !• ' E8.60)
и->оо
Из неравенства же Коши — Буняковского получим
Ь !Ь \1/2 /Ь \1/2
$|ФЛ*)-Ф(*)Н*Ц$СЬ- [\\()()?d}
а \а I
1/а
и, следовательно,
ь
lim \ |фи(х) — ф(х)\dx = 0,
n-vcoa
т. е. последовательность {ф„} сходится в среднем к функции ф н
в смысле L\. Поэтому если
Ч> = ^М. *« = ^Ы, я = 1, 2, ....
то последовательность непрерывных (см. следствие леммы 4
в п. 56.7) функций {%} равномерно сходится к функции ф, кото-
которая в силу этого непрерывна на всей числовой оси. Кроме того,
58.7?. Теорема 17лапшереля Е07
в силу леммы б
1*»1 = |ф»|. E8.61)
Отсюда следует, в частности, что непрерывные функции i|5rt
являются функциями с интегрируемым квадратом модуля, т. е.
принадлежат пространству L2(—со, + оо). Далее, функции фл,
«=1, 2, ..., образуют фундаментальную последовательность
в пространстве L2(—оо, + оо). Эго следует из сходимости в сред-
среднем в смысле L2 последовательности {ф„} и из равенства
+ ОО -|-00
$ \ЫУ)-Ъ<«(У)\2<1У= $ \<Pn(y)-<pm(y)\2dy,
— оо —оо
которое также вытекает из леммы 6, ибо разность ступенчатых
функций также является ступенчатой функцией.
Покажем, что последовательность {г|эи} сходится к функции ij>
и в пространстве L2. Действительно, пусть фиксировано е>0,
тогда в силу фундаментальности последовательности {г|эл} сущест-
существует такой номер п^, что для всех п^пе и т^пг выполняется
неравенство
+ 0О
Тем более, для любого числа с>0 будем иметь
\ E8.62)
При фиксированных п и с при т ->- оо подынтегральное выраже-
выражение в E8.62) равномерно стремится к функции \%(у) — ^(y)f-
Поэтому в неравенстве E8.62) можно перейти к пределу под
знаком интеграла при т->-оо. В результате будем иметь
—с
Устремляя теперь с к +оо, получим, что при п^пе выпол-
выполняется неравенство
$ \%(y)-y(y)?dy^e, E8.63)
—оо
что и означает сходимость в среднем в смысле L2 последователь-
последовательности {%} к функции г|э.
Из доказанного следует также, что 1|зе?2(—°о, + оо). Дей-
Действительно, в силу E8.61) и E8.63)
508 § 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним
Наконец, из неравенства E7.18) и того что Пт '!фи — $3 = 0,
получим
lim |ф„! = |i>\, E8.64)
п —*¦ оо
Из E8.60), E8.61) и E8.64) следует, что
1 = 1ф1- П
Теорема 15 (Планшерель *>). Пусть функция ц> непрерывна и
с интегрируемым квадратом модуля на всей числовой оси и пусть
1 л'
Ы(У) = У^ f <p(x)<r**i>dx, Л1>0.
—* м
Тогда:
1) функция Ум (у) также непрерывна и с интегрируемым на
всей числовой оси квадратом,
2) при .M-v + oo функции tyM сходятся в пространстве
Lz(—оо, + оо) к некоторому элементу i|jeL2(—ее, -j- °°) "
3) \<р\ = \П
Доказательство. Если
ФЛ1
то, очевидно,
Согласно лемме
( \ —
W —
lim
М -»-4-
8,
j ф (х), если х
\ 0, если х
Фл» = ф в Z-2 (—
00
lim И фл-i !1 = 1!
М -»4-°°
| ijjjj !| = | фу f, 7И
| = ||фл], — фм,!!,
е г
со, Н
М, М],
М, М],
-со),
0, Л13>0.
E8.65)
E8.66)
E8.67)
E8.68)
Из E8.65) и E8.68) следует в силу полноты пространства
Li{—со, оо), что существует предел (почему?)
lim т^л! = 'Ф в JU (— со, -j- оо).
М ->-fco
В силу непрерывности нормы
Mm |;гЫ = Ж E8-69)
М -* 4- оо
из E8.66), E8.67) и E8.69) имеем
Ж = 1ф1- ?
*' М. Планшерель A885-1967)-швейцарский математик.
58.7*. Теорема Планшереля 509
Полученный в процессе доказательства элемент фе
eL2(—оо, •+ оо) мы будем также называть преобразованием
Фурье заданной непрерывной функции фе?2(— оо, + ос) и
писать
4> = F[q>]. ES.70)
Эта запись естественна, так как если функция ф, кроме того, и
абсолютно' интегрируема, то lim tyM совпадает с обычным пре-
Л1 -> + со
образованием Фурье. Действительно, в этом случае
+ СО
lim \ \<pM(x)-q>(x)\dx = 0.
м-*+<»_%
Следовательно, функции tyM = F [ч>м] при М -> оо равномерно схо-
сходятся к преобразованию Фурье F[q>] функции ф. Как мы видели,
т!рм сходится в среднем в смысле L2 к функции ijr, отсюда не-
нетрудно убедиться, что if = F [ф] (сравнить аналогичное рассужде-
рассуждение в доказательстве леммы 8).
Преобразование Фурье E8.70) определено пока лишь для тех
элементов (peL2(— сю, -+- °°). которые являются непрерывными
функциями с интегрируемым квадратом, однако по непрерывности
оно может быть распространено на все пространствоL2 (—со, +оо).
Действительно, пусть ф — произвольный элемент из пространства
L2(—оо, -f-oo). Согласно определению пространства L2 (—оо, +°°)
множество непрерывных функций плотно в нем. Следовательно,
существует последовательность непрерывных функций
Ф„ е U (— оо, + оо), п = 1, 2, ....
такая, что lim ф„ = ф, т. е. lim |фя — ф! = 0.
п —у оо п —*со
Пусть F [фи] = tyn, п — 1, 2, В силу теоремы Планшереля
1фя-Ч>т1 = 1фя —фт|, П, /П=\, 2, ...,
поэтому последовательность {tyn} фундаментальна в L2 и, следо-
следовательно, сходится. Пусть \j)= lim tyn. По определению полагаем
п-юо
4> = F[q>]. E8.71)
Если 9^eL2(—схэ, + оо), п=1, 2, ..., —какая-либо дру-
другая последовательность непрерывных функций, сходящаяся
в L2 (— со, + со) к элементу ф, и если if* = F [фи;], то из равенства
имеем limT|3« = \{). Таким образом, определение E8.71) не зависит
П—юо
от выбора последовательности непрерывных функций, сходящейся
к элементу ф.
510 § 59. Обобщенные функции
Для любого фе/,2(—оо, + оо) справедливо равенство
что сразу следует из того, что это равенство имеет место для
непрерывных функций (peL2(— сю, + со) и непрерывности нормы.
Далее, легко проверить, что преобразование Фурье F линейно
на L2(—оо, + сю), т. е.
2]
для любых ф! и ф2 из L2 (— 00, + сю) и любых чисел Ях и V
Это верно для ступенчатых функций. Они образуют плотное
в L2 (— °о, 4- °°) множество. Отсюда предельным переходом ука-
указанное равенство получаеэся для любых элементов пространства
La(--oo, +co)-
Наконец, преобразование Фурье отображает пространство
Z-2 (—сю,4-сю) на себя, т. е. каков бы ни был элемент if>e
eL2(— сю, 4-°°). существует такой элемент фе/,2(—оо, 4"°°)»
что F [ф] = -ф. Для того чтобы это показать, следует тем же мето-
методом, как это было сделано для преобразования Фурье, опреде-
определить на пространстве L2(—сю, 4- оо) обратное преобразование
Фурье F~l и показать, что для любого элемента \f> e L2 (—00, 4- 00)
справедливо равенство ||/7[г|з]1 = 1'ф|. Затем можно показать, что
для всех Tj>eL2(—00, + °°), исходя из того, что это верно на
множестве ступенчатых функций, образующих плотное
в L2 (— 00, 4- °°) множество. Если теперь для элемента ty e
eL»(—00, +00) взять элемент <р = F~x[ty], то получимF[ф] = ^ф,
что и означает, что преобразование F отображает все простран-
пространство L2(—00, 4-°°) на себя.
Суммируя все сказанное, получим следующую теорему.
Теорема 16 (Планшерель). Преобразование Фурье F линейно
и взаимно однозначно отображает пространство L^ (—сю, 4- оо)
на себя, при этом для любого элемента фе1а(—оо, +°°) спра-
справедливо равенство
§ 59. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
59. 1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
В этом параграфе мы рассмотрим одно обобщение классического
понятия функции, а именно понятие обобщенной функции. Оно
возникло при решении некоторых физических задач и в послед-
последние годы быстро и прочно вошло в математику. С помощью этого
понятия можно распространить преобразование Фурье на сущест-
существенно более широкий класс функций, чем абсолютно интегрируемые
59.1. Общие соображения 611
или интегрируемые в квадрате функции. Оно позволяет сформу-
сформулировать на математическом языке такие идеализированные
понятия, как, например, плотность точечного заряда, плотность
материальной точки, мгновенный импульс и т. п. .
Поясним это подробнее. При изучении физических явлений
с помощью математического аппарата нам нгизбежно приходится
пользоваться различными математическими абстракциями, в част-
частности понятием точки. Мы говорим, например, о массе, сосредо-
сосредоточенной в данной точке пространства, о силе, приложенной
в данный момент времени (т. е. в данной точке оси отсчета
времени), о точечном источнике того или иного физического поля
и т. п. Это удобно при использовании математического аппарата,
хотя при этом мы воспроизводим не вполне точную реальную
картину: всякая масса имеет определенный объем, всякая сила
действует определенный промежуток времени, всякий источник
поля имеет определенные размеры и т. д. Оказывается, что при
таком подходе к изучению физических явлений недостаточно
методов классической математики. Иногда приходится вводить
новые математические понятия, создавать новый математический
аппарат.
Рассмотрим в качестве примера действие «мгновенной» силы.
Пусть в момент времени t = 0 на тело массы тфО подействовала
сила, сообщившая ему скорость ифО, после чего действие силы
прекратилось. Обозначая через F(t) силу, действующую на тело
в момент времени t, получим F (t) = 0 при t Ф 0. Попытаемся
найти, чему же равна сила Fit) при ? = 0. По второму закону
Ньютона сила равна скорости изменения количества движения
относительно времени
и, следовательно, для любого момента времени х, 0<т< + оо,
имеем
] F(t)dt=mv. E9.1)
— со
В качестве нижнего предела интегрирования взята —'оо; можно,
конечно, вместо нее взять и любое число а<0, поскольку до
момента времени t — 0 тело находилось в покое.
Обратим внимание на то, что с точки зрения классической
математики, т. е. с точки зрения того понятия интеграла, которое
было нами изучено, равенство E9.1) лишено смысла: функция F(t)
равна нулю во всех точках, кроме t = 0 и потому стоящий в левой
части формулы E9.1) интеграл, рассматриваемый как несобствен-
несобственный, равен нулю, в то время как правая часть этого равенства
не равна нулю. Вместе с тем, исходя из физических соображений,
естественно ожидать, что написанное равенство имеет определен-
512 § 59. Обобщенные функции
ный смысл. Это противоречие означает, что мы оказались за
пределами возможности использования известного нам матема-
математического аппарата, что необходимо ввести какие-то новые матема-
математические понятия.
Предположим, для простоты, что количество движения, которое
получило тело, равно единице, т. е. что tnv = l. В этом случае
силу F(t), действующую на тело, будем обозначать через 8(t),
следовательно, формула E9.1) будет теперь иметь вид
\ 6(t)dt = l, т>0. E9.2)
— оо
Функция б (t) называется обычно дельта-функцией (б-функцией),
или функцией Дирака*1.
Чтобы лучше вникнуть в сущность вопроса, предположим, что
на тело действует не мгновенная сила, а что в течение промежутка
времени от — е до 0 (е > 0) на тело действует некоторая посто-
постоянная сила, которую мы обозначим через 8e(t). Предположим
также, что эта сила сообщает нашему телу то же самое количе-
количество движения, равное единице. Короче говоря, распределим
искомую силу 6(t) на интервал длины е. Найдем силу б?(/).
По закону сохранения времени для любого времени
имеем
Поскольку сила 8s(t) равна нулю вне отрезка [—е, 0], а на этом
отрезке постоянна, то
т о
1= J 6e(t)dt= I 6B(t)dt = e8z(t), -е<
— CO —?
Поэтому
f
I 0, если / < — е или t > 0.
Естественно предположить, что мгновенная сила б(/) получа-
получается из «распределенной силы» 8e(i) предельным переходом при
е->0, т. е.
6(/) = 1нпбе(/),
тогда
0, если t^O.
*> П. Дирак (род. 1902 г.) —английский физик.
59.1. Общие соображения 513
Эта формула не дает нам возможности, используя известные
определения интеграла (собственного или несобственного), полу-
получить формулу E9.2). Равенство нулю функции во всех точках,
кроме одной, где она равна бесконечности, и одновременное
равенство интеграла от этой функции единице противоречат друг
другу в рамках той математики, которая в настоящее время
называется классической. Эю приводит к мысли о необходимости
введения нового определения — определения «интеграла» E9.2).
Физически естественно считать, что количество движения, при-
приданное телу мгновенной силой б (О, т. е. интеграл E9.2) является
пределом количества движения, приданного телу распределенными
во времени силами 8s(t), когда время их действия стремится
к нулю, т. е. когда е->0. Поэтому положим, по определению
$ 6(t)dt=lim $ 6e(t)dt, т>0.
— со 6--»0_оо
т
Отсюда в силу равенства $ 6е@<#г=1, т>0 для всех е>0
— ОО
и следует непосредственно равенство E9.2).
Таким образом, когда говорится, что интеграл E9.2) от дельта-
функции равен единице, to этот интеграл следует понимать как предел
соответствующих обычных интегралов от 6в-функций при е->--)-0.
Оказывается полезным дать аналогичным образом определение
и более общих «интегралов», а именно интегралов вида
\ 8(t)f(t)dt, -оо<т< + оо, E9.5)
— от
где /(/) —некоторая непрерывная функция. Именно, определим
символ E9.5) равенством
I 6(t)f(t)dt = \\m $ 8s(t)f(t)dt. E9.6)
— со 6^0_со
Чтобы доказать, что это определение корректно, надо доказать,
что предел E9.6) всегда существует. Покажем, более того, что
с (/@) при т=гО,
Ц{ <0 E9.7)
Пусть сначала т^О. Используя E9.3), получим
6e(t)f(t)dt-f<f>)
0
о
~ f 1/@-/@I dt. E9.8)
е
514 §59. Обобщенные функции
В силу непрерывности функции f (х) при х = О для любого ri>0
существует такое е,,>0, что для всех t, удовлетворяющих усло-
условию |/[<еТ1, выполняется неравенство
Поэтому для всех е<еч из неравенства E9.8) следует, что
J f>B(t)f(t)dt-f(O)
—6
РаЕенство {59.7) при т^= 0 доказано. Еще проще оно доказыва-
доказывается при т<0. Итак, из определения E9.6) следует, что для
любой непрерывной функции f(t) справедлива формула
_i> \ 0 при т<0.
Формула E9.2) следует отсюда при f(t)==l.
Если положить
Мпри^О.
w \ 0 при ^<0, v '
то формула E9.9) при f(t) = l перепишется в виде
6(т)= $ 6(i)dt. E9.11)
—оо
Функция B(t) имеет специальное название —она называется функ-
функцией Хевисайда *>. Вычисляя производную функции 6 (/) согласно
классическому определению производной из E9.10) получим
' E9.12)
при t^O.
На основании этого было бы неверно утверждать, что 6' (t) явля-
является дельта-функцией, так как одной лишь формулой E9.4)
функция 6@ не определяется, поскольку даже физически ясно,
что только из этой формулы не может следовать, что сила 6@
сообщает рассматриваемому телу именно единичное количество
движения. Однако, удобно положить, по определению
6'@ = 6@-
Это помимо равенства E9.12) оправдывается тем, что в этом
случае сохраняется основная формула интегрального исчисления,
восстанавливающая функцию по ее производной — формула
••О. Хевисайд A850—1925) —английский физик.
59.1. Общие соображения 515
Ньютона — Лейбница. Действительно, теперь формула E9.11)
может быть переписана в виде
Т
0(т)= \ b'{t)dt, -оо<т< + оо
— оо
(отметим, что 6 (— сс) = 0).
Заметим, что мы не дали четкого математического определения
самой функции 6 (t) как функции точки (выше отмечалось, что
формула E9.4) не является таким определением); это вообще
невозможно сделать, так как дельта-функция является понятием
другой природы. Мы же определили не функцию 6(/), а «интеграл»
E9.5). Это не случайно. Характерным для многих задач физики
является то обстоятельство, что вводимые для, описания того
или иного объекта функции имеют смысл лишь постольку,
поскольку непосредственный физический смысл имеют некоторые
интегралы от этих функций. Обобщенные функции и возникают
как некоторое обобщение семейств интегралов от произведения
двух функций, одна из которых фиксирована, а другая может
выбираться произвольно из некоторой совокупности.
Итак, нами определено новое понятие — понятие интеграла
от дельта-функции (и даже болез общее понятие интеграла от
произведения непрерывной функции на дельта-функцию).1 Это
не обычный интеграл, т. е. не предел интегральных сумм, а предел
соответствующих интегралов, или, образно выражаясь, «предел
пределов интегральных сумм». Иначе говоря, для определения
интеграла ^ 6(x)f(x)dx надо к предельному переходу, дающему
— со
+ СО
значение интеграла J бе (х) / (х) dx, добавить еще один предель-
— со
ный переход при e-vO. Здесь наблюдается своеобразная аналогия
с определением несобственного интеграла: исходя из известного
определения интеграла, мы с помощью дополнительного предель-
предельного перехода получаем новое математическое понятие. Конечно,
дополнительные предельные переходы в этих случаях различны,
это приводит к различным понятиям.
При новом определении символа E9.5) мы находимся в круге
привычных нам математических определений, расширяющих запас
понятий, с которыми имели дело раньше; нам удалось выявить
одно интересное свойство дельта-функции 6(/) (см. E9.9)): она
ставит в соответствие каждой непрерывной функции f(t) число
/@), т. е. дельта-функцию можно рассматривать как функцию,
определенную на множестве всех непрерывных функций. Отобра-
Отображения, области определения которых представляют собой некото-
некоторые множества функций, называются функционалами. Дельта-функ-
516 §59. Обобщенные функции
ция является одним из простейших примеров функционалов.
Обобщенными функциями, которые упоминались в начале этого
пункта, называются функционалы определенного вида (см. п. 59.2).
Как мы видели, свойства дельта-функции определяются свой-
свойствами функций бЕ (х). Если взять е = -, п = 1,2,..., то получится
последовательность функций, которая, как и аналогичные ей
в определенном смысле, называется дельта-образной последователь-
последовательностью (точное определение дельта-образных последовательностей
будет дано ниже: см. упражнение 6 в п. 59.3). Всякая дельта-
образная последовательность может служить для определения
свойства E9.9) дельта-функции. Следует отметить, что мы уже
встречались раньше с дельта-образными последовательностями:
примером такой последовательности является последовательность
ядер Фейера Фп(п), я =1,2, Однако мы не акцентировали
внимания на последовательностях такого рода, поскольку они,
не являясь самостоятельным объектом изучения, играли вспомо-
вспомогательную роль.
Теперь мы перейдем к систематическому изучению обобщенных
функций. Отдельные обобщенные функции возникли первоначально
в работах П. Дирака и других физиков в качестве символического
способа описания определенных физических явлений. Для исполь-
использования этих понятий в качестве метода теоретического исследо-
исследования возникла необходимость создания теории обобщенных функ-
функций, что и было сделано. Теория обобщенных функций является
весьма полезным математическим аппаратом. С ее помощью уда-
удалось решить ряд задач, не поддававшихся решению старыми мето-
методами. Ныне обобщенные функции широко применяются как в при-
прикладных, так и в чисто математических исследованиях.
В следующих пунктах этого параграфа мы изложим основы
общей теории обобщенных функций, построенной С. Л. Соболевым
и Л. Шварцем*.
59.2. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СХОДИМОСТЬЮ. ФУНКЦИОНАЛЫ.
СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 1. Пусть X — некоторое множество и пусть в сово-
совокупности всех последовательностей {хп} его элементов, хп е X, выде-
лгн некоторый класс последовательностей, названных сходящимися,
и каждой сходящейся последовательности поставлен в соответствие
элемент хеХ, называемый ее пределом.
Если при этом выполняются три условия:
1) каждая последовательность элементов множества X может
иметь нг более одного предела;
*> С. Л. Соболев (род. в 1908 г.) —советский математик; Л. Шварц
\род. в 1915 г.)— французский математик.
59.2. Линейные пространства со сходимостью 517
2) всякая последовательность вида {х, х, х, ..., х, ...} явля-
является сходящейся, и ее пределом является элемент х;
3) всякая подпоследовательность сходящейся последовательности
также является сходящейся и имеет тот же предел, что и вся
последовательность,
то множество X называется пространством со сходимостью.
Условия 1, 2 и 3 называются аксиомами Фреше*К
Если х является пределом последовательности {х„\, то, как
обычно, пишется
х=\шхп.
п—»оэ
Определение 2. Линейное пространство X называется линейным
пространством со сходимостью, если оно является пространством
со сходимостью, относительно которой операции сложения элемен-
элементов пространства и умножения их на число являются непрерыв-
непрерывными.
Это означает, что для любых сходящихся последовательностей
{хП} и {уп} элементов из X, имеющих своими пределами соответ-
соответственно ^еХ и jeX, и любых чисел % и \i последователь-
последовательность {hcn + nya} также сходится и
lim (kxn+цуп) = he+цу.
Кроме того, если {kn} — числовая последовательность и lim %n — K
п-*со
то lim knx = hc для любого jce!
Примером линейных пространств со сходимостью являются
нормированные линейные пространства; однако существуют линей-
линейные пространства со сходимостью, в которых нельзя ввести норму,
порождающую заданную сходимость последовательностей.
Определение 3. Отображения линейного пространства X во
множество действительных чисел R (или во множество комплексных
чисел С) называются функционалами, определенными на этом про-
пространстве или функционалами над этим пространством. Значение
функционала f в точке х линейного пространства X обозначается
через (f, x), т. е. так же как скалярное произведение элементов
f и х в линейном пространстве X со скалярным произведением.
Это обозначение оправдывается, в частности, тем, что скаляр-
скалярное произведение (у, х) при фиксированном элементе у является
функционалом, определенным на указанном пространстве X.
Определение 4. Пусть X — линейное пространство. Функционал
f, определенный на этом пространстве, называется линейным (точ-
(точнее, линейным однородным), если для любых элементовхеХ,уеХ
и любых чисел %, ц выполняется условие
(f, kx+tiy) = %(f, x)+n(f, у).
*' М. Фреше A878 — 1973)—французский математик.
518 § 59. Обобщенные функции
Определение 5. Функционал f, определенный на линейном про-
пространстве X со сходимостью, называется непрерывным, если для
любой сходящейся последовательности х„еХ, lim х„ = х, выполня-
п-»со
ется условие
lim (/, *„) = (/> х).
Функционалы, как и всякие числовые функции, можно склады-
складывать, умножать друг* на друга, в частности на число. Например,
если / и g — функционалы, то значение функционала af+$g (а и
Р — числа) в точке х^Х определяется по формуле
х).
Лемма 1. Линейные непрерывные функционалы образуют линей-
линейное пространство.
Доказательство. Пусть/ и g — линейные функционалы,
а и Р —числа. Покажем, что af+fig — также линейный функци-
функционал:
(af + Pg,
X[a(f, x)
A/ f , y),
т. e. a/ + Pg — линейный функционал.
Пусть теперь f и g — непрерывные функционалы. Покажем,
что тогда и a/ + Pg — также непрерывный функционал. Пусть
lim xn — x. Тогда
, xn)= lim[a(/, xn) + $(g, х„)] =
Я-*ОО
alim (/, аг„) + Р lim (g, xn) = a(f, x) + p*(g, x) = (af + $g, x).
И-»0О
Таким образом, во множестве линейных непрерывных функ-
функционалов естественным образом определены операции их сложе-
сложения и умножения на число. Выполнение для этих операций
аксиом линейного пространства проверяется безо всякого труда. Q
В линейном пространстве линейных непрерывных функциона-
функционалов пространства X понятие сходимости последовательностей
определяется следующим образом.
Определение 6. Последовательность функционалов fn, п = 1,
2, ..., называется сходящейся к функционалу /, если последова-
последовательность значений функционалов fn сходится в каждой точке
х е X к значению в ней функционала f, иначе говоря, если для
любого элемента хеХ числовая последовательность {(fn, x)} схо-
сходится к числу (/, я).
59.2. Линейные пространства со сходимостью 519
Таким образом, утверждение limfn==f равносильно утвер-
гс-*оо
ждению
lim (/„, х) — (f, х) для всех хеХ,
п~*со
При таком определении сходимости функционалов операции
их сложения и умножения на число непрерывны (это непосред-
непосредственно следует из линейности функционалов и из свойств пре-
пределов числовых последовательностей), и, следовательно, если вве-
ввести понятие сходимости функционалов согласно определению 6,
то' будет справедливым следующее утверждение, которое мы сфор-
сформулируем в виде отдельной леммы.
Лемма 2. Линейные непрерывные функционалы, определенные
на пространстве со сходимостью, также образуют линейное про-
пространство со сходимостью.
Определение 7. Линейное пространство со сходимостью, эле-
элементами которого являются линейные непрерывные'функционалы,
определенные на пространстве X, называется пространством со-
сопряженным X.
Пусть X и Y — линейные пространства со сходимостью, при-
причем каждый элемент пространства X является элементом про-
пространства Y и пусть всякая последовательность хп е X, л=1,
2, ..., сходящаяся в X к элементу х, сходится к х и в Y. В этом
случае будем писать
Определение 8. Говорят, что линейный непрерывный функцио-
функционал f, определенный на пространстве X <^Y, продолжаем на про-
пространство Y в линейный непрерывный функционал, если сущест-
существует такой линейный непрерывный функционал F, определенный
на пространстве Y, что (F, х) = (f, x) для всех хеХ (m. e. F —
— f на Y). В этом случае функционал F называется продолже-
продолжением функционала /.
Упражнение 1. !1усть X и Y—линейные пространства со сходи-
сходимостью. Доказать, что если X С, Y и множество Л плотно в пространстве Y
(т. е. каждый элемент из пространства Y является пределом в этом простран-
пространстве последовательности элементов из X), то всякий линейный непрерывный
функционал пространства X, продолжаемый в линейный непрерывный функ-
функционал пространства Y, продолжаем единственным образом.
Как и для отображений любых линейных пространств, для
пространств со сходимостью имеет смысл понятие линейного ото-
отображения (линейного оператора) одного пространства со сходи-
сходимостью в другое такое же пространство (см. определение 17
в п. 57.2). Введем еще понятие непрерывного отображения одного
линейного пространства со сходимостью в другое.
Определение 9. Пусть Х1 и Х2 — два линейных пространства
со сходимостью. Отображение Ф пространства Хг в Х2 (в этом
случае отображение называется также и оператором) называется
520 § 59. Обобщенные функции
непрерывным в точке х0 е Хи если, какова бы ни была последова-
последовательность хп s Xi, п = 1, 2, ..., сходящаяся в пространстве Х\
к точке х0, последовательность Ф (хп) е Х2, п = 1, 2, ..., слго-
дится в Х2 к элементу Ф (дг0).
Иначе говоря, отображение Ф является непрерывным в точке
х0, если из lim Хп = х0 следует, что lim Ф (хп) = Ф (х0).
и-»со п-»-оо
Лемма 3. ?слы линейное отображение Ф линейного простран-
пространства со сходимостью Xi в линейное пространство со сходимо-
сходимостью Х2 непрерывно в нуле пространства Хъ то оно непрерывно
и всюду'в Xi.
Доказательство. Пусть х^^Х и lim хп = х9\ тогда
п.—*оа
lim¦(*„ — хо) = 0. В силу непрерывности отображения Ф в нуле
я-»оо
lim Ф(х„ — Jco) = 0.
п-»со
Поскольку отображение Ф линейно, то
и, следовательно,
lim [Ф (х„) — Ф (#о)] = 0, откуда lim Ф (ха) = Ф (х0).
а-*со п-юэ
Таким образом, отображение Ф непрерывно в каждой точке х0 е
еХг. ?
Определение 10. Отображение Ф линейного пространства со
сходимостью Xi в линейное пространство со сходимостью Х2 на-
называется непрерывным на Хи если оно непрерывно в каждой точке
пространства Хг.
Для всякого линейного пространства X со сходимостью имеют
оо
смысл понятие ряда ^ и„, «„еХ, л=1, 2, ..., сходящегося
ряда и его суммы. Эти понятия вводятся аналогично случаю ли-
линейных нормированных пространств. Это возможно, поскольку
в соответствующих определениях из свойств нормы используется
лишь то, что во всяком нормированном пространстве определено
понятие сходящейся последовательности.
Примеры линейных и непрерывных отображений пространств
со сходимостью будут даны в п. 59.6 и в п. 59.7.
59.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ.
ПРОСТРАНСТВА D И D'
Определим прежде всего основное для нас линейное прост-
пространство функций D. Для этого рассмотрим функции, заданные на
множестве действительных чисел R и принимающие комплексные
значения.
59.3. Определение обобщенных функций. Пространства DuD' 521
Интересующее нас пространство D состоит из бесконечно диффе-
дифференцируемых финитных функций (определение финитных функций
см. в п.55.2). Все финитные функции при естественным образом
определенных операциях их сложения и умножения на число
образуют линейное пространство, а бесконечно дифференцируемые
финитные функции — его подпространство. Введем в этом подпрост-
подпространстве понятие сходимо-
сходимости последовательностей.
Определение 11. После-
Последовательность бесконечно
дифференцируемых фи-
финитных функций ф„, «=
= 1,2,..., называется схо-
сходящейся к бесконечно диф-
дифференцируемой финитной
функции ф, если: — _'^ \~
1) существует отрезок
[а, Ь], вне которого все Рис. 232
функции 1|)я, я=1, 2, ...,
и ф обращаются в ноль*К
2) на этом отрезке последовательность функций ф„, п = 1, 2,...,
и последовательности всех их производных ф^*>, п = 1, 2,...,. рав-
равномерно сходятся соответственно к функции ц> и к ее соответст-
соответствующим производным ф(*\ k=l, 2,....
Совокупность бесконечно дифференцируемых финитных функций
с введенной операцией предельного перехода является линейным
пространством со сходимостью. Это непосредственно следует из
свойств пределов функций и свойств равномерно сходящихся
последовательностей.
Определение 12. Пространство бесконечно дифференцируемых
финитных функций с введенной сходимостью называется основным
пространством D.
Очевидно, что если ф е D, то и любая производная функции q>
принадлежит пространству D.
Заметим еще, что если {ф„} сходится к q> в D, то и последо-
последовательность |ф'*'} производных любого порядка k — 1, 2, ... схо-
сходится к ф(А> в D. Это непосредственно следует из определения
сходимости в пространстве D.
Тривиальным примером функции пространства D • является
функция, равная нулю на всей оси, менее тривиальным —функция
(рис. 232).
= {е..--Л если \х\<а, E9 ,3)
Ш, если \х\ ^sa.
*> Отрезок [а, Ь] содержит носители всех функций <р, ф„, п=1, 2, ... ,
17 Кудрявцев Л. Д. т. 2
522 § 59. Обобщенные функции
Упражнения. 2. Доказать, что функция E9.13) бесконечно дифферен-
дифференцируема на всей числовой оси (ср. с C7.25)).
3. Доказать, что для того, чтобы для функции ipsD существовала функ-
-|- GO
ция tp e D такая, что q>=л]з' необходимо и достаточно, чтобы J <f(t)dt = Q.
— оо
Определение 13. Всякий линейный непрерывный функционал f,
определенный на D, называется обобщенной функцией.
Определение 14. Функция f, определенная на всей действи-
действительной оси, называется локально интегрируемой, если она абсо-
абсолютно интегрируема йа любом конечном отрезке.
Если / — локально интегрируемая функция, а ф еД то произ-
произведение /ф абсолютно интегрируемо на всей оси. Действительно,
пусть supp ф с [а, Ь] (определение носителя supp ф функции ф
см. в п. 55.2); функция ф, очевидно, ограничена: |()|
о, поэтому
Определим для локально интегрируемой функции / функцио-
функционал (/, ф) на D равенством
(Лф)=+Г/(*)ф(*)<**. <59-14)
— оо
Этот функционал линеен и непрерывен. Линейность его оче-
очевидна; докажем его непрерывность. Пусть lim ф„ = ф в D. Тогда
п -+ со
существует такой отрезок [а, Ь], что для всех п = 1, 2, ..., имеют
место включения supp фя с: [а, Ь] и supp ф с: [а, Ь\, поэтому
К/, ф)-(/, Ф»Ж S\f{x)\\y{x)-4>n{x)\dx^
— оо
фЛ)|р
[а, b]
при я-»-оо. Таким образом, всякой локально интегрируемой
функции f (х) соответавует обобщенная функция (/, ф)*'; в этом
смысле всякую локально интегрируемую функцию можно рас-
рассматривать как обобщенную функцию.
Постоянная, т. е. такая обобщенная функция /, что (/, ф) =
+ СО
= с \ (p(x)dx, с — постоянная, ф е D (в частности, нулевая функ-
— оо
ция) порождается локально интегрируемой функцией f(x)=c,
*' В этом случае говорится также, что обобщенная функция (f, ф) порож-
порождается функцией /,
59.3. Определение обобщенных функций. Пространства D uD' 523
Напомним, что под линейным функционалом всегда понимается линейный
однородный функционал. Поэтому функционал /, равныд одной и той же
постоянной с, на всех элементах некоторого линейного пространства X, хотя
и является линейной функцией, но не является однородной: если «eXjel,
Я и (г —числа, то для указанного функционала будем иметь / (х) = /(;/) =
= f(kx-\-\iy) = c. Если бы он был линейным однородным, то должно было бы
иметь место / (kx~\-\iy) = kf (*) + ц/((/) = (Я + ц) с. Поскольку при Я + ц=тЬ1
/ (Ь: + |г#) ?= Я/(хL-ц/ (у), то функционал / не линейно однородный. Следова-
Следовательно, функционал, равный постоянной, не принадлежит к рассматриваемому
нами классу функционалов.
Упражнение 4. Доказать, что две непрерывны? на числовой оси функ-
функции различны тогда и только тогда, когда различны порожденные ими обоб-
обобщенные функции.
Иногда обобщенные функции обозначаются символом f(x). Это
обозначение чисто символическое; оно отнюдь не обозначает зна-
значения обобщенной функции в точке xeR, а отражает лишь тот
факт, что обобщенные функции являются в вышеуказанном смысле
обобщением обычных (локально интегрируемых) функций; ника-
никакое значение обобщенной функции в точке х здесь не подразу-
подразумевается.
Для обозначения значения обобщенной функции / в точке
Ф = ф (л:) пространства D наряду с записью (/, ф) употребляется
также запись
\ f(x)tf{x)dx. E9.15)
Таким образом, по определению,
f / (*)Ф (*)<** = (/. <р).
Зто равенство является определением символа E9.15), который
формально читается как «интеграл от произведения / на ф». Эта
запись отражает собой тот факт, что обобщенные функции явля-
являются обобщением функционалов E9.14), где / — локально интегри-
интегрируемая функция.
Упражнение 5. Доказать, что функционал v.p. \ —?- ах, ф
ется обобщенной функцией (она обычно обозначается uPj
В качестве другого примера обобщенной функции рассмотрим
функционал, обозначаемый 6 = 6(*) и называемый б-функцией
(см. 59.1).
Определение 15. Функционал, определяемый формулой
(б, ф) = ф@), феД
назьшается 8-фунщией.
17*
? , ф, явля-
524 § 59. Обобщенные функции
Его линейность и непрерывность легко проверяются. Он не
может быть представлен в виде E9.14) ни при какой локально
интегрируемой функции /. Действительно, если бы нашлась такая
локально интегрируемая функция /, что
(б, ф) = \ f (х) ф (х) dx, ф <= D,
— оо
то для этой функции / и для функции ф, заданной формулой
E9.13), мы имели бы
E9.16)
— со
Но в силу абсолютной интегрируемости функции /
lim ]
(почему?).
1
Далее, замечая, что е °2-*2<-> — а^х^а, получим
с
-f со
/ (х) ф (х) dx
J / (х) е "
-*> dx
поэтому левая часть равенства E9.16) при а->0 стремится
к нулю, а правая нет. Полученное противоречие и доказывает
наше утверждение. Таким образом, запас обобщенных функций
в указанном смысле больше, чем запас обычных..
Определение 16. Функционал, ставящий в соответствие каж-
каждой функции феО число ф(л:0), где х0 фиксировано, называется
Ь-функцией и обозначается б (л: — х0).
Применяя запись E9.15), можно написать
+ СО
Определение 17. Совокупность обобщенных функций, как и
всякая сосокупность функционалов, определенных на линейном про-
пространстве со сходимостью {см. п. 59.2), образует линейное про-
пространство со сходимостью, сопряженное к D. Оно называется
пространством обобщенных функций и обозначается D'.
Таким образом, сходимость последовательности обобщенных
функций /„, н = 1, 2, ..., к обобщенной функции / означает, что
lim (/„, ф) = (Д ф)
л—»оо
для любой функции ф е D.
59.3. Определение обобщенных функций. Пространства D uD' 525
Задача 40. Пусть fn^D', п — 1, 2, ..., и пусть для любой функции фе
бО существует предел числовой последовательности (/„, ср). Положим,
F(q>) = lim (/„, ф). Доказать, что F (ф) является обобщенной функцией.
«—•оо
В п. 59.1 мы рассматривали функции Ьг(х), которые оче-
очевидно, локально интегрируемы. Мы видели, что они обладают
тем свойством, что для любой непрерывной на всей оси функции
Ф и, следовательно, для любой функции феО
lim F6, ф)= lim \ 8z(x)(p(x)dx = (p@) = (8, <p).
С точки зрения обобщенных функций это означает, что в D'
lim 68 = 6*>.
Таким образом, б-функция в пространстве D' является пре-
пределом последовааельности обобщенных функций, порожденных
локально интегрируемыми функциями.
Рис. 233
Упражнения 6. Пусть последовательность абсолютно интегрируемых
функций !„{х), п—\, 2, .... такова, что
а) каково бы ни было число Л1>0, при |а|<М, |6|<Л1, величины
]fn(*)d*
п = \, 2, ...
ограничены постоянной, не зависящей от а, Ь, п (она зависит только от М);,
б) при любых фиксированных а и Ь, отличных от нуля,
0 при а<.Ь<0 и 0<а<6,
1 при а < 0 < Ь.
Такие последовательности fn (х) (рис. 233) называются дельта-образными.
*' Как и для обычных функций, символ е-*-+0 означает, что указанное
предельное соотношение имеет место для любой последовательности е„ > 0,
« = 1, 2, ..., стремящейся к нулю.
§ 59. Обобщенные функции
Доказать, что для любой непрерывной функции ф и любой дельта-образ-
дельта-образной последовательности fn(x), я=1, 2, ...,
lim ^ fn
n->co_0O
иначе говоря, lim (/„, ф) = (б, ф).
7. Пусть fi(x) — —rr=e t , Доказать, что в пространстве D' справедливо
У nt
равенство lim ft (х) — д (х).
8. Доказать, что в пространстве D' существует предел lim ——г-
он обозначается ¦—цг^п) и чт0 справедливы формулы
х '
(Они называются формулами Сохоцкого *'.)
Задача 41. Доказать, что всякая сигулярная обобщенная функция является
пределом регулярных (в этом смысле пространство обобщенных функций явля-
является «пополнением» пространства обычных функций).
Как мы видели, понятие обобщенной функции не сводится
к понятию функции точки и поэтому говорить о значении обоб-
обобщенной функции в данной точке, в частности об обращении ее
в ноль в этой точке, вообще говоря, не имеет смысла. Однако
можно ввести естественное понятие обращения в ноль обобщенной
функции на интервале.
Определение 18. Будем говорить, что обобщенная функция f
обращается в ноль на интервале (а, Ъ), если (f, <р) = 0 для всех
(рей которые имеют носитель, содержащийся в интервале (а, Ъ).
Упражнение 9. Доказать, что, для того, чтобы непрерывная функция
обращалась в ноль в каждой точке интервала, необходима и достаточно, чтобы
она обращалась в ноль на этом интервале как обобщенная функция.
Определение 19. Обобщенные функции fug называются рав-
равными на интервале (а, Ь), если f — g=O на (а, Ь).
59.4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Определим теперь производную обобщенной функции. Выясним,
прежде всего, что представляет собой производная обычной
непрерывно дифференцируемой на всей числовой оси функции /,
рассматриваемая как функционал (/', <р) на D. Это имеет смысл,
поскольку производная /', будучи непрерывной на всей числовой-
оси является локально интегрируемой функцией.
*' Ю. В. Сохоцкий A842—1929)— русский математик.
59.4. Дифференцирование обобщенных функций 527
Интегрируя по частям, в силу финитности функции феО,
получим
-f-oo +00
(Г. Ф)= $ f'{x)y{x)dx= — \ f(x)v'(x)dx = — (f, ф'), E9,17)
•— оо — от
причем, как известно, q/ <= D. Таким образом, производная /'
является функционалом на D, значения которого выражаются
через значения функции /, рассматриваемой как функционал,
с помощью формулы E9.17). Это делает естественным следующее
определение.
Определение 20. Производной обобщенной функции f называ-
называется функционал на D, обозначаемый f и определяемый равенством
(/'. ф) = -(Л ф'). феО. E9.18)
Иначе говоря, значение функционала /' в любой точке <р
пространства D равно значению функционала / в точке <р' е D,
взятому с противоположным знаком.
Таким образом, любая обобщенная функция имеет производ-
производную. Отсюда следует, что и любая локально интегрируемая
функция имеет в смысле определения 20 производную!
Из формулы E9.17) следует, что производная в обычном
смысле непрерывно дифференцируемой на всей числовой оси
функции, рассматриваемая как функционал над D, совпадает с ее
производной в смысле обобщенных функций.
Операцию вычисления производной обобщенной функции назы-
называют по аналогии со случаем обычных функций дифферен-
дифференцированием.
Лемма 4. Функционал f является линейным непрерывным
функционалом и, следовательно, обобщенной функцией.
Доказательство. Проверим линейность:
(Г,
Для того чтобы проверить непрерывность функционала / вспом-
вспомним, что если ф е D, фй е D, k = 1, 2, ..., и lim фй == ф в D, то
fc-»oo
в силу определения сходимости в пространстве D и Птф? = ф'
?-юо
в D; поэтому если фй->ф в D, то lim(/', <р*)= — lim (f, ф&) =
ft-><x> k -+ со
= -(/, ф')=(/'.ф)-
Таким образом, если /gD', то /' всегда существует и f e
еС ?
Производные высших порядков обобщенной функции опреде-
определяются последовательно, как и для обычных функций:
/" = (/')'. /"' = (/")'
52в § 59. Обобщенные функции
воооще
¦/ift) = 04*-i))' k=\, 2, ..., /<»>=/.
По индукции легко проверить, что
(/<*>, ф) = (-1)*(/, ф(*)), фей, Л = 0, 1
Согласно этому определению, обобд^нныэ функции имеют
производные любых порядков, или, как иногда говорят, беско-
бесконечно дифференцируемы.
Примеры. 1. Пусть
( lf еСЛИ Х^°'
О, если *<0.
Функция G (л:) называется функцией Хевисайда (см. E9.10)) или
единичной функцией. Она локально интегрируема и потому может
рассматриваться как обобщенная функция. Найдем ее производ-
производную. Согласно определению E9.18),
+ оэ 4-оо
(©', Ф) = -(8, Ф') = - J Hx)(f'(x)dx = - $ y'(x)dx =
—оэ 0
= Ф(О) = F, ф), fED,
т. е. 6'=б (сравните с п. 59.1).
2. В качестве другого примера вычислим производные б-функции
), ф) = (—1)*(в, ф<*>) = (— 1)*ф(*)@).
Упражнения 10. Пусть /и g—обобщенные функции, Я и р. — числа.
Доказать, что
11. Доказать, что 1-у--
12. Доказать, что ' " " --*->*»«"
13. Если бг(д;) =
1
— при
0 при
то в пространстве обобщенных
функций
lim
{/, (х) при х<сха,
/1W v "'где функции h(x) и f2W непре-'
/2(х) при х>а;„,
рывно дифференцируемы и существуют пределы /' (х0 ± 0). Найти производную
У (х) в пространстве D'.
15. Пусть функция f(x) непрерывно диф<})еренцируема на всей числовой
оси. Найти производную F/)' в пространстве D'.
59.4. Дифференцирование обобщенных функций 529
16. Доказать, что в пространстве D' справедлива формула $>— = {Ы\х]У
X
(см. упражнение 5).
17. Доказать, что в пространстве D' справедливо равенство
Zj в(*—2fcrc.
л = 1 k=—оо
Указание: воспользоваться формулой (см. пример 3 в п. 55.4)
оо
VI sin пх п — х . п
/1=1
Лемма 5. Пусть /„eD1, /eD' ы
/; E9.19)
lim/; = /', E9.20)
л-юо
ти. е. 5^гя любой сходящейся в D' последовательности обобщенных
функций производная предельной функции равна пределу последо-
последовательности производных.
Доказательство. Для любой функции <peD
(/', 4>)-(f'n, Ф) = -Г(А ф')-(/«. ф')]->0 при п-+оэ,
ибо ф'ей. Q
Можно рассматривать и ряды обобщенных функций
со
Е «», E9.21)
я= 1
где uneD', n = 1, 2, Сумма
я
«л= у; "*
*=i
называется частичной суммой п-го порядка (я = 1, 2, ...) ряда
E9.21). Ряд E9.21) называется сходящимся, если в D' существует
предел
lim sa = s.
П -»оо
Обобщенная функция * называется суммой ряда E9.21-);'при-„этом
пишется
оо
S= Yl "«•
л=1
530 § 59. Обобщенные функции
Лемма 6. Сходящийся ряд обобщенных функций можно почленно
диффергнцировать любог число раз:
slk)=2u?, A=l, 2, ....
Это следует из леммы 5.
59.5. ПРОСТРАНСТВО ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ S И ПРОСТРАНСТВО
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ S'
Обозначим через S множество всех бесконечно дифференци-
дифференцируемых на всей числовой оси комплекснозначных функций, кото-
которые вместе со всеми своими производными стремятся к нулю при
я-»-оо быстрее любой степени --. Иначе говоря, множество S
состоит из тех и только тех бесконечно дифференцируемых функ-
функций «р, для которых при любых целых неотрицательных пит
выполняется условие
\im х»<р'тЦх) = 0. E9.22)
Условие принадлежности функции <р к множеству 5 можно сфор-
сформулировать и несколько иначе: бесконечно дифференцируемая
функция ф принадлежит 5 тогда и только тогда, когда для любых
целых неотрицательных лит имеем
sup \x*tpW(x)\=Cn,m«x>. E9.23)
— оо <*<-)- сю
Действительно, если зто так, то, заменяя в E9.23) п на я + 1,
получим | хл+1ф(т> (х) | sg с„+1, „,, поэтому
= | д.1 ¦
откуда и следует E9.22). Обратно, из E9.22) и из ограниченности
хп^т) (Х) на любом отрезке следует E9.23).
Очевидно, что множество 5 является линейным пространством.
При этом, если ф <= S, то и любая производная функции ф при-
принадлежит пространству 5.
Определение 21. Последовательность функций фй(х)е5, k =
= 1, 2, ..., называется сходящейся в S к функции ф (л:) е 5, если
для всех целых неотрицательных пит каждая последователь-
последовательность х"ф^)(г), & = 1, 2, ..., равномерно на всей оси сходится
к функции х"ц>{т) (х).
Очевидно, что lim <рй = ф в S тогда и только тогда, когда при
любых целых неотрицательных пит
lim sup \xn[q>[mHx)-<?{m)(x)]\=Q- E9.24)
k—i-CO — 00<< + °
59.5. Пространство осн. функций S и простр. обобщ. функций S' 531
Отметим, что если ф*->ф в S, то для производных любого
порядка ф^т) ->- ф*) в 5, т = 1, 2, Линейное пространство S
с введенной операцией предельного перехода является линейным
пространством со сходимостью.
Очевидно, чю D Q. S, в частности, последовательность функ-
функций ф4?О, k — \, 2, ..., сходящаяся в D к функции ф, схо-
сходится к функции ф и в S. Вместе с тем D Ф S, ибо е~*г е S,
но е~*г фВ.
Задача 42. Доказать, что пространство D плотно в S, т. е. что любая
функция ф е S является пределом в S некоторой последовательности функций
<pfte=?>, k=\, 2
Определение 22. Линейный непрерывный функционал, опреде-
определенный на пространстве S, называется обобщенной функцией
медленного роста. Множество всех таких функционалов называется
пространством обобщенных функций медленного роста и обозна-
обозначается S'.
Каждый функционал f e 5', рассматриваемый только на мно-
множестве D, является обобщенной функцией, следовательно, элемент
множества S' можно интерпретировать как продолжение некото-
некоторого линейного непрерывного функционала с множества D на 5
(см. п. 59.2). Например, функционал б, определенный нами
в п. 59.3 на пространстве D формулой (б, ф) = ф(О), феО,
может быть продолжен с помощью той же формулы на простран-
пространство 5.
Можно показать, что не всякая обобщенная функция из D'
продолжаема на 5, в этом смысле можно сказать, что 5' состав-
составляет строгую часть D'.
Упражнение 18. Доказать, что обобщенная функция, порожденная
локально интегрируемой функцией ех, не продолжаема в элемент простран-
пространства S'.
Всякая локально интегрируемая функция f{x), для которой
в некоторой окрестности оо справедлива оценка
|/(*)]^Л|*|* E9.25)
(А и ? —неотрицательные постоянные) *\ в частности любой
многочлен, порождает функционал пространства D, продолжаемый
в линейный непрерывный функционал на 5. Он определяется
формулой
(/. ф)= $ f(x)y(x)dx, feS. E9.26)
*> Такие функции называются функциями медленного роста, откуда и тер-
термин «обобщенные функции медленного роста».
532 § 59. Обобщенные функции
Действительно, из условий E9.22) и E9.25) следует, что f(x)x
X9(x)-vO при х'-^-оо быстрее любой степени —, и, следова-
следовательно, интеграл E9.25) существует.
Заметим еще, что всякая абсолютно интегрируемая на всей
числовой оси функция /(л:) также порождает по формуле
E9.26) линейный непрерывный функционал над 5. Действи-
Действительно, поскольку всякая функция ф е S ограничена, то в этом
случае существование интеграла E9.26) следует из неравенства
$ |/(*)q>(*)|d*<: sup |<p(*)| J \f(x)\dx.
-со — co<*<-|-co _0о
Упражнения. 19. Доказать, что функционал E9.26) линеен и непре-
непрерывен на пространстве S (как в случае, когда функция f медленного роста
на бесконечности, так и в случае, когда она абсолютно интегрируема на всей
числовой оси).
20. Доказать, что обобщенная функция — ._ ей' (см. упражнение 8)
продолжаема в элемент пространства S'.
Множество 5' образует линейное пространство со сходимостью,
сопряженное с S (см. п. 59.2).
Поскольку для любой функции ф е S будем иметь ф' е S, то
для обобщенных функций пространства 5', как и для обобщенных
функций из D', можно определить производную /' по формуле
(Г. Ф) = -(Л Ф'), Фе5.
Таким образом, для любой обобщенной функции f e S' про-
производная /' всегда существует и /'eS'. При этом на элементе
феО производные обобщенной функции //рассматриваемые соот-
соответственно как производные в пространствах D' и 5', совпадают.
Как и в случае пространства D', в пространстве 5' производная
от предела всегда существует и равна пределу производных.
59.6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВЕ S
Каждая функция ф е 5 абсолютно интегрируема. Более того,
если ipeS, то при любом k=\, 2, ... функция хкц>(х) также
абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Действительно,
поскольку для функции ipeS выполняется условие E9.23), то
1 \ (jc) | = | **+2ф (х) | '
и потому
I ..*¦ лл| ^ gft.o+c<M2,o E9.27)
Здесь справа стоит абсолютно интегрируемая на всей числовой
оси функция, следовательно по признаку сравнения для несоб-
несобственных интегралов функция л*ф(х) также абсолютно интегри-
59.6. Преобразование Фурье в пространстве S 533
руема при всех k = О, 1, 2, Отсюда следует, что для функ-
функций f gS существует классическое преобразование Фурье
I ф {х) e~ixy dx'ф е St E928)
а также обратное преобразование Фурье
F~x [ф]=ук Iф ^ *"*di/> ф
—оо
Классичность преобразования Фурье здесь понимается в том
смысле, что написанные интегралы являются обычными абсолютно
сходящимися интегралами, а не интегралами в смысле главного зна-
значения (см. п. 56.3). При этом на 5 справедливы формулы обраще-
обращения для прямого и обратного преобразования Фурье (см. п. 56.5):
^[^[Ф]] = Ф. ^1[^[ф]] = Ф. ?eS. E9.29)
Отметим, что, например, вторая из этих формул в интеграль-
интегральной форме принимает вид
+ОО
Теорема 1. Преобразование Фурье и обратное преобразование
Фурье отображают взаимно однозначно, линейно и непрерывно
пространство S на себя.
Доказательство. Покажем, что если фе5, то и ф е 5.
Прежде всего, из того, что для каждой функции фе5 при
любом k = 0, 1, 2, ... функция хкц> (х) является, как показано
выше, абсолютно интегрируемой на всей числовой оси, следует
согласно теореме 4 из п. 56.10, что преобразование Фурье ф —
= Г[ф] функции ф существует и представляет собой бесконечно
дифференцируемую функцию.
Оценим теперь функцию |г/"ф(/л> (у)!, где п и т — целые не-
неотрицательные числа. Применяя формулы для производной пре-
преобразования Фурье (см. п. 56.10) и для преобразования Фурье
производной (см. п. 56.8), получим:
\уп<p<ffl) (у) | = \ynF{m) [ф]| = |y"F[хтф]| =
+со
] г»
у== J {хтц> (*))<« е-
—оо
4-со
1 г " ~ 'к)Уя>\йх.
534 § 59. Обобщенные функции
Заметим, что выражение [хт(р (х) ](п) в силу правил диффе-
дифференцирования представляет собой линейную комбинацию выра-
выражений вида хр<р(д) (х), где р и q — неотрицательные целые и, как
это было отмечено выше, фМ e 5. Поэтому (см. E9.27)) функ-
функции (\-\-х2) xPfp1-9^ (х) ограничены на всей числовой оси, следова-
следовательно ограничена и функция A + х%) [хтц> (л:)](л), т. е.
sup 1
Разделим и умножим теперь получившееся выше подынтеграль-
подынтегральное выражение на 1 + *2, тогда, принимая во внимание, что
+00
dx
¦ — я, получим:
+СО
С11Г. /I I -.*>\ I /..m._ /..\\(n\ I i "X
- oLip
Ч- xz) | (xm<p (x))W \. E9.30)
Поскольку справа стоит конечная величина, то ф е S.
Итак, преобразование Фурье отображает S в S, при этом
это отображение взаимно однозначно (см. лемму 3 п. 55,5).
Аналогично доказывается и то, что обратное отображение
Фурье F1 отображает 5 в 5 и притом взаимно однозначно.
Легко убедиться, что на самом деле эти отображения происхо-
происходят на пространство S, т. е. являются биекциями. Это сразу
следует из формул взаимности E9.29) для прямого и обратного
преобразований Фурье**.
Действительно, покажем, что F (S) совпадает со всем прост-
пространством 5. Пусть \jjgS, положим ф = F'1 [ф].
Тогда
Подобным же образом доказывается и то, что
F-1 (S) = S.
Линейность преобразования Фурье отмечалась раньше (см. лемму
2 в п. 56.5).
Докажем теперь непрерывность отображения F.
*' Заметим еще, что из того, что F (S) — F'1 (S) = S, следует, что в форму-
формулах E9.29) все интегралы существуют в обычном смысле, а не только в смысле
главного значения (сравните с п, 56.5).
59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций 535
Сначала докажем его непрерывность в нуле. Пусть
= 0 в 5. Тогда из E9.30) следует, что
у sup (\+х*)\(хтщ (*))<»>|, k=l, 2, ....
х
Но из E9.24) (при ф (х) = 0) имеем
lim sup A +л:2) ] (xm(pk (*))(n) ] = 0;
k-+CO X
поэтому
lim sup \y\kn) (у)\ = 0, т. е. lim<p* = 0 в S.
Л-»оо у /г-»оо
Поскольку преобразование Фурье являзтся линзйным отобра-
отображением линейного пространства 5 в себя, непрерывным в нуле,
то оно непрерывно и во всех точках этого пространства (см.
лемму 3 в п. 59.2).
Таким образом, преобразование Фурье F непрерывно отобра-
отображает 5 на S.
Совершенно аналогично доказывается непрерывность обрат-
обратного преобразования Фурье F1. Q
59.7. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Предварительно докажем одно интегральное равенство. Пусть
функция / непрерывна и абсолютно интегрируема на всей чис-
числовой оси и пусть фе5, тогда
+°э +оэ -foo +от
$ 4>(x)dx $ f(y)(r'xvdy= J f{y)dy \ q>(*)e-"'<fr. E9.31)
—CO —CO .—CO —CO
Это следует из теоремы 7 п. 54.3. Действительно, повторный
интеграл, стоящий слева, существует, ибо существует интеграл
+00
Ф (х) $ / (y)er"y dy
+оо
5
ф (a) \dx 5 I / (У) I
—со
Если [a, b] — произвольный отрезок, то функция / в силу ее
непрерывности ограничена на [a, b]:\f(y)\s^M; поэтому
I/(У) Ф(х)е~1хУ | ^М | Ф(х) |, а^у^Ь.
+ОЭ
Отсюда в силу сходимости интеграла § \q>(y)\dx следует рав-
—ею
+ОО
номерная сходимость интеграла f(y) \ ф (x)e'txy dx на отрезке
[а, Ь].
536 § 59. Обобщенные функции
Далее,. |ф(х)|«5с0,0, — оо<л:< + оэ (см. 59.23)); поэтому
IФ(х) f {у)е~1ху| =sSc0,о|/(y) j, и так как интеграл $ \f(y)\dy cxo-
—со
дится, то интеграл
—со
равномерно сходится на всей оси.
Наконец, интеграл
-f-oo -\-со -}-оо -|-оо
$ dx $ | ф (а-) / (у)е'хУ \dy— $ j ф (х) [ dx $ | / (у) | dy
—со —со —со —со
конечен, поэтому в рассматриваемом случае выполнены все усло-
условия теоремы 7 п. 54.3 и, следовательно, можно переставить по-
порядок интегрирования. Равенство E9.31) доказано.
Если функция F[f\ порождает некоторый функционал на S
(например, удовлетворяет условию E9.25) или абсолютно инте-
интегрируема на всей числовой оси), то, умножив равенство E9.31)
на l/|/2it, получим
(F\f]> ф) = (/. ^[ф]). <ре5. E9.32)
Эту формулу и примем за определение преобразования Фурье,
обобщенных функций из пространства S'.
Определение 23. Преобразованием Фурье обобщенной функции
/eS' называется функционал F [f], определяемый формулой E9.32).
Итак, для любой обобщенной функций f из S' определено
ее преобразование Фурье F[f\. значение функционала F[f] в лю-
любой точке ф пространства 5 равно значению функционала f
в точке F|/p]e S.
В качестве примера найдем преобразование Фурье единицы,
рассматриваемой как обобщенная функция. Очевидно leS',
Имеем:
+°° i +5°
A, ф) = A, ф)= 1 dy^r-—= Г I
—со —со
dy
(в, Ф)
(мы воспользовались здесь леммой 1 п. 56.5. Таким образом,
Отметим, что преобразование Фурье F|>] функции ф^О,
вообще говоря, не принадлежит пространству D, поскольку
59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций 537
не всегда является финитной функцией. Поэтому формула E9.32)
имеет смысл не для всех /ей'. Из-за этого обстоятельства при
рассмотрении преобразования Фурье обобщенных функций нам
и пришлось сузить класс обобщенных функций, введенных
раньше, ограничившись только обобщенными функциями медлен-
медленного роста.
Преобразование Фурье F[f] обобщенной функции / будем
обозначать также символом / или символом
J / (х)ег**у Ах.
У'чл
—оа
Таким образом, равенство
J E9.33)
в случае, когда / — обобщенная функция, является определением
символа, стоящего в левой части этого равенства.
Определив преобразование Фурье для всех обобщенных функ-
функций из S', мы, в частности, определили и преобразование Фурье
для обычных функций /, удовлетворяющих условию E9.25),
т. е. функций существенно более широкого класса, чем это было
сделано раньше (см. п. 56.5 и 58.7*). Это является одним из
весьма существенных обстоятельств, оправдывающих целесооб-
целесообразность введения понятия обобщенных функций.
Покажем, что преобразование Фурье обобщенных функций
обладает рядом свойств, аналогичных свойствам классического
преобразования Фурье, т. е. преобразования Фурье абсолютно
интегрируемых функций.
Лемма 7. Преобразование Фурье F[f] обобщенной функции
f e 5', также является обобщенной функцией класса S', т. е.
F \f\ —линейный и непрерывный функционал над пространством S..
Доказательство. Проверим линейность преобразования
Фурье, т. е. покажем, что, какова бы ни была обобщенная
функция f е=S', для любых функций <р е=5, фе5 и любых чи-
чисел Яиц справедливо равенство .
Действительно,
Проверим непрерывность преобразования Фурье. Пусть / <=
S', tpeS, 9,eS, л=1, 2 lim ф„ = ф и, следовательно
538 § 59. Обобщенные функции
(см. теорему 1 п. 59.6),
lim
я-» со
Тогда в силу непрерывности функционала / на S получим
lim (F\f], Ф„)= lim (f, F[<pB]) = (/, F [ц,]) = (F [f], q>).
n—»oo /i-*co
Итак, мы показали, что если feS', то и F[/]eS'. Ц
Естестренно определяется и обратное преобразование Фурье
F~l[f] элемента f^S' как функционал пространства S', задава-
задаваемый формулой
Если / — абсолютно интегрируемая непрерывная функция, это
равенство выполняется для нее в обычном смысле. Это проверя-
проверяется так же, как и в случае формулы E9.31). По определению,
полагается также (ср. E9.33))
\{xy*»ux = F-i[f]. E9.34)
Как и в случае прямого преобразования Фурье F, показы-
показывается, что если /eS', то и Pf/JeS'.
Теорема 2. Преобразование Фурье F и обратное преобразова-
преобразование Фурье F-1 отображают линейно, взаимно однозначно и непре-
непрерывно пространство S' на себя; при зтом для любого элемента
fe5' справедливы равенства
F-*[F{f]] = F[F-i[m = f. E9.35)
Доказательство. Докажем сначала формулы E9.35).
Для любого элемента f gS имеем
(Р-ЧР[П1 <P) = (F \fl F
Аналогично,
Покажем теперь, что преобразование Фурье F отображает
пространство S' на все пространство 5': F (S1) = S'. Пусть g e 5',
тогда если / = F~1[gf]. T0 F If]= F [F'1 Ы] = g< T- е- в любой эле-
элемент из S' при преобразовании Фурье F отображается некото-
некоторый элемент из S'.
Покажем, что F взаимно однозначно. Если fx e 5', /2 е S'
и Ff/1] = F[/2], то и /г-1[^[Д]] = ^1[^[/2]], откуда в силу E9.35)
имеем /i = /2.
Покажем, что отображение F линейно, т. е. для любых обоб-
обобщенных функций f^S', g^S' и любых чисел Я и jx справед-
59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций 539
ливо равенство
Чтобы убедиться в справедливости этого равенства, проверим его
для любого, но фиксированного элемента фе5:
ф) = (V + № Р [ф]) = М/, f [Ф]) + li(g,
Наконец, докажем, что F является непрерывным отображе-
отображением. Действительно, пусть/eS', /„ <= S', п= 1, 2, ..., lim/n = /
и, следовательно, для любого ф е 5 справедливо равенство
lim (/„, ф) = (/, ф). Тогда
л-»оэ
lim (F[/n], ф)= lim (fn, F[q>]) = (f, F[(f>]) = (F [f], q>).
Я-ЮО Я-»ОО
Аналогично доказывается, что и F-1 непрерывно взаимно одно-
однозначно отображает S' на S'. Ц
Примеры. Найдем F[б] = б. Имеем
. . . 1 +Г°° . _, ,
E, ф) = (б, ф) = ф @) = —т=- \ Ф {х) е~гхУ dx L_o =
— оо
+ оо
поэтому F[6] = у— и, следовательно, F~1fl]=-|/A2n6 (заметим,
что обратное классическое преобразование Фурье F^fl], так же
как и прямое F[l], ке существуют). С помощью интегралов E9.33)
и E9.34) эти формулы можно переписать в виде
+ ОО +0О
J б (х) е-'*У dx = 1, — J ё*» dx = 8(y).
—оо —оо
Подобным же образом находится и обратное преобразование
Фурье б-функции:
Г 1 ГС1 * Г?Г ОТ
отсюда
Используя способ записи, основанный на равенствах E9.33)
и E9.34), эти формулы можно переписать в виде
+оо +оо
2я
—ОО
540 § 59. Обобщенные функции
Вычислим, далее, преобразование Фурье производной обоб-
обобщенной функции и производную от преобразования Фурье. Пред-
Предварительно нам придется ввести понятие произведения обобщен-
обобщенной функции /gS' на обычную бесконечно дифференцируемую
функцию ty(x), обладающую тем свойством, что для любой ее
производной tyn) (х) существуют постоянные р"„ > 0 и ап > 0, п =
= 0, 1, ..., такие, что для всех х справедливо неравенство
1^Р« 0 + 1*1L л-0, 1, 2, ....*) E9.36)
Заметим, что все многочлены удовлетворяют этому условию.
Если функция ф —типа E9.36) и <peS, то \|xpeS. Если
функция / локально суммируема и удовлетворяет условию E9.25),
а функция г|> — условию E9.36), то г|>/ также удовлетворяет усло-
условию E9.25) и
-foo
(Л S
Пусть \\> удовлетворяет условию E9.36), a feS'. Определим
теперь функционал на S, равный произведению г|э/, формулой
Легко проверить, что tyf e5' **', т. е. что \{з/ является линей-
линейным непрерывным функционалом, определенным на пространстве S.
Упражнение 21. Пусть функция ip — ij) (x) удовлетворяет условию
E9.36), а обобщенная функция / е S'. Доказать, что ф/ е S'.
Докажем в заключение формулы]
E9.37)
E9.38)
Имеем (см. п. 56.8):
Ф) ==(/<"), FM) = (-!)"(/, Р"Чф]) =
i ^ Ф). 9eS.
Формула E9.37) доказана.
Докажем E9.38) (см. п. 56.10):
П
'¦' В силу этого условия (при п = 0) можно рассматривать ф (х) как
обобщенную функцию пространства S' (см. E9.25)).
**' Затруднения при определении произведения обобщенных функций
связаны с тем, что произведение линейных функционалов в обычном смысле
как произведение функций (т. е. как произведение значений сомножителей
в каждой точке) не является линейным функционалом.
59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций
541
Пр и мер.- Найдем преобразование Фурье функции f(x)^=x:
F[x] = F [x ¦ 1] = if [I] =
Упражнение 22. Найти преобразование Фурье многочлена.
При вычислении преобразования Фурье обобщенных функций
иногда удобно выбрать последовательность обычных функций
стремящихся в пространстве S' к заданной (обобщенной) функ-
функции, найти преобразование Фурье членов этой последовательно-
последовательности, а затем вычислить искомое преобразование Фурье заданной
функции с помощью предельного перехода, используя непрерыв-
непрерывность преобразования Фурье. Так, например, для того чтобы
вычислить преобразование Фурье F [8] функции Хевисайда 6 (х),
найдем сначала преобразование Фурье функции b(x)e~tx (/>0).
—Д=
fin
= -^=J = - -т=Л . E9.39)
У 2n(t + iy) У 2л (у—it)
Покажем теперь, что в S'
lim В(х)е~'х = В(х)
Действительно, для каждой функции ф i
имеем:
E9.40)
; S и любого числа А
E9.41)
Зафиксируем функцию ?eS и какое-либо число в>0. В силу
абсолютной интегрируемости функции ф существует число Л>0,
такое, что
^ ;
тогда
1-
E9.42)
Выберем теперь /0>0 так, чтобы при 0</</0 было спра-
справедливо неравенство
А
е
542 § 59. Обобщенные функции
и, следовательно,
А
dx
о
А
) | Лс<|. E9.43)
о
Тогда при 0<^<^0 из E9.41), E9.42) и E9.43) получим
Формула E9.40) доказана.
В силу непрерывности преобразования Фурье
lim F [6 (х) e-ix] = F [6 (л:)]; E9.44)
отсюда и из E9.39) имеем
F[Q(x)] = ±= Игл —Ч,
причем из E9.44) следует, что предел, стоящий в правой части,
существует (в пространстве S'), он обычно обозначается -j—Jq
(см. упражнение 8).
Таким образом,
Упражнение 23. Найти преобразование Фурье функций xk6(x), k =
= 1, 2 ....
ДОБАВЛЕНИЕ
§ 60. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
60.1. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО
ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛОВ
Для вычисления значений функций очень удобно пользоваться
формулой или рядом Тейлора. Поясним это на примерах.
J. Вычисление значения синуса.
Формула Тейлора для функции sinx имеет вид
sinx= 2, (—'
2
k= 1
где
(мы взяли остаточный член в форме Лагранжа). Поэтому
Пусть требуется найти sin 20° с точностью до Ю. В радианной
мере 20° соответствует ~, поэтому выберем номер п так, чтобы
ж= <60-2>
тогда значение многочлена Тейлора порядка п в точке х—п и
даст нам искомое приближение sin 20°. В силу неравенства F0.1) для
выполнения условия F0.2) достаточно, чтобы выполнялось нера-
неравенство
/Я\2л+1 1
При п = 1 это неравенство не выполняется:
3! \9) -^ 6 Зз ~~ 162
но уже при п = 2 оно выполняется:
5Г { 9 J ^ 120 ' 24 ~ 3840 ^ 10» *
544 § 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
Поэтому sin 20° с точностью до 10 находится по фориуле
". F0.4)
Беря значение я из таблиц с точностью до 10~4, подставляя
в формулу F0.4), произведя указанные там действия и округляя
результат с точностью до 1(Н, получим искомое приближение sin20°:
sin2O°^O,343**>.
При вычислении значений синуса можно воспользоваться не
формулой, а рядом Тейлора, который для действительного аргу-
аргумента является знакочередующимся и потому допускает простую
оценку остатка: он не превышает по абсолютной величине абсо-
абсолютной величины первого чл;на остатка (см. п. 35 9). Это дает,
естественно, тот же результат, что и выше, так как приводит
к оценке F0.3), которую мы получили из других соображений.
2. Вычисление значений натуральных логарифмов.
Ряд Тейлора для логарифма
F0-5)
может быть непосредственно использован лишь для вычисления
логарифмов чисел, не превышающих двух. Однако из ряда F0.5)
можно получить другие разложения, позволяющие вычислить
логарифмы любых чисел. Заменяя в F0.5) л; на —х и вычитая
получившийся ряд из F0.5), получим
л=0
Когда х изменяется от —1 до 1, то принимает все поло-
жительные значения. Поэтому формула F0.6) может быть исполь-
использована для вычисления логарифмов любых чисел. Естественно, воз-
возникает вопрос о том, сколько надо взять членов в ряде F0.6),
*> Знаком я» обозначается приближенное равенство с указанной сте-
степенью точности.
*¦' Заметим, что в нашем случае легко устанавливается и более сильное
неравенство гг I ^ J <-g-10, а при указанном выборе числа знаков л ошибка
при вычислении правой части формулы F0.4) во всяком слу^ае-ие будет пре-
превышать -х- • КН, поэтому суммарная ошибка и будет не больше 10~э.
60.1. Применение формулы Тейлора 545
чтобы получить логарифм числа с заданной точностью. Для этого
надо оценить остаток ряда F0.6). Имеем
оо
+ 2п+1
2 | X \2n+1
Применим эту оценку для вычисления In 2 с точностью 10 3.
Решая уравнение
находим *— 3~. Полагая в F0.6) х= 3 , находим
rt=O
Оценка же F0.7) в этом случае дает
2 1 1
B/1+1K^1 1 4Bи + 1);
9
Отсюда при п = 3 имеем
4-7-3% "" 28-243 ^- 103 '
Поэтому для вычисления In 2 с точностью до 10 3 достаточно
взять первые три члена ряда F0.8):
In 9 ~ 2 /1 4- — 4- }
При более грубых вычислениях значений функции с помощью
формулы Тейлора
часто бывает достаточно ограничиться лишь ее линейной частью,
т. е. первыми двумя членами
иначе говоря, заменить приращение функции ее дифференциалом
Ay = f(x)-f (дг„) ъ /' (х0) (х - хо) = /'
где Ах = х — х0.
Формула Тейлора позволяет приближенно вычислять и значе-
значения определенных интегралов. Рассмотрим один пример такого
рода.
546 § 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
3. Вычисление с точностью до 0,0001 интеграла
(* sin х ,
о
Напишем для подынтегральной функции формулу Тейлора.
Для этого воспользуемся известной нам формулой Тейлора для
функции sin* (см. F0.1)), тогда получим
п
х ~ Zd *¦ ' BА— 1)! "* х~~'
k—l
поэтому
В силу оценки F0.1)
1
1
Поскольку при п = 3
1 1
() 7!7 35 280
то с точностью до 0,0001 имеем
iiii
sin xИг ~С Ихf x2dx4 f х*Нх 1 4 яП 9961 *¦>
ax a \xaxt\xax\ + иууь1 .
С Их - f x2dx4-~-~ f х*Нх —
) a &\xax-tl2Q\xax—
oo о
o
Отметим, что на практике для приближенного вычисления
интегралов применять формулу Тейлора сбычко сказывается не-
нецелесообразным, поскольку в нее входят производные заданной
функции и их вычисление приводит к дополнительному накопле-
накоплению ошибок. Целесообразнее применять приближенные формулы
интегрирования, в которые входят только значения самой функ-
функции. Подобные методы приближенного интегрирования будут
рассмотрены в п. 60.4.
Замечание. Для проведения фактических вычислений зна-
значений функций или интегралов от них с помощью разложений
функций в ряды годятся далеко не всякие разложения рассмат-
*' При переводе простых дробей в десятичные была сделана ошибка, не
превышающая -~--10~4, поэтому суммарная ошибка при выполненном прибли-
приближенном вычислении рассматриваемого интеграла, действительно не превы-
превышает 10 '*.
60.2. Решение уравнений 547
риваемых функций в ряды. Может случиться, что полученный
ряд будет сходиться столь «медленно», что практически он либо
совсем будет не пригоден для вычислений, либо потребует не-
неоправданно большого их объема (образно говоря, в этом случае
ряд «практически расходится», хотя и «теоретически сходится»).
В такой ситуации надо попытаться получить какой-то другой ряд,
который будет сходиться достаточно быстро («улучшить сходи-
сходимость ряда», как обычно говорят) и сумма которого позволит
найти значения рассматриваемой функции. Именно так и было
сделано выше при рассмотрении метода вычисления логарифмов.
Было бы, например, нецелесообразно вычислять даже значение
3 1
In у с помощью ряда F0.5), хотя ряд и сходится при х — -~-,
а следует для этого воспользоваться рядом F0.6) при я = —, так
о
как этот ряд сходится быстрее.
60.2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим задачу решения уравнения
f(x) = O. F0.9)
Если функция f непрерывна на отрезке [а, Ь] и принимает
на концах отрезка значения разного знака, то метод, которым
в п. 6.2 была доказана теорема о существовании в этом случае
точки Хо, в которой функция обращается в ноль, дает и прибли-
приближенный метод вычисления этого значения х0, т. е. корня урав-
уравнения F0.9). Для этого достаточно последовательно делить отре-
отрезок [а, Ь] пополам, выбирая каждый раз тот отрезок, на концах
которого функция / принимает значения разного знака (если,
конечно, не случится, что в одном из получившихся концов функ-
функция / обратится в ноль —в этом случае искомый корень будет
уже найден). Если требуется найти корень уравнения F0.9)
с точностью до заданного е>0, то после п шагов таких, что
концы получившегося отрезка и будут давать искомое прибли-
приближение некоторого корня уравнения F0.9) (левый —= с , недостат-
недостатком, правый —с избытком). Такой способ приближенного реше-
решения уравнения F0.9), носящий название «метода вилки», прин-
принципиально очень прост, хотя и достаточно трудоемок. Он боль-
большей частью применяется лишь для «грубой прикидки» результата,
т. е. для «грубого» определения интервала, на котором лежит
искомый корень рассматриваемого уравнения, а затем на этом
интервале для отыскания «более точного» значения корня исполь-
используются другие, быстрее сходящиеся методы; обычно применяется
нижеописанный метод касательных («метод Ньютона»). Как пра-
548 § 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
вило, по такой схеме действуют при проведении вычислений на
быстродействующих вычислительных машинах. Конечно, такой
путь целесообразен и при проведении вычислений «вручную»,
в частности при помощи логарифмической линейки или мини-
компьютера.
Мы рассмотрим методы решения уравнения, носящие назза-
ния метода хорд и метода касательных. Последний из
них хорошо обобщается и на случай систем уравнений.
В дальнейшем будем всегда предполагать, что функция f не-
непрерывна на отрезке [а, Ь] и имеет на этом отрезке первую и
вторую производные*», причем обе они знакопостоянны (в част-
частности, отличны от нуля).
Мы будем предполагать также, что функция / принимает на
концах отрезка значения разного знака. В силу законопостоян-
ства первой производной функция / строго монотонна, поэтому
при сделанных предположениях уравнение F0.9) имеет в точно-
точности один корень на интервале (а, Ь).
Метод хорд
Этот метод состоит в следующем. График функции / заменяется
его хордой, т. е. отрезком, соединяющим концевые точки гра-
графика функции /: точки (a, f(a)) и (b, f{b)). Абсцисса хх точки.
пересечения этой хорды с осью Ох
и рассматривается как первое приб-
приближение искомого корня (рис. 234).
Далее берется тот из отрезков
[a, Xi] и [xi, b]t на концах которого
х функция f принимает значения раз-
разного знака (далее будет показано,
что при сделанных предположе-
предположениях /(х,)^=0 и, следовательно,
такой отрезок всегда существует),
и к нему применяется тот же прием;
получается второе приближение корня хг и т. д. В результате
образуется последовательность хп, п — \, 2, ..., которая, как это
будет показано, при сделанных ограничениях на функцию / схо-
сходится к корню уравнения F0.9).
Легко получить рекуррентные формулы для указанных чисел
хп, п=\, 2 Уравнение прямой, проходящей через крайние
точки графика функции /, имеет вид
y = f(bllfa(a) (x-a)+f(a). F0.10)
*' Для метода хорд достаточно требовать существования первой и второй
производных лишь на интервале (а, Ь). Существование производной в кондак
отрезка [а, Ь\ будет использовано только в методе касательных.
60.2. Решение уравнений 549
Обозначим его правую часть через / (х), т. е. запишем уравнение
<60.Ш) в виде
Найдем абсциссу xt точки пересечения прямой F0.10) с осью Ох,
т. е. решим уравнение / (л:) = 0; получим
(b-a)f(a) ,pft ш
Легко убедиться, что
a<Xl<b F0.12)
(это, например, следует из строгой монотонности и непрерывно-
непрерывности функции 1(х) и того, что на концах отрезка [а, Ь] она при-
принимает значения разного знака: l(a) = f(a) и l(b) = f(b)).
Аналогично находим
v v (fe Хп) I (Хп)
т-тт^ ,, ,
/ \°J — / \хп)
J,
Покажем, что последовательность {хп} стремится к корню урав-
уравнения F0.9) монотонно. Предположим для определенности, что
}'.(х)>0, f (х)>0, а<ж<6 (см. рис. 234). В этом случае.функ-
случае.функция / строго монотонно возрастает и строго выпукла вниз. Сле-
Следовательно, любая внутренняя точка хорды, соединяющей край-
крайние точки графика функции /, лежит над соответствующей точ-
точкой графика функции /, т. е.
/(*)>/(*), а<х<Ь.
В частности, если х0 — корень уравнения F0.9): /(хо) = О, то
отсюда следует, что
/(*о)>0.
Имеем (см. F0.11) и F0.12)):
Таким образом,
(xo), F0.14)
но линейная функция / (х) строго монотонно возрастает, ибо
поэтому из F0.14) следует
Х\
Заменяя теперь отрезок [а, Ь] отрезком [xlt b] и замечая, что
f<H, аналогично докажем, что
550
§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
Далее по индукции получим
<... < х0.
Таким образом, последовательность {хп}, будучи монотонной и
ограниченной, сходится. Пусть lim х„ = с. Переходя к пределу
П—1-00
при п-voo в равенстве F0.13), получим f(c) = 0, т. е. последо-
последовательность {хп} сходится к корню уравнения F0.9).
Если | /' (х) \ ^ m > 0, а < х < Ь, то нетрудно получить оценку
скорости сходимости последовательности {хп} через значения самой
функции / в точках хп. Действительно,
/ (хп) = / (хя) - f (х0) = /' (|„) (хп - х0),
хп<1п<х0, п = 1, 2, ...;
отсюда
! Х„ —
:lL, и=1, 2
Остальные случаи, т. е. случаи
/'(*)> 0, f'
рассматриваются аналогично разобранному (рис. 235).
Метод касательных (метод Ньютона)
Будем предполагать, что функция / удовлетворяет тем же
условиям, что и при рассмотрении метода хорд. Проведем каса-
касательную к графику функции f в одной из его концевых точек,
например, в точке (b, f(b)). Абсцисса хх точки ее пересечения
с осью Ох и считается первым приближением корня уравнения
F0.9). Далее, если Xi e (а, Ъ) (а это всегда имеет место для одной
из касательных в концевых точках графика см. ниже), то из двух
отрезков [a, xL] и [хг, Ь] выбирается тот, на концах которого
функция / принимает значения разного знака (далее будет пока-
показано, что {(х^фО). Затем проводится касательная к графику
60.2. Решение уравнений 351
функции / в точке (хи f{xi))\ точка ее пересечения с осью Ох
обозначается х2 и т. д. (рис. 236).
Легко получаются рекуррентные формулы для указанных чи-
чисел хп, п= 1, 2, ... . Уравнение, касательной, проходящей через
точку (Ь, /(&)), имеет вид
y = f'(b)(x-b)
Обозначим его правую часть через L(x), т. е. запишем это урав-
уравнение в виде
y = L(x).
Найдем абсциссу хх точки пересечения этой касательной с осью
Ох, т. е. решим уравнение L(x) = 0; полу-
получим
Г - h - Ш.
{' ф)'
Точка хх может лежать, вообще говоря, вне а
отрезка [а, Ь], т. е. вне области определения
функции f. Однако если f(b) одного знака
с f, то ^е (а, Ь). Рассмотрим подробно,
как и для метода хорд, случай, когда /' > О,
/">0 на [а, Ь]. В этом случае функция / строго монотонно
возрастает, следовательно, /(&)>0; кроме того, функция / выпук-
выпукла вниз на (а, Ь), следовательно,
L(x)<f(x)
(см. п. 14.3).
Если / (х0) = 0, а < х0 < Ь, то
L(x0)<0,
но L (Ь) = / (Ь) > 0, следовательно,
х0 < Хх < Ь.
При этом f(x1)>L(x1) = 0.
Применяя те же рассуждения к отрезку [a, Xi], получим
точку х2, такую, что
.. _ „ / (*i)
Хч, = %1 — 1гТхЛ '
и, далее,
х^х = хп—Шг\, хо<хп+1<хп. F0.15)
Следовательно, последовательность {хп\ монотонна и ограни-
ограничена, а потому сходится. Пусть \\хпхп = с. Переходя к пределу
в F0.15), получим /(с) = 0, т. е. последовательность F0.15) схо-
сходится к корню уравнения F0.9).
552
§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
Когда |f (л:) |^т^0, a<lx<.b, то тем же способом, что и
в случае метода хорд, получаем оценку
\хп-с\-
п=1, 2, ... .
Подобным же образом разбираются и оставшиеся случаи раз-
различных комбинаций знаков первой и второй производных
(рис. 237).
f>o,f%o
ЛЬ а
Д,
f'<0,f"<0
f'<O,f">0
Рис. 237
Дадим еще одну оценку скорости сходимости метода каса-
касательных, из которой будет хорошо видно достоинство этого ме-
метода. Пусть для функции / на рассматриваемом интервале вы-
выполняются неравенства
|/'(*)|3»«>0, \Г{х)\^М, а<х<Ъ.
Разложим функцию / в окрестности точки хп по формуле Тей-
Тейлора, например, с остаточным членом в форме Лагранжа
где ? = л:„ + 8(л: — хп), 0<9<1. Если /(с) = 0, то, подставляя
х = с в написанную формулу, получим
/ (*„) + /' (хп) (с - хП) + y f E) (с - *п? = 0.
Отсюда
Xn — t- — 77
ПХп)
(с х
К п)
или в силу формулы F0.15)
Следовательно,
откуда
м
I у п 12
м
М , Л» 10 4
*zr\xn — С\ , П= 1, /, i, ... .
60.3: Интерполяция функций 553
Применяя последовательно это неравенство, будем иметь:
Если выбрать первоначальное приближение b так, чтобы <7==
= q— | b — с | < 1, то получим
i i ^ 2от »*
| Лц U [ *s^4 "~ЛЛ~ Ч *
т. е. скорость сходимости приближенных решений хп к корню
х = с значительно превышает скорость убывания геометрической
прогрессии со знаменателем по абсолютной величине меньшим
единицы.
Пример. Применим метод Ньютона для приближенного вы-
вычисления корня &-ой степени из числа а>0, k — целое положи-
положительное. В этом случае речь идет о приближенном решении
уравнения хк — а = 0, т. е. формулу F0.15) следует применить
к функции f(x) = xk — a.
Имеем /' (л:) = kxk~l, и потому для последовательных прибли-
приближенных значений хп корня у^х имеем рекуррентную формулу
х =х х"~а
или
В случае k = 2 мы встречались с этой формулой в п. 3.9.
б!).3. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ
Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция / и пусть фиксированы
п-\-Л значений аргумента х:, i—\, 2, ..., п+1:
b. F0.16)
Одна из простейших интерполяционных задач состоит в оты-
отыскании многочлена Р (х) не выше некоторой данной степени пг,
который при значениях аргумента x — xit i=l, 2, ..., ге-М,
называемых узлами интерполяции, принимает те же значения,
что и данная функция, т. е. имеют место равенства
P(x,), f=l, 2, .... л+1. F0.17)
Такой многочлен Р (х) называется интерполяционным многочленом,
интерполирующим функцию f в данных узлах интерполяции.
18 Кудрявцев Л. Д. т. 2
554
§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
Для того чтобы исследовать вопрос о существовании интерпо-
интерполяционного многочлена Р(х), удовлетворяющего условиям F0.17),
запишем его с неопределенными коэффициентами щ, j — 0, 1,..., m;
Р (х) = а0 + ахх + я2х2 +... + amxm
и подставим его в систему F0.17). Получим систему из (n-fl)-ro
линейного уравнения с т+1 неизвестными а0) аь .... ат\
«о + о.ххх +... + атх? = / (х,)
F0.18)
Определитель, составленный из коэффициентов этой системы,
стоящих в г.ервых k строчках и первых k столбцах, k sg min {m + 1.
n+ 1} (число строчек равно п+ 1, число столбцов га+ 1), является
так называемым определителем Вандермонда, известным
из курса алгебры:
1 v
1 Х\ . . .
1 v
1 Л 2 ...
П (*>¦
xk...x\ '
В данном случае этот определитель не равен нулю, ибо все
узлы интерполяции различны. Поэтому ранг матрицы коэффи-
коэффициентов системы F0.18) равен наименьшему из двух чисел /л+1
и п-\-\. Если n>m, то система F0.18), вообще говоря, не имеет
решения. Если п^т, то решение системы F0.18) всегда суще-
существует, причем в случае п = т решение единственно, а при п<.т
решений бесконечно много. Таким образом, какие бы ни задать
значения в (п-\-1)-м узлах F0.16), всегда существует и притом
единственный многочлен степени не выше чем п, принимающий
в этих узлах заданные значения.
Для отыскания интерполяционного многочлена Р (х) можно
решить систему F0.18). Однако можно найти его и другим, более
коротким путем. Рассмотрим многочлен
* i \JC) == 1 i j Г"Г* Г 7 Г" * ^ == А. 2,* ••<• УХ "Г" 1 •
\Л1 Л1) •¦• (xi —х1--1) \Л1 — Л<. 1/ ¦ •• \Л1 Xm-V
Очевидно, что Pt (x) — многочлен степени п и что
Pt(x,)=l, /»,(*,) = 0,
»=1, 2, .... п+\, /=1, 2, ..., /-1, 1+1, ..., л+1. F0.19)
Поэтому искомый интерполяционный многочлен может быть записан
в виде
60.3. Интерполяция функций 555
Действительно, написанное выражение является многочленом сте-
степени не выше пив силу F0.19) удовлетворяет условиям F0.17).
Интерполяционный многочлен, записанный в виде F0.20), назы-
называется интерполяционным многочленом Лагранжа.
Исследуем теперь разность между функцией и интерполяцион-
интерполяционным многочленом
R(x) = f(x)-P(x),
называемую остаточным членом интерполяции. Предположим,
что функция / п+1 раз дифференцируема на отрезке [а, Ь].
Тогда этим же свойством обладает и остаток R (х), причем
#(»+Ч(*) = /(«+!) (Х), а^х^Ь, F0.21)
ибо Р<-п+1)(х) = 0. Положим
со (х) = (х — хг) (х-х2)...(х — хп+г),
зафиксируем х е [а, Ь] и рассмотрим вспомогательную функцию
Функция ф(/), очевидно, также л+1 раз дифференцируема на
отрезке [а, Ь], причем из F0.21) и того, что со(л+1) @ = («+ 1)!.
имеем
Далее, функция <p(t) обращается в ноль в n-f 2 точках х, хъ
х2, ..., хп+1; поэтому в силу теоремы Ролля ее производная обра-
обращается в ноль по крайней мере в п-\-1 точке отрезка [а, Ь],
вторая производная — в п точках и т. д. По индукции получим,
что (га+ 1)-я производная функции ф обращается по крайней мере
один раз в ноль внутри отрезка [а, Ь]. Пусть ф("+1> (?) = 0,
??, тогда из F0.22) получим
или, подробнее,
R(л:) =
Отсюда следует оценка остаточного члена
? тах \(х-х1)(х~х2)...(х-хп,1)\ sup |/("+1)(х)|.
Заметим, что, вообще говоря, даже для аналитических на
отрезке [a, b] функций остаточный член интерполяции не стре-
стремится к нулю на отрезке [a, b] при «-voo, т. е. интерполяцион-
18*
556
§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
ные полиномы не сходятся к самой функции. Построение соот-
соответствующих примеров достаточно громоздко, поэтому мы не будем
на этом останавливаться.
60.4. КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
Рассмотрим теперь некоторые способы приближенного инте-
интегрирования функций. Формулы для приближенных значений
интегралов называются квадратурными формулами.
Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция /. Разобьем отрезок
[а, Ь] на п равных частей точками xk, k—\, 2, ..., п — 1:
= xo<x1<...<.xn-1<.xn==b; xk — xk-1 =
Ь—а
:=1, 2,..., п.
Квадратурные формулы, которые мы рассмотрим, будут получаться
посредством замены при интегрировании функции / на каждом
отрезке [хк-ъ хи] интерполяционным многочленом степени п. Мы
изучим случаи и = 0, 1, 2. Соответствующие приближенные зна-
значения интеграла от функции / будем обозначать символом Ln (/),
п — 0, 1, 2. В первом случае (при /z = 0) соответствующая квад-
квадратурная формула называется формулой прямоугольников, во вто-
втором (при л=1) — формулой трапеций, в третьем (при п = 2) —
параболической формулой или, чащг, формулой Симпсона.
Формула прямоугольников
Для интерполяции функции / на отрезке [хь-ъ Xk], k= I, 2,...
..., п, многочленом нулевой степени достаточно задать лишь
один узел. Возьмем в качес-
качестве узла середину отрезка
**-i
Рис. 238
Интерполяционным многочле-
многочленом является постоянная
k= 1, 2, ..., п.
При такой интерполяции мы
заменяем данную функцию /
«ступенчатой функцией», точнее набором функций, постоянных на
каждом отрезке [хь-i, хк] и равных значению функции / в центре
~xk
этого отрезка (рис. 238). Вместо интеграла jj f(x)dx возьмем
60.4. Квадратурные формулы
557
интеграл § Pk(x)dx, т. е. заменим площадь криволинейной
xk-i
трапеции площадью соответствующего прямоугольника.
Напишем теперь квадратурную формулу прямоугольников:
ыя=2
итак,
fc==1*
\
*-l
. F0-23>
fc=l
Формула трапеций
На каждом отрезке [xk-x, Xk\, k=l, 2, ..., п, возьмем интер-
интерполяционный многочлен Pk (x) первой степени, определяемый узлами
интерполяции xk-\ и X/,. Полагая
yt=f(xi)> i¦= 0. 1, .... и, получим
(см. F0.20))
k=l, 2, .... п.
Таким образом, мы заменяем дан-
данную функцию f кусочно-линей-
кусочно-линейной функцией. Вместо интеграла
\ f (x) dx возьмем интеграл
Уг
b х
Рис. 239
$ Pk(x)dx, т. е. заменим площадь криволинейной трапеции
соответствующей площадью обыкновенной трапеции (рис. 239).
Замечая, что
lM
t k=U 2, ...,«,
получим квадратурную формулу трапеций
fe= 1 л;
= Ь-2_ 2 Уь-г+Уь f F024)
ИЛИ
iim=-
558 § 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
Формула Сим пеона
На каждом отрезке [хЬ-ъ xk], k=\, 2, ..., п, возьмем интер-
интерполяционный многочленРи(х) второй степени, определяемый узлами
интерполяции xk-i, Ьг — *1''1^*'' и ¦*•*• Тогда
Непосредственным вычислением убеждаемся, что
1 , ._ 1
6 (jr* ^-^-?
I —i .
J
2 fr-
поэтому
Теперь нетрудно написать квадратурную формулу Симпсона:
*=' xk-l
F0.25)
или
60.5. ПОГРЕШНОСТЬ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ *•
Мы видели, что всех трех рассмотренных нами случаях квад-
квадратурные формулы (см. F0.23), F0.24), F0.25)) имеют вид
п
М/)= 2] /*(/), F0.26)
•' В этом пункте мы следуем идеям, развитым в монографии С. М. Николь*
ского «Квадратурные формулы». М., 1974.
60.5. Погрешность квадратурных формул * 559
где
^=?2"fEw)' F0-27)
1 = 0
' Xk-i =C ?« =C xk, k=\, 2, ..., n, i = 0, 1, ..., m,
a pi — некоторые числа.
В случае формулы прямоугольников мы имели
т = 0, р0 = 1, ^о = -
в случае формулы трапеций
в случае формулы Симпсона
2 1 ¦? ? ?
j Ро — Р% — ~Б~ } Pi == ~о~ ' fe&O — Xfc—l) ?&1 —
Л=1, 2, ..., п.
Пусть теперь заданы какие-либо числа р/, называемые весами,
и пусть на отрезке [0, 1] задана какая-либо система точек ?,-,
? = 0, 1, ..., /п, называемых узлами. Пусть, как и раньше, отрезок
[а, Ь] разделен точками xk, k = 0, 1, ..., п, на п равных отрез-
отрезков [хк-ъ хк], fe=l, 2, ..., п, и пусть точки %ы получаются из
узлов Ъ при линейном отображении отрезка [0, 1] на отрезок
[хк~ъ хк], при котором точка ноль переходит в точку хк-\, т. е.
при отображении х = (хк — хк-{)t-\-хк-\, Q^t^l.
Формула F0.26) в этом случае называется квадратурной фор-
формулой, соответствующей узлам |,- и весам р{, г = 0, 1, ..., т.
Всякая квадратурная формула F0.26) обладает свойством
линейности: для любых двух функций fug, определенных на
отрезке [а, Ь], и для любых двух чисел Яиц, очевидно, спра-
справедливо равенство
Определение. Формула ?(/)— 2 hit) называется точной для
к= 1
многочленов степени г, если для любого многочлена Р (х) степени
не выше чем г, для любого отрезка [а, Ь] и для любого числа п
(т. е. для любого разбиения отрезка [а, Ь] на равные отрезки)
справедливо равенство
L(P(x))=\P(x)dx.
а
Упражнение. Доказать, что, для того чтобы квадратурная формула
L[f], соответствующая узлам |,- и весам pit i = 0, I т, была точной для
560
§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
многочленов степени г, необходимо и достаточно, чтобы для любого многочлена
Р (х) степени не выше г было справедливо равенство
1 m
Поскольку интерполяционный многочлен порядка г совпадает
для многочлена степени г с самим многочленом, то квадратурные
формулы прямоугольников, трапеций и
Симпсона точны соответственно для много-
многочленов нулевой, первой и второй степени.
Однако, более того, квадратурная фор-
формула прямоугольников точна для много-
многочленов первой степени, а формула Симп-
Симпсона— для многочленов третьей степени.
Докажем это. Действительно, в случае
х-ь-,+Х1 xL формулы прямоугольников (см. F0.23) и
~~2 F0.27))
Рис. 240 / /f\ — f!x
Простой подсчет дает, что для любой линейной функции спра-
справедливо равенство
lk(Ax + B)= \ (Ax + B)dx.
F0.28)
Это наглядно видно и на рис. 240. Суммируя равенства F0.28)
по k от 1 до п, получим
ь
что и означает точность квадратурной формулы прямоугольников
для многочленов первой степени.
В случае формулы Симпсона (см. F0.25) и F0.27))
'* Ю = Ь-^Г [\ f <**->> + Т f ^Р") + I «**)] • F0-29)
Достаточно показать, что лля любого многочлена "третьей степени
Р (х) в этом случае
h (Р (х)) = I P (х) dx, k = 1, 2 п.
F0.30)
В самом деле, если эти равенства будут доказаны, то, суммируя
их по k от 1 до п, получим
60.5. Погрешность квадратурных формул* 561
т. е. что формула Симпсона точна для многочленов третьей сте-
степени.
Пусть Р (х) = Ax3 + Bx2 + Cx + D. Положим Q(x)=
тогда Р (х) = Axs + Q(x). Поэтому
k k
P(x)dx = A \ x*dx+ I Q(x)dx, k=l, 2, .... п. F0.31)
В силу того, что формула Симпсона точна для многочленов вто-
второй степени, имеем
xk
h(Q(x))= $ Q(x)dx, й=1, 2, ..., п.
xk-i
С другой стороны, непосредственным вычислением убеждаемся,
что
Это и доказывает равенство F0.30).
Порядок погрешности квадратурных формул оказывается свя-
связан со степенью многочленов, относительно которых точна рас-
рассматриваемая квадратурная формула.
Теорема. Пусть функция f г раз непрерывно дифференцируема
на отрезке [а, Ь] и пусть число М > 0 таково, что
Если квадратурная формула F0.26) точна для многочленов сте-
степени г—\ (г= 1, 2, ...), то существует постоянная с,>0, не
зависящая от функции /, такая, что
M{ba)r+1 F0.32)
Доказательство. Представим функцию / на каждом
отрезке [xk-i, xk\, согласно формуле Тейлора, в виде
/(*) = Я*-(х) + г»(*), *=1. 2, .... п,
где
562 § 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
— многочлен Тейлора степени г — 1, и, следовательно, rk (х) — оста-
остаточный член формулы Тейлора, который мы запишем в форме
Лагранжа:
rk (Л/ = J\ \х — Xk-l) .
0<8А<1, /г=1, 2 п;
тогда
k= 1 д
. n
\ Pk(x)dx~lk{Pk{x))
1
rk(x)dx- lk {rk (x)) \. F0.34)
i -1
В силу того, что данная квадратурная формула точна для
многочленов степени г—1, справедливо равенство
\ Pk{x)dx-lk{Pk{x)) = V, k=\, 2, .... п*К
xk-i
Поэтому из F0.34) следует, что
\f (х) dx - L (!)
J] J I г* (х) | dx + 2 | /* (r* (x)) [. F0.35)
Далее, из F0.33) имеем
Применяя это неравенство, получим
( (
xk-i xk-i
Полагая p= max \pt\ (см. F0.27)), имеем
i'=0, 1, ... , m
b~a
lY\\\^b~a У In Mr
ft (*)) ! ^ —^~ 2л I ft I Kft
1=0
*' Действительно, это следует из определения точности квадратурной фор-
формулы относительно многочленов данной степени, приведенного на стр. 559,
[ Ь] [ ]
у р р
если в этом определении в качестве отрезка [а, Ь] взять отрезок [л:д_1, хк] и
положить п = 1.
60.6. Приближенное вычисление производных 563
Подставляя эти оценки в F0.35) и введя обозначение
мы и получим неравенство F0.32). Ц
Из формулы F0.32) следует, в частности, что при вычислении
интегралов с помощью квадратурных формул прямоугольников
и трапеций (они, как мы знаем, точны для многочленов первого
порядка, и потому для них можно взять г = 2) ошибка имеет
порядок О {—Л, а при вычислении интегралов с помощью фор-
формулы Симпсона (она точна уже для многочленов третьего порядка
и можно взять г = 4) ошибка составляет уже всего лишь вели-
()
чину О(^)
Отметим, что при приведенном подсчете постоянных с, мы не
получили для них минимальных значений. Этого можно достичь,
усовершенствовав методы их подсчета.
Задача 43. Доказать, что для формулы прямоугольников можно взять
С2 = ои, Для формулы трапеций с2 = -—, а для формулы Симпсона С4 = р^зот;-
^4 I z .соси
60.6. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Приближенное вычисление производных производится на основе
формул, которыми они определяются. Например, поскольку
ft -> 0 " ¦
то так называемое разностное отношение
Hx + h)-f(x) , {тщ
дает приближенное значение производной. При этом эта формула
позволяет вычислить производную с любой степенью точности
за счет выбора соответствующего h — это следует из определения
предела.
Оценим порядок приближения производной, вычисляемой
по формуле F0.36), относительно h. Предположим, что функция /
имеет в окрестности точки х ограниченную вторую производную.
Тогда по формуле Тейлора
отсюда
564 § 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений
Т. е.
Очевидно, что если в точке х существует производная, то
;! ш -I W-
Оказывается, что приближенное вычисление производной
в точке по приближенной формуле
f(x+h)-f(x—h) ,fifl от\
обеспечивает более высокий порядок малости погрешности отно-
относительно h. Покажем это. Пусть функция / имеет в окрестности
точки х третью ограниченную производную. Тогда по формуле
Тейлора
Вычитая второе равенство из первого и деля на 2Л, получим:
Таким образом, разностное отношение F0.37) аппроксимирует
производную на порядок лучше чем F0.36).
Для приближенного вычисления второй производной в точке х
можно поступить следующим образом: приближенно вычислить
первую производную в точках х и x-\-h, например, по форму-
формулам F0.36):
f(x+h)-f(x) ft
^ . /
тогда
Разностное отношение, стоящее в правой части полученной фор-
формулы и принимается за приближенное значение второй произ-
производной в точке х.
В случае, когда у функции / в окрестности точки х суще-
существует третья ограниченная производная, то раскладывая числи-
числитель по формуле Тейлора, получим
60.6. Приближенное вычисление производных 565
Аналогично случаю первой производной можно показать
(в предположении ограниченности четвертой производной в ок-
окрестности точки я), что
f(h) h-*0, F0.39)
т. е. у приближенной формулы F0.39) для вычисления второй
производной погрешность на порядок лучше, чем у формулы F0.38).
Аналогичным образом вычисляются производные более высоких
порядков и частные производные функций многих переменных.
§ 61. РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА НА КЛАССЫ
ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Много раз в нашем курсе мы сталкивались с понятием экви-
эквивалентности: эквивалентные бесконечно малые и бесконечно боль-
большие функции (п. 8.3), эквивалентные отображения отрезка (п. 16.2)
и области (п. 50.1), эквивалентные фундаментальные последова-
последовательности метрических пространств (п. 57.1), эквивалентные
функции при построении пространства RL2 (п. 57.10) и т. д.
Во всех этих случаях отношение эквивалентности обладало сле-
следующими тремя свойствами: если элементы рассматриваемого
множества обозначить буквами х, у, г, ..., а эквивалентные
элементы х и у обозначить символом х^у, то:
1. Каждый элемент рассматриваемого множества эквивалентен
самому себе: х~х (рефлексивность).
2. Если х<~^у, то у^х (симметричность).
3. Если х~у и y^z, то x~z (транзитивность).
Всегда предполагалось само собой разумеющимся, что множе-
множество тех или иных элементов, в котором введено понятие экви-
эквивалентности, обладающее свойством рефлексивности, симметрич-
симметричности и транзитивности, распадается на непересекающиеся классы
эквивалентных элементов. В действительности так и есть. Сфор-
Сформулируем и докажем это утверждение в общем случае.
Пусть задано множество Л = {х, у, г, ...} и некоторое под-
подмножество множества его упорядоченных пар, обладающее следую-
следующими свойствами: если пара (х, у) принадлежит этому подмножеству,
то элементы х и у называются эквивалентными и пишется Х^у,
при этом выполняются условия рефлексивности, симметричности
и транзитивности. В этом случае говорится, что в множестве А
задано отношение эквивалентности.
Теорема. Если в некотором множестве задано отношение экви-
эквивалентности, то это множество является суммой своих попарно
не пересекающихся подмножеств эквивалентных между собой.
элементов-
Доказательство. Пусть А = {х, у, г, ...} —множество,
в котором задано отношение эквивалентности. Для каждого
566 § 61. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов
элемента х е А через Ах обозначим множество всех элементов
множества А, эквивалентных элементу х. Покажем, что
А= U Ах F1.1)
и что это представление множества А в виде суммы подмно-
подмножеств Ах является искомым, т. е. что слагаемые Ах попарно
не пересекаются.
Прежде всего в силу рефлексивности отношения эквивалент-
эквивалентности для каждого хе/1 имеем х^х и, следовательно, х^Ах,
т. е. каждый элемент множества А принадлежит некоторому Ах,
поэтому
Лс U Ах. F1.2)
С другой стороны, каждый элемент множества Ах в силу самой
конструкции является элементом множества А. Следовательно,
Аха А и потому
U АхаА. F1.3)
А
Из включений F1.2) и F1.3) вытекает равенство F1.1).
Докажем теперь, что любые два элемента каждого из мно-
множеств Ах эквивалентны между собой. В самом деле, пусть у е Ах,
z<^Ax; это означает, что у<^х и г<^х. В силу симметричности
отношения эквивалентности отсюда следует, что х-^z, откуда
согласно транзитивности — у ~ г.
Покажем, наконец, что слагаемые в правой части равенства
F1.1) попарно не.пересекаются. Именно, покажем, что для любых
двух элементов х' и х" множества Ах> и Ах« либо совпадают, либо
не пересекаются. В самом деле, пусть у множества Ах- и Ах"
найдется хотя бы один общий элемент: у е Ах> (] АХ" и пусть
г е Ах-. Поскольку было доказано, что для каждого множества Ах
любые два его элемента эквивалентны, то г^у, у^~>х" и, следо-
следовательно, г>~^х", т. е. г ^ Ах». Элемент г'являлся произвольным
элементом из множества АХ', поэтому
Ах.аАх~; F1.4)
аналогично
АХ«<^АХ: F1.5)
Из F1.4) и F1.5) следует, что
АХ' = АХ».
Таким образом, если у множеств Ах> и Ах» имеется хотя бы
один общий элемент, то они совпадают; если же такового элемента
нет, то эти множества, очевидно, не пересекаются.
Итак, представление F1.2) действительно обладает всеми
сформулированными в теореме свойствами. Ц
62.1. Топологические пространства 567
§ 62. ПРЕДЕЛ ПО ФИЛЬТРУ
При изучении курса анализа нам встретились два понятия
предела: предел функции, частным случаем которого является
предел последовательности, и предел интегральных сумм. Оказы-
Оказывается, что существует более общее понятие предела, называемое
пределом по фильтру, которое содержит в себе оба указанные
понятия предела как частные случаи. Существование такого
понятия доставляет, безуслов-но, эстетическое удовлетворение,
поэтому в настоящем параграфе будет дано его определение.
Однако для изучения математического анализа введение этого
понятия не дает по существу никаких преимуществ, чем и объяс-
объясняется, что оно помещено в конце курса.
62.1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Определение 1. Пусть X — некоторое множество и в нем задана
система Q = {G} подмножеств, удовлетворяющих следующим усло-
условиям:
1°. Пересечение конечного числа множеств системы Q принад*
лежит этой системе.
2°. Объединение любой стокапности множеств системы Q
принадлежит этой системе.
3°. XeQ, фей.
Тогда множество X называется топологическим трострашяшш.,
система Q — его топологией, а множества системы Q — ег®
открытыми подмножествами.
Для любой точки хеХ каждое содержащее ее множество
GeQ называется ее окрестностью.
Если у любых двух точек топологического пространства суще-
существуют непересекающиеся окрестности, то пространство назы-
называется хаусдорфовым *>'.
Примером хаусдорфова топологического пространства являете»
всякое метрическое пространство, так как его открытые множества
образуют систему, удовлетворяющую условиям 1°, 2°, 3° опреде-
определения 1 (см. п. 57.1). Существуют и так называемые неметризуе-
мые топологические пространства (см. об этом в книге П. С. Алек-
Александров «Введение в теорию множеств и общую топологию». Ж.,
1977).
Для любой точки геХ всякая ее окрестность заведомо
не является пустым множеством, так как она содержит по край-
крайней мере один элемент — саму точку х.
Определение 2. Всякая подсистема 33 системы Q открытых
множеств топологического пространства называется базой тоао-
*> Ф. Хаусдорф A868—1942) —немецкий математик.
568 § 62. Предел по фильтру
логии этого пространства, если любое непустое открытое множе-
множество пространства (т. е. непустое множество из системы Q)
является объединением некоторой совокупности множеств
из 8.
Так, в метрическом пространстве базой топологии является
множество 33 всех е-окрестностей всех точек этого пространства.
Действительно, каково бы ни было непустое открытое множество G
данного метрического пространства, для каждой его точки хе(!
существует такоэ е >0, что еэ е-окрэстность содержится в G:
U (х, e)<=:G. Выбзрем и зафиксируем для каждой точки х е G
одну из таких окрестностей, тогда множество G очевидно будет
являться их объединением:
G = U U (х, е).
Упражнение I. Доказать, что в любом метрическом пространства
множество всех е-окрестностей с рациональным е всех точек этого простран-
пространства образует его базу топологии.
Топологию можно задавать с помощью базы топологии. Именно,
если 33 = {Л} — база топологии п пространства X, то согласно
определению 2 Q является системой всех подмножеств простран-
пространства X, каждое из которых либо является объединением некото-
некоторой совокупности множеств из 23, либо пусто.
Определение 3. Система 33 (х) окрестностей точки х тополо-
топологического пространства X называется локальной базой топологии
в этой точке, если какова бы ни была окрестность V точки х
в пространстве X, то существует такая окрестность U е 33 (х), что
С/сК.
Очевидно, что совокупность всех окрестностей данной точки
образует ее локальную базу топологии. Для любой точки метри-
метрического пространства ее локальную базу топологии образуют
также, например, все ее е-окрестности радиусов е= —, п = 1, 2,
Объединение локальных баз топологии во всех точках обра-
образует базу топологии всего пространства, ибо каждое непустое
открытое множество можно представить,, как объединение входя-
входящих в него окрестностей его точек, где указанные окрестности
берутся из рассматриваемых локальных баз топологии. Тем самым
топологию во множестве можно задавать, определяя локальные
базы топологии в каждой из его точек.
С помощью понятия окрестности для топологических про-
пространств дословно так же, как для метрических (см. п. 57.1 и
п. 18.2) вводятся понятия точек прикосновения, предельных и
изолированных, а также понятие замкнутого множества.
62.2. Фильтры 569
62.2. ФИЛЬТРЫ
В дальнейшем через $ (X) будем обозначать множество всех
подмножеств множества X.
Определение 4. Пусть X — непустое множество. Множество
% cz ty (X) называется фильтром (или, подробнее, фильтром на
множестве X), если:
1°. Для любых А' е § и А" е § существует такое Ле§, что
ЛсЛ'П А".
2°. фф%,$Фф.
Из свойств 1° и 2° вытекает, что пересечение любого конеч-
конечного числа множеств, принадлежащих фильтру, непусто.
Примеры. 1. Пусть Хфф, Хэ Аофф. Тогда множество
% = {А: Ао cz A e ty (X)} является фильтром на X. Действительно,
очевидно, что Лое^, а если Л'е^и Л" eg, то A'(]A"zd А0Фф,
т. е. оба условия 1° и 2° определения 4 выполнены.
2. Пусть леХ Тогда множество % — {А: хеЛе$ (X)} есть
фильтр на X. Этот фильтр является частным случаем фильтра,
рассмотренного в предыдущем примере, когда множество Ао
состоит из одной точки х.
3. Пусть X = N — множество натуральных чисел и
А„ = {т: m(=N, m>n}, /геЛГ. F2.1)
Тогда множество всех А„ образует фильтр, обозначаемый FN={An\
и называемый натуральным фильтром.
Проверим, что F^—фильтр. Действительно, N^Fn, и следо-
следовательно РцФ ф, все Ап ф ф, а если т <п, то Ап (] Ат = Ап ^FN.
4. Пусть снова X = N. Система подмножеств %м множества N,
каждое из которых является дополнением к конечному подмно-
подмножеству множества N также образует фильтр на N, называемый
фильтром Фреиге и содержащий в себе натуральный фильтр Fh.
Покажем, что %н действительно фильтр. Если Ле§лг и Begw.
то обозначим через йеN наибольшее из чисел, входящих в мно-
множество (N\A) U (N\B). Такое число существует, так как указанное
множество в силу определения %м состоит лишь из конечного
множества чисел. Тогда множество Л„е^(см. F2.1)) содержится
в А П В. Далее, поскольку множество натуральных чисел N счетно,
a N\A, где А е %n, по определению множества gw конечно, то
Афф. Наконец, N<=%n и, следовательно, %ыфф- Таким
образом %n — фильтр.
5. Пусть X — топологическое пространство ихеХ. Локальная
база топологии 33 (х) образует фильтр. Действительно, прежде
всего, очевидно, что для каждой окрестности U е 33 (х) имеем
хе(/ и потому UФф. Далее, для любых Uе 23(х) и V е 33(х)
пересечение U П V является открытым множеством, содержащим
точку х, поэтому по определению локальной базы топологии
существует такая окрестность W е23(*), что WaU[\V.
5 70 § 62. Предел по фильтру
6. Пусть X — топологическое пространство, х — предельная
точка пространства X, 23 (х) — локальная база топологии в этой
точке и 8 (х) множество всех «проколотых окрестностей» этой
локальной базы топологии, т. е. §В (х) состоит из множеств
Тогда $(х) образует фильтр. В самом деле, если &eS(x),
то поскольку точка х является предельной для пространства X,
то существует точка у&О и, следовательно, С/фф. Далее, для
любых 0 <= & (х) и Уе1(х) имеем согласно их определению:
0 = Ц\{х], V = V\{x], ?/<=©(*), V «=©(*). Пересечение U(\V
является окрестностью точки х, поэтому существует такая окрест-
окрестность Уе8(л), что WczUftV' и потому W = W\{x} cz 0(\V.
Итак, ®{jc) действительно фильтр.
Определение 5. Фильтр %1 = {А} на множестве X называется
фильтром, который сильнее фильтра $2 = {В) на том же множе-
множестве, если для любого множества В е %2 существует такое А е %lt
что АаВ,
Определение 6. Если фильтр %1 сильнее фильтра $2, а §2 силь-
сильнее $х, то фильтры %г и %2 называются эквивалентными.
Пример 7. Пусть, 33(х}— локальная база тоиологии точки х
метрического пространства, состоящая из всех ее е - окрестностей,
а ЗЗв(*) — ее локальная база топологии, содержащая только окрест-
окрестности радиуса е = ~ , п = 1,2 Фильтры Ъ (х) и 23О (х) эквива-
эквивалентны.
Упражнение 2. Доказать, что фильтры в примерах 3 и 4 эквива-
леигяы.
Определение 7. Фильтр <^1 называется подфильтрвм фильтра
g2, если каждый элемент фильтра ^ является и элементом филь-
фильтра $2, т. е. если §г с: §,.
Очевидна, что фильтр сильнее всякого своего подфильтра.
Определение 8. Каждый подфильтр фильтра, эквивалентный
самому фильтру, называется его базой.
Например, в примере 7 фильтр 33О (х) является базой фильтра
Ъ(х), а натуральный фальтр FN — базой фильтрт Фреше gw, по-
построенного в примере 4.
Иногда бывает удобно рассматривать фильтры, удовлетворя-
удовлетворяющие еще одному дополнительному условию.
Определение 9. Фильтр § на множестве X называется полным,
если из условий
А «= д, Ве^Х) и А а В
следует, что
В%
62.2. Фильтры 571
В выше рассмотренных примерах 1, 2 и 4 фильтры являлись
полными. Например, в примере 4 (фильтр Фреше) это вытекает
из того, что если ^ejjv и, следовательно, его дополнение в мно-
множестве натуральных чисел N конечно, то любое подмножество
натуральных чисел В, которое содержит А, также имеет конечное
дополнение в N, ибо, если AczB czN, то N\B czN\A.
Фильтры же, рассмотренные в примерах 3, 5 и 6, уже не
являются полными. В примере 3 натуральный фильтр FN не
является полным, поскольку не всякое подмножество А
множества натуральных чисел, содержащее множество вида Ап
(см. F2.1)), само имеет такой вид, т. е. принадлежит натураль-
натуральному фильтру FN. Фильтры, рассмотренные в примерах 5 и 6,
не являются полными, так как не всякое множество, содержащее
открытое множество, является обязательно само открытым.
Иногда в математической литературе полный фильтр называется
просто фильтром, а фильтр в смысле определения 4 базисом (или
базой) фильтра. Это оправдано тем, что справедливо следующее
утверждение.
Лемма 1. Всякий фильтр является базой некоторого полного
фильтра.
Доказательство. Пусть % = {Л} — фильтр на множестве X.
Определим множество ©, как множество всех таких подмножеств
В множества X, что каждое из них имеет в качестве своего под-
подмножества некоторый элемент фильтра g. Короче, 8е© тогда
и только тогда, когда существует такое Л с: g, что АаВ<
Покажем, что <3 является полным фильтром, а фильтр g —его
базой.
Если В' е@, В" е©, то существуют такие А'е^и А" еg,
что А' а В', А" а В". Поскольку g —фильтр, то найдется такое
Л eg, что А^.А'(]А". Заметив, что Л' Л A"czB' Л В", получим
AczB' [] В" и, следовательно, согласно определению @ множество
В' П В" является его элементом: В' (] В" е @. Тем самым выполня-
выполняется условие 1° определения 4.
Если бы 0 6®, то снова, согласно определению <$, нашлось
бы такое Л eg, что Асф, но тогда А — ф, т. е. пустое мно-
множество оказалось бы элементом g, что противоречило бы тому,
что % — фильтр. Следовательно, 0€?@. Кроме того, так как
AczA, то каждое множество A eg является и элементом ®,
т. е. g с: @, а поскольку g, как всякий фильтр, не пуст: %фф,
то не пусто и множество ©: (9>фф. Таким образом @ удовлетво-
удовлетворяет всем условиям определения 4, т. е. является фильтром.
Его полнота тоже сразу вытекает из его определения. В самом
деле, если В е @, то существует такое Л е %, что А с В. Поэтому
для каждого множества В', такого, что В а В' cz X, также справед-
справедливо включение AczB', которое и означает, что ?'е®.
Наконец, % является базой полного фильтра @. Действительно,
с одной стороны, как было показано, % cz &, т. е. фильтр %
572 § 62. Предел по фильтру
является подфильтром ©; а выше отмечалось, что всякий фильтр
сильнее любого своего подфильтра. С другой стороны, определение
фильтра © как раз и означает, что фильтр g сильнее фильтра (?3:
каково бы ни было Вё@ существует такое Лей, что A cz В
(см. определение 5). Итак, фильтры g и © эквивалентны. Ц
Лемма 2. Пусть ^ — фильтр на множестве Хъ %2 —фильтр
на множестве Хг и
%ЩС: С = АхВ, Ле&, Beg,};. F2.2)
тогда g является фильтром на произведении XixX2 множеств
Хх и Х2.
Фильтр g, определенный равенством F2.2), называется произ-
произведением фильтров %! и g2. Если g является произведением
фильтров gx и g2, то пишется g = giXg2-
Доказательство. Пусть d e= %г иСгЕ g2, тогда, согласно
определению F2.3) существуют такие Ах е %и А% е %г и BY e g2.
В2е fe, что C1 = AixBi, а С2 = А.2хВй. Поскольку gx и g2 —
фильтры, то найдутся такие А е gi и Ве?г, что
ЛсЛ^Л, BcBj Q52. F2.3)
В силу того же определения F2.2): АхВ eg, причем из F2.3)
следует, что
AxBcziAiXBi) П (А2ХВ2),
ибо, если (х, у)е.АхВ, то дгеЛ, у^В. Следовательно в силу
F2.3) х ^ At [) А2, у е Bi 0 Во., поэтому (х, у) е Аг х 5г и (х, t/) e
еЛ2х52, т. е.
(х,у)е(А1хВ1) П (Лх52).
Наконец, каждое С = АхВфф, /4egb Б eg2, ибо
в силу определения фильтра Афф, Вф ф. Из того, что %гФф
и g2#0, следует, что Hg = giXg2=^0.
Таким образом g = giXg2 удовлетворяет определению
фильтра. Q
Лемма 3. Пусть X и Y — некоторые множества, f:X->Y —
отображение X в Y и % — {А\—фильтр на множестве X. Тогда
совокупность всех образов f(A) множеств из фильтра g является
фильтром на множестве Y.
Фильтр \f(A)}, Л eg, называется образом фильтра g при
отображении f и обозначается через
/(8) = {/(Л)Ь A eg. F2.4)
Докажем, что /(g) действительно является фильтром. Пусть
/ (А) <= / (g), / (В) е / (g), A e g, 5 <= g. Тогда существует такой
элемент С фильтра g: С е g, что С с Л П В- Поскольку /(С) с:
с:/(Л П B)af(A) П /E), и по определению системы /(g) имеем
/ (С) е/(g), то первое условие определения фильтра (см. опреде-
62.3. Предел фильтра 573
ление 4) выполнено. Второе условие также выполнено, поскольку
f(%) состоит только из элементов вида f(A), где Ле|5. Следо-
Следовательно, $(А)Фф, поскольку Афф. Наконец, из того, что
%ф ф, следует, что и f (g) ф ф. ?
62.3. ПРЕДЕЛ ФИЛЬТРА
Определение 10. Пусть X — топологическое пространство, jheX
и % —фильтр на X. Точка х называется пределом фильтра %, или
его предельной точкой, если фильтр % сильнее фильтра 33 (х), явля-
являющегося локальной базой топологии в этой точке.
Если точка х является пределом фильтра %, то пишется
Примеры. 1. Пусть X = N — множество натуральных чисел,
рассматриваемое, как обычно, с дискретной топологией: каждая
точка n^N считается открытым множеством (иначе говоря, каж-
каждая точка является изолированной точкой), тогда натуральный
фильтр FN (см. пример 3 в п. 62.2) не имеет предела в N.
Действительно, никакое число /ieJV не является пределом
фильтра FN, ибо у любого числа п0 е N существует локальная
база топологии, состоящая только из этого числа п0 и не сущест-
существует А е Fs, содержащегося в одноточечном множестве {«о},
поскольку любое AeF^ содержит бесконечно много элементов.
Таким образом, фильтр FN не сильнее локальной базы топологии
любого числа п0 е N.
2. Пусть X — N U {-j-°o}. т. е. множество X получено добав-
добавлением к множеству натуральных чисел N «бесконечно удален-
удаленной точки» -f-oo, причем локальная база топологии 33(-|-оо)
состоит из всевозможных множеств Ап (см. F1.1)), а локальные
базы 23 (п), п е N, по-прежнему из одной точки п. База топологии
в X определяется как объединение локальных баз всех его точек.
В пространстве NUH-oo} натуральный фильтр Fn имеет
своим пределом -I-00- Действительно, для любой окрестности
Л„ е 23 (-[-оо) в качестве элемента A^.Fn такого, что А с: Ап
(см. определение 10), можно взять само Л„, ибо An^.FN.
Задача 44. Доказать, что для того чтобы любой фильтр топологического
пространства имел не более одного предела, необходимо и достаточно, чтобы
пространство было хаусдорфовым.
Теорема 1. Для того чтобы точка х являлась пределом фильтра
% топологического пространства X, необходимо, чтобы эта точка
являлась пределом каждой его базы, и достаточно, чтобы она яв-
являлась пределом по крайней мере одной его базы.
Доказательство необходимости. Пусть подфильтр %0
является базой фильтра % пространства X и
574 § 62. Предел по фильтру
т. е. фильтр % сильнее локальной базы топологии 33 (х) в точке х.
Это означает, что для любой окрестности U е 33 (х) существует
такое Л е§, что AcU. Поскольку g0 является базой фильтра %,
то для указанного /leg найдется такое В е %0, что В с А к,
следовательно, В cz U, т. е. подфильтр %0 также сильнее локаль-
локальной базы топологии 33(х), и потому * = Нт$0-
Доказательство достаточности. Пусть подфильтр %0
фильтра % является его базой и x = Utu%, т. е. %0 сильнее
локальной базы топологии 23 (х), тогда сам фильтр Щ тем более
сильнее 33 (х), ибо каждый элемент подфильтра является и эле-
элементом фильтра. Следовательно x = limg. Q
62.4. ПРЕДЕЛ ОТОБРАЖЕНИЯ ПО ФИЛЬТРУ
Общее понятие предела дается следующим определением.
Определение 11. Пусть X — некоторое множество, Y —тополо-
—топологическое пространство, f: X -> Y — отображение X в Y, f — фильтр
на X.
Точка b^Y называется пределом отображения f по фильтру 5
и пишется
если фильтр } @) имеет своим пределом в пространстве Y точку Ь.
Таким образом
m F2.5)
Примеры. 1. Пусть X = N— множество натуральных чисел,
У — топологическое пространство, f:N->-Y, y,, = f(n), n^N, и
пусть Fat —натуральный фильтр, построенный в примере 3, п. 62.2,
т. е. Ff/ состоит из множеств F2.1). Тогда предел отображения /
по фильтру Fh/ совпадает с обычным пределом последовательности
\уп) в Y. Действительно, условие Ym\FNf{n) = b равносильно,
согласно F2.5), условию lim / (FN) = b, где / (FN) = {/(Ап)}, f (An) =
= {ym : m>n). Равенство предела фильтра f (FN) точке b означает,
что для любой окрестности U е 33 F), где 23 (Ь) — локальная база
топологии в точке Ь, существует содержащийся в U элемент f(An<l)
фильтра f(FN):f(Ant>)czU. Поскольку при п>па выполняется
включение яе\, а следовательно, и включение yn = f(n)^.
е/(ЛЛо), то при /г>«0 имеет место включение yn.^U. Это и
означает, что lim у„ — Ь.
2. Пусть X = NxN, ^ — натуральный фильтр, % = F
(см. F2.2)), Y — топологическое пространство, f:NxN-+Y,
Утп^!(т, ft), m^N, ne^V; тогда предел lim?/(m, ft) совпадает
с обычным пределом двойной последовательности {у„т}: точка b
называется пределом lim ymn последовательности {утп}, если
(т, п) -» со
62.4. Предел отображения по фильтру 575
для любой окрестности U точки Ь существуют такие т0 и п0, что
при т > п0 и п > «0 выполняется включение г/етя е U. Таким
образом,
limj/(m, n)= lim ymn.
(т, п) -»оо
3. Пусть ? —измеримое по Жордану множество в Rn, т.—
какое-либо его разбиение: T = {?',}i=f> S«^-E<> t = 1, 2, ..., k.
Пусть элементами множества X являются в свою очередь всевоз-
всевозможные множества вида
* = {т, glt .... lk}. F2.6)
Для любого т) > 0 обозначим через Лч подмножество множества
X, состоящее из всех таких элементов х, у которых мелкости
бт, входящих в них разбиений т меньше т), т. е. 6t<Cn.
Система ^ = {^4,,} является фильтром на X.
Всякая действительная функция /: E-+R порождает отобра-
отображение ф^: X-+R по формуле
def A
Таким образом, ф^ (х) является значением соответствующей инте-
интегральной суммы Римана функции /.
Предел отображения ф^: X^-R по фильтру % — {Ап} совпадает
с обычным пределом интегральных сумм Римана функции / при
условии, что мелкости- рассматриваемых разбиений стремятся
к нулю:
k
ф, (х) = lim 2 / (St
4. Пусть X и Y топологические пространства, /: Х->У,
йеХ и g — такой фильтр на X, что limg = a (т. е. фильтр g
сильнее некоторой локальной базы топологии S3 (а) в точке а).
Предел limj/(x) в данном случае называется пределом отобра-
отображения f no фильтру % в точке а.
При соответствующих выборах фильтров % будут получаться
в частности пределы в данной точке по различным множествам.
Например, если фильтр % состоит из окрестностей некоторой
локальной базы топологии S3 (а) точки а, то существование пре-
предела limg/^) в точке а по такому фильтру означает непрерыв-
непрерывность отображения / в точке а, причем \im$f(x) = \imf(x)—f(a).
х-*а
Если точка а является предельной точкой множества X,
а фильтр % состоит из проколотых окрестностей некоторой локаль-
576 § 62. Предел по фильтру
ной базы топологии в этой точке (см. пример 6 в п. 62.2), то
предел \\va%f(x) совпадает с обычным пределом l
Заметим, что раньше символ х-*-а не имел для нас само-
самостоятельного смысла: было определено лишь все обозначение
lim/(x) в целом. Теперь, в конце курса мы видим, что символ
х->а „
х-+а можно рассматривать как обозначение фильтра 23 (а) или
фильтра S3 (а), по которому берется предел отображения (в первом
случае получится обычное определение предела отображения
в точке а, во втором — определение его непрерывности в этой
точке).
Итак, действительно все встретившиеся нам раньше понятия
предела являются частным случаем предела отображения по
фильтру.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Банах С. (Banach S.) 442, 481
Бернулли Я. (Bernoulli J.) 340
Бессель Ф. (Bessel F.) 379, 380, 485
Буняковский В. Я. 450
Вандермонд A. (Vandermonde A.) 554
Вейерштрасс К. (Weierstrass К.) 307,
373, 396, 429, 479
Гаусс К.-Ф (Gauss K.-F) 283
Гейне Г. (Heine H. Е.) 46
Гельдер О. (Holder О.) 365, 366, 368,
395, 435, 494
Гельмгольц Г. (Helmholtz H.) 297
Гильберт Д. (Hilbert D.) 455, 481
Грам И. (Gram J. P.) 472
Грин Дж. (Green G.) 199, 202, 203, 218
Гульдин П. (Guldin P.) 232
Дарбу Г. (Darboux G.) 141, 149
Дини У. (Dini U.) 359
Дирак П. (Dirac P. А.) 512, 516
Дирихле Л. (Dirichlet L. P. G.) 163,
352, 353, 355
Жордан К. (Jordan С.) 114, 126, 218,
220, 412
Кантор Г. (Cantor G.) 49
Коши О. (Cauchy A. L.) 46, 60, 308,
384, 448, 449, 452, 486, 494
Крамер Г. (Kramer G.) 43
Кронекер Л. (Kroneker L.) 424
Лангранж Ж. (Lagrange J. L.) 4, 12,
96, 301, 328, 543, 555, 562
Лаплас П. (Laplace P. S.) 82, 218, 401,
402
Лебег A. (Lebesque H. L.) 357, 434, 469
Лежандр A. (Lef,endre A. M.) 473, 474,
475, 480, 490
Лейбниц Г. (Leibniz v. G. W.) 203,
300 319 515
Липшиц P.'(Lipschitz R.) 365
Литтльвуд Д. (Littlewood J. E.) 168
Лопиталь Г. (de L'Hospital G.) 329
Мёбиус A. (Mobius A. F.) 259, 263
Минковский Г. (Minkowski H.) 167,
427, 434
Никольский С. М. 469, 558
Ньютон И. (Newton I.) 203, 319, 342,
550, 515, 547, 553
Остроградский М. В. 283
Парсеваль М. (Parseval M. А.) 380.
487, 488, 497, 498, 499
Пеано Д. (Peano J. G.) 7, 129
Пифагор (П1тсс7°Рао) 487
Планшерель М. (Plancherel Л5.) 508
Поли Д. (Polya G.) 168
Пуассон С. (Poisson S. D.) 222
Риман Б. (Riemann В.) 131, 218, 348,
434
Ролль М. (Rolle M.) 555
Сильвестр Дж. (Sylvester J. J.) 25
Симпсон Т. (Simpson Т. Н.) 556, 558,
560, 561, 563
Соболев С. Л. 516
Сохоцкий Ю. В. 526
Стирлинг Дж. (Stirling J.) 334, 340
Стоке Дж. (Stokes G. G.) 287
Тейлор В. (Taylor В.) 4, 5, 543—546,
561
Фейер Л. (Fejer L.) 368, 371
Фреше М. (Frechnet M. R.) 517
Фурье Ж. (Fourier J. В.) 346, 348, 352,
' 355, 359, 360, 362, 366, 382, 383,
391, 398, 402—410, 481—489, 492,
496—501, 503, 532—535
Харди Г. (Hardy G. Н.) 168
Хаусдорф Ф. (Hausdorff F.) 567
Хевисайд О. (Heaviside О.) 514, 528
Шварц К. (Schwartz К. Н. А.) 60,
384, 448, 449, 452, 494
Шварц Л. (Schwartz L.) 516
Эйлер Л. (Euler L.) 322, 325
Якоби К. (Jacobi К. G. J.J 35, 65, 67,
87 .'
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
База топологии 567, 568
Базис пространства 423, 446
Бета-функция 322
Вихрь (ротор) 275, 278, 290
Вложение пространства 478
Вложения теоремы 435
Гельдера условие 365—366
Гомеоморфизм 52, 71, 257
Градиент вектора 274
— функции 245, 273
Дельта-функция F-функция) 512, 523,
524
Дивергенция 275, 278, 285
Диффеоморфиш 68
Дифференциал отображения 62
Зависимость системы функций 85
Изоморфное отображение 425, 439,
454, 491
Интеграл Дарбу 149
— Дирихле 353, 393
—, зависящий от параметра 158, 298,
303
— криволинейный 189, 192
— Лапласа 402
— несобственный 219, 303, 327
— поверхностный 264, 265, 266, 270,
272
— повторный 158
— Пуассона 222
— Римана 131
— Д>урье 391
— Эйлера первого рода (гамма-функ-
(гамма-функция) 322
второго рода (бета-функция)
322
Контур граничный 201
—, ограничивающий поверхность 287
Координаты 447
— криволинейные 184
— сферические 187, 223
— цилиндрические 187
Коэффициенты Фурье 346, 389, 483,
484
Край поверхности 233
Кривая Пеано 129
Липшица условие 366
Лист Мёбиуса 259, 260
Матрица линейного оператора 56
— Якоби 35, 65, 86
Мера Жордана 114
Метод касательных (метод Ньютона)
547, 548, 550, 553
— хорд 548
Метрика (расстояние) 411, 440
Многочлен интерполяционный 553, 555
— Тейлора 9
— тригонометрический 373
Множество измеримое по Жордану 114
— квадрируемое 115
— кубируемое 115
— ограниченное 313, 437 '
— плотное в пространстве 415, 444,
468
Множители Лагранжа 96
Мультиндекс 11
Неравенство Бесселя 379, 485
— Коши-Буняковского 450
Шварца 448
— Минковского обобщенное 167
Норма 59, 426, 430, 431, 433
Носитель поверхности 237
— функции* 349
Область односвязная 211, 294
Оператор 55, 519
— Лапласа 82, 218
— линейный 433, 436
— непрерывный 519, 520
— ограниченный 432, 433, 447
Ориентация границы 198, 202
— контура 198
— края поверхности 262
— поверхности 254, 261
Ортогональность 343, 471
Отображение 45
— дифференцируемое 61, 68
— линейное 55
— локально гомеоморфное 71
— непрерывное 45, 46, 52, 519—520
— обратное 52
— равномерно непрерывное 49
— регулярное 238
Отождествление 415, 416, 439, 454
Предметный указатель
579
Плоскость касательная 242
Площадь (мера) поверхности 251
Поверхность 233, 236
— гладкая 246
— дифференцируемая 234, 239
— заданная неявно 240
— кусочно-гладкая 258, 263
— неориентируемая (односторонняя)
261
•— ориентированная 255, 262
— ориентируемая (двусторонняя) 259,
261, 263
Подпространство 412, 422
— натянутое на векторы 103
Поле векторное 273
потенциальное 276, 294, 297
соленоидальное 291, 297
— скалярное 273
Полиномы Лежандра 473, 480, 490
Полунорма 426, 449
Пополнение пространства 419, 456, 467
Последовательность асимптотическая
335
— дельта-образная 516, 525,
— сходящаяся 413,436,437,516,521,530
— фундаментальная 411, 440
Последовательности эквивалентные 416
Потенциал 273, 342
Поток векторного поля через поверх-
поверхность 277, 278, 297
Предел отображения по фильтру 574
— последовательности точек 413, 516
•— фильтра 573, 575
Преобразование Фурье 398, 399, 401,
406, 410, 509, 533—542
Приближение наилучшее 484
Продолжение функции 13, 347
— функционала 519
Произведение полускалярное 447, 498
— скалярное 447
Производная отображения 62
Пространство банахово 481
— гильбертово 455, 496
— линейное 421,
— метрическое 411
¦— нормированное 426
— обобщенных функций 524, 531
— полунормированное 426,
— сопряженное 519
— со сходимостью 517
— топологическое 567
Равенство Парсеваля 380, 487, 488, 497,
498
Ряд ассимптотический 335
Ряд Стирлинга 340
— Тейлора 19, 544
— тригонометрический 343, 346
— Фурье 346, 359, 360, 362, 365, 377,
381, 385—388, 484
Свертка функций 406, 407
Система замкнутая 490
— ортогональная 471
— полная 376, 444, 445, 478
Сумма Дарбу 141
— интегральная Римана 131, 195
— Фейера 368
— Фурье 352, 355
Точка особая 72, 345
— поверхности 233, 237
— ¦— внутренняя 237
краевая 237
самопересечения 80, 233, 237
Узлы 553, 559
Фильтр 569, 570
Финитная функция 349, 350, 502
Формула Грина 199, 202, 203, 218
— квадратурная 556, 558
— обращения 398
— Остроградского—Гаусса 283, 284,
285
— прямоугольников 556
— Симпсона 558
— Сохоцкого 526
— Стирлинга 334
— Стокса 287, 289
— Тейлора 4, 5, 8, 11, 543, 545, 546
— трапеций 556, 557
Функции координатные 45, 54
Функционал 57, 515, 517
Функция абсолютно интегрируемая 328
— гармоническая 92
— интегрируемая 132, 219
— Лагранжа 96
— локально интегрируемая 522
— обобщенная 522, 525, 526, 527, 528,
529
— характеристическая 349
— Хевисайда 514, 528
Циркуляция 276, 278, 287
Числа Бернулли 340
Член остаточный интерполяции 555
формулы Тейлора 4, 7
Эквивалентности отношение 414, 459,
565
Экстремум 20, 93
Ядро Дирихле 353
— отображения 424
— Фейера 368
Якобиан (определитель Якоби) 35, 67
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава пятая
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных 4
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных 4
39.2. Формула конечных приращений для функций многих перемен-
переменных 11
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во
всей области определения функции 13
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций ... 16
39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих переменных 19
§ 40. Экстремумы функций многих переменных 19
40.1. Необходимые условия экстремума 19
40.2. Достаточные условия строгого экстремума 21
40.3. Замечания об экстремумах на множествах 27
§ 41. Нгтаные функции 23
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением 28
41.2. Произведения множеств 34
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений 35
41.4. Отображения .• 45
41.5. Векторные отображения 54
41.6. Линейные отображения 55
41.7. Дифференцируемые отображения 61
41.8. Отображения с не равным нулю якобианом. Принцип сохра-
сохранения области 68
41.9. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нару-
нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кри-
кривых 71
41.10. Замена переменных 82
§ 42. Зависимость функций 85
42.1. Понятие зависимости функции. Необходимое условие зависи-
зависимости функций 85
42.2. Достаточные условия зависимости функций 87
§ 43. Условный экстремум 92
43.1. Понятие условного экстремума 92
43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного
экстремума 96
43.3*. Геометрическая интерпретация метода Лагранжа 99
43.4*. Стационарные точки функции Лагранжа 101
43.5. Достаточные условия для точек условного экстремума ..... 106
Оглавление . 581
Глава шестая
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 44. Кратные интегралы . . . 112
44.1. Понятие объема в я-мерном пространстве (мера Жордана).
Измеримые множества 112
44.2. Множества меры ноль .....' 126
44.3. Определение кратного интеграла 130
44.4. Существование интеграла 136
44.5*. Об интегрируемости разрывных функций 142
44.6. Свойства кратного интеграла 144
44.7*. Критерии интегрируемости функций Римана и Дарбу и их
следствия 149
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному 157
45.1. Сведение двойного интеграла к повторному 157
45.2. Обобщение на л-мерный случай 163
45.3*. Обобщенное интегральное неравенство Минковского 167
§ 46. Замена переменных в кратном интеграле . 168
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае 168
46.2. Замена переменных в двукратном интеграле 177
46.3. Криволинейные координаты 184
46.4. Замена переменных в л-кратном интеграле 186
§ 47. Криволинейные интегралы 1S8
47.1. Криволинейные интегралы первого рода If8
47.2. Криволинейные интегралы второго рода 191
47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кри-
кривой 195
47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым .... 197
7.5. Формула Грина 198
47.6. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов 203
47.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской
области 204
47.8. Условия независимости криволинейного интеграла от пути
интегрирования 208
§ 48. Несобственные кратные интегралы 218
48.1. Основные определения 218
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 220
48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак 225
§ 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных инте-
интегралов 228
49.1. Вычисление площадей и объемов 228
49.2. Физические приложения кратных интегралов 230
§ 50. Элементы теории поверхностей 232
50.1. Понятие поверхности 232
50.2*. Эквивалентные отображения. Параметрически заданные по-
поверхности 235
50.3. Поверхности; заданные неявно 240
50.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 241
50.5. Первая квадратичная форма поверхности 247
50.6. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между
ними 249
50.7. Площадь поверхности 250
50.8. Ориентация гладкой поверхности , 253
582 Оглавление
50.9. Склеивание поверхностей 256
50.10. Ориентируемые и неориентируемые поверхности 259
50.11. Второй подход к понятию ориентации поверхности 260
§ 51. Поверхностные интегралы 264
51.1. Определение и свойства поверхностных интегралов 264
51.2. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм . . 269
51.3. Поверхностные интегралы по кусочно-гладким поверхностям 270
§ 52. Скалярные и векторные поля 273
52.1. Определения 273
52.2. Об инвариантности понятий градиента, дивергенции и вихря 278
52.3. Формула Остроградского — Гаусса. Геометрическое определение
дивергенции 281
52.4. Формула Стокса. Геометрическое определение вихря 286
52.5. Соленоидальные векторные поля 291
52.6. Потенциальные векторные поля 294
§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра ' 298
53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непре-
непрерывность и интегрируемость по параметру 298
53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра . . . 300
§ 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 303
54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов,
зависящих от параметра 303
54.2*. Признак равномерной сходимости интегралов 309
54.3. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра 311
54.4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра,
к вычислению определенных интегралов 317
54.5. Эйлеровы интегралы 322
54.6. Комплекснозначные функции действительного аргумента . . . 327
54.7*. Асимптотическое поведение гамма-функции 329
54.8*. Асимптотические ряды 334
54.9*. Асимптотическое разложение неполной гамма-функции .... 338
54.10. Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра 340
Глава седьмая
РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 55. Тригонометрические ряды Фурье 343
55.1. Определение ряда Фурье. Постановка основных задач .... 343
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю 348.
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации 352
55.4. Сходимость рядов Фурье в точке 357
55.5*. Сходимость рядов Фурье для функций, удовлетворяющих
условию Гёльдера .t 365
55.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических 368
55 7. Приближение непрерывных функций многочленами . .-. . . . 373
55.8. Полнота тригонометрической. системы и системы неотрица-
неотрицательных целых степеней х в пространстве непрерывных функ-
функций 375
55.9. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство
Бесселя и равенство Парсеваля 378
55.10. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференци-
дифференцирование рядов Фурье 381
55.11. Почленное интегрирование рядов Фурье .' 386
Оглавление 583
55.12. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплекс-
Комплексная запись рядов Фурье 388
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье 390
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье 390
56.2. Различные виды записи формулы Фурье 395
56.3. Главное значение интеграла 396
56.4. Комплексная запись интеграла Фурье ! 397
56.5. Преобразование Фурье 398
56.6. Интегралы Лапласа 401
56.7. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых
функций 402
56.8. Преобразование Фурье производных 404
56.9. Свертка и преобразование Фурье 406
56.10. Производная преобразования Фурье функции 407
§ 57. Функциональные пространства 411
57.1. Метрические пространства 411
57.2. Линейные пространства 421
57.3. Нормированные и полунормированные пространства 426
57.4. Примеры нормированных и полунормированных пространств 426
57.5. Свойства полунормированных пространств 436
57.6. Свойства нормированных пространств 440
57.7. Линейные пространства со скалярным произведением 447
57.8. Примеры линейных пространств со скалярным произведением 449
57.9. Свойства линейных пространств со скалярным произведением.
Гильбертовы пространства 451
57.10. Пространство Ц 456
§ 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним 471
58.1. Ортонормированные системы •. 471
58.2. Ортогонализация 475
58.3. Полные системы. Полнота тригонометрической системы и
системы полиномов Лежандра 478
58.4. Ряды Фурье 481
58.5. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых прост-
пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых прост-
пространств 490
58.6. Разложение функций с интегрируемым квадратом в ряд Фурье 496
58.7*. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций.
Теорема Планшереля ; 501
§ 59. Обобщенные функции 510
59.1. Общие соображения 510
59.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопря-
Сопряженные пространства . .' 516
59.3. Определение обобщенных функций. Пространства D и D' ¦ . ¦ 520
59.4. Дифференцирование обобщенных функций 526
59.5. Пространство основных функций 5 и пространство обобщенных
функций S' 530
59.6. Преобразование Фурье в пространстве S 532
59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций 535
ДОБАВЛЕНИЕ
§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений 543
60.1. Применение формулы Тейлора для приближенного вычисления
значений функций и интегралов 543
584 . Оглавление
60.2. Решение уравнений 547
60.3. Интерполяция функций 553
60.4. Квадратурные формулы : 555
60.5. Погрешность квадратурных формул 558
60.6. Приближенное вычисление производных 563
§ 61. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов 565
§ 62. Предел по фильтру 567
62.1. Топологические пространства 567
62.2. Фильтры 569
62.3. Предел фильтра 573
62.4. Предел отображения по фильтру 574
Именной указатель 577
Предметный указатель ' . 578