Текст
                    

ГЕОМЕТРИЯ ЖАЛПЫ Б1Л1М БЕРЕТ1Н МЕКЕМЕЛЕРДЩ 10-11-СЫНЫПТ АРЫНА АРНАЛРАН ОЦУЛЫК Цазац mLuHdeei аудармасын Цазацстан Республикасыныц Бъим жене гылым. лшнистрлш бекггпкен Орыс типндег! алтыншы басылымына сайкес казак ткпндег! тортшпп басылымы МЕКТЕП АЛМАТЫ, 2001 Я I f
Автор лары: АтаиасянЛ.С.. Бутузов В. Ф.. КадомцевС Б . Кисилева Л. С.. По.тякЭ.Г Казак плите аударгандар:ЖрллзямисшС.. НурпешоовЖ., ТоцтамысовИ. Оку лык жалпы бьтгм беретш орта мектепке арналган математика окулыктарыиьщ конкурсында бц innii орын алган. Геометрия: Жалпы б!л1м берет!н мекемелердщ 10-11 < ы-ныптарына арналган окулык Л.С.Атанасян жене баска ыр. Орыс тЫндеп тупнускасын шыгаруда гылыми басшылыц ет-кен А.Н.Тихонов. 4-басылымы - Атматы, “Мектеп” баснэсы, 2001-208 бет: сур. ISBN 5-625-04020-6 4306020500-120 Г----------------j ! 2-99 404(05J-2001 X Атанасян JI.C. и другие, 1996 ISBN 5-625-04020-6 (каз.) ISBN 5 09-008394-0 (рус.) € Жумагалиева С., HypneincoB Ж., Токтамысов И., аударма, 1999 £ “Мектеп” ААК, 2001 Барлык кукыктары коргалган
10-сынып К1Р1СПЕ 1. Стереометрия noni. Геометрияныц мектептей курсы ек! бол!мнен: планиметриядан жене стереометриядан турады. Планиметрия да жазыктыктагы геометриялык фигура л ар дыц касиеттер1н уйретедй Стереометрия деген1м.1з кецютиктег! фигура-лардыц цасиепиперш ок;ытып уйрететт геометрияныц бел1м1. “Стереометрия” грек сез! “стереос” - колемд!, кешсйкй дегепд!, ал “метрео” олшеу дегещц бьчдаредк Нуктелер. тузу лер жене жазыцтыц кешстштей карапайым epi нейзй фигуралар болып табылады. Булармен катар геометриялык, денелер жоне олардын бет т epi деп аталатын фигураларды карас-тырамыз. Айналадагы б!зд! коршап турган нарселер геометриялык денелер туралы туйшк бередк Мысалы, кристалдар беттер! кепбурыштардан туратын геометриялык денешц шийшн бередй Мундай беттерд! копжацтар деп атайды. Куб кепжактьщ карапа-йым Typi болып табылады (1, а-сурет). Суйык тамшысы салмаксыз-дык жагдайыда шар деп аталатын геометриялык дененешц шийшн кабылдайды (1, £-сурет). Футбол добыныц шпйш де шар тар1зд1. Консерв! сауыты цилиндр аталатын геометриялык денешц шпйш тер!зда (1, о-сурет). Геометриялык денелердщ пакты нарселерден озгешелгй, бар-лык геометриялык фигуралар сиякты, коз алдына елестету объекйлер! болып табылады. Б1з геометриялык денелерд! кешстштщ калган бол1г1нен бет аркылы, ягни осы денешц шекара сы аркылы болпгген кещстптн 6ip бол!п деп тусшем1з. Мысалы, шардыц шекарасы сфера, ал цилиндрдщ шекарасы eKi доцгелектен цилиндрдщ табандарынан жене бушр бетшен турады. 6) в) а) Куб. б) Шар. в) Цилиндр. 1-сурет.
a) а) Параллелепипед. 2-сурет. Геометриялык фигура л ар дыц, ягни елестету объектглерппн касиеттерш окып-уйрене отырып, 6i3 пакты нэрсалердщ касиеттер! туралы (олардыц riiimni, озара орналасуы жене т.б. ту-ралы) маглумат аламыз да, осы касиеттерд! кунделжт! турмыста колданамыз. Геомегрияныц практика лык (колданбалы) манызы да осында. Геометрия, оныц шпнде стереометрия, курылыс жумы-сында, сеулет, машина жасау, геодезия, гылым мен техниканын тагы баска коптеген саласында пайдаланылады. KenicTiKTiK фигураларды, атап айтканда геометриялык денелерд! окып-уйренгенде олардыц сызбадагы кескшдер! пайдаланылады. Кешст1кт1к фигураныц кескнп ретшде мгндетт! тур де оныц кандай да 6ip жазыктыкка тупрьтген про< кциясы алынады. Bip гана фигураныц ар турл! кескш! болуы мумкш. Олардыц пшнен фигураныц дурыс ппшшн корсететпп жане сол фигураныц касиеттерш зерттеуге негурлым ьщгайлысы тацдап алынады. 2, а, б-суреттерде ei<i копжак - параллелепипед жоне пирамида, ал 2, e-суретте конус кесшнделген. Бул фигуралардын кор1нбейт1н бол!ктер! уз!к сызыктармен кеск1нделген. Кец1ст1ктег1 фигураларды кескшдеу ережес! 1-косымшада келт!р!лген. X сыныпта 613 тузулер мен жазыктыктардыц озара орналасу-ын, кещетвктеп копжактар мен векторларды окып-уйренем!з, ал XI сыныпта кещетжтеп координаттар ад1с1, “доцгелек” геометриялык денелерш - цилиндрд!, конусты, шарды окып-уйренем!з жене денелердщ колемш карастырамыз. 2. Стереометрияныц аксиомалары. Планиметрияда непзп фи-гуралар нуктелер мен тузулер болган едк Стереометрияда олармен катар тагы 6ip Herisri фигура - жазъщгпыц карастырылады. Устелдщ не кабырганьщ тепе бет! жазыктык туралы тус!н!к бередд. Геометриялык фигура ретшде жазыктыкты барлык жакка б1рдей созылып жаткан, шекпз деп елестету керек. Бурынгыша нуктелерд! латынньщ бас арштер1мен А,В,С жене т.с.с., ал тузулерд! Kimi ар!птер!мен а, Ь. с жане т.с.с. не ек! бас аршмен ABt CD жане т.с.с. белплейм!з. Жазыктыктарды ос, р, у жане т.с.с. грек арштер!мен белплейм!з. Суреттерде жазыктыктар
корней! корсету: пластина 6ip тузудщ бойында жатпайтын А, В жоне С нуктелершс бектлгсн. параллелограмм туршде кесшнделед! (3, а-сурет) немесе еркш алын-ган облыс (аймак) регпнде кескшделед! (3, б-сурет). Эр жазыктыкта оныц кандай да 6ip нуктелер! жататыны айкын, 6ipaK кещстжтщ барлык нуктес! сол 6ip гана жазыктыкта жатады деп тусшуге болмайды. 3, б-суретте А жене В нуктелер! [3 жазыкты-гында жатыр ф жазыктыгы осы нуктелер аркылы отед!), ал М, N, Р нуктелер! бул жазыктыкта жатпайды. Муны кыскаша былай жазуга болады: А G р, В е р, М £ Р, N £ [3, Р £ р. Нуктелердщ, тузулердщ жене жазыктыктардыц езара орнала-суына байланысты непзп касиеттер! аксиомалармен бер!лген. Сте-реометрияньщ барлык аксиомалар жуйес! нейзшен ез!м1зге планиметрия курсынан белг!л! аксиомалар тобынан турады. Аксиома-лардын толык TisiMi жене олардын кейб!р салдарлары 2-косымша-да келт!р1лген. Бул жерде б!з нуктелердщ, тузулердщ жане жазык-тыктардыц кец!ст1ктег! озара орналасуы туралы уш аксиомасын гана тужырымдаймыз. Аг Б№тузудщ бойында жатпайтын кез келген yiu нукте арцы. лы 6ip жопе тек б1р гана жазьщтъщ журггзуге болады. 4-суретте кесюнделген улг! бул аксиомага тусшд!рме бола ала-ды. Bip тузудщ бойында жатпайтын А, В, С нуктелер! аркылы отетш жазыктыкты кейде АВС жазыктыгы деп атайды. Егер уш нукте емес, ерк!м!зше терт нукте алсак, онда олар аркылы б!рде-б!р жазыктык erneyi мумкш. Баскаша айтканда, торт нукте 6ip жазыктыкта жатпауы мумкш. Бул мысалдын корнею дэлелдемес! борще таныс: егер орындыктьщ торт аягыньщ узын-дыгы б!рдей болмаса, онда уш аягы “уш нуктеге” т!релш турады да, ал терт!нш1 аягы (тертшпи “нукте”) еден жазыктыгында жат-пай, ауада 1лшш турар едй А2. Егер 6ip тузудщ ек1 нуктес1 б ip жазъщтьщта жатса, онда тузудщ барлъщ нуктелер1 осы жазьщтьщта жатады.
ЛВтузу! а жазык- а тузу1 и жазык- а мен Р жазыктыктары а тыгында жатыр. тыгымен кпылысады. тузушж бойымен киылысады. «5-сурст. Мундай жагдайда тузу жазыцтыцта жатыр немесе жазьщтыц тузу аркылы omedi деп айтылады (5, а-сурет). А2 аксиомасында айтылган касиет сызба сызгышыныц “тузу-лнчн” тексеру уппн пайдаланылады. Осы максатпен сызгыштыц 6ip шет!н устелдщ жазык бетше такап кояды. Егер сызгыштыц шет! Teric (тузусызыкты) болса, онда оньщ барлык нуктеси устелде жатады. Егер сызгыштын. meri Teric болмаса, онда онымен устел бет!шн арасында санылау пайда болады. Л2 аксиомасынан мынау шыгады: егер тузу бер!лген жазыцтык-та жатпаса, онда онын жазыктыкпен б!рден артык орта к нуктес! болмайды. Егер тузу мен жазыктыктьщ 6ip гана ортак нуктес! бар болса, онда олар циылысады, деп айтады (5, б-сурет). А3 Егер exi жазыцтыцтьщ орпгац nyicmeci бар болса, онда бул жазъщтъмрпардьщ ортац иуктелер1 жататындай ортсщ тузу! бар болады. Мундай жагдайда жазыктыцтар тузу бойымел циылысады деп айтады (5, e-сурет). А аксиомасыньщ корнею тусшд!рмес1 ретшде сынып белмесппн сыбайлас ек! кабыргасыныц немесе тобес! мен кабыргасынын киылысуын алуга болады. Бертлген аксиомалардыц алгашкы салдарына кошпей турып, ьтгерше пайдаланатын манызды 6ip жагдайды атап откен жен. Кешст1кте шекс!з кеп жазыктыктар бар жене ep6ip жазыктык уппн планиметриянын барлык теоремалары мен аксиома лары орындалады. Сондай-ак, планиметрия курсынан белНл! ушбурыштардын тендш жене уксастык белгхс! ар турл! жазык-тыкта орналаскан ушбурыштар уппн де орындалады (2-косым-шаны карандар). 3. Аксиомалардыц кейб!р салдарлары. Теорема: Eip тузу жоне онда жатпайтын 6ip нукте аркылы 6ip жоне тек 6ip гана жазъщтык; emedi.
6-сурет. 7-сурет. Далелдеуь а тузуш жане онда жатпайтын М нуктесш карас-тырамыз (6 сурет). а тузу! мен М нуктес! аркылы жазыктык отетшш деле л дегак. атузушен Джоне фнуктелерш белЯлегак. М, Р жане Q нуктелер! 6ip тузудщ бойында жатпайтындыктан, А1 ак-сиомасына сайкес бул нуктелер аркылы кандай да 6ip а жазыктыгы отед1. атузупод ею нуктес! (Джане Q) а жазыктыгында жа-татындыктан, А2 аксиомасы бойынша а жазыктыгы а тузу! аркылы отед!. а тузу! мен М нуктес! аркылы ететш кез келген жазыктык М, Р жане Qнуктелер! аркылы атетпццктен, а тузу! мен М нуктес! аркылы ететш жазыктыктыц жалгыз екен! шыгады. Демек, бул жазыктык ос жазыктыгымен беттесед!, ейткен! аксиомасы бойынша М, Р жане Q нуктелер! аркылы тек 6ip гана жазыктык отед!. Теорема далелденд!. Теорема. Циылысатын ек1 тузу аркылы б ip жоне тек 6ip гана жазьщтык; omedi. Далелдеуъ М нуктесшде киылысатын а мен b тузулерш карастырамыз (7-сурет) жене бул тузулер аркылы 6ip жане тек 6ip гана жазыктык етет!н!н далелдейм!з. b тузушщ бойынан М нуктесшен езгеше кандай да 6ip N нуктесш бслг!лей!к. а тузу! мен N нуктес! аркылы ететш а жазык-тыгын карастырайык. b тузу!н!ц ею нуктес! а жазыктыгында жа-татындыктан, А2 аксиомасы бойынша ос жазыктыгы Ьтузу! аркылы отед!. Сонымен, а жазыктыгы а мен b тузулер! аркылы етед!. а мен b тузулер! аркылы ететш кез келген жазыктык N нуктес! аркылы да ететш болгандыктан, жазыктыктыц жалгыз екен! шыгады. Ендеше, N нуктес! мен а тузу! аркылы тек б!р гана жазыктык отетшджтен, алынган жазыктык ос жазыктыгымен беттесед!. Тее-рема далелденд!. CYPAKTAP ЖОНЕ ЕСЕПТЕР 1. 8-сурет бойынша: а) РЕ, МК, DB, АВ, ТС тузулер! жататып жазыктыктарды; a) DK тузу! мен АВС жазыктыгыныц, СЕ тузу! мен ADB жазыктыгыныц киылысу нуктелерш; б) A Dli мен DBC жазыктыктарында жаткан нуктелерд!; в) АВС мгн DCB, ABD мен CDA, PDC мен АВС жазыктыктары киылыса тын тузулерд! атацдар.
8-сурет. 9-сурет. 2. 9-сурет бойынша: a) DCCX мен BQC жазыктыктарында жаткан нуктелердг, а) ААХ тузу! жаткан жазыктыктарды; б) МК тузу! мен ABD жазыктыгыньщ, DK жене ВР тузулерпод А В Сх жа-зыктыгымен киылысу нуктелер!н; в) ААХВХ мен ACD, РВХСХ мен АВС жазыктыктарыныц киылысу тузулер!н; г) МК мен DC, ВХСХ мен ВР, СХМ мен DC тузулерпод киылысу нуктелерш атацдар. 3. Мына айтылгандар дурыс па: а) кез келген уш нукте 6ip жазыктыкта жатады; е) кез келген торт нукте 6ip жазыктыкта жатады; б) кез келген терт нукте 6ip жазыктыкта жатпайды; в) кез келген уш нукте аркылы тек б!р гана жазыктык отед!. 4. А, В, С жене D нуктелер! б ip жазыктыкта жатпайды. а) Бу лар -дын кандай да 6ip уш нуктес! 6ip тузуд!ц бойында жатуы мумюн бе? е) АВ мен CD тузу лер! киылыса ма? Жауабын делелдецдер. 5. Тузудщ бойында жаткан бер!лген уш нукте аркылы жазыктык отепшн делелдецдер. Мундай жазыктыктар нешеу? 6. Бер!лген уш нукте кесшдглер аркылы кос-костан косылган. Кесодцлердщ бор! б!р жазыктыкта жататынын делелдецдер. 7. Ею тузу М нуктесшде киылыскан. М нуктес! аркылы етнейтш жене бер!лген тузулерд! киып отетш тузулердщ бар! б!р жазыктыкта жататынын делелдецдер. М нуктес! аркылы отетш тузулерд!ц 6epi б!р жазыктыкта жата ма? 8. Мынадай уйгарым дурыс па: а) шецбердщ ек! нуктес! 6ip жазыктыкта жатса, онда шецбердщ оз! де осы жазыктыкта жатады; а) егер шецбердщ уш нуктес! 6ip жазыктыкта жатса, онда шецбердщ оз! де осы жазыктыкта жатады? 9. Параллелограмньщ сыбайлас ею тебес! жене диагональдары-ньщ киылысу нуктес! ос жазыктыгында жатыр. Параллелог-рамньщ баска ею тобес! а жазыктыгында жата ма? Жауабын делелдецдер. 10. Егер тузу берЬгген ушбурыштьщ: а) ею кабыргасын киятын болса; а) тобелершщ б!р! аркылы отетш болса, осы тузу бер!лген ушбурыштьщ жазыктыгында жатады деген!м!з дурыс па?
11. Тузу жене бул тузуде жатпайтын нукте бер!лген. Берии ен нукте аркылы ©тет!н жене бер!лген тузуд! киып отетш тузулердщ 6api б!р жазыктыкта жататынын далелдендер. 12. А, В, С. D нуктелер! 6ip жазыктыкта орналаспаган. А, В, С жане А, В, D нуктелер! аркылы отетш жазыктыктар киылыса ма? 13. Ею жазыктыктын: a) 6ip гана ортак нуктес!; а) тек ею ортак нуктес!; б) 6ip гана ортак тузу! болуы мумюн бе? 14. Уш тузу 6ip нукте аркылы отед!. Эр ею тузу аркылы жазык-тык жург!з!лген. Барлыгы неше жазыктык жург!з!лген? 15. Уш тузу кос-костан киылыскан. Бул тузулердщ б!р жазыктыкта жататынын не ортак нуктес! болатынын далелдендер.
ТУЗУЛЕР МЕН ЖАЗЫЦТЫЦТАРДЫЦ ПАР АЛЛЕЛЬ ДПТ § 1. ТУЗУЛЕРДЩ, ТУЗУ МЕН ЖАЗЫЦТЫЦТЫЦ ПАРАЛЛЕЛБД1Г1 4. Кещстштеп параллель тузулер. Кец!ст!ктег! параллель тузулер угымын ештзешк. А н ы к т а м а. Кец1стлктег1 ек1 тузу б1р жазыцтьиупа жатса жоне циылыспаса, ондай тузулер параллель тузулер деп аталады. а мен b тузулершш параллельдпл былай белгхленедй а | | Ь. 10-суретте а мен b тузулер! параллель, ал а мен с, а мен d тузулер! параллель емес. Параллель тузулер туралы теореманы долелдейм!з. Теорема. Кецкииктщ бер1лген тузу де жатпайтын кез келген нуктесь арцылы бер1лген тузуге параллель тек dip гана тузу emedi. Долелдеуь а тузуш жоне бул тузуде жатпайтын М нуктесш карастырайык (11-сурет). а тузу! жоне М нуктес! аркылы жазыктык отед! жоне ол тек 6ipey гана болады (3-п). Бул жазыктыкты а оршмен белНлешк. а тузуше параллель М нуктес! аркылы ететш тузу М нуктесхмен жене а тузу!мен 6ip жазыктыкта, ягни а жазыктыгында жатуы ти!с. Б!рак, ос жазыктыгында планиметрия курсынан белг1л! М нуктес! аркылы а тузуше параллель 6ip тек 6ip гана тузу отед!. 11-суретте бул тузу b оршмен белгьленген. Соны-мен b - М нуктес! аркылы ететш а тузуше параллель жалгыз тузу. Теорема долелдендъ 1лгер1де б!зге параллель кесшд!лер, кесшд! мен тузудш парал-лельд1г!, параллель сеулелер угымдары кажет болады. Параллель
12-сурст. тузулердш бойында жаткан ек! кесшд! параллель кес1нд1лер деп ата-лады. Кесшд! мен тузуд!н параллельдт, ек! саулешц параллельдгг! де осыган уксас аныцталады. 12-суретте CD мен EF кес!нд!лер! параллель (CD | | EF), ал АВ мен CD кес!нд!лер! параллель емес, АВ кесшдкд а тузуше параллель (АВ 11 а). 5. Уш тузудщ параллельдп к Жазыктыкты параллель тузулер-мен кию туралы лемманы далелдейпс Бул api карай баяндауда б!зге кажет. Лемма. Егер бер!лген жазыктыкты. параллель ек1 тузудщ 6ipi циып отсе, онда екпши трзу де осы жазыкрпыцты ^иып omedi. Далелдеу!. а мен b параллель туз у л ер д! карастырамыз. а тузу! ос жазыктыгын М нуктесшде кияды (13, а-сурет). b тузупад де ос жазыктыгын киятынын, ягнп онымен 6ip орта к нуктес! бар болатынын далелдейм!з. а мен b тузулер! жаткан жазыктыкты р аршмен белНлешк. Эр турл1 ос жене Р жазыктыктарынын ортак М нуктес! бар, онда А3 аксиомасы бойынша бул жазыктыктар кандай да 6ip р тузу! бойы-мен киылысады (13, б-сурет). Бул тузу Р жазыктыгында жатыр жоне а тузу!н М нуктесшде киып отедь Сондыктан, ол а тузуше параллель b тузуш кандай да б!р ft нуктесшде киып отед!. р тузу! а жазыктыгында жатыр, сондыктан, N - а жазыктыгындагы нукте болып табылады. Демек, N - b тузу! мен а жазыктыгынын ортак нукте ci. b тузушщ ос жазыктыгымен N нуктесшен баска ортак нуктес! жок екенш долелдешк. Бул b тузу! а жазыктыгын киятынын керсетедъ Шынында да, егер b тузушщ а жазыктыгымен тагы б!р ортак нуктес! бар болса, онда ол тугелдей а жазыктыгында жаткан болар ед! де, а мен р жазыктыктарынын ортак тузу! бар болып, олр тузу!мен беттесер ед!. Б!рак бул мумкш емес, ойткен! шарт бойынша а 11 б, ал а мен р киылысады. Лемма далелдендь Егер уш тузу 6ip жазыктыкта жатса, ал олардыц екеу! yiiiiiinn тузуге параллель болса, онда бул ек! тузу езара параллель болаты-
ны планиметрия курсынан белплк Осы-ган уксас уйгарымды кен!ст!ктег! уш тузу ушш далелдейм!з. Теорема. Егер ек1 тузу yuiiiiiui тузуге параллель болса, о л тузу лер па рал ле ль болады. Далелдеуй а||с жене b | | с бол-сын. а | | b екешн далелдейж. Ол ушш а мен b тузулер!: 1) 6ip жазыктыкта жататынын жене 2) киылыспайтынын делел-деу керек. 1) b тузушщ бойынан кандай да 6ip К нуктесш белг!лейм!з де, а тузу! мен К нуктес! аркылы отетш жазыктыкты ос деп белг!лейм!з (14-сурет). b тузу! осы жазыктыкта жататынын дэлелдешк. Шы-нында да, егер b тузу! осы ос жазыктыгын киып отетш болса, жазыктыкты параллель тузулердщ киып оту! туралы лемма бойынша с тузу! де ос жазыктыгын кияды. Б!рак с | а болгандыктан, а тузу! ос жазыктыгын киып отед!, булай болуы мумюн емес, ойткеш а тузу! а жазыктыгында жатыр. 2) а мен b тузулер! киылыспайды, ойткеш кер!сшше болса, олардьщ киылысу нуктес! аркылы с тузуше параллель ею тузу отер ед! (а жане б), булай болуы мумюн емес. 6. Тузу мен жазыктыктыц параллельдпч. Егер тузудщ ею нуктес! бер!лген жазыктыкта жатса, онда А2 аксиомасы бойынша тузудщ оз! де осы жазыктыкта жатады. Будан кещстжтег! тузу мен жазыктыктыц озара орналасуыныц уш жагдайы болуы мумюн екен! шыгады: а) тузу жазыктыкта жатады (5, а-суретт! карандар); а) тузу мен жазыктыктын 6ip гана ортак нуктес! бар, ягни олар киылысады (5, б-суретт! карандар); б) тузу мен жазыктыктыц б!рде-б!р ортак нуктес! болмайды. А н ы к т а м а. Ортац нуктес1 жщ болатын тузу мен жазыцтыц параллель деп аталады. а тузу! мен а жазыктытынын параллельдгг! былай белпленедк ас | | ос. Жазыктыкка параллель тузу туралы кернек! мысалга троллейбустщ не трамвайдын отюзпш сымдарын алуга болады: сымдар жердщ жазыктыгына параллель. Тагы 6ip мысал -болменщ кабыргасы мен тобесшщ киылысу сызыгы еденнщ жазыктыгына параллель (15, а-сурет). Еден жазыктыгында осы сы-зыкка параллель тузу бар екешн айта кеткен жен. Мысалы, еденнщ кабыргамен киылысу сызыгы сондай тузу белый та бы лады. 15, а-суретте бул тузулер а жене b эрштер!мен белгьленген. Егер ос жазыктыгында бул жазыктыкта жатпайтын а тузуше параллель b тузу! бар болса, онда а тузу! мен ос жазыктыгы параллель болады екен (15, б-сурет). Баскаша айтканда, а жазыктыгында а
15-сурет. тузуше параллель b тузушщ бар болуы а тузу! мен а жазыктыгы-пын паралельдш туралы корытынды жасау ушш белг1 болып та-былады. Бул уйгарымды теорема туршде тужырымдайык. Теорема. Егер берълген жазы^ты^та жатпайтын тузу осы жазы^ты^та жататын цандай да dip тузуге параллель болса, (шда ол осы жазыцтылжа параллель болады. Дэлелдеуь а жазыктыгын жене а мен Ъ параллель тузулер! н карастырайык. Мундагы b тузу! а жазыктыгында жа-тыр, ал а тузу! бул жазыктыкта жатпайды (15, б-сурет). а | | а екешн далелдешк. Олар параллель емес деп уйгарайык. Онда а 1 узу! а жазыктыгын кияды, ендеше параллель тузулердщ жазык-тыкты киюы туралы лемма бойынша b тузу! де а жазыктыгын кияды. Б!рак b тузу! а жазыктыгында жаткандыктан, булай болуы мумкш емес. Сонымен, а тузу! а жазыктыгын киып отпейд!, сон-дыктан да ол осы жазыктыкка параллель болады. Теорема долелденд!. Есеп шыгарганда жи! колданылатын тагы ею уйгарымды дэлелдешк. ‘ •« ’ f • 1 . Егер жазыктык; басца 6ip жазыцтыцца параллель бер1лген тузу аркылы отсе жоне ол жазыцтыкты циып отсе, онда жазылупгыцтар дыц циылысу сызыгы берьлген тузуге параллель болады. ажазыктыгына параллель бер!лген а тузу! аркылы о жазыктыгын b тузуйпц бойымен киып ететш р жазыктыгы етсш дешк (16-сурет). b а екешн далелдешк. Шынында да, бул тузулер 6ip жазыктыкта (а азыктыгында) жатыр жене киылыспайды: керйлнше болтан жагдайда а тузу! а жаЗЪщтыгын кияр ед!, булай болуы мумкш емес, ейткен! шарт бойынша а 11 сс 2 . Егер параллель ек1 тузуд'щ 6ipeyi бер1лген жазыцтыцца параллель болса. онда ек1нш1 тузу де бер1лген жазыцтьища не параллель болады, не осы жазъщтъщта жатады. Шынында да, а мен Ь- параллель тузулер жене а жазыктыгы а тузуше параллель болсын. Сонда а тузу! ос жазыктыгын кимгит-
ды, ендеше, параллель тузулердщ жазыктыкты киып оту! туралы лемма бойынша b тузу! де ос жазыктыгын кимайды. Сондыктан b тузу! не а жазыктыгына параллель болады, не осы жазыктыкта жатады. CYPAKTAP ЖОНЕ ЕСЕПТЕР 16. а мен b параллель тузулер! а жазыктыгында жатыр. а мен b тузулер!н киятын с тузу! де а жазыктыгында жататынын долелдендер. 17. 17-суретте М, N, Q жоне Р нуктелер! - DB. DC. АС жоне АВ кес!нд!лер!н!н орталары. MNQP тортбурышынын периметр!н табындар, мундагы AD= 12 см, ВС=14 см. 18. С нуктес! АВ кес!нд!с!нде жатыр. А нуктес! аркылы жазыктык журпз!лген, ал В жене С нуктелер! аркылы осы жазыктыкты сейкес Вх жене С} нуктелершде киятын параллель тузулер жург!з!лген. Егер: а) С нуктес! АВ кес!нд!с!нщ ортасы жоне ВВа=7 см болса; о) АС:СВ=3:2 жоне ВВ1=20 см болса, СС} кес!нд!с!н!ц узындыгын табындар. 19. ABCD параллелограмыньщ АВ мен ВС кабыргалары а жазыктыгын кияды. AD мен DC тузулер! де а жазыктыгын киятынын долелдендер. 20. Трапециянын орта сызыгы ос жазыктыгында жатыр. Трапеция-ньщ табандарын камтитын тузулер а жазыктыгын кия ма? Жауабын непздендер. АВС жоне ABD ушбурыштары 6ip жазыктыкта жатпайды. CD 21. кес!нд!с!не параллель кез келген тузу беригген ушбурыштар-дыц жазыктыктарын киятынын долелдендер. А мен В нугелер! а жазыктыгында жатады, ал С нуктес! бул 22. жазыктыкта жатпайды. АС жене ВС кесшдалерпод орталары аркылы ететш тузу а жазыктыгына параллель болатынын долелдендер.
23. М нуктес! ABCD чнктортбурышыныц жазыктыгында жатпайды. CD тузу! АВМ жазыктыгына параллель болатынын далелдендер. 24. М нуктес! табаны AD болып келген ABCD трапециясынын жазыктыгында жатпайды. AD тузу! ВМС жазыктыгына параллель бочатынын далелдендер. 25. Егер берьчген тузу ек! жазыктыктын киылысу тузуше параллель жене оз! ол жазыктыктарда жатпайтын болса, онда ол осы жазыктыктарга параллель екешн далелдендер. 26. АВС ушбурышынын АС кабыргасы а жазыктыгына параллель*, ал АВ жене ВС кабыргалары осы жазыктыкпен М жене N нуктелершде киылысады. АВС мен MBN ушбурыштары уксас екешн далелдендер. 27. С нуктес! АВ кесшдкшде жатыр, АВ:ВС=4:3. В нуктес! аркылы отетш ос жазыктыгына параллель CD кесшдкл 12 см-ге тен. AD тузу! а жазыктыгын кайсыб!р Е нуктесшде киятынын далелдендер жене BE кесшд!с!н табындар. 28. АВС ушбурышынын АВ жене АС кабыргаларынан D жене Е нуктелер! мынадай сейкестште алынган: DE^5 см жене BD 2 —— = —. ос жазыктыгы В мен С нуктелер! аркылы отед! жене DA э DE кесшдкше параллель. ВС кесшдаспод узындыгын табындар. 29. ABCD трапециясынын ВС табаны 12 см-ге тен. М нуктес! трапеция жазыктыгында жатпайды, ал К нуктес! - ВМ кес!нд!с!шц ортасы. ADK жазыктыгы МС кесшд!сш кандай да 6ip Н нуктесшде киятынын делелдецдер жене КН кес!нд!с!н табындар. 30. ABCD трапециясынын АВ табаны ос жазыктыгына параллель, ал С тобес! осы жазыктыкта жатыр. а) трапецияныц CD табаны а жазыктыгында жатканын; е) трапецияныц орта сызыгы а жазыктыгына параллель болатынын делел-дендер. 31. а жазыктыгы АВС ушбурышынын ВС кабыргасына параллель жене АВ кабыргасыныц ортасы аркылы отед!. ос жазыктыгы АС кабыргасыныц ортасы аркылы да отетшш детелдец-дер. 32. ос мен Р жазыктыктары АВ тузу!н!ц бойымен киылысады. а тузу! а жазыктыгына да, Р жазыктыгына да параллель, а мен АВ тузулер! параллель болатынын делелдецдер. Ш е ш у i. А нуктес! аркылы а тузуше параллель МА тузуш жург!зем!з** (18-сурет). а тузу! а мен Р жазыктыктарына па- * KeciHai жазыктыкка параллель деп, осы ксчлнд! бойында турган тузу, жазыктыкка параллель болтан жатдайда айтылады. ** “Тузу журпзеипз”, “жазыктык журпземтз” деген создсрд! туфа магьтнасынДл туелнбеу керек (кешетжте тузуд! де, жазыктыкты да журпзбейьпз). Бул создгр корсетчлген тузу не жазыктык карастырылуга жататынын б1лд1ред!.
раллель болгандыктан, МА тузу! сх жазыктыгында да, р жазыктыгында да жатады (6-п., 2 -уйгарым). Сойт!п, МА бойымен сх мен Р жазык-тыктары киылысатын тузу екен, ягни ол АВ тузу!мен беттеседъ Де-мек, АВ 11 а. 33. Егер oip тузу аркылы отпейтпз уш жазыктык кос-костан киылысатын болса, онда олардын киылысу тузулер! не параллель, не олардын ортак нуктес! бар болатынын долелдендер. § 2. КЕЩСТ1КТЕ ТУЗУЛЕРДЩ ©ЗАРА ОРНАЛАСУЫ. EKI ТУЗУДЩ АРАСЫНДАГЬГ БУРЫШ 7. Айкас тузулер. Егер ек! тузу киылысса не параллель болса, онда олар б!р жазыктыкта жатады. Алайда кешстакте ек! тузу 6ip жазыктыкта жатпауы мумк!н, ягни осы ек! тузу аркылы ететш жазыктык болмайды. Мундай тузулердщ киылыспайтыны жоне параллель болмайтыны анык- А н ы к т а м а. Ек1 тузу 6ip жазъщтъщта жатпаса, оларды а1щас тузулер деп атайды. Айкас тузулерге кеп!рд!ц астынан жене устшен отет!н жолдар корнек! мысал бола а лады (19-сурет). Айкас тузулерд1ц б е л г i с i н б!лд!рет!н теореманы дэлелдейшз. Теорема. Егер ек1 тузудщ 6ipi белгий 6ip жазъщтъщта жат са, ал екшиа тузу осы жазы^ты^ты 6ipinmi тузуде жатпайтын нуктеде циып отсе, онда олар айцас тузулер болады. 19-сурет. 20-сурст.
Киылысутпы тузулер. Параллель тузулер. Айкас тузулер. 21 -сурет Далелдеу!. ос жазыктыгында жаткан АВ тузуш жене осы жазыктыкты АВ тузуш де жатпайтын С нуктейнде киятын CD тузуш карастырайык (20-сурет). АВ мен CD айкас тузулер екешн, hi ни олар 6ip жазыктыкта жатпайтынын далелдешк. Шынында да, егер АВ жане CD тузулер! кандай да 6ip Р жазыктыгында жата-1ы десек, онда р жазыктыгы АВ тузу! мен С нуктес! аркылы ететш иолады, сондыктан а жазыктыгымен беттесед!. Булай болуы мумкш емес, ойткен! CD тузу! а жазыктыгында жатпайды. Теорема далелденди Сонымен, ею тузудш кешейкте орналасуыныц уш жагдайы болуы мумкш: а) тузулер циылысады, ягни олардыц тек 6ip гана ортак нуктес! бар (21, а-сурет); о) тузулер параллель, ягни олар 6ip жазыктыкта жатады жане киылыспайды (21, б-сурет); б) тузулер аСщас, ягни олар 6ip жазыктыкта жатпайды (21, в-сурет). Айкас тузулер туралы тагы 6ip теореманы долелдейм!з. Теорема. Аицас тузулердщ орцаисысы аркылы екиши тузуге параллель 6ip жоне тек 6ip гана жазьщтьщ emedi. Делелдеуи АВ мен CD айкъс тузулерш карастырайык (22-сурет). АВ тузу! аркылы CD тузуше параллель 6ip жане тек 6ip гана жазыктык отет!н!н далелдешк. А нуктес! аркылы CD тузуше параллель АЕ тузуш журызешк те, АВ, АЕ тузулер! аркылы ететш жазыктыкты а оршмен белплешк. CD тузу! ос жазыктыгында жатпайтындыктан, api осы жазыктыкта жаткан АСЕ тузуше параллель болгандыктан, CD тузу! а жазыктыгына параллель болады. а — АВ тузу! аркылы отетш жане CD тузуше параллель жалгыз гана жазыктык екен! айкын. Шын машешде, АВ тузу! аркылы отетш кез келген баска жазыктык АЕ тузу!мен киылысады. Ендеше, онымен параллель CD тузу!мен де киылысады. Теорема далелденди Бул теореманыц корнею мысалы ретшде 22-сурет
23-сурет. 24-сурет. 6ipi кошрдщ уст!мен, ек!нш!с! кошрдщ астымен отетш ек! жолды айтуга болады (19-сурет). Астынгы жол устщг! жолга параллель болатындай жер жазыктыгында жатыр (жене кер!с!нше). 8. Кабыргалары багыттас бурыштар. Аксиомалардьщ 6ipiHe сайкес (2-косымшаны кара) жазыктыкта жаткан кез келген а тузу! осы жазыктыкты жарты жазыктыктар деп аталатын ею болжке болед! (23-сурет). а тузу! осы жарты жазыктыктардыц аркайсыныц шекарасы деп аталады. Bip гана жарты жазыктык-тын кез келген ек! нуктес! а тузушщ б!р жагында жатады, ал ер жарты жазыктыкта жататын кез келген ек! нукте а тузушщ ею жагында жатады (23-сурет). Б!р тузудщ бойында жатпайтын параллель О А мен О сЗулелер! шекарасы 00 болатын oip жарты жазыктыкта жатса, багыттас саулелер деп аталады Б!р тузудщ бойында жататын ОА мен О1А1 саулелер! беттессе не 6ip сауле екшш! сеуленщ бойында жатса, олар багыттас деп аталады. 24-суретте ОА мен О А , соны-мен катар АВ мен О2В2 багыттас, ал О А мен О^А2, О А мен 0^4*, мен О Вг багыттас емес (неге о лай екенш тус!нд!рщдер). Кабыргалары багыттас бурыштар туралы теореманы далелдешк. Теорема. Ек1 бурыштыц сойкес цабыргалары багыттас бол са, ондай бурыштар тец болады. .- Далелдеуъ Кабыргалары / 4 / сайкес!нше багыттас О мен От бурыштарын / карастырайык жене ZO = екен!н / z7/ / далелдешк. / К. // / О бурышыньщ кабыргаларынан А жене I I & нуктелерш белг!лей!к. Сондай-ак, ySTJ----/ бурышыньщ сайкес кабыргаларынан / /// z/ ОХА=ОА, ОхВ{=ОВ кес!нд!лер!н салайык (25-сурет). / ОО}А{А тортбурышы параллелограмм болып табылады, ойткен! карама-карсы 25-сурет. кабыргалары О А мен О1А1 параллель api
26-сурст. тец. Будан АА} 00 х жене АА1=ОО1 екеш шыгады. Осы сиякты, ()0{ВхВ тортбурышы да параллелограмм, сондыктан ВВХ | | ООХ жоне ВВХ=ООХ. А7Ц 11ООХ жене ВВХ11ООХ болгандыктан, уш параллель тузулер туралы теорема бойынша 11 ВВХ. Сонымен катар, ДА^ВВр ойткеш бул кесшдзлердщ аркайсысы OOj-re тен. Сонымен, АВВХА тортбурышында карама-карсы АА мен ВВХ кабырга-лары параллель жане езара тек. Демек, бул тортбурыш - параллелограмм, ендеше АВ=АХВХ. АОВ мен А1О1В1 ушбурыштарын салыстырайык. Олардын уш кабыргасы тец, сондыктан Z0 = ZOr Теорема делелдендъ 9. Тузулердщ арасындагы бурыш. Bip жазыктыкта жататын кез келген киылысушы ею тузу торт жазык емес бурыш курайды. 1£гер бул бурыштардын 6ipeyi белгЬй болса, калган уш бурышты да табуга болады (26, а-сурет). а — калган уш бурыштыц кез к< лгешнен аспайтын бурыш болсын. Мундай жагдайда киылысушы тузулердщ арасындагы бурыш ос-га тен дейдй О ZaZ90 екеш коршш тур. 26, б-суретте а мен b тузулершщ арасындагы бурыш 30 , ал т мен п тузулер!шн арасындагы бурыш 80 -ка тец. Ещц айкас тузулер арасындагы бурыш угымын ешдземгз. АВ мен CD айкас eid тузу болсын (27, а-сурет). КешстжтеН кез келген N нуктес!н алайык та, ол аркылы АВ жане CD тузулерше сэйкесшше параллель АХВХ жоне CXDX тузулерш журНзешк. Егер АХВХ мен C]DX тузулершщ арасындагы бурыш <р-ге тец болса, онда АВ жене CD айкас тузулершщ арасындагы бурыш (р-ге тен деймгз. Айкас тузулердщ арасындагы бурыш М нуктесш тандап алуы-мызга теуелсхз екешн делелдейж. Шынында да, кез келген баска 6ip N2 нуктесш алайык та, ол аркылы АВ мен CD тузулерше сейкесшше параллель А9В., мен CJ) тузулерш журпзейж (27, а-сурет). АХВХ | | А2В2 I I болгандыктан (неге екешн туспшрщдер), тобелерх Мх жене м2 бурыштарыныц кабыргалары кос-костан багыттас (27, а-суретте мундай бурыштар АХМХСХ мен
2 7-сурет. А2М С2, AAI D1 мен A2M2D , т.с.с.). Сондыктан бул бурыштар сайкесшше тен. Будан А2В2 мен C2D2 тузулерппн арасындагы бурыш та <р-ге тен екен! шыгады. М нуктес!н!н орнына айкас тузулердщ б!р!нен кез келген нуктеш алуга болады, 27, б-суретте С£>тузуш!ц бойында М нуктес! белНленген жоне ол аркылы АВ-ге параллель А'В' тузу! жург!з!лген. А'В' пен CD тузулершщ арасындагы бурыш та <р-ге тен. С УРАЦТАР ЖОНЕ ЕСЕПТЕР 34. D нуктес! АВС ушбурышынын жазыктыгында жатпайды. М, N жане Р — сайкесшше DA, DB жане DC кесшд!лер!шн ортала-ры, К нуктес! BN кес!нд!с!нде жатыр. a) ND мен АВ; а) РК мен ВС; б) MN мен АВ; в) МР мен АС; г) KN мен АС; г) MD мен ВС тузулершщ езара орналасуын аныктандар. 35. а тузушде жатпайтын М нуктес! аркылы а тузу!мен ортак нуктелер] болмаитын ек! тузу жург!з!лген. а тузу! мен осы тузулерддн кем!нде 6ipeyi айкас тузулер болатынын далелден-дер. 36. с тузу! а тузуш кияды, ал а тузуше параллель b тузуш киып отпейд!. b мен с-нын айкас тузулер болатынын далелденде. 37. т тузу! АВС ушбурышынын АВ кабыргасын кияды. Егер: а) т тузу! АВС жазыктыгында жатса жане АС кес!нд!с!меи ортак нуктелер! болмаса; а) т тузу! АВС жазыктыгында жатпаса, т мен ВС тузулер! озара калай орналасар ед!? 38. ABCD ромбысынын А тебес! аркылы BD диагона л ше параллель а тузу!, ал С табес! аркылы ромб жазыктыгында жатпайтын b тузу! жург!з!лген; а) а мен CD тузулер] киылыспайты-нын; а) а мен b айкас тузулер екешн далелдешк р. 39. Егер АВ мен CD айкас тузулер болса, онда AD мен ВС да айкас тузулер болатынын далелдендер. 40. а жане b айкас тузулердщ бойынан сайкесшше М жоне N нуктелер! белпленген. а тузу! мен N нуктес! аркылы а жазык-
тьиы, ал b тузу! мен М нуктес! аркылы р жазыктыгы журпзктген. а) b тузу! ос жазыктыгында жата ма? о) а жазыктыгы мен Р жазыктыгы киылыса ма? Киылысады деген жауап болган жагдайда олардыц киылысу тузуш атацдар. 41. Айкас тузулердщ аркайсысы уцпнш! тузуге параллель бола ала ма? Жауабын далелдендер. 42. ABCD параллелограмм жене онымен 6ip жазыктыкта жатпайтын, табаны ЕК болатын АВЕЕ трапециясы бер!лген. a) CD мен ЕК тузулершщ озара орпаласуын аныктацдар. а) Егер трапе-цияга !штей шенбер сызылатын жане АВ=22,5 см; ЕК= 27,5 см болса, онын периметрш табындар. 43. Кешст!кт!к тортбурыш* кабыргаларынын орталары паралле-лограмнын тебелер! болатынын далелдендер. 44. ОВ мен CD - параллель тузулер, ал ОА мен CD - айкас тузулер. ОА мен CD тузулершщ арасындагы бурышты табындар, мундагы: a) Z АОВ=40°; a) Z АОВ=135°; б) Z АОВ-90°. 45. атузу! ABCD параллелограмынын ВС кабыргасына параллель жане параллелограмм жазыктыгында жатпайды. а мен CD — айкас тузулер екешн далелдендер жане олардын арасындагы бурышты табындар, мундагы параллелограмм бурыштарынын 6ipi: а) 50 -ка; а) 121-ка тен. 46. т тузу! ABCD ромбысынын BD диагона л ына параллель жане ромб жазыктыгында жатпайды. а) т жане АС айкас тузулер екешн далелдендер жане олардын арасындагы бурышты табындар; а) т жане AD айкас тузулер екешн далелдендер жене Z АВС=128 болса, олардын арасындагы бурышты табындар. 47. Кещстжтш ABCD тортбурышынын АВ мен CD кабыргалары тен. АВ мен CD тузулер! ВС мен AD кес!нд!лер!н!н ортасы аркылы отетш тузу мен тен бурыштар жасайтынын далелдендер. § 3. ЖАЗЫКТЫКТАРДЫЦ ПАРАЛЛЕЛБД1П 10. Параллель жазыктыктар. Егер ек! жазыктыктын ортак нуктес! болса, онда олар тузудщ бойымен киылысатынын б!лем!з (А3 аксиома). Будан ек! жазыктык не тузу бойымен киылысады (28, (7-сурет), не киылыспайды, ягни б!рде 6ip ортак нуктес! бол-майды (28, б-сурет). А н ы к т а м а. Егер ек1 жазъиупъщ циылыспаса, олар параллель лсазьщты^тар деп аталады. Параллель жазыктыктарга болмешн тобес! мен едеш, карама-карсы турган кабыргалары, уел ел бет! мен еден жазыктыгы мысал бола алады. * Егер тертбурыштьщ тебелер] 6ip жазыктыкта жатпаса, ондай тортбурыш ксн1ст1кт1к деп аталады.
28-сурст. ос мен [3 жазыктыктарынын параллельдгг! былай белгьленед!: ос | р. Е к i ж а з ы к т ы к т ы ц параллельд!кбелг1с1н карастырайык. Теорема. Егер б ip жазыутпыугпыц уиылысушы ек1 тузу! екший. жазыутыутыц сойкес екч тузу псе параллель болса, онда бул жазыутыутар параллель болады. Долелдеу!. ос мен р жазыктыктарын карастырайык (29-су-рет). ос жазыктыгында М нуктес!нде киылысушы а мен b тузулер!, ал Р жазыктыгында а1 мен b тузулер! жатыр: а| а , 6| | b}. а | | р екешн долелдешк. Оуел! тузу мен жазыктыктын параллельд!к белг!с! бойынша а 11 Р жене b 11 р болатынын айта кетейш. ос мен р жазыктыктары параллель емес дешк. Онда олар кандай да б!р с тузушде киылысады. ос жазыктыгы р жазыктыгына параллель а тузу! аркылы етш, р жазыктыгын с тузуш бойлай киятынын корш отырмыз. Будан а | | с екеш шыгады (6-п., Is- касиет бойынша). Б!рак, ос жазыктыгы р жазыктыгына параллель b тузу! аркылы
о год!. Сондыктан b с. Сейт!п, М нуктес! аркылы с тузуше парад юль ек! тузу (а жане Ь) отед!. Булай болуы мумкш емес, ойткеш параллель тузулер туралы теорема бойынша М нуктес! аркылы с тузуше параллель 6ip гана тузу отед!. Ендеше, уйгарымымыз дурыс емес, ос И Р болады. Теорема дэлелденд!. 11. Параллель жазыктыктардыц касиеттер!. Параллель жа-зыктыктардыц ек! касиетш карастырамыз. 1 Егер параллель exi жазьщтьщ уиинии жазыцтыцпен циылысса, онда олардыц циылысу сызыцтары да параллель болады.. Бул айтылганнын корнек! мысалы ретшде болмешц кабыргасы -мен тебе мен еденшн киылысу сызыктарын алуга болады - бул киылысу сызыктары параллель. Бер!лген касиетт! даделдеу уш!н а жане Р параллель жазыктыктары у жазыктыгымен киылысатын-даи а жане b тузулерш карастырайык (30-сурет). а 11 b болатынын далелдешк. Бул тузулер 6ip жазыктыкта жатады (у жазыктыгында) жене киылыспайды. Шынында да, егер а мен b тузулер! киылысса, а мен р жазыктыктарынын ортак нуктес! болар ед!, а 11 р болгандыктан, бул мумкш емес. Сонымен, а мен b тузулер! 6ip жазыктыкта жатыр жене киылыспайды, ягни а | | Ь. 2 Параллель трзулердщ параллель жазыцтыцтар арасындагы KecuidLRepi тец. Бул касиетт! делелдеу ушш параллель ос мен р жазыктыктарынын арасындагы ек! параллель тузудш АВ мен CD кесшд!лерш карастырайык (31-сурет). AB=CD екешн далелдешк. АВ мен CD параллель тузулер! аркылы отетш у жазыктыгы а мен р жазыктык-тарымен АС мен BD параллель тузулер!н!ц бойымен киылысады (1 -касиет). Осылайша, ABDC тортбурышынын карама-карсы кабыргалары кос-костан параллель, ягни ABDC — параллелограмм. Ал параллелограмнын карама-карсы кабыргалары тен, сондыктан AB=CD. СУРАЦТАР ЖОНЕ ЕСЕПТЕР 48. Сынып болмесшде турган нерселерден параллель жазыктык-тардын улНлерш корсетщдер. 49. т тузу! а жазыктыгын В нуктесшде кияды. ттузу! аркылы ететш, а жазыктыгына параллель жазыктык бар бола ма? 50. ос мен р жазыктыктары параллель, т тузу! а жазыктыгында жатыр. т тузу! Р жазыктыгына параллель болатынын далелдендер. 51. Егер а жазыктыгындагы киылысушы т мен п тузулер! р жазыктыгына параллель болса, онда ос мен р жазыктыктары параллель болатынын далелдендер. 52. Ушбурыштын ек! кабыргасы а жазыктыгына параллель. Ушбурыштыц ушшш! кабыргасы да ос жазыктыгына параллель болатынын далелдендер.
53. Bip жазыктыкта жатпайтын А А , В В жене С Сг уш кесшдпод орта нуктелер! ортак. А В мен Л2В2С2 жазыктык-тары параллель екенш долелдендер. 54. В нуктес! ADC ушбурышы жазыктыгында жатпайды. М. N жоне Р нуктелер! - сойкесшше В А, ВС жене BD кесшдглершщ орталары. a) MNP мен ADC жазыктыктары параллель болатынын долелдендер. о) Егер ADC ушбурышы нын а у даны 48 см2 болса, MNP ушбурышынын ауданын табыцдар. Егер а тузу! а жазыктыгын киятын болса, ол ос жазыктыгына 55. параллель кез келген жазыктыкты киятынын долелдендер. Ш е ш у !. а жазыктыгына параллель, еркш алынган р жазыктыгын карастырамыз. Р жазыктыгыныц кайсыб!р В нуктес! аркылы а тузуше параллель b тузуш жург!зем!з. а тузу! а жазыктыгын кияды, ендеше b тузу! де осы жазыктыкты кияды. Демек, b тузу! Р жазыктыгын кияды (ол жазыктыкта жатпайды). Сондыктан, а тузу! де р жазыктыгын киып отед!. о. жене Р параллель жазыктыктар, A-ot жазыктыгынын 56. нуктес!. А нуктес! аркылы жене р жазыктыгына параллель отетш кез келген тузу а жазыктыгында жататынын долелден-дер. а тузу! параллель ек! жазыктыктын б!р!не параллель, а тузу! 57. ек!нш! жазыктыкка не параллель екенш, не сол жазыктыкта жататынын долелдендер. у жазыктыгы а мен р параллель жазыктыктарынын б!р!н 58. кияды. у жазыктыгы екшш! жазыктыкты да киятынын долелдендер. П1 е ш у i. у жазыктыгы а жазыктыгын а тузушщ бойымен Кияды. у жазыктыгы р жазыктыгын да киятынын делелдейм!з. у жазыктыгында а тузуш киып отетш b тузуш жург!зем!з. b тузу! а жазыктыгын кияды, сондыктан ол оган параллель р жазыктыгын да кияды (55-есеп). Демек, b тузу! жаткан у жазыктыгы да Р жазыктыгын кияды. (X жазыктыгында жатпайтын А нуктес! аркылы а жазыктыгы-59. на параллель б!р жоне тек б!р гана жазыктык ететшш долелдендер. Ш е ш у i. ос жазыктыгында киылысатын а мен b тузулерш жург!зем!з, ал А нуктес! аркылы а мен b тузулерше сойкесшше параллель а1 мен Ь} тузулерш жург!зем!з. ал мен Ь} аркылы отетш р жазыктыгын карастырамыз. р - !зделшд! жазыктык, ол А нуктес! аркылы ететшдштен жене ек! жазыктыктын параллельдш белг!с! бойынша ос жазыктыгына параллель. Енд! р - А нуктес! аркылы отетш жоне а жазыктыгына параллель жалгыз гана жазыктык екешн долелдей!к. Шын моншде, А нуктес! аркылы отетш кез келген баска жазыктык Р жазыктыгын кияды. Сондыктан оган параллель а жазыктыгын да Кияды (58-есеп).
60 ос мен р жазыктыктары у жазыктык-тыгына параллель, ос жене р жазыктыктары параллель болатынын далелдендер. 61. а мен b киылысушы тузулер! жане бул тузулердщ жазыктыгында жатпайтын А нуктес! бер!лген. А нуктес! аркылы а мен b тузулер!не параллель б!р жене тек 6ip гана жазыктык отет!шн далелдендер. 62. Бурыш олшеупп аспаптардын диск кондыргысыныц горизонта ль дыгын тексеру ушш диск жазыктыгындагы айкас тузулерде орналаскан ек! денгей-л!к пайдаланылады. Бул децгейлшгерд! орналастырмайтыны нел1ктен? параллель тузулерде 63. ос мен Р параллель жазыктыктары БАС бурышыньщ АВ кабыр-гасын сайкес А: мен А2 нуктелершде, АС кабыргасын сайкес В мен В 2 нуктелер!нде кияды. а) А1А,= 2А1А, А}А2=12 см, АВ =5 см болса, АА9 мен АВ -ш; о) А В =18 см, АА =24 см, э АА ~ — А А, болса, ABL мен АА-ш табындар. О I *-• Z. £ 64. Б!р нукте аркылы етет!н жане 6ip жазыктыкта жатпайтын уш тузу параллель жазыктыктардын 6ipin Ар Вг жене Сг нуктелершде, ал ек!нш!с!н А2, В2, С2 нуктелершде кияды. A^Cj мен А2В2С2 ушбурыштары уксас екешн делелдецдер. 65. АгА2. В В2 жъъе С]С2 параллель кесшд!лерд1н а мен Р параллель жазыктыктарыныц арасында жатыр (32-сурет). а) А В В2А2, В}С С В2 жене А}С С^А2 тортбурыштарыпыц тур!н аныктандар. е) &А.В С.=ДА ,В С екешн далелдендер. § 4. ТЕТРАЭДР ЖОНЕ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД 12. Тетраэдр. Бул курстын б!р тарауы геометриялык денелердщ капбурыштардан туратын беттерше - копжактарга ар-налады. Енд! копжакты егжей-тегжейл! окып уйренгенше солар-дын екеу!мен - тегпраэдрмеи жене параллелепипед fie.H танысамыз. Бул манызды геометриялык ек! денет мысалга ала отырып, тузулер мен жазыктыктардын озара орналасуына байланысты угым-дарды корнек! тусшд!руге мумкпшк беред!. Параллелепипед пен тетраэдр угымдарын енг!збес бурын, планиметрияда б!з кепбурыш деп нен! тусшд!к, соны еске тус!решк. Кепбурыш дегенд! б!з не озш-оз! кимайтын кес!нд!лерден туратын туйык сызык ретшде (33, а-сурет), не осы сызыкпен шек-
О) ABCDE копбурышы -кес1нд1лерден курыл-ган фигура. о) ABODE копбурышы -жазыктыктын ABODE сызыгымен коргпалган бо.ТПГЬ 33-сурет. телген (сызыкпен коса алгандагы) жазыктыктын болт ретшде карастырдык (33, б-сурет). Беттерд! жане кевдстжтеН денелерд! карастырганда копбурыштын екшнн тусшд!рмесш пайдаланамыз. Бул тусшдармеде кешстштег! кез келген копбурыш жазык бет бо-лып табылады. Енд! тетраэдрдщ аныктамасына келешк. Еркш алынган АВС ушбурышын жане бул ушбурыштын жазыктыгында жатпайтын D нуктесш карастырайык. D нуктесш АВС ушбурышынын тобелерхмен кесшдшер аркылы косып, DAB, DBC жане DCA ушбурыштарын аламыз. Торт ABC, DAB, DBC жене DCA ушбурыштарынан курылган бет тетраэдр деп аталады жене былай белгхленедк DABC (34-сурет). Тетраэдрд! курайтын ушбурыштар тетраэдрдщ жацтары деп, олардыц кабыргалары - цырлары, ал тобелер! - тебе ле pi деп аталады. Тетраэдрдщ торт жагы, алты кыры жане торт тобес! болады. Тетраэдрдщ ортак тобес! жок ею кыры царама царсы цырлар деп аталады. 34-суретте AD мен ВС, BD мен AC, CD мен АВ карама-карсы кырлар болып табылады. Кейде тетраэдрдщ жактарынын 6ipin табаны ретшде алып, ал калган ушеуш 6yuip жац-тары деп атайды. Тетраэдр адетте 34 жане 35-суреттерде корсет!лгендей д нагона л ьдарымен бершген донес не до hi с емес тортбурыштар туршде кескшделедк Бул жагдайда коршбейххн кырлар уз!к сызыктармен кескшделед!. 34-суретте коршбейтш! тек АС кыры, ал 35-суретте - ЕК, KF жене KL кырлары. Параллелепипед, ABCD жане
36-сурст. Параллелепипед. 1 В C D тец ек! параллелограмды карастырайык. Олар параллель казыктарда АА , ВВ{, СС жоне DD кесшдгпер! параллель бола-гындай орналаскан (36, а-сурет). АВВ^, ВССХВ}, CDD}CV DAA}DX (1) тортбурыштары да параллелограмдар болып табылады, ойткен! олардын оркайсысыныц кос-костан параллель карама-карсы кабыргалары бар (мысалы, ABBA терг1 бурышында АА} мен ВВ кабыргалары шарт бойынша, ал АВ мен А}В} кабыргалары - параллель ек! жазыктыктын уипшш жазыктыкпен киылысу сызы-1ынын касиет! бойынша (11-п. 16-касиет) параллель). ABCD мен А B]CD] тен ею параллелограмнан жоне (1) торт параллелограм-нан туратын бет параллелепипед деп аталады жоне былай белггленедк ABCDA^B^C XD . Параллелепипедт! курайтын параллелограмдар параллелепипедпиц жацпшры, олардын кабыргалары цырлары, ал параллелограмдардын тебе лер! - тебелерп деп аталады. Параллелепипедтщ алты жагы, он ек! кыры жене сег!з тобес! бар. ПараллелепипедтЫ кыры ортак ек! жагы сыбайлас жацтар деп, ал ортак кыры жоктары царама-к;арсы жацтар деп аталады. 36, б-суретте ABCD мен AJ^CJD,, ADDlA{ мен BCCiB} жактары карама-карсы жактар болып табылады. Bip жакта жатпайтын ек! тобеш карама-карсы тобелер деп атайды. Карама-карсы тебелерд! косатын кесшд! параллелепипедтщ диагональ деп аталады. Эр параллелепипедт1н терт диагонал! бар. 36, б-суретте АС , BDV С А жоне DB кес!нд!лер! диагона льдар болып табылады. Кебшесе параллелепипедтщ кандай да 6ip карама-карсы ею жагын табандары деп, ал калган жактарды бушр жактары деп атайды. Егер табандары ретшде ABCD мен А ВХС D жактарын алса, онда бушр жактары (1) параллелограмдар, ал бушр кырлары ААр BBV СС , жоне кесшдглер! болады. Параллелепипед адетте 36, б-суретте корсеНлгендей кескш-деледй Мунда жактардын кескпп параллелограмм болып табыла-
37-сурет. ды; коршбейтш кырлары жане баска коршбейтш кес!нд!лер, мыса-лы, диагональдар уз!к сызыктармен* кескшделедъ Параллелепипедтщ ек! касиетш карастырайык. 1 . Параллелепипедгтц царама царсы жацтары параллель** жоне тец болады. Мысалы, ABCDA}BXC D параллелепипедппн АВВ Ах мен DCCXDX жактары параллель жане тен (36, б-сурет) болатынын далелдейж. ABCD жане ADDXAX параллелограмдар болгандыктан, АВ | DC жане ААХI DDX. Сойтш, 6ip жацтын киылысушы ек! тузу! АВ мен АА екйшп жактыц сайкес CD мен DD ек! тузуше параллель. Осыдан жазыктыктар параллельдггшщ белг!с! бойынша АВВХАХ мен DCCXDX жактары параллель екен! шыгады. Енд! осы жактардын тенд!гш долелдейм!з. Параллелепипед жактарыныц бар! параллелограмдар болгандыктан, AB=DC жане AAX~DDX, Сол себепт! А АВ мен D^DC бурыштарыныц сайкес кабыргалары багыттас, ендеше бул бурыштар тец. Сонымен, АВВХАХ параллелограммами сыбайлас ек! кабыргасы жене олардын арасындагы бурыш DCC]D1 параллелограмынын сайкес сыбайлас ек! кабыргасы мен олардын арасындагы бурышка тен. Сон-дыктан, бул параллелограмдар тен. 2 . Параллелепипедтщ диагоналъдары dip нуктеде циылысады жоие осы нркпгеде цац белшеди Бул касиетт! далелдеу ушш AYDXCB тертбурышын карастыра-мыз. Оныц АХС мен DXB диагоналъдары ABCDA В С D параллелепипедшщ диагональдары болып табылады. (37, а-сурет). AXDX11 ВС жене AXD=BC болгандыктан (неге екешн тус!нд!р‘щдер), AXDXCB - параллелограмм. Сондыктан, А С мен D В диагональдары кандай да 6ip О нуктесшде киылысады жене осы нуктеде как бол!нед!. Opi карай ADXC}B тертбурышын карастырамыз (37, б-сурет). Бул да параллелограмм болып табылады (осыны далелдендер), де- * Жазыктыктары кецклчк фигуралардын, онын пгпндс параллс и’ницедтш кссюндср! туралы 1-косымшада айтылган. ** Параллелепипед™ ек! жагынын жазыктары параллель болса, ол жлктар параллель деп аталады.
38-сурет. мек, онын А С, В}1) жане диагональдары О нуктесшде киылысады жене киылысу нуктес!нде как белшед!. Акырында, A}B{CD тортбурышын карастыра отырып (37, в-су-рет), дал жогарыдагы сиякты параллелепипедтщ тортшип DB{ диагонал1 де О нуктес! аркылы отетппн жане сол аркылы как бел!нет!н!н керешз. 14. Кималарды салуга арналган есептер. Тетраэдрмен жане параллелепипедпен байланысты коптеген геометриялык есептерд! шыгару уш!н суретте олардын ар турл! жазыктыктармен кимала-рын сала б!лу керек. Тетраэдрдщ жане параллелепипедтщ кимасы деп неш тус!нет!н!м!зд! аныктайык. Тетраэдрдщ (параллелепипедтщ) циюшъс жазъщтыгы деп ек! жагында да бер!лген тетраэдрдщ (параллелепипедтщ) нуктелер! бар кез келген жазыктыкты атайык, киюшы жазыктык тетраэдрдщ (параллелепипедтщ) жактарын кесшдътер бойымен киып отед!. Кабыргалары осы кес!нд!лер болып табылатын копбурыш тетраэдрдщ (параллелепипедтщ) щлмасы деп аталады. Тетраэдрдщ терт жагы болгандыктан, онын кимасы тек ушбурыштар мен тертбурыштар болып шыгады (38-сурет). Параллелепипедтщ алты кыры бар. Онын кимасы ушбурыштар, тертбурыштар (39, а-су-рет), бесбурыштар (39, б-сурет) жене алтыбурыштар бола алады (39, e-сурет). е
Параллелепипедтщ кимасын салган кезде суретте мына жаг-дайды ескерген жон: егер киюшы жазыктык карама-карсы ек! жакты кандай да 6ip кесшдьлер бойымен киса, онда бул кесшд!лер параллель болады (1 -касиет, 11-п.). 39, б-суретте киюшы жазыктык карама-карсы ею (сол жене он) жакты АВ жене CD кеспшлер! бойымен, ал баска, карама-карсы ек! (алдынгы жене арткы) жакты АЕ жене ВС кесшд!лер! бойымен кпятындыктан, АВ | CD жене АЕ 11 ВС. Осы себепт! 39, e-суретте АВ | ED, AF | CD, ВС | | EF. Сол сиякты киманы салу уппн киюшы жазыктыктын тетраэдрдш (параллелепипедт!н) кималарымен киылысу нуктелерш салу жетк!л!кт!, сонан кешн 6ip жакта жаткан, салын-ган ep6ip ек! нуктен! косатьш кес!нд!лерд! журпзу тана калады. Кималарды салу мысалдарын карастырайык. 1-е с е и. ABCD тетраэдр'! нщ АВ. BD жоне CD ^ырларынанМ, N жоне Р нуктелер! белг'тенген (40, а-сурет). Тетраэдрдщ кулмасын. MNP жазыктыгымен жасайтын кулмасын. салу керек. Ш е ш у i. Алдымен MNP жазыктыгы АВС жагынын жазыктыгымен киылысатын тузуд! салайык. М нуктес! бул жазыктыктар-дын ортак нуктес! болып табылады. Тагы 6ip ортак нуктен! табу унпн NP жоне ВС кес!нд!лер!н олар Е нуктесшде киы лыска нша со-замыз (40, б-сурет). Дел осы Е нуктес! MNP мен АВС жазыктыктарынын ортак нуктес! болады. Ендеше, бул жазыктыктар ME тузу! бойында киылысады. ME тузу! АС кырын кандай да 6ip Q нуктесшде кияды. MNPQ - !здел!нд! кима. Егер NP мен ВС тузулер! параллель болса (40, e-сурет), онда NP тузу! АВС жагына параллель, сондыктан MNP жазыктыгы бул жакты NP тузуше параллель ME' тузушш бойында кияды, Q нуктес! 6ipiHini жагдайдагы сиякты, АС кырыныц ME' тузуьмен киылысу нуктес! болады. 2- е с е п. М нукпгесч DABC тетраэдрййн ADB буй ip жагында жа тыр (41, а-сурет). Тетраэдрдщ АВС табанына параллель М нуктесс аркылы отетш жазъщтьщпен цимасын салу керек. Ш е ш у 1. Киюшы жазыктык АВС жазыктыгына параллель болгандыктан, ол АВ, ВС жене СА тузулерше параллель. Демек,
41 -сурст. киюшы жазыктык тетраэдрдщ бушр жактарын АВС ушбурышынын кабыргаларына параллель тузулердщ бойында кияды (6-п., 1 -уйгарым). Будан !здел!нд! киманы салудыц екшнп тас!л! келш шыгады. М нуктес! аркылы АВ кес!нд!сше параллель тузу журпз!п, онын DA жоне DB бушр кырларымен киылысу нуктелерш Р жэне Qaen белгъчешк (41, б-сурет). Сонан кей!н Р нуктес! аркылы АС кеслнднйне параллель тузу журпзш, бул тузудщ DC кырымен киылысу нуктесш R деп белплейш. PQB ушбурышы — !здел!нд! кима. 3 - е с е п. Параллелепипедтщ ^ырларында уш нукте А, В жоне С бер1лген. Параллелепипедтщц АВС жазыкупыгымен цимасъщн салу ке-рек. Ш е ш у i. 1здел!нд! киманы салу параллелепипедтщ А. В жане С нуктелер! кай кырларда жатканына байланысты. Ен карапайым жагдайда, ягни бул нуктелер oip тобеден шыгатын кырларда жатса (39, п-суретт! кара), АВ, ВС жоне С А кесшд!лер!н журызу керек. Осы жагдайда !здел!нд! кима - АВСушбурышы шыгады. Егер А. В жене С нуктелер! 39, б-су ретте корсет! лгендей орналасса, онда ал-дымен АВ мен ВС кесшд!лерш, А нуктес! аркылы ВС-га параллель тузу, ал С нуктес! аркылы 71В-га параллель тузу журпзу керек. Бул тузулердщ томенп жактын кырларымен киылысуынан Е мен D нуктелер! шыгады. Енд! ED кес!нд!с!н журпзу калды, !зделшд! кима - ABCDE бесбурышы салынды. Егер беръчген А, В жане С нуктелер! 39, e-суретте корсе-тшгендей орна ласкан жагдайда маселе курдел!рек. Муны бы лай етуте болады. Ove л! киюшы жазыктыктын томенп табан жазык-тыгымен киыл v тузуш саламыз. Ол ушш АВ тузуш жург!зем!з жане сол АВ туоу1 жаткан жактыц томенп кырын осы тузумен М нуктесшде киылысканша созамыз. Opi карай М нуктес! аркылы ВС тузуше параллель тузу журпзем!з. Осы тузу киюшы жазык-тыктыц теменг! табан жазыктыгымен киылысу тузу! болып табы-
лады. Бул тузу томенп табан кырларымен Е мен F нуктелершде киылысады. Сонан кешн Е нуктес! аркылы АВ тузуше параллель тузу журйзш, D нуктесш аламыз. Соцында, АВ пен CD кесшд!лерш жург!зем!з жане !зделшд! кима - ABCDEF алтыбурышы салын-ды. ЕСЕПТЕР 66. ABCD тетраэдр! кырларынын барлык айкас (ягни айкас тузу-лерге тшст!) парларын атандар. Тетраэдрдщ осындай неше пар кыры бар? 67. DABC тетраэдршде < АВВ=54°; < ВВС=72°; < СВА=90°; DA=20 см, BD=18 см, DC= 21 см екеш бер!лген. а) Тетраэдрдщ АВС табанынын кырларын; а) барлык буй!р жактарыныц аудандарын табыцдар. 68. М мен N нуктелер! - ABCD тетраэдр!нщ АВ мен АС кырларынын орталары. MN тузу! BCD жазыктыгына параллель болатынын далелдендер. 69. SABC тетраэдршщ АВ мен ВС кырларынын ортасы аркылы SB кырына параллель жазыктык жург!з!лген. Осы жазыктык SAB пен SBC жактарын параллель тузулердщ бойында кияты-нын далелдендер. 70. ABCD тетраэдршщ АВ, АС жане AD кырларынын орталары аркылы отетш жазыктык BCD жазыктыгына параллель болатынын далелдендер. 71. DABC тетраэдрш кескшдендер. Онын DB, DC жене ВС кырла-рынан сайкес М, N жене К нуктелер ш белгклецдер. a) MN тузу! мен АВС жазыктыгыныц; a) KN тузу! мен ABD жазыктыгы -нын киылысу нуктесш салындар. 72. DABC тетраэдрш кескшдендер жоне осы тетраэдрдш АВС жа-гыныц жазыктыгына параллель, epi М нуктес! аркылы ететш жазыктыкпен жасайтын кимасын салындар, мундагы: а) М нуктес! AD кырыныц ортасы болып табылады; а) М нуктес! ABD жагыныц шпнде жатады. 73. ABCD тетраэдршщ М, N жене Р нуктелер! АВ, ВС жене CD кырларынын орталары болып табылады, АС= 10 см, ВВ=12 см. MNP жазыктыгы AD кырыныц ортасы К аркылы отетшш далелдендер жене тетраэдр MNP жазыктыгымен киылыскан-да шыгатын тортбурыштьщ периметрш табыцдар. 74. ABCD тетраэдршщ BCD жагы мединаларыныц киылысу нуктес! аркылы АВС жагына параллель жазыктык жург!з!лген. а) Тетраэдрдщ осы жазыктыкпен кимасы АВС ушбурышына уксас ушбурыш болатынын далелдендер. о) Кима ауданы мен АВС ушбурышы ауданынын катынасын табыцдар. 75. KLMN тетраэдрш кескшдендер. а) Осы тетраэдрдщ KL кыры аркылы жене MN кырыныц ортасы А аркылы отетш жазык-
тыкпен кимасын табыцдар; a) LM, МА жене МК кес!нд!лер!нщ орталары Е, О жене F аркылы ететш жазыктык LKA жазыктыгына параллель болатынын долелдендер. Егер LKA ушбурышы нын ауданы 24 см2 болса, EOF ушбурышыныц ауданын табыцдар. 76. ABCZ)A1B1C1Dl параллелепипед! бер!лген. zlC 11жоне BD11BXDX екешн долелдендер. 77. ABCDA^B^C^D^ параллелепипедгнщ барлык кырларыныц косыпдысы АВ 4 ВС 5 120 см. Егер ^=5> екеш белпл! болса, параллеле пипедтщ арб!р кырын табындар. 7g, 42-суретте ABCDA,BXCVD. параллелепипед! кескшделген. Оныц кырларында МА = CN = Д/1А1 = болатындаи етш, М, N, М, жоне Nj нуктелер! белпленген. MBNDM^B^^D параллелепипед болатынын долелдендер. 79, ABCDAlBxC}Dl параллелепипеды! кесшндецдер жоне оныц: а) АВС жазыктыгымен; о) АССХ жазыктыгымен кимасын салыц-дар. Салынган кималар параллелограмдар болатынын долел- 4 2-су рот. 1 дендер. 80. ABCBAlB]ClD1 параллелепипедш кссюндендер де онын АВСг жоне DCBX жазыктыктарымен кимасын, сонымен катар осы кималардыц киылысу кесшд!сш салыцдар. 81 ABCDA^B^C^D^ параллелепипедш кесйпндецдер де ВВ} жене С’С1 кырларынан сойкес К жоне N нукте лср!н бслНлендер. a) KN тузуыпц ЛВС жазыктыгымен; о) АК тузуыпц А1В1С1 жазыктыгымен киылысу нуктесш салыцдар. 82. ABCDA В,C}D} параллелепипедш кесшндецдер жоне ЛА В В жагынан М нуктесш белг!лецдер. Параллелепипедтщ: a) A-BCD табан жазыктыгына; о) BBfifi жагына; б) BDD} жазыктыгына параллель жоне М нуктес! аркылы отетш кимасын салыцдар. 83. АВСВА]В1С1В1 параллелепипедш кесшндецдер де оныц: а) СС} кыры жоне АА D D жагыныц диагональдарымен киылысу нуктес! аркылы отетш; а) АВ^С^ жазыктыгына параллель, ABCD жагыныц диагональдарыныц киылысу нуктес! аркылы ететш жазыктыкпен кимасын салыцдар. 84. ABCDA^B^C D^ параллелепипедш кескшдендер жене оныц Вр D1 нукгелерх мен CD кырынын ортасы аркылы отетш кимасын салыцдар. Салынган кима - трапеция болатынын долелдендер. 85. ABCDA{BlClDi параллелепипедш кесшндецдер жоне оныц BKL жазыктыгымен кимасын салыцдар, мундагы К - АА1 кырыныц ортасы, ал L — ССг кырынын ортасы. Салынган кима - параллелограмм болатынын долелдендер.
86. ABCDA^B^C D параллелепипеда кескшдендер жэне онын BD диагоналше параллель табанынын АС диагонал! аркылы отетш жазыктыкпен кимасын салындар. Егер параллелепипедтщ табаны ромб, ал АВВХ мен СВВХ бурыш-тары т!к болса, шыккан кима - тецбушрл! ушбурыш екешн делелдецдер. 87. ABCDA^B С D} параллелепипеды! кескшдендер жэне онын MNK жазыктыгымен кимасын салындар, мундагы М, N, К нуктелер! сайкесшше: а) ВВХ, ААХ, AD; а) ССР AD, ВВХ кырла-рында жатады. I TAPAYFA АРИАЛБАН СУРАЦТАР 1. Егер ек! тузудщ ортак нуктелер! жок болса, олар параллель болады деген уйгарым дурыс па? 2. М нуктес! а тузушде жатпайды. М нуктес! аркылы отетш жене ос тузуш кимайтын тузу нешеу? Осы тузулердщ нешеу! а тузуше параллель? 3. а мен с тузулер! параллель, ал а мен b тузулер! киылысады. в мен с тузулер! параллель бола ала ма? 4. а тузут а жазыктыгына параллель. Бул тузу: а) а жазыктыгында жататын б!рде-б!р тузуд! кимайды; а) ос жазыктыгында жататын кез келген тузуге параллель; б) ос жазыктыгында жаткан кандай да 6ip тузуге параллель деген дурыс па? 5. а тузу! а жазыктыгына параллель, а жазыктыгында жататын а тузуше параллель тузулер нешеу? а жазыктыгында жататын осы тузулер б!р-б!рше параллель бола ма? 6. а тузут а жазыктыгын киып отед!. а жазыктыгында а тузуше параллель ен болмаса 6ip тузу жата ма? 7. Параллель ек! тузудщ 6ipi кандай да 6ip жазыктыкка параллель. Осы жазыктыкка ек!нш! тузу де параллель деген уйгарым дурыс па? 8. Егер ек! тузу кандай да 6ip жазыктыкка параллель болса, олар б!р-б!рше параллель деген уйгарым дурыс па? 9. Ек! тузу кандай да 6ip жазыктыкка параллель. Осы тузулер: а) киылыса ма? а) айкас тузулер бола ала ма? 10. а жэне b айкас тузулер! с тузуше параллель бола ала ма? 11. Трапецияныц бушр кабыргалары а жазыктыгына параллель, ос жазыктыгы мен трапеция жазыктыгы параллель бола ма? 12. Параллелограмныц ек! кабыргасы а жазыктыгына параллель, а жазыктыгы мен параллелограмм жазыктыгы параллель бола ма? 13. Параллель жазыктыктардын арасындагы параллель емес ек! кесшд! тец бола ма? 14. Жактарынын бес бурышы да т!к болатын тетраэдр бар ма? 15. а) Б!р гана жаты тштертбурыш; а) тек ек! сыбайлас жагы ром-былар; б) жактарыныц барлык бурыштары cyftip; в) жактары-
ныц барлык бурыштары т!к; г) жактарыныц барлык cynip бурыштарыныц саны жактарыныц барлык дога л бурыштары -ныц санына тен емес болатын параллелепипед бар ма? 16. а) Тетраэдрдщ; а) параллелепипедтщ кимасында кандай копбурыштар шыгуы мумкш? КОСЫМША ЕСЕПТЕР 88. АС мен BD параллель тузулер! а жазыктыгын А мен В нуктелер!нде кияды. С мен D нуктелер! а жазыктыгыныц б!р жагында жатыр, АС=8 см, BD=6 см, АВ=4 см. a) CD тузу! а жазыктыгын кандай да 6ip Е нуктесшде киятынын далелдец-дер. а) BE кеспшсш табыцдар. 89. А, В, С жане D нуктелер! 6ip жазыктыкта жатпайды. АВС жане CBD ушбурыштарыныц мединалары жоне М2 нуктелершде киылысады. AD мен М М2 кесшд!лер1 параллель екешн далелдендер. 90. ABCD трапециясыныц А мен В тебе л ер! ос жазыктыгында жатыр, ал С мен D тобелер! бул жазыктыкта жатпайды. Егер АВ кес!нд!с!: а) трапецияныц табаны болса; а) трапециянын буй!р кабыргасы болса, CD тузу! ос жазыктыгына катысты калай ор-наласкан? 91. а мен b параллель ек! тузудщ аркайсысы жане олардыц жазыктыгында жатпайтын М нуктес! аркылы жазыктыктар жург!з!лген. Бул жазыктыктар а мен b тузулерше параллель тузудщ бойымен киылысатынын далелдендер. 92. а жазыктыгы мен а тузу! b тузуше параллель, а тузу! а жазыктыгына не параллель, не сол жазыктыкта жататынын далелдендер. 93. а мен b тузулер! параллель, а тузушщ М нуктес! аркылы а тузушен езгеше жане b тузуш киып етпейтш MN тузу! жург!з!лген. MN мен b тузулер! озара калай орналаскан? 94. Айкас ек! тузу мен осы тузулерде жатпайтын В нуктес! бер!лген. Эркайсысы осы тузулердщ 6ipi мен В нуктес! аркылы отетш жазыктыктар киылыса ма? Жауабын нег!здецдер. 95. а тузу! а жазыктыгына параллель. Егер ₽ жазыктыгы а тузуш киса, онда о л ос жазыктыгын да киятынын далелдендер. 96. Жазыктык пен оган параллель тузудщ арасындагы параллель тузулердщ кесшдглер! тен болатынын далелдендер. 97. Сайкес кабыргалары параллель ек! бурыш не тен, не олардыц косындысы 180 болатынын далелдендер. 98. а тузу! а жазыктыгына параллель, а тузу! аркылы отетш жане а жазыктыгына параллель жазыктык бар бола ма? Егер ба]) болса, ондай жазыктыктар нешеу? Жауаптарыцды неыздецдср. 99. Параллель уш жазыктык, осы жазыктыктарды киятын кез келген ек! тузудщ бойынан пропорционал кесшдглер киятынын далелдендер.
100. Айкас ек! тузу жене А нуктес! бер!лген. А нуктес! аркылы не бер!лген тузулерге параллель, не олардын 6ipeyi аркылы отетш жане екшппсше параллель болатын 6ip жане тек 6ip гана жазыктык отетшш далелдендер. 101. Тетраэдрдш карама-карсы кырларынын орталарын косатын кес!нд!лер киылысатынын жане киылысу нуктесшде как болшетшш далелдендер. 102. Тетраэдр табанынын ек! кырыньщ орталары мен табанына ти!ст! емес тебес! аркылы отетш а жазыктыгы тетраэдрдш ушшш! табан кырына параллель болатынын далелдендер. Егер тетраэдрдш барлык кырларынын узындыгы 20 см-ге тен болса, тетраэдрдш а жазыктыгымен кимасынын периметр! мен ауданын табындар. 103. DABC тетраэдрппн DA, DB жене DC кырларынан: DM:MA=DN:NB=DP:PC болатындай етш М, N жане Р нуктелер! белг!ленген. MNP мен АВС жазыктыктары параллель екенш далелдендер. Егер АВС ушбурышынын ауданы 10 см2 жане DM :МА=2:1 болса, MNP ушбурышынын ауданын табындар. 104. ABCD тетраэдр!н кескшдендер жене АВ кырынан М нуктесш белылендер. М нуктес! аркылы тетраэдрдш АС мен BD тузулерше параллель отетш жазыктыкпен кимасын салындар. 105. DАВС тетраэдрш кескшдендер. BD мен CD кырларынан М мен N нуктелерш жене АВС жагынын !шк! К нуктесш белылендер. Тетраэдрдш ABVK жазыктыгымен кимасын салындар. 106. DАВС тетарэдрш салындар. DC кырынан К нуктесш жане АВС мен ACD жактарынан М мен N нуктелерш белНлендер. Тетраэдрдш MNK жазыктыгымен кимасын салындар. 107. DABC тетраэдрш кескшдендер жене АВ кырынан М нуктесш белНлецдер. Осы М нуктес! аркылы BDC жагына параллель отетш жазыктыкпен кигандагы тетраэдрдш кимасын салындар. 108*.ВАВС тетраэдршде D тобесшдег! уш бурыштын биссектриса-лары ВС, С А жене АВ кесшдьтерш сайкес А , Вх жене С} нуктелершде кияды. АА , ВВХ жене СС кесшдьлер! oip нукте-де киылысатынын делелдецдер. ЮО.Оркайсысы параллелепипедтш 6ip жагында жатпайтын ек! бушр кырын камтитын ек! жазыктык а тузушш бойымен киылысады. а тузу! параллелепипедтш бушр кырларына параллель жене оныц барлык диагона льда рын киып отетшш делелдецдер. 110. ABCDA В CXDX параллелепипедшде AXDB жазыктыгы D СВ} жазыктыгына параллель болатынын делелдецдер. 111. Параллелепипедтш диагонал! онын тобес! ортак уш кырыныц косындысынан кем болатынын далелдендер. 112. Параллелепипедтш терт диагонал! квадраттарыныц косынды-
сы онын он ею кыры квадраттарынын косындысына тен бола тынын далелдендер. 113. ABCDAXBXCXDX параллелепипедшщ AXBCDX жане BDDXBX Кима жазыктыктары кандай тузудщ бойында киылысады? 114. ABCDA В 1ClD1 параллелепипедш кескшдендер жане АВ кырынан М нуктесш белплецдер. М нуктес! аркылы отетш, АССХ жазыктыгына параллель жазыктыкпен кигандагы параллелепипедтщ кимасын салындар. 115. М нуктес! ABCDAXBXCXDX параллелепипед!шн ВС кырында жатыр. М нуктес! аркыаы отетш, BDCX жазыктыгына параллель жазыктыкпен осы параллелепипед гщ кимасын салындар.
II тарау ТУЗУЛЕР МЕН ЖАЗЫКТЫЦТАРДЬЩ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЛЫГЫ § 1. ТУЗУ МЕН ЖАЗЫЦТЫКТЬЩ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЛЫГЫ 15. Кевдстштеп перпендикуляр тузулер. Кен!ст!ктег! ек! тузудщ арасындагы бурыш 90'-ка тен болса, олар перпендикуляр тузулер (озара перпендикуляр) деп аталады. а мен b тузулершщ перпендикулярлыгы alb деп белпленедь Перпендикуляр тузулер киылысуы да, айкас тузулер болуы да мумкш. 43-суреттег! а мен b перпендикуляр тузулер! киылысады, ал а мен с перпендикуляр тузулер! - айкас тузулер. Параллель ею тузудщ уш!нш! тузуге перпендикулярлыгы туралы лемма ны далелдешк. Лемма. Егер параллель ек1 тузуд1ц 6ipeyi yuiiiuui тузуге пер пендикуляр болса. онда екиши тузу де осы тузуге перпендикуляр болады. Далелдеу!. а | | Ъ жане ale болсын. Ыс болатынын далелдешк. Берътген тузулерде жатпайтын, кевдетткте ерк!м!зше алынган М нуктес! аркылы а мен с тузулерше сайкесшше параллель МА мен МС тузулерш журызешк (44-cyperi). ale болгандык-тан, ZAMC=90. Лемманьщ шарты бойынша b 11 а, ал салуымыз бойынша а 11 МА сондыктан b МА Сонымен, b мен с тузулер! сайкесшше МА мен МС тузулерше параллель, олардыц арасындагы бурыш 90 -ка тен. Бул Ъ мен с тузулершщ арасындагы бурыш та 90 -ка тен екенш корсетед!, ягни Ыс. Лемма далелдендь 16. Жазыктыкка перпендикуляр бола тын параллель тузулер. А н ы к т а м а. Егер тузу осы жазыцтъщта жатцан. кез келген тузуге перпендикуляр болса. онда тузу жазыцтьщк;а перпендикуляр деп аталады.
a 45-сурет. 46-сурет. а тузушщ а жазыктыгына перпендикулярлыгы былай белпленед!: aJLoc. Сонымен катар, ос жазыктыгы а тузуше нерпе иди куляр деп те айтылады. Егер а тузу! ос жазыктыгына перпендикуляр болса, онда ол осы жазыктыкты киып отедй Шынында да, егер а тузу! ос жазыктыгын кимаса, онда о л не осы жазыктыкта жатар ед!, не оган параллель болар ед!. Б!рак, ос жазыктыгында а туруше перпендикуляр емес тузулер, мысалы, оган параллель тузулер болар ед!. Бул тузу мен жазыктыктын перпендикулярлыгы аныктамасына кайшы келедй Ендеше, а тузу! сх жазыктыгын киып етедй 45-суретте ос жазыктыгына перпендикуляр а тузу! кескшделген. Б!здщ айналамызда тузу мен жазыктыктын перпендикулярлы-гып корнек! елестететш мысалдар коп. Кисаймай т!к турган телеграф баганасы жер жазыктыгына перпендикуляр. Бимараттыц ко-лонналары !ргетас жазыктыгына катысты, кабыргалардын киылысу сызыктары еден жазыктыгына катысты жоне т.с.с. дол солай орналаскан Тузулердщ параллельдгг! мен олардын жазыктыкка перпенди-кулярлыгыныц арасындагы байланысты тагайындайтын ек! тео-реманы долелдешк. Теорема. Егер параллель ек1 тузудщ 6ipeyi жазыцтыцца перпендикуляр болса. онда екииш тузу де осы жазыцтык;к;а перпендикуляр болады. Долелдеу!. Параллель ек! тузу а жене мен а±сс болатын-дай сх жазыктыгын карастырайык. аДос болатынын долелдешк. ос жазыктыгында кандай да 6ip х тузуш журпзешк (46-сурет). а±ос болгандыктан, а±х. Параллель ею тузудщ уппшш тузуге перпендикулярлыгы туралы лемма бойынша: a^lx. Сонымен, а тузу] ос жазыктыгында жататын кез келген тузуге перпендикуляр, ягни а ос. Теорема далелдендк Kepi теореманы долелдешк. Теорема. Егер ек1 тузу жазыцтыцца перпендикуляр болса, онда ол тузулер параллель болады.
Ддлелдеук а жазыктыгына перпендикуляр а мен b тузулерш карастырамыз (47, а-сурет). а | | b болатынын дэлел-дешк. b тузу!н!ц кандай да 6ip М нуктес! аркылы а тузуше параллель тузуш жург!зем!з. Алдынгы теорема бойынша ^tla. b тузу! b тузу!мен беттесетшш далелдешк. Бул жагдайда а b болатыны да далелденедк b мен b тузулер! беттеспейд! дешк. Онда b мен b тузулерш камтитын р жазыктыгында М нуктес! аркылы ек! тузу отед!. Бул ек! тузу - бойымен а жане [3 жазыктыктары киылыса-тын с тузуше перпендикуляр (47, б-сурет). Б!рак бул мумюн емес, демек, а. 11 Ь. Теорема долелденд!. 17. Тузу мен жазыктыктыц перпендикулярлык белпсЬ Бер!лген тузуд!ц бер!лген жазыктыкка перпендикуляр екешн калай тексеруге болады? Бул маселенщ практикалык маш бар, мысалы, мачталарды, гимараттардын колонналарын жене т.б. орнатканда олардын тпчнен орналасуы, ягни олар койылатын жазыктыкка перпендикуляр болуы ти!с. Бул ушш аныктамада айтылгандай, кез келген тузуге катысты перпен-дикулярлыкты тексерудщ кажеттш! жок, тек олардын жазыктыкта жаткан киылысушы ек1 тузуге перпендикулярлыгын тексеру жетк!л!кт! Бул тузу мен жазыктыктыц перпендикулярлык бе л ricin б!лд!рет!н томендег! теорема-дан шыгады. Теорема. Егер тузу жазъщтыцпш жапщан циылысушы ек1 тузуге перпендикуляр болса, онда ол оси жазыкрпыцца перпендикуляр болады. Делелдеу!. а жазыктыгында жататын жане О нуктесшде киылысатын р мен q тузулерше перпендикуляр а тузуш карасты-райык (48, а-сурет). aloe болатынын дэлелдешк. Ол ушш а тузу! a
4 8-сурет жазыктыгыныц еркш алынган т тузуше перпендикуляр болатынын далелдеу керек. Алдымен а тузу! О нуктес! аркылы отетш жагдайды карастырайык (48, б-сурет). О нуктес! аркылы m тузуше параллель / тузуш жург!зем!з (егер т тузу! О нуктес! аркылы отсе, онда /-дщ орнына т тузушщ озш а ламы з). а тузушщ бойынан О нуктес! АВ кес!нд!с!нщ ортасы болатындай ет!п, А мен В нуктелерш аламыз. Сонан кейш ос жазыктыгында р, q жане I тузулерш сайкес Р, Q жане L нуктелершде киятын тузу жург!зем!з. Аныктык ушш Q нуктес! Р мен L нуктелершщ арасында жатыр деп есептейм!з (48, б-сурет). у? мен q тузулер! А В кесшдкше тус!р!лген орта перпендикуляр-лар болгандыктан, АР=ВР, AQ=BQ. Демек, уш кабыргасы бойынша &APQ=kBPQ. Сондыктан /LAPQ=ZBPQ. Енд! APL жане BPL ушбурыштарын салыстырамыз. Олар ек! кабыргасы жане олардыц арасындагы бурышы бойынша тен (АР = ВР, PL - ортак кабыргасы, ZAPL=1BPL), сондыктан AL=BL. Б!рак, бул ABL ушбурышы тецбушрл! жане онын LO медиа насы бшкт!п болатынын б!лд!ред!, ягни Ila. I т жене I ±а болгандыктан, nila болады (параллель ек! тузудщ уппнш! тузуге перпендикулярлыгы туралы лемма бойынша). Сойтш, а тузу! а жазыктыгында жататын кез келген т тузуше перпендикуляр, ягни п±ос. Енд! а тузу! О нуктес] аркылы отпейтш жагдайды карастырайык. О нуктес! аркылы а тузуше параллель а тузу!н жург!зем!з. Айтылган лемма бойынша а{1р жоне сондыктан б!р!нш! жагдайда дэлелденген бойынша Будан (16-пунктт!ц 6ipiHini теоремасы бойынша) ala екен! шыгады. Теорема далелденд!. Тузу мен жазыктыктын перпендикулярлык белг!с!н мына есепт! шешу ушш пайдаланайык.
Е се п. Кец1спикгтйцкезкелгеннуктес! аррылыберйчге.нтузугепер пендикуляр лсазьщтыцетстЬйн долелдешк. Ш е ш у i. Бер!лген тузуд! а аршмен, ал кегистжтщ еркш алын-ган нуктесш М аршмен белылешк. М нуктес! аркылы отет!н жане а тузуше перпендикуляр жазыктык бар екенш далелдешк. а тузу! аркылы М € а болатындай етш, ос мен Р жазыктыкта -рын жург!зем!з (49-сурет)*. ос жазыктыгында М нуктес! аркылы а тузуше перпендикуляр р тузуш, ал р жазыктыгында р мен а тузулершщ киылысу нуктес] аркылы а тузуше перпендикуляр q тузуш журпземаз. р мен q тузулер! аркылы ететш у жазыктыгын карастырайык. у !зделшд! жазыктык болып табылады, ейткен! а тузу! осы жазыктыктын киылысушы р мен q тузулерше перпендикуляр. Е с к е р т у. у - М нуктес! аркылы ететш жане а тузуше перпендикуляр жалгыз жазыктык екенш дэлелдеуге болады (133-есеп). 18. Жазыктыкка перпендикуляр тузу туралы теорема. Теорема. Кец1ст1кт1ц кез келген нуктес! аркылы бер!лген жазыцтъщкр перпендикуляр dip леоне тек dip гана тузу amedi. Далелдеук Бер!лген жазыктыкты ос аршмен, ал кеюсйктщ еркш алынган нуктесш М аршмен белг!лейм!з. 1) М нуктес! аркылы ос жазыктыгына перпендикуляр тузу ететшш; 2) ондай тузу тек 6ipey гана болатынын далелдешк. 19-сурет. 50-сурет. * 49-суреттс М нуктес! атузушдс жатпайтын жагдай кескшделген. Дегенмен ссепт1н келтаркчген inewyi М нуктес) а тузушде жататын жагдай уттн де жарам-ды.
1) а жазыктыгында ерюшзше алынган а тузуш журпзешк те, М нуктес! аркылы отетш жене а тузуше перпендикуляр [3 жазыктыгын карастырайык (50-сурет). ос мен (3 жазыктыктарыныц киылысу тузуш b аршмен белплейпс. [3 жазыктыгында М нуктес! аркылы b тузуше перпендикуляр с тузуш журйзешк. с тузу! !зделшд! тузу болып табылады. Ол а жазыктыгына перпендикуляр, ойткеш ол осы жазыктыктыц киылысушы ек! тузуше перпендикуляр (салу бойынша с Lb жене с±а, ойткеш р±а). 2) М нуктес! аркылы ос жазыктыгына перпендикуляр тагы 6ip тузу отед! деп жориык (оны с1 аркылы белг!лешк). Онда с (16-пункттег! кер! теорема бойынша), булай болуы мумкш емес, ойткеш мен с тузулер! М нуктесшде киылысады. Сонымен, М нуктес! аркылы а жазыктыгына перпендикуляр тек 6ip гана тузу отед!. Теорема делелденд!. ЕСЕПТЕР 116 .АВСВА[В С D параллелепипед! бергдген. а) ZBAD=90 болган-да DC1B Сх жане AB1A}DX екешн; б) AB1LDDX болганда АВ±СС жане DD _1_А В екешн далелдендер. 117 .АВСВ тетраэдршде ВС±АВ екен! белг!л!. ABJJVfA екешн далелдендер, мундагы М мен N нуктелер! - АВ мен АС кырларынын орталары. 118Л. М жане О нуктелер! а жазыктыгына перпендикуляр тузудщ бойында, ал О. В, С жене D нуктелер! ос жазыктыгында жатыр. ААОВ, АМОС, ADAM, A DO А, АВМО бурыштарыныц кайсылары т!к бурыш болып табылады? 119.ОА тузу! ОВС жазыктыгына перпендикуляр, ал О нуктес! AD кес!нд!с!н!н ортасы болып табылады. а) АВ=ВВ; ОВ=ОС болганда а) АВ=АС; б) АВ=АС болганда ОВ=ОС екенш далелдец-дер. 12О .Кабыргасы а болатын квадрат диагона л ьдарыныц киылысу нуктес! О аркылы квадрат жазыктыгына перпендикуляр ОК тузу! жург!з!лген. Егер ОК=Ь болса, К нуктесшен квадраттын тебелерше дейшг! ара кашыктыкты табындар. 121 .АВС ушбурышында мыналар бер!лген: ZC=90’; АС=6 см, ВС==8 см, СМ - медиана. С тобес! аркылы АВС ушбурышынын жазыктыгына перпендикуляр CR тузу! жург!з!лген, мундагы СК=12 см. КМ-лы табындар. 122 .СВ тузу! АВС дурыс ушбурышы жазыктыгына перпендикуляр. Осы ушбурыштьщ центр! О аркылы СВ тузуше параллель ОК тузу! жург!з!лген. АВ= 16 /з см, ОК=12 см, CD=16 см екен! белг!л!. В мен К нуктелер!нен ушбурыштьщ А мен В тебелерше дейшг! ара кашыктыктарды табындар. 123.Егер а мен Р жазыктыктары а тузуше перпендикуляр болса. онда олар езара параллель екешн далелдендер.
Ш e ш у i. а мен [3 жазыктыктарын ар турл! А мен В нукте-лерде киятындай етш а тузуше параллель кандай да 6ip тузу | жург!зей!к. BipiHiiii теорема (16-пункт) бойынша ос мен [3 жа- I зыктыктары АВ тузуше перпендикуляр. I Егер ос мен [3 жазыктыктары параллель емес, ягни ец болма- I ганда 6ip ортак М нуктес! бар деп жорысак, онда А мен В тобелершде ек! т!к бурышы бар АВМ ушбурышын аламыз, ал бул мумкш емес. Демек, a 11 [3. 124 .PQ тузу! а жазыктыгына параллель. Р жене Q нуктелер! аркылы а жазыктыгына перпендикуляр тузулер жург!з!лген, олар бул жазыктыкты сайкесшше Р жане Q нуктелершде киып отед!. PQ=-PXQ екешн далелдендер. 125 .РО тузушщ Р жане Q нуктелер! аркылы а жазыктыгына пер- I пендикуляр жене оны сайкесшше Рх жане Q1 нуктелершде киып ететш тузулер жург!з!лген. Р(?=15 см, РР} = 21,5 см, QQ' =33,5 см деп алый, Р Q -д! табыцдар. 126 .МБ тузу! АВС ушбурышынын АВ мен ВС кабыргаларына пер- пендикуляр. MBD ушбурышынын тур!н аныктацдар, мундагы D - АС тузумпн кез келген нуктес!. 127 .АВС ушбурышындагы А мен В бурыштарынын косындысы 90 -ка тен. BD тузу! АВС жазыктыгына перпендикуляр. CDIAC екешн далелдендер. 128.ABCD параллеллограмы диагональдарыныц киылысу нуктес! О аркылы МА=МС, MB—MD болатындай ОМ тузу! жург!з!лген. ОМ тузу!шц параллелограмм жазыктыгына перпендикуляр екешн далелдендер. 129.МА тузу! диагональдары О нуктесшде киылысатын ABCD квадратыныц жазыктыгына перпендикуляр, а) ВРтузу! АМО жазыктыгына перпендикуляр; а) MOUBD екешн далелдендер. ГАО.ABCD квадратыныц В тобес! аркылы ВМ тузу! жург!з!лген. ZMBA=ZMBC=90 , МВ=т, АВ=п екен! белил!. М нуктесшен: а) квадрат тобелерше дейшг!; а) АС жане BD тузулерше дешнг! ара кашыктыктарды табыцдар. 131.ABCD тетраэдршдег! М нуктес! — ВС кырыныц ортасы, АВ =АС, DB=DC. ADM ушбурышынын жазыктыгы ВС тузуше перпендикуляр екешн далелдендер. 132.Е1 ер параллель ею жазыктыктын 6ipeyi тузуге перпендикуляр болса, онда баска жазыктык та осы тузуге перпендикуляр екешн далелдендер. 133.Кец!ст!кт!н кез келген нуктес! аркылы бер!лген тузуге перпендикуляр болатын 6ip гана жазыктык етепшн далелдендер. III е ш у I. 17-пункттег! есепке сайкес берглген М нуктес! аркылы бер!лген а тузуше перпендикуляр ос жазыктыгы отед!. М нуктесшен осы тузуге перпендикуляр тагы 6ip ос жазык- ' тыгы отед! деп жориык. Онда а мен а параллель (123-есепт! кара). Б!рак, бул мумкш емес, себеб! бул жазыктыктардыц ортак М нуктес! бар. Демек, б!зд!н уйгарымымыз дурыс емес
жане М нуктес! аркылы а тузуше перпендикуляр 6ip гана жазыктык отед!. 134.а тузушщ берглген М нуктесшен ететш жане осы тузуге перпендикуляр барлык тузулер М нуктесшен отетш а тузуше перпендикуляр жазыктыкта жататынын долелдендер. 135.а тузу! ос жазыктыгына перпендикуляр жене осы жазыктыкта жатпайтын b тузуше перпендикуляр, b | | ос болатынын далел-дендер. 136.Егер X нуктес! АВ кесшдкшш уштарынан б!рдей кашыктыкта жатса, онда бул нукте АВ кесшдклшн ортасы аркылы отетш жане АВ тузуше перпендикуляр жазыктыкта жататынын далелдецдер. 137.0зара перпендикуляр айкас ек! тузудщ аркайсысы аркылы баскасына перпендикуляр жазыктык отетййн долелдендер. § 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯР ЖОНЕ КОЛБЕУЛЕР. ТУЗУ МЕН ЖАЗЫКТЫКТЫН АРАСЫНДАГЫ БУРЫШ 19. Нуктеден жазыктыцка дейшг! кашыктык. а жазыктыгын жане осы жазыктыкта жатпайтын А нуктесш карастырайык. А нуктес! аркылы ос жазыктыгына перпендикуляр тузу жург!з!п, бул тузудщ ос жазыктыгымен киылысу нуктесш Н аршмен белг!лейм!з (51-сурет). АН кес!нд!с! - А нуктесшен ос жазъщтыгына жург1з1лген перпендикуляр деп, ал Н нуктес! перпендикулярдъщ табаны деп аталады. ос жазыктыгынан Н нуктесшен озге кандай да б!р N нуктесш белг!лейм!з де, AN кесшдкйн жург!зем!з. Ол А нуктеанен ос жазык; тыгына жург1з1лген келбеу деп, ал N нуктес! келбеуд'щ табаны деп аталады. HN кесшдас! келбеудщ а жазьщтыгына туар1лген проек-циясы деп аталады. АН перпендикуляры мен AN колбеуш салыс-тырайык. ANH тшбурышты ушбурышындагы АН кабыргасы -катет, ал AN кабыргасы — гипотенуза, сондыктан АН < AN. Сонымен, бер1лген нуктеден жазъщтьщ^а жург1з1лген перпендикуляр дол сол нуктеден осы лсазьщтьища жург1з1лген кез келген колбеуден к1ии болады. Ендеше, А нуктесшен а жазыктыгына жург!з!лген барлык ара кашыктыктардыц !ш!ндег! ен Kiuiici Н нуктесше дешнг! ара кашыктык болып табылады. Бул ара кашыктык, ягни А нуктесшен а жазыктыгына журпзглген перпендикулярдын узын-дыгы А нуктесшен а жазъщтыгына дейнш ара цашъщтъщ деп аталады. Кандай да 6ip нарсе жошнде айтканда, мысалы коше фона-рынын шамы жерден 6 м бшктште тур десек, шамнан жер бет!не дешнг! ара кашыктык шамнан жер жазыктыгына жург!з!лген перпендикуляр бойынша олшенетш! жошнде айтылып отыр деп тус!ну керек (52-сурет).
51-су per. 52-сурет. Ескертулер. 1. Егер ею жазыктык параллель болса, онда 6ip жазыктыктыц барлык нуктелер! екшш! жазыктыктан б!рдей кашыктыкта болады. Шынында да, а жазыктыгынан ерюн алынган А мен М нуктелершен оган параллель р жазыктыгына жург!з!лген AAq мен MMQ перпендикулярларын карастырайык-АЛ ±Р жоне ММ0±Р болгандыктан, АА0 | | MMQ, Будан ММ0=АА0 екен! шыгады (11-п-тщ 2-касиет!), ягни ос жазыктыгыныц кез келген М нуктесшен р жазыктыгына дейшг! ара кашыКтык АА0 кесшдклнщ узындыгына тец. Осыдан р жазыктыгыныц барлык нуктелер! а жазыктыгынан сондай кашыктыкта турганы айкын кершед!. Параллель жазыктыктардын б!р!нен ерюн алынган нуктеден екшш! жазыктыкка дешнг! ара кашыктык параллель жазыцтъщ-тардын арасындагы хдшыцгпыц деп аталады. Бурын да айтканымыздай, параллель жазыктыктарга болмен!ц тобес! мен еден жазыктыгын мысалга келт!руге болады. Тобенш барлык нуктес! еденнен б!рдей кашыктыкта болады. Осы ара кашыктык болменщ бшктгг! болып табылады. 2. Егер тузу жазыктыкка параллель болса, онда тузудщ барлык нуктелер! осы жазыктыктан б!рдей кашыктыкта жатады (144-есеп). Бул жагдайда тузудщ ерюн алынган нуктесшен жазыктыкка дешнг! ара кашыктык тузу мен оган параллель жазыцтыц-тыц арасындагы ^ашьщтъщ деп аталады. 3. Егер ек! тузу 7-пунктте дэлелденгендей айкас тузулер болса, онда олардыц аркайсысы аркылы баскасына параллель 6ip жане тек 6ip гана жазыктык отед!. Айкас тузулердщ 6ipi мен екшш! тузу аркылы отетш, б1ршш!ге параллель жазыктыктыц арасындагы кашыктык айцас тузулердщ арасындагы цашъщтъщ деп аталады.
20. Уш перпендикуляр туралы теорема. Теорема. Жазьщтыцта келбеу дщ табаны арцылы жург1з1лген трзу, осы колбеудщ жазыцтыкща тус1р1лген проекциясына перпендикуляр жоне кол беудщ оз1не де перпендикуляр. Далелдеу! 53-суретт! карайык, мунда АН кес!нд!с! а жазыктыгына перпендикуляр, МА - келбеу, а - а жазыктыгындагы М нуктес! аркылы МА колбеушщ проекциясына перпендикуляр тузу: аА-МА болатынын далелдешк. 53-сурет. АМН жазыктыгын карастырайык. а тузу осы жазыктыкка перпендикуляр, ойткеш ол киылысушы АН пен МН тузулерше перпендикуляр (шарт бойынша а±НМ жене а1АН, ойткеш АН 1а). Будан а тузу! АНМ жазыктыгында жата- тын кез келген тузуге перпендикуляр, онын !ш!нде а±МА екен! шыгады. Теорема далелденд!. Бул теорема рш перпендикуляр туралы теорема деп аталады, ойткен! мунда АН, НМ жане МА — уш перпендикулярдыц арасындагы байланыс туралы айтылады. Буган кер! теорема да орындалады: жазыцтыцта колбеудщ табаны арцылы жург1з1лген тузу осы келбеуее де жоне оныц проекциясына да перпендикуляр бола ды. Бул теорема ны тура теореманы далелдегенге уксас 53-суретт! пайдаланып оз беттершше далелдендер (153-есеп). 21. Тузу мен жазыктыктыц арасындагы бурыш. 19-пунктте колбеудщ жазыктыкка проекциясынын аныктамасы бер!лген бо-латын. Енд! ерюн алынган фигуранын проекциясы* угымын енг!зем!з. Нуктенщ жазъщтыцца проекциясы деп, егер ол жазыц-тыцта жатпаса, осы нуктеден жазыцтыкща жург1з1лгеи перпендикулярдыц табанын жоне, егер ол жазыцтыцта жатса, нуктенщ озш айтамыз. 54-суретте Мг нуктес! - М нуктесшщ а жазыктыгындагы проекциясы, ал N - сол жазыктыкка тус!р!лген N нуктесшщ оз!н!ц проекциясы (N е а). Кешстжтег! кандай да 6ip фигураны F аршмен белНлешк. Осы фигуранын барлык нуктесшщ проекцияларын бер!лген жазыктыкка тустрсек, Fx фигурасы шыгады. Бул фигура F фигурасыныц бер1лген жазъщтыцца прорекциясы деп аталады. 54-суретте Fx ушбурышы — F ушбурышынын а жазыктыгына тус!р!лген npootf- циясы. Тузудщ бул тузуге перпендикуляр емес жазыцтъщца проекциясы тузу болатынын далелдешк. * Бер1лгсн ггунктте фигуранын тшбурыптты проекциясы туралы соз болып отыр. Фигуранын параллель проекциясынын жалпылама угымы 1-косымпшдп кара стыр ы лад ы.
54-сурет. 55-еурет. Бершген жазыктыкты ос деп, ал ос жазыктыгына перпендикуляр емес ерк!н алынган тузуд! а оршмен белг!летк (55-сурет). а тузу!нщ кандай да 6ip М нуктесшен ос жазыктыгына МН перпен-дикулярын жург!зем!з жене а мен МН аркылы отетш р жазыктыгын караетырамыз. а мен Р жазыктыктары белпл! 6ip тузушде киылысады. Осы тузу а жазыктыгына тус!р!лген а тузушщ проек-циясы болатынын далелдешк. Шынында да, а тузушен ерк!м!зше Мх нуктесш аламыз да, р жазыктыгындай МН тузуше параллель М Нх тузуш жург!зем!з (Н - МХН мен а тузулершщ киылысу нуктес!). 16-пункттег1 1-теорема бойынша MxHxlxtt ендеше Н нуктес! Мх нуктесшщ а жазыктыгына проекциясы болып табылады. а тузушщ еркш алынган нуктесшщ проекциясы а тузушде жататынын далелдедж. ах тузушщ кез келген нуктес! а тузушщ кандай да oip нуктесшщ проекциясы болып табылатыны да осы си-якты далелденедй Олай болса, а - а тузу!нщ ос жазыктыгындагы проекциясы. Далелденген уйгарымнан жазыктыкка перпендикуляр емес АВ кесшд!сш!ц проекциясы уштары А мен D нуктелер!нщ проекция-лары бола тын кесшд! екен! шыгады. Сондыктан, колбеу проекция -сыньщ аныктамасы (19-п.) фигура проекциясыньщ жалпы аныкта-масымен толык сэйкес келед!. Тузудщ жазыктыкка проекциясы угымын пайдалана отырып, тузу мен жазыктыктын арасындагы бурыштын аныктамасын берешк. А н ы к т а м а. Тузу мел осы тузуд! к;иып ememin жоне оган перпендикуляр емес жазыцтыцтыц арасындагы бурыш деп тузу мен о нъщ жазыцтыцца проекциясыныц арасындагы бурышты ай тады. Беритген AN тузу! мен а жазыктыгыныц арасындагы (р буры-шы (56-сурет) бер!лген тузудщ ос жазыктыгындагы А нуктес! аркылы ететш тузулермен жасайтын барлык <р бурыштарыныц ен Kimici екешн делелдеуге болады (162-есеп).
Егер г1у3У жазыктыкка перпендикуляр болса, онда онын осы жазыктыкка проекциясы тузудщ жазыктыкпен киылысу нуктес] болып табылады. Мундай жагдайда тузу мен жазыктыктын арасындагы бурыш 90 -ка тен деп сана лады. Егер бергпген тузу жазыктыкка параллель болса, онда оныц жазыктыкка проекциясы бер!лген тузуге параллель тузу болып табылады. Бул жагдайда тузу мен жазыктыктын арасындагы бурыш угымын енг!збейм!з (кейде параллель тузу мен жазыктыктын арасындагы бурыш 0 -ка тец деп кел!с!п алынады). ЕСЕПТЕР 138 .Бер!лген жазыктыкка кандай да 6ip нуктеден перпендикуляр мен колбеу жург!з!лген. Олардын арасындагы бурыш <р-ге тен. а) Егер перпендикуляр б/-ге тен болса, колбеуд! жене онын бер!лген жазыктыкка проекциясын табыцдар. е) Перпендику-лярды жене колбеу т-ге тец болганда оныц проекциясын табыцдар. 139 .Жазыктыкка кандай да 6ip нуктеден ек! колбеу жург!з!лген. а) Егер колбеулер тен болса, олардыц проекциялары да тец болатынын; о) егер колбеулердщ проекциялары тен болса, онда колбеулер де тен болатынын; б) егер колбеулер тен болмаса, онда колбеудш ул кеш улкен проекцияга ие болатынын делел-дендер. 140 .cc жазыктыгына тшст! емес А нуктесшен осы жазыктыкка АО перпендикуляры жене озара тен ек! колбеу АВ мен АС жург!з!лген. ZOAB=ZBAC=60 , АО=1,5 см екеш белгий. Колбеулер табандарыныц арасындагы кашыктыкты табыцдар. 141 .Бер!лген кес!нд!н!ц oip ушы а жазыктыгында, ал екшш! ушы жазыктыктан 6 см кашыктыкта. Бер!лген кесшдшщ ортасы-нан ос жазыктыгына дешнг! ара кашыктыкты табыцдар. 142 .Кес!ндш!ц уштары а жазыктыгынан 1 см жоне 4 см кашыктыкта жатыр. Кес!нд!н!ц ортасынан а жазыктыгына дешнг! ара кашыктыкты табыцдар. 143 .А^ нуктесшен АВС дурыс ушбурышынын op6ip тебесше дешнг! ара кашыктык 4 см. Егер АВ=6 см болса, М нуктесшен АВС жазыктыгына дешнг! ара кашыктыкты табыцдар. 144 .0 тузу! а жазыктыгына параллель, а тузу!н!ц барлык нуктелер! а жазыктыгынан б!рдей кашыктыкта болатынын долелдендер.
Ш е ш у i. а тузушщ кандай да 6ip нуктесшен а жазыкгы-гына параллель Р жазыктыгын жург!зем!з (59-есеп). а тузу! Р жазыктыгында жатыр, ейткеш кер! жагдайда ол Р жазыктыгын кияды, ендеше а жазыктыгын да кияды (55-есеп), булай болуы мумюн емес. р жазыктыгыныц барлык нуктелер! а жа-зыктыгынан б!рдей кашыктыкта, сондыктан р жазыктыгында жаткан а тузу!шц барлык нуктелер! а жазыктыгынан б!рдей кашыктыкта жатады, далелдеу керег! де осы ед!. 145 .С бурышы тш болып келген АВС тжбурышты ушбурышынын А тобесшен ушбурыш жазыктыгына перпендикуляр AD тузу! жург!з!лген. a) CBD ушбурышы тжбурышты болатынын далелдендер. о) Егер ВС=а, DC=b болса, BD-ны табыцдар. 146 .Д тузу! а жазыктыгын М нуктесшде кияды жане бул жазыктыкка перпендикуляр емес. а жазыктыгында М нуктес! аркылы а тузуше перпендикуляр 6ip жане тек 6ip гана тузу ететшн далелдендер. 147 JV нуктесшен ABCD тштортбурышы жазыктыгына NB перпендикуляры жург!з!лген. AND мен NDC тжбурышты ушбурыштар екешн далелдендер. 148 .АА' тузу! АВС дурыс ушбурышынын жазыктыгына перпендикуляр, М - ВС кабыргасыныц ортасы. МК1ВС болатынын далелдендер. 149 .AD кесшдю! АВС тецбушрл! ушбурышынын жазыктыгына перпендикуляр. АВ=АС=5 см, ВС=6 см, AD=12 см екен! белг!л!. AD кесшдкйшц уштарынан ВС тузуше дейшг! ара кашыктыктарды табыцдар. 150 .ABCD тжтортбурышыныц А тобес! аркылы тжтортбурыш жазыктыгына перпендикуляр АК тузу! жург!з!лген. Л7)=6 см, КВ=7 см, КС=9 см екен! белг!л!. а) К нуктесшен ABCD тштортбурышыныц жазыктыгына дейшг! ара кашыктыкты; а) АК мен CD тузулер!н!ц арасындагы кашыктыкты табыцдар. 151 .СВ тузу! АВС ушбурышынын жазыктыгына перпендикуляр, а) АВС ушбурышы ABD ушбурышынын АВС жазыктыгына проекциясы екешн; а) егер СН-АВС ушбурышынын бшктгг! болса, онда DH — ABD ушбурышынын би!кт!г! болатынын далелдендер. 152 .АВСВ квадратыныц В тобесшен онын жазыктыгына перпендикуляр BF тузу! жург!з!лген. F нуктесшен квадраттын кабыргаларын жене диагональдарын камтитын тузулерге дейшг! ара кашыктыктарды табыцдар, ВВ=8 дм, АВ=4 дм деп алыцдар. 153 .МА колбеушщ а жазыктыгында жаткан М табаны аркылы оган перпендикуляр жург!з!лген а тузу! онын НМ проекциясы -на да перпендикуляр екешн далелдендер (53-суретт! кара). Ш е ш у i. а тузу! осы жазыктыкта жаткан киылысатын ею тузуге перпендикуляр болгандыктан, АНМ жазыктыгына перпендикуляр (шарт бойынша а±МА жене АН 1а болгандыктан, а±АН). Будан а тузуппн АНМ жазыктыгында жаткан кез кел-
ген тузуге, онын !шшде НМ-ге перпендикуляр екеш шыгады. Далелдеу Keperi де осы ед!. 154 .BD тузу! АВС ушбурышынын жазыктыгына перпендикуляр. BD = 9 см, АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см екеш белпл!. a) D нуктесшен АС тузуше дешнг! ара кашыктыкты; a) ACD ушбурышынын ауданын табыцдар. 155.Тецбуй!рл! т!кбурышты АВС ушбурышынын т!к бурышынын С тобесшен оныц жазыктыгына перпендикуляр СМ тузу! жург!з!лген. АС = 4 см, ал СМ = 2>/7см болгандагы М нуктесшен АВ тузуше дейшг! ара кашыктыкты табыцдар. 156.Т1кбурышты АВС ушбурышынын катеттершщ 6ipi m-ге тен, ал осы катетке !ргелес жаткан сушр бурыш ф-ге тен. Т!к бурыштыц С тебес! аркылы осы ушбурыштыц жазыктыгына перпендикуляр CD тузу! жург!з!лген, мундагы CD = п. D нуктесшен АВ тузуше дешнг! ара кашыктыкты табыц-дар. 157.0# тузу! диагональдары О нуктесшде киылысатын ABCD ромбысыныц жазыктыгына перпендикуляр, а) К нуктесшен ромб кабыргаларын камтитын барлык тузулерге дешнг! ара кашыктыктар тец екешн долелдендер. о) Егер ОК= 4,5 дм, АС = 6 дм, BD = 8 дм болса, осы ара кашыктыкты табыц-дар. 158.ABCD ромбысыныц В тебес! аркылы онын жазыктыгына перпендикуляр ВМ тузу! жург!з!лген. Егер АВ =25 см, ZBAD = 60 , ВМ= 12,5 см болса, М нуктесшен ромб кабыргаларын камтитын тузулерге дешнг! ара кашыктыкты табыцдар. 159.ВМ тузу! ABCD тштортбурышы жазыктыгына перпендикуляр. ADM мен ВСМ жазыктыктарынын киылысу тузу! АВМ жазыктыгына перпендикуляр болатынын долелдец-дер. 160.АВ кесшщсшш уштары ара кашыктыгы d-ra тен параллель ек! жазыктыкта жатыр, мундагы d < АВ. АВ кес!нд!сш!н осы жазыктыктарга проекцияларынын тен екешн долелдендер. Егер АВ = 13 см, d = 5 см болса, осы проекцияларды табыц-дар. 161.ВА соулес! жазынкы емес CBD бурышынын жазыктыгында жатпайды. Егер ААВС = ABD, мундагы ZABC<90° болса, В А соулесшш CBD жазыктыгына проекциясы CBD бурышынын биссектрисасы болатынын долелдендер. 162.МА тузу! а жазыктыгындагы А нуктес! аркылы етед! жоне бул жазыктыкпен фо — 90 бурыш жасайды. <ро МА тузушщ а жазыктыгындагы А нуктес! аркылы отетш тузулермен жа-сайтын барлык бурыштарынын ен Kiinici болатынын делел-дендер. Ш е ш у i. Н аршмен М нуктесшен а жазыктыгына жург!з!лген перпендикулярдын табанын белйлешк те, А нуктесшен отетш жоне ос жазыктыгынын АН тузушен озгеше кез келген р тузуш карастырайык (57-сурет). МА мен р
57-сурет. тузулершщ арасындагы бурышты <р аркылы белйлешк те, <р><р екешн далелдешк. М нуктесшен р тузуше MN перпен-дикулярын журызешк. Егер N нуктес! А нуктеамен беттесетш болса, <р = 90 , сондыктан <р > <рс. А мен N нуктелер! беттеспеитш жагдайды карастыраиык (57-суретт1 кара). МА кесшдкл - ANM мен АНМ тшбурышты ушбурышта-рыньщ ортак гипотенузасы болгандыктан, sin <р = MN/МА, sin <ро = МН /МА. MN > МН болгандыктан (MN -колбеу, МН - перпендикуляр), бул eni тещцктен sin <р > sin <ро, ал будан <р > <р екеш шыгады. 163 .А нуктесшен бср!лген жазыктыкка журпзьтген МА колбеу! б-га тец. Егер МА Tysyi мен жазыктыктын арасындагы бурыш: а) 45 ; о) 60 ; б) 30 болса, колбеудщ жазыктыкка проекциясы неге тец? 164.0. жазыктыгына ср бурышымен келбеу журшзшген. Егер колбеудщ проекциясы оныц езшен ею есе Kimi екеш белил! болса, <р-д! табындар. 165хр жазыктыгынан d кашыктыкта жаткан А нуктесшен осы жазыктыкка 30 бурышпен АВ мен АС колбеулер! журизшген. Олардын <р жазыктыгына проекциялары езара 120 бурыш жасайды. 23С-ны табындар. § 3. ЕК1ЖАЦТЫ БУРЫШ. ЖАЗЫЦТЫЦТАРДЫЦ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЛЫГЫ 22. Екгжацты бурыш. Жазыктыктагы бурыш деп 6i3 6ip нуктеден шыгатын ек! сеуледен куралган фигураны айтамыз. Стерео-метрияда мундай бурыштармен катар бурыштардын тагы 6ip Typi екгжакты бурыштар карастырылады. Ешжакты бурыш тусшшш енг!зу ушш бергпген жазыктыкта журизЬтген кез келген тузу бул жазыктыкты ею жартыжазыктыкка белетшш еске тунрейгк (58, а-сурет). а шекарасы бар eni жартыжазыктык 6ip жазыктыкта жатпайтындай eTin 6i3 жазыктыкты а тузушщ бойымен буктед!к деп елестетешк (58, б-сурет). Алынган фигура еюжакты бурыш болып шыгады. Осылайша, еюжакты бурышка мынадай аныктама беруге болады: ек1жак;ты бурыш деп а тузу1 мен ортак; а шекарасы бар. 6ipжазыцтыцта жатпайтын, ек1 жартыжазьщтъщтан цуралг ан фигураны айтады. Еюжакты бурышты жасайтын жартыжа-зыктыктар оныц жацтары деп аталады. Еюжакты бурыштыц ею жагы бар, ешжакты бурыш деп аталуы да осыдан. Жартыжазык-тыктардыц ортак шекарасы - a Tyayi еюжакты бурыштыц цыры деп аталады.
а тузу! жазыктыкты ек1 жартыжазык-тыкка Зел ед Еюжакты бурыш. 5 8-сурет. Кундел1кт1 ом!рде 6is еюжакты бурыш шппнд! заттармен кездесем!з. Ондай заттарга мысал ретшде жартылай ашылган пап-каны, уйлердщ шатырын, болмешн кабыргасы мен едешн келт!руге болады. Б1з жазыктыктардагы бурыштар (кадамп бурыштар) градус-тармен елшенетшн бьлемаз. Ал еюжакты бурыштар калай олшене/п? Ол ушш еюжакты бурыштын кырында кандай да 6ip нуктеш белтллеп, еюжакты бурыштын ep6ip жагында осы нукте-ден кырга перпендикуляр болатын саулелер журтлзешк. Осы сау-лелермен жасалган бурыш ек1жа^ты бурыштыцсызыцтык; бурышы деп аталады. 59, а-суретте АОВ бурышы - CD кыры болатын еюжакты бурыштын сызыктык бурышы. OA1CD жоне OB1CD болгандыктан, АОВ жазыктыгы CD тузуше перпендикуляр. Осы-лайша, сызыктык бурыш жазыктыгы еюжакты бурыштын кыры-на перпендикуляр. Еюжакты бурыштын шекс!з коп сызыктык бурышы болатыны айкын (59, б-сурет). Ек1жацты бурыштын, барлык; сызыктык; бурыштары озара тен, екешн далелдешк. АОВ мен А1О1231 сызыктык бурыштарын 59-сурет. Еюжакты бурыштын сызыктык бурышы.
60-сурет. карастырайык (59, б-сурет). О А мен О А соулелер! 6ip жакта жатыр жане ООХ тузу!не перпендикуляр, сондыктан олар багыттас. Дал солай ОВ мен О Б соулелер! багыттас болып шыгады. Сондыктан /А.ОД = z АОВ (кабыргалары багыттас бурыштар болгандыктан). Ек1жацты бурыштыц градустыц елшели деп оныц сызыцтыц бурышыныц градустыц олшемш айтады. 60, а-суретте ек!жакты бурыштыц градустык олшем! 45°-ка тец. Эдетте, кыскаша: “Ектжакты бурыш 45 -ка тен” деп айтады. Егер еюжакты бурыш 90 -ка тец (90 -тан Kimi, 90 -тан улкен) болса, ол пик (суйip, догал) бурыш деп аталады. 60, б-суретте кескшделген ешжакты бурыш - тис, 60, а-суретте - сутр, ал 60, в-суретте - догал. 23. Eid жазыктыцтыц перпендикулярлык белпсь Eni киылы сатын жазыктык ортак кыры бар терт еюжакты бурыш жасайды (61, а-сурет). Егер бул еюжакты бурыштардыц 6ipeyi <р-ге тен болса, онда калган уш бурыш сойкесшше 180 — <р, <р жоне 180 - <р-ге тец (неге екенш тусшд!р1цдер). Дербес жагдайда, егер бурыштардыц 6ipeyi Т1к (<р = 90 ) болса, онда калган уш бурыш та ж болады. Егер <р — калган бурыштардыц оркайсысынан аспайтын торт бурыштыц 6ipeyi болса, онда киылысушы жазыктыктардыц арасындагы бурыш ф-ге тен деимхз. Осыдан 0 <<р г90 екеш айкын. А н ы к т а м а. Егер циылысушы ек1 жазыцтыцтыц арасындагы бурышЭО0 цатец болса, олар перпендикуляр (озара перпендикуляр) жа-зыцтыцтардепаталады(61, б-сурет). ©зара перпендикуляр жазыктыктарга кабырга мен еден, кабыр-га мен тобе жазыктыктары мысал бола алады. ©зара перпендикуляр жазыктыктардан жасалган торт еюжакты бурыш йк болатыны айкын. Eni жазыктыктын перпендикулярлык белг!с1н карастырайык. Теорема. Егер ек1 жазыктыцтыц 6ipi eKiHiui лсазыцтыкца пер пендикуляр тузу арцылыетее, онда ондайжазыцтыцтар перпендику ляр болады. Делелдеуь а мен р жазыктыктарын карастырайык. Мун-
61-сурет. дагы « жазыктыгы |5 жазыктыгына перпендикуляр жене онымен А нуктесшде киылысатын АВ тузу! аркылы отед! (62-сурет). а±р екешн далелдешк. а мен р жазыктыктары кандай да 6ip АС тузушщ бойымен киылысады, epi АВ± АС, ойткеш шарт бойынша АВ1р, ендеше АВ тузу! р жазыктыгында жататын кез келген тузуге перпендикуляр. р жазыктыгында АС тузуше перпендикуляр AD тузуш жург!зем!з. Сонда BAD бурышы - « мен р жазыктыктарынын киылысуынан пайда болган е к! жакты бурыштыц сызыктык бурышы. Б!рак zBAD = 90 (ABzp болгандыктан). Демек, и. мен р жазыктыктарынын арасындагы бурыш 90 -ка тен, ягни <xl |i Теорема делелдендъ С а л д а р. Бойында бер1лген etci жазыкрпыц киылысатын тузуге перпендикуляр жазыкрпыц осы жазы^тъщтардыцор^айсысына перпендикуляр (63-сурет). 24. Тшбурышты параллелепипед. Бушр кырлары табанына перпендикуляр, ал табандары тштортбурыштар болып келген параллелепипед т1кбурышты параллелепипед деп аталады. Тшбурышты параллелепипед тппнд! нерселер коп кездесед!, мысалы, кораптар, жапиктср, болмелер жене т. с. с. 64-суретте ABCDA{BXC XDX тшбурышты параллелепипед! кескшделген. ABCD мен А Е CXD} тжтортбурыштары - онын та- 63-сурет уШ болса, онда у±а жене (1 П. 64-сурет. Тгкбурышты параллелепипед.
бандары, ал ААр ВВ{, СС{ жене DD{ бушр кырлары табандарына перпендикуляр. Осыдан АА^АВ, ягни ААХВ^В бушр жагы -т!ктертбурыш екеш шыгады. Калган бушр жактары туралы да осыны айтуга болады. Сонымен, б!з тткбурышты паралелепипедтщ томепдег! касиетш нейздедш: 1 . Т1кбуръниты параллелепипедтщ барльщ алшы жагы да -пикпюртбурыштар. Тпсбурышты параллелепипедтщ сыбайлас жактары орналаск-ан жартыжазыктыктар параллелепипедтщ ешжацты бурыштары деп аталатын ешжакты бурыштарды тузед!. 0з беттерщше тагы 6ip касиетт! далелдендер: 2 . Т1кбурышты параллелепипедтщ барлык емжацты бурыштары - пик болады. Енд! тшбурышты параллелепипедтщ тамаша касиеттершщ 6ipeyiH карастыруга кешешк. Тобес! ортак уш кырдыц узындыктарын т!кбурышты параллелепипедтщ олшемдер1 деп атайык. Мысалы, 64-суретте кескшделген параллелепипедтщ елшемдер! рет!нде АВ, AD жоне АА кырларынын узындыктарын алуга болады. Кундел!кт! ошрде белменщ елшемдер! туралы соз болганда “елшемдер” дегеннщ орнына едетте белменщ “узындыгы”, “era” жене “бшктпт” деген сездерд! колданады. Белменщ узындыгы, era жене бшктга! онын елшемлер! болып табылатыны анык- Параллелепипедтщ елшемдерше байланысты касиетш тужы-рымдамас бурын, т!ктертбурыштын диагона лшщ квадраты онын сыбайлас кабыргаларыньщ квадраттарыныц косындысына тен екешн еске тус!рей!к. Сыбайлас кабыргалардьщ узындыктарын тштертбурыштын елшемдер! деп атауга болады, сондыктан да гткпюртбурыштыц диагоналшщ квадраты оныц ек1 олшели квадраттарынъщ косындысы натецлеп айтуга болады. Тшбурышты параллелепипед те осындай касиетке ие болады екен. Теорема. ТЧкбурышты параллелепипедтщ диагоналшщ квадраты онъщ уш елшемшщ квадраттарыныц цосындысына тец. Д е л е л д е у i. ABCBA^C^ параллелепипед! кескшделген 64-суретт! карайык та, екешн далелдешк. СС, кыры ABCD табанына перпендикуляр болгандыктан, АСС( бурышы - т!к. ACCj тжбурышты ушбурышынан Пифагор теоре-масы бойынша JCf = АС1 + С(’“ екеш шыгады. Б!рак, АС - ABCD тжтортбурышынын диагонал!, сондыктан АС2 = АВ2 + AD2. Сонымен катар, СС} = АА . Ендеше,
.-ICf = AB2 + AD24- Al3. Теорема дэлелдещц. С а л д a p ы. Тштертбурышты параллелепипедтщ диагона льда-ры тен болады. Барлык уш елшем! тец тжбурышты параллелепипед куб деп аталады. Кубтын барлык жактары 6ip-6ipine тец квадраттар. ЕСЕПТЕР* 166.Перпендикуляр емес а мен р жазыктыктары MN тузут бойында киылысады. р жазыктыгында А нуктесшен MN тузуше АВ перпендикуляры жене сол А нуктесшен а жазыктыгына АС перпендикуляры жург!з!лген. z АВС - AMNC еюжакты бурышынын сызыктык бурышы екешн долелдендер. 167 DABC тетраэдршщ барлык кырлары тен, ал М нуктес! - АС кырынын ортасы. z DM В - BACD еюжакты бурышынын сызыктык бурышы екешн долелдендер. 168£южакты бурыш <р-ге тен. Осы бурыштыц 6ip жагында баска 6ip жактын жазыктыгынан d кашыктыкта нукте жатыр. Осы нуктеден еюжакты бурыштыц кырына дешнг! ара кашыктыкты табыцдар. 169.Bip жагы ортак, ал калган ек! жагы 6ip жазыктыктын ер турл! жартыжазыктыктары болатын еюжакты ек! бурыш бер!лген. Осы еюжакты бурыштардыц косындысы 180 екешн делелдендер. 170ЛС кабыргасы а жазыктыгында жаткан АВС ушбурышынын В тебес!нен осы жазыктыкка ВВ{ перпендикуляры журпз!лген. АВ = 2 см, zBAC =150 жене ВАСВ} еюжакты бурышы 45 -ка тен деп алып, В тобесшен АС тузутне жане а жазыктыгына дешнг! ара кашыктыктарды табыцдар. 171.Т!кбурышты тенбушрл! ушбурыштын гипотенузасы а жазыктыгында жатыр, ал катет! осы жазыктыкка 30 бурыш жасай колбеген. а жазыктыгы мен ушбурыш жазыктыгыныц арасындагы бурышты табыцдар. 172.С бурышы т!к АВС тшбурышты ушбурышынын АС катет! а жазыктыгында жатыр, ал а мен АВС жазыктыктарынын арасындагы бурыш 60-ка тец. АС=5 см, АВ =13 см деп алып, В нуктесшен а жазыктыгына дешнг! ара кашыктыкты табыцдар. 173АВСВ тетраэдршщ CD кыры АВС жазыктыгына перпендикуляр, АВ = ВС = АС = 6, BD = 3 /7 . DACB, DABC, BDCA еюжакты бурыштарды табыцдар. * Осы параграфтын есептершдр ар турлт жактарында С мен D нуктелер! белпленген. кыры Д В болып келген екЬкакты бурышты кыскаша С А В D еюжакты бурышы деп атайтын боламыз.
174.Erep DAB, DAC жене ACB бурыштары т!к, AQ=CB =5, DB=5 y/5 болса, ABCD тетраэдр!шн ABCD еюжакты бурышын табындар. 175.Егер тетраэдрдш барлык кырлары тен болса, онда онын барлык еюжакты бурыштары да тен екешн далелдендер. Осы бурыштарды табындар. 176Л-ВСВ ромбысынын AD кабыргасы аркылы BADM еюжакты бурышы 60 -ка тец болатындаи етш, ADM жазыктыгы жург!з!лген. Егер zBAD=45 жане В нуктесшен ADM жазыктыгына дешнг! ара кашыктык 4 -ке тен болса, ромбынын кабыргасын табындар. 177.Бойымен бер!лген ею жазыктык киылысатын тузуге перпендикуляр жазыктык осы жазыктыктардын аркайсысына перпендикуляр екешн далелдендер. 178хх мен р жазыктыктары озара перпендикуляр жене с тузушщ бойымен киылысады. <1 жазыктыгыныц с тузуше перпендикуляр ap6ip тузу! р жазыктыгына перпендикуляр екешн далелдендер. Ш е ш у i. а жазыктыгында с тузуше перпендикуляр кез келген АС тузуш журйзешк, С G с. СА1ц екешн далелдешк. р жазыктыгында С нуктес! аркылы с тузуше перпендикуляр СВ тузуш жург!зей!к. CAic жане CBic болгандыктан, zACB-a мен р жазыктыктары жасайтын еюжакты бурыш-тардыц oipeyiniH сызыктык бурышы. Есептщ шарты бойынша alp, сондыктан zACB- так, ягни СА1СВ. Сейтш, С А тузу! р жазыктыгындагы киылысатын с мен СВ тузулерше перпендикуляр, сондыктан САгр. 179хл мен р жазыктыктары езара перпендикуляр, а жазыктыгы-ныц кандай да 6ip нуктес! аркылы р жазыктыгына перпендикуляр тузу журйзшген. Осы тузу а жазыктыгында жататынын далелдендер. 18O.Bip жазыктыкка перпендикуляр болатындай жазыктык пен онда жатпайтын тузу езара параллель екешн далелдендер. 181 лл мен р жазыктыктары а тузу!шн бойымен киылысады. М нуктесшен а мен р жазыктыктарына сайкесшше МА мен МВ перпендикулярлары журпзьтген. а тузу! МАВ жазыктыгын С нуктесшде киып отед!. МС1а екешн далелдендер. 182х/. мен р жазыктыктары езара перпендикуляр жене а тузушщ бойымен киылысады. N нуктесшен осы жазыктыктарга NA мен NB перпендикулярлары журпзшген. а тузу! ANB жазыктыгын С нуктесшде киып отед!. a) ACBN тертбурышы так тортбурыш екешн далелдендер. а) Егер AN = т, BN = п болса, N нуктесшен а тузуше дешнг! ара кашыктыкты табындар. 183.</ мен р жазыктыктары а тузу! бойымен киылысады жане у жазыктыгына перпендикуляр, а тузушщ 7 жазыктыгына перпендикуляр екешн далелдендер. 184.АБС мен ABD ушбурыштарынын ортак АВ кабыргасы 10 см-ге тен. Осы ушбурыштардыц жазыктыктары езара перпендикуляр. Егер ушбурыштар: а) тецкабыргалы; а) АВ гипо-
тенузасы болатын тшбурышты тецбушрл! болса, CD-ны табыц-дар. 185д тузу! а жазыктыгына перпендикуляр емес. а тузу! аркылы отетш жене а жазыктыгына перпендикуляр болатын жазыктыктын бар екешн делелдендер. Ш е ш у i. а тузу!шц кез келген М нуктес! аркылы а жазыктыгына перпендикуляр р тузуш жург!зей!к жене а мен р тузулер! аркылы ететш |з жазыктыгын карастырайык. а тузушщ бойымен ететшдштен жене ек! жазыктыктын перпендикулярлык белг!с! бойынша а жазыктыгына перпендикуляр болгандыктан, |з жазыктыгы !зделшд! жазыктык болып табылады. 186.Бер!лген а мен b айкас тузулерш киып ететш жене олардын еркайсысына перпендикуляр тузудщ бар жене онын тек 6ipey гана болатынын делелдендер. Ш е ш у !. а тузу! аркылы ететш жене Ь тузуше параллель <х жазыктыгын карастырайык. а мен b тузулер! аркылы 131 и. жене y±u болатындай |3 мен у жазыктыктарын жург!зем!з (185-есеп). 0з беттерщше бойымен |3 мен у жазыктыктары киылысатындай р тузу! !зделшд! тузу екенш делелдендер. р - есеп шартын канагаттандыратын жалгыз тузу екешн далелдешк. Берьлген айкас а мен b тузулерш киятын жане олардын еркайсысына перпендикуляр болатын A мен А,В, тузулер! бар деп жориык (65-сурет). А1В1 мен A.,BZ тузулер! J жазыктыгына перпендикуляр (неге екешн тусшд!р!ндер), сон-дыктап олар параллель. Осыдан а мен b айкас тузулершщ 6ip жазыктыкта жататыны шыгады, ал бул айкас тузулер анык-тамасына кайшы келедь 187.Егер тшбурышты параллелепипедтщ елшемдер!: а) 1, 1, 2; а) 8, 9, 12; б) >/39 , 7, 9 болса, онда онын диагоналш табыцдар. 188.Кубтын кыры а-га тон. Кубтыц диагоналш табыцдар. 189.Егер: а) куб жагыныц диагонал! а-га тец; о) кубтыц диагонал! d-ra тец болса, кубтыц тебесшен осы тобеш камтамайтын кез келген жактыц жазыктыгына дешнг! ара кашыктыкты табыц- дар. 190ABCDA B[C]Dl кубы берьлген. Мынадай ек!жакты бурыштар-ды табыцдар; a) ABB С; a) ADD В\ б) АХВВ{К, мундагы К - A{DX кырыныц ортасы. 191ABCDA В CXD кубы берглген. АВСХ жоне A B}D жазыктыктары перпендикуляр екенш делелдендер. 192.Куб диагонал! мен онын жактарыныц б!реу!нщ жазыктыгы арасындагы бурыштыц тангенсш табыцдар. \<№ABCDA{BXC 1Z>1 тшбурышты параллелепипедшде DlB=d,
АС=т, АВ=п. а) АС тузу! мен АВС жазыктыгыныц; а) АВВ^ мен DCCr жазыктыктарыньщ; б) DDX тузу! мен АСС жазыктыгыныц ара кашыктыгын табыцдар. 194.Кубтыц кыры а-га тен. а) Кубтыц диагоналш жане кубтыц Кырын; а) кубтыц диагоналш жане куб жагыныц диагоналш камтитын айкас тузулердщ ара кашыктыгын табыцдар. 195.Егер АС{ = 12 см жане BD диагонал! АА D}D жагыныц жазыктыгымен 30 бурыш, ал DD кырымен 45 бурыш жасайтын болса, ABCDA^B С}1), тшбурышты параллелепипед!н!ц олшемдерш табыцдар. Idfy.ABCDAJB С D кубын кескшдендер де, оныц: а)АА кыры аркылы отетш жене ВВ D жазыктыгына перпендикуляр; а) АВ кыры аркылы ететш жене CD А жазыктыгына перпендикуляр жазыктыкпен кимасын салындар. II ТАРАУГА АРНАЛГАН CYPAKTAP I. Егер кещстштег! ек! тузу ушшш! тузуге перпендикуляр болса, онда бул тузулер параллель болады деген тужырым акикат па? Барлык уш тузу 6ip жазыктыкта жаткан жагдайда бул тужырым акикат па? 2. b жене с параллель тузулер! ос жазыктыгында жатыр, ал а тузу! b тузуше перпендикуляр, а) тузу! с тузуше перпендикуляр; е) а тузу! ос жазыктыгын киып отед! деген тужырым акикат па? 3. а тузу! ос жазыктыгына перпендикуляр, ал b тузу! бул жазыктыкка перпендикуляр емес. а мен b тузулер! параллель болуы мумкш бе? 4. а тузу! ос жазыктыгына параллель, ал b тузу! осы жазыктыкка перпендикуляр, а мен b тузулер! озара перпендикуляр деген тужырым акикат па? 5. а тузу! ос жазыктыгына параллель, ал b тузу! осы жазыктыкка перпендикуляр, а мен b тузулерше перпендикуляр тузу бар ма? 6. Бер!лген жазыктыкка перпендикуляр жене бер!лген тузуд! киып отетш барлык тузулер 6ip жазыктыкта жатады деген тужырым акикат па? 7. Эркайсысы ушшш! жазыктыкка перпендикуляр ек! жазыктык: а) параллель жазыктыктар; а) перпендикуляр жазыктыктар бола ала ма? 8. Кешстжтщ нуктес! аркылы ep6ip екеу! озара перпендикуляр уш жазыктык жург!зуге бола ма? 9. Квадраттыц диагонал! кандай да 6ip жазыктыкка перпендикуляр. Квадраттыц баска диагонал! осы жазыктыкка катысты калай орналаскан? 10. а) Тетраэдрдщ; а) параллелепипедтщ неше еюжакты бурышы бар?
ЦОСЫМША ЕСЕПТЕР 1 97.ВМ кесшд!с! ABCD тжтортбурышы жазыктыгына перпендикуляр. CD тузу!нщ МВС жазыктыгына перпендикуляр екешн далелдендер. 198 .А нуктес! а жазыктыгында, ал В нуктес! осы жазыктыктан 9 см кашыктыкта жатыр. М нуктес! АВ кес!нд!с!н А нуктесшен са-наганда 4:5 катынасында болел!. М нуктесшен ос жазыктыгына дешнг! ара кашыктыкты табындар. 199 .S нуктес! т!кбурышты ушбурыш тобелершен б!рдей кашыктыкта жоне осы ушбурыш жазыктыгынан тыс жатыр. М - ги-потенузанын ортасы болатын SM тузушщ ушбурыш жазыктыгына перпендикуляр екенш далелдендер. 200 .Копбурышка сырттай сызылган шецбердщ центр! аркылы отетш жане кепбурыш жазыктыгына перпендикуляр тузудщ кез келген нуктес! осы копбурыштын тобелершен б!рдей кашыктыкта жататынын далелдендер. 201 .Егер Р мен Q нуктелер! АВ кес!нд!с!шн шеттершен б!рдей кашыктыкта жатса, онда АВ мен PQ айкас тузулершщ арасындагы бурышты табындар. 2О2 .Нукте йкбурышты ушбурыштьщ ap6ip тобес!нен 10 см кашыктыкта жатыр. Егер гипотенузага жург!з!лген медиана 5 см-ге тен болса, бул нукте ушбурыш жазыктыгынан кандай кашыктыкта жатыр? 203 .АВС ушбурышына !штей сызылган шенбердщ центр! О аркылы ушбурыш жазыктыгына перпендикуляр ОК тузу! жург!з!лген. Егер АВ=ВС=10 см, АС=12 см, ОК=4 см болса, К нуктесшен ушбурыш кабыргаларына дейшг! ара кашыктыкты табындар. 204.ОМ тузу! дурыс АВС ушбурышынын жазыктыгына перпендикуляр жург!з!лген жане осы ушбурыштьщ центр! О аркылы отед!, ОМ=а, ZMCO=tp. а) М нуктесшен АВС ушбурышынын эрб!р тобесше дешнг! жоне АВ, ВС жоне С А тузулерше дешнг! ара кашыктыкты; о) АВС ушбурышына сырттай сызылган шенбердщ узындыгын; б) АВС ушбурышынын ауданын табындар. 205 .АВС тшбурышты ушбурышынын С т!к бурышыньщ тобесшен осы ушбурыш жазыктыгына перпендикуляр CD тузу! жург!з!лген. Егер СА=3 дм, СВ=2 дм, CD=1 дм болса, ABD ушбурышынын ауданын табындар. 206 .Ушбурыштьщ кабыргалары 17 см, 15 см жоне 8 см-ге тец. Ушбурыштьщ A Kiini бурышыньщ тобесшен оныц жазыктыгына перпендикуляр КА тузу! жург!з!лген. КА = 20 см екеш белНл! болса, К нуктесшен ушбурыштьщ к!ш! кабыргасын камтитын тузуге дешнг! ара кашыктыкты табындар. 207 .АВС ушбурышында: АВ=ВС= 13 см, АС=10 см бер!лген. К э нуктес! АВ, ВС жоне АС тузулершен 8 — см кашыктыкта жа-3 тыр. Егер К нуктес!нщ АВС жазыктыгына тус!р!лген проекция-
69-сурет. Донес емес кепжак. децес деп аталады. Тетраэдр, параллелепипед жене октаэдр донес копжактарга жатады. 69-суретте сег!з копбурыштан туратын донес емес кепжак кескшделген. Донес копжактыц барлык жактары донес копбурыштар бола-тыны анык. Доцес копжацтыц opoip тебеандег! барлык; жазыц бурыш-тардыц цосындысы 360 -тан кем екешн далелдеуге болады. 70-сурет бойынша бул тужырым былай аныкталады: кепжак кырларьг бойымен “кесьлген” де, онын оргак А тобесшдег! барлык жактары 6ip сх жазыктыгында орналасатындай етш жазылган. А тобесшдег! барлык жазык бурыштардыц косындысы, ягни (Р1 + Ф2 + <р3, 360 -тан кем екеш Kopimn тур. 26*. Геометриялык дене. Б!з копжак кандай да 6ip геометриялык денеш шектейд! деп атап корсеттш. Осы тусппкт! аныктайык. М нуктесше мейлшше жакын жаткан коп нуктенщ (оныц озш коса алганда) арасында F фигурасына ти!ст! де, тшст! емес те нуктелер бар болатын жагдайда М нуктес! бергтген F фигурасы-нын шекаралык нуктес! деп аталады. Фигураныц барлык шекара-лык нуктелер жиыны онын шекарасы деп аталады. Мысалы, шар-дын шекарасы сфера болады. Фигураныц шекаралык нукте болмайтын нуктес! фигураныц инк! нуктес! деп аталады. Фигураныц ap6ip iniKi нуктес! кен!ст!кте осы нуктеге мейлшше жакын жаткан нуктелер де фигурага тшст! болатындыгымен си патта лады. Мысалы, шардыц сферасына, ягни онын шекарасына жатпайтын кез келген нуктес! шардыц !шк! нуктес! болып табылады. Егер фигураны кандай да 6ip сферамен коршау мумкш болса, ондай фигура шектелген фигура деп аталады. Шар, тетраэдр, параллелепипед - шектелген, ал тузу мен жазыктык - шектелмеген фигуралар. Егер фигураныц кез келген ек! нуктесш тутасымен со л фигура- * Бул пункт мшдетт! окып-уйрснуге жатпайды.
да жататындай уз!л1сс!з сызыкпен косу мумюн болса, ол байланыс-^ан фигура деп аталады. Мысалы, тетраэдр (67, а-суретп кара), параллелепипед (67, б-суретт! кара), октаэдр (68-суретт! кара), жазыктык байланыскан фигуралар болып табылады. Параллель ек! жазыктыктан туратын фигура байланыскан фигура емес. Кешстштег! шектелген байланыскан фигураны геометриялъщ дене деп (немесе дене деп) атайды, ол озшщ шекаралык нуктелер!н, opi шекаралык нуктеге мейлшше жакын - толып жаткан iniKi нуктелерд: камтиды. Дененщ шекарасын оныц бет! деп те атайды жене бет денет шектеп тур дейдп Жазыктыктыц ею жагын ала берглген дененщ нуктелер! жатса, оны циюшы жазьщтъщ деп атайды. Денет жазыктыкпен киюдан пайда болган фигура (ягни дененщ киюшы жазыктыкпен ортак бол!г1) дененщ цимасы. деп аталады. 27. Призма, а м ен р параллель жазыктыктарында орналаскан озара тец AYA2...A мен В1В2...В копбурыштарын карастырайык (71-сурет), олардыц сайкес тобелерш косатын AYBV А2В.,... АхВ кесшдплер! параллель. A.AJB.B., А.А.ВВ , ... , А АУВУВ 12 2 1’ 2 3 3 2’ ’ п 1 1 п (1) п тортбурыштыц карама-карсы кабыргалары кос-костан параллель болгандыктан, аркайсысы параллелограмм болып табылады. Мысалы, А1А2В2В1 тортбурышыныц А}В мен А2В2 кабыргалары шарт бойынша параллель, ал А А мен В В, кабыргалары параллель жазыктыктарды уипнип жазыктыкпен кигапдагы касиет бойынша параллель (11-п.) Параллель жазыктыктарда орналаскан озара тец А}А2 ... Ап жоне В В,... Вп копбурыштары мен (1) п параллелограмнан курал-ган копжак призма деп аталады (71-суретт! кара). АуА2... Ап мен В}В2 ... Вп копбурыштары призманыц табанда-ры, ал (1) параллелограмдар - брй.1р жацтары деп аталады. А В , 71 -су рет. 7 2-су рет. Призма. ААД ••• Д, мен В ВгВ3 ... Вп копбурыштары - призманьщтабаядары. А А В В ,..., А Д В В параллелограмдары - бушр жактары.
А.В2..., А;Вп кеспшлер! призманыцбушрцырлары деп аталады. Бул кырлар 6ip-6ipine т!збектей жалгаскан (1) параллелограмдардьщ карама-карсы кабыргалары рет!нде тец жоне параллель. Табандары А А ... А жане В{В.... В болатын призманы ... А В}В2... Д деп белтчлеид! де, п-бурышты призма деп атайды. 72-суретте ушбурышты жоне алтыбурышты призмалар, ал 67, б-суретте -тортбурышты призма, ягни параллелепипед кескшделген. Призма табанынын кандай да 6ip нуктесшен екппш табаны жазыктыгына жургазьтген перпендикуляр призманыц бшктш! деп аталады. Егер призманыц бушр кырлары табандарына перпендикуляр болса, о л - mitt призма деп, ал баскаша болтан жагдайда келбей призма деп аталады. Tin призманыц бшктМ оныц бушр кырына тец. Егер т1к призманыц табандары дурыс копбурыштар болса, оны дурыс призма деп атайды. Мундай призманыц барлык бушр жактары - тец тштортбурыштар (неге екешн тусш/цр1цдер). 7 2 -суретте алтыбурышты дурыс призма кескшделген. Призманыц барлык жактары аудандарыныц косындысы онын толыц бетгнщ ауданы деп, ал оныц бушр жактары аудандарыныц косындысы призманыц бушр бетшщ ауданы деп аталады. Толык беттщ 5т ауданы бушр бетшщ S6 ауданы мен призманыц S а табандары ауданыныц формуласы аркылы орнектеледк S S,+2S . т.б. б.б. таб. TiK призманыц бушр бетшщ ауданы туралы теореманы далелдешк. Теорема. TiK призманыц бушр бетшщ ауданы табаныныц приметр1н призманыц бшкпйгше кобейткенге тец. ДэлелдеуЬ TiK призманыц бушр жактары -тжтертбурыштар. Бул тштортбурыштардьщ табандары призма та-бандарыныц кабыргаларына, ал бшктпл призманыц Л бшктшне тец. Призманыц бушр бетшщ ауданы осы айтылган тш тертбурыштар аудандарыныц косындысына тец, ягни табан кабыр-галарыньщ h биштпчне кобейтйшлершщ косындысына тец. h кобейтюшш жакшалардыц сыртына шыгарып, жакшалар !шшде призма табаны кабыргаларыньщ косындысын, ягни оныц Р периметрш аламыз. Сонымен, б = Ph. Теорема долелдендъ ЕСЕПТЕР 218я) TiK призманыц барлык бушр жактары тжтертбурыштар болатынын; о) дурыс призманыц барлык бушр жактары тец тжтертбурыштар болатынын долелдендер. 219.Тжтортбурышты параллелепипедтщ табан кабыргалары 12 см жоне 5 см-ге тец. Параллелепипедтщ диагонал! табан жазыктыгымен 45: бурыш жасайды. Параллелепипедтщ бушр кырын табыцдар.
22O .TiK параллелепипедтщ табаны диагоналъдары 10 см жене 24 см-ге тец ромб болып табылады, ал параллелепипедтщ бшктпч 10 см-ге тец. Параллелепипедтщ улкен диагоналш табыцдар. 221 Дурыс ушбурышты призманын табан кабыргасы 8 см-ге, бушр кыры 6 см-ге тен. Призманын жогаргы табаныньщ кабыргасы мен теменг! табаныныц карама-карсы тобес! аркылы ететш киманыц ауданын табыцдар. 222 .TiK призманын табаны тецбушрл! трапеция, оныц табандары 25 см жене 9 см, бшктпл 8 см-ге тец. Призманын бушр кырла-рындагы еюжакты бурыштарды табыцдар. 223Дубтын карама-карсы жаткан ек! кыры аркылы ауданы 64 V2 см2-ге тец кима жург!з!лген. Кубтын кырын жене оныц диагоналш табыцдар. 224Лурыс тертбурышты призманын диагонал! табан жазыктыгына 60 бурышпен колбеген. Егер табаныньщ диагонал! 4 41 см болса, оныц теменг! табаныныц кабыргасы мен жогары таба-нынын карама-карсы кабыргасы аркылы ететш киманын ауданын табыцдар. 225Дурыс тертбурышты призманын диагонал! бушр жагыныц жазыктыгымен 30 бурыш жасайды. Диагональ мен табан жа-зыктыгыныц арасындагы бурышты табыцдар. 226Дурыс тертбурышты призма табаныньщ диагонал! аркылы призманын диагоналше параллель кима жург!з!лген. Егер призма табаныныц кабыргасы 2 см-ге, ал оныц бшктнч 4 см-ге тец болса, киманыц ауданын табыцдар. 227 .Призманыц табаны - дурыс АВС ушбурышы. АА. бушр кыры АС жене АВ табан кабыргаларымен тец бурыштар жасайды. а) ВС±ААр a) СС^В^В - тштертбурыш болатынын далелдендер. 228 .АВС тецбушрл! ушбурышы АВСАВ{С келбеу призманын табаны болып табылады, мундагы АС=АВ=13 см, ВС=10 см, ал призманын бушр кыры табан жазыктыгымен 45 бурыш жасайды. АВС ушбурышы медианаларыныц киылысу нуктес! А! нуктесшщ проекциясы болып табылады. ССХВ В жагыныц ауданын табыцдар. 229Дурыс n-бурышты призманын табан кабыргасы а-га, ал бшктпл h ка тец. а) п=3, а=10, /г=15; е) п=4, а=12 дм, /г=8 дм; б) /2=6, а=23 см, /z=5 дм; в) /7=5, а=0,4 м, /2=10 см болган-дагы призманын бушр жене то лык беттершщ ауданын та-бьщдар. 23О .Т!к призманын табаны - кабыргалары 5 см жане 3 см, ал олардыц арасындагы бурыш 120 -ка тец ушбурыш. Бушр жакта -рыныц ец улкешшц ауданы 35 см2-ге тец. Призманын бушр бетшщ ауданын табыцдар. 231 .Тж параллелепипедтщ табан кабыргалары 8 см жене 15 см жане олар 6ip-6ipiMeH 60 бурыш жасайды. Диагональдык
А.,В2...,А В кесшдшер! призманыц бушр цырлары деп аталады. Бул кырлар 6ip-6ipine т!збектей жалгаскан (1) параллелограмдардьщ карама-карсы кабыргалары ретшде тец жоне параллель. Табандары АА. ... А жоне В{В,... В болатын призманы А{А2... А В}В9... В деп белшлеид! де, п-Ьурыиты призма деп атайды. 7^-суретте ушбурышты жоне алтыбурышты призмалар, ал 67, б-суретте -тортбурышты призма, ягни параллелепипед кескшделген. Призма табаныныц кандай да 6ip нуктесшен екппш табаны жазыктыгына журНзьтген перпендикуляр призманыц бшктт деп аталады. Егер призманыц бушр кырлары табандарына перпендикуляр болса, ол - т!к призма деп, ал баскаша болтан жагдайда келбейпризма деп аталады. TiK призманыц бшктнт. оныц бушр кырына тен. Егер пк призманыц табандары дурыс копбурыштар болса, оны дурыс призма деп атайды. Мундай призманыц барлык бушр жактары - тец тжтертбурыштар (неге екешн тусшд!р1цдер). 72-суретте алтыбурышты дурыс призма кескшделген. Призманыц барлык жактары аудандарыныц косындысы онын пюлыц бет1нщ ауданы деп, ал онын бушр жактары аудандарыныц косындысы призманыц бушр бетшщ ауданы деп аталады. Толык беттщ 8 ауданы бушр бетшщ 8б ауданы мен призманыц S табандары ауданынын формуласы аркылы орнектеледк S = S.f + 28 fi т.б. б.б. таб. TiK призманыц бушр бетшщ ауданы туралы теореманы далелдешк. Теорема. TiK призманыц бушр бетшщ ауданы табаныныц приметрш призманыц бшкпйгше кобейткенге тец. Делелдеуь TiK призманыц бушр жактары -тжтертбурыштар. Бул тштортбурыштардьщ табандары призма та-бандарыныц кабыргаларына, ал бижтнл призманыц h бшктшше тец. Призманыц бушр бетшщ ауданы осы айтылган TiK тортбурыштар аудандарыныц косындысына тец, ягни табан кабыр-галарыныц h бижтшше кобейтшдклершщ косындысына тен. h кебейтюшш жакшалардын сыртына шыгарып, жакшалар шпнде призма табаны кабыргаларыныц косындысын, ягни онын Р периметрш аламыз. Сонымен, S, б = Ph- Теорема дэлелдендк ЕСЕПТЕР 218.а) TiK призманын барлык бушр жактары тжтертбурыштар болатынын; о) дурыс призманын барлык бушр жактары тец тжтертбурыштар болатынын долелдендер. 219.Тжтертбурышты параллелепипедтщ табан кабыргалары 12 см жоне 5 см-ге тец. Параллелепипедтщ диагонал! табан жазыктыгымен 45 бурыш жасайды. Параллелепипедтщ бушр кырын табыцдар.
22O .Tix параллелепипедтщ табаны диагоналъдары 10 см жене 24 см-ге тец ромб болып табылады, ал параллелепипедтщ бшкт!г! 10 см-ге тен. Параллелепипедтщ улкен диагоналш табындар. 221 Дурыс ушбурышты призманыц табан кабыргасы 8 см-ге, буйар кыры 6 см-ге тен. Призманын жогаргы табанынын кабыргасы мен теменг! табанынын карама-карсы тобес! аркылы отетш киманын ауданын табындар. 222 .Т1К призманыц табаны тецбушрл! трапеция, онын табандары 25 см жене 9 см, бшкт!г! 8 см-ге тец. Призманын бушр кырла-рындагы еюжакты бурыштарды табындар. 223Кубтын карама-карсы жаткан ек! кыры аркылы ауданы 64 V? см2-ге тен кима журпзълген. Кубтын кырын жене оныц диагоналш табындар. 224Дурыс тертбурышты призманын диагонал! табан жазыктыгына 60 бурышпен колбеген. Егер табанынын диагонал! 4 V2 см болса, оныц теменг! табанынын кабыргасы мен жогары табанынын карама-карсы кабыргасы аркылы етет!н киманын ауданын табындар. 225Дурыс тертбурышты призманын диагонал! бушр жагыньщ жазыктыгымен 30 бурыш жасайды. Диагональ мен табан жа-зыктыгыныц арасындагы бурышты табындар. 226Дурыс тертбурышты призма табанынын диагонал! аркылы призманын диагоналше параллель кима жург!з!лген. Егер призма табанынын кабыргасы 2 см-ге, ал оныц бшктйл 4 см-ге тец болса, киманын ауданын табындар. 227 .Призманыц табаны - дурыс АВС ушбурышы. АА. бушр кыры АС жене АВ табан кабыргаларымен тец бурыштар жасайды. a) BC±z4Ap о) СС{В{В - т!ктертбурыш болатынын делелдецдер. 228 .АВС тецбушрл! ушбурышы АВСАЪ{С келбеу призманын табаны болып табылады, мундагы АС=АВ=13 см, ВС=10 см, ал призманын бушр кыры табан жазыктыгымен 45 бурыш жасайды. АВС ушбурышы медианаларыныц киылысу нуктес! А} нуктесшщ проекциясы болып табылады. СС{ВВ жагыньщ ауданын табындар. 229Дурыс n-бурышты призманын табан кабыргасы а-га, ал бшкт!г! /z-ка тец. а) п=3, а=10, /г= 15; е) п=4, а=12 дм, h=S дм; б) п=6, а=23 см, Л=5 дм; в) п=5, а=0,4 м, /2=10 см болган-дагы призманын бушр жене толык беттер!нщ ауданын табындар. 23О .Т!к призманын табаны - кабыргалары 5 см жене 3 см, ал олардын арасындагы бурыш 120 -ка тен ушбурыш. Бушр жакта -рыньщ ец улкешнщ ауданы 35 см2-ге тец. Призманыц бушр бетшщ ауданын табындар. 231 .Тж параллелепипедтщ табан кабыргалары 8 см жене 15 см жене олар б!р-б!р!мен 60 бурыш жасайды. Диагональдык
кималарыныц§ * * ец Kimici 130 см2-ге тец. Параллелепипед бетш!н ауданын табыцдар. 232 .Т!кбурышты параллелепипедтщ d-re тец диагонал! табан жазыктыгымен <р бурышын, ал Kimi бушр жагымен а бурышын жасайды. Параллелепипедпн бушр бетшщ ауданын табыцдар. 233 .АВСА В1С1 т!к призмасыныц табаны - В бурышы т!к болып келген Нкбурышты АВС ушбурышы. ВВ кыры аркылы ААГСХС жагы жазыктыгына перпендикуляр BB}DXD кимасы жург!з!лген. Егер АА^Ю см, AD=27 см, DC=12 см болса, киманыц ауданын табыцдар. 234 .Т1К призманын табаны тжбурышты ушбурыш болып табылады. Гипотенузаныц ортасы аркылы осы гипотенузага перпендикуляр жазыктык жург!з!лген. Егер катеттер 20 см жене 21 см-ге, ал бушр кыры 42 см-ге тец болса, киманыц ауданын табыцдар. 235 .Т!к призманын табаны сушр бурышы <р-ге тец пкбурышты ушбурыш болып табылады. Осы бурышка карсы жаткан катет аркылы жене табаныньщ бул катетке карсы жаткан тобес! аркылы табан жазыктыгымен 0 бурышын жасайтын кима жург!з!лген. Призманын бушр бет! ауданыныц кима ауданына катынасын табыцдар. 236 .Келбеу призманын бушр бетшщ ауданы перпендикуляр киманыц** периметр! мен бушр кырыныц кебейт!нд!с!не тен екешн делелдендер. 237 .Тортбурышты колбеу призманын бушр кыры 12 см-ге тен, ал перпендикуляр кимасы кабыргасы 5 см-ге тен ромб болып табылады. Призманын бушр бетшщ ауданын табыцдар. 238 .Ушбурышты колбеу призманын ею бушр жагы озара перпендикуляр, ал олардын баска ек! бушр кырларынан 12 см жене 35 см кашыктыкта турган ортак кыры 24 см. Призманын бушр бетшщ ауданын табыцдар. § 2. ПИРАМИДА 28. Пирамида. А А?... Ап копбурышын жене осы копбурыштын жазыктыгында жатпайтын Р нуктесш карастырайык. Р нуктесш кесшдглер аркылы копбурыштын тобелер!мен коссак, РА A , PA^AV ..., РА А (1) n ушбурыш шыгады (73-сурет). АТА2 ... Ап л-бурыштан жене (1) п ушбурыштан куралган * Егер кима параллелепипедпн кандай да 6ip диагонал! мен бушр кырып камты-са, ондай кима диа гона льды к кима дсп аталады. ** Колбеу призманын перпендикуляр кимасы деп призманын бушр кырларына перпендикуляр жане оларды киып отетш жазыктыкпен кимасын айтады.
73-сурет 74-сурет. Пирамида. АгА2А3 ... Ап кепбурышы -пирамиданьщ табаны. А РА , А РА ,...» А РА} - пирамиданьщ бушр жактары, Р - тебесн кепжац пирамида деп аталады. А{А2 ... Ап копбурышы пирамиданьщ табаны деп, ал (1) ушбурыштар - бушр жацтары деп аталады. Р нуктес! пирамиданьщ табесу ал РД, Р>Ц, ..., РА кес!нд!лер! онын бушр цырлары деп аталады. Табаны А А2...Ап жане тобес! Р пирами-даны: РА^А2 ... А деп белг!лейд! де, п- бурышты пирамида деп атай-ды. 74-суретте тертбурышты жене алтыбурышты пирамидалар кескшделген. Ушбурышты пирамида тетраэдр екен! тус!н1кт!. Пирамиданьщ тобесшен табан жазыктыгына жург!з!лген перпендикуляр пирамиданьщ бшкпиг1 деп аталады. 73-суретте PH кесшдкй - пирамиданьщ би!кт!г!. Пирамиданьщ барлык жактары аудандарыныц (ягни табаны мен бушр жактарыньщ) косындысы онын толыц бетпйц ауданы деп, онын бушр жактарыньщ аудандарыныц косындысы пирамида-ныц бушр бетшщ ауданы деп аталады. S + S т о о.о. тао. (2) болатыны айкын. 29. Дурыс пирамида. Егер пирамиданьщ табаны дурыс копбурыш болса, ол дурыс пирамида деп, ал пирамиданьщ тебесш табан центр!мен* косатын кесшд! онын бшкпиг1 деп аталады (75-сурет). Дурыс пирамиданьщ барлъщ бушр цырлары тец, ал бушр жацта-ры озара тец тецбуй1рл1 ушбурыштар болып табылатынын долелдешк. РАгА2 ... Ап дурыс пирамидасын карастырайык (75-сурет). Ал-дымен бул пирамиданьщ барлык бушр кырлары тец екенш делелдейм!з. Кез келген бушр кыры тжбурышты ушбурыштьщ ги-потенузасы болады, оныц 6ip катет! пирамиданьщ РО бшктгг!, ал eKiHinici табанга сырттай сызылган шецбердщ радиусы болады - Дурыс кепбурышка цдтей (не сырттай) сызылган шецбердщ центр! дурыс кепбурыштьщ центр! деп аталатынын еске саламыз.
(мысалы, РА} бушр кыры - ОРА ушбурышынын гипотенузасы, мундагы ОР = Л, OAj = R). Пифагор теоремасы бойынша кез келген буй!р кыры Jh2 + r1 -ка тен, сондыктан РАГ = РА2 = =... = РА. Б1з РА А ... Ап дурыс пирамидасынын бушр кырлары 6ip-6ipine тец екешн делелдедж, сондыктан бушр жактары -тен бушрл! ушбурыштар. Бул ушбурыш-тардын табандары да 6ip-6ipiHe тен, ойткеш А А2 ... А - дурыс копбурыш. Демек, ушбурыштардын тецд1г1нщ ymiHiiii 6e.nrici бойынша бушр жактары тен. Делелдеу кереп де осы едг Дурыс пирамиданын тобесшен жург!з1лген бушр жагынын бшктпт апофема деп аталады. 75-суретте РЕ кесшдю! - апофема-лар дыц oipi. Дурыс пирамиданын барлык апофемалары 6ip-6ipiHe тец екеш тушшктк Дурыс пирамиданын бушр бетшщ ауданы туралы теореманы далелдешк. Теорема. Дурыс пирамиданыц oyuip бетииц ауданы. табаны периметрийц апофсмасъиш кебейпинд1сипц жартысына тец. Делелдеу!. Дурыс пирамиданын бушр жактары - тен-бушрлх ушбурыштар, олардын табандары пирамида табанынын кабыргалары болып табылады, ал бижтжтер! апофемага тен. Пирамиданын S бушр бетшщ ауданы табан кабыргаларынын D апо- фемасыныц жартысына кобейтшд!сшщ косындысына тен. — d кобейтк1ш1н жакшалардыц сыртына шыгарып, жакшалардыц пшнде пирамиданын табан кабыргаларынын косындысын, ягни периметрш аламыз. Теорема долелденщ. 30. Диык пирамида. Ерж1м1зше РА^А2 ... Ап пирамидасын алып, онын (X табан жазыктыгына параллель жоне бушр кырларын В , В? ..., В, нуктелершде киятын Р киюшы жазыктыгын журйзешк (76-сурет). р жазыктыгы пирамиданы ею кепжакка боледи Параллель жазыктыктарда орналаскан, А}А ... А жене ... вп n-бурыштары (томепг1 жоне жогаргы, mat андары) мен AyA2B2Bv А^А^В^В*, ... , A A BYBn (брй1р жацтары) п тертбурыштар жактары болатын кепжак циыц пирамида деп аталады. А АВ,, ... , А В кес1нд!лер1 киык пирамиданын буй ip цырлары деп Сл ПТ] аталады. Табандары А^А2 ... Ап жене В^В2 ... Вп копбурыштары болатын киык пирамиданы А}А2 ... АпВ1В2 ... Вп деп белылешк. Bip табанынын кандай да 6ip нуктесшен екшш! табанынын жа-
76-сурет. Киык штр амида. зыктыгына жург!з!лген перпендикуляр циыц пирамиданыц бшкпигь деп аталады. 76-суретте СН кес!нд!с! - киык пирамида ньщ бшктгг!. Диыц пирамиданыц бушр жацтары -трапециялар болатынын долелдей!к. Мысалы, А^А^В В бушр жагын карастырайык (76-сурет). РАуА2 жазыктыгыныц, а мен р параллель жазыктыктары-мен киылысатын тузулерге тшст! болгандыктан, А А мен В}В кабыргалары параллель. Осы жактьщ баска ек! кабыргасы А мен В В параллель емес, олар-льщ созындысы Р нуктесшде киылысады. Сондыктан, бер!лген жак - трапеция. Калган бушр жактар да трапециялар екешн осы сиякты долелдеуге болады. Егер киык пирамида дурыс пирамида мен оныц табанына параллель жазыктыктын кимасынан пайда болса, дурыс циыц пирамида деп аталады. Дурыс киык пирамиданыц табандары - дурыс копбурыштар, ал бушр жактары тецбушрл! трапециялар (осыны долелдецдер). Бул трапециялардьщ бшктштер! апофемалар деп аталады. Киык пирамиданыц бушр жактары аудандарыньщ косындысы циыц пирамиданыц бушр бепигац ауданы деп аталады. Мына теореманы оз беттерщше долелдецдер: Теорема. Дурыс циыц пирамиданыц 6yuip бетииц ауданы табандарыныц периметрлер1 цосындысыныц жартысы мен апофе-масыныц кобейт1нд1с1не тец. ЕСЕПТЕР 239 .Пирамиданьщ табаны кабыргасы 5 см-ге тец, ал диагональда-рыныц 6ipi 8 см-ге тец ромб болып табылады. Егер пирамиданыц бшктгг! табан диагональдарыныц киылысу нуктес! аркылы отсе жоне 7 см-ге тец болса, пирамиданыц бушр кырларын табыцдар. 240 .Пирамиданыц табаны кабыргалары 20 см жоне 36 см, ал ауданы 360 см2-тец параллограмм болып табылады. Пирамиданыц бшктгг! табаны диагональдарыныц киылысу нуктес! аркылы отед! жене 12 см-ге тец. Пирамиданыц бушр бетпйц ауданын табыцдар. 241 .Пирамиданыц табаны - кабыргалары 5 м жоне 4 м, к!ш! диагонал! 3 м болатын параллелограмм. Пирамиданыц бшктгг! табаны диагональдарыныц киылысу нуктес! аркылы отед!
жане 2 м-ге тец. Пирамиданьщ толык бетшщ ауданын табыцдар. 242 .Пирамиданьщ табаны квадрат болып табылады, бушр кырла-рыньщ 6ipi табаны жазыктыгына перпендикуляр. Пирамида-ньщ бшктпт аркылы отпейтш бушр жагыньщ жазыктыгы табан жазыктыгына 45 бурышпен колбеген. Ец улкен бушр кыры 12 см-ге тец. а) Пирамиданьщ бшкт!гш; о) пирамиданьщ бушр кырыныц ауданын табыцдар. 243 .DABC пирамидасыньщ табаны АВС ушбурышы болып табылады, мундагы АВ=АС= 13 см, ВС=10 см; AD кыры табаны жазыктыгына перпендикуляр жоне 9 см-ге тец. Пирамиданьщ бушр бетшщ ауданын табыцдар. 244 .DABC пирамидасыньщ табаны - АВС тжбурышты ушбурышы болып табылады, оныц АВ гипотенузасы 29 см-ге, АС катет! 21 см-ге тец. DA кыры табаны жазыктыгына перпендикуляр жоне 20 см-ге тец. Пирамиданьщ бушр бетшщ ауданын табыцдар. 245 .Пирамиданьщ табаны диагонал! 8 см-ге тец нктортбурыш болып табылады. Ек! бушр жагыньщ жазыктыктары табаны жазыктыгына перпендикуляр, ал баска ек! бушр жагы табаны-мен 30° жоне 45° бурыштар жасайды. Пирамида бетшщ ауданын табыцдар. 246 .Ушбурышты пирамиданьщ бшктгг! 40 см-ге, ал эрб!р бушр жагыньщ пирамида тобесшен тус!р!лген би!кт!г! 41 см-ге тец. а) Пирамиданьщ би!кт!г! оныц табанына !штей сызылган шецбердщ центр! аркылы отет!нш долелдендер; о) егер пирамида табаныныц периметр! 42 см-ге тец болса, оныц табаныныц ауданын табыцдар. 247 .Пирамида табанындагы ек!жакты бурыштар тец. а) Пирами-даныц бшктгг! табанына !штей сызылган шецбердщ центр! аркылы отетшш; о) пирамида тобесшен жург!з!лген барлык бушр жактарыньщ бшктжтер! тец болатынын; б) пирамида-ньщ бушр бетшщ ауданы табаныныц периметр! мен тобесшен жург!з!лген бушр жагыньщ би!кт!г! кобейт!нд!с!н!ц жартысы-на тец болатынын долелдендер. 248 .Пирамиданыц табаны кабыргалары 12 см, 10 см жене 10 см ушбурыш болып табылады. Эрб!р бушр жагы табанына 45 бурышпен колбеген. Пирамиданьщ бушр бетшщ ауданын табыцдар. 249 .Пирамиданыц барлык бушр кырлары озара тец. а) Пирами* даныц би!кт!г! табанына сырттай сызылган шецбердщ центр! аркылы отетшш; о) пирамиданьщ барлык бушр кырлары табан жазыктыгымен тец бурыштар жасайтынын делелдец-дер. 25О .Пирамиданьщ табаны - 6ip бурышы 120’ болатын тецбушрл! ушбурыш. Буй!р кырлары оныц 16 см-ге тец бшктгпмен 45° бурыш жасайды. Пирамида табаныныц ауданын табыцдар.
251 .DABC пирамидасыньщ табаны - гипотенузасы ВС болатын тпсбурышгы ушбурыш. Пирамиданын бушр кырлары 6ip-6ipine тен, ал онын бшктт 12 см-ге тец. Егер ВС = 10 см болса, пирамиданын бушр кырын табындар. 252 .DABC пирамидасыньщ табаны тецбушрл! АВС ушбурышы болып табылады, ондагы АВ = АС, ВС = 6 см, АН бшктнт 9 см-ге тен. Сондай-ак DA + DB = DC = 13 см екен! де белгип. Пирамиданын бшкттн табындар. 253 .Пирамиданын табаны - табандары 6 см жоне 4^6 см, ал бшктнт 5 см болатын тецбушрл! трапеция. Пирамиданын ep6ip бушр кыры 13 см-ге тец. Онын бшктагш табындар. 254 .Дурыс ушбурышты пирамида табанынын кабыргасы а-га, бшктнт Н-ка тен. а) Пирамиданын бушр кырын; о) пирамида тебесшдег! жазык бурышты; б) пирамиданын бушр кыры мен табан жазыктыгыныц арасындагы бурышты; в) бушр жагын мен пирамида табанынын арасындагы бурышты; г) пирамиданыц бушр кырындагы еюжакты бурышты табындар. 25б .Дурыс ушбурышты пирамида табанынын кабыргасы 8 см-ге, ал тебесшдег! жазык бурыш <р-ге тец. Пирамиданыц бтактагш табындар. 256 .Дурыс тертбурышты пирамиданыц табан кабыргасы m-ге тец, ал тебес!ндег! жазык бурыш а-га тец. а) Пирамиданыц бшктнтн; о) бушр кырын; б) бушр жагы мен табан жазыктыгыныц арасындагы бурышты; в) пирамиданыц бушр кырындагы еюжакты бурышты табындар. 257 .Дурыс ушбурышты пирамиданын бшктнт Л-ка тец, ал табан кабыргасындагы еюжакты бурыш 45°ка тец. Пирамида бетшщ ауданын табындар. 258 .Дурыс тертбурышты пирамиданыц бушр кыры табан жазыктыгымен 60° бурыш жасайды. Егер бушр кыры 12 см-ге тец болса, пирамида бет!шц ауданын табындар. 259 .Дурыс тертбурышты пирамиданыц табан кабыргасы 6 см-ге, ал бушр жагынын табан жазыктыгына келбеулж бурышы 60°-ка тец. Пирамиданын бушр кырын табындар. 26О .Дурыс ушбурышты DABC пирамидасыньщ DC бушр кыры мен DO би!кт1г1 аркылы а жазыктыгы жург!з!лген. а) АВ кыры а жазыктыгына перпендикуляр болатынын; а) С тобесшен ADB жагыньщ апофемасына тус!р!лген перпендикуляр ADB жазыктыгына да перпендикуляр болатынын делелдецдер. 261 .Дурыс ушбурышты пирамиданыц айкас кырлары озара перпендикуляр болатынын делелдецдер. 262 .Дурыс пирамиданыц бшктнт мен бушр жагыньщ бшктнт аркылы жургкйлген жазыктык бушр жагыньщ жазыктыгына перпендикуляр болатынын делелдецдер. 263 .МABCD дурыс пирамидасыньщ К, L жене N нуктелер! ВС, МС жене AD кырларында жатыр, KN 11 В A, KL 11 ВМ. а) Пирамиданыц KLN жазыктыгымен кимасын салыцдар жене киманы ц
тур!н аныктацдар; e) KLN жазыктыгы АМВ жазыктыгына параллель болатынын долелдецдер. 264 .Дурыс алтыбурышты пирамиданыц табан кабыргасы а-га тец, ал бушр жагыныц ауданы пирамида тобес! мен табаныныц улкен диагонал! аркылы журызглген киманыц ауданына тец болса, осы пирамиданыц бушр бет!н!ц ауданын табыцдар. 265 .Дурыс ушбурышты пирамиданыц бушр кыры табан жазыктыгына 60° бурышпен колбеген. Табан кабыргасы аркылы табан жазыктыгына 30° бурыш жасай жазыктык жург!з!лген. Егер табан кабыргасы 12 см-ге тец болса, киманыц ауданын табыцдар. 266 .Бшктгг! 2 дм-ге, ал бушр кырлары 6ip-6ipiHe тец пирамиданыц табаны кабыргалары 6 дм жоне 8 дм т!ктертбурыш болып табылады. Табаныныц диагонал! аркылы бушр кырына паралель журНзглген киманыц ауданын табыцдар. 267 .Пирамида табанына параллель жазыктыкпен киылган. Пирамиданыц бушр кырлары мен би!кт!г! осы жазыктыкпен про-порционал бел!ктерге бел!нет!шн долелдецдер. 268 .Дурыс тертбурышты пирамиданыц табан жазыктыгына паралель жазыктык пирамиданыц би!кт!г!н оныц тебесшен бастап санаганда 1 : 2 катынасында белед!. Шыккан киык пирамиданыц апофемасы 4 дм, ал оныц толык бет! 186 дм2-ге тец. Киык пирамиданыц бшктггш табыцдар. 269 .Дурыс ушбурышты киык пирамида табаныныц кабыргалары 4 дм-ге жоне 2 дм-ге тец, ал бушр кыры 2 дм-ге тец. Пирамиданыц бшктггш жене апофемасын табыцдар. 27О .Киык пирамиданыц табандары кабыргалары 5 см жене 3 см-ге тец дурыс ушбурыштар болып табылады. Бушр кырларыныц б!р! табан жазыктыгына перпендикуляр жене 1 см-ге тец. Киык пирамиданыц бушр бетппц ауданын табыцдар. § 3. ДУРЫС К0ПЖАКТАР 31. Кецктштеп симметрия. Б!з планиметрияда нуктеге катыс-ты жене тузуге катысты симметриялы фигураларды карастыр-дык. Стереометрияда нуктеге, тузуге жене жазыктыкка катысты симметрияны карастырады. Егер О - кесшд!сш!ц ортасы болса, А мен А1 нуктелер! О нуктесше катысты симметриялы нуктелер деп аталады (О - симметрия центра) (77, а-сурет). О нуктес! езше-ез! симметриялы болып саналады. Егер а тузу! ААТ кесшд!с!н!ц ортасы аркылы отсе жене осы кесшдгге перпендикуляр болса, А мен нуктелер! а тузуше (симметрия oci) цатыгты симметриялы деп аталады (77, б-сурет). а тузушщ ep6ip нуктес! езше-ез! симметриялы болып саналады.
77-сурет. Егер а жазыктыгы АА} кес!нд!с!н!ц ортасы аркылы отсе жоне осы кес!нд!ге перпендикуляр болса, А мен Аг нуктелер! а жазыц-тыгына (симметрия жазыцтыгы) катысты симметриялы деп аталады. (77, в-сурет) а жазыктыгыныц ерб!р нуктес! озше оз! симмет-риялы болып саналады. Фигуранын симметрия центр!, oci жене жазыктыгы угымдарын енг!зей!к. Егер фигураныц орб1р нуктес1 осы фигураныц цандай да dip нуктесше (тузуше, жазыцпгыгына) катысты симметриям болса, осы нукте (тузу, жазыцтыц) фигураныц симметрия центр1 (oci, жа-зыцтыгы ) деп аталады. 78 а, б, e-суретте тжбурышты параллелепипедтщ О симметрия центр!, a oci жене а жазыктыгы керсет!лген. Фигуранын 6ip немесе б!рнеше симметрия центрлер! (симметрия осьтер!, симметрия жа-зыктыктары) болуы мумк!н. Мысалы, кубтыц 6ip гана симметрия центр! жене б!рнеше симметрия осьтер!, симметрия жазыктыкта-ры бар. Шекс!з коп симметрия центрлер!, осьтер! жене жазыктык-тары болатын фигуралар бар. Мундай фигуралардын ен кара-пайым тур! тузу мен жазыктык болып табылады. Жазыктыктын кез келген нуктес! оныц симметрия центр! болып табылады. Бер!лген жазыктыкка перпендикуляр кез келген тузу (жазыктык) а)
80-сурет. оныц симметрия oci (жазыктыгы) болып табылады. Сонымен катар, симметрия центрлер!, осьтер!, жазыктыктары жок болатын фигуралар да бар. Мысалы, тетраэдрд!ц б!рде 6ip симметрия центр! болмайды. Табигатта, сэулет енер!нде, техникада, турмыста симметрия-ны кеп кездест!рем1з. Кептеген уйлер, гимараттар жазыктыкка катысты симметриялы (79-сурет), детальдардыц да кейб!р турлершщ симметрия oci бар болады. Табигатта кездесетш крис-талдардьщ барлыгыныц дерлгк симметрия центр!, oci жене жазыктыгы бар (80-сурет). Геометрияда копжактьщ симметрия центр!, oci жене жазыктыгы осы копжактьщ симметрия элементтер! деп аталады. 32. Дурыс копжак угымы. Егер донес копжактьщ барлык жактары тец дурыс кепбурыштар болса, сонымен катар оныц ерб!р тобес!нде саны б!рдей кырлар тогысатын болса, ондай донес копжак дурыс квпжац деп аталады. Мысалы, куб дурыс копжак болып табылады. Оныц барлык жактары тец квадраттар жене ер тебесгнде уш кыр тогысады. Дурыс копжактьщ барлык кырлары б!р-б!р!не тец екен! кер!н!п тур. Кыры ортак ек! жакты камтитын барлык ек!жакты бурыштар да тец екешн делелдеуге болады. Жактары дурыс алтыбурыш, жет1бурыш жене жалпы п> 6 болганда п-бурыш болатын дурыс копжак; болмайтынын далелдешк. Шынында да, n-бурыштыц п > 6 болганда бурышы 120 -тан кшп болмайды (неге екешн тус!нд!рщдер). Екшш! жагынан, копжактьщ ep6ip тебесшде уштен кем жазык бурыш болмауы ти!с. Сондыктан, егер жактары п > 6 болганда дурыс n-бурыш болатын дурыс копжак бар болса, онда мундай копжактьщ ерб!р тобесшдег! жазык бурыштарыньщ косындысы 120 * 3 = 360 -тан к!ш! болмас ед!. Б!рак бул мумк!н емес, ейткен! децес копжактьщ ep6ip тобесшдег! барлык жазык бурыштардыц косындысы 360’-тан к!ш! (25-п).
81-сурет. 82-сурет. 83-сурет. Осы себепт! дурыс кепжактьщ ep6ip тебес! уш, терт немесе бес тенкабыргалы ушбурыштардыц, не уш квадраттыц, не уш дурыс бесбурыштыц тебес! болуы мумкш. Баска мумк!н жагдай жок. Осыган сейкес мынадай дурыс кепжактар аламыз: Дурыс тетраэдр* (81-сурет) терт тенкабыргалы ушбурыштан ту рады. Онын ep6ip тебес! уш ушбурыштын тебес! болып табылады. Демек, ep6ip тебедег! жазык бурыштардын косындысы 180°-ка тен. Дурыс октаэдр (82-сурет) ceria тенкабыргалы ушбурыштан куралган. Октаэдрдш ep6ip тебес! терт ушбурыштын тебес! болып табылады. Демек, ep6ip тебедег! жазык бурыштардын косындысы 240-ка тен. Дурыс икосаэдр (83-сурет) жиырма тен кабыргалы ушбурыштан куралган. Икосаэдрдщ op6ip тебес! бес ушбурыштын тебес! болып табылады. Ендеше, эрб!р тебедег! жазык бурыштардын косындысы 300°-ка тен. Куб (84-сурет) алты квадраттан куралган. Кубтын ep6ip тебес! уш квадраттын тебес! болып табылады. Ендеше, ep6ip тебедег! жазык бурыштардын косындысы 270°-ка тен. Дурыс додекаэдр (85-сурет) он ек! дурыс бесбурыштан куралган. Додекаэдрддн ерб!р тебес! уш дурыс бесбурыштыц тебес! болып табылады. Ендеше, ep6ip тебедег! жазык бурыштардын косындысы 324°-ка тен. Дурыс кепжактардыц осы аталып еткен бес туршен баска турлер! жок. 33. Дурыс кепжактардыц симметрия элементтерк Дурыс кепжактардын симметрия элементтерш карастырайык. Дурыс тетраэдрд!ц симметрия центр! жок болады. Карама-карсы кырларынын орталары аркылы етет!н тузу оныц * Б!з дурыс тетраэдр мен дурыс ушбурышты пирамнданы ажыратып айтамыз. Барлык кырлары тец дурыс тетраэдрден дурыс ушбурышты пирамиданын езгешелпт онын бушр кырлары 6ip-6ipiHe тец болганмен, олар табаныныц кабырга-ларына тен болмауы мумкш.
8 4-су per. 85-сурет. симметрия oci болып табылады. ABCD дурыс тетраэдршщ АВ кыры аркылы жоне карама-карсы жаткан CD кырына перпендикуляр етет!н а жазыктыгы симметрия жазыктыгы болып табыла-ды (86-сурет). Дурыс тетраэдрдщ уш симметрия oci жене алты симметрия жазыктыгы бар. Куб диагональдарыныц киылысу нуктен - онын жалгыз гана симметрия uenTpi болып табылады. Карама-карсы жаткан жактардын цeнтpлepi жоне 6ip жакта жатпайтын карама-карсы exi кырдын орталары аркылы ететш а жене b тYзyлepi онын симметрия ocbTepi болып табылады (87-сурет). Кубтыц тогыз симметрия oci бар, барлык симметрия осьтер! симметрия ueHTpi аркылы етедг. Кубтыц кез келген ек! симметрия oci аркылы ететш жазыктык оныц симметрия жазыктыгы болып табылады. Кубтын тогыз симметрия жазыктыгы бар. Дурыс октаэдрд!ц (82-cypeTTi кара), дурыс икосаэдрд.1ц (83-cypeTTi кара) жене дурыс додекаэдрди (85-суретт1 кара) симметрия ueHTpi мен б!рнеше симметрия oci жене жазыктыктары бар. Оларды санап корщдер. 86-сурет. 87-сурет.
ПРАКТИКАЛЫК ТАПСЫРМАЛАР 271.88-суретте дурыс тетраэдрдш жазбасы кескшделген. Оны улкен масштабпен катты кагазга кайта салып, жазбаны киып алып, жел!мдеп, одан тетраэдр* жасандар. 272.89-суретте кубтыц жазбасы кескшделген. Оны катты кагазга улкен масштабпен кайта салындар. Жазбаны киып алып, жел!мдеп куб жасацдар. 273.90-суретте дурыс октаэдрдщ жазбасы кескшделген. Оны катты кагазга улкен масштабпен кайта салындар. Жазбаны киып алып, жел!мдеп октаэдр жасандар. 274.91-суретте дурыс додекаэдрдш жазбасы кескшделген. Оны катты кагазга улкен масштабпен салындар. Жазбаны киып алып, жел!мдеп додекаэдр жасацдар. 275.92-суретте дурыс икосаэдрдш жазбасы кескшделген. Оны катты кагазга улкен масштабпен кайта салындар. Жазбаны киып алып, одан жежмдеп икосаэдр жасандар. CYPAKTAP ЖОНЕ ЕСЕПТЕР 276д) Параллелепипедтш; о) дурыс ушбурышты призманыц; б) еюжакты бурыштыц; в) кескщщшц неше симметрия центр! бар? 91 -сурет. 9 2-сурет. * Жазбаны жетпмдеуге ьщгайлы епп артьпымен киып алындар.
277 .а) Кес!нд!нщ; о) дурыс ушбурыштын; б) кубтьщ неше симметрия oci бар? 278 .а) Кубтан езгеше, дурыс тертбурышты призманын; а) дурыс тертбурышты пирамиданын; б) дурыс ушбурышты пирамиданыц симметрия жазыктыктары нешеу? 279 .0ртак шет! бар, куб жактарыныц ею диагонал! арасындагы бурышты табыцдар. 28О .Кубтын кыры а-га тец. Оныц ею жагыныц диагональдары аркылы ететш киманыц ауданын табыцдар. 281'ABCDA^B С D{ кубыныц D1 тебесшен жактарыныц D^, D}C жане D В} диагональдары журпз!лген жане олардыц уштары кесшд!лермен косылган. D}AB}C кепжагы дурыс тетраэдр болатынын далелдендер. Куб пен тетраэдр беттер! аудандарыныц катынасын табыцдар. 282 .Окта э др дщ 6ip жагында жатпайтын, тебес! ортак ею кырыныц арасындагы бурышты табыцдар (82-суретт! кара). 283 .DABC дурыс тетраэдршщ кыры а-га тец. Тетраэдрдщ АВС жагыныц центр! аркылы ететш: a) BDC жагына параллель жазыктыкпен; a) AD кырына перпендикуляр жазыктыкпен кима-сыныц ауданын табыцдар. 284 .* Кыры 2-ге тец дурыс тетраэдрдщ эрб!р тебесшен кыры 1-ге тец дурыс тетраэдр киылган. Нетижес!нде кандай фигура шыгады? 285 .Дурыс тетраэдр жактарыныц центрлерш косатын кесшд!лер б!р-б!рше тен болатынын далелдендер. 286 .А - дурыс тетраэдрдщ бшктгг!, пг - кыры, ал п - оныц жактары центрлершщ ара кашыктыгы. а) m-д! h аркылы: е) л-д! т аркылы ернектецдер. 287 .Дурыс октаэдрдщ кыры а-га тен. а) Карама-карсы ею тобесшщ ара кашыктыгын; о) сыбайлас кырлары центрлер!шц ара кашыктыгын; б) карама-карсы жактарыныц ара кашыктыгын табыцдар. Ш TAPAYFA АРНАЛГАН CYPAKTAP 1 . Кепжактьщ ец аз дегенде неше кыры бар болады? 2 . Призманын п жагы бар. Оныц табанындагы кепбурыш кандай? 3 . Егер призманын сыбайлас ек! бушр жагы табан жазыктыгына перпендикуляр болса, ондай призма тж болып табыла ма? 4 . Кандай призманын бушр кырлары оныц бшктшне параллель? 5 . Егер призманын кырларынын 6epi 6ip-6ipine тец болса, онда ол дурыс призма болып табыла ма? 6 . Колбеу призманын 6ip бушр жак жагыныц бшктт сол призманын бшктгг! бола ала ма?
7 . а) Бушр кыры табаныныц тек 6ip кырына перпендикуляр болатын; о) тек 6ip бушр жагы табанына перпендикуляр болатын призма бар бола ма? 8 . Дурыс ушбурышты призма табандарыньщ орта сызыктары аркылы отетш жазыктыкпен ек! призмага болшед!. Бул призма-лардыц бушр беттер! аудандарыныц катынасы кандай? 9 . Егер пирамиданьщ бушр жактары дурыс ушбурыштар болса, о л дурыс пирамида бола ма? 10 . Пирамиданьщ табан жазыктыгына перпендикуляр неше жагы бар бола алады? 11 . Карама-карсы бушр жактары табанына перпендикуляр болатын тортбурышты пирамида бар бола ма? 12 . Ушбурышты пирамида жактарыньщ 6epi т!кбурышты ушбурыштар болуы мумкш бе? 13 . Узындыгы 66 см сымнан табан кабыргасы 10 см-ге тец болатын тортбурышты пирамиданьщ кацка улг!сш жасауга бола ма? 14 . Ушбурышты призманыц жогаргы табаныныц тобес! аркылы жоне томенг! табаныныц оган карама-карсы жаткан кабыргасы аркылы отетш жазыктык осы ушбурышты призманы кандай кепжактарга болед!? КОСЫМША ЕСЕПТЕР 288 .Кез келген призма тобелершщ саны жуп, ал кырларыньщ саны 3-ке еселж болатынын долелдецдер. 289 .Кубтьщ толык бетшщ ауданы 2d -ка тец болатынын долелдецдер, мундагы d - кубтыц диагонал!. 29О .Тжбурышты параллелепипед табаныныц 1-ге тец диагонал! мен табан кабыргаларыньщ 6ipi арасындагы бурыш ф-ге тец. Осы кабырга мен параллелепипедтщ диагонал! арасындагы бурыш 6-га тец. Бер!лген параллелепипедтщ бушр бетшщ ауданын табыцдар. 291 .Т!кбурышты параллелепипедтщ d-ra тец диагонал! табан жазыктыгымен ф бурышын, ал табан кабыргаларыньщ б!р!мен 0 бурышын жасайды. Параллелепипедтщ бушр бетнпц ауданын табыцдар. 292 .Тортбурышты дурыс призманыц табан кабыргасы 6 см-ге, буйгр кыры 8 см-ге тец. Табан кабыргасынан оны киып отпейтш призманыц диагоналше дейшг! ара кашыктыкты табыцдар. 293 .ABCDAlB1C}D} тортбурышты дурыс призмасыньщ BJD мен диагональдары озара перпендикуляр. Призманыц А}С мен В D диагональдары арасындагы бурыш 60 болатынын долелдецдер.
294 .Тортбурышты дурыс призма оныц ею диагоналш камтитын жазыктыкпен киылган. Шыккан киманын ауданы S -ге тен, ал табан кабыргасы а-га тен. Призманын бушр бетшщ ауданын табындар. 295 .ABCDA}B1C D келбеу параллелепипед!н!ц табаны ромб болып табылады. СС буй!р кыры CD жене СВ табан кабыргаларымен тен бурыштар жасайды. а) СС ±BD; е) BB{D}D - т!к-тертбурыш: б) BD1AA Ct; в) А А С мен BB}D жазыктыктары езара перпендикуляр екешн делелдецдер. 296 .Ушбурышты дурыс призманын бшктнт А-ка тец. Призманын теменг! табанынын орта сызыгы мен жогаргы табанынын оган параллель кабыргасы аркылы жург!з!лген а жазыктыгы теменг! табан жазыктыгымен ею-жакты (р суй!р бурышын жасайды. а жазыктыгы аркылы жасалган киманын ауданын табындар. 297 .АВСА В}С} ушбурышты призмасыныц табаны АВС дурыс ушбурышы болып табылады, BD - осы ушбурыштьщ бшктнт, ал тебес! оныц центрше проекцияланады. а) AJSDAAA^; о) AA^OlBВ}С; б) ВВуСуС жагы - ттктертбурыш болатынын делелдецдер. 298 .Буй!р кыры b параллелепипедтщ табаны - кабыргасы а-га тен болатын квадрат. Жогаргы табаны тобелер!шц 6ipi - теменг! табанынын барлык тобелершен б!рдей кашыктыкта. Параллелепипедтщ толык бетшщ ауданын табындар. 299 .Ушбурышты дурыс пирамиданыц табан кабыргасы т-ге тец, ал бушр бетшщ ауданы табанынын ауданынан ек! есе улкен. Осы пирамиданыц бшктптн табындар. 300 .DABC ушбурышты дурыс пирамидасыньщ Е, F жене Р нуктелер! - ВС, АВ жене AD кабыргаларынын орталары. Егер пирамида табанынын кабыргасы а-га, ал бушр кыры А-га тен болса, осы нуктелер аркылы отетш киманын турш аныктацдар жене оныц ауданын табындар. 301 .DABC ушбурышты дурыс пирамиданыц бушр кырындагы еюжакты бурыш 120 -ка тен. В тобесшен DA буй!р кырына дешнг! ара кашыктык 16 см-ге тен. Пирамиданын апофемасын табындар. 302 .Пирамиданын табаны кабыргалары 3 см-ге, 7 см-ге жене диа-гональдарыньщ 6ipi 6 см-ге тец параллелограмм болып табылады. Пирамиданын бижтгг! табаны диагональдарыныц киылысу нуктес! аркылы отед! жене 4 см-ге тец. Пирамиданын /X бушр кырларын табындар. рОЗШирамиданыц табаны ромб болып табылады. Ею бушр жагы табан жазыктыгына перпендикуляр жане 120*-тык еюжакты бурыш жасайды, ал баска ею бушр жагы табан жазыктыгына 30° бурышпен колбеген. Егер пирамиданыц бшкт!г! 12 см болса, онын бетшщ ауданын табындар.
304.Тортбурышты дурыс пирамиданын тобесшдег! жазык бурышы 60 -ка тен. Буй!р жагы мен пирамида табанынын арасындагы еюжакты бурыш бушр кырындагы еюжакты бурыштан ек! есе кем болатынын далелдендер. ЗОб.Тортбурышты дурыс пирамиданын бшктгг! Л-ка, тобесшдег! жазык бурышы а-га тец. Пирамиданын бушр бспшц ауданын табындар. ЗОб.Тортбурышты дурыс пирамиданыц бшкт!г! Л-ка тец жене бушр жагыныц жазыктыгымен ср бурышын жасайды. Пирамиданын толык бетшщ ауданын табындар. 307.NABCD дурыс пирамидасындагы AN = b, AD = а. а) Пирамиданын NA кырына параллель, табанынын BD диагонал! аркылы отетш а жазыктыгымен кимасын салындар жене киманыц ауданын табыцдар. о) мен С нуктелер! а жазыктыгынан б!рдей кашыктыкта екешн далелдендер. 308/Пирамиданыц табаны - кабыргасы 5 см, Kimi диагонал! 6 см болатын ромб. Пирамиданын 3,2 см-ге тец бшктгг! ромб диаго-нальдарыныц киылысу нуктес! аркылы отед!. Пирамида жак-тарынын бшктжтерш табындар. ЗО9 .Бушр кырлары тен пирамиданыц табаны - кабыргалары 6 дм жане 8 дм болатын т!ктортбурыш. Пирамиданын бшктгг! 6 дм-ге тец. Kimi кабыргасы мен бшктггшщ ортасы аркылы жург!з!лген /у^киманьщ ауданын табыцдар. 131 0.0АВС пирамидасыныц DA кыры АВС жазыктыгына перпенди-укуляр. Егер АВ = АС = 25 см, ВС = 40 см, АН = 8 см болса, пирамиданыц бушр бет!шн ауданын табындар, мундагы АН -пирамиданын бшктгг!. 311.DABC пирамидасыныц табаны - кабыргалары АС =13 см, АВ =15 см, СВ = 14 см болатын ушбурыш. DA бушр кыры табан жазыктыгына перпендикуляр жоне 9 см-ге тен. а) Пирамиданын толык бет!н!ц ауданын табындар. о) А тобесшен BDC жагыныц жазыктыгына жург!з!лген перпендикулярдын табаны осы жактыц бшктггшде жататынын делелдецдер жене осы перпендикулярдын узындыгын табындар. З12 .л-бурышты дурыс пирамиданыц бушр жактары табан жазыктыгымен ф бурышын жасайды. Табан жазыктыгы мен бушр кырыныц арасындагы бурыштын тангенсш табыцдар. 313;¥шбурышты дурыс киык пирамида табандарынын кабырга-лары 12 дм жане 6 дм-ге тец, ал оныц бшктгг! 1 дм. Пирамиданыц бушр бетшщ ауданын табындар. 314 .Тортбурышты дурыс киык пирамиданын бшктгг! 63 см, апофе-масы 65 см, ал табандары кабыргаларыныц катынасы 7 : 3 катынасындай. Пирамида табандарыныц кабыргаларын табыцдар. 315 . Дурыс октаэдр жактарыныц центр лер! кубтыц тобелер! болып табылатынын делелдецдер.
316 .Дурыс тетраэдр жактарыньщ центрлер! баска дурыс тетраэдрдщ тобелер! болып табылатынын долелдендер. 317 .Куб жактарыньщ центрлер! дурыс октаэдрдщ тобелер! болып табылатынын долелдендер. 318 .Дурыс тетраэдрдщ еюжакты бурышы мен дурыс октаэдрдщ еюжакты бурышынын косындысы 180 -ка тен екенш далел-дендер. ЗЮ.Дурыс тетраэдрдщ бер!лген тобес! аркылы неше симметрия жазыктыгы етед!?
IV пгарау КЕЩСТ1КТЕП ВЕКТОР ЛАР § 1. КЕЦ1СТ1КТЕГ1 ВЕКТОР УГЫМЫ 34. Вектор угымы. Планиметрия курсында 6i3 жазыктыктагы векторлармен жене оларга амалдар колданумен таныскан ед!к. Кешстжтег! векторлардьщ Herisri угымдары да жазыктыктагы векторлардын угымдары сиякты енг1з1лед1. Уштарыньщ цайсысы басы жоне цайсысы соцы екеш корсегтлген Kecindi вектор деп аталады. Суретте вектор дыц багыты (басынан соцына карай) керсетшеди Кешстштщ кез келген нуктесш вектор деп карастыруга болады. Мундай вектор нэлд1к вектор деп аталады. Нелдш вектордын басы мен соцы беттесет, сондыктан ол вектордыц кандай да 6ip айкын багыты болмайды. 93, а-суретте АВ мен CD - нолд!к емес векторлар жене ТТ - нелдш вектор, ал 93, б-суретте басы ортак, а, Ь жене с нелд!к емес векторлар кескшделген. Нелдш вектор О символымен де белгьленедь АВ кесшдганщ узындыгы нелдш емес АВ векторьишц узындыгы деп аталады. АВ векторыныц (а векторыныц) узындыгы бы-лай белггленедк | АВ I (I а I )• Нелдш вектордыц узындыгы нелге тец деп саналады: | О | = 0. Нелдш емес eni вектор 6ip тузудщ бойында немесе параллель тузулердщ бойында жатса, оларды коллинеар векторлар деп атайды. Егер нелдш емес ек! вектор АВ мен CD коллинеар болса, 93-сурет. 94-сурет.
сонымен 6ipre АВ мен CD сеулелер! багыттас болса, онда АВ мен CD векторлары багыттас деп, ал егер бул сеулелер багыттас бол-маса, онда АВ мен CD векторлары царама царсы багытталган деп аталады. Нелдак вектор кез келген вектормен багыттас деп есептеу кел1с!лген. а ' b жазуы а мен b векторлары багыттас дегещц, ал с 11 d - с мен d векторлары карама-карсы багытталган дегещц бшд!редк 94-суретте параллелепипед кескшделген. Бул суретте АЕ1 "DK , AD? tEK. АВ? •! DC; AD мен АЕ векторлары багыттас та емес, карама-карсы багытталган да емес, ойткеш олар коллинеар векторлар емес. Жазыктыктагы векторларды окып-уйренген кезде 6i3 коптеген физикалык шамалар, мысалы, куш, орын ауыстыру, жылдамдык векторлык шамалар болып табылатынын атап откенб!з. Электрл1к жене магнитик кубылыстарды окып-уйренгенде де векторлык ша-малардын жаца мысалдары кездеседк Кещстштетл зарядтар туды-ратын электр epici кещстштш ep6ip нуктесшде электр epici кернеулнтшц векторларымен сипатталады. 95, а-суретте нуктелш оц зарядтьщ электр epici кернеулптшц векторлары кескшделген. Электр тогы, ягни зарядтардьщ багытталган козгалысы кещстште магнит epicin тудырады. Магнит epici KenicTiKTin ep6ip нуктес!нде магниттш индукция векторымен сипатталады. 95, 6-су-ретте тогы бар тузу етюзйштщ магнит epici магнитик индукция-сыньщ векторлары кескшделген. 35. Векторлардыц тец дик Егервекторларбагыттасжонеузын-дыцтары тец болса, онда оларды тец векторлар деп атайды. 94-суретте А£? *DK жене | АЕ = \DK I болгандыктан, АЕ = DK , ал АВ ? г DC болгандыктан, АВ + DC - Егер A HyKTeci а векторынын басы болса, онда а векторы А нуктесшен бастап салынган дейдй Кез келген нуктеден бастап бер1лген векторга тец 6ip жоне тек 6ip гана вектор салу га болатынын делелдеу киын емес. 95-сурет. 96-сурет.
Шынында да, а - бернпген вектор, М - берътген нукте бодсып (96-сурет). а векторынын басы жене М нуктес! аркылы жазыктык журйзешк. Осы жазыктыкка MN = 5 векторын салайык. 7W7V векторы !здел!нд! вектор екеш суреттен корппп тур. Сонымен 6ipre, MN - басы М болатын о векторына тен жалгыз гана вектор екеш салудан айкын коршеда. CYPAKTAP ЖОНЕ ЕСЕПТЕР 32Q.ABCD тетраэдр!шн М, N жоне К нуктелер! - АС, ВС жене CD кырларынын сейкес орталары, АВ=3 см, ВС=4 см, см. а) АВ, ВС, ВВ, NM, BN, NK ; о) CD, BA, DB, NC, KN векторларынын узындыктарын табындар. 321.Т!кбурышты ABCBAjBjCjBj параллелепипедшщ елшемдер! мынадай: AD = 8 см, АВ = 9 см жоне АА} = 12 см. a) ССХ , СВ , CD векторларынын; е) pc > DB, DBi векторларынын узындыктарын табындар. 322.97-суретте ABCDAXBXCXDX параллелепипед! кескшделген. М мен К нуктелер! - BjC, мен А,В, кырларынын орталары. Осы суреттег! барлык: а) багыттас; е) карама-карсы багытталган; б) тец векторлар жуптарын керсет!цдер. 323.98-суретте кырлары тен ABCD тетраэдр! кескшделген. M,N, Р жене Q нуктелер! - АВ, AD, DC жж ВС кабыргаларынын орталары. а) Осы суретте кескшделген барлык тен векторлар жуптарын жазындар; е) MNPQ тертбурышынын турш анык-тандар. 324.Мына уйгарым дурыс па: а) нолд!к емес векторга коллинеар ек! вектор озара коллинеар; а) нелдш емес вектормен багыттас ею вектор багыттас; б) пелдцк емес векторга коллинеар ек! вектор багыттас? 325. АА, = ВВХ екеш белплъ а) АВ жене А}ВХ тузулер!; е) АВ тузу! 9 7-сурет. 98-сурет.
жоне А. мен В{ нуктелер! аркылы отетш жазыктык; б) 6ipeyi А жене В нуктелер! аркылы отетш, ал ек!нш!с! А1 жене BJ нуктелер! аркылы отетш жазыктыктар 6ip-6ipiHe катысты калай орналаскан? 326.9 7-суретте параллелепипед кескшделген, М мен К нуктелер! -В^ мен A{D} кырларыньщ орталары. Егер а) С нуктесшен бастап DD{ -ге тен вектор; о) D нуктесшен бастап СМ -га тец вектор; б) Aj нуктесшен бастап, АС-га тец вектор; в) С нуктесшен бастап СВ -га тец вектор; г) М нуктесшен бастап, ХА -ге тец вектор салынганда шыккан векторды атавдар. § 2. ВЕКТОРЛАРДЫ КОСУ ЖОНЕ АЗАЙТУ. ВЕКТОРДЫ CAHFA КОБЕЙТУ 36. Векторларды косу жоне азайту. Ерк!м!зше алынган а мен Ь векторларын косу ережесш енгтзешк. Кандай да 6ip А нуктесь нен бастап 5 векторына тец АВ векторын салайык (99-сурет). Сонан кейш В нуктесшен бастап, b векторына тец ВС векторын салайык. АС векторы а мен Ь век пюрларыньщ косындысы деп аталады: АС = а + b. Векторларды косудыц бул ережес! ушбурыш ережеа деп аталады. 99, а-сурет бул атауды тус!нд!рш бередь Коллинеар векторларды косканда ушбурыш шыкпаса да, олар осы ереже аркылы косы-лады. 99, б, e-суреттер коллинеар векторларды косуды корсетед!. 5 + Ь косындысы 5 векторы бастап салынатын А нуктесш цалай тацдап алганымызга тоуелаз болатыны дол планиметрия-дагы сиякты долелденед!. Баскаша айтканда, а мен Ь векторларын ушбурыш ережес! бойынша косканда А нуктесш баска 6ip А, нуктес!мен ауыстырсак, онда АС векторы оган тен Afil векторына ауысады (100-сурет). Осы уйгарымды оз беттерщше долелдендер.
100-су рет. 101-сур ет. Коллинеар емес ек! векторды косудьщ параллелограмм ережест Ушбурыш ережесш мына турде тужырымдауга болады: кезкелген А, В жэне С нуктелер1 уийн АВ + ВС = АС тецд1г1 орындалады. Коллинеар емес ею векторды косу ушш планиметрия курсынан 6e.Tri.ni параллелограмм ережесш па йд алану га болады. Вул ереже 101-суретте тусшдарглген. Планиметрияда окып-уйренген векторларды косу ережеш KenicTiKTeri векторлар ушш де орындалады. Соларды еске са-лайык- Кез келген а, Ь жене с векторлары ушш мына тецдштерорын далады: а + b> = Ь + а (орын ауыстырымдылык зады); + = с) (тер1мдгтпк заны). Но.адк емес ею вектордын узындыктары тец болса жене олар карама-карсы багытталган болса, олар карама-карсы векторлар деп аталады. Нелдж векторга карама-карсы вектор нелдак вектор болып саналады. В А векторы АВ векторына карама-карсы екеш кершш тур (102-сурет). Ь векторыменцосындыаы а векторына тец болатын векторды а менЬ векторларыныц айырымыдеп атайды. а мен Ь векторлары-ныц айырымы а - Ъ -ны мына формула бойынша таба аламыз: а - Ь = а + (—6), (1) мундагы ( - Ъ) - Ъ векторына карама-карсы вектор. 103-суретте берыген а мен Ь векторларыныц айырымын салу-дьщ ею Teci.ni корсет!лген. Кец!ст!ктеп векторлар уппн косу зацдары мен (1) тецдштщ делелдемелершщ жазыктыктагы векторлар ушш сейкес делелде-мелерден еш айырмашылыгы жок.
103-сурет. 102-сурет. 37. Б1рнеше векторды косу. Кешстште б!рнеше векторларды косу жазыктыктары векторларды косу сиякты орындалады: 6ipiHiiii вектор екшгш вектормен косылады, сонан кешн олардыц косындысы уш!нш! вектормен косылады жене т.с.с. Векторларды косу зацдарынан мынау шыгады: б1рнеше векпюрлардъщ уосындысы оларды цандай тврттгген (ретпен )к,осцанга теуелаз. 104-суретте а , Ъ жоне с уш векторды косу керсетхлген: ерк!м!зше алынган О нуктесшен бастап ОА = й векторы салын-ган, сонан кешн А нуктесшен бастап, АВ = векторы салынган, акырында, В нуктесшен бастап ВС = й векторы салынган. Ноти-жеде а + Ь + с -га тец ОС векторы шыгады. Осылайша саны кез келген векторлардыц косындысын салуга болады. 105-суретте й, b, с, cl жене е бес вектордыц косындысы ОЕ кескшделген. Мундай 6ipneine вектордыц косындысын салу копбурыш ережеа деп аталады. Алайда жазыктыктары векторлар жагдайынан озгешелнл — кешстштеН векторлардыц косындысын 104-су per. 105-сурет.
—> —> —> - > —> -> —> А,Аг + A,A3 + A3A,+ A,A5 + АйАв + АбА7 = А, A > > -> - > - > > -> А,А2 + А2А., +А3А, +А,А5 +А5А6 + АСА, = О 106-сурет. салганда шыгатын “кепбурыш” кецютжтж болуы мумкш, ягни барлык тобес! 6ip жазыктыкта жатпауы мумкш. 104-суреттег! ОС векторын салуда пайда болган ОАВС “тортбурышы” осындай кепбурыш болып табылады. Кепбурыш ережесш былай да тужырымдауга болады: егер Ар А„ ... , Ап - еркш1зше алынган нуктелер болса, онда АА> + А2А3 +...4-Ап LAn = AtAn. Атап айтканда, егер А1 жене Ап нуктелер!, ягни 6ipinmi вектор-дын басы мен акыргы вектордыц соны дэлме-дэл келсе, онда век-торлардын косындысы нелдок векторга тец (106-сурет). 38. Векторды сайга кебейту. Нолд1к емес cl векторыныц ксанына кобейпиндил деп узындыгы к | • а\-гатецЬ векторын айтады жоне а мен Ь векторларык> 0болганда багыттас, алk<0 болганиа карами-царсы багытталады. Нолд1к вектордыц кез келген санга кобейпиндйл нелд1к вектор болып саналады. а векторыныц к санына кебейтшдю! былай белпленедк ka . Векторды санга кебейтудщ аныктамасынан мынау шыгады: кез келген к саны мен кез келген а векторы уийн а мен ka векпюрлары коллинеар. Сонымен катар, бул аныктамадан кез келген векпюрдыц нолге кобейппнд1с1 нолд1к вектор болыптабылатыны шыгады. Жазыктыктагы векторды санга кебейтудщ б!зге белйл! нег!зг! касиеттерш еске салайык^ Олар кещстштег! векторлар ушш де орын а лады. Кез келген а , Ъ вектор лары жоне k, 1сандары уийн мына тецдштер орындалады: (kl) а = к (la ) (mepiMdijiiK зацы); k(a + 6 )= ka + kb (6ipiHiui улест1р1мд1л1к зацы): (k +1) а = ka 4- la (ектш' улеспйр1мд1л1к зацы). (—1 ) а векторы а векторына карама-карсы вектор болып табылады, ягни (-1)л = - а . Шынында, (-1)5 жене а векторларынын
узындыктары тец: |(-1) а | = |-1|| а | = | а |. Сонымен катар, егер й векторы нелдпс болмаса, онда (-1)# жене а векторлары карама-карсы багытталган. Дел планиметриядагы сиякты, егер а мен Ь векторлары коллине ар жоне а =0 болса, онда b = ka болатындай 6ip гана. kсаны табылады. ЕСЕПТЕР 327.9 7-суретте ABCDA}BlC]D[ параллелепипед! кеск!нделген. а) АВ + AJ\\ в) АВ + DA + В^В’, в) DL\ + DB’, г) DB + ВС векторларынын косындысына тец, басы жене соцы параллелепипедтщ тебе л epi болып табылатын векторды атацдар. 328.ABCD тетраэдр! берьлген. а) АВ + BD = АС + CD’, о) ДБ + —' —> + ВС = DC + AD; б) DC + BD = AC + BA екешн делелдец-дер. S29.ABCDAiB{CiDl параллелепипещшн кырларынан курылган: в) СВ векторына карама-карсы; е) векторына карама-карсы; б) - DC векторына тец; в) - д р векторына тец болатын барлык векторларды атацдар. 33O.ABCZ>A1B1C1Di параллелепипед!н салыцдар да, C^Dt , В}А, AD векторларын сейкес а , Ъ , с аркылы белтллецдер. Су-ретте: а) а — Ь • о) а — с ; б) Ь — а ; в) с — Ь>; г) с• — а векторларын кесшндецдер. 331.ABCD -параллелограмм, ал О - кещстжтщ ерк!м!зше алынган нуктес! болсын. а) ОБ - О А = ОС - OD; э) ОБ - ОС = DA екешн делелдецдер. 332.97-суретте ABCDА В{С D{ паралелепипед! кескшделген. АВ} мен DK векторларын бастары мен соцдары суретте белг!ленген нуктелермен дол келетнтдей ек! вектордыц айыры-мы туршде керсетщдер. ЗЗЗ.Кещстште терт нукте А. В, С жане D беркяген. Басы мен соцы берклген нуктелерде болатынжане:а) (ДВ + СА + DC) + (БС + + CD)’, (АВ - АС) + DC векторларынын косындысына тец векторды атацдар.
334.Т!кбурышты KLMNK^M1 параллелепипед! бер!лген. а) I МК + ММ, 1=1 МК - ММ, I; е) I K^L, - N\L, 1=1 ML + ММ, I; б) INL ~ m\lI = I K^N ~ LN I болатынын далелдендер. 335.0рнект! ыкшамдандар: а) АВ + TWTV + ВС + СА + РО + NM; в) FK + NO + КР + AN + QK 4- PF; б) КМ + DF + АС + + FK^CD^CA^MP^) АВ + BA + CD+MN + DC+NM- 336 .А. В, С жене D нуктелер! бер!лген. АВ векторын: а) АС, DC , BD', о) DA , DC , СВ; б) DA , СО, ВС векторларыныц алге-бралык косындысы туршде корсет!цдер. 337 .0рнекп ыкшамдандар: a) OP - ЕР + KD - КА', о) AD + МР + + ЕК - ЕР - MD', б) АС - ВС - РМ - АР + ВМ - 338 .ABCDAxBlCiDl параллелепипед! берктген. ОА + оС, = ОС + ОА1 (мундагы О — кещстжтщ ерк!м!зше алынган нуктес!) екешн делелдецдер. 3‘39 ABC DANC'D' параллелепипед! бергпген. а) Т)С + Р\АХ +CDX + •*-* +АД =ЛВ; э) DA + * + р75 + +BA+DC болатын-дай, басы мен соны параллелепипедтщ тебелершде жататын х векторын керсетщдер. 340 .Ушбурышты АВСА'В'С^ призмасы беригген. а) аА} + ВгС ~ = = БА;е) АС1-ВВ1+^ = АВ;б) АВ} +^ = АС-^ + 5С1 бола-тындай, басы мен соны призманын тобелершде жататын х векторын керсетщдер. 341 .To6eci Р болып келген тертбурышты пирамиданын табаны ABCD трапециясы. О нуктес! трапецияныц орта сызыгынын ортасы. РА + РВ + PC + PD = К) екешн делелдецдер. 342 .Р нуктес! - дурыс алтыбурышты пирамиданын тебесй Пирамиданыц бушр кырларынан жасалган басы Р нуктесшде жататын барлык векторлардын косындысы басы Р нуктесшде жататын, апофемалардан жасалган барлык векторлардьщ косындысына тец болатынын делелдецдер. 343 . АО = АВ екеш белг!л!. А мен В нуктелер! О нуктесше катысты симметриялы болатынын делелдецдер. 344,ABCDAlBlClDl кубыныц диагоналъдары О нуктесшде киылысады. а) АВ = k • CD\ о) АС, = ‘ АО\ б) овх = * BJD болатындай k санын табындар.
34 5.Е мен F нуктелер! - ABCD параллелограмынын АВ мен ВС кабыргаларыньщ орталары, ал О - кещстштщ ерк!м!зше алынган нуктес!. а) ОА - ОС векторын EF векторы аркылы; о) О А - ОЕ векторын ВС векторы аркылы орнектецдер. 34 6.7И мен N нуктелер! - ABCD трапециясыныц АВ мен CD та-бандарыньщ орталары, ал О - кещстштщ ерк!м!зше алынган нуктес!. ОМ ~ ON векторын AD мен ВС векторлары аркылы орнектецдер. 34 7.0рнект! ыкшамдацдар: а) 2 (т + й) - 3 (4 т -п) +т ; е) (т --3 (й-2/Й4-р) + 5(р-4т). 348. ABC DA iBiClD[ параллелепипед! бер!лген. ас + BjD = 2 ВС екешн долелдендер. 349. А, В жене N нуктелер! AN = 'к ’ NB шартын канагаттанды- рады, мундагы Zz - 1. Осы нуктелер 6ip тузудщ бойында жататынын жене кещстштщ кез келген О нуктес! уш!н ОМ = = -ОД+Л Qff тецдпл орындалатынын долелдендер. 1 + X Ш еш yi. AN='* ’ NB тецдптнен AN мен NB векторлары коллинеар екен! шыгады, сондыктан AN мен NB тузулерше параллель болады, не беттеседь Бул тузулерге N нуктес! ортак болгандыктан, олар беттеседд, ендеше А. В жене N нуктелер! 6ip тузудщ бойында жатады. AN = ON - ОА, NB = OB - ON болгандыктан, AN= У- ‘ NB тещцгшен ON - О A = >AOB - ON) немесе (1 4- z) • ON = О A + * OB екеш шыгады. Осыдан 1 4- z-га болт, !здел!нд! тецдшт! табамыз. 350. Р = a -h Ь 4- с екен! белгьп, а , b жоне с векторлары кос-Костан багыттас емес. | Р < а 4- | b 4- с | екенш долелдендер. 351. cz мен с , сондай-ак b мен с векторлары коллинеар. а) й 4- Ъ мен с ; о) а - b мен с ; б) а 4- 3 Ь мен с ; в) - а 4- 2 Ь мен с векторлары коллинеар векторлар екешн долелдендер. 352. а + b мен Й - Ъ коллинеар векторлар, Й мен Ь коллинеар векторлар екешн долелдендер. 343. а 4- 2 Ь мен й - 3 Ъ коллинеар векторлар. й мен b коллинеар векторлар екешн долелдендер. 354.Егер й + b мен й - b векторлары коллинеар болмаса, онда: а) й мен Ъ векторлары коллинеар емес; о) Й 4- 2 Ь мен 2 Й — b векторлары коллинеар емес екешн долелдендер.
§ 3. КОМПЛАНАР ВЕКТОРЛАР 39. Компланар векторлар. Векторларды 6ip гана нуктеден бастап салган кезде олар 6ip жазыктыкта жататын болса, ондай векторлар компланар векторлар деп аталады. Баскаша айтканда, 6ip жазыктыкта жататын ездер!не тен векторлар бар болатындай векторларды компланар векторлар деп атайды. Кез келген ек! вектор компланар болатыны анык: eneyi коллинеар болатындай уш вектор компланар болады (неге екешн тус1щцр1цдер), ал ерк!м!зше алынган уш вектор компланар болуы да, компланар болмауы да мумкш. 107-суретте параллелепипед кескшделген. ВВ^ , OD жене ОЕ - компланар векторлар, ейткеш О нуктесшен бастап, ВВ^ -ге тен вектор салсак, ОС векторы шыгады, ал ОС > OD жоне ОЕ векторлары 6ip гана ОСЕ жазыктыгында жатыр. ОА, ОВ жоне ОС векторлары компланар емес, ейткеш ОС векторы ОАВ жазыктыгында жатпайды. Уш вектордыц компла-нарлык белгюш карастырайык. Егер с векторы а мен Ъ векторлары бойынша жктелеттн, ягни с = ха + yb (1) трр1нде орнектелетш болса, онда а , Ь жоне с компланар векторлар болады, мундагы х пен у - кандай да 6ip сандар. Осы белгпп делелдешк. а мен b векторлары коллинеар емес деп есептешк (егер а мен b коллинеар болса, онда а, b жене с векторларынын компланарлыгы кор1шп тур). Ерюм1зше алынган О нуктесшен бастап О А = й жене OB = Ь векторларын салайык (108-сурет). О А мен ОВ векторлары ОАВ жазыктыгында жатыр. Осы жазыктыкта ОД = х ’ О А жене ОВХ = у • ОВ векторлары да жататыны Kopimn тур, олай болса с векторына тен олардыц косындысы - ОС = х ' О А + у ' ОВ векторы да осы жазыктыкта 107-сурет. 108-сурет.
жатады. Сонымен, О А = а , ОБ = ь жене ОС = ё 6ip жазыктыкта жатыр, ягни й, b жоне с векторлары компланар. Kepi уйгарым да дурыс: егер а , Ь жэнес векторларыкомпланарболса, ал а менЬ векпюрларыколчинеарболмаса^ндасвекторына жэнеЬ вектор ларына ж1ктеуге (ягни (1) туршде ернектеуге) болады, оныц успине лактелеу коэффициент!, (ягни (1) формуладагы х, у сандары) жалгызганаед1спенаныцталадьк Векторды коллинеар емес ек! вектор бойынша ж!ктеу туралы планиметрия курсынан белгъш теореманы пайдалана отырып, осы уйгарымды ез бетгерпцпе далелдендер. 40. Параллелепипед ережес!. Компланар емес уш векторды косу ушш параллелепипедережесш колдануга болады. Осыны сипат-тайык. а , Ь жене с — компланар емес векторлар. Кещсттктщ ерк!м!зше алынган О нуктесшен бастап О А = й » ОБ = , ОС = с векторларын салайык. Осыдан кешн О А. ОБ жене ОС кес!нд!лер! кырлары бола-тындай етш параллелепипед салайык (107-суретт! кара). Сонда осы параллелепипедтшODдиагонал! а, b жене с векторларыныц косындысын кескшдейдк OD = й + 6 + с . Шыпында да, OD = = ОЕ + ED =(ОА + АЕ) + ED = ОА + ОБ + ОС = & + Ь + 6 . 41. Векторды компланар емес уш векторлар бойынша жштеу. Егер р векторын р = ха + yb + zc (1) тур!нде орнектесе, онда р векторы а , Ь жоне с векторлары бойынша. ж1ктелген деп айтады, мундагы х, у жене z кандай да 6ip сандар. х, у, z сандары ж1ктелу коэффициент mepi деп аталады. Векторды компланар емес уш вектор бойынша ж!ктеу туралы теореманы далелдешк. Теорема. Кез келген векторды бер1лген компланар емес уш вектор бойынша ж1ктеуге болады жоне жлктелу коэффициент-mepi жалгыз гана odicnen аныцталады. Дэлелдеуь а , b жене с - берьаген компланар емес вектор- лар. Алдымен кез келген р векторын (1) тур!нде ернектеуге бола-тынын далелдешк. Ерк1м1зше алынган О нуктесш 109-сурет. белгшеп, осы нуктеден бастап, вектор-ларды салайык (109-сурет): ОА = а, ОВ=Ь, ос = е, ОР=Р- (2) Р нуктес! аркылы ОС тузуше параллель тузу жург!зем!з де, осы тузудщ АО Б жазыктыгымен киылысу нуктесш PJ аркылы белг!лейм!з (егер Р е ОС болса, онда Ру нуктес! ретшде О
нуктесш аламыз). Сонан соц Р1 нуктес! аркылы ОВ тузугне параллель тузу жург!зем!з де, осы тузудш ОА тузу!мен киылысу нуктесдн Р2 аркылы белттлеймхз (егер Р1 е ОВ болса, онда Р, нуктес! рет!нде О нуктес!н аламыз). Копбурыш ережес! бойынша: ор = др, + р-р + рр- (3) М вл Л I ОР мен ОА, РР мен ОВ , Р*Р мен ОС коллинеарвекторлар, сондыктан ор2 = х • ОА, Р2Р{ = У ‘ ОВ , Р Р = z ОС болатындай х.у, z сандары табылады. Осы ернектерд! (3) тецд!кке койсак, ОР = У ’ ОА + У'ОВ + 2 • ОС екен! шыгады. Осыдан (2) тендактерда ескерш, (1) тещцкке келемаз. Енд! (1) формуладагы жштелу коэффициенттерд! жалгыз гана адаспен аныкталатынын далелдешк. (1) ж!ктеулермен катар р векторынын баска: р = хга + у vb + zxc ж!ктелу! бар дешк. Осы тендакт! (1) тецдактен азайтып жене векторларга амалдар колдану-дын касиеттерш пайдалана отырып, О = (х-х ) а + (у-у ) b + (2-- zA) с тещщчн аламыз. Бул тецдак х - хА = 0, у - ух = 0, 2 - 2г = 0 болганда гана орын-далады. Шынында да, мысалы 2 - 21 * О десек, онда бул тещцктен табатынымыз: . _ х-х1 _ у-ух с----------- а ~ ------- Ь, 2~2Х 2 — 2Х будан я » Ь жене с векторлары компланар Б!рак, бул теореманын шартына кайшы келед!. Ендеше, б!зд!ц уйг*рымымыз дурыс емес, х -г хр у - i/p 2 - 2Г Демек, (1) жштелу коэффициенттер! жалгыз гана ед!спен аныкталады. Теорема делелденд!. CYPARTAP ЖЭНЕ ЕСЕПТЕР 355.ABCDA1B1C1Z>1 параллелепипед] бер!лген. Мына уш вектор-дын кайсысы компланар: а) ААр ССр ВВ^ а) АВ , AD , АА1 ; б) ВХВ9 АС, ; в) аЬ , СС1 » A^B{ 356 .EF кес!нд!с! ABCD тетраэдр!нщ АС мен BD кырларынын орта-ларынкосады. 2 FE = В А + DC екешн далелдендер. FE, В А, жене DC векторлары компланар бола ма? 357 .ABCZ) мен ABXCXDX параллелограмдары бер!лген. BBV CCt жене JDDp векторлары компланар екешн далелдендер. 358 .aBCjDAiB1C1D1 параллелепипеда бер!лген. а) АВ + AD + ААа ;
e) DA + DC + DD, ; б) +сЭ, +ВВ, ’ в) ДА + AJ\ + АВ ; г) В^А} + BBt + ВС векторлардьщ косындысына тец, басы мен соцы параллелепипедтщ тебелершде жататын векторды атандар. 359.Кыры а -га тец ABCDAJ^C^D^ кубыньщ Ар В жоне D тебелер!нде q нуктелш зарядтары орналаскан, а) А мен Сх нукте лершде осы зарядтар тугызган электр opicimH корыткы кернеулшш* АС. векторы аркылы орнектецдер. е) С мен нуктелершдег!, А^С^ жагыньщ центршдег! жоне кубтыц центршдег! корыткы кернеулштщ абсолют шамасын табыцдар. SQG.ABCDA^B^Cпараллелепипед! бер!лген. a) BDX векторын В А, ВС жене ВВХ векторлары бойынша; е) векторын Л^А, А^В жене др векторлары бойынша жштецдер. SGl.ABCDA^B{D} параллелепипедтщ диагональдары О нуктес!нде киылысады. CD мен d*q векторларын дд^ , АВ жоне AD векторлары бойынша жштецдер. 362.К нуктес! - ABCD тетраэдр!шц ВС кырыныц ортасы. DK векторын а = DA i Ь = АВ жене с = АС векторлары бойынша жштецдер. Ш е ш у i. К нуктес! - ВС кес!нд!с!шц ортасы болгандыктан, 7Ж =~-(5b + DC). Б!рак, DB = DA +АВ = а +b , DC = DA + + АС = а + с . DK - о (а + д+ й+с)=5+“-б+-^-с. ЗбЗ.Тобес! О пирамиданьщ табаны диагональдары М нуктесшде киылысатын ABCD паралелограмы болып табылады. OD жене ОМ векторларын а = ОА, Ь = 0,4? жене с = ОС векторлары бойынша жштецдер. ЗбД.К" нуктес! - A5CDA1B1C1D1 кубыньщ кырыныц ортасы. АК векторын а = АВ Ъ = AD, с = дд^ векторлары бойынша жштецдер, егер кубтыц кыры m-ге тец болса, осы вектордыц узындыгын табыцдар. - 365.ABCD цараллелограмы жазыктыгынан тыс О нуктес! алынган. * Егер О нуктесшде <?нуктел1к заряды болса, онда ол тугызган электр opicmiH Е kq-OM кернеулйл М нуктесшде Е = формуласымен ернектелед!, мундагы k ой3 коэффициент б!рлштер жуйесш калам тандап алуга байланысты.
М нуктес! - АВ-ныц, ал Кнуктес! - > —> MD-ныц ортасы. ОМ мен ОК век-торларын а = О А, b = ОВ , с = ОС векторлары бойынша жштецдер. Збб.Егер М - АВС ушбурышы медина-ларыныц киылысу нуктес!, ал О кец!ст!кт!н ерк!м!зше алынган нуктес! болса, О 110-сурет СШ =^(ОА + ОВ +ОС) о (4) екешн делелдецдер. Ш е ш у i. Ушбурыш медина ларыныц киылысу нуктес! туралы теорема бойынша AM = 2 МА1 , мундагы AAt — АВС ушбурышынын мединасы (110-суретке). 349-есепке сайкес: -> ОА+2МА ОА+2МА 0М>= ~-'1 + 2 • = -----3---- Б!рак, МА{ = ^ОВ + ОС (неге екен*н тусшдарщдер), сондыктан, Ом = ОА+ОВ+ОС 3 367.ABCD тетраэдрппн АВС жагынын АА1 мединасы К нуктесшде АК:КА=&7 катынасында белшед!. DK векторын DA , DB, DC векторлары бойынша жштендер. 368.М мен N нуктелер! ABCDAlBiCiD] параллелепипедшщ АВ мен A,D, кырларынын орталары болып табылады. Егер мумюн болса: а) АС ; э) СМ; б) c^N 5 в) АС, ’» г) a N ; д) AN; е) MD векторын АВ мен AD векторлары бойынша ж!ктецдер. 369.ОАВС тетраэдрппн АВС жагынын мединалары М нуктесшде ——У киылысады. О А векторын ОВ , ОС, ОМ векторлары бойынша жштецдер. 370.ABCD дурыс тетраэдр!шн AN мен DM бшктштер! К нуктесшде киылысады. a) DM ; е) DK ; б) AN; в) NK векторын а = DA , b = DB 9 с = DC векторлары бойынша жштендер. 371.ABCD тетраэдршде BCD жагынын мединалары О нуктесшде киылысады. АО кес!нд!сш!ц узындыгы ортак тобес! А нуктес! болатын кырлардын узындыктары косындысыныц уштен б!ршен аз болатынын делелдецдер. 372.ABCDA]BiC{D{ параллелепипедшщ АС, диагонал! A{BD мен CByD} ушбурыштары мединаларынын киылысу нуктес! аркы-
A R 111-cyper. 112-cyper. лы етет!шн жене осы нуктелермен тец уш кес!нд!ге белшет!н!н далелдендер (111-сурет). Ш е ш у i. A^BD ушбурышы мединаларыныц киылысу нуктесхн Nx аркылы белг!леи!к. (4) формуланы AAJBD тетраэдрите колдансак, AXN = — (AA{ 4- АВ + АО) болады. Параллелепипед ережес! бойынша АА, + АВ + А2) = АС, , сондыктан AN { = — АС, . Осыдан нуктес! АС, диагоналше 3 тшст! екеш шыгады жене AN = — АС.. 1 3 1 Дел осы сиякты, СВ D ушбурышы мединаларыныц jV9 киылысу нуктес! АС. диагоналше тшст! жене С.М = -~-АС. 1 1 2 3 1 екешн делелдеуге болады. AN. = ~~АС. жене С.М= “АС. 1 3 1 * 3 тешпктершен N жене N нуктелер! параллелепипедтщ АС, диагоналш: AN , NXN2 жене N2C} тец уш бе.тпкке белеттш шыгады. S73.AiB{Cl жене нуктелер! - АВС ушбурышынын тебелершен жене осы ушбурыш мединаларыныц киылысу нуктесшен а жазыктыгына жург!з!лген перпендикулярлардыц табандары (112-сурет). ММ} = ~~ (АА, 4- ВВ 4- СС ) екешн делелдецдер. О Егер АВС ушбурышынын кандай да 6ip кабыргалары « жазыктыгымен киылысса, осы тецдж дурыс болып кала ма? 374.АВ мен CD кес!нд!лер! 6ip жазыктыктын бойында жатпайды, М мен N нуктелер! - осы кесшдтлердщ орталары. MN < у (АС + BD) болатынын делелдецдер. 375.К мен М нуктелер! - ABCD тетраэдр!нщ АВ мен CD кырларынын орталары. КС, KD, МА жене МВ кесшдьпершщ ортасы кандай да 6ip параллелограмныц тебелер! болатынын делелдецдер.
IV TAPAYFA APHAJIFAH СУРАЦТАР 1. Мынадай уйгарым дурыс па: а) карама-карсы багытталган кез келген ек! вектор коллинеар; е) кез келген ек! коллинеар вектор багыттас; б) кез келген тен ею вектор коллинеар; в) кез келген багыттас ею вектор тец; г) егер b f 4 с болса, онда а 14 с•; д) а мен с коллинеар емес, Ь мен с коллинеар емес, ал а мен ь коллинеар болатындай а , b жене с векторлары бар болады? 2. А мен С нуктелер! О нуктес!не катысты симметриялы жоне AD = ВС • # мен D нуктелер! О нуктес!не катысты симметри-ялы бола ма? 3. А мен С нуктелер! а тузуше катысты симметриялы жене AD = ВС. В мен D нуктелер!: а) а тузуше катысты симметриялы; е) а тузуше катысты симметриялы емес болуы мумюн бе? 4. А мен С нуктелер!, сонымен катар, В мен D нуктелер! а жазыктыгына катысты симметриялы. АВ мен CD векторлары: а) тен; о) тец емес болуы мумюн бе? 5. а мен а + Ъ векторлары коллинеар екеш белил!, а мен Ь векторлары коллинеар бола ма? 6. Ек! вектордыц косындысыныц узындыгы косылгыштардын еркайсысыныц узындыгынан аз болуы мумюн бе? 7. Б!рнеше нолд!к емес вектордыц косындысыныц узындыгы осы векторлардьщ узындыктарыныц косындысына тен болуы мумюн бе? 8. Нелдш емес ек! вектордыц айырымыныц узындыгы осы век-торлардыц узындыгыныц косындысына тен болуы мумкш бе? 9. Ек! нелдш емес вектордыц айырымыныц узындыгы осы век-торлардыц узындыктары айырмасына тец болуы мумюн бе? 10. Нелдш емес ею вектордыц узындыгы осы векторлардьщ айы-рымынын узындыгына тец бола ма? 11. Темендег! жагдайларды канагаттандыратындай, b векторы шыгу уш!н нелдш емес а векторын кандай санга кебейту керек: a) b Т Т а жене | b I = I а I; а) Ъ ? 4 а жене | Ъ I = 3 | а I; б) М 4 а жене 16 | = /? I а |; в) ь = 0? 12. АВ k • CD екеш белг!л!, epi А, В жене С нуктелер! oip тузудщ бойында жатпайды. /?-ныц кандай мендершде АС мен BD тузулер!: а) параллель; е) киылысатын болып табылады? АС мен BD тузулер! айкас болуы мумюн бе? 13. а) а , Ъ>, 2 а , 3 Ь ; е) а , b , а + b , а - Ь векторлары компланар бола ма? 14. а , Ь жене с компланар векторлар екеш белтый. а) а , 2 Ь , 3 с ; е) а + b , а + 2 с , 2 6 - 3 с векторлары компланар бола ма? 15. А, В жене С нуктелер! шецбердщ бойында жатыр, ал О нуктес!
бул шенбердщ жазыктыгында жатпайды. О А, ОВ жене ОС векторлары компланар векторлар бола ма? КОСЫМИ! А ЕСЕПТЕР 37G,MNPQM N P.Q параллелепипед! бергтген. a) MQ + M}Q = + NP;е) PQ + = NQ; б) + QQi = ОР> болатынын делелдецдер. 337 .113-суретте дурыс октаэдр кескшделген. а) АВ + FB = DB\ о) АС - СВ = ЕС ; б) АВ + АС + AD + АЕ = 2 АЕ болатынын делелдецдер. 378.5 мен Ь векторларыныц айырымы 5-6=5 +(-6) формула -сымен орнектелет!шн делелдецдер. л 379. ABCD тетраэдр! бер!лген. Векторлардыц косындысын табындар: a) AB + BD+DC;e) AD + CB + DC* б) AB+CD^BC-DA-SSO.ABCDAppp^ параллелепипед! берьлген. Мына векторлардыц косындысын табындар: а) АВ + B~J3l + DDl + сЬ; о) Bfix + + А8+Ш), + св, + вс+ а7а;6) ВА+ AC+CB + DC + DA- 381. АВС мен A ftp ушбурыштары жене кещстштег! О мен Р нукте- лер! бершген. ОА + ОР = ОА1 , ОВ +ОР = ОВХ , ОС + ОР = ОС1 екен! бетг!л1. А Вр ушбурышынын кабыргалары АВС ушбурышынын кабыргаларына сейкесшше тец жене параллель екешн делелдецдер. - 382. а = kb тецдптндег! (мунда Ъ + 0) k-нын кандай мендершде а мен b векторлары; а) коллинеар; е) багыттас; б) карама-карсы багытталган; в) карама-карсы болып табылады? 383. А* мен / сандары 6ip-6ipiHe тен емес. Егер 5 + kb мен 5 + lb коллинеар векторлар болмаса, онда: а) а мен Ь векторлары коллинеар емес; е) kA мен / кез келген тец емес сандар болганда 5 + kx Ь мен 5 + /i Ь коллинеар емес екешн делелдецдер. 384.АГВ, жене С, нуктелер! - АВС ушбуры- шыныц ВС, АС жоне АВ кабыргаларынын JC орталары, О нуктес! - кещстштщ ерк!м!зше //|\ алынган нуктесь оа + ОВ + » г* х + ОС, = о А + ОВ + ОС болатынын делел- 1 дендер. 3S5-ABCD тортбурышыныц карама-карсы кабыргаларынын орталарын косатын кес!нд!лер М нуктесшде киылысады. О нуктес! - кещстжтщ ерк!м!зше алынган 113-сурет.
нуктесь ОМ = ~ (0А + ОВ + ОС + ОВ) болатынын делелдецдер. 386 .АВСВ параллелограмыньщ диагональдары О нуктес!нде киылысады. Кещстгктщ кез келген М нуктес! уш!н МО < <-±-(МА+МВ+МС±МП) тецдпт орындалатынын делелдецдер. 387 .М, N жене Р нуктелер! 6ip тузудщ бойында жатыр, ал О нуктес! бул тузудщ бойында жатпайды. Егер: а) МР = 2 MN', е) МР = PN',6) MP = k- MN болса, ОР векторын ОМ жене ON векторлары аркылы орнектецдер, мундагы k берьпген сан. 378 . р , а жене Ь векторлары, егер: а) бер!лген векторлардыц 6ipeyi нолдак вектор болса; е) берътген векторлардыц екеу! коллинеар болса, компланар векторлар болатынын делелдецдер. 379 .Айкас ек! тузудщ бойында: Ар А„ А3 жене Вр В.„ В3 уш нукте-ден белпленген жене А,А2 = &• А,А3 , ВХВУ =к - В,В . А,Вр А В?, A:JB3 тузулер! кандай да 6ip жазыктыкка параллель екешн делелдецдер. 390 .ABCDА ВjCjDj параллелепипед! берьтген, мундагы AB=AD=a, АА, = 2а. В} мен Dx тобелершде q заряды, ал А тобесшде 2q заряды орналаскан. a) А, нуктесшдег!; е) С нуктес!ндегг, б) A^CjDj жагыныц центр!ндегг, в) ABCD жагыныц центршдег! электр epiciniH корыткы кернеул!г!н!ц абсолют шамасын табыцдар. 3Q1.ABCD тетраэдр!нде К нуктес! - BCD жагыныц ВВХ медиана-сыньщ ортасы. АК векторын а = АВ , b = АС, с = AD век-торларына жштецдер. 392 . р = АВ > Q = AD > Г = ААХ уш компланар емес векторларга АВСВА1В1С1В1 параллелепипед! салынган. Параллелепипедтщ диагональдарынан курылган векторларды р, q жене Г векторлары бойынша жжтецдер. 393 .АВСОА1В1С1В1 параллелепипед!нде К нуктес! - ССХ кырыныц ортасы. а) АК векторын АВ , AD, ААХ векторлары бойынша; е) DAx векторын АВ, , ВС, , CDX векторлары бойынша жжтецдер. W&LABCDAXBXCXDX параллелепипедшщ DCCXDX жагыныц диагональдары N нуктесшде киылысады. AN векторын АВ » AD жене АА{ векторлары бойынша жштецдер. 395.Егер АВС мен AjB^, ушбурыштары медианаларыньщ киылы-
су нуктелер! беттессе, онда АА{, ВВ{ жене СС, тузулер! кандай да 6ip жазыктыкка параллель болатынын делелдендер. 396 .М нуктес! - ABCD тетраэдр!шн ВС кырынын ортасы. ВС> CD» DB жене DM векторларын Ь = АВ , с = АС жене 3 = AD векторлары аркылы орнектецдер. 397 .М жене N нуктелер! - ABCD тетраэдрпйц ADB мен BDC жактары медианаларынын сейкес!нше киылысу нуктелер!. MN\ |АС екешн делелдендер жене осы кес!нд!лер узындыкта-рыныц катынасын табыцдар. 398 .АВС, А^С, жене A2BJJ ушбурыштары А, В, С нуктелер! сойкесшше А,А9, Б' В~, САС2 кейндалерпод орталары болатын-дай орналаскан. АВС, А^В^С^ жене А2В9С9 ушбурыштары ме-дианаларыныц киылысу нуктелер! 6ip тузудщ бойында жататынын делелдендер. 399 .Тебелер! тетраэдрдщ бушр жактары медианаларынын киылысу нуктелер! болып табылатын ушбурыш тетраэдрдщ табанына уксас болатынын делелдендер.
11-сынып V т а р а у КЕЦ1СТ1КТЕГ1КООРДИНАТАЛАР ЭД1С1 § 1. НУКТЕНЩ ЖЭНЕ ВЕКТОРДЫЦ КООРДИНАТАЛАРЫ 42. Кешеиктей так бурышты координаталар жуйеск Егер кец!ст!кт!ц нуктес! аркылы езара перпендикуляр уш тузу жург!з!л!п, бул тузулерде багыт белг!ленсе (багыт тЬтшемен корсет!лед!) жене кесш/цт елшеу б!рл!г!* тандап алынса, онда кещстште ппкбррышты координаталар жуйес! бер!лген деп айтады (114-сурет). Багыттары тандап алынган тузулер координаталар осьтер! деп, ал олардын ортак нуктес! - координаталар басы деп аталады. Координаталар басы едетте О ертмен белйленед!. Координаталар осьтер! былай белйленедг. Ох, Оу, Oz жене олар: абсцис саларос!, ординаталарос!, аппликаталарос! деп аталады. Барлык координаталар жуйес! Oxyz деп белНленедь Сейкес Ох пен Оу, Оу пен Oz, Oz пен Ох координаталар осьтер! аркылы етет!н жазыктыктар координаталык; жазыкрпыкрпар деп аталады жене олар былай белгьленед!: Оху. Oyz, Ozx. О нуктес! координаталар осьтер!шн еркайсысын ек! сеулеге белед!. Багыты осьтщ багытымен беттесетш сеуле оцжартыось деп, ал толыктауыш сеуле mepic жартъюсь деп аталады. Тшбурышты координаталар жуиес!нде кещстштщ ep6ip М нуктесше уш сан сейкестенд!р!лед1, бул сандар онын координаталары деп аталады. Кещстжтег! нуктенщ координаталары жазыктыктагы нуктенщ координаталарын аныктаганымыз сиякты 114-сурет. 115-сурет. * Кесшдгш елшеу б!рл!гш тандап алганда epoip кесшдшщ узындыгы он санмен ернектелетшгн естерщгзге саламыз. Бул тарауда осы он санды кесшдшщ узындыгы деп тусшоьйз.
аныкталады. М нуктес! аркылы координата лар осьтерше перпендикуляр уш жазыктык жург!зш, бул жазыктыктардыц абсцисса-лар, ординаталар жане аппликаталар осьтер!мен киылысу нуктелерш ММ ер!птер!мен белг!лейм!з (115-сурет). М нуктесшщ GipiHini координатасы (ол М нуктесшщ абсциссасы деп аталады жене х оршмен белг!ленед!) былайша аныкталады: егер М нуктес! оц жартыосьтщ нуктес! болса, онда х = ОМ ; егер М нуктес! тер!с жартыосьтщ нуктес! болса, онда х = -ОМ^ егер МJ нуктес! О нуктесдмен беттессе, онда х= 0. Осы сиякты М нуктес! аркылы М нуктесшщ екшгш у координатасы (ординатасы), ал М нуктес! аркылы М нуктесшщ ушшш! z координатасы (аппликата-съО аныкталады. М нуктесшщ координата лары М ерпшен кешн жай жакшалардьщ imine жазылып керсетктедк М (х, у, z), мунда 6ipiHini абсцисса, екшш! ордината, ушшш! аппликата жазылады. 116-суретте А( 9; 5; 10), В(4; -3; 6), С(9; 0; 0), Г>(4; 0; 5), Е(0; 8; 0), F(0; 0; -3) нуктелер! кескшделген. Егер М (х; у; г) нуктес! координаталык жазыктыкта немесе ко-ординаталар осшде жатса, онда онын Keiioip координаталары нелге тец. Мысалы, егер М е Оху болса, онда М нуктесшщ аппли-катасы нелге тен: 2= 0. Осы сиякты, егер М е Oxz болса, онда у = 0, ал егер М е Оу2 болса, х = 0. Егер М е Ох болса, онда М нуктесшщ ординатасы мен аппликатасы нолге тец: у = 0 жоне 2=0 (мысалы, 116-суреттег! С нуктес!). Егер М е Оу болса, онда х = 0 жоне 2 = 0. Егер М е Oz болса, онда х = 0 жоне у = 0. Координаталар басынын барлык уш координаты да нолге тец: О (0; 0; 0). 43. Вектордыц координаталары. Кещстште тжбурышты Oxyz координаталар жуйесш алайык. Op6ip он жартыосьте координаталар басынан бастап б1рл1квекторлар, демек, узындыгы 6ipre тен векторлар салайык. Абсцисса лар осшщ бгрлпс векторын i аркылы, ординаталар осшщ б!рл!к векторын j аркылы, ал аппликаталар ос!нщ б!рл!к векторын k аркылы белгьтейш (117-сурет). / , ] , k векторлары координаталы^ векторлар деп аталады. Бул векторлардыц компланар болмайтыны акикат, сондыктан кез келген а векторын координаталык, векторлар бойынша ж1ктеуге болады, ягни
а = xi г /// + zk mypinde ернектеуге болады, мундагы, x. у. г жьктелу коэффициенттер! б1рмонд1 аныкталады. Координаталык векторлар бойынша а векторыныц жжтелушдег! х, у жоне г коэффициенттер! осы координаталар жуйес1нде а векторыныц координаталары деп аталады. а векторыныц коорди-наталарын вектор белпсшен кешн фигу-ралык жакшалар шнне жазамыз: а (х, у, 2). 118-суретте олшемдер! мынадай тж-бурышты параллелепипед кескшделген: ОА} = 2, ОА. = 3, ОАЛ = 5. Суретте кескшделген векторлардыц координата- лары: а {2; 3; 5}, b {2; 3; -1}, <2; 3; 118-сурег. 0}, i {1; 0; 0}, / {0; 1; 0), k {0; 0; 1}. Нелдш векторды 0=01 + 0] + 0ft турпще жазуга болатын-дыцтан, нолдж вектордьщ барлык координата лары нелге тец. Тец векторлардыцсойкескоординаталарыезаратец, ягни а {х^, у у, 2]} мен Ь {х9; у;, z2} векторлары тец болса, онда х, = х2, у1 = у2, z} = z2 (нелжтен екешн тусшд!р!цдер). Векторлардыц координаталары бойынша, олардыц косындысы -ныц, айырымыньщ жане вектордьщ берьтген санга кобейт1нд1сшщ координаталарын аныктайтын ережелер/ц карастырайык- 1 . Eki немесеодандакопвекторлардыццосындывекторыныцорб/р координатасы осы векторлардыц сайкес координаталарыныццосын-дысына тец. Баскаша айтканда, егер а {Хр уу> 2,} мен Ь {х„; у ; г.} - берътген векторлар болса, онда а + Ь векторыныц координаталары {х( + х;, у} + Уг’ 2i + болады. 2 . Ек1 вектордыц айырымыныцорб1р координатасы осы векторлардыц сайкес координа таларыны ц а йырымына тец. Баскаша айтканда, егер а {Хр z/(; zt} мен b {х;, у.?; 2.J берктген векторлар болса, онда а - Ь векторыныц координаталары {х1 - х9; ух - у.} z| - х2} болады. 3 . Вектордыц санга кебейпйндтпйц ерб1р координатасы вектор-дыцсейкескоординатасыныцсол санга кобейпйндтше тец. Баскаша айтканда, егер а {х: у; z} - берьтген вектор, ал а -берьпген сан болса, онда а векторыныц координаталары {</ х; <х у; а z} болады. 1-3 -тужырымдамалар жазыктыктагы векторлар унин долелдегешмгздей долелденедь Карастырылган ережечер координаталары белгьш берьлген векторлардыц алгебра лык косындысы туршде ернектелген кез келген
вектордыц координаталарын табуга мумкшдш береди Мысал карастырайык. Е с е п. Егер а {1; —2; 0}, Ь {0; 3; - 6}, с {- 2; 3; 1} болса, онда Р = 2а - & b 4- с векторыныц координаталарын табу керек. Ш е ш у i 3 -ереже бойынша 2 а векторыныц координаталары {2; -4; 0}, ал b ) векторыныц координаталары {0; -1; 2} бола-3 1 - ды. Р = (2 а ) 4- (- — 6)4- с болгандыктан, оныц {х; у; г} координаталары 1 -ереже бойынша былайша есептеледи х = 24-0-2 = 0, г/=-4-14-3 = -2, 2 = 04-24-1 = 3. Сонымен, Р векторыныц координаталары {0; - 2; 3}. 44. Вектордыц жоне нуктешц координаталарыныц арасындагы байланыс. Соцы берилген нуктемен, ал басы координаталар басымен беттесетш вектор берилген нуктенщ радиус векторы деп аталады. Кез келгеннуктешц координаталарыоныцрадиус векторы ныцсойкескоординаталарына тец болатынын долелдешк. Берилген М нуктесшщ координаталарын (х. у, z) деп белгллешк. М нуктес! аркылы ететш жене координаталык осьтерге перпендикуляр жазыктыктардьщ осы осьтермен киылысу нуктелер!: Мр М2, М3 болсын (119-сурет). Сонда ОМ = ом, + ОМ, + ОМ, • (2) ОМх = XI болатынын далелдешк. Шынында да егер М1 нуктес! абсциссалардьщ оц жарты осшде жатса (119-суретте керсеталгендей), онда ОМ мен I багыттас болады. Сондыктан ОМ = ОМ • I = xi . Егер Mj нуктес! абсциссалардьщ Tepic жартыосшде жатса, онда х = -ОМ , ал ОМ жене i векторлары карама-карсы багытталады. Олай болса, ОМ х = -ОМХ • { = xi . Акырында, егер М1 нуктес! О нуктес!мен беттессе, онда х = 0, ОМ, = 0. Сондыктан xi = 0 болады да, ОМ' = x'i тещцг! орындалады. Сонымен, кез келген жагдайда ОМ { = xi • ОМ2 = У ] > ОМ, - k тецджтер! де осы сиякты делелденедк 119-сурет. 120-сурет.
Бул ернектер/ц (2) тещцкке коиып, мынаны аламыз: ОМ = х [ + у ] + 2 k . Будан, ОМ векторынын координаталары {х; у; 2} болатыны шыгады, ягни М нуктесшщ координаталары онын ОМ радиус-векторынын сейкес координаталарына тен. Делелдеу Keperi осы болатын. Делелденген тужырымдаманы паидаланып, АВ векторынын координата ла рын онын А басынын жене В сонынын координаталары аркылы ернектешк. А нуктесшщ координаталары (х^ ух\ г,), ал В нуктесшщ координаталары (х,; у ; г2) болсын. АВ векторы ОВ мен О А векторларынын айырымына тен (120-сурет), сондыктан онын координаталары ОВ мен О А векторларынын сейкес ко-ординаталарыныц айырымына тен. Ал ОВ жене О А векторынын координаталары В жене А нуктелер!нщ сейкес координаталары -мен б!рдей: ОВ {х2; у2; z2}, О А {*/, Уд 2^. Сондыктан, АВ векторынын координаталары {х2 - хр у> - у р 2, - 2Г} болады. Сонымен, вектордыц ep6ip координатасы онын, басы мен соцыныц сейкес координаталарыныц айырымына тец. 45. Координаталарга байланысты жай есептер. а) К е с i н д i ортасы ныц координаталары. Оху 2 координаталар жуйесшде координаталары (х^ у ; болатын А нуктесш жене координаталары (х9; у ; г2) болатын В нуктесш белплейш. АВ кесшдклнщ ортасы - С нуктесшщ координаталарын кесшда уштарыныц координаталары аркылы ернектешк (121-сурет). С нуктес! - АВ кес!шпс!нщ ортасы болгандыктан, ОС= V (ОА + ОВ)- (1) (Бул тенджтщ акикаттыгы планиметрия курсында делелден-ген.) ОС » О А жене ОВ векторларынын координаталары С, А жене В нуктелершщ сейкес координаталарына тец: ОС {х; у: 2} ОА { х/, Ур ОВ {х2; Уд 29}. (1) тещцкт! координаталар аркылы жазып, мынаны аламыз: (2) Сонымен, KeciHdi ортасыныцорб1р координатасы оныц уштарыныц сейкес координаталары цосындысыныц жартысыла тец. е) Вектордыц узындыгын онын координаталары бойынша есептеу.а {х; у; 2} векторынын узындыгы
121-сурет. 122-сурет. 123-сурет. |й| = ^х2 + у2 +z2 (3) формуласымен есептелетппн далелдешк. Координаталар осьтершде од = х[ , од = У] > ОА = 2k 1^3 векторларын салып, ОА = ОА + ОА +ОА = х[ + у j + 2/? = а 1^3 векторын карастырайык (122-сурет). ОА векторынын узындыгы ОА1 » ОА2 9 ОА3 векторларыныц узындыктары аркылы былайша орнектеледк \6а\ = ^\ОАХ\2 +\ОА2\2 +\ОА3\2 - (4) Шынында да, егер А нуктес! координаталык жазыктыктарда жатпаса (122-сурет), онда (4) тецдш т!кбурышты параллелепипед диагоналыныц касиет! бойынша дурыс: ОА2 = О А2 + ОА + О А2. А нуктес! орналасуыныц баска барлык жагдайында (А нуктес! координаталык жазыктыкта немесе координаталык осьтер бойында жатса) (4) тещцк орындалады (бул жагдайларды оз беттерщше карастырыцдар). I OA.-I = I Xi' | = | х I, \ ОА, I = I У I, I ОА, I = I 2 I жане ОА = й болгандыктан, (4) тещцктен (3) формуланы аламыз: Iа\ = ^|х|2 -ь|г/Г +|z|2 = + у2 +z2 . б) Е к! н у к т е н i н ара к а ш ы к т ы г ы. Кандай да 6ip ек! нуктен!: координаталары (х,; ух; zx) болатын Мх жене координаталары (х2; у2; z2) болатын М2 нуктесш карастырайык (123-сурет). Мх мен М2 нуктелер!нщ ара кашыктыгын олардын координаталары аркылы ернектешк. Осы максатта МХМ2 векторын карастырамыз. Онын координаталары {х2 - xt; у2 - ух, z2 - zj. Олай болса, (3) формула бойынша I м 2 I = ^(х2 -х,)2 +(г/2 --У. )2 +(22 - г,)2 . Ал d = | М^М2
Осылай Af1 (%; у}\ ?,) мен М (х;, у.,; г) нуктелершщ ара цашыц тигы d = у[(х2 -х,)2 +(у2 - у,)2 +(г2 -z,)2 формула сы бойынша есептеледъ . (5) CYPAKTAP ЖОНЕ ЕСЕПТЕР 400.А (3; -1; 0), В(0; 0; -7), С (2; 0; 0), В(-4; 0; 3), Е(0; -1; 0), F(1; 2; 3), G(0; 5; -7), Н(-^5~; л/3~; 0) нуктелер! бер!лген. Бул нуктелердщ кайсысы: а) абсциссалар осшде; а) ординаталар осянде; б) аппликаталар осшде; в) Оху жазыктыгында; г) Оху жазыктыгында; д) Охг жазыктыгында жатады? 401.А (2; -3; 5), В (3; -5; -у), С (- ; VF - у[3 ) нуктелер!нщ: а) Охг, Оху жоне Oyz жазыктыктарындагы; е) Ох, Оу жене Oz осьтершдей проекцияларыньщ координата ларын табыцдар. 4O2 .ABCDA[BlC D кубыньщ терт тебесшщ координаталары берьлген: А(0; и; 0), В(0; 0; 1), 0(0; 1; 0) жане A, (1; 0; 0). Куб-тын калган тебелер!шц координаталарын табыцдар. 4ОЗ .Келес! векторлардьщ координаталарын жазыцдар: а =3 Г + 2 / --5 k > Ь> = -5 i +3 j - k , с = i - j , d = J + k , ni = k -1 , n =0,7 k . 404 . a {5; -1; 2}, 6 {-3; -1; 0}, c {0; -1; 0}, d {0; 0; 0} векторлары бер!лген. Бул векторларды координата лык Г, /, k векторлары бойынша жштеп жазыцдар. 405 .124-суретте тшбурышты параллелепипед кесюнделген: ОА = 4, ОВ = 6, ОО} = 5. ОА, , ОВ} , ОО, , ОС, ОС, , ВС, , АС,, О,С векторлары координаталарын Оxyz координаталар жуйес!нде табыцдар. 4О6.Ею вектордыц косындысыныц (айырымыныц) ep6ip координа-тасы осы векторлардьщ сойкес координаталарыныц косындысына (айырымына) тец болатынын де лелдендер. 407. а (3; -5; 2}, b {0; 7; -1} с {-7; 0; 0} жене d { -2,7; 3,1; 0,5} векторлары берьлген. а) а +ь ; е) а + с ; б) ь + с\ в) d + б; в) d + b; г) d + а ; д) а + Ь + с ; е) b + а + d; ж) а + ъ + с + d векторларыныц координаталарын табыцдар. 408.125-сурет бойынша, егер ОА = 3, ОВ = 7, ОС = 2, ал Mf N, Р нуктелер! - АС. ОС. СВ кабырга- 124-сурет.
с 125-сурет. ларыныц орталары болса, онда АС, СВ, АВ , MN, NP, ВМ , ОМ, ОР векторларынын координаталарын табындар. 409.5{5;-1;1};е) ь {-2; 1; 0}; ё {0; 0,2; 0} жене d{-^-;24;- — 1 векторлары берьтген. а) а - Ь ; о) Ь• - а ; б) а - с ; в) d - а ; г) с - d; г) а - b + С ; д) а - Ь - с ; е) 2 а ; ж) -3 Ь ; з) -6 с ; и) - -у d ', к) 0,2 Ъ векторларынын координаталарын табындар. 410. а {- 1; 2; 0}, Ь {0; - 5; - 2} жане с {2; 1; -3} векторлары берглген. Р = Зь - 2а+с жене Я= Зс - 2ъ + а векторларынын координаталарын табындар. 411. а {- 1; 1; 1}, Ь {0; 2; - 2}, с {- 3; 2; 0} жене d {-2; 1; -2} векторлары берьлген. а) 3 й + 2ь - с ; е) - й + 2 с - d; б) 0,1 а + 3Ь + +0,7 с -§d \ в) (2 й + 3 £) - (а - 2 Ь ) + 2 (й -Ь) векторларынын координаталарын табындар. 412.1, j, k , а {2; 0; 0}, Ь {-3; 5; -7}, с {-0,3; 0; 1,75} векторларына карама-карсы векторлардын координаталарын табындар. 413.Векторлар жубы коллинеар бола ма: а) а (3; 6; 8} мен Ь {6; 12; 16}; е) с {1; - 1; 3} мен d { 2; 3; 15}; б) [ {1; 0; 0} мен / {0; 1; 0} в) in {0; 0; 0} мен п {5; 7; -3}; г) Р , -1; 5} мен q {-1; -3; -15}? Ш е ш у i. а) а {3; 6; 8} векторынын координаталары Ь {6; 12; 16} векторынын координаталарына пропорционал: -у = = ~~ = =k, мунда k = Осы себепт! d= kb , олай болса, а мен ь векторлары коллинеар. е) с {1; - 1; 3} векторынын координаталары d {2; 3; 15} векторы- 1 1 нын координаталарына пропорционал емес, меселен ~ ~. Z о Сондыктан, с мен d векторлары коллинеар емес. Шынында да, егер с мен d векторлары коллинеар деп уйгарсак, онда k саны
табылып, с = kd тецдпт. орындалар еда. Бул жагдайда с векторыныц координаталары d векторыныц координаталарына пропорциона л, ал бул есептщ шартына кайшы. 414.Келес! векторлар жубы коллинеар болатындай т мен п ша-маларыныц мендерш табындар: а) а {15; т; 1} мен ь {18; 12; п}; о) с 0,4; -1} мен d { -у; п\ 5}. 415.Векторлар компланар ма: а) а {-3; -3; 0}, i жене ]; о) Ь {2; 0; -3}, [ жене j; б) с {1; 0; -2}; Г жене k ; в) d {1; -1; 2}, ё {-2; 0; 1} жене f {5; -1; 0}; г) т. {1; 0; 2}, п {1; 1; -1} жене Р {-1; 2; 4}; f) q {0; 5; 3}, г {3; 3; 3} жене s {1; 1; 4}? Ш е ш у i. в) d {1; -1; 2} мен ё {-2; 0; 1} векторлары коллинеар емес, себеб! 6ipeyiffiH координаталары екшшкжц координаталарына пропорционал емес. Егер f {5; -1; 0} векторы d мен ё векторлары бойынша жхктелетш болса, онда d, ё жене / векторлары компланар. Егер f векторы d мен f векторлары компланар емес (Kepi жагдайда f векторын d жене ё векторлары бойынша жштеуге болар еда). Сонымен, есепт! шешу ушш f векторын d мен ё векторлары бойынша жштеу-ге бола ма, ягни х, у сандары табылып, f = xd + у ё тецдаг! орындала ма, мше осыны аныктауымыз керек. Соцгы тецдакт! координаталар аркылы жазамыз: 5 = x- 2z/;-l = -х; 0 = 2х + у. Егер бул тецдеулер жуйесппц х пен £/-ке катысты ineiniMi болса, онда f векторын d мен ё векторлары бойынша ж!ктеуге болады; ал егер шенйм! болмаса, онда f векторын d мен ё векторлары бойынша ж!ктеуге болмайды. дарастырылып отырган жагдайда жуйешц шенпм! бар: х= 1, у = -2. Сондыктан, f векторын d мен ё векторлары бойынша жгктеуге болады, олай болса, d, ё жене f векторлары компланар. 416.оа{3; 2; 1}, QB {1; — 3; 5} жене ОС 0,75;-2-^-} векторла-ры бер!лген. Егер О нуктес! координаталар жуйес!шц басы болса, онда А, В жене С нуктелерппц координаталары кандай? 417.А (2; -3; 0), В (7; -12; 18) жене С (-8; 0; 5) нуктелер! бер!л-ген. Егер О нуктес! координаталар жуйесшщ басы болса, онда ОА, ОВ жене ОС векторларыныц координаталарын табывдар. 418.Егер: а) А(3;-1; 2); В(2;-1; 4); е) А(-2; 6;-2), В(3;-1; 0); 5 1 111 —* б) А(1; —; —), В ( —, —, —) болса, онда АВ векторынын о z 2 3 4 координаталары неге тец? 419.АВС ушбурышы тебелерппц координаталары: А(1; 6; 2), В (2; 3; -1), С(-3; 4; 5). АВ , ВС жене СА векторларын f , /, k координаталык векторлары бойынша ж!ктецдер. 5 - 458 I Н
42О.А(3; -1; 5), В (2; 3; -4), С (7; 0; -1) жоне В(8; -4; 8) нуктелер! берьлген. АВ мен ВС векторлары тец болатынын делелдендер- ВС мен AD векторлары озара тец бе? 421.Егер: а) А(3; -7; 8), В (-5; 4; 1),С(27; -40; 29); а) А(- 5; 7; 12), В(4; -8; 3), С(13; - 23; -6); б) А(-4; 8; -2), В(-3; -1; 7), С (-2; -10; -16) болса, онда А, В жене С нуктелер! 6ip тузудщ бойында жата ма? Ш е ш у i. а) Егер АВ мен АС векторлары коллинеар болса, онда А. В жене С нуктелер! 6ip тузудщ бойында жатады, ал егер коллинеар болмаса, онда А, В жене С нуктелер! 6ip тузудщ бойында жатпайды. Осы векторлардьщ координаталарын табайык: АВ {-8; И; -7}, АС {24 -33; 21}. АС = -3 АВ екеш айкын, сондыктан АВ мен АС векторлары коллинеар, олай болса, А, В жене С нуктелер! 6ip тузудщ бойында жатады. 422.Егер: а) А (-2; -13; 3), В(1; 4; 1), С(-1;-1;-4), В(0;0;0); е) А (0; 1; 0), В (3; 4; -1), С (-2; -3; 0), D(2; 0; 3); б) А (5; -1; 0), В (-2; 7; 1), С(12; -15; -7), В(1; 1; -2) болса, онда А, Б. С жене D нуктелер! 6ip жазыктыкта жата ма? 423 .Тебелер! А(хл\ у{; 2}), В (х2; у.;, з2), С (х.}; у:{; 23), нуктелершдег! AJ3C ушбурышы медианаларынын киылысу нуктесшщ координаталары болатынын делелдендер. 424 .Мнуктес! - АВкеспшсшщ ортасы. Егер: а) А(0; 3; -4), В (-2; 2; 0) болса, онда М нуктесшщ; в) А(14; -8; 5), 7И(3; -2; -7) болса, онда В нуктесшщ; б) В(0; 0; 2), М (-12; 4; 15) болса, онда А нуктес!шн координаталарын табыцдар. 425 .АВ кесшдклшн ортасы Ох осше ттсть Егер а) А (-3; т\ 5), В (2; -2; л);е) А(1; 0,5; -4), В(1; 2л);б) А(0; т\ п+1), В(1; п\ -???+1); в) А (7; 2п?+п, -л), В (-5; -3; пг-З) болса, онда т мен л-ныц мендерш табыцдар. 4 26.Егер: а) А(-1; 0; 2), В(1; -2; 3), о) А(-35; -17; 20), В (-34; -5; 8) болса, онда АВ векторыныц узындыгы неге тен? 427 . а {5; -1; 7}, ъ {2 д/з"; -6; 1}, с = i + j + k , d = -2 k , rh = i - 2 j векторларыныц узындыктарын есептецдер. 428 . я {3; -2; 1}, Ь {-2; 3; 1} жене с {-3; 2; 1} векторлары бер!лген. а) I а + Я; е) I а | + | 6 I; б) | а | - | b I; в) | а - Ь I; г) | 3 с |; f) 71Г I с I; д) 12 а — 3 с шамаларын есептецдер. 429 .М(-4; 7; о) мен N(0; -1; 2) нуктелер! берьчген. Координаталар жуйесшщ басынан MN кесвдшшц ортасына дейшг! ара кашыктыкты табыцдар. /
43О.А("“; 1; -2), В (2; 2; -3) жане С (2; 0; -1) нуктелер! бершген АВС ушбурышынын: а) периметрш; о) медиа на ларыныц узындыктарын табындар. 431.Егер: а) А(9; 3; -5), В(2; 10; -5), С (2; 3; 2); о) А(3; 7; -4), В(5; -3; 2), С (1; 3; -10); б) А (5; -5; -1), В (5; -3; -1), С (4; -3; 0); в) А(-5; 2; 0), В(-4; 3; 0), С(-5; 2; -2) болса, онда АВС ушбурышы туралы не айтуга болады (тенкабыргалы, т!к-бурышты, т.с.с.)? 432.А(-3; 4; -4) нуктесшен: а) координаталык жазыктыктарга; е) координаталар осьтерше дешнг! кашыктыкты табындар. 433.Координаталык жазыктыктардьщ еркайсысынан А(-1; 2; -3) нуктесшен осы координаталык жазыктыктын баска барлык нуктелерше Караганда ара кашыктыгы ец жакын нуктеш табындар. 434.Координаталык осьтерд!ц еркайсысынан В (3; -4; VF ) нуктесшен осы осьтщ барлык баска нуктелерше Караганда ара кашыктыгы ен жакын нуктеш табындар. 435.А(1; 0; k), В(-1; 2; 3) жене С(0; 0; 1) нуктелер! бер!лген. fe-ныц кандай мешнде АВС ушбурышы тецбушрл! болады? 436.А(4; 4; 0), В (0; 0; 0), С (0; 3; 4) жене 0(1; 4; 4) нуктелер! бер!лген. ABCD тертбурышы тецбушрл! трапеция болатынын делелдецдер. 437.А (-2; 3; 5) мен В(3; 2; -3) нуктелершен б!рдей кашыктыкта орналаскан жене: а) Ох; е) Оу, б) Oz осшде жататын нуктелер/ц табыцдар. 438.А(-Г, 2; 3), В (-2; 1; 2), С(0; -1; 1) нуктелер! берьлген. Осы нуктелерден б!рдей кашыктыкта жене: а) Оху, е) Oyz; б) Ozx координаталык жазыктыктарында жататын нуктелерд! табыцдар. 439.0 (0; 0; 0), А (4; 0; 0), В (0; 6; 0), 0(0; 0; -2) нуктелер! берглген. а) АОВ ушбурышына сырттай сызылган шецбердац радиусы мен центр!н!ц координаталарын табындар. е) ОАВС тетраэдршщ тебелершен б!рдей кашыктыкта орналаскан нуктешц координаталарын табындар. 440.Узындыгы т болатын CD кес!нд!с! катеттер! АС = Ь, СВ = а, АВС ушбурышынын жазыктыгына перпендикуляр. Ыцгайлы координаталар жуйесш енг!зш, ек! нуктешц ара кашыктыгы формуласын пайдаланып, D нуктесшен АВС ушбурышы гипо-тенузасынын ортасына дешнг! ара кашыктыкты табыцдар. § 2. ВЕКТОРЛАРДЫЦ СКАЛЯРЛЫЦ КОБЕЙТ1НД1С1 46. Векторлардыц арасындагы бурыш. Кандай да 6ip ек! а мен b векторларын алайык. Кайсыб!р О нуктесшен О А = а , ОВ = b векторларын саламыз. Егер а мен b векторлары багыттас болмаса, онда О А мен ОВ сеулелер! АОВ бурышын курайды (126-сурет). Бул
бурыштыц градустык олшемш а аркылы белплеп, а мен Ь вектор ларыныц арасындагы бурыш и-F& деп айтамыз. Егер а мен ь векторлары багыттас жене дербес жагдайда бул векторлардыц 6ipi нолдтк немесе екеу! де нолддк вектор болса, онда олардыц арасындагы бурышты 0 -ка тец деп есептеймгз. Егер векторлардыц арасындагы бурыш 90 -ка тец болса, онда мундай векторлар перпендикуляр деп аталады. а жене Ь векторларыныц арасындагы бурыш былай белйленедк ab. 127-суретте б!рнеше вектор кескшделген. Олардыц а _л л_ л арасындагы бурыштар: ab = 30 , ас = 120 , бс = 90 , d f = V , de = =180 >. Суретте b ±c , bid, b if - 47. Векторлардыц скалярлыц кобемтшд1с1. Ек1 вектордьщ скалярлыц кобейт1нд1с1 деп осы векторлар узындыцтарыныц олардъщ арасындагы бурыштыц косинусына квбештндйлн айтамыз. а мен Ь векторларыныц скалярлык кобейтшдкл ab деп белНленедк Сонымен, ab = | а I • IЬ I • cos (ab ). Планиметриядагы сиякты келес! гпюрлер дурыс: нолд1к вектордан озгеше векторлардыц скалярлыц кебейт1нд1с1 нолге тец болуы уш1н, бул векторлардыц перпендикуляр болуы цажетпй де жеткшктц вектордыц скалярлыц квадраты (ягни вектордыц ез1не скаляр кобейт1нд1с1 )оныцузындыгыныцквадратына тец. Бул шюрлер/ц озбеттерщше далелдендер. Векторлардыц координаталарын б!ле отырып, бул вектор лардыцскалярлыц кобейтшд1с1н есептеуге болады; а {х/, i/,; zx} мен b {х2; у векторларыныц скалярлык кебейтшдш! ab = х^х + + уху, -F формуласымен ернектелед!. Бул rriKip планиметриядагыдай долелденедъ а {Хр yyf b {х2; у2; z2} векторларыныц арасындагы </. бурышы
Шынында да, ab = |а| |6 I cos а болган- - . Мундагы ab , | а | дыктан, cos и. = . мундагы ао , |а | жене | Ь I шамаларын а , Ь векторларыныц координаталары аркылы ернектеп, (1) фср- 128-сурет. муланы аламыз. Векторлардьщ скал ярлык кобейтшдшшщ nerisri касиеттерш тужырымдайык. Кез келген а , Ъ , с векторлары мен k саны ушш мына тещцктер орындалады: 1 . а а 0 болса, а > 0, онда а 2 > 0. 2 . ab = Ьа (орынауыстырымдылыцзацы). 3 . (а + £?) • с = ас + Ьс (улест 1р1м.дийк зацы). 4 . k(ab ) = (ka) Ь (тер1мдшкзацы). 1 -4 -шюрлер планиметриядагы делелденгендей делелденедк Улест1р1мд1лж зацын косылгыштардыц кез келген санында делелдеу киын емес. Меселен, (a + b + с )d = a b а + с d (458-есепт! карацдар). 48. Тузулер мен жазыктыктар арасындагы бурыштарды есептеу. Ею тузудщ арасындагы бурышты, сол сиякты тузу мен жазыктыктын арасындагы бурышты есептеу уппн eni вектордын скалярлык кобейтшдшш пайдалану колайлы. Мундайда есептерда карастырмас бурын, тузудщ багыттаушы векторы угымын енпзешк. Егер нолд1к емес вектор а тузушде немесе а тузуше параллель ту зуде жатса. онда ол а тузу1нщ багыттаушы векторы деп аталады. 128-суреттеп АВ векторы - а т.узушщ багыттаушы векторы. 1-е се п. Егерек1 тузудщбагыттаушывекторларыныцкоординаталары белгйй болса, ек! тузудщ (циылысатын не болмаса айцаса тын) арасындагы бурышты есептеп табу керек. Ш е ш у i. //,; 2,} мен Q'{х9; у2; г2} векторлары а мен b тузулершщ багыттаушы векторларьГбопсын. Бул тузулердщ арасындагы 1здел1нд1 бурышты <р аркылы белгглейж. Есепт! шешу уппн cos <р-д1 тапсак жеткклжт!, себеб! cos <р<р бурышын табуга мумющцк бередъ 0 = pq белНлеуш ештзем1з. Сонда, егер о < 90 болса, онда <р = о (129, а-сурет) немесе егер о > 90 болса, онда <р = 180 —0(129, б-сурет). Сондыктан не cos <р = cos о, не cos <р = - cos о. Сонымен | cos <р | = =| cos о , ал <р s 90 болса, онда <р > 0, олай болса cos <р = |cos о |. 4 7-пункттегт (1) формуланы пайдаланып, алатынымыз: 2 - е се п. Егер тузудщ багыттаушы векторы мен жазыцтыцца
a) 6) 129-сурет. перпендикуляр нелд1к емес вектордыц координаталары белгии болса, тузу мен жазыцтыцтыц арасындагы бурышты табу керек. Ш е ш у i. Р {хр z/p Zj) - а тузуппн багыттаушы векторы, ал и {х„ у2, г2} а жазыктыгына перпендикуляр нолдцк емес вектор болсын. Бул п векторы жататын тузу а жазыктыгына перпендикуляр болатынын бгщцредь а тузу! мен а жазыктыгыныц арасындагы 1здел1щц бурышты <р аркылы, ал Р, п векторларынын арасындагы бурышты о аркылы белылешк. 130-суретт! пайдаланып, sin <р = | cos е тецднтн дэлелдеу оцай. Сондыктан sin <р ушш де (2) тендактщ он жагындагыдай ернек алынады. sin <р белхтл! болганда <р < 90 тенс!здшш ескерш, <р бурышын та бу га болады. ЕСЕПТЕР 441.ABCDA1B1C1jD1 кубы беркчген. а) BJB мен ВХС ; о) DA мен BiDi ;б) АД мен А, В; в) ВС мен АС;г) ВВ{ мен АС; г) ВХС мен AD(’> Д) AXDX мен ВС\^) ААХ мен q^q векторларынын арасындагы бурышты есептендер. 130-сурет.
442. АВ мен CD векторларыныц арасындагы бурыш <р-ге тец. >Л-> —>л —> —>л -> BA DC , BA CD , АВ DC бурыштарын есептендер. 443 .ЛВС DA}B {С ,D { кубыныц кыры а-га тен, ал С\ нуктес! -AlBlClDl жагынын центр!, a) AD мен В/\ ; в) АС мен с\А, » б) D,B мен АС; в) ВА, мен ВС, ; г) А^ мен А,С, ; г) D,O, мен В1О] ; д) ВО, мен С^В векторларыныц скалярлык кобейт!нд!сш есептендер. 444 . а {1; -1; 2}, Ь {-1; 1; 1} жоне с {5; 6; 2} векторлары берьлген. Есептендер: ас , db , be , dd, Jblb • 445 . d =3? -5y+fe мен b=j-5k векторлары берьтген. a) db ; е) di ; б) bj ; в) (й + £ )k ; г) (а -2 b ) (k +1 -2 ] ) скалярлык кобейтшдьтерш есептендер. 446 . а {3; -1; 1}, Ь {-5; 1; 0} жене с {-1; -2; 1} векторлары берьлген. а) а мен Ь ; е) Ь мен с ; б) а мен с векторларыныц арасындагы бурыштар кандай (сушр ме, т!к пе елде догал ма)? - л- 447 . а {3; -5; 0} векторы берьтген. a) di < 90 ; н) dj > 90 ; б) dk = 90 болатынын делелдецдер. 448 . а {-1; 2; 3} мен Ь {5; х; - 1} векторлары берьтген. х-тщ кандай мендершде: a) ab = 3; е) db = -1; б) d _1_ Ь шарты орындалады? 449 . а = mi + 3 J + 4 k , b = 4i 4- mj -7k векторлары берьтген. т-ныц кандай мендершде а мен Ь векторлары перпендикуляр? 450 .А (0; 1; 2), В(ДГ; 1; 2), С(ДГ; 2; 1), £>(0; 2; 1) нуктелер! берьтген. ABCD - квадрат болатынын делелдецдер. 451 .а) а {2; - 2; 0} мен Ь {3; 0; -3}; е) а { ^2"; -/2”; 2} мен ь {-3; -3; 0}; б) d {0; 5; 0} мен Ь {0; - у[з ; 1}; в) а {-2,5; -2,5; 0} мен Ь {-5; 5; д/Т -\/2~ 5 ДГ}; г) а {- V2*; - V2-; -2} мен Ъ {——; ; -1} векторла- рыныц арасындагы бурышты есептендер. 452 .Координаталык векторлар мен а {2; 1; 2} векторыныц арасындагы бурышты есептендер. 453 .А(1; 3; 0), В(2; 3; -1), С(1; 2; -1) нуктелер! берьтген. СА мен СВ векторларыныц арасындагы бурышты есептендер. 454 .Тобелер! А(1; -1; 3), Z)(3; -1; 1) жоне С(-1; 1; 3) нуктелер! болатын ушбурыштьщ бурыштарын, периметрш жене ауданын табындар. у ) 455 .ABCDA|BiCiD1 кубы бер!лген: а) ААХ мен АС, ; о) BD, мен DB, ; б) DB мен ACt векторларыныц арасындагы бурышты есептендер. 456 .Т!кбурышты ABCDA^C^D, параллелепипеданде АВ = 1, ВС =
= СС = 2. DBV мен ВС1 векторларынын арасындагы бурышты есептецдер. 457.1 а I = 1, 1^ I = Id I = 2. ас = Ьс = 60. (d + 6)c скалярлык кебейтшдклн есептецдер. л_ 458.( а 4- Ь' + с ) d = ad + bd + cd тецдплн делелдецдер. Ш е ш у i. а , b жене с векторларынын косындысын мына тур де жазамыз: а + 6 + с =(5+Ь)+с. Векторлардыц скалярлык кобейт!нд!с!н!ц улест!р!мд!л!к занын пайдаланып, мынаны аламыз: (а_+ b + c)d = ((й 4- b) 4- с )d = (a+b)d + c d = d d + + b d 4- c d • A 459.0 мен b векторлары с векторына перпендикуляр жене ab = = 120, |31 = \b• I = |c | = 1. a) (d 4-6 + c ) (2 b ) мен (a + b 4- с )(5 - c ) скалярлык кобейтшдыерш; a) d -6 I мен d+b-c шамасын есептецдер. 46О.Т!кбурышты координаталар жуйесшде нелдак емес вектордыц координаталары: { |й cos фр |й cos <р,; й| cos <р3} болатынын делелдецдер, мундагы <р, = а Ь<р2 = а j » <Р3 = ak- Ш е ш у i. Егер d векторынын координаталары {.г, у, г} болса, онда d = Xi + у j 4- i. Бул тенджт! f векторына скалярлык кобейтш жене скалярлык кобейтпццшц касиетш пай-далансак, мынаны аламыз: d [ = (xi 4- у j + zk) i = x(i i ) + у (] i ) 4- +z( k l ) Ал I i = 1, / f = 0, k T = 0 болгандыктан, d i = x. Сонымен 6ipre, скалярлык кобейтшдшщ аныктамасы бойынша d i = | а | • 111 cos <р t = | а I cos <р г Олай болса, х= | d I cos <рг Осы сиякты у = | d | cos <р2, z = | d cos<p3 тещцктерш аламыз. 461.ASCD тетраэдршщ барлык кырлары озара тец. AD мен ВС кырларынын орталары - М мен N нуктелер!. MN AD^MN BC=Q болатынын делелдецдер. №2.ABCDA{Bх параллелепипедшде: AAt = АВ + AD = 1, ADAB = 60 , aA'AD = ^AtAB = 90 . a) BA‘D^Ct>^ ВС, 'D^B> е) AC, • AC, \^\DB, l’>г) I A,C I; F)c°sI |;д)cos|DB, । ернектерш есептецдер. 463.A5CD тетраэдршде AD мен ВС, сол сиякты BD мен АС карсы кырлары озара перпендикуляр. CD мен АВ карсылас жаткан кырлары да перпендикуляр болатынын делелдецдер. Ш е ш у i. DA = d , DB = b , DC = d векторларын енг!зем!з (131-сурет). Сонда АВ = b - а , АС = с - а , ВС = с - 6 . Есептщ шарты бойынша AD1BC жене BD1AC, сондыктан Й1(с -Ь ) жене Ь 1(с - а). Олай болса, d (с - Ь ) = 0 жене Ь (с - а) = 0. Будан d с = а Ь жене Ь> с = Ь а . Бул ек! тецщктен а с = Ь с не-
131-сурет. 132-сурет. месе (ъ - а) с = 0. Ал Ь -а = АВ , с = DC , сондыктан АВ DC = 0, осы себепт! ABiDC, долелдеу керегт де осы болатын. 464.Егер а) А(3; -2; 4), В (4; -1; 2), С (6; -3; 2), В (7; -3; 1); о) А (5; 8; -1), В (6; -8; -2), С (7; -5; - И), D(7; -7; -9); б) А(1; 0; 2), В (2; 1; 0), С (0; -2; -4), D (-2; -4; 0); в) А (-6; -15; 7), В (-7; -15; 8), С (14; -10; 9), D(14; -10; 7) болса, онда АВ жоне CD тузулер!шц арасындагы бурыш неге тец? 46б.Дурыс ушбурышты ABCA[BlCi призмасы берьлген. AAt= у[2 АВ (132, а-сурет). АС} мен А{В тузулер!нщ арасындагы бурышты есептецдер. Ш е ш у i. АВ= а болсын, онда AA=j2a . 132, б-суретте корсетьлгендей, тшбурышты координаталар жуйесш ешлзем!з. А, В, Ар С{ тобелерппц координаталары: А ( \ 0), а 3 В(0; а; 0), А, (——; —; аДГ ), С, (0; 0; аДГ ) (нуктелердщ координаталары не себепт! осындаи болатынын тус!шцр1цдер). Будан дс, мен В А векторларыныц координаталарын таба- —> (J- у] 3 (2 -- —> Q. у/ 3 -- мыз: АС. —Г>а\12 } жоне ВА. {-~\ }- АСУ мен BAj векторлары АС мен А{В тузулернпц багыттаушы векторлары болып табылады. 1зделшд1 <р бурышын (2) формула бойынша есептеуге болады: COS <р — 3 2 I 2 2 - —а + —а + 2а 4 4 12 2 + —а + 2а 4 3 2 1 2 о 2 — а + — а + 2а 4 4 1 , оудан = 60’.
46G.ABCDABlCiDl кубында N нуктес! AA} кырында жатыр жене AN : AAj = 3 : 1, ал М нуктес! - ВС кырыныц ортасы. a) MN мен DD}\ a) MN мен BD-, б) MN мен BJD-, в) MN мен АХС тузулер!шц арасындагы бурыштыц косинусын табыцдар. 467.Т!кбурышты АВСЛА1В1С1Л1 параллелепипедшде АВ = ВС = = AAr a) BD мен CDX\е) АС мен АС1 тузулершщ арасындагы бурышты табыцдар. 468.Т!кбурышты ABCDABC D} параллелепипе/цнде АВ = 1, ВС = 2, ВВр = 3. а) АС мен Дв; э) АВ{ мен ВС/, б) A{D жене АС{ тузулер!нщ арасындагы бурыштыц косинусын есептеп табыцдар. 4GQ.ABCDAlB[CxD[ кубында ABCD жагынын диагональдары М нуктесшде киылысады, ал N нуктес! AXDX кырында жатыр жене AXN : ND{ = 1:4. MN тузу! мен: a) ABCD\ э) AAXDJ)‘3 б) DD£{C жактар жазыктыгыныц арасындагы бурыштыц си-нусын есептеп табыцдар. 470. АВС Л тетраэдршде ^ABD = z ABC = aDBC = 90 , AB = BD = 2, BC = 1. AD мен ВС кабыргаларынын орталарынан отетш тузу мен: a) ABB; е) DBC\ б) АВС жактарыныц арасындагы бурыштыц синусын есептеп табыцдар. 471.Bipeyi кубтыц диагоналш, ал екшпис! кубтыц 6ip жагынын диагонал!н камтитын айкас тузулердщ арасындагы бурыш 90 -ка тен болатынын делелдецдер. 472.MNPQM{N XPXQX кубы бер!лген. РМХ тузу! MNXQX мен QNPX жазыктыктарына перпендикуляр болатынын делелдецдер. 473.0А, ОВ жене ОС сеулелер! уш т!к АОВ, АОС жене ВОС бурыштарын жасайды. СОА мен АОВ бурыштарыныц биссектриса лары арасындагы бурышты есептендер. 474.Т!кбурышты ABCDAXB ХСD параллелепипедшде zDACj = = z DACX = 60 . <р = zA^ACj бурышын табыцдар. Шешу!. 133-суреттепдей тшбурышты Оху? координаталар жуйесш ештзешк, АСХ векторымен багыттас б!рл!к векторын карастырайык. а векторыныц координаталары: {cos 60 ; cos 60 ; ; cos <р). Ал | д | = 1 болгандыктан, — + cos <р} немесе {—; 133-сурет. +—4- cos2 <р = 1. Будан cos2 <р = — у[2 А немесе cos <р = 1 ——. Ал <р оурышы ... к ~ д сушр болгандыктан, cos q> = — будан <р = 45 . 475.DABC тетраэдрите DA = 5 см, АВ = 4 см, АС = 3 см, zBAC = 90 , zDAB = =60, zDAC = 45 . А тебесшен DBC ушбурышы медиа на ларыныц киылысу нуктес!не дешнг! ара кашыктыкты табыцдар.
476.Т!кбурышты ABCDA В^С]D} параллелелепипед!н!ц AC{ диагонал! op6ip АВ жене АТ) кырларымен 60 -ка тец бурыш жасайды. САСХ бурышын табыцдар. 467. АГ нуктесшщ ABCD квадратыньщ жазыктыгына тус!р!лген проекциясы квадраттыц центр!мен беттеседЬ АК мен BD тузулершщ арасындагы бурыш 90 -ка тец болатынын делел-децдер. § 3. КОЗГАЛЫСТАР 49. Центрлш симметрия. Планиметрия курсында б!з жазыктык козгалыстарымен, ягни ек! нуктенщ ара кашыктыгын сактай-тын жазыктыкты озше-езш бейнелеулермен таныстык. Енд! кещстш козгалыстары угымын енпзем!з. Алдымен кещстшпи озше-езш бейнелеу деген сезд! тус!нд!решк. Кещстштщ ep6ip М нуктесше кандай да 6ip нуктес!, ал Mi нуктесше кандай да 6ip М нуктес! сейкес койылсын. Сонда кещстшгт озше-езш бейнелеу бер1лген деп айтамыз. Бул бер!лген бейнелеуде М нуктеа нуктесше кешед1 (бейнеленед!) деплТ Кещстшт! озше-езш бейнелеудт кещстштщкрзе-алысыдеи тус!нешз жене бул бейнелеуде A1BJ = АВ болатындай кез келген А мен В нуктелер! кандай да 6ip А} мен В1 нуктелерше коше/ц (бейнеленед!). Баскаша айтканда, кещстштщ крзгалысы -бул нукте пердщ ара ^ашъщтыгын сацтай отырып, кещстшпгь ез1не-озш бейнелеу. Центрлш симметрия кещстштщ козгалысына мыса л бола апады. Центрлш симметрияда М нуктес! О нуктесше катысты озше симметриялы нуктесше кешед!. Центрлш симметрия цозгалыс болатынын долелдешк. Симмет-рияньщ центрш О аршмен белг!леп, О нуктес! басы болатын тшбурышты Oxyz координаталар жуйесш ештзейш. О нуктесше катысты симметриялы М (х, у, г) мен Мх (х , //,, г,) нуктелер!нщ координаталары арасындагы байланысты табайык. Егер М нуктес! О центр!мен беттеспесе, онда О нуктес! - ММХ кесшд!с!нщ ортасы. Кесшд!нщ ортасыньщ координаталарын есептеу формуласы бойынша: будан Xj = -х, у= -ух, z} = -г. Бул форму ла лар М мен О нуктелер! беттескенде де дурыс (нелштен екешн тусшд!рщдер). Енд! кез келген А (Хр у у г,) мен В (х2; у.;, г.) нуктелерш карас-тырып, буларга симметриялы А{ мен В{ нуктёлершщ ара кашык-тыгы АВ-га тен болатынын долелдешк. А{ мен В{ нуктелершщ координаталары: А(-Хр -уу, жоне В{ (-х2; -г.). Ею нуктенщ ара кашыктыгыньщ формуласы бойынша:
Бул катыстардан АВ = А^ болатыны айкын, дэлелдеу керег! осы болатын. 50. Осьтш симметрия. М нуктес! посше катысты ез!не симметриялы нуктесше кошет!ндей кещстшт! ез!не-озш бейнелеу а тузу ioci болатыносъпйк симметрия деп аталады. Осытк симметрия кргалые болып табылатынын дэлелдешк. Ол ушш Oz oci симметрия ос!мен беттесетпщей тжбурышты Oxyz координаталар жуйесш енг!зем!з жене Oz ocine катысты симметриялы М (х; у; z) мен М{ (х^ ух; 2Х) нуктелершщ координаталары арасындагы байланысты тагайындаймыз. Егер М нуктес! Oz осшде жатпаса, онда Oz oci: 1) ММХ кесшд!сшщ ортасынан отед!, жоне 2) кес!нд!с!не перпендикуляр болады. Bipinmi шарттан кес!нд! ортасыныц координаталары формулалары бойынша мынау x + Xi У + Уа шыгады: —-—= 0 жене -—;--------- = 0, будан xt = -х, ух = -у. 2 2 Ек!нш! шарт М мен М{ нуктесшщ аппликаталары тен екешн керсетедг. z{ = z. Алынган формулалар М нуктес! Oz ос!нде жатк-анда да дурыс (нелжтен екешн тусшд!р!цдер). Енд! кез келген А(хх\ умен В(х9; z2) нуктелерш карасты- рып, бул нуктелерге симметриялы А, мен Вх нуктелершщ ара кашыктыгы АВ-га тец болатынын дэлелдейм!з. Ах мен Bt нуктелершщ координаталары: А! (-ху, -уу, -zx), Вх (-х2; -г/2; -г2). Ек! нуктешц ара кашыктыгыньщ формуласы бойынша:z АВ = ^(х2 -х, У +(z/2 -ух У + (z2 )2 , АД = д/(-х2 + Xj У +(~1/2 +Уа У +(-*2 + <! У • Бул катыстардан АВ = АХВХ, дэлелдеу керег! осы болатын. 51. Айпалык симметрия. Кез келген М нуктес! а жазыктыгына катысты оган симметриялы Мх нуктесше кошетшдей кещстжт! езше-озш бейнелеу (и жазыктыгына катысты симметрия немесе) айналыл; симметрия деп аталады. Айналык симметрия цозеалыс болып табылатынын дэлелдешк. Ол ушш Оху жазыктыгы симметрия жазыктыгымен беттесетшдей тжбурышты Oxyz координаталар жуйесш енг!зем!з жэне Оху жазыктыгына катысты симметриялы М (х; у\ z), Мх (х^, уу, zx) нуктелер! координаталарынын арасындагы байланысты тагайындаймыз. Егер М нуктес! Оху жазыктыгында жатпаса, онда бул жазыктык: 1) ММХ кес!нд!с!н!ц ортасынан отед! жэне 2) ММ{ кес!нд!сше перпендикуляр. BipiHiui шарттан кесшд! ортасыныц координаталарын есептеу формуласы бойынша мынаны аламыз: у 4- 'у -----— = 0, будан zx = -2. Екшнй шарт, ММ{ кес!нд!с! Oz ocine па-2 рал ле ль екешн б!лд!реда, демек, х, = х, у}= у- Бул формула лар Л/ нуктес! Оху жазыктыгында жатканда да дурыс (нелжтен екешн тус!нд!р!цдер).
a) <f) 134 сурет. Ещц кез келген А (Хр у^ 2}) менВ(х2; //2; г2) нуктелерш карасты-рып, бул нуктелерге симметриялы А{ мен Вх нуктелершщ ара кашыктыгы АВ-га тец болатынын делелдешк. А( мен Bj нуктелершщ координаттары: AI (xL; у{; -2^, (х2; у2, -z2). Eki нуктенщ ара кашыктыгыньщ форму ласы бойынша: +(у2 -yY)2 +(-22 +^)2 . Бул катыстардан АВ = А1В1 екеш айкын, дэлелдеу Keperi осы едь 52. Параллель кехшру. Кешстштщ козгалысына тагы 6ip мы-сал келйрешк. Кандай да 6ip Р векторын алайык. Егер кез келген М нуктес! MTVTj = Р (134, а-сурет) тенднл орындалатындай Мх нуктесше кешсе, онда кещстшт! езше-езш мундай бейнелеу Р векторына параллель neiuipy деп аталады. Параллель nouiipy цозгалыс болып табылатынын далелдешк. Р векторына параллель кеппруде кез келген А мен В нуктелер! AAL = Р мен ВВ^ = Р тещцктер! орындалатындай А1 мен Вх нуктелерше кошедь А^ = АВ тендплн дэлелдеу керек. Ушбурыштар ережес! бойынша = A4j + А^В, • Сонымен катар, = АВ + ВВ{ (134, б-сурет). Осы ею тещцктен: А4, +а^В, = АВ + BB{ немесе Р = АВ = АВ + Р, будан а*в = АВ Сонгы тещцктен: А{В{ = АВ, дэлелдеу керег! де осы болатын.1 Кез келген козгалыста кесшд! кесшдгге, тузу тузуге, жазыктык жазыктыкка бейнеленетшш планиметриядагыдай дэлелдеуге болады. Сонымен катар, беттест!ру аркылы бул курста фигуралар-дьщ тещцй енйзьтед! (2-косымшаны карацдар) жене бул угым коз-галыс угымымен дэл келе/ц, ягни кез келген беттесйру козгалыс болып табылады жене, кер!сшше, кез келген козгалыс беттесйру болып табылады. Бул шк!р планиметрияда делелдеген!м!здей делелденедь
ЕСЕПТЕР 478 .а) Координаталар басына катысты центрлш симметрияда; о) координаталык осьтерге катысты осьтш симметрияда; б) ко-ординаталык жазыктыктарга катысты айналык симметрияда А(0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) нуктелер! кешотш нуктелердщ координаталарын табыцдар. 479 .Центрл!к симметрияда: а) симметрия центр! аркылы отпейт!н тузу ез!не параллель болатын тузуге бейнеленетшш; о) симметрия центр] аркылы етет!н тузу оз!не бейнеленетшш делелдендер. 48О .Центрл!к симметрияда: а) симметрия центр! аркылы отпей-т!н жазыктык озше параллель жазыктыкка бейнеленетшш; о) симметрия центр! аркылы отетш жазыктык озше бейне-ленет!шн делелдендер. 481 .0сьт!к симметрияда: а) симметрия осше параллель тузу оське параллель тузуге бейнеленетшш; о) осьпен <р бурышын жасай-тын тузу осьпен <р бурышын жасайтын тузуге бейнеленетшш делелдендер. 482 .Айналык симметрияда а тузу! ал тузуше бейнеленедь а мен ал тузулер! 6ip жазыктыкта жататынын делелдендер. 483 .а жазыктыгына катысты айналык симметрияда |3 жазыктыгы р j жазыктыгына бейнеленедй Егер: а) р | | « болса, онда р 1 | | а болатынын; э)р 1а болса, онда р жазыктыгы р жазыктыгымен беттесет!шн делелдендер. 484 ./ векторына параллель конпруде (Р * 0); а) Р векторына параллель емес немесе Р векторын камтымайтын тузу, осы тузуге параллель тузуге бейнеленедг, е) Р векторын камтитын немесе Р векторына параллель тузу озше-оз! бейнеленетшш долелдендер. 485 .AjB1C1 ушбурышы АВС ушбурышын Р векторына параллель копиру аркылы алынган. мен АВС ушбурыштары медианаларынын киылысу нуктелер! - мен М. Р векторына параллель конпруде М нуктес! нуктесше кошетшш делелдендер. 4 56.1(озгалыста: а) тузу тузуге; о) жазыктык жазыктыкка бейнеленет!н!н долелдендер. 486 .К озгалыста: а) тузу тузуге; о) жазыктык жазыктыкка бейнеленетшш долелдендер. 487 .Козгалыста: а) кесшд! кесшд!ге; о) бурыш озше тец бурышка бейнеленет!шн долелдендер. 488 .К;озгалыста: а) параллель тузулер параллель тузулерге; о) параллель жазыктыктар параллель жазыктыктарга бейнеленетшш долелдендер. 489 .Цозгалыста: а) шенбер радиусы сондай шенберге; о) пкбурышты параллелепипед олшемдер! сондай тшбурышты параллелепипедке бейнеленет!шн долелдендер.
V TAPAYFA АРНАЛГАН СУРАЦТАР 1. Егер нуктенщ: a) 6ip координатасы нолге тец болса; о) ек! координатасы нолге тец болса, онда ол тхкбурышты координаталар жуйесше катысты калай орналаскан болар еда? 2. Оху жазыктыгына параллель тузудан бойында жататын барлык нуктелердщ аппликаталары нелштен озара тец болатынын тус!ндар!цдер. 3. А (2; 4; 5), В (3; х; у), С (0; 4; г) жоне £>(5; Z; и) нуктелер! берьпген. Бул нуктелер х, у, z, t-ныц кандай мэндершде: а) Оху жазыктыгына параллель жазыктыкта; о) Oxz жазыктыгына параллель жазыктыкта; б) Ох осше параллель тузуде жатады? 4. Егер АВ Up Ух\ zj, ВС{^ У# ~2} болса, онда СА векторынын координаталары неге тец? 5. Нолдш емес а векторынын 6ipiHini жэне екшш! координаталары нолге тец. а векторы: a) Oz; о) Ох; б) Оу осьтерше катысты калай орналаскан? 6. Нолд!к емес а векторынын 6ipiHiiii координатасы нолге тец. а векторы: a) Oxz координаталык жазыктыгына; а) Ox ocine катысты калай орналаскан? 7. а) а {-5; 3; -1} мен Ь {6; -10; -2}; о) а {—2; 3; 7} мен b {-1; 1,5; 3,5} векторлары коллинеар бола ма? 8. М нуктес!н!ц радиус-векторыныц узындыгы 1-ге тец. М нуктес!н!ц абсциссасы: а) 1-ге; о) 2-ге тец бола ала ма? 9. а векторынын узындыгы 3-ке тен. а векторынын координа-таларыныц 6ipeyi: а) 3-ке; о) 5-ке тен бола ала ма? 10. М нуктес!н!ц абсциссасы 3-ке, ал ЛГ нуктес!н!н абсциссасы 6-га тец. а) МХМ. кесшдаспнн узындыгы 2-ге тец бола ала ма? о) МуМ кес!щцс!н!ц узындыгы 3-ке тец болса, онда М{М кесшдас! Ox ocine катысты калай орналаскан? 11. а мен Ъ векторларынын узындыгы - а мен Ь . Егер: а) а мен Ь векторлары багыттас болса; о) а мен Ь векторлары карама-карсы багытта болса; б) а мен Ь векторлары озара перпендикуляр болса; в) а мен Ь векторларынын арасындагы бурыш 60 -ка тен болса; г) а мен Ь векторларынын арасындагы бурыш 120 -ка тец болса, онда а мен Ь векторларынын скалярлык кобейтшд!с! неге тец? 12. Кандай шарт орындалганда а жэне Ь векторларынын скалярлык кобейтшдаск а) он сан; э) тер!с сан; б) нолге тец? 13. ABCDAlBlClDl кубы бергтген. a) AD мен JD^C1 ; ©) BD мен СС1 ; б) мен аЬ; в) DB мен ВСХ \ г) ВВХ мен АС вектор пары озара перпендикуляр бола ма‘. 14. а мен Ь векторларынын 6ipiHini координаталары сэйкесшше 1-ге жэне 2-ге тец. а мен b векторларынын скалярлык кобей-т!нд!ск а) 2-ден кит; э) 2-ге тец; б) 2-ден улкен бола ала ма?
15. Егер А нуктес! центр! болатын симметрияда В(1; 0; 2) нуктес! С (2; -1; 4) нуктес!не кошет!н болса, онда А нуктес!нщ координаталары кандай? 16. Егер а жазыктыгына катысты айналык симметрияда М(2; 1; 3) нуктес! (2; -2; 3) нуктес!не кешетш болса, а жазыктыгы Ох пен Oz координаталык осьтерше катысты калай орналаскан? 17. а) Айналык симметрияда; е) осьт!к симметрияда; б) центршк симметрияда он колдьщ колгабы кандай колгапка (он колдьщ ба, елде сол колдын ба) кеше/ц? ЦОСЫМША ЕСЕПТЕР 490 . а {-5; 0; 5}, Ь {-5; 5; 0} жене с {1; -2; -3} векторлары бер!лген. а)ЗЬ — 35 + 3с;е) -0,1 с + 0,8 а — 0,5 Ь векторларыныц коор-динаталарын есептендер. 491 .а) а {-5; 3; -1} мен Ь {6; -10; -2}; е) а {-2; 3; 7} мен Ъ {1; 1,5; 3,5}; б) а {-~г; -1} мен Ь {6; -5; 9}; в) а {0,7; -1,2; -5,2} мен о У Ь {-2,8; 4,8; -20,8} векторлары коллинеар бола ма? 492.А (-5; 7; 3) мен В(3; -11; 1) нуктелер! бер!лген. а) Охосшен АВ кесшд!с!нщ ортасына жакын жаткан нуктеш табындар; о) Оу, Oz осьтершен де АВ кес!нд!с!н!н ортасына жакын жаткан нуктеш осы сиякты табындар. 493 .а) а {-1; 2; 3}, { + j жене i - k ; е) b {2; 1; 1,5}, i 4- J + £ жене i - ] ; б) а { 1; 1; 1}, b {1; -1; 2} жене с {2; 3; -1} векторлары компланар бола ма? 494 .А(3; 5; 4), В (4; 6; 5), С (6; -2; 1) жене Z) (5; -3; 0) нуктелер! бер!лген. ABCD - параллелеограмм болатынын делелдецдер. 495 .А(2; 0; 1), В (3; 2; 2) жене С (2; 3; 6) нуктелер! бер!лген. АВС ушбурышы медианаларыныц киылысу нуктесшщ координа-таларын есептеп табындар. 496 . ABCD A BjCjDj параллелепипедтщ терт тебес!нщ координаталары бер!лген: А(3; 0; 2), В (2; 4; 5), At (5; 3; 1), D (7; 1; 2). Калган тебелер!н!ц координаталарын табындар. 497 .АВ кес!шцс!нщ ортасы Оху жазыктыгында жатыр. Егер: а) А (2; 3; -1), В (5; 7; /?); е) А(0; 4; k), В(3\ -8; 2); б) А (5; 3; /г), В (3; -5; 3/е) болса, й-ныц мешн табындар. 498 .Сейкес!нше а {2; 1; -2}, 6 {1; 3; 0} векторына багыттас б!рл!к векторлардыц координаталарын табындар. 499. {х; z/; г] векторларыныц узындыгы 5-ке тен. Егер х = 2, z = =-у^5~ болса, а векторыныц ординатасы неге тец? 500.М (2; -1; 3), N(-4; 1; -1), Р(-3; 1; 2) жене Q(1; 1; 0) нуктелер! берьтген. MN мен PQ кесшд!лер! орталарыныц ара кашыкты-гын табындар. 501.В (-2; 5; ) нуктесшен координаталар осьтерше дейшг! ара кашыктыкты табындар.
502.0рдинаталар ослнен А (13; 2; -1) мен В (-15; 7; -18) нуктелершен б!рдей кашыктыкта жаткан нуктен! табыцдар. 5ОЗ.Тебелер1, А(0; 2; 2), В(2; 1; 1), С(2; 2; 2) болатын АВС ушбуры-шына сырттай сызылган шецбер центршщ координаталарын табыцдар. 504.АВС ушбурышынын тобелер! а жазыктыгыныц 6ip жагында одан 4 дм, 5 дм, 9 дм кашыктыкта орналаскан. Ушбурыштьщ медианаларынын киылысу нуктесшен а жазыктыгына дешнг! кашыкты табыцдар. 505.* Тетраэдрдщ тебесш оган карсы жаткан жагы медианаларынын киылысу нуктес!мен косатын кес!нд! тетраэдрдщ медиана сы деп аталады. Тетраэдрдщ медианалары 6ip нуктеде киылы-сатынын жене киылысу нуктесшде олар тобесшен бастап есеп-тегенде 3 : 1 катынасында болшетшш долелдендер. 506.5 {-1; 5; 3}, Ь {3; 0; 2}, с {~ -3; 4}, d {2; 1; 0} векторлары бер!лген. а) а 6; е) а с ; б) d d; в) a (a + b+c); г) (а-Ъ) (с - d) скалярлык кебейтшдалерш табыцдар. 507 .DABC тетраэдршде DA = DB = DC, zADB = 45°, zBDC = 60 . a) DA мен BO;a) DB мен CB;6) BD мен BA векторларыныц арасындагы бурышты есептецдер. 508 .АВСО тетраэдр!нщ барлык кырлары озара тен, D нуктес!нщ АВС жазыктыгындагы проекциясы - О,. а) мен L\D> е) DD} мен ВС‘>6) DA мен ВС; в) р^в мен DC векторлары озара перпендикуляр бола ма? 509.Егер: а) А(7; -8; 15), В(8; -7; 13), С(2; -3; 5), О(-1; 0; 4); о) А(8; -2; 3), В(3; -1; 4), С(5; -2; 0), 0(7; 0; -2) болса, онда АВ мен CD тузулер!нщ арасындагы бурыштыц косинусын есептецдер. 51O .ABCBA1B[C|Z)i кубында N нуктес! - ВВ{С{С жагыньщ центр!. а) др мен Ajy;e) ND мен ВВ, векторларыныц арасындагы бурышты есептецдер. Sll .ABCOAjBjC^j параллелепппедшде zBAA, = zBAD= zDAAl = = 60 , АВ 4- АА, = AD = 1. AC{ мен BDX векторларыныц узын-дыгын есептецдер. 512 .М нуктесшщ ABCD ромбысыныц жазыктыгындагы проекциясы ромб диагопальдарыньщ О киылысу нуктес!мен беттеседь N нуктес! - ВС кесш/цсшщ ортасы, АС = 8, DB = МО = 6. MN тузу! мен: 1) ВС; 2) ОС; 3) АС; 4) ОВ тузулершщ арасындагы бурыштыц косинусын есептецдер. 513 .Д? нуктес! ABCDA B[ClD[ кубыньщ ВВ кырында жатыр жене ВМ : МВ^ = 3 : 2, ал N нуктес! АО кырында жатыр жене AN : ND = 2:3. MN тузу! мен: а) ОО,С,С; е) ОО,С,С; е) AjB^O, жактары жазыктыктарынын арасындагы бурыштыц синусын есептецдер. 514.ОА, ОВ, ОС жене ОМ сеулелер! z АОВ = z ВОС = zCOA = 90 ,
лАОМ = <рр zBOM = <р2, zCOM = <р3 болатындай орналаскан. cos2^ 4- cos2<p2 4- cos2<p3 = 1 екешн делелдецдер. 5 15.ОА, ОВ, ОС сеулелер! аВОС = лВОА = 45 , Z.AOC = 60 болатындай орналаскан. ОН тузут АОВ жазыктыгына перпендикуляр. ОН пен ОС тузулершщ арасындагы бурышты есептецдер. 516 .<р (<р<90 ) бурышына тен еюжакты CABD бурышы берьлген. АС 1 АВ жоне aDAB = 0 екеш белгкт. zCAD-ны есептецдер. 517 .СА мен DB кесшдклер! 120 -ка тец CABD еюжакты бурышы-нын кырына перпендикуляр. АВ = т, С А = п, BD = р екендпл белгип. CD - кесшдгсшщ узындыгын табыцдар. 518 .Козгалыста а тузу! а1 тузуше, ал а жазыктыгы жазыктыгына бейнеленедъ Егер: а) а | а болса, а 11 а о) а 1 а болса, онда 1 a j екешн делелдецдер. 519 .а жазыктыгына катысты аиналык симметрияда р жазыктыгы жазыктыгына бейнеленедъ Егер р жазыктыгы а жазыктыгымен <р бурышын жасаса, онда Pj жазыктыгы да а жазыктыгымен ср бурышын жасайтынын делелдецдер. 520 . р векторына параллель коппруде: а) Р векторына параллель емес жэне оны камтымайтын а жазыктыгы озше параллель жазыктыкка бейнеленет!шн; о) Р векторына параллель немесе оны камтитын р жазыктыгы озше бейнеленейшн делелдецдер.
VI т а р а у ЦИЛИНДР, КОНУС ЖОНЕ ШАР § 1. ЦИЛИНДР 53. Цилиндр угымы. ©зара параллель а, р жазыктыктарын жене а жазыктыгында жататын радиусы г, центр! О болатын L шецберш карастырайык (135-сурет). L шецбер!н!ц ep6ip нуктесшен а жазыктыгына перпендикуляр тузулер жург!зем!з. Бул тузулердщ а жене р жазыктыктарыньщ арасында орналаскан кесш/цлер! цилиндр лиг бет курайды. Кес!щцлер цилиндрл1к бетпиц жасаушылары деп аталады (135 суретте А4р ММг жене баска жа-саушылар кескшделген). Салуымыз бойынша жасаушылардын а жазыктыгында орналаскан уштары L шецберш толыктырады. Ал жасаушылардьщ р жазыктыгында орналаскан уштары центр! Ор радиусы г шецберш толыктырады, мундагы О нуктес! О нуктес! аркылы отетш а жазыктыгына перпендикуляр тузу мен р жазыктыгыныц киылысу нуктесх. Бул шюрлердщ дурыстыгы мынадан шыгады: жасаушылардьщ р жазыктыгында жататын уштарыньщ жиыны L шецберш QOj векторына параллель кеш!ргенде алынады. Параллель копиру козгалыс болып табылады, демек, ол беттест!ру де болады, ал беттест!руде кез келген фигура озше тец фигурага кошед!. Олай болса, оо векторына параллель кеппруде L шецбер! оган тец центр! нуктесшде, радиусы г болатын £1 шецберше кошед!. Шекаралары, L жене Lx шецберлер1 болатын exi децгелекпен жоне цилиндрл'тбетпеншектелгендене цилиндр депаталады (136-сурет). Цилиндр лис бет цилиндрдщ бушр 6emi, ал доцгелектер цилиндрдщ 135-сурет. Цилиндр л!к бет. Цилиндр oci уг| 136-сурет. Цилиндр.
137-сурет. Цилиндр ABCD тштертбу-рышын А В кабыргасынан айна лдырганнан алынган. Цилиндр дщ осьтж кимасы. Цилиндрдщ ocine перпендикуляр жазыктыкпен кимасы 138-сурет. табандары деп аталады. Цилиндрлш бетт!ц жасаушылары цилиндрдщжасаушылары деп, ал ООХ тузу! цилиндрдщос1 деп аталады. Цилиндрдщ барлык жасаушылары ©зара параллель жане параллель а, р жазыктыктарыныц арасында орналаскан кесшдыер болгандыктан, олар озара тец. Жасаушыньщ узындыгы цилиндрдщ бшкгтг1 деп, ал табаныньщ радиусы цилиндрдщрадиусы деп аталады. Цилиндрд! тштортбурышты 6ip кабыргасынан айналдыру аркылы да алуга болады. 137-суретте ABCDтжтертбурышын АВкабыргасынан айналдырганда пайда болтан цилиндр кескшделген. Вул жагдайда цилиндрдщ бушр бет! CD кабыргасын айналдырганнан, ал табандары ВС мен АОкабыргаларын айналдырганнан алынады. Цилиндрд! ер турл! жазыктыктармен кигандагы кималарын карастырайык. Егер киюшы жазыктык цилиндрдщ oci аркылы отсе, онда оныц кимасы ек! кабыргасы жасаушылар, ал былайгы ек! кабыргасы цилиндр табаныныц диаметргне тец болатын пйктэртбррыш (138, ц-сурет) болады. Мундай кима осыткцима деп аталады. Егер киюшы жазыктык цилиндрдщ осше перпендикуляр болса, онда оныц кимасы доцгелек болады. Шынында да, егер у - жогары-дагыдай киюшы жазыктык (138, б-сурет) болса, онда ол карасты-рылып отырган цилиндрден цилиндр болатын денет кияды (нелштен екешн тус!нд!р!цдер). Бул цилиндрдщ табандары ек! доцгелек, олардыц 6ipeyi карастырылып отырган кима болып табылады. Е с к е р т у. Ом!рде негурлым курдел! цилиндр шшшд! заттар жш кездеседъ 139, а-суретте apoip табаны парабола бол!г!мен жене кесшд!мен шектелген цилиндр кескшделген. 139, б-суретте табандары доцгелек болатын, б!рак жасаушылары табан жазыктыкта-рына перпендикуляр болмайтын цилиндр кескшделген (колбеу цилиндр). Б!з алдагы уакытта осы пунктте карастырылгандай
139-сурет. цитиндрлерд! гана карастырамыз. Оларды кейде min децгелек ци линдр деп те атайды. 54. Цилиндрдщ бетшщ ауданы. 140, а-суретте цилиндр кескшделген. Цилиндрдщ бушр бетш АВ жасаушысы бойымен тыш, оныц барлык жасаушылары 6ip а жазыктыгында жатыр деп уйгарайык (140, б-сурет). Сонда « жазыктыгында АВВ'А тшторт-бурышын аламыз. Тжтортбурыштьщ АВ мен АВ’ кабыргалары цилиндрдщ бушр бетшщ АВ жасаушысы бойынша тьяггшщ ек! шетш бг/ццредъ Бул тжтертбурыш цилиндрдщ бушр бетшщ жазба-сы, деп аталады. Тштертбурыштыц АА табаны цилиндр табаны шецбер1нщ жазбасы, ал АВ бшктйч - цилиндрдщ жасаушысы, сондыктан АА = 2л г, АВ = /г, мундагы г - цилиндрдщ радиусы, h -оныц бшктпт. Цилиндрдщ бушр бетшщ ауданы репинде оныц жазбасыныц ауданы алынады. АВВ'А тжтертбурышыныц ауданы АА • АВ = 2 л rh болгандыктан, радиусы г, бшкйп h болатын цилиндрдщ бушр бетшщ ауданы = 2л г/г О.б. (1) формуласы бойынша есептеледк Сонымен, цилиндрдщ бушр бетшщ ауданы табанындагы шецбердщ узындыгы мен цилиндр бшкпиг1нщкобейтшд1с1не тец. 140-сурет. 6)
Цилиндрдщ толъщ бетшщ ауданы деп бушр бет! мен ек! табаны-ньщ аудандарыньщ косындысын айтамыз. Эрб!р табанньщ ауданы л г2 болгандыктан, цилиндрдщ толык бет! 2л г (г+А) формуласымен есептеледъ ЕСЕПТЕР 521. Цилиндрдщ осьтж кимасы ек! кабыргасы - жасаушылары, ал былайгы ек! кабыргасы - цилиндр табандарыньщ диаметрлер! болатын тжтертбурыш екешн делелдецдер. Егер цилиндрдщ радиусы 1,5 м, ал бшктнт. 4 м болса, осьт!к киманын диагона лш табыцдар. 522. Цилиндрдщ осьт!к кимасыныц диагонал! 48 см. Осы диагональ мен цилиндр жасаушысыныц арасындагы бурыш 60 . а) Цилиндрдщ бшктнлн; а) цилиндрдщ радиусын; б) цилиндр таба-ныныц ауданын есептендер. 523. Цилиндрдщ осьт!к кимасы - диагонал! 20 см болатын квадрат, а) Цилиндрдщ бшкттгш; е) цилиндр табанынын ауданын табыцдар. 524.Ек! цилиндрдщ осьт!к кималары езара тец. Бул цилиндрлердщ бшктштер! езара тец бола ма? 525 .Цилиндрдщ осьтж кимасыныц ауданы 10 м2, ал табанынын ауданы - 5 м2. Цилиндрдщ бижтплн табыцдар. 526 .Цилиндр табаны ауданыныц осьт!к кима ауданына катынасы -/3~ л : 4 катынасындай. а) Цилиндрдщ осьт!к кимасыныц диагонал! мен табан жазыктыгыныц арасындагы бурышты; э) осьтж кима диагональдарыныц арасындагы бурышты табыцдар. 527 .АВ кесщщсшщ уштары цилиндр табанындагы шецберлерде жатыр. Цилиндрдщ радиусы - г, бижтпт - А, ал АВ тузу! мен цилиндр осшщ ара кашыктыгы d. Егер: а) /• = 10 дм, d = 8 дм, АВ= 13 дм болса, d', а) А = 6 см, г = 5 см, АВ= 10 см болса, онда А неге тец? 5 28.Егер киюшы жазыктык цилиндрдщ осше параллель болса жене осы жазыктыкпен цилиндр осшщ ара кашыктыгы радиу-стан Kimi болса, онда цилиндрдщ кимасы карама-карсы ек! Кабыргасы цилиндрдщ жасаушылары болатын тжтертбурыш екешн делелдецдер. 529 .Цилиндрдщ бтктт 8 см, радиусы 5 см. Цилиндрдщ осше параллель киюшы жазыктык жург!з!лген. Егер осы жазыктык пен цилиндр осшщ ара кашыктыгы 3 см болса, цилиндр кимасыныц ауданын табыцдар. 530 .Цилиндрдщ бижт!г! 12 см, табаныныц радиусы 10 см. Цилиндр кимасы квадрат болатындай оныц осше параллель жазыктыкпен киылган. Цилиндрдщ осшен киюшы жазыктыкка дешнг! ара кашыктыкты табыцдар.
531 . Цилиндрдщ бшктгг! 10 дм. Цилиндрдщ ос!не параллель жоне онын ос1нен 9 дм кашыктыкта орналаскан киманын ауданы 240 дм2. Цилиндрдщ радиусын табыцдар. 532 .Цилиндрдщ АА{ жасаушысы аркылы ек! киюшы жазыктык журйз!лген, онын 6ipeyi цилиндрдщ осшен отед! жане олардын арасындагы бурыш <р-ге тец. Цилиндрдщ осы кималары аудандарыныц катынасын табыцдар. бЗЗ .Цилиндрдщ 6mKTiri Л, ал осьт!к киманыц ауданы S. Цилиндрдщ осшен d кашыктыкта цилиндр осше параллель киюшы жазыктык жург!з!лген. Циманьщ ауданын табыцдар. 534 .Цилиндрдщ осше параллель жазыктык оныц табанындагы шецберден 120 -тык дога кияды. Егер цилиндрдщ бшктгг! Л, ал цилиндрдщ осшен киюшы жазыктыкка дешнг! кашыктык d-га тец болса, онда киманыц ауданы неге тец? 535 .Цилиндрдщ осше параллель жазыктык табанындагы шецберден 60 дога кияды. Цилиндрдщ жасаушысы 10-/У см, цилиндрдщ осшен киюшы жазыктыкка дешнг] кашыктык 2 см-ге тец. Киманыц ауданын табыцдар. 536 .Цилиндрдщ жасаушысы аркылы озара перпендикуляр ек! жазыктык жург!з!лген. Орб!р киманыц ауданы S-ке тец. Осьт!к киманыц ауданын табыцдар. 537 .Цилиндр табаныныц диаметр! 1 м, ал бшктт табанындагы шецбердщ узындыгына тен. Цилиндрдщ бушр бетшщ ауданын табыцдар. 538 .Цилиндрдщ бушр бетшщ ауданы S. Цилиндрдщ осьтш кима-сыньщ ауданын есептецдер. 539 .Bip квадрат метрге 200 г бояу жумсалса, онда табаныныц диаметр! 1,5 м, бшктпл 3 м цилиндр тшшд! бакты бояу уппн канша бояу керек 54О .Цилиндрдщ бшктпл оныц радиусынан 12 см артык, ал толык бетшщ ауданы 288 л см2. Табаныныц радиусы мен бижтшн есептецдер. 541 .Тем!рдщ б!р!кт!ру тплсше цилиндрдщ бушр бет! ауданыныц 2,5%-ш косатын болса, узындыгы 4 м, ал диаметр! 20 см болатын кубыр даярлау ушш неше квадрат метр тем!р кажет? 542 .Цилиндрдщ жасаушысы мен осьтш кимасы диагоналшщ арасындагы бурыш <р, ал цилиндрдщ табаныныц ауданы В. Цилиндрдщ бушр бетшщ ауданын табыцдар. 543 .Цилиндрдщ бушр бетппц жазбасы диагональдарыньщ арасындагы бурышы <р-ге тец, диагонал! rf-ra тец. Цилиндрдщ бушр жоне толык бетшщ аудандарын табыцдар. 544 .Диагонал! d-ra тец квадратпен цилиндрдщ бушр бет! оралган. Цилиндр табаныныц ауданын табыцдар. 545 .Цилиндр кабыргасы а болатын квадраттьщ 6ip кабыргасынан квадратты айналдыру аркылы алынган. а) Цилиндрдщ остж кимасыныц; а) бушр бетшщ; б) толык бетппц ауданын есептецдер. 546 .ASCD т!ктортбурышыныц АВ кабыргасынан айналдырып б!ршш! цилиндр, ал ВС кабыргасынан айналдырып екппш ци
линдр алынган. а) Бул цилиндрлердщ бушр беттершщ ауданда-ры озара тен болатынын делелдецдер. е) Егер АВ = а, ВС = b болса, онда бул цилиндрлердщ толык беттершщ катынасы неге тец? § 2. КОНУС 55. Конус угымы. Центр! О нуктес! болатын L шецберш жене осы шецбер жазыктыгына перпендикуляр ОР тузуш карастырайык. Шецбердщ ep6ip нуктесш Р нуктесшен кесшд!лер аркылы косамыз. Осы кесшдалерден куралган бет конустыц бет (141-сурет), ал кесшдалердщ оздер! конустыц беттщ жасаушылары деп аталады. Конустыц бетпен жэне L шецбер! uiemi болатын децгелекпен шектелген денеконус деп аталады (142-сурет). Конустык бет конустыц бушр бет! деп, ал табанындагы доцгелек конустыц табаны деп аталады. Рнуктес! конустыцтобес! деп, ал конустык беттщ жасаушылары конустыц жасаушылары деп аталады. (142-суретте РА, РВ жэне т.б. жасаушылар кескшделген.) Конустын барлык жасаушылары озара тен (нелжтен екешн тусшд!р!цдер). Табаныньщ центр! мен конустын тебесшен отетш ОР тузу! конустыц ос! деп аталады. Конустын oci табан жазыктыгына перпендикуляр. ОР кесшдас! ко нустыц бшктш деп аталады. Тшбурышты ушбурышты оныц 6ip катетшен айналдыру аркылы конус алуга болады. 143-суретте АВС тшбурышты ушбуры-шын АВ катетшен айналдыргандар пайда болган конус кескшделген. Бул жагдайда конустын бушр бет! АСгипотенузасын, ал табаны ВС катетш айналдырганнан алынады. Конусты ер турл! жазыктыктармен кигандагы кималарды карастырайык. Егер киюшы жазыктык конустыц oci аркылы отсе (144-сурет), онда конустыц кимасы табаны конустын диаметр!, ал бушр кабыр- 141 -сурет. Конустык бет. 142-сурет. Конус.
144-сурет. Конустын осьт1к кимасы. 143-сурет. Конус АВС тшбурышты ушбурышын АВ катетшен айналдырганнан алынган. галары конустын жасаушылары болатын тенбушрш ушбурыш бола лы. Бул кима осьтш кима деп аталады. Егер киюшы жазыктык ОРосше перпендикуляр болса (145-су-рет), онда конустын кимасы центр! конустын ойнде жататын доцгелек болады. Бул децгелектщ радиусы г\ = г, мундагы г-конус табаныныц радиусы, бул тещцк тшбурышты РОМ мен РО[М[ ушбурыштарынын уксастыгынан оцай алынады. Мунын дэлелдеу! 556-есептщ шешутнде келт!р!лген. 56. Конустын бетшщ ауданы. Конустын бушр бетш 6ip жасау-шысыныц бойымен т!лш, оныц жазбасын а луга болады (146, а, б-сурет). Конустын бушр беттшн жазбасы радиусы конустын жасау- 145-сурет. Конустын осше перпендикуляр а жазыктыгымен кимасы - центр! РО> О . оашгусы г = --- г денгелек. РО 146-сурет.
шысына тен, ал догасыньщ узындыгы конус табаны шенбершш узындыгына тец сектор болып табылады. Конустъщбушр бетшщауданыретшдеоныцжазбасыныцауданы алынады. Конустын бушр бет!н!ц S ауданын оныц I жасаушысы мен табаныныц радиусы аркылы ернектейм!з. Конустын бушр бет! жазбасыныц, ягни децгелек секторыныц ауданы (146, б-сурет) Til2 4—<х-га тец, мундагы а - АВА' догасыньщ градустык елшем!, 360 сондыктан т/ = а) а шамасын / мен г аркылы ернектешк. АВА> догасыньщ узындыгы 2лг-ге (конустын табанындагы шецбердщ узындыгына) тец п 360г 1 оолгандыктан, 2 л г = '780~а’ ^дан а = —/— • ернектх (1) фор. мулага койып, конустын бушр бет! ауданыныц формуласын ала-мыз: 56.б. = лг/. (2) Сонымен, конустъщ бушр бетшщауданыоныц табаны шяцбершщ узындыгы мен жасаушысъшыц жарым. кебештнд1сше тец. Конустыц толык; бетшщ ауданы деп буи!р бет! мен табаны аудандарыныц косындысын айтамыз. Конустыц толык бетшщ S ауданын есептеу формуласы: S , — я г (1 + /')-т.о. (3) 57. Киыц конус. Кез келген 6ip конус алып, оны осше перпендикуляр киюшы жазыктыкпен киямыз. Бул киюшы жазыктык ко-нуспен децгелек бойымен киылысады жене ол конусты ек! белжке белед!. Bip бел!гх конус, ал екшхшс! циыцконус (147-сурет) деп аталады. Бер!лген конустын табаны мен конустыц жазыктыкпен кимасындагы децгелек циъщ конустыц табандары деп, ал олардын центрлерш косатын кесшд! циъщ конустыц 6ui кт iei деп аталады. Киык конусты шектейтш конустык беттщ бел!г! оныц бушр 6emi деп, ал конустык бетт! жасайтын кесшдшер циъщ конустъщ жасаушылары деп аталады. Киык конустын барлык жасаушылары озара тен (ез беттерщше делелдендер). Киык конусты тжбурышты трапецияны онын табандарына перпендикуляр бушр кабыргасынан айналдыру аркылы да алуга болады. 148-суретте тшбурышты ABCDтрапециясын CDкабыргасынан айналдырганда пайда болтан киык конус кесюнделген. Осы жагдайда бушр бет трапецияныц АВ бушр кабыргасын, ал киык конустыц табандары - трапецияныц Обмен DAтабандарын айнал-дырганнан пайда болады. Киык конустын S бушр бетшщ ауданын оныц I жасаушысы мен табандарыныц г жене г1 (г > г{) радиустары аркылы ернектейм!з. Рнуктес! - киык конус алынган конустыц тобес!, АА}
147-сурет. Киык конус. 148-сурет. Киык конус тшбурышты ABCD трапе-циясын CD кабыргасынан айналдырганнан алынган. 149-су рет. - киык конустыц жасаушысы, О мен табандарынын центрлер! (149-сурет) болсын. (2) формуланы пайдалансак: S б = л г • РА - л г 1 • РА^ = л г (РА1 + уЬЦ) - лг( • РА}. Егер АА{ = 1 болатынын ескерсек, онда: 8б б =лг/+л (г-г1)*РА1. (4) РА{ кес1нд1сш1н узындыгын /, г жэне г{ шамаларымен ернектешк. Тшбурышты РО}А мен РОА ушбурыштары уксас, PAi ri ce6e6i Рсуй1р бурышы ортак, сондыктан ---------= — немесе г, /г, ------= —. Будан РА. = ------. Бул табылган манд! (4) форму-РА} +1 г 1 г - г, лага койып, мына формуланы аламыз: sm. = ”('+>;)1- Сонымен, циъщ конустыц бушр бетшщ ауданы табандарындагы шецберлер узындыцтарыныц жарым цосындысы мен жасаушысынъщ кобсйпйнд1с1не тец. ЕСЕПТЕР 547 .Конустьщ бшктпл 15 см, ал табаныныц радиусы 8 см. Конустыц жасаушысын табыцдар. 548 .Конустыц жасаушысы 12 см жэне ол табан жазыктыгына </. бурышымен келбей орналаскан. Егер: а) а = 30 ; э) а = 45 ; б) а = 60 болса, онда конус табаныныц ауданы неге тец? 549 .Конустьщ бшктнт 8 дм. Киманыц ауданы: а) табаны ауданы-
ньщ жартысына; е) табаны ауданыныц терттен б!рше тец болу унпн табанына параллель киюшы жазыктыкты конус тобесшен кандай кашыктыкта жург1зу керек? 550 .Конустыц осьтж кимасы - тшбурышты ушбурыш. Егер конус табанынын радиусы 5 см болса, онда бул киманын ауданы неге тен? 551 .Конустын осьт1к кимасы - кабыргасы 2 г болатын дурыс ушбурыш. Конустын ею жасаушысынын арасындагы бурыш: а) 30 ; о) 45е; б) 60 болса, онда осы жасаушылар аркылы жург!з!лген киманын ауданын табындар. 552 .Конустын бижтпл h, ал бшкт!п мен жасаушысынын арасындагы бурыш 60. Конусты езара перпендикуляр ею жасаушы-сы аркылы отетш жазыктыкпен кигандагы киманын ауданын табындар. 553.Егер конустын осьтж кимасыныц ауданы 6 дм2, ал табанынын ауданы 8 дм2 болса, онда конустын би!кт!г! неге тец? 554 .Конустыц жасаушысы /, ал табаныныц радиусы г. а) 60 ; о) 90 доганы керетш хорда мен конустын тобес! аркылы отетш киманын ауданын есептендер. 555 .Конустын бшктпл 10 см. Конустын To6eci мен табанында 60 дога керетш хорда аркылы отетш кима конустын табан жазыктыгымен: а) 30 ; о 45 ; б) 60 бурыш жасайды. Осы киманын ауданын табындар. 556 .To6eci Р болатын конустын табаны центр! О, ал радиусы г болатын денгелек. Егер киюшы <z жазыктыгы конустын осше перпендикуляр болса, онда конустын кимасы центр! нуктес!, ал радиусы Tj болатын доцгелек болатынын делелдецдер. Мундагы Oj - а жазыктыгынын РО ос!мен киылысу нуктес!, РО. ал г (145-суретт! карацдар). Ш е ш у i. Алдымен а жазыктыгыныц кез келген нуктес! центр! О( нуктес!, ал радиусы болатын шецберде конустын кандай да 6ip жасаушысында жататынын, ягни карастырылып отырган киманын нуктес! болатынын далелдешк. РМ} сеулесшщ конустын табан жазыктыгымен киылысу нуктесш Л/ деп белгьлешк. РО.М мен РОМ тжбурышты ушбурышта-рыныц уксастыгынан (оул ушбурыштарда Р сушр бурышы РО _ РО ортак болгандыктан, уксас): ОМ = рп • О М = рп г , РО будан г = Гр ягни М нуктес! конустын табапындагы шец-берде жатыр. Олай болса, М. нуктес! жататын РМ кесшд!с! конустын жасаушысы болады. Енд! а жазыктыгында да, конустын бушр бет!нде де жататын нукте центр! Ор ал радиусы г болатын шецберде жататынын далелдешк. Шынында да, РО}М. мен РОМ ушбурышта-рыныц уксастыгынан (РМ кесшд!с1 - М. нуктесшен отетш жа-саушы):
РО. РО, 0,М, = —- • ОМ = —- • г = г,. 1 1 го го 1 Сонымен, центр! нуктес!, ал радиусы гх болатын шецбер конустыц бушр бет!шц а жазыктыгымен кимасы болып табылады, сондыктан шекарасы шецбер болатын доцгелек конустыц а жазыктыгымен кимасын бередь 557.Ек! киюшы жазыктык конустыц осше перпендикуляр. Конустыц осы жазыктыктармен кималары аудандарыныц катынасы конустыц тебесшен осы жазыктыктарга дейшг! кашыктыктьщ квадраттарыныц катынасындай болатынын делелдецдер. 558.Конустыц бушр бетшщ жазбасы - догасы а -га тец сектор. Егер конустыц бшктйч 4 см, ал табаныныц радиусы 3 см болса, онда а неге тен? 559.Егер конустын жасаушысы конустыц табан жазыктыгымен 60° бурыш жасаса, онда конустыц бушр бет!нщ жазбасы болатын сектордыц догасы неге тец? 56О.Егер конустыц бушр бет!нщ жазбасы догасы: а) 180 ; о) 90 ; б) 60° болатын сектор болса, онда конустын осьтш кимасыныц тебес!ндег! бурышты табындар. 561 .Конустыц бушр бет! жазбасы - радиусы 9 см, ал догасы 120 болатын сектор. Конустыц табаны ауданын жане бшктшн есептецдер. 562 .Конустыц oci мен жасаушысыныц арасындагы бурыш 45°, жасаушысы 6,5 см. Конустыц бушр бетшщ ауданын есептецдер. 563 .Конустьщ осьтш кимасыныц ауданы 0,6 см2, ал конустыц бшктгг! 1,2 см. Конустыц толык бетшщ ауданын есептецдер. 564 .Конустын жасаушысы оныц табан жазыктыгымен <р бурышын жасайды. Конустын табанына кабыргасы а жене бул кабыр-гага карсы бурышы а болатын ушбурыш пптей сызылган. Конустыц толык бетшщ ауданын табыцдар. 565 .Катеттер! 6 см жене 8 см болатын т!кбурышты ушбурыш оныц Kinii катетшен айналдырылган. Осы айналдыруда пайда болтан конустыц бушр бет!нщ жене толык бетшщ аудандарын есептецдер. 566 .Буй!р кабыргасы т, ал табанындагы бурышы <р болатын тецбушрл! ушбурыш табанынан айналдырылган. Осы айналдыруда пайда болтан дене бетшщ ауданын есептеп табындар. 567 .Табандарыныц радиустары 3 см жене 6 см, ал бшкт!г! 4 см киык конустын жасаушысын табыцдар. 568 .Киык конус табандарынын радиустары 5 см жене 11 см, ал онын жасаушысы 10 см. а) Киык конустыц бшктплн; е) осьтш кимасыныц ауданын табыцдар. 569 .Киык конус табандарынын радиустары R жене г, ал оныц жасаушысы конустын табан жазыктыгымен 45 бурыш жасайды. Осьтш киманыц ауданын табындар. 570 .Конустыц бушр бет!нщ ауданы 80 см2. Конус бшктшшщ ортасынан бшктшке перпендикуляр жазыктык жург!з!лген. Сонда пайда болган киык конустын бушр бетшщ ауданын табындар.
571 . ABCD трапециясында zA = 90,zD = 45, ВС = 4 см, CD = 3 V2 см. Трапецияны АВ кабыргасынан айналдырганда шыккан киык конустын бушр толык беттершщ аудандарын табыцдар. 572 .Шелек табандарынын радиустары 15 см жоне 10 см, ал жасаушысы 30 см болатын киык конус пншндн Егер 1 м2 ауданга 150 г бояу жумсалатын болса, осындай 100 шелектщ iniKi жоне сырткы беттерш бояу ушш неше килограмм бояу керек (шелектщ калыцдыгы есепке алынбайды). § 3. СФЕРА 58. Сфера жэне шар. А н ы к т а м а. Бер!лген нуктеден бер!лгенк)ашык,тьщта орналас-цан кец!ст!ктщ барлык; нуктелер! цурайтын бет сфера деп аталады (150-сурет). Бернтген нукте сфераныц центр! деп (150-суретте О нуктес!), ал бер!лген кашыктык - радиусы деп аталады. Сфераньщ радиусын эдетте R аршмен белылейдк Сферанын кандай да 6ip нуктесш оныц центр!мен косатын кесшд! сферанын радиусы деп аталады. Сферанын центршен отетш жене сферанын ек! нуктесш косатын кесшд! сферанын, диаметр! деп аталады. Сферанын диаметр! 2Я-ге тец болатыны айкын. Сфераны жартышецберд! онын диаметршен айналдырып та алуга болатынын ескертем!з (151-сурет). Сферамен шектелген дене тар деп аталады. Сферанын центр!, радиусы жэне диаметр! шардыц да центр!,радиусы жене диаметр! деп аталады. Центр! О, ал радиусы болатын шар О нуктесшен кашык-тыгы Л-ден аспайтын кещстштщ барлык нуктелерш (О нуктес!мен) коса камтитыны акикат жене баска нуктелер! болмайды. 59. Сферанын тецдеу!. Тшбурышты Oxyz координаталар жуйес! мен кандай да 6ip F бет!, мысалга жазыктык немесе сфера, бер!лсш. Егерде: 1) Г бетшщ кез келген нуктесшщ координаталары осы тецдеуд! канагаттандырса; 2) бул бетте жатпайтын нуктенщ координаталары осы тецдеуд! канагаттандырмаса, х, у, z айныма-лылары бар тецдеу F бетшщ тецдеу! деп аталады. Беттщ тецдеу! угымы планиметрия курсындагы сызыктын тецдеу! угымы сиякты енйзшетшш ескертем!з. Центр! С (х; у ; z) нуктес!, ал радиусы R болатын сферанын тецдеуш корытып шыгарайык (152-сурет). Кез келген М (х; у\ z) нуктесшен С нуктесше дешнг! кашыктык МС == J(x~xo)2 +(у-уо)2 + (z-Z(i)2 формуласымен есептеледп Егер М нуктес! бер!лген сферада жататын болса, онда МС == R немесе МС2 = R?, ягни М нуктесшщ координаталары (х — хо)2 + (у- уУ + (2- z )2 = R2 (1) тецдеуш канагаттандырады.
150-сурет. 151-сурет. Сфера АВС жарты шенбер!н АВ диа-метршен айналдырганнан алынган. 152-сурет. Егер М (х; у; г) нуктес! бер!лген сферада жатпайтын болса, онда МС2 = Я2, ягни М нуктесшщ координаталары (1) тецдеу/ц канагат-тандырмайды. Олай болса, пикбррышты координаталар жуйесшде центра С (х ; у ; z ) нуKmeci, радиусы R болатын сферанъщ тецдеу! мына тррде болады: 60. Сфера мен жазыктыктыц езара орналасуы. Сфера мен жазыктыктыц езара орналасуын, сфераныц радиусы мен сфера центршен жазыктыкка дешнг! кашыктыктын арасындагы катыска байланысты зерттейм!з. Сфераныц радиусын R эргпмен, ал сфераныц центршен а жазыктыгына дешнг! кашыктыкты d аршмен белплешк, 153-суретте керсет!лгендей координаталар жуйесш енг!зем!з: Оху координаталык жазыктыгы а жазыктыгымен беттесед!, ал сфераныц С центр! Oz оц жартыосшде жатады. Бул жуйеде С нуктесшщ координаталары (0; 0; d), сондыктан сфераныц тецдеук х2 + у2 + (г - d)2 = R' 15 3-су рет.
болады. а жазыктыгы Оху координаталык жазыктыгымен беттесет!нд!ктен, а жазыктыгыныц тецдеу!: 2=0 (нелштен екешн тус!нд!р!цдер). Егер кандай да 6ip М (х; у; 2) нуктесшщ координаталары ек! тецдеуд! де канагаттандырса, онда М нуктес! а жазыктыгында да, сферада да жатады, ягни М нуктес! жазыктык пен сфераньщ ортак нуктес! болады. Егер бул ек! тецдеу жуйесшщ шеннм! жок болса, онда сфера мен жазыктыктын ортак нуктес! жок. Сонымен, сфера мен жазыктыктын озара орналасу мэселес! тецдеулер жуйесш зерттеуге келш т!релед!. 2 = 0-д! екшпп тецде-уге койсак: х2 + у2 = R2 - d2. (2) Уш жагдай болуы мумкш. 1) d< R,ондаR2 - d2 > 0 жэне (2)тецдеу - радиусы г = у] R2 -d2 , центр! О нуктес! болатын жэне Оху жазыктыгында жататын шецбердщ тецдеу!. Бул шецбердщ кез келген М (х; у; 0) нуктесшщ координаталары а жазыктыгыныц тецдеуш де, сфераньщ тецдеуш де канагаттандырады, ягни бул шецбердщ барлык нуктелер! - жазыктык пен сфераньщ ортак нуктелер! (153, а-сурет ), сонымен бул жагдайда сфера мен жазыктык шецбер бойымен киылысады. Демек, егер сфераньщ центршен жазыцтыцца дешнг1 цашыцтыц сфера-ныцрадиусынан кшн болса, онда сфераньщ жазыцтыцпен цимасы шецбер болады. Шардыц жазыцтыцпен цимасы доцгелек болатыны туспнкт!. Егер киюшы жазыктык шардыц центр! аркылы отсе, онда d = 0 болады да, кимада радиусы R доцгелек шыгады, бул доцгелектщ радиусы шардыц радиусына тец. Мундай доцгелек шардыц улкен доцгелег! деп аталады (154-сурет). Егер киюшы жазыктык шардыц центр! аркылы отпесе, онда d > 0 жэне киманыц г = ^R2 - d2 радиусы шардыц радиусынан Kimi болатыны айкын (153, а-суретт! карацдар). 154-сурет. 155-сурет.
2) d = R болса, онда R2 - d2 = 0 жэне (2) тецдеуд! тек х = 0, у = О мондер! гана канагаттандырады. Олай болса, тек О (0; 0; 0) нуктесшщ координаталары гана ек! тецдеуд! де канагаттандырады, демек, О нуктес! - сфера мен жазыктыктын жалгыз гана ортак нуктес! (153, б-суретт! карацдар). Демек, егер сферанъщ центршен жазъщтъщца дешнг! цашъщтъщ сферанъщрадиусына тец болса, онда сфера мен жазъщтьщтъщ жалгызгана орта ц нуктес! болады. 3) Егер d> R болса, онда R2 - d2 < 0 жене (2) тецдеуд! ешкандай нуктенщ координаталары канагаттандырмайды. Олай болса, егер сферанъщ центршен жазъщтъщца дешнг! цашъщтъщсферанъщради усынан улкен болса, онда сфера мен жазъщтьщтъщ ортак нуктелер! болмайды (153, в-суретт! карацдар). 61. Сферага жанама жазыктык. Сфера мен жазыктыктын жалгыз гана ортак нуктес! болатын жагдайды негурлым толыгырак карастырайык. Сферамен тек 6ip гана ортак нуктес! бар болатын жазыктык сферага жанама жазъщтъщ деп, ал жазыктык пен сфераныц ортак нуктес! жанасу нуктес! деп аталады. 155-суретте а жазыктыгы центр! О нуктес! болатын сферага жанама, ал А нуктес! - жанасу нуктес!. Шенберге жанама тузудщ касиет! сиякты сферага жанама жазыктыктын да касиет! бар. Ол мына теоремада аитылады: Теорема. Сфера мен жазъщтьщтъщ жанасу нуктесшде жург!з!лген сферанъщ радиусы жанама жазъщтъщца перпендикуляр. Д о л е л д е у i. Центр! О нуктес! болатын сфераны А нуктес!нде жанайтын а жазыктыгын карастырайык (155-сурет). ОА 1 а болатынын долелдешк. Дарсы жориык, ОА радиусы а жазыктыгына колбеу болып, сферанын центршен а жазыктыгына дешнг! кашыктык сфераныц радиусынан к!ш!, сондыктан да сфера мен жазыктык шецбер бойымен киылысатын болсын. Ал бул жанама жазыктык, ягни сфера мен а жазыктыгыныц жалгыз гана ортак нуктес! бар деген ninipre кайшы. Алынган кайшылык О А радиусы а жазыктыгына перпендикуляр екешн (ОА 1«) делелдейд!, теорема дэлелденд!. Бул теоремага кер! теореманы долелдешк. Теорема. Егер сферанъщ радиусы радиустъщсферадагы ушы-нан втет!н жазъщтъщца перпендикуляр болса, онда бул жазъщтъщ сферага жанама жазъщтъщ болады. Долелдеу!. Теореманыц шартынан бершген радиус жазыктыкка сфераныц центршен ететш перпендикуляр болатыны шыгады. Сондыктан, сфераныц центршен жазыктыкка дешнг! кашыктык сфераныц радиусына тец, олай болса, сфера мен жазыктыктыц тек 6ip гана ортак нуктес! бар. Бул бер!лген жазыктык сферага жанама жазыктык болатынын б!лд!ред!. Теорема долелденд! 62. Сфераныц ауданы. Цилиндрдщ немесе конустыц бушр бетшен езгешел!г! сфераны жазыктыкка жазуга болмайды, олай болса, сфераныц ауданын жазба одхс! аркылы табуга болмайды.
Сфераныц ауданын есептеу уш^п сырттай сызылган копжак угы-мын пайдаланайык. Егер копжактьщ ep6ip жагы сферага (шарга) жанама болса, онда мундай копжак сферага сырттай сызылган кепжац деп, ал сфера кепжацца 'нитей сызылган деп аталады. 156-суретте сферага сырттай сызылган тетраэдр мен куб кескшделген. Сферага сырттай сызылган копжактьщ п жагы болсын. Сырттай сызылган копжак жагыньщ елшемдер! нолге умтылатындай erin, копжак жактарыньщ санын шекс!з ес!рем!з. Эрб1р жактыц блшемдер1 нелге умтпылгандагы сферага сырттай сызылган копжац-тар беттерпйц аудандары. пйзбегшщ шег1н сфераныц ауданы репинде цабылдаймыз. 73-пунктте бул шектщ табылатынын делелдеп, радиусы R болатын сфераныц ауданы S = 4лВ2 формула сымен есептелетшш корсетемхз. ЕСЕПТЕР 573 .А мен В нуктелер! центр! О нуктес! болатын сферада жатыр, О % АВ. Ал D нуктес! АВ кесшд!с!нде жатыр. Егер: a) D нуктес! АВ кеандесшщ ортасы болса, онда OD ± АВ; о) OD1 АВ болса, онда D нуктес! АВ кес!нд!с!шц ортасы болатынын делелдецдер. 574 .Р нуктес! - уштары радиусы В, центр! О болатын сферада жататын АВ кесшд!с!шц ортасы. Егер: a) R = 50 см, АВ = 40 см болса, OD-ны; е) R = 15 мм, АВ =18 мм болса, OD-ны; б) R = 10 дм, OD =*60 см болса, АВ-ны; в) егер R = a, OD = b болса, онда AD кес!щцс!н табыцдар. 575 .А мен В нуктелер! радиусы R сферада жатыр. Егер АВ = т болса, онда сфераныц центршен АВ тузуше дейшг! кашыктык неге тец? 576.Егер а) А (2; -4; 7), R = 3; е) А(0; 0; 0), R = ; б) А (2; 0; 0) R = 4 болса, центр! А, радиусы R болатын сфераныц тецдеу! калай жазылады. 5 77.Егер: а) А(-2; 2; 0), N (5; 0; -1); е) А (-2; 2; 0), А(0; 0; 0); б) А (0; 0; 0), N (5; 3; 1) болса, онда центр! А болагын жене N нуктесшен отетш сфераныц тецдеу! калай жазылады? 5 78..а) х2 + у2 4- г2 = 49; е) (х - З)2 4- (у 4- 2)2 4- г2 = 2 тецдеулер!мен
бер!лген сфераньщ центршщ координаталарын, радиусын табындар. 579 .а) х2 - 4х 4- у2 + г2 = 0; о) х2 4- у2 4- г2 - 2у = 24; б) х2 4- 2х 4- г/2 4-4- г2 = 3; в) х2 - х 4- у2 4- Зу 4- г2 - 2г = 2,5 тендер сфераньщ тендеу! болатынын делелдецдер де, сфераньщ радиусын, центршщ координаттарын табындар. 58О .Радиусы 41 дм шар центршен 9 дм кашыктыкта жазыктыкпен киылтан. Киманыц ауданын табындар. 581 .АВС ушбурышынын тобелер! радиусы 13 см сферада жатыр. Егер АВ = 6 см, ВС = 8 см, АС = 10 см болса, онда сферанын центршен ушбурыш жазыктыгына дешнг! кашыктык неге тен? 582 .Т!ктертбурыштын тобелер! радиусы 10 см сферада жатыр. Егер тштортбурыштыц диагонал! 16 см болса, сфера центршен тштортбурыш жазыктыгына дешнг! кашыктык неге тен? 583 .Ушбурыштын кабыргалары радиусы 5 см сферага жанасады. Егер ушбурыштын кабыргалары 10 см, 10 см жене 12 см болса, онда сферанын центршен ушбурыш жазыктыгына дешнг! кашыктык неге тец? 584 .АВС ушбурышынын барлык кабыргалары радиусы 5 см сфе-раны жанайды. Егер АВ =13 см, ВС =14 см, С А = 15 см болса, онда сферанын центршен ушбурыш жазыктыгына дешнг! кашыктык неге тен? 585 .Диагональдары 15 см жене 20 см болатын ромбыныц барлык кабыргалары радиусы 10 см сфераны жанайды. Сферанын центршен ромб жазыктыгына дешнг! кашыктыкты табындар. 586 .ОН кесшдас! - О АВС тетраэдрдщ бшктгг!. Егер: a) R = 6 дм, ОН = = 60 см;е) R = 3 м, ОН = 95 см; б) R = 5 дм, ОА = 45 см; в) R = 3,5 дм, ОН = 40 см болса, онда центр! О, радиусы R болатын сфера мен АВС жазыктыгыныц озара орналасуын аныктацдар. 587 .Радиусы R центршен киюшы жазыктыкка дешнг! кашыктык d-ra тец: а) егер R = 12 см, d = 8 см болса, киманыц S ауданын; е) егер киманыц ауданы 12 см2, d = 2 см болса, онда сферанын R радиусын есептецдер. 588,Сфера радиусыныц ортасынан осы радиуска перпендикуляр киюшы жазыктык жург!з!лген. Сферанын радиусы R. а) Пайда болтан киманын радиусын; о) тобес! сферанын центр!, ал табаны алынган кима болатын конустын бушр бет!нщ ауданын табындар. 589 .Радиусы R сфера диаметршщ ушы аркылы отетш жазыктык диаметрмен а бурышын курайды. Егер: a) R = 2 см, а = 30 ; о) R = 5 м, а =45 болса, онда кимада пайда болтан шецбердщ узындыгы неге тец? 590 .Радиусы R сфера бер!лген шардын шекарасы болып табылады, 6ipeyi сферага жанама, ел екшш!с! жанама жазыктыкка <р бурышымен колбейтш ек! жазыктык жург!з!лген. Берьлген шар кимасыныц ауданын табыцдар. 591 .Сфера 120 еюжакты бурыштын жактарын жанайды. Егер сфераньщ центршен еюжакты бурыштын кырына дейшг!
кашыктык cl болса, сферанын радиусы мен жанасу нуктелер!шц ара кашыктыгы неге тец? 592 .Сфераньщ радиусы 112 см. Сферага жанама жазыктыкта жа-татын нукте жанасу нуктесшен 15 см кашыктыкта орналас-кан. Осы нуктеден ец жакын орналаскан сфера нуктесше дешнг! ара кашыктыкты табыцдар. 593 .Радиусы: а) 6 см; в) 2 дм; б) м; в) 2 ^3” см сферанын ауданы неге тец? 594 .Сфераныц центршен отетш киманыц ауданы 9 м . Сфераныц ауданын табыцдар. 59б .Сфераныц ауданы 324 см2. Сфераныц радиусын табыцдар. 596 .Сфераныц ауданы формуласын пайдаланып, ек! сфераныц аудандары олардыц радиустары квадраттарына пропорционал болатынын долелдендер. 597 .Ауданы радиусы 5 м сфераныц ауданына тец доцгелектщ радиусын табыцдар. 598 .Сферанын озара параллель кималарыныц радиустары 9 см жане 12 см. Киюшы жазыктыктардыц ара кашыктыгы 3 см. Сферанын ауданын табыцдар. 599 .Сфераныц озара перпендикуляр киюшы жазыктыктармен кималарыныц радиустары гх жэне г2. Егер кималардыц тек 6ip гана ортак нуктес! болса, онда сфераныц ауданы неге тен? бОО.Сфераныц ауданы формуласын пайдаланып, квадратты онын 6ip кабыргасынан айналдырганда пайда болатын цилиндрдщ толык бет! радиусы квадраттыц кабыргасына тец сфераныц ауданына тец болатынын делелдендер. VI ТАРАУГА APHAJIFAH СУРАЦТАР 1 .Цилиндрдщ табан жазыктыгы мен жасаушысы аркылы ететш жазыктыктын арасындагы бурыш неге тец? 2 .Цилиндрдщ жасаушысына параллель жазыктыкпен кимасы кандай фигура болады? 3 .Цилиндрдщ табанында озара параллель емес ек! хорда алынган. Бул ек! хорданьщ ец кыска ара кашыктыгы: а) цилиндрдщ бшкт!г!не тец; е) цилиндрдщ бижтггшен улкен; б) цилиндрдщ бшктнлнен Kimi бола ма? 4 .Ек! цилиндрлж буйым никельмен б!рдей кальщдыкта каптал-ган. BipiHini буйымныц бшктгг! екшш! буйымньщ бшктшшен ек! есе улкен, б!рак б!ршш! буйым табаныныц радиусы екшип буйым табаныныц радиусынан ек! есе Kimi. Каи буйымга никель коп жумсалады? 5 .Конустыц жасаушылары мен оныц табан жазыктыгыныц ара-сындага бурыштар; конус жасаушылары мен оныц ос!нщ арасындагы бурыштар озара тец бола ма? 6 .Конустыц тобес! аркылы отетш жазыктыкпен кимасы кандай фигура болады?
7.А мен В нуктелер! шарда жатыр. АВ кесшд!с!шц кез келген нуктес! шарда жата ма? 8-Катеттер! 4 см, 2 ^[2 см болатын тжбурышты ушбурыштьщ тебелер! радиусы д/б” см сферада жата ма? Э.Центрлер! ортак жане радиустары ар турл! сфералардыц ортак жанама жазыктыгы бар бола ма? 10.Берьтген кесшд! т!к бурышпен кершетш кешстжтщ барлык нуктелершщ жиыны кандай фигура болады? ЦОСЫМША ЕСЕПТЕР 601.Цилиндрдщ осьтж кимасыныц ауданы S. Цилиндрдщ табаны радиусыныц ортасынан ететш, осы радиуска перпендикуляр жазыктыкпен кимасыныц ауданын табыцдар. G02.ABCD тжтертбурышыньщ А мен В тебелер! цилиндрдщ табаныныц шецбершде, ал С мен D тебелер! екшш! табанынын жатыр. Егер цилиндрдщ жасаушысы а жене АВ = а, ал ВС тузу! мен табан жазыктыгыныц арасындагы бурыш 60 болса, онда цилиндрдщ радиусы неге тец? бОЗ.Егер а жазыктыгы цилиндрдщ осше параллель болса жене осы а жазыктыгы мен цилиндр ос!н!ц ара кашыктыгы цилиндрдщ радиусына тец болса, онда а жазыктыгында цилиндрдщ тек 6ip гана жасаушысы жататынын делелдецдер. (Бул жагдайда а жазыктыгы цилиндрге жанама жазыктык деп аталады). 6О4.Т!ктертбурышты тен емес кабыргаларынан айналдырганда ек! айналу цилиндр! шыгады. Бул цилиндрлердщ то лык бетте-ршщ аудандары S жене S,. Тжтертбурыштыц диагоналш табыцдар. 6 05.Егер цилиндрдщ осьтж кимасы: а) квадрат; э) АВ : АВ =1:2 болатындай ABCD тж тертбурыш болса, онда цилиндрдщ то-лык бет! ауданыныц бушр бет! ауданына катынасы неге тец болады? бОб.Цилиндрдщ бушр бет!нщ ауданы оныц осьтж кимасына сырттай сызылган децгелектщ ауданына тец. Цилиндр радиусыныц оныц бижтйлне катынасын табындар. 6О7 .Цилиндрдщ осьтж кимасыныц периметр! 2р-га тец. Бушр бетшщ ауданы ец улкен мен кабылдайтындаи цилиндрдщ бижт!г! мен радиусын табыцдар. 6О8 .Цилиндр тер!здес стаканный бушр кабыргасы мен тубпйц калыцдыктары 1 см, стаканный бижтпл 16 см, ал iiuKi радиусы 5 см. Стаканный толык бетшщ ауданын есептеп табыцдар. 6О9 .Децгелектщ торттен б!ршен конустык бет жасалган. Конустын жасаушысы онын табаныныц радиусынан терт есе артык болатынын делелдецдер. 610 .Конустын езара кос-костан перпендикуляр уш жасаушысы бар, онын осьтж кимасы тебес!ндег! бурышыньщ косинусын табыцдар.
601 .Конус табанынын ауданы ал онын бушр бетшщ ауданы S . Конустын осьт1к кимасыныц ауданын табыцдар. 612 .Конустын бушр бет! ауданыныц толык бет!нщ ауданына каты-насы 7:8 катынасындай. Конустыц табан жазыктыгы мен жа-саушысыныц арасындагы бурышты табындар. 613 .Конустыц тебес! мен табанындагы 120 доганы керетш хорда аркылы ететш кима табан жазыктыгымен 45 бурыш жасайды. Егер табаныныц радиусы 4 см болса, киманыц ауданы неге тец? 614 .Егер конустын бушр бетинц жазбасы догасы 270 -ка тен сектор болса, онда конустын жасаушысы меи бшктпчнщ арасындагы бурыш неге тен? 615 .Катеттер! а жене b болатын т!кбурышты гипотенузасынан ай-налдырганда шыккан дене бетшщ ауданын табындар. 616 .Табандары 6 см, 10 см, ал сушр бурышы 60 тецбушрл! трапе-цияны улкен табанынан айналдырганда шыккан айналу денес! бет!шц ауданын табындар. 617 .Конустын бшкт!г! 4 см, ал табанынын радиусы 3 см. а) п = 3; э) п = 4; б) п = 6 деп алып, конуска !штей сызылган* дурыс n-бурышты пирамиданын толык бет!шц ауданын табындар. 618 .Киык конустын осьтш кимасыныц диагональдары езара перпендикуляр. Осьт!к киманыц 6ip табаны 40 см, ал оныц ауданы 36 дм2. Киык конустыц бушр жэне толык беттершщ аудандарын табыцдар. 619 .а) Сферанын центр! сферанын симметрия центр!; э) сферанын центршен ететш кез келген тузу сферанын симметрия oci; б) сферанын центршен ететш кез келген жазыктык симметрия жазыктыгы болатынын далелдендер. 62О .Катеттер! 1,8 см жэне 2,4 см т!к бурышты ушбурыштын тебелер! сферада жатыр. а) Егер сферанын радиусы 1,5 см болса, онда сферанын центр! ушбурыш жазыктыгында жататы-нын далелдендер. а) Егер сферанын радиусы 6,5 см болса, онда сферанын центршен ушбурыш жазыктыгына дешнг! кашыктык неге тен? 621 .Радиусы R сферанын центршен бер!лген тузуге дешнг! кашыктык d-ra тец. а) Егер d < R болса, онда тузу сфераны ек! нукте-де киятынын; о) егер d = R болса, онда тузу сфераны 6ip нукте-де жанайтынын; б) егер d > R болса, онда тузудщ сферамен ортак б!р де нуктес! болмайтынын делелдецдер. 622 .(х - З)2 + у2 + (г + 5)2 = 25 тецдеу!мен бер!лген сферанын координаталык осьтермен киылысу нуктес!шц координаталарын табындар. 623 .М (2; 4; 5) нуктесшен отетш жене абсциссалар осше перпендикуляр болатын жазыктыкпен х2 + у2 4- г2 = 36 тендеу!мен бер!лген сфераны кигандагы киманыц радиусын табыцдар. * Егер пирамиданын табаны конустын табанына нитей сызылган. ал пирамида тебес! конус тобесшен беттесетш болса, пирамида конуска нитей сызылган деп аталады.
624 .Bip кабыргасы ортак ек1 тжтортбурыш ор турл! жазыктык-тарда жатады. Берьтген тштортбурыштардьщ тобелер! 6ip сферада жататынын долелдевдер. 625 .0зара тец сфералар центр лершщ ара кашыктыгы олардын диаметршен Kimi, а) Бул сфера лардыц киылысуы шецбер болатынын делелдендер; е) егер сфераныц радиусы В, ал сфералар-дын центрлершщ ара кашыктыгы 1,6Л болса, онда кима шецбер!шн радиусы неге тен? 626 .А, В, С, D нуктелер! радиусы R сферада жатыр жене aADB = л BCD = zCDA = 2<р, AD = BD = CD. a) AB жене AD узындыкта-рын; e) сфераны ABC жазыктыгымен кигандагы киманыц ауданын табыцдар. 627 .Сфераныц радиусы 10 см. Сферадан тыскары М нуктесшен сферадагы ец жакын нуктеге дешнг! ара кашыктык 16 см. М нуктесшен барлык нуктелер! 24 см кашыктыкта орналаскан сферада жаткан шецбердердщ узындыгын табыцдар. 628 .Дене центрлер! ортак ек! сферамен шектелген. Денен! сфера-лардыц центршен ететш жазыктыкпен кигандагы киманыц ауданы осы денен! !шк! сферага жург!з!лген жанама жазыктыкпен кигандагы киманыц ауданына тец болатынын долел-децдер. КеПЖАКТАРГА, ЦИЛИНДРГА, КОНУСЦА ЖЭНЕ HIAPFA БЕР1ЛГЕН ОР ТУРЛ1 ЕСЕПТЕР Бул бол!мшн есептершде кездесет!н кейб!р терминдерд! тус!нд!ре кетешк. Егер сфера копжактьщ барлык жактарын жанайтын болса, онда кепжак сферага сырттай сызылган деп немесе сфера копжацца нитей сызылган деп аталады. Егер копжактьщ барлык тобелер! сферада жататын болса, онда копжак сферага нитей сызылган деп, ал сфера копжацкд сырттай сызылган деп аталады. 629.Егер цилиндрге !штей сызылган ушбурышты призманыц б!р жагы цилиндрдщ oci аркылы етсе, онда ка тган ек! жагы озара перпендикуляр болатынын долелдендер. 630.Бшктпл 12 см конуска табаны тштортбурыш болатын пирамида !штей сызылган. Т!ктертбурыштьщ кабыргалары 6 см жене 8 см. Пирамиданьщ жане конустыц толык беттер! аудандарыныц катынасын табыцдар. 631.Киык конуска дурыс л-бурышты пирамида !штей сызылган (ягни пирамиданьщ табандары киык конустыц табандарына !штей сызылган). Киык конустыц табандарыньщ радиустары 2 см жане 5 см, ал би!кт!г! 4 см. а) п = 3; е) п = 4; б) п = 6 деп алып, пирамиданьщ толык бетшщ ауданын табыцдар. 632.Егер дурыс призманы сферага !штей сызуга болатын болса, онда сфераныц центр! осы призманын табандары центрлерш косатын кесшднпц ортасы болатынын долелдендер.
623.Дурыс пирамидага !штей сызылган сфераныц центр! пирамиданыц бшктплнде жатанынын делелдецдер. 634.Сфераныц радиусы R. Сферага копжак сырттай сызылган. Бул копжак: а) куб болса; о) дурыс алтыбурышты призма болса; б) дурыс тетраэдр болса, !штей сызылган копжактьщ толык бет!шц ауданын табыцдар. 635.Радиусы R сферага тобесшдег! жазык бурышы а-га тец дурыс тертбурышты пирамида сырттай сызылган. а) Пирамиданын бушр бет!нщ ауданын табыцдар. о) R = 5 см, а = 60 деп алып, осы ауданды есептендер. 636.Егер дурыс тертбурышты киык пирамидага !штей сфера сы-зуга болатын болса, онда пирамиданын апофемасы оныц бушр жагынын табандарындагы кабыргалары косындысынын жартысына тец болатынын делелдецдер. 637.а) Дурыс призмага сырттай сызылган сфераныц центр! осы призма табандарыныц центрлерш косатын кес!нд!шн ортасы болатынын делелдецдер. о) Дурыс пирамидага сырттай сызылган сфераныц центр! осы пирамиданыц бшктплнде немесе бшктжтщ созындысында жататынын делелдецдер. 6 38.1) Кез келген тетраэдрге сырттай; 2) кез келген тетраэдрге !штей сфера сызуга болатынын делелдецдер. 639 .Сфераныц радиусы R. Сферага !штей сызылган: а) кубтыц; е) бшктнт R болатын дурыс алтыбурышты призманыц; б) дурыс тетраэдрдш толык бет!шц ауданын табындар. 640 .Дурыс ушбурышты пирамида табаныныц кабыргасы а, ал бушр кыры 2а. Оган !штей жене сырттай сызылган сфералардыц радиустарын табыцдар. 641 .Дурыс тертбурышты пирамидага 1штеи жене сырттай сызылган сфералардыц радиустары 2 см жене 5 см. Пирамида табанынын кабыргасын жене бриктнтн табындар. 642 .Сфера цилиндрге !штей сызылган (ягни сфера цилиндрдщ та-бандарын жене барлык жасаушыларын жанайды, 157, а-сурет). Сфера аудапыньщ цилиндрдщ толык бетшщ ауданына катынасын есептендер. 643 .Осьтж кимасыныц тобесшдег! бурышы <р, табаныныц радиусы г болатын конуска сфера нитей сызылган (ягни сфера конус-тыц табанын жене барлык жасаушыларын жанайды, 158, а-сурет). Егер: a) R мен <р белг!л! болса, онда г-ды; б) егер г мен <р белгип болса, онда Я-ды; в) егер R = 1 см, г = см болса, онда <р-д! табыцдар. 644 .Конуска радиусы г сфера шттей сызылган. Конустын жасаушысы мен табаныныц арасындагы бурыш « -га тец. Конустын толык бет!н!ц ауданын есептендер. 645 .Цилиндр сферага нитей сызылган (ягни цилиндрдщ табандары сфераныц кималары, 157, б-сурет). Цилиндрдщ бшктнт табанынын диаметрше тец болса, цилиндрдщ толык бет! ауданы-ныц сфера ауданына катынасын табыцдар.
157-сурет. 158-сурет. 646.0сьт1к кимасыныц тебесшдеп. бурышы <р жене табанындагы радиусы г болатын конус сферага нитей сызылган (ягни конустын тебес! сферада, ал конустын табаны сферанын кимасы болып табылады, 158, tf-сурет). Егер: a) R мен <р белгЬп болса, онда r-ды; е) г мен <р белгктп болса, онда 2?-ды; б) R = 2г болса, онда <р-д! табындар.
VII т а р а у ДЕНЕЛЕРДЩ К0ЛЕМДЕР1 § 1. Т1КБУРЫШТЫ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДТЩ К6ЛЕМ1 63. Колем угымы. Дененщ колем! жазык фигураныц ауданы угымы сиякты енг!з!лед!. Эрб!р копбурыштын ауданы бар екеш жэне ол тацдап алынган аудан олшем б!рл!г! бойынша есептелетпп планиметрия курсынан белг!л!. Одетте ауданныц олшем б!рл!г! рет!нде кабыргалары олшем б!рл!г!не тец квадрат алынады. Дарастырылып отырган денелердщ эрб!реу!шц тацдап алган колем б!рл!г! бойынша олшеуге болатын колем! бар деп уйгарамыз. Келемшц олшем 6ip.niri ретшде, кыры кесш/цлерд! олшеу б!рлнлне тец кубты кабылдаймыз. Кыры 1 см куб - куб сантиметр деп ата-лып, см3 туршде белг!ленед!. Осы сиякты куб метр (м3), куб миллиметр (мм3) жэне т.с.с. ал-дьщгы айтканымыздай аныкталады. Колемд! олшеу ауданды олшеуге уксас жург!з!лед!. Тацдап алынган олшем б!рл!гшде ep6ip дененщ колем! оц санмен сипатталады. Бул сан бер!лген денеде канша колемд! олшеудщ б!рлпч жэне олшем б!рл!г!нщ канша болшег! бар екешн корсетед!. Дененщ колемш корсетет!н сан колемд! олшеудщ тацдап алынган б!рл!г!не байланысты екеш тус!шкт!, сондыктан саннан кешн колемд! олшеу б!рлгг! жазыла-ды. Мэселен, колемд! олшеу б!рл!г! ретшде см3 алынса жэне кайсыб!р денешц V колем! 2-ге тец болса, онда оны былайша жаза-мыз: V = 2 см3. Егер ек! дене тен болса, онда олардыц б!реушде неше колем б!рл!г! мен оныц болпч бар болса, екшппсшде де сонша колем б!рл!г! мен оныц белил бар болады, ягни колемдердщ мынадай касиет! бар: 1. Тецденелердщколемdepiде тец. Е с к е р т у. Ек! фигураныц, дербес жагдайда ек! денешц тешшл планиметриядагыдай аныкталады: егер ек! денеш беттест!ргенде олар дел беттесетш болса, онда мундай денелер озара тец деп аталады. Тец денелердщ мысалы ретшде сэйкес елшемдер! озара тец тжбурышты ек! параллелепипедт! (159, а-сурет), табандары мен бшктер! озара тец т!к ек! призма ны, табандарынын кабыргалары жэне бшктштер! озара тец дурыс ек! пирамиданы алуга болады (159, б-сурет). Дарастырылган мысалдардагы денелердщ тецдплн фигуралардыц тещцг! мен беттест!ру аксиомаларыныц нег!зшде дэлелдеуге болады (2-косымшаны карацдар). Колемнщ тагы 6ip касиетш карастырайык. Дене б!рнеше дене-лерден туратын болсын. Бул денелердщ кез келген екеуше ортак !шк! нуктелер! жок, б!рак ортак шекарачык нуктелер! бар болуы 154
159-cypej. мумюн деп уйгарайык (160-суретте: Q цилиндр! мен F конусынын ортак табандарынын нуктелер! - олардын ортак шекаралык нуктелер!). Денешц колем! оны курайтын денелер колемдер!н!ц косындысына тец болатыны тус!шкт!. Сонымен 2 . Егер дене б1рнеше денеден пцратын болса, онда оныц колелп осы денеш цррайтынденелерколем дерш цкосындысына тец 1 жоне 2 -касиеттер колемнщ нег1зг! цасиеттер1 деп аталады. Осы сиякты касиеттер кеск!нд!нщ узындыгы жэне копбурыштыц ауданы ушш де орындалатынын естерще саламыз. Осы касиеттщ нег!з!нде параллелепипедтщ, призманыц, пирамиданьщ, цилиндр -дщ, конустыц, шардыц колемш есептеу формулаларын корытып шыгарамыз. 1 жене 2 -касиеттердщ 6ip салдарына токталайык. Колем! олшеу б!рлйл ретгнде кабылданган кубты карастырайык. Онын Кыры кес!нд!лерд!ц олшеу б!рл!г!не тец. Бул кубтыц ep6ip кырын озара тец п бол!кке болешк (п - кез келген бут!н сан) жэне болтну нуктелершен осы кырга перпендикуляр жазыктыктар журНзешк. Бастапкы куб кырлары — -ге тец озара тец п к!шкене кубтарга болшед!. Барлык кнпкене кубтардьщ келемдершщ косындысы берхлген кубтыц колемше (2 -касиет), ягни 1-ге тец болгандыктан, онда эрб!р кубтыц колем! -ге тец (кппкене куб-тардыц колемдер! 1 касиет бойынша озара тец). 1 1 Сонымен, цыры—-гетецкцбтыцкелем! 3 -гетец-п * п Бул жагдай келес! пунктте т!кбурышты параллелепипедтщ колемш корытып шыгаруда б!зге кажет болады. 64. Тткбурышты параллелепипедтщ колем!. Теорема. Тмсбррылшпы параллелепипедтщ колем1 оныц ушолшемшщ кобейтгнд1с1не тец. Д о л е л д е у i.* Т1кбурышты Р V=VA4|/4r 160-сурет. * Бул теореманьщ далелдеуш окып-уйрену мшдетт! емес.
параллелепипедтш елшемдерш а, Ь, с, ал оныц колемш V ертмен белгьлеп, V = abc болатынын далелдешк. Ею жагдаи болуы мумкш. 1) а, b жоне с елшемдер! шектеул! ондык белшектер жене ондык белшектердщ ут!рден кешнп тацбаларынын саны n-нен аспайтын болсын (п > 1 деп те уйгаруга болады). Бул жагдайда а • 10n, b • 10п сандары бутш сан болып табылады. (Моселен, 9,32; ут!рден кешн ек! сан, демек, п = 2, олай болса, 9,32 • 102 = 932). Параллеле-пипедтщ ep6ip кырыньщ узындыгын я белхкке белеихк те, белшу нуктелершде осы кырга перпендикуляр жазыктыктар журпзешк. Р параллелепипед! кырыныц узындыгы л , барлык саны abc • 103п болатын езара тец кшшене кубтарга белгнедъ Осын-дай ербхр кубтыц колем! J3„ -ге (63-пунктт! карацдар) тец болгандыктан, бастапкы тшбурышты Р параллшелепипедднщ колем! abc • 103п • = abc болып шыгады, демек, V = abc. 2) а, b жене с олшемдершш кемшде 6ipeyi шектеус!з ондык белшек болсын. а, b жене с сандарыньщ уттрден кейшп (п 4- 1)-циф-рынан бастап одан кейшга цифрларды алып тастаганда пайда бол-ган шектеул! а (, Ьп, с ондык белшектерш карастырайык. ап < а < а> екеш акикат, мунда а>п = ап + . Осындай тецс!зд!ктер b жене с сандары ушш де дурыс. Бул тещлз/цктерд! езара кобейтш, мынаны аламыз: abc < abc < а> b> с , (1) п п п п п п7 ' . . , 1 ,1 мундагы &„ = Ьп + 10„ ,о„ = с„+ 1()Л • Bipinini жагдайда дэлелдегешм1здей (1) формуланыц сол жагы - елшемдер! ап, Ьп, сп болатын тшбурышты Р параллелепипедтш колем! Vn, ал он жагы - елшемдер! а>п, Ь'п, с п болатын тшбурышты Р*п параллелепипедппн колем! V>n. Р параллелепипед! Р парал-лелепипедашц !ш!нде, ал Р параллелепипедтш ез! Р>п параллелепи-педшш йшнде орналаскандыктан (161-сурет), Р параллелепипед!-нщ V колем! = arib'iC'n колемдерш орнектейтш сандардьщ ара-сында, ягни а b с s V < & Ь' с . (2) п п п п п п z . г. 1 п санын шеказ егаремхз. Сонда я саны ете аз шама болады да, a'f b’ С'п саныньш a bct санынан айырмашылыгы ете аз болады. Будан (1)' жене (2) тецс1зд!ктерге суйенсек, V саныныц abc санынан айырмашылыгы ете аз шама. Демек, олар езара тен: V = abc. Теорема делелденд!. 1 - с а л д а р. Тмбурышты параллелепипед1тцкелем1 табанынъщ ауданы мен бшкпигш ц кабейт1нд1с1не тец.
161-сурет. 162-сурет. Шынында да, кырлары а жэне b жагын параллелепипедтщ табаны ретшде алайык. Онда оныц табаныныц S ауданы ab кобейт!нд!с!не тец, ал параллелепипедтщ h бшктпт с-га тец. Олай болса, V = abc = Sh. 2 - с а л д а р. Табанытшбурышты ушбурыш болатынmin призма ныц колем! табаныныц ауданы мен бшктггтц кобейпйнд1с1не тец. Бул уйгарымды дэлелдеу ушш табаны ABC (zA-tIk) болатын Т1к ушбурышты призманы, 162-суретте корсет!лгендей етш тжбурышты параллелепипедке дети толыктырайык. 1-салдар бойынша бул параллелепипедтщ колем! 2£>АПС • h кобейт!шцс!не тец, мундагы - АВС ушбурышынын ауданы, ал h - призманын бшктпл. В'ВС жазыктыгы параллелепипеда озара тец ек! приз-мага боледт; оныц 6ipeyi - берытген призма. Олай болса, беръяген призманын колем! параллелепипед колемшщ жартысына тец, ягни V = f (2Sabc • А) = SABC • h. Салдар дэлелденда. ЕСЕПТЕР 6 47.В денес! колемдер! V мен V„ болатын Р мен Q денелершен тура-ды. а) Р мен Q денелер!шц инк! ортак нуктелер! жок деп; э) Р мен Q денелершщ ортак болилнщ колем! Vj-re тец деп уйга- рып, В денесшщ V колемш мен V2 колемдер! аркылы орнек-тецдер. 648 .Табаныныц кабыргалары а, Ь, ал бшкт!г! h болатын тшбурышты параллелепипедтщ колемш есептецдер. Мундагы: а) а = 11, b = 12, h = 15; э) а = 3 ^2”, b = , h = 10^/10 ; б) а = 18, Ь= 5 /3, h = 13; в) а= 3-7, b = VT, А = 0,96. О
649.Егер а) АС =12 см, е) АСХ = 3 </2~ см; б) DE = 1 см болса, онда ABCDA кубынын колем! неге тен? Мундагы Е- АВ кырынын ортасы. 65О .Т!кбурышты параллелепипедтщ олшемдер! 8 см, 12 см жене 18 см. Колем! осы параллелепипедтщ колемше тен кубтын кырын табыцдар. 651 .Kipmni олшемдер! 25 см, 12 см, 6,5 см болатын тшбурышты параллелепипед тер!здес. К!ршштщ тыгыздыгы 1,8 г/см3. Оныц массасын табыцдар. 652 .АС, = 13 см, BD =12 см, ВСХ = 11 см болса, онда тшбурышты ABCDAlBlClD} параллелепипе/цшн колем! неге тен? 653 .Т!кбурышты параллелепипедтщ диагонал! 18 см жене ол бушр жагымен 30°, ал бушр кырымен 45° бурыш жасайды. Параллелепипедтщ колемш табыцдар. 654,Т!кбурышты параллелепипедтщ диагонал! бушр жагымен а бурышын, ал табан жазыктыгымен р бурышын жасайды. Параллелепипедтщ бшктпл h болса, онда колем! неге тен? 655 .Тшбурышты параллелепипед табаныныц кабыргалары а жене Ь. Параллелепипедтщ диагонал! табаныныц b-га тец кабыргасы жататын бушр жагымен 30 бурыш жасайды. Параллелепипедтщ колемш табыцдар. 656 .Тжбурышты АВСВА^С^ параллелепипедшщ B{D диагонал! табан жазыктыгымен 45 бурыш жасайды, ал AJt BD еюжакты бурышы 60 . Егер параллелепипед табаныныц диагонал! 12 см болса, онда колем! неге тец? 657 .Егер АС{ = 1 м, лСуАС = 45°, zC,A2? = 60 болса, е) АС, = 24 см, zC,AA = 45 , жене АС, бушр жагымен 30 бурыш жасаса, онда AdBCDAlBlClDl тшбурышты параллелепипедшщ колем! неге тен? 658 .ZBAC = 90 , ВС = 37 см, АВ = 35 см, АА, = 1,1 дм. Тш АВСА,В,С, призмасыныц колемш табыцдар. § 2. TIK ПРИЗМАНЫЦ ЖЭНЕ ЦИЛИНДРДЩ КОЛЕМ1 65. TiK призманыц колем!. Т е о р е м а. ТЬс призманыц колем} оныц табаны ауданыныц бшктшне кобейт1нд1с1не тец. Делелдеу!. Теореманы еуел! ушбурышты тш призма ушш, одан кешн кез келген тш призма ушш делелдейм!з. 1. Колем! V, ал бшкт!г! h болатын ушбурышты АВСА{ВС} тш призмасын карастырайык. АВС ушбурышынын BD би!кт!г! оны ек! тшбурышты ушбурышка болед! (163-сурет). BB{D жазыктыгы призманы табандары ABD мен В DC тшбурышты ушбурыштар болатын ек! призмага болед!. Сондыктан, булардын V, мен V колемдер! SABD • h жене S • h кобейтшдЬперше тец. Колемнщ 2 -касиет! бойынша V = И, 4- И9, ягни
16 3-су рет. 164-сурет. ^ABD ’ ^BDC ’ h ^ABD *^BDC^ Сонымен, *^ABD Ь’ (1) 2. Енд! теореманы табаныныц ауданы S, бшктгг! h болатын кез келген ш призма ушш далелдешк. Мундай призманы ушбурышты eni т!к призмага болуге болады. Меселен, 164-суретте бес-бурышты призма кескхнделген жене ол уш ушбурышты призмага болшген. 8p6ip ушбурышты призманыц колемш (1) формула бойынша есептеп, оларды косайык. Ортак h кобейткшпн жакшалардыц сыртына шыгарып, жакшалар !ш!нде ушбурышты призмалар-дьщ табандары аудандарыныц косындысын, ягни эуелде бер!лген призманыц табанынын S ауданын аламыз. Сонымен, бер!лген бас-тапкы призманыц колем! S • h кебейтшд!с!не тец. Теорема дэлелдендъ 66. Цилиндрдщ колем!. Егер призманын табандары цилиндрдщ табандарына !штей сызылса, онда призма цилиндрге нитей сызылган деп (165-сурет), ал егер призманыц табандары цилиндрдщ табандарына сырттай сызылган болса, онда призма цилиндрге сырттай сызылган деп аталады (166-сурет). Цилиндрге !штей, не сырттай сызылган призманын бшктш цилиндрдщ бшкттне тец болатыны анык. 165-сурет. Цилиндрге шггей сызылган призма. 166-сурет. Цилиндрге сырттай сызылган призма.
16 7-сурет. Теорема. Цилиндрдщ колела оныц табаны ауданыныц бшктшне кебейт1нд1с1не тец. Дэлелдеу!. Радиусы бшктгг! hР цилиндрге дурыс тг-бурыш-ты Fn призмасын нитей сызамыз (16 7-сурет), ал бул призмага Рп цилиндрш !штей сызамыз (167-суретте бул цилиндрдщ табаны штрихталып керсейлген). Р мен Рп цилиндрлер!шц келемдерш V мен Vn, ал Р1 цилиндр!нщ радиусын гп аркылы белплешк. F призма-сыныц колем! Sn • /г кобейт!нд!сше тец, ал Р цилиндр! Рп призмасын, Fn призмасы Рп цилиндр!н камтитын болгандыктан, V <S -h<V, (1) мунда Sn - Fn призмасы табаныныц ауданы. п санын шекс!з ес!рем!з, сонда Ра цилиндр!шц гп радиусы Р цилиндр!шц г радиусы-1800 на умтылады: rn = г cos---- -> г, егер п -> оо. Сондыктан, Р цилиндр!шц колем! Р цилиндр!шц колемше умтылады: lim V = V. п — (1) тецс!зд!ктен: lim Sn • h = V. Б!рак, lim S = л г2. Сонымен, П- ♦«: n V = nrzh. (2)
Цилиндр табаныныц л г2 ауданын 5 ершмен белНлесек, онда (2) форму ла дан: V = Siu Теорема делелдендь CYPAKTAP ЖОНЕ ЕСЕПТЕР 659.Егер а) хВАС = 120 , АВ = 5 см, АС = 3 см жоне бушр жакта-рыныц ец улкен ауданы 35 см2; е) xABfi = 60 , АВ} = 3, СВХ = 2 жене кыры ВВ{ болатын еюжакты бурыш тш бурыш болса, онда АВСАХВ\С} тш призмасыныц колемш табыцдар. ббО.Егер АВ = ВС = т, ХАВС = <р, ВВХ = BD болса, АВСА В£х тш призмасыныц колем! неге тец, мунда BD - АВС ушоурышы-ньщ бшктпл. 661.Егер АВ = ВС, хАВС = а, А}С диагонал! /-ге тец жене табан жазыктыгымен [3 бурышын жасайтын болса, онда АВСА}ВХСХ тш призмасыныц колем! неге тец? 662 .Тш призманыц табаны - параллелеограмм. Табаныныц а-га тец кабыргасы мен баска табаныныц оган карсы жаткан кабыргасы аркылы кима жург!з!лген. Бул кима табан жазыктыгымен ц бурышын жасайды. Киманыц ауданы Q. Призманыц колемш табыцдар. 663 .Эрб!р кыры а-га тец дурыс n-бурышты призманыц колемш есептецдер, мунда а) п = 3; е) п = 4; б) п = 6; в) п = 8. 664 .Дурыс ушбурышты призманыц томенг! табаныныц кабыргасы мен жогаргы табаныныц оган карсы жаткан тобес! аркылы табан жазыктыгымен 60 бурыш жасайтын кима жург!з!лген. Табанындагы ушбурыштыц кабыргасы а-га тец болса, призманыц колемш табыцдар. 665 .Дурыс алтыбурышты призманыц ец узын диагонал! 8 см жене ол бушр кырымен 30 бурыш жасайды. Призманыц колемш табыцдар. ббб.Цилиндрдщ колем!, радиусы жане бшктпл - V, г жене h. Егер: а) г = 2 у[2 см, h = 3 см болса, V-ны; а) V = 120 см3, h = 3,6 см болса, r-ды; б) г = h, V = 8л см3 болса, /i-ты табыцдар. 667 .Диаметр! 4 мм алюминий сымньщ массасы 6,8 кг, алюминий-дщ тыгыздыгы 2,6 г/см3. Сымньщ узындыгын табыцдар. 668 .Диаметр! 18 м, бшктпл 7 м цилиндр тар!здес цистернага неше тонна мунай сыяды? Мунайдыц тыгыздыгы 0,85 г/см3. 669 .Цилиндрд!ц табаныныц ауданы Q, ал осьтш кимасыньщ ауданы S. Цилиндрдщ колемш табыцдар. 67О .Тыгыздыгы 11,4 г/см3 болатын коргасын тутш кабыргасыньщ калыцдыгы 4 мм жане !шю диаметр! 13 мм. Егер тутштщ узындыгы 25 м болса, оныц массасы неге тец? 671 .Цилиндрге !штей дурыс n-бурышты призма сызылган. а) п = 3; е) п = 4; б) п = 6; в) п = 8 деп алып, призма колемппц цилиндр колемше катынасын табыцдар.
672 .Цилиндрге табанындагы т!кбурышты ушбурыштьщ катет! а, оган !ргелес бурышы « болатын призма !штей сызылган. Призманыц бшктпл /г. Цилиндрдщ келемш табыцдар. § 3. К0ЛБЕУ ПРИЗМАНЫЦ, ПИРАМИДАНЫЦ ЖЭНЕ КОНУСТЫЦ К0ЛЕМ1 67. Келемд! аныцталган интеграл аркылы есептеу. Алгебра жене анализ бастамалары курсынан белгьл! интеграл угымына суйене отырып, дененщ келемш есептеу тесыпн карастырайык. Колем! есептелетш Т денес! езара параллель а мен |3 жазыктык-тарыныц арасында орналассын (168-сурет). Ox oci а мен Н жазык-тыктарына перпендикуляр болатындай тжбурышты координаталар жуйесш ештзш, а мен р жазыктыктарынын Ох ос!мен киылыс-кандагы нуктелер абсциссаларын а мен Ъ ерштер!мен белгьлешк (а < д). Дененщ Ох осше перпендикуляр жене абсциссасы х болатын нуктеден отетш жазыктыкпен кигандагы кимасын Ф(х) деп белг!лейм!з де, Ф(х) не децгелек, не кепбурыш деп уйгарамыз, мундагы х с [а; Ь] (х = а, не х = b болганда кима нуктеге айналуы мумкш, меселен, 168-суретте х = а болганда кима - нукте). Ф(х) фигурасыныц ауданы S(x) [а; &] сандык кесшд!сшде уз!л!сс!з функция деп жориык. [а; д] кесщддсш озара тец п кес!нд!ге нуктелермен болем!з: а = х , хр х2, ... хп = b жоне абсциссасы х1 болатын нуктелер аркылы Ох осше перпендикуляр жазыктыктар жург!зем!з (169-сурет). Бул жазыктыктар Т денесш п денелерге беледк Тр Т2, ... ТЕгер Ф^) кимасы децгелек болса, онда Т денесшщ колем! (1б9-суретте штрихталган) жуык шамамен табаны Ф(х), бшктнт дх. = х - х , = Ь — а _ = —~— болатын цилиндрдщ келемхне тен. Егер Ф(х) кимасы кепбурыш болса, онда Т денес!шц келем! жуык шамамен табаны ФЦ), бшктнт дх^ болатын т!к призманыц келемше тец. Карастыры-лып отырган екх жагдайда да Т денесшщ келем! жуык шамамен 168-сурет. 169-сурет.
8(х) • лх кебеитшдгсше тец, ал бук!л Т денесшщ V колемш жуык шамамен п V*Vn =YS(x,)&xi (1) 1-1 формуласымен есептеуге болады. п негурлым улкен, ал ах. Kimi болган сайын Т денес! колемшщ жуык мош согурлым дэл!рек болады. lim Vг денешц колемше тец болатынын долелдеус!з цабыл-даймыз, олай болса, V = lim V , сонымен катар, V косындысы сан-п-»х п п дык [а; Ь] кеслщцсшдег! ysijjiccis 8(х) функциясы ушш интегралдык ъ косынды, сондыктан lim V = jS(x)dx . Сонымен, 6i3 интегралдыц Л >О П а комеНмен колем/ц есептеу формуласын алдык: ь $S(x)dx. а (2) Бул формуланы дененщ колемш есептеу дщнег1зг1 (pop му ласы деп атаймыз. Осы формуланы пайдаланып, III жоне VI тарауларда карасты-рылган кейб!р денелердщ келемдерш есептеймтз. 68. Колбеу призманыц колем!. Теорема. Колбеу призманыц келем1 тпабаны ауданыныц приз ма бшкпигше кобейт1нд1с1не тец. Долелдеуь Теореманы оуел! ушбурышты призма ушш, одан кешн кез келген призма ушш дэлелдейм!з. 1. Табаныныц ауданы 8, бшктМ Я, ал колем! V болатын ушбурышты призманы карастырайык. Табандарынын б!реу!нен О нуктесш белгълеп, Ox ocin табан жазыктыгына перпендикуляр болатындай eTin багыттайык (170, а-сурет). Ох осше перпендикуляр, демек табан жазыктыгына параллель жазыктыкпен призманы кигандагы киманы карастырайык. Бул жазыктыктын Ох ос!мен киылыскандагы нуктесшщ абсциссасын х оршмен, ал киманыц ауданын 8(х) аркылы белплешк. S(x) ауданы призма табаныныц S ауданына тен болатынын дэлелдешк. Ол ушш АВС ушбурышы (призманыц табаны) ушбурышына (призманын жазыктыкпен кимасы) тец болатынын корсетем!з. Шынында да, ААХВХВ тортбурышы - параллелограмм (АА мен ВВХ кесшдалер! озара тец, opi параллель), сондыктан А В = АВ. Осы сиякты = ВС жэне AjCj = АС. Олай болса, АВС мен А1В1С1 ушбурыштары уш кабыргасы бойынша озара тец. Демек, S(x) = S. а = 0, b = h болганда колемд! есептеудщ нейзп формуласы бойынша: h h h V = f S(x)dx = JSdx = s\dx = S • x |* = S • h. 0 0 0
в2 170-сурет. 2. Енд! теореманы табанынын ауданы S, бшктгг! h болатын кез келген призма ушш долелдешк. Мундай призманы бшктгг! ортак б!рнеше ушбурышты призмаларга белуге болады (170, б-суретте бесбурышты призманы белу керсетгпген). Op6ip ушбурышты призманын колемш делелденген формула бойынша есептеп, оларды коса-мыз. Жакшалар сыртына ортак h кебейтк!шш шыгарып, жакша-лар !ш!нде ушбурышты призмалардын табандары аудандарыныц косындысын, демек, бастапкы призма табанынын S ауданын ала-мыз. Осылайша, бастапкы призманын колем! S • h кебейтшдклне тец. Теорема делелдещц. Е с к е р т у. Колбеу призманыц колемш есептеудщ баска тес!л! де бар: келбеу призманын колем! призманыц бушр кырларына перпендикуляр жене оларды киятын кима ауданынын бушр кырына кобейтшд!сше тец. Кыскаша былай дейдк колбеу призманыц колем! оныц бушр цыры мен осы бушр цырына перпендикуляр цима ауданы-ныц кобейпиндипне тец (682-есепт! карацдар). 69. Пирамиданьщ колем!. Теорема. Пирамиданьщ колем! табаныныц ауданы мен бшктшшц уштен б1р кобейт!нд1с!не тец. Делелдеуь Теореманы еуел! ушбурышты пирамида ушш, одан кейш кез келген пирамида ушш долелдейм!з. 1. Табаныныц ауданы S, бшктпл /г, ал колем! V болатын О АВС ушбурышты пирамиданы карастырамыз. Ох осш жург!зш (171, а-суретте ОМ - пирамиданьщ бшкт!г!) пирамиданы Ох осше перпендикуляр жазыктыкпен, демек, табан жазыктыгына параллель жазыктыкпен кигандагы А^С, кимасын карастырайык. Бул жазык-тыктыц Ох ос!мен киылысу М} нуктесшщ абсциссасын я деп, ал кимасыныц ауданын S(x) аркылы белгалешк. S(x) функциясын S, h жене х аркылы ернектейм!з. AjjB1C1 мен АВС ушбурыштары уксас. Шынында да, А^ | | АВ, сондыктан лОАВ ~ аОА1В|. Олай болса,
171-сурет. 1 ОА. . Тшбурышты ОАуМ} мен О AM ушбурыштары да ОМ. ОМ АВ ОА уксас (оларга О сушр бурышы ортак). Сондыктан ОА. Л х | ~г . Сонымен: —~ h А X ~ ^>1^1 д" . Осы СИЯКТЫ — у- жоне h ры уксас, дэлелденедь Сонымен, ДВ.С. мен АЗС ушбурышта-111 . п S(x) _ ( XV уксастык коэффициент!. Олай болса, $ ~ \ Л J ’ будан S(x) = х2. а = О, b = Л болганда денешн келемш есептеудщ пейзп формула сын па ида ланса к, Л h h V — J S(x)dx = \~~~ x2dx = x2dx^~~ о о A A" о A 2. Ещц теореманы табанынын ауданы S, бшкт!г1 h болатын кез келген пирамида ушш далелдешк. Мундай пирамиданы h бшктнт. ортак ушбурышты пирамидаларга болуге болады. (171, б-суретте бесбурышты пирамиданы болу корсетхлген). Qp6ip ушбурышты пирамиданын келемш дэлелденген формула бойынша есептеп, оларды косамыз. Жакшалар сыртына ортак кобейтшшш шы-гарып, жакшалар iniiime ушбурышты пирамидалардын табандары аудандарынын косындысын, демек, бастапкы пирамида табанынын
S ауданын аламыз. Олай болса, бастапкы пирамиданын колем! ~~S/i кобейпщцсше тец. Теорема долелдендъ С а л д а р. Табандарыныцаудандары SжонеБ^ 6uiKmuih-ца тец циыц пирамиданыцУ колем! V= у h(S + S, + ^s-s, ) (3) (рормуласымен есептелед!. Киык пирамида бастапкы бер!лген пирамидадан Kinii пирами-даны киып алып тастаганнан пайда болатынын, демек, киык пирамиданын колем! берьлген пирамиданыц колем!нен киюшы к!ш! пирамиданын колемш азайткандагы айырымга тен болатынын ескер!п, (3) формуланы езбеттерщше делелдецдер. Е с к е р т у. Пирамиданын колем! туралы теореманы делелде-генде ушбурышты пирамиданы табан жазыктыгына параллель жазыктыкпен киганда пайда болган кима ушбурыш табанындагы ушбурышка уксас болатынын корсеттш. Осы сиякты жалпы касиеттщ орындалатынын корсетуге болады. « жазыктыгында жататын кандай да 6ip Ф фигурасын жэне а жазыктыгында жатпайтын О нуктесш алайык. Ф фигурасынын op6ip М нуктес! аркылы ОМ тузулерш журНзш, бул тузулер мен а жазыктыгына параллель «1 жазыктыгыныц киылысу нуктелер!шц Ф] жиынын карастырайык (172-сурет). Ф фигурасы Ф1 фигурасына уксас екешн делелдеуге болады. Бул касиет ом!рде кец колданылады. Мэселен, кинопроектор-дыц, фотоаппараттыц, телескоптыц жене баска да оптикалык ас-па птардыц курылыстары жогарыда аталган касиетке непзделген. 70. Конустыц колем!. Теорема. Конустыц колем! табан жазыцтыгы мен бшктшнщ уштен 6ip кебейт!нд!с!не тец. 172-сурет. 173-сурет.
Делелдеуъ Табанынын радиусы R, бшктгп /г, тобес! О жене колем! V болатын конусты карастырайык. 173-суретте корсет!лгендей Ох ос!н енНзешк (ОМ - конустын oci). Конустын Ox ocine перпендикуляр жазыктыкпен кигандагы кимасы центр! киюшы жазыктыктын Ох ос!мен киылысатын М. нуктесшде жаткан донгелек болады (55-пункт). Бул денгелектщ радиусын R{, ал ауданын S(x) аркылы белплешк, мундагы х - М{ нуктесшщ абсцис-сасы. Тшбурышты мен ОМА ушбурыш- 174-сурет. ОМ. тарынын уксастыгынан ~q^ х xR Т = -Б-, б¥дан 7?, = . немесе Ал S (х) = л R* болгандыктан, S (х) = а = 0, b = h деп алып, денешц колемш есептеудщ нег!зг! формуласы бойынша келемд! есептейм!з: 1 лЯ2 Конус табанынын S ауданы лН2-ка тен, сондыктан V = ~Sh. Теорема далелденд!. С а л д а р. ТабандарыныцаудандарыЗ мен8р бшкпйгИг болатын ци ыц конустыц колем! V=Y Л (S + S, + JsTs, ) (4) (/юрмуласымен есептеледи 174-суретт! пайдаланып, бул формуланы езбеттерщше далел-дендер. ЕСЕПТЕР 673.Денеш Ох осше перпендикуляр жене абсциссасы х болатын нуктеден отетш жазыктыкпен кигандагы кима - кабыргасы — -ке тен квадрат (175-сурет). Осы денешц колемш табыцдар. 6 74.176-суреттег! штрихталган фигура Ох осшен айналдырылган. Пайда болган денешц колемш табыцдар. 6 75.177-суреттег! штрихталган фигура Оу осшен айналдырылган. Пайда болган денешц колемш табыцдар.
175-сурет. 676 .Табаны кабыргалары 10 см, 10 см жене 12 см ушбурыш болатын келбеу призманын 8 см-ге тен болатын бушр кыры табан жазыктыгымен 60 бурыш жасайды. Призманын келемш табындар. 677 .АВСА1В,С1 келбеу призмасында АВ = ВС = С А = а, АВВХАХ жагы - ромб, АВ < BAV АВХ = b жене АВ кырындагы еюжакты бурыш 9б . Призманын келемш табындар. 678.АВСА1В1С1 призмасыныц табаны - кабыргасы т-ге тен тецка-быргалы АВС ушбурышы. Ах тебесшщ проекциясы АВС ушбурышынын центрше туседа, ал ААХ кыры табан жазыктыгымен <р бурышын жасайды. Призманын келемш табындар. 679 .Келбеу АВСАХВХС} призмасында табаны - катеттер! АВ = 7 см, АС = 24 см болатын тшбурышты ушбурыш. А, тебес! А, В, С тобелершен б!рдей кашыктыкта орналаскан жене АА{ кыры табан жазыктыгымен 45 жасайды. Призманын келемш табындар. 680 .Келбеу параллелепипедтщ табаны - кабыргалары а жене Ъ болатын тштертбурыш. Узындыгы е-га тен бушр кыры табанын-дагы !ргелес кабыргалармен езара тен <р бурышын курайды. Параллелепипедтщ келемш табындар. 681 .Параллелепипедтщ барлык жактары - езара тец ромбылар. Ромбыныц диагоналъдары 6 см жене 8 см. Параллелепипедтщ келемш табындар. 682 .Келбеу призманыц колем! бушр кырларына перпендикуляр epi оларды киятын жазыктыкпен кимасыныц ауданы мен бушр кырыныц кебейт!нд!с!не тец болатынын делелдецдер. 683 .Бушр кырларынын ара кашыктыктары 37 см, 13 см, 30 см жене бушр бетшщ ауданы 480 см2 болатын ушбурышты келбеу призманын келемш табындар. 684 .Пирамиданыц бшктт /г. Егер: a) h = 2 м, ал табаны - кабыргасы 3 м квадрат болса; е) h = 2,2 м, ал табаны - кабыргалары АВ = 20 см, ВС = 13,5 см, zABC = 30 болатын АВС ушбурышы болса, пирамиданын келемш есептендер. 685 .Егер дурыс ушбурышты пирамиданын бшктнт 12 см, ал табаныныц кабыргасы 13 см болса, пирамиданын колем! неге тец?
686.Егер дурыс ушбурышты пирамиданын бушр кыры I болса жэне а) бушр кыры табан жазыктыгымен <р бурышын жасаса; о) бушр кыры !ргелес табан кабыргасымен а бурышын жасаса; б) пирамиданын тобесшдег! жазынкы бурыш р-га тен болса, пирамиданын колемш табыцдар. 687 .Ушбурышты дурыс пирамиданын тобесшдег! жазынкы бурыш <р, ал табанынын кабыргасы а. Пирамиданын колемш табындар. 688 .а) Бшктгг! Н, ал табанындагы еюжакты бурыш р-га тец; е) табанынын кабыргасы т, ал тобесшдег! жазынкы бурышы а-га тен пирамиданын колемш табыцдар. 689 .Дурыс тортбурышты пирамиданын бушр кыры т. жэне ол табан жазыктыгымен <р бурышын жасайды, пирамиданын колемш табындар. 69О .Дурыс алтыбурышты пирамиданын бушр кыры 13 см, ал таба-нына !штей сызылган доцгелектщ радиусы 6 см. Пирамиданын колемш жэне бушр бет!шн ауданын табындар. 691 .Пирамиданын табаны тецбушрл! АВС ушбурышы жэне АВ = = ВС =13 см, АС = 10 см. Пирамиданыц кыры оныц бшктплмен 30 бурыш жасайды. Пирамиданын колемш есеп-тецдер. 692 .Пирамиданыц табаны - катеттер! а мен b болатын тшбурыш-ты ушбурыш. Пирамиданын эрб!р бушр кыры табан жазыктыгына <р бурышымен колбейд!. Пирамиданыц колемш табыцдар. 693 .Тортбурышты пирамиданын табаны - тштортбурыш. Тшторт-бурыштыц диагонал! b жэне диагональдарыныц арасындагы бурышы а. Пирамиданыц эрб!р кыры табан жазыктыгына б!рдей бурышпен колбейд!. Пирамиданын колем! V-га тец болса, осы бурышты табындар. 694 .Пирамиданын табаны — кабыргасы 6 см болатын ромб. Табанындагы еюжакты бурыштын эркайсысы 45. Пирамиданын бшктнт 1,5 см болса, оныц колем! неге тец? 695 .Ушбурышты SABC пирамидасында, егер: a) zCAB = 90 , ВС = с, Z.ABC = <р жене пирамиданын эрб!р кыры табан жазыктыгымен о бурышын курайтын болса; о) АВ =12 см, ВС = С А = 10 см жэне табанындагы еюжакты бурыштар 45 -ка тен болса; б) бушр кырлары кос-костан озара перпендикуляр жэне кырларынын узындыктары а, Ь, с болса, онын колемш табындар. 69G.DABC пирамидасыныц табаны - кабыргалары АВ = 20 см, АС = 29 см, ВС = 21 см болатын АВС ушбурышы. DAB мен DAC жактары табан жазыктыгына перпендикуляр, ал DBC жагы табан жазыктыгымен 60 бурыш жасайды. Пирамиданын колемш табындар. 697 .Ушбурышты дурыс киык пирамиданын табан кабыргалары a жэне 5а-га тец, апофемасы бушр кырына тен. Киык пирамиданын колемш табындар. 698 .Киык пирамиданын табандары - гипотенузалары т жене п бо-
латын тжбурышты тецбутрж ушбурыштар (т > п). Пирами-даньщ катеттер жататын ек! жагы табан жазыктыгына перпендикуляр, ал ушшип жагы табаныменср бурышын жасайды. Киык пирамиданыц колем!н табындар. 699 .Пирамиданыц табаны - катеттер! 24 дм жене 18 дм болатын тжбурышты ушбурыш. Пирамиданыц ep6ip кыры 25 дм. Пирамида табан жазыктыгына параллель жене бушр кырыныц ортасынан отетш жазыктыкпен киылган. Пайда болтан киык пирамиданыц келемш табыцдар. 700 .Тертбурышты дурыс киык пирамида табандарыньщ кабыргалары 6 см жене 4 см. Bip жагында жатпайтын ек! кыры аркылы отетш жазыктыкпен кигандагы киманыц ауданы 15 см2. Киык пирамиданын келемш табындар. 701 .Конустын бшктнт h, радиусы г, колем! V. Егер: a) h = 3 см, г = 1,5 см болса, V-ны; е) г = 4 см, V = 48л см3 болса, /i-ты; б) V = р, h = т болса, онда r-ды табыцдар. 702 .Конустын бшктнт 5 см. Конус тобесшен 2 см кашыктыкта та-банына параллель жазыктыкпен киылган. Егер Kiuii конустын колем! 24 см3 болса, бастапкы конустын колем! неге тец? 703 .Конус табанынын ауданы Q, ал бушр бетшщ ауданы Р. Конустын келемш есептендер. 704 .Конустыц бшкт!г! табанынын диаметрше тен. Бшктнт Н-ка тен болса, конустын келемш есептендер. 705 .Конустын жасаушысы 13 см, осьтж кимасыныц ауданы 60 см2. Конустын келемш табындар. 706 .Конустыц бшктнт 12 см, ал колем! 324л см3. Оныц бушр бетш жазганда пайда болтан сектордыц бурышын табындар. 707 .Конустын толык бетппн ауданы 45л дм2. Конусты жазганда бушр бетшен пайда болган сектордыц бурышы 60 . Конустын келемш табындар. 708 . Киык конустын табандарынын радиустары 3 см, 6 см, ал жасаушысы 5 см. Киык конустын келемш есептендер. 7О9 .Киык конустын буй!р бетшщ ауданы S, бшктнт /г, жасаушысы /. Онын ocbTiij кимасыныц ауданын жене келемш есептендер. § 4. ШАРДЫЦ К0ЛЕМ1 ЖОНЕ СФЕРАНЫЦ АУДАНЫ 71. Шардьщ колем!. 4 Теорема. Радиусы R болатын шардыц колем! кобейтшд1сше тец. Делелдеу!. Центр! О нуктес!, радиусы R болатын шарды карастырайык та, Ох осш кез келген багытта тацдап алайык (178-сурет). Осы осьтщ М нуктесшен отетш жене Ох осше перпендикуляр жазыктыкпен кигандагы шардын кимасы центр! М нуктесшде жаткан децгелек болып табылады. Бул доцгелектщ радиусын г, ауданын S(x) аркылы белг!лейм!з, мундагы х - М нуктесшщ абс-
178-сурет. 179-сурет. Шар сегмент!. циссасы. S(x) функциясын х пен R шамалары аркылы орнектейм!з. Тшбурышты ОМС ушбурышынан: Г= ^ОС2 -ОМ2 = у R2 -х2 S(x) = лг болгандыктан, S (х) = тт (Я2 - х2). (1) Бул формула М нуктес! АВ диаметрппц кез келген нуктес!нде жатканда да дурыс, ягни -R < х < R шартын канагаттандыратын барлык х уппн дурыс. а = -R, b = R деп алып, колемда есептеудщ неызгл формуласын пайдалансак: R R R V = J л (R2 - х2) dx = txR2 f dx - л jx2dx = -R R -R - |_-Ei - f «/Р. Теорема делелдендь 72. Шар сегментшщ, кабатыньщ жэне секторыныц колем!. а) Шарды жазыктыкпен киганда пайда болган болт шар сегмент! деп аталады. 179-суретте В нуктесшен отетш киюшы жазыктык шарды ек! сегментке боледь Кимадагы децгелек осы op6ip сегментшщ табаны деп, ал киюшы жазыктыкка перпендикуляр АС диаметршдег! АВ мен ВС кесшдшершщ узындыктары осы сегменттердщбшкпиктер! деп аталады. Егер шардыц радиусы R, ал сегменттщ бшктт h (179-суретте 1г = АВ) болса, онда шар сегмент!нщ колем! V = л/12(Я-V Л) <2> О формуласымен есептеледй Бул формуланы дэлелдеу ушш « жазыктыгына перпендикуляр Ox ocin журызешк (179-сурет). Сонда Ох ос!не перпендикуляр жазыктыкпен кигандагы шардын сегментшдег! киманыц S(x) ауданы (1) формуламен есептелед!,
180-сурет. 181 -сурет. Шар секторы. мунда R - h < х < R. а = R - /г, Ъ = R болганда колемд! есептеудщ непзг! формуласы бойынша: П 3 1 V = ” л л 2 }dX = 71 {R2X " I «-* = 71/12 (/? ~ 3 Л)- о) Параллель ек! киюшы жазыктыктар арасындагы шардыц белил шардыц цабаты деп аталады (180-сурет). Бул жазыктыктар мен шар кимасындагы доцгелектер шар кабатыньщ табандары деп, ал жазыктыктардыц ара кашыктыгы - шар кабатыньщ 6uiKrmei деп аталады. Шар кабатыньщ колемш ек! шар сегмент!шц айырымы рет!нде есептеуге болады. (180-суретте шар кабатыньщ колем! бшктжтер! АС мен АВ болатын шар сегменттер!н!ц айырымына тец). б) Центр! О, радиусы R, бурышы 90°-тан кем болатын доцгелек сектор беркпсш. Осы секторды оны шектейтш радиусынан айнал-дырганда пайда болган дене шар секторы деп аталады (181-сурет). Шар секторы шар сегмент! мен кону стан турады. Егер шардыц радиусы R, ал шар сегмент!шц бшкт!г! h болса, онда шар секторыньщ колем! келес] формуламен есептелед!: V = 4л/?7г. о (3) Бул формуланы оз беттерщше корытып шыгарыцдар. 73. Сфераньщ ауданы. 62-пунктте радиусы R сфераньщ S ауданын есептейтш S = 4лВ2 (4) формуласын делелдеус!з келт!рд!к. Шардыц колемш есептеу фор-муласын пайдаланып, осы формуланы корытып шыгарайык. Центр! О, радиусы R болатын шар мен осы шарга сырттай сызылган п жагы бар копжакты карастырайык. Копжактьщ жакта-рын кез келген тертшпен ном!рлеп, z-жактыц ауданын S аркылы белплешк (/ = 1,2, ..., п). Сферанын О центрш копжактьщ барлык тобелер!мен косып, табандары - копжактьщ жактары, ал бшктштер! копжак жактарыныц сферамен жанасу нуктелершен
жург!з!лген шардыц радиусына тец, тобес! О нуктес! болатын п пирамида аламыз. Олай болса, Мнш! пирамиданыц колем! ~S{R кобейт!нд!с!не тец, ал сырттай сызылган барлык копжактьщ колем! Vп мынаган тец: п п Мундагы Рп = л SS, - копжак бетшщ ауданы. Будан I 1 (5) Ендп сырттай сызылган копжактьщ op6ip олшем! нолге умтыла-тындай етш, п санын шекс!з ос!рем!з, сонда сырттай сызылган копжактьщ колем! шардыц колемше умтылады. Шынында да, егер сырттай сызылган копжактьщ op6ip жагынын ец улкен олшем! 6 (дельта)-дан аспаса, онда сырттай сызылган копжак центр! О, радиусы R + 6-га тен шардыц !ш!нде жатады. Сонымен катар, сырттай сызылган копжактьщ !шшде радиусы R бастапкы шар жатады. Сондыктан < И < (R + 5)3. О 1 о 4 4 Ал о - > 0 кезде —ъ (R + a)3 — — kR3, онда о -> 0 (п -> л) кезде О О V -> 4-Л я3. п 3 (5) тецджтен шекке кошсек: lim Рп = lim 3-л - = — lini V =• — п-у-г. п > « Д Н *** R ~-nR3 = 4лВ2. О Сфера ауданыньщ аныктамасы бойынша S = lim Р , олай болса П п S = 4л7?2. CYPAKTAP ЖОНЕ ЕСЕПТЕР 710 .Шардыц радиусы Я, колем! И, ал бетшщ ауданы S болсын. а) Егер R = 4 см болса, онда S пен У-ны; о) егер S = 64л см2 болса, онда R мен V-ны табыцдар. 711 .Айдыц диаметр! Жердщ диаметршщ торттен б!рше тец (жуык шамамен). Жер мен Айды шар деп уигарып, олардыц колем-дерш салыстырындар. 712 .Шар мен цилиндрдщ колемдер! озара тец жене шардыц диаметр! цилиндр табаныныц диаметрше тец. Цилиндрдщ бшктплн шардыц радиусы аркылы орнектецдер.
713 .Балмуздактыц стаканы конус гпшшдес. Бул конустын бшктт 12 см, ал жогаргы болтнщ диаметр! 5 см. Стаканный устшен диаметр! 5 см болатын жарты шар тнпнд! ек! касык балмуз-дак койылган. Ер!геннен кейш бачмуздак стаканды толтыра ма? 714 .Диаметр! 2,5 см цилиндр тшщщ ыдыс кандай да 6ip децгейше дешн сумей толтырылган. Оган диаметр! 1 см б!рдей 4 металл шар батырылганда мензуркадагы судын денгей! калай озгередд? 715 .Табанынын радиусы 5 см, бшктт 60 см шар сегмент! тер!здес шункырды толтыру уппн неше куб метр топырак керек? 7 16.0зара тец ек! шар б!реу!шн центр! екшппсшщ бет!нде жата-тындай болып орналаскан. Шарлардыц ортак болт колемшщ 6ip шардыц колемше катынасы кандай болады? 717 .Шардыц радиусы 75 см. Табанындагы шецбердщ радиусы 60 см болатын шар сегмент!шц колемш есептецдер. 718 .Шардьщ диаметр! озара тец уш болпске болшген, болшу нуктелер!нен диаметрге перпендикуляр ек! жазыктык жург!з!лген. Шардыц радиусы R-re тец болса, пайда болган шар кабатыньщ колемш есептецдер. 719 .Шардыц диаметрше перпендикуляр жазыктык диаметр/ц 6 см жоне 12 см-лхк ек! бол!кке болед!. Пайда болган шар бол!ктер!шц колемдерш табыцдар. 720 .Шардыц радиусы 75 см. Шар секторына сейкес шар сегмент!шц табанындагы шецбердщ радиусы 60 см. Шар секторыныц колемш есептецдер. 721 .Бурышы 30 жоне радиусы R децгелек сектор оны шектейтш радиустардыц б!ршен айналдырылган. Пайда болган шар секторыныц колемш есептецдер. 722 .Жер бетшщ шамамен ~ болтн су алып жатыр. Жердщ радиусы 6375 км. Жер бетшщ неше квадрат километр! курлык болады? 723 .Радиусы 10 см футбол добын каптау уппн канша тер! жумса-лады? (Доптьщ TiriciHe оныц бетшщ ауданыньщ 8%-ш косын-дар.) 724 .Конустыц бшктт сферанын диаметрше тец, ал конустыц табаныныц диаметр! конустыц жасаушысына тец болса, сферанын ауданы конустыц толык бетшщ ауданына тец екешн делелдендер. VII ТАРАУГА APHAJIFAH СУРАЦТАР l .Erep: а) Р2 денес! денесш камтитын болса; е) ep6ip Р{ мен Р? денелер! кабыргасы 1 см л кубтан туратын болса, онда олар-дыц V{ мен V2 колемдер!нщ арасында кандай катыс болады? 2 .Ушбурышты призма табандарыныц орта сызыктары аркылы
жазыктык журпзьлш, екшш! ушбурышты призма алынган. Пайда болган ушбурышты призманын колем! бастапкы ушбурышты призманын колемшщ кандай болпт болады? З.Егер цилиндр табанынын диаметрш ек! есе ocipin, ал бшкттн 4 есе кемггсе, онын колем! озгере ме? 4.Егер дурыс пирамиданын бшктнлн п есе ocipceK, ал табанынын кабыргасын п есе кем!тсек, пирамиданын колем! калай озгеред!? 5 .Бшктгг! б!рдей ею пирамиданын табандары сойкес кабыргалары тен тертбурыштар. Пирамидалардын колемдер! озара тен бола ма? 6 .Егер ек! конустын табандары радиустарыныц катынасы 2-ге тец, ал бшктжтер! озара тен болса, онда олардыц колемдер! кандай катынаста болады? 7 .Тецбушрл! трапецияны улкен табанынан айналдырганда пайда болган дене кандай денелерден турады? 8 .Т!кбурышты тецбушрл! емес ушбурышты катеттершен айнал-дырып, ею конус алынган. Бул конустардыц колемдер! тец бола ма? 9 .Б!р шардыц диаметр! екшш! шардыц радиусына тец. а) Шар-лар радиустарыныц; о) шарлар колемдерппц катынастары неге тец? 10 .Колемдерппц косындысы радиусы 6 см шардыц колемше тен болатындай радиусы 2 см неше шар алу керек? 11 .Кубка сырттай сызылган шардыц колем! !штей сызылган шар-дыц колемшен неше есе улкен? 12 .Егер сферанын радиусын: а) 2 есе кем!тсек; о) 3 есе арттырсак, онда сферанын колем! калай озгеред!? 13 .Ею шардыц келемдерппн катынасы 8-ге тец. Шарлардыц беттер! аудандарыныц катынасы кандай? 14 .Ек! шардыц беттер! аудандарыныц катынасы т? : п2 катына-сындай. Бул шарлар колемдерппц катынасы неге тец? КОСЫМИ! А ЕСЕПТЕР 725 .Т1к параллелепипедтщ екеуара !ргелес уш жагыныц ауданда-ры St> жене S3. Параллелепипедтщ колемш S2, S3 аркылы орнектеп, = 6 дм2, S2 = 12 дм2, S3 = 18 дм2 болган жагдайда есептецдер. 726 .Т!к параллелепипедтщ 6ip тебесшен шыгатын уш жагыныц диагональдары 7 см, 8 см жене 9 см. Параллелепипедтщ колемш есептецдер. 727 .Т!к параллелепипедтщ бушр кыры а. Эр турл! табандарынын ек! кабыргасы аркылы жург!з!лген кима квадрат тшшд! жене ауданы Q. Параллелепипедтщ колемш есептецдер. 72Ъ.Т!к параллелепипед табаныныц кабыргалары 7 см жене 3 у[~2
см, ал табанындагы сушр бурыш 4 5 . Параллелепипедтщ Kimi диагонал! табан жазыктыгымен 4 5 бурыш жасайды. Параллелепипедтщ келемш есептеп табыцдар. 729 .TiK ABCDAiB]CiD{ параллелепипедшде BD} мен А}С диаго-нальдары езара перпендикуляр жене BD} = 6 см, УЦС = 8 см, АВ = 3 см. Параллелепипедтщ келемш есептендер. 73О .Табаны тжбурышты ушбурыш болатын Tin призманын бес кыры а-га тец, ал калган терт кыры езара тец. Призманын келемш есептендер. 731 .Табаны тжбурышты ушбурыш болатын тж призманыц колем! 3 м3, ал бушр жактарыныц ен Kiinici мен ен улкешнщ ауданы сэйкесшше 3 м2 жоне 3 м2. Призма кырыныц узындыгын табындар. 732 .Дурыс ушбурышты призманын бушр жагынын диагонал! d жене о л баска бушр жагынын жазыктыгымен <р бурышын жасайды. Призманын келемш табыцдар. 733 .Ушбурышты призманыц колем! бушр жагынын ауданы мен осы жактан оган параллель бушр кырына дешнг! кашыктык-тыц уштен 6ip кебейтшдктне тец болатынын далелдендер. 734 .Bip жазыктыкта жатпайтын озара параллель уш тузуге озара тец уш АА{, ВВ{ жене СС} кес!нд!лер1 салынган. Бушр кырлары осы кесшд!лер болатын призманын колем! кесшддлердщ осы тузулерде орналасуларына тауелс!з болатынын делелдец-дер. 735 .Ушбурышты колбеу призманыц бушр жактарыныц аудандары 20, 37, 51 сандарына пропорционал. Бушр кыры 0,5 дм, ал бушр бет!нщ ауданы 10,8 дм2. Призманын келемш табындар. 736 .Дурыс ушбурышты пирамиданын бушр жагы табан жазыктыгымен <р бурышын жасайды, ал табанындагы осы жакта жатпайтын тобеден осы жакка дешнг! кашыктык m-ге тец. Пирамиданын колемш табыцдар. 737 .Тертбурышты дурыс пирамиданын бушр кыры табан жазыктыгымен <р бурышын жасайды, ал бул кырынын ортасынан та-банына дешнг! кашыктык m-ге тец. Пирамиданын келемш табындар. 738 .Дурыс ушбурышты пирамиданын бшкт!г! й, ал кыры пирамиданын бушр кыры болатын еюжакты бурыш 2<р-ге тец. Пирамиданын келемш табындар. 739 .Дурыс а-бурышты пирамиданын тобесшдег! жазынкы бурыш а, ал табанынын кабыргасы а. Пирамиданыц келемш есептендер. 74О .Пирамиданыц табаны - ушбурыш. Ушбурыштьщ ек! бурышы <р1 мен <р9-ге тец. Пирамиданын бшктнт й, ал онын ep6ip кыры табан жазыктыгымен <р3 бурышын жасайды. Пирамиданын келемш табыцдар. 741 .Бшктнт Н болатын тертбурышты пирамиданыц табаны - параллелограмм. Параллелограмныц диагональдары <р бурышы-мен киылысады. Пирамиданын езара тец карсы кырлары та-
бан жазыктыгымен р жене у бурыштарын жасайды. Пирамн-данын колем!н есептеп табывдар. 742 .Пирамиданьщ табаны - кабыргасы а болатын ромб. Пирамида-нын eni бушр жагы табан жазыктыгына перпендикуляр жене олар догал еюжакты <р бурышын жасайды. Баска ею бушр жагы табан жазыктыгымен о бурышын жасайды. Пирамида-ныц колемш табыцдар. 743 .Тетраэдрдщ ею кыры d-га, ал калган терт кыры а-га тец. Егер узындыгы b болатын кырлардьщ: а) ортак нуктес! бар болса; е) ортак нуктес! жок болса, онда тетраэдрдщ колем! неге тец? 744 .Киык пирамида табандарыньщ сейкес кабыргаларыньщ каты-насы 2 : 5 катынасындай. Киык пирамида бшктптшн ортасы-нан табандарына параллель жург!з!лген жазыктык пирамида-ныц колемш кандай катынаста бел ед!? 7 45.Егер: а) цилиндрдщ бушр бетшщ ауданы S, ал табаныныц ауданы Q болса; е) цилиндрдщ бшктгг! А, осьт!к кимасы квадрат болса; б) осьтш кимасы квадрат, ал толык бетшщ ауданы S болса, онда цилиндрдщ колем! неге тец? 746 .Бушр беттершщ аудандары тец цилиндрлер колемдершщ катынасы олардын радиустарыныц катынасындай болатынын делелдендер. 747 .Конус тэр!здес бактыц терецдпл 3 м, ал оныц жогаргы болнчшц радиусы 1,5 м. Бакка неше литр суйык сыяды? КЭПЖАЦТАРГА, ЦШШНДРГЕ, КОНУСКА ЖЭНЕ ШАРГА БЕР1ЛГЕН ЭР ТУРЛ1 ЕСЕПТЕР 748 .Конуска табаны тштортбурыш болатын пирамида !штей сызылган. Тштортбурыштыц кыска кабыргасы а, ал диаго-нальдарыньщ арасындагы сушр бурыш <рг Табанынын кыска кабыргасын камтитын буй!р жагы табан жазыктыгымен <р7 еюжакты бурышын жасайды. Конустыц колемш табыцдар. 749 .Пирамиданьщ табаны - кабыргасы а, сушр бурышы <р-ге тец ромб. Пирамидага жасаушысы табан жазыктыгымен 0 бурышын жасайтын конус !штей сызылган. Конустын колемш табыцдар. 75О .Цилиндрге !штей шар сызылган. Цилиндр мен шар колемдер!-нщ катынасын табыцдар. 751 .Табаныныц радиусы 6 дм-ге тец конуска радиусы 3 дм сфера !штей сызылган. Конустын колемш табыцдар. 752 .Табаныныц радиусы г, ал жасаушысы / конуска !штеи сфера сызылган. Конустыц бушр бетш сфера жанагандагы сызыктыц узындыгын табыцдар. 753 .Табандарыныц радиустары мен г.,-ге тец киык конуска шар !штей сызылган. Киык конус пен шар келемдер1нщ катынасын табыцдар. 754 .Дурыс ушбурышты пирамиданьщ бушр жагы табанымен
ек!жацты а бурышын жасайды. Пирамидага колем! V болатын шар !штей сызылган. Пирамиданын колемш табындар. 755 .Пирамиданын табаны - кабыргасы а жене бурышы а болатын ромб. Пирамиданын ep6ip бушр жагы табан жазыктыгымен |3 бурышын жасайды. Пирамидага !штей сызылган шардыц колемш табындар. 756 .2? радиусты сферага цилиндр !штей сызылган. Цилиндрдщ осьтш кимасыныц диагонал! табан жазыктыгымен « бурышын жасайды. Цилиндрдщ колемш табындар. 757 .Шарга цилиндр !штей сызылган. Цилиндрдщ осьтш кимасы диагональдарыныц арасындагы бурыш </. жене оныц жасаушысы /. Шардыц колемш табындар. 758 .Шарга конус нитей сызылган. Конус табанынын радиусы г, ал бшктпт. Н. Шар бетшщ ауданы мен колемш табындар. 759 .Шарга пирамида !штей сызылган. Пирамиданын табаны гипо-тенузасы 2 см-ге тец тшбурышты ушбурыш. Пирамиданыц ерб!р бушр кыры табан жазыктыгымен а бурышын жасайды. Шар бет!шц ауданы мен колемш табындар. 76О .Шарга пирамида нитей сызылган. Пирамиданын табаны диагонал! 10 см-ге тец тштортбурыш. Пирамиданыц ep6ip бушр кыры табан жазыктыгымен р бурышын жасайды. Шар бетшщ ауданы мен колемш табындар. 761 .Цистерна цилиндр шш!нд!, онын табандарына озара тец шар сегменттер! жалгастырылган. Цилиндрдщ радиусы 1,5 м, ал сегменттщ бшктгг! 0,5 м. Цистернанын сыйымдылыгы 50 м3-ге тен болу ушш, оныц жасаушысыныц узындыгы кандай болуы тшс? 762 .Кубтыц, шардыц, цилиндрдщ жене конустыц (сонгы ек! дене табандарынын диаметрлер! олардыц биштйчне тец) беттершщ аудандары озара тец. Бул денелердщ кайсысыныц колем! ец улкен жене кайсысыныц колем! ец Kiini болады? 763 .Inii куыс мыс шардыц диаметр! 10 см. Егер онын кабыргасы-ныц калындыгы: а) 2 мм; е) 1,5 мм болса, онда ол суга бата ма? (Мыстыц тыгыздыгы 8,9 г/см<) ЦИЫНЫРАЦ ЕСЕПТЕР 764 .Айкас ек! тузудщ арасындагы бурыш 90. ¥штары осы тузу-лерде жататын d узындыгы бер!лген кес!нд!лердщ орта нуктелершщ жиыны кандай фигура болады? 765 .Барлык кырлары тец тетраэдр бер!лген. Тетраэдр карсы жаткан ек! кырына параллель жазыктыктармен киылганда пайда болган фигуралардыц периметрлер! тец екешн делелдецдер. 766 .Тетраэдрдщ карсы жаткан ек! кыры квадраттарыныц косындысы калган карсы жаткан кырларынын орталарын косатын кесшдьяердщ узындыктары квадраттарыныц косындысынан ек! есе артык болатынын делелдецдер.
767 .Кез келген тенкабыргалы ушбурышты онын орта сызыктары бойымен буктеп жене оныц кабыргаларынын сайкес белштерш жел!мдеп, тетраэдр а луга болатыны белгип (88-суретт! карацдар). Осы едДспен кез келген ушбурыштан тетраэдр алу ушш ушбурыштыц бурыштары кандай шартты кана-гаттандыруы тшс? 768 .А нуктес! ВС тузушде жатпайды. Осы тузу аркылы отетш барлык жазыктыктарга А нуктесшен тус!р1лген перпендикуляр-лардын табандары жиынын табындар. 769.Егер тетраэдр биштштершщ 6ipeyi онын карсы жагы би!кт!ктер!шц киылысу нуктесшен отетш болса, онда тетраэдрдш калган бшктштер! де карсы жагы бшктгктершш киылысу нуктесшен отетшш делелдецдер. 770.ОАВС тетраэдр!шц О тебес!ндег! бурыштар озара тец, epi олар 90 -ка тен. О1 нуктес! О нуктес!шц АВС жазыктыгындагы проекциясы. АОВ ушбурышынын ауданы АВС мен О^АВ ушбурыштары аудандарынын геометриялык ортасына тен болатынын делелдецдер. 7 71.0АВС тетраэдрппн О тобесшдег! барлык жазынкы бурыштары 90 -тан. АВС ушбурышы ауданынын квадраты баска жактары аудандарынын квадраттары косындысына тен болатынын делелдецдер (кешстштег! Пифагор теоремасы). 7 72.Bip жазыктыкта жатпайтын терт нуктеден б!рдей кашыктыкта орналаскан неше жазыктык болады? 7 73.Ек!жакты бурыштыц ек! жагын киып отетш тузу осы жактар-мен езара тен бурыштар жасау ушш тузу мен ек! жакты бурыштыц киылысу нуктелер! еюжакты бурыштын кырынан б!рдей кашыктыкта орналасуы кажетт! де жетюлшт! екенш делелдецдер. 774 .Кубтыц кимасы дурыс ушбурыш, квадрат, дурыс алтыбурыш болуы мумкш, б!рак онын кимасы дурыс бесбурыш не болмаса кабыргаларынын саны алтыдан артык болатын дурыс кепбурыш бола алмайтынын делелдецдер. 775 .Кубтыц тобесшен оныц центршен отетш тузуге дейшг! кашык-тыктыц квадраты тузудш орналасуына теуелд! болмаитынын делелдецдер. 776 .Кубты езара тен алты тетраэдрге бел!цдер. 777 .Велме куб п!ш!нд!. Белмешц 6ip кырынын ортасында ермекш!, ал ормекппден ен алые бурышта шыбын отыр. ©рмекш! шы-бынды устау ушш ен кыска жолмен калай баруы керек? 778 .Кубты елшемдер! осы кубтыц елшемдершдей немесе одан да улкен куб ететшдей етш тесуге болатынын делелдецдер. 779 .Дурыс алтыбурышты пирамиданын бушр жагынын ауданы S. Пирамида бшктшшц ортасынан отетш жене оныц бушр жагы-на параллель жазыктык жург!з!лген. Сонда пайда болган киманын ауданын табындар. 78О .Кабыргасы 1 см куб ппшнд! корапка сыятын дурыс тетраэдр кабыргасыныц ец улкен узындыгы кандай болады?
7&1.ABCDA'B^C'D} кубы бер!лген AB[CD{ мен C}BA}D тетраэдрле-ршщ киылысуы дурыс октаэдр болатынын долелдендер. 7 82.Екеуара ер турл! кубтардын шектеул! санынан тж параллелепипед курастыруга болмайтынын делелдендер. 783 .Кыры 1 см кубтын шпнде сынык сызык бар жене кубтыц кез келген жагына параллель жазыктык сынык сызыкты тек 6ip нуктеден аспайтын нуктеде кияды. Сынык сызыктын узындыгы 3 см-ден аспаитынын долелдендер. Сонымен катар, жога-рыда айтылгандай касиет! бар узындыгынын 3 см-ден айырма-шылыгы оте аз сынык сызыкты салуга болатынын долелдендер. 784 .Кез келген денес копжакта жактарыньщ саны мен тобелер! са-нынын косындысы кабыргаларыньщ санынан 2-ге артык болатынын долелдендер (Эйлер теоремасы). 785 .Дурыс додекаэдр жактарыньщ центрлер! дурыс икосаэдрдщ тобелер! болатынын долелдендер. 786 .Дурыс икосаэдр жактарыньщ центрлер! дурыс додекаэдрдщ тобелер! болатынын делелдендер. 787 .Дурыс АВС ушбурышынын кабыргасы а. Узындыгы а-га тен AS кес!нд!с! АВС жазыктыгына перпендикуляр. АВ мен SC тузулер!н!н ара кашыктыгын жоне олардын арасындагы бурышты табыцдар. 788 .Дурыс АВС ушбурышынын кабыргасы а-га тен. АВС жазыктыгына перпендикуляр, озара багыттас BD мен СЕ соулеле-р!нде BD = , СЕ = а /2 болатындай D мен Е нуктелер! тандап алынган. ADE ушбурышы тшбурышты болатынын долелдендер жене ABC, ADE жазыктыктарынын арасындагы бурышты табыцдар. 789 .Векторларды пайдаланып, параллелепипедтщ терт диагонал! квадраттарыныц косындысы оныц он ек! кыры квадраттары-нын косындысына тец болатынын делелдендер. 790.ОАВС тетраэдрппн АВС табаны молд!р шыны, ал калган жактары айналы, О тобесшдег! барлык жазык бурыштар т!к. АВС табанынан кез келген бурышпен тетраэдрге тускен сеуле, жак-тардан шагылып, тускен соулеге карсы багытта шыгатынын долелдендер. (Бурыштык шагылу куралы осы касиетке суйенш жасалган. Айга дешнг! кашыктыкты лазерда пайдаланып олшеу уппн осы курал ж!бер!лген). 791 .А нуктесшен АВ, AC, AD жэне АЕ соулелер! шыгады: z ВАС = = 60 , zBAD = zDAC = 45,ал АЕ сэулес! ABD жазыктыгына перпендикуляр. САЕ бурышын табыцдар. 792 .Тетраэдрдщ карсы кырлары озара перпендикуляр болганда жэне тек сонда гана тетраэдрдщ бшктштер! 6ip нуктеде киылысатынын долелдендер. 793 .Тетраэдрдщ уш бушр кыры озара тен. Осы кьтрлармен б!рдей бурыштар жасайтын тузу табан жазыктыгына перпендикуляр болатынын долелдендер. iso
794 .ОАВС тетраэдршщ О тебесшдеп жазык бурыштары тж. О тебесшщ АВС жазыктыгына туЫркчген проекциясы АВС ушбурышы бшктйстерипц киылысу нуктешмен беттесетшш делелдецдер. 795 .Сферанын 6ip нуктесшен кос-костан перпендикуляр уш хорда журпзъчген. Бул хордалар квадраттарыныц косындысы хорда-ныц орналасуына тэуелд! болмайтынын далелдендер. 796 .Шарды кимайтын берьпген тузу аркылы отетш жазыктыктар шарды киганда пайда болган кималар центрлер!шц жиынын табындар. 797 .Сферага озара кос-костан перпендикуляр уш жанама тузу журНзуге болатындай нуктелердщ жиынын табыцдар. 798 .Бижтжтер1 й(, /г, hi болатын тетраэдрге радиусы R шар гштеи сызылган. — = ~~~~ тецдюн де ле л- д /7t /?9 Л3 пА дендер. 799 .Екеуара жанасатын уш шарга ортак жанама жазыктык жург!зу ушш бул шарлардын радиустары кандай шартты канагаттандыруы тшс? 8ОО .Жазыктыкта радиустары 7?-га тец терт шар орналаскан жэне булардын yiiieyi екеуара озара жанасады, ал тертшшкй олардыц тек екеуш гана жанайды. Бул шарлардын устше радиустары r-га тен озара жанасатын eni шар (г < R) койылган жане бул Kimi шарлардын еркайсысы уш улкен шарды жанайды. Kimi шардыц радиусын есептецдер. 8О1 .Жазыктыкта радиустары 2?-га тен жене екеуара жанасатын уш шар орналаскан. Конустыц табаны бepiлгeн жазыктыкта жатыр жене шарлар конусты сырттай жанайды. Конустын 6mKTiri 7.R. Конус табаныныц радиусын есептецдер. 8О2 .АВ1С1 мен А}ВС жазыктыктары дурыс ушбурыш- ты призмасын терт белжке беледь Бул болжтер келемдершщ катынасын табындар. 8ОЗ .Тетраэдрдщ колем! -“ойс sin <р кобейтщщсше тец болатынын делелдецдер, мундагы а, b - карама-карсы кырлар, ал <р мен с -сейкесшше олардыц арасындагы бурыш пен кашыктык- 8О4 .Тетраэдрдщ кыры жене осы кырга карсы жаткан кырдыц ортасынан ететш жазыктык тетраэдрдд кeлeмдepi тец ек! белжке белетшш делелдецдер. 805 .OABCD пирамидасыныц табаны - ABCD параллелограммы. АВ тузушен жене OCD жагыныц орта сызыгынан ететш жазыктык пирамиданын колемш кандай катынаста бeлeдi? 8O6 .Bip жазыктыкта жатпайтын озара параллель уш тузу берьчген. Бул тузулердщ 6ipeyiHeH АВ кесшдкц ал калган тузулерден сейкесшше С мен D HYKтeлepi алынган. ABCD тетраэдршщ колем! С мен D нуктелерш тацдап алганымызга теуелдц болмайтынын делелдецдер. 807 .ABCDAJE^CJ^ кубынын DC мен ВВ кырларынын орталары -
Е мен F нуктелер!. Кубтыц кыры 1 см. AD{EF тетраэдршщ келемш табындар. 808.0зара параллель ек! жазыктыктан ею кепбурыш алынган. Бул кепбурыштардын тебелер! пайда болтан копжактьщ барлык буй!р жактары трапециялар, параллелограмдар мен ушбурыштар болатындай етш косылган. V = у (S, + s2 + 4S,) тецдшш делелдецдер, мундагы h - копжактьщ бшктнл, мен 8 - табандарыньщ аудандары, ал - копжакты табандарына параллель жене табандарынан б!рдеи кашыктыкта орналаскан жазыктыкпен кигандагы киманьщ ауданы. 8О9 .Бшкт!ктер! диаметршен улкен езара тен ек! цилиндр берьлген жене олар осьтер! озара тш бурыш жасап киылысатындай етш орналаскан. Осьтердщ киылысу нуктес! цилиндрлер табандарынан б!рдей кашыктыкта орналаскан. Цилиндрлер радиусы 1 см болса, олардыц ортак бол!г!н!ц келемш табыцдар. 81О .Шарга конус сырттай сызылган. Конустыц осьтш кимасыныц тобесшдег! бурыш а. а -ньщ кандай мешнде конустыц колем! ец Kiini мен кабылдайды? 811 .Конуска шар нитей сызылган. Конус пен шардыц колемдср!н!ц катынасы конустыц толык бет! ауданыньщ сфера бет!нщ ауданына катынасындай болатынын делелдецдер. (Мундагы сфера - шарды шектейтш сфера). 812 .Дурыс тертбурышты пирамида табаныныц кабыргасы а-га тец, ал тобесшдег! жазык бурыш а-га тец. Бул пирамида тобесшен отетш жене табан кабыргасына параллель тузуден айналдырылган. Пайда болган дененщ колемш есептендер. 813 .Жарты децгелект! оныц диаметр! камтитын тузуден айналды-рып шар алынган. Осы кезде 6ip ушы диаметрдщ 6ip ушымен беттесетш хорданы айналдырганда пайда болган бет шарды колемдер! тец ек! болшке болед!. Хорда мен диаметрдщ арасындагы бурыштыц косинусын табыцдар. 814 .Тетраэдрдщ бшктштер! Н нуктесшде киылысады; Н нуктес!, тетраэдрге сырттай сызылган сфераныц О центр!, тетраэдрдш тобелерш карсы жагы медианаларыныц киылысу нуктелер!мен косатын кес!нд!лердщ киылысу нуктес! G 6ip тузудщ бойында жататынын (Эйлер тузу!) жене О, Н нуктелер! G нуктесше катысты симметриялы болатынын делелдецдер. 815 .Барлык бшктштер! 6ip Н нуктесшде киылысатын тетраэдр бер!лген. Барлык жактары медианаларыныц киылысу нуктелер!, тетраэдр би!кт!ктер!н!ц табандары жене би!кт!ктерд!ц киылысу нуктелерш тобелермен косатын кес!щцлерд! тобесшен бастап санаганда 2 : 1 катынасында болетш нуктелер центр! Эйлер тузушде жататын сферага (Эйлер сферасы) ти!ст! болатынын делелдецдер.
1-ЦОСЫМП1А КЕЦ1СТ1К ФИГУРАЛАРЫНЫЦ KECKIHI Стереометрияны окыганымызда кешстш фигураларыныц жазыктыкта кескшш салудьщ мацызы зор. Б!з кескшд! салудьщ кейб!р жай касиеттер!мен таиысамыз. Осы максатта, eye л! фигуранын параллель проекциясы угымын енг!зш, одан кешн фигура KecxiHi угымын пайдаланып, жазыктык жене кешст!к фигурала-рынын кеск!шн салу мысалдарын карастырамыз. 1. Фигураныц параллель проекциясы. л - цайсыб1р жазыц-тьщ, I - осы жазыктыкты киятын тузу болсын. Кешстште кез келген Ао нуктесш белгьпейшз. Егер Ао нуктес! I тузутнде жатпаса, онда Ао нуктесшен / тузуше параллель тузу журизш, бул тузу мен л жазыктыгыныц киылысу нуктесш А ертмен белг!лейм1з (182-сурет). Егер А ( - I тузушщ нуктес! болса, онда А нуктесх / тузу! мен л жазыктыгыныц киылысу нуктес! болады. А нуктес! / тузуше параллель л жазьщтыгына проекциялаудагы Ао нуктесшщ проекциясы деп аталады. Одетте л жазыктыгы жене I тузу! бер!лген деп есептеледц сондыктан кыскаша А нуктес! Ао нуктесшщ параллель проекциясыдеп аталады. F() - жазыктык немесе кешстпс фигурасы болсын. Fo фигурасы-нын барлык нуктелерпйц параллель проекциялары л жазыктыгында кандай да 6ip Рфигурасын курайды (182-сурет). Рфигурасы Fo фигурасыньщ параллель проекциясы деп аталады. Баскаша, F фигурасы Г() фигурасынан параллель проекциялаудан алынды деп те айтады. 182-сурет.
183-сурет. т тузушщ проекциясы - т тузу!. 184-сурет. А В кеспццсшщ проекциясы - АВ кесшдю!. Проекцияланатын кес!нд!лер мен тузулер / тузуше параллель болмаган жагдайдагы параллель проекциялаудьщ Herisri касиет-терш тужырымдайык. 1 . Тузудщпроекциясы- тузу (183-сурет). 2 . Кеандшщ проекциясы- кеандь (184-сурет). 3 . Параллель кес1нд1лердщ проекциялары - параллель кес1нд1лер (18 5 -сурет) немесе 6ip т у зуде жата тын кесшдйлер. 4 . Параллель кес1нд1лердщ, сол сияцты 6ip тузудщ бойында жататын кес1нд1лердщ проекциялары кес1нд1лердщоздер1не пропорций налболады (186-сурет). 4 -касиеттен кестдшщ ортасы кес1нд1 проекциясыньщ ортасы на кескшделепши шыгады. 2. Фигураныц кескшЕ Кандай да 6ip л жазыктыгын тацдап алып, оны кескшдеу жазьщтыгы деп атаймыз. л жазыктыгын киятын / тузуш алып, бер!лген F() фигурасын л жазыктыгына / тузуше параллель проекциялаймыз. л жазыктыгында пайда болган жазык F фигурасын немесе F> фигурасына уксас F фигурасын F фигурасыньщ кескЬа деп айтамыз (187-сурет). Осылайша салын- 185-сурет. А В мен С D параллель кесш/цлершщ проекциялары - параллель АВ мен CD кесшдьтер!. 180-сурет.
18 7-су рет. ган фигуранын кескш! берьтген фигурага алыстан караганымыз-дагы кеск!н!н кез алдымызга елестетедь Эр турл! кескшдеу жазыктыктарын жене проекциялаудын эр турл! багыттарын (ягни ар турл! I тузулер!н) тацдай отырып, берьтген фигуранын ер турл! кеск!ндер!н аламыз. Эдетте фигуранын кеск!ш - корнем жене косымша салулар ынгайлы болатын-дай eTin тандап алынады. Сызбада осындай кескш гана карастыры-лады. 3. Жазьщ фигуралардыц кескш. Фигуралардыц кескшш салу 1-пунктте айтылган параллель проекциялаудын касиеттерше неызделген. Жазык фигура кескппнщ б!рнеше мысалдарын карастырайык. Кесшдь 2 -касиет бойынша кесшдшщ проекциясы - кеспш, сондыктан кесшдшщ кескпп - кесшдь Сызбадагы кез келген кес1нд1н1 бер1лген кесшд1н1ц кеск1ш деп есептеуге болатыны TyciHiKTi. Ушбурыштьщ, параллелограмныц жене т.б. фигуралардыц кескшш карастырганымызда, бул фигуралар жататын жазыктык проекциялау багытына (/ тузуше) параллель емес деп уйга-рамыз. Ушбурыш. А()В0С0 ушбурышы - кенкпкте орналаскан ушбурыш, ал А-, В>, С> нуктелер! Ао, В , Со нуктелершщ л жазыкты-гындагы проекциясы болсын (188, а-сурет). Кес!нд!шц проекциясы кесшд! болгандыктан, А В'С1 ушбурышы (А В С1 ушбурышына уксас кез келген ушбурыш) A0BQCQ ушбурышынын кесюш болады. Сызбада берьтген ушбурыштыц кескш! ретшде кез келген ушбурышты алуга болады. Меселен, 188, б-суретте тецбушрл! тшбурышты А0В0С} ушбурышынын кескш! - АВС ушбурышы бейнеленген. Параллелограмм. Эзара тец параллель кес!ндьтерд!ц проекция-лары да озара тец параллель кесщщлер болатындыктан (1-пункттеп
188-су рет. 3° жэне 4°-касиеттер), параллелограмньщ кескпп - параллелограмм болады. Ушбурышты кесюндеудеп сиякты, сызбада кез келген параллелограмды берьтген параллелограмньщ кесюш деп, дер-бес жагдайда т!ктортбурыштьщ, ромбыныц, квадраттыц кескш! деп уйгаруга болады (189-сурет). Трапеция. Табандары А0В0 мен С0Р0 болатын A0B0C0DQ трапе-циясыныц кесюш ABCD трапециясы болатынын байкау киын емес жэне 1-пункттщ 4 -касиет! бойынша АВ = СР ^о-^о (1) ягни трапецияныц табандары кесюшнщ табандарына пропорцио-нал. Сондыктан, кез келген трапецияны бер!лген трапецияныц кесюш деп есептеуге болмайды. Бер!лген A0B0C0jD0 трапециясыньщ кесюшн салудыц едкян керсетешк. Ол ушш Ао/)() кес!нд!с!не параллель жене трапецияны AQD0CQEQ параллелограмы мен BQCJEQ ушбурышына болетш CQEQ кемекш! кесшдасш карастырайык (190, а-сурет). A0DQC0E0 параллелограмыньщ кесюш ретшде кез келген ADCE параллелограмын аламыз (190, б-су- 189-сурет. Л Wo ~ тертбурыш. ABCD -параллелограмм. рет). АЕ = DC болгандыктан, (1) пропорция-ны былай жазуга болады: АВ = АЕ 2 А0В0 Со/)о * (2) пропорцияны пайдаланып, Во нуктесшщ В кесюшн оцай салуга болады. Бул салу 190, б-суретте орындалган, мунда АА., = = CqDq, АА} = А0В0. Салынган ABCD трапецйя-сы A0B0C0Z>0 трапециясыньщ кескш! болып табылады (ол ушш (1) пропорция орындал- ган). Тецбушрл! AqBoCojDo трапециясыньщ кеск1н! тецбушр.ш емес ABCD трапециясы болуы да мумюн екешн ескертем1з. EF тузу!
a) 190-сурет тецбушрл! трапецияныц AD мен ВС табандарынын орталарынан ететш симметрия ос!шц кескш!, олай болса, EF кесшд!с! тецбушрл! трапеция бшктптнщ кеск!ш болып табылады (191-сурет). Шецбер. Шецбердщ параллель проекциясы эллипс деп аталады (192-сурет). Шецбер эллипстщ дербес жагдайы, себеб! шецбердщ шецбер жазыктыгына параллель жазыктыкка проекциясы бер!лген шецберге тец шецбер болады (нел!ктен екешн тус!нд!рщдер). Параллель проекциялаудьщ касиет! бойынша бер!лген шецбердщ О центр! эллипстщ симметрия центр!не кесюнделед! (192-суретте О' нуктес!). Бул нуктеш эллипстщ центр} деп атайды. Сонымен, шецбердщ кесюн! эллипс, ал шецбер центршщ кеск!ш эллипстщ центр! болады. Эллипс цилиндрдщ, конустыц, киык конустын жэне сферанын кескппн салганда пайдаланылады (VI жене VII тарауларды карац-дар). Эллипс жаратылыстану гылымдарында жш кездеседъ Мэсе-лен, планеталардыц Кунд! айна ла козгалысы эллипске (уксас) жакын орбита бойынша отель 4. Кец!ст!к фигураларыныц кеск!ш. Енд! копжактардьщ ешб!р жагыныц жазыктыгы проекциялау багытына параллель болмаган-да олардыц жазыктыктагы кесюнш карастырамыз. Бул жагдайда копжактьщ кескш! рет!нде оныц барлык кырларынын проекция-сынан туратын фигураны тусшем!з. Тетраэдр. A0B0C0D0 - кез келген тетраэдр, ал А, В, С, D нуктелер! тетраэдр тобелершщ кеск!ндеу жазыктыгындагы параллель проекциялары болсын (193-сурет). АВ, ВС, С A, AD, BD, CD кесшдьтер! -ABCD тортбурышынын кабыргалары мен диагональдары. Осы кес!нд!лерден туратын фигура (немесе осы фигурага уксас кез келген фигура) A0B0C0D0 тетраэдршщ кескш! болып табылады. Кез келген (донес немесе донес емес) тортбурыштыц кабыргалары мен диаго-
192-сурет. 193-сурет. нальдарынан туратын фигура кескшдеу жазыктыгы мен проекция-лау багытын ынгайлы турде тандап алгандагы тетраэдрдщ кесюш. екешн дэлелдеуге болады (194, а, Ь, fc-суреттер). (Бул суреттерде кершбейтш кырлар уз!к сызыктармен жург!з!лген.) Параллелепипед. Кез келген A^B^C^D^A^B^C'j) ( параллеле-пипед!нщ кесюшн салуда Ао, Во, Do жэне Ас нуктелер! A BQDQAQ тетраэдршщ тобелер! болатынын ескертешз (195-сурет). Сондыктан, олардын кесюш ретшде кез келген ABDA' тортбурышынын тобелерш алуга болады. Баскаша айтканда, кескшдеу жазыктыгындагы А ушы ортак кез келген уш АВ, BD жоне АА1 кес!нд!лер! параллелепипедтщ А^В^, AQDG жэне АОА'О кырларынын кесюш деп уйгаруга болады. Бул жагдайда АВ, AD жэне АА' кесшд!лер!нщ ешб!р ек! кес!нд!с! 6ip тузудщ бойында жатпайды. Параллелепипедтщ баска кырларынын кесюндер! б!рмэнд! салынады, себеб! параллелепипедтщ барлык жактары параллелограмм болгандыктан, олардын кесюндер! де параллелограмм болады. 195-суреттег! ABCD А ВC'D' параллелепипед! — AQBQC(D{}A' QB 0C'()D'(y параллеле-пипетцнщ кесюш. Пирамида. Пирамида табанынын кесюш З-пункттег! ереже 194-сурет.
195-сурет. 196-сурет. бойынша салынады, ал онын тобесшщ кесюш ретшде табаны кеск!н!шн кабыргаларында жатпайтын кез келген нуктеш алуга болады. 196-суретте A0B0C0D0 квадраты табаны болатын дурыс S0ABnCQDQ пирамидасыньщ кесюш. бершген. Табаннын кескш! ABCD пара л лел огра мы. Е с к е р т у. Фигуранын параллель проекциясынын дербес жаг-дайы - тжбурышты проекция (21-лунктт! карацдар). Тжбурышты проекция техникалык сызуда кен колданылады. Эдетте кайсыб!р деталь ек! жазыктыкка - горизонталь жоне вертикаль жазыктык-тарга проекцияланады жэне ек! проекциянын екеу! де сызба жазыктыгында кескшделедь 197-суретте куыс цилиндрдщ ек! проекциясы кескшделген. 19 7-су рет.
2 КрСЫМША ГЕОМЕТРИЯНЬЩ АКСИОМАЛАРЫ ТУРАЛЫ Геометрияньщ аксиома лары бастапкы жагдайларды б!лд!ред!, себеб! бушл геометрия осы аксиомалар негазшде курылады, ягни логика лык пайымдаулар аркылы геометриялык фигуралардыц касиеттер! тагайындалады. Аксиомаларда нег!зг! геометриялык угымдардын касиеттер! айтылады. Б!здщ курсымызда мундай угымдарга нукте, тузу жене жазыктык угымдары, тузуде жататын нуктелер утшн “арасында жатады” угымы жоне беттест!ру угымдары жатады. Сонымен катар, геометрия аксиомаларында жане бул аксиомалардан шыгатын шшрлерде “тшст!” (немесе “бойында жатады”), “жиын”, “сан” жене т.с.с. жалпыматематика-лык угымдар да пайдаланылады. Бул жерде 6i3 к!р!спеде тужырымдалган нуктелерд!н, тузулердщ жене жазыктыктардын езара орналасуларыньщ уш аксиомасымен 6ipre геометрияньщ барлык аксиомаларын келт!ре-м!з. Сол сиякты осы аксиомалардын нег!зшде стереометрия кур-сында пайдаланылган кейб!р акикат шюрлердщ де делелдемелерш берем!з. Аксиомалардын 6ipiHiui тобы нуктелердщ, тузулердщ жене жазыктыктардын езара орналасуларын сипаттайды. 1. Эрб!р тузуде жонеерб!р жаеъщтыцта нуктелер бар. \ 2. Б ip тузудщ бойында жатпайтын кем!нде уш нукте жене 6ip жазыктъщта жатпайтын кемшде терт нукте бар болады. 3. Кез келген ек! нукте арцылы б!р жене тек б!р гана тузу emedi. 4. Bip тузудщ бойында жатпайтын кез келген уш нукте аркылы 6ip жене тек б!р гана жазъщтык, отед!. 5. Егертузудщек!нуктес!жазъщтъщта жатса, ондаосы тузудщ ерб!р нуктес! де осы жазьщтъщта жатады. 6. Егер ек! жазъщтъщтъщ ортак, нуктес! бар болса, онда бул жа-зъщтъщтардъщ барлык, ортак; нуктелер! бойында жататын ортак; тузу! бар болады. 7. Тузудщ уш нуктес!нщ тек 6ipeyi гана калган ек! нуктенщ ара сында жатады. Кейде “В нуктес! А мен С нуктелершщ арасында жатады”деген сездердщ орнына, А мен С нуктелер! В нуктес!шн ер турл! жакта-рында жатады немесе А мен В нуктелер! С нуктесшщ 6ip жагында
(В мен С нуктелер! А нуктесшщ oip жагында) жатады деген сездер де колданылады. 8. Тузудщ ерб!р О нуктес! тузуд! ек! болшке, демек, ек! сеулеге болед!. Bip сеуленщ кез келген ек! нуктес!0 нуктесшщ 6ip жагында, ал ор турл! ек! сеуленщ ек! нуктес! О нуктесшщер турл! жацтарында жатады. А мен В нуктелершен жене осы нуктелердщ арасында жататын АВ тузу!нщ барлык нуктелершен туратын геометриялык фигураныц АВ кес!нд!с! деп аталатынын естерще саламыз. Егер АВ кес!нд!с! мен а тузу! 6ip жазыктыкта жатып, олардыц ортак нуктес! жок болса, онда А мен В нуктелер! а тузушщ 6ip жагында жатады деп айтамыз; егер АВ кесшдас! а тузу!мен киылысса, онда А мен В нуктелер! а тузушщ ер турл! жактарында жатады деп айтамыз. 9. Жазыцтыцта жататын ерб!р а тузу!оны ек! болшке (ек! жар-тыжазыцтыцца) болед!. Bip жартыжазыцтъщтыцкез келген ек! нуктес! а тузушщ б!р жагында, ал эр турл! жартыжазъщ-тъщтардъщ кез келген ек! нуктес! а тузушщ ер турл! жацта-рында жатады. Егер кесшд! мен бер!лген жазыктыктын ортак нуктес! жок болса, онда кесшдшщ уштары жазыктыктын б!р жагында жатады деп айтады, ал егер кес!щц мен жазыктык кесшдшщ 1шк! нуктесшде киылысса, онда кеспццнщ уштары жазыктыктын ер турл! жактарында жатады деп айтады. 10. Орб!р и. жазыцтыгы кец!ст!кт! ек! болшке (ек! жартыке-ц!ст!кке) белед!. Б!р жартыкец!ст!кт!ц кез келген ек! нуктес! а жазыцтыгыныц б!р жагында, ал ер турл! жарты кец!ст!кт!ц кез келген ек! нуктес! а жазыцтыгыныц ер турл! жацтарында жатады. Бул жагдайда « жазыктыгыныц нуктелер! керсетытген ек! жартыкец!ст!ктщ ешкайсысында жатпайды. а жазыктыгы ep6ip жартыкещстштщ шекарасы (шет!) деп аталады. Келес! аксиомалар тобы беттест!ру жене фигуралардын тецдгг! угымдарына катысты айтылады. Беттест!ру дегенд! кен!ст!кт!ц ез!н-ез!не бейнелеу ретшде тусшешз. Б!рак кещстштщ езш-езше бейнелеулердщ 6epi б!рдей беттест!ру бола бермейдь Беттест!ру дегешм!з 11-17-аксиомалар-да айтылатын касиеттер! бар кещстштщ езш-езше бейнелеу. Бул аксиомалардыц тужырымдамаларында фигуралардын тецдпч угымы пайда ланы лады жене бул угым бы лай аныкталады: Фжене Ф - ек! фигура болсын: егер Ф фигурасы Ф} фигурасымен дел келетшдей беттеспйру бар болса, онда б!з беттеспйру арцылы Ф фигурасын Ф} фигурасымен тецест!рем!з немесе Ф фигурасыФ1 фигурасы-на тец деп айтамыз. 11. Егер беттеспйруде ек! кесшдшщ уштары дел келсе, онда кес!н дмердщоздер! де беттесед!. 12. Кез келген сеуленщ басынан бастап бер!лген кесшд!ге тец б!р жене тек б!ргана кес!нд! салу га болады.
13. Бер!лген жартыжазыцтыцта кез келген соуледен бастап бер!лген жазыццы емес бррышца тец 6ip жоне тек 6ip гана бррышсалуга болады. 14. РменР1жартыкец!ст!ктер!н!цшекаралары болатынжазыц-тыктарда жататын озара тец hk мен /гД бррыштарын, Р мен Р1 кец!ст!ктер! дел келегтндей emin беттеспйруге болады; бра беттеспйру ек! odicnem орындалады: б!р жагдайда /г пен hr k мен kt coy лелер!. ал ек!нш! жагдайда Л пен k}, k мен /гу сэулелер! беттесед!. 15. Эрб!р фигура озше тец болады. 16. Егер Ф фигурасы фигурасына тец болса, онда Ф1 фигурасы Ф фигурасына тец. 17. ЕгерФ}фигурасыФ2 фигурасына, алФ2фигурасыФ3 фигурасына тец болса. ондаФ1 фигурасыФ3 фигурасына тец. Келес! ек! аксиома кесшдгчерд! олшеу угымымен байланысты. Олшеу угымын тужырымдамас бурын, кес!нд!.лерд!н калай олшенетшш еске тус!рем!з. АВ - олшенетш кесшд!; ал PQ кесшдш! олшеу уппн тандап алынган б!рл!к кесшд! болсын. АВ сеулесшде PQ = АА^ ал А}В сеулесшде PQ = А(А9 жане т.с.с. кес!нд!лерд! А нуктес! В нуктеамен беттескенше немесе В нуктес! А жане А ; нуктелер!шн арасында жататындай болганша сала берем!з. BipiHiiii жагдайда PQ олшем б!рл!г!нде АВ кесшдклшн узындыгы п санымен орнектелед! (немесе PQ кес!нд!с! АВ кес!нд!сшде п рет салынады). Екппш жагдайда PQ олшем б!рл!г!нде АВ кесшдосшщ узындыгы жуык шамамен п санына тен. Дел!рек есептеу уппн PQ кесштнсш озара тен болштерге бел ед!, едетте озара тен 10 белшке болш, осы болжтердщ 6ipeyi аркылы айтылган эд!с бойынша А В калдык кесшдш! олшейдь Егер PQ кесшдюшщ оннан 6ip белил олшенетш калдыкта бутш сан рет салынбаса, онда бул кесшдш! (PQ кесшдасшщ оннан 6ipi болатын кесшдш!) де озара тен 10 болжке болш, олшеу процесш жалгастырады. Осы эдаспен кез келген кесшдш!. олшеуге болады, ягни кес!нд!н!н узындыгын бер!лген олшем б!рл!г! бойынша шектеул! немесе шекс!з ондык белшекпен орнектеуге болады. Бул шк!рд1 кыскаша былай тужы-рымдаймыз. 18. Олшем б1рл!г! тацдап алынганда орб!р кес!нд!н!ц узындыгы оц санменернектелед!. Сонымен катар, бер!лген узындыкка сойкес кесшдшщ табыла-тындыгы туралы аксиоманы да кабылдаймыз. 19. Кеандна олшеу б1рл!г! тацдап алынганда кез келген оц сан рзындыгыосысанменорнектелетшкесшд! бар болады. Акырында, планиметриядагыдай стереометриянын ен сонгы параллельдак аксиомасын берем!з. 20. Кез келген жазыцтыцта жататын тузуге жазыцтыцтыц осы тузу де жатпайтын кез келген нуктес! арцылы тек б!р гана параллель тузу omedi. К!р!спеде атап откен!м!здей, геометрияныц аксиомаларынан планиметрия курсынан белг!ш ушбурыштар тецдйлшн белг!лер!
жене олардыц уксастыгы ушбурыштар ар турл! жазыктыктарда орналасканда да орындалатыны шыгады. Мысал ретшде табандары жане би!кт!ктер! тец е к i тiк ушбурышты призма озара тец болатынын делелдей!к. Мундай призмалардыц езара тец болатыны т!к призманыц колем! туралы меселеш карастырганымызда кездескен болатын (64-пункт, 2-салдар). ABCDEF мен А^С^Е^ т!к призмаларыныц АВС мен A jC, табандары жане AD мен AXDX би!кт!ктер! тец, дэ.тпрек айтканда АВ = AjjBp АС = AjCp zA = zAx болсын. Шет! АВС жазыктыгы болатын жене D, Е, F нуктелер! жататын жартыкешстпт Н ершмен, ал Ер Fx нуктелер! жататын, шет! AJB1C1 жазыктыгы болатын жартыкещстшт! Н х ершмен белылешк. А нуктес! Aj нуктес!мен, АВ сеулес! А.Е| сеулешмен, АС сеулес! AjC] сеулес!мен, ал Н жартыкешстйл Нх жартыкещстплмен дал келетшдей беттест!руд! карастырайык. 14-аксиома бойынша мундай беттест!ру табылады. Жогарыда делелдегешм!здей, мундай беттест!руде АВС ушбурышы (ягни оныц кабыргалары жене !шк! облысы) А(ЕДС] ушбурышымен беттеседъ AD сеулес! Н х жарты кещстнчндег! кайсыб!р AXD, сеулес!мен, демек, DAB жене DAC бурыштары сейкесшше DfA{Bv D2AXCX бурыштарымен беттеседь DAB жене DAC бурыштары т!к болгандыктан, D.,AXBX жене D,AXCX бурыштары да тш, олай болса, A}D., сеулес! АХВХС жазыктыгына перпендикуляр, сондыктан ол A Dx сеулес!мен беттеседа. Керсетклген беттест!руде AD сеулес! AXD сеулес!мен беттесет!н жене AD = A D болгандыктан, D нуктес! Dx нуктес!мен беттеседъ Осы сиякты Е, F нуктелер! Ер Fx нуктелер!мен беттеседь Олай болса, DEF табаны жене призманыц бушр кырлары екшш! призманыц DXE{FX табанымен жене онын бушр кырларымен беттеседй Ещц калган бушр жактары мен олардыц !шк! нуктелерппц беттесетшш делелдеу оцай. Бул делелдеулердт АВС жене А ВХСХ ушбурышта-рыныц iniKi облысынын нуктелер! беттесетш! сиякты делелдеуге болады. Сонымен, ABCDEF жене А^С^Е^ призмалары толы-гымен беттеседа, ягни олар озара тен. Олшемдер! б!рдей ек! т!к параллелепипед жене табандары мен бшктштер! тец ек! дурыс пирамида да озара тец болатынын осы сиякты делелдеуге болады.
ЖАУАПТАР МЕН ПУСКАУЛАР 10-сынып К1Р1СПЕ 3. а) Ие; е) жок; б) жок; в) жок. 5. Шекс!з кеп. 7. Жок. Н у с к а у. А2 аксиомасын пайдаланьщдар. 8. а) Жок; е) ие. 9. Ио. 10. а) Ие; е) жок. 12. Ие. 13. а) Жок; е) жок; б) ие. 14. Егер тузулер 6ip жазыктыкта жатпаса, уш жазыктык, егер тузулер oip жазыктыкта жатса, б!р жазыктык. I ТАРАУ 17. 26 см. 18. а) 3,5 см; е) 12 см. 20. Жок. 27. 48 см. 28. 8 ~ см. 29. 6 см. 33. Нус-Zi кау. а, р жене у - берьдген жазыктар, ал а - а жене р жазык тыктарыныц киылысу сызыгы болсын. а тузу! мен у жазыктыгыныц езара орналасуын карастырыцдар. 34. а), е) Киылысады; б), в) параллель; г), д) айкас. 37. а) Киылысады; е) айкас. 40. а) Жок: е) ие, MN тузук 41. Жок. 42. а) Параллель; е) 100 см. 44. а) 40 ; е) 45 ; б) 90 . 45. а) 50; е) 59,46. а) 90“; е) 64“, 49. Жок. 54. о) 12 см . 56. Н у с к а у. 55-есешт пайдаланындар. 57. Н у с к а у. 56-есепт! пайдаланындар. 60. Н у с к а у. 58-есепт! пайдаланындар. 63. а) АА2 = 18 см, АВ2 = 15 см; е> А 2^2 = 54 см, А А, = 72 см. 65. а) Параллелограмдар. 66. Уш пар кырлар. 67. а)« 17 см, « 23 см, « 29 см; е)« 146 см2, «210 см2,« 180 см2.72. Н у с к а у. а) Киюшы жазыктык тетраэдрдщ DB мен DC кырларынын орталары аркылы ететштн ескеру керек; е) киюшы жазыктык тетраэдрдщ бушр жактарын АВС ушбурышынын кабыргаларына параллель 4 кесшдалердщ бойымен киятынын ескеру керек. 73. 22 см. 74. е) ~~ . 75. е) 6 см2. 77. 8 см, 10 см, 12 см. 79. a) ABCxDi параллелограмы; о) АСС^А t параллелограмы. 81. а) AW мен ВС; в) МА мен А । В} тузулершщ киылысу нуктес!. 82. Н у с к а у. Есеп 14-п. 2-есеп сиякты шегшледт. 83. Н у с к а у. Алдымен бойымен киюшы жазыктык: a) AA\D}D; о) ABCD жагып киятын кесшдпй салу керек. 84. Н у с к а у. Алдымен бойымен киюшы жазыктык A BCD жагын киятын кесшдтнт салу керек. 85. BKD । L параллелограмы. 86. Н у с к а у. Алдымен киюшы жазыктык пен DDj кырыныц киылысу нуктесш салу керек. 87. Н у с к а у. Алдымен бойымен киюшы жазыктык: a) BCCiBi жагын; о) АА jDj D жагын киятын кесшдшт салу керек. 88. б) 12 см. 90. CD тузу!; а) а жазыктыгына параллель; о) о жазыктыгын кияды. 92. Н у с к а у. 6-пункттег! 2 -касиетт! пайдаланындар. 93. А/А мен b айкас. 94. Ио. 95. Пуска у. 55-есепт! пайдаланындар. 98. Bip гана жазыктык бар. 100. Н у с к а у. 7-пункттщ 2-теоремасын жане 59-есепт! пайдаланындар. 102. 10(2 /з” 4-1) см жене 25 VTT" см2. 103. 4 ~ см2.108. Пуска у. Алдьш ала ADAh BDB{ жоне CDC\ жазыктыктары
тузудщ бойымен киылысатынын делелдендер. 112. Н у с к а у. Параллелограмньщ диагональдары квадраттарынын косындысы онын кабыргаларыньщ квадраттарынын косындысына тен болатынын ескерщдер. 113. ВГ)} тузуь II ТАРАУ */ л 4- и *“ 118. ^АОВ^ ЛЮС жэне 120. ? “—. 121. 13см. 122. КА = КБ = 20 см, DA 4- DB =32 см. 125. 9 см. 126. Тшбурышты. 130. а) МА = >1 т 2 + п2 , МБ = пц МС= >1 т2 ± п2 , MD= л/м 2 + 2п2 ; е) //п2 +-L п 2 , т. 136. Н у с к а у. 134- 2 d есепт! пайдаланыпдар. 138. а) -, d tg ф; е) т cos ф, т sin <р. 140. 3 см. 141. 3 см. cos<p 142. 2,5 см немесе 1,5 см. 143. 2 см. 145. о) J а2 + Ь2 .146. Н у с к а у. Уш перпендикуляр туралы теореманы жене оган Kepi теореманы пайдаланындар. 149. 4 см жене 4 V10~ см. 150. а) 2 см; е) 4^2" см. 152. 8 дм, 8 дм, 4 V5~ дм, 4-/бГ дм, 8 дм. 6 л/У дм, 154. а) 15 см; е) 75 см2.155. 6 см. 156. yjn2 л-т2 sin2 <р . 157. е) 5,1 дм. 158.12,5 см, 12,5 см, 25 см, 25 см. 160. 12 см. 161.Нускау. ВС мен BD тузулерше жене CBD жазыктыгына А нуктесшен журНзшген перпендикулярларды пайдаланындар. 163. а) ; е) 4“; б) - - - . 164. 60°. 165. 3<7.168. -~г— . 170. 1 см жене ~ 2 2 2 sin ср 2 см. 171.45'. 172. 6 СМ. 173. 90", 45" жене 60.174.60.175.cos«= 7O32-. О 176. 8 V2~ .179- ecemri пайдаланындар. 182. е) т 2 л- п2 .184. а) 5 Тб” см; е) 5 V2~ см. 187. а)7(Г ; е) 17; б) 13.188. а /З . 189. а) --- - ;е . 190. а) 90"; э) 45 ; Zj б) t g ф = ~~ , ф= 26 34*. 192. . 193. а) V с/2 - т2 ; е) V т2 - п2 ; б) ————-— . 194. - ; е) • . 195. 6 см, 6 см жене 6 V2~ см. 198. 4 см. 199. т 2 6 Н у с к а у. О нуктес! - Мнуктесшен беттесетшан делелдендер. 201. 90.202. 5 V3~ см. а а / ~ 5 Н у с к а у. 199-ecenri пайдаланындар. 203. 5 см. 204. а) ~ ~ J1 + 4 tg <р ; SlIBp tgcp * е) ; б) -— - . 205. 3,5 дм2. 206. 25 см. 207. 8 см. 208. 9 см. 209. В tg<₽ 4tg ф нуктесшен о жазыктыгына дейшг! кашыктык С нуктесшен осы жазыктыкка дешнг! кашыктыктан киш. 211. a V2~ . 213. cos ф = —, ф =70 33*. 214. 60. 215. <5 ЛТТ см. 216. 2а. 217. 2 V122 дм. £ III ТАРАУ 219.13 см. 220. 26 см. 221. 8 ^21 см2. 222. 45‘, 135,45‘, 135е. 223. 8 см жене 8 /Г см. 224. 16 см2. 225. 45“. 226. 2 /з“ см2. 228. 80 VT см2. 229. а) 450 см2 жене =« 536 см2; е) 384 дм2 жене 672 дм2; б) 69 дм2 жене ^97 дм2; в) 0,2 м2 жене^ 0,8 м2. 230. 75
см2. 231. 20(23 4- 6 7з~ ) см2. 232. 2d2 sin ф (cos( a + <p)cos(a - <p) 4- sin p). 233. 180 2^2 cos - 71 |cos0 ,, \ 2 \ ) CM“. 234. 580 cm-. 235. ----------------. 236. H уск а у. Келбеу призманын sin± бушр жактары параллелограмдар болатынын ескеру керек. 237. 240 см2. Н у с к а у. 236-eceim пайдалальщдар. 238. 2016 см2.239. л/5 8 см, V58 см, л/б~5~ см, V6 5 см. 240. 768 см2 241.(2 V34~ + 22)м2. 242. а) 4 VT см;е)48(^2~ 4-1) см2. 243. 192 см2. 244. 790 см2. 245. 8(3 + 3 ^3* +7б~) см2. 246. е) 189 см2. 248. 48 VT см2. 250. 64 VT см2. 251.13 см. 252. 12 см. 254. а) ; е) 2агс sin —р—~ ; б) 3 2V9/7U + 3u“ V3~/7 2-Js‘h + а" 1 Г. 1 . 2 (р arctg--------; в) arctg -------; г) 2 arc tg------------.255. ------- JI------tg — . а а 3/7 . ф V 3 2 256. а) —с--л- ; а) 2sin — 2 т 2sin — 9 4- )h . 258. 72(1 4- J7~) см2. 259. 3 %/б~ см. 263. а) Трапеция. 264. За2. 265. 54 см2. 266. 13 дм2. 268. J7~ дм. 269. “ л/б” дм, V3~ дм. 270. 16 см2. 276. a)Bipey; э) жок; О б) жок; в) 6ipey. 277. а) Шек cis жиын; е) ушеу; б) тогыз. 278. а) Бесеу; е) тортеу; б) ушеу немесе алтау. 279. 60.280. Тргелес жактардьщ диагоналъдары аркылы а2 /.Т ететш киманын ауданы--------гетец. Карама-карсы жактардын диагоналъдары аркылы ететш киманын ауданы a2 <J~2 -ге тец. 281. -Уз” . 282. 90.283. а) ~; а) б) . 284. Дурыс октаэдр. 286. а) т— h; о) п= у т. 287. a) a ; а) 7sin( 0 + ср )sm(0 - <р) . 291.2<72sin<p (cose 4- 4- 7sin(0 + <p)sm(0-cp) ). 292. 4,8 см. 294. 4 yjs2 - и ‘ немесе 2 VF So. 296. Лиг СОБф . Н у с к а у. 1зделшдх кима трапеция болып табылатынын ескерщдер. 298. 2а2 4- 2а у!462 -а2 . 299. 0.5 м. 300. Тхктертбурыш, S = . 301. 4л/б~ см. 302. 5 см, 5 см, 6 см, 6 см. 303. 288 (3 4- /з”) см2. 305. 2h2 tg о. 306. 4Л2 tg2 <г (1 4- 1 г— 1 у/ 2 <20 4" . _ . 307. а) —---- ab. 308. 4 см, 4 см, 4 см, 4 см. 309. ~— дм2. 310. 540 см2. sib <р / | 2 311. а) 315 см2; е) 7,2 см. 312. tg <р cos - . 313. 54 дм2. 314. 56 см, 24 см. 319. п Ушеу.
IV ТАРАУ 320. а) 3 см, 4 см, 5 см, 1,5 см, 2 см, 2,5 см; е) 4 см, 3 см, 5 см, 2 см, 2,5 см. 321. а) 12 см, 8 ем, 9 см; е) 15 см, >/145 см, 17 см. 323. a) MN - QP, ОМ - PN . DP = PC ; а) квадрат. 324. а) Ие; е) ие; 6) жок. 325. а) Параллель немесе беттесед!; а) тузу жазыктыкка параллель немесе онда жатады; б) жазыктыктар параллель, киылысады немесе беттесед!. 326. а) СС, ; е) DK ; б) AjCpB) С,В, ; г) МВ, .327. а) АС ; е) АС] ;б) С,В;в) DB, ;г) DC, . 329. а) ВС > AD, A,D,, В,С,;е) АВ, , DC, ; б) CD , ДА. В, А, , C,D, ;в) В, А, , С, О, , CD, ВА-ЗЗЗ.а) О ;е) DB .335. а) ро ; а) АК;б) СР; в) 0.336. а) АС - DC - BD;&) DC +CB-DA ;C)-(DA+CD t- ВС ). - > —> —> __ " * —* —> ~ * 337. а) Л 7) + OE ; «) А К ; б) О . 338. H у с к а у. О А - О A t = ОС - ОС , болатынын ескерщдер. 339. а) С1В ; е) АС. 340. а) АС ; ®) СВ ; б) ВС • 344. а) - 1; а) 2; б) - . 345. а) -2 ЕР ; е) - “ DC . 346. - -7 (AD + ВС )• 347. а) 5 л - 9 п ; е) 2 р - 13 т - -3 л . 355. а), б). 356. Ие. 358. а) АС, ; е) DB, ; б) DB, ; в) А,С ; г) BD, . 359. а) kq — JTkq kq г—-----= kq ,----------= 2kq ------- AC, , -г- AC, ;e) r V19 + 4V3 . —— V19 + 4V3 , —— , 105 , a 2a 3a 3a 9a 4kq -> -> » _+ ----.360. a) BD, = BA+BC + BB, ;e) B,D,=A,A - A,B + A,D, .361. CD =0- A,A-AB+O- AD, 0,0 = --7 AA, + -7 AB --7 AD. 363. OD = “ -b + c, £ ** ОМ = V j + 0 b + -7 • 364. AK = a + -7 b + с, I АК I - “7 • 365. -7 a + z z Z Z + — b + 0 • c, — a- -7 ь + -7 c. 367. DK = 0,7 DA + 0,15 DB + 0.15 DC . 368. a) AC = AB + AD;e) CM = ~K AB -AD;6] C,N = - AB --7 AD;& A,N =0-AB +-7 4D;e) MD = --±- AB +AD.3G0. ОД = 3 ОМ - OB - ОС . 370. a) DN = 1-1^1 * 1 . 1 - 1 . 4 - 1 7 , 1 .. = — a +— 6 + c ; o) DK = ~ + V b e ; °) ЛМ = - a + о b+ Q c\ .5 .5 6 'I '1 I 15 в) MK = — a - —b - “~ c . 371. H у с к a v. 350 жэне 366-ecerrri пайдаланын-1 12 12 дар. 373. Жок. H у с к а у. Алдымен - АуВуСх ушбурышы мединаларынын киылысу нуктес! екешн делелдецдер, сонан сон Збб-есептх пайдаланындар. 379. -* -> ->>._> > а) АС : е) АВ ; б) О . 380. a) A Dt ; е) АС} ; б) DB . 381. Н у с к а у. Алдымен АВ = > -> > > * - А, В j, ВС = В, С j > С А = С1А । болатынын делелдецдер. 382. а) А’ - кез келген сан; э) А’ 0; б) /г < о ; в) А = -1. 386. Н у с к а у. МО = ~ ( МА +МВ + МС + MD) бо- латынын делелдецдер. 387. а) 3 ON - 2 ОМ ; е) 2 ОК! - ON ; б) А • ON + (1 - А’) • ОМ .
389. Алдымен А, В, , А 2 В2 жене А 3 В3 векторларыныц комп ланар льпын делел-3 V113 + 10 ЛГ 4 4 V737 дендер. 390. а) liq- q) т==----------kq\ 6) ~~~ kq; в) ~ ' kq. 391. А К = 5v5u Уи 27 а 1 - 1 - 1 “* * = ~ а + ~ — с . 392. А(\ = p+q + r; САХ = - р - g + г; BDX =q- p + r; DBi = -g + p + r.393.a) АК = АВ +AD+~ AAt ; е) DA{ = ABt -ВС} + С£>, . ► । -+ —> । -* 394. АЛ/ = — АВ + AD + ~~Г AAt • 395. Н у с к а у. Алдымен АА} , BBt , СС, Lt £ векторларыныцкомпланарльпын делелдендер.396. ВС = с - b, CD = d - с t DB = b - d , DM — 9 b + c - d . 397. . 398. H у с к а у. 366-есепт! пайда- •- Lt О ланыцдар. 399. H у ска у. 39 7-есепт! пайдаланындар. 11-сынып V ТАРАУ 400. а) С; о) Е; б) В; в) А, С, Е, Н; г) В, Е, С; д) В, С, D. 402. В{ (1; 0; 1), С(0; 1; 1), С{ (1; 1; 0). 403. а {3; 2; - 5}, b {-5; 3; -1}, с {1; - 1; 0}; d {0; 1; 1}, ni {-1; 0; 1}, п {0; 0; 0,7} 409. а) {7; -2; 1}; о) (-7; 2; -1}; б) {5; -1,2; 1);в) {-5 V. 3"Г; -1 “};г) {V; -2,2; V}; «5 О 4 о I г) {7; -1,8; 1}; д) (7; -2,2; 1} е) {10; -2; 2}; ж) {6; -3; 0} з) {0; -1,2; 0}и) {у; - у; к) {-0,4; 0,2; 0}. 410. Р {4; - 18; -9}, q {5; 15; -5}. 411. а) {0; 5; -1}; о) {-3; 2; 1}; б) {7,8; 2,5; 4,1}; в) {-3; 9; -3}. 412. - i’ {-1; 0; 0}, - j {0; -1; 0}; - k {0; 0; -1}, - а {-2; 0; 0}, - Ь {3; -5; 7}, - с {0,3; 0; -1,75}. 413. б) Жок; в)иэ; г)жок. 414. а) т-10; л = 1 ~~ ; е) т= 0,1, О л = -2. 415. а) Не; е) жок; б)ие; в) жок; д) жок. 418. а) {-1; 0; 2}; а) {5; -7; 2}; б) {- ; -4~; -4“}. 419. АВ =i -3 J - 3/7 ,ВС = -5/ + 7 + 6/г ,СА = 4Г + 2 / - 3/7.420. Ио. 421. е) Ив; б) жок. 422. а) Ив; о) жок; б) по. 423. Н у с к а у. 366-есепт1 пайдаланындар. 424. а) М(-1; 2.5; -2); о) А’(-8; 4; -19); б) А (-24:8; 28). 425. а) т = 2, п= -5; а) ш= -0,5, п = 2; б) т = 1, п = -1; в) т = 2, п = -1. 426. а) 3; о) 17.427. | а | = 5 7з", |6| = 7,|c|=jr,|j| = 2,|m|= VT.428. а)7б~ ;е)2ЛТ ; б) 0; в) 5 VT; г) 3 ЛГ ; г) 14. д) ^326 • 429. ЛГ . 430. а) 3 + 2 Л~; о) 0,5; . 431. а) Дурыс; 1 1 е) тшбурышты ор кабыргалы; б) тшбурышты эр кабыргалы; в) тшбурышты тенбуйрлк 432. а) 4,4, 3; о) 4 VT, 5, 5.433. (0; 2; - 3), (-1; 2; 0), (-1; 0; -3). 434. (3; 0; 0), (0; -4; 0), (0; 0; 7). 435.3,75; 2; 4; 1 - 2 Л" жене 1 + 2 Л". 436. Н у с к а у. а) А, Б жене С нуктелер! 6ip тузудщ бойында жатпайтынын; е) АВ мен DC тец емес ба--> -> гыттас векторлар; б) | A D I = I СВ екентн дэлелдеу керек. 437. а) (-1,6; 0; 0); а) 0; 8;
317 3 1 17 0); б) (0; 0; 1). 438. а) (“; —; 0); е) (0; 1; -7); б) (- ~; °; ). 439. а) (2; 3; 0), О О 4 О О ЛУ ;е)(2; 3;-1). 440. + . 441. а) 45; о) 135; б) 60; в) 45; г) 90; г) 90; I 4 4 А А Л д) 0 ; е) 180". 442. НА DC = .Р, BA CD = AB DC = 180’ - T. 443. a) a2; e)-2a2; 6) 0; в) a2; r) a2; г) - ~~ ; д) - "7 a2. 444. ci c = 3, a b = 0, b c = 3, a a =6, Jbb — V3~ . 445. a) -10; 6) 3; в) 1; г) -4; д) 28. 446. а) Догал; о) с утр; 6) tik. 448. а) 5,§; е) 3,5; б) 4. 449. т = 4. 450. Н у с к а у. АВ = DC , АВ AD = 0, | АВ I = I AD | екешн делелдецдер. 451. а) 60 ; е) 135 ; б) 150 ; в) 45 ; г) 90.452. a i = 50 46-, a j =63 26% a /; = 50'46-. 453. 60*. 454. А= 120, zC= 30, Р= 2 Л”(2+Л")>8=2-/з’. 455. а) ; е) - -7; б) 0.456. 90". 457. 3.459. а) 1; -7; е) -/з , . 461. Н у с к а у. 3 О с MN мен ВС векторларын о = DA , b = DB , с — DC векторлары аркылы ернек-тецдер. 462. а) -1; е) -1,5; б) 4; в) V2~ ; г) 2; г) - ; д) ~~~~ • 464. а) 30 ; е) 60 ; б) 0 ; 3 2 1 зТз- в) 45е. 466. а) -^-;е) б) ~^=~; в) . 467. а) * 71 34;е)=59 14.468. 3 9 5 10 3 5 _ 1 а) лг :э) лл :б) лй -469-а) лл ;а) лл ;б) лл -470-а)т: 2 2 е) ~~; б) — . 471. Н у с к а у. ABCDA\BXCXD{ - берхлген куб болсын. Меселен, О о -> — > ACjiAj# екенш делелдеу керек дейж, ACt мен А^В векторларын а = АВ , b = = AD > с = A Ai векторлары бойынша жштеп, АС{ • А1 В = 0 екешн делелдеу ке-рек. 473. 60". 475. — Ло + 15Л” . 476. 45.477. Н у с к а у. А К BD = 0 екешн делелдеу керек. 479. Н у с к а у. Симметрия центр! мен бер!лген тузу аркылы ететш жазыктыкты карастырып, есепт! “Геометрия, 7-9” окулыгыныц 1149-есебше келт!р!п алыцдар. 481. Н у с к а у. Дозгалыстьщ мынадай касиетш пайдаланындар: козгалыста тузу - тузуге, параллель тузулер - параллель тузулерге, ал бурыш оган тен бурышка бейнеленедь 484. Н у с к а у. Параллель кеипру козгалыс болып табылатындыктан, параллель кепйруде тузу тузуге бейнеленедь 485. Н у с к а у. —> —> ММ j =>14)= р екешн делелдецдер. 487. Н у с к а у. Тужырымдама: а) “Геометрия 7-9” окулыгыныц 114-пунктшдег! теорема сиякты делелденедь о) “Геометрия, 7-9” окулыгыныц 1150-ece6i сиякты шыгарылады. 488. Н у с к а у. а) , э) Дэлел-деуд! карсы жору эдклмен жург!зу керек. 490. а) {3; 9; -24}; о) {1,6; -2,3; 4,3}. 491. а) Жок; е) ие; б) ие; б) ио; в) жок. 492. а) (-1; 0; 0); а) (0; -2; 0), (0; 0; 2). 493. а) Не; е) ие; б) жок. 494. Н у с к а у. а) А, В жене С нуктелер! 6ip тузудщ бойында жатпайтыныщ о) АС мен BD кеандълершщ орталары беттесетшш делелдецдер. 495. (— ; О Y ; 3). 496. С(6; 5; 5), Dt (9; 4; 1), (4; 7; 4), С, (8; 8; 4). 497. а) 1; е) -2; б) 0. 498.
> 1 2 1 3 .— ,— v; - v>> < ~7ттГ; ~7dr °)-4"- 4 немесе ~4- 50°- i- soi.2'/7- • *5 о о V I v v 11 / J2iT . 502. (0; 42,4; 0). 503. (1; 1 ,5; 1.5). H ускау. ^ACB = 90 болатынын ескерщдер. 504. 6 дм. 505. Ну ска у. Координаталар жуйесш енг!зщдер жене АВЫ) тетраэдр! тебелершщ координаталарын былайша белг!лендер: А (Хр //р, 20, В (ХА Уч» z>\ С (*:?; Уз» 2зХ В (Хь Ух» Меридиандардын киылысу нуктесшщ коорди-f + *г +<s +*4 У. - У. * У, 2. + 23 +2Я +2, > наталары -------;---------------;---------------J оо л а тынъш еске- ру керек. 506. а) 3; е) -3,5; б) 5; в) 7; г) -10. 507. а) 135°; е) 60 ; б) 67 30. 508. а)Ие; 2 5 г— е) ие; б) ие; в) жок. 509. a) : а) ~ . 510. а) 90 ; в) =*114‘06'. 511. а) /б ; e)VT.512.a) ~^-;е) -jy; б) -jy; в) . 513. а) ^=;е) -^=-.515.45.516. sin о cos ф. 517. ^п2 + т“ + р2 + рп . 518. Н у с к а у. а) Карсы жору эдктмен делел-деу керек; е) Л/ - а тузушщ а жазыктыгымен киылысу нуктес!, А - «тузушщ нуктес!, В мен С - « жазыктыгынъщ М нуктесшен езге нуктелер! болсын. AN В жэне ANC ушбурыштарына Пифагор теоремасын колданамыз. 519. Н у с к а у. о мен р, о мен р j жазыктыктарымен жасалган еюжакты бурыштардын сызыктык бурыштарын карастырындар. 520. Н у с к а у. а жазыктьнынан киылысатын ек! тузу алып. 484-есеттп пайдаланындар. VI ТАРАУ 521. 5 м. 522. а) 24 см; е) 12 см; б) 432л см2. 523. а) 10 см; б) 50 л см2. 524. Жок. 525. д/бк м. 526. а) 30 ; е) 60.527. а) 5 дм; е) 3 см. 529. 64 см2. 530. 8 см. 531. 15 дм. 532. —— . 533. 4s*~^4h*d2 . 534. 2 VT dh. 535. 40 см2. 536. S 42 . 537. cos р я л2т2. 538. — . 539. 1,125я кг. 540. 6 см, 18 см. 541. 0,82* = 2,58 м2. 542. 4S • ctg.r. 543. 6 = — с/2 sin SlulJI = — d- sin<r + d- sin2 ~ немесе Slu,., = ~ d2 sin<r + + ~7~ rf2cos2 —.544. -7- 545. a) 2a2; a) 2no2; б) 4яп2. 546. e) —.547. 17 см. 548. 21t 2 on a a) 108ti cm2; e) 72л см2; б) 36л см2. 549. а) 4 %/2~ дм; э) 4 дм. 550. 25 см2. 551. а) г2; е) г2 42 -,6)г 24з . 552. 2Л2. 553. 6 .Р- дм. 554. a) r-41 ; a) r-f--- г- . V 8 4 2 555. а) 200 см2; е) -1°°- 4& см2; б) — - см2. 558. <> = 216‘. 559. 180.560. о 9 а) 60“; е) 2 arcsin -у-; б) 2 arcsin . 561. 9л см2, 6 см. 562. —См2. 563. 4 6 8 £ 2 ф ла cos 0,9л см2. 564. ----------— . 565. = 80л см2, 8 кон = 144л см2. 566. 2л m2sm <р. 2sm аеоыр 567. 5 см. 568. а) 8 см; е) 128 см2. 569. R2 - г2. 570. 60 см2. 571. 33 7Г л см2; (33 /Г +
т- 65)л см2 *. 572. 2,55* = 8,011 кг. 574. я) 10 л/2 1 см; а) 12 мм; 6) 16 дм: в) 7и 2 + 62 . 575. Г^4Я> ~д|*_ . 576. а) (х - 2)2 + (у + 4)2 + (г - 7)2 = 9; е) х2 + у2 + 22 = 2; б) (х - 2)2 + г/2 + г2 = 16.577. а) (х + 2)2 + (у + 2)2 + г2 - 54; е) (х + 2)2 + (у - 2)2 + г2 - 8; б) х2 + у2 + г2 = 35. 578. а) (0; 0; 0). 7; е) (3; -2; 0), 4Т . 579. а) (2; 0; 0), 2: а) (0; 1; 0), 5; б) (-1; 0; 0), 2; в) - -у-; 1), 7б~ . 580. 1600* дм2. 581. 12 см. 582. 6 см. 583. 4 см. 584. 3 см. 584. 3 см. 585. 8 см. 586. а) Жазыктык сфераны жанайды; е), б) жазыктык сфераны киып етедк в) жазыктык пен сферанын ортак нуктелер! жок болады. 587. 80* см2; о) J4 см. 588. и) R\ &) К2. 589. а) 2 7~ * см; I л 2 2 а) 5 42 * м. 590. л/728П12ч>. 591. ~~ , ~~ . 592. 1 см. 593. а) 144п см2; а) 16я £ W <) дм2; б) 8* м'2; в) 48* см2. 594. 36 м2. 595. ~г=~ см. 597. 10 м. 598. 900* см2. 599. V л __ f 2 4я (г,1 + г,2 b 601. . 602. . 604. J „. 605. а) ; е) 2 немесе \ 1 z / 2 3 | ) 2 — . 606. 2±^ . 607. — жене — . 608. 414т. см2. 610. - 4" • 611. - S' - . 4 2 2 1 3 ?! 61 2. arccos~". 613. 4 /б~ см2. 614, arcsin ~~ . С15. 40 -JW * СМ2. 7 1 у <j~ t b- 617. а) 9 -3 (77 3 + 3) см2; е) (18 + 6 741 ) см2; б) ~ (791 4- 3 73~ ) см2. 618. 12 10~ * дм2; 4 (3 1 10 + 5)* дм2. 620. а) Н у с к а у. Сфера диаметр! ушбурыш гппотенузасына тен екешн делелдендер; е) 2 710 см. 622. (3; 0; 0), (0; 0; -9), (0; 0; -1). ,— J3 - 4siii; ф , 73 - ЬпГ <р 16 623. 4 7Г . 625. о) 0,6/7. 626. a) 2R ----------, 4/7 sin ф —-----------; в) — *R- sin2.г (3 - 4sin2-r). 627. см. 630. 1^Г + 4^.+ 8 . 631. а) -Ц^-(29 + +7 473 ) см2; а) (58+14 4ТГ )см2; б) ..87xL см* 634. а) 24 W2; а) 12 4W R2; б) 24 7F R2. 635. а) -----17-с- ------; в) 100 7з" (2 + 7F ) см2. 636. Н у с к а у. (1 siiiu)tg а 2 Берхлген пирамиданын онын табан кабыргасыныц ортасы аркылы жене оган перпендикуляр ететш жазыктыкпен кимасын карастырындар. 639. а) 8Я2; е) 3i4T r2_ б) да 640_ 641 . 4 7з~ см, 6 см немесе 4 3 1733 11 4 42 см, 8 см. 642. 4"- 643. a) Rig — t — | ; э) rtg [ — - — б) 60. 644. 3 к 1 4 J к 4 1 / 2 лг' cos “ ~ г -------------- . 645. . 646. a) Kshbp; е) ~~ ; б) 30 немесе 150 . , - а 1 1цг — cos а
VII ТАРАУ 647. а) V = Vj + V2; в) V = -f- V, + V2. 648. а) 1980; а) 300; б) 1170 4з ; в) 3.2 VT . О 649. а) 432 V2~ см3; о) 6 7б~ см3; б) 0,32 VT см3. 650. 12 см. 651. 3,51 кг. 652. ПТ о h sinciJcos" P-sin" о. /---г.- 240V2 см3. 653. 729 <2 см3. 654. ------------!---------. 655. аМЗаг-Ь2 . sin" b 656. 432 V3 см3.657. а)• VT m3;s)1728VF см3. 658. 2310см3.659. а) —- •? /7Г «г. Л л л- -1 Ф ZS ship-cos" В Q"sin2B см3; о) 1,5 V2 . 660. 0,5дг* sin <р cos —. 661. ------. 662. -------. 663. 2 4tC-^ 2а а) ; а) Я3; б) 1,5 VT а3; в) . 664. . 665. 72 см3. 666. а) 24л 10 j ,_____ см3; в) см; б) 2 см. 667. = 208 м. 668. л 1513 т. 669. — S п<? . 670. * 61 кг. 671.а)з7з";4я;а)2:п,б)3<г3’ :2;в)2-/2‘ г) Ц-д-яп-^-) ; л. 672. ™ * . х 2 п ' 4cos а 673. 0,5.674. v. 675. у-. 676.192 Л" см3. 677. - 12а' 3&— . 678. — т2 tap. 2 5 8 4 679. 1050 см3. 680. abc J- cos2<p . 681. Г = 18 /39~ см3 683. 1080 см3. Н у с к а у. Апдьщгы eceirri пайдаланыцдар. 684. а) 6 м3; е) 4950 см3. 685. 169 л/3~ см3. 686. а) —“— /3 siii 2<р cos <р; е) — /3 cos2 a V3- 4 cos 2 а ; б) — /3 si о о 3 < • 2 р -4sm — 2 sm4- — 2 а J3-4sm* А г я .—— 687. -—- — . 688. а) — j е) _____ 689. п1а cos2 690. 21 sin A 3t^P 6sin-^ 3 2 2 6 л/471 см3, 6 V498 см2. 691. - см3. 692. ab >1 а 2 + /?2 tg <р. 693. 6 12 12 Г 1 । arctg . 694. 9 см3. 695. а) с3 sin2<p tg н; е) 48 см2; б) — abc. 696. 1400V3~ см3.697. .698. (m:> - n3)tg.p. 699. 1260 дм3.700. 38 Л” см3. 192 24 701. а) 2,25л см3;а)9см;б) .702. 375 см3.703. (Р—.704. — яН3. 1 пт Зп 12 705. 240я см-1 немесе 100л см3. 706. 216.707. 22 >л дм3; 708. 84л см3. 709. —, 7 л/ “ГТ- 71 Г7Г-) • 710. а) 64д см2, ~ л см3; а) < 3 см, * 36л см2; б) 4 см, lx. X 71 [ / 3 л см3. 711. Жердщ конем! Аидьщ колемшен 64 есе улкен. 712. Н = “ Н, мундагы Н - цилиндрдщ бшктгп, R- шардыц радиусы. 713. Жок. 714. Судыц 32 9 12 денгет см-ге кетергледа. 715. л м3. 716. 5 : 16. 717. 58500л см3 немесе J
52 504000л см-’. 718. Kj- л К3. 719. 252л см3 жене 720л см’. 720. 112500л сиг’. 721. 81 я R1.722. 6375^ « 1,28 • 108 km2 = 128 • 106 km2. 723. 432л * 1357 см2. 725. , 36 дм3. 726. 48 ЛТ см3. 727. a^Q'‘-Qa* . 728. 105 см3. 729. 730. . 731. 1 м, 2 м, I А ^3cos2 ср-sin2 <р немесе — (1Л sin2 <р ^3- sin2 ср . 733. Н у с к а у. Ушбурышты призманы параллелешптедке дейш толыктырып салып алындар. 734. Н у с к а у. 733-ecenTi пайдаланындар. 735. 6,12 дм3. Н у с к а у. 682-ecenri пайдаланындар. 16/ns /з~ asn —“. 738. -^-723(3tg2<p - 1). 739. ----------—-----х .............. 4 24tg 180° n 2 fl s in a пГ V3 736. ~2-------. 737. 27 sin <pcos<p - 180° .740. 2h s in ср -sin(pa * sin (ср, +(pj 3tg-<p3 dP sin2 -г х 3 1 i 2 n "~a3sin2<p tgo. 743. a) I», yi^a 2h2 - <2 1 - /?1 ; о) -2a2 . 744. 31 : 73. 745. a) 9 8 -;б)7 9 с ли tgcp . 747. - 7065 л. 748. ----------------- ЗЛ .... 2 Ф, . <Р] 21 sin ——-tg 2 2 749. sin’<r tg»>. 750. -7-. 751.96л дм3.752. 2nr-~- . 753. ~ .754. 7t/» 6cos2^- 2 л . 4л n 1л . , _ 100 л rt 5 0uл 758. . (H2 + r2)3.759. . ;9 см-, “ ~ cm3. 760. . . ,?n cm2, .. . 2R 6// sin 2a 3sin 2a sin Zp Jsin zp cm3. 761. 6,56 m. 762. Келем! ен \rjIKeHi шар, KG.neMi ен Kiinici конус. 763. а) Жок; e) Ие. H у с к a у. BipTPKTi деп есептеп, шардыц тыгыздытын судыц тыгыздыгымен салысгырыцдар. п • V. i 55. n ст snr а 2 Ь . 756. л ft3sin2u coso. 757. КИЫНЫРАК ЕСЕПТЕР 764. Беркптен тузулерге параллель жазыктыкта орналаскан шенбер. Шецбердщ радиусы ~~~ \ d2 - h2 -ка тец, мундагы Л - беркпген айкас тузулердщ арасындагы - • • Л - Г- h кашыктык, ал шецоердщ центр1 берхлген ep6ip тузуден ~ кашыктыкта орналас- кан. 765. Н у с к а у. Барлык бул кималар периметрлерх тетраэдр кырыньщ gki еселенген узындыгына тец параллелограмдар болып табылатынын делелдецдер. 766. Н у с к а у. Тебелер: карама-карсы кырлардыц орталарында болатын тертбурыш параллелограмм болатынын делелдецдер жене параллелограмнын кабыргалары мен диагональдарын байланыстыратын формуланы пайдаланындар. 767. Ушбурыштын барлык бурыштары сушр болуга Tiiic. 768. ВСтузуше перпендикуляр жазыктыкта орналаскан шецбер, о л 7>С-га перпендикуляр АБкесшддсш (А нуктесшыз) диаметр ретшде алынып салынган. 769. Н у с к а у. Тетраэдрдщ тебес! оныц табаны бижтжтершщ киылысу нуктесше проекцияланады деп есептегик. Сон- — ; e) л з 4 л
да тетраэдрдщ кез келген кыры карама-карсы кырьша перпендикуляр больш шыгады. Сонан сон уш перпендикуляр туралы теоремага Kepi теореманы колданьщ-дар. 770. Н у с к а у. - АВСушбурышы бижтжтершщ киылысу нуктес! екенш ескерщдер. 771. Н у с к а у. 770-есепт! пайдаланьщдар. 772. Жет! 773. Н у с к а у. Бертлген еюжакты бурыштыц сызыктык бурышынын биссектрисасы мен онын кыры аркылы жазыктык журпзтдер жоне бершген тузу мен осы жазыктыктын киылысу нуктесш еюжакты бурыштын жактарына проекциялацдар. Сонан сон алынган ушбурыштардьщ тецд!г!н пайдаланьщдар. 775. Н у с к а у. А - кубтьщ кез келген тобес!, О - кубтьщ центр!, ал A j - А нуктесшщ бергпген тузуге проекциясы болсын. Сонда ЛА j — О А • sin р. мундагы <р - ОА мен ОА j арасындагы бурыш. О A j тузушен кубтьщ тебелерше дешнг! кашыктыктар квадраттарынын косындысын жазыцдар жене косинустар теоремасын пайдаланьщдар. 776. Н у с к а у. Бул тетраэдрлердщ ортак тобес! болады, ал олардын табандары - катеттер! кубтын кырына тец тецбушрл! шбурыштмушбурыштар. 777. Н у ск а у. Кубтьщ жазба-сын карастырындар. 778. Н у с к а у. Кубтын т!л!г! ретшде кубтьщ диагоналш альщдар. 779. S. 780. л/2~ см. Н у с к а у. Тетраэдр кубка сырттай сызылган сферанын шниде болуга тшс деген шартты пайдалану керек. 781. Н у с к а у. Алынган копжактьщ барлык тобелерт - куб жактарыньщ орталары болатынын далелдеу керек. 782. Н у с к а у. Параллелепипедтщ кандай да 6ip жагын алып, осы жакка жакьш жаткан ен кпш кубты тандап алу керек, сонан сон калган кубтар осы кубка калай жакын копылатынын аныктау керек. 783. Н у с к а у. Сынык сызыктыц тобелерш кубтын тобес! ортак уш кырына проекцияландар жене ушбурыштын кабыргалары арасындагы катынастарды пайдаланьщдар. 784. Н у с к а у. [ жагы. k кыры жэне е тобес! бар беркнген копжактьщ бет !нен оньщ 6ip жагыньщ ник! облы-сын болш а лсак, Р\ копжакты бетш аламыз. Сонан сон Р\ бетшен шекаралык кыры (ягни тек осы жактыц гана кабыргасы болатын кыр) бар жакты белит алсак. Р2 копжакты бет! шыгады. Р2 бетшде алып тасталган жактын баска жактарга да TiiicTi тобелер! мен кырлары сакталады. Осы процест! жалгастыра отырып, з кадамнан (мундагы 1 < з < f) кепш Р.; бетш аламыз. Д + - ks = 1 болатынын мате-матикалык индукция ед!с!мен жактар саны бойынша делелдеу керек, мундагы з. /гйжэне - Р^бет! жактарыньщ, кырларынын жоне тобелершщ саны. Бул жерде тендж Д = 1, ягни з = [ - 1 болганда айкын екенш ескеру керек. себеб1 бул жагдайда kA = с\ • з = 1 болганда !зделшд! ([ - l) + c- Z?=l тенд!г! шыгады. 785. Н у с к а у. Симметрияны пайдалану керек. 786. Н у с к а у. Симметрияны пайдалану керек. 787 J— и, arccos . 788. arccos . 789. Н у с к а у. Диагональд1 V 7 \ 3 беретш векторларды кырды беретш векторлар аркылы орнектецдер. 790. Н у с к а у. Тускен жене шагылган сеулелердщ багыттарын аныктайтын векторларды карастырындар. 791. Ек! шеш!м: 45 жэне 135.792. Н у с к а у. Есептщ шартына супе не отырып, тетраэдрдщ уштары ортак уш кырын береты векторлардьщ катынасын жазып алыцдар. 793. Бушр кырларымен тец бурыштар жасайтын векторды карастырындар жэне ол табаннын ек! кырьш беретш векторларга перпендикуляр болатынын делелдендер. 794. Н у с к а у. О| - О нуктесшщ АВС жазыктыгына проекциясы болсын. 0,A • ВС = В0х • АС = С0{ • АВ = 0 болатынын делелдендер. 795. II у с к а у. Бул шама шар диаметршщ квадратына тец болатынын делелдендер. 796. Шардьщ imine орна таскан шецбер догасы, шецбердщ диаметр! шар центршен беркчген тузуге дешнг! кашыктыкка тец, ал шецбер жазыктыгы бертпген тузуге перпендикуляр. 797. Центр! бер!лген сфера центршен беттесетш сфера, ал радиусы В-ге тен, мундагы В - берклген сферанын радиусы. 799.
г г , мундагы г3 - кшп шар дым радиусы. 800. г = болганда ► -V97? -187. + 12 ---------------Нжане л = 2 болганда 3(7.-2) — Я. 801. X 3 R. 802. 6 1 I/ 1 V — I , ~ I жене . , . ____ 4 . V, мундагы V - призманын колет. 804. Н у с к а v. Алынган 4 4 12 тетраэдр лер дщ табаны ортак жане бижтжтер! тен болатынын делелдеу керек. 805. 5 : 3. 806. Н у с к а у. Табаны ретшде АВ кыры болатын oip жакты алып, онын ауданы да, тетраэдрдш бижт1г1 де С мен D нуктелершщ орнына теуелыз болатынын корсету керек. 807. ~~ см3. Н у с к а у. 803-есепт! панда ланыд дар. 808. Н у с к а у. 2 Киманын ншнен 61р А нуктесш алып, кепжакты А тобес! ортак пирамидаларга болщдер. 809. ~~~ см3. Н у с к а у. Фигуранын цилиндр осьтерше параллель « я жазыктыктармен кималарын карастырындар. 810. 2 arcsin ~ .812. "Д (3ctg2 1 ). 813 sin* «- ~ . 814. Н уск а у. Н нуктесш басы ретшде альт, тетраэдр тобепершщ радиус-векторларын енызщдер. 815. Н у с к а у. Векторларды колда-нындар жене 814-есепт1пайдаланьщдар.
МАЗМУНЫ Kipicne.................................................................3 1. Стреометрия пон!.............................................. 3 2. Стреометрияныц акспомалары...................................4 3. Аксиома лар дын кейб!р сал дар лары..........................6 Сурактар жене есептер...........................................7 I тарау. Тузулер мен жазыктыктардыц параллельдгп § 1. Тузулердщ, тузу мен жазыктыктын параллельдш.......................10 Сурактар жене есептер...............................................14 § 2. KenicriKTe тузулердщ езара орналасуы. Eki тузудщ арасындагы бурыш.16 Сурактар жене есептер...............................................20 § 3. Жазыктьщтардьщ параллелъщп........................................21 Сурактар жене есептер...............................................23 § 4. Тетраэдр жене параллелепипед......................................25 Есептер.............................................................32 I тарауга арналган сурактар.........................................34 Косымша есептер.....................................................35 77 тарау. Тузулер мен жазыктыктардыц перпендикулярлыгы § 1. Тузу мен жазыктыктын перпендикулярлыгы............................38 Есептер.............................................................43 § 2. Перпендикуляр жене колбеулер. Тузу мен жазыктыктын арасындагы бурыш.............................................................45 Есептер.............................................................49 § 3. Екхжакты бурыш. Жазыктыктардьщ перпендикулярлыгы..................52 Есептер.............................................................57 II тарауга арналган сурактар........................................60 Косымша есептер.....................................................61 777 тарау. Копжактар § 1. Копжактар туралы угым. Призма.....................................63 Есептер.............................................................66 § 2. Пирамида..........................................................68 Есептер.............................................................71 § 3. Дурыс копжактар...................................................74 Практика лык тапсырмалар............................................79 Сурактар жене есептер................................................- Ш тарауга арналган сурактар.........................................80 Косымша есептер.....................................................81 IV тарау. Кецктжтеп векторлар § 1. Кешстжтеп вектор угымы............................................85
Сурактар жане есептер..........................................У • § 2. Векторларды косу жоне азайту. Векторды санга кобейту..........88 Есептер.........................................................92 § 3. Компланар векторлар...........................................95 Сурактар жэне есептер...........................................97 IV тарауга арналган сурактар...................................101 Косымша есептер................................................102 V тарау Кец!ст!ктеп координаталар эд!с! § 1. Нуктешц жене вектордыц координаталары...............................105 Сурактар жэне есептер..........................................111 § 2. Векторлардыц скалярлык кобейтшдкт............................115 Есептер........................................................118 § 3. Козгалыстар..................................................123 Есептер........................................................126 V тарауга арналган сурактар....................................127 Косымша есептер................................................128 1 I тарау Цилиндр, конус жане шар § 1. Цилиндр......................................................131 Есептер........................................................134 § 2. Конус.....................................................136 Есептер........................................................139 §3. Сфера.........................................................142 Есептер........................................................146 VI тарауга арналган сурактар...................................148 Косымша есептер................................................149 Копжактар, цилиндр, конус жене шарга берьлген эр турл! есептер.151 I 11 тарау Денелердщ колемдер! § 1. Тхкбурышты параллелепипедтщ колем!...........................154 Есептер........................................................157 § 2. Т1к призманын жене цилиндрдщ колем!..........................158 Сурактар жене есептер..........................................161 § 3. Колбеу призманыц, пирамиданыц жэне конустын колем!...........162 Есептер........................................................167 § 4. Шардыц колем! жене сфераньщ ауданы...........................170 Сурактар жане есептер..........................................173 VII тарауга арналган сурактар..................................174 Косымша есептер................................................175 Копжактарга, цилиндр ге, конуска жэне шарга арналган ар турл! есептер.177 Киьгнырак есептер..............................................178 I крсы.ыша. Кец!ст1к фигура ла рыныц кескш!.......................183 2 крсылпиа Геометрияныц аксиома лары туралы.......................190 Жауаптар мен нускаулар............................................194