/
Автор: Магницкий Н.А. Сидоров С.В.
Теги: физика математика динамика дифференциальные уравнения синергетика
ISBN: 5-354-00655-4
Год: 2004
Похожие
Текст
ЧЯ В 'Г
3
1, ,.t
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ИНСТИТУТ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
Н.А.Магницкий, С.В.Сидоров
НОВЫЕ
МЕТОДЫ
ХАОТИЧЕСКОЙ
ДИНАМИКИ
Москва • 2004
УРСС
ББК 22.318
Магницкий Николай Александрович, Сидоров Сергей Васильевич
Новые методы хаотической динамики. — М.: Едиториал УРСС, 2004.
320 с.
ISBN 5-354-00655-4
В книге представлена во многих случаях отличная от традиционной точка
зрения авторов на принципы формирования, сценарии возникновения и спосо-
способы управления хаотическими режимами поведения в нелинейных диссипативных
динамических системах, описываемых обыкновенными дифференциальными
уравнениями, уравнениями в частных производных диффузионного типа и урав-
уравнениями с запаздывающим аргументом.
Показано, что во всех таких системах реализуется один универсальный
сценарий перехода к хаосу. Найден и теоретически обоснован механизм такого
сценария. Все аналитические результаты и выводы подтверждены расчетами,
снабжены примерами и многочисленными рисунками.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов и студентов
старших курсов, интересующихся проблемами синергетики, нелинейной и хао-
хаотической динамики.
Рисунков — 149. Библ. — 136.
Оригинал-макет предоставлен авторами,
текст опубликован в авторской редакции.
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Лицензия ИД №05175 от 25.06.2001 г. Подписано к печати 26.01.2004 г.
Формат 60x90/16. Тираж 1000 экз. Печ. л. 20. Зак. № 19
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГП «Облиздат»
248640, г. Калуга, ил. Старый Торг, 5
ISBN 5-354-00655-4
Издательство У J; С^ v^
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий
в Internet: http://URSS.ru
Тел./факс: 7 @95) 135-42-16
Тел./факс: 7 @95) 135-42-46
Н. А. Магницкий,
С. В. Сидоров, 2004
• Едиториал УРСС, 2004
2343 ID 19833
785354 006557
Оглавление
Предисловие 7
Введение 9
Глава 1. Системы обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений 12
1.1. Основные определения и теоремы 12
1.1.1. Поля направлений и их интегральные кривые 12
1.1.2. Векторные поля, дифференциальные уравнения,
интегральные и фазовые кривые 12
1.1.3. Теоремы существования и единственности решений 14
1.1.4. Теорема о непрерывной зависимости решения от начальных
условий и параметров. Уравнения в вариациях 14
1.1.5. Диссипативные и консервативные системы уравнений 16
1.1.6. Численные методы решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений 16
1.1.7. Некорректность численных методов решения систем
обыкновенных дифференциальных уравнений 17
1.2. Особые точки и их инвариантные многообразия 18
1.2.1. Особые точки систем дифференциальных уравнений 18
1.2.2. Устойчивость особых точек и стационарных решений 19
1.2.3. Инвариантные многообразия 20
1.2.4. Особые точки линейных векторных полей 21
1.2.5. Сепаратрисы особых точек. Гомоклинические и
гетероклинические траектории. Сепаратрисные контуры .. 24
1.3. Периодические и непериодические решения,
предельные циклы и инвариантные торы 26
1.3.1. Периодические решения 26
1.3.2. Предельные циклы 26
1.3.3. Отображение Пуанкаре 29
1.3.4. Инвариантные торы 31
1.3.5. Непериодические решения. Показатели Ляпунова 33
1.4. Аттракторы автономных диссипативных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений 38
1.4.1. Основные определения 38
1.4.2. Классические регулярные аттракторы диссипативных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений 39
1.4.3. Классические нерегулярные аттракторы диссипативных
динамических систем 41
1.4.4. Размерность аттракторов. Фpaктaлы-^-xuJuw«^-^^•^.^^^^¦-¦••¦ *-• - 49
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 2. Бифуркации в нелинейных системах
обыкновенных дифференциальных уравнений 53
2.1. Структурная устойчивость и бифуркации 53
2.1.1. Структурная устойчивость 53
2.1.2. Бифуркации 55
2.2. Однопараметрические локальные бифуркации 57
2.2.1. Бифуркации устойчивых особых точек 58
2.2.2. Бифуркации устойчивых предельных циклов 64
2.2.3. Бифуркации устойчивых двумерных торов 77
2.3. Простейшие двухпараметрические локальные
бифуркации 81
2.3.1. Нормальная форма складки 81
2.3.2. Нормальная форма сборки 83
2.4. Нелокальные бифуркации 84
2.4.1. Бифуркации гомоклинических сепаратрисных контуров 85
2.4.2. Бифуркации гетероклинических сепаратрисных контуров . .92
2.4.3. Приближенный метод нахождения точек бифуркаций
гомоклинических и гетероклинических контуров 95
2.4.4. Каскады бифуркаций. Сценарии перехода к хаосу 101
2.4.5. Бифуркации нерегулярных аттракторов 107
Глава 3. Хаотические системы обыкновенных
дифференциальных уравнений 109
3.1. Система уравнений Лоренца 109
3.1.1. Классический сценарий рождения аттрактора Лоренца 109
3.1.2. Сценарий рождения аттрактора Лоренца через неполный
двойной гомоклинический каскад бифуркаций 112
3.1.3. Сценарий рождения полного двойного гомоклинического
аттрактора в системе Лоренца 127
3.1.4. Бифуркации гомоклинических и гетероклинических
контуров в системе уравнений Лоренца 138
3.1.5. Диаграммы нелокальных бифуркаций в системе
уравнений Лоренца 147
3.2. Комплексная система уравнений Лоренца 147
3.2.1. Сценарий перехода к хаосу 150
3.3. Системы уравнений Рёсслера 153
3.4. Система Чуа 159
3.5. Некоторые другие хаотические системы
обыкновенных дифференциальных уравнений 165
3.5.1. Системы Валлиса 165
3.5.2. Система Рикитаки 174
3.5.3. Система "Simple" 178
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.5.4. Система Рабиновича-Фабриканта 181
3.6. Заключительные замечания и выводы 184
Глава 4. Основы теории динамического хаоса
в системах обыкновенных дифференциальных
уравнений 186
4.1. Теория одномерных гладких отображений 187
4.1.1. Монотонные обратимые отображения 189
4.1.2. Немонотонные отображения 193
4.2. Каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения
периода циклов одномерных отображений 194
4.2.1. Логистическое отображение 194
4.2.2. Оператор удвоения периода 198
4.2.3. Универсальность Фейгенбаума 201
4.2.4. Размерность аттрактора Фейгенбаума 206
4.3. Субгармонический каскад бифуркаций
Шарковского циклов одномерных отображений 207
4.3.1. Теорема Шарковского 207
4.3.2. За каскадом Фейгенбаума 214
4.4. Регулярные и сингулярные устойчивые и седловые
циклы трехмерных автономных систем. Особые
точки типа "ротор" 216
4.4.1. Регулярные и сингулярные предельные циклы 216
4.4.2. Особые точки типа "ротор" 219
4.5. Природа сингулярных аттракторов трехмерных
автономных систем 221
4.5.1. Структура двумерной сепаратрисной поверхности
седлового сингулярного цикла 221
4.5.2. Механизм рождения сингулярных аттракторов. Каскады
бифуркаций Фейгенбаума и Шарковского 224
4.5.3. Гомоклинический и более сложные каскады бифуркаций .. 225
4.6. Некотрые примеры систем с сингулярными
аттракторами 227
4.7. Заключительные замечания и выводы 236
Глава 5. Динамический хаос в бесконечномерных
системах дифференциальных уравнений 238
5.1. Регулярная динамика и диффузионный хаос
в системах уравнений "реакция-диффузия" 239
5.2. Переход к хаосу в маломодовом приближении для
уравнения Курамото-Цузуки 245
5.3. Динамический хаос в дифференциальных
уравнениях с запаздывающим аргументом 250
ОГЛАВЛЕНИЕ
5.4. Циклы и хаос в распределенных экономических
системах 253
5.4.1. Описание модели саморазвивающейся рыночной
экономики 254
5.4.2. Исследование поведения макроэкономических
показателей 261
5.4.3. Некоторые аспекты поведения экономических показателей
при наличии диффузии капитала и спроса 267
Глава 6. Управление хаосом в системах
дифференциальных уравнений 271
6.1. Методы Отта-Гребоджи-Иорке и Пирагаса 272
6.1.1. OGY-метод 272
6.1.2. Метод Пирагаса 274
6.2. Метод Магницкого 275
6.2.1. Локализация и стабилизация неустойчивых неподвижных
точек и циклов хаотических отображений 275
6.2.2. Локализация и стабилизация неустойчивых
неподвижных точек хаотических динамических систем ... 282
6.2.3. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов
хаотических динамических систем 285
6.2.4. Управление хаосом в уравнениях с запаздывающим
аргументом 291
6.2.5. Стабилизация термодинамической ветви в системах
уравнений "реакция-диффузия" 298
6.3. Реконструкция динамической системы
по траектории нерегулярного аттрактора 307
Список литературы 311
Предисловие
Настоящая книга написана на основе исследований, проводимых в
последние годы под руководством одного из авторов в лаборатории
нелинейной и хаотической динамики Института системного анализа
РАН и на кафедре нелинейных динамических систем факультета вы-
вычислительной математики и кибернетики Московского государствен-
государственного университета им. М.В. Ломоносова. В ней авторы излагают свою,
во многих случаях отличную от традиционной, точку зрения на прин-
принципы формирования, сценарии возникновения и способы управления
хаотическими режимами в нелинейных диссипативных динамических
системах, описываемых автономными обыкновенными дифференци-
дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных диффу-
диффузионного типа и уравнениями с запаздывающим аргументом. Все те-
теоретические результаты и выводы подтверждены многочисленными
примерами, иллюстрациями и численными расчетами.
Книга состоит из шести глав. В первой главе излагаются основ-
основные понятия, определения и теоремы теории обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений, необходимые для понимания материала, из-
излагаемого в последующих главах. Вторая глава посвящена описанию
основных бифуркаций особых точек, предельных циклов, торов и не-
нерегулярных аттракторов нелинейных систем обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено малоизученным не-
нелокальным бифуркациям гомоклинических и гетероклинических кон-
контуров, а также различным каскадам бифуркаций как регулярных так
и нерегулярных аттракторов. В третьей главе книги на основе про-
проведенных численных расчетов и большого иллюстративного матери-
материала показано, что все классические автономные диссипативные нели-
нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений имеют
один общий сценарий перехода к хаосу через каскады бифуркаций
удвоения периода, субгармонический4и затем гомоклинический кас-
каскады мягких бифуркаций устойчивых предельных циклов. Этот сце-
сценарий описывается теорией динамического хаоса в нелинейных систе-
системах обыкновенных дифференциальных уравнений, развитой одним из
авторов и изложенной в четвертой главе. Показано, что все рожда-
рождающиеся таким образом нерегулярные аттракторы, названные сингу-
сингулярными, принадлежат замыканию неустойчивого многообразия син-
сингулярного предельного цикла, дающего начало всем каскадам мягких
бифуркаций.
В пятой главе показано, что тот же сценарий перехода к хаосу име-
имеет место и в бесконечномерных системах дифференциальных уравне-
уравнений в частных производных типа реакция-диффузия, а также в обык-
обыкновенных дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргумен-
аргументом. В шестой главе книги рассмотрены как классические, так и ори-
оригинальные методы решения основной проблемы управления хаосом,
заключающиеся в обнаружении и стабилизации неустойчивых циклов
ПРЕДИСЛОВИЕ
нелинейных систем дифференциальных уравнений, обладают >
тической динамикой.
Первая, вторая и пятая главы книги написаны Н.А. Магн; л,
третья, четвертая и шестая главы — совместно Н.А. Магни. л и
СВ. Сидоровым. Численные расчеты и рисунки выполнены С. Си-
Сидоровым.
Авторы выражают признательность Д.В. Аносову, А.Б. Бакушин-
скому, СВ. Емельянову, В.А. Ильину, Ю.С. Ильяшенко, Ю.Л. Климон-
товичу, СК. Коровину, Е.И. Моисееву, Ю.С. Попкову за полезные об-
обсуждения затрагиваемых в книге вопросов, а также ЗАО "Партнер",
без финансовой поддержки которого работа над книгой и ее издание
были бы просто невозможными.
Особую благодарность авторы выражают Е.И. Магницкой и Н.В.
Сидоровой за внимание, терпение и поддержку при написании насто-
настоящей книги.
Проблемы, поднятые в книге, методы их решения и полученные
результаты выходят далеко за рамки традиционных представлений о
хаотических аттракторах нелинейных диссипативных систем обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Свои мнения по этому поводу,
замечания и предложения просим присылать по адресу nmag@isa.ru.
Введение
темы нелинейных дифференциальных уравнений являются част-
частно у чаем обширного семейства нелинейных динамических систем,
в кс рое также входят различные нелинейные алгебраические, раз-
разностные, интегральные, функциональные и абстрактные операторные
уравнения. В связи с этим до последнего времени совершенно есте-
естественным представлялся единый геометрический подход к изучению
нелинейных динамических систем, позволяющий рассматривать с об-
общих позиций нелинейные системы, описываемые как дискретными
отображениями, так и обыкновенными дифференциальными уравне-
уравнениями и уравнениями в частных производных [1-10]. Согласно гео-
геометрической точке зрения динамической системой называется одно-
параметрическая непрерывная или дискретная группа (полугруппа)
<р (х) преобразований метрического фазового пространства М в се-
себя. Непрерывные группы также часто называют потоками, а дис-
дискретные - отображениями или каскадами [3, 11]. Интенсивное приме-
применение геометрического подхода к анализу динамических систем на-
началось со знаменитой работы американского математика С. Смейла,
предложившего конструкцию отображения, которое впоследствии по-
получило название подкова Смейла [5]. Было показано, что устойчивым
предельным множеством (аттрактором) дискретной динамической си-
системы может быть вовсе не гладкое многообразие целой размерно-
размерности, какими являются, например, устойчивый предельный цикл или
тор) а всюду дырявое, самоподобное фрактальное множество дроб-
дробной размерности. Кроме того, было показано, что поведение траек-
траекторий динамической системы на таком странном в терминологии Д.
Рюэля и Ф. Такенса [6] аттракторе является довольно сложным, соче-
сочетая в себе глобальную устойчивость (траектория не уходит из неко-
некоторой области фазового пространства) с локальной неустойчивостью
отдельных близких траекторий, экспоненциально разбегающихся со
временем, что характеризуется наличием на аттракторе как отрица-
отрицательного, так и положительного показателей Ляпунова. В дальнейшем
были найдены и другие хаотические динамические системы, описы-
описываемые дискретными отображениями и обладающие странными ат-
аттракторами, такие, например, как логистическое отображение, ото-
отображение Хенона, соленоид Смейла-Вильямса [5, 11-16] и др.
Так как анализ свойств непрерывных динамических систем, опи-
описываемых дифференциальными уравнениями, может быть сведен к
анализу свойств некоторого отображения - отображения Пуанкаре,
то обнаруженное в непрерывных динамических системах нерегуляр-
нерегулярное, хаотическое поведение траекторий, стали связывать с наличием
в системе странного аттрактора. Однако доказательство этого факта
непосредственно для знаменитой системы трех обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений Лоренца, в которой впервые было обнаружено
нерегулярное поведение траекторий [17], столкнулось со значитель-
10 ВВЕДЕНИЕ
ными трудностями. Многочисленные попытки в течение длительного
времени обосновать методами геометрической теории динамических
систем наличие странного аттрактора в окрестностях петель сепа-
сепаратрис седло-узла и седло-фокуса в системе Лоренца закончились не-
неудачей [18-27]. Более того, задача показать, совпадает ли поведение
решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора
Лоренца была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее
значительных математических проблем XXI века [28]. А результаты
недавних работ авторов [29-31] позволили определенно утверждать,
что геометрический подход, развитый для дискретных отображений
и позволивший получить для них ряд блестящих результатов, явля-
является не совсем адекватным применительно к непрерывным динами-
динамическим системам, описываемым дифференциальными уравнениями.
Сложилось впечатление, что само определение сложного (нерегуляр-
(нерегулярного) аттрактора непрерывной динамической системы как странного
аттрактора, а также такие традиционные разделы хаотической ди-
динамики, как вычисление размерности аттрактора, сценарии перехода
к хаосу и критерии динамического хаоса требуют значительной кор-
корректировки.
Как показывают многочисленные примеры [29-34], ни наличие по-
положительного показателя Ляпунова, ни наличие петель сепаратрис
седло-узлов или седло-фокусов, ни наличие самих седло-узлов или седло-
фокусов не являются необходимыми условиями существования в си-
системе дифференциальных уравнений хаотической динамики. Более
того, нерегулярные аттракторы огромного класса трехмерных дисси-
пативных автономных систем обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений, содержащего и все классические хаотические системы, рожда-
рождаются в результате одних и тех же каскадов мягкий бифуркаций устой-
устойчивых предельных циклов. Началом всегда является каскад бифурка-
бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума, переходящий в полный или не-
неполный субгармонический каскад бифуркаций Шарковского, который
продолжается полным или неполным гомоклиническим каскадом би-
бифуркаций.
В настоящей книге, следуя работе Н. Магницкого [35], изложена
теория таких аттракторов, названных сингулярными. Они существу-
существуют только в отдельных точках накопления значений бифуркацион-
бифуркационного параметра и содержат в любой своей окрестности неустойчи-
неустойчивые циклы различных периодов. Доказано, что любой сингулярный
аттрактор трехмерной автономной диссипативной нелинейной систе-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений лежит на двумерной
многолистной поверхности трехмерного фазового пространства,
являющейся замыканием двумерного инвариантного неустойчивого
многообразия сингулярного седлового цикла, дающего начало каскаду
бифуркаций удвоения периода. В связи с этим размерность сингуляр-
сингулярного аттрактора трехмерной системы не может превышать величи-
величины два. Хаотическая динамика во всех системах указанного класса
ВВЕДЕНИЕ 11
возникает благодаря сдвигу фаз между траекториями, образующи-
образующими сепаратрисную поверхность сингулярного цикла, что приводит к
возможности появления в трансверсальной к циклу двумерной вра-
вращающейся плоскости непрерывных одномерных отображений, имею-
имеющих многозначные обратные отображения. Последнее невозможно ни
в каком сечении Пуанкаре, переход к которому приводит к потере
фазы. Любым сингулярным аттрактором любой системы класса явля-
является замыкание некоторой полуустойчивой непериодичекои траекто-
траектории, в связи с чем сингулярный аттрактор не может иметь единого
положительного показателя Ляпунова и не является гиперболическим
множеством.
Таким образом, во всех системах рассмотренного в книге клас-
класса автономных трехмерных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений в процессе перехода к хаосу рождаются полные или непол-
неполные субгармонические или гомоклинические сингулярные аттракто-
аттракторы. Этот же сценарий перехода к хаосу характерен и для всех извест-
известных классических трехмерных автономных диссипативных систем не-
нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, включая си-
системы уравнений Лоренца, Рёсслера, Чуа и др. (см.[29-33]). Более то-
того, как показано в книге, этот же сценарий перехода к хаосу реализу-
реализуется и в системах с большим числом измерений, и в бесконечномерных
системах дифференциальных уравнений. А так как других сценари-
сценариев перехода к хаосу в диссипативных системах нелинейных обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, кроме как через субгармони-
субгармонический или гомоклинический каскады бифуркаций, реально пока не
обнаружено, то весьма правдоподобной выглядит гипотеза об уни-
универсальности описанного в книге способа возникновения хаотической
динамики в системах дифференциальных уравнений.
В книге изложены в основном результаты, полученные авторами
в области хаотической динамики диссипативных систем дифферен-
дифференциальных уравнений в последние годы. При этом за рамками книги
остались такие значительные разделы теории динамического хаоса,
как хаос в гамилътоновых системах и перемешивание, хаотические
отображения и фракталы. Некоторые основные результаты, связан-
связанные с этими понятиями и требующиеся для изложения основного ма-
материала, рассмотрены в первой вводной главе. По причинам, изложен-
изложенным выше, стиль изложения результатов в книге является традици-
традиционным, соответствующим стилю, принятому в качественной теории
дифференциальных уравнений, а не в современной теории динамиче-
динамических систем.
Глава 1. Системы обыкновенных
дифференциальных уравнений
В этой главе дан краткий обзор основных понятий и теорем об-
общего характера теории обыкновенных дифференциальных уравнений,
необходимых для понимания материала, излагаемого в последующих
главах. Более подробное изложение представленных в данной главе
результатов можно найти в работах, которые указаны в списке цити-
цитируемой литературы.
1.1. Основные определения и теоремы.
1.1.1. Поля направлений и их интегральные кривые. Рас-
Рассмотрим вещественное конечномерное линейное пространство Rm. По-
Полем направлений в области М пространства Rm называется соответ-
соответствие, которое каждой точке х € М сопоставляет проходящую через
х прямую.
Определение, Интегральной кривой поля направлений называ-
называется кривая, которая в каждой своей точке касается направления поля
в этой точке.
1.1.2. Векторные поля, дифференциальные уравнения, ин-
интегральные и фазовые кривые. Векторным полем F, заданным
в области М пространства Кт, называется соответствие, сопо-
сопоставляющее каждой точке х € М приложенный к ней вектор F
пространства Rm .
Системой дифференциальных уравнений, соответствующей вектор-
векторному полю F, называется система
& = F(aO, Ж€МСЕШ, A.1)
где точка над буквой означает дифференцирование по t. Область М
называется фазовым пространством системы, а прямое произведе-
произведение / х М - расширенным фазовым пространством, где / - интервал
вещественной оси времени t.
Система A.1) называется также автономной системой обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Неавтономной называется си-
система, правая часть которой зависит также и от t:
х = F(x,t), х е М С Em, t е I С R. A.2)
Семейством обыкновенных дифференциальных уравнений назы-
называется множество систем уравнений вида
а; = F(s,*,/x), х € М С lm, \х € L С R*, t € / С Е, A.3)
1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
13
заданных в фазовом пространстве М векторными полями F, завися-
зависящими от координат векторов системных параметров /i, лежащих в
области L пространства Шк.
Именно автономные семейства A.3) обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений
х = F(x,fi),
€ / С К,
задаваемые семействами векторных полей F(x,/i) и представляющие
наибольший интерес с точки зрения различных приложений, будут
являться основным объектом изучения настоящей книги.
Определение. Решением системы дифференциальных уравне-
уравнений A.2) называется дифференцируемое отображение х : I -+ М
интервала I вещественной оси t в фазовое пространство, если для лю-
любого т е I выполнено соотношение
х(т) = F(x(t),t).
Определение. Интегральной кривой системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений называется график ее решения, а фазовой кривой -
проекция интегральной кривой на фазовое пространство вдоль оси t.
(*o,yo,fo)
Рис. 1.1. Проекции отрезка интегральной кривой и спирали с шагом г на
фазовую плоскость (х,у) в виде отрезка (а) и замкнутой кривой (б).
Примеры интегральных и фазовых кривых изображены на рис.
1.1. Фазовые кривые часто также называют траекториями решений
системы дифференциальных уравнений.
В дальнейшем нас будут интересовать только неограниченные вре-
временные интервалы I — [0,оо) и / = (-оо,оо). При этом всегда будем
полагать, что начальный момент времени ?о = О-
14 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.1.3. Теоремы существования и единственности реше-
решений. Дифференцируемым называется векторное поле с дифферен-
дифференцируемыми компонентами. Полем класса Сг называется поле с ком-
компонентами, имеющими непрерывные производные всех порядков, не
превосходящих г.
Теорема 1.1 ([36-38]). Через каждую точку расширенного фа-
фазового пространства дифференцируемого векторного поля проходит
одна и только одна интегральная кривая соответствующей систе-
системы дифференциальных уравнений с вещественным временем.
Условие гладкости правой части в сформулированной теореме мо-
может быть ослаблено.
Определение. Отображение / : М -* N, Me Rm, N 6Rn удо-
удовлетворяет условию Липшица, если существует такая положительная
константа q, что
для всех Х\ € М> Х2 € М.
Теорема 1.2 ([36-38]). Пусть правая часть системы уравнений
A.2) непрерывна в некоторой области I х M пространства Rm+1 и
удовлетворяет в ней условию Липшица по х с одной и той же кон-
константой q. Тогда через каждую точку области I х M расширенного
фазового пространства проходит одна и только одна интегральная
кривая системы уравнений A.2).
Если правая часть системы A.2) только непрерывна, то и тогда
через каждую точку расширенного фазового пространства проходит
хотя бы одна интегральная кривая. Единственность при этом может
быть нарушена, что видно из примера уравнения х = 2а:1/2, имеющего
интегральные кривые (?,0) и (?, ?2), проходящие через точку @,0).
В силу сформулированных выше теорем задание начального усло-
условия в начальный момент времени х@) = xq однозначно определяет
решение системы дифференциальных уравнений в любой момент вре-
времени t : x(t) = (рь(хо). Задача нахождения решения системы диф-
дифференциальных уравнений, удовлетворяющего заданному начальному
условию, называется задачей Коши. Отображение (р1 является ото-
отображением фазового пространства М в себя и называется фазовым
потоком. Любая область G фазового пространства под воздействием
фазового потока переходит за время t в некоторую другую область
Gt = v\G).
1.1.4. Теорема о дифференцируемой зависимости решений
от начальных условий и параметров. Уравнения в вариациях.
Пусть / - дифференцируемое отображение области М пространства
Rm в область N пространства Еп. Производной отображения f в точ-
точке Xq называется главная линейная часть отображения / в точке жо,
1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 15
т.е. линейный оператор А : R™ -> Еп такой, что
/(х) - f(x0) = А(х ~ х0) + о(\\х - хо\\).
В координатах (xi, ...,xm) и (yi, ...,уп) отображение / записывает-
записывается в виде вектор-функции у = /(х) = (/i(^),...,/n(^))- Матрица опе-
оператора А в координатах (я, у) - это матрица Якоби вектор-функции
/, т.е.
A= (x) A fa} a = ^) г = 1п ; = lm
Теорема 1.3 ([36]). Пусть семейство дифференциальных урав-
уравнений A.3) задано векторными полями F(x,^,/i), непрерывными в
некоторой области пространства Rfc+m+1 влсесте со своими произ-
производными dF/dx и dF/д/л. Тогда решение <р семейства A.3) с wa-
чальным условием v?@,//) = х непрерывно дифференцируемо по х, //.
Если зависимость поля F от параметров [i лишь непрерывная, то и
зависимость решения от параметров непрерывна.
Уравнения для производных решения по начальным условиям и па-
параметрам выписываются явным образом. Обозначим через у>$ решение
системы A.2) с начальным условием <^@) = ?. Фиксируем ? = х и
положим
При каждом t линейный оператор X(t) действует из Шт в Rm. Из A.2)
следует, что операторнозначная функция X(t) удовлетворяет следую-
следующему уравнению в вариациях:
8F
X(t) = A(t)X(t), где A(t) = ^-(^(t),t).
ax
Это - линейное однородное неавтономное дифференциальное уравне-
уравнение, причем Х@) — единичная матрица.
Выпишем теперь уравнение в вариациях для производной решения
семейства A.3) по параметрам. Пусть ^>а - решение семейства A.3)
с начальным условием </??ia@,a) = ?. Фиксируем f = x, и положим
При каждом ? линейный оператор У(?) действует из Rk в Ет. Из
A.3) следует, что операторнозначная функция Y(t) удовлетворяет сле-
следующему уравнению в вариациях:
16 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
где
dF 8F
A(t) = —(^(*),*,м), b(t) = -Qj;(<PxA*)>t>n)-
Это — линейное неоднородное неавтономное дифференциальное урав-
уравнение, причем У@) = 0.
1.1.5. Диссипативные и консервативные системы уравне-
уравнений. Обозначим через V(ut) евклидов объем области ut = <?*(П0)
фазового пространства, получающейся при сдвиге в течение времени
t всех точек некоторой начальной области По вдоль фазовых кривых
автономной системы дифференциальных уравнений A.1). Тогда из-
изменение объема V(Clt) удовлетворяет уравнению
где
= ?
= I dWF(x)dx> где divF(«) = ?
у А=1
- сумма диагональных элементов оператора dF/дх , a dx - евклидов
элемент объема.
Определение. Система уравнений A.1) называется консерва-
консервативной, если объем произвольной области фазового пространства не
меняется со временем, и диссипативной, если объем некоторой обла-
области фазового пространства со временем уменьшается.
Таким образом, если всюду в фазовом пространстве divF(a;) = О,
то система сохраняет объем и является консервативной. Если же су-
существует область фазового пространства, в которой d\vF(x) < 0, то
система A.1) - диссипативна в этой области.
В дальнейшем нас будут интересовать исключительно семейства
автономных диссипативных систем обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Читателей, интересующихся хаотической динамикой
консервативных и, в частности, гамильтоновых систем, отсылаем к
работам [2, 12, 39, 40].
1.1.6. Численные методы решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений. Решение задачи Коши для авто-
автономной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений вида A.1) только в исключительных случаях может быть най-
найдено в явном виде. Интегрирование таких систем требует, как пра-
правило, аппроксимации решения различными линейными функциями на
последовательных малых отрезках времени (шагах) длительности г.
Самым распространенным методом такой аппроксимации является
метод Рунге-Кутта 4-го порядка, дающий при малых г разностные
уравнения, аппроксимирующие решения с точностью 0(т4).
Обозначим через уп уже найденное приближенное значение реше-
решения системы A.1) в момент tn. Тогда приближенное значение реше-
решения системы A.1) в момент ?n+i = tn + т находится по формуле:
1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ 17
Уп+г = yn + r{(?iki+ а2к2+сгзк3+<Т4к4), где fci = F{tn,yn), к2 =
= F(tn + a2T,yn + b2iTki), k3=F(tn+a3T,yn + b3iTki+b32Tk2I k4 =
= F(tn + сцт,уп + 64i^i + 642^2 + &43^з)« Параметры cri, сг2, сг3,
^4, аг> аз> О4 и &21, &зъ Ьз2> &4i, &42> &4з могут быть определены, во-
вообще говоря, различными способами. Все численные решения систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, приведенных в насто-
настоящей книге, выполнены при следующих значениях этих параметров:
&1 = О\ = 1/6, 02 = 0*3 == 1/3) G2 = п3 = 1/2, О4 = 1 И &21 = &32 =
= 1/2, Ь31 = О, ЬА1 = 642 = 0, 643 = 1.
Заметим, что оценки точности приближенных решений совпадают,
как правило, с оценками точности аппроксимации и существенно зави-
зависят от длины временного интервала Г, на котором решается система
дифференциальных уравнений. Например, в методе Рунге-Кутта 4-
го порядка точность решения \\x(tn) — уп\\ = СТехр(аТ)т4, где а и
С - некоторые постоянные [41].
1.1.7. Некорректность численных методов решения систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. При численном
решении нелинейных дифференциальных уравнений, обладающих сло-
сложной нерегулярной динамикой, задача, как правило, состоит не в ре-
решении уравнения на каком-либо небольшом конечном отрезке време-
времени, а в нахождении предельных множеств (аттракторов) траекторий
при t ~> оо. В такой постановке оценки погрешностей численных ме-
методов теряют смысл. При этом огромной проблемой становится не-
некорректность решаемой задачи.
Суть проблемы состоит в следующем. Любой метод численного
решения дифференциального уравнения требует аппроксимации тем
или иным способом производной функции, известной лишь прибли-
приближенно в узлах некоторой сетки. Задача вычисления производной от
неточно заданной функции является классической некорректной за-
задачей [42]. Малым погрешностям в задании функции могут соответ-
соответствовать большие погрешности в вычислении ее производной, т.е. нет
непрерывной зависимости производной от функции. Пусть, например,
погрешность в задании функции имеет вид т sinm2t. Погрешность
в вычислении производной при этом будет т cos m2t. Следовательно,
при т -» оо погрешность функции в равномерной метрике неогра-
неограниченно убывает, в то время как погрешность производной в той же
метрике неограниченно растет.
Некорректность вычисления производной x'(tn) сеточной функ-
функции x(t) приводит к тому, что шаг сетки г не может быть выбран
произвольно малым, а должен определяться погрешностью в вычисле-
вычислении самой функции. Действительно, пусть значения функции x(t) в
точках tn+i и tn нам известны с точностью 6, т.е. нам заданы зна-
значения уп+1 и уп такие, что |a?(*n+i) ~ Уп+il < 8, \x(tn) - уп\ < S.
Тогда точность замены производной х (tn) приближенной формулой,
например, (yn+i - уп)/т, равна не 0(т), а 0(т) 4- 25/т. Погрешность
18 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
при этом состоит из двух частей: погрешности метода аппроксима-
аппроксимации производной О(т) и неустранимой погрешности 2J/r, связанной с
погрешностью вычисления самой функции. При г -* 0 неустранимая
погрешность, очевидно, неограниченно возрастает. Оптимальным в
данном случае является выбор шага сетки т = О(д1/2). Такой способ
выбора оптимального шага называется регуляризацией по шагу.
Покажем, что аналогичный эффект имеет место и при численном
решении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных
уравнений вида A.1), например, методом Рунге-Кутта 4-го порядка.
Пусть yn+i = уп + т/(уп). Обозначим через уп - x(tn) = <5П ошибку в
вычислении значения решения x(t) в точке tn. Тогда <$n+i = <5n -f
+ т/г(хп + 05пNп-(хп+1 -жп) + г/(жп), где \в\ < 1. Так как точность
аппроксимации метода равна 0(тА), то |<5n+i| < \Sn\ • |1 + тЦ + КтА,
где L = f'(xn -f в6п). Очевидно, что если т -* 0, то 6n+i -> <5П, и
суммарная погрешность со временем может только нарастать от ша-
шага к шагу. В то же время если -1/r < L < 0, то можно добиться
значительного уменьшения ошибки при выборе оптимального шага,
минимизирующего оценку погрешности.
Ниже в работе будут продемонстрированы многочисленные при-
примеры конкретных систем нелинейных обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, обладающих сложной динамикой, в которых при ма-
малом шаге наблюдается якобы хаотическое поведение траекторий, а
при некотором разумном шаге - устойчивый предельный цикл. Са-
Самый яркий пример - знаменитая система уравнений Лоренца [17].
1.2. Особые точки и их инвариантные многообразия.
1.2.1. Особые точки систем дифференциальных уравне-
уравнений. Особая точка (неподвижная точка, положение равновесия, ста-
стационарная точка, точка покоя) системы дифференциальных уравне-
уравнений A.1) - это особая точка соответствующего векторного поля F(x).
Определение. Особая точка векторного поля - это точка фа-
фазового пространства, в которой вектор поля обращается в нуль.
Пусть хо - особая точка дифференцируемого векторного поля F(a:),
являющегося правой частью автономной системы уравнений A.1), а
dF/dx - производная отображения F. Система линейных дифферен-
дифференциальных уравнений
у = Ay, где А = -^(яо), У = х - х0
называется линеаризацией системы A.1) в особой точке жо, поле Ау
- линейной частью поля F в точке #о, а А - оператор этой линейной
части или оператор линеаризации.
Определение. Особая точка векторного поля называется невы-
невырожденной, если оператор линейной части поля в этой точке невыро-
невырожден.
1.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 19
Определение. Особая точка системы дифференциальных урав-
уравнений A.1) называется гиперболической, если ни одно собственное
значение оператора линейной части поля в этой точке не лежит на
мнимой оси.
Определение. Две системы дифференциальных уравнений (или,
что то же самое - два векторных поля) топологически эквивалентны
в окрестности особых точек, если существует гомеоморфизм (взаим-
(взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение), переводящий
особую точку первой системы и траектории, лежащие в некоторой ее
окрестности, в особую точку и траектории второй системы с сохра-
сохранением ориентации траекторий.
Теорема 1.4 (теорема Гробмана-Хартмана [37, 43]). Непрерывно
дифференцируемое векторное поле с гиперболической особой точкой
в некоторой окрестности этой точки топологически эквивалентно
своей линейной части.
Из сформулированной теоремы в частности вытекает, что каче-
качественное поведение решений автономной системы дифференциальных
уравнений A.1) в окрестности гиперболической особой точки полно-
полностью определяется поведением решений системы линейных дифферен-
дифференциальных уравнений с постоянным оператором (матрицей) линейной
части поля в этой точке.
1.2.2. Устойчивость особых точек и стационарных реше-
решений. Особая точка (неподвижная точка, положение равновесия) авто-
автономной системы дифференциальных уравнений называется устойчи-
устойчивой (асимптотически устойчивой), если устойчиво (асимптотически
устойчиво) тождественно равное ей стационарное решение этой си-
системы.
Определение. Стационарное решение автономной системы диф-
дифференциальных уравнений (решение, тождественно равное особой точ-
точке) называется устойчивым по Ляпунову, если все решения этой систе-
системы с начальными условиями из достаточно малой окрестности указан-
указанной особой точки определены на всей положительной полуоси времени
и равномерно по времени сходятся к исследуемому стационарно-
стационарному решению при стремлении начального условия к указанной особой
точке.
Другими словами, стационарное решение хо системы A.1) устой-
устойчиво по Ляпунову, если для любого е > О существует 6 > 0, такое
что для всех решений x(t) системы A.1) из \\х@) — хо\\ < 5 следует
||а?@ - хо\\ < е для всех t > 0.
Определение. Стационарное решение автономной системы урав-
уравнений A.1) называется асимптотически устойчивым, если оно устой-
устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения x(t) системы A.1) с
достаточно близкими к исследуемой особой точке начальными усло-
условиями ||х@) - хо\\ < S стремятся к ней при t -» оо, т.е. \\x(t) - хо\\ -+ О
при t -> оо.
20 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Если в условиях асимптотической устойчивости стремление реше-
решений системы уравнений A.1) к особой точке экспоненциально, т.е.
\\x(t) — хо\\ < cexp(-jt) с некоторыми положительными постоянными
с и 7? то стационарное решение xq системы A.1) называется экспо-
экспоненциально асимптотически устойчивым.
Устойчивость (и асимптотическая устойчивость) стационарных ре-
решений (особых точек) - локальное свойство векторного поля, задаю-
задающего систему дифференциальных уравнений. Просто стремление ре-
решений к положению равновесия при t ->> оо не является локальным
свойством и недостаточно для асимптотической устойчивости.
Теорема 1.5 (теорема Ляпунова об устойчивости по первому
приближению [44]). Если оператор линеаризации А дифференцируе-
дифференцируемого векторного поля F(x) системы A.1) в особой точке имеет
собственные значения только с отрицательной вещественной ча-
частью, то эта особая точка асимптотически устойчива. Если одно
из собственных значений оператора А имеет положительную веще-
вещественную часть, то особая точка не устойчива по Ляпунову.
Из теоремы Ляпунова вытекает, что устойчивая гиперболическая
особая точка всегда экспоненциально асимптотически устойчива.
Определение. Дифференцируемая функция V(x) называется
функцией Ляпунова для особой точки Xq векторного поля F(x), если
она удовлетворяет следующим условиям:
- функция V определена в некоторой окрестности точки хо и имеет
в этой точке строгий локальный минимум;
- производная функции V вдоль векторного поля F в некоторой
окрестности точки хо неположительна, т.е.
d лгс ч ^ dV dxk ^ dV _ , . n
Теорема 1.6 ([44]). Особая точка дифференцируемого векторно-
векторного поля, для которой существует функция Ляпунова, устойчива.
1.2.3. Инвариантные многообразия. Подмножество G фазово-
фазового пространства называется инвариантным по отношению к фазовому
потоку (рь множеством или просто инвариантным множеством, ес-
если для всех допустимых t имеет место (pl(G) = G. Многообразием
называется подмножество G евклидова пространства Rm, имеющее
в каждой своей точке единственную касательную гиперплоскость. В
этом случае говорят, что G гладко вложено в Жт. Если множество G
гладко вложено в фазовое пространство М системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений, то говорят, что G является подмногообразием фазо-
фазового пространства.
Определение. Инвариантное многообразие векторного поля
и соответствующей системы дифференциальных уравнений - это та-
1.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 21
кое подмногообразие фазового пространства, которое в каждой своей
точке касается вектора поля.
Рассмотрим линейный оператор А : Шт —> Шт. Пространство Rm
распадается в прямую сумму трех подпространств:
Все три подпространства в правой части равенства инвариантны от-
относительно оператора А. Спектр ограничения А на Т8 лежит в откры-
открытой левой полуплоскости, ограничения А на Ти - в правой полуплос-
полуплоскости и ограничения А на Тс - на мнимой оси. Для оператора А)
являющегося оператором линеаризации векторного поля F уравнения
A.1) в гиперболической особой точке, Тс = {0}.
Теорема 1.7 (теорема Адамара-Перрона [45]). Пусть F есть СТ-
гладкое векторное поле с гиперболической особой точкой 0 и линей-
линейной частью Ах в нуле, Т8 иТи - плоскости, соответствующие опе-
оператору А. Тогда система дифференциальных уравнений имеет два
Сг-гладких инвариантных относительно F многообразия W3 и Wu,
проходящих через 0 и касающихся в нуле плоскостей Т8 и Ти соот-
соответственно. Решения с начальными условиями на W8 (Wu) экспонен-
экспоненциально стремятся к нулю при t -> Ч-оо (t -> -оо). W8 называется
устойчивым, a Wu - неустойчивым многообразием особой точки 0.
Теорема 1.8 (теорема о центральном многообразии [37, 45, 46]).
Если в условиях предыдущей теоремы оператор А имеет собствен-
собственные значения также и на мнимой оси, т.е. Тс ф {0}, то система
дифференциальных уравнений A.1) имеет третье Сг~1 -гладкое ин-
инвариантное многообразие Wc, проходящее через 0 и касающееся в
нуле плоскости Тс.
Многообразие Wc называется центральным многообразием, а плос-
плоскость Т8 0 Ти - плоскостью гиперболических переменных. Поведение
фазовых кривых на многообразии Wc определяется нелинейными чле-
членами.
Схематически инвариантные подпространства и многообразия осо-
особых точек изображены на рис. 1.2. Принятые для них обозначения яс-
ясны из сформулированных выше теорем: s - stable, и - unstable, с -
center.
Во многих случаях при исследовании локальной топологии нели-
нелинейного векторного поля и соответствующей системы дифференци-
дифференциальных уравнений в окрестности особой точки важно знать только
ограничение этого поля на центральное многообразие [45, 46]. Одна-
Однако, как будет показано ниже, этого оказывается совершенно недоста-
недостаточно для получения глобальной топологической картины, которая
определяется именно гиперболическими переменными.
1.2.4. Особые точки линейных векторных полей. Любая си-
система линейных дифференциальных уравнений, задаваемая линейным
22
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
7 \
Рис. 1.2. Устойчивое, неустойчивое и центральное многообразия линейной
системы (а) и нелинейной системы (б).
векторным полем, имеет в окрестности особой точки вид
У =
A.4)
Тип особой точки и характер поведения решений системы A.4) в
окрестности особой точки определяются собственными значениями
линейного оператора А.
На вещественной плоскости невырожденная особая точка бывает
одного из следующих четырех типов: седло, узел, фокус, центр. Соб-
Собственные значения Ai и А2 линейного оператора А в этом случае опре-
определяются формулой
где D = (trAJ — 4detA, tvA - след матрицы А, т.е. сумма ее диаго-
диагональных элементов, a det A - определитель матрицы А. Области, зани-
занимаемые при этом различными типами особых точек уравнения A.4)
в плоскости (det Л, trA), представлены на рис. 1.3. В случае D = О
дикритический узел соответствует скалярной матрице А = ХЕ} где
Е - единичная матрица, а вырожденный узел - матрице, подобной
двумерной жордановой клетке.
Условие det Л = 0 определяет линию вырожденных особых то-
точек, среди которых можно выделить вырожденный плоский седло-
узел, имеющий, как правило, один узловой и два седловых сектора.
Невырожденные седло, узел и фокус являются гиперболическими осо-
особыми точками. Поэтому, как следует из теоремы Гробмана-Хартмана,
все изображенные на рис. 1.3 картинки, кроме центра, сохраняются
при малых возмущениях линейной системы A.4). Кроме того, седло
1.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
23
всегда неустойчиво, а узел и фокус могут быть как устойчивыми (экс-
(экспоненциально асимптотически), так и неустойчивыми в зависимости
от знака вещественных частей собственных значений матрицы А.
седло
А,<0
JIL.
седло
устойчивость j
определяется ~~*|
нелинейными |
членшми I
Rc{Au}>0
неустойчивый
фокус
устойчивость
определяется
нелинейными
членами
Рис. 1.3. Классификация особых точек линейных двумерных систем.
В трехмерном вещественном пространстве существуют более слож-
сложные гиперболические особые точки, являющиеся комбинациями сед-
седла с узлом или фокусом и называемые, соответственно, седло-узлом
(рис. 1.4) и седло-фокусом (рис. 1.5). Седло-узел и седло-фокус все-
всегда неустойчивы. Они имеют одномерное устойчивое и двумерное не-
неустойчивое многообразия (или наоборот). Как мы увидим ниже, в
окрестностях таких особых точек возможно присутствие сложной не-
нерегулярной динамики. Поэтому эти точки могут играть важную роль
в образовании хаотических аттракторов нелинейных систем обыкно-
24 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
венных дифференциальных уравнений.
Рис. 1.4. Особые точки хо типа седло-узел.
Рис. 1.5. Особые точки хо типа седло-фокус.
1.2.5. Сепаратрисы особых точек. Гомоклинические и ге-
гетер оклинические траектории. Сепаратрисные контуры. Тра-
Траектория автономной системы обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений называется сепаратрисой особой точки, если она стремится к
особой точке либо при t -> -f-oo, либо при t -> —оо.
Одномерные инвариантные устойчивые (неустойчивые) многообра-
многообразия особых точек состоят из самой особой точки и двух входящих в
1.2. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 25
а б
Рис. 1.6. Гомоклинический (а) и гетероклинический (б) контуры.
нее (исходящих из нее) сепаратрис. Многомерные инвариантные мно-
многообразия особых точек иногда также называют сепаратрисными по-
поверхностями.
Гомоклинической траекторией (петлей сепаратрисы) особой точ-
точки называется траектория (фазовая кривая), стремящаяся к особой
точке как при t -> -f оо, так и при t -> —оо.
Гомоклиническая траектория принадлежит пересечению устой-
устойчивого инвариантного W8 и неустойчивого инвариантного Wu мно-
многообразий особой точки.
Гетероклинической траекторией называется траектория, при-
принадлежащая пересечению устойчивого инвариантного многообразия
одной особой точки с неустойчивым инвариантным многообразием
другой особой точки и стремящаяся при t —> + оо к первой особой
точке, а при t —> — оо ко второй особой точке.
Сепаратрисным контуром называется замкнутая (в фазовом про-
пространстве) кривая (цикл), состоящая из нескольких сепаратрис, со-
соединяющих особые точки.
В двумерных системах с невырожденными особыми точками воз-
возможны только гомоклинические траектории седел и произвольные ге-
тероклинические траектории и сепаратрисные контуры, соединяющие
седла, узлы и фокусы (рис. 1.6).
Рассмотрим пример системы на плоскости, имеющей при различ-
различных значениях параметра как гомоклинические, так и гетероклини-
ческие траектории
х = 2/, у = 7-sina;.
Последняя система при 7 = 0 имеет сёдла в точках (±тг, 0) и центр
в точке @,0). Две гетероклинические траектории, соединяющие сед-
седла, находятся прямым интегрированием системы методом разделе-
разделения переменных. Они удовлетворяют уравнению у2 = 4 cos2 —. При
0 < 7 < 1 система имеет центр в точке (#i,0) и седло в точке (#2,0),
где х\ = arcsin7> #2 = тг —jci. Интегрируя систему, найдем, что петля
сепаратрисы седла удовлетворяет уравнению
у2 = 27S + 4cos2 ~ - С, где С = 2~fx2 + 4cos2 —-.
2 2
26 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В трехмерных системах с невырожденными особыми точками воз-
возможны петли сепаратрис как седло-узлов, так и седло-фокусов, а так-
также различные гетероклинические траектории и состоящие из них за-
замкнутые сепаратрисные контуры. Примеры таких контуров приведе-
приведены в п. 2.4.2.
1.3. Периодические и непериодические решения,
предельные циклы и инвариантные торы.
1.3.1. Периодические решения. Решение x(t) автономной си-
системы дифференциальных уравнений A.1) называется периодическим
решением, если существует постоянная Т, такая что x(t+T) = x(t) для
всех t. Минимальное такое значение Г называется периодом решения
х(?), а само решение x(t) - Т-периодическим.
Фазовая кривая (траектория) периодического решения системы
A.1) является замкнутой и называется циклом. Обратно, любой цикл
(замкнутая фазовая кривая) системы A.1) определяет периодическое
решение системы с некоторым периодом.
Теория циклов, развитая, в основном, в трудах А. Пуанкаре, да-
дает возможность математически описать эволюцию огромного класса
природных явлений и социальных процессов, заключающуюся в уста-
установлении со временем периодических режимов их функционирования
или поведения.
1.3.2. Предельные циклы. Замкнутые траектории систем диф-
дифференциальных уравнений могут быть изолированными и неизолиро-
неизолированными.
Определение. Предельным циклом автономной системы обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений A.1) называется ее изоли-
изолированная замкнутая траектория.
Неизолированные замкнутые траектории, существующие, напри-
например, в окрестности особой точки типа центр, не представляют интере-
интереса для теории диссипативных систем дифференциальных уравнений,
так как они не являются предельными траекториями в том смысле,
что для каждой такой траектории не существует ее окрестности, из
которой все другие траектории стремятся к ней либо при t -> -foo,
либо при t —> —оо.
Определение. Предельный цикл называется орбитпалъно асим-
асимптотически устойчивым (или просто устойчивым), если для сколь
угодно малой его окрестности ?7, все траектории, начинающиеся в
достаточно малой его окрестности, не выходят со временем из U и
неограниченно приближаются к циклу при t -> -foo.
Исследование предельного цикла на устойчивость может быть про-
проведено с использованием теории Флоке. Пусть xo(t) - Т-периодическое
решение системы A.1), представленное в фазовой плоскости своим
предельным циклом. Линеаризуя систему A.1) на ее периодическом
1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 27
решении аналогично тому, как это сделано в п. 1.2.1, получим линей-
линейную неавтономную систему обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
8F
у = A(t)y, где A{t) = -д^Ы*)) A-5)
с Г-периодической матрицей A(t) и y(t) = x(t) — xo(t).
Теорема 1.9 (теорема Флоке [12, 36]). Каждое фундаментальное
матричное решение линейной системы A.5) с периодическими веще-
вещественными коэффициентами представимо в виде Y{t) = P(t) exp(jBt),
где P(t) - некоторая Т-периодическая комплексная матрица, а В -
некоторая постоянная комплексная матрица, причем существует
обратимая действительная матрица С такая, что С = ехр(ВТ).
Матрица С, называемая матрицей монодромищ единственным
образом определяется периодической матрицей A{t). Ее собственные
значения А* называются мультипликаторами линейной системы A.5)
или мультипликаторами цикла, по которому система A.5) построена.
Собственные значения щ матрицы В называются показателями Фло-
Флоке, Их вещественные части также определяются однозначно. Очевид-
Очевидно, что Aj = exp(afT), а С = У(Т), если F@) - единичная матрица.
Действительная неособая матрица С не обязана иметь действи-
действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная матри-
матрица В такая, что С = ехр(.ВТ). Примером является матрица С, име-
имеющая простой отрицательный мультипликатор. Однако матрица С2
уже всегда имеет действительный логарифм. Поэтому каждое дей-
действительное фундаментальное матричное решение линейной систе-
системы A.5) с Г-периодическими коэффициентами представимо в ви-
виде Y(t) = P(t)exp(Bt), где P(t) - некоторая действительная 2Т-
периодическая матрица, а В - некоторая постоянная действительная
матрица такая, что С2 = ехрBВГ) = ехрB5Т).
По значениям мультипликаторов цикла или показателей Флоке
линейной неавтономной системы A.5) первого приближения можно
сделать вывод об устойчивости периодического решения xo(t) нели-
нелинейной автономной системы A.1).
Теорема 1.10 ([36]). Один простой мультипликатор цикла все-
всегда имеет значение -f 1, соответствующий показатель Флоке ра-
равен нулю. Если один показатель Флоке равен нулю, а все осталь-
остальные т — 1 показателей имеют отрицательные вещественные части
(или все мультипликаторы цикла, кроме единичного, имеют моду-
модули, меньшие 1, то есть лежат внутри единичного круга плоскости
комплексного переменного), то периодическое решение xo(t) систе-
системы A.1) устойчиво (асимптотически орбитально устойчиво). Если
же хотя бы один показатель Флоке имеет положительную веще-
вещественную часть (или мультипликатор цикла лежит вне единичного
круга), то периодическое решение xo(t) системы A.1) неустойчиво.
28
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Можно показать [36], что в условиях сформулированной теоремы
периодическое решение Xo(i) не только устойчиво, но каждое реше-
решение x(t), лежащее вблизи его траектории, обладает асимптотической
фазой, т.е. существует постоянная с такая, что
ton |
t—юо
Нетрудно видеть, что производная y(t) = xo(t) исходного перио-
периодического решения нелинейной автономной системы A.1) является
одним из решений линейной неавтономной системы A.5), так как
= A(t)y(t).
Поэтому единичный мультипликатор цикла соответствует собствен-
собственному вектору матрицы монодромии, касающемуся цикла. Он связан с
движением вдоль цикла и не влияет на его устойчивость. Устойчивый
и неустойчивый предельные циклы изображены на рис. 1.7 (а,б).
Рис. 1.7. Устойчивый (а), неустойчивый (б) и седловой (в) предельные
циклы.
Периодическое решение не может быть асимптотически устой-
устойчивым, так как решения с начальными условиями в разных точках
цикла не сближаются при t -4 +оо.
Определение. Предельный цикл называется гиперболическим,
если он не имеет мультипликаторов, лежащих на единичной окружно-
окружности, кроме одного, равного -f-1 (имеется ровно один показатель Флоке
с нулевой вещественной частью, равный нулю).
Определение. Предельный цикл называется невырожденным, ес-
если он не имеет мультипликаторов, равных +1, кроме одного (имеется
ровно один простой нулевой показатель Флоке, но могут быть нену-
ненулевые показатели Флоке с нулевыми вещественными частями).
Определение. Предельный цикл, имеющий мультипликаторы
внутри и на границе единичного круга, называется полуустойчивым.
1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 29
Палуустойчивый предельный цикл в трехмерном случае имеет муль-
мультипликаторы, равные {|Ai| < 1, +1, |А2| = 1}.
Определение. Гиперболический предельный цикл, для которого
показатели Флоке имеют как отрицательные, так и положительные
вещественные части (или мультипликаторы лежат как внутри, так и
вне единичной окружности) называется седловым. Понятие седлового
цикла определено для размерности фазового пространства т > 2. При
т = 3 седловой предельный цикл имеет мультипликаторы, равные
{|Ai|<l, +1, |А2|>1}.
Для седлового предельного цикла автономной системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений одни фазовые кривые, находящи-
находящиеся вблизи седловой траектории, стремятся к ней (наматываются на
нее) при t -> +00, образуя ее устойчивое инвариантное многообразие
W8i а другие - сматываются с нее, образуя ее неустойчивое инвари-
инвариантное многообразие Wu (рис. 1.7в).
Приведенное выше определение гиперболического предельного ци-
цикла соответствует определению, данному в работе [3], и естественным
образом обобщает понятие гиперболической особой точки. Из этого
определения в частности следует, что устойчивый цикл также явля-
является гиперболическим. Заметим, однако, что в литературе, посвящен-
посвященной теории гиперболических динамических систем, часто гиперболи-
гиперболическими циклами называются именно седловые в нашем определении
предельные циклы.
1.3.3, Отображение Пуанкаре. Кроме вычисления показателей
Флоке существует и другой метод изучения качественного поведения
решений автономных систем обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений в окрестности предельного цикла - построение отображе-
отображения Пуанкаре и исследование свойств этого отображения в окрест-
окрестности его неподвижной точки. Основной смысл использования ото-
отображения Пуанкаре для анализа динамики систем дифференциальных
уравнений состоит в том, что при переходе к отображению размер-
размерность изучаемой системы уменьшается на единицу.
Пусть 7 ~ предельный цикл, соответствующий Т-периодическому
решению xo(t) автономной системы A.1). Проведем через некоторую
точку х* замкнутой кривой у {т - 1)-мерную секущую гиперповерх-
гиперповерхность 5 трансверсально у, т.е. так, чтобы касательный к кривой у в
точке х* вектор не лежал в S. Так как кривая 7 является фазовой кри-
кривой Т-периодического решения, то траектория, стартующая в точке
х*, за время Т вернется в эту же точку. Любая другая траектория,
стартующая из некоторой точки х, лежащей в окрестности U С S
точки #*, вернется и пересечет S в том же направлении в точке Р(х),
лежащей в окрестности V С S точки х* (рис. 1.8а). Локальный диф-
диффеоморфизм Р : U -> У, т.е. взаимно однозначное отображение, диф-
дифференцируемое вместе с обратным, называется отображением Пуан-
Пуанкаре или отображением первого возвращения.
30
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.8. Неподвижная точка (а), цикл (б) и седловая точка (в) отображения
Пуанкаре с соответствующим ей седловым предельным циклом.
Так как Р(х*) = х*, то точка х* является неподвижной точкой ото-
отображения Пуанкаре. Циклу отображения Пуанкаре порядка п (или 71-
кратному циклу) соответствует последовательность точек х\, #2» •••) ^п»
удовлетворяющих условиям (рис. 1.86)
х2 = Р(хг), х3 = Р(х2), ..., xi = Р(хп).
Определение. Неподвижная точка х* отображения Р(х) устой-
устойчива, если существует ее окрестность U такая, что все итерации ото-
отображения Р, начинающиеся в этой окрестности, сходятся к неподвиж-
неподвижной точке, т.е. если хо G С/ и х^+г = -Р(ял), к = 0,1,..., то Хк -> ж*
при А; —> оо.
Так как отображение Пуанкаре дифференцируемо, то его можно
линеаризовать в его неподвижной точке
Р(х) - х* = А(х -
дР
), где Л = DxP(x*) = ^(^)-
Линейный оператор А имеет ранг, равный т — 1. При выборе со-
соответствующей гиперповерхности 5, перпендикулярной вектору, ка-
касательному к циклу 7 в точке х*, и системы координат, один из ортов
которой совпадает с касательным к циклу вектором, матрица опера-
оператора А будет иметь размерность (га — 1) х (га — 1).
Как и в случае систем дифференциальных уравнений отображение
Р(х) может быть консервативным, т.е. сохранять фазовый объем, и
диссипативным - сжимать фазовый объем.
Определение. Отображение Р{х) называется консервативным
в области ВсМ, если |det ДвР(а;)| = 1 для всех х Е В. Если же
для всех х € В имеет место | detDxP(x)\ < 1 то отображение Р(х)
называется диссипативным в области В С М.
Устойчивость неподвижной точки отображения Р(х) определяется
собственными значениями матрицы Л.
Теорема 1.11 ([15]). Если всет — 1 собственных значений а * ма-
матрицы А лежат внутри единичного круга плоскости комплексного
1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 31
переменного, т.е. |а*| < 1, то неподвижная точка х* отображения
Р(х) устойчива; если же среди собственных значений а* имеется хо-
хотя бы одно щ с |ofi| > 1, то неподвижная точка отображения Р{х)
неустойчива.
Естественно все приведенные выше определения и теоремы перено-
переносятся без изменений на любые дифференцируемые многомерные ото-
отображения Р(х) : Rm -> Rm. Устойчивой (неустойчивой) неподвижной
точке отображения Пуанкаре соответствует устойчивый (неустойчи-
(неустойчивый) цикл соответствующей системы дифференциальных уравнений,
а седловой точке, имеющей собственные значения оператора линейной
части, лежащие как внутри, так и вне единичного круга плоскости
комплексного переменного, соответствует седловой предельный цикл
(рис. 1.8в).
К сожалению, при изучении конкретных систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений построение отображения Пуанкаре и его производ-
производной возможно только численно. С другой стороны, результаты, по-
полученные для абстрактных (т — 1)-мерных отображений, совсем не-
необязательно должны переноситься на m-мерные системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений. Другими словами, к настоящему
времени не решена даже проблема возможности восстановления си-
системы дифференциальных уравнений по ее отображению Пуанкаре, и
очень сомнительно, чтобы сделать это оказалось проще, чем провести
полное качественное исследование самой системы дифференциальных
уравнений. Кроме того, рассматриваемые ниже в главе 3 многочи-
многочисленные примеры анализа сценариев перехода к хаосу в конкретных
многомерных нелинейных системах обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений показывают, что этот переход аналогичен переходу к
хаосу в результате бифуркаций непрерывных одномерных отображе-
отображений. Поэтому более интересным и важным нам представляется анализ
именно одномерных непрерывных отображений и их связь с нелиней-
нелинейными диссипативными системами обыкновенных дифференциальных
уравнений. Эта связь реализуется не через отображение Пуанкаре, а
через переход к некоторому (т — 1)-мерному (двумерному в трехмер-
трехмерном случае) подпространству, вращающемуся трансверсально циклу,
и через построение в нем уже одномерного отображения. Рассмотре-
Рассмотрению этих вопросов посвящена глава 4 книги.
1.3.4. Инвариантные торы. В системах дифференциальных урав-
уравнений Т-периодическое движение по циклу является одним из наибо-
наиболее простых движений и характеризуется наличием одной частоты
и — 2к/Т. Значительно более сложным является многочастотный ре-
режим движения, характеризующийся наличием нескольких независи-
независимых частот oji, ...,cjn. Движение в таком режиме можно представить
как движение по поверхности n-мерного инвариантного тора, задава-
задаваемого углами ai(t) = aio + Wit, i = l,n (рис. 1.9а). Размерность m
фазового пространства при этом должна быть не меньше, чем п 4- 1.
Поведение траекторий системы на поверхности тора существен-
32
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.9. Двумерный инвариантный тор (а) и квазипериодический режим
движения на нем (б).
но зависит от соотношения между частотами о;*, г = 1,...,п. В слу-
случае, например, п = 2 движение по двумерному тору будет периодиче-
периодическим тогда и только тогда, когда отношение частот рационально, т.е.
cji/^2 = к/т, где fc,m € N. При этом Г = ir(k/ux -fm/^) и, следова-
следовательно, c*i(T) = аю+cJiT = аю-f 2?rfc, aa2(T) = a^o-H^T = с*2о+2тгт,
т.е. углы ai и «2 задают одну и ту же точку на поверхности тора и
поэтому за время Г траектория возвращается в исходную точку.
В случае когда частоты ш\ и и% несоизмеримы, т.е. их отношение
иррационально, фазовая траектория никогда не замкнется и с тече-
течением времени будет проходить сколь угодно близко к любой заданной
точке на поверхности тора. В этом случае фазовая кривая образует
всюду плотную обмотку тора, а такое движение называется квазипе-
риодическим.
Периодическое и квазипериодическое движения по тору удобно
наглядно представлять отображением Пуанкаре на секущей гиперпо-
гиперповерхности 5, проведенной трансверсально к поверхности тора. При
этом периодическое движение будет представлено в 5 конечным чи-
числом точек, последовательно переходящих друг в друга под воздей-
воздействием отображения Пуанкаре, а квазипериодическое - бесконечным
множеством точек, плотно заполняющих некоторую замкнутую кри-
кривую (рис. 1.96).
Периодические и квазипериодические движения по многомерным
инвариантным торам возникают естественным образом в гамильто-
новых консервативных системах [39, 40]. При этом необходимо разли-
различать резонансные и нерезонансные торы.
Определение. Инвариантный тор размерности п > 2 называ-
называется резонансным, если существуют некоторые не все равные нулю
целые числа А;*, такие что
1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 33
В случае полностью интегрируемой гамильтоновой системы все
фазовое пространство можно представить в виде совокупности вло-
вложен: IX друг в друга резонансных и нерезонансных торов, так что
каж, *тй тор не является ни изолированным, ни предельным. В случае
же н полностью интегрируемой гамильтоновой системы резонанс-
резонансные и некоторые из нерезонансных торов разрушаются, а движение
с заданными на них начальными условиями оказывается очень слож-
сложным, отличным как от периодического, так и от квазипериодическо-
квазипериодического. Области разрушенных торов сливаются, образуя единую сеть -
паутину Арнольда. Движение по этой паутине, называемое диффу-
диффузией Арнольда, является примером хаотического поведения решений
в консервативных системах. Объяснение этому явлению дает теоре-
теорема К AM (Колмогорова-Арнольда-Мозера), прекрасно изложенная во
многих монографиях и учебниках [2, 39, 47], к которым мы и отсы-
отсылаем интересующегося этими вопросами читателя. Здесь же мы лишь
отметим, что в любом случае торы в консервативных гамильтоновых
системах не являются предельными множествами и не могут быть
устойчивыми в том же смысле, что и предельные циклы.
Напротив, в диссипативных системах, исследованию которых по-
посвящена настоящая работа, именно устойчивые торы во многих слу-
случаях играют существенную роль.
Определение. Инвариантный тор называется устойчивым, если
для сколь угодно малой его окрестности L/, все траектории, начинаю-
начинающиеся в достаточно малой его окрестности, не выходят со временем
из U и неограниченно приближаются к тору при t ~> + оо.
Методы анализа устойчивости инвариантных торов диссипатив-
диссипативных систем нелинейных дифференциальных уравнений в настоящее
время разработаны еще не достаточно. Можно попытаться проана-
проанализировать на устойчивость замкнутую кривую, заполненную точка-
точками отображения Пуанкаре на секущей гиперповерхности 5. Однако,
эта кривая не является решением какого-либо уравнения, и анализ ее
устойчивости представляется весьма проблематичным. Можно так-
также пытаться использовать рассматриваемые в следующем пункте по-
показатели Ляпунова, что представляет собой скорее теоретическую,
чем практическую ценность. В целом ситуация с диссипативными си-
системами выглядит значительно более сложной, чем в случае гамиль-
гамильтоновых систем, а нахождение даже двумерных торов в конкретных
системах дифференциальных уравнений является скорее искусством,
чем наукой. Некоторые оригинальные методы нахождения устойчи-
устойчивых торов и анализа их бифуркаций изложены во второй главе книги.
1.3.5. Непериодические решения. Показатели Ляпунова.
Понятия устойчивости, сформулированные выше для стационарных и
периодических решений, естественным образом переносятся на про-
произвольные решения автономной системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений A.1).
34 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определение. Решение xo(t) автономной системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений A.1) называется устойчивым
по Ляпунову, если все решения этой системы с начальными условия-
условиями из достаточно малой окрестности начального условия указанного
решения определены на всей положительной полуоси времени и равно-
равномерно по времени сходятся к исследуемому решению при стремлении
начального условия к начальному условию указанного решения.
Другими словами, решение Xo(t) системы A.1) устойчиво по Ля-
Ляпунову, если для любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что для всех
решений x(t) системы A.1) из условия ||гг(О) — яо(О)|| < 6 следует
\\x(t) - xo(t)\\ < .е для всех t > 0.
Определение. Решение xo{t) автономной системы дифференци-
дифференциальных уравнений A.1) называется асимптотически устойчивым,
если оно устойчиво по Ляпунову и, кроме того, все решения x(i) си-
системы A.1) с достаточно близкими к исследуемому решению началь-
начальными условиями \\х@) — #о(О)|| < & стремятся к нему при t —> оо, т.е.
\\x(t) - xQ(t)\\ -» 0 при t -> оо.
Если в условиях асимптотической устойчивости стремление реше-
решений системы уравнений A.1) к исследуемому решению xo(t) экспо-
экспоненциально, т.е. \\x(t) — xo(t)\\ < сехр(—*yt) с некоторыми положитель-
положительными постоянными с и 7> то решение х^(Ь) системы A.1) называется
экспоненциально асимптотически устойчивым.
Некоторые виды асимптотической, но не экспоненциально асим-
асимптотической устойчивости (степенной и дробно-экспоненциальной ус-
устойчивости) исследованы в [48].
Для исследования устойчивости решения xo(t) системы A.1) ли-
линеаризуем ее на этом решении аналогично тому, как это сделано в п.
1.2.1 и п. 1.3.2, и получим линейную неавтономную систему обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений
OF
y = A(t)y, где Л(*)=~Ы0), A-6)
a y(t) = x(t) — xo(t). В данном случае линейный оператор A(t) мо-
может иметь матрицу с произвольными ограниченными на полуоси
О < t < оо элементами.
Рассмотрим решение y(t) линейной системы A.6) и определим для
него показатель Ляпунова Х(у) по формуле
t-+oo t
В частном случае, когда Xo{t) = хо - стационарное решение, опе-
оператор линейной части имеет постоянную матрицу A(t) = А. При этом
фундаментальная матрица решений линейной системы A.6) имеет
вид Y{t) = ехр(Лг). Без ограничения общности будем считать, что
1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 35
матрица А имеет жорданову форму. Следовательно, каждой ее жор-
дановой клетке порядка к с собственным значением Л соответствует
цепочка из к решений линейной системы вида
Vi(t) = A'(
где ?о ~ собственный, а ?у - присоединенные вектора собственного
значения А. Для каждого из решений цепочки его показатель Ляпуно-
Ляпунова X(yi), очевидно, равен ReA. Таким образом, линейная система A.6)
с постоянной матрицей А имеет т показателей Ляпунова с учетом
их кратностей, совпадающих с вещественными частями собственных
значений матрицы А. Кратность каждого показателя определяется
порядком соответствующей ему жордановой клетки. В силу теоремы
Ляпунова об устойчивости по первому приближению стационарное ре-
решение (особая точка) системы A.1) асимптотически устойчиво, если
все показатели Ляпунова линейной системы первого приближения от-
отрицательны.
В другом важном частном случае, когда #о(О является периоди-
периодическим решением автономной системы A.1), показатели Ляпунова
совпадают с вещественными частями показателей Флоке, что следует
из представления фундаментальной матрицы решений в виде Y(t) =
= P(t)exp(Bt) с периодической и, следовательно, ограниченной ма-
матрицей P(t). Система также имеет т показателей с учетом их кратно-
кратностей, которые определяются порядками жордановых клеток матрицы
В. Имеет место следующий результат.
Теорема 1.12 ([12]). Если траектория автономной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений A.1) остается в огра-
ограниченной области и не стремится к особой точке при t -> оо, то по
крайней мере один показатель Ляпунова линеаризованной на зтом
решении системы равен нулю.
Таким образом, если один из показателей Ляпунова системы, ли-
линеаризованной на периодическом решении, равен нулю, а все осталь-
остальные показатели отрицательны, то предельный цикл устойчив. Нулевой
показатель соответствует направлению, касательному к циклу (рис.
1.10а).
В общем случае линейная неавтономная система A.6) имеет т
показателей
^т ?• Am_i < . . . < Аг < ^1?
среди которых могут быть и кратные. Показатели в этом случае уже
не являются собственными значениями какой-либо постоянной матри-
матрицы, в том числе и матрицы А(оо), если даже соответствующий пре-
предел существует. Нулевой показатель соответствует направлению, ка-
касательному к ограниченному непериодическому решению и не стре-
стремящемуся к особой точке. Показатель Ai называется старшим харак-
характеристическим показателем системы A.6) и обозначается через Л.
36 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рис. 1.10. В случае предельного цикла (а) и инвариантного тора (б) равны
нулю показатели Ляпунова, отвечающие соответственно направлениям ег и
ei, е2.
Нетрудно показать, что
l
Л = sup hm
Определение. Линейная неавтономная система A.6) с веще-
вещественными коэффициентами называется правильной, если сумма ее
показателей Ляпунова совпадает со средним значением следа матри-
матрицы A(t), который в свою очередь совпадает с дивергенцией векторного
поля, т.е.
Уа* = lim - / trA(s)ds = lim - / } akk(s)ds = trA(t) =
?-' t-foo t J t->oo t J f-'
k—l 0 0 k=zl
t
= lim - / d\vF(xo{s))ds.
i-4OO t J
о
Принято считать, что все интересные с практической точки зре-
зрения системы являются правильными. Для таких систем имеет место
обобщенная теорема Ляпунова об устойчивости по первому прибли-
приближению.
Теорема 1.13 ([43]). Пусть решение xo(t) неавтономной систе-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений A.2) таково, что
разность y(t) = x(t) — xo(t) удовлетворяет уравнению
OF
где A(t) = _(*„(*),*), ||/(y,*)ll < K\\y\\\ q > 1. Тогда, ес,ш л«-
нейная система первого приближения у = A(t)y правильная и имеет
1.3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ И ИНВАРИАНТНЫЕ ТОРЫ 37
отрицательный старший характеристический показатель Л, то ре-
решение xo(t) системы A.2) асимптотически устойчиво. Если пока-
показатель Л > 0, то решение xo(t) системы A.2) неустойчиво.
Существуют многочисленные обобщения сформулированной тео-
теоремы, связанные, в основном, с обобщением понятия старшего харак-
характеристического показателя А. Так в [43] рассмотрено понятие верх-
верхнего центрального показателя, в [49] — понятие генерального пока-
показателя. В [48] введено понятие характеристической функции A(t) ли-
линейной системы A.6), обобщающее как понятие старшего характе-
характеристического показателя, так и понятие верхнего центрального пока-
показателя. Отрицательность характеристической функции обеспечивает
асимптотическую устойчивость решения xo(t) системы A.2) без тре-
требования правильности линейной системы первого приближения и без
требования отрицательности старшего характеристического показа-
показателя (он может равняться нулю).
Определение. Ограниченная траектория автономной системы
A.1) называется гиперболической, если линеаризованная на этом ре-
решении система A.6) имеет ровно один простой нулевой показатель.
Последнее определение, очевидно, обобщает введенные ранее поня-
понятия гиперболической особой точки и гиперболического предельного
цикла.
Определение. Гиперболическая траектория, имеющая как поло-
положительные, так и отрицательные показатели, называется седловой.
Для седловой траектории автономной системы обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений также как и для седлового предельного ци-
цикла можно определить ее устойчивое инвариантное многообразие Ws
и ее неустойчивое инвариантное многообразие Wu .
Определение асимптотической орбитальной устойчивости и по-
луусстойчивости ограниченной непериодической траектории вводит-
вводится аналогично тому, как это было сделано для предельных циклов в
п. 1.3.2. В первом случае линеаризованная на решении система имеет
один нулевой и остальные отрицательные показатели, а во втором -
кратный нулевой и остальные отрицательные показатели.
Если траектория периодического или непериодического решения
xo{t) системы A.1) лежит на инвариантном n-мерном торе, то такое
решение не может быть асимптотически устойчивым, так как реше-
решения с начальными условиями в разных точках тора не сближаются
при t ~> +оо. При этом п показателей линеаризованной на таком ре-
решении системы, соответствующие направлениям в касательной к по-
поверхности тора гиперплоскости, будут равняться нулю (рис. 1.106).
Сам тор будет устойчивым, если все остальные показатели Ляпуно-
Ляпунова отрицательны. Таким образом, любая траектория на поверхности
устойчивого тора является полуустойчивой.
Для непериодического решения автономной системы A.1), траек-
траектория которого не лежит на поверхности инвариантного тора, т.е. ре-
решение не является также и квазипериодическим, ничто не запрещает
38 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
реализоваться случаю, когда один (старший) или несколько показате-
показателей Ляпунова равны нулю, а остальные показатели отрицательны.
В заключение отметим одно важное свойство диссипативных си-
систем автономных дифференциальных уравнений, вытекающее из усло-
условия правильности системы A.6), линеаризованной на решении, лежа-
лежащем в области диссипативности. Так как вдоль такого решения ди-
дивергенция векторного поля отрицательна, то сумма показателей Ля-
Ляпунова линеаризованной на этом решении системы A.6) также отри-
отрицательна, т.е.
f><0.
1.4. Аттракторы автономных диссипативных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений.
1.4.1. Основные определения. Как уже отмечалось выше, основ-
основным отличительным свойством диссипативной автономной системы
обыкновенных дифференциальных уравнений является сокращение со
временем ее фазового объема. В итоге при t -»¦ оо все решения та-
такой системы или часть решений неограниченно приближаются к не-
некоторому компактному (замкнутому и ограниченному) подмножеству
В фазового пространства М, называемому аттрактором. Тем самым
аттрактор содержит "множество установившихся режимов" системы.
В настоящее время нет единого строгого определения аттрактора.
Это связано в первую очередь с тем, что до сих пор неясно, что из
себя представляют и как устроены нерегулярные (хаотические или
какие-либо еще) аттракторы.
Определение. Точка у называется ш-пределъной точкой
для iGM, если существует последовательность tn -> оо, такая,
что iptn (x) -> у. Множество всех ^-предельных точек для траектории,
начинающейся в точке ж, называется ы-предельным множеством для
х и обозначается и(х).
Объединение всех множеств ш(х) для всех х 6 G С М обознача-
обозначается lj(G). Аналогично для отрицательных значений t определяются
ск-предельные точки и множества. Если у Е ш{х), то ip*(y) Е ^(я), т.е.
и(х) является инвариантным множеством.
Определение. Компактное инвариантное относительно потока
у1 множество В С М называется притягивающим множеством, если
для него существует окрестность U (открытое множество, содержа-
содержащее В) такая, что почти для всех х G U, <р*(х) -»¦ В при t -»¦ оо (т.е.
d\st(<ft(x),B) = inf \\(рь(х) - 2/|| -» 0 при t -» оо).
уЕВ
Наибольшее множество С/, удовлетворяющее этому определению,
называется областью притяжения В.
1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 39
В традиционном определении притягивающего множества [11] мы
заменили слова "для всех" на слова "для почти всех". В противном
случае даже простейший аттрактор Фейгенбаума (см. главы 2-4) не
удовлетворял бы определению притягивающего множества.
Не все притягивающие множества являются аттракторами, а толь-
только те из них, которые обладают свойством неразложимости на два
отдельных компактных инвариантных подмножества. Приведем наи-
наиболее популярное на сегодняшний день определение аттрактора.
Определение. Аттрактором называется неразложимое притя-
притягивающее множество.
Часто аттрактором называют притягивающее множество В> со-
содержащее всюду плотную траекторию [11], т.е. содержащее точку ж,
для которой со(х) = В. И это действительно так для многих аттрак-
аттракторов, рождающихся в результате каскадов бифуркаций устойчивых
циклов. Однако, даже простой резонансный двумерный устойчивый
тор не имеет всюду плотной траектории, а содержит бесконечное чи-
число периодических полуустойчивых траекторий.
Диссипативная система дифференциальных уравнений может иметь
как конечное, так и бесконечное число различных аттракторов. Все
начальные точки в фазовом пространстве, кроме множества меры
нуль, лежат в области притяжения одного из них.
Во многих случаях аттрактор найти не удается, но важно знать,
существует ли он. Для этого используется понятие поглощающего
множества.
Определение. Компактное инвариантное множество G С М на-
называется поглощающим, если существует его окрестность U такая,
что все траектории, начинающиеся в [/, за конечное время входят в G
и остаются там навсегда. Можно показать, что система, обладающая
поглощающим множеством G, имеет также и аттрактор В С cj(G).
Аттракторы нелинейных систем обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, удовлетворяющие введенному выше определению, бы-
бывают простыми (регулярными) и сложными (нерегулярными).
1.4.2. Классические регулярные аттракторы диссипатив-
ных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
В современной литературе нет строгого определения регулярности
аттрактора. Интуитивно это понятие связано с достаточной просто-
простотой поведения решений систем дифференциальных уравнений на та-
таком аттракторе и с достаточной гладкостью самого аттрактора. Счи-
Считается, что самым сложным на регулярном аттракторе может быть
эргодическое движение.
Определение. Эргодическим называется такое движение систе-
системы дифференциальных уравнений по ее инвариантному множеству
В С М, при котором относительное время, проведенное фазовой тра-
траекторией внутри любой области п С В , равно относительному объему
этой области в В и не зависит от выбора начальных условий. Другими
40
ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
словами, для почти всех х € В
lim ¦=
T-+00T
где
П.
Vn - характеристическая функция и евклидов объем области
Примером эргодического движения служит квазипериодическое
движение с несоизмеримыми частотами по инвариантному тору. С те-
течением времени фазовая траектория равномерно и плотно покрывает
поверхность тора. Но действие фазового потока ц>1 на малую область
по, принадлежащую, например, поверхности двумерного инвариант-
инвариантного тора, сводится просто к перемещению По по поверхности тора
(рис. 1.11а). Следовательно, как и в случае периодического движения,
любые две близкие в начальный момент траектории остаются близки-
близкими и во все последующие моменты времени.
П2
а б
Рис. 1.11. Действие фазового потока у>* на область П при квазипериоди-
квазипериодическом движении (а) и в случае перемешивания (б).
Таким образом, простыми (регулярными) аттракторами приня-
принято считать устойчивые (асимптотически устойчивые) особые точки,
устойчивые (орбитально асимптотически устойчивые) предельные ци-
циклы и устойчивые инвариантные торы. Все эти аттракторы являются
подмногообразиями фазового пространства (например, предельный
цикл и двумерный инвариантный тор - это, соответственно, одно-
одномерное и двумерное подмногообразия). Динамика систем с такими
аттракторами не является хаотической, а носит асимптотически схо-
сходящийся, периодический или, самое сложное, эргодический характер.
Главное - это то, что траектории систем с простыми (регулярными)
аттракторами глобально устойчивы по отношению к малым возмуще-
возмущениям, что означает их глобальную предсказуемость.
Определить тип регулярного аттрактора, к которому принадле-
принадлежит исследуемая траектория системы, позволяют в некоторой сте-
степени показатели Ляпунова системы первого приближения, линеари-
1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 41
зованной на этой траектории. Если все показатели отрицательны, то
траектория - аттрактор, являющийся устойчивой особой точкой (узел
или фокус). Если один (старший) показатель равен нулю, а все осталь-
остальные показатели отрицательны, то траектория скорее всего является
устойчивым предельным циклом. Словосочетание "скорее всего" упо-
употреблено здесь в том смысле, что в этом случае ничто не запрещает
траектории быть также и устойчивой непериодической траектори-
траекторией, не заканчивающейся в особой точке. Если п показателей Ляпунова
равны нулю, а все остальные т-п показателей отрицательны, то тра-
траектория скорее всего лежит на инвариантном устойчивом п-мерном
торе. В последнем случае ничто также не запрещает траектории быть
полуустойчивой непериодической траекторией, лежащей на некоторой
инвариантной n-мерной поверхности.
Здесь необходимо отметить, что, как следует из результатов рабо-
работы [6], устойчивые инвариантные торы размерности п > 2 как правило
разрушаются под воздействием всегда присутствующих в системе воз-
возмущений. Кроме того, возникновению режима движения с большим
числом несоизмеримых частот препятствует явление синхронизации
колебаний [50]. Синхронизация заключается в том, что в многомер-
многомерных системах колебания с независимыми частотами сложным образом
влияют друг на друга, что приводит к исчезновению квазипериодиче-
квазипериодического и установлению периодического режима движения с соизмери-
соизмеримыми частотами, т.е. предельному циклу на торе. Поэтому появление
многомерного инвариантного устойчивого тора в фазовом простран-
пространстве диссипативной системы автономных дифференциальных уравне-
уравнений является скорее исключением, чем правилом.
1.4.3. Классические нерегулярные аттракторы диссипа-
тивных динамических систем. В современной литературе исполь-
используется несколько различных определений сложных (нерегулярных) ат-
аттракторов, отражающих разные стороны нерегулярности поведения
принадлежащих им траекторий. Основной смысл всех определений за-
заключается в том, что на самом нерегулярном аттракторе движение
должно быть неустойчивым: траектории системы должны быстро рас-
расходиться, оставаясь на аттракторе. При этом поведение решений дис-
диссипативной системы с нерегулярным аттрактором будет характеризо-
характеризоваться сочетанием глобального сжатия фазового объема с локальной
неустойчивостью отдельных фазовых траекторий.
Однако существование большинства классических нерегулярных
аттракторов доказано исключительно для дискретных диссипатив-
ных динамических систем (отображений или каскадов). Последнее
обстоятельство определяет содержание настоящего параграфа, вы-
вынуждая рассмотреть несколько важных интересных примеров не из
области диссипативных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Часто хаотическим аттрактором называется аттрактор, динами-
динамика которого характеризуется положительным показателем Ляпунова
42 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[11]. При этом считается, что диссипативная система является пра-
правильной, и, следовательно, должны также существовать и отрицатель-
отрицательные показатели, по сумме абсолютных величин превышающие положи-
положительный показатель. Если размерность фазового пространства равна
трем, то показатели Ляпунова должны быть следующими: Аз < О,
А2 =0, Ai > 0. Однако, как уже отмечалось выше, сложный аттрак-
аттрактор может иметь нулевой старший характеристический показатель-
Таким является, например, аттрактор Фейгенбаума (см. ниже главу
2). Следовательно, экспоненциальное разбегание траекторий не явля-
является необходимым для хаотичности движения. Кроме того, так как
показатели Ляпунова могут быть найдены только численно, а прибли-
приближенное вычисление решений системы дифференциальных уравнений
на ее сложном аттракторе является сильно некорректной задачей, то
доверять положительности показателя Ляпунова можно далеко не все-
всегда. Например, в случае знаменитой системы Лоренца из положитель-
положительности найденного численно показателя Ляпунова не следует, как пра-
правило, наличия в системе хаотической динамики. На самом деле в этом
случае система вполне может иметь устойчивый предельный цикл [29].
Таким образом, мы приходим к выводу, что численно найденное на
какой-либо траектории положительное значение показателя Ляпунова
не является, во-первых, характерной чертой хаотичности движения,
и, во-вторых, ничего не говорит ни о природе, ни о структуре нере-
нерегулярного аттрактора.
Большинство исследователей справедливо связывают понятие хао-
хаотичности с наличием на аттракторе более сложных, чем эргодические,
режимов поведения, в которых со временем начальная область По та-
таким образом распределяется по всему инвариантному множеству #,
что ее отдельные части можно будет обнаружить в любом сколь угод-
угодно малом открытом подмножестве А С В независимо от размеров,
формы и расположения исходной области п0 . Говорят, что такие си-
системы или движения обладают свойством перемешивания (рис. 1.116).
Строго условие перемешивания формулируется следующим обра-
образом. Обозначим Clt = (рь(по). Пусть Qt П А представляет собой пере-
пересечение множеств А и Qf
Определение. Автономная система обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений A.1) называется перемешивающей (и соответ-
соответственно поток - перемешивающим) на инвариантном компактном мно-
множестве В, если для любых областей Qq С В и А С В существует
предел
V(A) V(B) '
где V(G) - евклидов объем области G.
Аттрактор, движение по которому обладает свойством перемеши-
перемешивания, называется стохастическим [11] аттрактором. Для перемеши-
перемешивающих систем близкие в начальный момент времени траектории уже
1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 43
не остаются близкими в последующие моменты времени. Разбегание
фазовых траекторий означает непредсказуемость поведения решений
системы. Любая погрешность в определении траектории в начальный
момент времени может привести со временем к совершенно непредви-
непредвиденным результатам. С другой стороны, движение по стохастическо-
стохастическому аттрактору кроме непредсказуемости обладает также и свойством
необратимости. Зная положение фазовой точки в конечный момент
времени, невозможно сказать, где точка находилась в начальный мо-
момент.
Примером классического аттрактора диссипативной системы, обла-
обладающего свойством перемешивания, является аттрактор Хенона дву-
двумерного каскада
хп+1 = 1 - ах2п + уп, 2/n+i = Ьхп, а = 1.4, 6 = 0.3. A.7)
Отображение Хенона Р является диссипативным во всей своей
области определения, так как \detDXP\ = | — Ь| = 0.3 < 1. Все тра-
траектории каскада A.7) стремятся к аттрактору, изображенному на
рисунке 1.12а. Более того, любой сколь угодно малый объем в фа-
фазовом пространстве под действием отображения Хенона равномерно
размазывается по всему аттрактору.
Из рис. 1.12б,в,г также видно, что аттрактор Хенона обладает мас-
масштабной инвариантностью, т.е. увеличенная часть аттрактора оказы-
оказывается подобной всему аттрактору. Говорят, что в этом случае мно-
множество обладает фрактальной структурой. Аттракторы, имеющие
фрактальную структуру, называются странными [б]. Такие аттрак-
аттракторы не являются конечным объединением подмногообразий фазового
пространства (как цикл или тор) и имеют дробную размерность (см.
ниже).
Однако, если для эргодичности существуют теоремы, показываю-
показывающие, что этим свойством обладает большинство реальных систем, то
перемешивание требует доказательства в каждом отдельном случае.
Насколько нам известно, в настоящее время отсутствуют примеры
аттракторов диссипативных систем обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, для которых свойство перемешивания строго дока-
доказано. Существование классических странных аттракторов также до-
доказано исключительно для дискретных диссипативных динамических
систем, но не для систем обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений. Кроме того есть примеры странных аттракторов с нулевым стар-
старшим показателем Ляпунова, т.е. аттракторов, имеющих фрактальную
структуру, но не обладающих свойством экспоненциального разбега-
ния траекторий. Простейшим примером такого аттрактора является
инвариантное множество (аттрактор Фейгенбаума) одномерного ло-
логистического отображения
xn+1=f2xn(l-~xn), ж€[0;1] A.8)
44 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
0,5 i У
О ¦
-0,5--
х
i и 11111111111111 и it 111 м i II11111111
1,0 0 1,0 2,0
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,200!-
0,1601
0,55 0,60 0,65 0,70
У
0,190--
0,185
и 111111111111111 м 11111111111 ] i м 11
0,40 0,60 0,80 1,00
1111111111 м 11
0,620 0,630 0,640
Рис. 1.12. Иллюстрация фрактальной структуры аттрактора Хенона. Ква-
Квадрат выбирается в окрестности неподвижной точки, обозначенной крести-
крестиком [11].
при некотором \х = /i^ (подробно отображение A.8) будет рассмо-
рассмотрено в следующих главах, где будет показано, что его свойства явля-
являются типичными не только для отображений, но и для непрерывных
систем дифференциальных уравнений). То же логистическое отобра-
отображение при /z = 4 дает пример аттрактора, совпадающего со всем от-
отрезком [0; 1] и, следовательно, не имеющего фрактальной структуры
и не являющегося странным. Поэтому ни странность аттрактора, ни
его стохастичность также не являются характерными чертами хао-
хаотичности.
В некоторых работах, в особенности по теории дискретных дина-
1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 45
мических систем (каскадов) активно используется понятие гиперболи-
гиперболического аттрактора [3, 51], являющегося одновременно аттрактором
и гиперболическим множеством, т.е. множеством, целиком состоящим
из седловых траекторий. Гиперболичность аттрактора обеспечивает
расщепление касательного пространства на растягивающее и сжима-
сжимающее подпространства. В окрестности гиперболического аттрактора
динамическая система наряду с неустойчивостью траекторий обнару-
обнаруживает также и сильные стохастические (вероятностные) свойства.
Поэтому все гиперболические аттракторы являются стохастически-
стохастическими.
Свойство гиперболичности накладывает еще более жесткие требо-
требования на аттрактор, чем его стохастичность. Поэтому неудивительно,
что к настоящему времени построено всего несколько исключитель-
исключительных модельных примеров существования гиперболических аттракто-
аттракторов только дискретных динамических систем. В диссипативных си-
системах автономных дифференциальных уравнений гиперболических
аттракторов до сегодняшнего дня не найдено.
Примером гиперболического аттрактора служит соленоид Смейла-
Вильямса. Общую конструкцию построения соленоида можно найти в
[7]. Здесь мы приведем лишь схему построения. Рассмотрим торои-
тороидальную область D, т.е. внутренность двумерного тора в простран-
пространстве размерности не менее трех (рис. 1.13а). Растянем ее, затем со-
а б
Рис. 1.13. Построение соленоида Смейла-Вильямса.
жмем вдоль меридиана, затем перекрутим и изогнем так, чтобы она
перешла в область D\ лежащую в D (рис. 1.136). Аналогичное пре-
преобразование применим к области D и получим область D , и т.д.
В результате бесконечной последовательности таких преобразований
в сечении тороидальной области вертикальной плоскостью получим
иерархию структур, типа изображенных на рис. 1.14. При этом изна-
изначально близкие точки будут расходиться экспоненциально быстро, а
объем исходной области D - стремиться к нулю. В пределе получа-
получается инвариантное притягивающее множество — аттрактор, предста-
представляющий собой линию, бесконечное число раз пересекающую секущую
46 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
плоскость и имеющую в сечении фрактальную структуру канторова
множества.
Рис. 1.14. Иерархия структур, возникающих при построении соленоида
Смейла-Вильямса (в сечении).
Другим важным примером гиперболического множества, хотя и не
являющегося аттрактором, служит знаменитая подкова Смейла. Из-
Изложение построения подковы проведем, следуя [52]. Рассмотрим дву-
двумерную область G в форме стадиона, состоящую из трех частей -
квадрата S и пристыкованных по бокам двух половинок круга Di и
jDo- Сожмем эту область по горизонтали более чем вдвое, затем еще
сильнее растянем по вертикали, затем изогнем в виде подковы и нало-
наложим на исходную область так, как показано на рис. 1.15. Полученное
отображение двумерной области G в себя и есть отображение F под-
подковы Смейла.
Рис. 1.15. Построение подковы Смейла.
1,4, АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 47
Нас будет интересовать множество
Л= f| Fn(S).
-ОО<П<ОО
Нетрудно видеть, что множество F(S) D 5 состоит из двух верти-
вертикальных полос Vo и Vi, отвечающих двум половинкам подковы и по-
получающихся при горизонтальном сжатии области 5. В свою очередь
множество F~1(S)DS состоит из двух горизонтальных полос #о и Hi,
которые при вертикальном растяжении должны сравняться по ширине
с областью S. Следовательно, множество (F(S)DF(S))nS состоит
из четырех квадратов, которые можно закодировать в соответствии с
индексами образующих их горизонтальных и вертикальных полос. До
разделительной точки ставим индекс горизонтальной полосы, а после
точки - индекс вертикальной полосы (рис. 1.16).
Рис. 1.16. Слева - множество точек, которые остаются в области S на по-
последующем шаге, в центре - множество точек, которые принадлежали обла-
области S на предыдущем шаге, справа - пересечение этих множеств определяет
множество точек, "выживших" на протяжении двух шагов итерационного
процесса.
За два шага итераций отображений F и F мы получим множе-
множество (F(S)nF-1(S)C\F(S)nF2(S))nSi состоящее из шестнадцати
квадратиков, лежащих на пересечении четырех горизонтальных по-
полос: #оо, ^01» расположенных внутри полосы Но, и Ню, Нц располо-
расположенных внутри полосы Hi] и четырех вертикальных полос: Voo> ^оь
расположенных внутри полосы Vo, и Vio, Vn, расположенных внутри
полосы Vi. Все квадратики кодируем, соответственно, двумя цифрами
до разделительной точки и двумя после нее.
Продолжая этот процесс далее, после бесконечного числа итераций
получим в пределе канторову решетку - двумерное замкнутое нигде
не плотное множество Л, инвариантное относительно отображения F.
Элементы множества Л кодируются бесконечными в обе стороны от
разделительной точки двоичными последовательностями, причем при-
применение к ним отображения F приводит к сдвигу разделительной точ-
точки на одну позицию вправо, a F~l - влево. Следовательно, множество
48 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Л содержит счетное число циклов отображения подковы, которым со-
соответствуют периодические двоичные последовательности, и конти-
континуум всевозможных непериодических траекторий каскада F.
В [5, 7] доказано, что множество Л является гиперболическим и,
следовательно, стохастическим множеством. Можно показать, что под-
подкова Смейла присутствует в отображении Хенона, а также в отобра-
отображении Пуанкаре окрестности петли сепаратрисы седло-фокуса систе-
системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений (см. п. 2.4.1).
Но, как уже отмечалось выше, множество Л не является аттрактором.
Поэтому, наличие подковы, хотя и позволяет сделать вывод о слож-
сложной природе динамики рассматриваемой системы, но, к сожалению,
не решает проблему обоснования присутствия в ней нерегулярного
аттрактора.
Иногда под хаотическим аттрактором понимается аттрактор, со-
содержащий бесконечное всюду плотное множество неустойчивых пе-
периодических траекторий. В литературе также используется понятие
квазиаттрактора [53], содержащего одновременно с неустойчивыми
также и устойчивые периодические траектории, но с очень малыми
областями притяжения. Как мы увидим ниже, эти свойства также
не являются характерными для диссипативных систем обыкновенных
дифференциальных уравнений, обладающих хаотической динамикой.
Аттракторы таких систем, с одной стороны, могут не содержать пе-
периодических траекторий, а с другой стороны, могут содержать всюду
плотные множества более сложной природы, чем бесконечные множе-
множества неустойчивых периодических траекторий.
Таким образом, существующая в настоящее время классификация
нерегулярных аттракторов сложных динамических систем только в
исключительных случаях описывает отдельные черты нерегулярных
аттракторов диссипативных систем обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений, не давая общего представления об их природе, струк-
структуре и принципах формирования. В главе 4 вниманию читателя будет
предложена новая теория и, на наш взгляд, более естественная класси-
классификация широкого круга нерегулярных аттракторов диссипативных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений, основанная на
различных сценариях (каскадах бифуркаций) их рождения из устой-
устойчивых предельных множеств (регулярных аттракторов). Как показы-
показывают многочисленные примеры, рассмотренные в работах [29-34], а
также содержание главы 3 настоящей книги, огромный класс нерегу-
нерегулярных аттракторов автономных диссипативных систем обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащий и все классические
аттракторы, рождается в результате одних и тех же каскадов мяг-
мягких бифуркаций регулярных аттракторов (циклов, торов). Началом
всегда является каскад бифуркаций удвоения периода некоторого ци-
цикла, переходящий в полный или неполный субгармонический каскад,
который затем продолжается полным или неполным гомоклиническим
каскадом бифуркаций. Так как название хаотический аттрактор уже
1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 49
занято аттракторами с положительными показателями Ляпунова, то
нерегулярные аттракторы, рождающиеся на всех стадиях всех упо-
упомянутых выше каскадов бифуркаций в точках накопления значений
бифуркационного параметра назовем сингулярными аттракторами.
Основы теории сингулярных аттракторов будут заложены в последу-
последующих главах книги.
1.4.4. Размерность аттракторов. Фракталы. Регулярные ат-
аттракторы диссипативных динамических систем, как отмечалось вы-
выше, являются гладкими подмногообразиями фазового пространства и
имеют целую размерность. В то же время существуют аттракторы,
такие, например, как аттракторы отображения Хенона и отображе-
отображения подковы Смейла, которые не обладают даже простой непрерывно-
непрерывностью, но обладают геометрической (масштабной) инвариантностью,
т.е. являются фракталами [54]. Простейшим примером фрактала явля-
является канторово совершенное множество, схема построения которого
приведена на рис.1.17. Разделим отрезок [0; 1] на три равные части и
вырежем среднюю из них - интервал A/3; 2/3). С каждым из остав-
оставшихся отрезков поступим таким же образом, и эту процедуру повто-
повторим бесконечное число раз. На первом этапе построения мы будем
иметь два отрезка длиной 1/3 каждый, на втором - четыре длиной
1/9 каждый и т.д.
N
1/3 2/3 1
Н 1 1 1
2/3 1
| 1 1 1 2
1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 В/9 1
4
О 1
МЫ ММ ММ М Н 8
Рис. 1.17. Построение канторова множества.
На к-ом этапе мы будем иметь 2к не связанных друг с другом от-
отрезков длиной A/3)к каждый. В пределе при к ->- оо на отрезке оста-
останется множество точек, называемое канторовым множеством. Это
множество нигде не плотно на отрезке, т.е. не содержит ни одного
интервала сколь угодно малой длины. Но оно замкнуто и плотно в се-
себе, т.е. не содержит изолированных точек, и, следовательно, является
совершенным множеством. Более того, канторово множество имеет
мощность континуума, но нулевую борелевскую меру. В последнем
50 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
легко убедиться, подсчитав сумму длин всех вырезанных отрезков:
I = УЗ + 2/9 + 4/27 +„.'
Непосредственным обобщением канторова множества на плоский и
пространственный случай являются ковер и куб Серпинъского [13,15].
Нетрудно видеть, что если на каждом шаге из оставшихся отрез-
отрезков мы будем вырезать не третью, а g-ю часть, то полученное в резуль-
результате множество также будет иметь меру нуль для любого 0 < q < 1.
Однако при различных значениях q эти множества, очевидно, будут
существенно различаться. Следовательно, для их измерения нужны
другие количественные характеристики, не совпадающие с обычной
мерой.
Существует несколько определений размерности множеств, обла-
обладающих фрактальной структурой: хаусдорфова размерность, ем-
емкость множества, вероятностная размерность, энтропийная размер-
размерность и т.д. [50]. Дадим определение наиболее распространенной раз-
размерности - емкости или фрактальной размерности множества, наи-
наиболее часто используемой количественной характеристики странных
аттракторов диссипативных динамических систем.
Рассмотрим в 7п-мерном фазовом пространстве М динамической
системы некоторое множество В. Покроем это множество т-мерными
кубиками со стороной е так, чтобы эти кубики содержали все точки
множества В. Пусть N{e) - минимальное число таких кубиков^ необ-
необходимых для покрытия В. Если существует предел
то этот предел Uf{B) называется емкостью или фрактальной размер-
размерностью множества В.
Покажем, что фрактальная размерность регулярных аттракторов
диссипативных динамических систем равна целому числу и совпа-
совпадает с их обычной размерностью. Действительно, обозначим через
d = 1,2,3 обычные размерности одномерных, двумерных и трехмер-
трехмерных компактных подмногообразий трехмерного евклидова простран-
пространства. Так как количество кубиков со стороной ?, необходимое для по-
покрытия единичного отрезка, пропорционально 1/е, для покрытия еди-
единичной квадрата - 1/?2, а для покрытия единичного объема - 1/е3,
то для каждого d число кубиков, необходимое для покрытия компакт-
компактного подмногообразия размерности d, равно N(e) = Ce~d, где С -
некоторая постоянная. Подставляя N(e) в формулу A.9), получим,
что dp = d, т.е. фрактальная размерность компактных подмногообра-
подмногообразий евклидова пространства совпадает с их обычной (топологической)
размерностью. Следовательно, фрактальная размерность устойчивого
1.4. АТТРАКТОРЫ АВТОНОМНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ 51
предельного цикла равна единице, а устойчивого инвариантного тора
— двум.
Однако для нерегулярных множеств и странных аттракторов, обла-
обладающих масштабно-инвариантной структурой, фрактальная размер-
размерность имеет дробное значение. Покажем это на примере рассмотрен-
рассмотренного выше канторова множества В. Рассмотрим последовательность
ек = A/3)* -» 0 при к -» со. Из построения канторова множества сле-
следует, что для любого к (номер этапа построения) канторово множе-
множество полностью покрывается N(k) = 2к отрезками длиной Sk = A/3)*
каждый. Тогда из A.9) следует, что
, ,т ,. 1пЛГ(*) r In2* In2 ПЛО1
dF(B) = hm ; \ = Ът г-гг = г-т- « 0.631.
*>оо 1пA/ел) *-»ooln3* 1пЗ
Ясно, что рассмотренные выше странные аттракторы двумерных
дискретных диссипативных динамических систем (каскадов) имеют
дробную фрактальную размерность, значение которой лежит в интер-
интервале между единицей и двойкой, т.е. эти множества уже не являются
линиями, но еще не являются также и поверхностями. Заметим, что
нахождение значения фрактальной размерности является сложной вы-
вычислительной проблемой и не всегда может быть успешно реализова-
реализовано. Что же касается хаотических аттракторов диссипативных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, то они, как уже отме-
отмечалось выше, не обязаны быть странными и иметь не целую фрак-
фрактальную размерность (см. главу 4).
Не странными, т.е. не имеющими фрактальной структуры, мо-
могут быть даже некоторые хаотические (перемешивающие) отображе-
отображения. Классическим примером является модифицированное отображе-
отображение "кота" Арнольда
rrn+i = (хп + уп + <Jcos27n/n)mod 1,
2/n+i = (хп + 27/n)mod 1.
Отображение A.10) при 8 < 1/2тг взаимно однозначно переводит
единичный квадрат плоскости (я, у) в себя и является диссипативным
в области 1/2 < у < 1, т.е. при каждой итерации элемент площади
этой области сжимается. Но, несмотря на сжатие площади, отображе-
отображение A.10) является эргодическим и перемешивающим. Поэтому хао-
хаотическим аттрактором отображения A.10) является весь единичный
квадрат, имеющий фрактальную размерность, равную двум.
Точки, являющиеся последовательными итерациями отображения
A.10), практически полностью покрывают квадрат, но плотность их
распределения существенно неоднородна. Количественной мерой этой
неоднородности является величина информационной размерности dj,
52 ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
определяемая следующим образом
где N(e) - количество m-мерных кубиков со стороной е, покрывающих
множество JB С М, Р, - вероятность посещения траекторией системы
г-го кубика, а 1(е) - энтропия Шеннона.
В результате неоднородности плотности распределения вероятно-
вероятностей точек в квадрате, информационные размерности аттракторов
отображения A.10) будут различны при разных S и все будут лежать
в интервале 1 < dj < 2.
Как будет следовать из результатов главы 4, введенные выше в
рассмотрение сингулярные аттракторы автономных диссипативных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений более естествен-
естественно различать по их информационной, а не фрактальной размерности.
Глава 2. Бифуркации в нелинейных
системах обыкновенных
дифференциальных уравнений
Рассмотренные в первой главе вопросы были связаны с поведени-
поведением траекторий системы обыкновенных дифференциальных уравнений
в фазовом пространстве. При этом векторное поле F было фиксиро-
фиксированным, и мы просто изучали его свойства и свойства задаваемой им
системы дифференциальных уравнений. Перейдем теперь к изучению
свойств семейства систем дифференциальных уравнений по отноше-
отношению к возмущениям векторного поля F.
2.1. Структурная устойчивость и бифуркации.
2.1.1. Структурная устойчивость. Понятие структурной
устойчивости (грубости) векторного поля или задаваемой им систе-
системы дифференциальных уравнений было предложено А.А. Андроновым
и Л.С. Понтрягиным [55]. Оно требует определений возмущения век-
векторного поля и топологической эквивалентности векторных полей.
Определение. Возмущением амплитуды е векторного поля
F(x) e С1 будем называть любое векторное поле F\(x) 6 С1, для
которого существует компактное множество К, вне которого F\ (x) =
= F(x)} а, на К
\\F(x) - Я(*)|| < е и \\d(F(x) - Я(ж))/аа|| < е [8].
Определение. Две системы дифференциальных уравнений (или,
что то же самое - два векторных поля) топологически эквивалентны,
если существует гомеоморфизм фазового пространства одной систе-
системы на фазовое пространство второй системы, переводящий ориенти-
ориентированные траектории первой системы в ориентированные траектории
второй системы.
Данное определение является определением глобальной топологи-
топологической эквивалентности, справедливой во всем фазовом пространстве.
Оно естественным образом обобщает определение локальной тополо-
топологической эквивалентности векторных полей (систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений) в окрестностях их особых точек (см. п. 1.2.1). Заме-
Заметим, что в случае топологической эквивалентности векторных полей
направление времени вдоль эквивалентных траекторий должно сохра-
сохраняться, но масштаб времени может изменяться. Так что движения,
например, по эквивалентным циклам могут происходить, вообще го-
говоря, с разными периодами.
54 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Определение. Гладкое векторное поле F(x) (или дифференци-
дифференциальное уравнение A.1)), заданное на гладком компактном многообра-
многообразии М, называется структурно устойчивым, если существует е > О
такое, что все возмущения F\ (х) амплитуды, меньшей е, топологиче-
топологически эквивалентны F(x).
Теорема 2.1 ([2, 55]). Структурно устойчивые векторные по-
поля образуют открытое всюду плотное множество в пространстве
всех непрерывно дифференцируемых векторных полей на двумерном
компактном многообразии.
Следовательно структурно устойчивые векторные поля заполня-
заполняют целые области в пространстве всех полей, и в любой окрестности
любого структурно неустойчивого поля можно указать поле, являю-
являющееся структурно устойчивым. Таким образом, структурная устойчи-
устойчивость является типичным свойством или случаем общего положения
для двумерных векторных полей. В этом случае можно ожидать, что
всегда присутствующие погрешности в определении векторных полей
не приведут к изменению качественной картины решений задаваемых
этими полями систем дифференциальных уравнений.
Необходимые и достаточные условия структурной устойчивости
двумерных автономных систем дифференциальных уравнений дает
следующая теорема.
Теорема 2.2 ([56]). Система дифференциальных уравнений A.1)
структурно устойчива (глобально структурно устойчива) на дву-
двумерном компактном многообразии М тогда и только тогда, когда:
1) число особых точек конечно и все они являются гиперболически-
гиперболическими; 2) число предельных циклов конечно и все они невырождены; 3) в
М нет седловых связок, т.е. сепаратрис, идущих из седла в седло.
Выполнение первых двух условий теоремы обеспечивает в силу
теоремы Гробмана-Хартмана локальную структурную устойчивость
системы дифференциальных уравнений в окрестностях гиперболиче-
гиперболических особых точек и невырожденных предельных циклов, а дополни-
дополнительное условие отсутствия седловых гомоклинических и гетерокли-
нических траекторий является уже достаточным в двумерном случае
условием для обеспечения глобальной структурной устойчивости си-
системы в целом.
Для систем более высокой, чем два, размерности перечисленные в
теореме условия с заменой невырожденных циклов на гиперболиче-
гиперболические также являются необходимыми условиями глобальной структур-
структурной устойчивости, так как при невыполнении первых двух условий
система не будет не только глобально, но даже и локально струк-
структурно устойчивой, а любая седловая связка разрушается малым ше-
шевелением векторного поля. Но, к сожалению, эти условия не являются
достаточными для глобальной структурной устойчивости систем вы-
высокой (более двух) размерности. Более того, для таких систем мно-
множество структурно устойчивых векторных полей не является всюду
плотным в пространстве всех непрерывно дифференцируемых вектор-
2.1. СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИИ 55
ных полей, т.е в этом пространстве существуют области, свободные
от структурно устойчивых векторных полей, и, следовательно, типич-
типичным свойством является структурная неустойчивость. Пример такой
области для полей на трехмерном торе впервые построен Смейлом
(см. [57]). Ниже будет показано, что в пространстве трехмерных авто-
автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в любых
окрестностях значений параметров, при которых системы обладают
гомоклиническими или гетероклиническими траекториями, могут су-
существовать одновременно как структурно устойчивые, так и струк-
структурно неустойчивые системы. Поэтому типичность свойства в данном
случае должна определяться мерой или размерностью множества си-
систем, обладающих этим свойством.
2Л.2. Бифуркации. Структурная устойчивость систем диффе-
дифференциальных уравнений является устойчивостью по отношению к про-
произвольным малым гладким возмущениям векторных полей. Однако
системы дифференциальных уравнений, получающиеся из различных
приложений, всегда содержат то или иное число системных параме-
параметров. Поэтому с точки зрения приложений более естественным и ин-
интересным является анализ устойчивости систем дифференциальных
уравнений по отношению к более узкому классу возмущений — про-
произвольным малым возмущениям параметров таких систем. В этом слу-
случае само пространство параметров будем интерпретировать как ко-
конечномерное пространство систем дифференциальных уравнений не-
некоторого специального вида, а возмущение конкретной системы —
как некоторое возмущение ее параметров.
Теория бифуркаций систем дифференциальных уравнений, беру-
берущая свое начало в работах А. Пуанкаре, описывает качественные,
скачкообразные изменения фазовых портретов систем дифференци-
дифференциальных уравнений при непрерывном, плавном изменении их параме-
параметров. Значения параметров, при которых происходят эти качествен-
качественные изменения фазовых портретов, называются бифуркационными
значениями или точками бифуркации.
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать гладкое семейство
нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений
x = F(x,/i), ж^МсГ, /iGLClR*, F € С°°, B.1)
заданных в фазовом пространстве М гладкими векторными полями
F) зависящими от координат векторов системных параметров /i, ле-
лежащих в области L пространства К .
Определение. Векторное поле F(x,(х0) системы B.1) (или диф-
дифференциальное уравнение B.1)), назовем грубым, если существует
окрестность U С L вектора Цо такая, что для всех /i E U векторные
поля F(x,fi) топологически эквивалентны векторному полю F(x^q).
В соответствии с данным определением точками бифуркации явля-
являются те и только те совокупности значений параметров, при которых
56 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
система является негрубой, т.е. при которых отсутствует непрерывная
зависимость фазового портрета системы от ее параметров. Заметим,
что в некоторых работах понятие грубости отождествляется с поня-
понятием структурной устойчивости векторного поля и соответствующе-
соответствующего ему дифференциального уравнения [10]. Мы же будем использовать
термин грубости системы только для обозначения ее устойчивости по
отношению к более узкому, но вместе с тем более важному, семейству
возмущений векторных полей — параметрическим возмущениям.
Предположим, что в пространстве параметров нет областей, за-
заполненных исключительно негрубыми системами вида B.1). Тогда
полное качественное исследование семейства систем B.1) сводится к
установлению разбиения пространства параметров на области с оди-
одинаковой (грубой) качественной структурой и к установлению этой ка-
качественной структуры. Разбиение пространства параметров на гру-
грубые области и разделяющие их (к - 1)-мерные пленки, соответствую-
соответствующие негрубым системам, называется бифуркационной диаграммой.
Пленки являются (fc — 1)-мерными гладкими поверхностями в про-
пространстве параметров. Они определяются одним условием Gi (ц) = 0 с
градиентом, не равным нулю. Поэтому говорят, что бифуркация, свя-
связанная с протыканием пленки вектором бифуркационных параметров,
имеет коразмерность 1. Трансверсальным пересечением двух пленок
является гладкая поверхность размерности к — 2, задаваемая двумя
условиями Gi(fi) = 0 и С?2(аО = 0* Бифуркация, связанная с прохожде-
прохождением вектора бифуркационных параметров через такую поверхность,
заполненную негрубыми системами, имеет коразмерность 2. Вообще
говорят, что бифуркация имеет коразмерность п, если она связана с
прохождением вектора бифуркационных параметров через гладкую
поверхность размерности к — п, являющуюся трансверсальным пере-
пересечением п гладких гиперповерхностей, задаваемых п условиями и
заполненных негрубыми системами.
Таким образом, коразмерность бифуркации показывает, от сколь-
скольких параметров должна зависеть система дифференциальных урав-
уравнений, чтобы бифуркация была для нее типичной. Чем выше кораз-
коразмерность, тем более нетипичной будет бифуркация. В трехмерном
пространстве параметров, которое будет представлять для нас наи-
наибольший интерес, бифуркация коразмерности 1 будет происходить на
некоторой гладкой двумерной поверхности, коразмерности 2 — на ли-
линии, а коразмерности 3 — в точке.
Часто, кроме бифуркационных диаграмм семейства систем в про-
пространстве параметров, используют для наглядности представления
так называемые фазопараметрические диаграммы. В этом случае по
одним координатным осям откладывают значения параметров, а по
другим - динамические переменные или связанные с ними величи-
величины. Получается поверхность, точки которой соответствуют опреде-
определенным динамическим режимам семейства систем, меняющимся при
изменении параметров.
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИБ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 57
Так как структурно устойчивые векторные поля заполняют обла-
области в пространстве всех полей, то они заполняют области и в конечно-
конечномерном пространстве параметров. Следовательно, структурно устой-
устойчивые поля являются грубыми. Из этого следует, что кандидатами
в точки бифуркации являются в первую очередь те значения пара-
параметров fiQ, при которых векторное поле F(x,fio) имеет негиперболи-
негиперболические особые точки, негиперболические циклы или сепаратрисные
контуры.
Поскольку грубость как частный случай структурной устойчиво-
устойчивости может быть как локальной, так и нелокальной (глобальной), то би-
бифуркации также могут быть локальными и нелокальными. К локаль-
локальным бифуркациям относятся бифуркации негиперболических особых
точек, циклов и торов, которые приводят к локальному качественному
изменению фазового портрета системы. К нелокальным бифуркациям,
нелокально меняющим фазовый портрет системы, относятся, как пра-
правило, бифуркации сепаратрисных контуров. Кроме того, в системах
размерности выше двух возможны нелокальные бифуркации различ-
различных нерегулярных аттракторов.
Мы рассмотрим сначала наиболее простые локальные бифуркации,
имеющие коразмерность 1. Для анализа таких бифуркаций достаточ-
достаточно будет рассмотреть семейство систем дифференциальных уравне-
уравнений B.1), имеющее одномерное пространство параметров, в котором
эти бифуркации являются точечными. Сложнее обстоит дело с не-
нелокальными (глобальными) бифуркациями. Во-первых, такие бифур-
бифуркации могут иметь коразмерность, большую 1. Во-вторых, что са-
самое главное, в современной качественной теории дифференциальных
уравнений и теории динамических систем полностью отсутствуют как
методы нахождения бифуркационных поверхностей (пленок) для та-
таких бифуркаций в пространстве параметров, так и методы опреде-
определения коразмерности (количества и вида условий). Некоторые ориги-
оригинальные приемы, разработанные авторами в этом направлении, будут
представлены в п. 2.4.3.
2.2. Однопараметрические локальные бифуркации.
Пусть значение ц = 0 является бифуркационным значением пара-
параметра /х, то есть именно при этом значении параметра качественно ме-
меняется фазовый портрет семейства систем дифференциальных урав-
уравнений B.1). Наиболее интересными с точки зрения различных прило-
приложений являются бифуркации устойчивых предельных множеств (ат-
(аттракторов), так как они приводят к изменениям наблюдаемых в реаль-
реальных экспериментах установившихся режимов. Бифуркации аттракто-
аттракторов принято разделять на мягкие (внутренние) и жесткие (кризисы
аттракторов). Мягкие бифуркации приводят к топологическим изме-
изменениям самих аттракторов, но не приводят к их исчезновению. Жест-
Жесткие бифуркации приводят к исчезновению аттракторов. В настоящем
58 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
пункте будут рассмотрены однопараметрические локальные бифурка-
бифуркации регулярных аттракторов.
Итак, пусть системы дифференциальных уравнений из семейства
B.1) при всех значениях параметра /г, лежащих в некоторой окрест-
окрестности U бифуркационного значения параметра \i = 0, имеют своими
решениями либо особые точки (положения равновесия или стационар-
стационарные точки) яоМ> либо предельные циклы хо(*,м), либо инвариантные
двумерные торы, устойчивые при всех \i < 0. Опишем основные би-
бифуркации, которые могут происходить в этих случаях в семействе
B.1) при переходе параметра через значение /х = 0.
2.2.1. Бифуркации устойчивых особых точек. Особая (ста-
(стационарная) точка или положение равновесия однопараметрического
семейства B.1) удовлетворяет, очевидно, условию jF(xo(aO,m) = 0.
Поэтому, линеаризуя семейство B.1) в окрестности особой точки,
получим зависящую от параметра систему обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений
an
у = А(М)»+О(|у|2), A(m) = -D,F(xoOi),m) = ^(*o(m)iM), B.2)
где y(t) = x(t) - xo(fi). Вектор у = 0 является решением системы B.2)
для всех fie U.
Бифуркации, связанные с потерей устойчивости особой точки се-
семейства B.1), могут произойти при переходе параметра через зна-
значение, при котором точка является негиперболической. Рассмотрим
два основных, наиболее часто встречающихся в приложениях случая:
одно собственное значение матрицы А@) равно нулю или два ком-
комплексно сопряженных собственных значения матрицы А@) лежат на
мнимой оси, а все остальные собственные значения имеют отрицатель-
отрицательные вещественные части. Можно показать, используя теорему о цен-
центральном многообразии [45,46], что бифуркации, приводящие к потере
устойчивости особой точки семейства B.1), определяются исключи-
исключительно теми координатами системы B.2), которые соответствуют
собственным значениям матрицы А@), лежащим на мнимой оси. Си-
Систему уравнений, записанную в этих координатах, обычно называют
нормальной формой семейства B.1) в окрестности особой точки. Наи-
Наиболее распространены следующие четыре типа бифуркаций.
1. Транскритическая бифуркация (бифуркация обмена
устойчивостью). Бифуркация имеет нормальную форму у = \ху +
¦f у2 (или у = \ху — у2). Нетрудно видеть, что два стационарных ре-
решения у = 0 и у = —// (у = /х) сосуществуют вместе и обмениваются
устойчивостью при переходе параметра через бифуркационное значе-
значение /и = 0 (рис. 2.1а). Бифуркация является мягкой.
Чтобы получить аналог бифуркации для систем с фазовым про-
пространством большей размерности, необходимо к рассмотренному ве-
вещественному собственному значению матрицы линеаризации, отвеча-
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
59
а
в
Рис. 2.1. Примеры бифуркаций: транскритической (а), типа седло-узел с
одновременным исчезновением (б) и рождением (в) устойчивой и неустой-
неустойчивой особых точек.
ющему за бифуркацию, добавить соответствующее количество соб-
собственных значений с отрицательными вещественными частями и про-
проинтерпретировать переход между получившимися особыми точками.
Так аналогом транскритической бифуркации для двумерных систем
дифференциальных уравнений является бифуркация, при которой
устойчивый узел становится седлом, а седло становится устойчивым
узлом.
В случае размерности пространства больше двух в результате рас-
рассмотренной бифуркации устойчивый узел или устойчивый фокус ста-
становятся седло-узлом или седло-фокусом, а седло-узел или седло-фокус
— устойчивыми узлом или фокусом.
2. Седло-узловая бифуркация. Эта бифуркация имеет не очень
удачное название, которое связано исключительно с ее интерпретаци-
интерпретацией в двумерном фазовом пространстве — рождением вырожденного
плоского седло-узла. Такой седло-узел не надо путать с невырожден-
невырожденным седло-узлом трехмерного пространства, о котором будет идти
речь в описании бифуркации типа вилки.
Нормальная форма седло-узловой бифуркации имеет вид у = fi+y2.
Последнее уравнение при \х < О имеет два стационарных решения
2/12 = ±у/1Г{1, одно из которых является асимптотически устойчивым,
а другое — нет. При /х = 0 оба решения сливаются в одно стацио-
стационарное решение у = 0, являющееся асимптотически устойчивым (не-
(неустойчивым) для траекторий, начинающихся слева (справа) от нуля.
При /i > 0 уравнение не имеет особых точек, и, следовательно, ат-
аттрактор исчезает, т.е. рассмотренная бифуркация является кризисом
(рис. 2.16).
Как уже было отмечено выше, аналогом этой бифуркации для дву-
двумерных систем дифференциальных уравнений является бифуркация,
при которой имеющиеся в системе при \х < О устойчивый узел и седло
сливаются при \х — О в вырожденную особую точку — вырожденный
седло-узел, разрушающийся при \х > 0 (рис. 2.2).
В случае размерности пространства больше двух в результате рас-
60
ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Рис. 2.2. Седло-узловая бифуркация на плоскости.
смотренной бифуркации устойчивый узел и седло-узел (невырожден-
(невырожденный) сливаются при ц = 0 в вырожденную особую точку, исчезающую
при // > 0.
Большое значение имеет также обратная седло-узловая бифурка-
бифуркация с нормальной формой у = fi — у2, при которой происходит од-
одновременное рождение устойчивой и неустойчивой особых точек или
устойчивого узла и седла (рис. 2.1в, и рис. 2.2).
3. Бифуркация типа вилки. Существуют два вида этой бифур-
бифуркации: надкритическая, имеющая нормальную форму у = \ху — у3,
и подкритическал, имеющая нормальную форму у = уу -f у3. В слу-
случае надкритической бифуркации стационарные решения имеют вид:
у — 0 и у\2 = ^д/м (последние два решения определены только при
fjb > 0). Устойчивое стационарное решение, становясь неустойчивым,
порождает два других устойчивых стационарных решения (рис. 2.3а).
Бифуркация также является мягкой.
Рис. 2.3. Примеры бифуркаций типа вилки: а -
критическая.
надкритическая и б - под-
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
61
Аналогом этой бифуркации для двумерных систем дифференци-
дифференциальных уравнений является бифуркация, при которой устойчивый узел
становится седлом, в окрестности которого симметрично рождаются
два новых устойчивых узла (рис. 2.4). В случае размерности простран-
Рис. 2.4. Бифуркация типа вилки на плоскости: а - два устойчивых узла
и седло после бифуркации; б - один устойчивый узел до бифуркации.
ства больше двух в результате рассмотренной бифуркации устойчи-
устойчивый узел становится седло-узлом, а родившиеся в его окрестности
устойчивые особые точки могут быть не только узлами, но и фоку-
фокусами, т.е иметь наряду с одним отрицательным вещественным соб-
собственным значением матрицы линеаризации еще два комплексно со-
сопряженных собственных значения с отрицательными вещественными
частями. Бифуркация типа вилки, например, имеет место в знамени-
знаменитой системе Лоренца трех обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнении
х = а(у- я),
у = х(г - z) - у,
z = ху — bz,
B.3)
при переходе параметра г через значение г = 1 [13,14]. Система B.3)
имеет бесконечный спектр разнообразных бифуркаций, поэтому мы
будем неоднократно возвращаться к ней в дальнейшем.
В случае подкритической бифуркации стационарные решения име-
имеют вид: у = 0 и 1/12 = ±у/^1 (последние два решения определе-
определены только при [I < 0). Таким образом, устойчивое стационарное ре-
решение (узел) становится неустойчивым (седлом, седло-узлом, седло-
фокусом), а вместе с этим исчезают два других неустойчивых ста-
стационарных решения (седла, седло-узла, седло-фокуса). Бифуркация
является кризисом.
4. Бифуркация Андронова-Хопфа (бифуркация рождения
цикла). Рассмотренные выше три бифуркации соответствуют слу-
случаю, когда при возрастании значений параметра fi ровно одно веще-
вещественное собственное значение матрицы A(fi) переходит при \х = 0
62 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
слева направо через мнимую ось плоскости комплексного переменного
вдоль вещественной оси, а все остальные собственные значения имеют
отрицательные вещественные части, т.е. остаются в левой полуплос-
полуплоскости. Бифуркация Андронова-Хопфа соответствует случаю, когда
при возрастании значений параметра /х два комплексно сопряженных
собственных значения ji±iv матрицы А(ц) переходят при \х = 0 сле-
слева направо через мнимую ось плоскости комплексного переменного, а
все остальные собственные значения имеют при этом отрицательные
вещественные части [45,46].
Существуют два вида бифуркации Андронова-Хопфа: мягкая или
суперкритическал бифуркация и жесткая или субкритическая бифур-
бифуркация. Суперкритическая бифуркация имеет нормальную форму
Ух = -"У2 + [[г- O/i + У1)]У\, 4.
3/2 = ^3/i + [^-{у2+У%)]У2,
что эквивалентно более компактной записи у = (/г + ги)у — у\у\2 отно-
относительно комплексной переменной у = у\ 4- гуч-
Решение системы B.4) можно записать в виде:
ух (t) — u{t) cos vt, 2/2 (t) = u(t) sin vt,
где функция u(t) удовлетворяет уравнению и = (jlu — u3. Поэтому, как
нетрудно видеть, при ji < 0 система имеет единственное устойчивое
стационарное решение — фокус у\ = у2 = 0 (или и = 0). При /2 = 0
нулевое решение также является устойчивым фокусом, так как при
этом u(t) = (c + 2t)~1/2 -> 0, t -4 оо. При \х > 0 помимо неустойчивого
фокуса — стационарного решения у\ = уг = 0 в системе существует и
другое решение yi(t) = </jl cos ft, y2(t) = y/JIsm vt. Для этого решения
y\+y\ = /i, откуда следует, что его траектория на фазовой плоскости
B/ь2/2) является предельным циклом — окружностью с радиусом у/Ц
(рис. 2.5а). Более того, предельный цикл является устойчивым, что
следует из устойчивости особой точки и = y/Ji уравнения й = [ш — и3.
Таким образом, в результате мягкой или суперкритической би-
бифуркации Андронова-Хопфа происходит смена устойчивости стацио-
стационарной точки, сопровождающаяся рождением из нее устойчивого пре-
предельного цикла, амплитуда которого пропорциональна ^//1, а период
Т « 2п/и при ji —? 0. Эта бифуркация играет важную роль в тео-
теории нелинейных динамических систем и как самостоятельный мате-
математический объект, присутствующий практически во всех классиче-
классических системах с нерегулярной динамикой, таких как системы Лоренца
B.3), Ресслера
у = х + ау, B.5)
z = b + z(x - с),
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
63
Чуа (Chua)
х = а[у -
y = x-y
z = -j8y,
B.6)
[11-16, 29, 50, 58-62] и многих других, так и как отправная точка
различных каскадов бифуркаций перехода к хаосу (см. главу 3).
J. У2
/1
кУ2
Рис. 2.5. Два вида бифуркаций Андронова-Хопфа на плоскости: а - супер-
суперкритическая и б - субкритическая.
Заметим, что только условия на собственные значения матрицы
А@) не обеспечивают наличия в системе мягкой бифуркации Андро-
Андронова-Хопфа. Дополнительным достаточным условием является нали-
наличие в системе устойчивого фокуса не только при /i < 0, но и при
/л = 0, что выполнено для рассмотренной выше нормальной формы
64 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
бифуркации. Если особая точка является центром при /i = 0, то при
тех же условиях на собственные значения матрицы А@) может либо
не рождаться предельного цикла вовсе, что имеет место в системе
либо происходить одновременная смена устойчивости как стационар-
стационарной точки, так и окружающего ее предельного цикла. Последняя би-
бифуркация, например, наряду с бифуркацией Андронова-Хопфа,
является отправной точкой сценария перехода к хаосу в системе урав-
уравнений Магницкого
х = Ьх[A - g)z - 6у],
y = x[l-(l-6)y + <jz)f B.7)
z = а(у - da;),
описывающей поведение макропоказателей рыночной экономики [63,
64].
Субкритическая (жесткая) бифуркация Андронова-Хопфа имеет
нормальную форму
2/1 = -*'У2 + [м + (У1+у1)]Уи
г/2 = vyx + [/i + (yl + 2/|)]2/2.
Решение системы можно записать в виде:
2/i(t) = u(t)cosi/t, 2/2W = u(t)smut,
где функция u(t) удовлетворяет уравнению и = ци 4- v?. Поэтому
при /1 < 0 система имеет устойчивое стационарное решение — фо-
фокус у\ = у2 = 0 или (и = 0) и неустойчивый предельный цикл:
2/1 @ = y/^jlcosvt, 2/2 (*) = y/^sinut. При ^ > 0 предельный цикл
влипает в нулевое решение, которое при этом становится неустой-
неустойчивым фокусом. При этом происходит исчезновение аттрактора, и,
следовательно, бифуркация является кризисом (рис. 2.56).
Мягкая бифуркация Андронова-Хопфа имеет место и в общем слу-
случае любой размерности пространства m > 2 и даже в бесконечномер-
бесконечномерном случае [46]. В случае жесткой бифуркации следует говорить об
исчезновении седлового предельного цикла.
2.2.2. Бифуркации устойчивых предельных циклов. В слу-
случае, когда предельный цикл жо(?,/х), имеющий период Т, является ре-
решением семейства уравнений B.1) при всех \х 6 {/, то, линеаризуя
семейство B.1) на цикле, получим зависящую от параметра систему
2.2. ОДНОДАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 65
неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений с перио-
периодической матрицей линейной части
2/ = A(t^)y + O(\y\% A(t,ii) = D9F(z0(t>/*),»)> B-8)
где y(t) = x(t) - xo(i,/i), a A(t + T,fi) = A(t, fi). При этом вектор у = О
является решением системы B.8) для всех /л Е U.
Как следует из теории Флоке [12, 36, 37], каждое фундаментальное
матричное решение линейной системы с периодическими коэффици-
коэффициентами
у = A(t, /z)j/, A{t + Г, /г) = Л (i, /г) B.9)
представимо в виде Y(t,n) = P(?,/i)[/(?,/i), где Р(?,/х) — некото-
некоторая, вообще говоря, комплексная Г-периодическая матрица, а матрица
U{tbfi) = exp(B(/x)?) является фундаментальной матрицей линейной
системы уравнений с постоянными, вообще говоря, комплексными ко-
коэффициентами
u = J3(//)u(*). B.10)
Преобразование Р(?,/х), таким образом, осуществляет приведение ли-
линейной системы B.9) с периодическими коэффициентами к линейной
системе B.10) с постоянными коэффициентами. Как было отмече-
отмечено в п. 1.3.2. главы 1 устойчивость (неустойчивость) периодического
решения определяется собственными значениями матрицы В — пока-
показателями Флоке исходного цикла или, что равносильно, собственными
значениями действительной матрицы С = ехр(ВТ) - мультипликато-
мультипликаторами цикла. Так как цикл устойчив при всех /z < 0, то один пока-
показатель Флоке равен нулю, а все остальные т — 1 показателей имеют
отрицательные вещественные части (один простой мультипликатор
имеет значение +1, а все остальные мультипликаторы имеют модули,
меньшие 1, то есть лежат внутри единичного круга плоскости ком-
комплексного переменного).
Следовательно, бифуркации, связанные с потерей устойчивости пе-
периодического решения семейства B.1), могут произойти лишь в тех
случаях, когда при /л = 0 один или несколько показателей Флоке из
т - 1 пересекают мнимую ось слева направо или, что равносильно,
один или несколько мультипликаторов, лежащих внутри единичного
круга при \i < 0, пересекают единичную окружность при \х = 0. Би-
Бифуркации циклов могут иметь место, очевидно, только в системах
уравнений размерности т > 1.
Можно показать, используя теорему о центральном многообразии
[45, 46], что, как и в случае особой точки, бифуркации, приводящие к
потере устойчивости периодического решения семейства B.1), опре-
определяются исключительно теми координатами системы B.10), кото-
которые соответствуют собственным значениям матрицы В@), лежащим
на мнимой оси. Систему уравнений, записанную в этих координатах,
назовем нормальной формой семейства B.1) в окрестности периоди-
периодического решения.
66 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Определение нормальной формы и, соответственно, вида проис-
происходящей бифуркации периодического решения, является чрезвычайно
сложной задачей. Заменой переменных у (t) = Q(t,fi)z(t) с Т-периоди-
ческой матрицей Q(t, /x) ее решение может быть упрощено переходом
к системе координат, связанной с циклом. В такой системе одним из
координатных векторов является вектор xo(i), касательный к циклу,
другим - вектор цикла xo(t). Так как мультипликатор цикла, соот-
соответствующий вектору xo(t), всегда равен единице, а показатель Фло-
ке - нулю и не является бифуркационным, то координаты нормальной
формы заведомо лежат в гиперплоскости 5, трансверсальной векто-
вектору xo(t), и задаваемой последними га — 1 компонентами вектора z(t).
Обозначим этот вектор, имеющий на единицу меньшую размерность,
чем исходный вектор y(t) линеаризованной на цикле системы B.9),
через v(t). Вектор v(i) удовлетворяет системе т -1 линейных диффе-
дифференциальных уравнений
v(t) = D(t,v)v(t), B.11)
где действительная матрица D(t, //) получается из действительной ма-
матрицы
G(ttti) = Q-iA
вычеркиванием ее первой строки и первого столбца. Система B.11)
имеет те же показатели Флоке, за исключением нулевого, что и ис-
исходная линеаризованная система B.9).
Возможны два принципиально различных случая: случай постоян-
постоянной матрицы D(t,/j) = D(/i) и случай переменной Т-периодической
матрицы D(t,/i). Первый случай означает, что матрицы Q(t,fi) =
= P(t,/j.) и G(t,/j,) = В{ц) действительны, а показателями Флоке ци-
цикла, отличными от нулевого, являются собственные значения матри-
матрицы D{ii). Другими словами, первый случай означает, что переход пре-
преобразованием Q{t,ii) к системе координат, связанной с циклом, уже
осуществляет приведение системы B.9) с периодическими коэффи-
коэффициентами к системе с постоянными вещественными коэффициентами.
Вектор z(t) в этом случае совпадает с вектором u(t) в B.10), а ком-
компонентами вектора v(t) являются последние га — 1 компонент вектора
u(t). Во втором случае имеет место более сложная ситуация. Рассмо-
Рассмотрим отдельно два описанных выше случая.
Случай постоянной матрицы D(t,fi) = D(/i). В этом случае
типичной бифуркации цикла соответствует либо переход одного веще-
вещественного собственного значения, либо двух комплексно сопряженных
собственных значений матрицы D(/j) через мнимую ось. При этом все
остальные собственные значения должны иметь отрицательные веще-
вещественные части. Рассмотрим четыре основных, наиболее часто встре-
встречающихся в приложениях, бифуркации циклов, соответствующих это-
этому случаю.
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 67
1. Бифуркация рождения пары устойчивых замкнутых тра-
траекторий. В этом случае при /х < 0 в системе существует устойчивый
цикл #о(?, аО> один мультипликатор которого равен -f 1, а все осталь-
остальные мультипликаторы лежат внутри единичного круга. При переходе
значений параметра \х через точку /х = 0 один простой мультипли-
мультипликатор цикла переходит через точку 4-1 единичной окружности, что
соответствует пересечению мнимой оси одним простым веществен-
вещественным показателем Флоке линеаризованной системы B.9) или одним
вещественным собственным значением матрицы D(p). Поэтому нор-
нормальная форма такой бифуркации цикла совпадает с одномерной нор-
нормальной формой бифуркации особой точки типа вилки: и = /ш — иг.
Циклу, очевидно, соответствует нулевое решение этого уравнения.
В результате бифуркации цикл xo(t,fi) теряет устойчивость (но
не исчезает), и одновременно рядом с ним на расстоянии Щ2 = ^Ь\/}1
в направлении собственного вектора, соответствующего показателю,
проходящему через мнимую ось, рождается пара устойчивых предель-
предельных циклов. На рис. 2.6 родившиеся циклы лежат в параллельных ис-
исходному циклу плоскостях, так как вектор и направлен вертикально.
Возможен и другой случай, когда вектор и лежит в плоскости исходно-
исходного цикла. Тогда родившиеся циклы будут лежать в той же плоскости
- один внутри исходного цикла, а другой вне его.
с С
Рис. 2.6. Рождение из устойчивого цикла (а) двух других устойчивых ци-
циклов (б).
В случае размерности фазового пространства m > 2, цикл, по-
потерявший устойчивость, становится седловым. Бифуркация является
мягкой. В качестве примера рассмотрим систему трех дифференци-
дифференциальных уравнений
±i = -VX2 - (
х2 = vxi + хгх3 + (/х + 1)A - х\ - х\)х2, B.12)
68 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Система B.12) имеет своим решением особую точку О = @,0,0)т,
устойчивую при /i < — 1. При /i > -1 из нее в результате бифуркации
Андронова-Хопфа рождается устойчивый предельный цикл xo(t) =
= (cosi4,sini/?,0)T, лежащий в плоскости переменных (а^зд). Даль-
Дальнейшее исследование системы B.12) проведем описанным выше мето-
методом. Линеаризованная на цикле система примет вид:
2/1
У2
2/з
= -2yi(/i + l)cos2
= yi(^-CM + i)eii
= А*2/з -yh
vt
i2i
-2/2(^-i-(^-M)sin2
/t) — 2j/2(/x -1-1) sin2 v
vt) — 2/3 sin ^t 4- /i,
t + y3CO8Vt + f2,
где разложения функций /1A/1,2/2) и /2B/1,2/2) в ряды в точке @,0)
начинаются с членов второго порядка. Заменой переменных y(i) =
= Q(t)z(t) с 2w/i/ — периодической матрицей
f-vsmvt cos ft 0")
Q(t) = (xo(t)y xo(t), @ 0 1)T) = I vcosvt smut 0
0 0 I)
¦r
переидем к системе, записанной в связанных с циклом координатах:
z2 = ~2
Линейная часть последней системы имеет действительную посто-
постоянную матрицу G(t,fjL) = G(fi) = B(fx) с нулевым первым столбцом,
т.е. координата z\ однозначно определяется координатами 22 и z$ си-
системы, лежащими в плоскости 5, перпендикулярной плоскости цикла.
Поэтому устойчивость цикла и его возможные бифуркации определя-
определяются исключительно двумерной системой уравнений
й2 = -2(/х + 1)г
записанной в координатах и2 = z2 и из = z$ с диагональной матри-
матрицей D(fi) = diag(—2{ц 4-1), //). Заметим, что диагональные элементы
матрицы D(/j) являются показателями Флоке предельного цикла ис-
исходной системы B.12).
Так как циклу системы B.12) соответствует нулевая особая точка
системы B.13), то цикл является устойчивым в интервале изменения
параметра —1 < \х < 0. При // > 0 нулевая особая точка системы
B.13) и, соответственно, цикл системы B.12) становятся неустойчи-
неустойчивыми. Происходит рождение двух новых устойчивых особых точек
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 69
и3 = zz = Уз = хз = ±у/Ц системы B.13), лежащих на отрезке, пер-
перпендикулярном плоскости цикла. Этому соответствует рождение двух
устойчивых циклов, лежащих в параллельных плоскости исходного ци-
цикла плоскостях на расстоянии ±л/Ц от нее.
Бифуркация рождения из одного устойчивого цикла двух других
устойчивых циклов предваряет гомоклииический каскад бифуркаций
рождения устойчивых циклов в системе Лоренца B.3)[29,30].
2. Транскритическая (обмена устойчивостью между ци-
циклами) бифуркация. В этом случае при /х < О наряду с устойчи-
устойчивым циклом xo(t, /x) в системе B.1) существует также и неустойчивый
(седловой) цикл xi(t,fi), лежащий на расстоянии и = \х от устойчи-
устойчивого цикла в направлении собственного вектора, соответствующего
показателю Флоке устойчивого цикла (простому вещественному соб-
собственному значению матрицы D(/x)), проходящему через мнимую ось.
При переходе значений параметра \i через точку \i = 0 один про-
простой мультипликатор цикла, соответствующий указанному показате-
показателю Флоке, переходит через точку +1 единичной окружности, а циклы
обмениваются устойчивостью - устойчивый цикл Хо(г,/л) становится
неустойчивым (седловым), а неустойчивый (седловой) цикл xi{t,ii) -
устойчивым (рис. 2.7).
/i< 0 /i= 0 /i> О
Рис. 2.7. Бифуркация обмена устойчивостью между циклами.
Нормальная форма такой бифуркации цикла совпадает с одномер-
одномерной нормальной формой транскритической бифуркации особой точки:
и = /ш — и2 (на рис. 2.7 направление вектора и совпадает с верти-
вертикалью). Бифуркация является мягкой. Если направление вектора и
совпадает с горизонталью, то при этом оба цикла должны лежать в
одной плоскости (один внутри другого). В результате бифуркации
внутренний устойчивый, например, цикл становится неустойчивым^
внешний неустойчивый — устойчивым циклом.
В качестве примера рассмотрим систему трех дифференциальных
70 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
уравнений
±1 = -^2 - х2х3 + (/л + 1)A - х\ - х\)хи
х2 = vxi + ххх3 + (/л + 1)A - я? - х^)я2, B.14)
отличающуюся от системы B.12) только третьим уравнением. При
—1 < ^ < 0 система B.14) кроме устойчивого предельного цикла
xo(t) = (cos vt, sinvt, 0)T, лежащего в плоскости переменных (xi,x2))
имеет также неустойчивый предельный цикл xi (t) = (cos i/t, sin i/?, /i)T,
лежащий на расстоянии \i от него по оси хз. При \х > 0 происходит
обмен устойчивости между циклами. Заметим, что описанным в пре-
предыдущем пункте методом анализ устойчивости цикла системы B.14)
сводится к анализу устойчивости нулевой особой точки двумерной
системы
U2 = -2(/И + 1)н2 +/2(^2,^3),
с диагональной матрицей линейной части (показателями Флоке исход-
исходного цикла xo(t)) D{ii) = diag(-2(/i+ l),/u).
3. Бифуркация исчезновения (рождения) пары замкнутых
траекторий. В этом случае при /i < 0 наряду с устойчивым циклом
xo(?,/i) в системе B.1) существует также и неустойчивый седловой
цикл xi (?, /i). При возрастании значений параметра ц эти циклы сбли-
сближаются друг с другом и при \х = 0 сливаются в один вырожденный
цикл. При /i > 0 оба цикла исчезают (рис. 2.8). Поэтому нормальная
форма такой бифуркации цикла совпадает с одномерной нормальной
формой седло-узловой бифуркации особой точки: и = \х + и2 (на рис.
2.8 направление вектора и совпадает с вертикалью). Бифуркация явля-
является жесткой (кризисом). Как и в случае предыдущих бифуркаций
циклы могут лежать в одной плоскости один внутри другого.
В качестве примера рассмотрим систему трех дифференциальных
уравнений
±i = -vx2 - х2х3 + (/л + 1)A -х\- х\)хи
х2 = vxi + Х1Х3 + (/х + 1)A - х\ - х\)х2, B.15)
отличающуюся только третьим уравнением от систем B.12) и B.14).
При -1 < /i < 0 система B.15) кроме устойчивого предельного цикла
xo(t) = (cos(i/-4/-/i)i, sin(i/ —v/==tI)?j —л/1=71)'г, лежащего в плоскости
#з = —х/1-/^ имеет также и неустойчивый предельный цикл xi(t) =
= (cos(i/ + y/^jT)t, sin(i/ + -)/—p)t, x/-/i)T, лежащий на расстоянии
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИБ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
71
//=0
Рис. 2.8. Седло-узловая бифуркация предельных циклов.
от него в плоскости ггз = у/—/i. Заметим, что движение по
циклам происходит с разными частотами. При \х — 0 оба цикла слива-
сливаются, образуя лежащий в плоскости #з = 0 неустойчивый цикл, исче-
исчезающий при /л > 0. Анализ устойчивости цикла системы B.15) также
сводится к анализу устойчивости нулевой особой точки двумерной
системы
й2 = -
B.16)
Если рассмотреть процесс изменения параметра // от больших зна-
значений к меньшим, то описываемая бифуркация означает, что при
\i = 0 внезапно возникает замкнутая траектория (цикл), которая при
дальнейшем уменьшении параметра расщепляется на две замкнутые
траектории, одна из которых устойчивая, а другая — нет. Другими
словами, происходит внезапное одновременное рождение устойчивого
и седлового предельных циклов. Каскад бифуркаций этого типа, по-
порождающих бесконечную последовательность пар различных устойчи-
устойчивых и седловых гомоклинических циклов, можно наблюдать в системе
Лоренца B.3) [29,30].
4. Бифуркация рождения (гибели) двумерного тора. Эта
бифуркация может произойти только в фазовом пространстве размер-
размерности т > 2. Она связана с переходом при /i = 0 двух комплексно со-
72
ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
пряженных мультипликаторов исходного предельного цикла xo(t,/j,)j
имеющего период Т, через точки ехр(±г<р), 0 < tp < тт, единичной
окружности или, что равносильно, с переходом двух комплексно со-
сопряженных показателей Флоке цикла (собственных значений матрицы
D(jjl) системы B.11)) через точки ±i<p/T мнимой оси плоскости ком-
комплексного переменного. Бифуркация является частным случаем би-
бифуркации Андронова-Хопфа в гиперплоскости 5, трансверсальной к
исходному циклу, и имеет нормальную форму
= (// - и\ -
V
T
При этом цикл xo(t,fj.) теряет устойчивость (но не исчезает), и одно-
одновременно возникает новое устойчивое движение по двумерному тору
Г2, задаваемому основной частотой исходного цикла ио = 2тг/Г и ча-
частотой ui = ip/T = ujQip/2тг родившегося в результате бифуркации
цикла u(t) = y/jlexp(iip/T) (рис. 2.9).
Рис. 2.9. Бифуркация рождения двумерного тора из предельного цикла Со:
а - траектория на торе в окрестности потерявшего устойчивость цикла Со;
б - эргодический тор; в - резонанс на торе.
Величина, равная отношению между частотами в = a;i/a;o = </?/2тг,
называется числом вращения на торе Т2. Если число вращения рацио-
рационально, т.е. в = p/q, где q и р < q/2 - целые положительные числа, то
родившееся устойчивое движение на торе будет периодическим. Если
же число вращения иррационально, то фазовая кривая родившегося
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 73
устойчивого движения образует всюду плотную обмотку тора (см. п.
1.3.4. главы 1).
При дальнейшем увеличении значений параметра /л фазовый пор-
портрет системы будет качественно меняться, демонстрируя переходы
от эргодического движения на торе к режимам резонансов. Родив-
Родившийся тор является устойчивым в том смысле, что любая траектория
системы стремится к некоторой траектории, расположенной на торе,
с некоторой своей асимптотической фазой.
В качестве примера рассмотрим систему трех дифференциальных
уравнений
±1 = —их2 - х2х3 — 2^1 хз - v(l - х\- х2)хг
х2 = vx\ + х\х$ — 2x2x$ — ^A - х\ — ?2J:2,
хъ =
Система B.17) имеет предельный цикл xo(t) = (cosvt, sini/?, 0)T,
лежащий в плоскости переменных {х\,х2). Линеаризованная на цикле
система имеет вид:
2/1 = 2?/1 li cos2 г/t—2/2 (^ - /J> sin 2z/t) - j/3 (sin i/t H- 2 cos vt)+/1,
2/2 = 2/1 (^+/i sin 2vt)+2y2ti sin2 |/<+уз(со81^- 2 sin vt) + f2i B.18)
2/3 = 2y\ cos 1/^ -f 22/2 sin vt -f \
где разложения функций /j {y\, 2/2) и /г B/1,2/2) в ряды в точке @,0) на-
начинаются с членов второго порядка. Заменой y(t) = Q(t)z(t) с 2w/v-
периодической матрицей Q{t), описанной в л. 1, приведем систему
B.18) к связанным с циклом координатам
z2 = 2цг2 - 2zz -f
-z\.
Анализ устойчивости цикла сводится к анализу устойчивости ну-
нулевой особой точки двумерной системы
•; B.19)
матрица D(fi) линейной части которой имеет комплексно сопряжен-
сопряженные собственные значения 2\i ± 2г. Следовательно, при ц < 0 нулевая
особая точка системы B.19) и цикл xo(t) системы B.17) устойчивы.
При /i > 0 в системе B.19) в результате бифуркации Андронова-
Хопфа рождается устойчивый предельный цикл периода Т « тт, что
74 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
соответствует рождению устойчивого двумерного тора с частотами,
приближенно равными v и 2, в системе B.17). Четкие переходы от ре-
резонансных к нерезонансным торам можно наблюдать в системе B.17)
при малых /х > 0 и варьировании параметра v.
Бифуркацию рождения устойчивого тора из цикла можно наблю-
наблюдать также при некоторых значениях параметров в комплексной си-
системе уравнений Лоренца [65,34]
У = X(r - Z) - У, B.20)
Z = (X*Y + XY*)/2 - bZ.
В системе B.20) переменные I, У и параметр г = г\ 4- г>2 —
комплексные. Следовательно, система B.20) является пятимерной си-
системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которая при
Г2 = 0 сводится к классической трехмерной системе уравнений Лорен-
Лоренца B.3).
Рассмотренная бифуркация рождения устойчивого тора Т2 явля-
является суперкритической (мягкой) бифуркацией. Наряду с ней, как и
в случае бифуркации Андронова-Хопфа. может происходить также
и субкритическая (жесткая) бифуркация. В этом случае при /х < 0
система имеет устойчивый цикл, лежащий внутри неустойчивого то-
тора. При pL > 0 тор влипает в устойчивый цикл, который после этого
становится неустойчивым. Происходит исчезновение аттрактора, и,
следовательно, бифуркация является кризисом.
Случай переменной Т-периодической матрицы D(t,fj,). Этот
случай означает, что переход преобразованием Q (?,//) к системе ко-
координат, связанной с циклом, осуществляет приведение системы B.8)
с периодическими коэффициентами к системе B.11) меньшей размер-
размерности, но имеющей также Т-периодические вещественные коэффици-
коэффициенты. В этом случае, как следует из теоремы Флоке, фундаменталь-
фундаментальное матричное решение линейной системы B.11) представимо в виде
V(t,ii) = #(?,;/) ехр(?(/х)?), где Д(?,/х) - некоторая Т- периодическая
комплексная матрица, а Е(ц) - некоторая постоянная комплексная ма-
матрица, собственные значения которой являются показателями Флоке
исходного цикла. Мы рассмотрим наиболее интересный и важный с
точки зрения различных приложений случай бифуркации удвоения пе-
периода цикла, которому соответствует переход при fi = 0 одного ком-
комплексного собственного значения матрицы E(fi) через мнимую ось.
При этом все остальные собственные значения должны иметь отри-
отрицательные вещественные части.
Бифуркация удвоения периода цикла. Эта бифуркация мо-
может произойти только в фазовом пространстве размерности m > 2.
Она связана с переходом через мнимую ось слева направо одного ком-
комплексного показателя Флоке а(/х) исходного цикла жо(?,//) ПРИ /i = 0.
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
75
При этом соответствующий вещественный мультипликатор цикла при
/л = 0 имеет вид
А = ехр(а@)Т) = ехр(гтг) = -1.
Но с другой стороны, что тоже следует из теоремы Флоке, фунда-
фундаментальное матричное решение линейной системы B.9) представимо
в виде произведения некоторой 2Т-периодической вещественной ма-
матрицы на вещественную матрицу exp(i7(/j)?), одно собственное значе-
значение которой выходит при \i = 0 из единичного круга через точку +1.
Следовательно, переход одного комплексного показателя Флоке ци-
цикла xo(tjfi), имеющего период Г, через мнимую ось, что эквивалентно
переходу мультипликатора цикла через точку -1 единичной окружно-
окружности, означает, что цикл xo(t,/i) теряет устойчивость (но не исчезает),
и одновременно возникает другой устойчивый цикл, имеющий ту же
амплитуду и удвоенный период 2Т (рис. 2.10).
Рис. 2.10. Суперкритическая бифуркация удвоения периода цикла: Со -
исходный цикл; С - цикл удвоенного периода после бифуркации.
В качестве примера рассмотрим систему трех дифференциальных
уравнений
B.21)
хх = -г/х2 -
х2 = vxi + 2хзA - fx2/4) - (/и -
хз = 2(/i - 1 - xi)x3 + (x2
1 - х\ - х\),
х\ - 1).
76 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Система B.21) имеет предельный цикл xo(t) = (cosvt, smut, 0)т,
лежащий в плоскости переменных (xi,x2). Линеаризованная на цикле
система имеет вид:
Уг = 2^1 ((/х - 1) cos vt + 1) cos vt+
+ 2/2(((^ - 1) wsvt + 1J sin vt - v) - y3-cosvt + /1B/1,2/2,2/3),
- 1) sin2 vt + 2узA ~ 7 sin i/t) + /2@1,1/2,Уз),
2/3 = 2yi (- 4- sin vt) cos i/?+
+ 2г/2(^ + sini/^) sin 1/* + 2у3(м - 1 - cosi^) + /з(УьУ2,Уз),
где разложения функций Д (уi, уг, Уз), /2 (yi, 2/2,2/з) и /3 (уi, у2,2/з) в ря-
ряды в точке @,0,0) начинаются с членов второго порядка. Заменой
y{t) = Q(t)z(t) с 2тг/1/-периодической матрицей Q(t), описанной в п.1,
приведем последнюю систему к связанным с циклом координатам
2 2 ~
ZX = Z2 Sin Vt+ -
z2 = 2(д - 1 + cosvt)z2 + {2smut - ^)
) + 2( 1 ^)
Анализ устойчивости цикла сводится к анализу устойчивости ну-
нулевого решения линейной двумерной системы
й2 = 2{ц - 1 -f cos i/*)ti2 + B sin vt - -)из
2 B.22)
из = B sin vt -f- -)гх2 + 2(/i — 1 - cos 1/^I/3.
Матрица D(t,pL) коэффициентов системы B.22) является 2тг/*/-перио-
дической матрицей. Непосредственной подстановкой можно убедиться
в том, что система B.22) имеет фундаментальную матрицу решений
вида
V
Следовательно, при /г < 0 нулевое решение системы B.22) и, соответ-
соответственно, цикл яо(?) системы B.21) устойчивы. При /х > 0 в системе
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 77
B.21) появляется устойчивое решение с частотой и/2 или же с удво-
удвоенным периодом 4тг/х/. Выражение B.23) является представлением
решения линейной системы с 2тг/1/-периодической матрицей D(t,fi) в
виде произведения 47г/*/-периодической вещественной матрицы на ве-
вещественную матрицу ехр(Я(^)?), одно собственное значение которой
выходит из единичного круга при ц = О через точку +1. Для того,
чтобы перейти к представлению Флоке, запишем B.23) в виде про-
произведения 2тг/*/-периодической комплексной матрицы на комплексную
матрицу ехр(Е(/лI)
Диагональные элементы матрицы E([i): iv/2 + 2/х и iv/2 Н- 2(/i — 2)
являются показателями Флоке цикла xo(t) системы B.21). При /л = О
первый из них переходит слева направо через мнимую ось, а второй
остается в левой полуплоскости. Соответствующий первому показа-
показателю Флоке мультипликатор равен
= ехр(Bд+-)-7)=ехр(—
При \i = 0 он, очевидно, пересекает границу единичной окружности
в точке -1. Второй мультипликатор при этом равен — ехр(—8tt/i/)
и остается лежащим на вещественной оси внутри единичного круга.
Бифуркация удвоения периода цикла играет основополагающую
роль в процессе формирования хаотических аттракторов нелинейных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Она начинает
бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода, открытый впер-
впервые М.Фейгенбаумом [66] и ведущий к возникновению простейшего
нерегулярного аттрактора — аттрактора Фейгенбаума. Ее можно на-
наблюдать также и во всех других более сложных каскадах бифуркаций,
ведущих к возникновению более сложных аттракторов, таких, напри-
например, как аттракторы Лоренца, Ресслера и Чуа. Она обнаружена также
и в большом числе нелинейных динамических систем, описываемых не
только обыкновенными дифференциальными уравнениями, но и диф-
дифференциальными уравнениями в частных производных и с запазды-
запаздывающим аргументом (см. подробнее в гл. 3-5).
2.2.3. Бифуркации устойчивых двумерных торов. Опре-
Определение нормальной формы и, соответственно, вида происходящих на
торе бифуркаций, является еще более сложной задачей, чем аналогич-
аналогичная задача для устойчивых предельных циклов. В то время как для
анализа бифуркаций предельных циклов существует пусть не вполне
конструктивная, но фундаментальная основа в виде теории показа-
показателей Флоке, какая-либо теория бифуркаций устойчивых двумерных
78 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
торов в настоящее время практически отсутствует. Рассмотрим один
из возможных подходов к построению такой теории.
Предположим, что устойчивый двумерный тор Т2 семейства си-
систем B.1) был рожден в результате рассмотренной в предыдущем
пункте бифуркации Андронова-Хопфа устойчивого Т-периодического
предельного цикла xo(t). Это значит, что линеаризованная на цикле
система B.8) заменой переменных y(t) = Q{t)ii)z\t) с Г-периодической
матрицей <2(?,/х) сводится к системе т - 1 порядка, записанной в си-
системе координат, связанной с циклом. В такой системе, напомним, од-
одним из координатных векторов является вектор хо (?), касательный к
циклу', другим — вектор цикла xo(t). Так как мультипликатор цикла,
соответствующий вектору ?о@> всегда равен единице, а показатель
Флоке — нулю и не является бифуркационным, то координаты нор-
нормальной формы образовавшегося двумерного тора заведомо лежат в
гиперплоскости 5, трансверсальной вектору ±o(t) и задаваемой по-
последними т — 1 компонентами вектора z(t). Этот вектор, который мы
обозначим через v(t), удовлетворяет системе т-1 дифференциальных
уравнений
)v(t) + P(v)fi) B.24)
где разложение вектор-функции P(v,/x) в ряд по степеням v в ну-
нуле начинается с членов второго порядка, а Т-периодическая матрица
D(t, fi) получается из матрицы
G(t, v) = Q~4t, n)A(t, n)Q(t, fi)-Q~l(t, ix)Q(t, pl)
вычеркиванием ее первой строки и первого столбца.
Рождение устойчивого двумерного тора Г2 в системе B.1) являет-
является следствием рождения устойчивого цикла г>о(?) в системе B.24) в ре-
результате бифуркации Андронова-Хопфа (см. п.2.2.2 и пример в нем).
Рассматривая теперь систему B.24) как новую исходную систему ти-
типа B.1), имеющую на единицу меньшую размерность и обладающую
устойчивым предельным циклом, мы можем применить к ней теорию
показателей Флоке, изложенную в п.2.2.2. Ясно, что бифуркации цикла
vo(t) системы B.24) приводят к соответствующим бифуркациям дву-
двумерного тора Г2 системы B.1). Таким образом, возможны следующие
пять типов бифуркаций устойчивых двумерных торов нелинейных ди-
динамических систем.
1. Бифуркация рождения пары устойчивых двумерных то-
торов. В этом случае при /х < 0 в системе B.24) существует устойчивый
цикл г/0 (?,//), один мультипликатор которого равен -f 1, а все осталь-
остальные мультипликаторы лежат внутри единичного круга. При переходе
значений параметра /i через точку \х = 0 один простой мультипли-
мультипликатор цикла переходит через точку 4-1 единичной окружности, что
соответствует пересечению мнимой оси одним простым веществен-
вещественным показателем Флоке линеаризованной на цикле системы. Поэтому
нормальная форма такой бифуркации двумерного тора совпадает с
2.2. ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 79
одномерной нормальной формой бифуркации особой точки типа вил-
вилки: й = fiu — v?. Тору, очевидно, соответствует нулевое решение этого
уравнения.
В результате бифуркации двумерный тор Т2 теряет устойчивость
(но не исчезает), и одновременно рядом с ним на расстоянии
Щ2 = ±л/Ц от него (внутри и вне его в трехмерном случае) в напра-
направлении собственного вектора, соответствующего показателю цикла
г>о(?,А0, проходящему через мнимую ось, рождается пара устойчивых
двумерных торов. Бифуркация является мягкой.
2. Транскритическая (обмена устойчивостью между тора-
торами) бифуркация. В этом случае при /j, < 0 наряду с устойчивым
двумерным тором Т$ системы B.1) и соответствующим ему устой-
устойчивым циклом vo(t, fi) системы B.24) существует также и неустойчи-
неустойчивый (седловой) двумерный тор Т2 системы B.1) и соответствующий
ему седловой цикл vi(t,jj,) системы B.24), лежащий на расстоянии
и = \х внутри него. При переходе значений параметра \х через точ-
точку /2 = 0 один простой мультипликатор цикла vo{t,ix) переходит че-
через точку 4-1 единичной окружности, а торы обмениваются устойчи-
устойчивостью. Устойчивый внешний тор Т$ и, соответственно, устойчивый
цикл vo(t,fi) становятся неустойчивыми (седловыми), а неустойчивый
внутренний (седловой) тор Т2 и, соответственно, неустойчивый (сед-
(седловой) цикл vi (?, /i) — устойчивыми.
Нормальная форма такой бифуркации двумерного тора совпада-
совпадает с одномерной нормальной формой транскритической бифуркации
особой точки: и = [ш-и2. Бифуркация является мягкой.
3. Бифуркация исчезновения (рождения) пары двумерных
торов. В этом случае при д < О наряду с устойчивым двумерным
тором Tq системы B.1) и соответствующим ему устойчивым циклом
vo(t,fi) системы B.24) существует также и неустойчивый (седловой)
двумерный тор Т2 системы B.1) и соответствующий ему седловой
цикл vi(t,/n) системы B.24). При возрастании значений параметра /г
эти торы сближаются друг с другом и при ц = О сливаются в один
вырожденный тор. При /л > 0 оба тора исчезают. Поэтому нормаль-
нормальная форма такой бифуркации устойчивого двумерного тора совпадает
с одномерной нормальной формой седло-узловой бифуркации особой
точки: й — \х + и2. Бифуркация является жесткой (кризисом).
Если рассмотреть процесс изменения параметра fi от больших зна-
значений к меньшим, то описываемая бифуркация означает, что при
/i = 0 внезапно рождается двумерный тор, который при дальнейшем
уменьшении параметра расщепляется на два тора, один из которых
устойчивый, а другой — нет. Другими словами, происходит внезапное
одновременное рождение устойчивого и седлового двумерных торов,
расположенных один внутри другого.
4. Бифуркация рождения (гибели) трехмерного тора. Эта
бифуркация может произойти только в фазовом пространстве раз-
размерности m > 3. Она связана с одновременным переходом при /х = 0
80 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
двух комплексно сопряженных мультипликаторов цикла vo{t, fi) систе-
системы B.24) через единичную окружность, что эквивалентно переходу
двух комплексно сопряженных показателей Флоке цикла 1>о(?,аО сле"
ва направо через мнимую ось. При этом цикл i>o(?,^) системы B.24)
теряет устойчивость (но не исчезает), и одновременно вокруг него
возникает двумерный тор Т2 в результате бифуркации Андронова-
Хопфа в гиперплоскости S, трансверсальной к циклу. Одновременно
в системе B.1) рождается, очевидно, устойчивый трехмерный тор
Г3, а существовавший до этого в системе двумерный тор Т2 стано-
становится неустойчивым, но не исчезает. В зависимости от соотношения
частот вращения по циклам исходного двумерного тора и по родив-
родившемуся в гиперплоскости S циклу, движение по возникшему трехмер-
трехмерному устойчивому тору может быть либо периодическим, либо квази-
квазипериодическим. В первом случае любая траектория на торе замкнута,
во втором, эргодическом случае любое движение по тору имеет неза-
незамкнутую траекторию, всюду плотно заполняющую поверхность тора.
При дальнейшем увеличении значений параметра /z фазовый пор-
портрет системы будет качественно меняться, демонстрируя переходы от
эргодического движения на торе к режимам резонансов.
Рассмотренная бифуркация рождения устойчивого тора Г3 явля-
является суперкритической (мягкой) бифуркацией. Наряду с ней, как и в
случае бифуркации двумерного тора, может происходить также и суб-
субкритическая (жесткая) бифуркация. В этом случае при /л < 0 система
имеет устойчивый двумерный тор, лежащий внутри неустойчивого
трехмерного тора. При \х > 0 неустойчивый трехмерный тор влипает
в устойчивый двухмерный тор, который после этого становится не-
неустойчивым. Происходит исчезновение аттрактора, и, следовательно,
бифуркация является кризисом.
5. Бифуркация удвоения периода двумерного тора. Эта
бифуркация также может произойти только в фазовом пространстве
размерности m > 3. Она связана с переходом через мнимую ось сле-
слева направо одного комплексного показателя Флоке цикла vo(tyfi) си-
системы B.24) при /л = 0. При этом соответствующий вещественный
мультипликатор цикла при д = 0 проходит через точку -1 единичной
окружности. Цикл vo(t,fi) системы B.24) теряет устойчивость (но не
исчезает), и одновременно в системе возникает другой устойчивый
цикл, имеющий ту же амплитуду и удвоенный период. Очевидно при
этом двумерный тор Т2 исходной системы B.1) теряет устойчивость
(но не исчезает), и одновременно с этим в системе B.1) рождает-
рождается устойчивый двумерный тор, имеющий удвоенный период по од-
одной из частот. В результате такой бифуркации происходит удвоение
поверхности тора внутри ограниченного объема фазового простран-
пространства. При этом тор остается двумерным.
Бифуркацию рождения устойчивого двумерного тора удвоенного
периода можно наблюдать при некоторых значениях параметров в
комплексной системе уравнений Лоренца B.20) [34].
2.3. ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 81
Кроме рассмотренных выше основных локальных однопараметри-
ческих бифуркаций в нелинейных динамических системах могут про-
происходить и некоторые более сложные, малоизученные бифуркации ус-
устойчивых циклов и торов, такие, например, как недавно открытые
в системе Лоренца бифуркации самоорганизации циклов [29,30]; или
бифуркации, связанные с различными случаями вырождения мульти-
мультипликаторов линейных систем первого приближения на циклах, или с
резонансами частот рождающихся торов [67].
2.3. Простейшие двухпараметрические локальные
бифуркации.
Анализ бифуркаций систем дифференциальных уравнений в мно-
многомерном пространстве параметров является значительно более слож-
сложной проблемой по сравнению с проведенным выше анализом бифурка-
бифуркаций в однопараметрических системах. Это связано, во-первых, с тем,
что очень сложной оказывается задача нахождения границ бифурка-
бифуркационных поверхностей (пленок) в пространстве параметров даже для
бифуркаций коразмерности 1. Во-вторых, в семействах таких систем
непременно присутствуют более сложные бифуркации коразмерности
2 и выше. Задача нахождения условий, определяющих такие бифурка-
бифуркации, и их бифуркационных поверхностей решена в настоящее время
только для самых простейших модельных уравнений.
Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случая анализа
двухпараметрических локальных бифуркаций в семействах уравне-
уравнений, являющихся обобщениями уравнений, рассмотренных в преды-
предыдущем пункте. Заметим, что такие многопараметрические локальные
бифуркации являются предметом изучения теории катастроф [68-70],
а их нормальные формы и фазопараметрические диаграммы носят
уже устоявшиеся наименования, которые и будут нами использованы.
2.3.1. Нормальная форма складки. Рассмотрим двухпараме-
трическую нормальную форму следующего вида
у = Mi 4-АА2У + У2. B.25)
Нетрудно видеть, что при //2=0 эта нормальная форма совпадает
с нормальной формой транскритической бифуркации, а при fj,2 = 0
- с нормальной формой седло-узловой бифуркации. Выясним, какова
коразмерность каждой из этих бифуркаций в двумерном пространстве
параметров (/xi,/i2) семейства дифференциальных уравнений B.25).
Уравнение B.25 ) имеет две особые точки
-/л2 ± VVI -
2/12 = j'
Так как кривая в пространстве параметров, при переходе через кото-
которую особые точки исчезают, определяется условием ц\ — 4/ii, то это
82
ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
условие и является условием, определяющим в двумерном простран-
пространстве параметров (^i,/^) одномерную бифуркационную кривую для
седло-узловой бифуркации. Следовательно, седло-узловая бифуркация
имеет коразмерность 1. На рис. 2.11 приведена фазопараметрическая
диаграмма поверхности особых точек двухпараметрического семей-
семейства B.25), имеющая особенность типа складки вдоль линии, проек-
проекция которой на плоскость параметров и есть бифуркационная пара-
парабола ц\ = 4//i.
Рис. 2.11. Фазопараметрическая диаграмма складки (а) и ее проекция на
плоскость параметров (/х1,/хг) (б). 1- неустойчивые точки, 2- устойчивые
точки.
Рассмотрим теперь условия, определяющие в пространстве параме-
параметров (/E/i,/^) транскритическую бифуркацию. При этой бифуркации
происходит обмен устойчивостью между особыми точками семейства
уравнений B.25). На рис. 2.12 изображены проекции фазопараметри-
ческой поверхности особых точек семейства на плоскость (у, ^2) для
случаев \х± < 0, \i\ = 0 и \х\ > 0. Очевидно, что обмен устойчиво-
устойчивостью может происходить только в случае \i\ = 0. При этом, как мы
видели выше при анализе транскритической бифуркации в однопара-
метрических семействах, необходимо положить и \хъ = 0. Следователь-
Следовательно, транскритическая бифуркация в двухпараметрическом семействе
уравнений B.25) имеет коразмерность 2.
2.3. ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 83
//1 =
Рис. 2.12. Проекция складки на плоскость (у,Ц2) при //i < О (а), /л = 0 (б),
/ii > 0 (в).
2.3.2. Нормальная форма сборки. Рассмотрим двухпараметри-
ческую нормальную форму
у =
- У
B.26)
совпадающую при fii = 0 с нормальной формой рассмотренной выше
надкритической бифуркации типа вилки. Уравнение B.26) в зависи-
зависимости от соотношения между параметрами /zi и \i<i может иметь одну
или три особых точки. На рис. 2.13а приведена фазопараметрическал
диаграмма поверхности особых точек двухпараметрического семей-
семейства B.26), имеющая особенность типа сборки в области, проекция
которой на плоскость параметров (/лх,^) изображена на рис. 2.136.
При /Z2 < 0 и произвольном \х\ уравнение B.26) имеет единствен-
единственное асимптотически устойчивое стационарное решение. При \i<i > О
существует область значений /лг (заштрихованная область G на би-
бифуркационной диаграмме, рис. 2.136), где система имеет три особые
точки, лежащие на трех листах поверхности сборки. При этом, верх-
верхний и нижний листы соответствуют асимптотически устойчивым осо-
особым точкам, а средний — неустойчивой.
Если менять параметр /zi слева направо в направлении увеличе-
увеличения его значений, то при переходе через левую границу /i области
G на бифуркационной диаграмме в дополнение к уже существующей
устойчивой особой точке появляются еще одна устойчивая и одна не-
неустойчивая особые точки. В области G семейство B.26) имеет два ат-
аттрактора (рис. 2.13а). При переходе через правую границу \ч области
происходит смена аттрактора. Две из трех особых точек (устойчивая
и неустойчивая) сливаются и исчезают, причем исчезает не та устой-
устойчивая особая точка, которая появилась при пересечении левой грани-
границы области, а та, которая существовала еще до подхода к границе.
84 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Рис. 2.13. Фазопараметрическая диаграмма сборки (а) и ее проекция на
плоскость параметров (/Х1,/хг) (б).
Если менять параметр /Х2 в направлении увеличения его значений при
/j,i ф О, то также при переходе через границу области G на бифур-
бифуркационной диаграмме в дополнение к уже существующей устойчивой
особой точке появляются еще одна устойчивая и одна неустойчивая
особые точки (рис. 2.13а).
Таким образом, на границах области G при цх -ф. О происходит
описанная выше в п. 2.2.1 седло-узловая бифуркация, имеющая кораз-
коразмерность 1. Следовательно, единственной точкой в плоскости параме-
параметров, в которой может происходить бифуркация типа вилки, является
точка /л>2 = Hi = 0. Бифуркация типа вилки имеет в данном случае
коразмерность 2.
2.4. Нелокальные бифуркации.
Кроме рассмотренных выше наиболее распространенных локаль-
локальных бифуркаций особых точек (положений равновесия), циклов и то-
торов в нелинейных системах дифференциальных уравнений существу-
существуют более сложные и малоизученные нелокальные бифуркации гомо-
клинических и гетероклиническш контуров^ являющихся сепаратри-
сепаратрисами седловых предельных множеств — тех же особых точек, циклов
и торов. Такие бифуркации не приводят к локальным топологическим
изменениям самих седловых предельных множеств, но оказывают ре-
решающее влияние на нелокальное изменение динамики системы в обла-
областях фазового пространства, охватывающих предельные множества,
соединенные сепаратрисными контурами. Бифуркации такого типа,
носящие названия гомоклиническал бабочка, бифуркация точка-цикл
и гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса присутствуют,
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
85
например, в системе уравнений Лоренца B.3). В нелинейных системах
дифференциальных уравнений могут происходить также нелокальные
бифуркации нерегулярных аттракторов, рождающихся в результате
каскадов мягких бифуркаций регулярных аттракторов. Рассмотрим
основные известные на сегодняшний день нелокальные бифуркации.
2.4.1. Бифуркации гомоклинических сепаратрисных кон-
контуров. В настоящее время в какой-то степени изученными являются
только бифуркации гомоклинических контуров особых точек. Бифур-
Бифуркации более сложных контуров на сегодняшний день практически не
исследованы ни теоретически, ни экспериментально. Рассмотрим не-
некоторые наиболее важные с нашей точки зрения бифуркации.
1. Петля сепаратрисы седловой особой точки. Эта бифурка-
бифуркация возможна в фазовой плоскости при т = 2. Пусть имеется седловая
особая точка О системы B.1) с вещественными собственными значе-
значениями матрицы линеаризации в ней Xi(fi) < 0 и A2(/z) > 0. Пусть
устойчивое W8 и неустойчивое Wu одномерные многообразия особой
точки О при увеличении параметра fi < 0 сближаются, а при // = 0
касаются друг друга. В момент касания происходит бифуркация и
образуется особая двоякоасимптотическая траектория Р, называемая
петлей сепаратрисы седла (рис. 2.14а).
//=0
ju>0
Рис. 2.14. Бифуркация образования петли сеператрисы седла: а - момент
бифуркации; б - после бифуркации.
Петля сепаратрисы седла является негрубым образованием и при
/х > 0 она разрушается. Если седловая величина а{ц) = Ai(//) -f Аг(/х)
отрицательна при /х = 0, т.е. сг(О) < 0, то петля устойчива, и при
ее разрушении в сторону А (рис. 2.14а) из нее рождается устойчи-
устойчивый предельный цикл (рис. 2.146). При разрушении петли в сторону
В цикл не рождается. Если сг(О) > 0, то петля неустойчива, и при ее
разрушении из нее может родиться только неустойчивый цикл.
Рассмотренная в обратном порядке бифуркация образования петли
сепаратрисы седла может означать кризис аттрактора - устойчивого
предельного цикла в результате его касания седла О. При приближе-
приближении к точке бифуркации длина периодической орбиты остается огра-
ограниченной, в то время как ее период стремится к бесконечности.
86
ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
2. Петля сепаратрисы вырожденного двумерного седло-
узла. Эта бифуркация также возможна в фазовой плоскости при т =
= 2. Пусть при /i < 0 в системе B.1) существуют две особые точ-
точки: седло 0i и устойчивый узел 02, причем неустойчивые сепаратри-
сепаратрисы седла, замыкаясь на узел, образуют сепаратрисный контур (рис.
2.15а).
Рис. 2.15. Бифуркация образования петли сеператрисы седло-узла.
В точке бифуркации при \i = 0 происходит образование негрубого
состояния равновесия — вырожденного седло-узла, имеющего гомо-
клиническую петлю сепаратрисы Г (рис. 2.156). При \i > О седло-узел
разрушается, а из петли сепаратрисы рождается устойчивый предель-
предельный цикл (рис. 2.15в).
Рассмотренная в обратном порядке данная бифуркация может озна-
означать кризис аттрактора - устойчивого предельного цикла в результа-
результате образования на нем вырожденного седло-узла. При приближении к
точке бифуркации длина периодической орбиты остается ограничен-
ограниченной, в то время как ее период стремится к бесконечности.
3. Петля сепаратрисы седло-узла. Эта бифуркация возможна
только в фазовом пространстве размерности т > 2. Пусть имеет-
имеется особая точка 0 системы B.1) типа седло-узел с вещественными
собственными значениями матрицы линеаризации в ней, такими что
Аг(/х) < 0, г = 1,...,тп - 1, а Ат(/х) > 0. Пусть одна кз сепаратрис
неустойчивого одномерного многообразия Wu особой точки при уве-
увеличении параметра \i < 0 сближается с устойчивым (т — 1)-мерным
многообразием W8 и при /х = 0 касается его. В момент касания проис-
происходит бифуркация и образуется особая двоякоасимптотическая тра-
траектория Г, называемая петлей сепаратрисы седло-узла (рис. 2.16 а).
Петля сепаратрисы седло-узла также является негрубым образова-
образованием и при /х > 0 она разрушается. Если седловая величина
отрицательна при ц = 0, т.е. а@) < 0, то петля устЪйчива, и при
ее разрушении из нее может родиться устойчивый предельный цикл
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
87
аналогично тому, как это имеет место в случае петли сепаратрисы
седла. Если <т@) > 0, то петля неустойчива, и при ее разрушении из
нее может родиться только неустойчивый предельный цикл.
Рис. 2.16. Петля сепаратрисы седло-узла (а) и вырожденного седло-узла (б).
Рассмотренная в обратном порядке бифуркация образования петли
сепаратрисы седло-узла может означать кризис аттрактора — устой-
устойчивого предельного цикла в результате его касания седло-узла О. При
приближении к точке бифуркации длина периодической орбиты оста-
остается ограниченной, в то время как ее период стремится к бесконеч-
бесконечности.
4. Петля сепаратрисы вырожденного седло-узла. Эта би-
бифуркация также возможна только в фазовом пространстве размерно-
размерности m > 2. Пусть при // <0в системе B.1) существуют две особые
точки: седло-узел О\, имеющий одномерное неустойчивое многообра-
многообразие, и устойчивый узел Ог, причем неустойчивые сепаратрисы седло-
узла, замыкаясь на узел, образуют сепаратрисный контур. В точке
бифуркации при fji = 0 происходит образование негрубого состояния
равновесия — вырожденного седло-узла, имеющего гомоклиническую
петлю сепаратрисы Г (рис. 2.166). При [х > О вырожденный седло-узел
разрушается, а из петли сепаратрисы может родиться устойчивый
предельный цикл .
Рассмотренная в обратном порядке данная бифуркация может озна-
означать кризис аттрактора — устойчивого предельного цикла в резуль-
результате образования на нем вырожденного седло-узла. При приближении
к точке бифуркации длина периодической орбиты остается ограни-
ограниченной, в то время как ее период стремится к бесконечности.
5. Гомоклиническая бабочка. Эта бифуркация также возмож-
возможна только в фазовом пространстве размерности m > 2. Пусть имеет-
имеется особая точка О системы B.1) типа седло-узел с вещественными
88
ГЛАВА 2, БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
собственными значениями матрицы линеаризации в ней, такими что
\i(fj) < 0, г = 1,..., т — 1, а Ат(/х) > 0. Пусть обе сепаратрисы неустой-
неустойчивого одномерного многообразия Wu особой точки при увеличении
параметра /х < 0 сближаются с устойчивым (т — 1)-мерным много-
многообразием W8 и при /i = 0 касаются его. В момент касания происходит
бифуркация и образуется особый сепаратрисный контур, состоящий
из двух двоякоасимптотических траекторий, называемый гомоклини-
ческой бабочкой (рис. 2.17).
Рис. 2.17. Гомоклиническая бабочка трехмерного седло-узла в проекциях
на плоскости (х, у) и (х, z).
Гомоклиническая бабочка также является негрубым образованием
и при ft > 0 она может разрушиться с образованием предельного цикла
в виде восьмерки. Бифуркация такого типа характерна для систем
с симметрией. Она является одной из основных бифуркаций в уже
неоднократно упоминавшейся знаменитой системе уравнений Лорен-
Лоренца B.3). Принято считать, что именно она является первопричиной
жесткого рождения хаотического аттрактора Лоренца. Исследованию
этой проблемы посвящено огромное количество работ (см.[17-20, 22-
27, 71]), смысл которых сводится к попыткам построения в окрестно-
окрестности сепаратрисного контура инвариантного множества типа подковы
Смейла с фрактальной структурой. Эти попытки до сих пор успеха в
понимании природы аттрактора Лоренца не принесли по причинам,
которые будут подробно рассмотрены в третьей и четвертой главах
книги.
6. Петля сепаратрисы седло-фокуса. Эта бифуркация также
возможна только в фазовом пространстве размерности т > 2. Пусть
имеется особая точка О системы B.1) типа седло-фокус с одним ве-
вещественным собственным значением А(^) > 0 и двумя комплексно со-
сопряженными собственными значениями p(n)±iu(n) с р < 0. Пусть при
/i = 0 в системе B.1) образуется петля сепаратрисы седло-фокуса Г.
Что произойдет при /х > 0 зависит от того, в каком направлении пой-
пойдут сепаратрисы седло-фокуса после разрушения петли и какова пер-
первая седловая величина ай (/х) = p(fi) + А(/г). Если g\ @) < 0, то из петли
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 89
может родиться устойчивый предельный цикл аналогично рождению
цикла из петли сепаратрисы седло-узла. Если сг^О) > 0, то в окрест-
окрестности петли в момент ее существования, а также при ее разрушении
имеется сложная структура фазовых траекторий, предположительно
состоящая из счетного множества периодических траекторий, конти-
континуума непериодических траекторий и семейства стохастических тра-
траекторий, что свидетельствует о присутствии в системе хаотической
динамики. Этот результат связан с наличием в системе при ах @) > 0
подковы Смейла (см. гл. 1), что в случае размерности пространства
т — 3 было обосновано аналитически в работе Л. Шильникова [21].
Теорема Шильникова, хотя и не объясняет природу хаотических ат-
аттракторов нелинейных диссипативных систем обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений, тем не менее имеет важное значение, так как
именно в ней впервые было обращено внимание на то, что в системах
с особыми точками типа седло-фокус возможно существование хаоти-
хаотической динамики.
Следуя работам [21, 52], рассмотрим автономную систему трех
дифференциальных уравнений, имеющую особую точку типа седло-
фокус с двумерным устойчивым и одномерным неустойчивым много-
многообразиями, в которую для удобства поместим начало координат. Ма-
Матрица линеаризации системы в седло-фокусе имеет одно действитель-
действительное собственное значение Л > 0 и два комплексно сопряженных соб-
собственных значения р±1ы с р < 0. Систему координат можно выбрать
так, чтобы уравнения системы приняли следующий вид:
гг = px-uy + P{x,y,z),
у = их + ру + Q(x, 2/, z), B.27)
i = \z + R(x,y,z),
где P, <3, R — некоторые функции, разложение которых в ряд по
степеням х1 г/, z содержит члены, начиная со второй степени. Пусть
система B.27) имеет гомоклиническую петлю сепаратрисы седло-
фокуса, схематически изображенную на рис. 2.18а. Покажем, что ес-
если \р\ < А, т.е. скорость ухода от особой точки по ее неустойчивому
многообразию превалирует над скоростью приближения к ней по ее
устойчивому многообразию, то наличие петли седло-фокуса влечет су-
существование подковы Смейла и, следовательно, сложной нерегулярной
динамики.
Окружим особую точку цилиндром высоты 2h и радиуса г с обра-
образующей, параллельной оси z. Размеры цилиндра считаем малыми, так
что внутри него для анализа потока траекторий можно пользоваться
линейным приближением в силу теоремы Гробмана-Хартмана. Точку,
в которой сепаратриса протыкает верхнее основание цилиндра, обо-
обозначим через р, а точку, в которой она при возвращении протыкает
боковую поверхность цилиндра, — через q. Выделим на боковой по-
поверхности цилиндра узкую в вертикальном направлении прямоуголь-
90
ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
ную область D. Положение точки в этой области будем характеризо-
характеризовать двумя переменными f и 0, 0 < ? < ?, \в\ < 0тах, где f = г, а 9
есть угол, отсчитываемый от точки q (рис. 2.186).
а
Рис. 2.18. Петля сепаратрисы седло-фокуса (а) и построение, иллюстриру-
иллюстрирующее доказательство теоремы Щильникова (б).
Движение по траектории, выпущенной из точки (г,0), будет опре-
определяться внутри цилиндра в силу справедливости линейного прибли-
приближения следующими соотношениями:
х = rexp(pt) cos(ut -f 0),
у = г exp(pt) sin(ut Н- 0),
z = f exp(A?).
Полагая z = ft, найдем из третьего уравнения момент выхода траекто-
траектории из цилиндра ? = A ln(ft/?). Координаты выхода получим тогда
из первых двух уравнений:
-р/А
B.28)
Будем варьировать ? и 0 в пределах области D. Тогда полученные
в соответствии с формулой B.28) точки х и у на верхней поверхности
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
91
цилиндра расположатся в области D\, имеющей форму скручивающей-
скручивающейся к точкер спирали (рис.2.18 б). Область Z?i, очевидно, располагает-
располагается внутри круга диаметра е\ = 2r(e/h)M/x. Потоком траекторий
вдоль сепаратрисы область D\ отобразится в некоторую область Di
на боковой поверхности цилиндра. При этом ее центральная точка р
перейдет в точку q, так что новая область некоторым образом на-
ложится на исходную область D. Сделаем предположение о том, что
отображение области D\ в область Ъч можно аппроксимировать ли-
линейными уравнениями. Тогда можно считать, что область ?>2 также
является спиралью, лежащей внутри круга, диаметр которого изме-
изменится по сравнению с диаметром круга, содержащего область D\, в к
раз и составит е^ (/)
Если показатель степени \р\/Х больше единицы, то при малых е ве-
величина S2 < 2е, так что верхняя часть спирали D^ не выходит за гра-
границы исходной области D. Напротив, при \р\/\ < 1 при малых е всегда
будет ?2 > 2б, так что становится очевидным присутствие подковы в
отображении исходной области D в область Di (рис. 2.19а). Более то-
того, при уменьшении е в построенном отображении появляются все но-
новые и новые подковы (см. рис. 2.19б,в). Переходя к пределу при е —>• О,
можно обнаружить присутствие в отображении счетного множества
подков. Если в систему ввести небольшое возмущение, ведущее к раз-
Рис. 2.19. Пояснение наличия подков в окрестности петли сепаратрисы
седло-фокуса.
рушению петли сепаратрисы, то конечное число подков сохранится и
при наличии возмущения. Таким образом, можно утверждать, что в
окрестности петли сепаратрисы седло-фокуса с одномерным неустой-
неустойчивым многообразием при \р\ < А имеет место сложная нерегулярная
динамика.
Альтернативная версия теоремы Шильникова получается, если рас-
рассматривать систему с гомоклиническои петлей седло-фокуса, имеюще-
имеющего одномерное устойчивое и двумерное неустойчивое многообразия.
При этом А < 0, р > 0, а задача сводится к предыдущей обращением
92 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
времени t —> — t. Условием присутствия подковы и сложной нерегуляр-
нерегулярной динамики в этом случае служит неравенство р < |А|.
Замечание. В теореме Шильникова доказано существование под-
подковы, но не доказано, вообще говоря, существование инвариантного
множества отображения подковы, которое должно обладать опреде-
определенными свойствами. Поэтому из теоремы, вообще говоря, нельзя сде-
сделать вывод о том, что сложная нерегулярная динамика, имеющая ме-
место в окрестности петли сепаратрисы седло-фокуса является именно
той динамикой, которая характерна для инвариантного множества
подковы Смейла (см. главу 1). Более того, как показывают многочи-
многочисленные примеры систем дифференциальных уравнений, рассмотрен-
рассмотренные в третьей и четвертой главах настоящей книги, сложная нерегу-
нерегулярная и даже хаотическая динамика присутствует в этих системах не
только в окрестности петли сепаратрисы седло-фокуса, но и на любом
расстоянии от нее в пространстве параметров. Необходимым усло-
условием не является ни наличие петли сепаратрисы, ни наличие самого
седло-фокуса. Это уже никак не объясняется ни доказанной теоремой,
ни отображением типа подковы. Следовательно, должен существовать
некоторый другой механизм, обеспечивающий наличие сложной не-
нерегулярной динамики в системах обыкновенных дифференциальных
уравнений как с особыми точками типа седло-фокус или седло-узел,
так и без них (см. главу 4).
2.4.2. Бифуркации гетероклинических сепаратрисных кон-
контуров. В отличие от бифуркаций гомоклинических сепаратрисных
контуров, бифуркации гетероклинических контуров в фазовом про-
пространстве размерности т > 2 в настоящее время практически не ис-
исследованы даже в том случае, когда они соединяют различные особые
точки системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэто-
Поэтому изложенные в этом пункте факты, касающиеся бифуркаций гете-
гетероклинических контуров в системах большой размерности, опираются
исключительно на результаты численных экспериментов. Рассмотрим
некоторые наиболее важные с нашей точки зрения бифуркации гете-
гетероклинических контуров.
1. Сепаратриса, идущая из седла в седло. Эта бифуркация
возможна в фазовой плоскости при т = 2. Пусть имеются две седло-
вые особые точки О и О\ системы B.1) с вещественными собственны-
собственными значениями матриц линеаризации в них, имеющими разные знаки.
Пусть неустойчивое одномерное многообразие Wu особой точки О и
устойчивое одномерное многообразие W* особой точки О\ при увели-
увеличении параметра \х < 0 сближаются, а при \х = О касаются друг друга.
В момент касания происходит бифуркация и образуется особая гете-
роклиническая траектория Г, называемая сепаратрисой, идущей из
седла в седло (рис. 2.20а).
Такой сепаратрисный контур является негрубым образованием и
при /х > 0 просто разрушается двумя возможными путями, изобра-
изображенными на рис. 2.20б,в. Заметим, что в двумерном случае могут су-
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
93
Рис. 2.20. Бифуркация сеператрисы, идущей из седла в седло.
ществовать также сепаратрисы седел, стремящиеся в одну сторону к
узлу, фокусу или предельному циклу (рис. 2.21а,б), но такие сепара-
трисные контуры являются грубыми и их вид не меняется при малых
изменениях значений системных параметров [56].
Седло,
ХУстойчивый фокус
(узел)
Рис. 2.21. Примеры грубых сепаратрисных контуров в двумерном случае
[56].
2. Сепаратрисный контур, соединяющий седло-узел с седло-
фокусом. Эта бифуркация возможна только в фазовом пространстве
размерности т > 2. Пусть в системе B.1) имеются две особые точ-
точки типа седло-узел и седло-фокус, одна из которых имеет одномер-
одномерное устойчивое W8 и (га — 1)-мерное неустойчивое Wu многообразия,
а другая, наоборот, имеет одномерное неустойчивое Wu и (т — 1)-
мерное устойчивое W8 многообразия. Пусть одна из двух сепаратрис
одномерного устойчивого многообразия первой особой точки при уве-
увеличении параметра /х < 0 сближается с сепаратрисой одномерного не-
неустойчивого многообразия второй особой точки и при /х = 0 касается
его. Одновременно, одна из сепаратрис неустойчивого многообразия
первой особой точки касается устойчивого многообразия второй осо-
особой точки. В момент касания происходит бифуркация и образуется
особый гетероклинический замкнутый контур, связывающий седло-
узел с седло-фокусом (рис. 2.22а). Численные эксперименты, прове-
проведенные с системой Лоренца показывают, что такой сепаратрисный
94
ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
контур является негрубым образованием и что в любой его окрестно-
окрестности может наблюдаться сложная нерегулярная динамика траекторий
при наличии бесконечного числа неустойчивых и устойчивых предель-
предельных циклов. Подробнее об этом смотрите главу 3 настоящей книги.
Рис. 2.22. Гетероклинические сепаратрисные контуры, связывающие сед-
седло-узел с седло-фокусом (а) и седло-фокус с седло-фокусом (б).
3. Сепаратрисный контур, соединяющий седло-фокус с
седло-фоку сом. Эта бифуркация также возможна только в фазовом
пространстве размерности т > 2. Пусть в системе B.1) имеются
две особые точки типа седло-фокус, одна из которых имеет одномер-
одномерное устойчивое W8 и (т — 1)-мерное неустойчивое Wu многообразия,
а другая также имеет одномерное устойчивое W3 и (т — 1)-мерное
неустойчивое Wu многообразия. Пусть одна из двух сепаратрис од-
одномерного устойчивого многообразия первой особой точки при уве-
увеличении параметра \i < О сближается с неустойчивым многообразием
второй особой точки и при /z = О касается его. Одновременно, од-
одна из двух сепаратрис одномерного устойчивого многообразия вто-
второй особой точки сближается с неустойчивым многообразием первой
особой точки и при fj, = 0 касается его. В момент касания происхо-
происходит бифуркация и образуется особый гетероклиническии замкнутый
контур, связывающий два седло-фокуса (рис. 2.226). Численные экс-
эксперименты показывают, что такой сепаратрисный контур является
негрубым образованием и что в любой его окрестности может на-
наблюдаться сложная нерегулярная динамика траекторий при наличии
бесконечного числа неустойчивых и устойчивых предельных циклов.
Подробнее об этом смотрите главу 3 настоящей книги.
4. Бифуркация точка-цикл. Эта бифуркация также возможна
только в фазовом пространстве размерности т > 2. Пусть в системе
B.1) имеются две особые точки типа седло-узел и седло-фокус. Пусть
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
95
седло-фокус имеет одномерное устойчивое W8 и (гп — 1)-мерное не-
неустойчивое Wu многообразия, а седло-узел, наоборот, имеет одномер-
одномерное неустойчивое Wu и (га - 1)-мерное устойчивое W8 многообразия.
Пусть при [л < О в системе существует неустойчивый цикл, делающий
один виток в окрестности седло-узла и возрастающее при росте зна-
значений параметра // количество витков п вокруг седло-фокуса, так что
п -> оо при /i -> 0 (рис. 2.23а). Тогда при /i = О возможна следующая
бифуркация: цикл влипает в седло-узел и одновременно рождается сед-
ловой или полуустойчивый цикл вокруг седло-фокуса. Другими слова-
словами, из исходного цикла при /л = О рождается сепаратрисный контур,
состоящий из двух сепаратрис седло-узла, одна из которых стремит-
стремится к родившемуся вокруг седло-фокуса новому циклу при t -> 4-оо, а
другая — при t -* -оо (рис. 2.236).
ju<0
//=0
Рис. 2.23. Бифуркация точка-цикл при /х < 0 (а) и /х = 0 (б).
Эта бифуркация существует в системе Лоренца при некоторых
значениях системных параметров. Численные эксперименты, прове-
проведенные с системой, показывают, что описанный выше сепаратрисный
контур является негрубым образованием и что в любой его окрестно-
окрестности есть периодические, но нет устойчивых траекторий. Подробнее
об этом смотрите главу 3 настоящей книги.
Кроме рассмотренных выше сепаратрисных контуров в семействах
систем типа B.1) возможно также существование гетероклиническо-
го контура, связывающего два седло-узла с одномерными устойчивым
и неустойчивым многообразиями. Однако примеры таких систем в
настоящее время авторам не известны.
2.4.3. Приближенный метод нахождения точек бифурка-
бифуркаций гомоклинических и гетероклинических контуров особых
точек. Гомоклинические и гетероклинические контуры особых то-
точек играют важную роль в формировании нерегулярных аттракто-
аттракторов нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
96 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
С этой точки зрения решение проблемы нахождения в пространстве
параметров бифуркационных поверхностей и кривых существования
в семействе систем B.1) гомоклинических петель сепаратрис и ге-
тероклинических контуров особых точек имеет, несомненно, большое
значение. Аналитически решить подобную задачу удалось только для
петли сепаратрисы кусочно-линейной системы Чуа [72]. В работе [73]
X. Ченом найдено необходимое и достаточное условие
За > 26 + 1
существования третьего параметра г в системе уравнений Лоренца
B.3) при котором система с тройкой параметров (сг, Ь, г) имеет го-
моклиническую петлю сепаратрисы седло-узла.
Следуя [74], рассмотрим метод приближенного нахождения бифур-
бифуркационных поверхностей (кривых) в пространстве параметров и опре-
определения их коразмерности для следующих сепаратрисных контуров
особых точек: гетероклинический контур, соединяющий два седло-
узла, два седло-фокуса или седло-узел с седло-фокусом; гомоклини-
ческая петля сепаратрисы седло-фокуса; гомоклиническая петля
сепаратрисы седло-узла. Предполагается, что при всех значениях па-
параметров из области U С Шк для особых точек семейства B.1) вы-
выполнены условия теоремы Гробмана-Хартмана, так что сепаратрисы,
входящие в особые точки вдоль их устойчивых многообразий и вы-
выходящие из них вдоль их неустойчивых многообразий, существуют.
Проблема состоит в приближенном нахождении тех значений параме-
параметров, при которых эти сепаратрисы образуют замкнутые контуры в
фазовом пространстве. В главе 3 приведеные ниже результаты проил-
проиллюстрированы примерами определения всех указанных контуров для
системы Лоренца B.3).
Гетероклинические контуры седло-узлов и седло-фокусов.
Пусть особая точка ж(/х) семейства B.1) является седло-узлом или
седло-фокусом, имеющим одномерное устойчивое W3 и (га — 1)-мерное
неустойчивое Wu многообразия, а особая точка ж(/х) семейства B.1)
является седло-узлом или седло-фокусом, имеющим, наоборот, одно-
одномерное неустойчивое Wu и (га — 1)-мерное устойчивое Ws многообра-
многообразия. При этом матрица Якоби правой части системы B.1) имеет ров-
ровно одно отрицательное вещественное собственное значений А в точке
ж(/х) и ровно одно положительное вещественное собственное значе-
значение v в точке x(fi). Задача состоит в нахождении бифуркационной
поверхности S в пространстве параметров Rk такой, что при любом
значении /х € S сепаратриса, входящая в особую точку я(/х) семейства
B.1) при t -> —оо вдоль ее одномерного неустойчивого многообразия,
входит также в особую точку af(/i) семейства B.1) при t -* -f-oo вдоль
ее одномерного устойчивого многообразия.
Запишем уравнения системы B.1) в виде
**(*) = ?(*,**), j = l,-..,m. B.29)
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 97
Выберем одну из координат, имеющую наиболее простую правую часть
в окрестности особых точек х(/х) и ж(/х), например, х\. Вычислим про-
производные dxj/dxi в особой точке, например, х(/х), воспользовавшись
для этого разложением в этой точке правых частей системы B.29):
B30)
Легко видеть, что если система B.29) приведена к виду
(то есть Х\ — х2), то вектор у с координатами yj = <
является решением системы нелинейных уравнений
m
У1У3 = У2аз1У^ 3 = Ъ • • • >ш> B.31)
где о// — элементы матрицы Якоби правой части системы B.29),
вычисленные в особой точке. Из B.31) следует, что
Ау = у2у
и, следовательно, значение у2 = dx2/dxi является собственным значе-
значением матрицы линеаризации системы B.29) в особой точке. Примем
у2 = Л в точке х(ц) и yi = v в точке ж(р). Остальные величины
Vh 3 — 3,...,п, однозначно определим из системы уравнений B.31).
Заметим, что если какие-либо величины yj окажутся равными нулю в
какой-либо особой точке, то это потребует дополнительного разложе-
разложения правых частей в ряд Тейлора в этой особой точке до получения
отличных от нуля производных некоторого порядка.
Выпустим теперь из окрестности особой точки x(/j) системы B.29)
траекторию вдоль ее неустойчивого многообразия так, что она будет
иметь в каждой проекции (xi,Xj) тангенс угла наклона к оси х\ от-
отрезка, соединяющего начальную и особую точки, равный yj. С этой
целью для любой сколь угодно малой величины е > 0 рассмотрим зна-
значение х\ @) = х\ {[?) 4- е координаты х\, сколь угодно близкое к значе-
значению этой координаты в особой точке х(ц). Остальные координаты на-
начальной точки примем равными Xj@) = Xj(fj,) + yje. Другими словами,
решая систему B,29) с указанными начальными условиями мы полу-
получаем траекторию z~*~(t) системы, сколь угодно близкую к сепаратрисе,
исходящей из особой точки x(/i). Аналогично, выпускаем из окрест-
окрестности особой точки х~(ц) траекторию x~(t), сколь угодно близкую к
сепаратрисе, решая в обратном времени систему B.29) с начальными
условиями xi@) = ^i(^) -Ье, Xj@) = Xj(v>) +Vjei 3 = 2,3, ...,m. Те-
Теперь нам необходимо сшить траектории x+(t) и x~~(t). Точку сшивки
98 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
можно выбрать достаточно произвольно, например, это могут быть
точки пересечения проекциями траекторий x+(t) и x~(t) в плоскости
(яъ^г) оси xi, то есть точки xf(t+) и Xi(t~) такие, что Хз"(?+) = О
и х^(Г") = 0. При этом однозначно определяются моменты ?+ и t~
пересечения оси х\ проекциями этих траекторий и соответствующие
этим моментам концы проекций полутраекторий х* и xj, j' = 3,..., m.
Тогда для получения кривой, приближенно совпадающей с гетерокли-
ническим контуром системы B.29), необходимо и достаточно решить
систему га — 1 уравнений относительно к параметров
B.32)
Теорема 2.3. В случае общего положения система B.29) не име-
имеет в пространстве параметров значений соответствующих гете-
роклиническим контурам особых точек, связывающих их одномерные
многообразия при к < га — 1. В противном случае бифуркационная по-
поверхность гетер оклинических контуров особых точек, связывающих
их одномерные многообразия, имеет в пространстве параметров ко-
коразмерность га-1 и определяется с любой точностью при численном
решении системы уравнений B.32) для некоторого е > 0.
Таким образом, при i = m-1 в пространстве параметров су-
существует только единственная точка, соответствующая гетероклини-
ческому контуру указанного вида, при k = m - часть линии, при
к > m 4-1 - часть поверхности, имеющая размерность к — га ¦+¦ 1.
Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса. Пусть
особая точка х(^) семейства B.1) является седло-фокусом, имеющим
двумерное неустойчивое многообразие Wu и (га - 2)-мерное устойчи-
устойчивое многообразие W8. При этом матрица Якоби правой части системы
B.1) имеет в особой точке два комплексно сопряженных собствен-
собственных значения Аг и Аз с положительными вещественными частями и
остальные га — 2 вещественных отрицательных собственных значения
Ai, A4,..., Am. Задача состоит в нахождении бифуркационной поверх-
поверхности 5 в пространстве параметров Жк такой, что при любых /х € 5
сепаратриса, входящая при закручивании в особую точку х(/х) семей-
семейства B.1) при t -> -00 вдоль ее двумерного неустойчивого много-
многообразия, входит также в эту же особую точку х(/х) семейства B.1)
при t -> +00 вдоль ее (га - 2)-мерного устойчивого многообразия.
Рассмотрим сначала случай га = 3, то есть случай одномерно-
одномерного устойчивого многообразия седло-фокуса x(/z). Аналогично случаю,
рассмотренному выше, найдем вектор производных в особой точке
yj = dxj/dxi, j = 1,2,3 так, что t/2 = Ai < 0. Выпустим из окрестно-
окрестности особой точки x(/j) в обратном времени траекторию х~(?), сколь
угодно близкую к сепаратрисе, так, что она будет иметь в проекциях
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 99
(х\, Х2) и (xi, X3) тангенс угла наклона в начальной точке сколь угодно
мало отличающийся от значения 2/2 = Ai. Для этого решаем систему
B.29) в обратном времени с начальными условиями #i@) = #i(aO 4-e,
Xj@) = xj(/jl) + yj€, j = 2,3, где е - любое сколь угодно малое поло-
положительное число. Останавливаем расчет траектории x~~(t) в момент
времени t~, когда ее проекция в плоскости (яь^г) пересечет ось xi,
то есть когда ж?"(О = 0.
Для того, чтобы найти траекторию #+(?), сколь угодно близкую
к сепаратрисе, исходящей в прямом времени из седло-фокуса #(/i),
приведем матрицу линеаризации системы B.29) невырожденным пре-
преобразованием к виду
(а -р 0\
В = С'1 АС = \Р а 0 ,
\0 0 XJ
где Ai < 0, А2 = а 4- ip, А3 = а - iy8, a > 0.
В координатах г = С~г(х - х(/х)) особая точка z = 0 имеет одно-
одномерное устойчивое многообразие, касательное к оси 2з, и двумерное
неустойчивое многообразие, касательное к плоскости (z\, 22). Для лю-
любого б > 0 существует семейство начальных условий zw = ecosip,
Z20 = esimp, Z30 = 0, зависящих от произвольной фазы <р, но лежащих
на одном расстоянии е от особой точки. Этим начальным условиям
соответствует семейство траекторий ж+(?, <р), выпущенных в прямом
времени из точек
/е cos ip\
х@) = х([л)+С esincp .
V 0 /
Каждая из таких траекторий аппроксимирует сколь угодно близко од-
одну из сепаратрис седло-фокуса х{у). Выберем теперь фазу <?(?,//) так,
чтобы #i~(?+) = #i"(?~), где t^ — момент времени, когда проекция
траектории x*(t) в плоскости (a?i,д?г) пересекает ось xi, то есть ко-
когда #2"(?+) == 0* Тогда для получения петли сепаратрисы седло-фокуса
в случае т = 3 необходимо и достаточно решить только одно уравне-
уравнение относительно набора параметров, а именно
lim а?(*"*>>*) = Итя3-(Г,/х,е). B.33)
Следовательно, в этом случае бифуркация образования петли сепара-
сепаратрисы седло-фокуса имеет коразмерность 1, то есть является А; — 1-
мерной поверхностью в пространстве параметров.
Теперь нетрудно видеть, что при т > 3 коразмерность бифурка-
бифуркации образования петли сепаратрисы седло-фокуса также равна 1, так
как существует (га — 3)-мерное семейство сепаратрис, входящих при
100 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
t -* 4-оо в особую точку вдоль ее (ш - 2)-мерного устойчивого много-
многообразия. То есть имеется в наличии еще т — 3 свободных параметра,
необходимые для замыкания траекторий x+(t) и x~(t) во всех проек-
проекциях (zi,Zj), j = 4,m. Таким образом, имеет место следующая
Теорема2.4. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса
имеет в пространстве параметров коразмерность 1, а ее бифурка-
бифуркационная поверхность является частью (к — 1)-мерной гиперповерх-
гиперповерхности и определяется приблиоюенно численным решением уравнения
B.33) при некотором е > 0.
Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-узла. Пусть осо-
особая точка х{у) семейства B.1) является седло-узлом, имеющим одно-
одномерное неустойчивое многообразие Wu и (га — 1)-мерное устойчивое
многообразие W8. При этом матрица Якоби правой части системы
B.1) имеет в особой точке одно положительное собственное значе-
значение i/2 и т — 1 отрицательных вещественных собственных значений
i/i, 1/з,.. •, Vm- Задача состоит в нахождении бифуркационной поверх-
поверхности 5 в пространстве параметров Rk такой, что при любом значении
fj, € 5 сепаратриса, входящая в особую точку x(fi) семейства B.1) при
t —> — оо вдоль ее одномерного неустойчивого многообразия, входит
также в ту же особую точку х(ц) семейства B.1) при t ~> -foo вдоль
ее (т — 1)-мерного устойчивого многообразия.
Рассмотрим сначала случай га = 2, то есть случай одномерно-
одномерного устойчивого многообразия седло-узла х(/х), которое в этом случае
является просто седлом. Аналогично изложенному выше найдем зна-
значения производной 2/2 = dx2Jdx\ в особой точке. При этом, очевидно,
существуют два значения у? = ^2 > 0 и у2 — v\ < 0, являющих-
являющихся вещественными собственными значениями матрицы Якоби правой
части системы B.1) в особой точке.
Выпустим из окрестности особой точки х(ц) в прямом времени
траекторию x+(t), сколь угодно близкую к сепаратрисе таким обра-
образом, чтобы она имела в плоскости (#i,?2) тангенс угла наклона к оси
х\ в начальной точке, сколь угодно мало отличающийся от значения
у+ = i/2 > 0. Для этого решаем систему B.29) в прямом времени с
начальными условиями
xi @) = xi {у) + е, х2 @) = х2 (fj) + у?е,
где е — сколь угодно малое положительное число. Вычисление траек-
траектории x+(t) прекращаем в момент ?+, при котором x^it*) = 0. Ана-
Аналогично, выпустим из особой точки x(fj) в обратном времени траек-
траекторию x~(t), сколь угодно близкую к сепаратрисе так, что она будет
иметь в плоскости (xi,x2) тангенс угла наклона в начальной точке,
сколь угодно мало отличающийся от значения у^ = Щ < 0. Для этого
решаем систему B.29) в обратном времени с начальными условиями
хг @) = хг (/х) + в, х2 @) = х2 {у) + У2~е,
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 101
где е — сколь угодно малое положительное число. Вычисление траек-
траектории x~(t) прекращаем в момент t~~, при котором #^"(?~) = 0. Необ-
Необходимым и достаточным условием существования петли сепаратрисы
является выполнение одного равенства
limxf(t+,fi,e) = limxi (t~,iA,e) B.34)
относительно семейства параметров ц. Таким образом, в случае т = 2
бифуркация образования петли сепаратрисы седла имеет коразмер-
коразмерность 1, то есть является (к - 1)-мерной гиперповерхностью в про-
пространстве параметров.
Нетрудно видеть, что при т > 2 коразмерность бифуркации обра-
образования петли сепаратрисы седло-узла также равна 1, так как суще-
существует (ш — 2)-мерное семейство сепаратрис, входящих при t —> +оо
в особую точку вдоль ее (га — 1)-мерного устойчивого многообразия.
Иными словами, имеется еще т — 2 свободных параметров, необхо-
необходимых для замыкания траекторий x+(t) и x~(t) во всех проекциях
(xx,Xj), j = 3,га. Таким образом, имеет место следующая
Теорема 2.5. Гомоклиническал петля сепаратрисы седло-узла
имеет в пространстве параметров коразмерность 1, а ее бифурка-
бифуркационная поверхность является частью (к — 1)~мерной гиперповерх-
гиперповерхности и определяется с любой точностью приближенным решением
уравнения B.34) при некотором е > 0.
2.4.4. Каскады бифуркаций. Сценарии перехода к хаосу.
В нелинейных динамических системах, описываемых как обыкновен-
обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в част-
частных производных могут существовать последовательности (каскады)
бифуркаций, приводящие к возникновению сложных, хаотических ре-
режимов поведения. Они получили название сценариев перехода к хаосу.
Рассмотрим наиболее важные и типичные из этих сценариев.
1. Каскад бифуркаций удвоения периода. Сценарий Фей-
генбаума. Этот сценарий, которому соответствует бесконечный кас-
каскад бифуркаций удвоения периода рождающихся устойчивых предель-
предельных циклов, является универсальным и самым распространенным сце-
сценарием перехода к хаосу в нелинейных динамических системах. Как
уже отмечалось выше, его можно обнаружить во многих нелинейных
динамических системах, имеющих хаотическое поведение, как в ото-
отображениях с дискретным временем, так и в системах, описываемых
дифференциальными уравнениями. Он присутствует, например, в ги-
гидродинамической модели Лоренца B.3) и в гипотетических моделях
химических реакций Ресслера B.5), в электротехнической модели Чуа
B.6) и в модели кроветворения Мэкки-Гласса (см. главу 5), в макро-
макроэкономической модели Магницкого B.7) и в моделях различных био-
биологических и экосистем [75]. Именно этот каскад, ведущий к возникно-
возникновению нерегулярного аттрактора Фейгенбаума (рис. 2.24), является,
102
ГЛАВА 2, БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
как правило, начальной стадией других, более сложных каскадов би-
бифуркаций, ведущих к возникновению более сложных хаотических ат-
аттракторов. Кроме того, пока только для сценария Фейгенбаума уда-
удалось доказать некоторые универсальные свойства последовательности
значений бифуркационного параметра //п, при которых происходят
очередные бифуркации удвоения периода циклов, и которые сходятся
к значению /ioo = lim/zn при п -> оо (см. главу 4).
2
Рис. 2.24. Устойчивые циклы периода два (а), периода четыре (б) и аттрак-
аттрактор Фейгенбаума (в) в системе Рёсслера.
Многочисленные примеры каскадов бифуркаций удвоения периода
в конкретных системах обыкновенных дифференциальных уравнений
рассмотрены в третьей главе книги. Теория перехода к хаосу через
каскад Фейгенбаума изложена в четвертой главе.
2. Субгармонический каскад бифуркаций устойчивых ци-
циклов. Иногда в научной литературе субгармоническим каскадом на-
называется каскад бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума [14]. Мы
же, чтобы разделить понятия субгармонического каскада и каскада
удвоения периода, будем характеризовать этим термином значитель-
значительно более сложный каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов
любого периода, начальной стадией которого является каскад Фей-
Фейгенбаума. Как правило, каскад бифуркаций удвоения периода, опи-
описанный выше, имеет свое продолжение. При дальнейшем увеличении
значений бифуркационного параметра /2 > ц^ в системе происходит
рождение устойчивых предельных циклов любого периода в соответ-
соответствии со сценарием, найденным Шарковским [76]. Им было доказа-
доказано, что существует отношение, которое упорядочивает циклы непре-
непрерывных одномерных отображений по величине их периода следующим
образом:
К 2 < 22 <j 23 < • • • « 22 • 7 <J 22 • 5 < 22 - 3 < - • •
•••<2-7<2-5<2-3<l---<9<7<5<3. B.35)
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ
103
Первое соотношение в этом ряду означает, что если одномерное не-
непрерывное отображение имеет цикл удвоенного периода, то оно имеет
и простой цикл. Самым сложным в этом ряду является цикл периода
три. Существование такого цикла означает также и существование
любого цикла любого периода из ряда B.35).
Рис. 2.25. Устойчивые циклы периода три в системах Ресслера (а), Лоренца
(б), Чуа (в).
Оказалось, что не только порядок Фейгенбаума, но и порядок Шар-
ковского и даже некоторый более сложный порядок имеют место для
типичного каскада бифуркаций устойчивых циклов нелинейных ди-
динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями.
Так как частоты рождающихся периодических колебаний являются
субгармониками основной главной частоты, то применение к тако-
такому каскаду бифуркаций термина субгармонический является вполне
оправданным. Субгармонический каскад бифуркаций присутствует в
моделях Лоренца, Ресслера, Чуа, Мэкки-Гласа, Магницкого и многих
других моделях. Основной характерной чертой каскада является на-
наличие в системе устойчивого предельного цикла периода три. На рис.
2.25 показаны устойчивые циклы периода три, найденные при соот-
соответствующих значениях бифуркационных параметров в системах Рес-
Ресслера, Лоренца и Чуа.
Субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов поро-
порождает бесконечное число циклических субгармонических сингуляр-
сингулярных (в смысле определения п. 1.4.3 главы 1) аттракторов, являющихся
значительно более сложными аттрактороми, чем простейший аттрак-
аттрактор Фейгенбаума. Каждый из таких аттракторов порождается кас-
. кадом бифуркаций удвоения периода некоторого устойчивого цикла
из ряда B.35), родившегося в результате соответствующей седло-
узловой бифуркации, и является неполным циклическим субгармони-
субгармоническим аттрактором. Полный циклический субгармонический сингу-
104
ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
лярный аттрактор возникает после каскада бибифуркации удвоения
периода цикла периода три. На рис. 2.26 показаны полные цикличе-
циклические субгармонические аттракторы систем Ресслера, Лоренца и Чуа.
Рис. 2.26. Циклические субгармонические аттракторы в системах Ресслера
(а), Лоренца (б) и Чуа (в).
3. Гомоклинический каскад бифуркаций устойчивых ци-
циклов. В некоторых нелинейных динамических системах, описываемых
обыкновенными дифференциальными уравнениями, процесс усложне-
усложнения режимов поведения траекторий не заканчивается рождением пол-
полного циклического субгармонического аттрактора, а продолжается
каскадом бифуркаций рождения устойчивых гомоклинических циклов,
стремящихся к существующему в системе гомоклиническому конту-
контуру — петле сепаратрисы седло-фокуса. Последовательность таких ци-
Рис. 2.27. Проекции классического аттрактора Лоренца (а) и полного двой-
двойного гомоклинического аттрактора системы Лоренца (б).
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 105
клов, порождающих двойной гомоклинический каскад бифуркаций впер-
впервые была обнаружена в системе Лоренца B.3) в работах [29, 30]. При-
Причем было показано, что в системе Лоренца при различных совокупно-
совокупностях управляющих параметров может существовать как полный двой-
двойной гомоклинический каскад бифуркаций, состоящий из бесконечно-
бесконечного числа пар устойчивых гомоклинических циклов, так и неполный
двойной гомоклинический каскад бифуркаций, состоящий из конеч-
конечного числа пар устойчивых гомоклинических циклов. В результате
такого каскада бифуркаций образуется либо классический неполный
двойной гомоклинический аттрактор Лоренца, обладающий "глаза-
"глазами", либо полный двойной гомоклинический аттрактор, не имеющий
глаз (рис. 2.27). Подробно гомоклинический каскад бифуркаций в си-
системе Лоренца и в других системах рассмотрен в третьей главе.
4. Субгармонический каскад бифуркаций устойчивых дву-
двумерных торов. В работе [34] при изучении поведения решений ком-
комплексной системы уравнений Лоренца B.20) было показано, что по-
после образования устойчивого двумерного тора Г2 дальнейший про-
процесс усложнения решений системы B.20) при уменьшении значений
параметра гч может происходить через субгармонический (по одной
частоте) каскад бифуркаций двумерных торов. Основной характер-
характерной чертой этого каскада является рождение устойчивого двумерно-
двумерного тора периода три, понимаемого как прямое произведение простого
цикла на цикл утроенного периода. При дальнейшем уменьшении зна-
значений бифуркационного параметра гг в системе рождается полный
субгармонический тороидальный аттрактор. Подробно процесс ро-
рождения такого аттрактора в системе B.20) рассмотрен в третьей
главе книги.
5. Каскад бифуркаций Андронова-Хопфа. Сценарии Лан-
Ландау и Рюэля-Такенса. В середине XX века Л. Ландау и независи-
независимо от него Э. Хопф выдвинули гипотезу, согласно которой хаотиче-
хаотическая динамика диссипативных систем есть не что иное, как движе-
движение по инвариантному тору большой размерности, рождающемуся в
результате каскада бифуркаций Андронова-Хопфа. В результате пер-
первой такой бифуркации происходит рождение устойчивого предельного
цикла, в результате второй — рождение инвариантного двумерного
тора. Дальнейшее изменение значений бифуркационного параметра
может привести к последовательности бифуркаций, в результате ко-
которых в фазовом пространстве возникают устойчивые инвариантные
торы все возрастающей размерности. В конечном счете происходит
переход к сложному квазипериодическому движению с к несоизмери-
несоизмеримыми частотами, которое при больших к будет выглядеть хаотиче-
хаотическим.
Однако, сценарий Ландау-Хопфа не нашел экспериментального под-
подтверждения: после небольшого числа бифуркаций обычно наблюдает-
наблюдается резкий переход к хаотическому движению. Впервые на возмож-
возможность разрушения инвариантного тора малой размерности и рожде-
106 ГЛАВА 2, БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
ние хаотического аттрактора обратили внимание Рюэль и Такенс [6].
Ими совместно с Ньюхаузом было показано [77], что трехчастотное
квазипериодическое движение, возникающее после трех бифуркаций
Андронова-Хопфа, как правило, неустойчиво, легко разрушается, а на
месте разрушенного трехмерного тора может появиться странный ат-
аттрактор. Такая последовательность бифуркаций, приводящая к обра-
образованию нерегулярного аттрактора, носит название сценария Рюэля-
Такенса.
Сценарий Рюэля-Такенса перехода к хаосу, как и сценарий Ландау
является скорее теоретически возможным сценарием, иллюстрацией
чего служат различные модельные примеры, использующие, как пра-
правило, итерации двумерных отображений [14, 50]. Авторам неизвестны
конкретные примеры систем дифференциальных уравнений, в кото-
которых переход к хаосу осуществлялся бы подобным образом. На наш
взгляд более естественной является ситуация, когда в реальных систе-
системах, описываемых дифференциальными уравнениями, после возникно-
возникновения устойчивого двумерного тора Т2 дальнейший переход к хаосу
осуществляется через субгармонический (по одной частоте) каскад
бифуркаций двумерных торов, что имеет место, например, в системе
комплексных уравнений Лоренца B.20).
6. Переход к хаосу через перемежаемость. Сценарий Помо-
Манневиля. Сценарий Помо-Манневиля перехода к хаосу через пере-
перемежаемость является одним из трех рассматриваемых в классической
литературе сценариев возникновения хаотических режимов поведения
в нелинейных диссипативных системах наряду со сценариями Фейген-
баума и Рюэля-Такенса [11-16].
Явление перемежаемости, обнаруженное, как казалось, в модели
Лоренца [14], не имеет строгого формального определения. Сущность
его состоит в том, что устойчивое периодическое решение системы,
исчезая при изменении параметра, тем не менее оставляет "память"
о себе, так что траектории системы начинают совершать колебания,
почти соответствующие колебаниям исчезнувшей устойчивой перио-
периодической траектории, но прерываемые время от времени аномальны-
аномальными хаотическими флуктуациями. Возможность существования тако-
такого явления иллюстрируется математически только на примерах про-
простейших одномерных отображений. Поэтому, после обнаружения того
факта, что в системе Лоренца на самом доле нет ни перемежаемости,
ни перехода к хаосу через перемежаемость [29], а всего лишь вслед-
вследствие погрешностей в вычислениях имеет место перескок траектории
с одного фрагмента устойчивого цикла на другой его фрагмент, близ-
близко расположенный к нему в фазовом пространстве, говорить о воз-
возможности возникновения хаотических режимов поведения в сложных
нелинейных динамических системах через перемежаемость следует с
осторожностью в каждом конкретном случае. Авторам неизвестны
реальные нелинейные системы дифференциальных уравнений, в кото-
которых переход к хаосу осуществлялся бы подобным образом. Явление
2.4. НЕЛОКАЛЬНЫЕ БИФУРКАЦИИ 107
"перемежаемости" в системе Лоренца подробно рассмотрено в главе
3 книги.
2.4.5. Бифуркации нерегулярных аттракторов. Как уже не-
неоднократно отмечалось выше, кроме регулярных аттракторов -
устойчивых особых точек, циклов и торов, семейства нелинейных си-
систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида B.1) могут
иметь и другие аттракторы, отличные от регулярных по некоторым
признакам. В научной литературе существуют различные подходы к
объяснению природы таких аттракторов и причин их возникновения.
Единая терминология также отсутствует (см. п. 1.4.3). Наша точка
зрения, объясняющая наличие таких аттракторов в широком классе
систем вида B.1) и полностью совпадающая с результатами числен-
численных экспериментов, изложена в четвертой главе настоящей книги. В
третьей главе показано, что типичные нерегулярные аттракторы —
это негрубые образования, рождающиеся в результате субгармониче-
субгармонического и гомоклинического каскадов мягких бифуркаций регулярных
аттракторов. Такие аттракторы были названы нами в п. 1.4.3 сингу-
сингулярными аттракторами. Так как в любой окрестности точки суще-
существования сингулярного аттрактора в пространстве параметров су-
существует, как правило, бесконечное число точек существования раз-
различных регулярных аттракторов, а в процессе каскадов бифуркаций
сложность сингулярных аттракторов возрастает, то их типичными
бифуркациями являются следующие бифуркации.
1. Бифуркация образования регулярного аттрактора
(устойчивого цикла). Пусть значение параметра \х = 0 является
точкой накопления некоторого бесконечного каскада значений пара-
параметра fin < 0, в которых происходят бифуркации устойчивых циклов
семейства B.1), так что \in -> 0 при п —> оо (по поводу каскадов
бифуркаций устойчивых циклов и торов смотрите п. 2.4.4 и главы 3
и 4). Тогда при ц = 0 система B.1) имеет негрубый сингулярный ат-
аттрактор. Очевидно, что при малом возмущении параметра /i в область
отрицательных значений может произойти одна из бесконечного коли-
количества бифуркаций образования некоторого устойчивого цикла. При
малом возмущении параметра в область положительных значений мо-
может также произойти одна из бесконечного количества бифуркаций
образования некоторого устойчивого цикла некоторого другого бес-
бесконечного каскада бифуркаций. Простейшим сингулярным аттракто-
аттрактором такого типа является аттрактор Фейгенбаума (см. главы 3 и 4).
2. Бифуркация образования регулярного аттрактора
(устойчивого тора). Пусть значение параметра ц = 0 является точ-
точкой накопления некоторого бесконечного каскада значений параметра
/in < 0, в которых происходят бифуркации удвоения периодов устой-
устойчивых торов семейства B.1) по одной из частот, так что /хп -> 0 при
п -> оо. Тогда при \х — 0 система B.1) имеет негрубый сингулярный
тороидальный аттрактор. Очевидно, что при малом возмущении па-
параметра ц в область отрицательных значений может произойти одна
108 ГЛАВА 2. БИФУРКАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
из бесконечного числа бифуркаций образования некоторого устойчи-
устойчивого тора некоторого периода. Сингулярный аттрактор такого типа
описан в п. 3.2 главы 3.
3. Бифуркация образования нерегулярного аттракто-
аттрактора. Пусть, как в первом случае, значение параметра /i =0 является
точкой накопления некоторого бесконечного каскада значений пара-
параметра /1п < 0, в которых происходят бифуркации устойчивых циклов
семейства B.1), так что /лп —> 0 при п -> оо. Тогда при \х = 0 си-
система B.1) имеет негрубый сингулярный аттрактор (например, ат-
аттрактор Феигенбаума). При малом возмущении параметра \х в область
положительных значений наряду с бифуркацией образования некото-
некоторого устойчивого цикла может также произойти одна из бифуркаций
образования некоторого другого сингулярного аттрактора, если воз-
возмущенное значение параметра будет являться точкой накопления не-
некоторого другого бесконечного каскада бифуркаций устойчивых ци-
циклов.
4. Бифуркация связанности. Эта бифуркация состоит в объ-
объединении частей сингулярного аттрактора семейства систем B.1),
посещаемых всюду плотной в аттракторе траекторией с регулярной
очередностью. Она реализуется бесконечное число раз в любом суб-
субгармоническом каскаде бифуркаций, следующим за каскадом бифур-
бифуркаций удвоения периода Феигенбаума. То есть, усложнение структуры
каждого последующего сингулярного аттрактора, начиная с простей-
простейшего фрактального аттрактора Феигенбаума, происходит именно в
результате объединения частей предыдущего сингулярного аттрак-
аттрактора (см. главу 3), причем объединение частей происходит в порядке,
обратном порядку каскада бифуркаций удвоения периода устойчивых
циклов, приведшему к рождению аттрактора Феигенбаума.
5. Бифуркация объединения сингулярных аттракторов. По-
Подобно объединению частей одного сингулярного аттрактора в семей-
семействе систем B.1) может также происходить и объединение двух раз-
различных сингулярных аттракторов. Такая бифуркация характерна для
систем с несколькими особыми точками типа седло-фокус. В част-
частности ее можно наблюдать при некоторых значениях системных па-
параметров в системе уравнений Лоренца, когда происходит слияние
двух лент двух субгармонических аттракторов, образовавшихся во-
вокруг двух седло-фокусов системы, в один нерегулярный аттрактор,
охватывающий пространственную область вокруг обеих особых то-
точек (подробнее см. главу 3).
Рассмотренные выше возможные бифуркации сингулярных аттрак-
аттракторов семейства систем нелинейных обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений B.1) опираются на большой фактический материал,
приведенный в третьей главе книги, и на изложенную в четвертой гла-
главе строгую математическую теорию сингулярных аттракторов, обла-
обладающих хаотической динамикой.
Глава 3. Хаотические системы
обыкновенных дифференциальных
уравнений
Хаотическими мы будем называть нелинейные системы обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющие нерегулярные аттрак-
аттракторы. В настоящей главе рассмотрены примеры как классических,
так и менее известных хаотических систем. Показано, что все они без
исключения имеют сингулярные (см. п. 1.4.3 главы 1) нерегулярные
аттракторы, а переход к хаосу во всех этих системах осуществляет-
осуществляется либо через субгармонический, либо через гомоклинический каскад
бифуркаций.
ЗЛ. Система уравнений Лоренца.
Система трех нелинейных обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
y = x(r-z)-y, C.1)
z = ху - bz,
названная системой уравнений Лоренца [17], является исторически
первой динамической системой, в которой было показано существо-
существование нерегулярного аттрактора (аттрактора Лоренца при а = 10,
Ъ = 8/3, 24.06 < г < 28). За прошедшие сорок лет исследование систе-
системы Лоренца было выполнено многими авторами, результаты опубли-
опубликованы в многочисленных статьях и монографиях, вошли в учебные
пособия и университетские курсы (см., например, [4, 11-27, 50-53, 67,
71]), однако полной ясности в том, что из себя представляет аттрак-
аттрактор Лоренца, так и не наступило.
3.1.1. Классический сценарий рождения аттрактора Ло-
Лоренца. Кратко изложим в виде тезисов общепринятую на сегодняш-
сегодняшний день точку зрения на структуру аттрактора Лоренца и причины
его появления.
1. Точка О@,0,0) в начале координат является особой (неподвиж-
(неподвижной, стационарной) точкой системы C.1) при любых г, <т, Ь. Она
устойчива при г < 1.
2. При г > 1 в системе возникают еще две особые (неподвижные,
стационарные) точки:
110ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
которые устойчивы до значения параметра гс = ——,
G — О — 1
(гс « 24.7368 для а = 10, Ь = 8/3). Точка О при всех г > 1 является
седлоузлом и имеет двумерное устойчивое W8 и одномерное неустой-
неустойчивое Wu многообразия. Точки О\ и Ог при всех значениях г > гс
являются седло-фокусами, имеющими двумерные неустойчивые и од-
одномерные устойчивые многообразия.
3. При 1 < г < ri « 13.926 сепаратрисы Гх и Г2, выходящие из
точки О вдоль ее одномерного неустойчивого многообразия Wu, при-
притягиваются к своим ближайшим устойчивым точкам Ох и 02 соот-
соответственно.
4. При г = ri каждая из сепаратрис Fi и Гг превращается в за-
замкнутую гомоклиническую петлю. При этом обе эти гомоклиниче-
ские петли касаются в точке О друг друга и оси z, образуя фигуру,
названную гомоклинической бабочкой. Считается, что формирование
неустойчивой гомоклинической бабочки является одной из двух би-
бифуркаций, ведущих к возникновению аттрактора Лоренца.
5. При гх < т < г2 « 24.06 от каждой из замкнутых гомоклини-
ческих петель рождается по седловой периодической траектории Lx и
1,2. Сепаратрисы Гх и Гг при этом стремятся к устойчивым точкам 0%
и Ох соответственно. Принято считать, что устойчивые многообра-
многообразия седловых периодических траекторий Lx и L^ являются границами
областей притяжения точек Ох и 02. Кривая, берущая начало вне этих
областей, может совершать колебания из окрестности Lx в окрест-
окрестность Z/2 и обратно, пока не попадет в область притяжения одного из
аттракторов Ох или 02, причем по мере приближения параметра г к
значению г2 число колебаний существенно возрастает. Такое поведе-
поведение системы называют метастабильным хаосом.
6. При г = г2 сепаратрисы Гх и Гг уже не стремятся к точкам
02 и Ох, а наматываются на седловые предельные траектории 1,2 и
Lx соответственно. Здесь происходит вторая бифуркация, ведущая к
возникновению аттрактора Лоренца.
7. При Г2 < г < гз = гс точки 0i и 02 еще устойчивы. Кроме них
в фазовом пространстве имеется притягивающее множество Б, назы-
называемое аттрактором Лоренца и представляющее собой совокупность
интегральных кривых, идущих от L\ к L2 и обратно. Седловая точка
0 принадлежит аттрактору вместе со своими сепаратрисами Гх и Гг.
8. При г -> гз = г с седловые предельные циклы Lx и L2 стягиваются
к точкам 0х и 02 и при г = гз исчезают, сливаясь с ними в результате
субкритической бифуркации Андронова-Хопфа.
9. При гз < г < г4 « 30.1 единственным устойчивым предельным
множеством в системе C.1) является аттрактор Лоренца. Принято
считать, что он представляет собой ветвящуюся поверхность 5, рас-
расположенную вблизи плоскости х - у = 0 и состоящую из бесконечного
числа листов, связанных вместе и сколь угодно близко прижатых друг
к другу. Фазовая траектория, начавшаяся слева от оси z, будет рас-
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 111
кручиваться по спирали вокруг точки О\ до тех пор, пока не пересечет
ось z, после чего начнет раскручиваться по спирали вокруг точки О2
в противоположном направлении. Количество оборотов вокруг точек
О\ и Ог меняется нерегулярным образом, так что движение выгля-
выглядит хаотическим. Считается, что аттрактор не является двумерным
многообразием, а имеет фрактальную структуру, и его фрактальная
размерность при а = 10, Ь = 8/3 и г = 28 равна 2.05 ± 0.01 [15].
10. При Г4 < т < 313 структура решений системы уравне-
уравнений Лоренца становится необычайно сложной с чередованием хао-
хаотических и периодических режимов. В этом диапазоне изменения
параметра г известно несколько окон периодичности, например:
99.524 < г < 100.795; 145 < г < 166; 214.364 < г < 313. Принято
считать, что окон периодичности может быть бесконечно много, а ка-
каждое такое окно представляет собой прямой субгармонический каскад
бифуркаций, который заканчивается основным устойчивым предель-
предельным циклом. В дальнейшем, при увеличении г, каждый такой цикл
разрушается перемежаемостью типа I, а появлению окна периодично-
периодичности предшествует обратный каскад бифуркаций (например, обратный
каскад существует при 197.4 < г < 214.364, а перемежаемость типа I
при г > 166.07 [14]).
11. При г > 313 в системе Лоренца аттрактором является един-
единственный устойчивый предельный цикл.
Итак, пункты 1-11 содержат основные общепринятые утвержде-
утверждения, касающиеся аттрактора Лоренца и сценария его возникновения
(и исчезновения). Заметим, что все эти утверждения основаны ис-
исключительно на компьютерных экспериментах и умозрительных за-
заключениях и не опираются на какие-либо аналитические доказатель-
доказательства. Некоторые из этих утверждений легко проверяются, и их спра-
справедливость никогда не подвергалась сомнению (например, утвержде-
утверждения пунктов 1-2 и 11). Другие утверждения, напротив, трудно про-
проверить, и они всегда выглядели достаточно сомнительными. Так, на-
например, если при г = 7*1 из гомоклинических петель действительно
рождаются седловые циклы L\ и Li и именно они определяют "глаза"
аттрактора Лоренца при г « Г2, то почему эти "глаза" наблюдаются
у аттрактора и при г > гз, когда циклы L\ и ?2 уже исчезли? Вывод
один - "глаза" аттрактора определяются не седловыми циклами L\ и
1^2, если даже они и существуют. Но если они и существуют, то вовсе
необязательно что они рождаются при значении г = г\ в результа-
результате бифуркации гомоклинической бабочки. Другими сомнительными
утверждениями всегда являлись утверждения о структуре аттракто-
аттрактора и о его размерности, вычисленной на компьютере с совершенно
невероятной точностью. Не находило также своего логического объ-
объяснения и явление перемежаемости.
В работе [29] авторами было показано, что на самом ^еле в системе
Лоренца реализуется совершенно иной переход к хаосу - через двой-
двойной гомоклинический каскад бифуркаций. Рассмотрим этот сценарий
112 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
более подробно.
3.1.2. Сценарий рождения аттрактора Лоренца через не-
неполный двойной гомоклинический каскад бифуркаций. Из на-
наличия в системе Лоренца C.1) седло-узла и двух седло-фокусов выте-
вытекает возможность существования в ней различных гомоклинических
и гетероклиничиских контуров особых точек и связанных с ними кас-
каскадов бифуркаций.
Определение. Полным (неполным) гомоклиническим каскадом
бифуркаций в системах нелинейных дифференциальных уравнений на-
назовем каскад бифуркаций возникновения устойчивых предельных ци-
циклов, порожденных единственным устойчивым предельным циклом
при изменении значений бифуркационного параметра вдоль прямой,
проходящей в пространстве параметров через точку (вблизи точки)
существования гомоклинического контура.
Определение. Любой сингулярный аттрактор, родившийся в
результате полного (неполного) гомоклинического каскада бифурка-
бифуркаций предельных циклов, назовем полным (неполным) гомоклиниче-
ским аттрактором.
Если прямая, соответствующая изменению значений бифуркаци-
бифуркационного параметра проходит в пространстве параметров через точку
(вблизи точки) одновременного существования двух гомоклинических
контуров, то образующийся каскад бифуркаций устойчивых циклов
назовем полным (неполным) двойным гомоклиническим каскадом, а
рождающийся в результате такого каскада аттрактор назовем пол-
полным (неполным) двойным гомоклиническим аттрактором.
Метод исследования аттрактора. Оказалось, что все циклы из
бесконечного семейства неустойчивых циклов, порождающих аттрак-
аттрактор Лоренца, имеют пересечение с одномерным неустойчивым неин-
неинвариантным многообразием Vй точки О (не путать с инвариантным
многообразием Wu). Этот результат, хотя строго и не доказан непо-
непосредственно для системы Лоренца, но вытекает из теории динамиче-
динамического хаоса, изложенной ниже в главе 4. Следовательно, после вывода
аналитических формул для многообразия Vй появляется возможность
свести задачу нахождения и доказательства существования неустой-
неустойчивых циклов в системе Лоренца к одномерному случаю, а именно, к
нахождению неподвижных точек одномерного отображения возвраще-
возвращения на неустойчивое многообразие. Этим методом, могут быть найде-
найдены и любые устойчивые циклы, участвующие в формировании аттрак-
аттрактора. Таким образом, если начальная точка находится на одномерном
многообразии Vй, то численно можно получить любой (как устойчи-
устойчивый, так и неустойчивый) цикл, существующий в системе Лоренца.
Ниже данным методом показано, что пункты 4-5 изложенного выше
классического сценария перехода к хаосу в системе Лоренца неверны.
Пункты 6-10 частично неверны и частично требуют более детального
изучения.
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 113
Для каждого фиксированного набора параметров (ст, Ь,г > 1) при-
приведем систему уравнений C.1) линейной невырожденной заменой пе-
переменных
х = и 4- v, а(у - х) = Aiu -f- A2v, 2 = z C.2)
к главным осям плоскости z = 0. Так как
ТО
или
«И° -<
где Л = Л-1^ ^)л =
[A2 + (o- + l)Ai — гг(г — 1) Х\ + (<т + 1)А2 - (г(г - :
А2 — Ai А2 - Ai
-Af - (а + l)Ai + <т(г - 1) -АхА2 - (а + 1)А2
A2 — Ai A2 - Ai
Следовательно, если величины Ai и А2 являются корнями уравнения
А2 + («г + 1)А - а(г - 1) = 0,
т.е.
114 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
то матрица Л = diag(Ai, Л2). Таким образом, система уравнений C.1)
принимает вид
aziu + v)
az(u
Запись уравнений Лоренца в переменных (u,i>, z) выгодно отлича-
отличается от записи в переменных (я, у) z) по причине того, что при любом г
устойчивое многообразие W8 начала координат (точки О) касатель-
касательно к оси и, а неустойчивое Wu - касательно к оси г;. Последнее об-
обстоятельство дает возможность наглядно увидеть некоторые новые
важные характеристики аттрактора, инвариантные относительно па-
параметра г.
Заметим, что координаты неподвижных точек
Oi(X2y/W^l)/(X2 - Ai), -A1V/6F:1)/(A2 - Ai), г - 1),
О2(-А2Ч/&(г-1)/(А2 - АО, A14AF71)/(A2 - АО, г - 1)
системы C.3) расположены симметрично относительно оси z в пер-
первой и третьей четвертях полупространства z > 0. Если одновременно
смотреть на проекции произвольной траектории Г системы C.3) на
плоскости (u,v) и (и,г) при значении параметра г, соответствующем
хаотическому поведению системы (например, г = 28), то можно заме-
заметить, что траектория принадлежит двум множествам — листам дву-
двумерной поверхности, описанной в главе 4. Одно из этих множеств 5
имеет вид боковых поверхностей двух деформированных усеченных
конусов с вершинами в точках О\ и О2. Каждый конус лежит на своей
образующей z = z8(u,v), 0 < zsm-in < z < zam&x < r - 1, на которой
достигаются локальные минимумы по z различных траекторий при
их условном вращении вокруг точек О\ (О2). В проекции на плоскость
z = 0 вращение происходит по часовой стрелке. Верхняя часть кону-
конуса деформирована и изогнута. Меньшее основание конуса определяет
"глаз" аттрактора, внутрь которого траектория не заходит, а большее
основание определяет максимальный размер аттрактора, при котором
траектория переходит от вращения вокруг точки Oi(O2) к вращению
вокруг точки O2(Oi). Этот переход осуществляется по двум симме-
симметричным частям второго множества G, на котором траектория также
имеет точки локальных минимумов по z, лежащие на некоторой кри-
кривой z = zg{u,v), где 0 < Zgmin < z < zgmi!iX < г - 1. Принято считать,
как уже отмечалось выше, что "глаз" аттрактора определяется седло-
вым циклом, возникающим из гомоклинического контура при г = г\.
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 115
Но при г = 28 цикл уже не существует, а "глаз" остается, хотя имеет
меньшие размеры, чем при г = тч « 24.06. К причинам этого явления
мы вернемся ниже, а теперь отметим, что естественно предположить,
что "глаза" аттрактора определяются не седловыми циклами, возни-
возникающими вокруг стационарных точек О\ и О2 по отдельности, а неко-
некоторыми другими циклами, охватывающими одновременно обе точки
01 и 02- Но тогда траектории этих циклов должны иметь локальные
минимумы на кривой zg(u) v). Следовательно, найдя уравнение данной
кривой, мы фактически сведем задачу отыскания циклов к одномер-
одномерному случаю. С этой целью сделаем в системе C.1) преобразование,
аналогичное преобразованию C.2), но зависящее от z
х = и + v, ст(у - х) = Ai (z)u + A2 {z)v, z = z.
Тогда
и, следовательно,
Таким образом,
где
L(z)-A-1WiW =
-A2(z)
116 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
Ли = Xi(z)X2(z) + (а + l)Xi(z) -a{r-z- 1),
Аи = X\{z) + (а + 1)А2B) - <т(г - z - 1),
A2i = -А2(*) - (<т + 1)А!B) + <r(r -z - 1),
Л22 = -Ax(z)A2(z) - (<т + l)Xi(z) + a(r - z - 1).
Следовательно, если величины \\{z) и A2(z) являются корнями урав-
уравнения
А2 + {а + 1)А - а(г - z - 1) = О,
О,
то матрица Л (г) принимает вид
AW = dlag(AlW, A2(z))
При этом система C.1) преобразуется к виду
и = Ai(z)u + 77-7-7 Г-7-Т0»
Ясно, что система C.4) имеет решение не при всех начальных усло-
условиях, а только для z < г, и тем самым не эквивалентна системе C.1).
Но точки кривой zg (и, v) лежат в этом диапазоне и, следовательно,
должны удовлетворять системе уравнений C.4). Также очевидно, что,
по крайней мере в некоторой окрестности начала координат (точки
О) кривая zg(u,v) должна быть некоторым образом связана с одно-
одномерным неустойчивым многообразием Vй точки О как для системы
C.3), так и для системы C.4). Замечательным является тот факт,
что многообразие Vй можно найти в явном виде из системы C.4).
Действительно, каждая точка многообразия Vй не должна двигаться
в плоскости, параллельной устойчивому многообразию W8 точки О,
т.е на Vй необходимо выполнение условий z = 0 и и = 0. При этом
из системы C.4) видно, что векторное поле на Vй просто совпадает
с направлением v. Положив в C.4) z = 0, и = 0 (и, следовательно,
и = 0), найдем, что
/*^. C.5)
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 117
Далее, так как
то
С другой стороны,
X2(z) - X2\ (и\
- Xx{z)J \yj *
= /()
X2(z) - Ai(z) \Xi ~ Xi(z) A2
Следовательно, точке (О,гУ(г),2) пространства (г?,гТ, z) соответствует
точка (tz(z),vB),2) пространства (гх,г>,г), лежащая на неустойчивом
многообразии Vй точки О системы C.3) и удовлетворяющая уравне-
уравнениям
/ ч Аг-Аг^)^. ч . ч A2(^)-Ai^ ч . .
WW= AA ^? W^= AA V^' ^ ^
Очевидно, что кривая, описываемая уравнениями C.5)- C.6), являет-
является касательной к оси v при z ~> 0, так как вдоль этой кривой
dv A2 (z) — Ai л
— = v y -> оо при z ~> 0.
cm A2 — А2B?)
Так как на полученной кривой z = 0, то эта кривая (многообразие
Fu) и есть искомая кривая z = ^(^(г), ^(^)) при 0<г<г-1,а
переход траектории в аттракторе Лоренца из одной части множества
5 в другую (из одного полупространства в другое) происходит через
неустойчивое одномерное многообразие Vй точки О. Таким образом,
задача нахождения неустойчивых траекторий аттрактора Лоренца и,
в частности, всех неустойчивых циклов в этом аттракторе сводится к
одномерному случаю и может быть решена методом возвращения
на одномерное неустойчивое многообразие Vй точки О.
Определим отображение fi(z) первого возвращения следую-
следующим образом. Для любого значения 0 < zq < г — 1 из точки
{zo)u(zq))v(zo)) ? Vй, расположенной, например, в правом полупро-
полупространстве, испускаем траекторию системы C.3). Эта траектория де-
делает некоторое число оборотов в правом полупространстве вокруг
точки О\, затем переходит в левое полупространство и делает опять
некоторое число оборотов вокруг точки Ог- После этого траектория
118 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
возвращается (впервые) в исходное правое полупространство, пере-
пересекая плоскость и — 0 системы C.4) в точке, принадлежащей мно-
многообразию V", но возможно, при некотором другом значении пере-
переменной z — fi(z0). Точка пересечения траекторией плоскости и = О
находится из уравнения
C7)
Уравнение C.7) необходимо решать достаточно точно. Поэтому в
окрестности плоскости и = 0, положение которой в плоскости (u,v)
зависит от значения переменной z, система C.3) должна интегри-
интегрироваться с малым шагом h (например, h ~ 10~7 при использовании
метода Рунге-Кутта 4-го порядка) . Найденному решению уравнения
C.7) соответствует время Т первого возвращения на неустойчивое
многообразие Vй, а значение переменной z(T) = fi(zo) является ото-
отображением первого возвращения. Аналогично может быть определено
отображение fk(zo) к-го возвращения на многообразие Vй.
Так как отображение возвращения любого порядка является не-
непрерывным одномерным отображением, то описанный выше метод
дает возможность не только найти с любой степенью точности лю-
любой неустойчивый цикл, существующий в системе Лоренца, как не-
неподвижную точку соответствующего отображения возвращения, но и
однозначно доказать существование этого цикла. В этом отношении
метод возвращения на одномерное неустойчивое многообразие имеет
неоспоримое преимущество перед широко известным методом сече-
сечения Пуанкаре. Необходимая точность задания начального значения
zq составляет в некоторых случаях 100 - 10~15.
Сценарий перехода к хаосу. Теперь приведем сценарий воз-
возникновения аттрактора Лоренца, полученный с использованием изло-
изложенного выше метода, при фиксированных классических значениях
параметров а = 10, Ь = 8/3.
1-3. Эти пункты сценария, изложенные в начале работы, остаются
без изменения.
4. При г = г\ « 13.926667... сепаратрисы Fi и Гг образуют единый
замкнутый контур, охватывающий обе стационарные точки О\ и О2 -
конец сепаратрисы Fi входит в начало сепаратрисы Гг и, наоборот, ко-
конец Гг входит в начало Fi. Из этого контура при увеличении г сначала
возникает замкнутый цикл Со. Он восьмеркой охватывает обе точки
0i и Оч и хорошо наблюдается уже при г = 14 (z « 0.152293, h = 10").
Сразу заметим, что этот цикл существует в системе Лоренца при всех
г > г\ и именно он является единственным устойчивым аттрактором
системы при г > 313 (рис. 3.1).
5. При г\ < г < Г2 « 24.058 не происходит рождения циклов L\ и
1/2 вокруг точек соответственно О\ иОг,ас ростом г последователь-
последовательно рождаются пары циклов С+ и С~, п = 0,1,..., которые являются
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА
119
определяющими в формировании аттрактора Лоренца. Цикл С+ со-
совершает п полных оборотов в полупространстве, содержащем точку
Oi, и один неполный оборот вокруг точки 02. Цикл С~, наоборот,
делает п полных оборотов вокруг точки 02 и один неполный оборот
вокруг точки 01. Циклы Cf и С^ также хорошо наблюдаются при
г = 14.
Рис. 3.1. Проекции на плоскость (щу) фазового портрета цикла Со при
значениях г = 14 (слева) и г = 350 (справа).
Для каждого г\ < г < Г2 найдется число п(г), (п(г) -» сю при
г -> гг) такое, что в пространстве (u,v,z) существуют неустойчивые
циклы Со,С*~,С7, к = 0,1,...,п, циклы C*~m,C7m, к,т <п, соверша-
совершающие к оборотов относительно точки Oi и т оборотов относительно
точки Ог и являющиеся различными комбинациями циклов С* и С~,
и много других циклов, порожденных бифуркациями циклов С% и С~
(см. ниже п. 10). Все эти циклы следующим образом располагаются
на кривой Vй при 0 < zm\n < z < zmB)X < г — 1. Точка 2min соот-
соответствует правому большому одиночному витку цикла 0~. Этот ви-
виток является большим основанием правого усеченного конуса множе-
множества 5. Далее траектория цикла переходит в левое полупространство
и совершает п оборотов, раскручиваясь по часовой стрелке вокруг
точки 02. Меньший первый виток вокруг точки 02 является мень-
меньшим основанием левого усеченного конуса множества 5. Точка zm3LX
соответствует первому меньшему витку цикла С% вокруг точки 0i.
Этот виток служит меньшим основанием правого усеченного кону-
конуса. Далее траектория этого цикла совершает п витков вокруг точки
01, раскручиваясь по часовой стрелке, затем переходит в левое по-
полупространство и совершает один большой виток вокруг точки 02.
Этот виток является большим основанием левого усеченного конуса.
Между точками zm\n и zmAx расположена точка zo, соответствующая
основному циклу Со- Заметим, что все циклы С^, получающиеся при
z > zo, являются симметричными относительно оси z циклам C^mi
образовавшимся при z < zq, и могут быть найдены посредством сме-
смены знака начальной точки в формуле C.5). Поэтому для нахождения
120
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
всех циклов при заданном г достаточно найти их пары для интервала
^min < z < zq. Это целесообразно сделать еще и по следующей при-
причине. Циклы, найденные при zm\n < z < zq имеют небольшое число
витков вокруг точки О\ в правом полупространстве, переходя затем
в левое полупространство. Эти витки невозможно спутать с много-
многократным вращением вокруг какого-либо одного седлового цикла. На-
Напротив, циклы, наблюдаемые при z$ < z < 2max, имеют очень большое
число витков вокруг точки О\ в правом полупространстве. Создается
иллюзия того, что вращение происходит вокруг одного предельного
цикла - мифического седлового цикла L\ в общепризнанном сценарии.
Эта иллюзия все более усугубляется по мере приближения г к Г2, когда
число витков цикла С„ неограниченно растет. На рис. 3.2 показаны
ЦИКЛЫ С237 и ^237 ПРИ г ^ 23.5.
Рис. 3.2. Траектории циклов
странстве (tt,v,z).
(слева) и С237 (справа) в фазовом про-
проГраницы областей притяжения устойчивых точек О\ и Ог опреде-
определяются меньшими витками циклов С+ и С~, размеры которых убы-
убывают при увеличении г. Поэтому при некотором значении параметра
т — та область притяжения множества В = S U G перестает пере-
пересекаться с областями притяжения точек Oi и Ог, и множество В
становится аттрактором. Численные расчеты показывают, что это
происходит не в результате бифуркации в точке г = Г2, а несколь-
несколько раньше при г = га « 23.9, т.е. при га < г2. Этому есть логичное
объяснение, если исходить из концепции, согласно которой аттрак-
аттрактор Лоренца формируется в результате бифуркаций конечного числа
устойчивых циклов Cjf, к = 0,1,..Л, при уменьшении величины г от
г « 313 (см. ниже п. 10). Так как область притяжения аттрактора (и
его "глаза") формируется циклами Cf и множеством циклов, поро-
порожденным их бифуркациями, то при некотором п > I (га < г < гг)
меньшие витки циклов С^ будут лежать внутри "глаз" аттрактора,
т.е. аттрактор не будет иметь пересечения с областями притяжения
точек Oi и Ог-
Таким образом, в системе Лоренца (а = 10, Ь = 8/3) метастабиль-
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 121
ный хаос существует только в интервале г\ < г < га, а в интервале
га < т < Г2 в системе уже имеются три устойчивых предельных мно-
множества: точки О\, О2 и аттрактор Лоренца.
6. При г -> Г2 размеры "глаз" уменьшаются вместе с ростом коли-
количества витков циклов С? и С~ вокруг точек О\ и 02, соответствен-
соответственно. Значение 2тах растет, zmin уменьшается, причем zm\n -> 0 при
г -> гг. Увеличиваются длины образующих усеченных конусов, так
как дополнительные витки добавляются в вершину конуса, уменьшая
размер меньшего основания. Большее основание, напротив, увеличи-
увеличивается. При г = Г2 значение zm\n = 0, но 2тах <r ~ 1,так что большее
основание каждого конуса достигает своей максимальной величины,
в то время как меньшее основание не стягивается в точку - вершину
конуса. Имеет место следующая бифуркация. Каждое семейство ци-
циклов С+ (или С~) при п -> оо образует в пределе гетероклиническую
структуру "точка - цикл", состоящую из двух сепаратрисных конту-
контуров точки О. Первый контур состоит из сепаратрисы, выходящей из
точки О по её неустойчивому многообразию и наматывающейся на
возникший (только при г = Ы) седловой цикл Li(L,2) точки Ох (или,
соответственно, точки Ог). Второй контур состоит из сепаратрисы,
сматывающейся с седлового цикла L\ (L2) и входящей в точку О по её
устойчивому многообразию. Как это происходит нетрудно предста-
представить из рис. 3.2, на котором изображена почти предельная ситуация,
правда пока ещё без циклов L\ и L2, необходимых для разделения
замкнутых контуров, изображенных на рисунке, на две части.
Как уже отмечалось в предыдущем п. 5, описанная бифуркация не
приводит при г = Г2 к образованию аттрактора Лоренца. Правильнее
будет сказать, что она является лишь предпосылкой к разрушению
аттрактора при уменьшении г. Сам аттрактор, существующий в си-
системе при г = Г2, был образован при г < 313 из конечного числа
устойчивых циклов С*, fc = O,l,...,{. Ему не принадлежат не только
сепаратрисы Fi и Г2 точки О, но и бесконечное множество неустой-
неустойчивых циклов С*, существующих в окрестности гетероклинической
структуры "точка-цикл".
7. При Г2 < г < гз точки 0\ и 02 ещё устойчивы, и их области
притяжения ограничиваются возникшими предельными циклами L\ и
Z/2, которые стягиваются в точки при г -> гз. Но аттрактор Лоренца
В не является совокупностью интегральных кривых, идущих от L\ к
1г2 и обратно, а сепаратрисы Fi и Гг седловой точки О не принадле-
принадлежат аттрактору. Циклы Ь\ и Ьг уже выполнили свою роль при г = гг
и никакого отношения к аттрактору более ле имеют. При гг < т < гз,
также, как и при ri < г < гг циклы С+ и С~ снова возникают из
сепаратрисных контуров. Например, при г = 24.06 наблюдаются ци-
циклы C}oi и С^х, а при г = 24.5 - циклы C?Q и С^,. Аттрактор же
определяется только их конечным числом (см. п. 10),
8. При г = гз седловые циклы L\ и L2 исчезают. В системе суще-
существует единственное предельное множество - аттрактор Лоренца.
122
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
9. Существуют еще два важных значения г± и г$ параметра г, вли-
влияющие на формирование аттрактора Лоренца. По нашим данным это
точки Г4 « 31.1158 и г5 » 32.75 (последнее значение пока не уда-
удалось установить достаточно точно). При увеличении г от гз до г 4
количество витков циклов С+ и С~ сначала быстро уменьшается,
а затем опять возрастает и достигает значения 36 в точке т±. При
этом "глаза", создаваемые сепаратрисами точки О, значительно мень-
меньше "глаз" аттрактора и начинают расти при увеличении г. Таким
образом, точка г 4 является точкой наименьшего расстояния прямой
(ст = 10, 6 = 8/3) в пространстве параметров (сг, Ь, г) от гетероклини-
ческих контуров, связывающих точку О с точками О\ и Оч- Сепара-
Сепаратрисы точки О подходят к одномерным устойчивым многообразиям
седло-фокусов О\ и 0% на минимальное расстояние, но не попадают
в эти точки! При приближении значения г к Гб, наоборот, "глаза",
создаваемые сепаратрисами точки О, увеличиваются в размере и ста-
становятся больше "глаз" аттрактора. В точке rs "глаза" аттрактора
имеют наименьший размер и, следовательно, значение г& - это точка
наименьшего расстояния прямой (ст = 10, 6 = 8/3) в пространстве па-
параметров (сг, by г) от гомоклинических контуров точек О\ и Оч- Почти
гетероклинический и почти гомоклинический контуры, существую-
существующие в системе C.3) соответственно в точках т± и т*> изображены на
рис. 3.3.
Рис. 3.3. Почти гетероклинический (слева)и почти гомоклинический (спра-
(справа) контуры соответственно при г « 30.748888 игй 32.75.
Ясно, что в системе C.3) (и в системе C.1)) существуют более
сложные аттракторы при тех значениях параметров а и 6, при ко-
которых прямая г проходит точно через гетероклинический или гомо-
гомоклинический контуры. Так как гомоклинические контуры лежат на
многообразии Vй, то самым сложным является аттрактор при тех
значениях параметров а* и5*, при которых гомоклинические конту-
контуры в пределе при г -* г* сливаются с гетероклиническими контурами
(см. п. 3.1.3). В случае же аттрактора Лоренца (сг = 10, Ь — 8/3) дело
обстоит несколько иначе. Аттрактор формируется только конечным
числом устойчивых циклов С„ , рождающихся вокруг гомоклиниче-
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 123
ских контуров седло-фокусов О\ и Oi при уменьшении г, и всеми их
бифуркациями при г > г*> (см. следующий пункт). Таким образом, ат-
аттрактор Лоренца, как и другие известные нерегулярные аттракторы,
возникает из устойчивых предельных множеств в результате мягких
бифуркаций, что, впрочем, вполне естественно и хорошо согласует-
согласуется с интуитивным пониманием сущности аттрактора. Он образуется
не при увеличении г и не за счет бифуркаций в точках г\ и r<i, а со-
совсем наоборот, при уменьшении готг« 313 через бесконечное число
бифуркаций в точках, рассматриваемых в следующем разделе. Послед-
Последней из этих точек является точка Г5. При г < т$ "глаза" аттрактора
растут, идет последовательное уменьшение занимаемой им области, а
затем и его разрушение через бифуркации в точках Г2, га и г\.
10. Процесс рождения аттрактора Лоренца (а = 10, Ь = 8/3) в
системе C.3) (системе C.1)) при уменьшении г от 313 до г$ проис-
происходит через неполный двойной гомоклинический каскад бифуркаций.
Полный каскад будет иметь место в случае прохождения прямой г
точно через точку существования двух гомоклинических контуров.
Заметим, что в системах с одним гомоклиническим контуром может
существовать простой (одинарный) полный или неполный каскад би-
бифуркаций перехода к хаосу. Опишем подробно переход к хаосу через
двойной гомоклинический (полный или неполный) каскад бифурка-
бифуркаций. Как уже отмечалось выше, при г > 313 в системе существует
единственный устойчивый предельный цикл Со, охватывающий оба
состояния равновесия О\ и О^. При значении г « 313 цикл Со, стано-
становясь неустойчивым, порождает два устойчивых цикла Cq" и Cq , также
охватывающих состояния равновесия О\ и 02, но имеющих прогибы в
направлении своих половин неустойчивого многообразия Vй точки О.
Здесь, собственно, и начинается двойной гомоклинический каскад би-
бифуркаций. В случае неполного каскада он состоит из конечного числа
стадий возникновения устойчивых циклов Cf, k — 0,1,..., I, и беско-
бесконечного числа их дальнейших бифуркаций. В случае же полного кас-
каскада число стадий бесконечно и в пределе при / -> оо циклы стремятся
к гомоклиническим контурам точек О\ и 02 соответственно. На к-ои
стадии каскада изначально устойчивые циклы С^ претерпевают суб-
субгармонический каскад бифуркаций, образуя два аттрактора, которые
имеют вид лент, лежащих в своих областях неустойчивого многообра-
многообразия Vй точки О. Затем эти две ленты сливаются, образуя единый
аттрактор вокруг обеих точек 0i и 02, после чего происходит кас-
каскад бифуркаций циклов, рождающихся в результате слияния лент и
совершающих обороты как вокруг точек О\ и С?2 по отдельности, так
и вокруг обеих точек одновременно. Последний каскад бифуркаций
обладает свойством самоорганизации, так как характеризуется упро-
упрощением структуры циклов, т.е. рождением при уменьшении величины
г новых устойчивых циклов с меньшим числом оборотов вокруг точек
О\ и Ог- Каждый цикл каскада бифуркаций самоорганизации пре-
претерпевает свой субгармонический каскад бифуркаций, после чего все
124
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
циклы, образующиеся в результате бесконечного числа бифуркаций
всех субгармонических каскадов и каскадов бифуркаций самооргани-
самоорганизации циклов, становятся неустойчивыми и ложатся своими лентами
в свои области многообразия Vй, создавая таким образом некоторое
множество Вк- В результате неполного гомоклинического каскада би-
бифуркаций образуется множество В = и!?ь которое состоит из беско-
бесконечного числа всех возможных неустойчивых циклов, возникающих
на всех / стадиях каскада. Эти циклы порождают неполный двойной
гомоклинический аттрактор, являющийся аттрактором Лоренца.
Опишем более подробно первую стадию двойного гомоклиническо-
гомоклинического каскада. Каждый из циклов С^ и Cq претерпевает субгармониче-
субгармонический каскад бифуркаций, который начинается каскадом Фейгенбау-
ма, т.е. каскадом бифуркаций удвоения периода циклов, а завершается
появлением в окрестности исходного цикла устойчивых циклов любо-
любого периода согласно порядку Шарковского, причем каждый родив-
родившийся устойчивый цикл любого периода имеет свой каскад бифурка-
бифуркаций удвоения. Например, при г = 222 наблюдаются циклы удвоенного
периода, при г = 216 - циклы учетверенного периода, при г = 214 -
циклы периода б, при г = 209 - циклы периода 3 и т.д. При г « 203
по окончании субгармонического каскада бифуркаций возникают два
устойчивых множества (два аттрактора), образовавшихся вследствие
бифуркаций циклов Cq{Cq) и лежащих на многообразии Vй. Внешне
эти множества выглядят как две широкие ленты. При г < 203 два
аттрактора, образованных циклами С$ и Cq, сливаются в один ат-
аттрактор, который пока находится на некотором расстоянии от оси
z и поэтому не имеет "глаз". В результате появляется возможность
Рис. 3.4. Проекции на плоскость (и, v) фазового портрета устойчивых
циклов, рождающихся в результате бифуркации самоорганизации при
г = 202.384 (слева) и г = 198.986 (справа).
образования устойчивых циклов, делающих обороты вокруг обеих то-
точек О\ иО2, причем количество витков в таких циклах уменьшается
с уменьшением г (рис. 3.4) - начинается каскад бифуркаций самоор-
самоорганизации циклов. При дальнейшем уменьшении г и, следовательно,
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 125
при приближении циклов, образующих аттрактор, к оси 2, траекто-
траектории системы начинают закручиваться вокруг точек О\ и 02 > и при
г « 197.6 у аттрактора образуются "глаза". Это обусловлено появле-
появлением устойчивых циклов типа Cj^, делающих обороты как вокруг
каждой из точек О\ и О2 по отдельности, так и вокруг обеих то-
точек сразу. Эти циклы, самоорганизуясь, возникают парами в огром-
огромном количестве в результате седло-узловой бифуркации в интервале
170 < г < 197.6. Все они последовательно претерпевают субгармони-
субгармонические каскады бифуркаций, также образуя свои более узкие ленты,
и также ложатся на многообразие Vй, теряя при этом устойчивость.
Отметим, что надо быть аккуратным при определении бифурка-
бифуркаций циклов при значениях г < 203. Дело в том, что циклы в этом
интервале лежат, как правило, уже достаточно близко к оси z и име-
имеют в ее окрестности большие градиенты. Возникает типичная некор-
некорректная задача вычисления производной от функции, заданной не-
неточно. Поэтому, если неправильно выбрать шаг интегрирования, то
легко можно принять перескок траектории с одного цикла на другой в
окрестности оси z за некоторое свойство аттрактора, хотя этот пере-
перескок объясняется исключительно неустойчивостью вычислительного
процесса. Именно этой ошибкой объясняется "обнаружение" так на-
называемой перемежаемости I рода в системе Лоренца (подробнее см.
ниже).
При г » 170 возникает устойчивый цикл Си, с которым происхо-
происходят все те же бифуркации, что и с исходным циклом Со, но в интер-
интервале 100.795 < г < 170. На этом заканчивается первая стадия двой-
двойного гомоклинического каскада и при г fc 100.795 рождается пара
устойчивых циклов С*. При т « 71.52 с рождения пары устойчивых
циклов Cf" начинается третья стадия, которая длится до значения
г « 59.25, когда происходит рождение пары устойчивых циклов Cf и
т.д. Весь неполный гомоклинический каскад заканчивается, как уже
отмечалось выше, при значении г$. При меньших значениях г в систе-
системе имеется, как_принято считать, единственное устойчивое предель-
предельное множество В - аттрактор Лоренца. Вопрос о том, является ли
множество В фракталом и имеет ли оно дробную размерность, оста-
остается пока открытым. Ответ на этот вопрос непосредственно связан с
ответом на вопрос, какую структуру имеет множество всех неустой-
неустойчивых предельных циклов, порождающих аттрактор, на кривой Vй:
всюду плотно на Vй или имеет структуру канторова множества? В
первом случае аттрактор не может быть фракталом и имеет размер-
размерность, равную двум. Многочисленные вычислительные эксперименты
показывают, что вероятнее всего имеет/место первый случай, т.е. ци-
циклы, составляющие каждую ленту гомоклинического каскада, лежат
всюду плотно в своей области многообразия Vй и, следовательно, пе-
пересечение аттрактора с Vй представляет собой отрезок, на котором
0 < ^min < z < 2max < r — 1. Эти выводы полностью согласуются
с теорией рождения сингулярных аттракторов на гладких подмного-
126
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
образиях фазового пространства (см. главу 4). Согласно этой теории
размерность таких аттракторов не может быть больше двух, и что
на самом деле в интервале изменения значений параметра га <г < г5
существует не один структурно устойчивый аттрактор, а бесконеч-
бесконечное количество структурно неустойчивых сингулярных аттракторов
в точках накопления значений параметра г, соответствующих различ-
различным каскадам бифуркаций.
Еще более интересная ситуация складывается относительно явле-
явления "перемежаемости", открытого И. Помо и П. Манневилем в си-
системе Лоренца при значении параметра г = 166.1 [14]. Утверждает-
Утверждается, что устойчивый цикл, существующий в системе Лоренца для
148.5 < г < 166.07, исчезает при увеличении г, и система входит в
интервал "перемежаемости", когда движение в окрестности бывшего
цикла прерывается нерегулярными хаотическими всплесками. Систе-
Система, якобы, "помнит" о существовавшем в ней цикле. При дальнейшем
увеличении г в системе возникает хаос. Переход к хаосу через переме-
перемежаемость является одним из трех общепризнанных сценариев возник-
возникновения хаотических режимов поведения в нелинейных динамических
системах.
V 11
Рис. 3.5. Проекции на плоскость (u,v) фазового портрета цикла Си слева
при г = 166.1, h = 0.003 и справа при г = 170, h = 0.03.
Действительно, хаотический всплеск имеет место в системе Лорен-
Лоренца при г = 166.1, если принять при интегрировании системы методом
Рунге-Кутта 4-го порядка шаг интегрирования h ~ 10~3 —10~5. Если
же взять h = 2 • 10~2, то никаких хаотических всплесков не наблю-
наблюдается ни при г = 166.1, ни даже при г = 166.8. Более того, нетруд-
нетрудно видеть, что в системе существует устойчивый предельный цикл
вплоть до значения г « 170, если взять h = 3 • 10~2. Это тот же самый
цикл Сц, что наблюдается и при значении г < 166.07 (рис. 3.5). Та-
Таким образом, в системе Лоренца нет ни перемежаемости, ни перехода
к хаосу через перемежаемость. Этот эффект связан исключительно
с численными ошибками, возникающими вследствие некорректности
задачи вычисления производной в окрестности оси z.
Дополнительным основанием для такого вывода является тот факт,
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 127
что мультипликаторы цикла при г = 166.06, когда еще нет переме-
перемежаемости, имеют следующие значения {1; 0.91; 0} и показывают, что
данное значение параметра г находится еще достаточно далеко от
границы области рождения цикла.
ЗЛ.З. Сценарий рождения полного двойного гомоклиниче-
ского аттрактора в системе Лоренца. Рассмотрим задачу нахо-
нахождения таких значений параметров (сг*,6*), при которых переход к
хаосу в системе Лоренца C.1) осуществляется при уменьшении па-
параметра г через полный двойной гомоклинический каскад бифурка-
бифуркаций. Этот случай соответствует ситуации, при которой прямая
а = а*, Ь = Ь* проходит в пространстве параметров (<т, Ь, г) через точ-
точку (ст*,&*,г*) существования двух гомоклинических контуров (петель
сепаратрис) седло-фокусов О\ и Ог- В п. 3.1.4 мы покажем, что такие
точки образуют полуповерхность в пространстве параметров (а, Ь, г).
Рождающийся при этом аттрактор (при г = г*) не имеет глаз и зани-
занимает верхнюю часть @ < z* < z < г — 1) многообразия Vй, где z* —
значение координаты z на многообразии Vй ^ соответствующее гомо-
клиническому контуру. Границей гомоклинической полуповерхности
служит линия, точки которой являются точками слияния гомоклини-
гомоклинических контуров неподвижных точек О± и Oi системы Лоренца с ге-
тероклиническими контурами точек (O,Oi) и @,02). Пересечением
гомоклинической полуповерхности с плоскостью Ь = 8/3 в простран-
пространстве параметров (<т, Ь, г) является криволинейный луч, исходящий из
точки (а* « 10.1668, г* « 30.86865) и проходящий^ в частности, через
точку (<т* « 10.5, г* ъ 33.2189). Получить подробное описание пере-
перехода к хаосу в системе Лоренца в самой точке (Ь = 8/3, а = 10.1668)
не представляется возможным вследствие сильной некорректности по-
поставленной задачи. Поэтому ниже приведено подробное описание сце-
сценария перехода к хаосу в системе Лоренца при значениях параметров
Ь = 8/3, а = 10.5 и при уменьшении параметра г от значения г = 350
дог w 33.2189 через полный двойной гомоклинический каскад бифур-
бифуркаций, приводящий к рождению полного двойного гомоклинического
аттрактора, отличного, вообще говоря, от классического аттрактора
Лоренца. Метод исследования аттрактора аналогичен методу п. 3.1.2.
При г > 340 в системе C.1) существует единственный устойчи-
устойчивый предельный цикл Со, охватывающий оба состояния равновесия
Oi и О2. Он же является неустойчивым циклом системы C.1) при
13.958 < г < 340, исчезая в результате бифуркации гомоклинической
бабочки (рис. 3.6). При значении г « 340 цикл Со, становясь неустой-
неустойчивым, порождает два устойчивых цикла Ср~ и Cq , также охватыва-
охватывающих состояния равновесия О\ и Ог, но имеющих прогибы в напра-
направлении своих половин неустойчивого многообразия Vй точки О (рис.
3.7). Здесь, собственно, и начинается двойной гомоклинический кас-
каскад бифуркаций. В случае неполного каскада он состоит из конечного
числа стадий возникновения устойчивых циклов С^, А: = 0,1,...,/, и
бесконечного числа их дальнейших бифуркаций. В случае же полного
128
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
каскада число стадий бесконечно и в пределе при / -* оо циклы стре-
стремятся к гомоклиническим контурам точек О\ и 02 соответственно.
Цикл С? совершает к полных оборотов вокруг точки О\ в полупро-
полупространстве, содержащем эту точку, и один неполный оборот вокруг
точки 02' Цикл С?, напротив, делает к полных оборотов вокруг точ-
точки 02 в полупространстве, содержащем эту точку, и один неполный
оборот вокруг точки Ох.
Рис. 3.6. Проекции циклов Со при г = 350 (слева) и при г = п « 13.958
(справа).
Рис. 3.7. Проекции циклов Со (слева) и Cq (справа) при г = 300.
Заметим, что на каждой стадии каскада вместе с парой устой-
устойчивых циклов Cj~ одновременно рождается пара точно таких же не-
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА
129
устойчивых циклов. На fc-ой стадии каскада изначально устойчивые
циклы С* претерпевают субгармонический каскад бифуркаций, обра-
образуя два субгармонических аттрактора, которые имеют вид лент, ле-
лежащих в своих областях неустойчивого многообразия Vй точки О,
Затем эти две ленты сливаются, образуя единый аттрактор вокруг
обеих точек О\ и О2, после чего происходит каскад бифуркаций ци-
циклов, рождающихся в результате слияния лент и совершающих обо-
обороты как вокруг точек О\ и О2 по отдельности, так и вокруг обеих
точек одновременно. Последний каскад бифуркаций обладает свой-
свойством самоорганизации, так как характеризуется упрощением струк-
структуры циклов, т.е. рождением при уменьшении г новых устойчивых
циклов с меньшим числом оборотов вокруг точек О\ и Ог- Каждый
цикл каскада бифуркаций самоорганизации претерпевает свой суб-
субгармонический каскад бифуркаций, после чего все циклы, образую-
образующиеся в результате бесконечного числа бифуркаций всех субгармо-
субгармонических каскадов и каскадов бифуркаций самоорганизации циклов,
становятся неустойчивыми и ложатся своими лентами в свои области
многообразия Vй, создавая, таким образом, некоторое множество В^,
В результате полного гомоклинического каскада бифуркаций образу-
образуется множество В = UBk, к = 0,1,..., которое состоит из бесконечно-
бесконечного числа всех возможных неустойчивых циклов, возникающих на всех
стадиях каскада. Эти циклы порождают полный двойной гомоклини-
ческий аттрактор системы Лоренца.
Рис. 3.8. Проекции циклов Cq (слева) и
при г = 244.
(справа) удвоенного периода
Рассмотрим более подробно первую стадию двойного гомоклини-
гомоклинического каскада. Каждый из циклов Cq" и Cq претерпевает субгармо-
субгармонический каскад бифуркаций, состоящий из появления в окрестности
исходного цикла устойчивых циклов любого периода и дальнейшего
каскада бифуркаций удвоения периодов этих циклов. Например, при
130
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
г « 251 рождаются циклы удвоенного периода (рис. 3.8), при г « 237
- циклы учетверенного периода, при г = 229.5 наблюдаются циклы
периода 5 (рис. 3.9), а при г = 226.9 - циклы периода 3 (рис. 3.10)
и т.д. При г « 225.5 по окончании субгармонического каскада бифур-
бифуркаций возникают два устойчивых множества (два субгармонических
аттрактора), образовавшихся вследствие бифуркаций циклов Cq{Cq)
и лежащих на многообразии Vй. Внешне эти множества выглядят как
две широкие ленты (рис. 3.11). При г < 219.9 два аттрактора, образо-
образованных циклами Cq и Cq , сливаются в один нерегулярный аттрактор,
который пока находится на некотором расстоянии от оси z и поэтому
не имеет "глаз" (рис. 3.12).
Рис. 3.9. Проекции циклов Со (слева) и Cq (справа) периода 5 при г = 229.5.
Рис. 3.10.
г = 226.9.
Проекции циклов Со (слева) и Cq (справа) периода 3 при
В результате такого слияния появляется возможность образования
устойчивых циклов, делающих обороты вокруг обеих точек О\ и 02,
причем количество витков в таких циклах уменьшается с уменьше-
уменьшением г (рис. 3,13) - начинается каскад бифуркаций самоорганизации
циклов. При дальнейшем уменьшении г и, следовательно, при прибли-
приближении циклов к оси z, траектории системы начинают закручиваться
вокруг точек Oi и Ог, и при г « 213.55 у циклов самоорганизации
образуются "глаза". Появляются устойчивые циклы типа Cjjrm, дела-
делающие обороты как вокруг каждой из точек О\ и Оъ по отдельности
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА
131
Рис. 3.11. Проекции субгармонических аттракторов, порожденных цикла-
циклами Cq (слева) и С^ (справа) при г = 220.
Рис. 3.12. Нерегулярный аттрактор, образованный слиянием двух субгар-
субгармонических аттракторов при г = 219.9.
Рис. 3.13. Проекции циклов каскада самоорганизации периодов 11 и 5 со-
соответственно при г = 219.263 и г = 215.260.
132
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
(ровно один оборот), так и вокруг обеих точек сразу. Эти циклы, са-
самоорганизуясь, возникают парами в огромном количестве в интервале
183 < г < 213.55 (рис. 3.14 - 3.16). Все они последовательно претерпе-
претерпевают субгармонические каскады бифуркаций (см. рис. 3.15), образуя
Рис. 3.14. Проекции циклов каскада самоорганизации при г = 209.090 (сле-
(слева) и г = 199.412 (справа).
Рис. 3.15. Проекции циклов каскада самоорганизации при г = 194.750 (сле-
(слева) и т = 193.9175 (справа).
Рис. 3.16. Проекции циклов каскада самоорганизации при г = 190.561 (сле-
(слева) и г = 184.943 (справа).
свои более узкие ленты, и также ложатся на многообразие Vй, теряя
при этом устойчивость. При г « 183 каскад бифуркаций самоорга-
самоорганизации завершается рождением устойчивого цикла Си, с которым
в дальнейшем при уменьшении г происходят все те же бифуркации,
3,1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА
133
что и с исходным циклом Со, но в интервале 108.339 < г < 183 (рис.
3.17- 3.20). Заметим, что рождение двух устойчивых циклов С^ и С*х
из одного устойчивого цикла Сц происходит при г « 165.2.
\
с
V
{
и
>¦
и
Рис. 3.17. Проекции и трехмерное изображение цикла Си при г = 176.
Рис. 3.18. Проекции устойчивых циклов Си (слева) и С^ (справа) при
г = 164.
На этом заканчивается первая стадия двойного гомоклиническо-
го каскада и при г « 108.339 рождается пара устойчивых циклов Cf
(рис. 3.21). При г « 72.296 с рождения пары устойчивых циклов Cf
начинается третья стадия, которая длится до значения г « 63, когда
происходит рождение пары устойчивых циклов С% . Четвертая стадия
каскада длится до значения г « 55.67, когда рождается пара устойчи-
устойчивых циклов Cf, пятая - до значения г « 51.01, шестая - до значения
г « 47.78, когда рождается пара устойчивых циклов С^ (рис. 3.22).
134
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
Внутри каждой k-ои стадии каскада происходит рождение устой-
устойчивых циклов Ckk и С^, а также всевозможных устойчивых циклов
типаС/ьт пСтк,т = l,...,fc-l. Циклы С3з иСее показаны на рис. 3.23.
На рис. 3.24 представлен цикл С^ц рождающийся при г « 33.2189.
Численно рождение этого цикла обнаружено при г = 33.21895995031,
zq = 2.3784027452 и при шаге интегрирования h = 0.01.
о
V
и
и
а*/
о
V
Г>°1
и
и
Рис. 3.19. Проекции субгармонических аттракторов, порожденных цикла-
циклами С1Х (слева) и С^ (справа) при г = 155.42.
Рис. 3.20. Слева проекция нерегулярного аттрактора, образованного слия*
нием двух субгармонических аттракторов при г = 155.41, справа - одного
из циклов самоорганизации при г = 153.35.
В результате гго оконч-ании полного двойного гомоклинического
каскада бифуркаций при г « 33.2189 в системе Лоренца рождает-
рождается полный двойной гомоклиническии аттрактор, который отличен от
аттрактора Лоренца, являющегося неполным двойным гомоклиниче-
ским аттрактором. Для сравнения на рис. 3.25 представлены аттрак-
аттрактор Лоренца (Ь = 8/3, а = 10, г = 28) и полный двойной гомоклини"
ческий аттрактор (Ь = 8/3, а = 10.5, г « 33.2189).
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА
135
Дальнейшие исследования полного двойного гомоклинического ат-
аттрактора в системе Лоренца при а = 10, Ь = 0.5 дают веские осно-
основания сомневаться не только во фрактальности, но и в структурной
устойчивости классического аттрактора Лоренца (а = 10, Ь = 8/3)
при всех значениях г 6 (га, г*).
о
Рис. 3.21. Проекции устойчивых циклов С1 (слева) и С* (справа) при
г = 107.75.
о
Рис. 3.22. Проекции устойчивых циклов С6 (слева) и Cq" (справа) при
г = 47.7788, zq = 13.72.
Действительно, в случае <т = 10, Ь = 0.5 неподвижные точки Oi
и Ог теряют устойчивость при критическом значении гз « 15.882, а
полный двойной гомоклиническии аттрактор формируется при эначе-
136
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
нии г* « 234.177. При значениях г < г* в системе Лоренца появляются
особенности, отличные от сценария с классическим набором параме-
параметров. Так, с уменьшением значений параметра г наблюдается обрат-
обратный двойной гомоклинический каскад, т.е. происходит сброс витков у
устойчивых циклов С„ и Спп> Отметим, что при классическом наборе
параметров это не наблюдается. При значении г » 212.32 в системе
существует устойчивый цикл См который ранее наблюдался также
устойчивым при г « 265.4, большем чем г* (рис. 3.26).
Рис. 3.23. Проекции устойчивых циклов Сзз и Свб соответственно при
г = 74.09 и г = 50.8682.
Рис. 3.24. Проекции и трехмерное изображение цикла Ст при г as 33.21896.
Полученные результаты дают основание утверждать, что по всей
видимости, в любой окрестности значения г* параметра г существуют
системы с устойчивыми предельными циклами, которые мы не можем
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА
137
наблюдать исключительно по причине вычислительных ошибок вслед-
вследствие некорректности решаемой задачи.
Отметим также, что при фиксированных значениях параметров
а = 10, Ь = 0.5 наблюдаются устойчивые циклы С^ в интервале
19 < г < 38.5, а при дальнейшем уменьшении г начинает формиро-
формироваться очередной двойной гомоклиническии каскад бифуркаций, на-
начинающийся каскадом удвоения периода и продолжающийся субгар-
субгармоническим каскадом бифуркаций. Так, например, при г « 18.1 отме-
отмечаются устойчивые циклы С^ периода четыре, а при г « 17.76 циклы
периода три.
Рис. 3.25. Проекции аттрактора Лоренца при b = 8/3, <j = 10, г = 28
(слева) и полного двойного гомоклинического аттрактора при
Ь = 8/3, а а= 10.5, г = 33.2189.
Рис. 3.26. Проекции на плоскость (и, v) фазового портрета устойчивого
цикла Саа при г = 265.4 (слева) и при г = 212.32 (справа).
При значениях г < 16.2 можно отметить еще одну интересную
особенность - возникновение устойчивого цикла С22? который суще-
существует до значения г « 15.1, где он начинает двоиться. Следовательно,
138 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
при г < гз ^ 15.882 в системе имеются три аттрактора: два устойчи-
устойчивых фокуса О\ и О2 и устойчивый цикл. Таким образом, в отличие от
классического сценария, в момент потери устойчивости точками О\
и Ог, мы в качестве устойчивого предельного множества имеем пре-
предельный цикл, а не хаотический аттрактор. При дальнейшем умень-
уменьшении значений параметра г удалось найти устойчивые циклы С^
при г « 13.07, Сзз при г я* 12.95 и некоторые другие устойчивые
циклы вплоть до значений г « 12.29. При г < га « 11.78 в системе
уже наблюдается метастабильный хаос. Таким образом, хаотический
аттрактор, если и существует, то только в интервале изменения па-
параметра 11.78 < г < 12.29 . Хотя более правдоподобной выглядит
гипотеза о том, что и в этом интервале изменения значений бифур-
бифуркационного параметра устойчивые циклы существуют почти всюду,
за исключением точек накопления значений параметра г (предельных
значений отдельных каскадов бифуркаций), что, впрочем, полностью
согласуется с теорией сингулярных аттракторов, изложенной в главе
4 настоящей книги.
При переходе г через значение га система переходит в состояние
метастабильного хаоса. При г = г2 « 10.103 в системе происходит би-
бифуркация "точка-цикл". Траектории, выходящие из окрестности нуля
не стремятся к точкам О\ и Oi , а наматываются на границы их обла-
областей притяжения. Однако в классическом случае траектория, соскочив
с границы и не попав в устойчивую точку, будет вечно двигаться по
аттрактору (га « 23.9 < тч « 24.06 при Ь = 8/3 и а = 10). В рассма-
рассматриваемом случае траектория, не попав в устойчивую точку сразу,
все равно рано или поздно стянется в О\ или Ог, так как их области
устойчивости достаточно велики, а система продолжает находится в
области метастабильного хаоса (г 2 « 10.103 < та « 11.78 при Ь = 0.5 и
а = 10). Таким образом, это отличие от классического сценария еще
раз подтверждает вывод работы [29] о том, что точка т^ не имеет
никакого отношения к образованию аттрактора Лоренца. Метаста-
Метастабильный хаос в системе продолжается до значения г = г\ « 6.493,
при котором бифуркация гомоклинической бабочки полностью раз-
разрушает остатки аттрактора, уничтожая последние из составляющих
его неустойчивых циклов. При 1 < г < г\ траектории стягиваются к
ближайшей устойчивой точке О\ или Оч-
Таким образом, вопреки традиционному сценарию классический
(и любой другой) аттрактор системы уравнений Лоренца рождается
из устойчивых предельных множеств (циклов) в результате субгар-
субгармонического и (или) гомоклинического каскадов мягких бифуркаций.
Теория таких аттракторов изложена в главе 4.
ЗЛ.4. Бифуркации гомоклинических и гетероклинических
контуров в системе уравнений Лоренца. Применим подход, из-
изложенный в п. 2.4.3 главы 2 для нахождения в пространстве параме-
параметров (<г, Ьу г) бифуркационных поверхностей и кривых существования
в системе уравнений Лоренца C.1) гомоклинических петель сепара-
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 139
трис и гетероклинических контуров особых точек.
Гетероклинические контуры, соединяющие седло-узел с
седло-фокусом. Рассмотрим систему Лоренца C.1) в области зна-
значений параметров а > О, Ь > О, г > 1 и запишем ее в удобном для
применения метода виде
х = у,
у = -> + \)у - a(z - г + 1)ж, C.8)
i = я2 -f яу/<7 - bz.
При значениях г > 1 система C.8) имеет седло-узел 0@,0,0) с веще-
вещественными собственными значениями матрицы линеаризации
о,
Вместе с этим система C.8) имеет два седло-фокуса
с одним отрицательным вещественным собственным значением Ai и
двумя комплексно сопряженными собственными значениями А2,з? име-
имеющими положительные вещественные части при значениях г > гс =
= <т(сг -f 6 4- 3)/(сг — 6—1) и удовлетворяющими характеристическому
уравнению
А3 4- {а + Ь 4- 1)А2 + Ь(сг + г)А + 2Ьст(г - 1) = 0. C.9)
Задача состоит в определении таких значений параметров 6, а, г,
при которых в системе C.8) существуют гетероклинические контуры,
соединяющие седло-узел О с седло-фокусом О\. Заметим, что при тех
же значениях параметров в системе будет одновременно существовать
и контур, соединяющий седло-узел О с седло-фокусом 02-
В соответствии с изложенной выше теорией преобразуем систему
C.8) к виду
dy __ (<т + \)у - a(z - г + 1)х dz x2 + xy/a-bz . Л
. (O.W)
ах у ах у
Система C.10) имеет особенности в точках О и Oi,2, так как здесь
у = 0. Используя разложения в точке О в ряд Тейлора, найдем
140 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
откуда следует, что у'@) — и2 > 0, z'@) = 0. Далее также получим
_ 2 + 2y'@)/a-bz"@) _ 2A + щ/<т)
Z @) " Ш) 2u2 + b > °-
Аналогично вычислим в точке О\
= А, < 0, z'(-VbV^T)) = -VR^P + W > О-
где Ai - отрицательный вещественный корень характеристического
уравнения C.9).
Далее при малом е > 0 численно решаем систему C.8) в прямом
времени с начальными условиями
и получаем траекторию (#+(?), 2/+(^), 2+(*))> сколь угодно близкую
к сепаратрисе, исходящей из седло-узла О. Затем численно решаем
систему (S.8) в обратном времени с начальными условиями
и получаем траекторию (х (?), у (?), z (?)), сколь угодно близкую к
сепаратрисе, входящей в седло-фокус О\. Сшивку траекторий осуще-
осуществляем на оси я в моменты времени t+ и?~, когда y+(t+) = y~(t~) = Q,
Для выполнения последнего условия необходимо и достаточно решить
систему двух уравнений
относительно трех параметров. Поэтому бифуркация, связанная с су-
существованием в системе Лоренца гетероклинического контура, имеет
коразмерность два, то есть бифуркационная поверхность является ча-
частью линии в пространстве параметров.
На рис. 3.27 показаны проекции (х,у) и (я, г) гетероклиническо-
гетероклинического контура системы C.8), найденные в результате численного ре-
решения системы C.11) относительно параметров а и г при
b = 8/3, е = 10~6. Приведенные результаты показывают, что для зна-
значения 6 = 8/3 контур существует только при а = 10.1672937 ± 2 • 10
и г = 30.868108 dr 2 • 10~6. Отсюда следует, что в классическом слу-
случае (а = 10, Ъ = 8/3) система Лоренца не имеет гетероклинического
контура ни при каком значении 1 < г < оо.
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА
141
Рис. 3.27. Построение гетероклинического контура, соединяющего сед-
седло-узел с седло-фокусом в системе Лоренца.
Вторую часть гетероклинического контура, изображенного на рис.
3.27, составляет сепаратриса, накручивающаяся на седло-фокус О\
при f ч -оои стремящаяся к седло-узлу О при t -> -f-oo вдоль его
двумерного устойчивого многообразия W8. Эта сепаратриса входит
в точку О в проекции (ж, у) под углом, тангенс которого равен у'@) =
= v\ < 0. Однозначно замкнуть контур в проекции (х, у) дает возмож-
возможность выбора свободного параметра - начальной фазы ip сепаратрисы
при раскрутке вокруг седло-фокуса О\. Замкнуть контур в проекции
(я, z) дает возможность выбора другого свободного параметра - ко-
коэффициента к в представлении z(x) « (xx)~b/Ul, x —> 0, вытекающем
из второго уравнения системы C.10).
\У
а
о
Рис. 3.28. Проекции полного гетероклинического контура, соединяющего
седло-уэел с седло-фокусом (для Ь = 8/3 получено а = 10.1672937 i 2 • 10
и г = 30.868108 ±2.1(Г6).
Проекции (х, у) и (х, z) полного гетероклинического контура си-
системы Лоренца при Ь = 8/3 (а - 10.1672937, г = 30.868108) показаны
на рис. 3.28.
142
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса. Приме-
Применим изложенный подход к нахождению двумерной полуповерхности
гомоклинических контуров седло-фокусов О\ и Оъ системы Лоренца
C.8) в области Ъ > О, а > О, г > гс. Матрица линеаризации в точке
О
(
Л = 0
\-2у/Ь(г -1)
имеет отрицательное вещественное собственное значение Ai и два
комплексно сопряженных собственных значения А2,з = a i г/? с поло-
положительной вещественной частью а > О, удовлетворяющих характери-
характеристическому уравнению C.9). Сделаем замену (cc,t/,z)T = C(u,v>w)r.
Прямой подстановкой можно убедиться в том, что если матрица С
имеет вид
а
О
а
•2а)
\ -acry/b{r - 1) -aay/b(r - 1)
то
/а -/3 0\
С7-2ЛG= /? а 0 .
V0 0 Aj
Выберем теперь начальные условия щ = е cos ip, vo — е sin <?>, w;0 = О
и, следовательно,
C.12)
z(O) = r-l
Решая систему C.8) в прямом времени с начальными условиями
C.12), получим траекторию {x+(t), y+(t), z+{t)), сколь угодно близ-
близкую к сепаратрисе, выходящей из седло-фокуса 0\. Затем, решая си-
систему C.8) в обратном времени с начальными условиями
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА
143
получаем траекторию (х (?), у (?), z (?)), сколь угодно близкую к
сепаратрисе, входящей в седло-фокус О\. Сшивку траекторий осуще-
осуществляем в моменты t+ и ?"", когда 2/+(?+) = y~(t~) = 0. Фазу y>(e,ju)
выбираем таким образом, чтобы х+ (сг,6, г,?+,<р) = гс~(ст,6,г,t"",(/?).
Оставшееся условие получения гомоклинического контура с любой
точностью
2+(<7,&,Г,*+,С/>) =2Г(<7,Ь,Г,Г,</>) C.13)
задает в пространстве параметров (<?,&, г) бифуркационную полупо-
полуповерхность.
У
О
Рис. 3.29. Построение гомоклинической петли сепаратрисы седло-фокуса
Oi в системе Лоренца (для b = 8/3 и сг = 10.5 получено г = 33.21926±1-1(Гб).
На рис. 3.29 изображены проекции (я, у) и (#, z) гомоклинического
контура системы C.8), найденные в результате численного решения
уравнения C.13) относительно параметра г при Ь = 8/3, а = 10.5
и е = 10~5. Заметим, что в системе Лоренца одновременно с гомо-
гомоклинической петлей сепаратрисы седло-фокуса О\ существует симме-
симметричная ей относительно оси z гомоклиническая петля сепаратрисы
седло-фокуса 0^- Сечение бифуркационной полуповерхности плоско-
плоскостью Ъ = 8/3 является полупрямой в плоскости (а, г), начинающей-
начинающейся в точке а = 10.1672937, г = 30.868108-существования гетерокли-
нического контура (см. рис. 3.28). Таким образом, кривая гетеро-
клинических контуров в пространстве параметров (сг, &, г) системы
Лоренца является границей (предельным случаем) полуповерхности
гомоклинических петель сепаратрис седло-фокусов. В классическом
случае прямая сг = 10, 6 = 8/3 не пересекает эту полуповерхность.
Поэтому в классическом случае в системе Лоренца возможно суще-
существование только неполного двойного гомоклинического аттрактора.
Заметим также, что полученное значение параметра г существования
гомоклинической петли сепаратрисы седло-фокуса системы Лоренца
при сг = 10.5, b = 8/3 уточняет значение, найденное авторами в работе
[29] и в п. 3.1.3 другим методом.
144 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-узла. Применим
наш подход к нахождению двумерной полуповерхности гомоклиниче-
ских петель сепаратрис седло-узла О системы Лоренца C.8) в области
а > О, Ь > 0, г > 1. Заменой х1 = г>, у = хи, z = z приведем систему
C.8) к более удобному для применения предлагаемого метода виду
и = -(и - v{){u - v2) - crzy
i) = 2uv, C.14)
z = v(l +u/cr) — bz.
При этом наличие петли сепаратрисы седло-узла О системы C.8)
эквивалентно наличию гетероклинического контура системы C.14),
соединяющего две ее особые точки Pi(i/1}0,0) и ^2(^2,0,0), где как
отмечалось выше, величины
являются собственными значениями матрицы линеаризации системы
Лоренца C.8) в седло-узле 0@,0,0). Выберем координату и, на кото-
которой расположены особые точки Pi и Р2 системы C.14) и, в соответ-
соответствии с изложенным выше, преобразуем систему C.14) к виду
dv _ 2uv dz v(l 4- и/а) - bz
"*7— — —77—^ ) I— — 77—^ j C.15)
du j(u)+gz du fW1 —
где f(u) = (u- vi)(u — v2). Используя разложение в ряд Тейлора для вы-
выражений в числителе и в знаменателе правых частей системы C.15),
найдем, что в точке Р2(*/2,0,0)
V\ — V2-~ (TZ'fa)' V\ ~ l/2 - (T
Из последней системы уравнений при v'{v2) ф 0 получаем, что
—V2— crz'(u2) = 2u2 и, следовательно,
Ь) (i/! - 3^2)Bг/2 + ft)
В точке Pi, напротив, t/(i/i) = 0. Поэтому v2 — v\ - crz'(yi) = —6 и,
следовательно, >z'(i/i) = (Ь 4-1/2 - fi)/cr.
Для произвольного малого числа е > 0 численно решаем систему
C.14) в прямом времени с начальными условиями
ii@) = i/2~e, v@) = -v'(v2)e, г@) = -
3.1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 145
где значения t>'(z/2) и г'(*/2) определены в соответствии с формулами
C.16). Получим траекторию (и+ (?),v+ (?),2+(?)), сколь угодно близ-
близкую к сепаратрисе, исходящей из особой точки Р2( 1/2,0,0) системы
C.14). Сшивку траекторий будем осуществлять при и = 0, то есть
прекратим вычисление траектории, выпущенной из окрестности точ-
точки Р2 в момент ?+, когда гх+(?+) = 0. При этом будем иметь значения
Аналогично, из окрестности особой точки Pi(z/i,0,0) выпу-
выпустим в обратном времени однопараметрическое семейство траекто-
траекторий (и~ (?, х), v~ (?, х), z~ (?, х)), сколь угодно близких к сепаратрисам,
входящим в точку Р\. Для этого численно решим в обратном времени
систему C.14) с начальными условиями
u@) = J/i +е, v@) = {xe)-2vi'b, z{0) = ^(i/i)e,
где х - произвольная постоянная.
Чтобы понять, откуда берется однопараметрическое семейство на-
начальных условий в точке Pi для функции v(t), сделаем в C.14) замену
переменой v = w~2vi^b. Тогда v = —2w~2l>l^b~1wu\/b. С другой сторо-
стороны v = 2w~~2ui!bu. Следовательно,
Ь „ , Ы
W — WU И UU 1/1) =
V\ 1/2 — V\
Последнее условие выполнено при любом w'{u\) = х = const, так как
2/2-i/i -oz(y{) = -&. Поэтому начальное значение функции ги(?) имеет
вид ги@) = хе, что порождает начальное условие для функции v(t) в
точке Pi в виде v@) = {xe)~2vilb.
Выберем теперь момент времени t~ и значение х таким образом,
что
гх~(?""",х) = 0, t>-(?~,x) = t>+(?+),
то есть замкнем проекцию гетероклинического контура системы C.14)
в плоскости (и, г>). Тогда для получения всего гетероклинического кон-
контура с заданной точностью необходимо и достаточно решить одно
уравнение
которое определяет в пространстве параметров (<т, Ь) г) бифуркаци-
бифуркационную поверхность. На рис. 3.30 показаны проекции (гх,г>) и (u,z)
гетероклинического контура системы C.14), полученные в результа-
результате численного решения уравнения C.17) относительно параметра г
при фиксированных значения Ъ = 8/3, a — 10 и е — 10~6. При этом
найдены значения постоянной х = 0.293356 ± 1 • 10~6 и системного
параметра г = 13.926560 ± 5 • 10.
Найденный гетероклинический контур системы C.14) порождает,
согласно выражениям х — ±\[v, у = xu, две петли сепаратрисы седло-
узла исходной системы Лоренца C.8), формирующие так называемую
146
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
гомоклиническую бабочку. На рис. 3.31 изображены проекции (ж, у)
и (ж, г) гомоклинической бабочки исходной системы уравнений Ло-
Лоренца C.8), соответствующей классическим значениям параметров
Ъ = 8/3, а = 10. При этом, как уже было отмечено выше, удалось
уточнить классическое значение параметра г, при котором имеет ме-
место гомоклиническая бабочка.
- г+
и
и
Рис. 3.30. Построение гомоклинической петли сепаратрисы седло-узла (го-
(гомоклинической бабочки) в системе Лоренца.
У
Рис. 3.31. Проекции гомоклинической бабочки системы Лоренца (для
Ъ = 8/3 и а = 10 получено г = 13.926560 ± 5 • 10~.)
Обратим внимание на почти четырнадцатый порядок касания ре-
решения v{u) системы C.14) оси и в особой точке Pi и на примерно
седьмой порядок касания решения x{z) системы C.8) оси z в седло-
узле О (рис. 3.31). Неудивительно, что никакой метод численного ин-
интегрирования не в состоянии справиться с вычислением таких супер-
супернеустойчивых траекторий в окрестности седло-узла О, какие имеют
место в системе Лоренца.
3.2. КОПЛЕКСНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА
147
3.1.5. Диаграммы нелокальных бифуркаций в системе
уравнений Лоренца. Развитая в предыдущем разделе методика на-
нахождения гомоклинических и гетероклинических контуров особых то-
точек системы уравнений Лоренца дает возможность построить числен-
численно бифуркационные поверхности рассмотренных выше бифуркаций
в пространстве параметров (а, Ь, г). Такое построение было осуще-
ззоо
1650
11.8
10.4
Рис. 3.32. Бифуркационная поверхность существования гомоклиническои
бабочки в области параметров 6 € @.5, 12.5), а € (9, 11.8) (а) и бифурка-
бифуркационная поверхность существования гомоклиническои петли сепаратрисы
седло-фокуса в области параметров Ь ? @.5, 4.5), <т ? E.9, 22.8) (б).
ствлено в работе [78]. На рис. 3.32 изображены часть бифуркацион-
бифуркационной поверхности существования гомоклиническои бабочки и часть би-
бифуркационной полуповерхности существования гомоклиническои пе-
петли сепаратрисы седло-фокуса. При нахождении первой поверхности,
как и ожидалось, подтвердилось неравенство Чена [73] Ъа > 2Ь + 1
- необходимое и достаточное условие существования значения пара-
параметра г, при котором система Лоренца имеет две гомоклинические
петли сепаратрис седло-узла.
3.2. Комплексная система уравнений Лоренца.
Система уравнений
X = -аХ + <тУ,
У = -XZ + гХ-
C.18)
записанная относительно двух комплексных переменных X и У и од-
одной вещественной переменной Z, имеющая вещественные параметры
148
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
сг, Ь и комплексные параметры г = r\ -f гг2 и а = 1 - ге, называется
комплексной системой уравнений Лоренца [65].
Покажем, что в системе C.18) реализуется сценарий перехода к
хаосу через субгармонический (по одной частоте) каскад бифуркаций
двумерных торов. Как уже отмечалось выше, основной характерной
чертой такого каскада является рождение устойчивого двумерного
тора периода три, понимаемого как прямое произведение простого
цикла на цикл утроенного периода.
Вводя новые вещественные переменные х\ = ReX, х2 = ImX,
г/i = ReY, г/2 = 1тУ, и полагая е = О, систему C.18) можно пе-
переписать в виде пятимерной системы вещественных обыкновенных
дифференциальных уравнений:
C.19)
где а > О, Ь > 0, п > 0, г2 > 0. Система C.19) имеет единствен-
единственное положение равновесия - начало координат, устойчивость которого
определяется собственными значениями якобиана J@) в данной точке
У1 = -xiz + rixi - 2/i - г2х2)
2/2 = -x2z + ггх2 - 2/2
/@) =
-G О
О -<7
г2
0
а
О
-1
О
О
О
а
О
-1
О
О
О
О -ft.
В характеристическом уравнении
(А + 6)(А4 + aiA3 + о2А2 + а3Х + а4) = 0,
где
ах = 2(от + 1), а2 = (а + IJ + 2аA - п),
а3 = 2ст(ст + 1)A - п) + 2<тг2, а4 = ст2(A - пJ + г2),
одно собственное значение А = ~Ь отрицательно. Поэтому устойчи-
устойчивость положения равновесия зависит от корней полинома четвертого
порядка. Условия Рауса-Гурвица
ах > 0, axa2 - a3 > 0, ai(a2a3 - aia4) - а3 > 0, a4 > 0,
определяющие устойчивость этого полинома, равносильны системе из
двух неравенств
0, ai(a2a3 -
- а2
0.
3.2, КОПЛЕКСНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА 149
Подставляя в эту систему приведенные выше выражения для коэффи-
коэффициентов полинома, получаем, что неподвижная точка теряет устойчи-
устойчивость при условии
(п - 1)(<т + IJ + gt\ > О, C.20)
и в системе C.19) рождается предельный цикл. Покажем, что данный
предельный цикл имеет вид
xi(t) = Rcosut, x2(t) = Rsincjt. C.21)
Действительно, подставляя C.21) в C.19), найдем, что
y1(t) = sincjt + R cos cjt, 2/2@ ^ —cos cut + R sin ujt.
G G
Следовательно,
Ruj2
yJt) = cosut- Rusinuft = RcosuJtiri - z) —
G
Rjjj
- Rcoscjt
G
при
Аналогично
п 2
2/2 (t) = sin ut -|- Rio cos ut = R sin ujt{n — z)+
G
Rlj
Г2 R cos ut cos <jjt — R sin ujt
G
опять же при
и
G
„ GT<i UJ2
Следовательно, и = -, z = hri-l = zo. Для нахождения ам-
G "f" 1 G
плитуды R воспользуемся пятым уравнением системы C.19), положив
в нем z = zo:
R2u . ' „2 о
ozo = sm ujt cos ujt + R cos ut+
G
R?0J о • 2 т-»2
-I sin u)t cos cjt -f л sm cjt = R .
150 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
Следовательно, R2 = bz0 = b( h r\ - lj > 0 в силу неравен-
неравенства C.20). При г2 — 0 пятимерное пространство решений системы
C.19) разбивается на трехмерные пространства Лоренца, задаваемые
фиксированными начальными значениями углов tg<?> = ?2@)/a;i@) и
tg^> = 2/2@)/2/1@). Со временем траектория затягивается в одно из
пространств Лоренца и остается там навсегда. Например, при tg(/? =
= tg-0 = 1 траектория не выходит из пространства Лоренца х2 = a?i,
у2 = 2/i, что нетрудно видеть, вычитая из первого уравнения системы
C.19) второе уравнение, а из третьего уравнения - четвертое уравне-
уравнение, учитывая при этом, что г2 = 0. При ^(О) = 2/2@) = 0 траектория
также не выходит из трехмерного пространства Лоренца, описывае-
описываемого переменными rri, 2/1,2. Таким образом, можно считать, что при
г2 = 0 динамика системы C.19) эквивалентна динамике трехмерной
системы уравнений Лоренца
xi - -axi +<72/i,
2/i = -rriz-f rirri -2/1, C.22)
z = -b +
В п. 3.1 нами было установлено, что при значениях параметров
а = 10.5, Ь = 8/3, г* « 33.2189 система уравнений C.22) имеет
наиболее сложный полный двойной гомоклинический аттрактор, пе-
переход к которому осуществляется через полный двойной гомоклини-
гомоклинический каскад бифуркаций при уменьшении параметра г\ от г\ = 350
до г* « 33.2189. Поэтому, наиболее интересным представляется изу-
изучение перехода к хаосу в пятимерной системе уравнений C.19) при
Г2 —>• 0 и при фиксированных значениях остальных параметров систе-
системы: а — 10.5, Ь = 8/3, г\ = 33.2189. Ниже мы покажем, что такой
переход осуществляется через субгармонический каскад бифуркаций
двумерных торов.
3.2.1. Сценарий перехода к хаосу. Как следует из изложенно-
изложенного выше, условием существования предельного цикла системы C.19)
является выполнение неравенства C.20), которое автоматически удо-
удовлетворяется в случае рассматриваемых нами значений параметров
сг, ri, гг. Поэтому при всех Г2, превышающих некоторое значение г2,
единственным устойчивым предельным множеством системы C.19)
является цикл C.21). При г2 = г% & 1.93 из цикла C.21) в резуль-
результате бифуркации Андронова-Хопфа рождается устойчивый тор Т2,
после чего в системе C.19) возникают двухчастотные колебатель-
колебательные режимы. Мультипликаторы /Х{,г = 1,5, цикла C.21), измеренные
для системы C.19) при значениях г2 = 2.00, г2 = 1.95 иг2 = 1.93
соответственно равны: @;0;1;0.683 ± 0.635г) с |/г4| = Ы = 0.932,
@; 0; 1; -0.166 ± 0.966г) с |/х4| = Ы = 0.971 и @; 0; 1; -0.570 ± 0.812г) с
1^41 = |/Хб| = 0.992, и подтверждают классический переход двух ком-
комплексно сопряженных мультипликаторов через окружность единично-
3.2. КОПЛЕКСНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ЛОРЕНЦА
151
го радиуса при бифуркации образования тора, которая в нашем слу-
случае имеет место при уменьшении параметра г 2. Родившийся при этом
тор Т2 и все дальнейшие его превращения, обусловленные соответ-
соответствующими бифуркациями, удобно анализировать, исследуя проекции
пересечения тора с четырехмерным подпространством хъ — 0 на плос-
плоскости (xi,2/i) и (xi,z). На рис. 3.33 изображены соответствующие
О
Рис. 3.33. Проекции простого двумерного тора из пространства Х2 = 0 на
плоскости (xi,yi) и (xi,z) при г2 = 1.001.
2/1
Рис. 3.34. Проекции двумерного тора периода два из пространства Х2 = 0
на плоскости (xi,yi) и (x\,z) при гг = 0.6015.
проекции, полученные при значении параметра тч = 1.001. Каждая
проекция представляет собой проекцию пары замкнутых кривых, по
которым тор Т2 пересекается с четырехмерным подпространством
х2 = 0.
Устойчивый тор Г2 существует в системе C.19) при значениях
параметра 0.7925 < тч < 1.93. При>2 « 0.7925 в системе C.19) проис-
происходит бифуркация удвоения периода замкнутых кривых, по которым
тор пересекает подпространство хъ = 0 (рис. 3.34). При этом тор
152
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
остается двумерным, но имеет период два, что соответствует удвое-
удвоению площади его поверхности внутри ограниченного объема фазового
пятимерного пространства.
При дальнейшем уменьшении значений параметра Г2 в системе
C.19) наблюдается субгармонический каскад бифуркаций замкнутых
кривых, являющихся пересечением тора с подпространством Хч = О,
что отражает рождение новых устойчивых двумерных торов различ-
различных периодов со все более увеличивающейся площадью поверхности
внутри ограниченного объема фазового пространства. Так при
0.418 < Г2 < 0.421 в системе C.19) наблюдается устойчивый дву-
двумерный тор периода пять, а при 0.349 < гг < 0.352 - устойчивый
двумерный тор периода три (рис. 3.35). Последний факт говорит о
том, что при гг < 0.349 в системе C.19) уже имеется бесконечное
число неустойчивых двумерных торов всех периодов в соответствии
с порядком Шарковского.
Рис. 3.35. Проекции двумерного тора периода три из пространства хг = 0
на плоскости (х\^у\) и (x\,z) при гг = 0.351.
Таким образом, при значениях параметра тч < 0.349 в результате
описанного субгармонического каскада бифуркаций в системе C.19)
возникает аттрактор, являющийся замыканием множества обмоток
всех неустойчивых двумерных торов, родившихся изначально устой-
устойчивыми в результате описанного выше субгармонического каскада
бифуркаций (рис. 3.36). Вопрос о размерности аттрактора остается
пока открытым. Наша гипотеза состоит в том, что возникший та-
таким образом аттрактор не является фракталом и имеет целую раз-
размерность, равную трем. В соответствии с высказанной гипотезой пе-
пересечение аттрактора с четырехмерным подпространством должно
иметь размерность, равную двум, а его проекции из трехмерного под-
подпространства х2 = 0,-г = п - 1 на плоскости (xi,t/i), (xi,y2) и B/2,2/1)
должны быть одномерными кривыми, что хорошо подтверждается ре-
результатами проведенных нами численных экспериментов (рис. 3.37).
3.3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЁССЛЕРА
153
Заметим, что множество, являющееся пересечением аттрактора с
подпространством Х2 = 0, при гг -> 0 стремится к предположительно
двумерному полному гомоклиническому аттрактору системы Лорен-
Лоренца, лежащему в трехмерном пространстве (xi,yi,z).
Рис. 3.36. Проекции субгармонического аттрактора из пространства Х2 = О
на плоскости (xi,yi) и (x\,z) при гг = 0.25.
о\/
Рис. 3.37. Проекции субгармонического аттрактора из пространства
Х2 = 0, z = г - 1 на плоскости (a?i,yi), (^1,2/2) и (y2,yi) при Г2 = 0.25.
3.3. Системы уравнений Рёсслера.
Рёсслером [58, 79] предложен ряд нелинейных систем обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования некоторых ги-
гипотетических химических реакций, обладающих хаотическим поведе-
поведением. Здесь мы остановимся на двух системах, наиболее известная из
154 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
которых имеет вид
* = -2/-*,
у = х + ау} C.23)
z =s Ь-f я(я - /х).
В работе [59] проведен качественный анализ бифуркации рождения
предельного цикла для этой системы и найдена область параметров, в
которой имеет место бифуркация Андронова-Хопфа. Сценарий пере-
перехода к хаосу, безусловно, связан с бифуркацией рождения предельного
цикла, которая является и началом каскада бифуркаций Феигенбаума
и субгармонического каскада бифуркаций.
Система C.23) не является диссипативной всюду в фазовом про-
пространстве, так как divF(a;, y,z) =ж + а-/х зависит от переменной ж, и
плоскость х + а — /х = 0 делит все фазовое пространство на три не пе-
пересекающиеся области. Определим положение неподвижных (особых)
точек системы C.23) Ог(я*,у*,г*), * = 1,2, где
= -у].
Условие принадлежности точки О\ к диссипативной области имеет
вид
_ V
п 2' V 4
и равносильно следующей совокупности систем неравенств с учетом
того, что а, Ь) ц > О
>2а,
> 2Vab,
Согласно [59] предельный цикл рождается в случае потери устойчиво-
устойчивости точки О\ при условии а < Ь. Так как при этом вторая система не
совместна, то точка О\ ? D = {x\divF(x) < 0} при любых значениях
ц > 2Va6.
Условие того, что точка О2 ? D = {x\divF(x) < 0}, имеет вид
4
и равносильно системе неравенств
3.3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЁССЛЕРА
155
которая совместна при а < Ь и 2у/пЬ < /л < а + Ь. В работе [59] по-
показано, что точка О\ теряет устойчивость при значении параметра
fi* = р + ab/p, где \/аЬ < р = а/2 + \/а2/4 + (Ь - а)/а, в результате
бифуркации Андронова-Хопфа и переходит в состояние равновесия
типа седло-фокус с одномерным устойчивым и двумерным неустойчи-
неустойчивым многообразием. Нетрудно показать, что значение р* не входит в
интервал By/ab, а + Ъ) при аЬ < 1 и, таким образом, точка О2 лежит
вне диссипативнои области. При этом состояние равновесия точки 02
определяется характеристическим уравнением
А3 + Х2(/л - а - х*) + АA + z* - а(ц - х*)) - уУ - 4аЬ = 0 C.24)
матрицы Якоби системы C.23), линеаризованной в точке 02- На
Рис. 3.38. Зависимость корней характеристического уравнения C.24) от
значений параметра \х для неподвижной точки 02.
рис. 3.38 показано численное решение уравнения C.24) в зависимости
от значений параметра fj, при фиксированных значениях параметров
а = 0.5 и Ъ = 0.75. Из рисунка видно, что точка 02 при всех зна-
значениях параметра // > /и0 = 2\/а6 имеет состояние равновесия типа
седло-фокус с двумерным устойчивым многообразием и одномерным
неустойчивым многообразием. Если бы точка 02 лежала в диссипа-
диссипативнои области системы C.23), то можно было бы ожидать появления
гетероклинических контуров, соединяющих точки О\ и 02- Но так как
в диссипативнои области лежит только точка О\, то остаются только
два возможных сценария перехода к хаотическому поведению: сцена-
156
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
рий Фейгенбаума (или более общий субгармонический каскад бифур-
бифуркаций), и гомоклинический каскад бифуркаций. Действительно, при
Рис. 3.39. Циклы периодов 2 и 8 соответственно при значениях параметра
/1 = 2.2 и /i = 2.325 и нерегулярный аттрактор при /х = 2.35.
указанных выше фиксированных значениях параметров а и 6 с увели-
увеличением параметра \х от значения \х = 1.375 до величины \х « 2.35 на-
наблюдается каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода (рис.
3.39). А при больших значениях \х = 2.421 и /х = 2.446 наблюдаются
циклы соответственно периодов 5 и 3, что свидетельствует о наличии
субгармонического каскада в сценарии перехода к хаосу (рис. 3.40.),
2? \ i
Рис. 3.40. Циклы периодов 5 и 3 соответственно при значениях параметра
\х = 2.421 и \i = 2.446 и нерегулярный аттрактор при /х = 2.5.
т.е. сценарий перехода к хаосу развивается согласно порядку Шар-
ковского. При значении /х > 2.899 хаотический аттрактор в системе
Рёсслера исчезает, и решение системы становится неограниченным.
Это обусловлено тем, что траектория с увеличением значений \х пе-
пересекает поверхность, в которой лежит неустойчивая седловая точка
Ог, и удаляется в бесконечность вдоль неустойчивого одномерного
многообразия этой точки.
3.3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РЁССЛЕРА 157
Другая, рассмотренная нами система Рёсслера, имеет вид
у = х + ау, C.25)
z = bx + z(x — р).
Система C.25), также как и предыдущая, не является всюду дис-
сипативной. Дивергенция этой системы отрицательна в области
х < ц — а фазового пространства. Система C.25) имеет две непо-
неподвижные (особые) точки
01 @,0,0) и O2(/x-a6,6-/i/o,/i/a~6).
Характеристическое уравнение для матрицы Якоби в точке Oi выгля-
выглядит следующим образом
А3 + А2 (р - о) + АA + Ь - ар) + р - аЬ = 0. C.26)
Согласно критерию Рауса-Гурвица точка Oi устойчива при условиях
р ~ а > 0, (р - а)A 4- Ь - ар) > р - аЬ > 0. C.27)
Решение системы C.27) в случае Ъ > 2а — а2 дает два критических
значения параметра
при которых происходит потеря устойчивости точки Oi. На множе-
множестве значений /х G (/^i,/4) точка Oi является устойчивым фокусом,
а при значениях fi = [i* или ц = \х\ происходит бифуркация рожде-
рождения предельного цикла. В случае Ь < 2а — а2 при любых \х > а точка
01 является неустойчивой, и в её окрестности могут существовать
как устойчивые, так и неустойчивые периодические решения. На су-
существование таких решений влияет вторая неподвижная точка Ог,
состояние равновесия которой определяется корнями характеристи-
характеристического уравнения
А3 + А2а(Ь - 1) + АA - аЧ + р/а) + аЬ - ц = 0. C.28)
Сравнивая выражения C.26) и C.28), видим, что устойчивость точки
01 одновременно влечет неустойчивость точки 02, причем точка 02
остается неустойчивой даже в случае Ь > 1.
Исследование сценария перехода к хаосу в данной системе прове-
проведем при фиксированных значениях параметров а = 0.38 и Ъ = 0.3. При
данных значениях имеем Ь < 2а — а2, точка Oi ~ неустойчивый седло-
фокус, и в системе существует цикл при значениях \i € @.9,1.933). При
158
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
значениях \х < 0.9 траектория системы переходит в область неустой-
неустойчивости точки О2 и удаляется в бесконечность вдоль неустойчивого
одномерного многообразия этой точки.
С ростом значений параметра \х в системе C.25) наблюдается кас-
каскад бифуркаций удвоения периода исходного цикла. Так при значении
IX га 1.934 рождается цикл периода 2, при /j, га 2.535 - цикл периода
4, при /I га 2.680 - цикл периода 8 и т.д. Каскад Фейгенбаума завер-
завершается при значении параметра fi га 2.8 образованием нерегулярного
аттрактора в виде ленты (рис. 3.41). При дальнейшем увеличении
значений параметра /i наблюдаются циклы периодов 7, 5 и 3 соот-
соответственно при значениях // 6 B.8895,2.8904), ц е B.954,2.966) и
/х 6 C.198,3.532), что свидетельствует о наличии субгармонического
У
Рис. 3.41. Циклы периода 2 и 8 в системе C.25) соответственно при зна-
значениях параметра /г = 2.2 и/г = 2.69 и вид нерегулярного аттрактора при
ц = 2.8.
каскада бифуркаций. Вид этих циклов аналогичен виду циклов, изо-
изображенных на рис. 3.40.
Следует отметить, что в данной системе Рёсслера при фиксиро-
фиксированных значениях параметров а = 0.38, Ь = 0.3 наблюдается полный
субгармонический каскад бифуркаций, плавно переходящий в простой
гомоклинический каскад, циклы которого стремятся к гомоклиниче-
скому контуру седло-фокуса О\. При значении \х = 2.89 в системе
C.25) имеется устойчивый цикл периода 5, а при /х = 3.2 — устойчи-
устойчивый цикл периода 3.
Так же как и в системе Лоренца здесь отмечено появление реше-
решений типа циклов самоорганизации при значении параметра fi = 3.668,
а при ц = 4.367 наблюдается цикл С± гомоклинического каскада би-
бифуркаций, завершающегося образованием нерегулярного гомоклини-
гомоклинического аттрактора при значении \х га 4.828 (рис. 3.42). Вопрос о
том, является ли гомоклинический каскад в системе C.25) полным,
требует специального исследования в виду сильной некорректности
решаемой задачи в окрестности оси z.
Таким образом, в системах Рёсслера вида C.23) и C.25) переход
к хаосу осуществляется таким же образом, что и в системе Лоренца,
3.4. СИСТЕМА ЧУА
159
Рис. 3.42. Решения в виде цикла самоорганизации (fi = 3.668), цикла С\
(ft = 4.367) и гомоклинического аттрактора (/х = 4.828) в системе C.25).
а именно: через каскады бифуркаций удвоения периода Фейгенбаума,
субгармонические каскады и гомоклиническии каскад бифуркаций.
3.4. Система Чуа.
Система Чуа моделирует некоторую электрическую цепь, предло-
предложенную Л. Чуа для генерации хаотических колебаний [60, 61]. Поведе-
Поведение этой электрической цепи и одноименной системы обыкновенных
дифференциальных уравнений широко изучалось как в многочислен-
многочисленных физических опытах, так и математическими методами, включая
численные эксперименты и аналитические расчеты [50, 62].
Рассмотрим эту систему в следующем виде
у = х - у + z,
C.29)
где
{
-ax, \x\ < 1,
bx — a - 6, x > 1,
a, 6, /3, /x - параметры, принятые для удобства положительными. За-
Зафиксируем параметры а = 1/7, Ь = 2/7, fi > 1 и исследуем решения
системы C.29) в зависимости от параметра /i.
Система уравнений C.29) симметрична относительно начала ко-
координат, т.е. векторное поле инвариантно по отношению к преобра-
преобразованию
(х, у, z) -> (-ж, -у, -z).
160 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
Неподвижные (особые) точки системы C.29) определяются из условия
Принимая во внимание вид функции h(x), найдем, что система C.29)
имеет по одной неподвижной точке в каждой из областей: D-\ =
= {х\ х < -1}, Do = {х\ \х\ < 1} и Di = {х\ х > 1} . Соответствую-
Соответствующие этим областям неподвижные точки обозначим как O_i(-?,0,?),
Оо @,0,0) и OifoO, -0, где f = 1 + а/Ь.
Система C.29) линейна в каждом из подмножеств 2?-i, Д>, ?>i,
и матрица Якоби этой системы имеет вид
где с = —а при х € Dq и с = b в противном случае. Собственные
значения матрицы Якоби для неподвижных точек найдем из характе-
характеристического уравнения
Л3 + А2A + fie) + А(а*с - а* + /?) + ^с = 0. C.30)
Используя условия Рауса-Гурвица
A + /ic)(/xc ~ fi + )8) > иве, C.31)
определим состояния равновесия неподвижных точек и оценим зна-
значения параметра /z, соответствующие изменению устойчивости этих
состояний. Для точки Оо@,0,0) G Do имеем с = —а. Поэтому согласно
условиям C.31) область Do является диссипативной при значениях па-
параметра /л < I/a, a сама неподвижная точка Оо устойчива при /х < 0.
При значении /х = 0 два корня характеристического уравнения C.30),
которое принимает вид
являются комплексно сопряженными с отрицательной вещественной
частью. Следовательно точка Оо при переходе параметра \i через ноль
слева направо меняет состояние равновесия с устойчивого фокуса на
неустойчивый седло-фокус, имеющий двумерное устойчивое много-
многообразие W8 и одномерное неустойчивое многообразие Wu.
В точках О-1 и О\ величина с = Ь > 0. Поэтому области D-i
и D\ являются диссипативными при всех положительных значениях
3.4. СИСТЕМА ЧУА
161
параметра /i. Другой знак величины с приводит согласно третьему
неравенству в C.31) к тому, что при значении ц = 0 бифуркация из-
изменения состояния равновесия точек О-\ и О\ противоположна той,
которую мы наблюдали в точке Oq, а именно, при возрастании зна-
значений параметра \х в точке /х = 0 имеет место бифуркация перехода
неустойчивого седло-фокуса с одномерным неустойчивым многообра-
многообразием Wu и двумерным устойчивым многообразием W8 в устойчивый
фокус. Как легко видеть из второго условия C.31) точки О~\ и О\
остаются устойчивыми до значения
_ -1 + ^/1+460/A-6)
Дс" 26 '
при котором в результате бифуркации Андронова-Хопфа рождается
орбитально-устойчивый предельный цикл.
Таким образом, все неподвижные точки имеют состояние равнове-
равновесия типа седло-фокус, что, по-видимому, и определяет вид нерегуляр-
нерегулярных аттракторов, возникающих при значениях параметра // > /лс.
Рассмотрим сценарий появления нерегулярных аттракторов при
фиксированных значениях параметров а = 1/7, 6 = 2/7, /3 = 9. При
этих значениях fic « 5.12, и предельный цикл является устойчивым в
интервале /i € E.12, 5.895). При значениях \х > 5.895 в системе C.29)
появляется цикл удвоенного периода и при дальнейшем возрастании
параметра /л наблюдается каскад бифуркаций Феигенбаума. Так при
значении /i « 6.03 рождается цикл периода 4, при /х « 6.058 - цикл пе-
периода 8, при /л « 6.0616 - цикл периода 16 и т.д. На рис. 3.43 показаны
Рис. 3.43. Проекции на плоскость (х, z) циклов каскада Феигенбаума пери-
периода 2 при /х = 5.9, периода 4 при /х = 6.04 и аттракторов Феигенбаума при
/х = 6.07 в системе Чуа.
некоторые циклы каскада Феигенбаума и нерегулярные аттракторы
при /2 = 6.07, которые образуются в результате каскада бифуркаций
удвоения периода.
162
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
За каскадом бифуркаций удвоения периода следует субгармони-
субгармонический каскад бифуркаций. Так при значении параметра \х = 6.08
наблюдается цикл периода б, при \х = 6.1098 - цикл периода 5, а в ин-
интервале значений /х € [6.138, 6.142] лежит цикл периода 3, с которым
при дальнейшем возрастании параметра /х также происходит каскад
бифуркаций удвоения периода. Так при значении \х = 6.144 наблю-
наблюдается удвоенный цикл периода 3. Субгармонический каскад также
завершается образованием двух нерегулярных аттракторов. Вид этих
аттракторов и некоторых циклов субгармонического каскада показан
на рис. 3.44.
'• Z
Рис. 3.44. Циклы каскада Шарковского периода 6 при ц = 6.08, периода 3
при fi = 6.14 и нерегулярные аттракторы при /х = 6.16 в системе Чуа.
С дальнейшим ростом параметра \х в системе C.29) обнаружива-
обнаруживаются циклы типа Сп гомоклинического каскада бифуркаций. Такие
циклы в системе C.29) имеют один оборот, вытянутый в сторону
точки Оо, и п оборотов, расположенных в области притяжения точ-
точки 0-1 (или О\). Очевидно, начало гомоклиническому каскаду дает
цикл периода 3 при /i 6 [6.138, 6.142]. Далее, при значении \х = 6.176
в системе C.29) наблюдается цикл С*4, а при \i = 6.212 - цикл Cq
(рис. 3.45). Эти циклы свидетельствуют о наличии в системе C.29)
гомоклинических петель сепаратрис у седло-фокусов O_i и Oi, кото-
которые имеют двумерные устойчивые и одномерные неустойчивые мно-
многообразия. Однако при указанных выше фиксированных значениях
параметров а = 1/7, Ь = 2/7, /3 = 9 сам гомоклинический контур
обнаружить не удается. Поэтому в системе C.29) с заданным выше
набором фиксированных параметров существуют два неполных гомо-
гомоклинических каскада бифуркаций.
С увеличением параметра ц области, которые занимают аттракто-
аттракторы, все более возрастают, вытягиваясь при этом в сторону точки Оо,
т.е. навстречу друг другу. При некотором значении параметра /i* эти
области настолько сближаются друг с другом (в окрестности точки
О) что происходит бифуркация объединения этих аттракторов (см.
3.4. СИСТЕМА ЧУ А
163
п. 2.4.5) с образованием единого нерегулярного аттрактора, показан-
показанного на рис. 3.45. При значениях а = 1/7, Ь = 2/7, /3 = 9 получено
[л* « 6.244.
Рис. 3.45. Проекции на плоскость (x,z) циклов гомоклияического каска-
каскада С а при /2 = 6.176, Се при // = 6.212 и нерегулярного аттрактора при
/i = 6.245 в системе Чу а.
Рис. 3.46. Проекции на плоскость (ж, z) циклов гомоклинического каскада
Сц при /1 = 6.340, Сзз при ii — 6.390 и С77 при /г = 6.522 в системе Чуа.
Представление о структуре возникшего аттрактора дает се-
серия устойчивых циклов двойного гомоклинического каскада бифур-
бифуркаций типа Спп. Так при значениях параметра /х = 6.340, ^ = 6.390 и
/i = 6.522 в системе C.29) существуют соответственно циклы Сц, Сзз
и С77 гомоклинического каскада бифуркаций. Затем при значениях
/i = 6.554, fi = 6.660, /i = 6.772 и при \i G [6.960, 6.985] наблюдаются
циклы соответственно типов Сб5> С^з, ^22 и Сц гомоклинического
каскада бифуркаций (рис. 3.46 — 3.47). Кроме того в системе Чуа
при указанных выше фиксированных параметрах обнаружен цикл го-
164
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
моклинического каскада типа С\ при значении параметра jjl = 7.208
(рис. 3.47).
При значениях параметра /х > /л* мы имеем в системе C.29) двой-
двойной гомоклинический аттрактор. Определение значений параметров,
при которых этот аттрактор является полным, требует дополнитель-
дополнительного исследования. Заметим, что в литературе принято называть од-
одним термином "двойной завиток" (double scroll) различные на самом
деле неполные двойные гомоклинические аттракторы, существующие
в системе Чуа [50, 62].
Рис. 3.47. Проекции на плоскость (x,z) нерегулярного двойного полного
гомоклинического аттрактора при \i = 6.544 и циклов гомоклинического
каскада Сзз при fx = 6.660 и Ci при /г = 7.208 в системе Чуа.
Таким образом, в системе C.29) при ц > д* наблюдается тот
же механизм образования нерегулярных аттракторов, что и в си-
системе Лоренца при фиксированных значениях параметров а = 10,
b = 0.5. Более того, обобщая, можно сказать, что в системе Чуа при-
присутствуют те и только те механизмы образования нерегулярных ат-
аттракторов, что и в рассмотренных выше системах Лоренца, Рёсслера,
а именно: каскады бифуркаций Фейгенбаума, субгармонические кас-
каскады бифуркаций циклов и гомоклинические каскады бифуркаций.
Причем каскады удвоения периода циклов и субгармонические каска-
каскады бифуркаций имеют место вне зависимости от того, существуют
ли в окрестности этих циклов петли сепаратрис седло-фокусов и сами
седло-фокусы особых точек.
В заключение этого раздела отметим, что сходство гомоклиниче-
ских каскадов систем Чуа и Лоренца распространяется включительно
до цикла Со, с которого, как показано выше в разделах 3.1.1 и 3.1.2, в
системе Лоренца берет начало двойной гомоклинический каскад би-
бифуркаций. Однако в системе Чуа при принятых нами фиксированных
значениях параметров а = 1/7, Ъ = 2/7, /3 = 9 этот цикл лежит в обла-
области значений параметра /х, где решения неустойчивы, и сам является,
таким образом, неустойчивым и, следовательно, не обнаруживается.
3.5. ДРУГИЕ ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ 165
В системе Чу а наблюдать цикл Со можно, например, при значениях
параметров а = 1/7, Ь = 2/7, /3 = 3 и /л е [2.854, 2.882].
3.5. Некоторые другие хаотические системы обыкновенных
дифференциальных уравнений.
В этом разделе приведены результаты исследований сценариев обра-
образования нерегулярных аттракторов в системах обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений Валлиса, Рикитаки и некоторых других.
В представленных ниже исследованиях мы опирались на подход, раз-
разработанный при изучении аттрактора Лоренца [29, 30] и основанный
на численном исследовании каскадов бифуркаций устойчивых циклов.
Такой подход наиболее защищен от погрешностей численных экспе-
экспериментов и позволяет воспроизвести результаты практически на лю-
любом компьютере. Дифференциальные уравнения интегрировались ме-
методом Рунге-Кутта четвертого порядка.
3.5.1. Системы Валлиса. В 1986 г. Дж. Валлисом были предло-
предложены две модели для описания колебаний температуры в западной и
восточной частях приэкваториальной области океана, которые оказы-
оказывают сильное влияние на глобальный климат Земли. Первая модель,
назовем ее Vallis, не учитывающая влияния пассатных ветров, пред-
представляет систему из трех нелинейных обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений [80]
х = [iy - ах,
у — JCZ — у, yd.O&J
z-\-xy-z,
где х - скорость движения воды на поверхности океана,
y = (Tw-Te)/2, z = (Tw+Te)/2,
TwuTe- температура соответственно в западной и восточной частях
океана, /iho- положительные параметры.
Система C.32) имеет три неподвижные (особые) точки
Ob@f0,l), 0<((-l)«JEIf ^i, ±), г = 1,2.
V?а /
Точку Oq с помощью замены z -> z + 1 удобно сдвинуть в начало
координат и тогда система C.32) примет вид
х = -ах 4- /х?/,
у = х - у + xz, C.33)
z = -ху - z.
166 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
Отметим, что система Vallis в виде C.33) отличается от системы
уравнений Лоренца по существу только знаком нелинейных членов в
уравнениях и, по-видимому, может иметь много с ней схожего. Дей-
Действительно, система C.33) всюду диссипативна при а > 0, так как
divF(a5,2/, г) = -о - 2. Определим состояния равновесия неподвижных
точек
, 22, J-l), i = 1,2,
Ob@,0,0),
системы C.33), используя собственные значения матрицы Якоби
-а
+ z*
-2/*
-X*
0
X*
-1
Точка 0О системы C.33) является неподвижной при любых значениях
параметров /z, а. Ее состояние равновесия определяется характери-
характеристическим уравнением
(А + 1)(А2+А(а + l) + a-Ai) = O.
Корни данного уравнения имеют отрицательные вещественные ча-
части при /i < а, и следовательно, точка Oq устойчива. При значениях
параметра // > а точка О о является неустойчивой, имеющей состо-
состояние равновесия типа седло-узел, а также одномерное неустойчивое
и двумерное устойчивое многообразия. При (л > а в системе C.33)
образуются еще две неподвижные точки О\ и 02, состояния равнове-
равновесия которых определяются корнями характеристического уравнения
А3 + А2(а + 2) + А(а + ///а) + 2(р - а) = 0. C.34)
Применяя к уравнению C.34) условия Рауса-Гурвица для определе-
определения устойчивости многочленов, нетрудно получить, что при
а3 + 4а2
а > 2 точки 0i и О2 устойчивы в случае а < \х < \х* = —.
a — 2
При значениях [х > /i* уравнение C.34) имеет один вещественный от-
отрицательный корень и два комплексно сопряженных корня с положи-
положительной вещественной частью, то есть точки О\ и Ог имеют состояние
равновесия типа седло-фокуса.
Для анализа сценария перехода к хаосу в системе C.33) фиксируем
один из параметров а = 5, а параметр \i примем в качестве бифурка-
бифуркационного и численно рассмотрим решения системы C.33) в диапазоне
[I € (a,-boo). По аналогии с системой Лоренца сценарий перехода к
хаосу в системе Vallis легче понять при уменьшении значений пара-
параметра /х от оо до а. Так при больших значениях параметра ц > 180
в системе C.33) существует единственный аттрактор - устойчивый
3.5. ДРУГИЕ ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
167
цикл Со, который охватывает обе неподвижные точки О\ и Ог. При
значении // « 180 наблюдается бифуркация рождения из устойчиво-
устойчивого цикла Со двух устойчивых циклов С$ и С^~, траектории которых
деформированы соответственно к точкам О\ и Ог (рис. 3.48). При
значении fi « 134.25 происходит бифуркация удвоения периода этих
циклов, которая кладет начало каскаду Фейгенбаума, а появление ци-
циклов Cq1 периода 5 при \х » 124.1 и периода 3 при /х « 122.74 (рис.
3.49) свидетельствует о субгармоническом каскаде бифуркаций этих
циклов, который завершается при значении fi » 122 образованием не-
нерегулярных аттракторов в виде двух лент, порожденных бесконечным
числом неустойчивых циклов. Каждая из этих лент смещена в сторо-
сторону одной из неподвижных точек О\ или Оъ (рис. 3.50). При значении
параметра //, « 119.06 обе ленты сливаются, образуя нерегулярный
аттрактор, показанный на рис. 3.51.
Рис. 3.48. Устойчивые циклы Со и Cq в системе C.33) при ц = 170.
ш /
1/
ж / °
О V
X
Рис. 3.49. Циклы Cq" периода 5 и Со периода 3 соответственно при
ft = 124.10 и р = 122.74.
Аналогично системе Лоренца здесь также наблюдаются циклы, на-
168
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
званные нами при исследовании системы Лоренца циклами самоорга-
самоорганизации. Эти циклы обнаруживаются после образования нерегуляр-
нерегулярного аттрактора в результате слиянии лент, возникших в ходе суб-
субгармонического каскада бифуркаций. При удалении значений бифур-
бифуркационного параметра от точки образования аттрактора вид данных
циклов становится все более простым, а сам каскад циклов самоор-
самоорганизации завершается образованием устойчивых циклов типа Спп,
где п - номер стадии в гомоклиническом каскаде бифуркаций. На
рис. 3.52 показаны такие циклы самоорганизации в системе Vallis на
первой стадии гомоклинического каскада при \ъ = 117.6, \х = 103.7 и
образовавшийся далее при /х « 94.5 цикл Сц.
Рис. 3.50. Нерегулярные аттракторы в системе C.33) при значении // = 122.
у
Рис. 3.51. Нерегулярный аттрактор в системе C.33) при значении /х = 119.
Для циклов Спп характерны те же бифуркации, что и для цикла Со-
Поэтому и образовавшийся цикл Сц порождает затем два устойчивых
цикла Cju при значении /х « 88.3, с каждым из которых происходит
свой субгармонический каскад бифуркаций.
3.5. ДРУГИЕ ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
169
Также как и в системе Лоренца первая стадия гомоклинического
каскада бифуркаций завершается образованием цикла С\ при значе-
значении fi « 59 (рис. 3.53). С этого цикла при дальнейшем уменьшении
параметра \х начинается вторая стадия гомоклинического каскада, ко-
которая содержит циклы С\ч (// = 47.814), С22 (^ — 53) и завершается
образованием цикла С?2 (рис. 3.53) при значении fi « 41.394. При вы-
выбранном фиксированном значении параметра а = 5 критическое зна-
значение fi* = 75 и поэтому в системе C.33) может реализоваться только
неполный гомоклинический каскад бифуркаций. Вид проекций непол-
неполного гомоклинического аттрактора при значении /z = 37 показан на
рис. 3.54.
У
Рис. 3.52. Проекции циклов самоорганизации в системе C.33) при значе-
значениях /х = 117.6 и /л = 103.7 и цикла Си при /i = 90.
Рис. 3.53. Проекции устойчивых циклов С± {fi = 58), С12
С22 (fi = 53) иС2+(/1 = 41.354) в системе C.33).
= 47.814),
Таким образом, в системе Vallis мы имеем нерегулярный аттрак-
аттрактор, образовавшийся в результате неполного двойного гомоклиниче-
170
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
ского каскада бифуркаций, аналогично аттрактору в системе Лорен-
Лоренца. В зависимости от значений другого фиксированного параметра а
здесь, как и в системе Лоренца, по-видимому, может рождаться как
полный, так и неполный двойной гомоклшшческий аттрактор. Раз-
Разбиение пространства параметров на области с различными видами
аттракторов требует проведения специального исследования.
Рис. 3.54. Проекции неполного двойного гомоклинического аттрактора в
системе C.33).
Другая модель, назовем ее El-nino, предложена Валлисом для опи-
описания нелинейных взаимодействий атмосферы, океана и пассатных
ветров в экваториальной области Тихого океана. Эта модель является
нелинейной и, в общем, неавтономной системой трех дифференциаль-
дифференциальных уравнений [81, 82]
C.35)
у = xz -у 4-с,
z. = —ху - z Н- с,
где x(t) - скорость поверхностного течения в океане, y(t) и z(t) темпе-
температура воды соответственно на западной и восточной окраинах вод-
водного бассейна, f(t) = ao -f a\ sin 2тг? - периодическая функция, учиты-
учитывающая влияние пассатных ветров.
Рассмотрим сценарий образования нерегулярного аттрактора для
случая f(t) = 0, приведя, таким образом, систему C.35) к автоном-
автономному виду
у = xz - 2/ + с, C.36)
i = —жу — г 4- с,
При значении 6 > -2 система C.36) является диссипативной
3.5. ДРУГИЕ ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ 171
(divF(a;, у, z) = -2 - Ь < 0) во всем фазовом пространстве. Она сим-
симметрична относительно замены переменных
х -4 ~х, у -> z, z ->у,
что находит отражение, в частности, в симметрии неподвижных (осо-
(особых) точек: О0@,с,с), Oi{x*yy*tz*) и О2(-я*,г*,з/*), где
х -1
Для дальнейшего исследования примем фиксированными значения
параметров Ь — 10, с = 12 и рассмотрим поведение решений системы
C.36) в зависимости от параметра //. Начнем изучение с состояния
равновесия неподвижных точек, которое определяется собственными
значениями матрицы Якоби
J{x*,y*,z*) =
В системе El-nino, также как и в рассмотренной выше системе,
точка Оо@,с, с) является неподвижной при любых значениях параме-
параметров //, 6, с. Характеристическое уравнение для этой точки имеет вид
(А + 1)(А2 + АF + 1) + 6 - 2/ic) = 0,
из которого следует, что точка Oq имеет состояние равновесия типа
устойчивого узла при условии \х < 6/2с, а при // > 6/2с она теряет
устойчивость, становясь седло-узлом, имеющим двумерное устойчивое
и одномерное неустойчивое многообразия. При потере устойчивости
точки Oq появляются две другие точки О\ и 02, состояния равновесия
которых определяются корнями характеристического уравнения
А3 + А2 F + 2) + А [ь\ ~) 4- 4//с - 26 = 0. C.37)
Согласно критерию Рауса-Гурвица
Ь Ч- 2 > 0, F + 2)(&+^) >4fic-2b>0
точки Ох и 02 устойчивы до значения //<//* = (б3 -f АЬ2)/2(Ь — 2).
При значениях // > /х* уравнение C.37) имеет один отрицательный ко-
корень и два комплексно сопряженных с положительной вещественной
частью и, следовательно, точки О\ и Ог являются седло-фокусами.
Отметим, что в системе El-nino наблюдается та же ситуация, что и в
системе Лоренца, а именно: в момент потери устойчивости одной из
172
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
точек появляются две новые неподвижные точки, которые остаются
устойчивыми фокусами до некоторого критического значения пара-
параметра [х*. По-видимому, следует ожидать, что сценарий рождения хао-
хаотического аттрактора в системе El-nino будет аналогичен сценарию в
системе Лоренца. Численные эксперименты показывают, что это дей-
действительно так. Причем, в зависимости от значений фиксированных
параметров здесь, как и в системе Лоренца, могут иметь место как
полный, так и неполный двойные гомоклинические каскады бифурка-
бифуркаций. Однако, подробное описание всех сценариев образования хаоти-
хаотических аттракторов в системе El-nino, так же как и в предыдущем
случае, требует дополнительного исследования. Мы ограничимся об-
обсуждением тех общих механизмов в картине рождения нерегулярных
аттракторов, которые имеют принципиальное значение для большого
класса динамических диссипативных систем, описываемых дифферен-
дифференциальными уравнениями.
у
У
Рис. 3.55. Нерегулярные аттракторы в системе C.36) при значениях пара-
параметра [I = 225 и /х = 223.8.
При указанных выше фиксированных значениях параметров Ь = 10
и с = 12 в системе El-nino на интервале значений параметра
/х ? C46, оо) имеется единственный аттрактор - цикл Со, охваты-
охватывающий обе точки О\ и Оч. При значении /х « 346 этот цикл теря-
теряет устойчивость и в результате бифуркации образуются два других
устойчивых цикла С$ и Cq", которые при дальнейшем уменьшении
параметра /х в ходе субгармонического каскада бифуркаций, о чем
свидетельствуют циклы Cq периода 3 при значении /х = 231.5, обра-
образуют на множестве /х 6 B24, 230) аттракторы в виде двух лент (рис.
3.55), порожденных бесконечным числом неустойчивых циклов. При
/х « 223.9 обе ленты сливаются в один аттрактор. На множестве зна-
значений параметра \х € A38.7, 150.5) наблюдается цикл Сц. Завершает-
Завершается первая стадия гомоклинического каскада рождением цикла С\ при
/сх« 100.69
Отметим, что субгармонический каскад бифуркаций цикла С\ при
3.5. ДРУГИЕ ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
173
указанных выше фиксированных значениях параметров Ь = 10, с = 12
в системе El-nino завершается при значении ц = 99.327 образованием
цикла С\ периода 3. При этом критическое значение ц* = 87.5. Ины-
Иными словами уже первая стадия гомоклинического каскада завершается
вблизи изменения состояния устойчивости неподвижных точек О\ и
Ог- Поэтому здесь затруднительно точно указать тип наблюдаемо-
наблюдаемого аттрактора. Мы можем констатировать, что в системе El-nino ат-
аттрактор образуется в результате двойного гомоклинического каскада
бифуркаций. Однако, является ли он полным или нет, то есть суще-
существует ли при данных значениях фиксированных параметров точка
накопления гомоклинических циклов, на основании данных исследо-
исследований сказать нельзя.
В заключение укажем еще одну особенность гомоклинических кас-
каскадов в системе El-nino. В интервале \х G (Ь/2с,/х*), то есть в случае,
У
У
У
Рис. 3.56. Устойчивые циклы гомоклинического каскада С22, С{2 и С^
соответственно при значениях /i = 83.60, \i = 77.3475 и \i = 68.95.
когда неподвижная точка О о остается неустойчивой, а неподвижные
точки Ог и 02 являются устойчивыми, мы обнаружили следующие ци-
циклы гомоклинических каскадов: цикл Съъ при /х Е (83.58,83.62), цикл
Ci2 при /х Е G7.345,77.350) и цикл С2 при /х G F8.92,68.97) (рис. 3.56)
со своими субгармоническими каскадами. Не останавливаясь здесь на
обсуждении этих особенностей, отметим, что мы уже встречались и
встретимся в дальнейшем с системами, где гомоклинические каскады
существуют вне окрестностей устойчивых особых точек. В частности
подобные особенности наблюдаются и в системе уравнений Лоренца
при фиксированных значениях параметров а = 10, Ъ = 0.5 (см. п.
3.1.3 и [31]). Существование отмеченных особенностей свидетельству-
свидетельствует о том, что ведущую роль в образовании нерегулярных аттракторов
играют не особые точки и не гомоклинические и гетероклинические
контуры седло-узлов и седло-фокусов, а некоторые циклы, которые да-
дают начало каскадам бифуркаций и, в первую очередь, каскаду бифур-
бифуркаций удвоения периода. В главе 4 рассмотрена теория таких циклов,
174 ГЛАВА 3, ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
названных сингулярными, и изложен механизм образования порожда-
порождаемых ими различных сингулярных аттракторов.
3.5.2. Система Рикитаки. Система из четырех нелинейных обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений [83]
х = -\ix + yz,
z = 1 - ху - bz,
й = 1 — ху — си,
предложена в 1958 г. Т. Rikitaki для моделирования динамики измене-
изменения магнитных полюсов Земли. При положительных значениях пара-
параметров /i, b, с очевидно, что
divF(x, у, z, и) = -Bfi + b + с) < О,
и система C.38) является диссипативной. Система C.38) имеет три
неподвижные (особые) точки: Оо@,0,1/6,1/с) и
Точка (9о является неподвижной при любых положительных значениях
параметров, а точки О\ и 02 существуют только при условии /j?bc < 1.
Для определения условий устойчивости этих точек найдем собствен-
собственные значения матрицы Якоби
-/i z* 2/* О
й* "^ °
-уф -^ 0 -с
В точке Оо они определяются характеристическим уравнением
(Л + 6)(А + с)(А2 + 2A/z + /х2 - 1/Ьс) = О,
из которого следует, что данная точка является устойчивым узлом
при значении fj? > 1/6с, а при у? < 1/Ьс она теряет устойчивость и
становится седло-узловой точкой.
Две другие неподвижные точки О\ иО2, как видно из характери-
характеристического уравнения
А4 + А3B/х + 6 + с)
*2
Mx*y*(z* + гг*) + **2Gu + 6) + 2/*2(// + с)
2 + су*2) + zV(b2* + с^*) = 0, C.39)
3.5. ДРУГИЕ ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
175
имеют одинаковое состояние равновесия. Определить это состояние
аналитически, исходя из вида данного уравнения затруднительно. Мы
численно рассчитали собственные значения якобиана в точках О\
и О2 в зависимости от параметра /х при фиксированных значе-
значениях b = 0.004 и с = 0.002. Численные расчеты показывают, что
при всех значениях параметра fj, 6 @, y/1/bc) два корня уравнения
C.39) являются вещественными и отрицательными, причем один из
них пропорционален по абсолютной величине параметру /г, а два дру-
других корня - комплексно сопряженные с отрицательной вещественной
частью. Таким образом, в данной системе нет условий для бифуркации
Андронова-Хопфа и, как оказалось, поведение решений системы C.1)
существенно зависит от начальных условий. Если начальные условия
выбраны вблизи неподвижных точек О\ или О2, то траектория при-
притягивается к соответствующей неподвижной точке. Причем область
устойчивости этих точек расширяется с ростом значений параметра
jx. Если же начальные условия взяты вне области притяжения этих не-
неподвижных точек, тогда в системе C.38) наблюдаются как устойчи-
устойчивые, так и неустойчивые периодические решения. Так, например, на
множестве значений /z € B.3, y/TJbc) наблюдается устойчивый цикл
типа Со, который охватывает восьмеркой обе неподвижные точки О\
и Ог. При значении /i « 2.3 происходит бифуркация этого цикла, в ре-
результате которой образуются два устойчивых цикла вида Cq и <7q~,
аналогично тому, как это происходит в системе Лоренца (рис. 3.57).
12Г
О,
Рис. 3.57. Циклы Со и-С0 , Cq в системе C.38) соответственно при значе-
значениях параметра ц = 3 и /х = 2.23.
Однако при заданных фиксированных значениях параметров
Ь = 0.004 и с = 0.002 проследить гомоклинический каскад бифурка-
бифуркаций, двигаясь вниз по параметру /г, не удается, так как устойчивые
циклы имеют чрезвычайно узкие бассейны притяжения. К счастью
сценарий перехода к хаосу в системе Рикитаки не ограничен отме-
отмеченными выше бифуркациями. Оказывается, те же самые циклы Со и
С^ и другие циклы гомоклинического каскада обнаруживаются при
малых значениях параметра /i и имеют при этом достаточно большие
бассейны притяжения. Это позволяет рассматривать сценарий образо-
образования нерегулярных аттракторов, двигаясь по мере увеличения пара-
176
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
метра /z. Так цикл вида Со наблюдается при значениях \i ? @.1,0.448),
а при \х = 0.448 вследствие бифуркации этого цикла образуются два
устойчивых цикла С^ (рис. 3.58), которые при увеличении параметра
fji порождают каскад бифуркаций Фейгенбаума.
Рис. 3.58. Циклы Со и Со , Cq в системе C.38) соответственно при значе-
значениях параметра \i = 0.4 и \х = 0.47.
В качестве примера укажем циклы С* периода 2 на множестве
\i € @.489,0.493), циклы периода 4 при \i G @.49340,0.49436) и циклы
периода 8 при fi e @.4938,0.49454). Устойчивых циклов периода 5 и
3 в данной системе установить не удалось. Каждый из циклов Cq и
Cq" сначала порождает в ходе субгармонического каскада бифурка-
бифуркаций свою ленту, а затем эти ленты сливаются в один нерегулярный
аттрактор. Образование аттракторов в виде двух лент завершается
Рис. 3.59. Нерегулярные аттракторы в системе C.38) при значениях пара-
параметра /х = 0.498 и /л = 0.505.
при значении \i « 0.498, а при значении \i « 0.501 происходит слияние
этих лент, знаменующее появление неполного двойного субгармониче-
субгармонического нерегулярного аттрактора (рис. 3.59).
Аналогично сценарию рождения двойного гомоклинического ат-
аттрактора в системе Лоренца, здесь также первая стадия гомоклини-
гомоклинического каскада завершается циклом С\ (fi « 0.609), которому пред-
предшествует появление цикла Сц (ц G @.523,0.531), рис. 3.60), порожда-
порождающего свои циклы С^[ и соответствующие им каскады бифуркаций.
3.5. ДРУГИЕ ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
177
Вторая стадия гомоклинического каскада завершается образова-
образованием цикла Сг при значении /л = 0.6786, а в области значений
\i € @.72662,0.72667) лежит цикл С3- На рис. 3.61 приведены проек-
проекции циклов Ci, C*2 и Сз на плоскость (х, z).
Рис. 3.60. Проекции цикла Си в системе C.38) при значении параметра
у. = 0.530.
Рис. 3.61. Проекции циклов Ci, Сг и Сз гомоклинического каскада в си-
системе C.38) соответственно при значениях параметра /х = 0.61, /х = 0.6787
и /i = 0.72665.
Как видно из приведенных данных с каждой последующей стади-
стадией гомоклинического каскада резко сокращаются области устойчиво-
устойчивости циклов. Поэтому трудно установить количество стадий гомокли-
гомоклинического каскада бифуркаций, участвующих в образовании нерегу-
нерегулярных аттракторов. Но поскольку обе неподвижные точки О\ и 02
во всей области существования нерегулярных аттракторов являются
устойчивыми фокусами, то число стадий конечно, а все аттракторы
являются неполными. Относительно сценария образования нерегуляр-
нерегулярных аттракторов можно совершенно определенно утверждать, что и
в данной системе такие аттракторы возникают вследствие двойного
гомоклинического каскада бифуркаций. Причем, данный каскад име-
имеет место как при уменьшении параметра \х от значения \i « 2.3, так
и при его увеличением от значения ц « 0.1. На рис. 3.62 изображены
проекции неполного двойного гомоклинического аттрактора системы
Рикитаки при /х = 1.
178
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
Рис. 3.62. Проекции неполного двойного гомоклинического нерегулярного
аттрактора системы C.38) при значении параметра /х = 1.
3.5.3. Система "Simple" [84]. Система
х = 1 -f ftyz,
у-х-у,
C.40)
с квадратичной нелинейностью в правой части и одним параметром
/1 > 0 моделирует некоторый автоколебательный процесс с диссипаци-
диссипацией (divF(x,y,z) = —1). Эта система имеет два состояния равновесия
О\(—1,-1,1///) и 02A,1,-1///), которые антисимметричны относи-
относительно знаков переменных. Собственные значения матрицы линеари-
линеаризации в этих точках определяются различными характеристическими
уравнениями: для тачки О\
А3 + А2 + А(|* - 1) + 2ц = 0,
C.41)
ДЛЯ ТОЧКИ 02
А3 + А2 + А(|* + 1) + 2/i = 0. C.42)
Из условий Payca-Гурвица видно, что точка О\ неустойчива при
любых значениях параметра //. Причем при значениях /i = — 1 и // = 0
уравнение C.41) может быть решено точно и имеет соответственно
следующие наборы решений:
А(-1) = {-1,
и А@) = {0, (-1 ± \/5)/2}.
Компьютерные расчеты показывают, что точка О\ является седло-
узлом с двумерным устойчивым многообразием в интервале значений
параметра /i G (—1.146,0) и седло-узлом с двумерным неустойчивым и
одномерным устойчивым многообразием при значениях /л € @,0.08).
При jx > 0.08 эта точка становится неустойчивым седло-фокусом и
имеет одномерное устойчивое и двумерного неустойчивое многообра-
. зия.
Условия Payca-Гурвица для уравнения C.42) показывают, что точ-
точка 02 устойчива в интервале /х € @,1). При значении ц = 1 в системе
3.5. ДРУГИЕ ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
179
C.40) в результате бифуркации Андронова-Хопфа рождается устой-
устойчивый предельный цикл. В ходе дальнейшего увеличения параметра
имеет место субгармонический каскад бифуркаций, и при [л = 2.036
наблюдается устойчивый цикл периода 3 (рис. 3.63). Таким образом,
хаотическое поведение системы при значениях параметра fj, > 2.036
обусловлено субгармоническим каскадом бифуркаций периодических
решений, порожденных при потере устойчивости точки Ог (рис. 3.64).
Однако, уже при значениях параметра \i > 2.3 в формировании нере-
нерегулярных аттракторов в системе C.40) начинает проявляться влияние
неподвижной точки О\.
Рис. 3.63. Проекции цикла периода 3 при значениях параметра /л = 2.036 и
нерегулярного аттрактора при р = 2.1.
У
Рис. 3.64. Проекции нерегулярных аттракторов соответственно при значе-
значениях параметра ц = 2.3 и /х = 2.37.
Рассмотрим, как развивается сценарий перехода к хаосу при умень-
уменьшении значений параметра д от -foo. При значениях /х € A0.45, оо)
система имеет единственный аттрактор - цикл Со, охватывающий
обе точки О\ и Оъ- С уменьшением значений параметра /i происхо-
происходит субгармонический каскад бифуркаций цикла Со- Так при значе-
значении fi = 8.31 цикл Со имеет период 3, а при \i € G.95,8.14) в системе
C.40) существует нерегулярный аттрактор, образовавшийся в резуль-
180
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
тате субгармонического каскада бифуркаций цикла Со (рис 3.65).
Важно отметить, что при значении /i = 7.68 в системе C.40)
рождается цикл Cf, имеющий один дополнительный оборот относи-
относительно точки О\. Появление этого цикла свидетельствует о наличии
гомоклинического каскада бифуркаций, аналогичного тому, который
имеет место в системе уравнений Лоренца. Однако, в системе "Sim-
"Simple" , в отличие от системы Лоренца, неподвижные точки О\ и Ог не
имеют одинаковых собственных значений и, следовательно, различа-
различаются состояниями равновесия. Поэтому здесь циклы С^, к = 1,2,...
рождаются не одновременно, но каждый из них появляется при со-
соответствующем значении параметра. Так цикл С* наблюдается при
значении /х = 5.19. Тем не менее каждый из этих циклов порождает
свой субгармонический каскад бифуркаций, о чем свидетельствуют
циклы периода 3 для циклов С[~ и Cf соответственно при значениях
// = 7.296 и // = 5.102 (рис. 3.66, рис. 3.67).
с
г
i
У
0
0 ~^
Рис. 3.65. Проекции цикла Со {ц = 12), цикла Со периода 3 (ц = 8.31) и
нерегулярного аттрактора (/л — 8) системы C.40).
У
Рис. 3.66. Циклы С1 и С* соответственно при значениях параметра
\х = 7.68 и \х = 5.19.
В системе "Simple", также как и в системе Лоренца, отмечены пе-
периодические решения типа циклов самоорганизации. Все эти харак-
3.5. ДРУГИЕ ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
181
терные черты: субгармонический каскад бифуркаций циклов, воз-
возникших вследствие бифуркации Андронова-Хопфа при потере устой-
устойчивости точки Oi1 а также гомоклинический каскад, порождающий
на каждой стадии собственные субгармонические каскады, свидетель-
свидетельствуют о тех же механизмах перехода к хаосу в системе "Simple", что
и во всех рассмотренных выше системах.
Рис. 3.67. Циклы периода 3 С^ и С* соответственно при значениях пара-
параметра /1 = 7.296 и fi = 5.102.
3.5.4. Система Рабиновича-Фабриканта. В системе диффе-
дифференциальных уравнений
х = y(z - 1 -f х2) 4- ах,
у = xCz + 1 - х2) + ay,
C.43)
предложенной Рабиновичем и Фабрикантом в 1979 г. [85], было об-
обнаружено хаотическое поведение при значениях параметров ц = 1.1
и а = 0.87. Отметим, что данная система всюду диссипативна при
значениях \х > а. Найдем ее неподвижные точки и определим их со-
состояния равновесия. Одна из неподвижных точек Оо@,0,0) совпадает
с начатом координат и ее положение равновесия определяется харак-
характеристическим уравнением
(А* + 2//)(А2 - 2аХ + а2 + 1) = 0.
C.44)
Корни Х\ = — 2/х и А2,з = а ± i уравнения C.44) свидетельствуют,
что точка Oq является седло-фокусом, имеющим одномерное устой-
устойчивое и двумерное неустойчивое многообразия. Координаты других
неподвижных точек определяются системой уравнений
= 0, z
= 1 - x2(l - -),
182 ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
решения которой зависят от значений параметров // и о. Преобразуя
эту систему к уравнению с одной переменной
ауА - 4fiy2 + /i2D/* - За) = О,
получим, что последнее имеет вещественные корни при условии
4/i — За < 4/а, которое совместно с условием ц > а диссипативности
системы C.43) определяет множество значений параметра а € @;2],
при которых существуют другие неподвижные точки. При значении
\х = 1/а -}- За/4 система C.43) помимо точки Оо имеет еще две непо-
неподвижные точки
Для оценки состояния их равновесия найдем собственные значения
матрицы Якоби
/ а -2// -ах*/у* у* \
J{x\y\z*) = -ау*/х* - 2х*2 а Зх* ,
\ -2y*z* -2x*z* 0 /
которые для указанных точек О\ и 02 определяются характеристиче-
характеристическим уравнением
А(А2 + 2А(/2 - а) - 2a/i (l - ^ + 2^*Cж*2 + 2/*2)) = 0. C.45)
Корни уравнения C.45) одинаковы для обеих точек О\ и 02, при-
причем один из корней равен нулю, а два других корня имеют отрица-
отрицательные вещественные части при /г > а. Выполнив соответствующие
расчеты, можно показать, что точки О\ и 02 в системе C.43) при
значении /х = I/a -f- 3a/4 являются устойчивыми. Однако в сценарии
перехода к хаосу сами эти точки не имеют большого значения, так
как определены только в единственной точке пространства параме-
параметров. При других же значениях параметра // € @, I/a 4- 3a/4) каждая
из точек Ох и 02 образует пару неподвижных точек соответствен-
соответственно On(-rrJ,-yJ,2?f), 02\{Xuyh*l) И Oi2(-xb-y$,Z$), 022 («г» 2/2) *$)»
где
2 + (.
Пары этих точек симметричны относительно поворота вокруг оси z
на 180°, что следует из системы уравнений для определения их коор-
координат. Поэтому для каждой пары неподвижных точек собственные
3.5. ДРУГИЕ ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
183
значения матрицы Якоби одинаковы и, следовательно, каждая пара
неподвижных точек Оц, 021 и 012, 022 имеет свое, одинаковое для
обеих точек пары состояние равновесия.
Анализ состояний равновесия рассматриваемых пар точек в об-
общем виде затруднителен, поэтому мы численно определили собствен-
собственные значения матрицы Якоби соответственно для пар точек 0ц, 021
и 0i2, O22 при фиксированном значении параметра а = 0.87. Из чи-
численных расчетов следует, что пара точек 0ц и 02ь будучи устой-
устойчивой при значении р ~ fio & 1.7 < 1/а + За/4, теряет затем устой-
устойчивость при значении параметра \х « 1.43 вследствие бифуркации ро-
рождения предельного цикла. Эта бифуркация кладет начало каскаду
Фейгенбаума. Так при значении \х « 1.182 происходит удвоение пе-
периода предельного цикла, при \х « 1.159 рождается цикл периода 4,
при /i « 1.155 - цикл периода 8, а при до < 1.1536 — нерегулярный
аттрактор.
Рис. 3.68. Циклы периода 4 и нерегулярные аттрактор в системе C.43)
соответственно при значениях параметра fj, = 1.158 и fi = 1.152.
Таким образом, возникающий при значении параметра а = 0.87 не-
нерегулярный аттрактор обусловлен каскадом бифуркаций Фейгенбау-
Фейгенбаума и неполным субгармоническим каскадом (рис. 3.68). Отметим, что
при меньших значениях параметра а = 0.7 и а = 0.5 отмечается по-
появление циклов периода 3, что говорит о возможности существования
в системе C.43) перехода к хаосу и через полный субгармонический
каскад бифуркаций и через гомоклинический каскад.
На рис. 3.68 показаны проекции на плоскость (х, у) циклов периода
4 и нерегулярных аттракторов. Каскады бифуркаций в системе C.43)
развиваются вокруг каждой из точек Оц и O21 независимо друг от
ДРУга, причем слияния лент аттракторов, как это наблюдается в ряде
других систем, здесь не происходит.
Другая пара неподвижных точек 012 и 022 теряет устойчивость
при значениях параметра ц < 1/а + За/4 и переходит в состояние рав-
равновесия седло-фокуса, имеющего двумерное устойчивое и одномерное
184
ГЛАВА 3. ХАОТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОДУ
неустойчивое многообразия. При дальнейшем уменьшении значений
параметра /х появляются признаки гомоклинического каскада перехо-
перехода к хаотическому режиму, о чем свидетельствует цикл типа Сз при
/х = 1.0978 (рис. 3.69). Появление циклов гомоклинического каскада
следует ожидать в связи с тем, что все неподвижные точки имеют
состояние равновесия типа седло-фокус. Однако, сценарий перехода
к хаосу через гомоклинический каскад бифуркаций в данной системе
развития не имеет.
Рис. 3.69. Циклы типа Сз при значении параметра \х = 1.0978 и нерегуляр-
нерегулярные субгармонические аттракторы при /2 = 1.097 в системе C.43).
Таким образом, в системе C.43) присутствуют те же сценарии
образования нерегулярных аттракторов, что и в системе Лоренца и в
других системах. Причем, основную роль в их появлении здесь играет
субгармонический каскад бифуркаций.
3.6. Заключительные замечания и выводы
Результаты приведенных в данной главе исследований ряда дисси-
пативных динамических систем, описываемых обыкновенными диф-
дифференциальными уравнениями, показали, что все нерегулярные ат-
аттракторы этих систем являются сингулярными, а переход к хаотиче-
хаотическому поведению осуществляется во всех рассмотренных системах с
использованием одних и тех же механизмов. К ним относятся каскад
бифуркаций удвоения периода циклов (каскад Фейгенбаума), субгар-
субгармонический каскад бифуркаций, определяющий кратность периодов
циклов согласно порядку Шарковского, и гомоклинический каскад би-
бифуркаций. Эти же механизмы приводят к появлению хаотической ди-
динамики и в системах дифференциальных уравнений с частными произ-
производными, и в системах обыкновенных дифференциальных уравнений
с запаздывающим аргументом (см. главу 5).
Указанные механизмы порождают разнообразие сингулярных ат-
аттракторов в силу как геометрического строения динамических си-
систем, так и за счет возможности реализации каскадов бифуркаций в
3.6. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ВЫВОДЫ 185
различных комбинациях и в разном объеме. Геометрическое строение
систем связано с количеством, характером и расположением их осо-
особых точек и особых контуров, а также со структурой сепаратрисных
поверхностей особых точек и особых циклов, дающих начало каскадам
бифуркаций. Оно определяет строение сингулярных аттракторов, их
симметрию, наличие или отсутствие двойных каскадов бифуркаций,
порождающих аттракторы и т.д. По сложности и мощности множе-
множества циклов, участвующих в образовании аттрактора, следует разли-
различать полные или неполные, субгармонические и гомоклинические син-
сингулярные аттракторы. Простейшим сингулярным аттрактором, при-
присутствующим во всех системах, является аттрактор Фейгенбаума.
Другим важным наблюдением является обнаружение того факта,
что ни наличие петли сепаратрисы седло-узла или седло-фокуса, ни на-
наличие самого седло-узла или седло-фокуса не являются необходимыми
условиями существования в диссипативнои системе нелинейных диф-
дифференциальных уравнений хаотической динамики. Численные экспе-
эксперименты также показали, что сингулярные аттракторы не являются
структурно устойчивыми образованиями, лежат на двумерных глад-
гладких поверхностях трехмерного фазового пространства и, по всей ви-
видимости, не имеют положительных показателей Ляпунова, а их раз-
размерность не превышает величины два. Теория таких аттракторов рас-
рассмотрена в следующей главе.
Глава 4. Основы теории динамического
хаоса в системах обыкновенных
дифференциальных уравнений
В работах [29-34] авторами были высказаны обоснованные предпо-
предположения о том, что вопреки общепринятому мнению нерегулярные ат-
аттракторы нелинейных диссипативных систем обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений могут лежать на гладких подмногообразиях
фазового пространства (двумерных поверхностях в трехмерном слу-
случае) и что весьма правдоподобным является отсутствие единого поло-
положительного показателя Ляпунова при движении по таким аттракто-
аттракторам. При этом размерность нерегулярных аттракторов трехмерных
систем не должна быть больше двух, а хаос должен определяться не
гиперболичностью системы и не экспоненциальным разбеганием тра-
траекторий на аттракторе, а сдвигом фазы одних траекторий относи-
относительно других при притяжении к аттрактору. Было также высказано
предположение о том, что нерегулярные аттракторы трехмерных си-
систем не являются некоторыми новыми устойчивыми в фазовом про-
пространстве и структурно устойчивыми по отношению к параметрам
образованиями, а существуют только в отдельных точках накопления
значений бифуркационного параметра, являясь по сути замыкания-
замыканиями полуустойчивых непериодических траекторий. Эти предположения
также полностью подтверждаются результатами многочисленных вы-
вычислительных экспериментов, приведенных в главах 3 и 5.
В настоящей главе все сформулированные выше проблемы решены
положительно для широкого класса трехмерных автономных систем
нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих
изначально сингулярный устойчивый цикл. Доказано [35], что все ре-
регулярные и сингулярные аттракторы таких систем, возникающие по-
после потери устойчивости сингулярного цикла при изменении величины
системного параметра в процессе субгармонического, гомоклиниче-
ского и, возможно, более сложных каскадов бифуркаций, принадлежат
замыканию его гладкого двумерного, как минимум двулистнЪго не-
неустойчивого инвариантного многообразия. Обнаружен механизм, по-
посредством которого сдвиг фаз траекторий системы при их враще-
вращении вокруг исходного сингулярного цикла дает возможность перейти
к некоторому одномерному непрерывному немонотонному отображе-
отображению отрезка в себя в некоторой двумерной движущейся вдоль цикла
плоскости. Исходному циклу в этой плоскости соответствует особая
(неподвижная) точка типа "ротор" (см. 4.4) двумерной неавтономной
системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодиче-
периодическими коэффициентами.
Установленный переход дает возможность объяснить природу и
принципы формирования сингулярных аттракторов автономных трех-
трехмерных систем на основе теории одномерных непрерывных немоно-
4.1. ТЕОРИЯ ОДНОМЕРНЫХ ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 187
тонных отображений, фундамент которой заложен в работах М. Фей-
генбаума, А. Шарковского, Т. Ли и Дж. Йорке [66, 76, 8б~88]. Из этой
теории следует, что переход к хаосу в трехмерных автономных не-
нелинейных системах дифференциальных уравнений, имеющих сингу-
сингулярные циклы, осуществляется именно тем способом, который мы на-
наблюдаем в численных экспериментах - через каскад бифуркаций Фей-
генбаума удвоения периода циклов, а затем через субгармонический
каскад бифуркаций Шарковского.
В п. 4.1 настоящей главы излагается общая теория одномерных
нелинейных отображений, в п. 4.2 - теория Фейгенбаума каскада би-
бифуркаций удвоения периода циклов одномерных отображений, в п.
4.3 - теория образования циклов любого периода в соответствии с
порядком Шарковского. В п. 4.4 изложена теория регулярных и син-
сингулярных устойчивых и седловых циклов трехмерных автономных не-
нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и те-
теория особых точек типа ротор двумерных неавтономных нелинейных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В п. 4.5 пред-
представлена теория сингулярных аттракторов в трехмерных автономных
нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, а
в п. 4.6 приведены примеры таких систем, иллюстрирующие различ-
различные аспекты теории.
Так как других сценариев перехода к хаосу в трехмерных автоном-
автономных диссипативных системах нелинейных обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, кроме как через каскад бифуркаций удвоения
периода циклов, субгармонический и затем, возможно, гомоклиниче-
ский каскады бифуркаций, реально пока не обнаружено (см.[29-33],
а также главы 3 и 5), то весьма правдоподобной выглядит гипотеза
об универсальности описанного в настоящей главе способа возник-
возникновения хаотической динамики в трехмерных нелинейных системах
обыкновенных дифференциальных уравнений. В системах с большим
числом измерений может реализоваться сценарий перехода к хаосу че-
через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов (см. п. 3,2
и [34]), что также укладывается в рамки изложенного ниже подхода.
Таким образом, ни наличие в системе положительного показателя Ля-
Ляпунова, ни наличие петли сепаратрисы седло-узла или седло-фокуса, ни
наличие самого седло-узла или седло-фокуса не являются необходимы-
необходимыми условиями существования в системе дифференциальных уравнений
хаотической динамики.
4.1. Теория одномерных гладких отображений.
Рассмотрим динамическую систему с дискретным временем, за-
заданную на интервале 1сШ и зависящую от скалярного параметра /х
яп+1==/(яп,/х), sn(E/CR, /EC1, n = 0,1,2,... D.1)
Непрерывно дифференцируемое отображение /:/->/ является од-
одномерным и имеет наглядную геометрическую интерпретацию, так
188
ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
как может быть графически представлено в координатах (#n,a:n+i).
В этом случае с помощью диаграммы Ламерел легко находятся его не-
неподвижные точки, которые лежат на пересечении графика #n+i =
= /(а;п,/х) и биссектрисы хп+\ = хп (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Диаграмма Ламерея некоторого одномерного отображения /. Не-
Неподвижная точка х\ неустойчива, точка х\ устойчива.
Для одномерных отображений устойчивость неподвижной точки
определяется значением модуля производной отображения в этой точ-
точке. Если в точке х* величина \/'(х*,ц)\ < 1, то неподвижная точка х*
устойчива и является притягивающей точкой. Если же |/'(#*,/i)| > 1,
то неподвижная точка неустойчива. Данное условие является доста-
достаточным. Случай, когда |/(#*,/i)| = 1 требует дополнительного ис-
исследования. Например, для отображения f(x) = х — а(х - бK непо-
неподвижная точка х* = Ь, в которой /'(Ь) = 1, является устойчивой. В
данном случае точка х = Ъ является точкой перегиба и в окрестности
F — 1/\/За, 6 + 1/\/За) этой точки функция f(x) монотонно возра-
возрастает, то есть f(x) > х при х < Ь и f(x) < х при х > Ь. Поэтому
последовательность {fn(x)} монотонно стремится к точке Ь при всех
значениях х € [Ъ- i/l/За, Ь + у/1/Щ.
Устойчивой также является и неподвижная точка х* = 1—1//х = 2/3
логистического отображения / : # i-> цхA - х) при значении \х = 3,
хотя /'(ж*,/х) = -1. Действительно, представляя отображение
4.1. ТЕОРИЯ ОДНОМЕРНЫХ ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 189
в виде ряда по степеням (х — х*)
и полагая // = 3, т.е.
/2(х, 3) = х - Щх - гс*K - 27(я - гс*L,
видим, что коэффициент при (х — х*K отрицательный и, следова-
следовательно, здесь мы имеет тот же случай, что и в предыдущем приме-
примере для отображения /. Если х близко к х* и, например, а; < а;*, то
х < /2(гс,/х) < /4(я,/х) < ... ->•?*, а также/(я,/х) > /3(гс,/х) > ... -» х*.
Аналогично при х > х* имеем х > /2(х,/л) > /4(rc,/i) > ... —>> х* и
/(z,/i)</3(rc,/i) <...-> re*.
Заметим, что необходимым и достаточным условием устойчивости
неподвижной точки одномерного отображения / € С0 (/, /) является
неравенство /2(#) > х при х < х* и /2(#) < х при х > х* [87].
4.1.1. Монотонные обратимые отобралсения. Когда одномер-
одномерное отображение /:/-*/ строго монотонно, то оно обратимо, а
динамическая система на интервале / устроена достаточно просто.
Рассмотрим сначала случай, когда функция строго монотонно возра-
возрастает, то есть /'(я) >0. Тогда (/m(z))' >0 при любом m Е N. Действи-
Действительно, для т = 2 в произвольной точки хп имеем rcn+2 = /(sn+i) =
= / о f{xn) = /2(sn). Отсюда
If2(xn)}' = /'(/(*»)) • /'(*») = /f(*n+i) • /#(*n) > О,
так как каждый сомножитель больше нуля. Аналогично, ,п,ля произ-
произвольного значения т G N и в любой точке хп очевидно fm(xn) =
= / о / о ... о f(xn) и, следовательно,
[Г(ХП)У = /'(Sn+m-l) ' /'(*n+m-2) ' ' ' f'M > 0.
Таким образом, каждая траектория xo,rci,rc2, ...,rcn+i = /(xn) мо-
монотонна (при хо > х\ имеем xq > х\ > х^ > ... > хП) а при х0 < х\
соответственно х$ < х\ < Х2 < ... < хп) и сходится к одной из не-
неподвижных точек. Для описания поведения траектории в случае мо-
монотонно возрастающей функции f(x) достаточно знать множество
Fix/ = {х в I : х = /(#)} неподвижных точек отображения / и,
кроме того, sign(/(rc) — re) на каждом интервале, дополнительном к
множеству Fix/: если xq Е (о, Ь) и а, Ь G Fix/, (а, Ь) С I \ Fix/, то
/п(ж0) П~*°°> а, когда sign(/(z0) - гс0) = -1 и /п(я0) П">°°> ь, ко-
когда sign(/(rco) — Хо) = +1 . Таким образом, имеет место разбиение
всего интервала на области устойчивых неподвижных точек. Так как
190
ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
в последовательности a?J, x\,...,x*k неподвижных точек устойчивые и
неустойчивые точки чередуются, то для каждой устойчивой точки х\
интервал (х*_г1х*+1) будет ее областью притяжения (рис. 4.2). Бифур-
Бифуркации в динамической системе с монотонно возрастающей функцией
обусловлены либо изменением характера устойчивости неподвижных
точек, либо их рождением (исчезновением). В связи с этим отметим
два случая, являющихся аналогом бифуркаций циклов в динамических
системах, описываемых дифференциальными уравнениями.
Рис. 4.2. Пример отображения с монотонно возрастающей функцией f(x).
Неподвижные точки х\ и х% являются устойчивыми, а точка х% - неустой-
неустойчивой.
В первом случае график функции f(x) касается биссектрисы
?n+i = хп (кривая 2 на рис. 4.3а). Эта ситуация соответствует би-
бифуркации точечного отображения, в результате которой происходит
либо слияние и исчезновение устойчивой и неустойчивой неподвиж-
неподвижных точек, если переход осуществляется от кривой 1 к кривой 3, ли-
либо, наоборот, происходит рождение двух новых неподвижных точек
(устойчивой и неустойчивой), если переход происходит от кривой 3 к
кривой 1.
Во втором случае неподвижная точка функции f(x) совпадает с
точкой перегиба этой функции (кривая 2 на рис. 4.36). В этом случае в
результате бифуркации происходит смена устойчивости неподвижной
точки и рождение (или исчезновение) двух других неподвижных то-
точек. Если, например, первоначально устойчивая неподвижная точка
4.1. ТЕОРИЯ ОДНОМЕРНЫХ ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
191
Xq вследствие бифуркации теряет устойчивость при переходе от кри-
кривой 3 к кривой 1, то при этом рождается пара новых устойчивых точек
х\ и xj. Переход в обратную сторону от кривой 1 к кривой 3 соот-
соответствует бифуркации исчезновения двух устойчивых неподвижных
точек и изменению состояния равновесия с неустойчивого на устой-
устойчивое третьей неподвижной точки Xq.
*2 ХП
Рис. 4.3. а) Одновременное рождение (исчезновение) неустойчивой х\ и
устойчивой х\ неподвижных точек; б) изменение устойчивости одной не-
неподвижной точки гсо и одновременное рождение (исчезновение) пары устой-
устойчивых неподвижных точек х\ и х%.
Если рассматривать точечное одномерное отображение как неко-
некоторое отображение Пуанкаре для системы обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, то первому случаю будет соответствовать седло-
узловая бифуркация рождения или исчезновения в фазовом простран-
пространстве системы пары (устойчивого и неустойчивого) предельных ци-
циклов. Второму же случаю в системе дифференциальных уравнений
отвечает ситуация, когда в результате бифуркации потери устойчи-
устойчивости одного предельного цикла рождается пара новых устойчивых
предельных циклов.
В том случае, когда функция f(x) строго монотонно убывает, то
есть f'(x) < О, вторая итерация /2(ж) = /о/(я) имеет положительную
производную
f'(x) = (/ о /(«))' = f'(f(x)) ¦ Г{х) > О,
так как оба сомножителя в последнем выражении отрицательны. Сле-
Следовательно, /2 является строго монотонно возрастающей функцией.
Легко видеть, что —~-^ > 0, а ——, < 0 и, следовательно,
dx dx
dx
dx
192
ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
каждая траектория отображения хп+\ = f(xn) разбивается на две по-
последовательности ж0, х2, ...", Х2к и xi, х3,..., х2л+1, одна из которых
возрастает, а другая убывает.
/
L
у
ч
/
а
\ /
X
/
Рис. 4.4. Бифуркация потери устойчивости неподвижной точки х* в случае
отображения с монотонно убывающей функцией f(x) (а) и рождение при
этом цикла периода 2 (б).
Xn+l
у
/\
а
/
\ А
Тх
Хп
Рис. 4.5. Бифуркация рождения (исчезновения) пары циклов периода 2 то-
точечного отображения с монотонно убывающей функцией /(ж) без изменения
характера устойчивости неподвижной точки х*.
Для описания динамической системы в случае монотонно убыва-
убывающей функции f(x) достаточно знать множество Fix/2. Это множе-
множество состоит из неподвижной точки х* отображения /(х), лежащей
на пересечении графика функции /(х) и биссектрисы xn+i = xn, и
неподвижных точек х* отображения /2(х), которым соответствуют
4.1. ТЕОРИЯ ОДНОМЕРНЫХ ГЛАДКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 193
двукратные циклы отображения /(х). Таким образом, весь интервал
/ разбивается на область притяжения неподвижной точки х*, если
последняя устойчива, и области притяжения циклов периода 2. Это
разбиение по существу определяет и тип бифуркаций в динамической
системе с монотонно убывающей функцией: либо изменение характе-
характера устойчивости неподвижной точки #*, вследствие чего происходит
рождение или исчезновение цикла периода 2 (рис. 4.4), либо рожде-
рождение (исчезновение) пары циклов периода 2 без изменения состояния
неподвижной точки х* (рис 4.5).
В первом случае при потере устойчивости неподвижной точки долж-
должно, очевидно, выполняться условие f'(x*) = —1. Таким образом, эта
бифуркация точечных отображений аналогична бифуркации рожде-
рождения цикла удвоенного периода в нелинейных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений при прохождении мультипликатора ци-
цикла через точку -1 единичной окружности.
4.1.2. Немонотонные отображения. Для того, чтобы динами-
динамическая система, описываемая одномерным точечным отображением,
могла быть устроена более сложно, необходимо, чтобы отображение
/ : / -* /, было немонотонным. Это позволит осуществить возвра-
возвращение некоторых точек в начальное положение и, следовательно, по-
получить периодические точки с любым периодом, а не только с пери-
периодом 1 или 2, как в случаях монотонно возрастающей или монотонно
убывающей функции f(x). Сложное поведение динамической системы
с немонотонной функцией обусловлено неоднозначностью обратного
отображения. Действительно, следуя [13], предположим, что обратное
отображение /-*1 : хп+\ н- хп имеет р ветвей, то есть состоит из
совокупности р обратимых отображений ff1, г = 1, р. Запишем /Г1
в виде
и рассмотрим суперпозицию т обратимых отображений
где ij - любые целые числа из множества {1,2, ...,р}. Отображение
G(x) монотонно и имеет хотя бы одну неподвижную точку я*,г2...*т-
Но эта неподвижная точка является также неподвижной точкой ото-
отображения /т, а неподвижной точке отображения fm соответствует
либо неподвижная точка отображения /, либо цикл отображения /
определенной кратности. Первый случай возможен только тогда, ко-
когда z'i = z*2 = ... = гт. Так как можно взять любое положительное
целое число га и произвольно выбрать числа ii, *2> ..., im от 1 до р,
то немонотонное отображение может иметь бесчисленное множество
циклов различной кратности и несчетное множество непериодических
траекторий.
194 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
4.2. Каскад бифуркаций Феигенбаума удвоения периода
циклов одномерных отображений.
Аналитическая теория каскада бифуркаций Феигенбаума удво-
удвоения периода достаточно сложна и ее полное и последовательное изло-
изложение потребовало бы написания специальной монографии, посвящен-
посвященной рассмотрению как самой теории, так и многочисленных примеров
из нелинейной динамики, где встречаются последовательности удвое-
удвоения периодов. Цель нашей работы определена прежде всего задачами
нелинейной динамики диссипативных систем, описываемых диффе-
дифференциальными уравнениями. Поэтому здесь мы ограничимся рассмо-
рассмотрением качественной стороны этой теории и приближенными оцен-
оценками при определении универсальных постоянных Феигенбаума.
4.2.1. Логистическое отображение. Изучение свойств логисти-
логистического точечного отображения
/(*,/х) = цхA -*),*€ [0, 1], /х € [1, 4], D.2)
привело Феигенбаума к пониманию механизма удвоения периода его
циклов и к уравнению для определения значений параметра /х, при
которых происходит удвоение периодов. Впоследствии оказалось, что
сложное хаотическое поведение одномерной динамической системы не
связано со своеобразием логистического отображения и имеет место
во всех разностных уравнениях первого порядка вида хп+\ = /(rrn,/x),
в которых при соответствующем выборе масштаба одномерное ото-
отображение / : I *-? I является унимодальным, то есть имеет на за-
заданном интервале I единственный экстремум. Обратное отображение
f имеет при этом на интервале / две ветви.
Следуя Фейгенбауму, рассмотрим отображение D.2) на интервале
х € [О, 1]. Это отображение имеет неподвижную точку х* — 1 — 1//х,
которая при увеличении значений параметра /х движется слева напра-
направо и достигает при /х = 2 значения х* = 1/2. При значении /х = 3 непо-
неподвижная точка теряет устойчивость и в ее окрестности появляются
две новые неподвижные точки, образующие устойчивый цикл периода
2. Эти две точки являются неподвижными точками отображения
Фейгенбаум установил, что главной причиной удвоения периода явля-
является соотношение между производными функций / и /2. Как уже от-
отмечалось выше, если #2 = /(#i,//) = /2(#(ь^)> то по правилу диффе-
дифференцирования сложной функции
i) D.3)
и аналогично
Г'Ы,») = f'{xn-i,n) • /'(хп-2,р).../'(х0,р). D.4)
4.2. КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ФЕЙГЕНБАУМА
195
Для неподвижной точки хо = х* отображения / соотношение D.3) с
учетом того, что х\ = хч = х* дает
D.5)
Для цикла отображение / периода п, когда
= /(хь/и), Ar = 0,n-2, хо =/(xn_i,/i),
соотношение D.4) дает значение производной отображния /п в любой
точке цикла в виде
Г/(х,,/х) = //(^ьД)-//(^п-2,/х)...//(^о,/х). D.6)
Кроме того, так как для отображения D.2) /'A/2, //) = 0, то для всех
Из последнего соотношения также следует, что отображение /2 имеет
экстремумы (максимумы) в тех точках хо, которые отображаются
функцией / в точку х = 1/2, так как в этом случае xi = /(хо, fi) = 1/2,
а /2/(х0,/х) = r{xuii) • /'(*о,м) = 0.
/
(v
V
/
\
Рис. 4.6- Рождение устойчивого цикла периода 2 логистического отобра-
отображения 'D.2).
При значении // ->> /zi = 3 максимальное значение функции / стре-
стремится к 3/4, значение f'{x*,n) -> -1, а /2'(х*,)и) -> 1. При значении
параметра /л > 3 имеем |/'(х*,//)| > 1, |/2/(я*)| > 1 и у отображе-
отображения /2 : / -> 7 появляются две новые неподвижные точки помимо
неподвижной точки отображения /, то есть график /2 пересекает
196 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
прямую а;п+1 = хп в двух дополнительных точках (рис. 4.6 а и б со-
соответственно для функций / и /2 при jjl = 3.14). Новые неподвижные
точки гс* и ж*, отображения /2 не являются неподвижными точками
отображения /, которое преобразует одну точку в другую, то есть
Х2 = /(Ж1»^)> a^i= /(ж2>а0- Эта пара точек образует цикл периода
2 отображения /. Отметим, что производная отображения /2 пре-
превосходит 1 в неподвижных точках отображения / (рис. 4.66), кото-
которые, следовательно, являются неустойчивыми неподвижными точка-
точками отображения /2. Напротив, тангенс угла наклона графика }2{х)
к оси абсцисс в двух новых неподвижных точках меньше 1, то есть
Р'(xl,(i) = /2/(#2,a0 < 1» эти точки являются устойчивыми и ка-
каждая двойная итерация функции / будет притягиваться либо к х*,
либо к rrj- При п -> оо последовательность гго, Х\, Ж2, яз> ••• будет
приближаться к последовательности хJ, х^ х\, х%, ..., которая явля-
является устойчивым двойным циклом, или аттрактором с периодом 2
отображения /.
Так как каждая точка цикла периода п отображения / является
также неподвижной точкой отображения /п, то из D.6) следует, что
все точки цикла теряют устойчивость одновременно — при одном и
том же значении параметра /х. Это и служит причиной бесконечной
последовательности удвоений периода. Так при дальнейшем увеличе-
увеличении значений параметра fj, минимум функции /2 при значении х = 1/2
понижается, а ее производная в неподвижных точках х* и х\ возра-
возрастает. При некотором значении /х == /xj неподвижная точка х\ примет
значение 1/2. Одновременно с этим другая неподвижная точка х% при-
примет значение, соответствующее правому максимуму функции /^(рис.
4.7) и при этом в обеих точках двойного цикла будет иметь место ра-
равенство р'{х\ф) = f2>(x$,ix) = 0.
При дальнейшем увеличении значения параметра \л производные
функции /2 в точках х\ и х\ станут отрицательными, а при уь =
= /Л2 = 14-\/б производная в обеих неподвижных точках х\ и х\ станет
равной -1. То есть ситуация для функции /2(ж,/х) в точке /х = /хг
аналогична ситуации для функции f(x,fi) при значении /х = ц\ = 3.
Аналогично тому, как неподвижная точка отображения /(ж,//) при
/х = ji\ превращается в цикл периода 2, так и каждая неподвижная
точка отображения /2(я, /х) при \х = /х2 образует цикл периода 2, то
есть цикл периода 4 для функции /. Чтобы найти точки цикла периода
4, надо установить неподвижные точки функции /4, которая может
быть вычислена по функции /2 аналогично тому, как функция /2 была
вычислена по функции /, то есть /4 = pop, С этого момента можно
забыть о функции / и считать /2 основной функцией.
То обстоятельство, что функция /2 есть вторая итерация отобра-
отображения /, проявляется в равенстве значений ее производных в непо-
неподвижных точках. Поскольку это верно при любом числе итераций,
то для отображения /4 достаточно рассмотреть только ближайшую к
4.2. КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ФЕЙГЕНБАУМА
197
значению 1/2 неподвижную точку, а поведение трех других неподвиж-
неподвижных точек будет аналогичным. Так возникает рекуррентная процеду-
процедура.
а
f
/
1
\
\7б [7
Рис. 4.7. Суперцикл периода 2 ото-
отображения D.2) при fx — ц\.
Рис. 4.8. Суперцикл периода 4 ото-
отображения D.2) при [х = \х\.
Снова увеличивая // до значения /и^ при котором одна из непо-
неподвижных точек примет значение 1/2, а производные в неподвижных
точках обратятся в нуль (рис. 4.8), получим наиболее устойчивый цикл
периода 4 (так называемый суперцикл). При дальнейшем увеличении
параметра // производная в неподвижных точках снова станет отри-
отрицательной, а при fi = //3 она примет значение -1, и снова произойдет
бифуркация удвоения периода, вследствие которой возникнет цикл пе-
периода 8. И снова получим /8 = /4 о /4.
Таким образом, всегда имеет место
f2 = f2
D.7)
198 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
то есть один и тот же механизм приводит к удвоению периода ите-
итерации /2П. Функция /2П образуется из функции /2 по формуле
D.7). Аналогично функция /2" образуется из функции f2" . Отсю-
Отсюда следует, что имеется ^определенный оператор, результат действия
которого на функции /2П при значении параметра \i = fin определяет
функции /2" при jjl = цп+1. Так как, кроме того, мы рассматриваем
функцию /2П лишь в некотором интервале, содержащем неподвижную
точку со значением близким к 1/2, и размер этого интервала с возра-
возрастанием значений параметра \х постоянно убывает, то отображение,
образующее этот интервал, также сжимается в очень малую область
кривой вблизи точки х = 1/2. Поведение отображения / вдали от точ-
точки х = 1/2 несущественно для свойства удвоения периода и в пределе
при п —> оо важна только природа максимума функции /. Отсюда
можно заключить, что в пределе бесконечного числа удвоений перио-
периода все функции с квадратичным экстремумом ведут себя одинаково.
Следовательно, действующий на отображение оператор имеет устой-
устойчивую неподвижную точку в пространстве функций, которая является
общим универсальным пределом для многократных итераций любой
конкретной функции.
4.2.2, Оператор удвоения периода. Идея построения тако-
такого оператора заключается в следующем. Выделим на рис. 4. 8а
прерывистой линией квадрат, содержащий часть функции /2, кото-
которой мы снова воспользуемся в качестве примера при конструирова-
конструировании оператора удвоения. Затем этот квадрат мы инвертируем отно-
относительно точки A/2, 1/2), сравним этот квадрат со всем единичным
квадратом на рис. 4.7а и растянем его так, чтобы квадрат, образо-
образованный циклом периода 2 с помощью отображения /2 и показанный
на рис.4.8а сплошной линией, совпал с аналогичным квадратом цикла
периода 2, полученным с помощью отображения / и изображенным на
рис. 4.7а. В обоих квадратах окажутся кривые с одинаковым типом
максимума при значении х = 1/2 и обращающиеся в нуль в правом
нижнем углу. Так же как функция / определяет при возрастании /z
от значения /хх до /^ соответствующую часть отображения /2, так и
/2 определяет соответствующую часть отображения /4 после необхо-
необходимого растяжения и инверсии. Фейгенбаумом была вычислена полу-
получающаяся в результате такой процедуры совокупность первых пяти
таких функций. Различие между значениями функций трех последних
кривых оказалось настолько мало, что они практически совпали [86].
Отметим, что изменение масштаба отображения /4, определяемое при
аналогичном преобразовании по функции /2, основывается только на
свойствах композиции функций. Поэтому, если описанные кривые для
/2 и /2 сходятся к одному пределу при п ->• оо, то величина из-
изменения масштаба (скейлинга) в каскаде бифуркаций удвоения при
переходе от одного уровня к другому также сойдется к определенно-
определенному значению.
4.2. КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ФЕИГЕНБАУМА
199
Обратим внимание, что сторона каждого квадрата, образуемого
циклом при каждой следующей итерации удвоения, равна расстоянию
dn между значением х = 1/2 и неподвижной точкой х* отображения
рп, ближайшей к х = 1/2 и удовлетворяющей условию /2" (х*) = О
(рис. 4.9), которое определяет, как отмечалось выше, так называемые
суперциклы - циклы с наибольшей устойчивостью. Отсюда следует,
что асимптотическое расстояние, разделяющее соседние элементы ат-
аттрактора, уменьшается при удвоении периода в постоянное число раз.
Кроме того, при каждом последующем удвоении периода ближайший
к точке х = 1/2 элемент аттрактора перемещается с одной стороны
от точки х = 1/2 на другую. Таким образом, переход к циклу периода
2n+l при {л = fj,n+i осуществляется сжатием масштаба приблизительно
в а раз, то есть
А * -а. D.8)
Из рис. 4.9 также следует, что величина dn есть расстояние между
1
0.5
0
X
/
1
<
^ <
rf3
1 1
1 1
1 1
Рис. 4.9. Бифуркационная диаграмма каскада Феигенбаума для логистиче-
логистического отображения D.2).
значением х = 1/2 и ближайшим к этой точке элементом цикла пери-
периода 2П при \х = ^*, где //* - значение параметра /i, соответствующее
суперциклу периода 2П. Этот ближайший элемент есть 2П" итерация
200 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
точки х = 1/2 и поэтому
Для дальнейшего изложения сделаем преобразование сдвига
х + 1/2 -> ж. Тогда выражение D.9) примет вид
Принимая во внимание соотношение D.8), получаем, что имеет место
предел
lim(-a)n<fn+1=d. D.10)
п—>оо
С учетом D.9) получаем, что последовательность масштабированных
итераций /2"@,^*+1) сходится, то есть
lim(-a)«/2"@X+1) = d. D.11)
Приведенные выше рис. D.7) - D.8) иллюстрируют более сильное
утверждение, а именно, растянутая в (—а)п раз функция /2" сходится
к некоторой вполне определенной функции и соотношение D.11) есть
предел этой функции при х = 0. Следовательно, соотношение D.11)
можно обобщить на весь интервал, и тогда предельная функция, обо-
обозначенная как #i(x), будет иметь вид
DЛ2)
При многократных итерациях (п -> оо) существенными остаются все
меньшие части кривой / вблизи максимума (см. например, рис. 4Я)
и, следовательно, функция gi(x) определяется поведением функции
рп f -( wpA*n+i ) лишь вблизи точки х — 0. Поэтому функция д\{х)
должна быть универсальной для всех функций / с квадратичным экс-
экстремумом.
Обобщая соотношение D.12), определим семейство универсаль-
универсальных функций
9i(x) = Jim (-a)"/2" ((l?p/Cw). * = 0, 1, ... . D.13)
4.2. КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ФЕЙГЕНБАУМА201
Нетрудно видеть, что
ГйМ| DЛ4)
где Г - оператор удвоения. Таким образом, все функции семейства
D.13) связаны между собой преобразованием удвоения
Обозначим
0(ж) = Urn #(ж)
j—too
и получим, что
((|)) D.15)
то есть функция д(х) является неподвижной точкой оператора удвое-
удвоения Г.
4.2.3. Универсальность Фейгенбаума. Уравнение D.15) в
принципе позволяет найти универсальную постоянную а. Положив,
например, х = 0, получим уравнение
*@) = -ад(д@)). D.16)
Однако, в решении функционального уравнения D.15) имеются, по
крайней мере, две существенные особенности. Первая из них состоит
в том, что уравнение D.15) является инвариантным относительно
масштабирования самой функции д(х). Действительно, подставив в
уравнение D.15) вместо функции д(х) функцию Лр(х/А), получим
или
где и = я/А, то есть при любом А ф 0 функция Хд(х/Х) является ре-
решением уравнения D.15) с тем же самым значением а. Поскольку
202 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
теория позволяет выбрать масштабный коэффициент Л любым обра-
образом, то его можно зафиксировать, положив, например, д@) = 1.
Другая особенность заключается в том, что пока неизвестны ме-
методы точного решения функционального уравнения вида D.15). Для
приближенного решения мы выберем функцию д(х) из класса гладких
функций с квадратичным экстремумом (максимумом) в нуле, то есть
представим решение в виде ряда по четным степеням переменной х:
д(х) = 1 + ахх2 + а2хА + ... + апх2п + ... D.17)
и воспользуемся двумя членами этого ряда для приближенной оценки
как самой функции д{х)) так и универсальной константы а. Тогда
уравнение неподвижной точки D.15) примет вид
1 + ахх2 = -аA + <ц)
Решая систему уравнений
а + 2а% = 0,
l + a(l + ai) = 0,
относительно неизвестных а и ai, находим а\ = (—1 ± \/3)/2. В
связи с тем, что функция д(х) имеет в нуле максимум, выбира-
выбираем сц = (-1 - >/3)/2 « -1.366, тогда а = 1 -h y/Z « 2.732. Эти прибли-
приближенные оценки примерно на 10% отличаются от численных резуль-
результатов, полученных Феигенбаумом при использовании четырех членов
ряда D.17)
д{х) = 1 - 1.52763д;2 + 0.104815a;4 - 0.0267057s6.
При этом а = 2.502907875.
Полученная универсальная постоянная а определяет скеилинг пе-
переменной х в отображении /(ж,/л). Рассмотрим теперь, имеет ли от-
отношение к скейлингу другая переменная - /х. Заметим, что значение
параметра ц = //* определяется из условия существования суперци-
суперциклов и соответствует таким значениям /х, при которых имеет место
—/2n(s,/z*) = 0. Это говорит о том, что суперциклы в качестве
ах 1*;
своего элемента содержат неподвижную точку rrjj = 1/2. Поэтому име-
имеем /2П A/2, //*) = 1/2, а после сдвига х 4-1/2 -> х получаем уравнение
для определения величин /i*
/2П@,/О = 0. D.18),
Уравнение D.18) имеет бесконечное множество решений, поскольку
ему удовлетворяют также суперциклы, имеющие место в окнах хаоти-
хаотического режима. Чтобы выделить значения рп, имеющие отношение
4.2, КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ФЕЙГЕНБАУМА 203
к каскаду удвоения периода, то есть к последовательности
уравнение D.18) надо решать, начиная с п = 0 и упорядочивая \хп в
соответствии с D.19).
Очевидно, числа /хп показывают, как быстро происходит прибли-
приближение к /ioo, соответствующему завершению каскада удвоения и по-
появлению аттрактора Фейгенбаума. Покажем, что по переменной \i
также имеет место скейлинг
м;-Моо~<Гп, D.20)
где 6 - другая универсальная постоянная Фейгенбаума, а с учетом
D.19) справедливо также
Разложим функцию /(ж,/х) в ряд в окрестности точки /Хоо
/(*, л)« fix,**,) + Щ^г-\цу - /U =
= /о(*) + (л-М«»)/1(*) D-21)
и применим к D.21) оператор удвоения Г (в случае логистического
отображения в D.21) можно поставить знак равенства).
Т/(Х,Ц) = Г(/О(Я) + (fi -
{x). D.22)
Принимая во внимание вид оператора удвоения D.15), найдем
«гл«(») = Г(А(») + «(«)) - ТМ') =
(«), D.23)
204 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
где L - линейный несамосопряженный оператор вида
определяемый по отношению к функции /, о(и) - малые величины выс-
высшего порядка малости по сравнению с и. После n-кратного применения
оператора удвоения Т к функции /(я,/х), будем иметь
+ o((ji-/ioo)/i(*)). D,24)
Как отмечалось выше, оператор Tnfo(x) сходится к неподвижной
точке, то есть
ton Tnf(x,Moo)= lim (-a)"/2" (^^00) = .lira *(*)=*(*).
Тогда D.24) принимает вид
Т»/{х,ц) « 5(x) + G« - tbjqMx). D.25)
Разложим функцию /i (д;)
$], fc = 0, 1, 2,... D.26)
A;
по собственным функциям <pk(x) оператора Lg
Lg<pk(x) = \kVk{x), к = 0, 1, 2,... D.27)
и получим
I>), к = 0, 1, 2,... D.28)
Фейгенбаум установил, что только лишь одно собственное значе-
значение оператора Lg больше единицы, то есть Ао>1,аА& < 1, А; ф 0.
Позднее это было доказано аналитически Колле, Экманом, Лэнфор-
дом [89]. Не останавливаясь здесь на аналитическом доказательстве
этого факта, рассмотрим данное утверждение с качественной сторо-
стороны. Однопараметрическое семейство функций /(х,/х) является линией
в пространстве функций. Для каждой из функций в этом простран-
пространстве имеется изолированное значение параметра Доо, при котором эта
функция при многократном применении оператора удвоения Т схо-
сходится к д(х). Заполним пространство функций линиями, соответству-
соответствующими функциям f{x,ix). Множество точек в пространстве функций,
4.2. КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ФЕЙГЕНБАУМА 205
соответствующих различным функциям /(я,/гоо), определяет поверх-
поверхность, повторное применение к точкам которой оператора удвоения
Т дает функции, сходящиеся к д(х). Это есть устойчивое многообра-
многообразие д оператора Т. Но через каждую точку этой поверхности прохо-
проходит соответствующая линия, которая параметризуется одним числом
\х. Поэтому в пространстве функций имеется только одно направле-
направление, определяемое собственным вектором с собственным значением,
большим единицы, или, другими словами, собственной функцией у>о
оператора Lg с соответствующим собственным значением Ао > 1.
Поэтому в выражении D.27) при п —> оо, ограничиваясь вкладом
только от Ао) получим
?. D.29)
Тогда D.25) примет вид
Tnf{x,fi) » g{x) + (м - Moo)<5n<Wo(*), D.30)
где введено обозначение S = Ао. Действительно, легко показать,что
собственное значение Ао совпадает с универсальной постоянной S Фей-
генбаума. Положим \х = д* и х = 0. Тогда из D.30) получим
Г1 КО, /О и 5@) + (м; - Aioo)<5ncovo@). D.31)
Принимая во внимание, что р@) = 1 и то, что согласно условию D.18)
Тп№ Ю = (-а)"/2" @, Ю = 0, D.32)
приходим к искомому результату
nlim Ы - ^)J« = --L^ = const. D.33)
n
Численное значение универсальной постоянной <5 можно получить
из уравнения на собственные значения оператора Lg
или
D34)
Для приближенного решения уравнения D.34) воспользуемся только
первым членом <ро(О) из степенного разложения функции (fo(x). В этом
случае получаем алгебраическое выражение для оценки S
l]. D.35)
206ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Значение д'{1) для функции с квадратичным экстремумом
(^'(О) = 0, #"@) ф 0) можно вычислить, если дважды продифферен-
продифференцировать уравнение для неподвижной точки D.15)
™-~И«(-Э) ¦('(-=))
'+
Подставляя в последнее выражение х = 0, получим
</'(!) = -а. D.36)
Таким образом, D.35) принимает вид
6 = а2 - а. D.37)
Используя найденное выше значение а « 2.732, находим, что 5 « 4.732.
Полученное значение E отличается от вычисленного с большей точно-
точностью результата Фейгенбаума (S » 4.6692016) примерно на 1%.
4.2.4. Размерность аттрактора Фейгенбаума. Рассмотрим
важный вопрос о размерности нерегулярного аттрактора точечного
отображения, который рождается при завершении каскада бифурка-
бифуркаций Фейгенбаума. Назовем этот аттрактор аттрактором Фейгенбау-
Фейгенбаума. В любой окрестности любой его точки содержатся точки, при-
принадлежащие какому-либо неустойчивому циклу. Поэтому аттрактор
Фейгенбаума является, очевидно, нигде не плотным множеством то-
точек, и использование обычного понятия геометрической размерности
для определения размерности этого аттрактора непригодно. Наиболее
приемлемым, по-видимому, является в данном случае использование
фрактальной размерности (см. п.1.4.4).
Оценка сверху фрактальной размерности d^ суперцикла периода
2П при п —>• оо может быть вычислена следующим образом. Чтобы
покрыть все точки суперцикла периода 2П отрезками длины е тре-
требуется N(e) = 2П отрезков. Средняя минимальная длина отрезков еп
для покрытия всех точек суперцикла периода 2П при п ->• оо согласно
оценкам [15] равна
-№)"¦ <«8>
Подставляя эти значения в формулу A.9) получаем
0.543. D.39)
Таким образом, аттрактор Фейгенбаума точечного унимодального
одномерного отображения является, по всей видимости, фракталом и
4.3. КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ШАРКОВСКОГО 207
имеет дробную размерность со значением меньшим единицы. В то
же время значение, приведенное в D.39) является оценкой сверху.
Поэтому, как нам кажется, данный вопрос требует дополнительного
изучения.
4.3. Субгармонический каскад бифуркаций Шарковского
циклов одномерных отображений.
Порядок Шарковского, установленный в работе [76], является не
менее важным, чем универсальность Фейгенбаума, открытием, сви-
свидетельствующим о сложности структуры одномерных динамических
систем.
4.3.1. Теорема Шарковского. Из теоремы Шарковского, пере-
переоткрытой Ли и Йорке [88], следует, что усложнение структуры циклов
итераций одномерных унимодальных отображений может не заканчи-
заканчиваться каскадом бифуркаций Фейгенбаума, а продолжаться некото-
некоторым другим, более сложным каскадом бифуркаций в соответствии с
порядком, установленным в теореме.
Определение. Порядком Шарковского называется упорядоче-
упорядочение в множестве натуральных чисел, имеющее вид
К 2 < 22 < 23 < • • • < 22 • 7 < 22 • 5 < 22 • 3 < • • •
•••<2-7<2-5<2-3<---<9<7<5<3. D.40)
Теорема 4.1 (теорема Шарковского [76]). Если непрерывное ото-
отображение I -} I имеет цикл периода п, то оно имеет также циклы
каждого порядка п' такого, что п1 < п в смысле порядка Шарков-
Шарковского.
Следствие. Если отображение / имеет периодическую точку пе-
периода 3, то оно имеет периодические точки всех периодов.
Доказательство теоремы Шарковского основано на нескольких
утверждениях, рассмотренных ниже. В начале заметим, что каково бы
ни было отображение / ? С°(/, /), если оно имеет цикл периода п > 1,
то в силу непрерывности у данного отображения есть и неподвижная
точка. Более того, если / - ограниченный интервал, то неподвижная
точка на / есть всегда. Теперь последовательно рассмотрим утвер-
утверждения, согласно которым определяется порядок следования циклов в
одномерных отображениях.
Лемма 1. Если отображение I -> / непрерывно, то между любы-
любыми двумя точками цикла периода п > 1 лежит хотя бы одна точка
некоторого цикла периода п' < п.
Доказательство. Пусть а < Ь- точки цикла периода п и па, щ
- количество точек этого цикла, лежащих левее точек а и 6 соответ-
соответственно. Очевидно, 0 < па < Щ < п. Существует щ различных целых
208 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
чисел S{, г = 1,..., щ, меньших п и таких, что /8i(b) < Ь, где 5,- - дли-
длительность перехода в итерациях из точки Ь в одну из точек цикла,
расположенную левее 6. Так как па < щ, то найдется целое поло-
положительное число s^, 1 < i1 < п&, такое, что f8i'(b) < Ь, /••"' (а) > а.
Следовательно, существует точка хо ? (а, 6), для которой будет иметь
место /*••' (гго) = х0, т.е. х0 - точка цикла периода п' < 5^ < п.
Лемма 2. Если непрерывное отображение имеет цикл периода
п> 2, то у этого отображения есть и цикл периода 2.
Следуя Шарковскому, докажем более общее утверждение, из кото-
которого следует лемма 2, а именно: если непрерывное отображение имеет
цикл периода п > 2, то у этого отображения есть и цикл меньшего
периода 2 < п' < п.
Доказательство. Если между какими-либо двумя точками ци-
цикла периода п нет неподвижных точек, то данное утверждение непо-
непосредственно следует из леммы 1.
Теперь допустим, что между двумя точками цикла есть неподвиж-
неподвижные точки. Возьмем произвольную точку с, принадлежащую циклу и
отличную от наименьшей точки а и от наибольшей точки 6. Для опре-
определенности положим /(с) > с. Пусть к - наименьшее число итераций,
за которое точка с переходит в точку а, т.е. fk(c) = а, 2 < к < п. По
предположению между точками а и с есть неподвижные точки. Выбе-
Выберем одну из них, ближайшую к точке с и обозначим через d. Так как
f(d) = d и /(с) > с, то Vrr G (d,c) справедливо неравенство f(x) > х.
Следовательно, для функции у = fk(x) имеем fk(ct) = d и, более то-
того, существует окрестность точки d, где fk{x) > х при х > d. Но
так как /*(с) = a < с, то на интервале (d,c) есть точка х*, для ко-
которой fk(x*) = х*. Таким образом, поскольку на интервале (d,c) нет
неподвижных точек, то х* - это периодическая точка отображения /,
период которой п' > 2 и п' < К п.
Следствие 1. Если отображение / имеет цикл периода 2', I > 1,
то у этого отображения есть циклы периодов 2*, г = 0,1,..., I - 1.
Следствие 2. Если отображение / имеет цикл периода, нерав-
неравного 2г, г = 0,1,2,..., то у этого отображения есть циклы периодов
2*. 1 = 0,1,2,....
Для доказательства существования у данного отображения / ци-
цикла периода 2к применим лемму 2 к отображению g = /2 "" . Тогда
периодическая точка отображения / периода 2lm, m > 1 и нечетно,
является для отображения g периодической точкой периода 2/~~*+1га,
если к < I и периода га в противном случае. Согласно лемме 2 отобра-
отображение g имеет периодическую точку периода 2, которая для отобра-
отображения / является, очевидно, периодической точкой периода 2к.
Таким образом, часть утверждения теоремы, касающаяся циклов
периода 2*, г = 0,1,2,..., содержится уже в следствии 1. Следствие 2
также содержит часть утверждения теоремы. Оно говорит о том, что
4,3. КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ШАРКОВСКОГО 209
отображение, которое имеет цикл, не равный периоду 21, % = 0,1,2,...,
например, периода п = 3, имеет по крайне мере счетное множество
циклов 2г < п, г > 0, среди которых есть циклы сколь угодно большого
периода.
Для завершения доказательства теоремы привлечем некоторые со-
соображения, связанные с символической динамикой.
Пусть /' и /" - два интервала. Будем говорить, что интервал /' /-
накрывает интервал J", если /(/') Э /", т.е. образ интервала /' содер-
содержит в себе интервал /". В таком случае найдется подинтервал К С /',
для которого f(K) = 7" и fFK) = 57", т.е. образ подинтервала К
точно совпадает с интервалом 7", включая их границы. Подинтервал
К называют ft-интервалом, если не существует другого подинтервала
К1 С К с теми же свойствами. Говорят, что интервал 7' /-накрывает
интервал 7" п раз, если существуют п попарно не пересекающихся
ft-интервалов Ки#2,...,<K"n, Kj С 7', таких, что f(Kj) = 7".
Всякому циклу можно поставить в соответствие циклическую под-
подстановку тг, ориентированный граф и (или) матрицу перехода Р. Если
точки цикла В периода п упорядочить х* < х\ < • • • < я*, /(#?) = х*{,
где 1 < Si < n, г = 1, ...,п, то циклическая подстановка имеет вид
Л 2 ... п\
*п~ \81 32 ... за-
зад точки создают разбиение отрезка / на интервалы 18 =
= [х*_1, х*]. Ориентированный граф переходов задается вершинами
ii, /2,..., /n-i и ориентированными ребрами, соединяющими Ц и /j,
если f(I{) D Ij. При этом принято писать Ц ~> /j, когда интервал
/^ /-накрывает интервал Ij. Число стрелок из Ц в Ij равно числу Л-
интервалов Iik С /г, для которых f(Iik) = ij.
Граф переходов назовем, следуя Шарковскому, В-графом цикла.
Матрица допустимых переходов (точек интервалов 1{) определяется
следующим образом
ГО,
гз \1,
если
, /(t)^j,
Ргз \1, если f(Ii)Dlj.
Например, отображение, приведенное на рис. 4.10а, имеет цикл
периода 3, образованный точками ж*, х^) х%. Для этого цикла 7Гз =
рд , р , ^) %
= U 3 i)»/^)^^, }{h) ЭДи/2, матрица переходов ^=Н ])>
В й 406
а В-граф имеет вид, показанный на рис. 4.106.
Теперь рассмотрим, как связаны накрывающие друг друга интер-
интервалы, образующие замкнутый путь, и периодические точки цикла.
Лемма 3. Если в В-графе есть замкнутый путь I8o -» I8l ->
182 -> > ^fc-i "^ ^50 A < S{ < п - 1), то существует и периодиче-
210
ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
екая точка х*, такая что
/*(**)€/„, » = 0,1,...,*-1, /*(**)=**•
Более того, в качестве х* можно взять периодическую точку пери-
периода к - наименьшего периода последовательности so, &i,...,Sfc-i, Sq.
Доказательство. Так как /* определяет непрерывное отобра-
отображение, то существует ft-интервал, такой что/'С/в0,/*(/') С/«,.,
г = 1,.., к — 1 и /*(/') = /So. Следовательно, существует точка х* € /',
для которой fk(x*) = х*.
а
Рис. 4.10. Отображение, имеющее цикл периода 3 и его граф переходов.
Рассмотрим теперь лемму относительно отображения, имеющего
цикл периода 3.
Лемма 4. Если непрерывное отображение имеет цикл периода 3,
то оно имеет циклы всех периодов.
Доказательство. В-граф цикла В = {х^х^х^} периода 3 име-
имеет вид, представленный на рис. 4.10 и содержит всего два интервала.
Каково бы ни было п всегда по #-графу этого цикла можно составить
периодическую последовательность
h -> h
-> h -> h -> h ->...,
n-l
n-1
которой, согласно лемме 3, соответствует цикл периода п, точки ко-
которого проходят интервалы 1\, /2 в указанном порядке.
Заметим, что одним из важных свойств В-графа, имеющего цикл
периода п > 2 является существование такого натурального числа
4.3. КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ШАРКОВСКОГО
211
1 <s* <п — 1, что имеет место Is* -*/s*, т.е. интервал 18* /-накрывает
самого себя. Действительно, положим $* = тах{г : f(x*) > х*}. Так
как /(ж*) < я*, то s* <п, апоскольку f(x**+1) < x*8.+l1 то /(/$•) Э /5*
или 75* -> 7S*. Более того, так как каждая точка В-графа имеет образ и
прообраз, то для любого 1<г<п-1 существуют г*1 и г2 A < г*1,г*2 < п),
такие что /^ -* I{ -> 7i2. Следовательно, В-граф цикла периода п > 2
содержит подграф /5* -> ... -» /5 Для любого 1 < s < п — 1.
4.
4,3
Рис. 4.11. Подграф цикла нечетного периода п = 2к + 1.
Лемма 5. ?Ъш непрерывное отображение f имеет цикл нечет-
нечетного периода n = 2fc-fl, k > 1 и не имеет других циклов периода
2к — 1, то В-граф цикла периода п содержит подграф, изображен-
изображенный на рис. (i'll), или получаемый из него заменой 1{ на 1п-{.
Доказательство. Значение 5* = тах{г : f{x*) > x*} разбива-
разбивает все множество В точек цикла на два подмножества: В~ — {х* е В :
х* < гг**} и В+ = {х* G В : х* > х**}. Так как п нечетно, то
В" и В+ содержат различное число точек цикла. Пусть для опре-
определенности их больше в В~. Тогда существуют точки х* € J3", для
которых f(x*) G В~. Пусть 5 = тах{г < s* : f(x*) < x*s*}. Посколь-
Поскольку x*s+1 € В~} то f{x*+l) > х**+1. Следовательно, f(Is) Э /s* или
Is ~> Is*. С другой стороны, как отмечалось выше, всегда существует
подграф Is* ->...->• Is. Таким образом, получаем замкнутый граф
Is* -> ... -> Is -> /s*.
Можно считать этот путь кратчайшим. Тогда его длина равна п.
В противном случае применив лемму 3 к одному из замкнутых путей
212
ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
/,•-»...-»/,-+ 1а* или /,•->...-> Jj ->/,•-> Ia* получим на
интервале 18* периодическую точку нечетного периода я/, 1 < п' < п,
что противоречит условиям леммы.
Если путь 18* -+...-»> /s -> /s* - кратчайший, то в нем каждый из
интервалов 1{) г = 1,..., п - 1, за исключением /в», встречается только
один раз, так как длина пути равна п. Обозначив в* = *i, а индек-
индексы интервалов, следующих за интервалом /,», через зг, $з, • • • > *п-ь
получим путь I8l -* /,2 ->...-> /Jn_1 -* /ai. Так как этот путь крат-
кратчайший, то В-граф цикла не содержит ребер, идущих из интервала
18{ в интервал I8j при j > i + 1, i = 1,2, ...,n - 2. Покажем теперь,
что с точностью до ориентации элементы В-графа располагаются на
отрезке /в порядке 1,пшт1, /вп_3,...,^4» Л2, ^, Л3» ^«-4» ^п-2-
При п = 3 мы имеем только два интервала и здесь утверждение
о расположении интервалов на отрезке очевидно. Положим п > 3 и
рассмотрим интервал I8l = [а, Ь]. Тогда /(а) > Ь, /F) < а. Оба равен-
равенства одновременно не могут выполняться, поскольку в этом случае
точка а будет либо неподвижной, либо периодической точкой периода
2. Но одно из них выполнено всегда. Пусть /(а) = b, f(b) = a,2 < a
и I82 = [a2}a]. Ясно, что /(/5l) D I8l U /,2.Если /(аг) < а, то тогда
/G,2) Э /51 > и мы имеем подграф, показанный на рис. 4.106, из кото-
которого следует существование цикла периода 3 и, следовательно, циклов
любого нечетного периода п' < п, что противоречит условиям леммы.
h\ h \
х\ х\
t\
о
oh
\и
4/
ХА Х5
Рис. 4.12. Отображение с циклом периода 5 и его граф переходов.
Таким образом, точка /(аг) лежит справа от точки 6 и f{I82) = 19ъ
есть интервал, который примыкает к интервалу 181 справа, в отличие
4.3. КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ШАРКОВСКОГО 213
от интервала 182, примыкающего 181 слева. Это соответствует тому,
что для любой точки х* е В"", кроме х*п^ ее образ f(x*) E В+ и на-
наоборот, для любого значения х* ? Б+, f(x*) e В~. Это означает, что
интервал 182 будет смежным с интервалом I8l, интервал 18г является
смежным с интервалом I8l 1I82 и примыкает к интервалу I8l, интервал
184 будет смежным с интервалом I82 и/в1 и/взи будет примыкать к ин-
интервалу 182 и т.д. Таким образом, возможны только два расположения
интервалов на отрезке/: либо 7^.!, /вп_3>---^4> ^2> ^i> ^3> ^п~4>
/вп_2, либо в обратном порядке. В первом случае имеем sn-i = 1,
sn_3 = 2,..., si = к 41,..., sn-2 = 2fc, (рис 4.12 при п = 5), а во
втором - sn-i = 2к, 5п_з = 2А; — 1,.... В обоих случаях /i -> 7^+1
и /2 -> /гл и поэтому Д -> Д+i, * = l,...5fc. Доказательство леммы
завершено.
Для завершения доказательства теоремы остается доказать следу-
следующее утверждение.
Лемма б. Если непрерывное отображение f имеет цикл нечет-
нечетного периода п > 1, то оно имеет циклы любого нечетного периода,
большего п, а также циклы любого четного периода.
Положим, что п = 2/г 4-1 - наименьший нечетный период, больший
1. При любом четном п' < п согласно лемме 5 #-граф цикла периода
п содержит замкнутый путь Д -> hk+i-n1^ ~+ In'/2 ->¦ • • • -* h ->
hk -* h t применяя к которому лемму 3 сразу получаем доказатель-
доказательство утверждения для случая п1 < п. Если же п' > п, то лемму 3
следует применить к замкнутому пути /fc+i —> Д -> Ik+2 ... ~> /i —>
h
+
Используя лемму б докажем последнее утверждение теоремы: если
непрерывное отображение имеет цикл периода 2'Bfc4l), к > 1, то оно
имеет и циклы периодов 21Bг 4 1) и 2'+1$, г > к, s > 1. Действитель-
Действительно, если отображение / имеет цикл периода 2zBfe4l), то отображение
/2 имеет цикл периода 2fc 4 1. Из леммы б также вытекает, что ото-
отображение /2 содержит цикл периода 2s с любым значением s > 1 и,
таким образом, / имеет цикл периода 2'+1s. Кроме того, из леммы б
следует, что отображение /2 имеет цикл периода 2г 4 1, точки ко-
которого для / являются периодическими периода 2*Bг 4 1). На этом
доказательство теоремы Шарковского завершено.
Отметим, что условие о замкнутости Б-графа в лемме 3 является
существенным. Рассмотрим, например, цикл периода 4. Если исполь-
использовать теорему Шарковского о существовании циклов, то можно лишь
утверждать, что существуют циклы периодов 2 и 1. Однако, как легко
видеть, циклу периода 4 можно поставить в соответствие две различ-
различных циклических подстановки
2 3
4 2
4\ „W _Л 2 3 4\
у и ** ~ \2 3 4 \) •
214 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
а
Рис. 4.13. Два отображения с циклами периода 4 и их графы переходов.
Подстановка 7J4 соответствует такому отображению /, когда
f(h) Э /з, /№) Э Д, f(h) D /2 U /3, и В-граф цикла не имеет
замкнутого пути длины, большей двух. (рис. 4.13а). В этом случае,
действительно возможны только циклы периодов 2 и 1. Если же ото-
отображение / имеет цикл, соответствующий циклической подстановке
?rf \ то f(h) D /2, /(/2) D /3, /(/3) D /3 U /2 U Д, и В-граф цикла
(рис. 4.136) имеет замкнутый путь длины 3. В этом случае согласно
лемме 3 отображение имеет цикл периода 3 и, следовательно, имеет
циклы любого периода.
4.3.2. За каскадом Фейгенбаума. В теореме Шарковского ни-
ничего не говорится об устойчивости циклов одновременно существу-
существующих в одномерных непрерывных отображениях в соответствии с
порядком D.40). Однако, многочисленные примеры, в том числе и
логистическое отображения D.2), показывают, что рождение раз-
различных устойчивых циклов одномерного унимодального отображения
/(rr,/i) при изменении значений некоторого бифуркационного пара-
параметра /z происходит именно в последовательности, задаваемой поряд-
порядком D.40). Сначала при //0 < /i < /ioo происходит каскад*бифурка-
каскад*бифуркаций удвоения периода изначально устойчивого простого цикла. При
этом на интервале fin < /2 < //п+1 отображение / имеет единствен-
единственный устойчивый цикл периода 2П и семейство неустойчивых циклов
всех периодов 2г, % — 0,1,...,п - 1. При значении /х = \х^ отобра-
4.3. КАСКАД БИФУРКАЦИЙ ШАРКОВСКОГО 215
жение /(ж,аО имеет непериодическую полуустойчивую траекторию -
аттрактор Фейгенбаума, в любой окрестности любой точки которой
лежат точки счетного множества неустойчивых циклов всех перио-
периодов 2П, п = 0,1,.... Таким образом, каскад бифуркаций Фейгенбаума
происходит в соответствии с порядком Шарковского и является на-
начальной стадией субгармонического каскада, описываемого этим по-
порядком.
Весь интервал изменения значений параметра [i при р > //оо
состоит из бесконечного числа подинтервалов (окон) периодичности
На < Ц < V>a+\ > разделенных изолированными значениями параметра
/х, при которых отображение имеет сингулярные нерегулярные ат-
аттракторы - полуустойчивые непериодические траектории. В каждом
окне периодичности устойчивым является либо основной цикл периода
к в порядке Шарковского, либо один из циклов периода 2'-fc, I = 1,2,...,
соответствующий каскаду бифуркаций удвоения периода основного
цикла. При этом отображение имеет также неустойчивые циклы всех
периодов, удовлетворяющих условию т < 21к. В случае логистическо-
логистического отображения D.2) самое большое окно периодичности имеет цикл
периода три (рис. 4.14), рождающийся при значении /2 « 3.828.
2.8 3.0 3.2 3.4 //,^3.6
Рис. 4.14. Полная бифуркационная диаграмма логистического отображения
при /х < 4.
С ростом значений параметра при /г > //qo возрастает сложность
нерегулярных непериодических аттракторов, так как, во-первых, ра-
растет количество присутствующих в системе неустойчивых циклов, а
во-вторых, как показывают численные эксперименты, после каждого
каскада бифуркаций удвоения периода некоторого цикла происходит
216 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
бифуркация связанности, т.е. объединение различных частей преды-
предыдущего нерегулярного аттрактора. Есть основания полагать, что ни-
нигде не плотным множеством на отрезке является только множество
точек самого простейшего сингулярного аттрактора - аттрактора
Фейгенбаума. Точки всех более сложных сингулярных субгармониче-
субгармонических аттракторов плотны на некоторых, пусть даже сколь угодно ма-
малых интервалах, совокупная длина которых растет с ростом значений
параметра /х, покрывал в конечном итоге весь отрезок. Подчеркнем,
однако, что вопросы мощности, размерности и меры множеств точек,
принадлежащих различным субгармоническим сингулярным аттрак-
аттракторам одномерных отображений исследованы пока еще недостаточно.
Некоторые связанные с этими проблемами результаты можно найти,
например, в [4, 90], где в частности показано, что динамика логистиче-
логистического отображения D.2) при // = 4 обладает свойствами эргодичности
и перемешивания.
4.4. Регулярные и сингулярные устойчивые и седловые
циклы трехмерных автономных систем. Особые точки типа
"ротор".
Рассмотрим гладкое семейство нелинейных автономных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений
х = F(x,ii), х € М С М3, /а <Е I С R, F G С°°, D.41)
заданных в трехмерном фазовом пространстве М гладкими вектор-
векторными полями F, зависящими от значений скалярного системного па-
параметра /х, лежащих в интервале / вещественной прямой R. Для то-
того, чтобы понять природу сингулярных аттракторов семейства си-
систем D.41) и их связь с сингулярными аттракторами одномерных
отображений, рассмотрим сначала понятия регулярных и сингуляр-
сингулярных устойчивых и седловых предельных циклов.
4.4.1. Регулярные и сингулярные предельные циклы. Пусть
предельный цикл ?о(?, м)> имеющий период Т = Т(^), является реше-
решением семейства систем D.41) при всех /л € I. Линеаризуя семейство
D.41) в окрестности цикла, получим зависящую от параметра систему
неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений с перио-
периодической матрицей линейной части
у = A(t^)y + 0{\у\2),
где y(t) = x(t) -xo(*,/i), a A(t + T,fj,) = A(t,ix). При этом вектор у = 0
является решением системы D.42) для всех \х G /.
4.4. РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ ЦИКЛЫ 217
Как следует из теории Флоке, каждое фундаментальное матричное
решение линейной системы с периодическими коэффициентами
у = A(t, ц)у, A(t + Г, /i) = A(t, у) D.43)
представимо в виде Y(t,/2) = P(?,/i)V(?, /2), где P(t,/i) — некото-
некоторая, вообще говоря, комплексная Т-периодическая матрица, а матрица
V(t, fj,) = exp(B(fi)t) является фундаментальной матрицей решений ли-
линейной системы уравнений с постоянными, вообще говоря, комплекс-
комплексными коэффициентами.
Преобразование P(?,)Lt), таким образом, осуществляет приведение
линейной системы D.43) с периодическими коэффициентами к линей-
линейной системе с постоянными коэффициентами. При этом устойчивость
(неустойчивость) периодического решения определяется собственны-
собственными значениями матрицы В — показателями Флоке исходного цикла
или, что равносильно, собственными значениями действительной ма-
матрицы С = ехр(БТ) — мультипликаторами цикла. Один показатель
Флоке, соответствующий движению вдоль цикла, всегда равен нулю,
и, если цикл устойчив при всех \i < 0, то остальные два показателя
имеют отрицательные вещественные части (один простой мультипли-
мультипликатор имеет значение -f 1, а остальные два мультипликатора имеют
модули, меньшие 1, то есть лежат внутри единичного круга плоскости
комплексного переменного).
Пусть при \i = О цикл теряет устойчивость в результате бифурка-
бифуркации, связанной с пересечением одного из показателей Флоке мнимой
оси слева направо или, что равносильно, с пересечением единичной
окружности одним из мультипликаторов, лежащих внутри единично-
единичного круга при [I < 0. Рассмотрим эту ситуацию более подробно.
Заменой переменных y(t) = Qit^fijz^) с Т-периодической матри-
матрицей Qitiii) упростим анализ системы D.41) переходом к системе ко-
координат, связанной с циклом. В такой системе одним из координат-
координатных векторов является вектор io(t) , касательный к циклу, другим -
вектор цикла #о@- Циклу соответствует точка @,0,0). Так как муль-
мультипликатор цикла, соответствующий вектору xo(t)y всегда равен еди-
единице, а показатель Флоке — нулю и не является бифуркационным, то
координаты нормальной формы бифуркации заведомо лежат в плоско-
плоскости 5, трансверсальной вектору xo(t) и задаваемой последними двумя
компонентами вектора z(t). Поэтому, не ограничивал общности, бу-
будем считать первую компоненту вектора z(t) тождественно равной
нулю. Тогда анализ возможных бифуркаций цикла сводится к ана-
анализу в плоскости S решений двумерной системы дифференциальных
уравнений
u(t) = D(t, fi)u(t) + Щи, Q(t, ц), ц) D.44)
относительно второй и третьей компонент вектора z{t)) где матрица
jD(i,/i) получается из матрицы
L(t, pi) = g-1 («, p)A{t, n)Q(t, у) - Q-1 (t, ii)Q{t, /j)
218 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
вычеркиванием ее первой строки и первого нулевого столбца, а разло-
разложение функции Я по компонентам вектора u(t) в особой точке О@,0)
системы D.44), соответствующей циклу, начинается с членов второго
порядка. Линейная часть системы D.44) имеет те же показатели Фло-
ке, за исключением нулевого, что и линеаризованная система D.43).
Возможны два принципиально различных случая: случай постоян-
постоянной матрицы D(t,ii) = D(y) и случай переменной Т-периодической
матрицы D(?,/z). Первый случай означает, что матрицы Q(?,/х) =
Р(г,11) и L(?,/i) = B(fi) действительны, а показателями Флоке ци-
цикла, отличными от нулевого, являются собственные значения матри-
матрицы D(fi). Другими словами, первый случай означает, что переход пре-
преобразованием Q(t,fi) к системе координат, связанной с циклом, уже
осуществляет приведение системы D.43) с периодическими коэффи-
коэффициентами к системе с постоянными вещественными коэффициентами.
Во втором случае имеет место существенно более сложная ситуация.
Рассмотрим отдельно два описанных выше случая.
Случай постоянной матрицы D(t,fi) = D(fi). В этом случае
бифуркации цикла соответствует либо переход одного вещественного
собственного значения, либо двух комплексно сопряженных собствен-
собственных значений матрицы D(/i) через мнимую ось слева направо (пере-
(переход одного мультипликатора через точку -f 1 единичной окружности
либо двух комплексно сопряженных мультипликаторов через единич-
единичную окружность). В результате такой бифуркации либо рождается
пара новых устойчивых предельных циклов, либо происходит обмен
устойчивостью между циклами, либо цикл исчезает вместе с таким
же неустойчивым циклом, либо из него рождается устойчивый дву-
двумерный тор. Соответствующая циклу нулевая особая точка двумер-
двумерной системы D.44) в плоскости 5, трансверсальной циклу, при ji < О
является устойчивым узлом или фокусом, а при /х > 0 - неустойчивым
фокусом или седлом, имеющим одномерное устойчивое и одномерное
неустойчивое многообразия. Такой цикл назовем регулярным устой-
устойчивым циклом, а рождающийся из него в результате какой-либо из
описанных выше бифуркаций седловой цикл назовем регулярным сед-
ловым циклом. В любом случае бифуркации такого цикла не приводят
к появлению хаотической динамики в трехмерных системах обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Случай переменной Т-периодической матрицы D(t, ц). Этот
случай означает, что переход преобразованием Q{t,ij) к системе коор-
координат, связанной с циклом, осуществляет приведение системы D.43)
с периодическими коэффициентами к системе D.44) меньшей размер-
размерности, но имеющей также Т-периодические вещественные коэффици-
коэффициенты. В этом случае, как следует из теории Флоке, фундаментальное
матричное решение линейной части системы D.44) представимо в
виде
где R\ (t, /л) - некоторая Т-периодическая комплексная матрица такая,
4.4. РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ ЦИКЛЫ 219
что #i@,/z) = J, a ?i(aO - некоторая постоянная комплексная ма-
матрица, собственные значения которой являются показателями Флоке
исходного цикла. Принципиально важным является то, что в этом слу-
случае система имеет комплексные, но не комплексно сопряженные пока-
показатели Флоке. Устойчивый цикл, имеющий такие показатели Флоке,
назовем сингулярным устойчивым циклом. Бифуркации сингулярного
цикла xo(t,/j) соответствует переход через мнимую ось слева направо
его одного комплексного показателя Флоке а± (/i) при /х = 0. Рождаю-
Рождающийся при этом седловой цикл назовем сингулярным седловым циклом.
При этом соответствующий вещественный мультипликатор цикла при
/х = 0 имеет вид А = exp(ai@)T) = ехр(гтг) = —1.
4.4.2. Особые точки типа ротор. Из теории Флоке также сле-
следует, что фундаментальное матричное решение линейной части си-
системы D.44) пред ставимо в виде произведения
U(t, ц) = R(t, »)еЕ^ = R(t, „) (^ еД,)е) D.45)
с вещественной 2Т-периодической матрицей R(t, //), Д@, /л) = / и диа-
диагональной вещественной матрицей .Е(^), одно собственное значение
которой /?i(/x) = Reai(/x) переходит при fx = 0 в правую полуплос-
полуплоскость вдоль вещественной оси, а второе собственное значение ^(/х)
остается при этом отрицательным. Поэтому соответствующая син-
сингулярному циклу нулевая особая точка О двумерной неавтономной
системы D.44) в плоскости 5, трансверсальной циклу, не имеет ана-
аналога среди особых точек автономных вещественных двумерных си-
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Из D.45) следу-
следует, что R{tjfi) = #i(?,/i)exp(ilmai(/z)?), alma^O^) = Imai(/x), то есть
мнимые части показателей Флоке сингулярного цикла совпадают.
Определение. Особую точку двумерной вещественной системы
с периодической главной линейной частью, имеющей комплексные по-
показатели Флоке с одинаковыми мнимыми и разными отрицательными
вещественными частями, назовем устойчивым ротором, а с отрица-
отрицательной и положительной вещественными частями - неустойчивым
ротором.
Простейшим примером системы, в которой имеется особая точка
типа ротор, является линейная двумерная неавтономная система
ui = 2(/х - 1 + cos t)ui + B sin t - l/2)ti2,
й2 = B sin 14- l/2)ui + 2(/л - 1 - cos t)u2
с нулевой особой точкой. Заменой переменных
. - е"
IT
220 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
последняя система сводится к линейной системе с постоянной диаго-
диагональной комплексной матрицей, имеющей своими диагональными эле-
элементами показатели Флоке /?i = г/2 4- 2/г и /?2 = г/2 + 2\х — 4 исходной
системы. Поэтому при \i < 0 ротор устойчив, а при \х > 0 - неустой-
неустойчив.
Ниже будет показано, что уже двумерные неавтономные системы с
особыми точками типа ротор могут иметь сколь угодно сложную хао-
хаотическую динамику, следствием чего и является наличие хаотической
динамики в трехмерных автономных системах.
При переходе параметра fj, через бифуркационное значение /г = 0
исходный сингулярный устойчивый цикл #о (?, fi>) становится сингуляр-
сингулярным седловым циклом, а нулевая особая точка О плоскости 5, соответ-
соответствующая исходному циклу, становится неустойчивым ротором. Син-
Сингулярный цикл, естественно, имеет при этом двумерное инвариант-
инвариантное неустойчивое многообразие Wu. Структура этого многообразия
локально достаточно проста, но глобально может быть чрезвычайно
сложной. Так как преобразованием D.45) система D.44) сводится к
системе, особая точка которой является локально седлом, имеющим
одномерное инвариантное неустойчивое многообразие, то последнее
многообразие локально вращается в плоскости S вокруг ротора О с
периодом 2Т. Одновременно оно вращается вместе с плоскостью S в
трехмерном фазовом пространстве М с периодом X1, описывая тем са-
самым, как нетрудно видеть, лист Мёбиуса, являющийся вращающимся
сечением двумерных торов, окружающих исходный цикл. Фазы этих
двух вращений (по циклу и вокруг цикла) однозначно связаны. По-
Поэтому рождение из сингулярного исходного цикла Жо(^/^) устойчи-
устойчивого цикла удвоенного периода при \i > 0 происходит достаточно
просто: в двумерной плоскости S вокруг неустойчивого ротора О ро-
рождается простой устойчивый цикл удвоенного периода, не имеющий
самопересечений. Последнее означает рождение в трехмерном фазо-
фазовом пространстве устойчивого цикла удвоенного периода, лежащего
одновременно на некотором резонансном торе вокруг исходного син-
сингулярного цикла и на двумерной поверхности G, являющейся замыка-
замыканием неустойчивого инвариантного многообразия Wu исходного ци-
цикла. Сепаратрисы исходного цикла, раскручиваясь по листу Мёбиуса,
стремятся к родившемуся устойчивому циклу удвоенного периода из-
изнутри содержащего его тора.
Как показывают многочисленные примеры [29-33], именна бифур-
бифуркация удвоения периода сингулярного устойчивого цикла, являющаяся
как началом каскада бифуркаций удвоения периода устойчивых ци-
циклов, так и началом субгармонического и гомоклинического каскадов
бифуркаций, приводит к появлению в системе хаотической динамики.
Однако уже бифуркация учетверения периода исходного сингулярно-
сингулярного цикла не может быть описана локальными методами и требует
применения других подходов.
4.5. ПРИРОДА СИНГУЛЯРНЫХ АТТРАКТОРОВ221
4.5. Природа сингулярных аттракторов трехмерных
автономных систем.
В этом пункте будет показано, что основополагающую роль во всех
каскадах бифуркаций исходного сингулярного цикла, начиная с би-
бифуркации учетверения его периода, и в образовании всех сингуляр-
сингулярных аттракторов играет сдвиг фазы. Именно он дает возможность
траекториям автономных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений лежать на двумерных многолистных поверхностях, чему
соответствует существование в двумерной плоскости S не взаимно-
взаимнооднозначных непрерывных одномерных отображений. Последнее при-
приводит к возможности существования в таких системах сколь угодно
сложной хаотической динамики. Заметим, что ни в каком сечении Пу-
Пуанкаре, трансверсальном к исходному циклу, такая ситуация просто
невозможна, так как она будет противоречить теореме единственно-
единственности решения автономной системы. Таким образом, отображение Пу-
Пуанкаре неприменимо к анализу систем дифференциальных уравнений,
так как игнорирует фазу периодических решений.
4.5.1. Структура двумерной сепаратрисной поверхности
седлового сингулярного цикла. Итак, пусть сингулярный предель-
предельный цикл xo(t, fi) периода Т является устойчивым решением семейства
систем D.41) при всех \х < 0, а при /г = 0 происходит рассмотренная
выше бифуркация удвоения его периода. На самом деле предельный
цикл описывается не одной траекторией xo(t, /x), а бесконечным семей-
семейством таких траекторий xo(t + </?,//), зависящих от фазы </?. Изложен-
Изложенным выше методом перейдем к анализу решений семейства двумерных
неавтономных систем D.44) с Т-периодической матрицей D(t 4- (р, fx)
в плоскости S, вращающейся трансверсально к исходному циклу. При
этом матрица Q в D.44) также зависит от аргумента t + </?. Пусть
особая точка 0@,0) неавтономной системы D.44) является неустой-
неустойчивым ротором при всех 0 < [л < /л*.
Лемма 1. При любом 0 < /х < ц* траектории x(t -f ip,fi) =
= xo(t+ip, fi)-\-Q(t+ip, fj)(Q, ui{t), U2(t))T системы D.41) и только они
при всех 0 < <р < 2Т являются сепаратрисами сингулярного цикла
xo(t,lJ>), стремящимися к нему при t -» — оо, где вектор u(t) является
решением системы интегральных уравнений Вольтерра 2-го рода
!>,/*) X
\ w /
X
—oo
J eZM^R^iT + ^riHiuWiQir + ^riiridT. D.46)
Доказательство. Так как любое решение автономной системы
стремится к циклу с некоторой асимптотической фазой, то искомыми
222ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
сепаратрисами цикла будут те и только те решения системы D.41),
порожденные решениями u(t) семейства D.44), для которых при неко-
некотором (р имеет место u(t) —> О при t -> — оо. Из представления D.45)
следует, что общее решение системы уравнений D.44) в плоскости S
может быть записано в виде
u(t) = R(t + ^ii)eE^ (g) + R(t + р,(г)х
t
x f e^^-^R-Hr + <p,h)H(u(t),Q(t + P,**M*", D.47)
где С\ и C?2 - произвольные постоянные. Так как /?2(аО < О ПРИ всех
О < [I < /х*, то из условия u(t) -» 0 при t -> -оо необходимо следу-
следует, что Сг = 0. Далее, ввиду вращения вектора u(t) вокруг ротора О
можно считать без ограничения общности, что С\ > 0, но при этом
интервал изменения фазы, охватывающий всю область определения
сепаратрисной поверхности цикла будет 0 < ц> < 2Т. Представим те-
теперь С\ exp(Pit) как exp(/?is), где s = t+{lnC\)/(ii = t+a, и перепишем
систему уравнений D.47) в виде
u(s-a) =R(s-a + ip
s
R(s-a + ip) I eE^s~v)R~lG] - о + ф)Н{и{г] - a), Q(?7 - a +
опустив параметр /z. Из последнего представления ввиду Г-периоди-
чности функции Q и 2Т-периодичности функции R следует, что ре-
решение u(t) системы D.47) с константой С\ > 0 (Сг = 0) и фазой
О < ip < 2Т в момент t является также и решением системы D.46) с
фазой (<р — а) mod BT), взятым в момент s = ?-t-a. Таким образом, без
ограничения общности можно положить в D.47) С\ = 1. Следователь-
Следовательно, сепаратрисная поверхность сингулярного цикла ?о(?,аО семейства
систем D.41) состоит из решений, порожденных решениями двумер-
двумерной системы интегральных уравнений D.46) при всех 0 < ip < 2Т.
Лемма доказана.
Следствие. Так как все функции непрерывно дифференциру-
дифференцируемы по всем своим аргументам и, следовательно, непрерывно диф-
дифференцируемы по фазе v?, то построенная в лемме 1 сепаратрисная
поверхность сингулярного цикла является его непрерывно дифферен-
дифференцируемым двумерным инвариантным неустойчивым многообразием
Wu.
4.5. ПРИРОДА СИНГУЛЯРНЫХ АТТРАКТОРОВ 223
Замечание. Результат леммы 1 и выводы следствия к ней оста-
остаются, очевидно, справедливыми и в общем случае, когда координата
z\ ф 0 в преобразовании
x{t + ^fi)= xo{t + tp,ti) + Q(t + tp,y)z{t).
При этом двумерная сепаратрисная поверхность будет задаваться ре-
решениями системы трех интегральных уравнений Вольтера 2-го рода.
Теорема 4.2. Любой регулярный аттрактор (устойчивый пре-
предельный цикл), любой неустойчивый цикл и любой сингулярный ат-
аттрактор семейства систем D.41) в трехмерном фазовом простран-
пространстве М при всех О < fj, < ц* принадлежит двумерной поверхности G
- замыканию двумерного неустойчивого инвариантного многообра-
многообразия Wu исходного сингулярного цикла xo(t,/i).
Доказательство. Рассмотрим сначала произвольное периоди-
периодическое устойчивое или неустойчивое решение x(t) системы D.41) при
некотором 0 < \х < /х* . Пусть некоторая точка xq его замкнутой
в фазовом пространстве М траектории не принадлежит поверхности
G, т.е. di$t{xo,G) > 0. Выберем последовательность моментов вре-
времени tn —>• сю при п —>¦ сю такую, что x(tn) = xq, и, следовательно,
dist(x(tn),G) = const > 0. Но с другой стороны, любое решение си-
системы D.41), в частности, цикл #(?), порождено одним из решений
двумерной неавтономной системы D.44), имеющим вид D.47). Так
как /?2(аО < 0) то такое решение при t —> oo стремится к некоторо-
некоторому решению, порожденному решением системы D.47), с константой
Сг = 0, и некоторой константой С\. Но как было показано в лемме 1,
любое такое решение системы D.47) можно представить как реше-
решение системы D.46) с некоторой другой фазой и взятое в некоторый
другой момент времени. Поэтому, любая траектория семейства си-
систем D.41) необходимо сближается с некоторой сепаратрисой цикла,
принадлежащей поверхности G. Следовательно, необходимо должно
выполняться условие dist(x(?n),G) -> 0 при п -> оо. Полученное про-
противоречие доказывает, что любой цикл принадлежит поверхности G.
Из этого вытекает, что и любой сингулярный аттрактор принадле-
принадлежит поверхности G, так как он содержит в любой своей окрестности
неустойчивый предельный цикл. Теорема доказана.
Доказанная теорема имеет принципиальное значение для понима-
понимания существа хаотических процессов, происходящих в трехмерных
автономных системах нелинейных обыкновенных дифференциальных
уравнений. Из нее вытекает два важных следствия.
Следствие 1. Фрактальная размерность любого сингулярного
аттрактора семейства систем D.41) не может превышать величины 2.
Следствие 2. Любой сингулярный аттрактор семейства систем
D.41), являясь замыканием полуустойчивой непериодической траекто-
траектории, лежащей на двумерной поверхности G, имеет один отрицатель-
отрицательный и два нулевых показателя Ляпунова.
224 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
4.5.2. Механизм рождения сингулярных аттракторов. Кас-
Каскады бифуркаций Фейгенбаума и Шарковского. Рассмотрим
теперь механизм рождения сингулярных аттракторов автономных
трехмерных систем дифференциальных уравнений в результате после-
последовательных бифуркаций изначально устойчивого сингулярного ци-
цикла. Как уже было показано выше, сначала при /j, > 0 происходит
рождение из сингулярного исходного цикла xo(t,fi) устойчивого ци-
цикла удвоенного периода, что соответствует рождению в двумерной
плоскости S вокруг неустойчивого ротора О неавтономной двумер-
двумерной системы D.44) простого устойчивый цикла удвоенного периода,
не имеющего самопересечений. Так как в плоскости S происходит вра-
вращение траекторий решений u(t) системы D.44) вокруг ротора О, то
это дает возможность определить монотонно убывающее непрерыв-
непрерывное отображение N отрезка одномерной прямой (например, отрезка
с < и\ < d прямой U2 = 0 такого, что с < О, d > 0) в себя за по-
полуоборот вокруг ротора О. Одномерное отображение N(u\) имеет,
очевидно, неустойчивую неподвижную точку щ = 0 и устойчивый
цикл (с, d), соответствующий устойчивому циклу удвоенного периода
системы D.44), родившемуся в плоскости S.
С ростом значений параметра // > 0 величина интервала (с, d) уве-
увеличивается. Однако, этот процесс не может продолжаться бесконечно
ввиду диссипативности исходной системы дифференциальных уравне-
уравнений. Поэтому, начиная с некоторого значения параметра ц устойчи-
устойчивый цикл удвоенного периода также становится сингулярным устой-
устойчивым циклом, а сходящиеся к нему траектории двумерного много-
многообразия Wu исходного цикла начинают закручиваться вокруг него.
Этому соответствует начало закручиваний и самопересечений тра-
траекторий двумерной системы D.44) вокруг ее устойчивого цикла в
плоскости S. В терминах одномерного отображения N(u\) этому со-
соответствует появление точки максимума на его графике в области
и\ < 0, что приводит к появлению двузначности его обратного ото-
отображения N~l(u\). Замечательным является тот факт, что потеря
однозначности решений системы D.44) в плоскости 5 не приводит
к потере однозначности решений исходной трехмерной автономной
системы. Траекториям системы D.44), проходящим в S через одну
точку, соответствуют траектории исходной системы D.41), прохо-
проходящие через разные точки трехмерного пространства, отличающиеся
своими фазами у> при их вращении вокруг исходного цикла! При этом
двум ветвям отображения N~l{u\) соответствуют два листа двумер-
двумерной поверхности G трехмерного фазового пространства М системы
D.41).
Теорема 4.3. Пусть в семействе автономных трехмерных си-
систем обыкновенных дифференциальных уравнений D.41) при \х = 0
происходит бифуркация удвоения периода устойчивого при \i < 0 син-
сингулярного цикла. Тогда первые стадии сценария перехода к хаосу в
семействе систем D.41) при возрастании положительных значений
4.5. ПРИРОДА СИНГУЛЯРНЫХ АТТРАКТОРОВ 225
бифуркационного параметра /i совпадают со стадиями перехода к ха-
хаосу при итерациях непрерывного отображения единичного отрезка в
себя, имеющего обратное двузначное отображение. Сначала реализу-
реализуется каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода родившегося
устойчивого предельного цикла, а затем - субгармонический каскад
бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода в соответ-
соответствии с порядком Шарковского D.40).
Доказательство теоремы вытекает из проведенных выше постро-
построений непрерывного одномерного отображения N(ui) отрезка в себя,
имеющего двузначное обратное отображение AT~1(iti), и из результа-
результатов Фейгенбаума [86] и Шарковского [76], изложенных в пп 4.2 и 4.3 на-
настоящей главы, относительно итераций таких отображений. При этом
периодической или непериодической траектории одномерного отобра-
отображения N(u\) однозначно соответствует периодическая или непериоди-
непериодическая траектория системы D.41), лежащая на двумерной двулистной
поверхности G фазового пространства. Все устойчивые циклы рожда-
рождаются либо в результате бифуркаций удвоения периода предыдущих
устойчивых циклов каскада, либо парами с точно такими же неустой-
неустойчивыми циклами в результате бифуркаций сингулярных аттракторов,
а затем претерпевают каскад бифуркаций удвоения периода, стано-
становясь неустойчивыми. Неустойчивые циклы не исчезают, а остаются в
системе.
Следствие. Существует бесконечное множество интервалов зна-
значений параметра //, при которых семейство систем D.41) имеет ре-
регулярные аттракторы (асимптотически орбитально устойчивые пе-
периодические траектории пусть даже очень большого периода). Син-
Сингулярные аттракторы (замыкания непериодических полуустойчивых
траекторий) семейство систем D.41) имеет в бесконечном числе точек
накопления различных бесконечных субкаскадов бифуркаций удвое-
удвоения периодов различных циклов. Простейшим из таких аттракторов
является, очевидно, аттрактор Фейгенбаума - первый непериодиче-
непериодический аттрактор, существующий в семействе систем D.41) при /i = /ioo,
где значение /ioo соответствует пределу последовательности значений
параметра /i, при которых происходят бифуркации удвоения периода
исходного цикла.
4.5.3. Гомоклинический и более сложные каскады бифур-
бифуркаций. Как показывают многочисленные примеры (см. следующий
пункт настоящей главы, а также статьи [29-33]), субгармонический
каскад бифуркаций Шарковского не исчерпывает всей сложности пе-
перехода к хаосу в трехмерных автономных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений. Он может быть продолжен как ми-
минимум гомоклиническим каскадом бифуркаций. Переход к двумерной
плоскости S дает возможность четко определить конец субгармони-
субгармонического каскада. После рождения устойчивого цикла периода три в
плоскости S (цикла периода шесть в трехмерном фазовом простран-
226 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
стве) и каскада бифуркаций удвоения его периода при дальнейшем
увеличении значений параметра /х происходит приближение витков
сингулярных аттракторов к ротору О, что в терминах отображения
N(ui) означает стремление N(c) к нулю. Но N(ui) не может пересечь
линию U2 = 0 ни в какой другой точке, отличной от точки щ = 0, так
как это означало бы существование траектории, отличной от исход-
исходного цикла, но переходящей в него за половину оборота вокруг точки
О с некоторым сдвигом фазы. Последнее невозможно для автономных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому най-
найдется значение параметра \хс такое, что при /х > \ic в отображении
^-1(^i) появляется третья ветвь! Здесь заканчивается субгармони-
субгармонический каскад бифуркаций. Дальнейшие бифуркации не описываются
теорией Шарковского.
В трехмерном фазовом пространстве при стремлении \х к /хс лен-
ленты сингулярных аттракторов сходятся к исходному неустойчивому
циклу Xo(t,/JL)} а при /л > \хс поверхность G может стать трехлист-
трехлистной, причем траектории на третьем листе имеют более, чем на пери-
период сдвинутые фазы относительно траекторий на первом листе. Таким
образом, дальнейший каскад бифуркаций устойчивых циклов может
продолжаться уже на трехлистной двумерной поверхности. Для теоре-
теоретического анализа таких каскадов бифуркаций необходимо создание
теории одномерных отображений, имеющих многозначные обратные
отображения. В рассмотренных в следующем пункте примерах как
двулистные, так трехлистные и многолистные поверхности субгармо-
субгармонических, гомоклинических и более сложных аттракторов отчетливо
наблюдаются как в плоскости 5, так и в исходном трехмерном фазо-
фазовом пространстве М.
Все известные классические аттракторы трехмерных систем обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, включая системы Лоренца,
Ресслера, Чуа и другие, являются полными или неполными субгармо-
субгармоническими или гомоклиническими сингулярными аттракторами (см.
[29—33]). Поэтому все они расположены на двумерных двулистных
или трехлистных поверхностях в фазовом пространстве. Однако су-
существуют и более сложные аттракторы трехмерных диссипативных
систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие системы
должны иметь сингулярный цикл, но не иметь особой точки типа
седло-фокус. Усложнение структуры двумерного неустойчивого мно-
многообразия цикла в них может сопровождаться появлением любого ко-
конечного, а возможно, и бесконечного числа листов. В следующем пунк-
пункте будет приведен пример системы, поверхность G которой имеет по
крайней мере пять листов. Все они отчетливо наблюдаются и в плос-
плоскости 5, и в трехмерном фазовом пространстве.
Как следует из доказанных выше результатов, существует беско-
бесконечное множество значений параметра fx, при которых семейство си-
систем D.41) имеет различные сингулярные аттракторы, отличающи-
отличающиеся мощностью множества принадлежащих им неустойчивых циклов,
4.6. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ С СИНГУЛЯРНЫМИ АТТРАКТОРАМИ 227
предельных к полуустойчивой непериодической траектории. Слож-
Сложность сингулярных аттракторов возрастает с ростом значений бифур-
бифуркационного параметра. В семействе систем D.41) имеется по край-
крайней мере один аттрактор, являющийся предположительно фракталом
и имеющий размерность, меньшую двух, - это простейший аттрактор
Фейгенбаума, не содержащий неустойчивых предельных циклов. Вме-
Вместе с тем, как следует из теории одномерных отображений, в систе-
системе имеются также достаточно сложные аттракторы с размерностью,
предположительно равной двум. Несомненно, проблема классифика-
классификации хаотических аттракторов по мощности множества составляющих
их траекторий, по их размерности или мере представляет большой ин-
интерес, но в данной книге не рассматривается.
4.6. Некоторые примеры систем с сингулярными
аттракторами.
Так как уравнения циклов конкретных нелинейных систем обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть известны толь-
только в исключительных случаях, то при анализе таких систем основ-
основная трудность состоит в построении преобразования i(t + ^,/i) =
= xo(t -f </>,//) -f Q(t -f (p,/i)z(t) и в переходе с его помощью к систе-
системе координат, связанной с циклом. Первый из рассмотренных ниже
трех примеров допускает построение такого преобразования в яв-
явном виде с вектором z(t) = @, щ(г), u2(t))T. Поэтому он является
полной наглядной иллюстрацией всей изложенной выше теории обра-
образования сингулярных аттракторов трехмерных нелинейных автоном-
автономных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений. Второй и третий примеры иллюстрируют отдельные характер-
характерные черты теории.
Пример 1. Рассмотрим автономную систему трех дифференци-
дифференциальных уравнений
х2 = vxi + х2 h(xi ,x2,\jl,v), D.48)
xz = (*2 + «74)((*i + 4) - 1) + 2(/i - 1 - m)x3>
где
При [i < 1 система D.48) имеет особую точку @,0, i//8(// — 1)) и
предельный цикл гго^аО = (cosz/?, sin^, 0)T, лежащий в плоскости
переменных (xi,x2) и имеющий период Т = 2tt/j/. Сделаем замену
переменных
228 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
с 2тг/^-периодической матрицей Q(t + ip,fj):
(*o(t),*o(t)>(o, o, i
/—z/sin vt
= I vcosvt
V 0
cos vt
sin vt
0
0
0
1
Во избежание длинных выкладок фазу ip в дальнейших вычислениях
будем опускать. Указанной заменой приведем систему D.48) к свя-
связанным с циклом координатам, т.е. непосредственно к двумерной не-
неавтономной системе D.44) с 2тг/^-периодическими коэффициентами
щ = 2(>- 1+cos vt)m + B sin vt-v/2)u2+hi (и, t, v, /i),
/12 = B sin z4 + (ixi + 1) sin z4 + v/?)u\ -
Непосредственной подстановкой можно убедиться в том, что глав-
главная линейная часть системы D.49) имеет фундаментальную матрицу
решений вида
" Sln У ^ (**№ ° ^| Г4 50)
sin__ m- , к - expB(/i-2H
^ 2
Следовательно, при fi < 0 нулевое решение системы D.49) и, соответ-
соответственно, цикл xo(t) системы D.48) устойчивы. При ц > 0 в системе
D.49) появляется устойчивое решение с частотой v/2 или же с удво-
удвоенным периодом 4?r/z/. Представление D.49) является представлением
решения линейной системы с 2тг/^-периодической матрицей D(t, ц) в
виде произведения 4тг/^-периодической вещественной матрицы на ве-
вещественную матрицу exp(E(fi)t), одно собственное значение которой
выходит из единичного круга при /i = 0 через точку 4-1. Для того,
чтобы перейти к представлению Флоке, запишем D.50) в виде про-
произведения 2тг/^-периодической комплексной матрицы на комплексную
матрицу exp(Ei(fi)t)
2 . —2i~ \ (e№W 0
1 - e~iut 1 4 e~iut I V 0 eM2+2v-A)t) •
2i 2
Диагональные элементы fa = iv/2 4 2/2 и /32 = w/2 4 2/2-4 матри-
матрицы Ei (fi) являются показателями Флоке цикла xq (t) исходной системы
4.6. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ С СИНГУЛЯРНЫМИ АТТРАКТОРАМИ 229
D.48). При fj, = 0 первый из них переходит слева направо через мни-
мнимую ось, а второй остается в левой полуплоскости. Соответствующие
показателям Флоке мультипликаторы равны:
Ai = exp((zV/2 -f 2дJтг/г/) = ехр(г*7Г +
А2 = exp((ti//2 + 2/z - 4Jtt/i/) = ехр(гтг + 4тг(/х - 2)/i/).
При /х = О первый мультипликатор, очевидно, пересекает границу
единичной окружности в точке -1. Второй мультипликатор при этом
равен — ехр(—8tt/i/) и остается лежащим на вещественной оси внутри
единичного круга. Таким образом, при переходе бифуркационного па-
параметра /i через значение ц\ = 0 сингулярный устойчивый цикл xo(t)
системы D.48) становится сингулярным седловым циклом, а вокруг
него рождается устойчивый цикл удвоенного периода. Особая точка
0@,0) двумерной неавтономной системы D.49) является ротором.
Все дальнейшие бифуркации цикла можно наблюдать как в трех-
трехмерном фазовом пространстве переменных (х1,х2,хз), так и в плос-
плоскости S переменных (ui,u2)) вращающейся вместе с траекторией ци-
цикла. Можно также легко получить график одномерного отображения
N(ui) отрезка прямой щ = 0 в себя за половину оборота траектории
системы D.49) вокруг ротора О. Можно также в плоскости 5 и в лю-
любом сечении Пуанкаре фазового пространства плоскостью ср = const
отчетливо наблюдать различные листы двумерной поверхности G, на
которой лежат все аттракторы системы D.48) и к которой притяги-
притягиваются все ее траектории.
Интегрируя систему D.48) методом Рунге-Кутта 4-го порядка,
нетрудно установить, что при росте положительных значений параме-
параметра \х при фиксированном значении параметра v в системе D.48) сна-
сначала реализуется каскад бифуркаций Феигенбаума удвоения периода
исходного устойчивого предельного цикла, затем - субгармонический
каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода в
соответствии с порядком Шарковского. Так, например, при v — 4 в си-
системе D.48) рождается устойчивый цикл учетверенного периода при
\х2 « 0.079, периода 8 - при /i3 « 0.0917, периода 16 - при ^ « 0.095,
периода 32 - при ^ « 0.0951, периода 64 - при /ле ~ 0.09517. Значе-
Значение Доо, соответствующее пределу последовательности значений пара-
параметра /i, при которых происходят бифуркации удвоения периода ис-
исходного цикла, приближенно равно, очевидно, 0.0952. Здесь в системе
D.48) рождается аттрактор Феигенбаума. При \х « 0.09523 в системе
D.48) уже имеется устойчивый цикл периода 80, что соответствует
циклу 5 • 24 в порядке Шарковского, при \х « 0.09526 - устойчивый
цикл периода 48 = 3 • 24. Цикл периода 20 = 5 • 22 рождается при
/i « 0.0962, цикл периода 12 = 3 • 22 рождается при /л « 0.0969, цикл
периода 10 = 5 • 2 при \х « 0.09986, цикл периода 6 - при /i « 0.10295.
Рождение последнего цикла означает рождение устойчивого цикла пе-
периода три в порядке Шарковского в плоскости S переменных (wi, i^)-
230
ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Субгармонический каскад бифуркаций заканчивается при fi « 0.1132,
когда глаза сингулярных аттракторов системы D.49) в плоскости S
стремятся к нулю. Все родившиеся к этому моменту циклы и сингу-
сингулярные аттракторы системы D.48) лежат на двумерной двулистной
поверхности (рис. 4.156), а обратное к N(ui) отображение является
двузначным (рис. 4.15 а). Дальнейшие бифуркации устойчивых ци-
О
z '
о
\
б
p-\
Рис. 4.15. Отображение N(u\) (а) и отображение Пуанкаре (б) в плоскости
(р — 1.3тг для системы D.48) при значениях и = 4 и /х = 0.1132; р = / \
а
Ml,л
Рис. 4.16. Отображение N(u\) (а) и отображение Пуанкаре в плоскости
<р = 1.37Г (б) для системы D.48) при значениях и — 4 и ц = 0.127.
клов и сингулярных аттракторов системы D.48) при v = 4 и уве-
увеличении значений параметра ^г происходят уже на двумерной трех-
трехлистной поверхности, а обратное к N(ui) отображение становится
4.6. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ С СИНГУЛЯРНЫМИ АТТРАКТОРАМИ 231
трехзначным (рис. 4.16). В системе D.48) реализуется неполный го-
гомоклиническии каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов Сп,
сходящихся к гомоклиническому контуру - петле сепаратрисы особой
точки. Но на достаточно большом расстоянии от седло-фокуса при
ц = р* & 0.1274 система D.48) перестает быть диссипативной, и ее
аттракторы разрушаются. Сама особая точка, как легко установить,
является в данном случае седло-фокусом с одномерным устойчивым и
двумерным неустойчивым многообразиями, так как матрица линеа-
линеаризации системы D.48) в ней имеет собственные значения:
При v = 2 в системе D.48) при увеличении значений параметра
{I реализуется уже полный гомоклиническии каскад бифуркаций ро-
рождения устойчивых циклов, сходящихся к гомоклиническому конту-
контуру, который в этом случае существует в системе при /х = \х* « 0.0625.
Так, например, устойчивый цикл учетверенного периода рождается
при fi2 ~ 0.0248, периода 8 - при /л$ « 0.0302, периода 16 - при
//4 « 0.0315, периода 32 - при /i5 « 0.0318. Значение ^qq, соответствую-
соответствующее пределу последовательности значений параметра /л, при которых
происходят бифуркации удвоения периода исходного цикла, прибли-
приближенно равно 0.032. Здесь в системе рождается аттрактор Фейгенбау-
ма. При /i « 0.034 в системе D.48) рождается устойчивый цикл пери-
периода 10 = 5 • 2, а при (л « 0.0355 - цикл периода 6. Субгармонический
каскад бифуркаций заканчивается при /и « 0.0415. Устойчивый цикл
С5 гомоклинического каскада существует в системе при \х « 0.05198,
а цикл C-j - при /i « 0.053.
При стремлении \х к /i* , как показывают численные эксперимен-
эксперименты, отображение N~l(u\) становится многозначным (например, при
{I « 0.0519 - четырехзначным), но поверхность G при этом остается
трехлистной, то есть достаточно простой. Это можно объяснить воз-
возможностью касания неустойчивого двумерного инвариантного много-
многообразия Wu исходного сингулярного цикла и неустойчивого двумер-
двумерного инвариантного многообразия седло-фокуса.
Пример 2. В качестве второго примера рассмотрим систему
обыкновенных дифференциальных уравнений
х2 = vxx + }лх2 - х\х2х\, D-51)
зависящую от трех системных параметров /i, v > 0 и а > 0. Систе-
Система D.51) по своим характеристикам более близка, к реальным авто-
автономным системам обыкновенных дифференциальных уравнений, чем
232 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
модельная система D.48). Она имеет нулевую особую точку, являю-
являющуюся устойчивым фокусом при /л < О, и седло-фокусом с одномерным
устойчивым и двумерным неустойчивым многообразиями при /z > 0.
Одновременно при \х > 0 в системе D.51) в результате бифурка-
бифуркации Андронова-Хопфа рождается устойчивый сингулярный предель-
предельный цикл, характеристики которого нам неизвестны. Такие системы
обладают наиболее простыми сепаратрисными поверхностями своих
сингулярных циклов.
Интегрируя систему D.51) методом Рунге-Кутта 4-го порядка,
нетрудно установить, что при росте положительных значений пара-
параметра fi при фиксированных значениях параметров v и а в системе
D.51), как и в системе D.48), сначала реализуется каскад бифуркаций
Феигенбаума удвоения периода родившегося устойчивого предельно-
предельного цикла, а затем - субгармонический каскад бифуркаций рождения
устойчивых циклов любого периода в соответствии с порядком Шар-
ковского. Так, например, при v — 1, о = 5, в системе D.51) рождается
устойчивый цикл удвоенного периода при ц\ « 0.02445, учетверенно-
учетверенного периода - при /i2 « 0.02618, периода 8 - при цз « 0.0265, периода
16 - при /j>4 « 0.02657, периода 32 - при fi*> « 0.02658, периода 64 - при
Ив « 0.0265805. Значение /Zqo, соответствующее пределу последова-
последовательности значений параметра /z, при которых происходят бифурка-
бифуркации удвоения периода исходного цикла, приближенно равно, очевидно,
0.026581. Здесь в системе D.51) рождается аттрактор Феигенбаума.
При fi « 0.0265829 в системе D.51) уже имеется устойчивый цикл пе-
периода 48, что соответствует циклу 3 -24 в порядке Шарковского. Цикл
периода 12 = 3 • 22 рождается при /z « 0.026623, цикл периода 10 = 5 • 2
при ji « 0.0267, цикл периода 6 - при fi « 0.02678. Субгармонический
каскад бифуркаций, соответствующий порядку Шарковского, закан-
заканчивается приблизительно при fi « 0.0273.
При дальнейшем увеличении значений параметра // в системе D.51)
реализуется полный гомоклиническии каскад бифуркаций рождения
устойчивых циклов Сп, сходящихся к гомоклиническому контуру. Цикл
Сз периода три гомоклинического каскада рождается при \х « 0.0276,
цикл С4 при /i « 0.02814, цикл С$ при \х « 0.02841, цикл Cq - при
fi « 0.028571 и т.д. Гомоклиническии контур в системе D.51) суще-
существует при fji = ц* « 0.0289659 {у = 1, а = 5).
Не зная уравнений цикла, мы не имеем возможности перейти к
вращающейся плоскости 5, трансверсальной циклу. Тем не менее, так
как система D.51) допускает сведение к двумерной системе
г = fir - z2r2 cos(vt + <p), z = г2 - az + z2
заменой
x\ = r(t) cos(ut + </?), x2 = r(t) sin(i/t -h <p), хз = z(t),
то все ее сингулярные аттракторы могут отчетливо наблюдаться в
сечениях Пуанкаре, проходящих через ось z трансверсально к исход-
4.6. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ С СИНГУЛЯРНЫМИ АТТРАКТОРАМИ 233
ному циклу, а также в двумерной плоскости 5, задаваемой перемен-
переменными (г, z) (рис. 4.17а). Численные эксперименты показывают, что
все сингулярные аттракторы системы D.51) лежат на двулистной
поверхности. Начальный устойчивый цикл лежит на нижнем листе.
При бифуркации удвоения периода один виток цикла остается лежа-
лежащим на нижнем листе, а другой виток переходит на верхний лист.
Цикл периода 4 имеет по два витка, лежащих на нижнем и верхнем
листах, и т.д. Все витки гомоклинических циклов при раскручивании
из окрестности седло-фокуса лежат на нижнем листе поверхности G и
только последний, поднимаясь по поверхности, переходит на ее верх-
верхний лист и по нему опускается почти вертикально вниз в окрестно-
окрестности устойчивого одномерного многообразия седло-фокуса О, и затем
переходит опять на нижний лист. Таким образом, наиболее простую
структуру имеют сингулярные аттракторы систем, в которых син-
сингулярный цикл рождается из устойчивого фокуса в результате би-
бифуркации Андронова-Хопфа. Они лежат на двумерных двулистных
поверхностях. Причина такой простоты заключается в совпадении не-
неустойчивого двумерного инвариантного многообразия Wu сингуляр-
сингулярного цикла и неустойчивого двумерного инвариантного многообразия
седло-фокуса. Для сравнения на рис 4.176 показано отображение Пуан-
Пуанкаре более сложного трехлистного классического аттрактора Лоренца
в координатах р =
и z.
а
Рис. 4.17. Отображение Пуанкаре для системы D.51) в плоскости <р = О
при /х = /х* (а) и для системы Лоренца C.1) в плоскости (р = О.Зтг при
6 = 8/3, (г = 10, г = 28 (б).
Пример 3. Покажем, что могут существовать трехмерные авто-
автономные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, име-
имеющие очень сложную структуру сепаратрисной поверхности своего
сингулярного цикла. Рассмотрим автономную систему трех диффе-
234 ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
ренциальных уравнений
х2 = vxi + 2ж3A - i/a:2/4) - (/х - 1)A - х\ - ж?)ж2, D.52)
1 — хх)хг - (х2 + ? |
Система D.52), как и система D.48) примера 1, имеет предельный
цикл xo(t) = (cosvt, sinvt, 0)т, устойчивый при /х < 0 и лежащий в
плоскости переменных (хьжг)- При /х = /xi = 0 происходит бифурка-
бифуркация удвоения его периода. Линеаризованная на цикле система имеет
вид:
yi = 2cosi/?((/x — l)cosi/? + 1J/1+
+ B((/х - 1) cos vt + 1) sin vt - v)y2 - -(cos vt)y3 + /,
2/2 = (v + 2 (/x - 1) cos 1/$ sin i/?J/i +
+ 2(/x - l)(sin 1/^J/2 + 2A — j sin vt)yz + ^,
(v . \
уз = 2cosi/? -r + sin^J/i +
\4 /
+ 2 sin vtl j + sin vt) 2/2 + 2(/x - 1 - cos vt)yz + ft,
где разложения функций /B/ь2/2,2/з), 0B/ъ2/2,2/з) и h(y1)y2)y3\B ряды
в точке @,0,0) начинаются с членов второго порядка. Заменой y(t) =
= Q@z@ c 27г/^-периодической матрицей Q(^), описанной в примере
1, приведем последнюю систему к связанным с циклом координатам
z =--(smvt)z +-' v 7/
2:2 = ~
i3 = f- +2sini/^Jz2 + 2(/x- 1 - cosi/?)*3 + /1B:1,2:2,2:3).
Как видно из последней системы, предельный цикл xo(t) являет-
является сингулярным, и анализ всех его бифуркаций сводится к анализу
бифуркаций решений неавтономной двумерной системы с той же ли-
линейной частью, что и у системы D.49) первого примера. Отличие
заключается только в том, что система D.52) не имеет особой точ-
точки типа седло-фокус и соответствующего гомоклинического контура.
Последнее ведет к чрезвычайному усложнению структуры неустойчи-
неустойчивого двумерного инвариантного многообразия Wu исходного сингу-
сингулярного цикла. Она становится многолистной. При разных наборах
значений параметров v и // > 0 система D.52) дает большое число
4.6. ПРИМЕРЫ СИСТЕМ С СИНГУЛЯРНЫМИ АТТРАКТОРАМИ 235
разнообразных многолистных аттракторов и многозначных отобра-
отображений N(ui)) включая весьма экзотические. Все они могут отче-
отчетливо наблюдаться в сечениях Пуанкаре, трансверсальных исходному
циклу, а также в двумерной плоскости , асимптотически близкой к 5
и задаваемой переменными (р — l,z).
При фиксированном значении параметра v и при росте положи-
положительных значений параметра \i в системе D.52), как и в системах
D.48) и D.51), сначала реализуется каскад бифуркаций Фейгенбау-
Фейгенбаума удвоения периода родившегося устойчивого предельного цикла, а
затем - субгармонический каскад бифуркаций рождения устойчивых
циклов любого периода в соответствии с порядком Шарковского. Так,
например, при v = 4 в системе D.52) рождается устойчивый цикл
учетверенного периода при ^2 « 0.1135, периода 8 - при \i% « 0.1305,
периода 16 - при \х± « 0.134, периода 32 - при /is « 0.1346. Значе-
Значение /ioo, соответствующее пределу последовательности значений па-
параметра /i, при которых происходят бифуркации удвоения периода
исходного цикла, приближенно равно 0.135. Здесь в системе D.52)
рождается аттрактор Фейгенбаума. При // « 0.1406 в системе D.52)
уже имеется устойчивый цикл периода 10 = 5 • 2 в порядке Шарков-
Шарковского, а при /i « 0.1445 - цикл периода 6. Субгармонический каскад
бифуркаций, соответствующий порядку Шарковского, заканчивается
приблизительно при \х « 0.155. При дальнейшем увеличении значе-
значений параметра \х в системе D.52) реализуется отличный от гомо-
клинического более сложный каскад бифуркаций устойчивых циклов
(рис. 4.18). Отображение N^fa) становится многозначным (напри-
(например, при /i « 0.22 оно пятизначно, а при /i « 0.26 - семизначно).
Поверхность G при этом становится многолистной (при /i « 0.22 она
четырехлистна, а при /л « 0.26 - пятилистна).
Рис. 4.18. Отображение N(u\) (а) и отображение Пуанкаре в плоскости
(р = 0 для системы D.52) при значениях 1/ = 4и/1 = 0.26.
236
ГЛАВА 4. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА
Следовательно, в трехмерных автономных системах обыкновенных
дифференциальных уравнений возможно существование значительно
более структурно сложных аттракторов, чем аттракторы известных
классических систем, включая системы Лоренца и Чу а. Аттракторы
систем D.48), D.51) и D.52) показаны на рисунках 4.19а, 4.196 и 4.19в
соответственно.
Рис. 4.19. Сингулярные аттракторы: а) — системы D.48), б) — системы
D.51), в) — системы D.52).
4.7. Заключительные замечания и выводы.
В настоящей главе доказано, что переход к хаосу в широком классе
трехмерных автономных нелинейных диссипативных систем обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений осуществляется в соответствии
со следующими основными принципами: а) любой аттрактор систе-
системы (периодический или сингулярный) лежит на двумерной, в общем
случае многолистной, поверхности G, являющейся замыканием дву-
двумерного инвариантного неустойчивого многообразия (сепаратрисной
поверхности) ее сингулярного седлового цикла; б) хаотическая дина-
динамика в системе возникает благодаря сдвигу фаз между траекториями,
образующими сепаратрисную поверхность сингулярного цикла, что
приводит к возможности появления в трансверсальной к циклу дву-
двумерной вращающейся плоскости непрерывных одномерных отображе-
отображений, имеющих многозначные обратные отображения; в) любым син-
сингулярным аттрактором системы является замыкание некоторой, при-
принадлежащей G, полуустойчивой непериодичекой траектории; г) любой
сингулярный аттрактор не имеет положительных показателей Ляпу-
Ляпунова, а его фрактальная размерность не превышает величины два; д)
во всех системах класса реализуется один и тот же сценарий перехода
к хаосу, начинающийся каскадом бифуркаций Фейгенбаума удвоения
периода устойчивых циклов и продолжающийся затем субгармониче-
субгармоническим каскадом бифуркаций Шарковского рождения устойчивых ци-
циклов любого периода и, при наличии в системе петли сепаратрисы
4.7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ВЫВОДЫ 237
седло-фокуса, - гомоклиническим каскадом бифуркаций устойчивых
циклов, сходящихся к гомоклиническому контуру.
Таким образом, во всех системах рассмотренного в главе класса ав-
автономных трехмерных систем в процессе перехода к хаосу рождаются,
как правило, полные или неполные субгармонические или гомоклини-
ческие аттракторы (за исключением более сложных аттракторов рас-
рассмотренного в примере 3 типа). Эти же сценарии перехода к хаосу
характерны и для всех известных классических трехмерных автоном-
автономных диссипативных систем нелинейных обыкновенных дифференци-
дифференциальных уравнений, включая системы уравнений Лоренца, Ресслера,
Чуа и др. (см.[29-33] и главу 3). Поэтому весьма правдоподобной вы-
выглядит гипотеза об универсальности описанного в главе способа воз-
возникновения хаотической динамики в трехмерных диссипативных си-
системах нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Глава 5. Динамический хаос в
бесконечномерных системах
дифференциальных уравнений
Рассмотренные в предыдущих главах книги хаотические систе-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений являются во многих
случаях конечномерными аппроксимациями бесконечномерных систем
дифференциальных уравнений в частных производных. Подтвержде-
Подтверждением сказанного является классическая система уравнений Лоренца,
полученная методом Галеркина в виде конечномерных аппроксимаций
систем уравнений в частных производных Навье-Стокса, неразрыв-
неразрывности и теплопроводности [15, 17, 91]. Поэтому естественно предпо-
предположить, что сложные нерегулярные режимы поведения присущи не
только конечномерным, но также и бесконечномерным нелинейным
системам дифференциальных уравнений.
В настоящее время теория динамического хаоса в бесконечномер-
бесконечномерных нелинейных системах дифференциальных уравнений практиче-
практически не разработана. Среди немногих результатов, полученных в этом
направлении, следует выделить результаты А. Самарского, С. Курдю-
мова и их учеников о возникновении нестационарных, пространствен-
пространственно неоднородных и непериодических решений (диффузионного хаоса)
в уравнении Курамото-Цузуки, описывающем поведение решений си-
системы уравнений "реакция - диффузия" в окрестности ее стационар-
стационарного однородного состояния [16, 92, 93]. Ряд результатов, касающихся
сценариев возникновения динамического хаоса в системе уравнений,
описывающей рыночную экономику, в системах уравнений реакция -
диффузия и в системах дифференциальных уравнений с запаздыва-
запаздывающим аргументом получен недавно авторами в работах [64, 94, 95].
Ниже показано, что во всех рассмотренных случаях при переходе от
бесконечномерных систем дифференциальных уравнений к их мало-
модовым (трехмерным) аппроксимациям механизм образования в них
хаотической динамики описывается теорией и методами, изложенны-
изложенными в главах 3 и 4 настоящей книги. При переходе к аппроксимаци-
аппроксимациям большей размерности ситуация становится менее ясной, так как в
сценариях перехода к хаосу начинают принимать участие не только
циклы, но и торы. Кроме того, показано, что сложность хаотической
динамики существенно зависит также и от размеров пространствен-
пространственной области.
В построенной модели рыночной экономики получены более слож-
сложные, чем в системах уравнений реакция-диффузия и в уравнении
Курамото-Цузуки, хаотические режимы. Показано, что уже однород-
однородные пространственные решения системы уравнений в частных про-
производных, описывающие изменения макропоказателей экономической
системы, обладают хаотической динамикой, переход к которой также
происходит в соответствии с изложенными в главах 3 и 4 сценария-
5.1. РЕГУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА И ДИФФУЗИОННЫЙ ХАОС 239
ми. По тем же сценариям происходит переход к хаосу и в нелинейных
системах обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыва-
запаздывающим аргументом.
5.1. Регулярная динамика и диффузионный хаос в системах
уравнений реакция-диффузия.
Огромный класс физических, химических и биологических сред,
широко изучающихся нелинейной и хаотической динамикой, описыва-
описывается системой уравнений в частных производных реакция-диффузия
щ =
vt = D2vxx-\-g(uiv)fi)i E.1)
О < x < Z,
зависящих от скалярного параметра /х. В системах вида E.1) по од-
одной из переменных существует, как правило, положительная обратная
связь. Такая переменная называется активатором. Вторая перемен-
переменная, которая замедляет нарастание (развитие) активатора, называет-
называется ингибитором.
При изучении систем уравнений реакция-диффузия наибольший
интерес представляет анализ таких краевых задач, для которых при
всех значениях скалярного системного параметра ц < до система E.1)
имеет устойчивое стационарное и однородное по пространству ре-
решение ([/, V), называемое термодинамической ветвью. При /х > /хо
термодинамическая ветвь теряет устойчивость, а поведение решений
определяется спектром линеаризованной на термодинамической ветви
краевой задачи в окрестности точки бифуркации /io-
Если при значении // = //0 у линеаризованной на решении (С/, V)
задачи одно простое собственное значение оператора линеаризации
проходит через нуль, а остальной спектр остается лежащим в левой по-
полуплоскости, то в системе возникают пространственно-неоднородные
стационарные решения (стационарные диссипативные структуры). Та-
Такая бифуркация впервые была обнаружена А.Тьюрингом при иссле-
исследовании математической модели морфогенеза и носит его имя [96].
Если при /1 = (Ло У линеаризованной на термодинамической ветви за-
задачи два комплексно сопряженных собственных значения оператора
линеаризации проходят слева направо через мнимую ось, а остальной
спектр остается лежащим в левой полуплоскости, то происходит би-
бифуркация рождения цикла Андронова-Хопфа [45 ,46]. В этом случае
при fi > ц0 термодинамическая ветвь теряет устойчивость, а точки
отрезка [0, /] начинают совершать периодические колебания.
Бифуркации Тьюринга и Андронова-Хопфа имеют очевидные ана-
аналоги среди рассмотренных в главе 2 бифуркаций положений равнове-
равновесия (неподвижных или особых точек) нелинейных динамических си-
систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнения-
уравнениями. Это бифуркация типа вилки и бифуркация рождения устойчивого
240 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
цикла. Рассмотрим бифуркации Тьюринга и Андронова-Хопфа более
подробно на примере первой краевой задачи для классической систе-
системы уравнений вида E.1), предложенной впервые брюссельской школой
И. Пригожина в качестве модели некоторой автокаталитической хи-
химической реакции с диффузией и названной брюсселлтором [46, 97].
Доказательства теорем общего вида со сведением бесконечномерной
системы уравнений E.1) на двумерное или одномерное центральное
многообразие можно найти в работах [45, 46].
Рассматриваемая на отрезке [0,/], система уравнений брюсселято-
ра имеет вид
щ = D\uxx + А - (/л + 1)и + u2v)
vt = D2vxx + /ли- u2v) E.2)
Нетрудно видеть, что стационарным пространственно однородным
решением (термодинамической ветвью) системы E.2) является реше-
решение и = А) v = /л/А. Поэтому первая краевая задача для брюсселятора
должна удовлетворять граничным условиям
и@, t) = и{1, t) = Л, v@, *) = v(l, t) = /i/Л. E.3)
Линеаризуем задачу E.2) - E.3) на термодинамической ветви, поло-
положив р = и-Л, g = v-fi/A. Получим
Pt = DiPxx + (/i - l)p + A2g + /i(p,^),
ft = ДгЯх* - да - Л2^ - Л(р, g),
с граничными условиями ге(О, *) = гл(/, *) = v(O,t) = v(/,i) = 0, где
( Й (/М) рд
Оператор линейной части системы E.4), действующий в простран-
пространстве Соболева #2[0,/] с нулевыми граничными значениями, можно
представить в виде L = К 4- ?Д, где
-(-А* -Л2)' D-{0 D2)> Л~дх>-
Оператор Д имеет собственные значения — тг2п2//2 (п = 1,2...), отве-
отвечающие собственным функциям sinGrnrr/Z). Разложим по этим функ-
функциям компоненты собственного вектора Ф оператора L, отвечающего
его собственному числу А. Тогда
или
Г/\ • Ч • О О \ п уч
, тгпх
d
5.1. РЕГУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА И ДИФФУЗИОННЫЙ ХАОС 241
Следовательно,
Поэтому собственные числа оператора L являются собственными чи-
7Г2П2
слами матриц Gn = К /2~~ А которые в с
ряют уравнениям А2 — trGn -f det Gn = 0, где
слами матриц Gn = К /2~~ А которые в свою очередь удовлетво-
удовлетво_„ _2„2
det(?n = А2 ^ ^J
Для того, чтобы при некотором значении /z произошла бифурка-
бифуркация рождения цикла, необходимо, чтобы имелась пара чисто мнимых
собственных значений А = zcj, и > 0. То есть для одной из матриц Gn
ее след должен обратиться в нуль, а определитель при этом должен
оставаться положительным. При этом все другие собственные значе-
значения оператора L должны иметь отрицательные вещественные части.
Другими словами, при некотором п = т необходимо должно выпол-
выполняться
Если т > 1, то найдется п < т такое, что
2
Тогда по крайней мере одно собственное значение оператора L, соот-
соответствующее этому номеру п, будет иметь положительную веществен-
вещественную часть. Следовательно, необходимо m = 1 и
7Г2
^ = ^0 = 1 + А2 4- ~-(L>i + Д2).
При этом
detGn = А2 + ^
Из последнего выражения нетрудно заключить, что если коэффи-
коэффициенты диффузии D\ и JD2 системы E.2) удовлетворяют условию
Di>D2 + ^¦(D2/AJJ то detGn > detGi = и>1 > А2 для всех п > 1.
242 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
Таким образом, условия теоремы Андронова - Хопфа на спектр опе-
оператора L выполнены при /л = /io- Более детальный анализ показывает
[46], что рождающиеся при этом устойчивые периодические простран-
пространственно неоднородные решения системы E.2) имеют следующие асим-
асимптотические представления при малых е = (/2 - /ioI/2:
u(xyt) = A + ecosuj(e)t «sin — -Ь0(е2),
v(x,t) = ~ +e^cosu(e)tsm — + eSsinu)(e)t - sin — -t-O(e2),
A i I
где ш(е) = cjoA + O(e2)), 7 и E - некоторые постоянные, а вид
пространственных гармоник определяется краевыми условиями зада-
задачи, т.е. в данном случае собственными функциями оператора Д при
п = 1. Точки отрезка совершают колебания с одинаковой частотой и
постоянным градиентом фазы. Создается эффект бегущей по отрезку
"волны". Заметим, что при малых коэффициентах диффузии условие
рождения в системе E.2) периодических решений может быть грубо
записано в виде D\ > Di , что можно интерпретировать как взаимо-
взаимодействие в брюсселяторе дальнодействующего активатора и коротко-
короткодействующего ингибитора.
Изменение характера граничных условий существенно меняет вид
рождающихся в результате бифуркации Андронова-Хопфа периодиче-
периодических решений системы E.2). Так, например, если рассмотреть вторую
краевую задачу для отрезка с граничными условиями
««(О,*) = ux(l,t) = v9(Q,t) = vx(l,t) = О,
то собственными функциями оператора Д будут уже функции
cos(irnx/l), п = 0,1,2..., а наименьшим собственным значением - ноль.
Поэтому бифуркационным значением параметра \х будет величина
^о = 1 -Ь А2, а рождающиеся при fx > цо в случае D\ > D^ периодиче-
периодические решения будут пространственно однородными.
Рассмотрим опять первую краевую задачу для системы E.2). Для
того чтобы при некотором значении параметра // в системе произо-
произошла бифуркация Тьюринга, необходимо, чтобы для одной из матриц
Gn ее определитель обратился в нуль, а след матрицы при этом дол-
должен оставаться отрицательным. При этом все другие собственные
значения оператора L должны иметь отрицательные вещественные
части. Поэтому следы всех матриц Gn должны быть отрицательны-
отрицательными, откуда вытекает, что fi < //* = 1 + А2 + (тг2//2)(Г>1 -f D2). Пусть
fx = ц* - 0, в > 0. Тогда
2 2
Обозначим
2 2 2
уп = ^-, а = A2(D, - D2) - ^D2{D, + D2) + 6D2.
5.1. РЕГУЛЯРНАЯ ДИНАМИКА И ДИФФУЗИОННЫЙ ХАОС 243
Тогда detGn = D\D2v\ + ®Уп + А2. Поэтому надлежащим выбором
значения величины а < О можно добиться того, что при некоторых
в > 0 и m > 1 будет выполнено detGm = 0, a detGn > 0 при всех
п ^ т. Таким образом, условия теоремы Тьюринга на спектр опера-
оператора L будут выполнены при \х = /ло = /х* - 0. Более детальный анализ
показывает, что рождающиеся при этом устойчивые пространственно
неоднородные диссипативные структуры системы E.2) имеют следу-
следующие асимптотические представления при малых е = (/i — /
л . 7Г771Х л/ о\
= A + esm—т— + О(е ),
v{x,t) = ? + O(e)si^
где вид пространственной структуры также определяется краевыми
условиями задачи. Заметим, что при малых коэффициентах диффузии
условие рождения в системе E.2) стационарных неоднородных про-
пространственных структур может быть грубо записано в виде D\ < Дг,
что можно интерпретировать в этом случае как взаимодействие ко-
короткодействующего активатора и дальнодействующего ингибитора.
Проведенный выше простой линейный анализ системы E.2) уже
наглядно демонстрирует сложность систем типа реакция- диффузия,
на поведение решений которых существенное влияние оказывают зна-
значения коэффициентов диффузии и соотношение между ними, форма
пространственной области и ее размеры, а также вид граничных усло-
условий. При бифуркации термодинамической ветви в таких системах мо-
может наблюдаться рождение периодических пространственно однород-
однородных и неоднородных решений и стационарных диссипативных струк-
структур. Численные эксперименты показывают, что при дальнейшем уве-
увеличении значений бифуркационного параметра в системах реакция-
диффузия наблюдаются также и пространственно неоднородные не-
непериодические решения - диффузионный хаос. Однако теория пере-
перехода к хаосу в таких системах в настоящее время практически не
разработана.
Рассмотрим здесь только один аспект этой сложной проблемы —
рождение хаотических режимов в системе E.2) при увеличении пара-
параметра / - длины пространственной области. Тот факт, что сложность
решений системы E.2) при увеличении длины пространственной обла-
области должна возрастать, уже вытекает из проведенного выше линей-
линейного анализа. При увеличении / уменьшается частота и, следователь-
следовательно, растет период и сложность рождающихся периодических решений,
растет также величина т и, следовательно, сложность рождающихся
стационарных диссипативных структур. Кроме того, для разложения
решения в ряд Фурье с заданной точностью требуется большее число
гармоник, и, следовательно, возрастает размерность любой конечно-
конечномерной аппроксимации бесконечномерной системы E.2).
В результате численных экспериментов, проведенных в работе [98]
244 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
со второй краевой задачей в кольце для системы E.2), удалось обна-
обнаружить несколько типов аттракторов при различных значениях дли-
длины области /. Сначала после потери устойчивости термодинамической
ветви наблюдались пространственно однородные колебания. При уве-
увеличении I колебания становились пространственно неоднородными,
однако проекции траекторий конечномерной сеточной системы обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимирующей систе-
систему E.2), на двумерную плоскость оставались замкнутыми кривыми.
При дальнейшем увеличении длины области образовывался устойчи-
устойчивый двумерный тор, заполняемый траекторией всюду плотно (рис.
5.1а). Проекция его сечения Пуанкаре на двумерную плоскость имела
вид замкнутой кривой. При больших значениях I возникали аттрак-
аттракторы, имеющие более сложную структуру, что свидетельствовало о
наличии в системе E.2) диффузионного хаоса (рис. 5.16).
Рис. 5.1. Устойчивые двумерные торы (а) и более сложные решения (б) в
модели брюсселятора.
Таким образом, изложенное в настоящем пункте дает основания
утверждать о наличии сложных нестационарных непериодических ре-
решений (диффузионного хаоса) в системах уравнений реакция-диффу-
реакция-диффузия вида E.1). Есть также веские основания предположить, что в
сценарии перехода к хаосу участвуют двумерные торы и, вполне ве-
вероятно, весь субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов
подобно тому, как это имеет место в пятимерной системе уравнений
Лоренца (см. п.3.2). Присутствуют ли в сценариях перехода к хаосу
каскады бифуркаций устойчивых циклов или каскады бифуркаций
многомерных торов остается пока неизвестным. Структура нерегу-
нерегулярных (хаотических) аттракторов системы E.1) и механизмы их
рождения тоже пока остаются невыясненными. Возможные подходы
к решению поставленных проблем заключаются в переходе к анали-
анализу некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
являющейся либо маломодовой аппроксимацией системы E.1), либо
системой, полученной в результате удачной автомодельной замены
переменных.
5.2. ХАОС В МАЛОМОДОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 245
5.2. Переход к хаосу в маломодовом приближении для
уравнения Курамото-Цузуки
В работе [99] было показано, что любое решение системы уравне-
уравнений реакция-диффузия E.1), возникающее в окрестности термодина-
термодинамической ветви в результате ее бифуркации при // > /io, может быть
выражено через комплекснозначную функцию W{r,r), удовлетворяю-
удовлетворяющую уравнению
WT = W + A + icx)Wrr - A + ic2)W\W\\ E.5)
где г = ex, т = e2t, с\ и сг - действительные постоянные, зна-
значения которых определяются по коэффициентам Z?i, D2, функциям
/(zz,v,/i), g(u,v,fi) и их производным, вычисленным на термодинами-
термодинамической ветви, а е = (fi — fM)I^2 - малый параметр. Уравнение E.5),
называемое уравнением Курамото-Цузуки или зависящим от време-
времени уравнением Гинзбурга-Ландау, играет важную роль в изучении
и понимании процессов, происходящих в нелинейных диссипативных
средах диффузионного типа. Непосредственной подстановкой легко
убедиться в том, что для произвольной фазы <р функция W(r) =
= ехр(-г(с2Г 4- ф)) является однородным по пространству решением
уравнения E.5). Следовательно, каждый элемент среды E.5) совер-
совершает в установившемся режиме гармонические колебания с частотой
с2, причем этот режим является устойчивым в некоторой большой
области изменения параметров q и сг. Такие среды принято назы-
называть автоколебательными.
Для нахождения пространственно неоднородных решений обычно
рассматривается вторая краевая задача для уравнения E.5). В цикле
работ А. Самарского, С. Курдюмова и их учеников [16, 92, 93] показа-
показано что в некоторой области изменения параметров с\ и с2 устойчивым
является автомодельное решение вида W(r,r) = F(r) exp(i(ur -f a(r)).
При а(г) = kr колебания соседних элементов среды происходят с по-
постоянным сдвигом по фазе, что соответствует движению по простран-
пространству фазовой волны. В двумерном случае уравнение E.5) допускает
решения в виде ведущих центров - последовательности разбегающихся
концентрических фазовых волн, и спиральных волн. В работах [92-93]
были найдены также области изменения параметров с\ и С2, в кото-
которых вторая краевая задача для уравнения E.5) на отрезке [О, R] с
условиями
Wr{0}r) = Wr(R,r) = 0, W(r,0) = W0{r), 0<r<R, 0<r<oo,
имеет нестационарные непериодические и неоднородные по простран-
пространству решения - диффузионный хаос. Идея получения решений такого
вида состоит в использовании Галеркинских маломодовых аппрокси-
аппроксимаций
Щг,т) « ?1/2(r)exp(i0i(r)) + гI/2 (r)exp(i92(r)) cos kr, k = тг/#,
246 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
для сведения уравнения E.5) к более простой конечномерной (трех-
(трехмерной) системе обыкновенных дифференциальных уравнений отно-
относительно перменный ?, г\ и 0 — 02 - 0\
с2 sin»),
т) = 2rj - 2/7B4" + З77/4) - 2?r](cos 9 - c2 sin (9) - 2k2 tf, E.6)
0 = c2Bf - 77/2) + Bf + 77) sin0 + c2B? - rj) cos0 2
Было показано, что когда длина области невелика (^ — тг), так
что коэффициенты Фурье решений быстро убывают с ростом их но-
номера, то между решениями исходного уравнения E.5) и двухмодовой
системы E.6) есть не только качественное, но и количественное соот-
соответствие. Причем это относится не только к простейшим регулярным
(периодическим), но и к нерегулярным аттракторам и к сценариям
их возникновения при изменении параметров С\ и с2. Это позволило
сначала найти область динамического хаоса в упрощенной трехмер-
трехмерной системе E.6) обыкновенных дифференциальных уравнений, а за-
затем достаточно просто обнаружить и область диффузионного хаоса
в уравнении Курамото-Цузуки E.5).
В работах [92, 93] определены области существования устойчивых
особых точек, простых устойчивых циклов и циклов удвоенного пери-
периода системы E.6) в пространстве параметров (с\, с2). Все более слож-
сложные регулярные (периодические) и нерегулярные аттракторы систе-
системы E.6) просто отнесены к одному классу, которому соответствуют
оставшиеся области пространства параметров. Поэтому подход, пред-
предложенный в работах [92, 93], не дает возможности объяснить механиз-
механизмы и определить сценарии возникновения хаотической динамики как
в упрощенной системе E.6), так и в исходном уравнении Курамото
- Цузуки E.5). Покажем, что все нерегулярные аттракторы упро-
упрощенной системы E.6) являются сингулярными в смысле введенного
в главе 1 определения, а переход к хаосу и усложнение структуры ат-
аттракторов системы E.6) происходят по тому же сценарию, что и в
системах обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрен-
рассмотренных в главах 3 и 4 настоящей книги. То есть переход к хаосу в системе
E.6) происходит сначала через каскад бифуркаций Фейгенбаума удво-
удвоения периода сингулярного предельного цикла, а затем через каскад
бифуркаций рождения устойчивых циклов в соответствии с порядком
Шарковского. Далее возможны более сложные каскады бифуркаций
устойчивых циклов в соответствии с теорией, изложенной в главе 4.
Действительно, положим, например, к = 1, с\ = 1.3 и рассмотрим
сценарий перехода к хаосу в системе E.6) при изменении значений
параметра с2. Аттракторы системы E.6) будем наблюдать в трех-
трехмерном фазовом пространстве с координатами х = ?cos#, у = ?sin#,
z = 77. Интегрируя систему E.6) методом Рунге-Кутта 4-го порядка,
нетрудно установить, что при уменьшении отрицательных значений
5.2. ХАОС В МАЛОМОДОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 247
параметра c% в системе E.6), как и во всех системах, рассмотренных
в главах 3 и 4, сначала реализуется каскад бифуркаций Фейгенбау-
ма удвоения периода сингулярного устойчивого предельного цикла,
существующего в системе при С2 = -5, а затем - субгармонический
каскад бифуркаций рождения устойчивых циклов любого периода в
соответствии с порядком Шарковского. Так, например, устойчивый
цикл удвоенного периода рождается в системе E.6) при съ ъ -6.782,
учетверенного периода - при С2 « -7.92, периода 8 - при С2 « —8.15,
периода 16 - при сч « —8.2, периода 32 - при С2 ъ -8.21, периода
64 - при С2 « -8.211. Аттрактор Фейгенбаума рождается в систе-
системе E.6) при значении сч к» -8.2111. При сч « -8.2155 в системе
E.6) уже имеется устойчивый цикл периода 40, что соответствует
циклу 5 • 23 в порядке Шарковского. Цикл периода 20 = 5 • 22 ро-
рождается при С2 ^ —8.2509, цикл периода 14 = 7-2 рождается при
С2 » -8.2754, цикл периода 10 = 5 * 2 при С2 « -8.2949, цикл периода
6 = 3-2- при С2 » -8.348. Рождение последнего цикла означает ро-
рождение устойчивого цикла периода три в некоторой двумерной плос-
плоскости, трансверсальной исходному циклу. Субгармонический каскад
бифуркаций, соответствующий порядку Шарковского, заканчивается
приблизительно при съ « -8.4. При c<i « —8.564 в системе E.6) ро-
рождается устойчивый цикл периода 7, при с2 « —8.668 - устойчивый
цикл периода 5, а при С2 » —9.0 - устойчивый цикл периода 3. Со
всеми родившимися устойчивыми циклами происходят свои каскады
бифуркаций удвоения их периодов.
Важно отметить, что в трехмерном фазовом пространстве (аг, t/, z)
системы E.6) при некоторых значениях параметров может существо-
существовать одновременно несколько различных устойчивых циклов, имею-
имеющих свои области притяжения. Каждый такой цикл может порождать
свой каскад бифуркаций и свое семейство полных или неполных син-
сингулярных субгармонических аттракторов. Фиксируем, например, зна-
значение параметра с^ = —9.0 и будем менять значения параметра С\. Не-
Нетрудно установить, что существующий в системе E.6) при с\ = 1.3
устойчивый цикл периода 3 является порождением субгармоническо-
субгармонического каскада бифуркаций изначально устойчивого сингулярного цикла
при уменьшении значений параметра с\ от значения с\ = 1.43. Проек-
Проекция этого исходного цикла на плоскость (у, z) имеет четыре оборота
вокруг некоторого условного центра. Устойчивый цикл периода 8 ро-
рождается в системе при с\ « 1.425, цикл периода 6 - при с\ « 1.366,
цикл периода 5 - при с\ « 1.33. При с\ « 1.282 в системе E.6) рожда-
рождается другой устойчивый цикл периода 6, являющийся циклом удвоен-
удвоенного периода для цикла периода 3. Далее при уменьшении значений
параметра с\ имеет место каскад бифуркаций удвоения его периода.
Вместе с тем при увеличении значений параметра с\ от значения
С\ » 1.21 в системе E.6) реализуется другой субгармонический кас-
каскад бифуркаций, начинающийся простым устойчивым сингулярным
циклом. Области притяжения этого цикла принадлежит, например,
248 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
начальная точка f = 0.1, г\ = 0.01, в = -0.2. Каскад продолжается
устойчивым циклом удвоенного периода при с\ « 1.215, учетверен-
учетверенного периода - при с\ « 1.232, периода 8 - при с\ « 1.237, периода
16 - при с\ « 1.2375 и т.д. Аттрактор Фейгенбаума рождается здесь
при значении с\ « 1.238. Далее, при с\ » 1.2415 в системе рождается
устойчивый цикл периода 6, при с\ » 1.252 - периода 5, при С\ » 1.255
- новый устойчивый цикл периода 3, а затем при росте значений па-
параметра с\ идет каскад бифуркаций удвоения его периода. В области
1.26 < с\ < 1.28 существует большое число сингулярных аттракторов,
не описываемых порядком Шарковского, но являющихся предельны-
предельными для своих каскадов бифуркаций устойчивых циклов. Некоторые из
этих циклов (периодов 22,14 и 12) удалось обнаружить при значениях
параметра с\ соответственно равных 1.268, 1.273, и 1.279. Сингуляр-
Сингулярный субгармонический аттрактор системы E.6) при с\ = 1.27 изобра-
изображен на рис.5.2а. Заметим, что при с\ = 1.21 в окрестности исходного
устойчивого цикла каскада лежит другой устойчивый цикл удвоен-
удвоенного периода, области притяжения которого принадлежит, например,
начальная точка f = 0.1, 77 = 0.01, в = 0. Этот цикл не порождает
сингулярных аттракторов.
а
Рис. 5.2. Сингулярные аттракторы системы E.6) в координатах (я, у, г)
при с2 = -9.0 и а = 1.27 (а), сх = 1.57 (б).
Третий субгармонический каскад бифуркаций порождает устой-
устойчивый при с\ = 1.43 цикл, но уже при росте значений параметра с\.
Здесь устойчивый цикл удвоенного периода рождается при С\ « 1.52,
учетверенного периода - при с\ « 1.5581 и т.д. Семейство нерегу-
нерегулярных субгармонических аттракторов, порожденных этим циклом,
наблюдается примерно в области 1.56 < с\ < 1.59. Четвертый и пя-
пятый субгармонические каскады бифуркаций порождают при с\ =1.81
два устойчивых простых цикла как с уменьшением так и с увеличе-
увеличением значений параметра с\. В области притяжения первого цикла
находится, например, начальная точка ? = 0.1, t] = 0.01, в = 20.
Устойчивый цикл удвоенного периода рождается здесь при с\ « 1.802,
5.2. ХАОС В МАЛОМОДОВОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
249
учетверенного - при а « 1.7875 и т.д. Семейство сингулярных суб-
субгармонических аттракторов, порожденных этим циклом, наблюдается
примерно в области 1.76 < с\ < 1.77. В области притяжения второ-
второго цикла лежит, например, точка ? = 0.1, г/ = 0.01, в = —0.2. Здесь
устойчивый цикл удвоенного периода рождается при с\ « 10.35, уче-
учетверенного - при с\ « 11.67 и т.д. Семейство сингулярных субгармо-
субгармонических аттракторов, порожденных этим циклом, наблюдается при-
примерно в области 12 < с\ < 15. Сингулярные аттракторы системы E.6)
при ci = 1.765 и с\ = 13 изображены на рис.5.3.
Рис. 5.3. Сингулярные аттракторы системы E.6) в координатах (x,yyz)
при с2 = -9.0, а = 1.765 (а) и а = 13 (б).
Приведенные результаты свидетельствуют о том, что в трехмер-
трехмерных системах маломодовых Галеркинских аппроксимаций д.ля беско-
бесконечномерных систем дифференциальных уравнений в частных произ-
производных сценарии перехода к хаосу не отличаются от рассмотренных в
главах 3 и 4 настоящей книги. Тем не менее это не позволяет сделать
однозначный вывод о тождественности хаотической динамики бес-
бесконечномерной системы и ее трехмерных маломодовых приближений.
Действительно, как следует из результатов главы 3, трехмерная систе-
система уравнений Лоренца, являющаяся маломодовым приближением для
систем уравнений Навье-Стокса и теплопроводности, обладает слож-
сложным сценарием перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения
периода устойчивых циклов, субгармонический и затем гомоклиниче-
ский каскады бифуркаций. В то же время пятимерная комплексная
система уравнений Лоренца обладает уже совершенно иным сценари-
сценарием перехода к хаосу через субгармонический каскад бифуркаций дву-
двумерных торов. Таким образом, повышение размерности маломодовых
аппроксимаций может привести с одной стороны к усложнению струк-
структуры регулярных аттракторов, участвующих в сценариях перехода к
хаосу (появлению устойчивых торов вместо циклов), а с другой сто-
стороны - к упрощению каскадов бифуркаций и структуры рождающих-
рождающихся при этом сингулярных аттракторов (переход к хаосу заканчива-
250 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
ется субгармоническим каскадом). Поэтому проблема тождественно-
тождественности диффузионного хаоса систем уравнений в частных производных
и динамического хаоса их маломодовых приближений требует допол-
дополнительного исследования.
5.3. Динамический хаос в дифференциальных уравнениях с
запаздывающим аргументом.
В настоящем разделе будет показано, что одним из основных сцена-
сценариев перехода к хаосу в бесконечномерных нелинейных дифференци-
дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом также является суб-
субгармонический каскад бифуркаций устойчивых циклов. Рассмотрим
уравнение
i = /(*(*),s(t-r)), *>0> E.7)
где x(t), /(•) - скалярные функции, г > 0 - постоянное запаздывание.
Начальным условием для уравнения E.7) является некоторая непре-
непрерывная функция v?(^)> заданная на интервале —г < д < 0.
Параметр г в уравнении E.7) может быть бифуркационным, то
есть при его изменении может происходить усложнение структуры
аттракторов уравнения E.7) вплоть до возникновения в нем хаоти-
хаотической динамики. Простые регулярные аттракторы, такие как устой-
устойчивые стационарные состояния и периодические решения, можно на-
наблюдать непосредственно при численном интегрировании уравнения
E.7), например, методом Рунге-Кутта 4-го порядка. Однако для ана-
анализа более сложных регулярных и, тем более, нерегулярных аттракто-
аттракторов уравнения E.7) требуется переход к какому-либо конечномерно-
конечномерному фазовому пространству. Одной из возможностей такого перехода
является представление уравнения E.7) в виде конечномерной систе-
системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого поделим
интервал [—г; 0] на га одинаковых частей и обозначим
xt{0) = 2/о, з«(-т) = 2/т, xt(-ir/m) =2/», г = 1,т-1,
где х^(я?) = x(t + $). Тогда, используя, например, разностную аппрок-
аппроксимацию производной, получим
2/о = /B/o,2/m,r), in = (m/r)(yt-_i - у{), г = lTm. E.8)
Таким образом, уравнение E.7) сводится к (т + 1)-мерной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений
), E.9)
вектор которой у = (yo(t), yi(t),..., ym(t)) определяет вектор-функцию
m m
5.3. ХАОС В ДИФФРБНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 251
Каждая координата этой вектор-функции линейно аппроксимиру-
аппроксимирует функцию xt($) на отрезке длиной h = #i_i — i?j по двум значе-
значениям функции в узлах yi и t/i_i с погрешностью, не превышающей
O(h2) [41]. Очевидно, что при достаточно высоком порядке т функ-
функция v4 W будет сколь угодно мало отличаться от #*(??) на отрезке
[-т;0]. При этом решению x(t) уравнения E.7) соответствуют зна-
значения координаты yo(t) системы E.9), а траектории в расширенном
фазовом пространстве R х С[—т;0] уравнения E.7) соответствует
траектория в фазовом пространстве km+1 системы E.9).
Заметим, что погрешность аппроксимации уравнения E.7) си-
системой E.9) определяется, главным образом, точностью вычисле-
вычисления производных 2/г-, г = 1,...,т в узлах сеточной функции у\ =
= Xt(—im/r), г = 1,...,т. В работе [95] показано, что если принять
разностную схему вычисления производной первого порядка E.8), то
для получения погрешностей аппроксимации, сравнимых с точностью
метода численного интегрировании Рунге-Кутта 4-го порядка при
приемлемых шагах интегрирования, порядок системы E.9) должен
быть равным m « 103. Существенное уменьшение порядка системы
до m = 20 — 50 может быть достигнуто при использовании интерпо-
интерполяции функции ?*(??) на отрезке [—г, 0] кубическими сплайнами. Но
в любом случае уравнение E.7) не сводится к маломерной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений. Тем интереснее пред-
представляется задача сравнения сценариев перехода к хаосу в уравнении
с запаздывающим аргументом E.7) и в аппроксимирующей его мно-
многомерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений E.9).
В качестве модельного примера рассмотрим широко известное урав-
уравнение Мэкки-Гласса, описывающее процесс кроветворения [100]:
SfA- E-Ю)
где а, /?о, в и п - положительные константы, выбранные так, что
А) > а > 0, пВ > 2, 6аВ > /?0, В = @О - а)/Д>. Уравнение E.10)
имеет единственное стационарное состояние х = 9\1 , которое
V О/
arccos(-a/6)
при значении г > / , где о = а(пВ - 1), теряет устоичи-
/Ъ2 - а2
вость в результате бифуркации рождения предельного цикла. В на-
нашем примере приняты следующие значения параметров в уравнении
E.10): а = 1, /?о = 0 = 2, п = 10. Для данных значений параметров
и 0 < г < 0.4708 уравнение E.10) имеет стационарное устойчивое
решение х = 2, при г = 0.4708 происходит бифуркация рождения
устойчивого периодического решения (или, в расширенном фазовом
пространстве - предельного цикла), а при дальнейшем увеличении г
наблюдаются бифуркации удвоения периода. Так при г « 1.32 ро-
рождается устойчивый цикл удвоенного периода, при г « 1.57 - уче-
252
ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
тверенного периода и т.д. При этом каждая следующая бифуркация
приводит к потере устойчивости предыдущего цикла. При г > 1.608
решение уравнения E.10) имеет хаотическое поведение. Затем при
значении параметра г га 1.677 рождается цикл периода 6, при зна-
значении г га 1.766 - цикл периода 5, при г га 1.874 - цикл периода 3.
а
Рис. 5.4. Устойчивое периодическое решение (а) уравнения E.10) и про-
проекция устойчивого предельного цикла системы E.9) при т = 0.745 (б).
Уравнение E.10) было аппроксимировано 20-ти мерной системой
обыкновенных дифференциальных уравнений E.9), и рассматрива-
рассматривались проекции фазовых портретов различных аттракторов послед-
последней системы на плоскость (уо, ут). Было установлено, что и в системе
E.9) при росте значений параметра г реализуется субгармонический
каскад бифуркаций устойчивых циклов, причем начальные бифурка-
бифуркационные значения параметра для системы E.9) и уравнения E.10)
практически совпадают (рис.5.4). Так, например, устойчивый цикл в
системе E.10) рождается в результате бифуркации Андронова-Хопфа
при г га 0.47, цикл удвоенного периода - при г га 1.32, а цикл учетве-
учетверенного периода - при г га 1.57.
Практически совпадают также и значения параметра г, при ко-
которых в системе E.9) и в уравнении E.10) наблюдаются и другие
устойчивые периодические решения, рождающиеся в результате би-
бифуркаций различных сингулярных аттракторов (рис.5.5).
Таким образом, можно сделать вывод о том, что одним из воз-
возможных сценариев перехода к хаосу в системах уравнений с запаз-
запаздывающим аргументом, а также в конечномерных системах большой
размерности является рассмотренный в главах 3 и 4 настоящей кни-
книги сценарий перехода к хаосу в трехмерных нелинейных диссипатив-
ных системах обыкновенных дифференциальных уравнений через кас-
каскад бифуркаций Фейгенбаума и субгармонический каскад бифурка-
бифуркаций устойчивых циклов. Вопрос о том, возможен ли переход к хаосу в
системах уравнений с запаздывающим аргументом через субгармони-
субгармонический каскад бифуркаций двумерных или многомерных торов, оста-
остается открытым.
5.4. ЦИКЛЫ И ХАОС В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
253
Ут
t Уи
Рис. 5.5. Устойчивое периодическое решение (а) уравнения E.10) и проек-
проекция устойчивого цикла периода 3 системы E.9) при т = 1.874 (б).
5.4. Циклы и хаос в распределенных экономических
системах.
Другим, принципиально отличным примером формирования диф-
диффузионного хаоса в нелинейной среде является распределенная модель
рыночной экономики, предложенная одним из авторов в [63] и разви-
развитая затем в [64]. Модель является системой трех нелинейных диф-
дифференциальных уравнений, два из которых описывают изменение и
интенсивность движения (диффузию) капитала и спроса в простран-
пространстве технологий под воздействием изменения нормы прибыли. Послед-
Последнее описывается третьим обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением. Полученная система обладает многими замечательными свой-
свойствами. Одним из них является наличие в ней последовательности
бифуркаций рождения устойчивых периодических однородных про-
пространственных решений произвольного периода, формирующих одно-
однородный по пространству, но хаотический во времени аттрактор. По-
Последнее невозможно как для системы уравнений реакция-диффузия,
так и для уравнения Курамото-Цузуки. Причем переход к хаосу осу-
осуществляется опять же рассмотренным в главах 2 — 4 субгармониче-
субгармоническим каскадом бифуркаций устойчивых циклов. Поэтому наличие в
экономической системе еще и диффузионных процессов должно при-
приводить к существованию в ней более сложных режимов диффузион-
диффузионного хаоса по сравнению с рассмотренными в предыдущих пунктах
главы режимами. Предложенная авторами распределенная модель са-
саморазвивающейся рыночной экономики является пока единственной
экономико-математической моделью, обладающей такими свойства-
свойствами. Поэтому мы подробно остановимся на выводе и анализе ее урав-
уравнений и на вытекающих из этого анализа интересных результатах,
важных как с точки зрения математики, так и с точки зрения их
различных экономических приложений.
254 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
5.4.1 Описание модели саморазвивающейся рыночной эко-
экономики. В модели рассматривается неструктурированная замкну-
замкнутая экономическая система, процесс развития которой происходит в
конечномерном евклидовом пространстве Rn, называемом простран-
пространством технологий. Каждая точка с пространства Ш.п соответствует
определенной технологии производства некоторого продукта и имеет
своими координатами затраты С{, (г = 1,2, ...,п) ресурса г на единицу
выпускаемого продукта. Для описания основных характеристик эко-
экономической системы используются следующие функции:
- K(t, с) - плотность распределения капитала в момент t в про-
пространстве технологий, то есть стоимость капитала (суммарная стои-
стоимость производительного, товарного и денежного капитала), задей-
задействованного предпринимателями в момент t в производстве некото-
некоторого потребительского продукта по технологии (по затратам) сив
производстве средств производства этого продукта;
- Ст^,с) - плотность распределения производительного (постоян-
(постоянного K{t,c) и переменного H{t,c)) капитала предпринимателей;
- Y(?, с) - плотность распределения товарного капитала предпри-
предпринимателей, равная товарным запасам в момент t произведенного с
затратами с потребительского продукта и средств для его производ-
производства;
- М(?, с) - плотность распределения денежного капитала предпри-
предпринимателей (платежеспособный спрос предпринимателей на средства
производства и рабочую силу для производства продукции по техно-
технологии с);
- Di(t,с), D2(t,c) и Dz{t,c) - платежеспособный спрос соответ-
соответственно предпринимателей, трудящихся и государства на произведен-
произведенный по технологии с потребительский продукт;
- u(t, с) - распределение нормы прибыли в момент t в пространстве
технологий;
- pcT{t,c, •) и рм{Ъ,с, •) - векторы плотности потока соответствен-
соответственно производительного и денежного капитала, то есть количество ка-
капитала, прошедшего через единицу поверхности некоторого объема
пространства технологий Шп в единицу времени;
- PD1{t, с, •), рх?2(?,с, •) и р?>3(?,с, •) - векторы плотности потока
платежеспособного спроса соответственно предпринимателей, трудя-
трудящихся и государства на потребительские товары, определяемые как
количество денежных средств, прошедших через единицу поверхности
некоторого объема пространства технологий Шп в единицу времени;
- #i(?,c), #2(?, с) и #з(?,с) - текущее потребление соответственно
предпринимателями, трудящимися и государством потребительских
товаров, произведенных по технологии с.
Так как норма прибыли в производстве товаров однозначно опре-
определяет норму прибыли в производстве средств производства этих то-
товаров, то этим оправдано введение в рассмотрение одной функции
ti(?,c) для каждого вектора технологического пространства.
5.4. ЦИКЛЫ И ХАОС В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 255
Согласно теории прибавочной стоимости К. Маркса, основанной
на строгих законах экономического развития, справедливых и в на-
наше время, саморазвитие рыночной экономики осуществляется за счет
движения и самовозрастания капитала, которое в свою очередь, про-
происходит в процессе кругооборота последнего посредством создания
трудящимися прибавочной стоимости.
Рассмотрим подробно процесс кругооборота капитала, принимая
его длительность за единицу. Первая стадия кругооборота капитала
происходит в сфере обращения. Денежный капитал предпринимателей
М затрачивается на покупку средств производства (постоянного ка-
капитала АК) и рабочей силы (переменного капитала АН). Соединение
предпринимателем постоянного и переменного капитала означает их
производительное потребление и дает начало следующей стадии кру-
кругооборота капитала - производству стоимости и прибавочной стоимо-
стоимости. Капитал, сменив денежную форму М на форму производитель-
производительного капитала (Ст = К Л-Н) продолжает движение в сфере производ-
производства. При этом стоимость производительного капитала уменьшается
на часть стоимости переменного капитала иН, которая выплачива-
выплачивается трудящимся в виде заработной платы и на часть стоимости \iK
постоянного капитала вследствие выбытия оборотного капитала, а
также физического и морального износа постоянного капитала. Од-
Одновременно в технологическом пространстве возникают потоки про-
производительного капитала рт(Ъ с, •) из мест с менее высокой в места
с более высокой нормой прибыли. Следовательно, для произвольного
объема v пространства Шп уравнение, описывающее изменение произ-
производительного капитала имеет вид
731 I CT{t,c)dv= [\-иН - цК + АК + AH)dv - f pT{t,c,-)dS.
ot Jv Jv Js
Переходя в последнем интеграле к интегрированию по объему и в
силу произвольности объема интегрирования v получаем
- ыН. E.11)
y =
от
В результате производства капитал приобретает товарную фор-
форму, причем стоимость вновь произведенных товаров складывается из
амортизации и К и вновь созданной трудящимися стоимости, кото-
которая состоит из стоимости переменного капитала шН и прибавочной
стоимости иСт- Произведенные по технологии с товары покупаются
предпринимателями Дх, трудящимися Д2 и государством Дз. Таким
образом, уравнение изменения товарного капитала имеет вид
+ uCt - (Ri + Д2 + Дз). E.12)
ot
256 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
Продавая произведенные товары на рынке, предприниматель реа-
реализует в деньгах заключенную в них стоимость. Капитал меняет то-
товарную форму на денежную, причем источником прироста денежного
капитала предпринимателей является идущая на накопление часть /
средств, вырученных от продажи потребительских товаров, а сто-
стоком - стоимость вновь авансированного производительного капитала
АК + АН. Вместе с тем, в технологическом пространстве возникают
потоки денежного капитала рм(Ъ,с, •)> направленные в места с более
высокой нормой прибыли. Это означает стремление ссудных капита-
капиталистов вкладывать свои деньги в развитие таких производств, кото-
которые обеспечивают получение наибольшей прибыли и, следовательно,
большего процента на ссудный капитал . Таким образом, применяя
тот же подход, что и в уравнениях E.11) - E.12), получаем уравне-
уравнение движения денежного капитала
) = -divpM(t,с, •) +1 - АН - АК. E.13)
Сложив уравнения E.11)- E.13), получим уравнение движения ка-
капитала в виде
^ с, •) + (" - ц)К + uCT + I-R, E.14)
где R = Rx + R2 + Д3, Р = Рт + рм, К = CT + Y + M.
Уравнение E.14) описывает стремление капитала к самовозраста-
самовозрастанию. Если производство прибыльно, то капитал возрастает, произ-
производство расширяется, растет постоянный и переменный капитал. Но
этот процесс не может происходить бесконечно. Существуют факто-
факторы, которые по мере роста капитала способствуют снижению нормы
прибыли, что в конечном счете ведет к свертыванию производства,
безработице, кризису. Такими факторами являются: периодическое
превышение предложения над спросом на потребительские товары,
невозможность реализовать произведенную продукцию на рынке из-
за недостатка платежеспособного спроса; периодическое превышение
спроса на средства производства над ограниченным предложением де-
денежного капитала и спроса на рабочую силу над ее ограниченным
предложением на стадиях подъема и расширения масштабов произ-
производства [101]. Эти факторы можно формализовать, используя функ-
функцию платежеспособного спроса.
Как отмечено выше, часть / денежных средств Д, вырученных
предпринимателями от продажи потребительских товаров, идет на
накопление капитала. Другие же части Ск и G являются источника-
источниками формирования платежеспособного спроса D\ и D$ предпринима-
предпринимателей и государства на потребительские товары, произведенные по
технологии с. Стоком платежеспособного спроса D± и D3 в точке с
5.4. ЦИКЛЫ И ХАОС В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 257
пространства Еп является стоимость купленных ими товаров Ri и
Лз- Вместе с тем в технологическом пространстве возникают пото-
потоки рг>х (?, с, •) и рЕ>2 (?, с, •) платежеспособного спроса соответственно
предпринимателей и государства, стремящиеся распределить его по
всему пространству в соответствии с потребительскими стоимостя-
стоимостями товаров, выпускаемых по различным технологиям. Поэтому урав-
уравнения движения платежеспособного спроса предпринимателей и госу-
государства на потребительские товары имеют вид:
dDi(t,c)
8t
dD3(t,c)
= -divpDl (t, с, -) + CK-Ri, E.15)
=-divpD3(t,c,-) + G-R3. E.16)
Источником платежеспособного спроса трудящихся Сх в точке с
является их заработная плата шН (Cl — шН), а стоком - стоимость
купленных ими потребительских товаров R%. Таким образом,
) = -divpD2 (t, с, -) + CL- Ri. E.17)
Складывая уравнения E.15) - E.17), получим уравнение движения
платежеспособного спроса в виде
^ , •) + CL + С к + G - Я, E.18)
где рв = pDi + Pd2 + Pd3 •
Перепроизводство не означает, что товары вообще не могут быть
проданы и потреблены. Но они не могут быть проданы по ценам, обес-
обеспечивающим предпринимателям определенную норму прибыли. По-
Поэтому превышение предложения потребительских товаров и рабочей
силы Y+H над платежеспособным спросом D и денежным капиталом
М ведет к уменьшению цен, увеличению нормы ссудного процента и,
следовательно, в конечном итоге, к снижению нормы прибыли
^М = а((д + М)-(У + Я)). E.19)
Таким образом, система уравнений саморазвивающейся рыночной эко-
экономики может быть представлена в виде:
= _divp(t C).) + (»/- ft)K
= -divPD(t, c,-) + CL + CK
258 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
Если проинтегрировать уравнения системы E.20) по положитель-
положительному ортанту технологического пространства, то, учитывая, что
divp(t,cr)dc= / divpD(t,c,-)dc = O)
J
можно получить систему уравнений, описывающих изменение макро-
макропоказателей рыночной экономики во времени:
at
dD(t,c)
-— = CL + CK + G-R, E21)
at
Заметим, что если сложить первые два уравнения системы E.21),
то получим уравнение изменения стоимости всех элементов, участву-
участвующих в экономическом развитии
at
где иК + Сь + иСт - совокупный общественный продукт, а Сь
- национальный доход.
Системы E.20), E.21) являются недоопределейными, так как со-
содержат шесть уравнений (три из которых дифференциальные) и две-
двенадцать переменных плюс потоки капитала и спроса. Доопределить
системы E.20) или E.21) можно различными поведенческими уравне-
уравнениями (связями), имеющими наглядную экономическую интерпрета-
интерпретацию в терминах рыночной экономики. Предлагается следующий (без-
(безусловно, не единственный) способ доопределения системы E.20), а
следовательно, и E.21).
Предположение 1. Вектор плотности потока капитала пропор-
пропорционален градиенту нормы прибыли, причем коэффициент пропорци-
пропорциональности не является постоянным, а зависит как от точки с про-
пространства технологий, так и от самой нормы прибыли
р(*,с,-) = /cife^tijgradu^c). E.22)
Процесс диффузии капитала определяется коэффициентом диффузии
«i(c, К, и), который характеризует свойства экономической среды. В
зависимости от вида к,\ (в общем случае к\ - тензор) среда может
быть однородной или неоднородной, изотропной или анизотропной.
5.4. ЦИКЛЫ И ХАОС В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 259
Различные экономические механизмы переноса капитала могут да-
давать разные, в том числе нелинейные, зависимости п\ от К и и.
Предположение 2. Так как за уменьшением нормы прибыли сто-
стоит прежде всего уменьшение спроса на товар, то можно предполо-
предположить, что вектор плотности потока платежеспособного спроса на по-
потребительские товары пропорционален градиенту нормы прибыли, а
коэффициент пропорциональности зависит от точки с пространства
технологий, величины платежеспособного спроса и от самой нормы
прибыли
, с, •) = ас2(с, D, u)gradu(t, с). E.23)
Коэффициент /с2(с, D, и) определяет процесс диффузии платежеспо-
платежеспособного спроса на потребительские товары и характеризует экономи-
экономическую среду со стороны потребительских свойств выпускаемых по
различным технологиям товаров, их качества, престижности и моды
на эти товары.
Предположение 3. Стоимость приобретенных на рынке потре-
потребительских товаров пропорциональна как стоимости товарного капи-
капитала, так и платежеспособному спросу на потребительские товары
R = PYD. E.24)
Предположение 4. Денежные средства G, являющиеся источни-
источником формирования платежеспособного спроса государства, являются
частью всех средств, вырученных предпринимателями от продажи по-
потребительских товаров (налоги, акцизы, пошлины и т.д.)
G = SR. E.25)
Так как CL < A - S)R, тоО<6<60<1.
Предположение 5. Денежные средства Ск, являющиеся источ-
источником формирования платежеспособного спроса предпринимателей,
составляют часть прибавочной стоимости, полученной в процессе про-
производства и оставшейся после расчетов с государством
Ск = еA - 6)иСт, е<1. E.26)
Полагая в E.26) сг = бA — 5) и 5 = 6, получим С к == аиСту где
и < 1 - 6.
Наконец, в уравнения E.20) - E.26) удобно ввести величины, ха-
характеризующие органическое 7 = К/Нч производительное в = Ст/М
и товарное r\ — Y/M строение капитала. С учетом этих предположе-
260 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
ний система E.20) примет вид:
= —div(Ki(c, K,u)gra,du)
вA -о\1
= dlv
0A - а)Ки PStjKD
77'
dD(t,c)
=
авКи /3A- S)rjKD
Ь1 + 0 + т7 1 + 0 + 77
du(t,c)
Отметим, что система уравнений E.27) является частным случа-
случаем систем с многокомпонентной диффузией, где активатором - пе-
переменной, по которой осуществляется положительная обратная связь,
является капитал, а ингибитором - переменной, подавляющей про-
процесс нарастания капитала - платежеспособный спрос населения. При-
Причем, процесс взаимодействия активатора и ингибитора происходит
под управлением еще одной переменной - нормы прибыли, а коэф-
коэффициенты диффузии в общем случае нелинейно зависят от свойств
экономической среды. Это позволяет предположить существование у
системы E.27) сложных нелинейных структур, таких как предельные
циклы, торы, автоволны, диссипативные структуры. Наличие трех
уравнений дает основание для существования в системе хаотических
режимов поведения и диффузионного хаоса.
Введем новые переменные
1+0 + 77 WV Ш
и, положив в общем случае v = /x, сведем систему E.27) к виду:
= -div(di(c,x,2)grack) + te((l - а)г - 8у),
, с) =
, г/, z)gradz) + х{\ - A - 8)у + az), E.28)
= а(у -dx),
(i + e + T,)(i+iya-pri'd- Ze ¦ E-29)
5.4. ЦИКЛЫ И ХАОС В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 261
Аналогично система E.21), описывающая изменение макроэконо-
макроэкономических показателей, в предположениях 1-5 может быть сведена к
виду
x(t)=bx((l-a)z-6y),
y(t)=x(l-(l-S)y + <rz), E.30)
z(t) =a(y- dx).
5.4.2. Исследование поведения макроэкономических пока-
показателей. В данном разделе мы остановимся на исследовании системы
обыкновенных дифференциальных уравнений E.30), являющейся пер-
первой системой, решения которой, с одной стороны, имеют хаотическое
поведение, а с другой - наглядную экономическую интерпретацию.
Фиксируем параметры 7> #> V, определяющие соответственно органи-
органическое, производительное и товарное строение капитала, а также па-
параметры а, /? и а>. Положим, например, 7 = 1> # = 12, г] = 2, /3 =
= ба/7, w = 1h рассмотрим влияние двух параметров а и 8 на ка-
качественное поведение решений системы E.30) при фиксированных
значениях остальных трех параметров: а = 7, Ь = 0.4, d = 1.17. За-
Заметим, что при всех значениях параметров а и <5, удовлетворяющих
соотношению а < 1 — 6, система E.30) имеет стационарное решение
(неподвижную точку) с положительными координатами
Тогда собственные значения матрицы Якоби правой части системы
E.30)
/ 6(A - a)z - 6у) -Ъ8х 6A - а)х\
J(x,y,z)= [l-(l-6)y + az -(l-J)z ax ,
\ -ad a 0 /
вычисленные в точке О*, удовлетворяют характеристическому урав-
уравнению
Л3 + A - 6)х*\2 + ax*(bd(l -а)- а)Х + аЬ{1 - а)х* = 0. E.32)
Используя условия Рауса-Гурвица
A - 5)х* > 0, ах*2A - S)(bd(l - а) - а) > аЪх*{1 - а) > 0,
определяющие устойчивость многочлена E.32), найдем область устой-
устойчивости G8 точки О*, в которой все три корня характеристи-
характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части: G8 =
= G[ U <?5, где Gf = {<7|<т < 0} П {(b,d,J)|bd < A - *)/*} G|
262
ГЛАВА б. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
= {<г|<7 > 0} П {F,йу8)\Ьй > A - 8)/6}. Оставшаяся часть области
параметров {(а,6)\<т < 1 - ?, 0 < S < 60 < 1} является областью
неустойчивости Gu точки О* и состоит также из двух подобластей:
Gu = Gy U G%, где G? = {<т\ст < 0} П {(b,d,«)|M > A - S)/S}) G\ =
= {а\а > 0} П {(b,d,*)|M < A - <5)/<5}. Области G* и Gu плоскости
параметров (ст, J) показаны на рис. 5.6, где A — 6*)/6* = 6d = 0.468 и,
следовательно, 6* » 0.681, a Jo = 0.8.
Рис. 5.6. Области устойчивости (GJ и
неподвижной точки О* системы E.30).
и неустойчивости (<?" и
Рассмотрим несколько наиболее естественных и интересных сце-
сценариев экономического развития при изменении параметров а и S.
Сценарий 1: а < 0. Этот сценарий соответствует государству
с чрезвычайно сильной командно-административной системой упра-
управления экономикой, когда государственные органы заставляют пред-
предпринимателей всю полученную ими прибыль отдавать государству.
Если "давление" государства на бизнес велико F > J*, E, a) G G]1),
то такая экономика может существовать некоторое время с низкими
уровнями капитализации и потребления, а затем разрушается путем
уменьшения до нуля платежеспособного спроса населения (рис. 5.7а).
При уменьшении 6 и при неизменном значении а = — 1 происхо-
происходит переход в пространстве параметров из области G" в G\ и при
S < 6* неподвижная точка О* системы E.30) становится устойчивой
неподвижной точкой (фокусом), окруженной неустойчивым седловым
циклом. Это значит, что при уменьшении "давления" государства на
бизнес командно-административная экономика может существовать в
практически стационарном (по существу, застойном) состоянии с низ-
низким уровнем капитализации и потребления, не разрушаясь при этом
длительное время (рис. 5.7 б).
5.4. ЦИКЛЫ И ХАОС В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
263
У
3.2
2.4
1.6
0.8
0
а
0.8 1.6 2.4 3.2 х
У
3.2
2.4
1.6
0.8
0
б
0.8 1.6 2.4 х
Рис. 5.7. Проекция на плоскость (ж, у) - (капитал, платежеспособный спрос)
решения системы E.30) при 8 = 0.7 и сг = — 1 (а) и при 8 = 0.65 и а = — 1
(б).
Сценарий 2: 5 < 8*. Рассмотренный выше случай а < 0 со-
соответствует чрезмерно сильному командно-административному сти-
стилю управления экономикой. При переходе параметра а через границу
а = 0 из области GJ в область параметров G? происходит бифурка-
бифуркация жесткой смены устойчивости неподвижной точки и окружающе-
окружающего ее предельного цикла: точка О* становится неустойчивой, а цикл
- устойчивым. Математически эта бифуркация связана с переходом
двух комплексно-сопряженных корней характеристического уравне-
уравнения E.30) через мнимую ось слева направо. Третий корень имеет при
этом отрицательную вещественную часть. Действительно, при а = 0
характеристическое уравнение E.32) принимает вид
(\ + (l-8)x*)(\2+abdx*) = 0
и, следовательно, имеет корни
Ai>2 = ±iVabdx*, A3 = -A - 5)х* = -
0.
Дифференцируя характеристическое уравнение E.32) по параметру
а, найдем, что
Re
d\(a)
aS
<r=0
A=Ai
2A -
-6)х 5
так как A - 8)/8 > bd при значениях 8 < 8*.
Заметим, что выполнение перечисленных выше условий недоста-
недостаточно для того, чтобы в системе произошла бифуркация Андронова-
Хопфа - бифуркация "мягкого" рождения предельного цикла из устой-
устойчивой неподвижной точки [45, 46]. Достаточным является выполнение
еще и дополнительного условия, состоящего в том, что при а = 0 непо-
неподвижная точка О* должна оставаться устойчивым фокусом. В нашем
же случае при а = 0 точка О* является центром.
264
ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
С экономической точки зрения данная бифуркация осуществляет
переход от экономики с административно-комалдным стилем управле-
управления к экономике рыночного типа. При а > 0 появляется относительно
независимый от государства класс предпринимателей, которые мо-
могут позволить себе тратить полученную ими прибыль по своему усмо-
усмотрению в том числе и на личное потребление. Развитие такой эко-
экономики в рассматриваемом нами случае (S < 5*) может происходить
исключительно циклическим образом. При этом сложность периоди-
периодических колебаний капитала и платежеспособного спроса возрастает с
увеличением а (при фиксированном 6) вплоть до появления хаотиче-
хаотических колебаний, а при фиксированном значении а с ростом величины
параметра S вид колебаний становится более простым. Примечатель-
Примечательным является тот факт, что при каждом значении S < ?* всегда най-
найдется значение а < 1 — S такое, что экономика будет со временем
разрушаться в результате глобального кризиса, сопровождающегося
уменьшением вплоть до нуля и капитала и платежеспособного спроса
населения. Например, при значении S = 0.4 в модели E.30) суще-
существует единственный устойчивый цикл при 0 < а < 0.05 (рис. 5.8 а),
который разрушается при а > 0.05. При значении S = 0.65 с ростом
Рис. 5.8. Цикличность экономики при 6 = 0.4 и а = 0.05 (а) и при 5 = 0.65
и а = 0.266 (б).
а в модели E.30) реализуется субгармонический каскад бифуркаций
перехода к хаосу. Так при а = 0.266 возникает цикл удвоенного пе-
периода (рис. 5.86), при а = 0.275 - цикл учетверенного периода (рис.
5.9а), при а = 0.278 - аттрактор Фейгенбаума, завершающий беско-
бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода (рис. 5.96). При значе-
значении а = 0.2802 возникает цикл периода 5 (рис. 5.10а), а за ним сле-
следует очередной каскад бифуркаций удвоения периода, после чего при
значении а = 0.284 рождается символический цикл периода 3 (рис.
5.106), наличие которого свидетельствует, согласно теореме Шарков-
ского (см. главу 4), о существовании в системе E.30) циклов любого
периода. При значениях а > 0.284 отмечается разрушение цикличе-
циклического поведения в экономической системе и ее распад.
Приведенные результаты свидетельствуют о том, что неконтроли-
5.4. ЦИКЛЫ И ХАОС В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
265
руемый рост личного потребления предпринимателей, которому в мо-
модели E.30) соответствует увеличение параметра а, неминуемо ведет
к хаосу в экономике и в конечном итоге к ее разрушению. Наглядной
иллюстрацией к полученным строгим математическим результатам
являются, с одной стороны, тяжелые последствия десятилетнего пе-
периода "дикого" капитализма в России вследствие непродуманных ре-
реформ Ельцина-Гайдара, с другой стороны - успехи экономики Китал,
где рыночные отношения в тот же период развивались под контролем
и управлением государства.
Рис. 5.9. Проекция на плоскость (я, у) цикла периода четыре при E = 0.65,
<т = 0.276 (а) и нерегулярного аттрактора при 6 = 0.65 и а = 0.278 (б).
Рис. 5.10. Проекция на плоскость (я, у) цикла периода пять при 6 = 0.65,
с = 0.2802 (а) и цикла периода три при 5 = 0.65 и а = 0.284 (б).
Сценарий 3: а > 0. Как уже было отмечено выше, при фикси-
фиксированном значении о сложность периодических колебаний капитала
и платежеспособного спроса убывает с ростом величины параметра
S и возрастает при ее уменьшении. Поэтому при малых значениях S
экономика также разрушается, как и при больших значениях а. Если
взять, например, а = 0.284, то при всех значениях параметра 5 < 0.65
экономика разрушается в результате глобального кризиса. При значе-
значении 5 = 0.65, как уже отмечалось выше, в системе E.30) существует
266
ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
цикл периода 3 (рис. 5.106), а при значениях 8 > 0.65 имеет место
каскад бифуркаций, обратный тому, что был описан в сценарии 2, а
именно: сначала возникает хаос, затем при 8 == 0.656 — цикл периода
4, при значении 8 = 0.657 — цикл периода 2 и, наконец, при значении
8 = 0.662 решением системы E.30) является простой устойчивый пре-
предельный цикл (рис. 5.11а). Когда величина параметра 8 возрастает
до значения 8* =0.681, этот предельный цикл стягивается в точ-
точку и исчезает в результате обратной бифуркации Андронова-Хопфа
(рис. 5.116).
Последний сценарий позволяет сделать второй важный вывод о
том, что более высокий платежеспособный спрос государства на по-
потребительские товары обеспечивает и более устойчивое развитие ры-
рыночной экономики, ее меньшую подверженность различным кризис-
кризисным явлениям. Напротив, малый платежеспособный спрос государ-
государства разрушает экономическую систему. Иллюстрацией к сформули-
сформулированному строгому математическому выводу является с одной сто-
стороны кризис и банкротство многих российских предприятий, не обес-
обеспеченных заказами, а сдругой стороны решения президента Дж. Бу-
Буша о выходе из договора по ПРО и о начале войны в Ираке, продик-
продиктованные чисто экономическими соображениями — необходимостью
обеспечить государственными заказами оказавшуюся в кризисе эко-
экономику США.
Рис. 5.11. Проекция на плоскость (ж, у) предельного цикла при 8 = 0.662 и
а = 0.284 (а) и неподвижной точки при 8 = 6* = 0.681, а — 0.284 (б).
Этот же вывод, как видно из модели E.30), относится и к плате-
платежеспособному спросу трудящихся, который определяется в основном
их заработной платой и характеризуется коэффициентом 7? отража-
отражающим органическое строение капитала. Таким образом, некоррект-
некорректными являются утверждения том, что трудящиеся смогут получать
достойную зарплату только тогда, когда экономика по-настоящему
заработает. Дело обстоит как раз наоборот: экономика заработает
по-настоящему тогда и только тогда, когда люди начнут получать
достойную зарплату и тем самым обеспечат устойчивый платежеспо-
платежеспособный спрос на потребительские товары, ею производимые.
5.4. ЦИКЛЫ И ХАОС В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 267
5.4.3. Некоторые аспекты поведения экономических
показателей при наличии диффузии капитала и
платежеспособного спроса
Рассмотрим вторую краевую задачу на отрезке для системы урав-
уравнений E.28) с постоянными положительными коэффициентами диф-
диффузии капитала и платежеспособного спроса при а > 0:
dz{t,c) , . ч
at =a(y-dx)>
0<с</, 0<*<оо,
я@,с) = жо(с), 2/@,с) = 2/о(с), *@,с) = zo(c),
dx(t,O) = ftcft,Q = fyft,0) = fly ft, 0 =
= = =
дс дс дс дс
5с 9с
Очевидно, что любое устойчивое решение системы обыкновенных
дифференциальных уравнений E.30), найденное в предыдущем раз-
разделе и продолженное однородно на весь отрезок [0, Z], будет являться
устойчивым решением и краевой задачи E.33) при однородных на-
начальных условиях. В таком случае естественно возникает вопрос об
устойчивости этих решений относительно малых пространственных
возмущений однородных начальных условий.
Начнем с анализа устойчивости термодинамической ветви систе-
системы E.33), которая является однородным и стационарным решением
я(?,с) = ж*, t/ft,с) = у*, г(?,с) = z* этой системы. Линеаризуем зада-
задачу E.33) в окрестности термодинамической ветви, положив
u(t,c) = (ui,ti2,tt3)T = (жft,с) -ж*,j/ft,с) -!/*,*(*,с) -z*)T.
Тогда
u Щ
где оператор L имеет вид
0 -Ых* ЪA-а)х*\ /0 0 -<1Л д2
0 -(l-<J)a;* ах* 1 + 10 0 Ч кг.
-ad a 0 ) VO 0 0 ) д<?
268
ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
Так как оператор ttt c краевыми условиями второго рода на отрезке
дс
2 2
7Г П
[0,1] имеет собственные значения i/n = —-j—, n = 0,1,..., то, рас-
раскладывая собственные функции оператора L по собственным функ-
ТГТЬ 9
циям cos—с оператора -^-т, получим, что собственными значениями
Ап оператора L являются собственные значения матриц
/
0
-Ъбх* 6A - а)х*
0 _(l-J)s»
—(Хи, Q,
7Г2П2
/
которые удовлетворяют характеристическим уравнениям
A34-(l~E)x*A2+a[bdx*(l-cr)-cra;* + (^i-d2)^-]A+
2 2
=0, n = 0,l,.... E.34)
Выпишем условия Рауса-Гурвица устойчивости характеристических
уравнений E.34)
A - 8)х* > 0,
A — 5)х*а\bdx*(l - а) — ах* + (ddi - c^)—^
ox*
2 2
2 2
]
arc* [b(l -&) + d((l - J)d! - bSd2)^~] > 0, n = 0,1,....
Первое условие всегда выполнено, так как аг* > 0, 6 < 1, Второе
условие может быть записано в виде
ах* [ftaVA - сг)A - 8) - стх*A -6)- 6A - а)+
2 2
ИЛИ
5.4. ЦИКЛЫ И ХАОС В ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 269
Таким образом, второе условие выполнено при всех п > О в области
S > S* и не выполнено ни при каких п в области S < 5*.
Третье условие выполнено при всех п только в случае
A - <J)dx - Ш2 > 0. E.36)
В противном случае всегда найдется номер п такой, что третье усло-
условие не будет выполнено. Условие E.36) можно записать в виде
^ = ^. E.37)
п2
bd<k^
О 2
Следовательно, в области 5 < 5* термодинамическая ветвь задачи
E.33) всегда неустойчива, а в области S > 5* она устойчива только в
случае к > 1 или d\ > difd.
Так как в области S > 5* задача E.33) не имеет никаких дру-
других однородных решений, кроме термодинамической ветви, то боль-
большая инерционность, "неповоротливость" капитала, его медленное дви-
движение по технологическому пространству вследствие несовершенного
законодательства, криминализации бизнеса, трудностей с получени-
получением кредитов и других причин приводят к неустойчивости экономиче-
экономической системы и к ее разрушению при значениях 8 > 5*. При значениях
S < S* в задаче E.33) кроме неустойчивой термодинамической ветви
существуют и другие однородные периодические по времени или ха-
хаотические решения (см. рис. 5.8-5.10), анализ устойчивости которых
относительно малых пространственных возмущений является слож-
сложной малоизученной математической проблемой. Численные расчеты,
однако, показывают, что по крайней мере некоторые из этих решений
(циклы при S < 5*), являясь неустойчивыми по отношению к малым
пространственным возмущениям при d\ < cfe/d, остаются устойчивы-
устойчивыми к ним при d\ > cfe/d-
Проведенный выше математический анализ позволяет сделать тре-
третий важный вывод о том, что инерционность капитала, его непово-
неповоротливость также неминуемо приводит к разрушению экономической
системы. Другими словами, капитал должен не только находиться в
движении, но еще и достаточно быстро реагировать на все измене-
изменения платежеспособного спроса на различные потребительские това-
товары, производимые экономической системой.
Таким образом, из анализа уравнений модели следуют важные вы-
выводы о том, что:
а) неконтролируемый рост личного потребления предпринимате-
предпринимателей неминуемо ведет к хаосу в экономике и, в конечном счете, к ее
разрушению;
б) малый платежеспособный спрос со стороны государства (го-
(государственные заказы, государственная поддержка бизнеса и т.д.) и
трудящихся (заработная плата) также неминуемо ведет к хаосу в эко-
экономике и к ее разрушению;
270 ГЛАВА 5. ХАОС В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ
в) инерционность капитала, его медленное реагирование на изме-
изменения нормы прибыли и платежеспособного спроса также делает эко-
экономическую систему неустойчивой и в конечном итоге ведет к ее раз-
разрушению.
В заключение отметим еще одно важное направление в изучении
поведения решений системы E.33) — исследование бегущих волн, свя-
связанных с перераспределением капитала и платежеспособного спроса
в пространстве технологий. Первые результаты численных экспери-
экспериментов, подтверждающие существование таких волн в системе E.33),
приведены в работе [102].
Дальнейшие исследования решений полученной системы уравнений
в более общих случаях, учитывающих многомерное пространственное
распределение переменных и отличные от постоянных коэффициенты
диффузии капитала и платежеспособного спроса, несомненно приве-
приведут и к другим интересным результатам, важным р,ля понимания как
общих законов эволюции экономических систем, так и происходящих
в них хаотических процессов.
Глава 6. Управление хаосом в системах
дифференциальных уравнений
Присутствие хаоса является неотъемлемой частью большинства
нелинейных динамических систем, описывающих достаточно слож-
сложные физические, химические, биологические и социальные процессы
и явления. Хаотические системы характеризуются повышенной чув-
чувствительностью к малым возмущениям системных параметров и на-
начальных условий, вследствие чего в течение многих лет поведение та-
таких систем считалось непредсказуемым и неуправляемым. Существо-
Существовало мнение, что достигнуть желаемого поведения системы можно
только подавив в ней хаос пусть даже большими и дорогостоящими
изменениями в самой системе, ведущими к изменению ее динамики
в целом. Поставленная задача сводилась к выбору управляющих воз-
воздействий либо в разомкнутой форме (программное управление), либо
в виде обратной связи по состоянию или выходу с целью приведения
решения системы к заданному периодическому виду или с целью син-
синхронизации решения системы с решением некоторой другой системы,
обладающей нужными регулярными свойствами (см. многочисленные
ссылки в [103] и в обзорах [104-105]). Другими словами, решалась за-
задача стабилизации заданной или желаемой траектории в системе с
хаотическим поведением.
Однако в последние годы пришло понимание особой роли хаоса в
самоорганизации различных природных явлений [11-16,103-108]. Бы-
Было осознано, что хаос не только не мешает, а скорее является непре-
непременным условием работоспособности сложных систем, таких, напри-
например, как человеческий мозг [107-109]. Только благодаря наличию хао-
хаотического аттрактора, содержащего, как правило, бесконечное число
неустойчивых периодических траекторий (циклов), можно добиться
качественного изменения динамики системы (переходя из окрестно-
окрестности одного цикла в окрестность другого) малыми возмущениями си-
системных параметров.
В связи с этим в проблеме управления хаосом естественным обра-
образом появилась задача стабилизации не априори заданных или желае-
желаемых траекторий хаотических динамических систем, а именно тех не-
неустойчивых периодических траекторий, бесконечное число которых
вплетено в паутину хаотического (нерегулярного) аттрактора. При-
Причем, какая-либо информация о положении этих траекторий в фазовом
пространстве, о периоде и амплитуде их колебаний практически от-
отсутствует. В настоящей главе рассмотрены методы решения именно
этой последней и наиболее интересной, с нашей точки зрения, задачи,
которая сводится к локализации (обнаружению) и стабилизации не-
неустойчивых периодических траекторий (в частности, стационарных
состояний) хаотических динамических систем (в том числе и хаоти-
хаотических отображений).
272 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
В п. 6.1 представлены наиболее известные и широко цитируемые в
современной литературе методы решения поставленной задачи. Это, в
первую очередь, OGY-метод, основанный на линеаризации отображе-
отображения Пуанкаре, и метод Пирагаса, опирающийся на построение обрат-
обратной связи с запаздыванием, близким к периоду существующего не-
неустойчивого периодического решения. В п. 6.2 изложен метод Маг-
Магницкого, заключающийся в построении обратной связи в расширен-
расширенном фазовом пространстве, т.е. в построении в пространстве боль-
большей размерности некоторой динамической системы, для которой ис-
искомая неустойчивая периодическая траектория исходной хаотической
системы является проекцией некоторой ее асимптотически (орбиталь-
но асимптотически) устойчивой периодической траектории. Область
применения последнего метода оказалась чрезвычайно широкой: ха-
хаотические отображения, хаотические динамические системы, описы-
описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, распреде-
распределенные хаотические динамические системы, динамические системы с
запаздывающим аргументом [110-115]. В п. 6.3 рассмотрена часто свя-
связанная с проблемой управления хаотическими системами задача ре-
реконструкции хаотической системы по траектории нерегулярного ат-
аттрактора.
6.1. Методы Отта-Гребоджи-Йорке и Пирагаса.
Метод Отта-Гребоджи-Йорке (OGY-метод), предложенный и раз-
развитый, в основном, в работах [116-117], заключается в стабилизации
неустойчивого периодического решения хаотической системы обык-
обыкновенных дифференциальных уравнений путем применения дискрет-
дискретных управляющих воздействий в виде обратной связи в некотором се-
сечении Пуанкаре в окрестности неподвижной точки отображения Пу-
Пуанкаре, соответствующей искомому циклу. Вид обратной связи опре-
определяется линеаризацией отображения Пуанкаре в неподвижной точке.
Метод, предложенный Пирагасом в [118], использует обратную связь
с запаздыванием, причем время запаздывания должно быть близким
к периоду искомого неустойчивого периодического решения.
6.1.1. OGY-метод. Рассмотрим гладкое семейство нелинейных
автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений
х = F(z,//), х € М С Rm, /i G L С 1*, F G C°°, F.1)
заданных в фазовом пространстве М гладкими векторными полями
F, зависящими от координат векторов системных параметров //, ле-
лежащих в области L пространства R*. Пусть неустойчивый предельный
цикл x*(t,ju*) является искомым решением семейства систем F.1), ко-
которое при том же значении параметра \х — ц* имеет регулярный или
сингулярный аттрактор. Построим сечение Пуанкаре 5, проходящее
6.1. МЕТОДЫ OGY И ПИРАГАСА273
через точку х0 = ж*@,//*) цикла ж* (?,//*) трансверсально к нему. Рас-
Рассмотрим управляемое отображение Пуанкаре х —> Р(ж,/х), в котором
Р(я, fi) есть точка первого возвращения на поверхность 5 траектории
системы F.1), начинающейся в точке х при значении вектора параме-
параметров //, являющегося в этом случае вектором управляющих параме-
параметров. (Для сложного цикла, имеющего несколько оборотов, необходи-
необходимо рассматривать соответствующую итерацию отображения). При-
Применяя последовательность таких управляемых отображений, получим
дискретную динамическую систему
zn+i=P(zn,//n), F.2)
где хп = x(tn), tn - момент времени n-го пересечения поверхности
5, a fin - значение вектора управляющих параметров на промежутке
между tn и tn+i.
Заменим теперь отображение F.2) близким к нему линеаризован-
линеаризованным в точке (xo,fJ>*) отображением
ЭР дР
уп+1 = Ауп + Вип, Л=— (а?о,м*), B = -q-(so,/0> F.3)
где уп = хп — хо, ип = /xn — fi*. Для линейной системы F.3) выберем
стабилизирующее управление ип в виде линейной обратной связи по
состоянию: ип = —Суп. Тогда из F.3) получим, что
уя+1 = {А - ВС)уп. F.4)
Таким образом, неподвижная точка хо отображения Пуанкаре и,
следовательно, искомый неустойчивый цикл ж*(^,/х*) системы F.1) бу-
будут стабилизированы, если определить матрицу С так, чтобы матри-
матрица (А — ВС) имела собственные значения по модулю меньше единицы.
Преимуществом OGY-метода является то, что стабилизация непо-
неподвижной точки отображения Пуанкаре и предельного цикла системы
дифференциальных уравнений достигается в нем малыми управляю-
управляющими воздействиями в дискретные моменты времени. Однако, боль-
большим недостатком является то, что неподвижная точка отображения
Пуанкаре неустойчива. Поэтому для применимости метода необходи-
необходимо не только точно знать матрицу А (что для систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений возможно только численно), но также и ее собственные
значения и собственные векторы, соответствующие устойчивому и не-
неустойчивому многообразиям неподвижной точки отображения Пуан-
Пуанкаре. Траекторию при этом необходимо на каждой итерации коррек-
корректировать в сторону устойчивого многообразия неподвижной точки.
Большой проблемой является также выбор начальной точки. В OGY-
методе неявно предполагается, что система F.1) имеет хаотический
аттрактор в том смысле, что он является замыканием всех содержа-
содержащихся в нем периодических траекторий, откуда следует, что любая
274 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
траектория с любым начальным условием со временем обязательно по-
попадет в некоторую малую окрестность искомого цикла. Но это далеко
не так. Многие сингулярные аттракторы, рассмотренные в настоящей
книге, этим свойством не обладают. Простейший пример — аттрак-
аттрактор Фейгенбаума, сосуществующий вместе с бесконечным числом не-
неустойчивых циклов и лежащий на конечном расстоянии от каждого
из них. Многочисленные ссылки на, работы, посвященные развитию
OGY-метода и различным его модификациям можно найти в обзорах
[104, 105].
6.1.2. Метод Пирагаса. Рассмотрим гладкое семейство нели-
нелинейных управляемых систем обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений
х € М С Rm, \х € L С !*, u G U С ln, F € С00, F.5)
зависящих от вектора управляющих параметров и. Пусть требуется
стабилизировать неустойчивый предельный цикл x*(t,(i*) периода Г,
являющийся решением системы семейства F.5) при и = 0 и \i = fi*.
Пусть при тех же значениях параметров и = 0 и ц = //* семейство
F.5) имеет регулярный или сингулярный аттрактор. Тогда задача
стабилизации цикла x*(t, ^*) может быть решена в некоторых случаях
выбором простого закона обратной связи с запаздыванием вида
u{t) = K(x{t)-x(t-T))> F.6)
где К — матрица коэффициентов передачи. Если начальное условие
х@) выбирать лежащим в достаточно малой окрестности орбиты ци-
цикла, то решение x(t) системы
x(t) = F(x(t), n*,K(x(t) - *(* - Г))) F.7)
с обратной связью F.6) при \i = fi* может сходиться к искомому не-
неустойчивому ЦИКЛу X*(tjfi*).
Аналитическое исследование асимптотических свойств решений за-
замкнутой системы F.7) является довольно трудной задачей. Поэтому
до недавнего времени были известны исключительно численные и экс-
экспериментальные результаты, относящиеся к свойствам и области при-
применимости метода Пирагаса (см. литературу в обзоре [105]). Пробле-
Проблема нахождения достаточных условий, гарантирующих применимость
метода, до сих пор остается нерешенной. Кроме того, большим не-
недостатком закона управления F.6) является его чувствительность к
выбору времени запаздывания. Так что, если период Т искомого ци-
цикла заранее неизвестен, а именно эта ситуация типична для хаотиче-
хаотических систем дифференциальных уравнений, то получить требуемую
сходимость можно только в исключительных случаях, удачно оценив
величину периода какими-либо эвристическими методами.
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО 275
6.2. Метод Магницкого.
Рассмотрим подробно метод Магницкого локализации и стаби-
стабилизации неустойчивых особых точек и периодических решений ха-
хаотических систем дифференциальных уравнений и дискретных ха-
хаотических динамических систем, предложенный в работах [119-122]
и развитый затем в [110- 115, 123]. Метод основан на построении
координатно-параметрической обратной связи в расширенном про-
пространстве, что делает возможным поиск устойчивых (в отличие от
OGY-метода) неподвижных точек или асимптотически орбитально
устойчивых (в отличие от метода Пирагаса) периодических траекто-
траекторий. Кроме того метод не имеет проблем с выбором начального при-
приближения и, в отличие от OGY-метода и метода Пирагаса, применим
к хаотическим системам дифференциальных уравнений и в случае от-
отсутствия какой-либо информации о величине периода и положении ис-
искомого неустойчивого цикла в фазовом пространстве. Областью при-
применимости метода являются хаотические отображения, хаотические
системы обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в
частных производных, а также уравнения с запаздывающим аргумен-
аргументом. Все алгоритмы применимости метода теоретически обоснованы
и аналитически доказаны.
6.2.1. Локализация и стабилизация неустойчивых непо-
неподвижных точек и циклов хаотических отображений. Рассмо-
Рассмотрим семейство га-мерных нелинейных гладких отображений
zn+i=F(zn,n), z€Rm, F.8)
где /л — скалярный параметр, jF — гладкая по совокупности перемен-
переменных векторная функция. Пусть точки z*([i), zZifJ*), • •., 2*(аО являются
А-периодическими точками отображения F.8), для которых имеет
место
При к = 1 точка z*(/jl) является неподвижной точкой отображе-
отображения F.8). Обычно существует критическое значение ji\ системного
параметра такое, что цикл F.9) является устойчивой периодической
траекторией отображения F.8) в области /х < /х?, а в области /х > /х^
цикл F.9) является неустойчивой периодической траекторией ото-
отображения F.8), которое имеет в этом случае другие регулярные или
нерегулярные аттракторы. Задача состоит в том, чтобы локализовать
(определить местоположение) и стабилизировать неустойчивую пери-
периодическую траекторию F.9) отображения F.8) в области /х > /х^ ма-
малыми возмущениями системного параметра /х. Заметим, что каждая
точка гг*(//), г = 1,... ,&, цикла F.9) является устойчивой непо-
неподвижной точкой отображения Fk в области ц < /х?. Однако в области
276 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
\х > fx% каждая точка z*(fj) является неустойчивой неподвижной точ-
точкой отображения Fk.
Рассмотрим (т + 1)-мерное отображение
zn+1 = Fk{zn,ii) +e{qn -/х),
@.10)
?n+i = Q(zn, /x) -f 0(qn - /x) + /x,
где e € !m, p e R, <2«(/x),/x) =0, i = l,...,fc. Ясно, что если
цикл F.9) является периодической траекторией отображения F.8),
то каждая точка (z*(fj), /х), г = 1,..., к, является неподвижной точкой
отображения F.10). Вычислим матрицу Якоби отображения F.10) в
точке (г?(/х),/4
Все собственные значения матрицы J(/x) в точке nl равны нулю тогда
и только тогда, когда
F.11)
где Jh(ijl) есть г-й главный минор порядка I матрицы «/(//). Поэто-
Поэтому значения управляющих параметров /3 и г = (ei,.. .,em)T в F.10)
должны удовлетворять системе из т + 1 линейных уравнений F.11).
В частности, очевидно, что один из управляющих параметров /? ото-
отображения F.10) может быть вычислен непосредственно из первого
уравнения tr J(/z?) = 0 системы F.11)
Таким образом, исходя из гладкости отображения F, можно утвер-
утверждать, что если система F.11) имеет решение, то существует область
Л ^ Iх 5: Л\ такая, что для каждого /л G [/4>/4i] абсолютные величи-
величины всех собственных значений матрицы J(fj) будут меньше единицы*
Отсюда вытекает
Теорема 6.1. Если определитель D системы линейных уравне-
уравнений F.11) не равен кулю, тогда существует значение ii*kl > fil си-
системного параметра такое, что для каждого /х G (/i^A^il точка
(^(аО)/*) является асимптотически устойчивой неподвижной точ-
точкой отображения F.10) и она может быть локализована и стабили-
стабилизирована в области /i E [mJ,/^] с помощью итерационного процесса
F.10) с начальными условиями qo = /x, zq = z*{ii*k). Любая другая
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО 277
к-периодическал точка 2?(/х), j ф г отображения F.8) также мо-
может быть локализована и стабилизирована в области /л Е [д?, /^J с
помощью уравнений F.9).
Используя значение ц*к1 в качестве нового критического значения
системного параметра и вычисляя новую матрицу Якоби «/(ju^), мож-
можно скорректировать значения управляющих параметров ei, ..., em, /?
в F.10) и вновь локализовать и стабилизировать точку z*(fj) цикла
F.9) в новой области \i € [A*2i»/*Ja]* Этот процесс может быть продол-
продолжен на весь интервал существования периодической траектории F.9)
отображения F.8).
Отображение Q{z,\x) в F.10) можно выбрать, в частности, в виде
где параметры а,, г = 1,.. .,га, выбираются равными нулю или еди-
единице с тем, чтобы обеспечить выполнение условия D ф 0 для опреде-
определителя D линейной системы F.11).
Общий подход, изложенный выше, может быть конкретизирован в
случае, когда отображение F в F.8) является одно- или двумерным.
Теорема 6.2. Пусть z*(/jl) — к-периодическая точка одномер-
одномерного хаотического отображения F.8) и пусть f*l — критическое
значение системного параметра такое, что
Тогда существует ц*к1 > р\ такое, что для любого \х € [/х|
точка (я*(/О>аО является асимптотически устойчивой неподвиж-
неподвижной точкой двумерного отображения
= Fk(zn,ii)+e(qn-ii),
= Fk(zn, ц) - zn + p{qn - /х) + [i,
где 13 =-и, e = v2/(l-v).
Заметим, что величина
является одной и той же для всех точек z*(/i) цикла F.9) отображения
F.8).
Рассмотрим в качестве примера логистическое отображение
zn+x = nzn(l - zn), 3 < \х < 4. F.13)
Неподвижная точка **(^) = 1 - 1/^х отображения F.13) является не-
неустойчивой стационарной точкой в области /л > fi* =3. Более того,
278
ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
если // > 3.57, то отображение F.13) имеет хаотическое поведение.
Численные эксперименты показали, что можно локализовать и стаби-
стабилизировать неподвижную точку z*(ii) отображения F.13) на интер-
интервале 3 < ц, < 3.6 итерационным процессом F.12) с /? = — Fz = 1 и
6 = 0.5, вычисленными в точке /л* = 3. Затем можно локализовать
и стабилизировать неподвижную точку на интервале 3.6 < fi < 4.25
параметрами /? = 1.6и?=1, вычисленными в точке fi{ = 3.6.
Рис. 6.1. Бифуркационная диаграмма логистического отображения F.13)
и стабилизирующей его системы F.12) при к = 1(а) и при к = 2F). Точки
Л,В,С соответствуют бифуркациям удвоения периода отображения F.13),
а точки D,E — бифуркациям удвоения периода стабилизирующего отобра-
отображения F.12). Участки траектории A — DvlD — E получены соответственно
при первой и второй итерациях процесса стабилизации отображения F.12)
соответственно на интервалах 3 < д < 3.6 и 3.6 < /i < 4.25.
На последнем интервале отображение F.13) имеет хаотическое по-
поведение. На рис. 6.1а изображены бифуркационная диаграмма урав-
уравнения F.13) и системы F.12) в случае к = 1 при выборе отмеченных
выше двух наборов управляющих параметров /? и е.
Точки
F.14)
являются точками неустойчивого цикла периода 2 отображения F.13)
при ii > /i* = 1 + \/б-
Численные эксперименты показали, что можно локализовать и ста-
стабилизировать двукратный цикл F.14) отображения F.13) на интер-
интервале /х* < /i < 3.58 с помощью итераций F.12) при к = 2с /3 = — */ = 1,
е = 0.5, вычисленными в точке //* (рис. 6.16). Напомним, что отобра-
отображение F.13) имеет хаотическое поведение вблизи правого конца этого
интервала (при /л > 3.57).
Стабилизация изложенным методом не}гстойчивых циклов логисти-
логистического отображения большого периода проведена в работе [124]. В
работе [125] метод применен для поиска и стабилизации неустойчивых
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО 279
циклов системы Лоренца, лежащих в окрестности петли сепаратрисы
седло-узла (гомоклинической бабочки), а в работе [126] — для поиска
и стабилизации седловых циклов в системе Лоренца и в системе Чуа.
Теорема 6.3. Пусть (#*0и),2/*(^))—к-периодическая точка дву-
двумерного хаотического отображения F.8) с F =
пусть //J — критическое значение системного параметра такое,
что определитель
D = [а*/*, - ага2(^х - /*,) - a*/*J(l - trJo + det Jo) ф О,
где Jo = DzFk — матрица Якоби отображения F*, а fkx, /*у, Jkx^
f?y — частные производные отображения Fk = (Z*,/*O в точке
(xi(Mfc)> Vii^k))- Тогда существует }i*kl > fi*k такое) что для лю-
любого fi 6 [fik, fill] точка (х*(ц), 2/*(^), /i) является асимптотически
устойчивой неподвижной точкой трехмерного отображения
Я+1 =/i
- xn] + а2[/2л - yn) + ^(gn - /i) -f M,
г<?е /? = -trJo»
o2(trJ0 - l)]trJ0 det Jo
^ + a2 det Jo)[det Jo -
?2 = {[02/2* - fli/2fcy + «1 (tr^o ~ l)]tr Jo det Jo
+ ML - aif2y + ai det J0)[det Jo -
Равенство с = 1 — tr Jo + det Jo = 0 означает, что одно или два соб-
собственных значения матрицы Якоби отображения Fk равны +1 в точке
/i = ц*. Если с ф 0 и ffy ф 0 или /?. ^ 0, то можно выбрать в ото-
отображении F.15) ai = 1, О2 = 0 или а\ =0, а2 = 1, соответственно.
Если с ф 0 и fiy = fkx = 0, а /?. ^ /гу, тогда можно взять в F.15)
й\ = а2 = 1.
В качестве примера рассмотрим отображение Хенона
Неподвижная точка x*(fi) = у*(/х) = -0.35 4- >/0.1225 + /i отображе-
отображения F.16) является неустойчивой стационарной точкой в области
280 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
fi > ц* = 0.3675. При fi = fjL* ни одно из собственных значений Яко-
Якобиана отображения F.16) не равно -Ы, а так как к = 1 и $2х = 1, то
можно положить в F.15) а\ =0, аг = 1.
Отображение F.16) получается из отображения A.7) главы 1 за-
заменой ахп -+ хп; ayn/b -> j/n; a -> /х. Поэтому, как отмечено в гла-
главе 1, при \i = 1.4 оно имеет странный хаотический аттрактор. Чи-
Численный эксперимент показал, что, используя итерационный процесс
F.15), можно локализовать и стабилизировать неподвижную точку
(x*(fi), у*(/л)) отображения F.16) на интервале /i* < /i < 0.75 при
Рис. 6.2. Двумерная бифуркационная диаграмма отображения Хенона
F.16) и стабилизирующей его системы F.15). В точках а, Ь) с наблюдают-
наблюдаются бифуркации удвоения периода отображения F.16), а в точках с?, е, / —
бифуркации удвоения периода стабилизирующего отображения F.15).
/3 = 0.7, е\ = -0.376, €2 = 0.414, вычисленных в точке /z*. Затем с
помощью итерационного процесса F.15) можно стабилизировать не-
неподвижную точку отображения F.16) на интервале 0.75 < /х < 1.1 с
новыми управляющими параметрами /3 = 1.168, е\ = -0.964, e<i = 0.7,
вычисленными в точке /л* = 0.75. Наконец, можно локализовать и ста-
стабилизировать неподвижную точку (ж*(/х), 2/*(м)) отображения Хенона
F.16) на интервале 1.1 < /х < 1.43, используя итерационный процесс
F.15) с новыми управляющими параметрами /3 = 1.512, е\ = -1.622,
?2 = 0.96, вычисленными в точке [i\ = 1.1. Последний интервал содер-
содержит значение /л = 1.4 параметра системы, при котором отображение
Хенона имеет хорошо известный странный аттрактор (см., например,
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО 281
главу 1, а также [11, 15, 127]). На рис. 6.2 изображена двумерная
бифуркационная диаграмма отображения Хенона F.16) и стабилизи-
стабилизирующей его системы F.15) при к = 1.
Точки
х\ = 0.35 + у> - 0.3675, у{ = 0.35 - yj\i - 0.3675,
х\ = 0.35 - y/fji - 0.3675, 2/J = 0.35 + у7* - 0.3675
F.17)
образуют неустойчивый цикл периода 2 отображения Хенона в обла-
области [х > ц* = 0.9125. Если /z = /z*, то ни одно из собственных значений
Якобиана отображения F2 не равно 4-1. Так как /|х ф 0, то можно по-
положить в F.15) при к = 2 значения ai =0, аг = 1.
Численные эксперименты показали, что можно локализо-
локализовать и стабилизировать цикл F.17) отображения F.16) в интервале
pf < ц < 0.97 итерациями F.15) при значениях управляющих параме-
параметров /?, ?i, ?2, вычисленных в точке /z*. Аналогично можно стабили-
стабилизировать цикл F.17) отображения F.16) в интервале 0.97 < /л < 1.1
итерациями F.15) с новыми значениями управляющих параметров /?,
Si, 62f вычисленными в точке /zj = 0.97. Последний интервал содержит
значения параметра //, при которых отображение Хенона уже имеет
странный аттрактор.
Интересной иллюстрацией к излагаемому методу может служить
пример стабилизации неподвижной точки в упрощенной двумерной
модели газа Лоренца. Эта модель описывает траекторию материаль-
материальной точки при упругих столкновениях с неподвижными дисками и
является частным случаем рассевающего биллиарда Синая [128-129].
В биллиарде Синая близкие вначале траектории с течением времени
быстро расходятся, а угол между соседними траекториями первона-
первоначально параллельного пучка возрастает после каждого отражения от
границы. Поскольку биллиардная область конечна, траектории начи-
начинают со временем многократно пересекаться, что и приводит к хаосу.
Для упрощенной плоской модели газа Лоренца, в которой движение
материальной точки рассматривается внутри области, ограниченной
тремя касающимися друг друга кругами единичного радиуса, урав-
уравнения, описывающие траекторию частицы после п ее столкновений с
границей, имеют вид
<Pn+i =Ч>п + Фп~ тг/6 + arcsinB cos(y>n + фп) ~ cos</>n),
arcsinB cos((/?n + фп) - cost/>n),
где ip — угловое расстояние от точки столкновения частицы с дис-
диском до точки касания дисков, ф — угол, который образует траек-
траектория до столкновения с траекторией после столкновения с диском.
Очевидно, что углы (рп и фп однозначно определяют положение ча-
частицы внутри области после n-го столкновения. Неподвижная точка
z* = ((р*,ф*) = (тг/6,7г/3) является неустойчивой. Важно отметить,
что отображение F.18) не содержит никаких параметров, и положе-
положение точки z* является независимым.
282 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
Для решения задачи стабилизации такой неподвижной точки вве-
введем искусственно в систему F.18) некоторые параметры /х и г и рас-
рассмотрим отображение
<Рп+1 =<Рп + <Рп-
•farcsm((l+/i) cos(<^n-(-^n)-М cos ^п+г(/х-1)).
Очевидно, что при \х = 1 отображение F.19) полностью совпадает
с исходным F.18). Отметим, что при /хо = 0 и г0 = 0.5 + VT3/4 непо-
неподвижная точка z* = (а(/х0), ?г/3) является устойчивой неподвижной
точкой отображения F.19), причем существует значение 0 < /х* < 1
такое, что данная точка устойчива при /х ? [0, /х*] и неустойчива при
\i > \х\. Фиксируем значение г = го. Тогда задача состоит в том,
чтобы стабилизировать неподвижную точку ?* = (а(//), тг/3) отобра-
отображения F.19) при /х = 1, где
, , (/1 — 1)@.5 - г) /о
а(^) = arccos — J-±— L - тг/3.
Используя итерационный процесс F.15), численно показано, что
при значении управляющих параметров е\ = 0.014, e<i — 0.67,
/? = 1.29, вычисленных при /х* = 0.2863, можно локализовать и стаби-
стабилизировать неподвижную точку на отрезке [0.2863; 0.51]. Затем при
е\ = 0.236, ?2 = 1.127, Р = 1.82, вычисленных при /xj = 0.51, неподвиж-
неподвижная точка будет стабилизирована на интервале [0.51; 0.77], а значения
е\ = 0.493, ?2 = 1.54, Р = 2.29, определенные при /xj = 0.77, обеспе-
обеспечивают устойчивость неподвижной точки z* отображения F.19) при
/м е [0.77; 1].
6.2.2. Локализация и стабилизация неустойчивых непод-
неподвижных точек хаотических динамических систем. Рассмо-
Рассмотрим нелинейную динамическую систему
i = F(s,p), хеШ™, F.20)
задаваемую семейством гладких по совокупности переменных отобра-
отображений F. Пусть х*(/х) — неподвижная точка системы F.20), где /х —
скалярный параметр. Как и в п. 6.2.1 будем предполагать, что су-
существует критическое значение /х* системного параметра такое, что
точка ж*(/х) является устойчивой неподвижной точкой системы F.20)
при fi < ^х*, а при /х > ^* точка х*(/х) становится неустойчивой непо-
неподвижной точкой системы F.20), которая в этом случае имеет другие
регулярные или хаотические аттракторы. Проблема также состоит в
локализации и стабилизации неустойчивой неподвижной точки х* (/х)
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО 283
системы F.20) при значениях /i > /x* с помощью малых возмущений
параметра /i.
Рассмотрим (т -Ь 1)-мерную динамическую систему
F.21)
где Q{x*{ti),ti) = 0, а е = (ei,.. .,?m)T и /? € R — управляющие па-
параметры системы. Ясно, что если точка х* (fi) является неподвижной
точкой системы F.20), то точка (x*(/i), /х) будет неподвижной точкой
системы F.21). Вычислим Якобиан правой части отображения F.21)
в точке (x*(fi),fi)
Характеристический полином матрицы J(fj) имеет вид
F.22)
+
где bk = X) Л«(^)» Л* — главный минор порядка А; матрицы J(/i).
t=i
В частности, bi = tr J(/i), 6m+i = det J(/i).
Потребуем, чтобы полином F.22) имел в точке /i* все корни А
равными некоторому отрицательному значению d < 0. В этом случае
P(A,/i») = (d - A)m+1, а ЬЛ = C*,+1d*, fc = 1,.. .,m + 1. Тогда упра-
вляющие параметры €\, ..., ет) Д должны удовлетворять системе из
m 4-1 линейных алгебраических уравнений
ск
+5 *=l,...,m + l. F.23)
В частности, управляющий параметр /? определяется непосредственно
из уравнения tvJ(fj) = (m -f l)c? :
U (m + l)d = -trJo + (m + l)d.
Исходя из гладкости семейства F в F.20), можно утверждать, что
имеет место
Теорема 6.4. Если определитель D системы линейных уравне-
уравнений F.23) отличен от нуля, то существует область fi* < ц < ц\
284 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
такая, что для любого \i € [/х*, //J] действительные части всех соб-
собственных значений матрицы J(/ll) отрицательны, и точка (х* (//),//)
является асимптотически устойчивой неподвижной точкой систе-
системы F.21). Следовательно, неподвижная точка х*(р) динамической
системы F.20) может быть локализована и стабилизирована при
значениях fj, ? \р*, /г*] с помощью решения системы F.21) с началь-
начальными условиями хо = х*(р*), qo = fi.
Используя fj>l в качестве нового критического значения систем-
лого параметра и вычисляя новый Якобиан J(a**), можно скоррек-
скорректировать значения управляющих параметров /?, ?i, ..., ет в F.21)
и снова локализовать и стабилизировать неподвижную точку x*(ix)
системы F.20) при новых значениях \х ? [д!,/^]. Этот процесс мож-
можно продолжить на весь интервал существования неподвижной точки
системы F.20).
В частном случае отображение Q(x,/j,) в F.21) может иметь вид
Q(x,fi) = aiJPi(o?,^) + ... + amjFm(ar,/i),
где коэффициенты a^ € {0,1}, i = l,...,m, выбираются из условия
отличия от нуля определителя D системы га + 1 линейных уравнений
F.23) для управляющих параметров.
Замечание. Условие det Jo ф 0 является необходимым условием
применимости системы F.21) для локализации и стабилизации непо-
неподвижных точек системы F.20). Это следует из последнего уравнения
det J{fi*) = dm+1 системы F.23), которое можно представить в виде
г=1
Действительно, если det Jo равен нулю, то определитель D линейной
системы F.23) также обращается в нуль.
Для иллюстрации метода рассмотрим хаотическую динамическую
систему Рёсслера (см.главы 1-3)
у = х + ау, F.24)
z = b + z(x ~/z).
При а = 0.5 и Ь = 0.75 неподвижная точка х*(ц)/а = -t/*(//) = z*(fi) =
= fi/2 — y/fj2/4 — ab системы F.24) является неустойчивой при зна-
значениях /х > /х* = 1.375, а при /i > 2.35 система F.24) имеет не-
нерегулярный аттрактор, хорошо известный как аттрактор Рёсслера.
Локализуем и стабилизируем неподвижную точку системы F.24) с
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО 285
помощью системы
q = -ai(y + z)+a2(x+ay)+az(b+z(x -
где можно положить d = — 1, ai = 1, аг = аз = 0. Численный экс-
эксперимент показал, что при значениях параметров /3 = —5, е\ = — 1,
е2 = 7/3, ?з == 1/6, вычисленных в точке /х*, система F.25) да-
дает возможность локализовать и стабилизировать неподвижную точку
системы F.24) на интервале \хч < /х < 4, покрывающем всю область
хаотического поведения системы Рёсслера.
6.2.3. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов
хаотических динамических систем. Данная задача является од-
одной из важнейших задач, составляющих проблему управления хаосом.
Рассмотрим нелинейную динамическую систему
x = F(x,(jl), хеШт, fieR, F.26)
задаваемую семейством гладких отображений F. Пусть x*(t, /j.) — за-
замкнутая периодическая траектория (предельный цикл) системы F.26),
зависящая от системного параметра \i. Положим без ограничения общ-
общности, что существует критическое значение системного параметра \i*
такое, что траектория x*{t%\i) является асимптотически орбитально
устойчивым циклом системы F.26) при /х < jz*, а при \х > /х* траек-
траектория x*(t,fi) является неустойчивым циклом системы F.26). Сама
же система F.26) в этом случае может иметь в качестве аттракторов
другие устойчивые предельные циклы различных периодов, устойчи-
устойчивые торы, а при дальнейшем увеличении значений параметра \х воз-
возможно появление и нерегулярных аттракторов, свидетельствующих о
хаотической динамике системы.
Задача состоит в локализации и стабилизации неустойчивого ци-
цикла x*(t,/j) системы F.26) малыми возмущениями системного пара-
параметра /х в области ц> р* хаотического поведения траекторий систе-
системы при почти полном отсутствии информации о самом цшсле x*(t, //).
Основная идея метода решения данной задачи остается прежней —
построение динамической системы в пространстве большей размерно-
размерности, для которой неустойчивый цикл x*(t,fi) системы F.26) является
проекцией некоторого ее асимптотически орбитально устойчивого в
области /х > ц* предельного цикла.
Пусть цикл z*(t,/z) системы F.26) имеет период Т = Т(/х). От-
Отметим, что при /х > /х* период цикла х*(Ь,ц) также неизвестен, и
определить его по решениям системы F.26) невозможно. Рассмотрим
286 ГЛАВА 6, УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
(га -f к + 1)-мерную систему
у = F(y, //) + Z(y, t, ii)E(q - //e),
5, *, //) + 0(q - /ив), F.27)
где s(?) — скалярная функция, y{t) € Mm, g(?) € 1* — векторные
функции, 1 < к < m; Dkxm и ЕтХк — постоянные матрицы, век-
вектор е = A,...,1)т, /z € R, С € Rw — постоянный вектор, /? € R.
Отображения Q(y,s,t,fi) и Z(y,t1^) определим следующим образом:
где ж(г, //) - решение системы F.26) в момент г при условии x(t, /x) =г/.
Так как матрица Z(yitifi) в F.28) представляет собой производную
от решений системы F.26) по начальным условиям, то Z(y,i,/x) =
= Z(x(t,/x)), где Z(a:(r,/i)) есть решение неавтономного матричного
обыкновенного дифференциального уравнения
V(t) = A(x(T,ri)V(T), V@) = /, F.29)
где Л(ж(т,//)) = DxF(x(Tjfi)). Таким образом, для любой точки
(y,t) € Mm+1 матрица Z(y,t,//) в F.27) может быть вычислена как
решение матричного неавтономного уравнения F.29) в момент t, взя-
взятое вдоль траектории #(т, //) системы F.26) такой, что #(?,//) = у.
Очевидно, что для всех t и для всех // отображение Q(x*(t1fi)i
Т(//),?,//) = 0. Следовательно, при любом // (и, в частности, при
// > fj,*) вектор u*{t,ii) = (a:*(t,//),//e, Г(//)) есть периодическое ре-
решение (цикл) расширенной системы F.27). Теперь достаточно вы-
выбрать в F.27) матрицы управляющих параметров Е и ?), вектор С
и скаляр /? так, чтобы цикл и* (?, //) стал асимптотически орбитально
устойчивым предельным циклом системы F.27) в некоторой окрест-
окрестности параметра у* < ц < [i\. При этом вектор y(t), представляю-
представляющий первые т координат решения u(t, //) системы F.27) с начальными
условиями, например,
u@,ai) = (у(О,/х), д(О,м), s@,/i))T = (x*@,/i*), /х*е, Г(Л )Т
будет стремиться к неустойчивому предельному циклу х* (?, //) систе-
системы F.26) при всех // € [/**,/*!]•
Теорема 6.5. Существуют постоянные матрицы Е и D упра-
управляющих параметров, вектор С, скаляр /3, а также значение систем-
ного параметра /ij > //* такие, что цикл и* (?, /л) лвллешсл асгшшяо-
тически орбитально устойчивым предельным циклом системы F.27)
при всех значениях параметра \i G [m*>Mi]-
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО 287
Доказательство. Линеаризуем систему F.27) в окрестности
решения ?/*(?,//), и пусть К(Ь,ц) — матрица линеаризации. Так как
ду
TO K(t,(l) =
A(x*(t,n)) Z{x*(t,n))E 0
))I^./')) PI (
4x*(t,»)) 0
Линейная система первого приближения в окрестности решения и* (?, /i)
системы F.27) примет вид
w(t)=K(t,fj)w(t), F.30)
где w(t) = u(t,[i) — и*(Ь}/л).
Так как матрица Z(x*(t,fi)) является фундаментальной матрицей
периодической линейной системы F.29), то, как следует из теории
Флоке, она имеет представление Z(x*(t1/j,)) = R(t)eBt, где R(t) —
периодическая матрица периода Т — T(fi) и R@) = R(T) = /. Обо-
Обозначим Л = Л(/х) жорданову форму матрицы В, так что В = РАР~1.
При любом значении системного параметра /л, лежащем в окрестно-
окрестности /I*, матрица Л имеет одно нулевое собственное значение. Кроме
того, так как точка /х* лежит на границе области устойчивости цикла
x*(t, /х) системы F.26), то матрица Л имеет по крайней мере еще одно
собственное значение Л, пересекающее мнимую ось слева направо при
/х = /х*. Без ограничения общности будем считать, что этому условию
удовлетворяют последние к A < к < тп) собственных значений матри-
матрицы Л. Следовательно, при fi = /х* имеем ReAj < 0 (г = 1,..., m — Л — 1),
Хщ-к = 0, ReA* = 0 (г = m —ft-f 1,.. .,яг). Число к определяет порядок
(тп + к + 1) системы F.27) и линеаризованной системы (б.30).
Предположим также, что матрица еАТ имеет только одно соб-
собственное значение, равное единице при /2 = /х* (мультипликатор
цикла x*(t,ii*) системы F.26)), так что Х{ ф 0, г = т — к + 1,.. .,т.
Представим решение w(t) линейной системы F.30) в виде
(R(t)P 0__ 0\
0 e~At 0 u(t) = G(t,/i)u(t), F.31)
0 0 1/
где Л — матрица, совпадающая с правым нижним к х Ажвадратом
матрицы Л (матрица еЛТ не имеет собственных значений, равных 4-1).
288
ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
По построению матрица G(t,[i) является периодической при \i — \f
и ограниченной при t -> оо в некоторой окрестности р > /2* матри-
матрицей. Подставив F.31) в F.30), после несложных преобразований най-
найдем, что w(t) = L(t,ii)Lj(t), a Lfaii) =
fp-lR-\t)[A{t)R{t)P-R{t)P} P~lR-\t)Z{t)Ek'-'Kt 0
= e-JtD[Z(t)-I]Z-l(t)R(t)P PI + A e~AtDx*(T,iJ,)
\ CT[Z(T)-I]Z~l(t)R(t)P 0
где A(t) = A(x*(t,ii)), Z(t) = Z(x*(t,ii)). Так как
Z(t) = R(t)PeAtP~\ Z(T) = PeATP-\
- R(t)P] = A, Z^(t) = PK
то
(A e^P^Ee-*1 0 \
ex^P[eAT-/]e-At ^/ + 1 e^Dx^T^) w(*)- F-32)
СтР[елт -/]e-Ai 0 CTx*(T}fi)
Выберем матрицы Е, D и вектор С следующим образом
, CT = @ с OJ
где Hkxk — единичная матрица, F — матрица, коммутирующая с
матрицей Л, которая определена ниже, вектор С имеет единственный
отличный от нуля элемент с в (т — к)-м столбце. При этом
eAtp-iEe-At = ЛЛ ? eJtDP[eAT - I]e-At = (о ejT - /) ,
С^Р[еАТ - I]e~At = 0.
Далее заметим, что вектор x*(t,n) является решением линейной
системы F.29). Поэтому существует вектор s = х*@,/л) = ж*(Г,/х)
такой, что x*(t,fj) = V(*)s = R(t)PeAtP-1s. Следовательно, Р"^ =
= еЛТР~15, откуда вытекает, что вектор Р^ имеет только одну
отличную от нуля (тп - &)-ю координату. Обозначим ее через г. Таким
образом,
eAtDx*(T, ц) = (О e^+T)) Р"* = 0,
= @ с
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО 289
Положим теперь с = —sign(r), F = diag(at), где диагональная матрица
F имеет одинаковые диагональные элементы в каждой клетке, соот-
соответствующей жордановой клетке матрицы Л. Представим матрицу Л
в виде __
Л=(о л
где матрица А совпадает с верхним левым (т — к) х (т - &)-квадратом
матрицы Л. Тогда F.32) примет вид
(б.зз)
Покажем, что всегда можно выбрать диагональные элементы а*
матрицы F так, что матрица N(fi) при /х = //* будет иметь только
одно нулевое собственное значение, а все остальные собственные зна-
значения матрицы N(fi) будут иметь отрицательные вещественные ча-
части. Для этого достаточно выбрать а» так, чтобы все 2к собственных
значений матрицы
Л F
Т-1 р1 + Ъ
имели отрицательные вещественные части. Рассмотрим жорданову
клетку Л матрицы Л кратности j, соответствующую собственному
значению А,-. Тогда собственные значения и матрицы U удовлетворя-
удовлетворяют уравнению
а
0
0 <
0
Л
,ЛТ _ j
0
0
F
01 + А~
0
0
0
0
-\г
В свою очередь каждый из определителей, входящих в уравнение F.34),
обращается в нуль тогда и только тогда, когда
[(А< - у){Р + А, - I/) - аг(еЛ'т - l)]j = 0.
Последнее уравнение имеет два j-кратных корня, удовлетворяющих
квадратному уравнению
v2 - p{fi + 2А<) + @ + Xi)Xi - di{eXiT - 1) = 0. F.35)
Выберем параметры /? и аг- следующим образом:
0 = -2d, a^-jZj-p d>0. F.36)
290
ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
При этом каждое из уравнений F.35) будет иметь два одинаковых
корня i/{ = — d 4- А* с отрицательной вещественной частью в некото-
некоторой окрестности /х € [а4*,/^*] значения системного параметра /л*. Та-
Таким образом, при всех /л € [/i*,/i*] фундаментальная матрица W(?,/x)
линейной системы F.30) первого приближения представима в виде
W(t,n) = Gftijije1*^)*, где матрица G(t,fi) ограничена при t -> оо, а
матрица N(fi) имеет ровно одно нулевое собственное значение, соот-
соответствующее единичному мультипликатору периодического решения
u*(t,fi) системы F.27). Все другие т -f к собственных значений ма-
матрицы N(fj>) имеют отрицательные вещественные части при любых
/х 6 [/^MiL откуда и вытекает асимптотическая орбитальная устой-
устойчивость периодического решения u*(t, fi) системы F.27) при всех
\i € [/х*,/х*]. Теорема 6.5 доказана.
Рис. 6.3. Стабилизация неустойчивого предельного цикла нелинейной ди-
динамической системы Рёсслера.
В качестве примера рассмотрим динамическую систему Рёсслера
F.24). При /л > 1.88 предельный цикл системы F.24) теряет устойчи-
устойчивость, а при /л = 2.35 в системе появляется нерегулярный аттрактор.
Локализуем и стабилизируем предельный цикл системы F.24) с помо-
помощью системы
* = -(у + z) + (znei + z12e2 + z13e3)(q - /x),
у = х + ay + {z2i€i + z22e2 + z23ez)(q - /*),
Z = b + Z(x - /i) + (z3iEi -f 2Гз2?2 + ^33^3)(g - A*),
g=ei (a?(e) ~rr(O)) +a2(y(s)-y(O)) +a3 (z(s)-z@)) +P{q~l
s = c1a1 (x(s)-x(O)) +c2a2 (y(s) -2/@)) +c3a3 (z(s) -
F.37)
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО 291
где (s@), y@), z@)) — вектор начальных данных системы F.24)
при условии, что ее траектория каждый момент времени совпадает с
проекцией траектории системы F.37) на R3.
На рис. 6.3 показано: 1 — хаотическая траектория динамической
системы Рёсслера при /х = 2.4; 2 — устойчивый предельный цикл
системы Рёсслера при критическом значении/х* = 1.85; 3 —проекция
предельного цикла системы F.37), стабилизирующей неустойчивый
предельный цикл системы Рёсслера F.24) при \х = 2.4.
6.2.4. Управление хаосом в уравнениях с запаздывающим
аргументом. Рассмотрим нелинейную автономную систему с за-
запаздывающим аргументом
x(^) = F(x(^),x(^-r1),...,x(^-rm),/i), х е Rn, \i € R,
F.38)
0 = т0 <п < ... <тт,
где F(x(t),x(t — Ti),.. .,x(t — Tm),fi) — непрерывная и гладкая по сово-
совокупности переменных вектор-функция. Пусть х*(/л) — неподвижная
точка системы F.38), зависящая от скалярного параметра /г, в ка-
качестве которого, в частности, может быть выбран один из запазды-
запаздывающих аргументов. Как и выше, положим, что существует критиче-
критическое значение параметра //* такое, что неподвижная точка является
устойчивой при // < /i*, а при //>//* решение ?*(//) становится не-
неустойчивым либо, если система F.38) остается диссипативной, в ней
могут появиться другие аттракторы, например, устойчивые предель-
предельные циклы различной кратности и даже нерегулярные аттракторы,
свидетельствующие о хаотической динамике системы при /л > //*.
Особенностью уравнений с запаздывающим аргументом является воз-
возможность наличия всех указанных типов аттракторов даже в случае,
когда система F.38) содержит только одно единственное уравнение,
так как это уравнение имеет бесконечное число степеней свободы.
Для решения задачи локализации и стабилизации неподвижной не-
неустойчивой точки х*(/л) системы F.38) при \х > /х* рассмотрим си-
систему
где скалярная функция G(x(t), x(^-ri),..., x(t-rw), /z) = 0 в неподвиж-
неподвижной точке (х*(//),//), а е G Rn и /3 G R — управляющие параметры си-
системы F.39). Очевидно, что если точка х*(ц) является стационарной
точкой системы F.38), то точка (x*(fi),fi) будет стационарной точ-
точкой системы F.39). Определим значения управляющих параметров
е и р в системе F.39), при которых стационарная точка (ж*(//),/*)
будет устойчивой. Перейдем к новым переменным щ(Ь) = X{(t) — х*,
292 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
(i = 1,2,..., п), un+i (t) = q(t) — /л и в окрестности стационарной точки
и* = 0 выделим линейную часть системы F.39)
т
«(*) = 5] ЛМ«(« - 77), 0 = го < Т! < ... < т«, F.40)
где
U.=O
Согласно критерию устойчивости по первому приближению непо-
неподвижная точка системы F.39) будет устойчива, если все корни ха-
характеристического уравнения
det (f^A,e-Xri -\е)=0 F.41)
A,e-Xri -\е)=0
имеют отрицательные действительные части. Левая часть уравнения
F.41) представляет собой квазиполином
n+l M
Р(\) = ]Г ?aklA*e"Ari I М > max {n, m}, F.42)
А;=0 1=0
где коэффициенты а*/ выражаются через суммы всех главных мино-
миноров матриц At. Квазиполином обычно имеет бесконечное множество
нулей, однако в случае уравнений с запаздывающим аргументом (т. е.
ап+1,о Ф 0, ап+1,1 = 0, I = 1,...,М) все корни квазиполинома ле-
лежат в левой полуплоскости: ReAj < d. Это обстоятельство позволяет
в принципе решить задачу стабилизации неустойчивого стационарно-
стационарного решения путем выбора управляющих параметров таким образом,
чтобы обеспечить выполнение условия d < 0. Для определения границ
области устойчивости квазиполиномов применим следующую теорему
Теорема 6.6 (теорема Руше [130]). Пусть ip(z) и ip(z) голоморф-
голоморфные в области D и непрерывные в D = DUT функции. Если для любой
точки z € Г имеет место неравенство \<p(z)\ > \ip(z)\, то функции
(p(z) и (p(z) + ip(z) имеют в D одно и то оке число корней.
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО
293
Представим квазиполином F.42) в виде
n+l
Р(Х) =
п M
Jfe=O
и выберем контур Г, состоящим из отрезка мнимой оси [—iR;iR] и
полуокружности радиуса Я с центром в начале координат, лежащей в
правой полуплоскости. Применяя теорему Руше к функциям
п+1
м
отметим, что при достаточно большом радиусе R полуокружности,
входящей в состав контура, справедливость неравенства |<р(Л)| > |V>(A)|
на этой полуокружности очевидна. Остается потребовать выполнения
неравенства
\<р(ш)\ > Щш)\
F.43)
на мнимой оси при А = ш. Отметим, что
Щш)\ =
п М
Т, Т. аы{ги,)ке-^'
k=0 1=1
м
м
=Е
Поэтому неравенство
п+1
к=0
м
F.44)
гарантирует выполнение условия F.43) на мнимой оси. Решение F.44)
совместно с требованием отсутствия корней с неотрицательной дей-
действительной частью многочлена </?(А) дает возможность определить
границы области параметров е и /?, при которых обеспечивается устой-
устойчивость квазиполинома Р(А), а следовательно, и асимптотическая ус-
устойчивость неподвижной точки системы F.39), стабилизирующей не-
неустойчивую неподвижную точку системы F.38).
В качестве примера рассмотрим стабилизацию неустойчивой не-
неподвижной точки в нелинейном уравнении Мэкки-Гласса (см. [100] и
главу 5)
294 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
где /?о» 0 и п — положительные константы, выбранные так, что
/?о > а > О и пВ > 2, 6аВ > ?0, В = (?0 - а)//?0. Уравнение F.45)
имеет единственное стационарное состояние х* = в \/ , которое
V о,
при значении
„ __ arccos (~а/Ь)
где Ь = о(пБ — 1), теряет устойчивость [46]. При этом сначала ро-
рождается устойчивый предельный цикл. При дальнейшем увеличении
г происходит последовательность бифуркаций удвоения периода пре-
предельного цикла, а затем наблюдается и хаотическая динамика (см. п.
5.3 главы 5). Для стабилизации неустойчивой стационарной точки х*
уравнения F.45) при г > т* рассмотрим систему
ад—^^
F.46)
Покажем, что для любого значения запаздывания г можно выбрать
такие значения управляющих параметров е и /? в F.46), что неустой-
неустойчивая неподвижная точка уравнения F.45) будет стабилизирована.
Рассмотрим линейную часть уравнения F.46) в окрестности стацио-
стационарной точки (х*, т)
tki(t) = -aui(t) ~ bm(t - т) + eu2(t),
где u\ (i) = x(i) — x*, tt2(?) = #(?) — т, а соответствующий ей характе-
характеристический квазиполином имеет вид
Р(А) = А2 + Х(а - j9) + а(е - j9) + Ье-Лг(А - )9). F.47)
Положим
<р(А) = А2 + А(а-?)+а(?--?), ^(А) = Ье"Хт(Х - Р).
Для нашего частного случая М = п = 1 согласно F.44) имеем
1-й;2 + а(е - 0) + tw(a - ^)| > |Ь||«о; - ^|,
что равносильно неравенству
и4 + a;2(a2 ~ Ь2 + ^2 - 2ае) + а2(е - /?J - 62^2 > 0.
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО
295
Необходимыми и достаточными условиями справедливости последне-
последнего неравенства для промежутка ш2 е К+ являются
а2 _ ь2 + /З2 - 2ае > О, а\е - /?| > Ь\0\,
которые совместно с условиями
О,
соответствующими отсутствию корней функции (р(\) в правой по-
полуплоскости, дают совместную систему неравенств
F.48)
0 < e, . 0 < а
для определения области пространства параметров ? и /3, обеспечива-
обеспечивающих устойчивость квазиполинома F.47), а следовательно, и асим-
асимптотическую устойчивость решения уравнения F.46) при любых г. На
рис. 6.4а показано решение уравнения F.45) при значениях а = 0.75,
/?о = 1.5, в = 2, п = 8и значении бифуркационного параметра г = 5,
соответствующего хаотическому поведению, а на рис. 6.46 — реше-
решение системы F.46) при тех же значениях а, /?о, 0, п и при значениях
управляющих параметров 6 = 12, /? = -5, взятых из области решений
системы неравенств F.48).
Рис. 6.4. Решения уравнения Мэкки-Гласса F.45) (а) и стабилизирующей
его системы F.46) (б) при значении бифуркационного параметра г = 5, где
х* — стационарное решение.
296 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
Рассмотрим теперь задачу локализации и стабилизации неустой-
неустойчивой периодической траектории в нелинейных уравнениях с запаз-
запаздывающим аргументом, имеющих хаотическое поведение
х =/(*(*),*(*-т),/х), *>0, F.49)
где x(t), /(•) - скалярные функции, т > 0 - постоянное запаздывание.
Пусть x*(t, jjl) - периодическая траектория (предельный цикл) урав-
уравнения F.49) с периодом Т(р). Как правило, существует критическое
значение параметра [i* такое, что цикл x*(t,[i) асимптотически ор-
битально устойчив при \х < //* и неустойчив при /х > /i*. Проблема
состоит в том, чтобы локализовать и стабилизировать этот цикл при
у, > /z*, включая значения параметра /х, при которых уравнение F.49)
имеет хаотическое поведение.
Покажем, что для решения задачи может быть использован подход,
предложенный в п.6.2.3 настоящей главы. Пусть С[—т; 0] — простран-
пространство непрерывных вещественных функций </?(•), задающих на интер-
интервале [—т;0] начальные условия уравнения F.49).
Обозначим xt{9) = x(t -f 0), —т < в < 0 и представим уравнение
F.49) в виде конечномерной системы обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Для этого поделим интервал [—г; 0] на га одинаковых
частей и обозначим
—)~Уи г = 1,га-1. F.50)
Тогда, используя разностную аппроксимацию производной, получим
2/о = /B/о,Утф), Vi = ~B/i-i - 2/i), г = h^- F.51)
Таким образом, уравнение F.49) сводится к (т-Ь1)-мерной системе
обыкновенных дифференциальных уравнений
y = FB/,/x,r), F.52)
вектор решений которой у = B/о(*) ? 2/1 (*)»•••» 2/т(*)) определяет вектор-
функцию
га га
Каждая координата этой вектор-функции линейно аппроксимирует
функцию xti'd) на отрезке длиной h = ti^i - i?i по двум значениям
функции в узлах у{ и 2/i-i с погрешностью, не превышающей O(h2).
Очевидно, что при достаточно высоком порядке га функция у>[ ($)
будет сколь угодно мало отличаться от хь(Ь) на отрезке [-т;0]. При
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО
297
этом решению x(t,/j) уравнения F.49) соответствуют значения коор-
координаты 2/о(*, д) системы F.52), а траектории в расширенном фазовом
пространстве R х С[-т;0] уравнения F.49) соответствует траекто-
траектория в фазовом пространстве Em+1 системы F.52). Следовательно,
задача стабилизации неустойчивого периодического решения x(tyfi)
уравнения с запаздыванием F.49) сводится к задаче стабилизации
соответствующей неустойчивой периодической траектории 2/(?,/х) си-
системы F.52). К решению последней задачи может быть применен
метод, изложенный в п. 6.2.3 настоящей главы. В соответствии с этим
методом стабилизация периодического решения системы F.52) может
быть осуществлена решением расширенной системы F.27) настоящей
главы.
Рис. 6.5. Стабилизация неустойчивого периодического решения уравнения
Мэкки-Гласса F.45).
В качестве примера рассмотрим уравнение Мэкки-Гласса F.45), в
котором бифуркационным параметром является величина запаздыва-
запаздывания т. Для решения задачи локализации и стабилизации его неустой-
неустойчивого периодического решения при значениях т, соответствующих
хаотическим колебаниям, преобразуем уравнение F.45) к конечно-
конечномерной системе
2/о = /о(уо,2/тп,т), Ш = /iB/o, 2/1," .,Ут,т), г = 1,..., га, F.53)
где функция fo(yo,ym)T) совпадает в соответствии с принятыми в
F.51) обозначениями с правой частью уравнения F.45), а функции
/»B/о, Уь • • • ,Ут) зависят от принятого способа аппроксимации урав-
уравнения F.49) системой F.53). Для понижения порядка аппроксимирую-
аппроксимирующей системы мы использовали интерполяцию функции xt {$) на отрез-
отрезке [—г; 0] кубическим сплайном. При этом, как было отмечено в п. 5.3
298 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
главы 5, порядок системы обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений F.53), аппроксимирующей уравнение F.45), может быть принят
равным т = 20. На рис. 6.5 показаны результаты численного экс-
эксперимента по стабилизации неустойчивого периодического решения
системы уравнений F.53) при значении параметра г = 1.8, соответ-
соответствующем хаотическим колебаниям: а — проекция фазового портрета
нерегулярного аттрактора на плоскость {уо,ут) ДДя системы F.53)
или, соответственно, на плоскость (гг@),х(-г)) для уравнения F.45)
при г = 1.8; б — аналогичная проекция фазового портрета предель-
предельного цикла системы F.53) (и, соответственно, уравнения F.45)) при
г = 1.2; в — проекция на плоскость (уо, ут) (в случае аппроксимирую-
аппроксимирующей системы F.53)) и, соответственно, на плоскость (х@),х(—т)) (в
случае исходного уравнения F.45)) фазового портрета неустойчивого
предельного цикла, стабилизированного системой F.27) при г = 1.8.
6.2.5. Стабилизация термодинамической ветви в системах
уравнений "реакция-диффузия". В п. 5.1 главы 5 настоящей кни-
книги было отмечено, что одной из наиболее важных и широко используе-
используемых моделей при исследовании большого круга процессов и явлений в
физике, химии, биологии, экологии и во многих других областях явля-
являются системы уравнений типа реакция-диффузия E.1). В зависимости
от значений параметра /г, а также от коэффициентов диффузии D\ и
Дг> от формы и размеров пространственной области и от гранич-
граничных условий система E.1) после потери устойчивости термодинами-
термодинамической ветви имеет большое количество качественно различных реше-
решений, включая периодические решения, пространственно однородные и
неоднородные диссипативные структуры, а также неоднородные не-
непериодические решения, которые получили название диффузионного
хаоса (см. главу 5).
В связи с этим проблема управления диффузионным хаосом в ши-
широком смысле может быть сформулирована следующим образом: необ-
необходимо локализовать (обнаружить) и стабилизировать неустойчивую
периодическую или диссипативную структуру, являющуюся решени-
решением системы E.1) при тех значениях параметра /х, при которых систе-
система E.1) обладает пространственно неоднородными непериодически-
непериодическими решениями. В узком смысле проблему управления диффузионным
хаосом будем понимать как задачу стабилизации неустойчивой тер-
термодинамической ветви системы E.1) в случае, когда последняя обла-
обладает пространственно неоднородными непериодическими решениями.
Здесь мы рассматриваем проблему управления диффузионным хаосом
исключительно в узком смысле.
Как показано в главе 5 эта проблема может быть сведена к зада-
задаче стабилизации абсолютно неустойчивого нулевого решения уравне-
уравнения Курамото-Цузуки в случае, когда оно обладает непериодическими
пространственно неоднородными решениями.
В случае краевых условий второго рода задача управления диф-
диффузионным хаосом в узком смысле сводится к стабилизации нулевого
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО 299
решения краевой задачи
Wt = W + A + iCl)Wxx - A 4- ic2)W\W\2,
О < ж < Z, 0 < t < оо, F.54)
W(z,0) = Wo(*), И^@,«) = И^(/,0=0.
Учитывая, что W(x,t) = u(x,?) 4- iv(x,t), перепишем краевую задачу
F.54) в виде
щ = и 4- uIX - ciUcs ~ (tx2 -f v2)(u ~
ve = v 4- ciu^ -f vxx - (i/2 4- v2
0<д:</, 0<^<оо, F.55)
u(rr,0) = гго(ж), v(rr,O) = vo(z),
ti«@,<) = v«@,<) = u«(l, t) = v«(/,<) = 0.
Из F.55) следует, что
Здесь линейный оператор L представим в виде
а2 а*
э~г ~Cl ТГ*
01 дх* 1 + дх*,
-(
где / — единичная матрица, а оператор Д на отрезке [0,1] с крае-
краевыми условиями второго рода имеет собственные значения, равные
—ж2п2/12 (п = 0,1,...), которым отвечают собственные функции
cos -у-я- Вычислим собственные значения оператора L. Пусть А —
такое собственное значение. Ему отвечает собственная функция <р =
= lWcos^. Тогда
п=0 \°п/ !>
„=о
300 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
Следовательно,
Таким образом, собственными числами оператора L являются соб-
собственные значения 1 - тг2п2/12 ±ic\(n2n2/l2) матриц
Очевидно, что при малых размерах области (/ < яг) только два
собственных числа оператора L, соответствующие гармоникам нуле-
нулевого порядка, лежат в правой полуплоскости, что определяет нали-
наличие у уравнения F.54) однородных по пространству автоколебаний
(W = е~*С2(е+*)). С ростом / количество лежащих в правой полуплоско-
полуплоскости собственных чисел оператора L возрастает, что ведет к появлению
у уравнения F.54) неоднородных по пространству автоколебаний и
более сложных диссипативных структур.
Идея метода стабилизации нулевого решения краевой задачи F.54)
состоит в построении такой расширенной системы, для которой все
собственные значения оператора линеаризованной на нулевом реше-
решении задачи лежат в левой полуплоскости независимо от того, какие
параметры а, с2 имеет исходное уравнение F.54) и какова степень
неустойчивости его нулевого решения.
Отметим, что при п = 0 матрица Во совпадает с единичной ма-
матрицей /, т. е. имеет диагональную форму с кратными собственными
значениями. Покажем, что в этом случае для стабилизации нулевого
решения краевой задачи F.54) к ее уравнениям необходимо добавить
два новых уравнения. Итак, рассмотрим краевую задачу
щ = и + ихх - civxx - (и2 4- v2)(u ~ c2v) + eip,
vt = v + c\uxx + vxx - (u2 -f v2)(u 4- C2V) 4- ?ф,
<Pt=u + Pip, i/)t=v + Рф,
0<rr</, 0<*<oo,
ti(s, 0) = uq(x), v{xy 0) = vo(x),
F.58)
ip(x,0) = (po(x), ф(х,0) = t/>o(z),
= 0,
6.2. МЕТОД МАГНИЦКОГО
301
Теорема 6.7. Для любых значений параметров ci, сг, / задачи
F.54) найдутся значения управляющих параметров е, /? такие, что
нулевое решение краевой задачи F.58) равномерно и асимптотиче-
асимптотически устойчиво.
Доказательство. Перепишем уравнения краевой задачи F.58)
в виде
^t=Lz + F{z,t), F.59)
где z(x)t) =
имеет вид
,?), tp(x,t), ф(х,г)) , а линейный оператор L
Л
1L
д2
14-
дх2
о
о
1
? О
О е
Р О
О А
с условиями на концах отрезка, определяемыми второй краевой зада-
задачей. Для доказательства теоремы достаточно выбрать значения упра-
управляющих параметров е, 0 такие, что спектр оператора L будет лежать
в левой полуплоскости [49]. Нетрудно показать, аналогично тому, как
это было сделано выше относительно спектра оператора L краевой
задачи F.55), что оператор L имеет дискретный спектр, состоящий
из собственных значений матриц
(l-*n cikn e 0\
-сгкп 1-*я 0 е\ . __тг2п2
0 1 0 fi)
Характеристическое уравнение для матрицы Вп имеет вид
[{Р - А)A - кп - А) - е]2 + (/3 - \fc\kl = О,
корни которого являются корнями двух квадратных уравнений
А2 - А(/? + 1 - кп т гсгкп) + РA -кпт icxkn) - е = 0.
Из соответствующих выражений для комплексных корней последнего
уравнения нетрудно получить достаточные условия отрицательности
их вещественных частей:
*п + е
0.
F.60)
При малой длине области (I < тг) имеем кп > 1 для всех п > 1. Поэтому
условия F.60) выполнены для всех п при е < 5 < — 1. Если i > тг, то для
302 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
некоторых п = 1,...,по будет иметь место кп < 1 и, следовательно,
выбор е будет зависеть от значения параметра с\:
В любом случае управляющие параметры ?, /? могут быть выбраны та-
таким образом, что спектр оператора L будет лежать в левой полуплос-
полуплоскости. Теорема 6.7 доказана.
а/\
ф@ б
ЛЛл.
u{t)
ЛЛ/\
Рис. 6.6. Стабилизация нулевого решения задачи F.55) в случае, когда ее
решением является а) устойчивый пространственно однородный автоколе-
автоколебательный режим (I = тг, ci = 5 С2 = —2, е = —4, ^ = —3) и б) при наличии
в ней диффузионного хаоса (I = тг, с\ = 5 сг = —5, ? = —4, /? = —3).
Для наглядного представления поведения решений задач F.55) и
i
F.58) удобно пользоваться величинами U(t) = Ju2(x)t)dx и Ф(<) =
о
i
= / <р2(х, t) dx. На рис. 6.6 изображены зависимости от времени функ-
о
ций U(t) и Ф(?), соответственно, для следующих случаев: 1) с\ = 5,
с2 = —2, / = тг (задача F.55) имеет пространственно однородный
устойчивый автоколебательный режим); 2) с\ = 5, Сг = -5, Z = тг (за-
(задача F.55) имеет пространственно неоднородные непериодические
решения — диффузионный хаос). До момента t = t0 на рисунках изо-
изображено решение исходной задачи F.55), а при t > t0 показано реше-
решение задачи F.58), стабилизирующей нулевое решение исходной задачи
при значениях управляющих параметров е = —4, /3 = -3. В обоих слу-
случаях нулевое решение задачи F.55) стабилизируется первыми двумя
координатами и и v решения задачи F.58).
В случае краевых условий первого рода поставленная задача упра-
управления диффузионным хаосом в узком смысле сводится к стабилиза-
стабилизации нулевого решения первой краевой задачи для уравнения Курамото-
6.2, МЕТОД МАГНИЦКОГО
303
Цузуки:
Wt = W
0<z<Z, 0<*<оо,
F.61)
W(x,0) =
= 0.
Задача F.61) может быть записана в виде F.55) или F.56) с ну-
нулевыми краевыми условиями на концах отрезка. Оператор Д в этом
случае имеет собственные числа -тт2п2//2, (п = 1,2,...), которым
. тга _
отвечают собственные функции sin —х. При этом оператор L име-
имеет только различные собственные числа 1 - тг2п2//2 ± iciGr2n2//2),
(п = 1,2,...). Кроме того, при малой длине области (I < тг) все соб-
собственные числа оператора L имеют отрицательные вещественные ча-
части. В этом случае нулевое решение первой краевой задачи F.61)
равномерно и асимптотически устойчиво. При I > тг для стабилиза-
стабилизации нулевого решения краевой задачи F.61) можно было бы восполь-
воспользоваться системой четырех уравнений, аналогичной системе F.58).
Однако, ввиду того, что оператор L в данном случае имеет только
различные собственные значения, результат теоремы 6.7 может быть
значительно усилен. А именно, рассмотрим расширенную систему сле-
следующего вида
Ut=U + Uxx- C\VXX - (и2 + V2)(U - C2V)
Vt = V + CiUxx -f Vxx - (U2 + V2)(U + C2V)
0<z</, 0<t<oo,
u(x,0) = uo(x), v(x,0) = vo(x), <p(x,0) = ^o(^),
u@, t) = u(l, t) = v@, t) = v(l, t) = ^@, t) = (p(l, t) = 0.
Теорема 6.8. Для любых значений параметров Ci, Сг, / задачи
F.61) найдутся значения управляющих параметров ?i, ег, 0 такие,
что нулевое решение задачи F.62) равномерно и асимптотически
устойчиво.
Доказательство. Перепишем уравнения краевой задачи F.62)
т
в виде F.59), где z{x,t) = (u(z,i), v{x,t), <p(x,t)) , а линейный опе-
оператор L имеет вид
L =
дх
1
-с — еУ
1 дх2 1
1 + Ь ?2
F.63)
304 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
с условиями на концах отрезка, определяемыми первой краевой зада-
задачей. Для доказательства теоремы достаточно выбрать значения упра-
управляющих параметров ?1, ?2> P так, чтобы спектр оператора L лежал
в левой полуплоскости. Очевидно, что оператор L имеет дискретный
спектр, состоящий из собственных значений матриц
71 — /2 *
F.64)
Характеристическое уравнение для матрицы Вп имеет вид
А3-А20?+2 - 2кп)+\BРA-кп) + A-кпJ+<?1к2п-?1-?2>-
-^((l-knJ+c2k2n)-(l-kn)(e1+e2)+c1kn(e2-ei)]=0. F.65)
Согласно критерию Рауса-Гурвица необходимыми и достаточны-
достаточными условиями отрицательности вещественных частей корней характе-
характеристического уравнения F.65) являются
0 < -\pdn - A - кп)ъ + cikny2] < F.66)
< -(/3 + 2 - 2*я)[2/?A - fc,») + dn - 7i],
где dn = A - knJ 4- cf fej, 71 = ?i + 6:2, 72 = ^2 - €i- Найдем условия,
достаточные для выполнения системы неравенств F.66) при всех
п > 1. Параметры /3, 71 > 72 будем искать в виде: Р < —2A - fci) < 0;
72 < 0; 71 = 2/5A —fci)—di < 0. Предположим также, что ^(l+cf) > 1.
В этом случае dn+i > dn при п > 1. Тогда
- Pdn + A - fcnOi ~ CiA;n72 > -fidi + A
= -M + 2)9A - A:iJ - A - fci)* - ci*l72.
Следовательно, первое из неравенств системы F.66) выполнено при
любых п > 1, а достаточным условием выполнения левой части вто-
второго неравенства при любых п > 1 является
ACS + 1 - fci) < 2/3A - кгJ - cifciTi.
Последнее условие выполнено при любом /3 < — 2A — fei), если
72 < B^A - A:iJ)/(ciA;i). При этом правая часть второго неравенства
системы F.66) принимает вид
0dn - 2/3A -
2A - fcn)] [2^(fcx - kn)
6,2, МЕТОД МАГНИЦКОГО305
что эквивалентно неравенству
кп - кг) + Щкп - кг) (l-
-0d1-(l-kn)(d1+2dn)>O. F.67)
Из последнего выражения при п = 1 вытекает, что
Пусть при п > по имеем fcn > 1. Тогда достаточным условием
выполнения неравенства F.67) при всех п > по является
Остается найти условие выполнения конечного числа неравенств F.67)
при 2 < п < по, если по > 2. Достаточным условием для выполнения
всех этих неравенств является
которое, очевидно, выполняется при всех
Теорема 6.8 доказана.
Во многих математических моделях большой интерес представля-
представляет решение системы уравнений типа реакция диффузия E.1) в двумер-
двумерном случае. Такал система может иметь в окрестности точки первой
бифуркации как пространственно однородные автоколебательные ре-
решения, так и более сложные диссипативные структуры, такие как ве-
ведущие центры, спиральные волны, двухчастотные автомодельные ре-
решения и диффузионный хаос [16, 92, 93]. Задача стабилизации термо-
термодинамической ветви такой системы, заданной в прямоугольной обла-
области с краевыми условиями второго рода, сводится к стабилизации ну-
нулевого решения двумерного уравнения Курамото-Цузуки:
Wt = W + A+ ici){Wxx + Wyy) - A
0<x<lu 0<y<l2, 0<*<oo,
(o.bo)
W(x,y,0) = Wo(x,y),
Wx@,y,t) = Wx(h,y,t) = Wy(x,0,t) = Wy(x,l2,t) = 0.
306 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
Аналогично предыдущему, представим краевую задачу F.68) в
виде F.56), где линейный оператор L имеет вид
?)(?¦?)•
Оператор А в прямоугольнике [0, l\] x [0, h] с краевыми условиями
второго рода имеет собственные значения
кпт = -(тг2п2//? + *2m2/ll)} n,m = 0,1,...,
которым отвечают собственные функции cos [ —х) cos [ ——у ). Сле-
V п ) \ h )
довательно, собственными числами оператора L являются собствен-
собственные значения 1 — кпт ± ic\knm матриц
J9nm=/-*nmC. F.69)
Из F.69) видно, что при 1\ > тг и 1% > тг количество собственных чисел
оператора L, лежащих в правой полуплоскости, значительно больше,
чем в одномерном случав, что ведет к появлению у уравнения F.68)
сложных диссипативных структур, включая диффузионный хаос, да-
даже при небольших размерах прямоугольной области.
Для стабилизации нулевого решения краевой задачи F.68) рассмо-
рассмотрим краевую задачу
+иуу—ci(vxx+vyy)-(u2+v2)(u—
F.70)
0<?<C/i, 0 < j/ < /2, 0 < ? < 00,
с условиями Неймана на границе прямоугольника и с произвольными
начальными условиями.
Теорема 6.9. Для любых значений параметров с\} сг, Ii, h за-
задачи F.68) найдутся значения управляющих параметров е, /? такие,
что нулевое решение краевой задачи F.70) равномерно и асимпто-
асимптотически устойчиво.
Доказательство теоремы 6.9 аналогично доказательству те-
теоремы 6.7. Уравнения краевой задачи F.70) могут быть представлены
в виде F.59) с оператором L, имеющим дискретный спектр, состоя-
состоящий из собственных значений матриц
1 - кпт
о
I 0 g 0 . n,m = 0,1,...
6.3. РЕКОНСТРУКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 307
Достаточным условием отрицательности вещественных частей соб-
собственных значений всех матриц Впт являются условия, аналогичные
условиям F.60):
(Ьпт - 1) + 09 + 1 - кПтJ(№пт + В - /?) < 0.
Ясно, что эти условия выполнены при любых п, т таких, что кпт > 1
при е < Р < -1. Для конечного набора п, т таких что кпт < 1 выбор
е будет зависеть от значения параметра ci, аналогично тому, как это
имело место в теореме 6.7. Теорема 6.9 доказана.
Замечание. Нулевое решение первой краевой задачи для двумер-
двумерного уравнения Курамото-Цузуки может быть стабилизировано либо
системой уравнений F.70) с краевыми условиями первого рода, либо
двумерной краевой задачей типа F.62).
Наличие хаоса во многих случаях может рассматриваться как до-
достоинство динамической системы, позволяющее качественно менять
ее динамику малыми возмущениями системных параметров. При этом
для систем с сосредоточенными параметрами возникает необходи-
необходимость в локализации и стабилизации их неустойчивых, особенно пери-
периодических траекторий, вплетенных в паутину сингулярного аттракто-
аттрактора. Для систем с распределенными параметрами, имеющих простран-
пространственно неоднородные, непериодические решения (диффузионный ха-
хаос), возникает необходимость в локализации и стабилизации их раз-
различных неустойчивых диссипативных структур. В настоящей главе
предложен метод, позволяющий успешно осуществлять эти процеду-
процедуры как для хаотических отображений, так и для конечномерных и
бесконечномерных сосредоточенных и распределенных хаотических
динамических систем.
6.3. Реконструкция динамической системы по траектории
нерегулярного аттрактора.
В ряде случаев, в том числе и в проблеме управления хаосом, не-
необходимо решать задачу восстановления системы дифференциальных
уравнений исходя из заданного множества точек в фазовом простран-
пространстве, принадлежащих аттрактору системы. Для решения этой зада-
задачи использовались как методы синхронизации, так и прямые методы
(см., например, [131-134]). Методы синхронизации основаны на ис-
использовании однонаправленной связи двух хаотических систем. При
сильной связи амплитуды колебаний связанных систем идентичны и
изменяются одинаково хаотически. Параметры синхронизирующей си-
системы подбираются таким образом, чтобы ее колебания совпадали с
колебаниями неизвестной системы, решения которой заданы исход-
исходным множеством точек. Прямые методы основаны на аппроксимации
производных, вычисляемых приближенно по заданному множеству то-
точек, некоторыми функциями, чаще всего полиномами. Как следует из
308 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
работ [133, 134], эти методы дают достаточно хорошие результаты,
если известен вид правой части системы и задача является линейной
по неизвестным параметрам. Если же правая часть системы диффе-
дифференциальных уравнений неизвестна, то такой подход, как показали
наши исследования, не позволяет решить задачу, так как решения
определенной таким образом системы не совпадают с решениями для
заданного множества точек. Здесь мы представляем прямой метода
решения указанной задачи, свободный от отмеченных недостатков.
Множество точек, определяющее отрезок траектории нерегуляр-
нерегулярного аттрактора в пространстве Rm, задает некоторую кривую,
которая может быть описана, например, параметрически ?«(?*)> *' =
= 1,2, ...,ш, к = 1,2, ...,n, n — множество значений независимой пе-
переменной t (или количество точек в заданном множестве). Положим
также, что случайные погрешности, с которыми заданы точки мно-
множества, некоррелированны и имеют нулевое математическое ожида-
ожидание. Множество X{(tk) фактически определяет значения ж,-* сеточных
функций, заданных на сетке г = {tk : к = 1,2,..., п}. Последние задают
в фазовом пространстве Rm некоторую сеточную траекторию х(^).
Аппроксимируем множество значении хц>, i = l,..»,m,& = l,...,n, се-
сеточной функции x(tk) в фазовом пространстве Шт решением x(t, в) =
= (ei(?j0), •••,xm(t,e))T системы дифференциальных уравнений
х = F{x,e), х е Ет, в Е Ер F.71)
на промежутке t € [0, tn] с начальным условием а;@) = жо, где
в = (i?i,#2i" -j^p)T — вектор параметров, р — размерность про-
пространства параметров. Из множества решений системы F.71) необ-
необходимо выбрать такое x(t,e), траектория которого в фазовом про-
пространстве Ет наиболее близка к заданной сеточной функции #(?*).
Для оценки близости используем функционал
г=1 А=1
Задача состоит в том, чтобы найти такое значение вектора параме-
параметров в*, при котором функционал F.72) будет иметь наименьшее
значение. Необходимое условие экстремума функционала
равносильно системе из р уравнений
1^ F.73)
6.3. РЕКОНСТРУКЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 309
нелинейных относительно неизвестного вектора параметров в* =
= (#*, #2, • • • 1 &р)Т- Для численного решения системы F.73) с помощью
итерационного процесса разложим решение x(t,9) системы F.71) в
ряд Тейлора в некотрой точке 0°
•@,-0?)+О(|0-0°|2) F.74)
0=0°
и отбросим величины второго порядка малости. Тогда, подставляя
F.74) в F.73), получим систему алгебраических уравнений
0=00
линейную относительно приращений Sf = в\ — Of. В векторной форме
последняя система имеет вид
f> F.75)
где l/mxp(^fc^0) — матрица с элементами и^ = dxi{tk,0)/d6j при зна-
значении (9 = в0, 6° = ^ - ^°, Хд. — ВеКТОр (xiA:, 2?2Ь •••) ^т*)Т СвТОЧ-
ной функции x(tfc) в точке с номером fc в фазовом пространстве Ет,
x(tk,O°) — решение уравнения F.71) в моменты времени t = tk при
значении б = в0. Матрица U является решением дифференциального
матричного линейного неоднородного уравнения
с начальным условием U@) = Omxp, где ОтХр — нулевая матрица,
а матрицы Ртхт и QmXp — производные от правой части системы
F.71) соответственно по переменным х и в:
Таким образом, все необходимые составляющие для решения систе-
системы F.75) линейных алгебраических уравнений находятся из решения
следующей системы дифференциальных уравнений
Т„ о
U = P°U(t,90) + Q0(x).
310 ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ХАОСОМ
на отрезке t € [0,?п] при указанных выше начальных условиях. Ма-
Матрицы Р° и Q0 в F.76) вычисляются при значении вектора в = 9° и
x = x{t,9°).
Найденное при решении системы F.75) значение S0 минимизирует
сумму квадратов
k - x(tki9°) - U(tk,e°N°\2
и является в фазовом m-мерном пространстве оценкой наименьших
квадратов для вектора 6 = в - 9°. Поэтому величина в1 = 0° + <5°
будет являться уточненной по отношению к (9° оценкой вектора пара-
параметров в и далее может использоваться для последующего улучшения
решения, если в приведенном выше алгоритме вместо значения 0° по-
положить в1. Таким образом, начиная с некоторого значения 9° найдем
последовательность векторов {9й}
9й = eu~l + 5V~\ i/= 1,2...,
где v — номер итерации. Предел этой последовательности при v —> оо
есть решение 9* нашей задачи.
В качестве примера нами рассмотрена задача восстановления ди-
динамической системы Рёсслера по заданному отрезку траектории, со-
созданному в результате численного решения системы F.24) при следу-
следующих значениях параметров: а = 0.5, Ь = 0.75, [х = 2.4. Для аппрок-
аппроксимации заданного множества использовалась система дифференци-
дифференциальных уравнений
г = 1,2,3,
с квадратичным полиномом в правой части, содержащим 30 неизвест-
неизвестных параметров а^ а^-, a>ijk- Разработанный нами метод позволил
решить подобную задачу при нулевом приближении начального век-
вектора 0°.
Было установлено, что точность в определении параметров зави-
зависит, главным образом, от погрешности, с которой заданы точки ис-
исходного множества. В нашем случае последняя определялась ошиб-
ошибками численного интегрирования исходной системы методом Рунге-
Кутта и ошибками округления. Поэтому погрешность в определении
значений параметров оказалась настолько малой, что полученные не-
ненулевые значения: а12 = ai3 = -1, 021 = 1, 022 = 0.5, a3 = 0.75,
°зз = —2.4, аз1з = 1 полностью совпали с параметрами системы F.24)
при неуменьшаемом значении функционала Ф ~ 10"~10.
Список литературы
1. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых
многообразиях отрицательной кривизны.- Тр. Мат. ин-та им.
В.А. Стеклова, 1967, N 90, 210 с.
2. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1978, 304 с.
3. Итоги науки техники. Современные проблемы математики. Фун-
Фундаментальные направления. Динамические системы.-М.:
ВИНИТИ, 1985, т. 1, 243 с, т. 2, 312 с.
4. Синай Я. Г. Современные проблемы эргодическои теории. ~М.:
Физматлит, 1995, 202 с.
5. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы //Успехи
мат. наук, 1970, т. 25, N 1, с. 113-185.
6. Рюэлъ Д. Т'акенс Ф. О природе турбулентности. Странные
аттракторы.- М.: Мир, 1981, с. 117-151.
7. Нитпецки 3. Введение в дифференциальную динамику.- М.: Мир,
1975, 302 с.
8. Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical
systems and bifurcations of vector fields. — N.-Y.: Springer, 1983,
453 p.
9. Hirsch M. and Smale S. Differential equations, dynamical systems
and linear algebra.- Academic Press, N.-Y., 1974, 358 p.
10. Полис Ж., Ди Мелу В. Геометричская теория динамических сис-
систем.- М.: Мир, 1986, 302 с.
11. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нели-
нелинейной динамики. - М.: УРСС, 2002, 360 с.
12. Хакен Г. Синергетика.- М.: Мир, 1985, 423 с.
13. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику.- М.:
Наука, 1990, 272 с.
14. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе.- М.: Меркурий
Пресс, 2000, 366 с.
15. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. - М.: Мир, 1988,
240 с.
16. Ахромеева Т.С., Курдюмов СП., Малинецкий Г.Г., Самарский
А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос- М.:
Наука, 1992, 541 с.
17. Lorenz Е. N. Deterministic Nonperiodic Flow // J. Atmos. Sci., 1963,
v. 20, p. 130-141.
18. Guckenheimer J. and Williams R.F. Structural stability of Lorenz
attractors//Publ. Math. IHES, 1979, 50, p. 59-72.
19. Гукенхеймер Дж. Странный, странный аттрактор. Кн.: Марсден
Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложе-
приложения. Гл. 12.- М.: Мир, 1980, с. 284-293.
312 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
20. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца. Кн.: Мар-
сден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее при-
приложения. Добавление П.- М.: Мир, 1980, с. 317-335.
21. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестно-
окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Матем.
сб., 1970, 81A23), N 1, с. 92-103.
22. Williams R.F. The structure of the Lorenz attractors //Publ. Math.
IHES, 1979, 50, p. 321-347.
23. Yorke J.A. and Yorke E.D. Metastable chaos: the transition to sus-
sustained chaotic oscillations in a model of Lorenz// J. Stat. Phys.,
1979, 21, p. 263-277.
24. Sparrow С The Lorenz equations: Bifurcations, chaos and strange
attractors.- Springer Verlag, N.-Y. 1982.
25. Rychlik M. Lorenz attractors through a ShiPnikov-type bifurcation,
Part 1. Ergodic theory dynamical systems, 1989, 10, p. 793-821.
26. Robinson С Dynamical Systems, 2nd ed.-CRC Press, N.-Y., 1995.
27. Tucker W. A rigorous ODE solver and Smale's 14th problem// Found.
Comput. Math., 2002, 2, p. 53-117.
28. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия. Кн.:
Современные проблемы хаоса и нелинейности. - Ижевск: ИКИ,
2002, с. 280-303.
29. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Новый взгляд на аттрактор Ло-
Лоренца // Дифференциальные уравнения, 2001, т.37, N 11, с. 1494-
1506.
30. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Переход к хаосу в системе Лорен-
Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций.
Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: под ред. СВ.
Емельянова, С.К. Коровина. - М.: Физматлит, 2002, с. 179-194.
31. Калошин Д. А., Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О некоторых
особенностях перехода к хаосу в системе уравнений Лоренца.
Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 3: под ред. СВ.
Емельянова, С.К. Коровина. - М.: Физматлит, 2003.
32. Magnitskii N.A., Sidorov S. V. Actual Problems of Chaotic Dynamics
in Dissipative Systems of Nonlinear Ordinary Differential Equations
// Dynamics of Nongenerous Systems, 2003, No.7.
33. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О сценариях перехода к хаосу
в нелинейных динамических системах, описываемых обыкновен-
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Сб. Нелинейная дина-
динамика и управление. Вып. 3: под ред. СВ. Емельянова, С.К. Ко-
Коровина. - М.:Физматлит, 2003.
34. Магницкий Н.А.} Сидоров СВ. О переходе к хаосу в нелинейных
динамических системах через субгармонический каскад бифур-
бифуркаций двумерных торов // Дифференциальные уравнения, 2002,
т. 38, N 12, с. 1606-1610.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 313
35. Магницкий Н.А. О природе хаотических аттракторов нелиней-
нелинейных диссипативеных систем обыкновенных дифференциальных
уравнений. Сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 4: под
ред. СВ. Емельянова, С.К. Коровина. - М.: Физматлит, 2004
36. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений.- М.: ИЛ, 1958, 474 с.
37. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.:
Мир, 1970, 720 с.
38. Понтрягип Л. С.Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- М.: Наука, 1982, 331с.
39. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Современные про-
проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 3. - М.:
ВИНИТИ, 1985, с. 5-304.
40. Заславский Г.М.Стохастичность динамических систем.- М.: На-
Наука, 1984, 272 с.
41. Самарский А.А. Гулин А .В. Численные методы. - М.: Наука, 1989,
430 с.
42. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных
задач.- М.: Наука, 1979, 285 с.
43. Вылов Б. Ф.,Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Тео-
Теория показателей Ляпунова.- М.:Наука, 1966, 576 с.
44. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.- М.: Наука, 1966,
530 с.
45. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее
приложения. - М.: Мир, 1980, 368 с.
46. Хэссард В., Казаринов Н., Взн И. Теория и приложения бифур-
бифуркации рождения цикла.- М.: Мир, 1985, 280 с.
47. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах.- М.: Мир, 1973,166
с.
48. Магницкий Н.А. Асимптотические методы анализа нестационар-
нестационарных управляемых систем.- М.: Наука, 1992, 160с.
49. Далецкий Ю.Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифферен-
дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука,
1970, 534 с.
50. Анищенко В. С, Badueacoea Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная ди-
динамика хаотических и стохастических систем.- Саратов, 1999,
368 с.
51. Eckmann J.P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange
attractors// Rev. Mod. Phys., 1985, 57, N3, p. 617-656.
52. Кузнецов С.П. Динамический хаос- М.: Физматлит, 2001, 296 с.
53. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические коле-
бания.-М.: Наука, 1987, 424 с.
54. Mandelbrot В. The fractal geometry of Nature. - Freeman, San Fran-
Francisco, 1982.
55. Андронов A.A.j Понтрягин Л.С. Грубые системы// Докл. АН
СССР, 1937, 14, 247-251.
314 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
56. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественно-
качественного исследования динамических систем на плоскости.- М.: Наука,
1990, 488 с.
57. Smale S. Structurally stable systems are not dense// Amer. J. Math.,
1966, v. 88.
58. Rossler O.E. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. A,
1976, v. 57, N 5, p. 397-398.
59. Магницкий Н.А. Бифуркация Хопфа в системе Рёсслера // Диф-
Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, N3, с.538-541.
60. Chua L.O., Komuro М., Matsumoto Т. The double scroll family//
IEEE Trans. Circuits and Syst. CAS-33,1986, pt. 1,2, p. 1073-1118.
61. Chua's circuit: A paradigm for chaos. Ed. by Madan R.N.- Singa-
Singapore: World scientific, 1993.
62. Shil'nikov L.P. Chua's circuit: rigorous results and future problems
// Int. J. Bifurcation and Chaos, 1994, v. 4, No 3, p. 489-519.
63. Магницкий HA. Математическая модель саморазвивающейся ры-
рыночной экономики. - Тр. ВНИИСИ АН СССР, 1991, с.16-22.
64. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Распределенная модель самораз-
саморазвивающейся рыночной экономики. Сб. Нелинейная динамика и
управление. Вып. 2: под ред. СВ. Емельянова, С.К. Коровина.-
М.: Физматлит, 2002, с. 243-262.
65. Гиббон Дж. Дисперсионные неустойчивости в нелинейных си-
системах: вещественные и комплексные уравнения Лоренца. Кн.:
Синергетика. - М.: Мир, 1984, с. 164-179.
66. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear
transformations// J. Stat. Phys., 1978, v. 19, p. 25-52.
67. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С, Шильников
Л.П. Теория бифуркаций. - Кн.: Современные проблемы мате-
математики. Фундаментальные направления, 1986, т. 5, с. 5-218.
68. Арнольд В.И. Теория катастроф. - Кн.: Современные проблемы
математики. Фундаментальные направления, 1986, т. 5, с. 219—
284.
69. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т.1 - М.: Мир, 1984,
350 с.
70. Постон Г., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. -
М.: Мир, 1980, 608 с.
71. ShiVnikov A.L., Shil'nikov L.P., Turaev D.V. Normal forms and
Lorenz attractors // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993, v. 3, No 5,
p. 1123-1139.
72. Грибов А.Ф., Крищенко А.П. Аналитические условия существо-
существования гомоклинической петли в цепях Чуа. Сб. Нелинейная ди-
динамика и управление. Вып. 1: под ред. СВ. Емельянова, С.К.
Коровина.- М.: Физматлит, 2001, с. 263-268.
73. Chen X. Lorenz equations. Part I: Existence and nonexistence of
homoclinic orbits // SIAM J. Math. Anal., 1996, v. 27, No 4, p.
1057-1069.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 315
74. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О нахождении гомоклинических
и гетероклинических контуров особых точек нелинейных систем
обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференци-
Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, N 11, с. 1511-1520.
75. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры
и катастрофы в экологии.- М.: Наука, 1987, 368 с.
76. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного пре-
преобразования прямой в себя // Укр. мат. журн., 1964, т. 26 No 1,
с. 61-71.
77. Newhouse S., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange axiom A
attractors near quasi-periodic flows on Tm, m > 3 // Comm. Math.
Phys., 1979, v. 64, N 1, p. 35-40.
78. Калошин Д.А. О построении бифуркационной поверхности го-
моклинической бабочки в системе Лоренца//Дифференциальные
уравнения, 2003, т.39, N 11.
79. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции.- М.:
Мир, 1986, 250 с.
80. Vallis G.K. Conceptual models of El Nino // J. Geophys. Res., 1988,
v. 93, p. 13979-13991.
81. Vallis G. K. A chaotic dynamical system// Science, 1986, v.232, p.
243-245.
82. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны.- М.: Наука, 1997.
83. Кук А., Роберте П. Система двухдискового динамо Рикитаки.
Странные аттракторы.- М.: Мир, 1981, с. 164-192.
84. Новиков М.Д., Павлов Б.М. Об одной нелинейной модели со слож-
сложной динамикой //Вестник МГУ, сер. "Вычисл. мат. и кибернет.",
2000, N2.
85. Рабинович М.И., Фабрикант А.Л. // ЖЭТФ, 1979, т. 77, с. 617-
629.
86. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем
// УФН, 1983, т. 141, в. 2, с. 343-374.
87. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.А., Романенко Ю.Е. Разност-
Разностные уравнения и их приложения.- Киев: Наукова думка, 1986, 280
с.
88. Ы T.Y., Yorke J.A. Period three implies chaos // Amer. Math.
Monthly, 1975,v. 82, No 10, p. 982-985.
89. Collet P., Eckmann J.P., Lanford O.E. Universal properties of maps
of an interval // Comm. Math. Phys., 1980, v. 76, p. 211-254.
90. Jakobson M. V. Absolutely continuous measures for one parameter
families of one-dimensional maps // Comm. Math. Phys., 1981, v.
81, No 1, p. 39-88.
91. Saltzman B. Finite amplitude free convection as an initial value prob-
problem // J. Atmos. Sci., 1981, 19, p. 329.
316 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
92. Ахромеева Т.С, Курдюмов СП., Малинецкий Г.Г. Самарский
А.А. О классификации решений системы нелинейных диффузи-
диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации. Современ-
Современные проблемы математики. Итоги науки итехники, т. 28. - М.:
ВИНИТИ, 1986, с. 207-313.
93. Ахромеева Т.С, Курдюмов СП., Малинецкий Г.Г. Самарский
А.А. Двухкомпонентные динамические системы в окрестности
точки бифуркации. Математическое моделирование. - М.: Нау-
Наука, 1986, с. 7-59.
94. Магницкий Н.А., Сидоров С В. Некоторые подходы к управле-
управлению диффузионным хаосом // Дифференциальные уравнения,
1999, т. 35, N 5, с. 664-669.
95. Магницкий Н.А., Сидоров С. В. Стабилизация неустойчивых пе-
периодических решений в уравнениях с запаздывающим аргумен-
аргументом // Дифференциальные уравнения, 2000, т. 36, N 11, с. 1488-
1492.
96. Turing A. On the chemical basis of morphogenesis // Phil. Trans.
Roy. Soc. London, 1952, Ser. A, 237, p. 37-52.
97. Lefever R., Prigogine L Symmetry-breaking instabilities in dissipa-
tive systems // J. Chem. Phys., 1968, 48, p. 1695-1700.
98. Дернов А. В. Регулярная динамика и диффузионный хаос в мо-
модели брюсселятор // Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37,
N 11, с. 1554-1556.
99. Kuramoto Y., Tsuzuki T. On the formation of dissipative structures
in reaction-diffusion systems // Progr. Theor. Phys., 1975, v. 54, No
3, p. 687-699.
100. Mackey M., Glass L. Oscillations and chaos in physiological control
systems // Sciense, 1977, v. 197, p.287-289.
101. Попов В.В. Экономический цикл и норма прибыли в США.- М.:
Наука, 1989, 176 с.
102. Дернов А.В. Дифф'узия<ктпитала и спроса в модели саморазви-
саморазвивающейся рыночной экономики. В сб . Нелинейная динамика и
управление. Вып. 2: под ред. СВ. Емельянова, С.К. Коровина. -
М.: Физматлит, 2002, с. 233-242.
103. Chen С, Dong X. From chaos to order: perspectives, methodologies
and applications. - World Scientific, Singapore, 1998, 743 p.
104. Лоскутов А.Ю. Хаос и управление динамическими системами.
В сб. Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: под ред. СВ.
Емельянова, С.К. Коровина.- М.: Физматлит, 2001, с. 163-216.
105. Андриевский Б. Р., Фрадков А.Л. Управление хаосом: методы
и приложения. I. Методы // Автоматика и телемеханика, 2003,
5, с. 3-45.
106. Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных
системах. - М.: Мир; 1979, 512 с.
107. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог
человека с природой.- М.: УРСС, 2003, 312 с.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 317
108. Пригожий, И., Стенгерс И. Время, хаос, квант.-М.:УРСС, 2003,
240 с.
109. Sepulchre J., Babloyantz A. Controlling chaos in a network of oscil-
oscillators // Phys. Rev., v. E48B), 1994, p. 119-125.
110. Magnitskii N.A. Stabilization of unstable periodic orbits of chaotic
maps // Computers Math. Applic, 1997, v. 34, No.2-4, p. 369-372.
111. Магницкий H.A., Сидоров С.В. Управление хаосом в нелинейных
динамических системах// Дифференциальные уравнения, 1998,
т.34, N 11, с. 1501-1509.
112. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. О некоторых подходах к про-
проблеме управления диффузионным хаосом// Дифференциальные
уравнения, 1999, т.35, N 5, с. 664-669.
113. Magnitskii N.A., Sidorov S. V. Nonlinear Dynamics on the Life and
Social Science. - IOS Press, NATO Science Series. Ser. A. Life Sci-
Science, 2001, v.320, p.p.33-44.
114. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Стабилизация неустойчивых пе-
периодических решений в уравнениях с запаздывающим аргумен-
аргументом // Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, N 11, с. 1488-
1492.
115. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Локализация и стабилизация не-
неустойчивых решений хаотических динамических систем. Сб. Не-
Нелинейная динамика и управление. Вып. 1: под ред. С.В. Емелья-
Емельянова, С.К. Коровина. - М.: Физматлит, 2001, с. 217-246.
116. Ott В., Grebogi С, Yorke J.A. Controlling chaos // Phys. Rev.
Lett., 1990, v. 4, p. 1196-1199.
117. Shinbort Т., Grebogi G, Yorke J.A. Using small perturbations to
control chaos // Nature, 1993, v. 363, No 3, p. 411-417.
118. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback
// Phys. Lett. A., 1992, v. 170, p. 421-428.
119. Магницкий Н.А. О стабилизации неподвижных точек хаотиче-
хаотических отображений// Доклады РАН, 1996, т. 351, N 2, с. 175-177.
120. Магницкий Н.А. О стабилизации неподвижных точек хаотиче-
хаотических динамических систем// Доклады РАН, 1997, т. 352, N 5, с.
610-612.
121. Магницкий Н.А.О стабилизации неустойчивых циклов хаотиче-
хаотических отображений// Доклады РАН, 1997, т. 355, N 6, с. 747-749.
122. Магницкий Н.А. О стабилизации неустойчивых предельных ци-
циклов двумерных динамических систем. Методы анализа нелиней-
нелинейных систем. - М.: Диалог-МГУ, 1997, с. 84-87.
123. Князев Е.А., Магницкий Н. А., Сидоров С.В. Стабилизация
неустойчивых стационарных точек в уравнениях с запаздываю-
запаздывающим аргументом. Нелинейная динамика. Сб. трудов ИСА РАН,-
М.:УРСС, 1999, с. 133-141.
124. Дернов А.В. Стабилизация неустойчивых периодических ор-
орбит одномерных хаотических отображений. Сб. Нелинейная ди-
динамика и управление. Вып. 1: под ред. С.В. Емельянова, С.К.
Коровина.- М.: Физматлит, 2001, с. 247-252.
318 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
125. Калошин Д. А. Поиск и стабилизация неустойчивых седловых
циклов в системе Лоренца // Дифференциальные уравнения, 2001,
т.37, N 11, с. 1559-1561.
126. Дернов А.В. О новых подходах к проблеме управления хаосом.
Сб. трудов ф-та ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова.- М.: Диалог
МГУ, 2002 в. 1,с. 31.
127. Непоп М. A two-dimensional mapping with a strange attractor//
Comm. Math. Phys., 1976, v. 50, p. 69.
128. Синай Я. Г. Динамические системы с упругими отображения-
отображениями. Эргодические свойства рассеивающих биллиардов// Успехи
математических наук, 1970, т. 25, 2, с. 141-192.
129. Machta J. Power low decay of correlation in a billiard problem// J.
of Stat Phys., 1983, v. 32, No 3, p. 555-564.
130. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.1 - М.: Наука,
1985, 336 с.
131. Brawn R., Rulkov N.F., and Tracy E.R. Modelling and synchroniz-
synchronizing chaotic systems from time-series data // Phys. Rev. E, 1994, v.
49, p. 3784.
132. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., and Abarbanel H.D.
Generalized synchronization of chaos in directional coupled chaotic
systems// Phys. Rev. E, 1995, v. 51B), p. 980-994.
133. Baker C.L., Collub J.P., Blackburn J.A. Inverting chaos: Extracting
system parameters from experimental data// Chaos, 1996, No 4, p.
528-533.
134. Parlitz U. Estimating model parameters from time series by au-
tosynchronization // Phys. Rev. Lett., 1996, v. 76, p. 1232.
135. Сидоров С.В. Восстановление параметров динамической систе-
системы. Математика, компьютер, образование. V Междунар. конф.,-
Дубна, 26-31 янв. 1998, с. 183.
136. Сидоров СВ., Сидоров С.С. О реконструкции динамической
системы с хаотическим поведением. Математика, компьютер,
образование. VII Междунар. конф.,- Дубна, 24-29 янв. 2000, с.
296.
Издательство УРСС
специализируется на выпуске учебной и научной литературы, в том
числе монографий, журналов, трудов ученых Российской Академии
наук, научно-исследовательских институтов и учебных заведений.
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Основываясь на широком и плодотворном сотрудничестве с Российским
фондом фундаментальных исследований и Российским гуманитарным
научным фондом, мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономических
условиях. При этом мы берем на себя всю работу по подготовке издания —
от набора, редактирования и верстки до тиражирования и распространения.
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
Пригожим И. От существующего к возникающему.
Мапинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент.
Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике.
Эбелинг В., Энгеяь А., Файстель Р. Физика процессов эволюции.
Галимов Э. М. Феномен жизни. Происхождение и принципы эволюции.
Олемской А. И., Кацнельсон А. А. Синергетика конденсированной среды.
Милованов В. П. Неравновесные социально-экономические системы: синергетика
и самоорганизация.
Москальчук Г. Г. Структура текста как синергетический процесс.
Евин И. А. Искусство и синергетика.
Иваненко Д. Д., Сарданашвили Г. А. Гравитация.
Розенталь И.Л., Архангельская И. В. Геометрия, динамика, Вселенная.
Капитонов И. М. Введение в физику ядра и частиц.
Ляпунов А. М. Работы по теории потенциала.
Иванов Б. Н. Законы физики.
Эддингтон А. Пространство, время и тяготение.
Гамов Г. Мистер Томпкинс в Стране Чудес, или истории о с, G и h.
Гамов Г. Мистер Томпкинс исследует атом.
Вайнберг С. Мечты об окончательной теории.
Серия «Синергетика: от прошлого к будущему»
Трубецков Д. И. Введение в синергетику.
Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики.
Капица С. И, Курдюмов С. П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего.
Баранцев Р. Г. Синергетика в современном естествознании.
Баранцев Р. Г. и др. Асимптотология — путь к целостной простоте.
Чернавский Д. С. Синергетика и информация (динамическая теория информации).
Пригожий И, Стенгерс И. Время. Хаос. Квант. К решению парадокса времени.
Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой.
Пригожин И., Николис Г. Познание сложного. Введение.
Пригожин И., Гленсдорф П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости
и флуктуации.
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел./факс @95) 135-42-16, 135-42-46
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в Интернет-магазине: http://URSS.ru
Издательство УРСС
Научная и учебная
литература