о7/ УГ’С-
УДК 538.9
ББК 22.37
С 37
Си ми у Э. Хаотические переходы в детерминированных и стоха-
стических системах. Применение метода Мельникова в технике, фи-
зике и нейрофизиологии. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 208 с. —
ISBN 978-5-9221-0798-3.
В книге изложена теория хаотических переходов в динамических системах
на плоскости от начальных представлений о хаотическом поведении до обоб-
щенного метода Мельникова — универсального средства анализа хаотического
поведения детерминированных и стохастических систем. Приведены примеры
решения прикладных задач в области динамики и управления, а также океа-
нологии и нейрофизиологии с применением этого метода.
Книга адресована студентам старших курсов, аспирантам и исследова-
телям, интересующимся современными методами исследования инженерных,
физических и биологических систем.
Научное издание
СИМИУ Эмиль
ХАОТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ И
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА
МЕЛЬНИКОВА В ТЕХНИКЕ, ФИЗИКЕ И НЕЙРОФИЗИОЛОГИИ
Редактор: Ярунин В С.
Оригинал-макет: Королева Е.А.
Оформление переплета: Алехина А.Ю.
Подписано в печать 09.01.07. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Уел. печ. л. 13. Уч.-изд. л. 14,2. Тираж 600 экз. Заказ №4701.
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ»
140010, г. Люберцы, Московская обл., Октябрьский пр-т, 403
ISBN 978-5-922I-O798-3
9 785922 107983
ISBN 978-0-691-05094-2 (англ)
ISBN 978-5-9221-0798-3 (русск.)
© ФИЗМАТЛИТ, 2007
© Princeton University Press, 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора к английскому изданию	8
Глава 1. Введение........................................... 12
ЧАСТЬ 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА МЕЛЬНИКОВА
Глава 2. Переходы в детерминированных системах и функ-
ция Мельникова........................................    12
2.1.	Потоки и неподвижные точки. Интегрируемые системы. Отобра-
жения: неподвижные и периодические точки.......	21
2.2.	Гомоклинические и гетероклинические траектории. Устойчивые
и неустойчивые многообразия.............................   28
2.3.	Устойчивые и неустойчивые многообразия в трехмерном фазовом
пространстве {a?i,а?2>0 .................................. 31
2.4.	Функция Мельникова.................................. 34
2.5.	Функция Мельникова для различных типов возмущений. Спек-
тральная функция Мельникова.............................   36
2.6.	Условия пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий.
Энергетическая интерпретация.............................. 42
2.7.	Отображения Пуанкаре. Сечения фазового пространства. Коэффи-
циент переноса............................................ 44
2.8.	Системы с медленно меняющимися коэффициентами....... 51
Глава 3. Хаос в детерминированных системах и функция
Мельникова...	....................... ............
3.1	Чувствительность к начальным условиям и показатели Ляпунова.
Аттракторы и области притяжения.........................   57
3.2.	Канторовы множества. Фрактальные размерности	62
3.3.	Подкова Смейла и отображение сдвига................. '	63
3.4.	Символическая динамика. Свойства пространства Хг. Чувстви-
тельность подковы Смейла к начальным условиям. Математиче-
ское определение хаоса.................................... 69
3.5.	Теорема Смейла-Биркхофа. Необходимое условие Мельникова
возникновения хаоса. Переходный и установившийся хаос....	71
3.6.	Хаотическая динамика системы с медленно меняющимися пара-
метрами .................................................  75
3.7.	Хаос в эксперименте: колонна Стокера................ 76
6
Оглавление
Глава 4. Стохастические процессы. ........................... 79
4.1.	Спектральная плотность, ковариационная функция, взаимная
ковариационная функция.................................... 79
4.2.	Приближенные представления случайных процессов....... 89
4.3.	Спектральная плотность сигнала на выходе линейного фильтра со
случайным входным сигналом................................ 95
Глава 5. Хаотические переходы в стохастических динами-
ческих системах и процессы Мельникова..................... 99
5.1.	Динамика упругого осциллятора в жидкости. Эксперимент и чис-
ленное моделирование..................................... 101
5.2.	Процессы Мельникова и хаотическое поведение в системах с ад-
дитивным и мультипликативным гауссовским шумом........... 103
5.3.	Коэффициент переноса в фазовом пространстве........  107
5.4.	Условие отсутствия выбросов в системах с ограниченным слу-
чайным возбуждением. Пример: возбуждение дихотомическим
шумом.................................................... 108
5.5.	Применение метода Мельникова для оценки среднего времени
и вероятности пребывания в допустимой области............ 112
5.6.	Влияние спектра возбуждения на среднее время пребывания в об-
ласти ................................................... 118
5.7.	Системы с медленно меняющимися параметрами.......... 120
5.8.	Спектр колебательной системы со случайным возбуждением.
Сравнение методов Фоккера-Планка и Мельникова......... 121
ЧАСТЬ 2
ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава 6. Потеря устойчивости судна ......................... 125
6.1. Модель бортовой качки при волнении.................. 125
6.2. Численный пример..... .............................. 127
Глава 7. Управление хаотическими переходами в системах
со случайным возмущением . ............................ ....	129
7.1. Управление формой спектральной функции Мельникова... 129
7.2. Коэффициент переноса как критерий управления хаотическими
переходами..........................................   134
Г л а в а 8. Стохастический резонанс........................ 138
8.1.	Определение и физическая природа стохастического резонанса.
Применение метода Мельникова......... ................... 138
8.2.	Динамические системы и необходимые условия Мельникова воз-
никновения хаоса......................................... 140
Оглавление
1
8.3.	Отношение “сигнал-шум" в детерминированной системе с двумя
положениями равновесия..............................       141
8	4. Влияние спектра шума на отношение “сигнал-шум” для класси-
ческого стохастического резонанса......................... 143
8.5.	Системы, возбуждаемые гармоническим сигналом и шумом: уве-
личение отношения “сигнал-шум” при усилении гармонического
возбуждения..	.............. 146
8.6.	Нелинейный усилитель для увеличения отношения “сигнал-шум” 147
8.7.	Заключительные замечания.............................. 148
Глава 9. Частота среза генерируемого шума в системе
первого порядка............................................ 149
9.1. Введение.............................................. 149
9.2. Преобразование уравнений с возмущением типа белого шума.... 149
Глава 10. Потеря упругой устойчивости стойки, нагру-
женной поперечной силой. .	  152
10.1. Уравнения движения................................... 153
10.2. Гармоническое возбуждение............................ 154
. 10.3. Случайное возбуждение. Условия отсутствия резонанса. Процес-
сы Мельникова для гауссовского и дихотомического шумов .	155
10.4.	Численный пример..................................... 157
Глава 11. Динамика прибрежных течений под действием
ветра при волнистом рельефе океанского дна................. 159
11.1.	Модель прибрежных течений............................ 160
11.2.	Флуктуации скорости ветра и ветровое давление........ 161
11.3.	Динамика невозмущенной системы....................... 163
11.4.	Динамика возмущенной системы .,..	  164
11.5.	Численный пример..................................... 165
Глава 12. Слуховой нерв как хаотическая динамическая
система ................................................... 169
12.1.	Экспериментальные нейрофизиологические результаты	170
12.2.	Моделирование системы Фитцхью-Нагумо. Сравнение с экспе-
риментом.................................................. 172
12.3.	Асимметричная модель возбуждения слухового нерва..	173
12.4.	Численное моделирование.............................. 176
12.5.	Заключительные замечания...........................   180
Приложение П1. Построение функции Мельникова.................. 181
Приложение П2. Разбиение фазового пространства на устойчивое и
неустойчивое многообразия..................................... 183
Приложение ПЗ. Топологическая сопряженность................... 188
8	Оглавление
Приложение П4. Свойства пространства Е2	........190
Приложение П5. Элементы теории вероятностей..................... 191
Приложение П6. Среднее число пересечений в единицу времени (rj4)
для гауссовского процесса ....................................   198
Приложение П7. Среднее число выбросов в единицу времени (т^1)
для системы, возбужденной белым шумом........................... 200
Литература ..................................................... 202
И этот мир струил таинственные звуки,
Как ветер, как бегущий вал,
Как будто сеятель, подъемля плавно руки,
Над нивой зерна развевал.
Шарль Бодлер. Цветы зла
(перевод В Левина)
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
К АНГЛИЙСКОМУ ИЗДАНИЮ
Разнообразные физические явления можно интерпретировать
как движения динамических систем с детерминированными или
стохастическими переходами между различными состояниями. Под
переходом понимается выход из одной области и захват в другую
область возможного движения системы. Например, бортовая качка
корабля может привести к потере устойчивости, т. е. к переходу из
области колебательного движения в область, соответствующую потере
устойчивости и опрокидыванию корабля. С формальной точки зрения,
переходы, рассматриваемые в этой книге, связаны с прохождением
потенциального барьера.
Метод Мельникова позволяет получить необходимые условия воз-
никновения переходов и оценить зависимость этих условий от пара-
метров системы и возбуждения. Он позволяет единообразно исследо-
вать как детерминированные, так и стохастические системы с раз-
личными типами случайных возмущений. Возмущения могут быть
аддитивными или зависящими от состояния, белыми или цветными
шумами, нормальными, дихотомическими1), и т. д. Метод Мельни-
кова пригоден и для систем с комбинированным детерминированным
и стохастическим возбуждением. Известны разнообразные применения
метода Мельникова в различных прикладных и теоретических задачах:
в книге приводятся примеры приложений в физике, технике, корабле-
строении, океанографии, нелинейной теории управления, теории сто-
хастического резонанса и нейрофизиологии. Метод Мельникова может
рассматриваться как эффективный способ моделирования сложных
динамических систем. В частности, он позволяет объяснить переходы
в стохастических системах с позиций хаотической динамики. Наконец,
этот метод красив и удобен в использовании.
Книга предназначена для читателей, интересующихся, главным об-
разом, прикладными задачами. Для развития стохастического метода
') Дихотомический процесс — процесс с двумя возможными состояния-
ми. — Прим. ред. пер.
10
Предисловие автора к английскому изданию
Мельникова используются: (1) детерминированный метод Мельникова
и (2) элементы теории случайных процессов. Во Введении (глава 1)
указано, что в первой части книги обсуждается теория Мельникова
для детерминированных систем. На первом этапе этот метод рассмат-
ривается как инструмент для анализа переходов в детерминированной
системе на плоскости, без обсуждения проблем хаотической динамики
(глава 2), затем устанавливается связь переходов с хаотической приро-
дой движения (глава 3). Эти разделы предназначены для читателей,
не знакомых с теорией динамических систем. В главе 4 изложены
необходимые элементы теории случайных процессов. В главе 5, на
основе материала предыдущих разделов, строится обобщение теории
Мельникова для стохастических систем на плоскости. Главы 2-5 со-
ставляют первую часть книги и посвящены теоретическим основам
метода Мельникова. Часть 2, включающая главы 6-12, посвящена
приложениям.
Материал глав 2-4 позволяет читателям, не знакомым с теорий
динамических систем и теорией случайных процессов, получить сведе-
ния, необходимые для решения прикладных задач. При этом не нуж-
но заглядывать в многочисленные специальные исследования, более
разработанные с математической точки зрения, но в меньшей степени
выделяющие сведения, необходимые для этой книги. Фундаментальные
результаты, представленные в главе 3, не используются в приложениях
и при первом чтении могут быть опущены. Вместе с тем, глава 3 необ-
ходима для понимания особенностей хаотической динамики систем,
в частности, для понимания стохастического резонанса.
В книге обсуждается до сих пор мало изученная связь между
стохастической и хаотической динамикой. По-видимому, это первая
публикация, в которой такая связь обсуждается и дается ее объяснение
с точки зрения теории Мельникова.
Каждая из глав второй части книги посвящена одной прикладной
задаче и может читаться независимо от других. Материал, содержа-
щийся в приложении, может быть при первом чтении опущен без
ущерба для понимания основных результатов.
Книга в значительной степени самодостаточна. Многочисленные
ссылки содержат дополнительные сведения. От читателя необходимы
знания, соответствующие примерно второму году обучения по курсу
прикладной математики, включая сведения о системах линейных диф-
ференциальных уравнений. Трудоемкие математические выводы сведе-
ны к минимуму. Исключения составляют выводы, связанные с постро-
ением функции Мельникова (глава 2 и приложение П1), и материал,
относящийся к отображению Смейла (глава 3). Эти результаты подчер-
кивают суть и красоту хаотической динамики.
Я очень обязан Джону Лайонсу и Ричарду Райту из Национального
Института Стандартов и Технологии за их постоянную поддержку
Предисловие автора к английскому изданию	11
моих усилий в области хаотической динамики, и Стефену Уигинсу из
Калифорнийского технологического института за его вдохновляющие
и полезные советы на начальной стадии моих исследований. С благо-
дарностью отмечаю поддержку Стивена Рамберга, Майкла Шлезингера
и Тома Суина из отдела инженерных разработок Управления морских
исследований. Майкл Фрай и Марек Франашек предложили много
оригинальных и стимулирующих идей, обогативших исследования,
представленные в этой книге. Их вклад, так же, как сотрудничество
Грэма Кука, Чарльза Хагвуда и Юдайи Сиватану отмечается с при-
знательностью. Я благодарен Кевину Кокли, Мирче Григориу, Агнессе
Ковалевой, Дэвиду Стерлингу, Тимоти Уоллену и рецензентам моей
книги из издательства Принстонского университета за критику и цен-
ные замечания. С большим удовольствием хочу упомянуть професси-
онализм и помощь редакторов Тревора Липскомба, Дэвида Айрленда
и Вики Керн, технического редактора Энн Райфснайдер и Дженнифер
Слайтер из издательства Принстонского Университета.
Автор признателен за разрешение воспроизведения рисунков 2.3,
2.4, 2.5 и 3.9 из книги Д.К. Эрросмита и С.М. Плейс “Введение в ди-
намические системы”, изданной Кембриджским университетом (1990).
Я посвящаю эту книгу Девре.
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ
При написании этой книги ставились две цели: развить на основе
метода Мельникова единый подход к исследованию хаотических пере-
ходов в нелинейных детерминированных и стохастических системах на
плоскости и продемонстрировать эффективность этого метода для при-
ложений, в особенности при изучении стохастических систем. Интерес
к методу Мельникова связан с возможностью построения критериев
возникновения хаоса для широкого класса технических, физических
и биологических систем.
Продемонстрируем возможности метода Мельникова на широко
известных экспериментах с магнито-упругой балкой. Эти эксперимен-
ты доказывают существование особого типа динамического поведения
системы, так называемого “детерминированного хаоса” [56]. Экспери-
ментальная установка состоит из (п) жесткой рамы, укрепленной на
платформе, совершающей горизонтальные периодические колебания,
(б) вертикально подвешенной балки, верхний конец которой закреплен
на раме, а нижний конец свободен и (в) двух одинаковых магни-
тов, установленных на одинаковых расстояниях от недеформированной
вертикальной оси балки (рис. 1.1). На балку действуют нелинейные
> Жесткая рама
Балка
N ' [ус ЛМ Магниты
V/7//Л
Вибрационный стол
Рис. 1.1. Магнитоупругая балка
чальных условий, балка приходит в
жений равновесия, и нижний конец
силы магнитного поля, линей-
ная восстанавливающая сила
упругости, вязкость окружаю-
щего воздуха, рассеяние энер-
гии в магнитном поле, а так-
же периодическое возбужде-
ние, порожденное горизонталь-
ным движением платформы.
Параметры системы и силы,
действующие на систему, не за-
висят от случайных парамет-
ров, т. е. система полностью де-
терминирована.
Если возбуждение отсутст-
вует, то, в зависимости от на-
одно из двух возможных поло-
балки останавливается ближе к
правому или к левому магниту. Кроме того, существует неустойчивое
положение равновесия, соответствующее вертикальному недеформиро-
ванному положению оси балки.
Гл. 1. Введение
13
Рис. 1.2. Типы устойчивых движений магнитоупругой балки при периодиче-
ском возбуждении: а — периодическое движение в одной из полуплоскостей,
вблизи одного из устойчивых положений равновесия; б — периодическое
движение в обеих полуплоскостях; в — нерегулярное движение с переходами
При периодическом возбуждении возможны три различных типа
устойчивого движения балки:
1.	Если возбуждение мало, то, в зависимости от начальных условий,
балка совершает периодические колебания в окрестности одного из
устойчивых положений равновесия. Движение происходит в полуплос-
кости, ограниченной вертикальной осью, проходящей через неустойчи-
вое положение равновесия (рис. 1.2, а); при подобном типе движения
траектории не выходит из этой полуплоскости.
2.	Если возбуждение велико, то балка совершает периодические
колебания вокруг неустойчивого положения равновесия и периодически
переходит из одной полуплоскости в другую (рис. 1.2,6).
3.	При среднем уровне возбуждения и при некоторых значениях
начальных условий и частот возбуждения возникает нерегулярное
устойчивое движение, хотя система остается детерминированной. С та-
ким поведением системы связано понятие детерминированного хаоса.
Балка начинает движение в окрестности одного из трех положений
равновесия, но затем совершает последовательные переходы, т. е. ко-
лебания в окрестности одного из положений устойчивого равновесия
переходят в колебания в окрестности другого устойчивого положения
равновесия, и обратно (рис. 1.2, в). Переходы нерегулярны, и детер-
минированное движение становится хаотическим. Выход траектории
из полуплоскости, ограниченной неустойчивым положением равновесия
рассматривается как выброс. Переход к движению внутри заданной
полуплоскости называется захватом. Последовательность выбросов
и захватов называется скачкообразным движением.
Это описание моделирует поведение динамической системы, т. е.
системы, состояние которой изменяется со временем в соответствии
с определенными математическими законами. В книге рассматрива-
14
Гл. 1. Введение
ются динамические системы, для которых характерны все три типа
поведения, представленных на рис. 1.2. В невозмущенном состоянии
такие системы имеют несколько устойчивых положений равновесия.
Динамика механических систем моделируется нелинейными диффе-
ренциальными уравнениями, отражающими соотношения между сила-
ми инерции, диссипативными силами, потенциальными силами, т. е.
силами, порожденными потенциалом системы и зависящими только
от перемещения (для рассмотренного примера это силы магнитного
поля и сила упругости пружины), и внешним возбуждением, явно
зависящим от времени. Эти составляющие появляются и в уравнениях,
моделирующих другие типы динамических систем.
Разнообразные технические или физические системы могут нор-
мально функционировать, если их устойчивое движение происходит
внутри некоторой допустимой области. Так, на рис. 1.2, а допустимые
перемещения ограничены вертикалью, соответствующей недеформиро-
ванной оси балки; перемещения, выходящие за границу допустимой
области, нежелательны. Однако существует и другие типы систем,
в основе функционирования которых лежат выбросы за границу неко-
торой ограниченной области. Это, к примеру, усилители теплообмена
или пучки нейронов.
Основное внимание будет уделяться системам с одной степенью
свободы, динамика которых зависит только от двух переменных, на-
пример, перемещения и скорости. Рассматриваются также системы
с медленно меняющейся третьей переменной. Условия возникновения
хаотических переходов в системах с одной степенью свободы при пе-
риодическом возбуждении были получены в основополагающей работе
В.К. Мельникова (1963). Эти условия вводят в рассмотрение функ-
цию Мельникова, зависящую от потенциальных и диссипативных сил
и возбуждения. Согласно условию Мельникова отсутствия хаоса,
хаотические переходы не возникают, если функция Мельникова не об-
ращается в ноль. Существование простых корней функции Мельникова
называется необходимым условием Мельникова возникновения хаоса.
Теория Мельникова предполагает, что возмущающие и диссипативные
силы в системы малы. Однако численное моделирование показывает,
что теоретические выводы справедливы для достаточно больших воз-
мущений. С этим связана возможность ее применения для широкого
класса возмущений.
Первоначально метод Мельникова был развит для анализа задач
ядерной физики, таких, как теория ускорителей элементарных частиц,
управляемая термоядерная реакция, и т. д. Впоследствии эти условия
нашли применение в разнообразных прикладных задачах. Перечислим
некоторые приложения, часть из которых обсуждается в последующих
главах:
—	электронные устройства, такие, как Джосефсоновские перехо- ,
ды [31] — см. раздел 2.4;
Гл. 1. Введение
15
—	крен корабля — угол бортовой качки не должен превышать
критическое значение, иначе кораблю опрокидывается [19];
—	продольные колебания поперечно нагруженной балка, при кото-
рых может возникнуть “прощелкивание”, т. е. движение, пересекающее
направление недеформированной оси балки [39];
—	встречное вращение эксцентрических цилиндров со смазочным
слоем, хаотическое движение в котором усиливает теплообмен [32];
—	вызванные действием ветра океанские течения вдоль континен-
тального шельфа с волнистым рельефом дна [1];
—	системы с управляющими воздействиями, предназначенными для
подавления или модификации хаотических движений [13], [43];
—	подавление хаотических колебаний в системе фазовой синхрони-
зации [8], [9].
Метод Мельникова можно трактовать как использование необходи-
мых условий Мельникова для оценки вероятности возникновения хао-
тических переходов. Первоначально этот метод был развит для систем
с одной степенью свободы и с периодическим возбуждением. Представ-
ляет интерес обобщение этих условий на системы с непериодическим
возбуждением. Такое обобщение было предложено для детерминиро-
ванных систем с квазипериодическим возбуждением, представляющим
собой сумму гармоник с несоизмеримыми частотами [97].
М. Фрай и Э. Симиу [28] предложили обобщение метода Мельни-
кова для стохастических систем — стохастический метод Мель-
никова. Стохастический аналог функции Мельникова называется про-
цессом Мельникова.
Если случайное возмущение ограничено, то стохастический метод
Мельникова можно рассматривать как естественное обобщение ори-
гинального метода Мельникова. Очевидный пример — системы с ди-
хотомическим шумом, представляющие интерес для электротехники
и химической физики. Если же случайное возмущение не ограничено,
то метод Мельникова не может гарантировать отсутствие хаоса. В то
же время, с помощью этого метода можно оценить нижнюю границу
вероятности отсутствия хаотических переходов или верхнюю границу
вероятности возникновения таких переходов на фиксированном интер-
вале времени.
В.К. Мельников [53] заметил, что различные типы динамического
поведения системы зависят от существования или отсутствия простых
корней некоторой введенной им функции. Однако этот результат был
получен слишком рано. В то время теория хаотической динамики была
еще недостаточно развита, чтобы связать один из выделенных типов
поведения с детерминированным хаосом. В последующие десятиле-
тия удалось установить, что условие существования простых корней
функции Мельникова для детерминированной системы с несколькими
устойчивыми положениями равновесия определяет необходимое усло-
вие возникновения не только переходов, но и хаоса (глава 3). В такой
системе переходы между различными состояниями чаще всего связаны
16
Гл. 1. Введение
с хаотическим движением. Недавно удалось установить, что переходы
между устойчивыми положениями равновесия в стохастической систе-
ме также могут ассоциироваться с хаотическим движением (глава 5).
Перечислим некоторые полезные для приложений свойства функ-
ции Мельникова. Спектральная функция Мельникова — функция ча-
стоты, зависящая от формы потенциала системы, — дает необходимую
информацию о том, какие частоты в спектре возбуждения особенно
существенны для возникновения переходов. В книге обсуждаются
некоторые способы использования этой информации, в частности:
—	построение эффективной стратегии управления для снижения
вероятности случайных выбросов. Используя информацию о свойст-
вах спектральной функции Мельникова, можно построить систему
управления, подавляющую именно те частотные компоненты, которые
способствуют выбросам из допустимой области. При отсутствии та-
кой информации ресурсы управления могут тратиться впустую или
направляться на подавление спектральных компонент, практически не
влияющих на возникновения выбросов;
—	моделирование стохастических систем, для которых характерны
хаотические переходы. Одно из интересных приложений в нейро-
физиологии — моделирование активности слухового нерва. Модель,
основанная на методе Мельникова, хорошо согласуется с экспери-
ментальными данными для периодического, почти-периодического или
широкополосного возбуждения даже в тех случаях, когда классическая
модель Фитцхью-Нагумо не работает. Кроме того, построенная модель
подтвердила, что в слуховом нерве возникает хаотическая динамика;
— анализ стохастического резонанса. Стохастическим резонансом
называется парадоксальный эффект, при котором соотношение сигнал-
шум в системе, на вход которой поступает полезный сигнал и помеха,
может, при некоторых условиях, возрастать при увеличении шума. Ин-
терпретация стохастического резонанса с помощью теории Мельникова
демонстрирует связь этого эффекта с хаотическим переносом, объясня-
ет роль спектральных составляющих шума в относительном усилении
сигнала и приводит к обобщению понятия стохастического резонанса.
Показано, что соотношение сигнал-шум может возрастать не только за
счет усиления шума, но и благодаря дополнительному гармоническому
возмущению. Такой способ может быть более эффективным.
Книга состоит из двух частей. Первая часть, включающая гла-
вы 2-5, посвящена теоретическим основам метода Мельникова. Во
второй части, включающей главы 6-12, рассматриваются различные
приложения. В главе 2 представлены элементы теории нелинейных
динамических систем, необходимые для развития метода Мельнико-
ва. Затем строится функция Мельникова и выводятся необходимые
условия Мельникова возникновения переходов. Предложен энергети-
ческий подход для вывода этих условий в одном частном случае.
Обсуждаются два полезных подхода, облегчающих анализ движений
непрерывных динамических систем. Первый из них — метод сечений
Гл. Г Введение
17

Пуанкаре, применимый для детерминированных систем с периодиче-
ским возбуждением. Второй — метод сечений фазового пространства,
применимый для систем с почти-периодическим возбуждением. Опре-
деляется связанный с переходами функционал, коэффициент переноса
фазового потока. Наконец, строится функция Мельникова и выводятся
необходимые условия возникновения переходов в системах с медленно
меняющимися параметрами.
В главе 3 показано, что переходы между устойчивыми положениями
равновесия могут возникнуть, если функция Мельникова системы
имеет простые корни. В этих случаях переходы связаны с хаотиче-
гЛ ским движением. Изложение начинается с определения канторовых
Qs множеств и фрактальной размерности. Затем рассматриваются хорошо
ЛК известное отображение — подкову Смейла и соответствующее ему
I \ отображение сдвига, и демонстрируется эквивалентность динамиче-
ского поведения, связанного с двумя типами отображений. Хаотиче-
ский характер движения доказывается с помощью вводимых понятий
символической динамики. Строгое математическое определение хаоса
включает его фрактальные свойства и чувствительность к начальным
условиям. Эти свойства, проявляющиеся при численном моделирова-
нии, могут служить указателем существования детерминированного
хаоса.
Глава 4 включает элементы теории случайных процессов, необ-
ходимые для развития стохастического метода Мельникова. Дают-
ся определения случайного стационарного процесса, корреляционной
функции, спектральной плотности, линейного фильтра, реакции линей-
ной системы и передаточной функции. Выводится соотношение между
спектральными плотностями процессов на входе и выходе системы.
Краткий обзор основных представлений теории вероятностей представ-
лен в Приложении П5.
Стохастический метод Мельникова развивается в главе 5. Показа-
но, что в стохастических системах также могут возникать переходы
между различными положениями устойчивого равновесия. Эти пере-
ходы практически неотличимы от детерминированного хаоса и также
чувствительны к начальным условиям. Такие движения будут назы-
ваться стохастическим хаосом, в отличие от обычных стохастических
движений, не обладающих характерными для хаоса свойствами. Для
того, чтобы применить метод Мельникова, достаточно воспользоваться
приближенным представлением случайного процесса в виде суммы гар-
моник. Благодаря этому стохастический метод Мельникова сводится
к тем же процедурам, которые используются в главах 3, 4 для систем
с периодическим или почти-периодическим возбуждением. На основе
стохастического метода Мельникова получены критерии отсутствия
переходов в системах с дихотомическим шумом. Оценивается влияние
спектра возмущения на среднюю частоту выбросов.
Во второй части книги рассматриваются разнообразные приложения
метода Мельникова. Глава 6 посвящена задаче потери устойчивости
18
Гл. 1. Введение
судна при бортовой качке при волнении. Глава 7 описывает применение
метода'Мельникова к задачам управления. Интерпретация стохастиче-
ского резонанса с помощью метода Мельникова предложена в главе
8. Из этой интерпретации вытекает ряд полезных результатов, также
представленных в этой главе. В главе 9 этот метод используется
для вычисления частоты среза при экспериментальном моделировании
шума, действующего на нелинейную систему. Инженерная задача о
потере устойчивости выпученной балки при случайной поперечной
нагрузке изучается в главе 10. Глава 11 посвящена использованию
метода Мельникова в океанографии: обсуждается проблема динамики
прибрежных течений под действием ветра при волнистом рельефе оке-
анского дна. В главе 12 обсуждается приложение метода Мельникова
к задаче нейрофизиологии при моделировании слухового нерва как
хаотической динамической системы.
ЧАСТЬ 1
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА
МЕЛЬНИКОВА
ГЛАВА 2
ПЕРЕХОДЫ В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ
СИСТЕМАХ И ФУНКЦИЯ МЕЛЬНИКОВА
Основная задача этой главы — показать, что необходимое условие
возникновения переходов между положениями равновесия в детер-
минированной системе с одной степенью свободы — существование
простых нулей функции Мельникова. Прежде, чем построить функ-
цию Мельникова, введем в рассмотрение ряд простых определений
и результатов теории нелинейных динамических систем. Затем изучим
частный случай невозмущенной системы, т. е. интегрируемой системы
при отсутствии диссипативных сил и внешнего возбуждения. Для
этого потребуется рассмотрение двух множеств, играющих основную
роль в динамике системы и называемых устойчивым и неустойчивым
многообразиями. Будет показано, что в невозмущенной системе эти
многообразия непроницаемы, т. е. переходы между ними невозможны.
Затем исследуем ту же систему под действием диссипативных и возму-
щающих сил и рассмотрим подобие устойчивого и неустойчивого мно-
гообразий для возмущенной системы. Мы построим функцию Мельни-
кова, от свойств которой зависят свойства устойчивого и неустойчивого
многообразий возмущенной системы и связанная с ними возможность
возникновения переходов. В частности, используя геометрию многооб-
разий, мы объясним, почему возникновение переходов связано с суще-
ствованием простых нулей функции Мельникова. Основное внимание
уделяется двумерной системе с переменными и а?2, но рассмотрена
и трехмерная система с медленно меняющейся третьей переменной.
Кратко представим материал каждого раздела. В §2.1 рассмат-
ривается движение интегрируемой системы на плоскости. Поведение
системы зависит от свойств ее неподвижных точек. Предваряя гео-
метрическое описание динамики системы, мы обсудим методы опре-
деления неподвижных точек и исследования их устойчивости. Теория
20
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
иллюстрируется примером стандартного уравнения Дюффинга '). Вво-
дятся понятия отображений и их неподвижных и периодических точек,
используемые в дальнейшем при развитии фундаментальных идей.
В § 2.2 мы определим два особых типа траекторий невозмущен-
ной интегрируемой системы: гомоклинические и гетероклинические
траектории, соединяющие неустойчивые особые точки. На плоскос-
ти	сепаратрисы могут рассматриваться как совпадающие од-
номерные множества, соответствующие устойчивому и неустойчивому
многообразиям. Геометрическое представление этих множеств и свя-
занных с ними сепаратрис невозмущенной системы приводит к выводу
о невозможности возникновения переходов. Мы рассмотрим примеры
систем с гомоклиническими и гетероклиническими траекториями.
В § 2.3 вводятся необходимые сведения для построения функции
Мельникова. Мы представим устойчивое и неустойчивое многообра-
зия интегрируемой системы как совпадающие двумерные множества
в трехмерном пространстве {a?i,t}. Придерживаясь геометрического
подхода, мы рассмотрим трансформацию этих многообразий при воз-
мущении системы достаточно малыми диссипативными и внешними
силами, т. е. при превращении системы в квази-интегрируемую систе-
му. Устойчивое и неустойчивое многообразия возмущенной системы не
совпадают. Щель между устойчивым и неустойчивым многообразиями,
называемая расстоянием Мельникова, зависит от положения точек по
отношению к невозмущенной гомоклинической траектории.
В § 2.4 вычисляется функция Мельникова, в первом приближении
пропорциональная расстоянию Мельникова. В § 2.5 показано, что
функция Мельникова двумерной динамической системы с гармони-
ческим возбуждением может рассматриваться как реакция линейного
фильтра. Частота сигнала на выходе фильтра равно частоте возбуж-
дения, а амплитуда пропорциональной так называемой спектральной
функции Мельникова * 2). Мы приведем примеры функций Мельникова
для систем, имеющих гомоклинические или гетероклинические невоз-
мущенные траектории, и получим выражение функции Мельникова
при квазипериодическом возбуждении. Это выражение используется
в главе 5 для развития стохастического метода Мельникова. В § 2.6
будет показано, что, если функция Мельникова имеет простые нули,
то устойчивые и неустойчивые многообразия возмущенной системы пе-
ресекаются трансверсально. В частном случае этот результат допускает
энергетическую интерпретацию.
В § 2.7 мы покажем, что пересечение устойчивого и неустойчивого
многообразий образует особую геометрическую структуру, называемую
гомоклинической структурой. Мы исследуем эту структуру, рассмат-
ривая пересечение многообразий с плоскими сечениями, перпендику-
') В оригинале уравнение Дюффинга с отрицательной линейной частью
названо уравнением Дюффинга-Холмса. — Прим. ред. пер.
2)В оригинале — Melnikov scale factor. — Прим. ред. пер..
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 21
лярными к временной оси t в трехмерном пространстве {xj, х%, £}
Для систем с периодическим возбуждением сечения, разделенные ин-
тервалом времени, равным периоду колебаний, называются сечениями
Пуанкаре. Рассмотрение сечений Пуанкаре позволяет упростить зада-
чу: вместо исследования непрерывной динамики в системе дифферен-
циальных уравнений, можно изучить динамику системы с дискретным
временем, с шагом, равным периоду возбуждения, т. е. отображение
Пуанкаре. Аналог сечения Пуанкаре для системы с квазипериоди-
ческим возбуждением называется сечением фазового пространства.
Гомоклинические структуры в отображениях Пуанкаре и сечения фа-
зового пространства позволяют объяснить механизм возникновения
переходов в возмущенной системе, невозможных в той же системе при
отсутствии возмущений.
Мы определим коэффициент переноса в фазовом пространст-
ве *) как меру частоты возникновения переходов. В следующих главах
будет показано, что этот параметр полезен для решения прикладных
задач.
В § 2.8 рассматривается случай системы с медленно меняющими-
ся параметрами. Динамика системы определяется тремя уравнениями
для переменных xj, Х2, хз, одна из которых медленно меняется во
времени. Получено выражение функции Мельникова и связанные с ней
условия возникновения переходов. Мы отметим ограничения метода
Мельникова в системах, не содержащих медленно меняющихся пара-
метров.
Рассмотрение понятия хаоса отложено до главы 3. Будет пока-
зано, что для двумерной системы, имеющей функцию Мельникова,
детерминированное движение с переходами чрез сепаратрису может
рассматриваться как хаотическое.
2.1.	Потоки и неподвижные точки.
Интегрируемые системы. Отображения:
неподвижные и периодические точки
Для развития теории Мельникова необходимо иметь представление
об основных элементах теории нелинейных динамических систем. Раз-
делы 2.1.1 и 2.1.2 содержат определения и процедуры, относящиеся
как к системам с непрерывным времени (потокам), так и к системам
с дискретным временем (отображениям).
2.1.1.	Фазовые потоки. Неподвижные точки и их устойчивость.
Устойчивость. Интегрируемые системы. Рассмотрим систему обык-
новенных дифференциальных уравнений с непрерывным временем
x=f(x),	(2.1.1а)
!) В оригинале — phase space flux factor. — Прим. ред. пер..
22
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Где х = x(t) = (a?i, Ж2,...,хп)т 6 R" - векторная функция независи-
мой переменной t, f = (/i, /2. • • . fn)T ~ гладкая векторная функ-
ция, называемая векторным полем ') и определенная на некотором
множестве D С R"; точка означает производную по времени t. Го-
ворят, что векторное поле f порождает фазовый поток $t:	> R",
где = ф(х, t) — гладкая функция, определенная для всех х Е D
и t С R. Решение уравнения (2.1.1а), удовлетворяющее начальному
условию x(to) = xq Е D, записывается как x(xo,to;t). Альтернативное
представление этого решения имеет вид 0(xo,t), так что ^>(xo,to) = хо-
Фазовый поток может рассматриваться как множество всех решений
уравнения (2.1.1а) с начальными условиями из множества D С Rn, на
котором определена функция f.
Предположим, что f е С1 в области D, -включающей начальную
точку хо 2). Предположим также, что существует некоторая постоян-
ная а > 0, такая, что уравнение (2.1.1а) с начальным условием x(to) =
= хо имеет единственное решение x(t) в интервале времени [to — о-,
to + а].
Перепишем уравнение (2.1.1а) в виде системы скалярных урав-
нений
2-1 = fl (27[, 372, • • - , 27п),
272 =	372,...,37„),
(2.1.1Ь)
Хп — /п(т71,272,  • • , 27п).
Если переменная t не входит явно в уравнения, то фазовый поток
называется автономным. Пространство переменных 371,372.......27п на-
зывается фазовым пространством, а в случае п = 2 — фазовой плос-
костью. Представление движения на фазовой плоскости называется
фазовым портретом системы.
Приводимые ниже определения и преобразования иллюстрируются
примером 2.1.1.
Неподвижная точка (также называемая положением равновесия,
стационарным решением, особой точкой или критической точкой) —
это решение уравнения (2.1.1), такое, что из условия 27i(to) = 37ю,
272(to) = 2720  27„(to) = Хп0, Следует 371(t) = 371o, 372(t) = Ж20, • • •
.... 37„(t) = 37по для всех t. Координаты неподвижной точки З7ю, 2720,  - •
... ,27по находятся как решение уравнения
Л(27ю, 2720,..., 27710) = 0 (t = 1,2.П),
0 Векторы обозначены прямым жирным шрифтом; транспонирование
вектора-строки (/1,/г../п) обозначенное как (/ь/г,  • ,/п) , определяет
вектор-столбец с компонентами f\, /2,.... fn.
2) Символ f Е Ck в некоторой области означает, что функция f и ее
производные вплоть до порядка к существуют и непрерывны в этой области.
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 23
означающего, что скорости движения по всем координатам т,, х2,  • -хп
обращаются в ноль в неподвижной точке (жю, £20.  • - ^по) (см. уравне-
ния (2.1.1b)).
Рассмотрим решение вида
Xi(t) = Xjo + 8хг(б) (г = 1,2,... ,п),	(2.1.1с)
где 8xi(t) ~ малое отклонение от неподвижной точки Xi0 (г =
— 1,2, ...,п). Подставив решение (2.1.1с) в уравнение (2.2.1b) и пре-
небрегая нелинейными слагаемыми по <5xj(i), получим уравнение в ва-
риациях
d[8xi(t)]/dt = ^^aij8xj(t) (i=l,2....n),	(2.1.2)
j=i
коэффициенты = dfi/dxj вычисляются в неподвижной точке. В ли-
нейном приближении уравнения (2.1.2) позволяют судить о том, оста-
нутся ли решения в малой окрестности неподвижной точки, т. е. судить
об устойчивости неподвижной точки в линейном приближении.
Поведение решения линейной системы (2.1.2) зависит от собствен-
ных чисел матрицы {ay(i)}. Если все собственные числа имеют от-
рицательные действительные части, то все решения, начинающиеся
в окрестности неподвижной точки, сходятся к ней при t —» со. Такая
неподвижная точка представляет собой устойчивый узел, или сток.
Если все собственные числа имеют положительные действительные
части, то неподвижная точка — неустойчивый узел, или источник.
Если существуют собственные числа как с отрицательными, так и с по-
ложительными действительными частями, то неподвижная точка назы-
вается седловой точкой. Если все собственные числа чисто мнимые,
то неподвижная точка называется центром.
Рассмотрим частный случай системы на плоскости (п = 2). Пред-
положим, что существует функция Н(хх, х^) 6 С2 такая, что
/1 = дН/дх2, f2 = -дН/дх\.	(2.1 .За,Ь)
Функция Н(х\,х2) называется функцией Гамильтона, или гамиль-
тонианом. Система (2.1.1) принимает вид
±1 = дН/дх2,	(2.1.4а)
х2 — -дН/дхх,	(2.1.4b)
Система	(2.1.4)	принадлежит к классу систем,	называемых гамиль-
тоновыми	системами.	Неподвижная точка	(ацо.^го)	определяется
как решение уравнений
дН/дх2 = —дН/дхх = 0.
24
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Матрица коэффициентов системы уравнений в вариациях имеет вид
(д2Н/дх2дх\ д2Н/дх2 \ /о
у ~д2н/дх\ -d2H/dxidx2) ~ V ~а)’
где производные вычисляются в неподвижной точке. Собственные чис-
ла матрицы находятся как решения характеристического уравнения
(а — А)(—а — А) — Ъс = О,
т. е. Адг — ±(а2 + Ьс)1/2. Если а2 + Ьс>0, т. е. все собственные чис-
ла действительные и разных знаков, то неподвижная точка системы
гиперболического типа (седловая точка). Если а2+Ьс<0, т.е. все
собственные числа — чисто мнимые, то неподвижная точка — центр.
Из соотношения
d.H/dt = (dH/dx^ii + (дН / дх2)х2
следует, что dff/dt = 0, или H(xi,x2} = const.
Рассмотрим гамильтонову систему с коэффициентами
fi=x2, f2 = -V'(xt)	(2.1.4c,d)
и гамильтонианом Н = х^/2 + V(^xi'). Если уравнения (2.1.4a)-(2.1.4d)
описывают механическую систему, то функция Н соответствует пол-
ной энергии системы, т. е. сумме ее кинетической и потенциальной
энергии ’). Уравнения (2.1.4a)-(2.1.4d) могут быть переписаны в виде
(2.1.5)
В частном случае H(xi,x2) = ж|/2 + V(a?i) решение уравнений
(2.1.4а), (2.1.4b) может быть найдено делением уравнения (2.1.4b)
на уравнение (2.1.4а) и разделением переменных. Первый интеграл
приводит к соотношению
X2 = ±[-2V(i1)+C1]1/2.	(2.1.6)
Второй интеграл можно получить, записав x2=dxi/dt и разделив
переменные дц и t в уравнении (2.1.6).
Пример 2.1.1. Интегрируемая динамическая система с двумя
центрами и одной седловой точкой-, стандартный осциллятор
Дюффинга. Для иллюстрации изложенных определений и процедур
рассмотрим подробно систему (2.1,4a)-(2-.-1.4d) с потенциалом
П(х!) = -^/2 + ^/4.	(2.1.7)
Такая система называется стандартным осциллятором Дюффинга.
’) В этом случае система (2.1.4) называется консервативной системой. —
Прим. ред. пер.
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 25
Рис. 2.1. а — потенциал с двумя ямами; б — фазовый портрет уравнения
Дюффинга. Гомоклинические траектории исходят из седловой точки О и вхо-
дят в нее же. Периодические траектории, соответствующие движению внутри
потенциальной ямы, лежат внутри области, ограниченной гомоклиническими
траекториями, вокруг одного из центров С или С. Периодические траектории,
соответствующие движению вне потенциального барьера, лежат вне области,
ограниченной гомоклиническими траекториями. Гомоклинические траектории
представляют собой сепаратрисы, разделяющие два типа движения; в — разло-
жение вектора сил,, действующих на материальную точку, движущуюся вдоль
потенциальной кривой без воздействия трения или внешнего возбуждения
Потенциальная функция (2.1.7) называется потенциалом с дву-
мя потенциальными ямами; ямы разделены потенциальным барьером
(рис. 2.1, а). Рассмотрим скольжение частицы вдоль кривой V(a?i) под
действием единичной силы тяжести F. Силу F можно разложить на
две составляющих, нормальную составляющую N, не оказывающую
влияния на движение частицы, и горизонтальную составляющую Н,
вызывающую движение частицы (рис. 2.1, в). Поскольку абсолютная
величина силы F определена как F— 1, то абсолютная величина
силы Н равна Н =	= V'(xi). Сила Н и ось Ох\ имеют проти-
воположные направления; это соответствует знаку ” в правой части
уравнения (2.1.5). Тот же результат можно получить, рассматривая
баланс сил F, N и Н вдоль ветвей, кривой V(a?i), имеющих отрица-
тельную производную.
Положив /1=/2 =0> определим неподвижные точки системы
(2.1.4a)-(2.1.4d) как (0,0), (—1,0) и (1,0). На фазовой плоское-
26	Часть 1 Теоретические основы метода Мельникова
ти {х^хг} (рис. 2.1,6) эти точки обозначены как О, С и С,
соответственно.
Исследуем устойчивость неподвижных точек, используя уравнения
в вариациях. Подставляя в уравнения (2.1.4a)-(2.1.4d) переменные
Xi(t) = xi0 + 5a?i(t) (г =1,2),
fi(x},x2) = fi(xw,X2o) + {д^/дх1)\^=Хю5х1 +
+ Шдх2)\х^6х2 (г=1,2),
получим уравнения в вариациях в виде
d{ox\)/dt = 5х2,	(2.1.8а)
d(ux2)/dt = (1 — 3x2)5xi.	(2.1.86)
Решение уравнений (2.1.8) имеет вид
Ьх\ = uliS exp(Ast), 5х2 = u2,s exp(Ast),
— Чч exp(Aut), 6x2 = u2,x exp(Aui).
Пусть A = {%} (i,j=l,2) — матрица коэффициентов уравне-
ний (2.1.8), т. e. ац = а22 = 0, ai2 = 1, а22 = 1 — Зх2. Подставляя экс-
поненциальное решение 5х\, 5х2 в уравнения (2.1.8), получим систему
ацИ1,5 + <212112,5 = АзИцз,	(2.1.9а)
<221111,5 +<222122,5 = ASU2,5.	(2.1.9Ь)
и аналогичную систему уравнений для собственных чисел Хи. Собст-
венные числа Au and A.s ищутся как решения характеристического
уравнения |А — А/| = 0, где I — единичная матрица второго порядка,
|А — АР| — определитель матрицы (Л —АР). Таким образом, характе-
ристическое уравнение принимает вид
!-м А|-	<2110>
Его решения определяются выражениями
Au,s = ±(l-Зх2)1/2.	(2.1.11)
Неподвижной точке О (xj = 0) соответствует решение Хи = 1,
Xs — — 1. Следовательно, О — седловая точка.
Используя первое из уравнений (2.1.9) и учитывая, что ац = 0,
<212 — И получим уравнения коэффициентов
112,5/111,5 =-1,	(2.1.12а)
(2.1.12b)
112,u/lll,u Е
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 2Л
Собственные числа, вычисленные в точках С и С, чисто мнимые.
Как указывалась выше, такие точки называются центрами.
2.1.2.	Отображения. Неподвижные точки и их устойчивость.
Периодические точки. Под отображением понимают динамическую
систему, рассматриваемую в дискретные целочисленные моменты вре-
мени. Изучим п-мерное отображение
— f'j (2- li> *^2г»  • • »*^тгг) > j 1,2,...,71.	(2.1.13)
При заданных начальных условиях а?ю, ^го.  - , %по первая и (А: + 1)-я
итерации имеют вид
aji = №ю. £20. ---.з^о).	(2.1.14)
— fj (ct: I fc, 2?2fc,   • , SCnk') — fj (зцО. 2120, - • - » 37no).	(2.1.15)
Верхний индекс (fc+ 1) в уравнении (2.1.15) означает порядок ите-
рации. Координаты периодической точки периода т определяются
соотношениями
Xjm = f^{xio,x2o,... ,xn0) = Xj0, j = l,2,...,n.	(2.1.16)
Неподвижная точка может рассматриваться как периодическая
точка периода 1.
По аналогии с §2.1.1, можно показать, что устойчивость перио-
дической точки в линейном приближении определяется собственными
числами матрицы
л={э/г/а1(|1=1о}.	(2.1.17)
Если абсолютные значения всех собственных чисел А матрицы А
отличны от единицы, то имеем периодическую точку гиперболического
типа. Если часть собственных значений по абсолютной величине боль-
ше единицы, а другая часть — меньше единицы, то это точка седлового
типа. Если все собственные числа по модулю меньше единицы, то
периодическая точка представляет собой устойчивый узел, или сток,
и решения, начинающиеся в окрестности этой точки, сходятся к ней.
Если все собственные числа по модулю больше единицы, то периодиче-
ская точка представляет собой неустойчивый узел, или источник. Если
все собственные числа по модулю равны единице, то периодическая
точка называется центром.
Пример 2.1.2. Неподвижные точки одномерного отображения
и их устойчивость. Рассмотрим неподвижные точки одномерного
отображения
£ц = 2 2:10(2:10 - 1)-
Уравнение (2.1.16) при т = 1 принимает вид
2:10 = 2 2:10(2:10 — 1).
28	Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
т. е. система имеет две неподвижных точки с координатами 2,’ю = О
и з?20 = 3; и матрица А (2.1.17) состоит из одного элемента
d - 1)] /^11	= - Й |
J /	1Х|=210	\	А,/ 1х1=а?10
Неподвижной точки а?ю =0 соответствует |А| = 1/2, т. е. неподвижная
точка устойчива. Для неподвижной точки ггго — 3 имеем |А| = 2,5, т. е.
неподвижная точка неустойчива.
2.2.	Гомоклинические и гетероклинические
траектории. Устойчивые и неустойчивые
многообразия
В этом разделе мы определим математические объекты, называемые
устойчивыми и неустойчивыми многообразиями. Существование пере-
ходов в системе зависит от поведения этих многообразий.
Рассмотрим движение точки в консервативной системе с потен-
циалом, представленным на рис. 2.1, а. Пусть в начальный момент
времени точка находится внутри потенциальной ямы, ниже потен-
циального барьера, и начинает двигаться с нулевой скоростью из
точки А (или Д') с ординатой V(zi) <0. Частица будет совершать
периодические колебания вокруг центра С (или С'), расположенного
на дне потенциальной ямы. На фазовой плоскости {ал.яг} траектория
движения представляется замкнутой кривой, окружающей центр С
(или С")- Если частица начинает движение из точки В с ординатой
Н(гЕ1) > 0, то она будет совершать периодические колебания вокруг
седловой точки О, и периодически переходить из одной потенциальной
ямы в другую. В зависимости от начального положения и начальной
скорости (т. е. в зависимости от начальной энергии), точка будет
двигаться по какой-либо периодической траектории, топологически
подобной представленным на рис. 2.1,6.
Частицы, чья полная энергия в начальный момент равна х^/У. 4-
+ V(x1)^V(0) (т. е. движение начинается с нулевой скоростью из
точки D или D' на рис. 2.1, а) движутся по траектории с бесконечно
большим периодом. На рис. 2.1,6 представлено движение вдоль этой
траектории. Частица начинает двигаться от седловой точки вдоль
собственного вектора, соответствующего неустойчивому движению,
и вновь приближается к седловой точке, двигаясь вдоль собственно-
го вектора, соответствующего устойчивому движению. Говорят, что
точка движется вдоль неустойчивого многообразия, соединяющего
седловую точку с самой собой. При движении в обратном направле-
нии (в отрицательном времени), частица выходит из седловой точки
вдоль собственного вектора, соответствующего устойчивому движе-
нию, и приближается к седловой точке вдоль собственного вектора,
соответствующего неустойчивому движению. Можно сказать, что в об-
ратном времени частица движется вдоль устойчивого многообразия,
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 29
соединяющего седловую точку с самой собой. Отметим, что в этой
задаче устойчивое и неустойчивое многообразия совпадают. Тра-
ектории, выходящие из седловой точки и входящие в ту же точку,
называется гомоклиническими траекториями.
Пример 2.2.1. Гомоклинические траектории стандартного ос-
циллятора Дюффинга. Уравнения гомоклинических траекторий стан-
дартного осциллятора Дюффинга (2.1.4), (2.1.7) могут быть найдены
так же, как и в разделе 2.1.1 (уравнение (2.1.6)). Гомоклинические
траектории определены вектором
хд(0 = {^1(0. a^2W}T.
•
где знаки “+” и ” определяют траектории в положительной и от-
рицательной (по оси а?1) полуплоскости. В результате интегрирования
при начальных условиях х^ = ±\/2,	= 0 получим
{x^(t), xfyj;)} = {iv^secht, secht tanht}.	(2-2-1)
На рис. 2.1, а начальные условия \/2 соответствуют положениям D
и D'.
Пример 2.2.2. Гетероклинические траектории в радиочастот-
ных джосефсоновских переходах. Траектории, соединяющие различ-
ные седловые точки, называются гетероклиническими. Гетероклини-
ческие траектории, как и гомоклинические, состоят из совпадающих
устойчивого и неустойчивого многообразий.
Рассмотрим системы (2.1.3) и (2.1.4), положив
V'(x) = asinxj.
(2.2.2)
Система, описывающая движение маятника без диссипации, соответ-
ствует модели электронного устройства, называемого радиочастотным
джозефсоновским переходом (§ 2.4).
Положив Х2 = 0, sin.T[=0, найдем неподвижные точки систе-
мы (2.1.4) в виде
Xi = ±fc?r (/с = 0,1,2,...), я?2 — 0-	(2.2.3)
При к = 0, ±2, ±4,... получим седловые точки, при к = ±1, ±3,... —
центры. Каждая седловая точка соединяет соседние гетероклинические
траектории. Уравнения гетероклинической траектории строятся с помо-
щью тех же преобразований, что и уравнения в (2.1.6) раздела 2.2.1.
В результате получим
{rr/ii(i), Xh2(t)} = {arctg“'[exp(a1//2t), 2о№ sech(a!/,2t} (2.2.4a,b)
при 0 xi 2тг, Ж2 > 0.
На рис. 2.2 показаны траектории движения как внутри области,
ограниченной гетероклинической траекторией, так и вне ее. Для маят-
ника первый тип движений называется либрацией (от латинского “либ-
ра”, т. е. равновесие), второй тип движения, при котором происходят
периодические переходы через неустойчивое положение равновесия,
30
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Рис. 2.2. Фазовый портрет стандартного маятника без трения
называется вращением. Эти термины будут • использоваться и для
характеристики движений в системах с несколькими положениями
равновесия (рис. 1.2, а и 1.2,6).
Движение вдоль гомоклинических и гетероклинических траекто-
рий может рассматриваться как предельный случай периодических
движений, возникающих внутри области, ограниченной этими тра-
екториями, при стремлении периода к бесконечности. Траектория,
возникающая вне или внутри области ограниченной совпадающими
устойчивым и неустойчивым многообразиями, не может пересечь эти
многообразия (см. рис. 2.1,6 и 2.2). Это следует из единственности
решения: если бы такое пересечение произошло, то через точку пе-
ресечения проходили бы различные траектории системы, одна — при-
надлежащая многообразию, и другая — пересекающая многообразие.
Совпадающие устойчивое и неустойчивое многообразия образуют си-
стему гомоклинических или гетероклинических орбит — сепаратрис.
Существование сепаратрисы в консервативной системе препятствует
возникновению движений с переходами, такими, как на рис. 2.1, в.
В дальнейшем мы покажем, что движения с переходами могут возни-
кать в системах с внешним возбуждением и диссипативными силами.
В следующих главах исследуется движение систем на плоскости
при наличии внешнего возбуждения и диссипативных сил. Возму-
щения превращают интегрируемую систему в неинтегрируемую (при
малых возмущениях система называется квазиинтегрируемои). Один
из эффектов, порождаемых возмущением — расщепление устойчивых
и неустойчивых многообразий. Будет показано, что это расщепление
приводит к простому критерию, позволяющему определить область па-
раметров системы, для которых возмущенная траектория может пере-
сечь сепаратрису невозмущенной системы. Следовательно, необходимо
вычислить расстояние между устойчивым и неустойчивым многообра-
зиями. Это расстояние, зависящее от параметров системы, называется
расстоянием Мельникова. Будет показано, что удобнее вычислять не
расстояние, а приближенно пропорциональную ему функцию Мельни-
кова. Подготовительная работа для вычисления этой функции прово-
дится в следующем разделе.
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 31
2.3.	Устойчивые и неустойчивые многообразия
в трехмерном фазовом пространстве {жх, ж2, £}
Устойчивое и неустойчивое многообразия на фазовой плоскости
интегрируемой системы {ггх.ггг} представлены на рис. 2.2. В неавто-
номных возмущенных системах время явно входит в описание многооб-
разий и, как будет показано в разделе 2.4, в формулу их расщепления.
В связи этим и в связи с необходимостью рассмотреть в дальней-
шем случай непериодического возбуждения, представим многообразия
в трехмерном пространстве {х\, X2,t}-
2.3.1.	Невозмущенные системы. Рассмотрим трехмерное фазо-
вое пространство с ортогональными осями координат Oxi, 0x2, Ot
Рис. 2.3. Устойчивое и неустойчивое многообразия невозмущенной системы.
Траектория, принадлежащая многообразиям, задана координатой t0 точки Ро,
в которой она касательна к неподвижной образующей Lq. Точка Р, лежащая
на этой траектории, задана двумя координатами, to, определяющей траекторию,
и (t — to), определяющей время движения от Ро к Р
(рис. 2.3). Мы хотим представить в этом пространстве те траекто-
рии, которые на фазовой плоскости {11Д2} соответствуют гомокли-
ническим или гетероклиническим траекториям '). С этой целью мы
построим в трехмерном пространстве вертикальную цилиндрическую
поверхность, направляющая которой состоит из гомоклинических тра-
екторий рассматриваемой системы. На плоскости t = const координаты
этих траекторий определены как	Пересечение оси Го = Ot
с плоскостью t = const соответствует седловой точке гомоклинической
траектории в этой плоскости.
’) В дальнейшем, если нет специальных указаний, все утверждения, отно-
сящиеся к гомоклиническим траекториям, переносятся на гетероклинические
траектории без дополнительных упоминаний.
32
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
По определению, цилиндрическая поверхность состоит из множест-
ва траекторий в пространстве {rci,rc2.таких. что их проекции на
горизонтальную плоскость {гдьХг} образуют гомоклинические траекто-
рии системы. Это множество состоит из двух подмножеств. Первое —
подмножество траекторий, отходящих асимптотически от оси Го = Ot
и вновь приближающихся к ней при t —» со, т. е. соответствующих
траекториям на плоскости {a?i, х%}, асимптотически приближающимся
к седловой точке в прямом времени (рис. 2.1,6); второе — подмно-
жество траекторий, приближающихся к оси Го при t —> — со, т. е.
соответствующих траекториям на плоскости {a?i, х%}, асимптотически
приближающимся к седловой точке в обратном времени. Эти два под-
множества называются неустойчивым многообразием ТУи(Го) и устой-
чивым многообразием ТУ5 (Го) системы, соответственно. На рис. 2.3
видим, что устойчивое и неустойчивое многообразия совпадают, т. е.
цилиндрическая поверхность на рис. 2.3 представляет собой пересече-
ние устойчивого и неустойчивого многообразий РУи(Го) П М^(Го). Это
трехмерный пространственный аналог совпадения гомоклинических
траекторий, приближающихся к седловой точке в прямом и обратном
времени на фазовой плоскости
Неустойчивое многообразие может рассматриваться как объедине-
ние двух множеств. Первое подмножество — поверхность, содержа-
щаяся в е-окрестности Го и называемая локальным неустойчивым
многообразием. Второе подмножество — глобальное неустойчивое мно-
гообразие, состоящее из множества траекторий, развивающихся в пря-
мом времени, с начальными условиями, принадлежащими локальному
неустойчивому многообразию. Аналогично определяются локальные
и глобальные устойчивые многообразия. В Приложении 2 показано,
как использовать локальные многообразия для численного построения
глобальных многообразий.
Устойчивые и неустойчивые многообразия инвариантны, т. е. об-
ладают следующим свойством: если некоторая точка траектории при-
надлежит многообразию, то и вся траектория принадлежит этому
многообразию. Множество Го называется нормальным гиперболиче-
ским. По существу, это означает, что малый вектор, содержащийся
в локальном неустойчивом многообразии и направленный по нормали
к Го, изменяется быстрее, чем вектор, параллельный к Го.
Система координат для устойчивых и неустойчивых многообразий
представлена на рис. 2.3. Определим вертикальную линию отсчета Lq,
содержащуюся в многообразиях и пересекающую плоскости t — const
в точках с координатами хд(0). Траектория, принадлежащая много-
образиям, определена координатой to точки Ро, в которой траектория
касательна к Lo- Произвольная точка Р этой траектории определена ко-
ординатой to, задающей всю траекторию в целом, и координатой t — to,
представляющей сдвиг во времени между точками Р и Ро. Координата
точки Р на плоскости {зй.ггг} записывается как x/l(t —to). В част-
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 33
ности, как указано выше, координата точки Pq в этой плоскости есть
хд(*о ~ to) = хд(0).
2.3.2.	Возмущенные системы. Рассмотрим возмущенную систему
х = f(x) +£g(x, i),
где х= (a?i,a;2)T, f = (/i,/2)T, g = (£i.g'2)T- Предположим, что 0<
<£<С I, функции f и g ограничены в Сг, г 2, и невозмущенная
система (уравнение (2.3.1) при е = 0) имеет гомоклиническую траекто-
рию хд = (ящ, хд2)т с седловой точкой О в начале координат.
При этих предположениях возмущение преобразует ось Го в глад-
кую кривую Ге, расстояние которой от Го имеет порядок е и зависит
от времени t (рис. 2.4). Возмущенная система имеет локальные
Рис. 2.4. Устойчивое и неустойчивое многообразия возмущенной системы [3].
Расстояние между расщепленными многообразиями в точке Р невозмущенного
многообразия обозначено сплошной линией, проходящей через Р. Сечения
невозмущенного многообразия плоскостью St обозначены штриховой линией,
проходящей через Р
устойчивое и неустойчивое многообразия. Пересечение этих многооб-
разий с плоскостью сечения Сг-близко к пересечению с этой плоско-
стью соответствующих локальных многообразий невозмущенной систе-
мы '). Предыдущее утверждение составляет суть теоремы существо-
вания [21]. Множество Ге, как и Го, нормально гиперболическое.
Определения глобальных устойчивого и неустойчивого многообра-
зий И/Г-5(Ге) и IVй (Г£) аналогичны соответствующим определениям для
невозмущенной системы. Как отмечалось выше, возмущенные устойчи-
вое и неустойчивое многообразия, в отличие от их невозмущенных ана-
логов, не совпадают. Разделяющее их расстояние зависит от положения
1)Два элемента называются С'-близкими, если сами элементы и г их
первых производных отличаются на величину порядка е (в той же норме).
34
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
невозмущенного многообразия. На рис. 2.4 показано это расстояние
в точке Р невозмущенного многообразия. Пересечение этого многооб-
разия с плоскостью Et представлено пунктирной линией. В следующем
разделе мы докажем, что в первом приближении абсолютная величина
этого расстояния пропорциональна функции Мельникова, и вычислим
эту функцию.
2.4.	Функция Мельникова
В этом разделе получим выражение функции Мельникова. В § 2.6
покажем, что функция Мельникова позволяет определить возможность
возникновения переходов. Более того, в § 3.5 будет показано, что
переходы непосредственно связаны с хаосом, .т. е. функция Мельникова
позволяет оценить возможность возникновения хаотического движения
в системе.
В § 2.4.1 приведем выражение функции Мельникова. В § 2.4.2 опре-
делим величину расщепления и покажем, что в первом приближении
она пропорциональна функции Мельникова.
2.4.1.	Определение функции Мельникова. Рассмотрим уравне-
ние (2.3.1)
X = f(x) + Eg(x, f),
где х “ (a?i, а?2)т> f = (/1. Л)Т, g = (gj, g2Y, 0<e«C1, и функции f
и g ограничены в Сг, г 2. Если невозмущенная система гамильтоно-
ва, т. е. Л =	f2 = —dH/dxi, и имеет гомоклиническую траек-
торию хн = (а?д1, хр2)г с седловой точкой О, то в первом приближении
расстояние Мельникова, характеризующее расщепление устойчивого
и неустойчивого многообразий, пропорционально абсолютной величине
функции Мельникова
'СО
M(t0)=	f[x/l«)]Ag(x/l(C), C + toX, (2.4.1)
J —СО
где символ Л означает внешнее произведение 9 .
2.4.2.	Расщепление многообразий. Построим сечение нор-
мальное к оси Ot в точке t', и рассмотрим его пересечение с устойчивы-
ми и неустойчивыми многообразиями, совпадающими в невозмущенной
системе (сплошная линия на рис. 2.5) и расщепленными в возмущен-
ной системе (пунктирная линия на рис. 2.5). Зафиксируем ордина-
ту t'. Определим точку Р', заданную координатами to и t' (рис. 2.3).
Прямая N — нормаль к пересечению невозмущенных многообразий
с сечением Е£- в точке Р'. Рассмотрим траектории, принадлежащие
устойчивому и неустойчивому многообразиям возмущенной системы
') Напомним, что внешним произведением аЛЪ определенных в декарто-
вом пространстве векторов а={а1,аг}т и Ь={Ь1,Ьг}т называется скаляр
афг — o.2bi = |а| [b| sin ф, где ф — угол между векторами а и Ь.
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 35
Рис. 2.5. Пересечения линий Го, Го, Ге и многообразий IVs(Го) П Wu(Го),
1У5(Ге) и И/г1(ГЕ) секущей плоскостью St<. Сегмент А', А" — расстояние
Мельникова в точке Р' невозмущенного многообразия [3]
и пересекающие нормаль N в точках А' и А", соответственно. Эти же
траектории пересекают плоскость сечения с ординатой t в точках
с координатами
xs(t; to, t',е) — to, t', e), x^t; to,t',e)]t
и
xu(t; to, t', e) = [:rV(t; to, t', e), х%(t; to, t',e)]T,
соответственно. Как указывалось выше, траектория, принадлежащая
невозмущенным многообразиям и содержащая точку Р', пересекает
плоскость St в точке с координатой хд(4 — to). Положив в уравне-
нии (2.3.1) е = 0, получим, что вектор f[xh(t — to)] в точке Р направлен
по касательной к пересечению невозмущенных многообразий с Е(.
Расщепление многообразий на плоскости Et определяется функцией
Ae(t;t0,t') = f[xh(t - to)] Л [xu(t;to,t',E) - xs(t; t0, t',е)].	(2.4.2)
Уравнение (2.4.2) означает, что функция Ae(t;to,t') равна произ-
ведению вектора ffxz/t — to)] на проекцию разности [xu(t;to,t',e) —
— xs(t; to, t', s)] на нормаль TV. Абсолютная величина этой проекции
называется расстоянием Мельникова в точке Р (рис. 2.4). В частнос-
ти, A£(t';to, t') представляет собой расщепление в точке Р' сечения Et,.
Абсолютная величина функции Ae(t';to,t') пропорциональна расстоя-
нию Мельникова в точке Р', равному, по определению, расстоянию
между точками А' и А" (рис. 2.5).
Получим аппроксимацию функции Ае с точностью до членов перво-
го порядка по е. Представим векторы xu(t; t0) t', е) и xs(t;to, t'.s) в виде
ряда по параметру е. Получим
x“(t; to.t'.e) = Xh(t — to) + ex?(t;to,t') + O(s2),	(2.4.3a)
xs(t;to,t',e) = x/t(t — to) + Exf(t;to,t') + O(e2),	(2.4.3b)
36
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
где х“ = [жц, жу2]т и xf = [sf1,^2]T — первые вариации. Разложе-
ния (2.4.3а) и (2.4.3b) сходятся равномерно (при е, не зависящем
от t) для всех t' t < со и —со С t < t', соответственно [34, стр. 186].
Подставляя разложения (2.4.3) в уравнение (2.4.2), получим
Ae(t; t0, t') = A“(t; t0,	f) - Af (t; t0, t') + O(e2),	(2.4.4)
A“(t; to, t') = f[xh(t —	t0)] Л £x“(t; t0, t') + O(e2),	(2.4.5a)
Af (t; to, i') = f[x^(t -	t0)] Л ex® (t; t0, t') + O(e2).	(2.4.5b)
Наконец, для определения функций A“(t'; to, t'), Ag(t';to, t') и
Ae(t'; t0, t'), вычислим дифференциалы dA“(t;t0,t') и dA^(t;t0,t')
и проинтегрируем их в интервалах от t — —со до t = V и от t =
= t' до t = со, соответственно. В эти дифференциалы входят произ-
водные xy(t;to, t',e) и xf(t;t0,t',ё). Для их вычисления продифферен-
цируем уравнения (2.4.3) по времени. Затем приравняем производные
xu(t; to, t', е) и xs(t;to,t',е) соответствующим выражениям, полученным
из уравнения (2.3.1) при разложении функций f(xu) и f(x®) в ряды по
степеням (хи — х^) и (xs — хя) с учетом членов только первого по-
рядка. Детали вычисления приведены в Приложении П1. В результате
получим
AE(t'; to, t') - £M(t0) + O(e2),	(2.4.6)
где функция M(to) определена соотношением (2.4.1).
Углубленное математическое исследование функции Мельникова
(или вектора Мельникова для многомерных систем) приведено в ра-
ботах [12, 54, 69].
2.5.	Функция Мельникова для различных
типов возмущений. Спектральная функция
Мельникова
В этом разделе строятся функции Мельникова для систем с раз-
личными типами возмущений, встречающимися в прикладных задачах.
В §2.5.1 рассматриваются системы с возмущениями вида egm(x, t) =
= £[7m(x, t) + <7m(x)] (m = 1,2). При этом возбуждение E7m(x,t) зави-
сит от состояния системы. В § 2.5.2 исследуется мультипликативное
возбуждение вида 7m(x, t) = 7m(x)P(t) (т — 1,2) и аддитивное воз-
буждение, для которого 7m(x) = 7m = const (m = 1,2). Мы покажем,
что в этих случаях переменная часть функции Мельникова может
рассматриваться как реакция на выходе некоторого линейного фильтра
с зависящим от времени входным сигналом. Импульсную переходную
функцию преобразования “вход-выход” назовем импульсной переход-
ной функцией Мельникова.
В §2.5.3 рассмотрим возбуждение вида 7m(x, t) = 7m(x) cos(wt +
+ #о) (m = 1,2) и, как частный случай, аддитивное гармоническое воз-
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 37
буждение, для которого 7m(x) = rym = const (т = 1,2). Для этих слу-
чаев мы определим спектральную функцию Мельникова. В следую-
щих разделах будет показано, что спектральная функция Мельникова
отражает вклад каждой гармонической составляющей возбуждения
в интенсивность переходов.
В § 2.5.4 рассматривается мультипликативное квазипериодическое
возбуждение 7m(x, t) = Si7i(x) cos(wjt + $ог) (m = 1,2), и аддитивное
возбуждение, для которого 7m(x) = 7m = const (m = 1,2), с несоиз-
меримыми частотами ш,. Построение функции Мельникова для квази-
периодического возбуждения лежит в основе стохастического метода
Мельникова.
2.5.1.	Функция Мельникова для системы с возмущением вида
7m(x, t) -f- qm(x) (m — 1, 2). Во многих прикладных задачах вектор
возмущения в системе (2.3.1) может быть представлен в виде
g(x,t) = {7i(x,t) + Q](x), 72(x,t) + q2(x)}.	(2.5.1)
Поскольку коэффициенты возмущений в правой зависят от состо-
яния системы х, то возмущение (2.5.1) называется зависящим от
состояния.
Из соотношений (2.4.1) и (2.5.1) получим функцию Мельникова
M(t0) =
[Л(хя(С)ШхдО- /2(x/l(O)9i(x/l(C))]d< +
+	1/1(хд(0)72(х2(хЛ.«), С + to) -
J—CO
- f2(xh(C))7i(xh«), C + t0)]d(,
= -fc +
И1(хд(С))72(хд(0, с +t0) -
—со
-/2(xh(O)7i(xh(0, C+t0))]d(,
k =
ШМ.МО) - /i(xh(C))92(C))]dC.
(2.5.2a)
(2.5.2b)
(2.5.3)
В § 2.5.2 мы построим функцию Мельникова (2.5.2b) для систем
с мультипликативным возбуждением вида 7rn(x, t) = 7m(x)F(t) (m =
= 1,2). В § 2.5.3 и § 2.5.4 исследуем формулу (2.5.2b) при гармоничес-
кой и квазипериодической функции F(t). Эти частные случаи необхо-
димы для дальнейшего развития стохастического метода Мельникова.
2.5.2.	Функция Мельникова для систем с мультипликативным
и аддитивным возбуждением. Функция Мельникова как выход
линейного фильтра. В формуле (2.5.1) положим
7m(x,t) = 7m(x)P(t), 771=1,2.	(2.5.4)
Если коэффициенты 7?n(x) (т=1,2) зависят от состояния систе-
мы х, то возбуждение (2.5.4) называется мультипликативным. Если
38
Часть /. Теоретические основы метода Мельникова
7т(х) = 7т = const (т = 1,2), то возбуждение называется аддитив-
НЫМ.
Из формулы (2.5.2b) получим
Af(to) = ~к +
[/1(Хп(С))72(хд(С))-
—со
-/2(хд(0)71(хд(С))]Р(С + to) dC =
(2.5.5а)
= -к +	[/1 (хд(-С))72(хд(-С)) -
J—со
- /2Ш))71Ш)Ж +10) =	(2.5.5b)
/i«)F(to-0<,
(2.5.5c)
Ж) = /1(хд(-0)72(хд(-О) - /2(хд(-0)71(хд(-0)-	(2.5.5d)
Интеграл в выражении (2.5.5с) называется интегралом свертки.
Переменная составляющая функции M(to) представляет собой
свертку двух функций, F(t) и ti(i), т. е. соотношение (2.5.5с) может
быть записано в виде
M(to) = — k + p,(t) — —k + h*P,	(2.5.5е)
где символ * обозначает свертку.
Рассмотрим частный случай P(t) = 5(t), где 5(t) — дельта-функция
Дирака, определенная соотношением
rAt/2
5(т) = 0 при г 0; lim 5(т) dr = 1.
At—0j_At/2
В этом случае из выражения (2.5.5с) получим M(to) = — k + h(to). Из
этой же формулы следует, что функция /i(to) может быть представ-
лена в виде интегральной суммы составляющих /i(£).P(to — ()d£ и,
следовательно, может рассматриваться как выход линейного фильтра
Мельникова, на вход которого подается сигнал F(t0). Функция Л(ф)
называется импульсной переходной функцией Мельникова. Отме-
тим, что фильтр Мельникова оказывается физически нереализуемым
фильтром ').
Замечание. Функция Мельникова вычисляется по форму-
ле (2.5.5с) как для мультипликативного, так и для аддитивного
возбуждения. Весовая функция /г(£) зависит от хд(—Q, если
') В физически реализуемом фильтре выходной сигнал в момент t исчезает
при t < ф Например, импульсная нагрузка Р(£), приложенная к балке в мо-
мент ф вызывает деформацию балки x(t) в момент t. Очевидно, что x(t) = 0
при t < ф т. е. импульс Р(£) не может вызывать деформации до момента при-
ложения нагрузки. В формальных преобразованиях, не связанных с реальными
физическими системами, фильтр может быть физически нереализуемым.
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 39
возбуждение мультипликативное, и постоянна, если возбуждение
аддитивное. Мы не рассматриваем общий случай мультипликативного
возбуждения, когда коэффициент 7m(x, i) явно зависит от времени.
2.5.3. Функция Мельникова для систем с возбуждением вида
7m(x, t) = 7m(x) cos(cut + ^о) (тп = 1,2). Спектральная функция
Мельникова для систем с аддитивным гармоническим возбуж-
дением. Примеры. Рассмотрим систему (2.3 1) с возбуждением ви-
да (2.5.4), в котором
P(t) = cos(wt + 6>o).	(2.5.6)
Покажем, что функция Мельникова такой системы имеет вид	
M(i0) = —k + l°!(w)l cos[wt0 + $о — V’(w)].	(2.5.7)
где коэффициент к определен уравнением (2.5.3), и	
—со a(w) =	/i(C) exp(-jw<) Joo	(2.5.8)
C(w) = [	Л(() cos(wQ d^, J—OO	(2.5.9a)
rOO	
S(u>) =	h(£) sin(wC) d(, J—OO	(2.5.9b)
|a(w)| = [C(w)2 + S(w)2]1/2,	(2.5.10a)
V-’(w) = arga(w) = arctg[S(w)/C(w)]	(2.5.10b)
(j =	Т). Импульсная переходная функция Мельникова h(£) опре-
делена выражением (2.5.5Й). Функции а(ш) '), |а(ш)| и ^>(ш) со-
ответствуют частотной характеристике, амплитудно-частотной харак-
теристике и фазо-частотной характеристике фильтра Мельникова 2),
C(w) = Rea(w), S(w)Ima(w). В дальнейшем функцию |а(ш)| называ-
ем спектральной функцией Мельникова 3).
Получим соотношение (2.5.7). Из формулы (2.5.5с) имеем
M(t0) = -М +
h(C) exp[j(w(-C +10) + 0О)]	=
(2.5.11)
ПОС	Л
h(C) exp(-jw() dQ I exp[j(wt0 + в0)], (2.5.12)
—oo	J
') В дальнейшем комплекснозначные функции обозначаются полужирным
курсивом. Действительная часть функции Z обозначается как Z или Re Z.
2) В оригинале — the Melnikov transfer function, the Melnikov scale factor
и the Melnikov phase angle. — Прим. ped. nep.
3) В оригинале — the Melnikov shape factor. — Прим. ped. nep.
40	Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
где М(60) — комплексная функция, такая что M(t0) = ReM(60).
Определив функцию а(ш) соотношением (2.5.8) и используя равенст-
ва (2.5.8), (2.5.9) и (2.5.12), будем иметь
М(60) = —А; + [C(w) cos(w60 + 6q) + S'(w) sin(wto + #о)]-	(2.5.13)
Из определений (2.5.10) следует, что C(w) = |a(w)| cos^(w),
5'(w) = |a(w)| sin^(w). Подставив эти равенства в формулу (2.5.13)
и используя тождество cos a cos b + sin a sin b = cos(a — b), получим
соотношение (2.5.7).
Функция Мельникова для системы с аддитивным гармоническим
возбуждением соответствует частному случаю 7m(a;) =	= const
(m=l,2).
Пример 2.5.1. Функция Мельникова для осциллятора Дюф-
финга при гармоническом возбуждении. Осциллятор Дюффинга
описывается системой (2.3.1) с коэффициентами
f(x) = {х2, -Г(^1)}.	(2.5.14а)
g(x,t) = {0, 7cos(wt) — (Зх2},	(2.5.14b)
V(xi) = -(a/2)z2 + (6/4)^-	(2.5.14c)
Из формулы (2.5.14b) следует, что возмущающие силы включает вяз-
кое трение. Ему соответствует слагаемое q2(xi,x2) = /Зх2. Уравнение
движения принимает вид
±1 = гс2,	(2.5.15а)
±2 =	— Ьх^ + е[—[Зх2 + 7cos(wt)], а > 0, b > 0.	(2.5.15b)
В частном случае а — b = 1 система (2.5.15) превращается в уравнение
стандартного осциллятора Дюффинга с потенциалом (2.1.7).
Гомоклинические траектории системы (2.5.15) могут быть найдены
так же, как и траектории (2.1.1)
{х* (6), x±(t)} = {±(2n/6)‘/2 sech(a1/2t), Та(2/6)‘/2 х
xsech(a*/2t)th(a,/2t)}.	(2.5.16)
Поскольку коэффициенты 71 = 0, 72 = 7 = const, и /г(хд(С)) =
— я?л2(О — нечетная функция /, то, с учетом соотношений (2.5.5d)
и (2.5.9а) получим С(ш) = 0. Вычисляя интеграл (2.5.9b) методом
вычетов, получим
S'(w) = 7(2/6) 1^27ru'sech(7rw/(2a1/’2)).	(2.5.17)
Функция S'(w) стандартного осциллятора Дюффинга (а = 6=1)
при 7= 1 представлена на рис. 2.6.
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 41
Рис. 2.6. Спектральная функция Мельникова стандартного осциллятора
Дюффинга
Из формулы (2.5.10а) следует, что при C(w) = 0 спектральная
функция Мельникова |а| = S(a>). Используя выражение (2.5.16) для
траектории ждгСС) и учитывая равенство (dthт)/dr = (sechг)2, полу-
чим
к = -/3 [ а£2(С) = 4/За3/2/(ЗЬ).	(2.5.18)
J —ос
Таким образом, функция Мельникова для осциллятора Дюффинга
имеет вид
Af(to) = — 4/За3^2/(ЗЬ) +7(2/t>)l?/27rwsech(7rw/(2aI/2))sinwio- (2.5.19)
Пример 2.5.2. Функция Мельникова для джозефсоновского пе-
рехода при гармоническом возбуждении. Уравнение радиочастотного
джозефсоновского перехода имеет вид
ii=a?2,	(2.5.20а)
±2 — osina?! + е[Ь0 +t>! sinwr - Дх2].	(2.5.20b)
Используя формулы (2.2.4) для гетероклинических траекторий, по-
лучим функцию Мельникова [31]
M(to) = 8/За1^2 — 2тг{Ьо(Ь[ sinwto)/cosh[7rw/(2o.1^2)]}.	(2.5.21)
Замечание. В системах типа (2.5.15) или (2.5.20) с аддитивным
возбуждением имеем. 71 = 0, 72 = 7. В этом случае спектральная функ-
ция Мельникова определяется как функция |а(о’)| (или, при С(ш) =
= 0, как функиця S'(cj)) при 72=7=1. В дальнейшем, если нет
дополнительных указаний, именно эта функция будет называться
спектральной функцией Мельникова для систем с аддитивным воз-
буждением. Если принять это определение, то в выражении функции
Мельникова {УД.?) функция |сх(сы)| должна умножаться на коэффи-
циент 7.
42
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
2.5.4.	Функция Мельникова для систем с возбуждением вида
7m(x, t) '= cos(yj.jt + 6oi) (m = 1,2). Системы с аддитивным
квазипериодическим возбуждением. Построим функцию Мельнико-
ва для системы (2.3.1) с возбуждением (2.5.1) и с мультипликативным
возбуждением вида (2.5.4), в котором
i
= Е сц cos(wjt + #oi),	(2.5.22)
i=l
где амплитуды a,i (i= 1,...,п) постоянны, частоты как правило,
несоизмеримы, и 0 < 6^ С 2тг.
Используя те же преобразования, что и при выводе формул (2.5.7)
и (2.5.9), получим функцию Мельникова
i
M(t0) — У~ a,i{C(wi) cos(a>ito + 0Oi) + S'(wi) sm(w;to + #ог)} -k =
(2.5.23a)
i
= ai|a(wi)| cosfw^o + &oi - V’(u’i)] - k.	(2.5.23b)
i=l
Коэффициент k в формуле (2.5.23) определен соотношением (2.5.3),
функции /г(С), С(ш;), S'(wi), |a(wi)|, определены соотношения-
ми (2.5.5d), (2.5.9а), (2.5.9b), (2.5.10а) и (2.5.10b), соответственно.
Отметим, что постоянные сц в формулах (2.5.22) и (2.5.23) отлича-
ются от коэффициентов 71 и 72, введенных в спектральную функцию
Мельникова |а(ш<)| в соотношениях (2.5.10а), (2.5.8) и (2.5.5d).
Функция Мельникова для систем с аддитивным квазипериоди-
ческим возбуждением соответствует частному случаю 7т(х) — гут —
— const (гп = 1,2). Если 71 = 0, 72 = 7 = const, то спектральная функ-
ция Мельникова a(w,) вычисляется при 7 = 1 (см. Замечание в кон-
це § 2.5.3).
2.6.	Условия пересечения устойчивого
и неустойчивого многообразий.
Энергетическая интерпретация
В этом разделе мы покажем, что если функция Мельникова имеет
простые корни (не имеет корней), то устойчивое и неустойчивое
многообразия пересекаются трансверсально (не пересекаются).
В основе теории Мельникова лежит следующее утверждение: если
функция Мельникова имеет простой корень при некотором значении io,
то при достаточно малых значениях е устойчивое Ws(TE(t')) и неустой-
чивое Wil(re(t)) многообразия возмущенной системы пересекаются
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 43
трансверсально '). Если M(£q) у7 0, то
V/s(re(i))nIVu(re(i)) = 0,
т. е. многообразия не пересекаются.
Первая часть этого утверждения вытекает из соотноше-
ния (2.4.6). Это уравнение показывает, что, если функция M(to)
имеет простой корень, то при достаточно малых е функ-
ция расстояния ^e(t';to,t') также имеет простой корень. Это
подразумевает изменение знака функции Ae(t';to, t') и, сле-
довательно, перемену направления вектора хи — Xs (уравне-
ние (2.4.2)) и трансверсальное пересечение устойчивого и неустой-
Рис. 2.7. Сечение невозмущенных многообразий Жг(Го) П И/12(Го) и пересече-
ние возмущенных многообразий Ws(rE) П Wu(Ге). Векторы хи — х5, лежащие
по разные стороны от точки пересечения многообразий, направлены в разные
стороны
чивого многообразий (рис. 2.7). Из соотношения (2.4.6) также следует,
что, если функция M(io) ограничена при всех t0, то при достаточно
малых с не существует пересечения многообразий вдали от корня
функции M(to).
Рассмотрим уравнение (2.3.1), в котором f(x) = {0, —V'(a;i)},
g(x, f) = {0, — /3x2 + 7cos.[u?(t +to)]} (P > 0). Имеем систему с одной
степенью свободы, с вязким демпфированием и гармоническим
возбуждением
±i = х2,	(2.6.1а)
^2 = V/(xi) +е{-рХ2 + 7 cos[w(i) +10)]}.	(2.6.1b)
Предположим, что система движется вдоль гомоклинической тра-
ектории невозмущенной системы. Если система продвинулась на рас-
стояние Sxhi, (как и в §2.4.1, индекс h обозначает координаты го-
моклинической траектории), то потери энергии при движении равны
произведению диссипативной силы на расстояние 5хил, т. е.
6Ediss = ~e/3xh2Sxhl.	(2.6.2а)
1)	Существование простого корня подразумевает трансверсальное пересече-
ние, при кратном корне возникает касание.
44	• Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Полная потеря энергии при движении вдоль гомоклинической тра-
ектории равна
Ediss
рое
-Е/З x2M dt.
J—СО
(2.6.2b)
-£(3

Энергия, приобретенная за время движения вдоль гомоклинической
траектории равна работе внешнего возбуждения, т. е.
cos [w(t + t0)] fahi = £7
cos [ui(t + to)]ihidt.
(2.6.3)
Работа потенциальных сил при движении пр замкнутой траектории
равна нулю. Таким образом, изменение полной энергии системы при
движении вдоль петли гомоклинической траектории равно
Etot — Ediss Т Еехс — с < /3

(2.6.4)
Из уравнений (2.6.1) и (2.6.4) получим, что Etot = eM(t0), где
M(fo) ~ функция Мельникова (2.4.1) [88]. Из условия {тах(Д4о4) >
> 0} следует, что второе слагаемое в фигурных скобках больше чем
первое, т. е. функция Мельникова имеет простые корни, и, следователь-
но, устойчивое и неустойчивое многообразия возмущенной системы
пересекаются трансверсально. Для системы (2.6.1) пересечение много-
образий означает, что полученной энергии достаточно, чтобы пересечь
потенциальный барьер и вывести систему из потенциальной ямы.
В § 2.7 мы обсудим геометрическую интерпретацию условия пресе-
чения многообразий, справедливую не только для системы (2.6.1), но
и для более общего класса систем.
2.7.	Отображения Пуанкаре. Сечения фазового
пространства. Коэффициент переноса
В этом разделе мы опишем структуру пересечений устойчивого
и неустойчивого многообразий и объясним, как эта структура влияет
на возникновение переходов. Сначала рассмотрим систему с перио-
дическим возбуждением и определим отображения Пуанкаре и сече-
ния Пуанкаре. Использование этих понятий существенно упрощает
исследование динамики системы. Для систем с квазипериодическим
возбуждением нельзя построить отображение Пуанкаре, и мы обсудим
аналог сечения Пуанкаре и сечений фазового пространства для таких
систем. Затем определим фазовый поток как полезную для приложений
меру интенсивности переходов (главы 6 и 7).
Гл. 2. Переходы, в детерминированных системах и функция Мельникова. 45
2.7.1.	Системы с периодическим возбуждением. Отображения
Пуанкаре.
2.7.1.1.	Устойчивое и неустойчивое многообразия в системе с пе-
риодическим возбуждением: пересечения с сечением Пуанкаре. Пусть
возбуждение в системе (2.3.1) — периодическая функция времени
частоты и. Как и в §2.1.1, обозначим x(xo,to;t) решение уравне-
ния (2.3.1) в момент t при начальном условии х = xq в момент to.
Пусть to = t1 + 2/стг/ш, где t' — фиксированный момент времени, к
— целое число, и определим t = t' + 2(fc + 1)тг/ш. Поскольку перио-
дическое возбуждение не меняется при изменении целого числа к, то
из уравнения (2.3.1) получим, что вектор x(xq, t' + 2kir/u>-, t' + 2(k +
-j-1 )тг/сы) (к — ±1, ±2,...) не зависит от к.
Отметим, что координаты х пересечений кривой ГЕ (рис. 2.8)
с плоскостями сечений Пуанкаре с ординатами t' + 2kir/ai (к =
= 0,±1,±2...) — одинаковы для всех к. Этот вывод остается спра-
ведливым для пересечения этих плоскостей локальным и глобальным
Рис 2.8. Сечения трансверсально пересекающихся устойчивого и неустой-
чивого многообразий системы с возмущением периода 2тг/ш. Последователь-
ные сечения идентичны. Часть сечений невозмущенного многообразия вблизи
прямой Го показана штриховыми линиями
устойчивым и неустойчивым многообразиями. На рис. 2.8 представ-
лены идентичные пересечения с плоскостями сечений с ординатами’
t' — 2/стг/ш и t' + 2/стг/сы при фиксированном значении t'.
Рассмотрим последовательность пересечений траектории с парал-
лельными плоскостями с ординатами t'+ 2&тг/ш (fc = 0, ±1, ±2...).
Пусть Q-i, Qo, Qi,... — точки пересечений при прямом движении
и Qi,Qo,Q-i...... — точки пересечений при обратном движении *).
’) Точка Qi называется прямой (или,' по терминологии Пуанкаре [62],
последовательной) итерацией Qq. Точка Q-} называется обратной (предше-
ствующей) итерацией Qo- — Прим. ред. пер.
46
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Поскольку при фиксированном xq функция х(хо, t' + 2ктг/и>;
f + 2(fc + 1)7t/uj) не зависит от к, точка Qi может характеризоваться
своей ортогональной проекцией Rq на плоскость t = t' (т. е.
точки Qi и Rq имеют ту же координату х). Аналогично, точка Q_\
характеризуется своей проекцией Pq. Это значит, что вместо после-
довательности точек i.Qo.Qi на трех параллельных плоскостях
можно рассмотреть эквивалентную последовательность Pq. Qo, Ro на
одной плоскости.
2.7.1.2.	Погружение неавтономной системы в автономное фа-
зовое пространство. Отображение Пуанкаре. К любому семейству
траекторий системы (2.3.1) применимы те же соображения, что и к се-
мейству траекторий, образующих устойчивое и неустойчивое многооб-
разие.
Пусть Т — 2тг/ш — период возбуждения неавтономной системы.
Определим отображение Пуанкаре неавтономной системы. С этой це-
лью запишем уравнения движения в расширенном (автономном) фа-
зовом пространстве {cci, а?2, ^}, где в = [cat + 6о] (mod 2тг). Уравнения
движения примут вид
±1 = fi{xltx2) + Egl(xi,X2,6),
X2 = f2(xl,X2) + Eg2(.Xi,X2,0'),	(2.7.1)
9 = и>.
Уравнения (2.7.1) порождают поток = 0(x(t), 6(t)) (см. §2.1.1).
Пересечение с плоскостью 6(t) — 6С — const обозначим как Е. Отоб-
ражение Пуанкаре Е —» Е определяется как
ф{х[9с ~	6с} —> ф{к[6с — #о + 2тг]/ш, 0с + 2тг} (2.7.2а)
или, с учетом периодичности возмущения,
ф{х[вс - 60]/а>, 6С} —> ф{х[Ос ~ $о + 2тг]/ш, 6с}-	(2.7.2b)
Уравнения (2.7.2) определяют поток фг с помощью соображений,
приведенных в конце §2.7.1.1 для частного случая последовательно-
сти, представленной на рис. 2.8.
Замечание 1. Координата в ограничена. Следовательно, если
множество {21,22} ограничено на фазовой плоскости, то множест-
во {21,22,6} ограничено в расширенном фазовом пространстве. Это
обстоятельство будет использовано в §3.1.3 при определении ограни-
ченных множеств — аттракторов — в фазовом пространстве {21,22,6}.
Замечание 2. Идентичность пересечений устойчивого и неус-
тойчивого многообразий периодически возмущенной системы с се-
чениями Пуанкаре позволяет представить цилиндрические поверхно-
сти, изображенные на рис. 2.3 и 2.4, как двумерные торы То и Те.
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 47
Рис. 2.9. Разрезы двумерных торов: а — Т0(Гтс), представляющего многообра-
зия невозмущенной системы и б — Те(Гте), представляющего расщепленные
многообразия возмущенной системы
соответственно (рис. 2.9). Аналоги кривых Го и Ге (рис. 2.3 и 2.4)
соответствуют одномерным торам (т. е. замкнутым кривым) Гть и Г^.
2.7.2.	Гомоклиническая структура и переходы через псевдосе-
паратрису. Поскольку точка Qo (рис. 2.8) принадлежит как устойчи-
вому, так и неустойчивому многообразиям, то ее прямая и обратная
итерации Qi и Q-i также принадлежат обоим многообразиям. Следо-
вательно, из существования хотя бы одного пересечения траектории
с плоскостью сечения устойчивых и неустойчивых многообразий, вы-
текает существование бесконечного множества точек пересечения. Эти
точки называются гомоклинными точками.
Сегменты многообразий между точками пересечения называются
долями. Последовательные доли в отображении Пуанкаре соответству-
ют сечениям последовательными плоскостями t' + 2/стт одной и той
же трехмерной доли в фазовом пространстве. Например, двумерные
Рис. 2.10. Отображение Пуанкаре. Хаотический перенос перемещает точ-
ку Л_2, расположенную во внутренней области, ограниченной псевдосепара-
трисой, через точки А_| и АГ; в точку Ai, расположенную во внешней области
доли, содержащие точки В... 2, B-lt Bq (рис. 2.10), представляют собой
последовательные сечения трехмерной доли справа от точек Q Qo,
Qi (рис. 2.8).
Объединение 'сегментов возмущенного многообразия, ближайших
к невозмущенной сепаратрисе, называется псевдосепаратрисой. Точ-
48	Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
ки пересечения образуют гомоклиническую структуру. Внутренняя
часть области, ограниченной псевдосепаратрисой, называется внутрен-
ней областью (сердцевиной).
Рассмотрим траекторию, начинающуюся в точке А_г внутри до-
ли, располагающейся во внутренней области (рис. 2.10). Траектория
должна оставаться внутри доли. Как и в случае невозмущенной
системы (§ 2.2), это вытекает из единственности решения системы.
Если траектория пересекает долю — многообразие — в некоторой
точке, то эта точка принадлежала бы двум различным решениям,
одно из которых принадлежит многообразию, а другое — пересекает
многообразие. Прямые итерации ведут от точки А~г к точкам А-у
и Aq, лежащим во внутренней области, а затем к точкам А[ и Аг,
и т. д., лежащим во внешней области. Аналогично, точка _В_г, лежащая
в доле, находящейся вне сепаратрисы, переходит в точки В._| и Во
и затем в точки В\ и В2 и т. д., лежащие во внутренней доле.
Доли, по которым происходит перенос из внутренней во внешнюю
область (например, содержащие точки В_2, В-i), а затем из внешней
во внутреннюю (например, содержащие точки А_г, A_j) называются
внешними и внутренними, соответственно. Доли, содержащие точ-
ки Ао и Во, называются поворотными [49, 99].
Теперь можно интерпретировать невозмущенную систему как си-
стему, для которой функция Мельникова тождественно равна нулю,
но не имеет простых корней, как требуется по необходимому усло-
вию возникновения хаоса. В § 2.2 было показано, что сепаратриса
невозмущенной системы непроницаема. В то же время возмущенная
система, для которой функция Мельникова имеет простые корни, име-
ет проницаемую псевдосепаратрису. Пересечение псевдосепаратрисы
связано с периодически возмущенным движением, характеризующимся
переходами такого типа, как на рис. 1.2, в. В главе 3 хаотический
характер переходов через псевдосепаратрису объяснен теоретически
и проиллюстрирован численными примерами.
2.7.3.	Автономное фазовое пространство для систем с квази-
периодическим возмущением. Системы с квазипериодическим возму-
щением, определенные уравнениями (2.3.1), (2.5.1), (2.5.4) и (2.5.22)
могут быть сведены к автономным в расширенном фазовом пространст-
ве {xl,x2,6i,e2,... ,6i,..., 6i}, где 0; = [wjf 4-0oi] (mod 2тг). В резуль-
тате получим
X = f(x) + eg(x, 0),
0 = а>,	(2.7.3)
0 = [0Ь $2, . . . , 0г, . . . , 0;]Т, W = [Ш1,Ш2. • •  , Wj, ..., ш/]т. Отметим, что,
как и при периодическом возмущении с одной координатой в, все
координаты 0j расширенного фазового пространства ограничены.
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 49
2.7.4.	Сечения фазового пространства. Пусть ш/ — одна из
частот квазипериодического возмущения (2.5.22). Запишем вектор ко-
ординат х(хо, t' + 2(fc + 1)тг/ш(, t' + 2/с7г/ш() (к — 0, ±1, ±2,...), опре-
деляющий в момент t'+ 2(fc + положение системы, выходящей
из точки хо в момент t' + 21:тг/щ. В отличие от системы с периоди-
ческим возмущением, вектор координат системы (2.7.3) зависит от к.
Система не имеет отображения Пуанкаре, подобного представленному
на рис. 2.10, и, в частности, координаты последовательных пересечений
устойчивого и неустойчивого многообразий с плоскостями в моменты
f + 2/стг/ш( не идентичны. Пересечения траектории или множества
траекторий с плоскостями с ординатами t' + Чк-п/ац называются се-
чениями фазового пространства.
Рассмотрим снова периодическое возмущение частоты ш. Было от-
мечено, что расстояние между ординатами секущих плоскостей состав-
ляет целое число периодов 2%/и, и координаты пересечений устойчиво-
го и неустойчивого многообразий с секущими плоскостями совпадают.
В то же время, если расстояние между двумя последовательными
плоскостями отличается от периода возмущения, соответствующие
координаты не совпадают, но имеют ту же топологию, что и на рис. 2.8.
Такой же эффект возникает, если секущие плоскости проходят
через устойчивое и неустойчивое многообразия системы с квазипе-
риодическим возмущением. На рис. 2.11 представлены два после-
довательных сечения, проходящие через устойчивое и неустойчивое
Рис. 2.11. Два последовательных сечения устойчивого и неустойчивого мно-
гообразия системы с квазипериодическим возбуждением [5]. Невозмущен-
ная система имеет гетероклинические траектории. Доли одинакового цвета
принадлежат одной трехмерной доле в фазовом пространстве
многообразия системы с гетероклинической траекторией при двухча-
стотном возмущении с частотами и wg- В § 2.7.2 было показано,
что последовательные доли отображения Пуанкаре (рис. 2.10) при-
50
Часть 1 Теоретические основы метода Мельникова
надлежат одной и той же трехмерной доле в пространстве {rrj, х%, t}.
Точно также, доли одного цвета в последовательных сечениях фазового
пространства на рис. 2.11 принадлежат одной трехмерной доле в прост-
ранстве
Численный пример построения сечений фазового пространства при-
веден в Приложении П2.
2.7.5.	Коэффициент переноса в фазовом пространстве. Коэф-
фициент переноса в фазовом пространстве определен формулой
Ф = lim
Г—+ОС
[M(t0)]+ dt0,
(2-7-4)
где [/(i)]+ — положительная часть функции /(i). Коэффициент Ф
увеличивается при росте интенсивности возмущения и служит мерой
интенсивности переходов системы через сепаратрису. Использование
этой меры в задачах опрокидывания корабля и управления системой
обсуждаются в главах 6 и 7.
Пример 2.7.1. Коэффициент переноса в системе с гармоничес-
ким возбуждением. Рассмотрим систему (2.3.1), в которой вектор
коэффициентов и гармоническое возбуждение определены формула-
ми (2.5.14а,Ь). Предположим, что Xhiit) — нечетная функция t, т. е.
С(ш) = 0.
Функция Мельникова системы аналогична полученной в приме-
ре 2.5.1
M(io) — ocos(wtq) — k	(2.7.5)
(рис. 2.12, а), где, в соответствии с примером 2.5.1, обозначено а =
= S(uj') и То — to — 7г/(2ш). Коэффициент переноса определен формулой
1 (Т
Ф= lim — [acos(wro) — k]+dro-	(2.7.6)
Т—>со 21 J—т1
В результате интегрирования периодической подынтегральной функции
и усреднения получим [28]
Ф = (1 /тг)5(щ){ 1 - [fc/-?^)]2} - (l/^/carccos^/'S'M]},	(2.7.7)
при этом в формуле (2.7.7) берется наименьшее положительное значе-
ние функции arccosffc/S^u)]. Функция Ф представлена на рис. 2.12,6.
Напомним, что в обозначениях примера 2.5.1 (уравнение (2.5.17))
функция S(w) пропорциональна амплитуде возбуждения 7. Таким
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 51
Рис. 2.12. Функция Мельникова (а) и коэффициент переноса (б) для системы
с гармоническим возбуждением
образом, согласно рис. 2.12,6, коэффициент переноса оказывается
монотонно возрастающей функцией амплитуды 7.
2.8.	Системы с медленно меняющимися
коэффициентами
В этом разделе мы рассмотрим класс систем с медленно меняющи-
мися коэффициентами
i= ~ff(x,y, z) + Egl(x,y,z,t;p'),
У = -~Щх,у,г) + Eg2(x,y,z,t;p.),	(2.8.1)
z-= Eg3(.x,y,z,t-,n),
где e — малый параметр, функции в правых частях уравнений принад-
лежат Сг (г ^2), H(x,y,z~) — функция Гамильтона с параметром z,
р. — вектор параметров. Случай периодического возмущения рассмот-
рен Виггинсом и Холмсом [100]. Следуя [100], мы построим функцию
Мельникова и получим условие пересечения устойчивого и неустой-
чивого многообразий. Отметим, что в некоторых системах с медленно
меняющимися коэффициентами механизм возникновения хаотических
переходов может быть не связан с возникновением гомоклинической
структуры [96].
2.8.1.	Невозмущенные системы. Рассмотрим сначала невозму-
щенную систему, полученную из уравнений (2.8.1) при е = 0:
± = ^Н(Х'У’ *)’
у =-~^H(x,y,z),	(2.8.2)
z = 0.
52
Часть 1 Теоретические основы метода Мельникова
Рис. 2.13. Одномерное многообразие Г(з) и устойчивое и неустойчивое мно-
гообразия !У“(Г) и И/и(Г): а — полное изображение и б — вид и обозначе-
ния [96]
Уравнения (2.8.2) соответствуют гамильтоновой системе на плоскости.
Переменная z рассматривается как параметр.
Предположим, что существует открытый интервал J такой, что при
всех z 6 J система (2.8.2) имеет гомоклиническую траекторию x£(t)
с гиперболической точкой p(z}, т. е.
lim x^(t)=p(z)-	(2-8-3)
t—>±оо
Условие гиперболичности неподвижной точки записывается в виде
(§ 2.1.1)
Уравнения неподвижной точки
-^H(x,y,z)=O,
-^H(x,y,z)=0,
(2.8.4)
(2.8.5а)
(2.8.5b)
определяют координату х и у как функции параметра z. Если усло-
вие (2.8.4) выполняется, то неподвижные точки {х, у, г} образуют
в фазовом пространстве гладкую кривую Г(и) [100]. Нормально гипер-
болическое инвариантное многообразие Г(х) одномерно, но ему соот-
ветствуют двумерные устойчивое и неустойчивое многообразия ТУ^Г)
и 1Уи(Г). Пересечение многообразий ТУ5(Г) П 1У“(Г) образует мно-
жество гомоклинических траекторий системы (рис. 2.13). Как и в слу-
чае трехмерного фазового пространства {x,y,z}, построим в четырех-
мерном пространстве {x,y,z,t} цилиндр, направляющие которого со-
ответствуют множеству Ws(Г) П Wu(Г). Пересечения этого цилиндра
с плоскостями t = const представлены на рис. 2.13.
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 53
2.8.2.	Функция Мельникова возмущенной системы. Сделав те
же предположения, что и для системы на плоскости (2.3.1), включая
предположение о малых возмущениях, можно показать, что в возму-
щенной системе существует двумерная поверхность {Г(г),£} и соот-
ветствующие устойчивое и неустойчивое многообразия. Следовательно,
при всех z 6 J возмущенная система имеет гладкое нормально гипер-
болическое инвариантное многообразие
’ r£(z1t;e) = {r(z) + O(c),t}	(2.8.6)
и соответствующие локальные устойчивое и неустойчивое многообра-
зия, обозначенные как {W£c(F£),t} и {И^с(Ге),4} и Сг — близкие
к локальным устойчивому и неустойчивому многообразиям {И7]® (Г), 4}
и	О невозмущенной системы. При каждом фиксированном
t многообразие {Г(2),4} содержит только неподвижные точки, тогда
как Г£(2, t;e) включает динамическую переменную
2 = ей(Г(2)) + О(£2).	(2.8.7)
Уравнение (2.8.7) вытекает из третьего уравнения системы (2.8.1)
и соотношения (2.8.6) (для простоты, в (2.8.7) и ниже мы опускаем
вектор параметров pt, и обозначаем {Г(2),4} как Г(2).
Предположим, что
N
ёз(г(*)) =	U = 1,2,.
у=1
где каждая из функций g3j- периодическая с периодом Tj. Рассмотрим
усредненную систему
z = £g-2(r(2)).	(2.8.8)
_________ н -Tj
й(Г(г)) = £^г g3j{T(z),t)dt.	(2.8.9)
Jo
Из теоремы об усреднении ([34, с. 167] при N = 1; [94, с. 154] при
N I) следует, что, если усредненная система имеет гиперболическую
точку zq G J, т. е.
й(ГЫ)=О, dg-3(r(2o))/d2 7^ 0,	(2.8.10а,Ь) '
то возмущенная система имеет гиперболическую траекторию
Г£(го, 4;е) — Г£(2о) + О(е);4}. Траектории с начальными условиями на
поверхности Г£(2, t;e) притягиваются или отталкиваются траекторией
Г£(г0, t; £), если
^з(Г(г0))/^< 0,	(2.8.1 la)
или'
dg^z^/dz > 0,
(2.8.11b)
54
Часть I. Теоретические основы метода Мельникова
Рис. 2.14. Сечения возмущенных многообразий [101]
соответственно. При выполнении условия (2.8.11а) сечение четырех-
мерного фазового пространства {x,y,z,t} плоскостью с ординатой t =
= to порождает трехмерное сечение фазового пространства (рис. 2.14).
(В частном случае периодического возбуждения отображение Пуанка-
ре может быть построено в трехмерном пространстве {x,y,z}.) Да-
лее, пересечения трехмерного сечения с секущей плоскостью возму-
щенных устойчивого и неустойчивого многообразий ТУДГ^го.Льс))
и iyu(re(zo, to; д)) образуют двумерное и одномерное многообразия,
соответственно, и траектория с начальными условиями на множестве
Г£(х, to;e) притягивается к r£(zo,io;6') (рис. 2.14). При выполнении
условия (2.8.11b) устойчивое многообразие одномерно, а неустойчи-
вое — двумерно, и траектория с начальными условиями на множест-
ве Г£(г,to;e) отходит от Г£(го, toi^)-
На рис. 2.14 также показана плоскость тг, проходящая через
точку до с координатой zo. Плоскость тг параллельна оси z и пер-
пендикулярна в точке qo к невозмущенной гомоклинической траек-
тории, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что плос-
кость тг содержит единичный вектор ez, параллельный оси г, и век-
тор {дН{цо)/дх, dH(qo)/dy, 0}, направленный по нормали к вектору
{—dH(qo)/dy, dH(qo)/dx, 0}. В силу уравнений (2.8.2), последний
вектор направлен по касательной к невозмущенной гомоклинической
траектории в точке qo. Кроме того, на рис. 2.14 показана точка qE пе-
ресечения плоскости тг с неустойчивым многообразием ККи(Ге(2р, to;e))
и точка qf пересечения этой плоскости с траекторией, содержащейся
в устойчивом многообразии ЖДГД-го, Д; е)). Обе точки имеют одну
и ту же координату z.
Расстояние Мельникова определяется как проекция вектора qE — qsE
на направление вектора {dH(qo)/dx, dH{qo)/dy, 0}, и может быть
записано в виде
, _ {дН^/дх, дН(д0)/ду, 0}  {q* -	f2 2s
[(дЩд^/дх)2 + (0Я(?о)/5у)2]1/2
Гл. 2. Переходы в детерминированных системах и функция Мельникова 55
Учитывая соотношение
Че - Че = е(^/5е|£=0 - dq2Jds\E=0 + О(е2),
определим функцию Мельникова как
М(до) = {дН^/дх, дН^/ду, 0}  Ж/Н=о - ^7Н=0}-
(2.8.13)
Повторяя вычисления, аналогичные приведенным в § 2.4.1, из урав-
нения (2.8.13) получим
г СО
Wo) =
J—оо
Wo»)'<(*. t + to)dt-
- дЩГ^/дг
t + t0) dt,
(2.8.14)
где^ VH = {dH(q0)/dx, dH(q0)/dy, dH(q0)/dz}, g= {gi,gz,g3},
и 9o°W — невозмущенная гомоклиническая траектория, проходящая
через гиперболическую точку, соответствующую ординате z0 [101].
2.8.3.	Пересечения многообразий. Если функция Мельникова
имеет простой корень в некоторой точке to, то при достаточно малых с
устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются трансверсаль-
но. Если M(to) 0 для всех tg, то устойчивое и неустойчивое многооб-
разия не пересекаются. Доказательство этого утверждения аналогично
доказательству соответствующего утверждения для системы на плос-
кости (§ 2.6). Однако для некоторых систем с медленно меняющимися
параметрами механизм появления хаотических переходов может быть
не связан с существованием гомоклинической структуры [96], и отсут-
ствие простых нулей функции Мельникова не исключает возникнове-
ния переходов.
ХАОС В ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ
И ФУНКЦИЯ МЕЛЬНИКОВА
В главе 2 мы рассмотрели детерминированные системы, для ко-
торых определена функция Мельникова. Было показано, что необхо-
димое условие возникновения движения с переходами такого типа,
как на рис. 1.2, в — существование простых нулей функции Мель-
никова. В этой главе мы установим, что при выполнении этого условия
возникают хаотические переходы. Хаотическое движение, обладает,
в частности, следующими тремя свойствами. Во-первых, движение чув-
ствительно к начальным условиям. Это приводит к непредсказуемости
движения, так как начальные условия могут быть определены лишь
с ограниченной точностью. Из-за неизбежных ошибок в определении
начальных условий расхождение между теоретически предсказанными
и наблюдаемыми результатами может быть очень большим. Во-вторых,
наблюдаемое движение нерегулярно. В третьих, с хаотическим движе-
нием связаны геометрические структуры дробной — фрактальной —
размерности.
В § 3.1 мы определим элементарные математические понятия, необ-
ходимы для этой главы: показатели Ляпунова, определяющие меру
чувствительности к начальным условиям, аттракторы и области при-
тяжения. В § 3.2 дадим понятие канторовых множеств и обсудим их
фрактальные размерности.
В § 3.3 введем в рассмотрение некоторые понятия теории динамиче-
ских систем: двумерную подкову Смейла и сопутствующие канторовы
множества — и покажем, как построить отображение сдвига, тополо-
гически эквивалентное подкове Смейла.
В § 3.4 рассмотрим методы символической динамики и используем
их для анализа отображения сдвига. Этот анализ позволяет дать
математическое определение хаоса и установить, что отображению
сдвига соответствует хаотическая динамика. Эквивалентность между
отображением сдвига и подковой Смейла означает, что динамика на
канторовом множестве, связанном с подковой Смейла, также хаотична.
В § 3.5 сформулирована теорема Смейла-Биркгофа. В этой теореме
используются выводы, полученные для подковы Смейла, и доказыва-
ется, что существование простых нулей функции Мельникова есть
необходимое условие возникновения хаоса. Возникающее хаотическое
движение с переходами, появляющимися при пересечении устойчивых
и неустойчивых многообразий, называется гомоклиническим хаосом.
Связанные с этим явления называются хаотическими переходами
и хаотическим переносом. Если функция Мельникова не имеет
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 57
простых нулей, то движение не может быть хаотическим, и переходы
не возникают. Мы также обсудим переходный хаос, т. е. хаос в пе-
реходных, а не установившихся процессах, и его связь с функцией
Мельникова. Наконец, мы представим примеры движений, которым
соответствуют функции Мельникова, имеющие и не имеющие простых
корней.
В § 3.6 кратко рассмотрим обобщение понятия подковы Смейла для
систем с медленно меняющимися параметрами. Это обобщение исполь-
зуется для доказательства необходимого условия возникновения хаоса
как условия существование простых корней функции Мельникова.
В § 3.7 дано описание экспериментальной установки для создания
хаотических движений и приведены полученные экспериментальные
результаты.
3,1.	Чувствительность к начальным условиям
и показатели Ляпунова. Аттракторы и области
притяжения
3.1.1.	Пример чувствительности к начальным условиям для
одномерного отображения. Растяжение и сжатие. В § 3.3 бу-
дет показано, что в двумерном отображении Смейла чувствитель-
ность к начальным условиям связана с тремя геометрическими осо-
бенностями: растяжением, сжатием и складыванием. Предварительно
рассмотрим динамику двух одномерных отображений: треугольного
отображения *) и логистического отображения. В частности, покажем,
что чувствительность к начальным условиям для треугольного отоб-
ражения явно связана с двумя геометрическими преобразованиями:
растяжением и складыванием. Для логистического отображения дадим
простое математическое доказательство чувствительности к начальным
условиям.
Пример 3.1.1. Треугольное отображение. Отображение опреде-
ляется конечно-разностным уравнением
xn+1 = 1-2|хп-1/2|	(3.1.1)
на единичном интервале 0< хп < 1. Уравнение (3.1.1) можно перепи-
сать в виде
а;п+1=2хп, О < хп < 0,5; жп+1 = 2(1 - хп), 0,5 хп 1,0.
(3.1.2а,Ь)
Соотношения (3.1.2а,Ь) графически представлены на рис. 3.1, а, б.
Отметим, что все итерации , хп+2,..., содержатся в интерва-
ле [0, 1].
Отображение состоит из двух этапов. На первом этапе интер-
вал [0, 1] растягивается в два раза/ На втором этапе происходит
складывание, удерживающее итерацию в интервале [0,1J. Указанные
’) В оригинале — the tent map. — Прим. ред. пер.
58
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Рис. 3.1. а — треугольное отображение; б — представление итерации в виде
двух последовательных операций: растяжения сегмента ОА в сегмент ОВ
и складывания
сегмента АВ' в сегмент АВ
Хл	Хл+2
а	б	в
Рис. 3 2 Совместное преобразование растяжения и складывания для трех
последовательных итераций. Длина интервала ап — е„ = 1. Отметим, что
подковообразное отображение получается как результат растяжения и скла-
дывания
процессы растяжения и складывания для трех последовательных ите-
раций представлены на рис. 3.2. Первая итерация от состояния хп
к ту.г! отображает интервал (апЬп) (например, интервал [0; 0,25])
на интервал (an+1fen+i) (интервал [0; 0,5]). Затем интервал (0,25; 0,5]
отображается на интервал (0,5; 1]); интервал (0,5; 0,75] — на интер-
вал (1; 0,5], и, наконец, интервал (0,75; 1] — на интервал (0,5; 0].
После двух итераций координата хп трансформируется так, как по-
казано на рис. 3.2, в.
Растяжение создает чувствительность к начальным условиям,
так как расстояние между двумя траекториями с заданным начальным
расстоянием увеличивается вдвое на каждом шаге, т. е. траектории
расходятся экспоненциально. Хотя расходимость ограничена скла-
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 59
дыванием отображения, удерживающим итерации в интервале [0, 1],
преобразования растяжения и складывания могут привести к тому,
что расстояние между последовательными итерациями траекторий
с малым начальным расщеплением меняется нерегулярно внутри этого
интервала. Это можно проверить с помощью простого карманного
калькулятора для двух траекторий с начальными координатами 0,258
и 0,259. После 10 итераций получим координаты 0,192 и 0,784,
соответственно. Поскольку на практике точность определения
начальных условий недостаточна, мы не можем получить информацию
о том, где будет находиться траектория после достаточно большого
числа итераций, т. е. движение становится непредсказуемым.
Пример 3.1.2. Логистическое отображение. Для частного слу-
чая логистического отображения можно предложить простое доказа-
тельство непредсказуемости движения. Отображение имеет вид
2Tn+i = 4ст:п(1 - хп).
(3.1.3)
О < хп 1. Рассмотрим частный случай с= 1. Из уравнений (3.1.3)
следует, что 0 a?n+i 1. Покажем, что это отображение чувстви-
тельно к начальным условиям. Для этого используем преобразование
хп = sin2Tr0n. Уравнение (3.1.3) принимает вид
sin2 тг0п+1 — sin2 2тг0п,
(3.1.4)
т. е.
6п +1 = 20п.
(3.1.5)
Отсюда следует
0п = 2п6о-
(3.1.6)
Учитывая, что а?о не меняется при добавлении к фазе произвольного
целого числа Oq, получим
6п = 2пОо (mod 1)..	(3.1.7)
Рассмотрим, например, начальное условие Oq = 0,8046876... =
= 1/2 + 1/4+ 1/32+ 1/64+ 1/128 + ... и его последовательные
итерации (в скобках приведены соответствующие символьные
обозначения в бинарной системе) 1)
60 = 1/2+1/4+0+0+1/32+1/64 + 1/128 + ... (0О = 0,1100111...),
6>1 = 1/2+ 0 + 0+ 1/16+ 1/32+ 1/64 + ...
02 = 0 + 0 + 1/8 + 1/16 + 1 /32 + ...
03 = 0+1/4+1/8+1/16 + ...
04 = 1/2 + 1/4 + 1 /8 + ...
05 = 1/2+ 1/4 + ...
06= 1/2 + ...
(01 =0,100111 ...),
(02 = 0,00111...),
(03 =0,0111...),
(04 =0,111...),
(05=0,11...),
(06=0,1...).
*) В бинарной системе значащим цифрам соответствует единица, а нулям —
ноль. — Прим. ред. пер.
60 Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Отметим, что в бинарной системе “запятая", отделяющая “десятич-
ные” знаки последовательных итераций, сдвигается вправо. Эта осо-
бенность проявляется и в отображении сдвига, которое обсуждается
в §3.3.
Поскольку начальное значение во известно с достаточной долей
неопределенности, нельзя предсказать положение итераций высоких
порядков внутри интервала [0, 1]. Это, в частности, справедливо, для
итераций начиная с 67,6g и т. д.
С помощью простых вычислений на карманном калькуляторе легко
проверить, что при с — 1 и при начальных условиях внутри единичного
интервала итерации решения уравнения (3.1.3) изменяются беспоря-
дочно. Если во меняется на малую величину е, то, в силу уравне-
ния (3.1.7), 6п меняется на А6п = 2пе. Таким.образом, расхождение
первоначально близких траекторий возрастает экспоненциально. Одна-
ко, как следует из уравнения (3.1.3) и как было показано на предыду-
щем примере, это расхождение ограничено величиной интервала [0, 1].
3.1.2.	Показатели Ляпунова. Показатель Ляпунова для одно-
мерного отображения определяется усреднением экспоненциального
расщепления итераций
А = lim (1/п) 1п(Д0п/е),
п—»ОО,Е—>0
где Д0П — расстояние на п-й итерации между двумя траекториями
с начальным расстоянием £. Для логистического отображения с пара-
метром с = 1 имеем Д0п/е = ехр(тгА) и Д0П = 2пе. Отсюда получим
А = 1п2. Положительность показателя Ляпунова означает, что движе-
ние чувствительно к начальным условиям.
Любой n-мерный поток имеет п показателей Ляпунова, и чувстви-
тельность к начальным условиям возникает, если старший показатель
Ляпунова Атах положителен (см., например, [7]). В частном случае
систем с непрерывным временем, для которых известны уравнения
движения, Атах можно оценить по возрастанию первоначально малого
расщепления двух траекторий [76]. Обозначив расщепление траекто-
рий в момент Т как Д, получим, как и в дискретном случае,
Amax= lim (1/Т)1п(Д/е).	(3.1.8)
Т —*оо
Е-40
Для траекторий, представленных на рис. 3.3, расщепление равно е =
= 10“4 и Д « 0,5 при Т ~ 40, т. е. для этой системы Атах ~ 0,2.
Отметим, что после момента Т = 40 расстояние Д не возрастает. Это
связано с тем, что установившееся движение системы ограничено.
Для непрерывных систем с неизвестными уравнениями движения
необходима специальная процедура оценки показателей Ляпунова по
наблюдениями временных рядов. Чтобы обойти вычислительные труд-
ности, связанные с экспоненциальным возрастанием расстояния Д
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 61
Время
Рис. 3.3. Расхождение двух траекторий с начальным расстоянием 10-4.
В среднем, расстояние между траекториями растет экспоненциально вплоть
до верхнего предела, определяющего размер аттрактора
и с эффектом насыщения, показанным на рис. 3.3, расщепление тра-
екторий исследуется на регулярных, достаточно малых интервалах
времени, и затем проводится усреднение по всем интервалам [6, 46].
Было показано [18], что при оценке показателей Ляпунова возникают
серьезные проблемы, связанные с трудно достижимой необходимой
длительностью наблюдения временных рядов.
3.1.3.	Аттракторы и области притяжения. Для диссипативных
потоков характерно существование аттракторов. Аттрактор — это
ограниченное множество, к которому асимптотически приближаются
траектории, исходящие из некоторого множества начальных условий,
образующего область притяжения аттрактора.
Рассмотрим, например, линейный осциллятор с одной степенью сво-
боды с вязким демпфированием и гармоническим возбуждением. Его
установившееся перемещение х и скорость х — гармонические процес-
сы. Следовательно, при изображении на фазовой плоскости траектория
движения {х, £} приближается к замкнутой кривой — периодическому
аттрактору. Отметим, что траектория, представленная в трехмерном
пространстве {x,x,t} неограничена, но движется по спирали по на-
правлению координаты t. Если система приводится к автономной, то
аттрактор ограничен в расширенном фазовом пространстве (см. § 2.7.1
и § 2.7.3). В этом примере область притяжения совпадает со всей
фазовой плоскостью, т. е. все траектории, независимо от начальных
условий, сходятся к периодическому аттрактору.
Теперь рассмотрим невозмущенную систему с вязким линейным
демпфированием и потенциалом с двумя минимумами (ямами)
(рис. 2.1, а). В зависимости от начальных условий, траектория
асимптотически приближается к положению равновесия, соответст-
вующему одному из двух минимумов. Два аттрактора системы — это
неподвижные точки С и С' на фазовой плоскости (рис. 2.1,6).
(Неподвижные точки С и С — притягивающие фокусы; им
62
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Рис. 3.4. Точечные аттракторы и их области притяжения для невозмущенного
осциллятора с двумя положениями равновесия и диссипативными силами
соответствуют комплексные собственные числа с отрицательной
действительной частью характеристического уравнения линеаризо-
ванной системы). Система имеет две области притяжения, т. е. два
множества начальных условий, образующих области притяжения
точек С и С, соответственно (рис. 3.4). В § 3.5. мы подробно обсудим
нелинейные системы с точечными, периодическими (предельные
циклы) и хаотическими аттракторами.
3.2.	Канторовы множества. Фрактальные размерности
3.2.1.	Канторовы множества. В пределе, при бесконечном числе
итераций, итеративный процесс приводит к множествам, состоящим
из бесконечного числа точек и известным как канторовы множества.
Мы рассмотрим эти множества как введение к последующему изу-
чению подковы Смейла. Ограничимся простой иллюстрацией и рас-
смотрим канторово множество на единичном интервале с изъятием
средней трети. На первом шаге итеративного процесса убирается
Рис. 3.5. Построе-
ние канторова мно-
жества с удалени-
ем средней трети
средняя треть единичного интервала. Каждый сле-
дующий шаг состоит из уничтожения средней
трети каждого из интервалов, образовавшихся на
предыдущем шаге (рис. 3.5). Построенное таким
образом канторово множество образует на еди-
ничном интервале бесконечное множество точек,
оставшихся после n-го шага при п —» со.
3.2.2.	Фрактальные размерности. Канторо-
вы множества относятся к геометрическим объек-
там, известным как фракталы. Мандельброт [50]
определил фракталы как “фигуры, сделанные из
частей, подобных целому”. Для рассмотренного
канторова множества это подобие влечет за собой
исчезновение средней трети каждого интервала на
каждом шаге. Фракталы имеют дробную размер-
ность, называемую фрактальной размерностью.
Эта размерность определяется выражениями, ко-
торые в частных случаях точки (геометрический
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 63
объект нулевой размерности), линии (одномерный геометрический объ-
ект), поверхности (двумерный геометрический объект), и объемов
в трехмерном...... n-мерном Евклидовых пространствах приводят
к размерностям 0, 1,2, 3..п, соответственно. Одно из таких выра-
жений определяет размерность Хаусдорфа-Бесиковича
d = lim{ln[7V(£)]/ 1п(1/е)}	(3.2.1)
е—>0
(если этот предел существует). Здесь М(е) — минимальное число
гиперкубов со стороной е, необходимое для покрытия объекта. Из
определения (3.2.1) следует, что размерность единичного куба в трех-
мерном пространстве x,y,z равна lim{ln[( 1 /е3)]/ 1п( 1 /е)} = 3.
Е—>0
Получим фрактальную размерность d рассмотренного канторова
множества. Начальное множество, состоит из единичного интервала,
т. е. оно может быть покрыто одним сегментом (М(е) = 1, одномерный
куб) со стороной £ = 1. На первом шаге, после уничтожения средней
трети интервала, получим е=1/3 и М(е) = 2. На следующем шаге
£=1/9 = (1/3)2, и Л?(е) = 4 = 22. На n-ом шаге £ = (1 /3)" и М(е) =
= 2”. Из уравнения (3.2.1) следует d = lim {(1п2п)/(1пЗ”)} =0,6309.
71—>OQ
С точки зрения размерности, это канторово множество может рассмат-
риваться как промежуточное между точкой размерности 0 и лини-
ей размерности 1. Канторовы множества и, вообще говоря, объекты
с фрактальной размерностью, называются фрактальными множествами.
Для детального изучения фракталов можно обратиться к моногра-
фии [20].
3.3.	Подкова Смейла и отображение сдвига
В этом разделе мы представим хорошо известное отображение,
называемое подковой Смейла, и связанное с ним отображение сдвига.
В пределе, при бесконечном числе итераций, подкова Смейла приводит
к двумерному канторову множеству Л, инвариантному относительно
итераций. Это означает, что итерация любой точки, принадлежащей Л,
также принадлежит Л. Мы покажем, что динамика, связанная с подко-
вой Смейла на множестве Л эквивалентна динамике при отображении
сдвига на бесконечной последовательности символов 0 и 1, обозна-
ченной как Кг- В § 3.4 мы покажем, что при отображении сдвига на
множестве Ег возникает хаотическая динамика. Из эквивалентности
подковы Смейла и отображения сдвига следует, что динамика на мно-
жестве Л при отображении Смейла также хаотическая. Этот результат
будет использован в § 3.5 при доказательстве того, что необходимое
условие возникновения хаоса в системе на плоскости — существование
простых нулей функции Мельникова.
64
Часть 1 Теоретические основы метода Мельникова
а	6	е
Рис. 3.6. а — единичный квадрат, содержащий прямоугольники Но и Нг, б —
сжатие и растяжение единичного квадрата; в — складывание, преобразующее
прямоугольники (б) в прямоугольники Vq и Vi. На всех рисунках показаны
положения сторон ab и hg после преобразований
Двумерная подкова Смейла f определяется преобразованиями
О С х < 1;
О О 1/м.
1;
1 - 1/M «S У 1.
(3.3.1а)
(3.3.1b)
где д > 2 и А < 1/2. Выражения (3.3) описывают аффинное преобразо-
вание
/(Яо) = Vo.
(3.3.2)
отображающее, например, прямоугольник Hq в прямоугольник Vq
(рис. 3.6). Соотношение (3.3.1b) определяет, в дополнение к аффин-
ному преобразованию, поворот на 180° и параллельный сдвиг.
(Двумерная матрица в (3.3.1b) представляет собой произведение
двумерной матрицы поворота и двумерного аффинного преобразования
матрицы (3.3.1а)). Пусть, например, отображение (3.3.1b) преобразует
прямоугольник Ht в прямоугольник V], т. е.
/(Я.) = ^	(3.3.3)
(рис. 3.6). Одновременная итерация по уравнению (3.3.1), отображаю-
щая прямоугольники Hq в 1Ц и Vb Б И, соответственно, может рас-
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 65
Рис. 3.7. Прямые итерации областей Vo и Vi
сматриваться как результат следующих операций: (1) сжатие и рас-
тяжение квадрата со стороной 1 (рис. 3.6, а), преобразующие квадрат
в полосу (рис. 3.6, б) и (2) изгиб этой полосы в форму подковы
(рис. 3.6, в). Читатель может проверить уравнения (3.3.2) и (3.3.3),
применяя отображения (3.3.1а) и (3.3.1b) к точкам a,b,c,d и е, f, g, h,
соответственно.
Теперь рассмотрим вторую итерацию, т. е.
/2(Я0 U Я,) = /(/(Яо и Я,)) = /(Vo и V.)	(3.3.4)
(верхний индекс обозначает порядок итерации). Область преобразо-
вания / не включает полосу 1/д^у	1 — 1/ц (см. формулы (3.3.1)
и рис. 3.6, а). Поэтому мы выполняем итерацию /(ТоОЦ) в четыре
этапа. На первом шаге, применяя преобразование (3.3.1а) к области
О С х А, 0 < у 1/р, т. е. к области Hq П Vq , получим
f (Яо П Vo) = Ио	(3.3.5)
(рис. 3.6 и 3.7) На'втором шаге преобразование (3.3.1b) применяется
к области 0 х А, 1 - 1/д у 1, т. е. к области Н\ П Vjj. Это даст
О Vo) = V10.	(3.3.6)
На третьем шаге, применив преобразование (3.3.1b), получим
/(Я, nv,) = V1,.	(3.3.7)
На четвертом шаге преобразование (3.3.1а) приводит к соотношению
/(ЯоПЦ) = УО1.	(3.3.8)
Соотношения (3.35) и (3.3.8) легко проверить, применив преобра-
зования (3.3.1) к углам отображаемого прямоугольника, и следуя их
траекториям, как показано на рис. 3.6 для точек a, d, е, h. Используя
уравнения (3.3.5)-(3.3.8), запишем вторую итерацию в виде
/2(Я0иЯ,)^ VooUV^UViiUVoi.	(3.3.9)
Последовательность операций, использованная для построения
уравнений (3.3.5)-(3.3.8), представлена стрелками на рис. 3.7, б.
66
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Приведенная последовательность индексов служит для идентификации
вертикальных полос, полученных в результате отображений.
Процедура, аналогичная второй итерации, применима к последую-
щим итерациям. Для третьей итерации
f\H0 U Я,) = /(Ию и П10 и Пи и И1)
получим
f(H0 П Ио) = Иоо, /(Я, n Цо) = Иоо,
/(Я| п Ио) — Иоо, /(Яо и Ио) — Ию,
и
/(Яо П И1) — Цц, /(Я1 П И1)Ии,
/(Я] П Voi) = Иоь /(Яо П И1)Иооь
(3.3.10)
(3.3.11 a,b,c,d)
(3.3.11 e,f,g,h)
(рис. 3.7). Легко видеть, что индексация определяет каждую вер-
тикальную полосу, полученную на fc-й итерации области ЯдЬЯ],
последовательностью к бинарных разрядов. Обозначим эту последо-
вательность как s_is_2   • S-k, где s_$ € S = {0,1} (т. е. множество S
имеет два элемента, 0 и 1), i = 1,2,..., к. Ширина вертикальных полос,
полученных на fc-й итерации, равна Afc+1. При к —» со ширина полос
стремится к нулю, т. е. полосы превращаются в вертикальные линии,
каждая из которых определяется бесконечной последовательностью
бинарных разрядов s_]S_2 • • • S-k • - •.
Из (3.3.1) получим обратное отображение f~l (прообраз f)
0 х А;
О < у 1,
1 — А С х
0^2/^ 1.
(3.3.12а)
1;
(3.3.12b)
Применив первую и вторую итерации обратного отображения /_|
(3.3.12) к областям Яо и Hi, получим горизонтальные полосы, пока-
занные на рис. (3.8, б) и (3.8, в) соответственно. Индексация горизон-
тальных полос аналогична индексации вертикальных полос. Например,
/-1(ИоПЯо) = Яоо, Г'(ИПЯо) = Я1О,
/-‘(ИПЯО^Яп, /-‘(ИПЯО-Ящ.
Из соотношений (3.3.13) следует
/-1 (Яо U Н\) — Hoc U Яю U Я, 1 U Яо,.	(3.3.14)
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 67
Рис. 3.8. Обратные итерации областей Но и Н
Применив отображение f к обеим частям уравнений (3.3.13),
получим
/(Яу) = КПЯ> eHj, i = 1,2.	(3.3.15)
Выполнив первую итерацию обратного отображения f~l на
области	получим четыре горизонтальных полосы (3.3.13).
Рассмотрим горизонтальные полосы, полученные на fc-й итерации.
Каждой из полос соответствует последовательность индексов,
состоящая из k + 1 бинарных разрядов, обозначенных Sk-S\SQ,
где Si G S, S = {0,1}, i = 0, 1,..., к. Высота каждой полосы рав-
на (l//z)fc+l.
Можно проверить по рис. 3 8, что при к = 2 аналог соотноше-
ния (3.3.15) для последовательности Sf -siSo имеет вид
f\HSk...SlSJ & HSQ.	(3.3.16)
При к —> оо полосы превращаются в горизонтальные прямые, каж-
дая из которых определена последовательностью бинарных индек-
сов  • • зк • • - Sis0-
Исследуем динамику при отображении двумерного канторова
множества Л точек р пересечения вертикальных и горизонталь-
ных полос, определенных бесконечными последовательностями
• •-s_fc • • • S-25-i и sqSi    sk   , соответственно. Каждая точка
р £ Л принадлежит двум бинарным последовательностям из нулей
и единиц вида • •  з_.д    s_2S-i • so^iSg  • • Sfc •  •; “десятичная запятая”
отделяет предыдущую итерацию от последующей. Отсюда следует, что
существует взаимно однозначное отображение
ф(р~) = - 3-к- • S-2S-1 • SQS1S2 • • -Sk •   ,	(3.3.17а)
переводящее точки из множества Л в точки в пространстве последова-
тельностей •  • S-k    5-25-1 • Sq5i •  • 5fc.
68
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Можно показать,' что отображение ф — гомеоморфизм, т. е. это
отображение взаимно однозначно, непрерывно и отображает область
на область1) [99]. Каждая итерация отображения f точки реЛ
увеличивает число предыдущих итераций на единицу, т. е. точке f(p),
определенной на множестве Л, при отображении ф соответствует по-
следовательность • •  s_fc - - • s_2S_iSo • sis2 ’ ’  sk • • • • Отсюда получим
<£(J(p)) = •S-fc---S-2S-13o-SiS2-"Sfc--- .	(З.з. 17b)
Обозначим как Eg множество бесконечных последовательностей,
состоящих из двух символов
s = { • • s_k  • • s_2s-i  sqSi • • • Sk  •  }, sgS={0, 1} V i. (3.3.18a)
Каждая последовательность s может рассматриваться как точка в
пространстве последовательностей Eg. Отображение сдвига а — это
отображение Eg в себя, такое, что
o-(s) = {• • • s-k    S2S-1S0 • S1S2  • • Sfc • • • }>	(3.3.18b)
т. е. а действует на последовательность s, сдвигая “десятичные раз-
ряды” вправо. Из определения отображения cr(s) и уравнений (3.3.17)
и (3.3.18а) следует, что
</>(Яр)) = ^(р))-	(3.3.19а)
Используя обозначение фо f = ф(ф'), где символ о обозначает ком-
позицию двух функций, перепишем уравнение (3.3.19а) в виде
Ф ° f (р) = О' ° Ф(р)-	(3-3-19Ь)
Поскольку отображение ф гомеоморфное, то, в силу уравне-
ния П.3.1 (Приложение 3) отображения f и ф .топологически
сопряжены и имеют эквивалентную динамику. Это означает, что
топологическая информация о динамике отображения f может быть
получена из анализа динамики отображения а.
В заключение покажем, что все периодические точки подковы Смей-
ла — седлового типа. Это легко доказать, применив преобразования
§2.1.2 к уравнениям (3.3.1). Получим, что собственные числа матри-
цы, соответствующей периодическим точкам периода к, удовлетворяют
условиям |Aifc| = Хк < 1 и [Agfc| = цк > 1.
') Функция /(а:) однозначна, если /(х) f(y) при х -f у. Пусть I и J —
область определения и область значений функции /, соответственно. Функ-
ция /(г) отображает область I на область J, если для каждого у £ J найдется
значение х е I такое, что f(x) = у.
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 69
3.4.	Символическая динамика. Свойства
пространства £2. Чувствительность подковы Смейла
к начальным условиям. Математическое определение
хаоса
Изменения последовательностей символов s € S при отображении а
изучаются методами символической динамики. Прежде всего, исполь-
зуя эти методы, мы покажем, что Е2 содержит бесконечное счетное
множество периодических траекторий. Это следует из того, что для
каждого п = 1,2,... число периодических орбит периода п равно 2П.
Для доказательства отметим, что периодические точки при отображе-
нии а соответствуют последовательностям длины п, т. е. последова-
тельностям вида
5	= {• ' • SqS1S2 ‘ ‘ Sn-lS0SlS2 * ' ' ^n—1	’ }•
(Интервалы подчеркивают повторяемость последовательностей.) Суще-
ствуют две точки периода 1 (т. е. неподвижные точки, см. § 2.1.2)
{...ООО...} и {...111...},
четыре точки периода 2
{...00 00 00...}, {...01 01 01 ...},
{... 10 10 10. ..}, {...111111...},
и т. д. Можно показать, что, помимо существования бесконечного счет-
ного множества периодических траекторий, динамика в пространст-
ве Е2 имеет следующие особенности: периодические точки образуют
плотное множество; в Е2 содержится бесконечное несчетное множество
непериодических траекторий; итерации а образуют плотную периоди-
ческую траекторию. Эти свойства обсуждаются в Приложении П.4.
Покажем, что отображение сдвига чувствительно к начальным
условиям. Доказательство проводится в несколько этапов. Сначала
определим метрику в пространстве П2. Напомним, что метрика с/( , )
некоторого пространства должна удовлетворять следующим четырем
аксиомам: для всех точек г, s, t, принадлежащих этому пространству
выполняются условия: (1) d(r, s) ^0 и d(s, s) = 0; (2) d(r, s) = cZ(s,r);
(3) d(r, t) C d(r, s) + d(s, t); (4) d(r, s) > 0, если r s.
Для пространства последовательностей E2 расстояние между двумя
точками г, s определяется формулой
для всех г = {••r_fe---r_2r_1 ro’'ir2---rfc---} е Е2, s == {• •-s_fc  • •
 •  s_2s_i • SoSiS2 • • • Sfc • • •} € E2. Поскольку величины ту и s< равны
либо 0, либо 1, ряд (3.4.1) мажорируется геометрической прогрессией
70	Часть /. Теоретические основы метода Мельникова 
с членами 2/2^1, т. е. этот ряд сходится. Легко показать, что выра-
жение (3.4.1) удовлетворяет всем аксиомам, определяющим метрику
(третья аксиома проверяется с помощью неравенства треугольника:
если точки г, s, t 6 Eg. тогда |т\ — Sj| ± |sj — tj| \гг - £,|).
Две точки ths близки, если = з, для всех i = 0, ±1,..., ±п,
где п достаточно велико. Это следует из того факта, что, если т-г =
= Si при i = 0, ±1,..., ±77, то остаток ряда (3.4.1) мажорируется гео-
метрической прогрессией со знаменателем 1/2, первой член которой
равен 1/2”. Тогда \d(r, s)|	1/2”-1. Справедливо обратное утвержде-
ние: если \d(r, s)|	1/2”“*, то можно показать, что = Si для всех
i = 0, ±1, ... , ±77.
На втором этапе доказательства покажем, что отображение сдви-
га непрерывно. Рассмотрим последовательность г и введем пара-
метр е > 0. Выберем число п так, что 1/2”-1 < е. Для метрики
d(r, s) < <5 = 1/2”'1 имеем r, = для всех i = 0, ±1,..., ±(тг ± 1),
и d(a(r'),a(s')')	1/2”-1 < е.
Теперь сравним поведение точки р € Л при итерациях отображе-
ния f с поведением точки, близкой к р. Согласно уравнению (3.3.17а)
при отображении ф точке р ставится в соответствие последователь-
ность s = {   s_fc • •  S-2S-i5osis2 •  • sk   ‘ } в пространстве Ег. Рас-
смотрим £-окрестность точки р для некоторого фиксированного зна-
чения £. Существует число N = 7V(e), такое, что окрестность ф(р),
соответствующая е-окрестности точки р, содержит последовательно-
сти s' = {   s'_k •  • s'_2s-i ’ s'os'is2 '' s'k ’ ’' е ^2. такие, что s< — sit
|г| С N. Предположим, что (М ± 1)-й член последовательности, соот-
ветствующей ф(р), равен 1, и (N ± 1)-й член последовательности s'
равен 0. Как бы мало ни было значение е, условие близости итераций
N-ro порядка для последовательностей ф(р) и s' не выполняется. По
уравнению (3.3.16), N-я итерация точки р из Л принадлежит Hi, тогда
как N-я итерация точки р', соответствующей последовательности s',
принадлежит Hq. После N итераций расстояние между двумя траек-
ториями, первоначально меньшее, чем е, превышает величину 1 — 2е.
Напомним, что, в силу топологической сопряженности (Приложе-
ние ПЗ), динамические свойства отображения а вЕ? (Приложение П4)
переносятся на отображение f в Л. Отсюда следует, что подкове Смей-
ла соответствует канторово множество в Л со следующими свойствами:
1.	Л1ножество Л содержит бесконечное счетное множество периоди-
ческих траекторий с произвольно большим периодом. Эти траектории
плотны в Л.
2.	Множество Л содержит бесконечное несчетное множество непе-
риодических траекторий.
3.	Множество Л содержит плотную периодическую траекторию,
образованную итерациями f (т. е. отображение топологически тран-
зитивно).
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 71
Исходя из этого, можно дать математическое определение хаоса.
Пусть V — некоторое множество. Отображение F: V —>V называ-
ется хаотическим, если оно чувствительно к начальным условиям
и обладает тремя выше перечисленными свойствами В соответствии
с этим определением, подкова Смейла соответствует хаотическому
отображению.
3.5.	Теорема Смейла-Биркхофа. Необходимое условие
Мельникова возникновения хаоса. Переходный
и установившийся хаос
Рассмотрим отображение /: R2 —> R2. Предположим, что это отоб-
ражение диффеоморфно ’) и имеет неподвижную гиперболическую
точку, которой соответствуют трансверсально пересекающиеся устой-
чивое и неустойчивое многообразия (рис. 3.9). Параллелограмм D
Рис. 3.9. Пересечение подковообразной конфигурации, возникающее в гомо-
клинической структуре
на рис. 3.9 содержит гомоклиническую точку q; его стороны па-
раллельны направлениям устойчивого и неустойчивого многообразий
в этой точке. Обозначим прямую и обратную итерации порядков N
и М как	и	соответственно. Отображения включают
растяжения, сжатия, складки и пересечения подковообразной формы,
аналогичные подкове Смейла. Это подобие можно использовать для
доказательства теоремы Смейла-Биркхофа, утверждающей, что, если
функция Мельникова имеет простые нули, то существует целое число
О 1, такое, что отображению fn соответствует канторово множество-,
на котором это отображение будет топологически сопряженным с отоб-
ражением сдвига. Эта проблема детально обсуждается в [98].
Теорема Смейла-Биркхофа формулирует необходимые условия воз-
никновения хаоса в непрерывных системах с гомоклинической струк-
турой. Растяжения, сжатия и складки периодически возмущенно-
го потока при отображении Пуанкаре представлены на рис 3.9.
*) СТ — диффеоморфизмом называется гомеоморфизм /, обратное отобра-
жение которого имеет г 1 непрерывных производных.
72
Часть /. Теоретические основы метода Мельникова
Геометрические объекты квазипериодически возмущенного потока,
топологически сопряженные представленным на рис. 3.9, могут быть
образованы проекцией на ту же плоскость	соответствующих
участков сечений фазового пространства, как, например, на рис. 2.11.
Подковы, образующиеся в этой плоскости, возникают при проекции
сечений фазового пространства, взятых через равные интервалы вре-
мени и образующих бегущие последовательности [5]. Показано [5],
что, по аналогии с отображением Пуанкаре, эти последовательности
могут быть использованы для доказательства необходимого условия
возникновения хаоса в системе с квазипериодическим возмущением
в виде условия существования простых нулей функции Мельникова.
Хаос в диссипативной динамической системе подразумевает суще-
ствование хаотического аттрактора и/или непритягивающего хаотиче-
ского множества. Хаотическим аттрактором в фазовом пространстве
(§3.1.3) называется ограниченное множество, состоящее из траекто-
рий установившегося хаотического движения. В силу этого опреде-
ления, аттрактор не может быть определен в неавтономном фазовом
пространстве {.ч?1, ГГ2, , так как в этом пространстве установившее-
ся движение неограничено. Эта трудность снимается, если система
рассматривается в расширенном автономном фазовом пространстве
(см. §2.7.1 и §2.7.3). Фрактальные (или расплывшиеся) границы
области притяжения, т. е. границы с фрактальными размерностями —
пример непритягивающего хаотического множества [57], [61].
Рассмотрим систему с параметром 7. Пусть 7<s обозначает значение
параметра, при котором устойчивое и неустойчивое многообразия ка-
саются друг друга, т. е. соответствующая функция Мельникова имеет
кратный корень. Предположим, что при 7 7ts условие Мельникова
возникновения хаоса не выполняется. Поскольку в системе нет транс-
версального пересечения многообразий, т. е. нет установившегося или
переходного хаоса, то границы области притяжения гладкие. Пусть су-
ществует значение ychaos такое, что при 7 7cKgos в системе возникает
установившееся хаотическое движение ’). Численное моделирование
показывает, что, в зависимости от начальных условий, при 7tg < 7 <
< ^chaos, в системе может возникать как непритягивающее хаотическое
множество, размеры и конфигурация которого зависят от 7, так и пере-
ходное движение (возникающее до того, как устанавливается хаотиче-
ский аттрактор), чувствительное к начальным условиям и называемое
переходным хаосом (см. пример 3.5.1).
Пример 3.5.1. Регулярное и хаотическое движение стандарт-
ного осциллятора Дюффинга с гармоническим возбуждением.
Рассмотрим стандартный осциллятор Дюффинга с гармоническим
возбуждением (уравнение (2.5.14) при a = b= 1) с параметрами
•) Хаотический аттрактор может существовать одновременно с другими
аттракторами, хаотическими или нехаотическими, и с непритягивающим ха-
отическим множеством.
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 73
0 = 0,25, ш=1. Из соотношений (2.5.17) и (2.5.19) следует, что
условие Мельникова возникновения хаоса имеет вид -у > ^tg —
= 4/?/[Зтгл/2ш sech(7rw/2)] = 0,188255.
При 7 = 0 энергия движения рассеивается, и, в зависимости от на-
чальных условий, траектория притягивается к одному из двух аттрак-
торов. Каждый из аттракторов представляет собой неподвижную точку,
соответствующую минимуму каждой из потенциальных ям (рис. 2.1, а).
фазовый портрет системы, представленный на рис. 3.4 включает два
аттрактора со своими областями притяжения (затененные для правого
аттрактора и светлые для левого), границы областей притяжения и две
траектории, каждая из которых движется к своему аттрактору. Отме-
тим, что области притяжения имеют гладкие границы.
При 7 = 0,10 система имеет два периодических аттрактора в авто-
номном фазовом пространстве. В трехмерном пространстве
установившееся движение развивается по спирали. Спираль пересекает
плоскость сечения Пуанкаре в одной точке. На рис. 3.10, а пока-
зано, что пересечения плоскости сечения Пуанкаре с устойчивым и
неустойчивым многообразиями образуют непересекающиеся кривые.
Рис. 3.10. Осциллятор Дюффинга, /3 = 0,25, 7 = 0,10: а — сечение Пуанкаре,
непересекающихся устойчивого и неустойчивого многообразий; б — запись
перемещений [32]
На рис. 3.10, б представлена запись перемещения системы, включаю-
щая нехаотический участок переходного процесса вплоть до момента
t« 30 и последующее установившееся движение. В этом случае дви-
жение нечувствительно к начальным условиям.
При 7 = 0,2 устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются
трансверсально (рис. 3.11, а), но хаотический аттрактор не возникает.
74 Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Рис. 3.11. Осциллятор Дюффинга, /3 = 0,25, 7 = 0,20: а — сечение Пуанка-
ре пересекающихся устойчивого и неустойчивого многообразий; б — запись
перемещений. Движение начинается с хаотических переходов, но затем уста-
навливается периодическое движение. Необходимое условие Мельникова воз-
никновения хаоса выполняется, т. е. устойчивое и неустойчивое многообразия
пересекаются трансверсально. Однако, как видим на рисунке, это условие
необходимо, но недостаточно для возникновения установившегося хаотичес-
кого движения
Система имеет два периодических аттрактора, подобных представлен-
ным на рис. 3.10, а, но, благодаря большей амплитуде возбуждения,
имеющих большие размеры. Запись перемещения при начальных усло-
виях (0,1; 0,1) (рис. 3.11,6) показывает, что, в отличие от рис. 3.11, а,
переходный процесс хаотичен и, следовательно, чувствителен к началь-
ным условиям. Переходный процесс, соответствующий другим началь-
ным условиям (например, (0;0)), не хаотичен, и движение нечувстви-
тельно к начальным условиям.
Хаотический или нехаотический характер переходного процесса,
соответствующего тем или иным начальным условиям, зависит от
конфигурации области притяжения и ее границ. В зависимости от
того, имеет ли функция Мельникова простые нули, границы области
притяжения могут быть гладкими или фрактальными. Рост амплитуды
возбуждения вызывает эрозию, т. е. увеличение доли фрактальных
областей в областях притяжения [55, 57].
На рис. 3.12, а, б, в показаны, соответственно, сечение Пуанкаре
пересекающихся многообразий, отображение Пуанкаре хаотического
аттрактора и запись хаотического перемещения при 7 = 0,40. Теория
Мельникова подразумевает, что возмущение достаточно мало. Однако
рис. 3.11 и 3.12 показывают, что необходимые условия возникновения
.
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 75
в
Рис. 3.12. Осциллятор Дюффинга, /3 = 0,25, 7 = 0,40: а — сечение Пуанкаре
пересекающихся устойчивого и неустойчивого многообразий; б — сечение
Пуанкаре хаотического аттрактора; в — запись перемещений
хаоса применимы на практике даже при достаточно больших амплиту-
дах возмущения. Экспериментальное подтверждение приведено в § 3.7.
3.6.	Хаотическая динамика системы с медленно
меняющимися параметрами
В § 2.8 показано, что, если функция Мельникова системы с медлен-
но меняющимися параметрами имеет простой нуль при t = £0, то при
достаточно малом е устойчивое и неустойчивое многообразия пересека-
ются трансверсально. И наоборот, если M(to) 0 для всех to, то устой-
чивое и неустойчивое многообразия не пересекаются. При периодиче-
ском возбуждении можно построить отображение Пуанкаре в фазовом
пространстве {х,у, z}, топологически эквивалентное трехмерной подко-
ве Смейла. Отображение сжимается,по осям х и у и растягивается по
оси z. С помощью подхода, развитого для систем на плоскости, можно
показать, что это отображение топологически эквивалентно отображе-
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
76
нию сдвига, действующего в пространстве бесконечных последователь-
ностей нулей и единиц. Следовательно, для возникновения хаоса в си-
стеме необходимо, чтобы функция Мельникова имела простые нули.
Детали доказательства и обсуждение применимости теоремы Смейла-
Биркхофа к отображением гомоклинических точек, возникающих при
пересечении одномерного и двумерного инвариантных многообразий
можно найти, например, в [101].
В § 2.8.3 упоминалось, что, отличие от систем, не содержащих
медленных переменных, переходы в некоторых системах с медленно
меняющимися параметрами могут возникать по причинами, отличным
от хаотического переноса, т. е. независимо от поведения функции
Мельникова [98].
3.7.	Хаос в эксперименте: колонна Стокера
В этом разделе мы опишем модель колонны Стокера [86], слу-
жащую для демонстрации возникновения хаоса в системе с гармо-
ническим возбуждением. Модель колонны представлена на рис. 3.13;
Рис. 3.13. Схема колонны Стокера с приложенной внешней силой
экспериментальное устройство показано на рис. 3.14. Модель имеет
три сосредоточенных массы: массу т в центре, массу mi на верх-
нем конце и массу на нижнем конце. Пружина, прикреплен-
ная в центральной точке, имеет жесткость, эквивалентную изгибной
жесткости К[. Колонна длиной 21 (1 = 200 мм) закреплена на кон-
цах вертикальными пружинами с общей массой mv и общей жест-
костью /<2- Концы колонны с закрепленными на них массами могут
свободно скользить вдоль вертикальной оси, но не могут двигать-
ся по горизонтали. Центральная масса т свободно скользит вдоль
Гл. 3. Хаос в детерминированных системах и функция Мельникова 77
Рис. 3.14. Экспериментальная установка, моделирующая колонну Стокера
горизонтальной оси, но не может двигаться по вертикали. Масса т
присоединена двумя пружинами массы тм и тдг и жесткости кц
и к двум жестким плечам. Двигатель вызывает горизонтальные
гармонические колебания массы т амплитуды А и частоты а> [16].
Запись перемещений представлена на рис. 3.15. Легко видеть,
что при детерминированном возбуждении возникает сильно нерегу-
78
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
10 '-,-X-.-X-,-,-,-,-X
0123456789 10
Частота, Г ц
Рис. 3.16. Спектр перемещений. Широкополосная’часть спектра возникает,
главным образом, благодаря хаотическому движению, но в ней присутствуют
также помехи измерений. Периодическая составляющая спектра вносит малый
вклад в общую спектральную картину
-80	-40	0	40	80
Смещение, мм
Рис. 3.17. Типичное сечение Пуанкаре установившегося хаотического движения
лярное движение. Спектральная плотность *) нерегулярного движения
(рис. 3.16) соответствует широкополосному спектру. Для детерминиро-
ванной системы это отличительный признак хаотического движения,
состоящего из бесконечного несчетного множества непериодических
траекторий (§ 3.4). Если бы реакция системы была детерминирован-
ной, спектр состоял бы из дискретных пиков. На высоких частотах
интенсивность непрерывной составляющей спектра по крайней мере
вдвое ниже, чем на низких частотах, и может быть воспроизведена
численно или экспериментально. Отображение Пуанкаре хаотического
аттрактора представлено на рис. 3.17. Было показано, что его фрак-
тальная размерность равна 1,3, т. е. находится между фрактальными
размерностями линии и поверхности.
•) Спектральная плотность процесса может рассматриваться как мера амплитуд
элементарных гармоник, входящих в спектральное разложение случайного процесса
(см. § 4.2).
ГЛАВА 4
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Теория вероятностей предлагает математические модели для описа-
ния и интерпретации явлений, представленных случайными, или сто-
хастическими переменными ’), известными с некоторой долей неопре-
деленности. Стохастический процесс определяется как бесконечное
множество функций времени {?/(£)}, таких, что значения этих функций
в каждый момент времени образуют случайную переменную. В этом
разделе мы представим основные элементы теории случайных процес-
сов, которые будут использованы в главе 5 при развитии стохастиче-
ского метода Мельникова. Основные элементы теории вероятностей
представлены в Приложении П5.
В §4.1 представлены основные определения и результаты теории
случайных процессов, включая определение спектральной плотности,
ковариационной функции и взаимной ковариационной функции. В § 4.2
обсуждается приближенное представление случайного процесса в виде
конечной суммы гармонических функций со случайными параметрами.
Это представление необходимо для обобщения метода Мельникова на
стохастические системы. В § 4.3 получено выражение спектральной
плотности процесса на выходе линейного фильтра со случайным вхо-
дом. Это выражение используется в главе 5 для вычисления спектраль-
ной плотности стохастического процесса Мельникова.
4.1. Спектральная плотность, ковариационная
функция, взаимная ковариационная функция
В этом разделе мы изложим основы теории случайных процессов
и их основные характеристики. После обзора основных определений
и необходимых элементов гармонического анализа, мы введем в рас-
смотрение две взаимосвязанных характеристики случайного процесса,
спектральную плотность и ковариационную функцию. Затем определим
взаимную ковариационную функцию как основную характеристику
связи двух различных случайных процессов.
4.1.1. Основные определения. Рассмотрим процессы, траектории
которых образуют бесконечное множество, или ансамбль функций
времени Элементы множества (i — 1,2,...) называются
1) Термин “стохастический” означает явление, связанное с вероятностью и
случайными процессами и происходит от слов “цель, поиск, догадка” в грече-
ском языке.
80	Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
выборочными функциями, сигналами, траекториями или реали-
зациями случайного процесса. Процесс называется случайным, если
набор реализаций в каждый фиксированный момент времени образует
случайную переменную. Случайный процесс называется стационар-
ным, если его статистические характеристики не зависят от начала
отсчета времени, т. е. “что бы ни началось в некоторый момент времени,
может также начаться в любой другой момент”. В этой книге мы рас-
сматриваем случайные стационарные процессы. Исключения указаны
особо.
По определению, реализация стационарного процесса может быть
продолжена на всю временную ось. Это идеализация, так как все
физические процессы имеют конечную, хотя иногда и очень большую
длительность. Отметим, что шум обычно рассматривается как малая
случайная добавка к детерминированному сигналу. Тем не менее,
термины “шум" и “случайный процесс" обычно используются как си-
нонимы; так мы будем делать и в этой книге.
Функция распределения процесса y(i) в любой момент времени t
определяет безусловное распределение случайного процесса. Из опре-
деления стационарности следует, что безусловное распределение слу-
чайного стационарного процесса не зависит от времени. Если слу-
чайные векторы .   y(tn)} при любом целом п 1 и в любые
моменты времени ij < t2 < ... < tn имеют гауссовское распределение
(Приложение П5, § П5.6), то процесс называется гауссовским. При
нарушении этого условия процесс называется негауссовским.
Среднее по ансамблю, или математическое ожидание стационар- 
ного процесса определяется как среднее значение всех реализаций
в любой фиксированной момент времени. Случайный стационарный
процесс y(t) называется эргодическим, если среднее по ансамблю
реализаций совпадает со средним по времени функции y{t). Очевидно,
что каждая реализация эргодического процесса представительна для
всего ансамбля. В дальнейшем, если нет специальных указаний, мы
У2С)
y3w
Рис. 4.1 Реализации стационарного эргодического процесса
рассматриваем стационарные эргодические процессы. Реализации ста-
ционарного эргодического процесса представлены на рис. 4.1.
Полное определение случайного процесса требует знания совмест-
ных распределений переменных при всех г (т. е. для всех реали-
заций) и при любом наборе ti,...,tn. Как правило, этого невозможно
Гл. 4. Стохастические процессы
81
добиться. Вместе с тем, полезное описание процесса можно получить,
зная его безусловное распределение, спектральную плотность, или
спектр, и обратное преобразование Фурье спектральной плотности,
называемое ковариационной функцией. Ковариационная функция со-
держит информацию о временной эволюции процесса с заданным
безусловным распределением. В следующих разделах мы определим
эти функции.
4.1.2. Ряды Фурье и интегралы Фурье. При использовании
такого понятия, как спектральная плотность, неявно предполагается,
что реализация случайного процесса может быть представлена суммой
гармонических составляющих. В этом разделе дадим представление
периодических и непериодических функций в виде сумм гармонических
составляющих, т. е. в виде рядов и интегралов Фурье, и введем опре-
деление спектральной плотности, основанное на этом представлении.
4.1	2.1. Периодические функции. Ряды Фурье. Рассмотрим перио-
дическую функцию z(t) периода Т. Разложение функции в ряд Фурье
может быть записано в виде
оо
т(£) = Со 4-^2 Cfc cos(fcwit - </>*;).	(4.1.1а)
fc=l
Здесь частота wi = 2-к1Т называется частотой основной гармони-
ки, или основной частотой,
Со = ^	р7/2 2?(t) dt, —T/2	(4.1.1b)
ск = № + в2к)'/2,		(4.1.1c)
Фк = arctg-1(Bfc/Afc),		(4.1.Id)
.	2 &к =	pT/2 z(t) cos kwitdt, -T/2	(4.1.le)
Р - 2 r>k — т	pT/2 ar(t) sin kivitdt. -T/2	(4.1.1f)
Для доказательства соотношений (4.1 1) отметим, что		
cos(fcwit — фк) = созкюфсозфь: + sin ко/ it sin фк.		(4-1-lg)
Таким образом, в силу уравнений (4.1 1с,d)		
оо гс(£) = Со + ^(Afccosfcwii + Вк sin kcj\t). fc=i		(4.1.lh)
Для проверки уравнений (4.1 lb,e,f) подставим' равенство (4 1 . lh)
в правые части этих уравнений. Равенства (4.1.1Н) и (4.1.1а) могут
82
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
быть представлены в комплексной форме
7(f) = Е Ck expQ'fcc^f)
k = — OQ
= x(t),
1 ГТ/2
Ck = = z(f) exp(-jfcwit) dt,
1 J-7/2
(4.1.2a)
(4.1.2b)
(4.1.2c)
где j = y/—l, и действительная часть функции ж(4) обозначена
как x(t). Из соотношения (4.1.2b) следует, что мнимая часть
функции a;(t) равна нулю, так как она содержит сумму
р7/2
7(f) cos(fcwit) dt
—Т/2
rT/2
x(t) sin(/cw1t) dt
-7/2
cos(fcwit)
(4.1.2d)
sink<jj]t —
в которой слагаемое, соответствующее номеру к, уничтожается проти-
воположным по знаку слагаемым с номером — к.
4.1.2.2.	Непериодические функции. Интеграл Фурье и преобразо-
вание Фурье. Непериодическая функция j/(t) может рассматриваться
как периодическая с бесконечным периодом. Пусть ?/(£) — кусочно-
дифференцируемая функция и интеграл
’ОО
— сю
(4.1.3)
сходится. Предположим, что основная частота u?i мала и обозначим
wi = Дш. Заменив х(б) на ?/(f), перепишем уравнение (4.1.2) в виде
СЮ
у(о= Е
k—- сю
(Дш/2тг)
-7/2
y(t) exp(-jWfct) dt
-Т/2
ex.p(jukt).
(4-1-4)
(Напомним, что функция y(t) = Rey(f), где y(t) — комплексная функ-
ция.) Теперь будем считать, что Дш становится бесконечно малой
величиной da>, так что Т —> оо и = А;Дш = ш. В результате получим
соотношение, аналогичное (4.1.2)
у(0 =
г СЮ
du
—со
2-7Г
'СЮ
y(f) exp(-jwf) dt
— ОО
exp(jwt)
Гл. 4. Стохастические процессы
83
или
у(Я =
Z7F
РОО
С(Ф) exp(jwt) dw
= ?/(*)>
y(t) exp(-jwt) dt.
(4.1.5а)
(4.1.5b)
(4.1.6)
С =
Уравнение (4.1.5b) получено с помощью тех же рассуждений, что
и уравнение (4.1.2b). Функции y(t) и С(ш) называются обратным
преобразованием Фурье функции С(ш) и преобразованием Фурье
функции y(t), соответственно, и образуют пару преобразований Фурье.
4.1.2.3.	Производная функции y(t). В приложениях мы используем
преобразования, содержащие производную функции y(t). Производная
получена дифференцированием соотношения (4.1.5) по времени, т. е.
2/(i) = Л
2рг
си С(w) exp(jwt) dec.
—ОО
(4.1.7)
4.1.3.	Равенство Парсеваля. В этом разделе мы рассмотрим ра-
венство Парсеваля как предварительный шаг к определению спек-
тральной плотности случайного процесса.
4.1.3.1.	Равенство Парсеваля для периодических функций. Рас-
смотрим периодическую функцию x(t) (4.1.1) с нулевым средним и пе-
риодом Т. Дисперсия функция x(t) определена равенством
гТ/2
= i x2(t)dt.
1 l-T/2
(4.1.8)
Подставляя выражение (4.1.1а) в уравнение (4.1.8), получим
ОО
=	(4.1.9)
/с=0
где Фо = Cq = 0 в силу уравнения (4.1.1b) и предположения о нулевом
среднем функции x(t), ^k = Cj./2. Соотношение (4.19) называется
равенством Парсеваля. Величина Ф/г характеризует вклад гармоники
с частотой кац в дисперсию процесса x(t).
4.1.3.2.	Равенство Парсеваля для непериодических функций. Рас-
смотрим непериодическую функцию y(t) с нулевым средним, для ко-
торой выполняется условие (4.1.3). Из соотношений (4.1.5) и (4.1.6)
84
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
имеем
•оо	роо
y2(t)dt = — s/W
-ОО	^7Г J—со
•oo
С(ш) exp(Jui) du)
— CO
dt
1
2tt
1
2?r
1
2тг
C(w)C’(w)dw
y(f) exp(jwi) du> dt
(4.1.10a)
C2(w) duj.
— CO
(4.1.10b)
Символы C*(w) и C(w) обозначают функцию, комплексно сопря-
женную к С(ш), и действительную часть функции С(и>), соответствен-
но. Соотношения (4.1.10) образуют равенство Парсеваля для неперио-
дических функций.
4.1.4.	Спектральная плотность.
4.1.4.1.	Определение спектральной плотности. Построим соот-
ношение, аналогичное (4.1.10), для случайного процесса с нулевым
средним. Спектральная плотность определяется как аналог величин Ф^
в уравнении (4.1.9).
Рассмотрим случайный процесс z(i) с нулевым средним. Поскольку
этот процесс не удовлетворяет условию (4.1.3), то для него не опреде-
?(0
уг (0 ——-—	
Рис. 4.2. Определение функции ут(4)
лено преобразование Фурье. Введем вспомогательную функцию j/r(t)
(рис. 4.2)
yT{t} = z^	(4.1.11а)
yT{t} = Q вне этого интервала.	(4.1.11.Ь)
Определенная таким образом непериодическая функция yT(t) удов-
летворяет условию (4.1.3) и, следовательно, имеет преобразование
Фурье. Из определения ?/г(£) следует
lim ?/T(t) = z(t).	(4.1.12)
Гл. 4. Стохастические процессы
Из уравнений	(4.1.11) и (4.1.10b) получим	дисперсию процес-
са yT{t)	1 г°° °2Ут = т	[yr^Vdt	(4.1.13a)
	1 J—со 1 f°° = ~	[?/r(t)]2^ —oo • 1	(4.1.13b) (4.1.13c)
и дисперсию процесса z(t) в виде
= lim a,2
2	Ут
1 Г°°
= lim	C£(w)dw.	(4.1.14)
7-»оо Z7TJ
Вводя обозначение
(4.1.15)
перепишем уравнение (4.1.14) в виде
2 = —
2 2тг
(4.1.16)
Определенная таким образом функция Ф2(ш) представляет собой
спектральную плотность процесса z(t). Площадь под кривой Ф2(ш)
равна дисперсии <т2. Величина Ф2(ш)с/ш определяет вклад элемен-
тарной составляющей, частоты со в дисперсию процесса z(t).
4.1.4.2.	Односторонняя и двусторонняя спектральная плот-
ность. В уравнении (4.1.16) частота со определена на всей оси —оо <
<со < сю, и спектральная плотность Ф2(ш) называется двусторонней.
В некоторых приложениях удобнее определить спектральную плот-
ность на полуоси 0 < со < оо. В этом случае спектральная плотность
называется односторонней, и задается соотношением
ф°/-(ш) = Ф2(ш) + Ф2(-ш).
(4.1.17а)
Из уравнения (4.1.16) получим
.2 _ 1
2 2тг
Ф^(ш)йш.
о
(4.1.17b)
В дальнейшем индекс “o.s.” опускается. Рисунок (4.3) демонстри-
рует связь между реализацией процесса z(t) и его односторонней
86
Часть 1 Теоретические основы метода Мельникова
Рис. 4.3. Случайный процесс z(t) (а) со спектральной плотностью Ф2(ш) (6),
имеющей пики на частотах иц и В процессе z(t) доминируют компоненты
со средними частотами cui и щг
спектральной плотностью Ф°5(ш), в случае, когда функция Ф°Л(ш)
имеет два пика на частотах и иг-
4.1.4.3.	Спектральная плотность производной процесса z{f). Пов-
торяя те же рассуждения, которые привели от уравнений (4.1.10)
к уравнению (4.1.16), получим выражение спектральной плотности
производной z(f) случайного процесса z(t)
Ф2(ш) = ш2Ф2(ш).
(4.1.18)
Соотношение (4.1.18) используется в Приложении П6 для опреде-
ления совместной функции распределения процессов z{t} и i(i). Эта
информация необходима для вычисления интенсивности пересечения
нулевого уровня процесса z(t).
4.1.5.	Ковариационная функция: определение и физическая
интерпретация. В этом разделе мы определим ковариационную функ-
цию случайного стационарного процесса z(t) с нулевым средним. Мы
покажем, что ковариационная функция и спектральная плотность об-
разуют пару преобразований Фурье. Наконец, мы дадим физическую
интерпретацию ковариационной функции и ее связи со спектральной
плотностью.
4.1.5.1.	Ковариационная функция. Ковариационная функция Rz(r)
случайного стационарного процесса z(t) с нулевым средним определена
выражением
Я2(т) = lim 1
Т—>оо J
<Г/2
z(t)z(t + т) dt.
-Т/7
(4.1.19)
Покажем, что спектральная плотность процесса представляет собой
преобразование Фурье ковариационной функции, т. е.
г се
Ф2(ш) =	Т?2(т) ехр(—jajr) dr.
J —се
(4.1.20)
Гл. 4. Стохастические процессы
87
В свою очередь, из уравнений (4.1.20), (4.1.5), (4.1.6) следует
i
Z7T
'СО
ФДи) exp (jut) du,
—co
(4.1.21)
т. e. ковариационная функция представляет собой обратное преобразо-
вание Фурье спектральной плотности.
Докажем соотношение (4.1.20). Отметим, что из уравнения (4.1.6)
следует
1с2(и) = 1с(и)С*(и)
J ГСО	Гсо
= - y(t{) exp(-juf! dt 1)	y(t2) exp(jut2) dt?
LJ-OO	J—co
=	2/(t!)y(t2)exp[jw(t2-ti)]diidt2- (4.1.22)
'	J —co J —co
Переходя к пределу при Т —» со, используя соотношения (4.1.11),
(4.1.15), (4.1.19) и обозначая r = t\ — t2, получим равенство (4.1.20).
Поскольку процесс z(Z) стационарный, то подынтегральное выраже-
ние в формуле (4.1.19) может быть преобразовано к виду z(t — r)z{t).
Отсюда следует
Яг(т) = ЯД-т).
(4.1.23)
Из соотношений (4.1.20) и (4.1.23) получим, что левая часть равен-
ства (4.1.21) — действительная функция.
Ковариационная функция 7?Дт), определенная формулой (4.1.19),
представляет собой временное среднее произведения zi(t)z2(f), где
= г(Г) и zz(t) = z(t — tq) (рис. 4.4). Мы рассматриваем эргоди-
ческий процесс, в котором ЯДт) равна среднему по ансамблю произ-
ведения z(t)z(f + т), т. е.
ЯДт) = E(z(t)z(t + т)].
(4.1.24)
4.1.5.2.	Физическая интерпретация ковариационной функции. Из
уравнений (4.1.21) и (4.1.16) следует, что при т = 0
ДД0)=а2.
(4.1.25)
Учитывая, что | exp(juT)| = 1 при т = 0, и, по определению (4.1.15),
ФДи) > 0, из формулы (4.1.21) получим, что ВДт) < ЯД0) при
т > 0, т. е.
Л2(т) < сг2.
(4.1.26)
88
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Связь между параметрами _й2(т) и зависит от временного сдви-
га т и от- спектра процесса. Рассмотрим, например, процесс с отно-
сительно медленными флуктуациями, у которого основной частотной
составляющей спектра соответствует период, существенно превышаю-
щий некоторую постоянную т0. В этом случае сдвиг процесса zi(t) =
= z(t) на интервал щ приводит к процессу 22(f) = z(f — tq), сравни-
тельно мало отличающемуся от 2[(f). Следовательно, ковариационная
функция .R2(to) ненамного меньше, чем дисперсия с*|. Для процессов,
у которых основная частотная составляющая спектра имеет период,
существенно меньший, чем то, справедливо обратное утверждение.
В частности, для достаточно больших т произведение z(f)z(f + т)
может менять знак, и его среднее значение становится пренебрежимо
малым, т. е.
lim Rz(r) = 0.	(4.1.27)
4.1.6.	Взаимная ковариационная функция двух случайных
процессов. Во многих приложениях (см., например, § 9.2) необходимо
описать связь между двумя различными случайными процессами z\(t)
Рис. 4.4. Функции zi(t) = z(t) и zz(t) = z(t — то)
и Z2(f), или связь между двумя процессами, отличающимися сдвигом
по времени, как на рис. 4.4.
Рассмотрим два процесса с нулевым средним. Функция
^z122(t)= lim 1
1 —>оо -L
Zi{t)z2(t + т) dt
— ОО
(4.1.28)
называется взаимной ковариационной функцией двух процессов. Зна-
чение взаимной ковариационной функции при т = 0 обозначается
как сг^ и называется ковариацией процессов 2j(t) и Напомним,
что значение ковариационной функции процесса z(f) при т = 0 назы-
вается дисперсией процесса Ковариация — это аналог дисперсии
для двух различных процессов Z[(f) и 22(f). Коэффициент корреляции
процессов zi(t) и z^t) определяется как отношение
Pziz2 = <T21Z2/(crZ1<722).
Гл. 4. Стохастические процессы
89
Максимально возможное значение коэффициента корреляции, рав-
ное 1, достигается, если процессы идентичны. Чем ближе коэффициент
корреляции к нулю, тем слабее связаны процессы zi(t) и z^f). Про-
цессы, для которых p2|Z2 = 0, называются некоррелированными.
4.2.	Приближенные представления случайных
процессов
В этом разделе мы рассмотрим некоторые случайные процессы,
представляющие интерес для приложений: гауссовские процессы, цвет-
ной шум, белый шум, негауссовские процессы с непрерывным распре-
делением, и дихотомический шум. Мы обсудим приближенное пред-
ставление этих процессов в виде суммы гармоник со случайными
параметрами. Эти аппроксимации будут использованы в гл. 5 для
распространения теории Мельникова на стохастические динамические
системы.
4.2.1.	Приближенные представления процессов с неограничен-
ными распределениями. В главе 5 мы рассматриваем задачи, в кото-
рых случайные возмущения должны удовлетворять физическому тре-
бованию ограниченности. Поэтому вместо гауссовского процесса, име-
ющего бесконечно длинные хвосты распределения (уравнение П5.14),
мы используем квази-гауссовское приближение с ограниченными, хотя
и достаточно длинными хвостами распределения. Это необходимое
требование физической реализуемости процесса. Физические процессы,
для которых мы используем термин “гауссовские”, на самом деле
квази-гауссовские. Они могут быть представлены суммой конечного,
хотя и достаточно большого числа независимых слагаемых, в то время
как центральная предельная теорема (Приложение П5.6) рассматривает
сумму бесконечного числа слагаемых. Таким образом, в этом раз-
деле мы исследуем физически реализуемые ограниченные случайные
процессы, как это требуется для применения метода Мельникова.
Поскольку негауссовские процессы могут быть получены из гауссов-
ских с помощью нелинейных преобразований (см., например, [35]), то
аналогичные утверждения применимы и к негауссовским процессам.
Использованные в этом разделе приближения первоначально были
развиты в целях численного моделирования. Здесь они используются
не из-за их эффективности в численных процедурах, но из-за их фор-
мы. Принятая форма представления случайных процессов позволяет
показать, что аппарат теории Мельникова, развитый для детерминиро-
ванных систем, применим и к стохастическим системам (глава 5).
4.2.2.	Гауссовский цветной шум. Аппроксимация рядами
Каца-Шинозуки и Беннета-Райса.' Выше указывалась, что все
безусловные распределения гауссовского процесса в каждый момент
времени t также гауссовские. Термин “цветной шум" означает,
что спектральная плотность процесса зависит от частоты. В свою
90
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
очередь, шум называется “белым", если спектральная плотность
одинакова для всех частот. В этом разделе мы рассматриваем
гауссовский процесс G(t) с единичной дисперсией и спектральной
плотностью Фо(а>).
4.2.2.1.	Аппроксимация гауссовского цветного шума рядом
Каца-Шинозуки. Покажем, что процесс G(Z) с нулевым средним,
единичной дисперсией и односторонней спектральной плотностью
Ф0(ш) может быть аппроксимирован ограниченным непрерывно
дифференцируемым случайным процессом [41, 70]
w
Gw(f) = (2/2V) ‘/2 J^cos^t + ф^,	(4.2.1)
г—1
где параметр N — конечное, но большое число, фа и ay (г =
= 1,..., N) — независимые случайные величины. Фазы 0Oi равномерно
распределены в интервале [0,2тг], плотность вероятности частот
имеет вид
/(ш) = [1/(2тг)]Ф0(ш).	(4.2.1а)
Будем называть сумму (4.2.1) рядом Каца-Шинозуки. Каждая из
реализаций процесса Gw(f) представляет собой почти-периодическую
функцию. Среднее по времени и, как будет показано ниже, среднее по
ансамблю процесса Gutt) равны нулю.
Односторонняя спектральная плотность процесса Gjv(t) рав-
на Фо(ш). Сначала дадим качественное объяснение этому факту.
Все слагаемые в соотношение (4.2.1) имеют одинаковые амплитуды.
Поскольку плотность вероятности /(ш) пропорциональна Фо(ш), то
в интервале, где спектральная плотность Фц(ш) относительна велика,
число гармоник с одинаковыми амплитудами также достаточно велико.
Следовательно, процесс Gw(^) построен таким образом, что его
спектральная плотность пропорциональна Фо(ш).
Следуя [70], покажем, что спектральная плотность процесса Gjy(i)
равна Ф0(ш). Рассмотрим ковариационную функцию процесса Gyv(i)
fi(r)=E[GN(t)Gyv(t + r)] =
= E[Gtv(-t/2)Gn(t/2)],	(4.2.2)
где сдвиг на т/2 допустим в силу стационарности процесса. В урав-
нении (4.2.2) мы используем определение математического ожида-
ния (П5.12), обобщенное на функцию четырех независимых перемен-
ных g(w], ш2, Ф. Ф)
Е[ё(х,у,ф,ф)]
•2тг
g(wi,w2,^>,^)
о
X
х /(wi)/(w2)s(^)s(^) dwi (Ш^ФфФф. (4.2.3)
Здесь и, и у? - случайные величины, распределенные с плотностя-
ми /(wi) и /(ш2), соответственно, ф и ф — случайные величины,
Гл. 4. Стохастические процессы
91
равномерно распределенные в интервале (О,2тг) с плотностями в(ф) =
= s(^) = 1/27г.
Вычислим среднее (4.2.2). Из соотношений (4.2.3) и (4.2.1а) и из
условия равенства нулю интегралов от cos(a<jT +	± Фог) (1 j),
получим
N N
Я(т) = (2/7V) Е[cos ( -	+ Фы) cos + ф^)]
• i= 1 j = 1
N N
=|>/ч£Е E [cos (cjj — u)i)r + фа + </>qj)
i=i j=i
+ cos
+ слагаемые вида F[cos(ajj7' + фс^ ± </>0г)] (г j)
соз(шт)Фо(ш) dw.
= (1/2^)
(4.2.4)
о
При выводе (4.2.4) были использованы формулы (4.2.3) и (4.2.1а),
а также тот факт, что интегралы от фа для слагаемых вида
cos(aijг + фс} ± фа) (i j) сокращаются. Из определения (4.1.21)
следует, что односторонняя спектральная плотность процесса G^it)
равна Фо(ш). Доказательство того, что FGjv(f) = 0 вытекает из
соотношения, аналогичного (4.2.3).
Пусть F/v[Gjv(i)] — функция распределения процесса Gjv(i),
и F[G(i)] = lim/v-юо Fw[G^(Z)] — гауссовская функция распределения.
Для больших значений N процесс Gyv(i) представляет собой сумму
большого числа независимых слагаемых, т. е. можно построить
процесс, достаточно близкий к гауссовскому. Это значит, что для
любых Gmax > 0 и 5 > 0 существует число N такое, что |Fiv[Gjv(t)] —
- F[G(i)]| < 5 равномерно для всех G/v(i) < Gmax. Следовательно, для
достаточно больших значений N функция Fv[Gw(t)] аппроксимирует
гауссовскую функцию распределения F[G(i)] с любой требуемой
точностью. На практике мы можем рассматривать квази гауссовский
процесс Grj(t) как гауссовский.
4.2.2.2.	Аппроксимация гауссовского цветного шума процессом
Беннета-Райса. Рассмотрим другую форму приближенного представ-
ления гауссовского процесса G(t) с нулевым средним, единичной дис-
персией и односторонней спектральной плотностью Ф0(ш). Представим
аппроксимирующий процесс в виде
N
Gn(t) = °k + Фок),	(4 2.5)
fc=i
92	Часть 1 Теоретические основы метода Мельникова
где амплитуды = [2Фо(ш/с)Аш/(2тг)]'/2, фазы фы> равномерно рас-
пределены в интервале [0,2тг],	=/сАш, Aw = a>cut/N, a>cut — ча-
стота среза, при превышении которой спектральная плотность Фо(сы)
пренебрежимо мала или равна нулю. Процесс (4.2.5) — непрерывно
дифференцируемый квази-гауссовский процесс со спектральной плот-
ностью Фо(ш) [65]. Каждая реализация этого процесса — периодичес-
кая функция.
4.2.3.	Белый шум. Процесс Орнштейна-Уленбека. Аппрокси-
мация белого шума рядом Каца-Шинозуки. В начале этого раз-
дела мы определим понятие белого шума. Затем рассмотрим процесс
Орнштейна-Уленбека, использующийся как пример гауссовского цвет-
ного шума. Процесс Орнштейна-Уленбека зависит от параметра с.
В пределе при с —> со, этот процесс сходится к белому шуму, и может
быть использован для аппроксимации белого шума рядами Каца-
Шинозуки или Беннета-Райса.
4.2.3.1.	Определение белого шума. Обозначим белый шум как
7wGw(t), где 7Ш — интенсивность шума. Белый шум определен следу-
ющим свойством: его ковариационная функция равна нулю для любого
временного сдвига г > 0. Формально это свойство записывается в виде
ВД = 7^(т).	(4.2.6)
где 5(f) — дельта-функция Дирака, определенная соотношениями
гД/2
5(т) = 0 при TjfO; lim 5(т)5/г=1.	(4-2.7)
At-*0 J_4f/2
Из соотношений (4.2.7) и (4.1.20) следует, что спектральная плот-
ность белого шума имеет вид
Фш(ш)=7^-	(4.2.8)
Таким образом, можно дать альтернативное определение белого
шума как процесса с постоянной спектральной плотностью, в отличие
от цветного шума со спектральной плотностью, зависящей от частоты.
Из формул (4.1.16) и (4.2.8) следует, что дисперсия белого шума
бесконечна. Это требование не имеет физического смысла, так же,
как и равенство нулю ковариационной функции (4.2.6) даже при
бесконечно малом временном сдвиге. Иначе говоря, белый шум не
соответствует реальной физической модели, но может рассматриваться
как математическая идеализация случайного процесса со спектром,
близким к постоянному в широком интервале частот.
4.2.3.1.	Процесс Орнштейна-Уленбека и его применение для ап-
проксимации белого шума. Рассмотрим процесс
G(t) = (2c)1/,2C/(f),	(4.2.9)
Гл. 4. Стохастические процессы
93
где U(Г) — процесс Орнштейна-Уленбека с ковариационной функцией
.Ry(s) = (1/2с)ехр(—|s|/c),	(4.2.10а)
дисперсией 1/2с (формула (4.1.25)) и спектральной плотностью
Фс;(ш) = а/(1+с2ш2),	(4.2.10b)
где а — 1 или а = 2 для двусторонней или односторонней спектральной
плотности, соответственно (раздел (4.1.4.2)); параметр с называется
временем корреляции.
Соотношение (4.2.9) описывает цветной шум со спектральной плот-
ностью, зависящей от частоты, и с единичной дисперсией. Если па-
раметр с мал, то спектральная плотность Фи(ш) близка к постоянной
и мала.
Цветной шум близок к белому шуму, если при с —> 0 спектральная
плотность цветного шума 7G(i) совпадает с со спектральной плот-
ностью (4.2.8) белого шума 7wGw(t), т. е.
7ш = (2с)‘/27.	(4.2.11)
Для моделирования белого шума 7wGw(f) можно использовать
аппроксимацию процесса 7G(t) суммой (4.2.1), выбрав спектральную
плотность Ф0(сы) в виде (4.2.10b) при малых с (например, с < 0,1). При
этом соотношение (4.2.1) превращается в сумму большого числа малых
независимых слагаемых, т. е. в квазигауссовский процесс Как отмече-
но в § 4.2.1, на практике мы используем термин “гауссовский процесс”
применительно к квазигауссовскому процессу. Точно также можно
использовать термин “гауссовский белый шум”.
Если случайное возмущение представляет собой случайную силу,
то размерности коэффициента 7Ш и процесса Gw(f) равны [ДЦУ1/2]
и [Т-‘/2], соответственно. Здесь [К] — размерность силы, [Т] — раз-
мерность времени. В то же время, размерность коэффициента 7 равна
[F], а процесс G(f) безразмерен.
4.2.4.	Приближенное представление негауссовских процессов
с непрерывными распределениями. Пусть X(t) — негауссовский
процесс с нулевым средним, функцией распределения F, односторон-
ней спектральной плотностью Фг(ш) и дисперсией ст2. Рассмотрим
стационарный гауссовский процесс K(t) с нулевым средним, единич-
ной дисперсией, спектральной плотностью Фж(ш)/<т2 и стандартным
гауссовским распределением Ф. Рассмотрим процесс
Х(Ц = Д-'[Ф(УЦ))].
(4.2.12)
Численное моделирование показывает, что во многих случаях, пред-
ставляющих прикладной интерес, спектральная плотность процес-
са (4.2.12) близка к исходной спектральной плотности Фж(ш) [33].
Аппроксимируем ~ процесс Y(t) ограниченной суммой гармо-
ник Y/v(i), а процесс (4.2.12) — полиномом степени п. Это можно
94	Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
сделать с желаемой точностью на любом ограниченном интервале
времени. Пусть процесс
Xn,N(t)=pn[YN(t)]	(4.2.13)
представляет собой полиномиальную аппроксимацию X(t), построен-
ную на основе аппроксимации Y/v(t), и
71
Рп(у) = У^у1.	(4.2.14)
2=1
Распределение негауссовского шума Xn^(t) приблизительно соот-
ветствует распределению F, и каждая из его реализаций может быть
представлена конечной суммой гармоник. Это следует из представ-
ления процесса в виде суммы гармоник, соотношений (4.2.13)
и (4.2.14) и равенства
J]cosA = (l/2)n-'	£ cos A+£(-l)wft .
i=I	PI.Pn=0,I
(4.2.15)
7=2
полученного последовательным применением тождества coscvcos/3 =
= [cos(o! + /3) + cos(o- — /3)]/2 [80].
4.2.5.	Аппроксимация негауссовских процессов с дискретными
распределениями. Рассмотрим дихотомический процесс, т. е процесс
с двумя возможными состояниями. Это могут быть, например, состоя-
ния “включено-выключено", или “верхнее положение-нижнее положе-
ние”. Примером может служить процесс подбрасывания монеты. Его
можно представить в виде прямоугольной волны
G(t) = an, [а + (n — l)]ii < t С (а + n)ii,
(4.2.16)
где п — множество целых чисел, а — случайная величина, равномерно
распределенная между 0 и 1, ап — независимая случайная величина,
Gt ।
Рис. 4.5. Пример дихотомического процесса подбрасывания монеты — прямо-
угольные волны
принимающая значения —1 и 1 с равными вероятностями 1/2, t\ —
параметр процесса G{t) (рис. 4.5).
Гл. 4 Стохастические процессы
95
Прямоугольный импульс амплитуды ап и длительности t,
с центром в точке tn = (се + n — 1/2)Д имеет преобразование Фурье
Fn(w) = a„|(2/w)sin(wt1/2)exp(-jwi„)|, где j -	[62]. Следо-
вательно, импульс можно представить в виде суммы гармоник,
аппроксимирующих обратное преобразование Фурье от Fn(yj)
с требуемой точностью, и каждая реализация дихотомической
прямоугольной -волны может быть представлена как суперпозиция
таких сумм. Полученное разложение сходится, если шум определен
на конечном, хотя и достаточно большом интервале времени. Это
ограничение связано с тем, что физические процессы имеют конечную
длительность (см. §4.1.1). Каждая реализация процесса абсолютно
интегрируема на конечном интеграле времени (уравнение (4 1.3))
и интеграл Фурье существует (см. § 4.1.2.2).
4.3.	Спектральная плотность сигнала на выходе
линейного фильтра со случайным входным сигналом
Этот раздел содержит материал, который будет использован в гла-
ве 5 для доказательства связи между спектром процесса Мельникова
и спектром случайного возбуждения в системе. В §4.3.1 содержится
информация о характеристиках линейных фильтров, соответствующих
аналогичным характеристикам функции Мельникова (§§ 2.5.2-2.5.4).
В §4.3.1 мы получим выражение спектральной плотности сигнала на
выходе линейного фильтра, на вход которого поступает случайный
сигнал с известной спектральной плотностью.
4.3.1.	Импульсная переходная функция, интеграл свертки
и частотная характеристика линейного фильтра. Реакция линейной
системы на стационарное возбуждение может быть записана в виде
h{t-pP{pdp	(4.3.1)
г ОС
s(t) =
Иначе говоря, реакция линейной системы может быть представлена
как суперпозиция элементарных составляющих h(t — £)Р(£) dp Функ-
ция h(t — £) представляет собой реакцию в момент t на единичный
5-импульс (5-функцию Дирака), приложенный в момент £. Мы на-
зываем эту систему физически реализуемым фильтром (§2.5.2).
Процесс F(t) называется входным сигналом (входом) фильтра; реак-
ция s(f) называется выходным сигналом {выходом) фильтра. Введем
замену переменных t' = t — £ и запишем
s(t) =
’СО
—оо
h(t')P(t — t') dt'.
(4.3.2а)
Функция h(t) называется импульсной переходной функцией ') филь-
тра. Интеграл (4.3.2) представляет собой интеграл свертки, т. е. реак-
9 В оригинале — the impulse response function. — Прим. ped. nep.
96	Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
ция s(i) есть результат свертки функций F(t) и /i(t). Выражение (4 3.2)
может быть записано в форме
	s(t) = h* P.	(4.3.2b)
символ * обозначает свертку двух функций. Рассмотрим частный случай гармонического входного		сигнала еди-
ничной амплиту, Тогда ура вне s(t) = = Re = Re	цы F(i) — cos{yjt + 6). ние (4.3.2) можно представить в виде /i(t') exp[jw(f — t') + 6] dt'\ = < J—OO	J rOO exp ( jut + 6~)	h(t') exp( -jut') dt' = J —OO	(4.3.3) (4.3.4a) (4.3.4b)
= Re[a(cj) exp(Jcji + 0)] = = Re[a(w)] cos(wt + д') — Im[a(w)] sin(wf + 0) =		(4.3.4c) (4.3.4d)
= |a(w)|{cos[,0(w)] cos(wZ + #) + + sin[^'(w)] sin(wt + 0)] =	(4.3.4e) = jo(w)| cosfwt + 6 — V-'(w)i’	(4.3.4f) где a(w) = f	h(t') exp(—jwi') dt',	(4.3.5a) J — oo = arctg-1!—Im[a(w)]/Re[a(w)]},	(4.3.5b) cos[-^(w)] = Re[a(w)]/|a(w)|; sin[V>(w)] — — Im[a(w)]/|a(w)|.	(4.3.5c,d) Комплексная функция a(w) называется частотной характеристи-		
кой системы. Иногда в приложениях используются термины подат-
ливость или чувствительность. Из уравнений (4.3.5а) следует, что
частотная характеристика а(ш) равна преобразованию Фурье импульс-
ной переходной функции h(t).
4.3.2. Ковариационная функция и спектральная плотность
сигнала на выходе фильтра со случайным входным сигналом.
Предположим, что входной сигнал Р(£) в уравнении (4.3.2а) — слу-
чайный стационарный процесс с нулевым средним, ковариационной
функцией 7?р(т) и спектральной плотностью Фр(ш). В этом разделе мы
Гл. 4. Стохастические процессы
97
получим выражения ковариационной функции Rs(r) и спектральной
плотности Фз(сы) выходного сигнала s(t).
4.3.2.1. Ковариационная функция процесса s(t). Ковариационная
функция выходного сигнала s(f) определена формулой (4.1.24), т. е.
Rs(r) — E[s(t)s{t + г)].
(4.3.6)
Из уравнения (4.3.2а) получим
h(t') dt
h(t")E[P(t -	+ т - t")] dt" = (4.3.7a)
h(t')	h(t")£[P(t)P(t4-t'-t"+T)]dt'dt"= (4.3.7b)
—co J—oo
’OO
h(t"}Rp{t' -t" Er)dt'dt".
—OO
(4.3.7c)
Соотношение (4.3.7b) получено с учетом стационарности процес-
са P(t\ для стационарного процесса сдвиг аргументов на одну и ту
же величину t' не изменяет величину среднего E[P(t — f)P(t + т —
— t")]. Покажем, что уравнение (4.3.7с) может использоваться для
вычисления спектральной плотности выходного процесса s(f).
4.3.2.2. Спектральная плотность процесса s(t). Из уравне-
ний (4.1.20) и (4.3.7с) следует
ЯДт) ехр(—)шт) dr =
(4.3.8а)
W')
h(t")Pp(t'-t”+ r)dt'dt
x exp(— juir) dr -
(4.3.8b)
h(t')
h(t") x
Rp(t' — t" + r) exp(— ja>r)dr
dt' dt" =
h(t'') exp^jujt'^dt'
h(t") exp(— jcjt") dt'
(4.3.8c)
Rp(t! - t" 4- t) x
x exp[— — t" + r)] d(t' — t" + r).
(4.3.8d)
98 Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Из соотношений (4.3.8d), (4.3.5а) и (4.1.20) получим
ФДш) = а*(ш)а(ш)Фр(ш) =
= |а(ш)|2Ф»,	(4.3.9)
где а(ш) — частотная характеристика фильтра. Следовательно, спек-
тральная плотность сигнала на выходе линейного фильтра равна
произведению спектральной плотности входного сигнала на квад-
рат модуля частотной характеристики фильтра. Уравнение (4.3.9)
играет основную роль в стохастической теории Мельникова (глава 5).
ГЛАВА 5
ХАОТИЧЕСКИЕ ПЕРЕХОДЫ В СТОХАСТИЧЕСКИХ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ И ПРОЦЕССЫ
МЕЛЬНИКОВА
В этой главе развивается стохастический метод Мельникова, т. е.
строится обобщение метода Мельникова на случай стохастических
систем, близких к интегрируемым, и имеющих несколько положений
равновесия.
Как показано в гл. 3, в детерминированных системах такого типа
могут установиться нерегулярные движения, чувствительные к измене-
нию начальных условий и характеризующиеся хаотическими перехода-
ми между различными областями фазового пространства (рис. 3.12,
3.15, 3.17, 1.1, в). Подобные движения с хаотическими переходами
возникают и в стохастических системах, включая системы с комби-
нированным случайным и детерминированным возмущением. Экспе-
рименты с электронным устройством, известным как радиочастотный
джозефсоновский переход показали, что периодическое возмущение
детерминированных систем и их стохастически возбужденных анало-
гов и шум в равной мере влияют на возникновение переходов [42].
Рис. 5.1. Движения с переходами в системе, имеющей потенциал с двумя
ямами: а — детерминированная система с гармоническим возбуждением; б —
система со случайным возбуждением
Сравнение результатов численного моделирования (рис. 5.1, а, б) по-
казывает, что практически невозможно различить переходы, возника-
ющие в детерминированных (рис. 5.1, а) и стохастических (рис. 5.1,6)
системах.
Подобная проблема возникает, например, при изучении кинетики
химических реакций. Так, в [2] упоминаются “споры о детермини-
рованном и стохастическом характере химического хаоса” в реакции
Белоусова-Жаботинекого и делается вывод о том, что “после изме-
рения старшего характеристического показателя Ляпунова, положи-
100
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
тельность которого подтверждает зависимость от начальных условий,
доказательство детерминизма заканчивается, несмотря на возражения
некоторых специалистов”.
В этом утверждении детерминированный хаос противопоставлен
стохастическому движению. В действительности такое противопостав-
ление не обязательно. В этой главе с помощью метода Мельникова мы
покажем, что в близких к интегрируемым системах с несколькими по-
ложениями равновесия хаотическое движение порождается как детер-
минированным, так и стохастическим возбуждением. Следовательно,
положительность старшего характеристического показателя Ляпунова
не обязательно указывает на присутствие детерминированного хао-
са [28]: система частного вида рассматривались в [92].
Наша главная цель — показать, что детерминированное и стоха-
стическое возбуждение играют сходную роль в генерировании перехо-
дов и хаоса. Кроме того, будет показано, что стохастический метод
Мельникова доставляет критерии отсутствия переходов в системах,
возбуждаемых дихотомическим шумом или любым другим шумом
с ограниченными хвостами распределения, и позволяет оценить вли-
яние спектра шума на среднюю частоту выбросов.
Стохастический метод Мельникова будет развит как прямое след-
ствие метода Мельникова для систем с возбуждением в виде конечной
суммы гармоник (§ 2.5.4 и § 3.5). Для того, чтобы применить условия
Мельникова к стохастическим системам, используется аппроксимация
стохастического процесса множеством реализаций, каждая из которых
представляется в виде такой суммы.
В §5.1 представлены результаты эксперимента о движении осцил-
лятора в жидкости. Этот эксперимент иллюстрирует роль стохасти-
ческого возбуждения в генерировании переходов. В § 5.2 мы исполь-
зуем построенные в § 4.2 аппроксимации для определения процесса
Мельникова — стохастического аналога функции Мельникова — для
близкой к интегрируемой системы с гауссовским шумом. В частности,
мы докажем простое, но важное равенство: спектральная плотность
процесса Мельникова на некоторой частоте равна произведению спек-
тральной плотности возбуждения на квадрат спектральной функции
Мельникова на этой же частоте. Мы обсудим применение теоремы -
Смейла-Биркгофа (§ 3.5) для аппроксимации стохастических систем.
Будет показано, что хаотический характер переходов может нару-
шаться, но после некоторого перерыва стохастически возбужденное
движение снова превращается в хаотическое.
В § 2.7.5 было введено понятие переноса и коэффициента переноса
в фазовом пространстве. Их обобщение на стохастические системы —
обсуждается в § 5.3. Концепция переноса фазового потока использу-
ется для изучения устойчивости судна при волнении (глава 6) и при
построении нелинейной системы управления (глава 7).
В § 5.4 изучаются свойства процессов Мельникова для систем с
возбуждением, имеющим ограниченные хвосты распределений, в част-
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 101
ности, для систем с дихотомическим шумом. Показано, что метод
Мельникова дает простые условия, гарантирующие отсутствие пере-
ходов в нелинейной системе с дихотомическим шумом.
В § 5.5 развивается представление о хаотическом переносе. По-
казано, что среднее время между последовательными пересечениями
нулевого уровня для процесса Мельникова дает оценку снизу средней
длительности интервалов между выбросами для траектории системы.
Для систем с гауссовским шумом на основе метода Мельникова можно
получить оценку снизу для вероятности отсутствия выбросов, или
оценку сверху для вероятности их появления на фиксированном ин-
тервале времени.
В § 5.6 показано, что спектральная функция Мельникова служит
показателем относительного вклада спектральных компонент возбуж-
дения в генерирование переходов. Полученный результат полезен для
предварительной оценки влияния формы спектра возмущения на сред-
нюю частоту переходов и может применяться в теории управления
и при моделировании и идентификации нелинейных систем.
Системы с медленно меняющимися параметрами рассматриваются
в § 5.7. Обсуждаются ограничения стохастического метода Мельни-
кова, связанные с возможностью возникновения нехаотических пере-
ходов.
В § 5.8 сравниваются два подхода к проблеме выбросов: метод
Мельникова и уравнения Фоккера-Планка. Выше указывалось, что
стохастический метод Мельникова основан на теории детерминирован-
ного хаоса и приближенного представления стохастических процессов.
Альтернативный подход к методу Мельникова использует стохастиче-
ское обобщение символической динамики [35, 85].
5.1.	Динамика упругого осциллятора в жидкости.
Эксперимент и численное моделирование
Эксперимент, представленный в этом разделе, демонстрирует влия-
ние случайного возбуждения на возникновение переходов в динамиче-
ской системе с несколькими положениями равновесия. Рассматривается
-движение осциллятора в потоке жидкости. В эксперименте использу-
ется двухмассовая модель.
Сначала рассмотрим одномассовую модель призматического “га-
лопирующего” осциллятора. Квадратное поперечное сечение призмы
поддерживается в горизонтальном положении двумя вертикальными
пружинами. Призма погружена в горизонтальный поток жидкости;
-относительная скорость потока перпендикулярна продольной оси приз-
мы (рис. 5.2, а). Если призма находится в покое, то скорость потока
’относительно призмы горизонтальна, и подъемная сила не возникает.
Если же призма движется с некоторой вертикальной скоростью, то
скорость потока относительно призмы перестает быть горизонтальной,
и возникает подъемная сила. При отсутствии других сил эта подъемная
102
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Рис. 5.2. Схема галопирующего осциллятора с одной (а) и двумя (б) призмами
сила вызывает периодическое галопирующее движение, т. е. колебания
в вертикальной плоскости [63, 81].
В реальной ситуации на призму действуют дополнительные подъем-
ные силы, вызванные срывом вихрей, вторичными потоками на краях
плиты и прочими погрешностями эксперимента. Из-за этого движение
становится нерегулярным. Нерегулярность движения подтверждается
экспериментами в туннеле с водой. Результаты эксперимента [74]
приведены на рис. 5.3.
Рассмотрим движение двухмассового галопирующего осциллятора
(рис. 5.2, б). Эксперименты показывают, что при относительно малых
скоростях -потока обе- призмы движутся в фазе. Однако при более____
высоких скоростях потока возникают нерегулярные переходы от дви-
жения в фазе к движению в противофазе, и обратно. Среднее число
переходов в единицу времени возрастает при увеличении скорости
потока. Результаты эксперимента представлены на рис. 5.4, а и 5.4,6
для нижней и верхней призмы, соответственно.
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 103
0,030
-0,030 --------1------*-------'-------1-------*-
85	90	95	100	105 НО
Время, с
б
Рис. 5.4. Движения с переходами в двухмассовой системе для (а) верхней
призмы и (б) верхней (сплошная линия) и нижней (точечная линия) призм
Численное моделирование движения двухмассовой модели галопи-
рующего осциллятора со случайным возбуждением дает аналогичные
результаты [74]. Если же случайной подъемной силы нет, то моделиро-
вание не показывает нерегулярных переходов. Это подтверждает, что
нерегулярность вызвана случайными силами, аналогичными тем, ко-
торые вызывают нерегулярность движения одномассового осциллятора
(рис. 5.3).
5.2.	Процессы Мельникова и хаотическое поведение
в системах с аддитивным и мультипликативным
гауссовским шумом
Система со случайным возбуждением может рассматриваться как
“" множество систем, на каждую из которых воздействует одна из
реализаций случайного процесса. В § 4.2 показано, что множество
реализаций случайного стационарного процесса аппроксимируется
множеством конечных сумм гармоник со случайными параметрами.
104
Часть /. Теоретические основы метода Мельникова
Следовательно, для каждой системы из этого множества можно
построить функцию Мельникова. Множество функций Мельникова,
порожденное множеством аппроксимаций случайного процесса,
образует процесс Мельникова.
В §5.2.1 мы построим процесс Мельникова для системы с адди-
тивным или мультипликативным гауссовским шумом. Напомним,
что аддитивный шум не зависит от состояния системы, а мультипли-
кативный гауссовский шум представляет собой произведение функции,
зависящей от состояния системы и случайного гауссовского процесса, 
не зависящего от состояния. Мы видели, что функции Мельникова
для систем с аддитивным и мультипликативным детерминированным
возбуждением мало отличаются друг от друга; то же можно сказать
о процессах Мельникова для систем с аддитивным и мультипликатив-
ным шумом. Простота анализа систем с мультипликативным шумом —
одно из преимуществ метода Мельникова. Отметим также, что аппрок-
симация случайного возбуждения конечной суммой гармоник со слу-
чайными параметрами позволяет обобщить теорему Смейла-Биркгофа
на стохастические системы (§ 3.5). Следовательно, возникающие в та-
ких системах движения с переходами имеют хаотический характер
и чувствительны к начальным условиям, хотя на относительно боль-
ших интервалах времени хаотические движения могут прерываться
и переходить в случайные.
В § 5.2.2 мы найдем математическое ожидание, дисперсию и спек-
тральную плотность процесса Мельникова, порожденного гауссовским
возбуждением.
5.2.1.	Процессы Мельникова для систем с аддитивным и муль-
типликативным гауссовским шумом. Переходы и хаотическое по-
ведение. Рассмотрим систему вида
x = /(x)+eg(x,t),	(5.2.1)
где X = (ГЕ1, ж2)т, f = (/1,/2)Т.
g(x,t) = {7i(x)G(i)+qi(x), 72(x)G(t) + q2(x)}T.	(5.2.2)
Предполагается, что невозмущенная система Гамильтонова, т. е.
fi = дН/дл'2, }ч = ~дН/дх\, и имеет гомоклиническую траекторию
Xh — (хм, 2/г2)Т с седловой точкой О. Функции /(х), 7fe(x), Qfc(x)
определены в СТ, г 2, и ограничены (§2.4.1), G(Z) — случайный
процесс с нулевым средним, единичной дисперсией и спектральной _
плотностью Фо(ш)> е ~ малый параметр, 0 < в «С 1.
Если процесс G(t) ограничен, то ограничена каждая из его реализа-
ций. Следовательно, каждая реализация процесса g(x,t), определенно-
го соотношением (5.2.2), также ограничена. В этом случае, как по-
казано в §2.4.1, каждой реализации стохастической динамической
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 105
системы (5.2.1) можно поставить в соответствие функцию Мельникова.
Множество функций Мельникова образует процесс Мельникова для
стохастической системы со случайным возмущением
В общем случае, процессы G(t) могут быть неограниченными.
Это относится, например, к гауссовским процессам с бесконечными
хвостами распределений, и к негауссовским процессам, полученным
нелинейными преобразованиями гауссовских процессов. Вместе с тем,
как было показано в § 4.2.1, гауссовский процесс может рассматривать-
ся как идеализация реального ограниченного процесса. Эта идеализа-
ция подразумевает, что гауссовский случайный процесс порождается
суммой бесконечного числа независимых одинаково распределенных
случайных процессов. В физически реализуемой системе число слагае-
мых конечно, хотя и достаточно велико. Поэтому, как правило, при
численном или экспериментальном моделировании реальных систем
неограниченный процесс заменяется достаточно гладким ограничен-
ным процессом (§ 4.2).
В частном случае гауссовского процесса G(t) можно использовать
аппроксимацию G(i) и Gjv(t), для которой, согласно (4.2.1),
N
cos(wit + фа),
где фа и aji (i — 1, .... М) — независимые одинаково распределен-
ные случайные величины. Фазы фа равномерно распределены в ин-
тервале [0,2-тг], плотность вероятности частот имеет вид /(ш) ==
= [1/(2тг)]Фо(ш), где Ф0(ш) — спектральная плотность процесса G(t).
В §4.2.1 показано, что спектральная плотность процесса G/v(i) так-
же равна Ф0(ш). Аналогичное усечение гауссовского процесса можно
получить с помощью других аппроксимирующих сумм гармоник со
случайными
§4.2.3).
В § 2.4.1
кова вида
параметрами, (см. (4.2.5), или, в случае белого шума,
показано, что процесс G;v(f) порождает процесс Мельни-
M(t0) =
OG7v(io-C)rfC-fc
(5.2.3)
или
M(t0) = h*GN - fc,
(5.2.4)
где А(£) — импульсная переходная функция (импульсная реакция)
-фильтра Мельникова (2.5.5d), к — постоянная, определенная уравнени-
ем (2.5.3), h*G^ — интеграл свертки. Соотношение (5.2 3) представля-
ет собой линейное преобразование квазигауссовского процесса G/v(t),
так что этот процесс Мельникова также квазигауссовский.
Каждой реализации процесса G/v(t) соответствует фиксированное
множество случайных параметров, характеризующих этот процесс.
106	Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Из уравнений (2.5.22), (2.5.23) следует, что переменная часть процесса
Мельникова M(to) может быть записана как сумма гармоник. В таком
случае к стохастическим динамическим системам (5 2.1) можно при-
менить аппарат метода Мельника, включая теорему Смейла-Биркгофа.
Это справедливо как для аддитивных, так и для мультипликативных
шумов, так как различие между двумя типами возбуждения отражает-
ся только на виде импульсной переходной функции h(t).
Давно известно, что гауссовское возбуждение порождает выходы
траекторий системы (5.2.1) из потенциальной ямы при любом значении
малого параметра е в уравнении (5.2.1), хотя интервалы между вы-
бросами могут быть достаточно велики. Однако хаотическая природа
переходов, в том числе их чувствительность к начальным условиям,
установлена сравнительно недавно [76, 79]. Заметим, что интервалы
хаотического движения могут перемежаться интервалами стохастиче-
ского движения (см. § 5.5.3.1).
5.2.2.	Математическое ожидание, спектральная плотность
и дисперсия процессов Мельникова для систем с аддитивным
и мультипликативным возбуждением. Из уравнений (5.2.3)
и (4.2.1) следует, что процесс Мельникова для системы с гауссовским
возбуждением имеет математическое ожидание
E[M(t0)] = -к.	(5.2.5)
Если G(t) — гауссовский процесс с единичной дисперсией и спек-
тральной плотностью Фо(ш), т0 из уравнения (4.3.9) получим спек-
тральную плотность процесса Мельникова
ФмЫ = |а(ш)|2Фо(ш).	(5.2.6)
Замечание. Из соотношений (5.2.2), (2.5.5в) и (4.3.5а) следует,
что спектральная функция Мельникова |а(ш)| зависит от вида функ-
ций 71(ге) и 72(2). Если 7i(rr) = 72(2) = 7 = const и G(t) — процесс
с нулевым средним и единичной дисперсией, то 7 — стандартное
уклонение процесса 7G(t). В этом случае спектральная функция
Мельникова определяется как функция |о:(ш)| при 7=1, но соот-
ношение (5.2.6) должно быть записано как Фм(ш) = 72|си(ш)|2Фо(ш)
(см. §2.5.3).
Если Ф0(ш) — односторонняя спектральная плотность процес-
са G(t), то его дисперсия определяется формулой
СО
2 _ 1
о
(5.2.7)
Фм dw.
Если Ф0(ш) — двусторонняя спектральная плотность, то нижний
предел интегрирования в (5.2.7) равен —оо.
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 107
5.3.	Коэффициент переноса в фазовом пространстве
Близкие к интегрируемым детерминированные системы с почти-
периодическим возбуждением рассматривались в гл. 2. В частности,
в § 2.7 было показано, что для таких систем выход из потенциальной
ямы связан с переходом через псевдосепаратрису. Тот же механизм
определяет движение стохастических систем, так как каждая из реа-
лизаций стохастического возбуждения аппроксимируется суммой гар-
моник. Схематически такой процесс перехода представлен на рис. 5.5.
Рис. 5.5. Сечение пересекающихся многообразий стохастической системы
Коэффициент переноса в фазовом пространстве для детерминиро-
ванных систем определен уравнением (2.7.4). Это определение приме-
нимо к стохастическим системам, при замене функции Мельникова
процессом Мельникова.
Рассмотрим систему вида
±! = гг2,	(5.3.1а)
±2 = -V'(xi) + е[-^х2 +7G(i)], р > 0, 0 е «с 1,	(5.3.1b)
где G(t) — гауссовский процесс с единичной дисперсией. Покажем, что
коэффициент переноса для системы (5.3.1) определяется формулой
ф = o-mZ(Vo-m) - М1 - ^(^м)].	(5.3.2)
где f и F — стандартная плотность вероятности и функция распреде-
ления гауссовского процесса. Для доказательства воспользуемся эрго-
дическим свойством процесса [M(t)]+. Приравняв среднее по времени
(2.7.4) среднему по реализациям и обозначив M(i) = ЛД(£) — к, где
Mo(t)/cM — гауссовский процесс с нулевым средним и единичной
дисперсией, получим
Ф = E[M+(t)] =	- fc/M+] =
оо
= <тм	dz. (5.3.3)
fc/CTM
108
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Учитывая соотношение
zf(z)dz = —\/(2,7iy^e'x.p{—z2/2')d(—z2/2)	(5.3.4)
и интегрируя правую и левую части, получим выражение (5.3.2).
Для системы с гауссовским возбуждением средняя частота выбро-
сов \/те увеличивается при росте интенсивности шума 7. Напомним,
Рис. 5.6: а — коэффициент переноса для системы (5.3.1) с гауссовским
возбуждением; к — среднее значение, — стандартное уклонение процес-
са Мельникова; б — пример соотношения между коэффициентом переноса
и интенсивностью 1/те
что величина <тм пропорциональна 7. На рис. 5.6, а показано, что коэф-
фициент переноса Ф растет при возрастании <тм и, соответственно, при
возрастании 7. Поэтому коэффициент Ф можно рассматривать как меру
частоты выбросов. Представленная на рис. 5.6 зависимость 1/те от Ф
подтверждает это предположение. Эта зависимость получена методом
Монте-Карло для стандартного уравнения Дюффинга и спектраль-
ной плотности возбуждения вида: Фо(ш) = 2тг/5,	< 5, Фо(ш) = О
в остальной части спектра.
5.4.	Условия отсутствия выбросов в системах
с ограниченным случайным возбуждением.
Пример: возбуждение дихотомическим шумом
Процессы Мельникова, порожденные ограниченными (с вероят-
ностью 1) случайными процессами, также ограничены. Это означает,
что существует множество значений параметров, при которых необ-
ходимые условия возникновения хаоса не выполняются. Хаотические
переходы не возникают если параметры системы принадлежат это-
му множеству. Как пример рассмотрим стандартное уравнение Дюф-
финга (5.3 1), где потенциал V(ii) определяется равенством (2.1.7),
и G(t) — дихотомический процесс, т. е. последовательность знакопере-
менных прямоугольных импульсов случайной длительности (рис. 4.5),
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 109
определенный соотношением
G(t) = ап, [а + (п — 1 )]£j < t < (а + n)t,
(5.4.1)
где п — целое число, а — случайная величина, равномерно распре-
деленная в интервале [0, 1], ап — независимые случайные величины,
принимающие значения +1 или —1 с равными вероятностями 1/2
и 1/2, соответственно, t[ — параметр процесса G(t).
Пусть Go(t) — аппроксимация процесса G(t), удовлетворяющая
условия теоремы § 2.3.2. Процесс Мельникова, порожденный процес-
сом Ga(t), имеет вид
'СЮ
—со
Ma(to) =
(5.4.2а)
гОО
h(C){G(i0 - С) - [G(t0 - <) - Go(t0 - С)] dC - k,
J—OO
(5.4.2b)
где функция h(t) определена уравнением (2.5.5d). Вклад слагаемого
G(to — С) — Ga(to — С) в интеграл (5.4.2b) может быть сделан произ-
вольно малым, т. е.

(5.4.3)
где, по определению
M(i0) =
h(QG(t0-QdC-k.
(5.4.4)
Таким образом, при исследовании условий Мельникова можно ис-
пользовать выражение (5.4.4). При этом нет необходимости строить
аппроксимацию Ga(t) и вычислять аппроксимирующий процесс Ma(t).
Используя соотношения (2.5.5d), (5.3.2) и (2.5.16) при а = Ь =
= 1, получим, что для стандартного осциллятора Дюффинга к = ^(3/3,
h(t) = 7Zh2(-t) — V2 7 sech th t. Тогда из (5.4.4) следует
M(t) = -4/3/3 + V2yF(f),	(5.4.5)
i
-F(t)& an{— sech[(n + a)ti — t] + sech[(n + a — 1)Н — t]}, (5.4.6)
n=—Z
где число l выбирается достаточно большим, чтобы сделать погреш-
ность аппроксимации произвольно малой. Необходимое условие воз-
никновения хаоса — условие существования простых корней функ-
но
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова.
Рис. 5.7. Реализации функции F(t) при t\ = 1, 0; 0,35 и 0,1. Отметим, что
пики F(i) уменьшаются при малых ti
ции M(t). Следовательно, хаотические переходы не возникают, если
М(/) < 0, т. е.
F(t) < 4/3/(3 y/Zj) = 0,9428/3/7-	(5.4.7)
Площадь под кривой = sechitanhi вычисляется как secht|^° =
= 1. Суммирование в правой части соотношения (5.4.6) дает F(t) = 2
при а = 0, ап= 1 для всех п при t > 0, и ап = — I для всех п при
t < 0, т. е. |F(t)| < 2. Следовательно, хаос не возникает, если
выполняется простое неравенство
7/0 < 0,4714.	(5.4.8)
Ход функции F(t) для = 1, 0,35 и 0,1 представлен на рис. 5.7.
Очевидно, что критерий (5.4.8), базирующийся на неравенстве |F(t)| <
<2, оказывается очень слабым при достаточно малых t\. Отметим,
что критерий, аналогичный (5.4.8), можно построить для импульсного
процесса (5.4.1) со случайной начальной фазой и, вообще говоря, для
Гл 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 111
1
4(0
0
-1
-2
2
*1(0
1
О
-1
-2
800	850	900	950 . 1000
t! Г|
Рис. 5.8 Нехаотические (а) и хаотические (б) реализации процесса a?i(t).
Процесс (а) нерегулярен в силу стохастического характера возбуждения.
Процесс (б) нерегулярен в силу стохастического характера возбуждения
и хаотического характера движения
любого случайного возбуждения с ограниченными хвостами распреде-
ления.
На рис. 5.8,6! и 5.8,6 представлено решение уравнения Дюффинга-
Холмса при возбуждении (5.4.1) с постоянной t\ = 1,0 и при значении
параметров системы е = 0,1, /3 = 1,5 и, соответственно, 7//З = 0,469 <
<0,4714 и 7//З = 1,887. Процесс на рис. 5.8, а развивается в окрестно-
сти одного из положений равновесия, его нерегулярный характер объ-
ясняется влиянием случайного возбуждения. Хаотическое движение на
рис. 5.8, б подобно хаотическому движению осциллятора Дюффинга-
Холмса при гармоническом или почти-периодическом возбуждении. Его
нерегулярность связана как со случайным характером возбуждения,
так и с хаотическим характером движения. Очевидно, что, как и для
системы с гармоническим возбуждением, оценка области хаотичности
в пространстве параметров применима даже для достаточно больших
возмущений. Чувствительность к начальным условиям, т. е. положи-
---тельность старшего характеристического показателя Ляпунова, была
проверена численно для случая, представленного на рис. 5.8, 6.
До сих пор мы предполагали, что возбуждение аддитивно. В слу-
чае мультипликативного шума вида 7(21, xz)G(t) постоянная 7 в вы-
ражении импульсной переходной функции /i(t) заменяется функ-
цией 7(21,22) (см. (2.5.5d)).
112
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
5.5.	Применение метода Мельникова
для оценки среднего времени и вероятности
пребывания в допустимой области
Выходы из допустимой области движения внутри потенциальной
ямы *) вызваны хаотическими переходами через сепаратрису. Перехо-
ды возникают благодаря бесконечному числу пересечений входящей
и выходящей сепаратрис вблизи гиперболической точки. Механизм
переноса при гармоническом возмущении представлен на рис. 2.10.
Аналогичный механизм возникает при стохастическом возбуждении
(рис. 5.5). На рис. 5.5 видим, что, в среднем, переходы через сепа-
ратрису не происходят на интервалах времени, меньших, чем сред-
нее время ти между пересечением процессом Мельникова нулевого
уровня с положительной скоростью. Следовательно, среднее время ти
может рассматриваться как оценка снизу для среднего времени те
пребывания процесса внутри потенциальной ямы. На рис. 5.9 показано
Рис. 5.9. Последовательные нули случайного процесса с нулевым средним при
пересечении нулевого уровня снизу вверх (отмечены квадратами)
пересечение процессом гг(£) уровня х = 0 снизу вверх, т. е. с положи-
тельной скоростью dx/dt > 0.
В разделе 5.5.1 мы рассмотрим систему с гауссовским шумом
и используем классические результаты теории случайных про-
цессов для оценки среднего времени ти и получим основанную
на методе Мельникова нижнюю оценку вероятности отсутствия ~
выходов (или верхнюю оценку вероятности выходов) системы
из области. В разделе 5.5.3 мы вычислим параметры ти и те
для систем, возмущенных белым шумом, цветным гауссовским
шумом и дихотомическим шумом и оценим вероятность пребывания
системы в области на заданном интервале времени. Дополнительно_______
мы обсудим существование интервалов нехаотического движения
в системе с гауссовским возбуждением.
>) Для краткости будем писать о выходах из потенциальной ямы. Примене-
ние этого термина условно, так как псевдосепаратриса возмущенной системы
и сепаратриса невозмущенной системы не совпадают.
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 113
5.5.1.	Средний интервал времени между последовательными
переходами процесса Мельникова через нулевой уровень для сис-
темы с гауссовским шумом. Оценка снизу вероятности отсутствия
выбросов на фиксированном интервале времени. Рассмотрим сис-
тему вида
х = — V'(rr) +	— fix), 0<e<gl,/3>0.	(5.5.1)
Эта система может быть записана в виде (5.3.1). Если G(i) — гаус-
совский процесс, то процесс Мельникова для системы (5.5.1) также
будет гауссовским, со средним — к, спектральной плотностью Фм(ш)
и дисперсией (см. (5.2.5), (5.2.6), (5.2.7)). Средний интервал вре-
мени между двумя последовательными пересечениями нулевого уровня
снизу вверх для процесса Мельникова вычисляется по формулам
ти = v 1 ехр(к2/2),
(5.5.2)
и — (1 /2тг)
к = к/аи.
(5.5.3а)
(5.5.3b)
Если выбросы рассматриваются как редкие события, то вероятность
отсутствия выбросов на интервале времени 0 С t < Т <^ти достаточно
точно аппроксимируется функцией распределения Пуассона с парамет-
ром т~1, т. е.
Рм(0, Т) = ехр(-Т/ти)	(5.5.4)
(см. приложение (П5.13)). Вероятность Рм(0,Т) рассматривается как
оценка снизу вероятности того, что за время 0 С t < Т траектория
системы не пересечет потенциальный барьер.
Вероятность хотя бы одного выброса процесса Мельникова за ну-
левой уровень на интервале 0 t < Т определяется как
Рм,т(°-г) = 1 - ехр(7/т„).	(5.5.5)
Соответственно, вероятность рмт(0, Т) рассматривается как оценка
сверху вероятности того, что за время 0 t < Т произойдет хотя бы
один выход траектории системы из потенциальной ямы.
____ 5.5.2. Среднее время достижения потенциального барьера для
системы, возбужденной белым шумом. Пусть G(t) — белый шум
с корреляционной функцией 6(t) и постоянной спектральной плотно-
стью, равной единице (см. уравнение (4.1.20) при 7?г(т) = й(т)). Тогда
спектр возбуждения определяется как Фо = (^7)2- Для вычисле-
ния среднего времени достижения потенциального барьера т£ запишем
—
114
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
совместную плотность вероятности распределения переменных х, ±
[84]
fx,i(x, ±) = const х ехр(-2д/ЗЯ/Фо).	(5.5.6)
где Н(х,х) = V(x~) + х2/2 — полная энергия системы. Из (5.5.6)
получим
те = [е/(4тг0) 1/2(7а) 1 exp{[2/3/(E72)]V(0)},	(5.5.7а)
а =
'ОО
О
exp{-[2/3/(s72)]V(z)}da;
(5.5.7b)
Вывод соотношений (5.5.6), (5.5.7) приводится в Приложении П7.
5.5.3.	Численные примеры. Все примеры относятся к стандартно-
му уравнению Дюффинга вида (5.3.1) или (2.1.7). В разделах 5.5.3.1
и 5.5.3.2 исследуется движение системы под действием гауссовского
и дихотомического шума, соответственно. Напомним, что используе-
мая в вычислениях спектральная функция Мельникова определяется
соотношением (2.5.17) при 7=1 (см. Замечание в конце п. 2.5.3
и уравнение 5.2.6).
5.5.3.1.	Система с гауссовским возбуждением. Результаты, пред-
ставленные на рис. 5.10, получены для системы с возбуждением типа
белого шума или цветного шума (4.2.9) с односторонней спектральной
плотностью (4.2.10b). На рис. 5.11 видим, что, чем меньше параметр с,
тем ближе возбуждение к белому шуму. Результаты, представленные
на рис. 5.10, соответствуют белому шуму и цветному шуму с парамет-
ром с = 0,1 (рис. 5.10, а), с = 0,5 (рис. 5.10, б) и с — 2,6 (рис. 5.10, с).
Во всех случаях принимаем е=1. Сплошной линией представлена
средняя интенсивность пересечений нулевого уровня 1/ти для про-
цесса Мельникова. Величина i/ru вычисляется по уравнению (5.5.2)
и зависит только от отношения /З/'у. Среднее число выходов системы
из области за единицу времени 1/т£ в случае белого шума вычис-
ляется по уравнению (5.5.7). В случае цветного шума используется
метод Монте-Карло. Легко видеть (рис. 5.10, а), что результаты для
белого шума (пунктирная линия) и цветного шума с параметром с =
= 0,1 практически неразличимы. При фиксированном отношении /З/7
величина 1/т£ возрастает при возрастании коэффициента /3.
При увеличении параметра /З/7 различие между параметрами ти
и т£ экспоненциально возрастает, и уменьшающаяся величина ти может
служить оценкой снизу среднего времени выхода из области т£. Как
правило, оценка нижней границы ти полезна только при достаточ-
но малых отношениях /З/7. В то же время, следует помнить, что
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 115
Рис. 5.10. Средняя интенсивность пересечений нулевого уровня \/ти для
процесса Мельникова (сплошная линия) и среднее число выходов из области
за единицу времени 1/те для осциллятора Дюффинга (е = 0,1): а — для
белого шума (пунктирная линия) и цветного шума при с = 0,1; б — при
с = 0,5; в — при с = 2,5. Отметим, что 1/те зависит от двух параметров,
коэффициента диссипации /3 и интенсивности шума 7, тогда как \/ти зависит
от отношения /З/7
оценка времени ти перестает быть справедливой для очень малых
значений /З/7 (или, что то же самое, для больших значений 7). Это
связано с тем, что при достаточно интенсивном возбуждении поведение
системы перестает быть хаотическим. Подобная ситуация возникает
и в случае гармонического возбуждения. При малых амплитудах воз-
___Суждения возникает периодическое движение в окрестности одного
из положений равновесия, и траектория не пересекает потенциальный
"тЭ- барьер. При возрастании амплитуды возбуждения и амплитуды колеба-
ний появляется серия бифуркаций, сопровождающаяся хаотическими
переходами между потенциальными ямами. При дальнейшем увеличе-
нии амплитуды возбуждения движение перестает быть хаотическим,
116
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
Рис. 5.11. Односторонняя спектральная плотность процесса G(t) с единичной
дисперсией для трех значений с (сплошные линии) и квадрат спектральной
функции Мельникова стандартного осциллятора Дюффинга-Холмса при 7 = 1
(точечная линия). Отметим, что уровень спектра на эффективных частотах
при с = 0,5 выше, чем при с — 0.1
и возникают периодические колебания, охватывающие оба положения
равновесия (рис. 1.2). В действительности, возникшее при не очень
больших значениях параметра 7 хаотическое движение прерывается
при редких, но больших уклонениях случайного возбуждения от неко-
торого среднего значения. Таким образом, установившееся хаотическое
движение может прерываться и вновь восстанавливаться.
5.5.3.2.	Система с дихотомическим возбуждением. Рассмотрим
стандартный осциллятор Дюффинга с параметром е = 0,1 (уравнение
(5.5.1)) и дихотомическим шумом G(t), соответствующим уравнению
(4.2.16). На рис. 5.12 представлены средняя интенсивность пересе-
чений нулевого уровня 1 /ти для процесса Мельникова и средняя
интенсивность выходов из области 1/т£ для рассматриваемой системы.
Результаты получены с помощью численного моделирования.
Из уравнения (5.4.5) следует, что при выполнении условия
Д(£) > 0,9428/3/7 = т
процесс Мельникова пересекает нулевой уровень. Таким образом, сред-
нее время между последовательными пересечениями нулевого уровня
ти для процесса Мельникова равно среднему времени между последо-
вательными пересечениями уровня т для процесса F(t).
Интенсивность 1 /ти представлена сплошной линией. Как и в случае
гауссовского возбуждения, при фиксированном значении /З/7 верхняя
оценка 1/ти для. средней интенсивности выходов приближается к зна-
чению 1/т£ при возрастании интенсивности шума. Положим, например,
t; =0,35, /3/7 = 0,58. Как видим на рис. 5.12, 1/т£~ 10-6 при =
= 0,05 и 1/т£ ~ 10-2 при е/3 = 0,25. При И = 1, е = 0,1, /3=1,5 и
/3/7 = 0,53 получим 1/т£»0,03 (рис. 5.8,6). Эта оценка может счи-
таться соответствующей результатам, представленным на рис. 5.12, в,
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 117
Рис. 5.12. Средняя интенсивность пересечений нулевого уровня 1/ти для
процесса Мельникова (сплошная линия) и среднее число выходов из области
за единицу времени 1/тЕ для осциллятора Дюффинга (д = 0,1), возбужденного
дихотомическим шумом при (a) ti = 0,01; (б) 0 = 0,35; (в) Г = 1,00
так как среднее время, вычисленное по рис. 5.8, б, сравнительно мало,
и оценки 1/тЕ могут существенно различаться.
5.5.3.3.	Оценка сверху вероятности выходов из области. Как при-
мер, вычислим оценку (5.5.5) для Джозефсоновского перехода, задан-
_____________ного уравнением (2.5.20). Рассмотрим систему с возбуждением типа
белого шума и параметрами д = 1, а = 1, Д = 0. -у и tj — 0,025, /3 =
т= = 0,1. Из соотношений (5.5.2) и (5.5.7) при этих значениях параметров
получим ти = 7,66 х 109 и те = 1,9 X 1О2780, соответственно. В этом
примере наблюдается очень большое расхождение между значения-
ми ти и тЕ. Вместе с тем, само значение ти достаточно велико, и при
118
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
решении прикладных задач полезно знать, что величина те по крайней
мере больше 109.
Точно также, рассмотрим, к примеру, интервал времени Т =
= 105. Оценка сверху вероятности выхода из области на этом ин-
тервале времени дается выражением (5.5.5) и составляет рм,т =
= 1 — ехр(—10-4/7,66) « Ю-5. Непосредственное вычисление вероят-
ности выхода из области на интервале времени Т = 105 дает су-
щественно меньшее значение pesc,r = 1 — ехр(—10-2775/1,9) » 10~2775.
Хотя в этом случае рмт 3> Pesc.r. но верхняя оценка рм т достаточна
мала, и может быть полезной для приложений.
5.6.	Влияние спектра возбуждения
на среднее время пребывания в области
В этом разделе мы применим метод Мельникова для оценки влия-
ния спектральной плотности возбуждения на величину тЕ и проиллю-
стрируем этот эффект двумя примерами.
Спектральная плотность процесса Мельникова имеет вид (5.2.6)
ФмМ = |а(^)|2Фо(^)>	(5.6.1)
где Фо(ш) — односторонняя спектральная плотность возбуждения G(t)
с единичной дисперсией. Частотная характеристика а(ш) определена
соотношением (4.3.5а), где |а(ш)| — спектральная функция Мельнико-
ва. Возбуждение G(i) допускает аппроксимацию типа (4.2.5)
N
= У? cos(aijt + </>р,),	(5.6.2)
г=1
где	. /о
ai = [2Ф0(^)Дш/(2тг)]1/2,
фазы фог равномерно распределены в интервале [0,2тг], частоты =
= Дш, Дш = Wcut/77, wCut — частота среза, при превышении которой
спектральная плотность Фо(ш) исчезает или становится пренебрежимо
малой.
Процесс Мельникова аппроксимируется выражением (2.5.23)
N
М(к) = ai|a(wi)| cos(wit + ф& - Ф;(^г)) - к. (5.6.3)
г=1
Необходимое условие возникновения хаотических переходов — суще-
ствование простых корней процесса Мельникова. Это условие выпол-
няется, если
N
y2aila(wJI - к > 0.	(5.6.4)
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 119
Условие (5.6.4) приближенное, но с точки зрения приложений оно
дает пренебрежимо малую погрешность. Чем больше левая часть нера-
венства (5.6.4), тем сильнее интенсивность хаотических переходов.
Соотношение (5.6.4) может быть записано в виде
N
^2[2ФоЫЛи/(М1/2аЫ1 - к > 0.	(5.6.5)
г=1
Интенсивность хаотических переходов увеличивается при увеличе-
нии суммы	N
/ = ^[Ф0Ы]1/2|аЫ1-	(5-6.6)
1—1
Очевидно, что максимальная эффективность в возбуждении хаотиче-
ских переходов достигается, если спектр возбуждения содержит часто-
ты, на которых спектральная функция Мельникова |а(ш,)| достигает
максимума. Сравнение случайных воздействий, имеющих одинаковую
дисперсию, но различные спектральные плотности, показывает, что
эффективность воздействия в возбуждении переходов увеличивается
или уменьшается в зависимости от того, насколько близки несущие ча-
стоты спектра воздействия к частоте максимума спектральной функции
Мельникова. Соответственно, спектры возбуждения могут рассматри-
ваться как эффективные или неэффективные.
Пример 5.6.1. Возникновение хаотических переходов в стан-
дартном осцилляторе Дюффинга при воздействии цветного шума.
Результаты, приведенные на рис. 5.10, были получены для стандарт-
ного осциллятора Дюффинга со спектральной функцией Мельнико-
ва (2.5.17) при а = 6=1, т.е. |'а(ш)| = 5(ш) = 7\/27rwsech(7rw/\/2).
Функция 5'(ш) при 7= 1 представлена на рис. 2.6. Рассмотрим случай
/3 = 0,2, /З/7 = 0,4. Получим 1/те~0,06 при с = 0,5 (рис. 5.10,6)
и 1 /т£ ~ 0,015 при с = 0,1 (рис. 5.10, а).
Объясним это различие с помощью условия (5.6.6). Высокочастот-
ная часть спектра, соответствующая малым значениям спектральной
функции Мельникова, при с = 0,1 шире, чем при с = 0,5 (рис. 5.11).
Следовательно, при с = 0,1 большая часть спектра неэффективна,
и интенсивность переходов ниже, чем при с = 0,5. Таким образом,
спектральная функция Мельникова полезна для качественной оценки
влияния спектра возмущения на интенсивность переходов.
Пример 5.6.2. Эффективное и неэффективное квазипериодиче-
ское возбуждение. Рассмотрим уравнение Дюффинга (2.5.14) при а =
— b = 1, е(3 = 0,045 и при бигармоническом возбуждении. Первая гар-
моника = Asin(Q6), А = 0,1 14558, Q = 0,89. Вторая гармоника
записывается в виде AAsinwt. При ДА = 0 метод Монте-Карло дает
т£ ~ 60.
Зависимость среднего времени те от частоты ш для трех значений
амплитуды ДА представлена на рис. 5.13, а. Зависимость спектральной
120
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
20-------------1-----1-----1-----1----1— со
0	0,8	1,6 2,4 3,2 4,0 4,8
б
Рис. 5.13: а — зависимость среднего времени те от частоты ш для трех
различных амплитуд ЛА дополнительного возбуждения AAsin(ui). Верхняя
кривая: ДА = 0,0005; средняя кривая ДА = 0,004; нижняя кривая ДА = 0,032;
б — спектральная функция Мельникова (2.5.17) при а = Ь= 1/2 для 7=1.
Дополнительное возбуждение наиболее эффективно для уменьшения среднего
времени выхода т€ на частотах, близких к частоте пика спектральной функции
Мельникова
функции Мельникова S(u>) от частоты ш при 7 = 1 представлена на
рис. 5.13,6. Легко видеть, что дополнительное возбуждение AAsincut
приводит к существенным изменениям времени т£, если частота и
равна или близка частоте соответствующей максимуму S(cj).
Заметим, что при возрастании ДА увеличивается интенсивность ха-
отических переходов и сокращается среднее время пребывания в об-
ласти те. В главах 7, 8 и 12 мы покажем, что различие между
эффективными и неэффективными частотами можно использовать при
конструировании системы управления, предназначенной для снижения
интенсивности хаотических переходов при случайном возбуждении.
5.7.	Системы с медленно меняющимися параметрами
В разделе 2.7 исследовалась допустимая область движения двумер-
ной системы, к которой применим метод Мельникова. Было показано,
что допустимая область разделяется на внутреннюю и внешнюю подоб-
ласти, разделенные псевдосепаратрисой. В общем случае систем более
высокого порядка или систем с медленно меняющимися параметрами
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 121
такое разбиение невозможно. Кроме того, в более сложных системах
выходы из заданной области могут происходить не только благодаря
хаотическому переносу, но и с помощью других процессов, к которым
нельзя применить теорию Мельникова. Стохастический метод Мельни-
кова применим только при тех значениях параметров, когда выход из
области ассоциируется с хаотическим переносом, т е. интенсивность
переходов, порожденных прочими механизмами переноса, значительно
ниже интенсивности хаотических переходов, см., например, [9].
5.8.	Спектр колебательной системы
со случайным возбуждением. Сравнение
методов Фоккера—Планка и Мельникова
Рассмотрим хаотической движение динамической системы. Для
систем с возбуждением типа белого шума среднее время движения
между двумя последовательными максимальными отклонениями может
быть найдено с помощью уравнения Фоккера-Планка. Для систем
с белым или цветным шумом аналогичные выражения могут быть полу-
чены с помощью метода Мельникова. Отметим, что метод Мельникова
значительно проще, и, в отличие от метода Фоккера-Планка, позволяет
исследовать системы с цветным шумом.
Уравнения движения имеют вид
±1=^2.	(5.8.1а)
±2 = 21 -я? + E'h'G(f) - ((3 - аа;2)^]-	(5 8.16)
Здесь а, /3 > 0, 0<д<^1. Система (5.8.1) включает диссипативную
составляющую (/3 — ах^х^. Диссипация превращает невозмущенную
систему в систему с асимптотически устойчивой особой точкой. Тео-
ретические и численные исследования этой системы [10] подтвердили,
что хаотическое решение системы (5.8.1) можно представить в виде
CQ
=	(5.8.2)
— ОО
где {aj} — бесконечная последовательность независимых случайных
величин, таких, что P{a.j = Q}P{aj — 1} = 1/2, Xhi(t) — невозмущен-
ная гомоклиническая траектория (2.2.1), Tj — случайная величина,
соответствующая моменту j-ro максимума функции |rri(t)| (рис. 5.14).
Энергетический спектр функции Xi(t) имеет вид
—	Фх(/) = (2тг2/Т) зесЬ2(тг2/),	(5.8.3)
где Т = (7/+1 — Tj) — средний интервал времени между последова-
тельными максимумами функции |xi(t)|.
Вычислим параметр Т. Запишем

Т — Tout Ф Tjn,
(5.8.4)
122
Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
*1(0
—2
Рис. 5.14. Решение уравнения (5.8 2) [10]
где Tout и Tjn — среднее время движения вне и внутри квадрата Uf> со
сторонами 25 (е < 5 <S 1), описанного вокруг гиперболической особой
точки (0,0) (рис. 5.15). Среднее время движения т01л в окрестности
гомоклинической траектории вне области Ug в первом приближении
постоянно, TOut » К. Внутри области U& динамика системы близка
к динамике линеаризованной системы
й = Хии, й = —Xsu,	(5.8.5а,Ь)
координатные оси которой параллельны собственным векторам сис-
темы, а собственные числа получены из уравнений в вариациях для
системы (5.8.1).
Интегрирование уравнения (5.8.5а) в интервале от и = d до и = ё
дает
Tin = A-4n(5/d).	(5.8.6)
Расстояние d может быть выражено через расстояние Мельникова
и записано в виде d — cdmein,
dmean « eE\M(t0)\,	(5.8.7)
где с — коэффициент порядка 1, Е — математическое ожидание,
M(io) — функция Мельникова [10]. Таким образом,
Tin = А"1 Ь{5/с£[Е|M(t0)|]}-	(5.8.81
Из уравнений (5.8.4) и (5.8.8) следует
Т « T0Ut + Х~1 ln[<5/(cdmean)] =	(5.8.9а)
= К - A”1 ln{5/c£[E|M(i0)|]}.	(5.8.9b)
Гл. 5. Хаотические переходы в стохастических динамических системах 123
Уравнения (5.8.9) показывают, что искомый параметр Т зависит от ха-
рактера возбуждения G(t), определяющего выражение функции Мель-
никова M(io)-
Рассмотрим соотношение (5.8.9b) для различных типов возбужде-
ния: гармонического возбуждения, цветного гауссовского шума и бело-
го шума.
Можно показать, что при гармоническом возбуждении функция
Мельникова имеет вид
M(to) = 4/3/3 — 16о:/15+77ГШ \/2sech(7rw/2) sinwio- (5.8.10)
В частном случае а = 4/3/5 из уравнений (5.8.9b) и (5.8.10) получим
Т = Кс — A”1 ln[e7wsech(7rw/2)].	(5.8.11)
где Кс — постоянная.
Рассмотрим возбуждение в виде цветного стационарного гауссов-
ского шума. Используя аппроксимацию (4.2.1), с помощью аналогич-
ных рассуждений получим
Т = Х-А-11п(еам),	(5.8.12)
где ам — стандартное уклонение процесса Мельникова [77].
В предельном случае белого шума из соотношений (5.2.6), (5.2.7),
(2.5.10а) и (2.5.17) получим
а2м — 72 [ 52(ш)Фо(ш) dw = 72 [ S2(w)dw = 4тг72/3.	(5.8.13)
Jo	Jo
Уравнения (5.8.12) и (5.8.13) приводят к следующему выраже-
нию [77]
T = Ki -A-4n(e7)-	(5.8.14)
Стоун и Холмс [87] предложили другой подход для систем с воз-
буждением типа белого шума. Время Tin ищется из решения уравнений
dx = — Xsx dt + eydWx,	(5.8.15a)
dy — Xuy dt +o^dWy,	(5.8.15b)
где Wx и Wy - независимые Винеровские процессы l) и E7 — интенсив-
ность шума. Неограниченность белого шума формально препятствует
рассмотрению систем с устойчивыми и неустойчивыми многообрази-
ями. Вместе с тем, физические шумы могут считаться ограничен-
ными, и их введение в системы, формально заданные уравнения-
ми (5.8.15), вполне оправдано. Вторым предположением при выводе
1) Стохастический процесс Wo(t), ,t > 0, называется Винеровским процес-
сом, если Wo(O) = 0 и приращения W0(t) — Wo(t') независимы при всех
0 t' t и имеют гауссовское распределение с нулевым средним и диспер-
сией t — t'.
124	Часть 1. Теоретические основы метода Мельникова
уравнений (5.8.15) было предположение о независимости устойчивой
и неустойчивой подсистем в линеаризованной системе.
Используя уравнение Фоккера-Планка при о. = ЩЗ/Ь, Стоун
и Холмс [87] получили
T = /rs-A-1ln(£7).	(5.8.16)
Выражение (5.8.16) в точности соответствует выражению (5.8.14),
полученному с помощью метода Мельникова. Вместе с тем, воспро-
изведя все необходимы преобразования, можно убедиться, что метод
Мельникова значительно проще и нагляднее. Кроме того, метод Мель-
никова позволяет получить решение не только для белого, но и для
цветного шума.
ЧАСТЬ 2
ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛАВА 6
ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ СУДНА
В этой главе обсуждается использование стохастического метода
Мельникова в корабельной архитектуре. В предлагаемой модели [19,
38] судно считается устойчивым, до тех пор, пока угол бортовой качки
(вращение вокруг продольной оси судна), вызванной волнением моря,
не превышает критического значения.
6.1.	Модель бортовой качки при волнении
Уравнения движения учитывают:
•	силы инерции, вызванные (1) вращательным ускорением судна
и (2) ускорением присоединенных масс жидкости при движении судна
(эмпирическое слагаемое);
•	эмпирические диссипативные силы, зависящие от угловой скоро-
сти и характеризующие рассеяние энергии при движении в жидкости;
•	эмпирические восстанавливающие силы, зависящие от угла пово-
рота;
•	случайное возбуждение, возникающее при волнении моря.
Обозначив угол качки как ф (рис. 6.1), запишем уравнения движе-
ния в виде
(Г44 + А44(Чо))4>" + B44(W + В^0)ф'\ф'\ + AGZ(^) = Fsea(r),
(6.1.1)
где /44 — момент инерции судна относительно оси вращения, A44(Qq) —
момент инерции присоединенной массы, В44(П0) и В44д(Ч0) — коэффи-
циенты линейного и квадратичного диссипативных членов, Д — грузо-
подъемность судна, GZ^) — эмпирически определенный восстанавли-
вающий момент, Fsea(-r) — волновое возбуждение. Штрих обозначает
производную по времени т. Присоединенная масса и коэффициенты
демпфирования зависят от характерной частоты Qq.
Восстанавливающий момент аппроксимируется функций
сг(ф)^С1ф-с3ф3,	(6.1.2)
126
Часть 2. Приложения
Рис. 6.1. Угол ф бортовой качки корабля
где коэффициенты Ci и Сз выбираются таким образом, чтобы частота
малых колебаний модели соответствовала частоте малых колебаний
судна, и	= 0, где ф* — критический угол наклона.
Приведем уравнения движения к безразмерной форме
Xl — Х2,
±2 —	+ axj + е[-5[Х2 —	+ /(£)].
(6.1.3а)
(6.1.3b)
где х = ф, t=cjnr, ujn = {ДС1/[Д4 + A44(Qo)]}1/2 — частота
свободных колебаний судна, w = Q/wn — безразмерная часто-
та, соответствующая частоте Q, £<5, =.В44(По)шп/ЛС|, £<52 =
= В44<7(По)/[Л4 + Ai4(Q0)], a = C3/Ci, Ef(t) = Fsea(r)/ACI. Точка
обозначает производную по переменной t.
Потенциал, соответствующий восстанавливающему моменту (6.1.2),
представлен на рис. 6.2, а. Потенциал имеет М-форму, в отличие от
потенциала осциллятора Дюффинга, имеющего W-форму. Невозму-
щенная система (при £ = 0) описывает свободные недемпфированные
колебания при отсутствии внешнего возмущения. Фазовый портрет
невозмущенной системы (рис. 6.2, б) имеет особую точку (центр)
Рис. 6.2. Форма потенциала (а) и гетероклинические траектории (б) для
модели бортовой качки
в начале координат и две гиперболических особых точки (хь хг) =
= (±1 /а'!'2, 0), связанные парой гетероклинических траекторий
(zhi(t), xh2(t)) = {±(1/а1?/2)tanh(t/\/2), ±[1/(2а)1/2]sech2(t/v^)}.
(6.1.4)
Гл. 6. Потеря устойчивости судна
127
«
Допустимая область движения на фазовой плоскости соответствует
области, ограниченной парой гетероклинических траекторий.
Среднее от процесса Мельникова вычисляется по формулам (2.5.3)
и (5.2.5). Отметим, что, в соответствии с уравнениями (2.3.1), (2.5.1)
и (6.1.3), в равенстве (2.5.3) следует положить q\ = 0 и /Дх/с) =
В результате получим
E[M(t0)] = -к = [2^^/(За) + 852/(15а3/2)].	(6.1.5)
Спектральная функция Мельникова может быть получена из соотно-
шений (2.5.10а), (2.5.9) и (2.5.5d) при 72 = 1 (см. замечание после
уравнения (5.2.6)). В результате будем иметь
|a(w)| = (2/a)1/2[(7rw)/sinh(w7r/'/2)].	(6.1.6)
Используя соотношение (5.2.6), получим спектральную плотность
процесса Мельникова в виде
Фм(ш) = |а(ш)|2ФДш),	(6.1.7)
где Ф/(ш) — спектральная плотность волновой нагрузки.
6.2.	Численный пример
Согласно данным Национального совета по транспортной безопас-
ности (1979), судно “Патти-Б” имеет параметры
/44 + АиШ = 1,468 х 106 кгм2; £44(^0) — 3,206 х 103 кгм2с-1;
В449(По) = 9,882 х 104кгм2; Д = 2,366 х 106 Н;
Сц= 0,2138 м; С3 = 0,2138 м.
По рекомендации Международного конгресса по судовым конструк-
циям, спектральная плотность случайных волн моделируется двухпа-
раметрической формулой
ФгДш, Hs) = 0,11Я2[П4/(щщ„)5] ехр{—0,44[Qc/(wwn)]4}, (6.2.1)
где Hs и Qc — существенная высота ') и характерная частота волны.
Спектральная плотность волновой нагрузки рассчитывается по упро-
щенной линейной модели
ф/M = |ГГ011(ш)|2Фш(ш,Я5).	(6.2.2)
____Частотная характеристика Fron(w) (рис. 6.3) вычисляется по давле-
нию малых волн на судно в вертикальном положении. Отметим, что
метод Мельникова может использоваться и при более сложной модели
волновой нагрузки.
') Существенная высота определяется как средняя высота одной трети
самых высоких волн.
128
Часть 2. Приложения
Рис. 6.3. Момент сил для волн единичной амплитуды
Рис. 6.4. Зависимость коэффициента переноса от высоты волн при характерном
волновом периоде Тс = 9 с. Сплошная линия построена по формуле (5.3.3);
штриховая линия — асимптота; точки — результат численного моделиро-
вания [40]
Зависимость нормализованного коэффициента переноса в фазовом
пространстве еФ/Ah от высоты Hs при 2тг/Пс — 9 с представлена на
рис. 6.4. Здесь Ф — коэффициент переноса, вычисленный по уравне-
нию (5.3.3), Ah — площадь, ограниченная ветвями гетероклинической
сепаратрисы. Величина еФ/Ад характеризует интенсивность хаотиче-
ских переходов через сепаратрису системы (6.1.1); одновременно она
характеризует вероятность выхода из области Ад, т. е. вероятность
опрокидывания судна. Из соотношения (5.3.3) следует [40], что асимп-
тота к кривой на рис. 6.4 пересекает ось Hs при
я; = - (2тг)1/2/С/(2сг0),
(6.2.3)
где о о — стандартное уклонение процесса Мельникова при возбужде-
нии с характерной единичной высотой волны. При Hs < Н* коэффи-
циент переноса сравнительно мал, и можно утверждать, что веро-
ятность опрокидывания достаточно мала. Численное моделирование
подтвердило, что, при 7,6 м Hs < 13 м и 1 с ф 2тг/Пс 17 с вероят-
ность опрокидывания меньше 0,075 на интервале 35 мин и меньше 0,16
на интервале 68 мин. Этот пример показывает, что предложенный [40]
критерий Hs < Н* дает полезную оценку высоты волн, соответствую-
щей малым вероятностям опрокидывания судна.
ГЛАВА 7
УПРАВЛЕНИЕ ХАОТИЧЕСКИМИ ПЕРЕХОДАМИ
В СИСТЕМАХ СО СЛУЧАЙНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ
Поведение некоторых нелинейных стохастических систем считается
удовлетворительным, если вероятность выхода системы из допустимой
области на фиксированном интервале времени достаточна мало. Один
из примеров — динамика судна при волновой нагрузке — рассмотрен
в гл. 6. При заданном уровне волновой нагрузки вероятность выхода
траектории движения из допустимой области должна быть достаточно
мала. Если эта вероятность высока, ее можно снизить за счет измене-
ния конструкции судна и/или с помощью подходящего управления.
В этой главе мы опишем основной принцип управления в виде об-
ратной связи по входному воздействию для систем, характеризующихся
процессом Мельникова. В § 7.1 строится управление, противодействую-
щее компонентам спектра возмущения, повышающим интенсивность
хаотического переноса. Выбор этих компонент определяется формой
спектральной функции Мельникова. Такой подход повышает эффек-
тивность управления, так как затраты энергии на противодействие
прочим компонентам спектра возмущения малы. В § 7.2 в качестве
критерия эффективности управления рассматривается коэффициент
переноса в фазовом пространстве.
7.1.	Управление формой спектральной функции
Мельникова
Рассмотрим систему вида
Xi = Х2,	(7.1.1а)
Х2. = -V'(xi)+e[7G(i) - /Зх2 -??Gc(f)],	(7.1.1b)
где параметры £, 7, (3, г] > 0, и параметр е достаточно мал для
применимости теории Мельникова; eyG(t) и — £r/Gc(Z) — возбуждение
и управляющее воздействие, соответственно. Предполагаем, что G(t) —
стационарный эргодический случайный процесс с нулевым средним,
единичной дисперсией и спектральной плотностью Фо(ш).
_ В § 5.5 показано, что среднее время ти между последовательными
пересечениями процессом Мельникова нулевого уровня может служить
мерой среднего времени до выхода, из потенциальной ямы те. Время ти
и, соответственно, время т£ зависят от интенсивности возбуждения
и могут быть изменены с помощью подходящих управляющих воз-
действий.
130
Часть 2. Приложения
Считаем, что управление действует без запаздывания по отношению
к воздействию, и выберем Gc(£)	G(f), Т] < 7. Выбранное управление
уменьшает общее воздействие на систему, интенсивность выбросов
процесса Мельникова и среднюю интенсивность выходов из допусти-
мой области. При подобном простейшем выборе управления отношение
средних мощностей управляющего воздействия и возбуждения q =
= 72/72. Задача состоит в построении более эффективного управления,
уменьшающего интенсивность выходов из допустимой области в той же
степени, в какой этого можно добиться тривиальным управлением, но
с меньшим коэффициентом q [4, 75].
Предлагаемый подход использует неоднородность и экспоненциаль-
ное затухание спектральной функции Мельникова |а(ш)| (2.5.10а).
Б § 5.6 показано, что при воздействии на систему более эффективны
спектральные компоненты возбуждения и управления, лежащие в ин-
тервале частот, соответствующих максимальным значениям спектраль-
ной функции Мельникова. Вместо управления Gc(t) = G(t) целесооб-
разно выбрать управление Gc(t) с минимальным содержанием неэф-
фективных частотных компонент. Как указано выше, такое управление
может дать необходимое снижение интенсивности выходов из области
при меньших затратах энергии.
7.1.1.	Динамическая система и спектр возбуждения. Рассмот-
рим стандартный осциллятор Дюффинга. Потенциальная функция
в уравнении (7.1.1) определена соотношением (2.5.14с) при а = b =
= 1, параметр £ = 1, (3 = 0,45. В этом случае спектральная функция
Мельникова |or(w)| = S(w) определена соотношением (2.5.17). Иссле-
дуем возмущение G(t) со спектральной плотностью
Ф0(ш) =
' 0,039901п(ш) + 0,12829,	0,04	ш	0,4,
0,057551п(ш) +0,14493,	0,4	1,2,
-0,38301 [In (w)]2 + 1,061921п(ш) -
-0,02941,	1,2	15,4
(7-1.2)
(рис. 7.1). В первом приближении равенство (7.1.2) соответствует
спектральной плотности низкочастотных флуктуаций горизонтальной
скорости ветра [93]. Функции S2(w) и Фо(ш)52(ш) при 7= 1 (§5.6)
представлены на рис. 7.2, а и рис. 7.2, б соответственно. На рис. 7.2
видим, что при данной форме функции S2(w) только некоторые из
частот возбуждения G(t~) вносят существенный вклад в спектральную
плотность процесса Мельникова неуправляемой системы. Следователь-
но, только эти частотные составляющие должны подавляться противо-
действующим управлением. Часть спектра с частотами ш > 4 фактиче-
ски подавлена; интенсивность части спектра с частотами 0 ш < 0,3
Ги. 7. Управление хаотическими переходами
131
Рис. 7.1. Спектральная плотность случайного процесса G(t)
4
S2(W)
3
2
1
О 1	2	3	4	5
со
2	1
T0(<o)S (со)
0,8
0,6
0,4
0,2
0	12	3	4	5
со
Рис. 7.2. Квадрат спектральной функции Мельникова (а) и спектральная
плотность процесса Мельникова неуправляемой системы (б) при 7 = 1
и 2,5 < ш 4 очень низка. Эти области спектра несущественны и не
требуют подавления противодействующим управлением.
7.1.2.	Управляющие воздействия. Управляющее воздействие Gc(t)
должно зависеть от возбуждения G(t~). В рассмотренном в §7.1 про-
стейшем случае Gc(t) = G(t). Однако в реальных системах нельзя
добиться мгновенного воспроизведения внешнего воздействия с по-
мощью управления. Следовательно, управляющее воздействие должно
учитывать существующее запаздывание I. Кроме того, должен исполь-
зоваться специальный фильтр, называемый эффективным фильтром
132
Часть 2. Приложения
Мельникова. Этот фильтр уменьшает содержание неэффективных ча-
стот в спектре управления, так как эти частоты слабо влияют на
интенсивность переходов. Наконец, мы используем основной фильтр,
формирующий спектр управления. Таким образом, управление можно
представить в виде
Gc(f) = [Ae*<7t_(.Ap.G](f),	(7.1.3)
где * означает преобразование свертки (5.2.4), Ap(t), <5t_;(Z — Z) и A£(Z) —
переходные функции основного фильтра, фильтра запаздывания и эф-
фективного фильтра Мельникова, соответственно, и &t-i — 6 — функ-
ция Дирака. Частотные характеристики этих фильтров определены
как Лр(ш), A;(w) = ехр(— jut) и Л£(ш), соответственно. Основной
фильтр и эффективный фильтр Мельникова дополняют друг друга
в формировании требуемого спектра управления.
Рассмотрим 4 типа управляющих воздействий и постараемся умень-
шить содержание неэффективных спектральных компонент с помощью
эффективного фильтра Мельникова.
а)	. Управление (а), или простейшее управление с запаздыванием I.
Такое управление должно противодействовать возбуждению eG(Z), со-
здавая воздействие, пропорциональное eG(t), но с противоположным
знаком. Таким образом, |Лр(ш)| = |Л£(ш)| = 1 и Л;(сс) = ехр(—jwZ).
Чем меньше запаздывание I, тем выше эффективность управления.
Ь)	. Управление (Ь), или управление с запаздыванием I и эффек-
тивным фильтром Мельникова. Это управление эффективнее управ-
ления (а), так как оно использует структуру спектральной функции
Мельникова |a(w)| = S(w). Как видим на рис. 7.1 и 7.2, спектраль-
ная функция Мельникова пренебрежимо мала на частотах 0 < w <
< as 0,3 и uj > и>2 ~ 2,5. Таким образом, эти компоненты спектра
практически исчезают в спектральной плотности процесса Мельни-
кова. Иначе говоря, спектральные компоненты с частотами внутри
интервала (ицыг) эффективны, а компоненты с частотами вне этого
интервала неэффективны в возбуждении хаотических переходов. Для
управления (Ь), как и Для управления (а), |Лр(ш)| = 1 и Л;(ш) =
— ехр(— jail), но |Л£(ш)| = 1 только в интервале эффективных частот,
вне этого интервала |Л£(ш)| = 0.
с)	. Управление (с) аналогично управлению (а), но |Лр(ш)| 0 1.
При моделировании мы использовали фильтр с переходной функцией,
представленной на рис 7.3, А = 0,1, В = 2,25.
d)	. Управление (<Д аналогично управлению (а), но |Ле(сы)| = 1
в интервале эффективных частот, вне этого интервала |Л£(ш)| = 0.
Иначе говоря, управление (d) получено из управления (с) так же,
как управление (Ь) получено из управления (а).
При моделировании мы предполагали I = 0,1. Частоты Ш] =0,3
и с’2 = 2,5, определяющие интервал эффективности, были определены
по форме спектральной плотности процесса Мельникова и спектраль-
ной функции Мельникова. Коэффициент Г) = 0,57 Для управлений (Ь)
Гл. 7. Управление хаотическими переходами
133
Рис. 7.4. Коэффициент усиления (а) и фазовый сдвиг (6) для фильтра
с импульсной переходной функцией, представленной на рис. 7.3, при А = 0,1
и В = 2,25
и (d). Для управлений (а) и (с) коэффициент Т] выбирался таким
образом, чтобы эти управления имели ту же среднюю мощность (дис-
персию), что и управления (Ь) и (d), соответственно. Мы получили
77 = О,167'у для управления (а) и 77 = 0,1977 для управления (с). Ос-
новной фильтр с переходной функцией, представленной на рис. 7.3,
имеет частотную характеристику Ap(w)7?(ш) + jl(a>) где
= r2(Aw/2) cos(Aj) — r2(Bw/2) cos(2A + J5)w,	(7.1.4a)
7(w) = —t2(Aj/2) sin (Aw) + r2(Bw/2) sin (2 A + B)w,	(7.1,4b)
и r(w) = sin(w)/w. Уравнения, аналогичные (7.1.4), были получены
в [62]. Зависимости амплитудно-частотной характеристики [jR2(w)+
+ /2(w)]1/2 и фазо-частотной характеристики arctg[7(w)/7?(w)j от час-
тоты w представлены на рис. 7.4.
7.1.3.	Численное моделирование. Результаты численного модели-
рования представлены на рис. 7.5. Сравниваются средние интенсивно-
сти выходных сигналов в системах с управляющими воздействиями,
построенными с учетом свойств -процесса Мельникова (управления Ь
и d), и без их учета (управления а и с). Напомним, что управления,
соответствующие кривым b и d на рис 7.5, имеют ту же среднюю
мощность, что и управления, соответствующие кривым а и с, но
134
Часть 2 Приложения
Рис. 7.5. Интенсивность выходов по для неуправляемой системы (с) и от-
ношение nf/nto интенсивностей выходов для систем с управлениями а, 6,
с, d и неуправляемой системы (б). При возбуждении с амплитудой еу — 0,15
интенсивность выходов для системы с основанным на методе Мельникова
управлением типа b почти в 20 раз ниже чем для управления типа а той
же мощности
получены исключением неэффективных спектральных компонент из
управлений а и с.
В частности, рис. 7.5 показывает, что при возбуждении с коэффици-
ентом Е7 = 0,15, интенсивность выходов из области при управлении b
примерно в двадцать раз ниже, чем при управлении а с той же
средней мощностью; управление d примерно в 5 раз более эффективно,
чем управление с с той же средней мощностью. Отметим, что эф-
фективность управляющих воздействий повышается при уменьшении
коэффициента еу.
Результаты численного моделирования (рис. 7.5) подтверждают, что
управление, использующее информацию о процессе Мельникова, спо-
собствует стабилизации системы при случайном возбуждении. На
практике, возможности построение управления требуемой эффектив-
ности управления зависят от свойств системы и соответствующего
процесса Мельникова, спектра возбуждения, величины временного
запаздывания и свойств фильтров, формирующих управляющие воз-
действия.
7.2.	Коэффициент переноса как критерий
управления хаотическими переходами
Мы установили, что метод Мельникова может использоваться при
построении управления. В этом разделе мы рассмотрим коэффициент
переноса в фазовом пространстве как критерий управления. Умень-
шение этого коэффициента с помощью управляющего воздействия
соответствует уменьшению хаотических переходов через сепаратри-
Гл. 7 Управление хаотическими переходами
135
су, и, соответственно, снижению интенсивности выходов из области
(рис. 5.6, б).
В этом разделе мы построим показатель, выражающий снижение
коэффициент переноса в терминах параметров системы, возбуждения
и применяемого фильтра [30]. Для простоты положим |Л£(ш)| = 1 и бу-
дем считать, что первичный фильтр способен усиливать эффективные
спектральные компоненты и подавлять неэффективные (§ 7.1.2). Будем
рассматривать систему (7.1.1) со стандартным потенциалом Дюффинга
и управлением (7.1.3).
7.2.1.	Условия стабилизации системы с помощью управляющих
воздействий. Напомним, что коэффициент переноса фазового потока,
определенный в § 2.7 и § 5.3, в первом приближении пропорционален
площади под кривой, определяющей положительную часть процесса
Мельникова. Обозначим как	и rjMc(t) переменные составля-
ющие процесса Мельникова индуцированного возбуждением eyG(t)
и управлением ET)Gc(t), соответственно. Коэффициент переноса примет
вид
Ф = Д[7М(1) - ??Mc(i) -fc)+].	(7.2.1)
Введем в рассмотрение случайную переменную oZ(i) = 7M(t) —
—	где Z(t) — случайный процесс с единичной дисперсией
и функцией распределения Fz(t). Дисперсия процесса oZ(t) записы-
вается в виде
О’2 = Лм + №мс + г)2о2мс -	(7-2-2)
где о2м, — дисперсии процессов M(t) и	соответственно,
и о* =E[M(i) х Mc(i)]. Соответствующий коэффициент переноса
имеет вид
Ф = E[(aZ—k)+]
'СО
(az - k) dFz(z)
к/<7
(7.2.3)
последнее равенство получено из соотношения
jzdFz(z) = -z[l-F2(2)] +
[\-Fz(z)]dz
с учетом условия lim2_>00 z[l — F(z)] — 0. В частном случае, когда
управление и возбуждение — гауссовские процессы, процесс Z(t)
также гауссовский, и коэффициент Ф определен уравнением (5.3.3) при
замене ам на а.
Из формулы (7.2.3) следует, что Ф = 0 при а = 0. Интегрируя
соотношение (7.2.3) по частям, получим, что, если плотность распре-
деления fz(z) убывает быстрее, чем 1/z3 при z —» оо, то d^/do = 0,
136
Часть 2. Приложения
d2<^/do2 = 0 при а = О, и d^/do > О, d2<b/do2 > О при сг > 0. Таким
образом, кривая Ф(о) подобна кривой на рис. 5.6, а. Поскольку Ф(сг)
монотонно убывает при убывании о, то из формулы (7.2.2) следует,
что коэффициент переноса для управляемой системы меньше, чем для
неуправляемой (ту = 0) при условии о < Ч°м> т. е.
?у/7 < 2<7ммсЛмс-
(7-2.4)
Таким образом, оптимальное отношение 77/7, минимизирующее а2
при заданных 7, M(t) и ЛД(£), можно получить, приравнивая нулю
производную do2/d-q. Из соотношения (7.2.2) получим
(7.2.5)
Подставляя ?7Opt вместо г) в уравнение (7.2.2), будем иметь
<7opt — 72(7m[J — I67ммс/маmJ]2} = 72(7mU _ PmmJ-
где 0 < рММс = oMmJ(°momJ < 1 коэффициент корреляции процес-
сов М, Мс (см. § 4.1.6). Обозначим
Q-(l-P2mmJ1/2.	(7.2.6)
О С Q < 1. Величину Q назовем показателем уменьшения потока. По-
скольку коэффициент переноса монотонно убывает при убывании о,
эффективность управления повышается при уменьшении Q.
7.2.2,	Эффективность управления в зависимости от параметров
системы и возбуждения и характеристик фильтра. Дисперсии о2м,
°2М и амм могут быть выражены через параметры системы и воз-
буждения и характеристики фильтра. Имеем
а2м = (1/2тг) Г |а(ш)|2Ф0(ш) dw = Jo,	(7.2.7)
Jo
где Фо(ш) — односторонняя спектральная плотность процесса G(t).
Управляющее воздействие получено преобразованием возбуждения
в силу уравнения (7.1.3). В случае |Л£(ш)| = 1, получим дисперсию
процесса Mc(i) в виде
„2
°мс
= (1/27Г)
|Лр(ш)|2|а(ш)|2Ф0(ш) div = J|.
(7.2.8)
Взаимная корреляционная функция процессов M(t) и Mc(t) имеет
вид
°ммс
|а(ш)|2Ф0(ш)Лр(ш)е juldoj.
(7.2.9)

Для достаточно больших значений частоты ш функция |а(ш)| мала
и подинтегральное выражение пренебрежимо мало. Следовательно, мы
Гл. 7. Управление хаотическими переходами
137
можем пренебречь высокими частотами и> и для достаточно малого
запаздывания I принять cosljI ps 1, sinuZ « wl. При этом получим
°ммс ~ О/2ТГ) |аМ|2Ф0НЯ(ш) dw + I |а(ш)|'
X	~ J2 — J3l.
(7.2.10)
Для малого запаздывания уравнение (7.2.4) примет вид
W(2l) + J2I < Ji-
(7.2.11)
Из уравнения (7.2.5) получим оптимальный коэффициент усиления
’7oPt = 7(J2- J^/J\
(7.2.12)
и показатель уменьшения потока Q
>1 = [1-(л-/л)7(^оЛ)]1/2.
(7.2.13)
Показатель Q, как функция параметров Jq, Д, Л и Л зависит от
характеристик процесса Мельникова системы, спектральной плотности
возбуждения и характеристик фильтра. Так, для уравнения Дюффинга
с параметрами а = b = 1 спектральная плотность возбуждения име-
ет вид Фо(сД2тг/5 при 0 < < 5 и Фо(ш) = 0 вне этого интервала;
Рис. 7.6. Зависимость показателя уменьшения потока от параметров А и В
фильтра с импульсной переходной функцией, представленной на рис. 7.3
импульсная переходная функция основного фильтра представлена на
рис. 7.3; запаздывание I = 0. Зависимость показателя Q от параметров
фильтра А и В представлена на рис. 7.6.
ГЛАВА 8
СТОХАСТИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС
В этой главе кратко опишем эффект стохастического резонанса
и дадим его интерпретацию в терминах хаотической динамики. Мы
используем метод Мельникова, чтобы оценить роль спектральных со-
ставляющих шума в возбуждении стохастического резонанса и рас-
ширить определение стохастического резонанса. Будет показано, что
стохастический резонанс может возникнуть не только при усилении
стохастического возбуждения, но и при добавлении детерминирован-
ного сигнала.
В §8.1 дадим определение стохастического резонанса и кратко
опишем механизм его возникновения. Б § 8.2 метод исследования
продемонстрирован на примере простой механической системы. Для
этой системы получены условия Мельникова возникновения хаоса,
необходимые для изучения стохастического резонанса. В § 8.3 рассмот-
рим детерминированную систему с двумя положениями равновесия и
бигармоническим возбуждением и покажем, что в этом случае можно
определить отношение “сигнал -шум” в хаотическом движении на вы-
ходе системы, т. е. отношение спектрального пика на выходе системы
к широкополосной составляющей спектра, связанной с хаотическим
движением. Будет показано, что метод Мельникова можно применить
для увеличения отношения “сигнал-шум”. В § 8.4 обсуждается клас-
сический стохастический резонанс, т. е. стохастический резонанс,
в котором отношение “сигнал-шум” увеличивается при возрастании
уровня шума. Мы покажем, как используется теория Мельникова для
оценки влияния формы спектра шума на отношение “сигнал-шум”.
В § 8.5 рассмотрим систему, возбуждаемую сигналом и шумом. В этой
системе можно увеличить отношение “сигнал-шум” на выходе системы
за счет эффективного выбора гармонического сигнала в соответствии
с теорией Мельникова, а не за счет увеличения шума, как при “клас-
сическом” стохастическом резонансе. Принцип действия нелинейного
преобразователя, основанного на этом принципе, представлен в § 8.6.
8.1. Определение и физическая природа
стохастического резонанса. Применение
метода Мельникова
В системах с несколькими степенями свободы, на вход которой
подается сумма периодического сигнала и шума, наблюдается парадок-
сальный эффект усиления отношения “сигнал-шум” на выходе системе
при возрастании уровня шума на входе. Этот эффект известен как
Гл. 8. Стохастический резонанс
139
стохастический резонанс, или, в нашей терминологии, классический
стохастический резонанс [58].
Механизм возникновения стохастического резонанса может быть
представлен следующим образом [51]. Рассмотрим движение частицы
в потенциале с двумя потенциальными ямами при слабой диссипации.
На частицу действуют низкочастотный гармонический сигнал часто-
ты wq и случайный шум. Предполагается, что гармонический сигнал
имеет достаточно малую амплитуду, и сам по себе, без дополнитель-
ного шума, не может возбудить переходы из одной потенциальной ямы
в другую. Однако при совместном действии гармонического и случай-
ного возбуждения возникают переходы, и спектр движения содержит
широкополосную составляющую. Определим характеристическую ча-
стоту, т. е. среднюю частоту выходов из потенциальной ямы, как
а = Ътт/Т, где п — общее число выходов на достаточно большом
интервале времени Т.
Рассмотрим поведение системы при увеличении шума, но при
постоянной частоте и амплитуде гармонического сигнала. Как было
отмечено, при отсутствии шума а = 0. При очень слабом шуме а <
< шо. При росте уровня шума на входе значение Р„(шо) широкополос-
ной составляющей спектра на выходе на частоте шо, так и характе-
ристическая частота а возрастают. Экспериментальные и численные
исследования показали, что при ос « wq возникает кооперативный эф-
фект (или синхронизация, по терминологии [71]), при котором спектр
выходного сигнала Fs(wo) возрастает при возрастании интенсивности
шума. Отметим, что при росте интенсивности входного шума Fs(wq)
растет быстрее, чем Fn(wo)- Это приводит к увеличению отношения
“сигнал-шум”. Ниже будет показано, что эффект синхронизации игра-
ет ключевую роль в этом механизме.
Качественные результаты теории Мельникова позволяют сделать
полезные выводы о поведении системы, в которой проявляется стоха-
стический резонанс. Мы используем следующие факты: (1) для широ-
кого класса систем детерминированное и стохастическое возбуждение
играют одинаковую роль при возбуждении хаотического движения с
переходами через потенциальный барьер (рис. 5.1); (2) как в детер-
минированном, так и в стохастическом случаях движение системы
характеризуется широкополосным спектром, связанным с хаотическим
поведением (для детерминированного случая см. § 3.7). Это означает,
что можно увеличить характеристическую частоту системы и вызвать
эффект синхронизации, увеличивающий отношение “сигнал-шум” как
с помощью дополнительного стохастического возбуждения, так и путем
добавления детерминированного возбуждения. Кроме того, поскольку
теория Мельникова дает информацию о частотах возбуждения, наибо-
лее эффективных для увеличения характеристической частоты, метод
Мельникова позволяет оценить роль спектра возбуждения в усилении
отношения “сигнал-шум". Эта задача представляет интерес для теории
классического стохастического резонанса [36].
140	Часть 2. Приложения
8.2. Динамические системы и необходимые условия
Мельникова возникновения хаоса
Рассмотрим динамическую систему второго порядка
х = — Vz(x) — /Зх + F(t),	(8.2.1)
где V(x) — потенциальная функция, /3 > 0, возбуждение F(t) опреде-
лено ниже. Невозмущенная подсистема имеет гамильтонову форму
х = -V'(x).	(8.2.2)'
Рассмотрим для определенности стандартное уравнение Дюффинга
с потенциалом V(x), определенным уравнением (2.5.14с) при а=Ь =
= 1. Сначала исследуем систему с гармоническим возбуждением вида
F(t) = Aqcos(wq£). Необходимое условие возникновение хаоса записы-
вается в виде неравенства Мельникова
-4Д/3 + AoS'(wo) > 0,	(8.2.3)
где Д(ш) = а/2 7гш5есЬ(тги/2) — спектральная функция Мельникова,
соответствующая гармоническому возбуждению единичной амплитуды
(см. уравнение (2.5.17)) и замечание к уравнению (2.5.21)).
Затем положим
к
F(t) = Ao sin(wot + Фо) + Аа sin(wQi) + ад sin(wfct + фк). (8.2.4)
fc=i
В этом случае необходимое условие Мельникова возникновения
хаоса имеет вид
к
+ Аоб'(що) + AaS(a>a) + ^Q-kS^k) > 0,	(8.2.5)
к—\
где коэффициент 5(сД имеет тот же вид, что и в (8.2.3). (Уравне-
ние (8.2.5) получается из уравнения (2.5.23) с учетом того, что для
уравнения Дюффинга С(ш) =0; см. пример (2.5.1).)
Наконец, рассмотрим возбуждение вида
F(t) = До sin(wot + Фо) + Аа sin(wQf) + yG(t),	(8.2.6)
где G(t) — гауссовский процесс с единичной дисперсией и односторон-
ней спектральной плотностью Фо(ш)- На конечном, ходя и произвольно
большом интервале времени каждая реализация процесса G(t) может
быть с достаточной точностью аппроксимирована конечной суммой
к
GN(t) =^2ьк Sin(wfct + фк),	(8.2.7)
fe=i
т. е. неравенство Мельникова может быть записано в виде (8.2.5) при
ад=7&д • В формуле (8.2.7) коэффициент Ьд = (2Фо(шд)Дш/2тг))1/2,
Гл. 8 Стохастический резонанс 141
фк — случайная фаза, равномерно распределенная в интервале [0, 2тг],
= k/\uj, Aw = ^cut/K, где wcut — частота среза, при превы-
шении которой спектральная плотность Фо(<д) пренебрежимо мала
(см. (4.2.5)).
Для систем с диссипативными и внешними силами интенсивность
хаотического переноса и, соответственно, характеристическая часто-
та а возрастают при увеличении левой части неравенства Мельникова.
Это справедливо’ как для детерминированного, так и для стохастиче-
ского возбуждения. Более того, как было отмечено в § 8.1, независимо
от характера возбуждения, детерминированного или стохастического,
спектр хаотического движения содержит широкополосную составляю-
щую с максимумом на частоте, близкой к характеристической часто-
те а.
8.3.	Отношение “сигнал-шум” в детерминированной
системе с двумя положениями равновесия
Покажем, что эффект стохастического резонанса связан с хао-
тической природой движения. Для этого рассмотрим строго детер-
минированную систему, в которой возбуждение представляет собой
сумму гармонического сигнала частоты и>о и дополнительной гармо-
ники частоты ш0, т. е. в уравнении (8.2.1) имеем F(t) = Aosin(wo£) +
+ Да sin(wat). В общем случае это квазипериодическое возбуждение.
Необходимое условие возникновения хаоса дается условием (8.2.5),
в котором ai = аг = • •  ак = 0. Выберем амплитуду До так, чтобы
при Аа = 0 система не пересекала потенциальный барьер и двига-
лась внутри одной потенциальной ямы. В соответствии с теорией, в
этом случае неравенство Мельникова (8.2.3) не выполняется. Теперь
прибавим возмущение Довш(u)at). В некоторой области Ra простран-
ства параметров |Д0, wQ] в системе возникает хаотическое движение
с переходами через потенциальный барьер. Спектральная функция
Мельникова S'(w) дает информацию, необходимую для выбора часто-
ты и>а, наиболее эффективной для возбуждения такого движения. Из
уравнения (8.2.5) (при О] — аг =   . — ак = 0) следует, что частота wa
должна быть равной или близкой частоте максимума S(w).
Спектр движения имеет пики на частотах, соответствующих основ-
ным частотам возбуждения l!o и uQ и линейной комбинации этих ча-
стот, и включает широкополосную составляющую, возникающую из-за
хаотического характера движения. Если существует широкополосный
спектр, аналогичный спектру классического стохастического резонанса
или спектру нехаотической системы при широкополосном возбужде-
нии, то естественно ожидать, что эффект синхронизации, отмеченный
для классического стохастического резонанса, должен проявиться и в
детерминированной хаотической системе.
Этот эффект был многократно проверен с помощью численного мо-
делирования. Для примера возьмем параметры /3 = 0,316, До =0,095,
142
Часть 2. Приложения
Рис. 8.1. Логарифмический спектр мощности Р{ы) системы с детерминиро-
ванным возбуждением вида Zosin(woi) + Аа sm(u>at) при Ло = 0,095, шо =
= 0,0632, шо=1,1 и (а) Д, = 0,263; (б) Аа = 0,287; (в) Аа = 0,263. Во всех
случаях движение хаотическое. В случае (б) интенсивность выходов примерно
равна частоте сигнала. Возникающий эффект синхронизации способствует кон-
центрации энергии широкополосного спектра хаотического движения вблизи
частоты сигнала [24]
шц =0,0632, для которых условие (8.2.3) не выполняется, и и)а = 1,1.
Спектры движения при этих параметрах и при Аа — 0,263, Аа — 0,287
и Аа = 0,332 представлены на рис. 8.1, а, б и в, соответственно.
Отметим, что при наличии широкополосной составляющей спектра
отношение “сигнал-шум” на выходе системы определяется точно так
же, как и для классического стохастического резонанса. Характеристи-
Гл. 8. Стохастический резонанс
143
Рис. 8.2. Зависимость отношения “сигнал-шум” от амплитуды Аа дополни-
тельного гармонического сигнала при детерминированном возбуждении ви-
да Ло5т(шо£) + Аа sin(cjnt); r= lOlg[P(u>o)/Pn(c^o)], где Р(ш0) и Р„(шо) —
интенсивность спектра выходного сигнала и широкополосной части спектра на
частоте сигнала ио
ческая частота, соответствующая рис. 8.1, а, равна а = 0,0395. Харак-
теристическая частота системы, вычисленная по рис. 8.1,6, равна а =
= 0,0672 и близка к частоте сигнала wq = 0,0632. Интенсивность широ-
кополосной составляющей спектра уменьшается, но величина пика на
частоте сигнала возрастает по сравнению с аналогичными параметрами
на рис. 8.1, а. На рис. 8.1,6 очевиден эффект синхронизации. Кроме
того, было показано, что на рис. 8.1 , а, б, в представлено хаотиче-
ское движение, т. е. соответствующие старшие показатели Ляпунова,
вычисленные так же, как и на рис. 3.3, положительны.
На рис. 8.2 представлена зависимость отношения “сигнал-шум”
от амплитуды Аа. В следующем разделе мы увидим, что ход гра-
фика на рис. 8.2 аналогичен зависимости отношения “сигнал-шум”
от интенсивности входного шума при классическом стохастическом
резонансе (рис. 8.5).
8.4.	Влияние спектра шума на отношение
“сигнал-шум” для классического стохастического
резонанса
Рассмотрим систему, возбужденную шумом и гармоническим сиг-
налом. Сигнал сам по себе не может вызвать переходы через потен-
__циальный барьер. Для оценки влияния спектра шума на отношение
“сигнал-шум" используем спектральную функцию Мельникова, ука-
г— зывающую степень влияния частотных компонент детерминированного
или случайного возбуждения на возбуждение переходов.
С одной стороны, рост уровня возбуждающего шума неблагоприят-
I но влияет на отношение “сигнал-шум”, так как он приводит к увели-
144
Часть 2. Приложения
чению уровня шума на выходе. С другой стороны, шум полезен, так
как рост шума приводит характеристическую частоту а в соответствие
с частотой сигнала wq и тем самым делает возможным эффект синхро-
низации, компенсирующий рост уровня шума на выходе. Естественно
ожидать, что, чем ниже интенсивность шума, вызывающего синхрони-
зацию а ~ cv’o, тем выше отношение “сигнал-шум”. Это делает стоха-
стический резонанс парадоксальным эффектом.
Чем больше левая часть неравенства (8.2.5), тем сильнее хаотиче-
ский перенос через сепаратрису, и, следовательно, тем больше часто-
та а. Напомним, что в (8.2.5) коэффициент = 7(2Фо(ш/с)Дш/2тг))1/2
Следовательно, при заданной интенсивности шума 72 левая часть
неравенства (8.2.5) и характеристическая частота а возрастают при
росте интеграла
1 =
‘Wcut
Фо (w)S12 (w) dw.
о
(8-4-1)
Здесь S'(w) определена так же, как в (8.2.3). Подынтегральное вы-
ражение в (8.4.1) пропорционально вкладу случайного возбуждения
в интенсивность процесса Мельникова на частоте ш. Частота wcut
соответствует максимальной частоте, при превышении которой спек-
тральная плотность пренебрежимо мала или обращается в нуль (см.
уравнение (5.6.6)).
Формула (8.4.1) приводит к интересному качественному результату:
при заданной спектральной функции Мельникова и при фиксированной
интенсивности случайного возбуждения характеристическая частота а
возрастает, если спектр возбуждения сконцентрирован вблизи частоты
максимума спектральной функции Мельникова и>рр. Максимальная эф-
фективность достигается при гармоническом возбуждении с частотой,
равной Wpfc.
Продемонстрируем использование этого результата в задаче о клас-
сическом стохастическом резонансе. Возьмем возбуждение (8.2.6) при
Аа ~ 0, 7 0. Предположим, что шум G(t) имеет спектральную плот-
ность
Фо(щ) = м/(1+т2ш2)	(8.4.2)
с частотой среза wCut; постоянный коэффициент р выбирается так,
чтобы процесс G(f) имел единичную дисперсию. На рис. 8.3 показана
спектральная плотность Фо(ш) для трех значений т при частоте среза
u>cut = 3. На этом же рисунке приведен график спектральной функции
Мельникова S'(w) (2.4.23). Если частота среза достаточно велика,
например, wCut 3, то при ш > шси[ функция б'(ш) мала и не влияет
на результат. Нас интересует влияние параметра т, характеризующего
форму спектра возбуждения, на максимум отношения “сигнал-шум”.
Рассмотрим первый случай т = т\ = 0,2. Спектры Р(ш) на вы-
ходе системы при Ло = 0,3, wq = 0,069, wcut = 3,0, /3 = 0,25 и т2 =
= 0,005, 72 = 0,02 и 72 = 0,11 приведены на рис. 8.4, а, б, в, соответст-
Гл. 8. Стохастический резонанс
145
Рис. 8.3. Спектральная функция Мельникова 5(ш) при -у = 1 (точечная линия)
и нормализованный спектр мощность Фо(<^) процесса G(t) для трех значений
параметра т: л = 0,2, тг = 3, тз = 12 (сплошные линиии)
Рис. 8.4. Усредненные спектры мощности выходного сигнала системы со слу-
чайным возбуждением: a-в возрастающая интенсивность шума 7 и Аа = 0; г —
та же интенсивность шума, что и на рис. (а), и Аа = 0,23. Во всех случаях
т = 0,2. Отметим, что отношение “сигнал/шум” при дополнительном гармо-
ническом возбуждении (рис. (а)) возрастает сильнее, чем при оптимальном
увеличении шума (рис. (б))
-венно. Усреднение проводилось по 225 реализациям, аппроксимиро-
ванным по формуле (8.2.7) при 100 < К < 500. Отметим, что Ло <
< 4/?/[35(шо)1э-=1], т. е. хаотическое поведение не может быть вызвано
действием только гармонического сигнала. Однако было проверено,
что для реализаций шума, возбуждающих спектры, представленные
на рис. 8.4, a-в, неравенство Мельникова выполняется, и возникающее
146
Часть 2. Приложения
Рис. 8.5. Зависимость отношения “сигнал-шум" от интенсивности шума 72 для
трех значений параметра т: т\ = 0,2,	= 3, тз = 12
движение — хаотическое. Было показано, что перенос энергии на ча-
стоте сигнала максимален при характеристической частоте о, близкой
к частоте входного сигнала. Это соответствует случаю, представленно-
му на рис. 8.4, б.
На рис. 8.5 представлены зависимости отношения “сигнал-шум”
от интенсивности шума при т = 0,2, т = 3, т = 12; Ao, wq, wcut и
/? = 0,25 выбраны такими же, как и при т = 0,2. Для т = 0,2, т =
= 3 и т = 12 имеем I = 0,626, I = 0,411 и I = 0,157, соответственно.
Как и ожидалось, максимум отношения “сигнал-шум” уменьшается
и соответствует более высоким значениям 7 при возрастании т, т. е.
при тех спектрах, которым соответствуют меньшие значения I.
8.5.	Системы, возбуждаемые гармоническим сигналом
и шумом: увеличение отношения “сигнал-шум”
при усилении гармонического возбуждения
Результаты § 8.4 указывают способ увеличения отношения “сигнал-
шум”. Предположим, что в уравнении (8.2.6) Аа = 0, и для некоторого
множества значений Aq, wq, /3 и 7 отношение “сигнал-шум” на выходе
системы мало. Как и в § 8.4, мы могли бы увеличить отношение
“сигнал-шум”, увеличивая 7. Однако более эффективный способ состо-
ит в добавлении возбуждения Аа sin(wof) при сохранении постоянной
интенсивности шума 7. При этом (1) частота должна быть близка
или равна частоте максимума функции S(w), и (2) амплитуда Аа вы-
бирается таким образом, чтобы сделать характеристическую частоту а
близкой к частоте сигнала. Действие такого возбуждения показано на
рис. 8.4, г. В этом случае все параметры системы и спектр Фо(^') те же,
что и для спектра, представленного на рис. 8.4, а, за исключением того,
что на систему дополнительно действует гармоническое возбуждение
с амплитудой Аа = 0,23 и частотой ша = 1,1. Сравнивая спектры на
Гл. 8. Стохастический резонанс
147
рис. 8.4, г и рис. 8.4, б, видим, что такой способ усиления отношения
“сигнал-шум” наиболее эффективен. Отметим, что дополнительное
гармоническое возбуждение порождает суб- и супергармоники, однако
они отделены от основного сигнала и, следовательно, могут быть
отфильтрованы.
8.6.	Нелинейный усилитель для увеличения
отношения “сигнал-шум"
Опишем принцип действия нелинейного усилителя, основанный на
методе, изложенном в § 8.6. Пусть имеем сигнал с недостаточным от-
ношением “сиг-нал-шум”. Используем этот сигнал и сопровождающий
шум, от которого отсечены спектральные компоненты на частотах,
превышающих частоту сигнала более чем в три раза, как вход нелиней-
ного усилителя. Отношение “сигнал-шум” на выходе усилителя будет,
как правило, малым. Однако при некоторых условиях это отношение
можно увеличить, подавая на вход усилителя дополнительный гармо-
нический сигнал с частотой, равной или близкой к частоте максимума
спектральной функции Мельникова. Дополнительный сигнал должен
возбудить хаотическое движение с характеристической частотой а,
близкой к частоте основного сигнала, и, как следствие, перенос энергии
от широкополосной части спектра к спектру, сосредоточенному на
частоте сигнала.
Рисунок 8.6 иллюстрирует принцип действия усилителя. Выходной
спектр на рис. 8.6, а соответствует сумме входного сигнала Aq sin(wof),
Рис. 8.6. Усредненные спектры мощности (а) входного сигнала, состоящего
из случайного возбуждения, гармонического сигнала частоты = 0,069 и до-
полнительного гармонического возбуждения частоты и>а — 1,1 и (б) выходного
сигнала преобразователя
где Ар = 0,05, шо = 0,069, и цветного шума 7G(f) при т — 0,2 (урав-
нение (8.4.2) и рис. 8.3)). Используя низкочастотный фильтр, отсечем
спектральные компоненты шума с-частотами, превышающими частоту
сигнала более чем в три раза. Сигнал и отфильтрованный шум (на-
пример, вида 7G(f)M(3wo). где Н — функция Хевисайда), поступает
на вход стандартного осциллятора Дюффинга (уравнение (2.5.15) при
148
Часть 2. Приложения
а = 6=1) с параметром /3 = 0,25. Однако, подавая дополнительный
гармонический сигнал Аа sin(wot) (в нашем примере Аа = 0,23, ша =
= 1,1), получим спектр с усиленной компонентой на частоте основного
сигнала (рис. 8.6,6).
8.7.	Заключительные замечания
Метод Мельникова развивает единый подход к задаче о стохасти-
ческом резонансе. При этом классический стохастический резонанс,
т. е. усиление отношения “сигнал-шум” за счет роста интенсивности
шума, рассматривается как частный случай движения, порожденного
хаотической динамикой. Другой эффект, связанный с хаотической ди-
намикой — это усиление отношения “сигнал-шум” за счет добавления
гармонического сигнала при неизменной интенсивности шума.
Два обстоятельства делают метод Мельникова средством исследо-
вания стохастического резонанса. Во-первых, независимо от характера
возмущения, детерминированного, стохастического или смешанного,
движение на выходе системы оказывается хаотическим и имеет ши-
рокополосный спектр. Благодаря этому возможен эффект синхрони-
зации, играющий ключевую роль в увеличении отношения “сигнал-
шум”. Во-вторых, эффективность возбуждения хаоса с помощью гар-
монического возбуждения заданной частоты или за счет добавления
случайного шума с фиксированным спектром зависит от спектральной
функции Мельникова. Метод Мельникова предлагает альтернативный
способ увеличения отношения “сигнал-шум”, при котором интенсив-
ность шума постоянна, но на вход системы подается дополнительный
гармонический сигнал. При таком подходе можно добиться лучшего
отношения “сигнал-шум”, чем при увеличении интенсивности входного
шума. Этот механизм лежит в основе принципа действия предложен-
ного устройства, принимающего на вход сигнал с низким отношением
“сигнал-шум” и преобразующего его в выходной сигнал с лучшим
отношением “сигнал-шум”.
Теория Мельникова предлагает метод оценки влияния спектра вход-
ного шума на отношение “сигнал-шум” при классическом стохасти-
ческом резонансе. Из теории следует, что рост отношения “сигнал-
шум” тем сильнее, чем ближе пик спектра входного шума к пику
.спектральной функции Мельникова.
ГЛАВА 9
ЧАСТОТА СРЕЗА ГЕНЕРИРУЕМОГО ШУМА
В СИСТЕМЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
9.1. Введение
Для экспериментального определения интенсивности выходов из
допустимой области необходимо генерировать шум с достаточно вы-
сокой частотой среза. В этом случае эффект подавления высокочастот-
ных компонент не будет сказываться на экспериментальных резуль-
татах. Покажем, что метод Мельникова может быть использован для
определения необходимой частоты среза в системе первого порядка
i(t) = -V'(x) + £(£),	(9.1.1)
где У(ж) — потенциал с несколькими минимумами, и возбуждение £(£)
удовлетворяет уравнению
£(£) = -c^(t) + aVDw(t), t>0, С(0) = 0,	(9.1.2)
где а > О, D > 0, процесс w(t) — белый шум с ковариационной функ-
цией <5(t). Можно доказать [43], что решение £(£) имеет экспоненци-
ально убывающую ковариационную функцию
C(s) = (oL>/2) ехр(—o|s|)	(9.1.3)
и одностороннюю спектральную плотность вида
ФоМ = 2Д>/(1+ш2/а2).	(9.1.4)
Таким образом, £(f) — процесс Орнштейна-Уленбека (п. 4.2.3.2).
В §9.2 мы покажем, что система уравнений (9.1.1) и (9.1.2) может
быть преобразована в систему второго порядка, для которой определен
процесс Мельникова. Форма спектральной функции Мельникова поз-
волит определить необходимую частоту среза генерируемого шума.
9.2. Преобразование уравнений с возмущением
типа белого шума
В принципе, в системе первого порядка (9.1.1) не появляются
хаотические движения, характерные для систем второго и более вы-
соких порядков, и для нее не определен процесс Мельникова. Однако
в частном случае, когда возбуждение задано процессом Орнштейна-
Уленбека, уравнение (9.1.1) может быть преобразовано в динамическую
систему второго порядка, описывающую процесс Мельникова [22].
150
Часть 2. Приложения
Обозначив y(t) = У'(а;) + £(£), перепишем уравнения (9.1.1)
и (9.1.2) в виде
±(t)=y(f),	(9.2.1а)
y(t) = — [V"(ir) + ск]г/(£) — ctV'fx) + aDl^w(t). (9.2.1b)
Уравнения (9.2.1) образуют систему второго порядка с потенци-
алом aV(x), нелинейным демпфированием У"(ж) + а и возбужде-
нием a£>''2w(t). Если V(z) — многоуровневый потенциал, то для
системы (9.2.1) определен процесс Мельникова.
Рассмотрим стандартный потенциал Дюффинга П(з;) = —ж2/2 +
+ ж4/4. Пусть б'дДш) — спектральная функция Мельникова, соответ-
ствующая уравнению (9.2.1). Из формулы (2.5.17) при а = b — а, 7 = 1
следует
Sjm(w) = (2/o')l/,27rwsech(/iw/(2a!1/2)).	(9.2.2)
На рис. 9.1. представлена функция для трех значений времени
корреляции о?. Дифференцируя функцию (9.2.2) по ш и приравнивая
значениях параметра цветного шума (9.2.2): сц = 3,4, аг = 19, аз = 190
производную нулю, получим, что функция ,5'м(ш’) достигает максимума
на частоте штах = са1^2, с « 0,76. Вклад части спектра белого шума
на частотах w > штах пренебрежимо мал, если на этих частотах функ-
ция S'm(w) пренебрежимо мала. Следовательно, частота среза должна
удовлетворять неравенству
wcut > Д(а)а‘/2	(9.2.3)__
с достаточно большим коэффициентом К (а)
Это условие было подтверждено результатами численного модели- “
рования [22]. Аппроксимация белого шума строилась так, как это
показано в п. 4.2.3.2. Параметры моделирования а= 1,6 х 103, N =
= 300 и D = 0,495. Отношение средней интенсивности пересечений
Гл. 9. Частота среза генерируемого шума в системе первого порядка 151
Рис. 9.2. Отношение средней интенсивности выходов г, полученной численным
моделированием, к теоретическому значению rt, при различных значениях
параметра К. Частота среза wcut = Ка'^2, а = 1,6 х 103 [22]
потенциального барьера, полученной экспериментально по 100 реа-
лизациям (г), и теоретически (rt) [46] представлено на рис. 9.2 как
функция от К. Очевидно, что частота среза, для которой К > 2,5, мо-
жет считаться удовлетворительной. Для этих значений частоты среза
экспериментально определенная интенсивность пересечений потенци-
ального барьера г достаточно близка к теоретическому значению п-
ГЛАВА 10
ПОТЕРЯ УПРУГОЙ УСТОЙЧИВОСТИ стойки,
НАГРУЖЕННОЙ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛОЙ
В этом разделе обсуждается приложение метода Мельникова к за-
даче строительной механики. Ищется критерий возникновения сто-
хастических переходов в пространственно протяженной системе, т. е.
в системе, описываемой уравнениями в частных производных, завися-
щими от пространственных координат и времени. Как пример, рассмот-
рим вертикальную стойку с непрерывно распределенной массой и рас-
пределенной нагрузкой, меняющейся во времени случайным образом.
Нагрузка может возникать как результат сейсмического возбуждения,
воздействия турбулентного потока воздуха или гидродинамических
эффектов.
При отсутствии продольного или поперечного возбуждения ось
стойки прямолинейна. Под действием постоянной осевой нагрузки
возникает выпучивание, т. е. односторонний изгиб первоначально неде-
формированной оси. Переменная поперечная нагрузка увеличивает де-
формацию. Если поперечная нагрузка мала, возникает только одно-
стороннее выпучивание. При достаточно большой поперечной нагрузке
изгиб может мгновенно менять направление, т. е. возникают переходы,
аналогичные представленным на рис. 1.2, в. Движения, возникающие
при одностороннем выпучивании, могут рассматриваться как движе-
ния внутри потенциальной ямы, переходы соответствуют пересечениям
потенциального барьера в системе с двумя положениями равновесия.
Холмс и Марсден [39] получили условия Мельникова потери устой-
чивости аналогичной системы с детерминированной гармонической
нагрузкой. Эти условия лежат в основе обобщения метода Мельникова
на системы со случайной нагрузкой.
Сначала мы запишем уравнение движения стойки и кратко изложим
метод Мельникова для системы с гармоническим воздействием [39].
Затем покажем, что метод Мельникова может быть распространен на
системы с негармоническим и случайным возмущением. Исследуется
движение стойки под действием (а) цветного гауссовского шума и
(б) дихотомического шума. В случае (а) переходы возникают на до-
статочно большом интервале времени. При редких переходах верхняя
граница вероятности таких событий может быть получена в аналити-
ческой форме. В случае (б) результат должен быть получен численным
моделированием. Напомним, что необходимое условие Мельникова да-
ет простой критерий отсутствия хаотических переходов. В конце главы
приедем численный пример.
Гл. 10. Потеря упругой устойчивости стойки
153
10.1.	Уравнения движения
Предположим, что (а) механические свойства стойки однородны
по длине; (б) стойка изготовлена из линейно упругого материала; (в)
ось стойки в состоянии равновесия прямолинейна; стойка нагружена
поперечной силой, превышающей критическую нагрузку Р^, т. е. имеет
место статический изгиб; (г) деформации стойки малы, т. е. проекция
деформации элемента стойки на направление недеформированной оси
мала, и в ее разложении в ряд Тейлора можно пренебречь слагаемыми
выше второго порядка; (д) стойка имеет шарнирные опоры на обоих
концах.
Безразмерное уравнение кривой прогибов имеет вид [39], [73]
Ztt + zyyyy +
*) dc (zyy =	*) - fa}-
(10.1.1a)
R(y, i) = 7(y) cos(w0t) + p(y)G(t),
(10.1.1b)
где z(y, f) = И(У, т)/Д — безразмерный прогиб, Z — прогиб в мо-
мент t,Y — координата, отсчитываемая вдоль оси стойки, y = Y/l,
I — длина оси стойки, Д = Zq(Z/2) — статическая деформация стойки
в точке Y = 1/1,
Г = Рп12/Е1,	(10.1.1с)
Е — модуль Юнга, I — момент инерции поперечного сечения стойки,
Ро = Pcr + [ЕА/21]
(dZy/dY^dY,
о
(10.1.Id)
Рсг = ir2EI/l2.
(10.1.1е)
Здесь Рсг —- критическая нагрузка Эйлера, А - площадь поперечного
сечения стойки, £ = Д2А/27, £/3 = cl2/[mEI]^2, с — коэффициент
вязкого демпфирования, т — масса на единицу длины, т — время,
t = wjr — безразмерное время, и>2 = EI/ml\ £'у(у') = f(Y)l4/Е1£\,
и /(У) — интенсивность периодической нагрузки на единицу длины,
G(t) — безразмерная непериодическая функция, ер(у) = s(Y}l4 / Е1£\,
s(Y} — интенсивность непериодической нагрузки на единицу длины.
Учитывая, что при малых деформациях изгибающий момент пропорци-
онален второй производной Zyy, запишем краевые условия шарнирного
опирания в виде z(O,t) = z(l, t) = zTO(0, t) = Zpp(l,t) = 0. Начальный
статический прогиб Z(Y, 0) имеет вид
2о(У) = Дзш(7гУ//).	(10.1. If)
Напомним, что расстояние между двумя опорами определяется с
учетом начального статического сжатия. Второе слагаемое в правой
части уравнения (10.Id) и нелинейное слагаемое в уравнении (10.1а)
154
Часть 2. Приложения
Гл. 10. Потеря упругой устойчивости стойки
155
учитывают сжатие стойки при нагрузке выше критической и приводя-
щей к статическому прогибу (10.If).
Запишем линеаризованные уравнения статической деформации
невозмущенной системы при Д = 0. Из уравнений (K).l.lc)-(lO.l.lf)
получим Г = 7Г2 при Д = 0. Тогда из уравнения (1.10.1а) следует
zyyyy + zyy ~ 0-	(10.1.2)
Нетривиальное решение уравнения (10.1.2), удовлетворяющее гра-
ничным условиям, образует семейство собственных функций вида
sin(fcTry) (fc = 1,2,...).
Функции 7(у) и р(у) могут быть представлены рядами Фурье
ОО
7(у) = то	sin(n7ry) 4- cos(wry)}, (10.1.3а)
П=1
оо
Ху) = Po + ^2{o:p„sin(n7ry)-|-/?p„COs(n7ry)}.	(10.1.3b)
п—1
10.2.	Гармоническое возбуждение
В этом разделе мы приведем результаты исследования динамики
системы (10.1b) при р = 0, 7^0 [39].
Разложение функции z(y, t) в ряд по собственным функциям лине-
аризованной системы имеет вид
ОО
Ху-Х = 52^(4) sin(jTry).
j=i
(10.2.1)
Подставляя ряд (10.2.1) в уравнение (10.1.1а) и применяя метод Галер-
кина, получим
а7+е0а; + (>тг)2Мтг)2-
Г-(6тг2/2) k2a2k
А:—1,2,...
CLj —
— 2e^>j cos(woi), (10.2.2)
где = Jo7(y) sm(jiry) dy.
Невозмущенная система имеет устойчивое тривиальное положение
равновесия (щ = 0, di = 0, аг = 0, аг = 0, ...). Соответствующее урав-
нение в вариациях имеет вид
5ё7- + 0-7г)2[0-7г)2-Г]<5а7=О.	(10.2.3а)
Собственные числа системы (10.2.3а) удовлетворяют уравнениям
+ О’тг)4 - ГО'тг)2 = 0, >=1,2,...,	(10.2.3b)
A.^iMr-OV)2)1/2.	(10.2.3с)
Из уравнений (10.1 1с-е) получим
Г = тг2 + 7г2$/2 > тг2.	(10.2.3d)
Дополнительно предположим, что прогибы и, соответственно, пара-
метр £ малы, и выполняется условие
7Г2 < Г < 4тг2
(10.2.4)
Условие (10.2.4) определяет результаты анализа Из уравне-
ния (10.2 Зс) и неравенств (10.2.4) следует, что собственные
числа А |,2 действительны и имеют противоположные знаки при
)=1 и чисто мнимые при j ^2. Показано [39], что в этом случае
задача Мельникова сводится к плоской задаче, в которой
(а)	функция Мельникова для уравнения (10.1а) вычисляется по
формуле
M(t) =
[й(у. С)Ад(у, t - С) - 0z2h(y, t - С)] dy dC
(10.2.5)
где функция Д(у,4) определена соотношением (10.1.1b) при р = 0;
(б)	гомоклинические траектории невозмущенной системы определя-
ются выражениями
Zh(y, t) = sin(iTy) sech(t7i2X^2/v/2),	(10.2.6a)
X(y> i) = ±7T2^2 sin(Try) sech(Z7r2£1/2/'/2) tanh(t7T2X'/2/v/2); (10.2.6b)
(в)	функция Мельникова определена равенством
M(to) = kil3+ (a7l + 470/тг)/с2(мД),	(10.2.7a)
k{ = —>/2 тг2^1/2/3,
XX'o) = —(l/V/2)wosech[u)o/('\/27r^1/2)].	(10.2.7b,c)
При достаточно малых значениях е устойчивые и неустойчивые
] многообразия пересекаются, если функция Af(4g) имеет простые корни.
? При этом в системе может возникнуть хаотический аттрактор.
10.3.	Случайное возбуждение. Условия отсутствия
резонанса. Процессы Мельникова для гауссовского
и дихотомического шумов
В нерезонансном случае ш2 X А2 уравнение (10.2.2) имеет един-
] ственное периодическое решение порядка О(е). В резонансном случае
периодическое решение имеет порядок 0(1), что нарушает основное
1 предположение теории Мельникова. При квазипериодическом возбуж-
1 дении нерезонансное условие должно выполняться для каждой состав-
] ляющей квазипериодического процесса.
156	Часть 2. Приложения
Если возбуждение — случайный процесс с непрерывным спектром
то спектр включает частоты, равные собственным частотам линейной
части системы (10.2.2). Было показано [52], что в случае белого шума
стационарное решение уравнения (10.2.2) имеет порядок е’/2. При
достаточно малых значениях параметра е решение мало, и для приме-
нения теории Мельникова нерезонансное условие не требуется. Вместе
с тем, если в уравнение (10.1.1b) входит гармоническое возбуждение
амплитуды 7^0 и частоты wq, то для этого возбуждения должны
выполняться нерезонансные условия. Аналогичное утверждение спра-
ведливо для квазипериодического возбуждения.
Процесс Мельникова M(i) для систем со случайным возбужде-
нием имеет вид (10.2.5), где функция R(y, t) определена выражени-
ем (10.1.1b). Если 7(7/) s0 и G(i) — гауссовский процесс с нулевым
средним, единичной дисперсией и спектральной плотностью Ф0(щ)1
то М(£) — гауссовский процесс со спектральной плотностью Фм(^),
математическим ожиданием F[M] и дисперсией В[М|, определенными
формулами
ФмМ = (ар, + 4роЛ)2А:|(ш)Фо(^), Е[М] = к\/3, (Ю.З.Па.Ь)
'СО
0
D[M] = (1/2тг)
(Ю.З.Ес)
4'm(cj) dw.
Выражения (10.3.1) могут использоваться для оценок нижней гра-
ницы тм для среднего времени т, между изменением направления
прогиба (формулы (5.5.2) и (5.5.3)) и нижней границы вероятности
отсутствия переходов на фиксированном интервале времени Т (форму-
ла (5.5.4)).
Рассмотрим дихотомический шум (5.4.6) (рис. 4.5). Амплитуда шу-
ма р(у) определена рядом (10.1.3b). В этом случае процесс Мельникова
имеет вид
M(t0) = ki(3 + V2(qp, + 4y90/7r)F(f7r2e1/2),	(10.3.2)
где функция F(t) определена соотношением (5.4.6). Формула (10.3.2)
вытекает из уравнений (4.2.16) и (10.2.6b) и условия (10.2.5), в котором
функция R(y,£) соответствует дихотомическому шуму. При этом пло-
щадь под кривой А«) равна limt_>oo[zfc(y = 1/2, t) - zk(y = 1/2, 0)] =
= 72. Максимальное значение функции ^(^тг2^1/2) достигается, если
а. = 0 и ап — 1 для всех п, соответствующих t > 0, ап = — 1 для всех п,
соответствующих t < 0. Отсюда получим
-2/72 < F[t7r2e,/2] < 2 л/2.	(10.3.3)
Если р(у) = ро, то из соотношений (10.3.2) и (10.3.3) и необходимо-
го условия возникновения хаоса следует, что мгновенное изменение —
направления прогиба (прощелкивание) не может появиться, если
Ро < Ро.сщ = тг2е1/2/5/(24 72).	(10.3.4)
Гл. 10. Потеря упругой устойчивости стойки	157
Соотношение (10.3.4) соответствует интуитивному представлению
о том, что, чем больше параметр £, т. е. чем больше начальный прогиб,
тем больше интенсивность шума ро, необходимая для потери устойчи-
вости.
10.4.	Численный пример
Рассмотрим‘уравнение (10.1.1) при 7(у) = 0, р(у) = ро, Z = 0,45 м
и при дихотомическом шуме (4.2.16). Предположим, что попереч-
ное сечение стойки — прямоугольник со сторонами h = 0,0005 м,
Ь = 0,0125 м. Пусть Е = 200,000 МРа, А = 0,0005 м, £ = 0,1, (3 =
— 0,1866 Прочие параметры А = 6,25 х 10-6 м2, I = 1,30208 м4, т =
— 0,04875 кг/м, £ = 6,0. Из условия (10.3.4) имеем po.crit = 0,41755.
Уравнения движения решались численно для различных реализа-
ций дихотомического шума и для различных значений амплитуды р$.
При указанных параметрах и при fj = 1 (см. (4.2.16)) минимальная
амплитуда возбуждения, при которой наблюдалось прощелкивание,
определена как po.min = 11,4 > 0,441755. Отметим, что po.mm зависит
от fj. Например, при t, =0,2 и прежних значениях остальных пара-
метров имеем po.min = 14. Как и ожидалось, шум с более частыми
Рис. 10.1. Пример установившегося движения по первой и третьей формам
колебаний при дихотомическом возбуждении
158
Часть 2. Приложения
Рис. 10.2. Изменение формы колонны при прощелкивании [25]
переключениями (t\ = 0,2) оказывает меньшее влияние на возникнове-
ние прощелкивания, чем шум с редкими переключениями. Аналогич-
ные результаты представлены на рис. 5.7.
Первая и третья формы колебаний (моды Галеркина) с амплитуда-
ми ai(t) и аз(£), соответственно, определенные при ti = 1, представ-
лены на рис. 10.1. На рис. 10.2 показано изменение формы стойки
2(уХ) == 21(уХ)+2з(уХ) и составляющих Zi(y,t'n) и z3(y,t'n) для
шести последовательных моментов времени t'n = nt ।/300. Четные гар-
моники равны нулю, а компоненты с номерами больше 5 пренебрежимо
малы.
ГЛАВА И
ДИНАМИКА ПРИБРЕЖНЫХ ТЕЧЕНИЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВЕТРА ПРИ ВОЛНИСТОМ
РЕЛЬЕФЕ ОКЕАНСКОГО ДНА
В этом разделе обсуждается приложение метода Мельникова к за-
даче океанографии. Рассмотрим простую макромодель (с масштабом
20-500 км) вызванных ветром прибрежных течений вдоль континен-
тального шельфа. Рельеф океанского дна имеет сложную топографию:
при удалении от береговой линии по нормали дно линейно опуска
ется; в направлении, параллельном береговой линии, дно имеет вол-
нистый рельеф синусоидального типа, с амплитудами, исчезающими
вблизи берега (рис. 11.1). Это модель
была предложена и исследована [1] для
случая гармонического флуктуаций, выз-
ванных действием ветра на поверхность
воды в прибрежной области, и распростра-
нена на случай стохастических флуктуа-
ций [72].
Геофизическая модель рассматривает
неустановившиеся волновые процессы и
вихревые возмущения в жидкости, взаи-
модействующие с усредненным стацио-
нарным течением. Предполагается, что
Рис. 11.1. Модель гео-
метрии дна. Одна волна
прибрежного периодическо-
го рельефа [1]
вихри возникают как вид кратковремен-
ной неустойчивости стационарного те-
чения. Развитая позднее альтернативная
модель для некоторых типов течений рас-
сматривает течение жидкости как движе-
ние с хаотическими переходами [11].
Модель Аллена и др. [1] основана на этом подходе. Она подтвер-
ждается измерениями скорости прибрежных течений. Согласно этим
измерениям, поле скоростей имеет непрерывный энергетический спектр
в области низких частот. Непрерывный спектр может возникнуть,
в частности, при случайном возбуждении. Однако дальнейшие иссле-
дования хаотической динамики в некоторых простых моделях течения
жидкости [48] позволили предположить, что, по крайней мере, часть
широкополосного спектра связана с хаотическим движением. Эта ги-
потеза исследовалась [1] на примере упрощенной модели прибрежного
течения, возбужденного гармоническим ветровым воздействием вдоль
волнового рельефа дна. Естественно предположить, что такая модель
описывает основные характеристики течения, включая его хаотическое
160
Часть 2. Приложения
и нехаотическое поведение. К этой модели можно применить метод
Мельникова.
Мы обсудим предложенную модель [1] и ее естественное обоб-
щение на случай стохастической ветровой нагрузки, соответствующей
турбулентному характеру ветровых флуктуаций [72]. Применив метод
Мельникова, покажем, что как детерминированное, так и случайное
воздействие индуцируют хаотическое поведение. Результаты подтвер-
ждают, что при гармонических и случайных флуктуациях ветровой
нагрузки хаотическое поведение сильнее проявляется при случайном
возбуждении. Наконец, для системы со случайным возбуждением мы
найдем нижнюю границу вероятности отсутствия хаотических перехо-
дов на фиксированном интервале времени.
11.1 Модель прибрежных течений
Модель течения зависит от предположений о геометрии дна, метео-
рологических условиях и свойствах жидкости.
1.	Геометрия дна. Предполагается, что
—	неровности океанского дна соответствуют формуле
Л(£, 77) =	+ 5' cos(£/£),	(11.1.1)
где h' — высота подъема дна, 6' — амплитуда складки рельефа дна,
L — характерная длина, £ , т/, С — размерные координаты (рис. 11.1);
—	амплитуда складки <5' — медленно меняющаяся функция пере-
менной ту;
—	параметр L существенно больше вариаций амплитуды 6'.
2.	Метеорологические условия. Предполагается, что
— ветровой поток равномерен и его средняя скорость и флуктуации
скорости параллельны береговой линии. Дополнительные предположе-
ния вводятся в §11.2.
3.	Динамика жидкости. Предполагается, что
—	океанское течение зависит от поверхностных напряжений, вы-
званных трением между атмосферой и поверхностью океана. Средняя
и переменная компоненты напряжения обозначены как и ет'(£),
соответственно;
—	скольжение отсутствует, т. е. скорость течения на дне равна
нулю;
—	напряжения сдвига определяются постоянной вихревой вязко-
стью (пограничный слой с постоянной вихревой вязкостью известен
как слой Экмана [81]);
—	существуют кориолисовы силы, вызванные вращением Земли (су-
ществование кориолисовых сил объясняет, в частности, возникновение
циклонических вихрей);
Гл. 11. Динамика прибрежных течений под действием ветра 161
— влияние неровностей дна на течение определяется функцией ф.
представленной первой гармоникой ряда Фурье
</> = х/2 (0, cos(£/L) + ф2 sin(e/Z)),	(11.1.2)
где ф\ находится в фазе и ф2 — в противофазе с топографией (11.1.1).
Показано [1], что усредненные безразмерные уравнения вызванного
ветром океанского потока приводятся к виду
* = у- У’z) +	(х>
У = -^.H(x,y,z}+Eg^y),	(и.1.3)
Z = Cg3(z,Z,t),
где точка означает производную по безразмерной переменной t =
= t'U^lL, t' — время, х — безразмерная скорость течения, Uq =
— (dh'/dT])fL2D~l — характерный масштаб скорости; f — параметр
Кориолиса; D — размерный масштаб глубины (рис. 11.1), и
у — 6ф2,	(11.1.4а)
z — | х2 — х 4- 6ф\,	(11.1.4b)
g! = -rx + rG +т(£),	(11.1.5а)
g2 = -r^	(11.1.5b)
g3 = -rz-^rx2 + (x-	l)[To +	r(t)],	(11.1.5c)
H(x,y,z) = ^y2 + zx+—	z)x2 —	|x3	+ |a;4,	(11.1.5d)
Z	Z	Z о
Wo = l+<52,	(11.1.5e)
<5 = <57[л/27?оП],	(11.1.51)
ег = 6e/2RoD — коэффициент трения, связанный с постоянной вихре-
вой вязкостью океанского потока, 6£ — глубина слоя Экмана на дне
океана, Rq — U^/fL — число Россби; etq и £r(t) — безразмерные уста-
новившиеся ветровые нагрузки, т. е. отношения давлений etq и Er(t)'
к характерному масштабу г* = pU^D/L. Отметим, что возбуждение
зависит от времени в соответствии с уравнением (11.1.5с).
11.2. Флуктуации скорости ветра и ветровое давление
В этом разделе представим модель флуктуаций горизонтальной
скорости ветра. Широко распространена эмпирическая модель спектра
скорости ван дер Ховена [93], основанная на результатах измерений.
В спектре этой модели выделяются три основных интервала частот:
первый интервал имеет пик на частоте, примерно соответствующей
162
Часть 2. Приложения
периоду в 4 дня, второй интервал, известный как спектральный пробел,
соответствующий периодам от 5 часов до 3 минут, имеет пренебрежимо
малую энергию, третий интервал имеет пик на частоте, примерно
соответствующей периоду в 1 минуту. Последний интервал важен
только для задач микрометеорологии и динамики конструкций. Он
включает спектральные компоненты флуктуаций с пренебрежимо ма-
лой пространственной когерентностью влияние которых практически
исчезает на расстоянии, превышающем, например, 100 м [81]. Посколь-
ку в рассматриваемой задаче масштаб длины намного больше 100 м, то
влияние этих компонент пренебрежимо мало.
Спектр воздействия может быть представлен в виде
0,28231гх(ш) + 1,300,
0,40721п(ш)+ 1,599,
—2,71[ln(w)]2 + 5,
0,01 < w < 0,10,
0,10	<0,30,
0,30 < ш < 3,85,
(11.2.1)
где щ = Q/fipk, Q — частота, Qpr » 2тг/(4 дня) — частота, соот-
ветствующая спектральному пику при w= 1 (рис. 11.2). Размерность
Рис. 11.2. Спектральная плотность флуктуаций скорости ветра
спектра Фи(ш) определена как м2/с2. Для спектра, заданного соотно-
шениями (11.2.1), стандартное уклонение ои к 1,33 м/с.
Предположим, что эффекты температурной стратификации и укло-
нения от основного направления скорости малы. Далее, на основании
климатологических измерений [60] будем считать, что типичная сред-
няя скорость ветра, определенная на большом интервале времени и
соответствующая спектру ван дер Ховена U ~ 6 м/с. Следовательно,
коэффициент вариаций угловой скорости о-„/Д = 1,33/6 « 0,2.
Безразмерные нагрузки etq + ^r(t) пропорциональны квадрату пол-
ной скорости ветра [U + u(i)]2; поскольку коэффициент (сг„/С7)2 мал,
то среднее значение и2(£) мало по сравнению с флуктуационным
слагаемым 2Uu (см. [81, 91]). Отсюда следует, что спектральная
плотность флуктуаций приблизительно пропорциональна Фи(ш). Запи-
Гл. 11. Динамика прибрежных течений под действием ветра 163
шем £r(t) »	где G(t) — процесс со спектральной плотностью
Фо(ш) = Фи(щ)/<72 и единичным стандартным уклонением, еу — стан-
дартное уклонение величины дт(£). Если предположить, что флуктуа-
ции скорости ветра имеют гауссовское распределение, то поверхност-
ные напряжения можно рассматривать как гауссовские.
11.3..Д	инамика невозмущенной системы
Положение равновесия невозмущенной системы определяется урав-
нениями
у = 0,	(11.3.1)
х3 — Зге2 + 2(щ| — z)x -Г 2z = 0,	(11.3.2)
полученными из условия равенства нулю правых частей уравне-
ний (11.1.3) при е = 0. Легко убедиться, что при z > zc = (3<54/3 +
+ 2<52 — 1)/2 фазовая траектория представляет собой асимметричную
пару гомоклинических орбит, имеющих седловую точку и два центра
Рис. 11.3. Гомоклинические траектории и типичные периодические орбиты
в невозмущенной системе [1]
(рис. 11.3). При z < zc фазовая траектория имеет единственный центр
и ни одной седловой точки. Седловая точка соответствует промежуточ-
ным корням уравнения (11.3.2). Обозначим ее координаты как xs, ys =
= 0 и za. Седловая точка и гомоклиническая траектория непрерывно
зависят от z и образуют, соответственно, одномерное и двумерное
многообразия в трехмерном пространстве (xs,y, z), аналогичные пред-
ставленным на рис. 2.13.
- -Пусть х = xs + xh, У = ys + Ун = Уь, где xh, ун — изменение коор-
|_щ динат по отношению к седловой точке, соответствующей координате zs.
Из невозмущенных уравнений движения получим [1]
I +	-<.)!'	(1L33)
164
Часть 2. Приложения
	к? = zs — сид + 3xs — (3/2)xj > 0,	(Н.3.4)
	bx±	(11-3.5)
	8fc^ — bx„i± ’	
	b = 4(irs — 1) >0,	(11.3.6)
	xm± = H>± (Ь2 + 16fc2)1/2J.	(11.3.7)
Координата	yh±(t~ to) определяется из первого	из уравне-
ний (11.1.3) при	£ — 0 и из уравнения (11.1.5d)	
	М ~	^о)-	(11.3.8)
11 А. Динамика возмущенной системы
В главе 2 было показано, что гомоклиническая траектория
Г£(иоЛ;е) = {Г(ио) + 0(e)} возмущенной системы определяется
уравнением (2.8.10а). Усредняя уравнения (11.1.5с) по времени и
исключая флуктуационные составляющие, из уравнения (2.8.10а)
получим
го = -|я^ + (:го- 1)то/г.	(11.4.1)
Подставляя соотношение (11.4.1) в уравнение (11.3.2), определим
гиперболическую орбиту ГДзо.Се) с точностью до членов первого
порядка. В результате получим
х% - (2 + то/г)х% + (wq + 2т0/г)х0 - т0/г = 0.	(11.4.2)
Из уравнения (11.3.1) следует уо = 0. Подставляя решение урав-
нения (11.4.2) в формулу (11.4.1), определим координату z0. Было
показано [1], что
«7(*))1М0 =	+ (*о - I)2 +<52]До < 0,	(Н.4.3)
где = ks (zs = zq). Следовательно, траектория, начинающаяся
на многообразии Ге(г, i;s) сходится к ГДзо.Се), как показано на
рис. 2.14.
Используя формулу (2.8.14), получим выражения для математиче-
ского ожидания процесса Мельникова rCi и спектральной функции
Мельникова Сг(ш), соответствующие гармоническому возбуждению
единичной амплитуды. Доказано [1], что
rCt = гС± = г(х0 - T0/r)[8dtan~l(xm±/(2k0)) - М]>	(11.4.4)
г	;
Гл. И. Динамика прибрежных течений под действием ветра 165
где знаки “+” и ” соответствуют левой и правой петлям невозму-
щенной гомоклинической траектории на плоскости (х,у), и
C2(w) = С2 Н = —4тг<2	,	(11.4.5)
Z	Sinh(cJ7r/fco)	v 7
d=k% + (x0- I)2.	(11.4.6)
Дисперсия процесса Мельникова определяется формулой (4.1.17b)
и имеет вид
D[M(t)] = Cl^^du.	(11.4.7)
Jo
Г
11.5. Численный пример
Рассмотрим модель с параметрами <5 = 0,3003, tq/t = 3,236, иссле-
дованную при гармоническом воздействии [1]. Из уравнений (11.3.1),
(11.4.1) и (11.4.2) легко получить имеет положения равновесия усред-
ненной системы: {0;0;0}, {1,236; 0; 0} и {1,764; 0; 0}. Из соотношений
'	(11.4.4) и (11.4.5) получим С'+ = 2,524 и СД = —7,076 (индексы + и —
соответствуют левой и правой ямам потенциала) и
C'2l’(w) = — 4,8sinh(2,064w)/sirih(5,5w),	(11.5.1)
С*2(ш) = —4,8sinh(3,436w)/sirih(5,5w).	(11.5.2)
В случае гармонического возбуждения с безразмерной частотой
w = 1, соответствующей размерному периоду Трк = 4 дня [1], имеем
С2 =—0,152 и С2 =—0,609. Выбрав возбуждение в виде ет(£) =
= е -\/27Cos(wt) со стандартным уклонением е получим, что необ-
ходимое условие выхода из левой потенциальной ямы выполняется,
: если 7/г > 8,22.
Рассмотрим случайное возбуждение со спектром е272Фц(ш), где
ех/27 — стандартное уклонение случайного процесса. Квадрат спек-
тральной функции Мельникова [СДГ(сы)]2 и спектральная плотность
процесса Мельникова
Фм0_ (w) = [С2 (ш)]2Ф0(ш)
| представлены на рис. 11.4, а и 11.4,6, соответственно. В свою оче-
j редь, на рис. 11.5, а и 11.5,6 представлены, соответственно, функции
j [С2+И]2и
I	Фмо+Н = [С+(ш)]2ФоН.
I
166
Часть 2. Приложения
Рис. 11.4: а — квадрат спектральной функции Мельникова [С2 (ш)]2; б —
спектральная плотность Фм- (ы) [70]
Рис. 11.5: а — квадрат спектральной функции Мельникова [С^"(ш)]2; б ~
спектральная плотность Фм+(ы>) [70]
Легко видеть, что спектральные функции С*^(ш) подавляют или су-
щественно уменьшают влияние спектральных составляющих ветровой
нагрузки при ш > 1,5 и усиливают низкочастотные компоненты.
Подставляя спектральные плотности
Фмс_(ш) и Фмо+М
в уравнение (5.5.3а), получим и~ = 0,0702 и м+ = 0,0534, соот-
ветственно. Стандартные уклонения процессов Мельникова равны
<тм_ = 0,7787 и ам+ = 0,3597.
Подставляя найденные значения в уравнения (5.5.3b), получим
= |£[7И_]/сгм-| =9,1г/7 и к+= |Е[М+]/ам+| =7,03г/7.
Вспомнив, что в случае гармонического возбуждения хаотические
переходы отсутствуют, если 7/г < 8,22, выберем 7/г = 4. При этом
к_ = 2,273 и к+ = 1,76. Из формулы (5.5.2) получим ти(/с_) = 188,6.
Учитывая, что безразмерной частоте ш = 1 соответствует размерный
период 4 дня, вычислим среднее время между пересечениями процес-
сом Мельникова нулевого уровня, равное 188,6 х 4/2% = 119,7 дней.
Гл. 11. Динамика прибрежных течений под действием ветра 167
Аналогично получим, ти(к+') = 88,5, что соответствует 56,3 дням.
Таким образом, время пребывания в левой потенциальной яме больше,
чем время пребывания в правой потенциальной яме (рис. 11.3). Из
формулы (5.5.4) получим, что нижняя граница вероятности отсутствия
выходов из левой ямы на интервале времени Т = 1 месяц (в безраз-
мерном времени (60л (30 дней))/(4 дня) = 47,1) равна рм(0; Т~ =
= 1 месяц) — 0,78. Для правой ямы имеем рм(0; Т+ = 1 месяц) =
= 0,59.
Таким образом, с помощью метода Мельникова мы оценили вероят-
ность возникновения хаотических переходов для двух различных типов
флуктуаций ветрового давления с идентичными параметрами. Первый
тип — гармонические флуктуации со стандартным уклонением 7 =
= 8,22г и частотой ш = 1, соответствующей размерному периоду Тр\, =
= 4 дня. При этом вся энергия флуктуаций сосредоточена на частоте
спектрального пика. Метод Мельникова показывает, что в этом слу-
чае хаотические переходы не возникают. Второй тип — случайные
флуктуации со спектром, соответствующим спектру ван дер Ховена
с пиком на частоте, соответствующей периоду Трь = 4 дня. Стандарт-
ное уклонение ветрового давления 7 = 4г почти вдвое меньше макси-
мально допустимой амплитуды гармонической нагрузки, при которой
не возникают хаотические переходы. Тем не менее, при случайной
нагрузке выполняется необходимое условие возникновения хаотиче-
ских переходов. Вероятность хаотического выхода из более широкой
потенциальной ямы на интервале времени 1 месяц примерно равна
1 —0,78 =0,22. Верхняя граница вероятности возникновения выходов
существенно увеличилась бы, если бы стандартное уклонение было
Рис. 11.6: а — запись хаотического движения при гармоническом возбуждении;
б — реализация случайного возбуждения
168 Часть 2. Приложения
равно 7 = 8,22г, а не 7 = 4г. Вспомним, однако, что полный анализ
выходов из потенциальной ямы потребовал бы изучения движений
нехаотической природы, вызванных как детерминированным, так и
стохастическим возбуждением (§ 2.8.3).
Рисунки 11.6 иллюстрируют развитие хаотических движений при
значениях параметров <5 =0,3003, tq/г = 3,236, £ = 0,001 и г = 0,01.
На рис. 11.6, а представлено движение под действием гармонической
силы с параметрами 7 = 21,21, си = 1, гс(О) = 1,236, t/(0) = z(0) = 0.
На рис. 11.6, б представлено движение под действием случайной силы
с параметрами 7 = 8, ж(0) = 10~5, i/(0) = z(0) = 0. Чувствительность
к начальным условиям была проверена численно, с использованием
процедуры, представленной на рис. 3.3.
ГЛАВА 12
СЛУХОВОЙ НЕРВ КАК ХАОТИЧЕСКАЯ
ДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Слуховой нерв — динамическая система, представляющая интерес
как для нейрофизиологии, так и для теории и практики преобразова-
ния сигналов. Динамика слухового нерва может рассматриваться как
малые случайные колебания с нерегулярными большими уклонения-
ми, которые называются вспышками активности. Вспышки связаны
Рис. 12.1. Моделирование активности слухового нерва, возбуждаемого гармо-
ническим сигналом периода Т01 на фоне слабого шума
с внезапно возникающими случайными колебаниями большой ампли-
туды, или импульсами. Пример динамики слухового нерва представлен
на рис. 12.1.
В этой главе приводятся результаты трех серий экспериментов по
исследованию динамики слухового нерва. Эти результаты позволяют
утверждать, что слуховой нерв должен моделироваться как хаотиче-
ская система с одной степенью свободы с диссипацией и потенциалом
с двумя асимметричными минимумами. Динамика такой системы пол-
ностью соответствует теории Мельникова. Обсуждаются результаты
моделирования, основанные на классической F-N-модели Фитцхью-
Нагумо. F-N-модель, в отличие от хаотической модели, плохо согла-
суется с экспериментом.
В § 12.1 приведен обзор экспериментальных результатов и обсуж-
дается их соответствие с моделью, развитой на основе теории Мельни-
кова. В § 12.2 представлены результаты моделирования, основанные на
F-N модели, и показано, что они плохо согласуются с экспериментом.
В § 12.3 подробно обсуждается предложенная хаотическая модель;
170
Часть 2. Приложения
результаты численного моделирования и их сравнение с эксперимен-
тальными данными приведены в § 12.4. Заключительные замечания
содержатся в § 12.5.
12.1. Экспериментальные нейрофизиологические
результаты
В этом разделе представлены экспериментальные результаты, отно-
сящиеся к трем моделям:
—	слуховой нерв при гармоническом возбуждении, демонстри-
рующий спонтанную активность, т. е. слабые случайные колебания,
наблюдаемые даже при отсутствии внешнего возбуждения; при моде-
лировании они рассматриваются как вызванные слабым шумом;
—	слуховой нерв при случайном широкополосном внешнем возбуж-
дении;
—	слуховой нерв, возбуждаемый суммой двух гармоник в присут-
ствии спонтанной активности.
В каждой из серий экспериментов выделены особенности экспери-
ментальных результатов, мотивирующие применение теории Мельни-
кова для построения модели слухового нерва.
12.1.1. Динамика гармонически возбужденных нервных
волокон при спонтанной активности. Известные эксперименты [67]
показывают, что при фиксированной амплитуде возбуждения
Рис. 12.2. Экспериментально оп-
ределенные зависимости числа
пиков от частоты и амплиту-
ды гармонического возбуждения.
Число пиков К получено при
20-секундном наблюдении. Штри-
ховые линии соответствуют уров-
ню спонтанной активности [67]
средняя частота вспышек активности
наиболее высока для частот, содер-
жащихся внутри некоторого относи-
тельно узкого “лучшего” интервала,
и уменьшается для частот вне этого
интервала до тех пор, пока и низшие
и высшие частоты становятся прене-
брежимо малыми. (Термин “лучший”
интервал часто используется в нейро-
физиологической литературе). Кроме
того, при фиксированной частоте воз-
буждения средняя частота вспышек
возрастает, при росте амплитуды воз-
буждения (рис. 12.2).
Эти две особенности характерны
для широкого класса хаотических си-
стем, имеющих с потенциал с двумя
минимумами. Напомним, что в по-
добных системах с гармоническим
возбуждением существует функция
Мельникова с ненулевым средним и
амплитудой, пропорциональной спек-
тральной функции Мельникова (см.
Гл. 12. Слуховой нерв как хаотическая динамическая система 174
уравнение (2.5.7)). “Лучшие” частоты сконцентрированы вокруг часто-
ты максимума спектральной функции Мельникова (§ 5.6). Эти частоты
наиболее эффективны, т. е. они соответствуют возбуждению, для кото-
рого среднее время между вспышками активности минимально (т. е.
средняя частота вспышек максимальна).
12.1.2. Динамика нервных волокон, возбужденных белым шу-
мом. Эксперименты по динамике нервных волокон при случайном
возбуждении, близком к белому шуму, показывают, что гистограмма
распределения интервалов между импульсами ') (ГРИ) мультимодаль-
на. Интервал между последовательными максимумами гистограммы
примерно равен “лучшему” периоду, соответствующему “лучшей” ча-
стоте возбуждения нервного волокна [68].
Как и в случае гармонического возбуждения, этот эффект можно
объяснить в рамках предложенной модели. Для системы, возбужден-
ной белым шумом, спектральная функция Мельникова служит филь-
тром, отсекающим неэффективные частотные компоненты, и домини-
рующая составляющая реакции содержит частоты, близкие к “луч-
шей” частоте. Следовательно, спектр реакции на случайное возбужде-
ние подобен спектру реакции на гармоническое возбуждение: помимо
широкополосной составляющей, он содержит узкополосные составля-
ющие с главным максимумом, соответствующим “лучшей” частоте,
200 I--------------------------—I
0	10	20	30	40
t, мс
Рис. 12.3. Гистограмма распределения интервалов между импульсами при
возбуждении белым шумом. Штриховые линии соответствуют средней скорос-
ти вспышек спонтанной активности спонтанной активности. Моменты пиков
импульсов примерно соответствуют целым кратным “лучшего” периода
) Гистограмма распределения интервалов между импульсами (ГРИ) пред-
ставляет собой зависимость числа импульсов от интервалов времени между
ними. Например, для периодической функции периода Т гистограмма унимо-
-—дальна и представляет собой дельта-функцию Дирака <5(t).
172
Часть 2 Приложения
и последовательные максимумы на частотах, равных или близких
к субгармоническим частотам. Для системы, возбужденной белым
шумом, эффективные спектральные компоненты распределены в от-
носительно узкой полосе частот, тогда как при гармоническом воз-
буждении спектральные пики очень острые. Качественно эта разница
незначительна, хотя количественно это выражается в “размазывании"
максимумов гистограммы вокруг модальных частот (рис. 12.3).
12.1.3. Динамика нервных волокон, возбужденных суммой
двух гармоник, при спонтанной активности. Известны результаты
экспериментов [37] по динамике нервных волокон, возбужденных сум-
мой двух гармоник при спонтанной активности. В этих эксперимен-
тах частота одной из двух гармонических составляющих wqi выбира-
лась близкой к “лучшей” частоте а частота второй гармоники
Ш02 < Wbest, т. е. эффективность второй гармоники в возбуждении
вспышек была сравнительно низкой. Экспериментальные результа-
ты доказали, что гистограммы мультимодальны, с базовым перио-
дом То]2тг/ы>01 или 7q2 = 2тг/шог, в зависимости от того, будет ли
отношение амплитуд Т) = 701/702. соответствующих wqi и шог, большим
или малым.
Эти результаты качественно соответствуют поведению предложен-
ной модели с двумя положениями равновесия. Если отношение г[
велико, возбуждение с частотой wqi, близкой к частоте максимума
спектральной функции Мельникова, будет доминирующим. Влияние
второй гармоники несущественно, так как ее частота неэффективна, а
амплитуда мала. Следовательно, динамика модели близка к вызванной
гармоническим возбуждением. Спектр реакции имеет ярко выражен-
ный пик на частоте возбуждения и вторичные пики на субгармони-
ческих частотах. Это приводит к мультимодовой гистограмме с базо-
вым периодом Tqi. Если отношение т] мало, то относительно большая
величина амплитуды гармоники с частотой u>q2 в некоторой степени
компенсирует неэффективность частоты. В этом случае базовый период
гистограммы равен Тог-
12.2. Моделирование системы Фитцхью-Нагумо.
Сравнение с экспериментом
Показано [38], что модель Фитцхью-Нагумо правильно предсказы-
вает, что при отсутствии шума и при возрастании частоты возбуждения
вне “лучшего” интервала амплитуда возбуждения, необходимая для
возникновения вспышки активности, резко возрастает. Однако оказа-
лось, что эта модель не может предсказать аналогичный эффект для
частот ниже, чем “лучшие” частоты (рис. 12.4). Было показано [38],
что при воздействии шума расхождение между предсказаниями ти-
пичной F-N модели и экспериментальными результатами [67] еще
выше. Согласно [47], при возбуждении белым шумом F-N-модель дает
Гл. 12. Слуховой нерв как хаотическая динамическая система
173
Рис. 12.4. Зависимость минимальной амплитуды возбуждения от частоты
гармонического возбуждения при отсутствии шума по FHN-модели. Гори-
зонтальная ось представлена в логарифмическом масштабе. В соответствии
с экспериментальными результатами (рис. 12.1), амплитуда резко возрастает на
высоких частотах. Однако эта модель не отражает возрастания амплитуды на
низких частотах
Рис. 12.5. Гистограмма распределения интервалов между импульсами при
возбуждении белым шумом в соответствии с FHN-моделью. В отличие от
результатов эксперимента (рис. 12.2), эта гистограмма унимодальна
унимодальную диаграмму (рис. 12.5), что не соответствует эксперимен-
тальным результатам [68].
12.3. Асимметричная модель возбуждения
слухового нерва
Предлагается, что реакция слухового нерва описывается урав-
нением
Ё = -V'(x) + e[7oi cos(woif) + 7о2 cos(w02i) +	- /Зх],	(12.3.1)
1 где V(x) — потенциал полиномиального вида с двумя потенциальными
ямами, £ — параметр возмущения, который может быть кусочно-
г постоянной функцией х, G(t) — возмущение, близкое к белому шуму,
» а и (3 — параметры системы. Другое семейство параметров опреде-
I ляет вид полинома У(а:) и значения кусочно-постоянной функции е.
г
174
Часть 2. Приложения
Уравнение (12.3.1) при определенном выборе параметров позволяет
моделировать типичную реакцию слухового нерва, состоящую из нере-
гулярных колебаний малой амплитуды, перемежаемых нерегулярны-
ми импульсами большой амплитуды (рис. 12.1). Кроме того, решение
уравнения (12.3.1) имеет качественные особенности, соответствующие
известным экспериментальным данным.
Прежде всего, покажем, что система (12.3.1) должна быть асим-
метричной по отношению к оси х. Эта асимметрия подразумевает во-
первых, наличие потенциала с двумя ямами, более глубокая из которых
Рис. 12.6: а — потенциал V(x); б — фазовый портрет, представляющий
гомоклинические траектории и траектории в областях х < 0 и х > 0 [26]
лежит в правой полуплоскости х > 0 (рис. 12.6, а), и во-вторых, при-
сутствие возмущения, определенного значениями параметра £ > 0 при
х С 0 и £ — О при х > 0. Отметим, что, без потери общности можно
положить £ = 1 при х 0. Такой выбор просто повлияет на значения
параметров 701 > 702. <т и /3.
Гомоклинические траектории невозмущенной системы Г- и Г+
показаны на рис. 12.6,6. Потребуем, чтобы малые колебания возму-
щенной системы соответствовали хаотическому движению внутри об-
ласти, связанной с гомоклинической структурой сепаратрисы Г-. Для
возмущения вида
e[7oi cos(w0if) + 702 cos(w02i) + o-G(i)]
параметр е/3 должен выбираться таким образом, чтобы левая часть
неравенства Мельникова была достаточно велика и удовлетворяла
необходимому условию возникновения хаоса в левой полуплоскости
х С 0, т. е.
к
-4(3/3 4- 7oi5’(^oi) +702^(^02) +а а^Д^) > 0,	(12.3.2)
fc=i
где ak — амплитуды гармоник в аппроксимации Gyv(t) вида (4.2.5)
для процесса G(i), 5"(ш) — спектральная функция Мельникова при
Гл. 12. Слуховой нерв как хаотическая динамическая система
175
единичной амплитуде гармонического возбуждения. Хаотический ха-
рактер движения позволяет траектории выйти из внутренней области
благодаря хаотическому переносу через сепаратрису. Таким образом,
траектория движется вдоль кривой, аналогичной построенной вблизи
гомоклинической траектории Г- на рис 12.6,6.
После достижения точки х = 0 движение продолжается в области
х > 0. Поскольку в этой области е = 0, и возмущение исчезает, движе-
ние не может быть хаотическим, т. е. нет переходов через сепаратрису
внутрь области, ограниченной гомоклинической траекторией Г+. Воз-
никающее движение большой амплитуды по траектории, близкой к Г+,
возвращает систему в полуплоскость х < 0, где оно вновь становится
хаотическим. Траектория либо остается вне псевдосепаратрисы, либо
проникает во внутреннюю область (см. § 2.7.2). Поскольку движение
при х С 0 хаотическое, все траектории пересекают ось х в разных
точках, т. е. вблизи Г+ нет совпадающих траекторий.
Обсудив качественные соображения, диктующие необходимость
асимметрии параметра Е, рассмотрим асимметрию двуямного потен-
циала. Пусть хтах 7^ 0 — точка максимума гомоклинической траек-
тории, такая, что П(ттах)=0. Чем глубже потенциальная яма, тем
больше скорость движения в точке, соответствующей абсциссе хтах на
траекториях в окрестности гомоклинической траектории (скорость со-
ответствует ординате траектории на фазовой плоскости (рис. 12.6, 6)).
Выбор глубины потенциальной ямы в полуплоскости х > 0 определя-
ется необходимостью получить относительно малое время движения в
этой области. Если бы потенциальная яма в полуплоскости х > 0 была
бы мельче, чем показанная на рис. 12.6, а, то интервал времени между
двумя импульсами был бы существенно больше, чем на рис. 12.1.
Для описания потенциала можно использовать различные полино-
миальные функции. В первом приближении целесообразно ограничить-
г ся функцией вида
У(ж) =q-(-jc2/2 + x4/4),	(12.3.3а)
V(x) = a+(-a:2/2 + ir4/4), x > 0,	(12.3.3b)
определяющей асимметричный вариант потенциала Дюффинга (2.5.14с).
Координата irmax = ±\/2 не зависит от коэффициента а+, но, чем
больше а+, тем глубже потенциальная яма и, соответственно, выше
скорость движения вблизи гомоклинической траектории (см. уравне-
ние (2.5.16), где х^2 — скорость точки на гомоклинической траекто-
рии). Легко проверить, что V'(0) = 0.
При х 0 спектральная функция Мельникова, соответствующая
гармоническому воздействию с единичной амплитудой имеет вид
>S(w) = (2/а-) '^Trwsech {тгш/2 Va- }
j -
" (см. соотношения (2.5.17) и (5.2.6) и замечание в конце § 2.5.3).
а
Е
Г
176
Часть 2. Приложения
Отметим, что размерные аналоги слагаемых х и £701 cos(wq^) в
уравнении (12.3.1) имеют вид d2X/dr2 и дАРщ cos(Qqit), где X =
= С\х, t = С2Т, величины X, т, А и Foi имеют размерности [mV], [ms],
[mV/ms~2] и [dB], соответственно. Следовательно, 701 = Ac2Poi/ci.
Типичные амплитуды вспышек и “лучшие” частоты, полученные в экс-
периментах [67] и соответствующие рис. 12.2, приблизительно рав-
ны 1 mV и 600 Hz, соответственно.
12.4.	Численное моделирование
Цель работы — воспроизведение качественных характеристик пове-
дения нервного волокна (рис. 12.2) на основе модели с потенциальной
функцией (12.3.3). Для моделирования белого шума использовался ряд
Беннета-Райса (4.2.5) с односторонней спектральной плотностью
Ф0(ш) = 2/(1+cV)	(12.4.1)
при с = 0,02. При изменении частоты спектр (12.4.1) меняется мед-
ленно и хорошо аппроксимирует постоянный спектр белого шума
(см. §4.2.3.2).
Все результаты, полученные в результате моделирования, были
структурно устойчивыми (робастными), т. е. поведение системы каче-
ственно не менялось при изменении параметров системы в разумных
пределах. Отметим, что структурная устойчивость неявно следует из
того факта, что для возникновения хаоса процесс Мельникова должен
иметь простые нули. Если простые нули существуют, то они продолжа-
ют существовать и при сравнительно малых изменениях параметров;
малые изменения не ведут к качественному изменению поведения
системы. Иначе говоря, система робастна.
12.4.1.	Гармоническое возбуждение на фоне слабого белого
шума. Рассмотрим возбуждение, заданное параметрами 701 =0,12,
702 = 0, woi/^best =1,о- = 0,005; спектральная плотность процесса G(t)
определена формулой (12.4.1) при с = 0,02. Реализация процесса, пред-
ставленная на рис. 12.1, получена для параметров а~ = 1 и а+ = 49,
соответствующих потенциальным ямам, показанным на 12.6, а, и при
/7 = 0,16. При таких параметрах системы движение хаотично. Отме-
тим, что на рис. 12.1 отображены как единичные, так и множественные
импульсы, например, при t/T « 80 наблюдается двойной импульс. Это
соответствует ранее полученным экспериментальным результатам [67].
12.4.1.1.	Зависимость средней скорости вспышек активности
от частоты и амплитуды гармонического возбуждения. Вспомнив
результаты § 5.6, можно ожидать, что при конечном, но не асимпто-
тически малом возмущении зависимость поведения системы от спек-
тральной функции Мельникова (рис. 12.7) сохраняет качественные
особенности, и реакция системы будет аналогична полученной экспери-
ментально (рис. 12.2). Было проведено моделирование при следующих
Гл. 12. Слуховой нерв как хаотическая динамическая система 177
Рис. 12.7. Спектральная функция Мельникова (12.3.3) при 7= 1, а = 1
Рис. 12.8. Зависимость скорости вспышек активности г от частоты гармониче-
ского возбуждения для двух значений амплитуды возбуждения в присутствии
шума (уравнение (12.3.1)). Полученные зависимости качественно подобны
результатам эксперимента (рис. 12.2)
значениях параметров: 701 = 0,1 и 7щ = 0,12, 702 = 0, а = 0,005, а~ —
— 1 и о+ = 49, /3 = 0,16 и с — 0,02.
На рис. 12.8 показана зависимость средней скорости вспышек ак-
тивности г от отношения шц 1 /wbest при двух амплитудах гармоническо-
го возбуждения. В обоих случаях гармоническое возбуждение наиболее
эффективно на частотах, близких к “лучшей” частоте, и эффективность
резко падает на частотах — низких или высоких — удаленных от
“лучшей” частоты. Для каждой фиксированной частоты более высокая
амплитуда возбуждения индуцирует более высокую частоту вспышек.
Эти качественные результаты непосредственно следуют из структуры
модели. Количественные оценки зависят от полиномиальной аппрокси-
мации потенциала и коэффициента диссипации (3.
12.4.1.2.	Гистограмма распределения интервалов между импуль-
сами (ТРИ} при гармоническом возбуждении на фоне слабого белого
шума. Вновь положим оГ = 1, а+ = 49, /3 = 0,16, 702 = 0, и = 0,005.
Спектральная плотность процесса G(t) определена формулой (12.4.1)
178
Часть 2. Приложения
Рис. 12.9. Гистограмма распределения интервалов между импульсами для
системы (12.3.1) (результаты численного моделирования) при (а)—(е) гармо-
ническом возбуждении в присутствии шума для частоты возбуждения, выше,
примерно равной и ниже “лучшей” частоты, соответственно; (г) шуме, близком
к белому. Периоды Ты и То обозначают, соответственно, период гармоническо-
го возбуждения и период, соответствующей “лучшей” частоте
при с = 0,02. На рис. 12.9, a-в представлены гистограммы распре-
деления интервалов между импульсами при 701 =0,12 и woi/wbest—
= 1,25, 1,05 и 0,8, соответственно. Таким образом, эти гистограммы
соответствуют частотам возбуждения выше, примерно равной и ниже
“лучшей” частоты. Период возбуждения Tqi = Зтг/шщ. Представленные
гистограммы мультимодальны и качественно согласуются с экспери-
ментами [67]. Как в экспериментах, так и на рис. 12.9,a-в, пики
гистограмм группируются вокруг интервалов, пропорциональных пе-
риодам возбуждения. Вместе с тем, вспышки не периодичны, что со-
гласуется с хаотическим характером движения. Как отмечалось ранее,
появление на гистограммах интервалов, пропорциональных периодам
возбуждения, отражает существование максимумов спектра реакции
системы на основной и субгармонических частотах возбуждения. От-
метим присутствие на рис. 12.9, a-в компонент с периодами, меньше
чем доминирующий период. Было указано [67], что эти компоненты
отражают существование многократных вспышек.
12.4.2.	Гистограмма распределения интервалов между импуль-
сами при возбуждении белым шумом. Как уже говорилось, модель
Фитцхью-Нагумо при возбуждении белым шумом, не согласуется
с экспериментальными данными [68]: экспериментальные гистограммы
распределения интервалов между импульсами мультимодальны, а ги-
Гл. 12. Слуховой нерв как хаотическая динамическая система
179
стограммы, построенные по модели Фитцхью-Нагумо, унимодальны
(рис. 12.5). В свою очередь, моделирование с использованием систе-
мы (12.3.1) согласуется с результатами экспериментов. Рисунок 12.9, г
демонстрирует типичную гистограмму распределения интервалов меж-
ду импульсами, полученную при тех же параметрах, что и гистограммы
на рис. 12.9, a-в, но при случайном возмущении, для которого 701 =
= 0, ст = 0,035. Результат, представленный на рис. 12.9, г, соответ-
ствует теории Мельникова, так как именно компоненты с частотами,
равными или близкими к “лучшей” частоте, совпадающей с частотой
максимума спектральной функции Мельникова, наиболее эффективны
при возбуждении импульсов. Следовательно, можно ожидать, что по-
ведение системы определяется этими частотными компонентами и их
субгармониками.
12.4.3.	Гистограмма распределения интервалов между импуль-
сами при возбуждении суммой двух гармоник на фоне белого
шума. В упоминавшихся экспериментах Хинда и др. [37] возбуждение
включало гармонику частоты wqi, близкой к “лучшей” частоте Wbest-
и гармонику частоты шо2 < cutest. с относительно низкой эффектив-
ностью при возбуждении вспышек. Эксперименты подтвердили, что
гистограмма распределения интервалов между импульсами мультимо-
дальна с основным периодом Tqi = 2tt/wqi или 7q2 = 2tt/wq2- в зависи-
мости от того, будет ли отношение г] = 701/702 амплитуд соответствую-
щих гармоник большим или малым. Было отмечено, это согласуется с
необходимыми условиями Мельникова возникновения хаоса в системе
с двумя устойчивыми положениями равновесия. Даже если спектраль-
ная функция Мельникова S'(woi) больше, чем 5(шог), то при доста-
точно малом отношении Т] в спектре движения будет доминировать
гармоника с неэффективной частотой wq2- Этот случай иллюстрируется
рис. 12.10, а, б. Моделирование проводилось при значениях параметров
^oi/wbest = 1, wm/wbest = 0,06, /3 = 0,25, а = 0,0075. На рис. 12 10, а
Рис. 12.10. Гистограмма распределения интервалов между импульсами для
системы (12.3.1) при возбуждении двумя гармониками в присутствии шума.
Основная частота управляется (а) возбуждением с неэффективной часто-
той, превышающей “лучшую” частоту с относительно большой амплитудой
и (б) возбуждением с частотой, близкой к “лучшей” частоте
‘/т01
180
Часть 2. Приложения
приведена гистограмма распределения интервалов между импульсами
при 7о1 = 0,01 и 7о2 = 0,3, т. е. t] = 0,033. За исключением двух пиков
при 1/Тщ -С 1, связанных с многократными вспышками, остальные
пики группируются вокруг периода То2 и кратных ему. Гистограмма
на рис. 12.10,6 построена при 701 =0,1 и 702 =0,16. Так как часто-
та woi более эффективна и отношение t] не мало, основной интервал
соответствует периоду То1.
12.5.	Заключительные замечания
В этой главе показано, что качественное поведение модели с двумя
положениями равновесия, к которой применим метод Мельникова,
согласуется с экспериментальными данными об активности слухового
нерва при различных типах возбуждения. Было отмечено, что мо-
дель Фитцхью-Нагумо плохо согласуется с экспериментом. Результаты
численного моделирования подтвердили качественную адекватность
предложенной модели с двумя положениями равновесия. Степень ко-
личественного согласования зависит от формы потенциала системы и
коэффициента диссипации. Наконец, отметим, что поведение предло-
женной модель совместимо с поведением системы при стохастическом
резонансе, чья роль в поведении нейронных систем изучена Коллинзом
и др. (см. [15] и цитированную в этой статье литературу).
ПРИЛОЖЕНИЕ П1
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ МЕЛЬНИКОВА
В § 2.4 показано, что для построения функции Мельникова необ-
ходимо вычислить производные векторов xy(t;to,t') и xf(t;to,t') по t.
Вычислим эту производную для xy(t; to.t').
Дифференцирование равенства (2.4.3а) по t и условие хд = £(хд),
вытекающее из (2.3.1) при е = 0, дают
x“(t; t0, t', е) = Xh(t -10) + £x“(t; t0> t') + O(£2) =
= f [x/i(t — to)] + £x?(t;t0,t') + O(£2)-	(П1.1)
Положив в уравнении (2.3.1) хд = x^(t —10) и подставив разло-
жение Г(хд^ —to)) с точностью до членов первого порядка в форму-
лу (2.4.3а), получим
xu(t;to,t',£) = /]хд(£- to)] +(ж“ - shI)5f[xh(t- t0)]/dxhi +
+ (^2 - sh2)0f[xh(t - t0)]/dxh2 + £g(xu, t) =
= f[xh(t -10)] + Ex^di[xh(t - t0)]/dxhi +
+ sxvdf[xh(t -10)]/dxh2 +£g(x“,t) +
+ O(£2).	(П1.2)
Из уравнений (П1.1) и (П1.2) следует
= Xn5f[xh(t - t0)]/dxM + x^zdf[xh(t - t0)]/dxh2 +
+ g(x\t)O(£).	(П1.3)
Аналогичное выражение можно получить для производной xf.
Теперь, дифференцируя (2.4.5а) и учитывая (П1.3), получим
A“(t; to, t') = f [xh(t - to)] A £x“ + f [xh(t - to)] A £±y =
= {<9f[xb(t - to)]/dxhlxM +
+ 5f[xh(t - t0)]/dxh2Xh2} A £x? +
+ f[xh(t-t0)] A£{sn5f[xh(t -t0)]/dxhi +
+ x\l2df[xh{t - t0)]/dxh2 + g(x“, t)} +
+ O(£2)-	(П1.4)
182
Часть 2. Приложения
Вектор f может быть разложен по координатным осям f = /iii +
+ Лк, где ii и 12 — направляющие векторы, хр = f(x/i) и ij Л к =
= 0. Подставляя эти выражения в (П1.4), после ряда преобразований
получим
A“(t; Л, t') = ef[x/i(t - to)] A g(xu, t) + O(e2),
(П1.5а)
или, учитывая (2.4.3a),
A“(t;t0,t') =ef[xh(t-to)]Ag[xh(t-to), t] + O(£2).	(П1.5Ь)
Проинтегрируем (П1.5) по времени в интервале от —оо до f. Учиты-
вая, что для неподвижной точки хр(—оо) = 0 и используя вытекающее
отсюда условие Д“(—оо; to, t') = 0, получим
A“(t;t0,t') = £ f[x/^Ct — to)] Ag[xh, (t —to). t]dt + O(E2), (П1.6)
где использовано условие Д“(—oo; to, t') = 0 ввиду (2.1.1). Точно
так же
A“(t;to,t') = £ f[xn(t — to)] Л g[xh(t - to), t]dt + O(£2).	(П1.7)
Jt'
Совершив замену переменных Q = t — to, из уравнений (2.4.5),
(П1.6) и (П1.7), получим
A“(t;t0,t')=E {f[xh(C)]AgMC), C + t0]}dC + O(E2).	(П1.8)
Отсюда, с учетом (2.4.1), получим соотношение (2.4.6).
Отметим, что для любой плоскости, соответствующей f = const,
изменение начальной точки t0 соответствует сдвигу точки Р' вцрлъ
гомоклинической траектории (рис. 2.3 и 2.5).
ПРИЛОЖЕНИЕ П2
РАЗБИЕНИЕ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА
НА УСТОЙЧИВОЕ И НЕУСТОЙЧИВОЕ
МНОГООБРАЗИЯ
Опишем пересечение секущей плоскостью инвариантных многооб-
разий системы
— = £2,	(П2.1а)
at
~ = -П'Ы + е[/(я7!, я:2) + g(t - И)].	(П2.1Ь)
Будем называть (П2.1) уравнениями движения, описывающими эво-
люцию системы при возрастании переменной t. Уравнения движения в
“обратном” времени, описывающие эволюцию системы при уменьшении
t, получаются при смене ориентации оси времени, т. е. заменой t = — т,
ti = — Т[. В результате получим
~ = -х2,	(П2.2а)
ат
i)	+ е[/(® I. ®2> + g(-(r - п))]},	(П2.2Ь)
где Xi = Xi(-r) = Xi(t) (г = 1,2).
Этот результат легко проверить путем двукратного интегрирования.
Сначала уравнения в прямом времени (П2.1) интегрируются в пределах
от t — 0 до t = tf при начальных условиях rri(O), 3:2(0) в момент t = 0.
В результате получим Xi(tf), x?(tf). Затем проинтегрируем уравнения
в обратном времени (П2.2) в пределах от т = —Tf до т = 0 при началь
ных условиях Xi(—Tf), x2(—Tf) в момент т = —Tf = tf. В результате
ПОЛУЧИМ 371(0), х2 (0).
П2.1. Построение устойчивого и неустойчивого
многообразий
Построение состоит из следующих этапов:
I.	Выберем координату ts того сечения фазового пространства
(секущей плоскости), чье пересечение с возмущенными устойчивым
и неустойчивым многообразиями мы строим.
2.	Для достаточно малых е существует множество Г гомоклини-
ческих точек невозмущенной системы (уравнение (П2.1) при £ = 0),
т. е. существует его отображение' на кривую Ге (рис. 2.4). Второй
этап состоит в нахождении точек G>i- и Оц. пересечения Ге с дву-
мя секущими плоскостями, определенными координатами t = ts —td
и t = ts+td (td > 0) (рис. П2.1).
184
Часть 2. Приложения
Рис. П2.1. Построение инвариантного многообразия
3.	Определим собственные числа и собственные векторы линеари-
зованных уравнений движения в точках и Oi±.
4.	Выбрав в качестве начальных условий точку, близкую к О|_
на неустойчивых собственных векторах линеаризованной системы (т. е.
точку, принадлежащую неустойчивому многообразию), проинтегрируем
уравнения движения в прямом времени от точки ts — td до точки ts.
Решение в момент ts принадлежит глобальному неустойчивому мно-
гообразию, которое мы ищем. Повторим эту процедуру, используя в
качестве начальных условий достаточное число точек, близких кО,_
на неустойчивых собственных векторах линеаризованной системы.
5.	Выбрав в качестве начальных условий точку, близкую
к О]+ на устойчивых собственных векторах линеаризованной
системы (т. е. точку, принадлежащую устойчивому многообразию),
проинтегрируем уравнения движения в обратном времени от точки
—(т3 + ту) = ts + td До точки — ts = ts. Решение в момент — ts = ts
принадлежит глобальному устойчивому многообразию, которое мы
ищем. Повторим эту процедуру, используя в качестве начальных
условий достаточное число точек, близких к Oj+ на устойчивых
собственных векторах линеаризованной системы.
П2.2. Собственные числа и собственные векторы
линеаризованной системы
Для примера рассмотрим стандартное уравнение Дюффинга, в ко-
тором	„
V'(xi) = Xi - x], f(xltX2)=/3x2,	(П2.3а,Ь)
при (3 > 0. Уравнения в вариациях для нелинейной системы (П2.1)
записываются в виде (§2.1.1)
8Х\ — <5±2,
8x2 = (1 — Зх])<5±] — /38х,2-
Приложение П2. Разбиение фазового пространства	185
Решения уравнений (П2.4) имеет вид
= uiiS exp(A2t), 8x2 = U2,s exp(Ast)
и
fei = U!,u exp(Aut), 8x2 = U2,u ex^{Xuty
Собственные числа As, Au в точке	получены как решения
характеристического уравнения |а — А7| = 0, где I — единичная матри-
ца (см. пример (2.1.1)), а — матрица системы (П2.4) с коэффициентами
Оц = О, <2.12 = 1- 021 = 1 — Зх2, й22 = Р- Таким образом, имеем харак-
теристическое уравнение
 1-м -Да| = °-	<П25>
Решения уравнения (П2.5)
Au,s = 1- [ - S3 ± G02 + 4(1 - Зх2)1/2)]	(П2.6)
определяют собственные числа системы. Для малых значений Xi и /3
имеем 0 < Хи < 1, — 1 < As < 0. Подставляя экспоненциальное реше-
ние в уравнение (П2.4), получим
on'Ups + ai2Ti2,s = Astiis,	(П2.7а)
021*01,3 + 022*02,3 = Asl<2,s.	(П2.7Ь)
и аналогичную систему уравнений для Хи. Используя первое уравнение
каждой системы и вспоминая, что оц = О, 012 = 1, получим
^2,s/*oi,3 As,	(П2.8а)
О2,гх/*01,ц — Хи.	(П2.8Ь)
Обозначим как xi,e, х2,е координаты пересечения кривой Г£ с секу-
щими плоскостями. Уравнения устойчивого и неустойчивого многооб-
разий в этой плоскости примут вид
<loc = х2,е + Аз(^1,10с - ^1,е),	(П2.9а)
ж2,1ос = xs2.e + -М^Цос “ ^.е)’	(П2.9Ь)
186
Часть 2. Приложения
П2.3. Построение пересечений и кривой Ге
с секущими плоскостями t = ts — td и t = ts + td
Опишем метод построения пересечений с помощью последова-
тельных приближений. Для определенности рассмотрим точку О]_.
Рис. П2.2. Направление движения траекторий, окружающих (а) и не окружаю-
щих (6) точку 01-, в прямом (F) и обратном (Я) времени
(рис. П2.2). Тангенсы углов наклонов сторон, начинающихся в точ-
ках А и С равны значениям As и Ли в этих точках. Проинтегрируем
прямое и обратное уравнения движения, рассматривая координаты
точек А, В, С и D как начальные условия. Если направления движения
соответствуют показанным на рис. П2.2, а, то точка Oj_ находится
внутри ромба. Если направления движения соответствуют показанным
на рис. П2.2, б, то точка О[_ находится вне его. Процедура повторяется
с ромбами А'В'CD', А"В"С"D", и т. д., содержащимися в ABCD,
A'B'C'D', и т. д., соответственно, до тех пор, пока ромб, содержа-
щий точку не станет достаточно малым для того, чтобы счи-
тать аппроксимацию удовлетворительной. Если координаты точки 0[_
установлены, то кривая Ге и ее пересечения с секущими плоскостями
могут быть получены интегрированием уравнения движения в прямом
времени с координатами точки в качестве начальных условий.
П2.4. Численный пример
Рассмотрим стандартный осциллятор Дюффинга с параметрами
еД = 0,1, И = 0, и возмущением вида
N
Eg(t) — E7Cos(wi) + eo{2./N) cos(cjfc^ + фк),	(П2.10)
аппроксимирующим гауссовский процесс [76]. Здесь w = 1, амплиту-
да Е7 выбирается таким образом, что при а = 0 функция Мельникова
Приложение П2. Разбиение фазового пространства	187
имеет кратный корень, т. е. уравнение
-4/3/3+7S(w) =0,
S(w) = \/2тгш sech (ttw/2) — спектральная функция Мельникова, вы-
численная по уравнению (2.5.17) при 7=1. Условие кратности корня
дает £7 = 0,07530181. При а 0 функция Мельникова имеет простой
корень. Выберем N = 15, ест = 0,02, т. е. (ecr/IN) = 0,00730297, и при-
мем следующие значения частот и фаз
[wi,w2,...,wi5] = [0,2177,0,6147,0,9834, 1,3966,1,8073,2,1843,
2,6103,2,8328,3,4128,3,8018,4,1888,4,5886,
5,006,5,3853,6,1843],
[ф\,ф2..</>i5]	= [3,0473,2,5509,5,0328,3,9521,0,7979,3,1792,
6,1952,3,4808,2,5195,3,3489,1,6888,3,3552, 1,7216,
3,7384,2,0985].
Построим пересечения устойчивого и неустойчивого многообразия
при t = ts = Ютг. Выберем td = Ютг. Определяя координаты точки О]_
при t = ts-td = O, получим [0,024207850724634,0,002384710615867].
Вычисляя соответствующие собственные числа, найдем As =
= 0,950370901161105, Хи = —1,050307901161105. Сечение фазового
Рис. П2.3. Сечение фазового пространства осциллятора Дюффинга при воз-
буждении в виде суммы гармонического возбуждения и аппроксимированного
гауссовского шума [76]
~— пространства при t = Ютг показано на рис. П2.3. Можно увидеть, что
пересечение устойчивого и неустойчивого многообразий происходит во
втором квадранте.
г
Е
ПРИЛОЖЕНИЕ ПЗ
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СОПРЯЖЕННОСТЬ
Отображения qt: А —» А и q%- В —»В называются топологически
сопряженными, если существует гомеоморфизм h (взаимно однознач-
ное, отображающее область на область отображение, непрерывное и
имеющее непрерывное обратное (см. § 3.3)), такой, что
7г о 91(х) = д2 о/г(х).	(П3.1)
Топологически сопряженные отображения имеют эквивалентную дина-
мику. Продемонстрируем эту эквивалентность на примере.
Пример. Пусть функции
h = ^(1-х), qi — 2х2 - 1 и 92=4ге(1— х)
определены на интервале [0, 1]. Очевидно, что h — отображающее
область на область отображение, непрерывное и имеющее непрерывное
обратное, т. е. h — гомеоморфизм. Легко проверить, что
h о 9,(х) = | [1 - (2х2 - 1)] = 1 - х2 = q2 ° Цх).
Следовательно, отображения qi и 92 топологически сопряженные.
Неподвижная точка отображения q\ определяется условием qi (х) =
= х, т. е. 2х2 — 1 = х, или Xi = 1, хг = — 1 /2. При отображении h эти
точки перейдут в h(I)=0 и h(—1/2) = 3/4. Из условия 4х(1 — х) =
= х следует, что неподвижные точки отображения 92 действительно
равны 0 и 3/4,
Поскольку h имеет непрерывный прообраз, и
h-1 o/iog,(x)= 91(х),
то из уравнения (П3.1) получим
9i(x) = h~l о q2 о h(x).	(П3.2)
Итерации отображения траектории х в А дают
{... 9j"n(x)-9Г1 (х), х, 91 (х).9f(x),(ПЗ.З)
Из уравнения (П3.2) получим
9”(х) = (/г-1 о 92 о /г) о (/г-1 о q2 о h) о ... о (h-1 о 92 о h(x)) =
= h~1 о 9j о h(x), п О,	(П3.4)
Приложение ПЗ. Топологическая сопряженность 189
Г
и	,
Q] " = h о q2 п о h(x), п 0.	(П3.5)
Из (П3.4) и (П3.5) следует
h о g"(x) = <J2 0 ^(х) Для всех п>
т. е. h преобразует каждую итерацию отображения gi(x) в соот-
ветствующую итерацию отображения q2 от h(.x). Это означает, что,
если хо — неподвижная точка отображения q\, то h(xo) — неподвижная
точка отображения q% .

ПРИЛОЖЕНИЕ П4
СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА S2
Пространство Е2 имеет следующие свойства:
1.	Е2 содержит бесконечное счетное множество периодических
траекторий. Это свойство обсуждалось в § 3.4.
2.	Периодические точки образуют плотное подмножество
в Е2 *). Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим произвольную
точку в Е2
S — {’ ' ' S_n—2S_n_ 1 S—n " " ’ S—23 — 1 • SqS]S2 • • •	1 ^n+2	}>
и последовательность периодических точек периода п
Тп ~ t—n ' ' * ^ — 2^—1 ‘ ^оП^2 ’ * * tn t—n ' ' ’ t—2t — ]^оИ^2 ‘	’ * * }>
с повторяющимися подпоследовательностями, такими, что t, = Si при
i — 0, ±1,..., ±тт. Расстояние d(s,rn) между тп и з удовлетворяет
условию d(s,rn) 1/2"-1, т. е. тп сходится к s, или, другими словами,
s — предельная точка последовательности тп. Множество Е2 состоит
из объединения всех периодических точек и их предельных точек.
3.	Е2 содержит бесконечное счетное множество непериодиче-
ских траекторий. Каждая непериодическая траектория соответствует
неповторяющейся последовательности. Доказана [98] несчетность мно-
жества таких последовательностей.
4.	Е2 содержит плотную траекторию, образованную итерация-
ми отображения о. Плотная траектория проходит через окрестности
всех точек Е2. Отображения, обладающие этим свойством, называются
топологически транзитивными. Последовательность зл, соответству-
ющая плотной траектории, может быть представлена в виде
за = {Block I Block 2 Block 3...},
где Block i состоит из всех последовательностей длины г. Например,
Block 2 состоит из всех последовательностей 00 01 10 11. Некоторые
точки, полученные из последовательности 3d при итерациях отобра-
жения о, будут как угодно близкими к любой точке р из Е2, т. е. р
и некоторая итерация зд будут иметь сколько угодно большое число
совпадающих знаков по обе стороны запятой.
1) Подмножество Ер множества Е плотно в Е, если Е состоит из всех точек
Ер вместе с их предельными точками. Точка х е Е называется предельной
точкой множества Ер, если существует последовательность точек х € Ер,
сходящаяся к х.
ПРИЛОЖЕНИЕ П5
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В этом разделе кратко излагается следующий материал:
—	определение вероятности в терминах относительных частот;
—	правила сложения и умножения в теории вероятностей;
—	определение функции распределения;
—	определение основных характеристик случайной переменной,
включая понятия среднего и вариации;
—	определения пуассоновского, гауссовского (нормального) и
негауссовского распределений.
П5.1 Относительные частоты и вероятность
появления события. Случайность
Рассмотрим эксперимент, в результате которого может возникнуть
или не возникнуть событие А. Вероятность Р(А) появления собы-
тия вычисляется как предел при больших п относительной, часто-
ты т/п, где т — число появлений события А в п проведенных
экспериментах. Предполагается, что последовательность эксперимен-
тов удовлетворяет условию случайности, т. е. относительная частота
появления события А имеет одно и то же предельное значение в
этой последовательности и в любой произвольно выбранной достаточно
большой подпоследовательности при условии, что выбор производится
при отсутствии информации о результатах экспериментов [95].
П5.2. Основные соотношения
П5.2.1. Сложение вероятностей. Рассмотрим два несовместных
события А] и А%, появляющиеся в эксперименте. Напомним, что собы-
тия называются несовместными, если они не могут появиться одновре-
менно, например, появление орла и решки при подбрасывании монеты,
или двойки и шестерки при бросании кости. Событие, означающее, что
появится или Ai или А2, обозначают как А\ U А^. Его вероятность
P(A1UA2) = P(A1) + P(A2).	(П5.1)
Эмпирическая основа соотношения (П5.1) состоит в том, что, если
относительная частота появления события Ai равна ггц/п, а относи-
тельная частота появления события А2 равна тг/п, то относительная
[ частота появления или Ai, или А2 равна (mi + m2)/n.
192
Часть 2. Приложения
Пример. При бросании кости вероятность выпадения двойки рав-
на 1/6, и вероятность выпадения шестерки равна 1/6. Вероятность
выпадения или двойки, или шестерки равна 1/3.
П.5.2.2. Совместная и условная вероятности. Правило умноже-
ния вероятностей. Рассмотрим два события А и В, которые могут
появляться одновременно. Вероятность того, что события А и В по-
явятся одновременно называется совместной вероятностью событий
и обозначается Р(АПВ). Вероятность события А при условии, что
событие В произошло, называется условной вероятностью события А
при условии, что событие В произошло. Условная вероятность опреде
ляется формулой
Р(А|В) =	(П5.2)
где Р(В) ± 0.
Пример. По записям погоды в некотором регионе отмечено, что
в году бывает 100 холодных дней (событие А), 200 солнечных
дней (событие В) и 30 дней, одновременно солнечных и холод-
ных (событие АП В). Вероятность Р(А|В) того, что день холодный,
при условии, что он солнечный, равна Р(А|В) = Р(А П В)/Р(В) =
= (30/365)/(200/365) = 3/20.
Из уравнения (П5.2) следует, что
Р(А П В) = Р(А|В)Р(В).	(П5.3)
Соотношение (А5.3) называется правилом умножения вероят-
ностей.
П5.2 3. Независимость Два события А и В для которых условная
вероятность
Р(А|В) = Р(А)	(П5.4)
называются стохастически независимыми. Из соотношений (П5.3)
и (П5.4) следует, что другое определение стохастической независимос-
ти: для независимых событий
Р(А П В) = Р(А)Р(В).	(П5.5)
П5.3. Случайные переменные. Гистограммы
и функции распределения
П5.3.1. Определение случайных переменных. Непрерывные и дис-
кретные переменные. Пусть каждому из возможных событий, на-
блюдаемых в эксперименте, поставлено в соответствие некоторое чис-
ло. Полученное множество чисел определяет случайную переменную.
Случайные переменные называются дискретными или непрерывными,
в зависимости от того, принимают ли они конечное число значений
Приложение П5. Элементы теории вероятностей	193
(например, значения 0 и 1, соответствующие орлу и решке при броса-
нии монеты), или значения на отрезке действительной оси (например,
температура воздуха в некотором месте). Стохастические переменные
обычно обозначают прописными латинскими буквами, например, X,
Y, Z Значения переменных обозначаются соответствующими строч-
ными буквами х, у, z.
П5.3.2. Гистограммы, плотности вероятности и функции рас-
пределения. Рассмотрим значения непрерывной переменной X на ин-
тервалах АХ. В экспериментах переменная принимает значения внут-
ри интервалов Xq < X Xi, Х\ < X < Х2>   •, -^m-i < X si Хт,
где Х^ — Xi_\ = АХ (г = l,...,m). В каждом интервале переменная
может оказаться щ, п?,..., пт раз, соответственно, и щ+п2-\~...
,.. + Пт = п. Диаграмма, на которой числа П[, п?,..., пт представ-
лены как функции соответствующих интервалов, называется гисто-
граммой.
Если разделить ординаты тц.пг, -.., пт на пАХ, получим диаграм-
му, называемую частотной плотностью распределения. Площадь
под диаграммой частотной плотности распределения
(п1 +п2 + -.. + пт)ДХ/(ггДХ) = 1.
Если отрезок АХ мал и число п велико, то ординаты частотной
плотности распределения приближаются к значениям функции /(х),
где х — значение, которое принимает переменная X Функция /(гг)
Рис. П5.1. Плотность вероятности (а) и функция распределения (б) случайной
переменной X

называется плотностью распределения вероятностей ') перемен-
ной X (рис. П5.1,а). Вероятность события х < X ^.x + dx = f(x)dx,
и
гОО
fxdx=l.	(П5.6)
J—оо
1) Обычно используется термин плотность вероятности — Прим. ред.
пер.
194
Часть 2. Приложения
Вероятность Fix') того, что X х называется функцией, распреде-
ления переменной X и вычисляется по формуле

j~X dx
(П5.7)
(рис. П5.1,б). Отсюда получим, что ордината в точке X = х на
рис. П5.1,6 равна площади заштрихованной области на рис. П5.1,а.
Из соотношений (П5.6) и (П5.7) следует, что F(x) стремится к 1 при
достаточно больших х.
П5.3.3. Совместные распределения. Пусть X и Y — непре-
рывные случайные переменные, и fxy(x,y)dxdy — вероятность то-
го, что х < X < х + dx и у <Y + dy (нижний индекс исполь-
зован для ясности, но может быть опущен). Функция fxy(x,т/) на-
зывается плотностью совместного распределения вероятностей
Рис. П5.2. Плотность вероятности функции fxy(x, у)
случайных переменных X и Y (рис. П5.2). Вероятность того, что
X С х и Y у называется совместным распределением вероятно-
стей переменных X и Y и обозначается как Fxy(x,y). Из определения
плотности вероятности fxy(x,y) dxdy следует, что
Fxy (х, у)
гу
fxy(x,y)dxdy.
J—ОО
(П5.8)
Если функция fxy(x, у) известна, то вероятность того, что х <
< X С х + dx, определенная как /Х(х) dx, может быть получена при-
менением правила сложения вероятностей к fxy(x,y) dx dy по всей
области У, т. е.
г ОС
А.(я)= fxy(x,y)dy.	(П5.9)
J—ОО
Функция fx(x) называется безусловной плотностью распределе-
ния вероятности величины X.
Вероятность того, что у < Y + dy при условии того, что X =
— х, обозначается как /(у\х) dy. Функция f(y\x) называется условной
_____________Приложение П5. Элементы теории вероятностей_______195
Г
плотностью распределения вероятности переменной у при условии
X = х. Используя уравнение (П5.2), получим
=	(П5.10)
Если величины X и Y независимы, то f(y\x) = fy(y), и
fxy(x,y) = fx(x)fy(y).	(П5.11)
Аналогичные определения могут быть введены для любого числа
случайных переменных.
П5.4. Характеристики случайной переменной
Полное описание вероятностного поведения случайной перемен-
ной дается функцией распределения, или для нескольких перемен-
ных, совместным распределением вероятностей. Для распределений,
использованных в этой книге, основная информация о поведении одной
переменной X может быть получена, если известно среднее значение
(или математическое ожидание)
Д(Х)=[ xf(x)dx	(П5.12а)
J —сю
и центральные моменты вплоть до n-го порядка
- Д(Х)]П} = [°° [я - E(X)]nf(x) dx, (П5.12Ь)
J—СЮ
где п — конечное число. В уравнении (П5.12) и далее мы опускаем
нижний индекс в обозначении плотности вероятности. Центральные
моменты второго, третьего и четвертого порядка, соответственно, на-
зываются дисперсией D(X), асимметрией и эксцессом случайной
переменной X. Стандартное уклонение ах определяется как корень
квадратный из дисперсии, т. е. о^. = D(X).
Корреляция двух переменных аху определена как
Е{[х-ад][у-ад]} =
Г СЮ г СЮ
=	[х-E(X)][y-E(Y)]f(x,y)dxdy. (П5.12с)
J—сю J—сю
Коэффициент корреляции X и Y определен выражением
Р = oXyl(oxOy).	(П5.12с1)
Определения (П5.12а)-(П5.12с) вытекают из соотношений между
L плотностью вероятности и относительными частотами появления со-
бытий. Рассмотрим, например, дискретную переменную X. Ее среднее
Г
196
Часть 2. Приложения
значение вычисляется как
ТП
Ет = ^.1г^ =
i=l
(П5.12е)
(П5.120
где fi = ni/n (i=l,...,m) — относительная частота того, что пе-
ременная X примет значение х,. Уравнение (П5.12а) может рас-
сматриваться как аналог (П5.12Г) для непрерывной переменной X.
Аналогичные аргументы справедливы для моментов порядка п и для
корреляции X и Y.
П5.5. Распределение Пуассона
Определенное в этом разделе распределение Пуассона используется
в главе 5 для вычисления вероятностей редких событий, связанных
с переходом случайного процесса через потенциальный барьер. Рас-
смотрим стационарный процесс, представляющий собой число событий,
происходящих на интервале времени [0, т). Предположим, что:
—	количество событий, наступающих на непересекающихся интер-
валах времени, независимы;
—	вероятность появления одного события на малом интервале
времени £ равна А£ + о(£); вероятность появления нескольких собы-
тий о(£), где о(0/е —» 0 при £ —» О, Л > 0 — постоянная, называемая
средней скоростью наступления события.
Можно показать, что вероятность того, что за время т произойдут
ровно п событий, равна
р(п, г) = е~Ат (п = 0,1,2,3,...).	(П5.13)
Подставляя (П5.13) в (П5.12а) и (П5.12Ь), получим, что как сред-
нее значение, так и дисперсия случайной величины п равны Ат.
П5.6. Нормальное распределение и его физический
смысл. Негауссовские распределения
Рассмотрим случайную переменную X, представляющую собой
сумму п случайных независимых слагаемых Можно доказать, что
при некоторых достаточно общих условиях в пределе при п —» оо,
плотность распределения вероятности переменной X имеет вид
~(д- М*)21
2о-2
^)=(2^U~exp
(П5.14)
где р,х = Е(Х) и cf2 = D(X) — среднее значение и дисперсия пере-
менной X. Это утверждение известно как центральная предельная
Приложение П5. Элементы теории вероятностей
197
теорема. Распределение (П5.14) называется нормальным, или гаус-
совским. Из формулы (П5.14) следует, что гауссовское распределение
полностью определено своим математическим ожиданием и стандарт-
ным уклонением. Отметим, что хвосты распределения бесконечно
длинные, т. е. функция /(ге) имеет конечные, хотя и достаточно малые
значения при произвольно больших значениях |гс|.
В физически реализуемых системах число слагаемых п может быть
очень большим, но всегда конечным. Это означает, что гауссовское
распределение может рассматриваться как некоторая идеализация, ап-
проксимирующая реальное распределение, и хвосты реального распре-
деления, хотя и достаточно длинные, но все же конечны.
Совместная плотность распределения вероятностей двух гаус-
совских случайных величин X и Y с нулевыми средними равна
У>> = 2тГ<71<71)(1 - р2)*/2 Х
9Л 1 пЩ ~	+ а2/о-2) , (П5.15)
р )
х ехр
где коэффициент корреляции р определен формулой (П5.12d).
Все распределения, отличные от нормального, называются негаус-
совскими.
ПРИЛОЖЕНИЕ П6
СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ПЕРЕСЕЧЕНИЙ В ЕДИНИЦУ
ВРЕМЕНИ (т-1) ДЛЯ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА
При выводе формул этого раздела мы используем результаты ра-
боты [65]. Рассмотрим дифференцируемый стационарный гауссовский
процесс x(t) с нулевым средним, и обозначим совместную плотность
распределения х и х в момент Н как fxi[x,i,ti). Пусть процесс x(t)
пересекает уровень к снизу вверх внутри интервала (t\,t\ + dt), т.е.
x(t\) < к и + dt) > к. Можно показать, что среднее число таких
пересечений на интервале (tj.ii + dt) вычисляется по формуле
dt
kfxi(x,x;ti)dx.
(П6.1)
о
Известно, что линейная комбинация гауссовских процессов также
гауссовский процесс. Производная x(t) процесса x(t) пропорциональна
разности двух гауссовских процессов x(t + dt) и x(t), и, соответствен-
но, тоже имеет гауссовское распределение. Поскольку процессы x(t)
и i(t) гауссовские, их совместная плотность распределения fx± также
гауссовская. Следовательно, в подынтегральном выражении можно ис-
пользовать формулу (П5.15).
Рассмотрим приближение процесса x(t) рядом Беннета-Райса (4.2.5)
N
x(t)	cos(wfci + фок),	(П6.2)
fc=i
где ак —	Аш/(2тг)]1//2, фазы фок независимы и равномерно рас-
пределены в интервале [0,2тг],	= кЛа>, Дш = ucui/N, и wcut — ча-
стота среза, за которой спектр Фх(ш) обращается в нуль или становит-
ся пренебрежимо малой. Как было указано в п. 4.2.2.2, процесс (П6.2)
приближенно гауссовский, ограниченный и имеет производные всех
порядков. Дифференцируя процесс (П6.2), получим
N
x(t) - -	sin(wfct 4- фък).	(П6.3)
fc=i
В пределе при больших значениях N имеем
2 _ 1
х 2тг
-оо
Фг(ш) du,
о
. рОО	роо
= 75-	Фх(^) dw = [2/тг] ш2Фг(ш) dw
27V Jo	Jo
(П6.4а)
(П6.4Ь)
Приложение П6. Среднее число пересечений в единицу времени (ти 1) 199
(см. уравнение (4.1.18)). Для вычисления ахх используем определение
корреляционной функции (П5.12с) и соотношения (П6.2) и (П6.3).
В результате получим

г N	N
2^ aj cos(w3 t +	CfcWfc sin(wfc4 + фОк)
-j—i	fc=i
(П6.5)
Обобщая .на многомерный случай определение среднего (E15.12d)
и вспоминая, что случайные фазы фок (к = 1,2,... ,п) независимы
и имеют плотность вероятности 1/2тг в интервале [0,2тг], получим
<Jxi = 0- Таким образом, совместная плотность вероятности процессов
х и х вычисляется по уравнению (П5.15) при р — 0, т. е.
Л±(а:,х;4) — п ехр
(П6.6)
(В силу стационарности процесса x(t) можем писать аргумент t вмес-
то 41).
Вероятность того, что на интервале (4, 4 + dt) процесс пересечет
уровень к с положительной производной, вычисляется по форму-
лам (П6.1) и (П6.6), в которые мы подставим к вместо х. В результате
получим
Pk+dt = рехр(-к2/2)dt, и = (l/27r)(cri/cra:), к = к/ох. (П6.7а,Ь,с)
Среднее число пересечений снизу вверх в единицу времени назы-
вается интенсивностью пересечений уровня к и может быть получено
интегрированием выражения (П6.7а) на единичном интервале времени,
т. е.
т~‘ = мехр(—№/2),	(П6.8)
где ти — среднее время между последовательными пересечениями
снизу вверх уровня к. В частности, и определяет интенсивность пе-
ресечений нулевого уровня. Если же среднее значений процесса z(4)
равно не нулю, а —к, то формула (П6.8) определяет интенсивность
пересечений нулевого уровня.

ПРИЛОЖЕНИЕ П7
СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ВЫБРОСОВ В ЕДИНИЦУ
ВРЕМЕНИ (тГ1) ДЛЯ СИСТЕМЫ,
ВОЗБУЖДЕННОЙ БЕЛЫМ ШУМОМ
При выводе формул этого раздела мы следуем [84]. Решение урав-
нения (5.5.1) при возбуждении белым шумом представляет собой дву-
мерный процесс (х, х). Совместная плотность вероятности может быть
получена из уравнения Фоккера-Планка [66, 83]. Построив распреде-
ление, можно вычислить интенсивность переходов через потенциаль-
ный барьер с помощью тех же рассуждений, что и в Приложении П6.
Стационарное уравнение Фоккера-Планка, соответствующее систе-
ме (5.5.1), имеет вид
д (дн , \ д дН пдН\ . ] , (еу)2 32Д.± п
(st М - ai Г & Si М + “	= °'
(П7.1)
где Н = У(х) + х2/2 (см. [84, с. 219]). Ищем решение вида fxx =
= fxi(H'). Подставляя эту функцию в уравнение (П7.1), получим
<П7-2>
Интегрируя (П7.2), получим
~	= 0(х).	(П7.3)
Левая часть (П7.3) обращается в нуль при х —»оо. Следовательно,
мы должны положить $(х) = 0.
Учитывая, что
dfxx(H) __ dfx,i(H) дН	6П7 4)
дх dH di
О,	(П7.5)
OX
запишем
epfx.x(H) +	= 0.	(П7.6)
Следовательно,
fxi(H) = const X exp (--^2 н] '	(П7.7)
Приложение П7. Среднее число выбросов в единицу времени (тц L) 201
или
jxx(x,x) = const х ехр[-2e/3V(x') / (еу)2] х
х ехр[-2е/?(±2/2)/(Е7)2] =	(П7.8а)
= аехр[-2Е/?У(а;)/(Е7)2][27г(Е7)2/(2Е/3)] */2 х
х exp{-i2/[2(£7)2/(2s0)]},	(П7.8Ь)
где а — нормирующая постоянная. Уравнение (П7.8) показывает,
что процессы rr(t) и i(t) независимы в каждый момент времени t
(см. (П5.11)) и что процесс i(t) гауссовский с нулевым средним
и дисперсией <т? = (ё7)2/(2е)3) (см. П5.14).
Теперь найдем интенсивность пересечений для процесса rr(t), т. е.
интенсивность появления события А, состоящего в пересечении про-
цессом прямой х = b снизу вверх. Вероятность такого события на
интервале времени dt вблизи момента t определена формулой
Mt, dt = dt xfx,x (b, x) dx,
. о
(П7.9)
где интенсивность пересечений щ равна вероятности появления собы-
тия А на единицу времени (уравнение (П6.1)). Учитывая, что процессы
x(t) и i(t) независимы и процесс x(t) — гауссовский с нулевым
средним и дисперсией ст2 — (е7)2/{2е/3), получим
»ь = Л(Ь) ±/x(i) dx = Л(6)[е/(47г/3)]1/27.
Jo
Из формулы (П7.8Ь) следует, что
Л(Ь) = аехр{--[2£/(Е72)М<
(П7.10)
(П7.11)
Теперь можно определить мь по формулам (П7.10) и (П.7.И). Нор-
мирующая постоянная а должна быть получена из условия равенства
единице площади под кривой fx(x).
ЛИТЕРАТУРА
1.	Allen J.S., Samelson R.M. and Newberger P.A. Chaos in a model
of forced quasi-geostrophic flow over topography: an application of
Melnikov’s method // Journal of Fluid Mechanics. 1991. V. 226
P. 511-547.
2.	Argoul F., Arneodo A. and Richetti P. Dynamics in the Belousov-
Zhabotinskii reaction: From Rbssler’s intuition to experimental evi-
dence for Shilnikov’s homoclinic chaos // in “A chaotic hierarchy” /
Eds. G. Baier and M. Klein. — Singapore: World Scientific, 1999.
3.	Arrowsmith D.K. and Place С. M. An introduction to dynamical
systems. — Cambridge: Cambridge University Press, 1990.
4	Basics V., Bountis T. and Nicolis G. Controlling the onset of ho-
moclinic chaos due to parametric noise I I Physics Letters A. V. 251.
P. 250-258.
5.	Beigie D., Leonard A. and Wiggins S. Chaotic transport in the
homoclinic and heteroclinic tangle region of quasiperiodically forced
two-dimensional dynamical systems // Nonlinearity. 1991. V. 4.
P. 775-819.
6.	Benettin G., Galgani L. and Strelcyn J.M. Kolmogorov entropy
and numerical experiments // Physical Review A. 1976. V. 14.
P. 2338-2345.
7.	Berge P., Pomeau Y. and Vidal C. Order within chaos. — New York:
Wiley, 1984.
8.	Bishop S.R., and Thompson J.M.T. Stability of phase-locked loops. —
London: Centre for Nonlinear Dynamics and its Applications, Univer-
sity College, 1999.
9.	Booker S.M. and Smith P.D. Optimal modulations for forcing a
PLL FM demodulator into chaotic behavior. — Dundee: Dept, of
Mathematics, University of Dundee, 1999.
10.	Brunsden V, Cortell J. and Holmes P. Power spectra of chaotic
vibrations of a buckled beam Ц Journal of Sound and Vibration. 1989.
V. 130. P. 1-25.
11.	Charney J.C and DeVore J.G. Multiple flow equilibria in the atmo-
sphere and blocking // Journal of Atmospheric Sciences. 1979. V. 36.
P.1205-1216.
12.	Chow S.N. and Yamashita M. Geometry of the Melnikov vector // in
“Nonlinear Equations in the Applied Sciences”. — New York: Aca-
demic, 1992. P. 79-148.
Литература
203
13.	Cicogna G- and Fronzoni L. Effects of parametric perturbations on
the onset of chaos in the Josephson-junction model: Theory and
analog experiments // Physical Review A. 1990. V. 42. P. 1901-
1906.
14.	Cicogna G. and Fronzoni L. Modifying the onset of homoclinic chaos:
Application to a bistable potential // Physical Review E. 1993. V. 47.
P. 4585-4589.
15.	Collins J.J., Imhoff T.T. and Grigg P. Noise-enhanced tactile sensa-
tion Ц Nature. 1996. V. 383. P. 770-771.
16.	Cook G.R. and Simiu E. Periodic and chaotic oscillations of modified
Stoker column // Journal of Engineering Mechanics. 1991. V. 117.
P. 2049-2064.
17.	Encyclopedia of Statistical Sciences. V. 6. — New York: Wiley, 1985.
18.	Eckmann I P. and Ruelle D. Fundamental limitations for estimating
dimensions and Lyapounov exponents in dynamical systems // Phys-
ica D. 1992. V. 56. P. 185-187.
19.	Falzarano J.M., Shaw S.W. and Troesch A. W. Application of global
methods for analyzing dynamical systems to ship rolling motions and
capsizing // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1992.
V. 2. P. 101-116.
20.	Feder J. Fractals. — New York: Plenum, 1988.
21.	Fenichel N. Persistence and smoothness of invariant manifolds for
flows // Indiana University Mathematics Journal. 1971. V. 21.
P. 193-225.
22.	Franaszek M. Cutoff frequency of experimentally generated noise:
A Melnikov approach // Physical Review E. 1996. V. 54. P. 1-3.
23.	Franaszek M. and Simiu E. Crisis-induced intermittency and Mel-
nikov scale factor // Physics Letters A. 1995. V. 205. P. 137-142.
24.	Franaszek M. and Simiu E. Stochastic resonance: A chaotic dynam-
ics approach // Physical Review E. 1996. V. 54. P. 1288-1304.
25.	Franaszek M. and Simiu E. Noise-induced snap-through of buckled
column with continuously distributed mass: A chaotic dynamics
approach // International Journal of Non-linear Mechanics. 1996.
V. 31. P. 861-869.
26.	Franaszek M. and Simiu E. Auditory nerve fiber modelling:
A stochastic Melnikov approach // Physical Review E. 1998. V. 57.
P. 5870-5876.
27.	Frey M. A Wiener filter, state space flux-optimal control against
escape from a potential well // IEEE Transactions on Automatic
Control. 1996. V. 41. P. 216-223.
204
Литература
28.	Frey М. and Simla. E. Noise-induced chaos and phase space
flux // Physica D. 1993. V. 63. P. 321-340.
29.	Frey M. and Simiu E. Noise-induced transitions to chaos // Pro-
ceedings, NATO Advanced Workshop on Spatio-Temporal Patterns
in Nonequilibrium Complex Systems / Eds. P. Cladis and P. Pally-
Muhoray. — Santa Fe Institute in the Sciences of Complexity,
Addison-Wesley, Reading, MA, 1995. P. 529-544.
30.	Frey M. and Simiu E. Phase space transport and control of escape
from a potential well // Physica D. 1996. V. 95. P. 128-143.
31.	Genchev Z., Ivanov Z. and Todorov B. Effect of periodic perturbation
on radio frequency model of Josephson junction // IEEE Transactions
on Circuits and Systems. 1983. V. CAS-30. P. 633-636.
32.	Ghosh S., Chang H.-C. and Sen M. Heat-transfer enhancement due to
slender recirculation and chaotic transport between counter-rotating
eccentric cylinders // Journal of Fluid Mechanics. 1992. V. 238.
P. 119-154.
33.	Grigoriu M. Applied non-Gaussian processes: Examples, theory,
simulation, linear random vibrations, and MATLAB solutions. —
Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1995.
34.	Guckenheimer J. and Holmes P. Nonlinear oscillations, dynamical
systems, and bifurcations of vector fields. — New York: Springer-
Verlag, 1986.
35.	Gundlach V.M. Random homoclinic orbits // Random and Computa-
tional Dynamics. 1995. V. 3. P. 1-33.
36.	Hanggi P., Jung P., Zerbe C. and Moss F. Can colored noise improve
stochastic resonance? // Journal of Statistical Physics. 1993. V. 70.
P. 25-47.
37.	Hind J.E., Anderson D.J., Brugge J.F. and Rose J.R. Coding of in-
formation pertaining to paired low-frequency tones in single auditory
nerve fibers of the squirrel monkey // Journal of Neurophysiology.
1967. V. 30. P. 794-816.
38.	Hochmair-Desoyer I. J., Hochmair E.S., Motz H. and Rattay F.
A model for the electrostimulation of the Nervus acusticus // Neuro-
science. 1984. V. 13. P. 553-562.
39.	Holmes P. and Marsden J. A partial differential equation with
infinitely many periodic orbits: Chaotic oscillations of a forced
beam II Archive for Rational Mechanics Analysis. 1981. V. 76.
P. 135-166.
40.	Hsieh S.R., Troesch A.W. and Shaw S. W. A nonlinear prob-
abilistic method for predicting vessel capsizing in random beam
seas // Proceedings of the Royal Society of London A. 1994. V. 446.
P. 195-211.
Литература
205
41.	Кас М. Statistical Independence in Probability Analysis and Number
Theory. — New York: Wiley, 1959.
42.	Kautz R.L. Chaos and thermal noise in the rf-biased Josephson
junction // Journal of Applied Physics. 1985. V. 58. P. 424-440.
43.	Larson H.J. and Shubert B.O. Probabilistic models in engineering
sciences. — New York: Wiley, 1979.
44.	Lichtenberg A. J. and Lieberman M.A. Regular and chaotic dynamics.
2nd ed. — New York: Springer-Verlag, 1992.
45.	Lima R. and Pettini M. Suppression of chaos by resonant parametric
perturbations // Physical Review A. 1990. V. 41. P. 726-733.
46.	Lindenberg K., West B.L and Masoliver J. First passage time prob-
lems for non-Markovian processes // in “Noise in nonlinear dynamical
systems". V. 1. / Eds. F. Moss and P.V.E. McClintock. — Cambridge:
Cambridge University Press, 1989. P. 110-160.
47.	Longtin A. Stochastic resonance in neuron models // Journal of
Statistical Physics. 1993. V. 70. P. 309-327.
48.	Lorenz E.N. Deterministic non-periodic flow // Journal of Atmo-
spheric Sciences. 1963. V. 20. P. 130-141.
49.	MacKay R.S., Meiss J.D. and Percival l.C. Transport in Hamiltonian
systems // Physica D. 1984. V. 13. P. 55-81.
50.	Mandelbrot B.B. Self-affine fractal sets // in “Fractals in physics”
Eds. L. Pietronero and E. Tosati. — Amsterdam: North-Holland,
1986. P. 3-28.
51.	McNamara B. and Wiesenfeld K. Theory of stochastic reso-
nance // Physical Review A. 1989. V. 39. P. 4854-4869.
52.	Meirovich L. Analytical methods in vibrations. Toronto: Macmillan
Collier-Macmillan, 1967.
53.	Melnikov V.K. On the stability of the center for time periodic per-
turbations // Transactions of the Moscow Mathematical Association.
1963. V. 12. P. 1-57.
54.	Meyer K.R. and Sell G.R. Melnikov transforms, Bernoulli bundles,
and almost periodic perturbations // Transactions of the American
Mathematical Society. 1989. V. 314. P. 63-105.
55.	Moon F. Chaotic vibrations. New York: Wiley-Interscience, 1992.
56.	Moon F. and Holmes P. A magnetoelastic strange attractor // Jour-
nal of Sound and Vibration. 1979. V. 65. P. 275-296.
57.	Moon F. and Li G.-X. Fractal basin boundaries and homoclinic orbits
for periodic motion in a two-well potential // Physica D. 1985. V. 17.
P. 99-108.
т
206 Литература
58.	Moss F., Pierson D. and O’Gorman D. Stochastic resonance: Tutorial
and update // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1994.
V. 4. P. 1383-1397.
59.	National Safety Transportation Board “Grounding and capsizing of
the clam dredger Patti-B" Ц NSTB Marine Accident Report., 1979.
60.	NOAA (National Oceanic and Atmospheric Administration) Ц Local
Climatological Annual Summaries. — Asheville, NC: Environmental
Data Service, 1977.
61.	Ott E. Chaos in dynamical systems. — Cambridge: Cambridge Uni-
versity Press, 1997.
62.	Papoulis A. The Fourier transform and its applications. New York:
McGraw-Hill, 1962.
63.	Parkinson G.V. and Smith ID. The Square Prism as an Aeroelastic
Nonlinear Oscillator // Quarterly Journal of Mechanics and Applied
Mathematics. 1964. V. 17. P. 225-239.
64.	Poincare H. Les methodes nouvelles de la mecanique celeste. Paris:
Gauthier-Villars, 1892.
65.	Rice S.O. Mathematical analysis of random noise Ц in “Selected
papers in noise and stochastic processes” / Ed. A. Wax. — New York:
Dover, 1954.
66.	Risken H. The Fokker-Planck equation: Methods of solution and
applications. New York: Springer-Verlag, 1984.
67.	Rose J.R., Brugge J.F., Anderson D. and Hind J.E. Phase-locked
response to low-frequency tones in single auditory nerve fibers of
the squirrel monkey // Journal of Neurophysiology. 1967. V. 30.
P. 769-783.
68.	Ruggero M.A. Response to noise of auditory nerve fibers in the
squirrel monkey Ц Journal of Neurophysiology. 1973. V. 36.
P. 569-587.
69.	Sanders J.A. Melnikov method and averaging Ц Celestial Mechanics.
1982. V. 28. P. 171-181.
70.	Shinozuka M. Simulation of multivariate and multidimensional ran-
dom processes // Journal of Acoustical Society of America. 1971.
V. 49. P. 347-357
71.	Shulgin B., Neiman A. and Anishchenko V. Mean switching fre-
quency locking in stochastic bistable systems driven by a periodic
force // Physical Review Letters. 1995. V. 75. P. 4157-4159.
72.	Simiu E. Melnikov process for stochastically perturbed slowly vary-
ing oscillators: Application to a model of wind-driven coastal cur-
rents Ц Journal of Applied Mechanics. 1996. V. 63. P. 429-436.
Литература
207
73.	Simiu Е. and Cook G.R. Chaotic motions ot self-excited forced and
autonomous square prisms // Journal of Engineering Mechanics.
1991. V. 117. P. 241-259.
74.	Simiu E. and Cook G.R. Empirical fluid-elastic models and chaotic
galloping: A case study // Journal of Sound and Vibration. 1992.
V. 154. P. 45-66.
75.	Simiu E. and Franaszek M. Melnikov-based open-loop control of es-
cape for a class of nonlinear systems // ASME Journal of Dynamical
Systems, Measurement, and Control. 1997. V^119. P. 590-594.
76.	Simiu E. and Frey M. Melnikov function and homoclinic chaos
induced by weak perturbations Ц Physical Review E. 1993. V. 48.
P. 3190-3192.
77.	Simiu E. and Frey M. Spectrum of the stochastically forced Duffing-
Holmes oscillator // Physics Letters A. 1993. V. 177. P. 199-202.
78.	Simiu E. and Frey M. Noise-induced sensitivity to initial condi-
tions // in “Proceedings of the workshop on fluctuations and order:
The new synthesis” / Ed. M. Millonas. — New York: Springer-Verlag,
1996. P. 81-90.
79.	Simiu E., Frey M. and Grigoriu M. Necessary conditions for homo-
clinic chaos induced by additive noise // in “Computational stochastic
mechanics” I Eds. P. Spanos and C. Brebbia. — New York: Elsevier,
1991.
80.	Simiu E. and Grigoriu M. Non-Gaussian noise effects on reliability
of multistable systems // Journal of Offshore Mechanics and Arctic
Engineering. 1995. V. 117. P. 166-170.
81.	Simiu E. and Scanlan R.H. Wind effects on structures. 3rd ed. —
New York: Wiley-Interscience, 1996.
82.	Sivathanu Y., Hagwood C. and Simiu E. Exits in multistable systems
excited by coin-toss square wave dichotomous noise: A chaotic dy-
namics approach // Physical Review E. 1995. V. 52. P. 4669-4675.
83.	Soize C. The Fokker-Planck equation for stochastic dynamical sys-
tems and its explicit steady state solutions. — Singapore: World
Scientific, 1994.
84.	Soong T. T. and Grigoriu M. Random vibrations of mechanical and
structural systems. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1993.
85.	Steinkamp О Melnikov’s method and homoclinic chaos for ran-
dom dynamical systems // Dissertation zur Erlangung des Grades
eines Dokters der Naturwissenschaften, vorgelegt im Fachbereich
Mathematik und Informatik der Universitat Bremen. — Berlin: Logos
Verlag, 1999.
86.	Stoker, J. J. Nonlinear vibrations. — New York: Interscience, 1950.
208
Литература
87.	Stone Е. and Holmes P. Random perturbations of heteroclinic at-
tractors // SIAM Journal on Applied Mathematics 1990. V. 50.
P. 726-745.
88.	Tan N. and Radmore P. Alternative approaches to Melnikov analysis
for forced oscillators // Journal of Sound and Vibration. 1995. V. 187.
P.815-824.
89.	Thompson J.M. T. and Stewart B. Nonlinear dynamics and chaos. —
New York: Wiley, 1986.
90.	Tseng W. Y. and Dugundji J. Nonlinear vibrations of a buckled beam
under harmonic excitations // Journal of Applied Mechanics. 1971.
V. 38. P. 467-476.
91.	Vaicaitis R. and Simla E. Nonlinear pressure terms and along-wind
response // Journal of the Structural Division, ASCE. 1977 V. 103.
P.903-906.
92.	Van den Broeck C. and Nicolis C. Noise-induced sensitivity to initial
conditions in stochastic dynamical systems // Physical Review E.
1993. V. 48. P. 4845-4846.
93.	van der Hoven I. Power spectrum of horizontal wind speed in the
frequency range from 0,0007 to 900 cycles per hour // Journal of
Meteorology. 1957. V. 14. P. 160-163.
94.	Verhulst F. Nonlinear differential equations and dynamical sys-
tems. — New York: Springer-Verlag, 1990.
95.	von Mises R. Probability, statistics, and truth. — London/MacMillan,
New York: George Unwin and Allen, 1957.
96.	Whalen T.M. Stability of multi-degree of freedom stochastic nonlin-
ear systems // in “Nonlinear dynamics and controls” / Eds. H. Bajab
et al. — New York: ASME International Mechanical Engineering
Conference, American Society of Mechanical Engineers, 1996.
97.	Wiggins S. Global bifurcations and chaos: Analytical methods. —
New York: Springer-Verlag, 1988.
98.	Wiggins S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and
chaos. New York: Springer-Verlag, 1990
99.	Wiggins S. Chaotic transport in dynamical systems. New York:
Springer-Verlag, 1992.
100.	Wiggins S. and Holmes P. Homoclinic orbits in slowly varying
oscillators // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1987, 1988.
V. 18. P. 612-629; Erratum: V. 19. P. 1254-1255.
101.	Wiggins S. and Shaw S.W. Chaos and three-dimensional horseshoes
in slowly varying oscillators // Journal of Applied Mechanics. 1988.
V. 55. P. 959-968.