Л. Д. ЛАНДАУ и Е. М. ЛИФШИЦ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ

ФИЗИКА

ТОМ IX

МОСКВА «НАУКА»
Е. М. ЛИФШИЦ, Л. П. ПИТАЕВСКИЙ

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

ФИЗИКА

ЧАСТЬ 2

Теория
конденсированного
состояния

Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
физических специальностей университетов

МОСКВА «НАУКА»
630
Л 67

УДК 530.145

Гвгений Михайлович Лифшиц, Лев Петрович Питаевский
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Часть 2

Теория конденсированного состояния

(Серия: ^Теоретическая физика», том IX)

1978 г., 448 стр. с илл.

Редактор Ю. Г. Рудой

Технический редактор В. Н. Кондакова

Корректоры 3. В, Автонеева, Л. Н. Ворована
ИБ № 2265

Сдано в набор 28.11.77. Подписано к печати	20.03.78. Бумага 60х901/1в, тип. №		3.
Литературная гарнитура. Высокая печать.	Услови. печ. л. 28.	Уч. нзд.	
л. 28.58. .	Тираж 40 000 экз.	Заказ №2171. Цена книги 1	р. .20	к.
Издательство «Наука»  Главная редакция физико-математической литературы  117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15			

Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая Образцовая
типография имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета
Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москвй, М-54,
Валовая, 28.

п 20402—064 Л4 __	© Главная редакция

*1	7Q 94-78	физико-математической литературы

Ubo(UZJ-/o	издательства «Наука», 1978
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие........................................................ 8

Некоторые обозначения............................................... 10

Глава I. Нормальная ферми-жидкость.................................. 11

§ 1.	Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости ... И

§ 2.	Взаимодействие квазичастиц............................... 19

§ 3.	Магнитная восприимчивость ферми-жидкости................... 24

§ 4.	Нулевой звук .............................................. 26

§ 5.	Спиновые волны в ферми-жидкости............................ 33

§ 6.	Вырожденный почти идеальный ферми-газ с отталкиванием
между частицами............................................... 34

Глава II. Гриновские функции ферми-системы при Т = 0.............. 43

§ 7.	Функция Грина макроскопической системы................... 43

§ 8.	Определение энергетического спектра по функции Грина ...	49

§ 9.	Функция Грииа идеального ферми-газа...................... 55

. § 10. Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам ....	57

§ 11.	Вычисление термодинамических величин по функции Грина	59

§ 12.	Ф'-операторы в представлении взаимодействия........ . .	60

§ 13.	Диаграммная техника для ферми-системы.................... 64

§ 14.	Собственно-энергетическая функция........................ 72

§ 15.	Двухчастичная функция Грина.............................. 76

§ 16.	Связь вершинной функции с амплитудой рассеяния квазичастиц	81

§ 17.	Вершинная функция при малых передачах импульса ....	84

§ 18.	Связь вершинной функции с функцией взаимодействия квази-
частиц ........................................................ 90

§ 19.	Тождества для производных от функции Грина .............. 93

§ 20.	Вывод связи между предельным импульсом и, плотностью . .	98

§ 21.	Гриновская функция почти идеального ферми-газа..........	101

Глава III. Сверхтекучесть ....................................    108

§ 22.	Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости ...	108

.§23. Сверхтекучесть........................................... 112

§ 24.	Фононы в жидкости....................................... 119

§ 25.	Вырожденный почти идеальный бозе-газ.................... 123

§ 26.	Волновая функция конденсата............................. 128

§ 27.	Температурная зависимость плотности конденсата.......... 133

§ 28.	Поведение сверхтекучей плотности вблизи А,-точки........ 136

§ 29.	Квантованные вихревые нити.............................. 138

§ 30.	Вихревая нить в почти идеальном бозе-газе............... 145

§ 31.	Гриновские функции бозе-жидкости . ..................... 147

§ 32.	Диаграммная техника для бозе-жидкости................... 153

§ 33.	Собственно-энергетические функции....................... 157

§ 34.	Распад квазичастиц.....................................  161

•§ 35.	Свойства спектра вблизи точки его окончания ............ 166
Глава IV. Функции Грина при конечных температурах................

§ 36.	Гриновские функции при конечных температурах............

§ 37.	Температурные функции Грина...................

§ 38.	Диаграммная техника для температурных функций Грина

Глава V. Сверхпроводимость ....................................... 185

§ 39.	Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр....... 185

§ 40.	Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства	....	191

§ 41.	Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа......... 197

§ 42.	Температурные гриновские функции сверхтекучего ферми-газа	203

§ 43.	Сверхпроводимость металлов.......................... 206

§ 44.	Сверхпроводящий ток................................. 207

§ 45.	Уравнения Гинзбурга — Ландау........................ 213

§ 46.	Поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей и нор-
ма льной фаз.............................................. 221

§ 47.	Два рода сверхпроводников........................... 226

§ 48.	Структура смешанного состояния...................... 231

§ 49.	Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода	....	239

§ 50.	Эффект Джозефсона................................... 242

§ 51.	Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике...... 247

§ 52.	Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник	254

§ 53.	Сверхпроводящие сплавы.............................. 256

§ 54.	Эффект Купера при отличных от нуля орбитальных моментах
пары ..................................'....................... 259

Глава VI. Электроны в кристаллической решетке .........	265

§ 55.	Электрон в периодическом поле.........................	.	265

§ 56.	Влияние внешнего поля на движение электрона в решетке	274

§ 57.	Квазиклассические траектории........................ 279

§ 58.	Квазиклассические уровни энергии.................... 284

§ 59.	Тензор эффективных масс электрона в решетке .......	287

§ 60.	Симметрия состояний электрона в решетке в	магнитном поле	292

§ 61.	Электронный спектр нормальных металлов.............  297

§ 62.	Гриновская функция электронов в металле............. 302

§ 63.	Эффект де Гааза —ван Альфена.......................  307

§ 64.	Электрон-фононное взаимодействие.........У............  .	315

§ 65.	Влияние электрон-фононного взаимодействия	на электронный

спектр в металле.......................................... 318

§ 66.	Электронный спектр твердых диэлектриков.................  323

§ 67.	Электроны и дырки в полупроводниках.....................  327

§ 68.	Электронный спектр вблизи точки вырождения .......	329

Глава VII. Магнетизм.............................................. 336

§ 69.	Уравнение движения магнитного момента в ферромагнетике 336

§ 70.	Магноны в ферромагнетике. Спектр......................... 343

§ 71.	Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины . ,	349

§ 72.	Спиновый гамильтониан...................................  354

§ 73.	Взаимодействие магнонов.................................  360

§ 74.	Магноны в антиферромагнетике..........................  ,	366

Глава VIII. Электромагнитные флуктуации .........................  370

§ 75.	Гриновская функция фотона в	среде......................  370

§ 76.	Флуктуации электромагнитного	поля......................  376

§ 77.	Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде . . .	378

§ 78.	Флуктуации тока в линейных	цепях......................  384

§ 79.	Температурная функция Грина фотона в среде............	385

§ 80.	Тензор напряжений ван-дер-ваальсовых сил .........	390
§ 81.	Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами
Общая формула................................................. 398

§ 82.	Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами.
Предельные случаи............................................. 402

§ 83.	Асимптотическое поведение корреляционной функции в жид-
кости ........................................................ 407

§84.	Операторное выражение для диэлектрической проницаемости 411

§ 85.	Вырожденная плазма......................................   414

Глава IX. Гидродинамические флуктуации ...........................  422

§ 86.	Динамический формфактор жидкости................ 422

§ 87.	Правила сумм для формфактора . ..........................  427

§ 88.	Гидродинамические флуктуации................  ......... 432

§ 89.	Гидродинамические флуктуации в неограниченной	среде	.	.	.	436

§ 90.	Операторные выражения для кинетических	коэффициентов	.	.	442

§ 91.	Динамический формфактор ферми-жидкости............... 444

Предметный указатель.................................. 448
ПРЕДИСЛОВИЕ

Если кратко охарактеризовать содержание предлагаемого
читателю IX тома Курса теоретической физики, то можно ска-
зать, что он посвящен квантовой теории конденсированного
состояния вещества. Он начинается с подробного изложения
теории квантовых жидкостей—бозевской и фермиевской. Эта
теория, созданная Л. Д. Ландау вслед за экспериментальными
открытиями П. Л. Капицы, представляет в настоящее время
самостоятельный раздел теоретической физики. Его важность
определяется даже не столько теми интересными явлениями, кото-
рые происходят в жидких изотопах гелия, сколько тем, что
представления о квантовой жидкости и ее спектре являются
по существу основой квантового описания макроскопических тел.

Например, для глубокого понимания свойств металлов необ-
ходимо рассматривать электроны в них как ферми-жидкостЬ.
Свойства электронной жидкости, однако, усложняются нали-
чием кристаллической решетки, и предварительное изучение
более простого случая однородной и изотропной жидкости
является необходимым шагом в построении теории. Точно так
же сверхпроводимость металлов, которую можно рассматривать
как сверхтекучесть электронной жидкости, трудно ясно понять
без предварительного знания более простой теории сверхтеку-
чести бозе-жидкости.

Неотъемлемую часть математического аппарата современней
статистической физики составляет аппарат гриновских функ-
ций. Это связано отнюдь не'только с теми вычислительными
удобствами, которые предоставляет диаграммная техника вычис-
ления гриновских функций. Дело прежде всего в том, что гри-
новские функции непосредственно определяют спектр элемен-
тарных возбуждений тела и потому являются тем языком, 'на
котором свойства этих возбуждений наиболее естественно опи-
сывать. Поэтому в настоящем томе методическим вопросам —
теории гриновских функций макроскопических тел — уделено
значительное внимание. Хотя основные идеи метода одни и те
же для всех систем, конкретный вид диаграммной техники раз-
личен в разных случаях. Представляется естественным в этой
связи развивать эти методы на примере тех же изотропных
квантовых жидкостей, где сущность метода выявляется в чис-
том виде, без усложнений, вносимых пространственной неодно-
родностью, наличием нескольких сортов частиц и т, п.

По аналогичным причинам микроскопическую теорию сверх-
проводимости мы излагаем на простой модели изотропного ферми-
газа со слабым взаимодействием, отвлекаясь от усложнений,
связанных с наличием кристаллической решетки и кулоновским
взаимодействием.

В связи с главами, посвященными электронам в кристалли-
ческой решетке и теории магнетизма, подчеркнем лишний раз,
что предлагаемая книга—часть курса теоретической физики
и ни в коей мере не призвана заменить собой курс теории
твёрдого тела. В соответствии с этим здесь рассматриваются
лишь вопросы наиболее общего -характера и не затрагиваются
как вопросы, требующие использования конкретных экспери-
ментальных данных, так и те из'расчетных методов, которые
не имеют под собой ясной теоретической базы. Напомним также,
что к данному тому не относятся кинетические свойства твер-
дых тел, которые мы предполагаем рассмотреть в следующем,
заключительном томе курса.

Наконец, в этой книге излагаются также теория электро-
магнитных флуктуаций в материальных средах и теория гидро-
динамических флуктуаций. Первая из них входила ранее в со-
став VIII тома. Ее перенесение в настоящий том вызвано необ-
ходимостью применения гриновских функций, что позволяет
придать всей теории более простой и удобный для применения
вид. Кроме того, естественно рассматривать электромагнитные
и гидродинамические флуктуации в одном томе.

. Л. Д. Ландау отсутствует среди фактических авторов этой
книги. Но читатель легко заметит, сколь часто встречается его
имя в тексте книги; ему лично или в сотрудничестве с его
учениками принадлежит значительная доля излагаемых здесь
результатов. Многолетнее общение с ним дает нам основание
надеяться, что нам удалось верно отразить его точки зрения
по этим вопросам—разумеется, с учетом также и того нового,
что было внесено в них за 15 лет, прошедших со дня, когда
так трагически прервалась его деятельность.

Мы хотели бы поблагодарить А. Ф. Андреева, И. Е. Дзяло-
шинского и И. М. Лифшица за постоянное обсуждение вопросов,
рассмотренных в этой книге. Му извлекли также много пользы
из известной книги А. А. Абрикосова, Л. П. Горькова и
И. Е. Дзялошинского—одной из первых книг в физической
литературе, посвященных новым методам статистической физики.
Наконец, мы благодарны Л. П. Горькову и Ю. Л. Климонтовичу,
прочитавшим книгу в рукописи и сделавшим ряд замечаний.

Апрель 1977 г.

Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Векторные индексы обозначаются латинскими буквами i, k,...
Спиновые индексы обозначаются греческими буквами а, (3, ...
По всем дважды повторяющимся индексам подразумевается
суммирование.

«4-векторы» (см. примечание на стр. 68) обозначаются заглав-
ными буквами X, Р, ...

Элемент объема dV или d3x.

Предел при стремлении величины к нулю сверху или снизу:
+ 0 или —0.

Операторы обозначаются буквами со шляпкой

Гамильтониан Н, Н' =Н—рМ. Оператор возмущений V.

ф-операторы в шредингеровском представлении гр, гр+;
в гейзенберговском представлении Ф, Ф+; в мацубаровском
представлении Ф-^, ТЛ1.

Гриновские функции G, D. Температурные гриновские функ-
ции %, 3).

Термодинамические величины обозначаются так же, как
в томе V, в том числе: температура Т, объем V, давление Р,
химический потенциал р.

Напряженность и индукция магнитного поля Н и В; внеш-
нее магнитное поле $».

Ссылки на номера параграфов и формул других томов этого
курса снабжены римскими цифрами: I — «Механика», 1973;
II—«Теория поля», 1973; III — «Квантовая механика», 1974;
IV—«Релятивистская квантовая теория», 1968, 1971; V—«Ста-
тистическая физика», часть 1, 1976; VI — «Механика сплошных
сред», 1954; VIII — «Электродинамика сплощных сред», 1959.
ГЛАВА I

НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ

§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости

При температурах настолько низких, что де-бройлевская
длина волны, отвечающая тепловому движению атомов жидко-
сти, становится сравнимой с межатомными расстояниями, макро-
скопические свойства жидкости определяются квантовыми эффек-
тами. Теория таких квантовых жидкостей представляет значи-
тельный принципиальный интерес, хотя в природе существуют
лишь два объекта такого рода, являющиеся жидкостями в букваль-
ном смысле этого слова; это — жидкие изотопы гелия (Не3 и Не4)
при температурах	—2 К. Все другие вещества затвердевают

значительно раньше, чем становятся существенными квантовые
эффекты в них. Напомним в этой связи, что, согласно класси-
ческой механике, все тела должны были бы быть твердыми при
абсолютном нуле (см. V § 64); гелий же, благодаря особой сла-
бости взаимодействия его атомов, остается жидким вплоть до
температур, когда вступают в силу квантовые явления, после
чего затвердевание уже перестает быть обязательным.

Вычисление термодинамических величин макроскопического
тела требует знания спектра его уровней энергии. Разумеется,
в случае системы сильно взаимодействующих частиц, каковой
является квантовая жидкость, речь должна идти именно об
уровнях, соответствующих квантовомеханическим стационарным
состояниям всей жидкости в целом, а отнюдь не состояния®
отдельных атомов. При вычислении статистической суммы в об-
ласти достаточно низких температур должны учитываться лишь
слабо возбужденные уровни энергии жидкости — уровни, распо-
ложенные не слишком высоко над основным.

Следующее обстоятельство имеет фундаментальное значение,
для всей теории. Всякое слабо возбужденное состояние макро-
скопического тела можно рассматривать в квантовой механике
как совокупность отдельных элементарных возбуждений. Эти
элементарные возбуждения ведут себя как некоторые квазичас-
тицы, движущиеся в занимаемом телом объеме и обладающие
определенными энергиями ё и импульсами р. Вид зависимости
е(р) (или, как говорят, закон дисперсии элементарных возбуж-
дений) является важной характеристикой энергетического
спектра тела. Подчеркнем лишний раз, что понятие элементар-
ных возбуждений возникает как способ квантовомеханического
описания коллективного движения атомов тела и квазичастицы
отнюдь не могут быть отождествлены с отдельными атомами
или молекулами.

Существуют различные типы энергетических спектров, кото-
рыми могут, в принципе, обладать квантовые жидкости. В зави-
симости от типа спектра жидкость будет иметь также и совер-
шенно различные макроскопические свойства. Мы начнем с изу-
чения жидкости со спектром типа, который можно назвать
фермиевским. Теория такой ферми-жидкости была создана
Л. Д. Ландау (1956—1958 гг.); ему принадлежат результаты,
излагаемые в §§ 1—41 *).

Энергетический спектр квантовой жидкости фермиевского
типа строится в известном смысле аналогично спектру идеаль-
ного ферми-газа (из частиц со спином 1/2). Основное состояние
последнего соответствует заполнению частицами всех состояний
внутри фермиевской сферы—сферы в импульсном пространстве
с радиусом pF, связанным с плотностью газа N/V (числом ча-
стиц в единице объема) формулой

м 4лр1 pi

о-')

(см. V § 57). Возбужденные состояния газа возникают, когда
частицы переходят из состояний заполненной сферы в какие-
либо состояния с р > pF.

В жидкости, разумеется, не существует квантовых состоя-
ний для отдельных частиц. Однако исходный пункт для построе-
ния спектра ферми-жидкости состоит в утверждении, что класси-
фикация уровней энергии остается неизменной при постепенном
«включении» взаимодействия между атомами, т. е. при переходе
от газа к жидкости. В этой классификации роль частиц газа
переходит к элементарным возбуждениям (квазичастицам), число
которых совпадает с числом атомов и которые подчиняются
статистике Ферми.

Сразу же отметим, что спектром такого типа может обла-
дать, очевидно, только жидкость из частиц с полуцелым спином —
состояние системы из бозонов (частиц с целым спином) не может
описываться в терминах квазичастиц, подчиняющихся статис-
тике Ферми. В то же время следует подчеркнуть, что спектр
этого типа не может быть универсальным свойством всех таких
жидкостей. Тип спектра зависит также и от конкретного харак-
тера взаимодействия между атомами. Простое соображение

i) Забегая вперед, сразу же уточним, во избежание недоразумений, что

речь идет о несверхтекучей (или, как говорят, нормальной) ферми-жидкости.

Таковой является жидкий изотоп Не3 (с оговоркой, которая будет сделана
в примечании на стр. 263).
§ и

делает это обстоятельство очевидным: если взаимодействие
таково, что в его результате атомы стремятся ассоциироваться
в пары, то в пределе мы получили бы молекулярную жидкость,
состоящую из частиц (молекул) с целым спином, для которой
рассматриваемый спектр заведомо невозможен.

Каждая из квазичастиц обладает определенным импульсом р
(мы еще вернемся к вопросу о справедливости этого утвержде-
ния). Пусть п(р) есть функция распределения квазичастиц по
импульсам, нормированная условием

fndr = £, dx=-^~
J v	(2id)3

(это условие будет уточнено ниже). Упомянутый выше принцип
классификации состоит в предположении, что задание этой функ-
ции однозначно определяет энергию Е жидкости и что основное
состояние, соответствует функции распределения, в которой
заняты все состояния внутри ферми-сферы с радиусом pF, свя-
занным с плотностью жидкости той же формулой (1,1), что и
в случае идеального газа.

Важно подчеркнуть, что полная энергия, жидкости Е отнюдь
не сводится к сумме энергий е квазичастиц. Другими словами,
Е представляет собой функционал от функции распределения,
не сводящийся к интегралу ^nsdx (как это имеет место для
идеального газа, где квазичастицы совпадают с истинными
частицами и не взаимодействуют друг с другом). Поскольку
первичным понятием является именно Е, то .возникает вопрос
об определении энергии квазичастиц с учетом их взаимодей-
ствия.

Для этого рассмотрим изменение Е при бесконечно малом
изменении функции распределения. Оно должно, очевидно, оп-
ределяться интегралом от выражения, линейного по вариации
дп. т. е. имеет вид

y- = Je(p) bndx.

Величина е есть вариационная производная от энергии Е по
функции распределения. Она соответствует изменению энергии
Системы при добавлении одной квазичастицы с импульсом р,
и именно эта величина играет роль гамильтоновой функции
квазичастицы в поле других частиц. Она тоже является функцио-
налом функции распределения, т. е. вид функции е(р) зависит
от распределения всех частиц в жидкости:

Отметим в этой связи, что элементарное возбуждение в рас-
сматриваемом типе спектра можно в известном смысле тракто-
вать как атом в самосогласованном поле других атомов. Эту
самосогласованность нельзя, однако, понимать в обычном в кван-
товой механике смысле. Она имеет здесь более глубокий харак-
тер; в гамильтониане атома учитывается влияние окружающих
частиц не только на потенциальную энергию, но меняется
также и зависимость оператора кинетической-энергии от опера-
тора импульса.

До сих пор мы отвлекались от наличия у квазичастиц спина.
Так как спин является квантовомеханической величиной, то
он не может рассматриваться классически, ввиду чего мы должны
считать функцию распределения статистической матрицей в отно-
шении спина. Энергия же элементарного возбуждения е в общем
случае является не только функцией от импульса, но и опера-
тором по отношению к спиновым переменным, который можно
выразить через оператор спина квазичастицы s. В однородной
и изотропной жидкости (не находящейся в магнитном поле и не
ферромагнитной) оператор s может входить в скалярную функ-
цию е тоже лишь в виде скаляров s2 или (sp)2; первая степень
произведения sp недопустима, поскольку в виду аксиальности
вектора спина она является псевдоскаляром. Квадрат s2=s (s-4-l),
а для спина s = 1/2 сводится к не зависящей от s постоянной
также и скаляр (sp)2 = р2/4. Таким образом, в этом случае энер-
гия квазичастицы вовсе не зависит от оператора спина, т. е.
все уровни энергии квазичастиц двукратно вырождены.

По существу утверждение о наличии спина у квазичастицы
и выражает факт существования этого вырождения. В этом
смысле можно утверждать, что спин квазичастиц в данном типе
спектра всегда равен 1/2, вне зависимости от величины спина
истинных частиц жидкости. Действительно, для любого отлич-
ного от 1/2 спина s члены вида (sp)2 привели бы к расщепле-
нию (2s + 1)-кратно вырожденных уровней на (2s ± 1)/2 уровней
с двукратным вырождением. Другими словами, появляются
(2s±l)/2 различных ветвей функции е(р), каждая из которых
соответствует «квазичастицам со спином 1/2».

Как уже было отмечено, с учетом спина квазичастиц функ-
ция распределения становится матрицей или оператором п (р)
по отношению к спиновым переменным. В явном виде этот опе-
ратор записывается как эрмитова статистическая матрица паР (р),
где а, р—спиновые матричные индексы, пробегающие два зна-
чения ±1/2. Диагональные матричные элементы определяют
числа квазичастиц в определенных спиновых состояниях. Поэтому
условие нормировки функции распределения квазичастиц надо
писать теперь в виде

Sp jnaadr = y-,	=	(1,2)
(символ Sp означает взятие следа матрицы по спиновым
индексам)1).

Оператором—матрицей по спиновым переменным—является
в общем случае также и энергия квазичастицы е. Ее определе-
ние надо записывать так:

^ = Sp У e6ndx = j еарбп₽а dr.	(1,3)

Если спиновая зависимость функции распределения и энер-
гии отсутствует, т. е. пар и еар сводятся к единичной матрице

М=пб<х₽> М=еб«р,	(1,4)

то взятие следа в (1,2—3) сводится просто к умножению на 2:
2^ndx = -^r,	= % У eSndr.	(1,5)

Легко видеть, что в статистическом равновесии функция
распределения квазичастиц имеет вид распределения Ферми,
причем роль энергии играет определенная согласно (1,3) вели-
чина е. Действительно, в, силу совпадения классификационных
свойств уровней энергии жидкости и идеального ферми-газа
энтропия S жидкости определяется таким же комбинаторным
выражением

у = — Spy {п Inn — (1—n) In (1—n)}dx, (1,6)
как и в случае газа (см. V § 55). Варьируя это выражение при
дополнительных условиях постоянства полного числа частиц и
полной энергии

^ = Spy6ndx = O, ^ = Sp У e6ndx = 0,
мы получим искомое распределение

п = [е(е-иЖ_|_ 1]-If	(17)

где р— химический потенциал жидкости.

При не зависящей от спина энергии квазичастиц формула
(1,7) означает такую же связь между величинами п и е:

п = [е(е-ю/т_|_ i]-i.	(1)8)

При температуре Т = 0 химический потенциал совпадает с гра-
ничной энергией на поверхности сферы Ферми:

И1т=о = ег=8(рг).	(1,9)

х) Здесь и везде ниже по дважды повторяющимся индексам, как
обычно, подразумевается суммирование.
Подчеркнем, что, несмотря на формальную аналогию выраже-
ния^!^) с обычным .распределением Ферми, оно не тождест-
венно с ним: поскольку е само есть функционал от и, формула
(1,8) представляет собой, строго говоря, сложное неявное опре-
деление п.

Вернемся к сделанному предположению о том, что каждой
квазичастице может быть приписан определенный импульс.
Условие справедливости этого предположения требует, чтобы
неопределенность импульса (связанная с конечностью длины
свободного пробега квазичастицы) была мала не только по
сравнению с величиной самого импульса, но и по сравнению
с шириной Др «области размытости» распределения — области,
в которой оно существенно отличается от «ступенчатой» функ-
ции г):

0(p) = 0(p)=J 1 при Р<Рг>	([ 10)

'	7	Q	ПрИ р >

Легко видеть, что это условие соблюдается, если распределение
п(р) отличается от (1,10) лишь в малой области вблизи поверх-
ности ферми-сферы. Действительно, в силу принципа Паули
взаимно рассеиваться могут только квазичастицы в области
размытости распределения, причем в результате рассеяния они
должны переходить в свободные состояния в той же области.
Поэтому вероятность столкновения пропорциональна квадрату
ширины этой области. Соответственно пропорциональна (Др)2
и неопределенность энергии, а с нею и неопределенность им-
пульса квазичастицы. Отсюда ясно, что при достаточно малом
Др неопределенность импульса будет мала не только по срав-
нению с рр, но и по сравнению с Др.

Таким образом, излагаемый метод справедлив только для
таких возбужденных состояний жидкости, которые описываются
функцией распределения квазичастиц, отличающейся от «сту-
пеньки» лишь в узкой области вблизи поверхности Ферми.
В частности, для термодинамически равновесных распределений
допустимы лишь достаточно низкие температуры. Ширина (по
энергии) области размытости равновесного распределения по-
рядка Т. Квантовая же неопределенность энергии квазичастицы,
связанная со столкновениями, —порядка величины А/т, где т —
время свободного пробега квазичастицы. Поэтому условие

*) Отметим для дальнейшего, что производная

0' (Р) = — 6 (р— Рр).

Действительно, обе стороны этого равенства дают одинаковый результат
(единицу) при интегрировании по любому интервалу р, содержащему точку
Р=Рр-
применимости теории

А/т<Т.	(1,11)

При этом, согласно сказанному выше, время т обратно про-
порционально квадрату ширины области размытости, т. е.

тсюТ"2,

так что (1,11) за^рдомо выполняется при Т—>0. Для жидкости,
в которой взаимодействие между частицами не является сла-
бым, все энергетические параметры по порядку величины со-
впадают с граничной энергией eF; в этом смысле условие (1,11)
эквивалентно условию Т | eF |г).

Для распределений, близких к «ступенчатому» (распределе-
ние при Т = 0), можно, в первом приближении, заменить функ-
ционал е его значением, вычисленным для п(р) = 0(р). Тогда е
становится определенной функцией величины импульса, и фор-
мула (1,7) становится обычным распределением Ферми.

При этом вблизи поверхности ферми-сферы, где функция
е (р) только и имеет” .непосредственный физический смысл, ее
можно разложить по степеням разности р—рР. Имеем

е—Ep^vp (р—pF),	(1,12)

где

есть «скорость» квазичастиц на ферми-поверхности. В идеаль-
ном ферми-газе, где квазичастицы тождественны с истинными
частицами, имеем е = р^Ът, так что Vp—pF/m. По аналогии можно
ввести для ферми-жидкости величину

tn* — pplVp,	(1,14)

назвав ее эффективной массой квазичастицы; эта величина по-
ложительна (см. конец § 2).

В терминах введенных таким образом величин условие при-
менимости теории можно записать как Т <^.VppF, причем реаль-
ным смыслом обладают лишь квазичастицы с импульсами р,
для которых \р—рр\<^,рр. Подчеркнем лишний раз последнее
обстоятельство и отметим, что оно придает в особенности не-
тривиальный характер соотношению (1,1) между рР и плотно-
стью жидкости, поскольку его наглядный вывод (для фер-
ми-газа) основан на представлении о частицах в состояниях,

Для жидкого Не3, одиако, область количественной применимости теории,
как показывает эксперимент, фактически ограничена температурами
(между тем как |	| ® 2,5 К),
заполняющих всю ферми-сферу, а не только окрестность ее
поверхности *).

Эффективная масса определяет, в частности, энтропии S
и теплоемкость С жидкости при низких температурах. Они
даются той же формулой, что и для идеального газа (V § 58),
в которой надо только заменить массу частицы т эффективной
массой т*:

S = C = V1T,	=	(1,15)

(ввиду линейной зависимости от Т величины S и С совпадают).
Действительно, выражение (1,6) энтропии через функцию рас-
пределения одинаково для жидкости и для газа, а при вычис-
лении этого интеграла существенна лишь область импульсов
вблизи Рр, в которой функции распределения квазичастиц
в жидкости и частиц в газе даются одним и тем же выраже-
нием (1,8)* 2).

Перед тем, как продолжить развитие теории, сделаем сле-
дующее замечание. Хотя излагаемый способ введения понятия
квазичастиц в ферми-жидкости в полной аналогии с частицами
газа наиболее удобен для систематического построения теории,
связаннная с ним физическая картина имеет тот недостаток,
что в ней фигурирует ненаблюдаемая заполненная ферми-сфера
квазичастиц. Этот недостаток можно было бы устранить форму-
лировкой, в которой элементарные возбуждения появляются
только при Т=0=О. В такой картине роль элементарных возбуж-
дений играют квазичастицы вне ферми-сферы и «дырки» внутри
нее; первым надо приписать (в приближении, отвечающем фор-
муле (1,12)) энергию e — vf(p—рр), а вторым e. = Vp(pp—р). Ста-
тистическое распределение тех и других дается формулой
распределения Ферми с равным нулю химическим потенциалом
(в соответствии с тем, что число элементарных возбуждений
при этом не постоянно, а само определяется температурой3 * * * *))

n = [ee/r + 1]-i.	(1,16)

>) Доказательство соотношения (1,1) требует применения более сложных
математических методов и будет дано ниже, в § 20.

2) Для жидкого Не3 (при нулевом давлении): р/г/й- = 0,8-108 см-1; т* =
= 3,1m (Не3); рр определяется по плотности жидкости; т* — по теплоемкости.

3) Напомним (ср. V § 63), что в таких условиях число квазичастиц ,VKB

определяется условием термодинамического равновесия—минимальностью

свободной энергии F как функции NKB при заданных температуре и объеме:

(dF/dNKB)T у = 0; но эта производная и есть «химический потенциал квази-

частиц» (не смешивать его. с химическим потенциалом ц жидкости, определен-

ным производной от F по числу истинных частиц N).
Элементарные возбуждения в этой картине появляются или
исчезают лишь парами, так что полные числа возбуждений
с импульсами р > рР и р < рр всегда одинаковы.

Отметим также, что при таком определении элементарных
возбуждений их энергия непременно положительна: это есть
превышение энергии возбужденного уровня над энергией
нормального уровня системы. Энергия же квазичастиц, опреде-
ленная согласно (1,3), может быть как положительной, так
и отрицательной.

Более того, для жидкости при нулевых температуре и дав-
лении величина ef = p заведомо отрицательна, а потому отри-
цательны и близкие к еР значения е. Это ясно из того, что
при Т = 0 и Р = 0 величина —р совпадает с положительной ве-
личиной—предельным значением отнесенной к одной частице
теплотой испарения жидкости.

§ 2. Взаимодействие квазичастиц

Являясь функционалом от функции распределения квазичас-
тиц, их энергия меняется при изменении этой функции. Изме-
нение энергии при малом отклонении 8п функции распределения
от «ступеньки» (1,10) должно иметь вид

(р) = $ fay. ₽б (Р, р') S«ev (р') di'	(2,1'

или, в более символическом виде,

бе (р) = Sp' f (р, р') 8п (р') di*,

где Sp' означает взятие следа по паре спиновых индексов,
отвечающих импульсу р'. Функцию f можно назвать функцией
взаимодействия квазичастиц (в ферми-газе f = 0). По своему
определению эта функция представляет собой вторую вариаци-
онную производную от полной энергии жидкости Е и поэтому
симметрична по переменным р, р' и соответствующим им парам
спиновых индексов:

fay. ₽б(р, p'Wva, 6₽(р', р).	(2,2)

С учетом изменения (2,1) энергия квазичастиц вблизи по-
верхности ферми-сферы дается суммой

е(р) — eF=uf(p—pF) + Sp' $f(p, p')6n(p')dr'.	(2,3)

В частности, для термодинамически равновесных распределений
второй член в формуле (2,3) определяет зависимость энер-
гии квазичастицы от температуры. Отклонение бп' заметно
отлично от нуля только в узком слое значений р' вблизи по-
верхности ферми-сферы, и в таком же слое находятся импуль-
сы р реальных квазичастиц. Поэтому функцию f (р, р') в фор-
мулах (2,1), (2,3) фактически можно заменить ее значением
на самой этой поверхности, т. е. положить р = р’ = pF, так что
f будет зависеть только от направлений векторов р и р'.

Спиновая зависимость функции f связана как с релятивист-
скими эффектами (спин-спиновое и спин-орбитальное взаимодей-
ствия), так и с обменным взаимодействием. Последнее наиболее
существенно. С его учетом функция взаимодействия квазичастиц
имеет (на ферми-поверхности) вид

^ГНР. p')=/7W+oo'G(d),	(2,4)

где о, о'—матрицы Паули, действующие на соответствующие
(т. е. отвечающие переменным р и р') спиновые индексы, a F
и G—две функции угла О между р и р'г). Вид этого выражения
связан с характерным свойством обменного взаимодействия: оно
не зависит от ориентации полного момента системы в простран-
стве; поэтому операторы двух спинов могут входить в него
лишь в виде скалярного произведения. Определенные, согласно
(2,4), функции F и G безразмерны. Введенный для этой цели
в левой стороне (2,4) множитель представляет собой число
состояний квазичастицы на ферми-поверхности, отнесенное
к единичному интервалу энергий:

v(e*) = ^|

' de |e=eF (2лй)3 \de JPp
или

v Р2р Ррт*
г

Поскольку след матриц Паули равен нулю, то после взятия
следа Sp' второй член в (2,4) исчезает, Так что Sp'f не зави-
сит уже и от о. Такая независимость имеет место в действитель-
ности также и при учете спин-орбитального и спин-спинового
взаимодействий. Дело в том, что скалярная функция ЗрДмогла

я) В явной матричной форме:

pFm*

fay, ₽6= f6a₽6v6 + Gffa₽ffVS-

(2,4а)
бы содержать оператор спина лишь в виде произведения s [рр']
двух аксиальных векторов s и [рр'] (выражения же, квадратич-
ные по компонентам s, можно не рассматривать, так как для
спина 1/2 они сводятся к членам, линейным по s и не содер-
жащим s вовсе). Но это произведение не инвариантно по отно-
шению к обращению времени и потому не может войти в инва-
риантную величину Sp'/.

Введем удобное для дальнейшего обозначение

Асу. ₽v(p, Р') = М(Р> р')» Z^jSpSp'/. (2,6)

Из выражения (2,4) имеем

^lW = 2Fm.	(2,7)

Функция взаимодействия квазичастиц удовлетворяет опре-
деленному интегральному соотношению, следующему из прин-
ципа относительности Галилея. Прямым следствием этого прин-
ципа является совпадение импульса единицы объема жидкости
с плотностью потока ее массы. Скорость квазйчастицы есть
де/др, так что поток квазичастиц дается интегралом

sPpgdr.

Поскольку число квазичастиц в жидкости совпадает с числом
истинных частиц, то ясно, что полный перенос массы квази-
частицами получится умножением потока их числа на массу т
истинной частицы. Таким образом, получим следующее равенство:

Sp Cpndr= Sp С tn-^-mdx.	(2,8)

Положив nap = пбар, 8ap = e6ap, варьируем обе стороны
(2,8). Использовав (2,1) и обозначение f из (2,6), получим

рбп dx = tn ( 8п dx 4- tn I п 8п' dx dx' =
J op	J op

=	-^-Sndx—mj/(p, p') Sndxdx',

где n' = n(p') (во втором интеграле заменено обозначение пе-
ременных и произведено интегрирование по частям). Ввиду
произвольности 8п отсюда следует искомое соотношение

Р')

дп (р')
др'

dx'

(2,9)
Для ступенчатой функции

п(р') = 0(р')

производная дп'/Зр' сводится к 6-функции:

«Й> = _Дв(р_рг).

др . p r rri

(2,Ю)

Подставив в (2,9) функцию е(р) из (1,12), заменив затем везде
импульс р = рп значением pF=pFn на ферми-поверхности и умно-
жив обе стороны равенства на pF, получим следующее соотно-
шение между массой т истинных частиц.и эффективной массой
квазичастиц:

т т*



(2,11)

где do'—элемент телесного угла в направлении р'. Если под-
ставить сюда для f ($) выражение (2,7), то это равенство при-
нимает вид

^=l+F(0)cos-6,

(2,12)

где черта означает усреднение по направлениям (т. е. интегри-
рование по Зо'/4л = sin $d$/2).

Вычислим еще сжимаемость ферми-жидкости (при абсолютном
нуле), т. е. величину w2 = 3P/dp *). Плотность жидкости p^mN/V,
так что

Для вычисления Этой производной удобно выразить ее через
производную от химического потенциала. Заметив, что послед-
ний зависит от IV и V только в виде отношения N/V, а также,
что при Т = const = 0 дифференциал dp = VdP/N, имеем

др. _ V дц___________ V2 дР

У dV ~~ N2 dV ’

так что

, W др.
u т dN

(2,13)

х) При 7 = 0 также и S = 0, так что нет необходимости различать изо-
термическую и адиабатическую сжимаемости. Величина и определена как
известное выражение скорости звука в жидкости. Следует, однако, иметь
в виду, что фактически при 7 = 0 обычный друк вообще не может распро-
страняться в ферми-жидкости — см. начало § 5.
Поскольку р = егпри Т = 0, то изменение бр при измене-
нии числа частиц на 8N равно

С	д&

f(pF, р')8п'(1т'+д^8рр.	(2,14)

Первый член в этом выражении — изменение величины e(/>f)
благодаря изменению функции распределения. Второй же член
связан с тем, что изменение полного числа частиц меняет также
и значение предельного импульса: в силу (1,1) имеем 8N =
=VpF8pP/n*h3. Поскольку 8п' заметно отлично от нуля лишь
при р'« Рр, то, заменив в интеграле функцию f ее значением
на ферми-поверхности, можем написать

dr я-^fdo \.8п —

Подставив это выражение в (2,14) и введя ш* согласно дгр/дрр =
= pplm*, получим

.fy. __ _L	п^9	(2 15)

дМ 2V'pFm*V

Наконец, взяв 1/т* из (2,11) и снова учтя (1,1), получим
окончательно

“,=s+s(uH'(”,I*“’),i0’	(2’|6)

С функцией f(&) из (2,7) и с использованием (2,12) это выра-
жение можно привести к виду

Рр --------

“‘=₽(I+FW)-	<2.17)

Функция f должна удовлетворять определенным условиям,
возникающим из требования устойчивости основного состояния
жидкости. Последнему отвечает заполнение всех состояний
квазичастиц внутри ферми-сферы, и энергия этого состояния
должна быть минимальна по отношению к произвольной малой
деформации сферы. Не приводя всех вычислений, укажем здесь
лишь их окончательный результат1). Его удобно сформулиро-
вать, разложив функции F(^) и G($) из (2,4) по полиномам
Лежандра, т. е. представив их в виде

F ($) = 5 (2/ +1) F[Pl (cos •»), G ($)= 5 (21 +1) GZPZ (cos •») (2,18)

J) См. И. Я. Померанчук, ЖЭТФ 35, 524 (1958).
(при таком определении коэффициентов Ft и G( они совпадают
со средними значениями произведений FPt и GP^. Тогда усло-
вия устойчивости записываются в виде неравенств

Л + 1>0,	(2,19)

Сг + 1>0.	(2,20)

Сравнив условие (2,19) при /==1 с выражением (2,12) для
эффективной массы, убеждаемся в положительности последней.
Условие же (2,19) при / = 0 обеспечивает положительность
выражения (2,17).

§ 3. Магнитная восприимчивость ферми-жидкости

Квазичастица с отличным от нуля спином обладает, вообще
говоря, также и магнитным моментом. Для спина 1/2 оператор
этого момента имеет вид р<т (г-проекция магнитного момента
равна ±Р). Постоянная 2Р/Д, определяющая отношение магнит-
ного момента квазичастицы к механическому (Л/2), совпадает
со значением такой же постоянной для истинных частиц: оче-
видно, что величина этого отношения не меняется при любом
способе сложения* спинов частиц в спин квазичастицы.

Наличие у квазичастиц магнитного момента приводит, в свою
очередь, к парамагнетизму жидкости. Вычислим соответствую-
щую магнитную восприимчивость.

Для «свободной» квазичастицы оператор дополнительной
энергии, приобретаемой ею в магнитном поле Н, был бы —(ЗоН.
Но в ферми-жидкости. необходимо учесть тот факт, что в силу
взаимодействия квазичастиц энергия каждой из них изменится
еще и в результате изменения функции распределения в маг-
нитном поле. При вычислении магнитной восприимчивости надо
поэтому писать оператор изменения энергии квазичастицы в виде
бе = — роН + Sp' \f8n'dx'.	(3,1)

Изменение же функции распределения само выражается через
бе согласно 8п = (дп/дг) бе1); таким образом, для бе получаем
уравнение

бе(р) = —poH + Sp'p(p, p')-g-6e(p')dT'.	(3,2)

При вычислении добавки 6п, зависящей от поля, изменение химиче-
ского потенциала можно не учитывать. Изменение макроскопической вели-
чины и в изотропной жидкости может быть лишь квадратичным по полю Н
(являющимся при вычислении восприимчивости малой величиной), между
тем как 6s первого порядка малости по полю. Отметим также, что ввиду
малости магнитной восприимчивости жидкости здесь можно не делать раз-
личия между напряженностью и индукцией'поля в ней.
Нам понадобится ниже решение этого уравнения лишь на
поверхности ферми-сферы. Ищем его в виде

6е = -|§(тН,	(3,3)

где g—постоянная. Для ступенчатой функции п (р') = 0 (р') имеем

так что интегрирование по dp' = d&'/vF сводится к взятию зна-
чения подынтегрального выражения на ферми-поверхности.
Подставив функцию f из (2,4) и заметив, что для матриц Паули

Spcr = O, Sp' (ого') о' = у о Sp'o'o' = 2о,

находим g = 2—gG($), или

g =—=,	(3,4)

6	1 + G(O)

где черта снова (как и в (2,12)) означает усреднение по на-
правлениям.

Восприимчивость х определяется из выражения для магнит-
ного момента единицы объема жидкости:

ХН = р Sp J о8п dr = р Sp J обе dr

или, после интегрирования со ступенчатой функцией п(р):

Наконец, подставив сюда (3,3—4) и заметив, что Sp(oH)o = 2H,
получим

P2prm*_ = Зур2_	5

А яФ(1 + 0)	я2(1 + 0)’	1	’

где у — коэффициент в линейном законе теплоемкости (1,15).
Выражение х = 3ур2/л2 есть восприимчивость вырожденного
ферми-газа из частиц с магнитным моментом р (см. V (59,5)).
Множитель же (1-,-G)-1 выражает собой отличие ферми-жидко-
сти от ферми-газа1).

Отметим, что условие устойчивости (2,20) с / = 0 совпадает
с условием х > 0.

х) Для Не3: Оя—2/3.
§ 4. Нулевой звук

Неравновесные состояния ферми-жидкости описываются
функциями распределения квазичастиц, зависящими не только
от импульсов, но также и от координат и времени. Эти функ-
ции п(р, г, t) подчиняются кинетическому уравнению вида

(4,i)

где St и—так называемый интеграл столкновений, определяю-
щий изменёние числа квазичастиц в данном элементе фазового
объема, обусловленное их столкновениями друг с другом1).

Полная производная по времени в (4,1) учитывает как явную
зависимость п от t, так и неявную зависимость, связанную
с изменением координат, импульса и спиновых переменных
квазичастицы согласно ее уравнениям движения. Специфика
ферми-жидкости состоит в том, что поскольку энергия квази-
частицы является функционалом от функции распределения,
то в неоднородной жидкости вместе с п зависит от координат
также и е.

Для распределений п, слабо отличающихся от равновес-
ного па, пишем

п(р, г, 0 = пй (р) 4-6п (р, г, /).	(4,2)

При этом энергия квазичастицы е = е04-6е, где е0—энергия,
отвечающая равновесному распределению, а бе дается выраже-
нием (2,1), так что

(4,3)

В отсутствие внешнего магнитного поля е0 и па от спина не
зависят.

Явная зависимость п от времени дает в dn[dt член

дп. д$п

~dt ~~дГ ’

Содержание этого параграфа предполагает знакомство с понятием ки-
нетического уравнения и в этом смысле выпадает из профиля данного тома.
Однако без кинетического уравнения (и его применения в этом и следующем
параграфах) формулировка теории ферми-жидкости была бы недостаточно
полна. Нам понадобится здесь лишь уравнение без интеграла столкновений;
вопросы, связанные с конкретным видом интеграла столкновений, будут
рассмотрены в другом томе, посвященном физической кинетике.
Зависимость же через координаты и импульс дает члены
дп ~ . дп >

<Гг+7фР-

Роль гамильтоновой функции квазичастицы играет ее энергия е.
В силу уравнений Гамильтона имеем
~ * де ~ де
Г=ЗР ₽=—*•

Поэтому имеем, с точностью до членов первого порядка по дп:

д8п де0 дпй 36 в
дг др др дг

Наконец, изменение со временем функции п как оператора по
спиновым переменным дается, по общим правилам квантовой
механики, коммутатором

j-{e, п}.	(4,4)

Однако при не зависящих от спина п0 и е0 члены первого по-
рядка по 8п в этом коммутаторе отсутствуют.

Собирая написанные члены, получим уравнение

дбп , Зеп дбп дбе дпа ~	,,

dt 1 др дг дг др	' ’ '

Прежде, чем приступить к использованию кинетического
уравнения, остановимся на условиях его применимости. Исполь-
зовав классические (по координатам и импульсу) уравнения,
мы тем самым предполагали движение 'квазичастиц квазиклас-
сическим; это же предположение лежит по существу уже в основе
самого описания жидкости функцией распределения, зависящей
одновременно от координат и импульсов квазичастиц. Условие
квазиклассичности состоит в малости де-бройлевской длины
волны квазичастиц k/pF по сравнению с характерной длиной L,
на которой существенно меняется функция п. Введя вместо L
«волновой вектор» неоднородности k~ 1/L, запишем это условие
в виде1)

nk<^.pF.	(4,6)

Частота со изменения функции распределения, устанавливаю-
щаяся при заданном k, порядка величины (s>~vFk и автомати-
чески удовлетворяет условию

Йсо<|ег.	(4,7)

х) Согласно определению (1,1), i/pp порядка величины межатомных рас-
стояний, так что условие (4,6) —очень слабое.
Соотношение же между Йю и температурой Т может быть любым.
Если Йю^Т, то роль ширины области размытости функции
распределения играет именно величина тогда (4,7) есть
обязательное для применимости всей теории условие, обеспе-
чивающее малость квантовой неопределенности энергии квази-
частицы (связанной с их столкновениями) по сравнению с Йео.

Применим теперь кинетическое уравнение к исследованию
колебательных движений ферми-жидкости.

При низких, но отличных от нуля температурах в ферми-
жидкости происходят взаимные столкновения квазичастиц, при-
чем время их свободного пробега тсеТ-2. Характер распро-
страняющихся в жидкости волн существенно зависит от величины
произведения ют.

При ют<( 1 (что фактически эквивалентно условию малости
длины пробега квазичастицы I по сравнению с длиной волны X)
столкновения успевают установить термодинамическое равнове-
сие в каждом (малом по сравнению с X) элементе объема жид-
кости. Это значит, что мы имеем дело с обычными гидродина-
мическими звуковыми волнами, распространяющимися со ско-
ростью и^]/дР/др. Поглощение звуковых волн при ют<<|1
мало, но при увеличении сот оно возрастает и при ют~ 1
становится очень сильным, так что распространение звуковых
волн становится невозможным*)•

При дальнейшем увеличении ют, когда ужеJ ют 1, в ферми-
жидкости снова становится возможным распространение волн,
имеющих, однако, другой физический характер. В этих колеба-
ниях столкновения кваэичастиц не играют роли и термодина-
мическое равновесие в каждом элементе объема не успевает
устанавливаться. Процесс можно рассматривать как происходя-
щий при абсолютном нуле температуры. Эти волны называют
нулевым звуком.

Согласно сказанному выше, при ют;> 1 в кинетическом урав-
нении можно опустить интеграл столкновений; тогда

дбп , дбп

—+V1F

дп0 дбе,
др дг

о,

(4,8)

где у — де/др— скорость квазичастиц, вычисленная по невозму-
щенной энергии 8 (у = ^рП, где п—единичный вектор в направ-
лении р); индекс 0 у 8 здесь и ниже опускаем.

При Т = 0 равновесная функция распределения п0 представ-
ляет собой ступенчатую функцию 0(р), обрывающуюся у

х) При сот<^1 коэффициент поглощения звука у — со2г]/ри3, где г] — вяз-
кость жидкости. По порядку величины имеем и ~vp, ц/р— vFl— v2pr, где
vF—скорость квазичастиц (не зависящая от температуры), так что т] &Т~2
(И. Померанчук, 1950). При этом уи/ю ~ сот co/T2.
предельного импульса p = pF. Ее производная

^ = — п6(р—рР) = — v6(e-ef).

Предполагая, что зависимость 8п в волне от времени и коор-
динат дается множителем exp[i(kr—со/)], будем искать решение
кинетического уравнения в виде

6п = 6(е—eF) ¥(п)ег<кг-о/).	(4,9)

Тогда уравнение (4,8) с д8е/дг из (4,3) принимает вид

2

(co-yFnk)v(n) = nk-^7Sp'J /(n, n')v(n')do',	(4,10)

где п и п'—единичные векторы в направлениях р и р', а ин-
тегрирование производится по направлениям п'.

Рассмотрим колебания (нулевой звук), не затрагивающие
спиновых характеристик жидкости. Это значит, что от спиновых
переменных не зависит не только равновесная функция распре-
деления, но и ее «возмущение» 8п. В такой волне изменение
функции распределения при колебаниях сводится к деформации
граничной ферми-поверхности (сферы в невозмущенном распре-
делении), остающейся при этом резкой границей между запол-
ненными и незаполненными состояниями квазичастиц. Функция
же v (п) представляет собой величину смещения (в единицах
энергии) этой поверхности в заданном направлении п.

Поскольку v(n') не зависит от спиновых переменных, то
операция Sp' в (4,10) применяется только к функции /. Написав
последнюю в виде (2,4), будем иметь Sp' f = (2n2fi9/pFtn*) F ($).
Таким образом, оператор о выпадает вовсе из уравнения, при-
нимающего теперь вид

(со — kv)v(n) = kv Je($) v(n')	.	(4,11)

Выберем направление к в качестве полярной оси, и пусть
углы 0, ср определяют направление п. Введя также скорость
распространения волны мо = со//г и обозначение s — u0/vP, напишем
окончательно полученное уравнение в виде

(s—cos0)v(0, <р) = cos0 JЕ(^) v(0', ср')^-.	(4,12)

Это интегральное уравнение определяет, в принципе, ско-
рость распространения волн и функцию v (п') в них. Сразу же
отметим, что для незатухающих колебаний (которые здесь нас
только и интересуют) величина s должна превышать 1, т. е.
должно быть

ti0>vP.	(4,13)
Происхождение этого неравенства можно понять, переписав
(4,12). в виде

v (9» ф) = cos 0 f F ($) —9 	»

v ’	J ' s —cos 9 4л ’

где вместо v введена другая неизвестная функция v=(s—cosG) v.
При s = (d/kvF<i 1 подынтегральное выражение имеет полюс
в точке cos0' = s, и для придания интегралу смысла этот полюс
должен быть обойден по определенному правилу в плоскости
комплексного переменного cos0'. Этот обход вносит в интеграл
мнимую часть, в результате чего приобретает мнимую часть
также и частота со (при заданном вещественном k), что и озна-
чает затухание волны. Физический смысл равенства cos0 = uo/t>F
(отвечающего полюсу) состоит в том, что это есть условие череп-
ковского излучения волн нулевого звука квазичастицамих).

Рассмотрим в качестве примера случай, когда функция F ($)
сводится к постоянной (обозначим ее Fa). Интеграл в правой
стороне уравнения (4,12) не зависит при этом от углов 0, <р.
Поэтому искомая функция v имеет вид

v = const •  cos8 d .	(4,14)

s —cos 0	v '

Ферми-поверхность приобретает, таким образом, форму поверх-
ности вращения, вытянутой вперед по направлению распро-
странения волны и сплюснутой в обратном направлении. Эта
анизотропия является проявлением неравновесности состояния
жидкости в каждом элементе ее объема: в равновесии все свойства
жидкости должны быть изотропными и тем самым ферми-по-.
верхность—сферической. Укажем для сравнения, что обычной
звуковой волне соответствует сферическая ферми-поверхность
колеблющегося радиуса (граничный импульс рР колеблется
вместе с плотностью жидкости), смещенная как целая на вели-
чину, связанную со скоростью движения жидкости в волне;
соответствующая функция,v имеет вид v = const-cos0.

Для определения скорости распространения волны нулевого
звука w0 подставляем (4,14) в (4,12) и находим

л

Р С cos 0 2л sin0d0__।

0 J s — cos 0	4л

о

Произведя интегрирование, получим уравнение, определяющее

Такой механизм затухания называют затуханием Ландау; оно будет
подробно изучено в томе X в связи с колебаниями плазмы. Правило обхода
полюса в интеграле устанавливается заменой со на со + сО (т. е. s—> s + iO),
смысл которой состоит в том, что ею обеспечивается конечность возмущения
во все предыдущие моменты времени (в том числе при t—*—оо).
в. неявном виде скорость ид по заданной величине Fg.

<4’15>

Функция в левой стороне уравнения убывает от оо до 0 при
изменении s от 1 до оо, оставаясь всегда положительной. Отсюда
следует, что рассматриваемые волны могут существовать только
при Fo > 0. Подчеркнем, что возможность распространения ну-
левого звука зависит, таким образом, от свойств взаимодействия
квазичастиц в ферми-жидкости.

При Fa—>0 найдем из (4,15), что s стремится к 1 по закону
s—1 «2e-2/F».	(4,16)

Этот случай имеет более общее значение, чем формула (4,15)
(предполагающая F = const = F0): он соответствует нулевому
звуку в почти идеальном ферми-газе при произвольном виде
функции F(0). Действительно, почти идеальному газу соответ-
ствует малая по абсолютной величине функция F (0). Из урав-
нения (4,12) видно, что при этом s будет близким к 1, а функ-
ция v—заметно отличной от нуля лишь при малых углах 0.
На этом основании, рассматривая лишь область малых углов,
можно заменить в интеграле в правой стороне (4,12) функцию F(0)
ее значением при -& = 0 (при 0 = 0 и 0' = О также и 0 = 0).
В результате мы снова вернемся к формулам (4,14) и (4,16)
с заменой константы FQ на F(O)1). Отмётим, что в слабо неиде-
альном газе скорость нулевого звука превышает скорость обыч-
ного звука в /3 раз. Действительно, для первой имеем uQ&vP,
а для второй находим из формулы (2,17) (пренебрегая в ней
F и положив т* ^ат), и? & pPl3m*2 = vP/3.

В общем случае произвольной зависимости F (0) решение
уравнения (4,12) неоднозначно. Оно, в принципе, допускает
существование различных типов нулевого звука, отличающихся
друг от друга угловой зависимостью их амплитуды v(0, ср) и
распространяющихся с различными скоростями. При этом на-
ряду с аксиально-симметричными решениями v(0) могут суще-
ствовать и ‘асимметричные решения, в которых v содержит
азимутальные множители 屑тч>, где т—целые числа (см. за-
дачу). Отметим, что для всех таких решений интеграл v<fo = 0,
т. е. объем, заключенный внутри ферми-поверхности, остается
неизменным; это- значит, что колебания происходят без измене-
ния плотности жидкости.

1) Колебания, соответствующие нулевому звуку в слабо неидеальном
ферми-газе, были впервые рассмотрены Ю. Л. Климентовичем и В. П. Си-
линым (1952).
Возможность распространения волн в ферми-жидкости при
абсолютном нуле означает, что ее энергетический спектр может
содержать ветвь, отвечающую элементарным возбуждениям с
импульсом р = Ак и энергией е = Й<о = «ор—«кванты нулевого
звука». Тот факт, что нулевой звук (с любым заданным к)
может иметь произвольную (малую) интенсивность, в терминах
элементарных возбуждений означает, что последние могут запол-
нять свои квантовые состояния в любом числе; другими словами,
они подчиняются статистике Бозе и образуют, как говорят,
бозевскую ветвь спектра ферми-жидкости. Подчеркнем, однако,
что в рамках теории Ландау было бы неправильным вводить
соответствующие этой ветви поправки в термодинамические
величины ферми-жидкости, поскольку они содержат более высокие
степени температуры (Т3 в теплоемкости), чем уже первые поп-
равки к изложенной приближенной теории.

Вопрос о поглощении нулевого звука требует рассмотрения
столкновений квазичастиц и не относится к содержанию этого
тома.

Задача

Найти скорость распространения асимметричных волн нулевого звука
при F = F0 + Fj cos fl-.

Решение. При

F = F0~F1 (cos 6 cos 6'4-sin 6 sin 6' cos (<p—<p'))
могут существовать решения c v «« е± 1Ч>. Действительно, положив v = f (0) el<f,
подставив в (4,12) и произведя интегрирование по dtp', получим

л

(s—cos 0) ) = cos 0 sin 0 у sin2 Q'f (0') d0't
о

Отсюда

, sin 0 cos 0
v = const •-----и- e ф •

s—cos 0

Подставив это выражение обратно в уравнение, получим соотношение

(* sin3 0 cos 0	4

J s—cos0
о

определяющее зависимость скорости распространения от Ft. Интеграл в ле-
вой стороне равенства является монотонно убывающей функцией s. Поэтому
его наибольшее значение достигается при s=l. Вычислив интеграл при s=l,
найдем, что распространение асимметричной волны рассмотренного вида воз-
можно при Fi > 61).

?) Для жидкого Не3 можно вычислить FQ и Ft по известным значениям
т* и и2 с помощью формул (2,12) и (2,17): FQ= 10,8, /71 = 6,3 (при нулевом
давлении).
§ 5.	Спиновые волны в ферми-жидкости

Наряду с рассмотренными в предыдущем параграфе реше-
ниями v(n), не зависящими от спина, уравнение (4,10) имеет
также и решения вида

v = op.(n),	(5,1)

в которых изменение функции распределения квазичастиц за-
висит от проекции их спина. Такие волны можно назвать
спиновыми.

Подставив (5,1) в (4,10), снова взяв функцию / в виде (2,4)
и заметив, что Sp' а' (стст') = 2ст, получим (после сокращения на о)

(s—cos 0) fi (0, <p) = cos0 Jg(0)p(0', ф')-^- •	(5,2)

Таким образом, для каждой из компонент вектора р получается
уравнение, отличающееся от (4,12) лишь заменой F на G.
Поэтому все дальнейшие вычисления, произведенные в § 4, могут
быть применены и к спиновым волнам1 2).

Спиновые волны другого типа могут распространяться в фер-
ми-жидкости в присутствии магнитного поля (В. 77. Силин, 1958).
Мы ограничимся здесь рассмотрением колебаний с к = 0, в ко-
торых 6п не зависит от координат.

При наличии магнитного поля Н уже «невозмущенные» коле-
баниями энергия квазичастиц и функция их распределения
зависят от спина. Эти зависимости связаны друг с другом и
выражаются формулами (см. § 3)

80 = 8в (р)—0хстН, ₽i = ₽/(l + Gj,	(5,3)

«о = Мр)—^₽1стН=Мр) + б(8—ег)₽1стН>	- (5,4)

где е0(р)—энергия в отсутствие поля; индекс 0 снова напоми-
нает о том, что эти выражения относятся к равновесной жид-
кости.

Снова ищем малую переменную часть функции распределения
в волне в виде

8п — 8 (е—ef) стр. (n)

Соответствующее изменение энергии квазичастицы:

бе = ст j ц (n') G (0) — e~le>t.

*) В жидком He3 величина Go = G(&)<0 (см. примечание на стр. 25).
Поэтому распространение таких волн в этой жидкости невозможно.

2 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
В кинетическом уравнении должен быть учтен теперь член
(4,4) с коммутатором {е, и}; для не зависящих от координат
распределений оно принимает вид

^ + |{е,п} = 0.	(5,5)

С точностью до линейных по бп членов имеем

{е,.п} = — Pj {стН, 8п\ (е — eF) {бе, стН}.

Стоящие здесь коммутаторы определяются формулой

{ста, стЬ} = 2/ст[аЬ],

где а, b — произвольные векторы (см. III (55,10)); в результате
кинетическое уравнение приводится к виду

йоц(п) = -^-[Нр(п)],	(5,6)

где обозначено

ft
р(п) = И(п) + уи(п')б(^)^-.	(5,7)

В общем случае решение уравнения (5,6) может быть раз-
ложено в ряд по шаровым функциям Ylm (0, <р) (с полярной осью
вдоль Н). Каждый член разложения представляет определенный
тип колебаний со своей частотой а1т.

Первой из них, соОО) . отвечают колебания с р = const; при
этом p = p(l+G) и уравнение (5,7) сводится к

*ЧоН = -у-[Нрф

колебания поперечны к полю (pJ_H). Расписав уравнение в
компонентах (в плоскости, перпендикулярной Н) и составив
определитель этой системы, найдем частоту

сооо = 2р/7/Л.	(5,8)

Напомним, что 0—магнитный момент частицы (истинной) жид-
кости. Таким образом, частота w00 оказывается вовсе не зави-
сящей от специфических свойств жидкости. Значения же всех
остальных частот а1т зависят от конкретного вида функции G (0).

§ 6.	Вырожденный почти идеальный ферми-газ
с отталкиванием между частицами

Вопрос о термодинамических свойствах «почти идеального»
вырожденного газа не имеет непосредственного физического
смысла, так как реально существующие в природе газы при
температуре вблизи абсолютного нуля конденсируются. Тем не
менее, ввиду существенного методического интереса этого воп-
роса, имеет смысл рассмотреть его для воображаемой модели
газа, частицы которого взаимодействуют таким образом, что
конденсация газа исключена.

Условие слабой неидеальности газа заключается в малости
-радиуса действия молекулярных сил г0 по сравнению со сред-
ним расстоянием между частицами I ~ (V/N)113. Вместе с усло-
вием га<^Л будет справедливо также и неравенство

рг0/^<^1	(6,1)

для импульсов р частиц. Действительно, для вырожденного
ферми-газа предельный импульс pF оценивается по формуле
(1,1), согласно которой pFh ~ (N/V)1/3 </ 1/г0.

Мы будем рассматривать здесь лишь парное взаимодействие
между частицами, причем для простоты будем считать это
взаимодействие U (г) не зависящим от спинов частиц. Наша
цель состоит в вычислении первых членов разложения термо-
динамических величин по степеням отношения r0/Z путем при-
менения квантовомеханической теории возмущений. Затруднение
заключается в том, что, ввиду быстрого возрастания энергии
взаимодействия на малых расстояниях между частицами, теория
возмущений (так называемое борновское приближение) к столк-
новениям частиц в действительности неприменима. Это затруд-
нение можно, однако, обойти следующим образом.

В предельном случае «медленных» (какими они являются
при условии (6,1)) столкновений, амплитуда взаимного рассея-
ния частиц с массой т стремится к постоянному пределу—а,
который в борновском приближении дается выражением
(см. III (126,13))

=	Ua=\U(r)d3x,	(6,2)

причем этот предел отвечает s-состоянию пары частиц (со спи-
ном 1/2); постоянную величину а называют длиной рассеяния1).
Поскольку эта величина полностью определяет свойства столк-
новений, то она же должна определять и термодинамические
свойства газа.

Отсюда вытекает возможность применения следующего при-
ема (его называю^ перенормировкой). Формально заменяем

Ч Выражение (6,2) не учитывает квантовомеханической тождественности
частиц. В предельном случае медленных столкновений тождественных частиц
со спинами 1/2 рассеяние происходит только при антипараллельных спинах,
причем дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол do (в системе
центра инерции) есть do-- 4а2do; полное сечение получается интегрирова-
нием do по полусфере: о = 8ла2 (см. III § 137).
истинную энергию U (г) другой функцией, с тем же самым
значением а, но допускающей применение теории возмущений.
До тех пор (т. е. до такого приближения) пока окончательный
результат вычислений содержит U только в виде амплитуды
рассеяния, этот результат будет совпадать с тем, к которому
привело бы истинное взаимодействие.

Радиус действия истинного взаимодействия, вообще говоря,
совпадает по порядку величины с длиной рассеяния а. Для
фиктивного же поля U (г), введенного в качестве вспомогатель-
ного понятия, условие применимости борновского приближения
означает, что а<^.га. Истинным малым параметром разложения
теорий является, конечно, величина apFjti.

Ниже нам понадобится связь между Uo и а не только
в первом (формула (6,2)), но и во втором борновском прибли-
жении. Для ее нахождения вспомним, что если вероятность
некоторого перехода системы под влиянием постоянного возму-
щения V определяется в первом приближении матричным эле-
ментом Vqo, то во втором приближении Уоо заменяется на

V I V4'
+ Еа-Еп ’
п

где суммирование производится по состояниям (п=^0) невоз-
мущенной системы (см. III § 43). В данном случае речь идет
о системе двух сталкивающихся частиц, а возмущением является
их взаимодействие U (г). Матричные элементы возмущения для
переходов с изменением импульсов частиц pi( р2—>р1, р2 (при-
чем Pi + p2 = p; + p0 равны

<p^i, р2а2 | U | PiKj, р2а2> = у	(г) е~^ d3x, (6,3)

где р = р2—р2 = — (р^—pj; ввиду независимости взаимодействия
от спинов проекции спинов частиц (указываемые индексами
«J, а2) при столкновении не меняются. Роль V0() играет матрич-
ный элемент при нулевых импульсах: UjV. Таким образом, для
перехода от первого ко второму приближению надо заме-
нить Uo на

 , Ду	-1

0-t“ L 2m
Pi

Ue-^^x

(суммирование производится при заданных р1; р2 по р'^р^, р2).
Поскольку в нашем случае импульсы частиц предполагаются
малыми, то во всех существенных членах в сумме можно заме-
нить матричные элементы их значениями при р = 0. Сделав
это, получим следующее выражение для длины рассеяния1):

2

т
а~ —т-
4лД2

А’’	2т

Zu 2,2	'2	'2

' Pl + P2 —Pl — Pi

Pl

(6,4)

С той же точностью имеем отсюда

4лЙ.2а '

и0

т

4лЛ2а V, 2m

mV	2 ,	2 'i '2

mV r Pl~\~ pi— Pl —Pi

Pl

(6,5)

Расходимость суммы в (6,4) (при больших pi, р0 связана с про-
изведенной заменой всех матричных элементов постоянными
значениями и несущественна, так как при дальнейшем исполь-
зовании этого выражения для вычисления энергии системы все
равно получится сходящееся выражение, в котором большие
импульсы не играют роли. Мы понимаем под а длину рассеяния
медленных частиц, не зависящую от их энергии. Формула же
(6,4) содержит, на первый взгляд, зависимость от импульсов
Pi, р2. В действительности эта зависимость заключена лишь
в мнимой части амплитуды рассеяния (возникающей при надле-
жащем определении способа суммирования — ср. III (130,9)),
на которую можно не обращать внимания, поскольку нам за-
ранее известно, что окончательный результат будет все равно
вещественном; к этому вопросу мы еще вернемся в § 21.

В этом параграфе мы рассмотрим модель ферми-газа с оттал-
кивательным характером взаимодействия между частицами;
для такого взаимодействия а > 0. Именно в этом случае газ
Имеет энергетический спектр описанного в §§ 1, 2 фермиевского
типа.

Гамильтониан системы частиц (со спином 1/2) с парным
взаимодействием между ними записывается в методе вторичного
квантования в виде

Н = У араарсх 4“
pa

+ У У <Р1 “1 - р2«2 I U I Pl«i, р2«2>	<6’6)

(см. III § 64). Здесь «ра и apa— операторы рождения и уничто-
жения свободной частицы с импульсом р и проекцией спина a
(a = ±l/2). Первый член в (6,6) отвечает кинетической, а вто-
рой—потенциальной энергии частиц; в последнем суммирование

1) Во всех промежуточных формулах мы пишем суммы по дискретным

значениям импульсов частиц, заключенных в конечном объеме V; при окон-

чательном вычислении суммирование заменяется, по общему правилу, ивтег

рированием по V</3 *р/(2л/г)3,
производится по всем значениям импульсов и проекций спинов
с соблюдением закона сохранения импульса при столкновениях.

В соответствии с предположением о малости импульсов
частиц снова заменяем матричные элементы в (6,6) их значением
при нулевых импульсах: <0ait 0а21 U | 0ах, Оа2> = По/П. Далее,
замечаем, что в силу антикоммутативности операторов aPiai, аРга2
в статистике Ферми, их произведение антисимметрично по отно-
шению к перестановке индексов; то же самое относится к про-
изведениям арВ результате взаимно сокращаются все
члены во второй сумме в (6,6), содержащие пары одинаковых
индексов ап а2 (физически это связано с упомянутым уже
обстоятельством, что в пределе медленных столкновений взаимно
рассеиваться могут лишь частицы с противоположными спи-
нами).

Таким образом, гамильтониан системы принимает вид

Н = ItL "^7 аР«ара+.у2	ai+a2i^2_ai+,	(6,7)

р“	pip2p(

где а1+~аР1+, aj+ = ap>+ и т. п., а индексы + и — здесь и
ниже стоят вместо +1/2 и —1/2.

Собственные значения этого гамильтониана вычисляются
с помощью обычной теории возмущений, причем второй член
в (6,6) рассматривается как малая поправка к первому члену.
Последний уже имеет диагональный вид и его собственные
значения равны

£'•' = £ + »«.	(6.8)

ра

где пра—числа заполнения состояний ра1).

Поправка первого порядка дается диагональными матрич-
ными элементами энергии взаимодействия:

Е1> = -^Г^ +++->	(6,9)

P1P2

где ni+ =пР1+ и т. п.

Для нахождения поправки второго порядка пользуемся из-
вестной формулой теории возмущений

/7<2) _ V'' I I2
“	2- Еп—Ет ’

tn

1) Предполагая, что частицы обладают определенными значениями про-
екции спина, мы тем самым предполагаем приведенной к диагональному виду
также п статистическую матрицу Ур(р); функции же па (р) с а=±1/2 яв-
ляются при этом ее диагональными компонентами.
где индексы п, т нумеруют состояния невозмущенной системы.
Простое вычисление (с использованием известных матричных
элементов операторов ара, ара) приводит к результату

Ug у, п1+п2- (1—П1+) (1—»2-)
Р < (pl + pl-pi-p'^m

PlPsPj

(6,10)

Структура этого выражения вполне понятна: квадрат матрич-
ного элемента перехода Pi, р2 —>р^, р2 пропорционален числам
заполнения состояний р^, р2 и числам свободных мест в состоя-
ниях pi, р2.

Входящий в (6,9—10) интеграл Ua должен быть выражен
через реальную физическую величину—амплитуду рассеяния —а.
В членах второго порядка это может быть сделано по (6,2), а
в членах первого порядка требуется более точная формула (6,5).
Произведя эти подстановки, получим для поправки первого
порядка по а:

£(1) = |£>+п,-	(6,11)

р,р>

и для поправки второго порядка:

(2)_2mg» у,
уг

P1P2P1

/г1+/г2-[(1—щ+) (1—ла-) —1]

22	'2	,2

Р1 + Р2 — Pi —Рг

(для краткости вводим в промежуточных формулах «константу
связи» частиц газа1) g = 4nfi2a/tn). Раскрывая выражение в чис-
лителе, замечаем, что члены с произведениями четырех п взаимно
сокращаются, поскольку их числители симметричны, а знаме-
натели антисимметричны по отношению к перестановке рп р2
и pj, Ра; суммирование же по этим переменным производится
симметричным образом. Таким образом, окончательно имеем

^(2) хщ

2mg2 у.
уя

Р1Р»Р1

ПцЛу- (^1+ Н~^2-)

2	2	*2	*

Pl + Pl — Pl — р-1

(6,12)

Эта сумма (в которой все пра—► О при р—>оо) уже сходится.

С помощью полученных формул можно прежде всего вычис-
лить энергию основного состояния. Для этого надо положить
все пра равными единице внутри ферми-сферы (p<pf =
= h (3nW/V)1/8) и равными нулю вне ее. Заметим в этой связи,
что хотя в исходном гамильтониане собственные значения

1) После перенормировки амплитуды рассеяния эта величина уже отнюдь
не совпадает с постоянной l/р, фигурирующей в (6,2)1
операторных произведений араара дают числа заполнения состоя-
ний самих частиц газал но после диагонализации гамильтониана
с помощью теории возмущений мы уже имеем дело с функцией
распределения квазичастиц (обозначенной нами, как и в пре-
дыдущих параграфах, через пра).

Замечая, что	— N/2, получим из (6,11) поправку

первого порядка

£«> = §№/47.

В формуле (6,12) заменяем суммирование по трем импульсам
с учетом условия Pi + p2 = Pi+P2 интегрированием по

б (Pi + Р2—р;—РЭ d3pt d3p2 d3p[ d3p2,
так что

J Pi + p2—Р! — р2

причем интегрирование происходит по области pt, р2, р'г^рр-
Вычисление интеграла1) приводит к следующему окончательному
результату для энергии основного состояния:

Е0 = Л/-^Ь [1	+ 4(11~21n2) /	~[ ,	(6,13)

0 Ют [fa	21л2	\	/ J

где величина, стоящая перед скобками,—энергия идеального
ферми-газа (К- Huang, С. N. Yang, 1957).

Химический потенциал газа при абсолютном нуле опреде-
ляется как производная р — (дЕ^дИ)?’, выраженный через пре-
дельный импульс рр, он имеет вид

Г1+Лгр+ч11-21.2>/гру-|	(614)

r 2т L ~ Зл % —	15л2	\	/ J

Согласно общим положениям теории Ландау, спектр элемен-
тарных возбуждений е(р) и функция взаимодействия квазича-
стиц /аа'(р, р') определяются первой и второй вариациями полной
энергии по функции распределения квазичастиц2). Если пи-
сать Е в виде дискретной суммы по р и а, то имеем, по опре-
делению,

6Е = 8а (р) 8Пра -f-faa'(Р> Р ) 6/1ра 6/1р'а'	(6,15)

ра	ра, р'а'

1) Фактически проще производить вычисления в другом порядке, начав
с вычисления функции f (см. ниже).

2) Матрица faa, (р, р') в этом параграфе—совокупность диагональных
по двум парам индексов (а, 0 и у, 6) компонент матрицы f (р, р').
(причем после дифференцирования энергии надо заменить пра
единицей внутри и нулем вне ферми-сферы). В вычислении таким
путем эффективной массы квазичастиц т*, однако, нет необ-
ходимости, поскольку она может быть найдена и более простым
способом (см. ниже).

Для вычисления же функции /аа-(р, р') (на ферми-поверх-
ности), дифференцируем дважды сумму выражений (6,11—12),
после чего надо положить р = р' = рр. Произведя это простое
вычисление и перейдя от суммирования к интегрированию, по-
лучим

(2лЛ)3 J 1 2pf—pi—р2

, 6 (p + pt—р' —p2) + 6(p'+pi—р—р2)) ,	,3

+	2 (pl-pl)

/++(р, p')=f—(р, р') =

_ 2mg2 Гб(р + Р1—р' —Pal + fifp' + Pi—р—р2) .3 JS
/<>_-£I	_2	2	rlu г2*

(2лП)л J	Р1— Р2

Интегрирование в этих формулах сравнительно просто ввиду
меньшей кратности интегралов.

Окончательный результат должен быть представлен в виде
(2,4), не зависящем от выбора оси квантования спинов.

В таком виде он дается формулой

,	2лаА2

/а?. Рб--^—

о /	a 1+sin —

2аРг „ , cosO .	2

V 2Sin±	1-sin ±

£• ОНА 2	1 О11Х 2

2«рг/ , I . р . 1 + 5Ш 2
^-1 1 —-5- tn~—у
 у	1— sin -g-



6<zfj6?6

(6,16)

где $—угол между векторами p'F (А. А. Абрикосов, И. М.
Халатников, 1957) 9-

Эффективная масса квазичастиц получается отсюда интегри-
рованием по формуле (2,12) и равна

?=' + ет(71п2-1)(^)'-	(6.17)

2) Функция (6,16) обращается логарифмически в, бесконечность при ф = л.
Это сбстоятельство связано со сделанными пренебрежениями. Более точное
исследование показыгает, что хотя значение 0=-л действительно является
особой точкой функции, но последняя обращается в ней не в бесконечность,
а в нуль (см. примечание на стр. 263). Неприменимость формулы (3,16) вблизи
Ф = л несущественна для дальнейших приложений, в которых фигурируют
интегралы, сходящиеся в этой точке.
Формула же (2,17) позволяет найти скорость звука в газе:

„а PF Г1 । 2 аР F I 8(П— 21п2) f арР\1
Зт! ' я J ’	15л2	\ А /

(6,18)

Интегрируя затем величину u'rnlN (выраженную через jV/V
вместо pF) по dN, мы найдем, согласно (2,13), химический потен-
циал газа, а еще одно интегрирование по dN приведет к выра-
жению (6,13) для энергии основного состояния.

Формула (6,13) представляет собой первые члены разложения
энергии газа по степеням «параметра газовости» = ppajh ~
~a(Af/V)x/a. Аналогичными, хотя и значительно более громозд-
кими вычислениями можно было бы получить еще и несколько
следующих членов разложения. Дело в том, что в случае ферми-
газа тройные столкновения вносят вклад в энергию лишь в срав-
нительно далеком приближении. Из трех сталкивающихся частиц
по крайней мере две имеют одинаковую проекцию спина; при
этом координатная волновая функция системы должна быть анти-
симметричной по отношению к этим двум частицам. Это значит,
что орбитальный момент относительного движения этих частиц
равен по крайней мере 1 (p-состояние). Соответствующая вол-
новая функция содержит лишнюю (по сравнению с волновой
функцией s-состояния) степень р/А (см. III § 33), и, следова-
тельно, вероятность такого столкновения содержит лишнее р2,
т. е. ослабляется в ~ (ра/Й)2 ~ т]2 раз по сравнению с вероят-
ностью «лобового» столкновения частиц, неподчиняющихся прин-
ципу Паули. В результате тройные столкновения дадут вклад
в энергию лишь в членах, содержащих объем как (7-21/-2/з.
Другими словами, через характеристики одних только парных
столкновений выражаются все члены разложения энергии вплоть
до членов порядка

включительно (т. е. еще три члена, следующих за выписанными
в (6,13)). Однако в числе характеристик парных столкновений
будет фигурировать не только амплитуда «-рассеяния для мед-
ленных столкновений (как в (6,13)), но и ее производные по энер-
гии, а также амплитуда р-рассеяния.
ГЛАВА П

ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ 7=0

§ 7. Функция Грина макроскопической системы

Примененный в предыдущем параграфе метод становится гро-
моздким и практически неприменимым в высших приближениях
теории возмущений. Этот недостаток тем более существен, что
в реальных физических задачах взаимодействие между частицами
отнюдь не является слабым, так что для выяснения различных
общих свойств макроскопических систем требуется рассмотрение
бесконечных совокупностей членов ряда теории возмущений. Для
преодоления подобных трудностей существует математическая
техника, подобная той, которая применяется в квантовой теории
поля.

Конкретная форма этого математического аппарата сущест-
венно зависит от характера макроскопической системы, к кото-
рой она должна применяться. Последующие параграфы этой
главы посвящены развитию аппарата для ферми-жидкости при
абсолютном нуле температурх). При этом изложение имеет своей
целью не только фактическое применение метода. к данному
объекту, но и демонстрацию того, каким образом вообще строится
такой аппарат.

Исходным материалом в нем являются вторично-квантован-
ные ф-операторы, свойства которых известны из квантовой меха-
ники (см. III §§ 64, 65). Нам сейчас понадобятся эти операторы
в гейзенберговском представлении, в котором они зависят явно
от времени. Поэтому мы начнем с выяснения некоторых свойств
ф-операторов в этом представлении.

Мы будем рассматривать системы, составленные из’частиц
со спином 1/2. Соответственно этому, ф-операторам должен быть
приписан индекс, указывающий значение проекции спина и про-
бегающий значения ±1/2; спиновые индексы будем по-прежнему
обозначать буквами греческого алфавита, а по дважды повторяю-
щимся индексам подразумевается суммирование.

По общему правилу (см. III § 13) оператор f (t) любой физи-
ческой величины в гейзенберговском представлении выражается
через не зависящий от времени (шредингеровский) оператор f

х) Систематическое построение этого аппарата принадлежит В. М. Галиц-
кому и А. Б. Мигдалу (1958),
той же величины согласно1)

где Н—гамильтониан системы.

Здесь, однако, будет целесообразно несколько изменить это
определение. Дело в том, что в квантовой статистике удобнее
рассматривать состояния системы не при заданном числе частиц
N в ней, а при заданном химическом потенциале р. При этом
основное состояние системы, в котором она находится при Т = 0,
можно определить как состояние с наименьшим собственным
значением оператора

Я' = Я—(7,1)

(а не Н, как при заданном N). Действительно, вероятность си-
стеме находиться (при заданном значении ц) в состоянии с энер-
гией Еп и числом частиц (Vn:

( Еп—	( Е'п

w со exp I-—- J = exp (-

(см. V (35,1)); E’n—собственные значения оператора И', и мы
видим, что при 7’ = 0 остается только состояние с наимень-
шим Е’п2).

Таким образом, определим гейзенберговские ф-операторы
формулами

Фа (t, г) = е1'й'*фа (г) е-

г) = 6‘^Фа (г)

Мы будем обозначать гейзенберговские ф-операторы заглавной
буквой Ф, а шредингеровские—строчной буквой ф.

Шредингеровские ф-операторы удовлетворяют известным пра-
вилам коммутации. Коммутаторы же гейзенберговских операто-
ров, взятых в различные моменты времени t и t', нельзя вычис-
лить в общем виде. Однако при t = t' их правила коммутации
совпадают с правилами для шредингеровских операторов. Так,
из правила

Ф» (г) Ф₽ (г') + Ф₽ (г') фа (г) = 6ар6 (г—г')

J) С целью упрощения записи формул мы будем широко пользоваться
системой единиц, в которой квантовая постоянная 1 (так что импульс имеет
размерность см-1, а энергия сек-1). Для перехода от этой системы к обычным
единицам все импульсы р и энергии Е в формулах надо заменить на р/Й- и
Е/К. Такие единицы используются, в частности, в этой главе.

2) Мы будем называть оператор Н', как и Н, гамильтонианом.
следует аналогичное правило

ад, оад, г')+ад, над, г) =

= eint (Фа (г) Ф^ (г') + Фр (г') фа (г)) е~= 6а₽6 (г—г'). (7,3)

Таким же образом:

' оад, г')+ад, над, г)=о,
ад, г) ад, г')+ад, над, г)=о.	(7,4)

Дифференцируя определение (7,2) по времени, найдем, что
гейзенберговский ф-оператор удовлетворяет уравнению

-1^-ад,г) = Я'ад, г)-ад, г)Я' (7,5)

(ср. III (13,7)).

Гейзенберговское и шредингеровское представления тожде-
ственны для оператора всякой сохраняющейся величины (т. е.
оператора, коммутативного с гамильтонианом). Это относится,
в частности, к самому гамильтониану, а также к оператору
числа частиц — тоже, разумеется, сохраняющейся величины. Вы-
ражения этих операторов через шредингеровские или гейзенбер-
говские ф-операторы одинаковы. Так, оператор числа частиц

N = $ фа (г) фа (г) dsx = J Tj (t, г) Фа (t, г) dsx. (7,6)

Гамильтониан же системы взаимодействующих частиц имеет вид
Д'=Д'«»+17а)+р(2)+..ф

я'^-^Уад, г)дад, r)d4-iLN,

у<1) = фг+(/, г) Д(1> (Г) Фа (t, r)dsx,	(7,7)

Р2’ = у j ад, г) Ф+ (/, г') U™ (г—г') Фа (t, г') % (t, r)d»xd*x'.

Здесь H'w — гамильтониан системы свободных частиц; Г(Х)— опе-
ратор их взаимодействия с внешним полем Д(х)(г); Г(2)— опера-
тор парного взаимодействия частиц, причем Г7(2) (г—г')—энергия
взаимодействия двух частиц; опущенные члены—тройные и т. д.
взаимодействия (ср. III (64,25)). Для простоты предполагаем все
взаимодействия не зависящими от спинов частиц.

Коммутатор Я' и в (7,5) вычисляется с помощью правил
(7,3—4); возникающие при этом 6-функции устраняются интег-
рированием. В результате получим «уравнение Шредингера» для
Фа(/, г) в виде

г)=(-А.Д-И + ^>(г))Фа(/, г) +

+	r') ит (г-r'm (t, r')d»x'-4a(t, r) + ... (7,8)

Основную роль в излагаемом методе играет понятие функции
Грина макроскопической системы. Она определяется следующим
выражением х):

Ga₽ (Хй Х2) = - i <ТФа (X,)	(Х2)>.	(7,9)

Здесь и ниже X обозначает, для краткости, совокупность мо-
мента времени t и радиус-вектора точки г. Угловые скобки <.. .>
означают усреднение по основному состоянию системы (вместо
более громоздкого символа диагонального матричного элемента
<0| ... |0>). Символ же Т есть знак хронологического произве-
дения: следующие за ним операторы должны быть расположены
справа налево в порядке возрастания времен tx, t2. При этом
в случае фермионов перестановка пары ф-операторов (по срав-
нению с их расположением в первоначальной записи произведе-
ния) должна сопровождаться изменением знака произведения.
В явном виде это значит, что

с	-^(XJWs»,

(	i<T₽+(X2)4ra(X1)>,

Отметим некоторые очевидные свойства функции Грина. Если
система не ферромагнитна и не находится во внешнем поле, то
спиновая зависимость функции Грина сводится к единичной
матрице:

Ga₽(X1( X3) = 6apG(X1, Х3)	(7,11)

(всякая другая форма зависимости выделяла бы избранное на-
правление в пространстве — ось г квантования спина)3). Вейлу
однородности времени моменты tx и /3 входят в функцию Грина
лишь в виде разности t = —12. Если, сверх того, система макро-
скопически однородна в пространстве, то лишь в виде разности

х) Это определение аналогично определению точных функций Грииа (про-
пагаторов) в квантовой электродинамике (ср. IV §§ 100, 102).

2) Это утверждение требует пояснения. Спиновые компонентысоставля-
ют контравариантный спинор первого ранга (и в этом смысле более правильным
было бы обозначение Фа с индексом а сверху). Компоненты же Фр составляют
ковариантный спинор. Поэтому Gap есть смешанный спинор второго ранга.
Единичным же смешанным спинором второго ранга является именно 5вр.
г = Г1—г2 входят также и координаты двух точек. Другими
словами, в этом случае

GafdXi, X2) = 6aPG(X), X = Xt-X?. (7,12)

Подчеркнем, что микроскопическая однородность означает, что
тело предполагается однородным не только по своей средней
(макроскопической) плотности, но и по плотности вероятности
различных (микроскопических) положений ее частиц в простран-
стве. Именно таковы жидкости и газы (но не твердые кристаллы).
В силу их изотропии G(t, r) = G(t, —г). В этой связи подчерк-
нем лишний раз, что в то же время функция G(7, г), по самому
своему определению, отнюдь не четна по переменной t. В этом
смысле порядок и t2 в разности 1 = —t2 существен.

Координатная матрица плотности частицы в системе опре-
деляется как среднее значение

Pa₽(rf> T2) = 4<W 'ЛЛ, Г1)>.‘	(7,13)

Знание этой матрицы позволяет определить среднее значение
любой величины, относящейся к отдельной частице. Действи-
тельно, пусть Fap—некоторый «одночастичный» оператор, т. е.
оператор вида

(7,14)
а

где —оператор, действующий на координаты и спин лишь
одной (a-й) частицы, а суммирование производится по всем ча-
стицам в системе. В аппарате вторичного квантования такой
оператор записывается (в гейзенберговском представлении) как

КаР(/)=$^(^, г) V??(7, r)d=x	(7,15)

(ср. Ill (64,23)). Отсюда ясно, что среднее значение величины F
может быть выражено в терминах матрицы плотности в виде

<F> = N ф = N $ (ri> Г2)]г» = n dSxi> (7,16)

где —оператор, действующий на координаты rf (положить
ra = rf надо после воздействия оператора, но перед интегриро-
ванием).

Согласно (7,10), матрица плотности может быть выражена
через гриновскую функцию

Ра₽ (ff, i"2)  n	Гх, ^14-0, Г2).

(7,17)
Здесь (как и везде ниже) обозначение аргумента функции в виде
fr-|-0 означает, что имеется в виду предел при стремлении
аргумента к значению сверху. Взятием этого предела обеспе-
чивается правильная расстановка ф-операторов, совпадающая
с их расстановкой в произведении (7,13).

Для микроскопически однородной системы матрица плотности
зависит только от разности г = г,—г2, а при независимости от
СПИНОВ Рар=$а₽Р, Причем

р (г) = -—-^-G (f = —0, г),	(7,18)

где вместо Gap (Xit Х2) введена функция G(Xj—X2) = G(X)
согласно (7,12). При rj = r2 и после взятия следа по спино-
вым переменным произведение операторов в (7,13) превращается
в ФсДа—оператор плотности числа частиц в системе. Поэтому
средняя плотность тела

-^- = 2Мр(0) = — 2iG(/ = — 0, г = 0)	(7,19)

(t стремится к нулю снизу). Это равенство связывает химический
потенциал р, при Т = 0 (от которого G зависит как от параметра)
с плотностью числа частиц N/V.

Фурье-разложение функции р(г1; г2) определяет распределе-
ние частиц по импульсам1)

А/(р) = лЛ р(Г1, r2)e~lP<r‘-,^d3(x1—-х2) =

С	I	(7-2°)

= — i j G(t, r)^=_0e-iprd3x.

Это есть число частиц (в единице объема) с определенным
значением проекции спина и с импульсами в интервале d3p/(2n)3.
Подчеркнем, что речь идет здесь об истинных частицах, а не о
квазичастицах (последние в излагаемом аппарате еще не появи-
лись!). Обозначение N (р) введено в отличие от функции рас-
пределения квазичастиц п(р).

9 Напомним (см. III § 14), что одночастячная матрица плотностя есть
янтеграл

Р (И, г3) = $	(г2, q) V (r1( q) dq,

где Т (г, q)—волновая функция системы в целом, причем г обозначает радиус-
вектор одной частицы, a q— совокупность координат всех остальных частиц: по
последним производится интегрирование. Фурье-компоненты матрицы плот-
ности совпадают с выражением

$ | $ V (г, q) eiprd3x | dq,

откуда и следует ее связь с распределением частиц по импульсам.
В дальнейшем мы будем обычно иметь дело с функцией Грина
в импульсном представлении, определенной как компонента
фурье-разложения функции G(t, г) по t и г:

G(/, r) = jG(co, р)еНРг-<оО^,	(7,21)

G(®, p) = $G(Z, r)e-z(Pr-ffl^d/dsx.	(7,22)

Распределение частиц по импульсам выражается через эту
функцию формулой

W(p) = — i Нш f G(®, p)e-lffl^,	(7,23)

t + -0 J
— 00

получающейся подстановкой (7,21) в (7,20). Ее нормировка вы-
ражается формулой

-2i lim [G(®, р)е-^^ = А, (7,24)
t -> - о J	v

представляющей собой условие (7,19), выраженное в импульсном
представлении. Таким образом, распределение N (р) автомати-
чески правильно нормировано:

о С , d3p N

2	— V

Отметим, что предел, в котором берутся интегралы (7,23—24),
эквивалентен определенному правилу обхода в плоскости ком-
плексной переменной со. Наличие множителя e~iat с t < 0 поз-
воляет замкнуть путь интегрирования (вещественная ось) беско-
нечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости со,
так что интеграл определяется вычетами функции G(co, р) в ее
полюсах, лежащих в этой полуплоскости.

§ 8.	Определение энергетического спектра по функции Грина

Для микроскопически однородной системы легко определить
зависимость от времени и координат матричных элементов гей-
зенберговского ф-оператора по отношению к стационарным
состояниям с определенными значениями энергии и импульса.

Зависимость от времени дается обычным экспоненциальным
множителем

<п|Фа(/, г)|/п>	<п|фа(г)|/п>,	(8,1)

но поскольку гейзенберговский ф-оператор определен с по-
мощью гамильтониана Н', то

= Е'п—Е'т = Еп—Ет—р (Nn—Nm).
Согласно общим свойствам яр-операторов, оператор Ф умень-
шает (a Y* увеличивает) число частиц в системе на 1. Поэтому
в матричном элементе (8,1) Nn = Nm—1, так что

a>nm = En(N)-Em(N + l) + ii,	(8,2)

где в виде аргументов указаны числа частиц в соответствующих
состояниях.

Для определения координатной зависимости замечаем, что
в силу однородности системы матричные элементы ее яр-операто-
ров не могут измениться при смещении на любое расстояние г
относительно системы. Это, однако, не означает, что матричные
элементы вообще не зависят от координат. Дело в том, что
отличие ярпот (г) от значения ярпот (0) в некоторой заданной точке
г = 0 связано с двумя причинами: со смещением на расстояние г
относительно самой системы и с перемещением точки наблюде-
ния в другое место пространства, что также меняет фазы вол-
новых функций. Чтобы исключить последнее изменение, сместим
систему на вектор —г, т. е. применим к ее волновым функциям
оператор параллельного переноса

f(—г) = е-‘^

(Р—оператор полного импульса системы; см. III (15,13)).
В результате этих операций точка наблюдения вернется в исход-
ное место пространства, но останется смещенной относительно
системы на вектор г. Инвариантность матричных элементов по
отношению к такому преобразованию выразится равенством

<	и | фа (0) | ту = <и | еггРфа (г) е~iT* | ту.	(8,3)

Если в. состояниях п и т система обладает определенными
импульсами Р„ и Рот, то

<	п | фа (0) | ту = е‘к«тГ <и | яра (г) | ту,
откуда

<	п | Та (t, г) | ту = е‘-k™r) <п | (ра (0) | ту, g 4.

<	п|Чг+(/, г)|т> = <т|Фа(/, г)|и>*,

где k„m = P„ Pm.

С помощью этих формул можно получить важное разложе-
ние для функции Грина в импульсном пространстве, прояс-
няющее ее физический смысл.

Ввиду «разрывного» определения функции G(t, г), при вы-
числении G(®, р) надо разбить интеграл по dt в (7,22) на два
интеграла: от —оо до 0 и от 0 до оо. Во втором из них (т. е.
при t = tx — /а > 0) имеем, раскрывая определение (7,10) по
правилу умножения матриц:

G(t, г)=10аа= -4S<0|^a(Xi)|/n><m|¥J(X2)|0>
т

(суммирование по всем квантовым состояниям системы). Подста-
вив сюда (8,4) и заметив, что в основном состоянии Ро = 0,
находим

G(t, г) =—4^21 <01^(0)|m>pef<<*o^+P™r),	(8,5)

т

где соОи = £о(Х)—£и(Х + 1) + р.

Интегрирование по пространству в (7,22) (с G (/, г) из (8,5))
дает в каждом члене суммы 6-функцию 6(р — Рт). При инте-
грировании же по dt (t > 0) для обеспечения сходимости надо
добавить к со бесконечно малую положительную мнимую часть,
т. е. заменить со—э-со-4-Ю1). Тогда получим

СО

J f G (t, г) e^-^d4dt =	| <01 фа (0) | т> |2	•

о °	т

Аналогичным образом вычисляется интеграл по dt от —оо
до 0. При t < 0 вместо (8,5) имеем

G (*, г) = 4£|<т|фа(О)|О>рег(а'»о<-р»>г),	(8,6)

т

где comO = Em(N—1)—£0(X) + p. Вычислив теперь интеграл
от —со до 0 и сложив оба интеграла, получим

Ъ (со р) = У /-----------Л,д6(р—Рст)------,

1	2 Z^\a + li+E0(N)-Em(N+\) + iQ^	(8)7)

,________ВтЪ (р + Рст)___)

f (0+p+Era (V—1) —£0 (N)-iQ P

где обозначено

Ли = |<0|фа(0)|т>р,	= | </п |фа(0) |0> |2.	(8,8)

Это и есть искомое разложение2).

Введем обозначения

ей> = £и(Х + 1)-£о(Х), е<-> = £0(Х)-£и(Х-1) (8,9)

*) Эта процедура аналогична способу вычисления функций Грииа в кван-
товой электродинамике (ср. IV § 76).

2) Аналогичное разложение в квантовой теории поля называют формулой
Челлена—Лемаиа (ср. IV §§ 101, 108).
для энергий возбуждения, определенных по разностям между
возбужденным уровнем системы с определенным числом частиц
и основным уровнем системы, содержащей на одну частицу больше
или меньше. Индексы ( + ) и (—) указывают, что эти энергии

>р, е^><р.

(8,10)

Действительно, заметив, что £0(Af-[-I)—E0(N)^dEjdN = —
химический потенциал при Т = 0, пишем, например,

e% = Em(N 4-1)—£0(Л7 + l)+£0(tf +1)-£O(W)«

«[£m^+l)-£0(2V+I)] + p.

Но разность в квадратных скобках (где обе энергии относятся
к системам с одинаковым числом частиц) положительна по опре-
делению основного состояния, откуда и следует, что > р.
К смыслу определения (8,9) мы еще вернемся ниже.

Сдвиг полюсов членов суммы (как функций со), выражаемый
слагаемыми +i0 в их знаменателях, эквивалентен появлению
6-функционных мнимых частей согласно правилу* 1 *)

тиг-Рт™»*)-	<8'П>

Применив его к (8,7), найдем вещественную часть гриновской
функции

ReG(®, р) = 4л3У Р Г Лтб.(р~^-4-+	(8J2)

'	'	L ® + Р—е<+> 1 w-f-p —	J '	'

m

и ее мнимую часть (здесь надо учесть, что все разности — р>0,.

а все разности	— р < 0):

Im G (со, р) =

[— 4л42Дот6(р—Рт)6(со+р — е#’) при со > 0,

= * m	(8,13)

I 4л42Втб(р + Рт)6 (со + р —e^>) при ®<0.

Отсюда видно, что всегда

sign Im G(со, р)=—sign®.	(8,14)

4) Ср. III (43,10). Знак Р означает, что при интегрировании выражений
вида f (x)/(x±i0) интеграл должен пониматься в смысле главного значения

(т±Ю’‘ЙС=

I Л 1 tU	J Л

Второй член возникает от обхода полюса х=—10 (или x=i0) по полуок-

ружности сверху (или снизу).
§ 8]	Энергетический спектр и функция грина	53

Отметим также асимптотическое поведение функции G(co, р)
при со—>оо. Из (8,7) имеем

G(co, p)^^-£[Xm6(p-Pm) + Bm6(p + Pm)L
т

Коэффициент при 1 /со равен, как легко убедиться, компоненте
Фурье по —г2 от

1{Фа(/, гОТЖ г2)+Ф+(/, г2)Фа(/, гх)} = б (гх-г2),

т. е. единице. Таким образом,

G(со, р) —1/со при |со|—>оо.	(8,15)

Главное свойство функции Грина в импульсном представле-
нии состоит в том, что ее полюсы могут лежать только в точках
со = ет—р, где ет—определенные указанным выше образом
дискретные энергии возбуждения системы. Каждая из этих
энергий отвечает определенному значению импульса системы Рга,
о чем свидетельствует наличие соответствующей б-функции
в каждом полюсном члене функции Грина.

Нас, однако, интересует здесь функция Грина макроскопи-
ческого тела. Это значит, что рассматривается предел, когда
объем V и число частиц N стремятся к бесконечности (при за-
данном конечном значении отношения N/V). В этом пределе
расстояния между уровнями системы стремятся к нулю, по-
люсы функции G (со, р) сливаются и можно утверждать лишь,
что эта функция имеет мнимую часть при значениях co-j-p
в непрерывной области возможных значений энергии возбужде-
ния системы. Исключение составляют, однако, возбуждения,
в которых весь импульс р макроскопической системы может
быть приписан всего одной квазичастице с определенным за-
коном дисперсии е(р) (напомним, что в основном состоянии
системы р = 0); таким значениям отвечают изолированные по-
люсы функции Грина.

Если же импульс р складывается из импульсов нескольки-х
квазичастиц, то энергия системы уже не определяется одно-
значно значением р: заданный импульс системы может скла-
дываться различным образом из импульсов квазичастиц, сумма
энергий которых пробегает при этом непрерывный ряд значе-
ний; интегрирование по всем таким состояниям устраняет полюс.

Таким образом, уравнением

G-1(e—р, р) = 0	(8,16)

определяется закон дисперсии квазичастиц (В. Л. Бонч-Бруевич,
1955).
Подчеркнем, что способ определения энергии возбуждения,
согласно (8,9), как раз соответствует определению энергии
квазичастиц в теории Ландау. Действительно, разность e#> есть
изменение энергии системы при добавлении к ней одной час-
тицы; приписав все это изменение одной квазичастице, мы
определяем е в соответствии с (1,3). Аналогичным образом,
— е),;’ есть изменение энергии при удалении одной частицы,
так что е^> есть энергия удаленной квазичастицы. Естественно
поэтому, что	так как в теории Ландау квазичастица

может быть удалена только изнутри ферми-сферы1).

Поскольку все фигурирующие в разложении (8,7) возбуж-
денные состояния получаются из основного состояния добав-
лением или удалением одной частицы (со спином 1/2), то ясно,
что для системы фермионов полюсы функции Грина определяют
лишь спектр элементарных возбуждений фермиевского типа.
Как определяется бозевская ветвь, будет показано ниже, в § 18.

Описание спектра макроскопической системы с помощью
понятия о квазичастицах с определенной зависимостью е от р —
приближенное описание, точность которого падает с увеличе-
нием |е—р|. Отклонение от картины независимых квазичастиц
проявляется в сдвиге полюса функции Грина в комплексную
область: энергия е(р) становится комплексной. Согласно общим
правилам квантовой механики (см. III § 134), комплексность
уровней энергии означает конечность времени жизни т воз-
бужденного состояния системы (т~1/|1гпе|). Сама же вели-
чина Ime характеризует степень «размазанности» значений
энергии квазичастицы (ширина уровня). Разумеется, такая
трактовка имеет смысл лишь при условии достаточной малости
мнимой части: | Im е | | е—р|. Как было объяснено в § 1, это
условие действительно выполняется для слабо возбужденных
состояний системы, поскольку I Im е |~1/т оо (р — рР)2, в то время
как Re(e—р) оо | р—рр\.

Необходимый знак 1гпе обеспечивается определенностью знака
мнимой части функции Грина. Действительно, вблизи своего
полюса эта функция имеет вид

G(co, р)«—;..Z- , , ,	(8,17)

v v' ю + р—е(р)	'	'

причем постоянная Z > 0, как это следует из положительности
коэффициентов Ат, Вт в разложении (8,7); величину Z ча-
сто называют (по аналогии с квантовой электродинамикой)

*) Обратим внимание иа то, что в определение энергии квазичастиц Вт*
возбужденный уровень системы Ет входит со знаком минус. С этим связан
и тот факт, что импульс этих квазичастиц р = —Рт, как это видно из б-функ-
ции б (р-|-Рт) в соответствующих членах разложения (8,7).
перенормированной постоянной. Мнимая часть функции Грина

Im

Z Im е
|й> + р,—e|2 ’

Заметив, что это выражение относится к значениям о«е—р
и сравнив его знак с правилом (8,14), найдем, что

Im е < 0 -при Ree>p,

Ime>0 при Ree<p,

(8,18)

как и должно быть: такой знак Im е в обоих случаях (е£> и еД’
в (8,9)) соответствует правильной отрицательной мнимой до-
бавке к энергии возбужденного состояния Ет.

К аналитическим свойствам гриновской функции мы вер-
немся еще в § 36, где этот вопрос будет рассмотрен сразу для
общего случая произвольных температур.

§ 9.	Функция Грина идеального ферми-газа

Для иллюстрации рассмотренных в предыдущем параграфе
общих соотношений вычислим функцию Грина идеального газа.

Шредингеровские ф-операторы всегда можно представить
в виде разложения

Ф (г) = S «раФра (г)	(9,1)

а

по полному набору функций фра—волновых функций свобод-
ной частицы с импульсом р (и энергией рг12т), т. е. по плоским
волнам

^ = ~^eipr	М

(иа— спиновая амплитуда, нормированная условием «„«„=1);
такой выбор функций фра не имеет отношения к реальному
взаимодействию частиц в системе.

Но для системы невзаимодействующих частиц может быть
записан в явном виде также и гейзенберговский ф-оператор.
В этом случае переход от шредингеровского к гейзенберговскому
представлению сводится к введению в каждый член суммы
в (9,1) соответствующего временного множителя

г)=£орафра(г)ехр	1^-^-—p)q.	(9,3)

ра

В этом легко убедиться, заметив, что матричные элементы гей-
зенберговского оператора для всякого перехода i—должны
содержать множители ехр[—1(Е'(—E'f)t], где E'it E'f—энергии
начального и конечного состояний (в данном случае это—соб-
ственные значения гамильтониана Н'^=Н—p?V). Для перехода
с уменьшением числа частиц в состоянии ра на 1 разность
Ei—Е] = р^12т.—ц, так что указанное требование выполнено.

Однако, вместо прямого вычисления функции Грина с по-
мощью (9,3) по определению (7,10), удобнее свести сначала
это определение к эквивалентному ему дифференциальному урав-
нению. Для этого продифференцируем функцию Ga₽(X1—Х2)
по tv При этом надо учесть, что в точке = эта функция
разрывна. Действительно, согласно определению (7,10), скачок
функции

[Ga₽]sGap|lI=<2+0 — Ga|5 1g=/2-0 =

= -t<Ta(G,	r2) + TJ(G, r2)Ta(^, rj>

или в силу (7,3)!)

[Gap] = —i6ap6 (Fj—r2).	(9,4)

Наличие скачка приводит при дифференцировании к появлению
члена [Gap] б (^—12). Поэтому

^_Ga₽= -1(Т^^-Ф+р(Х2))-1барб(Г1-г2) б (^-и.	(9,5)

Для системы свободных частиц гейзенберговский ф-оператор
удовлетворяет уравнению

'тг'-ъЛ-Л

(ср.7,8)). Подставив эту производную в (9,5) и снова воспользо-
вавшись определением (7,10), получим уравнение для функции
Грина

+	+	=	8(г),	(9,6)

где уже положено G$ = 6apG(0), а индекс (0) у G указывает отсут-
ствие взаимодействия между частицами.

Преобразуем это уравнение по Фурье:

/	п$	\

2Д- + н) G° (“> Р)= !•

Определяя отсюда гриновскую функцию, надо добавить к со бес-
конечно малую мнимую часть таким образом, чтобы мнимая

Подчеркнем, что величина этого скачка вообще не зависит от взаимо-
действия частиц!
часть G имела правильный знак (в соответствии с (8,14)):

G(o) (со, р)= [®-^- + н + 1‘0-sign(9,7)

Полюс этого выражения лежит при со + ц = в (р) = р^т в соответ-
ствии с тем, что в идеальном газе квазичастицы совпадают с ре-
альными частицами. Химический потенциал идеального ферми-
газа р = р2р/2т. Для слабо возбужденных состояний р близко к рР,
так что можно заменить ра/2т « ц4-ил(р—Рр} (где uF=pF/m)
и для таких состояний переписать функцию Грина в виде

G(0’(co, р) = [со—vP(p—pF)H-iO-signсо]-*.	(9,8)

При всяких интегрированиях с участием функции G(o) нали-
чие бесконечно малой мнимой части в ее знаменателе сущест-
венно только вблизи полюса, когда atvvp(p—рр). В этом
смысле sign® в (9,7) можно заменить на sign(p—рР) и написать
G(0) в виде

G(o) (®, р) = [®—pa/2m + p-H0-sign (р—pF)]-1.	(9,9)

Такая замена существенна в том отношении, что в виде (9,9) G(0)
оказывается единой аналитической во всей плоскости функцией
комплексной переменной а и для вычисления интегралов можно
пользоваться методами теории аналитических функций.

Так, для вычисления интеграла (7,23) (распределение частиц
по импульсам) при отличном от нуля отрицательном t замыкаем
путь интегрирования (вещественная ось со) бесконечно удален-
ной полуокружностью в верхней полуплоскости (после этого
можно положить / = 0). Интеграл

w 2л J и — p2/2m + p+i0-sign(p — рР)

определяется теперь вычетом подынтегрального выражения в по-
люсе, находящемся в верхней полуплоскости. При р > рр такой
полюс отсутствует, так что Af(p) = O. Если же р < рР, то нахо-
дим N (р)= 1 — как и должно было быть для основного состояния
идеального ферми-газа.

§ 10.	Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам

Гриновская функция ферми-жидкости не может быть, конечно,
вычислена в общем виде, как это было сделано для ферми-газа.
Но^ утверждение о том, что ферми-жидкость обладает спектром
описанного в § 1 типа означает, что ее функция Грина имеет
полюс при

® = е(р)—p«uF(p —pf), vP=pp/m*, (10,1)
Другими словами, она может быть представлена в виде

G (®, р) =-----------Z. ,	.----h g (w, р),	(10,2)

' ’ н/ ш—ир(р — pF) + Ю-sign а 1 ° ' ’ v' '

где g(a, р)—функция, конечная в точке (10,1). Как уже было
отмечено в связи с (8,17), коэффициент / (вычет функции G в по-
люсе) положителен.

Из выражения (10,2) можно сделать интересное заключение
о характере распределения частиц жидкости (не квазичастиц!)
по импульсам. Именно вычислим раз-
ность значений функции распределения
N (р) (фактически зависящей лишь от аб-
солютной величины р) по обе стороны
поверхности ферми-сферы, т. е. предел
разности

N (pF—q) — N(pF+q)

при <7=+0.

Распределение N (р) выражается че-
рез функцию Грина интегралом (7,23).

Ввиду конечности функции g(a, р) заранее очевидно, что
разность интегралов от нее будет стремиться при q—>0 к нулю.
Поэтому достаточно рассмотреть лишь разность интегралов от
полюсных членов в (10,2). Поскольку при интегрировании член Ю
в знаменателе существен только вблизи полюса, можно (как уже
было указано в § 9) писать sign (р —pF) вместо sign®. Тогда имеем

TV (Pf_(7)_A7(Pf+(7) = _i- J	_L_

— со

(ввиду сходимости этого интеграла от разности, множитель

с t =— 0 в нем можно опустить). Замыкая теперь путь интегри-
рования бесконечно удаленной полуокружностью (все равно в ко-
торой из полуплоскостей), найдем, что весь интеграл равен Z
и не зависит от q. Таким образом, имеем

W(pF-0)-2V(pF+0) = Z	(10,3)

(Л. Б. Мигдал, 1957).

Выше было указано, что Z > 0. Поскольку N (р)	1, то

из (10,3) следует, что

0<Z<l	(10,4)

(причем значение Z=1 достигается лишь в предельном случае
идеального газа).
Таким образом, распределение частиц по импульсам в ферми-
жидкости при Т = 0 имеет, как и в газе, скачок на поверхности
ферми-сферы, уменьшаясь в направлении изнутри сферы наружу.
В отличие от случая газа, величина скачка, однако, меньше еди-
ницы, и функция ЛДр) остается отличной от нуля также и при
р > рР, как это показано на рис. 1 сплошной кривой (пунктирная
линия отвечает газу).

§ 11.	Вычисление термодинамических величин

по функции Грина	'

Знание гриновской функции системы достаточно для описания
ее термодинамических свойств. При Т = 0 эти свойства выража-
ются зависимостью энергии системы (совпадающей с энергией
основного состояния £0) от плотности N/V.

После того как определен (решением уравнения (8,16)) закон
дисперсии квазйчастиц е(р), эту зависимость можно найти, во-
спользовавшись тем, что

е(/д) = Н-	(11,1)

Поскольку зависимость рР от N/V известна, согласно (1,1),

pF=(33r2)i/3(2v/y)i/3(	(Ц,2)

равенство (11,1) определяет функцию ц(АД7) (хотя и в неявном
виде, так как и закон дисперсии е (р) содержит, вообще говоря, ц
как параметр). При Т = 0 (а потому и 5 = 0) химический потен-
циал ц — (dE0/dN)v', интегрируя это равенство, найдем искомую
энергию

N

E^M-^dN	(11,3)

6.

(при N = 0, разумеется, и £о = О).

Другой способ описания термодинамических свойств при Т = 0
состоит в вычислении термодинамического потенциала Q. Со-
гласно общему определению (см. V § 24), этот потенциал
Q =£—TS —|лМ = —£7 и его дифференциал dQ= —SdT — Ndp;
при Т— Q имеем также и 5 = 0, и эти выражения сводятся к

£1 = Е — цАГ,	(11,4)

dQ = —АМр.	(11,5)

Напомним также, что по смыслу потенциала Q он описывает
свойства системы при 7 = const.

Простейший способ выразить Q через функцию Грина состоит
в использовании связи (7,24) N/V с G. Подставив N из (7,24) в (11,5)
и интегрируя по dp (при V — const), получим

Q(p) = 2tvjdp. Шп Jg((o,	(11,6)

поскольку, опять-таки, £2 = 0 при р = 0.

§ 12. Т-операторы в представлении взаимодействия

Гриновскую функцию системы взаимодействующих частиц
нельзя, разумеется, вычислить в общем виде. Существует, од-
нако математическая техника (подобная диаграммной технике
квантовой теории поля), позволяющая вычислять ее в виде ряда
по степеням энергии взаимодействия частиц. При этом каждый
член ряда выражается через функции Грина системы свободных
частиц и оператор взаимодействия.

Введем, наряду с гейзенберговским, еще и другое представ-
ление операторов—представление, в котором их зависимость
от времени определяется не истинным гамильтонианом системы

Н' = Н' м + V =	— рЛА + V

(V—оператор взаимодействия), а гамильтонианом свободных
частиц Н',0):

То (/, г) = ехр (1ЁГ,0) 0 ф (г) ехр (— 1Н',0) /).	(12,1)

Операторы и волновые функции в этом представлении (так на-
зываемое представление взаимодействия) будем отличать индек-
сом 0. Выразив функцию Грина через операторы То (вместо
гейзенберговских Т), мы тем самым сделаем первый шаг к до-
стижению поставленной цели —выражению G через G,0) и V.

Обозначим в этом параграфе буквой Ф (или <р) волновые
функции в «пространстве чисел заполнения» (в отличие от ко-
ординатных волновых функций Т или ф); на эти функции дейст-
вуют вторично-квантованные операторы. Пусть <р — такая функ-
ция в шредингеровском представлении; ее зависимость от вре-
мени определяется волновым уравнением

(12,2)

В гейзенберговском представлении, где вся временная зависи-
мость перенесена на операторы, волновая функция системы Ф
вообще не зависит от времени: Ф = const. В представлении же
взаимодействия волновая функция Фо зависит от времени, но
эта зависимость связана только со взаимодействием частиц
в системе и определяется уравнением

^Ф0(/) = 1/0(/)Ф0(/),	(12,3)

где

70 = ехр (iH'<0) /)7ехр (— iH’w t)	(12,4)

— оператор взаимодействия в том же представлении (в опера-
торах вида (7,6—7) переход к этому представлению сводится
просто к замене Ф на Ч^). Уравнение (12,3) легко получить,
заметив, что преобразованию операторов, согласно (12,1), отве-
чает преобразование волновых функций согласно

Ф0 = ехр(1#'<0Ч)ф	(12,5)

(см. III § 12). Дифференцируя это выражение с учетом (12,2),
получим (12,3)1).

В силу (12,3) значения Фо(/) в два бесконечно близких мо-
мента времени связаны друг с другом равенством

Фо (t + 8t) =[1	(/)]Ф0 (О = ехр {- ibt- Vo (0) Фо (0-

Соответственно значение Фо в произвольный момент t может
быть выражено через значение в некоторый начальный момент
/0 (/0 < 0 как

Фо(О = 3(Л /о)Ф.(и,	(12,6)

где

S(^ U = П exp {-i6/-V0 (/,-)},	' (12,7)

^0

причем сомножители в этом произведении расположены, оче-
видно, справа налево в порядке возрастания времен tf, подра-
зумевается предел произведения по всем бесконечно малым ин-
тервалам 6/ между ta и t. Если бы 70 (t) было обычной функцией,
то этот предел сводился бы просто к

( *
ехр < — i Vo (/) dt
^0

Но такое сведение основано на коммутативности множителей,
взятых в различные моменты времени, подразумевающейся при
переходе от произведения в (12,7) к суммированию в показателе.
Для оператора Уо (Z) такой коммутативности нет и сведение

*) Уравнение (12,3) совпадает с уравнением IV (73,5), и следующий ниже
процесс его решения повторяет изложение в IV § 73.
к обычному интегралу невозможно. Вместо этого можно записать
(12,7) в символическом виде

S(t, /0)=Техр| —	(12,8)

X ^0	'

где Т—символ хронологического расположения множителей
в той же последовательности, что в (12,7), т. е. справа налево
от меньших времен к большим.

Оператор $ унитарен (3-1 = 3+) и обладает очевидными
свойствами:

3(4, 4)5(4,-4) =5(4, 4),
t1)S~1(t3, t2) = S~1(t3, tj.

Для упрощения дальнейших рассуждений сделаем формаль-
ное предположение (не отражающееся на окончательных резуль-
татах), что взаимодействие VQ(t) адиабатически «включается» от
/ =— оо к конечным временам и адиабатически «выключается»
при t = + оо. Тогда при i —► — оо, до включения взаимодействия,
волновая функция Фо (/) совпадает с гейзенберговской функцией Ф.
Положив в (12,6) t0 = — оо, получим

Фо(/) = 3(/, — оо)Ф.	(12,10)

Установив, таким образом, связь между волновыми функциями
в обоих представлениях, мы устанавливаем тем самым и закон
преобразования операторов, в том числе ф-операторов:

Т = 3"1(^ — оо)Т03(/, —оо).	(12,11)

В силу унитарности 3 по такому же закону преобразуются
и операторы Чг+.

Выразим теперь функцию Грина через ф-операторы в пред-
ставлении взаимодействия1). Пусть 4 > t2', тогда

Ga₽ (Xi, Х2) = -/<Фа(4)^(4)> =

= -/<3-1(4, -Оо)Ф0а(4)3(4, -ОО)3-Ч/2, -ОО)Х

ХЧг0+р(/2)3(/2, — оо)>.
Согласно (12,9) имеем

S(tif — 00)3-44, — oo)=S(4, /2)3(/2, —00)3-44, — °°)=S(/i, t3),

—oo) = S~1(/1, —oo)S-1(oo, 4)3(00, 4) =

= 3-Х(оо, --oo)3(oo, 4)-

1) Этот вывод повторяет рассуждения в IV § 100.
Подставляя в. предыдущее выражение, получим

Gap (Xi, Х2) =

=- i <S-i (ОО, - оо) ^(ОО, /i) Toa (tj S (tit t2) Ф0+р (Q S(t2>- oo)>.

Понимая операторы S как произведения (12,7), мы видим, что
все множители в усредняемом выражении, начиная со второго,
расположены в хронологическом порядке справа налево от
t = — оо до t = oc. Поэтому можно написать

Gap (Xi, X2) = -i<M[4(QWS]>,	(12,12)

где обозначено

S = S(oo,—oo) = Texpj — i Vo(O^p (12,13) ’
\	— 00	/

Вычисления при < t2 отличаются от произведенных лишь
обозначениями, и окончательный результат (12,12—13) справед-
лив при любых tlt t2.

Произведенное преобразование не зависит от того, по какому
состоянию системы подразумевается усреднение. Но если усред-
нение производится по основному состоянию (как в (12,12)), то
преобразование может быть продвинуто еще и дальше. Для этого
заметим, что адиабатическое включение или выключение взаимо-
действия, как всякое адиабатическое возмущение, не может вы-
звать перехода с изменением энергии квантовой системы (см.
III § 41). Поэтому система, находившаяся в невырожденном
состоянии (каковым и является основное состояние), в этом
состоянии и остается. Другими словами, действие оператора S
на волновую функцию Ф = Ф0(—оо) должно сводиться к умно-
жению на (несущественный для состояния) фазовый множитель—
среднее значение S в основном состоянии: $Ф = <5>Ф. Точно
так же Ф*5-1 = <5>-1Ф*. Таким образом, окончательно получаем
следующую формулу для функции Грина, выраженной через
операторы в представлении взаимодействия1):

iGap(Xi, X2)=-^-<T[4f0a(Xi)4r0+₽(X2)S]>.	(12,14)

По смыслу этого представления усреднение в (12,14) произ-
водится по основному состоянию системы свободных частиц.

!) Отметим некоторую условность обозначений в (12,14): хотя символ Т
в нем фигурирует дважды (в явном виде и в определении S), но в действи-
тельности все множители в произведении должны расставляться в единой
хронологической последовательности.
Действительно, свойства операторов совпадают со свойствами
гейзенберговских операторов Ф в отсутствие взаимодействий,
а гейзенберговская волновая функция Ф от времени не зависит,
так что совпадает со своим значением при t — — оо, когда взаи-
модействие отсутствует. Поэтому, в частности,

<TK(X1)^p(X2)> = iG^(Xi, Х2)	(12,15]

есть функция Грина системы невзаимодействующих частиц.

§ 13. Диаграммная техника для ферми-систем

Смысл символических выражений типа (12,14) состоит в том,
что они дают возможность легко написать последовательные
члены разложений по степеням V. Так,

<тФоа(Х)Ч^(Х')3> =
СО	00

J	J ^^(^^(Х')^^)...VC(U>,

л=0	—	<ю	—оо

(13,1)

а выражение для <S> отличается от написанного лишь отсут-
ствием множителей под знаком Т-произведения. Как уже
было указано, оператор V0(t) в представлении взаимодействия
получается из (7.7) заменой всех Ф на Фо. Вычисление после-
довательных членов разложения (13,1) сводится, следовательно,
к вычислению средних по основному состоянию от Т-произве-
дения различного числа ф-операторов свободных частиц.

Эти вычисления в значительной степени автоматизируются
с помощью правил диаграммной техники, которые, однако, су-
щественно зависят от характера исследуемой физической си-
стемы. Излагаемая в этом параграфе техника относится к не-
сверхтекучим ферми-системам, причем взаимодействие .частиц
предполагается парным и не зависящим от спинов. Соответст-
вующий оператор взаимодействия:

К(0 =

=	Г2)1/(Г — Г2)Фо6(/, Г2)Фоу(/,

(13,2)

где U (гх—г2)—энергия взаимодействия двух частиц (индексы
(2) у V и U опускаем).
Среднее значение произведений ф-операторов вычисляется
с помощью теоремы Вика, которая гласит1):

Среднее от произведения любого (четного) числа операторов
Т и Чг+ равно сумме произведений всех возможных попарных
средних (сверток) этих операторов. В каждой паре операторы
стоят в той же последовательности, что и в первоначальном про-
изведении. Знак каждого члена в сумме определяется множите-
лем (—1)₽, где Р — число перестановок операторов, которые надо
произвести, чтобы поставить рядом все усредняемые операторы.

Отличны от нуля лишь свертки, в которые входит один опера-
тор Ф и один Ф+: в диагональном матричном элементе все ча-
стицы, уничтожаемые оператором Ф, должны быть вновь рожде-
ны оператором Ф+. Ясно поэтому, что среднее от произведения
нескольких ф-операторов может быть отлично от нуля, только
если в нем содержится одинаковое число операторов Ф и Ф’+.

В применении к среднему от Т-произведения теорема Вика
позволяет выразить его через средние от попарных Т-произве-
дений, т. е., согласно (12,15), — через гриновские функции сво-
бодных частиц. Сделаем это для поправки первого порядка
в функции Грина системы взаимодействующих частиц.

Предварительно отметим, что при раскрытии по теореме Вика
выражения в числителе формулы (12,14) возникают, в частно-
сти, члены вида

<ТТоа (Хх) Фо+₽ (Х2)> <S> = iG$ (Хй Х2) <S>,	(13,3)

в которых пара «внешних» (по отношению к S) ф-операторов
сворачивается между собой; выражение же <S> содержит (в каж-
дом члене его разложения) лишь свертки «внутренних» опера-
торов между собой. Множитель <S> целиком сокращается со
знаменателем в (12,14), и, таким образом, все эти члены дают
просто «невозмущенную» гриновскую функцию iGag-

Оставив в (13,1) два первых члена разложения, подставив
(13,2) и переобозначив переменные, получим

iGa₽(Xi, X2)«iG^ + iG^,
где

t'Gap = - 4 <TYoa (Xi) Фо+₽ (Х2) X

00

— со

Чтобы не разбивать изложения, доказательство этой теоремы отложим
на конец параграфа.

3 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
Для большей компактности записи формул введем обозначение

U (Х1 — Х2) = U (rx-r2) 6 (fx-Q.	(13,4)

Тогда!)

iG% = - | J <ТЛ^+^даз> U3i d*X3 d*Xit

где dlX = dt d3x.

Чтобы усреднить по теореме Вика, выпишем отдельно опе-
раторы и изобразим все нужные варианты сверток:

+ 4Yg4tgJ^3 +4j4^4£4^4j3

Согласно сказанному выше, опущены члены, содержащие свертку
ФТЧ’г • Попарно сворачиваемые (соединенные дугами) операторы
надо переставить к соседству друг с другом. Так, первый из
написанных членов означает произведение

<тФЛ+> <тф2+ф4> <Ш>,
а последний

- <ТЧ\Ч7> <тФ2+Ъ <Ч7Ъ-

Свертки произведений ^-операторов различных аргументов за-
меняются согласно

W (тте+>= IG^\И т.п.

Свертки же ф-операторов одинаковых аргументов представляют
собой пространственную плотность числа частиц в идеальном
газе (обозначим ее через п(0)), понимаемую как функцию хими-
ческого потенциала2):

<ЧГ+Ф> = П«»(И) = -^^И^..	(13,5)

Ч Здесь и ниже для упрощения записи особенно громоздких выражений
с ловимся опускать индекс у Фо, а цифровыми индексами 1,2, ... обозначать
совокупность значений аргумента X и спинового индекса:

Y1SYa(Xi), Ф2^Фр(Х2), ...

G12 = Ga3(Xi,X2), U^U

2) Такие свертки всегда происходят от ф-операторов, входящих в состав

одного и того же оператора взаимодействия V. Поэтому в таких членах Ф+
всегда стоит слева от Ф.
Таким образом, получим

iG%=^d>X3d*XeU 34[--6Й>6М+

Эти четыре члена попарно равны друг другу — они отличаются
лишь обозначением переменных интегрирования Х3 и Х4. В ре-
зультате множитель 1/2 исчезает и, таким образом, поправка
первого порядка в функции Грина содержит всего два члена:

iG<|> = J U3i[m^G^G^-G^G^G^]d^Xad^Xv (13,6}'

Структуру этих членов удобно изобразить графически с по-
мощью следующих диаграмм Фейнмана:

9

<—l«j—

1 4 2

13 4 2

(13,7)

На $тих диаграммах сплошная линия 4-<—2 означает свертку

ЧГ4Ч(1 (т. е. функцию iG^’); цифры указывают номера перемен-
ных Х4 и Х2, от которых зависят свертываемые операторы, а
направление стрелки отвечает направлению от Ф+ кФ в свертке.
Свертка Ф+Ф двух операторов, зависящих от одних и тех же
переменных (т. е. плотность п(0)), изображается соответственно
петлей—сплошной линией, «замкнутой на себя». Пунктирная
линия 3......4 означает множитель U3i. По всем переменным,

обозначенным у внутренних точек диаграммы (точки пересече-
ния линий), подразумевается интегрирование. Переменные (Xf
и Х2), обозначенные у «внешних концов» диаграммы, остаются
свободными.

Члены первого порядка, происходящие из (13,3), изобрази-
лись бы диаграммами, распадающимися на две отдельные ча-
сти— прямой отрезок (iG^p) и фигуру с замкнутыми петлями
сплошных линий, например,

Вдумавшись в способ свертывания операторов и структуру со-
ответствующих диаграмм, можно понять происхождение обще-
го правила: во всех порядках теории возмущений роль множи-
теля <S>~1 в (12,14) сводится к тому, что должны учитывать-
ся лишь «связные» диаграммы с двумя внешними концами, не
содержащие «отсоединенных» петель без внешних концов, не
связанных с другими частями диаграммы ни сплошными, ни
пунктирными линиями (ср. аналогичную ситуацию в квантовой
электродинамике — IV § 100).

Сокращение коэффициента 1/2 в (13,6) есть проявление об-
щего правила: не надо учитывать (в членах п-го порядка) мно-
житель 1/п!, происходящий от разложения (13,1), и множитель
2-п, возникающий от коэффициентов 1/2 в (13,2). Действительно,
диаграммы n-го порядка содержат по п пунктирных линий
i......k. Множитель 1/п! сокращается от приведения членов,

отличающихся перестановками пар чисел i, k между всеми п
пунктирными линиями. Множитель же 2“" сокращается от пе-
рестановок чисел i, k между концами каждой из этих линий.

Окончательные правила диаграммной техники мы сформу-
лируем для вычисления функции Грина не в координатном, а
сразу в импульсном представлении, наиболее важном для физи-
ческих применений.

Переход к импульсному представлению осуществляется путем
разложения Фурье (7,21—22), которое запишем в «четырехмер-
ном» виде1)

G(X)=jG(P)e-^-^-4, G(P)=jG(X)^d4X, (13,8)

где «4-импульс» Р = (ю, р), a PX = a>t—рг. Аналогичным обра-
зом разложим также и потенциал взаимодействия:

и (X) =.6 (/) и (г) = у и (Q)	-g ,	(13,9)

где Q— (<70, q); при этом U (Q) совпадает с компонентой трех-
мерного разложения

I7(Q) = t/(q) = J U (r)e~iv d3x.	(13,10)

Ввиду четности функции U (г) очевидно, что U (—q) = I7(q).

Произведем это разложение для поправки первого порядка
Gw’= G2^(Xi—Х2). Для этого умножаем равенство (13,6) на
exp[iP(Xf—Х2)] и интегрируем его по d4(Xi—Х2).

В первом члене пишем

giP (X,— Х2) — giP (Xt — Х3) giP (Х3 — Х2)

и, заменив переменные интегрирования, получаем
т<0) $ G^ (Xf - Х3) е»5 (*--*») d4 (Xi - Х3) х

X $ G$ (Х3 —Х2) e'^-^d4 (Х3—Ха) $ U (Х3 —Х4) d4 (Х3-Х4).

4) Используя для удобства изложения и обозначений четырехмерную тер-

минологию, подчеркнем ’лишний раз, что она не имеет здесь никакого отно-
шения к релятивистской инвариантности!
Первые два интеграла дают G$(P)G$-(P), а третий равен
4/(0) = [и (г) d3x—значению U (q) при q = 0.

Аналогичным образом, во втором члене пишем

eiP (Х.-Х,) _ elP (Xt-X.igiPlXt-XfjglP<Xt-Xs)

и после перехода-к интегрированию по X — Х3, Х3 —Х4, Х4—Хя
получаем

-	G<»> (Р) $ G«g (X) 4/ (X) eiPX d*X- G$ (Р).

Оставшийся интеграл выражается черезфурье-компоненты функ-
ций 6$ и U с помощью формулы для фурьё-компонент произ-
ведения двух функций1)

Р (X) g (X) Грх d^X — ^f (PJ g (Р-Р J -gj.	(13,11)

Таким образом, для поправки первого порядка в функции
Грина в импульсном представлении окончательно находим

iG^ (Р) = «“» U (0)	(Р) G$ (Р) -

-	J G<»> (Р) G«8 (PJ G$ (Р) U (р-Р1) @. (13,12)

Каждому из двух членов в (13,12) ставится в соответствие
определенная диаграмма Фейнмана, и выражение (13,12) запи-
сывается в виде

9

45^= }	+	(1з,1з)

*)	ff)

4) Для доказательства этой формулы надо подставить в ее левую сторону
сами функции f(X) и g(X) в виде фурье-разложений;

f f (X) g (X) eiPX diX={f (X) g (P2) el <p-pr-pJ x d*X

J	J

чтегрирование no d*X осуществляется по формуле

^егР*б(4Х = (2л)4д(4>(Р),

где «четырехмерная» б-функция б<4) определяется как произведение 6-функ-
ций от компонент «4-вектора» Р. Возникающий множитель б<4> (Р—Pi—-Ра)
устраняется интегрированием по diP3, и мы приходим к правой сторон»
(13,11).
Точки пересечения линий называют вершинами диаграммы.
Каждая диаграмма имеет 2п вершин, где п—порядок теории
возмущений. В каждой вершине сходятся две сплошные и одна
пунктирная линии. Каждой сплошной линии приписывается
свой «4-импульс» Р в направлении, указанном стрелкой (при-
чем вдоль каждой непрерывной последовательности сплошных
линий направление стрелок не меняется). Каждой пунктирной
линии приписывается 4-импульс Q, причем и для этих линий
условно выбирается какое-либо (любое) направление стрелки 4).
В вершинах диаграммы выполняется «закон сохранения 4-им-
пульса»: сумма 4-импульсов входящих линий равна сумме 4-им-
пульсов выходящих из вершин линий. Вершине приписывается
также и определенный спиновый индекс а. Каждая диаграмма
имеет две внешние линии (входящую и выходящую), 4-импульс
которых есть аргумент искомой функции Грина Gag(P); выхо-
дящей и входящей внешним линиям приписываются также спи-
новые индексы аир этой функции. Остальные линии диаграммы
называют внутренними.

Аналитическая запись членов, отвечающих каждой диаграм-
ме, производится по следующим правилам:

1)	Каждой сплошной линии между вершинами аир ста-
вится в соответствие множитель iGa^(P), каждой пунктирной
линии—множитель —iff (Q). Замкнутой петле с одной верши-
ной сопоставляется множитель п(0)(р,).

2)	В каждой вершине выполняется закон, сохранения 4-им-
пульса. По остающимся неопределенными 4-импульсам внутрен-
них линий производится интегрирование по d4P/(2n)4. В каждой
вершине производится суммирование по паре немых спино-
вых индексов—по одному от каждого из соседних Сомножи-
телей.

3)	Общий множитель, с которым диаграмма входит в iGap,
равен (—1)£, гДе L — число содержащихся в ней замкнутых
петель сплошных линий с более чем одной вершиной.

Последнее правило имеет следующее происхождение. Замкну-
тая петля с k > 1 вершинами происходит от свертки ф-опера-
торов вида

Здесь все свертки равны iG^’, .... k, а последняя равна

4) «Временные» компоненты 4-векторов Q = (<?o> q), вообще говоря, отлич-
ны от нуля, но функция U (Q), по определению (13, 10), от q0 не зависит.
Условность направления пунктирной линии связана с четностью функции
U(-Q) = U(Q).
— iGfei- Что касается петель с одной вершиной, то их правиль-
ный знак учитывается уже введением п10) по правилу 1.

Для примера изобразим совокупность диаграмм, определя-
ющих поправку второго порядка в функции Грина:

Наконец, вернемся к теореме Вика и дадим ее доказатель-
ство в применении к «макроскопическому пределу» (т. е. при
У—>оо или, что то же при заданной плотности системы, при
N—->оо), который только и существен в статистических при-
менениях.

Рассмотрим, например, среднее от произведения четырех
ф-операторов типа

£ <«рЛА+А+1>ехР(..•) (13,15)
Р1 ... Р,

(ф-операторы представлены в виде (9,3); очевидные, но громозд-
кие показатели экспонент не выписываем). В этой сумме отличны
от нуля лишь члены, в которых содержится по одинаковому
числу операторов ар и ар с одинаковыми значениями импуль-
сов. Среди них есть члены, в которых импульсы равны попарно,
например, рх = р4 и р2 = р3. Эти члены отвечают попарной
свертке

и выражаются суммой вида

уг <аР1аР+.Х«РгаХ> ехр (...).

Р1Р2

В пределе V —> оо суммирование по рх и р2 заменяются интегри-
рованием по V2d3p1d3p2/(2n)e, объем V сокращается и это выра-
жение остается конечным. В сумме (13,15) отличны от нуля
также и члены с рх = р2 = р3 = р4; эти члены образуют сумму
вида

-р-^2<арарар ар>ехр(...);

Р

но после перехода в ней к интегрированию один множи-
тель 1/V остается, и в пределе V—> оо выражение обращается
в нуль.

Ясно, что этот результат имеет общий характер: в пределе
V —> оо в среднем значении от произведения ф-операторов не
обращаются в нуль лишь результаты попарных сверток.

Отметим, что в изложенном доказательстве по существу не
использовалось, что усреднение производится именно по основ-
ному состоянию, и поэтому оно остается справедливым и при
усреднении по любому квантовому состоянию системы1).

§ 14.	Собственно-энергетическая функция

Сформулированные в предыдущем параграфе правила диаг-
раммной техники обладают важным свойством: общий коэффи-
циент в диаграмме не зависит от ее порядка. В силу этого
свойства каждая «фигура» на диаграмме имеет определенный
аналитический смысл независимо от того, в какую диаграмму
она входит, так что ее можно вычислять независимо, заранее.

*) Но если усреднение производится по основному состоянию, то теорема
Вика справедлива не только в макроскопическом пределе. Соответствующее
доказательство теоремы в статистике совпадает с ее доказательством в кван-
товой электродинамике (IV § 78). Единственное отличие между этими слу-
чаями— разные основные состояния: в вакууме частицы отсутствуют, а в иде-
альном газе заполняют ферми-сферу с радиусом рр. Для операторов а+, ар
рождения и уничтожения частиц с р > рр это отличие вообще несущественно
и доказательство переносится буквально. Для операторов же с р < рр надо
предварительно переобозначить ар == Ьр, ар=6р, т. е. перейти от частиц
к дыркам, которые в основном состоянии внутри фермн-сферы отсутствуют.
Мало того, можно заранее вычислить сумму некоторых фигур,
имеющих определенное число концов, и затем вставить этот
«блок» в более сложные диаграммы. Это—одно из важнейших
преимуществ диаграммой техники.

Одним из таких «блоков», имеющих также и существенное
самостоятельное значение, является так называемая собственно-
энергетическая функция1). Чтобы прийти к этому понятию,
рассмотрим все диаграммы для функции Грина, которые нельзя
разделить на две части, соединенные лишь одной сплошной
линией. К таковым относятся, например, обе диаграммы пер-
вого порядка теории возмущений (13,13) и диаграммы (13,14а—е)
второго порядка. Все эти диаграммы построены однотипно: по
одному множителю iG$ по концам и некоторая внутренняя
часть (функция от Р), которую и называют собственно-энерге--
тической функцией. Сумму все'х возможных таких частей назы-
вают точной или полной собственно-энергетической функцией
или массовым оператором-, обозначим ее через —iSap(P).

Все диаграммы собственно-энергетического типа дают в гри-
новскую функцию вклад, равный

iG^ (^) [-*s₽v W1 (Р) = iG(0) (Р) 2 (Р) G(0) (Р) ба6, (14,1)

где помимо G^ = G(0)6ap написано также и
2«₽(Р) = 6йР2(Р).

(14,2)

Полная же функция Грина (изображаемая графически жирной
сплошной линией) дается суммой бесконечного ряда

(14,3)

где кружки изображают точные собственно-энергетические функ-
ции (—iSap). Каждый член этого ряда (начиная с третьего)
представляет собой совокупность диаграмм, которые могут быть
рассечены на две, три и т. д. части, соединенные между собой
одной сплошной линией.

Если от всех членов ряда (14,3), начиная со второго, «отсечь»
один кружок с присоединенной к нему справа линией, то
оставшийся ряд будет снова совпадать с полным рядом. Это
значит, что

(14,4)

х) Ср. аналогичное определение в квантовой электродинамике, где такая
функция называлась компактной собственно-энергетической (IV §§ 100, 102).
В аналитическом виде это равенство записывается как

G = G(o) + GE G(o)	(14,5)

или, разделив на G10)G:

G (Р) ~ G<°> (Р) ^U3)*	(14,6)

Отметим, что знак мнимой части S совпадает со знаком ImG
и, согласно (8,14),

•sign Im 2 (о), р) = — sign со.	(14,7)

Это следует из (14,6) с учетом того, что знак ImG-1 противо-
положен знаку ImG, а согласно (9,7), ImG(o)-l = O.

Таким образом, вычисление G сводится к вычислению S,
требующему рассмотрения меньшего числа диаграмм. Это число
еще более уменьшается в связи с тем, что часть оставшихся
диаграмм сразу суммируется к очень простому выражению.

Именно выделим из всей совокупности диаграмм, опреде-
ляющих S (при парном взаимодействии между частицами), те,
которые представляют собой различные «отростки», присоеди-
ненные к концевым линиям одним пунктиром: их сумму обо-
значим через 2а. Все такие диаграммы содержатся в одной
скелетной диаграмме видах)

(14,8)

Остальную же часть S обозначим Еь. Так, среди диаграмм
первого и второго порядков к первой категории относятся
следующие:

т) Как и в квантовой теории поля, скелетными называют диаграммы,
составленные из жирных линий и блоков; каждая такая диаграмма эквива-
лентна определенной совокупности бесконечного числа обычных диаграмм
различных порядков.
а ко второй:

Жирной петле на диаграмме (14,8) отвечает точная плот-
ность системы п (р) (подобно тому, как тонкой петле на диаг-
рамме (13,13а) отвечает плотность идеального газа п(0,(р)).
Поэтому из определения (14,8) следует, что

-iZa=-in^U (0).	(14,11)

Таким образом,

S = n(p)t7(0) + S6,

(14,12)

так что особого вычисления требуют лишь диаграммы, входя-
щие в

Закон дисперсии квазичастиц определяется уравнением (8,16).
Выразив в нем G через S, согласно (14,6), и взяв G(o) из (9,7),
получим это уравнение в виде

1	п2

G<o)(g_[ii р) =е(Р)— 2^Г==^(е — Н> ₽)•	(14,13)

На границе ферми-сферы при р = р? энергия квазичастицы
совпадает с р. Отсюда видно, что

p-S(0,pF) = A.	(14,14)

В результате уравнение закона дисперсии принимает (при зна-
чениях р вблизи Рр) вид

е(р)—Н = $(Р—Рр) + 2(е—р, pF)—S(0, pf).	(14,15)

Подчеркнем, что рР здесь—точное значение граничного импульса
для системы взаимодействующих частиц. Оно связано соотноше-
нием р)?/3л2 = п с точной плотностью п (р), а не с приближен-
ной п1<”, как в (13,5).
§15. Двухчастичная функция Грина

К другим важным понятиям диаграммной техники мы при-
дем, рассмотрев усредненное по основному состоянию Т-про-
изведение четырех гейзенберговских ф-операторов1):

^34,12 = <ТТ3Ч7те>.	(15,1)

Эту функцию называют двухчастичной функцией Грина (в отли-
чие от функции Грина (7,9), называемой в этой связи одно-
частичной).

Для применения теории возмущений и построения диаграм-
мной техники надо снова перейти к ф-операторам в представ-
лении взаимодействия. Как и в случае функции G, это приве-
дет к появлению множителя S под знаком Т-произведения: •

*34, 12 = -|- <ТТозад+1 П5>.	(15,2)

<о>

В нулевом приближении (т. е. при S = 1) это выражение распа-
дается на сумму произведений двух сверток, выражающихся
через О(0)-функции:

= G$G% - G$G%.	(15,3)

Дальнейшее обсуждение свойств определенной таким обра-
зом двухчастичной функции Грина будем проводить в импуль-
сном представлении.

Для однородной системы функция K3i> i2 зависит фактически
лишь от трех независимых разностей аргументов, например,
от Х3—Х2, Х4—Х2, Xt—Х2. В импульсном представлении это
свойство выражается тем, что компонента разложения Фурье
по всем переменным Xit ..., Х4 содержит б-функцию:
$ *34, i2exp {i (P3X3 + PiXi—PiXi—P2X2)}diXi.. .d*Xt =

= (^y^(P3 + Pi-Pi-P2)Ky6.afi(P3, Рг, Ри P2). (15,4)

В этом легко убедиться, заметив, что

PsXs + P^-P^i-P.X^

= Р3 (Х3-*2) + *4 (*4-X2)-*i (Х-Х2)-Х2 (Pi + Р8-Р3-Р4),
и перейдя к интегрированию по Х3—Х4, Х4—Х2, Xt—X2, Х2.
Отметим, кстати, что формулу обратного фурье-преобразования

Мы снова применяем упрощенные обозначения, где индексы 1, 2,
обозначают совокупности 4-координат и спинового индекса: Х^, Х2[3, ...
(ср. примечание иа стр. 66). В полной записи

Кз4, 12 = Куб, (Х3, Х^, Xi, Xj),
можно записать как

/Сз«.1г = $А'тв,ар(Р3, Р,-, Pi, Pz + Pi-PJX

Xexp{-i[P8(X3-X8)+P4(X-X2j-P1(X1-X3)]}^@^.

(15,5)

Определенную таким образом функцию Kv6, a$(P3,Pi, Л» Л)
мы и будем называть двухчастичной функцией Грина в импульс-
ном представлении; ее аргументы связаны равенством

Р1 + Р2 = Рз + Р4.

В нулевом приближении имеем для нее (в соответствии
с (15,3))

K$,afi(P3, P^Pi'PJ^

=(2л)4 [6‘4> (Р-Р3) G™ (PJ G^tPJ-^tP-PJ G% (Р2) G<& (Л)],

(15,6)

т. е. К сводится к сумме двух произведений одночастичных
гриновских функций.

В следующих приближениях теории возмущений появляются
члены, сводящиеся к введению поправок к этим одночастичным
функциям.. Наряду с ними, однако, возникают также и члены,
не укладывающиеся в произведения G-функций. Именно эта
часть двухчастичной функции Грина представляет самостоятель-
ный интерес. Для ее выделения представим К. в виде

Kasai, (Р3, р,\ Pi, PJ = (2л)4 [6(4> (Р-Р3) Ga3ai (Рх) Ga,aa(Pa) -
_6U)	G„3„2 (P2) G^ (PJJ+

4“ $«з0з (P з) ^«,0, (Р^ *Г₽з0»> 0i₽2 (Рз> Pi, Pi, Pi) $0i«i (Pi) $02a3 (P3)-

(15,7).

Определенную таким образом функцию Г называют вершинной
функцией.

Согласно определению (15,1), двухчастичная функция Грина
в пространственно-временном представлении антисимметрична
по отношению к перестановкам аргументов (вместе со спино-
выми индексами) первой и второй пары: 1 и 2 или 3 и 4. От-
сюда следует аналогичное свойство симметрии для функции
Грина и вершинной функции в импульсном представлении:

Губ, ap (Р3, Pi, Pi, Рг) — Гбу, «0 (^4, Рз', Pi, Р2) ~

= —Г?й ,ра(Р3, Р4; Р2, Рг). (15,8)

Смысл выделения четырех G-множителей в определении Г
(последний член в (15,7)) становится ясным, если проследить
за характером диаграмм, возникающих при раскрытии выра-
жения (15,2) для двухчастичной функции Грина. Следующие
ниже рассуждения снова предполагают парное взаимодействие
между частицами.

В нулевом приближении функции К сопоставляются ди-
аграммы

P3 = Pi P^Pi

Р = Р Р-Р
г 4 — г 2	— г 2

отвечающие двум членам в (15,6). В первом порядке теории
возмущений появляются диаграммы типов1)

т—7

представляющие собой поправки к каждому из отдельных мно-
жителей в (15,6). Кроме них, однако, появляются также ди-
аграммы, не разбивающиеся на две отдельные части:

Четыре стрелки Pt, ..., Pt отвечают четырем G-множителям в
последнем члене в (15,7), а «внутренняя» часть диаграмм опре-
деляет (в первом порядке) вершинную функцию—кружок в ле-
вой стороне диаграммного равенства (15,9). Раскрыв эти ди-
аграммы в аналитическом виде, получим

Г& а₽(Рз> Pv Р„ /\) = -(Р—Р*)-

Диаграммы более высоких порядков содержат поправки трех
категорий: 1) дальнейшие поправки к двум не соединенным
между собой сплошным линиям, 2) поправки собственно-энер-
гетического типа к концевым линиям на диаграммах (15,9),
3) поправки, образующие фигуру, заменяющую собой пунктир-
ную линию на диаграммах (15,9); сумма всех возможных таких

J) Как и в случае одночастичной функции Грина, множитель <5>-1 в
определении (15,2) приводит к исчезновению диаграмм, содержащих отсоеди-
ненные замкнутые петли сплошных линий.
фигур и дает точную вершинную функцию /Г. В графическом
представлении двухчастичной функции Грина суммой скелетных
диаграмм

(15,10)

жирные линии изображают точные G-функции, а кружок условно
обозначает вершинную функцию.

Вычисление вершинной функции в различных порядках тео-
рии возмущений должно производиться по сформулированным
в § 13 правилам диаграммной техники, причем должны рас-
сматриваться диаграммы с четырьмя внешними концами (а не
с двумя, как при вычислении G). Правило 3), определяющее
общий знак диаграммы, должно быть дополнено следующим
указанием: если непрерывными последовательностями сплошных
линий связаны концы 1 с 4 и 2 с 3 (вместо 1 с 3 и 2 с 4),
то знак диаграммы меняется на обратный.

Изобразим, для примера, все диаграммы, определяющие вер-
шинную функцию во втором порядке теории возмущений:

(15,11)

Собственно-энергетическая и вершинная функции (2 и Г)
не независимы; они связаны друг с другом определенным инте-
гральным уравнением (так называемым уравнением Дайсона)').

( 04)НаЛОГИЧН° УР“Ю Дайсона в квантов°й электродинамике
Для его вывода воспользуемся уравнением (9,5), справед-
ливым (как было отмечено там же) и при учете взаимодействия
частиц. Разница по сравнению с выводом в § 9 состоит, однако,
в том, что теперь ip-оператор удовлетворяет уравнению (7,8).
Опустив в последнем член с внешним полем и подставив из него
производную d'V/dti -в (9,5), получим

(^ + ^ + H)Gap(^i-^)-Wu,(Xr-X2)-

=- i (Х3) и (Х—Х3) $?(Хз) <РХ3-Та(Х4)	(М=

= -iX,-, X3,X2)Ui3d*X3. (15,12)

Это равенство решает, в принципе, поставленный вопрос, так
как К выражается через Г согласно (15,7). Остается лишь пе-
рейти к импульсному представлению. Для этого умножим ра-
венство (15,12) на exp [iP (Хх — Х2)] и проинтегрируем по
d4(Xj —Х2), представив X3ii32 в виде (15,5), a U13 в виде (13,9).
Тогда интегрирование по 4-координатам дает 6-функции, кото-
рые устраняются интегрированием по 4-импульсам. В резуль-
тате получим

[Gl0>-1 (Р) G(P) —1]6аР =

=- i J Xva. vP (Рз, Pt> Рз+Р*-Р> P) U (P-PJ (15,13)

c Gm(P) из (9,7).

Теперь осталось выразить X через Г. Подставив (15,7) в
(15,13), получим окончательно уравнение Дайсона в виде

бар [G(0> -1 (Р) - G ~1 (Р)] = 6ар2 (Р) =

= U (0) п (И) 6af? + i6afJ j U (Р -PJ G (PJ	+

+ J Г7а, VP (Р3, Р<, Рз +Р4-Р, Р) G (Р3) G (Р4) G (Р3 +Р4-Р) X
Xt/(P-P4)^^. (15,14)

Здесь п(р) — точная плотность системы как функция ее хими-
ческого потенциала; этот множитель возникает от интегриро-
вания G-функции по формуле (7,24) (при этом учитывается, что
данная G-функция возникла от свертки, в которой Ф+ стоит
слева от Ф). Отметим, что первый член в правой стороне урав-
нения (15,14) есть (14.11).
§ 16. Связь вершинной функции с амплитудой
рассеяния квазичастиц

Математический аппарат, развитый в предыдущих парагра-
фах, дает возможность строго обосновать и более глубоко по-
нять смысл основных соотношений теории ферми-жидкости Лан-
дау, которые были введены в главе I до некоторой степени
интуитивным образом. Этому посвящены §§ 16—201).

Существует тесная связь между вершинной функцией и
амплитудой взаимного рассеяния квазичастиц. Для лучшего
уяснения этой связи рассмотрим ее сначала в рамках чисто
квантовомеханической задачи о рассеянии двух частиц в ва-
кууме.

В квантовой механике «четыреххвостки»—диаграммы с че-
тырьмя внешними концами (двумя входящими и двумя выхо-
дящими)—отвечают процессу столкновения двух частиц; при
этом в аналитическом выражении диаграммы ее внешним кон-
цам сопоставляются амплитуды волновых функций (плоских
волн) свободных частиц (ср. IV § 103). Проследим, каким обра-
зом такие диаграммы различных порядков действительно дают
последовательные члены обычного нерелятивистского борцовско-
го разложения амплитуды рассеяния.

Прежде всего в случае вакуума большое число диаграмм
вообще обращается в нуль. Это проще рсего понять в коорди-
натном представлении, заметив, что в вакууме равны нулю все
свертки вида <ЧГ+Ф>, в которых оператор уничтожения стоит
справа и действует на вакуумное состояние первым, остаются
только свертки вида <'F'F+>. Поэтому обращаются в нуль все
диаграммы с замкнутыми петлями сплошных линий — они всегда
содержат свертку вида <Ф’+1£Г>. По той же причине равны нулю
все поправки к гриновской функции, т. е. к внутренним сплош-
ным линиям диаграмм2). Наконец, равны нулю диаграммы
с перекрещивающимися пунктирными линиями; так, в диаграмме

7	2

----'

/\

«---С------

2	1

х) Содержание §§ 16—18 принадлежит Л. Д. Ландау (1958), а содержа-
ние §§ 19, 20—Л. Д. Ландау и Л. П. Питаевскому- (1959).

2) Исчезновение всех поправок к гриновской функции в вакууме выра-
жает собой просто тот факт, что одной частице не с чем взаимодействовать.
Напомним в этой связи, что существование вакуумных поправок к функции
Грина частицы в релятивистской теории связано с возможностью появления
в промежуточных состояниях виртуальных электронных пар и фотоиов.
(здесь цифры 1 и 2 означают аргументы и t2) при t2 > tt верхней
внутренней линии отвечает свертка <ЧГ^'Г1> = 0, а если t2 < tit
то свертка <4fJ'4f2> = 0 отвечает нижней линии.

Таким образом, для двух частиц в вакууме остаются только
следующие диаграммы, образующие, как говорят, «лестничный
ряд»:

} ’ j +•

Внутренним сплошным линиям в них отвечают вакуумные функ-
ции Грина

G(BaK)(®, =	+	(16,2)

(формула (9,7)‘с ц, = 0). Обратим внимание на то, что (ввиду
отсутствия слагаемого ц в знаменателе) полюс этой функции
всегда находится в определенной (нижней) полуплоскости комп-
лексного ю. Обращение в нуль перечисленных выше диаграмм
возникает, с математической точки зрения, именно вследствие
расположения всех полюсов подынтегральных выражений в одной
полуплоскости; обращение интегралов в нуль становится оче-
видным при замыкании пути интегрирования в другой полу-
плоскости.

Лестничный ряд (16,1) можно просуммировать, сведя его
к интегральному уравнению (ср. ниже суммирование анало-
гичного ряда (17,3)). Если сначала опустить диаграммы с пере-
ставленными концами 3 и 4, это уравнение окажется эквива-
лентным уравнению Шредингера для двух частиц без учета
их тождественности, записанному в импульсном представлении
(уравнение III (130,9)). Соответственно, вершинная функция Г
выразится через амплитуду рассеяния f двух частиц формулой

rv6, а₽ (Рз, Р4; Pi, PJ = М₽вА (16,3)

Прибавление же диаграмм с переставленными концами 3 и 4
приводит к антисимметризации амплитуды, как это и должно
быть для фермионов. В первом приближении теории возмуще-
ний остаются лишь первая диаграмма (16,1) и диаграмма с пе-
реставленными концами, в которые С(вак> вообще не входит.
Для амплитуды рассеяния тогда получится обычная формула
первого борцовского приближения. Последующие диаграммы,
после проведения интегрирования по промежуточным частотам,
дают известные выражения для поправок к амплитуде в сле-
дующих борцовских приближениях.

В ферми-жидкости взаимодействие сталкивающихся частиц
с частицами среды приводит к их эффективной замене квази-
частицами. Все связанные с этим взаимодействием поправки
к внутренним линиям диаграммы автоматически учитываются
определением функции Г. Дополнительного учета требуют, од-
нако, поправки к внешним линиям. В квантовой теории поля
показывается, что уже в силу общих требований унитарности
матрицы рассеяния эти поправки приводят к появлению в ам-
плитуде рассеяния по множителю VZ на каждый свободный
конец, где Z—перенормировочная постоянная функция Грина
(см. IV § 107); для диаграмм с четырьмя концами э^ означает
умножение на Z2. Хотя изложенный там вывод справедлив и
для квазичастиц в ферми-жидкости, поясним здесь происхож-
дение этого множителя также и с помощью более простых (хотя
и не строгих) рассуждений.

Дело в том, что гриновская функция жидкости вблизи сво-
его полюса (первый член в (10,2)) отличается от гриновской
функции идеального газа только множителем Z. Если ввести
вместо Ф и Ф+ операторы Фкв = Ф/|/ Z, ^B = ^+/]/Z, то состав-
ленная из них гриновская функция GKB — G/Z будет выглядеть
вблизи полюса в точности как для идеального газа. В этом
смысле эти операторы можно рассматривать как ф-операторы
идеального газа квазичастиц. Определенная по ним двухчастич-
ная функция Грина будет /Скв = /C/Za, и, следовательно (со-
гласно определению (15,7)), вершинная часть rKB = rZ2, 4TO и
требовалось.

В применении к квазичастицам представляет интерес не
столько сечение рассеяния, сколько число столкновений (в 1 сек
в 1 см3 жидкости). Для столкновений с заданным изменением
импульсов и проекций спинов частиц (р4а, р2₽—*-р3у, р46) такое
число дается формулой

dW = 2л | Zarv6,ар (Р3, Р4; Plt Р2) |26 (е3 + е4 —е4 —е2)х

X Пр,Пр, (1 —пр>) (1 -п₽4) d3pig;/3p3,	(16,4)

причем Pi + p2 = p3+P4, а ир —функция распределения квази-
частиц. Множители пР1 и пРг выражают собой просто тот факт,
что число столкновений квазичастиц с заданными начальными
импульсами и (проекциями спинов) пропорционально числам
таких квазичастиц в единице объема. Множители же (1—пРа)
и (1—п₽4) связаны с тем, что, согласно принципу Паули, столк-
новение может произойти, только если конечные состояния сво-
бодны.

§17. Вершинная функция при малых передачах импульса

Важную роль в теории ферми-жидкости играет вершинная
функция при близких значениях пар переменных Plt Р3 и Р2,
Р4 (мы увидим, в частности, что она тесно связана с функцией
взаимодействия квазичастиц). Имея в виду связь

РЛР^Рз + Р.,

положим Р3 — Р1+/С, Р4 = Р2—К и введем упрощенное обозна-
чение

Гтв.а₽(Р1+К, Р2-К; Ри Р2) = Г7в,й₽(К; Рй Р2); (17,1)

мы будем рассматривать эту функцию при малых значениях К..
В терминах процессов рассеяния квазичастиц это значит, что
рассматриваются столкновения с малой передачей 4-импульса,
близкие к «рассеянию вперед».

При /С = 0 функция Г имеет, как мы увидим, особенность;
нас будет интересовать именно та часть функции, в которой
заключена эта особенность. Происхождение последней легко
понять из рассмотрения скелетной диаграммы

(17,2)

заключающей в себе ту совокупность диаграмм двухчастичной
функции Грина, которые могут быть рассечены между парами
концов Р4, Р3 и Р2, Р4 на две части, соединенные между собой
двумя сплошными линиями1). Двум соединительным жирным
линиям отвечают точные одночастичные гриновские функции
G(Q) и G(Q+^), причем по 4-импульсу К. в диаграмме про-
изводится интегрирование. При /С—>0 аргументы этих двух
функций сближаются, а потому сближаются и их полюсы. Сбли-
жающиеся полюсы могут «зажать» между собой путь интегри-
рования (см. ниже), что и является источником возникновения
особенности в функции Г.

*) Так, во втором порядке теории возмущений (по парному взаимодейст-
вию) в (17,2) входят диаграммы (15, На,б,в) и диаграмма (15,11д) с перестав-
ленными концами 3 и 4.
Для вычисления точной функции Г надо просуммировать
весь ряд теории возмущений. Поскольку наша цель состоит
в выделении части, имеющей особенность при /С = О, надо прежде
всего отделить вклад от всех диаграмм, которые не могут быть
рассечены по парам сплошных линий с близкими (отличающи-
мися на /() значениями 4-импульса. Эту часть функции Г, не
имеющую особенности при К. = 0, обозначим посредством Г; в
ней можно положить /С = 0, так что Г будет функцией лишь
переменных Pit Р2: Г?в, а₽ (Pi, Р2)- Что же касается «опасных»
диаграмм, то их можно классифицировать по числу содержа-
щихся в них пар линий с близкими аргументами. Таким об-
разом, полная вершинная часть Г изобразится следующим бес-
конечным «лестничным» рядом диаграмм:

Pt+K Pg-K

Здесь светлому кружку отвечает искомое tT, а заштрихованные
кружки изображают tT. Внешние линии на этих диаграммах
не входят в определение Г и служат лишь для указания числа
и значений входящих и выходящих 4-импульсов.

Все внутренние линии на диаграммах (17,3)—жирные, т. е.
им соответствуют точные G-функции. Подчеркнем в этой связи,
что возможность представления Г в виде этих скелетных диа-
грамм (а тем самым и все дальнейшие следствия из них) отнюдь
не предполагает парности взаимодействия между частицами,
поскольку пунктирные линии здесь в явном виде отсутствуют;
от характера взаимодействия в действительности зависит лишь
(не интересующая нас здесь) внутренняя структура блоков, изо-
браженных кружками1).

Задача о суммировании ряда (17,3) сводится к решению
интегрального уравнения, для получения которого «ум'ножим»
весь ряд еще на одно Г, т. е. заменим его рядом

*) Предполагается лишь такое общее свойство, как сохранение числа ча-
стиц. Последнее проявляется в постоянстве разности числа линий, проходящих
направо и налево в каждом сечении диаграммы (равной нулю для сечений
показанного в (17,3) типа).
Сравнение с исходным рядом (17,3) приводит к равенству

Это диаграммное равенство, будучи записано в аналитическом
виде, и дает искомое интегральное уравнение

rve.aP(JC; Р2) =

= rV6, а₽ (Pi, P2)-i j М. ax (Pn Q) G (Q+K) G (Q) X
хГхв>Е₽(К;(?,Р2)Д.	(17,5)

Согласно сказанному выше, в функциях Г положено /С = 0; ис-
пользованы введенные выше сокращенные обозначения Г и Г,
а также положено Gap = G6ap.

Для исследования этого уравнения рассмотрим прежде всего
стоящее в его ядре произведение G (Q + /С) G (Q). Как уже было
отмечено, при малых /С полюсы обоих множителей близки друг
к другу. Вблизи этих полюсов G-функции представляются по-
люсными членами (10,2). Обозначив компоненты 4 векторов К.
и Q, согласно

/С==(со, k), Q = (qa, q),	(17,6)

пишем в этой области

G(Q)G(Q+K)«

«Z2 [?0—vP(q—рР) -НМ"1 Ro + ®~Ml Ч + |—Рр) +

(17,7)

где б*, 62—бесконечно малые добавки, знак которых (вблизи
полюсов) определяется согласно

sign 6, = sign (q—pp),

sign 62 = sign (] q Ч-k ]—pP).	1	'

Знаки 6t и 62 определяют расположение полюсов — в верх-
ней или нижней полуплоскостях комплексной переменной q0.
Особенность в ядре интегрального уравнения (а с ним и в его
решении) возникает в результате зажатия контура интегриро-
вания по dq0 (вещественная ось) между полюсами, для чего
последние должны находиться по разные стороны этого кон-
тура, т. е. в разных полуплоскостях.
Предположим сначала, что qk > 0, т. е. cos0>O, где 0 —
угол между q и к. Тогда |q + k | > q, и \ и 6S имеют различ-
ные знаки (6t <0, 62 > 0), если q <. Pf, | q + k | > pF, что ввиду
малости k эквивалентно условиям

рР—k cos 0 < q < pF.

(17,9)

При дальнейшем интегрировании по dq0 в (17,5) путь интегри-
рования можно замкнуть бесконечно удаленной полуокруж-
ностью (все равно—сверху или снизу), и тогда интеграл опре-
делится вычетом подынтегрального выражения в соответствующем
полюсе. При этом ввиду узости интервала (17,9) (при малом k)
в множителях Г и Г под знаком интеграла можно будет поло-
жить k = Q и соответственно для положения полюсов (при малых
k, со): ?ожО.

Другими словами, в смысле своей роли в ядре интегрального
уравнения (17,5) произведение полюсных множителей (17,7)
эквивалентно 6-функциям

Л6(<70)6(<7—pF)

с коэффициентом А, определенным как интеграл

С___________________Z2 dq0 dq_______________

J [<7о— vp(q—Pf) + ^i] [<7o + <o — Ml ч + к| — Рг) + (й2] '

Когда q лежит вне интервала (17,9), оба полюса лежат в одной
полуплоскости комплексного q0, и, замкнув путь интегрирования
по dqa через другую полуплоскость, убедимся, что интеграл
обращается в нуль. В области же (17,9), замкнув путь через
одну из полуплоскостей и вычисляя интеграл по вычету в рас-
положенном в этой полуплоскости полюсе, найдем

<__(•	2niZ2dq

J w —uF(|q + k|—<7)+i0

(учтено, что в области (17,9)	< 0, 62 > 0). Поскольку в силу

(17,9) qt&pp^k, то можно положить |q + k |—q »fecosO, после
чего (с учетом пределов (17,9))

_ 2niZ2 k cos 0
(О—-kvp cos 0‘

Легко показать тем же способом, что такое же выражение
для А (но с другим знаком у i0) получается и при cos0<0
(когда интегрирование должно производиться по области q > pF,
| q + k | < pF). Таким образом, в ядре уравнения (17,5) имеем

с (<2)С (<?+/<)=	+*W). (17.10)
где написано 1k вместо &cos0 (1 = q/q), а функция ф не содер-
жит (при малых К) 6-функционной части, и потому в ней можно
положить /С = 0.

Подставив (17,10) в (17,5), получим основное интегральное
уравнение в виде

Губ,ар(Д; Pit Р2) = Г\>б, ар (Pit Р2)

<2)ф(<2)Гх6,Ер(^ Q,P2)g-[-

+ W j" ГQ?>	 07>1

В последнем члене подставлено d*Q = q2 dq dot dqQ (где doz—эле-
мент телесного угла в направлении 1) и интегрированием по
dq dq0 устранены 6-функции. В этом члене в функциях Г и Г
аргумент Q берется на ферми-поверхности: QP—(0; рг1).

Обратим внимание на специфический характер множителя
1к/(со—vFlk) в ядре уравнения (17,11): его предел при к—>0,
со—>-0 зависит от предела, к которому стремится при этом от-
ношение a>/k. Таким же характером будет обладать, следова-
тельно, и решение уравнения: предел функции Г (Д'; Р1( ₽2) при
Д—>-0 зависит от способа стремления к нулю со и к.

Обозначим посредством ra(Plt Р2) предел

г?б, ad(Pi, Рг)= Нт Гу6,ар(Д; Ръ Р2) при /г/со—>0 (17,12)
к->о

(мы увидим в § 18, что именно с этой величиной связана функ-
ция взаимодействия квазичастиц). При таком способе перехода
к пределу ядро последнего интегрального члена в (17,11) обраща-
ется в нуль, так что Г“ удовлетворяет уравнению

=Г?6, „₽ (Р1( P2)-i J fvE. ак (Pi, Q) ф (Q) Г“б, Ер (Q, Р2)^. (17,13)

Отметим, что ввиду (15,8)

Г?в,а₽(^1» ^ = nv>&a(P2, Pi). (17,14)

Из двух уравнений (17,11) и (17,13) можно исключить Г.
Результат исключения:

1\а,а₽(Д; Pit Р2) — Губ, а₽ (Рц Г*2) +

+ wfr^-(/’i’ Qf)P^,^(K-, Qf, Л)^-к- (17,15)
Действительно, если формально записать (17,13) в виде Г = £гш,
то (17,11) запишется как

£Г = Г+^4- (гГ—УЦ-dop
1 (2л)3 J	со —vjylk 4
Подставив сюда Г=£Г® и применив к обеим сторонам равен-
ства оператор L-1, получим (17,15).

Введем теперь функцию Гй согласно

Г*б,ар(Р1, Р2) = Ит Г?6 ар(/<; Р±, Р2) при 0. (17,16)
к-*о

Именно эта функция (умноженная на Z2) представляет собой
амплитуду рассеяния вперед (т. е. перехода Pit Р2 —*-Pit Р2),
отвечающую реальным физическим процессам, происходящим
с квазичастицами на ферми-поверхности: столкновения, остав-
ляющие квазичастицы на этой поверхности, сопровождаются
изменением импульса без изменения энергии, и потому переход
к пределу нулевой передачи импульса (к—>0) должен произ-
водиться при'строго равной нулю передаче энергии (со = О).
Введенная же выше функция Г“ отвечает- нефизическому пре-
дельному случаю «рассеяния» с малой передачей энергии при
строго равной нулю передаче импульса (к = 0).

Положив в (17,15) со = О, перейдя к пределу к—>0 и умно-
жив обе стороны равенства на Z2, получим

Z2rUao(pi. ^) = ^Г“в,ар(Рй Р2)-

ад-22Г^,SP(Qp, ^dot. (17,17)

Таким образом, существует общее соотношение, связывающее
обе предельные формы амплитуды рассеяния вперед.

Свойства антисимметрии (15,8) для Г дают некоторую инфор-
мацию о поведении Гй и Г“ при Р^—> Р2. Положив в этом равен-
стве Pj = P2 и а = р, получим

rv6,aa(Pi + /<, Р1-К-, Plt Л) = 0	(17,18)

(суммирования по а здесь нет!)1). Переход к Г“ или Гй в этом
равенстве надо производить с осторожностью, так как в Г“, Гй
сначала положено /< = 0, а в (17,18) — сначала Р± = Р2.

Пусть одновременно малы К и Pt— P2 = S = (sB, s). Тогда
помимо диаграмм (17,2) будут опасными также и диаграммы

J) При учете лишь обменного взаимодействия между спинами квазичастиц
из всех Губ, аа отличны от нуля лишь Гаа, аа- Это утверждение выражает
собой неизменность вектора спина при рассеянии. Его можно проверить
также и непосредственно по выражению вида (2,4).
При К, S—>-0 функция Г?е аа будет зависеть, следовательно,
от двух «особых» аргументов:

w	s0+w

ш	ш

X = -г- ,	у = ,	, ,	,

k ’	а	| s + к | ’

и (17,18) означает обращение этой функции в нуль при х = у.
Будем рассматривать значения Г на ферми-поверхности; тогда
g> = so = O, так что и у = 0. Поэтому в таком пределе равен-
ство (17,18) имеет место, только если и x = Q. Другими словами,
на ферми-поверхности оно справедливо для ГА:

Губ, аа(Р и Р1) — 0

(17,19)

(У. D. Mertnin, 1967).

§ 18. Связь вершинной функции с функцией
взаимодействия квазичастиц

Подобно тому как в образовании матричного элемента (7,9),
определяющего одночастичную функцию Грина, участвуют про-
межуточные состояния с числами частиц N ± 1, так в образо-
вании двухчастичной функции Грина (матричный элемент (15,1))
участвуют промежуточные состояния с N, N±l, N ± 2 части-
цами1).

Ввиду наличия промежуточных состояний с N ± 1 частицей
двухчастичная функция Грина имеет полюсы, совпадающие
с полюсами функции G, т. е. с энергией квазичастицы. Соот-
ветствующие множители, однако, выделены в (15,7) в явном
виде. Поэтому определяемая этой формулой вершинная функ-
ция Г имеет лишь полюсы, соответствующие состояниям с N
и У ±2 частицами. Момент импульса этих состояний отличается
от момента основного состояния на 0 или 1, так что отвечающие
этим полюсам элементарные возбуждения имеют целый спин
(0 или 1) и потому подчиняются статистике Бозе. Другими
словами, полюсы вершинной функции определяют бозевские
ветви энергетического спектра ферми-жидкости. .

Полюсы, возникающие от промежуточных состояний без изме-
нения числа частиц, отвечают элементарным возбуждениям,
представляющим кванты нулевого звука. В диаграммной тех-
нике промежуточным состояниям отвечают различные сечения
диаграмм, разделяющие их на две части между теми или иными
из ее внешних концов. В данном случае промежуточным состоя-

Состояния с Л' частицами возникают при такой, например, последова-
тельности операторов в Т-произведении, как ¥sVi+?4 W. Состояния же с Л'-у 2
частицами отвечают таким последовательностям, как Т3Т4ЧДЧД-
ниям без изменения числа частиц отвечают сечения диаграмм
(17,3) по одной из пар сплошных линий, соединяющих соседние
блоки Г; неизменность числа частиц и этих состояниях Выра-
жается одинаковостью числа линий, пересекающих сечение в ту
и другую стороны. Перенос 4-импульса через такое сечение есть
(Q-j-ЛЭ — Q = K\ соответственно этому, элементарным возбуж-
дениям без изменения числа частиц отвечают полюсы вершин-
ной функции Г (Л; Pit Р2) по переменной К-

Мы видели выше (при выводе (17,10)), что из двух импуль-
сов q и q + k (входящих в 4-векторы Q и Q + /Q один должен
быть больше, а другой меньше предельного импульса рР. С дру-
гой стороны, при возбуждении из основного состояния вне
ферми-сферы могут быть только «частицы», а внутри нее —
только «дырки». В этом смысле можно сказать, что нулевые
возбуждения в ферми-жидкости можно рассматривать как свя-
занные состояния частицы и дырки1).

Элементарные же возбуждения, отвечающие промежуточным
состояниям с N + 2 частицами (им соответствуют полюсы функ-
ции Г(/(; Pit Р2) по переменной /\-[-.Р2), можно было бы рас-
сматривать как связанные состояния двух частиц или двух
дырок. Наличие таких состояний, однако, привело бы (как
будет показано в главе V) к сверхтекучести ферми-жидкости,
что, в свою очередь, требует существенного изменения всего
математического аппарата диаграммой техники.

Таким образом, для определения бозевской ветви энергети-
ческого спектра несверхтекучей ферми-жидкости надо исследо-
вать полюсы вершинной функции Г(7<; Рп Р2) по переменной
/( = (со, к). При каждом значении к полюсу отвечает опреде-
ленная энергия со = со (к), чем и определяется закон дисперсии
этих возбуждений. Для слабо возбужденных состояний со и к
малы, так что можно использовать уравнения, полученные для
функции Г (/(; Рх, Р2) в области малых значений Д.

Вблизи полюса функции Г левая сторона и интеграл в пра-
вой стороне уравнения^(17,15) сколь угодно велики; член же
Г® (Р1г Р2) остается конечным и потому может быть опущен.
Далее замечаем, что переменная Р2, а также индексы (3 и 6
не затрагиваются операциями, производимыми в уравнении
(17,15) над функцией Г, т. е. играют в нем роль несуществен-
ных параметров. Наконец, мы будем рассматривать функцию Г
на поверхности ферми-сферы, т. е. положим Pi = (0, ррп), где
п — переменный единичный вектор. Имея все это в виду, заклю-

Ч В такой постановке задача формально имеет много общего с задачей
об определении уровней связанных состЛний электрона и позитрона в кван-
товой электродинамике (см. IV § 122). В частности, уравнение (17,4—5) ана-
логично уравнению Бете—Солпитера IV (122,10—11).
чаем, что определение звуковых возбуждений в ферми-жидкости
сводится к задаче о собственных значениях интегрального урав-
нения

где Xva(n) — вспомогательная функция.

Преобразуем это уравнение, введя вместо % новую функцию

vv“(n)=ST^k^“(n)-

(18,2)

Тогда уравнение (18,1) примет вид

(со — wfnk)v?a(n) = kn-^ |г%,ак(п, n')vxS(n')do' (18,3)

(обозначение 1 заменено на п')-

Это уравнение по форме в точности совпадает с кинетиче-
ским уравнением (4,10) для колебаний ферми-жидкости. Срав-
нение обоих уравнений приводит к следующему соответствию
между функцией взаимодействия квазичастиц и функцией Г®:

М, а₽ (рРп, РРп') =ZT®6> а(5 (п, п').

(18,4)

Тем самым выясняется связь между функцией f и свойствами
рассеяния квазичастиц1).

Равенство (18,4) связывает f с амплитудой нефизического
процесса рассеяния. Воспользуемся теперь формулой (17,17) и
получим с ее помощью явное соотношение между f и «физиче-
ской» амплитудой рассеяния вперед для квазичастиц на ферми-
поверхности, которую обозначим как

Ауб' (г*1, П2)—ар (flf, П2).

(18,5)

Соотношение (17,17) на ферми-поверхности принимает вид

Дуб, ag (Г*1> Г12) =

= /?6,а₽(П1, П2)—(ПпП^Лб, S₽(n',n2)^--	(18,6)

Спиновая зависимость функций А и f может быть выражена
с помощью матриц Паули о. В общем случае эти функции
могут содержать любые скалярные комбинации четырех векто-

х) Изложенный общий вывод принадлежит Л. Д. Ландау (1958). Для
слабо неидеального ферми-газа вывод кинетического уравнения путем сумми-
рования конкретных диаграмм типа (17,3) был ранее произведен А. Б. Миг-
далом и В. М. Галицким (1958). Заметим, что в случае газа в G-функциях
(в нулевом приближении) отсутствуют неполюсные члены, и потому вопрос
об нх исключении не возникает.
ров По n2, ait е2. Но если взаимодействие между частицами
является обменным, то допустимыми скалярными произведе-
ниями являются лишь и о^. Тогда функции А и f можно
представить (как это было уже сделано для f в (2,4)) в виде

2

Ъб, а₽ (Hi, n2) = F ($) 6а?6₽б + 6 ($) о7аое₽,

(18’7)

-^тб, ag (ni> пг) ~ & (^) $ат$₽б GO ^а^бр,

где коэффициенты F, G, В, С—функции только от угла $
между пх и п2. Эти функции разлагаем по полиномам Лежандра

В($)= S (2/ + l)B^(cos$), ...	(18,8)

1=0

Подставив (18,7—8) в (18,6) и вычислив интеграл (используя
при этом теорему сложения для полиномов Лежандра), получим

Вг = Л(1-В0, Сг = ОД1-Сг). (18,9)

Этими формулами устанавливается простая алгебраическая связь
между коэффициентами разложений f и А.

Условия устойчивости (2,19—20) приводят к аналогичным
неравенствам для коэффициентов Blt Ct\

BZ<1, CZ<1.	(18,10)

Кроме того, эти коэффициенты удовлетворяют соотношению,
являющемуся следствием формулы (17,19): В (0) + С (0) = 0 или

2 (2Z+l)(Bz + G) = 0.	(18,11)

1=0

Равенства (18,9) и (18,11) вместе с условиями (18,10) достаточны
для доказательства интересного утверждения: во всякой устой-
чивой ферми-жидкости существует по крайней мере одна ветвь
(обычная или спиновая) аксиально-симметричного нулевого
звука1).

§ 19.	Тождества для производных от функции Грина

В математическом аппарате функций Грина существенную
роль играют некоторые тождественные соотношения между про-
изводными от этих функций и амплитудой рассеяния квази-
частиц. Вывод этих соотношений однотипен: вычисляется изме-

*) См. N. D. Mermin, Phys. Rev. 159, 161 (1967),
94	гриновские функции феРми-сйстемы при Т = 0	[гл. п

ненйе гриновской функции под влиянием некоторого фиктив-
ного «внешнего поля», результат воздействия которого на систему
известен заранее.

Поэтому прежде всего вычислим изменение 6G гриновской
функции под влиянием «внешнего поля» произвольного вида.
Такому полю соответствует в гамильтониане член

6У<1) = $ф+(/, r)8UWa(t, r)d3x,	(19,1)

где 8U — некоторый оператор, действующий на функции от г
(и могущий зависеть также от времени t).

При наличии внешнего поля функция Грина зависит уже от
двух 4-импульсов Pt и Р2. В диаграммной технике такое поле
изображается новым графическим элементом—внешней пунктир-
ной линией:

I

I

-----4-----Pj

причем такой линии сопоставляется множитель

— i8U(P2, Pi) = —i\eiP>x8Ue~lp^d^X. (19,2)

В первом порядке по внешнему полю поправка к точной
функции Грина изображается суммой двух скелетных диаграмм

где все сплошные линии — жирные (точные G-функции), а кру-
жок— точная вершинная функция (tT). В аналитическом виде
это равенство записывается как

i6G₽a (Р2, Л) = Gpv (Р2) 8U (Р2, Pt) Gya (Р^ -

—	(Р2) Gea (Рi)	2’ ^1’ 1’ Фг) X

x6(/(Q2, Qi)GtK(Q2)GK6(Qi)^, (19,4)

причем Q2 + Pi = P2 + Qr

Первые два из интересующих нас тождеств связаны с сохра-
нением числа частиц в системе. В гамильтониане системы это
свойство выражается тем, что ф-операторы входят в него парами:
по одному Ф+(X) и T (X) для каждого аргумента X.
Произведем калибровочное преобразование ip-операторов:

Фа(Х)=Ф'а(Х)е-^т Y+ = ip'a+e.xW, (19,5)

где х(Х) — вещественная функция1). В силу указанного харак-
тера гамильтониана, если Ф удовлетворяет «уравнению Шредин-
гера» (7,8), то Ф' удовлетворяет тому же уравнению с заменой

При бесконечно малом х = бх такое изменение уравнения экви-
валентно добавлению к гамильтониану «внешнего поля»

б£ = _Ж+_£.(дбх + 2(¥бх) v).

В частности, если

бх (X) = Re (хое~1КХ), Х = (®, к),
(причем ввиду линейности последующих операций знак Re
можно опустить), то

8U (Р2,	= I (2л)1 Хо6-(4) (Р2-Рх-Х)	-±k (Pl + P2)} • (19,6)

С другой стороны, функция Грина, построенная по ip-опера-
торам:

^^^(l+iSx),	=❖: (1-

отличается от функции, построенной по операторам Ф, Ф+, на
6Gap(Х£, Х2) = iGa₽(Хх—Х2)[бх(XJ-бх(Х2)]

или, в компонентах Фурье:

6Ga₽ (Р2, PJ = J 6Ga3 (Xlt Х2) е‘	<PXY d‘X2 =

= i	(Р2)] бх (Р2-Рх),	(19,7)

где

бХ (Р) = $ бх (X) eipxd*X = (2л)1 х»б(1) (Р-Х).

Таким образом, одно и то же изменение 6Gap выражено
в двух видах: (19,7) и (19,4), куда надо подставить 8U из (19,6).
Приравняв оба эти выражения друг другу, получим (после
замены Gap = G6ap и некоторых переобозначений переменных)
бар [G (Р + X) — G (Р)] = G (Р + X) G (Р) ^ [—а» +	бар +

+ i f Геб, аб (X; Р, Q) G (Q) G (Q-К) [®	(й

х) Оно аналогично калибровочному преобразованию в квантовой электро-
динамике (ср. III (111,8—9)).
Искомые тождества получаются путем перехода в этом равен-
стве к пределу	к—>0; при этом

G(P+K)-G(P)->®^ + k-^

(19,8)

(где Р = (р0, р)). Произведя этот переход при условии	—>-0,

получим первое тождество

s«₽^p-=-{G2(P)}a [бар-i У Г^>аб(Р, Q) {G*(Q)}<o^’ .

(19,9)

Здесь введено обозначение

{G2(P)}O = lim G(P)G(P + K) при /г/оэ —>0. (19,10)
со, к —> 0

Аналогичным образом, произведя предельный переход при
условии	—>0, получим еще одно тождество

т£-=(р>>» [£ 6«и У гк -,р. о 1

(19.11)
с аналогичным обозначением {G2(P)}A.

Далее, рассмотрим изменение функции Грина при наложе-
нии на систему постоянного поля

8U = 8U (r) = Uoeikr.	(19,12)

При к—>0 это поле медленно меняется в пространстве, так
что его влияние на систему может рассматриваться макроско-
пически. Согласно термодинамическому условию равновесия
во внешнем поле, должно быть р.4-6(/ = const (см. V § 25); при
к—>0 это значит что химический потенциал р изменяется на
малую величину —Uo. Соответствующее изменение функции
Грина:

^(Xi, А2) = — U08a^G{X^--ij.

а его фурье-компонента (определенная, как в (19,7)):

8Ga₽ (Р2, PJ =	(2л)‘ 6<‘> (Pa-PJ Ua	.

С другой стороны, это же изменение функции Грина можнс
вычислить по формуле (19,4), положив в ней на этот раз

8U(Pt, Р1) = (2луи08^(Р2-Р1-К), (tf = 0,k).

Переход к пределу к—*-0 в данном случае (постоянное поле
со = 0) отвечает случаю со//г—>0. В результате получаем тож-
дество

6сс₽^=-{С* 2(Р)к[бсе₽-1-ур₽в,ав(Р. Q)	(19,13)

Наконец, последнее тождество возникает как следствие гали-
леевской инвариантности системы. Для его вывода рассмотрим
жидкость в системе координат, движущейся с медленно меняю-
щейся со временем малой скоростью 6w(/) = woe~toZ. Переход к
такой системе эквивалентен наложению внешнего поля, опера-
тор которого х)

6(7==—-L-6w p = -^-6w-V	(19,14)

или, в импульсном представлении,

6t/(P2,P1)=-±p16w(2n)‘6“’(₽2-P1-/(), К = (®, 0).

Это выражение надо подставить в (19,4), после чего производим
предельный переход со—>0.

С другой стороны, при со—>0 речь идет о преобразовании
Галилея от одной инерциальной системы отсчета к другой, дви-
жущейся с постоянной скоростью 6w. Если в жидкости име-
ется элементарное возбуждение с энергией е(р), то в системе
отсчета, движущейся относительно жидкости со скоростью 6w,
энергия этого возбуждения будет е—p6w 2). Поэтому в новой
системе отсчета частота р0 должна входить в функцию G (Р)
в комбинации p0-|-p6w (так, чтобы полюс функции сдвинулся
на —p6w). Таким образом,

с Z-	с &G

oG = pow ч— ,
н дро

и мы приходим к тождеству

б“₽Р	{Мр-‘‘ У ПМ (Р, Q) q {G2 (Q)}«&$} •

(19,15)

Нам придется ниже применять полученные тождества, в част-
ности, при значениях свободной переменной Р = (р0,р) на фер-
миповерхности: PF = (0, pF). Перенеся множитель G2(P) из пра-
вых сторон тождеств в левые, заменим там производные от.G (Р)

х) В классической функции Лагранжа свободной частицы £ = /по2/2 пере-
ход к движущейся системе координат совершается заменой v—>-v + 6w и
приводит к появлению малой (при малом dw) добавки d£ = /nvdw. Соответст-
венно (ср. 1(40,7)) добавка к функции Гамильтона 6Н=—pdw, а в квантовой
механике ей отвечает оператор (19,14).

2) Ср. более подробные рассуждения ниже, в § 23.

4 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
производными от G-1(P); при этом способ перехода к преде-
лу К -* 0 в G (Р) G(P~pJ() несуществен.

С другой стороны, вблизи ферми-поверхности функция Грина
определяется своим полюсным членом, так что

°~1(р)==т [ро—Pf)] •

Отсюда, на самой этой поверхности,
dG-1  1 dG~1 vpdpp
др0	~Z ’ др	Z dp

В результате, например, тождества (19,9) и (19,13) принимают
на ферми-поверхности вид

i4r^a6(PF,Q){G2(Q)}(d-g^=(l-l)6a₽,	(19,16)

i Jn6,a6(Pfl Q) {G2 (Q)h^= (1	S“₽- (19’17>

§ 20. Вывод связи между предельным импульсом
и плотностью

Полученные в предыдущих параграфах соотношения позво-
ляют дать последовательное доказательство основного положе-
ния теории ферми-жидкости Ландау: утверждения о том, что
связь между предельным импульсом рР и плотностью жид-
кости N/V дается той же формулой (1,1), что и для идеального
газа.

Идея доказательства состоит в независимом-вычислении из-
менений N и рр при бесконечно малом изменении химического
потенциала р и затем их сравнении.

Согласно (7,24), полное число частиц (в заданном объеме V)
как функция химического потенциала дается интегралом

Г*

АГ==—2iVHm j G(P)e~^^ , Р = (р0, р).	(20,1)

Отсюда производная

l^=-2if^^.	(20,2)

V dp	J др (2л)4	v

Ввиду сходимости этого интеграла при больших р0 (dG/др со
со 1/р02 при |р0| —> оо) писать множитель е~1Р°* в подынтегральном
выражении уже не надо. После подстановки сюда dG/dp из
тождества (19,13) (просуммированного по а = р) находим

2' J |0! ЮЬ ^r+J (О' Р»» Г* (/>. <2) {О- (Q)},	.
где для краткости Г = Га?1(Х?. Цель дальнейшего вычисления
состоит в том, чтобы выразить правую часть этого равенства
через интеграл только по ферми-поверхности.

Прежде всего подставим вместо Г* во втором интеграле вы-
ражение из (17,17) (заменив в нем обозначение QF на SF):

= 2ф0* (P)h (gpr + J {G2 (Р)}А Г“ (P, Q) {G2 (<?)Ц

n2c72 f	.	d4Pd4Qdo5

r“s. - r'v. <?) {G2 (Q)b- (2^3- < •

(20,3)

Преобразуем сначала последний член. В его подынтеграль-
ном выражении от Q зависят только последние два множителя;
интеграл от них по <PQ определяется (на ферми-поверхности,
S = SF) формулой (19,17), так что этот член принимает вид

i[{G2 (/>)}*г“(Л SF)^^(\ —	.

vF(2n)3J *	г/ (2л)4 \ Z dp, /

Далее, вспомним, что при интегрировании по сРР предельные
значения G(P)G(P + K) надо понимать в смысле (17,10); поэ-
тому {G2(P)}o = <p(P), а

{G2 (P)\k = {G2 (Р)}»-^ 6 (р0) 6 (p-pF).	(20,4)

После этой замены получим

где, согласно (18,4), введена функция взаимодействия квази-
частиц и использовано выражение fa% через функцию F (&)
согласно (2,6 — 7); черта над F означает интегрирование по
do/4n;. Оставшийся интеграл по d4P дается формулой (19,16),
после чего интегрирование по dos дает еще множитель 4л. В ре-
зультате третий член в (20,3) оказывается равным

p/-'Z~ / vFdpF
vFn2 \Z dp,

1Жт+?}-

(20,5)

Аналогичным образом преобразуется второй член в (20,3):
величины {G2(P)}a и {G2(Q)}ft выражаются через {02(Р))ш и
{G2(Q)}O согласно (20,4), после чего используются тождества
(19,9) и (19,16). В результате этот член оказывается равным

-2‘) < w-2i J	{2 Ц- 0-4.

(20,6)
Первый интеграл обращается в нуль при интегрировании по dpB,
поскольку G—>0 при рв—>±сю.

Наконец, первый член в (20,3) после подстановки в него
(20,4) дает

(20.7)

Сложив теперь все вклады (20,5 — 7), найдем

1	+ _ф£_/1 —d-^v f(l +F) 1.	(20,8)

V dp л2 dp 1 л2 vF | dp е v ' J	\	/

С другой стороны, производная

dp __/ dp \ / dN \ _ VPf Sp

dpf \dN/v\dppJv л2Й,3 dW ’

согласно (2,15), равна

dp
dp7

= М1+П-

(20,9)

Подчеркнем, что при выводе (2,15) еще не использовалась кон-
кретная зависимость pF от N/V, и поэтому мы имеем право
применить здесь это соотношение с целью нахождения указан-
ной зависимости (равенство (20,9) можно, конечно, получить и
с помощью тех же соотношений для вершинных функций, ко-
торые были использованы при выводе (20,8)) *).

С учетом этого равенства мы видим, что фигурная скобка
в (20,8) обращается в нуль и, таким образом,

d N   рр dpp  d 8npF
dp V 2л2 dp	dp 3 (2л)3

(20,10)

При N/V—>0 мы имеем дело с газом, так что в этом пределе
зависимость pF от N/V во всяком случае должна совпадать
с газовой. Этим условием устанавливается постоянная при ин-
тегрировании (20,10), и мы приходим, наконец, к искомому
соотношению (1,1):

N 8jipf

V~~3 (2л)3 *

!) Формула же (2,11) для эффективной массы может быть выведена с по-
мощью соотношения (17,17) и тождеств (19,11) и (19,15).
§ 21. Гриновская функция почти идеального ферми-газа

Для иллюстрации способа применения диаграммной техники
в этом параграфе мы применим ее к вычислению гриновской
функции почти идеального ферми-газа в рамках той же модели,
которая была рассмотрена в § 6 с помощью обычной теории воз-
мущений (В. М. Галицкий, 1958). Напомним, что речь идет о газе
с отталкиванием между частицами, причем описанный в § 6 прием
позволяет применять к этому взаимодействию теорию возмущений
до тех пор, пока в окончательный результат вычисления входит
только амплитуда рассеяния.

Как было показано в § 14, нахождение функции Грина сво-
дится к вычислению собственно-энергетической функции Sap(P).
В первом и втором приближениях теории возмущений она дается
совокупностью диаграмм (14,9) и (14,10). Изобразим их здесь
следующим образом:

Диаграммы (21,1а—б) охватывают собой диаграммы первого по-
рядка (14,10а) и (14,9а) и диаграммы второго порядка (14,106—в)
и (14,96—в); последние отличаются от первых лишь поправками
к внутренней сплошной линии; эти линии изображены в (21,1а—б)
жирными и им должны сопоставляться, следовательно, не гри-
новские функции идеального газа G(o), а функции G, исправлен-
ные до членов первого порядка. Наконец, (21,1в—г)—это диа-
граммы второго порядка (14,10г—д). Все диаграмы деформиро-
ваны так, что становится ясным характер их структуры; это —
первые члены «лестничного» ряда четырехконцевых диаграмм,
в которых по паре из внешних линий «закорочены» друг с дру-
гом двумя различными способами.

Начнем с вычисления диаграммы (21,1а). Ее аналитическое
выражение

Q=(<7o, ч), р = (®, р)
102	гриновские функции ферми-системы при Г = 0 [гл. п

(общий множитель 6ар опущен). Произведем сначала интегриро-
вание по dq0. Поскольку, однако, множитель U (Q)=U (q) от q0 не
зависит, a Goo1/q0 при |q0|—>оо, то необходимо предварительно
уточнить способ интегрирования. Для этого надо вернуться к про-
исхождению диаграммы (21,1а) и заметить, что сплошная линия
в ней соответствует свертке пары ф-операторов внутри одного
и того же оператора V. Это значит, что Ф и Ф+ берутся в оди-
наковый момент времени, и при свертывании Ф+ стоит слева от Ф.
Другими словами, в координатном представлении возникающая
G-функция берется при t — ti—12——0. В импульсном же пред-
ставлении это означает добавление в подынтегральном выраже-
нии в (21,2) множителя ехр (—iqot) с переходом к пределу t—*—0.
Использовав теперь формулу (7,20), получим

[- iS]a = i J U (q)N (p-q)	,	(21,3)

где N (p)—функция распределения частиц.

Фурье-компонента U (q) существенно зависит от величины q
лишь при q^> \/гй, где г0 —радиус действия поля U (г); эти зна-
чения заведомо велики (для разреженного газа) по сравнению
с pF. Если ограничиться значениями \р—pF|<<c 1/г0, то при ука-
занных значениях q будет N (р — q) « 0. Поэтому U (q) в (21,3)
можно заменить на U (0) и вынести из-под знака интеграла1).
Оставшийся интеграл равен половине (заданное значение про-
екции спина!) плотности газа п (ц), так что [S]a = —п (ц) U (0)/2.

Диаграмма же (21,16) с замкнутой на себя сплошной линией
дает [S]6 — п (ц) U (0). Таким образом, вклад в S от обоих диаграмм
есть

[S]a,6 = l«(p)t/(0)=^n(p)fl,	(21,4)

где а—длина рассеяния, определенная согласно (6,2).

Выражение (21,4) содержит в себе, в частности, весь эффект
первого порядка. В этом приближении п(ц) надо понимать как
плотность идеального газа n<0)([i), так что

2(1,^теб = ^»<0)(И)«.	(21,5)

Для дальнейшего вычисления введем, в качестве промежуточ-
ного обозначения, функцию F, определенную лестничными

Допускаемая таким образом погрешность имеет, как легко видеть, от-
носительный порядок величины ~ (р/?г0)2 и потому не отражается даже на членах
следующего по рргй порядка.
диаграммами:

= -—Г— + --Т-Г-	(21,6)

Рча -——<--------------ц--	>—к—ц—.

(как всегда, Pt + Р2 = Р3 + Pt). В аналитическом виде

iFуб, а₽ (Л, Л; Р» Рг) = ‘ба Ав (Р11> + Р12))>	(21,7)

где

IF(1> = — iU(P3 — Pr),	(21,8)

IF<2> = JG<°> (P') U(P.-P') G<°> (P. + Pt-P') U(P'-P3). (21,9)

Раскрыв обе диаграммы (21,1в—г) и выразив их через F(2),
получим

[-iS(P)]B,r = -jG<»’(<2)P(2)(P, Q", Q, Р)-^+

+ 2 $G<°>(Q)F<»(P, Q; Р, Q)-^-	(21,10)

(такие же интегралы с F(1) вместо F<2) дают (21,5)). Разница зна-
ков перед двумя интегралами связана с наличием замкнутой
петли в диаграмме (21,1г); 6-множители в первой диаграмме дают
баубур= бар, а ВО ВТОрОИ. 6ар6уу = 26ар.

Перейдем к вычислению F(2). Поскольку U (Q) не зависит
от <?в, то интегрирование по dp’o сводится к интегралу

уО(о>(р')о<о>(Р1 + р4_р')^..
— оо

Подставив сюда G<0) из (9,9) (и учитывая сходимость интеграла
ПРИ | Ро | —>°о), замыкаем путь интегрирования бесконечно уда-
ленной полуокружностью в одной из полуплоскостей комплекс-
ного интеграл отличен от нуля, лишь если полюсы двух функ-
ций Gw лежат в различных полуплоскостях, т. е.

sign (р'—рР) = sign (| pi + ра — р' |—pF).	(21,11)

В результате получим

F(*(P3, Р4; Ръ Р2) =

= _ Г U <Р1 — р') (р' — Рз) sign (р' — Рг) а*р*

J(»i + <»2 + 2p—[р'2 + (Р1+р2—р')2] + iO-sign (р' —рр)1

(где и1 = р10) И2 = рао). при этом, чтобы автоматически учесть
требование (21,11), в числителе подынтегрального выражения
следует заменить

sign (// — рР)	1 — 0 (р')—6 (рх + р2 — р'),

где 0(р) — ступенчатая функция (1,10).

Мы видели в § 16, что ряд лестничных диаграмм определяет
(в вакууме) амплитуду взаимного рассеяния двух частиц. Поэ-
тому выражение (21,12) содержит в себе поправку к членам пер-
вого порядка в амплитуде рассеяния. Эту поправку можно учесть,
заменив в F(1) (21,8)

^(Рз—Pi)-^ —4гКе/(Рз, Pi)

(где f—точная до второго порядка амплитуда рассеяния в ва-
кууме)1) и одновременно вычтя из выражения F(2) (21,12) вещест-
венную часть его значения в вакууме, т. е. при pF=0, ц = 0
и значениях (0i = p|/2m, w2 = p|/2m, отвечающих энергиям двух
реальных сталкивающихся частиц («физические» внешние концы
диаграмм). После этого можно уже будет заменить — Ref значением
при нулевой энергии, т. е. длиной рассеяния а2). Таким образом,
будем иметь

^’(Л. /V. Л, Л) =

= — ( 4па 2 (7____________1 — 6 (р') —6 (Pi + Pa — Р')______

m ' J (<01 + <02 + 2р—[р'2+ (pi+ра—Р')2] 4-tO sign (р'~рр)

__П	2/П	) (Рр*	1 1 О\
Г 9 ,	9	,2_,	,_> /О-пАЗ •

Pi + Pa — Р —(Pi + P2 —Р) J }

Знак Р во втором члене означает, что интеграл берется в смысле
главного значения; это — результат отделения вещественной части
интеграла с помощью правила (8,11).

Поскольку выражение (21,13) симметрично по и Р2, оба
интеграла в (21,10) совпадают, так что

[- О’)]», г=j G(o) (Q) F™ (^. Q; Л Q) •

*) He смешивать f в этом параграфе с функцией взаимодействия квазичастиц!

2) Эта замена не могла быть произведена в (21,12), так как привела бы
к расходимости интеграла при больших р'. После произведенного же вычита-
ния интеграл сходится (при р' — рр) уже и с такой заменой, что и позволяет
произвести ее. Вычитание лишь вещественной части интеграла (и соответственно
замена U через Ref) произведено с целью избежать затруднения, связанного
с мнимой частью амплитуды рассеяния. Дело в том, что при малых импуль-
сах Ref разлагается, по четным, a Imf—по нечетным степеням импульса
(см. III § 132). Поэтому учет импульсной зависимости f привел бы к поправкам
относительного порядка (qpa)2, т. е. пренебрежимым. Замена же U —>• — 4пЦгп
потребовала бы учета мнимой части f, приводящей к поправкам относительного
порядка величины рра.
При подстановке сюда первого члена из (21,13) интеграл по
dqa отличен от нуля, если

sign (p'—pF) = — sign (<?—pF),	(21,14)

так что оба полюса подынтегрального выражения снова нахо-
дятся в разных полуплоскостях q0. При подстановке же второго
члена из (21,13) от q0 будет зависеть только множитель G0(Q),
интегрирование по dqa осуществляется формулой (7,23) и дает
У(0)(ц)—функцию распределения частиц в идеальном газе, т. е.
ступенчатую функцию 0(q). В результате получим (собрав вклады
от всех диаграмм (21,1 а—г))

9тт

S(®, p) = ^n(H)a + S(2)(®, р), 	(21,15)

где

S(2) (<о, р) =

= /4ло_у Г Г	[1 —9(р') —6(p + q—р')] [6 (q) —6(р')]

т J + [42—Р'2 — (P+q-P')2]+‘0'Sign(p'— Рр)

-Р--------(21,16)

Р2 + <72 —Р' +(Р+Ч —Р')2 f

(множитель 6(q)—0(р') в числителе первого члена под знаком
интеграла заменяет собой — sign(q—рР) при условии (21,14)).

Заметим прежде всего, что S имеет мнимую часть. Она вы-
деляется из (21,16) с помощью правила (8,11) и дается выра-
жением

ImS (о, р) = —	лфб (q) [1 —0 (p')J [1 —0 (р + q—р')]~

— [1—0(q)]0(p')0(p + q —р')}Х

хб[(9 + И+±(<72-р'2-(р + Ч-р')2)]^^	(21,17)

(выражение в фигурных скобках преобразовано с учетом того,
что 02(р) = 0(р)).

Спектр энергий квазичастиц вычисляется, согласно* (14,13),
как

»<P)=s-+v“W“+2“(ij-^p)	<21'18)

(в S(2) можно, с требуемой точностью, положить е«р2/2т).
Комплексность S означает наличие затухания у возбуждений
(Ime=/=0).

Появление этого затухания выражает неустойчивость квази-
частиц, связанную с возможностью реального процесса их рас-
пяття Кпаэтлияртиня мпжрт отпять часть своей энеогии. за счет
которой рождается пара квазичастиц (частица и дырка). Рас-
смотрим, например, первый член в фигурных скобках под интег-
ралом в (21,17). По свойствам ступенчатой функции этот член
отличен от нуля, если

Р' >Рг, 1ч + р —р'|>Рг> Р<Рг-

Эти неравенства отвечают процессу, в котором квазичастица
с начальным импульсом p(p>pF) переходит в состояние р'
(р > р’ > pF), причем импульс р — р' передается частице внутри
ферми-сферы (импульс q<pF), возбуждаемой до состояния
с импульсом q + p — р' вне ферми-сферы; такой переход экви-
валентен появлению двух новых элементарных возбуждений —
с импульсами —q (дырка) и q + p—р'. Закон сохранения энер-
гии в этом процессе выражается 6-функцией в (21,17), в которой
й + ц играет роль начальной энергии квазичастицы е(р):

е (р) = е (р') + [е (q + р — р') — е (q)]

(здесь достаточно положить, в первом приближении, е(р)=р,/2«1).
В соответствии с указанным смыслом, определенная этим равен-
ством энергия е (р) действительно отвечает квазичастице вне
ферми-сферы (е> ц).

Аналогичным образом, второй член в фигурных скобках
в (21,17) возникает от процессов, в которых пара рождается
дыркой. Этот член дает затухание элементарных возбуждений
с е < ц. На языке диаграммной техники возможность рождения
пары квазичастицей выражается возможностью рассечь диаг-
рамму G-функции на две части путем пересечения ее по т,рем
сплошным линиям, из которых две направлены в одну, а третья—
в другую сторону. На диаграммах (21,1 в—г) таковы сечения,
проходящие между двумя пунктирами.

Случай слабо неидеального газа специфичен (по сравнению
с общим случаем произвольной ферми-жидкости) в том отноше-
нии, что спектр квазичастиц в нем имеет смысл во всей области
значений импульсов, а не только вблизи ферми-поверхности:
затухание квазичастиц (Ime) оказывается относительно малым
уже благодаря малости «параметра газовости» арР. Мы приведем
здесь, однако, окончательный результат вычислений лишь для
двух предельных случаев.

Вблизи ферми-поверхности (\р—Pf\^Pf) получается

Re е = ц + (р—рР) pF/tn*

с ц из (6,14) и tn* из (6,17). Для затухания же квазичастиц
получается

Im Б = — i М2 (Р—РгУ si£n (Р~Рр)-	(21.19)
Пропорциональность этого выражения квадрату (р—pF)2 имеет
ясное происхождение: один множитель р—рР возникает как
ширина той области импульсного пространства (узкий шаровой
слой), в которую попадает импульс квазичастицы после рожде-
ния ею пары, а еще один такой множитель—как ширина слоя,
в котором рождается пара. Отметим, кстати, что эти соображения
относятся и к любой ферми-жидкости, так что вблизи ферми-
поверхности всегда Im е <ч> (р — pF)2 х).

При больших импульсах p^>pF (но все же ра<^1) имеем

Р2 , ZpF

2т Зли



(21,20)

В обоих случаях отношение Ime/Ree мало. Максимальное
значение этого отношения достигается при р ~ pF, но и здесь
оно ~ (РрО.)2-^ 1.

Наконец, приведем значение перенормировочной постоянной
функции Грина слабо неидеального газа. Она вычисляется как

1  j dS (ю, р) I

Z	ди> |ы>=о,р=р/,

и равна

Z = \-8-^(pFay.	(21,21)

0 При отдичных от нуля температурах усреднение этой величины по
тепловому распределению приводит к пропорциональности затухания квад-
рату Т2, о чем уже говорилось в § 1.
ГЛАВА III

СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ

§ 22. Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости

Обратимся теперь к изучению квантовых жидкостей с энерге-
тическим спектром совершенно иного типа, который можно
назвать бозевским1).

Этот спектр характеризуется тем, что элементарные возбуж-
дения (отсутствующие в основном состоянии жидкости) могут
появляться и исчезать поодиночке. Но момент импульса всякой
квантовомеханической системы (в данном случае — жидкости) мо-
жет испытывать изменения лишь на целое число. Поэтому возника-
ющие поодиночке элементарные возбуждения должны обладать
целочисленным моментом и, следовательно, подчиняться стати-
стике Бозе. Спектром такого типа должна во всяком случае
обладать всякая квантовая жидкость, состоящая из частиц с це-
лым спином (таков жидкий изотоп Не4).

Напомним для сравнения, что в ферми-жидкости, при опи-
сании се в терминах спектра элементарных возбуждений, отсут-
ствующих в основном состоянии (см. конец § 1), эти возбуждения
могут появляться или исчезать лишь парами. Именно с этим
связана возможность элементарным возбуждениям в этом типе
спектра иметь полуцелый спин.

В квантовой бозе-жидкости элементарные возбуждения с ма-
лыми импульсами р (длина волны велика по сравнению с меж-
атомными расстояниями) соответствуют обычным гидродинами-
ческим звуковым волнам, т. е. представляют собой фононы.
Это значит, что энергия таких квазичастиц является линейной
функцией их импульса:

£, = ир,	(22,1).

где и—скорость звука в жидкости. Последняя дается обычной
формулой u2 = дР)др, причем нет необходимости уточнять,

4) Теория таких квантовых жидкостей была создана Л. Д.'Ланда]
в 1940—41 г., вслед за открытием П. Л. Капицей сверхтекучести жидкого
гелия. Этими открытиями было положено начало всему развитию современ-
ной физики квантовых жидкостей.
берется ли производная при постоянной температуре Т или энтро-
пии S, поскольку при Т —>0 также и S—►О1).

Число элементарных возбуждений в бозе-жидкости стремится
к нулю при Т —>0, и при низких температурах, когда их плот-
ность достаточно мала, квазичастицы можно считать не взаимо-
действующими друг с другом, т. е. образующими идеальный
бозе-газ. Поэтому статистически равновесное распределение
элементарных возбуждений в бозе-жидкости дается формулой
распределения Бозе (с равным нулю химическим потенциалом —
ср. примечание на стр. 18)

п(р) = [ее<р)/’’_!]-!/	(22,2)

С помощью этого распределения, и зная зависимость е(р)
при малых р, можно вычислить термодинамические величины
жидкости для таких близких к абсолютному нулю температур,
при которых практически все имеющиеся в жидкости элемен-
тарные возбуждения обладают малыми энергиями, т. е. являются
фононами. Соответствующие формулы можно написать сразу,
воспользовавшись выражениями для термодинамических величин
твердого тела при низких температурах (см. V § 64). Разница
заключается, лишь в том, что вместо трех возможных направ-
лений поляризации звуковых волн в твердом теле (одно про-
дольное и два поперечных) в жидкости существует лишь одно
(продольное); поэтому все выражения для термодинамических
величин следует разделить на 3. Так, для свободной энергии
жидкости имеем

F = F0-V^-,
90 (£и)3

(22,3)

где Fo—свободная энергия при абсолютном нуле. Энергия жид-
кости равна



л27«

зо (hu)3 ’

а теплоемкость

2л2Г3

С = 1/15(Аи)3’-

(22,4)

(22,5)

она пропорциональна кубу температуры.

Фононный закон дисперсии (22,1) справедлив лишь постольку,
поскольку длина волны Квазичастицы А/p велика по сравнению

*) Понятие о фононах было введено в V §§ 71, 72 для элементарных воз-
буждений в твердых телах. Подчеркнем, что импульс элементарного возбуж-
дения в микроскопически однородной системе—жидкости—есть истинный
импульс, а не квазиимпульс, как в периодическом поле кристаллической
решетки твердого тела.
с межатомными расстояниями. По мере увеличения импульса
кривая е = е(р), конечно, отклоняется от линейной зависимости;
дальнейший ее ход зависит от конкретного закона взаимодей-
ствия молекул жидкости и не может быть поэтому определен
в общем виде.

В жидком гелии закон дисперсии элементарных возбуждений
имеет форму, изображенную на рис. 2: после начального линей-
ного возрастания функция е(р) достигает максимума, затем

убывает и при определенном значении импульса р0 проходит
Через минимум1). В тепловом равновесии большинство элемен-
тарных возбуждений в жидкости имеет энергии в областях вблизи
минимумов функции е(р), т. е. в области малых е (область
вблизи е = 0), и в области значения е(р0). Поэтому именно эти
области особенно существенны. Вблизи точки р = р0 функция е (р)
может быть разложена по степеням р—р0. Линейный член
в разложении отсутствует, и с точностью до членов второго
порядка имеем

е=А + (РГ>о)8,	(22,6)

2т* ’	' ’ '

х) Эта форма спектра была впервые предложена Л. Д. Ландау (1947) на
основании анализа экспериментальных данных о термодинамических величинах
жидкого гелия; в дальнейшем она была подтверждена экспериментально
опытами по рассеянию нейтронов.

Качественная теория спектра такого типа дана Фейнманом (R. Р. Feynman,
1964); см. ниже примечание на стр. 429.
где А = е(р0) и т* — постоянные. Квазичастицы этого типа на-
зывают ротонами. Подчеркнем, однако, что оба типа квазича-
стиц— фононы и ротоны — отвечают лишь разным участкам
одной и той же кривой, между которыми имеется непрерывный
переход.

Эмпирические значения параметров энергетического спектра
жидкого гелия (экстраполированные к нулевому давлению при
плотности р=0,145 г/см3) таковы1):

и = 2,4-10* см/сек, А = 8,7К,

(22,7)
р0/А= 1,9-10® см-1,	/п* = 0,16m (Не4).

Поскольку энергия ротона всегда содержит величину А,
большую по сравнению с Т — при температурах достаточно
низких для того, чтобы можно было говорить о «ротонном
газе»,— то последний можно описывать вместо распределения
Бозе распределением Больцмана. Соответственно этому, для
вычисления ротонной части термодинамических величин жид-
кого гелия исходим из формулы для свободной энергии боль-
цмановского газа

F = — АГТЧп-^- {e~^Tdx, dx = -^~

N J	(2лЙ)3

(см. V § 41). При этом под N в этой формуле надо понимать
число ротонов в жидкости. Но это число само определяется
условием термодинамического равновесия, т. е. условием мини-
мальности свободной энергии. Приравняв dF/dN нулю, найдем
для числа ротонов

Wp = y$e-e/TdT	(22,8)

(что соответствует, естественно, больцмановскому распределе-
нию с равным нулю химическим потенциалом). Соответствующее
значение свободной энергии

Кр= — VT \e~^Tdx.

В эти формулы надо подставить (22,6). Поскольку рХ^>т*Т,
то при интегрировании по dp можно вынести множитель р2
из-под знака интеграла, заменив его с достаточной точностью
на р„. При интегрировании экспоненциального выражения можно
распространить область интегрирования от —оо до оо. В ре-
зультате получим

дг	P»v_ е- д/г р = —	(22 9)

р (2л)3/2	’ р	р'	(

4) Укажем также значение химического потенциала жидкого гелия при
Т = 0: и. = — 7.16 К.
Отсюда вклад ротонов в энтропию и теплоемкость:

Sp = ^p(4 + r)’ Ср = лЦ4 + т + -^)-	<22’10)

Мы видим, что температурная зависимость ротонной части термо-
динамических величин в основном экспоненциальна. Поэтому
при достаточно низких температурах (дли жидкого гелия — ниже
примерно чем 0,8 К) ротонная часть меньше фононной, а при
более высоких температурах положение меняется, и ротонный
вклад превосходит фононный.

§ 23. Сверхтекучесть

Квантовая жидкость с энергетическим спектром описанного
типа обладает замечательным свойством так называемой сверх-
текучести—свойством протекать по узким капиллярам или ще-
лям, не обнаруживая вязкости. Начнем с рассмотрения жид-
кости при абсолютном нуле, когда она находится в своем нор-
мальном, невозбужденном состоянии.

Рассмотрим жидкость, текущую по капилляру с постоянной
скоростью v. Наличие вязкости проявилось бы в том, что бла-
годаря трению о стенки трубки и трению внутри самой жидко-
сти происходила бы диссипация кинетической энергии жидкости
и постепенное замедление потока.

Нам будет удобнее рассматривать течение в системе коорди-
нат, движущейся вместе с жидкостью. В этой системе гелий
покоится, а стенки капилляра движутся со скоростью —v.
При наличии вязкости покоящийся гелий тоже должен был бы
начат-ь двигаться. Физически очевидно, что увлечение жидко-
сти стенками трубки не может привести с самого начала к дви-
жению жидкости как целого. Появление движения должно на-
чаться с постепенного возбуждения внутренних движений, т. е.
с ноявления в жидкости элементарных возбуждений.

Предположим, что в жидкости появляется одно элементар-
ное возбуждение с импульсом р и энергией s(p). Тогда энер-
гия Ео жидкости (в системе координат, в которой она перво-
начально покоилась) сделается равной энергии этого возбужде-
ния 8, а ее импульс Ро — импульсу р. Перейдем теперь обратно
к системе координат, в которой покоится капилляр. Согласно
известным из механики формулам преобразования энергии и
импульса, имеем для энергии Е и импульса Р жидкости в этой
системе

Е = £0 + Pov +	, P = P0 + Mv,	(23,1)
где М—масса жидкости. Подставив 8, р вместо £0, Ро, напишем

Е = 8 + pv + -.	(23,2)

Член Ми2/2 представляет собой первоначальную кинетичес-
кую энергию текущей жидкости; выражение же 8 + pv есть из-
менение энергии благодаря появлению возбуждения. Это изме-
нение должно быть отрицательным, поскольку энергия движу-
щейся жидкости должна уменьшаться

8-j-pv < 0.

При заданном значении р величина, стоящая в левой сто-
роне неравенства, имеет наименьшее значение при антипарал-
лельных р й v; поэтому во всяком случае должно быть 8 — pv < 0,
т. е.

v > ~р •	(23,3)

Это неравенство должно выполняться хотя бы для некото-
рых значений импульса р элементарного возбуждения. Поэтому
окончательное условие возможности появления возбуждений
в движущейся по капилляру жидкости мы получим, найдя мини-
мум величины е/р. Геометрически отношение е/р есть тангенс
угла наклона прямой, проведенной из начала координат (в плос-
кости р, в) в некоторую точку кривой 8 = 8 (р). Его минималь-
ное значение определится, очевидно, точкой, в которой прове-
денная из начала координат прямая касательна к кривой. Если
это минимальное значение отлично от нуля, то при не слишком
больших скоростях течения в жидкости не смогут появиться
возбуждения. Это значит, что ее течение не будет замедляться,
т. е. жидкость обнаружит явление сверхтекучести.

Полученное условие наличия сверхтекучести по существу
сводится к требованию, чтобы кривая 8 = 8 (р) не касалась оси
абсцисс в самом начале координат (отвлекаясь от маловероят-
ной возможности касания ею этой оси в дальнейшем своем ходе).
Поэтому к сверхтекучести приведет по существу всякий спектр,
в котором достаточно малые возбуждения являются фононами.

Рассмотрим теперь ту же жидкость при температуре, отлич-
ной от абсолютного нуля (хотя и близкую к нему). В этом слу-
чае жидкость не находится в основном состоянии — она содержит
возбуждения. Приведенные выше рассуждения сами по себе
остаются в силе, поскольку в них не было использовано
непосредственно то обстоятельство, что жидкость находилась
первоначально в основном состоянии. Движение жидкости отно-
сительно стенок трубки при выполнении указанного условия
по-прежнеМу не сможет привести к появлению в ней новых эле-
ментарных возбуждений. Необходимо, однако, выяснить, каким
образом будет проявляться наличие возбуждений, уже сущест-
вующих в жидкости.

Представим себе для этого, что «газ квазичастиц» движется
как целое относительно жидкости поступательно со скоростью v.
Функция распределения для движущегося как целое газа по-
лучается из функции распределения п(е) неподвижного газа
путем замены энергии е частицы величиной е—pv, где р — им-
пульс частицы. Для обычного газа это обстоятельство является
непосредственным следствием принципа относительности Гали-
лея и доказывается просто путем перехода от одной системы
координат к другой. В данном же случае такие соображения
непосредственно не применимы, так как газ квазичастиц дви-
жется не в пустоте, а «сквозь жидкость». Тем не менее утверж-
дение остается в силе, как это вытекает из следующих- рассуж-
дений.

Пусть газ возбуждений движется относительно жидкости со
скоростью V. Рассмотрим систему координат, в которой газ как
целое покоится, а жидкость соответственно движется со ско-
ростью — v (система Л). Согласно формуле преобразования (23,1),
энергия Е жидкости в системе К связана с энергией Ео в сис-
теме, в которой жидкость покоится (система До), соотношением

Пусть в жидкости появляется элементарное возбуждение с энер-
гией е(р) (в системе До). Тогда дополнительная энергия жидко-
сти в системе К будет е—pv, чем и доказывается сделанное
утверждениер).

Таким образом, полный импульс газа квазичастиц (отнесен-
ный к единице объема) будет

Р = J рп (е—pv) dr.

Предположим, что скорость v мала, и разложим подынтеграль-
ное выражение по степеням pv. Член нулевого порядка исче-
зает (при интегрировании по направлениям вектора р), и остается
P=-jp(pv)^A,

или, после усреднения по направлениям р,

р=Н(—с»-4)

3) Для квазичастиц в бозе-жидкости п (в) — распределение (22,2). Обра-
тим внимание на то, что условие сверхтекучести (о < е/р) как раз совпадает
с условием, обеспечивающим положительность и конечность выражения п (в—pv)
Прежде всего мы видим, что движение газа квазичастиц со-
провождается переносом некоторой массы: эффективная масса
единицы объема газа определяется коэффициентом пропорцио-
нальности между импульсом Р и скоростью v в (23,4). С другой
стороны, при течении жидкости, скажем, по капилляру ничто
не мешает квазичастицам сталкиваться со стенками трубки и
обмениваться с ними импульсом. В результате газ возбужде-
ний будет остановлен, как это произошло бы со всяким обыч-
ным газом, протекающим по капилляру.

Таким образом, мы приходим к следующему основному ре-
зультату. При отличных от нуля температурах часть массы
жидкости будет вести себя как нормальная вязкая жидкость,
«цепляющаяся» при движении о стенки сосуда; остальная же
часть массы будет вести себя как не обладающая вязкостью
сверхтекучая жидкость. При этом весьма существенно, что
между обеими этими движущимися «друг через друга» частями
массы жидкости нет трения, т. е. не происходит передачи им-
пульса от одной из них к другой. Действительно, само нали-
чие такого взаимного движения одной части массы жидкости
относительно другой мы получили при рассмотрении статисти-
ческого равновесия в равномерно движущемся газе возбуждений.
Но если какое-либо относительное движение может иметь место
в состоянии теплового равновесия, то это значит, что оно не
сопровождается трением.

Подчеркнем, что рассмотрение жидкости как «смеси» нор-
мальной и сверхтекучей ее «частей» является не более, чем
способом выражения, удобным для описания явлений, проис-
ходящих в квантовой жидкости; оно отнюдь не означает воз-
можности реального разделения жидкости на две части. Как
и всякое описание квантовых явлений в классических терминах,
оно не является вполне адекватным. В действительности надо
говорить, что в квантовой бозе-жидкости могут существовать
одновременно два движения, каждое из которых связано со
своей эффективной массой (так что сумма этих масс равна пол-
ной истинной массе жидкости). Одно из этих движений «нор-
мально», т. е. обладает теми же свойствами, что и движение
обычной вязкой жидкости; другое же — «сверхтекучее». Оба эти
движения происходят без передачи импульса от одного к дру-
гому.

Таким образом, в гидродинамическом смысле плотность бозе-
жидкости может быть представлена в виде суммы р = р„ + р4
нормальной и сверхтекучей частей, каждая из которых' связана
со своей гидродинамической скоростью—v„hvs. Важным свой-
ством сверхтекучего движения является его потенциальность:
Это свойство является макроскопическим выражением того
факта, что элементарные возбуждения с большой длиной волны
(т. е, с малыми импульсами) являются звуковыми квантами —
фононами. Поэтому макроскопическая гидродинамика сверхте-
кучего движения не должна допускать никаких других коле-
баний, кроме звуковых!), . что и обеспечивается условием (23,5)
(мы еще вернемся к его обоснованию в § 26)* 2 *).

При 7 = 0 нормальная часть плотности рл = 0; жидкость
может совершать только сверхтекучее движение. При отличных
же от нуля температурах рп дается формулой (23,4):

р.=Н(—ж-k*-	сад

Для вычисления фононного вклада в рл полагаем в (23,6)
8 = ир:

dn 2 4rtp2 dp
dp Р (2л&)3

и после интегрирования по частям находим

Оставшийся здесь интеграл есть не что иное, как энергия еди-
ницы объема фононного газа; взяв .эту величину из (22,4), по-
лучим окончательно

4£dl 2л2Т4

(РЛ)Ф = -3^1Г = ^^-	(23,7)

Для вычисления же ротонного вклада в рл замечаем, что
поскольку ротоны можно описывать распределением Больцмана,
то для них dn/de =— п/'Т, и из (23,6) имеем

if	n2

(Ри)р зу J Р П	у~ •

Положив, с достаточной точностью, р2 = р20 и взяв Nv из (22,9),
получим

<р.).=^= е~а,г  сад

4) Подразумевается, что жидкость ие ограничена. При наличии свободной
поверхности возможны также поверхностные капиллярные волны (что приво-
дит к определенной температурной зависимости поверхностного натяжения —
см. задачу 1).

2) Подробное изложение гидродинамики сверхтекучей жидкости дается

в другом томе этого Курса (том VI).
При самых низких температурах фононный вклад в рл велик
по сравнению с ротонным. Они сравниваются примерно при 0,6К,
а при больших температурах ротонный вклад становится пре-
обладающим.

По мере повышения температуры все большая часть массы
жидкости становится нормальной. В точке, в которой дости-
гается равенство р„ = р, полностью исчезает свойство сверх-
текучести. Это—так называемая К-точка жидкости, представ-
ляющая собой точку фазового перехода вдюрого рода1). Что
касается количественных формул (23,7—8), то они, конечно,
неприменимы вблизи Х-точки, где концентрация квазичастиц
становится большой, так что даже самое понятие о них в зна-
чительной степени теряет смысл.-

Остановимся еще на вопросе о поведении атомов растворен-
ных в жидком гелии посторонних веществ; концентрация при-
меси предполагается настолько малой, что ее атомы можно
считать невзаимодействующими друг с другом (Л. Д. Ландау,
И. Я. Померанчук, 1948).

Наличие постороннего атома в жидкости приводит к появ-
лению новой ветви энергетического спектра, соответствующей
движению этого атома через жидкость; разумеется, ввиду силь-
ного взаимодействия атома примеси с атомами жидкости, это
движение является в действительности коллективным эффектом,
в котором принимают участие также и атомы жидкости. Этому
движению можно приписать некоторый результирующий сохра-
няющийся импульс р. Таким образом, в жидкости появляются
квазичастицы нового типа (в числе, равном числу атомов при-
меси), энергия которых епр (р) является определенной функцией
импульса. В тепловом равновесии энергии этих квазичастиц
будут сосредоточены вблизи наименьшего из минимумов функ-
ции епр (р). Фактически речь идет о примеси изотопа Не3, и
эмпирические данные показывают, что такой минимум лежит
при р = 0; вблизи него энергия квазичастицы имеет вид

«2

8пр (р) = 9 *	(23,9)

с эффективной массой тпР = 2,8 масс атома Не3.

Примесные квазичастицы взаимодействуют с фононами и рото-
нами, сталкиваясь с ними, и, таким образом, входят в состав
нормальной части жидкости. Ввиду малой концентрации этих
квазичастиц их тепловое распределение—больцмановское, и их

х). Жидкий гелий при температурах ниже этой точки называют гелием II.
Х-точки образуют линию на фазовой диаграмме в плоскости Р, Т. Эта линия
пересекает линию равновесия жидкости с паром при температуре 2,19 К.
вклад в рп (определенный согласно (23,6)) дается формулой
(РХ=^-Р4=-^-<Р-	(23,10)

где NnfjV—число атомов примеси в единице объема.

Задачи

1.	Найти предельный закон температурной зависимости коэффициента
поверхностного натяжения а жидкого гелия вблизи абсолютного нуля
(К. R. Atkins, 1953).

Решение. Коэффициент а есть свободная энергия единицы площади
поверхности жидкости (см. V (154,6)). Эта величина вычисляется по фор-
муле V (64,1), в которой частоты <иа относятся теперь к поверхностным коле-
баниям. В двумерном случае переход от суммирования к интегрированию
(по волновым Викторам колебаний) осуществляется введением множителя
бР&/(2л)2 или 2nk с!&/(2л)2. После интегрирования по частям найдем

, „ С, ,, -haiTxkdk	& Г k2du

а = а0 + Т I In (1 — е 7 )-5—= а0—I —----------

J	2л 0 4л J уи/т_1

(а0 — поверхностное натяжение при Т = 0). При достаточно низких темпера-
турах существенны лишь колебания с малыми частотами, т. е. с большими
длинами волн. Такие колебания представляют собой гидродинамические капил-
лярные волны, для которых <в2 = а£3 */р а; а0£3/р (р — плотность жидкости).
Поэтому

® .

_	& ( Р У/3 f <a1/3d<o

а а°	4л \ а0 ) J т j

о

(быстрая сходимость интеграла позволяет заменить верхний предел бесконеч-
ностью). Вычисление интеграла (см. примечание в V § 58) приводит к резуль-
тату

Г7/зр2/з / 7 V f 7 \	„„ Т’/3р2/3

“ “° 4л^3а2/3	“° °’13 £4/за2/з •

Этот результат относится ' к жидкому Не1 при температурах настолько низ-
ких, что всю массу жидкости можно считать сверхтекучей 2).

2.	Найти закон дисперсии епр (р) для примесных частиц в движущейся
сверхтекучей жидкости, если известен этот закон епр (р) в неподвижной
жидкости (J. Bardeen, G. Ваут, D. Pines, 1967).

Решение. После добавления к неподвижной жидкости (при Т— 0)
атома примеси (с массой т) с импульсом р0 ее энергия и импульс (в системе
координат, в которой жидкость первоначально покоилась) есть Е0 —	(р0),

Р0 = р0. В системе же координат, в которой жидкость движется со скоростью v,
имеем, согласно (23,1),

Е = Впр (Ро) + Роv + j- (М + т) о2, Р = р0 + (М. + т) V.

2) В ферми-жидкости (жидкий Не3) капиллярные волны рассмотренного

типа (как и объемные волны обычного звука) не существуют ввиду неогра-

ниченного возрастания вязкости при Т—>0.
Отсюда видно, что изменения энергии и импульса движущейся жидкости при
добавлении к ней атома примеси равны

епр — Епр (Ро) + Pov Н-2— ’ Р = Ро + mv-

Выразив вПр через р, находим

епр (Р) = Епр (Р—mv) + pv —	.

При малых значениях v, с точностью до членов первого порядка, для спектра
8пр (р) вида (23,9) имеем

, . р2 ,	/, т \

Епр (P)=-V+vp 1------- .

2ninp \ тпр/

§ 24. Фононы в жидкости

При переходе от классической картины звуковых волн к кван-
товому представлению о фононах гидродинамические величины
(плотность, скорость жидкости и т. п.) заменяются операто-
рами, выражающимися через операторы ск, ск уничтожения и
рождения фононов. Выведем формулы, дающие эти выражения.

Напомним, что в классическом описании звуковой волны
плотность жидкости испытывает малые колебания с частотами
и волновыми векторами, связанными друг с другом соотноше-
нием <i) = uk. Величиной того же порядка малости, что и пере-
менная часть плотности р'=р—р0 (р0 — равновесное значение
плотности), является скорость жидкости v. Движение жидкости
в волне потенциально, т. е. может быть описано скалярным
потенциалом скорости ср,' определяющим скорость согласно

v = ,V<p.	(24,1)

Скорость и плотность связаны друг с другом уравнением не-
прерывности др'/dt =— div (pv) « —р0 div v, или

^ = -РоАф.	(24,2)

Энергия жидкости в звуковой волне дается интегралом

<24’3>

Первый член в подынтегральном выражении есть плотность
кинетической, а второй — внутренней энергии жидкости; оба
квадратичны по малым величинам v и р'.

Дальнейшую процедуру квантования можно было бы про-
вести полностью аналогично тому, как это было сделано для
фононов в твердых кристаллах (см. V § 72). Мы, однако, избе-
рем здесь несколько иной путь, демонстрирующий некоторые
поучительные методические моменты. Рассмотрим сначала one-
раторы плотности и скорости жидкости, выраженные через микро-
скопические переменные — координаты частиц.

В классической теории плотность р и плотность потока массы
жидкости j могут быть представлены суммами

p(r) = 2m06(r0—г), j(r) = Spa6(r0—г),
а	а

взятыми по всем частицам (ra и pa — радиус-векторы и импульсы
частиц); интегралы от этих функций по какому-либо объему
дают полную массу и полный импульс жидкости в этом объеме.
При переходе к квантовой теории эти функции заменяются
соответствующими операторами. Оператор плотности имеет тот
же вид

Р (r) = £m06(r0—г),	(24,4)

а

а оператор плотности потока

!(<•)	г)+б(г«—г)р«}>	<24>5>

а

где ра = — iAva — оператор импульса частицы1).

Найдем правило коммутации между операторами j (г) и р(г'),
взятыми в точках г и г'; при этом можно, для краткости, рас-
сматривать всего по одному члену в суммах (24,4—5), поскольку
операторы, соответствующие разным частицам, коммутативны.
При раскрытии коммутатора операторы вида 6(гх—г)	—г')

преобразуются следующим образом:

6 (гх—г) ух6 (г—г') = 6 (ri—г) (уб (г—г')) 4- & (г—г) 6 (rt — г') Vx,

где в первом члене (у6(г—г')) означает просто градиент 6-функ-
ции; ввиду наличия множителя 6(гх — г) в этом члене можно
писать в нем (у6(г—г')) вместо (Vj6 (гх—г')). В результате по-
лучим

j (г)р (г') —р (г') f (г) = — iAp (уб (г—г')).	(24,6)

Введем теперь вместо j оператор скорости жидкости v, со-
гласно определению,

j = y(pv+ vp).

х) Пусть, для простоты, система состоит всего из одной частицы. Усред-
нение оператора р(г) = пг6(гх—г) по состоянию с волновой функцией ф (Гт)
дает ф*(гх) рф (ri) cFx-^ tn | ф (г) |2, как и должно быть. Аналогичным обра-
зом, усреднение оператора j (г) дает правильное выражение плотности потока

(Й-/21) {ф* (г) уф (г)—ф (г) уф* (г)}-
Правило коммутации операторов р и v определяется требова-
нием, чтобы для коммутатора р и j получалось выражение (24,6).
Легко проверить, что для этого надо положить

v (г) р (г') — р (г') v (г) = — ih (V6 (г—г'))

(при этом надо учесть очевидную коммутативность операторов
р(г) и р(г'))- Наконец, положив v(r) = ?cp(r), получаем правило
’коммутациии между операторами плотности и потенциала ско-
оости

ф(г)р'(г')— р'(г')ф (г) = —1^6 (г—г')	(24,7)

(вместо р можно, конечно, писать здесь оператор р' = р—р0
переменной части плотности), Правило (24,7) аналогично пра-
вилу коммутации между координатой и импульсом частицы;
в этом смысле величины р' и <р играют в данном случае роль
канонически сопряженных обобщенных «координат»и«импульсов».

Использовав выражения (24,4—5) для установления правила
(24,7), напишем теперь операторы <р и р' в представлении вто-
ричного квантования (т. е. выразим их через операторы унич-
тожения и рождения фононов), потребовав при этом, чтобы они
удовлетворяли правилу (24,7). Для этого пишем

Ф (г) =	£ (Akckeikr + A k3ke-ikr)

с пока не определенными коэффициентами Лк! суммирование
производится по всем значениям волнового вектора, пробегаемым
для жидкости в большом, но конечном объеме V1), Операторы
Ск, сt удовлетворяют бозевским правилам коммутации

СкСк' Сk'С к бкк'•	(24,8)

Напомним для дальнейших ссылок, что отличные от нуля ма-
тричные элементы этих операторов

<Пк — 1 |ск|Пк> = <Пк1Ск|пк—1> = И«к,	(24,9)

где Пк — числа заполнения фононных состояний.

В дальнейшем нам понадобится, однако, не шредингеровский
оператор <р(г), а гейзенберговский ф(/, г). Он получается из
<р (г) просто путем введеййя множителей exp (±ico/) с частотами

х) В отличие от ф-операторов частиц, оператор вещественной величины <f
эрмитов и содержит одновременно операторы рождения и уничтожения фоио-
иов. Напомним, что это свойство • (как и такое же свойство операторов поля
в квантовой электродинамике) связано с иесохранеиием числа «частиц» в фо-
нонном поле.
о — uk в каждый член суммы

ф (t, г) =	£ (Лкске!	+ Акске~

(кг-Л«/))

(ср. сказанное по этому поводу для ip-операторов в начале § 9).
Оператор же плотности р' (t, г) должен быть связан с опера-
тором <р(/, г) соотношением (24,2) и поэтому дается такой же
суммой с множителями iAkpok/u вместо Лк. После этого мно-
жители Лк надо определить так, чтобы выполнилось правило
коммутации (24,7). В результате получаются следующие окон-
чательные выражения:

Ф г) = У	(Ck6l‘ <kr-uW> + cte~‘ (^-“*0),

к -к	(24,10)

p'G,r)==ILi (^рг)1/2 (ckei(kr-u^ — cfcH

к 4	'

Действительно, подставив эти выражения в левую часть пра-
вила (24,7), с учетом (24,8) получим требуемую б-функцию:

— ih y^(ckCk-~CkCk)eik<r-r,) =
к

=- v Е	J егк =- iW-r').

Легко убедиться также, что гамильтониан жидкости, полу-
чающийся подстановкой v = V<p и р' вместо v и р' в интеграл
(24,3), имеет, как и следовало, вид

Н = X uKk ( скск + у) ;

к '	'

его собственные значения равны Sufik (пк +1/2) в соответствии
с представлением о фононах с энергиями e = uhk.

Выражение (24,3) для энергии жидкости в звуковой волне
представляет собой.первые (после нулевого) члены разложения
точного выражения

£=П?+ре <рФз*

(где е (р) — внутренняя энергия единицы массы жидкости). Роль
точного гамильтониана жидкости играет этот интеграл, в кото-
ром v и р заменены операторами v = ?<р и р = р0 + р' ссир'из
(24,10):

fe + pe(p)Wx	(24,11)
(оператор кинетической энергии написан в симметризованном
виде vpv/2, чтобы быть эрмитовым). При этом существенно, что
именно р и ср являются канонически сопряженными «обобщен-
ными координатами и импульсами», через которые должен быть
выражен гамильтониан. Это видно из того, что правило ким?
мутации (24,7}, которому удовлетворяют операторы (24,10), яв-
ляется точным—в его выводе малость колебаний нигде не ис-
пользовалась.

Члены более высоких (третьей и т. д.) степеней в разложении
этого гамильтониана выражают собой ангармоничность звуко-
вых колебаний, а в терминах фононной картины — описывают
взаимодействие фононов. Эти члены имеют матричные элементы
для переходов с одновременным изменением нескольких чисел
заполнения фононов и тем самым играют роль возмущения,
вызывающего различные процессы рассеяния и распада фононов.
При этом матричные элементы самих операторов Ск и сь имеют,
разумеется, прежний вид (24,9), поскольку (как это всегда де-
лается в теории возмущений) используется представление, в
котором диагоналей невозмущенный гамильтониан. Приведем
здесь выражения членов третьего и четвертого порядков

(24,12)

(24,13)

§ 25. Вырожденный почти идеальный бозе-газ

Основные свойства энергетического спектра бозевского типа
ясно видны на модели слабо неидеального бозе-газа при близ-
ких к нулю температурах. Эта модель будет рассмотрена в этом
параграфе аналогично тому, как это было сделано в § 6 для
ферми-газа1). Все сказанное в §6 в связи с общей характери-
стикой моделей вырожденного почти идеального газа относится
и к настоящему случаю. В частности, условие слабой неидеаль-
ности (газовый параметр a (N/V)1/s	1; а—длина рассеяния)

может быть по-прежнему сформулировано в виде условия (6,1)
малости импульсов частиц: pafh <<? 1 2).

1) Излагаемый ниже метод принадлежит Н. Н. Боголюбову (1947). При-
менение им этого метода к бозе-газу явилось первым примером последова-
тельного микроскопического вывода энергетического спектра «квантовых жид-
костей».

2) Мы увидим ниже, что в вырожденном бозе-газе основная масса частиц
(вне «конденсата») обладает импульсами р ~ tv Y'aN/V, для которых указанное
неравенство действительно справедливо.
Гамильтониан системы парно взаимодействующих бозонов
(которые мы будем предполагать бесе пи новыми) имеет вид, от-
личающийся от (6,6) лишь отсутствием спиновых индексов:

= «р«р + 4И<Р^1^|Р1Р2>«р;«р'«рА (25,1)

(суммирование по всем импульсам, фигурирующим в индексах).
Операторы же уничтожения и рождения частиц удовлетворяют
теперь правилам коммутации

арЦр —арйр= 1.

Как и в § 6, снова заменяем, в соответствии с предположением
о малости импульсов, все матричные элементы в (25,1) их зна-
чением при нулевых импульсах; тогда

^ = Е^-«р«р + ^7-Е«р;«рЛ’“р*-	(25>2)

Исходным пунктом применения теории возмущений к этому
гамильтониану является следующее замечание. В основном со-
стоянии идеального бозе-газа все частицы находятся в конден-
сате—состоянии нулевой энергии; числа заполнения Np=0 =
= N0 = Nt Np = 0 при рф0 (см. V § 62). В почти идеальном же
газе в основном и в слабо возбужденных состояниях числа 7Vp
отличны от нуля, но очень малы по сравнению с макроскопи-
чески большим числом 7V0. Тот факт, что величина а%аа=NaxN
весьма велика по сравнению с единицей, означает, что выра-
жение

аоа+—afa0 = l

мало по сравнению с самими а0, ар, и потому можно рассмат-
ривать последние как обычные (равные числа, пренебрегая
их некоммутативностью.

Применение теории возмущений означает теперь формально
разложение четверной суммы в (25,2) по степеням малых вели-
чин ар, йр (р=/=0). Нулевой член разложения равен

a^a^aoao—at.	(25,3)

Члены первого порядка отсутствуют (ввиду невозможности со-
блюдения в них закона сохранения импульса). Члены второго
порядка

«0-5 (ара-р + ара±р + 4арар).	(25,4)

р=#0

Ограничиваясь точностью до величин второго порядка, можно
заменить в (25,4) al = N0 на полное число частиц N. В члене же
(25,3) следует учесть более точное соотношение

<44- S aiaP =N-
Р¥=0

В результате сумма членов (25,3—4) становится равной
N2 + N S (tfptf-p + <j£tfip + 2tfpiip),
р=#0

и после подстановки в (25,2) получаем следующее 'выражение
для гамильтониана:

H = -^U0 + ^-^арар + ^/ио X (aPa-p + fl£aip + 2a^ap). (25,5)

Р	Р¥=0

Первый член этого выражения определяет, в первом при-
ближении, энергию £0 основного состояния газа, а его произ-
водная по N—соответственно химический потенциал р при Г=0:

Р	— 2L1J

(25,6)

Остальные же члены в (25,5) определяют поправку к Еа и спектр
слабо возбужденных состояний газа.

Входящий в (25,5) интеграл Uo должен еще быть выражен
через реальную физическую величину—длину рассеяния а.
В членах второго порядка это может быть сделано прямо по
формуле (6,2): 6^0 = 4лЙ2а//и. В первом же члене нужна более
точная формула (6,5), учитывающая второе борновское прибли-
жение в амплитуде рассеяния. При этом речь идет о столкно-
вении двух частиц конденсата, соответственно чему в сумме
в (6,5) надо положить р1==р2 = 0, р( = — pj = p, так что будет
j, _______________4лЛ2а / । 4лЛ2а 1 \

0 ml	V р2 1 ‘

\	р =# о /

Подставив это в (25,5), получим для гамильтониана
£, 2лЛ2а № / , , 4nh2a 1 \

H==-^—v{ 1 +пт~ L 7* +

X	Р =# О /

, 2nh2a N гл -	~ + ~+ ,	+ ~	, v-, р2 - + -

4 — у (ара_р ар а_р 4~2яр ар) 4~У, 2т ар ар'
Р¥= 0	р

(25,7)

Для определения уровней энергии надо привести гамильто-
ниан к диагональному виду, что осуществляется надлежащим
линейным преобразованием операторов ар, ар. Введем новые
операторы Ьр, Ьр , согласно определению,

ар—upbp + vpbtp, ар — ирЬр+vpb-p,
причем потребуем, чтобы они удовлетворяли таким же соотно-
шениям коммутации

bpbp—ЬрЪр = О, bpbp' — bp.bp = 8pp,t

каким удовлетворяют операторы ар, ар. Легко видеть, что для
этого должны быть Up—Vp=l. Учтем это, написав линейное
преобразование в виде

vvt,
/'-ч ’

Яр

(25,8)

Величину Lp надо определить таким образом, чтобы в гамиль-
тониане выпали недиагональные члены (bpb _р, bpb-p). Простое
вычисление дает

11	п2	1

<25>9)

где введены обозначения;

е(р) =

4лЛ2аА1\ 1/2
m2V )

(25,10)

(25,11)

При этом гамильтониан принимает вид

Н = Ей + 2 8(р)&р+ёр>	(25,12)

р=#0

где

г0=4тыз+4 у {е(р)—ши2+^}- (25-13)

Р =# о 1

Вид гамильтониана (25,12) и бозевские соотношения комму-
тации для операторов bp, Ьр позволяют заключить, что Ьр и
Ьр представляют собой операторы рождения и уничтожения квази-
частиц с энергией е(р), подчиняющихся статистике Бозе. Соб-
ственные значения диагонального оператора Ьр Ьр представляют
собой числа пр квазичастиц с импульсом р, а формула (25,10)
определяет зависимость их энергии от импульса (числа запол-
нения квазичастиц снова обозначены посредством пр , в отли-
чие от чисел заполнения Np истинных частиц газа). Тем самым
полностью определен энергетический спектр слабо возбужден-
ных состояний рассматриваемого газа.

Величина же Ео есть энергия основного состояния газа.
Заменив суммирование по дискретным значениям р (в объеме V)
интегрированием по Pd3p/(2n^)3 и произведя вычисления, полу-
чим следующее выражение:

„ 2лЛ2аМ3 Г. . 128-./a3N 1	,os . ..

£o = -^-LI + '15'V	(25’14)

(T. D. Lee, C. N. Yang, 1957). Для химического потенциала
газа (при Т = 0) соответственно имеем

_ дЕ0 __ bnfaaN Г 32	Г25 151

dN mV 1 + 3 V nV •	10'

Эти формулы представляют собой два первых члена разложе-
ний по степеням (asN/V)1/2. Но уже следующий член не мог бы
быть вычислен изложенным способом. Он должен содержать
объем как У~2, а величина этого порядка зависит уже не только
от двойных, но и от тройных столкновений.

При больших значениях импульса (р^>пги) энергия квази-
частиц (25,10) стремится к р^/Ъп, т. е. к кинетической энер-
гии отдельной частицы газа. •

При малых же импульсах (p<Jmu) имеем ел; up. Легко
видеть, что коэффициент и совпадает со скоростью звука в газе,
так что это выражение отвечает фононам в соответствии с общими
утверждениями § 22. При Т = 0 свободная энергия совпадает
с энергией Ей“, и взяв главный член в разложении последней,
находим давление

р__ дЕ ___2nh2aN2

Е — ~~дУ~ mV2 '

Скорость же звука получается как и = ]/ дР/др (гдер = /пУУ/Р—
плотность газа) и совпадает с (25,11).

Отметим, что в рассматриваемой модели бозе-газа длина
рассеяния а непременно должна быть положительной величи-
ной (отталкивательное взаимодействие между частицами). Это
видно формально уже из того, что в полученных формулах для
энергии при а < 0 появились бы мнимые члены. Термодинами-
ческий же смысл условия а > 0 заключается в том, что оно
необходимо для соблюдения в данной модели бозе-газа неравен-
ства (dP/dV)T < 0.

Статистическое распределение элементарных возбуждений
(средние значения пр их чисел заполнения) при отличной от
нуля температуре дается просто формулой распределения Бозе
(22,2). Распределение же Np истинных частиц газа по импуль-
сам можно вычислить усреднением оператора а+рар. Использо-
вав (25,8) и учитывая, что произведения Ъ_РЬР и bp btp не имеют
диагональных матричных элементов, получим

N — гар + Лр (гар + ^

Р 1-^

(25,16)

Это выражение справедливо, разумеется, лишь при р^О. Число
же частиц с нулевым импульсом

=	(25.17)

В частности, при абсолютном нуле все пр = 0, и с помощью
(25,9) получим из (25,16) функцию распределения в виде1)

Л7 —	m2u4	. о-

" р ~ 2е (р) {е (р) + p2/2m + mu2}	(20,! б)

(при Т = 0 средние значения Np совпадают с точными значени-
ями; поэтому черту над буквой опускаем). Неидеальность бозе-
газа приводит, естественно, к появлению частиц с отличным от
нуля импульсом и при абсолютном нуле; интегрирование
в (25,17) с Np из (25,18) производится элементарно и дает

лг Г i 8 Л Na3

(25,19)

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу полу-
ченного здесь спектра. При малых р производная dts/dp3 > О,
т. е. кривая е(р) загибается вверх от начальной касательной
е = ир. В таком случае (см. ниже § 34) возникает неустойчи-
вость спектра, связанная с возможностью самопроизвольного
распада квазичастиц (фононов). Соответствующая ширина уров-
ней, однако, мала (пропорциональна при малых р) и не
затрагивает выражений, получающихся в рассмотренных при-
ближениях.

§ 26. Волновая функция конденсата

Как уже упоминалось в § 23, появление или исчезновение
сверхтекучести в жидком гелии происходит путем фазового
перехода второго рода. Такой переход всегда связан с каким-
либо качественным изменением свойств тела. В случае Х-точки
жидкого гелия это изменение может быть описано макроскопи-

г) Отметим, что максимум числа частиц с заданной величиной импульса
(~ р2Ур) лежит при ррк ~yaN/V, где происходит переход от одного предель-
ного выражения е (р) к другому. Это обстоятельство было уже упомянуто
в примечании на стр. 123.
ческим образом, как появление или исчезновение сверхтекучей
компоненты жидкости. С более глубокой, микроскопической
точки зрения речь идет об определенных свойствах распределе-
ния частиц (истинных!) жидкости по импульсам. Именно в сверх-
текучей жидкости, в отличие от несверхтекучей, конечная доля
частиц (т. е. макроскопически большое их число) имеет строго
равный нулю импульс; эти частицы образуют бозе-эйнштейнов-
ский конденсат (или просто конденсат) в импульсном прост-
ранстве. Напомним, что в идеальном бозе-газе при Т = 0 все
его частицы переходят в конденсат (см. V § 62), а в почти
идеальном газе — почти все частицы. В общем же случае бозе-
жидкости с сильным взаимодействием между частицами доля
числа частиц, находящихся при Т = 0 в конденсате, отнюдь не
близка к единице.

Покажем, каким образом свойство бозе-эйнштейновской кон-
денсации формулируется в терминах ф-операторов.

Для идеального бозе-газа — системы невзаимодействующих
бозонов — гейзенберговский ф-оператор записывается в явном
виде как1)

«'('г>=7= (Ж1)
р

Как было объяснено в § 25, можно пренебречь некоммутатив-
ностью операторов а0 и «о, т. е. рассматривать их как клас-
сические величины. Другими словами, обычным числом оказы-
вается часть ф-оператора (26,1), которую обозначим через В:

2 = ^.	(26,2)

Для формулировки этого свойства ф-операторов в общем
случае произвольной бозе-жидкости заметим, что поскольку
к конденсате все равно находится макроскопически большое
число частиц, то изменение этого числа на 1 по существу не
меняет состояния системы; можно сказать, что в результате
добавления (или отнятия) одной частицы в конденсат из неко-
торого состояния системы N частиц получается «то же самое»
состояние системы N± 1 частиц2). В частности, основное состоя-
ние остается основным. Обозначив посредством В, В+ ту часть

*) Ср. (9,3). Мы предполагаем частицы газа бесспииовыми, поэтому спи-
новый индекс отсутствует. В (26,1) учтено также, что для идеального бозе-
газа при Т = 0 химический потенциал р, = 0, и поэтому член —рЯ/Д в показа-
телях опущен.

2) Добавление или удаление частицы надо представлять себе как совер-
шаемое бесконечно медленно. Этим исключается возбуждение системы пере-
менным полем.

5 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
ip-операторов, (которая меняет на 1 число частиц в конденсате,
имеем, таким образом, по определению,

3 \пг, N +1> = В | т, N>, В+ | т, N> = B*|m, N +1>,
где символы \т, N> и \пг, Л^ + 1> обозначают два «одинаковых»
состояния, отличающихся только числом частиц в системе,
а В — некоторое комплексное число. Эти утверждения справед-
ливы строгб’ в пределе N—>оо. Поэтому определение величины
В следует записать в виде

lim <m, У|В|/п, Л^4-1> = В,

_	(26,3)

lim <m, N+ 1 I B+ |m, A/> = B*;

N -> co

переход к пределу совершается при заданном конечном значе-
НИИ плотности жидкости N/V.

Если представить ip-операторы в виде

Т = В4-Т', Т+ = Ё+ + Т' + ,	(26,4)

то остальная («надконденсатная») их часть переводит состояние
\т, Ny в ортогональные ему состояния, т. е. матричные эле-
менты1)

lim <т, N | Т' | т, N + 1> = 0, lim<m, N +1 |ЧГ'+ \т, (V> = 0.

Л^со	•	(26,5)

В пределе N—> оо разница между состояниями \т, N'y и
\т, Л^4-1> исчезает вовсе, и в этом смысле величина В стано-
вится средним значением оператора Т по этому состоянию.
Подчеркнем, что характерным для системы.с конденсатом яв-
ляется именно конечность этого предела.

Равенствами (26,3) исчерпываются «операторные» свойства
В, В + , и их можно считать коммутативными с Т', Чг' + .
В частности, операторы В, В+ будут заменяться на В, 8* (т. е.
вести себя как классические величины) при любых усреднениях
по основному состоянию. Подчеркнем снова, что такое прибли-
жение связано (ввиду макроскопичности числа частиц в кон-
денсате) с пренебрежением лишь величинами относительного
порядка малости 1/№).

д) Во избежание недоразумений напомним 'лишний раз, что эти равен-
ства относятся лишь к переходам между «одинаковыми» состояниями!

2) С этой точностью, в частности, следует считать совпадающими матрич-
ные элементы операторов Ф' для переходов между различными состояниями,
отличающимися на одинаковое (малое) число частиц в системе.
Если временная зависимость волновых функций определяется
по гамильтониану Н' = Н — p/V, то величина Е не зависит от
времени. Действительно, матричный элемент <m, Af|E|m, А7-{-1>
пропорционален

ехр

/_^[£(^+1)_£

I гь

(А0-(ЛМ-1)и4-лЦ

Но показатель этой экспоненты обращается в нуль, поскольку
(с точностью до величины ~1/AZ) Е (AZ1)—Е(Лг) = р.

• В однородной неподвижной жидкости Е не зависит также
и от координат и (при надлежащем выборе фазы этой комплекс-
ной величины) равно просто

Е	(26,6)

где п0—число конденсатных частиц в единице объема жидкости.
Действительно, Е+Е есть оператор плотности числа частиц
в конденсате, а среднее значение этого оператора есть как раз п0.

Существование конденсата приводит к качественному отли-
чию в свойствах матрицы плотности частиц бозе-жидкости по
сравнению с матрицей плотности в обычной жидкости. В произ-
вольном состоянии однородной бозе-жидкости матрица плот-
ности определяется выражением

Аф (rf, r2) = <т, W | Ф+ (С г2) Ф (/, гх) | т, N>,	(26,7)

причем эта функция зависит лишь от разности г = гх—г2
(ср. (7,13)). Подставив сюда ф-операторы в виде (26,4) и учи-
тывая свойства (26,3) и (26,5), получим

Wp(Fi, r2) = n0 + Wp' (И, г2).	(26,8)

«Надконденсатная» матрица плотности р' стремится к нулю
при |Г1—г2|—>оо; матрица же плотности р стремится при этом
к конечному пределу n0/N. Этим выражается существование
в сверхтекучей жидкости «дальнего порядка», отсутствующего
в обычных жидкостях, где всегда р—>0 при | гх—г2|-^-оо. Это
есть то свойство симметрии, которое отличает сверхтекучую
фазу жидкости от несверхтекучей (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Лан-
дау, 1950).

Фурье-компонента матрицы плотности определяет распреде-
ление частиц жидкости по импульсам согласно формуле

AZ (р) = AZ J р (г) е_,рг d3x	(26,9)

(ср. (7,20)). Подставив сюда р в виде (26,8), получим

N (р) = (2л)3 п08 (р) + N § р' (г) e~ipr d3x. (26,10)
Член с в-функцией соответствует конечной вероятности частице
иметь строго равный нулю импульс.

Если в жидкости происходит сверхтекучее движение, или
если она находится в неоднородных и нестационарных внеш-
них условиях (существенно меняющихся, однако, лишь на рас-
стояниях, больших по сравнению с межатомными), то бозе-
эйнштейновская конденсация по-прежнему имеет место, но уже
нельзя утверждать, что она будет происходить в состояние
ср = 0. Величина В, по-прежнему определяемая согласно (26,3),
будет теперь функцией координат и времени, имеющей смысл
волновой функции частицы в конденсатном состоянии. Она
нормирована условием | 3 |2 = п0 и потому может быть пред-
ставлена в виде

H(f, г) = Кп0(/, г) еСФ«-г>.	(26,11)

Благодаря тому, что в конденсатном состоянии находится
макроскопически большое число частиц, волновая функция
этого состояния становится классической макроскопической
величиной х). Таким образом, в сверхтекучей жидкости [появ-
ляется новая характеристика макроскопических состояний,
в том числе термодинамически равновесных.

Плотность потока, вычисленная по волновой функции (26,11),
есть

1конЯ=^(2т2*—a*vs) =4noV®.

где т—масса частицы жидкости. По своему смыслу, это есть
плотность макроскопического потока конденсатных частиц, и ее
можно представить в виде novs, где vs — макроскопическая ско-
рость этого движения. Из сравнения обоих выражений нахо-
дим, что

v5 = ^VO.	(26,12)

Поскольку это движение может иметь место в термодинами-
чески равновесном состоянии (характеризуемом величиной 3),
то оно бесдиссипативно, так что (26,12) определяет скорость
сверхтекучего движения. Мы снова приходим, таким образом,
R уже упомянутому в § 23 свойству сверхтекучего движения —
его потенциальности. При этом потенциал скорости <р оказывается
совпадающим (с точностью до постоянного множителя) с фазой

х) Аналогично тому, как становится классической величиной напряжен-
ность поля электромагнитных волн при больших числах заполнения фотонов
в каждом состоянии (ср. IV § 5).
§ 271 ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПЛОТНОСТИ КОНДЕНСАТА 133
конденсатной волновой функции

ф=4ф-	<26’13)

Во избежание недоразумений подчеркнем, однако, что, хотя
скорость конденсата и совпадает со скоростью сверхтекучей
компоненты жидкости (и хотя конденсат и сверхтекучая ком-
понента одновременно появляются в Z-точке), плотность кон-
денсата тп0 и плотность сверхтекучей компоненты ps отнюдь
не совпадают друг с другом. Не говоря уже о том, что отожде-
ствление этих двух величин никак не могло бы быть обосновано,
его неправильность видна и из того, что при абсолютном нуле
вся масса жидкости является сверхтекучей, между тем как
отнюдь не все ее частицы находятся в конденсате1).

§ 27. Температурная зависимость плотности конденсата

Плотность числа частиц в конденсате максимальна при Т = 0,
а при повышении температуры она падает. Предельный закон
температурной зависимости этой плотности при Т —>0 может
быть найден путем рассмотрения флуктуаций макроскопической
величины—конденсатной волновой функции S (A?. A. Ferrell,
N. Menyhard, Н. Schmidt, F. Schwabl, P. Szepfalusy, 1968).

Напомним прежде всего, что S есть классическая величина,
которой в квантовомеханическом формализме отвечает опера-
тор Ф. Поэтому для вычисления флуктуаций следовало бы,
в принципе, пользоваться этим оператором. С другой стороны,
вблизи абсолютного нуля основную роль в спектре флуктуаций
макроскопической величины играют длинноволновые колебания.
Эти колебания в жидкости представляют собой звуковые волны,
описывающиеся макроскопическими уравнениями гидродинамики,
и тем самым возникает возможность построить оператор, отве-
чающий величине Е, путем ее независимого квантования.

В данном случае для величины Е = ]Лг0 exp (i<D) в длинно-
волновом пределе наиболее сильно флуктуирует фаза Ф, не-
посредственно связанная с потенциалом сверхтекучей скорости
формулой (26,13). Напомним, что обе величины <р и Ф неодно-
значны— к ним можно прибавить любую константу. Однознач-
ная же величина j/n0 может выражаться поэтому лишь через
производные от Ф, а потому компоненты Фурье ее флуктуаций
будут содержать лишние степени волнового вектора к, т. е. будут
малы при малых к.

г) Фактически плотность конденсата в жидком гелии составляет, по-види-
мому, лишь малую долю от полной плотности жидкости.
Связь фазы Ф с потенциалом <р позволяет прямо связать
ее с величинами, характеризующими распределение фононов
в жидкости. Для этого рассматриваем <р, а тем самым и Ф
как вторично-квантованный оператор, выразив его, согласно
(24, 10), через операторы рождения и уничтожения фононов:

Ф = £ (-2^хУ/2 (СрС'Р^ + ср+е-‘^)	(27,1)

р

(невозмущенную плотность жидкости записываем в виде р — пт,
где п—плотность числа частиц, индекс 0 опускаем). Согласно
сказанному выше, это означает, что оператор макроскопической
величины В, т. е. длинноволновая часть оператора Ф, может
быть представлена в виде

Ф — Vп0 exp (i<f>),

(27,2)

где п0—плотность частиц конденсата.

Прежде всего воспользуемся этой формулой для вычисления
распределения «надконденсатных» частиц бозе-жидкости по им-
пульсам (при малых значениях последних). В одночастичной
матрице плотности p(rj, г2) при больших расстояниях |Fj—г2|
можно воспользоваться длинноволновым выражением ф-опера-
тора (27,2):

Аф (гй г2) = <Ф+ (г2) Ф (гх)> « п0<е-г3>+	>,	(27,3)

где среднее берется по состоянию жидкости при данной тем-
пературе. Ввиду малости флуктуаций следует разложить это
выражение по степеням Ф, сохраняя лишь первые неисчезающие
(квадратичные) члены. Учитывая, что Ф+=Ф, получим

Лф(гй г2) = п0— п^Ф^ф + п^Фф^Ф^у.	(27,4)

Третий член стремится к нулю при |г2—rj—>оо и дает иско-
мую надконденсатную часть матрицы плотности (второй же
член в однородной жидкости вообще не зависит от г и дает
поправку к плотности конденсата, которая будет вычислена
ниже несколько иным способом). Используя (27,1), приводим
надконденсатную часть к виду

Аф' (гп

г2) =	£ j {<ер+ср> е~ ‘о ф<с»>

р

р

где

Пр = [ер«/г_1]-л.
Переходя от суммирования к интегрированию, имеем

Np' (rt, r2) С + 1/2	.	(27,5)

1 v n 2/	» J P	(2лй)®	' ’ ’

Это выражение, разумеется, справедливо только для вклада
от малых р (fi/p велико по сравнению с межатомными расстоя-
ниями). Подынтегральное выражение в (27,5) прямо определяет
распределение частиц по импульсам

^(р)=-“(«р+4)-	(27-6)

При Т = 0 эта формула дает

W(P) = 4gr	(27,7)

(J. Gavoret, Ph. Nozieres, 1964), а при ир<^,Т;

(27,8)

Теперь можно определить температурную зависимость плот-
ности конденсата. По определению, имеем

Л.(7-) = П-5«(Р)^.	(27,9)

Если прямо подставить в эту формулу (27,6), интеграл разой-
дется из-за нулевых колебаний. Это обстоятельство связано
с неприменимостью (27,6) при больших р и означает лишь не-
возможность вычислить таким способом значение конденсатной
плотности при Т = 0, которое надо считать здесь заданной
величиной. Для определения же искомой температурной за-
висимости надо вычесть из п0(Т) ее значение при Т =0, после
чего интеграл уже будет сходиться. В результате получим

гао (7) — п0 (0)   mu Р п р d3p _

«о (0)	— п J р (2лй)3 ~

______шТ2 Р х dx ___ mT2 .д- .

~ 2л2пи^з J ех — 1 — 12пи^з ’
о

При вычислении мы пренебрегли температурной зависимостью
полной плотности жидкости; это пренебрежение законно, по-
скольку тепловое расширение жидкости (связанное с возбуж-
дением фононов) пропорционально более высокой степени тем-
пературы— Т* (ср. V § 67)1)-

х) Полученные формулы, справедливые для любой бозе-жидкости, нахо-
дятся, конечно, в согласии с полученными в § 25 формулами для слабо не-
идеального бозе-газа. При сравнении надо учесть, что для такого газа пойи,
а условие малости р имеет вид р	(ап)1!2,
Наконец, сделаем некоторые замечания о методически ин-
тересном вопросе о двумерной бозе-жидкости. В этом случае за-
висящая от температуры часть интеграла (27,9) логарифмически
расходится в области малых р, где формула для А (р) должна
была бы быть верна. Это означает, что в двумерном случае
неверно основное предположение о существовании конденсата
при отличных от нуля температурах; конденсат в этом случае
может существовать лишь при Т = 01). Положение здесь ана-
логично ситуации с двумерными кристаллами (см. V § 137).
Подобно тому как в последних флуктуации смещения атомов
размывают решетку, так флуктуации фазы уничтожают конден-
сат. Формальная аналогия между двумя системами состоит в том,
что в обоих случаях энергия зависит от величин, которые могут
входить в нее лишь под знаком производных. В первом случае
это — векторы смещения атомов, которые не могут сами войти
в энергию ввиду инвариантности последней по отношению к сме-
щениям системы как целого. Во втором случае это—фаза кон-
денсатной волновой функции, которая не может сама войти
в энергию ввиду своей неоднозначности. Тот факт, что энергия
зависит лишь от градиентов этих величин и приводит в ко-
нечном счете к расходимости флуктуаций.

Далее, мы видели в V § 138, что слабая (логарифмическая)
расходимость флуктуаций приводит в двумерном кристалле
к медленному (степенному) убыванию корреляционной функции
в системе. Аналогично, в двумерной бозе-системе матрица плот-
ности (27,3) убывает при |г,—г2|—>оо, а не стремится к по-
стоянному пределу как при наличии конденсата, но лишь по
степенному закону2). Заметим, что тем самым такая система
качественно отличается от обычной жидкости, так что и в дву-
мерном случае возможен фазовый переход второго рода между
обычной жидкостью с экспоненциальным убыванием р (г1( г2)
и жидкостью со степенным законом убывания.

§ 28.	Поведение сверхтекучей плотности вблизи 1-точки

Как уже упоминалось в § 23, с повышением температуры
доля сверхтекучей плотности ps/p бозе-жидкости убывает, обра-
щаясь в нуль в точке фазового перехода второго рода—так на-
зываемой 1-точки жидкости. Температура Т\ этой точки является
функцией давления Р; уравнение Т— 7\(Р) определяет линию
л-точек на фазовой диаграмме в плоскости Р, Т.

В общей теории фазовых переходов второго рода изменение
состояния тела описывается поведением параметра порядка,

J) Эти утверждения относятся и к двумерному идеальному бозе-газу.

2) Подробнее см. J. W. Капе, L. Kadanoff, Phys. Rev. 155, 80 (1967)
характеризующего его свойства симметрии. Для ^-перехода
бозе-жидкости роль такого параметра играет волновая функция
конденсата Е, описывающая, как было объяснено в § 26, «даль-
ний порядок» в жидкости. Комплексность 8 означает, что па-
раметр порядка имеет две компоненты, причем эффективный
гамильтониан системы (см. V § 147) зависит только от | В |2,
т. е. инвариантен относительно преобразования В—>-е1аВ с лю-
бым вещественным а.

Эмпирические данные о 7,-переходе в жидком гелии сви-
детельствуют, по-видимому, о том, что для него отсутствует
область применимости теории фазовых переходов Ландау: кри-
терий V (146,15) не выполняется нигде в окрестности Z-точки
(т. е. нигде в области \Т—Тк\^Тк). Поэтому для описания
свойств этого перехода надо пользоваться флуктуационной тео-
рией фазовых переходов второго рода, дающей возможность
связать друг с другом температурные зависимости различных
величин.

Температурная зависимость параметра порядка (а тем самым
и плотности конденсата п0) при Тдается критическим
индексом |3 (см. V § 148):

|В | = /^"оэ(Тл-(28,1)

Более интересен, однако, вопрос о поведении сверхтекучей
плотности ps. Для его вычисления рассмотрим жидкость, в ко-
торой фаза Ф конденсатной волновой функции медленно ме-
няется в пространстве. Это значит, что в жидкости имеет место
макроскопическое сверхтекучее движение со скоростью (26,12)
и соответственно с кинетической энергией (на единицу объема
жидкости)

Л 7J2	ii 2

(28.2)

Это выражение можно применить и к длинноволновым флук-
туациям параметра порядка. Согласно гипотезе масштабной
инвариантности, единственным параметром длины, определяю-
щим флуктуационную картину в окрестности точки перехода,
является корреляционный радиус флуктуаций гс. Им же опре-
деляется, следовательно, порядок величины расстояний, на
которых флуктуационное изменение фазы Ф порядка единицы;
поэтому среднее значение квадрата флуктуационной скорости
меняется с температурой по закону

v-3eor"cCo(TK — T)2V,

где v — критический индекс корреляционного радиуса. С дру-
гой стороны, поскольку именно с длинноволновыми флуктуа-
циями связана особенность термодинамических величин в точке
перехода, естественно считать, что в окрестности этой точки
флуктуационная кинетическая энергия (28,2) меняется с темпе-
ратурой по тому же закону, что и сингулярная часть термо-
динамического потенциала жидкости, т. е. как (7\—Т)2-“ (где
а — критический индекс теплоемкости Ср). Таким образом, на-
ходим, что

PZs~P« (Л—T)2Voo(7\—Т)* 2~а,

откуда pst^(7\—Т) 2-a-2V. Наконец, учтя соотношение 3v = 2 — а
(следующее из гипотезы масштабной инвариантности—см. V§ 149),
получим окончательно

psc^(Tx—Т)<2~“)/з.	(28,3)

Этим устанавливается связь между температурными зави-
симостями и теплоемкости вблизи Z-точки (В. D. Josephson,
1966)!).

§ 29.	Квантованные вихревые нити

Обычная жидкость, заключенная в цилиндрическом сосуде,
вращающемся вокруг своей оси, увлекается трением о стенки
сосуда и в конце концов приводится во вращение как целое
вместе с сосудом. В сверхтекучей жидкости увлекается во вра-
щение только ее нормальная компонента; сверхтекучая же ком-
понента остается неподвижной — в соответствии с тем, что эта
компонента вообще не может вращаться как целое, так как
при этом нарушалась бы потенциальность сверхтекучего движе-
ния 2).

Однако при достаточно больших скоростях вращения такое
состояние становится термодинамически невыгодным. Условие
термодинамического равновесия состоит в минимальности ве-
личины

Евр = Е —МЙ,	(29,1)

представляющей собой энергию по отношению к вращающейся
системе координат; Е и М—энергия и момент импульса сис-
темы относительно неподвижной системы координат (см. V § 26).
Член —МЙ в этом выражении и приводит (при достаточно
больших Й) к термодинамической выгодности состояния с МЙ>0
по сравнению с состоянием с М = 0.

х) Индексы а и £ для жидкого гелия фактически очень малы; поэтому с
хорошей точностью р«1/3, так что ps~no~(7\—Т)2^3.

2) При вращении жидкости как целого скорость v= [Яг], где Я—угло-

вая скорость, а радиус-вектор г отсчитывается от какой-либо точки на оси.
При этом rot у = 2Я 0.
Таким образом, при увеличении скорости вращения сосуда
должно в конце концов возникнуть сверхтекучее движение.
Кажущееся противоречие между этим утверждением и условием
потенциальности сверхтекучего движения устраняется предпо-
ложением, что потенциальность нарушается только на некото-
рых особых линиях в жидкости—вихревых нитях1). Вокруг
этих линий жидкость совершает движение, которое можно на-
звать потенциальным вращением, так что во всем объеме вне
линий rot Vj = 0.

Вихревые нити в жидкости имеют толщину, измеряемую
атомными размерами, и с макроскопической точки зрения должны
рассматриваться как бесконечно тонкие2). Их существование
не противоречит выражению скорости в виде (26,12), так как
это выражение предполагает достаточную медленность изме-
нения v5 в пространстве, между тем как вблизи вихревой ли-
нии v5 меняется сколь угодно быстро (см. ниже формулу (29,3)).
Она не противоречит также и изложенному в § 23 обоснованию
потенциальности сверхтекучего движения свойствами энерге-
тического спектра бозе-жидкости, так как с вихревой нитью
связана определенная макроскопически большая энергия (см.
ниже (29,8)), и состояние жидкости с нитью не может счи-
таться слабо возбужденным.

Рассмотрим сначала вихревые нити с чисто кинематической
точки зрения—как особые линии в распределении скорости
при потенциальном движении жидкости. Каждая вихревая нить
характеризуется определенным значением (обозначим его 2лх)
циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему
эту нить:

/v/И = 2лх.	(29,2)

Это значение не зависит от выбора контура интегрирования.
Действительно, если С± и С2—два контура, охватывающих
вихревую нить, то разность циркуляций скорости вдоль них,
согласно теореме Стокса, равна потоку вектора rotv5 через
поверхность, натянутую между Сг и С2; но поскольку эта по-
верхность нигде не пересекае’г вихревую нить, то во всех ее
точках rotv.s = 0, так что интеграл обращается в нуль. Отсюда
же следует, что вихревая нить не может прерываться: она либо
замкнута, либо оканчивается на границах жидкости (а в не-
ограниченной жидкости — уходит обоими своими концами на

’) Это предположение было высказано Онсагером (L. Onsager, 1949) и
затем развито Фейнманом (R. Р. Feynman, 1955).

2) Эго утверждение не относится, однако, к близкой окрестности Х-точки;
здесь толщина вихревой нити порядка величины корреляционного радиуса
флуктуаций.
бесконечность). Действительно, наличие у вихревой нити сво-
бодного конца означало бы .возможность натянуть на контур С
поверхность, нигде не пересекающую нить, в результате чего
интеграл в левой стороне (29,2) обратился бы в нуль.

Условие (29,2) позволяет определить распределение скорос-
тей в жидкости, движущейся вокруг вихревой нити. В простей-
шем случае прямолинейной нити в неограниченной жидкости
линии тока являются окружностями, плоскости которых пер-
пендикулярны нити, а центры лежат на ней. Циркуляция
скорости вдоль такой линии равна 2nrvs, так что

=	(29,3)

где г — расстояние до нити. Отметим, что при потенциальном
вращении скорость падает с удалением от оси вращения (вихре-
вой нити) — в противоположность вращению как целого, где

скорость возрастает пропорционально г.

Для вихревой нити произвольной формы распределение ско-
ростей дается формулой

v - х С [rfl R]

1	2 J R3 ’

(29,4)

где интегрирование производится вдоль нити, a R — радиус-
вектор, проведенный от dl к точке наблюдения скорости1).
На расстояниях от нити, малых по сравнению с ее радиусом
кривизны, формула (29,4) приближенно сводится, конечно, к
(29,3).

Как уже было отмечено, формулы (29,2—4) являются след-
ствием одной лишь потенциальности движения жидкости. Кван-
товая же природа вихревых нитей в сверхтекучей жидкости
проявляется в том, что постоянная х может иметь лишь зна-
чения из определенного дискретного ряда. Действительно, вос-
пользовавшись выражением (26,12) скорости через фазу Ф
волновой функции конденсата, находим для ее циркуляции

-Ь

^у,Д=^АФ,	(29,5)

где АФ—изменение фазы при обходе контура. Но ввиду одно-
значности волновой функции изменение ее фазы при возвра-
щении в исходную точку может быть лишь целым кратным

г) Это выражение можно написать прямо по аналогии с известной фор-
мулой Био—Савара для магнитного поля линейных токсв. Формальное совпа-
дение обеих задач очевидно из сравнения циркуляции скорости (29,2) с цир-
г 4 л

куляцией магнитного поля Н вокруг линейного тока J: Q)Hdl = —~J- Одна
задача получается из другой заменой обозначений: Н—> vs, J/с—>х/2.
от 2л. Отсюда следует, что

v. = rihlm,	(29,6)

где п—целое число. Мы увидим ниже, что термодинамически
устойчивы фактически лишь вихревые нити с наименьшим воз-
можным значением циркуляции (п=1). Поэтому далее мы будем
полагать

х = Й/щ.	(29,7)

Определим теперь критическую скорость вращения цилинд-
рического сосуда, при которой впервые появляется вихревая
нить. Из соображений симметрии очевидно, что эта нить будет
расположена вдоль оси сосуда. Изменение энергии жидкости
за счет появления в ней вихревой нити есть

ДЕ = J dV — L J vl • 2лг dr = Lpsnx2 у

(L—длина сосуда). Интегрирование по dr должно производиться
S пределах между радиусом сосуда R и некоторым значением
г ~ а порядка величины атомных расстояний, на которых мак-
роскопическое рассмотрение теряет смысл; ввиду логарифми-
ческой расходимости интеграла его величина мало чувствительна
к точному выбору значения а. Таким образом,

^2 р

ДЕ = Елр,^1п^	(29,8)

(это выражение имеет, как говорят, логарифмическую точность,
т. е. предполагается большим не только отношение R/а, но
и его логарифм)1). Момент же импульса вращающейся жид-
кости:

М = J psvsr dV = р,к j dV = LaR2 ps. (29,9)
Возникновение вихревой нити термодинамически выгодно, если
ДЕвр = ДЕ—MQ < 0, т. е. если

(29.10)

Изложенные рассуждения позволяют также понять причину,
по которой оказываются термодинамически неустойчивыми

-1) Движение вокруг вихревой нити сопровождается, вообще говоря, не-
которым изменением плотности жидкости. Пренебрежение в изложенном вы-
числении этим изменением оправдано тем, что основной вклад в энергию
(29,8) возникает (в силу логарифмической расходимости интеграла) от боль-
ших расстояний г, на которых изменение плотности уже мало. По этой же
причине можно пренебречь вкладом в АД от изменения внутренней энергии
жидкости.
вихревые нити сп>1 в (29,6). Действительно, при замене зна-
чения п—1 значением п > 1 энергия ЛЕ увеличивается в п2 раз,
а момент М — в п раз; при этом ЛЕвр заведомо увеличится.

При дальнейшем увеличении скорости вращения цилиндри-
ческого сосуда (за критическим значением (29,10)) возникают
новые вихревые нити, и при Q|>QKP число этих нитей будет
уже очень большим. Их распределение по сечению сосуда стре-
мится при этом к равномерному, и в пределе их совокупность
имитирует вращение всей сверхтекучей части жидкости как
целого1). Число вихревых нитей при заданном (большом) зна-
чении Q легко определить, потребовав, чтобы циркуляция ско-
рости по контуру, охватывающему большое число нитей, имела
бы значение, отвечающее вращению жидкости как целого. Если
такой контур охватывает единичную площадь (в плоскости,
.перпендикулярной оси вращения), то

А

^vsdl = v- 2лх = 2nv — ,

где v—плотность распределения вихревых нитей по сечению
сосуда. С другой стороны, при вращении жидкости как целого
rotv4S = 211, и та же циркуляция равна 211. Приравняв оба
значения, найдем

v=mQ/n^.	(29,11)

Появление вихревых нитей в известном смысле нарушает
свойство сверхтекучести жидкости. Элементарные возбуждения,
составляющие нормальную компоненту жидкости, будут теперь
рассеиваться на нитях, передавая им (а тем самым — сверхте-
кучей компоненте жидкости) часть своего импульса. Это озна-
чает, другими словами, появление силы взаимного трения между
обеими компонентами жидкости.

Вихревые нити, вообще говоря, перемещаются в простран-
стве вместе с текущей жидкостью. При Т ~0, когда жидкость
целиком сверхтекуча, каждый элемент dl нити движется с той
скоростью у^, которую жидкость имеет в точке нахождения
этого элемента. При отличных же от нуля температурах испы-
тываемая вихревой нитью сила трения приводит к появлению
некоторой скорости ее перемещения относительно сверхтекучей
компоненты.

Вихревые нити, возникающие при вращении, имеют прямо-
линейную форму. Течение же жидкости по капиллярам, щелям

В этом легко убедиться, заметив, что так как число нитей растет про-
порционально Q (см. ниже (29,11)), то второй члене Д£вр = Д£'—7HQ растет,
как Q2, а первый—как Q, и поэтому при Q^>QKp им можно пренебречь.
Тогда минимизация Д£вр сводится к максимизации М, достигаемой именно
при вращении жидкости как целого.
и т. п. может сопровождаться образованием замкнутых вихре-
вых нитей—вихревых колец. Оно приводит к нарушению сверх-
текучести при течении со скоростями, превышающими опреде-
ленную критическую величину. Фактические значения этих
критических скоростей зависят от конкретных условий течения;
они гораздо меньше того значения, за которым нарушается
условие (23,3).

В противоположность прямолинейным вихревым нитям, кото-
рые могут стоять на месте в покоящейся (вдали от них) жид-
кости, вихревые кольца движутся относительно жидкости. Ско-
рость перемещения каждого элемента длины нити есть то зна-
чение Vj, которое создается (согласно формуле (29,4)) в точке
его нахождения всеми остальными участками нити; для искрив-
ленных нитей это значение, вообще говоря, отлично от нуля.
В результате вихревые кольца имеют как целое не только опре-
деленные энергии, но и определенные импульсы и, в этом
смысле, представляют собой особый тип элементарных возбуж-
дений.

Задачи

1.	Найти скорость движения и импульс кругового вихревого кольца.
Решение. Каждый элемент кольца движется со скоростью vs в дан-

ной точке, а ввиду симметрии кругового кольца эта
точках одинакова. Поэтому достаточно определить
скорость vs, создаваемую в какой-либо одной точке
кольца Р всеми остальными его частями. Элементы
dl кольца и радиус-векторы R от dl к точке Р
лежат в плоскости кольца; поэтому определяемая
формулой (29,4) скорорть в точке Р перпендикуляр-
на плоскости кольца (в результате чего кольцо пере-
мещается без изменения своей формы и размера).

Определим положение элемента dl углом О’
(рис. 3). Тогда

А	А

dl = R9db, /? = 2/?0sin-j-, |[dl-R]| = /?sin-ydZ

скорость во всех его

(где Rq — радиус кольца), и
жение

из (29,4) находим для скорости кольца v выра-

х оС

8R0 J sin (0/2) ‘
о

Этот интеграл, однако, логарифмически расходится на нижнем пределе и
должен быть обрезан на значении 0 ~ a/R0, отвечающем атомгзым расстояниям
(— а) элемента dl до точки Р. С логарифмической точностью интеграл опре-
деляется областью значений a/Ra 0 л и равен

^=21п^
V	а

~alRt
так что

х , Ro	% , Ro

= -In—— „ п-1п—.	(1)

2R0	a	2mR0 а

С той же логарифмической точностью энергия вихревого кольца
в=2^/?0Р^1п§	(2)

(формула (29,8) с заменой R—>R0, А—*2л/?0). Энергия 8 связана со ско-
ростью v соотношением de/dp — v, где р — импульс кольца. Отсюда

dp = ^ = 4n2ps ^RodRo

(с логарифмической точностью, при дифференцировании следует считать боль-
шой логарифм постоянным), и затем

р = 2л2р^А Ro-	(3)

Формулы (2), (3) определяют в параметрическом виде (параметр Ro) зависи-
мость 8 (р) для вихревых колец.

Отметим, что ввиду логарифмического характера интегрирования, приво-
дящего к формуле (1), эта формула (с некоторым изменением обозначений
в ней) остается справедливой и для скорости v перемещения каждого данного
элемента искривленной вихревой нити любой формы:

¥=--=- Ь 1П —.

2R0 а

(4)

Здесь b — единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в дан-
ной точке нити (вектор бинормали);1 Ro—радиус кривизны нити в этой же
точке; X—характерное расстояние, на котором меняется кривизна нити.

2.	Найти закон дисперсии малых колебаний прямолинейной вихревой
нити (IT. Thomson, 1880).

Решение. Выбираем линию нити в качестве оси г, и пусть вектор
г=(х, у) дает отклонение точек нити при ее колебаниях; он является функ-
цией z и времени вида exp \i(kz— со/)]. Скорость точек нити дается форму-
лой (4), в которой под X надо в данном случае понимать длину волны колеба-
ний (Л— 1/й)

dr	х , 1 b

V = 3~ = — 1С0Г =— In —7 —.

dt	2 ak Ro

Вектор бинормали b= [tn], где t и n—единичные векторы касательной и
главной нормали к кривой. Согласно известной формуле дифференциальной
геометрии, d2r/dZ2 = n/R0, где I—длина, отсчитываемая вдоль кривой. При
малых колебаниях нить слабо изогнута, так что можно положить I х z и
t = nz (единичный вектор вдоль оси г); тогда

b Г d2r] ,
Ro ~ [Пг dz2J ~ k tn*rJ'

Таким образом, находим уравнение движения нити

1

— Z<or =--------2" [п*г] 1п5Г
В раскрытом виде оно дает систему двух линейных однородных уравнений
для х и у, приравняв нулю определитель этой системы, получим искомую
связь между со и k:

§ 30. Вихревая нить в почти идеальном бозе-газе

Как уже упоминалось, толщина самой вихревой нити в жид-
кости измеряется атомными расстояниями. Исключение в этом
отношении представляет, однако, случай почти идеального бозе-
газа. Здесь «сердцевина» вихревой нити, в которой свойства
среды существенно изменены, имеет (как мы увидим ниже)
макроскопическую толщину, и ее структура может быть описана
макроскопическим образом (В. Л. Гинзбург, Л. П. Питаевский,
1958; Л. П. Питаевский, 1961; Е. Р. Gross, 1961).

Рассмотрим слабо неидеальный газ при абсолютном нуле
температуры. В таком газе почти все его частицы находятся
в конденсатном состоянии. В терминах ф-операторов это зна-
чит, что «надконденсатная» часть оператора (Ф') мала по срав-
нению с его средним значением, т. е. по сравнению с конден-
сатной волновой функцией 3. Если пренебречь этой малой
частью вовсе, то функция В будет удовлетворять тому же
«уравнению Шредингера» (7,8), которое имеет место для пол-
ного оператора Т. С учетом лишь парных взаимодействий оно
имеет вид (для бесспиновых частиц)

^13(/,r) = -(JjA + p)B(/, г) +

+ В(/, г) J |В (t, г') |2Z7 (г—r')d»x'. (30,1)

Считаяфункцию В (/,г') мало меняющейся, на атомных расстояни-
ях, мы можем вынести ее (заменив на В (/, г)) из-под знака интегра-.
ла, который сводится тогда к J U (r)d3x = U0. Подставив также
значение p = nt/0 (см. (25,6); п—невозмущенное значение плот-
ности числа частиц в газе), получим уравнение

S’ = ~ 2^ AS +	{3 IS I2-«В}-	(30,2)

В стационарном состоянии В не зависит от времених). Пря-

0 Напомним, что уравнение (30,1) уже отвечает гамильтониану Н' ~
= /?—Лф!
молинейной вихревой нити соответствует решение вида



К

V2mU0n '

(30,3)

где г и <р — расстояние до оси вихря и полярный угол вокруг
нее. Фаза этой функции отвечает значению циркуляции (29,7).

Квадрат | Е |2 есть плотность числа частиц в конденсате; в
рассматриваемом приближении она совпадает с полной плот-
ностью газа. При г—>оо последняя должна стремиться к за-
данному значению п, а функция f — соответственно к 1.

Введя безразмерную переменную Z = r/ra, получим для функ-
ции f (g) уравнение

= <30-4)

На рис. 4 показано решение, полученное из (30,4) численным
интегрированием. При £—>0 оно обращается в нуль пропорцио-
нально g, а при £—>оо стремится к 1 по закону f=\ —1/2£2.

Параметр г0 определяет порядок величины радиуса «сердце-
вины» вихря. Введя вместо Ua длину рассеяния, согласно
ий = 4л^2а/т (6,2), найдем, что

г0 ~ п-1-,3ц-1/2

где ц = шг1/3—газовый параметр. Этот радиус, таким образом,
действительно велик по сравнению с межатомными расстоя-
ниями, если газовый параметр достаточно мал.

Задача

Найти спектр элементарных возбуждений в почти идеальном бозе-газе,
рассматривая его как закон дисперсии малых колебаний конденсатной вол-
новой функции.

Решение. Рассматриваем малые колебания В вокруг постоянного сред-
него значения Уп:

S = Уп -ф Ае‘ (kr-“O + В*е~‘ <kr-®z>
где А, В*—малые комплексные амплитуды. Подставив это выражение в урав-
нение (30,2), линеаризовав его и отделив члены с различными экспоненциаль-
ными множителями, получим систему двух уравнений

= 5~ Л -|-пПо(Л + В),

2/П

—	= В A-nil о (Л + В)

(p = hk). Отсюда, приравняв нулю определитель системы, найдем
(^)2=(£1у+^„п0,

'	\2тJ 1 т .

что совпадает с (25,10).

§ 31.	Гриновские функции бозе-жидкости1)

Математический аппарат функций Грина бозе-жидкости стро-
ится во многом подобно аналогичному аппарату для ферми-
систем. Не повторяя заново всех рассуждений, мы приведем
здесь сначала основные определения и формулы, подчеркнув
при этом отличия, связанные как с другой статистикой частиц,
так и с наличием конденсата 2). Как и в предыдущих парагра-
фах этой главы, частицы жидкости предполагаются бесспино-
выми.

При определении гриновской функции бозе-жидкости следует
выделить из гейзенберговских ф-операторов конденсатную часть,
представив их в виде (26,4). Функция Грина определяется по
надконденсатной части операторов согласно

G(Xn Х2) = -1<ТФ'(Х1)Ф'+ (Х2)>,	(31,1)

где снова скобки <...> означают усреднение по основному со-
стоянию системы, а Т — знак хронологического произведения.
При этом, однако, в отличие от случая фермионов, перестановка
ф-операторов для приведения их в нужное расположение не
должна сопровождаться изменением знака произведения, так
что (в отличие от (7,10))

Г <Ф' (Xi) Ф'+ (х2)>, h > t2,

I (J I Л ] • Л 0 I	\ л	гч

, I <4f + (X2) Y (Xj)>,	^</2.

(31,2)

Такое же среднее значение, как (31,1), но с полными ф-опера-
торами вместо надконденсатных дало бы

- i <Т¥ (Xf) (Х2)> = - in0 + G (Xi( X2),	(31,3)

x) В §§ 31—33, 35 используется система единиц, в которой А=1.

2) Применение математической техники гриновских функций к бозе-системам
с конденсатом принадлежит С. Т. Беляеву (1958).
где п0—плотность числа частиц в конденсате1). В однородной
жидкости функция G зависит, конечно,•только от разности
Х = Х — Х2.

Надконденсатная матрица плотности р' выражается через
функцию Грина согласно

Np' (fj, r2) = iG(/i, г*; ^-J-0, r2) = iG(Z = —0, г) (31,4)

(обратим внимание на другой общий знак по сравнению с (7,19)).
_ В частности, при rj = r2 отсюда получается полная плотность

числа надконденсатных частиц

H0 = iG(/= —0, г = 0)	(31,5)

(ср. (7,19)).

Переход к импульсному представлению происходит по тем
же формулам (7,21—22). Нормировка функции 0(и, р) выра-
жается формулой

4==n0 + i lim fG(®, Р)е-^^	(31,6)

v	• t - о J

(ср. (7,24)).

Для функции Грина бозе-системы в импульсном представле-
нии можно получить разложение, подобное тому, которое было
получено в § 8 для ферми-систем. Полностью аналогичные вы-
числения приводят сначала к формуле

G (<0 о) = (2л)3 V I________(Р~£т)______________

1	, PJ (2Л)	w + £oW_£ffi(JV + 1) + [l + /o

___________Д,дй(р-|-Рт)_____1

W-£o(A/) + £ffi((V-l) + n-iO Р

где

Ат = I < 01Ф' (0) | т > |2, Вт = | < т | ф' (0) 10 > |2

(ф' (г) — шредингеровский надконденсатный оператор)2). Для при-
ведения этого разложения к окончательному виду замечаем,
что энергии возбуждения em(N) в бозе-системе определяются
как (всегда положительные) разности между энергиями возбуж-
денных состояний системы и энергией ее основного состояния
при неизменном числе частиц X. Учитывая, что £0(/V)-|-p.«

х) Как и для ферми-систем, мы будем рассматривать состояния бозе-сис-
темы при заданном значении химического потенциала р (а не числа N). Соот-
ветственно роль гамильтониана системы играет разность Н’ = Н—\iN (7,1).
При этом конденсатная часть ф-оператора от времени не зависит.

2) Формула (31,7) отвечает формуле (8,7). Множитель 1/2 отсутствует те-
перь в связи с бесспиновостью частиц. Обратим внимание иа другой знак

перед вторым членом в (31,7) цо сравнению с (8,7).
да Е0 (N + 1), находим поэтому, что

Em(N+\)-EM-p& £ffi^+l)-£0(A^ + l) = em(Af+l) >0,
Em(/V-l)-£0(/V) + p« £m^-l)-£0(JV-l) = effl (tf-1) > 0.

Но добавление или удаление одной частицы меняет свойства
системы лишь в членах относительного порядка ~1//У; для
макроскопической системы эти члены пренебрежимо малы, так
что энергии возбуждения ет (^±1) следует считать совпадаю-
щими друг с другом и с em(/V). Таким образом, окончательно
находим

G Сш п) = (2л)3 V J______________+ П1 о,

ОЦШ, PJ (/Л)	M —	j .	(31,8)

Тем же способом, как было получено (8,14), отсюда легко
найти, что для бозе-систем мнимая часть функции Грина всегда
отрицательна:

Im G (со, р) < 0.	(31,9)

Асимптотический вид функции Грина при со—>оо остается
тем же, что и в случае ферми-систем:

б(ц>, р)—>1/® при ]со| —> оо	(31,10)

(ср. (8,15)). При его выводе следует учесть правило коммутации

Ф(/, Г1)Ф+(/, г2)~Ф+(/, г2)Ф(/, г^б^-г,),

в котором стоит теперь коммутатор операторов'’Г и Ф+ вместо
антикоммутатора3).

Далее, такие же рассуждения, что и в § 8, приводят к ос-
новному результату о том, что полюсы функции Грина опре-
деляют спектр элементарных возбуждений

G-1(e, р) = 0,	(31,11)

причем следует брать только положительные корни этого урав-
нения; в отличие от (8,16), вычитать р из е здесь не требуется.

Вблизи своего полюса функция Грина имеет вид

z,

^>0- z-<0; <31'12)

знак вычета в полюсе совпадает со знаком ш, как это следует
из положительности коэффициента Ат, Вт в (31,8) (величина же
вычета не ограничена никакими условиями, подобными, на-
пример, условию (10,4) в случае ферми-систем). Используя

х) Тот факт, что в определении G выделена конденсатная часть ф-операто-
ров, здесь несуществен: постоянному члену — 1па в (31,3) в импульсном пред-
ставлении отвечает б-функция 6 (со) 6 (р), не отражающаяся на (31,10).
выражение (31,12), легко убедиться (подобно тому, как это было
сделано в § 8), что неравенство (31,9) автоматически обеспечи-
вает положительность коэффициента затухания квазичастиц,
т. е. нужный знак —Ime>0, когда значения е сдвигаются в
комплексную область.

Возможность перехода надконденсатных частиц в конденсат
и обратно приводит к тому, что в математическом аппарате
функций Грина для бозё-систем наряду с функцией (31,1) авто-
матически появляются (как мы увидим в § 33) также и функции
iF(Xb X2} = <N—2|ТФ' (XJY' (Х2)|Х>,	(31,13)

iF+ (Xi( X2) = < X | TY'+ (XJ Ф'+ (X2) | N-2 > =

= <Х + 2|ТФ'+(Х1)Ф'+(Х2)|Х>,	(31,14)

где матричный элемент берется для переходов с изменением
полного числа частиц в системе, а символ |jV> означает основ-
ное состояние системы с N частицами (последнее равенство
в (31,14) справедливо с точностью до величин ~ 1/Х—ср. при-
мечание на стр. 130). Определенные таким образом функции F
и F+ называют аномальными функциями Грина. Покажем, что
в однородной и неподвижной жидкости функции F и F+ совпа-
дают друг с другом.

Как и функция G, функции F и F+ для однородной жид-
кости зависят только от разности X'=Xf — ХД). При этом, по-
скольку перестановка Xj и Х2 меняет лишь порядок располо-
-жения операторов в произведении, который все равно устанав-
ливается операцией хронологизации, то

F(X) = F(—X).	(31,15)

Отсюда следует, конечно, что и в импульсном представлении
F — четная функция своего аргумента

F(P)=F(—Р).	(31,16)

Далее, определенное соотношение между F и F+ возникает как
результат следующего свойства гейзенберговского ф-оператора

1)	Независимость функции F от суммы времен it-|-i2 связана с тем, что
в определение гамильтониана Н' = Н — включен член —p/V. Тем самым из
разности собственных значений энергии систем с различными числами частиц
исключен член

Е (/V-|-2) —Е (JV) & 2dE/dN = 2ц,

а из матричных элементов оператора ТУ Фа соответственно исключен множи-
тель ехр [—ip (ii+i2)].
неподвижной жидкости1):

Т+ (/, r) = f (— t, — г).	(31,17)

Полагая, скажем, /2 > tit имеем поэтому

iF+(Хи Х2) = <tf + 2|'F'+(X2)'F'+(X1)[tf>=;

= <У|Ф'+(Х1)Ф'+(Х2)|У + 2> =

= < N | Ф' (—XJ Т (-Х2) | N + 2 > = iF (-Х,, -Х2),

или F+ (X) = F(— X). С учетом (31,15) отсюда следует искомое
равенство

F+(X) = F(X).	(31,18)

Выразив функцию F (X) через матричные элементы ф-опера-
торов, можно получить для F (со, р) разложение, аналогичное
разложению (31,8), и тем самым выяснить вопрос о полюсах
этой функции; мы не будем останавливаться здесь на этом.
Укажем лишь, что полюсы функции F (со, р) совпадают с полю-
сами функции G (со, р).

В заключение этого параграфа вычислим функцию Грина
идеального бозе-газа G<0). Заметим прежде всего, что поскольку
в основном состоянии такого газа все частицы находятся в кон-
денсате, то надконденсатный оператор уничтожения частиц Т' при
воздействии на волновую функцию основного состояния обра-
щает ее в нуль. Поэтому функция G<0) (t, г) отлична от нуля

х) В нем можно убедиться следующим образом. Все отличные от нуля
матричные элементы операторов ар, ар могут быть определены как вещест-
венные величины (см. III (64,7 — 8)); в этом смысле операторы вещественны,
т. е. ар =ар = ар. Поэтому шредингеровский яр-оператор

Ф(г) = Г-1/22а/рг
р

обладает свойством ф+(г) = ф( — г). Отсюда, в свою очередь, следует равен-
ство (31,17) для гейзенберговского оператора

Ф (/, г) = ехр (гЯ/)ф (г) ехр1 (—iHt),
в чем легко убедиться, заметив, что (для системы без спиновых взаимодейст-
вий) гамильтониан Н веществен (так что Н+=Н), а в силу изотропии сис-
темы И (—г) — Н (г). Подчеркнем, однако, что вещественность гамильтониана
подразумевает отсутствие в жидкости макроскопйческого сверхтекучего дви-
жения. Для бозе-системы с конденсатом гамильтониан зависит от макроско-
пического параметра—конденсатной волновой функции 3. В движущейся
жидкости этот параметр комплексен, а с ним комплексен (но, разумеется,
эрмитов) н гамильтониан.
только при t — ti—/2>0 (когда, согласно (31,2), первым дей-
ствует оператор рождения 1F'+).

Хотя для идеального газа химический потенциал р = 0, мы
не будем полагать здесь этого, рассматривая р. как не опреде-
ленный заранее свободный параметр; это необходимо для даль-
нейшего применения функции G(0) в диаграммной технике для
произвольной жидкости, где р играет роль именно такого па-
раметра. Соответственно этому, оператор ^(Z, г) будем писать
в виде

ФД/, r)=-l= £ арехр р (pr -+ р/ ) 1	(31)19)

(отличающимся от (26,1) членом гр/ в показателях экспонент).
При подставке этого выражения в определение G(0), согласно
(31,2), замечаем, что при усреднении (т. е. взятии диагональ-
ного матричного элемента) могут дать отличный от нуля ре-
зультат лишь произведения арар и «р«р; но поскольку в ос-
новном состоянии газа числа заполнения всех состояний частиц
с р=^=0 равны нулю, то

<«р«р> = 0,	<«р«р>=1.

Перейдя затем обычным образом от суммирования по р к инте-
грированию, получим

G<0) (t, г) =

- ФХР [- 1‘£- + ^ + г’Рг] ПРИ (31,20)
О при t < 0.

Отсюда для функции Грина в импульсном представлении имеем
00

G(o) (со, р) = —i J exp ( — i	t -ф -ф ico/^ dt.

о

Интегрирование осуществляется с помощью формулы

Р“Л=-гТ75	(3|’2,>

О

(в подынтегральное выражение вводится множитель е~и с X > О,
после чего переходим к пределу X—>-0). Окончательно

G(o)(co, р)= [co-g-+p+гО]'1.	(31,22)

Что касается функции F, то для идеального газа F(0)(X) = 0,
как это очевидно из определения (31,13), в котором оба опера-
тора уничтожают надконденсатные частицы. Поэтому и в им-
пульсном представлении

F10'(со, р) = 0.

(31,23)

Этим равенством выражается тот факт, что надконденсатные
частицы появляются (при Т=0) только в результате взаимо-
действия.

Задача

Найти функцию Грина фононного поля, определяемую как

D(Xlt X2)SD(X1-X2)=-c<Tp'(X1)p'(X2)>,	(1)

где угловые скобки означают усреднение по основному состоянию поля; р' —
оператор плотности из (24,10), а хронологическое произведение раскрывается
по правилу (31,2).

Решение. При подстановке (24,10) в определение (1) замечаем, что
поскольку в основном состоянии все числа заполнения фононных состояний
равны нулю, то отлиЧны от нуля лишь средние значения <ckck> = l. Перей-
дя затем от суммирования по к к интегрированию, получим

D(t, г)

р1(кгТ ukt) d?k
(2л)5

где знаки — и + в показателе относятся соответственно к t >0 и t < 0
(в интеграле для i < 0 произведено переобозначение переменной интегриро-
вания к—>-—к). Подынтегральное выражение (без множителя е‘кг) есть уже
компонента фурье-разложения функции D (I, г) по координатам. Разлагая
так же и по времени, получим гриновскую функцию в импульсном представ-
лении

£>(ш, к) =

° 1

Интегрирование осуществляется с помощью формулы (31,21):

„	., pk Г 1	1

2и [ю—ий-НО со + мй-<О

рй2
со2—M2fe2 + t0 *

§ 32.	Диаграммная техника для бозе-жидкости

Дальнейшее построение диаграммной техники для вычисле-
ния функций Грина бозе-системы производится подобно тому,
как это было сделано в §§ 12—13 для ферми-систем. Как и
там, сформулируем правила этой техники для систем с парным
взаимодействием между частицами, описывающимся оператором
у(о=4 j г<)	Г2)и <г1~г2) Г2> *
Специфика бозе-жидкостей с конденсатом состоит прежде
всего в том, что все гейзенберговские ф-операторы должны быть
представлены в виде Ф = Ф'-фЕ, где — его надконденсатная
часть, а Е — конденсатная волновая функция, представляющая
собой (для неподвижной жидкости) просто вещественное
число j/fto1). После такой подстановки оператор (32,1) распа-
дается на ряд членов, содержащих от четырех до нуля опера-
торов Т' (вместе с соответствующим дополнительным числом
множителей j/n0)-

Все сказанное в § 12 о переходе к представлению взаимо-
действия остается полностью в силе, а дальнейшее раскрытие
получающихся выражений осуществляется с помощью теоремы
Вика (с тем лишь отличием, что перестановка ф-операторов в
усредняемом произведении не требует теперь изменения знака).
Разнообразие членов, на которые распадается оператор (32,1),
приводит, однако, к появлению новых элементов в фейнманов-
ских диаграммах. Опишем эти элементы сразу в окончатель-
ном, импульсном представлении.

В каждой вершине диаграммы по-прежнему сходятся три
линии: пунктирная линия (которой сопоставляется множитель
— iU (Q) с 4-импульсом Q = (Q0.q)) и Две линии частиц—одна
входящая и одна выходящая. Но при этом надо различать
конденсатные и надконденсатные частицы. Сплошные линии
будут отвечать теперь надконденсатным частицам, и такой линии
(с 4-импульсом Р = (со, р)) по-прежнему отвечает множитель
iG<0) (Р). Линии же конденсатных частиц будем изображать вол-
нистыми; этим линиям приписывается 4-импульс Р = 0, и им
сопоставляется множитель }/n02). Таким образом, возникают
вершины четырех видов:

(вершины с одной или двумя волнистыми линиями называют
неполными). В каждой вершине должен выполняться «закон

х) Подчеркнем, что поскольку эта величина возникает от разделения на
части точного (гейзенберговского) ф-оператора, то п0 — точное значение плот-
ности конденсата в жидкости (при Т = 0).

2) Точнее, входящей в вершину волнистой линии должен сопоставляться
множитель 3, а выходящей — множитель 3*; ввиду вещественности 8 эти
множители фактически одинаковы.
сохранения 4-импульса»; поэтому в вершинах бив 4-импульс
пунктира совпадает с 4-импульсом сплошной линии, а в вер-
шине г он равен нулю). Волнистые линии всегда являются
внешними линиями диаграммы, т. е. присоединены к ней лишь
одним из своих концов, второй же конец остается свободным.

Каждая диаграмма, входящая в определение функции Грина
G (Р), имеет две сплошные внешние линии с 4-импульсами Р
(входящую и выходящую), а сверх того может иметь некоторое
(четное) число волнистых внешних линий; полные числа входя-
щих и выходящих внешних концов во всякой диаграмее оди-
наковы (чем выражается сохранение полного числа частиц
в системе—конденсатных вместе с надконденсатными). Как и
для ферми-системы (и по той же причине—см. § 13), допустимы
только диаграммы, не распадающиеся на две (или более) не
связанные друг с другом части. В отличие от случая ферми-
систем, меняется, однако, правило, определяющее общий знак,
с которым диаграммы входят в iG: все диаграммы входят
с одинаковыми знаками (т. е. устраняется указанное на стр. 70
правило 3).

Каждая из пунктирных линий в диаграмме имеет на своих
двух концах полную или неполную вершину. Это не могут,
однако, быть две вершины типа (32,2г): не имея ни одного
сплошного конца, такая фигура вообще не может быть при-
соединена к диаграмме функции Грина. Это не могут быть также
вершины типов (32,2г) и (32,2в) (или (32,2г) и (32,26)): при на-
личии трех волнистых концов сохранение 4-импульса в вершинах
привело бы в такой фигуре к обращению в нуль также и 4-им-
пульса четвертого конца, т. е. мы пришли бы к фигуре со всеми
четырьмя конденсатными (волнистыми) концами.

Значительное число диаграмм в каждом порядке теории
возмущений, построенных по описанным правилам, однако,
тождественно обращается в нуль. Причиной этого исчезновения
является отсутствие надконденсатных частиц в основном состо-
янии идеального бозе-газа. Это в особенности ясно видно, если
проследить за происхождением диаграмм" в координатном пред-
ставлении: равны нулю все свертки вида <,4r'+1F'>, в которых
оператор уничтожения надконденсатных частиц стоит справа и
действует на основное состояние первым; остаются только
свертки вида <Чг'Чг'+>1).

Так обращаются в нуль диаграммы с «замкнутой на себя»
сплошной линией: такая линия возникает от свертки.
<Ф'+ (/, г)Ф' (I, г)>, представляющей плотность надконденсатных

!) По аналогичной причине обращались в нуль некоторые диаграммы
Для рассеяния двух частиц в вакууме — ср. § 16.
частиц. Далее, равны нулю диаграммы, содержащие сплошную
линию, замкнутую пунктиром:

Такая линия возникает от свертки <Т'+ (t, г2) Ф' (I, rj> двух
•ф-операторов внутри одного и того же оператора взаимодейст-
вия V(I), в котором Ф'+ стоят слева от Ф'.

Наконец, равны нулю все диаграммы, в которых можно про-
вести замкнутый контур по некоторой последовательности
сплошных и пунктирных линий так, что направления сплошных
линий вдоль всего контура одинаковы. Изобразим контур такого
рода, указав у точек на концах линий временные аргументы
ф-операторов:

Аргументы на концах каждого пунктира одинаковы1). Аргу-
менты же функций G(0), отвечающих сплошным линиям, равны
разностям	—13, —ti, для любого замкнутого

контура их сумма будет равна нулю, так что хотя бы один из
них отрицателен и соответствующая функция G<0) обратится
в нуль.

Описанные правила относятся и к диаграммам, определяю-
щим аномальную функцию Грина, с той лишь разницей, что
обе сплошные внешние линии должны быть выходящими (для
функции F) или обе входящими (для функции р+). Соответст-
венно становятся неодинаковыми в этих диаграммах числа вхо-
дящих и выходящих волнистых линий—так, чтобы общее число
всех выходящих линий осталось равным общему числу входящих.
Одной из внешних сплошных линий приписывается 4-импульс Р,
а другой — 4-импульс — Р (где Р — аргумент искомой функции
F (Р) или F+ (Р))2); сумма 4-импульсов обеих этих линий должна
быть равна нулю в силу «закона сохранения 4-импульса», при-
мененного к диаграмме в целом.

Вычисленные по диаграммной технике функции Грина со-
держат два параметра — химический потенциал р и плотность
конденсата /?0; эти параметры надо еще связать с плотностью

-1) Напомним, что в пространственно-временном представлении диаграмм
пунктирной линии между точками 1 и 2 сопоставляется множитель iU (Х1 — Х2),
содержащий d-функциго <5(/j— /2).

2) Поскольку F—четная функция своего аргумента, то выбор общего
знака Р здесь несуществен.
жидкости n = N[V. Одно соотношение между этими тремя вели-
чинами дает формула (31,6), следующая непосредственно из
определения функции Грина. В качестве второго соотношения
можно пользоваться полученным ниже уравнением (33,11), явно
выражающим р. в терминах понятий диаграммной техники.

§ 33.	Собственно-энергетические функции

Изучим более подробно структуру диаграмм для функций
Грина, введя в рассмотрение понятие о собственно-энергетической
функции подобно тому, как это было сделано в § 14 для ферми-
систем: путем рассмотрения совокупности всех диаграмм (с двумя
внешними сплошными линиями), которые не могут быть рассе-
чены на две части пересечением лишь одной сплошной линии.
В отличие от § 14, однако, теперь возникают различные воз-
можности в смысле направления внешних линий диаграмм:
наряду с диаграммами с одной входящей и одной выходящей
линией существуют диаграммы с двумя выходящими или двумя
входящими линиями. Соответственно этому, возникают собст-
венно-энергетические части трех родов:

(33,1)

(в этих обозначениях первый индекс у 2 указывает число
входящих, а второй — число выходящих внешних сплошных
линий). Наряду со сплошными внешними линиями собственно-
энергетические диаграммы имеют, вообще говоря, также и вол-
нистые (конденсатные) свободные концы. Эти концы включаются
в определение собственно-энергетической функции, изображен-
ной здесь кружком. Мы увидим ниже, что функции 202 (Р) и
220 (Р) фактически совпадают

202 (Р) = 220 (Р).	(33,2)

Сразу же отметим также, что поскольку Ри —Р входят в оп-
ределение этих функций симметричным образом, они четны по
своему аргументу:

ъег(Р)=\Л-Р)-	(33,3)

Приведем для иллюстрации все отличные от нуля диаграммы
функций 2П и 202 в двух первых порядках теории возмущений
Составим теперь уравнения, выражающие точные функции G
и F через собственно-энергетические функции.

В терминах теории возмущений разность G(P)— G<0) (Р) вы-
ражается суммой бесконечного числа диаграмм—цепочек вида

состоящих из различных чисел кружков, соединенных всеми
возможными способами стрелками прямого и обратного (по срав-
нению с двумя крайними) направлений. Аналогичным образом,
точная функция F (функция Е(0) = 0) изобразится суммой цепо-
чек, в которых две крайние стрелки имеют противоположные-
направления:

Если отсечь во всех этих цепочках крайнее звено (кружок
вместе со стрелкой) как показано вертикальным пунктиром, то
совокупность оставшихся диаграмм с одинаковыми направле-
ниями крайних стрелок снова будет совпадать с точной функций G,
а совокупность диаграмм с противоположными направлениями
крайних стрелок—с точной функцией F.

Введем графическое обозначение этих функций жирными
одно- и двусторонними стрелками

Р

IF(p) IF+(p) _

Р ^Р Р ~^Р

(33,6)

Тогда сделанные утверждения запишутся в виде графических
равенств, составленных из скелетных диаграмм:

-р Р

(33,7)

(ср. аналогичное уравнение (14,4)). В аналитическом виде эти
равенства дают1)

G (Р) = [1 + 2n (Р) G (Р) + 220 (Р) F (Р)] G<0) (Р),

F (Р) = G(»> (_ р) [2ii (_ р) F (р) + 2о2 (Р) G (Р)].	>

Решив эти уравнения относительно G и F и подставив выра-
жение (31,22) для G(0), получим искомые формулы

1	Г 'л2	1	1

G(P)=-i-[Co + ^-]x + 2u(-P)], F(P) = —-^-2о2(Р), (33,9)
где

D = [202(P)]a-

-[211(P)-Co-iO + ^-p][2li(-P) + ® + iO + ^-]x]. (33,10)

Подчеркнем, что эти соотношения не зависят от внутренней
структуры собственно-энергетических функций, а потому не
связаны и с предположением о парности взаимодействий между
частицами, так что они верны для любой бозе-жидкости.

Энергия элементарных возбуждений в жидкости в зависи-
мости от импульса р определяется полюсами функций G и F по
отношению к переменной со. При малых р эти возбуждения
являются фононами и их энергия стремится к нулю вместе с р.
Поэтому функция (33,10) должна обращаться в нуль при р = 0,
со = О. Отсюда находим равенство

[2П (0)- jx]2 = 2o2 (0).

Как уравнение по отношению к р, оно имеет два корня, из
которых должен быть выбран

р = 211(0)-202(0).	(33,11)

Действительно, в длинноволновом пределе ф-оператор дается
выражением (27,2) и его надконденсатная часть Ф' —Ф—V пйж
«1']/ф0Ф, так что Ф'+ =— Ф' и затем F «— G; последнее ра-
венство выполняется именно при выборе (33,11), когда числи-
тели в (33,9) (в пределе Р—>0) отличаются только знаком.
Равенство (33,11) и есть то второе соотношение (см. конец
§ 32), которое вместе с соотношением (31,6) дает возможность
выразить параметры р и п0 через плотность жидкости п.

Дальнейшее разложение выражения (33,10) в ряд по и и р
определяет вид функции Грина в области малых значений их
аргументов. При этом надо учесть, что скалярные функции 2П

х) Аналогичную систему уравнений можно было бы написать для G и F+,
причем она отличалась бы от (33,8) лишь заменой S02 и S20 друг на друга.
Поскольку F = F+, то отсюда следует равенство (33,2).
и 202 разлагаются по степеням р2, а разложение четной по всем
своим аргументам функции 202 содержит лишь четные степени
также и переменной со. Представив (33,10) в виде

D =	+1-0 +1 [S11 (Р) _211 (- Р)]}2 -

“{Й-H + Три (Р) + (~ -Р)]}2 + 22о2 (Л,

сразу заключаем, что первые неисчезающие члены разложения
имеют вид D = const(co2—u2p2 + i0), где и — постоянная, пред-
ставляющая собой, очевидно, скорость звука в жидкости. Заме-
тив также, что в силу (33,11) числители в (33,9) при со, р—»0
отличаются только знаком, найдем, что

const

° = — Г = со2 —и2р2 + 10 •

Значение постоянной в числителе можно определить, вычис-
лив по этой гриновской функции импульсное распределение
частиц N (р) (при малых р) и сравнив его с известным уже нам
распределением (27,7). Интеграл

00
N(p) = i J G(co,

— 00

(ср. (7,23)) вычисляется путем замыкания пути интегрирования
бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полупло-
скости (ср. замечание в конце § 7) и соответственно,опреде-
ляется вычетом в полюсе со = — up-j-iO. В результате получим
JV (р) = const/2up и сравнение с (27,7) дает const — п0ти2/п. Таким
образом, окончательно находим следующее выражение функций
Грина при малых со и р:

G = — F = 7 2	, ж-	(33,12)

я(ш2 —u2p2-|-t0)	' ’ ’

Отметим, что эта функция совпадает (с точностью до норми-
ровочного коэффициента) с функцией Грина фононного поля (см.
задачу в § 31)—вполне естественный результат, поскольку в
области малых со, р все элементарные возбуждения в бозе-жид-
кости являются фононами.

Наконец, проиллюстрируем полученные формулы в приме-
нении к рассмотренной в §25 модели почти идеального бозе-газа
с парным взаимодействием между частицами. В первом прибли-
жении теории возмущений 2П и 202 определяются первыми
двумя диаграммами (33,4) и первой диаграммой (33,5). Раскрыв
их в аналитическом виде, получим

2и = п0[(/0 + (/(р)], 2йа = п0(/(р).
С той же точностью плотность конденсата п0 в этих формулах
можно заменить полной плотностью газа п. Как было указано
в § 25, в этой модели импульсы частиц газа можно считать
малыми, соответственно чему фурье-компоненты U (р) можно
заменить их значением t/0 при р = 0. Тогда

211 = 2nU0, %02 = nU0.	(33,13)

Подстановка этих выражений в (33,11) дает ii — nU0—в согласии
с (25,6). Подстановка же в (33,9—10) приводит к следующим
формулам для функций Грина:

где

G(co, р)

co-|-p2/2m-|-.nt/o
со2—е2 (р) +1’0 ’

(33,14)

^(ш> Р)— ш»_е»(Р)4-1о ’

Из вида знаменателей этих функций ясно, что е (р) есть энергия
элементарных возбуждений — в согласии с полученным ранее
другим способом результатом (25,10 —11).

§ 34. Распад квазичастиц

Конечная продолжительность жизни (затухание) квазича-
стицы в квантовой жидкости может быть связана как с ее
столкновениями с другими квазичастицами, так и с ее само-
произвольным распадом на две (или более) новые квазичастицы.
При температуре Т —> 0 первый источник затухания исчезает
(так как вероятность столкновений стремится к нулю вместе
с плотностью числа квазичастиц), и тогда затухание возникает
лишь от распада квазичастиц.

Рассмотрим распад квазичастицы (с импульсом р) на две.
Если q—импульс одной из возникающих квазичастиц, то им-
пульс другой есть р—q, и закон сохранения энергии дает
условие

e(p) = 8(q)+e(|p—q|).	(34,1)

Может оказаться, что в некоторой области значений р это
равенство не выполняется ни при каких q; тогда квазичйстицы
в этой области будут вообще не затухающими (если, конечно,
невозможен также и распад на большее число квазичастиц).
По мере изменения р затухание возникает при значении р = рс
(порог распада), при котором впервые появляются корни
уравнения (34,1).
Отметим прежде всего, что в точке р = рс правая сторона
равенства (34,1), как функция от q, имеет экстремум. Действи-
тельно, пусть экстремальное значение суммы е (q) + е (| р — q |)
при заданном р есть Е (р) (для определенности будем считать,
что это-—минимум). Тогда в уравнении

е(р) —£'(р) = е(^) + е(|р — q|)—Е (р)

правая сторона неотрицательна. Поэтому уравнение заведомо
не имеет корней при значениях р, для которых е(р) — Е(р)<0;
корень появляется только в точке р = рс, в которой е (рс) = Е (рс).

Представив уравнение (34,1) в симметричном виде

8(Р) = 8(?1) + 8(?2), Ч1 + Ч2 = Р,

найдем, что условие экстремума его правой части можно запи-
сать как de/dqj = de/dq2 или

Vi = v2,	(34,2)

т. е. в пороговой точке две распадные квазичастицы имеют оди-
наковые скорости. Здесь можно различать несколько случаев
(Л. П. Питаевский, 1959).

а)	Скорость квазичастицы в бозе-жидкости равна нулю при
импульсе р = р0, отвечающем ротонному минимуму на кривой
рис. 2. Поэтому если Vi = v2 = 0, то это значит, что в точке
порога квазичастица распадается на два ротона с импульсами ра
и энергиями А. Соответственно энергия распадающейся квази-
частицы е(рс) = 2Д, а ее импульс рс связан с р0 условием
Pc = Poi + Роз, т- е- 2pocos0 = pc, где 20 — угол разлета двух
ротонов. Отсюда следует, что во всяком случае должо быть

Рс <	.	(34,3)

б)	Если скорости v1 = v2=^0, причем соответствующие им
импульсы qx и q2 конечны, то это значит, что распад в поро-
говой точке происходит на две квазичастицы с коллинеарными
(параллельными или антипараллельными) импульсами1).

в)	Если же скорости Vj и v2 отличны от нуля, .но один из
импульсов (скажем, qt) стремится к нулю вблизи пороговой
точки, то соответствующая ему квазичастица является фононом
и скорость v1 = u. В этом случае мы имеем дело с порогом, за
которым становится возможным рождение квазичастицей фонона.
В самой пороговой точке энергия фонона равна нулю, а скорость
квазичастицы как раз достигает скорости звука (совпадая со
СКОрОСТЯМИ Vj = v2 = и).

9 В силу изотропии жидкости направления импульса квазичастицы р и
ее скорости ч = дг/др коллинеарны, но могут быть направлены как в одина-
ковую, так и в противоположные стороны.
г)	Наконец, еще один, особый случай представляет распад
фонона на два фонона, причем порогом является сама начальная
точка спектра р = 0. Такой распад, однако, возможен лишь
при определенном знаке кривизны начального (фононного) уча-
стка спектра: должно быть d* 2e (p)/dp2 > О, т. е. кривая е (р)
должна загибаться вверх от начальной касательной е = ир.
В этом легко убедиться, представив этот участок спектра в виде
е(р) » up +ар3,	(34,4)

учитывающем наряду с линейным также и следующий член раз-
ложения по степеням малого импульса1). Уравнение сохранения
энергии (34,1) дает тогда

«(р—я—|р—q|) = —«(р3—<73—Ip—q|3)-

Вблизи порога фонон испускается под малым углом 0 к направ-
лению начального импульса квазичастицы р; в левой стороне
уравнения имеем

Р —<7 —|Р —ql^—7^(1—cosO),	(34,5)

а в правой достаточно положить |р—q | « р — q. Тогда находим
1—cos0 = 3a(p — q)2.	(84,6)

Отсюда видно, что должно быть а > 0.

Мы увидим ниже (§ 35), что в сучаях а) и б) функция е (р)
вообще не может~быть продолжена за пороговую точку, оказы-
вающуюся, таким образом, точкой окончания спектра. В случаях
же в) и г) распад квазичастицы с испусканием длинноволнового
фонона приводит к появлению слабого затухания, которое может
быть определено с помощью теории возмущений2).

Вычислим затухание фонона, связанное с его распадом на
два фонона (случай г)). Матричные элементы этого процесса
имеются в членах третьего порядка в гамильтониане, дающихся
выражением (24,12). Для перехода из начального (г) состояния
с одним фононом р в конечное (/) состояние с фононами qx и q3

х) Дисперсионное уравнение звуковых колебаний определяет квадрат
частоты и2 как функцию волнового вектора. Соответственно этому, регулярно
разлагается по степеням импульса р квадрат энергии фонона е2 (р); разло-
жение начинается с члена ~р2 и ввиду изотропии жидкости происходит по
степеням р2. Разложение же самой функции е(р) содержит, следовательно,
нечетные степени р.

2) Какие именно из перечисленных случаев могут фактически осущест-
вляться— зависит от конкретного хода, кривой спектра квазичастиц в(р).
Эмпирические данные для жидкого гелия (Не4) свидетельствуют о наличии

(при давлениях < 15 атм) небольшого начального участка фононного спектра,

в котором имеется неустойчивость типа случая г). Окончание же спектра
в жидком гелии имеет место в точке типа случая а).
матричный элемент оператора возмущения равен
,/ о ,	ч 3! (2лЛ)3 (и \1/3 /1 । Ра «* 2| /ои

^•=б(р-41-q2)^0r	рш] V+Ь^т} <34’7>

(индекс 0 у невозмущенной плотности р0 опускаем). Обратим
внимание на наличие множителя (p<?i<72)1/3; его малость (речь
идет о распаде длинноволнового фонона) и обеспечивает при-
менимость теории-возмущений!).

Дифференциальная вероятность распада (в 1 сек) дается
формулой

dw =	| Vfi |3 6 (£/-£,-)

% 1 Л1 v !	(2л^)«

(см. III (43,1)). При подстановке сюда (34,7) возникает квадрат
6-функции; его надо понимать как3)

[6 (р — Ч1 — q2)]3 =	6 (р—qf — q3).	(34,8)

Остающаяся 6-функция устраняется интегрированием по d3<?2;
положив также Ег = ир, £у= u (<?i +<?2), получим

1 (. , р2 d и2\ 2 9л Г ,	. » ,	.	,, d3q<

Д' + з^р)	рч,[р-«,)«(?-о,-|р-ч,1)w

(при независимом интегрировании по d3q± и d3q2 ответ должен
быть поделен на 2 для учета тождественности двух фононов).
Наконец, выразив аргумент 6-функции в виде (34,5) и произведя
интегрирование по d3q1 = 2nqidq1dcosQ (по области <7i=^p),
найдем полную вероятность распада

Зрв /. . р2 d и2 ) 2

ОУ------х— ( 1 + "о—з" 77-г •	(34-9)

320лр&4 I 3«2 dp р J	\ > /

Коэффициент затухания фонона у = — 1те = Да)/2. В частно-
сти, для почти идеального газа, согласно (25,11), величина

х) При вычислении матричного-элемента (34,7) следует учесть, что каждый
из фоионных операторов ср и может браться из любого из трех множи-
телей р' или v; отсюда миожитель 3!. Дельта-функция в (34,7) возникает от
интегрирования множителя ехр[<(р— qi—ЧаХ/л-]. Наконец, учтено, что направ-
ления р, qi и q2 почти совпадают.

2) Действительно, 6-функция 6 (к) возникает от интеграла J eIkrd3fe/(2n)3.
Если же вычислить другой такой же интеграл при к = 0 (в силу наличия
уже одной 6-фуикции), причем распространить интегрирование по конечному
объему V, то получится 1//(2л)3; это и выражено формулой (34,8).
м’/р « 4лЛ2а/т3 не зависит от плотности. В этом случае

Зр5т-	(34,10)

г 640л&3р	'	'

(С. Т. Беляев, 1958).

Для процесса испускания фонона квазичастицей вблизи по-
рога типа в) вид оператора возмущения устанавливается путем
рассмотрения изменения энергии квазичастицы в звуковой вол-
не. Это изменение складывается из двух частей:

6е(р) = ^р' + Ур.

Первый член связан с изменением плотности жидкости, от ко-
торой энергия квазичастицы зависит как от параметра. Второй
член (в котором n — скорость жидкости в звуковой волне) есть
изменение энергии квазичастицы благодаря макроскопическому
движению жидкости; поскольку длина волны испускаемого
(вблизи порога) фонона велика по сравнению с длиной волны
квазичастицы, можно считать, что последняя находится в од-
нородном потоке жидкости, и тогда изменение ее энергии опре-
деляется, как было объяснено в начале § 23. Оператор возму-
щения получается из бе заменой v = V<p и р' вторично-кванто-
ванными операторами (24,10), а р—оператором импульса квази-
частицы р = —iAy:

^ = SP'+|(VP + PV)	(34,11)

(во втором члене произведена симметризация роизведения для
приведения его к эрмитову виду). Вычисле ие вероятности
испускания фонона производится далее аналогично тому, как
это было сделано выше для распада фонона (см. задачу).

Задача

Определить вероятность испускания фонона квазичастицей с импульсом р,
близким к пороговому значению рс, при котором скорость квазичастицы до-
стигает скорости звука.

Решение. Матричный элемент оператора (34,11) берется для рождения
одного фоиоиа (с импульсом q) с одновременным переходом квазичастицы
между состояниями (плоскими волнами) с импульсами р и р'. Вблизи порога
импульс фоиона д рс, а направление q почти совпадаете направлениемр1).

х) Для определенности рассматриваем случай, когда фонон испускается
именно в таком (а не в обратном) направлении. Для этого функция е (р) вблизи
порога должна иметь вид

е(р) к е(рс) + (р —рс)«+а(р—рс)2

(с положительным знаком в линейном члене). Из закона сохранения энергии
легко убедиться, что испускание фонона возможно при этом, если а > 0, и
происходит при р > рс; импульс испускаемого фонона пробегает значения в
интервале 0<g<2 (р—рс).
С учетом этого находим

Vfi = — i (2nh)3 6 (р — Ч1—q2) jA	/2 ,

где

Л = Рс+-Р^|	.

1	и др \p=pc

Отсюда дифференциальная вероятность испускания фонона

dw = ^A28 [е (р) — е(|р—q|)—uq}

Лр	(2лЛ)3

(6-функция импульсов уже устранена интегрированием по d3p"). Написав
аргумент 6-функции в приближенном виде —uq (1—cos 0) и произведя интег-
рирование по d3q, получим

2Д2(р —рс)3

W=------—---C-Ei—

ЗлрА4

§ 35.	Свойства спектра вблизи точки его окончания

В этом параграфе мы рассмотрим свойства спектра бозе-
жидкости вблизи порогов распада элементарных возбуждений
на две квазичастицы, из которых ни одна не является фононом
(случаи а) и б) из § 34)х). В противоположность распадам
с рождением фонона, к этим случаям теория возмущения не-
применима, и их исследование требует выяснения характера
особенностей, которые имеют в пороговых точках гриновские
функции жидкости. С другой стороны, тот факт, что нас будут
интересовать только эти особенности, позволяет существенно
схематизировать и тем самым упростить вычисления. В частно-
сти, можно не делать различия между функциями G и F (по-
скольку их аналитические свойства одинаковы) и поступать так,
как если бы существовал только один тип гриновских функций;
учет различия между G и F привел бы лишь к появлению
в уравнениях нескольких аналогичных (по своим аналитическим
свойствам) членов, что не отразилось бы на результатах.

Тот факт, что интересующая нас особенность гриновской
функции связана с распадом квазичастицы на две другие,
в терминах диаграммной техники означает, что она происходит
от диаграмм вида

С

Р-Ц

которые могут быть рассечены по двум сплошным линиям, т. е.
которые содержат в себе двухчастичные промежуточные состоя-

1)	Содержание этого параграфа принадлежит Л. П. Питаевскому (1959).
ния. В этих диаграммах по промежуточному 4-импульсу Q = (qa, q)
производится интегрирование, причем определяющую (в смысле
возникновения особенности) роль играет область значений Q
и Р — Q, с которыми распадные квазичастицы (продукты рас-
пада) рождаются вблизи порога. Основным для излагаемой ниже
теории является утверждение, что эта область значений 4-им-
пульса не является особой для функции Грина G (Q): в ней она
имеет обычный полюсной вид

G (Q) = G (q0, q) cv [q0-e (q) + i0]~\	(35,2)

где функция е(<?)—энергия распадных квазичастиц — не имеет
особенностей. Физическая выделенность этой области состоит
лишь в том, что в ней квазичастица могла бы «слипнуться»
с другой квазичастицей; но этот процесс невозможен при нуле
температуры ввиду отсутствия реальных возбуждений. Особой
областью для функции Грина являются лишь значения Р (внеш-
ние линии диаграмм (35,1)) вблизи порога распада исходной
квазичастицы.

Двум соединительным линиям на диаграмме (35,1) отвечают
множители G (Q) G (Р — Q), а по Q производится интегрирова-
ние. При этом, ввиду существенности лишь малой области зна-
чений Q, остальные множители в диаграмме можно считать
при интегрировании постоянными, равными их значению при
пороговом значении Q = Qe1). Таким образом, в диаграмме
возникает множитель, выражающийся интегралом

п (Р)=__i__С_______________----------------

1 ’	(2л)4 J 19о~е(9) + 'О] [ю—<7о —е(|р —q|)-H0] ’

где Р = ((о, р). Интегрирование по dq0 выполняется путем за-
мыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокруж-
ностью в одной из полуплоскостей комплексного q0 и дает
n(P>-wL-e(,)-f(?p-<,|)+.0- <ад

К исследованию этого интеграла мы вернемся ниже, а теперь
надо выразить через него искомую точную функцию G(P),
просуммировав для этого все диаграммы вида (35,1).

4) Это утверждение следует уточнить. Дело в том, что множители
G(Q)G(P— Q) не зависят от угла <р, определяющего положение плоскости
(р, q). Поэтому интегрирование по dtp сводится к усреднению остальной
части подынтегрального выражения по <р, после чего d4Q можно понимать
как 2nq2 dq0 dq d cos 0. Именно в таком интегрировании по d4Q существенна
малая область. Это замечание относится и к другим аналогичным моментам
вычислений ниже.
Для функции G (Р) можно написать диаграммное уравнение
Дайсона

(35,4)

Здесь жирные линии изображают точную функцию iG, а свет-
лые— «неособую» часть этой функции, определяемую совокуп-
ностью диаграмм, «неделимых по двум линиям». Второй же
член в правой части (35,4) изображает совокупность диаграмм
вида (35,1). При этом светлый кружок представляет точную
«трехконцевую» вершинную функцию (обозначим eeT(Q, Р—Q,P)),
а заштрихованный—ее нёособую часть, из которой исключены
диаграммы, могущие быть рассечены по двум сплошным линиямх).
Как было объяснено выше, интегрирование по приводит
к появлению множителя П (Р), причем остальные множители
в диаграмме заменяются их значением при Q = QC. Таким обра-
зом, равенство (35,4) означает, что

0(Р) = а(Р) + 6(Р)0(Р)Гс(Р)П(Р),	(35,5)

где Г<.(Р) = Г((2С, Р—Qc, Р), а а(Р), b (Р) — некоторые регу-
лярные (вблизи порога Р = РС) функции.

В (35,5) фигурируют две особые функции — G и Гс, и для
выражения их через П необходимо поэтому еще одно уравне-
ние. Мы получим его, заметив, что точная вершинная функция Г
представляется рядом «лестничного» вида

аналогичным ряду (17,3) для четырехконцевой вершинной функ-
ции. Его суммирование приводит к уравнению

(ср. (17,4)); в аналитическом виде, при Q « Qc, оно дает

Гс (Р) = с(Р)+4(Р)П(Р)Гс(Р),

где с(Р), d(P) — регулярные функции. Исключив теперь Гс из
двух полученных уравнений, найдем искомое выражение

г) Ситуация здесь аналогична уравнению Дайсона в квантовой электро-
динамике (см. IV § 104): как и там, вся требуемая совокупность диаграмм
получается путем введения поправок лишь к одной из вершинных функций.
функции Грина через П:
°’*(р)-ттЖт+с<Р)’	,35’6>

где А, В, С—снова регулярные (вблизи Р = РС) функции.

Дальнейшие вычисления различны для разных типов распа-
дов квазичастиц.

а)	Порог распада на два ротона

В этом случае энергия e(q) распадных частиц вблизи порога
дается формулой (22,6), и интеграл (35,3) принимает вид
П (со, q) = j {со — 2Д—2^5 [(р—р0)2 + (| Р—Ч |—Ро)2] J-'1	•

(35,7)

Для интегрирования вводим новые переменные qz, qp, согласно
определению,

qx = (р0 sin 9 + рр) cos ср, qy = (р0 sin 0 + qp) sin ср,
р2 = р0 cos0 + p;,

причем ось z направлена вдоль р, а угол 0 определен равен-
ством 2pocos0 = р. Вблизи порога q'z, qp малы, и с нужной
точностью имеем

p«po + p'sin0 + p;cos0, |р —q|»po + ppsin0—p;cos0,
d3q « р0 sin 0 dq'p dqz dcp.

Зыражение в фигурных скобках в (35,7) принимает вид

{со—2 Д—-^5- (рр sin2 0 + q'z cos2 0) |

и после повторной замены переменных

Рр sin0 = У т* р cost]), p2cos0 = У т* р sin ф
находим, интегрируя по ф,

pdp

— со + 2Д + р2 •

Расходимость этого интеграла при больших р связана лишь
со сделанными пренебрежениями и несущественна; обрезание
интеграла при некотором значении р3^>|2Д—е| даст вклад
лишь в регулярную часть П. Интерес-уйщая же нас особая
часть этой функции возникает от области вблизи нижнего пре-
дела интегрирования, и для нее находим

П~1П2Д=5-	С35'8!
При малых значениях 2Д—со этот логарифм велик; подста-
вив (35,8) в (35,6) и разложив по его обратным степеням, по-
лучим

G-Цсо, +

где а, Ь, с—новые регулярные функции от со и р. В пороговой
точке (р = рс) энергия распадающейся квазичастицы равна 2Д.
Поскольку энергия квазичастиц определяется нулями функции
G-1, то это значит, что 0-1(2Д, рс) = 0, а для этого должно
быть и Ь(2А, рс) = 0. Но регулярная функция Ь (со, р) разла-
гается по целым степеням разностей р—рс и со—2Д; заменив
также регулярные функции а (со, р) и с (со, р) их значениями
в пороге, получим в результате следующее выражение функции
Грина в околопороговой области:

G-!(<o, Р) = Р [р—Pc + aln~J 2дГ^

(35,9)

где а, а, 0—постоянные.

Приравняв это выражение нулю, мы получим вид спектра
е(р) вблизи порога. Если область невозможности распада лежит
при р < рс< е < 2А, то постоянные а и а должны быть поло-
жительными и уравнение G-1 = 0 имеет здесь незатухающее
решение

е = 2Д—аехр^—•	(35,10)

Мы видим, что кривая спектра подходит к пороговой точке
с горизонтальной касательной бесконечного порядка. В области
же р>рс уравнение G-1 = 0 не имеет ни вещественных, ни
комплексных решений с е«2Д при pwpc. В этом смысле
кривая спектра вообще не продолжается за пороговую точку,
оканчиваясь в ней х).

б)	Порог распада на две квазичастицы с параллельными
импульсами

Поскольку в пороговой точке, при р = рс, выражение
е(р) — е (| р—q |), как функция от q, должно иметь минимум,
то вблизи порога оно имеет вид

е (?)—е (1 р — q |) = ес + vc (р—рс) + a (q — q0)2 + 0 (q — q0, pc)2,

(35,11)

!) Как уже было указано в примечании на стр. 163, в жидком гелии
спектр заканчивается именно в точке такого типа (кривая на рис. 2 прибли-
жается к прямой е=2Д с горизонтальной касательной).
где а, Р—постоянные; vc есть скорость каждой из рождающихся
в пороговой точке распадных квазичастиц, a q0 — импульс одной
из них. Подставив (35,11) в (35,3) и введя новые переменные
интегрирования согласно

p = q—Чо> рРс — рРсcos ;Ф,
получим

тт ,	,_ 1 Р____________р2 dp d cos ip____

Pl (2л)2 J e—ec—vc (p—pc)~ap2—Pp2p2cos2ip "

Этот интеграл имеет в пороговой точке корневую особенность:
ПсЧМР-Ре)-(е-ес)]1/2.	(35,12)

Подставив это выражение в (35,6), находим гриновскую
функцию в околопороговой области

G-Цй), р) = Л(®, р) + В (<о, p)[vc(p—Ре) — (®—ес)]1/2.

Так как G'1(ec, рс) = 0, а Л и В — регулярные функции, то,
разлагая последние по степеням р—рс и со — ес, окончательно
находим

G"1 оо [vc (р—рс) — (со — ec)]V2 +[аРс)	(со —ес)], (35,13)

где а, b—постоянные.

Вид спектра определяется уравнением G_*(e, р) = 0. Ищем
его решение в виде е—ec=vc (р—p)+const(p—рс)2; для того чтобы
оно существовало при р < рс, должно быть a + buc>0 и тогда

е = ес + vc (р—рс) — (a + М2 (р—рс)*.	(35,14)

При том же условии в области р>рс уравнение G-1 = 0 не
имеет решений с	при р^рс. Таким образом, и в этом

случае спектр обрывается в пороговой точке.
Глава tv

ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ

§ 36.	Гриновские функции при конечных температурах1)

Определение функции Грина макроскопической системы при
отличных от нуля температурах отличается от их определения
при нулевой температуре лишь тем, что усреднение по основ-
ному состоянию замкнутой системы заменяется усреднением по
распределению Гиббса: символ <...> будет теперь обозначать

<• • •> = 2оуп <п| ... | п>, ауп = ехр(—г-2") ’	(36,1)

где суммирование производится по всем состояниям системы
(отличающимся как энергией Еп, так и числом частиц Nn),
Е'п = Еп—^Nn, а <п|... |п>—диагональный матричный элемент
по n-му состоянию. Определенные таким образом средние зна-
чения являются функциями термодинамических переменных
Т, р, V.

При исследовании аналитических свойств гриновских функ-
ций при конечных температурах (Л. Д. Ландау, 1958) целесо-
образно воспользоваться так называемыми запаздывающими
и опережающими функциями Грина, аналитические свойства
которых оказываются более простыми2). Для определенности
будем говорить сначала о ферми-системах.

Запаздывающая функция Грина определяется согласно

,-гя (X	<Ч>а(Х1)^(Ха) + ^(Ха)Та(Х1)>,

Ла) S Q	t <. t

(36,2)

Для микроскопически однородной неферромагнитной системы,
в отсутствие внешнего поля, эта функция (как и обычная Gap)
сводится к скалярной функции, зависящей лишь от разности
Х = Х1-Ха:

Ха) = 6а₽0Л(Х), G«=|Gga. (36,3)

В §§ 36—38 пользуемся системой единиц с А = 1.

2) Эти функции принято отличать индексами R и А—от английских слов
retarded и advanced.
Переход к импульсному представлению осуществляется обыч-
ным образом. Но поскольку GR(t, г) = 0 при t < 0, то в опре-
делении

GR (<В, Р) = S S е‘ (О/-РГ) QR r) J/	(36,4)

о

интегрирование по t производится фактически лишь отОдооо.
Смещение переменной со в верхнюю полуплоскость лишь улуч-
шает сходимость, такого интеграла. Поэтому интеграл (36,4)
определяет в верхней полуплоскости со аналитическую функцию,
не имеющую особенностей1). В нижней же полуплоскости, где
функция GR определяется путем аналитического продолжения,
она имеет полюсы (см. ниже).

Получим для функции GR разложение, подобное выведенному
в § 8 разложению (8,7) для функции G при Т = 0.

Раскрыв матричный элемент <п|...|п> от произведения
ф-операторов по правилу матричного умножения и выразив
матричные элементы в виде (8,4), получим

iGR(t, г) =

=	<П I	(°) I m> <m I Ф® (°) I П> +

+ е (ат^-ктп^ | ф+ (0) | m> <т | фа (0) | п>,
где

®тп~Ет Еп, котп = Рот Ри.

Для двух членов в фигурных скобках суммирование по п и
т имеет несколько различный смысл: в первом члене числа
частиц в состояниях пит связаны соотношением Nm = Nn + 1,
а во втором: Nm = Nn— 1. Чтобы устранить это различие, вза-
имно переобозначим во второй сумме индексы тип. Заметив
также, что

<ft | Фа (0) | m> <т | ф+ (0) | п> == | <п |фа (0) | т> |2 = Атп,

приводим все выражение к виду

iGR(t, г) wne_£ (<s,mni~kmnr'> Атп (1 +е_<0/ЯП/г), t > 0.
п, т

________________ (36,5)

Ср. аналогичные рассуждения для функции а(<в) в V § 123. Сходство
аналитических свойств функций GR и а, разумеется, не случайно: согласно V
(126,8), последняя выражается аналогичным образом через определенный
операторный коммутатор.
Наконец, при вычислении интеграла (36,4) заменяем (как
и в § 8) со—*со + i'O и окончательно находим:

с*(®, р)=(-Rr У,	0 + е~а-/г>- (36-6)

т, п

Обратим внимание на то, что все полюсы этого выражения
расположены (в соответствии со сказанным выше) под вещест-
венной осью, в нижней полуплоскости со.

Последнее свойство достаточно для того, чтобы установить
определенную связь между вещественной и мнимой частями
функции — так называемое соотношение Крамерса — Кронига, или
дисперсионное соотношение:

ReG«(co, р) = 1	р) du	(36,7)

— 00

(см. вывод такого же соотношения для а (со) в V § 123). В его
справедливости можно также убедиться и непосредственной про-
веркой, отделив в (36,6) вещественную и мнимую части
с помощью формулы (8,11). Отметим также, что с учетом той
жеч формулы можно переписать (36,7) в виде

X

G«(o), р) = - f -p^u-^.ndut	(36,8)

v	nJ u —co—(0 ’	' ’ '

— X
где

P («, P) = —6 (p — kmn) (1 +e-^mn/T).
m, n

При вещественных co имеем p = ImGff.

Представление (36,8) приобретает более глубокий смысл при
переходе к «макроскопическому пределу» V —> оо (при заданном
отношении N/V). В этом пределе полюсы атп сливаются, и
функция р(и) делается отличной от нуля при всех и (а не
просто равна сумме 6-функций в дискретных точках). При этом
формула (36,8) непосредственно определяет GR (со) в верхней
полуплоскости и и на вещественной оси. Для определения же
Сй(со) в нижней полуплоскости со необходимо произвести ана-
литическое продолжение интеграла, для чего следует деформи-
ровать контур интегрирования таким образом, чтобы он всегда
огибал точку и = <л снизу. При этом GR(а) может иметь особен-
ности в нижней полуплоскости (на конечном расстоянии от ве-
щественной оси), когда контур «зажимается» между полюсом
и = со и особенностью числителя.
»бар(Хх, Х2) =

§ 36]

Опережающая функция Грина вводится аналогичным образом,
согласно определению,

О

- <+а (Хх) (Х2) +47 (Х2) 4>а (Х1)>, t. < t2.

(36,9)

Функция Сл (со, р) в импульсном представлении является ана-
литической функцией переменной <о, не имеющей особенностей
в нижней полуплоскости. Ее разложение отличается от (36,6)
изменением знака перед t'O в знаменателях. Это значит, что на
вещественной оси GA (со) = GR* (со), а во всей плоскости со:

GA(a*) = GRt (со).	(36,10)

При со—> оо функции GR и GR стремятся к нулю по тому
же закону, что и функция G:

GR, GA—>1/(0 при |со|—>оо.	(36,11)

Напомним (см. вывод (8,15)), что коэффициент (единица) в этом
асимптотическом выражении определяется величиной скачка
функции при t2 = ti, этот скачок не зависит от температуры и
одинаков для всех трех функций GR, GA, G, как это ясно из их
определений.

Для установления связи между введенными таким образом
функциями GR, GA и обычной функцией Грина

iG^(Xit Х2)=<ТТа(Х1)^(Х2)>	(36,12)

получим для последней разложение, аналогичное (36,5). Вычис-
ления, вполне аналогичные произведенным выше, приводят к ре-
зультату !):

G (со, р) =	£ wnAmifi &—Ътп) х

т, п

X |	1 -(1 + е_<0'»«/7’)+ш6((0 — <0OT„)(1 — e-‘W7’)]..	(36,13)

\штп ш	J

Сравнив (36,13) и (36,6), найдем

= ReG((o, p)±icth^ImG((o, р).	(36,14)

При этом, как видно из того же выражения (36,13):

sign ImG (со, р) —— sign со.	(36,15)

Gff((o, р) |
GA (со, р) J

*) При переходе к импульсному представлению интеграл по t разбивается
на две части — от —оо до 0 и от 0 до оо, причем в одной из них производится
переобозначение индексов суммирования т, п.
Обратим внимание на то, что функция G, в отличие от GR и GA,
не является аналитической функцией со.

При Т —>-0 имеем cth (со/271)—*signco, и из (36,14) следует,
что на вещественной оси

1 GR, со > 0,
( GA, со < 0.

(36,16)

Таким образом, функция G(co) при Т = 0 представляет собой
на двух вещественных полуосях со предельные значения (при
] Im со |—>0) двух различных аналитических функций: G^(co) на
правой и Ол(со) на левой полуоси.

Легко написать выражения функций GR, GA для идеального
ферми-газа. Достаточно заметить, что они удовлетворяют тому
же уравнению (9,6), в выводе которого использовано лишь зна-
чение скачка функции при ^ = /2. Способ же обхода полюса
известен из того, что для GmR он должен проходить под, а для
б(0,л—над вещественной осью. Отсюда следует выражение

GmR'A(a, р) = [со-^г + н + ^о]'1,	(36,17)

справедливое как при нулевой, так и при конечных температу-
рах. Для функции же G(0) находим, согласно (36,14),

°'"’ (“• Р> =	th >'8 (“-£+(*)  (3«.18)

При Г—* 0 мы вернемся к формуле (9,7), отличающейся от
(36,17) заменой ± i0 на iO-sign со.

Приведем аналогичные формулы для случая бозе-системы.
Запаздывающая и опережающая функции Грина определяются
согласно:

<Т (Х2) ТДХ2)-Ф+ (Х2) Y(XJ>, t, > t2,
0	,	^</2,

0	,	^2,	<36’19)

-<Ф (X,) ¥+(Ха)-Ф+ (X^XJX t, < t2.

Если при этом идет речь о температурах выше Х-точки, то в этих
определениях фигурируют полные ф-операторы; при температу-
рах же ниже Х-точки определение относится к надконденсатным
операторам. Вместо (36,6) имеем теперь

G^(co, р) = (2л)з £ wn ^^-^.(l-e-^). (36,20)
tn, п

iGR(Xt, Х2)=

iGA (Хй Х2) =

Связь же этой функции с G дается формулой

Gff(co, p) = ReG(co, p) + ith^--ImG(co, р),	(36,21)
причем на вещественной оси

ImG (о, р) < 0	(36,22)

(функция G определяется, согласно (31,1), с усреднением по
распределению Гиббса вместо усреднения по основному состоя-
нию). Для идеального бозе-газа функция GR дается той же
формулой (36,17), а функция G:

°т^ P) = pa-i,W+,.-fIt 6 (—£+1*)  (36,23)

Физический смысл функций Грина при отличных от нуля
температурах в основном совпадает с их смыслом при Т = 0.
Разумеется, остаются справедливыми формулы, связывающие
гриновскую функцию G с импульсным распределением частиц
(7,23) и вообще с матрицей плотности (7,18), (31,4).

Остаются в -силе также и основные утверждения о совпаде-
нии полюсов функции Грина с энергией элементарных возбуж-
дений (поскольку, однако, сама функция G не аналитична, то
при этом удобнее говорить о полюсах аналитической функции
GR, которые она имеет в нижней полуплоскости и, или о полю-
сах функции GA в верхней полуплоскости). Это утверждение
снова- (как и в § 8) следует из разложения (36,6). Хотя в раз-
личных членах этого разложения фигурируют теперь частоты
переходов ттп между любыми двумя состояниями системы, но
(после перехода к макроскопическому пределу) по-прежнему
остаются полюсы, отвечающие лишь переходам из основного
состояния в состояния с одним элементарным возбуждением.
Переходы же между двумя возбужденными состояниями не при-
водят к возникновению полюса в макроскопической одночастич-
ной функции Грина по той же причине, по которой не приводят
к возникновению полюса и переходы из основного в состояния
с более чем одной квазичастицей (см. § 8): разность энергий
таких состояний не определяется однозначным образом разно-
стью их импульсов.

Подчеркнем также, что при отличных от нуля температурах
продолжительность жизни квазичастиц связана не только с их
собственной неустойчивостью, но и с их столкновениями друг
с другом. Затухание от обоих этих источников должно быть
слабым для того, чтобы понятие о квазичастицах продолжало
иметь смысл.

§ 37.	Температурные функции Грина

Для построения диаграммной техники вычисления гриновской
функции при конечных температурах надо было бы перейти от
гейзенберговского представления ф-операторов к представлению
взаимодействия, как это было сделано в § 12. При этом мы
снова пришли бы к выражению, отличающемуся от (12,12) лишь
тем, что усреднение производится не по основному состоянию.
Это отличие, однако, очень существенно: усреднение оператора
S-1 уже не может быть отделено от усреднения остальных мно-
жителей, как это было сделано при переходе от (12,12) к (12,14);
дело в том, что неосновное состояние под влиянием оператора
S-1 переводится не само в себя, а в некоторую суперпозицию
возбужденных состояний с той же энергией (включающую в себя
результаты всевозможных процессов взаимного рассеяния квази-
частиц). Это обстоятельство приводит к существенному услож-
нению диаграммной техники — возникают новые члены от свер-
тываний, в которых участвуют также и ф-операторы из S-1.

Можно, однако, изменить определение гриновской функции
таким образом, чтобы подобных усложнений не возникало. Осно-
ванный на этом определении математический аппарат, разрабо-
танный Мацубарой (Т .Matsubara, 1955), в особенности целесооб-
разен для вычисления термодинамических величин макроскопи-
ческой системы.

Введем так называемые мацубаровские ф-операторы, согласно
определениюх),

Ф^(т, г) = ет/?'фа(г)е-т/>,

Z4	(*$ * t 1)

(т, г) =етН'фа(г) e~zH',

где т—вспомогательная вещественная переменная; эти опера,-
торы отличаются, с формальной точки зрения, от гейзенбергов-
ских операторов заменой в последних вещественной переменной t
мнимой величиной —1т2). Такой же заменой (Т-^Ч™1 2, Т+ —
id/dt—>—д/дх), например в (7,8), получаются уравнения, кото-
рым удовлетворяют операторы (37,1). С помощью этих операто-
ров новая функция Грина Ъ определяется аналогично тому, как
обычная гриновская функция G определяется через гейзенбер-
говские ф-операторы:

^₽(ть г,; т2, г2) = - <ТтЧ^ (т1(	(т2, г2)>,	(37,2)

где символ Тт означает «т-хронологизацию»—расположение опе-

1) В этом параграфе мы будем писать формулы одновременно для ферми-
систем и бозе-систем (выше A-точки). При разнице в знаках ферми-системам
будут отвечать верхние, и бозе-системам — нижние знаки. Кроме того, для
бозе-систем следует опустить спиновые индексы.

2) Подчеркнем, что в виду этого отличия оператор отнюдь не совпа-
дает с Ф''И+.
раторов в порядке увеличения т справа налево (с изменением
знака при перестановке операторов в случае ферми-систем);
скобки же <.. .> означают усреднение по распределению Гиббса.
Последнее можно представить в явном виде, записав определе-
ние (37,2) как

Sap^-Sp^T^Ti, Г1)¥рм(т2, г2)}, £> = ехр(-^^), (37,3)

где Sp означает сумму всех диагональных матричных элементов.
Определенную таким образом гриновскую функцию называют
температурной в отличие от «обычной» функции G (которую
называют в этой связи временной).

Как и Gap, функция для неферромагнитной системы
в отсутствие внешнего магнитного поля сводится к скаляру:
$а|з = $6а|з. Для пространственно-однородной системы ее зависи-
мость от и г2 снова сводится к зависимости от разности
Г = Г1 —г2.

Легко также видеть, что уже по самому определению (37,3)
функция $ зависит только от разности t = Tj—т2. Пусть, напри-
мер, Т1<т2; тогда имеем1)

$ = ± -X en/rSp {е~н'1ТеъН'$а (r2) е(-ъ+ *•) "'фа(г1) е~х^'}

или, произведя под знаком Sp циклическую перестановку мно-
жителей:

^-±74ея/г5р{е-(1/г + ^^ф+(г2)е^'фа(г1)}, т<0, (37,4)

откуда и очевидно сделанное утверждение.

Переменная т будет фактически пробегать значения лишь
в конечном интервале

— 1/Т<т<1/7\	(37,5)

При этом значения функции $(т) при т < 0 и т > 0 связаны
друг с другом простым соотношением. При т = Т1—т2 > 0, ана-
логично выводу (37,4), находим'

$ = -757 еЯ/Г SP <е~(1/Г- т) (Г1>	=

\л)

= —757 e°/T SP <е~	<г2> е~ {1!Т~ Т) Й (Г1)Ь т > °>

2)	Заключенный в скобки множитель 2 относится к ферми-снстемам, а для
бозе-систем должен быть заменен единицей.
а сравнив это выражение с (37,4), получим

=	т<0	(37,6)

(ввиду (37,5) аргумент функции справа при т < 0 положителен).

Разложим теперь функцию $(т, г) в интеграл Фурье по
координатам и в ряд Фурье по т (на интервале (37,5)) *):

»(т,г) = Г Д (₽г-^) $ (?J, р) ,	(37,7)

причем для ферми-систем

^ = (2s + l)nT,	(37,8а)

а для бозе-систем

^ = 2snT	(37,86)

(s = 0, ±1, ±2, ...); при этом автоматически выполняется
условие (37,6). Обратное к (37,7) преобразование имеет вид

1/Т

$(k,P)=J	r)d3xdr (37,9)

о

(интеграл по области —l/Тт l/Т преобразован в интеграл
от 0 до 1/Т с учетом (37,6) и (37,8)).

Вычисления, аналогичные произведенным в § 36, позволяют
выразить $(^, р) через матричные элементы шредингеровских
ф-операторов. Они приводят к результату

S(k, Е a>/7£6(P~kmn)(l ±е-а-п/т). (37,10)

Отсюда видно прежде всего, что

$(-^, Р) = $*(^. Р)-	(37,11)

Далее, сравнив (37,10) с разложениями (36,6) и (36,20) для GR,
найдем, что

S(^P) = G'?(^P), k>0.	(37,12)

Условие > 0 связано с тем, что выражения (36,6) и (36,20)
справедливы непосредственно лишь в верхней полуплоскости со,
как это объяснено на стр. 174. Таким образом, в компонентах
Фурье температурная функция Грина совпадает с запаздываю-
щей функцией Грина, взятой в дискретных точках мнимой оси со.

1) Введение этого приема принадлежит А. А. Абрикосову, Л. П. Горькову,
И. Е. Дзялошинскому (1959) и Е. С. Фрадкину (1959).
Этот результат позволяет, в частности, сразу написать выраже-
ние для температурной функции Грина идеального газа: заменой
®—находим из (36,17)

$(0,(^ Р) = i^ + ир. (37,13)

В следующем параграфе будет изложена диаграммная техника
для вычисления функции $(£^, р). Для определения же функции
6й (<о, р) (и тем самым, в частности, для определения энергети-
ческого спектра системы) надо построить аналитическую функ-
цию, совпадающую с S(^, р) в точках <o = i^ и не имеющую
особенностей в верхней полуплоскости <о. Эта процедура одно-
значна, если добавить требование 6й (<о, р)—>0 при | со |—>оо
(см. (36,11)). Тем не менее в конкретных случаях такое анали-
тическое продолжение может быть сопряжено с определенными
трудностями. Но для вычисления термодинамических величин
его производить не надо.

Так, для вычисления потенциала Q можно исходить из вы-
ражения усредненной по распределению Гиббса матрицы плот-
ности

Жр(Гп г2) = ±^р(т1, г15 тх + 0, г2)	(37,14)

(очевидного из определения (37,2); ср. (7,17)). Положив г2 = гх
(и просуммировав по а = Р), получим для плотности системы

(37,15)

S = — СО	А / I

Это выражение определяет N как функцию р, Т, V, после чего
Q(p, Т, V) вычисляется интегрированием равенства N =—дй/др.

§ 38.	Диаграммная техника для температурных
функций Грина

Диаграммная техника для вычисления температурной функ-
ции Грина 'S строится подобно тому, как это делалось в §§ 12, 13
для временной функции G. Тот факт, что определение мацуба-
ровских ф-операторов (37,1) отличается от определения гейзен-
берговских операторов лишь формальной заменой it—► т, позво-
ляет во многом воспользоваться прямой аналогией.

Прежде всего вводим мацубаровские операторы в «представ-
лении взаимодействия», отличающиеся от (37,1) заменой точного
гамильтониана Н’ на гамильтониан свободных частиц Н'а:

^(т, г) = ехр (тЯ'0)фи(г)ехр(— тН'а).	(38,1)

Связь между операторами 4%^ и осуществляется мацуба-
ровской S-матрицей, построенной аналогично (12,8):
f т2

О (Т2, Tj) = Tt exp { — $ Vo (т) dr !• ,	(38,2)

kt,	J

где

Уо(т) = ехр(т#о)^ехр(— т/Zo)	(38,3)

— оператор взаимодействия в том же представлении. Но в то
время как в § 12 связь между Т и То устанавливалась при
начальном условии «включения» взаимодействия при / = —оо,
теперь роль «начального» условия должно играть совпадение
ФЛ1 и Чо при х = 0. Соответственно вместо (12,11) пишем

Чг^1(т) = а-1(т, О)То^(т)3(х, 0).	(38,4)

Подставим это выражение в определение функции Грина
(37,3); положив, для определенности, х2 > т2, имеем

(т1> тг) =

= —Sp {ию-Чь, 0) фм (Т1) о (Tj, 0)	0)^(т2)о(т2, 0)}

(аргументы г1; г2 для краткости не выписываем). Заметив, что
при Tj Т2 Тд

О(Т1, Т3) = О(Т1, Х2)<т(т2, х3),

О(Т2, Tj) 0-4x3, т1)=о(т2, т3),

переписываем в виде

МТ1» Т2) =

=—Spju’o-1	[°(т’Т1)^(Т1МТ1’

Множители в Квадратных скобках уже расположены в порядке
возрастания справа, налево.-Поэтому можно написать

$а₽ (И, т2) = - Sp {^-1 [Tti« (п)	(т2) 5]},	(38,5)

где

0 = 0 (у-, о) .

Легко проверить, что в таком виде это выражение остается
справедливым и при хг < та.

В отличие от (12,12), в (38,5) содержится лишний (гиббсов-
ский) множитель, и, кроме того, усреднение производится еще
по состояниям системы взаимодействующих частиц. Покажем,
что оба эти отличия «взаимно погашаются», в результате чего
восстанавливается полная аналогия с (12,14). Для этого вос-
пользуемся формулой

е~^' = е~хН'»о(г, 0),	(38,6)

которая получается путем подстановки (38,1) в (38,4) и после-
дующим сравнением получившегося выражения с определением
4м1 согласно (37,1). С ее помощью заменяем в (38,5)

Множитель же е<л‘т выносим из-под знака Sp, перенеся его из
числителя в знаменатель и представив в виде

е~^т = Sp е~н’/т — sp о ^-1-, о).

Наконец, умножив числитель и знаменатель на ехр (Qq/Т1) (где
Qo—термодинамический потенциал идеального газа при тех же
значениях р, Т, V), получим окончательно

(тх, т2) = - 4- <тЛЛ£ (Тг) (т2) О>0,	(38,7)

<<Л>0

где усреднение производится по состояниям системы невзаимо-
действующих частиц:

<• . >0 = Sp {й'о. . .

Аналогия этого результата с (12,14) очевидна.

Для перехода к диаграммам теории возмущений, как и в§ 13,
разлагаем выражение (38,7) по степеням оператора взаимодей-
ствия К0(т). Для системы с парным взаимодействием между
частицами этот оператор отличается от (13,2) лишь заменой
гейзенберговских Ч^, на мацубаровские Ч™1, 4м1. Средние
значения произведений ф-операторов снова раскрываются по
теореме Вика (т. е. путем выбора всеми возможными способами
попарных сверток операторов); применимость этой теоремы
в макроскопическом пределе доказывается в данном случае теми
же рассуждениями, что и в § 13.

Возникающие, таким образом, правила диаграммной техники
вполне аналогичны правилам, полученным в § 13 для техники
при 71 = 0. Графическое изображение диаграмм остается в точ-
ности тем же. Несколько меняются лишь правила аналитиче-
ского прочтения диаграмм.

В координатном представлении каждой сплошной линии,
идущей от точки 2 в точку 1, сопоставляется множитель
— ^арСч, ri’ т2’ Гз) (со знаком минус). Каждому пунктиру, сое-
диняющему точки 1 и 2, отвечает множитель—1/(гх—г2)6(тх—т2).
По всем переменным т, г внутренних точек диаграммы произ-
водится интегрирование по d3x по всему пространству и по
dx—в пределах от 0 до 1/Т.

Для перехода к импульсному представлению надо разложить
все функции $(0) в виде (37,7). После интегрирования по всем
внутренним переменным г в каждой вершине диаграммы возни-
кает 6-функция, выражающая закон сохранения импульса (2р=0).
Кроме того, в каждой вершине возникает интеграл вида

„ I/T

$ ехр {— iT(£S1 + U + U)}<iT.
о

Этот интеграл (с учетом (37.8)) отличен от нуля, только если
2£s = 0, причем в этом случае равен 1. Таким образом, в каж-
дой вершине соблюдается также и закон сохранения дискретных
частот. Каждой сплошной линии ставится теперь в соответствие
множитель —$afj(ts, Р) (сплошной же линии, замкнутой на себя,
снова отвечает множитель п(0) (р, Т)—плотность идеального газа
при заданных р, Т). Каждой пунктирной линии сопоставляется
множитель —U (q). По всем импульсам и частотам, оставшимся
неопределенными (после учета законов сохранения во всех вер-
шинах), производится интегрирование и суммирование вида

т У

1 2^ J (2л)3 •' •

S= ~ 00

Общий коэффициент, с которым диаграмма входит в —Зар,
в случае ферми-систем равен (— I)1, где L — число замкнутых
последовательностей сплошных линий в диаграмме. В случае
же бозе-систем этот коэффициент равен 1.

Разумеется, и в этой технике (как и в технике при Т = 0)
можно производить частичное суммирование и вводить различ-
ные диаграммные «блоки». В частности, можно определить вер-
шинную часть, выражающуюся через двухчастичную функцию
Грина. Эта вершинная часть связана с функцией £ уравнением
Дайсона, аналогичным (15,14). Мы не будем выписывать такие
формулы, вывод которых вполне аналогичен выводу в диаграм-
мной технике при Т — 0.

При переходе к случаю Т = 0 суммы по s в мацубаровских
диаграммах превращаются в интегралы по £ и мацубаровская
техника превращается в технику, очень напоминающую обычную,
изложенную в главе II. Разница, однако, состоит в том, что
при вещественных £ мацубаровские функции совпадают со зна-
чениями GR и GA на соответствующих полуосях мнимой оси
(см. (37,11 —12)). Для перехода к обычной технике при 7 = 0
надо еще повернуть контур интегрирования до совпадения с ве-
щественной осью ш.
ГЛАВА V

СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ

§ 39. Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр

Вся изложенная в главе I теория Ландау относится только
к одной категории ферми-жидкостей—к жидкостям, обладающим
энергетическим спектром, не приводящим к .явлению сверхтеку-
чести. Этот тип спектров не является единственной возможностью
для квантовой ферми-жидкости, и мы переходим теперь к изу-
чению ферми-систем со спектром другого типа. Происхождение
этого типа энергетических спектров и его основные свойства
можно наиболее наглядным образом выяснить на простой мо-
дели, допускающей полное теоретическое исследование—вырож-
денном почти идеальном ферми-газе с притяжением между
частицами х).

Слабо неидеальный ферми-газ с отталкиванием между части-
цами был рассмотрен в § 6. На первый взгляд, произведенные
там вычисления в равной степени справедливы как для случая
отталкивания, так и для притяжения между частицами, т. е.
как при положительной, так и при отрицательной длине рас-
сеяния а. В действительности, однако, в случае притяжения
(а < 0) найденное таким образом основное состояние системы
оказывается неустойчивым по отношению к определенной пере-
стройке, меняющей его характер и понижающей энергию.

Физическая природа этой неустойчивости состоит в стремле-
нии частиц к «спариванию»: образованию связанных состояний
парами частиц, находящихся (в р-пространстве) вблизи ферми-
поверхности и обладающих равными по величине и противопо-
ложными по направлению импульсами и антипараллельнымн
спинами—так называемый эффект Купера (L. N. Cooper, 1957).
Замечательно, что этот эффект возникает в ферми-газе уже при
сколь угодно слабом притяжении между частицами.

Именно в силу этого эффекта использованная в задаче о ферми-
газе с отталкиванием система операторов ара, ара, соответствую-
щих свободным состояниям отдельных частиц газа, не может

х) Эта задача лежит в основе теории сверхпроводимости, построенной
Бардином, Купером и Шриффером (J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer,
(1957). Излагаемый ниже метод решения принадлежит Н. Н. Боголюбову (1958).
служить теперь правильным исходным приближением теории
возмущений1). Вместо них надо уже сразу ввести новые опе-
раторы, которые будем искать в виде линейных комбинаций

Ьр-—	-J-Орй-р, +,	(39 J)

bp+ = ирар+ — vpatp, _,
объединяющих операторы частиц с противоположными импуль-
сами и спинами (индексы + и _ относятся к двум значениям
проекции спина); в силу изотропии газа коэффициенты ир, vp
могут зависеть только от абсолютной величины импульса р.
Для того чтобы эти новые операторы отвечали рождению и унич-
тожению квазичастиц, они должны удовлетворять таким же
правилам коммутации Ферми, как и старые операторы:

Мра + Ьр+аЬра=1,	(39,2)

а все другие пары операторов антикоммутативны (индекс а ну-
мерует два значения проекции спина). Для этого коэффициенты
преобразования должны удовлетворять условию

U2p + v*p=l	(39,3)

(ир, vp могут быть сделаны вещественными надлежащим выбором
фазового множителя). При этом обратное (по отношению к (39,1))
преобразование имеет вид

цр + = ирЬр+ 4-У^Ь-р, _,	(39 4)

ар_ = upbp_—vpbtp, +.

По тем же причинам (основной роли взаимодействия между
парами частиц с противоположными импульсами и спинами) мы
сохраним в гамильтониане (6,7) во второй сумме лишь члены,
в которых = — р,^р, р( =— ра==р':

Д —	йра^ра	йр' + Я-р'.-Я-р, -Яр.)-,	(39,5)

ра	рр'

где снова введена «константа связи» £ = 4лА2|а|/т (длина рас-
сеяния а < 0).

В дальнейших вычислениях будет удобно снова воспользо-
ваться обычным приемом, позволяющим избавиться от необходи-

4 Указание на неприменимость теории возмущений (в использованной
в § 6 форме) к парам частиц с проекциями спинов ± 1/2 и с импульсами
Ра «—Pi Дает уже наличие особенности при ,ft = n, которой обладает полу-
ченное с помощью этой теории выражение функции взаимодействия квазичастиц
(6,16); эта особенность существует только при антипараллельных спинах, ко-
торым отвечает равное —1 собственное значение оператора о^о^.
мости явным образом учитывать постоянство числа частиц в
системе: в качестве нового гамильтониана вводится разность
Н' = Н—pN, где

N = 2 «ра«ра
ра

— оператор числа частиц; химический потенциал определяется
затем, в принципе, условием равенства среднего значения N
заданному числу частиц в системе.

Введем также обозначение

^=-£—и-	(эд

Поскольку	то вблизи поверхности Ферми

= Pf),	(39,7)

где vF= pF-m. Вычитая рЛА из выражения (39,5), напишем, таким
образом, исходный гамильтониан в виде

Н =	Т]рйрдйрд р-йр'4-й_р',-й-р,-йр-|_.	(39,8)

ра	РР'

Произведем в этом гамильтониане преобразование (39,4).
Используя соотношения (39,2—3) и возможность замены индекса
суммирования р’на —р, получим

Н' = 2 у t\pv2p +£ Л, («₽—(Ьр\Ьр + + bp-bp-) 4-
р	р

+ 2 £	(bp+b-p, - + b_р,_ Ьр+)- f £ В^Вр,	(39,9)

р	рр'

Bp = u2pb-pt~bp+ v2pbp+b_р, - vptip (b-р,- b-p, - bp+bp+).

Выбор коэффициентов ир, vp осуществим теперь из условия
минимальности энергии Е системы при заданной энтропии. По-
следняя определяется комбинаторным выражением

S = — 2 [«ра In Пра + (1 — Пра) In ( 1 — Пра)].
ра

Поэтому указанное условие эквивалентно минимизации энергии
при заданных числах заполнения квазичастиц пра.

В гамильтониане (39,9) диагональные матричные элементы
имеют лишь члены, содержащие произведения

ЬраЬра= «ра» ЬраЬра — 1 Цра-
Поэтому находим

(?ip++np_)—

р	р

е_
V

(39,10)

Варьируя это выражение по параметрам ир (учитывая при
этом связь (39,3)), получим в качестве условия минимума

6£	2	, Г„

,^ = --(1-Пр+-пР-) 2r\pupVp-

—у-(и2р —Vp) ^Up-Upjl—Пр'+ —Пр'_) = 0.
р'

Отсюда находим уравнение

2п^Л> = д G4—Ур).
где Д обозначает сумму:

a = V^upup(1—«р+—А

(39,11)

(39,12)

р

Из (39,11) и (39,3) выражаем ир,

М=1

Vp ] 2

vp через т]р и Д:

Пр \

/д2+п2р/

(39,13)

Подставив же эти значения в (39,12), получим уравнение, оп-
ределяющее Д:

g У1~Пр+~пр~- 1.

2V р ]/ Д2 + чр

В равновесии числа заполнения квазичастиц не зависят от на-
правления спина и даются формулой распределения Ферми
(с равным нулю химическим потенциалом—ср. примечание на
стр. 18):

пр+=пр_ =[ее/г+I]-1.	(39,14)

Перейдя также от суммирования к интегрированию по р-про-
странству, запишем это уравнение в виде

g Г 1—2np	dtp

2 J 1/Д2+Пр (2лЛ)3

Обратимся к исследованию полученных соотношений. Мы
увидим, что величина Д играет основную роль в теории спе-

(39,15)
ктров рассматриваемого типа. Вычислим прежде всего значение
этой величины при Т = 0 (обозначим его До).

При Т = 0 квазичастицы отсутствуют, так что пр — 0 й урав-
нение (39,15) принимает вид

(39,16)

2 (2лЛ)3 * * * * J /До + Пр

Сразу же отметим, что это уравнение заведомо не могло бы
иметь решения (для До) при g<0, т. е. в случае отталкивания
(знаки обеих сторон уравнения были бы заведомо различны).

Основной вклад в интеграл в (39,16) вносит область импуль-
сов, в которой A0<^nF|pF—и интеграл имеет ло-
гарифмический характер (малость До по сравнению с р. подтвер-
ждается результатом). Обрезая логарифмический интеграл при
некотором т] = е-~р, имеем1)

_______р2^р_________pf Г ____________2рр , s
[До+рр(р5—р)2]1/2 vF J (До+п2)1/2 vF До

Поэтому находим

gmpF ln е

2лФ До

откуда

А	/ 2лФ \ - Г nk \

=е М-^)=8 ехр Ь-етл) •

Это выражение можно записать также и в виде
Д0 = ёехр(— 2/gvp),

(39,17)

(39,18)

(39,19)

где vF — mpplnffo—энергетическая плотность числа состояний
частицы на ферми-поверхности (vde—число состояний в интер-
вале de)-.

Наибольший интерес представляет форма энергетического
спектра системы—энергия элементарных возбуждений вр+ =
= ер_=е(р). Мы найдем ее по изменению энергии всей системы
при изменении чисел заполнения квазичастиц, т. е. проварьиро-
вав Е из (39,10) по мра. Поскольку значения ир, v„ уже вы-
браны из условия равенства нулю производных от Е по ним,

х) При p^>pF величина г]р р2, и интеграл (39,16) в иаписаином виде

расходится, как р. В действительности, однако, эта расходимость фиктивна

и устраняется перенормировкой связи между константой g (т. е. длиной рас-
сеяния а) и потенциалом взаимодействия, подобно тому, как это было сделано

в §§ 6 и 25. Последовательное проведение такого довольно сложного расчета
дает возможность определить также и коэффициент пропорциональности между

параметром обрезания е и химическим потенциалом ц: е — (2/е)’/3 pi = 0,49ц.

(см. Л. П. Горьков, Т. К.. Мелик-Бархударов, ЖЭТФ 40, 1452 (1961)).
то варьирование Е по пра можно производить при постоянных
ир, vp. Таким образом,

( ЪЕ \

8 = л— )

Вычисление производной с использованием (39,11—13) приводит
к простому результату:

е(р) = -|/Д* + т]£.	(39,20)

Мы видим, что энергия квазичастицы не может быть меньше
величины Д, достигаемой при p = pF. Другими словами, воз-
бужденные состояния системы отделены
е	от основного энергетической щелью. Об-

s.	л ладая полуцелым спином, квазичастицы

jV	должны появляться	парами. В этом смыс-

j	//	ле можно сказать,	что величина щели

равна 2Д. Обратим внимание на экспо-
\ /	ненциальную малость этой величины:

р-р поскольку рр| а |/А	1, то До экспонен-

циально мало по сравнению с р. Отме-
Рис- 5-	тим также, что выражение (39,18) не

может быть разложено по степеням малого
параметра — константы связи £; последняя входит в знаменатель
показателя экспоненты, так что значение g = 0 является суще-
ственно особой точкой функции До (gj.

Спектр (39,20) удовлетворяет установленному в § 23 условию
сверхтекучести: минимальное значение е/р отлично от нуля.
Поэтому ферми-газ с притяжением между частицами должен
обладать свойством сверхтекучести.

На рис. 5 сравнены законы дисперсии квазичастиц в сверх-
текучей (верхняя кривая) и нормальной ферми-системах. В по-
следней этот закон изображается (в соответствии с указанной
в конце § 1 трактовкой) двумя прямыми е = vF|р — рР\.

Величина щели Д зависит от температуры, т. е. сама форма
спектра зависит от статистического распределения квазичастиц —
ситуация, аналогичная тому, что имеет место для ферми-жид-
кости нормального типа. Поскольку при возрастании темпера-
туры числа заполнения квазичастиц возрастают (стремясь к 1),
то уже из уравнения (39,15) видно, что Д при этом уменьшается
и при некоторой конечной температуре Тс обратится в нуль:
система перейдет из сверхтекучего состояния в нормальное. Эта
точка представляет собой фазовый переход второго рода (по-
добный Х-переходу в сверхтекучей бозе-жидко.сти).

Наличие энергетической щели в спектре вырожденного фер-
ми-газа и является выражением эффекта «спаривания», о кото-
§ 40] СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА 191
ром уже говорилось в начале параграфа. Величину 2Д можно
рассматривать как энергию связи куперовской пары, которую
надо затратить для ее разрыва.

Гамильтониан (39,5) учитывает (как уже было отмечено в § 6)
взаимодействие лишь между парами частиц, находящимися
в синглетном «-состоянии: орбитальный момент относительного
движения частиц равен нулю, а их спины антипараллельны.
Обладая равным нулю полным спином, пары ведут себя как
бозевские образования и могут накапливаться в конечном числе
на уровне (своего движения как целого) с наименьшей энер-
гией— уровне с равным нулю суммарным импульсом. В таком
наглядном истолковании это явление вполне аналогично накап-
ливанию частиц в состоянии с нулевой энергией (бозе-эйнштей-
новской конденсации) в бозе-газе; в данном случае конденсатом
является совокупность спаренных частиц.'

Представлению о связанных парах не следует, конечно, при-
давать слишком буквальный смысл. Более точно следует говорить
о корреляции между состояниями пары частиц в р-пространстве,
приводящей к конечной вероятности частицам иметь равную
нулю сумму импульсов. Разброс др значений импульсов в обла-
сти корреляции соответствует энергии порядка Д, т. е. др ~ Д/цр
Соответствующая длина £ ~ А/бр ~ iwFl\ определяет порядок
величины расстояний между частицами с коррелированными им-
пульсами. При Т = 0 эта длина (ее называют длиной когерент-
ности)

| ~^~1_ехр	(39,21)

0 До Pf r\2pF\a\J	v ’

Поскольку в вырожденном ферми-газе A/pF совпадает по по-
рядку величины с межатомными расстояниями, то мы видим,
что очень велико по сравнению с последними. Это обстоя-
тельство в особенности наглядно демонстрирует условность
понятия о связанных парах.

Происхождение эффекта Купера тесно связано с существо-
ванием ферми-поверхности, ограничивающей (в р-пространстве)
конечную область заполненных (при Т = 0) состояний; важное
обстоятельство состоит в том, что энергетическая плотность
числа состояний на этой поверхности отлична от нуля. Эта
связь проявляется в формуле (39,19) для величины щели До,
обращающейся в нуль при —>0.

§ 40. Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства

Изучение термодинамических свойств сверхтекучего ферми-
газа начнем с вычисления температурной зависимости величинь
энергетической щели. Переписав уравнение (39,15) в следующей
виде

i + g.f_^_=x

2 J 8 (2я^)3	J е (2лА)3 ’

замечаем, что интеграл в его левой стороне отличается от инте-
грала при Т = 0 лишь заменой До на Д. Поэтому учитывая (39,17),

мы видим, что левая сторона равна

SР fPI 1 А о	м

1л -у-. В правой стороне

подставляем пр из (39,14) и переходим к интегрированию по
dp = dt\/vF:

д J е(ее/г + 1)	\Т)	k '

— 00

где

/(u) = j
о

dx

Ух24-и2 (ехр У"х2+ и2+ 1)

(ввиду быстрой сходимости интеграла пределы интегрирования
могут быть распространены до ± оо).

В области низких температур (Т Д) интеграл вычисляется
просто1) и получается

A = A0

1- т/
г До

(40,2)

В области же вблизи точки перехода А мало, и первые члены
разложения интеграла I (&/Т) дают 2)

. До . пТ . 7^3) А2	/лг, о.

lnT = ln^ + -8^ Л •	<40’3)

Отсюда, прежде всего, видно, что А обращается в нуль при
температуре

7\. = уД0/л = О,57До,	(40,4)

1) При больших и первый член разложения / (и) по 1/«:

2) Для разложения интеграла I (и) при и —>• 0 прибавляем и вычитаем из
него интеграл
малой по сравнению с температурой вырождения Тй~ ц. После
этого в первом порядке по Тс—Т получим

.	' 8л2 / Т \ г/2	Г Т~

A = 4wV-£)j -=3,067./1-^. (40.5)

Нам осталось вычислить термодинамические величины газа.
Рассмотрим сначала область низких температур.

Для вычисления теплоемкости в этой области проще всего
исходить из формулы

8Е = 2 8 ($лр+ -/ 6пр_) = 22 е6пр
р	р

для изменения полной энергии при варьировании чисел запол-
нения квазичастиц. Разделив на 8Т и перейдя от суммирования
к интегрированию, получим теплоемкость:

c=.v^f f 8Adt1.
лФ J дТ 1

— СО

При Т Д функция распределения квазичастиц пае~г/г, а их
энергия в« До + т}2/2Д0; простое интегрирование приводит

Тогда / = /i+/2, где

В первый член в подынтегральном выражении интегрируется элемен-
тарно, а второй интегрируем по частям и находим

СО

nr , И , I (* 1пж .

2/1 “ п 2	2 J ch2 (х/2) dx‘

о

Стоящий здесь интеграл равен 21п (л/2у) (где In у = С = 0,577—постоянная
Эйлера), так что 211 = 1п(я/уи).

Интеграл /2 обращается в нуль прн и = 0. Первый член его разложе-
ния по и2:

Подставляя сюда разложение

th -j=4х	[л2 (2л +1)2 4-х2] -1

п=0

(его вывод см. в примечании на стр. 205) получим

л = 0 0

dx

[(2л4-1)2 л2/*2]2

л=0
к результату:

К

яЗ/2^зГ3/2

g-До/Г.

(40,6)

С = У

Таким образом, при Т —>0 теплоемкость убывает по экспонен-
циальному закону — прямое следствие наличия щели в энерге-
тическом спектре.

Для дальнейших вычислений удобно исходить из термоди-
намического потенциала Q, поскольку все рассмотрение ведется
нами при заданном химическом потенциале системы (а не числа
частиц в ней)1). Воспользуемся формулой

где К—какой-либо параметр, характеризующий систему (ср. V
(11,4), (15,11)); в данном случае в качестве такого параметра
выберем константу связи g, фигурирующую во втором члене
гамильтониана (39,8). Среднее значение этого члена дается по-
следним слагаемым в формуле (39,10), равном, согласно (39,12),
—V№/g су g. Поэтому имеем

Ж _ УД2

dg~ g2

При g—>0 энергетическая щель А стремится к нулю. Поэтому,
интегрируя это равенство по dg в пределах от 0 до g, найдем
разность между термодинамическим потенциалом Q в сверхте-
кучем состоянии и значением, которое он имел бы в нормаль-
ном состоянии (Д == 0) при той же температуре2):

=	(40,8)

d б
о

Согласно общей теореме о малых добавках (см. V (24,16)), по-
правка (40,8), будучи выражена в соответствующих переменных,
одинакова для всех термодинамических потенциалов.

0 Не смешивать химический потенциал газа как такового с (равным нулю)
химическим потенциалом газа квазичастиц!

2) Здесь необходимо сделать замечание, связанное со сделанными нами
с самого начала пренебрежениями. При g=0 в гамильтониане (39,8) вообще
не остается взаимодействия между частицами, и можно было бы подумать,
что мы приходим к идеальному ферми-газу, а не «нормальному» неидеальному
газу. В действительности, однако, в гамильтониане (39,8) уже были сделаны
пренебрежения, после которых не может идти речи о вычислении абсолютной
величины энергии. Были опущены члены взаимодействия (несущественные для
нахождения формы спектра и разности — й„), которые дают вклад в энер-
гию, большой по сравнению с экспоненциально малой величиной (40,8) (это
как раз тот вклад, пропорциональный Ng, который дается формулой (6,13)).
При абсолютном нуле А = А0, и, согласно (39,18), имеем
dAo _____________________2л2А.3А0

~dg~~ mpfg2 '

Переходя в (40,8) от интегрирования по dg к интегрированию
по dA0, найдем следующее выражение для разности энергий
основных уровней сверхтекучей и нормальной систем:

Е-Е. —	(4ад

Отрицательный знак этой разности и означает упомянутую в на-
чале параграфа неустойчивость «нормального» основного состоя-
ния в случае притяжения между частицами газа. Отнесенная
к одной частице, разность (40,9) составляет величину ~ Д2/ц.

Перейдем к обратному случаю, Т —> Тс. Дифференцируя
равенство (40,3) по g, находим

7g (3) ... dA0 2ji3A3 dg
4л2Т2Л0 mpP

Подставим отсюда dglg2 в формулу (40,8) понимая ее как раз-
ность свободных энергий:

F —Fn = — V7^3\mpF\ \3dk

s п 8пФт2 J
о

и окончательно, с учетом (40,5),

р ___Р ______у 2тРрТс

s п 7g(3)A3

(40,10)

Отсюда разность энтропий:

5,-Sn = -V

ЬтррТс
К (3) k3

Разность же теплоемкостей стремится при Т —> Тс к конечному

значению

cs—cn=v ^тррТс-,

s п 7g (3) А3

(40,11)

т. е. в точке перехода испытывает скачок, причем Cs > Сп. Теп-
лоемкость нормального состояния дается (в первом приближе-
нии) формулой идеального газа (см. V (58,6)); выраженная
через рР, она имеет вид Cn — VmpFTl3li3. Поэтому отношение
теплоемкостей в точке перехода

СД7с). 12

Сп(Тс) 7g(3) +

1=2,43.

(40,12)
В отношении своей сверхтекучести газ характеризуется раз-
делением его плотности р на нормальную и сверхтекучую части.
Согласно (23,6) нормальная часть плотности

Рп

8л С . dn ,
3(2«^)3J Р ~de Р

_____PF (* dn

3n*h3VF J de

Полная же плотность газа связана с pF посредством
__________________________mN___8яр3рт

Р~Т~3(2л&)3’

Поэтому

СО

7 =	(40,13)

о

Этот интеграл не требует особого вычисления, так как может
быть сведен к известной уже функции А (Т). Продифференциро-
вав уравнение (40,1) по Т и сравнив получающийся при этом
интеграл с (40,13), можно убедиться в том, что

(40’14>

Подставив сюда предельные формулы (40,2), (40,5), получим

T-+Q:	(40,15)

о \ т /

Наконец, необходимо сделать еще два замечания относительно
области справедливости полученных формул по температуре.

При приближении к точке перехода Тс становятся сущест-
венными процессы взаимодействия квазичастиц (не учитываемые
в изложенной теории); именно эти процессы ответственны в дан-
ном случае за возникновение особенностей термодинамических
величин, характерных для точки фазового перехода второго
рода. В достаточной близости к этой точке полученные выше
формулы должны в конце концов стать неприменимыми. Но
в силу наличия малого параметра (константы связи g) в рас-
смотренной модели это наступает лишь при чрезвычайно малых
значениях Тс—Т; мы вернемся еще к более подробному обсуж-
дению этого вопроса в § 45.

Как и в сверхтекучей бозе-жидкости, в рассматриваемом
ферми-газе (в противоположность ферми-газу с отталкиванием —
ср. § 4) может распространяться звук (со скоростью u~pFim,
определяющейся обычным образом сжимаемостью среды). Это
§ 41J

значит, что наряду с рассмотренным здесь спектром возбужде-
ний фермиевского типа в спектре такого газа существует также
и фононная, бозевская, ветвь возбуждений. Обусловленная фо-
нонами теплоемкость пропорциональна Т3 с малым коэффициен-
том, но при Т —>-0 в конце концов она должна стать преобла-
дающей над экспоненциально убывающей теплоемкостью (40,6).

§ 41.	Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа

Перейдем к построению математической техники гриновских
функций в применении к сверхтекучим ферми-системам1).

Мы видели в § 26, что в терминах ф-операторов бозе-эйн-
щтейновская конденсация в бозе-системе выражается существо-
ванием отличных от нуля предельных (когда число частиц
N—»-оо) значений матричных элементов, связывающих состоя-
ния, отличающиеся лишь изменением N на единицу. Физический
смысл этого утверждения состоит в том, что удаление или при-
бавление одной частицы в конденсат не меняет состояния мак-
роскопической системы.

В случае сверхтекучей ферми-системы то же самое должно
относиться к конденсату из куперовских пар: состояние системы
не должно меняться при изменении на единицу числа пар
в конденсате. Математически это выражается в наличии отлич-
ных от нуля предельных (2V—>оо) значений матричных элемен-
тов у произведения Тр(Х2) TcJXj)—оператора уничтожения двух
частиц, и у эрмитово-сопряженного ему оператора рождения
пары частиц ¥£ (XJTj^Xg). Эти матричные элементы связы-
вают «одинаковые» состояния систем, отличающиеся лишь уда-
лением или прибавлением одной пары частиц:

lim <m, ^|T3(X2)Ta(X1)|m, Х + 2> =

= lim <m, М + 2|Т+(Х1)Т^(Х2)|т, X>*=#0. (41,1)
jv -> »

В дальнейшем мы будем опускать знак взятия предела; для
краткости будем также опускать диагональный матричный ин-
декс пг, нумерующий «одинаковые» состояния систем с различ-
ными числами частиц.

Как и в случае бозе-систем (§ 31), в математическом аппа-
рате гриновских функций для сверхтекучих ферми-систем фи-
гурирует несколько различных функций. Наряду с обычной
гриновской функцией

(6оМ, X2) = <N]TK(Xt)¥|(X2)ljV>	(41,2)

Излагаемая в этом параграфе техника принадлежит Л. П. Горькову
(1958).
необходимо ввести также и «аномальные» функции, согласно
определениям,

1Ра^Х1г X2) = <tf|TTa(Xi)T₽(X2)|tf + 2>,	3

iF+afi (Хо Х2) = <Х + 21ТТ+ (Xi) Т3+ (Х2) 1 N>.	’

Поскольку каждая из функций Fa$ и строится из двух оди-
наковых операторов, то

Fap (Xi, Х2) = - F3a (Х2, XJ, F+p (Xi, X2) = - F$a (X2, XJ

(41,4)
Напомним, что согласно основным принципам статистики резуль-
тат статистического усреднения не зависит от того, произ-
водится ли оно по точной волновой функции стационарного
состояния замкнутой системы или с помощью распределения
Гиббса. Разница состоит лишь в том, что в первом случае
результат усреднения будет выражен через энергию Е и число
частиц N, а во втором — через Т и ц. Для следующих ниже в
этом параграфе рассуждений более удобен первый способ.

В рассмотренной в § 39 модели ферми-газа связанные пары
находятся в синглетном состоянии. Спиновая зависимость
патричных элементов операторов рождения или уничтожения
такой пары сводится к единичному антисимметричному спинору
ga$~ ^_-1 oj ’	(41,5)

Запишем поэтому функции (41,3) в виде1)

Fafi = gafiF[Xi, Х2), F^ = ga^(Xlt Х2);	(41,6)

[ри этом в силу (41,4) F и F+ симметричны по Хг и Х2. Спи-
ювая же зависимость гриновской функции Gap для неферромаг-
[итной системы сводится к Gap = 6apG. В однородной, макроско-
ически неподвижной системе гриновские функции G, F и F+
ависят только от разностей координат точек и разности мо-
[ентов времени (ср. примечание на стр. 150).

Подобно тому как введенная в § 26 функция В (X) имела
мысл волновой функции частиц в конденсате, так функцию
р(/, г/, гг) можно рассматривать как волновую функцию
астиц, связанных в находящихся в конденсате куперовских
арах. Тогда функция

B(X) = iF(X, X)	(41,7)

*) Ср. примечание на стр. 46. В то время как по своей спиновой струк-
фе Gap есть смешанный спинор второго ранга, функции и Г+р пред-
’авляют собой соответственно контра- и ковариантный спиноры.
будет волновой функцией движения этих пар как целого. Из
определений (41,3), (41,5) легко видеть, что при этом F+ (X, Х) =
= iE*(X). В стационарной, макроскопически неподвижной сис-
теме функция В (X) сводится к постоянной; надлежащим выбо-
ром фаз ф-операторов можно сделать эту постоянную вещест-
венной.

Вычислим теперь определенные таким образом гриновские
функции для модели ферми-газа со слабым притяжением между
частицами.

Гейзенберговский ф-оператор удовлетворяет уравнению (7,8).
Ввиду малости радиуса действия сил между частицами в рас-
сматриваемом газе в интегральном члене этого уравнения можно
взять значения множителей Ф (/, г') в точке г'=г и вынести их
из-под знака интегрирования; тогда уравнение примет вид1)

i -эг = - + И)	(41.8)

Эрмитовским сопряжением всех членов этого уравнения полу-
чим аналогичное уравнение для оператора Т+:

1 -ф-= (S+н) wWr (41,9)

Подставив выражение (41,8) в производную dGa$/dt (9,5),
получим уравнение

/ Л 2	\

('я+к+^^НХ-х')-

- ig <N I ТТ1 (X) TV(X) (X)	(X') I X> = 6af56«> (X - X')

(41,10)
(cp. (15,12)). Фигурирующий здесь диагональный матричный
элемент произведения четырех ф-операторов может быть рас-
писан, согласно правилу умножения матриц, в виде суммы
произведений матричных элементов двух пар операторов. Из
всех таких произведений оставим лишь то, которое содержит
матричные элементы для переходов с изменением числа частиц
Х«->Х4-2, и опустим все остальные члены

<Х | TTvTa I N + 2> <Х + 21	I -

= -Fva(X, Х)Г;₽(Х, X') = -6a₽F (0)F+(X—X') (41,11)

J) Как и в § 39, пользуемся обозначением g для константы связи, совпа-
дающей с постоянной —Ua = —U d3x. Оператор Лапласа пишем как V2 во
избежание путаницы со щелью Д. В этом и следующем параграфах полагаем
А=1.
(в последнем преобразовании использованы выражения (41,5)).
Физически этот член отвечает спариванию частиц и по порядку
величины совпадает с плотностью конденсата.

Подчеркнем, однако, принципиальное отличие от пренебре-
жений, которые делались в случае слабо неидеального бозе-
газа. В последнем почти все частицы находятся при Т = 0
в конденсате, д число надконденсатных частиц, появляющихся
только в результате слабого взаимодействия частиц, относи-
тельно мало. В данном же случае, напротив, сам конденсат
появляется в результате слабого взаимодействия и потому
включает в себя лишь малую долю частиц. Другими словами,
отбрасываемые при замене (41,11) члены не малы, а велики по
сравнению с оставленными. Последние, однако, приводят к ка-
чественно новому эффекту — изменению характера спектра, в то
время как первые были бы нужны лишь для вычисления не
интересующей нас здесь поправки к основному уровню системы
(ср. в этой связи примечание на стр. 194).

После замены (41,11) уравнение (41,10) сводится к виду

+ G (X) +gSF+ (X) = 6“’ (X)	(41,12)

(аргумент функции X — X' заменен на X, а постоянная iF(0)
обозначена через S — в соответствии с определением (41,7)).
Сюда входят две неизвестные функции G (X) и F+ (X), поэтому
для их вычисления необходимо еще одно уравнение.

Его можно получить, вычисляя производную

f —^~Л,)==(# + 2 Т — Тр (Xх) AZ);

член с S-функцией (подобный второму члену в (9,5)) здесь не
возникает, поскольку функция — X') (в противополож-
ность функции Ga₽(X — X')) непрерывна при t = Подста-
вив сюда (41,9) и снова произведя выделение конденсатного
члена, аналогичное (41,11), получим в результате уравнение

/Л Г7 2	\

(1‘	)F+ W+W=°-	(41.1 з)

В него входят те же две функции G и F+, что и в (41,12);
поэтому эти два уравнения достаточны для вычисления этих
функций (для вычисления же F надо было бы вывести анало-
гичным образом еще одно уравнение).

1) В этом легко убедиться, вычисляя скачок функции подобно тому,
как это делалось в § 9 для Сар, и заметив, что операторы Фц (/, г) и (t, г')
антикоммутативны.
Перейдем в этих уравнениях к импульсному представлению,
введя обычным образом фурье-компоненты G(P) и F+ (Р):

(®-r1/1)G(P)+gSF+(P) = l,
(<o + r1/J)F+(P)+gS*G(P) = 0,

где Р — (<л, р) и r]/, = p2/2m—ц. Отметим, что ввиду четности
функции F+ (X), четны также и ее фурье-компоненты F+ (Р) —
= F+(—P).

Исключив из двух уравнений функцию F+, найдем для G
уравнение

(а>«—т)2 —A2)G(P) = a>4-Tlj„	(41,15)

где введено обозначение

A = g|E|.	(41,16)

Формальное решение уравнения (41,15):

G(P)=	——Че------1__$—	(41 17)

' > ©2—е2 (р) со — е(р) <в -|-е (р) ’	' ’ '

где е (р) = ]/ А2 + т]2, а ир и vp даются формулами (39,13). Уже
отсюда видно, что спектр элементарных возбуждений, опреде-
ляемый положительным полюсом функции Грина, дается функ-
цией е(р)—мы снова приходим к результату (39,20). Мы видим
также, что энергетическая щель А и модуль конденсатной вол-
новой функции движения пар как целого оказываются пропор-
циональными друг другу величинами.

Выражение (41,17) для G (Р), однако, еще неполно: в нем
не определен способ обхода полюсов; Другими словами, остается
еще неопределенной мнимая часть функции G; эта часть содер-
жит 6-функцию 6(<о±е) и потому выпадает при умножении на
со2—£2 в уравнении (41,15).

При Т — 0 правило обхода полюсов устанавливается прямым
сравнением выражения (41,17) с разложением (8,7): в членах
с положительными и отрицательными полюсами переменную
йИДо заменить соответственно на co-J-iO и и — i0; тогда (41,17)
примет вид

ч_ Ир	vp	fi’+’lp	... .

Р) — а_е (р) + i0 ш + е (р)—/О — (ш—е + i0) (ш + е—г0) *

Выражая теперь F+ из второго из уравнений (41,14), на-
ходим

f + (® > Р) = _ е	6 _ да) "	С41,19)^
С другой стороны, имеем, по определению,

(41,20)

— оо

Подставим сюда (41,19); интегрирование по dm осуществляется
путем замыкания контура бесконечно удаленной полуокруж-
ностью в верхней полуплоскости, после чего интеграл выра-
жается через вычет в полюсе со = е. В результате, после сокра-
щения на S*, получим равенство (39,16), определяющее До.

При 7у=0 нахождение мнимой части гриновских функций
несколько сложнее. Для построения функции G(co, р) с пра-
вильными аналитическими свойствами по переменной со напи-
шем сначала запаздывающую функцию СЛ(со,р); она должна
быть аналитична в верхней полуплоскости и потому получается
из (41,17) заменой ю —> ю + Ю. Мнимая часть этой функции:

Im GR =— л[«р6 (®—e)+i>p6 (to-j-e)].

Мнимая же часть искомой функции G находится отсюда с по-
мощью формулы (36,14), согласно которой

Im G (со, р) = th	Im GR (w, р) =

= — (1 — 2пр) л[«р6 (со—е)—Vp6 (<о + е)],
где пр — фермиевская функция распределения (39,14) (исполь-
зовав эту формулу, мы тем самым осуществляем переход от
усреднения по заданному стационарному состоянию системы к
усреднению по распределению Гиббса). Функцию Gc этой мни-
мой частью можно записать в виде

2	2

G (®, р) =—“+70+ш+е-~0 + 2зт/пр № (®-е)-Ч6 (<о + е)].

(41,21)

Для функции же F+ (со, р) находим теперь

F+(®, р) = 7+(®, р)|г=о-^^[б((о-8) + б((о + 8)], (41,22)
где первый член есть функция (41,19), относящаяся к 7 = 0.
Подставив это выражение в (41,20) и произведя интегрирова-
ние, мы вернемся к уравнению (39,15), определяющему Д(7).

Уравнения (41,14) можно изобразить в диаграммном виде
аналогично тому, как для сверхтекучей бозе-системы были пред-
ставлены уравнения (33,7). При этом функции G, F, F+ изобра-
жаются теми же графическими элементами (33,6) — одно- и
двусторонними стрелками. Два уравнения (41,14) записываются
в виде

(41,23)

Тонкой стрелке отвечает множитель iG<0) (Р), где G<0) (А*) — гри-
новская функция идеального ферми-газа. Входящей же в вер-
шину и выходящей из нее волнистым линиям отвечают соот-
ветственно множители igE и —ig3*. Сравнив (41,23) с (33,7),
видим, что эти последние множители соответствуют собственно-
энергетическим функциям iS02 и iS20, т. е. представляют собой
первые приближения для этих величин. Отметим, что новыми
элементами—двусторонними стрелками и волнистыми линиями —
ограничиваются особенности диаграммной техники для сверх-
текучих ферми-систем; в отличие от случая бозе-систем, «трой-
ные» вершины’ здесь не возникают. Поэтому диаграммная тех-
ника оказывается здесь гораздо проще и ближе к «обычной»,
чем для сверхтекучих бозе-систем.

§ 42. Температурные гриновские функции
сверхтекучего ферми-газа

В §. 41 был определен энергетический спектр сверхтекучего
ферми-газа путем использования обычных, «временных», гри-
новских функций. Однако для решения более сложных задач
(и прежде всего для исследования свойств системы во внешних
полях) более удобен математический аппарат температурных
гриновских функций (Д. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, 1958).

Температурная функция определяется той же форму-
лой (37,3), что и для нормального ферми-газа. Температурные
же функции <Fag и. (соответствующие временным функциям
и FJg) определим аналогичными формулами

^ар(т1> г1‘, т2> r2) = S<«> NIдаТхФ,£рР$ j т, #4-2>,
-	т	(42 1)

^(ь.г,; т2,г2)=2<т, АГ + 21 SpTt^^ f m, N>.
т

Спиновая зависимость этих функций отделяется (аналогично
(41,5)) в виде множителей gap1):

^ap—£a₽^»	^a₽— — gaffi •	(42,2)

Как и $, функции F и F зависят только от разности т =
= Tj—т2 и удовлетворяют соотношениям (37,6) (с верхним зна-
ком):

F(t)=—	F(t) = - F (t +	(42,3)

Ряды Фурье по т для этих функций содержат, следовательно,
только нечетные «частоты» (37,8а):	= (2s 4-1) лТ.

Мацубаровские ф-операторы при т = 0 совпадают с гейзен;
берговскими при t = 0:

Фм(т = 0, г) = Ф (t = 0, г).

Сравнив определения функций F, F с определениями F, F+,
найдем поэтому, что

F (0, г; 0, r) = E (г), F(0, г; 0, г) = Е*(г),	(42,4)

где под Е надо понимать конденсатную волновую функцию,
усредненную по Гиббсу, т. е. выраженную через температуру
системы.

Покажем, каким образом с помощью температурных функ-
ций Грина можно снова получить энергетический спектр сверх-
текучего ферми-газа при отличных от нуля температурах.

Уравнения для температурных функций $, F, F выводятся
в точности аналогично выводу уравнений (41,12—13), причем
вместо дифференцирования по t производится дифференциро-
вание по т, а вместо уравнений (41,8—9) используются урав-
нения, отличающиеся от (41,8—9) заменой it—»-т. Как и в (41,11),
из среднего значения произведения четырех мацубаровских ф-
операторов выделяются члены, содержащие матричные элементы
для переходов с изменением числа частиц на 2. В результате
получим уравнения

(—+ г: х’’ r') + gSF(T,r;T',r')=6(T—т')6(г—г'),

(42,5)

г; х'> г')—£S*S(T> г; < г')=0.

2) Разные знаки в определениях F и F (в противоположность одинако-
вым знакам в (41,5)) целесообразны в связи с отсутствием в определениях
(42,1) множителя I, который был в (41,3).
После перехода к фурье-компонентам эти уравнения при-
нимают вид

P)+gs^(k,p) = i. (426)
-	+ П,)	р) -gS*8 (£„ р) = 0.

Решение этих уравнений:

(42’7)

Р)=т€-г==7?+	Р)’	(42,8)

Gs+e2

где снова е2 = А2-|-т]р, A = gS (причем это решение определено
однозначно и никаких 6-функций — как это было для функций
G и F+ — вообще не содержит).

Условие, определяющее энергетическую щель в спектре,
получается теперь из равенства

S* = F(T = 0,r = 0)=T	р)^,

или, после подстановки (42,8):

Ws=?3 Й+е^(р) ==L	(42>9)

Суммирование по s осуществляется формулой* 1)

£ [(2s+l)2n2+a2]-« = lthy	(42,10)

S= — X

и приводит к равенству

it С 2- f fa JL	=; 1	М2 1 П

2 J е 1 27 (2л)3	’

совпадающему с (39,15).

1) Эту формулу можно получить, написав

1	1 Г 1	,	1	]

(2s-|-l)2 л2-|-а2 2а [a + in (2s-f-1)"1"а—-1л (2s +1)J

CO

e=2-^ e_a* [e_fll<2s+1)*-|-ef,t<2s+O*] dx
о

и произведя суммирование геометрической прогрессии под знаком интегри-
рования.
§ 43.	Сверхпроводимость металлов

Явление сверхпроводимости металлов представляет собой
сверхтекучесть электронной ферми-жидкости в них, подобную
сверхтекучести рассмотренного в предыдущих параграфах вырож-
денного ферми-газа. Разумеется, во многих важных отношениях
электронная жидкость и ферми-газ являются существенно различ-
ными физическими системами. Но в то же время основные физиче-
ские моменты, относящиеся к свойствам энергетического спектра,
в обоих случаях остаются одинаковыми. Обсудим качественным
образом вопрос о том, какие именно черты рассмотренной выше
модели можно перенести и в какой мере на электроны в ме-
таллах.

Важной особенностью металла является анизотропия его элек-
тронного энергетического спектра в противоположность изотропии
спектра рассмотренногоферми-газа.Это обстоятельство, однако,не
мешает возникновению феномена Купера, для которого существен
лишь сам факт существования резкой ферми-поверхности (какой
бы ни была ее форма) и конечность плотности числа состояний
на ней. Необходимо также, чтобы электроны с противоположными
импульсами и спинами имели одну и ту же энергию, т. е. на-
ходились бы оба на ферми-поверхности. Это требование авто-
матически обеспечивается симметрией по отношению к обраще-
нию времени. Можно сказать, что спариваются электроны
в состояниях, получающихся друг из друга обращением времени.

Далее следует вопрос о знаке взаимодействия электронов
в металле. В очень упрощенном смысле можно сказать, что это
взаимодействие складывается из кулонового отталкивания, экра-
нированного на межатомных расстояниях, и из взаимодействия
через решетку. Последнее описывается как результат обмена
виртуальными фононами и имеет характер притяжения (§ 64).
В случае, если последнее взаимодействие «перевешивает», металл
при достаточно низких температурах станет сверхпроводником.

Существенно, что во взаимодействии через обмен фононами
участвуют только электроны, лежащие в сравнительно узком
слое р-пространства вблизи ферми-поверхности; толщина этого
слоя ~ haD и мала по сравнению с химическим потенциалом
электронов р (<i)D—дебаевская частота кристалла). Поэтому, если
пользоваться для описания сверхпроводимости моделью слабо
неидеального ферми-газа, то под параметром обрезания е в (39,19)
надо понимать величину х)

е ~	(43,1)

(вместо е ~ р).

!) Тем самым, кстати, отпадает вопрос о расходимости интеграла (39,16)
при больших импульсах (ср. примечание на стр. 189).
Что касается предположения о слабости взаимодействия, то
реально для всех сверхпроводников

(43,2)

Сделанное в § 39 предположение, однако, подразумевает нечто
большее: малость константы связи g, приводящую к большому
значению безразмерного показателя экспоненты в (39,19). В дан-
ном случае это требование выражается условием

ln(^oD/Tc)>l	(43,3)

— должно быть велико не только отношение h(s>DlTс, но и его
логарифм. Это условие реально выполняется значительно хужех).

С учетом всех реальных отличий электронной жидкости
в металле от модели слабо неидеального ферми-газа теория
сверхпроводимости становится очень сложной. В то же время
оказывается, что уже простая теория, основанная на указанной
'модели, во многих отношениях хорошо описывает свойства
сверхпроводников, причем не только качественно, но даже
и количественно. Как уже упоминалось, эта теория была по-
строена Бардином, Купером и Шриффером; в этой связи о мо-
дели ферми-газа со слабым притяжением между частицами го-
ворят как о модели БКШ.

§ 44.	Сверхпроводящий ток

Двум видам движения в электрически нейтральной сверх-
текучей жидкости (жидкий гелий) отвечают в случае сверхпроводя-
щего металла два вида электрических токов, могущих протекать
в нем одновременно. Сверхпроводящий ток не переносит тепла
и не сопровождается диссипацией энергии и может иметь место
в термодинамически равновесной системе; нормальный же ток
связан с выделением джоулева тепла. Будем обозначать плот-
ности сверхпроводящего и нормального токов как и j„; пол-
ная плотность тока j = jj + jn.

Ряд важных заключений о свойствах сверхпроводящего тока
можно сделать безотносительно к какой-либо частной модели
уже из самого факта появления новой макроскопической вели-
чины— конденсатной волновой функции Е(/, г).

Как и в § 26, введем фазу Ф этой функции:

2 (Л г) = | Е | е1ф.	(44,1)

Подобно тому как в жидком гелии градиент фазы Ф определяет,
согласно (26,12), скорость сверхтекучего движения так

х) Отношение А<Од/Гс меняется в пределах от примерно 10 для РЬ до
300 для А1 н Cd.
в сверхпроводнике градиент фазы определяет наблюдаемую в этом
случае величину—плотность сверхпроводящего тока. Ввиду
анизотропии металла направление j, не совпадает, вообще го-
воря, с направлением ?Ф и связь между компонентами этих
векторов задается некоторым тензором второго ранга. Во избе-
жание непринципиальных усложнений, однако, мы ограничимся
здесь случаем кубической симметрии металлического кристалла.

Тогда тензор второго ранга сводится к скаляру, а связь
между и ?Ф—к простой пропорциональности. Запишем ее
в виде

(44,2)

где, по определению, е —— |е|—заряд электрона, а т—его
(истинная) масса. Определенную таким образом величину п,
(функция температуры) называют плотностью числа сверхпрово-
дящих электронов; эта величина играет здесь роль, аналогичную
плотности сверхтекучей компоненты в жидком гелии. Подчерк-
нем, что она отнюдь не совпадает с плотностью конденсата
куперовских пар — подобно тому, как в жидком гелии не
совпадает с плотностью конденсатных атомов1).

Формула (44,2) (как и формула (26,12) для жидкого гелия)
предполагает достаточную медленность изменения фазы в про-
странстве. В то время, однако, как в случае бозе-жидкости
требовалось малость изменения Ф лишь на межатомных расстоя-
ниях, здесь условие оказывается значительно более сильным. Роль
характерного размера для сверхтекучей ферми-жидкости играет
длина когерентности £0 ~ ftvP/A0, и фаза Ф должна мало меняться
именно на таком расстоянии (большом по сравнению с межатом-
ными)2).

Связь между j, и Ф усложняется, если сверхпроводник,
находится во внешнем магнитном поле; мы рассмотрим здесь
случай постоянного (во времени) поля. Необходимые изменения,
которые надо внести в формулу (44,2), можно выяснить исходя
из требования калибровочной инвариантности теории.

Эго требование состоит в том, что все наблюдаемые физи-
ческие величины должны оставаться неизменными при калибро-

2) Коэффициент в (44,2) записан так, чтобы в свободном сверхтекучем
фермн-газе (модель БКШ) mns совпадало с вычисленной в § 40 величиной р^.
Последняя определена таким образом, что ток должен выражаться в виде
]s — ensvs, где Vj—скорость сверхтекучего движения. В свою очередь,
связана с градиентом фазы равенством v4 = (h/2m) у®! удвоенная масса 2т
(вместо т в (26,12)) стоит здесь в связи с тем, что конденсат составлен нз
спаренных частиц.

2) Подчеркнем, что здесь фигурирует именно постоянный (не зависящий
от температуры) параметр длины £0; строгое обоснование этого критерия будет
дано в дальнейшем (см. конец § 51).
§ 44]	сверхпроводящий ток	209

вочном преобразовании векторного потенциала магнитного поля':

A->A + vx(r),	(44,3)

где х (г) — произвольная функция координат. При этом ф-опе-
раторы преобразуются по закону, совпадающему с законом
преобразования волновых функций:

Y-^Yexpf-J-xV Ф+ —Ф+ехр(—£-х^,	(44,4)

\ Нс /	\ Нс /

где б—заряд частиц, описываемых ф-оператором (см. III (111,9))х).
Гриновские же функции G(X, X') и F (X, X’), как матричные
элементы произведений ФФ' + или ФФ', преобразуются согласно

G(X, X')—exp/^[x(r)-x (г')]1О(Х, X'),
IАс	J	(44,5)

F(X, X') — exp{-^.[x(r)+x(r')]}F(X, X').

При этом

E = iF(X, X) —expf^-x^S,

т. е. фаза конденсатной волновой функции

ф —Ф + -|Ч(Г).	(44,6)

Соотношение (44,2) не инвариантно по отношению к такому
преобразованию фазы. Для достижения требуемой инвариант-
ности оно должно быть дополнено членом, содержащим вектор-
ный потенциал магнитного поля:

ь=я"<тф-^А)-	<44'7>

В удвоении заряда (во втором члене в скобках) проявляется
спаривание электронов в сверхпроводнике.

Уже это выражение достаточно для того, чтобы объяснить
основное макроскопическое свойство сверхпроводника—вытесне-
ние из него магнитного поля (эффект Мейсснера)* 2).

х) .Благодаря тому, что во вторично-квантованный гамильтониан (7,7)
ф-операторы входят парами Ф (X) и Ф+ (X), он преобразуется при замене
(44,3—4) так же, как и обычный гамильтониан при таком же преобразовании
обычных (не операторных) волновых функций. Преобразование вида (44,3—4)
было фактически использовано уже в § 19.

2) Феноменологическая электродинамика сверхпроводников изложена
в другом томе этого курса—см. VIII глава VI.
Рассмотрим однородный сверхпроводник, находящийся в
слабом магнитном поле, — величина поля предполагается малой
по сравнению с критическим полем Нс, разрушающим сверх-
проводимость. Этим условием исключается существенное влия-
ние магнитного поля на величину ns. Пусть тело находится в
термодинамически равновесном состоянии, так что нормальный
ток отсутствует и поэтому h = j1). Применив теперь к обоим
сторонам равенства (44,7) операцию rot и заметив при этом,
что rotA = B — магнитная индукция в теле, получим уравнение
Лондонов

rot j = —В	(44,8)

(F. London, Н. London, 1935) 2).

Это уравнение специфично для сверхпроводника. Исполь-
зуем также и общие уравнения Максвелла

rotB=^j,	(44,9)

divB = 0.	(44,10)

Подставив j из (44,9) в (44,8) и заметив, что в силу (44,10)
rotrotB = —ДВ, получим уравнение для магнитного поля в
сверхпроводнике

AB=6"2B,	(44,11)

где введено обозначение

б2 = mc2/4ne2ns.	(44,12)

Найдем с помощью этого уравнения распределение поля
в сверхпроводнике вблизи его поверхности, которую будем счи-
тать плоской; эту плоскость выбираем в качестве плоскости yz,
а ось х направим внутрь тела. В этих условиях распределение
поля зависит только от одной координаты х, и из (44,10) име-
ем dBx/dx = Q-, из (44,11) автоматически следует тогда, что
и Вх = 0. Уравнение (44,11) принимает теперь вид d2B/dx2 = В/б2,
откуда

В (х) = &e~x'6,	(44,13)

где вектор & параллелен поверхности.

Мы видим, что магнитное поле экспоненциально затухает
в глубь сверхпроводника, проникая в него лишь на расстоя-
ния ~б. Эта длина макроскопична, но мала по сравнению

J) Это будет предполагаться и везде ниже в этой главе, так что под j
будет везде подразумеваться плотность сверхпроводящего тока.

2) Изложенный вывод уравнения (44,8) принадлежит Л. Д. Ландау (1941).
с обычными размерами массивных образцов (6 ~ 10~6—10~5 см),
так. что поле проникает фактически лишь в тонкий поверхно-
стный слой. Длину б называют лондоновской глубиной проникно-
вения поля. Подчеркнем, что она является непосредственно
измеримой величиной, имеющей вполне определенный смысл,—
в отличие от условного смысла параметра ns.

Произведенный вывод нуждается, однако, в существенной
оговорке. Исходная формула (44,7) применима лишь при усло-
вии достаточной медленности изменения всех величин в про-
странстве: характерные расстояния, на которых происходит
существенное их изменение, должны быть велики по сравнению
с длиной когерентности go1)- В данном случае это значит, что
должно быть

6>g„.	(44,14)

Это требование, разумеется, не бросает тени на самое до-
казательство факта вытеснения поля из сверхпроводника: пред-
положение о невытеснении поля привело бы к логическому
противоречию, так как его изменение в таком случае было бы
заведомо медленным и уравнение (44,11) было бы применимо.
Но конкретное уравнение (44,11) и следующий из него закон
затухания, поля (44,13) справедливы только при соблюдении
условия (44,14).

Ситуацию, когда в сверхпроводнике выполняется -неравен-
ство 6^>g0, называют лондоновской. В обратной же ситуации,
когда 6<^g0, говорят о пиппардовском случае (закон затухания
поля в глубь сверхпроводника в этом случае будет рассмотрен
в § 52). При Т^ТС плотность сверхпроводящих электронов
ns—>-0, так что б—► оо. Поэтому в достаточной близости к точке
перехода ситуация всегда лондоновская. Но при Т —>-0 соотно-
шение между б и g0 зависит от конкретных свойств металла 2).

Наконец, рассмотрим еще одно следствие выражения (44,7),
не зависящее от соотношения между б и g0.

Как известно из макроскопической электродинамики сверх-
проводников, если через отверстие сверхпроводящего тора про-
ходит магнитный поток, то этот поток остается постоянным
при любых изменениях состояния тела (не нарушающих его
сверхпроводимости); при этом предполагается, что тор масси-

х) Напомним, что сама индукция В есть истинная микроскопическая
напряженность магнитного поля, усредненная по физически бесконечно малым
элементам объема, размеры которых велики лишь по сравнению с постоян-
ной решетки.

2) Лондоновский случай во всей области температур имеет место, напри-
мер, в чистых металлах переходных групп периодической системы, в неко-
торых интерметаллических соединениях. Пиппардовский случай имеет место
(вдали от Тс) в чистых металлах непереходных групп.
вен—его диаметр и толщина велики по сравнению с длиной
когерентности и глубиной проникновения поля. Покажем, что
величина «вмерзшего» в отверстие тора магнитного потока мо-
жет быть лишь целым кратным некоторого элементарного «кван-
та потока» (F. London, 1954).

В толще тела (вне области проникновения поля) плотность
тока j = 0; векторный же потенциал отличен от нуля—равен
нулю лишь его ротор, т. е. магнитная индукция В. Выберем
какой-либо замкнутый контур С, охватывающий собой отвер-
стие тора и проходящий внутри тела вдали от его поверхности;
таким выбором обеспечивается соблюдение условия примени-
мости формулы (44,7)—достаточная медленность изменения
фазы Ф и потенциала А в пространстве. Циркуляция вектора А
вдоль контура С совпадает с потоком магнитной индукции че-
рез натянутую на контур поверхность, т. е. потоком ф через
отверстие тора:

(fi A dl — J rot А • di = J В di == ф.

С другой стороны, приравняв выражение (44,7) нулю и проин-
тегрировав его по контуру, получим

где 6Ф—изменение фазы волновой функции при обходе кон-
тура. Но из требования однозначности этой функции следует,
что изменение фазы может быть Лишь целым кратным от 2л.
Таким образом, мы приходим к результату

0 = п0о,	0- = -^- = 2-1О-г гс-см\ (44,15)

где п—целое число. Величина фй представляет собой элемен-
тарный квант магнитного потока.

Квантование магнитного потока имеет также и другой ас-
пект: оно приводит к дискретности значений полного тока J,
который может протекать (в отсутствие внешнего магнитного
поля) по сверхпроводящему кольцу. Действительно, ток J со-
здает магнитный поток через отверстие кольца, равный LJ/c,
где L—коэффициент самоиндукции. Приравняв этот поток пф0,
находим, что ток может иметь значения

7=4-°п=тщ;п-	(44,16)

В противоположность кванту магнитного потока, «квант пол-
ного тока» зависит (вместе с самоиндукцией L) от формы и раз-
меров кольца.
Задача

Определить магнитный момент сверхпроводящего шарика радиуса
находящегося в магнитном поле, в лондоновской случае. _

Решение. При R<^8 можно считать магнитное поле внутри шарика
постоянным н равным внешнему полю Если выбрать векторный потенциал
в виде А—1/2 [§г], то можно положить просто

j = — (nse2/mc) А

(т. е. положить в (44,7) Ф = 0); граничное условие исчезновения нормальной
составляющей тока (nj = O) на поверхности шарика выполняется тогда авто-
матически. Магнитный момент вычисляется как интеграл

по объему шарика и равен

дь
М~~"3062’$'

§ 45. Уравнения Гинзбурга — Ландау

Полная теория, описывающая поведение сверхпроводника
в магнитном поле, очень сложна. Ситуация, однако, существенно
упрощается в области температур вблизи точки перехода. Здесь
оказывается возможным построить систему относительно про-
стых уравнений, причем применимых не только в слабых, но
и в сильных полях1).

В общей теории Ландау фазовых переходов второго рода
отличие «несимметричной» фазы от «симметричной» описы-
вается параметром порядка, обращающимся в точке перехода
в нуль (см. V § 142). Для сверхпроводящей фазы естественным
таким параметром является конденсатная волновая функция В.
Во избежание излишних (с принципиальной точки зрения)
усложнений будем считать симметрию металлического кристалла
кубической; как было указано в § 44, в этом случае сверхпро-
водящее состояние характеризуется скалярной величиной tis —
плотностью сверхпроводящих электронов. Более удобным вы-
бором параметра порядка в этом случае является величина
(обозначим ее йерез ф), пропорциональная В, но нормирован-
ная условием | ф |2 = ns!2. Фаза величины ф совпадает с фазой
функции В:

ф= у ^еСф.	(45,1)

х) Излагаемая ниже теория принадлежит В. Л. Гинзбургу и Л. Д. Лан-
дау (1S50). Замечательно, что она была построена феноменологическим пу-
тем, еще до создания микроскопической теории сверхпроводимости.
Плотность сверхпроводящего тока (44,2), выраженная через ip,
записывается в виде

=	(45,2)

Отправным пунктом теории является выражение для сво-
бодной энергии сверхпроводника как функционала от функ-
ции ф(г). В соответствии с общими положениями теории Лан-
дау, оно получается разложением плотности свободной энергии
по степеням малого (вблизи точки перехода) параметра поряд-
ка ф и его производных по координатам. Сначала рассмотрим
сверхпроводник в отсутствие магнитного поля.

В соответствии со своим смыслом как величины, пропорцио-
нальной гриновской функции F (X, Х) =— iB(X), параметр по-
рядка ф неоднозначен: поскольку функция F (X, X) составлена
из двух операторов У, то произвольное изменение фазы этих
операторов, Т —>-'Ре‘а^2 3, приводит к изменению фазы функции F
на а. Физические величины не должны, конечно, зависеть от
этого произвола, т. е. должны быть инвариантны по отношению
к преобразованию комплексного параметра порядка: ф—>-фе‘“.
Этим требованием исключаются члены нечетных степеней по ф
в разложении свободной энергии.

Конкретный вид этого разложения устанавливается на ос-
нове тех же соображений, что и в общей теории фазовых пере-
ходов второго рода (см. V § 146). Не повторяя этих рассужде-
ний, напишем следующее разложение полной свободной энергии
сверхпроводящего тела г):

f = +	т|2 + а|Ф|2+||Ф!4}^.	(45,3)

Здесь F„—свободная энергия в нормальном состоянии (т. е. при
ф = 0); b—зависящий лишь от плотности вещества (но не от
температуры) положительный коэффициент; величина а зависит
от температуры по закону

а = (Т — Тс)а,	(45,4)

обращаясь в нуль в точке перехода; коэффициент а > 0 в соот-
ветствии с тем, что сверхпроводящей фазе отвечает область
Т < Тс; коэффициент при | Гф|2 в (45,3) выбран так, чтобы для
тока получалось выражение (45,2) (см. ниже)2). Тот факт, что

х) Напомним лишь, что написанный внд градиентного члена связан
с предположенной кубической симметрией кристалла. При более низкой сим-
метрии он имел бы внд более общей квадратичной формы нз производных dty/dx,.

3) Этот выбор (в том числе отождествление tn с истинной массой электрона)

не имеет, конечно, глубокого смысла н условен в той же мере, как и опре-
деление ns в (44,2).
в (45,3) фигурируют лишь первые производные от ф, связан с
предположением о достаточной медленности изменения ф в про-
странстве.

В однородном сверхпроводнике, в отсутствие внешнего поля,
параметр ф не зависит от координат. Тогда выражение (45,3)
сводится к

Г = Гп + аУ|ф|а+^|ф|*.	(45,5)

Равновесное значение | ф р (при Т <Те) определяется условием
минимальности этого выражения:

(45-6)

плотность сверхпроводящих электронов в зависимости от темпе-
ратуры обращается в точке перехода в нуль по линейному за-
кону.

Подставив значение (45,6) обратно в (45,5), найдем разность
свободных энергий сверхпроводящего и нормального состояний:

2

^-Г„=-У-^-(Ге-Т)3.	(45,7)

Дифференцированием по температуре отсюда можно найти раз-
ность энтропий, а затем и скачок теплоемкости в точке пере-
хода х):

Cs-Cn = V^.	(45,8)

Вблизи точки перехода разность (45,7) представляет собой
малую добавку в свободной энергии. Согласно теореме о малых
добавках (V § 15), эта же величина (выраженная в функции
температуры и давления вместо температуры и объема) дает
разность термодинамических потенциалов Ф5— Ф„. С другой
стороны, согласно общей формуле термодинамики сверхпровод-
ников (см. VIII (43,7)), эта разность совпадает с величиной
—VHc/8n, где Нс—критическое поле, разрушающее сверхпро-
водимость. Таким образом, находим для последнего следующий

х) Сравнив формулы (45,6) и (45,8) для | ф |2 = psl2m и для скачка тепло-
емкости с формулами (40,16) и (40,11) для тех же величин в модели БКШ,
можно найти значения коэффициентов а и & в этой модели (Л. П. Горьков,
1959):

а = 6n2Tc/7g (3) р = 7,04 • Гс/р, b = аГс/л;

использована связь плотности числа частиц л = р/т и химического потен-
циала р (при Т = 0) с предельным импульсом как для идеального газа:

я = рр/ЗлгЙ-3, p=pp/2zn.
закон Температурной зависимости вблизи точки перехода1):

Нс^(^у/г=.(^.у/,(Тс--Т).	(45,9)

При наличии магнитного поля выражение (45,3) для свобод-
ной энергии должно быть изменено в двух отношениях. Во-пер-
вых, к подынтегральному выражению надо добавить плотность
энергии магнитного поля В2/8л (где В = rot А — магнитная ин-
дукция в теле). Во-вторых, надо изменить градиентный член
таким образом, чтобы удовлетворить требованию калибровоч-
ной инвариантности. В предыдущем параграфе было показано,
что это условие приводит к необходимости замены градиента
фазы конденсатной волновой функции уФ разностью уФ—2ekfhc.
В данном случае это значит, что надо заменить:

уф е= е‘фу | ф | ф- й|> уФ —► Уф

2te
he

Аф.

Таким образом, мы приходим к следующему основному выра-
жению:

|(^А)*Г +«i'i’|a+v|’fi4}dv 

(45,10)
(Fn0—свободная энергия тела в нормальном состоянии в отсут-
ствие магнитного поля). Подчеркнем, что коэффициент 2ie/hc в
этом выражении имеет безусловный характер (в отличие от
отмеченной выше условности выбора коэффициента &2/4т).
Удвоение заряда электрона в нем есть следствие эффекта Ку-
пера (Л. П. Горьков, 1959); этот коэффициент не мог бы быть,
конечно, установлен чисто феноменологическим путем.

Дифференциальные уравнения, определяющие распределение
волновой функции ф и магнитного поля в сверхпроводнике,
находятся теперь минимизацией свободной энергии как функцио-
нала от трех независимых функций: ф, ф* и А.

Комплексная величина ф есть совокупность двух веществен-
ных величин; поэтому фиф* надо рассматривать при варьи-
ровании как независимые функции. Варьируя интеграл по ф*
и преобразовав интеграл От члена (уф—21еК/Яс) убф* интегри-

ф В модели БКШ:

Нс =2,44 (mpp/h3)'^ (Тс-Т) при Т-+ТС.

Приведем также значение Нс в этой же модели при Т = 0:

Яе = 0,99 Tc(mpplh3)1!i

(оно получается приравниванием — VHc/вл разности энергий (40,9)).
рованием по частям, получим

—— ( V—4^-А ¥ф+«Ф + Ь1Ф|3Ф 1 6-ф* dV+

J ( 4т \ к /	J

4т J \ Нс /

второй интеграл берется по поверхности тела. Положив 6F — О,
получим, в качестве условия равенства нулю объемного интегра-
ла при произвольном бф*, следующее уравнение:

_L (_ ifry—A)4 + ai]? + &|^|3ij) = 0	(45,12)

(варьирование же интеграла по ф приводит к комплексно-со-
пряженному уравнению, т. е. не дает ничего нового).

Аналогичным образом, варьирование интеграла по А при-
водит к уравнению Максвелла

rotB = -^j,	(45,13)

причем плотность тока дается выражением

Ь-^(ГП-Ф7Г)---(45,14)

совпадающим с (44,7) (мы пишем j вместо js, так как в термо-
динамическом равновесии нормальный ток отсутствует). Отме-
тим, что из (45,13) следует уравнение непрерывности div j = 0;
это уравнение можно получить также и прямым дифференциро-
ванием выражения (45,14) с учетом уравнения (45,12).

Уравнение (45,12—14) составляют полную систему уравнений
Гинзбурга—Ландау.

Граничные условия к этим уравнениям получаются из усло-
вия равенства нулю интегралов по поверхности в вариации 6F.
Из (45,11), таким образом, получается граничное условие
п(—1&7ф—уАф)=0,	(45,15)

где и—вектор нормали к поверхности тела. Отметим, что в силу
этого условия обращается в нуль, как и следовало, также и
нормальная компонента тока (45,14): nj^O1).

1) При граничном условии (45,15) само ф не обращается в нуль, как
это,’ казалось бы, должно было быть для волновой функции на границе тела.
Это обстоятельство связано с тем, что в действительности ф убывает до нуля
лишь на расстояниях —от поверхности; между тем такие расстояния
в теории Гинзбурга—Ландау рассматриваются как пренебрежимо малые.

Условие (45,15) выведено здесь по существу для границы сверхпроводника
с вакуумом. Ойо остается в силе и для границы с диэлектриком, но для
Что касается граничных условий для поля, то из уравнения
(45,13) с учетом конечности j во всем пространстве (вплоть
до поверхности тела) следует непрерывность тангенциальной
компоненты индукции Из уравнения же

div В = 0

следует непрерывность нормальной составляющей индукции Вп.
Другими словами, граничные условия требуют непрерывности
всего вектора В.

В слабом магнитном поле можно пренебречь его влиянием
на |ф|2 и считать |ф|2 равным постоянному вдоль тела значению
(45,6). Тогда подстановка (45,14) в (45,13) (и последующее при-
менение операции rot к обоим сторонам уравнения) приводит
к уравнению Лондонов (44,11) с глубиной проникновения

с Г mc2b 1 i/г Г mc2b "11/2	1С,

= |_М (Тс-Г) J •	<45-16)

Наряду с этим размером уравнения Гинзбурга — Ландау
содержат еще одну характерную длину: корреляционный радиус
флуктуаций параметра порядка ф (в отсутствие поля); обозна-
чим его через | (Т). По известным формулам теории флуктуаций
(см. V § 146), этот радиус выражается через коэффициенты в
свободной энергии (45,3) согласно

~ 2 (та) 1/2 (Гс-Г)1/2 *	<45’17)

Характерными длинами (45,16—17) определяется порядок
величины расстояний, на которых существенно меняется пара-
метр порядка ф и магнитное поле, описываемые уравнениями
Гинзбурга—Ландау. При этом длина б характерна, вообще
говоря, для магнитного поля, а длина £(Т)—для распределе-
ния ф. Обе эти длины должны быть велики по сравнению
с «размерами пары» s0 для того, чтобы выполнялось предположение
о достаточной медленности изменения все^ величин в простран-
стве. Поскольку обе длины возрастают при приближении к точке
перехода (по закону (Тс — Т)-1/2), то вблизи нее это условие,
вообще говоря, выполняется (см. ниже).

границы раздела между различными металлами (из которых один сверхпро-
водящ, а другой нормален) оно непригодно—в нем не учитывается эффект
частичного проникновения сверхпроводящих электронов в нормальный металл.
В этом случае (45,15) заменяется условием более общего вида, совместимого
с требованием nj = O:

nf—1Й^ф-уАф^=^,	(45,15а)

где X—вещественная постоянная (размерности длины); оценка этой постоян-
ной требует, однако, более детального микроскопического исследования.
Важное значение в излагаемой теории играет параметр
Гинзбурга—Ландау, определяемый как постоянное (не зависящее
от температуры) отношение двух указанных длин:

По порядку величины х~60/^0, где —длина когерентности
(39,21), а б0—лондоновская глубина проникновения при абсо-
лютном нуле.-Укажем также формулу

х = 2/2Мяс(Т)62(Т),	(45,19)

Нс

получающуюся с помощью (45,9) и (45,16) и выражающую х
непосредственно через наблюдаемые величины.

Установив вид уравнений, обсудим теперь вопрос об области
их применимости.

Со стороны низких температур эта область во всяком случае
ограничена условием Тс — Т<^ТС, позволяющим считать пара-
метр порядка малым и тем самым лежащим в основе всего про-
изведенного разложения свободной энергии. Этим же условием
обеспечивается соблюдение неравенства £(Т)|>£0, но для соблю-
дения неравенства 6 (Т)^> условие оказывается более жестким
в случае сверхпроводников с малыми значениями параметра х1);
в этих случаях из неравенства следует условие

Те—Т<^л*Тс.	(45,20)

Со стороны же Т—>ТС применимость уравнений ограничена
лишь общим условием применимости теории фазовых переходов
Ландау, связанным с возрастанием флуктуаций параметра по-
рядка. В данном случае, однако, это условие оказывается чрез-
вычайно слабым. Действительно, оно выражается через коэффи-
циенты разложения (45,3) неравенством

(см. V (146,15)). Оценив, например, выражение в правой стороне
с помощью значений b и а в модели БКШ, получим

(ТС-Т)/ТС^(ТМ*.	(45,21)

Ввиду крайней малости отношения 7\/р, ~ 10~3—10~4 можно

х) Приведем для примера значения х для некоторых чистых металлов:
А1—0,01, Sn—0,13, Hg—0,16, Pb —0,23.
считать, что это условие выполняется практически вплоть до
самой точки перехода. Флуктуационная же область для пере-
хода второго рода между сверхпроводящей и нормальной фазами
практически отсутствует.

Задача

Для плоской пленки с толщиной d 6 найти критическое значение
магнитного поля (параллельного плоскости пленки), разрушающего сверхпро-
водимость (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1950)х).

Решение. Выберем серединную плоскость пленки в качестве плоско-
сти хг с осью х вдоль направления поля. В уравнении (45,13) для поля
В = Вх(у) (меняющегося по осн у поперек пленки) можно считать ф = сопз1.
Тогда первый член в выражении тока (45,14) исчезает и применение операций
rot к (45,13) приводит к уравнению В" = 02В/62, где 0 = х|э/ф0, xpo=| а\Д>.
Симметричное по у решение этого уравнения

В 1,л ft ch (?/0/S) ~ ft Fl (d/2)2 А21

B ^-$ch(d0/26) ~ $ [ +	262	9 J

(Sq—внешнее поле). Этому полю отвечает распределение тока



с02»

4л62 У

В уравнении же (45,12) зависимостью ф от у полностью пренебречь
нельзя: малая производная д2^/ду2 фактически умножается здесь на
^2/т|а|~£2 н тем самым приобретает большой (в силу условия d<^£)
множитель (£/d)2; в то же время в этом уравнении можно пренебречь потен-
циалом А—Аг(у), приводящим здесь к членам более высокого порядка
малости по d/£. Чтобы избавиться от необходимости рассмотрения зависи-
мости ф от у, усредним уравнение (45,12) по толщине пленки; производные
по у при этом выпадут в силу граничного условия dty/dy = O на поверхности
пленки. Заметив также, что

д2Ф ~ / mj У

дх2 ~ \ | е | К | ф |2 ) V

в силу зависимости фазы функции ф от х (и связи ее градиента с током)
найдем, после сокращения на ф:

где

4/2

1 С .» .	c2d204$2

d J 1 dy~3(8n)26*‘

-4/2

Использовав также выражения (45,9) и (45,16), придем к уравнению

1 f ^d у ,	| ф |2

24 {Неб)~1	’

определяющему значение ф для пленки в магнитном поле. Критическое зна-

1) Аналогичную задачу для маленького шарика, см. в § 47,
ченне поля для пленки //£пл) есть то, при котором гр обращается в нуль.
Оно связано с критическим полем Не массивного сверхпроводника равенством

Я<ПЛ) =

В рассмотренных условиях разрушение сверхпроводимости полем проис-
ходит путем фазового перехода второго рода: ф обращается в нуль при уве-
личении $ непрерывным образом. Это вполне естественно, поскольку при
d<^6 поле фактически проникает в сверхпроводящую пленку, так что иет
причин для перехода первого рода, который как раз и состоял бы во внезап-
ном проникновении поля в тело.

§ 46. Поверхностное натяжение на границе
сверхпроводящей и нормальной фаз

Уравнения Гинзбурга—Ландау позволяют, в частности
вычислить поверхностное натяжение на границе сверхпроводя-
щей (s) и нормальной (м) фаз (в одном и том же образце),
связав его с величинами, характеризующими объемные свойства
вещества (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1950). Напомним, что
такие границы существуют в металлических образцах, находя-
щихся в так называемом промежуточном состоянии в магнитном
поле. Поскольку все отличие обоих фаз сводится к тому, что в
одной из них фУ=0, а в другой ф = 0, то переход между ними со-
вершается непрерывно в некотором слое и описывается уравне-
ниями Гинзбурга—Ландау с граничными условиями, поставлен-
ными лишь на больших расстояниях по обе стороны этого слоя.

Рассмотрим плоскую границу раздела между п- и «-фазами
металла. Выбрав эту границу в качестве плоскости yz, напра-
вим ось х в глубь s-фазы; распределение всех величин в обоих
фазах зависит только от координаты х. Векторный потенциал
поля, выбор которого оставался еще неоднозначным, подчиним
калибровке, в которой div А —0; в данном случае это дает
dAx/dx = Q, откуда видно, что можно положить Лж = 0. Из сооб-
ражений симметрии очевидно, что вектор А лежит везде в одной
плоскости; пусть это будет плоскость ху, так что Ау ==А,тогда
вектор индукции лежит в плоскости xz, причем

В^Вг — А'	(46,1)

(штрих означает дифференцирование по х).

Далее, перепишем уравнение (45,13) в обычном в макроско-
пической электродинамике виде rotH = 0, введя напряженность
поля Н согласнох)

Н = В — 4лМ, сго1М = ].

х) Напомним, во избежание недоразумений, что замечание в VIII § 41
о нецелесообразности введения величины Н относилось к электродинамике
сверхпроводников, в которой область проникновения магнитного поля рас-
сматривалась как бесконечно тонкая. Уравнения же Гинзбурга—Ландау при-
меняются именно к структуре этой области.
Из этого уравнения следует в данном случае, что Н — const.
Вдали от границы раздела, в толще нормальной фазы индукция
и напряженность совпадают, причем равны как раз критиче-
скому значению: В = Н = НС (магнитной восприимчивостью нор-
мальной фазы пренебрегаем). Поэтому и во всем пространстве
будет H = HZ = HC.

Пренебрегая изменением плотности вещества при сверхпро-
водящем фазовом перехода, будем считать ее (наряду с темпе-
ратурой) постоянной вдоль всего телаJ). Обозначим через f
свободную энергию единицы объема (в отличие от свободной
энергии F тела в целом). При постоянных температуре и плот-
ности и при пренебрежении поверхностными эффектами диффе-
ренциал

(46,2)

(см. VIII § 30). Отсюда видно, что дополнительное требование
постоянства В привело бы в этих условиях также и к постоян-
ству величины

f =	(46,3)

Поэтому весь вклад в интеграл F = J ~fdV, происходящий от
переменной части F, обусловлен только наличием границы раз-
дела. Отнеся этот вклад к единице площади границы, мы можем,
следовательно, вычислить коэффициент поверхностного натяже-
ния как интеграл
оо

ans= \ (f-fn)dx,	(46,4)

— 00

где постоянная fn есть значение f вдали от границы раздела,
например, в глубине нормальной фазы.

Для нормальной фазы свободная энергия fn = /п0 + В2/8л =
==/п0 + Я?/8л, так что

I« in 4я~'п0 8л Гпч 2b

(в последнем равенстве учтено (45,9)). Величина же f в произ-
вольной точке выражается через плотность свободной энер-
гии f согласно

1 ~' 4л •

Воспользовавшись теперь выражением (45,10), приходим к

х) Строго говоря, при фазовом равновесии постоянен вдоль системы хими-
ческий потенциал (а не плотность). С учетом изменения плотности надо было
бы поэтому рассматривать не свободную энергию, а термодинамический по-
тенциал Й.
следующей формуле для поверхностного натяжения:

а = С ]-р + |-(|ф'|2 + ^-Л2|ф|Л +

ns J 14л 1 4т U Y 1 1 ^,2С2	। т । у ।

— со	4

+ й|Ф|2 + ||Ф|4-%? + ^}^. (46,5)
Как и следовало, подынтегральное выражение обращается в нуль
как в глубине нормальной фазы (х—►—оо), где ф = 0, В — Нс,
так и в глубине сверхпроводящей фазы (х—> оо), где | ф |2 = — а/Ь,
В = 0.

Обратим внимание на то, что в подынтегральном выражении
в (46,5) выпал член (А?ф в результате равенства Лх = 0. Такой
же член выпадает из (45,12), так что остается уравнение с ве-
щественными коэффициентами; поэтому решение этого уравнения
может быть выбрано вещественным, что и предполагается ниже.
При этом в выражении плотности тока (45,14) исчезает первый
член и остается

9z>2

’ = —£^2А-	(46-6)

Кроме того, введем вместо переменной х и функций А (х),
ф(х) безразмерные величины

— х т , -1 f Ь	А п dA В .лс-

х = "г, Ф = Ф у т~г >	— В = —= — тг- (46,7)

о ’ т т г | a I	Нс6	dx НС	v 7

Ниже в этом параграфе мы будем пользоваться только этими
величинами, опуская для краткости черточки над буквами.
Уравнение (45,12) в этих переменных принимает вид

ф" = х2	1) ф + ф3] .	(46,8)

Уравнение же (45,13) с j из (46,6) приводится к виду

Л" = Лф2.	(46,9)

Граничные условия к этим уравнениям в рассматриваемой
задаче (отвечающие п- и s-фазам при х—>— оо и х—> ро):

ф = О, В = Л' = 1 при х = — оо,

(46,10)
ф=1, Л' = 0 при х=оо.

Легко проверить, что уравнения (46,8—9) имеют первый
интеграл

2х-2ф'г + (2 — Л2) ф2—ф* + Л'8 = const = 1;	(46,Т1)

значение постоянной определено по граничным условиям1).

0 Из условия (46,10) автоматически следует, что при х—> ± оо также и
ф' = 0, а из этих же условий и уравнения (46,9) — что при х—> оо А" = 0
и4 = 0 (определенное значение Л (оо) оказывается результатом выбора веще-
ственной ф).
Наконец, выражение (46,5) принимает вид

= J [^Ч(Л’-2)Г + Г + (Л'-1)2 *]<*х =
— 00

dx

(46,12)

(при переходе ко второму равенству член тр4 выражен из (46,11)).

Приступим к исследованию написанных уравнений. Рассмот-

Уа

Рис. 6.

(обычно выполняющийся в сверхпро-
водящих чистых металлах). Это
неравенство означает, что 6 (Т)
<:£(7’), т. е. магнитное поле су-
щественно меняется на расстоянии,
малом по сравнению с характер-
ным расстоянием изменения функ-
ции ф(х).

На рис. 6 схематически изобра-

жена картина распределения поля
и ф в этом случае. В области, где
поле велико, имеем ф«0, затем
поле резко спадает, а функция

ф (х) начинает медленно (на расстояниях х~1/х) меняться в
отсутствие поля. Положив" в (46,11) Д = 0, находим уравнение



которое должно быть решено при условии ф = 0 в точке х = 0,
выбранной где-то внутри области спадания поля. Такое реше-
ние есть

ф = th (хх/К 2),

(46,13)

а вычисление интеграла (46,12) с этой функцией (и Д=О)дает

Я26 _ Нгс 1,96
a"s ~ 3 /2лх “ 8л *

(46,14)

Погрешность этого значения происходит от пренебрежения
здесь вкладом в интеграл от области, в которой спадает поле.
Для оценки ширины 6^ этой области1) замечаем, с одной сто-

J) Подчеркнем, что она не совпадает с глубиной проникновения поля

в сверхпроводник из пустоты! В последнем случае в области проникновения

поля ф ~ 1, между тем как прн проникновении из re-фазы поле спадает

в области с малыми ф.
роны, что, согласно уравнению (46,9), 6у2~ -ф2. С другой стороны,
формула (46,13) должна оставаться, по порядку величины, спра-
ведливой и на границе области х~81, откуда ф ~ х6х. Из этих
двух соотношений находим 61~ х-1/2. Вклад же в поверхност-
ное натяжение от этой области оказывается ~/726х-1/-, т. е. мал
по сравнению с (46,14) всего в отношении ~ х1-' - (так что точ-
ность (46,14) сравнительно невелика).

При увеличении параметра х коэффициент поверхностного
натяжения проходит через нуль и становится отрицательным.
Это видно уже из того, что неравенство anJ < 0 во всяком случае
осуществляется при достаточно больших значениях х. Действи-
тельно, характерные расстояния изменения функции ф (х) в этой
задаче не могут быть меньшими, чем для изменения Л(х), так
как уже само по себе изменение А приводит к изменению ф;
поэтому при большом х членом ф'2/х2 под знаком интеграла
в (46,12) можно пренебречь, а поскольку 0 < А' < 1 (т. е.
О < В < Нс в обычных единицах), то подынтегральное выражение
оказывается отрицательным. Покажем, что обращение a,!S в нуль
происходит при значении

х=1//2.	(46,15)

Для этого перепишем выражение для ans в виде



(46,16)

(оно получается из первого интеграла (46,12) интегрированием
члена ф'* по частям с последующей подстановкой ф" из (46,8)).
Интеграл заведомо обратится в нуль, если будет тождественно
равно нулю подынтегральное выражение, т. е. если будет

А' — 1 = — ф2

(46,17)

(обратный знак в этом равенстве невозможен, так как поле
В — А' должно убывать с увеличением х). Исключив ф из (46,17)
и (46,9), найдем уравнение

Л" = Л(1—Л'),

(46,18)

решение которого (при граничных условиях Л' = 1 прих = — оо
и Л = 0 при х=оо) определит распределение поля; в силу
(46,17) граничные условия (46,10) для ф после этого выполнятся
автоматически. Не решая уравнения (46,18) фактически, доста-
точно убедиться, что при х2 = 1/2 будет автоматически-удовлет-
ворено также и неиспользованное еще уравнение (46,8), или,
что то же, его первый интеграл (46,11). Подставив (46,17)

8 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаеввкий
в (46,9), получим ф'=— Лф/2; это значение ф' вместе с А'
из (46,17) действительно тождественно удовлетворяет равенству
(46,11) с х2= 1/2.

Задача

Для сверхпроводника с параметром х<^1 найти первую поправку по
полю к глубине проникновения в слабых полях.

Решение. Выберем поверхность сверхпроводника в качестве плоско-
сти уг с осью z в направлении внешнего поля ось х направим внутрь
тела. Распределение поля и ф в сверхпроводнике определяется уравнениями
(46,8—9), которые надо решать с граничными условиями

ф' — О, В — А'=^ при х=0,
ф' = 1, Л = 0 прн х — оо

(первое нз них есть условие (45,15)). Ищем решение в виде
ф = 1 +ipi (х), А = — Aj (х),

где ipi, А± — малые поправки к решению при х = 0, отвечающему затуханию
поля по лондоновскому закону (44,13). Для поправки гр! имеем уравнение

Ф1 = 2х2гр]'+~гу х2$?2е~ 2х,
откуда с учетом граничных условий

Теперь для Аг пишем уравнение

Ai = Ai—2л:е~ *ipi,
причем для ipj сюда надо подставить только второй член нз (1) первого по-
рядка по х. С учетом граничного условия (Л1 = 0 при х = 0) и пренебрегая,
где возможно, высшими по х членами в коэффициентах, находим

Ai= —	[(I +* уг~2)е-х-е-(1+У2^х].	(2)

О

Тем самым найдены поправки к закону затухания поля в глубь сверхпровод-
ника. Эффективную глубину проникновения 6эфф введем, согласно определению,

$йэфф = & (x)dx=—A (0) = §—Аг (0).
о

Возвращаясь к обычным единицам, находим из (2)

§ 47. Два рода сверхпроводников

Знак поверхностного натяжения ans оказывает существенное
влияние на свойства сверхпроводников. Это дает основание
делить все сверхпроводники на две категории: сверхпроводники
первого рода с ans > 0 и второго рода—с ans < 0. Поскольку
знак ans определяется значением параметра Гинзбурга—Ландау
%, то первым отвечают (вблизи Тс) значения х<1/]/2, а вто-
рым х > 1/^21).

Рассмотрим массивный цилиндрический сверхпроводник во
внешнем продольном магнитном поле Если сверхпроводник
относится к первому роду, то при увеличении поля он испыты-
вает фазовый переход первого рода, когда поле достигает кри-
тического значения Нс. Роль поверхностного натяжения сводится
при этом (как и при всяком фазовом переходе первого рода)
лишь к затруднению образования первых зародышей новой фазы
и тем самым—к возможности метастабильного сохранения s-фазы
при полях, несколько превышающих Нс.

Если же сверхпроводник относится ко второму роду, то уже
до достижения полем значения Нс в нем может оказаться тер-
модинамически выгодным возникновение «вкраплений» п-фазы;
увеличение объемной энергии компенсируется отрицательной
энергией поверхности такого зародыша. Нижнюю границу зна-
чений поля, при которых это становится возможным, принято
обозначать как Hci и называть нижним критическим полем.
Аналогичным образом, начав с металла в нормальном состоянии
при большом внешнем поле, мы придем к некоторому значению
Нег>Нс (верхнее критическое поле), за которым термодинами-
чески выгодно возникновение «вкраплений» s-фазы—снова за счет
выигрыша в отрицательной энергии границ. Таким образом,
в определенном интервале полей, НС1 < ф < Нс2, сверхпровод-
ник находится, как говорят, в смешанном состоянии2). Его
свойства в этом состоянии постепенно меняются от чисто сверх-
проводящего при Hci до чисто нормального при Яс2; в то же
время происходит постепенное проникновение в него магнит-
ного поля. Значение же Нс, определяемое лишь соотношением
между объемными энергиями п- и s-фаз, само по себе в этом
случае ничем не замечательно.

Оба критических поля зависят, конечно, от температуры и
обращаются в нуль при Т = ТС. Это приводит к фазовой диа-
грамме для сверхпроводников второго рода, изображенного на
рис. .7 вида (о пунктирной кривой на этом рисунке—см. ниже).

Верхнее критическое поле оказывается возможным опреде-
лить (в рамках теории Гинзбурга—Ландау) даже без предва-

х) К первому роду относятся сверхпроводящие чистые металлические
элементы. Ко второму роду относятся сверхпроводящие сплавы. Предположе-
ние о том, что в сплавах х > 1/ У~2, впервые было высказано Л. Д. Ландау.

2) Не путать его с промежуточным состоянием сверхпроводников первого
рода, возникающим при определенных конфигурациях образца и внешнего
магнитного поля!
ригельного выяснения .характера структуры смешанного состоя-
ния. Достаточно заметить, что при полях, несколько меньших
Нс2, зародыши s-фазы могут иметь лишь малые значения пара-
метра порядка ф (очевидно, что ф—>0 при	Поэтому

состояние этих зародышей может быть описано уравнениями

Гинзбурга — Ландау, линеаризованными по
ф. Опустив в (45,12) нелинейный член, при-
ходим к уравнению

iAv—-у Д)2ф =|а|ф, (47,1)

причем под А можно понимать векторный
потенциал однородного поля § при ф = 0,
когда тело находится в нормальном со-
стоянии с полностью проникшим в него
внешним полем.

Но (47,1) по своей форме есть просто
уравнение Шредингера для частицы с мас-
сой 2т и зарядом 2е в магнитном поле,
причем |а| играет роль уровня энергии;
совпадают и граничные условия в обоих за-
дачах: ф = 0на бесконечности. Как известно

(см. III § 112), минимальное значение энергии частицы, движу-
щейся в однородном магнитном поле, есть Ей — 1ъ(ан12, где соя =
= 21 е | <©/2тс (от этого значения начинается непрерывный спектр
энергий). Из аналогии между обоими задачами следует поэтому,
что описываемые уравнением (47,1) зародыши s-фазы могут су-

ществовать только при

2тс

так что критическое поле Нс2 = 2тс | а |/|е 11ъ. С помощью выра-
жений (45,9), (45,17—18) эта формула может быть записана как

Нс2=У2иНс	(47,2)

(А. А. Абрикосов, 1952).

Решение уравнения (47,1) с граничным условием ф = 0, по-
ставленным на бесконечности, отвечает образованию зародыша
s-фазы в толще образца, вдали от его поверхности. Покажем,
что наличие поверхности способствует образованию зародыша,
в результате чего они могут возникать в тонком поверхностном
слое уже при > Нс2 (D. Saint-James, Р. G. De Gennes, 1963).

Решение уравнения (47,1), описывающее зародыш s-фазы
вблизи поверхности тела (которую считаем плоской), должно
удовлетворять на ней граничному условию дф/дх = 0, где х —
координата в направлении нормали к поверхности (уело-
вие (45,15) при Ах — 0). Для установления нужной квантовоме-
ханической аналогии вспомним, что использованная выше за-
дача о движении частиц в однородном магнитном поле, в свою
очередь, эквивалентна задаче о движении в одномерной пара-
болической потенциальной яме



где х0— постоянная, отвечающая «центру орбиты» (см. III § 112).
Рассмотрим теперь двойную яму, составленную из двух одина-
ковых параболических ям, расположен-

ных симметрично относительно плоскости



х = 0 (рис. 8). Основному состоянию ча-
стицы в таком поле отвечает волновая
функция ф(х), не имеющая нулей и чет- \
ная по х; такая функция автоматиче- \	\	/

ски удовлетворяет условию ф' = 0 при \.	у

х = 0. В то же время основной уровень_____S----------------

частицы в двойной яме лежит ниже уров- "* хо хо х
ня в одиночной ямех); в переносе на за- рИс. 8.
дачу о зародышах этим доказывается сде-
ланное выше утверждение об облегчении их образования вбли-
зи поверхности.

Численный расчет уровня в двойной яме приводит к резуль-
тату, что его минимальное (в зависимости от параметра х0) зна-
чение составляет О,59£о. Повторив рассуждения, приводящие
к формуле (47,2), найдем, что верхний предел полей, в которых
возникают поверхностные зародыши s-фазы, лежит при Нс3 =
= Нс2/0,59, т. е.

Яез = 1,7Яе2 = 2,4хЯе.

(47,3)

Таким образом, в области полей между Нс2 и Нс3 возникает
явление поверхностной сверхпроводимости; граница этой обла-
сти показана на рис. 7 пунктирной линией..Толщина сверхпро-
водящего слоя у поверхности нормальной фазы — порядка
величины Эту оценку легко получить из той же квантово-
механической аналогии: волновая функция частицы в потен-
циальной яме (на уровне £0) сосредоточена в области x~A/j/m£0;
соответствующий размер зародыша получается заменой £0 на \а |
и (согласно (45,17)) совпадает с £(Т).

Все сказанное выше относится к сверхпроводникам второго
рода. Но введенные таким образом критические поля Нс2 и Нсй

х) Это связано с понижением потенциальной энергии в полупространстве

х < 0 по сравнению с той, которая была бы при одиночной яме (пунктирная
линия на рис. 8). См., например, III § 50, задача 3.
могут иметь определенный физический смысл и для сверхпро-
водников первого рода.

Если х лежит в интервале 1/J/2 — 0,71 > х > 0,59/[/2 = 0,42,
то Нс2 < Нс, но Нс3 > Нс. Хотя смешанная фаза в этом случае
не возникает, но в интервале полей между Нс и Нс3 существует
поверхностная сверхпроводимость.

Наконец, по смыслу произведенного вывода, значение Нс2
(47,2) определяет (при любом х) верхнюю границу полей, в ко-
торых возможно образование зародышей s-фазы со сколь угодно
малыми ф. Поэтому в сверхпроводнике первого рода (где
Нс2 < Нс) в полях < Нс2 термодинамически невыгодная нор-
мальная фаза абсолютно неустойчива. В интервале же Н2с < «§<
< Нс нормальная фаза может существовать как метастабильная:
фазовый переход первого рода из п- в s-фазу в этой области
может произойти только путем возникновения зародышей s-фазы
с конечными значениями ф, затрудненного положительным по-
верхностным натяжением на их границе (В. Л. Гинзбург, 1956).

Задача

Определить критическое поле для сверхпроводящего шарика малого ра-
дива R & (В. Л. Гинзбург, 1958).

Решение. В этом случае (как и в тонкой пленке — см. задачу в § 45)
разрушение сверхпроводимости происходит путем фазового перехода второго
рода. Критическое поле для шарика можно найти как значение, ниже кото-
рого n-фаза теряет устойчивость по отношению к образованию зародышей
s-фазы. Как и в тексте, это сводится к нахождению наименьшего собственного
значения уравнения Шредингера (47,1). При условии последнее можно
искать с помощью теории возмущений по отношению к внешнему полю, при-
чем невозмущенная волновая функция ф = const (зародыш занимает весь объем
шарика). Собственное значение определяется тогда просто как среднее значе-
ние оператора возмущения (2еА/с)2/4т (среднее же значение от оператора
(iett/mc) (А V) при ip = const равно нулю). При этом векторный потенциал одно-
родного поля должен быть выбран в виде А = [Фг]/2; именно при такой ка-
либровке решение ф = const удовлетворяет на поверхности шарика граничному
условию (45,15), сводящемуся к требованию пА = 0. Произведя усреднение,
найдем

е2,у27?2

Юте2

р _ е2 2

0 4тс2 3



Критическое поле определяется (как и в тексте) условием £,0 = | а |, приводя-
щим к результату

Д'шар,=

Допустимость использования теории возмущений подтверждается тем, что
найденное значение Е3 (при § = //^шa₽,) при условии	действительно

мало по сравнению со следующим собственным значением, которое соответ-
ствовало бы уже переменной в объеме шарика волновой функции и имело
бы порядок величины
§ 48. Структура смешанного состояния

Будем снова (как и в предыдущем параграфе) рассматривать
цилиндрический образец сверхпроводника второго рода, нахо-
дящийся в продольном магнитном поле Выясним структуру
смешанного состояния, в котором тело будет находиться в полях,
лишь немногим превышающих нижнее критическое поле Hci *)•

В этом случае в основную, сверхпроводящую фазу вкраплены
зародыши нормальной фазы. Для достижения максимальной
термодинамической выгодности они должны иметь (при отрица-
тельном поверхностном натяжении!) по возможности большую по-
верхность. Естественна поэтому структура, в которой зародыши
n-фазы представляют собой нити, параллельные направлению
поля. Вблизи этих нитей (их называют вихревыми) сосредото-
чены и проникшее в тело магнитное поле, и охватывающие нити
кольцевые сверхпроводящие токи.

Чем ближе внешнее поле к Hci, тем меньше в теле таких
нитей и тем больше расстояние между ними. Когда последнее
достаточно велико, к отдельным вихревым нитям становятся
применимыми изложенные в конце § 44 соображения, в силу
которых полный сосредоточенный вблизи нити магнитный поток
должен быть целым кратным от элементарного кванта потока
</>0 = лАс/|е|; мы увидим ниже, что термодинамически выгодны
нити с наименьшим возможным потоком — одним ф0. Именно
конечность ф0 ставит предел дальнейшему дроблению зародышей
нормальной фазы.

Когда внешнее поле, увеличиваясь от малых значений, до-
стигает значения Нс1, в цилиндре появляется одна вихревая
нить. Напишем термодинамическое условие, определяющее этот
момент, не вникая сначала в структуру самой нити, а учитывая
лишь то обстоятельство, что с ней связана некоторая (положи-
тельная!) энергия; эту энергию, отнесенную к единице длины
нити, обозначим 'йерез е (в дальнейшем она будет вычислена).

Очевидно, что в цилиндрическом теле в продольном внешнем
поле индукция В тоже будет везде направлена вдоль оси ци-
линдра. Это же относится и к макроскопической напряженности
поля Н = В — 4лМ, введенной в § 46. Из уравнения rotH = 0
следует тогда, что Н постоянно вдоль сечения (а потому и всего
объема) цилиндра; в силу граничного условия непрерывности
тангенциальной компоненты Н это постоянное значение совпа-
дает с внешним полем: Н = *ё>. Таким образом, мы должны рас-
смотреть термодинамическое равновесие тела при заданных его
объеме, температуре и напряженности поля Н. Условие такого

х) Излагаемые в этом параграфе (и в задачах к нему) результаты принад-
лежат А. А. Абрикосову (1957).
равновесия состоит в минимальности/7—термодинамического
потенциала по отношению к указанным переменным (см. VIII §30).
Пусть Fs—этот потенциал для сверхпроводящего цилиндра (по-
скольку в сверхпроводящей фазе В = 0, то Fs совпадает со
свободной энергией Fs). Тогда потенциал F для цилиндра с одной
вихревой нитью будет

F = FS+Le— №dV = Fs + Le—f ВtZV.

s J 4л	4л J

Член Le есть свободная энергия нити (L—длина нити, совпа-
дающая с длиной цилиндра), а последний член отличает потен-
циал F от свободной энергии F. Поскольку индукция В в теле
сосредоточена лишь вблизи вихревой нити, то J В dV = Ьфй, где
0О—поток индукции через сечение нити. Таким образом,

F = Fi+L8_£&$.	(48,1)

Возникновение вихревых нитей становится термодинамически
выгодным, когда добавка к Fs делается отрицательной. Прирав-
няв же ее нулю, мы найдем, следова-
]<f|2	тельно, критическое значение внешнего

поля

------ ------- Hci = 4ле/0о-	(48,2)

I I	Рассмотрим теперь структуру одиноч-

\]	ной вихревой нити. Мы ограничимся

. X---------------7 важным случаем, когда

5	и>1,	(48,3)

т. е. 6>£. Длина % определяет поря-
док величины радиуса «сердцевины» нити,
X в которой | ф |а меняется от нуля (отвечаю-
/	\ щего нормальному состоянию на оси ни-

ти) до конечного значения, отвечающего
---------- основной s-фазе; на больших расстояниях
-------------------- 7 гот оси нити | ф |а остается уже постоян-
s---------нымх)- Индукция же В (г) меняется зна-

Рис. 9.	чительно медленнее, затухая лишь на

расстояниях г~6^>£. Другими слова-
ми, весь магнитный поток в основном проходит по области вне
сердцевины нити, где |ф|2 = const (рис. 9).

1) В этом параграфе буква г будет обозначать цилиндрическую коорди-
нату—расстояние от оси.
Последнее обстоятельство позволяет использовать для нахож-
дения распределения поля уравнение Лондонов (применимость
которого, напомним, не связана с близостью температуры к Тс).
Для придания ему нужного здесь вида прежде всего перепишем
формулу (44,7), связывающую плотность сверхпроводящего тока
с фазой волновой функции:

А + б2 rot В = $2- ?Ф,	(48,4)

введя в нее глубину проникновения 6 и выразив j через индук-
цию согласно j = crotB/4n. Лондоновскому приближению отве-
чает предположение 6 = const. Проинтегрируем равенство (48,4)
по замкнутому контуру С, охватывающему нить и проходящему
на расстояниях j от ее оси. Преобразовав интеграл от А
по теореме Стокса в интеграл по поверхности, опирающейся на
контур С, получим

$ В df + 62^rot Bdl = 0О,	(48,5)

а преобразовав таким же образом и второй интеграл, пишем
$ (В + 62rot rot B)df = ф„;	(48,6)

в правой стороне написано наименьшее возможное (отличное от
нуля) значение, отвечающее приращению фазы всего на одно 2л.
Если контур С проходит на расстояниях г^>6 от нити, где
поле и токи уже можно считать отсутствующими, второй инте-
грал в (48,5) может быть опущен, и мы видим, что фа совпадает
с полным потоком индукции, сосредоточенным вокруг изолиро-
ванной вихревой нити. Самая же ось нити представляет собой
особую линию, обход вокруг которой меняет фазу волновой
функции.

Поскольку равенство (48,6) должно выполняться для любого
контура С (удовлетворяющего указанным условиям), то из него
следует, что должно быть

В + 62 rot rot В = В — 62 ДВ = 0О6 (г),	(48,7)

где г—двумерный радиус-вектор в плоскости поперечного сече-
ния вихревой нити. Запись правой стороны этого уравнения
в виде 6-функции означает, что расстояния ~ % рассматриваются
здесь как нулевые. Во всем пространстве, за исключением ли-
нии г = 0, (48,7) совпадает с уравнением Лондонов (44,11), но
для описания вихревой нити требуется решение с особенностью
при г = 0.

Распределение поля на расстояниях г от оси в области
может быть найдено прямо из (48,5). Выберем в ка-
честве контура С окружность радиуса г в этой области. Поток
индукции через этот контур (первый член в левой стороне (48,5))
составляет лишь малую часть всего магнитного потока — его
долю ~ (г/8)2-, пренебрежем ею. Во втором члене dl есть элемент
длины окружности, а поскольку вектор В направлен вдоль оси г
(цилиндрической системы координат с осью вдоль оси нити) и
зависит лишь от г, то

(1 — единичный вектор касательной к окружности). Таким обра-
зом, приходим к уравнению

lrotB = —(48,8)

откуда

B(r) = 2^1n|,	(48,9)

Ввиду логарифмического характера этой зависимости верхний
предел интегрирования (на котором Должно быть В « 0) может
быть положен совпадающим с верхней границей рассматривае-
мой области расстояний г.

Для продолжения найденного распределения в область г ^6
воспользуемся уравнением (48,7), применимым при всех г^>^.
Раскрыв оператор Лапласа в цилиндрических координатах
(с учетом того, что В = В2(г)), перепишем уравнение (при г+=0)
в виде

В" 4-1 В'+ 6-25 = 0.

Решение этого уравнения, убывающее при г—>оо, есть

В (г) = const-Ко (г/6),

где /Со—функция Макдональда (функция Ганкеля от мнимого
аргумента). Постоянный коэффициент определяется путем
«сшивки» с решением (48,9): используя известное предельное выра-
жение Ко (z) « In (2/гу) при z<^ 1 (у = ес = 1,78). Таким образом,
окончательно

(48,10)

С помощью известного асимптотического выражения Ко (г)«
» (л/2г)1/2е~г при г—* оо находим отсюда, в частности, закон
затухания поля вдали от оси нити:

В (г) = -	17хе-г/б.	(48,11)

4 ' (8лгб3)1/2	v ’
Обратим внимание на очевидную аналогию между свойствами
вихревых нитей в сверхпроводниках и в жидком гелии (§ 29).
В обоих случаях речь идет об особых линиях, обход вокруг
которых меняет фазу конденсатной волновой функции. Круго-
вым траекториям сверхтекучего движения вокруг вихревых
нитей в жидком гелии соответствуют круговые токи в сверх-
проводнике; в первом случае по закону 1/г убывает скорость
сверхтекучего Движения vs, а во втором — по такому же закону
убывает плотность сверхпроводящего тока

/ = -^-1 rot ВI ==^3- .

* 4л1	'	8л2 о2г

(48,12)

Это совпадение вполне естественно, поскольку в обоих случаях
эти законы являются прямым следствием существования особой
линии. Но в то время как в жидком гелии указанная зави-
симость vs(r) простирается до любых расстояний, в сверхпро-
воднике убывание j (г) при г |>б становится экспоненциальным.
Это различие связано с заряженностью электронной жидкости:
движение заряженных частиц создает магнитное поле, которое,
в свою очередь, экранирует поле (если устремить заряд частиц е
к нулю, то глубина проникновения б—>оо).

Теперь можно вычислить свободную энергию вихревой нити.
Вклад в нее, происходящий от области пространства вне серд-
цевины (г>£), дается взятыми по этой области интегралами

Л,ити = 8^ B*dV+-^J(rotB)’dV. (48,13)

Действительно, варьируя это выражение по В (при заданной
температуре, т. е. заданном б), мы прямо получим уравнение
Лондонов (48,7) (для г^О)1). Второй интеграл в (48,13), лога-
рифмически расходящийся на обоих краях области б^>г^>^,
велик по сравнению с первым. Подставив сюда | rot В | из (48,8),
получим для энергии на единице длины нити

е=Ш’1п1-	<48’14>

*) Второй член в (48,13), будучи выражен через ток ], принимает вид



2лс262

dV;

во втором выражении подставлено также &2 — mc2/4ne2ns и введена плотность
и скорость сверхтекучей компоненты согласно j = epsvs/m (см. примечание
на стр. 208). Мы видим, что этот член можно рассматривать как кинетическую
энергикг сверхпроводящих электронов.
Это выражение имеет логарифмическую точность, т. е. предпо-
лагается не только 6/g|> 1, но и ln(6/g)^> 1; именно с этой
точностью можно пренебречь вкладом в 8 от сердцевины нити.

Результат (48,14) дает, в частности, возможность обосновать
сделанное выше утверждение о том, что термодинамически вы-
годно возникновение вихревых нитей с наименьшим по величине
магнитным потоком. Действительно, поскольку свободная энер-
гия нити пропорциональна квадрату связанного с нитью маг-
нитного потока, то для нити с потоком пф0 в энергии появился
бы множитель п* 2; распадение же такой нити на п нитей с по-
токами 0О приведет к выигрышу в энергии в п. раз.

Подставив (48,14) в (48,2), найдем для нижнего критиче-
ского поля

(48,15)

При Т—+ТС это выражение можно переписать с учетом (45,19)
также и в виде2)

<48’|6>

По мере увеличения внешнего поля растет число вихревых
нитей и тем самым увеличивается проникновение магнитного
поля в сверхпроводник. При учете взаимодействия между ни-
тями термодинамическому равновесию отвечает определенное
упорядоченное расположение нитей, образующее двумерную
решетку (в плоскости сечения цилиндра)2). При любой плотно-
сти числа нитей ось каждой из них остается линией, обход
вокруг которой меняет фазу волновой функции ф на 2л. Сред-
нее же (по сечению цилиндра) значение индукции

B = v0o,	(48,17)

где v—число нитей на единицу площади сечения. Действительно,
если проинтегрировать соотношение (48,4) по контуру всего
сечения образца, то мы придем к уравнению (48,5) с Sv0o
в правой стороне (S — площадь сечения); в левой же стороне
первый интеграл есть полный поток индукции SB, а второй
представляет собой краевой эффект, малый по сравнению с пер-
вым в отношении и потому пренебрежимый (У? — линейные

J) Поскольку эта функция выведена в предположении 1пх^> 1, ею нельзя
пользоваться . при х~1! В частности, при х= 1/J^2 поле Нс1 (как и Нсг)
должно просто совпадать с Нс.

2) Наиболее выгодна, по-видимому, решетка, образованная равносторон-
ними треугольниками с вихревыми нитями в их вершинах.
размеры сечения); здесь существенно, конечно, что поле вокруг
нитей затухает на расстояниях

До тех пор пока расстояния d между нитями остаются боль-
шими по сравнению с корреляционным радиусом g, можно
утверждать, что магнитные поля вихревых нитей просто скла-
дываются. Действительно, при все еще можно провести
контур, охватывающий собой любое число вихревых нитей та-
ким образом, чтобы он везде проходил далеко (на расстояниях
^>g) от их сердцевин. На таком контуре выполняется условие
лондоновского приближения (постоянство 6), и потому мы снова
придем к уравнению, отличающемуся от (48,7) лишь тем, что
в его правой части 6-функция заменяется суммой 6-функций
от расстояний до каждой из нитей; ввиду линейности этого
уравнения отсюда следует сделанное утверждение.

Когда внешнее поле приближается к Нс2, расстояния между
вихревыми нитями становятся сравнимыми с g. Это ясно видно
и из самого выражения критического поля (47,2), если его
написать (с помощью (45,9), (45,16—18)) в виде

Яеа = 0о/2л^;	(48,18)

оно отвечает потоку ф0, сосредоточенному на площади

Исчезновение сверхпроводимости при $& = НС2 происходит
как фазовый переход второго рода. В духе общей теории таких
переходов можно утверждать, что параметр порядка ф как
функция внешнего поля обращается в нуль по закону | ф |2соНе2 —
— С другой стороны, намагниченность вещества М = (В—Н)/4л
(как величина, не зависящая от выбора фазы ф) в этой об-
ласти сама пропорциональна | ф|2. Учитывая, что при .§ = Нс2
должно быть и В = Нс2, мы приходим, таким образом, к ли-
нейному закону зависимости индукции В в сверхпроводнике
от внешнего поля вблизи точки перехода

В-Нс^-Нс2.	(48,19)

Задачи

1.	Вычислить энергию взаимодействия двух вихревых нитей, расположен-
ных на расстоянии друг от друга.

Решение. Преобразуем выражение свободной энергии (48,13) для сис-
темы двух вихревых нитей к виду, в котором интегрирования производятся
лишь вблизи каждой отдельной нити. Для этого пишем, используя урав-
нение (48,7):

В2 + б2 (rot В)2 = б2 {— В rot rot В (rot В)2} = б2 di v [В rot В].

Объемный интеграл преобразуется в интеграл

б2 f*

^нитей= j [В rot BJ df,	(1)

h+ft
взятый по цилиндрическим поверхностям fi и f2 (малого радиуса
охватывающим сердцевины нитей. Прн d^>£ поля нитей аддитивны, т. е.
В=В] + В2. Энергия взаимодействия нитеи дается той частью интеграла (1),
которая зависит одновременно от Вг и В2:

Lei2='£'{j lB2r0t j lBirot B*ldf2

(интегралы же вида [В2 rot BJ df2 стремятся к нулю прн г0—>0). С по-
мощью (48,8) н (48,10) находим отсюда

р -9— 9„т	К (

12' 28л 2 ° 2лг052 В^~ 8л2б2 Ка \ 6 ) '

В частности, на расстояниях d^>6:

е

12	2’/2л3/262

SV/2
dj

e~d/a.

(2)

2.	Определить зависимость средней (по сечению цилиндрического образца)
магнитной индукции В от внешнего поля § в смешанном состоянии, в ко-
тором вихревые нити расположены на расстояниях d^>6 друг от друга, об-
разуя (в сечении образца) решетку из равносторонних треугольников.

Решение. Площадь равностороннего треугольника равна p^3d2/4(d —
длина стороны), а число нитей равно половине числа треугольников в ре-
шетке (W треугольнике» имеют 37V вершин, но в решетке каждая вершина
принадлежит шести соприкасающимся треугольникам), поэтому v = 2/yr3d2.

Термодинамический потенциал f единицы объема тела в смешанном сос-
тоянии

7=fs— ~4~ v (—	+ + у У, eik>

i, k

где второй член отвечает выражению (48,1) (с Hci из (48,2)); в третьем
члене eJ2 — энергия взаимодействия двух нитей, а суммирование производится
по всем нитям, пересекающим единицу площади. Ввиду экспоненциального
убывания е]2 при d^6, в сумме достаточно учесть лишь пары соседних ни-
тей. В треугольной решетке каждая нить имеет 6 ближайших соседей, поэтому

=у ^ea = 3vei2 (d).
i, k	i

Подставив eJ2 из формулы (2) предыдущей задачи, находим

7 f 4. Фо Г_ —	। Зфо е~а I

'*^2 /Зяб2 [	“2 "^г/глб2 a6/2J

где a — d/b. Зависимость а от § определяется условием минимальности функ-
ции f (а); это дает

= -	Vae-“	(3)

4 У 2л о2

(опущен член более высокого порядка по 1/а<^1). Это уравнение вместе с
равенством В = уфа, т. е.

а=(20о//3 62в)1/2,
§ 49] ДИАМАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ВЫШЕ ТОЧКИ ПЕРЕХОДА 239
определяет искомую зависимость В(§). Отметим, что при §—произ-
водная dB/d$Q стремится к бесконечности по закону

dB 1	. ,	1

§ Н Cl Q И с!

§ 49. Диамагнитная восприимчивость
выше точки перехода

В конце § 45 уже было отмечено, что область температур
вблизи Тс, в которой флуктуации параметра порядка ф стано-
вятся большими, в сверхпроводнике чрезвычайно узка. Вне этой
области флуктуационные поправки к термодинамическим вели-
чинам, вообще говоря, очень малы. Они могут, однако, ока-
заться существенными для магнитной восприимчивости металла
выше точки перехода: появление вследствие флуктуаций даже
относительно малого числа сверхпроводящих электронов может
привести к вкладу в магнитную восприимчивость, превышаю-
щему обычно очень малую восприимчивость нормального ме-
талла вдали от точки перехода1).

Рассмотрим металл в слабом	внешнем магнитном

поле при температуре выше точки Тс, но близкой к ней. Рав-
новесное значение параметра порядка здесь ф = 0, а для вы-
числения его флуктуаций можно использовать свободную энер-
гию из теории Гинзбурга—Ландау. При этом в выражении (45,10)
можно, в виду малости флуктуаций, сохранить только квад-
ратичные по ф члены, опустив член с |ф|4 * * и понимая под А
векторный потенциал однородного поля §. Флуктуации ин-
дукции В, связанные с флуктуациями ф, квадратичны по ф
(ввиду квадратичности плотности тока j). Поэтому в член *е В2/8л
можно понимать под В среднее (термодинамическое) значение
индукции, пренебрегая ее флуктуациями. Таким образом, изме-
нение полной свободной энергии металла при флуктуации дается
следующим выражением—функционалом от ф2):

=	уА)ф 2 +а|Ф|2^К	(49,1)

Для вычисления флуктуационного вклада Д/7 в свободную
энергию надо рассматривать функционал (49,1) как «эффектив-

!) Этот эффект был указан В. В. Шмидтом (1966).

2) Во избежание недоразумений подчеркнем, что магнитное поле не яв-

ляется по отношению к сверхпроводнику «внешним полем» h в том смысле,

как оно было введено в V §--144. Последнее должно было бы входить в сво-

бодную энергию в виде члена — h (ф + ф*), что в данном случае заведомо

невозможно ввиду неинвариантности такого члена по отношению к выбору

фазы ф.
ный гамильтониан», определяющий ЛЕ согласно формуле

exp	J ехр (— Ду] )	(49,2)

где интегрирование (функциональное) производится по всем
распределениям ф(г) (см. V § 147). Фактически оно осуществ-
ляется путем разложения ф по некоторой полной системе собст-
венных функций и интегрированием по бесконечному множеству
коэффициентов этого разложения. В случае однородной (без
внешнего поля) системы разложение производится просто по
плоским волнам (см., например, задачу в V § 147).

В данном же случае разложение следует производить по
собственным функциям «уравнения Шредингера»

д¥ф = £ф,	(49,3)

отвечающего гамильтониану (49,1). В § 47 уже было отмечено,
что это уравнение формально совпадает с уравнением Шредин-
гера для движения частицы (с массой 2m и зарядом 2е) в одно-
родном магнитном поле. Его собственные функции нумеруются
одним дискретным (п) и двумя непрерывными (рх, р2) кванто-
выми числами, причем собственные значения зависят только
от п и р2 (ось z в направлении и даются формулой

Е (п +4 , р2} = (п	(49,4)

\	1 2 ’	\	1 2 у тс * 1 4т	' ’ ’

число различных собственных функций с заданным п, значе-
нием р2 в интервале dp2 и всеми возможными рх есть

(см. III § 112).

Обозначим, для краткости, совокупность чисел п, р2, рх
одним символом q и напишем разложение функции ф(г) в виде

Ч’ = 2кЛ(г)»	(49,5)

Q

где c4 = c'q-\-ic'q — произвольные комплексные коэффициенты, а
собственные функции предполагаются нормированными условием
J | ф9 |2dV= 1 (интегрирование производится по объему металла).

Подстановка разложения (49,5) в (49,1) позволяет прежде
всего перейти от интегрирования по объему к суммированию
по q. Действительно, проинтегрировав первый член по частям,
приводим (49,1) к виду

Ф*-^- ( —	—— А^2ф +ф*аф\(1К

ДЕ[ф]=С{
Подставив сюда (49,5) и учтя, что каждая из функций ф7 удов-
летворяет уравнению (49,3) с Е = Ечи что собственные функции
с различными q взаимно ортогональны, получим

АРЭД-Жт+а).

ч

(49,6)

Функциональное интегрирование в (49,2) означает интегри-
рование по всем dcqdcq. После подстановки (49,6) интегриро-
вания по всем этим переменным разделяются и дак5т

/ ДР \ тт пТ
ехр V

или

ЛР= — ту 1п-^?- .	(49,7)

Ед + а	'	’ ’

ч

В терминах квантовых чисел п и pz это выражение записывается
как

др = _V2|el?£ У [ in—------------- dpz.	(49,8)

(2л&)2с J E(pz, n + 1/2)-i-a 1г	\ > /

п -00

Эта сумма расходится при больших Е, но расходимость в
действительности фиктивна и связана лишь с тем, что исход-
ная формула (49,1) применима только при медленно меняющихся
функциях ф (г): изменение ф должно быть мало на расстояниях
~|0. В терминах собственных значений Eq это значит, что до-
пустимы лишь £9<^^2/тп^о- Обрезав сумму по п при некотором
большом N, удовлетворяющем поставленному условию, восполь-
зуемся формулой Пуассона

(см. V (59,10)). В применении к (49,8) первый, интегральный,
член этой формулы дает, как легко понять, не зависящий от
вклад в свободную энергию; этот член не нужен для вычисле-
ния магнитной восприимчивости, и мы его опустим. Во втором
же члене можно положить теперь N—>оо (так что параметр
обрезания выпадает из ответа)1):

ДР — у е2Т<&2 Г dpz
48лгНтс2 J а-\-рг/4т

О В коэффициенте положено Т « Тс. При Т вблизи Тс существенные
в этом интеграле значения рг~ У та ~	(7) &Д;0, т. е. удовлетворяют

поставленному требованию.
Окончательно, после взятия интеграла,

AF=V—.
24лЙс2 Ута

Отсюда магнитная восприимчивость

_____1_ д2 &F _______е27’с______
V ~	12лЛс2(/жх)1/2 (Т — Тс)1/2

(Н. Schmidt, 1968; A. Schmid, 1969). Мы видим, что вблизи
точки перехода восприимчивость возрастает как (Т — Тс)~^’2.
В этой области (49,10) представляет собой основной вклад в маг-
нитную восприимчивость нормального металла.

(49,9)

Задачи

1.	Определить магнитный момент тонкой (толщина	пленки в пер-

пендикулярном ее плоскости слабом магнитном поле при температурах Т > Тс,
Т ТС<ТС.

Решение. Конечность толщины пленки приводит к дискретности кван-
тового числа pz в (49,4), причем для тонкой пленки надо ограничиться в (49,7)
лишь значением pzj=® (уже первое отличное от нуля значение pz~1i/d, так
что Е ~ h2/md2 й2/т|2 ~ а). Число собственных функций с заданными п
и pz (и всеми возможными рх) есть 2 | е |§5/2лЙс, где S — площадь пленки;
поэтому суммирование по q в (49,7) надо понимать как (S^S/ithc) Применив

п
к сумме формулу Пуассона, получим в результате

е2Т .‘о2

24 лоте 2а

Магнитный момент пленки

М -	ЭАГ- _ S	е2Т^ -

12лтс2а(Т — Тс) '

Обратим внимание на то, что он возрастает при Т —*ТС быстрее, чем в слу-
чае неограниченного металла.

2.	То же для шарика радиуса 7?<^g(7’) (В. В. Шмидт, 1966).

Решение. В этом случае из всех собственных значений уравнения (49,3)
существенно лишь одно, наименьшее, отвечающее собственной функции ф = const
и равное £о = е27?2§2/1Отс2 (см. все сказанное по этому поводу в задаче к §47).
Сумма (49,7) сводится к одному члену, и магнитный момент

Л4~ дЕ° - e2TcR2^
а	5тс2а.(Т — Тс) ‘

§ 50. Эффект Джозефсона

Рассмотрим два сверхпроводника, разделенных тонким слоем
диэлектрика. Для электронов этот слой представляет собой
потенциальный барьер, и если слой достаточно тонок, то су-
ществует конечная вероятность их проникновения через него
путем квантового туннелирования. Даже если коэффициент про-
пускания барьера мал, его отличие от нуля имеет принципиаль-
ное значение: оба сверхпроводника становятся единой системой,
описывающейся единой конденсатной волновой функцией. Это
обстоятельство приводит к эффектам, впервые предсказанным
Джозефсоном (В. D. Josephson, 1962).

Единство конденсатной волновой функции системы означает,
что через контакт между двумя сверхпроводниками может течь,
в отсутствие приложенной извне разности потенциалов, сверх-
проводящий ток. Подобно тому как внутри сверхпроводников
плотность тока определяется градиентом фазы Ф конденсатной
волновой функции, так плотность / протекающего через контакт
сверхпроводящего тока связана с разностью значений Ф2 и Фх
фазы на обоих сторонах контакта1). Поскольку значения раз-
ности Ф2— Ф,, отличающиеся на целое кратное от 2л, физи-
чески тождественны, то ясно, что функция

/ = /(Ф21), Ф21 = Ф2-Ф1	(50,1)

должна быть периодической с периодом 2л. Операция обра-
щения времени меняет знак тока j и в то же время меняет
знак фазы Ф21 (поскольку волновые функции заменяются своими
комплексно-сопряженными). Это значит, что функция (50,1)
должна быть нечетной и обращаться в нуль при Ф21 = 0. Будучи,
разумеется, ограниченной, функция /(Ф21) имеет свои макси-
мальное и минимальное значения, между которыми она и ме-
няется при изменении разности фаз, а в силу нечетности функ-
ции эти значения одинаковы по абсолютной величине; обозначим
их через ±/м.

Следует отметить, что запись (50,1) предполагает прене-
брежение влиянием на ток со стороны собственного магнитного
поля токов внутри контакта. В противном случае вместо раз-
ности Ф21 должно было бы фигурировать калибровочно инва-
риантное выражение

2
ф2-ф1-|ур^Х.
1

Ввиду очень малой толщины диэлектрического слоя условие
допустимости пренебрежения стоящим здесь интегралом от непре-
рывной функции Ах(х) легко выполняется (а значения самого

х) Для того чтобы сверхпроводящий ток через контакт ямел заметную
величину, толщина диэлектрического слоя фактически должна быть очень
мала: ~ 10-7 см. Такие расстояния малы даже по сравнению с наименьшим
характерным параметром длины в сверхпроводнике —длиной когерентности §0.
В этом смысле слой должен рассматриваться как бесконечно тонкий, а по-
ведение фазы внутри него в теории вообще не фигурирует.
потенциала Ах на обеих сторонах контакта можно считать оди-
наковыми).

Определение вида функции j (Ф21) во всей области темпе-
ратур возможно лишь на основе микроскопической теории.
Мы ограничимся здесь феноменологическим рассмотрением в рам-
ках применимости теории Гинзбурга—Ландау.

Если бы контакт был совсем непроницаем для электронов,
волновые функции ф каждого из сверхпроводников удовлет-
воряли бы на своем краю контакта граничным условиям (45,15):

дф1
дх

2ie л । л
-т-4^1 = 0.

пс

дфг
дх

^Лхф2 = о.
пс

Конечная проницаемость барьера и конечность значений ф на
границах контакта приводят к появлению в правых сторонах
этих условий отличных от нуля выражений, зависящих от
значений ф по другую сторону контакта. Ввиду малости ф
(вблизи точки перехода Те) можно ограничиться в этих функ-
циях линейными по ф членами, т. е. написать

^-^Лхф2 = ^;	(50,2)

дх	дх he	к > /

коэффициент 1/А пропорционален проницаемости барьера. Равен-
ства (50,2) должны удовлетворять требованиям симметрии отно-
сительно обращения времени: они должны оставаться спра-
ведливыми при преобразовании ф—>ф*, А—►—А; отсюда сле-
дует, что постоянная % вещественна (тогда при указанном
преобразовании равенства (50,2) просто совпадают со своими
комплексно-сопряженными).

Связь между величиной сверхпроводящего тока через кон-
такт и разностью фаз функции ф можно определить, применив
формулу (45,14) к какой-либо из сторон контакта (скажем, со
стороны 1):

1 2m v1 дх дх ) me *Ф1Ф1’

Подставив сюда дф^дх из граничного условия (50,2), получим
/== —ФЛ*)-

Для контактов одинаковых металлов величины ф1 и ф2 отли-
ются только своей фазой; находим тогда для плотности тока:
/ = /„ sin ФяХ, /я = ~||ф|2.	(50,3)
При приближении к точке перехода | ф |2 стремится к нулю как
Тс —~Т\ по такому же закону, следовательно, стремится к нулю
и максимальная плотность тока через контакт1 2).

Пусть теперь к туннельному контакту приложена от внеш-
него источника некоторая разность потенциалов, т. е. в кон-
такте имеется электрическое поле Е. Будем описывать-это поле
скалярным потенциалом, обозначив его здесь через V: Е = —
Влияние этого поля на сверхпроводящий ток через контакт
можно выяснить уже на основании требований калибровочной
инвариантности.

В отсутствие поля (при 7 = 0) фаза волновой функции не
зависит от времени: дФ/dt = 02). Для обобщения этого равен-
ства на случай наличия электрического поля замечаем, что
общее соотношение должно быть инвариантно по отношению
к калибровочному преобразованию скалярного потенциала

(50,4)
с dt ’	' ’ '

не затрагивающему векторный потенциал (который предпола-
гается не зависящим от времени). Точно так, как это было сде-
лано при выводе преобразования (44,3), (44,6), найдем, что
одновременно с V должна быть преобразована фаза волновой
функции согласно

ф->ф + ^-Х(0-	(50,5)

Отсюда ясно, что калибровочно инвариантным будет соотно-
шение

^ + jV = 0,	(50,6)

переходящее в дФ/di — 0 при 7 = 0.

При не зависящем от времени электрическом поле интегри-
рование равенства (50,6) дает

1) Микроскопическая теория, основанная на модели БКШ, показывает,
что такая же связь (50,3) между / и Ф21 имеет место при всех температурах.
Эта же теория позволяет связать jm с электрическим сопротивлением кон-
такта между двумя металлами в нормальном состоянии. Изложение этой тео-
рии можно найти в книге: И. О. Кулик, И. К. Янсон, Эффект Джозефсона
в сверхпроводящих туннельных структурах, «Наука», 1970.

2) Напомним (ср. примечание на стр. 150), что временной множитель
ехр (—2iu.//Tr) исключен из волновой функции тем, что гамильтониан системы

 Н заменен на Н' —
где Ф<0) не зависит от времени. Поэтому, если к контакту при-
ложена постоянная электрическая разность потенциалов У21, то
разность фаз на нем

Ф21 = ФЙ’—

Я

Подставив это выражение в (50,3), находим сверхпроводящий
ток через контакт

/ = /изт(ф<°>--|к21/).	(50,7)

Мы приходим к замечательному результату: наложение на тун-
нельный контакт постоянной разности потенциалов приводит
к появлению сверхпроводящего переменного тока с частотой

о

(50,8)

Потребляемая в контакте мощность дается произведением
/У21; ее среднее (по времени) значение равно нулю, т. е. систе-
матическая затрата энергии от внешнего источника отсутст-
вует— как и должно быть для сверхпроводящего тока, не свя-
занного с диссипацией энергии. Подчеркнем, однако,* что при
наличии внешней электродвижущей силы через контакт будет
протекать также и некоторый нормальный ток (слабый при
малом V21), сопровождающийся диссипацией.

Заключение о периодическом с частотой (50,8) изменении
сверхпроводящего тока через контакт следует уже из самого
факта периодической зависимости j от Ф21 и линейной зависи-
мости Ф21 от времени; это заключение не связано с какими-
либо предположениями о величине разности потенциалов.
Конкретная же формула (50,7) справедлива лишь при условии
малости частоты со,- по сравнению с характерной для сверхпро-
водимости частотой А/&:

^®/ = 2|еУ|<А(Т).	(50,9)

Задача

Написать уравнение для тока в цепи, состоящей из последовательно сое-
•диненных сопротивления R и сверхпроводника с туннельным контактом;
в цепи действует электродвижущая сила Уо.

Решение. Полное падение напряжения в цепи Vo =/?/-]-V2i, где J —
текущий по цепи ток, a У2] — разность потенциалов на контакте1). Подставив
сюда У = /тзтФ21 и Vai из (50,6), получим

2^е\дdt1 ==V°~RJm sin®2i'

Отметим, что описываемый этим уравнением переменный ток имеет несину-
соидальный характер.

х) Малым (при малом Уо) нормальным током в сверхпроводнике пренебре-
гаем.
§ 51. Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике

В § 44 были получены формулы, определяющие связь между
током и магнитным полем в сверхпроводнике в предельном (лон-
доновском) случае медленного изменения всех величин вдоль
объема тела; при этом поле предполагалось слабым—малым по
сравнению с его критическим значением. Теперь мы рассмотрим
этот вопрос в общем случае произвольно меняющегося в прост-
ранстве статического поля, по-прежнему предполагая его слабым.
Слова «произвольно меняющееся» означают здесь, что поле может
существенно меняться на расстояниях (но, конечно, по-
прежнему мало меняется на расстояниях порядка величины
постоянной решетки; поэтому неоднородность среды—металла —
на атомных расстояниях несущественна):

В общем случае связь между током и магнитным полем
в пространственно-неограниченной среде изображается интег-
ральной формулой вида

Л(г) = — S (г~г') Ak	(51,1)

где ядро Qik зависит только от свойств самой среды1). Линей-
ность зависимости (51,1) отвечает предположению о слабости
поля.

Как известно, плотность тока может рассматриваться как
вариационная производная от энергии системы по векторному
потенциалу: изменение функции Гамильтона системы при варьи-
ровании А есть

6Я=—

(см. III (115,1)). Поэтому ядро Qik в (51,1) является второй
вариационной производной, а симметрия относительно порядка
двукратного дифференцирования (по ЛДг) и Лй(г')) означает,
что

г') = 3м(г'~г).	(51,2)

Разложив А (г) и j (г) в интегралы Фурье, запишем связь (51,1)
для фурье-компонент:

jt(k) = -Qile (k) Ak (к),	(51,3)

причем в силу (51,2)	=	—к).

Некоторые важные свойства функции QZft(k) следуют уже
из требований калибровочной инвариантности. Ток j не должен

1) Задача о неограниченной среде имеет в данной связи лишь формаль-
ный смысл. Ее реальное значение состоит в дальнейшем применении ее резуль-
татов к задаче об ограниченной среде — см. следующий параграф.
меняться при калибровочном преобразовании А (г) —> A (r)+V% (г)
или, для фурье-компонент:

A(k)^A(k)+ikZ(k).

Это значит, что тензор QZft(k) должен быть ортогонален волно-
вому вектору

QZft(k)^ = O.	(51.4)

В частности, в кристалле кубической симметрии тензорная зави-
симость Qik сводится к членам вида 6Zft и k(kk; из (51,4) сле-
дует тогда, что

(51,5)

где Q (к) — скалярная функция.

Для дальнейшего выберем калибровку потенциала, в кото-
рой div А (г) = 0. Для фурье-компонент это значит, что kA(k)=0.
Поэтому связь (51,3) между током и потенциалом сведется
к равенству

j (k) = — Q (к) А (к),	(51,6)

т. е. будет определяться лишь скалярной функцией Q(k).

Лондоновскому случаю отвечает предельное выражение Q (к)
при к—>0. Это выражение легко найти, применив к обоим сто-
ронам уравнения (44,8)

rot j — — — rot А

J тс

оперицию rot и учтя равенство divA = 0. Заметив, что в силу
уравнения непрерывности также и div j ==0, получим

Д] = _£2Дда.

J тс

В неограниченном пространстве для везде конечных функций
j (г) и А (г) отсюда следует, что и

j(r) = -^A(r),	(51,7)

т. е. значение тока’ в каждой точке определяется лишь значе-
нием потенциала в той же точке. Такое же равенство имеет
место между фурье-компонентами j (к) и А (к), и сравнение с (51,6)
показывает, что Q (к) дается не зависящим от к выражением1)

Q(k>Sr = £^ ПРИ к~*°-	(51>8)

ть 4лод

х) В этом и следующих параграфах лондоновская глубина проникновения
обозначается как д^.
Дальнейшее содержание этого параграфа состоит в вычисле-
нии Q (к) для модели БКШ, под которой подразумевается, как
уже говорилось, изотропный вырожденный ферми-газ со слабым
притяжением между частицами (электронами). В то же время
предполагается, что эти частицы взаимодействуют с магнитным
полем своим зарядом е.

В § 42 были написаны уравнения (42,5) для температурных
гриновских функций- ферми-газа в отсутствие внешнего поля.
Введение магнитного поля осуществляется заменой оператора
V —► V—ieA/c в гамильтониане Нт (7,7) х). Такое же изменение
возникает, следовательно, в уравнении (7,8) для ¥ и соответ-
ственно замена V—<-V + ieA/c в аналогичном уравнении для Ч,+;
то же самое относится, очевидно, и к уравнениям для 4м1 и

Спиновый же член (~оН), отвечающий прямому взаимо-
действию магнитного момента электрона с полем, мал и им
можно пренебречь в гамильтониане и уравнениях. При воздей-
ствии оператора V на функции $(т, г;т', г') и <F (т, г; т', г')
дифференцированию подвергаются соответственно операторы
Ч™1 (т, г) и 4м1 (т, г). Поэтому и в уравнениях (42,5) введение
магнитного поля осуществляется теми же заменами V —> V + ieAic.

Наличие внешнего поля нарушает пространственную одно-
родность системы, в результате чего зависимость гриновских
функций от аргументов гиг' уже не сводится к зависимости
от г—г'; от аргументов же т и х' функции по-прежнему зави-
сят только через разность т—х'. Мы запишем уравнения сразу
для фурье-компонент по т—х':

{/^ + Д V—^А(г)]Чф (^; г, г')	г, г') = 6 (г),

(51,9)

+2-k|? + 7A(r)]2 + 4	Г’ г, г')=0.

В случае слабого поля, который мы только и будем здесь
рассматривать, эти уравнения могут быть линеаризованы; пола-
гаем



(51,10)

(где первые члены—значения функций в отсутствие поля, а
вторые—малые поправки, линейные по полю) и сохраняем
в уравнениях лишь члены первого порядка малости по А.

*) Ниже в этом параграфе (в уравнениях (51,9—19)) полагаем Й = 1,
При этом надо иметь в виду, что наличие поля меняет
также и конденсатную волновую функцию Е, не сводящуюся
в этом случае к постоянной. Это усложнение, однако, отсутст-
вует при выбранной нами калибровке векторного потенциала,
в которой

divA = 0.	(51,11)

Действительно, поправка первого порядка (к постоянному зна-
чению Е1о)) в скалярной функции Е (г) могла бы быть лишь
пропорциональной div А и при условии (51,11) обращается
в нуль. Поэтому с требуемой точностью можно положить в ли-
неаризованных уравнениях gE = gE(0) = A, где А — щель в энер-
гетическом спектре газа в отсутствие поля (вещественная вели-
чина).

В результате линеаризованные уравнения (51,9) принимают
вид

(+ Ё+н)s,1> r>r')+A^(1) r >r')=

= ^cA(r)V^’(^; r-r'),

(51,12)

(-^+£ + h)^u,(^; r, r')—AS(1>(^; r, r') =

= _^A(r)vF‘”(^; r-r').

В виду линейности этих уравнений по А достаточно решить их
для одной из фурье-компонент поля, т. е.

А (г) = А (к) е,кг, кА(к) = 0.	(51,13)

При таком А (г) зависимость функций $11) и <F(l) от суммы
г-фг' можно сразу отделить, положив

S‘”(k; г, г') =g(k; г-rVM--™
_	(51,14)

<F(1>(^; г, r') = f(^; г-г')^к<г+н/г.

Так, первое из уравнений (51,12) принимает после этого вид
[^+i(v + 4ky + H]g(^:r-r') + A/(^;r-r') =

= ^A(k)e‘kc-O/2VF<0’(^; r-r')

и аналогично для второго уравнения. Произведем теперь фурье-
преобразование функций g и / по г—г'. Окончательно прихо-
дим к следующей системе двух алгебраических уравнений:

—2m (р	2") + Iх] Р) + kf (Cs> Р) —

(51,15)

[— i?>—	р)—Р) =

= ^рА(к)Г'»(С!,Р-4)-

После простых преобразований с использованием выражений
(42,7—8) для функций $10) и <F(0) решение этих уравнений при-
водится к виду

№.P)---pA(k)		(51,16)

тс	(£s + e+) (£s+ е_)

где e± = e(p±k/2), к]± = т] (р ± к/2) (функция же /(^, р) нам
ниже не понадобится).

Перейдем к вычислению тока. Для этого исходим из извест-
ного выражения оператора плотности тока в представлении
вторичного квантованияJ)

Для перехода к мацубаровскому представлению этого оператора
достаточно заменить гейзенберговские Ф, Чг+ на мацубаровские
Ч™, Вспомнив определение гриновской функции (37,2),
найдем, что плотность тока (диагональный матричный элемент
оператора j, усредненный по распределению Гиббса) может
быть записана в виде

j (r) = 2^[(V'-V)^(r, г; т', г')]£=;+о-^А(г)п, (51,17)

где п—плотность числа частиц (множитель 2 возникает от
$аа=28).

При подстановке в (51,17) $ =	член с $(0) выпадает:

для однородной и изотропной системы функция $(0) (г—г') четна,
и ее производная при г—г'=0 обращается в нуль. Перейдя

х) См. III § 115. Здесь опущен член, представляющий вклад в ток от
спина частиц. Для неферромагннтной системы (когда гриновская функция
$ар = 6ар$) этот член при усреднении обращается в нуль.
также к разложению Фурье по т—т', получим

00

Иг) = #7’ Е [(V'-V)^>(^ Г, г')Р=г-^А(г),
S— — X

а после подстановки А (г) и $(1) из (51,13) и (51,14) —

. . 2еТ V' f /*•	\ d3p ne2 .	.

ИИ—“ЙГ Е ) P£(Cs> Р)‘(2л)3’'“тс'А

При подстановке сюда g(t,s, р) из (51,16) удобно сразу учесть
поперечность векторов j (к) и А(к) и произвести усреднение по
направлениям pj_ в плоскости, перпендикулярной направлению к,
по формуле

Р±<Р±ь = % sin2 6 (б,-А —,

где 0—угол между к и р. В результате находим следующее
выражение для функции Q (к), определяющей связь между
j(k) и А (к):

0(к}~— V СP2£in2e(<g5+n+)(»gs+n-) + A2 d3p . ле2
~ ш2с 2^ \Р 5Ш ° (Й + е1)(Й+е2_)	(2л)з+тс’

S= — Xе'

(51,18)

4 = Т1± + А2, т|± =2^(р± т)2—Р-

Написанные в таком виде стоящие здесь интегралы и сумма
формально расходятся. Хотя эти расходимости в действитель-
ности фиктивны, но при вычислении требуется осторожность:
до устранения расходимости результат может зависеть даже от
порядка, в котором производятся интегрирование и суммиро-
вание.

Эту трудность можно обойти, если учесть заранее очевидное
обстоятельство, что при А = 0 должно быть Q = 0—в нормаль-
ном металле сверхпроводящий ток вообще отсутствует. Поэтому
мы не изменим ответа, если вычтем из (51,18) такое же выра-
жение с А = 0:

П1..е^т V f 2 • 2 A J (<^ + n+)(«^ + n-) + A2

Q (k) m2c E \p Sln 0(	(ЙЧ-е2) (Й+ e2_)

Это выражение уже хорошо сходится й интегрирование и сум-
мирование в нем можно производить в любом порядке.
Отметим прежде всего, что интересующие нас значения к малы
в том смысле, что k<^.pP, это неравенство выражает собой просто
тот факт, что характерные расстояния, на которых в сверхпро-
воднике меняются поле и ток, велики по сравнению с межчас-
тичными расстояниями (т. е. по сравнению с ~l/pF).

Произведем в (51,19) сначала интегрирование по dp. Этот
интеграл сосредоточен в основном в узкой области импульсов
вблизи ферми-поверхности — в области |р—pP\~k. В этой
области

q± « q ± 4" vPk cos 0 « vP (р—pF) ± -|- Vpk cos 0,

множитель p2 в подынтегральном выражении можно заменить на ръР,
а интегрирование по d3p — интегрированием по 2n/npFd,qdcos0.
После этого интеграл по dq от второго члена в фигурных скоб-
ках в (51,19) обращается в нуль: путь интегрирования в нем
может быть теперь замкнут бесконечно удаленной полуокруж-
ностью в плоскости комплексного т|, и обращение интеграла
в нуль есть следствие того, что оба полюса подынтегрального
выражения находятся в одной и той же полуплоскости (верх-
ней или нижней в зависимости от знака £5). Интегрирование
по dq в первом члене в (51,19) производится элементарно,
после чего остается лишь интеграл по переменной x = cos0.
Введя также плотность п согласно равенству рР = 3л2 п, полу-
чим окончательный результат в виде (в обычных единицах)

<ю I

q ,, ч ЗлГгае2 уч С__________А2 (1 —х2) dx______

Д [;|+Д2+	’

^ = (2s + l) пТ

(51,20)

(J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer, 1957)2).

В предельном случае малых значений k (/г^0<^1, где
£0 ~ hvP/\a ~ tbVP!Tc—длина когерентности) можно показать, что
выражение (51,20) сводится к не зависящему от k лоидоновскому
выражению (51,8); мы не будем останавливаться здесь на этом.

В обратном предельном случае, когда feg0^>l, в интеграле
(51,20) существенна область x^Te/hkvF<^: 1. Поэтому можно
пренебречь х2 по сравнению с 1 в числителе подынтегрального
выражения, после чего (ввиду быстрой сходимости) распростра-
нить интегрирование от —оо до оо. В результате найдем

<2 (к) =

Зл2ле2Т у,
2mchvPk s

А2

Й+Д2 ’

2) Изложенный метод получения этого результата с помощью температур-

ных гриновских функций принадлежит А. А. Абрикосову и Л. П. Горькову
Произведя суммирование с помощью (42,10), представим эту
формулу в видех)

Q(k) = ^-, p =	^„>1.	(51,21)

4ля	тс2 4rivp 2Т

При Т <^Те имеем ns «п, А х Ао, и тогда 1/61£0. При
Те—Т<^ТС щель А мала, так что th (А/2Т)« А/27'с; с учетом
формул (40,4—5), (40,16) находим снова |3 ~ 1/6^0. Таким обра-
зом, во всей области температур от 0 до Тс

₽~1Ж0.	(51,22)

Итак, функция Q (к) остается примерно постоянной в обла-
сти fe^l/£0 (причем вблизи точки к = 0 разлагается регулярно
по степеням fe2); вне этой области функция Q (к) убывает, при
fej>l/g0 —по закону 1/fe. Такому поведению функции Q (к) отве-
чает координатная функция Q (г), убывающая медленно (как 1/г2)
в области и быстро (по экспоненциальному закону) вне
этой области. Таким образом, корреляция между полем и током
простирается всегда на расстояния ~ £0. Подчеркнем, что это
утверждение справедливо во всей области температур от нуля
до Тс. Тем самым мы пришли к обоснованию сделанного уже
в § 44 утверждения об универсальности с0 как характерного
для сверхпроводимости параметра длины.

§ 52. Глубина проникновения магнитного поля
в сверхпроводник

Применим полученные в предыдущем параграфе результаты
к задаче о проникновении внешнего магнитного поля в сверх-
проводник (в лондоновском приближении эта задача была рас-
смотрена в § 44).

Пусть сверхпроводник ограничен плоской поверхностью и
занимает полупространство х > 0, а внешнее поле (а с ним и
индукция В внутри сверхпроводника) направлено параллельно
поверхности, вдоль оси г. Тогда все величины зависят только
от координаты х, причем ток j и векторный потенциал А (в ка-
либровке с divA = 0) направлены вдоль оси у. Уравнение Мак-
свелла rot В = — АА = 4nj/c сводится к

^W = ~/W. х>0,	(52,1)

где ' означает дифференцирование по х.

х) Формула такого вида была предложена Пиппардом (А. В. Pippard, 1953)
на основании качественных соображений еще до создания микроскопической
теории сверхпроводимости.
Граничные условия к этому уравнению зависят, однако, от
физических свойств поверхности металла по отношению к падаю-
щим на нее электронам. Наиболее прост случай зеркального
отражения электронов от поверхности. Очевидно, что при таком
законе отражения задача о полупространстве эквивалентна за-
даче о неограниченной среде, в которой поле А (х) распределено
симметрично по обе стороны плоскости х = 0 (Л (х) = А (— х)).
При этом производная А' (х), как нечетная функция х, будет
испытывать при х = 0 разрыв, меняя знак при прохождении х
через нуль. Другими словами, условию В = А' = <§ на поверхно-
сти полупространства в задаче с неограниченной средой отве-
чает условие

Л'(+0) — Л'(—0) = 2£.	(52,2)

Умножим уравнение (52,1) на e~ikx и проинтегрируем его по
dx в пределах от —оо до оо. В левой стороне уравнения пишем

00	0	00	оо

J A"e~ikxdx = J (A'e~ikx)' dx -ф J (A'e~!/tx)' dx-f-ik J A'e~ikx dx.
— oo	— co	0	— co

Первые два интеграла дают в сумме —2<*р, а в последнем можно
интегрировать уже просто по частям, поскольку сама функция
Л (х) непрерывна при х = 0. В результате мы приходим к равен-
ству

2§+feM (fe) = ±b/(fe),

где A (k) и / (fe)—фурье-компоненты функций А (х) и / (х), опре-
деленных во всем пространстве. Они связаны, следовательно,
соотношением ]/(й) =— Q(k)A(k), где Q (fe) дается формулами,
полученными в предыдущем параграфе. Таким образом, для
фурье-компонент поля находим

(52,3)

Глубина проникновения 6 определяется как1)

6	> CB(x)dx=_lM.	(52,4)

Щ J	«V

О

Выразив Л(х = 0) через фурье-компоненты A (fe) и подставив
последние из (52,3), имеем

6 = —t f A(k)^ = — f .a .	(52,5)

§ J 4 7 2л nJ fe2 + 4nQ (|/г|)/с	'

- co	— oo

x) При экспоненциальном законе затухания поля это определение совпа'
дает с определением в (44,13).
Основную роль в этом интеграле играет область значений k,
в которой /г2 ~ 4nQ/c. В лондоновском случае (когда 6£5>£о) эти
значения малы в том смысле, что&£0<^1. При этом Q (k) дается
не зависящим от k выражением (51,8), и интегрирование в (52,5)
приводит, естественно, к значению 6 = 6£.

В обратном, пиппардовском случае (когда 6£<^ £0) существен-
ные в интеграле значения fej>l/g0. Здесь Q (k) дается выражением
(51,21), и интеграл (52,5) дает

6 = = 4/33/2 pi/з.	(52,6)

С учетом (51,22) находим, таким образом, что пиппардовская
глубина проникновения

(52,7)

Изложенные вычисления относились к случаю зеркального
отражения электронов от поверхности металла. В лондоновском
случае, однако, глубина проникновения вообще не зависит от
закона отражения, как это ясно из вывода значения 6£ в § 44;
при 6^>£0 детали структуры'поверхности не существенны.

Но и в пиппардовском случае зависимость глубины проник-
новения от закона отражения фактически оказывается весьма
незначительной. Так, в обратном, по отношению к зеркальному,
случае диффузного отражения (когда направления скоростей
отраженных электронов распределены изотропно при любом
направлении падения) значение оказывается всего в 9/8 раз
больше, чем при зеркальном отражении.

§ 53.	Сверхпроводящие сплавы

Наличие примесей оказывает на свойства сверхпроводников
значительно более глубокое влияние, чем на свойства нормаль-
ных металлов. Поправки к термодинамическим величинам нор-
мального металла остаются малыми до тех пор, пока мала кон-
центрация х атомов примеси, и становятся значительными лишь
при 1, т. е. когда среднее расстояние между атомами при-
меси становится сравнимым с постоянной решетки а. Подчерк-
нем, что мы говорим здесь, конечно, об электронных вкладах
в термодинамические величины, причем о тех из них, которые
определяются средней плотностью распределения квантовых со-
стояний электронов проводимости в импульсном пространстве
(таковы, например, теплоемкость и магнитная восприимчивость
в слабых полях).

Иная картина в сверхпроводящих металлах. Это связано
с существованием характерного параметра длины, большого по
сравнению с а,—длины когерентности £0. Поскольку рассеяние
электронов на атомах примеси нарушает корреляцию между
электронами, свойства сверхпроводника могут существенно из-
мениться, уже когда длина свободного пробега электронов срав-
нивается с £0; концентрация же х остается при этом еще малой.
Мы изложим здесь качественно основные результаты, необходи-
мые для общего понимания свойств таких сплавов малой кон-
центрации х).

Пусть атомы примеси не имеют механического, а тем самым
и магнитного момента (не парамагнитные примеси). В таком
случае они лишь слабо влияют на термодинамические свойства
сверхпроводника в отсутствие магнитного поля. Дело в том, что
такие примеси не нарушают симметрии относительно обращения
времени. Действительно, взаимодействие распределенных неко-
торым образом примесных атомов с электронами можно описать
заданием некоторого потенциального поля U (г). Согласно тео-
реме Крамерса, уровни энергии электронов в таком поле оста-
ются двукратно вырожденными, причем соответствующие этим
уровням состояния как раз являются взаимно обращенными по
времени, и, следовательно, электроны в них могут образовывать
куперовские пары. Это будет по-прежнему происходить вблйзи
резкой поверхности Ферми с той лишь разницей, что самая эта
поверхность ограничивает теперь заполненные состояния не
в импульсном пространстве, а в пространстве квантовых чисел
в поле U (г); при малой концентрации примеси плотность кван-
товых состояний вблизи ферми-поверхности изменяется мало.

Ясно поэтому, что после усреднения по положениям атомов
примесей должны получиться формулы, отличающиеся от формул
теории чистых сверхпроводников лишь поправками порядка ма-
лости х. В пренебрежении этими несущественными поправками
не изменятся, в частности, температура точки перехода Тс и
величина скачка теплоемкости в ней. Поэтому не изменится и
отношение а2/& коэффициентов в уравнении Гинзбурга—Ландау
(см. (45,8)); самый же вид этого уравнения вообще не зависит
от отсутствия или наличия примесей, уравнение справедливо
в равной степени как для чистых сверхпроводников, так и для
сверхпроводящих сплавов.

С другой стороны, магнитные свойства сверхпроводника,
в частности глубина проникновения магнитного поля, сущест-
венно меняются уже при I ~ £0. Оценим глубину проникновения,
предполагая, что хотя концентрация х<^. 1, но уже длина пробега
(Л. В. Pippard, 1953).

Столкновения электронов с атомами примеси уничтожают
корреляцию в движении электронов на расстояниях г^/. Это

х) Полная теория сверхпроводящих сплавов, построенная А. А. Абрикосо-
вым и Л. П. Горьковым, довольно сложна и выходит за рамки этой книги.
2м. оригинальные статьи: ЖЭТФ 35, 1558 (1958); 36, 319 (1959).

* В. М. Лифшиц, Л. П. Питаеиекий
значит, что ядро Q (г) в интегральной связи между током и
полем в сверхпроводнике будет экспоненциально затухать уже
на расстояниях	Соответственно в импульсном пред-

ставлении функция Q (fe) будет теперь оставаться постоянной
в области	Значение этой постоянной можно определить

путем «сшивки» при kl ~ 1 с формулой (51,21) (остающейся спра-
ведливой при 1/1	1/£0). Таким образом, находим, что

Q(k)~ —^Э-thA при fei^l. (53,1)
тс nvp 2Т

Глубина проникновения 6 определяется соотношением k2~
'-'Q(k)/c при k ~ 1/6 (см. § 52). Используя (53,1), найдем

6 ~ 6^> (Г = 0) [йй(Д/2г)] 1/2 ~ ист> (Л (т)1/2 ’	(53,2)

причем для справедливости этой формулы должно выполняться
неравенство 6^>1, оправдывающее использование (53,1); индекс
«чист» означает значение величины в отсутствие примесей, зна-
чение для чистого сверхпроводника подразумевается также и
для |0. Выражение (53,2) можно представить также и лондонов-
ской формулой, понимая в ней под плотностью числа сверхпро-
водящих электронов величину

п3 ~ п?ИСТ) h/l-	(53,3)

В терминах коэффициентов а и b уравнения Гинзбурга — Ландау
соотношение (53,2) означает (см. (45,16)), что

к

ОС \ ОС /ЧИСТ

Учитывая также отмеченную выше независимость от наличия
примесей отношения а2/Ь, находим, что

а~ачис-Ло/^ &~*>чИст(иО2-	(53,4)

Согласно (45,17), имеем отсюда для корреляционного радиуса

ОТ~тЧИсТ(Ш1/2	(53,5)

и для параметра х (45,18)

~^ЧИСт5()/^ ^ЧИСТ*	(53,6)

При достаточно малой длине пробега становится х> 1/|/2, так
что достаточно «грязные» сверхпроводники относятся ко второму
роду.

Область применимости уравнений Гинзбурга—Ландау к «гряз-
ным» сверхпроводникам со стороны низких температур ограни-
чивается фактически только условием Тс — Т<^ТС. Необходимое
Неравенство	эквивалентно в этом случае более слабому

условию

Тс~ Т	(11 \ 3 „211

у,	<4^ Лчист J j ~ Л	«

Наконец, скажем несколько слов о свойствах сверхпровод-
ников с парамагнитными примесями. Такие примеси нарушают
симметрию системы относительно обращения времени и тем са-
мым нарушают самое явление спаривания электронов (при нали-
чии магнитных моментов обращение времени требует'также и
изменения знаков моментов, т. е. по существу означает замену
одной физической системы другой). Количественной мерой влия-
ния этих примесей на свойства сверхпроводника является длина
пробега ls по отношению к рассеянию с изменением направле-
ния спина (вызванного обменным взаимодействием с атомами
примеси). Сверхпроводимость исчезает при достижении' концен-
трацией х критического значения, при котором

В действительности, однако, имеется две критические кон-
центрации, обе одного порядка величины. При меньшей из них
(хх) обращается в нуль щель Д в энергетическом спектре; кон-
денсатная же волновая функция В обращается в нуль лишь при
некоторой концентрации х2 > В области же концентраций
между Xj и х2 имеет место бесщелевая сверхпроводимость. По-
скольку при выводе уравнения Лондонов в § 44 использовались
.лишь самый факт существования конденсатной функции и сооб-
ражения калибровочной инвариантности, то ясно, что основные
свойства сверхпроводника — существование сверхпроводящего
тока, эффект Мейсснера — сохраняются и в этой области. Отсут-
ствие же щели в спектре проявляется (в равновесных свойствах
сверхпроводника) в неэкспоненциальном температурном ходе
теплоемкости. Отметим, что противоречия с критерием сверхте-
кучести Ландау (§ 23) здесь не возникает, так как к неупоря-
доченным системам (типа рассматриваемых сплавов) этот крите-
рий вообще неприменим, поскольку элементарные возбуждения
не характеризуются определенным импульсом1).

§ 54.	Эффект Купера при отличных от нуля
орбитальных моментах пары

Уже неоднократно говорилось о том, что в основе возник-
новения сверхтекучести в ферми-системе лежит эффект Купера —
образование связанных состояний (спаривание) притягивающи-
мися частицами на ферми-поверхности. Для ферми-газа условие

х) Изложение теории бесщелевой сверхпроводимости см. в оригинальной
статье: А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, ЖЭТФ 39, 1781 (I960).
притяжения формулируется как требование отрицательности дли-
ны рассеяния а = J U d3x, т. е. положительность амплитуды рас-
сеяния двух частиц в состоянии с нулевым орбитальным
моментом относительного движения, 1 = 0 (именно это состояние
дает главный вклад в рассеяние при малых энергиях).

Справедливо, однако, и гораздо более сильное утверждение:
спаривание (и, как следствие, возникновение сверхтекучести)
происходит, если взаимодействие имеет характер притяжения
хотя бы при одном каком-либо значении момента I (Л. Д. Лан-
дау, 1959). Подчеркнем, что речь идет об изотропной системе
(жидкость или газ), где можно классифицировать состояния по
значениям I.

Докажем это утверждение для ферми-газа с помощью метода,
позволяющего, в принципе, определить температуру Тс пере-
хода в сверхтекучее состояние исходя только из свойств систе-
мы (нормального ферми-газа) при температурах Т > Тс.

В § 18 было упомянуто, что в математическом аппарате гринов-
ских функций нормальной ферми-системы энергия связанного
состояния пары частиц проявляется как полюс вершинной функ-
ции Г; тоже самое относится (при Т^О) и к температурной
вершинной функции, которую обозначим через S'. После появ-
ления такого полюса весь этот аппарат становится в действи-
тельности неприменимым, но он еще применим в первый момент,
когда, при понижении температуры, при Т = ТС впервые появ-
ляется полюс, причем энергия связи пары в этот момент должна
равняться нулю; состояния сверхтекучей и нормальной фаз при
этом совпадают.

На скелетной диаграмме

кружок изображает—S'. Точка перехода Тс определяется, сог-
ласно сказанному выше, как температура, при которой S' имеет
полюс при

=	= Pi + Рг — О.	(54,1)

Первое равенство выражает, что спаривающиеся частицы нахо-
дятся на ферми-поверхности, а энергия связи пары равна нулю;
второе равенство означает, что спаривающиеся частицы имеют
противоположные импульсы.

Спаривание частиц возникает уже при сколь угодно слабом
их притяжении. Ясно, что для возникновения полюса необхо-
димо, чтобы в ряде теории возмущений для вершинной функции
имелись бы члены, содержащие интегралы, расходящиеся при
условии (54,1) и при ТС—+О(ТС мало при слабом притяжении);
в противном случае все поправки к (конечному) члену первого
приближения были бы заведомо малы по сравнению с последним
при всех температурах, и полюс не мог бы появиться.

Этому требованию удовлетворяет ряд «лестничных» диаграмм

/	1

'V—s/	3*--Г»"	7	'Т»-!•— 7 3*—I*—!•—!•—7 .

0 = I +!!+!!! +”•

Как будет видно из последующего, во всех этих диаграммах
(начиная со второй) малость по взаимодействию (от прибавле-
ния пунктирных линий) компенсируется, в указанном смысле,
расходимостью интегралов1).

Применив к этому ряду прием, который был уже использован
при переходе от (17,3) к (17,4), найдем, что равенство (54,2)
эквивалентно диаграммному уравнению

Свободным концам и внутренним линиям диаграмм отвечают аргу-
менты, которые указаны в (54,3) уже с учетом условий (54,1):

Pi = (0, Pi), Рз = (0, Р8), <2 = (^,Ч).

Спиновая зависимость гриновских функций идеального газа
отделяется в виде = а спиновая зависимость вершин-
ной функции (без антисимметризации!)—в виде

а&(Рз> Р 4> Pit Pi) =	S~(P з, Р Р j, Р%)-

Раскрыв диаграммы (54,3) по указанным в § 38 правилам и со-
кратив спиновые множители, получим для функции ST интег-
ральное уравнение

со

«ПРз.-Рз; Pi,-рО+т L f f/(p8-q)»(0>(^.q)s(0>(-^,-q)x

S=-ot>^

X<F(q,-q; Pt,-p1)^ = t7(Pi-p3).	(^4,4)

x) К диаграммам (54,2) надо было бы добавить еще такой же ряд диаграмм
с переставленными концами 3 и 4, что приводит к антисимметризации вершин-
ной функции по ее спиновым и орбитальным аргументам. Однако для постав-
ленной здесь цели определения Тс этого можно не делать, так как в обеих этих
частях вершинной функции полюс появляется одновременно.
В стоящих здесь сумме и интегралах существенны малые
значения дискретной переменной и значения q вблизи ферми-
поверхности (см. ниже). Поэтому в множителях U под знаком
интеграла можно положить £5 = 0 и q = pF- На ферми-поверх-
ности лежат также и векторы pj и р3. Таким образом, все функ-
ции S' и U в уравнении (54,4) будут зависеть каждая лишь
от одной независимой переменной — угла между какими-либо дву-
мя из трех векторов plt р3, цна ферми-поверхности.

Уравнение (54,4) можно теперь решить, разложив U и S’ в
ряды по полиномам Лежандра:

Об

U W=E(2Z + 1)flA (cos а),

/ = 0

оо

=	+ (cosfl)

/ = 0

где $ — какой-либо из указанных углов. Подставив эти разло-
жения в (54,4) и произведя интегрирование по направлениям с
помощью теоремы сложения сферических функций, получим

(54,5)

<ГД1+аД1) = аг,	(54,6)

где

(54.7)

функция $<0) взята из (37,13), a T)q	—u « vF(q—pF). Сог-

ласно формуле суммирования (42,10), имеем

П

2 (2л)> J 2Т T]q ’

(54,8)

Расходимость интеграла по dq = di)/vF на верхнем пределе
фиктивна (ср. примечание на стр. 189) и интеграл должен быть
обрезан при некотором т^еЛ). Но при Т—*0 интеграл рас-
ходится логарифмически также и на нижнем пределе, т. е.
ведет себя как 1п (1/7").

Из (54,6) видно, что S~t обращается в бесконечность (т. е. S’
имеет полюс) при условии

1 4-azII = 0.

(54,9)

х) В виду быстрой сходимости суммы по s в (54,7) в ней действительно
существенны лишь малые а логарифмический характер интеграла по dq
оправдывает предположение о близости q к pF.
Но это уравнение совпадает по форме с уравнением, определяю-
щим точку перехода при спаривании с 1 — 0, отличаясь от него
лишь заменой «константы связи» g на —аг (ср. (42,11)); пони-
мая эту формулу как уравнение для определения Тс, надо поло-
жить в ней А=0, после чего s(p) совпадает с Мы видим,
следовательно, что вершинная функция имеет полюс, если хотя
бы одна из величин аг отрицательна; при этом температура
перехода

(54,10)

(ср. (40,4) и (39,19)). Если а, < 0 при ряде различных значений
I, то переход происходит при температуре Т‘й, отвечающей мак-
симальному |azp).

Можно показать, что во всяком ферми-газе (или жидкости),
состоящем из электрически нейтральных атомов, величины аь
во всяком случае должны стать, отрицательными при достаточно
больших значениях I (Л. П. Питаевский, 1959). Причина заклю-
чается в том, что во взаимодействии нейтральных атомов всегда
есть область расстояний (больших), на которых оно имеет ха-
рактер притяжения—так называемое ван-дер-ваальсово притя-
жение.

В реально существующей жидкости такого рода—жидком
изотопе Не3 — возникновение сверхтекучести происходит, по-ви-
димому, за счет спаривания с I — 1 1 2). Мы не будем останавли-
ваться на структуре сверхтекучей фазы и обсудим лишь кратко
вопрос о выборе параметра порядка, отличающего эту фазу от
нормальной. Величиной, равной нулю выше точки перехода и
отличной от нуля ниже нее, является аномальная гриновская
функция rz; t, r2) = Fap (rz—r2); как было уже указано
в § 41, она играет роль волновой функции связанных пар частиц.
Ее фурье-компонента Еар (р), взятая на ферми-поверхности (т. е.
при p = 2pFn), является функцией направления п (а не констан-
той, как при спаривании с 1 = 0). Вейлу антикоммутации ф-опе-
раторов функция (п) антисимметрична, как и следовало,
по отношению к перестановке'частиц: Еар(п) =— (—-п).

1) Отметим, что если бы были все а; > 0, то переход отсутствовал бы и
формула (54,6) для была бы справедлива при всех температурах вплоть до
Т = 0. При этом все^ стремились бы при Т —>-0 к нулю по закону	1 /| In Т |.

Это является проявлением упомянутого в примечании на стр. 41 факта обра-
щения при 7'= 0 в нуль функции (а с нею и функции взаимодействия
квазичастиц f) для частиц с противоположными импульсами.

2) Переход происходит при температуре ~10“3 К. Заметим, что малость
Тс обеспечивает существование области применимости теории нормальной
ферми-жидкости к жидкому Не3.
При спаривании с I == 1 (как и с любым нечетным моментом)
— нечетная функция п, так что	— симметричный спинор.

Это значит, что спин пары равен единице, как и должно быть
для состояния двух одинаковых фермионов с нечетным I. Сим-
метричный спинор второго ранга эквивалентен вектору, который
обозначим через d. В случае /=1 зависимость d от п должна
отвечать полиному Лежандра /\(cos0), т. е. быть линейной:
di = tyiknk. Комплексный тензор второго ранга фм (не обязательно
симметричный!) и описывает сверхтекучую фазу. Реально су-
ществуют две различные сверхтекучие фазы жидкого Не3, раз-
личающиеся видом тензора фй.
ГЛАВА VI

ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ

§ 55. Электрон в периодическом поле

Электронные оболочки атомов в кристалле сильно взаимо-
действуют друг с другом, в результате чего уже нельзя гово-
рить об уровнях энергии отдельных атомов, а лишь об уровнях
для совокупности электронных оболочек всех атомов тела в це-
лом. Характер электронного энергетического спектра различен
для разных типов твердых тел. В качестве предварительного
шага для изучения этих спектров необходимо, однако, рассмот-
реть более формальную задачу о поведении отдельного электрона
во внешнем пространственно-периодическом электрическом поле,
которое служит моделью кристаллической решетки. Этому по-
священы §§ 55—60.

Периодичность поля означает, что оно не меняется.при парал-
лельном переносе на любой вектор вида а = п1а1 4- n2a2 -j- п3а3
(где aj, а2) а3—основные периоды решетки; п1( па, п3—целые
числа):

6/(г 4-а) = 6/(г).	(55,1)

Поэтому и уравнение Шредингера, описывающее движение элек-
трона в таком поле, инвариантно относительно любого преобра-
зования г—>г4-а- Отсюда следует, что если ф(г) есть волновая
функция некоторого стационарного состояния, то ф(г4-а) тоже
есть решение уравнения Шредингера, описывающее то же самое
состояние электрона. Это означает, что обе функции должны
совпадать с точностью до постоянного множителя: ф(г4-а) =
= const-ф (г). Очевидно, что const должна быть равна по модулю
единице; в противном случае при неограниченном повторении
смещения на а (или на —а) волновая функция стремилась бы
к бесконечности. Общий вид функции, обладающей таким свой-
ством, следующий:

ipsk (г) = e‘krMsk (г),	(55,2)

где к — произвольный (вещественный) постоянный вектор, a Msk —•
периодическая функция

Msk (r + a) = usk (г).	(55,3)
Этот результат был впервые получен Ф. Блохой (F. Bloch, 1929);
волновые функции вида (55,2) называют функциями Блоха, и
в этой связи об электроне в периодическом поле часто говорят
как о блоховском электроне.

При заданном значении к уравнение Шредингера имеет,
вообще говоря, бесконечный ряд различных решений, отвечаю-
щих бесконечному ряду различных дискретных значений энергии
электрона е(к); индекс s в ф5к нумерует эти решения. Такой же
индекс (номер энергетической зоны) надо приписать и различным
ветвям функции е = еДк)— закону дисперсии электрона в перио-
дическом поле. В каждой зоне энергия пробегает значения в не-
котором конечном интервале.

Для различных зон эти интервалы разделены «энергетиче-
скими щелями» или же частично перекрываются; в последнем
случае в области перекрытия каждому значению энергии отве-
чают различные (в каждой зоне) значения к. Геометрически это
означает, что изоэнергетические поверхности, отвечающие двум
перекрывающиеся зонам s и s', находятся в различных областях
k-пространства. Формально перекрытие зон означает вырожде-
ние— различные состояния обладают одинаковой энергией, но
поскольку этим состояниям отвечают различные значения к, то
это не приводит к каким-либо особенностям в спектре. От общего
случая перекрытия надо отличать пересечение зон, когда значе-
ния еДк) и es, (к) совпадают в одних и т₽х же точках к (изо-
энергетические поверхности пересекаются). Обычно под вырож-
дением понимают только такой случай; пересечение приводит
к появлению определенных особенностей в спектре.

Все функции ф5к с различными s или к, разумеется, взаимно
ортогональны. В частности, из ортогональности ф5к с различными
s и одинаковыми к следует ортогональность функций Msk. При
этом ввиду их периодичности достаточно производить интегри-
рование по объему v одной элементарной ячейки решетки; при
соответствующей нормировке

Us1 kHsk Фа== 6SS..	(55,4)

Смысл вектора к состоит в том, что определяет поведение
волновой функции при трансляциях: преобразование г—>г + а
умножает ее на е1ка,

Vsk (г + а) = е‘каф (г).	(55,5)

Отсюда сразу следует, что величина к по самому своему опре-
делению неоднозначна: значения, отличающиеся на любой вектор
Ь обратной решетки, приводят к одинаковому поведению волно-
вой функции (множитель exp {i (k + b) а} = exp (ika)). Другими
словами, такие значения к физически эквивалентны; они соот-
ветствуют одному и тому же состоянию электрона, т. е. одной
и той же волновой функции. Можно сказать, что функции ipsk
периодичны (в обратной решетке) относительно индекса к:

к + ь (Г) = ф5к (г).	(55,6)

Периодична также и энергия:

еДк + Ь) = еДк).	(55,7)

Функции (55,2) обнаруживают определенное сходство с вол-
новыми функциями свободного электрона — плоскими волнами
ф = const -exp (tpr/A); при этом роль сохраняющегося импульса
играет постоянный вектор Ak. Мы снова (как и для фонона —
см. V § 71) приходим к понятию о квазиимпульсе электрона
в периодическом поле. Подчеркнем, что истинного сохраняю-
щегося импульса в этом случае вообще нет, так как во внешнем
поле закон сохранения импульса не имеет места. Замечательно,
однако, что в периодическом поле электрон тем не менее харак-
теризуется некоторым постоянным вектором.

В стационарном состоянии с заданным квазиимпульсом Ak
истинный импульс может иметь, с различными вероятностями,
бесконечное число значений вида A(k + b). Это следует из того,
что разложение периодической в пространстве функции в ряд
Фурье содержит члены вида eibr:

Usk (г) = 2 «s, k + Ьв1Ьг,

Ь

и потому разложение волновой функции (55,2) на плоские волны

Фзк (г) = 2Х,к+ье((к + Ь)г.	(55,8)

ь

Тот факт, что коэффициенты разложения зависят только от сумм
кЬ, выражает собой свойство периодичности в обратной ре-
шетке (55,6). Подчеркнем, что этот факт, как и свойство (55,6),
не есть дополнительное условие, налагаемое на волновую функ-
цию, а является автоматическим следствием периодичности поля
t/(r).

Все физически различные значения вектора к лежат в одной
элементарной ячейке обратной решетки. «Объем» этой ячейки
равен (2л)3/ц, где и — объем элементарной ячейки самой решетки
кристалла. С другой стороны, объем к/2л-пространства опреде-
ляет число соответствующих ему состояний (приходящихся на
единичный объем тела). Таким образом, число таких состояний,
заключенных в каждой энергетической зоне, равно 1/и, т. е.
числу элементарных ячеек в единице объема кристалла.

Помимо своей периодичности в k-пространстве функции е5 (к)
обладают также и симметрией по отношению к поворотам и
отражениям, отвечающим симметрии направлений (кристалличе-
скому классу) решетки. При этом* независимо от наличия или
отсутствия центра симметрии в данном кристаллическом классе,
всегда

e,(-k) = e,(k).	(55,9)

Это свойство—следствие симметрии относительно обращения
времени. Действительно, в силу этой симметрии, если фзк — вол-
новая функция стационарного состояния электрона, то и комп-
лексно-сопряженная функция описывает некоторое состояние
с той же энергией. Но i|)sk умножается при трансляциях на
е~‘ка, т. е. ей отвечает квазиимпульс —к1).

Рассмотрим, далее, два электрона в периодическом поле.
Рассматривая их вместе как одну систему с волновой функцией
ф(гп г2), мы найдем, что при параллельном переносе эта функ-
ция должна умножиться на множитель вида е‘ка, где к можно
назвать квазиимпульсом системы. С другой стороны, на больших
расстояниях между электронами if (Fj, г2) сводится к произве-
дению волновых функций отдельных электронов и при трансля-
ции умножится на е‘к^ае‘к^а. Из требования совпадения обоих
видов записи этого множителя находим, что

k = k1 + k2 + b.	(55,10)

В частности, отсюда следует, что при столкновении двух элек-
тронов, движущихся в периодическом поле, сумма их квази-
импульсов сохраняется с точностью до вектора обратной ре-
шетки:

ki + k2 = k; + k; + b.	(55,11)

Дальнейшая аналогия между импульсом и истинным импуль-
сом выясняется при определении средней скорости электрона.
Вычисление ее требует знания оператора скорости v = r в к-пред-
ставлении. Операторы в этом представлении действуют на коэф-
фициенты cSk разложения произвольной волновой функции по
собственным функциям i|)Sk:

ф = 5 $Ciktyskdsfe.	(55,12)

S

Найдем сначала оператор г. Имеем тождественно

ГФ = £ j <Wsk dak == £ j Csk i + feikr ) d'k.
s	s'’	'

J) При наличии перекрытия зон из этих рассуждений следует, строго
говоря, лишь что es (—k) = es, (к), где s и s' — номера каких-либо зон. Равен-
ства (55,9) можно, однако, всегда добиться путем надлежащего определения
номеров различных ветвей функции в (к).
В первом члене производим интегрирование по честям, а во
втором разложим периодическую (как и сама MSk) функцию
dMSk/dk по системе взаимно ортогональных функций usk с тем
же к:

^ = -iE<sk|Q|S'k>Ms,k,	(55,13)

UK

s'

где <sk | й | s'k> — постоянные коэффициенты. Тогда получим

= £ У i'M’sk d’fc 4-^2 J Csk <sk IЙI s'k> tyS'kdsk =
s	ss'

=£ J ^4-S<s'k|O|sk>cS'k} 4>skd3&.
s	s'

С другой стороны, по определению оператора г, должно быть
ГФ = 2И (rcsk) ^skd’k-

S J

Сравнив с полученным выражением, находим

г =	+	(55,14)

где оператор (эрмитов) й задается своей матрицей <s'k|Q|sk>.
Существенно, что эта матрица диагональна по индексу к, и
поэтому оператор й коммутативен с оператором k = k.

Оператор скорости получается, по общим правилам, путем
коммутирования оператора г с гамильтонианом электрона.
В k-представлении гамильтониан Н является диагональной по
к и номерам зон s матрицей с элементами Б^(к)1). Оператор
же д/дк, действующий только на переменную к, диагоналей по
номерам s. Поэтому в выражении

;-|(Нг-гН)--±(й/к-^я) + й
первый член является диагональной матрицей с элементами

—| (е, (к) 4 —8S (к)")	•

% \ s v ’ dk dk s v ’ J % dk

Матричные же элементы й связаны с матричными элементами й
соотношением

<sk | й |s'k> = 4-[es (к)—8S' (к)] <sk| й [s'k>;

tv

1) Точнее, надо говорить о ks-представлении. Напомним, что волновые
функции в этом представлении, csk, не вполне произвольны—они должны
быть периодичны по к,
это выражение обращается в нуль при s = s', т. е. й не имеет
элементов, диагональных по номеру зоны. Таким образом, окон-
чательно находим для матричных элементов скорости электрона
<sk| v|sk>=^^, <sk| v| s'k> = <sk| й |s'k> (s=£s'). (55,15)

Диагональные элементы этой матрицы представляют собой
средние значения скорости в соответствующих состояниях. Эти
значения, следовательно, как функции квазиимпульса даются
выражением

-	д^(к)	551б)

полностью аналогичным обычному классическому соотношению.

До сих пор мы вели изложение, отвлекаясь от наличия у
электронов спина. В пренебрежении релятивистскими эффектами
(спин-орбитальным взаимодействием) учет спина приводит просто
к двукратному вырождению каждого уровня энергии с заданным
значением квазиимпульса к — по двум значениям проекции спина
на какое-либо фиксированное направление в пространстве.
С учетом же спин-орбитального взаимодействия ситуация раз-
лична в зависимости от того, имеет ли или нет кристаллическая
решетка центр инверсии.

Спин-орбитальное взаимодействие для электрона в периоди-
ческом поле описывается оператором

(55,17)

где о—матрица Паули (см. IV § 33). Волновые функции, на
которые действует этот оператор,— спиноры первого ранга ф8ка>
где а—спинорный индекс. Согласно теореме Крамерса
(см. III § 60), относящейся к любому (в том числе периодиче-
скому) электрическому полю, комплексно-сопряженные спиноры
tyska и ipska всегда описывают два различных состояния с одной
и той же энергией. Поскольку в то же время функция i|)ska от-
вечает квазиимпульсу — к, то мы снова (теперь уже и с учетом
спин-орбитального взаимодействия) приходим к соотношению
типа (55,9):

Esa (— k) = eSCT- (к),	(55,18)

где индексы а и а' отличают два различных (обращенных по
времени) спиновых состояния !).

1)	С учетом спин-орбитального взаимодействия оператор проекции спина
уже не коммутативен с гамильтонианом, так что эта проекция не сохраняется
и спиновые состояния не могут, строго говоря, характеризоваться этим числом.
Равенство (55,18) не означает, конечно, вырождения в том
смысле, о котором говорилось выше, поскольку энергии в обеих
сторонах равенства относятся к различным значениям к. Но
если решетка обладает центром инвер-
сии, то состояния с к и —к имеют оди-
наковую энергию. Тогда мы приходим к
равенству esa(k) = eS(J' (к), снова означаю-
щему двукратное вырождение каждого
уровня с заданным квазиимпульсом.

Наряду с вырождением, связанным с
симметрией относительно обращения вре-
мени, для электрона в периодическом

поле может существовать также и вырождение, обязанное про-
странственной симметрии решетки. Этим вопросам посвящен
ниже § 68.

Задачи

1.	Найти закон дисперсии для одномерного движения электрона в перио-
дическом поле, изображенном на рис. 10 (/?. Kronig, W. G. Penney, 1930).

Решение. Волновая функция в области ямы I (0 < х < а) имеет вид

-ф = С1е1И1ЛГ -j-c2e~lHlX, H1=yr2mel'k,	(1)

а в области барьера II (—& < х < 0):

ф = с3е1,<2*+с4е~‘’<2*, х2 = |/Г2т(е—U0)/fa	(2)

В области следующего барьера III волновая функция должна отличаться от (2)
, лишь фазовым множителем	— период поля):

^ = eik (а + Ь) (Сзе>х, (х-а-Ь) + С4е-«Ч (х-а-Ь)).

(3)

Условия непрерывности ф и ф' в точках х = 0 и х = а дают четыре уравнения
для Ci, ..., с4; условие совместности этих уравнений приводит к дисперсион-
ному уравнению

£ I
2 \x2 'r.ij

cos k (a-|-b) = cos Xiacosx2b—

sin x1a-sin x26,

(4)

определяющему в неявном виде искомую зависимость е (k). При е < 17 0 вели-
чина х2 мнима, и тогда уравнение надо записать в виде

пгт') sinxia.sh|x2&]. (5)

Xi IЛ2I /

cos k (a4-&) = cosx1a-ch | х2&

Если в (5) перейти к пределу 17 0 —>со, &—>0 при
получим дисперсионное уравнение

,	, Рта? sin х.а

cos ka = cos хха -t—t--—

fa XiO .

17o& = const Pa

(6)

Оно решает задачу об уровнях энергии в периодическом поле, составленном
из 6-функционных пиков:

U (х) =	6(х—ап),

п
На' рис. 11 дано графическое построение, иллюстрирующее распределение
корней уравнения (6). Здесь изображена правая сторона уравнения как функ-
ция от Xjo; когда она пробегает значения между ±1, корни уравнения про-
бегают значения в интервалах, указанных жирными отрезками на оси абсцисс.

2.	Найти закон дисперсии для одномерного движения частицы в слабом
периодическом поле U (х).

Решение. Рассматривая поле как малое возмущение, исходим нз нуле-
вого приближения, в котором частица совершает свободное движение, описы-
ваемое плоской волной

ф(°) (х) = (Na)-1/2 eiftx

(нормировка на 1 частицу на длине Na; а—период поля); энергия частицы
е<°) = h2k2/2m. Представим периодическую функцию U (х) в виде ряда Фурье

U(x) = J) Une™inx/a.
п — — 00

Матричные элементы этого поля по отношению к плоским волнам отличны
от нуля только для переходов между состояниями с волновыми векторами
k н k' = k-[-2nn/a и в этих случаях равны Uk,k=Un.

В первом приближении теории возмущений поправка к энергии дается
диагональным матричным элементом e(1, = I7fefe т. е. не зависящей от k
постоянной, лишь смещающей начало отсчета энергий. Исключение составляют,
однако, уровни энергии в окрестности значений k = nnla (п= ±1, ±2, ...).
В этих точках k отличается лишь знаком от значения k' = k—2пп/а, так что
энергии е<°> (k) и е<0) (k') совпадают. В окрестности этих значений, следова-
тельно, отличны от нуля матричные элементы для переходов между состоя-
ниями с близкими энергиями, и для определения поправки должен быть
использован метод теории возмущений, относящийся к случаю близких соб-
ственных значений (см. III § 79). Ответ дается формулой III (79,4), согласно
которой в данном случае

еп(^)=|[е<°>(й) + е«»(й-О±

где Кп = 2ля/а, а аддитивная постоянная Uo опущена; выбор знака перед
корнем определяется требованием, чтобы вдали от значения ±/<п/2 функ-
ция е (k) переходила бы в е<0) (k): знаки-)-и—относятся соответственно к обла-
стям |й| > | Кп/21 и |й| < 1Кп/2\. В самих точках k=± Кп/2 функция e(k)
испытывает скачок, равный 2|{7П|. На рис. 12, а энергия e(k) изображена
как функция переменной k, пробегающей значения от —оо до оо. Если же
привести значения k (квазиимпульса) к интервалу между ± л/а, то мы придем
к рис. 12,6, где изображены две первые энергетические зоны.

зоны на рис. 12 (как и на рис. 11) не
одномерного движения в периодическом

Обратим внимание на то, ч
перекрываются. Это общее свойе
поле. Каждый уровень энергии
двукратно вырожден (по знаку
k), а большая кратность вырож-
дении при одномерном движе-
нии вообще невозможна. Отме-
тим также, что в одномерном
случае границы каждой зоны
(минимальные и максимальные
значения е (k)) соответствуют
значениям k = 0 и k=n)a. Де-
ло в том, что волновые функ-
ции, соответствующие энерги-
ям в запрещенном интервале,
умножаются при смещении иа
период а на некоторый вещест-
венный множитель Св силу чего

Е	«

а а а а а а

Рис. 12.

и возрастают неограниченно на бесконеч-
ности). Волновые же функции в разрешенных интервалах энергии при та-
ком переносе умножаются на На границе между запрещенным и разре-
шенным интервалами этот множитель, следовательно, должен быть одновре-

менно вещественным и равным по моду-

лю единице, откуда и следует равенст-
во ka нулю или л.

3. Найти закон дйсперсии частицы
в одномерном периодическом поле,
представляющем собой последователь-
ность симметричных потенциальных ям,
_ удовлетворяющих условию квазиклас-
аг сичности (ввиду чего вероятность про-
никновения частицы через барьер меж-

рис 13	ДУ ямами мала).

Решение аналогично ходу ре-
шения задачи о расщеплении уровней
в двойной яме (III § 50, задача 3). Пусть ф0 (х) —нормированная волновая
функция, описывающая движение (с некоторой энергией е0, рнс. 13) в одной
из ям, т. е. экспоненциально затухающая в обе стороны от границ этой ямы;
эта функция вещественна и может быть четной илн нечетной по переменной х.
Правильная же волновая функция нулевого приближения для движения

частицы в периодическом поле представляет собой сумму

СО

ф*(х)=С 2 eikan^0 (х— ап),
п— - со

(1)

где С—нормировочная постоянная (прн сдвиге х—*х-)-а эта функция умно-
жается, как и следовало, на eika).

Пишем уравнения Шредингера

ф£+-т- [е(й) — U (х)] фо = О, фо+"гг [80— U W] фо = О,
п,г	л2

умножаем первое на ф0, второе на ф*, вычитаем почленно и интегрируем
по dx в пределах от —а/2 до а/2 (рис. 13). Замечаем, что поскольку
произведения ф0 (х) ф0 (х—ап) ся^О исчезающе малы везде, то

а/2

5 фл(х)фо (X)dx « С.

-а/2

Находим

ей-ео=^[Й*-М»] —а/2'

При х = а/2 в сумме (1) должны быть сохранены лишь члены с п = 0 и п—1,
причем ф0 (—а/2) = ± ф0 (а/2) в зависимости от четности или нечетности
функции фо (х):

ф*(а/2) = Сф0(а/2)(1 ± е«“),

ф* (а/2) = Сфо (а/2) (1 Ф е^а);

аналогичным образом,, при х=—а/2 должны быть сохранены лишь члены
с п = 0 и п=1. В результате получим

2Й-2
е(&) —е0=± — фо

Сюда надо подставить значения

cos ka.

Фо

фо

Г та 11/2

:k^/2)J -р
р (а/2)	/а\

а/2

Хо

К

где to — классическая частота колебаний частицы в яме; х0—точка поворота,
отвечающая энергии е0. Окончательно:

e(k)—eQ = ±

УD cos ka,

D = exp

Таким образом, каждый уровень энергии е0, отвечающий движению частицы в
изолированной яме, расширяется в узкую полосу (зону) с шириной 2Ato£)I^2/n,
определяемой коэффициентом проницаемости D потенциального барьера, раз-
деляющего две ямы.

§ 56. Влияние внешнего поля на движение
электрона в решетке

Рассмотрим движение электрона при наложении на решетку
постоянного магнитного поля Н. Если исходить из гамильто-
ниана электрона в периодическом поле U (г) в координатном
представлении:
л

"-яг+т	ре.»

(где р = — i&v—оператор истинного импульса), то введение
внешнего магнитного поля осуществляется обычным образом:

^=i(p-TA)2+i7(r)’	(56,2)

где А (г) — векторный потенциал поля. Задача, однако, ради-
кально упрощается — в случае достаточно слабого поля — путем
перехода к квазиимпульсному представлению.

Ввиду большого разнообразия в возможных видах зонной
структуры энергетического спектра электрона в решетке условие
малости внешнего поля может быть сформулировано в общем
виде лишь довольно грубым образом. Пусть электрон до вклю-
чения поля находится в некоторой определенной (s-й) зоне.
Обозначим через е0 наименьшую из энергетических величин,
характеризующих эту зону,— ее характерную ширину или рас-
стояние до соседних зон (т. е. разностей еДк) — eS'(k) при за-
данных к). Для того чтобы магнитное поле можно было считать
слабым, во всяком случае должно выполняться условие

й(дн<^.е,0,	(56,3)

где «ларморова частота» ~ | е | Hlm*c, a tn*~iiklv—эффектив-
ная масса электрона1).

В отсутствие внешнего поля гамильтониан электрона в ре-
шетке в k-представлении есть, как уже указывалось, диагональ-
ная матрица с элементами еДк). В присутствии поля гамиль-
тониан будет содержать также и потенциал А (г) и его произ-
водные по координатам—напряженность Н (а в неоднородном
поле—также и дальнейшие производные от напряженности);
в k-представлении функция А (г) заменяется оператором
А = А(г), где г—оператор (55,14).

Потенциал А (г) есть возрастающая (для однородного поля —
по линейному закону) функция координат. Ввиду этого возра-
стания потенциал, даже для слабого поля, отнюдь не является
малым возмущением в гамильтониане неограниченной системы
(электрон в решетке). Именно поэтому уже слабое магнитное
поле существенно меняет свойства протяженной системы — пре-
вращает непрерывный спектр в дискретный (квантует уровни,
см. § 58). Напряженность же слабого поля (в отличие от по-
тенциала) приводит лишь к малым поправкам.

Покажем, что в пренебрежении этими поправками зависимость
гамильтониана от потенциала поля можно выяснить в общем
виде исходя из одних только требований калибровочной ин-

х) Более точное определение частоты дается ниже формулой (57,7). Для
электронов проводимости в металле (см. ниже § 61) характерные значения
k—\/а (а—постоянная решетки); положив также е0 ~ &/т*аг, найдем, что
условие (56,3) эквивалентно неравенству гн^>а, где «радиус орбиты» гц—^/сод.
вариантности. Поскольку мы рассматриваем постоянные поля,
то достаточно использовать инвариантность уравнений относи-
тельно не зависящих от времени преобразований потенциала и
волновых функций вида

А—>A4-Vf, ф—>фехр^4^А,	(56,4)

\ Нс /

где f (г) — произвольная функция координат (см. III (111,8—9)).

В слабом поле потенциал А (г) —медленно меняющаяся функ-
ция координат. Имея в виду выяснение роли этой медленности,
рассмотрим сначала предельный случай постоянного потенциала:
А (г) = const == Ао (разумеется, постоянный потенциал фиктивен —
реальное поле при этом отсутствует, так что речь идет о фор-
мальном преобразовании). Переход от А = 0 к А = А0 эквива-
лентен преобразованию (56,4) с f = Aor; поэтому вместо исходных
(при А = 0) собственных функций

фзк=«зке‘кг	(56,5)

собственными функциями нового гамильтониана будут
Msk(r)exp (к + ^Ао) rj- •

Отсюда видно, что для придания квазиимпульсу прежнего смысла
(величины, определяющей изменение фазы волновой функции
при трансляциях) надо положить к + еА0/^с = К; определенную
таким образом величину К можно назвать обобщенным квази-
импульсом. Тогда новые собственные функции запишутся в виде

ФзК = Us, K-eA0/ftc (г) ё1Кт,

а соответствующие им значения энергии электрона: еДк) =
= еДК — еА0/Йс). Мы можем теперь утверждать, что при не по-
стоянном, но медленно меняющемся в пространстве потенциа-
ле А (г) волновые функции «нулевого» (по напряженности поля)
приближения будут

фзК = Мз, K-eA(r)/ftcefKr	(56,6)

(причем функции и, благодаря переменности А, уже не явля-
ются строго периодическими)1). Энергии же еДК—exilic) надо
рассматривать теперь как операторы, образующие гамильтониан

J) Если разложить функции (56,6) по функциям ipsk, то в разложение
войдут, вообще говоря, функции с различными s. Подчеркнем, однако, что
это отнюдь не означает реального перехода в другую зону, а выражает лишь
изменение волновой функции под влиянием постоянного поля; напомним
в этой связи, что постоянное поле вообще не может вызвать реальный пе-
реход с изменением энергии. Для уяснения ситуации следует заметить, что
хотя поле слабо, но связанное с ним изменение классификации состояний
(в том числе соответствия между квазиимпульсом и энергией) значительно,
в .K-представлении. При этом, в том же приближении, под г
надо понимать оператор r—id/dK, опустив второй член (Я)
в определении (55,14). Действительно, при воздействии на вол-
новую функцию оператор id/dK, по порядку величины, умно-
жает ее на «размер орбиты» гн, возрастающий при уменьшении
поля; результат же воздействия оператора Я на волновую функ-
цию такого возрастающего множителя не содержит. В этом
смысле в слабом поле оператор Я мал по сравнению с id/dK.
Поскольку, с другой стороны, оператор д/дК. диагоналей по
номерам зон, то оказывается диагональным и гамильтониан.

Таким образом, мы приходим к результату, что движение
электрона в решетке в слабом магнитном поле описывается га-
мильтонианом (в К-представлении)

Я, = е,(к~£а(?)}, ? = t-^	(56,7)

.(/?. Peierls, 1933). В этом приближении, следовательно, имеется
полная аналогия со способом введения магнитного поля в га-
мильтониан свободной частицы в импульсном представлении.

Выражение (56,7) еще не вполне определено, так как не
установлен порядок действия некоммутативных операторов —
компонент вектора к=К — e\ltu>. Он должен быть определен
так, чтобы обеспечить эрмитовость гамильтониана. Этого можно,
в принципе, всегда достичь, представив периодическую (в об-
ратной решетке) функцию (к) в виде ряда Фурье

е, (к) = ASa е‘ка	(56,8)

а

(суммирование по всем' векторам а прямой решетки). После за-
мены к—>-к в показателе каждого члена этого ряда будет сто-
ять только один оператор (проекция вектора А на а), так что
вопрос о порядке действия не возникает—все сводится к сте-
пеням этого одного оператора. Такой способ «эрмитизации»,
конечно, не единствен. Существенно, однако, что разница между
различными способами лежит за пределами рассматриваемого
приближения, поскольку коммутаторы операторов kx, ky, kz
в этом приближении представляют собой малые величины. Так,
для однородного поля оператор

А = 1[НГ]=1[н|];	(56,9)

прямым вычислением легко найти, что коммутаторы

kxky-kykx==i-j-Hz,...	(56,10)

пропорциональны малой напряженности Н.
Операторы г = IdjdK и К. = К имеют те же правила комму-
тации, что и координаты и обобщенные импульсы «свободной»
(без решетки) частицы. Естественно поэтому, что вычисление
коммутаторов операторов г и К с гамильтонианом приводит
к операторным уравнениям

= — г = -^-,	(56,11)

дг Й6К	'

имеющим вид обычных уравнений Гамильтона (для вычисле-
ния— см. формулы III (16,4—5)).

Снова повторим, что гамильтониан (56,7) является прибли-
женным в том смысле, что в нем отброшены все члены, за-
висящие от напряженности Н и не содержащие больших мно-
жителей— порядка величины размеров орбиты гя. В следующих
приближениях ответ тоже может быть представлен в виде неко-
торого эффективного гамильтониана HS(K—еА/^с, Н), диаго-
нального по номерам зон, но уже не выражающегося через
одни только функции е^(к)* 1).

В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием, учет
спина электрона приводит в гамильтониане к появлению обыч-
ного члена, описывающего взаимодействие магнитного момента
с полем: —0стН, где ст—матрицы Паули, а р = |е|^/2тс—маг-
нетон Бора. Если кристалл обладает центром инверсии, спин-
орбитальное взаимодействие только меняет магнитный момент
электрона, так что взаимодействие спина с магнитным полем
приобретает вид

-₽ст,ЛА^(к).	(56,12)

Действительно, в этом случае гамильтониан должен быть инва-
риантен по отношению к одновременным операциям обращения
времени и инверсии. При этом преобразовании надо заме-
нить Н—>-—Н и ст—>-—ст при неизменном к; (56,12) являет-
ся общим выражением, удовлетворяющим поставленному требова-
нию. Тензор £м(к), разумеется, нельзя вычислить в общем
виде.

Наконец, остановимся на поведении электрона при наложе-
нии на решетку слабого электрического поля Е. Условие сла-
бости означает, что энергия, приобретаемая электроном в поле

х) Простой пример вычисления поправочного члена будет дан в § 59.
Изложение регулярного метода получения гамильтониана в виде ряда по сте-
пеням Н, а также общие выражения первых членов этого ряда даны в статьях:

Е. I. Blount, Phys. Rev. 126, 1636 (1962); Solid State Physics, t. 13, стр. 306

(1963). Отметим, что если кристалл обладает центром инверсии, ряд начи-
нается с членов порядка Н2 (см. § 59).
на расстоянии ~ а, мала по сравнению с характерной энер-
гией е0: |е| Еа<^.е,в.

Как и в случае магнитного поля, наиболее важную роль
играют члены, содержащие возрастающую функцию координат —
скалярный потенциал электрического поля ср (г). Зависимость
гамильтониана от ср можно снова выяснить в общем виде ис-
ходя из соображений, аналогичных использованным выше. Дей-
ствительно, включение фиктивного постоянного потенциала ф = ф0
эквивалентно в уравнении Шредингера добавлению к энергии
постоянного слагаемого eq>0; такое слагаемое добавится и ко
всем собственным значениям еДк). При непостоянном же, но
медленно меняющемся в пространстве потенциале ср (г) анало-
гичный операторный член добавляется к эффективному гамиль-
тониану в к-представлении:

Д, = еДк)+еф(г).	(56,13)

§ 57. Квазиклассические траектории

Применим полученные в предыдущем параграфе результаты
к важному случаю, когда движение электрона в магнитном
поле квазиклассично. Условие квазиклассичности состоит, как
известно, в малости изменения де-бройлевской длины волны
частицы на расстояниях • порядка ее самой. В данном случае
это условие эквивалентно неравенству

(57,1)

— радиус кривизны орбиты велик по сравнению с длиной
волны X ~ \/k 1).

В квазиклассическом случае имеет смысл понятие траекто-
рии частицы. Она определяется уравнениями движения, полу-
чающимися из (56,11) заменой операторов соответствующими
классическими величинами:

+ дН	дН ..	/т. е . ,

ЙК =— -52, v = +—. Н = е(К—j-A(r))

* йак \ tc

(индекс s для краткости опускаем). Раскроем эти уравнения,
введя вместо обобщенного квазиимпульса К. «кинетический ква-
зиимпульс»

1) Это условие, вообще говоря, более сильное, чем условие (56,3). Но

если k—1/а (как это имеет место для электронов проводимости в металле),

то оба условия совпадают и фактически всегда выполняются: при гн~

— chk/\e\H— ch/a\e\H условие гц^>а приводит к требованию Н

<сА/|е|а2 * * * — 108—109 э.
Имеем

A dk . е dA (г) „	37/_ е

dt	с dt	dr c Vt dr *

Написав здесь dA/dt = (vV) А и заметив, что

(и,-V) А(— (v V) А = [v rot A] = [vH],
получим уравнение движения

£^ = ±[vH], у =	(57,2)

dt c L J’ A ak	v ’

Это уравнение отличается от обычного классического урав-
нения Лоренца лишь другой зависимостью е (к): вместо простой
квадратичной функции мы имеем дело со сложной периодической
функцией; соответственно сложной периодической функцией
является и зависимость v(k). Это обстоятельство приводит,
естественно, к существенному изменению характера движения
электрона.

Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном
поле. Умножив уравнение (57,2) на v, найдем обычным образом:

dkfdt = de.jdt = 0. Умножив же уравнение (57,2) на Н, найдем,
что d(Hk)/df = O. Таким образом, при движении электрона в ре-
шетке, как и при движении свободного электрона в магнитном
поле:

е = const, kz = const	(57,3)

(ось г—в направлении поля Н). Равенства (57,3) определяют
траекторию электрона в k-пространстве. Геометрически эта тра-
ектория представляет собой контур сечения изоэнергетической
поверхности е (k) = const плоскостью, перпендикулярной маг-
нитному полю.

Изоэнергетические поверхности могут иметь самую разнооб-
разную форму. Они могут содержать (в каждой ячейке обрат-
ной решетки) несколько не связанных друг с другом листов.
Эти листы могут быть односвязными или многосвязными, закры-
тыми или открытыми. Для уяснения последнего различия удобно
рассматривать изоэнергетическую поверхность, периодически
продолженную по всей обратной решетке. В каждой ячейке
будут находиться одинаковые замкнутые полости, а открытые
поверхности проходят непрерывным образом через всю решетку,
уходя на бесконечность1).

х) Отметим, во избежание недоразумений, что может оказаться невозмож-
ным выбрать ячейку обратной решетки таким образом, чтобы все существенно
различные (т. е. не являющиеся периодическими повторениями) замкнутые
полости были расположены внутри одной ячейки без того, чтобы быть рассе-
ченными ее гранями.
Сечения изоэнергетической поверхности складываются из
бесконечного множества контуров. Сюда относятся как контуры
сечения различных листов изоэнергетической поверхности в пре-
делах одной ячейки обратной решетки, так и контуры сечения
листов, повторяющихся в различных ячейках. Если лист изо-
энергетической поверхности замкнут, то и все его сечения
представляют собой замкнутые кривые. Если же лист открытый,
то его сечения могут быть как замкнутыми, так и открытыми
(т. е. непрерывно продолжающимися через всю обратную ре-
шетку).

Квазиклассичность движения подразумевает также и малость
вероятности магнитного пробоя—скачкообразного изменения
квазиимпульса электрона с переходом его с одного контура на
другой (к условию этой малости мы вернемся в конце пара-
графа). В пренебрежении этой вероятностью, следовательно,
электрон движется лишь по одному контуру сечения изоэнер-
гетической поверхности.

Рассмотрим более подробно движение по замкнутым траек-
ториям в квазиимпульсном пространстве. Такое движение, оче-
видно, периодично во времени; определим его период.

Проецируя уравнение (57,2) на перпендикулярную полю
плоскость kx, ky, получим

dlk _ I е I Н ..	..	1 У-.г । ,.2

~dF~~~^Tv^ v^-yvx+v^

где dlk = Vdk2x -j-dkl—элемент длины k-орбиты. Отсюда
,________________________ ctv С dlk

~ |е| Я J

Если траектория замкнута, то период движения дается инте-
гралом

взятым по всему ее контуру. Это выражение можно преобразо-
вать к более наглядному виду следующим образом.

Введем площадь S (е, &2) сечения изоэнергетической поверх-
ности е = const плоскостью kz = const. Ширина кольца в этой
плоскости между контурами 8 = const и e-f- de — const составляет
в каждой его точке

de______de

| de/dkx [ “	’

так что площадь этого кольца

dS = de

J ПЛ I
(57,5)

Отсюда видно, что интеграл в (57,4) представляет собой не что
иное, как частную производную д$;ди. Таким образом, период
движения

гр __ сА2 dS (в, k2)
| е | Н де

(W. Shockley, 1950). Здесь естественно ввеСти величину

(57,6)

•2л де ’	' ’ '

которую называют циклотронной массой электрона в решетке.
Частота обращения электрона по орбите выражается через эту
величину согласно формуле

ц>н=\е\Н/т*с,	(57,7)

отличающейся от известной формулы для ларморовой частоты
свободных электронов заменой их массы на т* г).

Подчеркнем, однако, что в случае электронов в решетке
циклотронная масса — не постоянная величина, а функция ё и
kz, так что она различна для разных электронов. Отметим также,
что эта величина может быть как положительной, так и отри-
цательной; в первом случае электрон движется по орбите как
отрицательно заряженная, а во втором—как положительно
заряженная частица—дырка. Соответственно этому говорят об
электронных и дырочных траекториях.

До сих пор мы говорили о траектории электрона в к-про-
странстве. Легко видеть, однако, что существует тесная связь
между траекториями в квазиимпульсном и обычном простран-
ствах. Уравнение движения (57,2), переписанное в виде

Adk = —yJ-fdrH],

после интегрирования (и надлежащего выбора начала отсчета
координат г и квазиимпульсов к), дает

Ак = - ^-[гН].	(57,8)

Отсюда видно, что ^//-проекция орбиты в обычном простран-
стве по существу повторяет к-траекторию, отличаясь от нее
лишь ориентацией и масштабом: первая получается из второй
заменой

!) Для свободного электрона изоэнергетическая поверхность — сфера
е = А2й2/2т. Ее сечения — круги с площадью S = n(2meh~2 — kz), так что
производная dSlde. = 2nm/1i? н т* = т.
Кроме того, в обычном пространстве имеется движение Вдоль
оси z со скоростью vz = d&/tidkz. Если траектория в k-простран-
стве замкнута, то в обычном пространстве она представляет
собой спираль с осью вдоль направления поля. Если же траек-
тория открытая, то открыта также и проекция траектории на
плоскости ху в обычном пространстве, т. е. движение в этой
плоскости инфинитно.

Скажем еще несколько слов о квазиклассическом движении
электрона при наложении на решетку постоянного однородного
электрического поля Е. Из квазиклассического уравнения Й-к = еЕ
имеем

k = k0 + -^-t	(57,9)

Из закона же сохранения энергии имеем
е (к)—еЕг= const.

(57,10)

Но энергия е(к) пробегает значения в конечном интервале Де
(ширина зоны); поэтому из (57,10) следует, что движение элек-

трона в однородном электрическом поле фи-
нитно вдоль поля: электрон совершает в этом
направлении колебания с амплитудой Де/| е | Е.
Если поле параллельно какому-либо периоду
b обратной решетки, то движение периодично
с частотой со = 2 л | е | E;hb\ при Ь~\/а имеем
Дсо£-~ | е | Еа. В общем случае произвольного на-
правления поля движение квазипериодично.

Наконец, остановимся на условии воз-

можности пренебречь упомянутым выше яв- Рис. 14,
лением магнитного пробоя. Вероятность пе-

рехода с одной траектории (в k-пространстве) на другую,
естественно, велика, если эти траектории где-либо подходят
аномально близко друг к другу. Такая ситуация возникает

в случае, когда траектория близка к траектории с самопересе-
чением, либо если траектория проходит вблизи пересечения
двух листов изоэнергетической поверхности (т. е. вблизи точки
вырождения). Типичная картина траекторий в таких случаях
изображена на рис. 14; разрыв между траекториями мал по
сравнению с характерными размерами орбит в целом, а радиус
кривизны Rk траекторий вблизи точек их максимального сбли-

жения по порядку величины совпадает, вообще говоря, с 8k.
Переход с одной орбиты на другую происходит путем кванто-
вого туннелирования. Вероятность этого процесса мала (экспо-
ненциально), если 8k велико по сравнению с расстоянием &kx,
на котором затухает волновая функция в классически недо-
ступной области между траекториями.
Оценку Afex можно получить, воспользовавшись аналогией
между движением электрона в магнитном поле и одномерным
движением в некотором потенциальном поле U (х). Эта аналогия
основана на том, что, согласно (56,10), операторы q == kxhc/1 е | Н
и p = hky удовлетворяют правилу коммутации, совпадающему
с правилом коммутации координаты и импульса. Вблизиточек
максимального сближения траектории параболичны; им анало-
гична параболическая фазовая (х, р) траектория одномерного
движения в однородном поле (U =— Fx), уравнение которой
p2i‘2m=--Fx (если координата х отсчитывается от точки оста-
новки). В последнем случае волновая функция затухает за
точкой поворота на расстоянии Ах ~ (к2/mF)1!3 (см. III § 24);
введя радиус кривизны фазовой траектории R ~ (d2x/dp2)-1 ~ mF,
напишем Ах ~ (й2//?)1/3. По указанной аналогии искомое Afex
можно получить путем замены Ах—>&?А&х/|е|Я, R—^Rkk\e\H/c.
Таким образом, находим Afex~ (|е|/f/Дс)2/3 (6fe)-1/3, и условие
&kx<-^8k принимает вид

|е|Я/Йс<(М)’.	(57,11)

§ 58. Квазиклассические уровни энергии

Мы видели, что классическому движению электрона в ре-
шетке в магнитном поле по замкнутой траектории в к-простран-
стве отвечает в обычном пространстве движение, финитное в
плоскости, перпендикулярной направлению поля Н. При пере-
ходе к квантовой механике это приводит к возникновению
дискретных уровней энергии при каждом фиксированном зна-
чении продольного квазиимпульса k2. Эти уровни определяются
общими правилами квазиклассического квантования.

Выберем векторный потенциал однородного магнитного поля
(направленного вдоль оси г) в виде Ах =— Ну, Ау = А2 = 0.
Тогда компоненты обобщенного квазиимпульса

Kx = kx + ^Hy, Ky = ky, Kz = kz. (58,1)

Координата х является циклической переменной, и поэтому
х-компонента обобщенного квазиимпульса сохраняется:

Кх = kx + -Цг Ну = const.	(58,2)

ch

Согласно правилу квантования Бора — Зоммерфельда (см. III
§ 48), пишем условие

=	(58,3)
где интегрирование распространено по периоду движения, ап—
целое положительное число, предполагаемое большим1). Под-
ставив сюда, согласно (58,1—2), K.y = ky и dy =— (ch/\e\H)dkx,
получим

= (5W>

где теперь интеграл берется по замкнутой траектории в к-про-
странстве. Этот интеграл — не что иное, как охватываемая тра-
екторией площадь, т. е. введенная в предыдущем параграфе
площадь S (е, kz) сечения изоэнергетической поверхности плос-
костью kz — const.

Таким образом, окончательно находим

S(e, fej = 2л-Ц^-п .	(58,5)

(И. М. Лифшиц, 1951; L. Onsager, 1952). Этим условием и опре-
деляются в неявном виде уровни энергии еп(£г). Таким образом,
энергетическая зона (номер s которой мы для краткости не вы-
писываем) распадается на дискретный ряд подзон Ландау, каж-
дая из которых представляет собой полосу уровней энергии,
отличающихся значением непрерывной переменной kz.

Как известно, квазиклассическое условие квантования может
быть уточнено введением поправки, сводящейся к прибавлению
к большому квантовому числу п числа порядка единицы. Опре-
деление этой поправки требует рассмотрения движения вблизи
«точек остановки», ограничивающих область интегрирования в
(58,3).

Зависимость K.y = kv от у на траектории электрона опреде-
ляется уравнением

е (к) = е (Кх——'Л- у, k kz\ = const (58,6)
\ сл	)

при заданном значении kz и при Кх = const; точка остановки
у — у0 определяется условием обращения в нуль скорости
Vy — dz/lldky. Вблизи этой точки разложение уравнения (58,6)
по степеням у—у0 дает

сП \0Rx Ji	2 \ dky )0 " И

1) При движении в однородном магнитном поле адиабатическим инвари-
антом, не зависящим от выбора векторного потенциала, является интеграл

$ Ktdr, где К/—проекция обобщенного квазиимпульса На плоскость, пер-
пендикулярную полю (ср. II § 21). При сделанном выборе А интеграл
фKxdx=Kx$ dx—О, так что адиабатический инвариант совпадает с интег-
ралом в (58,3).
где £у0 = £у (у0). Отсюда видно, что приближение к точке оста-
новки происходит по корневому закону

kv~ £ао = ±Л/у—у»

(для определенности считаем, что классически недоступная
область лежит при у<у0). Но это—тот самый закон, к кото-
рому относится обычный вывод поправки в квазиклассическом
квантовании (см. III §§ 47, 48). Уточненное правило (58,5) имеет,
следовательно, вид

S(e, kz)

(58,7)

Как это ясно из вывода (основанного на разложении функ-
ции (58,6)), для справедливости уточненного правила квантова-
ния необходимо, чтобы траектория проходила в достаточном
удалении от особых точек функции е(к) (в том числе от ком-
плексных точек ветвления). Необходимо также, чтобы нигде
вблизи траектории не нарушалось условие квазиклассичности
(в частности — не обращалась в нуль х, у-проекция скорости
Зе/Зк)!). Наконец, надо иметь в виду приближенность самого
гамильтониана (56,7), на котором основаны все выводы. Если
решетка обладает центром инверсии, то поправки к гамильто-
ниану квадратичны по напряженности поля и не отражаются
на условии (58,7). Но если центр инверсии отсутствует, то
поправки к гамильтониану линейны по Н; в этом случае по-
правочный член 1/2 в (58,7) теряет смысл, так как погрешность
того же порядка дает и приближенность гамильтониана* 2).

Интервал Де между двумя последовательными уровнями от-
вечает изменению большого числа п на единицу. Он определяется,
следовательно, равенством

. OS а 2л I € I Н	/ко о\

4S= (5ад

Введя классическую частоту периодического движения <лн, со-
гласно (57,7), получим

Де = Йсоя.	(58,9)

!) Вблизи точек аномального сближения двух траекторий эти условия
совпадают с требованием малости вероятности магнитного пробоя.

2) Для свободных электронов (см. примечание на стр. 282) условие (58,7)
дает

е =	"2"^-j-^2&z/2m, со// = | а | Н/тс

в согласии с известным выражением Ландау для свободного электрона в маг-
нитном поле (III § 112).
Подчеркнем, что частота <лн сама есть функция е (и kz). Поэтому
последовательные уровни энергии е„ (при заданном kz) не явля-
ются строго эквидистантными, как это было бы в случае сво-
бодных электронов, где есть постоянная величина.

Независимость уровней энергии от сохраняющейся величины
Кх означает (как и для свободных электронов в магнитном
поле—см. III § 112) их вырождение. Если представлять себе
решетку, обладающей большим, но конечным объемом V, то
кратность этого вырождения будет конечной. Число состояний
в интервале dkz и с заданным значением п определяется как
V&S-dkz/(2л,)3, где AS — площадь в плоскости kz = const, заклю-
ченная между траекториями с квантовыми числами п и я 4-1.
Эта площадь дается выражением (58,8), и, таким образом,
находим для искомого числа состояний выражение

Vdkz | е|Я
(2зт)2

(58,10)

— то же самое, что и в случае свободных электронов.

Наглядная причина вырождения уровней в магнитном поле
заключается в независимости энергии от положения в простран-
стве «центра ларморовской орбиты» электрона. Для свободного
электрона это вырождение является точным.. Для электрона же
в решетке оно может быть лишь приближенным: в виду наличия
неоднородного (периодического) электрического поля различные
положения «центра орбиты» в элементарной ячейке решетки
уже не. эквивалентны. Это обстоятельство должно приводить
к некоторому расщеплению уровней Ландау.

Учет спица электрона приводит к расщеплению каждого
уровня на две компоненты; в пренебрежении спин-орбитальной
связью эти компоненты разделены (как и для свободного электро-
на) постоянным интервалом 2$Н, где 0—магнетон Бора:

е„0 (kz) = е„ (kz) 4- <$Н, о == ± 1.	(58,11)

Такая ситуация остается и при учете спин-орбитального взаи-
модействия, если кристалл обладает центром инверсии. В этом
случае состояния электрона в отсутствие поля вырождены по
спину, а магнитное поле снимает это вырождение. В результа-
те получается та-же формула (58,11) с заменой |3 на |3g„(fez), где
Zn (kz) характеризует изменение магнитного момента электрона.

§ 59. Тензор эффективных масс электрона в решетке

Рассмотрим точку k = k0 в k-пространстве, в которой энер-
гия электрона ns (к) имеет экстремум; таковы, в частности, точки,
отвечающие верху и низу зоны. Если в этой точке нет вырож-
дения (за исключением лишь возможного крамерсовского вы-
рождения по спину—см. конец § 55), то в ее окрестности
функция (к) может быть подвергнута регулярному разложе-
нию по степеням разности q = k—к0. Первые члены такого раз-
ложения квадратичны:

^2

е« (к) = е, (к0) + -g mtfqfa.	(59,1)

Тензор mik, обратный тензору коэффициентов т$ в (59,1), на-
зывают тензором эффективных масс электрона в решетке. Пока-
жем, каким образом можно выразить этот тензор через матрич-
ные элементы по отношению к блоховским функциям if>Sk0 в
точке к0.

В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием гамиль-
тониан электрона имеет вид (56,1). Подставим в уравнение
Шредингера с этим гамильтонианом волновую функцию в виде
ipsk = е‘ <k“+4)r«sk =ei4rTsk.	(59,2)

Тогда уравнение примет вид

{—-£д+и (и+qp+S’]} =е* ’ (59>3)
где р =— iAv—оператор истинного импульса.

В окрестности точки k=k0 вектор q является малой вели-
чиной, и выражение в квадратной скобке в (59,3) можно рас-
сматривать как оператор возмущения. В нулевом приближении,
при q=0, функции <psk совпадают с функциями if>Sk„. Поэтому
обычная теория возмущений позволяет выразить поправку к энер-
гии через матричные элементы по отношению к этим функциям.

Так как к0-~точка экстремума, то линейная по q поправка
отсутствует. Это значит, что диагональные матричные элементы

<sk01 р | sk0> = 0.	(59,4)

Для определения квадратичной по q поправки надо учесть член
с в операторе возмущения в первом, а член с q — во втором
порядке теории возмущений. В результате получим для еДк)
формулу (59,1), где

t>ik | 1 У1' (Pi^s'(Pk)s’s + (Pli) ss‘(Pi) s's .	/gg g\

ik m m3 2* eS'(k0)—ef(k0)	’	' ’ '

суммирование производится по всем s'^=sx). Для упрощения
записи в обозначении матричных элементов здесь и ниже опу-

J) Суммирование же по к" отсутствует, так как, согласно (55,15), импульс
p=mv ие имеет матричных элементов, недиагональных по к, так что все про-
межуточные состояния относятся к тому же квазиимпульсу к0.
§ 59]

екаем диагональный индекс k0: pss-s <sk0 |р | s'k0>. Отметим, что
при наличии близко расположенных зон (т. е. малых разностей
eS' — ef) второй член в (59,5) может оказаться большим по срав-
нению с первым, в результате чего эффективные массы будут
малы по сравнению с т.

Пусть теперь на кристалл наложено однородное магнитное
поле Н. Тогда, согласно (56,7), гамильтониан, действующий на
функции обобщенного квазиимпульса Q, получается из (59,1)
заменой q на оператор

5=«-fcA> A=4[Hi^]- (Эд

Получающийся таким образом гамильтониан

#2	---

^°’ = e,(k0)+^-m^	(59,7>

пригоден, разумеется, лишь в той же области энергий, что и
исходная формула (59,1). Это значит, что (помимо условия сла-
бости поля (56,3)) предполагается, что рассматриваемые уровни
Ландау расположены не слишком высоко. В этом смысле величи-
ны q и Q должны рассматриваться как малые (возрастающий же
характер потенциала А проявляется в том, что даже в слабом
поле нельзя считать, что А мало по сравнению с Q).

Следующие после (59,7) члены в гамильтониане содержат
поле Н в «чистом» (т. е. без сопровождающих операторов д/дО)
виде. Такие члены уже нельзя найти из одних лишь соображе-
ний калибровочной инвариантности. Определим первый из этих
членов, линейный по Н. При этом можно в силу относитель-
ной малости этой поправки при ее вычислении положить Q = 0.

Рассмотрим сначала поставленный вопрос без учета спин-
орбитального взаимодействия. Интересующий нас линейный по Н
член может возникнуть только из линейного по А члена в ис-
ходном точном гамильтониане электрона (56,2), т. е. путем ус-
реднения по волновой функции $sk0 выражения

-2^(рА+Ар)=--^Ар	(59,8)

(равенство связано с выбранной уже калибровкой с divA = 0).
Это приводит к добавлению к гамильтониану (59,7) члена

—МН,	(59,9)

где

М= 2^<sk« l[rPHsko>	(59,10)

есть просто среднее значение магнитного момента электрона
в состоянии sk0. Подчеркнем, что поправку (59,9) можно доба-

10 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
вить к гамильтониану (59,7), не опасаясь, что этот эффект уже
частично учтен заменой (59,6); действительно, линейные по Н
члены в (59,7) при Q = 0 вообще отсутствуют.

Распишем выражение (59,10) по правилу матричного умно-
жения, учтя, что в силу (59,4) р не имеет диагональных мат-
ричных элементов

Мх —	. [(^y)ss' (p2)s's (fiz)ss' (Py)s's]

(и аналогично для Му, как и должно было быть, поправка
к гамильтониану (59,7) выражается через матричные элементы
оператора Q. С помощью соотношения

можно переписать М в виде

' _ у»' (P^)ss' (Plus's — (Pubs' (Pz)s's
x~~ 2mc 2-4 es, (k0) —еДк0)

S'

(59,11)

Отметим, что M, а тем самым и вся поправка (59,9) обращается
в нуль, если кристалл обладает центром инверсии. Действи-
тельно, при одновременном обращении времени и инверсии со-
стояние электрона (без учета его спина) не изменяется, а потому
не изменится и правая сторона равенства (59,11); между тем
магнитный момент при этом преобразовании должен изменить
знак.

Учтем теперь спин-орбитальное взаимодействие в кристалле,
добавив к гамильтониану (56,1) спин-орбитальный член Hsl из
(55,17). Это приведет к изменению линейного по q члена в урав-
нении (59,3): оператор р в этом члене заменится на

W+^Vl/].	(59,12)

Оператор л имеет простой физический смысл: непосредственно
коммутируя гамильтониан (с учетом Hsl) с г, найдем, что (в от-
сутствие магнитного поля)

г = л/т.	(59,13)

Аналогично, произведя при наличии магнитного поля обыч-
ную замену р—>р—еА/с в исходном гамильтониане (в том числе
в Hsl), мы найдем, что и линейный по А член имеет вид —елА/тс,
отличающийся от (59,8) той же заменой р на л. К магнитному
же моменту (59,11) надо прибавить еще и спиновый магнитный
момент свободного электрона, так что будет

мх=р<sk„।ох।sk0>+~£ (nz[ss'(Jty)s;;z(e7)ssz(nz)szs • <59-14>
s'

С учетом спин-орбитального взаимодействия второй член в этом
выражении отнюдь не равен нулю даже в кристалле с центром
инверсии. Действительно, одновременное изменение знака вре-
мени и инверсия приводят к состоянию, отличающемуся направ-
лением спина, так что все выражение (59,14), чтобы изменить
знак при этом преобразовании, должно лишь сводиться к средне-
му от оператора роД(Л.(к) (ср. (56,12)).

Вычислим тензор в случае, когда спин-орбитальное взаимо-
действие может рассматриваться как возмущение1). Перепи-
шем (55,17) в виде

••Л 2

= X = 4^[Vi/-V].	(59,15)

Рассматривая (59,9) и (59,15) как возмущение, найдем поправку
к энергии во втором порядке теории возмущений, оставив при
этом только перекрестные (по (59,9) и (59,15)) члены. Эта по-
правка (все еще остающаяся оператором — матрицей — по спино-
вым переменным) имеет вид (56,12) с тензором ^ik, равным

g{k = 8ik + ~ V'(Xi)ss' (Lk}s's + (Lk}ss' (x'-)s's,	(59,16)

s'

где At=[rp].

Все сказанное относилось к невырожденным (кроме как по
спину) состояниям. Если же при k = k0 имеется вырождение,
то для определения энергии надо составить секулярное уравне-
ние, учитывающее возмущение (квадратные скобки в уравне-
нии (59,3)) вплоть до членов второго порядка (т. е. по форму-
ле III (39,4)). Свойства получающегося таким образом секулярного
уравнения зависят от симметрии в точке к0. Мы вернемся еще
к этому вопросу в § 68.

Задача

Найти квазиклассические уровни энергии для частицы с квадратичным
законом дисперсии (59,1) в магнитном поле произвольного направления.

Решение. Приведем тензор m.:k к диагональному виду и будем отсчи-
тывать энергию и импульс от точки экстремума (для определенности —

х) Выражение Hs[ (55,17) представляет собой первый член разложения по
релятивистскому отношению (ц/с)2 и потому в определенном смысле всегда
мало. Эта малость, однако, не имеет отношения к применимости теории воз-
мущений в данной конкретной зоне. Поэтому Hs[ в рассматриваемой задаче
не всегда может рассматриваться как малое возмущение.
минимума). Тогда

е(к) =

21

т2

(1)

2 \ ffij '

2L>
/

где «i, «2, Шз—главные значения тензора (положительные величины).
Обозначив через п единичный вектор в направлении поля Н, имеем

йг = пк = «!*! + n3k2 + «з^з	(2)

(«1, «2> пз — направляющие косниусы поля относительно главных осей тен-
зора ntik). Нам надо найти площадь S той части плоскости (2), которая лежит
внутри эллипсоида (1); оиа может быть представлена в виде интеграла

S = p(nk—fez) d3k,

(3)

взятого по объему эллипсоида (I)1). Заменой переменных ^fel- = (2e/n(-)I^2ql-
интеграл приводится к виду

S = (2e)s,/2 А-3 (т^з^з)1^	6 (vq — kz) d3q,

где вектор v в q-простраистве имеет компоненты v,- = (2emi)1^2 tiilh, а интег-
рирование производится по объему сферы q2=l. Интегрирование легко вы-
полняется в цилиндрических координатах с осью вдоль V и дает

. . 2л /

S (е,

2Щц

где

/Иц =:"р /ПзЦз "7" ^3^3»
«j_ = (т1т2тз/т|| )*/2,

(4)

Подставив в (58,7), найдем уровни энергии

еп (^г) —

\е\1ъН
tn^c

fckl
2т у

(5)

§ 60. Симметрия состояний электрона
в решетке в магнитном поле

В этом параграфе мы рассмотрим точные общие свойства
трансляционной симметрии волновых функций блоховского элек-
трона в магнитном поле, не связанные с каким-либо приближе-
нием (вроде условия слабости поля или условия квазиклассич-
ности).

х) Пусть f (х, у, z) = const—семейство поверхностен, заполняющих неко-
торый объем. Расстояние dl между двумя бесконечно близкими поверхностями
семейства: dl = df/\ \/f |, а объем между этими поверхностями: dV—S(f)dl,
где S (/) — площадь поверхности с заданным значением f. Умножив равенство
S (/) df= | у f | dV на 6-функцию 6 (/) н проинтегрировав по объему и по df, полу-
чим площадь поверхности f (х, у, г) — 0 в виде S (0) = | у/16 (/) d3x. В нашем
случае | у/1 = 1» откуда и получается выражение (3).
Наложение однородного магнитного поля не меняет физи-
ческой трансляционной симметрии Системы': она остается перио-
дической в пространстве. Своеобразие ситуации состоит, однако,
в том, что в то же время гамильтониан электрона (56,2) теряет
свою симметрию. Это связано с тем, что в гамильтониан входит
не постоянная напряженность Н, а векторный потенциал А (г),
зависящий от координат и не обладающий периодичностью.

Неинвариантность гамильтониана приводит, естественно, к
усложнению закона преобразования волновых функций при
трансляциях. Выберем для векторного потенциала однородного
поля калибровку

А =4 [Иг],	(60,1)

и пусть i|)(r)— Некоторая собственная функция гамильтониана
Я(г). При трансляции г—>г-(-а (а—какой-либо из периодов
решетки) эта функция переходит в ф(г-(-а), но это будет уже
собственная функция гамильтониана Н (г + а), не совпадающего
с Я (г), поскольку произошла замена векторного потенциала
А(г) —А(г + а) = А(г)+4[На].

Для нахождения искомого закона преобразования надо вер-
нуться к исходному гамильтониану, что достигается калибро-
вочным преобразованием

A — A + VA ^-4[На]г.

При этом волновая функция преобразуется согласно (56,4):
ф—>фехр (ieflhc}.

Обозначив результат всех этих операций как Т^(т), нахо-
дим, таким образом,

Таф (г) = ф (г-(-a) exp [~r [ha]) ,	(60,2)

где Ь==|е|Н/Йс, а Та назовем оператором магнитной трансля-
ции. Если ф (г)—решение уравнения Шредингера И (г) 4> = e^,
то и (60,2) есть решение того же уравнения, относящееся к той
же энергии е (R. Peierls, 1933).

Из определения (60,2) легко закдкщит^, чтр

ТаТа'= Та + а’Сй(а, а'),

со (а, а') = ехр 4h[aa']) .	(60,3)
При перестановке а и а' показатель степени в множителе со (а, а')
меняет знак; поэтому операторы Та и Та', вообще говоря, не
коммутативны:

ТаТа' = Та'Та ехр (- ih [а а']).	(60,4)

Таким образом, произведение двух операторов Та и TV от-
личается, вообще говоря, фазовым множителем от оператора
Та+а'. По математической терминологии это означает, что опе-
раторы Т& осуществляют не обычное, а проективное представ-
ление группы трансляций; базисом этих представлений являются
волновые функции стационарных состояний блоховского элект-
рона в магнитном полег). Классификация уровней энергии должна
производиться, следовательно, по неприводимым проективным
представлениям группы трансляций, подобно тому как в отсут-
ствие поля она производится по неприводимым обычным пред-
ставлениям этой группы.

Напомним в этой связи, что группа трансляций — абелева
(все ее элементы коммутативны), а потому все ее неприводимые
обычные представления одномерны. Функция ф базиса каждого
такого представления при трансляции лишь умножается на не-
который фазовый множитель, причем для двух последователь-
ных трансляций этот множитель должен быть равен произведе-
нию множителей для каждой трансляции в отдельности. Это
значит, что

Таф = еЛа ф,

где к—-постоянный вектор; этот вектор (квазиимпульс электрона)
оказывается параметром, классифицирующим неприводимые пред-
ставления.

Полная классификация неприводимых проективных пред-
ставлений группы трансляции может быть произведена (Е. Brown,
1964; J. Zak, 1964) в случае, когда магнитное поле удовлетво-
ряет условию

Ь = 4л|^,	(60,5)

где р и q—любые два взаимно простых целых числа; а3 — один
из трех произвольно выбранных основных периодов решетки

l) С понятием о проективных представлениях групп мы встречались уже
в V § 134. Напомним, что проективными представлениями группы б назы-
ваются вообще представления, осуществляемые операторами G, соотношения
между которыми совпадают с соотношениями между соответствующими эле-
ментами группы б лишь с точностью до фазовых множителей: если G1G3 = G3,
то для операторов имеем G1G3 = co13G3, где со13 должно быть равно единице
только по модулю.
§ 60] СИММЕТРИЯ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 295
ап а3, а3; и = [а1а3]а3 — объем элементарной ячейки решетки1).
Другими словами, магнитное поле должно быть направлено
вдоль какого-либо периода решетки, а величина /ш/4ла3 должна
быть рациональным числом. Умножив равенство (60,5) на [а1а2],
можно представить это условие также и в виде

h [а1а3] = 4лр/(7,	(60,6)

Для классификации неприводимых проективных представ-
лений группы трансляций существенно, что из этой группы
можно выделить подгруппу (будем называть ее магнитной), по
отношению к которой представление является не проективным,
а обычным. При соблюдении условия (60,6) такой подгруппой
является совокупность трансляций вида

&т = «iai + Ма2 + «заз	(60,7)

с целочисленными коэффициентами nit п2, п3. Действительно,
когда вектор h направлен вдоль а3 и удовлетворяет условию
(60,6), для всех трансляций такого вида показатель экспоненты
в (60,3) обращается в нуль или в кратное от 2л, так что все
множители со (а, а')=12 * *). Совокупность трансляций (60,7) об-
разует решетку с основными периодами а^ qa2, а3 (назовем ее
магнитной). Магнитная же обратная решетка соответственно
имеет периоды Ьх, b2/g, b3, где Ьь Ь3, Ь3 — периоды основной
обратной решетки.

Обычные неприводимые представления магнитной подгруппы,
как и группы трансляций в целом, одномерны; они характе-
ризуются волновыми векторами (квазиимпульсами) К, все не-
эквивалентные значения которого заключены в одной ячейке
магнитной обратной решетки.

Пусть ф(1)—функция базиса одного из таких представлений
с квазиимпульсом к(1)=вК. Для нее

tа;яф(1’ (г) = е1к(1>а” ф(1> (г).	(60,8)

При трансляции же на период а3 (не входящий в магнитную
подгруппу) получим из ф(1) функцию ф(2) с другим квазиим-
пульсом. Для его определения пишем, используя (60,4) и (60,8):
f ф<2> = Taffiта,ф(1> (г) = exp (— ih [affia3]) Т3,Т\тф(1> (г) =

=ехр {— iam [a3h] + tarak(1>} Та2ф(1) (г)

J) Напомним, что в качестве основных можно выбрать наименьшие пери-
оды решетки в любых трех некомпланарных кристаллических направлениях
(т. е. направлениях, проходящих через бесконечное множество узлов решетки).
Объем элементарной ячейки от выбора основных периодов не зависит.

2) Выбор магнитной подгруппы, вообще говоря, неоднозначен: вместо (60,7)

можно выбрать любую совокупность трансляций вида 9.m = n1q1&i-\-n3q3a3-\-n3&3,

где qi, q3—целые числа такие, что q^^ — q.
или окончательно

7\тф(2>(г)^е'к<2>а“ф<а>(г),
где

k<2> = к(1)—[a2h] = К—21 bj

(в последнем равенстве подставлено (60,5) и введен период об-
ратной решетки 2л[а2а3]/и = Ь1). Далее надо различать случаи
нечетных и четных значений q1).

Пусть q—нечетное число. Повторив трансляцию на аа еще
q—2 раз, получим всего q различных функций с квазиимпуль-
сами

k(1) = K, к(2) = К—2—bi......k;g> = K—2Р(?~1)Ь1. (60,9)

- q	q

Вычитанием надлежащего целого кратного вектора Ьх эти зна-
чения приводятся (в той или иной последовательности) к зна-
чениям

к = К, К + уЬь K+|bi, ,.,K+^bi. (60,10)
ч	ч	ч

Эти q функций и осуществляют «/-мерное неприводимое проек-
тивное представление группы трансляций. Мы получим все не-
эквивалентные представления, когда К пробегает значения в
ячейке со сторонами bt/q, b2/q, b3 (квазиимпульсы же k(1), k<2), ..
пробегают при этом значения в ячейке со сторонами Ьх,
Ь8/</, b3).

Пусть теперь q—четное число. Тогда в последовательности
(60,9) уже (<//2 + 1)-е значение, равное К—-pblt отличается от К
лишь целым кратным периодов обратной решетки Ьх. Другими
словами, имеется всего q/2 неэквивалентных значений к; они
даются выражением (60,10) с q/2 вместо q. Таким образом, в
этом случае неприводимые представления «//2-мерны, причем К
пробегает значения в ячейке со сторонами 2Ьх/</, Ь2/</, Ь8.

Эти результаты позволяют сформулировать следующее за-
ключение о характере изменения энергетического спектра элект-
рона в решетке при наложении на нее магнитного поля (удо-
влетворяющего условию (60,5)). В отсутствие поля спектр состоит
из дискретных энергетических зон, в каждой из которых энергия
е (к) является функцией квазиимпульса, пробегающего значения
в одной ячейке обратной решетки. При наложении поля такая

J) При q = \ магнитная подгруппа совпадает с полной группой трансля-
ций. Таким образом, если h—целое кратное от 4ла3/о, то проективные непри-
водимые представления группы трансляций совпадают с обычными неприво-
димыми представлениями и состояния электрона классифицируются так же,
как в отсутствие поля.
зона расщепляется на q подзон, в каждой из которых все уровни
энергии вырождены с кратностью q при нечетном или д/2 прн
четном q. Энергия в подзоне может быть выражена как функ-
ция е(К) вектора К, пробегающего значения в 1/<?2-й (при не-
четном q) или 2/$2-й (прн четном q) части ячейки обратной
решетки.

Описанная картина в определенном смысле крайне чувстви-
тельна к величине и направлению магнитного поля. Действи-
тельно, сколь угодно близко к значению Н, удовлетворяющему
условию (60,5) с некоторыми р и q, лежат значения, удовлет-
воряющие такому же условию, но с гораздо большими q, так
что путем сколь угодно малого изменения поля число подзон
можно сделать сколь угодно большим. Подчеркнем, однако, что
это отнюдь не означает такой же неустойчивости в наблюдаемых
физических свойствах. Последние определяются не столько кон-
кретной зонной структурой, сколько распределением числа со-
стояний по малым, но конечным интервалам энергий; это рас-
пределение мало меняется при малом изменении поля. Дело
в том, что сильно меняется не энергия состояний, а лишь их
классификация ввиду изменения области определения квазиим-
пульса.

§ 61. Электронный спектр нормальных металлов

В реальных кристаллах нормальных (несверхпроводящих)
металлов электроны образуют квантовую ферми-жидкость, отно-
сящуюся к описанному в главе I типу. Ряд отличий возникает,
однако, в связи с тем, что здесь мы имеем дело не со «свобод-
ной» изотропной жидкостью, а с жидкостью в анизотропном
периодическом поле решетки.

Подобно тому как энергетический спектр свободной ферми-
жидкости строится аналогично спектру идеального ферми-газа,
так спектр электронной ферми-жидкости в металле строится
аналогично спектру идеального «газа в решетке».- Появление
квазиимпульса как сохраняющейся величины связано только
с пространственной периодичностью системы (подобно тому как
сохранение истинного импульса является следствием полной
пространственной однородности). Естественно поэтому, что пе-
речисленные в § 55 свойства переносятся и на характер клас-
сификации уровней в спектре электронной жидкости в ме-
талле, причем роль частиц (электронов) переходит к квазича-
стицам.

При температуре абсолютного нуля частицы идеального
ферми-газа в периодическом поле займут все нижние уровни
с энергиями е вплоть до некоторого граничного значения &р
(совпадающего со значением химического потенциала р при Т=0),
определяемого условием, что число состояний с совпа-
дает с полным числом электронов. При этом энергетические зоны,
для которых (k) < sF при всех значениях к, окажутся пол-
ностью заполненными, зоны с (к) > —пустыми, а зоны, для
которых уравнение

ЕДк) = Ег	(61,1)

имеет решение,— будут заполнены частично. Уравнения (61,1)
определяют в к-пространстве граничную поверхность Ферми,
отделяющую (для каждой зоны) заполненные состояния от
пустых.

Аналогично, в реальном металле существует поверхность в
к-пространстве, отделяющая область заполненных (при Т = 0)
состояний квазичастиц от свободных состояний; по одну сто-
рону этой поверхности энергии квазичастиц е > ъг, а по другую
е < ел. Напомним, однако (см. § 1), что понятие квазичастиц
в ферми-жидкости имеет реальный физический смысл лишь вблизи
ферми-поверхности, где затухание элементарных возбуждений
сравнительно мало. Поэтому представление о заполненных энер-
гетических зонах (возникающее при описании спектра идеаль-
ного ферми-газа) в реальной электронной жидкости теряет свой
буквальный смысл.

Квазичастицы вблизи ферми-поверхности называют электро-
нами проводимости. Их энергия является, в общем случае, ли-
нейной функцией квазиимпульса; аналогично (1,12), имеем

e(k) —« A(k—kf)vf,	(61,2)

где kF—точка на ферми-поверхности, а

k—

(61,3)

— скорость электронов проводимости в этих точках1).

Вблизи ферми-поверхности должна лежать и «область раз-
мытости» распределения электронов проводимости при отличных
от нуля температурах. Отсюда возникает условие применимости
теории ферми-жидкости: Т<^JikFvF, где kF и vF—характерные
величины размеровферми-поверхности и скорости на ней. Обычно
размеры ^совпадают по порядку величины с размерами ячейки
обратной решетки, так что kF~ 1/а (исключение составляют так
называемые полуметаллы—см. ниже). Положив также для оценки
vF~ HkF/m, придем к условию Т <^. 101—10s К, практически всегда
выполняющемуся.

х) Формулы же типа (2,11) для эффективной массы, полученные в § 2 для
«свободной» ферми-жидкости из соображений галилеевой инвариантности, к
электронной жидкости в кристаллической решетке, разумеется, ие относятся.
Фактически все металлы имеют кристаллические решетки
с центром инверсии. Согласно сказанному в конце § 55, все
уровни энергии электронов проводимости (с заданными к) дву-
кратно вырождены по спину (речь идет о металлах не ферро-
и не антиферромагнитных).

Форма и расположение ферми-поверхности являются важной
характеристикой каждого конкретного металла. У различных
металлов они имеют самую разнообразную, вообще говоря слож-
ную, форму. Ферми-поверхность может состоять из нескольких
не связанных между собой листов, которые могут быть одно-
связными или многосвязными, закрытыми или открытыми (ср.
сказанное в § 55 об изоэнергетических поверхностях вообще).

Замкнутые листы ферми-поверхности можно разделить на
две категории в зависимости от того, ограничивают ли они об-
ласти заполненных (при Т = 0) или свободных состояний квази-
частиц (в первом случае внутри полости s<eF, а во втором
в > ef). Оба случая можно, однако, описывать аналогичным об-
разом, если считать во втором случае, что «пустая» полость
заполнена «квазидырками»; переход системы в возбужденное
состояние описывается тогда как переход квазидырок изнутри
ферми-поверхности наружу. Самую ферми-поверхность называют
тогда дырочной, в отличие от электронной в первом случае1).
Физическое различие между двумя типами квазичастиц—элект-
ронами и дырками — ясно проявляется при их движении во
внешних полях. Так, все сечения дырочной (или электронной)
ферми-поверхности, определяющие квазиклассические траектории
при движении в магнитном поле, относятся к дырочному (или
электронному) типу в указанном в § 57 смысле.

В изотропной «свободной» ферми-жидкости, о которой шла
речь в § 1, ферми-поверхность представляла собой сферу, радиус
которой определялся плотностью жидкости согласно теореме
Ландау (1,1). Аналогичная связь имеется и для электронной
жидкости в металле, но специфика свойств, связанных с пери-
одичностью решетки, приводит к некоторому изменению в фор-
мулировке этой связи.

Число электронов в металле удобно относить к одной эле-
ментарной ячейке его решетки; пусть п—полное число элект-
ронов в атомах одной ячейки. Обозначим через хР суммарный
объем в одной ячейке обратной решетки, лежащий с заполненной
стороны ферми-поверхности (т. е. со стороны, где е < ел). Слово
суммарный означает здесь, что если заполненные области, соот-

2) Подчеркнем, однако, во избежание недоразумений, что смысл термина
«дырка» не совпадает здесь со смыслом, в котором он применялся в описан-
ном в конце § 1 альтернативном способе описания спектра ферми-жндкости
(там назывались дырками лишь пустые места, образовавшиеся в заполненной
области при возбуждении системы),
300	Электроны в кристаллической решетке [гл. vi

ветствующие различным листам ферми-поверхности, частично
перекрываются, то они все равно должны складываться неза-
висимо. Объем т> условимся измерять в единицах объема самой
ячейки обратной решетки; сделанное замечание о перекрытии
областей означает, что определенная таким образом величина tF
может превышать единицу.

Интересующее нас утверждение (теорема Латтинжера), за-
меняющее для металла теорему Ландау, выражается равенством
пс = 2тг=п—21	(61.4)

где I—некоторое целое число (/^0). В модели идеального газа
в решетке это число имеет простой смысл: полному заполнению
каждой зоны соответствует два электрона в ячейке обратной
решетки (удвоение связано с двумя спиновыми состояниями),
так что 21 есть число электронов, заполняющих I нижних зон,
а разность п—21—число электронов в частично заполненных
зонах. Формула (61,4) выражает тот—отнюдь не тривиальный —
факт, что аналогичная ситуация продолжает иметь место и при
учете взаимодействия между электронами *). По определению
металла, целое число пс отлично от нуля.

Пусть в металле имеются только замкнутые листы ферми-
поверхности— электронные и дырочные. Обозначим посредством
т!? и вклады в гР от отдельных электронных и дырочных
полостей:

tf=2jt-) + 2jt+>
S	S

(суммирования соответственно по всем электронным и всем ды-
рочным листам). Величина т? совпадает с объемом электронной
полости, а объем дырочной полости есть 1—т“>. Введем числа
электронных и дырочных квазичастиц

п_=22т(Л п+ = 25(1 — <«).
S	S

При четном п (а потому и четном пс) возможны случаи, когда
пс совпадает с удвоенным числом дырочных полостей. Тогда
равенство (61,4) сведется, как легко убедиться, к равенству

п_ = п+.	(61,5)

Такие металлы с равными числами квазичастиц и квазидырок
Называют компенсированными.

Обратим внимание на то обстоятельство, что при точно вы-
полняющемся равенстве (61,5) сами величины п_ и п+ могут

*). Строгий вывод этого утверждения см. J. М. Lu t linger, Phys. Rev. 119,
1153 (1960).
быть произвольными, в том числе сколь угодно малыми. В таких
случаях, когда объемы всех полостей ферми-поверхности очень
малы (по сравнению с объемом одной ячейки обратной решетки),
говорят о полуметаллах1). Существует, однако, нижняя граница
для числа электронов проводимости, за которой электронный
спектр металлического типа становится неустойчивым и сущест-
вовать не может (см. об этом ниже, в конце § 66).

Термодинамические величины металла складываются из ре-
шеточных и электронных частей. Температурная зависимость
последних определяется квазичастицами в окрестности ферми-
поверхности (закон дисперсии (61,2)). Характер этой зависи-
мости, естественно, тот же, что и у идеального ферми-газа или
у изотропной ферми-жидкости (ср. § 1); отличие в формулах
возникает лишь от другого числа состояний квазичастиц вблизи
ферми-поверхности, не являющейся теперь сферой.

Обозначим число состояний (отнесенное к единице объема
металла), приходящееся на интервал энергий de, через vde.
Элемент объема к-пространства между бесконечно близкими
изоэнергетическими поверхностями, отвечающими энергиям eF
и eF+de, равен dfdejhvP, где df—элемент площади ферми-по-
верхности, avF—величина нормального к ней вектора vp=de,/kdk.
Поэтому

где интегрирование производится по всем листам ферми-поверх-
ности, расположенным внутри одной ячейки обратной решетки
(при открытой ферми-поверхности грани самой ячейки в область
интегрирования, разумеется, не входят).

Величина (61,6) заменяет собой в термодинамических вели-
чинах выражение, которое для газа свободных частиц (поверх-
ность Ферми—-сфера) имело вид

2 4лрр______трР

(2л£)3 РгШ ~	'

Так, для электронной части термодинамического потенциала Q
металла имеем, (ср. V § 58)

_	тт2

(61,7)

где Qoe — значение потенциала при Т = 0. Рассматривая второй
член в (61,7) как малую добавку к Йое, согласно теореме о
малых добавках, можно написать такую же формулу и для

*) Так, у висмута п_ =п+ — 10_5.
термодинамического потенциала Ф:

Фе = Фое-^т

(61,8)

где теперь и V предполагаются выраженными через Р (по
«нулевому» приближению, т. е. при Т = 0).

Определяя из (61,8) энтропию, азатем теплоемкость, найдем

Ce = ~vrVT.	(61,9)

О

Решеточная же часть теплоемкости пропорциональна Т3 (при
температурах, малых по сравнению с дебаевской 0); поэтому
при достаточно низких температурах электронный вклад в тепло-
емкость становится преобладающим1).

По этой же причине становится преобладающим в этой об-
ласти температур также и электронный вклад в тепловое рас-
ширение металла. Определяя из (61,8) объем У = дФ,дР, а затем
коэффициент теплового расширения а, найдем

а —	—___у л2 d(l/-vF)	gi Q.

а V\dTJp~ 1 3V дР •	ФМи!

Отметим, что здесь (как и в области T'^>Q— см. V § 67) отно-
шение

aV	д1п(1Л>г)

С ~ дР

оказывается не зависящим от температуры.

§ 62. Гриновская функция электронов в металле

Проведенное в §§ 56—58 рассмотрение относилось к движе-
нию одного электрона в решетке, на которую наложено еще
внешнее магнитное поле. Покажем теперь, что полученные при
этом результаты остаются по существу справедливыми и для
квазичастиц (электронов проводимости) в электронной жидкос-
ти реального металла,— меняется лишь несколько определение
входящих в соотношения величиною. А. Бычков, Л. П. Горьков,
1961; J. М. Luttinger, 1961). Подходящим математическим аппа-
ратом для общего рассмотрения электронной жидкости является
аппарат гриновских функций.

В главе II этот аппарат был развит для «свободной» ферми-
жидкости. Выясним, в каких пунктах он должен быть изменен
для жидкости в решетке.

х) Малым параметром разложения в (61,9) является отношение Т/ер, a
в решеточной теплоемкости — отношение Г/©. Поэтому обе части теплоемкости
сравниваются при Т2 — в3/8р.
Гриновская функция электронной жидкости (при темпера-
туре Т = 0) определяется через гейзенберговские ф-операторы
электронов той же формулой (7,9), где усреднение происходит
по основному состоянию металла. В силу однородности времени
эта функция зависит от аргументов и /2 только через их
разность t — tt —12. Пространственная же однородность нару-
шена теперь наличием внешнего по отношению к жидкости
поля решетки. Поэтому гриновская функция зависит не только
от разности rf — г2. Можно лишь утверждать, что она инвари-
антна относительно одновременного сдвига rt и г2 на один и
тот же (любой) период решетки. Ниже мы будем рассматривать
гриновскую функцию в со, г-представлении, т. е. введем ее
фурье-компоненту по t: Gap (со; rf, г2). Именно эта функция по-
зволяет, в принципе, определить энергетический спектр элект-
ронной жидкости в металле. Повторим (не производя вновь
всех вычислений) применительно к данному случаю изложенные
в § 8 рассуждения.

В § 8 было показано, что однородность системы позволяет
полностью определить координатную зависимость матричных
элементов ф-операторов и тем самым позволяет записать общее
выражение гриновской функции в пространственйо-временном
представлении в виде (8,5—6); отсюда можно было затем пе-
рейти и к ее импульсному представлению в виде разложения
(8,7).

Для электронной жидкости в решетке инвариантность мат-
ричных элементов, выражаемая равенством (8,3), имеет место
только для трансляций на периоды решетки, т. е. при г = а.
Это приводит, естественно, к меньшей определенности в коор-
динатной зависимости: вместо (8,4) можно утверждать лишь, что

<01 (Л г) | mk> = Xatk (г) exp (—icomo (k) t),

<тк|Фа(*, r) 10> = Хат,-к (r) exp (i®mo(k)O, (62,1)
где

Хатк (г) = eikT Uamk (Г),

Х^’к (г) = eikTvamk (г),	(62,2)

к — квазиимпульс состояния; т—-совокупность остальных ха-
рактеризующих его квантовых чисел, а и и v — некоторые пе-
риодические в решетке функции координат (мы выписали мат-
ричные элементы только для переходов из основного состояния—
состояния 0). По своим свойствам функции х(+) и х1-) анало-
гичны блоховским волновым функциям электрона в периоди-
ческом поле. Выразив гриновскую функцию через эти матричные
элементы и переходя затем к компонентам Фурье по времени
(подобно тому, как это было сделано в § 8), получим теперь
вместо формулы (8,7) разложение

бар (®; г,, г2) = £
т, к

® + lx-emk> + ‘0

Xgmk (rl) Xflmk (Гз) \ (g2 3)
«+Р—41?-»0 J

с прежним смыслом обозначений e<+> и e<_); во втором члене
произведено переобозначение к—►—к.

Наличие незатухающих одночастичных элементарных возбуж-
дений вблизи ферми-поверхности металла проявляется в том,
что при е вблизи р энергия состояния зависит только от к.
Для таких состояний функция Gap (со; гх, г2) имеет полюс при
со = е(к) — р. Вблизи полюса она имеет вид

(6М)

При наличии вырождения по спинам должно еще произво-
диться суммирование по двум спиновым состояниям.

Определение энергетического спектра по гриновской функ-
ции сводится, в принципе, к задаче о собственных значениях
некоторого .интегро-дифференциального линейного оператора.

Основные принципы диаграммной техники в координатном
пространстве для рассматриваемого случая остаются теми же,
что и в обычной ферми-жидкости. В частности, введя собствен-
но-энергетическую функцию £ар(/, П, га) (как сумму определен-
ной в § 14 совокупности диаграмм), можно записать гриновскую
функцию Gap(Z, гх, г,) в виде ряда (14,3), который суммируется
к диаграммному уравнению (14,4). Тонкая сплошная линия на
этих диаграммах обозначает гриновскую функцию Gap(^ri—г2)
свободных электронов—не взаимодействующих ни с другими
электронами, ни с решеткой. Согласно (9,6), эта функция удов-
летворяет уравнению

+	б^(/, гх —гг) = барб(/)б(гх—г2).

Применив слева к уравнению (14,4) оператор (...) и перейдя
затем к фурье-компонентам по времени, получим искомое урав-
нение

+ бар (со; гх,г3)—J 2av(«; rx, г') GvP (со; r',r2)d3x' =

= W(ri-r2). (62,5)

Вблизи полюса G-функции (по переменной со), правая сто-
рона уравнения может быть опущена, и получается однород-
ное интегро-дифференциальное уравнение, собственные значения
которого и определяют энергетический спектр системы. При этом
индекс р и переменная г2 не затрагиваются никакими опера-
циями, т. е. играют в уравнении роль несущественных пара-
метров. Для определения спектра можно писать поэтому урав-
нение вида1)

+ +	(г)—jSavC©; г, г') Xv (r')ds/ = (a-L)x(r)^0.

(62,6)

Для электронной ферми-жидкости в металле оно заменяет со-
бой обычное уравнение Шредингера. Его собственные значения
определяют, как уже сказано, спектр согласно ю = е(к)—р;
соответствующими же собственными функциями являются функ-
ции Хак (г) из (62,4) (как это очевидно из прямой подстановки
(62,4) в (62,5)). Поскольку затухание возбуждений вблизи фер-
ми-поверхности мало, оператор L при малых ю эрмитов (с точ-
ностью до членов порядка со).

Для перехода к случаю наличия слабого внешнего магнит-
ного поля надо заметить, что при калибровочном преобразова-
нии векторного потенциала ф-операторы преобразуются как
волновые функции (ср. (44,3—4)), а потому гриновская функция
Gap (со; fj, г2) преобразуется как произведение шф-функций
ф(г1)ф*(г2). Это значит, что и функция х(П в (62,6) должна
преобразовываться как обычная ф-функция. Но, проследив за
произведенными в § 56 рассуждениями, легко обнаружить,
что в них использованы только периодичность решетки крис-
талла, общие свойства калибровочного преобразования и тот
факт, что энергетический спектр определяется по собственным
значениям некоторого гамильтониана; роль последнего играет
в данном случае оператор L в (62,6)2 * *). Поэтому ясно, что и ре-
зультат— правило перехода от спектра в отсутствие поля к
спектру при наличии слабого поля—будет тем же: новый спектр
определяется по собственным значениям гамильтониана

’Г=,'А'

х) Для микроскопически однородной ферми-жидкости это уравнение в
импульсном представлении сводится к уравнению (14,13)

со4-р,=е<«> (р) 4-2 (со, р).

2) Может показаться существенным отличием в этой связи, что в (62,6)

оператор L сам зависит от со. В действительности это означает лишь неявный
способ записи гамильтониана. При малых со (вблизи ферми-пОЬерхиости)

можно перейти и к явной записи, разложив L w £04-b)£i и умножив затем

уравнение £0% = со (1—Li) % слева на оператор (1— Lj)-1.
где е(к)—спектр в отсутствие поля. Разумеется, смысл самой
функции е(к) теперь отличается от ее смысла в (56,7) — в ней
учитывается коллективное взаимодействие всех электронов в
системе.

Далее, поскольку проведенное в §§ 57, 58 рассмотрение ква-
зиклассического случая целиком основывалось на существова-
нии гамильтониана вида (62,7), то и эти результаты непосред-
ственно переносятся на электронную жидкость. При этом, од-
нако, возникает вопрос о том, что именно следует понимать
под напряженностью поля, действующего на электрон прово-
димости (а тем самым—и под векторным потенциалом А). Строго
говоря, это должно быть точное микроскопическое значение поля,
создаваемого в данной точке г всеми электронами (и внешним
полем). Но в квазиклассическом случае характерные размеры
Гн области, в которой происходит взаимодействие («ларморов
радиус орбит»), велики по сравнению с порядком величины
межэлектронных расстояний (совпадающим с постоянной решет-
ки а). Это обстоятельство приводит к автоматическому усред-
нению микроскопического поля. Происхождение этого усредне-
ния можно пояснить следующими рассуждениями.

Представим микроскопическую напряженность в виде суммы
ее среднего значения (которое, по принятой в макроскопичес-
кой электродинамике терминологии, есть магнитная индукция В)
и быстро меняющейся части Н. Векторный потенциал, отве-
чающий однородному полю В, возрастает на всем протяжении
размеров орбиты, принимая характерные значения ~Вгн- По-
тенциал же, отвечающий осциллирующему на расстояниях
полю Н, не возрастает систематически и набирает лишь значе-
ния которыми можно пренебречь по сравнению с Вгн-
Между тем, как было объяснено в § 56, именно потенциал
поля определяет квантование движения электронов. Таким об-
разом, мы приходим к выводу, что достаточно учитывать лишь
потенциал А однородной индукции В = rot А, которая и будет
играть роль действующего на электрон поля (D. Shoenberg,
1962). Мы увидим ниже (конец § 63), что это обстоятельство
может привести к некоторым новым явлениям в намагничении
металлов.

Таким образом, правило квазиклассического квантования
(58,7) для электронной жидкости, в металле записывается как

5(8Д)^в(п+1),	(62,8)

где теперь S (е, /?г)— площадь сечения истинных изоэнергетиче-
ских поверхностей электронов проводимости металла (близких
к его ферми-поверхности).
Как и в задаче об одном электроне в решетке с центром
инверсии1), учет спина электронов проводимости приводит к
расщеплению уровней в магнитном поле на две компоненты:
о = ±1.	(62,9)

Величина | (йг) представляет собой результат усреднения не-
которой функции g(k) по квазиклассической траектории. При
этом, с достаточной точностью, все траектории можно счи-
тать лежащими на самой ферми-поверхности, так что результат
усреднения зависит только от kz. Подчеркнем, что для элект-
ронной ферми-жидкости отличие величины g (kz) от единицы (ее
значения для свободных электронов) связано не только со
спин-орбитальным взаимодейстием, но и с обменным взаимо-
действием электронов друг с другом.

§ 63. Эффект де Гааза — ван Альфена

Магнитная восприимчивость металла в слабых магнитных
полях (рВ<^Т, р—магнетон Бора, В—магнитная индукция)
не может быть вычислена в общем виде. Дело в том, что в
рамках теории ферми-жидкости можно рассматривать только
парамагнитную (спиновую) часть восприимчивости: эта часть
определяется электронами проводимости вблизи ферми-поверх-
ности, поскольку спины электронов в глубине распределения
взаимно скомпенсированы. В диамагнитную же (орбитальную)
часть восприимчивости вносят вклад все электроны, в том числе
из глубины распределения, где понятие квазичастиц в теории
ферми-жидкости уже теряет смысл. Между, тем обе части вос-
приимчивости, вообще говоря, одного порядка величины, а ре-
альный физический смысл имеет только их сумма.

Обратимся к «сильным» полям, когда

(63,1)
т. е. интервалы между уровнями Ландау сравнимы с темпера-
турой, но все еще малы по сравнению с химическим потенциа-
лом. В этом случае пара- и диамагнитная части намагничен-
ности вообще не могут быть разделены, но здесь ситуация
меняется в том отношении, что в намагниченности металла
появляется осцилляционная зависимость от напряженности поля
(эффект де Гааза—ван Альфена)2). Монотонная часть намагни-
ченности и здесь зависит от всех электронов в металле и не
может быть вычислена в рамках теории ферми-жидкости. Осцил-

J) Фактически кристаллические решетки всех металлов обладают центром
инверсии.

2) Ср. V § 60, где этот эффект рассматривался для идеального электрон-
ного газа.
лирующая же часть намагниченности определяется, как мы
увидим, лишь электронами проводимости в окрестности ферми-
поверхности и может быть рассмотрена в общем виде (И. М. Лиф-
шиц, А. М. Кх>севич, 1955). Именно эта часть и будет интере-
совать нас здесь.

Осцилляционная зависимость намагниченности от поля яв-
ляется следствием квантования уровней энергии орбитального
движения электронов. Но квантованию подвергаются только
состояния, отвечающие движению электронов по замкнутым
(в k-пространстве) траекториям. Поэтому вклад в осцилляцион-
ную часть термодинамических величин возникает только от
электронов проводимости на замкнутых сечениях изоэнергети-
ческих поверхностей плоскостями, перпендикулярными заданному
направлению поля. Мы будем считать, что на этих сечениях
выполняется условие квазиклассичности, т. е. что определяе-
мые равенством (62,8) числа п велики:

AcS/|e|B>l.	(63,2)

Для типичных ферми-поверхностей в металлах линейные раз-
меры сечений ~1/а, так что S~cr2, и тогда условие (63,2)
заведомо выполняется (ср. примечание на стр. 279).

Квазиклассические уровни даются (с учетом спина) выра-
жением (62,9), где е„ (kz) — решения уравнения (62,8); каждому
уровню отвечает число состояний, даваемое формулой (58,'10).
Поэтому статистическая сумма, определяющая термодинамичес-
кий потенциал Й (функция р, Т и объема V системы), имеет
вид

n T|e|BVvCVi J, i	Н—e!iafe)J ,,	ox

Й — —Т	j ln j l ехР------f---j dkf (63,3)

Индекс s нумерует отдельные листы изоэнергетической поверх-
ности; этот индекс и знак суммирования по нему ниже для
краткости опускаем. Интегрирование по dkz производится по
такому интервалу, чтобы в него были включены все различные
(т., е. за исключением их периодических повторений) сечения
всех листов изоэнергетических поверхностей.

Прежде всего выделим из Й осциллирующую с полем часть
(обозначим ее Й), преобразовав сумму (63,3) с помощью фор-
мулы Пуассона1):

»	<»	да да

yF(0)-f- У F(n) = Cf(x) d%4-2 Re У, Г F(x)e2nilx dx. (63,4)

Л=1	n	1=1n

l) См. V § 60. Тот факт, что в (63,4) член суммы F (0) стоит с коэффици-
ентом 1/2, неважен, так как в сумме (63,3) все равно существенны лишь чле-
вы с большими п.
§ 63]	Эффект де глаза — ван альфена	309

Первый член этой формулы, примененной к (63,3), дает неос-
циллирующий вклад в Q; опустив его, пишем

й=~4йг2Ке£ «ад

/ = 10=±1
где //а—осциллирующая часть интеграла

Цо = J dn J In 11 ч- exp	e27tiin dkz, (63,6)

0

и введено также обозначение = ц

Для дальнейшего преобразования введем функцию

'‘('•‘) = еёт7|Т-4 (М’7>

(ср. (62,8)) и перейдем от интегрирования по dn в (63,6) к ин-
тегрированию по de:

h = JJln|l+expt^|^«gd^de; (63,8)
О

выбор нижнего предела интегрирования по de (условно поло-
женного равным нулю) безразличен, так как в интеграле все
равно будет существенна лишь окрестность значения е = р,ст.

Поскольку функция 'п (е, kz) велика, экспоненциальный мно-
житель в подынтегральном выражении в (63,8) —быстро осцил-
лирующая функция kz. Эти осцилляции погашают интеграл по
dkz, и потому основной вклад в него возникает от тех областей
переменной kz, в которых функция n(s, kz) меняется наиболее
медленно (так что и осцилляции наиболее медленны). Другими
словами, основной вклад в интеграл дают области вблизи то-
чек экстремумов п как функции от kz (при каждом заданном е).
Пусть /ггех(е)— одна из таких точек; вблизи нее вычисляем
интеграл методом перевала: в показателе экспоненты пишем

п (е> &г) ntx (е) “Ь ~2 (	^zex)2> ttex(e)=^(®» ^гех(е))’

а в неэкспоненциальных множителях берем их значение при
&г = &гех- В результате найдем, что каждая из экстремальных
точек дает в интеграл вклад

л	*

i^n

-1/2	(г,.,	, Ш) j

exp <2ilnex ± -у > de,
ex I	’	J
замена дп (е, k^/dz на dnex/de допустима, поскольку в точке
экстремума дп/дкг = 0. Знаки + или — в показателе экспонен-
ты относятся соответственно к случаям, когда fezex является
точкой минимума или максимума функции п (е, kz)* 1). Преобра-
зуем это выражение интегрированием по частям, написав

exp (2ra7nex) de = ~ d exp (2ш7иех (е))

и учитывая, что медленно меняющуюся функцию |d2n/d£z|ex мож-
но не дифференцировать. Проинтегрированный член не приводит
к осцилляционной зависимости от поля; опустив его, имеем

' ех

2л/77з/2 J

__________ехр (2л//пех) de__________
р 4-ехр ] I d2njdkz ’

(63,9)

где суммирование производится по всем экстремальным точкам
(смысл которых будет еще обсужден ниже).

Множитель ехр(2ш7пех) в числителе подынтегрального выраже-
ния—быстро осциллирующая функция е. Эти осцилляции по-
гашают интеграл по de везде, за исключением области е—ра~Т,
в которой быстро меняется знаменатель. Сама же функция пех (е)
в этой области меняется плавно и потому может быть представ-
лена в виде

пех (е) « пех (ра) + <х (ра) (е—ра);

множитель же |д2п/дк2г\ёи1/2 просто заменяется его значением при
е = ра- После этого, перейдя от интегрирования по е к интег-
рированию по х = (е—pa)/jT и заменив нижний предел —ра/Г
на —оо (поскольку р/Г^»!), получим2)

~ v ехр [2л//лех (р0) ± /л/4]	,

10	? 2/3/2	Sh ТПеХ (И<,)1’

х) Перевальный интеграл вида е!агг dz вычисляется путем замены
z = ue‘n,i или г = «е_‘11/4 * * * * * при а > 0 или а < 0, после чего интегрирование по
du распространяется от —оо до оо.

2) Использовано значение интеграла

. С . in

I = 1	, dz =---г---<

J ег 4- I sh ла

— 00

Эту формулу можно получить, рассмотрев интеграл по замкнутому контуру

в плоскости комплексного г, составленному из вещественной оси, прямой

1m г = 2л и двух бесконечно удаленных «боковых» отрезков (для обеспечения

сходимости на последних вещественный параметр а заменяем на a — /0). Ин-

теграл по этому контуру определяется вычетом в полюсе г=/л, откуда нахо-

дим /—е-гла/ = —2л/е-л“.
При суммировании этого выражения по ст = ± 1 можно везде
(кроме экспоненциального множителя) заменить на р., по-
скольку по предположению (63,1) рВ<^р. В фазовом же (экспо-
ненциальном) множителе такая замена недопустима: ввиду
большой величины функции пех(е) уже относительно малое из-
менение ее аргумента приводит к заметному изменению фазы;
здесь, однако, достаточно разложить nex(p±pB) по степеням
рВ, ограничившись линейными членами. В результате получим

V 7 — V ехР [2jIt7ziex (и) ± Zл/4]

X /3/2 1^^11/2

X sh-1 [2л2/7Хх (р)]cos [2л/рВ^ехПех (р)], (63,10)

где Нех = ^(^гех)- Остается выяснить смысл входящих в это
выражение величин и подставить его в (63,5).

Согласно определению (63,7), функция пех (е) связана с экстре-
мальным значением 5ех(е) площади сечения изоэнергетической
поверхности 5 (е, kz) как функции kz, а
ее значение при е = р есть площадь
экстремального сечения ферми-поверхно- (	Tsss) Д

сти. Для иллюстрации на рис. 15 изо- ( RW	)

бражены экстремальные (два максималь-
ных и одно минимальное) сечения ган-
телеобразной ферми-поверхности; они пер- Рис. 15.

пендикулярны направлению поля, указан-

ному стрелкой. Суммирование по ех в (63,10) производится по
всем экстремальным замкнутым сечениям всех листов ферми-
поверхности. Мы введем также, для упрощения записи формул,

циклотронную массу электрона проводимости при его движении
по экстремальной замкнутой траектории. Согласно определению
(57,6), эта масса

т*

. & dS (е, kz)j

~ 2л де Lfe ~2л exW’
z ex

где Sex (e) = S (e, kzex (e)); последнее равенство снова связано
с тем, что в точке экстремума dS(e, kz)/dkz = O.

В результате приходим к следующей окончательной формуле
для осциллирующей части термодинамического потенциала:

СО

Й = ££ (-l)zQzcosK/

ex Z = 1	I'

Q;

2т^В^ 4

2V (m₽B)5/2

^/2^5/2

Л(ц, kz)
dkl

1/2 л	/	*	\

X = 1л2Тт*!т$В
{т—истинная масса электрона, знаки + или —в аргументе
косинуса относятся соответственно к случаям минимальных или
максимальных сечений)1).

Намагниченность М (магнитный момент единицы объема)
вычисляется как производная2)

М--ТЯ-	<63'12>

При этом дифференцированию в (63,11) должны подвергаться
лишь наиболее быстро меняющиеся множители — косинусы.
Ввиду анизотропии ферми-поверхности (т* и Sex зависят от
направления поля) направление М не совпадает, вообще говоря,
с направлением В. Для осциллирующей части продольной
(в направлении поля) намагниченности находим

^=Е(-|У“А№{(<|^±т)Ь
ех

(mfl)3/2Sex

1	П7/2т*1^П

d2S (и, fej
dk2z

-V2 % f . m* t \	. ox

(63,13)

ex

Выражения (63,11) и (63,13)—сложные осциллирующие
функции магнитного поля, причем они содержат, вообще говоря,
члены различной периодичности: члены, происходящие от каж-
дого из экстремальных сечений ферми-поверхности имеют свой

*) Для газа свободных электронов ферми-поверхность—сфера радиуса
kp— У 2пщ,/1ь, Sex = nfef, и формула (63,11) переходит в формулу (60,5) из
V § 60.

2) Тот факт, что диффереицироваиие производится по В, требует поясне-
ния. К формуле (63,12) можно прийти следующим образом. Изменение га-
мильтониана системы при бесконечно малом изменеини векторного потенциала
поля есть

б//= —-L J J6A dV,

где j—оператор плотности тока (см. III (115,1)). Изменение же термодинами-
ческого потенциала й получается усреднением &Н (при заданных значениях
р, Т, V). Но тот факт, что квантование системы определяется (как было по-
казано в § 62) не точным микроскопическим полем Н, а его макроскопичес-
ким средним значением В, означает, что и в 6/7 под А надо понимать вектор-
ный потенциал среднего поля В. Вариацию 6А можно, следовательно, вынести
из-под знака усреднения, н тогда

6Й = <б//> = - -1 j < j> 6А dV.

Введя теперь магнитный момент, по определению <j> = crotM, и произведя
интегрирование по частям, получим

бй = —6В С ММ
период по переменной 1/В, равный

д 1	_ 2л | е|

’б=Й25ех’~ c^Sex

(63,14)

Отметим, что эти периоды не зависят от температуры.

Температурная же зависимость амплитуд осцилляций опреде-
ляется множителем X/shX. При Х^>1 амплитуды убывают экс-
поненциально, и осцилляции фактически исчезают. При X 1
множитель X/shX~l, и порядок величины амплитуд опреде-
ляется остальными множителями в й; и к этому случаю и
относятся все последующие оценки.

Для грубой оценки положим

т* ~ т, р ~ K^kplm, S ~ kp,

где kP~\[a—линейные размеры ферми-поверхности. Тогда по-

лучим

74	,, (т₽В)5/2	,,	/ВВ\5/2 г, o/BBV/2 /С,

.~Vnp(^j ,	, (63,15)

где n~kp— плотность числа электронов. Что же касается мо-
нотонно зависящей от поля части намагниченности (обозначим
ее М), то ее можно оценить, положив

—	—	tnk„	RR

М~хВ~Р2-^В~4^,	(63,16)

где х—«монотонная» часть магнитной восприимчивости, оценен-
ная, например, по формуле для восприимчивости электронного
газа в слабых полях (см. V § 59). Соответственно монотонная
часть термодинамического потенциала Q ~ УМВ~Упр фВ/р)2.
Сопоставление написанных выражений показывает, что осцилли-
рующая часть термодинамического потенциала мала по сравне-
нию с его монотонной магнитнЪй частью:

Й/Й^фВ/р)1/2^!,

и тем более — по сравнению с его значением й0~У7гр в отсут-
ствие поля: й/й0 ~ (PB/p)5/2. Осциллирующая же часть нама-
гниченности, напротив, велика по сравнению с ее монотонной
частью

2Й/ М~ (р/₽В)1/2>1.

По поводу всей изложенной теории осцилляций намагничен-
ности следует отметить, что она относится к электронной жид-
кости в идеальном кристалле, и в ней не учитывается возможное
влияние на эффект, процессов рассеяния электронов проводи-
мости на фононах и на дефектах решетки (например, на
атомах примесей). Эти процессы приводят к неопределенности
в энергии электронов: Де ~ Zi/т ~ feF/Z (где т — время между
столкновениями; I—длина свободного пробега; vF—скорость
электронов). Размытие же резких уровней энергии приводит,
сглаживанию осцилляций намагниченности.

Условие допустимости пренебрежения про-
цессами рассеяния состоит в малости не-
определенности Де по сравнению с интер-
валами между уровнями, т. е. должно
быть:

AcoB>fef/Z.	(63,17)

При Г—*0 допустимы (условием (63,1))
сколь угодно малые значения В (точнее —
ограниченные лишь условием (63,17)). При
этом намагниченность М может, в прин-
ципе, стать сравнимой с самой индукцией
В (так как М/В ~ х (р/₽5)1 /2-), но еще раньше

становится большой (по модулю) магнитная восприимчивость
Х = дЛ1/д/7х). Действительно, снова заметив, что дифференциро-
ванию должны подвергаться только осциллирующие множители,
найдем

1x1 ~ X (и/Р^)3/2 -

(63,18)

В такой ситуации осцилляции намагниченности приводят
к появлению на кривой зависимости макроскопической напря-
женности Н = В — ЬлМ.(В) от индукции В ряда последователь-
ных перегибов, как это показано схематически на рис. 16
(А.В. Pippard, 1963). Но условие термодинамической устойчи-
вости требует, чтобы было2)

Поэтому состояния, отвечающие таким участкам кривой, как Ьс,
невозможны. Возникающая ситуация вполне аналогична той,
которая приводит к фазовому переходу в веществе при появ-
лении -перегиба на кривой зависимости давления от объема
(ср. V §§ 84, 152). Равновесной кривой зависимости Н (В) будет
в действительности соответствовать прямолинейный горизонталь-

!) Во избежание излишних усложнений в следующем ниже качественном
рассмотрении возникающих эффектов мы отвлекаемся от влияния анизотропии.

2) Ср. VIII § 18, где аналогичное условие выведено для электрического
случая.
ный отрезок ad, проведенный так, чтобы заштрихованные на
рисунке две площади были равны; участки же ab и cd отвечают
метастабильным состояниям.

Пусть металлический образец представляет собой цилиндр
с осью, направленной вдоль внешнего поля <б- Тогда напря-
женность Н внутри цилиндра совпадает с § и по мере увели-
чения последнего тело будет испытывать последовательные
фазовые переходы со скачкообразными изменениями индукции:
каждый раз при достижении такой точки, как а, индукция
меняется скачком от значения Ва к значению Bd1). Если же
образец представляет собой плоскую пластинку в перпендику-
лярном ей магнитном поле, то происходит разбиение тела на
чередующиеся слои (диамагнитные домены) с различной индук-
цией— вполне аналогично разбиению сверхпроводника в про-
межуточном состоянии на нормальные и сверхпроводящие слои
(J. Н. Condon, 1966). Внешнее поле совпадает в этом случае
со значением магнитной индукции, усредненным по всем слоям.
Так, в интервале Ва < <£) < Bd пластинка разбивается на слои
с индукциями Ва и Bd и, по мере возрастания <б, объем вторых
возрастает за счет объема первых.

§ 64. Электрон-фононное взаимодействие

До сих пор мы рассматривали электроны проводимости
в кристалле, отвлекаясь от их взаимодействия с колебаниями
решетки, т. е. с фононами. Это взаимодействие выражает тот
факт, что деформация решетки изменяет поле, в котором дви-
жется электрон; это изменение поля называют деформационным
потенциалом.

Электрон-фононное взаимодействие играет определяющую
роль в кинетических явлениях в полупроводниках и металлах,
но здесь нас будет интересовать только качественное влияние
этого взаимодействия на энергетический спектр электронов.
Для его изучения целесообразно отвлечься от усложнений,
связанных с анизотропией решетки и ее микроскопической
неоднородностью. Другими словами, рассматриваем среду как
микроскопически однородную, изотропную жидкость, соответ-
ственно чему в ней возможны лишь продольные звуковые ко-
лебания.

В первом приближении по деформации потенциал, отвечаю-
щий такой упрощенной модели, представим в виде

(г) = у J w (г —г') Р' (г') d3x’>	(64> О

х) Предполагается, что поверхностная энергия границы раздела между
фазами положительна.
где р'—переменная часть плотности среды (ар—ее постоянное
равновесное значение). Функция W (г—г') убывает на длинах
порядка межатомных расстояний а. Мы упростим выражение
(64,1) еще далыце, заметив, что для взаимодействия с фононами
с волновыми векторами k<^.l/a эти расстояния можно считать
равными нулю, т. е. положить W — w6 (г—г'), где w—постоянная.
Тогда 1/яеф = йУр' (г)/р. В квантовой теории, в представлении
вторичного квантования, этот потенциал записывается как га-
мильтониан электрон-фононного взаимодействия

=	r)p'(f’ г)*»^ r)d*x, (64,2)

где операторы Ф, Ф+ относятся к электронам, а р' — гейзен-
берговский оператор плотности, описывающий фононное поле;
для свободных (не взаимодействующих с электронами) фононов
он дается формулой (24,10).

В математическом аппарате гриновских функций в приме-
нении к электрон-фононному взаимодействию появляется наряду
с гриновской функцией электронов G еще и фононная гринов-
ская функция, определяемая как

D(Xt, X2)^D(Xi-X2) = -t<Tp'(X1)p'(X2)>, (64,3)

причем хронологическое произведение раскрывается по правилу
(31,2), отвечающему случаю бозонов. Для свободных фононов
гриновская функция в импульсном представлении

D(o) (со, k) — &_uk+iQ —	„2*2(64>4)

(см. задачу к § 31; в промежуточных формулах полагаем А= 1).

Рассматривая электрон-фононное взаимодействие как малое
возмущение, можно построить основанную на операторе (64,2)
диаграммную технику подобно тому, как это было сделано
в § 13 для парного взаимодействия фермионов. Не повторяя
заново всех рассуждений, сформулируем получающиеся правила
составления диаграмм (в импульсном представлении)1).

Основными элементами диаграмм являются электронные
(сплошные) и фононные (пунктирные) линии, каждой из которых
приписывается определенный «4-импульс». Электронной линии
с 4-импульсом Р ставится в соответствие множитель iG^ =
= iSa$Gm(P)—гриновская функция свободных электронов. Фонон-

х) Структура выражения (64,2) для оператора электрон-фононного взаимо-
действия аналогична структуре оператора электрон-фотонного взаимодейстия
в квантовой электродинамике. В связи с этим аналогичны и правила диаграм-
мной техники в обоих случаях.
ной линии с 4-импульсом К сопоставляется множитель iDm(K) —
гриновская функция свободных фононов. В каждой вершин-
ной точке диаграммы сходятся две сплошные и одна пунктир-
ная линии; такой точке дополнительно сопоставляется множи-
тель — iw/p.

Так, первая поправка к электронной гриновской функции
изображается диаграммой1 * * *)

(64,5)

которой отвечает аналитическое выражение

f-6G (Р) =	[G<«> (Р)р С G<«> (P-ю D<°> (Ю . (64,6)

Первая поправка к фононной гриновской функции изображается
диаграммой

(64,7)

или в аналитическом виде

i6D (Я) = 2	[D‘»> (Я)]’ f G™ (Р) G(o) (P-WtS- (64,8)

Г	V

(коэффициент 2 возникает от свертывания спиновых множителей:
6ар6ра = 2; учтен также множитель —1, связанный с наличием
одной замкнутой фермионной петли—ср. § 13).

Покажем, что электрон-фононное взаимодействие в металле
приводит к появлению «эффективного притяжения» между элек-
тронами вблизи ферми-поверхности. Оно может быть описано
наглядно как результат испускания виртуального фонона одним
и его поглощения другим электроном (J. Bardeen, 1950; Н. Froh-
lich, 1950).

1) Диаграмма с замкнутой на себя электронной линией (подобная диаграмме

(13,13а)) отсутствует ввиду того, что Р«»(0) = 0. При этом подразумевается,

что переход к пределу к—>0 совершается прежде, чем (В—> 0. Это отражает

то обстоятельство, что в координатном пространстве интегрирование по dsx

(как раз и означающее в данном случае переход к к—>-0) содержится уже
в определении гамильтониана (64,2) и потому совершается до интегрирования
по времени, возникающего при применении теории возмущений к этому га-
мильтониану.
Рассмотрим диаграмму

(64,9)

изображающую рассеяние двух электронов, осуществляющееся
через обмен виртуальными фононами; 4-импульсы Р = (е—р, р),
/С = (со, к), р — химический потенциал электронов при Т = 0,
совпадающий с граничной энергией e,F. Этой диаграмме отвечает
вершинная функция

или

rv6, аР = Гба7брб,	=	(/(),

г	w* 2k2

1 — Р (w2—u2P+iO) ’

(64,10)

причем Асо = е'—ef, Ak = p(—pf.

По порядку величины, импульсы электронов вблизи ферми-
поверхности р ~ pp'-'-'hla. Рассеянию электронов на угол ~ 1
отвечает импульс фонона Kk ~ К/a и его энергия

где сод—дебаевская частота (для металлов Acon<^8F). С другой
стороны, электрон не может отдать энергию большую, чем 8—eF.
Поэтому, если для обоих электронов |е—8F|<^con, то заведомо

Г ж w2/piP > 0.	(64,11)

Учитывая смысл Г как амплитуды рассеяния (§ 16), мы видим,
что ее знак соответствует притяжению между частицами. Под-
черкнем, что этот результат относится лишь к электронам
в сравнительно узком слое (ширины ~ fbaD по энергии) импуль-
сного пространства вблизи ферми-поверхности. Это обстоятель-
ство было уже использовано в § 43 для установления величины
параметра обрезания в теории сверхпроводимости металлов1).

§ 65. Влияние электрон-фононного взаимодействия
на электронный спектр в металле

Рассмотрим вопрос о влиянии, оказываемом электрон-фонон-
ным взаимодействием на энергетический спектр электронов в ме-
талле2).

х) Что касается постоянной w, то для грубой оценки ее для металлов
можно заметить, что изменение энергии электрона должно достигать порядка
величины ее самой (~ ер), когда изменение плотности р'~ р. Отсюда w ~ ер'

2) Излагаемые в этом параграфе результаты принадлежат А. Б. Мигдалу
(1958).
В § 14 было показано, что для спектра фермиевского типа
поправка к закону дисперсии е(р) (по сравнению со спектром
системы свободных фермионов) определяется разностью

бе(р) = 2(е — р, р) — 2(0, р),	(65,1)

где S = G(0)-1— G-1— собственно-энергетическая функция. В дан-
ном же случае речь идет о поправке, вызванной взаимодейст-
вием с фононами, а роль «невозмущенного» играет спектр, учи-
тывающий «прямое» взаимодействие частиц (электронов). Согласно
(64,6), имеем1)

2 (Р) = — 6G’1 = 6G/G<°>2 = i f G(o> (P—K) D(o) (К) Sr, (65,2)

но под G(o) надо понимать теперь гриновскую функцию взаимо-
действующих друг с другом электронов. Вблизи своего полюса
такая функция имеет вид

G(o) (е—р, р) = Z[е—[1—vFy (р—pF) -j-iO-sign (е—и)]-1 (65,3)

(см. (10,2)); индекс (0) у vF означает, что в этой величине еще
не учтено влияние электрон-фононного взаимодействия.

Наша цель состоит теперь в оценке величины (65,1), т. е. ин-
теграла
бе =

= ^J{G«»(8-p-(o, р—k) —G<0) (—- со, р—к-)}Г»«»(Ю, к)^-.

(65,4)

Как видно из последующих вычислений, основной вклад в этот
интеграл дает область, в которой импульс р — к и энергия 8—со
(как и сами р и е) лежат вблизи ферми-поверхности, т. е. k<^.pF,
®<^р. По этой причине для функций G(o) можно использовать
(65,3).

В сферических координатах в к-пространстве с осью вдоль р
имеем = 2л£2 dk dta d cos 0, где 0 — угол между к и р. Вместо
cos0 введем переменную pt = |р—к |; заметив, что pl — p2 + k2—
— 2p£cos0, имеем

d*K = 2л£2 dk dtapi dpt/pk « 2nk dk da dpr

(мы положили р^рхрр).

В подынтегральном выражении в (65,4) от pt зависит только
множитель в фигурных скобках, равный

{• • •} = —(е—p)Z[e— р—со—vFy(Pi—pF)-H’0-sign(8 — р —(о)]-1Х
Х[—со—гф0) (Pi—pF) — i0-sign co]-1.

l) В промежуточных формулах полагаем A=l.
Ввиду быстрой сходимости интеграла по d(Pi—pF), можно рас-
пространить интегрирование до ±оо; введя переменную т] =
= (Рт~’Pf), получим интеграл

J {..-}dPi =

____(е—ц) Z Г _______________________di]____________________

=	J [i]—(е—р —w)—tO-sign (е—р—w)] [Tj + w + tO-sign w]

Если оба полюса подынтегрального выражения находятся
по одну сторону от вещественной оси, то интеграл обращается
в нуль (в чем убеждаемся, замкнув путь интегрирования в дру-
гой полуплоскости). Поэтому интеграл отличен от нуля, лишь
если е—р>со>0 или е—р < со < 0; в первом случае он ра-
вен —2niZ/uj?>, а во втором 2niZ/v^. Учтя также четность
функции Dw (со, к) по переменной со, находим, таким образом,

le-m

бе = .	f Г---------------I k2d<adk. (65,5)

J J I®-uk + iO	w + ufe — iOJ	v 7

о

Вещественная и мнимая части этого выражения определяют
соответственно поправку к спектру квазичастиц (электронов
проводимости) и их затухание. Рассмотрим сначала затухание.

Отделяя в (65,5) мнимую часть по правилу (8,11), находим

— Im6e =

Zm2
8лриу/?’

(65,6)

интегрирование по k производится по области от 0 до |е—р|/«,
в которой полюс a = uk подынтегрального выражения в (65,5)
лежит в интервале между 0 и |е—у,|. Таким образом (в обыч-
ных единицах),

— 1т6е =

Zw2 | е—р |3
24лЙ-3ри4г>)?)

(65,7)

Для грубой оценки этой величины замечаем, что параметры
и)?’ и w имеют электронное происхождение и выражаются, по
порядку величины, лишь через межатомные расстояния а и
массу электрона т: v'f~pFim~1ilatn, w^s^fe/ma2 (см. при-
мечание на стр. 318). Плотность же р и скорсЯгть звука и за-
висят еще и от массы ионов М, причем pooAf, uosAf-1/2, так
что ри4<х>1/М. Поэтому оценку затухания можно записать в виде
— Im6e~|e—р |3 (&о0)-2,	(65,8)

где дебаевская частота
Строго говоря, оценка (65,8) относится к значениям (е—р | <<;
при которых интегрирование в (65,6) производится по
области fe<|e—р\/иЬ,<^ыо/и, где действительно применим ис-
пользуемый нами закон дисперсии фононов со = ku. Но для
грубой оценки по порядку величины можно применить (65,8)
и на краю области при е — p~Ao)D, где она дает

— 1т6е~Й<л>д~е — р.	(65,9)

Наконец, при е—р^>Й«о область интегрирования в (65,6)
не зависит от е — р, так как полюс о) = uk^wD всегда лежит
в интервале между 0 и е—р. В этом случае k2dk~(aD/u)3, и
затухание

— Im 6е~Аб)о<|е— р.	(65,10)

Выражения (65,8—10) определяют специфическое затухание,
связанное с испусканием фононов электронами1). Мы видим,
что в непосредственной близости к ферми-поверхности при
|е — p|<|A<oD, согласно (65,8),'затухание мало (|1т(е—р)|<^
<^|е—р|), так что понятие о квазичастицах—электронах про-
водимости— имеет вполне четкий смысл. ’В области же е—p-~^MO
затухание квазичастицы становится сравнимым с самой ее
энергией, спектр размывается и в значительной степени теряет
смысл. Однако на еще больших расстояниях над ферми-поверх-
ностью при е—pj>>feoD (но, разумеется, по-прежнему е — р<^р),
согласно (65,10), затухание, оставаясь тем же по абсолютной
величине, снова становится малым по сравнению с энергией
е—р, и квазичастицы снова приобретают определенный смысл.
Разумеется, наряду с фононным затуханием электронов прово-
димости всегда имеется также и затухание от электрон-электрон-
ных столкновений. Это затухание, характерное для всякой
нормальной ферми-жидкости (§ 1), пропорционально (е — р)2
и по порядку величины ~(е— р)2/р, т. е. всегда мало в области
применимости теории.

Оценим теперь поправку к вещественной части е, т. е. к са-
мому спектру.

Вещественная часть интеграла по da> в (65,5) Дается его
главным значением

I в—ц |	|8-Щ

k)*..= V j	^4» =

о	о

- Ini е~Н—“fe I
2и 1 j е—p+ufe I ’

г) Сохранение энергии при рождении квазнчастнцен фонона малой час-
тоты выражается равенством (de/dk) 6k ss v 6k = и 6fe; оно может выполняться
лишь при v > и. В металле это условие всегда выполняется, поскольку vp^>u.

11 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
Поэтому для ReSe имеем (обычные единицы)

Re бе

Zw2

Sn2puvp)

&21п

е—ц—tiuk
е — ц+^ufe

dk.

(65,11)

При е—логарифм в подынтегральном выражении
~Йгй/(е— р), и весь интеграл оценивается как &ufe3max/(e— ц)-~
~&и/а3(е— р). Замечая также, что в силу наличия множителя р
в знаменателе в (65,11) все это выражение с\э1/УИ, приходим
к оценке

Re6e~(^(oD)2/(e— р) <ге—р.

Таким образом, в этом случае поправка в спектре относительно
мала,, так что спектр дается выражением

е — р « v'p (р—pF) при е — p^>fcoD (65,12)

с «невозмущенным» значением скорости на ферми-поверхности vF}.

В области же е — р<|&0)о логарифм в (65,11) ~(е— р)/^и&,
и интеграл оценивается как (е—p)&max/^u~(e — p)/i£ua2. Все
выражение (65,11) оказывается в результате пропорциональ-
ным е — р с коэффициентом, не зависящим от массы иона М.
(так как произведение ри2 не зависит от М). Это значит, что
спектр в этой области будет снова того же типа

е — p«vf(p— pF) при е — p<^(oD,	(65,13)

но со скоростью vF, отличающейся от на величину порядка
ее самой 2).

Таким образом, спектр фермиевского типа для электронов
в металле характеризуется двумя различными значениями ско-
рости Vp и Vp} — одним в непосредственной близости к ферми-
поверхности (е — p<^^(oD), а другим—при е — p^>^coD. В термо-
динамических свойствах металла при низких температурах
(T<^^<oD) фигурирует параметр vF из (65,13). Такие же явле-
ния, как оптические свойства металла для частот со^хоп,
определяются скоростью vp.

Задача

Определить затухание длинноволновых	фононов в металле за

счет их поглощения электронами.

2) Разумеется, в этих условиях использование первого приближения тео-
рии возмущений становится, строго говоря, некорректным. Учет следующих

приближений не может изменить, однако, самого характера полученного ре-
зультата: когда первая поправка становится порядка единицы, того же по-
рядка и остальные поправки.
Решение. Поправка к гриновской функции фононов дается, согласно
(64,8), интегралом

9иу2 р	d4P

G«»(P)G«»(P-K)-^-, Р = (Ро. Р). К=(ш. к).

В G-функциях надо, однако, еще учесть поправки, связанные со взаимо-
действием электронов с коротковолновыми фононами. Согласно сказанному
в тексте, эти поправки приводят просто к замене G(0> на функцию G, отли-
чающуюся от (65,3) лишь заменой скорости vp’ на vp, н перенормировочной
постоянной Z на некоторую другую Z. Прн малых К для произведения
G(o> (Р) G(0) (Р — К) можно воспользоваться формулой (17,10). Интегрирование
по dpodp сводится к устранению 6-функций, после чего остается еще инте-
грирование по dcos0 (0 — угол между р н к);

1

.пи «.х Z'2w2p2Fk Г cosOdcosO

(ш> )—	2л2р2 J <о—vpk cos 0 + 10

-1

(полагаем <о > 0). Полюс cos0 = <o/tof находится внутри области интегриро-
вания (поскольку vp > и), и мнимая часть интеграла

Im б£>-1

Z'‘w2p2Fa>
2np2v2Fk

Закон дисперсии фононов определяется как корень уравнения +
+ 6£>-1 = 0, откуда находим (в обычных единицах)

t „ .X	2^РЕ

<о = uk (1 —ia), a=-т——5-

4лЛ3риог

(поправкой к вещественной части <о не интересуемся). Произведение риооУМ;
поэтому в грубой оценке а~ У/п/ТИ , т. е. затухание всегда мало.

§ 66. Электронный спектр твердых диэлектриков

Характерная особенность электронного энергетического спек-
тра диэлектрического немагнитного кристалла состоит в том,
что уже первый возбужденный уровень находится на конечном
расстоянии от основного уровня; другими словами, между
основным уровнем и спектром возбужденных уровней имеется
энергетическая щель (у обычных диэлектриков—порядка не-
скольких электрон-вольт).

Элементарное возбуждение в диэлектрическом кристалле
может быть наглядно описано как возбужденное состояние
атома, которое, однако, нельзя приписывать какому-либо опре-
деленному атому; трансляционная симметрия решетки, как всегда,
приводит к «коллективизированию» возбуждения, распростра-
няющегося в кристалле, как бы перескакивая от одного атома
к другому. Как и в других случаях, эти возбуждения можно
рассматривать как квазичастицы (называемые в этом случае
экситонами') с определенными энергиями и квазиимпульсами.
Как и всякие квазичастицы, которые могут появляться пооди-
ночке, экситоны обладают целочисленным моментом и подчи-
няются статистике Бозе1).

При заданном квазиимпульсе к энергия экситона может
пробегать дискретный ряд различных значений es (к). Когда
квазиимпульс пробегает значения в одной ячейке обратной ре-
шетки, каждая из функций (к) пробегает некоторую зону
значений энергии экситона; различные зоны могут частично
перекрывать друг друга. Минимальные значения каждой из
функций еДк) отличны от нуля.

Наряду с экситонами в диэлектрике могут существовать
электронные возбуждения также и другого рода. Их можно
рассматривать как возникающие в результате ионизации от-
дельных атомов. Каждая такая ионизация приводит к появлению
в диэлектрике двух независимо распространяющихся квазичас-
тиц—электрона проводимости и «дырки». Последняя представ-
ляет собой недостаток одного электрона в атоме и потому ве-
дет себя как положительно заряженная-частица. И здесь, говоря
о движении электрона и дырки, мы в действительности имеем
в виду некоторые коллективные возбужденные состояния элект-
ронов диэлектрика, сопровождающиеся (в противоположность
экситонным состояниям) переносом отрицательного или поло-
жительного элементарного заряда.

Электроны и дырки обладают полуцелым спином и подчи-
няются статистике Ферми. Подчеркнем, однако, что электронно-
дырочный спектр диэлектрика отнюдь не имеет характера эле-
ктронного спектра фермиевского типа в металлах. Для последнего
характерно существование граничной ферми-поверхности в к-
пространстве, в окрестности которой и лежат квазиимпульсы
электронов. В данном же случае никакой подобной поверхности
вообще нет, и одновременно появляющиеся электрон и дырка
могут иметь произвольные квазиимпульсы.

Более глубоко различие между обоими типами спектров
можно понять, рассматривая затухание элементарных возбуж-
дений. В ферми-жидкости любая квазичастица, находящаяся
вне ферми-поверхности, может рождать пары новых возбужде-
ний (частицу и дырку) и потому обладает конечным временем
жизни, быстро убывающим при удалении от ферми-поверхности
(электрон в металле может, кроме того, испускать фононы —
см. § 65). Затухание же одиночного электрона (или дырки)
в диэлектрике в идеальной решетке (при Т = 0) строго равно
нулю в конечном- интервале энергий над ее минимальным зна-

г) Понятие об экситонах было впервые введено Я- И. Френкелем
(1931).
чением1). Действительно, образование элекгронно-дырочной пары
во всяком случае требует (в виду наличия энергетической
щели А — см. ниже) конечной затраты энергии. Испускание же
квазичастицей фонона (акустического) возможно, лишь если
скорость v квазичастицы не меньше скорости звука и (см. при-
мечание на стр. 321).

Возможные значения энергии электронов проводимости е(е) (к)
и дырок е(Л) (к) тоже заполняют зоны. Шириной энергетической
щели в диэлектрике обычно называют сумму A = em)ln + Emln наи-
меньших возможных значений энергий электрона и дырки.
Поскольку электрон и дырка появляются или исчезают вместе,
то реальным смыслом обладает именно эта сумма, а не вели-
чины е^п и e^’in по отдельности; обычно условно полагают = 0.
Минимальные значения энергии могут достигаться для электронов
и дырок при одном и том же или при различных значениях
квазиимпульса к = к0; в первом случае говорят о прямой, а во
втором — о непрямой щели. Если уровни энергии в зоне не-
цырождены (или вырождены только двукратно по спину как
следствие симметрии по отношению к обращению времени), то
вблизи своего минимума функции е(к) имеют вид

е(г) (к) = А + ут£)-1<Мл, е1А)(к)=|<,'1?Л.	(66,1)

где q = k — к0, а т^ и т^—тензоры эффективных масс элект-
ронов и дырок.

В литературе электронную зону нередко называют просто
зоной проводимости, а вместо дырочной зоны говорят о валент-
ной зоне, которая в основном состоянии кристалла полностью
заполнена электронами. Возникновение пары квазичастиц —
электрона и дырки — рассматривается при этом как результат
перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости
с оставлением дырки на покидаемом месте.

На больших (по сравнению с атомными) расстояниях элек-
трон и дырка притягиваются по закону Кулона. Поэтому они
могут образовывать связанные состояния. Совокупность связан-
ных электрона и дырки представляет собой электрически нейт-
ральную квазичастицу, т. е. экситон. При заданном значении ква-
зиимпульса связанным состояниям отвечают дискретные уровни
энергии системы электрон + дырка; каждый уровень отвечает
одной из экситонных энергетических зон. Энергии экситонов
расположены’, таким образом, под энергиями электронно-дыроч-
ных возбуждений (энергетическая щель в указанном в начале
параграфа смысле не совпадает поэтому с величиной А, а

*) Затухание же при конечных температурах, разумеется, всегда имеется
из-за рассеяния на других квазичастицах.
меньше ее на величину, равную максимальной энергии связи
экситона)!).

Уровни энергии экситона легко вычислить в предельном слу-
чае слабо связанных состояний, когда средние расстояния между
электроном и дыркой велики по сравнению с постоянной ре-
шетки а; такой экситон называют экситоном Ванье — Мотта.
В обратном же предельном случае, когда расстояние между
электроном и дыркой порядка атомного, говорят об экситоне
Френкеля-, разумеется, экситон Френкеля можно рассматривать
как связанное состояние электрона и дырки лишь формально.

Рассмотрим диэлектрический кристалл кубической симмет-
рии. Для экситона Ванье — Мотта можно считать, что электрон
и дырка притягиваются по закону Кулона, причем роль осталь-
ных атомов в решетке сводится лишь к созданию однородного
диэлектрического фона, ослабляющего взаимодействие в е раз,
где е—диэлектрическая проницаемость кристалла (взятая для
значений частот, отвечающих по порядку величины энергии
связи экситона); другими словами, энергия взаимодействия
электрона и дырки записывается в виде U = —е2/ег. Пусть щель
в спектре прямая и для простоты будем считать, что минимумы
энергий электрона и дырки лежат при к = 0. В кубическом
кристалле тензоры эффективных масс сводятся к скалярным
константам те и mh, так что

eU)(k) = A+-|^-» е<Л) (к) =•	(66,2)

' '	- 2те ’ v ' 2mh	v '

В конце § 56 было указано, что движение частицы в кристал-
лической решетке с наложенным на нее медленно меняющимся
в пространстве внешним электрическим полем описывается урав-
нением Шредингера с гамильтонианом, в котором роль кине-
тической энергии играет функция е(к). Поскольку в данном
случае функции eie)(k) — А и е(Л)(к) совпадают по форме с ки-
нетическими энергиями обычных свободных частиц, то и урав-
нение Шредингера рассматриваемой системы совпадает по фор-
ме с таковым для системы двух обычных частиц, взаимодейст-
вующих по закону Кулона, т. е. с уравнением Шредингера
задачи об атоме водорода. Мы можем поэтому сразу написать
уровни энергии системы, т. е. энергию экситона в виде

п ' ' 2(me+mh)	(66,3)

(G. Н. Wannier, 1937). Первый член в этом выражении есть
энергия движения экситона «как целого» с квазиимпульсом к.

х) Экситонные состояния обладают, однако, конечным временем жизни,
так как электрон и дырка могут рекомбинировать с испусканием, например
фонона или фотона.
Второй же член дает энергию связи электрона и дырки в экси-
тоне (т = memhl(me + тл)— приведенная масса системы). При
заданном к дискретные уровни энергии системы сгущаются по
мере увеличения энергии к границе непрерывного спектра. Усло-
вие применимости формулы (66,3) состоит в требовании до-
статочно большой величины «радиуса орбиты» гех ~ 1ъ* 2е,п21те2 а.
Это условие заведомо выполняется при больших п, но в кри-
сталлах с большим 8 может выполняться и для п ~ 1т).

В заключение этого параграфа вернемся к упомянутому
в § 61 утверждению о существовании нижней границы для
плотности числа электронов проводимости в полуметалле.

В диэлектрике, где электроны и дырки при Т = 0 отсутствуют,
возможность образования ими связанных состояний означает
лишь появление новых ветвей энергетического спектра. В ком-
пенсированном же металле такая возможность означала бы, что
состояние со свободными электронами и дырками не является
низшим, т. е. спектр металлического типа был бы неустойчивым.
Возможность образования связанных состояний устраняется
экранировкой кулоновского взаимодействия между электроном
и дыркой находящимися «между ними» другими квазичастицами.
Другими словами, среднее расстояние между квазичастицами
должно быть порядка величины или меньше размеров экси-
тона гех (в его основном состоянии). Обратим внимание на то,
что устанавливаемый этим требованием нижний предел допу-
стимых для металла плотностей числа электронов и дырок
падает с уменьшением их эффективных масс.

§ 67.	Электроны и дырки в полупроводниках

Энергетический спектр чистых (или, как говорят, собствен-
ных) полупроводниковых кристаллов отличается от спектра
диэлектриков только в количественном отношении — меньшими
значениями щели А, в результате чего при обычных темерату-
рах в полупроводнике имеется значительная (по сравнению
с диэлектриком) плотность носителей тока. Ясно, что это раз-
личие условно, и к тому же зависит от интересующей нас об-
ласти температур 2). В примесных (или легированных) полупро-
водниках дополнительным источником электронов или дырок
являются атомы примесей, для которых энергетическая щель

х) Интересно отметить, что вблизи верхнего края (максимума) зоны, где
эффективные массы отрицательны, могут образовывать связанные состояния два
электрона (или две дырки). Энергия таких состояний лежит в запрещенной
области выше максимума суммарной энергии электронов.

2) Приведем значения энергетической щели Д для некоторых полупровод-
ников: Si —1,17 эв, Ge —0,74 эв, InSb —0,24 эв, GaAs—1,52 эв, PbS—0,29 эв.
Для типичного диэлектрика алмаза Д = 5,4 эв.
по отношению к отдаче электрона в решетку {донорная примесь)
или его захвата из решетки {акцепторная примесь) оказывается
меньше, чем энергетическая щель в основном спектре.

Рассмотрим подробнее вопрос -о связи между величиной
щели Д и плотностью электронов проводимости и дырок в по-
лупроводнике (или диэлектрике).

Попарное возникновение или исчезновение электрона (е) и
дырки (/г) можно рассматривать, с термодинамической точки
зрения, как «химическую реакцию» e-[-h^0 (основное состоя-
ние кристалла играет роль «вакуума»). По общим правилам
(см. V § 101) условие термодинамического равновесия этой реак-
ции записывается в виде

Не + Нл = 0,

(67,1)

где ре и рй—химические потенциалы электронов и дырок. Ввиду
сравнительно небольшой плотности электронов (пе) и дырок (пй)
в полупроводнике (при Т<|Д) распределение Ферми для них
с большой точностью сводится к распределению Больцмана, так
что электроны и дырки образуют классический газ1). Из усло-
вия (67,1) следует тогда обычным образом (см. V § 101) закон
действующих масс, согласно которому произведение равновес-
ных плотностей

nenh = K{T),	(67,2)

где справа стоит функция температуры, зависящая только от
свойств основной решетки, на атомах которой и происходит
рождение и уничтожение электронов и дырок; эта функция не
зависит от наличия или отсутствия примесей. Вычислим функ-
цию К {Т), приняв для определенности, что энергии электронов
и дырок являются квадратичными функциями квазиимпульса
(66,1).

Распределение электронов (в единице объема) по квазиим-
пульсам дается распределением Больцмана

ехр	2

d3k
(2л)3

(множитель 2 учитывает два направления спина). Переход к рас-
пределению по энергиям осуществляется заменой

азь	2 пг/2 г----------

2 -7^3 — т  /8 — Д de,
(2 л)3 пФ

где те= (п^цупз)1^3, а тх, т2, т3—главные значения тензора
эффективных масс mfy. Полное число электронов в единице

2) Плотности электронов и дырок в полупроводниках при обычных тем-

пературах составляют 1013—1017 см-3, в то время как в металлах они со-
ставляют 1022—1023 см-3.
объема есть, следовательно,

	 еИе/Т С у —д е ге/Т

е пФ J

(в виду быстрой сходимости интегрирование можно распрост-
ранить до бесконечности). Вычислив интеграл, находим

^=2(,тк)3/2^е-Д)/г-
\ 2лЛ2 /

(67,3)

Аналогичным образом, получим

nA = 2f-^Y/2^/r.	(67,4)

л \ 2лЙ2 J	v

Наконец, перемножив оба выражения и учтя (67,1), полу-
чим искомый результат

п п ^(^т^уз^-д/г.	(б75)

2л3А«	'	’

В собственном полупроводнике, где все электроны и дырки
возникли парами:

п —п —	уя/2 с—А/гТ

Пе-П^~	1	Ч * 6

(67,6)

Приравняв же выражения (67,6) и (67,3), найдем химический
потенциал электроновх)

Ие=4 + ?1П^-	(67’7>

Что касается вклада электронов и дырок в термодинамиче-
ские величины полупроводника, то при	он экспонен-

циально мал. Учитывая, что на рождение одной пары электрон —
дырка требуется энергия, близкая к А, имеем для электронно-
дырочного вклада во внутреннюю энергию Eeh ж Vne\ с пе из
(67,6). Этой величиной можно обычно пренебречь по сравнению
с решеточным вкладом в энергию кристалла.

§ 68.	Электронный спектр вблизи точки вырождения

В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким
образом можно, исходя из соображений симметрии, найти вид
энергетического спектра электронов или дырок в полупровод-

Ч В литературе эту величину часто называют уровнем Ферми. Подчерк-

нем, однако, что химический потенциал электронов в полупроводнике отнюдь

не имеет того смысла граничной энергии, которым он обладает в металлах.
нике (или диэлектрике) вблизи определенных точек ^простран-
ства (обратной решетки), выделенных по своей симметрии1).

Рассмотрим решетку, относящуюся к кубическому кристал-
лическому классу Ол, и будем интересоваться свойствами энер-
гетического спектра вблизи точки к = 0—вершины кубической
ячейки обратной решетки; эта точка имеет собственную симмет-
рию полной точечной группы Ол.

В качестве первого примера рассмотрим спектр без учета
спина электрона, и пусть в самой точке к = 0 уровень энергии
в зоне двукратно вырожден, относясь к неприводимому пред-
ставлению Eg группы Ол 2). При выходе из точки к = 0 вырож-
дение снимается; задача состоит в нахождении всех ветвей за-
кона дисперсии е (к) вблизи этой точки.

В § 59 было объяснено, каким образом можно рассматри-
вать отклонение от некоторой точки k = k0 в к-пространстве
как возмущение. Конкретный вид оператора возмущения для
нас здесь несуществен. Достаточно знать лишь структуру выра-
жений, определяющих поправку к энергии 'в каждом порядке
по малой величине q —к—к0 (в данном случае ко = О, так что
q = k). В первом порядке поправки определяются секулярным
уравнением, составленным из матричных элементов (для пере-
ходов между состояниями, относящимися к одному и тому же
вырожденному уровню) от оператора вида Ку, где -у—некото-
рый векторный оператор. В данном случае ввиду наличия в
группе симметрии центра инверсии все матричные элементы опе-
ратора -у заведомо обращаются в нуль, так что эффект первого
порядка по к отсутствует (ср. V § 136). Во втором порядке по
к поправки к энергии определяются секулярным уравнением, со-
ставленным из матричных элементов от оператора вида

(68,1)

где y{k—некоторый тензорный (симметричный по индексам I, k)
эрмитов оператор; сюда входят поправки от линейных по к
членов в гамильтониане во втором приближении теории возму-
щений и поправки от квадратичных по к членов — в первом
приближении. Среди матричных элементов оператора (68,1) за-
ведомо существуют отличные от нуля, но требования симмет-
рии накладывают на них определенные связи.

В смысле своего закона преобразования при операциях сим-
метрии волновые функции, составляющие базис представления

г) Без учета спина электрона этот вопрос формально тождествен с таким
же вопросом для энергетического спектра фононов в кристалле; см. V § 136.

2) Обозначение представлений точечных групп—см. III §§ 95, 99.
Eg, можно выбрать в виде

ipt ~ х2 + ay2 + со2?2, ip2~x2 + ®2«/2 + coz2,
где

ю_е2Л1/3> (1)2 = ®*, 1	4-(О2 = О,

знак означает здесь слова «преобразуется как». Поворот С3
вокруг диагонали куба преобразует координаты согласно х, у,
г—х, у, при этом функции ipi( ф2 преобразуются Как

С3:	—>(М[4, ф2 —>®2ф2.

Поворот С1 вокруг ребра куба (преобразование х, у, г—*х,
— z, у) преобразует функции согласно

CJ:	>ф2, ф2—

и т. п. При инверсии координаты х, у, г меняют знак, а функ-
ции ipi, ф2 не меняются.

Отсюда легко заключить, что все матричные элементы от
недиагональных компонент у1к обращаются в нуль, а матрич-
ные элементы от диагональных компонент сводятся к двум не-
зависимым вещественным постоянным:

<11?^| 1> = <2|?хх|2> = <1 |уда| 1>= .. . = Л,

<1 | уХА. 12> = <21 ухх 11> = В, < 11 ууу 12> =	<11 угг 12> = со2/?.

Теперь матричные элементы оператора (68,1):

<1 |V] 1> = <2|7|2> = Л/?2,

<1]7|2> = <2|7|1>* = В(^4-^24-ю2^)-

Составив по этим матричным элементам секулярное уравнение
и решив его, получим две ветви спектра:

£ii 2 (fe) -е (0) = Ak2 ± В'[^-3 (k2xk2y 4- k2k2z4- fe2fe2)2]1/2- (68,2)

Вырождение снимается при выходе из точки к = 0 во всех
направлениях, за исключением направления диагонали куба
(kx = ky = kz)1).

В качестве другого примера рассмотрим спектр с учетом
спина электрона; при этом уровням энергии отвечают двузнач-

4 Тот же результат (68,2) получается и для представления Еа (в точке
к = 0). Вообще закон дисперсии вблизи заданной точки всегда одинаков для
представлений, отличающихся друг от друга лишь умножением на какое-либо
из одномерных представлений группы (в данном случае Ea = EgxAla). Оче-
видно, что в таких случаях матричные элементы для переходов между раз-
личными функциями базиса связаны друг с другом одинаковыми связями.
ные (спинорные) представления группы симметрии. Пусть в точке
к = 0 уровень четырехкратно вырожден, отвечая неприводимому
представлению D'u (или D'&) группы Ohl).

Функции базиса этого представления можно выбрать так,
чтобы они преобразовывались как собственные функции ф^
(т = — j, ..., /) момента / = 3/22). Это обстоятельство позво-
ляет применить следующий прием, существенно упрощающий
решение задачи (J. М. Luttinger, 1956).

Для четырехмерного представления матрица оператора (68,1)
будет ранга 4x4, с 16 элементами. Всякую такую матрицу
можно представить в виде линейной комбинации 16 заданных
линейно независимых матриц 4x4, в качестве которых выберем
15 матриц

Zx. Z1. {/х. 1у}+, /х, {/х. Z^ —71} +

и получающихся из них циклическими перестановками индек-
сов х, у, z, и матрицу {/х, {/у, /Д+}+ (символ {...}+ означает
антикоммутатор). Здесь ]х, jy, jz—матрицы декартовых компо-
нент момента / = 3/2, взятые по отношению к четырем функ-
циям ф^'2. С другой стороны, при таком выборе функций базиса
следует считать, что сами операторы jx, jy, jz преобразуют-
ся при поворотах и отражениях как компоненты аксиального
вектора. Это обстоятельство позволяет записать оператор V,
квадратичный по kx, ky, kz, составив его из выражений, инва-
риантных по отношению ко всем преобразованиям группы Oh:

V = ptk2 + «Рз (*Й1 + kfj* + felZl) +

4*Рз {/х> /у} + 4* kykz {iy, iz} + 4* kxkz {jz, jx]+),	(68,3)

где pi; p2, Pg — вещественные постоянные.

Матричные элементы оператора (68,3) по отношению к функ-
циям

ФХ~Ф^, ф2~ф!/22, Фз~Ф-12/2, Фх-Ф-^/З

легко вычисляются теперь по хорошо известным матричным
элементам момента (они даются формулами III (29,7—10)). Такое

э). Такая ситуация имеет место для дна дырочиой зоны в алмазе, крем-
нии и германии, которые все имеют решетку одинакового типа.

2) В задаче в III § 99 показано, что неприводимое представление £><3/2)

полной группы вращений остается неприводимым и по отношению к груп-
пе О, совпадая с ее представлением D'.
вычисление приводит к следующим выражениям:

Vu =	= (Pi + 3|32)	+ 9fJ2) k2,

v22 = V33 = (Px + 7f}2) (fe* + fe*) + (Pi + p2) k2,

^12 = -Уз4 = -^Рз^(^ + ^),	(68,4)

V1S = V2i = 2/3p2 (fe*-fe*) +-1^ P3ikxky,
v14=v23 = 0.

Составление секулярного уравнения можно упростить, заметив,
что расщепление уровня заведомо не может быть полным —
должно оставаться двукратное (крамерсовское) вырождение. Это
значит, что каждый корень % = е(к) — е(0) секулярного урав-
нения (собственное значение матрицы V) будет двойным. Дру-
гими словами, каждому собственному значению А будет соот-
ветствовать два линейно независимых набора величин фп (п =
— 1, 2, 3, 4) — решений уравнений

2^Л = Афп.	(68,5)

п

Комбинируя эти два набора, мы можем, следовательно, нало-
жить на величины ф„ одно дополнительное условие, в частно-
сти— обратить в нуль одну из них; пусть ф4 = 0. Тогда урав-
нение (68,5) с п = 4 даст

У41Ф1 + У42Ф2+У43Ф3 =0-

Подставив отсюда значение <р3 в уравнения с п=1, 2, получим
систему всего двух однородных уравнений с двумя неизвест-
ными и ф2:

/kii—KjхРТзДТз V12—,/431/13/1/43\ /cpi\_« /Ф1\

\l/2i—I/41I/23/I/43	1/22	1/421/2з/к43/ \фг/ \фг/

(уравнение же с п = 3 не дает ничего нового). Таким образом,
задача о собственных значениях 4 х 4-матрицы сводится к задаче
для 2 х 2-матрицы. Составив для нее секулярное уравнение и
решив его (со значениями Vnm из (68,4)), получим

* = 4 (Vn + V22) ± [1 (Vu -У22? +1У12 р +1У13 pF,

или окончательно

ех, з (к) —е (0) = Ak2± [Bk* + С О2+ ^)]1/2, (68,6)
где

Л=р1 + 5р2, В = 16^, С = 3 (Ipl- 16pi)
(G. Dresselhaus, A. F. Kip, Ch. Kittel, 1955). Уровень расщеп-
ляется при выходе из точки к = 0 во всех направленияхJ).

Остановимся кратко на вопросе о виде уравнений, опи-
сывающих поведение частиц вблизи вырожденного дна зоны
в магнитном поле. Для определенности будем иметь в виду
второй из рассмотренных в этом параграфе случаев—спектр
(68,6).

Прямое использование гамильтониана, составленного из (68,6)
по общему правилу (56,7), натолкнулось бы на затруднения,
связанные с неаналитическим характером спектра вблизи точки
к = 0. Эти трудности можно обойти, если произвести замену
к—>к = К—еА/Йс не в (68,6), а в матричном гамильтониане
(68,3) (для сохранения эрмитовости при этом должна быть про-
изведена симметризация по компонентам к). Каждый матрич-
ный элемент гамильтониана превращается после этого в линей-
ный дифференциальный оператор, действующий не только на
спиновые индексы, но и на аргументы функций <рп(К) в урав-
нениях (68,5), которые превращаются, таким образом, в систему
четырех линейных дифференциальных уравнений.

Для учета спиновых эффектов при наличии магнитного поля
к гамильтониану (68,3) надо еще добавить члены, непосредст-
венно зависящие от Н, которые не определяются соображе-
ниями калибровочной инвариантности. Поскольку поле счи-
тается слабым, добавляемые члены должны быть линейны' по Н;
в то же время в виду предполагаемой малости к они не должны
зависеть от к (ср. § 59). В данном случае общий вид таких
членов, инвариантных относительно всех преобразований сим-
метрии кристалла, таков:

р4Нj +'р5 (Нх& + ад + Нг®.	(68,7)

В заключение этого параграфа упомянем об интересной
ситуации, возникающей, если одна из соприкасающихся в точке
вырождения к0 зон является зоной проводимости, а другая —
валентной зоной. Энергетическая щель в спектре такого типа
равна нулю; для рождения электрона и дырки с импульсами,
близкими к к0, достаточно сколь угодно малой энергии. Такие
кристаллы являются в определенном смысле промежуточными
между диэлектриком и металлом. Энергетическая щель отсут-
ствует, но электронные и дырочные состояния не разделены
только в одной точке k-пространства. Можно сказать, что это

9 Напомним, что применение теории возмущений к состояниям одного
только вырожденного уровня предполагает малость интервалов е (к) — е (0)
возникающего расщепления по сравнению с расстояниями до соседних зон,
в том числе тех, которые отщепились из-за спин-орбитальиого взаимодей-
ствия,
металл, у которого поверхность Ферми «стянута» в одну точку к0.
При Т = 0 в таком бесщелевом полупроводнике1) носители тока
отсутствуют, но при низких температурах их число возрастает
по степенному, а не экспоненциальному закону. Вид спектра
вблизи' точки к0 нельзя установить исходя из одних только
соображений симметрии; кулоновское взаимодействие электро-
нов и дырок приводит к появлению в этой точке особенности
у матричных элементов возмущения 2).

2) Примером является одна из модификаций олова—серое олово.

2) Подробное исследование этого вопроса см.: А. А. Абрикосов, С. Д. Бе-
неславский, ЖЭТФ 59, 1280 (1970).
ГЛАВА VII

МАГНЕТИЗМ

§ 69. Уравнение движения магнитного момента
в ферромагнетике

Магнитная структура кристаллов приводит к появлению у
них специфических ветвей энергетического спектра. Переходя
к исследованию этих спектров, напомним прежде всего некото-
рые особенности взаимодействий в магнитных телах.

Основным видом взаимодействий в ферромагнетиках является
обменное взаимодействие атомов, которое и приводит к уста-
новлению спонтанной намагниченности. Характерным свойством
этого взаимодействия является его независимость от ориента-
ции намагниченности относительно решетки: обменное взаимо-
действие является результатом электростатического взаимодей-
ствия электронов с учетом симметрии волновой функции сис-
темы и не зависит от направления суммарного спина х).

Простейшей ферромагнитной системой является диэлектрик,
в кристаллической решетке которого имеются атомы, обладаю-
щие магнитным моментом, причем знак обменного взаимодейст-
вия таков («ферромагнитен»), что энергетически выгодно парал-
лельное положение моментов. Тогда основным состоянием
системы будет состояние, в котором все спины параллельны.
Точнее, в этом состоянии проекция суммарного спина системы
на некоторое направление равна максимально возможному зна-
чению 2sa (сумма по всем атомам), где sa — спин одного атома.
Действительно, гамильтониан обменного взаимодействия Яоб
коммутативен с оператором полного спина системы S, а зна-
чит и с его проекцией 5г (это следует из того, что Но6 не зави-
сит от направления спинов, а оператор S и есть оператор
поворота в спиновом пространстве). Поэтому основное состоя-
ние должно обладать определенным значением Sz, а минимуму
энергии соответствует максимальное Sz. Заметим, что тогда
равны своим максимальным значениям sa и проекции зг спи-

*) Экспериментальные данные о гиромагнитных отношениях g, дающие
для ферромагнетиков значения, очень близкие к 2, свидетельствуют о спино-
вой природе ферромагнетизма.
§ 69]

нов каждого из атомов, так что магнитный момент в основном
состоянии равен своему «номинальному» значению 2ца, где
ця— магнитный момент одного атома. Это свойство, однако,
нарушается более слабыми — релятивистскими — взаимодейст-
виями.

В более сложных случаях намагниченность тела не равна
номинальной. В частности, когда взаимодействие не между
всеми атомами носит ферромагнитный характер, возможно обра-
зование структур из двух противоположно намагниченных под-
решеток, намагниченности которых различны и потому не вполне
компенсируются; вещества со структурой такого типа называют
ферритами (случай же полной компенсации соответствует анти-
ферромагнетику).

Наконец, в ферромагнитном металле нельзя рассматривать
спины атомов независимо от электронов проводимости, которые
во всяком случае не будут (из-за эффектов фермиевского вырож-
дения) полностью намагничены даже при Т = 0. Особенности
магнитных взаимодействий могут привести также к более слож-
ной структуре основного состояния ферромагнетика с некол-
линеарным расположением атомов магнитных моментов—так
называемые геликоидальные структуры.

Как и во всякой макроскопической системе, слабо возбуж-
денные состояния ферромагнетика можно рассматривать как
совокупность элементарных возбуждений — газ квазичастиц. Эле-
ментарные возбуждения в упорядоченном распределении атом-
ных магнитных моментов называют магнонами. Поскольку речь
идет о квазичастицах в трансляционно-симметричной кристал-
лической решетке, магноны обладают определенными не истин-
ными импульсами, а квазиимпульсами, пробегающими значения
в одной ячейке обратной решетки. В'"классической картине
магнонам отвечают спиновые волны—распространяющиеся вдоль
решетки колебания магнитных моментов. Магноны подчиняются
статистике Бозе, и предельному классическому случаю спино-
вых волн отвечают большие числа заполнения состояний маг-
нонов.

Если длина спиновой волны велика по сравнению с постоян-
ной решетки 'а (т. е. волновой вектор fe<^l/a), то волну можно
рассматривать макроскопически; в результате закон дисперсии
волн ® (к) будет выражен через феноменологические параметры
(материальные константы), входящие в макроскопические,урав-
нения движения магнитных моментов. Тем самым будет выра-
жен через эти параметры и спектр магнонов 8 = Йео (к). Такой
путь определения спектра магнонов вполне аналогичен опреде-
лению спектра длинноволновых фононов через макроскопические
параметры (упругие модули), входящие в макроскопические
уравнения колебаний в звуковых волнах. Для выполнения этой
программы необходимо предварительно вывести указанные урав-
нения движения1).

Проведем сначала рассмотрение с учетом только обменных
взаимодействий.

Поскольку мы интересуемся слабо возбужденными состоя-
ниями ферромагнетика (только их свойства и могут быть выяс-
нены в общем виде), мы должны ограничиться «медленными»
движениями магнитного момента с малыми частотами. Такими
будут движения, в которых направление магнитного момента
медленно меняется в пространстве, а его величина остается
постоянной. Действительно, равновесная величина намагничен-
ности фиксирована обменным взаимодействием; поэтому ее изме-
нение во всяком случае связано с конечной затратой энергии
при любой длине волны (предполагается, что тело находится
достаточно далеко от своей точки Кюри, в которой спонтанная
намагниченность исчезает). С другой стороны, энергия не ме-
няется при повороте магнитного момента тела как целого; по-
этому неоднородный вдоль тела поворот намагниченности будет
требовать тем меньшей энергии, чем больше длина волны (дру-
гими словами, длинноволновые колебания будут иметь малую
частоту). Искомое уравнение для плотности магнитного момента
(намагниченности) М должно поэтому иметь вид, сохраняю-
щий |М|:

^ = [ЙМ],	(69,1)

где й— угловая скорость прецессии момента, которую мы сей-
час определим. Мы пишем уравнение движения как дифферен-
циальное уравнение первого порядка по времени, поскольку
при малых частотах высшими производными можно пренебречь.

Для определения й необходимо учесть, что при больших
длинах волн и низких температурах диссипация энергии при
изменении намагниченности мала и ею можно пренебречь (мы
вернемся к обоснованию этого предположения в конце § 70).
Для выяснения же вопроса о том, как выглядит условие отсут-
ствия диссипации, будем рассматривать магнитный момент маг-
нетика как независимый параметр, равновесное распределение
которого находится минимизацией свободной энергии. Мы будем
производить минимизацию при постоянных температуре, объеме
тела и значении напряженности поля Н в каждой точке тела;
термодинамическим потенциалом по отношению к этим пере-

9 Дальнейшие результаты этого параграфа принадлежат Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшицу (1935). Отметим, что эти результаты справедливы для
«обменных» ферромагнетиков. Мы не будем касаться здесь так называемого
слабого ферромагнетизма, в котором ферромагнитный момент появляется только
при учете релятивистских взаимодействий.
менным является свободная энергия F1). Вариацию 6F при
бесконечно малом изменении М можно записать как

6F= — унэфбМйУ,	(69,2)

где мы ввели обозначение Нэф для «эффективного поля» по
аналогии с выражением для энергии магнитного момента во
внешнем магнитном поле. В равновесии Нэф = 0.

Диссипация энергии при изменении намагниченности со вре-
менем вычисляется как производная

л__/т-> dS _	_ dF

4 — dt ~ dt ~ dt '

где S —энтропия тела, a 7?min — минимальная работа, необхо-
димая для приведения тела в данное неравновесное состояние.
С помощью (69,1) имеем, таким образом,

Q = У Иэф = У Нэф [ОМ] dV.	(69,3)

Отсюда видно, что в отсутствие диссипации вектор Q должен
быть параллелен вектору Нэф, так что можно положить Q =
= const-Ha4). После этого уравнение (69,1) примет вид

М = const [НэфМ];	(69,4)

смысл и значение постоянной выяснятся ниже.

Согласно определению (69,2), явный вид эффективного поля
находится варьированием полной свободной энергии тела. По-
следняя дается интегралом

F = У {/о (М) + б/неод—МН -g} dV (69,5)

(см. VIII § 36). Здесь ДДМ) —плотность свободной энергии
однородно намагниченного тела при /7 = 0, учитывающая лишь
обменные взаимодействия и потому не зависящая от’направле-
ния М. и„еоя есть плотность дополнительной обменной энергии,
связанной с медленным изменением направления вектора М
вдоль неоднородно намагниченного тела.

!) См. VIII § 36 (термодинамические величины, относящиеся к телу в це-
лом, обозначались там буквами рукописного шрифта). При неоднородном рас-
пределении правильнее говорить о свободной энергии тела (при заданном его
объеме), а не о термодинамическом потенциале Ф. Мы не будем интересоваться
здесь стрикционными эффектами, т. е. напряжениями и деформациями крис-
талла, возникающими при изменении иамагничеииости.
Первые члены разложения этой энергии по степеням произ-
водных от момента М по координатам имеют вид

г г 1 м ам	/сл

^неод==-7а№^^ >	(69,6)

причем эта квадратичная (по производным) форма существенно
положительна. Выражение (69,6) составлено так, чтобы (в соот-
ветствии со свойствами обменного взаимодействия) не зависеть
от абсолютного направления вектора М. В одноосных кристал-
лах симметричный тензор второго ранга aik имеет компоненты
axx = ayy = alt аг = а2 (ось г — ось симметрии кристалла); в ку-
бических кристаллах aik = abik.

Порядок величины коэффициентов a;ft можно оценить, заме-
тив, что энергия неоднородности, отнесенная к объему одной
элементарной ячейки кристаллической решетки, должна была
' бы достигать характерных атомных значений энергии обменного
взаимодействия, если бы направление момента существенно
менялось на расстояниях порядка постоянной решетки а. Харак-
терная обменная энергия совпадает, по порядку величины,
с температурой Кюри Тс (точка исчезновения ферромагнетизма).
Из условия Tc/a3 ~ аЛ42/а2 находим

а ~ Тс/аМ\	(69,7)

Варьируя интеграл (69,5) (при заданных значениях Н в каж-
дой точке тела) и произведя во втором члене интегрирование
по частям, получим

6^(/ИМ)£-«,,5^-н}6МЛл

во втором члене произведено интегрирование по частям. Согласно
определению (69,2), выражение в фигурных скобках есть —Нэф.
Первый член в нем направлен вдоль М, но при подстановке
в уравнение движения (69,4) такой член все равно выпадает, и
потому его можно вообще опустить1). Таким образом, находим

(69,8)

При учете одних только обменных взаимодействий, не зави-
сящих от направления магнитного момента, для однородно
намагниченного тела уравнение (69,4) должно сводиться к урав-
нению движения свободно прецессирующего момента:

х) После этого, однако, Нэф уже не обязательно будет обращаться’
в нуль в равновесии.
где е — — |е|, т—заряд и масса электрона, a g—гиромагнитное
отношение ферромагнетика (ср. II § 45). С другой стороны, при
однородном намагничении Нэф = Н; отсюда следует, что посто-
янный коэффициент в (69,4) const = g | е |/2/ис, так что уравнение
движения

(69,9)

с НЭф из (69,8).

Для получения полной системы уравнений сюда надо доба-
вить еще уравнение Максвелла, связывающее поле Н с распре-
делением намагниченности М. Спиновые волны, которые будут
рассмотрены в следующем параграфе, являются низкочастотными
в том смысле, что со с/г. В этих условиях поле квазистацио-
нарно; в уравнениях Максвелла можно пренебречь производными
по времени, и они сводятся к виду

rotH = 0, div В = div (Н + 4лМ) = 0.	(69,10)

В связи с этим может возникнуть вопрос о правомерности
варьирования интеграла (69,5) по М при постоянном Н не-
смотря на то, что они связаны вторым уравнением (69,10).
Дело, однако, в том, что если положить Н = —V<p (в виду
первого уравнения) и вычислить вариацию интеграла по ср,
то она обратится в силу второго уравнения в нуль, так что
варьирование Н не дает вклада в 6Ё.

Если тело не находится во внешнем магнитном поле, то
поле внутри негощеликом связано с распределением намагни-
ченности и представляет собой, вообще говоря, величину того
же порядка, что и М. В этом смысле член Н в эффективном
поле (69,8) представляет собой релятивистский эффект (напом-
ним, что атомные магнитные моменты, а с ними и спонтанная
намагниченность М, определяются магнетоном Бора [3 =
= \ е\Н/2тс,— величиной, содержащей с в знаменателе). Поэтому
в рассматриваемом пока чисто обменном приближении второй
член в (69,8) следует опустить, так что уравнение движения

dt 2тс 11г [dxjdx/i J	v ’

Обратим внимание на нелинейность этого уравнения.

Уравнение (69,11) можно переписать в виде уравнения не-
прерывности для магнитного момента:

dMj । ЗПц_п
' dt	dxt

где тензор потока момента имеет вид

ТТ —	к [м—1
Этого следовало ожидать заранее, поскольку в обменном при-
ближении полный магнитный момент тела сохраняется.

Учтем теперь, что наряду с обменными в ферромагнетике
существуют также и значительно более слабые релятивистские
взаимодействия электронных моментов: спин-спиновые и спин-
орбитальные. В макроскопической теории они описываются
энергией магнитной анизотропии, плотность которой t/aH зависит
от направления вектора намагниченности по отношению к кри-
сталлической решетке; этими взаимодействиями устанавливается
равновесное направление спонтанной намагниченности ферро-
магнетика. К релятивистским относится, как уже было ука-
зано, также и взаимодействие М с магнитным полем Н.

В одноосном кристалле энергия анизотропии имеет вид

t/ан = -4 Mi.	(69,12)

Если Д > О, то равновесная намагниченность направлена вдоль
оси симметрии — ось z (ферромагнетик типа «легкая ось»); если
же Д < О, то направление спонтанной намагниченности лежит
в плоскости ху (ферромагнетик типа «легкая плоскость»).
В кубическом кристалле энергия анизотропии может быть
представлена в виде

ит = ^№М*+МЖ + М*М%,	(69,13)

где оси х, у, z направлены вдоль трех осей симметрии четвер-
того порядка (ребра кубических ячеек). Если Д' > 0, то равно-
весный вектор М направлен вдоль одного из ребер кубических
ячеек, а если Д'< 0—то вдоль одной из пространственных
диагоналей ячеек1).

Для определенности, будем рассматривать одноосный ферро-
магнетик. Добавив к подынтегральному выражению в (69,5)
член Ua„ (69,12), получим после варьирования дополнительный
член —ДУИгу6М, где v — единичный вектор в направлении оси
симметрии кристалла. Таким образом, для эффективного поля
находим

Л2М

=	+	+	(69,14)

Легко видеть, что этим изменением эффективного поля исчер-
пываются изменения, которые учет релятивистских эффектов
вносит в уравнение движения (69,9). Действительно, пренебре-

г) Безразмерные величины К, К' для различных ферромагнетиков имеют
значения, лежащие в широком интервале от десятых долей единицы до де-
сятков. Порядок же величины отношения релятивистских взаимодействий
к обменному характеризуется величиной a?UanITc и составляет обычно
10~4—10-8-.
жение диссипацией означает по-прежнему, что правая часть
уравнения движения должна быть перпендикулярна Нэф, т. е.
должна иметь вид [М'Нэф], где М' может отличаться от М лишь
за счет релятивистских поправок, всегда малых по сравнению
с большой величиной М и потому несущественных. Релятивист-
ские же члены в Нэф добавляются к величине, малой в силу
медленности изменения М вдоль тела; эти члены могут стать
существенными при достаточно больших длинах волн.

§ 70. Магноны в ферромагнетике. Спектр

Применим полученные в предыдущем параграфе уравнения
к распространению волн, в которых плотность магнитного мо-
мента совершает малые колебания, прецессируя относительно
своего равновесного значения Мо. Мы будем рассматривать
однодоменный образец, во всем объеме которого Мо постоянно,
и ограничимся случаем волн с длиной, много меньшей размеров
образца. Тогда среду можно рассматривать как неограниченную.

Рассмотрим сначала вопрос с учетом только обменных вза-
имодействий, т. е. на основе уравнения (69,11). Положим М =
= М0 + т, где т—малая величина, и линеаризуем уравнение,
отбросив члены второго порядка по т; поскольку абсолютная
величина Л1 — УИ0, то в этом приближении т_|_Мо. Получим

I е I Г 32m	1	,

т = 1- а.-ь т—ч— М„	(70,1)

тс 11г \_дхД)хк “J	' ’ '

(здесь и ниже полагаем g = 2). Для т, зависящего от коорди-
нат и времени как ехр[с(кг—со/)], находим

/сот =H-ai2[mM,],	(70,2)

где a = а (п) =	п — единичный вектор в направлении

волнового вектора к. Раскрыв это уравнение в компонентах,
имеем

1 € I

iwnx — —L aMk2nb„
х тс	У

I с I

iatrL. — ——L aMk2mx
У тс	х

(ось z—в направлении Мо). Отсюда находим закон дисперсии
спиновых волн х)

« = ^а(пИ<	(70,3)

х) Квадратичный закон дисперсии спиновых волн был впервые найден
с помощью микроскопической теории Ф. Блохом (F. Bloch, 1930). Выражение
этого спектра через макроскопические параметры дано Л. Д. Ландау и
£. М. Лифшицем (1945).
Мы видим, в соответствии со сказанным в начале предыдущего
параграфа, что в обменном приближении частота стремится
к нулю при k—>0. Вектор m в спиновой .волне вращается
в плоскости ху с постоянной угловой скоростью со, оставаясь
постоянным по абсолютной величине.

В квантовой картине формула (70,3) определяет энергети-
ческий спектр магнонов е = дсо1):

e(k) = 2₽Ma(n)fe\	(70,4)

В формализме вторичного квантования макроскопические
величины, описывающие ферромагнетик, заменяются операто-
рами," выраженными через операторы уничтожения и рождения
магнонов. Покажем, как это должно быть сделано для магно-
нов (70,4).

Приведем в соответствие с классической величиной М век-
торный оператор М, компоненты которого удовлетворяют опре-
деленным правилам коммутации. Пусть S(r)6V—оператор
суммарного спина атомов в физически бесконечно малом эле-
менте объема 6У в точке г. Операторы 8(^)6^ и 8(г2)6У2,
относящиеся к различным элементам 6V\ и 6У2, коммутативны.
Компоненты же одного и того же оператора S(r)6V удовлетво-
ряют обычным правилам коммутации момента:

6K-SU 6У—6V = iS 6У,
x	у	ул	Z 1

или SxSy—SySx= ;SZ/6V (и аналогично для остальных комму-
таторов). В пределе 6У—>0 эти правила записываются для
любых гт и г2 в едином виде

Sx (rj Sy (г2) — Sy (г2) (rj = iSz (rx) 6 (rx—r2).

Умножив теперь это равенство на 4р и заметив, что оператор
.намагниченности М=—2J3S, получим

Мх (rx) Му (r2)-M, (г2) Мх (rj =-2zM (гх) 6 (Г1-г2). (70,5)

В применении к спиновым волнам, в которых М испытывает
малые колебания вокруг оси г, в первом приближении по ма-
лым величинам тх, ту можно заменить в правой стороне (70,5)
опёратор Mz числом Mzw М\ тогда

/и* (rj thy (г2)—thy (г2) tnx (гх) = —2i₽M6 (гт—г2).	(70,6)

Отсюда видно, что величины ту и тх играют (с точностью до
постоянных множителей) в данном случае роль канонически

т) В этой главе [} везде обозначает магнетон Бора: р = |е|А/2ис.
сопряженных «обобщенных координат и импульсов» — подобно
тому, как ф и р' играли такую же роль при квантовании зву-
ковых волн в жидкости (§ 24). Подчеркнем, однако, существенное
отличие между обоими случаями. Правило коммутации (24,7)
для фононных операторов является точным, не связанным с ма-
лостью колебаний (т. е. с малостью чисел заполнения фононных
состояний). Правило же (70,6) является приближенным, спра-
ведливым лишь в первом приближении по малой величине т.

Исходя из правила коммутации (70,6) и соотношения между
операторами тх и ту, отвечающего линейным уравнениям (70,1),
можно найти выражения этих операторов через операторы
уничтожения и рождения магнонов, подобно тому как это было
сделано в § 24 для фононов (см. задачу 4 к § 71).

Вернемся к изучению спектра магнонов и обратимся к учету
влияния релятивистских эффектов на этот спектр. Теперь уже
необходимо -учитывать и магнитное поле Н, возникающее при
колебаниях М. Оно будет того же порядка малости, что и т;
обозначим его здесь как h.

Уравнения Максвелла (69,10) дают

[kh] = 0, kh=—4л km.

Отсюда видно, что поле h направлено вдоль волнового вектора
и равно

h = —4л(пт)п.	(70,7)

Подставив (70,7) в последние два члена подынтегрального вы-
ражения в (69,5), получим

/,2

— mh —-^- = 2л (пт)2	(70,8)

(здесь опущен член Moh, который ввиду потенциальности поля h
при интегрировании по всему объему преобразуется в интеграл
по поверхности и обращается в нуль); эту часть энергии ани-
зотропии в спиновой волне иногда называют магнитостати-
ческой.

Пусть ферромагнетик одноосен и относится к типу «легкая
ось», так что Мо направлено вдоль оси симметрии кристалла
(ось г): M0 = vAl. Имея в виду дальнейшие применения, допустим
также существование внешнего поля S?, параллельного тому же
направлению v; при этом образец надо представлять себе как
цилиндр с осью вдоль v. Тогда поле внутри тела Н = 4g» + h.
Линеаризованное уравнение движения (которое мы выписываем
уже умноженным на А)

— iem = 2р {^а/г2 +	[vm]—[vh]} .	(70,9)
Для одноосного кристалла a=:aj;sin29 + a2cos29, где 9—угол
между к и v.

Подставив сюда h из (70,7), расписываем уравнение в ком-
понентах (причем ось х удобно выбрать в плоскости, проходящей
через направления v и п). Из условия совместности получаю-
щихся двух уравнений для тх и ту находим закон дисперсии
е (k) = 2[Ш [ (ak* +К + 4)	+К + 4 + 4n sin2 0) J1/2 •

(70,10)

Отметим, что благодаря наличию члена sin20 = kxlk? разложение
е (к) по степеням компонент к не имеет простого степенного
характера; это связано с дальнодействующим характером маг-
нитных взаимодействий.

Выражение вида (70,10), выведенное здесь для одноосного
ферромагнетика (типа «легкая ось»), справедливо и для куби-
ческих кристаллов. Это следует из того, что изменение энергии
анизотропии при малых отклонениях вектора М от своего рав-
новесного направления имеет в обоих случаях одинаковый вид.
Так, для кубического кристалла с Д' > 0 изменение 6Дан при
отклонении М от направления Мо вдоль ребра куба зависит
только от угла $ между М и Мо и равно 6t/aH —К'М*№. Сравнив
это с аналогичным выражением 6Дан = ДЛ42{}2/2 для одноосного
кристалла, мы видим, что для перехода к случаю кубического
кристалла с К' > 0 достаточно заменить в (70,10) К —>-2Д'.
Аналогичным образом, легко убедиться, что для перехода
к случаю кубического кристалла с К' < 0 (направление Мо вдоль
пространственной диагонали куба) надо заменить Д—>• 41 Д' |/3.
Отметим также, что в кубическом кристалле величина а(п)
сводится к постоянной. Для одноосного же ферромагнетика
типа «легкая плоскость» (Д < 0) ситуация иная: изменение 6t/aH
при отклонении М от Мо зависит как от полярного угла, так
и от азимута направления М относительно Мо; .поэтому этот
случай требует особого рассмотрения — см. задачу.

Напомним, что результат (70,10) относится лишь к началь-
ной части спектра, в которой квазиимпульсы k<^. 1/а и допустимо
макроскопическое рассмотрение. Со стороны больших, но удов-
летворяющих этому условию значений k (а^2^>4л, Д) выраже-
ние (70,10) сводится к

е(к)=2рЛ4а(п)/г2+2р.б.	(70,11)

Первый член здесь совпадает с чисто обменным выражением
(70,4). Внешнее же поле добавляет к энергии магнона просто
член 2р.?). В этом приближении, следовательно, магнон обладает
проекцией момента на Мо, равной —2р. Возбуждение в теле
каждого магнона уменьшает полный магнитный момент тела
на 2(3.

В обратном случае, при к—>-0, выражение (70,10) стремится
к отличной от нуля величине, равной (при § = 0)

e(0) = 2pw(l + ^sin* 20)1/2.	(70,12)

Таким образом, учет магнитной анизотропии приводит к появ-
лению энергетической щели в спектре магнонов1). Это естест-
венно, поскольку при наличии анизотропии даже поворот маг-
нитного момента как целого (т. е. при к = 0) связан с конечной
энергией. Мы видим, что при малых к релятивистские эффекты,
несмотря на их малость, приводят к относительно большим
поправкам к спектру.

Представление о магнонах как об элементарных возбужде-
ниях относится к слабо возбужденным состояниям тела, а тем
самым — к низким температурам. Поэтому в относящихся к маг-
нонам формулах значения всех материальных констант (в том
числе и намагниченности М) должны браться при Т = 0.

Вернемся к сделанному в § 69 предположению о слабости
диссипации. В квантовой картине диссипация означает конеч-
ность времени жизни магнонов, обусловленную их взаимодей-
ствием друг с другом и с другими квазичастицами.

Если сначала говорить о взаимодействии магнонов друг
с другом, то прежде всего надо отметить, что в обменном при-
ближении число магнонов не меняется (каждый магнон дает
в Л42 одинаковый вклад — 2(3, а обменное взаимодействие сохра-
няет Mz). Поэтому в таком приближении возможны лишь
процессы рассеяния. Их вероятность, однако, уменьшается
с понижением температуры — уже просто из-за уменьшения числа
рассеивателей,—так что обменное затухание во всяком случае
стремится к нулю при Т = 0. Мы увидим ниже (§ 72), что со-
стояние с одним магноном в обменном приближении есть дейст-
вительно строго стационарное состояние системы2).

При Т = 0 затухание магнонов обусловлено только процес-
сами их распада. Такие процессы возможны лишь за счет реля-
тивистских взаимодействий., и уже поэтому их вероятность
мала. Кроме того, при малых к вероятность распада всегда

^Соответствующую частоту со (0) = е (0)/А называют частотой ферромаг-
нитного резонанса.

2) Отметим также, что сечение рассеяния двух магнонов друг на друге
в обменном приближении стремится к нулю при уменьшении их энергии
(см. § 73). Это обстоятельство дополнительно уменьшает обменное затухание
магнонов при низких температурах. При достаточно низких температурах
релятивистские эффекты существенны и для процессов рассеяния.
уменьшается за счет малости статистических весов (фазовых
объемов) конечных состояний процесса.

Затухание магнонов вызывается также и их взаимодействием
с фононами (роль оператора возмущения играет здесь зависящая
от деформации кристалла часть гамильтониана обменного вза-
имодействия). При Т = 0 возможен процесс рождения фонона
магноном; для этого, однако, квазиимпульс магнона должен
быть достаточно велик—скорость магнона de/Adk должна быть
больше скорости звука (ср. примечание на стр. 321). Вероят-
ность процесса мала также и за счет малости статистического
веса конечного состояния.

Наконец, в ферромагнитном металле всегда возможно (за
счет обменного взаимодействия с электронами проводимости)
возбуждение магноном электрона из-под ферми-поверхности.
И здесь вероятность процесса при малых к мала за счет малости
статистического веса конечных состояний.

Задача

'Найти спектр магнонов в одноосном ферромагнетике типа «легкая пло-
скость» (К < 0).

.Решение. Равновесная намагниченность Мо лежит в плоскости, пер-
пендикулярной оси симметрии кристалла (оси г); выберем направление Мо
в качестве оси х. Линеаризованное уравнение движения магнитного момента
имеет в этом случае вид

— iem = 2[J {а/г2 [nxm] — | К. | игпу— [nxh]},

где пх, Пу—единичные векторы вдоль координатных осей, а вектор m лежит
в плоскости уг, перпендикулярной Мо. Подставив сюда h из (70,7), расписав
уравнение в компонентах и приравняв нулю определитель получающейся
системы, получим спектр магнонов

е (к) = 2[Ш [ak2 (afe2 +1]) -|-4л sin2 0 (ak2-[-1К | sin2 <р)]1,/2,

где 0 и <р—полярный угол и азимут направления к относительно направле-
ния Мо (причем азимут отсчитывается от плоскости хг). При afe2^>l мы
возвращаемся к тому же квадратичному спектру (70,4), а при k—>0 энергия
магнона стремится к величине

е (0) = 4 (л | К|)1/2 [Ш | sin 0 sin <р |,
обращающейся в нуль, когда вектор к лежит в плоскости хг, образованной
осью симметрии и спонтанной намагниченностью кристалла. Это обращение
в нуль является, однако, приближенным: учет в энергии анизотропии членов
более высокого порядка приводит к появлению анизотропии и в плоскости ху
и тем самым — к конечной энергетической щели во всех направлениях к1).

х) Напомним (см. VIII § 37), что разложение энергии анизотропии по
степеням М есть в действительности разложение по релятивистскому отноше-
нию v/с (и не связано с малостью М, т. е. с близостью к точке Кюри).
§ 71. Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины

Возбужденные в ферромагнетике магноны вносят определен-
ный вклад в его термодинамические величины. Полученные в
предыдущем параграфе результаты позволяют вычислить этот
вклад при температурах, низких в том смысле, чТо Т<-^ТС.
Действительно, в тепловом равновесии при температуре Т ос-
новная часть магнонов имеет энергии е ~ 7\ Для квадратичного
спектра

е (к) = 2[Ша (п)/г2	(71,1)

это значит, что при температурах Т<^ТС возбуждены магноны
с квазиимпульсами (Т^фШа)1^. Воспользовавшись оценкой
(69,7) для а и оценив намагниченность как М ~ |3/а3 (на одну
элементарную ячейку приходится магнитный момент порядка
нескольких |3), находим отсюда ak 1, т. е. условие примени-
мости результатов § 70.

«Магнонные» части термодинамических величин ферромагне-
тика вычисляются как термодинамические величины идеального
бозе-газа с равным нулю химическим потенциалом. Так, для
магнонной части термодинамического потенциала Q имеем

£г.1г-7фп(1^->я)^

(71,2)

(см. V (54,4)). Отсюда для магнонного вклада во внутреннюю
энергию2)

р ______ Q	у ^Йма

^маг	ii2Mar	*

е V d3k
е*'т-\ (2л)3•

(71,3)

Магнонный же вклад в спонтанную намагниченность дает
ее изменение с температурой. Он вычисляется как производная
7И.„-М(Г)-М(О) = -4^|м

по внешнему магнитному полю (ср. VIII (31,4)). Дифференцируя
выражение (71,2), получим

М

.$-0 ег/т—\ (2л)3’

1 d3k

(71,4)

Производная —(де/д.§) представляет собой собственный магнит-
ный момент магнона.

3) При химическом потенциале ц = 0 (а потому и Ф = Лф, = 0) имеем Е —
= ф-1-Г5 — Plz=TS + Q; энтропия же S =— ЗЙ/ЗТ. Выражение (71,3) можно
было бы, конечно, написать и непосредственно, без обращения к формуле
(71,2).
Вычислим интегралы (71,3—4) при температурах 7,^2лрЛ41);
тогда для спектра магнонов можно пользоваться предельным
выражением (71,1). В виду быстрой сходимости интегралов ин-
тегрирование можно распространить по всему к-пространству
(вместо одной ячейки обратной решетки). Полагая величину а
постоянной (для кубических кристаллов) и заменив d3k -> 4nk2dk,
после очевидной подстановки получим

VTS/i р хЗ/2 dx ?6/2 Г (5/а) g (6/а)
маг 4лМ3/2 J еХ~1	4лМ3/2	’

о

где для краткости обозначено А = 2рЛ4а (так что е = Л/г2)г). Для
теплоемкости Скат = дЕмат/дТ находим отсюда

СмаГ = V5Г8(^^/г) ^3/2 = 0,113 (/2 V. (71,5)

Напомним, что это выражение дает лишь магнонную часть те-
плоемкости; наряду с ней теплоемкость кристалла содержит еще
и обычную фононную часть.

Обращаясь к интегралу (71,4), подставляем, согласно (70,11)
значение —2р для магнитного момента магнона. В результате
при T^>2npAl получим

-------рт8/_2 р х1-'2 dx	g
маг 2jA43/2J еХ~ 1	U , J

о

откуда

М(Т) = М(0)—'3/2)' = М (°)—0> 117Р (Т/Л)3/2 (71,7)

(магнонный вклад исчерпывает, конечно, все изменение намаг-
ниченности, поскольку фононы не несут с собой магнитного
момента). Таким образом, изменение спонтанной намагничен-
ности в области температур 2лрЛ4<^7'<^.ТС следует закону Т3?2
(F. Bloch, 1930).

Наличие щели (70,10) в спектре магнонов приводит к экспо-
ненциальной зависимости Смаг и Л4маг от Т в области еще более
низких температур. При Т<^Р7<Л1

Смаг, Ммаг^ехр(-2Р7<М/Т).	(71,8)

Величина, стоящая в числителе экспоненты,—-наименьшее зна-
чение энергетической щели, достигаемое при 0 = 0 и 0 = л (см.
также задачу 1).

0 Для типичного значения Л1=2-103гс это условие дает Т^>1 К;

2) О вычислении интегралов такого типа см. V § 58.
Если спонтанная намагниченность ферромагнетика в основ-
ном состоянии равна наибольшему возможному (как говорят,
номинальному) значению, отвечающему параллельности всех
атомных моментов в теле, то это значение уже не изменится
при наложении (в том же направлении) внешнего магнитного
поля, т. е. восприимчивость у в этом направлении равна нулю.

Учет релятивистских взаимодействий уменьшает спонтанную
намагниченность (при Т = 0) по сравнению с ее «обменным» зна-
чением и приводит к появлению отличной от нуля восприимчи-
вости (Т. Holstein, Н. Primakoff, 1940). Хотя этот эффект и очень
мал, его вычисление представляет принципиальный интерес.

При вычислении выше магнитной части термодинамических
величин мы опустили нулевую энергию «магнитных осциллято-
ров», не дающую вклада в температурную зависимость этих
величин. Нулевая энергия отвечает числам заполнения магнон-
ных состояний, равным 1/2:

£(0U=[|e(k)S-

Соответственно для «нулевой» намагниченности имеем

(71'9>

Этот интеграл расходится при больших k, т. е. он определяется
главным образом коротковолновыми магнонами (ka~ 1), которые
вообще нельзя рассматривать макроскопически. Однако изме-
нение намагниченности под влиянием релятивистских эффектов
определяется, как мы увидим, длинноволновой областью спектра
магнонов и может быть вычислено с помощью полученных в § 70
формул.

Для простоты будем рассматривать кубический кристалл и
пренебрежем малой в этом случае константой анизотропии, т. е.
будем писать спектр магнонов (70,10) в виде

е (k) = 2(3 [(bk* + §) (bk* + $ + 4лЛ4 sin2 0)]1/2, (71,10)
где д = аЛ4; релятивистским эффектам отвечает в этом выра-
жении член 4n44sin20, возникающий от учета магнитостатичес-
кой энергии. Искомое изменение 6Л4 намагниченности под влия-
нием релятивистских эффектов получается вычитанием из (71,9)
такого же интеграла с еоб(k) = 2fibk2-t-2fi$ вместо е(к):

6М=-1 J^[e(k)-еоб(к)]^.	(71,11)

Этот интеграл уже сходится при больших к1).

!) Во избежание недоразумений отметим, что поправку к энергии основ-
ного состояния этим способом определить нельзя: без дифференцирования
по § интеграл от е — еоб расходится при использовании длинноволновых вы-
ражений для спектра магнонов.
Для вычисления удобно сначала продифференцировать его
по М при постоянном b (для этого и введено обозначение Ь
в (71,10)). После простых преобразований получим

д&М_____4л2[Ш (* (* sin4 Q-2nk2dk- sin 0 dQ

дМ ~	(2л)3 J J (6fe2 + £)1/a	4лЛ4 sin2 0)3/2 ’

Ввиду сходимости интегрирование no dk можно распространить
до оо.

При § = 0 интеграл легко вычисляется; интегрируя затем
по М, получим

(71.12)

Эта величина очень мала: 8М/М ~ 10~в.

Если же внешнее поле велико (§^>4лЛ4); можно пренебречь
членом 4nAlsin29 в знаменателе подынтегрального выражения.
После этого вычисление приводит к результату

-8Л4 = -	.	(71,13)

15a3/2.v '

При § -> оо 8М стремится, как и следовало, к нулю.

В заключение отметим, что если бы мы попытались тем же
способом, который был применен в этом параграфе к трехмер-
ному случаю, рассмотреть температурную зависимость намагни-
ченности двумерного ферромагнетика, то (в чисто обменном при-
ближении) мы получили бы вместо (71,6) логарифмически рас-
ходящийся интеграл. Это означает, что спонтанное намагничение
в двумерной системе с обменным взаимодействием в действи-
тельности отсутствует при всех 7'#=0. Эта ситуация аналогична
той, которая была отмечена в § 27 для двумерной бозе-жидкости
(и в V § 137 — для двумерного кристалла). Независимость энергии
системы от направления магнитного момента приводит к тому,
что в ее выражение входят только производные вектора М;
в свою очередь, это приводит, в конечном итоге, к расходи-
мости флуктуаций (в двумерном случае), разрушающих намаг-
ничение. Учет релятивистских взаимодействий, зависящих от
направления М, стабилизирует флуктуации и делает возможным
существование двумерного ферромагнетика.

Задачи

1.	Вычислить магнонные части термодинамических величин при темпера-
турах Т е (0).

Решение. Существенны магноны с малыми квази импульсами к, рас-
пространяющиеси в направлении, где щель минимальна, т. е. вблизи 0 = 0 и
0 = л; оба эти значения дают одинаковый вклад. Например, при малых 0
имеем, с требуемой точностью,

е (к) = 2&КМ + Ak2 + 4лрме’,

где Л = 2рЛ4а для кубических кристаллов или А = 2^Ма^ для одноосных
кристаллов типа «легкая ось». Распределение магнонов при рассматриваемых
температурах можно считать больцмановским (т. е. можно пренебречь едини-
цей в знаменателях подынтегральных выражений) и заменить везде в пред-
экспоненциальных множителях е (к) на е(0). Интегрирование по k и по 0
распространяется до оо, ив результате находим

маг	З2л6/2Л3/2 Р \	Т )' Ммаг~ VKM‘

При вычислении теплоемкости следует дифференцировать только экспонен-
циальный множитель

СМаг = 2рЮИ7,—8£маг...

2.	Определить зависимость иамагничеиности от внешнего поля при усло-
виях $2»|>>4лЛ1,

Решение. В указанных условиях можно пренебречь релятивистскими
членами и писать е (к) в виде (70,11). Продифференцировав выражение (71,4),
находим

<ЭЛ1_4р2 Г ее/г d?k

д^~Т J (ее/Г_1)2(2л)з*

В интеграле существенны малые к. Поэтому

дМ .. f 1 rf3fe	ТС k*dk

~ Р ' J е2 (2я)3 2л2 J (аШ40 + $)*

(полагаем а = const; Мо—значение М при $2=0) и окончательно

дМ __ Т______________

д§~ 8л(аЛ40)3/2101/2 '

Таким образом, в рассматриваемых условиях М—Ма

3.	Определить зависимость намагниченности при 7’ = 0 от внешнего поля
в слабых полях.

Решение. Дифференцируя интеграл (71,11)_х_8(к) из (71,10) по $2,
получим

дМС___________________4n2P4f»sin*0_______________cPk_

<Э£> J [(аЛ4ой2 + 4лМо51п20+(о)(аЛ4о^+§)]3/2 (2я)3'

При ф -* 0 интеграл по dk расходится логарифмически при малых k. Поэтому,
ограничиваясь логарифмической точностью, можно положить в первом мно-
жителе в знаменателе 6 = 0, §=0, а во втором $2=0, но при этом обрезать
интеграл снизу прн й2 ~ §/аЛ<0 и сверху—при k2 ~ 4л/а. В результате
получим

дМ_ fl 4лМ0

-32/л>Иоа3/2 ” $2

Напомним, что в (71,10) пренебрежено К- При $2<^/СИ в логарифме § заме-
няется на КМй.

4.	В обменном приближении определить пространственную корреляцион-
ную функцию флуктуаций намагниченности на расстоянних г^>а.

Решение. Операторы тх и ту, удовлетворяющие правилу коммутации
(70,6) н выраженные через операторы уничтожения и рождения магнонов.
имеют вид (в шредингеровском представлении)

(r) = (pA4/V)l/2 2 (oke‘kr+ а£е~‘кт),
k

ту (r)= z (PW)1/2 2 (ake‘kr —“ке"‘кГ)-
k

С помощью этих операторов вычисляем корреляционную функцию

q>(fe(r)=y	(Г1)>, r = ri—r2

(индексы г, k пробегают значения х, у). Учтя, что отличные от нуля диаго-
нальные матричные элементы имеют только произведения <okak>=nk>
<akak> = nk + 1 (где nk—числа заполнения состояний магнонов), находим

4><fe(r) = 6ife^20М («к+у) е‘кГ(^з-

Подынтегральное выражение прямо дает фурье-компоненту корреляционной
функции. Постоянный член в ней можно опустить: ему соответствует б-функ-
ционное слагаемое в ср/у (г), между тем, как все рассмотрение относится лишь
к расстояниям г^>а. Таким образом,

Ф/fe (к) = 20Мпкб,-й = 2&М [ее (к)/Г_ ]]-1 б.А.

В классическом пределе, при &<^.Т, находим

<fik (к) = б1кТ/2аЬ*.

В кубическом ферромагнетике а= const, и тогда

Ш (г) = б^Т/влосг, г > (РЛ/а/Т) V».

§ 72.	Спиновый гамильтониан

Для получения закона дисперсии магнонов во всем интер-
вале изменения квазиимпульса (а не только в длинноволновом
пределе) необходимо, разумеется, использовать более детальные
представления о микроскопической структуре ферромагнетика.

Рассмотрим диэлектрик, состоящий из атомов с равным нулю
орбитальным моментом, но отличным от нуля спином S. Если
не интересоваться высоко возбужденными состояниями, связан-
ными с возбуждением электронных оболочек атомов, можно
усреднить гамильтониан системы по орбитальным переменным
электронов атомов в основном состоянии (и при закрепленных
в узлах решетки атомных ядрах). В результате мы получим
спиновый гамильтониан системы, содержащий лишь операторы
полных спинов атомов1).

Если учитывать только обменное взаимодействие, зависящее
лишь от относительных ориентаций спинов, то операторы век-
торов спинов атомов могут входить в гамильтониан лишь в виде

*) Такая процедура аналогична тому, как строятся гамильтонианы от-
дельных атомов, описывающие тонкую структуру их уровней—ср. III § 72.
скалярных комбинаций. Существенный методический интерес
представляет исследование системы, описываемой простейшим
гамильтонианом такого рода:

Но6=----J” ^nmSnSm, Jnm — J (Гп Гт), (72,1)

т =#п

где суммирование происходит по всем атомам; «векторные» (с це-
лочисленными компонентами) индексы тип нумеруют узлы
решетки; гп — их радиус-векторы. Числа Jnm называют обмен-
ными интегралами (ср. III § 62, задачи)1). При независимом сум-
мировании по m и п каждая пара атомов встречается в сумме
(72,1) дважды, причем, конечно, Jпт — J тп-

В (72,1) все магнитные атомы в решетке предполагаются
одинаковыми (по одному в каждой элементарной ячейке). Основ-
ное же предположение, лежащее в основе такого гамильтониана,
состоит в достаточной взаимной удаленности атомов в решетке.
Обменный интеграл определяется «перекрытием» волновых функ-
ций двух атомов и очень быстро (экспоненциально) убывает с
увеличением расстояния между ними. Для системы взаимно
удаленных атомов можно поэтому считать взаимодействие пар-
ным, в связи с чем в (72,1) отсутствуют члены с произведениями
операторов спина более чем двух атомов. С этой же точностью
можно считать, что обменное взаимодействие между двумя ато-
мами осуществляется каждый раз всего одной парой электронов —
по одному из каждого атома. Тогда оператор взаимодействия будет
составлен билинейно по операторам спинов электронов, а после
усреднения по состояниям атомов—билинейно по атомным спи-
нам (С. Herring, 1966)2).

Система, описываемая гамильтонианом (72,1), ферромагнитна,
если обменные интегралы Jmn > 0. Определим энергию основ-
ного состояния такой системы. Допустим при этом наличие
также и внешнего магнитного поля <£), Добавив к (72,1) оператор

V = -20,<p2Smz	(72,2)

Ш

(ось z—в направлении поля). Оператор 25тгпроекции полного
спина системы коммутативен как с Ноб, так и с V; состояния
системы можно поэтому классифицировать по собственным
значениям этой величины.

’) Описание обменного взаимодействия спиновым гамильтонианом было
введено Дираком (Р. А. М. Dirac, 1929). Гамильтониан (72,1) введен ван Фле-
ком (J. Н. van Vleck, 1931); его обычно называют гейзенберговским, поскольку
он соответствует модели ферромагнетика, впервые рассмотренной Гейзенбергом.

а) В таких условиях суммирование в (72,1) должно производиться, ко-
нечно, лишь по парам соседних атомов. Этим, однако, запись формул никак
не упрощается, и потому мы не будем учитывать это условие явным образом.

<>*
В ферромагнитном случае основному состоянию отвечает
наибольшее возможное значение проекции суммарного спина,
равное jVS, где N—число атомов в системе (это не связано,
конечно, с наличием внешнего поля, которое лишь выделяет
избранное направление оси). Пусть у0—нормированная спиновая
волновая функция основного состояния.

Максимальное значение ACS проекции полного спина может
достигаться, лишь если и проекция спина каждого атома имеет
свое максимальное значение S. Поэтому у0 есть в то же время
и собственная функция каждого из операторов Snz:

SnzXo = ‘5Xo'	(72,3)

Введем необходимые для дальнейшего операторы S±=Sx±iSv,
удовлетворяющие правилам коммутации

S+S_— S_S+ = 2SZ, S2S± —S±S2 = ±S±	(72,4)

(см. Ill (26,12)). Их матричные элементы:

<SZ | S+ |Sz—1> = <5г—11 S_ | Sz> = K(S + S2) (S—Sz + 1) (72,5)

(cm. Ill (27,12)); оператор S+ увеличивает, a S_—уменьшает на
единицу значение проекции Sz. Далее, пишем

SmSn = Sn)2Snz 4"~2 (Sm+Sn- -|-Sm_Sn+)
и затем

H =	•/mn(Sm2Sn2+Sm_Sn+)-2p§^Sm2,	(72,6)

m=#n	m

где использована симметрия — и коммутативность опе-
раторов, относящихся к разным атомам.

Поскольку операторы Sn+ имеют матричные элементы лишь
для переходов с увеличением чисел Sz, то для состояния с наи-
большими значениями этих чисел

Sn+Xo = O	(72,7)

(что видно также и из явных выражений матричных элементов
(72,5)). Поэтому при воздействии гамильтониана (72,6) на вол-
новую функцию х0 получается

( m^n	J

Выражение в скобкахГ и есть энергия Ео основного состояния.
Заменив суммирование по ш и п суммированием по m и по
§ 72]	спиновый гамильтониан	357

q=n—m, запишем окончательно Ео в виде

Ео = - ±NS* £ -WSN&.	(72,8)

q#=0

Полный магнитный момент системы в этом состоянии есть 2PS/V.

Следующее, в порядке уменьшения проекции полного спина,
состояние системы отвечает значению NS — 1 указанной проек-
ции; оно соответствует возбуждению одного магнона с магнит-
ным моментом —2р. Таким значением проекции полного спина
обладает состояние с волновой функцией

(2S)-V3Sn_Xo,	(72,9)

в котором воздействием оператора Sn- уменьшена на 1 проек-
ция спина одного из атомов1). Эта функция, однако, не является
собственной функцией гамильтониана системы; в ней не учтена
еще трансляционная симметрия решетки. Собственная функция
гамильтониана должна быть построена как линейная комбина-
ция функций (72,9) со всем-и номерами п. Те же рассуждения,
которые привели нас в § 55 к функциям Блоха для электрона
в периодическом поле, показывают, что для правильного учета
трансляционной симметрии эта линейная комбинация должна
иметь вид

Xk = (2ArS)-V22?krnSn-Xo	(72,10)

п

(множитель Af-1/2 — нормировочный). Постоянный вектор к есть
не что иное, как квазиимпульс магнона.

Энергия е(к) магнона есть разность Еи—Е0 между энергиями
возбужденного и основного состояний системы. Поэтому

(//-£0)Zk==e(k)Zk.

Подставив в левую сторону этого равенства выражение (72,10)
и заменив затем £охо на получим

е (к) Zk = (2AfS)-1/2 2 е,кГп (tfSn_ -Sn_Я)х0.	(72,11)

п

Стоящий здесь коммутатор легко вычислить, записав Н в виде
(72,6) и использовав правила коммутации (72,4). Снова учтя

х) Нормировку функции (72,9) легко проверить, заметив, что

(Sn_Xo)* (Sn_Xo) = Xo§+_Sn_Xo <S | Sn+ Sn_ | S> =

= <S|Sn+|S-l><S-l|Sn_|S>=2S.
симметрию коэффициентов Jmn, найдем

HSn^-Sn-H

--J Н1П (Smz*Sn- SnzSm-)+2p§Sn_. (72,12)
m

Наконец, подставив это выражение в (72,11), вспомнив (72,3)
и перейдя к суммированию по q=n—m, получим

e(k)Xk = /S 2 Jq(l_e^q) + 2pehk.
(	q=#0	/

Выражение в фигурных скобках есть искомая энергия магнона.
Мнимая часть выражения под знаком суммы, будучи нечетной
функцией rq, обращается в нуль в результате суммирования,
так что окончательно

e(k) = S2 /q(l—coskrq)4-2p<£) (72,13)

q=#0

(F. Bloch, 1930).

Эта формула дает точный закон дисперсии магнонов в си-
стеме, описываемой гамильтонианом (72,1). В предельном случае
малых к она переходит, естественно, в квадратичный закон:

е (k) =^Sklkfl £ Mq<*q* + 2p£).	(72,14)

q=# о

Точка Кюри рассматриваемой системы лежит при темпера-
туре TC~J, так что при температурах T~^>J система уже за-
ведомо парамагнитна. При таких температурах можно, в первом
приближении, вовсе пренебречь взаимодействием между ато-
мами. В этом приближении магнитная восприимчивость системы
будет совпадать с восприимчивостью идеального газа атомов со
спином S и даваться формулой

(72,15)

(см. V § 52); восприимчивость отнесена к единице объема. Это
выражение является первым членом разложения функции х(Т)
по степеням 1/7". Следующие члены разложения уже зависят
от взаимодействия атомов; определим первый из них.

Восприимчивость (в нулевом поле) определяется как произ-
водная х=5Л4/5§ при >-0, а намагниченность М. вычисляется
как производная от свободной энергии: VM = — dFldfo. Ддя
решения поставленной задачи надо вычислить F с точностью до
членов 1/7"а.

Исходим из формулы р =— TVaZ, где Z—статистическая
сумма

7 —V е~Еп!т ~ V (1 __4- — —	•

~	у’ г 272	6Т3 J ’

п	п '	'
^суммирование производится по всем уровням энергии системы»).
Полное число уровней в спектре рассматриваемой системы
конечно и равно числу всех возможных комбинаций ориентаций
атомных спинов относительно решетки. Каждый спин имеет 2S 4-1
различных ориентаций; поэтому указанное число есть (2S +1 )1V.
Обозначая чертой над буквой простое арифметическое усредне-
ние, перепишем Z в виде

Z = (2S +1)" [ 1 -4Ё +	.

Среднее значение Ет = SpWm/(2S +1)^ По известному свой-
ству следа оператора он может вычисляться по любой полной
системе волновых функций; пусть это будут функции, отвечаю-
щие всем возможным наборам ориентаций атомных спинов. Тогда
усреднение сводится к независимому усреднению каждого из
спинов по его направлениям; при этом Е—0. Логарифмируя
теперь Z и снова разлагая по степеням 1/Т, с той же точностью
получим

£ = ЛЛп(2£ + 1)-^£Ч42^-	(72,16)

В этом выражении нас интересуют члены, содержащие £)2;
только эти члены дадут вклад в восприимчивость. Опустив все
остальные члены и заметив, что при усреднении нечетные сте-
пени компонент спина обращаются в нуль, получим

р__	о2	1 ’сч о т zc с \ 7с о л

г —	2^ z	' ~2Т2	2 ' л mn

n	п^т

Средние значения

sX=w;=o, sC=S(S+l)/3.

Таким образом,

F = -4p2WS(s + !)-4p2.ws2(S + 1)2 £ Jq,

q =£0

и отсюда окончательно восприимчивость

х=16^+1ИГ1+Ц»+12Е/,-|.	(72117)

I	Q Ф 0 J

Обратим внимание на то, что знак поправочного члена в квад-
ратных скобках зависит от знака обменного интеграла.

*) Последующее вычисление свободной энергии соответствует вычислениям
в V § 73, продлевая их до следующего члена разложения,
Задачи

1.	Найти магнитную часть теплоемкости системы, описывающейся гамиль-
тонианом (72,1), при температурах

Решение. Первый член разложения теплоемкости по степеням 1/Т
возникает от члена —Ег!2Т в свободной энергии (72,16). Усредняя тем же
способом квадрат гамильтониана (72,1), получим

га 1 9 V J2 SS—s s о$2($+1)2 N V* /2

£	7 , •/тпг>шРп1А	—d-----9	2~ 7 ,

qФ0

(так как SiSj[ = S (5 + 1) 6(-*/3). Для теплоемкости находим в результате

_ (V52 (5+1)1 V I2

Ьмаг------«

Ч#: 0

в соответствии с V (73,4).

2.	Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить намагничен-
ность парамагнетика при произвольном соотношении между 05 и Т.

Решение. Статистическая сумма (для одного спина в поле)

S’	>

7_ v	_sh [205($+х/а)/Л

,^-	4	Т г)~	sh(05/T)

Вычисляя свободную энергию и дифференцируя ее по 5, находим намаг-
ниченность

(L. Brillouin, 1927), При 05<^Т это выражение переходите (72,15). В обрат-
ном пределе, при 05 ^>Т, намагниченность стремится к своему номинальному
значению по закону

§ 73. Взаимодействие магнонов

Существенный методический интерес представляет вопрос
о вкладе в магнитную часть термодинамических величин фер-
ромагнетика, происходящем от взаимодействия магнонов; напом-
ним, что вычисления в § 71 были основаны на представлении
об идеальном газе невзаимодействующих магнонов. Рассмотрим
этот вопрос для системы, описываемой обменным спиновым га-
мильтонианом -(72,1).

Имея в виду нахождение вклада только наиболее низкого
порядка по малому отношению ТГГС, мы можем ограничиться
лишь парным взаимодействием магнонов. Это значит, что надо
рассмотреть двухмагнонные состояния системы, в которых про-
екция полного спина равна NS—2.
Такой проекции отвечают волновые функции

X„n=[4S(2S-l)]-^n_Sn_Xo,
Xmn = (2S) ^m-Sn-Xo» ГОт^П;

поскольку операторы спина различных атомов коммутативны,
то Хтп = Хпт О- ФуНКЦИИ (73,1) Нормированы уСЛОВИбМ ХтпХтп= 1,
в чем легко убедиться, раскрывая произведение таким же обра-
зом, как это было сделано для проверки нормировки в (72,9).
Тем же способом можно убедиться и во взаимной ортогональ-
ности различных функций Хтп-

Функции (73,1) не являются сами по себе собственными функ-
циями гамильтониана. Волновые же функции двухмагнонных
стационарных состояний системы должны представлять собой
определенные линейные комбинации функций Xmn, которые за-
пишем в виде

X —	у-^ ФтпХтп +	ФппХпп

m =# n r	п

(73,2)

(поскольку Xmn и Хпт—одно и то же, то надо полагать и
фт'п = фпт). Совокупность коэффициентов фтп составляет волно-
вую функцию в представлении, в котором независимыми пере-
менными являются номера атомов в решетке. Множитель 1/^2
в первой сумме в (73,2) введен для того, чтобы квадрат модуля
| X |а был равен сумме 21 фтп|2, в которой каждая из различ-
ных фщп встречалась бы лишь один раз.

Тем же способом, которым было найдено уравнение (72,11)
для волновых функций одномагнонных стационарных состояний,
найдем, что функции (73,2) должны удовлетворять аналогичному
уравнению

sm.s„.}b +
m =# п

где теперь £ — Е—Ео—энергия двух взаимодействующих друг
с другом магнонов (а скобки {...} означают коммутатор).

Раскроем коммутаторы в правой стороне уравнения (73,3).
Для этого замечаем, что

{Н,	Sm-}Sn-+Sm-{H, Sn_},

!) Если спии S=l/2, то двукратное применение одного н того же опе-
ратора Sn- к функции основного состояния Хо обращает ее в нуль. В этом
случае, следовательно, все «диагональные» функции Хпп^О.
и используем выражения (72,12) для коммутаторов {Н, Sn-}.
После этого с учетом правил коммутации (72,4) переставляем
операторы S2 в крайнее правое положение, где они, воздействуя
на функцию %0, умножают ее на S. В результате получим
{7Д $т-$п-} Хо = S 2 [/ml (Sm- — S|_) Sn- 4~

+ /nl (S„_ — Si —) Sm-] Xo 4*	2 JnlSn-Sl-%0 JmnSm-Sn-Xo 4~

4- 4p§Sm-Sn-Xo.; (73,4)
для упрощения записи формул ограничения, налагаемые на
индексы суммирования, не выписываются — суммирования про-
изводятся по всем значениям 1, по при этом подразумевается,
что все «диагональные» /ц = 0.

Дальнейшая процедура сводится к подстановке (73,4) в урав-
нение (73,3) и приравниванию коэффициентов, стоящих при
одинаковых функциях Xmn в обоих сторонах равенства. Вычис-
ления элементарны, хотя и довольно громоздки. Они приводят
в результате к следующей системе уравнений для величин фтп:

(2JS- S) Фтп — S2 (/ 1тф1п 4" J 1пф]т) 4- Jтпфтп—

1

(Фтт + Фпп)+26тп 2/1тф1т^| , (73,5)
где

^[>-(¥П

и введено обозначение J для суммы 2/ш,- не зависящей, оче-

1

видно, от индекса п1).

Перейдем в этом уравнении от координатного представления
(независимые переменные — координаты атомов гп, гт) к импульс-
ному, т. е. положим

фтп=4'е,К(Г,п+Гп)/221,’(К’ к)е'Ь(Гт"Гп)- (73,6)
к

Вектор К играет роль суммарного квазиимпульса двух магно-
нов, а к — квазиимпульса их относительного движения; сумми-
рование производится по N дискретным значениям к, допускае-
мым для решетки объема Nv (N—число атомов в решетке, v —

4 Этиуравнения справедливы и в случае спина S = 1/2, когда Bceipnn произ-
вольны. Обратим внимание на то, что при S= 1/2 все «диагональные» величи-
ны ipnn вообще выпадают из уравнений с m п. Уравнения же с m = n в этом
случае надо просто считать отсутствующими.
объем ее элементарной ячейки). Вместе с фтп надо представить
в виде ряда Фурье также и обменные интегралы:

Jmn = ±2e,’k(rm_rn)/(k)- J(k)=£Jone-ik(r°-rn) (73,7)
k	n

(поскольку = TO J(k) = J(—k)).

Опустив простые промежуточные выкладки, приведем сразу
окончательный результат преобразования уравнения (73,5):
[е (A + k) + e (-К —к) — £>] ч|> (К, к) +

+ р(К, к, к')ф(К, к')^=0, (73,8)
где

NU(K, к, к') = Л5[/(4 + к) + /(4-к) + /(4 + к') +

+ j(4-kj]—l[J(k-k') + J(k+k')L (73,9)
а е(к) — энергия одного магнона, определяемая формулой (72,13);
суммирование по к' заменено интегрированием по одной ячейке
обратной решетки.

Таким образом, точная (в рамках гамильтониана (72,1))
задача о двухмагнонных состояниях системы сводится к реше-
нию уравнения, вполне аналогичного уравнению Шредингера
для системы двух частиц в импульсном представлении (ср. Ill
(130,4)). При этом функции е(к) играют роль кинетических
энергий частиц, а ядро интегрального уравнения U (К, к, к') —
роль матричного элемента энергии U их взаимодействия для
перехода (рассеяния) из состояний с импульсами к£, ка в со-
стояния с импульсами к^, ка, где

kj=-g--]-k, ка = -^—-к, kj= —-]-к',	k2=-g—к'.

В этом смысле U (К, к, к') целесообразно записать в виде

NU(K, ка; к1,ка) = Л5[/(к1) + /(ка) + /(к;) + /(к;)]-

-l[j(ki-k;)+J(kI-ka)].	(73,10)

В общем случае уравнение (73,8—9) очень сложно. Мы огра-
ничимся вычислением поправки к термодинамическим величинам
в предположении S^>1. Простота этого случая связана с тем,
что энергия магнонов е(к) пропорциональна S, а их взаимодей-
ствие U не зависит от S (при S 1 коэффициент в (73,9) Л5 « 1/4).
Поэтому U можно рассматривать как малое возмущение. Тогда
поправка йвз (от взаимодействия магнонов) к термодинамическому
потенциалу Q будет даваться просто средним значением U. Взяв
«диагональный матричный элемент»

U (ко к2; ki( к8) = ± [J (kJ + J (kJ-J (к-к2)-J (0)], (73,11)

мы тем самым усредняем по состоянию с заданными квазиим-
пульсами магнонов. После этого статистическое усреднение по
равновесному распределению магнонов осуществляется интегри-
рованием

QB3 = fn(k1)n(k2)t/(k1, k2; k1( k2)^^,	(73,12)

где n(k) =[exp(e(k)/jT)—1]~х—функция распределения Бозе.

При низких температурах интеграл определяется областью
малых значений kt, k2, соответственно чему следует разложить
все е (к) и J (к) по степеням к. Тогда е (к) дается квадратичным
выражением (72,14). Поскольку J (к) — четная функция к, то
квадратичны также и первые члены ее разложения:

J(k)«J(O)+ai.^ft.

Тогда

U(klt k2; kn k2) = aikkukik.

Но при подстановке этого выражения, нечетного по kj и к2,
в (73,12) интеграл обращается в нуль в результате усреднения
по направлениям kt и к2.

Поэтому в разложении J (к) надо учесть члены четвертого
порядка, в результате чего в интеграле (73,12) функция
U (kv k2; kj, k2) оказывается формой четвертой степени, причем
отличный от нуля вклад в интеграл дают члены этой формы,
квадратичные по к* и по к2. Ввиду быстрой сходимости интегри-
рование может быть распространено по всему к-пространству.
Заменой переменных к = к У~Т убеждаемся тогда, что зависимость
йвз от Т и § имеет вид

Явз=^П/(§/Т),	(73,13)

причем /(0) и f (0) конечны. Отсюда следует, что поправочный
член в намагниченности

= <73'|4>

Такому же закону следует поправочный член в теплоемкости1).

J) Эти результаты (в общем случае произвольного спина) были впервые
получены Дайсоном (F. Dyson, 1956). В изложенном выводе уравнения (73,5)
мы следовали в основном Бойду и Каллавэю (R. J. Boyd, J. Callaway, 1965).
Мы видим, что взаимодействие магнонов приводит к поправ-
кам в термодинамических величинах лишь в высоком прибли-
жении по Т/Тс. Напомним, что основные члены в намагничен-
ности и в магнитной части теплоемкости следуют закону Т3/2.
Между этими членами и поправками- от йвз существуют еще
члены, пропорциональные Т3/3 и Т^2, происходящие от следую-
щих членов разложения энергии магнонов е(к) по степеням к2.

С помощью полученных уравнений можно рассмотреть также
вопрос о связанных состояниях двух магнонов. Эти состояния
проявляются как дискретные (при заданном К) собственные
значения уравнения (73,8). Как функции переменной К, эти
собственные значения <£(К) представляют собой новые ветви
элементарных возбуждений в системе. Исследование показывает,
однако, что эти состояния существуют только при достаточно
больших значениях К; поэтому они во всяком случае не влияют
на термодинамические величины ферромагнетика при низких
температураха).

Задача

В предположении S!>1 найтн поправочные члены от взаимодействия
магиоиов в намагниченности и теплоемкости для кубической решетки, в ко-
торой обменные интегралы отличны от нуля только дли соседних (вдоль ку-
бических осей) пар атомов.

Решение. Каждый атом имеет шесть ближайших соседних атомов. По
определению (73,7), находим

J (k) = 2J0(cos fexa + cos kya-{-cos kz a),
где —обменный интеграл для пары соседних атомов, а а—длина ребра
кубической ячейки. При малых к

J (к) « Л [2-a2fe24-4(fe*-t-fe£+*z)].

Отсюда

(/(ki, к2; кх, к2) =-(feix^lz + ^iv^ty + feiz^lz)

(опущены члены, нечетные по kj и к2). Энергия магнона (согласно (72,14))
e(k) = SJ0 aafe’ + 2₽§.

Вычисление интеграла (73,12) приводит к
л*,» _	зяиз/2):е/2) ( т у

М	2$а \4nSjJ ’

($—дзета-функция).

следующим результатам:

15л£а(*/2)ЛГ
свз---------g-----

*) См. М. Woriis, Phys. Rev. 132, 85 (1963). Речь идет о трехмерной ре-
шетке. В двух- и одномерном случаях связанные состояния магнонов суще-
ствуют при всех значениях к.
§ 74. Магноны в антиферромагнетике

Антиферромагнетики характерны тем, что магнитные моменты
всех электронов в пределах каждой элементарной ячейки кри-
сталлической решетки взаимно компенсируются (в состоянии
равновесия в отсутствие магнитного поля). Плотность магнит-
ного момента распределена, строго говоря, по всему объему
ячейки. Но в кристаллах антиферромагнитных диэлектриков
с хорошей точностью можно считать, что фактически эта плот-
ность локализована у отдельных атомов, каждому из которых
можно приписать определенный магнитный момент. Эти моменты,
повторяясь периодически во всех ячейках, создают магнитные
подрешетки антиферромагнетика.

Различные антиферромагнетики очень разнообразны по'своей
структуре. Вопрос об их магнитном энергетическом спектре мы
рассмотрим на типичном примере кристалла с двумя магнитными
атомами, расположенными в эквивалентных точках каждой эле-
ментарной ячейки (т. е. в точках, переходящих друг в друга
при каких-либо преобразованиях кристаллографической сим-
метрии кристалла). Средние плотности магнитных моментов,
образованных этими атомами подрешеток, обозначим через Mj
и М2 и введем два вектора

М = М1 + Мг, L = Mj—Ма.	(74,1)

В основном состоянии антиферромагнетика М = 0, L=£0,
между тем как у ферромагнетика было бы М=^0, L = 0. Под-
черкнем существенную разницу между основными состояниями
в-обоих случаях. В обменном приближении, в основном состоя-
нии ферромагнетика проекции спинов всех магнитных атомов
имеют определенные (наибольшие возможные) значения Sz — S,
чему соответствует номинальное значение намагниченности М.
В основном же состоянии антиферромагнетика намагниченности
подрешеток заведомо не могут иметь своих номинальных зна-
чений, так как суммарные проекции спинов каждой из подре-
шеток в отдельности не являются (даже в обменном приближе-
нии) сохраняющимися величинами и потому не имеют (в ста-
ционарном состоянии) определенных значений. Тем более не
имеют определенных значений проекции спина отдельных атомов.

Вид макроскопических «уравнений движения» векторов L
и М устанавливается аналогично тому, как это было сделано
в § 69 для ферромагнетика. Условие отсутствия диссипации при-
водит к требованию, чтобы в силу уравнений движения выпол-
нялось равенство
где «эффективные поля» HL и Нм определяются выражением

6F = — J (Н£ 6L + HM 6М) dV	(74,3

для изменения свободной энергии при варьировании L и М
в равновесии HL = HM = 0.

В обменном приближении искомые уравнения должны был
инвариантны относительно одновременного поворота всех маг-
нитных моментов относительно кристаллической решетки. Вместе
с кристаллографической эквивалентностью положений двух маг-
нитных атомов в ячейке отсюда следует также и необходимость
инвариантности относительно перестановки М* и М2, т. е. отно-
сительно преобразования L—> — L, М—>-М. Ввиду инвариант-
ности свободной энергии при этом преобразовании также
и Hi —-НЛ, Нм — НЛ1.

Рассматривая малые колебания магнитных моментов, положим
L = LO + 1, M = m, где 1 и m — малые величины. В линейном
приближении уравнения движения, удовлетворяющие поставлен-
ным условиям, имеют вид

S-=T[H«V]. ТГ-ННЩ,	(74,4)

где v—единичный вектор в равновесном направлении вектора
Lo; преобразование L—> — L означает, что и v—> — v. Здесь
учтено, что величины НЛ и Нм, обращающиеся в нуль в равнове-
сии, сами линейны по I и m и что v — единственный имеющий-
ся в нашем распоряжении постоянный вектор. По аналогии с
§ 69 коэффициент у можно было бы записать как у = (g | е \l2tnc)
в отличие от ферромагнетика, однако, теперь g^-2 даже в
пренебрежении релятивистскими эффектами. При монохромати-
ческих колебаниях d\/dt = — i®l, ..., и тогда определяемые
уравнениями (74,4) векторы 1 и m перпендикулярны v. В рас-
сматриваемом приближении это значит, что вектор L прецесси-
рует вокруг направления v с постоянной абсолютной величи-
ной L ж Le.

Для определения эффективных полей НЛ и НЛ1 надо устано-
вить вид свободной энергии кристалла. При этом надо ограни-
читься членами второго порядка по малым величинам 1 и гп,
а для членов с производными от этих величин по координатам —
не выше второго порядка по волновому вектору колебаний,
длина волны которых предполагается (как и в § 70) большой
по сравнению с постоянной решетки. В обменном приближении
свободная энергия должна быть инвариантна по отношению
к одновременным поворотам всех магнитных моментов, а также
и по отношению к изменению знака L. Выражение, удовлетво-
ряющее всем поставленным условиям, имеет вид

г, (* (am2 Ь ( . 51	. 5т \ . 1	51 51 )

F°6~ J ( 2 + 2 Г дг ~5F) +^aik	(74,5)

где ось z направлена вдоль v (так что изменение знака v озна-
чает также и изменение знака г); коэффициент а > 0 в соответ-
ствии с тем, что в равновесии должно быть гп = 0. Член с I2
здесь отсутствует, так как его наличие означало бы зависимость
энергии от направления вектора L —L0 + l в кристалле, кото-
рая в обменном приближении отсутствует. Член с суммой
m dl/дг +1 дщ/dz сводится к полной производной и исчез бы
при интегрировании по объему. Наконец, члены, квадратичные
по производным dm/dxf, не надо учитывать, так как они заве-
домо малы по сравнению с членом с гп2. Варьируя интеграл
(74,5) (и произведя в нем интегрирования по частям), получим

Нм = -ат-Ь-^.	(74,6)

Для плоской монохроматической спиновой волны уравнения
движения (74,4) дают теперь:

—	= — ya[mv]—

— iom = ikz yb [mv]—ya (n) k2 [lv],	* ’

ТД& снова (как и в § 70) a (n) = ai!tninlt, п—единичный вектор
в направлений к. Умножив первое из этих уравнений векторно
на v, получим

yam = — i®[lv] — ikzybl,	(74,8)

подстановка же этого выражения во второе уравнение сразу
приводит к следующему закону дисперсии спиновых волн:

<a = y^[aa(n)—b2(vn)2]1/2.	(74,9)

Таким образом; частота спиновых волн, а тем самым и энергия
магнонов е=4о в антиферромагнетике в обменном приближении
пропорциональны k, а ие k2, как в ферромагнетике1).

Уравнения (74,7) устанавливают однозначную связь между
1 и гп, но обе компоненты I (в плоскости, перпендикулярной v)
остаются произвольными. Это значит, что спиновые волны в рас-
сматриваемом антиферромагнетике имеют два независимых на-
правления поляризации.

Для учета магнитной анизотропии надо сделать более кон-
кретные предположения о характере симметрии кристалла.

х) Такой закон днсперснн для антиферро'магнетиков впервые получен
Хюльтеном (L. Hulthen, 1936). Вывод, использующий макроскопическое рас-
смотрение намагниченностей подрешеток, дан М. И, Кагановым и В. М. Цу-
керником (1958).
Пусть кристалл имеет одноосную симметрию, причем равновес-
ное направление L. совпадает с осью симметрии1).

Из. (74,8) видно, что вектор m в спиновой волне мал по срав-
нению с 1—содержит лишнюю степень малого волнового век-
тора к. В таком же смысле эффективное поле НМ^>Н£. По этой
причине достаточно учесть анизотропию, связанную с вектором 1.
При сделанных предположениях плотность этой энергии £7ан =
=/<13/2, причем К > 0. Ее учет приводит к появлению дополни-
тельного члена —Д’! в эффективном поле Н£, которое для плос-
кой волны становится равным

Н£ = /Лг&т—[а (п) *»+/<] 1.	(74,10)

Отсюда видно, что с учетом анизотропии'закон дисперсии спи-
новых волн получается из (74,9) заменой на afr’ + A’- В ре-
зультате при k—>-0 энергия магнонов будет стремится не к нулю,
а к конечной величине2)

е (0) =Ду ]/"аД	(74,11)

(Ch. Kittel, 1951). Обратим внимание на то, что щель в спектре
оказывается пропорциональной корню из константы анизотропии
(а не ее первой степени, как в (70,12)). Поскольку малость ре-
лятивистских эффектов выражается относительной малостью
константы анизотропии, то в антиферромагиетике эти эффекты,
вообще говоря, существеннее, чем в ферромагнетике.

Магнонный вклад во внутреннюю энергию антиферромагне-
тика вычисляется по формуле (71,3). В области температур
е (0) Т <5 TN (Т N—температура исчезновения антиферромагне-
тизма, точка Нееля) можно пользоваться спектром (74,9). Вод-
ноосном кристалле

® = ya1/2[ai(fej-|-^)-|-a2fel]1/a, о^ = а2—Ь2/а.

Вычисление интеграла (71,3) приводит к следующему результату
для магнонного вклада в теплоемкость:

4д2ТЗ

Смаг = V 15?V/2 (а^)1'2 f3 '	(74’12)

При температурах же T<^.e(Q) магнонный вклад в термоди-
намические величины экспоненциально мал.

х) К такому типу относится антиферромагнетнк FeCOj, имеющий ромбо-
эдрическую решетку (кристаллической класс Dsd) с двумя ионами Fe в эле-
ментарной ячейке. Магнитные моменты этих ионов направлены в противопо-
ложные стороны вдоль осн симметрии третьего порядка.

2) Частоту <о (0) = е (0)/Л называют частотой антиферромагнитного резо-

нанса.
ГЛАВА VIII

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ

§ 75. Гриновская функция фотона в среде

Приступая к изучению статистических свойств электромаг-
нитного поля в материальных средах, напомним прежде всего,
в чем заключается смысл, усреднений, которым подвергаются
электромагнитные величины -в макроскопической электроди-
намике.

Если исходить, для наглядности, из классической точки зре-
ния, то можно различать усреднение по физически бесконечно
малому объему при заданном расположении всех частиц в нем
и затем усреднение полученной величины по движению частиц.
В уравнения Максвелла макроскопической электродинамики
входят полностью усредненные величины. При рассмотрении же
флуктуаций поля речь идет о колебаниях со временем величин,
усредненных лишь по физически бесконечно малым объемам.

С квантовомеханической точки зрения говорить об усредне-
нии по объему можно, разумеется, не для самой физической
величины, а лишь для ее оператора; второй же шаг заключается
в определении среднего значения этого оператора с помощью
квантовомеханических вероятностей. Фигурирующие ниже в этой
главе операторы поля будут пониматься как усредненные только
в первом смысле.

Статистические свойства электромагнитного излучения в ма-
териальной среде описываются гриновской функцией фотона
в среде. Для фотонов роль ф-операторов играют операторы
потенциалов электромагнитного поля. Фотонные функции Грина
определяются через эти операторы таким же образом, как они
определяются для частиц через ф-операторы.

Потенциалы паля составляют 4-вектор = (А0, А), где А°=<р
скалярный, а А — векторный потенциалы. Выбор этих потенциа-
лов в классической электродинамике неоднозначен: они допус-
кают так называемое калибровочное преобразование, никак не
отражающееся ни на каких наблюдаемых величинах (см. II § 18).
Соответственно в квантовой электродинамике такая же неодно-
значность имеет место в выборе операторов поля, а с ними —
и в определении гриновских функций фотона. Мы будем поль-
зоваться калибровкой, в которой скалярный потенциал равен
нулю:

Л° = Ф = 0,

(75,1)

так что поле определяется одним лишь векторным потенциалом.
Такая калибровка обычно оказывается удобной для задач,
в которых речь идет о взаимодействии электромагнитного поля
с нерелятивистскими частицами, — как это и имеет место для
поля в обычных материальных средах.

В этой калибровке функция Грина представляет собой трех-
мерный тензор второго ранга

Dik (Xi, Х2) = - i <ТЛ(XJ Ак (Х2)>	(75,2)

(t, k — x, у, z—трехмерные векторные индексы), где угловые
скобки обозначают (как и в (36,1)) усреднение по распределе-
нию Гиббса для системы, состоящей из среды вместе с находя-
щимся с ней в равновесии излучением; поскольку фотоны являются
бозонами, то перестановка операторов Л,-, Ак при их хроноло-
гизации не сопровождается изменением знака произведения.
Напомним также, что операторы —самосопряженные (чем
выражается истинная нейтральность фотона); поэтому в (75,2)
не делается различия между Л,- и At1).

В качестве первичного понятия для построения всех видов
фотонных гриновских функций следует, однако, пользоваться
не (75,2), а запаздывающей функцией Грина, определенной со-
гласно

<Ai(X1)Ak(X2)-Ak(X2)Ai(X1)>, ^>/2,/7,

iD^{Xit Х2) = |

(знак минус между двумя членами в угловых скобках отвечает
определению (36,9) для статистики Бозе).

Для замкнутой системы функция Грина зависит от моментов
времени tlt t2 только через их разность t = —t2. Что же ка-
сается координат гп г2, то в общем случае неоднородной среды
они входят в функцию независимо друг от друга: D&ft; г1( г2).
Соответственно фурье-разложению эта функция будет подвер-

*) В общем случае произвольной калибровки потенциалов фотонная функ-
ция Грина является 4-тензором £>p,v (в калибровке же (75,1): £>Оо = О, £>о< = О).
Общие тензорные и калибровочные свойства фотонной функции Грииа в ста-
тистике— такие же, как и в квантовой электродинамике поля в вакууме. От-
метим, что определение (75,2) отличается знаком от принятого в IV. Оно
выбрано здесь единообразно с определением гриновских функций других бо-
зонов (в том числе фононов).
гаться только по времени; компонента этого разложения

во

DI (со; гп г2) = $ eia,t D% (t; гй r2) dt. (75,4)
о

Рассматривая величины, усредненные по физически беско-
нечно малым объемам, мы тем самым ограничиваем себя рас-
смотрением лишь длинноволновой части излучения, в которой
волновые векторы фотонов удовлетворяют условию

ka<^l	(75,5)

(а — межатомные расстояния в. среде). В этой области частот
гриновская функция фотона может быть выражена через другие
макроскопические характеристики среды—ее диэлектрическую
и магнитную проницаемости е(со) и ц(со).

Для этого запишем оператор взаимодействия электромагнит-
ного поля со средой:

Р = —	(75,6)

где j—оператор плотности электрического тока, создаваемого
частицами среды1). Если же в среду внести некоторый класси-
ческий «сторонний» ток j(i, г), то с ним будет связан оператор
взаимодействия

V = — ур(*, r)Ad3x.	(75,7)

Это выражение позволяет установить связь с общей теорией
отклика макроскопической системы на внешнее воздействие.

Напомним, что в этой теории (см. V § 125) фигурировал
дискретный ряд величин ха (а = .L 2,...), характеризующих по-
ведение системы под действием определенных внешних воздей-
ствий. Эти воздействия описываются «возмущающими силами»
fa(t) такими, что оператор энергии взаимодействия имеет вид

v=—2/л»
а

*) См. IV § 53 (в IV ток обозначается как ej, т. е. элементарный заряд е
выносился из определения j). Оператор (75,6) подразумевает использование
релятивистского выражения для оператора тока. В нерелятивистских задачах
можно пренебречь в ф-операторах (из которых строитси оператор тока j) ча-
стями, связанными с отрицательными частотами, т. е. с античастицами. Это
означает, в частности, пренебрежение радиационными поправками, которые
изменяют фотонную функцию Грина в вакууме за счет виртуального рождения
электронно-позитронных пар. Эти поправки пренебрежимо малы при длинах
воли Kime—условие, заведомо выполиениое в области (75,5).-
где ха—операторы величин ха. Средние значения xa(t), уста-
навливающиеся под действием возмущения, являются линейны-
ми функционалами сил Для фурье-компонент всех величин
эта связь записывается в виде

Хав> — 2 ааЬ (®) fbd>
Ь

(предполагается, что в отсутствие возмущения xa — Q). Коэффи-
циенты ааЬ в этих соотношениях называют обобщенными, воспри-
имчивостями системы. Если обе величины ха и хь ведут себя
одинаково по отношению к обращению времени, а тело не маг-
нитоактивно (не обладает магнитной структурой и не находится
в магнитном поле), то величины ааЬ симметричны по своим ин-
дексам.

Здесь нам придется иметь дело с величинами fa и ха, име-
ющими распределенный характер—функциями координат г точки
тела. В таком случае выражение V надо писать в виде

V = -^fAt,r)xaV,r)d°x,	(75,8)

а

а соотношение между средними значениями ха и силами fa—как
Хач> (г) = S J ааЬ Г» Г') fba (г') Л3х’.	(75,9)

Обобщенные. восприимчивости становятся теперь функциями
координат двух точек в теле, а их симметрия выражается ра-
венством

сса6 (со; г, г') = сс6а (со; г', г).	(75,10)

Согласно формуле Кубо (см. V (126,9)), восприимчивости
выражаются через средние значения коммутаторов гейзенбер-
говских операторов xa(t, г):

(®; г, г') =

=	г)хь(0, г')—xb($,v')xa(t, r)>dt. (75,11)

о

Будем рассматривать теперь в качестве «сил» fa компоненты
вектора тока j. Тогда из сравнения (75,7) с (75,8) видно, что
отвечающими им величинами ха будут компоненты векторного
потенциала поля А/с. Сравнение же формулы (75,11) с опреде-
лением (75,3—4) показывает теперь, что обобщенные воспри-
имчивости ааЬ (со; г, г') совпадают с компонентами тензора

—Ца(<о; г, г')Дс2.
В силу (75,10) отсюда сразу следует (для немагнитоактив-
ных сред), что

^(®; г, г') = D& (со; г', г).	(75,12)

Соотношения же (75,9) принимают вид

Ди (г) = — j D^(co; г, г') jka (r')d3x'.

(75,13)

Среднее значение А есть не что иное, как векторный по-
тенциал макроскопического (полностью усредненного—см. на-
чало параграфа) электромагнитного поля в среде; ниже черту
над А (а также и над другими макроскопическими величинами)
не будем писать. Учтем теперь, что макроскопическое поле,
создаваемое классическим током j, удовлетворяет уравнению
Максвелла

, и 4л . КО-

ГО! Ни — — ]и—— DB,

где D — электрическая индукция; в общем случае анизотропной
среды D0) связано с напряженностью Еи соотношениями Ди =
= е1-л(со)£,^й); если среда неоднородна, то тензор диэлектрической
проницаемости является также и функцией координат: ert(w,r).

В выбранной нами калибровке потенциалов (75,1) имеем

Bffl = rotAffl, Eto = i^-Affl,	(75,14)

где В — магнитная индукция, связанная с напряженностью Н
соотношениями = р.17г//^и *). Поэтому для потенциала имеем
уравнение* 2)

[rotte (pmarotnA) ^5	=—

Подставив сюда Аи в виде (75,13), найдем, что функция ДД
должна удовлетворять уравнению

[rot^p^rot,,;)—^e,.z]z);^(w; г, г') = —4лАб,Аб (г—г'). (75,15)

Это уравнение существенно упрощается для изотропных
(в каждом своем элементе объема) сред, когда тензоры eZfe и
сводятся к скалярам. Магнитная проницаемость обычно близка

т) Напомним, что в макроскопической электродинамике среднее значение
микроскопической электрической напряженности принято обозначать как Е,
а среднее значение магнитной напряженности—как В и называть магнитной
индукцией.

2) Здесь и ниже пользуемся обозначением го^^е/мд/дх^, где —еди-
ничный антисимметричный псевдотензор. При этом (rot А), = го1«Лр
к 1, и ниже в этом параграфе мы будем считать ее равной 1.
Положив = и = получим уравнение

ГдД-----6.-,А —6.-,^-е (со; г)] ОД(®; г, г') =

=* — 4лЪ81к6 (г—г'). (75,16)

Таким образом, вычисление запаздывающей функции Грина
для неоднородной среды сводится к решению определенного
дифференциального уравнения (И. Е. Дзялошинский, Л. П. Пи-
таевский, 1959).J).	,

На границах между различными средами компоненты тензора
D^k должны удовлетворять определенным условиям. В уравне-
нии (75,16) вторая переменная г' и второй индекс k не участ-
вуют в дифференциальных или алгебраических операциях, про-
изводимых над тензором D^, т. е. играют лишь роль парамет-
ров. Поэтому граничные условия должны ставиться только по
координатам г для функции Dfy (со; г, г'), рассматриваемой как
вектор по индексу I. Эти условия соответствуют известным из
макроскопической электродинамики требованиям непрерывности
тангенциальных компонент Е и Н * 2 *). Поскольку Е =—А/с, то
роль вектора Е играет при этом производная

с dt lR 4 *	9 '

или, в компонентах Фурье,

i(со; г, г').	(75,17)

Аналогичным образом, роль вектора Н (совпадающего при ц = 1
с В) играет

rotzfDlft(w; г, г').	(75,18)

Для пространственно-однородной неограниченной среды
функция D-1 зависит только от разности г—г'. Для компонент
фурье-разложения по этой разности дифференциальное уравне-

*) Отметим, что функция оказывается функцией Грина уравнений
Максвелла в известном из математической физики смысле — решение уравне-
ний поля с точечным источником, удовлетворяющее условию запаздывания
(опережающая функция удовлетворяла бы такому же уравнению с е* вмес-
то е).

2) Граничные условия для нормальных компонент В и D не дают в дан-

ном случае ничего нового в соответствии с тем, что в поле, меняющемся со

временем как уравнения divD = 0, div В = 0 являются следствием урав-

нений rot Е = imB/c, rotH =—icoD/c.
ние (75,16) сводится к системе алгебраических уравнений

[k&-6,-^ + б,.^ е (со)] D& (со, k) = 6W.

(75,19)

Решение этих уравнений:

(со, к) =Гбм

' are (со)/с2—к2 |_ ,я

C2kjkb "I

<о2е(со) J’

(75,20)

Согласно (36,21), функция Грина D{k для однородной среды
выражается через запаздывающую функцию формулой

Drt(a>, k) = ReD^(a>,k) + fcth^. ImDg(a>, k). (75,21)

При Т—>0 эта формула дает

(со, k) = ReZ)^(со, к) 4- isign со• Im (co, к).	(75,22)

Функция D& дается выражением (75,20); если учесть, что
Re е (со)—четная, a Im8 (со)—нечетная функция со, то мы най-
дем, что при Т = 0

Dlk(®, k) = D^(|co|, k).	(75,23)

В пустоте 8 (со) — 1. Но поскольку во всякой материальной
среде Im 8 (со) > 0 при со>О, то вакууму отвечает предельный пере-
ход 8—И-НО. При этом получается выражение

п<°>	______(х  c2kjkk\

Uik к) — + V ik со2 • ) ’

совпадающее с известным результатом квантовой электродина-
мики (см. IV § 77).

§ 76.	Флуктуации электромагнитного поля

Как уже было указано в начале предыдущего параграфа,
при рассмотрении флуктуаций электромагнитного поля речь
идет о колебаниях со временем величин, усредненных только
по физически бесконечно малым элементам объема (но не по
движению частиц в нем). В таком же смысле надо понимать и
квантовомеханические операторы этих величин.

Основные формулы теории электромагнитных флуктуаций
могут быть написаны непосредственно исходя из общих формул
флуктуационно-диссипационной теоремы (V § 125). Напомним,
что для дискретного набора флуктуирующих величин ха спект-
ральное распределение флуктуаций выражается через обобщен-
ные восприимчивости ааЬ (со) формулой

(хаХь)ц> “ -у (&Ьа &ab) Clh ,
где сама величина (хвхь)ш представляет собой компоненту фурье-
разложения по времени корреляционной функции

Ф«ь (0 = 4	(0 ~хъ (°) + *ь (°) (0>.

а ха (t) — гейзенберговские операторы величин ха. В случае
распределенных величин ха (г) (функции координат точки в теле)
эта формула записывается в виде

(41>42>)a> = ycth^[a^(®; г2, Г1)—ао6(ю; гх, г2)],	(76,1)

где индексы (1) или (2) означают, что значение величины бе-
рется в точке гг или г2.

В предыдущем параграфе было показано, что если величи-
нами х^ являются компоненты векторного потенциала А (г)/с,
то соответствующими обобщенными восприимчивостями будут
компоненты тензора —РД(ю; гй г2)/Ас2. Поэтому сразу находим

— rlt r2)—[Z?jg (ш; ra, г,)]*}.	(76,2)

Спектральные функции флуктуаций напряженностей поля по-
лучаются из (76,2) простым способом. Пусть <pfk (lit rf, t2, ra) —
корреляционная функция флуктуаций векторного потенциала;
выражение (76,2) есть компонента фурье-разложения этой функ-
ции по t = tx—t2. Поскольку электрическая напряженность

то такая же функция для компонент Е

Е 1 д2 А 1 А
са	с2 dt2

или, в фурье-компонентах:

(Em2% = ^(A?A?)a.	(76,3)

Аналогичным образом, учитывая связь В = rot А, получим

= rot^rot^ (Л?»Л«>)И,	(76,4)

(£)1>В12’)(В=^го1^(Л]1>ЛЙ>)й).	(76,5)

Выражая корреляционные функции электромагнитных флуктуа-
ций через запаздывающую функцию Грина, формулы (76,2—5)
сводят задачу об их вычислении к решению дифференциального
уравнения (75,15) или (75,16) с надлежащими краевыми усло-
виями на заданных границах тел1).

Ниже мы будем считать, что среда немагнитоактивна. Тогда
функция Dil обладает свойством симметрии (75,12) и выраже-
ние (76,2) принимает вид

(Л?>ЛНа>=-с1Ь^1тР^(а>;гх, г2).	(76,6)

Обратим внимание на то, что выражение (76,6) вещественно.
Вместе с ним вещественны и (76,3—4), а (76,5) — мнимо. Это
значит, что функции временной корреляции компонент Е и ком-
понент В друг с другом четны по времени t = tt —12 (как и
должно быть для корреляции между величинами, которые обе
четны или обе нечетны по отношению к обращению времени).
Функция же временной корреляции компонент Е с компонен-
тами В нечетна по времени (как и должно быть для двух ве-
личин, из которых одна четна, а другая нечетна относительно
обращения времени). Отсюда следует, что значения Е и В в
одинаковый момент времени не коррелированы друг с другом
(нечетная функция t обращается в нуль при / = 0). Вместе с
корреляционной функцией обращаются в нуль также и средние
значения от любых билинейных по (взятым в одинаковый момент
времени) Е и В выражений, например, от вектора Пойнтинга.
Последнее обстоятельство, впрочем, заранее очевидно: в теле,
находящемся в тепловом равновесии и инвариантном относитель-
но обращения времени, не может быть внутренних макроскопи-
ческих потоков энергии.

§ 77.	Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде

В однородной неограниченной среде функции Dik (со; г1( г2)
зависят только от разности г = г2—г* причем четны по этой
переменной (уравнение (75,15) содержит только вторые про-
изводные по координатам, и потому Dik (со; г) и Dik (со; — г)
удовлетворяют одному и тому же уравнению). Взяв фурье-ком-
поненты по г от обеих сторон равенства (76,2), получим

(W).*4cth^№- к)-[Я£(со, к)]*}. (77,1)

Для немагнитоактивных сред, с учетом (75,12), эта формула за-
писывается в виде

= -cth Im (со, к).	(77,2)

*) Теория электромагнитных флуктуаций была развита в другой форме
С.М. Рыжовым (1953), а в форме, эквивалентной (76,2—5), — М. J1. Левиным
и С. М. Рыжовым (1967).
В изотропной немагнитной (ц=1) среде функция D£((o,k)
дается формулой (75,20). Задача же об определении простран-
ственной корреляционной функции флуктуаций сводится к вы-
числению интеграла

D^;r)=$D$((o,Veik'^.	(77,3)

Интегрирование осуществляется формулами
р etkr d3k e~w
Jft2+z2(2n)3 4лг ’

P kjk)fiikr d3k   d2 e~xr
J/e2--z2 (2л)3	dxidxk 4nr ’

(77,4)

из которых первая получается путем взятия компонент Фурье
от известного равенства

(А — х2)-^— = —4л6(г),	(77,5)

а вторая получается дифференцированием первой. В результате
найдем

г) = -4	+	iexp (—г) , (77,6)

где г = |г1—г2|, а корень V—е должен быть взят с таким зна-
ком, чтобы было ReJ^—е> 0; для пустоты надо положить е = 1,
У—е = — i (см. ниже).

Отсюда, согласно (76,6) и (76,3), сразу наводим

(Ер Еру =

л. ,, Асо т ( 1 Гесо2 о
= п cth 2j, Im ч — о^

'<77'7»

(С.М. Рытое, 1953). Свернув это выражение по индексам i, k
(и воспользовавшись формулой (77,5)), получим

(Е(1)Е<2))ш=2А cth	Im ехр (-	) + 2л6 (г)! I (77,8)

I I *	\	/	II

Аналогичным образом, вычисление по формуле (76,4) приводит
к выражениям для корреляционных функций магнитного поля,
отличающихся от (77,7—8) отсутствием множителя 1/е перед
квадратной скобкой; при этом член с 6-функцией под знаком Im
в (77,8) становится вещественным и выпадает из ответа. Связь
выражений (77,7—8) с мнимой частью б ясно подчеркивает
связь электромагнитных флуктуаций с поглощением в среде.
Но если произвести переход к пределу Ime—>0 в формулах
(77,7—8), мы получим конечные, отличные от нуля выражения.
Это обстоятельство связано с порядком перехода к двум пре-
делам—бесконечным размерам среды и равной нулю Ime. По-
скольку в бесконечной среде уже сколь угодно малое Ime
приводит в конце концов к поглощению, то при использован-
ном нами порядке перехода к пределам получающийся результат
относится к физически прозрачной среде, в которой, как и во
всякой реальной среде, сколько-нибудь отличное от нуля по-
глощение все же имеется.

Произведем, например, указанный переход в формуле (77,8).
Для этого замечаем, что при малом положительном Ime (при
со > 0)

е ж— i /Reef 1 + i

\	xt\e о у

(с учетом требования ReJ^—е > 0). Поэтому в пределе Ime-—►О
получим

(E<i>E<’>)ffl = 1 (Н<1>Н<2% = sin cth& ,	(77,9)

где ft = )/e — вещественный показатель преломления. Ввиду от-
сутствия члена с 6-функцией это выражение остается конечным
и при совпадающих точках Г1 и г2:

(E2)^(H% = ^cthJy.	(77,10)

Предельный переход к случаю прозрачной среды можно было
бы произвести и на более ранней стадии вычислений — в гри-
новской функции. Учтя, что знак Ime(со) совпадает со знаком
со, найдем, что в этом пределе функция (75,20) принимает вид

D& (w, k) = -TT7V----[б/*—(77,11)

С > >	(Ц2п2/С2— fe2-НО'Sign со L **	С02П2 J '	’ '

(М. И. Рязанов, 1957). Мнимая часть этой функции связана толь-
ко с правилом обхода полюсов со = ±ck/tv, отделив ее с помо-
щью формулы (8,11) и подставив в (77,2), получим

(ДЖ2%к =

=пг	• (77>12>

к \ Cz	fi j I \ i»	j	\ tz	у i	z. i

Аргументы 6-функций в этом выражении имеют простой физи-
ческий смысл: они показывают, что флуктуации поля с задан-
ным значением к распространяются в пространстве со скоростью
с/п, совпадающей со скоростью распространения электромагнит-
ных волн в данной среде. Фурье-обращением выражения (77,12)
можно, разумеется, снова получить (77,7).
Энергия флуктуационного электромагнитного поля в прозрач-
ной среде (с р. = 1) в спектральном интервале doj дается (в едини-
це объема пространства) выражением

ж[2(Е‘)"Т + 2(Н!>“]1

(см. VIII § 61)1). Подставив сюда (77,10), получим после про-
стого преобразования

Асо ,

Асо	1 co3n3 d (nai) д

ейсо/Г_| I л3с3 dco

(77,13)

Первый член в скобках связан с нулевыми колебаниями поля.
Второй же член дает энергию термодинамически равновесного
электромагнитного излучения в прозрачной среде, т. е. энергию
черного излучения. Эту часть формулы можно было бы получить
и без рассмотрения флуктуаций, путем соответствующего обоб-
щения формулы Планка для черного излучения в пустоте.
Согласно последней, энергия черного излучения (в единице
объема) в интервале волновых векторов dsk дается формулой

Асо 2d3k

еКа/т_1 (2л)3

(множитель 2 учитывает два направления поляризации). Соот-
ветственно для получения спектральной плотности энергии надо
заменить d3k на 4nk3dk и подставить k — ®lc. Для перехода же
от пустоты к прозрачной среде достаточно положить k — ntalc,
т. е. написать

k4k = k^d<^^^ da,
da	с3 dco ’

что и дает требуемый результат.

Задачи

1.	Найти флуктуации электромагнитного поля вдали от тела, погружен-
ного в прозрачную разреженную среду, с которой оно находится в тепловом
равновесии; длина волны излучения и расстояние от тела к точке наблюдения
великн по сравнению с размерами тела. Тело обладает анизотропной элект-
рической поляризуемостью а/* (со).

Решение. Разреженную прозрачную среду рассматриваем как вакуум.
Искемые флуктуации определяются малым (на больших расстояниях) измене-
нием вакуумной функции Грина, вызванным присутствием тела. Для вычис-

х) Полная энергия получается интегрированием по dco от 0 до оо; множи-
тели же 2 в квадратных скобках связаны с тем, что по принятому нами опре-
делению спектральных функций флуктуаций среднее значение <х3> получается
интегрированием (x3)w по dco/2n от —ро до оо (см. V (122,6)).
ления этого изменения исходим из аналогии, согласно которой вакуумную
функцию г, г') (при заданном индексе k) можно формально рассмат-
ривать как электрическое поле Ei (г, г'), создаваемое в точке г некоторым
источником, находящимся в точке г'. Эта аналогия основана на том, что поле
Е( (г, г') (как и его потенциал А; (г, г')) удовлетворяет при г £ г' такому же
уравнению, как и функция (со; г, г') — уравнение (75,16) с 6 = 1. Пусть
тело находится в точке г = 0. Поле

5г(0, г') = £>?ft(co; 0, r') = £)ffe(co; г')

(где D/1 (а>; г) — гриновская функция в пустоте в отсутствие тела, даваемая
выражением (77,6) с е=1) поляризует тело, создавая тем самым в точке г = О
дипольный момент d( = a(iD/fe (со; 0, г'). Поле же, создаваемое, в свою очередь,
этим дипольным моментом в точке г, и дает искомое изменение 6©ffe (со; г, г').
Согласно известной из электродинамики формуле (см. II § 72), поле, создав
ваемое в точке г находящимся в точке г = 0 дипольным моментом d (завися-
щим от времени как riffl/), есть

„	, Г со2 . . d2 I

Ei~dl [ С2	~7~’

причем расстояние г должно быть большим только по сравнению с размером
тела, но не с длиной волны; это выражение можно представить в виде

(О2 Р

Ei=--^D?i (о; г) dt

(напомним, что функция Du (со; г) четна по переменной г). С написанным
выше дипольным моментом находим, следовательно,

б£^(со; г, r')=--^-D?z(co; г) atmD^k (со; г')>

Яс2

Искомые корреляционные функции флуктуаций даются теперь общими форму-
лами (76,3—6) с 8Dfl вместо D^. Окончательно получаем

б (^1>42,)со==-|^-	} Im (ю: Г1)	Г2П- 0)

Напомним, что тело находится в точке г = 0, а rj и г2—две точки вдали от
тела. Отметим, что вклад во флуктуации возникает не только от мнимой, но
и от вещественной части поляризуемости; последний можно рассматривать как
результат рассеяния на теле черного излучения, заполняющего прозрачную
среду.

2.	То же для тела с магнитной поляризуемостью a(-j (со)х).

Решение. В этом случае рассматриваем rot (со; г, г') как магнит-
ное поле Hi (г, г'), создаваемое в точке г источником, находящимся в точке г'
(уравнению того же вида, что и для функции © tfe1, удовлетворяет не само поле
Hi, а его потенциал Л(). Это поле намагничивает тело, создавая в точке г=0
магнитный момент

пц=— a^rot/'n, Dmk (со; 0, г')

х) Наличие магнитной поляризуемости не обязательно означает, что тело
состоит из магнитного материала. Так, речь может идти о вытеснении магнит-
ного поля из тела за счет скии-эффекта.
(дифференцирование по г заменено дифференцированием по г' с учетом того,
что Dmk зависит только от разности г—г'). Искомое же изменение гриновской
функции совпадает с векторным потенциалом магнитного поля, создаваемого
этим магнитным моментом в точке г:

А[ = rot к mielar^cJ

(см. II § 72, задача 1). Таким образом,

/ gtor/c \	,

6D£(co; г, г')=—(roti7—-—laZm rotmn£)£fe (со; 0, г').

Наконец, подставив Dnk из (77,6), находим
r	л. ( e‘ar/c \	, eiW!c

SDik (со; г, r') = ft I rotzi—-— I alm rotmfe——	(2)

(использовано, что rotm„ v„ = emft„vftVn = 0).

3.	Определить флуктуации электромагнитного поля в условиях задачи 1,
считая, однако, что температура среды много ниже температуры тела.

Решение. Вычисленное в задаче 1 поле естественно делится, в соот-
ветствии с наличием двух членов в фигурной скобке в (1), на нулевые флук-
туации и тепловое черное излучение. Последнее, в свою очередь, состоит из
двух частей—теплового излучения самого тела и поля, возникшего при рас-
сеянии черного излучения среды на теле. Если температура среды низка,
вторая часть отсутствует. Для решения задачи мы вычислим ее отдельно,
а затем вычтем из (1). Положим А (г) = А(0>4-А^>, где А(°>—флуктуационное
поле в отсутствие тела, а А^> — поле, рассеянное телом. На больших расстоя-
ниях, где А^> мало, можно при вычислении 6 (Ai1Aj2)(B пренебречь членами,
квадратичными по А(*>. Для вклада от рассеяния имеем поэтому

(АдА^фЯа (A/fAj,™ )<о + (Ад’А^а^ (Aii>Aj2)a>+ (А/йАд^ф*.

Рассеянное поле снова дается формулой из II § 72, но теперь под дипольным
моментом надо понимать просто момент, индуцированный черным излучением:
d; ==	(0). Введя опять гриновскую функцию в вакууме в отсутствие

тела, имеем

AjS) (n)=- Di! («; И) а1т (о) Ат (0),

так что

(Ад,АЙ>)(В=---т— Оц (со; Г1) а1т (Ат (0) А/,0’ (г2))ф.

ас2

Корреляционную функцию (AmiA^a берем снова из (76,2). При этом, по-
скольку нас интересует только тепловое излучение, надо опустить в этой
формуле нулевые колебания, т. е. заменить

1	, /ио 1	1	1

~2 С 2Т~ gU/r_1 eU/r_l ‘

В результате находим для вклада рассеянного черного излучения в корреля-
ционную функцию

(АдАj2)ffl =---(со; и) alm Im D$k (со; г2) +

+ D$* (со; r2) a*im Im (со, rt)]. (3)
Окончательно, чтобы найти флуктуационное поле в холодной среде, надо
вычесть (3) нз (1). После простых преобразований с использованием симметрии
тензоров Dih н a,-ft получим

(Л	----- Du (co; ri) [Im alm (со)] Dmk (е>; га) (4)

Асг(еЛш/Г —О

(Т—температура тела). Здесь выписан лишь тепловой член; член с нулевыми
колебаниями в (1) остается без изменений. Обратим внимание на то, что выра-
жение (4), определяющее тепловое излучение тела, зависит только от мнимой
части поляризуемости. Поток энергии, иычислеиный по выражению (4), уже
не равен нулю, а дает интенсивность теплового излучения нагретого тела
в окружающую холодную среду.

§ 78. Флуктуации тока в линейных цепях

Еще одно интересное применение флуктуационно-диссипаци-
онной теоремы представляет вопрос о флуктуациях тока в ли-
нейных цепях, впервые рассмотренный Найквистом (Н. Ny-
quist, 1928).

Флуктуации тока представляют собой свободные (т. е. про-
исходящие в отсутствие приложенной извне электродвижущей
силы) электрические колебания в проводнике. В линейной зам-
кнутой цепи наибольший интерес представляют, естественно, те
колебания, при которых возникает текущий вдоль провода
полный ток J. Ниже мы предполагаем выполненным условие
квазистационарности — размеры цепи малы по сравнению с длиной
волны X ~ с/а. Тогда полный ток J одинаков во всех участках
цепи и является функцией лишь от времени.

Выберем этот ток J в качестве величины x(t), фигурирующей
в общей формулировке флуктуационно-диссипационной теоремы
в V § 124. Для того чтобы выяснить смысл соответствующей
обобщенной восприимчивости а, предположим, что в цепи дейст-
вует внешняя электродвижущая сила Тогда диссипация энергии
в цепи Q = JS. Сравнив с выражением Q = — xf, служащим
определением «силы» f (см. V (123,10)), мы видим, что f = — £
или для фурье-компонент So> = iaf(it. С другой стороны, ток и
э. д. с. в линейной цепи связаны соотношением rf,e> = Z(co) Je, где
Z(co)—комплексное сопротивление (импеданс) цепи. Поэтому
имеем

= <£a>/Z ;= iafw/Z

и, сравнив с определением обобщенной восприимчивости в соот-
ношении (х)ш = a (со) f, находим a(co) = ico/Z(co). Ее мнимая часть:

Im a = Im =/?(©),

где 7? — ReZ.
Согласно флуктуационно-диссипационной теореме,

(x2)(0 = ^cth ~Ima(o>),

[аходим теперь для спектральной функции флуктуаций тока
(/2)‘o==T2W7?(<,>)Cth‘^’-	(78,1)

Эту формулу можно представить в другом виде, описывая флук-
туации тока как результат действия «случайной» э. д. с. = Z/(0.
Для нее имеем

(^2)<o = ^®/?(®)cth-^-.	(78,2)

3 классическом случае (Aox^T)

(^)ш = 2Т/?(®).	(78,3)

Подчеркнем лишний раз, что эти формулы совершенно не
зависят от природы явлений, ответственных за дисперсию сопро-
тивления цепи.

j 79. Температурная функция Грина фотона в среде

Температурная функция Грина фотона в среде строится по
мацубаровским операторам потенциалов электромагнитного поля
подобно тому, как временная функция Грина (75,2) строится из
гейзенберговских операторов:

= - <MZM (т1( Г1) Aj« (т2, г2)>.	(79,1)

Здесь учтено, что в силу эрмитовости шредингеровских опера-
торов поля мацубаровские операторы А31 и А31 (определенные
согласно (37,1)) совпадают друг с другом. Эти операторы, однако
(в отличие от гейзенберговских), сами уже не эрмитовы; ввиду
вещественности параметра т имеем

^Ам (т, r)J =	(г)	= е_т^'/^А (г)

или

[А31 (т, г)]+=АЛ1(—т, г).

Поскольку функция (79,1) зависит только от разности
т = т1—т2 (ср. § 37), то можно написать (положив, например,
т > 0)

И, г2) = —<Лм(т, гх)Л^(0, г2)>,

Г1, П) = — <ЛМ (т, г,)Л,м(0, гх)>.

13 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
Из сравнения этих двух выражений видно, что

"Л ri> г2) = ^,(т; г2, гД.	(79,2)

Функция @)ik может быть разложена в ряд Фурье по пере-
менной т:

^(т;Г1, г2) = Т 2 3)ik^s-, Г1, г2)гЧ (79,3)

S=-co

причем «частоты» пробегают (ввиду статистики Бозе, которой
подчиняются фотоны) значения ^ = 2лхТ (ср. (37,8)). Для ком-
понент этого разложения из (79,2) следует аналогичное соотно-
шение

ri> r2) = ^(-^; r2, П).	(79,4)

Согласно общему соотношению (37,12), эти компоненты свя-
заны с запаздывающей функцией Грина равенством

ri, г2) = ^Д(^; г2, П)

при положительных В § 75 было показано, что функции
D/Дсо; г,, г2) можно в известном смысле рассматривать как
обобщенные восприимчивости, фигурирующие в общей теории
отклика макроскопической системы на внешнее воздействие.
Отсюда следовало свойство симметрии этих функций, выражае-
мое (для немагнитоактивных сред) равенством (75,12), а ввиду
связи между функциями ОД и @)ik таким же свойством обладают
и последние:

г1( г2) = ^,.(^; г2, Г1).	(79,5)

Из этого равенства, 'вместе с равенством (79,4), следует теперь,
что функции S)ik (^; г1( г2) четны по дискретной переменной
так что при всех (положительных-и отрицательных) ее значе-
ниях имеем

П, г2) = ОД(1|^|; Г1, г2).	(79,6)

Далее, функция £)Д(со; г1( г2), как и всякая обобщенная
восприимчивость, вещественна на верхней мнимой полуоси со
(см. V § 123); из (79,6) следует поэтому, что функция (£/, гх, г2)
вещественна при всех значениях Наконец, из этих свойств
следует, в свою очередь, что и исходная функция S>,ft(r; г2, г2)
вещественна и четна по переменной т:

rt, r2) = S>,.fc(— т; гх, г2).	(79,7)

Связь (79,6) между температурной и запаздывающей функ-
циями Грина позволяет сразу написать дифференциальное урав-
нение, которому должна удовлетворять функция S)ik в неодно-
родной среде; для этого достаточно произвести замену со—
в уравнении (75,15) или (75,16). Так, для изотропной немагни-
тоактивной среды с р = 1 находим уравнение

^-617Д + $ 8(i | |, г)6,.г]^(^; г, г') =

= — 4л/г6,.А6(г—г'). (79,8)

Для однородной неограниченной среды функция S5(-ft(^; г, г')
разлагается в интеграл Фурье по разности г—г'. Компоненты
этого разложения удовлетворяют системе алгебраических урав-
нений

1
4лА

5-2
kikf — 8ak* 2 * * *— 8a Al

C2

еGO	k) = 6,.fc

(79,9)

и даются формулой x)

®u&s, k) = —

4лА

Й8 (i |	|)/C2 + fe2

. C2kjkk

Йе (i | I) . ‘

(79,10)

Поскольку функция Djk(t,s, k) выражается (в длинноволно-
вой области	через е(со), то диаграммная техника для ее

вычисления становится тем самым техникой для вычисления
диэлектрической проницаемости среды. При этом последняя
имеет также и определенный диаграммный смысл, который будет
сейчас выяснен.

Будем изображать точную SJ-функцию жирной, а функцию
S>(0) в вакууме—тонкой пунктирной линией по правилу2)

_/7

"с/С



(79,11)

Вся совокупность диаграмм, изображающих SJ-функцию, может
быть изображена рядом (вполне аналогичным ряду (14,3) для
функции G):

--- ---+---О—+—О-О"•+•”	(79,12)

где кружок изображает совокупность диаграммных блоков, не
распадающихся на две части, связанные только одной пунктир-
ной линией; обозначим эту совокупность посредством —^1к/4л.

х) В реальных применениях (ср. § 80) функция &);к всегда фигурирует
в произведении с й; поэтому расходимость при ?5 = 0 фактически устраняется.

2) Использование пунктира для обозначения ^-функций не может вызвать

здесь недоразумений, так как в этом и следующем параграфах не будет фигу-

рировать в явном виде энергия парного взаимодействия частиц среды (для

которой ранее использовалось это обозначение).
Функцию (аналогичную собственно-энергетической части
гриновской функции частиц) называют поляризационным опе-
ратором.

Диаграммное равенство (79,12) эквивалентно уравнению

---------------(79,13)

(ср. переход от (14,3) к (14,4)). В аналитическом виде оно дает

= W +	(79,14)

(все множители—функции одинаковых аргументов £s, к). Умно-
жив это равенство справа на обратный тензор и слева —
на	перепишем его в виде

(79,15)

Наконец, взяв из левой стороны уравнения (79,9) и такое
же выражение се=1 для найдем

5’,.ft(^k) = -^[e(iKJ)-l]6(.fe,	(79,16)

чем и определяется диаграммный смысл функции е(со)—1 в дис-
кретном множестве точек на Верхней мнимой полуоси со. Ана-
литическое продолжение функции е (i | |) на всю верхнюю полу-
плоскость должно, в принципе, производиться с учетом того,
что е (со) не должна иметь особенностей в этой полуплоскости и
что е(со)—»-1 при | со |—>оох).

В неоднородной среде поляризационный оператор является
(как и @>!k) функцией координат двух точек. Повторив весь
вывод в координатном представлении, получим вместо (79,14)
уравнение

г2) =

=	(П. г2) + i У	(ГР г8) 3\т (г8, г4) &>тк (r4, r2) d3x3d3x4

(аргументы для краткости не выписываем). Подействовав на
это равенство слева оператором

<?х1пдхп	С2

1) В анизотропной среде надо писать

РпЛЪ, k) = (£s7H KHdCs I)—в/fel-

Отметим, что в таком виде это выражение остается справедливым и при на-
личии пространственной дисперсии, когда е,-* зависит не только от частоты,
но и от волнового вектора.
и учтя, что £>(0) удовлетворяет уравнению (79,8) с е = 1, получим

J^,z(ri, r')S)lk(r’,	—1]|^^(Г1, r2),

откуда

fa

^(^ n, ra) = ^6I-ft6(r1-ra)[e(i|£#|, гх)-1]. (79,17)

Структура конденсированной среды, а с нею и ее диэлек-
трические свойства определяются силами, действующими между
ее частицами на расстояниях порядка атомных размеров а. На
этих расстояниях можно (при нерелятивистских скоростях ча-
стиц), пренебречь запаздыванием взаимодействий, которое ста-
новится существенным лишь для длинноволновых (в смысле
ka<^.\) компонент поля; другими словами, при вычислении
поляризационного оператора можно пренебречь длинноволновой
частью поля. В диаграммах же для самой гриновской функ-
ции S)lk длинноволновое поле фигурирует лишь через тонкие
пунктиры в правой стороне (79,12).

Рассмотренный в этом параграфе трехмерный тензор
является, конечно, лишь пространственной частью поляриза-
ционного 4-тензора 3\v. Подчеркнем, во избежание недоразу-
мений, что его временная и смешанные компоненты
отнюдь не равны нулю. Более того, как и в квантовой электро-
динамике, этот 4-тензор вообще не зависит от калибровки потен-
циалов. В нерелятивистской теории эта калибровочная инва-
риантность очевидна уже из указанной только что возможности
вычисления поляризационного оператора с учетом одних только
незапаздывающих сил, не зависящих от калибровки длинновол-
нового поля 1).

х) См. IV § 100. Пользуемся случаем исправить ошибку, допущенную
в изложенных там рассуждениях. 4-тензор, обратный точному фотонному
пропагатору д)цу (обозначения, как в IV!), имеет вид

бЛ-1 = — /а	Y 1	1

дул> k2

и аналогично для пропагатора свободных фотонов (в IV (100,18) был
пропущен второй член в этих выражениях). Эти 4-тензоры зависят от кали-
бровки и не являются поперечными. Вывод о поперечности поляризационного
оператора и о его калибровочной инвариантности, однако, не меняется. Дело
в том, что продольная часть пропагатора связана с не имеющей физического
смысла продольной частью 4-потенциала и не участвует во взаимодействии.
Поэтому взаимодействие не меняет ее, так что gy^ — D1. В силу равенства
£ЭЙу = £,|ху—5\iy/4n (IV (100,14)) отсюда и следует поперечность 3>nv и его
независимость от дУ1}.
Компоненты и !Poi можно найти из условия поперечно-
сти 4-тензора: 55gvfttl=0, где /г^ = (i^, к)— волновой' 4-вектор:

55oo=-r?[eG|^|)-1],
ilk ’	(79’18>

§ 80. Тензор напряжений ван-дер-ваальсовых сил

Хотя структура конденсированных тел в основном опреде-
ляется (как было отмечено в конце предыдущего параграфа)
силами, действующими между его частицами на атомных рас-
стояниях, но определенный вклад в термодинамические величины
тела (скажем, в его свободную энергию) вносят также и так
называемые ван-дер-ваальсовы силы—силы, действующие между
атомами на расстояниях, больших по сравнению с атомными
размерами а. Напомним, что для свободных атомов энергия этого
взаимодействия убывает с расстоянием, как r~e (см. III § 89),
а после того, как становятся существенными эффекты запазды-
вания,— как г-7 (см. IV § 83). В конденсированной среде, ра-
зумеется, ван-дер-ваальсовы силы не сводятся к взаимодействию
отдельных пар атомов. В то же время тот факт, что их радиус
действия велик по сравнению с межатомными расстояниями,
позволяет подойти к вопросу об их влиянии на термодинами-
ческие свойства тел с макроскопической точки зрения.

В макроскопической теории ван-дер-ваальсово взаимодействие
в материальной среде рассматривается как осуществляющееся
через длинноволновое электромагнитное поле (£. М. Лифшиц,
1954); напомним, что это понятие включает в себя не только
тепловые флуктуации, но и нулевые колебания поля. Важное
свойство вклада этого взаимодействия в свободную энергию
состоит в его неаддитивности: он не просто пропорционален
объему тел, а зависит еще и от параметров, характеризующих
их форму и взаимное расположение. Именно эта неаддитивность,
связанная с дальнодействующим характером ван-дер-ваальсовых
сил, является тем свойством, которое выделяет их вклад в сво-
бодную энергию от гораздо большей ее аддитивной части. В мак-
роскопической картине происхождение этого свойства связано
с тем, что всякое изменение электрических свойств среды в неко-
торой области приводит в силу уравнений Максвелла к изме-
нению флуктуационного поля и вне этой области. Фактически,
конечно, эффекты неаддитивности оказываются заметными лишь
при достаточно малых (хотя и больших по сравнению с атом-
ными размерами) характерных размерах: для тонких пленок,
для тел, разделенных узкой щелью, и т. п.
§ 80]

При вычислении вклада электромагнитных флуктуаций в сво-
бодную энергию каждый раз существенны длины волн порядка
величины характерных размеров неоднородности среды (толщина
пленки, ширина щели и т. п.). Именно это обстоятельство яв-
ляется в макроскопической теории причиной степенного закона
убывания ван-дер-ваальсовых сил; если бы были существенны
флуктуации с некоторой фиксированной длиной волны %0, то
это привело бы к экспоненциальному закону убывания сил
с показателем ~ г/Х0. Далее, поскольку характерные размеры,
а с ними и характерные длины волн флуктуаций много больше
атомных размеров, все свойства этих флуктуаций и их вклад
в свободную энергию полностью выражаются через комплексную
диэлектрическую проницаемость тел.

Наша цель будет состоять в вычислении макроскопических
сил, действующих в неоднородной среде1). В качестве предва-
рительного этапа вывода начнем с определения изменения свобод-
ной энергии среды при малом изменении ее диэлектрической
проницаемости (магнитными свойствами вещества будем прене-
брегать, т. е. магнитная проницаемость р = 1). Будем считать,
что изменение е вызывается изменением гамильтониана системы
на некоторое малое 8Н. Тогда изменение свободной энергии
будет

6Г = <6Я>,	(80,1)

где усреднение производится (при заданных температуре и
объеме системы) по распределению Гиббса с невозмущенным
гамильтонианом Н. Представим последний в виде®)

# = #о+УДл, УДЛ==-53А^,	(80,2)

где Гдл описывает взаимодействие частиц с длинноволновым
электромагнитным полем, а в Но включены все остальные взаи-
модействия вместе с членами, отвечающими свободным частицам
и фотонам (строго говоря, в интеграле в (80,2) должно подра-
зумеваться обрезание на некотором волновом векторе k0<^.l/a;
в окончательный результат, однако, параметр обрезания не
входит). Оператор А—оператор векторного потенциала длинно-
волнового поля; существенно, что ответственный за изменение
диэлектрической проницаемости оператор 8Н не содержит в себе
А—поскольку диэлектрическая проницаемость определяется
лишь взаимодействием частиц на атомных расстояниях.

х) Излагаемая ниже теория принадлежит И. Е. Дзялошинскому и Л. П. Пи-
таевскому (1959).

а) В этом параграфе полагаем Н=\, с=1.
Перейдем теперь в (80,1) к мацубаровским операторам в пред-
ставлении, которое можно назвать «длинноволновым представ-
лением взаимодействия»: зависимость операторов от т в этом
представлении определяется всеми членами в гамильтониане,
за исключением лишь Удл. Тем же способом, как и при вы-
воде (38,7), получим

1/Г

6Г = -4-<Тг6ЯЛ!о>0, о = Тгехр f f j-MAAM3x<h, (80,3)
<О>0	J J

где <...>0 означает усреднение по распределению Гиббса с га-
мильтонианом Но. Согласно смыслу выбранного представления,
мацубаровские операторы определены как

АЛ1 (т, г) = ехр (тЯ0) А (г) ехр (— тЯ0) (80,4)

и аналогично для 8НМ и для ф-операторов, из которых состав-
ляется оператор тока частиц jM1). Поскольку HQ не содержит
взаимодействия длинноволновых фотонов с чем бы то ни было,
то А2*1 2 совпадает с оператором (мацубаровским) свободного фо-
тонного поля; для ф-операторов частиц это, конечно, не так,
поскольку Но включает в себя взаимодействие между частицами.

Следуя общим принципам построения диаграммной техники,
разложим экспоненту в (80,3) по степеням Гдл2). При этом
в каждом члене разложения произведение операторов свобод-
ного поля Ал обычным образом усредняется в виде попарных
сверток согласно теореме Вика. Нулевой член разложения, не
содержащий А2*1, дает 6F0 — изменение свободной энергии без
учета длинноволновых флуктуаций. Следующий, линейный по
А711 член обращается в результате усреднения в нуль. В квад-
ратичном же по полю члене свертка двух операторов <Л/ИЛ*1>
дает гриновскую функцию- свободных фбтонов; этот член
можно изобразить диаграммой

5/’Ц.Ж,	(80,5)

(выделен численный множитель 1/2!, возникающий при разло-
жении экспоненты). Светлый пунктир обозначает й>((),-функцию,

1) Индекс 0, которым следовало бы снабдить дополнительно операторы
в этом представлении, опускаем во избежание загромождения обозначений.

2) Достаточно проследить за разложением числителя в выражении 6F.
Как обычно, роль множителя <о>0 в знаменателе сводится к устранению ди-
аграмм, распадающихся на две или более несвязанных друг с другом частей.
а заштрихованный кружок — результат усреднения всех осталь-
ных множителей. Явный вид этой последней величины мы не
будем выписывать; важно лишь, что это есть не что иное, как
б5*/й/4л,. где —изменение поляризационного оператора при
изменении гамильтониана системы на 8Н.

В этом легко убедиться, рассмотрев тем же способом изме-
нение <0-функции. В том же представлении операторов эта
функция дается выражением

^lfe(4, Fj; т2, г2) = — -2-<ТхЛ;М(т1, rJXfe^Cr,, г2)о>0,

<О>0
где теперь

1/Т

а = Ттехр J	dr

0

— во «взаимодействие» включается не только Удл, но и 8Н. Иско-
мое изменение 83)ik дается линейным членом разложения этого
выражения по степеням 8НМ:

83);к = ^(У^8НЛх-А^{х1, Г1) Л^(т2, r2)exp

(80,6)

При разложении оставшейся экспоненты по степеням Идл
нулевой член должен быть отброшен: ему отвечает несвязанная
диаграмма (свертка <Л-МЛ^'> отделяется от других множителей,
не содержащих переменных Г1, г2). Член первого порядка содер-
жит нечетное число Л-операторов и обращается в нуль при
усреднении. Наконец, член второго порядка дает в 8S)ik выра-
жение, изображающееся диаграммой

—>---	(80,7)

с тем же кружком, что и в (80,5) (множитель 1/2 в этом слу-
чае устраняется за счет двух способов свертки «внутренних»
Л-операторов, происходящих из операторов Удл, с «внешними» А^
и Ак). С другой стороны, по определению поляризационного
оператора, гриновская функция в рассматриваемом приближе-
нии изображается суммой



— 4——

где светлый кружок — поляризационный оператор ^;fe/4n. Ва-
риация же этой функции дает, следовательно, диаграмму (80,7)
с 8^ik/4n в качестве заштрихованного кружка.
Все дальнейшие члены разложения в (80,3) представляют собой
поправки различных порядков к пунктирной линии и к кружку
на диаграмме (80,5). Эти поправки превращают пунктирную ли-
нию в точную функцию 3)ik. Длинноволновые же поправки
к 65\fe, как уже говорилось, малы, так что под 65*м сразу мож-
но понимать вариацию точного поляризационного оператора.

В аналитическом виде этот результат записывается (после пе-
рехода к фурье-разложению по переменной т) как1)

СО

6F = 6F0-| Е	(80,8)

S= —со

Согласно (79,17), изменение поляризационного оператора вы-
ражается (для изотропной среды) через изменение диэлектри-
ческой проницаемости:

6^,.(^; г,? г,)=й«й6 (Fi-r2)68(i |k J, n);

наличие здесь 6-функции устраняет одно из интегрирований
в (80,8). Учитывая также четность функции 3)ik по k> перепишем
(80,8) в виде

со

6F = 8F0--J- £' С	(k; Г, г) 8s (I I k I, г) d’x, (80,9)

s=0 d

где суммирование производится только по положительным значе-
ниям s; штрих у знака суммы означает, что нулевой член дол-
жен быть взят с множителем 1/2 (этот член имеет конечное зна-
чение: множитель устраняет расходимость в S>u при k —$)•
Для записи дальнейших формул будет удобно ввести помимо
функции @)ik еще две другие функции:

г. г') = -№(^; г. И. (80 10)
s>."(k; r. r') = rot,7rotfeOTs>r„(k; г, г'),

построенные по аналогии с выражениями (76,3—4). Тогда 6F запи-
шется окончательно в виде

СО

8F = 6F0 + -^ Е' f	Г, r)68(i)k|, r)d*x. (80,11)

s=0 d

l) Мы не даем общего правила определения знака диаграмм типа (80,5)
(диаграммы без свободных концов). В данном случае его легко установить,
записав в явном виде соответствующие члены разложений н (80,3) и (80,6).
Достаточно, впрочем, заметить, что этот член в (80,3) содержит одну свертку
пары Л-операторов, а в (80,6)— две пары; поскольку свертка одной пары дает
—то диаграммы (80,5) и (80,7) имеют противоположные знаки, что и
приводит к знаку минус в (80,8).
§ 80]

Используем теперь формулу (80,11) для определения сил, дей-
ствующих в неоднородной среде. Изотропия среды уже была пред-
положена; будем считать теперь ее также и жидкой, так что
изменение состояния в каждой ее точке (при заданной темпе-
ратуре) может быть связано лишь с изменением плотности р.

Представим себе, что среда подвергнута изотермической малой
деформации с вектором смещения и (г). Соответствующее изме-
нение ее свободной энергии есть

8F = — Jfud3x,	(80,12)

где f—объемная плотность действующих на среду сил. С дру-
гой стороны, это же изменение можно определить из (80.11),
выразив через тот же вектор смещения вариации 8F0 и 8е. Пусть
Ро (р, Т) — давление без учета ван-дер-ваальсовых поправок при
заданных значениях р и Т: соответствующая плотность объем-
ных сил есть f0 = —VFO, так что

8F0 = J uyPad3x.

Далее, изменение плотности связано с вектором смещения урав-
нением непрерывности 8р = —div (ри). Поэтому изменение диэлек-
трической проницаемости

о ds л	ds ,.	<	.

08 =-5— Ор =--ч— div (ри).

dp r dp	'

Подставив это в (80,11), произведя интегрирование по частям
по всему объему тела и сравнив затем получившееся для 8F
выражение с (80,12), найдем

CD

f^-VPo-^E'pgradte^; г, г)-^1.	(80,13)

s=0	L	J

Эта формула позволяет, в частности, сразу определить по-
правку к химическому потенциалу тела. Для этого напишем ус-
ловие механического равновесия: f = 0. При этом учтем, что при
постоянной температуре

dP0(p, T) = £dp0(p, Т),

гдер0(р, Т) — невозмущенный химический потенциал тела (tn —
масса частицы). Тогда получим это условие в виде pVp, = 0, где

СО

|л = Ио(р,	г.	(80,14)
С другой стороны, условием механического равновесия всякого
неоднородного тела является постоянство вдоль него химичес-
кого потенциала; ясно поэтому, что выражение (80,14) и опре-
деляет этот потенциал.’

Наиболее полное описание действующих в среде сил осуще-
ствляется, как известно, так называемым тензором напряжений
uik, связанным с компонентами вектора f соотношениями

/,=^.	(80,15)

Для преобразования выражения (80,13) к такому виду пере-
пишем его сначала в форме

г	дР0	. Т	д (/	. де \ ,~е /

fi = •—т2- +	. -д— < е (г) — р-ч— Згг, (г, г) > —

•1	дх( 4л	дх( (\	др )	> I

«•)

(в целях краткости аргументы й в промежуточных формулах
не выписываем). Первые два члена уже имеют требуемый вид.
Третий же член представим как

+	г'),

разделив дифференцирования по первому и второму аргументу
функции (г, г); отождествление г = г' произведем в конце вы-
числения. Вычисление производится путем использования урав-
нений (см. (79,8))

Л/г®«(г. г') = —4n6,-fe6(r—г'),

Лн®Аг(г, г') = —4л6м6(г—г'),
где

л;г = Йе (г) 6;7 + rot;-mrotffiZ = Йе (г) 6;7 +	6/гД.

В результате получим равенство (при г = г')

и окончательно следующее выражение для тензора напряжений:

Qik= — Po8ik—	{— lA-fefeGXs, г) —P^6г, г)+

+ e(i^, г)Й>Д(С/, г, г)—г. г) + ^й(С/>	г)}.

(80,16)
Полученные формулы еще не имеют, однако, прямого физи-
ческого смысла. Дело в том, что функция @>ik (г, г') стремится
при г'—>г к бесконечности, как 1/|г—г' | (в чем легко убеди-
ться с помощью уравнения (79,8)). Эта расходимость возникает
от вклада больших волновых векторов (k ~ 1/1 г — г' | ) и связана
лишь с неприменимостью уравнения (79,8) при k^a. Это затруд-
нение можно устранить, не вводя явным образом обрезания на
больших k. Для этого заметим, что коротковолновые флуктуа-
ции не имеют отношения к интересующим нас эффектам, связан-
ным с неоднородностью среды. Их вклад в термодинамические
величины в каждой данной точке тела одинаков для однород-
ной среды и для среды неоднородной, но с тем же значением е (г)
в данной точке. Для придания формулам однозначного смысла,
не зависящего в действительности от характера обрезания, надо
поэтому произвести в формулах соответствующие вычитания.
Именно под гриновской функцией S)ik (£,; г, г) надо понимать
предел разности

Ijm {£>,•* (£s; г, г')—®«(^: г. г')},	(80,17)

где ^>ik~гриновская функция вспомогательной однородной нео-
граниченной среды, диэлектрическая проницаемость которой со-
впадаете проницаемостью истинной среды в данной точке г; этот
предел уже не расходится. Во избежание излишнего усложне-
ния записи формул оставим их в прежнем виде, подразумевая
в них под @>ik уже разность (80,17). При этом Р0(р, Т) есть дав-
ление в неограниченной однородной среде при заданных значе-
ниях р и Т.

Как в формулу (80,16), так и в уравнение (79,8), определяю-
щее гриновскую функцию 3)ik, свойства среды входят только
через 8 (гХ)—диэлектрическую проницаемость как функцию мни-
мой частоты. Напомним в этой связи, что эта функция связана
простым соотношением с мнимой частью диэлектрической про-
ницаемости при вещественных частотах:

8(^)=1 +4	(80>18)

0

(см. VIII, § 62). Можно сказать поэтому, что единственной макро-
скопической характеристикой, определяющей ван-дер-ваальсовы
силы в материальной среде, является, в конечном итоге, мнимая
часть ее диэлектрической проницаемости.

Формула (80,16) по виду в точности соответствует известному
из макроскопической электродинамики выражению для максвел-
ловского тензора напряжений в постоянном электромагнитном
поле, причем квадратичные комбинации компонент Е и Н заме-
йены соответствующими функциями—и—Этой аналогии
не следует, однако, придавать слишком глубокое значение: она
отнюдь не- означает существования для переменного электро-
магнитного поля как такового общего выражения для тензора
напряжений в поглощающей среде (содержащего в качестве
характеристики среды лишь ее диэлектрическую проницаемость).
В данном случае мы имеем дело не с произвольным электромаг-
нитным полем, а с термодинамически равновесным собственным
флуктуационным полем в среде.

§ 81. Молекулярные силы взаимодействия
между твердыми телами. Общая формула

Применим полученные в предыдущем параграфе общие фор-
мулы к вычислению сил, действующих между твердыми телами,
поверхности которых сближены до очень малых расстояний,

Рис. 17.

удовлетворяющих лишь одному условию: они
должны быть велики по сравнению с межатом-
ными расстояниями в телах. Именно это условие
позволяет подойти к вопросу с макроскопической
точки зрения, в которой тела рассматриваются как
сплошные среды, а их взаимодействие — как осу-
ществляющееся посредством флуктуационного элект-
ромагнитного поля. При этом существенны те флук-

туации, длины волн которых порядка величины характерных
размеров задачи — ширины щели между телами1).

Будем обозначать индексами 1 и 2 величины, относящиеся
к двум твердым телам, а индексом 3—величины, относящиеся
к пространству щели между ними (рис. 17). Щель будем пред-
полагать плоскопараллельной; ось х направим перпендикулярно
ее плоскости (так что поверхностями тел 1 и 2 будут плоскости
х = 0 и х = /, где I — ширина щели). Сила F, действующая на
единицу площади пой&рхности, скажем, тела 2, вычисляется
как поток импульса, втекающего в тело через эту поверхность.
Этот поток дается компонентой охх электромагнитного тензора
напряжений в пространстве щели, взятого при х = 1. В пустоте
8=1 и выражение охх из (80,16) сводится к2)

F=oxx(i)	h 1)+®^, I,	I, 0+

+зэ°" (С„; I, /)+®й(С„; 1,1)-^^, I, I)} (81,1)
(индекс суммирования обозначаем в этом параграфе буквой п).

х) Результаты §§81, 82 принадлежат Е. М. Лифшицу (1954).

2) В промежуточных вычислениях полагаем ft=l, с=1.
В силу однородности задачи в направлениях у и z функ-
ции 3)iki^n\ г, г') зависят только от разностей у—у' и z—z'
(аргументы у — у' и z—z' в (80,1) не выписаны); S>!fe(£„, q; х, х')—
фурье-компоненты по этим переменным. Тогда

^(^;г,г) = у^(^, q; х,х)^.	(81,2)

'Для функций 3)ik (£„, q; х, х') уравнения (79,8) принимают
вид (ось у направляем вдоль вектора q)

(^2 —-^2 )®«(х, *') = —4л6(х—х'),
(га2 —q2—3)уу (х, x')+iq^-x3)xv(x, х') = —4л6 (х—х'),
ra2S>xy (х, х') + iq 3)уу (х, х') = 0,
ra2S>xx(x, х') +iq^-xSDyX(x, х') = — 4л6(х —х'),

где га = (е£2+q2)1/2, e = e(i£„), а х' играет роль параметра (ком-
поненты же S>xz = SQyz = 0, поскольку уравнения для них ока-
зываются однородными). Решение этой системы сводится к ре-
шению всего двух уравнений

(га2—^Й>гг(х, х') = —4л6(х—х'),	(81,3)

(ra2---^Wyy (х, х') = — ~8(х—х'),	(81,4)

после чего 3)ху и 3)хх определяются как

S>xy(x, x')=--^S>yy(x, х'), 

ia d	4л	(81>5)

3>ХХ(Х, X)=-^TxS)yX(X, X ) —— 6(Х—х').

При этом надо учесть, что в силу (79,5) SDyX (г, г') = Sbxy (г',г),
и поэтому ®>ух (q; х, х') = &)Ху ( —q; х', х).

Краевые условия, соответствующие непрерывности танген-
циальных компонент напряженности электрического и магнит-
ного полей, сводятся к требованию непрерывности величин
S>yfe, S)zk, &>yk, ®zk или. что то жё, к непрерывности величин
~&yk> ~^zki rotyi rot^j

Используя первое из равенств (81,5), получим, что на границе
раздела должны быть непрерывны

3)zz, ^-3)гг, 3)vv,	(81,6)

гг dx zz' уу w2 dx уу	\ > /
Поскольку мы имеем в виду вычислить тензор напряжений
лишь в области щели, то можно сразу считать, что 0<х'</.
В области 0< х < I функции 3)уу и S>zz определяются уравне-
ниями (81,3—4) с е = 1, w = w3 — (£п + <72)1/2- В областях / (х<0)
и 2(х>/) они удовлетворяют тем же уравнениям без правых
частей (поскольку здесь х=£х') соответственно с ef, и е2, w2
в качестве e,w.

Необходимое, согласно (80,17), вычитание сводится к тому,
что из всех функций 3);к в области щели следует вычесть их
значения при е£=е2 = 1. Вследствие этого, в частности, можно
сразу опустить второй член справа во втором из равенств (81,5),
так что в области щели

А

Wq dx у

> - — Л

ху wl dx уу’ хх

(81,7)

Прежде чем приступить к решению уравнений, сделаем еще
одно замечание. Общее решение уравнений (81,3—4) имеет вид
f-(х—x') + f+ (х + х'). Используя уравнения (81,3—4), (81,7) и
определение функций SQfk и можно показать, что части гри-
новских функций, зависящие от суммы х-\-х’, не вносят никакого
вклада в выражение (81,1) для силы. Мы не останавливаемся
здесь на этом, так как этот результат заранее очевиден из фи-
зических соображений: положив х — х' в решении вида f+ (х+х'),
мы бы получили поток импульса в щели, который зависел бы
от координаты—в противоречии с законом сохранения импульса.
В дальнейшем мы будем поэтому приводить в результате только
выражения для частей гриновских функций 3)^, не зависящих
от х+х'.

Перейдем к нахождению функции 3)zz. Она удовлетворяет
уравнениям:

(^ —	х')—0,	х<0,

х')-0,	х>1,	(81,8)

—^^гДх, х') = —4л6(х—х'),	0<х</.

Отсюда находим

3>zz=Aew*x, х<0, 3)zz = Be-w*x,

3)zz=C1ew>x +C,e~w=x— — e~w* i*-*'1,
zz	1	1	2	jy	»

< I.

В последнем выражении учтено, что в силу третьего из урав-
нений (81,8) прризводная d3)zz!dx испытывает при х = х' скачок,
равный 4л. Определив А, В, Cit С2 (функции х') из граничных
§ 81] МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ 401
условий непрерывности S)zz и dS)zzldx, получим

^ = ^chay3 (х—х')—,	0<х</,

где

Д = j _ e2w,z (^х + а'зИа'з + ^з)

(Wi—Ws) (wz—ws) •

Вычтя значение при u>f=u>2 = u>3 (при этом 1/Д = 0), имеем
окончательно

^гг=^^3(х — х').

Аналогично, тания)	решая уравнение для ёйуу, получим (после вычи-  ^ = 7ГГс11ауз (*—*'),  д _ 1	e2W>l (ъ1а,з + а11) (бзИ'зтИ'г)  1	(ei®3—®j) (е2ш3—ш2)

и, используя (81,7),

^>-=3>~х = —^~shw3 (х—х'),
At/	£<А	с.4 д	3 X	г •

S>xx =--24я<7 ch пу3 (х—х').

Вычислив теперь функции S)fk и S>^k, преобразовав их
затем согласно (81,2) и подставив в (81,1), получим

п=0 О

Наконец, перейдя к новой переменной интегрирования р, со-
гласно q = £n]fp2—1, и возвратившись к обычным единицам,
мы придем к окончательному выражению для силы F, дейст-
вующей на единицу площади каждого из двух тел, разделенных
щелью шириной I:

F(l)

_ 71 у-,, _,3 (* . ( Г (sx -4-р) (s2 + p)

лс® 2-	U(Si-/>)(s2-P)

n = 0	1

exp(^/) —1] 4

(Si + pex) (sa + pe2)

(si—pex) (s2—pe2)	p

^dp,

(81,9)

где

$x = V Ej—1 +p2, s2 = ]/ e2—1 +рг, = 2лпТ/Ь,
ef, е2—функции мнимой частоты со = i£n; напомним в этой связи,
что e(i£)—положительная вещественная величина, монотонно
убывающая от своего электростатического значения е0 при £ = 0
до 1 при £ = оох). Положительные значения F соответствуют при-
тяжению тел. Подынтегральное выражение в каждом из членов
суммы в (81,9) положительно и при каждых заданных р и
монотонно убывает с ростом /* 2). Отсюда следует, что F > О,
dF/dl < 0, т. е. тела (разделенные пустой щелью) притягиваются
с силой, монотонно убывающей с увеличением расстояния.

Общая формула (81,9) очень сложна. Она, однако, может быть
существенно упрощена в связи с тем, что влияние температуры
на силу взаимодействия обычно совершенно несущественно3).
Дело в том, что благодаря наличию экспонент в подынтеграль-
ных выражениях в (81,9) главную роль в сумме играют лишь
те члены, Для которых £„ ~ с/l или п~ ck/lT. В случае /77сД<^ 1
существенными будут, таким образом, большие значения п и
в (81,9) можно перейти от суммирования к интегрированию по
dn = hdfy2nT. При этом температура исчезает из формулы, и мы
приходим к следующему результату:

F(l' = -А, С С П2ГЗ И (^+g)_fo+Р), ехр (2-Л А	Я"1,

г 2й» J J р * U(si-p)(s2-p) ер < с LJ	М +

о 1

4-Г(^+ре1)(5г+ре2)	(81,10)

1(«1—pej) (s2 — pe2) 1 \ с j J / г ъ	'

Согласно сказанному, эта формула применима для расстояний
l<^chlT\ уже при комнатных температурах это дает расстояния
примерно до 10-4слг. Формула (81,10) допускает Дальнейшее
существенное упрощение в двух предельных случаях.

§ 82. Молекулярные силы взаимодействия
между твердыми телами. Предельные случаи

Остановимся сначала на предельном случае «малых» расстоя-
ний, под которыми подразумеваются расстояния, малые по срав-
нению с длинами волн %0, характерными для спектров поглоще-

*) Формула (81,9) выведена в предположении изотропии обоих тел. Поэтому
ее применимость к кристаллам связана с возможностью пренебрежения анизо-
тропией их диэлектрической проницаемости. Хотя это в большинстве случаев
вполне допустимо, следует иметь в виду, что анизотропия тел приводит, вообще
говоря, еще и к специфическому эффекту — появлению момента сил, стремя-
щегося повернуть тела друг относительно друга.

2) В этом легко убедиться, заметив, что для s=(e—l+p2)1^2 (где
имеют место неравенства ер > s > р при е > 1.

3) Говоря о влиянии температуры, мы отвлекаемся от того, которое связано
просто с зависимостью от температуры самой диэлектрической проницаемости.
ния данных тел. Температуры, о которых может идти речь для
конденсированных тел, во всяком случае малы по сравнению
с играющими здесь роль Дсо0 (например, в видимой части
спектра), поэтому неравенство 77/Ас<^1 заведомо выполняется.

Благодаря наличию экспоненциального множителя в знаме-
нателях подынтегрального выражения при интегрировании по dp
существенна область, в которой р£//с~1. При этом р^>1, и
поэтому при определении главного члена в интеграле можно
положить s^s^p. В этом приближении первое слагаемое
в фигурных скобках в (81,10) обратится в нуль. Второй же член
после введения переменной интегрирования х = 2ру.1с даст

F v> = J(82.D
о о

(нижний предел интегрирования по dx заменен в этом же прибли-
жении нулем)1).

Сила в этом случае оказывается обратно пропорциональной
кубу расстояния, что, впрочем, и следовало ожидать в соот-
ветствии с обычным законом ван-дер-ваальсовых сил между
двумя атомами (см. ниже примечание на стр. 404). Функции
e(i£)—1 монотонно убывают с увеличением £, стремясь к нулю.
Поэтому значения £, начиная с некоторого	перестают

вносить существенный вклад в интеграл; условие малости I
означает, что должно быть /<сс/£0.

Покажем, каким образом можно перейти от макроскопической
формулы (82,1) к взаимодействию отдельных атомов в пустоте.
Для этого предположим формальным образом оба тела доста-
точно разреженными. С макроскопической точки зрения это
значит, что их диэлектрические проницаемости близки к еди-
нице, т. е. разности е^—1 и е2—1 малы. Из (82,1) имеем тогда

1) Интеграл вида

ха dx
аех— I

при изменении а от оо до I меняется незначительно: от 1 до 1,2. С практически
достаточной точностью можно поэтому представить формулу (82,1) в виде,

г _	- Г [ei (£)-!] [е2 (/£) — !] .г

f - 8л2/3 ’ “ J [81 (£) + 1 ] [82 («У + 1 ]
о

Величина й> играет роль некоторой характерной для спектров поглощения
обоих тел частоты.
С должной точностью

СО 00

F = 64^ J J (Ci- !Ж-1) dxdt, =

О о
г <»
=	И[МФ-!М.

о

Выразив е (i£) через Im е (со) на вещественной оси со, согласно
(80,18), получим

F = * С С С	d d =

8nVjJJ (^+S2)(w2+S2) Ь 1	2

= Д, (f ‘—ЦД " * <"! d», fa,.	(82,2)

16n3/3JJ	С01 + й>2	12	V ’ /

0

Эта сила соответствует взаимодействию атомов с энергией

U (г) =	f f ImMyi)ImM*2)	(82 3)

' ' 8n4nxn2re JJ	coi + <B2	1	2	\ ' 1

где г — расстояние между атомами; пх, и2— плотности чисел
атомов в обоих телах1). Эта формула совпадает с известной
квантовомеханической формулой Лондона, получающейся с помо-
щью обычной теории возмущений, примененной к дипольному
взаимодействию двух атомов (см. III § 89, задача). При сравне-
нии следует учесть, что мнимая часть е (со) связана со спектраль-
ной плотностью «сил осцилляторов» / (со) соотношением

т , .	2л2е2 f, ч

со 1m е (со) =  — nf (со)

(е, т — заряд и масса электрона; см. VIII § 62); силы же осцил-
ляторов известным образом выражаются через квадраты матрич-
ных элементов дипольного момента атомов (см. III (149,10)).

Перейдем к обратному случаю «больших» расстояний: 1^>ка.
При этом, однако, будем считать, что расстояния все же не столь
велики, чтобы нарушилось неравенство ZT/Ac^l.

В формуле (81,10) снова вводим новую переменную интегри-
рования х=2р/£/с, но в качестве второй переменной оставляем
теперь не. С, а р. Тогда ех и е2 окажутся функциями аргумента

х) Если Потенциальная энергия взаимодействия атомов 1 и 2 есть U (г) =
= — аг-6, То полная энергия парных взаимодействий всех атомов в двух полу-
пространствах, разделенных щелью ширины I, равна С/пол = —алП1П2/2/2. Сила
же есть Е==4(7П0л/4/ = аппхП2/613. В этом и заключается соответствие между
формулами (82,2) и (82,3).
i£ = ixc/2p/. Но благодаря наличию ех в знаменателях подынте-
грального выражения в интеграле по dx играют роль значения
х~1, а поскольку р^1, то аргумент функции е при больших I
близок к нулю во всей существенной области переменных.
В соответствии с этим можно заменить ei; е2 просто их значе-
ниями при £=0, т. е. электростатическими диэлектрическими
постоянными е10, е20. Таким образом, окончательно

Ас
32л2/4

С С ( Г (Sio + p) (Sao + p)
J J Р2 I L(sio —P) (s2o —P)

(sio4~Peio) (sao4~ Peao) ___।

(sio—рею) (s2q—p8ao)

$io —	14~P2, $20 — T^$2o 1 4~P2-

(82,4)

Закон убывания силы с расстоянием (как Z-4) соответствует
в данном случае закону убывания ван-дер-ваальсовых сил между

двумя атомами с учетом запаз-
дывания (см. ниже).

Формула (82,4) сводится к
очень простому выражению в слу-
чае, когда оба тела — металлы.
У металлов функция е (/£)—>-оо при
£ —>0; поэтому для них надо счи-
тать е0=оо. Положив е10 = е20 =
= оо, получим
, со со
р пс Р Р х3 dp dx л2 пс
Л — 16л2/4 J J р2(е*—1) “ 240
о 1

(82,5)
(Н. В. G. Casimir, 1948). Эта
сила вообще не зависит от рода
металлов (свойство, не имеющее

где сила взаимодействия зависит от поведения функции е (i£)
при всех значениях С, а не только при £ = 0).

На рис. 18 представлен график функции срдд (е0), определяю-
щий силу притяжения между двумя одинаковыми диэлектриками
(е10 =е20 = е0); формула (82,4) представлена в виде

, л2 Ac f е0 — 1 \2	,

~ 240 /4 <ёГ+Т/

(82,6)

На том же рисунке дан график функции срдм (е0), определяющей
силу притяжения для диэлектрика и металла (е10=е0, е20 = оо)
по формуле1)

<82>7>

Произведем в (82,4) переход к взаимодействию отдельных
атомов подобно тому, как это было сделано выше для формулы
(82,1). При малых е0—1 имеем

so—Peo«(eo —О (—»

и интеграл (82,4) принимает вид

F = зЙк	— 1> (е*»~f х3е~Х dx J 1~2^2Р< dp>

о	I

откуда

Г = <82’8>

Эта сила соответствует взаимодействию двух атомов с энергией

л . ,	23 7 с

и (г) = — —х-а.а,,
' '	4лг7 1 2

(82,9)

где ао а2—статические поляризуемости атомов (е0=1+4лпа).
Формула (82,9) совпадает с результатом расчета по кванто-
вой электродинамике для притяжения двух атомов на доста-
точно больших расстояниях, когда становятся существенными
эффекты запаздывания (см. IV § 85).

Наконец, рассмотрим расстояния настолько большие, что
имеет место неравенство 1, обратное тому, которое требо-
валось для возможности пренебрежения влиянием температуры.
В этом случае из всех членов суммы в (81,9) надо сохранить
лишь первый. Однако сразу положить в нем п = 0 нельзя ввиду
возникающей при этом неопределенности (множитель £„ обра-
щается в нуль, но интеграл по dp расходится). Это затруднение
можно обойти, введя сначала вместо р новую переменную инте-
грирования х = 2р^„1/с (в результате чего множитель £3 * исче-
зает). Положив затем £„ = 0, получим

F=-пгт. fх2 [ !е1°+!! !ез°+g* -1 Г1	(82,10)

16л/3 J	|(е10~ 1) (е20—1) J	'

о

Таким образом, на достаточно больших расстояниях убывание
силы притяжения замедляется и снова происходит по закону /~3,

1) При ео —* 1 функции <рдд и <рдм стремятся соответственно к значениям

0,35 и 0,46, отвечающим предельным законам (82,8) и (1) в задаче к этому

параграфу. При е0—► оо обе функции стремятся к значению 1, отвечающему,

формуле (82,5).
но с коэффициентом, зависящие от температуры (все следующие
члены суммы в (81,9) убывают с I экспоненциально). Условие
есть по существу условие классичности (Айх^Т, где
ю~//с). Поэтому естественно, чг»о (82,10) не содержит &х).

Задача

Найти закон взаимодействия атома сз металлической стеикой на «больших»
расстояниях.

Решение. Взаимодействие отдеыного атома с конденсированным телом
можно найти, рассматривая лишь одоо из тел (пусть это будет тело 2) как
разреженную среду. Считая е20—1 малйм и положив ею= оо, получим из (82,4)

he (е20 — 1)

32л2/4

зЬс (е20— 1)
32л2/3

(I)

Если энергия взаимодействия атома сссстенкон есть (7=—aL~* (L—расстоя-
ние атома от стеики), то энергия взаимодействия атомов в полупространстве,
отделенном от стенки щелью /, есть (7па=— дп/3/3, а сила F = dU n0][/dl — ап/1*.
По этому полученному значению F соответствует притяжение отдельного атома
к стенке с энергией

U (L)——Зосе2)»с/8л£4	(2)

(Н. В. G. Casimir, D. Polder, 1948).

Для взаимодействия атома с дютектрической стенкой тем же

получается результат

путем

(/(£) =

3Aca,esio— 1
8nL<es10+ 1 фад

с функцией фад, представленной график» ски на рис. 18. При	—* 1 она стре-

мится к значению 23/30 = 0,77, отвечающему формуле (82,8).

§ 83. Асимптотическое поведение корреляционной
функции в жидкости

Длинноволновые электромагнитные флуктуации приводят.
также к некоторым специфичен им свойствам корреляционной
функции флуктуаций плотности в однородной жидкости.

Напомним (см. V § 116), что корреляционная функция v(r)
определяется через среднее значение от произведения флуктуа-
ций плотности числа частиц i в двух точках пространства
согласно

<6n(r1)6n(r2)> = n6(i) + nv(r), r = ri—r2.	(83,1)

Корреляционная функция связагна со взаимодействием между

х) Полученные в §§ 81,82 формулыюмогут быть обобщены таким образом,
чтобы включить в себя случай заполненной жидкостью щели между твердыми
телами и случай тонкой жидкой плеим та твердой поверхности; см. И. Е. Дзя-
лошинский, Е. М. Лифшиц, Л. П. Пштезский, УФН, 78,381, 1961; Advan. in
Phy., 10, 165, 1961.
частицами, и ее асимптотическое поведение на больших рас-
стояниях определяется дальнодействующей, ван-дер-ваальсовой
частью этого взаимодействия. Поэтому v(r), как и ван-дер-
ваальсовы силы, убывает с расстоянием по степенному закону
(J. Enderby, Т. Gaskell, N. Н. March, 1965).

Это отражается, разумеется, и на свойствах фурье-компонент
корреляционной функции v(k) = v(A). Если бы между частицами
жидкости действовали только силы с радиусом действия по-
рядка атомных размеров а, то функция v(r) убывала бы с рас-
стоянием по экспоненциальному закону с показателем ~ г/а1).
В терминах фурье-компонент это значит, что v(k) была бы
регулярной функцией от ka, разложимой при ka<^A по четным
степеням ka. Дальнодействующие же силы приводят к появле-
нию в v (k) члена (обозначим его (fe)) существенно меняющегося
уже в области £~1/А,0 (а не k~l/a), где Хо — характерные
длины волн в спектре жидкости' (Х0^а). В области
параметр /гХ0 может быть как малым, так и -большим; функция
Vj(^) в этой области имеет сингулярный характер.

Для вычисления корреляционной функции воспользуемся ее
связью со второй вариационной производной от свободной
энергии тела по его плотности. По определению, эта производ-
ная есть функция ср (г), фигурирующая в выражении

=	ср(|Г1—r21) 6n (rj 6n (r2) d3x1 d3x2 (83,2)

для изменения свободной энергии, связанного с флуктуациями
плотности (при заданной температуре). Фурье-компонента
ср (к) = ср (/г) этой функции связана с искомой функцией v (fe)
соотношением

v(fe) = ^----1	(83,3)

nq> (k)

(см. V (116,14)). Подчеркнем, что эта формула предполагает
классичность флуктуаций, для чего требуется Йео<^Т, где со —
частота колебаний с волновым вектором k. Полагая со ~ ku (где
и — скорость звука в жидкости), получим условие

hku<^T,	(83,4)

что соответствует расстояниям r^>1iu/T.

«Регулярная» часть функции ср(&), связанная с коротко-
действующими силами, разложима по степеням fe; ограничиваясь

Речь идет о жидкости при температурах Т — в (где B~hula—«деба-
евская температура» жидкости) и вдали от критической точки. Вблизи кри-
тической точки корреляционный радиус неограниченно растет (см. V §§ 152,
153). Он оастет и при низких температурах, оказываясь при Т 0 порядка
величины nujT (см. ниже § 87).
(при ka<^. 1) первым членом разложения и обозначив его через Ь,
пишем

(p(fe)«& + <Pi (fe),

(83,5)

где — интересующая нас «сингулярная» часть функции* 1).
Ввиду относительной слабости ван-дер-ваальсовых сил Ф1
и поэтому результат подстановки (83,5) в (83,3) можно пред-
ставить в виде

v(fe) г_1 (fe)	(83)6)

по	по2 * *

Поскольку связь v (/г) с ф1 (/г) оказывается линейной, то функ-
ция v (г) на больших расстояниях есть просто

v(r) = -^T1(r).	(83,7)

по2

Первому же (не зависящему от k) члену в (83,6) отвечает ко-
ординатная функция вида const-б (г), связанная с близкодейст-
вующими силами (при пренебрежении их радиусом действия).
Для определения фг (г) исходим из формулы (80,11) для
вариации свободной энергии. Написав в ней

6е(^,г)=-^Мбп(г),	(83,8)

мы видим, что выражение

г)^Я
4лЛ-с2	ап

представляет собой первую вариационную производную свобод-
ной энергии по плотности. Для второго дифференцирования
надо, в свою очередь, проварьировать это выражение, т. е.'
найти а)

<83-9>

!) Постоянная Ъ выражается через термодинамические величины жидкости

1 / дР \

согласно Ь=—( —— ) (см. V § 152).

п \ дп )т

2) Варьируется только функция Варьирование функции е привело бы

к члену вида const-д (г) в ср (г), не имеющему отношения к да льнодействую-

щим силам.
Сама ^-функция удовлетворяет уравнению (79,8):

- б/Л + # 8 (i£„ г)	S)lk (£,; г, г') =

= —4n^6l-fe6 (г—г'),

(83,10)

а его варьирование дает уравнение для вариации *Э-функции:
^--6пЛ + 1|е(^)6п]	г, Г') =

= —|бе(^,г)^(^;г, г'). (83,11)

Решение уравнения (83,11) можно написать сразу, заметив, что
в силу (83,10) «невозмущенная» функция S)lk является гринов-
ской функцией этого уравнения; поэтому

6^,.ft(^;r,r') = -^j6e(^, r")^Zfea/. г". r')^z/(^ г", W

(здесь использовано также, что S)u (г, г") =ёйц (г", г)). Наконец,
подставив сюда (83,8) и затем все вместе в (83,9), получим вто-
рую вариационную производную

’<г>=~да§'а	(83.12)

(г= | Pf — г21). Эта формула вместе с (83,7) и дает искомое об-
щее выражение корреляционной функции v(г) при r^liu/T
(М. П. Кемоклидзе, Л. П. Питаевский, 1970).

Предположенное уже ранее условие (83,4) для волновых
векторов эквивалентно условию r^>ku/T для расстояний. Если
одновременно с этим условием ограничить область значений г
также и сверху:

hc/T^>r^hu/T,	(83,13)

то в сумме будут существенны большие значения s, и суммиро-
вание по дискретным «частотам» g, =2aTslii можно заменить
интегрированием по ds = Ad^/2n71:

v(r) = ^ f	г2, г2) —.	(83,14)

V ' nb2Hc* J L 4л dn J v 1 27 2л v ’

о

Функция S)lm получается из (77,6) заменой со—► i£.
ведя дифференцирование и возведя в квадрат, получим
& =2^.e-2wfi + A , _5_ , A I JA

г2 L	< W W2 W3 01* ) ’

Произ-

(83,15)

ai = r^/e(iO/c.
Подстановка (83,15) в (83,14) приводит к довольно сложному
выражению, которое, однако, упрощается в двух предельных
случаях.

В случае «малых» расстояний (r<^2i0, ср. § 81) в интеграле
существенна область £~c/2i0; при этом r£/c<| 1, так что в (83,15)
можно заменить экспоненциальный множитель единицей, а в
скобках сохранить лишь последний член. Тогда найдем

i \ А
v(r) = 7e->

16л3п62 J L дп J e2(ig) ’
о

Фурье-образ этой функциих)

v{k) = ^Ak3, U„>1.

(83,16)

(83,17)

В обратном случае «больших» расстояний (г^>^0) в интег-
рале существенна область с/г<^сД0 ~ ш0. Поэтому можно
заменить е (t£) ее электростатическим значением еи и вынести
(деа/дп)2 из-под знака интеграла в (83,14). После этого интегри-
рование производится элементарно (причем все члены в (83,15)
дают вклад одинакового порядка величины). В результате

получается

, 1 В
v(r) = 7T>

23&сТ
64л3е3/2п62.

деоу
дп) ’

(83,18)



Фурье-образ этой функции

v(6) = —Н„<^1.	(83,19)

§ 84. Операторное выражение для диэлектрической
проницаемости

В этом параграфе мы получим полезное представление ди-
электрической проницаемости среды через коммутатор оператора
плотности зарядов {Ph. Nozieres, D. Pines, 1958). Эта формула
аналогична формуле Кубо с учетом специфики электромагнит-
ного поля. * v

!) Непосредственным интегрированием в сферических координатах в к-про-
странстве можно получить

v X= + oJ	(2л)3	2n2rv+?

Нужный для проверки формулы (83,17) интеграл есть /3. Интеграл же,
нужный для проверки формулы (83,19) вычисляется как di v/dv при v = 4.
Будем рассматривать однородную среду, обладающую не
только временной, но и пространственной дисперсией диэлект-
рической проницаемости. Это значит, что индукция. D(/, г)
зависит от значений напряженности Е(/, г) не только в преды-
дущие моменты времени, но и в других точках пространства.
Такая зависимость может быть представлена в общем виде как

со

D-(t, г)=£((/, r) + 5J	г')ДА(/—т, г—r')d3x' dr. (84,1)

о

Для монохроматического поля, в котором Е, D оо exp [i (kr — at)],
эта связь сводится к

D(. = e,.Hco,k)£ft,	(84,2)

где

со

8/.а (со, к) = 6,.А + $ $ fik (т, г') d3x’ dr. (84,3)
о

Мы ограничимся случаем, когда среда не только однородна,
но и изотропна и не обладает естественной оптической актив-
ностью. Тогда диэлектрическая проницаемость остается тензо-
ром, но составленным лишь с помошью вектора к. Общий вид
такого тензора

e,.ft = ez(co,k)^- + 8((o), к)(б(-й-^).	(84,4)

Скалярные функции 8Z и 8f называют соответственно продольной
и поперечной проницаемостями. Если поле Е потенциально,
Е = —V<p, то для плоской волны Е параллельно волновому
вектору (Е = — ikcp) и тогда D = 8ZE. Если же поле соленои-
дально (div Е = ikE = 0), то Е перпендикулярно волновому
вектору, и тогда D = 8ZE.

Напомним (ср. VIII § 83), что при таком описании свойств
среды уже не имеет смысла разделение среднего значения
микроскопической плотности тока pv (р — плотность зарядов)
на две части: dP/dt и crotM, где Р — электрическая поляриза-
ция, а М—намагниченность среды. Другими словами, уравнения
Максвелла записываются в виде

1 <5В	, D 1 до

rotE =------sr-, rot В =—-д-

с dt ’	с dt

без введения (наряду с магнитной индукцией В—средним зна-
чением микроскопической напряженности магнитного поля) еще
и вектора Н. Все члены, возникающие в результате усреднения
микроскопических токов, предполагаются включенными в опре-
деление D = E + 4nP, pv = dP/dt.
§ 84]

Больший интерес в применениях представляет продольная
проницаемость, для которой мы и выведем операторное выра-
жение. Оно получается путем рассмотрения отклика системы
на стороннее (т. е. созданное сторонними по отношению к системе
источниками) потенциальное электрическое поле Ест = — ?<рСт-

Оператор взаимодействия системы с этим полем записы-
вается как

V = J р(/, г) <рст(£, jjd3x,	(84,5)

где p(i, г) — оператор плотности заряда в системе. Сопоставив
это выражение с общей формулой (75,8) и рассматривая <рст как
«обобщенную силу» /, сразу находим, согласно формулам
(75,9—11), для фурье-компонент по времени от средней плот-
ности зарядов

ро(г)=—Je‘w<p(C г)р(О, г')—р (0, г')р(/, r)>(p^T)(r')d3x'dt.
о

Перейдя здесь также и к фурье-компонентам по пространству
и учтя, что в силу однородности системы среднее значение
коммутатора зависит только от разности г—г', получим

рок = а(со, kJcpSk’,	(84,6)

где

а (со, к) = —(о/-кг> <р (/, г)р(О, 0) — р (0, 0) р (t, r)> d3xdt.
о

(84,7)

Средняя плотность зарядов связана с вектором поляризации
среды соотношением р = — divP (см. VIII § 6). Для фурье-ком-
понент отсюда следует.

po>k= СЙР ok=	I кЕок-

С другой стороны, Дсрст = —4лрст, где рст—плотность зарядов,
создающих стороннее поле; индукция же D связана с этой
плотностью уравнением div D = 4лр(.т. Из этих двух уравнений
находим

Ч’ок) = Pffik* = ~k^ кЕ<лк-

Наконец, подставив эти выражения в (84,6), получим иско-
мое выражение продольной проницаемости

М^|0 = 1+т'»(“.к)-	(84.8)
Под р(/, г) в (84,7) следует понимать, строго говоря, опера-
тор плотности зарядов всех частиц в системе—электронов и
ядер. Обычно, однако, во всем существенном интервале значе-
ний со и к вклад в проницаемость вносят главным образом
электроны; поэтому под р можно понимать е(п — п), где п —
оператор электронной плотности, а п—ее среднее значение.

Формулу (84,7—8) можно преобразовать еще дальше, выразив
ее через матричные элементы фурье-компонент оператора р.
Для этого предварительно переписываем (84,7) в виде

а (со, k) = — ^Jeto/<Pk(OP-k(O)—Р-к(О)рк(О>^, (84,9)
о

(V—объем системы). Матричные элементы гейзенберговского
оператора рк(О выражаются через матричные элементы шредин-
геровского оператора согласно

(рк(0)тй=е,и^ (Рк)и„.

Раскрыв произведение операторов по правилу матричного умно-
жения и произведя интегрирование согласно (31,21), получим
окончательно

(84.10)

п

где индекс 0 относится к заданному состоянию, для которого
ищется проницаемость.

§ 85. Вырожденная плазма

Рассмотрим полностью ионизованную плазму, в которой
ионы образуют классический (больцмановский) газ, а электрон-
ная компонента уже вырождена. Для этого температура должна
удовлетворять условиям

т. е.

<< Т 1i№l*ltne

(85,1)

(р,г, И/—химические потенциалы электронов и ионов в плазме;
те, пг{—их массы; п—плотность числа частиц; при оценках
не делаем различия между пе и п(-). В то же время будем счи-
тать, что плазма лишь слабо неидеальна. Для этого энергия
кулоновского взаимодействия двух частиц на расстоянии
I ~ п~113 друг от друга должна быть мала по сравнению с их
средней кинетической энергией е. Для ионов е~Т, а для
электронов е ~	~ п2/3К2/те. Отсюда получаются условия

тее*1& < n1/’ < Т/е2	(85,2)

В V § 80 было показано, что в этих условиях основным
источником поправок в термодинамических величинах плазмы
(по сравнению с их значениями для идеального газа) является
обменное взаимодействие электронов; энергия этого взаимодей-
ствия (отнесенная к единице объема плазмы) оказывается вели-
чиной ~ е2/г4/з. Корреляционная же поправка (являющаяся
основной в классической плазме) в вырожденной плазме мала по
сравнению с обменной в отношении т)1/2, где г] =	1.

Тем не менее ее вычисление для вырожденной плазмы представ-
ляет методический интерес и дает поучительную иллюстрацию
применения диаграммной техники.

Оператор кулоновского взаимодействия частиц плазмы за-
писывается в виде

F = f TF=FT Vaadsxd3x', (85,3)
a,

где индексы a, b нумеруют различные сорта частиц—электроны
и разные сорта ионов; гае—заряд частиц (для электронов
ге = — 1). Взяв ф-операторы в мацубаровском представлении,
мы тем самым получим и оператор взаимодействия в этом
представлении. Диаграммная техника для вычисления среднего
(по распределению Гиббса) значения <У> строится затем обыч-
ным образом путем перехода к представлению взаимодействия
для мацубаровских операторов; возникающий в результате ряд
теории возмущений представляет собой разложение <У> по сте-
пеням е2.

Выражение (85,3) не содержит «свободных» (по которым не
производилось бы интегрирование) переменных. В диаграммной
технике это обстоятельство выражается тем, что члены ряда
теории возмущений для <У> изображаются диаграммами, не
имеющими свободных концов. Пунктирным линиям этих диаг-
рамм (с 4-импульсами Q = (£,, q)) условимся сопоставлять мно-
жители *)

-Ф(Ч)=—(85,4)

х) Далее в этом параграфе полагаем £=1, с=1, а е обозначает элемен-
тарный заряд (е > 0).
(не зависящие от т. е. взятую с обратным знаком фурье-
компоненту потенциала <р (г) поля единичного заряда. Сплошным
линиям должен теперь приписываться (наряду с 4-импульсом
Р = (£,, р)) еще и индекс а, указывающий сорта.частиц, и каж-
дой такой линии сопоставляется множитель—%аа$(Р)— взятая
с обратным знаком гриновская функция свободных частиц а.
При этом сплошные линии диаграммы образуют замкнутые
петли, каждая из которых содержит «звенья» с одинаковыми
индексами а. Каждой вершине диаграммы—точке пересечения
пунктира со сплошными линиями сорта а—сопоставляется до-
полнительно множитель zae. Каждая фермионная петля вносит
дополнительный множитель (—1). Построенные по этим правилам
диаграммы дают члены разложения величины

-у<К>.	(85,5)

Множитель V в знаменателе—объем системы; этот множитель
возникает в результате того, что подынтегральное выражение
в каждом члене ряда зависит только от разностей координат,
и поэтому одно из интегрирований по d3x дает просто объем V.
Знак минус в (85,5) — результат определения пунктиров по
правилу (85,4), т. е. со знаком минус перед <p(q). Множитель
же 2—результат переноса множителя 1/2 в (85,3) в левую сто-
рону равенства.

В первом порядке теории возмущений имеются диаграммы
двух видов:

(85,6)

со всеми возможными а и Ь. Диаграммы вида (85,6а) возникают
от сверток ф-операторов, взятых в одинаковых точках простран-
ства. Эти диаграммы отвечают прямому кулонову взаимодействию
частиц а и Ь, равномерно распределенных в пространстве: вклады
этих диаграмм взаимно сокращаются (при суммировании по всем
парам а, Ь) ввиду электрической нейтральности плазмы. Диа-
граммы же вида (85,66) возникают от сверток ф-операторов
разных аргументов и отвечают, обменному взаимодействию частиц
данного сорта а. Вычисление этой диаграммы приводит к резуль-
татам, полученным уже в V § 80.
В следующем
видов:

порядке возникают диаграммы следующих

(85,7)

Диаграммы (85,7а—б) представляют собой поправки к диаграмме
(85,6а) и по той же причине взаимно сокращаются при сумми-
ровании по всем а, Ь, с. Диаграммы (85,7в—г) представляют
собой малые поправки к энергии обменного взаимодействия и
не представляют здесь интереса.

Диаграмма же (85,7д) оказывается «аномально большой»
ввиду расходимости соответствующего интеграла. Эта расходи-
мость возникает в результате того, что импульсы q обоих пунк-
тиров в диаграмме одинаковы (как это очевидным образом
следует из сохранения импульса в вершинах). Поэтому диаграмма
содержит интеграл J d2qtqi, расходящийся при малых q как i/q.

В следующих приближениях появляются (наряду с диаграм-
мами поправочных типов) также и новые «кольцевые» диаграммы
с еще более сильной расходимостью. Так, диаграмма третьего
порядка

а

с тремя пунктирными линиями с одинаковыми импульсами q
содержит интеграл J<7"6d3<7, расходящийся, как q~$. Вообще
кольцевая диаграмма n-го порядка, образованная п сплошными
петлями, соединенными п пунктирами, расходится, как

Суммирование бесконечной последовательности кольцевых
диаграмм приводит, как мы увидим, к эффективному обрезанию
расходимостей на значениях q порядка малости е; поэтому все
эти диаграммы совместно дают вклад в <У> порядка малости
(e2)n/e2'1~s^=es; Графически этот вклад изобразится суммой

14 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевокий
(по сортам частиц) скелетных диаграмм

(85,8)

где жирная пунктирная линия представляет сумму бесконечного
множества линейных диаграмм

(85,9)

с различными числами сплошных петель.

В то время как тонкая пунктирная линия изображает по-
тенциал <р кулонового поля изолированного заряда, толстая
пунктирная линия представляет потенциал поля, искаженного
поляризацией окружающей плазмы; обозначим его посред-
ством Ф. Весь вклад (85,8) и дает, следовательно, искомую
корреляционную часть средней энергии взаимодействия в плазме.

Введем обозначение —£р (^, q)/4n для суммы простых сплош-
ных петель всех родов частиц и будем обозначать эту величину
графически светлым кружком:

(85,10)

Отметим, что аргумет этой функции пробегает «четные» зна-
чения ^ = 2sn7’ независимо от статистики, которой подчйняются
частицы а. Действительно, в силу закона сохранения частот
в вершине этот аргумент равен разности частот обеих сплошных
линий; эта разность «четна» как при «четных», так и при «не-
четных» членах разности.

С обозначением (85,10) сумма (85,8) изобразится одной ске-
летной диаграммой:

(85,11)

Сама же жирная пунктирная линия удовлетворяет диаграммному
уравнению

------=--------+------о-----	(85,12)

(вполне аналогичному уравнениям (14,4) и (79,13)). В анали-
тическом виде это уравнение гласит

-<Ж, q) = -<P(q)-<P(q)^H®(?s, q),
откуда

(85.13)

На эти формулы полезно взглянуть с несколько иной точки
зрения, чтобы установить связь с диаграммами в § 79. Дело
в том, что кулоново взаимодействие между зарядами можно
рассматривать как результат обмена виртуальными фотонами.
При этом, однако, удобнее использовать не калибровку (75,1),
а так называемую «кулонову» (см. IV § 77), в которой —£>00
как раз равна фурье-компоненте кулонового потенциала. Про-
странственная же часть Dih в этой калибровке описывает запаз-
дывание и магнитное взаимодействие, и ею в нерелятивистской
плазме можно пренебречь.' Поэтому можно считать, что пунк-
тирным линиям на диаграмме (85,11) соответствует мацубаров-
ская £0ОО, а функция 51 есть не что иное, как компонента ^00
поляризационного оператора. Согласно (79,18) можно, следова-
тельно, написать 5*(£$, q) = — <72 [ez (* I £$ I, q)~ 1] (легко видеть,
что при наличии пространственной дисперсий в (79,18) вхо-
дит именно продольная проницаемость ez). Подставляя это
выражение в (85,13), находим

ф (^. q) = 2 Л । ),	(85,14)

м/ q2ez (t | q) ’	v ’

т. e., как и следовало, фурье-компоненту потенциала единичного
заряда в среде.

Раскрыв, по общим правилам мацубаровской техники, диаг-
рамму (85,11), находим

ФК..

- _ IL v С	d3(>	1

2 2- J q2 [q2	(^, q)] (2л)3 1	>1

S

Мы увидим ниже, что основную роль в сумме играет член
с s = 0, причем соответствующий интеграл определяется областью
малых q. Поэтому для вычисления (85,15) фактически достаточно
знать предельное значение ^(0, q) при q—>0. Эту величину
легко определить из простых физических соображений, даже
не прибегая к прямому вычислению по диаграммам (85,10).

При ^ = 0 функция Ф(0, q) представляет собой фурье-образ
потенциала Ф(г) электростатического поля единичного заряда
в плазме. Невозмущенный потенциал <р(г) удовлетворяет урав-
нению Пуассона с 6-функцией в правой части: Дф =— 4лб(г).
Уравнение же для потенциала Ф,_ искаженного поляризацией
плазмы, получается добавлением в правой стороне изменения бр
плотности зарядов в плазме под влиянием самого поля:

Аф = — 4л [б (г) + бр].

(85,16)

С другой стороны, при q—>0 мы имеем дело с полем, медленно
меняющимся вдоль объема плазмы. В таком поле справедливо
термодинамическое условие равновесия

Ра + егаф = const =	,

(85,17)

где ра—химический потенциал частиц сорта а, — его значе-
ние в отсутствие поля. Из этого условия находим для изменения
плотности частиц па:

б^ = (й;)г,убп«^--^ф

и затем для изменения плотности заряда:

бр=Е ег°8,г°= ~ Е <ег° )2 (£) г, vф •
а	а

Подставив это выражение в (85,16), получим уравнение

Аф—х2Ф = —4лб (г),	(85,18)

где введено обозначение

х2 = 4 ле2 У	.	(85,19)

Из (85,18) видно, что 1/х есть дебаевский радиус экранирова-
ния поля в плазме (ср. V § 78). Наконец, взяв фурье-компо-
ненту от обеих сторон уравнения (85,18), найдем, что

и сравнение этого выражения с (85,13) дает
^(0, q)|q->o = —х2.	(85,20)

Производя теперь интегрирование в (85,15) с этим значе-
нием находим

_ УТх4 (* 4л<у-dq ____УТ"/?	,q- т.

\Г/КОр— 2 (2л)3 j g2(g2+x2)— 8jt •

Отметим прежде всего, что интеграл оказывается сходящимся
на нижнем пределе и основную роль в нем играют ~ х. Для
невырожденной ионной компоненты плазмы имеем дп^д^^п^Т,
а для электронов дпе Дре ~ »г/рг- Легко видеть, что в силу
условий (85,2) х^п1/3, а потому и <7<^п1/3, т. е. 1/<? велико
по сравнению с межчастичными расстояниями. Этим оправды-
вается использование условия равновесия (85,17). Для оправда-
ния же пренебрежения всеми членами суммы в (85,15) кроме
члена с s = 0 замечаем, что, согласно (85,14), поляризация
плазмы при отличных от нуля частотах описывается диэлектри-
ческой проницаемостью ег(ю, q). Согласно известному .асимпто-
тическому выражению при больших частотах, ez(®)a?l —
— 4лнее2/т/о2, а потому

М‘-О = 1+4-^?

(см. VIII § 59). В силу условий (85,1—2) все отличные от нуля
частоты —2snT^>(Hee2/me)1/2, и потому для них можно уже
считать e(i|£j)=l, т. е. поляризация плазмы отсутствует и
мало.

Формула (85,21) выражена через термодинамические пере-
менные Т, V, ца. Поэтому термодинамический потенциал Q
плазмы может быть найден прямым интегрированием равенства

=4<V>	(85,22)

\де2 Jt,V, ца е2	' ’ '

(см. V (80,4)). В результате найдем для корреляционной части Q
следующее выражение (обычные единицы):

О	2 /йт3 Г у 3 (дпД I3''2 R

к°р~ 12л - з Z^za\dvkJVtT (85,23)

(Л. А. Веденов, 1959). Согласно общей теореме о малых добав-
ках, эта же формула, выраженная через другие термодинами-
ческие переменные, дает поправку к другим термодинамическим
потенциалам.

Для невырожденной плазмы все производные дпа/дц,а = njT,
и тогда (85,23) переходит в формулу

=	(85,24)

для поправки к свободной энергии, совпадающую с V (78,12).

В случае сильного вырождения электронов в плазме (Т<^ре)
производная днДдц,, ~	В сумме по а в (85,23) можно

тогда вообще пренебречь электронным членом, и мы снова по-
лучаем формулу (85,24) с той лишь разницей, что сумма в ней
берется лишь по сортам ионов в плазме. Таким образом, при
сильном вырождении электроны вообще не влияют на радиус
экранирования и на корреляционную часть термодинамических
величин плазмы.
ГЛАВА IX

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ

§ 86. Динамический формфактор жидкости

Рассмотренная в V § 116 корреляционная функция флукту-
аций плотности является частным случаем более общей функции,
связывающей флуктуации плотности не только в различных
точках пространства, но и в различные моменты времени.
В классической теории эта функция определяется как среднее
значение

na(t; гй г2) = <6п(/й Г1)6н(/2, г2)>,	(86,1)

где / = Ч— /2; из определения о вынесен множитель n = NlV —
средняя плотность числа частиц. Для однородной и изотропной
среды (жидкость, газ) функция (86,1) зависит от rj и г2 только
через расстояние г = |— г2| между двумя точками, что и будет
предполагаться ниже.

В квантовой теории аналогичная функция определяется
с помощью симметризованного произведения зависящих от вре-
мени (гейзенберговских) операторов плотности как

na{t, =	r1)6n(Z2, г2) + 6н(/2, г2)6н(Ч, гх)> (86,2)

(в соответствии с общим способом определения согласно
V (118,4)). Некоторые преимущества, однако, имеет в данном
случае несимметричное определение

по(/, г) = <6п(/1, г1)6н(/2, г2)>,	(86,3)

для которого сохраним обозначение a (t, г)1). В противополож-
ность функции а(/, г) функция <j(t, г) не является четной по
переменной t\ очевидно, что

а(/, г) = у[а(/, г) + а(—/, г)].	(86,4)

х) Именно эта функция является непосредственно наблюдаемой величиной,
например, при неупругом рассеянии нейтронов в жидкости —см. задачу.
§86]

динамический формфактор жидкости

423

Фурье-образ функции <j(t, г) по времени и координатам

00

а (<в, k) = о (со, k) = J J е1 <“z~kr> a (t, г) dt d3x (86,5)
— 00

называют динамическим формфактором среды. Ввиду изотропии
функции о(/, г) он зависит только от абсолютной величины
волнового вектора. Из (86,4) следует, что фурье-образ функции
<т(/, г)

о (<в,/г) = у [о (<в, /г) 4-о (—со,/г)].	(86,6)

Чисто пространственная корреляция флуктуаций плотности
жидкости определяется функцией (86,1) при / = 0: а (г) =
= а (t = 0, г) = а (t = 0, г). Эта функция связана с введенной
в V § 116 (и использованной в § 83) функцией v(r) согласно
о (г) = v (г) 4-6 (г); их фурье-образы: о (/?) = v (fe) +1. Функцию
o(fe) или v(fe) называют статическим формфактором жидкости.
Функции о(о), k) и о (fe) связаны друг с другом интегральным
соотношением

00	00

o(fe)= J 0(0), fe)e-'w§|<=0= J о (и, fe)g. (86,7)
— 00	— 00

Шредингеровский (не зависящий от времени) оператор плот-
ности дается суммой

п(г) = 2б(г—го),	(86,8)

а

взятой по всем частицам среды; координаты частиц га играют
роль параметров (ср. (24,4)). Нам понадобятся ниже компоненты
фурье-разложения этого оператора по координатам

«к = п (r) e~ikrd3x = £е~,кЧ	(86,9)

а

Переход к зависящему от времени (гейзенберговскому) опера-
тору происходит по общему правилу

n(t, г) = exp (i//7/^)n (г) exp (—iHt/h),	(86,10)

где Н—гамильтониан системы. Этот оператор может быть пред-
ставлен выражениями (86,8—9) с заменой в них га на ra(t) —
гейзенберговские операторы координат частиц.

Согласно основным принципам статистики, усреднение <.. .>
можно понимать по-разному, в зависимости от того, через какие
термодинамические переменные должен быть выражен результат.
Так, если функция а определяется при заданных полной энергии
и числе частиц системы, то усреднение производится, по опре-
деленному (m-му) стационарному состоянию, т. е. взятием
соответствующего диагонального матричного элемента. Для
однородной системы (жидкость) зависимость матричных элемен-
тов оператора 6n(Z, г) от времени и координат дается формулой

<m|6n(Z, г) | Z> = <т 16п (0) | Z> ехр [i (comZZ —kmZr)], (86,11)

вполне аналогичной (8,4) (в правой части стоит матричный
элемент шредингеровского оператора 6п(г), взятого в точке
г = 0). С учетом этой формулы пишем

по (Z, г) = 2	| 6n (Zj, rz) | Z> <Z 1(Z2, r2) | т> =

= 2 \<т 1бп (0) | Z> |2 ехр [Z (<omiZ —kmZr)].

Фурье-образ этой функции

по (to, k) = (2л)‘ 2 \<т | бп (0) | Z>|2 6 (co-coZm) б (k^-kzJ. (86,12)

Суммирование в этих формулах производится по всем состояниям
системы с заданным числом частиц (поскольку оператор
6н не мецяет этого числа).

Если же мы хотим выразить формфактор через температуру
и химический потенциал жидкости, то выражение (86,12) должно
еще быть усреднено по распределению Гиббса:

по (со, k) —

(2л)4£ «р	|<ш । б -(0) । />рб (со-^^б (k-kzm)

(86,13)

(причем во всех членах суммы = Выписав такую же
формулу для о (—со, —к) = о(—со, /г), взаимно переобозначив
в ней индексы суммирования Z и пг и заменив в экспоненци-
альном множителе Et — Ет +	— Ет-\-ius> (последнее равен-

ство—следствие наличия 6-функции), получим

а(—со, k) = o (со, fe)e-ft“/r	(86,14)

и затем, согласно (86,6),

о (со, k) = у (1 4-е-^“/г) о (со, k).	(86,15)

Отметим, что из (86,13) (или (86,12)) следует, что функция
о (со, /г)^0 при всех значениях ее аргументов. Из соотношения
же (86,14) следует, что при нулевой температуре

о(со,/г) = 0 при со < О, Т = 0.	(86,16)

В макроскопическом пределе (eV, V—^оо при заданном отно-
шении N/V) «частокол» 6-функций в (86,13) размазывается
в непрерывную функцию, но 6-функционные пики в о (со, /?)
остаются при значениях со = со (/г), отвечающих незатухающим
элементарным возбуждениям (как это следует из рассуждений,
подобных изложенным в § 8). Такие пики возникают, однако,
лишь для возбуждений без изменения числа частиц1).

Покажем, каким образом формфактор жидкости может быть
связан с величинами, фигурирующими в общей формулировке
флуктуационно-диссипационной теоремы (D. Pines, Ph. Nozie-
res, 1958).

Пусть на каждую частицу жидкости действует некоторое
внешнее поле, сообщающее частице потенциальную энергию
U (t, г). Тогда оператор возмущения, действующий на жидкость
в целом, будет

= r)U(t,r)dsx.	(86,17)

Подвергнув все входящие сюда величины фурье-разложению по
времени, представим отклик системы (т. е. среднее значение
вызванного возмущением изменения плотности) выражением
вида

6n(co, tj) — — J а (со; |ti — г2 [) U (со, r2)d3x2,	(86,18)

где функция а (со, г) играет роль обобщенной восприимчивости.
Фурье-компонента по времени от корреляционной функции
a(t, г) есть, в обозначениях флуктуационно-диссипационной
теоремы:

по (ю, г) = (6п(Г1) 6н(г2))ш, Г = Г1—г2.

Согласно этой теореме, эта функция выражается через обобщен-
ную восприимчивость формулой

па (со, г) —КcthIma (со, г).	(86,19)

Такой же формулой выражается фурье-компонента по коорди-
натам а (со, k) через а (со,/г), после чего, согласно (86,15),

!) Так, в ферми-жидкости a (со, k) имеет 6-функционную особенность при
со = ku0 (и0— скорость нулевого звука), но-не имеет таких особенностей, отве-
чающих фермионной ветви спектра — см. § 91.
находим для динамического формфактора
__________________

no (а>, k) =----т----Im а (со, /г).	(86,20)

1 _е-п<о/г

Важность этих формул связана прежде всего с тем, что ими
устанавливается связь динамического формфактора с функцией
с известными общими аналитическими свойствами (по перемен-
ной со); для функции а (со, k) эти свойства описаны в V § 123.
Они позволяют также применить к вычислению формфактора
общую формулу (ср. (75,11)), согласно которой

а (со, k) =

= 4;Пе‘ <а/’кг)<^(/> Г)М°> 0) — n(Q, r)ydtd3x. (86,21)
о

Выразив операторы плотности через ф-операторы (п = Т+Т),
можно привести это выражение к виду двухчастичной функции
Грина, для вычисления которой применима диаграммная тех-
ника.

Задача

Выразить через динамический формфактор вероятность неупругого рас-
сеяния медленных нейтронов в жидкости, состоящей из одинаковых атомов
(G. Placzek, 1952).

Решение. Согласно методу псевдопотенциала (см. III § 151), рассея-
ние медленных нейтронов может быть описано как результат взаимодействия
с потенциальной энергией

<7 (г) ап (г),	(1)

где п (г) — оператор плотности (86,8); М.—приведенная масса атома и нейтрона;
а—длина рассеяния медленного нейтрона на отдельном атоме (т. е. взятое
с обратным знаком предельное значение амплитуды рассеяния). Вероятность
перехода из некоторого начального (г) состояния системы жидкость + нейтрон
в конечное (/) состояние в некотором интервале d\j есть

dWfi =

2

dvf

(2)

(см. Ill (40,5)); для недиагональных матричных элементов Uв (1) можно
писать dn вместо п. Волновую функцию начального состоянии нейтрона
(с импульсом р и энергией е) нормируем на одну частицу в объеме V, а вол-
новую функцию конечного состояния (импульс р' и энергия е') нормируем
на о-функцию от р/2л. Тогда dv/ = d3p7(2nS)3, а матричный элемент возму-
щения

^•(/)=^7=Уч<(^г)^<кг-а/)л-
где Ак = р—р', А<в = е — е', а (t, г) — матричный элемент по отношению
к волновым функциям жидкости. Подставив это выражение в dw^, просумми-
руем вероятность перехода по всем возможным конечным состояниям жидко-
сти. При этом квадрат модуля интеграла записываем в виде двойного интег-
рала (по dt dt' d3x d3x') и замечаем, что

2 г) 6nfi(tr, г')* = 2	г') bnfi{t, r) =

I	I

= <t|6n(/'', r')	(/, r)|t> = no(/'— t, r''— r)

(причем о выражено в функции от полной энергии жидкости в состоянии i).
Интегрирование по d (!' — t)d3(x'—х) дает о (и, k), а еще одно интегрирова-
ние (скажем, по dt d3x) дает просто объем V и полный интервал времени t.
Опустив множитель t, получим в результате вероятность рассеяния в единицу
времени

па2о (и, k) .	(3)

'(2л£)3

Это выражение остается, конечно, справедливым и после усреднения по рас-
пределению Гиббса, т. е. при формфакторе, выраженном через температуру.
Отметим, что свойство формфактора (86,16) в применении к рассеянию
нейтронов выражает собой тот факт, что при Т = 0 жидкость может только
приобретать, но не отдавать энергию. Соотношение же (86,14) выражает собой
принцип детального равновесия, так как процессы рассеяния с передачей
энергии и импульса (и, к) и (—и, — к) являются взаимно обратными.

§ 87. Правила сумм для формфактора

Динамический формфактор удовлетворяет определенным
интегральным (по частотам ю) соотношениям — правилам сумм.

Вывод одного из них основан на правиле коммутации между
операторами «к(0 и n^{t). Коммутатор гейзенберговских опера-
торов, взятых в одинаковый момент времени, совпадает с ком-
мутатором шредингеровских операторов «к и «к • Оператор «к
определяется выражением (86,9) и требуемый коммутатор дается
формулой

nknt-nink=-^k2N,	(87,1)

где m — масса частицы жидкости1).

Исходим из выражения компоненты фурье-разложения функ-
ции о (t, г) только по координатам

па (t, k) = е-^йт-н) <6ц(^, Fi) 6п(/2, r2)>d3 (xt—х2)'.

J) Вычисление этого коммутатора совпадает с вычислением, произведен-
ным в III § 149 в связи с выводом правила сумм (149,5); вместо числа элект-
ронов Z теперь фигурирует полное число частиц жидкости /V.
Имея в виду, что подынтегральное выражение зависит только
от —г2, заменяем интегрирование по d3(Xj—х2) интегрирова-
нием по d3x1d3x2/V; произведя его под знаком усреднения,
получим

о tt, k)=-^<8nk (/х) 6«_k (/2)>.	(87,2)

Вычислим значение производной da(t,k)/dt при / = 0.

Поскольку	зависит только от разности t — t^—t2, то

да (i, k)_ 1 S да да \

dt 2 \ dt} dti]

и после подстановки сюда (87,2)

d^r=^N <6"k	6"“k (О 6"-k (^)>-

Каждый из двух членов этого выражения зависит только от
абсолютной величины вектора к; на этом основании заменим
во втором члене к на —к. Положив затем ^ = /2 и учтя, что
н_к=Нк, найдем, что разность в угловых скобках совпадает
с коммутатором (87,1). Таким образом, находим

do (t, k) I _____

dt 11 =0 2rn '

С другой стороны, представив a(t,k) в виде фурье-интеграла
по частотам, имеем

да^’	I =4т С	(со,/?)у~|	=—i С	соо (со, k) .

dt	[/=о dt J	' ’ 72л|/=о J ' ’ ’	2л

— CD	— 00

Сравнив оба выражения производной, получим искомое соот-
ношение

f юо(ю, = ~	(87,3)

J 4 ’ ' 2л 2т	' ’ '

— X

(G. Platzek, 1952). Подчеркнем, что оно справедливо при любых k.
Для перехода в этом соотношении к классическому пределу
(й—>0) надо записать интеграл в его левой стороне в виде

00

У <»[a(G), k)—о(— со, k)]^~
о

и, согласно (86,14), подставить в него

о (со, /?)—а (— со, k) №	а (со, k).
После этого множители Я в обеих сторонах равенства сокра-
щаются и остается

00

(ю, /г)^
о

Т —

1 2m •

Применим формулу (87,3) к бозе-жидкости при Т=0 и рас-
смотрим область малых значений k. При k—*0 главный вклад
в интеграл дает б-функционный пик в формфакторе ст (со,/г),
возникающий в (86,13) от переходов с рождением одного фонона
(поскольку в основном состоянии жидкости фононы отсутствуют,
то переходов с уничтожением фонона при Т — 0 нет). Этот член
имеет вид Лб (со— uk), где 1vuk—энергия фонона (и—скорость
звука). Подставив же его в качестве а (со, k) в (87,3), найдем
коэффициент Л, и в результате

а (со, /г) = -^б (со— uk).

(87,4)

Интегрирование этого выражения по формуле (86,7) дает
статический формфактор

О(Ч=>„	(87,5)

(7?. Р. Feynman, 1954)х). Поскольку эта формула относится
к области малых значений k, то ее фурье-обращение дает асимп-
тотическое выражение корреляционной функции при больших г:

v (г) = — о Д- i	(87,6)

4 7	2л2т«г4	4 ’ '

(для проверки этой формулы см. интеграл, приведенный в при-
мечании на стр. 411). При Т = 0 формула (87,6) справедлива
до сколь угодно больших расстояний. При низких, но конеч-
ных температурах она верна вплоть до рас'стояний г ~ Тьи/Т,
на которых флуктуации перестают быть чисто квантовыми. На
еще больших расстояниях закон (87,6) сменяется экспоненциаль-

х) Формула (87,5), записанная в виде a (k) = А2Л2/2тв (k) (е(й)—энергия
квазичастицы), строго справедлива лишь при k —> 0. При увеличении k все
большую роль играют вклады в ст (/г) от переходов с рождением нескольких
квазичастиц. Если все же пренебречь этим вкладом, можно считать, что эта
формула дает связь между формфактором и энергией квазичастиц в бозе-
жидкости. При этом максимуму, который ст имеет при k — 1/а (а—межатом-
ные расстояния в жидкости), отвечает «ротоииый» минимум на кривой е(А)«
ным убыванием (если отвлечься от вклада ван-дер-ваальсовых
сил — см. § 83)!).

Еще одно правило сумм можно получить из установленной
в § 86 связи формфактора с некоторой обобщенной восприим-
чивостью a(a>,k). Эта связь дается формулой (86,20), которая
при Г = 0 сводится (для <в > 0) к

па (со, k) = 2^Ima(o>, k).	(87,7)

Согласно формулам Крамерса — Кронига (см. V (123,15)),

Re

— do/.

Положив здесь а> = 0 и учтя, что величина а (0, k) вещественна* 2),
пишем

а(°>/г)=4Н1та(а)>/г)£-
о

(87,8)

В пределе k—>0 имеет место соотношение

а (0, k —+0) = f=п
\ дц /т=о

т=о

(87,9)

Оно следует из того, что в статическом медленно меняю-
щемся в пространстве слабом поле U имеет место условие
равновесия р + Г/= const, так что включение внешнего поля
эквивалентно изменению химического потенциала на — U.
В пределе k—>0 имеем поэтому из (86,18)

8п = — ж — U f а (0, гх— r2) d3 (xt—х2) =— Ua (0, k = Q),
ур,	J

откуда и следует (87,9).

Собирая полученные формулы (87,7—9), найдем, таким
образом, следующее правило сумм для формфактора жидкости

!) Корреляционная функция (87,6) отрицательна (что соответствует оттал-
киванию между частицами) в противоположность корреляционной функции
идеального бозе-газа, где она положительна (см. V § 117). В связи с этим
напомним (§ 25), что в слабо неидеальном бозе-газе энергетический спектр
имеет фононный вид лишь при k<^mu/Ti- (причем	а). Соответствующие

расстояния г— X/k^h/mu, так что при переходе к идеальному газу («—> 0)
область применимости формулы (87,6) отодвигается иа бесконечность.

2) Величина а(<а = 0, г) вещественна в силу общих свойств обобщенной

восприимчивости. Вещественность фурье-компоненты а (а> = 0, к) следует отсюда
ввиду четности функции а(а>, г) по г.
при Т = 0:

dco___ дп

(87,10)

о

(D. Pines, Ph. Nozieres, 1958).

Задача

Найти корреляционную функцию v (г) в бозе-жидкости на расстояниях
г^Ки/Т при температурах Т

Решение. Искомая корреляционная функция определяется формфак-
тором при значениях k ~ \/r ^.Т/Ки /а, для которых энергетический спектр
жидкости—фононный. При Т #: 0 в о (со, k) имеется член с 6(co4-fen), отве-
чающий поглощению фонона, наряду с членом с 6 (со — ku), отвечающим
испусканию фонона. Коэффициенты в этих членах можно определить с помощью
(86,14) и (87,3):

о (со, fe)=^^ [1 —e-hku/T^-i	— ^и) e-hku/T § (ц> -(-/си)}.	(1)

Интегрируя это выражение, находим
...	it.	/т

a^=2^Cth17	(2)

и затем

d3fe
(2л)3

8n2imur

elkr fe2 cth-^?dk,

Замыкая путь интегрирования no dk бесконечно удаленной полуокружностью
в верхней полуплоскости комплексного fe, сводим интеграл к сумме вычетов
в полюсах (расположенных на мнимой оси). При г^>Ни/Т главный вклад в
интеграл возникает от вычета в полюсе при fiku/2Т = in:

, ч 2лТ8 г 2пТ \
v(r) =-----Ib“exp (~Т~Г •

пигп/т \ Tiu J

При условии аТ/Аи<^1 характерное расстояние затухания функции v (г)
оказывается много большим межатомных расстояний, на которых убывают
эффекты, связанные с прямым взаимодействием между атомами. При этом в
формулу (3) существенно входит п, так что описываемая ею корреляция имеет
квантовый характер. Отметим, что при выводе мы пренебрегали вкладом ван-
дер-ваальсовых сил. Как следует из результатов § 83, этот вклад имеет сте-
пенной характер и является главным на достаточно больших расстояниях.
Расстояния, на которых происходит переход от (3) к (83,16), зависят от кон-
кретного соотношения между коэффициентами, но область применимости фор-
мулы (3) всегда имеется при достаточно низких температурах, поскольку на
границе области применимости при г~1ъи!Т, согласно (3), v Т4, а согласно
(83,16), V ое Т1.
§ 88. Гидродинамические флуктуации

В предыдущих параграфах мы рассматривали флуктуации
плотности жидкости при произвольных частотах со и волновых
векторах к. При этом, разумеется, конкретный вид корреляци-
онной функции не мог быть найден в общем случае. Это можно,
однако, сделать в гидродинамическом пределе, когда длина
волны флуктуаций велика по сравнению с характерными ми-
кроскопическими размерами (межатомными расстояниями в жид-
кости, длиной свободного пробега в газе).

Вычисление одновременных корреляционных функций флук-
туаций плотности, температуры, скорости и т. п. в неподвижной
жидкости не требует особого исследования: эти флуктуации
(в классическом, т. е. неквантовом пределе) описываются обыч-
ными термодинамическими формулами, справедливыми для любой
среды, находящейся в тепловом равновесии. Корреляции между
одновременными флуктуациями ✓ в различных точках простран-
ства распространяются на длины порядка величины межатом-
ных расстояний (при этом мы пренебрегаем слабыми дально-
действующими ван-дер-ваальсовыми силами). Но эти расстоя-
ния рассматриваются в гидродинамике как бесконечно малые.
Поэтому в гидродинамическом пределе одновременные флуктуа-
ции в различных точках не коррелированы. Формально это
утверждение следует из аддитивности термодинамической вели-
чины—минимальной работы 7?min, требуемой, для осуществления
флуктуации. Поскольку вероятность флуктуации пропорцио-
нальна ехр(—Rmin/T), то, представив 7?min в виде суммы членов,
относящихся к отдельным физически бесконечно малым объемам,
мы найдем, что вероятности флуктуаций в этих объемах незави-
симы друг от друга.

Имея в виду эту независимость, можно сразу переписать
известные формулы для средних квадратов флуктуаций термоди-
намических величин в заданной точке пространства (см. V § 112)
в виде формул для корреляционных функций. Так, согласно
формуле

<(«П’> =

-для флуктуаций температуры в объеме V (р — плотность;
cv —теплоемкость, отнесенная к единице массы среды) пишем
сначала

7^2

<67(ra)67(rJ>^6ab,

где флуктуации относятся к двум малым объемам Vа и И6.
Устремив затем величину объемов к нулю, получим1)
'га

<6T(ri)6T(r2)> = ^6(ri-r2).	(88,1)

Аналогичным образом записываются формулы для флуктуаций
других термодинамических величин:

<бр (rj бр (r2)> = рТ (g>) / (rj—г2),	(88,2)

<6Р (Г1) 6Р (r2)> = рТ (^)s6 (г2-г2) = рТи’б (г2-г2), (88,3)

<6s(r1)6s(r2)> = ^S(’'i—П)	(88,4)

(Р—давление; s—энтропия единицы массы среды); при этом
флуктуации пар величин р, Т и Р, s независимы. Выпишем
также формулу для флуктуаций макроскопической скорости
жидкости v (равной нулю в равновесии):

<&»/ (Г1) 8vk (г2)> = у бмб (г — г2).	(88,5)

Специфичным для гидродинамики является вопрос о времен-
ных корреляциях флуктуаций, а также вопрос о флуктуациях
в движущейся жидкости. Решение этих вопросов требует учета
диссипативных процессов в жидкости—вязкости и теплопровод-
ности.

Построение общей теории флуктуационных явлений в гидро-
динамике сводится к составлению «уравнений движения» для
флуктуирующих величин. Это может быть сделано путем вве-
дения соответствующих дополнительных членов в гидродинами-
ческие уравнения (Л. Д. Ландау, Е.-М. Лифшиц, 1957).

Уравнения гидродинамики, написанные в виде

g + div (pv) = 0,	(88,6)

+ £, + £?•	<88’’7’

P’’(S + M=4oi(g+g)-divq	(88,8)

х) Эта и следующие формулы для одновременных корреляций в случае
газов справедливы для флуктуаций с длинами волн, большими лишь по срав-
нению с межмолекулярными расстояниями, но не обязательно большими по
сравнению с длиной пробега. Последнее условие требуется, однако, для раз-
новременных корреляционных функций в гидродинамическом приближении
(поскольку микроскопический механизм распространения возмущений в газах
определяется именно длиной пробега частиц).
без спецификации вида тензора напряжений o'ik и вектора по-
тока тепла q, выражают собой просто сохранение массы, им-
пульса и энергии. Поэтому в такой форме они справедливы для
любого движения, в том числе для флуктуационных изменений
состояния жидкости. При этом под р, Р, v надо понимать сум-
му значений величин р0, Ро, v0, . .. в основном движении и
их флуктуационных колебаний 6р, 6Р, 6v, . . . (по последним,
конечно, уравнения всегда могут быть линеаризованы).

Обычные выражения Для тензора напряжений и потока теп-
ла связывают их соответственно с градиентами скорости и гра-
диентом температуры. При флуктуациях в жидкости возникают
также местные спонтанные напряжения и потоки тепла, не свя-
занные с указанными градиентами; обозначим их посредством
sik и g и будем называть «случайными». Таким образом, пишем

<4 = П	у 8 a div v) + di v v + slk, (88,9)

q = —x^T + g	(88,10)

(t], £—коэффициенты вязкости; x— коэффициент теплопровод-
ности).

Задача заключается теперь в установлении свойств sik и g —
в определении их корреляционных функций. Для простоты про,-
ведем все рассуждения для естественного в гидродинамике
случая неквантовых флуктуаций; это значит, что частоты флук-
туационных колебаний предполагаются удовлетворяющими усло-
вию	При этом коэффициенты вязкости и теплопровод-

ности будем считать не диспергирующими, т. е. не зависящими
от частоты колебаний.

В общей теории флуктуаций (изложенной в V §§ 119—122)
рассматривается дискретный ряд флуктуирующих величин х1(
х2, ..., между тем как здесь мы имеем дело с непрерывным
рядом (значения р, Р, ... в каждой точке жидкости). Это не-
существенное затруднение мы обойдем, разделив объем тела
на малые, но конечные участки АУ и рассматривая некото-
рые средние значения величин в каждом из них; переход к
бесконечно малым элементам произведем в окончательных фор-
мулах.

Будем рассматривать формулы (88,9—10) в качестве уравнений

ха = — ЪУаЬ^-ь+Уъ	(88,11)

общей теории квазистационарных флуктуаций (см. V (122,20)),
причем в качестве величин ха выберем значения компонент тен-
зора o'ik и вектора q в каждом из участков АУ; тогда величи-
нами уа являются sik и g:

Ха * ^iki У ii

У а * Si'

(88,12)

Смысл же термодинамически взаимных величин Ха выясняется
путем привлечения формулы для скорости изменения полной
энтропии жидкости S. Обычным путем (ср. VI § 49) с помощью
уравнений (88,8—10) находим

na'ik (dvj . dvk\	дуТД

2Т {dx^dxij	Т2 /

Заменив этот интеграл суммой по участкам ДУ и
затем с выражением

S = -2xaXa,

а

(88,13)

сравнив его

найдем, что

ха

J_r2L

2T\dxk^dXiJ ’ T2dxt

(88,14)

Теперь легко найти коэффициенты уаЬ, непосредственно оп-
ределяющие искомые корреляции согласно формулам

<Уа (^1) Уь (U> = (Уab + Чьа) б (^1- U	(88,15)

(см. V (122, 21а)).

Прежде всего замечаем, что в формулах (88,9—10) нет чле-
нов, которые связали бы o'ik с градиентом температуры, a q —
с градиентами скоростей. Это значит, что соответствующие ко-
эффициенты уаЬ = 0 и в силу (88,15) имеем

<WA. «•1)^(^2. г2)> = 0,	(88,16)

т. е. значения sik и g вообще не коррелированы друг с другом.

Далее, коэффициенты, связывающие значения qt со значе-
ниями (ДУ/Т2) dTIdxi, равны нулю, если эти величины взяты в
разных участках ДУ, и равны у(-й = хТ’26(>/ДУ, если они берутся
в одном и том же участке. С этими значениями уаЬ по форму-
ле (88,15) получим после перехода к пределу ДУ—>0:

<&(А. ri)^(^2. r2)> = 2zT26,.ft6(r1-r2)6(^-/2). (88,17)

Аналогичным образом получаются формулы для корреляци-
онных функций случайного тензора напряжений

^sik (А' *"1) slm (А> *"г)> ~

=2T[n(^A» + ^Az) + (c-T)^M6(ri_r2)6(Z1~Q-(88,18)
Формулы (88,16—18) решают, в принципе, поставленный
вопрос о вычислении гидродинамических флуктуаций в любом
конкретном случае. Ход решения задач при этом таков. Рас-
сматривая s;k и g как заданные функции координат и времени,
решаем формально линеаризованные уравнения (88,6—8) отно-
сительно величин бр, 6v, ..., учитывая при этом необходимые
гидродинамические граничные условия. В результате получим
эти величины, выраженные в виде некоторых линейных функ-
ционалов от slk, g. Соответственно любая квадратичная по бр,
6v, ... величина выражается через квадратичные функционалы
от sik, g, после чего их среднее значение вычисляется с помощью
формул (88,16—18), и вспомогательные величины sik, g выпа-
дают из ответа.

Выпишем формулы (88,16—18) также и в фурье-компонентах
по частотам, причем сделаем это сразу в виде, обобщающем
формулы на случай квантовых флуктуаций. Согласно общим
правилам флуктуационно-диссипационной теоремы, такое обоб-
щение достигается путем введения дополнительного множителя
(Кса/2Т) с th (Ьа/2Т) (обращающегося в единицу в классическом
случае, ha><^.T). При наличии дисперсии вязкости и теплопро-
водности величины т], £, х являются комплексными функциями
частоты; при этом в формулах для флуктуаций т], £, х заменя-
ются вещественными частями этих функций:

№(/2% = 0,	(88,19)

(rx—r2) UT cth	• Re x (co),	(88,20)

(«М!)«Иа{(r— r2)cthX

х[(б,Ав+бЛ’—Ren(®) + Wz»ReU“)] • (88>21)

§ 89. Гидродинамические флуктуации
в неограниченной среде

В этом параграфе мы рассмотрим гидродинамические флук-
туации в неограниченной неподвижной жидкости. Эта задача
может быть, конечно, решена изложенным в предыдущем пара-
графе методом. Мы, однако, сделаем это здесь другим способом,
проиллюстрировав тем самым альтернативный метод решения
задач о гидродинамических флуктуациях.

Этот метод использует общую теорию квазистационарных
флуктуаций в ее более ранней стадии, до введения случайных
сил. Напомним относящиеся сюда общие формулы (см. V§ 122).
Пусть

ха--2Чл	(89,1)

ь

— макроскопические «уравнения движения» для набора величин
xa(t), описывающих неравновесное состояние системы (в равно-
весии все ха = 0); эти ^уравнения справедливы, если величины
ха велики по сравнению с их средними флуктуациями (но в то
же время настолько малы, чтобы была допустима линеаризация
уравнений движения). Тогда можно утверждать, что таким же
уравнениям удовлетворяют (при t > 0) корреляционные функ-
ции флуктуаций

^<М0М°)> = —Х^ь'<М0М°)>, *>°-	(89,2)

р

Начальным условием к этим уравнениям служат равенства

<ха(Охс(О)>|<=+о = <хахс>,	(89,3)

где <хахс>—одновременная корреляционная функция, предпо-
лагаемая известной. В область t < 0 корреляционные функции
продолжаются по правилу

<ха(0хс(0)> = ±<ха(-0хД0)>,	(89,4)

причем верхний знак относится к случаю, когда обе величины
ха и хс четны (или обе нечетны) по отношению к обращению
времени, а нижний знак — к случаю, когда одна из величин
четна, а другая нечетна. Решение уравнения (89,2) с условием
(89,3) осуществляется путем одностороннего преобразования
Фурье: умножив уравнение на eia>i н проинтегрировав по t в
пределах от 0 до оо (причем интеграл в левой стороне урав-
нения преобразуется по частям), получим систему уравнений

— I® (хахс)$> =	(Хьхс)%' + <хахс> (89,5)

• ь

для величин (функций частоты)

СО

(^л)ш’ = $ eiat <ха (0xb (0)> dt.	(89,6)

о

Обычные же фурье-компоненты корреляционной функции вы-
ражаются через величины (89,6) согласно

СО

(Хахь)а = J е™ <_ха (0 xb (0)> dt ==
— 00

= (Vb)o ’ ± [(Vb)o+)]* =	+ (Va)L+>,	(89,7)

где знаки ± отвечают знакам в (89,4).
Переходя к поставленной задаче о флуктуациях в непод-
вижной жидкости, прежде всего линеаризуем гидродинамиче-
ские уравнения (88,6—8) с o'ik и q из (88,9—10) (без последних
членов). Положив р = р0 + 6р, v = 6v, ... и отбрасывая нели-
нейные члены, получим

^ + pdivv = 0,	(89,8)

P^=-V6P + t]Av+(5+|) Vdiw,	(89,9)

^=4 AST	(89,10)

at рТ	v ’

(после линеаризации индекс 0 у постоянных величин р0, ...
отбрасываем). В уравнениях (89,8—10) будет удобным сразу
разделить скорость на потенциальную («продольную») и вихре-
вую («поперечную») части vU) и v(f) согласно определению

v = vU) ф- v(t),	(89,11)

divv(t) = 0, rotvu) = 0.

В (89,8) остается только продольная скорость:

^ + р div vU) = 0,	(89,12)

а (89,9), распадается на два уравнения

4^- = ^Av(t>,	(89,13)

dt р ’	'	'

p^=-V6P+(^+^-) Vdivv<‘>.	(89,14)

Уравнение для поперечной скорости независимо от осталь-
ных уравнений. Соответственно этому, и для корреляционной
функции ее флуктуаций имеем одно уравнение

r)uV’(O, 0)>—vA<u)z>(Z, r)^’(0, 0)> = 0 (89,15)

(где V —т|/Р — кинематическая вязкость). Подвергнув его одно-
стороннему преобразованию Фурье, получим

— ico (и)6 (г)	(0))^>+)—vA (и)6 (г)	(0))« ’ = <№ (г)	(0)>

(где справа стоит одновременная корреляционная функция),
или, переходя к фурье-компонентам по координатам:

(Mb) k

[yi Vk — vk2_ia) •
Одновременная корреляционная функция флуктуаций скорости
дается формулой (88,5); перейдя в ней к фурье-компонентам и
отделив поперечную часть, иЛеем

(89,16)

Подставив это в предыдущую формулу, окончательно получим1)

(V^V^ = 2Re(«%? = y	• (89,17)

Для остальных переменных имеем систему связанных друг
с другом уравнений (89'10), (89,12), (89,14). Эта система, одна-
ко, упрощается в предельных случаях больших или малых час-
тот. Дело в том, что возмущения продольной скорости и дав-
ления распространяются в жидкости со скоростью звука и, а
возмущения энтропии — согласно уравнению теплопроводности.
Последний механизм требует времени ~1/х&2 для распростра-
нения возмущения на расстояние ~l/k (% = nlpcp—температу-
ропроводность среды). Поэтому для частот, удовлетворяющих
(при заданном значении волнового вектора) условию

~ ku,	(89,18)

можно считать, что флуктуируют только vU) и Р при постоян-
ной энтропии. Напротив, при

(89,19)

происходят изобарические флуктуации энтропии2).

Рассмотрим сначала первую, высокочастотную область (89,18)
и определим, например, флуктуации давления.

Уравнение (89,14), переписанное для корреляционных функ-
ций, имеет вид

^<vU)(^, г)6Р(0, 0)> = — grad<6P(Z, г)6Р(0, 0)> +

+	+у) grad div<v(n(Z, r)6P (0, 0)>,

а начальным условием к нему служит равенство нулю одно-
временной корреляции vU) и 6Р. Произведя одностороннее пре-
образование Фурье по времени и полное преобразование по

х) Легко видеть, что путем интегрирования выражения (89,17) по
мы вернемся, как и следовало, к одновременной корреляционной функции.

2) Неравенство yk2<^.ku выполняется в гидродинамической области всегда.
Так, в газах и~цги y~vTl, где vT—средняя тепловая скорость частиц, а I—их
длина пробега. Поэтому неравенство y fe и эквивалентно обязательному
условию kl 1.
координатам, получим отсюда
-ifflp(v«>5P)<)+k)=--ik(6PX)--^ + y) k(kv(n6P)<+>. (89,20)

Далее, в уравнении (89,12) пишем

(М№+«*=;>-<>’ ©л

a d&s/dt выражаем с помощью уравнения (89,10), написанного
в виде

dbs К (дТ\ * е п

(членом с A6s в правой стороне пренебрегаем по сравнению с
dds/dt в силу условия %&2<^со). Это приводит к уравнению

f—V Д6Р4-О divvU) = 0
и2 dt T\dP)s ^r

Соответствующее уравнение для корреляционных функций снова
получается отсюда заменой 6Р и vU) соответственно на
<6Р((, r)6P(0, 0)> и <vU) (t, г) 8Р (0, 0)>, а начальным усло-
вием к нему служит (88,3). После фурье-преобразований это
уравнение дает

[_g + ^P	(6P%t’ + ip(kv»>6P)(+k) = pT. (89,21)

Из двух уравнений (89,20—21) находим после некоторых
преобразований

(6Л%к = 2 Re (6P2V+) = 2 Re	- (89,22)

v	v '©к -	4 co (со2 —fe2tt2 + 2t(ouv) ’ v ’ 7

где

t-£[s+t+t(S)s!]	<8Е>.23)

— коэффициент поглощения звука в среде (см. VI §’77), а ут—
его часть, связанная с теплопроводностью. Выпишем оконча-
тельный ответ для области частот вблизи значений a> = ±ku,
где флуктуации особенно велики:

Эта формула справедлива при | со + ku | sg иу4).

х) Напомним (см. VI § 77), что гидродинамический коэффициент погло-
щения звука всегда мал в газах (неравенство y<^k автоматически следует из
условия kl 1) и мал в жидкостях, в которых нет существенной дисперсии1
звука.
В низкочастотной области (89,19) достаточно рассмотреть,
как уже было указано, флуктуации энтропии, пренебрегая при
этом флуктуациями давления. Это значит, что в уравнении
(89,10) можно положить

\{dsjp ср

(теплоемкость ср относится к единице массы). Поэтому для
искомой корреляционной функции имеем уравнение того же
типа, что и (89,15), а начальное условие к нему дается выра-
жением (88,4). В результате найдем

<Ss2^=Ti4w-	(89’25)

Задачи

1. Найти корреляционную функцию флуктуаций числа растворенных час-
тиц в слабом растворе.

. Решение. Плотность п числа растворенных частиц удовлетворяет урав-
нению диффузии

дп

-57 — D&n
dt

(D—коэффициент диффузии). В слабом растворе одновременные значения
плотности в различных точках пространства не коррелироваиы друг с другом
(подобно отсутствию одновременной корреляции ,для плотности идеального
газа); поэтому одновременная корреляционная функция

<6n (rj) б/г (г2)> = п6 (гх—г2).

Аналогично формуле (89,25), находим
,,х 2nk2D

В этом решении мы пренебрегаем термодиффузией, вследствие чего флук-
туации п могут рассматриваться независимо от флуктуаций температуры.

2.	Найти корреляционную функцию флуктуаций давления в жидкости,
обладающей большой диспергирующей второй вязкостью £ (ш) (связанной
с медленной релаксацией некоторого параметра).

Решение. Наличие медленных процессов релаксации приводит к по-
явлению второй вязкости вида

где т—время релаксации; и0—равновесная скорость звука; и„—скорость
звука фри постоянном значении релаксационного параметра (см. VI § 78).
Уравнения (89,20—21), а с ними и (89,22) справедливы также н при наличии
дисперсии. Положив £ = £ (ш) и пренебрегая членами, происходящими от т] и х,
получим после вычисления

__________2ТтрИо (til — Uo)____

' >Ок	m2/fe2)2+w2T2(U^—Wa/fe2)a‘
§ 90.	Операторные выражения для кинетических
коэффициентов

Полученным в § 88 формулам (88,20—21) можно придать
новый аспект, прочтя их «справа налево», т. е. рассматривая
их как выражения для коэффициентов теплопроводности и вяз-
кости. При этом корреляционные функции в левых сторонах
равенства можно выразить, согласно их определению, через
операторы некоторых величин, имеющих микроскопический
смысл; в результате через эти операторы оказываются выра-
женными кинетические коэффициенты жидкости.

Прежде всего надо учесть, что отсутствие корреляции меж-
ду флуктуациями «случайных» потоков энергии и импульса в
различных точках пространства (6-функция 6(rj—г2) в форму-
лах (88,20—21)) является следствием гидродинамического при-
ближения; последнее справедливо лишь при малых значениях
волнового вектора. Чтобы выразить это условие в явном виде,
запишем формулы в компонентах фурье-разложения по прост-
ранственным координатам (что сводится к замене множителей
6'(гх—г2) единицей) и перейдем к пределу к—>0. Так, формулу
(88,20), свернутую по паре индексов i, k,

(g(1,g(2,)« = 36 (г—г2) W cth ~ • Re х (со)
запишем в виде

Re”w=^th^n»<8’)«‘- *90’|)

Легко видеть, что при такой записи можно заменить в этой
формуле «случайный» поток тепла g на полный поток энергии,
который обозначим через Q. Последний, как известно из гид-
родинамики, складывается из потока конвективного переноса
энергии и потока тепла q:

/а2	\

Q = (у + wj pv + q «p®v — xyT + g	(90,2)

(да—тепловая функция единицы массы жидкости; в последнем
выражении опущен член с более высокой степенью флуктуа-
ционной скорости v). Но при малых к флуктуации реальных
физических величин (v, Т, р и т. п.) содержат, по сравнению
с флуктуациями случайных потоков, лишнюю степень к, и по-
тому в пределе к—>0 флуктуации g совпадают с флуктуация-
ми Q. Это сразу очевидно уже из того, что в уравнении дви-
жения гидродинамических флуктуаций (88,6—8) потоки g и sik
входят только под знаком пространственных производных, а
указанные физические величины—также и в виде производных
по времени; после перехода к фурье-компонентам, следова-
тельно, вторые оказываются порядка k/& по отношению к
первым.

В отличие от g, полный поток энергии Q есть величина,
имеющая прямой механический смысл, и ей отвечает определен-
ный квантовомеханический оператор Q (t, г), выражающийся
через операторы динамических переменных частиц среды.
Вспомнив определение корреляционной функции через операто-
ры (гейзенберговские) соответствующей величины, приходим,
таким образом, к формуле

Re х (со) = th X

хИпЛ еЦ«/-кг) <q (Z, r)Q(0, 0) + Q(0, 0) Q (/, r)> dt d3x (90,3)

k-*0 J 2»

(Л4. S. Green, 1954).

Более целесообразное представление функции х(со) получит-
ся, однако, если воспользоваться формулой, выражающей кор-
реляционную функцию через коммутатор соответствующих опе-
раторов.

Если хд(г), хь(г)—две флуктуирующие величины (равные
нулю в равновесии и ведущие себя одинаковым образом при
обращении времени), то их корреляционная функция, согласно
(76,1) и (75,11), может быть представлена в виде

WM2% = cth^ Re	rj, xb(0, r2)}>d/,

о

где скобки {.,.} означают коммутатор. Перейдя к фурье-разло-
жению по координатам r = rj—г2, получим формулу

(Vb)<ok = Cth	• ReJ J ef<w/-kr> <{ха (Zr), xb(Q, 0)}>dtd3x. (90,4)

о

Применив эту формулу к корреляционной функции (Qa)mk и
подставив в (90,1), получим

Rex (со) = g^lim Re j* Je1'<{Q (/, г), Q (0, Q)}ydtd3x.

Справа и слева в этой формуле под знаком Re стоят функ-
ции со, стремящиеся к нулю при со—«х> и не имеющие особен-
ностей в верхней полуплоскости комплексной переменной со.
Из равенства вещественных частей таких функций на вещест-
венной оси со следует также и равенство самих функций, и мы
приходим к окончательной формуле:

х(со) = йД=-Нт С С <{Q (/, г), Q (О, 0)}>dtd3x. (90,5)
JQ)-' к->0 J J

Чтобы получить статическое значение коэффициента теплопро-
водности, надо затем перейти и к пределу со—>-0.

Аналогичным образом можно преобразовать формулу (88,21)
и получить операторное выражение для коэффициентов вяз-
кости.

Если ввести полный поток импульса oik —— P8ik-\-o'ik (pik
из (88,9)), то в пределе к—>0 флуктуации всех членов, кроме
s[k, обратятся в нуль, так что в этом пределе можно заменить
корреляционную функцию (sikslm)ak на (ortaZm)mk- В результате
получим формулу

S/Ли +	3	) + £ (®) 6/А,л =

СО

=	ф.д/, г), 5Zm(0, Q)}>dtd3x, (90,6)

ш k->0 J

где a;ft(f, г)—оператор плотности потока импульса (Н. Morl,
1958). Свернув это равенство по парам индексов I, k и I, т
или i, I и k, т, получим отдельные выражения соответственно
для 9£ или 1 Оц 4~3£.

§ 91.	Динамический формфактор ферми-жидкости

К ферми-жидкости неприменимы формулы (87,4—6) для форм-
фактора при Т— 0, поскольку их вывод предполагает сущест-
вование (при малых и и к) лишь фононной ветви спектра эле-
ментарных возбуждений. Неприменима к ферми-жидкости также
и развитая в §§ 88, 89 гидродинамическая теория флуктуаций:
она требует выполнения условия kl<^A (I—длина свободного
пробега квазичастиц), заведомо нарушающегося в ферми-жид-
кости, поскольку /ооТ1-2 и стремится при Т—>0 к бесконеч-
ности. Поэтому для вычисления формфактора ферми-жидкости
надо обратиться к кинетическому уравнению.

При этом удобно исходить из формул (86,17—20), устанав-
ливающих связь формфактора с обобщенной восприимчивостью
по отношению к воздействию на жидкость некоторого поля
U (/, г). В компонентах Фурье также и по координатам опре-
деление (86,18) записывается как

6n(co, к) = — а(со, к)[/ик.	(91,1)

Мы ограничимся случаем Т = 0. Тогда динамический форм-
фактор выражается через а (со, к) согласно

_	1 2Й Im а (со, к), со > 0,

k)=t о , »<0.	(9|'2)

Возмущение же плотности 6п(со, к) вычисляется с помощью
кинетического уравнения, причем в нем можно (при Т—>0)
пренебречь интегралом столкновений. Эти вычисления отли-
чаются от произведенных в § 4 для нулевого звука лишь тем,
что в энергии квазичастицы добавляется член

U(t, г) = [/икег(кг-ш/).

Соответственно в производной де,/дг (4,3) добавляется член
dU,'dr = ikU, а в левой стороне кинетического уравнения (4,8)—
член

_ ikU	= ikvi/6 (е — ef).

Решение кинетического уравнения ищем в виде

8п (р) — 6/гик (р) е1 (кг-“О,
с , ч с, ч л2А2 , .	р	(91,3)

6/гик(р) = —S(e —8f)2^X(n),	п = -.

Это—фурье-компонента возмущения импульсного распределе-
ния квазичастиц. Искомое же изменение плотности полного
числа квазичастиц (совпадающей с плотностью числа истинных
частиц) дается интегралом

«?(<». |t)=J6„.b(p);g;=_JEj-z(n)g.t/.b.

Определение функции х(п) в (91,3) отличается от определения
v(n) в (4,9) нормировкой: она выбрана здесь так, что форму-
ла (91,2) принимает вид

no (со, k) = Im у х (п) , со > 0.	(91,4)

Для самой же функции % (п) получается уравнение

(со—upkn)x(n) -оДп Cf ($)Х(п')х-=—kn-^C, (91,5)

отличающееся от (4,11) своей правой частью.
Уравнение (91,5) не содержит в явном виде мнимых вели-
чин. Появление мнимой части в его решении х(п) связано по-
этому лишь с обходами полюсов в возникающих в процессе
решения интегралах. Правило этих обходов определяется тре-
бованием, чтобы наложенное на систему поле Ucoe~iai адиа-
батически включалось, начиная от 1 = —оо; для этого надо за-
менить его частоту ®+

Конкретный вид решения зависит от вида функции взаимо-
действия квазичастиц F ($). Продемонстрируем ход решения и
его свойства на простейшем примере функции F = const Fo.

В этом случае решение уравнения (91,5) имеет вид

X (п) = С ^кп-^ ,	(91,6)

где С—постоянная. Последняя определяется обратной подста-
новкой выражения (91,6) в (91,5), дающей

С(1 + 7) = ^,	(91,7)

л2л2

где

do"

kn'u/?—ш— iO 4л

Подынтегральное выражение зависит только от угла между п'
и к, и после очевидной подстановки находим

х dx

x — s — iO

s is_j_ 11	( isn/2,

Tln|—1+10 ,

s < Г,

s > 1,

(91,8)

где s — mlkvp (мнимая часть интеграла отделяется по прави-
лу (8,11)).

Подставив функцию х(п) из (91,6—8) в (91,4), получим ди-
намический формфактор

ncr (со, fe) - 2m-FF Im . /У}, ;	(91,9)

4 ’ ' лФ 1 +/о/ (s)	4

(Д. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1958). В силу (91,8) он
отличен от нуля при s < 1, т. е. при всех ® < kvp.

Если Fo > 0, то в ферми-жидкости возможно распростране-
ние нулевого звука со скоростью и0, определяемой уравне-
нием (4,15):

1 + F0I (sa) = 0, s0 — u0/vF.

При значениях s вблизи s0 выражение (91,9) принимает вид

. т 1
const - Im --,
причем, согласно сказанному выше, s = a>/kvF надо понимать,
как s-ф iO. Это значит, что в о (со, k) появляется еще и б-функ-
ционный член вида const-6(s — s0), или

о (со, k) = const • (со—ku0).	(91.10)

Этот член представляет собой вклад в формфактор, обязанный
нуль-звуковой ветви энергетического спектра ферми-жидкости;
он вполне аналогичен фононному вкладу (87,4) в формфактор
бозе-жидкости.

Существование такого члена не связано, конечно, с предпо-
ложением F = const и является общим свойством ферми-жидко-
сти, в которой возможно распространение нулевого звука; от
закона взаимодействия квазичастиц зависит лишь значение
постоянного коэффициента в (91,10). Без правой части уравне-
ние (91,5) совпадает с уравнением нулевого звука; поэтому
решение неоднородного уравнения имеет полюс при со/£ = цо.

Из вида уравнения (91,5) ясно, что его решение зависит от
параметров со и k лишь в виде отношения co/fe. Функцией этого
отношения будет, следовательно, и динамический формфактор.
Статический же формфактор

СО
о(^)= У а(со, k)^
— со

будет, следовательно, иметь вид
о (k) = const • k.	(91,11)

Это значит, что одновременная пространственная корреляцион-
ная функция флуктуаций плотности при 7 = 0 в ферми-жидко-
сти (как и в бозе-жидкости) следует закону v(r)<x>r~4.

Отметим, наконец, что динамический формфактор идеального
ферми-газа может быть получен из (91,9) переходом к пределу
F°->0:

О (со, k) =	, 0 < СО < kVF .

4	1 nh2nk

При этом статический формфактор

top
а(Ч= j <,(«.

(в согласии с результатом задачи 1 в V § 117).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ1)

Аномальные функции Грина 150, 198

Антиферромагнитный резонанс 369

Асимптотика корреляционной функции 411,
429, 431, 447

Бесщелевые полупроводники 335

•= сверхпроводники 259

Взаимодействие атомов о металлической по-
верхностью 407

Вика теорема 65, 71, 72, 154, 183

Вихревые кольца 143

— нити в сверхпроводниках 231, 237

Волновая функция сверхпроводящих пар

198, 207, 208, 213, 263

Восприимчивость парамагнетика 358, 359

Галилеевское преобразование 21, 97, 114

Гейзенберговский гамильтониан 355

Глубина проникновения 210, 211, 218, 256

Дайсона уравнение 79, 80

Деформационный потенциал 315

Диамагнитные домены 315

Длина рассеяния 35, 125, 186, 189

Запаздывающие функции Грина 172—175,
180, 371

Затухание возбуждений бозевских 163—166
— — фермиевских 16, 17, 54, 106, 107, 320
Зоны энергетические 266

' — =. в одномерном случае 271—274

Калибровочная инвариантность 95, 209

216, 245, 276, 370

Квазиимпульс 267

— обобщенный 276

Квантование магнитного потока 212

Колебания вихревой нити 144

Компенсированные металлы 300

Конденсат 124, 129, 147

Корреляционная поправка в плазме 415,
421

Критическая скорость 143

Критическое поле 215, 216

~ — верхнее и нижнее 227

, — — пленки 220

—• — третье 229

— — шара 230

Купера эффект 185, 259

Латтиижера теорема 300

Лондонов уравнение 210

Лоидоиовский случай 211

Магнитный пробой 281, 283, 286

Магнитоактивные тела 373

Магнитостатическая энергия 345

Массовый оператор 73

Матрица плотности 47, 48, 131

Мацубаровские операторы 178

Мейсснера эффект 209

Намагниченность парамагнетика 360

Неполные вершины 154

Номинальная намагниченность 351

Обменные интегралы 355

Параметр Гинзбурга — Ландау 219, 225

Перенормировка амплитуды рассеяния 35
125, 189

Перенормировочиая постоянная 54, 107

Пиппардовский случай 211

Поверхности Ферми 298

— — электронные и дырочные 299

Поверхностное натяжение жидкого гелия
118

Поглощение звука в металлах 322

Подзоны Ландау 285

Подрешетки магнитные 366

Полуметаллы 301

Поляризационный оператор 388, 419

Потенциальное вращение 139

Прнмеси в сверхтекучей жидкости 117—
119

Продольнан и поперечная проницаемости
412

Пространственная дисперсия 412

Рассеяние нейтронов в жидкости 426

Ротоны 111

Сверхпроводящая щель 190, 201

Сверхтекучая и нормальная части 115, 116,

118, 196, 208

Сила взаимного треиия 142

Скелетная диаграмма 74, 84

Случайные потоки 434

Устойчивость ферми-жидкости 23, 24, 93

Ферромагнитный резонанс 347

Флуктуации концентрации в растворах 441

—	магнитного момента 353

Флуктуационно-диссипативная теорема 376,
384, 425, 435

Форм-фактор динамический 422

—	— статический 426

Функция взаимодействия квазичастиц 19,
25, 32, 41

Циклотронная масса 282, 291, 311

Экситоны 324, 326

Экстремальные сечеиия ферми-поверхности
311

Электронные н дырочные траектории 282

—	— ферми-поверхности 299

Электроны и дырки в диэлектрике 324,
325

—	проводимости 298

Эффективная масса 17, 18,'22, 41, 117

1-точка 117, 136—138

*) Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В указатель
включены термины и понятии, непосредственно не отраженные в оглавлении.
ПОПРАВКИ

В части тиража неразличимы тонкие и жирные линии иа ряде фейнма-
ких диаграмм, в том числе:

(14,4)

73

(35,4)

31, в формуле (4,16) должно быть s— 1 № 2e-ae-s/^'.

188, в формуле (39,13) должно быть и2р, vp-

е

399, в формуле (81,6) в последнем выражении должно быть

410, в формуле (83,12) нижний предел суммы должен быть s = 0.