Теоретическая физика. Том 9. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. - Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.

Автор: Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М.
Теги: физика
ISBN: 5-9221-0124-2
Год: 2002
Похожие
Теоретическая физика. Том 2. Теория поля
Теоретическая физика. Том 7. Теория упругости
Теоретическая физика. Статистическая физика. Часть 1
Теоретическая физика. Том 3. Квантовая механика (нерелятивистская теория)
Текст
                    Л. Д. ЛАНДАУ и Е. М. ЛИФШИЦ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
В десяти томах
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2002

Е. М. ЛИФШИЦ и Л. П. ПИТАЕВСКИЙ
Том IX
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
Часть 2
Теория конденсированного
состояния
Издание третье, стереотипное
Под редакцией Л.П. Питаевского
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
физических специальностей университетов
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2002

УДК 530.145
Л 22
ББК 22.31
Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теоретическая физика:
Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. IX / Л и ф ш и ц Е. М.,
Питаевский Л. П. Статистическая физика. В 2 ч. Ч. 2.
Теория конденсированного состояния. — 3-е изд., стереот. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 496 с. - ISBN 5-9221-0124-2.
Книга посвящена квантовой теории конденсированного состояния
вещества. Подробно изложена теория квантовых жидкостей — бозев-
ской и фермиевской. Большое внимание уделяется методическим во-
вопросам — теории гриновских функций макроскопических тел. Во 2-е
издание внесены дополнительные материалы, отражающие современ-
современное состояние предмета.
2-е изд. — 2000 г.
Для студентов старших курсов физических специальностей вузов,
а также аспирантов и научных работников соответствующих специ-
специальностей.
Ил. 18.
Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН, доктор физико-математических наук Л. П. Питаевский
ISBN 5-9221-0124-2 (Т. IX)
ISBN 5-9221-0053-Х	© ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2002, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию		8
Предисловие к первому изданию		8
Глава I. Нормальная ферми-жидкость
1.	Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости . .	11
2.	Взаимодействие квазичастиц		19
3.	Магнитная восприимчивость ферми-жидкости 		24
4.	Нулевой звук		25
5.	Спиновые волны в ферми-жидкости 		32
6.	Вырожденный почти идеальный ферми-газ с отталкиванием
между частицами		34
Глава П. Гриновские функции ферми-системы при Т= О
7.	Функция Грина макроскопической системы 		44
8.	Определение энергетического спектра по функции Грина ...	51
9.	Функция Грина идеального ферми-газа 		57
10.	Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам ....	60
11.	Вычисление термодинамических величин по функции Грина .	61
12.	Ф-операторы в представлении взаимодействия 		62
13.	Диаграммная техника для ферми-системы 		67
14.	Собственно-энергетическая функция		76
15.	Двухчастичная функция Грина		80
16.	Связь вершинной функции с амплитудой рассеяния квазичастиц	85
17.	Вершинная функция при малых передачах импульса		88
18.	Связь вершинной функции с функцией взаимодействия квази-
квазичастиц 		95
19.	Тождества для производных от функции Грина		98
20.	Вывод связи между предельным импульсом и плотностью . .	103
21.	Гриновская функция почти идеального ферми-газа		106
Глава III. Сверхтекучесть
22.	Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости ....	113
23.	Сверхтекучесть 		117
24.	Фононы в жидкости 		124
25.	Вырожденный почти идеальный бозе-газ		128
26.	Волновая функция конденсата		134
27.	Температурная зависимость плотности конденсата		139
28.	Поведение сверхтекучей плотности вблизи А-точки		141
29.	Квантованные вихревые нити 		145
30.	Неоднородный бозе-газ		151
31.	Гриновские функции бозе-жидкости 		156
32.	Диаграммная техника для бозе-жидкости 		163

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
33.	Собственно-энергетические функции		166
34.	Распад квазичастиц 		171
35.	Свойства спектра вблизи точки его окончания 		176
35*.Сверхтекучесть двумерных систем		182
Глава IV. Функции Грина при конечных температурах
36.	Гриновские функции при конечных температурах 		189
37.	Температурные функции Грина 		195
38.	Диаграммная техника для температурных функций Грина . .	199
Глава V. Сверхпроводимость
39.	Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр		203
40.	Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства ....	210
41.	Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа 		215
42.	Температурные гриновские функции сверхтекучего ферми-газа	222
43.	Сверхпроводимость металлов		225
44.	Сверхпроводящий ток 		227
45.	Уравнение Гинзбурга-Ландау 		232
46.	Поверхностное натяжение на границе сврхпроводящей
и нормальной фаз 		241
47.	Два рода сверхпроводников 		247
48.	Структура смешанного состояния 		251
49.	Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода ....	260
50.	Эффект Джозефсона		264
51.	Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике 		268
52.	Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник .	276
53.	Сверхпроводящие сплавы 		278
54.	Эффект Купера при отличных от нуля орбитальных
моментах пары		281
Глава VI. Электроны в кристаллической решетке
55.	Электрон в периодическом поле 		287
56.	Влияние внешнего поля на движение электрона в решетке . .	297
57.	Квазиклассические траектории		302
58.	Квазиклассические уровни энергии		307
59.	Тензор эффективных масс электрона в решетке 		311
60.	Симметрия состояний электрона в решетке в магнитном поле .	316
61.	Электронный спектр нормальных металлов		321
62.	Гриновская функция электронов в металле		326
63.	Эффект де Гааза-ван Альвена		331
64.	Электрон-фононное взаимодействие 		340
65.	Влияние электрон-фононного взаимодействия на электронный
спектр в металле 		344
66.	Электронный спектр твердых диэлектриков		349
67.	Электроны и дырки в полупроводниках		353
68.	Электронный спектр вблизи точки вырождения 		356
Глава VII. Магнетизм
69.	Уравнение движения магнитного момента в ферромагнетике .	362
70.	Магноны в ферромагнетике. Спектр 		369
71.	Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины . .	375
72.	Спиновый гамильтониан		382
73.	Взаимодействие магнонов 		388
74.	Магноны в антиферромагнетике 		394
74*.Антиферромагнитное состояние спинового гамильтониана . .	400

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VIII. Электромагнитные флуктуации
75.	Гриновская функция фотона в среде		406
76.	Флуктуации электромагнитного поля		412
77.	Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде . . .	414
78.	Флуктуации тока в линейных цепях 		421
79.	Температурная функция Грина фотона в среде		422
80.	Тензор напряжений ван-дер-ваальсовых сил 		427
81.	Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами.
Общая формула 		435
82.	Молекулярные силы взаимодействия между твердыми телами.
Предельные случаи		440
83.	Асимптотическое поведение корреляционной функции
в жидкости		446
84.	Операторное выражение для диэлектрической проницаемости	450
85.	Вырожденная плазма 		454
Глава IX. Гидродинамические флуктуации
86.	Динамический формфактор жидкости 		463
87.	Правила сумм для формфактора		468
88.	Гидродинамические флуктуации		473
89.	Гидродинамические флуктуации в неограниченной среде . . .	478
90.	Операторные выражения для кинетических коэффициентов .	484
91.	Динамический формфактор ферми-жидкости 		487
Некоторые обозначения 		491
Предметный указатель		492

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Над подготовкой нового издания этой книги мне, к сожале-
сожалению, пришлось работать одному. Мой соавтор и друг Е.М. Лиф-
шиц скончался в 1985 году. Хотя в теории конденсированного
состояния вещества в последние годы были получены многие
важные результаты, я не счел необходимым подвергать книгу
существенной переработке. В книге изложены основы теории и
это изложение, как кажется, выдержало испытание временем.
Тем не менее некоторые дополнения и изменения оказались
необходимыми.
Добавлен параграф 35*, посвященный теории фазового пере-
перехода Березинского-Костерлица-Тоулесса в сверхтекучих плен-
пленках. Эта теория составляет основу современных представлений
о процессах, происходящих в двумерных системах, и ее создание
существенно обогатило наши представления о природе фазовых
переходов.
Глава VII, посвященная магнетизму, подверглась существен-
существенной переработке. В частности, добавлен §74*, в котором рас-
рассматривается применение метода Холштейна и Примакова к
исследованию свойств антиферромагнетиков. Этот метод играет
важную роль в микроскопической теории магнетизма и его
включение в книгу представляется необходимым.
Одним из важнейших достижений последних лет в области
физики явилось открытие высокотемпературных сверхпровод-
сверхпроводников. Однако, несмотря на огромные усилия экспериментато-
экспериментаторов и теоретиков, природа этого интересного явления остается во
многом непонятной. Неясно даже, какое именно взаимодействие
ответственно за переход в сверхпроводящее состояние. При та-
таком положении дел мне пришлось ограничиться лишь краткими
замечаниями по этому вопросу.
Июнь 2000 г.	Л. П. Питаевский

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Если кратко охарактеризовать содержание предлагаемого
читателю IX тома «Курса теоретической физики», то можно
сказать, что он посвящен квантовой теории конденсированного
состояния вещества. Он начинается с подробного изложения
теории квантовых жидкостей — бозевской и фермиевской. Эта
теория, созданная Л. Д. Ландау вслед за экспериментальными
открытиями П. Л. Капицы, представляет в настоящее время
самостоятельный раздел теоретической физики. Его важность
определяется даже не столько теми интересными явлениями,
которые происходят в жидких изотопах гелия, сколько тем, что
представления о квантовой жидкости и ее спектре являются по
существу основой квантового описания макроскопических тел.
Например, для глубокого понимания свойств металлов необ-
необходимо рассматривать электроны в них как ферми-жидкость.
Свойства электронной жидкости, однако, усложняются наличием
кристаллической решетки, и предварительное изучение более
простого случая однородной и изотропной жидкости является
необходимым шагом в построении теории. Точно так же сверх-
сверхпроводимость металлов, которую можно рассматривать как
сверхтекучесть электронной жидкости, трудно ясно понять без
предварительного знания более простой теории сверхтекучести
бозе-жидкости.
Неотъемлемую часть математического аппарата современной
статистической физики составляет аппарат гриновских функ-
функций. Это связано отнюдь не только с теми вычислительными
удобствами, которые предоставляет диаграммная техника вы-
вычисления гриновских функций. Дело прежде всего в том, что
гриновские функции непосредственно определяют спектр эле-
элементарных возбуждений тела и потому являются тем языком, на
котором свойства этих возбуждений наиболее естественно опи-
описывать. Поэтому в настоящем томе методическим вопросам —
теории гриновских функций макроскопических тел — уделено
значительное внимание. Хотя основные идеи метода одни и те
же для всех систем, конкретный вид диаграммной техники раз-
различен в разных случаях. Представляется естественным в этой
связи развивать эти методы на примере тех же изотропных кван-
квантовых жидкостей, где сущность метода выявляется в чистом

10
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
виде, без усложнений, вносимых пространственной неоднород-
неоднородностью, наличием нескольких сортов частиц и т. п.
По аналогичным причинам макроскопическую теорию сверх-
сверхпроводимости мы излагаем на простой модели изотропного
ферми-газа со слабым взаимодействием, отвлекаясь от услож-
усложнений, связанных с наличием кристаллической решеткии куло-
новским взаимодействием.
В связи с главами, посвященными электронам в кристалличе-
кристаллической решетке и теории магнетизма, подчеркнем лишний раз, что
предлагаемая книга — часть курса теоретической физики и ни
в коей мере не призвана заменить собой курс теории твердого
тела. В соответствии с этим здесь рассматриваются лишь вопро-
вопросы наиболее общего характера и не затрагиваются как вопросы,
требующие использования конкретных экспериментальных дан-
данных, так и те из расчетных методов, которые не имеют под собой
ясной теоретической базы. Напомним также, что к данному тому
не относятся кинетические свойства твердых тел, которые мы пред-
предполагаем рассмотреть в следующем, заключительном томе курса.
Наконец, в этой книге излагаются также теория элек-
электромагнитных флуктуации в материальных средах и теория
гидродинамических флуктуации. Первая их них входила ранее
в VIII том. Ее перенесение в настоящий том вызвано необ-
необходимостью применения гриновских функций, что позволяет
придать всей теории более простой и удобный для применения
вид. Кроме того, естественно рассматривать электромагнитные
и гидродинамические флуктуации в одном томе.
Л. Д. Ландау отсутствует среди фактических авторов этой
книги. Но читатель легко заметит, сколь часто встречается его
имя в тексте книги: ему лично или ему в сотрудничестве с его
учениками принадлежит значительная доля излагаемых здесь
результатов. Многолетнее общение с ним дает нам основание
надеяться, что нам удалось верно отразить его точку зрения
по этим вопросам — разумеется, с учетом также и того нового,
что было внесено в них за 15 лет, прошедших со дня, когда так
трагически прервалась его деятельность.
Мы хотели бы поблагодарить А. Ф. Андреева, И. Е. Дзяло-
шинского и И. М. Лифшица за постоянное обсуждение вопро-
вопросов, рассмотренных в этой книге. Мы извлекли также много
пользы из известной книги А. А. Абрикосова, Л. П. Горькова
и И. Е. Дзялошинского—одной из первых книг в физической ли-
литературе, посвященных новым методам статистической физики.
Наконец, мы благодарны Л. П. Горькову и Ю. Л. Климонтовичу,
прочитавгпим книгу в рукописи и сделавшим ряд замечаний.
Апрель 1977 г.	Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

ГЛАВА I
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
§ 1. Элементарные возбуждения в квантовой ферми-жидкости
При температурах настолько низких, что де-бройлевская
длина волны, отвечающая тепловому движению атомов жидко-
жидкости, становится сравнимой с межатомными расстояниями, макро-
макроскопические свойства жидкости определяются квантовыми
эффектами. Теория таких квантовых жидкостей представляет
значительный принципиальный интерес, хотя в природе суще-
существуют лишь два объекта такого рода, являющиеся жидкостями
в буквальном смысле этого слова; это — жидкие изотопы гелия
CНе и 4Не) при температурах ~ 1-2 К. Все другие вещества за-
затвердевают значительно раньше, чем становятся существенными
квантовые эффекты в них. Напомним в этой связи, что, согласно
классической механике, все тела должны были бы быть тверды-
твердыми при абсолютном нуле (см. V, § 64); гелий же, благодаря особой
слабости взаимодействия его атомов, остается жидким вплоть до
температур, когда вступают в силу квантовые явления, после че-
чего затвердевание уже перестает быть обязательным.
Вычисление термодинамических величин макроскопического
тела требует знания спектра его уровней энергии. Разумеется,
в случае системы сильно взаимодействующих частиц, каковой
является квантовая жидкость, речь должна идти именно об уров-
уровнях, соответствующих квантовомеханическим стационарным
состояниям всей жидкости в целом, а отнюдь не состояниям от-
отдельных атомов. При вычислении статистической суммы в обла-
области достаточно низких температур должны учитываться лишь
слабо возбужденные уровни энергии жидкости — уровни, распо-
расположенные не слишком высоко над основным.
Следующее обстоятельство имеет фундаментальное значение
для всей теории. Всякое слабо возбужденное состояние макро-
макроскопического тела можно рассматривать в квантовой механике
как совокупность отдельных элементарных возбуждений. Эти
элементарные возбуждения ведут себя как некоторые квазичас-
квазичастицы, движущиеся в занимаемом телом объеме и обладающие
определенными энергиями е и импульсами р. Вид зависимос-
зависимости s(p) (или, как говорят, закон дисперсии элементарных возбуж-
возбуждений) является важной характеристикой энергетического
спектра тела. Подчеркнем лишний раз, что понятие элементар-
элементарных возбуждений возникает как способ квантовомеханического

12
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
описания коллективного движения атомов тела и квазичастицы
отнюдь не могут быть отождествлены с отдельными атомами
или молекулами.
Существуют различные типы энергетических спектров,
которыми могут, в принципе, обладать квантовые жидкости.
В зависимости от типа спектра жидкость будет иметь также и
совершенно различные макроскопические свойства. Мы начнем
с изучения жидкости со спектром типа, который можно назвать
фермиевским. Теория такой ферми-жидкости была создана
Л. Д. Ландау A956-1958 гг.); ему принадлежат результаты, из-
излагаемые в § 1-41).
Энергетический спектр квантовой жидкости фермиевского
типа строится в известном смысле аналогично спектру идеаль-
идеального ферми-газа (из частиц со спином 1/2). Основное состояние
последнего соответствует заполнению частицами всех состояний
внутри фермиевской сферы — сферы в импульсном пространстве
с радиусом рр, связанным с концентрацией газа N/V (числом
частиц в единице объема) формулой
V	3BтгЙK Зтг2Н3	V " }
(см. V, § 57). Возбужденные состояния газа возникают, когда ча-
частицы переходят из состояний заполненной сферы в какие-либо
состояния с р > pf-
В жидкости, разумеется, не существует квантовых состояний
для отдельных частиц. Однако исходный пункт для построения
спектра ферми-жидкости состоит в утверждении, что класси-
классификация уровней энергии остается неизменной при постепенном
«включении» взаимодействия между атомами, т. е. при перехо-
переходе от газа к жидкости. В этой классификации роль частиц газа
переходит к элементарным возбуждениям (квазичастицам), чис-
число которых совпадает с числом атомов и которые подчиняются
статистике Ферми.
Сразу же отметим, что спектром такого типа может обла-
обладать, очевидно, только жидкость из частиц с полу целым спи-
спином — состояние системы из бозонов (частиц с целым спином)
не может описываться в терминах квазичастиц, подчиняющих-
подчиняющихся статистике Ферми. В то же время следует подчеркнуть, что
спектр этого типа не может быть универсальным свойством всех
таких жидкостей. Тип спектра зависит также и от конкретного
1) Забегая вперед, сразу же уточним, во избежание недоразумений,
что речь идет о несверхтекучей (или, как говорят, нормальной) ферми-
жидкости. Таковой является жидкий изотоп 3Не (с оговоркой, которая будет
сделана в примечании на с. 285.

§ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В КВАНТОВОЙ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	13
характера взаимодействия между атомами. Простое соображе-
соображение делает это обстоятельство очевидным: если взаимодействие
таково, что в результате его атомы стремятся ассоциироваться
в пары, то в пределе мы получили бы молекулярную жидкость,
состоящую из частиц (молекул) с целым спином, для которой
рассматриваемый спектр заведомо невозможен.
Каждая из квазичастиц обладает определенным импульсом р
(мы еще вернемся к вопросу о справедливости этого утвержде-
утверждения). Пусть п(р) есть функция распределения квазичастиц по
импульсам, нормированная условием
a N a dSP
пат = —, ат =
V
(это условие будет уточнено ниже). Упомянутый выше прин-
принцип классификации состоит в предположении, что задание этой
функции однозначно определяет энергию Е жидкости и что ос-
основное состояние соответствует функции распределения, в кото-
которой заняты все состояния внутри ферми-сферы с радиусом р^?,
связанным с плотностью жидкости той же формулой A.1), что
и в случае идеального газа.
Важно подчеркнуть, что полная энергия жидкости Е отнюдь
не сводится к сумме энергий е квазичастиц. Другими словами,
Е представляет собой функционал от функции распределения,
не сводящийся к интегралу fns dr (как это имеет место для иде-
идеального газа, где квазичастицы совпадают с истинными частица-
частицами и не взаимодействуют друг с другом). Поскольку первичным
понятием является именно Е, то возникает вопрос об определе-
определении энергии квазичастиц с учетом их взаимодействия.
Для этого рассмотрим изменение Е при бесконечно малом
изменении функции распределения. Оно должно, очевидно, оп-
определяться интегралом от выражения, линейного по вариации Sn,
т. е. иметь вид
SE [
I 5n dr.
Величина е есть вариационная производная от энергии Е по
функции распределения. Она соответствует изменению энергии
системы при добавлении одной квазичастицы с импульсом р,
и именно эта величина играет роль гамильтоновой функции ква-
квазичастицы в поле других частиц. Она тоже является функцио-
функционалом функции распределения, т. е. вид функции е(р) зависит
от распределения всех частиц в жидкости.
Отметим в этой связи, что элементарное возбуждение в рас-
рассматриваемом типе спектра можно в известном смысле трак-
трактовать как атом в самосогласованном поле других атомов. Эту

14
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
самосогласованность нельзя, однако, понимать в обычном в кван-
квантовой механике смысле. Она имеет здесь более глубокий харак-
характер; в гамильтониане атома учитывается влияние окружающих
частиц не только на потенциальную энергию, но меняется так-
также и зависимость оператора кинетической энергии от оператора
импульса.
До сих пор мы отвлекались от наличия у квазичастиц спи-
спина. Так как спин является квантовомеханической величиной, то
он не может рассматриваться классически, ввиду чего мы долж-
должны считать функцию распределения статистической матрицей
в отношении спина. Энергия же элементарного возбуждения е
в общем случае является не только функцией от импульса, но
и оператором по отношению к спиновым переменным, который
можно выразить через оператор спина квазичастицы s. В одно-
однородной и изотропной жидкости (не находящейся в магнитном
поле и не ферромагнитной) оператор s может входить в скаляр-
скалярную функцию ? тоже лишь в виде скаляров §2 или (%>J; первая
степень произведения %> недопустима, поскольку в виду акси-
альности вектора спина она является псевдоскаляром. Квадрат
s2 = s(s + 1), а для спина 5 = 1/2 сводится к не зависящей от s
постоянной также и скаляр (%>J =р2/4. Таким образом, в этом
случае энергия квазичастицы вовсе не зависит от оператора спи-
спина, т. е. все уровни энергии квазичастиц двукратно вырождены.
По существу утверждение о наличии спина у квазичастицы и
выражает факт существования этого вырождения. В этом смыс-
смысле можно утверждать, что спин квазичастиц в данном типе спек-
спектра всегда равен 1/2, вне зависимости от величины спина истин-
истинных частиц жидкости. Действительно, для любого отличного от
1/2 спина s члены вида (%>J привели бы к расщеплению B5 + 1)-
кратно вырожденных уровней на B5 + 1)/2 уровней с двукрат-
двукратным вырождением. Другими словами, появляются Bs + l)/2 раз-
различных ветвей функции ?(р), каждая из которых соответствует
«квазичастицам со спином 1/2».
Как уже было отмечено, с учетом спина квазичастиц функ-
функция распределения становится матрицей или оператором п(р) по
отношению к спиновым переменным. В явном виде этот оператор
записывается как эрмитова статистическая матрица ^a^(p)? гДе
а, /3 — спиновые матричные индексы, пробегающие два значе-
значения ±1/2. Диагональные матричные элементы определяют чис-
числа квазичастиц в определенных спиновых состояниях. Поэтому
условие нормировки функции распределения квазичастиц надо
писать теперь в виде
/f	^	A.2)

§ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В КВАНТОВОЙ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	15
(символ Sp означает взятие следа матрицы по спиновым
индексам)х).
Оператором — матрицей по спиновым переменным — явля-
является в общем случае также и энергия квазичастицы ?\ Ее опре-
определение надо записывать так:
— = Sp / eSndr = / saj3^nj3a dr.	A-3)
Если спиновая зависимость функции распределения и энер-
энергии отсутствует, т. е. пар и ?а/# сводятся к единичной матрице
па/3 — п8а/3, ?а/3 — ?$а.C->	A-4)
то взятие следа в A.2), A.3) сводится просто к умножению на 2:
2fndr = -, — = 2feSndT.	A.5)
Легко видеть, что в статистическом равновесии функция рас-
распределения квазичастиц имеет вид распределения Ферми, при-
причем роль энергии играет определенная согласно A.3) величина ?.
Действительно, в силу совпадения классификационных свойств
уровней энергии жидкости и идеального ферми-газа энтропия S
жидкости определяется таким же комбинаторным выражением
I = -Sp /{rain га + A - ra)ln(l - га)} dr,	A.6)
как и в случае газа (см. V, §55). Варьируя это выражение при
дополнительных условиях постоянства полного числа частиц и
полной энергии
— =
мы получим искомое распределение
= 0, — = SpfeSndr = 0,
1,	A.7)
где \i — химический потенциал жидкости.
При не зависящей от спина энергии квазичастиц формула
A.7) означает такую же связь между величинами п и е\
1]-\	A.8)
При температуре Г = 0 химический потенциал совпадает с гра-
граничной энергией на поверхности сферы Ферми:
Ит=о = ?f = c(pf)-	A-9)
х) Здесь и везде ниже по дважды повторяющимся индексам, как обычно,
подразумевается суммирование.

16
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
Подчеркнем, что несмотря на формальную аналогию выражения
A.8) с обычным распределением Ферми, оно не тождественно с
ним: поскольку е само есть функционал от п, формула A.8) пред-
представляет собой, строго говоря, сложное неявное определение п.
Вернемся к сделанному предположению о том, что каждой
квазичастице может быть приписан определенный импульс.
Условие справедливости этого предположения требует, чтобы
неопределенность импульса (связанная с конечностью длины сво-
свободного пробега квазичастицы) была мала не только по сравне-
сравнению с величиной самого импульса, но и по сравнению с шириной
Ар «области размытости» распределения — области, в которой
оно существенно отличается от «ступенчатой» функции1):
Легко видеть, что это условие соблюдается, если распределе-
распределение п(р) отличается от A.10) лишь в малой области вблизи по-
поверхности ферми-сферы. Действительно, в силу принципа Пау-
Паули взаимно рассеиваться могут только квазичастицы в области
размытости распределения, причем в результате рассеяния они
должны переходить в свободные состояния в той же области.
Поэтому вероятность столкновения пропорциональна квадрату
ширины этой области. Соответственно пропорциональна (АрJ и
неопределенность энергии, а с нею и неопределенность импуль-
импульса квазичастицы. Отсюда ясно, что при достаточно малом Ар
неопределенность импульса будет мала не только по сравнению
с р^, но и по сравнению с Ар.
Таким образом, излагаемый метод справедлив только для
таких возбужденных состояний жидкости, которые описывают-
описываются функцией распределения квазичастиц, отличающейся от «сту-
«ступеньки» лишь в узкой области вблизи поверхности Ферми.
В частности, для термодинамически равновесных распределе-
распределений допустимы лишь достаточно низкие температуры. Ширина
(по энергии) области размытости равновесного распределения
порядка Г. Квантовая же неопределенность энергии квазича-
квазичастицы, связанная со столкновениями, — порядка величины Я/т,
где т — время свободного пробега квазичастицы. Поэтому
г) Отметим для дальнейшего, что производная
в'(р) = -8(р-РР).
Действительно, обе стороны этого равенства дают одинаковый результат
(единицу) при интегрировании по любому интервалу р, содержащему точку
p = pF.

§ 1 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В КВАНТОВОЙ ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	17
условие применимости теории
Я/т<Г.	A.11)
При этом, согласно сказанному выше, время т обратно пропор-
пропорционально квадрату ширины области размытости, т. е.
та Г,
так что A.11) заведомо выполняется при Г —»> 0. Для жидкости,
в которой взаимодействие между частицами не является слабым,
все энергетические параметры по порядку величины совпадают
с граничной энергией ?р\ в этом смысле условие A.11) эквива-
эквивалентно условию Г ^С \ер\1).
Для распределений, близких к «ступенчатому» (распределе-
(распределение при Г = 0), можно, в первом приближении, заменить функ-
функционал ? его значением, вычисленным для п(р) = в(р). Тогда ?
становится определенной функцией величины импульса, и фор-
формула A.7) становится обычным распределением Ферми.
При этом вблизи поверхности ферми-сферы, где функция е(р)
только и имеет непосредственный физический смысл, ее можно
разложить по степеням разности р — рр. Имеем
? — ?р « Vp(p — Pf),	A.12)
где
vF = —	A.13)
dp P=PF
есть «скорость» квазичастиц на ферми-поверхности. В идеаль-
идеальном ферми-газе, где квазичастицы тождественны с истинными
частицами, имеем ? = р2 /2т, так что vp = рр /т. По аналогии
можно ввести для ферми-жидкости величину
m* =pF/vp,	A.14)
назвав ее эффективной массой квазичастицы; эта величина по-
положительна (см. конец §2).
В терминах введенных таким образом величин условие при-
применимости теории можно записать как Г <С vppp, причем ре-
реальным смыслом обладают лишь квазичастицы с импульсами р,
для которых \р — рр| <С pp. Подчеркнем лишний раз последнее
обстоятельство и отметим, что оно придает в особенности нетри-
нетривиальный характер соотношению A.1) между рр и плотностью
жидкости, поскольку его наглядный вывод (для ферми-газа)
х)Для жидкого 3Не, однако, область количественной применимости тео-
теории, как показывает эксперимент, фактически ограничена температурами
Т < 0,1К (между тем как |е^| « 2,5К).

18
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
основан на представлении о частицах в состояниях, заполняю-
заполняющих всю ферми-сферу, а не только окрестность ее поверхностиг).
Эффективная масса определяет, в частности, энтропию S
и теплоемкость С жидкости при низких температурах. Они да-
даются той же формулой, что и для идеального газа (V, §58),
в которой надо только заменить массу частицы т эффективной
массой га*:
S = C = V7T, 7=^ = AJ/3^(?I/3	A.15)
1 ' ' ЗН3 V3/ П2 \vJ	V J
(ввиду линейной зависимости от Г величины S и С совпада-
совпадают). Действительно, выражение A.6) энтропии через функцию
распределения одинаково для жидкости и для газа, а при вычис-
вычислении этого интеграла существенна лишь область импульсов
вблизи р^, в которой функции распределения квазичастиц
в жидкости и частиц в газе даются одним и тем же выра-
выражением A.8J).
Перед тем как продолжить развитие теории, сделаем сле-
следующее замечание. Хотя излагаемый способ введения понятия
квазичастиц в ферми-жидкости в полной аналогии с частица-
частицами газа наиболее удобен для систематического построения тео-
теории, связанная с ним физическая картина имеет тот недостаток,
что в ней фигурирует ненаблюдаемая заполненная ферми-сфера
квазичастиц. Этот недостаток можно было бы устранить фор-
формулировкой, в которой элементарные возбуждения появляются
только при Т ф 0. В такой картине роль элементарных возбужде-
возбуждений играют квазичастицы вне ферми-сферы и «дырки» внутри
нее; первым надо приписать (в приближении, отвечающем фор-
формуле A.12)) энергию е = vp(p — Pf), а вторым е = vf(pf — р)-
Статистическое распределение тех и других дается формулой
распределения Ферми с равным нулю химическим потенциалом
(в соответствии с тем, что число элементарных возбуждений при
этом не постоянно, а определяется температурой3))
п=[е?/Т + 1}-\	A.16)
1)	Доказательство соотношения A.1) требует применения более сложных
математических методов и будет дано ниже, в § 20.
2)	Для жидкого 3Не (при нулевом давлении): pf/Н=0,8 • 108 см; т* =
= 3,1 т CНе); pf определяется по плотности жидкости; т*—по теплоемкости
) Напомним (ср. V, §63), что в таких условиях число квазичастиц TVkb
определяется условием термодинамического равновесия — минимальностью
свободной энергии F как функции 7VKb при заданных температуре и объ-
объеме: (dF/dNKB)T,v = 0; но эта производная и есть «химический потенциал
квазичастиц» (не смешивать его с химическим потенциалом fi жидкости,
определяемым производной от F по числу истинных частиц N).

§ 2	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАЗИЧАСТИЦ	19
Элементарные возбуждения в этой картине появляются или ис-
исчезают лишь парами, так что полные числа возбуждений с им-
импульсами р > рр и р < рр всегда одинаковы.
Отметим также, что при таком определении элементарных воз-
возбуждений их энергия непременно положительна: это есть превы-
превышение энергии возбужденного уровня над энергией нормального
уровня системы. Энергия же квазичастиц, определенная соглас-
согласно A.3), может быть как положительной, так и отрицательной.
Более того, для жидкости при нулевых температуре и дав-
давлении величина ер = М заведомо отрицательна, а потому отри-
отрицательны и близкие к ер значения е. Это ясно из того, что при
Г = 0 и Р = 0 величина — \i совпадает с положительной вели-
величиной — предельным значением отнесенной к одной частице теп-
теплотой испарения жидкости.
§ 2. Взаимодействие квазичастиц
Являясь функционалом от функции распределения квазича-
квазичастиц, их энергия меняется при изменении этой функции.
Изменение энергии при малом отклонении 6п от функции рас-
распределения от «ступеньки» A.10) должно иметь вид
) di>	B.1)
или, в более символическом виде,
<Щр) = Sp'|/(p, p')*n(p')dr',
где Sp' означает взятие следа по паре спиновых индексов, от-
отвечающих импульсу р'. Функцию / можно назвать функцией
взаимодействия квазичастиц (в ферми-газе / = 0). По своему
определению эта функция представляет собой вторую вариаци-
вариационную производную от полной энергии жидкости Е и поэтому
симметрична по переменным р, р' и соответствующим им парам
спиновых индексов:
, Р') = /7а,<5/з(р', Р).	B.2)
С учетом изменения B.1) энергия квазичастиц вблизи по-
поверхности ферми-сферы дается суммой
е(р) -eF = vF(p- pp) + Sp'|/(p, p/)^n(p/) dr'.	B.3)
В частности, для термодинамически равновесных распределений
второй член в формуле B.3) определяет зависимость энергии

20
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
квазичастицы от температуры. Отклонение 5п' заметно отлич-
отлично от нуля только в узком слое значений р' вблизи поверхно-
поверхности ферми-сферы, и в таком же слое находятся импульсы р
реальных квазичастиц. Поэтому функцию /(р, р') в формулах
B.1), B.3) фактически можно заменить ее значением на самой
этой поверхности, т. е. положить р = р1 = рр, так что / будет
зависеть только от направлений векторов рир'.
Спиновая зависимость функции / связана как с релятивист-
релятивистскими эффектами (спин-спиновое и спин-орбитальное взаимо-
взаимодействия), так и с обменным взаимодействием. Последнее
наиболее существенно. С его учетом функция взаимодействия
квазичастиц имеет (на ферми-поверхности) вид
^, р') = F@) + <т<т'С{д),	B.4)
где <т, ст1 — матрицы Паули, действующие на соответствующие
(т. е. отвечающие переменным р и р') спиновые индексы, a F
и G — две функции угла $ между р и р'х). Вид этого выраже-
выражения связан с характерным свойством обменного взаимодействия:
оно не зависит от ориентации полного момента системы в про-
пространстве; поэтому операторы двух спинов могут входить в него
лишь в виде скалярного произведения. Определенные, согласно
B.4), функции F и G безразмерны. Введенный для этой цели в
левой стороне B.4) множитель представляет собой число состоя-
состояний квазичастицы на ферми-поверхности, отнесенное к единич-
единичному интервалу энергий:
26,
= —
Ф\
PF
de
или	vp = р%
7Г2 HSVF
Поскольку след матриц Паули равен нулю, то после взятия
следа Sp' второй член в B.4) исчезает, так что Sp / не зависит
уже и от сг. Такая независимость имеет место в действительности
также и при учете спин-орбитального и спин-спинового взаимо-
взаимодействий. Дело в том, что скалярная функция Sp / могла бы
содержать оператор спина лишь в виде произведения S[ppr] двух
аксиальных векторов s и [ррг] (выражения же, квадратичные
1) В явной матричной форме
Pftu*
B.4а)

§ 2	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАЗИЧАСТИЦ	21
по компонентам J, можно не рассматривать, так как для спи-
спина 1/2 они сводятся к членам, линейным по s и не содержащим
s вовсе). Но это произведение не инвариантно по отношению к
обращению времени и потому не может войти в инвариантную
величину Sp'/.
Введем удобное для дальнейшего обозначение
/а7,/з7(р, р') = <W(P, р'), / = \ SP Sp'/.	B.6)
Из выражения B.4) имеем
B.7)
Функция взаимодействия квазичастиц удовлетворяет опреде-
определенному интегральному соотношению, следующему из принципа
относительности Галилея. Прямым следствием этого принципа
является совпадение импульса единицы объема жидкости с плот-
плотностью потока ее массы. Скорость квазичастицы есть де/др, так
что поток квазичастиц дается интегралом
v де 7
г— ат.
Поскольку число квазичастиц в жидкости совпадает с числом
истинных частиц, то ясно, что полный перенос массы квазича-
квазичастицами получится умножением потока их числа на массу га ис-
истинной частицы. Таким образом, получим следующее равенство:
Sp fpndr = Sp /га—пdr.	B.8)
Положив Пар = ть6а/з, еа/з = sSa/3, варьируем обе стороны
B.8). Использовав B.1) и обозначение / из B.6), получим
[рбп dr = m f—6n dr + m[df{p'pf)n6n' dr drf =
= m —5ndr — m / /(p, p')^^
J dp	J	dp'
где nr = n(pr) (во втором интеграле заменено обозначение пере-
переменных и произведено интегрирование по частям). Ввиду произ-
произвольности 8п отсюда следует искомое соотношение
dT*.	B.9)
?
т op
Для ступенчатой функции
п(р') = в(р')

22
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
производная дп1 /др1 сводится к ^-функции:
B.10)
dp p
Подставив в B.9) функцию е(р) из A.12), заменив затем везде
импульс р = рп значением р^? = pfu на ферми-поверхности
и умножив обе стороны равенства на р^?, получим следующее
соотношение между массой т истинных частиц и эффективной
массой квазичастиц:
1 _ 1	pF
[/(д) cos д do',	B.11)
т т* BтгЙK.
где do' — элемент телесного угла в направлении р'. Если под-
подставить сюда для /(#) выражение B.7), то это равенство прини-
принимает вид	ш* л , ^/o4 а
т
где черта означает усреднение по направлениям (т. е. интегри-
интегрирование по do'/4тг = smfddfd/2).
Вычислим еще сжимаемость ферми-жидкости (при абсолют-
абсолютном нуле), т. е. величину у? = дР/др1). Плотность жидкости
р = mN/V, так что	у2 др
и = —	.
mN dV
Для вычисления этой производной удобно выразить ее через про-
производную от химического потенциала. Заметив, что последний
зависит от N и V только в виде отношения N/V, а также, что
при Г = const = 0 дифференциал d[i = VdP/N, имеем
~0N ~ ~lvdV ~ ~^POV'
так что	ЛТ г,
2 N oil	/о 1О\
и =	—.	B.13)
mdN	V J
Поскольку [i = ер при Г = 0, то изменение 5ц при изменении
числа частиц на 6N равно
= [f(PF, p'Nn' dr' + ^6PF.	B.14)
Первый член в этом выражении — изменение величины e(pf)
благодаря изменению функции распределения. Второй же член
1)При Т = 0 также и S = 0, так что нет необходимости различать изо-
изотермическую и адиабатическую сжимаемости. Величина и определена как
известное выражение скорости звука в жидкости. Следует, однако, иметь в
виду, что фактически при Т = 0 обычный звук вообще не может распро-
распространяться в ферми-жидкости — см. § 4.

§ 3	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КВАЗИЧАСТИЦ	23
связан с тем, что изменение полного числа частиц меняет так-
также и значение предельного импульса: в силу A.1) имеем SN =
= Ур2р6рр/тг2Н3. Поскольку 6пг заметно отлично от нуля лишь
при р1 ~ Pf, то, заменив в интеграле функцию / ее значением
на ферми-поверхности, можем написать
ffSn'dr' « i ffdo' fSn'^- = UttJ
Подставив это выражение в B.14) и введя га* согласно дер/др? =
= рр/га*, получим	_	23
°Е = JL + JL_^.	B.15)
8N 2V pFm*V	V }
Наконец, взяв 1/га* из B.11) и снова учтя A.1), получим окон-
окончательно
uz = PL + JL(P^-) /"/(tfVl-costfW.	B.16)
3m \2ttHJ
С функцией /(т?) из B.7) и с использованием B.12) это выраже-
выражение можно привести к виду
u2 = ^-S± + W))-	B-17)
Зтт*
Функция / должна удовлетворять определенным условиям,
возникающим из требования устойчивости основного состояния
жидкости. Последнему отвечает заполнение всех состояний ква-
квазичастиц внутри ферми-сферы, и энергия этого состояния долж-
должна быть минимальна по отношению к произвольной малой
деформации сферы. Не приводя всех вычислений, укажем здесь
лишь их окончательный результат1). Его удобно сформулиро-
сформулировать, разложив функции _F(#) и G{d) из B.4) по полиномам
Лежандра, т. е. представив их в виде
F($)=Y,Bl+l)FiPi(cos$), G(i9)=^B/+l)G^(cosi9) B.18)
i	i
(при таком определении коэффициентов F\ и G/ они совпадают
со средними значениями произведений FP\ и GPi). Тогда условия
устойчивости записываются в виде неравенств
*} + 1>0,	B.19)
Gi + 1 > 0.	B.20)
Сравнив условие B.19) при / = 1 с выражением B.12) для
эффективной массы, убеждаемся в положительности последней.
Условие же B.19) при / = 0 обеспечивает положительность вы-
выражения B.17).
. Померанчук И. Я. // ЖЭТФ. 1958. Т. 35. С. 524.

24
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
§ 3. Магнитная восприимчивость ферми-жидкости
Квазичастица с отличным от нуля спином обладает, вообще
говоря, также и магнитным моментом. Для спина 1/2 оператор
этого момента имеет вид /Зет (^-проекция магнитного момента
равна =Ь/3). Постоянная 2/3/Н, определяющая отношение магнит-
магнитного момента квазичастицы к механическому (Я/2), совпадает со
значением такой же постоянной для истинных частиц: очевидно,
что величина этого отношения не меняется при любом способе
сложения спинов частиц в спин квазичастицы.
Наличие у квазичастиц магнитного момента приводит, в свою
очередь, к парамагнетизму жидкости. Вычислим соответствую-
соответствующую магнитную восприимчивость.
Для «свободной» квазичастицы оператор дополнительной
энергии, приобретаемой ею в магнитном поле Н, был бы — /3<тН.
Но в ферми-жидкости необходимо учесть тот факт, что в силу
взаимодействия квазичастиц энергия каждой из них изменится
еще и в результате изменения функции распределения в магнит-
магнитном поле. При вычислении магнитной восприимчивости надо по-
поэтому писать оператор изменения энергии квазичастицы в виде
' ffSn'dr'.
C.1)
Изменение же функции распределения само выражается через 5?
согласно 5п = {дп/деM^)х); таким образом, для 5? получаем
уравнение
6е(р) = -/3<тН + Sp'|/(p, p')f>(p') dr'.	C.2)
Нам понадобится ниже решение этого уравнения лишь на по-
поверхности ферми-сферы. Ищем его в виде
бе =-fen,	C.3)
где g— постоянная. Для ступенчатой функции п(р')=6(рг) имеем
х) При вычислении добавки 5п, зависящей от поля, изменение химического
потенциала можно не учитывать. Изменение макроскопической величины fi
в изотропной жидкости может быть лишь квадратичным по полю Н (яв-
(являющимся при вычислении восприимчивости малой величиной), между тем
как 5*8 первого порядка малости по полю. Отметим также, что ввиду мало-
малости магнитной восприимчивости жидкости здесь можно не делать различия
между напряженностью и индукцией поля в ней.

НУЛЕВОЙ ЗВУК	25
так что интегрирование по dp1 = def/vp сводится к взятию зна-
значения подынтегрального выражения на ферми-поверхности.
Подставив функцию / из B.4) и заметив, что для матриц Паули
Sp а = О, SpV^ V = -crSpW = 2<т,
о
находим g = 2 — gG{$), или
C'4)
где черта снова (как и в B.12)) означает усреднение по на-
направлениям.
Восприимчивость х определяется из выражения для магнит-
магнитного момента единицы объема жидкости:
ХН = /3 Sp faSn dr = /3 Sp faSs— dr
или, после интегрирования со ступенчатой функцией п(р):
Наконец, подставив сюда C.3), C.4) и заметив, что Sp (<тН)<т=2Н,
получим	_ C2PFm* _ З7/З2	/g 5ч
где 7 — коэффициент в линейном законе теплоемкости A.15).
Выражение х — 37/32/тг2 есть восприимчивость вырож:денного
ферми-газа из частиц с магнитным моментом /3 (см. V, E9.5)).
Множитель же A+G) выражает собой отличие ферми-жидкос-
ти от ферми-газах).
Отметим, что условие устойчивости B.20) с / = 0 совпадает
с условием х > 0-
§ 4. Нулевой звук
Неравновесные состояния ферми-жидкости описываются
функциями распределения квазичастиц, зависящими не только
от импульсов, но также и от координат и времени. Эти функ-
функции n(p, r, t) подчиняются кинетическому уравнению вида
— = Stn,	D.1)
dt
-2/3.

26
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
где St п — так называемый интеграл столкновений, определяю-
определяющий изменение числа квазичастиц в данном элементе фазового
объема, обусловленное их столкновениями друг с другом1).
Полная производная по времени в D.1) учитывает как яв-
явную зависимость п от ?,так и неявную зависимость, связанную с
изменением координат, импульса и спиновых переменных квази-
квазичастицы согласно ее уравнениям движения. Специфика ферми-
жидкости состоит в том, что поскольку энергия квазичастицы
является функционалом от функции распределения, то в неод-
неоднородной жидкости вместе с п зависит от координат также и е4.
Для распределений п, слабо отличающихся от равновес-
равновесного по, пишем
n(p,r,t) = no(p) + 5n(p,r,t).	D.2)
При этом энергия квазичастицы ? = sq + ^?, где sq — энергия,
отвечающая равновесному распределению, а 52 дается выраже-
выражением B.1), так что
^/^*-'.	D.3)
В отсутствие внешнего магнитного поля во и по от спина не
зависят.
Явная зависимость п от времени дает в dn/dt член
дп 	 дбп
dt ~ dt '
Зависимость же через координаты и импульс дает члены
дп^ . дп с*
—г + —р.
дг др
Роль гамильтоновой функции квазичастицы играет ее энергия ?.
В силу уравнений Гамильтона имеем
^_ д? ^ _ _д?
Г ~ дР' Р~ дг'
Поэтому имеем, с точностью до членов первого порядка по Sri:
c^ncteo _ дп0 дб?
дг dp dp дг '
1) Содержание этого параграфа предполагает знакомство с понятием ки-
кинетического уравнения и в этом смысле выпадает из профиля данного тома.
Однако без кинетического уравнения (и его применения в этом и следую-
следующем параграфах) формулировка теории ферми-жидкости была бы недоста-
недостаточно полна. Нам понадобится здесь лишь уравнение без интеграла столк-
столкновений; вопросы, связанные с конкретным видом интеграла столкновений,
будут рассмотрены в другом томе, посвященном физической кинетике.

НУЛЕВОЙ ЗВУК	27
Наконец, изменение со временем функции п как оператора по
спиновым переменным дается, по общим правилам квантовой
механики, коммутатором
г-{е, п}.	D.4)
Однако при не зависящих от спина по и во члены первого порядка
по 5п в этом коммутаторе отсутствуют.
Собирая написанные члены, получим уравнение
ддп део ддп dd7dnQ _ ц, ^	(Л<\
Прежде, чем приступить к использованию кинетического
уравнения, остановимся на условиях его применимости. Исполь-
Использовав классические (по координатам и импульсу) уравнения, мы
тем самым предполагали движение квазичастиц квазиклассиче-
квазиклассическим; это же предположение лежит по существу уже в основе
самого описания жидкости функцией распределения, зависящей
одновременно от координат и импульсов квазичастиц. Условие
квазиклассичности состоит в малости де-бройлевской длины вол-
волны квазичастиц Н/рр по сравнению с характерной длиной L, на
которой существенно меняется функция п. Введя вместо L «вол-
«волновой вектор» неоднородности к ~ 1/L, запишем это условие
ввиде1)	Пк^рр.	D.6)
Частота ои изменения функции распределения, устанавливающа-
устанавливающаяся при заданном fc, порядка величины ои ~ vpk и автоматически
удовлетворяет условию
Пои < eF.	D.7)
Соотношение же между Нои и температурой Г может быть лю-
любым. Если Нои ^> Г, то роль ширины области размытости функ-
функции распределения играет именно величина Ноо\ тогда D.7) есть
обязательное для применимости всей теории условие, обеспечи-
обеспечивающее малость квантовой неопределенности энергии квазича-
квазичастицы (связанной с их столкновениями) по сравнению с Ноо.
Применим теперь кинетическое уравнение к исследованию
колебательных движений ферми-жидкости.
При низких, но отличных от нуля температурах в ферми-
жидкости происходят взаимные столкновения квазичастиц,
причем время их свободного пробега т ее Т~2. Характер рас-
распространяющихся в жидкости волн существенно зависит от ве-
величины произведения оот.
х) Согласно определению A.1) H/pf порядка величины межатомных рас-
расстояний, так что условие D.6) — очень слабое.

28
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
При иот <С 1 (что фактически эквивалентно условию ма-
малости длины пробега квазичастицы / по сравнению с длиной
волны Л) столкновения успевают установить термодинамическое
равновесие в каждом (малом по сравнению с Л) элементе объема
жидкости. Это значит, что мы имеем дело с обычными гидро-
гидродинамическими звуковыми волнами, распространяющимися со
скоростью и = л/дР/др. Поглощение звуковых волн при сот <С 1
мало, но при увеличении сот оно возрастает и при иот ~ 1 ста-
становится очень сильным, так что распространение звуковых волн
становится невозможным1).
При дальнейшем увеличении сот, когда уже сот ^> 1, в ферми-
жидкости снова становится возможным распространение волн,
имеющих, однако, другой физический характер. В этих коле-
колебаниях столкновения квазичастиц не играют роли и термоди-
термодинамическое равновесие в каждом элементе объема не успевает
устанавливаться. Процесс можно рассматривать как происходя-
происходящий при абсолютном нуле температуры. Эти волны называют
нулевым звуком.
Согласно сказанному выше, при сот ^> 1 в кинетическом урав-
уравнении можно опустить интеграл столкновений; тогда
дбп	дбп _ дпр d8t _ ~	(A R)
dt	дт др дт
где v = ds/др — скорость квазичастиц, вычисленная по невоз-
невозмущенной энергии е (v = vpn, где п — единичный вектор в
направлении р); индекс 0 у е здесь и ниже опускаем.
При Г = 0 равновесная функция распределения по представ-
представляет собой ступенчатую функцию #(р), обрывающуюся у пре-
предельного импульса р = рр • Ее производная
Предполагая, что зависимость 6п в волне от времени и коор-
координат дается множителем ехр[г(кг — cot)], будем искать решение
кинетического уравнения в виде
6п = 6{е - eF)V{n)e^kr-^.	D.9)
Тогда уравнение D.8) с дде/дг из D.3) принимает вид
(ш - vFnk)9(n) = nk^|^ Sp'|/(n, n')P(n') do', D.10)
1)При ojt<^.1 коэффициент поглощения звука j^oj2rj/pu3, где rj — вяз-
вязкость жидкости. По порядку величины имеем и ~ vf, rj/p ~ vfI ~ ^т, где
vf — скорость квазичастиц (не зависящая от температуры), так что rj ос Т~2
(И. Я. Померанчук, 1950). При этом ju/oj ~ иот ос и/Т2.

НУЛЕВОЙ ЗВУК	29
где п и п' — единичные векторы в направлениях рир', а инте-
интегрирование производится по направлениям п'.
Рассмотрим колебания (нулевой звук), не затрагивающие
спиновых характеристик жидкости. Это значит, что от спиновых
переменных не зависит не только равновесная функция распре-
распределения, но и ее «возмущение» 6п. В такой волне изменение
функции распределения при колебаниях сводится к деформации
граничной ферми-поверхности (сферы в невозмущенном распре-
распределении), остающейся при этом резкой границей между запол-
заполненными и незаполненными состояниями квазичастиц. Функция
же v{p) представляет собой величину смещения (в единицах
энергии) этой поверхности в заданном направлении п.
Поскольку ^(п') не зависит от спиновых переменных, то опе-
операция Sp' в D.10) применяется только к функции /. Написав
последнюю в виде B.4), будем иметь Sp'/ = Bтг2Я3/pFrm*)F(fd).
Таким образом, оператор сг выпадает вовсе из уравнения, при-
принимающего теперь вид
(и - kv)i/(n) = kv /^A9I/(п') —.	D.11)
Выберем направление к в качестве полярной оси, и пусть
углы 0, (р определяют направление п. Введя также скорость рас-
распространения волны щ = ш/к ж обозначение s = щ/vp, напишем
окончательно полученное уравнение в виде
Is - cos0W0, <р) = cos0 /V(i9)i/@', <p') — .	D.12)
J	4тг
Это интегральное уравнение определяет, в принципе, ско-
скорость распространения волн и функцию v(p!) в них. Сразу же
отметим, что для незатухающих колебаний (которые здесь нас
только и интересуют) величина s должна превышать 1, т. е.
должно быть	щ > ур	D 13)
Происхождение этого неравенства можно понять, переписав
D.12) в виде
где вместо v введена другая неизвестная функция V=(s— cos9)v.
При s = uo /kvp < 1 подынтегральное выражение имеет полюс
в точке cos в' = 5, и для придания интегралу смысла этот по-
полюс должен быть обойден по определенному правилу в плоско-
плоскости комплексного переменного cos в'. Этот обход вносит в инте-
интеграл мнимую часть, в результате чего приобретает мнимую часть

30
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
также и частота ио (при заданном вещественном к), что и означа-
означает затухание волны. Физический смысл равенства cos в = щ/vp
(отвечающего полюсу) состоит в том, что это есть условие че-
ренковского излучения волн нулевого звука квазичастицамих).
Рассмотрим в качестве примера случай, когда функция F^)
сводится к постоянной (обозначим ее Fq). Интеграл в правой сто-
стороне уравнения D.12) не зависит при этом от углов 0, (р. Поэтому
искомая функция v имеет вид
,	COS в	f л л л\
v = const •	.	D.14)
s - cos в	v J
Ферми-поверхность приобретает, таким образом, форму по-
поверхности вращения, вытянутой вперед по направлению распро-
распространения волны и сплюснутой в обратном направлении. Эта
анизотропия является проявлением неравновесности состояния
жидкости в каждом элементе ее объема: в равновесии все свой-
свойства жидкости должны быть изотропными и тем самым ферми-
поверхность — сферической. Укажем для сравнения, что
обычной звуковой волне соответствует сферическая ферми-по-
верхность колеблющегося радиуса (граничный импульс рр ко-
колеблется вместе с плотностью жидкости), смещенная как це-
целая на величину, связанную со скоростью движения жидкости
в волне; соответствующая функции v имеет вид v = Spp + const •
cos в.
Для определения скорости распространения волны нулевого
звука зд подставляем D.14) в D.12) и находим
7Г
р Г cos в 2тг sin OdO _ ,
J s — cos в 4тг
0
Произведя интегрирование, получим уравнение, определяющее
в неявном виде скорость г^о по заданной величине F$:
*lni±l_l = ^.	D.15)
Функция в левой стороне уравнения убывает от ос до 0 при из-
изменении s от 1 до оо, оставаясь всегда положительной. Отсюда
следует, что рассматриваемые волны могут существовать только
при Fq > 0. Подчеркнем, что возможность распространения ну-
нулевого звука зависит, таким образом, от свойств взаимодействия
квазичастиц в ферми-жидкости.
1) Такой механизм затухания называют затуханием Ландау; оно будет по-
подробно изучено в томе X в связи с колебаниями плазмы. Правило обхода
полюса в интеграле устанавливается заменой из на из + гО (т. е. s —»> s + гО),
смысл которой состоит в том, что ею обеспечивается конечность возмущения
во все предыдущие моменты времени (в том числе при t —>¦ —оо).

НУЛЕВОЙ ЗВУК	31
При Fo —»> 0 найдем из D.15), что s стремится к 1 по закону
5-1 ^2ee/Fo.	D.16)
Этот случай имеет более общее значение, чем формула D.15),
предполагающая F = const = Fq: он соответствует нулевому
звуку в почти идеальном ферми-газе при произвольном виде
функции F(il)). Действительно, почти идеальному газу соответ-
соответствует малая по абсолютной величине функция F^). Из урав-
уравнения D.12) видно, что при этом s будет близким к 1, а функ-
функция и — заметно отличной от нуля лишь при малых углах в.
На этом основании, рассматривая лишь область малых углов,
можно заменить в интеграле в правой стороне D.12) функцию
Fft) ее значением при д = 0 (при в = 0 и в' = 0 также и д = 0).
В результате мы снова вернемся к формулам D.14) и D.16) с
заменой константы Fo на .Р(ОI). Отметим, что в слабо неиде-
неидеальном газе скорость нулевого звука превышает скорость обыч-
обычного звука в у/~3 раз. Действительно, для первой имеем г^о ~ vp,
а для второй находим из формулы B.17) (пренебрегая в ней F и
положив га* « ш), и2 « p2F/3rrf2 = v2F/3.
В общем случае произвольной зависимости F{ff) решение
уравнения D.12) неоднозначно. Оно, в принципе, допускает
существование различных типов нулевого звука, отличающих-
отличающихся друг от друга угловой зависимостью их амплитуды и F, ф) и
распространяющихся с различными скоростями. При этом
наряду с аксиально-симметричными решениями ту (в) могут су-
существовать и асимметричные решения, в которых v содержит
азимутальные множители е±гш<^, где т — целые числа (см. зада-
задачу). Отметим, что для всех таких решений интеграл Judo = 0,
т. е. объем, заключенный внутри ферми-поверхности, остается
неизменным; это значит, что колебания происходят без измене-
изменения плотности жидкости.
Возможность распространения волн в ферми-жидкости при
абсолютном нуле означает, что ее энергетический спектр может
содержать ветвь, отвечающую элементарным возбуждениям с
импульсом р = Кк и энергией е = Нои = щр — «кванты нуле-
нулевого звука» . Тот факт, что нулевой звук (с любым заданным к)
может иметь произвольную (малую) интенсивность, в терминах
элементарных возбуждений означает, что последние могут запол-
заполнять свои квантовые состояния в любом числе; другими словами,
г) Колебания, соответствующие нулевому звуку в слабо неидеальном
ферми-газе, были впервые рассмотрены Ю. Л. Климонтовичем и В. П. Си-
Силиным A952).

32
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
они подчиняются статистике Бозе и образуют, как говорят, бозев-
скую ветвь спектра ферми-жидкости. Подчеркнем, однако, что
в рамках теории Ландау было бы неправильным вводить соответ-
соответствующие этой ветви поправки в термодинамические величины
ферми-жидкости, поскольку они содержат более высокие степе-
степени температуры (Г3 в теплоемкости), чем уже первые поправки
к изложенной приближенной теории.
Вопрос о поглощении нулевого звука требует рассмотрения
столкновений квазичастиц и не относится к содержанию этого тома.
Задача
Найти скорость распространения асимметричных волн нулевого звука
при F = Fo +Ficos#.
Решение. При
F = Fo + Fi (cos в cos в' + sin в sin в' cos (ц? - ц?'))
могут существовать решения с v ос е±г(р. Действительно, положив v = fF)el(p,
подставив в D.12) и произведя интегрирование по dtp , получим
7Г
(s-cos0)/ = — cos в sin в Am2 e'f(e')de'.
о
Отсюда	.
sin в cos в i<n
v = const •	е .
s — cos в
Подставив это выражение обратно в уравнение, получим соотношение
7Г
/
sin3 в cos 0	4
s — cos в	F\
определяющее зависимость скорости распространения от F\. Интеграл в ле-
левой стороне равенства является монотонно убывающей функцией s. Поэто-
Поэтому его наибольшее значение достигается при s = 1. Вычислив интеграл при
s = 1, найдем, что распространение асимметричной волны рассмотренного
вида возможно при F\ > б1).
§ 5. Спиновые волны в ферми-жидкости
Наряду с рассмотренными в предыдущем параграфе решени-
решениями z/n, не зависящими от спина, уравнение D.10) имеет также
и решения вида	V = <Tf*(n),	E.1)
х)Для жидкого 3Не можно вычислить Fo и F\ по известным значениям
т* и и2 с помощью формул B.12) и B.17): Fo=10,8, Fi=6,3 (при нулевом
давлении).

СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ В ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ
33
в которых изменение функции распределения квазичастиц зависит
от проекции их спина. Такие волны можно назвать спиновыми.
Подставив E.1) в D.10), снова взяв функцию / в виде B.4) и
заметив, что Sp' cr^crcr') = 2<т, получим (после сокращения на сг)
(s - cos0)/i@, ф) = cos^ /С(#И0', у/)--	E-2)
J	4тг
Таким образом, для каждой из компонент вектора /х получается
уравнение, отличающееся от D.12) лишь заменой F на G. Поэто-
Поэтому все дальнейшие вычисления, произведенные в § 4, могут быть
применены и к спиновым волнам1).
Спиновые волны другого типа могут распространяться в фер-
ми-жидкости в присутствии магнитного поля (В. П. Силин, 1958).
Мы ограничимся здесь рассмотрением колебаний с к = 0, в ко-
которых 6п не зависит от координат.
При наличии магнитного поля Н уже «невозмущенные» ко-
колебаниями энергия квазичастиц и функция их распределения
зависят от спина. Эти зависимости связаны друг с другом и вы-
выражаются формулами (см. § 3)
?о = ео(р) - /ЗктН, /3i=/3/A+ G),	E.3)
по = по(р) - ^/?1<тН = по(р) + 6(е - еР)РктН,	E.4)
as
где ?о(р) ~~ энергия в отсутствие поля; индекс 0 снова напомина-
напоминает о том, что эти выражения относятся к равновесной жидкости.
Снова ищем малую переменную часть функции распределе-
распределения в волне в виде
Соответствующее изменение энергии квазичастицы:
- -e~iut.
к
В кинетическом уравнении должен быть учтен теперь член
D.4) с коммутатором {?, п}; для не зависящих от координат рас-
распределений оно принимает вид
^ + Це, п} = 0.	E.5)
at n
С точностью до линейных по 6п членов имеем
{е, fi} = -/3i{<tH, 5п} + /Зк*(е - eF){6e,
Х)В ж:идком 3Не величина Go = 6г($) < 0 (см. примечание на с. 25).
Поэтому распространение таких волн в этой жидкости невозможно.
2 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

34
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
Стоящие здесь коммутаторы определяются формулой
{ста, сгЪ} = 2гсг[аЬ],
где a, b — произвольные векторы (см. III, E5.10)); в результате
кинетическое уравнение приводится к виду
\ _ 2/3i
E.6)
где
В общем случае решение уравнения E.6) может быть разло-
разложено в ряд по шаровым функциям Y/m@, <p) (с полярной осью
вдоль Н). Каждый член разложения представляет определенный
тип колебаний со своей частотой c<j/m.
Первой из них, с^оо, отвечают колебания с /i = const; при этом
р = /i(l + G) и уравнение E.6) сводится к
= у
колебания поперечны к полю (/i _L H). Расписав уравнение
в компонентах (в плоскости, перпендикулярной Н) и составив
определитель этой системы, найдем частоту
= 2/ЗН/П.	E.8)
Напомним, что C — магнитный момент частицы (истинной) жид-
жидкости. Таким образом, частота с^оо оказывается вовсе не зави-
зависящей от специфических свойств жидкости. Значения же всех
остальных частот c<j/m зависят от конкретного вида функции G($).
§ 6. Вырожденный почти идеальный ферми-газ с
отталкиванием между частицами
В этом параграфе мы рассмотрим свойства почти идеального
вырожденного ферми-газа. Этот вопрос представляет существен-
существенный методический интерес, несмотря на то, что такие газы не
существуют в природе как равновесные системы, поскольку все
газы при температуре абсолютного нуля конденсируются. Тем
не менее, разреженный ферми-газ может быть осуществлен как
метастабильный объект с достаточно большим временем жизни.
Излагаемая ниже теория, в которой конденсация исключена ха-
характером сделанных приближений, пригодна для описания та-
таких систем на временах, много меньших времени жизни.

§ 6	ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ	35
Условие слабой неидеальности газа заключается в малости
радиуса действия молекулярных сил tq по сравнению со средним
расстоянием между частицами / ~ (V/NI^. Вместе с условием
го ^С / будет справедливо также и неравенство
рго/П < 1	F.1)
для импульсов р частиц. Действительно, для вырожденного фер-
ми-газа предельный импульс рр оценивается по формуле A.1),
согласно которой pf/^ ~ (iV/FI/3 <С 1/го-
Мы будем рассматривать здесь лишь парное взаимодействие
между частицами, причем для простоты будем считать это вза-
взаимодействие U(г) не зависящим от спинов частиц. Наша цель
состоит в вычислении первых членов разложения термодинами-
термодинамических величин по степеням отношения го/l путем приме-
применения квантовомеханической теории возмущений. Затруднение
заключается в том, что, ввиду быстрого возрастания энергии
взаимодействия на малых расстояниях между частицами, теория
возмущений (так называемое борновское приближение) к столк-
столкновениям частиц в действительности неприменима. Это затруд-
затруднение можно, однако, обойти следующим образом.
В предельном случае «медленных» (какими они являются
при условии F.1)) столкновений, амплитуда взаимного рассея-
рассеяния частиц с массой т стремится к постоянному пределу —а,
который в борновском приближении дается выражением
(см. 111,A26.13))
-а = --^Uo, С/о
=Ju(r) dsx,	F.2)
причем этот предел отвечает s-состоянию пары частиц (со спи-
спином 1/2); постоянную величину а называют длиной рассеяния1).
Поскольку эта величина полностью определяет свойства столк-
столкновений, то она же должна определять и термодинамические
свойства газа.
Отсюда вытекает возможность применения следующего при-
приема (его называют перенормировкой). Формально заменяем ис-
истинную энергию U(г) другой функцией, с тем же самым
значением а, но допускающей применение теории возмущений.
До тех пор (т. е. до такого приближения) пока окончательный
) Выражение F.2) не учитывает квантовомеханической тождественности
частиц. В предельном случае медленных столкновений тождественных ча-
частиц со спинами 1/2 рассеяние происходит только при антипараллельных
спинах, причем дифференциальное сечение рассеяния в телесный угол do
(в системе центра инерции) есть da=4a2 do; полное сечение получается ин-
интегрированием dcr по полусфере: <т=8тга2 (см. III, § 137).

36
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
результат вычислений содержит U только в виде амплитуды рас-
рассеяния, этот результат будет совпадать с тем, к которому приве-
привело бы истинное взаимодействие.
Радиус действия истинного взаимодействия, вообще говоря,
совпадает по порядку величины с длиной рассеяния а. Для фик-
фиктивного же поля U(г), введенного в качестве вспомогательного
понятия, условие применимости борновского приближения озна-
означает, что а <С го- Истинным малым параметром разложения те-
теории является, конечно, величина app/fi-
Ниже нам понадобится связь между С/о и а не только в пер-
первом (формула F.2)), но и во втором борновском приближении.
Для ее нахождения вспомним, что если вероятность некоторо-
некоторого перехода системы под влиянием постоянного возмущения V
определяется в первом приближении матричным элементом Vb
то во втором приближении Voo заменяется на
где суммирование производится по состояниям (п ^ 0) невоз-
невозмущенной системы (см. III, §43). В данном случае речь идет о
системе двух сталкивающихся частиц, а возмущением является
их взаимодействие U(r). Матричные элементы возмущения для
переходов с изменением импульсов частиц pi, p2 —» pi, р'2 (при-
(причем pi + р2 = pi + p'2) равны
, p'2a2|l7|piai, Р2«2> = ? fu^e^^x,	F.3)
где р = Р2 — Р2 = ~(pi ~~ PiM ВВИДУ независимости взаимо-
взаимодействия от спинов проекции спинов частиц (указываемые ин-
индексами ai, од) при столкновении не меняются. Роль Voo играет
матричный элемент при нулевых импульсах: Uq/V. Таким об-
образом, для перехода от первого ко второму приближению надо
заменить Uq на
v V
Pi
[
(суммирование производится при заданных pi, р2 по pi^Pb P2)-
Поскольку в нагнем случае импульсы частиц предполагаются ма-
малыми, то во всех существенных членах в сумме можно заменить
матричные элементы их значениями при р = 0. Сделав это,

§ 6	ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ	37
получим следующее выражение для длины рассеянияг):
т
а =
Pi
С той же точностью имеем отсюда
2т	F.4)
9 I	9
ТТ 4тгН а л 4тгН а \-^	2т
U о =	 1 -
F.5)
Расходимость суммы в F.4) (при больших р^, р^) связана с про-
произведенной заменой всех матричных элементов постоянными
значениями и несущественна, так как при дальнейшем исполь-
использовании этого выражения для вычисления энергии системы все
равно получится сходящееся выражение, в котором большие
импульсы не играют роли. Мы понимаем под а длину рассея-
рассеяния медленных частиц, не зависящую от их энергии. Формула
же F.4) содержит, на первый взгляд, зависимость от импульсов
pi, P2- В действительности эта зависимость заключена лишь в
мнимой части амплитуды рассеяния, возникающей при надле-
надлежащем определении способа суммирования (см. III, A30.9)), на
которую можно не обращать внимания, поскольку нам заранее
известно, что окончательный результат будет все равно веще-
вещественным; к этому вопросу мы еще вернемся в § 21.
В этом параграфе мы рассмотрим модель ферми-газа с от-
талкивательным характером взаимодействия между частицами;
для такого взаимодействия а > 0. Именно в этом случае газ име-
имеет энергетический спектр описанного в § 1, 2 фермиевского типа.
Гамильтониан системы частиц (со спином 1/2) с парным взаи-
взаимодействием между ними записывается в методе вторичного
квантования в виде
^	2
н = Е ^аПра+
+ г Z^Pi^b P2«2|C/|pi«b P2«2)a+,aia^a2aP2a2aPiai F.6)
(см. III, §64). Здесь a+a и ара — операторы рождения и уничто-
уничтожения свободной частицы с импульсом р и проекцией спина а
1) Во всех промежуточных формулах мы пишем суммы по дискретным
значениям импульсов частиц, заключенных в конечном объеме V\ при окон-
окончательном вычислении суммирование заменяется, по общему правилу, ин-
интегрированием по Vdsp/B7rH)s.

38
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
(а = ±1/2). Первый член в F.6) отвечает кинетической, а вто-
второй — потенциальной энергии частиц; в последнем суммирование
производится по всем значениям импульсов и проекцией спинов
с соблюдением закона сохранения импульса при столкновениях.
В соответствии с предположением о малости импульсов ча-
частиц снова заменяем матричные элементы в F.6) их значением
при нулевых импульсах: (Oc^i, 0ck2|C/|0cki, Oa2)=Uo/V. Далее, за-
замечаем, что в силу антикоммутативности операторов apiai, 2P2a2
в статистике Ферми, их произведение антисимметрично по от-
отношению к перестановке индексов; то же самое относится к про-
произведениям а+, а+, . В результате взаимно сокращаются все
Pl^l P2Q:2
члены во второй сумме в F.6), содержащие пары одинаковых
индексов ai, од (физически это связано с упомянутым уже
обстоятельством, что в пределе медленных столкновений
взаимно рассеиваться могут лишь частицы с противополож-
противоположными спинами).
Таким образом, гамильтониан системы принимает вид
Z) 2+010201	F.7)
Pa	Р1Р2Р7!
где ai+ = йР1+, й]__|_ = ар/ _|_ и т. п., а индексы + и — здесь и ниже
стоят вместо +1/2 и —1/2.
Собственные значения этого гамильтониана вычисляются с
помощью обычной теории возмущений, причем второй член в
F.7) рассматривается как малая поправка к первому члену.
Последний уже имеет диагональный вид и его собственные
значения равны
pa
где Пра — числа заполнения состояний раг).
Поправка первого порядка дается диагональными матричны-
матричными элементами энергии взаимодействия:
Е{1) = 4^^ П1+П2-,	F.9)
Р1Р2
где щ+ = пР1+ и т. п.
1) Предполагая, что частицы обладают определенными значениями проек-
проекции спина, мы тем самым предполагаем приведенной к диагональному виду
также и статистическую матрицу пар(р)'-> функции же па(р) с а = ±1/2
являются при этом ее диагональными компонентами.

§ 6	ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ	39
Для нахождения поправки второго порядка пользуемся из-
известной формулой теории возмущений
где индексы n, m нумеруют состояния невозмущенной системы.
Простое вычисление (с использованием известных матричных
элементов операторов ара, а+а) приводит к результату
Структура этого выражения вполне понятна: квадрат матрич-
матричного элемента перехода pi, Р2 —^ Рь Р2 пропорционален числам
заполнения состояний pi, P2 и числам свободных мест в состоя-
состояниях ргх, Р2-
Входящий в F.9), F.10) интеграл С/о должен быть выражен че-
через реальную физическую величину — амплитуду рассеяния — а.
В членах второго порядка это может быть сделано по F.2), а в
членах первого порядка требуется более точная формула F.5).
Произведя эти подстановки, получим для поправки первого по-
порядка по а:
ЕA) = f E ™i+-	(в-11)
Р1Р2
и для поправки второго порядка:
[(l - п'1+)A - п'2_) - 1]
„2 _1_ „2 _ „/ 2 _ / 2
Р1Р2Р1	Pl+P2 Pl	P2
(для краткости вводим в промежуточных формулах «констан-
«константу связи» частиц газа1) g = 4тгН2а/т). Раскрывая выражение
в числителе, замечаем, что члены с произведениями четырех п
взаимно сокращаются, поскольку их числители симметричны,
а знаменатели антисимметричны по отношению к перестановке
Ръ Р2 и ргх, р'2; суммирование же по этим переменным произ-
производится симметричным образом. Таким образом, окончательно
1) После перенормировки амплитуды рассеяния эта величина уже отнюдь
не совпадает с постоянной Uq, фигурирующей в F.2)!

40
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
имеем
n+ п'
Эта сумма (в которой все пра —»> 0 при р —»> ос) уже сходится.
С помощью полученных формул можно прежде всего вы-
вычислить энергию основного состояния. Для этого надо поло-
положить все пра равными единице внутри ферми-сферы (р < рр =
= Я(Зтг27У/VI'^) и равными нулю вне ее. Заметим в этой связи,
что хотя в исходном гамильтониане собственные значения опе-
операторных произведений 2раара дают числа заполнения состоя-
состояний самих частиц газа, но после диагонализации гамильтониана
с помощью теории возмущений мы уже имеем дело с функцией
распределения квазичастиц (обозначенной нами, как и в преды-
предыдущих параграфах, через пра).
Замечая, что Xlnp+ — J2np- — -TV/2, получим из F.11) по-
поправку первого порядка
Е^ = gN2/4V.
В формуле F.12) заменяем суммирование по трем импульсам с
учетом условия pi + р2 = Pi + P2 интегрированием по
	OiPl + P2 — Pi — Ро) <
BпП)9 V	X	1)
так что
J
d Pld P2d Pld
причем интегрирование происходит по области pi, p2, p\ ^ PF-
Вычисление интеграла1) приводит к следующему окончатель-
окончательному результату для энергии основного состояния:
U	10m[ 9тг Й	21тг2	V П ) \ '	V }
где величина, стоящая перед скобками, — энергия идеального
ферми-газа (К. Huang, C.N. Yang, 1957).
х) Фактически проще производить вычисления в другом порядке, начав с
вычисления функции / (см. ниже).

§ 6	ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ	41
Химический потенциал газа при абсолютном нуле определя-
определяется как производная \i = [SEq/SN)v] выраженный через пре-
предельный импульс рр он имеет вид
р% Г1 , 4 pFa . 4A1-2In2) (pFa\2l\	/алл\
\i = i-?- I + —-— + —	 I -— I .	(о. 14)
2m |_ Зтг Н	15тг2	V Н / J
Согласно общим полож:ениям теории Ландау, спектр элемен-
элементарных возбуждений ?(р) и функция взаимодействия квазича-
квазичастиц faa'ip, p') определяются первой и второй вариациями
полной энергии по функции распределения квазичастиц1). Ес-
Если писать Е в виде дискретной суммы по р и а, то имеем, по
определению,
(причем после дифференцирования энергии надо заменить пра
единицей внутри и нулем вне ферми-сферы). В вычислении
таким путем эффективной массы квазичастиц т*, однако, нет
необходимости, поскольку она может быть найдена и более про-
простым способом (см. ниже).
Для вычисления же функции /аа/(р, р') (на ферми-поверх-
ности), дифференцируем дважды сумму выражений F.11), F.12),
после чего надо положить р = р' = pF. Произведя это простое вы-
вычисление и перейдя от суммирования к интегрированию,
получим
^ P ) — g~
/o fcxq /	222
B-kKYJ L 2p2F-p\-pl
2(pi-p!)
p
/
J
B-KhfJ	(Pi-Pi)
Интегрирование в этих формулах сравнительно просто ввиду
меньшей кратности интегралов.
г) Матрица /««'(р, р') в этом параграфе — это совокупность диагональ-
диагональных по двум парам индексов (а, /3 и j, S) компонент матрицы faj,/3s(p, p')-

42
НОРМАЛЬНАЯ ФЕРМИ-ЖИДКОСТЬ
Окончательный результат должен быть представлен в виде
B.4), не зависящем от выбора оси квантования спинов. В таком
виде он дается формулой
2тгаП2
1+-
1+sin —
пП Г 2sin- П1-8т-
ТТЛ
1—sin —
2
, F.16)
где д — угол между векторами рр и р'F (А. А. Абрикосов,
И.М. Халатников, 1957)х).
Эффективная масса квазичастиц получается отсюда инте-
интегрированием по формуле B.12) и равна
F.17)
m	15тг2 ч	У V H )
Формула же B.17) позволяет найти скорость звука в газе:
= A
U + 2 арг 8A1 -2 In 2) /op^j	( }
Интегрируя затем величину u2m/N (выраженную через N/V
вместо р^) по gL/V, найдем, согласно B.13), химический потенци-
потенциал газа, а еще одно интегрирование по dN приведет к выражению
F.13) для энергии основного состояния.
Формула F.13) представляет собой первые члены разложе-
разложения энергии газа по степеням «параметра газовости» т/=рра/Л ~
~ a(iVyyI/3. Аналогичными, хотя и значительно более громозд-
громоздкими вычислениями можно было бы получить еще и несколь-
несколько следующих членов разложения. Дело в том, что в случае
ферми-газа тройные столкновения вносят вклад в энергию лишь
в сравнительно далеком приближении. Из трех сталкивающихся
х) Функция F.16) обращается логарифмически в бесконечность при $ = тг.
Это обстоятельство связано со сделанными пренебрежениями. Более точное
исследование показывает, что хотя значение •& = тг действительно является
особой точкой функции, но последняя обращается в ней не в бесконечность,
а в нуль (см. примечание на с. 285). Неприменимость формулы F.16) вблизи
д = тг несущественна для дальнейших приложений, в которых фигурируют
интегралы, сходящиеся в этой точке.

§ 6	ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ	43
частиц по крайней мере две имеют одинаковую проекцию спина;
при этом координатная волновая функция системы должна быть
антисимметричной по отношению к этим двум частицам. Это
значит, что орбитальный момент относительного движения этих
частиц равен по крайней мере 1 (р-состояние). Соответствующая
волновая функция содержит лишнюю (по сравнению с волновой
функцией 5-состояния) степень р/Н (см. III, § 33), и, следователь-
следовательно, вероятность такого столкновения содержит лишнее р2, т. е.
ослабляется в ~ (ра/К) ~ rf раз по сравнению с вероятностью
«лобового» столкновения частиц, неподчиняющихся принципу
Паули. В результате тройные столкновения дадут вклад в энер-
энергию лишь в членах, содержащих объем как У~2]/~2/3. Другими
словами, через характеристики одних только парных столкнове-
столкновений выражаются все члены разложения энергии вплоть до чле-
членов порядка
включительно (т. е. еще три члена, следующих за выписанны-
выписанными в F.13)). Однако в числе характеристик парных столкнове-
столкновений будет фигурировать не только амплитуда s-рассеяния для
медленных столкновений (как в F.13)), но и ее производные по
энергии, а также амплитуда р-рассеяния.

ГЛАВА II
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
§ 7. Функция Грина макроскопической системы
Примененный в предыдущем параграфе метод становится
громоздким и практически неприменимым в высших приближе-
приближениях теории возмущений. Этот недостаток тем более существен,
что в реальных физических задачах взаимодействие между ча-
частицами отнюдь не является слабым, так что для выяснения
различных общих свойств макроскопических систем требуется
рассмотрение бесконечных совокупностей членов ряда теории
возмущений. Для преодоления подобных трудностей существу-
существует математическая техника, подобная той, которая применяется
в квантовой теории поля.
Конкретная форма этого математического аппарата сущест-
существенно зависит от характера макроскопической системы, к ко-
которой она должна применяться. Последующие параграфы этой
главы посвящены развитию аппарата для ферми-жидкости при
абсолютном нуле температур1). При этом изложение имеет сво-
своей целью не только фактическое применение метода к данному
объекту, но и демонстрацию того, каким образом вообще стро-
строится такой аппарат.
Исходным материалом в нем являются вторично-квантован-
вторично-квантованные ^-операторы, свойства которых известны из квантовой ме-
механики (см. III, §64, 65). Нам сейчас понадобятся эти операторы
в гейзенберговском представлении, в котором они зависят явно
от времени. Поэтому мы начнем с выяснения некоторых свойств
^-операторов в этом представлении.
Мы будем рассматривать системы, составленные из частиц со
спином 1/2. Соответственно этому, ^-операторам должен быть
приписан индекс, указывающий значение проекции спина и про-
пробегающий значения ±1/2; спиновые индексы будем по-прежнему
обозначать буквами греческого алфавита, а по дважды повто-
повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
По общему правилу (см. III, § 13) оператор /(?) любой физи-
физической величины в гейзенберговском представлении выражается
через не зависящий от времени (шредингеровский) оператор /
г) Систематическое построение этого аппарата принадлежит В.М. Галиц-
кому и А.Б. Мигдалу A958).

§ 7	ФУНКЦИЯ ГРИНА МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ	45
той же величины согласног).
/(?) = eiStfe~iSt,
где Н — гамильтониан системы.
Здесь, однако, будет целесообразно несколько изменить это
определение. Дело в том, что в квантовой статистике удобнее
рассматривать состояния системы не при заданном числе ча-
частиц N в ней, а при заданном химическом потенциале \i. При
этом основное состояние системы, в котором она находится
при Т=0, можно определить как состояние с наименьшим соб-
собственным значением оператора
Hf = H-ilN	G.1)
(а не Д", как при заданном N). Действительно, вероятность си-
системе находиться (при заданном значении /i) в состоянии с энер-
энергией Еп и числом частиц Nn равна
Еп- fiNn \	( Е'
= ехр
( Еп- fiNn \
- ———— =
V т /
( Еп fiNn	( Е
си ос ехр - ———— = ехр — —
(см. V, C5.1)), Е'п — собственные значения оператора Н'\ и мы
видим, что при Т=0 остается только состояние с наи-
наименьшим Егп 2).
Таким образом, определим гейзенберговские ^-операторы
формулами
Фа(<,г) = е^'*Фа(г)е-^'*,	(?
Ф+D, г) = eiS>tV+{T)e-iS>t.
Мы будем обозначать гейзенберговские ^-операторы заглавной
буквой Ф, а шредингеровские — строчной буквой ф.
Шредингеровские ^-операторы удовлетворяют известным
правилам коммутации. Коммутаторы же гейзенберговских опе-
операторов, взятых в различные моменты времени t и t', нельзя
вычислить в общем виде. Однако при t = t' их правила комму-
коммутации совпадают с правилами для шредингеровских операторов.
Так из правила
$$	Щ	- Г')
1) С целью упрощения записи формул мы будем широко пользоваться си-
системой единиц, в которой квантовая постоянная Н = 1 (так что импульс
имеет размерность см, а энергия — с). Для перехода от этой системы к
обычным единицам все импульсы р и энергии Е в формулах надо заменить
на р/Н и Е/Н. Такие единицы используются, в частности, в этой главе.
) Мы будем называть оператор Н1, как и Н, гамильтонианом.

46
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
следует аналогичное правило
Фа(*, г)Ф+(*, Г') + Ф+(*, r'L>a(t, Г) =
= е'й'\фа(т)ф+(т') + $+{т>)фа(т))е-*й>* = 5ар5(г - г'). G.3)
Таким же образом:
*, Г') + *f,(t, г')Фа(*, Г) = О,
$+(*, г)Ф+(*, г') + $+(*, r')$+(i, г) = 0.
Дифференцируя определение G.2) по времени, найдем, что
гейзенберговский -^-оператор удовлетворяет уравнению
-*?$a(t, г) = #'$«(*, г) - Фа(*, г)Я'	G.5)
ot
(см. 111,A3.7)).
Гейзенберговское и шредингеровское представления тождест-
тождественны для оператора всякой сохраняющейся величины (т. е.
оператора, коммутативного с гамильтонианом). Это относится,
в частности, к самому гамильтониану, а также к оператору числа
частиц — тоже, разумеется, сохраняющейся величины. Выраже-
Выражения этих операторов через шредингеровские или гейзенбергов-
гейзенберговские ^-операторы одинаковы. Так, оператор числа частиц
dzx =у*Ф+(*, г)ФаD, г) dzx. G.6)
Гамильтониан же системы взаимодействующих частиц имеет вид
'(°) = -±.J*+(t, г)ДФв(*, г) dsx -
a(t, r)d3x,	G.7)
$	b, T)d3xd3x'.
Здесь Н'№ — гамильтониан системы свободных частиц;
оператор их взаимодействия с внешним полем C/^^(r);
оператор парного взаимодействия частиц, причем [Л2)(г — г') —
энергия взаимодействия двух частиц; опущенные члены — трой-
тройные и т. д. взаимодействия (см. III, F4.25)). Для простоты пред-
предполагаем все взаимодействия не зависящими от спинов частиц.

§ 7	ФУНКЦИЯ ГРИНА МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ	47
Коммутатор Н1 и Фа в G.5) вычисляется с помощью пра-
правил G.3), G.4); возникающие при этом ^-функции устраняются
интегрированием. В результате получим «уравнение Шрединге-
ра» для Фа(?, г) в виде
г|фа(*, г) = {-±.А - ц
r') U^(r - г')Ф/,(*, г') dV ¦ $Q(t, r) + ... G.8)
Основную роль в излагаемом методе играет понятие функ-
функции Грина макроскопической системы. Она определяется сле-
слег)
дующим выражениемг)
г, Х2) = -г(ТФа(Х1)Ф+(Х2)).	G.9)
Здесь и ниже X обозначает, для краткости, совокупность мо-
момента времени t и радиус-вектора точки г. Угловые скобки (...)
означают усреднение по основному состоянию системы (вместо
более громоздкого символа диагонального матричного элемента
@|...|0)). Символ же Г есть знак хронологического произведе-
произведения: следующие за ним операторы должны быть расположены
справа налево в порядке возрастания времен ti, ?2. При этом в
случае фермионов перестановка пары -^-операторов (по сравне-
сравнению с их расположением в первоначальной записи произведения)
должна сопровождаться изменением знака произведения. В яв-
явном виде это значит, что
Отметим некоторые очевидные свойства функции Грина. Ес-
Если система не ферромагнитна и не находится во внешнем поле,
то спиновая зависимость функции Грина сводится к единичной
матрице:	Gap(Xu X2) = SapG(Xu X2)	G.11)
(всякая другая форма зависимости выделяла бы избранное на-
направление в пространстве — ось z квантования спинаJ). В силу
1)	Это определение аналогично определению точных функций Грина (про-
пагаторов) в квантовой электродинамике (см. IV, § 103, 105).
2)	Это утверждение требует пояснения. Спиновые компоненты Фа состав-
составляют контравариантный спинор первого ранга (и в этом смысле более пра-
правильным было бы обозначение Фа с индексом а сверху). Компоненты же Ф^
составляют ковариантный спинор. Поэтому Gap есть смешанный спинор
второго ранга. Единичным же смешанным спинором второго ранга явля-
является именно 6ар.

48
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
однородности времени моменты t\ и i<i входят в функцию Грина
лишь в виде разности t = i\—i2- Если, сверх того, система микро-
микроскопически однородна в пространстве, то лишь в виде разности
г = ri — г2 входят также и координаты двух точек. Другими
словами, в этом случае
GaP(X1,X2) = SaPG(X), X = X1-X2.	G.12)
Подчеркнем, что макроскопическая однородность означает, что
тело предполагается однородным не только по своей средней (ма-
(макроскопической) плотности, но и по плотности вероятности раз-
различных (микроскопических) положений его частиц в простран-
пространстве. Именно таковы жидкости и газы (но не твердые кристаллы).
В силу их изотропии G(t, r) = G(t, —r). В этой связи подчерк-
подчеркнем лишний раз, что в то же время функция G(t, r), по самому
своему определению, отнюдь не четна по переменной t. В этом
смысле порядок t\ и i<i в разности ? = ?х — ?2 существен.
Координатная матрица плотности частицы в системе опреде-
определяется как среднее значение
Pe/j(ri, г2) = ^<*J(t, г2)Фв(*, ri)).	G.13)
Знание этой матрицы позволяет определить среднее значение
любой величины, относящейся к отдельной частице. Действи-
Действительно, пусть Fap — некоторый «одночастичный» оператор, т. е.
оператор вида
7@)
где /V — оператор, действующий на координаты и спин лишь
одной (а-й) частицы, а суммирование производится по всем ча-
частицам в системе. В аппарате вторичного квантования такой опе-
оператор записывается (в гейзенберговском представлении) как
+(i, г)Й7Ф7(*, г) d3x	G.15)
(см. III, F4.23)). Отсюда ясно, что среднее значение величины F
может быть выражено в терминах матрицы плотности в виде
= N(f) = Nj\fWpfja(ri, г2)]Г2=Г1 d3Xl,	G.16)
где f^J — оператор, действующий на координаты ri (поло-
(положить Г2 = гх надо после воздействия оператора, но перед
интегрированием).

§ 7	ФУНКЦИЯ ГРИНА МАКРОСКОПИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ	49
Согласно G.10), матрица плотности может быть выражена
через гриновскую функцию
ра/3(гь г2) = ~GaP{tu n; h + 0, г2).	G.17)
Здесь (как и везде ниже) обозначение аргумента функции в ви-
виде ti + 0 означает, что имеется в виду предел при стремлении
аргумента к значению t\ сверху. Взятием этого предела обеспе-
обеспечивается правильная расстановка ^-операторов, совпадающая с
их расстановкой в произведении G.13).
Для микроскопически однородной системы матрица плотно-
плотности зависит только от разности г = гх — Г2, а при независимости
от спинов рар = 5а/зр, причем
G(t -0,r),	G.18)
где вместо Gap(Xi, Х2) введена функция G(X\ — Х2) = G(X),
согласно G.12). При гх = Г2 и после взятия следа по спино-
спиновым переменным произведение операторов в G.13) превращается
в Ф+Фа — оператор плотности числа частиц в системе. Поэтому
средняя плотность тела
- = 2Np@) = -2i G(t = - 0, г = 0)	G.19)
(t стремится к нулю снизу). Это равенство связывает химический
потенциал \i при Г = 0 (от которого G зависит как от параметра)
с плотностью числа частиц N/V.
Фурье-разложение функции р(гх, г2) определяет распределе-
распределение частиц по импульсам1)
JV(p) = N [р(гъ г2)е-ф(р1-р2> ds(Xl - х2) =
, r)
G.20)
х) Напомним (см. III, § 14), что одночастичная матрица плотности есть ин-
интеграл	р
p(ri, г2) = / Ф*(г2, д)Ф(г1, q) dq,
где Ф(г, q) — волновая функция системы в целом, причем г обозначает
радиус-вектор одной частицы, а q — совокупность координат всех осталь-
остальных частиц: по последним производится интегрирование. Фурье-компоненты
матрицы плотности совпадают с выражением
2
Ф(г, q)eiprd3
dq,
откуда и следует ее связь с распределением частиц по импульсам.

50
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Это есть число частиц (в единице объема) с определенным
значением проекции спина и с импульсами в интервале с?3р/BтгK.
Подчеркнем, что речь идет здесь об истинных частицах, а не о
квазичастицах (последние в излагаемом аппарате еще не поя-
появились!). Обозначение iV(p) введено в отличие от функции рас-
распределения квазичастиц п(р).
В дальнейшем мы будем обычно иметь дело с функцией Гри-
Грина в импульсном представлении, определенной как компонента
фурье-разложения функции G(?, r) no t и г:
G.21)
G(w, p) = /G(?, r) e-'(pp-w*) dtdsx.	G.22)
Распределение частиц по импульсам выражается через эту
функцию формулой
iV(p) = -г Дто I G(u, p) е~™ ^,	G.23)
получающейся подстановкой G.21) в G.20). Ее нормировка вы-
выражается формулой
-2i lim [в(ш, р) е~ш ^ = -,	G.24)
t^-Oj V ' *J	BтгL V'	V J
представляющей собой условие G.19), выраженное в импульсном
представлении. Таким образом, распределение JV(p) автоматиче-
автоматически правильно нормировано:
BтгK V
Отметим, что предел, в котором берутся интегралы G.23),
G.24), эквивалентен определенному правилу обхода в плоско-
плоскости комплексной переменной ио. Наличие множителя e~lujt с t < 0
позволяет замкнуть путь интегрирования (вещественная ось) бес-
бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости c<j,
так что интеграл определяется вычетами функции G(c<j,p) в ее
полюсах, лежащих в этой полуплоскости.

§ 8	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ФУНКЦИИ ГРИНА	51
§ 8. Определение энергетического спектра по функции Грина
Для микроскопически однородной системы легко определить
зависимость от времени и координат матричных элементов гей-
гейзенберговского ^-оператора по отношению к стационарным со-
состояниям с определенными значениями энергии и импульса.
Зависимость от времени дается обычным экспоненциальным
множителем
(п Ф It г}\т) — р*Шпт*(г)\1Ь (r}\m)	(R 1}
\	СК V 5 ) \ I 		\ т (У. \//5	V/
но поскольку гейзенберговский -^-оператор определен с помощью
гамильтониана /Г, то
Шпт — Еп — Еш = Еп — Еш — n(Nn — Nm).
Согласно общим свойствам -^-операторов оператор Ф уменьша-
уменьшает (а Ф+ увеличивает) число частиц в системе на 1. Поэтому в
матричном элементе (8.1) Nn = Nm — 1, так что
шпт = En(N) - Em(N + 1) + м,	(8.2)
где в виде аргументов указаны числа частиц в соответствующих
состояниях.
Для определения координатной зависимости замечаем, что в
силу однородности системы матричные элементы ее ^-операто-
^-операторов не могут измениться при смещении на любое расстояние г
относительно системы. Это, однако, не означает, что матричные
элементы вообще не зависят от координат. Дело в том, что отли-
отличие фпш{т) от значения фпш($) в некоторой заданной точке г = О
связано с двумя причинами: со смещением на расстояние г от-
относительно самой системы и с перемещением точки наблюдения
в другое место пространства, что также меняет фазы волновых
функций. Чтобы исключить последнее изменение, сместим си-
систему на вектор —г, т. е. применим к ее волновым функциям
оператор параллельного переноса
Т(-р) = е-**
(Р — оператор полного импульса системы; см. III, A5.13)). В ре-
результате этих операций точка наблюдения вернется в исходное
место пространства, но останется смещенной относительно си-
системы на вектор г. Инвариантность матричных элементов по от-
отношению к такому преобразованию выразится равенством
(п\фа@)\т) = (n|eirP^a(r)e"irP|m).	(8.3)

52
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Если в состояниях пит система обладает определенными им-
импульсами Рп и Рш, то
(п$а@)\т) = eik-r(r#Q(r)|m),
откуда
(п|Фа(*, r)|m) = е^"т*-к"тГ)(п|<
где кпт = Jrn Jr 777,.
С помощью этих формул можно получить важное разложе-
разложение для функции Грина в импульсном пространстве, проясняю-
проясняющее ее физический смысл.
Ввиду «разрывного» определения функции G(?, r), при вы-
вычислении G(cj, p) надо разбить интеграл по dt в G.22) на два
интеграла: от —ос до 0 и от 0 до ос. Во втором из них (т. е. при
t = t\ — ?2 > 0) имеем, раскрывая определение G.10) по правилу
умножения матриц:
G(t, г) = \Gaa = -г-
т
(суммирование по всем квантовым состояниям системы). Подста-
Подставив сюда (8.4) и учтя, что в основном состоянии Ро = 0, находим
Е
Е \№аШгп)\2е^^+р™г\	(8.5)
где оиОгп = E0(N) - Em(N + 1) + ц.
Интегрирование по пространству в G.22) (с G(t, r) из (8.5))
дает в каждом члене суммы ^-функцию 6(р — Рт). При инте-
интегрировании же по dt (t > 0) для обеспечения сходимости надо
добавить к ш бесконечно малую положительную мнимую часть,
т. е. заменить ио —> ио + гО1). Тогда получим
+ ооот + гО
1) Эта процедура аналогична способу вычисления функций Грина в кван-
квантовой электродинамике (ср. IV, § 75).

§ 8	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ФУНКЦИИ ГРИНА	53
Аналогичным образом вычисляется интеграл по dt от —ос до 0.
При t < 0 вместо (8.5) имеем
2 ^,,mfoM0)|0>| е1ШтО т ,	(8-6)
где што = Em(N — 1) — Eq(N) + [i. Вычислив теперь интеграл
от —ос до 0 и сложив оба интеграла, получим
G(w,p) = i™Ly
2 т
—-}, (8.7)
-гО )
л + Em(N - 1) - E0(N)
где обозначено
^2 Вт = |(т|^а@)|0)|2.	(8.8)
Это и есть искомое разложение1).
Введем обозначения
e?=Em(N + l)-Eo(N), е? = E0(N) - Em(N - 1) (8.9)
для энергий возбуждения, определенных по разностям между
возбужденным уровнем системы с определенным числом частиц
и основным уровнем системы, содержащей на одну частицу боль-
больше или меньше. Индексы (+) и (—) указывают, что эти энергии
е?>>А*, e?<t*.	(8.10)
Действительно, заметив, что Eo(N+l) — Eo(N) « dEo/dN = ц —
химический потенциал при Г = 0, получим, например,
е?> = Em(N + 1) - E0(N + 1) + E0(N + 1) - E0(N) и
Но разность в квадратных скобках (где обе энергии относятся к
системам с одинаковым числом частиц) положительна по опре-
определению основного состояния, откуда и следует, что е^ > [i.
К смыслу определения (8.9) мы еще вернемся ниже.
1) Аналогичное разложение в квантовой теории поля называют формулой
Челлена-Лемана (см. IV, § 104,111).

54
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Сдвиг полюсов членов суммы (как функций ш), выражаемый
слагаемыми ±гО в их знаменателях, эквивалентен появлению
5-функционных мнимых частей согласно правилуг)
-^- = Р-Тгтг6(х).	(8.11)
х ± гО х
Применив его к (8.7), найдем вещественную часть гриновской
функции
ReG(u, p) = 4тг3 VР \А^(Р-р:) + Bm6(p + Pm)-\	(gЛ2)
^ loj + H-slZ*	u + ii-s\n} \
и ее мнимую часть (здесь надо учесть, что все разности e^—fji> О,
а все разности s^—fi< 0):
ImG(ct;, p) =
-4тг4 Y, AmS(p - Pm) 5(ш + ц - е^) при ио > 0,
(8.13)
г4
4тг4 2^ BmS(p + Pm) 6(и> + ц- е^) при и < 0.
Отсюда видно, что всегда
signImG(ct;, p) = -signer.	(8.14)
Отметим также асимптотическое поведение функции G(cj, p)
при ио —»> ос. Из (8.7) имеем
G(u>, р) « ^ J2 [Ат6(р - Рго) + Бт^(р + Рт)].
Коэффициент при l/о; равен, как легко убедиться, компоненте
1)См. 111,D3.10). Знак Р означает, что при интегрировании выражений
вида /(ж)/(ж±гО) интеграл должен пониматься в смысле главного значения
х ± г1)	J ж
— оо	—оо
Второй член возникает от обхода полюса х = — гО (или х = гО) по полу-
полуокружности сверху (или снизу).

§ 8	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР И ФУНКЦИИ ГРИНА	55
Фурье по ri — Г2 от
t, г2) + Ф+D, г2)ФаD, п)} = 5(п - г2),
т. е. единице. Таким образом,
G(ou, p) —>> I/a; при |о;| —>> ос.	(8.15)
Главное свойство функции Грина в импульсном представле-
представлении состоит в том, что ее полюсы могут лежать только в точках
^ — ?га~М, где ?т — определенные указанным выше образом дис-
дискретные энергии возбуждения системы. Каждая из этих энергий
отвечает определенному значению импульса системы Рш, о чем
свидетельствует наличие соответствующей ^-функции в каждом
полюсном члене функции Грина.
Нас, однако, интересует здесь функция Грина макроскопиче-
макроскопического тела. Это значит, что рассматривается предел, когда объ-
объем У и число частиц N стремятся к бесконечности (при задан-
заданном конечном значении отношения N/V). В этом пределе рас-
расстояния между уровнями системы стремятся к нулю, полюсы
функции G(cj, p) сливаются и можно утверждать лишь, что эта
функция имеет мнимую часть при значениях w + /iB непрерыв-
непрерывной области возможных значений энергии возбуждения системы.
Исключение составляют, однако, возбуждения, в которых весь
импульс р макроскопической системы может быть приписан все-
всего одной квазичастице с определенным законом дисперсии е(р)
(напомним, что в основном состоянии системы р = 0); таким
значениям отвечают изолированные полюсы функции Грина.
Если же импульс р складывается из импульсов нескольких
квазичастиц, то энергия системы уже не определяется однознач-
однозначно значением р: заданный импульс системы может складываться
различным образом из импульсов квазичастиц, сумма энергий
которых пробегает при этом непрерывный ряд значений; инте-
интегрирование по всем таким состояниям устраняет полюс.
Таким образом, уравнением
G~1{e- II, р) = 0	(8.16)
определяется закон дисперсии квазичастиц (В. Л. Бонч-Бруевич,
1955).
Подчеркнем, что способ определения энергии возбуждения,
согласно (8.9), как раз соответствует определению энергии ква-
квазичастиц в теории Ландау. Действительно, разность е$ есть из-
изменение энергии системы при добавлении к ней одной частицы;
приписав все это изменение одной квазичастице, мы определяем

56
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
е в соответствии с A.3). Аналогичным образом, — е^ есть из-
изменение энергии при удалении одной частицы, так что е^ есть
энергия удаленной квазичастицы. Естественно поэтому, что
е^ < //, так как в теории Ландау квазичастица может быть
удалена только изнутри ферми-сферы1).
Поскольку все фигурирующие в разложении (8.7) возбужден-
возбужденные состояния получаются из основного состояния добавлением
или удалением одной частицы (со спином 1/2), то ясно, что для
системы фермионов полюсы функции Грина определяют лишь
спектр элементарных возбуждений фермиевского типа. Как
определяется бозевская ветвь, будет показано ниже, в § 18.
Описание спектра макроскопической системы с помощью по-
понятия о квазичастицах с определенной зависимостью е от р —
приближенное описание, точность которого падает с увеличе-
увеличением \е — /i|. Отклонение от картины независимых квазичастиц
проявляется в сдвиге полюса функции Грина в комплексную об-
область: энергия ?(р) становится комплексной. Согласно общим
правилам квантовой механики (см. III, §134), комплексность
уровней энергии означает конечность времени жизни т возбу-
возбужденного состояния системы (т ~ l/|Ime|). Сама же величи-
величина Im e характеризует степень «размазанности» значений энер-
энергии квазичастицы (ширина уровня). Разумеется, такая трактов-
трактовка имеет смысл лишь при условии достаточной малости мнимой
части: |Ime| <С \s — /i|. Как было объяснено в § 1, это условие
действительно выполняется для слабо возбужденных состояний
системы, поскольку |Ime| ~ 1/т ос (р — р^J, в то время как
Re (е — /i) ос \р — рр .
Необходимый знак Im e обеспечивается определенностью зна-
знака мнимой части функции Грина. Действительно, вблизи своего
полюса эта функция имеет вид
G(w, р) «	^тут,	(8Л7)
причем постоянная Z > 0, как это следует из положительности
коэффициентов Ат, Вт в разложении (8.7); величину Z часто
называют (по аналогии с квантовой электродинамикой)
перенормировочной постоянной. Мнимая часть функции Грина
imG w 	.
1) Обратим внимание на то, что в определение энергии квазичастиц е^
возбужденный уровень системы Ет входит со знаком минус. С этим связан и
тот факт, что импульс этих квазичастиц р = — Рт, как видно из E-функции
E(р + Рт) в соответствующих членах разложения (8.7).

ФУНКЦИЯ ГРИНА ИДЕАЛЬНОГО ФЕРМИ-ГАЗА
57
Заметив, что это выражение относится к значениям и^?-/1и
сравнив его знак с правилом (8.14), найдем, что
lms<0 при Ree>/i,
т	(o.lo)
Im s > 0 при Re ? < \±,
как и должно быть: такой знак Im? в обоих случаях (eff и е^
в (8.9)) соответствует правильной отрицательной мнимой добав-
добавке к энергии возбужденного состояния Еш.
К аналитическим свойствам гриновской функции мы вернем-
вернемся в § 36, где этот вопрос будет рассмотрен сразу для общего
случая произвольных температур.
§ 9. Функция Грина идеального ферми-газа
Для иллюстрации рассмотренных в предыдущем параграфе
общих соотношений вычислим функцию Грина идеального газа.
Шредингеровские ^-операторы всегда можно представить в
виде разложения
фа(т) = ^2ар(Тфра(г, а)	(9.1)
по полному набору функций фра(г, а) — спинорных волновых
функций свободной частицы с импульсом р и проекцией спина <т,
т. е. по плоским волнам
^U^r	(9.2)
(иа — спинорная амплитуда, нормированная условием иаи^ = 1);
такой выбор функций фра не имеет отношения к реальному вза-
взаимодействию частиц в системе.
Но для системы невзаимодействующих частиц может быть
записан в явном виде также и гейзенберговский -^-оператор.
В этом случае переход от шредингеровского к гейзенберговско-
гейзенберговскому представлению сводится к введению в каждый член суммы в
(9.1) соответствующего временного множителя
$а(?, г) = ^арафра(г, а) ехр [-i(j- - n)t]. (9.3)
В этом легко убедиться, заметив, что матричные элементы гей-
гейзенберговского оператора для всякого перехода г —» / должны

58
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
содержать множители ехр [—г (Е[ — Ef)t], где Е^ Е1* — энер-
энергии начального и конечного состояний (в данном случае это —
собственные значения гамильтониана Н' = Н — fiN). Для пере-
перехода с уменьшением числа частиц в состоянии р а на 1 разность
Е[ — Е'г = р2/2тп — //, так что указанное требование выполнено.
Однако вместо прямого вычисления функции Грина с помо-
помощью (9.3) по определению G.10), удобнее свести сначала это
определение к эквивалентному ему дифференциальному урав-
уравнению. Для этого продифференцируем функцию Gap(Xi — Х2)
по t\. При этом надо учесть, что в точке t\ = ?2 эта функция
разрывна. Действительно, согласно определению G.10), скачок
функции
+Ь г2) + $J(ti, г2)Фа(*ь ri)>
или в силу G.3)г)
-T2).	(9.4)
Наличие скачка приводит при дифференцировании к появлению
члена [Gap]5(ti — t2). Поэтому
- tSafi6(T1-T2N(t1-t2). (9.5)
Для системы свободных частиц гейзенберговский -^-оператор
удовлетворяет уравнению
(ср. с G.8)). Подставив эту производную в (9.5) и снова восполь-
воспользовавшись определением G.10), получим уравнение для функции
Грина
(г| + ^ + /i) G@)(t, r) = 6(tN(т),	(9.6)
х) Подчеркнем, что величина этого скачка вообще не зависит от взаимо-
взаимодействия частиц!

ФУНКЦИЯ ГРИНА ИДЕАЛЬНОГО ФЕРМИ-ГАЗА
59
где уже положено Gl = Sa^G^\ а индекс @) у G указывает
на отсутствие взаимодействия между частицами.
Преобразуем это уравнение по Фурье:
(и-? + „)<*•><„, Р)-1.
Определяя отсюда гриновскую функцию, надо добавить к ио бес-
бесконечно малую мнимую часть таким образом, чтобы мнимая
часть G имела правильный знак (в соответствии с (8.14)):
G(°)(w, р) = L - V- + ц + гО • sign J .	(9.7)
L	2т	J
Полюс этого выражения лежит при ио + \± = е(р) = р2 /2га в
соответствии с тем, что в идеальном газе квазичастицы совпада-
совпадают с реальными частицами. Химический потенциал идеального
ферми-газа [i = p2F/2m. Для слабо возбужденных состояний р
близко к р^, так что можно заменить р2/2га « \± + vp(p — Pf)
(где vp = Pf/™) и Для таких состояний переписать функцию
Грина в виде
, р) = [lu-vf(p-Pf) +iO-signo;]~1.	(9.8)
При всяких интегрированиях с участием функции G^ нали-
наличие бесконечно малой мнимой части в ее знаменателе существен-
существенно только вблизи полюса, когда ио ~ vp{p ~ Pf)- В этом смыс-
смысле signer в (9.7) можно заменить на sign (p — рр) и написать G^
в виде
со, р) = [ш - ? + 1х + гО • sign (р - PF)] .	(9.9)
Такая замена существенна в том отношении, что в виде (9.9)
оказывается единой аналитической во всей плоскости функцией
комплексной переменной си и для вычисления интегралов можно
пользоваться методами теории аналитических функций.
Так, для вычисления интеграла G.23) (распределение частиц
по импульсам) при отличном от нуля отрицательном t замыка-
замыкаем путь интегрирования (вещественная ось си) бесконечно уда-
удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости (после этого
можно положить t = 0). Интеграл
1 - р2/2т + ц + гО • sign (р - pF)

60
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
определяется теперь вычетом подынтегрального выражения в
полюсе, находящемся в верхней полуплоскости. При р > pF та-
такой полюс отсутствует, так что N(p) = 0. Если же р < pF, то
находим N(p) = 1 — как и должно было быть для основного
состояния идеального ферми-газа.
§ 10. Распределение частиц ферми-жидкости по импульсам
Гриновская функция ферми-жидкости не может быть, конеч-
конечно, вычислена в общем виде, как это было сделано для ферми-
газа. Но утверждение о том, что ферми-жидкость обладает спек-
спектром описанного в § 1 типа означает, что ее функция Грина имеет
полюс при
^ = ?(р) - М « vF(p-pF), vF =pF/m*.	A0.1)
Другими словами, она может быть представлена в виде
О{ш, р) =	Z	,	+ g(u, p),	A0.2)
lj — vf(p — Pf) + г0 • sign о;
где g(cj, p) — функция, конечная в точке A0.1). Как уже было
отмечено в связи с (8.17), коэффициент Z (вычет функции G в
полюсе) положителен.
Из выражения A0.2) можно сделать интересное заключение
о характере распределения частиц жидкости (не квазичастиц!)
по импульсам. Именно, вычислим разность значений функции
распределения iV(p) (фактически зависящей лишь от абсолют-
абсолютной величины р) по обе стороны поверхности ферми-сферы, т. е.
предел разности
N(pF -q)- N(pF + q)
при q = +0.
Распределение iV(p) выражается через функцию Грина ин-
интегралом G.23). Ввиду конечности функции g(cj, p) заранее оче-
очевидно, что разность интегралов от нее будет стремиться при
дчОк нулю. Поэтому достаточно рассмотреть лишь разность
интегралов от полюсных членов в A0.2). Поскольку при интегри-
интегрировании член г0 в знаменателе существен только вблизи полюса,
можно (как уже было указано в § 9) писать sign (р — pF) вместо
signer. Тогда имеем
N(pF -q)-N(pF + q) =
-\- VFq — i>0 lj — VFq + i0

§ 11	ВЫЧИСЛЕНИЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН	61
(ввиду сходимости этого интеграла от разности, множитель e~lujt
с t = — 0 в нем можно опустить). Замыкая теперь путь интегри-
интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью (все равно в
которой из полуплоскостей), найдем, что весь интеграл равен Z
и не зависит от q. Таким образом, имеем
N(pF - 0) - N(pF + 0) = Z	A0.3)
(А. Б. Мигдал, 1957).
Выше было указано, что Z > 0. Поскольку iV(p) ^ 1, то из
A0.3) следует, что
0 < Z ^ 1	A0.4) Щр)
(причем значение Z = 1 достигается
лишь в предельном случае идеально-
идеального газа).
Таким образом, распределение ча-
частиц по импульсам в ферми-жидкости
при Г = 0 имеет, как и в газе, скачок	F
на поверхности ферми-сферы, умень-	Рис- 1-
шаясь в направлении изнутри сферы
наружу. В отличие от случая газа, величина скачка, однако,
меньше единицы, и функция iV(p) остается отличной от нуля
также и при р > рр, как это показано на рис. 1 сплошной кривой
(штриховая линия отвечает газу).
§ 11. Вычисление термодинамических величин
по функции Грина
Знание гриновской функции системы достаточно для описа-
описания ее термодинамических свойств. При Г = 0 эти свойства вы-
выражаются зависимостью энергии системы (совпадающей с энер-
энергией основного состояния Eq) от плотности N/V.
После того как решением уравнения (8.16) определен закон
дисперсии квазичастиц ?(р), эту зависимость можно найти, вос-
воспользовавшись тем, что
Поскольку зависимость рр от N/V известна, согласно A.1),
PF = (Зтг2I/3^/^I^	A1.2)

62
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
равенство A1.1) определяет функцию /jl(N/V) (хотя и в неявном
виде, так как и закон дисперсии е{р) содержит, вообще говоря,
\i как параметр). При Г = 0 (а потому и S = 0) химический
потенциал [i = (dE$/dN)y\ интегрируя это равенство, найдем
искомую энергию
N
(Jf	A1.3)
(при N = 0, разумеется, и Eq = 0).
Другой способ описания термодинамических свойств при Т=0
состоит в вычислении термодинамического потенциала fi. Со-
Согласно общему определению (см. V, §24), этот потенциал
П = E-TS-fiN = -PV и его дифференциал dti = -S dT-N фх;
при Г = 0 имеем также и S = 0, и эти выражения сводятся к
A1.4)
A1.5)
Напомним также, что по смыслу потенциала fi он описывает
свойства системы при V = const.
Простейший способ выразить fi через функцию Грина состо-
состоит в использовании связи G.24) N/V с G. Подставив N из G.24)
в A1.5) и интегрируя по d\i (при V = const), получим
= 2iV I da • lim G(cu,p)e ——,	A1.6)
J	t^-OJ	BтгL
0
поскольку, опять-таки, fi = 0 при [i = 0.
§ 12. Ф-операторы в представлении взаимодействия
Гриновскую функцию системы взаимодействующих частиц
нельзя, разумеется, вычислить в общем виде. Существует, од-
однако, математическая техника (подобная диаграммной технике
квантовой теории поля), позволяющая вычислять ее в виде ряда
по степеням энергии взаимодействия частиц. При этом каждый
член ряда выражается через функции Грина системы свободных
частиц и оператор взаимодействия.

§ 12	Ф-ОПЕРАТОРЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ	63
Введем, наряду с гейзенберговским, еще и другое представ-
представление операторов — представление, в котором их зависимость от
времени определяется не истинным гамильтонианом системы
Н' = H'W + V = HW - »N + V
(V — оператор взаимодействия), а гамильтонианом свободных
частиц Н' (°):
§o(t, г) = ехр (Ш Щ) ф(т) ехр (-Ш Щ).	A2.1)
Операторы и волновые функции в этом представлении (так на-
называемое представление взаимодействия) будем отличать ин-
индексом 0. Выразив функцию Грина через операторы Фо (вместо
гейзенберговских Ф), мы тем самым сделаем первый шаг к до-
достижению поставленной цели — выражению G через G^ и V.
Обозначим в этом параграфе буквой Ф (или ф) волновые
функции в «пространстве чисел заполнения» (в отличие от коор-
координатных волновых функций Ф или ф)\ на эти функции действу-
действуют вторично-квантованные операторы. Пусть ц> — такая функ-
функция в шредингеровском представлении; ее зависимость от време-
времени определяется волновым уравнением
г| = (я'(°) + ^.	A2.2)
В гейзенберговском представлении, где вся временная зависи-
зависимость перенесена на операторы, волновая функция системы Ф
вообще не зависит от времени: Ф = const. В представлении же
взаимодействия волновая функция Фо зависит от времени, но эта
зависимость связана только со взаимодействием частиц в систе-
системе и определяется уравнением
Дфо(г) Й)(*)Фо(*),	A2.3)
Ot
где
Vo = ехр (Ш Щ) V ехр (-Ш Щ)	A2.4)
— оператор взаимодействия в том же представлении (в опера-
операторах вида G.6), G.7) переход к этому представлению сводится
просто к замене Ф на Фо). Уравнение A2.3) легко получить, за-
заметив, что преобразованию операторов, согласно A2.1), отвечает

64
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
преобразование волновых функций согласно
Фо = ехр(гЯ'@)%	A2.5)
(см. III, §12). Дифференцируя это выражение с учетом A2.2),
получим A2.3)х).
В силу A2.3) значения Фо(^) в два бесконечно близких мо-
момента времени связаны друг с другом равенством
Фо(? + St) = [1 - iSt - V0(t)} Фо(?) = exp{-iSt • %(t)} Фо(«).
Соответственно значение Фо в произвольный момент t может
быть выражено через значение в некоторый начальный момент to
(to < t) как	^
Фо(*) = S(t, *о)*о(*о),	A2-6)
где	t
5(Мо)= П exp{-iSt-V0(U)},	A2.7)
U=to
причем сомножители в этом произведении расположены, очевид-
очевидно, справа налево в порядке возрастания времени t{\ подразуме-
подразумевается предел произведения по всем бесконечно малым интерва-
интервалам St между to и t. Если бы Vo(t) было обычной функцией, то
этот предел сводился бы просто к
-i fvo(t)dt
j
to
Но такое сведение основано на коммутативности множителей,
взятых в различные моменты времени, подразумевающейся при
переходе от произведения в A2.7) к суммированию в показателе.
Для оператора Vo(t) такой коммутативности нет и сведение к
обычному интегралу невозможно. Вместо этого можно записать
A2.7) в символическом виде
, t0) = Г ехр { -г fvo(t) dt \ ,	A2.8)
где Г — символ хронологического расположения множителей в
той же последовательности, что и в A2.7), т. е. справа налево от
меньших времен к большим.
х) Уравнение A2.3) совпадает с уравнением G2.5)(см. IV), и следующий
ниже процесс его решения повторяет изложение в IV, § 72.

§ 12	Ф-ОПЕРАТОРЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ	65
Оператор S унитарен (S~1=S+) и обладает очевидными свой-
свойствами:
s(t3, h)S(t2, h) = s(t3, h),
(tt) s-1(tt)
Для упрощения дальнейших рассуждений сделаем формаль-
формальное предположение (не отражающееся на окончательных резуль-
результатах), что взаимодействие Vo(t) адиабатически «включается»
от t = -оо к конечным временам и адиабатически «выключа-
«выключается» при t = +ос. Тогда при t —>• —ос, до включения взаимо-
взаимодействия, волновая функция Фо(^) совпадает с гейзенберговской
функцией Ф. Положив в A2.6) to = —ос, получим
фо(?) = 5D, -ос)Ф.	A2.10)
Установив, таким образом, связь между волновыми функциями
в обоих представлениях, мы устанавливаем тем самым и закон
преобразования операторов, в том числе ^-операторов:
$ = ?-!(?, -оо)Ф05D, -ос).	A2.11)
В силу унитарности S по такому же закону преобразуются и
операторы Ф+.
Выразим теперь функцию Грина через ^-операторы в пред-
представлении взаимодействия1). Пусть t\ > ?2; тогда
u X2) = -г<Фа(
= -iiS-^h, -с»)Фоа(*1M(<1, -оо)^-1^, -оо)х
х Ф+з(*2M(*2, -оо)).
Согласно A2.9) имеем
S(h, -оо)^^, -оо) =
= S(h, t2)S(t2, -оо)^-1^, -оо) = S{h, t2),
S^ih, -00) = S'1^!, -ооK-г(оо, h)S(oo, h) =
= S~ @0, —ooM(oo, t\)
) Этот вывод повторяет рассуждения в IV, § 103.
3 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

66
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Подставляя в предыдущее выражение, получим
= -г^-^оо, -ооM(оо, ti)*oa(*iM(tb t2)*fe(*2)S(*2, -ос)).
Понимая операторы S как произведения A2.7), мы видим, что
все множители в усредняемом выражении, начиная со второго,
расположены в хронологическом порядке справа налево
от t=—oo до t=oo. Поэтому можно написать
Gafi(Xu Х2) = -iiS-iTfioaihVV+pfaffi),	A2.12)
где обозначено
S = S(oo, -оо) = Г ехр | -г f %(t) dt I .	A2.13)
l — OO	)
Вычисления при t\ < t2 отличаются от произведенных лишь
обозначениями, и окончательный результат A2.12), A2.13) спра-
справедлив при любых ti, ?2.
Произведенное преобразование не зависит от того, по какому
состоянию системы подразумевается усреднение. Но если усред-
усреднение производится по основному состоянию (как в A2.12)), то
преобразование может быть продвинуто еще и дальше. Для это-
этого заметим, что адиабатическое включение или выключение вза-
взаимодействия, как всякое адиабатическое возмущение, не может
вызвать перехода с изменением энергии квантовой системы
(см. III, §41). Поэтому система, находившаяся в невырожденном
состоянии (каковым и является основное состояние), в этом со-
состоянии и остается. Другими словами, действие оператора S на
волновую функцию Ф = Фо(—ос) должно сводиться к умноже-
умножению на (несущественный для состояния) фазовый множитель —
среднее значение S в основном состоянии: 5Ф = E)Ф. Точно
так же Ф*5-1 = E)~1Ф*. Таким образом, окончательно получа-
получаем следующую формулу для функции Грина, выраженной через
операторы в представлении взаимодействияг):
X2) = -L(T[^Oa(X1)^+0(X2)S}).	A2.14)
1) Отметим некоторую условность обозначений в A2.14): хотя символ Т
в нем фигурирует дважды (в явном виде и в определении S), в действи-
действительности же все множители в произведении должны расставляться в еди-
единой хронологической последовательности.

§ 13	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ	67
По смыслу этого представления усреднение в A2.14) произво-
производится по основному состоянию системы свободных частиц. Дей-
Действительно, свойства операторов Фо совпадают со свойствами
гейзенберговских операторов Ф в отсутствие взаимодействий, а
гейзенберговская волновая функция Ф от времени не зависит,
так что совпадает со своим значением при t = — ос, когда взаи-
взаимодействие отсутствует. Поэтому, в частности,
№)*i№)> = гО^(Хг, Х2)	A2.15)
есть функция Грина системы невзаимодействующих частиц.
§ 13. Диаграммная техника для ферми-систем
Смысл символических выражений типа A2.14) состоит в том,
что они дают возможность легко написать последовательные
члены разложений по степеням V. Так,
(
00 /_-v 7 7
= Е М^ / dtl ¦ ¦ ¦ / dtn(TVOa(X) Ф^(Х') V0(h).. .V0(tn)),
A3.1)
а выражение для (S) отличается от написанного лишь отсутстви-
отсутствием множителей Фоа^пз ПОД знаком Г-произведения. Как уже
было указано, оператор Vo(t) в представлении взаимодействия
получается из G.7) заменой всех Ф на Фо- Вычисление последо-
последовательных членов разложения A3.1) сводится, следовательно, к
вычислению средних по основному состоянию от Г-произведения
различного числа ^-операторов свободных частиц.
Эти вычисления в значительной степени автоматизируются с
помощью правил диаграммной техники, которые, однако, суще-
существенно зависят от характера исследуемой физической системы.
Излагаемая в этом параграфе техника относится к несверхте-
несверхтекучим ферми-системам, причем взаимодействие частиц предпо-
предполагается парным и не зависящим от спинов. Соответствующий
оператор взаимодействия:
A3.2)

68
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
где U(ri — Г2) — энергия взаимодействия двух частиц (индек-
(индексы B) у V и U опускаем).
Среднее значение произведений -^-операторов вычисляется с
помощью теоремы Вика, которая гласит1):
Среднее от произведения любого (четного) числа операто-
операторов Ф и Ф+ равно сумме произведений всех возможных попарных
средних (сверток) этих операторов. В каждой паре операторы
стоят в той же последовательности, что и в первоначальном про-
произведении. Знак каждого члена в сумме определяется множите-
множителем (—1)р, где Р — число перестановок операторов, которые надо
произвести, чтобы поставить рядом все усредняемые операторы.
Отличны от нуля лишь свертки, в которые входит один опе-
оператор Ф и один Ф+: в диагональном матричном элементе все
частицы, уничтожаемые оператором Ф, должны быть вновь
рождены оператором Ф+. Ясно поэтому, что среднее от произве-
произведения нескольких -^-операторов может быть отлично от нуля,
только если в нем содержится одинаковое число операторов
$ и $+.
В применении к среднему от Г-произведения теорема
Вика позволяет выразить его через средние от попарных
Г-произведений, т. е., согласно A2.15), через гриновские
функции свободных частиц. Сделаем это для поправки первого
порядка в функции Грина системы взаимодействующих частиц.
Предварительно отметим, что при раскрытии по теореме Ви-
Вика выражения в числителе формулы A2.14) возникают, в част-
частности, члены вида
IT\Xj (У ^{&+ (V \\/Q\ 	 ,'л(^у у \/с\	/iq q\
в которых пара «внешних» (по отношению к S) ^-операторов
сворачивается между собой; выражение же (S) содержит (в
каждом члене его разложения) лишь свертки «внутренних» опе-
операторов между собой. Множитель (S) целиком сокращается со
знаменателем в A2.14), и, таким образом, все эти члены дают
просто «невозмущенную» гриновскую функцию iGaL
Оставив в A3.1) два первых члена разложения, подставив
A3.2) и переобозначив переменные, получим
Л2) ~ г^а/3 ~^~ ^а/З'
г) Чтобы не разбивать изложения, доказательство этой теоремы отложим
на конец параграфа.

§ 13	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ	69
где
ОО
X
—оо
Для большей компактности записи формул введем обозначение
C/(Xi - Х2) = Ufa - r2)S(t1 - t2).	A3.4)
Тогда1)
где d^X = dtd?x. Чтобы усреднить по теореме Вика, выпишем
отдельно операторы и изобразим все нужные варианты сверток:
^ф+ф+фД
Согласно сказанному выгпе опущены члены, содержащие сверт-
ку Ф1Ф2 . Попарно сворачиваемые (соединенные дугами) опера-
операторы надо переставить к соседству друг с другом. Так, первый
из написанных членов означает произведение
(ТФ1Ф+)(ГФ+Ф4)(ГФ+Ф3),
а последний
-(ГФ1Ф+)(ГФ+Ф4)(ГФ+Ф3).
Свертки произведений -^-операторов различных аргументов за-
заменяются согласно
„ т .т.	.^	.т. .т.	^	^ ^ ^
1) Здесь и ниже для упрощения записи особенно громоздких выражений
условимся опускать индекс у Фо5 а цифровыми индексами 1, 2, ... обозна-
обозначать совокупность значений аргумента X и спинового индекса:
Gi2 = Ga0(Xu X2), Ui2 = и{Хг - Х2).

70
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Свертки же ^-операторов одинаковых аргументов представля-
представляют собой пространственную плотность числа частиц в идеаль-
идеальном газе (обозначим ее через ттл0)), понимаемую как функцию
химического потенциалаг):
($+$) = п@)Ы = ^^—.	A3.5)
Зтг2
Таким образом, получим
Эти четыре члена попарно равны друг другу — они отличаются
лишь обозначением переменных интегрирования Х% и Хд. В ре-
результате множитель 1/2 исчезает и, таким образом, поправка
первого порядка в функции Грина содержит всего два члена:
A3.6)
Структуру этих членов удобно изобразить графически с по-
помощью следующих диаграмм Фейнмана:
О
A3.7)
14 2 13	4 2
На этих диаграммах сплошная линия 4^—2 означает свертку
*4*2 (т. е. функцию iG^J)] цифры указывают номера перемен-
переменных Х^ и Х2ч от которых зависят свертываемые операторы, а
направление стрелки отвечает направлению от Ф+ кФв свертке.
Свертка Ф+Ф двух операторов, зависящих от одних и тех же
переменных (т. е. плотность п^0)), изображается соответственно
петлей — сплошной линией, «замкнутой на себя». Штриховая
линия 34 означает множитель С/з4-
По всем переменным, обозначенным у внутренних точек
диаграммы (точки пересечения линий), подразумевается
) Такие свертки всегда происходят от ^-операторов, входящих в состав
одного и того же оператора взаимодействия V. Поэтому в таких членах Ф+
всегда стоит слева от Ф.

§ 13	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ	71
интегрирование. Переменные (Х\ и -Х2), обозначенные у «внеш-
«внешних концов» диаграммы, остаются свободными.
Члены первого порядка, происходящие из A3.3), изобрази-
изобразились бы диаграммами, распадающимися на две отдельные ча-
части — прямой отрезок (iGal) и фигуру с замкнутыми петлями
сплошных линий, например,
Вдумавшись в способ свертывания операторов и структуру со-
соответствующих диаграмм, можно понять происхождение общего
правила: во всех порядках теории возмущений роль множите-
множителя (S)~1 в A2.14) сводится к тому, что должны учитываться
лишь «связные» диаграммы с двумя внешними концами, не со-
содержащие «отсоединенных» петель без внешних концов, не свя-
связанных с другими частями диаграммы ни сплошными, ни штри-
штриховыми линиями (ср. аналогичную ситуацию в квантовой
электродинамике — см. IV, § 100).
Сокращение коэффициента 1/2 в A3.6) есть проявление
общего правила: не надо учитывать (в членах n-го порядка)
множитель 1/п!, происходящий от разложения A3.1), и множи-
множитель 2~п, возникающий от коэффициентов 1/2 в A3.2). Дей-
Действительно, диаграммы n-го порядка содержат по п штриховых
линий г к. Множитель 1/п! сокращается от приведения членов,
отличающихся перестановками пар чисел г, к между всеми п
штриховыми линиями. Множитель же 2~п сокращается от пе-
перестановок чисел г, к между концами каждой из этих линий.
Окончательные правила диаграммной техники мы сформу-
сформулируем для вычисления функции Грина не в координатных, а
сразу в импульсном представлении, наиболее важном для физи-
физических применений.
Переход к импульсному представлению осуществляется пу-
путем разложения Фурье G.21), G.22), которое запишем в «четы-
«четырехмерном» видег).
G(X) =JG(P)eiPX 0, G(P) =JG(X)eiPXd4X, A3.8)
где «4-импульс» Р = (cj, р), а РХ = out — pr. Аналогичным
1) Используя для удобства изложения и обозначений четырехмерную тер-
терминологию, подчеркнем лишний раз, что она не имеет здесь никакого отно-
отношения к релятивистской инвариантности!

72
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
образом разложим также и потенциал взаимодействия:
ЩХ) = S(t)U(r) =ju(Q)e-^x 0,	A3.9)
где Q = (go ^ q); при этом U(Q) совпадает с компонентой трех-
трехмерного разложения
U(Q) = C/(q) = fu(r)e-^r d3x.	A3.10)
Ввиду четности функции С/(г) очевидно, что [/(—q) = C/(q).
Произведем это разложение для поправки первого порядка
G12 = Gal(Xi — X2). Для этого умножаем равенство A3.6) на
exp [iP(Xi — Х2)] и интегрируем его по d4 (Х\ — Х2).
В первом члене пишем
eiP(X1-X2) = eiP(X1-X3)eiP(X3-X2)
и, заменив переменные интегрирования, получаем
x* d\X, - Х3)х
d4(X3-X2)Ju (X3-X4) d4 (X3-X4).
Первые два интеграла дают Ga.](P)G l(P), а третий равен
[/@) = / U(г) dsx — значению C/(q) при q = 0.
Аналогичным образом, во втором члене пишем
eiP(X1-X2) = eiP(X1-X3)eiP(Xs-X4)eiP(X4-X2)
= e
и после перехода к интегрированию по Х\ — Хз, Х% — Х^ Х4—Х2,
получаем
Оставшийся интеграл выражается через фурье-компоненты
функции G s и U с помощью формулы для фурье-компонент

§ 13	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ	73
произведения двух функцийг)
J
f(X)g(X)eiPX d*X =|/(P1)g(P - Рг) 0.	A3.11)
Таким образом, для поправки первого порядка в функции
Грина в импульсном представлении окончательно находим
. A3.12)
Каждому из двух членов в A3.12) ставится в соответствие
определенная диаграмма Фейнмана, и выражение A3.12) запи-
записывается в виде
о
P-Pl
/-¦*¦¦-	¦	A3.13)
Pi
Точки пересечения линий называют вершинами диаграммы.
Каждая диаграмма имеет 2п вершин, где п — порядок теории
возмущений. В каждой вершине сходятся две сплошные и од-
одна штриховая линии. Каждой сплошной линии приписывается
х)Для доказательства этой формулы надо в ее левую часть подставить
сами функции f(X) и g(X) в виде фурье-разложений:
J
f(X)g(X)eiPX
Интегрирование по d X осуществляется по формуле
где «четырехмерная» E-функция 6^ определяется как произведение 5-
функций от компонент «4-вектора» Р. Множитель <г4)(Р—Рг— Рг) устанав-
устанавливается интегрированием по d4P2, и мы в результате приходим к правой
части A3.11).

74
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
свой «4-импульс» Р в направлении, указанном стрелкой (при-
(причем вдоль каждой непрерывной последовательности сплошных
линий направление стрелок не меняется). Каждой штриховой
линии приписывается 4-импульс Q, причем и для этих линий
условно выбирается какое-либо (любое) направление стрелкиг).
В вершинах диаграммы выполняется «закон сохранения 4-им-
пульса»: сумма 4-импульсов входящих линий равна сумме 4-им-
пульсов выходящих из вершин линий. Вершине приписывается
также и определенный спиновой индекс а. Каждая диаграмма
имеет две внешние линии (входящую и выходящую), 4-импульс
которых есть аргумент искомой функции Грина Gap(P)] выходя-
выходящей и входящей линиям приписываются также спиновые индек-
индексы а и /3 этой функции. Остальные линии диаграммы называют
внутренними.
Аналитическая запись членов, отвечающих каждой диаграм-
диаграмме, производится по следующим правилам:
1)	Каждой сплошной линии между вершинами ал /3 ставится
в соответствие множитель iGai(P), каждой штриховой линии —
множитель —iU(Q). Замкнутой петле с одной вершиной сопо-
сопоставляется множитель ?7ло)(//).
2)	В каждой вершине выполняется закон сохранения 4-им-
пульса. По остающимся неопределенными 4-импульсам внутрен-
внутренних линий производится интегрирование по с?4Р/BтгL. В каждой
вершине производится суммирование по паре немых спиновых
индексов — по одному от каждого из соседних С@)-множителей.
3)	Общий множитель, с которым диаграмма входит в iGa/^,
равен (—1)L, где L — число содержащихся в ней замкнутых пе-
петель сплошных линий с более чем одной вершиной.
Последнее правило имеет следующее происхождение. Зам-
Замкнутая петля с к > 1 вершинами происходит от свертки -0-опера-
торов вида
Здесь все свертки равны iG12>, ..., iGk\ k, а последняя рав-
равна —iGk^. Что касается петель с одной вершиной, то их пра-
правильный знак учитывается уже введением ттл™ по правилу 1.
1) «Временные» компоненты 4-векторов Q = (go, q), вообще говоря, от-
отличны от нуля, но функция U(Q), по определению A3.10), от qo не зависит.
Условность направления штриховой линии связана с четностью функции
Щ-Q) = U(Q).

13
ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ФЕРМИ-СИСТЕМ
75
Для примера изобразим совокупность диаграмм, определяю-
определяющих поправку второго порядка в функции Грина:
О
о
О оо
о
CW2
A3.14)
о
Наконец вернемся к теореме Вика и дадим ее доказательство
в применении к «макроскопическому пределу» (т. е. при V —» ос
или, что то же при заданной плотности системы, при N —>• ос),
который только и существен в статистических применениях.
Рассмотрим, например, среднее от произведения четырех
^-операторов типа
($01*02*^3*04) = ^
ехр
A3.15)
Р1-Р4
(-^-операторы представлены в виде (9.3); очевидные, но громозд-
громоздкие показатели экспонент не выписываем). В этой сумме отлич-
отличны от нуля лишь члены, в которых содержится по одинаковому
числу операторов ар и а+ с одинаковыми значениями импуль-
импульсов. Среди них есть члены, в которых импульсы равны попарно,

76
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
например, pi = Р4 и р2 = рз- Эти члены отвечают попарной
свертке
и выражаются суммой вида
— Yl (apiapi)(aP2ap2
РЬР2
В пределе V —>• ос суммирование по pi и р2 заменяются инте-
интегрированием по У2б?3р1б?3р2/BтгN, объем V сокращается и это
выражение остается конечным. В сумме A3.15) отличны от нуля
также и члены с pi = Р2 = рз = Р45 эти члены образуют сумму
вида
р
но после перехода в ней к интегрированию один множитель 1/V
остается, и в пределе V —» ос выражение обращается в нуль.
Ясно, что этот результат имеет общий характер: в пределе
V —» ос в среднем значении от произведения -^-операторов не
обращаются в нуль лишь результаты попарных сверток.
Отметим, что в изложенном доказательстве по существу не
использовалось, что усреднение производится именно по основ-
основному состоянию, и поэтому оно остается справедливым и при
усреднении по любому квантовому состоянию системы1).
§ 14. Собственно-энергетическая функция
Сформулированные в предыдущем параграфе правила диа-
диаграммной техники обладают важным свойством: общий коэф-
коэффициент в диаграмме не зависит от ее порядка. В силу этого
свойства каждая «фигура» на диаграмме имеет определенный
аналитический смысл независимо от того, в какую диаграмму
1)Но если усреднение производится по основному состоянию, то теорема
Вика справедлива не только в макроскопическом пределе. Соответствую-
Соответствующее доказательство теоремы в статистике совпадает с ее доказательством в
квантовой электродинамике (см. IV, § 77). Единственное отличие между эти-
этими случаями — разные основные состояния: в вакууме частицы отсутствуют,
а в идеальном газе заполняют ферми-сферу с радиусом рр • Для операторов
2р, %> рождения и уничтожения частиц с р > pf это отличие вообще несу-
несущественно и доказательство переносится буквально. Для операторов же с
р < Pf надо предварительно переобозначить Sp = Ьр, %> = Ьр~, т. е. перейти
от частиц к дыркам, которые в основном состоянии внутри ферми-сферы
отсутствуют.

§ 14	СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ	77
она входит, так что ее можно вычислять независимо, заранее.
Мало того, можно заранее вычислить сумму некоторых фигур,
имеющих определенное число концов, и затем вставить этот
«блок» в более сложные диаграммы. Это — одно из важнейших
преимуществ диаграммной техники.
Одним из таких «блоков», имеющих также и существенное
самостоятельное значение, является так называемая собственно-
энергетическая функция1). Чтобы прийти к этому понятию,
рассмотрим все диаграммы для функции Грина, которые нельзя
разделить на две части, соединенные лишь одной сплошной ли-
линией. К таковым относятся, например, обе диаграммы первого
порядка теории возмущений A3.13) и диаграммы A3.14а-е) вто-
второго порядка. Все эти диаграммы построены однотипно: по од-
одному множителю iGl по концам и некоторая внутренняя часть
(функция от Р), которую и называют собственно-энергетической
функцией. Сумму всех возможных таких частей называют точ-
точной или полной собственно-энергетической функцией или массо-
массовым оператором', обозначим ее через —гЕа^(Р).
Все диаграммы собственно-энергетического типа дают в гри-
новскую функцию вклад, равный
$$	A4.1)
где помимо Gl = G^5af3 написано также и
2а/з(Р) = 8арЩР).	A4.2)
Полная же функция Грина (изображаемая графически жирной
сплошной линией) дается суммой бесконечного ряда
где кружки изображают точные собственно-энергетические функ-
функции (—гЕа^). Каждый член этого ряда (начиная с третьего) пред-
представляет собой совокупность диаграмм, которые могут быть рас-
рассечены на две, три и т. д. части, соединенные между собой одной
сплошной линией.
Если от всех членов ряда A4.3), начиная со второго, «от-
«отсечь» один кружок с присоединенной к нему справа линией,
то оставшийся ряд будет снова совпадать с полным рядом. Это
значит, что	_
A4.4)
х)Ср. аналогичное определение в квантовой электродинамике, где такая
функция называлась компактной собственно-энергетической (IV, § 103,105).

78
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
В аналитическом виде это равенство записывается как
или, разделив на
G(P)
A4.5)
A4-6)
Отметим, что знак мнимой части S совпадает со знаком Im G
и, согласно (8.14),
signImS(ct;, p) = —signer.	A4.7)
Это следует из A4.6) с учетом того, что знак lmG~1 противопо-
противоположен знаку ImG, а согласно (9.7), ImG^0) = 0.
Таким образом, вычисление G сводится к вычислению S, тре-
требующему рассмотрения меньшего числа диаграмм. Это число
еще более уменьшается в связи с тем, что часть оставшихся диа-
диаграмм сразу суммируется к очень простому выражению.
Именно выделим из всей совокупности диаграмм, определяю-
определяющих S (при парном взаимодействии между частицами), те,
которые представляют собой различные «отростки», присоеди-
присоединенные к концевым линиям одной штриховой линии: их сумму
обозначим через Еа. Все такие диаграммы содержатся в одной
скелетной диаграмме вида1)
A4.8)
Остальную же часть S обозначим через S&. Так, среди диаграмм
первого и второго порядков к первой категории относятся
следующие:
_ о
о
о
A4.9)
х)Как и в квантовой теории поля, скелетными называют диаграммы, со-
составленные из жирных линий и блоков; каждая такая диаграмма эквива-
эквивалентна определенной совокупности бесконечного числа обычных диаграмм
различных порядков.

§ 14	СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ	79
а ко второй:
-Шьг— — * '* *'м	Ь * ^ ^'ч<< *	Ь
Pi
L-L- .	A4.10)
Жирной петле на диаграмме A4.8) отвечает точная плот-
плотность системы n(fi) (подобно тому, как тонкой петле на диаграм-
диаграмме A3.13а) отвечает плотность идеального газа п^ (/i)). Поэтому
из определения A4.8) следует, что
A4.11)
Таким образом,
S6,	A4.12)
так что особого вычисления требуют лишь диаграммы, входя-
входящие в Еь.
Закон дисперсии квазичастиц определяется уравнением (8.16).
Выразив в нем G через S, согласно A4.6), и взяв G^ из (9.7),
получим это уравнение в виде
i? E(?-ftp).	A4.13)
На границе ферми-сферы при р = pF энергия квазичастицы сов-
совпадает с [I. Отсюда видно, что
M-S(O,pF) = f^.	A4.14)
В результате уравнение закона дисперсии принимает (при зна-
значениях р вблизи р^) вид
е(р) -ц = ?*-{р- PF) + Е(е - ц, рр) - Е@, pF). A4.15)
т
Подчеркнем, что здесь рр — точное значение граничного им-
импульса для системы взаимодействующих частиц. Соотношением
р^/Зтг2 = п оно связано с точной плотностью тг(/х), а не с при-
приближенной п(°), как в A3.5).

80
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
§ 15. Двухчастичная функция Грина
К другим важным понятиям диаграммной техники мы при-
придем, рассмотрев усредненное по основному состоянию Г-произ-
ведение четырех гейзенберговских -^-операторов1):
A5-1)
Эту функцию называют двухчастичной функцией Грина (в от-
отличие от функции Грина G.9), называемой в этой связи одно-
частичной) .
Для применения теории возмущений и построения диаграмм-
диаграммной техники надо снова перейти к -^-операторам в представлении
взаимодействия. Как и в случае функции G, это приведет к по-
появлению множителя S под знаком Г-произведения:
^34,12 = 4-<T§03$04$0+l*02<5>.	A5-2)
В нулевом приближении (т. е. при S=l) это выражение распада-
распадается на сумму произведений двух сверток, выражающихся через
G^ -функции:
т^(О) _г@)г@) г@)г@)	Пго\
А34,12 — ^31 ^42 ~ ^32 ^41 •	{10.6)
Дальнейшее обсуждение свойств определенной таким обра-
образом двухчастичной функции Грина будем проводить в импульс-
импульсном представлении.
Для однородной системы функция i^34,12 зависит фактиче-
фактически лишь от трех независимых разностей аргументов, например,
от Х% — Х<ь, Х± — Х2, Х\ — Х<ь. В импульсном представлении это
свойство выражается тем, что компонента разложения Фурье по
всем переменным Х\, ..., Х± содержит ^-функцию:
4,12 ехр{^(-Рз-^з Н~ Р4Х4 — Р\Х\ — Р2Х2)} d Х\... с? J^4 ==
= BтгLED)(Рз + Р4 - -Pi - ^2)^75,а/з(-Рз, А; А, -Р2). A5.4)
В этом легко убедиться, заметив, что
Р3Х3 + Р4Х4 - Р1Х1 - Р2Х2 =
= Р3(Х3-Х2)+Р4(Х4-Х2)-Р1(Х1-Х2)-Х2(Р1+Р2-Р3-Р4),
) Мы снова применяем упрощенные обозначения, где индексы 1, 2, ...
обозначают совокупности 4-координат и спинового индекса Xia, -Х2/З, ...
(ср. примечание на с. 69). В полной записи
^34,12 = KjS, а/3 (Хз, Х±\ Xi, X2)

§ 15	ДВУХЧАСТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА	81
и перейдя к интегрированию по Х^—Х^ Х^—Х^^ Х\—Х^^ Х^.
Отметим, кстати, что формулу обратного фурье-преобразования
можно записать как
#34,12 = [к1б,ар(Рз, Р4; Ри Рг+Р* - Pi)x
A5.5)
Определенную таким образом функцию К^й^а/З^з, Р±\ Р11Р2)
мы и будем называть двухчастичной функцией Грина в импульс-
импульсном представлении; ее аргументы связаны равенством
В нулевом приближении имеем для нее (в соответствии
с A5.3))
<Л/з(рз, Р4; Pi, P2) =
A5.6)
т. е. К сводится к сумме двух произведений одночастичных гри-
новских функций.
В следующих приближениях теории возмущений появляются
члены, сводящиеся к введению поправок к этим одночастичным
функциям. Наряду с ними, однако, возникают также и члены, не
укладывающиеся в произведения G-функций. Именно эта часть
двухчастичной функции Грина представляет самостоятельный
интерес. Для ее выделения представим К в виде
Каза4,а1а2(Рг, Р4; Pi, P2)={^
- Р4)Саза2(Р2)Са4а1(Рг)}+
1p2(P3, P4; Рь
A5.7)
Определенную таким образом функцию Г называют вершинной
функцией.
Согласно определению A5.1), двухчастичная функция Грина
в пространственно-временном представлении антисимметрична
по отношению к перестановкам аргументов (вместе со спиновы-
спиновыми индексами) первой и второй пары: 1 и 2 или 3 и 4. Отсюда

82
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
следует аналогичное свойство симметрии для функции Грина и
вершинной функции в импульсном представлении:
Pi,
з, Pa; P2, -Pi)- A5.8)
Смысл выделения четырех G-множителей в определении Г
(последний член в A5.7)) становится ясным, если проследить
за характером диаграмм, возникающих при раскрытии выраже-
выражения A5.2) для двухчастичной функции Грина. Следующие ниже
рассуждения снова предполагают парное взаимодействие между
частицами.
В нулевом приближении функции К сопоставляются диа-
диаграммы
Р3=Р1	р4=р1
Р» 	 О	D 	D
4—^2	-* 3~-* 2
отвечающие двум членам в A5.6). В первом порядке теории воз-
возмущений появляются диаграммы типовг)
о
представляющие собой поправки к каждому из отдельных мно-
множителей в A5.6). Кроме них, однако, появляются также диаграм-
диаграммы, не разбивающиеся на две отдельные части:
-Pi Р^—:-—Pi
_ .	A5.9)
Четыре стрелки Р\, ..., Р^ отвечают четырем G-множителям в
последнем члене в A5.7), а «внутренняя» часть диаграмм опре-
определяет (в первом порядке) вершинную функцию — кружок в ле-
левой части диаграммного равенства A5.9). Раскрыв эти диаграм-
диаграммы в аналитическом виде, получим
г$а/з(^з, A; Pi, Ъ) = -S^SpsUiPi - Рз) + SasSfrUiP! - Ра).
г) Как и в случае одночастичной функции Грина, множитель (S) г в опре-
определении A5.2) приводит к исчезновению диаграмм, содержащих отсоединен-
отсоединенные замкнутые петли сплошных линий.

15
ДВУХЧАСТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА
83
Диаграммы более высоких порядков содержат поправки трех ка-
категорий: 1) дальнейшие поправки к двум не соединенным между
собой сплошным линиям, 2) поправки собственно-энергетичес-
собственно-энергетического типа к концевым линиям на диаграммах A5.9), 3) поправ-
поправки, образующие фигуру, заменяющую собой штриховую линию
на диаграммах A5.9); сумма всех возможных таких фигур и дает
точную вершинную функцию гГ. В графическом представлении
двухчастичной функции Грина суммой скелетных диаграмм
Рз=Рг
A5.10)
жирные линии изображают точные G-функции, а кружок услов-
условно обозначает вершинную функцию.
Вычисление вершинной функции в различных порядках тео-
теории возмущений должно производиться по сформулированным
в § 13 правилам диаграммной техники, причем должны рассмат-
рассматриваться диаграммы с четырьмя внешними концами (а не
с двумя, как при вычислении G). Правило 3), определяющее
общий знак диаграммы, должно быть дополнено следующим
указанием: если непрерывными последовательностями сплошных
линий связаны концы 1 с 4 и 2 с 3 (вместо 1 с 3 и 2 с 4), то знак
диаграммы меняется на обратный.
Изобразим, для примера, все диаграммы, определяющие вер-
вершинную функцию во втором порядке теории возмущений:
A5.11)
+ (з о 4).

84
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Собственно-энергетическая и вершинная функции (S и Г)
не независимы; они связаны друг с другом определенным инте-
интегральным уравнением (так называемым уравнением Дайсона)г).
Для его вывода воспользуемся уравнением (9.5), справедли-
справедливым (как было отмечено там же) и при учете взаимодействия
частиц. Разница по сравнению с выводом в § 9 состоит, одна-
однако, в том, что теперь -^-оператор удовлетворяет уравнению G.8).
Опустив в последнем член с внешним полем и подставив из него
производную ЭФ/dt\ в (9.5), получим
+ 1 +
- X3)%(X3)d4X3 • Фа(
3, Хг; Х3, X2)U13d4X3. A5.12)
Это равенство решает, в принципе, поставленный вопрос, так как
К выражается через Г согласно A5.7). Остается лишь перейти
к импульсному представлению. Для этого умножим равенство
A5.12) на exp[iP(Xi — Х2)] и проинтегрируем по dA(X\ — Х2),
представив i^3i,32 в виде A5.5), a U\s в виде A3.9). Тогда инте-
интегрирование по 4-координатам дает ^-функции, которые устраня-
устраняются интегрированием по 4-импульсам. В результате получим
, P4; P3+P4-P, P)U(P-P4) d^f)8P4 A5.13)
с <?(°)(Р) из (9.7).
Теперь осталось выразить К через Г. Подставив A5.7) в
A5.13), получим окончательно уравнение Дайсона в виде
= U@)n(fiNal3 + iSal3Ju(P -
+|r7a,7/3(P3, Pr, P3 + P4- P, P)G(P3)G(P4)G(Ps + Pa - P)x
^f±. A5.14)
1) Оно аналогично уравнению Дайсона в квантовой электродинамике
(см. IV, §107).

§ 16	АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ КВАЗИЧАСТИЦ	85
Здесь n(/jj) — точная плотность системы как функция ее химиче-
химического потенциала; этот множитель возникает от интегрирования
G-функции по формуле G.24) (при этом учитывается, что дан-
данная G-функция возникла от свертки, в которой Ф+ стоит слева
от Ф). Отметим, что первый член в правой части уравнения
A5.14) есть Еа A4.11).
§ 16. Связь вершинной функции с амплитудой рассеяния
квазичастиц
Математический аппарат, развитый в предыдущих парагра-
параграфах, дает возможность строго обосновать и более глубоко понять
смысл основных соотношений теории ферми-жидкости Ландау,
которые были введены в гл. 1 до некоторой степени интуитивным
образом. Этому посвящены § 16 - 201).
Существует тесная связь между вершинной функцией и
амплитудой взаимного рассеяния квазичастиц. Для лучшего
уяснения этой связи рассмотрим ее сначала в рамках чисто кван-
товомеханической задачи о рассеянии двух частиц в вакууме.
В квантовой механике «четыреххвостики» — диаграммы с
четырьмя внешними концами (двумя входящими и двумя вы-
выходящими) — отвечают процессу столкновения двух частиц;
при этом в аналитическом выражении диаграммы ее внешним
концам сопоставляются амплитуды волновых функций (плос-
(плоских волн) свободных частиц (см. IV, §106). Проследим, каким
образом такие диаграммы различных порядков действительно
дают последовательные члены обычного нерелятивистского бор-
новского разложения амплитуды рассеяния.
Прежде всего в случае вакуума большое число диаграмм во-
вообще обращается в нуль. Это проще всего понять в координатном
представлении, заметив, что в вакууме равны нулю все сверт-
свертки вида (Ф+Ф), в которых оператор уничтожения стоит справа
и действует на вакуумное состояние первым, остаются только
свертки вида (ФФ+). Поэтому обращаются в нуль все диаграм-
диаграммы с замкнутыми петлями сплошных линий — они всегда содер-
содержат свертку вида (Ф+Ф). По той же причине равны нулю все
поправки к гриновской функции, т. е. к внутренним сплошным
1) Содержание §16-18 принадлежит Л. Д. Ландау A958), а содержание
j 19, 20 — Л. Д. Ландау и Л. П. Питаевскому A959).

86
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
линиям диаграммг). Наконец, равны нулю диаграммы с пере-
перекрещивающимися штриховыми линиями; так, в диаграмме
1 2
2 1
(здесь цифры 1 и 2 означают аргументы t\ и ?2) при ?2 > t\
верхней внутренней линии отвечает свертка (Ф^Фх) = 0, а если
^2 < ?ь то свертка (Ф^Ф2) — 0 отвечает ниж:ней линии.
Таким образом, для двух частиц в вакууме остаются только
следующие диаграммы, образующие, как говорят, «лестничный
ряд»:
Рз
A6Л)
Внутренним сплошным линиям в них отвечают вакуумные функ-
функции Грина
G^BaK\ou, р) = L - ^- + iol	A6.2)
L	2m	J
(формула (9.7) с \i = 0). Обратим внимание на то, что (вви-
(ввиду отсутствия слагаемого \i в знаменателе) полюс этой функции
всегда находится в определенной (нижней) полуплоскости ком-
комплексного ио. Обращение в нуль перечисленных выше диаграмм
возникает, с математической точки зрения, именно вследствие
расположения всех полюсов подынтегральных выражений в од-
одной полуплоскости; обращение интегралов в нуль становится оче-
очевидным при замыкании пути интегрирования в другой
полуплоскости.
Лестничный ряд A6.1) можно просуммировать, сведя его к
интегральному уравнению (ср. ниже суммирование аналогично-
аналогичного ряда A7.3)). Если сначала опустить диаграммы с перестав-
переставленными концами 3 и 4, это уравнение окажется эквивалентным
1) Исчезновение всех поправок к гриновской функции в вакууме выража-
выражает собой просто тот факт, что одной частице не с чем взаимодействовать.
Напомним в этой связи, что существование вакуумных поправок к функции
Грина частицы в релятивистской теории связано с возможностью появления
в промежуточных состояниях виртуальных электронных пар и фотонов.

§ 16	АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ КВАЗИЧАСТИЦ	87
уравнению Шредингера для двух частиц без учета их тожде-
тождественности, записанному в импульсном представлении (уравне-
(уравнение A30.9) (см. III)). Соответственно, вершинная функция Г вы-
выразится через амплитуду рассеяния / двух частиц формулой
Г75,а/з(Рз, РГ, Pi, P2) = SorySps^ /.	A6.3)
Прибавление же диаграмм с переставленными концами 3 и 4
приводит к антисимметризации амплитуды, как это и должно
быть для фермионов. В первом приближении теории возмуще-
возмущений остаются лишь первая диаграмма A6.1) и диаграмма с пере-
переставленными концами, в которые С?(вак) вообще не входит. Для
амплитуды рассеяния тогда получится обычная формула пер-
первого борновского приближения. Последующие диаграммы после
проведения интегрирования по промежуточным частотам, дают
известные выражения для поправок к амплитуде в следующих
борновских приближениях.
В ферми-жидкости взаимодействие сталкивающихся частиц
с частицами среды приводит к их эффективной замене квази-
квазичастицами. Все связанные с этим взаимодействием поправки
к внутренним линиям диаграммы автоматически учитывают-
учитываются определением функции Г. Дополнительного учета требуют,
однако, поправки к внешним линиям. В квантовой теории поля
показывается, что уже в силу общих требований унитарности
матрицы рассеяния эти поправки приводят к появлению в ам-
амплитуде рассеяния по множителю y/Z на каждый свободный
конец, где Z — перенормировочная постоянная функция Грина
(см. IV, §110); для диаграмм с четырьмя концами это означает
умножение на Z2. Хотя изложенный там вывод справедлив и для
квазичастиц в ферми-жидкости, поясним здесь происхождение
этого множителя также и с помощью более простых (хотя и не
строгих) рассуждений.
Дело в том, что гриновская функция жидкости вблизи своего
полюса (первый член в A0.2)) отличается от гриновской функ-
функции идеального газа только множителем Z. Если ввести вме-
вместо Ф и Ф+ операторы Фкв = Ф/л/Z, Ф+в = \I/+/\/Z, то состав-
составленная из них гриновская функция GKB = G/Z будет выгля-
выглядеть вблизи полюса в точности как для идеального газа. В этом
смысле эти операторы можно рассматривать как -^-операторы
идеального газа квазичастиц. Определенная по ним двухчастич-
двухчастичная функция Грина будет Ккв = K/Z2, и, следовательно (со-
(согласно определению A5.7)), вершинная часть Гкв = TZ2, что и
требовалось.

ОО	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О	ГЛ. II
В применении к квазичастицам представляет интерес не столь-
столько сечение рассеяния, сколько число столкновений (в 1 с в 1 см3
жидкости). Для столкновений с заданным изменением импуль-
импульсов и проекций спинов частиц (pice, Р2/З —>• Рз7? Р4^) такое число
дается формулой
су
»Я »Я »Я
A6.4)
причем pi +P2 = Рз + Р4> а пр — функция распределения квази-
квазичастиц. Множители пР1 и пР2 выражают собой просто тот факт,
что число столкновений квазичастиц с заданными начальными
импульсами и (проекциями спинов) пропорционально числам та-
таких квазичастиц в единице объема. Множители же A —прз)
и A—пР4) связаны с тем, что, согласно принципу Паули, столкно-
столкновение может произойти, только если конечные состояния
свободны.
§ 17. Вершинная функция при малых передачах импульса
Важную роль в теории ферми-жидкости играет вершинная
функция при близких значениях пар переменных Pi, Р3 и Р2->
Р^ (мы увидим, в частности, что она тесно связана с функцией
взаимодействия квазичастиц). Имея в виду связь
Pi + Р2 = Р3 + Р4,
положим Рз — Pi + К, Р^ = Р2 — К и введем упрощенное обо-
обозначение
Г( ТЭ | ТУ* ТЭ	ТУ*. ТЭ TD \ "Р	( ТУ*. TD ТЭ \.	(ЛЧ Л\
7<5, осC \±.1 ~г -ft- -> -l\2 ~ -ft 5 rij * 2 ) — J- 7E, a/3 (,-ft i П? -^ 2) i \ ± ' • ±)
мы будем рассматривать эту функцию при малых значениях К.
В терминах процессов рассеяния квазичастиц это значит, что
рассматриваются столкновения с малой передачей 4-импульса,
близкие к «рассеянию вперед».
При К = 0 функция Г имеет, как мы увидим, особенность;
нас будет интересовать именно та часть функции, в которой за-
заключена эта особенность. Происхождение последней легко по-
понять из рассмотрения скелетной диаграммы
A7.2)

§ 17	ВЕРШИННАЯ ФУНКЦИЯ ПРИ МАЛЫХ ПЕРЕДАЧАХ ИМПУЛЬСА	89
заключающей в себя ту совокупность диаграмм двухчастичной
функции Грина, которые могут быть рассечены между парами
концов Pi, P3 и Р2ч Ра на Две части, соединенные между собой
двумя сплошными линиямиг). Двум соединительным жирным
линиям отвечают точные одночастичные гриновские функции
G(Q) и G(Q + К), причем по 4-импульсу Q в диаграмме про-
производится интегрирование. При К —> 0 аргументы этих двух
функций сближаются, а потому сближаются и их полюсы. Сбли-
Сближающиеся полюсы могут «зажать» между собой путь интегри-
интегрирования (см. ниже), что и является источником возникновения
особенности в функции Г.
Для вычисления точной функции Г надо просуммировать
весь ряд теории возмущений. Поскольку наша цель состоит в вы-
выделении части, имеющей особенность при К = 0, надо прежде
всего отделить вклад от всех диаграмм, которые не могут быть
рассечены по парам сплошных линий с близкими (отличающими-
(отличающимися на К) значениями 4-импульса. Эту часть функции Г, не имею-
имеющую особенности при К = 0, обозначим посредством Г; в ней
можно положить К = 0, так что Г будет функцией лишь пере-
переменных Pi, P2 : r7<55a^(Pi, P2). Что же касается «опасных» диа-
диаграмм, то их можно классифицировать по числу содержащихся в
них пар линий с близкими аргументами. Таким образом, полная
вершинная часть Г изобразится следующим бесконечным «лест-
«лестничным» рядом диаграмм:
Pi P2
• A7.3)
i+ Р2-К
Здесь светлому кружку отвечает искомое гГ, а заштрихованные
кружки изображают гГ. Внешние линии на этих диаграммах не
входят в определение Г и служат лишь для указания числа и
значений входящих и выходящих 4-импульсов.
Все внутренние линии на диаграммах A7.3) — жирные, т. е.
им соответствуют точные G-функции. Подчеркнем в этой связи,
что возможность представления Г в виде этих скелетных диа-
диаграмм (а тем самым и все дальнейшие следствия из них) от-
отнюдь не предполагает парности взаимодействия между частица-
частицами, поскольку штриховые линии здесь в явном виде отсутствуют;
от характера взаимодействия в действительности зависит лишь
1) Так, во втором порядке теории возмущений (по парному взаимодей-
взаимодействию) в A7.2) входят диаграммы A5.11 а,б,в) и диаграмма A5.lid) с пере-
переставленными концами 3 и 4.

90
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
(не интересующая нас здесь) внутренняя структура блоков, изоб-
изображенных кружкамих).
Задача о суммировании ряда A7.3) сводится к решению инте-
интегрального уравнения, для получения которого «умножим» весь
ряд еще на одно Г, т. е. заменим его рядом
Сравнение с исходным рядом A7.3) приводит к равенству
Рг	Ъ
- х-
Q+K P2	Pi	P2	Pi	P2
' X Х
X
Р2-К	Рг+К Р2-К Рг+К Р2-К
Это диаграммное равенство, будучи записано в аналитическом
виде, и дает искомое интегральное уравнение
; Ръ Р2) = Г7*)в/3(Рь Р2)-
; Q, ^2)^. A7.5)
Согласно сказанному выше, в функциях Г положено К = 0;
использованы введенные выше сокращенные обозначения Г и Г,
а также положено Gap = G5a/3.
Для исследования этого уравнения рассмотрим прежде всего
стоящее в его ядре произведение G(Q + K)G(Q). Как уже было
отмечено, при малых К полюсы обоих множителей близки друг
к другу. Вблизи этих полюсов G-функции представляются по-
полюсными членами A0.2). Обозначив компоненты 4 векторов К
и Q, согласно
К = (о;, k), Q = (go, q),	A7.6)
пишем в этой области
Z2[q0 - vF(q -pF) + iSil'^qo + ш - vF(\q + k\ -pF) + i62}~1,
A7.7)
1) Предполагается лишь такое общее свойство, как сохранение числа ча-
частиц. Последнее проявляется в постоянстве разности числа линий, прохо-
проходящих направо и налево в каждом сечении диаграммы (равной нулю для
сечений показанного в A7.3) типа).

§ 17	ВЕРШИННАЯ ФУНКЦИЯ ПРИ МАЛЫХ ПЕРЕДАЧАХ ИМПУЛЬСА	91
где <$i, <$2 — бесконечно малые добавки, знак которых (вблизи
полюсов) определяется согласно
signal = sign (q-pF),
sign S2 = sign (|q + k| - pF).
Знаки 8\ и 8% определяют расположение полюсов — в верхней
или нижней полуплоскостях комплексной переменной до- Особен-
Особенность в ядре интегрального уравнения (а с ним и в его решении)
возникает в результате зажатия контура интегрирования dqo (ве-
(вещественная ось) между полюсами, для чего последние должны
находиться по разные стороны этого контура, т. е. в разных
полуплоскостях.
Предположим сначала, что qk > 0, т. е. cos в > 0, где в — угол
между q и к. Тогда |q + k| > g, и Si и <$2 имеют различные знаки
(Si < 0, <$2 > 0), если q < pF, |q + k| > pF, что ввиду малости к
эквивалентно условиям
pF - к cos в < q < pF.	A7.9)
При дальнейшем интегрировании по dqo в A7.5) путь инте-
интегрирования можно замкнуть бесконечно удаленной полуокруж-
полуокружностью (все равно — сверху или снизу), и тогда интеграл опре-
определится вычетом подынтегрального выражения в соответствую-
соответствующем полюсе. При этом ввиду узости интервала A7.9) (при ма-
малом к) в множителях Г и Г под знаком интеграла можно будет
положить к = 0 и соответственно для положения полюсов (при
малых к, ш): qo ~ 0.
Другими словами, в смысле своей роли в ядре интегрально-
интегрального уравнения A7.5) произведение полюсных множителей A7.7)
эквивалентно <5-функциям
AS(qo)S(q-pF)
с коэффициентом Л, определенным как интеграл
Z2dq0dq
I too-*
[qo - vF(q ~Pf) + i6i][qo
Когда q лежит вне интервала A7.9), оба полюса лежат в одной
полуплоскости комплексного qo, и, замкнув путь интегрирования
по dqo через другую полуплоскость, убедимся, что интеграл об-
обращается в нуль. В области же A7.9), замкнув путь через одну
из полуплоскостей и вычисляя интеграл по вычету в располо-
расположенном в этой полуплоскости полюсе, найдем
д — [	27riZ2dq
J ио - ^F(|q + k| -

92
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
(учтено, что в области A7.9) 5\ < 0, ^2 > 0). Поскольку в силу
A7.9) q « рр ^ &, то можно положить |q + k| — q « к cos 0, после
чего (с учетом пределов A7.9))
д _ 2niZ2kcos6
UJ — kVF COS в
Легко показать тем же способом, что такое же выражение
для А (но с другим знаком у гО) получается и при cos в < 0
(когда интегрирование должно производиться по области q > рр,
|q + k| < рр). Таким образом, в ядре уравнения A7.5) имеем
G(Q)G(Q + K) = ^z4kS(qo)S(q-PF) +y(Q);	A7ЛО)
uj — «i?lk + гО • sign о;
где написано Ik вместо к cos в A = q/g), а функция ip не содержит
(при малых К) <5-функционной части, и потому в ней молено
положить К = 0.
Подставив A7.10) в A7.5), получим основное интегральное
уравнение в виде
L, Р2)=Г7«)в|8(Р1, Р2)-
Г; Q, P2) -^+
^^- A7-11)
В последнем члене подставлено d4Q = q2 dqdoidq^ (где do/—эле-
do/—элемент телесного угла в направлении 1) и интегрированием
по dqdqo устранены ^-функции. В этом члене в функциях Г
и Г аргумент Q берется на ферми-поверхности: Qp = @, pfI)-
Обратим внимание на специфический характер множителя
Ik/(о; — vplk) в ядре уравнения A7.11): его предел при к —»> 0,
о; —^ 0, зависит от предела, к которому стремится при этом отно-
отношение си/к. Таким же характером будет обладать, следовательно,
и решение уравнения: предел функции Т(К; Pi, P2) при К —»> 0,
зависит от способа стремления к нулю ио и к.
Обозначим через ТШ{Р\^ Р2) предел
Р2) = Urn TlS^{K- Ръ Р2) при к/ш -»• 0 A7.12)
(мы увидим в § 18, что именно с этой величиной связана функция
взаимодействия квазичастиц). При таком способе перехода к пре-
пределу ядро последнего интегрального члена в A7.11) обращается

§ 17	ВЕРШИННАЯ ФУНКЦИЯ ПРИ МАЛЫХ ПЕРЕДАЧАХ ИМПУЛЬСА	93
в нуль, так что Г^ удовлетворяет уравнению
Г?,а/3(Рь Р2) =
= Т18,аР{Ръ Р2) - ijf^ax{Pu Q)<p(Q)T%SiCf)(Q, P2)
A7.13)
Отметим, что ввиду A5.8)
i, Pi) = ПглЛЪ, Pi)-	A7.14)
Из двух уравнений A7.11) и A7.13) можно исключить Г.
Результат исключения:
Г18,ар(К; Ръ Р2) = Г7г)а/з(Рь Р2)+
Действительно, если формально записать A7.13) в виде Г=
то A7.11) запишется как
Подставив сюда Г = LTU и применив к обеим сторонам равенства
оператор L, получим A7.15).
Введем теперь функцию Г^ согласно
7i,ejg(r; Ръ Р2) при и/к -»¦ 0. A7.16)
Именно эта функция, умнож:енная на Z2, представляет собой
амплитуду рассеяния вперед (т. е. перехода Pi, P2 —» Pi, P2),
отвечающую реальным физическим процессам, происходящим
с квазичастицами на ферми-поверхности: столкновения, остав-
оставляющие квазичастицы на этой поверхности, сопровождаются
изменением импульса без изменения энергии, и потому переход
к пределу нулевой передачи импульса (к —»> 0) должен про-
производиться при строго равной нулю передаче энергии (си = 0).
Введенная же выше функция Г^ отвечает нефизическому пре-
предельному случаю «рассеяния» с малой передачей энергии при
строго равной нулю передаче импульса (к = 0).

94
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Положив в A7.15) ио = О, перейдя к пределу к —> 0 и умножив
обе стороны равенства на Z2, получим
P2) = Z^g^Pu Р2)-
2T^a>{(Pi, Qf) ¦ Z2rtSXp(QF, P2)doh A7.17)
Таким образом, существует общее соотношение, связывающее
обе предельные формы амплитуды рассеяния вперед.
Свойства антисимметрии A5.8) для Г дают некоторую ин-
информацию о поведении Г^ и Г^ при Р\ —> Р^. Положив в этом
равенстве Р\ = Р2 и а = C, получим
^S,aa(Pl +K,P1- К- РЪ Рх) = 0	A7.18)
(суммирования по а здесь нет!)г). Переход к Г^ или Г^ в этом
равенстве надо производить с осторожностью, так как в Р, Ffe
сначала положено К = 0, а в A7.18) — сначала Р\ = Ръ-
Пусть одновременно малы К и Р\ — Р2 = S = (so, s). Тогда
помимо диаграмм A7.2) будут опасными также и диаграммы
Р2-К
При К, S —)> 0 функция T^s,aa будет зависеть, следовательно, от
двух «особых» аргументов:
UJ	Sn + UJ
k	ls + k|
и A7.18) означает обращение этой функции в нуль при х = у.
Будем рассматривать значения Г на ферми-поверхности; тогда
со = 5q = 0, так что и у = 0. Поэтому в таком пределе равенство
A7.18) имеет место, только если и х = 0. Другими словами, на
ферми-поверхности оно справедливо для Г^:
Г^,оа(^Ь^2)=0	A7.19)
(N.D. Mermin, 1967).
1) При учете лишь обменного взаимодействия между спинами квазичастиц
из всех Г7<5, аа отличны от нуля лишь Гас,, аа. Это утверждение выражает со-
собой неизменность вектора спина при рассеянии. Его можно проверить также
и непосредственно по выражению вида B.4).

§ 18	ФУНКЦИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КВАЗИЧАСТИЦ	95
§ 18. Связь вершинной функции с функцией
взаимодействия квазичастиц
Подобно тому как в образовании матричного элемента G.9),
определяющего одночастичную функцию Грина, участвуют
промежуточные состояния с числами частиц iV± 1, так и в обра-
образовании двухчастичной функции Грина (матричный эле-
элемент A5.1)) участвуют промежуточные состояния с iV, N ± 1,
N ± 2 частицамих).
Ввиду наличия промежуточных состояний с N ± 1 частицей
двухчастичная функция Грина имеет полюсы, совпадающие с
полюсами функции G, т. е. с энергией квазичастицы. Соответ-
Соответствующие множители, однако, выделены в A5.7) в явном виде.
Поэтому определяемая этой формулой вершинная функция Г
имеет лишь полюсы, соответствующие состояниям с N и N ± 2
частицами. Момент импульса этих состояний отличается от мо-
момента основного состояния на 0 или 1, так что отвечающие этим
полюсам элементарные возбуждения имеют целый спин @ или 1)
и потому подчиняются статистике Бозе. Другими словами, полю-
полюсы вершинной функции определяют бозевские ветви энергетиче-
энергетического спектра ферми-жидкости.
Полюсы, возникающие от промежуточных состояний без из-
изменения числа частиц, отвечают элементарным возбуждениям,
представляющим кванты нулевого звука. В диаграммной тех-
технике промежуточным состояниям отвечают различные сечения
диаграмм, разделяющие их на две части между теми или иными
из ее внешних концов. В данном случае промежуточным состо-
состояниям без изменения числа частиц отвечают сечения диаграмм
A7.3) по одной из пар сплошных линий, соединяющих соседние
блоки Г; неизменность числа частиц в этих состояниях выра-
выражается одинаковостью числа линий, пересекающих сечение в ту
и другую стороны. Перенос 4-импульса через такое сечение есть
(Q+K) — Q = К] соответственно этому, элементарным возбужде-
возбуждениям без изменения числа частиц отвечают полюсы вершинной
функции Г(К; Pi, P2) по переменной К.
Мы видели выше (при выводе A7.10)), что из двух импуль-
импульсов q и q+k (входящих в 4-векторы Q и Q+K) один должен быть
больше, а другой меньше предельного импульса pp. С другой
стороны, при возбуждении из основного состояния вне ферми-
сферы могут быть только «частицы», а внутри нее — только
1) Состояния с N частицами возникают при такой, например, последова-
последовательности операторов в Т-произведении, как Фз^^^Ф^ • Состояния же с
N + 2 частицами отвечают таким последовательностям, как Ф3

96
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
«дырки». В этом смысле можно сказать, что нулевые возбу-
возбуждения в ферми-жидкости можно рассматривать как связанные
состояния частицы и дыркиг).
Элементарные же возбуждения, отвечающие промежуточным
состояниям с N ± 2 частицами (им соответствуют полюсы функ-
функции Г (К; Pi, P2) по переменной Pi + Р2), можно было бы рас-
рассматривать как связанные состояния двух частиц или двух ды-
дырок. Наличие таких состояний, однако, привело бы (как будет
показано в гл. V) к сверхтекучести ферми-жидкости, что, в свою
очередь, требует существенного изменения всего математическо-
математического аппарата диаграммной техники.
Таким образом, для определения бозевской ветви энергети-
энергетического спектра несверхтекучей ферми-жидкости надо исследо-
исследовать полюсы вершинной функции Т(К] Pi, P2) по переменной
К = (c<j, к). При каждом значении к полюсу отвечает опреде-
определенная энергия ио = с<;(к), чем и определяется закон дисперсии
этих возбуждений. Для слабо возбужденных состояний ио и к
малы, так что можно использовать уравнения, полученные для
функции Т(К; Pi, P2) в области малых значений К.
Вблизи полюса функции Г левая сторона и интеграл в пра-
правой стороне уравнения A7.15) сколь угодно велики; член же
Fu;(Pi, P2) остается конечным и потому может быть опущен.
Далее замечаем, что переменная Р2, а также индексы /3 и 6 не
затрагиваются операциями, производимыми в уравнении A7.15)
над функцией Г, т. е. играют в нем роль несущественных пара-
параметров. Наконец, мы будем рассматривать функцию Г на
поверхности ферми-сферы, т. е. положим Pi = @, р^п), где п —
переменный единичный вектор. Имея все это в виду, делаем вы-
вывод, что определение возбуждений в ферми-жидкости сводится
к задаче о собственных значениях интегрального уравнения
A8Л)
где х7а(п) — вспомогательная функция.
Преобразуем это уравнение, введя вместо х новую функцию
I/7a(n)= "k Y7a(n).	A8.2)
UJ Vnk
1) В такой постановке задача формально имеет много общего с задачей об
определении уровней связанных состояний электрона и позитрона в кван-
квантовой электродинамике (см. IV, §125). В частности, уравнение A7.4), A7.5)
аналогично уравнению Бете - Солпитера (см. IV, A25.10), A25.11)).

§ 18	ФУНКЦИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КВАЗИЧАСТИЦ	97
Тогда уравнение A8.1) примет вид
(со - vFnk)uia(n) = kn^ /г^ах(п, n'Kc(n') do' A8.3)
(обозначение 1 заменено на n').
Это уравнение по форме в точности совпадает с кинетиче-
кинетическим уравнением D.10) для колебаний ферми-жидкости. Срав-
Сравнение обоих уравнений приводит к следующему соответствию
между функцией взаимодействия квазичастиц и функцией Г^
/7<5,а/з(р^п, pj.il') = Z2T^ap(n, n').	A8.4)
Тем самым выясняется связь между функцией / и свойствами
рассеяния квазичастиц1).
Равенство A8.4) связывает / с амплитудой нефизического
процесса рассеяния. Воспользуемся теперь формулой A7.17) и
получим с ее помощью явное соотношение между / и «физиче-
«физической» амплитудой рассеяния вперед для квазичастиц на ферми-
поверхности, которую обозначим как
Соотношение A7.17) на ферми-поверхности принимает вид
Vf ff	г\д	ii \do A8.6)
BttJvf J '	'	4тг
Спиновая зависимость функций А и / может быть выражена
с помощью матриц Паули ст. В общем случае эти функции мо-
могут содержать любые скалярные комбинации четырех векторов
ni, П2, 0"i, G2- Но если взаимодействие между частицами явля-
является обменным, то допустимыми скалярными произведениями
являются лишь П1П2 и <J\<J2' Тогда функции А и / можно пред-
представить (как это было уже сделано для / в B.4)) в виде
Ч? П2) =
x) Излож:енный общий вывод принадлеж:ит Л. Д. Ландау A958). Для слабо
неидеального ферми-газа вывод кинетического уравнения путем суммирова-
суммирования конкретных диаграмм типа A7.3) был ранее произведен А. Б. Мигдалом
и В. М. Галицким A958). Заметим, что в случае газа в G-функциях (в нуле-
нулевом приближении) отсутствуют неполюсные члены, и потому вопрос об их
исключении не возникает.
4 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

98
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
где коэффициенты F, G, В, С — функции только от угла д меж-
между ni и П2- Эти функции разлагаем по полиномам Лежандра
81?),...	A8.8)
1=0
Подставив A8.7), A8.8) в A8.6) и вычислив интеграл, используя
при этом теорему сложения для полиномов Лежандра, получим
B, = F,A-B,), С, = С,A-С,).	A8.9)
Этими формулами устанавливается простая алгебраическая связь
между коэффициентами разложений / и А.
Условия устойчивости B.19), B.20) приводят к аналогичным
неравенствам для коэффициентов Б/, С\\
Вг < 1, Q < 1.	A8.10)
Кроме того, эти коэффициенты удовлетворяют соотношению,
являющемуся следствием формулы A7.19): В@)+С@)=0 или
Ci) = 0.	A8.11)
1=0
Равенства A8.9) и A8.11) вместе с условиями A8.10) достаточ-
достаточны для доказательства интересного утверждения: во всякой
устойчивой ферми-жидкости существует по крайней мере одна
ветвь (обычная или спиновая) аксиально-симметричного нулево-
нулевого звука1).
§ 19. Тождества для производных от функции Грина
В математическом аппарате функций Грина существенную
роль играют некоторые тождественные соотношения между про-
производными от этих функций и амплитудой рассеяния квазича-
квазичастиц. Вывод этих соотношений однотипен: вычисляется измене-
изменение гриновской функции под влиянием некоторого фиктивного
«внешнего поля», результат воздействия которого на систему
известен заранее.
Поэтому прежде всего вычислим изменение 6G гриновской
функции под влиянием «внешнего поля» произвольного вида.
Такому полю соответствует в гамильтониане член
= /*+(*, г) 6U$a(t, г) dsx,	A9.1)
х) См. N. D.Mermin // Phys. Rev. 1967. V. 159, P. 161.

§ 19	ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ФУНКЦИИ ГРИНА	99
где SU — некоторый оператор, действующий на функции от г
(и могущий зависеть также от времени t).
При наличии внешнего поля функция Грина зависит уже от
двух 4-импульсов Р\ и ?2- В диаграммной технике такое поле
изображается новым графическим элементом — внешней штри-
штриховой линией:
Pi
причем такой линии сопоставляется множитель
-i6U(P2, Pi) = -г feiP2X6Ue~iPlX d4X.	A9.2)
В первом порядке по внешнему полю поправка к точной функции
Грина изображается суммой двух скелетных диаграмм
iSG(Plt P2) = P2—^—Pi + T^ J	 ' A9.3)
где все сплошные линии — жирные (точные G-функции), а кру-
кружок — точная вершинная функция (гТ). В аналитическом виде
это равенство записывается как
5Gpa(P2, Pi) = G^(P2MU(P2, Pi)G7a(Pi)-
J, Qi; Pi, Q2)x
, Qi)GCx{Q2)GxS{Q1) |^ A9.4)
причем Q2 + Pi = P2 + Qi.
Первые два из интересующих нас тождеств связаны с сохра-
сохранением числа частиц в системе. В гамильтониане системы это
свойство выражается тем, что ^-операторы входят в него пара-
парами: по одному Ф+(Х) и Ф(-Х") для каждого аргумента X.
Произведем калибровочное преобразование ^-операторов:
A9.5)
где х(-Х") — вещественная функция1). В силу указанного ха-
характера гамильтониана, если Ф удовлетворяет «уравнению
1) Это преобразование аналогично калибровочному преобразованию в
квантовой электродинамике (см. 111,A11.8), A11.9)).

100
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Шредингера» G.8), то Ф' удовлетворяет тому же уравнению с
заменой
dt dt dt
При бесконечно малом х — $Х такое изменение уравнения экви-
эквивалентно добавлению к гамильтониану «внешнего поля»
SU = -^ + M
dt 2m
В частности, если
6Х(Х) = Re (Xoe-iKX), К = (и, к),
(ввиду линейности последующих операций знак Re можно опу-
опустить), то
SU(P2, Р1)=1{2тт)\^\Р2-Р1-К) [и~к (pi+p2)] • A9.6)
С другой стороны, функция Грина, построенная по ^-операторам:
отличается от функции, построенной по операторам Ф, Ф+ на
SGa0(Xu Х2) = гСа0(Хг - Х2)[6Х(Х1) - дХ(Х2)}
или, в компонентах Фурье:
SGap(P2, Рх) =J6Gafi{X1, Х2)е^х^р^и4Х1A4Х2 =
= i[Gap{Pi) - Gap(P2)]6X(P2 - Pi), A9.7)
где
6X(P) =JdX(X)eiPXd4X = BжLХ0д^(Р - К).
Таким образом, одно и то же изменение 6Gaj3 выражено в
двух видах: A9.7) и A9.4), куда надо подставить SU из A9.6).
Приравняв оба эти выражения друг другу, получим (после заме-
замены Gap = G5a/3 и некоторых переобозначений переменных)
6a$[G{P + K)- G(P)] = G(P + K)G{P){ [-ш
P, Q)G{Q)G{Q -K

§ 19	ТОЖДЕСТВА ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ФУНКЦИИ ГРИНА	101
Искомые тождества получаются путем перехода в этом равен-
равенстве к пределу c<j, k —> 0; при этом
G(P + K)-G(P)^uj— + k—	A9.8)
дро $Р
(где Р = (ро? р))- Произведя этот переход при условии к/си —»> 0,
получим первое тождество
A9.9)
Здесь введено обозначение
{G2(P)}u = Hm G(P)G(P + К) при к/ои -> 0. A9.10)
u;kH
Аналогичным образом, произведя предельный переход при
условии си/к —)> 0, получим еще одно тождество
A9.11)
с аналогичным обозначением {G2(P)}/C.
Далее, рассмотрим изменение функции Грина при наложении
на систему постоянного поля
SU = SU(t) = C/Oeikr.	A9.12)
При к —> 0 это поле медленно меняется в пространстве, так что
его влияние на систему может рассматриваться макроскопиче-
макроскопически. Согласно термодинамическому условию равновесия во внеш-
внешнем поле должно быть \± + SU = const (см. V, § 25); при к —»> 0
это означает, что химический потенциал \i изменяется на малую
величину — Uq. Соответствующее изменение функции Грина:
8Gap{Xu X2) = -d
а его фурье-компонента (определенная, как в A9.7)):
, Pi) = -Bтг)
С другой стороны, это же изменение функции Грина можно вы-
вычислить по формуле A9.4), положив в ней на этот раз
SU(P2, Pi) = BttLU06^(P2 -Pi-К) (К = 0, к).

102
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Переход к пределу к —> 0 в данном случае (постоянное поле,
си = 0) отвечает случаю си/к —»> 0. В результате получаем
тождество
[|^a,(P, Q){G\Q)}k 0]
A9.13)
Наконец, последнее тождество возникает как следствие гали-
леевской инвариантности системы. Для его вывода рассмотрим
жидкость в системе координат, движущейся с медленно меняю-
меняющейся со временем малой скоростью 6w(t) = 6we~t(Jjt. Переход к
такой системе эквивалентен наложению внешнего поля, оператор
которогох)
SU = -Sw • р = -Sw • V	A9.14)
m
или, в импульсном представлении
6U(P2, Pi) = -piSwBirLSW(P2 -Pi-К), К = (ш, 0).
Это выраж:ение надо подставить в A9.4), после чего производим
предельный переход о; —^ 0.
С другой стороны, при о; —^ 0 речь идет о преобразовании
Галилея от одной инерциальной системы отсчета к другой, дви-
движущейся с постоянной скоростью Sw. Если в жидкости имеется
элементарное возбуждение с энергией ?(р), то в системе отсчета,
движущейся относительно жидкости со скоростью 5w, энергия
этого возбуждения будет е — p^w 2). Поэтому в новой системе
отсчета частота ро должна входить в функцию G(P) в комбина-
комбинации ро + p^w, так чтобы полюс функции сдвинулся на —pSw.
Таким образом,
8G = p8w—,
и мы приходим к тождеству
A9.15)
Х)В классической функции Лагранжа свободной частицы L=mv2/2 пе-
переход к движущейся системе координат совершается заменой v —»> v+?w
и приводит к появлению малой (при малом Sw) добавки 5L=mv5w. Соот-
Соответственно (см. I, D0.7)) добавка к функции Гамильтона 5Н= — p#w, а в
квантовой механике ей отвечает оператор A9.14).
2) См. более подробные рассуждения ниже, в § 23.

20 ВЫВОД СВЯЗИ МЕЖДУ ПРЕДЕЛЬНЫМ ИМПУЛЬСОМ И ПЛОТНОСТЬЮ 103
Нам придется ниже применять полученные тождества, в част-
частности, при значениях свободной переменной Р = (ро, р) на фер-
ми-поверхности: Рр = @, Pf)- Перенеся множитель G2(P) из
правых сторон тождеств в левые, заменим там производные
от G(P) производными от G~1{P)\ при этом способ перехода к
пределу К —»> 0 в G{P)G{P + К) несуществен.
С другой стороны, вблизи ферми-поверхности функция Гри-
Грина определяется своим полюсным членом, так что
Отсюда, на самой этой поверхности,
dG'1 _ I dG'1 _ vF dPF
дро ~ Z' dfi ~ Z dfi'
В результате, например, тождества A9.9) и A9.13) принимают
на ферми-поверхности вид
#^ = (l - i) Safi,	A9-16)
, Q){G\Q)h 0 = (l - f df) S^. A9.17)
§ 20. Вывод связи между предельным импульсом и
плотностью
Полученные в предыдущих параграфах соотношения позво-
позволяют дать последовательное доказательство основного положе-
положения теории ферми-жидкости Ландау: утверждения о том, что
связь между предельным импульсом рр и плотностью жидко-
жидкости N/V дается той же формулой A.1), что и для идеального
газа.
Идея доказательства состоит в независимом вычислении из-
изменений N и рр при бесконечно малом изменении химического
потенциала \i и затем их сравнении.
Согласно G.24), полное число частиц (в заданном объеме V)
как функция химического потенциала дается интегралом
N = -2iVlim G(P)e-tpot ^-, P=(po,p)-	B0.1)
Отсюда производная
V d\i	J дц Bтг)

104
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Ввиду сходимости этого интеграла при больших ро {dG/dfi ос
ос 1/pq при |ро| —> оо) писать множитель e~tpot в подынтеграль-
подынтегральном выражении уже не надо. После подстановки сюда dG/дц из
тождества A9.13) (просуммированного по а = /3) находим
где для краткости Г = Гаъа7. Цель дальнейшего вычисления
состоит в том, чтобы выразить правую часть этого равенства
через интеграл только по ферми-поверхности.
Прежде всего подставим вместо Г^ во втором интеграле вы-
выражение из A7.17) (заменив в нем обозначение Qp на S)
If = 2iJ{G2(P)}k *fc +J{G2(P)}kT»(P,
B0.3)
Преобразуем сначала последний член. В его подынтегральном
выражении от Q зависят только последние два множителя; инте-
интеграл от них по d4Q определяется (на ферми-поверхности,
S = Sp) формулой A9.17), так что этот член принимает вид
.yFz>
B7ГL V Z
Далее, вспомним, что при интегрировании по dAP предельные
значения G{P)G{P+K) надо понимать в смысле A7.10); поэтому
{С\Р)}Ш = <р(Р), а
{G2(P)h = {О2(Р)}Ш - —6(poN(p-pF).	B0.4)
VF
После этой замены получим
где, согласно A8.4), введена функция взаимодействия квазича-
квазичастиц и использовано выражение fa?,a€ через функцию -F(^),
согласно B.6), B.7); черта над F означает интегрирование по
do/Air. Оставшийся интеграл по dAP дается формулой A9.16),
после чего интегрирование по dos дает еще множитель 4тг. В ре-
результате третий член в B0.3) оказывается равным
B0.5)
Z AЦ

§ 20 ВЫВОД СВЯЗИ МЕЖДУ ПРЕДЕЛЬНЫМ ИМПУЛЬСОМ И ПЛОТНОСТЬЮ 105
Аналогичным образом преобразуется второй член в B0.3): ве-
величины {G2(P)}k и {G2(Q)}k выражаются через {G2(P)}U
и {G2(Q)}U согласно B0.4), после чего используются тождества
A9.9) и A9.16). В результате этот член оказывается равным
<9роBтгL	J L v /J BтгL vF7T2 I \Z
B0.6)
Первый интеграл обращается в нуль при интегрировании по фо>
поскольку G —)> 0 при ро —^ ±оо.
Наконец, первый член в B0.3) после подстановки в него B0.4)
дает
Сложив теперь все вклады B0.5)-B0.7), найдем
idN = pjdj^ + ?Z_ L _ ^
V djji -к2 dii tt2vf L	dj2
С другой стороны, с помощью формулы B.14), в которой следует
положить
5п' = -^брр = 8(р — pf)8pf
SpF
находим
^ = vF(l + F).	B0.9)
dpF
Подчеркнем, что при выводе B.14) еще не использовалась кон-
конкретная зависимость рр от N/V, и поэтому мы имеем право при-
применить здесь это соотношение с целью нахождения указанной
зависимости (равенство B0.9) можно, конечно, получить и с по-
помощью тех же соотношений для вершинных функций, которые
были использованы при выводе B0.8))х).
С учетом этого равенства мы видим, что фигурная скобка в
B0.8) обращается в нуль и, таким образом,
_rf_7V _ p^dpp^ _ _d_ Г 8тгр%
dfiV тг2 dfi dfi |_3BttK
При N/V —)> 0 мы имеем дело с газом, так что в этом пределе
зависимость рр от N/V во всяком случае должна совпадать с
х) Формула же B.11) для эффективной массы может быть выведена с по-
помощью соотношения A7.17) и тождеств A9.11) и A9.15).

106
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
газовой. Этим условием устанавливается постоянная при инте-
интегрировании B0.10), и мы приходим, наконец, к искомому соот-
соотношению A.1):
=
V ~ 3BтгK'
§ 21. Гриновская функция почти идеального ферми-газа
Для иллюстрации способа применения диаграммной техни-
техники в этом параграфе мы применим ее к вычислению гриновской
функции почти идеального ферми-газа в рамках той же моде-
модели, которая была рассмотрена в § 6 с помощью обычной теории
возмущений (В.М. Галицкий, 1958). Напомним, что речь идет
о газе с отталкиванием между частицами, причем описанный в
§ 6 прием позволяет применять к этому взаимодействию теорию
возмущений до тех пор, пока в окончательный результат вычис-
вычисления входит только амплитуда рассеяния.
Как было показано в § 14, нахождение функции Грина сво-
сводится к вычислению собственно-энергетической функции Sa/#(P).
В первом и втором приближениях теории возмущений она дает-
дается совокупностью диаграмм A4.9) и A4.10). Изобразим их здесь
следующим образом:
P-Q
B1.1)
Диаграммы B1.1а, б) охватывают собой диаграммы первого по-
порядка A4.10а) и A4.9а) и диаграммы второго порядка A4.106,в)
и A4.96,в); последние отличаются от первых лишь поправками к
внутренней сплошной линии; эти линии изображены в B1. la; 6)
жирными и им должны сопоставляться, следовательно, не гри-
новские функции идеального газа G^°\ а функции G, исправлен-
исправленные до членов первого порядка. Наконец, B1.1в;г) — это
диаграммы второго порядка A4.10г;д). Все диаграммы дефор-
деформированы так, что становится ясным характер их структуры;

§ 21	ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ	107
это — первые члены «лестничного» ряда четырехконцевых диа-
диаграмм, в которых по паре из внешних линий «закорочены» друг
с другом двумя различными способами.
Начнем с вычисления диаграммы B1.1а). Ее аналитическое
выражение
(общий множитель 8ар опущен). Произведем сначала интегри-
интегрирование по dqo. Поскольку, однако, множитель U(Q) = U(q) от
go не зависит, a G ос 1/qo при \qo\ —»> ос, то необходимо пред-
предварительно уточнить способ интегрирования. Для этого надо
вернуться к происхождению диаграммы B1.1а) и заметить, что
сплошная линия в ней соответствует свертке пары -^-операторов
внутри одного и того же оператора V. Это значит, что Ф и Ф+
берутся в одинаковый момент времени, и при свертывании Ф+
стоит слева от Ф. Другими словами, в координатном представле-
представлении возникающая G-функция берется при t = t\ — ?2 —^ —0. В им-
импульсном же представлении это означает добавление в подынте-
подынтегральном выражении в B1.2) множителя exp (—iqoi) с переходом
к пределу t —»> —0. Использовав теперь формулу G.23), получим
[-гЩ а = ifu(<i)N(p - q) |^,	B1.3)
где iV(p) — функция распределения частиц.
Фурье-компонента C/(q) существенно зависит от величины q
лишь при q > 1/го, где го — радиус действия поля С/(г); эти
значения заведомо велики (для разреженного газа) по сравне-
сравнению с pf- Если ограничиться значениями \р— рр\ ^С 1/^о, то при
указанных значениях q будет N(p—q) « 0. Поэтому C/(q) в B1.3)
можно заменить на U@) и вынести из-под знака интеграла1).
Оставшийся интеграл равен половине (заданное значение проек-
проекции спина!) плотности газа n([i), так что [?]«= — n(/i)?7@)/2.
Диаграмма ж:е B1.1 б) с замкнутой на себя сплошной линией
дает [?]# = n(fi)U@). Таким образом, вклад в S от обоих диа-
диаграмм есть	г ,	1/ч/ч2тг/\	/ ч
Р Ща> б = in а* 17 0 = -n(ti)a, B1.4)
2	т
где а — длина рассеяния, определенная согласно F.2).
1) Допускаемая таким образом погрешность имеет, как легко видеть, от-
относительный порядок величины ~ (pfVoJ и потому не отражается даже на
членах следующего по pfTq порядка.

108
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Выражение B1.4) содержит в себе, в частности, весь эффект
первого порядка. В этом приближении п(//) надо понимать как
плотность идеального газа ттл°)(//), так что
j]A) = [Sl^ = —n^(u)a.	B1.5)
а'	т
Для дальнейгпего вычисления введем, в качестве промежу-
промежуточного обозначения, функцию F, определенную лестничными
диаграммами:
B1.6)
(как всегда, Pi + Р2 = Р3 + Р^)- В аналитическом виде
iFl5Mpz, ^4! Ръ Pi) = i
где
B1.8)
B1.9)
Раскрыв обе диаграммы B1.1в;г) и выразив их через
получим
НЕ(Р)]в(8 = -Jg^(Q)fW(P, Q; Q, P) 0
, Q; P, Q) 0 B1.10)
(такие же интегралы с F^ вместо F^ дают B1.5)). Разница
знаков перед двумя интегралами связана с наличием замкнутой
петли в диаграмме B1.1 г); 5-множители в первой диаграмме да-
дают 8a^8^j3 = 5a/5, а во второй: SapS^ = 25a^.
Перейдем к вычислению F^K Поскольку U(Q) не зависит
от до, то интегрирование по dp'o сводится к интегралу
2тг
Подставив сюда G^ из (9.9) (и учитывая сходимость интегра-
интеграла при |pq| —> ос), замыкаем путь интегрирования бесконечно
удаленной полуокружностью в одной из полуплоскостей ком-
комплексного Pq; интеграл отличен от нуля, лишь если полюсы двух

§ 21	ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ	109
функций G'0' лежат в различных полуплоскостях, т. е.
sign (р' - pF) = sign (|pi + Р2 - р'| - Pf)-	B1-11)
В результате получим
J
U(p1-p')U(p'-p3)sign(p' -PF)
sign(p'-pF) BтгK
B1.12)
(где uj\ = рю, UJ2 = P2o)- При этом, чтобы автоматически учесть
требование B1.11), в числителе подынтегрального выражения
следует заменить
sign(p' - pF) ->• 1 - 0(р') - 0(pi + р2 - р'),
где в(р) — ступенчатая функция A.10).
Мы видели в § 16, что ряд лестничных диаграмм определяет
(в вакууме) амплитуду взаимного рассеяния двух частиц. Поэто-
Поэтому выражение B1.12) содержит в себе поправку к членам перво-
первого порядка в амплитуде рассеяния. Эту поправку можно учесть,
заменив в F^ B1.8)
U(ps - Pi) -> -—Re/(p3, pi)
m
(где / — точная до второго порядка амплитуда рассеяния в ва-
вакууме) г) и одновременно вычтя из выражения F^ B1.12) веще-
вещественную часть его значения в вакууме, т. е. при рр = 0, \i = 0
и значениях ш\ = р\/2т, UO2 = p^I'lvn^ отвечающих энергиям
двух реальных сталкивающихся частиц («физические» внеш-
внешние концы диаграмм). После этого можно уже будет заменить —
Re/ значением при нулевой энергии, т. е. длиной рассеяния а2).
1)	Не смешивать / в этом параграфе с функцией взаимодействия квази-
квазичастиц!
2)	Эта замена не могла быть произведена в B1.12), так как привела бы к
расходимости интеграла при больших р'. После произведенного же вычита-
вычитания интеграл сходится (при р ~ pf) уже и с такой заменой, что и позволяет
произвести ее. Вычитание лишь вещественной части интеграла (и соответ-
соответственно замена U через Re/) произведено с целью избежать затруднения,
связанного с мнимой частью амплитуды рассеяния. Дело в том, что при ма-
малых импульсах Re / разлагается по четным, a Im / — по нечетным степеням
импульса (см. III, §132). Поэтому учет импульсной зависимости / привел
бы к поправкам относительного порядка (qFdJ, т. е. пренебрежимым. За-
Замена же U —>¦ — 4тг//т потребовала бы учета мнимой части /, приводящей
к поправкам относительного порядка величины

110
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
Таким образом, будем иметь
1-0(р/)-0(Р1+Р2-р/)
т J J [(jJi+(jJ2+2[i—(l/2m)[p/2 + (pi+p2— р'J]+г0 • sign(p/— pf)
_P	 *H	КЛЛ_л B1.13)
Знак Р во втором члене означает, что интеграл берется в смыс-
смысле главного значения; это — результат отделения вещественной
части интеграла с помощью правила (8.11).
Поскольку выражение B1.13) симметрично по Р\ и Р2, оба
интеграла в B1.10) совпадают, так что
[-гЕ(Р)]в,г = [GW(Q)FW(P, Q; P, Q) -^-.
При подстановке сюда первого члена из B1.13) интеграл по
отличен от нуля, если
sign (pf -pF) = -sign (q-pF),	B1.14)
так что оба полюса подынтегрального выражения снова нахо-
находятся в разных полуплоскостях q$. При подстановке же второго
члена из B1.13) от до будет зависеть только множитель Gq(Q),
интегрирование по dqo осуществляется формулой G.23) и дает
iV"(°)(q) — функцию распределения частиц в идеальном газе, т. е.
ступенчатую функцию #(q). В результате получим (собрав вкла-
вклады от всех диаграмм B1.1а;г))
где
Е(а;, р) = ^)a + EW(Wj p),	B1.15)
т
V го / J \w+/*+(l/2ro)[g2-p'2-(p+q-p'J]+«0 • sign (p' - pF)
р	2mfl(q)	] d3qd3p' /g
(множитель 0(q) ~ ^(pO b числителе первого члена под знаком
интеграла заменяет собой — sign (q — Pf) при условии B1.14)).
Заметим прежде всего, что S имеет мнимую часть. Она
выделяется из B1.16) с помощью правила (8.11) и дается

21	ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ ФЕРМИ-ГАЗ	111
выражением
нием
w, р) = - (^) 7r|{(9(q)[l - 0(р')][1 - в(р
q - р')]-
B1-17)
(выражение в фигурных скобках преобразовано с учетом того,
что02(р) = 0(р)).
Спектр энергий квазичастиц вычисляется, согласно A4.13),
как	2 о	/ ч / з	\
?(Р) = f- + -n(/,)a + sB) f- -M, p	B1.18)
zm т	\Zm	J
(в SB) можно, с требуемой точностью, положить е « р1/2т).
Комплексность S означает наличие затухания у возбуждений
(Ime^O).
Появление этого затухания выражает неустойчивость квази-
квазичастиц, связанную с возможностью реального процесса их рас-
распада. Квазичастица может отдать часть своей энергии, за счет
которой рождается пара квазичастиц (частица и дырка). Рас-
Рассмотрим, например, первый член в фигурных скобках под инте-
интегралом в B1.17). По свойствам ступенчатой функции этот член
отличен от нуля, если
Pf>PF, |q + P-p'|>PF, q<PF-
Эти неравенства отвечают процессу, в котором квазичастица с
начальным импульсом р (р > рр) переходит в состояние р'
(р > р1 > р^), причем импульс р — р' передается частице внутри
ферми-сферы (импульс q < pp), возбуждаемой до состояния с
импульсом q + р — р' вне ферми-сферы; такой переход эквива-
эквивалентен появлению двух новых элементарных возбуждений — с
импульсами — q (дырка) и q + р — р'. Закон сохранения энер-
энергии в этом процессе выражается ^-функцией в B1.17), в которой
uj + \i играет роль начальной энергии квазичастицы е(р):
(здесь достаточно положить, в первом приближении, е(р)=р2/2т).
В соответствии с указанным смыслом, определенная этим ра-
равенством энергия е(р) действительно отвечает квазичастице вне
ферми-сферы (е > /i).
Аналогичным образом, второй член в фигурных скобках
в B1.17) возникает от процессов, в которых пара рождается
дыркой. Этот член дает затухание элементарных возбуждений
с е < \i. На языке диаграммной техники возможность рождения
пары квазичастицей выражается возможностью рассечь

112
ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ФЕРМИ-СИСТЕМЫ ПРИ Т = О
диаграмму G-функции на две части путем пересечения ее по
трем сплошным линиям, из которых две направлены в одну, а
третья — в другую сторону. На диаграммах B1.1в;г) таковы се-
сечения, проходящие между двумя штриховыми линиями.
Случай слабо неидеального газа специфичен (по сравнению
с общим случаем произвольной ферми-жидкости) в том отноше-
отношении, что спектр квазичастиц в нем имеет смысл во всей обла-
области значений импульсов, а не только вблизи ферми-поверхности:
затухание квазичастиц (line) оказывается относительно малым
уже благодаря малости «параметра газовости» ар р. Мы приве-
приведем здесь, однако, окончательный результат вычислений лишь
для двух предельных случаев.
Вблизи ферми-поверхности (\р — Pf\ <^Pf) получается
Re s = [i + (p — Pf)pf/^
с \i из F.14) и m* из F.17). Для затухания же квазичастиц по-
получается
Ime = -— (pFaJ(p - pFJ sign (р - рр).	B1.19)
пт
Пропорциональность этого выражения квадрату (р — pfJ име-
имеет ясное происхождение: один множитель р — рр возникает как
ширина той области импульсного пространства (узкий шаровой
слой), в которую попадает импульс квазичастицы после рожде-
рождения ею пары, а еще один такой множитель — как ширина слоя, в
котором рождается пара. Отметим, кстати, что эти соображения
относятся и к любой ферми-жидкости, так что вблизи ферми-
поверхности всегда 1те се (р — ррJ1).
При больших импульсах р^> рр (но все же ра <С 1) имеем
/ 2	о	\
е = I ^— + -^-^рра I — г^—^-{рра) .	B1.20)
\ 2777-	ЗТТТП	)	37Г777-
В обоих случаях отношение Ime/Ree мало. Максимальное
значение этого отношения достигается при р ~ рр, но и здесь
оно rsj (ppaJ ^С 1.
Наконец, приведем значение перенормировочной постоянной
функции Грина слабо неидеального газа. Она вычисляется как
(",Р)
Z	ди
и равна
О |„ П	Л
B1.21)
1) При отличных от нуля температурах усреднение этой величины по теп-
тепловому распределению приводит к пропорциональности затухания квадра-
квадрату Т , о чем уже говорилось в § 1.

ГЛАВА III
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
§ 22. Элементарные возбуждения в квантовой бозе-жидкости
Обратимся теперь к изучению квантовых жидкостей с энер-
энергетическим спектром совершенно иного типа, который можно на-
назвать бозевским1).
Этот спектр характеризуется тем, что элементарные возбу-
возбуждения (отсутствующие в основном состоянии жидкости) могут
появляться и исчезать поодиночке. Но момент импульса всякой
квантовомеханической системы (в данном случае — жидкости)
может испытывать изменения лишь на целое число. Поэтому воз-
возникающие поодиночке элементарные возбуждения должны об-
обладать целочисленным моментом и, следовательно, подчиняться
статистике Бозе. Спектром такого типа должна во всяком слу-
случае обладать всякая квантовая жидкость, состоящая из частиц
с целым спином (таков жидкий изотоп 4Не).
Напомним для сравнения, что в ферми-жидкости, при опи-
описании ее в терминах спектра элементарных возбуждений, отсут-
отсутствующих в основном состоянии (см. конец §1), эти возбужде-
возбуждения могут появляться или исчезать лишь парами. Именно с этим
связана возможность элементарным возбуждениям в этом типе
спектра иметь полу целый спин.
В квантовой бозе-жидкости элементарные возбуждения с ма-
малыми импульсами р (длина волны велика по сравнению с меж-
межатомными расстояниями) соответствуют обычным гидродинами-
гидродинамическим звуковым волнам, т. е. представляют собой фононы. Это
значит, что энергия таких квазичастиц является линейной функ-
функцией их импульса:
е = up,	B2.1)
где и — скорость звука в жидкости. Последняя дается обыч-
обычной формулой и2 = дР/др, причем нет необходимости уточнять,
1) Теория таких квантовых жидкостей была создана Л. Д. Ландау
в 1940-1941 гг., вслед за открытием П. Л. Капицей сверхтекучести жид-
жидкого гелия. Этими открытиями было положено начало всему развитию
современной физики квантовых жидкостей.

114
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
берется ли производная при постоянной температуре Г или эн-
энтропии 5, поскольку при Г —> 0 также и^чО1).
Число элементарных возбуждений в бозе-жидкости стремит-
стремится к нулю при Г —> 0, и при низких температурах, когда их
плотность достаточно мала, квазичастицы можно считать не вза-
взаимодействующими друг с другом, т. е. образующими идеальный
бозе-газ. Поэтому статистически равновесное распределение эле-
элементарных возбуждений в бозе-жидкости дается формулой рас-
распределения Бозе (с равным нулю химическим потенциалом —
ср. примечание на с. 18)
1.	B2.2)
С помощью этого распределения, и зная зависимость s(p) при
малых р, можно вычислить термодинамические величины жид-
жидкости для таких близких к абсолютному нулю температур, при
которых практически все имеющиеся в жидкости элементарные
возбуждения обладают малыми энергиями, т. е. являются фо-
нонами. Соответствующие формулы можно написать сразу, вос-
воспользовавшись выражениями для термодинамических величин
твердого тела при низких температурах (см. V, §64). Разница
заключается лишь в том, что вместо трех возможных направ-
направлений поляризации звуковых волн в твердом теле (одно про-
продольное и два поперечных) в жидкости существует лишь одно
(продольное); поэтому все выражения для термодинамических
величин следует разделить на 3. Так, для свободной энергии
жидкости имеем	2 4
F = Fo - V п ,	B2.3)
U	90GmK'	V }
где Fo — свободная энергия при абсолютном нуле. Энергия жид-
жидкости равна	2 4
B2'4)
а теплоемкость	2 3
2^J	B2.5)
3'	V }
она пропорциональна кубу температуры.
Фононный закон дисперсии B2.1) справедлив лишь постоль-
постольку, поскольку длина волны квазичастицы Н/р велика по сравне-
сравнению с межатомными расстояниями. По мере увеличения импульса
1) Понятие о фононах было введено в V, § 71, 72 для элементарных возбу-
возбуждений в твердых телах. Подчеркнем, что импульс элементарного возбу-
возбуждения в микроскопически однородной системе — жидкости — есть истин-
истинный импульс, а не квазиимпульс, как в периодическом поле кристаллической
решетки твердого тела.

22 ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В КВАНТОВОЙ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ	115
?
кривая е = s(p), конечно, отклоняется от линейной зависимости;
дальнейший ее ход зависит от конкретного закона взаимодей-
взаимодействия жидкости и не может быть по-
этому определен в общем виде.
В жидком гелии закон диспер-
дисперсии элементарных возбуждений име-
имеет форму, изображенную на рис. 2:
после начального линейного воз-
возрастания функция е(р) достигает
максимума, затем убывает и при
определенном значении импульса ро
проходит через минимум1). В теп-
тепловом равновесии большинство эле-
элементарных возбуждений в жидкости
имеет энергии в областях вблизи ми-
минимумов функции ?(р), т. е. в области
малых е (область вблизи ?=0), и в области значения е(ро). По-
Поэтому именно эти области особенно существенны. Вблизи точки
р=ро функция е(р) может быть разложена по степеням р—ро. Ли-
Линейный член в разложении отсутствует, и с точностью до членов
второго порядка имеем
1
2 3
р/П, 108см~1
Рис. 2.
(р-роJ
2m*
B2.6)
где А = е(ро) и т* — постоянные. Квазичастицы этого типа
называют ротонами. Подчеркнем, однако, что оба типа квази-
квазичастиц — фононы и ротоны — отвечают лишь разным участкам
одной и той же кривой, между которыми имеется непрерывный
переход.
Эмпирические значения параметров энергетического спектра
жидкого гелия (экстраполированные к нулевому давлению при
плотности р = 0,145г/см3) таковы2):
и = 2,4 • 104 см/с , А = 8,6 К,
Ро/П = 1,9 • 108 см, га* = 0,14шDНе).
B2.7)
х)Эта форма спектра была впервые предложена Л. Д. Ландау A947) на
основании анализа экспериментальных данных о термодинамических вели-
величинах жидкого гелия; в дальнейшем она была подтверждена эксперимен-
экспериментально опытами по рассеянию нейтронов.
Качественная теория спектра такого типа дана Фейнманом (R. P. Feyn-
man, 1954); см. ниже примечание на с. 471.
2) Укажем также значение химического потенциала жидкого гелия при
Т = 0:» = -7,16 К.

116
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Поскольку энергия ротона всегда содержит величину А, боль-
большую по сравнению с Г — при температурах достаточно низких
для того, чтобы можно было говорить о «ротонном газе», —
то последний можно описывать вместо распределения Бозе рас-
распределением Больцмана. Соответственно этому, для вычисления
ротонной части термодинамических величин жидкого гелия ис-
исходим из формулы для свободной энергии больцмановского газа
dr= *>
N
(см. V, § 41). При этом под N в этой формуле надо понимать чис-
число ротонов в жидкости. Но это число само определяется условием
термодинамического равновесия, т. е. условием минимальности
свободной энергии. Приравняв OF/ON нулю, найдем для числа
ротонов
B2.8)
(что соответствует, естественно, больцмановскому распределе-
распределению с равным нулю химическим потенциалом). Соответствую-
Соответствующее значение свободной энергии
В эти формулы надо подставить B2.6). Поскольку р$ ^> га*Т,
то при интегрировании по dp можно вынести множитель р2 из-
под знака интеграла, заменив его с достаточной точностью нар^.
При интегрировании экспоненциального выражения можно рас-
распространить область интегрирования от —ос до ос. В результате
получим
2^T)^PlV A/T F	TN	B2>9)
Р	BтгK/2Й3	Р	Р	V J
Отсюда вклад ротонов в энтропию и теплоемкость:
B2.10)
Мы видим, что температурная зависимость ротонной части тер-
термодинамических величин в основном экспоненциальна. Поэтому
при достаточно низких температурах (для жидкого гелия — ни-
ниже примерно чем 0,8) ротонная часть меньше фононной, а при
более высоких температурах положение меняется, и ротонный
вклад превосходит фононный.

§ 23	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ	117
§ 23. Сверхтекучесть
Квантовая жидкость с энергетическим спектром описанного
типа обладает замечательным свойством так называемой сверх-
сверхтекучести — свойством протекать по узким капиллярам или
щелям, не обнаруживая вязкости. Начнем с рассмотрения жид-
жидкости при абсолютном нуле, когда она находится в своем нор-
нормальном, невозбужденном состоянии.
Рассмотрим жидкость, текущую по капилляру с постоянной
скоростью v. Наличие вязкости проявилось бы в том, что благо-
благодаря трению о стенки трубки и трению внутри самой жидкости
происходила бы диссипация кинетической энергии жидкости и
постепенное замедление потока.
Нам будет удобнее рассматривать течение в системе коор-
координат, движущейся вместе с жидкостью. В этой системе гелий
покоится, а стенки капилляра движутся со скоростью — v. При
наличии вязкости покоящийся гелий тоже должен был бы на-
начать двигаться. Физически очевидно, что увлечение жидкости
стенками трубки не может привести с самого начала к движению
жидкости как целого. Появление движения должно начаться с
постепенного возбуждения внутренних движений, т. е. с появле-
появления в жидкости элементарных возбуждений.
Предположим, что в жидкости появляется одно элементарное
возбуждение с импульсом р и энергией е(р). Тогда энергия Е$
жидкости (в системе координат, в которой она первоначально
покоилась) сделается равной энергии этого возбуждения е, а ее
импульс Ро — импульсу р. Перейдем теперь обратно к системе
координат, в которой покоится капилляр. Согласно известным из
механики формулам преобразования энергии и импульса, имеем
для энергии Е и импульса Р жидкости в этой системе
2 '	B3.1)
Р = Ро + Mv,
где М — масса жидкости. Подставив е, р вместо Eq, Ро, напишем
E = s + pv + —.	B3.2)
Член Mv1 /2 представляет собой первоначальную кинетиче-
кинетическую энергию текущей жидкости; выражение же е + pv есть
изменение энергии благодаря появлению возбуждения. Это из-
изменение должно быть отрицательным, поскольку энергия дви-
движущейся жидкости должна уменьшаться
е + pv < 0.

118
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
При заданном значении р величина, стоящая в левой стороне
неравенства, имеет наименьшее значение при антипараллельных
р и v; поэтому во всяком случае должно быть е — pv < 0, т. е.
v>-.	B3.3)
Р
Это неравенство должно выполняться хотя бы для некото-
некоторых значений импульса р элементарного возбуждения. Поэтому
окончательное условие возможности появления возбуждений в
движущейся по капилляру жидкости мы получим, найдя мини-
минимум величины s/р. Геометрически отношение е/р есть тангенс
угла наклона прямой, проведенной из начала координат (в плос-
плоскости ре) в некоторую точку кривой е = s(p). Его минимальное
значение определится, очевидно, точкой, в которой проведен-
проведенная из начала координат прямая касательна к кривой. Если это
минимальное значение отлично от нуля, то при не слишком боль-
больших скоростях течения в жидкости не смогут появиться возбу-
возбуждения. Это значит, что ее течение не будет замедляться, т. е.
жидкость обнаружит явление сверхтекучести.
Полученное условие наличия сверхтекучести по существу сво-
сводится к требованию, чтобы кривая е = е(р) не касалась оси аб-
абсцисс в самом начале координат (отвлекаясь от маловероятной
возможности касания ею этой оси в дальнейшем своем ходе).
Поэтому к сверхтекучести приведет по существу всякий спектр,
в котором достаточно малые возбуждения являются фононами.
Рассмотрим теперь ту же жидкость при температуре, от-
отличной от абсолютного нуля (хотя и близкую к нему). В этом
случае жидкость не находится в основном состоянии — она
содержит возбуждения. Приведенные выше рассуждения сами
по себе остаются в силе, поскольку в них не было использовано
непосредственно то обстоятельство, что жидкость находилась
первоначально в основном состоянии. Движение жидкости от-
относительно стенок трубки при выполнении указанного условия
по-прежнему не сможет привести к появлению в ней новых
элементарных возбуждений. Необходимо, однако, выяснить,
каким образом будет проявляться наличие возбуждений, уже
существующих в жидкости.
Представим себе для этого, что «газ квазичастиц» движется
как целое относительно жидкости поступательно со скоростью v.
Функция распределения для движущегося как целое газа полу-
получается из функции распределения п{е) неподвижного газа путем
замены энергии е частицы величиной е — pv, где р — импульс
частицы. Для обычного газа это обстоятельство является непо-
непосредственным следствием принципа относительности Галилея и
доказывается просто путем перехода от одной системы координат

§ 23	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ	119
к другой. В данном же случае такие соображения непосредствен-
непосредственно не применимы, так как газ квазичастиц движется не в пустоте,
а «сквозь жидкость». Тем не менее утверждение остается в силе,
как это вытекает из следующих рассуждений.
Пусть газ возбуждений движется относительно жидкости со
скоростью v. Рассмотрим систему координат, в которой газ как
целое покоится, а жидкость соответственно движется со ско-
скоростью —V (система К).Согласно формуле преобразования B3.1),
энергия Е жидкости в системе К связана с энергией Eq в систе-
системе, в которой жидкость покоится (система Kq), соотношением
Пусть в жидкости появляется элементарное возбуждение с энер-
энергией е{р) (в системе Ко). Тогда дополнительная энергия жид-
жидкости в системе К будет е — pv, чем и доказывается сделанное
утверждениех).
Таким образом, полный импульс газа квазичастиц (отнесен-
(отнесенный к единице объема) будет
= pn(s — pv) dr.
Предположим, что скорость v мала, и разложим подынтеграль-
подынтегральное выражение по степеням pv. Член нулевого порядка исчезает
(при интегрировании по направлениям вектора р), и остается
или, после усреднения по направлениям р,
Прежде всего мы видим, что движение газа квазичастиц со-
сопровождается переносом некоторой массы: эффективная масса
единицы объема газа определяется коэффициентом пропорцио-
пропорциональности между импульсом Р и скоростью v в B3.4). С другой
стороны, при течении жидкости, скажем, по капилляру ничто не
х)Для квазичастиц в бозе-жидкости п(г) — распределение B2.2). Обра-
Обратим внимание на то, что условие сверхтекучести (г> < е/р) как раз совпада-
совпадает с условием, обеспечивающим положительность и конечность выражения
п(е—pv) для всех энергий.

120
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
мешает квазичастицам сталкиваться со стенками трубки и обме-
обмениваться с ними импульсом. В результате газ возбуждений бу-
будет остановлен, как это произошло бы со всяким обычным газом,
протекающим по капилляру.
Таким образом, мы приходим к следующему основному ре-
результату. При отличных от нуля температурах часть массы жид-
жидкости будет вести себя как нормальная вязкая жидкость, «цеп-
«цепляющаяся» при движении о стенки сосуда; остальная же часть
массы будет вести себя как не обладающая вязкостью сверхтеку-
сверхтекучая жидкость. При этом весьма существенно, что между обеими
этими движущимися «друг через друга» частями массы жидко-
жидкости нет трения, т. е. не происходит передачи импульса от одной
из них к другой. Действительно, само наличие такого взаимного
движения одной части массы жидкости относительно другой мы
получили при рассмотрении статистического равновесия в рав-
равномерно движущемся газе возбуждений. Но если какое-либо от-
относительное движение может иметь место в состоянии теплового
равновесия, то это значит, что оно не сопровождается трением.
Подчеркнем, что рассмотрение жидкости как «смеси» нор-
нормальной и сверхтекучей ее «частей» является не более, чем
способом выражения, удобным для описания явлений, происхо-
происходящих в квантовой жидкости; оно отнюдь не означает возможно-
возможности реального разделения жидкости на две части. Как и всякое
описание квантовых явлений в классических терминах, оно не
является вполне адекватным. В действительности надо говорить,
что в квантовой бозе-жидкости могут существовать одновремен-
одновременно два движения, каждое из которых связано со своей эффек-
эффективной массой (так что сумма этих масс равна полной истинной
массе жидкости). Одно из этих движений «нормально», т. е.
обладает теми же свойствами, что и движение обычной вязкой
жидкости; другое же —«сверхтекучее». Оба эти движения про-
происходят без передачи импульса от одного к другому.
Таким образом, в гидродинамическом смысле плотность бозе-
жидкости может быть представлена в виде суммы p=pn~\~Ps нор-
нормальной и сверхтекучей частей, каждая из которых связана со
своей гидродинамической скоростью — vn и v5. Важным свой-
свойством сверхтекучего движения является его потенциальность:
rotv5 = 0.	B3.5)
Это свойство является макроскопическим выражением того фак-
факта, что элементарные возбуждения с большой длиной волны (т. е.
с малыми импульсами) являются звуковыми квантами — фоно-
нами. Поэтому макроскопическая гидродинамика сверхтекуче-
сверхтекучего движения не должна допускать никаких других колебаний,

§ 23	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ	121
кроме звуковых1), что и обеспечивается условием B3.5) (мы
еще вернемся к его обоснованию в § 26J).
При Г = 0 нормальная часть плотности рп = 0; жидкость
может совершать только сверхтекучее движение. При отличных
же от нуля температурах рп дается формулой B3.4):
Для вычисления фононного вклада в рп полагаем в B3.6)
е = up:
ч _ 1 Г dn 2 4тгр2 dp
3it J dp Bтг^
TflK
0
и после интегрирования по частям находим
Оставшийся здесь интеграл не что иное, как энергия единицы
объема фононного газа; взяв эту величину из B2.4), получим
окончательно
г2Т4
/ ч	*Еф 2тг2Т4	,„ 7х
Su2V 4ЬН3и5
Для вычисления же ротонного вклада в рп замечаем, что по-
поскольку ротоны можно описывать распределением Больцмана,
то для них dn/ds = —п/Т, и из B3.6) имеем
Hn)V	j у
Полож:ив, с достаточной точностью, р2 = Pq и взяв Np из B2.9),
получим
iV _ 2(m*I/Vo	А/Т
При самых низких температурах фононный вклад в рп велик по
сравнению с ротонным. Они сравниваются примерно при 0,6 К,
1)	Подразумевается, что жидкость не ограничена. При наличии свобод-
свободной поверхности возможны также поверхностные капиллярные волны (что
приводит к определенной температурной зависимости поверхностного натя-
натяжения — см. задачу 1).
2)	Подробное изложение гидродинамики сверхтекучей жидкости дается
в т. VI).

122
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
а при больших температурах ротонный вклад становится пре-
преобладающим .
По мере повышения температуры все большая часть массы
жидкости становится нормальной. В точке, в которой достигает-
достигается равенство рп = р, полностью исчезает свойство сверхтекуче-
сверхтекучести. Это — так называемая Х-точка жидкости, представляющая
собой точку фазового перехода второго рода1). Что касается
количественных формул B3.7), B3.8), то они, конечно, неприме-
неприменимы вблизи Л-точки, где концентрация квазичастиц становится
большой, так как даже самое понятие о них в значительной сте-
степени теряет смысл.
Остановимся еще на вопросе о поведении атомов растворен-
растворенных в жидком гелии посторонних веществ; концентрация приме-
примеси предполагается настолько малой, что ее атомы можно считать
невзаимодействующими друг с другом (Л. Д. Ландау, И. Я. По-
меранчук, 1948).
Наличие постороннего атома в жидкости приводит к появле-
появлению новой ветви энергетического спектра, соответствующей дви-
движению этого атома через жидкость; разумеется, ввиду сильного
взаимодействия атома примеси с атомами жидкости, это дви-
движение является в действительности коллективным эффектом, в
котором принимают участие также и атомы жидкости. Этому
движению можно приписать некоторый результирующий сохра-
сохраняющийся импульс р. Таким образом, в жидкости появляются
квазичастицы нового типа (в числе, равном числу атомов при-
примеси), энергия которых ?Пр(р) является определенной функцией
импульса. В тепловом равновесии энергии этих квазичастиц бу-
будут сосредоточены вблизи наименьшего из минимумов функции
?пр(р)- Фактически речь идет о примеси изотопа 3Не, и эмпири-
эмпирические данные показывают, что такой минимум лежит при р = 0;
вблизи него энергия квазичастицы имеет вид
*ф(р) = т4"	B3.9)
с эффективной массой га*р = 2,8 масс атома 3Не.
Примесные квазичастицы взаимодействуют с фононами и ро-
ротонами, сталкиваясь с ними, и, таким образом, входят в состав
нормальной части жидкости. Ввиду малой концентрации этих
квазичастиц их тепловое распределение — больцмановское, и их
г) Жидкий гелий при температурах ниже этой точки называют гелием П.
Л-точки образуют линию на фазовой диаграмме в плоскости Р Т. Эта линия
пересекает линию равновесия жидкости с паром при температуре 2,19 К.

§ 23	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ	123
вклад в рп (определенный согласно B3.6)) дается формулой
Ыпр = ^§ = ^х;р,	B3.Ю)
где Nup/V — число атомов примеси в единице объема.
Задачи
1. Найти предельный закон температурной зависимости коэффициен-
коэффициента поверхностного натяжения а жидкого гелия вблизи абсолютного нуля
(K.R. Atkins, 1953).
Решение. Коэффициент а есть свободная энергия единицы площади
поверхности жидкости (см. V, A54.6)). Эта величина вычисляется по фор-
формуле V, F4.1), в которой частоты иа относятся теперь к поверхностным ко-
колебаниям. В двумерном случае переход от суммирования к интегрированию
(по волновым векторам колебаний) осуществляется введением множителя
d2k/B7rJ или 2тгк dk/BтгJ. После интегрирования по частям найдем
к2 duo
' 2тг "и 4тгУ е*-/т_1
(а — поверхностное натяжение при Т = 0). При достаточно низких темпе-
температурах существенны лишь колебания с малыми частотами, т. е. с больши-
большими длинами волн. Такие колебания представляют собой гидродинамические
капиллярные волны, для которых ио2 = ак3/р « аок3/р (р — плотность
жидкости). Поэтому
П ( р \2/3 Г uj4/3dui
(быстрая сходимость интеграла позволяет заменить верхний предел беско-
бесконечностью). Вычисление интеграла (см. примечание в V, § 58) приводит к
результату
/^7/3 2/3
Этот результат относится к жидкому 4Не при температурах настолько низ-
низких, что всю массу жидкости можно считать сверхтекучей1).
2. Найти закон дисперсии ?пр(р) для примесных частиц в движущей-
движущейся сверхтекучей жидкости, если этот закон ?пр(р) известен в неподвижной
жидкости (J. Bardeen, G. Baym, D. Pines, 1967).
Решение. После добавления к неподвижной жидкости (при Т = 0) ато-
атома примеси (с массой т) с импульсом ро ее энергия и импульс (в системе
координат, в которой жидкость первоначально покоилась) есть Eq = ?пр(Ро),
Х)В ферми-жидкости (жидкий 3Не) капиллярные волны рассмотренного
типа (как и объемные волны обычного звука) не существуют ввиду неогра-
неограниченного возрастания вязкости при Т —>¦ 0.

124
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Р = ро- В системе же координат, в которой жидкость движется со скоро-
скоростью v, имеем, согласно B3.1),
Е = ?пр(Ро) + Pov + - (М + m)v2, Р = ро + (М + m)v.
Отсюда видно, что изменения энергии и импульса движущейся жидкости
при добавлении к ней атома примеси равны
(о) / ч	mv2
Sup = ?пр(Ро) + Pov + -^—, р = ро + mv.
Выразив Sup через р, находим
2
/ \	@)/	\ ,	rnv
^пр(р) = ?пр(Р - rnv) + pv	—.
При малых значениях г>, с точностью до членов первого порядка, для спек-
спектра ?пг)(р) виДа B3.9) имеем
2
§ 24. Фононы в жидкости
При переходе от классической картины звуковых волн к кван-
квантовому представлению о фононах гидродинамические величины
(плотность, скорость жидкости и т. п.) заменяются операторами,
выражающимися через операторы 2к, с^ уничтожения и рожде-
рождения фононов. Выведем формулы, дающие эти выражения.
Напомним, что в классическом описании звуковой волны
плотность жидкости испытывает малые колебания с частотами и
волновыми векторами, связанными друг с другом соотношением
си = ик. Величиной того же порядка малости, что и переменная
часть плотности р1 = р — ро (ро — равновесное значение плотно-
плотности), является скорость жидкости v. Движение жидкости в волне
потенциально, т. е. может быть описано скалярным потенциалом
скорости <р, определяющим скорость согласно
v = V(p.	B4.1)
Скорость и плотность связаны друг с другом уравнением непре-
непрерывности dp1 /dt — — div (pv) w —ро div v, или
% = -Po^cp.	B4.2)
ot
Энергия жидкости в звуковой волне дается интегралом
До	2 ' 2
Первый член в подынтегральном выражении есть плотность ки-
кинетической, а второй — внутренней энергии жидкости; оба квад-
квадратичны по малым величинам уи/.

§ 24	ФОНОНЫ В ЖИДКОСТИ	125
Дальнейшую процедуру квантования можно было бы прове-
провести полностью аналогично тому, как это было сделано для фо-
нонов в твердых кристаллах (см. V, §72). Мы, однако, изберем
здесь несколько иной путь, демонстрирующий некоторые поучи-
поучительные методические моменты. Рассмотрим сначала операторы
плотности и скорости жидкости, выраженные через микроскопи-
микроскопические переменные — координаты частиц.
В классической теории плотность р и плотность потока массы
жидкости j могут быть представлены суммами
р(т) = ^2>та5(га - г), j(r) = ^2paS(ra - г),
взятыми по всем частицам (га ира- радиус-векторы и импуль-
импульсы частиц); интегралы от этих функций по какому-либо объему
дают полную массу и полный импульс жидкости в этом объеме.
При переходе к квантовой теории эти функции заменяются соот-
соответствующими операторами. Оператор плотности имеет тот же
ад(га-г),	B4.4)
а оператор плотности потока
Йг) = \ Е{р^(г« - г) + <НГ« - г)р4, B4-5)
а
где ра = —ihVa — оператор импульса частицы1).
Найдем правило коммутации между операторами j (г) и р(г'),
взятыми в точках гиг'; при этом можно, для краткости, рас-
рассматривать всего по одному члену в суммах B4.4), B4.5), по-
поскольку операторы, соответствующие разным частицам, комму-
коммутативны. При раскрытии коммутатора операторы вида <$(ri —
г) Vi<$(ri — г') преобразуются следующим образом:
5(ri -г) Vi5(ri -г;) = 5(п -г) (V5(r-r;)) +«(Г1 -гM(п -г;) Vi,
где в первом члене (V<$(r — г')) означает просто градиент 6-
функции; ввиду наличия множителя S(ri — г) в этом члене мож-
можно писать в нем (V<$(r — г')) вместо (Vi<$(r — г')). В результате
г) Пусть для простоты, система состоит всего из одной частицы. Усредне-
Усреднение оператора р(г) = mS(ri — г) по состоянию с волновой функцией ^(ri)
дает J ^*(ri) p^(ri) dPx\ = m|^(r)|2, как и должно быть. Аналогичным об-
образом, усреднение оператора j (г) дает правильное выражение плотности по-
потока
(П/2г){Г(г)

126	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ	ГЛ. Ill
получим
j(г)р(г') - p(r')j(г) = -ihp(V6(r - г')).	B4.6)
Введем теперь вместо j оператор скорости жидкости v, согласно
определению,
Правило коммутации операторов р и v определяется требовани-
требованием, чтобы для коммутатора р и j получалось выражение B4.6).
Легко проверить, что для этого надо положить
v(r)p(r') - p(r')v(r) = -ih(V5(r - г')).
(при этом надо учесть очевидную коммутативность операторов
р(г) и р(г')). Наконец, положив v(r) = V<^(r), получаем пра-
правило коммутации между операторами плотности и потенциала
скорости
<р(т)рГ(т') - р(т')<р(т) = -ъЩт - г')	B4.7)
(вместо р можно, конечно, писать здесь оператор fl = р — ро пе-
переменной части плотности). Правило B4.7) аналогично правилу
коммутации между координатой и импульсом частицы; в этом
смысле величины р' и <р играют в данном случае роль канониче-
канонически сопряженных обобщенных «координат» и «импульсов».
Использовав выражения B4.4), B4.5) для установления пра-
правила B4.7), напишем теперь операторы ф и р' в представлении
вторичного квантования (т. е. выразим их через операторы уни-
уничтожения и рождения фононов), потребовав при этом, чтобы они
удовлетворяли правилу B4.7). Для этого пишем
<p(r) = ±
=
k
с пока не определенными коэффициентами А\^\ суммирование
производится по всем значениям волнового вектора, пробегае-
пробегаемым для жидкости в большом, но конечном объеме V1). Опе-
Операторы 2к, <?к удовлетворяют бозевским правилам коммутации
B4.8)
1) В отличие от ^-операторов частиц, оператор вещественной величины ip
эрмитов и содержит одновременно операторы рождения и уничтожения фо-
фононов. Напомним, что это свойство (как и такое же свойство операторов поля
в квантовой электродинамике) связано с несохранением числа «частиц» в
фононном поле.

§ 24	ФОНОНЫ В ЖИДКОСТИ	127
Напомним для дальнейших ссылок, что отличные от нуля мат-
матричные элементы этих операторов
К - l|ck|nk) = (nk|c+|nk - 1) = у/щ,,	B4.9)
где nk — числа заполнения фононных состояний.
В дальнейшем нам понадобится, однако, не шредингеровский
оператор <^(г), а гейзенберговский ф(Ь, г). Он получается из ф(г)
просто путем введения множителей ехр(±го;?) с частотами ио=ик
в каждый член суммы
<p(t, т) = ^= Е(^к2ке^кг-Ы*) + ^с+е-'(кг-ы*))
(ср. сказанное по этому поводу для ^-операторов в начале §9).
Оператор же плотности /?(?, г) должен быть связан с оператором
фA, г) соотношением B4.2) и поэтому дается такой же суммой с
множителями iA-^p^k/u вместо Лк. После этого множители Лк
надо определить так, чтобы выполнилось правило коммутации
B4.7). В результате получаются следующие окончательные вы-
выражения:
V2
Е
Р°	B4.10)
pf(t, r) = ^ (g^)V2 ^к^ +^к^*)
Действительно, подставив эти выражения в левую часть правила
B4.7), с учетом B4.8) получим требуемую ^-функцию
VJ
у к	VJ	B7Г)
Легко убедиться также, что гамильтониан жидкости, получаю-
получающийся подстановкой v = \7ф и fl вместо уир'в интеграл B4.3),
имеет, как и следовало, вид
Н =
его собственные значения равны ^2иНк{п\^ +1/2) в соответствии
с представлением о фононах с энергиями е = иНк.
Выражение B4.3) для энергии жидкости в звуковой волне
представляет собой первые (после нулевого) члены разложения

128	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
точного выражения
(где е(р) — внутренняя энергия единицы массы жидкости). Роль
точного гамильтониана жидкости играет этот интеграл, в кото-
котором v и р заменены операторами v = V(p np = po + pfc(pnpf
из B4.10)
f^]	B4.11)
(оператор кинетической энергии написан в симметризованном
виде v/Jv/2, чтобы быть эрмитовым). При этом существенно,
что именно р и (р являются канонически сопряженными «обоб-
«обобщенными координатами и импульсами», через которые должен
быть выражен гамильтониан. Это видно из того, что правило
коммутации B4.7), которому удовлетворяют операторы B4.10),
является точным — в его выводе малость колебаний нигде
не использовалась.
Члены более высоких (третьей и т. д.) степеней в разложе-
разложении этого гамильтониана выражают собой ангармоничность зву-
звуковых колебаний, а в терминах фононной картины — описывают
взаимодействие фононов. Эти члены имеют матричные элемен-
элементы для переходов с одновременным изменением нескольких чи-
чисел заполнения фононов и тем самым играют роль возмущения,
вызывающего различные процессы рассеяния и распада фоно-
фононов. При этом матричные элементы самих операторов 2к и с^
имеют, разумеется, прежний вид B4.9), поскольку (как это все-
всегда делается в теории возмущений) используется представление,
в котором диагоналей невозмущенный гамильтониан. Приведем
здесь выражения членов третьего и четвертого порядков
J L 2
(_L?)p1] d3	B4.12)
\dpopo' 6 J	V	J
Usx.	B4.13)
§ 25. Вырожденный почти идеальный бозе-газ
Основные свойства энергетического спектра бозевского типа
ясно видны на модели слабо неидеального бозе-газа при близ-
близких к нулю температурах. Эта модель будет рассмотрена в этом
параграфе аналогично тому, как это было сделано в § 6 для

§ 25	ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ	129
ферми-газаг). Все сказанное в §6 в связи с общей характери-
характеристикой моделей вырожденного почти идеального газа относится
и к настоящему случаю. В частности, условие слабой неидеаль-
неидеальности (газовый параметр a(NfVI^ <C 1; а — длина рассеяния)
может быть по-прежнему сформулировано в виде условия F.1)
малости импульсов частиц: ра/Н <С 12).
Гамильтониан системы парно взаимодействующих бозонов
(которые мы будем предполагать бесспиновыми) имеет вид, от-
отличающийся от F.6) лишь отсутствием спиновых индексов:
Н = Z) ^арйР + 2 ^<Р1Р2|^|Р1Р2>а^а^ар2аР1 B5.1)
(суммирование по всем импульсам, фигурирующим в индексах).
Операторы же уничтожения и рождения частиц удовлетворяют
теперь правилам коммутации
йрйр — йрйр = 1.
Как и в § 6, снова заменяем, в соответствии с предположением о
малости импульсов, все матричные элементы в B5.1) их значе-
значением при нулевых импульсах; тогда
й = ? ?sp 2р + ^ Е К'Л'Л^ • B5-2)
Исходным пунктом применения теории возмущений к этому
гамильтониану является следующее замечание. В основном со-
состоянии идеального бозе-газа все частицы находятся в конден-
конденсате — состоянии нулевой энергии; числа заполнения Np=о =
= Щ = iV, Np = 0 при р ф 0 (см. V, § 62). В почти идеальном же
газе в основном и в слабо возбужденных состояниях числа Np
отличны от нуля, но очень малы по сравнению с макроскопиче-
макроскопически большим числом Nq. Тот факт, что величина а^ао = N$ ~ N
весьма велика по сравнению с единицей, означает, что выражение
— а0 ао = 1
г) Излагаемый ниже метод принадлежит Н.Н. Боголюбову A947). При-
Применение им этого метода к бозе-газу явилось первым примером последо-
последовательного микроскопического вывода энергетического спектра «кванто-
«квантовых жидкостей». В течение длительного времени эти результаты имели
главным образом теоретическое значение. В 1995 г., однако, конденсация
Бозе-Эйнштейна была получена несколькими группами экспериментаторов
в поляризованных парах щелочных металлов, удерживаемых в «магнитных
ловушках». Эти объекты описываются рассматриваемой теорией.
2) Мы увидим ниже, что в вырожденном бозе-газе основная масса частиц
(вне «конденсата») обладает импульсами р ~ HWaN/V, для которых ука-
указанное неравенство действительно справедливо.
5 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

130
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
мало по сравнению с самими йо, Sq~, и потому можно рассматри-
рассматривать последние как обычные (равные л/Nq) числа, пренебрегая
их некоммутативностью.
Применение теории возмущений означает теперь формально
разложение четверной суммы в B5.2) по степеням малых вели-
величин ар, а+ (р ^ 0). Нулевой член разложения равен
а^а^аоао = а^.	B5.3)
Члены первого порядка отсутствуют (ввиду невозможности со-
соблюдения в них закона сохранения импульса). Члены второго
порядка
al Y. (йрй-р + йрй-р + 4йрйр)-	B5-4)
р/0
Ограничиваясь точностью до величин второго порядка, мож-
можно заменить в B5.4) а§ = N$ на полное число частиц N. В члене
же B5.3) следует учесть более точное соотношение
р/0
В результате сумма членов B5.3), B5.4) становится равной
N2 + N^2 (SpS-p + a+aip + 2a+ap),
р/0
и после подстановки в B5.2) получаем следующее выражение для
гамильтониана:
Р	р/0
B5.5)
Первый член этого выражения определяет, в первом приближе-
приближении, энергию Eq основного состояния газа, а его производная
по N — соответственно химический потенциал \i при Г = 0:
Яо = ^о, H=%U0.	B5.6)
Остальные же члены в B5.5) определяют поправку к Е$ и спектр
слабо возбужденных состояний газа.
Входящий в B5.5) интеграл С/о должен еще быть выражен
через реальную физическую величину — длину рассеяния а.
В членах второго порядка это может быть сделано прямо по
формуле F.2): Uq = 4тгЯ2а/т. В первом же члене нужна более

§ 25	ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ	131
точная формула F.5), учитывающая второе борновское прибли-
приближение в амплитуде рассеяния. При этом речь идет о столкнове-
столкновении двух частиц конденсата, соответственно чему в сумме в F.5)
надо положить pi = р2 = 0, р[ = —р'2 = р, так что будет
A +
Подставив это в B5.5), получим для гамильтониана
f> 2тгН2а N2 (л . 4тгН2а V^
я Д1 + 2
2тгН aN
р/0	Р
Для определения уровней энергии надо привести гамильто-
гамильтониан к диагональному виду, что осуществляется надлежащим
линейным преобразованием операторов ар, а+. Введем новые
операторы Ьр, Ь+, согласно определению,
йр = ирЬр + ^pbip, йр = г^рбр + г'рб-р,
причем потребуем, чтобы они удовлетворяли таким же соотно-
соотношениям коммутации
ЬрЬр' — bp'bp = 0, bpbp/ — bp/bp = 5Рр/,
каким удовлетворяют операторы ар, йр. Легко видеть, что для
этого должны быть ир — г>р = 1. Учтем это, написав линейное
преобразование в виде
ььи	^+?Ь	B5-8)
Величину Lp надо определить таким образом, чтобы в гамиль-
гамильтониане выпали недиагональные члены (ЬрЬ_р, Ь+б!р). Простое
вычисление дает
^AfA	B5.9)
где введены обозначения;
Г	/ 2Ч211/2
B5.10)
»=

132	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
При этом гамильтониан принимает вид
_	B5.12)
р/0
где
Ео = *ти2 + 1 V (ф) - I- - ти2 + ^1 . B5.13)
Вид гамильтониана B5.12) и бозевские соотношения комму-
коммутации для операторов Ьр, 6+ позволяют сделать вывод, что 6+ и
Ър представляют собой операторы рождения и уничтожения ква-
квазичастиц с энергией е(р), подчиняющихся статистике Бозе. Соб-
Собственные значения диагонального оператора 6+Ър представляют
собой числа пр квазичастиц с импульсом р, а формула B5.10)
определяет зависимость их энергии от импульса (числа запол-
заполнения квазичастиц снова обозначены посредством пр, в отличие
от чисел заполнения Np истинных частиц газа). Тем самым пол-
полностью определен энергетический спектр слабо возбужденных
состояний рассматриваемого газа.
Величина же Е$ есть энергия основного состояния газа.
Заменив суммирование по дискретным значениям р (в объеме
V) интегрированием по Уб?3р/BтгЯK и произведя вычисления,
получим следующее выражение:
Ео =
(T.D. Lee, С. N. Yang, 1957). Для химического потенциала газа
(при Г = 0) соответственно имеем
~~	I Ч -» т I
B5.15)
3N	mV
Эти формулы представляют собой два первых члена разложений
по степеням (a^N/VI'2. Но уже следующий член не мог бы быть
вычислен изложенным способом. Он должен содержать объем
как V~2, а величина этого порядка зависит уже не только от
двойных, но и от тройных столкновений.
При больших значениях импульса (р ^> ти) энергия квази-
квазичастиц B5.10) стремится к р2/2т, т. е. к кинетической энергии
отдельной частицы газа.
При малых же импульсах (р ^С ти) имеем е ^ up. Легко ви-
видеть, что коэффициент и совпадает со скоростью звука в газе,

§ 25	ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЧТИ ИДЕАЛЬНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ	133
так что это выражение отвечает фононам в соответствии с общи-
общими утверждениями § 22. При Г = 0 свободная энергия совпадает
с энергией Е$, и взяв главный член в разложении последней,
находим давление
р _ _дЕ_ _ 27vH2aN2
~ дУ ~ mV2
Скорость же звука получается как и = ^JdP/dp (где р = mN/V —
плотность газа) и совпадает с B5.11).
Отметим, что в рассматриваемой модели бозе-газа длина рас-
рассеяния а непременно должна быть положительной величиной
(отталкивательное взаимодействие между частицами). Это вид-
видно формально уже из того, что в полученных формулах для
энергии при а < 0 появились бы мнимые члены. Термодинами-
Термодинамический же смысл условия а > 0 заключается в том, что оно необ-
необходимо для соблюдения в данной модели бозе-газа неравенства
(dP/dV)T < 0.
Статистическое распределение элементарных возбуждений
(средние значения пр их чисел заполнения) при отличной от нуля
температуре дается просто формулой распределения Бозе B2.2).
Распределение же Np истинных частиц газа по импульсам мож-
можно вычислить усреднением оператора а+ар. Использовав B5.8) и
учитывая, что произведения Ъ-РЪР и ЪрЪ-р не имеют диагональ-
диагональных матричных элементов, получим
Np = "p + lp("p + x).	B5.16)
l - Ц>
Это выражение справедливо, разумеется, лишь при р ф 0. Число
же частиц с нулевым импульсом
[Npdsp.	B5.17)
J
р/о
В частности, при абсолютном нуле все пр = 0, и с помощью
B5.9) получим из B5.16) функцию распределения в виде1)
jy		^25 18)
Р 2e(p){e(p)+p2/2m + mu2}	V " }
(при Г = 0 средние значения Np совпадают с точными значениями;
1) Отметим, что максимум числа частиц с заданной величиной импуль-
импульса (~ p2^Vp) лежит при р/Н ~ yaN/V, где происходит переход от одного
предельного выражения е(р) к другому. Это обстоятельство было уже упо-
упомянуто в примечании на с. 129.

134
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
поэтому черту над буквой опускаем). Неидеальность бозе-газа
приводит, естественно, к появлению частиц с отличным от нуля
импульсом и при абсолютном нуле; интегрирование в B5.17) с
Np из B5.18) производится элементарно и дает
B5.19)
Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу полу-
полученного здесь спектра. При малых р производная d2s/dp2 > О,
т. е. кривая е(р) загибается вверх от начальной касательной е=ир.
В таком случае (см. ниже § 34) возникает неустойчивость спек-
спектра, связанная с возможностью самопроизвольного распада ква-
квазичастиц (фононов). Соответствующая ширина уровней, однако,
мала (пропорциональна р5 при малых р) и не затрагивает выра-
выражений, получающихся в рассмотренных приближениях.
§ 26. Волновая функция конденсата
Как уже упоминалось в § 23, появление или исчезновение
сверхтекучести в жидком гелии происходит путем фазового пе-
перехода второго рода. Такой переход всегда связан с каким-либо
качественным изменением свойств тела. В случае Л-точки жид-
жидкого гелия это изменение может быть описано макроскопическим
образом, как появление или исчезновение сверхтекучей компо-
компоненты жидкости.
С более глубокой, микроскопической точки зрения речь идет
об определенных свойствах распределения частиц (истинных!)
жидкости по импульсам. Именно в сверхтекучей жидкости,
в отличие от несверхтекучей, конечная доля частиц (т. е.
макроскопически большое их число) имеет строго равный
нулю импульс; эти частицы образуют бозе-эйнштейновский
конденсат (или просто конденсат) в импульсном пространстве.
Напомним, что в идеальном бозе-газе при Г = 0 все его частицы
переходят в конденсат (см. V, §62), а в почти идеальном
газе — почти все частицы. В общем же случае бозе-жидкости с
сильным взаимодействием между частицами доля числа частиц,
находящихся при Г = 0 в конденсате, отнюдь не близка к
единице.
Покажем, каким образом свойство бозе-эйнштейновской кон-
конденсации формулируется в терминах ^-операторов.
Для идеального бозе-газа — системы невзаимодействующих
бозонов — гейзенберговский -^-оператор записывается в явном

§ 26	ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ КОНДЕНСАТА	135
виде как1)	г .	¦ i л
D, г) = ^Vapexp^-pr- -^-t\ .	B6.1)
Как было объяснено в § 25, можно пренебречь некоммутативно-
некоммутативностью операторов йо и 2q~, т. е. рассматривать их как классиче-
классические величины. Другими словами, обычным числом оказывается
часть -^-оператора B6.1), которую обозначим через S:
S = -^=.	B6.2)
Для формулировки этого свойства ^-операторов в общем слу-
случае произвольной бозе-жидкости заметим, что поскольку в кон-
конденсате все равно находится макроскопически большое число
частиц, то изменение этого числа на 1 по существу не меняет
состояния системы; можно сказать, что в результате добавления
(или отнятия) одной частицы в конденсат из некоторого состо-
состояния системы N частиц получается «то же самое» состояние
системы N ± 1 частиц2). В частности, основное состояние оста-
остается основным. Обозначив через S, S+ ту часть -^-операторов,
которая меняет на 1 число частиц в конденсате, имеем, таким
образом, по определению,
S |ш, N + 1) = S |m, N), S+|m, N) = S*|m, N + 1),
где символы |га, N) и |га, N + 1) обозначают два «одинаковых»
состояния, отличающихся только числом частиц в системе,
а S — некоторое комплексное число. Эти утверждения справед-
справедливы строго в пределе N —>• ос. Поэтому определение величины S
следует записать в виде
lim (m, iV| S |m, N + 1) = S,
^°°	^	B6.3)
lim (m, iV + l|S+|m, N) = S*;
Nteo
переход к пределу совершается при заданном конечном значении
плотности жидкости N/V.
Если представить ^-операторы в виде
$ = S + Ф;, $+ = S+ + $ч,	B6.4)
1)	Ср. (9.3). Мы предполагаем частицы газа бесспиновыми, поэтому спино-
спиновый индекс отсутствует. В B6.1) учтено также, что для идеального бозе-газа
при Т = 0 химический потенциал fi = 0, и поэтому член —fit/H в показателях
опущен.
2)	Добавление или удаление частицы надо представлять себе как соверша-
совершаемое бесконечно медленно. Этим исключается возбуждение системы пере-
переменным полем.

136
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
то остальная («надконденсатная») их часть переводит состоя-
состояние |га, N) в ортогональные ему состояния, т. е. матричные эле-
элементы1)
lim (m, N\ Ф'|т> N + 1) = 0, lim (m, N + 1| $'+|m, N) = 0.
B6.5)
В пределе iV —»> ос разница между состояниями |га, iV)
и |га, iV + 1) исчезает вовсе, и в этом смысле величина S ста-
становится средним значением оператора Ф по этому состоянию.
Подчеркнем, что характерным для системы с конденсатом явля-
является именно конечность этого предела.
Равенствами B6.3) исчерпываются «операторные» свойства
S, S+, и их можно считать коммутативными с Ф', Ф +. В част-
частности, операторы S, S+ будут заменяться на S, S* (т. е. вести
себя как классические величины) при любых усреднениях по
основному состоянию. Подчеркнем снова, что такое приближе-
приближение связано (ввиду макроскопичности числа частиц в конденса-
конденсате) с пренебрежением лишь величинами относительного порядка
малости 1/N2).
Если временная зависимость волновых функций определяет-
определяется по гамильтониану Н1 = Н — /iiV", то величина S не зависит от
времени. Действительно, матричный элемент (га, iV|S|ra, N + 1)
пропорционален
exp {~[E(N + 1) - E(N) - (N + 1)// + iVM]} .
Но показатель этой экспоненты обращается в нуль, поскольку (с
точностью до величины ~ 1/iV) E(N + 1) — E(N) = \i.
В однородной неподвижной жидкости S не зависит также и
от координат и (при надлежащем выборе фазы этой комплексной
величины) равно просто
S = v^o>	B6-6)
где по—число конденсатных частиц в единице объема жидкости.
Действительно, S+S есть оператор плотности числа частиц в
конденсате, а среднее значение этого оператора есть как раз по-
г) Во избежание недоразумений напомним лишний раз, что эти равенства
относятся лишь к переходам между «одинаковыми» состояниями!
2) С этой точностью, в частности, следует считать совпадающими матрич-
матричные элементы операторов Ф7 для переходов между различными состояния-
состояниями, отличающимися на одинаковое (малое) число частиц в системе.

§ 26	ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ КОНДЕНСАТА	137
Существование конденсата приводит к качественному отли-
отличию в свойствах матрицы плотности частиц бозе-жидкости по
сравнению с матрицей плотности в обычной жидкости. В произ-
произвольном состоянии однородной бозе-жидкости матрица плотно-
плотности определяется выражением
Np(ru г2) = (m, iV|$+(?, г2)ФD, п)|т, N),	B6.7)
причем эта функция зависит лишь от разности г = ri — Г2
(ср.G.13)). Подставив сюда ^-операторы в виде B6.4) и учиты-
учитывая свойства B6.3) и B6.5), получим
Np(ru г2) = Щ + Np'(ru г2).	B6.8)
«Надконденсатная» матрица плотности р' стремится к нулю при
|ri — г2| —> ос; матрица же плотности р стремится при этом
к конечному пределу щ/N. Этим выражается существование
в сверхтекучей жидкости «дальнего порядка», отсутствующе-
отсутствующего в обычных жидкостях, где всегда р —>• 0 при |ri — г2| —>• ос.
Это есть то свойство симметрии, которое отличает сверхтекучую
фазу жидкости от несверхтекучей (В. Л. Гинзбург, Л. Д. Лан-
Ландау, 1950;О. Penrose, 1950).
Фурье-компонента матрицы плотности определяет распреде-
распределение частиц жидкости по импульсам согласно формуле
JV(p) = Nfp(r)e-ipr dsx	B6.9)
(ср. G.20)). Подставив сюда р в виде B6.8), получим
N(p) = BтгKп0<Нр) + Nfpf(r)e-ipr dsx.	B6.10)
Член с ^-функцией соответствует конечной вероятности частице
иметь строго равный нулю импульс.
Если в жидкости происходит сверхтекучее движение, или
если она находится в неоднородных и нестационарных внеш-
внешних условиях (существенно меняющихся, однако, лишь на рас-
расстояниях, больших по сравнению с межатомными), то бозе-
эйнштейновская конденсация по-прежнему имеет место, но уже
нельзя утверждать, что она будет происходить в состояние с
р = 0. Величина S, по-прежнему определяемая согласно B6.3),
будет теперь функцией координат и времени, имеющей смысл
волновой функции частицы в конденсатном состоянии. Она нор-
нормирована условием |S|2 = no и потому может быть представлена
в виде
J	ф(*)	B6.11)

138
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Благодаря тому, что в конденсатном состоянии находится
макроскопически большое число частиц, волновая функция это-
этого состояния становится классической макроскопической вели-
величиной1). Таким образом, в сверхтекучей жидкости появляется
новая характеристика макроскопических состояний, в том числе
термодинамически равновесных.
Плотность потока, вычисленная по волновой функции B6.11),
есть
где т — масса частицы жидкости. По своему смыслу, это есть
плотность макроскопического потока конденсатных частиц, и ее
можно представить в виде nov5, где v5 — макроскопическая ско-
скорость этого движения. Из сравнения обоих выражений находим,
что
v5 = АуФ.	B6.12)
т
Поскольку это движение может иметь место в термодинамиче-
термодинамически равновесном состоянии (характеризуемом величиной S), то
оно бесдиссипативно, так что B6.12) определяет скорость сверх-
сверхтекучего движения. Мы снова приходим, таким образом, к уже
упомянутому в § 23 свойству сверхтекучего движения — его по-
потенциальности. При этом потенциал скорости <р оказывается сов-
совпадающим (с точностью до постоянного множителя) с фазой
конденсатной волновой функции
(р = -Ф.	B6.13)
т
Во избежание недоразумений подчеркнем, однако, что, хотя
скорость конденсата и совпадает со скоростью сверхтекучей ком-
компоненты жидкости (и хотя конденсат и сверхтекучая компонента
одновременно появляются в Л-точке), плотность конденсата тпо
и плотность сверхтекучей компоненты ps отнюдь не совпадают
друг с другом. Не говоря уже о том, что отождествление этих
двух величин никак не могло бы быть обосновано, его непра-
неправильность видна и из того, что при абсолютном нуле вся масса
жидкости является сверхтекучей, между тем как отнюдь не все
ее частицы находятся в конденсате2).
1)	Аналогично тому, как становится классической величиной напряжен-
напряженность поля электромагнитных волн при больших числах заполнения фото-
фотонов в каждом состоянии (см. IV, § 5).
2)	Фактически плотность конденсата в жидком гелии составляет, по-
видимому, лишь малую долю от полной плотности жидкости.

§ 27	ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ПЛОТНОСТИ КОНДЕНСАТА	139
§ 27. Температурная зависимость плотности конденсата
Плотность числа частиц в конденсате максимальна при Т=0,
а при повышении температуры она падает. Предельный закон
температурной зависимости этой плотности при Г —»> 0 может
быть найден путем рассмотрения флуктуации макроскопической
величины — конденсатной волновой функции S (R. A. Ferrell,
N. Menyhard, H. Schmidt, F. Schwabl, P. Szepfalusy, 1968).
Напомним прежде всего, что S есть классическая величи-
величина, которой в квантовомеханическом формализме отвечает опе-
оператор Ф. Поэтому для вычисления флуктуации следовало бы,
в принципе, пользоваться этим оператором. С другой стороны,
вблизи абсолютного нуля основную роль в спектре флуктуации
макроскопической величины играют длинноволновые колебания.
Эти колебания в жидкости представляют собой звуковые волны,
описывающиеся макроскопическими уравнениями гидродинами-
гидродинамики, и тем самым возникает возможность построить оператор, от-
отвечающий величине S, путем ее независимого квантования.
В данном случае для величины S = у/поехр(гФ) в длин-
длинноволновом пределе наиболее сильно флуктуирует фаза Ф,
непосредственно связанная с потенциалом сверхтекучей скоро-
скорости формулой B6.13). Напомним, что обе величины (р и Ф
неоднозначны — к ним можно прибавить любую константу.
Однозначная же величина л/щ может выражаться поэтому
лишь через производные от Ф, а потому компоненты Фурье ее
флуктуации будут содержать лишние степени волнового вектора
к, т. е. будут малы при малых к.
Связь фазы Ф с потенциалом (р позволяет прямо связать ее с
величинами, характеризующими распределение фононов в жид-
жидкости. Для этого рассматриваем <р, а тем самым и Ф как вторич-
вторично-квантовый оператор, выразив его, согласно B4.10), через опе-
операторы рождения и уничтожения фононов:
/ \ V2
* = Е (^) (^РГ/Й + ^е-*рг/й)	B7.1)
(невозмущенную плотность жидкости записываем в виде р = пт,
где п — плотность числа частиц, индекс 0 опускаем). Согласно
сказанному выше, это означает, что оператор макроскопической
величины S, т. е. длинноволновая часть оператора Ф, может быть
представлена в виде
$ = у/щехр(№),	B7.2)
где по — плотность частиц конденсата.

140
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Прежде всего воспользуемся этой формулой для вычисления
распределения «надконденсатных» частиц бозе-жидкости по им-
импульсам (при малых значениях последних). В одночастичной мат-
матрице плотности p(ri, г2) при больших расстояниях |ri — Г21
можно воспользоваться длинноволновым выражением -^-опера-
-^-оператора B7.2):
Np{ru г2) = <Ф+(г2)Ф(г1)) « noie-^^e1*^), B7.3)
где среднее берется по состоянию жидкости при данной темпе-
температуре. Ввиду малости флуктуации следует разложить это вы-
выражение по степеням Ф, сохраняя лишь первые неисчезающие
(квадратичные) члены. Учитывая, что Ф+ = Ф, получим
Np(ru г2) = п0 - по(Ф2(г)) + по(Ф(г2)Ф(п)>.	B7.4)
Третий член стремится к нулю при |г2 — ri| —>• ос и дает искомую
надконденсатную часть матрицы плотности (второй же член в
однородной жидкости вообще не зависит от г и дает поправку
к плотности конденсата, которая будет вычислена ниже иным
способом). Используя B7.1), приводим надконденсатную часть
к виду
Vn ^ p V Р 2/
Переходя от суммирования к интегрированию, имеем
ь г2) =
е
р	BтгНK
Это выражение, разумеется, справедливо только для вклада
от малых р (Н/р велико по сравнению с межатомными расстоя-
расстояниями). Подынтегральное выражение в B7.5) прямо определяет
распределение частиц по импульсам
N(p) = ^ (пр + \) .	B7.6)
При Г = 0 эта формула дает
iV(p) = M^	B7.7)
2пр

§ 28	ПОВЕДЕНИЕ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ПЛОТНОСТИ ВБЛИЗИ Л-ТОЧКИ	141
(J. Gavoret, Ph. Nozieres, 1964), а при Т ф О, up <С Г;
jV(p) = 1*1^	B7.8)
пр2
пр2
(Р. С. Hohenberg,P. С. Martin, 1965).
Теперь можно определить температурную зависимость плот-
плотности конденсата. По определению, имеем
Если прямо подставить в эту формулу B7.6), интеграл разойдет-
разойдется из-за нулевых колебаний. Это обстоятельство связано с непри-
неприменимостью B7.6) при больших р и означает лишь невозмож-
невозможность вычислить таким способом значение конденсатной плотно-
плотности при Г = 0, которое надо считать здесь заданной величиной.
Для определения же искомой температурной зависимости надо
вычесть из щ(Т) ее значение при Т = 0, после чего интеграл
уже будет сходиться. В результате получим
— no@) _ mu f np dsp _
гсо@)	~~ п J р BтгНK ~
mT2 Г xdx	mT
Г xdx =_
J ех - 1
2тг2пиН3 J ех - 1	12пиН3
О
При вычислении мы пренебрегли температурной зависимостью
полной плотности жидкости; это пренебрежение законно, по-
поскольку тепловое расширение жидкости (связанное с возбужде-
возбуждением фононов) пропорционально более высокой степени темпе-
температуры -Г4 (см. V,§67I).
§ 28. Поведение сверхтекучей плотности вблизи Л-точки
Как уже упоминалось в § 23, с повышением температуры доля
сверхтекучей плотности ps/p бозе-жидкости убывает, обращаясь
в нуль в точке фазового перехода второго рода — так называ-
называемой Л-точки жидкости. Температура Гд этой точки является
функцией давления Р; уравнение Т = Т\(Р) определяет линию
Л-точек на фазовой диаграмме в плоскости РТ.
г) Полученные формулы, справедливые для любой бозе-жидкости, нахо-
находятся, конечно, в согласии с полученными в § 25 формулами для слабо неиде-
неидеального бозе-газа. При сравнении надо учесть, что для такого газа no ~ п,
а условие малости р имеет вид р <^С mu ~ Н(апI^2.

142
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
В общей теории фазовых переходов второго рода изменение
состояния тела описывается поведением параметра порядка,
характеризующего его свойства симметрии. Для Л-перехода бозе-
жидкости роль такого параметра играет волновая функция кон-
конденсата S, описывающая, как было объяснено в § 26, «дальний
порядок» в жидкости. Комплексность S означает, что пара-
параметр порядка имеет две компоненты, причем эффективный га-
гамильтониан системы (см. V, § 147) зависит только от |?|2, т. е.
инвариантен относительно преобразования S 4 еш5 с любым
вещественным а.
Эмпирические данные о Л-переходе в жидком гелии свиде-
свидетельствуют, по-видимому, о том, что для него отсутствует область
применимости теории фазовых переходов Ландау: критерий
A46.15) (см. V) не выполняется нигде в окрестности А-точки (т. е.
нигде в области \Т — Т\\ <С Тд). Поэтому для описания свойств
этого перехода надо пользоваться флуктуационной теорией фа-
фазовых переходов второго рода, дающей возможность связать друг
с другом температурные зависимости различных величин.
Температурная зависимость параметра порядка (а тем самым
и плотности конденсата по) при Г —»> Гд дается критическим
индексом /3 (см. V, § 148):
\Е\ = ^сх(Тх-Т)?.	B8.1)
Более интересен, однако, вопрос о поведении сверхтекучей
плотности ps. Для ее вычисления рассмотрим жидкость, в ко-
которой фаза Ф конденсатной волновой функции медленно меня-
меняется в пространстве. Это значит, что в жидкости имеет место
макроскопическое сверхтекучее движение со скоростью B6.12)
и соответственно с кинетической энергией (на единицу объема
ЖИДКОСТИ)	P_^i=ps_tLmf.	B8.2)
Это выражение можно применить и к длинноволновым флук-
туациям параметра порядка. Согласно гипотезе масштабной ин-
инвариантности, единственным параметром длины, определяющим
флуктуационную картину в окрестности точки перехода, явля-
является корреляционный радиус флуктуации гс. Им же определя-
определяется, следовательно, порядок величины расстояний, на которых
флуктуационное изменение фазы Ф порядка единицы; поэтому
среднее значение квадрата флуктуационной скорости меняется с
температурой по закону
где v — критический индекс корреляционного радиуса. С другой

§ 28	ПОВЕДЕНИЕ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ПЛОТНОСТИ ВБЛИЗИ Л-ТОЧКИ	143
стороны, поскольку именно с длинноволновыми флуктуациями
связана особенность термодинамических величин в точке пере-
перехода, естественно считать, что в окрестности этой точки флукту-
ационная кинетическая энергия B8.2) меняется с температурой
по тому же закону, что и сингулярная часть термодинамического
потенциала жидкости, т. е. как (Т\ — ТJ~а (где а — критический
индекс теплоемкости Ср). Таким образом, находим, что
Ps^s <х ps(Tx - Tf» ос (ТЛ - ТJ~а,
откуда ps ос (Т\ — тJ~а~2и. Наконец, учтя соотношение
3v = 2 - а	B8.3)
(следующее из гипотезы масштабной инвариантности —см. V,
§ 149), получим окончательно
р5ос(ТА-Т)B-а)/3.	B8.4)
Этим устанавливается связь между температурными зави-
зависимостями ps и теплоемкости вблизи А-точки (В. D. Josephson,
1966).
Заметим, что воспользовавшись соотношением:
а + 2/3 + v{2- С) = 2,	B8.5)
следующим из A48.13) и A48.17) (см. V), индекс 2/3, определяю-
определяющий температурную зависимость по, можно представить в виде
Индексы а и ? для жидкого гелия фактически очень малы; по-
поэтому с хорошей точностью 2/3 « B — а)/3 « 2/3, так что
Ps - по ~ (ГА -
Ввиду важности формулы B8.4) полезно привести другой,
более формальный ее вывод. Для этого вычислим корреляцион-
корреляционную функцию флуктуации фазы Ф.
Интересуясь только классическими флуктуациями, найдем,
прежде всего, связанное с ними изменение свободной энергии.
Поскольку малые добавки к энергии и к свободной энергии рав-
равны, это изменение можно прямо написать согласно B8.2):
= Ps^ I (УФJ dV.	B8.6)
Следуя методу, который был применен в V, § 116 для вычис-
вычисления корреляционной функции флуктуации плотности, разло-
разложим АФ в ряд Фурье по координатам:
ке*г, Ф_к = (Фк)*.	B8.7)

144
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Подставим это выражение в B8.6). В результате интегрирования
по dV члены с к ф —к7 выпадают, а в оставшихся интегрирование
сводится к умножению на V. Таким образом имеем
2т? V
к
Согласно общей теории термодинамических флуктуации это
означает, что
<|Ф*|2> = f ^, <*k*L>=0, к^-к'.	B8.8)
Теперь можно подставить B8.7) в выражение для корреля-
корреляционной функции (p(\ri — Г21) = (АФ(г1)АФ(г2)) и усреднить с
помощью B8.8). После простых вычислений находим
<p(r) = ^^L у 1е^г = тп^ f^ikr _^	B8 9)
^V } V Ps?? ^ к*	psft J к*	BтгK	V }
Ответ для интеграла можно написать, воспользовавшись тем,
что 4тг/к2 есть компонента Фурье кулоновского потенциала еди-
единичного заряда. Окончательно:
^1	B8.10)
ф)Т.
4:7тр3Н2 г
Формула B8.10) применима (на достаточно больших расстоя-
расстояниях) при всех температурах ниже А-точки. Вблизи Гд она
применима на расстояниях г < гс. В этой области можно пре-
пренебречь относительно малыми флуктуациями модуля параметра
порядка и считать, что флуктуации этого параметра равны AS =
= гу^поД(?. Тогда корреляционная функция фазы (р(г), умножен-
умноженная на по, совпадает с корреляционной функцией параметра по-
порядка р(г) = (Д 5*(г2Д S(ri)). (Отметим, учитывая смысл S как
волновой функции, что р есть не что иное, как матрица плотно-
плотности жидкости.) На границе же области применимости, при г ~ гс
корреляционная функция параметра порядка должна по поряд-
порядку величины совпадать с общим выражением A48.7) (см. V):
B8.11)
Приравнивая при г ~ гс функции р(г) и по^(г), получаем
С помощью B8.3) и B8.5) легко убедиться в том, что эта темпе-
температурная зависимость совпадает с B8.4).

§ 29	КВАНТОВАННЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ	145
§ 29. Квантованные вихревые нити
Обычная жидкость, заключенная в цилиндрическом сосуде,
вращающемся вокруг своей оси, увлекается трением о стенки со-
сосуда и в конце концов приводится во вращение как целое вме-
вместе с сосудом. В сверхтекучей жидкости увлекается во вращение
только ее нормальная компонента; сверхтекучая же компонента
остается неподвижной — в соответствии с тем, что эта компо-
компонента вообще не может вращаться как целое, так как при этом
нарушалась бы потенциальность сверхтекучего движениях).
Однако при достаточно больших скоростях вращения такое
состояние становится термодинамически невыгодным. Условие
термодинамического равновесия состоит в минимальности
величины	Евр = Е- МП,	B9.1)
представляющей собой энергию по отношению к вращающейся
системе координат; Е и М — энергия и момент импульса систе-
системы относительно неподвижной системы координат (см. V, §26).
Член — MS1 в этом выражении и приводит (при достаточно боль-
больших S1) к термодинамической выгодности состояния с МП > О
по сравнению с состоянием с М = 0.
Таким образом, при увеличении скорости вращения сосуда
должно в конце концов возникнуть сверхтекучее движение. Ка-
Кажущееся противоречие между этим утверждением и условием
потенциальности сверхтекучего движения устраняется предпо-
предположением, что потенциальность нарушается только на некото-
некоторых особых линиях в жидкости — вихревых нитях2). Вокруг
этих линий жидкость совершает движение, которое можно на-
назвать потенциальным вращением, так что во всем объеме вне
линий rot v5 = 0.
Вихревые нити в жидкости имеют толщину, измеряемую атом-
атомными размерами, и с макроскопической точки зрения должны
рассматриваться как бесконечно тонкие3). Их существование
не противоречит выражению скорости в виде B6.12), так как
это выражение предполагает достаточную медленность измене-
изменения v5 в пространстве, между тем как вблизи вихревой линии v5
меняется сколь угодно быстро (см. ниже формулу B9.3)). Она
1)	При вращении жидкости как целого скорость v = [fir], где fi — угловая
скорость, а радиус-вектор г отсчитывается от какой-либо точки на оси. При
этом rot v = 2fi ф 0.
2)	Это предположение было высказано Онсагером (L. Onsager, 1949) и за-
затем развито Фейнманом (R. P. Feynman, 1955).
3)	Это утверждение не относится, однако, к близкой окрестности Л-точки;
здесь толщина вихревой нити порядка величины корреляционного радиуса
флуктуации.

146
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
не противоречит также и изложенному в § 23 обоснованию по-
потенциальности сверхтекучего движения свойствами энергетиче-
энергетического спектра бозе-жидкости, так как с вихревой нитью связа-
связана определенная макроскопически большая энергия (см. ниже
B9.8)), и состояние жидкости с нитью не может считаться слабо
возбужденным.
Рассмотрим сначала вихревые нити с чисто кинематической
точки зрения — как особые линии в распределении скорости
при потенциальном движении жидкости. Каждая вихревая нить
характеризуется определенным значением (обозначим его через
2тгх) циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватываю-
охватывающему эту нить:
)vadl = 2тгх.	B9.2)
Это значение не зависит от выбора контура интегрирования.
Действительно, если С\ и Съ — два контура, охватывающих
вихревую нить, то разность циркуляции скорости вдоль них,
согласно теореме Стокса, равна потоку вектора rotv5 через
поверхность, натянутую между С\ и С2; но поскольку эта
поверхность нигде не пересекает вихревую нить, то во всех
ее точках rotv5 = 0, так что интеграл обращается в нуль.
Отсюда же следует, что вихревая нить не может прерываться:
она либо замкнута, либо оканчивается на границах жидкости
(а в неограниченной жидкости — уходит обоими своими концами
на бесконечность). Действительно, наличие у вихревой нити
свободного конца означало бы возможность натянуть на контур
С поверхность, нигде не пересекающую нить, в результате чего
интеграл в левой стороне B9.2) обратился бы в нуль.
Условие B9.2) позволяет определить распределение скоро-
скоростей в жидкости, движущейся вокруг вихревой нити. В простей-
простейшем случае прямолинейной нити в неограниченной жидкости ли-
линии тока являются окружностями, плоскости которых перпен-
перпендикулярны нити, а центры лежат на ней. Циркуляция скорости
вдоль такой линии равна 2тггг>5, так что
va = -,	B9.3)
Г
где г — расстояние до нити. Отметим, что при потенциальном
вращении скорость падает с удалением от оси вращения
(вихревой нити) — в противоположность вращению как целого,
где скорость возрастает пропорционально г.
Для вихревой нити произвольной формы распределение ско-
скоростей дается формулой
8 2 У ДЗ '	V У

§ 29	КВАНТОВАННЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ	147
где интегрирование производится вдоль нити, a R — радиус-
вектор, проведенный от d\ к точке наблюдения скорости1). На
расстояниях от нити, малых по сравнению с ее радиусом кривиз-
кривизны, формула B9.4) приближенно сводится, конечно, к B9.3).
Как уже было отмечено, формулы B9.2)-B9.4) являются
следствием одной лишь потенциальности движения жидкости.
Квантовая же природа вихревых нитей в сверхтекучей жидко-
жидкости проявляется в том, что постоянная к может иметь лишь
значения из определенного дискретного ряда. Действительно,
воспользовавшись выражением B6.12) скорости v5 через фазу
Ф волновой функции конденсата, находим для ее циркуляции
v5 d\ = - АФ,	B9.5)
т
где АФ — изменение фазы при обходе контура. Но ввиду одно-
однозначности волновой функции изменение ее фазы при возвраще-
возвращении в исходную точку может быть лишь целым кратным от 2тг.
Отсюда следует, что
к = пН/т,	B9.6)
где п — целое число. Мы увидим ниже, что термодинамически
устойчивы фактически лишь вихревые нити с наименьшим воз-
возможным значением циркуляции (п = 1). Поэтому далее мы бу-
будем полагать
х = П/т.	B9.7)
Определим теперь критическую скорость вращения цилин-
цилиндрического сосуда, при которой впервые появляется вихревая
нить. Из соображений симметрии очевидно, что эта нить будет
расположена вдоль оси сосуда. Изменение энергии жидкости за
счет появления в ней вихревой нити есть
АЕ =J^f dV = <±Ljv2s • 2тгг dr = Lps7T
(L — длина сосуда). Интегрирование по dr должно производить-
производиться в пределах между радиусом сосуда R и некоторым значени-
значением г rsj а порядка величины атомных расстояний, на которых
1) Это выражение можно написать прямо по аналогии с известной форму-
формулой Био-Савара для магнитного поля линейных токов. Формальное совпа-
совпадение обеих задач очевидно из сравнения циркуляции скорости B9.2) с цир-
циркуляцией магнитного поля Н вокруг линейного тока J: <f>Hd\ = —J. Одна
задача получается из другой заменой обозначений: Н —>- vs, J/c —>- я/2.

148
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
макроскопическое рассмотрение теряет смысл; ввиду логариф-
логарифмической расходимости интеграла его величина мало чувстви-
чувствительна к точному выбору значения а. Таким образом,
АЕ = Ьтгр3—\п-	B9.8)
m2 a
(это выражение имеет, как говорят, логарифмическую точность,
т. е. предполагается большим не только отношение R/a, но и его
логарифм)х). Момент же импульса вращающейся жидкости:
М = fpsvsrdV = psx[dV = L7rR2-ps.	B9.9)
J	J	m
Возникновение вихревой нити термодинамически выгодно, если
АЕвр = АЕ- МП < 0, т. е. если
^п^.	B9.10)
а
Изложенные рассуждения позволяют также понять причи-
причину, по которой оказываются термодинамически неустойчивыми
вихревые нити с п > 1 в B9.6). Действительно, при замене зна-
значения п = 1 значением п > 1 энергия АЕ увеличивается в п2
раз, а момент М — в п раз; при этом АЕвр заведомо увеличится.
При дальнейшем увеличении скорости вращения цилиндри-
цилиндрического сосуда (за критическим значением B9.10)) возникают
новые вихревые нити, и при Л ^> Лкр число этих нитей бу-
будет уже очень большим. Их распределение по сечению сосуда
стремится при этом к равномерному, и в пределе их совокуп-
совокупность имитирует вращение всей сверхтекучей части жидкости
как целого2). Число вихревых нитей при заданном (большом)
значении fi легко определить, потребовав, чтобы циркуляция
скорости по контуру, охватывающему большое число нитей, име-
имела бы значение, отвечающее вращению жидкости как целого.
г) Движение вокруг вихревой нити сопровождается, вообще говоря, неко-
некоторым изменением плотности жидкости. Пренебрежение в изложенном вы-
вычислении этим изменением оправдано тем, что основной вклад в энергию
B9.8) возникает (в силу логарифмической расходимости интеграла) от боль-
больших расстояний г, на которых изменение плотности уже мало. По этой же
причине можно пренебречь вкладом в АЕ от изменения внутренней энергии
жидкости.
2) В этом легко убедиться, заметив, что так как число нитей растет про-
пропорционально О, (см. ниже B9.11)), то второй член в АЕВр = АЕ — МО,
растет, как Q2, а первый — как Q, и поэтому при Q ^> QKp им можно прене-
пренебречь. Тогда минимизация АЕВр сводится к максимизации М, достигаемой
именно при вращении жидкости как целого.

§ 29	КВАНТОВАННЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ	149
Если такой контур охватывает единичную площадь (в плоско-
плоскости, перпендикулярной оси вращения), то
d\ = v • Ikk 2тгг/
m
где v — плотность распределения вихревых нитей по сечению
сосуда. С другой стороны, при вращении жидкости как целого
rot v5 = 2S1, и та же циркуляция равна 2S1. Приравняв оба зна-
значения, найдем
1У = тП/тгН.	B9.11)
Появление вихревых нитей в известном смысле нарушает
свойство сверхтекучести жидкости. Элементарные возбуждения,
составляющие нормальную компоненту жидкости, будут теперь
рассеиваться на нитях, передавая им (а тем самым — сверхтеку-
сверхтекучей компоненте жидкости) часть своего импульса. Это означает,
другими словами, появление силы взаимного трения между обе-
обеими компонентами жидкости.
Вихревые нити, вообще говоря, перемещаются в пространстве
вместе с текущей жидкостью. При Г = 0, когда жидкость цели-
целиком сверхтекуча, каждый элемент d\ нити движется с той ско-
скоростью v5, которую жидкость имеет в точке нахождения этого
элемента. При отличных же от нуля температурах испытываемая
вихревой нитью сила трения приводит к появлению некоторой
скорости ее перемещения относительно сверхтекучей
компоненты.
Вихревые нити, возникающие при вращении, имеют пря-
прямолинейную форму. Течение же жидкости по капиллярам,
щелям и т. п. может сопровождаться образованием замкнутых
вихревых нитей — вихревых колец. Оно приводит к нарушению
сверхтекучести при течении со скоростями, превышающими
определенную критическую величину. Фактические значения
этих критических скоростей зависят от конкретных условий
течения; они гораздо меньше того значения, за которым нару-
нарушается условие B3.3).
В противоположность прямолинейным вихревым нитям, ко-
которые могут стоять на месте в покоящейся (вдали от них)
жидкости, вихревые кольца движутся относительно жидкости.
Скорость перемещения каждого элемента длины нити есть
то значение v5, которое создается (согласно формуле B9.4))
в точке его нахождения всеми остальными участками нити;
для искривленных нитей это значение, вообще говоря, отлично
от нуля. В результате вихревые кольца имеют как целое не
только определенные энергии, но и определенные импульсы и,
в этом смысле, представляют собой особый тип элементарных
возбуждений.

150
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
3 адачи
1. Найти скорость движения и импульс кругового вихревого кольца.
Решение. Каждый элемент кольца движется со скоростью vs в данной
точке, а ввиду симметрии кругового кольца эта скорость во всех его точ-
точках одинакова. Поэтому достаточно определить
скорость vs, создаваемую в какой-либо одной
точке кольца Р всеми остальными его частями.
Элементы d\ кольца и радиус-векторы R от dl к
точке Р лежат в плоскости кольца; поэтому опре-
определяемая формулой B9.4) скорость в точке Р пер-
перпендикулярна плоскости кольца (в результате чего
кольцо перемещается без изменения своей формы
и размера).
Определим положение элемента d\ углом д
(рис. 3). Тогда
dl = Ro dtf, R = 2R0 sin -, \[d\ • R]| = Rsin - dl
Рис. 3.	(где Ro — радиус кольца), и из B9.4) находим для
скорости кольца v выражение
v ~ — 2 1 dd
V~ SRo J sin (tf/2)'
о
Этот интеграл, однако, логарифмически расходится на нижнем пределе и
должен быть обрезан на значении $ ~ a/Ro, отвечающем атомным расстоя-
расстояниям (~ а) элемента d\ до точки Р. С логарифмической точностью интеграл
определяется областью значений a/Ro <C $ <С тг и равен
~i
2 d-d
[ 2d$ _. Ro
п Ro
¦In — =
П п Ro
	In —.
2mRo a
2R0 a
С той же логарифмической точностью энергия вихревого кольца
A)
-	B)
тг а
(формула B9.8) с заменой R —> Ro, L —> 2-kRq). Энергия е связана со скоро-
скоростью v соотношением del dp = v, где р — импульс кольца. Отсюда
dp = — = 4tt2/?s—i^o dRo
v	m
(с логарифмической точностью, при дифференцировании следует считать
большой логарифм постоянным), и затем
т
Формулы B), C) определяют в параметрическом виде (параметр i?o) зави-
зависимость s(p) для вихревых колец.

§ 30	НЕОДНОРОДНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ	151
Отметим, что ввиду логарифмического характера интегрирования, при-
приводящего к формуле A), эта формула (с некоторым изменением обозначений
в ней) остается справедливой и для скорости v перемещения каждого дан-
данного элемента искривленной вихревой нити любой формы:
v=—bin-.	D)
2R0 а	У J
Здесь b — единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости в
данной точке нити (вектор бинормали); Rq — радиус кривизны нити в этой
же точке; Л — характерное расстояние, на котором меняется кривизна нити.
2. Найти закон дисперсии малых колебаний прямолинейной вихревой
нити (W. Thomson, 1880).
Решение. Выбираем линию нити в качестве оси z, и пусть вектор
г = (ж, у) дает отклонение точек нити при ее колебаниях; он является функ-
функцией z и времени t вида exp[i(kz—cjt)]. Скорость точек нити дается формулой
D), в которой под Л надо в данном случае понимать длину волны колебаний
(А - 1/к)
dr .	нл 1 b
V = 	 = — IUJT = — In	.
dt	2 ak Ro
Вектор бинормали b = [tn], где t и n — единичные векторы касательной и
главной нормали к кривой. Согласно известной формуле дифференциальной
геометрии, d2r/dl2 = n/Ro, где / — длина, отсчитываемая вдоль кривой.
При малых колебаниях нить слабо изогнута, так что можно положить / « z
и t = nz (единичный вектор вдоль оси z)\ тогда
1.2 г 1
[n*r]-
Таким образом, находим уравнение движения нити
як2{ .. 1
—гиг =	[n^r] In —.
2	ak
В раскрытом виде оно дает систему двух линейных однородных уравнений
для х и у\ приравняв нулю определитель этой системы, получим искомую
связь между ш и к:
як2 . 1
UJ = 	 In 	.
2 ak
§ 30. Неоднородный бозе-газ
В § 25 мы рассмотрели свойства почти идеального бозе-газа
со слабым отталкиванием между частицами. Новые существенно
квантовые особенности этой системы проявляются, однако, если
газ пространственно неоднороден. В этом параграфе мы обоб-
обобщим теорию на случай неоднородного газа.
Рассмотрим слабо неидеальный газ при абсолютном нуле
температур. В таком газе почти все его частицы находятся в
конденсате. В терминах ^-операторов это означает, что «над-
конденсатная» часть оператора (Фг) мала по сравнению с его

152
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
средним значением, т. е. по сравнению с конденсатной волновой
функцией S. Оператор Ф(?, г) удовлетворяет «уравнению Шре-
дингера» G.8). С учетом лишь парных взаимодействий для бес-
бесспиновых частиц оно имеет вид (индекс A) у U^ опускаем)
ihffit, г) = (-?-А + ц + tf(г)
+ /"*+(*, r')U{2)(r-r'L>(t, r')<iVf(t, r). C0.1)
В общем случае было бы, однако, неверно просто заменить Ф(?, г)
на S(t, r) в C0.1). Дело в том, что такая замена не учитывает
сильного взаимодействия между частицами, которое имеет место
на расстояниях порядка радиуса действия парного межчастич-
межчастичного потенциала. Эту трудность можно обойти, если, как это бы-
было сделано в § 6 и 25, формально заменить истинный потенциал
взаимодействия на потенциал с тем же значением длины рассея-
рассеяния а, но допускающим применение теории возмущений. В этом
случае замена Ф на S в C0.1) допустима на всех расстояниях.
Считая функцию S(t, rr) мало меняющейся на атомных рассто-
расстояниях, мы можем вынести ее, заменив на S(t, r), из-под знака
интеграла, который сводится тогда к fljB\r)d?x = С/о- Таким
образом, искомое уравнение для S(t, г) имеет вид
ih±3(t, г)= (-g-A-M+?7(r)) E(t, r)+U0\E(t, r)\2E(t, r).
C0.2)
Теперь, как и в §25, мы должны считать, что постоянная Uq,
характеризующая взаимодействие между атомами, выражается
через точную длину рассеяния формулой F.2):
Uo = ^^а.	C0.3)
т
Подчеркнем, что волновая функция конденсата S(t, r) явля-
является, как было объяснено в § 27, классической макроскопической
величиной. В то же время уравнение C0.2), которому она удо-
удовлетворяет, содержит в явном виде постоянную Планка Н.
В стационарном состоянии функция S не зависит от вре-
времени (напомним, что уравнение C0.1) уже отвечает гамильто-
гамильтониану Н' = Н — N (I.) Поэтому такое состояние описывается

§ 30	НЕОДНОРОДНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ	153
уравнениемг):
tf (г)) 3(г) + С70|Н(г)|2Н(г) = 0.	C0.4)
Отметим, что в отсутствие внешнего поля из уравнения C0.4)
следует, что химический потенциал однородного газа равен зна-
значению \i = nUo (п — плотность газа), соответствующему первому
приближению B5.6) теории Боголюбова.
Важным приложением полученных уравнений является зада-
задача о структуре вихревой нити в почти идеальном бозе-газе. Как
уже говорилось, толщина самой вихревой нити в жидкости из-
измеряется атомными расстояниями. В почти идеальном бозе-газе
ситуация, однако, другая. Здесь «сердцевина» вихревой нити, в
которой свойства среды существенно изменены, имеет (как мы
увидим ниже) макроскопическую толщину, и ее структура может
быть описана полученными выше уравнениями. Пусть внешнее
поле отсутствует и п есть невозмущенная плотность газа на бес-
бесконечности. Полагая \i = nUo в C0.3), получаем уравнение
~AS(r) + Uo{ |2(г)|2 - n}S(r) = 0.	C0.5)
Прямолинейной вихревой нити соответствует решение вида
-), го = -=?=.	C0.6)
г /	/2mUn
где г и <р — расстояние до оси вихря и полярный угол вокруг
нее. Фаза этой функции отвечает значению циркуляции B9.7).
Квадрат |S|2 есть плотность числа частиц в конденсате; в рас-
рассматриваемом приближении она совпадает с полной плотностью
газа. При г —>• ос последняя должна стремиться к заданному
значению п, а функция / — соответственно к 1.
Введя безразмерную переменную ?=г/го, получим для функ-
функции /(?) уравнение
!(!)?+>->"=о- <307)
х) Уравнения C0.2) и C0.4) были получены Е.П. Гроссом (Е. P. Gross,
1961) и Л. П. Питаевским A961) в связи с обсуждаемой ниже проблемой
вихревой нити в бозе-газе. Уравнение аналогичное C0.4) рассматривалось
ранее В. Л. Гинзбургом и Л. П. Питаевским A958) в теории сверхтекучести
жидкого гелия вблизи Л-точки. Смысл коэффициентов в этих двух задачах
существенно различен, однако формальное сходство уравнений позволяет
использовать решение, полученное для вихревой нити в гелии, для бозе-
газа. Это решение показано на рис. 4.

154
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
На рис. 4 показано решение, полученное из C0.7) численным ин-
интегрированием. При ? —> 0 оно обращается в нуль пропорцио-
пропорционально ?, а при ? —»> ос стремится к 1 по закону / = 1 — 1/2?2.
Параметр го определяет порядок величины радиуса «серд-
«сердцевины» вихря. Введя вместо Uq длину рассеяния, согласно
Uq = 4тгН2а/т C0.3), найдем, что
го ~ n-^V172 » п/3,
где г] = an1/3 — газовый параметр. Этот радиус, таким образом,
действительно велик по сравнению с межатомными расстояния-
расстояниями, если газовый параметр достаточно мал.
Другой задачей, в которой неоднородность газа играет суще-
существенную роль, является задача о газе во внешнем поле. Пусть
газ находится в поле притяжения с потенциальной энергией
U(г) < 0. (Такая постановка соответствует реальной эксперимен-
экспериментальной ситуации, когда атомы удерживаются «магнитной ло-
ловушкой»). Волновая функция основного состояния может быть
выбрана вещественной и удовлетворяет уравнению C0.4). На бес-
бесконечности функция должна стремиться к нулю, а химический
потенциал [i определяется из условия нормировки:
[z(
C0.8)
где N — полное число частиц в газе. В общем случае уравнение
C0.4) можно решить только численно. Существуют, однако, два
предельных случая, где задачу можно сильно упростить.
Дело в том, что относительная роль различных членов в
уравнении C0.4) зависит от соотношения между величиной го,
определенной согласно C0.6), и характерным размером газового
«облака» R. Простая оценка показывает, что отношение члена,
содержащего взаимодействие С/о, к члену с лапласианом имеет
порядок (i?/roJ.

§ 30	НЕОДНОРОДНЫЙ БОЗЕ-ГАЗ	155
Таким образом, при условии R <С г о взаимодействие вообще
несущественно. Уравнение C0.4) в этом случае сводится к
уравнению Шредингера для частицы в потенциале U(г). Это
означает, что газ можно считать идеальным и все атомы конден-
конденсируются в состоянии, соответствующем основному состоянию
индивидуального атома в поле U(г).
В обратном предельном случае в уравнении можно прене-
пренебречь лапласианом. Плотность газа дается тогда простой
формулой:
H(rJ = n(r) = -^(M-C7(r)),	C0.9)
которая выражает классическое условие постоянства химическо-
химического потенциала во внешнем поле. Отметим, что в этом приближе-
приближении газ имеет резкую границу, определяемую уравнением
\i — U(г) = 0. Химический потенциал находится интегрировани-
интегрированием выражения C0.9) по области U(г) < \i.
Задача
Найти спектр элементарных возбуждений в почти идеальном бозе-газе,
рассматривая его как закон дисперсии малых колебаний конденсатной вол-
волновой функции.
Решение. Рассматриваем малые колебания S вокруг постоянного сред-
среднего значения у/п:
где А, В* — малые комплексные амплитуды. Подставив это выражение в
уравнение C0.2), в котором внешний потенциал U положен равным нулю,
линеаризовав его и отделив члены с различными экспоненциальными мно-
множителями, получим систему двух уравнений
2
ПшА = ^—А + nU0(A + Б),
2т
-nwB = 1—В + nU0(A + В)
2т
(р = Нк). Отсюда, приравняв нулю определитель системы, найдем
что совпадает с B5.10).

156	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ	ГЛ. Ill
§31. Гриновские функции бозе-жидкости1)
Математический аппарат функций Грина бозе-жидкости
строится во многом подобно аналогичному аппарату для ферми-
систем.Не повторяя заново всех рассуждений, мы приведем здесь
сначала основные определения и формулы, подчеркнув при этом
отличия, связанные как с другой статистикой частиц, так и с на-
наличием конденсата2). Как и в предыдущих параграфах этой
главы, частицы жидкости предполагаются бесспиновыми.
При определении гриновской функции бозе-жидкости сле-
следует выделить из гейзенберговских ^-операторов конденсатную
часть, представив их в виде B6.4). Функция Грина определяется
по надконденсатной части операторов согласно
G(XU X2) = -i(T&(X1)V+(X2)),	C1.1)
где снова скобки (...) означают усреднение по основному со-
состоянию системы, а Г — знак хронологического произведения.
При этом, однако, в отличие от случая фермионов, перестановка
^-операторов для приведения их в нужное расположение не дол-
должна сопровождаться изменением знака произведения, так что
(в отличие от G.10))
iG(X* Хо) - { <Ф'(*1)Ф'+№)>, h > t2,	ш 2)
.G(Xb X2) - | (ф'+№)ф№)), tl < t2.	CL2)
Такое же среднее значение, как C1.1), но с полными -0-опера-
торами вместо надконденсатных дало бы
-г(гФ(Х1)Ф+(Х2)) = -mo + G(XU X2),	C1.3)
где по — плотность числа частиц в конденсате3). В однород-
однородной жидкости функция G зависит, конечно, только от разности
X = Х\ — Х2-
Надконденсатная матрица плотности рг выражается через
функцию Грина согласно
Np'(ru г2) = iG(tu п; h + 0, г2) = %G[t = -0, г) C1.4)
1)	В § 31 - 33, 35 используется система единиц, в которой Л = 1.
2)	Применение математической техники гриновских функций к бозе-
системам с конденсатом принадлежит С. Т. Беляеву A958).
) Как и для ферми-систем, мы будем рассматривать состояния бозе-
системы при заданном значении химического потенциала fi (а не числа N).
Соответственно роль гамильтониана системы играет разность Н' = Н — fiN
G.1). При этом конденсатная часть ^-оператора от времени не зависит.

§ 31	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ	157
(обратим внимание на другой общий знак по сравнению с G.18)).
В частности, при ri = г2 отсюда получается полная плотность
числа надконденсатных частиц
--по = iG(t = -0, г = 0)	C1.5)
(ср. G.19)).
Переход к импульсному представлению происходит по тем же
формулам G.21), G.22). Нормировка функции G(cj, p) выража-
выражается формулой
v = n0 + i\unjG(u>,p)e -^	C1.6)
(ср. G.24)).
Для функции Грина бозе-системы в импульсном представле-
представлении можно получить разложение, подобное тому, которое было
получено в § 8 для ферми-систем. Полностью аналогичные вы-
вычисления приводят сначала к формуле
G(«>, Р) = B7ГK	{^^(P)
и - E0(N)
где
{ф'{т) — шредингеровский надконденсатный операторI). Для
приведения этого разложения к окончательному виду замечаем,
что энергии возбуждения ?m(N) в бозе-системе определяются
как (всегда положительные) разности между энергиями возбу-
возбужденных состояний системы и энергией ее основного состояния
при неизменном числе частиц N. Учитывая, что Eq(N) + \i «
« Eq(N + 1), находим поэтому, что
Em(N+l) - E0(N) -fin Em(N+l) - EO(N+1) = sm(N+l) > 0,
Em(N-l) - E0(N) + fi « Em(N-l) - EO(N-1) = em(N-l) > 0.
Но добавление или удаление одной частицы меняет свойства си-
системы лишь в членах относительного порядка ~ 1/iV; для ма-
макроскопической системы эти члены пренебрежимо малы, так что
х) Формула C1.7) отвечает формуле (8.7). Множитель 1/2 отсутствует те-
теперь в связи с бесспиновостью частиц. Обратим внимание на другой знак
перед вторым членом в C1.7) по сравнению с (8.7).

158
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
энергии возбуждения sm(N ±1) следует считать совпадающими
друг с другом и с em(N). Таким образом, окончательно находим
G(o>, р) = BтгK у[А^т(р-Рт) _ Втбт(р + Рт)\ CL8)
ml "-?™ + iO	u; + em-i0 J V У
Тем же способом, как было получено (8.14), отсюда легко найти,
что для бозе-систем мнимая часть функции Грина всегда отри-
отрицательна:
ImG(w, p) <0.	C1.9)
Асимптотический вид функции Грина при ио —> ос остается
тем же, что и в случае ферми-систем:
G(lj, p) —>> 1/ш при \ш\ —>> ос	C1.10)
(ср. (8.15)). При его выводе следует учесть правило коммутации
$	*, г2) - $+(t, г2)Ф(*, Г!) = *(п - г2),
в котором стоит теперь коммутатор операторов Ф и Ф+ вместо
антикоммутатора1).
Далее, такие же рассуждения, что и в § 8, приводят к основ-
основному результату о том, что полюсы функции Грина определяют
спектр элементарных возбуждений
G-1(e,p) = 0,	C1.11)
причем следует брать только положительные корни этого урав-
уравнения; в отличие от (8.16), вычитать // из ? здесь не требуется.
Вблизи своего полюса функция Грина имеет вид
G(u>, р) « -^^г, ^+ > 0, Z_< 0;	C1.12)
знак вычета в полюсе совпадает со знаком о;, как это следует
из положительности коэффициентов Ат, Вгп в C1.8) (величина
же вычета не ограничена никакими условиями, подобными, на-
например, условию A0.4) в случае ферми-систем). Используя вы-
выражение C1.12), легко убедиться (подобно тому, как это было
сделано в §8), что неравенство C1.9) автоматически обеспечива-
обеспечивает положительность коэффициента затухания квазичастиц, т. е.
нужный знак — Im? > 0, когда значения е сдвигаются в ком-
комплексную область.
1) Тот факт, что в определении G выделена конденсатная часть ?/;-опера-
торов, здесь несуществен: постоянному члену —гпо в C1.3) в импульсном
представлении отвечает E-функция 5(ujM(p), не отражающаяся на C1.10).

§ 31	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ	159
Возможность перехода надконденсатных частиц в конденсат
и обратно приводит к тому, что в математическом аппарате
функций Грина для бозе-систем наряду с функцией C1.1) авто-
автоматически появляются (как мы увидим в § 33) также и функции
iF{Xu Х2) = (N- 2|T$'(X1)$'(X2)|iV),	C1.13)
+u X2) = (N\T^'+(X1)^+(X2)\N - 2) =
= (N + 2|T$'+(Xi)$'+(X2)|iV), C1.14)
где матричный элемент берется для переходов с изменением пол-
полного числа частиц в системе, а символ \N) означает основное со-
состояние системы с N частицами (последнее равенство в C1.14)
справедливо с точностью до величин ~ 1/N — ср. примечание
на с. 136). Определенные таким образом функции F и F+ назы-
называют аномальными функциями Грина. Покажем, что в однород-
однородной и неподвижной жидкости функции F и F+ совпадают друг
с другом.
Как и функция G, функции F и F+ для однородной жид-
жидкости зависят только от разности X = Х\ — Х21)- При этом,
поскольку перестановка Х\ и Х2 меняет лишь порядок располо-
расположения операторов в произведении, который все равно устанав-
устанавливается операцией хронологизации, то
F(X) =F(-X).	C1.15)
Отсюда следует, конечно, что и в импульсном представлении
F — четная функция своего аргумента
F(P) =F(-P).	C1.16)
Далее, определенное соотношение между F и F^ возникает как
результат следующего свойства гейзенберговского ^-оператора
) Независимость функции F от суммы времен t\ + ti связана с тем, что
в определение гамильтониана Н' = Н — fiN включен член —fiN. Тем самым
из разности собственных значений энергии систем с различными числами
частиц исключен член
E(N + 2) - E(N) « 23E/3N = 2/л,
а из матричных элементов оператора Ф^ Ф^ соответственно исключен мно-
множитель ехр[—%ii(t\ + ?2)].

160	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
неподвижной жидкостиг):
*, г) = !(-*, -г).	C1.17)
Полагая, скажем, ?2 > ?i, имеем
iF+(Xu X2) = (N
= (N\W+(X1)W+(X2)\N + 2) =
^^	2) = iF(-Xh -X2),
или F+(X) = F(—x). С учетом C1.15) отсюда следует искомое
равенство
F+(X) =F(X)	C1.18)
Выразив функцию F(X) через матричные элементы ^-опера-
^-операторов, можно получить для F(uj, p) разложение, аналогичное
разложению C1.8), и тем самым выяснить вопрос о полюсах
этой функции; мы не будем останавливаться здесь на этом. Ука-
Укажем лишь, что полюсы функции F(uj, p) совпадают с полюсами
функции G(cj, p).
В заключение этого параграфа вычислим функцию Грина
идеального бозе-газа G^°\ Заметим прежде всего, что посколь-
поскольку в основном состоянии такого газа все частицы находятся в
конденсате, то надконденсатный оператор уничтожения частиц
) В нем можно убедиться следующим образом. Все отличные от нуля мат-
матричные элементы операторов Sp, Sp могут быть определены как веществен-
вещественные величины (см. III, F4.7), F4.8)); в этом смысле операторы вещественны,
т. е. Sp" = 2p = Sp. Поэтому шредингеровский ^-оператор
обладает свойством ф+(г) = ф(—г). Отсюда, в свою очередь, следует равен-
равенство C1.17) для гейзенберговского оператора
§(?, г) = ехр(гЯ*)^(г)ехр(-гЯ?),
в чем легко убедиться, заметив, что для системы без спиновых взаимодей-
взаимодействий гамильтониан Н веществен (так что Н+ = Н), а в силу изотропии
системы Н(—г) = Я(г). Подчеркнем, однако, что вещественность гамильто-
гамильтониана подразумевает отсутствие в жидкости макроскопического сверхтеку-
сверхтекучего движения. Для бозе системы с конденсатом гамильтониан зависит от
макроскопического параметра — конденсатной волновой функции S. В дви-
движущейся жидкости этот параметр комплексен, а с ним комплексен (но, ра-
разумеется, эрмитов) и гамильтониан.

§ 31	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ	161
Ф' при воздействии на волновую функцию основного состояния
обращает ее в нуль. Поэтому функция G^(t, r) отлична от ну-
нуля только при t = t\ — ?2 > 0 (когда, согласно C1.2), первым
действует оператор рождения Ф +).
Хотя для идеального газа химический потенциал \i = 0, мы
не будем полагать здесь этого, рассматривая \i как не опреде-
определенный заранее свободный параметр; это необходимо для даль-
дальнейшего применения функции G^ в диаграммной технике для
произвольной жидкости, где [i играет роль именно такого пара-
параметра. Соответственно этому, оператор Ф()(?, г) будем писать в
виде
Фп(?, г) = -^= Vapexp г рг - ^—1 + fit)]	C1.19)
W ^	[ V	2т	)\
(отличающимся от B6.1) членом i\ii в показателях экспонент).
При подстановке этого выражения в определение G^°\ согласно
C1.2), замечаем, что при усреднении (т. е. взятии диагонального
матричного элемента) могут дать отличный от нуля результат
лишь произведения ара+ и а^ар<) но поскольку в основном со-
состоянии газа числа заполнения всех состояний частиц с р ф О
равны нулю, то
(а+ар) = 0, (ара+) = 1.
Перейдя затем обычным образом от суммирования по р к инте-
интегрированию, получим
d3p при * > О,
{Г	Г	2	 i3
— i exp —i—t + iat + грг —-
J У[ 2т	^ У J B7Г
О при t < 0.
C1.20)
Отсюда для функции Грина в импульсном представлении имеем
//	2	\
exp \-i^—+iiit + iuot) dt.
\ 2т	)
0
Интегрирование осуществляется с помощью формулы
C1.21)
б Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

162
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
(в подынтегральном выражении вводится множитель е с Л > О,
после чего переходим к пределу А —» 0). Окончательно
j, р) = L - ?- + (I + iol .	C1.22)
L 2m	J
Что касается функции F, то для идеального газа F^°\X) = 0,
как это очевидно из определения C1.13), в котором оба опера-
оператора уничтожают надконденсатные частицы. Поэтому и в им-
импульсном представлении
fW(u>, p) = 0.	C1.23)
Этим равенством выражается тот факт, что надконденсатные
частицы появляются (при Г = 0) только в результате взаимо-
взаимодействия.
Задача
Найти функцию Грина фононного поля, определяемую как
lt Х2) = D(X1 - Х2) = -t(T?(Xi)?(Xa)>,	A)
где угловые скобки означают усреднение по основному состоянию поля; j? —
оператор плотности из B4.10), а хронологическое произведение раскрыва-
раскрывается по правилу C1.2).
Решение. При подстановке B4.10) в определение A) замечаем, что
поскольку в основном состоянии все числа заполнения фононных состояний
равны нулю, то отличны от нуля лишь средние значения (ckcj) = 1- Перейдя
затем от суммирования по к к интегрированию, получим
/nh	HSh
2ги	BтгK'
где знаки — и + в показателе относятся соответственно к t > 0 и t < 0
(в интеграле для t < 0 произведено переобозначение переменной интегри-
интегрирования к —»> — к). Подынтегральное выражение (без множителя егкг) есть
уже компонента фурье-разложения функции D(t, r) по координатам. Раз-
Разлагая так же и по времени, получим гриновскую функцию в импульсном
представлении
о
Г ei(ul+uk)tdt\.
D(lj, г) = -— <
Интегрирование осуществляется с помощью формулы C1.21):
2и \w-uk + i0 ш + ик - г0 ш2 - и2к2 + гО

§ 32	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ	163
§ 32. Диаграммная техника для бозе-жидкости
Дальнейшее построение диаграммной техники для вычисле-
вычисления функций Грина бозе-системы производится подобно тому,
как это было сделано в § 12, 13 для ферми-систем. Как и там,
сформулируем правила этой техники для систем с парным вза-
взаимодействием между частицами, описывающимся оператором
V(t) = ±|$+(i, ri)*+(t, r2)C/(n - г2)Ф(*, г2)Ф(*, v1)dzxldzx2.
C2.1)
Специфика бозе-жидкостей с конденсатом состоит прежде
всего в том, что все гейзенберговские ^-операторы должны быть
представлены в виде Ф = Ф' + S, где Ф' — его надконденсатная
часть, a S — конденсатная волновая функция, представляющая
собой (для неподвижной жидкости) просто вещественное число
л^щ1). После такой подстановки оператор C2.1) распадается
на ряд членов, содержащих от четырех до нуля операторов
Ф' (вместе с соответствующим дополнительным числом мно-
множителей у/По).
Все сказанное в § 12 о переходе к представлению взаимо-
взаимодействия остается полностью в силе, а дальнейшее раскрытие
получающихся выражений осуществляется с помощью теоремы
Вика (с тем лишь отличием, что перестановка ^-операторов в
усредняемом произведении не требует теперь изменения знака).
Разнообразие членов, на которые распадается оператор C2.1),
приводит, однако, к появлению новых элементов в фейнманов-
ских диаграммах. Опишем эти элементы сразу в окончательном,
импульсном представлении.
В каждой вершине диаграммы по-прежнему сходятся три ли-
линии: штриховая линия (которой сопоставляется множитель
—iU(Q) с 4-импульсом Q = (#о? ч)) и Две линии частиц — од-
одна входящая и одна выходящая. Но при этом надо различать
конденсатные и надконденсатные частицы. Сплошные линии бу-
будут отвечать теперь надконденсатным частицам, и такой линии
(с 4-импульсом Р = (cj, р)) по-прежнему отвечает множитель
iG^(P). Линии же конденсатных частиц будем изображать вол-
волнистыми; этим линиям приписывается 4-импульс Р = 0, и им
1) Подчеркнем, что поскольку эта величина возникает от разделения на
части точного (гейзенберговского) ^-оператора, то по — точное значение
плотности конденсата в жидкости (при Т = 0).
6*

164
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
сопоставляется множитель у/по *)• Таким образом, возникают
вершины четырех видов:
\/ \/ \/ V
C2.2)
(вершины с одной или двумя волнистыми линиями называют
неполными). В каждой вершине должен выполняться «закон со-
сохранения 4-импульса»; поэтому в вершинах бив 4-импульс
штриховой линии совпадает с 4-импульсом сплошной линии, а
в вершине г он равен нулю). Волнистые линии всегда являются
внешними линиями диаграммы, т. е. присоединены к ней лишь
одним из своих концов, второй же конец остается свободным.
Каждая диаграмма, входящая в определение функции Гри-
Грина G(P), имеет две сплошные внешние линии с 4-импульсами Р
(входящую и выходящую), а сверх того может иметь некоторое
(четное) число волнистых внешних линий; полные числа входя-
входящих и выходящих внешних концов во всякой диаграмме одинако-
одинаковы (чем выражается сохранение полного числа частиц в
системе — конденсатных вместе с надконденсатными). Как и для
ферми-системы (и по той же причине — см. §13), допустимы
только диаграммы, не распадающиеся на две (или более) не свя-
связанные друг с другом части. В отличие от случая ферми-систем,
меняется, однако, правило, определяющее общий знак, с кото-
которым диаграммы входят в %G\ все диаграммы входят с одинако-
одинаковыми знаками (т. е. устраняется указанное на с. 74 правило 3).
Каждая из штриховых линий в диаграмме имеет на своих
двух концах полную или неполную вершину. Это не могут, одна-
однако, быть две вершины типа C2.2г)\ не имея ни одного сплошно-
сплошного конца, такая фигура вообще не может быть присоединена к
диаграмме функции Грина. Это не могут быть также вершины
типов C2.2г) и C2.2в) (или C2.2г) и C2.26)): при наличии трех
волнистых концов сохранение 4-импульса в вершинах привело
бы в такой фигуре к обращению в нуль также и 4-импульса чет-
четвертого конца, т. е. мы пришли бы к фигуре со всеми четырьмя
конденсатными (волнистыми) концами.
1) Точнее, входящей в вершину волнистой линии должен сопоставляться
множитель S, а выходящей — множитель ?*; ввиду вещественности S эти
множители фактически одинаковы.

§ 32	ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ БОЗЕ-ЖИДКОСТИ	165
Значительное число диаграмм в каждом порядке теории
возмущений, построенных по описанным правилам, однако,
тождественно обращается в нуль. Причиной этого исчезнове-
исчезновения является отсутствие надконденсатных частиц в основном
состоянии идеального бозе-газа. Это в особенности ясно видно,
если проследить за происхождением диаграмм в координатном
представлении: равны нулю все свертки вида (Ф +Ф'), в которых
оператор уничтожения надконденсатных частиц стоит справа
и действует на основное состояние первым; остаются только
свертки вида (Ф'Ф +)х).
Так обращаются в нуль диаграммы с «замкнутой на себя»
сплошной линией: такая линия возникает от свертки
(Ф + (?, г)Ф'(?, г)), представляющей плотность надконденсатных
частиц. Далее, равны нулю диаграммы, содержащие сплошную
линию, замкнутую штриховой линией:
Такая линия возникает от свертки (Ф + (?, Г2)Ф'(?, ri)) двух
^-операторов внутри одного и того же оператора взаимодей-
взаимодействия V(t), в котором Ф + стоят слева от Ф'.
Наконец, равны нулю все диаграммы, в которых можно про-
провести замкнутый контур по некоторой последовательности
сплошных и штриховых линий так, что направления сплошных
линий вдоль всего контура одинаковы. Изобразим контур тако-
такого рода, указав у точек на концах линий временные аргументы
^-операторов:
t\	t2
U	*з
Аргументы на концах каждой штриховой линии одинаковы2).
Аргументы же функций G^\ отвечающих сплошным линиям,
равны разностям ?2 — ?ъ ?з ~?2? ?4 — ?з? ?i ~?45 ДЛЯ лю^ого замкнУ~
того контура их сумма будет равна нулю, так что хотя бы один
из них отрицателен и соответствующая функция G^ обратится
в нуль.
1)	По аналогичной причине обращались в нуль некоторые диаграммы для
рассеяния двух частиц в вакууме — см. § 16.
2)	Напомним, что в пространственно-временном представлении диаграмм
штриховой линии между точками 1 и 2 сопоставляется множитель
iU(Xi — Х2), содержащий E-функцию S(ti — ?2).

166
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Описанные правила относятся и к диаграммам, определяю-
определяющим аномальную функцию Грина, с той лишь разницей, что обе
сплошные внешние линии должны быть выходящими (для функ-
функции F) или обе входящими (для функции F+). Соответственно
становятся неодинаковыми в этих диаграммах числа входящих и
выходящих волнистых линий — так, чтобы общее число всех вы-
выходящих линий осталось равным общему числу входящих. Одной
из внешних сплошных линий приписывается 4-импульс Р, а дру-
другой — 4-импульс — Р (где Р — аргумент искомой функции F(P)
или i?+(P)I); сумма 4-импульсов обеих этих линий должна
быть равна нулю в силу «закона сохранения 4-импульса», при-
примененного к диаграмме в целом.
Вычисленные по диаграммной технике функции Грина со-
содержат два параметра — химический потенциал \i и плотность
конденсата по; эти параметры надо еще связать с плотностью
жидкости п = N/V. Одно соотношение между этими тремя ве-
величинами дает формула C1.6), следующая непосредственно из
определения функции Грина. В качестве второго соотношения
можно пользоваться полученным ниже уравнением C3.11), явно
выражающим [i в терминах понятий диаграммной техники.
§ 33. Собственно-энергетические функции
Изучим более подробно структуру диаграмм для функций
Грина, введя в рассмотрение понятие о собственно-энергети-
собственно-энергетической функции подобно тому, как это было сделано в § 14 для
ферми-систем: путем рассмотрения совокупности всех диаграмм
(с двумя внешними сплошными линиями), которые не могут
быть рассечены на две части пересечением лишь одной спло-
сплошной линии. В отличие от § 14, однако, теперь возникают различ-
различные возможности в смысле направления внешних линий
диаграмм: наряду с диаграммами с одной входящей и одной вы-
выходящей линией существуют диаграммы с двумя выходящими
или двумя входящими линиями. Соответственно этому, возника-
возникают собственно-энергетические части трех родов:
(в этих обозначениях первый индекс у S указывает число входя-
входящих, а второй — число выходящих внешних сплошных
1) Поскольку F — четная функция своего аргумента, то выбор общего
знака Р здесь несуществен.

§ 33	СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	167
линий). Наряду со сплошными внешними линиями собственно
энергетические диаграммы имеют, вообще говоря, также и вол-
волнистые (конденсатные) свободные концы. Эти концы включаются
в определение собственно-энергетической функции, изображен-
изображенной здесь кружком. Мы увидим ниже, что функции Т,$2(Р) и
() фактически совпадают
C3-2)
Сразу же отметим также, что поскольку Р и — Р входят в опреде-
определение этих функций симметричным образом, они четны по сво-
своему аргументу:
C3.3)
Приведем для иллюстрации все отличные от нуля диаграммы
функций ?ц и Sq2 в двух первых порядках теории возмущений
-W\/^	1-4
¦M	1 - - \ЛЛ/\/^ '
C3.4)
C3.5)
Составим теперь уравнения, выражающие точные функции
G и F через собственно-энергетические функции.
В терминах теории возмущений разность G(P) — G^°\P) вы-
выражается суммой бесконечного числа диаграмм — цепочек вида
состоящих из различных чисел кружков, соединенных всеми воз-
возможными способами стрелками прямого и обратного (по срав-
сравнению с двумя крайними) направлений. Аналогичным образом,
точная функция F (функция F^ = 0) изобразится суммой це-
цепочек, в которых две крайние стрелки имеют противоположные
направления:
Р\Р	г^ р
	О—^
	О—>

168
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Если отсечь во всех этих цепочках крайнее звено (кружок
вместе со стрелкой), как показано вертикальной штриховой
линией, то совокупность оставшихся диаграмм с одинаковыми
направлениями крайних стрелок снова будет совпадать с точной
функций G, а совокупность диаграмм с противоположными
направлениями крайних стрелок — с точной функцией F.
Введем графическое обозначение этих функций жирными
одно- и двусторонними стрелками
iG(P)	iF(P)
Тогда сделанные утверждения запишутся в виде графических
равенств, составленных из скелетных диаграмм:
Р	Р Р ^ Р	Р -Р~ Р
C3.7)
-Р Р~	-Р ^-Р Р -Р
(ср. аналогичное уравнение A4.4)). В аналитическом виде эти
равенства дают1)
G(P) = [1 + En (P)G(P) + E20(P)F(P)]G(°)(P),
F(P) = G@)(-P)[En(-P)F(P) + Eo2(P)G(P)].
Решив эти уравнения относительно G и F и подставив выраже-
выражение C1.22) для G^0), получим искомые формулы
G{P) = - L+^—/х+Ец(-РI , F(P) = -lSo2(P), C3.9)
D |_ 2m	J	Z)
где
9	1 Г	9	1
C3.10)
Подчеркнем, что эти соотношения не зависят от внутренней
структуры собственно-энергетических функций, а потому не свя-
связаны и с предположением о парности взаимодействий между ча-
частицами, так что они верны для любой бозе-жидкости.
1) Аналогичную систему уравнений можно было бы написать для G и F+,
причем она отличалась бы от C3.8) лишь заменой Е02 и Е20 друг на друга.
Поскольку F = F+, то отсюда следует равенство C3.2).

§ 33	СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ	169
Энергия элементарных возбуждений в жидкости в зависимо-
зависимости от импульса р определяется полюсами функций G и F по
отношению к переменной ио. При малых р эти возбуждения яв-
являются фононами и их энергия стремится к нулю вместе с р.
Поэтому функция C3.10) должна обращаться в нуль при р = 0,
ио = 0. Отсюда находим равенство
Как уравнение по отношению к //, оно имеет два корня, из кото-
которых должен быть выбран
C3.11)
Действительно, в длинноволновом пределе ^-оператор дается
выражением B7.2) и его надконденсатная часть Ф' = Ф — л^щ «
« гу^Ф, так что Ф + = — Ф' и затем F « —G; последнее равен-
равенство выполняется именно при выборе C3.11), когда числители в
C3.9) (в пределе Р —»> 0) отличаются только знаком. Равенство
C3.11) и есть то второе соотношение (см. конец §32), которое
вместе с соотношением C1.6) дает возможность выразить пара-
параметры \i и по через плотность жидкости п.
Дальнейшее разложение выражения C3.10) в ряд по си и р
определяет вид функции Грина в области малых значений их
аргументов. При этом надо учесть, что скалярные функции ?ц
и Sq2 разлагаются по степеням р2, а разложение четной по всем
своим аргументам функции ?q2 содержит лишь четные степени
также и переменной си. Представив C3.10) в виде
+Eg2(-P)],
сразу заключаем, что первые неисчезающие члены разложения
имеют вид D = const (ои2 — и2р2 + г0), где и — постоянная, пред-
представляющая собой, очевидно, скорость звука в жидкости. Заме-
Заметив также, что в силу C3.11) числители в C3.9) при c<j, p —>• 0
отличаются только знаком, найдем, что
G = —F = const
и2р2 + г0
Значение постоянной в числителе можно определить, вычислив
по этой гриновской функции импульсное распределение частиц

170
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
N(p) (при малых р) и сравнив его с известным уже нам распре-
распределением B7.7). Интеграл
N(P)=ilunJ
(ср. G.23)) вычисляется путем замыкания пути интегрирования
бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоско-
полуплоскости (ср. замечание в конце § 7) и соответственно определяется
вычетом в полюсе ои= — up + гО. В результате получим iV(p) =
= const/2i?p и сравнение с B7.7) дает const = щти2/п. Таким
образом, окончательно находим следующее выражение функций
Грина при малых шир:
G = -F=	™^	.	C3.12)
/9	9 9 i ' Г\\	^	/
п(и>2 — и2р2 + гО)
Отметим, что эта функция совпадает (с точностью до нор-
нормировочного коэффициента) с функцией Грина фононного поля
(см. задачу в §31) — вполне естественный результат, посколь-
поскольку в области малых cj, p все элементарные возбуждения в бозе-
жидкости являются фононами.
Наконец, проиллюстрируем полученные формулы в примене-
применении к рассмотренной в § 25 модели почти идеального бозе-газа с
парным взаимодействием между частицами. В первом прибли-
приближении теории возмущений ?ц и ?q2 определяются первыми дву-
двумя диаграммами C3.4) и первой диаграммой C3.5). Раскрыв их
в аналогичном виде, получим
Ец = no[Uo + С/(р)], Е02 = п0С/(р).
С той же точностью плотность конденсата по в этих формулах
можно заменить полной плотностью газа п. Как было указано
в § 25, в этой модели импульсы частиц газа можно считать ма-
малыми, соответственно чему фурье-компоненты U(p) можно за-
заменить их значением С/о при р = 0. Тогда
Ец = 2пС/0, ?02 = пС/о-	C3.13)
Подстановка этих выражений в C3.11) дает \i = nUo — в согласии
с B5.6). Подстановка же в C3.9), C3.10) приводит к следующим
формулам для функций Грина:
C3.14)
F(», p) = , ~f° .

§ 34	РАСПАД КВАЗИЧАСТИЦ	171
где
Г/ 2\2 2 ]V2
?(р) = I — I + —tiUq
\2mJ m
Из вида знаменателей этих функций ясно, что е(р) — энергия
элементарных возбуждений — в согласии с полученным ранее
другим способом результатом B5.10), B5.11).
§ 34. Распад квазичастиц
Конечная продолжительность жизни (затухание) квазича-
квазичастицы в квантовой жидкости может быть связана как с ее
столкновениями с другими квазичастицами, так и с ее самопро-
самопроизвольным распадом на две (или более) новые квазичастицы.
При температуре Г —> 0 первый источник затухания исчезает
(так как вероятность столкновений стремится к нулю вместе с
плотностью числа квазичастиц), и тогда затухание возникает
лишь от распада квазичастиц.
Рассмотрим распад квазичастицы (с импульсом р) на две.
Если q — импульс одной из возникающих квазичастиц, то им-
импульс другой есть р — q, и закон сохранения энергии дает условие
e(p) = e(9) + e(|p-q|).	C4.1)
Может оказаться, что в некоторой области значений р это равен-
равенство не выполняется ни при каких q; тогда квазичастицы в этой
области будут вообще не затухающими (если, конечно, невозмо-
невозможен также и распад на большее число квазичастиц).
По мере изменения р затухание возникает при значении р = рс
(порог распада), при котором впервые появляются корни урав-
уравнения C4.1).
Отметим прежде всего, что в точке р = рс правая часть ра-
равенства C4.1), как функция от q, имеет экстремум. Действи-
Действительно, пусть экстремальное значение суммы e(q) + е(|р — q|)
при заданном р есть Е(р) (для определенности будем считать,
что это — минимум). Тогда в уравнении
e(p)-E(p)=e(q) + e(\j>-q\)-E(p)
правая часть неотрицательна. Поэтому уравнение заведомо не
имеет корней при значениях р, для которых е(р) — Е(р) < 0;
корень появляется только в точке р = рс, в которой s(pc) = Е(рс).

172
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Представив уравнение C4.1) в симметричном виде
Ф) = e(qi) + Ф2), qi + q2 = Р,
найдем, что условие экстремума его правой части можно запи-
записать как де/до\х = де/до\2 или
vi = v2j	C4.2)
т. е. в пороговой точке две распадные квазичастицы имеют оди-
одинаковые скорости. Здесь можно различать несколько случаев
{Л. П. Питаевский, 1959).
а)	Скорость квазичастицы в бозе-жидкости равна нулю при
импульсе р = ро, отвечающем ротонному минимуму на кривой
рис. 2. Поэтому если vi = V2 = 0, то это значит, что в точке
порога квазичастица распадается на два ротона с импульсами
ро и энергиями А. Соответственно энергия распадающейся ква-
квазичастицы s(pc) = 2А, а ее импульс рс связан с ро условием
Рс — Poi + Р02> т. е. 2pocos0 = рс, где 26 — угол разлета двух
ротонов. Отсюда следует, что во всяком случае должно быть
Рс < 2р0.	C4.3)
б)	Если скорости vi = V2 т^ 0, причем соответствующие им
импульсы qi и q2 конечны, то это значит, что распад в поро-
пороговой точке происходит на две квазичастицы с коллинеарными
(параллельными или антипараллельными) импульсами1).
в)	Если же скорости vi и V2 отличны от нуля, но один из
импульсов (скажем, qi) стремится к нулю вблизи пороговой точ-
точки, то соответствующая ему квазичастица является фононом и
скорость vi = и. В этом случае мы имеем дело с порогом, за ко-
которым становится возможным рождение квазичастицей фонона.
В самой пороговой точке энергия фонона равна нулю, а скорость
квазичастицы как раз достигает скорости звука (совпадая со ско-
скоростями Vi = V2 = и).
г)	Наконец, еще один, особый случай представляет распад
фонона на два фонона, причем порогом является сама начальная
точка спектра р = 0. Такой распад, однако, возможен лишь при
определенном знаке кривизны начального (фононного) участка
спектра: должно быть d2e(p)/dp2 > 0, т. е. кривая е(р) должна
загибаться вверх от начальной касательной е = up. В этом легко
убедиться, представив этот участок спектра в виде
е(р) жир + ар3,	C4.4)
1) В силу изотропии жидкости направления квазичастицы р и ее скорости
v = дг/др коллинеарны, но могут быть направлены как в одинаковую, так
и в противоположные стороны.

§ 34	РАСПАД КВАЗИЧАСТИЦ	173
учитывающем наряду с линейным также и следующий член раз-
разложения по степеням малого импульсаг). Уравнение сохранения
энергии C4.1) дает тогда
u(p-q-\p- q|) = -a(pS - qS - |p - q|3).
Вблизи порога фонон испускается под малым углом в к направ-
направлению начального импульса квазичастицы р; в левой части урав-
уравнения имеем
Р ~ Q ~ |Р " q|) « -^A " cos0),	C4.5)
p-q
а в правой достаточно положить |р — q| « р — q. Тогда находим
1 - cos в = 3a(p-qJ.	C4.6)
Отсюда видно, что должно быть а > 0.
Мы увидим ниже (§35), что в случаях а) и б) функция s(p)
вообще не может быть продолжена за пороговую точку, оказы-
оказывающуюся, таким образом, точкой окончания спектра. В случаях
же в) и г) распад квазичастицы с испусканием длинноволнового
фонона приводит к появлению слабого затухания, которое может
быть определено с помощью теории возмущений2).
Вычислим затухание фонона, связанное с его распадом на два
фонона (случай г)). Матричные элементы этого процесса име-
имеются в членах третьего порядка в гамильтониане, дающихся вы-
выражением B4.12). Для перехода из начального (г) состояния с
одним фононом р в конечное (/) состояние с фононами qi и q2
матричный элемент оператора возмущения равен
, Р2 d и2\ (ол>7\
(индекс 0 у невозмущенной плотности ро опускаем). Обратим
внимание на наличие множителя (pqiq2I •> ero малость (речь
) Дисперсионное уравнение звуковых колебаний определяет квадрат ча-
частоты ш как функцию волнового вектора. Соответственно этому, регулярно
разлагается по степеням импульса р квадрат энергии фонона ?2(р); разло-
разложение начинается с члена ~ р2 и ввиду изотропии жидкости происходит по
степеням р2. Разложение же самой функции е(р) содержит, следовательно,
нечетные степени р.
2) Какие именно из перечисленных случаев могут фактически осуще-
осуществляться — зависит от конкретного хода кривой спектра квазичастиц s(p).
Эмпирические данные для жидкого гелия DНе) свидетельствуют о нали-
наличии (при давлениях < 15 атм) небольшого начального участка фононного
спектра, в котором имеется неустойчивость типа случая г). Окончание же
спектра в жидком гелии имеет место, по-видимому, в точке типа случая а).

174
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
идет о распаде длинноволнового фонона) и обеспечивает приме-
применимость теории возмущений1).
Дифференциальная вероятность распада (в 1 с) дается
формулой
dou = ^\V2	yVgA
(см. III, D3.1)). При подстановке сюда C4.7) возникает квадрат
^-функции; его надо понимать как2)
[6(р - qi - q2)]2 = ^ 6(р - qi - q2).	C4.8)
Остающаяся ^-функция устраняется интегрированием по
положив также Е{ = up, Ef = u(qi + #2) получим
U) = -
(при независимом интегрировании по dsqi и dsq2 ответ должен
быть поделен на 2 для учета тождественности двух фононов).
Наконец, выразив аргумент ^-функции в виде C4.5) и произведя
интегрирование по d?q\ = 2/Kq\dq\dcos6 (по области q\ ^ р),
найдем полную вероятность распада
си = ^^ 1 + JL. iL !L .	C4.9)
320тгр^4 1 3i/2 dp p J	V У
Коэффициент затухания фонона 7 = —Ims = Нои/2. В част-
частности, для почти идеального газа, согласно B5.11), величина
и2/р « 4тгН2а/т? не зависит от плотности. В этом случае
7=^^	C4.10)
(С. Т. Беляев, 1958).
1)При вычислении матричного элемента C4.7) следует учесть, что каж-
каждый из фононных операторов Ср и cj может браться из любого из трех
множителей j? или v; отсюда множитель 3!. Дельта-функция в C4.7) возни-
возникает от интегрирования множителя ехр[г(р — qi — q2)r/ft]. Наконец, учтено,
что направления р, qi и q2 почти совпадают.
2) Действительно, E-функция 5(к) возникает от интеграла J егкг с?3&/BтгK.
Если ж:е вычислить другой такой же интеграл при к = 0 (в силу наличия уже
одной E-функции), причем распространить интегрирование по конечному
объему У, то получится У/BтгK; и это выражено формулой C4.8).

§ 34	РАСПАД КВАЗИЧАСТИЦ	175
Для процесса испускания фонона квазичастицей вблизи по-
порога типа в) вид оператора возмущения устанавливается путем
рассмотрения изменения энергии квазичастицы в звуковой волне.
Это изменение складывается из двух частей:
5е(р) = -V + vp.
dp
Первый член связан с изменением плотности жидкости, от
которой энергия квазичастицы зависит как от параметра. Вто-
Второй член (в котором v — скорость жидкости в звуковой волне)
есть изменение энергии квазичастицы благодаря макроскопиче-
макроскопическому движению жидкости; поскольку длина волны испускаемо-
испускаемого (вблизи порога) фонона велика по сравнению с длиной волны
квазичастицы, можно считать, что последняя находится в одно-
однородном потоке жидкости, и тогда изменение ее энергии опреде-
определяется, как было объяснено в начале 8 23. Оператор возмущения
получается из 6s заменой v = \/(р и р вторично-квантованными
операторами B4.10), ар — оператором импульса квази-
квазичастицы р = —ifiV:
V = —р' + -(vp + pv)	C4.11)
(во втором члене произведена симметризация произведения для
приведения его к эрмитову виду). Вычисление вероятности ис-
испускания фонона производится далее аналогично тому, как это
было сделано выше для распада фонона (см. задачу).
Задачи
1. Определить вероятность испускания фонона квазичастицей с им-
импульсом р, близким к пороговому значению рс, при котором скорость ква-
квазичастицы достигает скорости звука.
Решение. Матричный элемент оператора C4.11) берется для рожде-
рождения одного фонона (с импульсом q) с одновременным переходом квазича-
квазичастицы между состояниями (плоскими волнами) с импульсами рир'. Вблизи
порога импульс фонона q <С рс, а направление q почти совпадает с направ-
направлением р 1). С учетом этого находим
з	A (qu\1/2
Vfi = -iB7rh) д(р - qi - q2j тт^тг I — I
V3/2 \2pJ
х)Для определенности рассматриваем случай, когда фонон испускается
именно в таком (а не в обратном) направлении. Для этого функция е(р)
вблизи порога должна иметь вид
г(р) « г(рс) + (р - рс)и + а(р - рсJ
(с положительным знаком в линейном члене). Из закона сохранения энергии
легко убедиться, что испускание фонона возможно при этом, если а > 0, и
происходит при р > рс\ импульс испускаемого фонона пробегает значения в
интервале 0 < q < 2(р — рс).

176	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
где
r P=Pc
Отсюда дифференциальная вероятность испускания фонона
Нр	BтгпK
(E-функция импульсов уже устранена интегрированием по d3p). Написав
аргумент E-функции в приближенном виде — uq(\ — cosO) и произведя инте-
интегрирование по d q, получим
ЗтгрН4
2. Найти условие, при котором нейтрон с начальной скоростью V
может при рассеянии родить в жидкости возбуждение с импульсом р и
энергией е{р).
Решение. Закон сохранения энергии и импульса в рассматриваемом
процессе можно записать в виде уравнения G77, — масса нейтрона, Р — его
начальный импульс):
ч/ 2т
где в — угол между Р и р. Таким образом, искомое условие имеет вид
sip) р
р 2т
§ 35. Свойства спектра вблизи точки его окончания
В этом параграфе мы рассмотрим свойства спектра бозе-
жидкости вблизи порогов распада элементарных возбуждений
на две квазичастицы, из которых ни одна не является фононом
(случаи а) и б) из §34I). В противоположность распадам с
рождением фонона, к этим случаям теория возмущения непри-
неприменима, и их исследование требует выяснения характера особен-
особенностей, которые имеют в пороговых точках гриновские функции
жидкости. С другой стороны, тот факт, что нас будут интересо-
интересовать только эти особенности, позволяет существенно схематизи-
схематизировать и тем самым упростить вычисления. В частности, мож-
можно не делать различия между функциями G и F (поскольку их
аналитические свойства одинаковы) и поступать так, как если
бы существовал только один тип гриновских функций; учет раз-
различия между G и F привел бы лишь к появлению в уравнениях
х) Содержание этого параграфа принадлежит Л. П. Питпаевскому A959).

§ 35	СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ЕГО ОКОНЧАНИЯ	177
нескольких аналогичных (по своим аналитическим свойствам)
членов, что не отразилось бы на результатах.
Тот факт, что интересующая нас особенность гриновской
функции связана с распадом квазичастицы на две другие, в тер-
терминах диаграммной техники означает, что она происходит от
диаграмм вида
Q
p	C5.1)
P-Q
которые могут быть рассечены по двум сплошным линиям, т. е.
которые содержат в себе двухчастичные промежуточные состоя-
состояния. В этих диаграммах по промежуточному 4-импульсу
Q — (<7о? q)производится интегрирование, причем определяющую
(в смысле возникновения особенности) роль играет область зна-
значений Q и Р—Q, с которыми распадные квазичастицы (продукты
распада) рождаются вблизи порога. Основным для излагаемой
ниже теории является утверждение, что эта область значений
4-импульса не является особой для функции Грина G(Q): в ней
она имеет обычный полюсной вид
G(Q) = G(q0, q) ex [q0 - e(q) + Щ~\	C5.2)
где функция e(q) — энергия распадных квазичастиц — не имеет
особенностей. Физическая выделенность этой области состоит
лишь в том, что в ней квазичастица могла бы «слипнуться» с
другой квазичастицей; но этот процесс невозможен при нуле
температуры ввиду отсутствия реальных возбуждений. Особой
областью для функции Грина являются лишь значения Р (внеш-
(внешние линии диаграмм C5.1)) вблизи порога распада исходной
квазичастицы.
Двум соединительным линиям на диаграмме C5.1) отвечают
множители G(Q)G(P — Q), а по Q производится интегрирова-
интегрирование. При этом, ввиду существенности лишь малой области значе-
значений Q, остальные множители в диаграмме можно считать при
интегрировании постоянными, равными их значению при по-
пороговом значении Q = QC1). Таким образом, в диаграмме
1)Это утверждение следует уточнить. Дело в том, что множители
G(Q)G(P — Q) не зависят от угла (р, определяющего положение плоскос-
плоскости (р, q). Поэтому интегрирование по dip сводится к усреднению остальной
части подынтегрального выражения по <р, после чего d4Q можно понимать
как 2nq2dqo dqdcos в. Именно в таком интегрировании по d4Q существенна
малая область. Это замечание относится и к другим аналогичным моментам
вычислений ниже.

178
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
возникает множитель, выражающийся интегралом
d4Q
0 - e(q) + Щи - q0 - е(|р - q|) + гО]'
где Р = (о;, р). Интегрирование по dqo выполняется путем замы-
замыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокружно-
полуокружностью в одном из полуплоскостей комплексного qo и дает
ЩР) = — Г	^	.	C5.3)
К исследованию этого интеграла мы вернемся ниже, а теперь
надо выразить через него искомую точную функцию G(P), про-
просуммировав для этого все диаграммы вида C5.1).
Для функции G(P) можно написать диаграммное уравнение
Дайсона
_	C5.4)
P-Q
Здесь жирные линии изображают точную функцию iG, а свет-
светлые — «неособую» часть этой функции, определяемую сово-
совокупностью диаграмм, «неделимых по двум линиям». Второй
же член в правой части C5.4) изображает совокупность диа-
диаграмм вида C5.1). При этом светлый кружок представляет точ-
точную «трехконцевую» вершинную функцию (обозначим ее
F(Q, Р — Q, Р)), а заштрихованный — ее неособую часть, из ко-
которой исключены диаграммы, могущие быть рассечены по двум
сплошным линиям1). Как было объяснено выше, интегриро-
интегрирование по d4Q приводит к появлению множителя П(Р), причем
остальные множители в диаграмме заменяются их значением
при Q = Qc. Таким образом, равенство C5.4) означает, что
G(P) = а(Р) + Ь(Р)С(Р)ГС(Р)П(Р),	C5.5)
где ГС(Р) = r(Qc, P-Qc, Р), а а(Р), Ь(Р) — некоторые регуляр-
регулярные (вблизи порога Р = Рс) функции.
В C5.5) фигурируют две особые функции — Си Гс, и для
выражения их через П необходимо поэтому еще одно уравнение.
Мы получим его, заметив, что точная вершинная функция Г
1) Ситуация здесь аналогична уравнению Дайсона в квантовой электро-
электродинамике (см. IV, §107): как и там, вся требуемая совокупность диаграмм
получается путем введения поправок лишь к одной из вершинных функций.

§ 35	СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ЕГО ОКОНЧАНИЯ	179
представляется рядом «лестничного» вида
^ s*—^
¦ + ... ,
аналогичным ряду A7.3) для четырехконцевой вершинной функ-
функции. Его суммирование приводит к уравнению
<г
p-q p-Qi
(ср. A7.4)); в аналитическом виде, при Q « Qc, оно дает
Tc(P) = c(P) + d(P)U(P)Tc(P),
где с(Р), d(P) — регулярные функции. Исключив теперь Гс из
двух полученных уравнений, найдем искомое выражение функ-
функции Грина через П:
G-i(P) = ^(Р)П(Р) + ciPY	C5.6)
V } 1 + Я(Р)П(Р)	V h	V J
где А, В, С — снова регулярные (вблизи Р = Рс) функции.
Дальнейшие вычисления различны для разных типов распа-
распадов квазичастиц.
а) Порог распада на два ротона
В этом случае энергия e(q) распадных частиц вблизи порога
дается формулой B.6), и интеграл C5.3) принимает вид
Для интегрирования вводим новые переменные qrz, q' согласно
C5.7)
qz, q со
определению,
Qx = (ро sin в + (^р) cos <p, qy = (po sin в + q'p) sin <p,
причем ось z направлена вдоль р, а угол в определен равенством
2pocos0 = р. Вблизи порога q'z, q'p малы, и с нужной точностью
имеем
q ~ Ро + q'p sin в + qz cos в, |р - q| w p0 + q'p sin 0 - ^ sin в,
dsq « po sin Й dqf dqz dip.

180
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Выражение в фигурных скобках в C5.7) принимает вид
- 2А - ±(q'p2 sin2 в + q'z2 cos2 в)}
и после повторной замены переменных
q'p sin в = Vm*p cos ф, q'z cos в = Vm*p sin ф
находим, интегрируя по ф,
П(о;,р) = —
pdp
27rcos0 J -CJ + 2A + /J
Расходимость этого интеграла при больших р связана лишь
со сделанными пренебрежениями и несущественна; обрезание ин-
интеграла при некотором значении р1 ^> |2А — ш\ даст вклад лишь
в регулярную часть П. Интересующая же нас особая часть этой
функции возникает от области вблизи нижнего предела интегри-
интегрирования, и для нее находим
Па In—-—.	C5.8)
2А - и	V }
При малых значениях 2А—ио этот логарифм велик; подставив
C5.8) в C5.6) и разложив по его обратным степеням, получим
где а, 6, с — новые регулярные функции от си и р. В пороговой
точке (р = рс) энергия распадающейся квазичастицы равна 2А.
Поскольку энергия квазичастиц определяется нулями функ-
функции G, то это значит, что G-1BA, pc) = 0, а для этого должно
быть и ЬBА, рс) = 0. Но регулярная функция Ь(о;, р) разлагает-
разлагается по целым степеням разностей р — рс л ш — 2А; заменив также
регулярные функции a(c<j, p) и c(c<j, p) их значениями в пороге,
получим в результате следующее выражение функции Грина в
околопороговой области:
G~\u>, p) = /? [р-Рс + аЬГ1^-^] ,	C5.9)
где а, а, /3 — постоянные.
Приравняв это выражение нулю, мы получим вид спектра е(р)
вблизи порога. Если область невозможности распада лежит при
р < рс, е < 2А, то постоянные а и а должны быть положитель-
положительными и уравнение G = 0 имеет здесь незатухающее решение
е = 2А - aexp (—^J] .	C5.10)
V Pc-pJ

§ 35	СВОЙСТВА СПЕКТРА ВБЛИЗИ ТОЧКИ ЕГО ОКОНЧАНИЯ	181
Мы видим, что кривая спектра подходит к пороговой точке с го-
горизонтальной касательной бесконечного порядка. В области же
р > рс уравнение G = 0 не имеет ни вещественных, ни ком-
комплексных решений с е « 2А при р « рс. В этом смысле кривая
спектра вообще не продолжается за пороговую точку, оканчива-
оканчиваясь в ней1).
б) Порог распада на две квазичастицы с параллельными
импульсами
Поскольку в пороговой точке, при р — рс, выражение
e(q) + е(|р — q|), как функция от q, должно иметь минимум,
то вблизи порога оно имеет вид
e(9)+e(|p-q|) = ?c+^c(p-Pc)+a(q-qoJ+/3(q-qo, PcJ, C5.11)
где а, C — постоянные; vc есть скорость каждой из рождающихся
в пороговой точке распадных квазичастиц, a qo — импульс од-
одной из них. Подставив C5.11) в C5.3) и введя новые переменные
интегрирования согласно
р = q - qo, ррс = рРс cosф,
получим
уу/ ч _ 1 Г	p2dpdcosij)
BтгJ J е — ес — vc(p — Рс) — ар2 — Pp2pl cos2 ф
Этот интеграл имеет в пороговой точке корневую особенность:
n<x[vc{p-Pc)-{e-ec)}ll2.	C5.12)
Подставив это выражение в C5.6), находим гриновскую
функцию в околопороговой области
G-\u, р) = А(ш, р) + В(ш, p)[vc(p - Рс) -(и- ес)}г/2.
Так как G~1{ec^ рс) = 0, а А и В — регулярные функции, то,
разлагая последние по степеням р — рс и ио — ?с, окончательно
находим
G ос [vc(p - Рс) -(ш- ес)}1'2 + [а(р - рс) + Ъ{и> - ес)], C5.13)
где а, Ъ — постоянные.
г) Как уж:е было указано в примечании на с. 173, в жидком гелии спектр
заканчивается, по-видимому, именно в точке такого типа (кривая на рис. 2
приближается к прямой е = 2А с горизонтальной касательной).

182
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Вид спектра определяется уравнением G 1(е, р) = 0. Ищем
его решение в виде е — ес = vc(p — р) + const(р — рсJ; для того
чтобы оно существовало при р < рс, должно быть а + bvc > 0 и
тогда
е = ес + vc(p-Pc) ~ (а + bvcJ(p - pcf.	C5.14)
При том же условии в области р > рс уравнение G = 0 не
имеет решений с е ~ ес при р ~ рс. Таким образом, и в этом
случае спектр обрывается в пороговой точке.
§ 35*. Сверхтекучесть двумерных систем
Весьма своеобразными свойствами обладают двумерные бозе-
системы — тонкие пленки жидкого гелия. Отметим, прежде все-
всего, что в двумерном случае конденсат существует лишь при Т=0.
Плотность конденсата равна нулю при сколь угодно низкой, но
конечной температуре1). Это следует из того, что если под-
подставить N(p) из B7.8) в интеграл f N(p)	—, равный числу
BтгН2)
надконденсатных частиц, то этот интеграл будет логарифмиче-
логарифмически расходиться в области малых р, где эта формула должна
была бы быть справедлива. Это противоречие означает, что в
двумерном случае неверно само лежащее в основе вывода фор-
формулы предположение о существовании конденсата при конечных
температурах.
Положение здесь аналогично ситуации в двумерных кристал-
кристаллах (см. V, §137). Подобное тому, как в последних флуктуации
смещения атомов размывают решетку, так флуктуации фазы
уничтожают конденсат. Формальное сходство между двумя си-
системами состоит в том, что в обоих случаях они описываются
величинами, которые могут входить в выражение для энергии
лишь под знаком производных. В первом случае — это векто-
векторы смещения атомов, которые не могут сами войти в энергию
ввиду ее инвариантности по отношению к смещению системы
как целого. Во втором случае — это фаза конденсатной волновой
функции, которая не может сама войти в энергию ввиду своей
неоднозначности. Тот факт, что энергия зависит лишь от гради-
градиентов этих величин и приводит в конечном счете к расходимости
флуктуации.
Мы видели в V, § 138, что логарифмическая расходимость
флуктуации приводит в двумерном кристалле к медленному
1) Эти утверждения относятся и к двумерному идеальному бозе-газу.
Нетрудно убедиться в том, что в двумерном случае химический потенци-
потенциал такого газа обращается в нуль только при Т —>¦ 0.

§ 35*	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ	183
(степенному) убыванию корреляционной функции. Аналогично,
в двумерной бозе-системе матрица плотности B6.7) не стремится
при |ri — Г21 —> ос к постоянному пределу как при наличии кон-
конденсата, а убывает, но лишь по степенному закону (J. W. Капе,
L.Kadanov, 1967.)
Переходя к количественному исследованию вопроса, введем
некоторые обозначения. Обозначим через ds двумерную сверх-
сверхтекучую плотность, т. е. массу, отнесенную к единице площа-
площади. Для слоя гелия макроскопической толщины L эту величину
можно записать как ds = psL, где ps — обычная объемная сверх-
сверхтекучая плотность. Для тонких пленок эта связь отсутствует.
Параметры таких пленок вообще не определяются объемными
свойствами.
Волновую функцию конденсата при Г = 0 запишем в виде
где введена (при Г = 0) поверхностная плотность конденсата щ.
При конечных температурах фазу Ф следует рассматривать как
флуктуирующую величину, по флуктуациям которой должно
производиться усреднение. Вероятность этих флуктуации
имеет вид	г AJ?1
u, = exp[-^],	C5*.l)
причем свободная энергия AF равна кинетической энергии жид-
жидкости (ср. B8.6)):
Волновую функцию конденсата при конечных температурах
следовало бы определить как (S). Эта величина, однако, в со-
согласии со сказанным в начале параграфа, равна нулю. Для до-
доказательства воспользуемся полученным в задаче к § 111 (см. V)
результатом, согласно которому для линейной однородной функ-
функции у переменных со средними значениями равными нулю, под-
подчиняющихся гауссовой статистике, имеет место формула
(ехрЫ) = exp«j/2)/2).	C5*.2)
(В квантовом случае такое утверждение справедливо для опера-
операторов, подчиняющихся теореме Вика. Это было использовано в
VIII, § 127 при вычислении фактора Дебая-Валлера.) Применив
формулу C5*.2) к среднему от S, получим
C) = V^o ехр (-(АФ)/2) = V^exp(-v@J),	C5*.3)

184
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
где ip(r) — введенная в § 28 корреляционная функция флукту-
флуктуации фазы. (Несущественное среднее значение фазы положено
равным нулю.) Выражение для <р(г) в двумерном случае можно
получить из трехмерной формулы B8.9) очевидными заменами.
В результате:	i г л	Ачи
ф) = Г— / .le*1" —.	C5*.4)
^V }	dsfP J к2 BтгJ	V	J
Этот интеграл расходится на малых к при любых г, так что пра-
правая часть C5*.3) обращается в нуль.
Вычислим теперь матрицу плотности системы1). Она равна
по определению:
pflri - г2|) = <H*(r2) S(n)) = Ц)<ехр[г(ДФ(п) - ДФ(г2))])
(разумеется, как и в C5*.3), нельзя разлагать экспоненту по
флуктуациям фазы). Используя опять для усреднения форму-
формулу C5*.2), получаем
р(|п - г2|) = щ ехр[-((АФ(п - АФ(г2)J)/2].
Выражение в квадратных скобках, очевидно, равно:
<(ДФ(п)ДФ(г2) - (ДФ(Г1)J),
так что
р(г) = щеу^[ф) - <р@)].
Согласно C5*.4)
?/±0	C5-.5)
Этот интеграл сходится на малых к. Расходимость же на боль-
больших к связана с неприменимостью классической теории флукту-
флуктуации при к ^ fcmax ~ Т/Ни (и — скорость звука), так что инте-
интеграл следует обрезать на этом значении к. В результате главный
вклад в интеграл вносит область значений
в которой с логарифмической точностью можно пренебречь экс-
экспоненциальным членом в скобке. После этого простое интегри-
интегрирование дает
2	-I
1) Следующие ниже вычисления аналогичны вычислениям корреляцион-
корреляционной функции флуктуации плотности двумерного кристала в V, § 138.

§ 35*	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ	185
Окончательный вид матрицы плотности:
р(г) = щ	L__5	C5*.6)
где показатель убывания равен
Разумеется, жидкость с убывающей по медленному степен-
степенному закону C5*.6) матрицей плотности качественно отличается
от обычной жидкости, чья матрица плотности убывает экспонен-
экспоненциально. Центральным положением излагаемой теории является
утверждение, что такая жидкость с медленно убывающими кор-
корреляциями является сверхтекучей. Несмотря на то, что число
конденсатных частиц равно нулю, сверхтекучая плотность ds от-
отлична от нуля. (Это, конечно, предполагалось при выводе
формул C5*.6), C5*.7), в которые ds входит явно. Здесь суще-
существенно, что предположение о конечности ds не приводит к про-
противоречию, в отличие от предположения об отличном от нуля
числе частиц в конденсате.)
В действительности разрушающие конденсат длинноволно-
длинноволновые флуктуации фазы представляют собой почти однородное
в пространстве ее изменение, не влияющее на механические
свойства жидкости. Это делается особенно ясным, если обра-
обратиться к такому фундаментальному проявлению сверхтекучести,
как потенциальность течения, т. е. равенству нулю циркуляции
скорости по замкнутому контуру. Такое равенство эквивалент-
эквивалентно требованию однозначности фазы, которое не может быть
нарушено длинноволновыми ее флуктуациями. Оно наруша-
нарушается, однако, самопроизвольным рождением внутри контура
квантованных вихревых нитей. Такой процесс невозможен в
трехмерном теле, поскольку вихревые нити имели бы в этом
случае макроскопическую длину, а следовательно и энергию.
В пленке же атомной толщины пронизывающие ее поперек
вихревые нити имеют энергию атомного порядка и могут
возбуждаться тепловым образом. Такая «точечная» вихревая
нить представляет собой своеобразное элементарное возбужде-
возбуждение двумерной системы. Она отличается, однако, от обычных
возбуждений тем, что ее энергия логарифмически зависит от
площади пленки. Это приводит к тому, что вихревые нити могут
рождаться тепловым образом только при температурах выше
определенной температуры переходах).
1) Излагаемые соображения были высказаны независимо В. Л. Березин-
ским A970) и Костерлицем и Таулессом. (J.M. Kosterlitz, D. Thouless,
1972.)

186
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
Заметим прежде всего, что рождение вихревой нити термо-
термодинамически выгодно, если оно уменьшает свободную энергию.
Изменение свободной энергии за счет рождения вихревой нити
равно AF = AE — TAS, где АЕ — вклад нити в энергию, a AS —
в энтропию. Заменяя в формуле B9.8) Lps на ds, имеем
АЕ = 7rds—ln- = -ds—ln—,
т2 а 2 т2 ао
где а = ttR2 — площадь пленки, ао = тга2. Энтропия AS опреде-
определяется логарифмом объема фазового пространства, равным для
нити, состояние которой определяется двумя ее координатами на
плоскости, логарифму площади. Таким образом,
AF = -ds— In — - Tin —.	C5*.8)
2 m2 сто	G\
Знаменатель <j\ под логарифмом в выражении для энтропии име-
имеет размерность площади и по порядку величины равен ctq.
С логарифмической точностью можно положить <j\ = ctq. Воз-
Возникновение вихревой нити выгодно, если AF < 0, т. е. если
T>Tc = ^ds^	C5*.9)
(J.M. Kosterlitz,D. Thouless, 1972.)
Подчеркнем, что логарифм площади имеется и в выражении
для энтропии возбуждений обычного типа, например, ротонов,
или возбужденных атомов. Напротив, энергия «обычного» воз-
возбуждения не зависит от площади. Поэтому его рождение всегда
термодинамически выгодно и некоторое количество таких возбу-
возбуждений имеется при любых, сколь угодно низких, температурах.
Число же вихревых нитей при Т <ТС строго равно нулю.
Отметим также то важное обстоятельство, что поскольку
существование макроскопического углового момента пленки
термодинамически невыгодно, вихревые нити противоположных
знаков циркуляции должны рождаться в равных количествах,
так что средний момент равен нулю. Это позволяет рассмат-
рассматривать рождение вихревых нитей как процесс диссоциации пар
связанных вихрей.
Поскольку, как уже было отмечено в § 29, появление вихре-
вихревых нитей означает нарушение сверхтекучести, при температу-
температурах выше Тс сверхтекучесть исчезает. Тс есть температура
фазового перехода в нормальное состояние. Этот переход,
однако, отличен от фазовых переходов первого и второго рода
и специфичен именно для двумерных систем. Сверхтекучая
плотность ds обращается в точке перехода в нуль скачком. Непо-
Непосредственно ниже точки перехода эта плотность связана с тем-
температурой перехода Тс универсальным соотношением C5*.9).

§ 35*	СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ	187
Согласно C5*.7) и C5*.9) показатель убывания матрицы
плотности г] равен в точке перехода 1/4, так что
^(г)-г-1/4.	C5*.10)
Выше точки перехода эта функция ввиду равенства нулю ds убы-
убывает экспоненциально.
Мы увидим ниже, что при приближении сверху к точке пере-
перехода плотность вихревых нитей стремится к нулю по экспоненци-
экспоненциальному закону. Соответственно, экспоненциально мал и вклад
вихрей в термодинамические функции, так что в точке перехода
непрерывны все производные термодинамических функций.
Своеобразная ситуация имеет место в пленках макроскопиче-
макроскопической толщины, для которых ds = psL. Вдали от Л-точки,
где рс ~ /9, температура Гс, если ее оценить согласно C5*.9),
оказывается высокой. Двумерность системы здесь ни в чем не
проявляется. По мере приближения к Л-точке, однако, ps умень-
уменьшается и в конце концов достигает значения
ра(Т) = BТт2/тгЫг2) « BГлш2/ттЫг2).
При этой температуре пленка теряет сверхтекучесть по описан-
описанному в этом параграфе механизму. Таким образом, в толстой
пленке переход с образованием вихрей происходит чуть ниже
Л-точки, тем ближе к ней, чем толще пленка.
Описанные выше явления характерны не только для сверх-
сверхтекучего гелия. Они могут происходить и в других двумерных
системах, в которых в результате разрушения дальнего поряд-
порядка флуктуациями возникает состояние с медленно убывающими
корреляциями, например в двумерных кристаллических плен-
пленках, о которых шла речь в V, § 137. Роль вихревых нитей в этом
случае играют дислокации, перпендикулярные плоскости плен-
пленки. Энергия такой дислокации имеет вид Aln(a/ao)x). Соответ-
Соответственно при температуре Тс = А происходит фазовый переход.
При температурах Г > Тс в пленке имеется конечная плотность
дислокаций. Движение дислокаций в такой пленке делает воз-
возможным ее течение. В этом смысле она ведет себя как жидкость,
и фазовый переход является переходом плавления, хотя вблизи
точки перехода число дислокаций мало, а там, где их нет, име-
имеются достаточно большие «твердые» участки.
Число вихревых нитей определяется из условия равенства ну-
нулю их химического потенциала. Чтобы написать выражение для
него, заметим, что добавка C5*.8) к свободной энергии и есть
г) См. VII, задачу 2 к § 27. В рассмотренной в этой задаче модели дисло-
дислокации в изотропном твердом теле А = ЬцЪ2 /8тг, где ц — модуль сдвига, Ь —
вектор Бюргерса дислокации, L — толщина пленки.

188
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
химический потенциал, однако записанный для случая наличия
всего одной нити на площади пленки. Чтобы перейти к случаю,
когда имеется N вихревых нитей на единицу площади, достаточ-
достаточно заменить полную площадь а на площадь, приходящуюся на
одну нить, т. е. на 1/N. Вводя вместо сто и а± два других парамет-
параметра Щ и so (вблизи Тс их можно считать постоянными), получаем
химический потенциал нитей:
-т)ь §+е°- (з5*-п)
(По порядку величины Щ ~ ctq, во ~ Тс.)
При Т = Тс коэффициент перед логарифмом равен нулю, при
Г > Тс он должен быть отрицателен. Закон обращения этого ко-
коэффициента в нуль нельзя установить из общих соображений.
Предполагая, в духе флуктуационной теории фазовых перехо-
переходов второго рода, что это обращение происходит по некоторому
степенному закону
где v — некоторый критический показатель, и приравнивая нулю
выражение для химического потенциала, находим температур-
температурную зависимость равновесного числа нитей выше точки
перехода:
При Г —> Тс это число, как уже говорилось, экспоненциально
мало.
Среднее расстояние между вихрями ? ~ iV/2 одновремен-
одновременно определяет корреляционный радиус флуктуации, на котором
происходит экспоненциальное убывание матрицы плотности. Мы
видим, что вблизи точки перехода этот радиус экспоненциально
велик.

ГЛАВА IV
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
§36. Гриновские функции при конечных температурах1)
Определение функции Грина макроскопической системы при
отличных от нуля температурах отличается от их определения
при нулевой температуре лишь тем, что усреднение по основ-
основному состоянию замкнутой системы заменяется усреднением по
распределению Гиббса: символ (...) будет теперь обозначать
п(п\ ... |п), ип = ехр ~т п,	C6.1)
где суммирование производится по всем состояниям системы
(отличающимся как энергией Еп, так и числом частиц iVn),
Е'п = Еп — /J,Nn, a (n|...|n) — диагональный матричный эле-
элемент по n-му состоянию. Определенные таким образом средние
значения являются функциями термодинамических переменных
Г, м, V.
При исследовании аналитических свойств гриновских функ-
функций при конечных температурах (Л. Д. Ландау, 1958) целесо-
целесообразно воспользоваться так называемыми запаздывающими и
опережающими функциями Грина, аналитические свойства ко-
которых оказываются более простыми2). Для определенности бу-
будем говорить сначала о ферми-системах.
Запаздывающая функция Грина определяется согласно
, Х2)=
[О	, ti < ?2.
C6.2)
Для микроскопически однородной неферромагнитной системы,
в отсутствие внешнего поля, эта функция (как и обычная Ga/#)
сводится к скалярной функции, зависящей лишь от разности
X = Х\ — Х2:
\	C6.3)
1)	В § 36 - 38 пользуемся системой единиц с Н = 1.
2)	Эти функции принято отличать индексами Rw A — от английских слов
retarded и advanced.

190
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Переход к импульсному представлению осуществляется
обычным образом. Но поскольку GR(t, г) = 0 при t < 0, то
в определении
GR{u), р) = Г fe^wt-^GR(t, r) dtdsx	C6.4)
о
интегрирование по t производится фактически лишь от 0 до ос.
Смещение переменной ио в верхнюю полуплоскость лишь улучша-
улучшает сходимость такого интеграла. Поэтому интеграл C6.4) опре-
определяет в верхней полуплоскости ио аналитическую функцию, не
имеющую особенностей1). В нижней же полуплоскости, где
функция GR определяется путем аналитического продолжения,
она имеет полюсы (см. ниже).
Получим для функции G разложение, подобное выведенно-
выведенному в § 8 разложению (8.7) для функции G при Г = 0.
Раскрыв матричный элемент (п\.. .\п) от произведения
^-операторов по правилу матричного умножения и выразив мат-
матричные элементы в виде (8.4), получим
iGR(t, r) =
= \
77-, ТП
= Pm — Pn.
Для двух членов в фигурных скобках суммирование по п и m
имеет несколько различный смысл: в первом члене числа частиц
в состояниях пит связаны соотношением Nrn = Nn + 1, а во
втором: Nrn = Nn — 1. Чтобы устранить это различие, взаимно
переобозначим во второй сумме индексы тип. Заметив также,
что
{п\фа@)\т)(т\ф+@)\п) = |(n|^a@)|m)|2 = Атп,
77-, ТП
приводим все выражение к виду
iGR(t, г) = 1 Y1 ^пе-^тпг-^пТ)АтпA + e-"WT), t > о.
C6.5)
х)Ср. аналогичные рассуждения для функции а(ои) в V, § 123. Сходство
аналитических свойств функций GR и а, разумеется, не случайно: согласно
V A26.8), последняя выражается аналогичным образом через определенный
операторный коммутатор.

§ 36	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ	191
Наконец, при вычислении интеграла C6.4) заменяем (как
ив§8)о;—»о; + гОи окончательно находим:
<&?	пЛ™*(р-ктате)A + е-Штп/Ту C6>6)
Обратим внимание на то, что все полюсы этого выражения рас-
расположены (в соответствии со сказанным выше) под вещественной
осью, в нижней полуплоскости ио.
Последнее свойство достаточно для того, чтобы установить
определенную связь между вещественной и мнимой частями
функции — так называемое соотношение Крамерса-Кронига,
или дисперсионное соотношение
ReGR(u, р) = I / 1тСЛ(м' р) du	C6.7)
7Г J	U — UJ
—оо
(см. вывод такого же соотношения для а(ш) в V, §123). В его
справедливости можно также убедиться и непосредственной про-
проверкой, отделив в C6.6) вещественную и мнимую части с помо-
помощью формулы (8.11). Отметим также, что с учетом той же фор-
формулы можно переписать C6.7) в виде
[ ЛШ-du,	C6.8)
тг J и — uj — гО
—оо
где
р(щ р) = -7r^^^n^m^(^-^mnM(p-kmn)(l+e---/T).
При вещественных ио имеем р = ImGR.
Представление C6.8) приобретает более глубокий смысл при
переходе к «макроскопическому пределу» V —» ос (при задан-
заданном отношении N/V). В этом пределе полюсы иошп сливаются, и
функция р(и) делается отличной от нуля при всех и (а не просто
равна сумме ^-функции в дискретных точках). При этом фор-
формула C6.8) непосредственно определяет GR(uo) в верхней полу-
полуплоскости ио и на вещественной оси. Для определения же GR(uo)
в нижней полуплоскости ио необходимо произвести аналитиче-
аналитическое продолжение интеграла, для чего следует деформировать
контур интегрирования таким образом, чтобы он всегда огибал
точку и = uj снизу. При этом Gr(lu) может иметь особенности в
нижней полуплоскости (на конечном расстоянии от веществен-
вещественной оси), когда контур «зажимается» между полюсом и = ио и
особенностью числителя.

192
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Опережающая функция Грина вводится аналогичным обра-
образом, согласно определению,
Х2) - j _($a(Xi)$+(X2)+$+№)$a(Xi))? t
C6.9)
Функция G (c<j, p) в импульсном представлении является ана-
аналитической функцией переменной c<j, не имеющей особенностей
в нижней полуплоскости. Ее разложение отличается от C6.6) из-
изменением знака перед гО в знаменателях. Это значит, что на ве-
вещественной оси G (ои) = G (ои), а во всей плоскости ои:
GA(oo*) = GR*(oo).	C6.10)
При оо —»> ос функции GR и GA стремятся к нулю по тому же
закону, что и функция G:
GR, GA -+ I/a; при |a;| -> ос.	C6.11)
Напомним (см. вывод (8.15)), что коэффициент (единица) в этом
асимптотическом выражении определяется величиной скачка
функции при ^2 = t\\ этот скачок не зависит от температуры
и одинаков для всех трех функций G , G , G, как это ясно из
их определений.
Для установления связи между введенными таким образом
функциями GR, G и обычной функцией Грина
h X2) = <ТФв(Х1)Ф+(Х2)>	C6.12)
получим для последней разложение, аналогичное C6.5). Вычис-
Вычисления, вполне аналогичные произведенным выше, приводят к ре-
результату г):
G(u, p) = -^-^сс;пЛшпE(р-ктп)х
771, 72
Т) + ш8(ои-оигпГ1)A-е-"™/т)} . C6.13)
Сравнив C6.13) и C6.6), найдем
^ImG(a;,p). C6.14)
1) При переходе к импульсному представлению интеграл по t разбивается
на две части — от — оо до 0 и от 0 до оо, причем в одной из них производится
переобозначение индексов суммирования т, п.

G
§ 36	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ	193
При этом, как видно из того же выражения C6.13):
signImG(ct;, p) = —signer.	C6.15)
Обратим внимание на то, что функция G, в отличие от GR и GA,
не является аналитической функцией си.
При Г —>> 0 имеем cth (ш/2Т) —>> signer, и из C6.14) следует,
что на вещественной оси
Таким образом, функция G(cj) при Г = 0 представляет собой
на двух вещественных полуосях ио предельные значения (при
|Imc<j| —> 0) двух различных аналитических функций: GR(uo) на
правой и GA(uo) на левой полуоси.
Легко написать выражения функций G , G для идеального
ферми-газа. Достаточно заметить, что они удовлетворяют тому
же уравнению (9.6), в выводе которого использовано лишь зна-
значение скачка функции при t\ = ?2- Способ же обхода полюса
известен из того, что для G^R он должен находиться под, а для
q(Q)a — над вещественной осью. Отсюда следует выражение
G^R'A(uo, p)= L - ^-+ а* ± iol ,	C6.17)
L	2ттг	J
справедливое как при нулевой, так и при конечных температу-
температурах. Для функции же G^ находим, согласно C6.14),
) = Р	 гтг th — • S (ou-^+fi) . C6.18)
При T —> 0 мы вернемся к формуле (9.7), отличающейся от
C6.17) заменой ±г0 на гО • signer.
Приведем аналогичные формулы для случая бозе-системы.
Запаздывающая и опережающая функции Грина определяются
согласно:
C6.19)
7 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

194
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Если при этом идет речь о температурах выше Л-точки, то в этих
определениях фигурируют полные ^-операторы; при температу-
температурах же ниже Л-точки определение относится к надконденсатным
операторам. Вместо C6.6) имеем теперь
Gr(lu, р) = BтгK У cjnAmnE(p~kmn)(l - е~Штп/т). C6.20)
Связь же этой функции с G дается формулой
GR(ou, р) = ReG(ou, р) + г th — • ImG(o;, p),	C6.21)
причем на вещественной оси
ImG(o;, p) < 0	C6.22)
(функция G определяется, согласно C1.1), с усреднением по рас-
распределению Гиббса вместо усреднения по основному состоянию).
Для идеального бозе-газа функция GR дается той же формулой
C6.17), а функция G:
)=Р	-incth—.sfuj-^+n) . C6.23)
Физический смысл функций Грина при отличных от нуля
температурах в основном совпадает с их смыслом при Г = 0.
Разумеется, остаются справедливыми формулы, связывающие
гриновскую функцию G с импульсным распределением частиц
G.23) и вообще с матрицей плотности G.18), C1.4).
Остаются в силе также и основные утверждения о совпадении
полюсов функции Грина с энергией элементарных возбуждений
(поскольку, однако, сама функция G не аналитична, то при этом
удобнее говорить о полюсах аналитической функции GR, кото-
которые она имеет в нижней полуплоскости c<j, или о полюсах функ-
функции G в верхней полуплоскости). Это утверждение снова (как
и в § 8) следует из разложения C6.6). Хотя в различных членах
этого разложения фигурируют теперь частоты переходов иотп
между любыми двумя состояниями системы, но (после перехода
к макроскопическому пределу) по-прежнему остаются полюсы,
отвечающие лишь переходам из основного состояния в состоя-
состояния с одним элементарным возбуждением. Переходы же между
двумя возбужденными состояниями не приводят к возникнове-
возникновению полюса в макроскопической одночастичной функции Грина
по той же причине, по которой не приводят к возникновению
полюса и переходы из основного в состояния с более чем од-
одной квазичастицей (см. §8): разность энергий таких состояний
не определяется однозначным образом разностью их импульсов.

§ 37	ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	195
Подчеркнем также, что при отличных от нуля температурах
продолжительность жизни квазичастиц связана не только с их
собственной неустойчивостью, но и с их столкновениями друг с
другом. Затухание от обоих этих источников должно быть сла-
слабым для того, чтобы понятие о квазичастицах продолжало иметь
смысл.
§ 37. Температурные функции Грина
Для построения диаграммной техники вычисления гри-
новской функции при конечных температурах надо было бы
перейти от гейзенберговского представления -^-операторов к
представлению взаимодействия, как это было сделано в § 12. При
этом мы снова пришли бы к выражению, отличающемуся от
A2.12) лишь тем, что усреднение производится не по основному
состоянию. Это отличие, однако, очень существенно: усреднение
оператора 5 уже не может быть отделено от усреднения
остальных множителей, как это было сделано при переходе от
A2.12) к A2.14); дело в том, что неосновное состояние под
влиянием оператора 5 переводится не само в себя, а в некото-
некоторую суперпозицию возбужденных состояний с той же энергией
(включающую в себя результаты всевозможных процессов вза-
взаимного рассеяния квазичастиц). Это обстоятельство приводит к
существенному усложнению диаграммной техники — возникают
новые члены от свертываний, в которых участвуют также и
-^-операторы из S~1.
Можно, однако, изменить определение гриновской функции
таким образом, чтобы подобных усложнений не возникало.
Основанный на этом определении математический аппарат,
разработанный Мацубарой (Т. Matsubara, 1955), в особенности
целесообразен для вычисления термодинамических величин ма-
макроскопической системы.
Введем так называемые мацубаровские ^-операторы, соглас-
согласно определению1),
Ф^т, г) = е^'фа(г)е-^',
#?(т,г) = е^&(г)е-^,
где т — вспомогательная вещественная переменная; эти операто-
операторы отличаются, с формальной точки зрения, от гейзенберговских
1) В этом параграфе мы будем писать формулы одновременно для ферми-
систем и бозе-систем (выше Л-точки). При разнице в знаках ферми-системам
будут отвечать верхние, а бозе-системам — нижние знаки. Кроме того, для
бозе-систем следует опустить спиновые индексы.

196
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
операторов заменой в последних вещественной переменной t мни-
мнимой величиной -гт1). Такой же заменой ($ -> $м, $+ -> Фм,
id/dt —>• —д/дт), например в G.8), получаются уравнения, кото-
которым удовлетворяют операторы C7.1). С помощью этих операто-
операторов новая функция Грина Q определяется аналогично тому, как
обычная гриновская функция G определяется через гейзенбер-
гейзенберговские ^-операторы:
Gap(n, ri; T2, г2) = -<ТтФ^(п, Г1)^(г2, г2)>,	C7.2)
где символ Тт означает «т-хронологизацию» — расположение
операторов в порядке увеличения т справа налево (с изменени-
изменением знака при перестановке операторов в случае ферми-систем);
скобки же (...) означают усреднение по распределению Гиббса.
Последнее можно представить в явном виде, записав определе-
определение C7.2) как
TT*M(n, ri)tf (r2, r2)}, ?=ехр^, C7.3)
где Sp означает сумму всех диагональных матричных элементов.
Определенную таким образом гриновскую функцию называют
температурной в отличие от «обычной» функции G (которую
называют в этой связи временной).
Как и Gap, функция Qap для неферромагнитной системы
в отсутствие внешнего магнитного поля сводится к скаляру:
ба/3 — б8а/з. Для пространственно-однородной системы ее зави-
зависимость от ri и Г2 снова сводится к зависимости от разности
Г = П - Г2-
Легко также видеть, что уже по самому определению C7.3)
функция Q зависит только от разности т = т\ — Т2. Пусть, на-
например, т\ < Т2\ тогда имеем2)
Q = ±^{()()}
или, произведя под знаком Sp циклическую перестановку мно-
множителей:
н Ш*2)е™ ^a(ri)}, r<0, C7.4)
откуда и очевидно сделанное утверждение.
х) Подчеркнем, что в виду этого отличия оператор Фм отнюдь не совпа-
совпадает с $м+.
2) Заключенный в скобки множитель 2 относится к ферми-системам, а для
бозе-систем должен быть заменен единицей.

§ 37	ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	197
Переменная т будет фактически пробегать значения лишь в
конечном интервале
-1/Г ^ т ^ 1/Г.	C7.5)
При этом значения функции Q{r) при т < 0 и т > 0 связаны друг
с другом простым соотношением. При т = т\— Т2 > 0, аналогично
выводу C7.4), находим
д = -^^(^^'4^'^
а сравнив это выражение с C7.4), получим
д(т) = тд(т + ±), т < о	C7.6)
(ввиду C7.5) аргумент функции справа при т < 0 положителен).
Разложив теперь функцию ?/(т, г) в интеграл Фурье по ко-
координатам и в ряд Фурье по т (на интервале C7.5)) 1)\
00
д(т,т)=Т ? е^-<^д(С,р)^-,	C7.7)
причем для ферми-систем
С, = B5 + 1)тгГ,	C7.8а)
а для бозе-систем	^ = 2snT	C7.86)
E = 0, ±1, ±2, ...); при этом автоматически выполняется усло-
условие C7.6). Обратное к C7.7) преобразование имеет вид
1/Г
Ц^^), г) d3xdr C7.9)
о
(интеграл по области — 1/Г ^ т ^ 1/Г преобразован в интеграл
от 0 до 1/Г с учетом C7.6) и C7.8)).
Вычисления, аналогичные произведенным в § 36, позволяют
выразить G(Csi p) через матричные элементы шредингеровских
^-операторов. Они приводят к результату
Р) = ^ Е ^i4*(p-krow>(l ± е—/т). C7.10)
1/Г
= Ц
х) Введение этого приема принадлеж:ит А. А. Абрикосову, Л. П. Горькову,
И. Е. Дзялошинскому A959) и Е. С. Фрадкину A959).

198
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
Отсюда видно прежде всего, что
G(-(s,p) = Q*((s,p).	C7.11)
Далее, сравнив C7.10) с разложениями C6.6) и C6.20) для GR,
найдем,™ SKp) = G*(ic<ip)i c<>0.	C7Л2)
Условие ?5 > 0 связано с тем, что выражения C6.6) и C6.20)
справедливы непосредственно лишь в верхней полуплоскости cj,
как это объяснено на с. 191. Таким образом, в компонентах Фу-
Фурье температурная функция Грина совпадает с запаздывающей
функцией Грина, взятой в дискретных точках мнимой оси си.
Этот результат позволяет, в частности, сразу написать выраже-
выражение для температурной функции Грина идеального газа: заменой
си —»> i(s находим из C6.17)
-1
C7.13)
В следующем параграфе будет изложена диаграммная тех-
техника для вычисления функции G((s, p)- Для определения же
функции GR(cu, p) (и тем самым, в частности, для определе-
определения энергетического спектра системы) надо построить аналити-
аналитическую функцию, совпадающую с G((s, р) в точках си = i(s и не
имеющую особенностей в верхней полуплоскости си. Эта проце-
процедура однозначна, если добавить требование G (c<j, p) —>• 0 при
\си\ —»> ос (см. C6.11)). Тем не менее в конкретных случаях такое
аналитическое продолжение может быть сопряжено с определен-
определенными трудностями. Но для вычисления термодинамических ве-
величин его производить не надо.
Так, для вычисления потенциала ft можно исходить из вы-
выражения усредненной по распределению Гиббса матрицы
плотности
Npcpin, г2) = ±дар(п, ri; n + 0, г2)	C7.14)
(очевидного из определения C7.2); ср. G.17)). Положив Г2 = ri
(и просуммировав по а = /3), получим для плотности системы
C7.15)
Это выражение определяет N как функцию //, Г, У, после чего
$!(/, Г, V) вычисляется интегрированием равенства N=—dQ/d/j,.

§ 38 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА 199
§ 38. Диаграммная техника для температурных
функций Грина
Диаграммная техника для вычисления температурной функ-
функции Грина Q строится подобно тому, как это делалось в § 12,13
для временной функции G. Тот факт, что определение мацу-
баровских -^-операторов C7.1) отличается от определения гей-
гейзенберговских операторов лишь формальной заменой it —>• т,
позволяет во многом воспользоваться прямой аналогией.
Прежде всего вводим мацубаровские операторы в «представ-
«представлении взаимодействия», отличающиеся от C7.1) заменой точно-
точного гамильтониана Н' на гамильтониан свободных частиц Н§\
Ф&(т, г) = ехр(тЯ^а(г)ехр(-тЯ^).	C8.1)
Связь между операторами Ф^ и Ф^ осуществляется мацубаров-
ской 5-матрицей, построенной аналогично A2.8):
Э(Т2, п) = Тт exp \- J %(т) dr\,	C8.2)
где	^	^, ^	^,
У()	(Я^)Уехр(-тЯ^)	C8.3)
— оператор взаимодействия в том же представлении. Но в то
время как в § 12 связь между Ф и Фо устанавливалась при на-
начальном условии «включения» взаимодействия при t = —ос,
теперь роль «начального» условия должно играть совпадение
Фм и Фо^ при т = 0. Соответственно вместо A2.11) пишем
, 0).	C8.4)
то выражение в определение ф
определенности, т\ > Т2, имее
ap(n, т2) =
Подставим это выражение в определение функции Грина C7.3);
положив, для определенности, т\ > Т2, имеем
tiM(ti, 0)*-\т2, 0)tg(r2M(r2, 0)}
(аргументы ri, r2 для краткости не выписываем). Заметив, что
при т\ > Т2 > тз
5(т1, т3) = 5(ti, т2)Э(т2, т3),
a(T2, П)?^, Ti) = <7(Т2, Тз),

200
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
переписываем в виде
, 0)]}.
Множители в квадратных скобках уже расположены в порядке
возрастания справа налево. Поэтому можно написать
где
Легко проверить, что в таком виде это выражение остается спра-
справедливым И При Т\ < Т2-
В отличие от A2.12), в C8.5) содержится лишний (гиббсов-
ский) множитель, и, кроме того, усреднение производится еще по
состоянию системы взаимодействующих частиц. Покажем, что
оба эти отличия «взаимно погашаются», в результате чего вос-
восстанавливается полная аналогия с A2.14). Для этого воспользу-
воспользуемся формулой	^	^
е~тН> = е^ноа(т, 0),	C8.6)
которая получается путем подстановки C8.1) в C8.4) и после-
последующим сравнением получившегося выражения с определением
согласно C7.1). С ее помощью заменяем в C8.5)
е-Н'/Тэ-1 A; 0) = е-Я?/Г
Множитель же е^/т выносим из-под знака Sp, перенеся его из
числителя в знаменатель и представив в виде
(I, 0) .
Наконец, умножив числитель и знаменатель на ехр(Ло/^) (гДе
Ло — термодинамический потенциал идеального газа при тех же
значениях //, Г, V), получим окончательно
Gafiin, т2) = --1_(ГтФ^(г1)#5(т2)а)о,	C8.7)
где усреднение производится по состояниям системы невзаимо-
невзаимодействующих частиц:
()
Аналогия этого результата с A2.14) очевидна.

§ 38 ДИАГРАММНАЯ ТЕХНИКА ДЛЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ФУНКЦИЙ ГРИНА 201
Для перехода к диаграммам теории возмущений, как и в § 13,
разлагаем выражение C8.7) по степеням оператора взаимодей-
взаимодействия Vo(t). Для системы с парным взаимодействием между
частицами этот оператор отличается от A3.2) лишь заменой
гейзенберговских Фо> *о^ на мацубаровские Фм, Фм. Средние
значения произведений -^-операторов снова раскрываются по
теореме Вика (т. е. путем выбора всеми возможными способами
попарных сверток операторов); применимость этой теоремы в
макроскопическом пределе доказывается в данном случае теми
же рассуждениями, что и в § 13.
Возникающие, таким образом, правила диаграммной техни-
техники вполне аналогичны правилам, полученным в § 13 для техники
при Г = 0. Графическое изображение диаграмм остается в точ-
точности тем же. Несколько меняются лишь правила аналитическо-
аналитического прочтения диаграмм.
В координатном представлении каждой сплошной линии,
идущей от точки 2 в точку 1, сопоставляется множитель
—Qolr{tI'> ri5 T25 Г2) (со знаком минус). Каждой штриховой
линии, соединяющей точки 1 и 2, отвечает множитель
— U(t\— Y2)S{ji— T2). По всем переменным т, г внутренних точек
диаграммы производится интегрирование по d?x по всему про-
пространству и по dr — в пределах от 0 до 1/Г.
Для перехода к импульсному представлению надо разложить
все функции С/(°) в виде C7.7). После интегрирования по всем
внутренним переменным г в каждой вершине диаграммы воз-
возникает ^-функция, выражающая закон сохранения импульса
(J2P — 0)- Кроме того, в каждой вершине возникает интеграл
вида
1/Г
J ехр{-гт(С5
Т J ехр{-гт(С51
Этот интеграл (с учетом C7.8)) отличен от нуля, только если
Е?5 = 0, причем в этом случае он равен 1. Таким образом, в каж-
каждой вершине соблюдается также и закон сохранения дискретных
частот. Каждой сплошной линии ставится теперь в соответствие
множитель — G^eiCs, p) (сплошной же линии, замкнутой на себя,
снова отвечает множитель п^ (//, Г) — плотность идеального га-
газа при заданных //, Г). Каждой штриховой линии сопоставляется
множитель — C/(q). По всем импульсам и частотам, оставшимся

202
ФУНКЦИИ ГРИНА ПРИ КОНЕЧНЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ
неопределенными (после учета законов сохранения во всех вер-
вершинах), производится интегрирование и суммирование вида
Общий коэффициент, с которым диаграмма входит в —Ga/3i B
случае ферми-систем равен ( — 1)L, где L — число замкнутых по-
последовательностей сплошных линий в диаграмме. В случае же
бозе-систем этот коэффициент равен 1.
Разумеется, и в этой технике (как и в технике при Г = 0)
можно производить частичное суммирование и вводить различ-
различные диаграммные «блоки». В частности, можно определить вер-
вершинную часть, выражающуюся через двухчастичную функцию
Грина. Эта вершинная часть связана с функцией Q уравнением
Дайсона, аналогичным A5.14). Мы не будем выписывать такие
формулы, вывод которых вполне аналогичен выводу в диаграмм-
диаграммной технике при Г = 0.
При переходе к случаю Г = 0 суммы по s в мацубаровских
диаграммах превращаются в интегралы по ? и мацубаровская
техника превращается в технику, очень напоминающую обыч-
обычную, изложенную в гл. П. Разница, однако, состоит в том, что
при вещественных ? мацубаровские функции совпадают со зна-
значениями G и G на соответствующих полуосях мнимой оси
(см. C7.11), C7.12)). Для перехода к обычной технике при Г = 0
надо еще повернуть контур интегрирования до совпадения с ве-
вещественной осью си.

ГЛАВА V
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
§ 39. Сверхтекучий ферми-газ. Энергетический спектр
Вся изложенная в гл. I теория Ландау относится только к од-
одной категории ферми-жидкостей — к жидкостям, обладающим
энергетическим спектром, не приводящим к явлению сверхтеку-
сверхтекучести. Этот тип спектров не является единственной возможно-
возможностью для квантовой ферми-жидкости, и мы переходим теперь к
изучению ферми-систем со спектром другого типа. Происхожде-
Происхождение этого типа энергетических спектров и его основные свой-
свойства можно наиболее наглядным образом выяснить на простой
модели, допускающей полное теоретическое исследование — вы-
вырожденном почти идеальном ферми-газе с притяжением между
частицамиг).
Слабо неидеальный ферми-газ с отталкиванием между части-
частицами был рассмотрен в § 6. На первый взгляд, произведенные там
вычисления в равной степени справедливы как для случая оттал-
отталкивания, так и для случая притяжения между частицами, т. е.
как при положительной, так и при отрицательной длине рассея-
рассеяния а. В действительности, однако, в случае притяжения (а < 0)
найденное таким образом основное состояние системы оказыва-
оказывается неустойчивым по отношению к определенной перестройке,
меняющей его характер и понижающей энергию.
Физическая природа этой неустойчивости состоит в стремле-
стремлении частиц к «спариванию»: образованию связанных состояний
парами частиц, находящихся (в р-пространстве) вблизи ферми-
поверхности и обладающих равными по величине и противопо-
противоположными по направлению импульсами и антипараллельными
спинами — так называемый эффект Купера (L. N. Cooper, 1957).
Замечательно, что этот эффект возникает в ферми-газе уже при
сколь угодно слабом притяжении между частицами.
Именно в силу этого эффекта использованная в задаче о фер-
ферми-газе с отталкиванием система операторов ара, а+а, соот-
соответствующих свободным состояниям отдельных частиц газа,
х)Эта задача лежит в основе теории сверхпроводимости, построенной
Бардином, Купером и Шриффером (J. Bardeen, L. N. Cooper, J. R. Schrieffer
A957). Излагаемый ниже метод решения принадлежит Н. Н. Боголюбову
A958).

204
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
не может служить теперь правильным исходным приближением
теории возмущенийг). Вместо них надо уже сразу ввести новые
операторы, которые будем искать в виде линейных комбинаций
объединяющих операторы частиц с противоположными импуль-
импульсами и спинами (индексы + и — относятся к двум значениям
проекции спина); в силу изотропии газа коэффициенты ир, vp
могут зависеть только от абсолютной величины импульса р. Для
того чтобы эти новые операторы отвечали рождению и уничто-
уничтожению квазичастиц, они должны удовлетворять таким же пра-
правилам коммутации Ферми, как и старые операторы:
W>pa+?pJPa = l,	C9.2)
а все другие пары операторов антикоммутативны (индекс а ну-
нумерует два значения проекции спина). Для этого коэффициенты
преобразования должны удовлетворять условию
u2p + v2p = l	C9.3)
(ир, vp могут быть сделаны вещественными надлежащим выбо-
выбором фазового множителя). При этом обратное (по отношению к
C9.1)) преобразование имеет вид
%+ = Upbp+ + vp%^
ap_=upbp_-vpb±Pj + .
По тем же причинам (основной роли взаимодействия между
парами частиц с противоположными импульсами и спинами) мы
сохраним в гамильтониане F.7) во второй сумме лишь члены, в
которых pi = -р2 = р, pi = -р'2 = р':
pa	pp/
где снова введена «константа связи» g = 4тгН2\а\/т (длина рас-
рассеяния а < 0).
) Указание на неприменимость теории возмущений (в использованной
в § 6 форме) к парам частиц с проекциями спинов ±1/2 и с импульсами
Р2 ~ —Pi дает уже наличие особенности при $ = тг, которой обладает по-
полученное с помощью этой теории выражение функции взаимодействия ква-
квазичастиц F.16); эта особенность существует только при антипараллельных
спинах, которым отвечает равное —3 собственное значение оператора

§ 39	СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР	205
В дальнейших вычислениях будет удобно снова воспользо-
воспользоваться обычным приемом, позволяющим избавиться от необхо-
необходимости явным образом учитывать постоянство числа частиц
в системе: в качестве нового гамильтониана вводится разность
Н' = Н - (iN, где
pa
— оператор числа частиц; химический потенциал определяется
затем, в принципе, условием равенства среднего значения N за-
заданному числу частиц в системе.
Введем также обозначение
Ъ = ?--».	C9.6)
Zm
Поскольку \i « p2F/2m, то вблизи поверхности Ферми
t)p = vf(p-Pf),	C9.7)
где vp — Pf/™- Вычитая /jlN из выражения C9.5), напишем,
таким образом, исходный гамильтониан в виде
н' = Е %Ч*ъ?а - f E К'+"-р', -а-р- -ар+- C9-8)
pa	pp'
Произведем в этом гамильтониане преобразование C9.4).
Используя соотношения C9.2), C9.3) и возможность замены ин-
индекса суммирования р на —р, получим
н> = 2? rfruj + Е^К - ^р)(ЧЛ++?рЛ-)+
р	р
+ 2 е r]Pupvp(b;+btPj _ + s_p, _ьр+) - j е ??А» C9-9)
р	v pp'
вр = tijS-p, Л+ - «Jfifc Stp, - + «ptip^-p, _sip> _ - ь;+ьр+).
Выбор коэффициентов ир, vp осуществим теперь из условия
минимальности энергии Е системы при заданной энтропии. По-
Последняя определяется комбинаторным выражением
S = -^[npalnnpa + (I -npa)ln(l -npa)].
pa
Поэтому указанное условие эквивалентно минимизации энергии
при заданных числах заполнения квазичастиц npa.

206
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
В гамильтониане C9.9) диагональные матричные элементы
имеют лишь члены, содержащие произведения
Поэтому находим
Е =
пр-)~
V
- р
. C9.10)
Варьируя это выражение по параметрам ир (учитывая при
этом связь C9.3)), получим в качестве условия минимума
SE
ОН/	Z /-,	\
— =	A-Пр+-Пр_)
8и
2t]pupvp-
~ пр'+ ~ пр'-)
p1
= 0.
Отсюда находим уравнение
2r]pupvp =
где А обозначает сумму:
Из C9.11) и C9.3) выражаем up, vp через г]р и А:
и„
К) 2
/Д2 + п%
C9.11)
C9.12)
C9.13)
Подставив же эти значения в C9.12), получим уравнение, опре-
определяющее А:
2V
- пр+ - пр
v/Д2 + nl
В равновесии числа заполнения квазичастиц не зависят от на-
направления спина и даются формулой распределения Ферми
(с равным нулю химическим потенциалом — ср. примечание
на с. 18):
Пр+ = пр_ = пр = [е?'т + I].	C9.14)

39
СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР
207
Перейдя также от суммирования к интегрированию по р-про-
странству, запишем это уравнение в виде
C9.15)
Обратимся к исследованию полученных соотношений. Мы
увидим, что величина А играет основную роль в теории спек-
спектров рассматриваемого типа. Вычислим прежде всего значение
этой величины при Г = 0 (обозначим его через До).
При Г = 0 квазичастицы отсутствуют, так что пр = 0 и урав-
уравнение C9.15) принимает вид
= 1.
C9.16)
Сразу же отметим, что это уравнение заведомо не могло бы
иметь решения (для До) при g < 0, т. е. в случае отталкивания
(знаки обеих сторон уравнения были бы заведомо различны).
Основной вклад в интеграл в C9.16) вносит область импуль-
импульсов, в которой До <С vf\pf — Р I ^ vfPf ~ М и интеграл имеет
логарифмический характер (малость До по сравнению с [i под-
подтверждается результатом). Обрезая логарифмический интеграл
при некотором r\ = e~\i, имеемх)
/р dp	pp I	dfj	^Pf i ?
[Aq + vf(pf — pJ]1/2 vf J (Aq + 772I/2 vf Ao
Поэтому находим
2тг2Й3 До
откуда
д ~ /
До = еехр
V
= еехр -
2pF\a\
C9.17)
C9.18)
1)При p^>pF величина rjp ос р2, и интеграл C9.16) в написанном виде
расходится, как р. В действительности, однако, эта расходимость фиктив-
фиктивна и устраняется перенормировкой связи между константой g (т. е. длиной
рассеяния а) и потенциалом взаимодействия, подобно тому, как это было
сделано в §6 и 25. Последовательное проведение такого довольно сложно-
сложного расчета дает возможность определить также и коэффициент пропорци-
пропорциональности между параметром обрезания е и химическим потенциалом fi:
?=B/еO/3/л=0,49/л (см. Л. П. Горькое, Т.К. Мелик-Бархударов// ЖЭТФ.
1961. Т. 40. С. 1452.

208	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Это выражение можно записать также в виде
),	C9.19)
где up = трр/тг2Н3 — энергетическая плотность числа состоя-
состояний частицы на ферми-поверхности {yde — число состояний в
интервале de).
Наибольший интерес представляет форма энергетического
спектра системы — энергия элементарных возбуждений ?р+ =
= вр- = s(p). Мы найдем ее по изменению энергии всей системы
при изменении чисел заполнения квазичастиц, т. е. проварьиро-
вав Е из C9.10) по пра. Поскольку значения ир, vp уже выбраны
из условия равенства нулю производных от Е по ним, то варьи-
варьирование Е по Пра можно производить при постоянных ир, vp.
Таким образом,
Вычисление производной с использованием C9.11) - C9.13) при-
приводит к простому результату:
ф) = JA^ + Vl	C9.20)
Мы видим, что энергия квазичастицы не может быть меньше
величины А, достигаемой при р = pF. Другими словами, воз-
возбужденные состояния системы отделе-
отделены от основного энергетической щелью.
Обладая полуцелым спином, квазичасти-
квазичастицы должны появляться парами. В этом
смысле можно сказать, что величина ще-
щели равна 2А. Обратим внимание на экс-
экспоненциальную малость этой величины:
поскольку рр\а\/Н <С 1, то До экспонен-
P—Pf циально мало по сравнению с //. Отметим
Рис 5.	также, что выражение C9.18) не может
быть разложено по степеням малого па-
параметра — константы связи g; последняя входит в знаменатель
показателя экспоненты, так что значение g=0 является суще-
существенно особой точкой функции Ao(g).
Спектр C9.20) удовлетворяет установленному в § 23 условию
сверхтекучести: минимальное значение е/р отлично от нуля. По-
Поэтому ферми-газ с притяжением между частицами должен обла-
обладать свойством сверхтекучести.
На рис. 5 сравнены законы дисперсии квазичастиц в сверх-
сверхтекучей (верхняя кривая) и нормальной ферми-системах. В по-
последней этот закон изображается (в соответствии с указанной в
конце § 1 трактовкой) двумя прямыми е = vp \p — Pf | •

§ 39	СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР	209
Величина щели А зависит от температуры, т. е. сама форма
спектра зависит от статистического распределения квазича-
квазичастиц — ситуация, аналогичная тому, что имеет место для
ферми-жидкости нормального типа. Поскольку при возрастании
температуры числа заполнения квазичастиц возрастают (стре-
(стремясь к 1), то уже из уравнения C9.15) видно, что А при
этом уменьшается и при некоторой конечной температуре Тс
обратится в нуль: система перейдет из сверхтекучего состояния в
нормальное. Эта точка представляет собой фазовый переход вто-
второго рода (подобный Л-переходу в сверхтекучей бозе-жидкости).
Наличие энергетической щели в спектре вырожденного фер-
ми-газа и является выражением эффекта «спаривания», о кото-
котором уже говорилось в начале параграфа. Величину 2А можно
рассматривать как энергию связи куперовской пары, которую
надо затратить для ее разрыва.
Гамильтониан C9.5) учитывает (как уже было отмечено
в § 6) взаимодействие лишь между парами частиц, находящими-
находящимися в синглетном s-состоянии: орбитальный момент относительно-
относительного движения частиц равен нулю, а их спины антипараллельны.
Обладая равным нулю полным спином, пары ведут себя как бо-
зевские образования и могут накапливаться в конечном числе на
уровне (своего движения как целого) с наименьшей энергией —
уровне с равным нулю суммарным импульсом. В таком нагляд-
наглядном истолковании это явление вполне аналогично накапливанию
частиц в состоянии с нулевой энергией (бозе-эйнштейновской
конденсации) в бозе-газе; в данном случае конденсатом является
совокупность спаренных частиц.
Представлению о связанных парах не следует, конечно,
придавать слишком буквальный смысл. Более точно следует го-
говорить о корреляции между состояниями пары частиц в р-про-
странстве, приводящей к конечной вероятности частицам иметь
равную нулю сумму импульсов. Разброс 6р значений импульсов в
области корреляции соответствует энергии порядка А,
т. е. 6р ~ A/vp- Соответствующая длина ? ~ Н/6р ~ Hvp/A
определяет порядок величины расстояний между частицами с
коррелированными импульсами. При Г = 0 эта длина (ее назы-
называют длиной когерентности)
Поскольку в вырожденном ферми-газе Н/рр совпадает по поряд-
порядку величины с межатомными расстояниями, то мы видим, что ?о
очень велико по сравнению с последними. Это обстоятельство в
особенности наглядно демонстрирует условность понятия о свя-
связанных парах.

210
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Происхождение эффекта Купера тесно связано с существо-
существованием ферми-поверхности, ограничивающей (в р-пространстве)
конечную область заполненных (при Г = 0) состояний; важное
обстоятельство состоит в том, что энергетическая плотность чис-
числа состояний на этой поверхности отлична от нуля. Эта связь
проявляется в формуле C9.19) для величины щели Aq, обра-
обращающейся в нуль при vp —»> 0.
§ 40. Сверхтекучий ферми-газ. Термодинамические свойства
Изучение термодинамических свойств сверхтекучего ферми-
газа начнем с вычисления температурной зависимости величины
энергетической щели. Переписав уравнение C9.15) в следующем
виде
-1 + ? Г d3p = * [ npd3p
2 J ?BтгйK ё J ?BтгйK '
замечаем, что интеграл в его левой части отличается от инте-
интеграла при Г = 0 лишь заменой До на А. Поэтому учитывая
C9.17), мы видим, что левая часть равна gPFTn In —2-. В правой
части подставляем пр из C9.14) и переходим к интегрированию
по dp = drj/vp:
До= Г	А,	= 2/Г*),	D0.1)
где
dx
/х2 + и2 (exp \Jx2 + и2 + 1)
О
(ввиду быстрой сходимости интеграла пределы интегрирования
могут быть распространены до ±ос).
В области низких температур (Г <С До) интеграл вычисля-
вычисляется простог):
А = An 11 -
1) При больших и первый член разложения 1{и) по 1/и\
1	х2

§40 СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА	211
В области же вблизи точки перехода А мало, и первые члены
разложения интеграла /(А/Г) дают1)
In *I = In ^ + Ш^.	D0.3)
А	7А 8тг2 Т2	v }
Отсюда, прежде всего, видно, что А обращается в нуль при тем-
температуре
Тс = 7ДоЛг = 0,57А0,	D0.4)
малой по сравнению с температурой вырождения Т$ ~ //. После
этого в первом порядке по Тс — Т получим
Д = Тс
(l - -)] = 3,06TcA/l - -.	D0.5)
V Тс)\	СУ Тс	V }
х)Для разложения интеграла 1(и) при и —»> 0 прибавляем и вычитаем из
него интеграл
1\ = - /	:	th - dx.
2J \Vx2+u2 x 2)
Тогда I = h +/2, где
оо
1 С ( 1	Т	1	Л/Т2 _|_ ?.2 \
2J V^ 2 V^2 +1/2	2 У
о
В /i первый член в подынтегральном выражении интегрируется эле-
элементарно, а второй интегрируем по частям и находим
оо
л U 1 Г \ПХ
Стоящий здесь интеграл равен 21п(тг/27) (где In 7 = С = 0,577 — постоянная
Эйлера), так что 2Д = 1п(тг/71*)-
Интеграл 1ч обращается в нуль при и = 0. Первый член его разложения
по и :
Подставляя
сюда разложение
th| = 4
(его вывод см. в примечании
оо ~
/2 — 4 я
n=o i ^
4
оо
п=0
на с.
J7Г2Ч
оо
J X
0
224)
\х 2)
получим
2 °°
и v—¦>
! tj-2 /_^
п=0
i7CC)
8тг2 '

212
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Нам осталось вычислить термодинамические величины газа.
Рассмотрим сначала область низких температур.
Для вычисления теплоемкости в этой области проще всего
исходить из формулы
6Е = 2_^ ?Eпр+ + Srip—) = 2 2_^ zSrip
р	р
для изменения полной энергии при варьировании чисел заполне-
заполнения квазичастиц. Разделив на ST и перейдя от суммирования к
интегрированию, получим теплоемкость:
С = у171^
/ е—dn.
J дТ '
При Т < Д функция распределения квазичастиц п « е ?/т, а
их энергия е « До + rj2/2До; простое интегрирование приводит
к результату:
С = V^rnpFA^ Ао/Т	( }
Таким образом, при Г —»> 0 теплоемкость убывает по экспонен-
экспоненциальному закону — прямое следствие наличия щели в энерге-
энергетическом спектре.
Для дальнейших вычислений удобно исходить из термоди-
термодинамического потенциала fi, поскольку все рассмотрение ведется
нами при заданном химическом потенциале системы (а не числа
частиц в нейI). Воспользуемся формулой
где Л — какой-либо параметр, характеризующий систему (ср. V,
A1.4) A5.11)); в данном случае в качестве такого параметра
выберем константу связи g, фигурирующую во втором члене
гамильтониана C9.8). Среднее значение этого члена дается по-
последним слагаемым в формуле C9.10), равном, согласно C9.12),
—VA2/g a g. Поэтому имеем
Ш _ УА2
dg g2
При g —)> 0 энергетическая щель Д стремится к нулю. Поэтому,
интегрируя это равенство по dg в пределах от 0 до g, найдем
1) Не смешивать химический потенциал газа как такового с (равным нулю)
химическим потенциалом газа квазичастиц!

§40 СВЕРХТЕКУЧИЙ ФЕРМИ-ГАЗ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА	213
разность между термодинамическим потенциалом ft в сверхте-
сверхтекучем состоянии и значением, которое он имел бы в нормальном
состоянии (А = 0) при той же температуре1):
ydg.	D0.8)
о
Согласно общей теореме о малых добавках (см. V B4.16)), по-
поправка D0.8), будучи выражена в соответствующих переменных,
одинакова для всех термодинамических потенциалов.
При абсолютном нуле А = До, и, согласно C9.18), имеем
dA0 _
dg
Переходя в D0.8) от интегрирования по dg к интегрированию по
б?До, найдем следующее выражение для разности энергий основ-
основных уровней сверхтекучей и нормальной систем:
Es-En = -V^Al	D0.9)
Отрицательный знак этой разности и означает упомянутую в на-
начале параграфа неустойчивость «нормального» основного состо-
состояния в случае притяжения между частицами газа. Отнесенная к
одной частице, разность D0.9) составляет величину ~ Д2/м-
Перейдем к обратному случаю, Г —»> Тс. Дифференцируя ра-
равенство D0.3) по g, находим
7СC) д^А = ^Ао = 2тг2Н3 dg
4тг2Т2	Ао	mpF g2'
Подставим отсюда dg/g2 в формулу D0.8), понимая ее как раз-
разность свободных энергий:
А
) Здесь необходимо сделать замечание, связанное со сделанными нами с
самого начала пренебрежениями. При g=0 в гамильтониане C9.8) вообще
не остается взаимодействия между частицами, и можно было бы подумать,
что мы приходим к идеальному ферми-газу, а не «нормальному» неидеаль-
неидеальному газу. В действительности, однако, в гамильтониане C9.8) уже были
сделаны пренебрежения, после которых не может идти речи о вычислении
абсолютной величины энергии. Были опущены члены взаимодействия (несу-
(несущественные для нахождения формы спектра и разности Qs — Qn), которые
дают вклад в энергию, большой по сравнению с экспоненциально малой
величиной D0.8) (это как раз тот вклад, пропорциональный Ng, который
дается формулой F.13)).

214	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
и окончательно, с учетом D0.5), получим
Fs-Fn = -V2mpFT< (l - L\ .	D0.10)
Отсюда разность энтропии:
ss-sn = -
Разность же теплоемкостей стремится при Г —> Тс к конечному
значению
Ш	D0Л1)
т. е. в точке перехода испытывает скачок, причем Cs > Сп. Теп-
Теплоемкость нормального состояния дается (в первом приближе-
приближении) формулой идеального газа (см. V, E8.6)); выраженная че-
через р^, она имеет вид Сп = УгпррТ/ЗН3. Поэтому отношение
теплоемкостей в точке перехода
^± = — + 1 = 2,43.	D0.12)
Сп(Тс) 7СC)	'	v ;
В отногпении своей сверхтекучести газ характеризуется раз-
разделением его плотности р на нормальную и сверхтекучую части.
Согласно B3.6) нормальная часть плотности
p —dp w -——	 / —dn.
de 3ir2H3vF J de '
Рп = - —
3{2тгп)" j as	дтг-n-vt
—сю
Полная ж:е плотность газа связана с рр посредством
Р =
Поэтому
dr]	D013)
р	J de
0
Этот интеграл не требует особого вычисления, так как может
быть сведен к известной уже функции А (Г). Продифференци-
Продифференцировав уравнение D0.1) по Г и сравнив получающийся при этом
интеграл с D0.13), можно убедиться в том, что
-?- = 1 - —.	D0.14)
Рп	ТА'	V	}

§ 41	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ СВЕРХТЕКУЧЕГО ФЕРМИ-ГАЗА	215
Подставив сюда предельные формулы D0.2), D0.5), получим
Т -+ 0 : !± = (qpj ' е-*0'1,	D0.15)
T^Tc:^ = 2(l-?).	D0.16)
Наконец, необходимо сделать еще два замечания относитель-
относительно области справедливости полученных формул по температуре.
При приближении к точке перехода Тс становятся существен-
существенными процессы взаимодействия квазичастиц (не учитываемые в
изложенной теории); именно эти процессы ответственны в дан-
данном случае за возникновение особенностей термодинамических
величин, характерных для точки фазового перехода второго ро-
рода. В достаточной близости к этой точке полученные выше фор-
формулы должны в конце концов стать неприменимыми. Но в силу
наличия малого параметра (константы связи g) в рассмотренной
модели это наступает лишь при чрезвычайно малых значениях
Тс — Г; мы вернемся еще к более подробному обсуждению этого
вопроса в §45.
Как и в сверхтекучей бозе-жидкости, в рассматриваемом фер-
ми-газе (в противоположность ферми-газу с отталкиванием —
ср. §4) может распространяться звук (со скоростью и ~ р^/ттг,
определяющейся обычным образом сжимаемостью среды). Это
значит, что наряду с рассмотренным здесь спектром возбужде-
возбуждений фермиевского типа в спектре такого газа существует так-
также и фононная, бозевская, ветвь возбуждений. Обусловленная
фононами теплоемкость пропорциональна Г3 с малым коэффи-
коэффициентом, но при Г —> 0 в конце концов она должна стать преобла-
преобладающей над экспоненциально убывающей теплоемкостью D0.6)
§41. Гриновские функции сверхтекучего ферми-газа
Перейдем к построению математической техники гриновских
функций в применении к сверхтекучим ферми-системамг).
Мы видели в § 26, что в терминах -^-операторов бозе-эйнштей-
новская конденсация в бозе-системе выражается существованием
отличных от нуля предельных (когда число частиц N —>• ос) зна-
значений матричных элементов, связывающих состояния, отличаю-
отличающиеся лишь изменением N на единицу. Физический смысл этого
утверждения состоит в том, что удаление или прибавление од-
одной частицы в конденсат не меняет состояния макроскопической
системы.
1) Излагаемая в этом параграфе техника принадлежит Л. П. Горькову
A958).

216
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
В случае сверхтекучей ферми-системы то же самое должно
относиться к конденсату из куперовских пар: состояние систе-
системы не должно меняться при изменении на единицу числа пар
в конденсате. Математически это выражается в наличии отлич-
отличных от нуля предельных (N —> ос) значений матричных элемен-
элементов произведения Ф^(Х2)Фа(-^1) — оператора уничтожения двух
частиц, и у эрмитово-сопряженного ему оператора рождения па-
пары частиц Ф+(Х1)Ф^ (Х2). Эти матричные элементы связывают
«одинаковые» состояния систем, отличающиеся лишь удалени-
удалением или прибавлением одной пары частиц:
lim (га, iV|$^(X2)$a(Xi)|m, N + 2) =
N—too
= lim {m,N + 2\V+(X1)Vt(X2)\m,N)*^0. D1.1)
В дальнейшем мы будем опускать знак взятия предела; для крат-
краткости будем также опускать диагональный матричный индекс
га, нумерующий «одинаковые» состояния систем с различными
числами частиц.
Как и в случае бозе-систем (§ 31), в математическом аппарате
гриновских функций для сверхтекучих ферми-систем фигуриру-
фигурирует несколько различных функций. Наряду с обычной гриновской
функцией
гСар(Хъ Х2) = {ЩТ^а(Х1Щ(Х2)\М)	D1.2)
необходимо ввести также и «аномальные» функции, согласно
определениям,
iFaf}(Xu X2) = (ЩТ^а(Хг)^^Х2)\М + 2),
+Xu X2) = (N	$§+
Поскольку каждая из функций Fap и F\ строится из двух оди-
одинаковых операторов, то
Fap{Xu Х2) = -FPa{X2, Хг), F+piXi, Х2) = -F+JX2, X,)
D1.4)
Напомним, что согласно основным принципам статистики
результат статистического усреднения не зависит от того, про-
производится ли оно по точной волновой функции стационарного
состояния замкнутой системы или с помощью распределения
Гиббса. Разница состоит лишь в том, что в первом случае ре-
результат усреднения будет выражен через энергию Е и число ча-
частиц iV, а во втором — через Ти/i. Для следующих ниже в этом
параграфе рассуждений более удобен первый способ.

§ 41	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ СВЕРХТЕКУЧЕГО ФЕРМИ-ГАЗА	217
В рассмотренной в § 39 модели ферми-газа связанные пары
находятся в синглетном состоянии. Спиновая зависимость мат-
матричных элементов операторов рождения или уничтожения такой
пары сводится к единичному антисимметричному спинору
! о)-	D1-5)
Напишем поэтому функции D1.3) в виде1)
u X2), F+, = tbpF+iXu X2);	D1.6)
при этом в силу D1.4) F и F+ симметричны по Xi и Х2- Спи-
Спиновая же зависимость гриновской функции Ga/3 для неферромаг-
неферромагнитной системы сводится к G^p = 5apG. В однородной,
макроскопически неподвижной системе гриновские функции G,
F и F+ зависят только от разностей координат точек и разности
моментов времени (ср. примечание на с. 159).
Подобно тому как введенная в § 26 функция ?(Х) имела
смысл волновой функции частиц в конденсате, так функцию
iF(t, ri; t, Г2) можно рассматривать как волновую функцию ча-
частиц, связанных в находящихся в конденсате куперовских парах.
Тогда функция
ЩХ) = iF(X, X)	D1.7)
будет волновой функцией движения этих пар как целого. Из
определений D1.3), D1.5) легко видеть, что при этом i^+(X, X) =
= iS*(X). В стационарной, макроскопически неподвижной
системе функция ?(Х) сводится к постоянной; надлежащим
выбором фаз -0-операторов можно сделать эту постоянную
вещественной.
Вычислим теперь определенные таким образом гриновские
функции для модели ферми-газа со слабым притяжением между
частицами.
Гейзенберговский -^-оператор удовлетворяет уравнению G.8).
Ввиду малости радиуса действия сил между частицами в рас-
рассматриваемом газе в интегральном члене этого уравнения мож-
можно взять значения множителей Ф(?, г') в точке г' = ги вынести
х)Ср. примечание на с. 47. В то время как по своей спиновой структуре
Gap есть смешанный спинор второго ранга, функции Fap и F^ представ-
представляют собой соответственно контра- и ковариантный спиноры.

218	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. V
их из-под знака интегрирования; тогда уравнение примет вид1)
Фа- DL8)
Эрмитовским сопряжением всех членов этого уравнения полу-
получим аналогичное уравнение для оператора Ф+:
Подставив выражение D1.8) в производную dG^/dt (9.5),
получим уравнение
- ig(N\T*+(X)%(X)*a(X)*+(X')\N) = 6а^4\Х - X1)
D1.10)
(ср. A5.12)). Фигурирующий здесь диагональный матричный
элемент произведения четырех -^-операторов может быть распи-
расписан, согласно правилу умножения матриц, в виде суммы произве-
произведений матричных элементов двух пар операторов. Из всех таких
произведений оставим лишь то, которое содержит матричные
элементы для переходов с изменением числа частиц N <-> N + 2,
и опустим все остальные члены
= -Fia(X, X)F+,(X, X') = -dapF@)F+(X - X') D1.11)
(в последнем преобразовании использованы выражения D1.5)).
Физически этот член отвечает спариванию частиц и по порядку
величины совпадает с плотностью конденсата.
Подчеркнем, однако, принципиальное отличие от пренебре-
пренебрежений, которые делались в случае слабо неидеального бозе-газа.
В последнем почти все частицы находятся при Г = 0 в кон-
конденсате, а число надконденсатных частиц, появляющихся толь-
только в результате слабого взаимодействия частиц, относительно
мало. В данном же случае, напротив, сам конденсат появляет-
появляется в результате слабого взаимодействия и потому включает в
х)Как и в §39, пользуемся обозначением g для константы связи, совпа-
совпадающей с постоянной —Uq = — J U d3x. Оператор Лапласа пишем как V2 во
избежание путаницы со щелью А. В этом и следующем параграфах полагаем
Н=1.

§ 41	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ СВЕРХТЕКУЧЕГО ФЕРМИ-ГАЗА	219
себя лишь малую долю частиц. Другими словами, отбрасывае-
отбрасываемые при замене D1.11) члены не малы, а велики по сравнению
с оставленными. Последние, однако, приводят к качественно но-
новому эффекту — изменению характера спектра, в то время как
первые были бы нужны лишь для вычисления не интересующей
нас здесь поправки к основному уровню системы (ср. в этой свя-
связи примечание на с. 213).
После замены D1.11) уравнение D1.10) сводится к виду
D1.12)
(аргумент функции X — X' заменен на X, а постоянная iF@)
обозначена через S — в соответствии с определением D1.7)).
Сюда входят две неизвестные функции G(X) и i^+(X), поэто-
поэтому для их вычисления необходимо еще одно уравнение.
Его можно получить, вычисляя производную
N
dt
член с ^-функцией (подобный второму члену в (9.5)) здесь не воз-
возникает, поскольку функция F\(X — X') (в противоположность
функции Gap(X — Xf)) непрерывна при t = t'1). Подставив сюда
D1.9) и снова произведя выделение конденсатного члена, анало-
аналогичное D1.11), получим в результате уравнение
= 0.	D1.13)
В него входят те же две функции G и i^+, что и в D1.12); поэто-
поэтому эти два уравнения достаточны для вычисления этих функций
(для вычисления же F надо было бы вывести аналогичным об-
образом еще одно уравнение).
Перейдем в этих уравнениях к импульсному представлению,
введя обычным образом фурье-компоненты G(P) и F+(P):
!'	D1-14)
Х)В этом легко убедиться, вычисляя скачок функции F^ подобно тому,
как это делалось в § 9 для Gap, и заметив, что операторы Ф^(?, г) и Ф^(?, г')
антикомму тативны.

220	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. V
где Р=(ио, р) и r]p=p2/2m—/jJ. Отметим, что ввиду четности
функции F^(X), четны также и ее фурье-компоненты F~^~(P) =
Исключив из двух уравнений функцию F+, найдем для G
уравнение
(u2-r?-A2)G(P)=u + Vp,	D1.15)
где введено обозначение
A = g|S|.	D1.16)
Формальное решение уравнения D1.15):
^		D1 17)
(рУ	{qi-U)
где е(р) = л/А2 + V%, а ир и vp даются формулами C9.13). Уже
отсюда видно, что спектр элементарных возбуждений, определя-
определяемый положительным полюсом функции Грина, дается функци-
функцией е(р) — мы снова приходим к результату C9.20). Мы видим
также, что энергетическая щель А и модуль конденсатной вол-
волновой функции движения пар как целого оказываются пропор-
пропорциональными друг другу величинами.
Выражение D1.17) для G(P), однако, еще неполно: в нем не
определен способ обхода полюсов. Другими словами, остается
еще неопределенной мнимая часть функции G; эта часть содер-
содержит ^-функцию 5(ш ± е) и потому выпадает при умножении на
си2 — s2 в уравнении D1.15).
При Г = 0 правило обхода полюсов устанавливается прямым
сравнением выражения D1.17) с разложением (8.7): в членах с
положительными и отрицательными полюсами переменную надо
заменить соответственно на ио + г0 и ио — гО; тогда D1.17) примет
вид
Giuo р)= и2р I у2р =	и+Г]р	D1 18)
'	uj-e(p)+iO uj+e(p)-iO (uj-s-\-iO)(uj-\-s-iO)'
Выражая теперь F+ из второго из уравнений D1.14), находим
F+(lu, р) =	^	.	D1.19)
V ' *}	(u-? + iO)(u; + ?-iO)	V	J
С другой стороны, имеем, по определению,
iE* = F+(X = 0) = jJF+{P) ^.	D1.20)

§ 41	ГРИНОВСКИЕ ФУНКЦИИ СВЕРХТЕКУЧЕГО ФЕРМИ-ГАЗА	221
Подставим сюда D1.19); интегрирование по duo осуществляет-
осуществляется путем замыкания контура бесконечно удаленной полуокруж-
полуокружностью в верхней полуплоскости, после чего интеграл выражает-
выражается через вычет в полюсе ио = е. В результате, после сокращения
на S*, получим равенство C9.16), определяющее До-
При Г ^ 0 нахождение мнимой части гриновских функций
несколько сложнее. Для построения функции G(cj, p) с правиль-
правильными аналитическими свойствами по переменной ио напишем
сначала запаздывающую функцию G (c<j, p); она должна быть
аналитична в верхней полуплоскости и потому получается из
D1.17) заменой ио —> ио + гО. Мнимая часть этой функции:
Im GR = -тг[и2р 6(си -e) + v2p 5(uo + е)].
Мнимая же часть искомой функции G находится отсюда с помо-
помощью формулы C6.14), согласно которой
ImG(w, p) =th — ImGR(co, p) =
= -A - 2пр)тт[и2р 6{ш - e) - v$ 8{ш ¦
где rip — фермиевская функция распределения C9.14) (использо-
(использовав эту формулу, мы тем самым осуществляем переход от усред-
усреднения по заданному стационарному состоянию системы к усред-
усреднению по распределению Гиббса). Функцию G с этой мнимой
частью можно записать в виде
G(u>, p)=—!^—+—!^—+2mnp[ulS(u)-e)-vlS(u)+e)]. D1.21)
и—e+iO и+г—гО	И	у
Для функции же F+(uj, p) находим теперь
, p) = F+(u, р)\т=0-{-^^[6(со-е) + 6(и; + е)}, D1.22)
где первый член есть функция D1.19), относящаяся к Г = 0.
Подставив это выражение в D1.20) и произведя интегрирование,
мы вернемся к уравнению C9.15), определяющему А (Г).
Уравнения D1.14) можно изобразить в диаграммном ви-
виде аналогично тому, как для сверхтекучей бозе-системы были
представлены уравнения C3.7). При этом функции G,
F, F+ изображаются теми же графическими элементами C3.6) —
одно- и двусторонними стрелками. Два уравнения D1.14)

222	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
записываются в виде
D1.23)
-р р -р	р
Тонкой стрелке отвечает множитель iG^(P), где	{)
гриновская функция идеального ферми-газа. Входящей же в
вершину и выходящей из нее волнистым линиям отвечают
соответственно множители igE и —igS*. Сравнив D1.23) с C3.7),
видим, что эти последние множители соответствуют собственно-
энергетическим функциям гЕо2 и гЕ2о, т. е. представляют
собой первые приближения для этих величин. Отметим, что
новыми элементами — двусторонними стрелками и волнистыми
линиями — ограничиваются особенности диаграммной техники
для сверхтекучих ферми-систем; в отличие от случая бозе-
систем, «тройные» вершины здесь не возникают. Поэтому
диаграммная техника оказывается здесь гораздо проще и ближе
к «обычной», чем для сверхтекучих бозе-систем.
§ 42. Температурные гриновские функции
сверхтекучего ферми-газа
В § 41 был определен энергетический спектр сверхтекучего
ферми-газа путем использования обычных, «временных», гри-
новских функций. Однако для решения более сложных задач
(и прежде всего для исследования свойств системы во внеш-
внешних полях) более удобен математический аппарат температур-
температурных гриновских функций (А. А. Абрикосов, Л. П. Горькое, 1958).
Температурная функция Q^ определяется той же форму-
формулой C7.3), что и для нормального ферми-газа. Температурные
же функции Т^р и Тао (соответствующие временным функци-
функциям Fap и F\) определим аналогичными формулами
?еф(тъ ri; т2, г2) = ?>, N\UTTV%*%\m,N + 2),
-	m	^ ^	D2.1)
•Fe/9(Ti, ri; т2, r2) = ?<m, N + 2|о)Гтф?ф$|т, N).
Спиновая зависимость этих функций отделяется (аналогично

§ 42 ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА СВЕРХТЕКУЧЕГО ФЕРМИ-ГАЗА	223
D1.5)) в виде множителей gap г):
J7 о = g оТ ~Т = —я1 аТ	D2 2)
Как и ?7, функции Т и Т зависят только от разности т =
= т\ — т<1 и удовлетворяют соотношениям C7.6) (с верхним зна-
знаком):
Т(г) = -Т (т + I) , У{т) = -Т (т + I) .	D2.3)
Ряды Фурье по т для этих функций содержат, следовательно,
только нечетные «частоты» C7.8а): ?5 = Bs + 1)тгГ.
Мацубаровские ^-операторы при т = 0 совпадают с гейзен-
гейзенберговскими при ? = 0:
$м(т = 0, г) = $(? = 0, г).
Сравнив определения функций Т, Т с определениями i^1, i^+,
найдем поэтому, что
^@, г; 0, г) = S(r), ^@, г; 0, г) = 3*(г),	D2.4)
где под S надо понимать конденсатную волновую функцию,
усредненную по Гиббсу, т. е. выраженную через температуру
системы.
Покажем, каким образом с помощью температурных функ-
функций Грина можно снова получить энергетический спектр сверх-
сверхтекучего ферми-газа при отличных от нуля температурах.
Уравнения для температурных функций Q', Т", Т выводятся в
точности аналогично выводу уравнений D1.12), D1.13), причем
вместо дифференцирования по t производится дифференциро-
дифференцирование по т, а вместо уравнений D1.8), D1.9) используются урав-
уравнения, отличающиеся от D1.8), D1.9) заменой it —>• т. Как и в
D1.11), из среднего значения произведения четырех мацубаров-
ских -0-операторов выделяются члены, содержащие матричные
элементы для переходов с изменением числа частиц на 2. В ре-
результате получим уравнения
( — — +—+АЧ G(Ti r; T'i rO+gS^T, г; т', г')=5(т—т') 5(г—г'),
D2.5)
?(т, г; г', г')-ёЕ*д(т, г; т', г')=0.
1) Разные знаки в определениях Т и Т (в противополож:ность одинаковым
знакам в D1.5)) целесообразны в связи с отсутствием в определениях D2.1)
множителя г, который был в D1.3).

224	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. V
После перехода к фурье-компонентам эти уравнения принимают
вид
Р) + gS^(E, р) = 1,
р) - gS*0(C-, р) = о.	( " }
Решение этих уравнений:
G(C, P) = ~Щ±Ь,	D2-7)
Не, Р) = ~^-2 = F+(i(s, р),	D2.8)
где снова е1 = A2 + r/p, A = gS (причем это решение определено
однозначно и никаких S-функций — как это было для функций
G и F+ — вообще не содержит).
Условие, определяющее энергетическую щель в спектре, по-
получается теперь из равенства
или, после подстановки D2.8):
„ 3
I dP =i.	D2.9)
Суммирование по s осуществляется формулойг)
сю
i-th^	D2.10)
x) Эту формулу можно получить, написав
Bs + 1Jтг2 + a2 2a [a + zttBs + 1) a - inBs + 1)
oo
if
~ 2a J G Le	6	^
о
и произведя суммирование геометрической прогрессии под знаком интегри-
интегрирования.

§ 43	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ МЕТАЛЛОВ	225
и приводит к равенству
/l^^ l,	D2.11)
/th	l,
2 J г 2Т BтгK '
совпадающему с C9.15).
§ 43. Сверхпроводимость металлов
Явление сверхпроводимости металлов, открытое Камерлинг
Оннесом (Kamerling Onnes) в 1911 г., представляет собой
сверхтекучесть электронной ферми-жидкости в них, подобную
сверхтекучести рассмотренного в предыдущих параграфах вы-
вырожденного ферми-газа. Разумеется, во многих важных отноше-
отношениях электронная жидкость и ферми-газ являются существенно
различными физическими системами. Но в то же время основ-
основные физические моменты, относящиеся к свойствам энергетиче-
энергетического спектра, в обоих случаях остаются одинаковыми. Обсудим
качественным образом вопрос о том, какие именно черты рас-
рассмотренной выше модели можно перенести и в какой мере на
электроны в металлах.
Важной особенностью металла является анизотропия его
электронного энергетического спектра в противоположность
изотропии спектра рассмотренного ферми-газа. Это обстоя-
обстоятельство, однако, не мешает возникновению феномена Купера,
для которого существен лишь сам факт существования резкой
ферми-поверхности (какой бы ни была ее форма) и конечность
плотности числа состояний на ней. Необходимо также, чтобы
электроны с противоположными импульсами и спинами имели
одну и ту же энергию, т. е. находились бы оба на ферми-
поверхности. Это требование автоматически обеспечивается сим-
симметрией по отношению к обращению времени. Можно сказать,
что спариваются электроны в состояниях, получающихся друг
из друга обращением времени.
Далее следует вопрос о знаке взаимодействия электронов в
металле. В очень упрощенном смысле можно сказать, что это вза-
взаимодействие складывается из кулоновского отталкивания, экра-
экранированного на межатомных расстояниях, и из взаимодействия
через решетку. Последнее описывается как результат обмена вир-
виртуальными фононами и имеет характер притяжения (§ 64). В слу-
случае, если последнее взаимодействие «перевешивает», металл при
достаточно низких температурах станет сверхпроводником.
Существенно, что во взаимодействии через обмен фонона-
фононами участвуют только электроны, лежащие в сравнительно узком
слое р-пространства вблизи ферми-поверхности; толщина этого
слоя rsj fiuoD и мала по сравнению с химическим потенциалом
8 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

226
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
электронов \i (uod—дебаевская частота кристалла). Поэтому, ес-
если пользоваться для описания сверхпроводимости моделью сла-
слабо неидеального ферми-газа, то под параметром обрезания е в
C9.19) надо понимать величину1)
D3.1)
(вместо s ~ ц).
Что касается предположения о слабости взаимодействия, то
реально для всех сверхпроводников
Тс < HuuD < ц.	D3.2)
Сделанное в § 39 предположение, однако, подразумевает нечто
большее: малость константы связи g, приводящую к большому
значению безразмерного показателя экспоненты в C9.19). В дан-
данном случае это требование выражается условием
\n(HouD/Tc)^ 1	D3.3)
— должно быть велико не только отношение Hlud/Tc, но и его ло-
логарифм. Это условие реально выполняется значительно хуже2).
С учетом всех реальных отличий электронной жидкости в метал-
металле от модели слабо неидеального ферми-газа теория сверхпрово-
сверхпроводимости становится очень сложной. В то же время оказывается,
что уже простая теория, основанная на указанной модели, во
многих отношениях хорошо описывает свойства сверхпроводни-
сверхпроводников, причем не только качественно, но даже и количественно.
Как уже упоминалось, эта теория была построена Бардином,
Купером и Шриффером; в этой связи о модели ферми-газа
со слабым притяжением между частицами говорят как о мо-
модели БКШ.
Все сказанное выше относится к «обычным» или «низкотем-
«низкотемпературным» сверхпроводникам. В 1986 г. Беднорц и Мюллер
(G. Bednorz, К. A. Mueller) обнаружили новый класс веществ —
«высокотемпературные сверхпроводники». У этих веществ, боль-
большинство из которых представляет собой химические соединения
кислорода, меди и редкоземельных металлов, возможны высокие
температуры перехода — выше 100 К. При этом энергии Ферми
относительно невелики — порядка 1000 К. Достаточно полная
теория этого интересного явления в настоящее время, однако,
еще не построена. Не вполне ясна даже природа взаимодействия,
ответственного за сверхпроводимость.
1)Тем самым, кстати, отпадает вопрос о расходимости интеграла C9.16)
при больших импульсах (ср. примечание на с. 207).
2) Отношение Hljd/Tc меняется в пределах от примерно 10 для РЬ до 300
для А1 и Cd.

§ 44	СВЕРХПРОВОДЯЩИЙ ТОК	227
§ 44. Сверхпроводящий ток
Двум видам движения в электрически нейтральной сверхте-
сверхтекучей жидкости (жидкий гелий) отвечают в случае сверхпрово-
сверхпроводящего металла два вида электрических токов, могущих проте-
протекать в нем одновременно. Сверхпроводящий ток не переносит
тепла и не сопровождается диссипацией энергии и может иметь
место в термодинамически равновесной системе; нормальный
же ток связан с выделением джоулева тепла. Будем обозна-
обозначать плотности сверхпроводящего и нормального токов как
j5 и jn; полная плотность тока j = j5 + jn.
Ряд важных заключений о свойствах сверхпроводящего то-
тока можно сделать безотносительно к какой-либо частной модели
уже из самого факта появления новой макроскопической вели-
величины — конденсатной волновой функции S(t, r).
Как и в § 26, введем фазу Ф этой функции:
Н(*,г) = |Н|е*ф.	D4.1)
Подобно тому как в жидком гелии градиент фазы Ф определя-
определяет, согласно B6.12), скорость сверхтекучего движения v5, так
в сверхпроводнике градиент фазы определяет наблюдаемую в
этом случае величину — плотность сверхпроводящего тока. Вви-
Ввиду анизотропии металла направление j5 не совпадает, вообще
говоря, с направлением \/Ф и связь между компонентами этих
векторов задается некоторым тензором второго ранга. Во избе-
избежание непринципиальных усложнений, однако, мы ограничимся
здесь случаем кубической симметрии металлического кристалла.
Тогда тензор второго ранга сводится к скаляру, а связь между
j5 и \7Ф — к простой пропорциональности. Запишем ее в виде
js = ^n^,	D4.2)
2т
где, по определению, е = — |е| — заряд электрона, а т — его
(истинная) масса. Определенную таким образом величину ns
(функция температуры) называют плотностью числа сверхпро-
сверхпроводящих электронов] эта величина играет здесь роль, анало-
аналогичную плотности сверхтекучей компоненты в жидком гелии.
Подчеркнем, что она отнюдь не совпадает с плотностью конден-
конденсата куперовских пар — подобно тому, как в жидком гелии ps не
совпадает с плотностью конденсатных атомовг).
1) Коэффициент в D4.2) записан так, чтобы в свободном сверхтекучем
ферми-газе (модель БКШ) mns совпадало с вычисленной в § 40 величи-
величиной ps. Последняя определена таким образом, что ток js должен выражаться
в виде js = ensvs, где vs — скорость сверхтекучего движения. В свою оче-
очередь, vs связана с градиентом фазы равенством vs = Gг/2т)УФ; удвоенная
масса 2т (вместо т в B6.12)) стоит здесь в связи с тем, что конденсат
составлен из спаренных частиц.

228
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Формула D4.2) (как и формула B6.12) для жидкого гелия)
предполагает достаточную медленность изменения фазы в
пространстве. В то время, однако, как в случае бозе-жидкости
требовалась малость изменения Ф лишь на межатомных рассто-
расстояниях, здесь условие оказывается значительно более сильным.
Роль характерного размера для сверхтекучей ферми-жидкости
играет длина когерентности ?о ^ ^f/Дсь и фаза Ф должна мало
меняться именно на таком расстоянии (большом по сравнению с
межатомными)х).
Связь между j5 и Ф усложняется, если сверхпроводник нахо-
находится во внешнем магнитном поле; мы рассмотрим здесь случай
постоянного (во времени) поля. Необходимые изменения, кото-
которые надо внести в формулу D4.2), можно выяснить исходя из
требования калибровочной инвариантности теории.
Это требование состоит в том, что все наблюдаемые физи-
физические величины должны оставаться неизменными при калибро-
калибровочном преобразовании векторного потенциала магнитного поля:
А^ A + Vx(r),	D4.3)
где х(г) — произвольная функция координат. При этом ф-оие-
раторы преобразуются по закону, совпадающему с законом пре-
преобразования волновых функций:
Ф -> Ф ехр {—х, Ф+ -> Ф+ ехр (- 1—х) ,	D4.4)
Не	V he '
где е — заряд частиц, описываемых -^-оператором (см. III,
A11.9)J). Гриновские же функции G(X, X') и F(X, X1), как
и матричные элементы произведений ФФ + или ФФ', преобразу-
преобразуются согласно
G(X, X') -+ ехр {? [х(г) - х(г')]} G(X, X%
D4.5)
F(X, X') -»• ехр {| [x(r) + x(r')]} F(X, X').
При этом
S = iF(X, X) ^ ехр (^х) 2,
V пс /
г) Подчеркнем, что здесь фигурирует именно постоянный (не зависящий
от температуры) параметр длины ?о; строгое обоснование этого критерия
будет дано в дальнейшем (см. конец § 51).
2) Благодаря тому, что во вторично-квантованный гамильтониан G.7)
^-операторы входят парами Ф(-Х") и Ф+(Х), он преобразуется при замене
D4.3), D4.4) так же, как и обычный гамильтониан при таком же преобразо-
преобразовании обычных (не операторных) волновых функций. Преобразование вида
D4.3), D4.4) было фактически использовано уже в § 19.

§ 44	СВЕРХПРОВОДЯЩИЙ ТОК	229
т. е. фаза конденсатной волновой функции
Ф^Ф + ^х(г).	D4.6)
ПС
Соотношение D4.2) не инвариантно по отношению к такому
преобразованию фазы. Для достижения требуемой инвариантно-
инвариантности оно должно быть дополнено членом, содержащим векторный
потенциал магнитного поля:
(^)	D4.7)
В удвоении заряда (во втором члене в скобках) проявляется спа-
спаривание электронов в сверхпроводнике.
Уже это выражение достаточно для того, чтобы объяснить
основное макроскопическое свойство сверхпроводника — вытес-
вытеснение из него магнитного поля (эффект Мейсснера)х).
Рассмотрим однородный сверхпроводник, находящийся в сла-
слабом магнитном поле, — величина поля предполагается малой
по сравнению с критическим полем Нс, разрушающим сверх-
сверхпроводимость. Этим условием исключается существенное вли-
влияние магнитного поля на величину ns. Пусть тело находится в
термодинамически равновесном состоянии, так что нормальный
ток отсутствует и поэтому j5 = j2). Применив теперь к обеим
частям равенства D4.7) операцию rot и заметив при этом, что
rot A = В — магнитная индукция в теле, получим уравнение
Лондонов	2
rot j = -i^B	D4.8)
тс
(F. London, H. London, 1935K).
Это уравнение специфично для сверхпроводника. Используем
также и общие уравнения Максвелла
rotB = — j,	D4.9)
с
divB = 0.	D4.10)
Подставив j из D4.9) в D4.8) и заметив, что в силу D4.10)
rot rot В = — АВ, получим уравнение для магнитного поля в
сверхпроводнике
АВ = (Г2В,	D4.11)
1)	Феноменологическая электродинамика сверхпроводников изложена в
другом томе этого курса — см. VIII, гл. VI.
2)	Это будет предполагаться и везде ниже в этой главе, так что под j будет
подразумеваться плотность сверхпроводящего тока.
3)	Изложенный вывод уравнения D4.8) принадлежит Л. Д. Ландау A941).

230
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
где введено обозначение
S2 = тс2 /Dтге2п5).	D4.12)
Найдем с помощью этого уравнения распределение поля в
сверхпроводнике вблизи его поверхности, которую будем считать
плоской; эту плоскость выбираем в качестве плоскости уz, а ось х
направим внутрь тела. В этих условиях распределение поля зави-
зависит только от одной координаты ж, и из D4.10) имеем dBx/dx=Q\
из D4.11) автоматически следует тогда, что и Вх=0. Уравнение
D4.11) принимает теперь вид d2~B/dx2 = В/52, откуда
В(х) = Ье-Х'\	D4.13)
где вектор $) параллелен поверхности.
Мы видим, что магнитное поле экспоненциально затухает в
глубь сверхпроводника, проникая в него лишь на расстоянии ~ 5.
Эта длина макроскопична, но мала по сравнению с обычными
размерами массивных образцов E ~ 10~6 — 10~5 см), так что по-
поле проникает фактически лишь в тонкий поверхностный слой.
Длину S называют лондоновской глубиной проникновения поля.
Подчеркнем, что она является непосредственно измеримой ве-
величиной, имеющей вполне определенный смысл, — в отличие от
условного смысла параметра ns.
Произведенный вывод нуждается, однако, в существенной
оговорке. Исходная формула D4.7) применима лишь при условии
достаточной медленности изменения всех величин в простран-
пространстве: характерные расстояния, на которых происходит существен-
существенное их изменение, должны быть велики по сравнению с длиной
когерентности ^о1)- В данном случае это значит, что должно
бЫТЬ	6 > &•	D4.14)
Это требование, разумеется, не бросает тени на само дока-
доказательство факта вытеснения поля из сверхпроводника: пред-
предположение о невытеснении поля привело бы к логическому
противоречию, так как его изменение в таком случае было бы
заведомо медленным и уравнение D4.11) было бы применимо.
Но конкретное уравнение D4.11) и следующий из него закон
затухания поля D4.13) справедливы только при соблюдении
условия D4.14).
1) Напомним, что сама индукция В есть истинная микроскопическая на-
напряженность магнитного поля, усредненная по физически бесконечно ма-
малым элементам объема, размеры которых велики лишь по сравнению с по-
постоянной решетки.

§ 44	СВЕРХПРОВОДЯЩИЙ ТОК	231
Ситуацию, когда в сверхпроводнике выполняется неравен-
неравенство S ^> ?сь называют лондоновской. В обратной же ситуации,
когда 5 <^i ?о, говорят о пиппардовском случае (закон затухания
поля в глубь сверхпроводника в этом случае будет рассмотрен в
§52). При Т^ТС плотность сверхпроводящих электронов п5—)>(),
так что 5—>> ос. Поэтому в достаточной близости к точке перехода
ситуация всегда лондоновская. Но при Т—>> 0 соотношение между
5 и ?о зависит от конкретных свойств металла1).
Наконец, рассмотрим еще одно следствие выражения D4.7),
не зависящее от соотношения между 6 и ?о-
Как известно из макроскопической электродинамики сверх-
сверхпроводников, если через отверстие сверхпроводящего тора про-
проходит магнитный поток, то этот поток остается постоянным при
любых изменениях состояния тела (не нарушающих его сверх-
сверхпроводимости); при этом предполагается, что тор массивен —
его диаметр и толщина велики по сравнению с длиной когерент-
когерентности и глубиной проникновения поля. Покажем, что величина
«вмерзшего» в отверстие тора магнитного потока может быть
лишь целым кратным некоторого элементарного «кванта пото-
потока» (F. London, 1954).
В толщине тела (вне области проникновения поля) плотность
тока j = 0; векторный же потенциал отличен от нуля — равен ну-
нулю лишь его ротор, т. е. магнитная индукция В. Выберем какой-
либо замкнутый контур С, охватывающий собой отверстие тора
и проходящий внутри тела вдали от его поверхности; таким
выбором обеспечивается соблюдение условия применимости
формулы D4.7) — достаточная медленность изменения фазы Ф
и потенциала А в пространстве. Циркуляция вектора А вдоль
контура С совпадает с потоком магнитной индукции через на-
натянутую на контур поверхность, т. е. потоком ф через отверстие
тора:
(f)Adl= frotA-df = [
С другой стороны, приравняв выражение D4.7) нулю и проин-
проинтегрировав его по контуру, получим
Adi = — (f) УФ • d\ = -5Ф,
2е /	2е
где 5Ф — изменение фазы волновой функции при обходе конту-
контура. Но из требования однозначности этой функции следует, что
1) Лондоновский случай во всей области температур имеет место, напри-
например, в чистых металлах переходных групп периодической системы, в некото-
некоторых интерметаллических соединениях. Пиппардовский случай имеет место
(вдали от Тс) в чистых металлах непереходных групп.

232
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
изменение фазы может быть лишь целым кратным от 2тг. Таким
образом, мы приходим к результату
ф = пф0, фо = — = 2- 10Гс • см2,	D4.15)
N
где п — целое число. Величина фо представляет собой элементар-
элементарный квант магнитного потока.
Квантование магнитного потока имеет также и другой ас-
аспект: оно приводит к дискретности значений полного тока J,
который может протекать (в отсутствие внешнего магнитного
поля) по сверхпроводящему кольцу. Действительно, ток J созда-
создает магнитный поток через отверстие кольца, равный LJ/c, где
L — коэффициент самоиндукции. Приравняв этот поток пфо, на-
находим, что ток может иметь значения
,	*г 2
JC0n TVhC	( л л л г*\
= —п =	п.	D4.16)
L	\e\L
В противоположность кванту магнитного потока, «квант пол-
полного тока» зависит (вместе с самоиндукцией L) от формы и
размеров кольца.
Задача
Определить магнитный момент сверхпроводящего шарика радиуса R^d,
находящегося в магнитном поле, в лондоновском случае.
Решение. При R<^5 можно считать магнитное поле внутри шарика по-
постоянным и равным внешнему полю 9}. Если выбрать векторный потенциал
в виде А = 1/2[$эг], то можно положить просто
j = —(nse2/mc)A
(т. е. положить в D4.7) Ф = 0); граничное условие исчезновения нормаль-
нормальной составляющей тока (nj = 0) на поверхности шарика выполняется тогда
автоматически. Магнитный момент вычисляется как интеграл
М= —
по объему шарика и равен
М = -
§ 45. Уравнения Гинзбурга-Ландау
Полная теория, описывающая поведение сверхпроводника в
магнитном поле, очень сложна. Ситуация, однако, существенно
упрощается в области температур вблизи точки перехода. Здесь

§ 45	УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ	233
оказывается возможным построить систему относительно про-
простых уравнений, причем применимых не только в слабых, но и в
сильных полях1!
В общей теории Ландау фазовых переходов второго рода от-
отличие «несимметричной» фазы от «симметричной» описыва-
описывается параметром порядка, обращающимся в точке перехода в
нуль (см. V, § 142). Для сверхпроводящей фазы естественным та-
таким параметром является конденсатная волновая функция S.
Во избежание излишних (с принципиальной точки зрения) услож-
усложнений будем считать симметрию металлического кристалла
кубической; как было указано в § 44, в этом случае сверхпроводя-
сверхпроводящее состояние характеризуется скалярной величиной ns — плот-
плотностью сверхпроводящих электронов. Более удобным выбором
параметра порядка в этом случае является величина (обозначим
ее через ф), пропорциональная S, но нормированная условием
\ф\2 = ns/2. Фаза величины ф совпадает с фазой функции S:
Плотность сверхпроводящего тока D4.2), выраженная через ф,
записывается в виде
(
\ф\^Ф	(фЩфЩ).	D5.2)
т	2т
Отправным пунктом теории является выражение для свобод-
свободной энергии сверхпроводника как функционала от функции ^(г).
В соответствии с общими положениями теории Ландау, оно по-
получается разложением плотности свободной энергии по степеням
малого (вблизи точки перехода) параметра порядка ф и его про-
производных по координатам. Сначала рассмотрим сверхпроводник
в отсутствие магнитного поля.
В соответствии со своим смыслом как величины, пропорцио-
пропорциональной гриновской функции F(X, X) = —iS(X), параметр по-
порядка ф неоднозначен: поскольку функция F(X, X) составлена
из двух операторов Ф, то произвольное изменение фазы этих
операторов, Ф —>• Фе*а'2, приводит к изменению фазы функции
F на а. Физические величины не должны, конечно, зависеть от
этого произвола, т. е. должны быть инвариантны по отношению
к преобразованию комплексного параметра порядка: ф —»> фега.
Этим требованием исключаются члены нечетных степеней по ф
в разложении свободной энергии.
1) Излагаемая ниже теория принадлежит В. Л. Гинзбургу и Л. Д. Ландау
A950). Замечательно, что она была построена феноменологическим путем,
еще до создания микроскопической теории сверхпроводимости.

234
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Конкретный вид этого разложения устанавливается на осно-
основе тех же соображений, что и в общей теории фазовых переходов
второго рода (см. V, §146). Не повторяя этих рассуждений, на-
напишем следующее разложение полной свободной энергии сверх-
сверхпроводящего тела1):
F = Fn + Ij^- |V</f + а\ф\2 + ^Н4} dV.	D5.3)
Здесь Fn — свободная энергия в нормальном состоянии (т. е. при
ф = 0); Ъ — зависящий лишь от плотности вещества (но не от
температуры) положительный коэффициент; величина а зависит
от температуры по закону
а=(Т- Тс)а,	D5.4)
обращаясь в нуль в точке перехода; коэффициент а > 0 в со-
соответствии с тем, что сверхпроводящей фазе отвечает область
Г < Гс; коэффициент при JV^2 в D5.3) выбран так, чтобы для
тока получалось выражение D5.2) (см.нижеJ). Тот факт, что
в D5.3) фигурируют лишь первые производные от ф, связан с
предположением о достаточной медленности изменения ф в про-
пространстве.
В однородном сверхпроводнике, в отсутствие внешнего поля,
параметр ф не зависит от координат. Тогда выражение D5.3)
сводится к
2 ^4	D5.5)
Равновесное значение \ф\2 (при Г < Тс) определяется условием
минимальности этого выражения:
щ	(Тст)
О О
плотность сверхпроводящих электронов в зависимости от темпе-
температуры обращается в точке перехода в нуль по линейному закону.
Подставив значение D5.6) обратно в D5.5), найдем разность
свободных энергий сверхпроводящего и нормального состояний:
Fs-Fn = -V^(TC-TJ.	D5.7)
1)	Напомним лишь, что написанный вид градиентного члена связан с
предположенной кубической симметрией кристалла. При более низкой сим-
симметрии он имел бы вид более общей квадратичной формы из производ-
производных дф/dxi.
2)	Этот выбор (в том числе отождествление m с истинной массой элек-
электрона) не имеет, конечно, глубокого смысла и условен в той же мере, как и
определение ns в D4.2).

§ 45	УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ	235
Дифференцированием по температуре отсюда можно найти раз-
разность энтропии, а затем и скачок теплоемкости в точке пере-
1)
хода1)
D5.8)
Вблизи точки перехода разность D5.7) представляет собой
малую добавку в свободной энергии. Согласно теореме о малых
добавках (V, § 15), эта же величина (выраженная в функции тем-
температуры и давления вместо температуры и объема) дает раз-
разность термодинамических потенциалов Ф5 — Фп. С другой сторо-
стороны, согласно общей формуле термодинамики сверхпроводников
(см. VIII, E5.7)), эта разность совпадает с величиной —VH^/8tt,
где Нс — критическое поле, разрушающее сверхпроводимость.
Таким образом, находим для последнего следующий закон тем-
температурной зависимости вблизи точки перехода2):
При наличии магнитного поля выражение D5.3) для свобод-
свободной энергии должно быть изменено в двух отношениях. Во-пер-
Во-первых, к подынтегральному выражению надо добавить плотность
энергии магнитного поля В2/8тг (где В = rot A — магнитная
индукция в теле). Во-вторых, надо изменить градиентный член
таким образом, чтобы удовлетворить требованию калибровочной
инвариантности. В предыдущем параграфе было показано, что
1) Сравнив формулы D5.6) и D5.8) для \ф\2 = ps/2m и для скачка тепло-
теплоемкости с формулами D0.16) и D0.11) для тех же величин в модели БКШ,
можно найти значения коэффициентов а и Ъ в этой модели (Л. П. Горькое,
1959):
а = 6тг2Тс/7СC)// = 7,04 • Тс/ц, Ь = аТс/щ
использована связь плотности числа частиц п = р/тп и химического потен-
потенциала fi (при Т = 0) с предельным импульсом как для идеального газа:
п = р%/Зп2Н3, ц = p2F/2m.
2)В модели БКШ:
Нс = 2,U(mpF/H3I/2 (Тс - Т) при Т ^ Тс.
Приведем также значение Нс в этой же модели при Т = 0:
Hc = 0,99Tc(mpF/H3I/2
(оно получается приравниванием —VH2/Stt разности энергии D0.9)).

236
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
это условие приводит к необходимости замены градиента фазы
конденсатной волновой функции \7Ф разностью \7Ф — 2еА/Нс.
В данном случае это значит, что надо заменить:
V^ = е1ФУ\ф\ +гфУФ^Уф- —Аф.
Таким образом, мы приходим к следующему основному выраже-
выражению:
F = Fn0+ |j|! + ?-|(v-^.
D5.10)
(FnQ — свободная энергия тела в нормальном состоянии в отсут-
отсутствие магнитного поля). Подчеркнем, что коэффициент 2ie/Hc в
этом выражении имеет безусловный характер (в отличие от от-
отмеченной выше условности выбора коэффициента Н2 /4га). Удво-
Удвоение заряда электрона в нем есть следствие эффекта Купера
(Л. П. Горькое, 1959); этот коэффициент не мог бы быть, ко-
конечно, установлен чисто феноменологическим путем.
Дифференциальные уравнения, определяющие распределе-
распределение волновой функции ф и магнитного поля в сверхпроводнике,
находятся теперь минимизацией свободной энергии как функци-
функционала от трех независимых функций: ф, ф* и А.
Комплексная величина ф есть совокупность двух веществен-
вещественных величин; поэтому фиф* надо рассматривать при варьи-
варьировании как независимые функции. Варьируя интеграл по ф* и
преобразовав интеграл от члена (Х7ф — 2ieA/Hc) Х78ф* интегри-
интегрированием по частям, получим
_ А_ (у - —А) ф + аф + Ъ Щ2ф \ 6ф* dV+
4т \	he /	J
5ф*(М; D5.11)
+ ()(чф
4m J V	Не
второй интеграл берется по поверхности тела. Положив SF = 0,
получим, в качестве условия равенства нулю объемного интегра-
интеграла при произвольном 5ф*, следующее уравнение:
— i-ihV - —АJф + аф + Ъ \ф\2ф = 0	D5.12)
(варьирование же интеграла по ф приводит к комплексно-со-
комплексно-сопряженному уравнению, т. е. не дает ничего нового).
Аналогичным образом, варьирование интеграла по А приво-
приводит к уравнению Максвелла
rotB = —j,	D5.13)
с

§ 45	УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ	237
причем плотность тока дается выражением
!^	2А,	D5.14)
j	(/V/VV/)	Щ,
1т	тс
совпадающим с D4.7) (мы пишем j вместо j5, так как в термоди-
термодинамическом равновесии нормальный ток отсутствует). Отметим,
что из D5.13) следует уравнение непрерывности divj = 0; это
уравнение можно получить также и прямым дифференцирова-
дифференцированием выражения D5.14) с учетом уравнения D5.12).
Уравнения D5.12) - D5.14) составляют полную систему урав-
уравнений Гинзбурга-Ландау.
Граничные условия к этим уравнениям получаются из усло-
условия равенства нулю интегралов по поверхности в вариации 6F.
Из D5.11), таким образом, получается граничное условие
n (-inS/ф - —А^) = 0,	D5.15)
где п — вектор нормали к поверхности тела. Отметим, что в
силу этого условия обращается в нуль, как и следовало, также и
нормальная компонента тока D5.14): nj = О1).
Что касается граничных условий для поля, то из уравнения
D5.13) с учетом конечности j во всем пространстве (вплоть до
поверхности тела) следует непрерывность тангенциальной ком-
компоненты индукции В^. Из уравнения же
divB = 0
следует непрерывность нормальной составляющей индукции Вп.
Другими словами, граничные условия требуют непрерывности
всего вектора В.
1)При граничном условии D5.15) само ф не обращается в нуль, как это,
казалось бы, должно было быть для волновой функции на границе тела. Это
обстоятельство связано с тем, что в действительности ф убывает до нуля
лишь на расстояниях порядка атомных от поверхности; между тем такие
расстояния в теории Гинзбурга-Ландау рассматриваются как пренебрежимо
малые. (Подробнее см. в книге Де Ж^ен П. Сверхпроводимость металлов и
сплавов. — М.: Мир, 1968, с. 230-232.)
Условие D5.15) выведено здесь по существу для границы сверхпроводни-
сверхпроводника с вакуумом. Оно остается в силе и для границы с диэлектриком, но для
границы раздела между различными металлами (из которых один сверхпро-
водящ, а другой нормален) оно непригодно — в нем не учитывается эффект
частичного проникновения сверхпроводящих электронов в нормальный ме-
металл. В этом случае D5.15) заменяется условием более общего вида, совме-
совместимого с требованием nj = 0:
п {-гП\/ф - — Аф) = ^,	D5.15а)
V	с / X
где Л — вещественная постоянная (размерности длины); оценка этой посто-
постоянной требует, однако, более детального микроскопического исследования.

238
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
В слабом магнитном поле можно пренебречь его влиянием
на \ф\2 и считать \ф\2 равным постоянному вдоль тела значению
D5.6). Тогда подстановка D5.14) в D5.13) (и последующее при-
применение операции rot к обоим сторонам уравнения) приводит к
уравнению Лондонов D4.11) с глубиной проникновения
Г 2- П 1/2 г	а- п1/2
S=\mcb \ =\	^	 .	D5.16)
L87re2|a|J	[8пе2а(ТТ)\	V	J
Наряду с этим размером уравнения Гинзбурга-Ландау со-
содержат еще одну характерную длину: корреляционный радиус
флуктуации параметра порядка ф (в отсутствие поля); обозна-
обозначим его через ?(Т). По известным формулам теории флуктуа-
флуктуации (см. V, § 146), этот радиус выражается через коэффициенты
в свободной энергии D5.3) согласно
^> V /	о/	1\1 /9	О/ М /9 (гтл гтл\Л /9	V " /
2(т | a |)V2 2(шаI/2 (тс -
Характерными длинами D5.16), D5.17) определяется поря-
порядок величины расстояний, на которых существенно меняется па-
параметр порядка ф и магнитное поле, описываемые уравнениями
Гинзбурга-Ландау. При этом длина S характерна, вообще гово-
говоря, для магнитного поля, а длина ?(Т) — для распределения ф.
Обе эти длины должны быть велики по сравнению с «размера-
«размерами пары» ?о Для того, чтобы выполнялось предположение о до-
достаточной медленности изменения всех величин в пространстве.
Поскольку обе длины возрастают при приближении к точке пе-
перехода (по закону (Тс—Г)/2), то вблизи нее это условие, вообще
говоря, выполняется (см. ниже).
Важное значение в излагаемой теории играет параметр
Гинзбурга-Ландау, определяемый как постоянное (не зависящее
от температуры) отношение двух указанных длин:
mcb1/2	(лг 1Оч
По порядку величины х, ~ #о/?о> гДе ?о ~~ длина когерентности
C9.21), a So — лондоновская глубина проникновения при абсо-
абсолютном нуле. Укажем также формулу
к = 2>/2 ^НС(ТM2(Т),	D5.19)
Не
получающуюся с помощью D5.9) и D5.16) и выражающую ус
непосредственно через наблюдаемые величины.
Установив вид уравнений, обсудим теперь вопрос об области
их применимости.

§ 45	УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ	239
Со стороны низких температур эта область во всяком слу-
случае ограничена условием Тс — Т <С Тс, позволяющим считать
параметр порядка малым и тем самым лежащим в основе всего
произведенного разложения свободной энергии. Этим же усло-
условием обеспечивается соблюдение неравенства ?(Т) ^> ?сь но Для
соблюдения неравенства 6 (Г) ^ ?о условие оказывается более
жестким в случае сверхпроводников с малыми значениями па-
параметра х1); в этих случаях из неравенства S ^> ?о следует
условие	_
Тс - Т < к2Тс.	D5.20)
Со стороны же Г —> Тс применимость уравнений ограниче-
ограничена лишь общим условием применимости теории фазовых пере-
переходов Ландау, связанным с возрастанием флуктуации парамет-
параметра порядка. В данном случае, однако, это условие оказывается
чрезвычайно слабым. Действительно, оно выражается через ко-
коэффициенты разложения D5.3) неравенством
Тс - Т > ,Ь!Гс2,„
(см. V, A46.15)). Оценив, например, выражение в правой стороне
с помощью значений Ъ и а в модели БКШ, получим
(Гс - Г)/Тс » СВД4.	D5.21)
Ввиду крайней малости отношения Тс/ц ~ 10~3 — 10~4 мож-
можно считать, что это условие выполняется практически вплоть до
самой точки перехода. Флуктуационная же область для перехо-
перехода второго рода между сверхпроводящей и нормальной фазами
практически отсутствует.
Задача
Для плоской пленки с толщиной d ^> ?, 8 найти критическое значение
магнитного поля (параллельного плоскости пленки), разрушающего сверх-
сверхпроводимость {В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1950) 2).
Решение. Выберем серединную плоскость пленки в качестве плоскости
xz с осью х вдоль направления поля. В уравнении D5.13) для поля В = Вх(у)
(меняющегося по оси у поперек пленки) можно считать ф = const. Тогда
первый член в выражении тока D5.14) исчезает и применение операции rot
к D5.13) приводит к уравнению В" = 62В/д2, где О = ф/фо, фо = Н/Ь.
х) Приведем для примера значения к для некоторых чистых металлов:
А1 - 0,01, Sn - 0,13, Hg - 0,16, Pb - 0,23.
) Аналогичную задачу для маленького шарика см. в § 47.

240	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Симметричное по у решение этого уравнения
ch (dO/26)	[	2S<2
i — внешнее поле). Этому полю отвечает распределение тока
. .	с , св2Ь
J=JZ = - — B « —
4тг
В уравнении же D5.12) зависимостью ф от у полностью пренебречь нельзя:
малая производная д2ф/ду2 фактически умножается здесь на Н2/т\а\ ~ ?2
и тем самым приобретает большой (в силу условия d <С ?) множитель (?/с?J;
в то же время в этом уравнении можно пренебречь потенциалом А = Az (у),
приводящим здесь к членам более высокого порядка малости по d/^. Чтобы
избавиться от необходимости рассмотрения зависимости ф от у, усредним
уравнение D5.12) по толщине пленки; производные по у при этом выпадут в
силу граничного условия дф/ду = 0 на поверхности пленки. Заметив также,
что
д2ф ( mj
е|Й|#
в силу зависимости фазы функции ф от z (и связи ее градиента с током)
найдем, после сокращения на ф:
где
d/2
^ 1 f ,2 ,	C2d4%2
3 =d J J dv=m^-
-d/2
Использовав также выражения D5.9) и D5.16), придем к уравнению
1
24 \HC8
определяющему значение ф для пленки в магнитном поле. Критическое зна-
значение поля для пленки Не есть то, при каком ф обращается в нуль. Оно
связано с критическим полем Нс массивного сверхпроводника равенством
Я^пл) =л/24Яс-.
d
В рассмотренных условиях разрушение сверхпроводимости полем про-
происходит путем фазового перехода второго рода: ф обращается в нуль при
увеличении fj непрерывным образом. Это вполне естественно, поскольку при
d ^ д поле фактически проникает в сверхпроводящую пленку, так что нет
причин для перехода первого рода, который как раз и состоял бы во внезап-
внезапном проникновении поля в тело.

§ 46	ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ НА ГРАНИЦЕ ФАЗ	241
§ 46. Поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей
и нормальной фаз
Уравнения Гинзбурга-Ландау позволяют, в частности вычис-
вычислить поверхностное натяжение на границе сверхпроводящей (s)
и нормальной (п) фаз (в одном и том же образце), связав его
с величинами, характеризующими объемные свойства вещества
(В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, 1950). Напомним, что такие гра-
границы существуют в металлических образцах, находящихся в так
называемом промежуточном состоянии в магнитном поле. По-
Поскольку все отличие обоих фаз сводится к тому, что в одной из
них ф ф 0, а в другой ф = 0, то переход между ними совер-
совершается непрерывно в некотором слое и описывается уравнения-
уравнениями Гинзбурга-Ландау с граничными условиями, поставленными
лишь на больших расстояниях по обе стороны этого слоя.
Рассмотрим плоскую границу раздела между п- и s-фазами
металла. Выбрав эту границу в качестве плоскости уz, направим
ось х в глубь 5-фазы; распределение всех величин в обоих фа-
фазах зависит только от координаты х. Векторный потенциал поля,
выбор которого оставался еще неоднозначным, подчиним калиб-
калибровке, в которой divA = 0; в данном случае это дает dAx/dx = 0,
откуда видно, что можно положить Ах = 0. Из соображений сим-
симметрии очевидно, что вектор А лежит везде в одной плоскости;
пусть это будет плоскость ху, так что Ау = А, тогда вектор ин-
индукции лежит в плоскости xz, причем
B = BZ = А'	D6.1)
(штрих означает дифференцирование по х).
Далее, перепишем уравнение D5.13) в обычном в макроско-
макроскопической электродинамике виде rotH = 0, введя напряженность
поля Н согласног)
Н = В-4тгМ, crotM=j.
Из этого уравнения следует в данном случае, что Н = const. Вда-
Вдали от границы раздела, в толще нормальной фазы индукция и
напряженность совпадают, причем равны как раз критическому
значению: В = Н = Нс (магнитной восприимчивостью нормаль-
нормальной фазы пренебрегаем). Поэтому и во всем пространстве будет
Н = Hz = Нс.
1) Напомним, во избежание недоразумений, что замечание в VIII, § 53 о
нецелесообразности введения величины Н относилось к электродинамике
сверхпроводников, в которой область проникновения магнитного поля рас-
рассматривалась как бесконечно тонкая. Уравнения же Гинзбурга-Ландау при-
применяются именно к структуре этой области.

242
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Пренебрегая изменением плотности вещества при сверхпро-
сверхпроводящем фазовом переходе, будем считать ее (наряду с темпера-
температурой) постоянной вдоль всего тела1). Обозначим через / сво-
свободную энергию единицы объема (в отличие от свободной энер-
энергии F тела в целом). При постоянных температуре и плотности и
при пренебрежении поверхностными эффектами дифференциал
df = —dB	D6.2)
4тг
(см. VIII, §31). Отсюда видно, что дополнительное требование
постоянства В привело бы в этих условиях также и к постоянству
величины	_	-стр.
/ = /-™	D6.3)
4тг
Поэтому весь вклад в интеграл F = ffdV, происходящий от
переменной части F', обусловлен только наличием границы раз-
раздела. Отнеся этот вклад к единице площади границы, мы можем,
следовательно, вычислить коэффициент поверхностного натяже-
натяжения как интеграл
ans= I (f-fn)dx,	D6.4)
где постоянная fn есть значение / вдали от границы раздела,
например, в глубине нормальной фазы.
Для нормальной фазы свободная энергия
fn = /по + В2/8тг = /п0 + Яс2/8тг,
так что
~ тг2 тт2	2
? 	 ?	Лс 	 п	Пс 	 п	а
Jn — Jn — — — JnO — т— — JnO — ~
4тг	8тг	26
(в последнем равенстве учтено D5.9)). Величина же / в произ-
произвольной точке выражается через плотность свободной энергии /
согласно
7 _ п _ НСВ
1) Строго говоря, при фазовом равновесии постоянен вдоль системы хи-
химический потенциал (а не плотность). С учетом изменения плотности надо
было бы поэтому рассматривать не свободную энергию, а термодинамиче-
термодинамический потенциал Q.

§ 46	ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ НА ГРАНИЦЕ ФАЗ	243
Воспользовавшись теперь выражением D5.10), приходим к сле-
следующей формуле для поверхностного натяжения:
= 7 1»+?(#? + ?
J [Stt 4m V	й с
^ а^ dx. D6.5)
Как и следовало, подынтегральное выражение обращается в нуль
как в глубине нормальной фазы (ж—)- — ос), где ф = 0, В = Нс так
и в глубине сверхпроводящей фазы (х —»> ос), где
|^|2 = _а/ь? Б = 0.
Обратим внимание на то, что в подынтегральном выражении
в D6.5) выпал член iAS/ф в результате равенства Ах = 0. Такой
же член выпадает из D5.12), так что остается уравнение с веще-
вещественными коэффициентами; поэтому решение этого уравнения
может быть выбрано вещественным, что и предполагается ниже.
При этом в выражении плотности тока D5.14) исчезает первый
член и остается	2
j = -— ф2А.	D6.6)
тс
Кроме того, введем вместо переменной х и функций А(х),
ф(х) безразмерные величины
		X	Т	I I О	~\	J\.	7~>	(JiJ\.	D	( л г* i^\
х=-, ф = ф, —, А—	, В= — = —.	D6.7)
о	у \а	Нсо	dx Hc
Ниж:е в этом параграфе мы будем пользоваться только этими ве-
величинами, опуская для краткости черточки над буквами. Урав-
Уравнение D5.12) в этих переменных принимает вид
< = х2 [(^ - l) </> + И .	D6.8)
Уравнение же D5.13) с j из D6.6) приводится к виду
А" = Аф2.	D6.9)
Граничные условия к этим уравнениям в рассматриваемой
задаче (отвечающие п- и s-фазам при х —»> —ос и х —»> —ос):
ф = 0, В = А' = 1 при х = —ос,
,	D6.10)
Ф = 1, А = 0	при х = ос.

244
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Легко проверить, что уравнения D6.8), D6.9) имеют первый
интеграл
2x~V2 + B - А2)ф2 -ф4 + Af2 = const = 1;	D6.11)
значение постоянной определено по граничным условиямх).
Наконец, выражение D6.5) принимает вид
dx=
= 1? / [J^'2+А'{А> -1}]dx D6Л2)
(при переходе ко второму равенству член фА выражен из D6.11)).
Приступим к исследованию написанных уравнений. Рассмот-
Рассмотрим сначала случай к <С 1 (обычно выполняющийся в сверхпро-
сверхпроводящих чистых металлах). Это
неравенство означает, что 6 (Г) <С
		<С ?(Т), т. е. магнитное поле су-
У^ ф=1 щественно меняется на расстоянии,
/ф(х)	малом по сравнению с характер-
характерным расстоянием изменения функ-
	 ции ф(х).
*г*»и	На рис. 6 схематически изобра-
^		ж:ена картина распределения поля и
р рр
/	ф в этом случае. В области, где по-
р g	ле велико, имеем -0 ~ 0, затем по-
поле резко спадает, а функция ф(х)
начинает медленно (на расстояниях
х ~ 1/^) меняться в отсутствие поля. Положив в D6.11) А = О,
находим уравнение
которое должно быть решено при условии ф = 0 в точке х = О,
выбранной где-то внутри области спадания поля. Такое решение
есть
V	D6.13)
) Из условия D6.10) автоматически следует, что при х —>¦ zboo также и
ф' = 0, а из этих же условий и уравнения D6.9) следует, что при х —»> оо
А" = 0 и А = 0 (определенное значение А(оо) оказывается результатом
выбора вещественной ф).

§ 46	ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ НА ГРАНИЦЕ ФАЗ	245
а вычисление интеграла D6.12) с этой функцией (и А = 0) дает
Hid Hi 1,9E	(Аа 1у1ч
а™ = —?— = -^ — -	D6.14)
Погрешность этого значения происходит от пренебрежения
здесь вкладом в интеграл от области, в которой спадает поле.
Для оценки ширины Si этой области1) замечаем, с одной сторо-
стороны, что, согласно уравнению D6.9), 6^ ~ ф2. С другой стороны,
формула D6.13) должна оставаться, по порядку величины, спра-
справедливой и на границе области х ~ <$i, откуда ф ~ н5\. Из этих
двух соотношений находим 5\ ~ х/2. Вклад же в поверхност-
поверхностное натяжение от этой области оказывается ~ Н25н~1'2, т. е.
мал по сравнению с D6.14) всего в отношении ~ х1/2 (так что
точность D6.14) сравнительно невелика).
При увеличении параметра х коэффициент поверхностного
натяжения проходит через нуль и становится отрицательным.
Это видно уже из того, что неравенство ans < 0 во всяком слу-
случае осуществляется при достаточно больших значениях х. Дей-
Действительно, характерные расстояния изменения функции ф{х) в
этой задаче не могут быть меньшими, чем для изменения А (ж),
так как уже само по себе изменение А приводит к изменению
ф\ поэтому при большом к членом ф' /х2 под знаком интегра-
интеграла в D6.12) можно пренебречь, а поскольку 0 < А' < 1 (т. е.
0 < В < Нс в обычных единицах), то подынтегральное выраже-
выражение оказывается отрицательным. Покажем, что обращение ans в
нуль происходит при значении
х= 1/V2.	D6.15)
Для этого перепишем выражение для ans в виде
апв = Щ1 [ [(А' - IJ - ф4} dx	D6.16)
—оо
(оно получается из первого интеграла D6.12) интегрированием
члена ф' по частям с последующей подстановкой ф" из D6.8)).
Интеграл заведомо обратится в нуль, если будет тождественно
равно нулю подынтегральное выражение, т. е. если будет
А' -1 = -ф2	D6.17)
1) Подчеркнем, что она не совпадает с глубиной проникновения поля в
сверхпроводник из пустоты! В последнем случае в области проникновения
поля ф rsj 15 между тем как при проникновении из n-фазы поле спадает в
области с малыми ф.

246
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
(обратный знак в этом равенстве невозможен, так как поле
В = А' должно убывать с увеличением х). Исключив ф из D6.17)
и D6.9), найдем уравнение
А" = АA-Аг),	D6.18)
решение которого (при граничных условиях А' = 1 при х = — ос
и А = 0 при х = ос) определит распределение поля; в силу D6.17)
граничные условия D6.10) для ф после этого выполнятся авто-
автоматически. Не решая уравнения D6.18) фактически, достаточно
убедиться, что при к2 = 1/2 будет автоматически удовлетворено
также и неиспользованное еще уравнение D6.8), или, что то же,
его первый интеграл D6.11). Подставив D6.17) в D6.9), получим
ф' = —Аф/2] это значение ф' вместе с А' из D6.17) действительно
тождественно удовлетворяет равенству D6.11) с х2 = 1/2.
Задача
Для сверхпроводника с параметром х < 1 найти первую поправку по
полю к глубине проникновения в слабых полях.
Решение. Выберем поверхность сверхпроводника в качестве плоско-
плоскости yz с осью z в направлении внешнего поля fj, ось х направим внутрь
тела. Распределение поля и^в сверхпроводнике определяется уравнениями
D6.8), D6.9), которые надо решать с граничными условиями
ф' = 0, В = А' = ? при х = 0,
ф' = 1, А = 0	при х = оо
(первое из них есть условие D5.15)). Ищем решение в виде
ф = 1 + фг(х), А = -Ье~х + Ai(a;),
где ipi, Ai — малые поправки к решению при к = 0, отвечающему затуханию
поля по лондоновскому закону D4.13). Для поправки ф\ имеем уравнение
откуда с учетом граничных условий
xVe* - -Цх$}2е-^.	A)
8	4\/ 2
Теперь для А\ пишем уравнение
причем для ф\ сюда надо подставить только второй член из A) первого по-
порядка по к. С учетом граничного условия (А[ = 0 при х = 0) и пренебрегая,
где возможно, высшими по к членами в коэффициентах, находим
ir].	B)

§ 47	ДВА РОДА СВЕРХПРОВОДНИКОВ	247
Тем самым найдены поправки к закону затухания поля в глубь сверхпро-
сверхпроводника. Эффективную глубину проникновения д введем, согласно опреде-
определению,
оо
Я *эфф = J B{x) dx = -А@) = Ъ-А1@).
О
Возвращаясь к обычным единицам, находим из B)
§ 47. Два рода сверхпроводников
Знак поверхностного натяжения ans оказывает существен-
существенное влияние на свойства сверхпроводников. Это дает основание
делить все сверхпроводники на две категории: сверхпроводни-
сверхпроводники первого рода с ans > 0 и сверхпроводники второго рода с
ans < 0. Поскольку знак ans определяется значением параметра
Гинзбурга-Ландау х, то первым отвечают (вблизи Тс) значения
к < 1/\/2, а вторым к > lf^/21).
Рассмотрим массивный цилиндрический сверхпроводник во
внешнем продольном магнитном поле $). Если сверхпроводник
относится к первому роду, то при увеличении поля он испыты-
испытывает фазовый переход первого рода, когда поле достигает кри-
критического значения Нс. Роль поверхностного натяжения сводит-
сводится при этом (как и при всяком фазовом переходе первого рода)
лишь к затруднению образования первых зародышей новой фа-
фазы и тем самым — к возможности метастабильного сохранения
5-фазы при полях, несколько превышающих Нс.
Если же сверхпроводник относится ко второму роду, то уже
до достижения полем значения Нс в нем может оказаться термо-
термодинамически выгодным возникновение «вкраплений» п-фазы;
увеличение объемной энергии компенсируется отрицательной
энергией поверхности такого зародыша. Нижнюю границу зна-
значений поля, при которых это становится возможным, принято
обозначать как Нс\ и называть нижним критическим полем.
Аналогичным образом, начав с металла в нормальном состоянии
при большом внешнем поле, мы придем к некоторому значению
НС2 > Нс (верхнее критическое поле), за которым термодина-
термодинамически выгодно возникновение «вкраплений» s-фазы — снова
1) К первому роду относятся сверхпроводящие чистые металлические эле-
элементы, ко второму — сверхпроводящие сплавы и упомянутые на стр. 226
высокотемпературные сверхпроводики. Предположение о том, что в спла-
сплавах к > 1/л/2, впервые было высказано Л. Д. Ландау.

248	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. V
за счет выигрыша в отрицательной энергии границ. Таким об-
образом, в определенном интервале полей, Нс\ < 9) < НС2, сверх-
сверхпроводник находится, как говорят, в смешанном состоянии1).
Его свойства в этом состоянии постепенно меняются от чисто
сверхпроводящего при Нс\ до чисто нормального при НС2] в то
же время происходит постепенное проникновение в него магнит-
магнитного поля. Значение же Нс, определяемое лишь соотношением
между объемными энергиями п- и s-фаз, са-
мо по себе в этом случае ничем не замеча-
замечательно.
я-фаза	Оба критических поля зависят, конечно,
от температуры и обращаются в нуль при
ч	Т = Тс. Это приводит к фазовой диаграмме
для сверхпроводников второго рода (рис. 7;
о штриховой кривой на этом рисунке — см.
ниже).
Верхнее критическое поле оказывается
возможным определить (в рамках теории
Гинзбурга-Ландау) даже без предваритель-
s-фаза ^\\ ного выяснения характера структуры сме-
смешанного состояния. Достаточно заметить,
f что при полях, несколько меньших i7C2, за-
родыши 5-фазы могут иметь лишь малые
ис>	значения параметра порядка ф (очевидно,
что ф —»> 0 при $) —»> НС2). Поэтому состояние
этих зародышей может быть описано уравнениями Гинзбурга-
Ландау, линеаризованными по ф. Опустив в D5.12) нелинейный
член, приходим к уравнению
— (-HW - ^А]2ф = \а\ф,	D7.1)
причем под А можно понимать векторный потенциал однород-
однородного поля $) при <ф = 0, когда тело находится в нормальном
состоянии с полностью проникшим в него внешним полем.
Но D7.1) по своей форме есть просто уравнение Шрединге-
ра для частицы с массой 2тп и зарядом 2е в магнитном поле,
причем \а\ играет роль уровня энергии; совпадают и граничные
условия в обоих задачах: ф = 0 на бесконечности. Как извест-
известно (см. III, §112), минимальное значение энергии частицы, дви-
движущейся в однородном магнитном поле, есть Е$ = Ноиц/2, где
ион = 2|e|i}/2rac (от этого значения начинается непрерывный
1) Не путать его с промежуточным состоянием сверхпроводников первого
рода, возникающим при определенных конфигурациях образца и внешнего
магнитного поля!

§ 47	ДВА РОДА СВЕРХПРОВОДНИКОВ	249
спектр энергий). Из аналогии между обоими задачами следует
поэтому, что описываемые уравнением D7.1) зародыши s-фазы
могут существовать только при
\а > ——i},
2тс
так что критическое поле НС2 = 2тс\а\/\е\Н. С помощью выра-
выражений D5.9), D5.17), D5.18) эта формула может быть записана
как
Яс2 = V2kHc	D7.2)
(А. А. Абрикосов, 1952).
Решение уравнения D7.1) с граничным условием ф = 0, по-
поставленным на бесконечности, отвечает образованию зародыша
5-фазы в толще образца, вдали от
Щх)
его поверхности. Покажем, что наличие
поверхности способствует образованию
зародыша, в результате чего они мо-
могут возникать в тонком поверхностном
слое уже при $) > НС2 (D. Saint-James,
P. G. De Gennes, 1963).
Решение уравнения D7.1), описы-
описывающее зародыш 5-фазы вблизи поверх-	~хо	хо х
ности тела (которую считаем плоской), Рис. 8.
должно удовлетворять на ней гранично-
граничному условию дф/дх = 0, где х — координата в направлении норма-
нормали к поверхности (условие D5.15) при Ах = 0). Для установления
нужной квантовомеханической аналогии вспомним, что исполь-
использованная выше задача о движении частиц в однородном магнит-
магнитном поле, в свою очередь, эквивалентна задаче о движении в
одномерной параболической потенциальной яме
где хо — постоянная, отвечающая «центру орбиты» (см. III, § 112).
Рассмотрим теперь двойную яму, составленную из двух одина-
одинаковых параболических ям, расположенных симметрично относи-
относительно плоскости х = 0 (рис. 8). Основному состоянию частицы
в таком поле отвечает волновая функция по ф(х), не имеющая
нулей и четная по х\ такая функция автоматически удовлетво-
удовлетворяет условию ф1 = 0 при х = 0. В то же время основной уровень
частицы в двойной яме лежит ниже уровня в одиночной ямех);
1) Это связано с понижением потенциальной энергии в полупространстве
х < 0 по сравнению с той, которая была бы при одиночной яме (штриховая
линия на рис. 8). См., например, III, § 50, задача 3.

250
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
в переносе на задачу о зародышах этим доказывается сделан-
сделанное выше утверждение об облегчении их образования вблизи
поверхности.
Численный расчет уровня в двойной яме приводит к резуль-
результату, что его минимальное (в зависимости от параметра хо) зна-
значение составляет О,59Ео. Повторив рассуждения, приводящие к
формуле D7.2), найдем, что верхний предел полей, в которых
возникают поверхностные зародыши s-фазы, лежит при Нс% =
Яс2/0,59, т. е.
Яс3 = 1,7Яс2 = 2,4х#с.	D7.3)
Таким образом, в области полей между Яс2 и Ясз возни-
возникает явление поверхностной сверхпроводимости; граница этой
области показана на рис. 7 штриховой линией. Толщина
сверхпроводящего слоя у поверхности нормальной фазы —
порядка величины ?(Т). Эту оценку легко получить из той
же квантовомеханической аналогии: волновая функция частицы
в потенциальной яме (на уровне Eq) сосредоточена в области
х rsj Н/у/тпЩ] соответствующий размер зародыша получается
заменой Eq на | а | и (согласно D5.17)) совпадает с ?(Т).
Все сказанное выше относится к сверхпроводникам второго
рода. Но введенные таким образом критические поля Яс2 и Ясз
могут иметь определенный физический смысл и для сверхпро-
сверхпроводников первого рода.
Если к лежит в интервале 1/\/2 = 0,71 > к > 0,59/V^ = 0,42,
то Яс2 < Яс, но Ясз > Яс. Хотя смешанная фаза в этом случае
не возникает, но в интервале полей между Яс и Ясз существует
поверхностная сверхпроводимость.
Наконец, по смыслу произведенного вывода, значение Яс2
D7.2) определяет (при любом к) верхнюю границу полей, в ко-
которых возможно образование зародышей s-фазы со сколь угодно
малыми ф. Поэтому в сверхпроводнике первого рода (где Яс2 <
< Яс) в полях $) < Яс2 термодинамически невыгодная нормаль-
нормальная фаза абсолютно неустойчива. В интервале же Я2с < $) < Нс
нормальная фаза может существовать как метастабильная: фа-
фазовый переход первого рода из п- в s-фазу в этой области может
произойти только путем возникновения зародышей s-фазы с ко-
конечными значениями ф, затрудненного положительным поверх-
поверхностным натяжением на их границе (В. Л. Гинзбург, 1956).
3 адача
Определить критическое поле для сверхпроводящего шарика малого ра-
радиуса Ж д (В. Л. Гинзбург, 1958).
Решение. В этом случае (как и в тонкой пленке — см. задачу в §45)
разрушение сверхпроводимости происходит путем фазового перехода второго

§ 48	СТРУКТУРА СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ	251
рода. Критическое поле для шарика можно найти как значение, ниже кото-
которого n-фаза теряет устойчивость по отношению к образованию зародышей
s-фазы. Как и в тексте, это сводится к нахождению наименьшего собствен-
собственного значения уравнения Шредингера D7.1). При условии R <^ 5 последнее
можно искать с помощью теории возмущений по отношению к внешнему по-
полю, причем невозмущенная волновая функция ф = const (зародыш занимает
весь объем шарика). Собственное значение определяется тогда просто как
среднее значение оператора возмущения BеА/сJ/4т (среднее же значение
от оператора (ieH/mc)(AV) при ф = const равно нулю). При этом векторный
потенциал однородного поля должен быть выбран в виде А = [fjr]/2; имен-
именно при такой калибровке решение ф = const удовлетворяет на поверхности
шарика граничному условию D5.15), сводящемуся к требованию пА = 0.
Произведя усреднение, найдем
4mc2 3	Юте2
Критическое поле определяется (как и в тексте) условием Eq = | а |, приво-
приводящим к результату
тг(шар)	„/оптг X/D
?1С	= V Z\JI2c0/ ГС.
Допустимость использования теории возмущений подтверждается тем,
что найденное значение Eq (при fj = Не ) при условии R <^ S действи-
действительно мало по сравнению со следующим собственным значением, которое
соответствовало бы уже переменной в объеме шарика волновой функции и
имело бы порядок величины К2 /тВ2.
§ 48. Структура смешанного состояния
Будем снова (как и в предыдущем параграфе) рассматривать
цилиндрический образец сверхпроводника второго рода, находя-
находящийся в продольном магнитном поле $). Выясним структуру сме-
смешанного состояния, в котором тело будет находиться в полях,
лишь немногим превышающих нижнее критическое поле Нс\1).
В этом случае в основную, сверхпроводящую фазу вкраплены
зародыши нормальной фазы. Для достижения максимальной
термодинамической выгодности они должны иметь (при отри-
отрицательном поверхностном натяжении!) по возможности боль-
большую поверхность. Естественна поэтому структура, в которой
зародыши n-фазы представляют собой нити, параллельные
направлению поля. Вблизи этих нитей (их называют вихревыми)
сосредоточены и проникшее в тело магнитное поле, и охватываю-
охватывающие нити кольцевые сверхпроводящие токи.
Чем ближе внешнее поле к i7ci, тем меньше в теле таких ни-
нитей и тем больше расстояние между ними. Когда последнее до-
достаточно велико, к отдельным вихревым нитям становятся
1) Излагаемые в этом параграфе (и в задачах к нему) результаты принад-
принадлежат Л. Л. Абрикосову A957).

252
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
применимыми изложенные в конце § 44 соображения, в силу ко-
которых полный сосредоточенный вблизи нити магнитный поток
должен быть целым кратным от элементарного кванта потока
0О = тгЯс/|е|; мы увидим ниже, что термодинамически выгодны
нити с наименьшим возможным потоком — одним ф$. Именно ко-
конечность фо ставит предел дальнейшему дроблению зародышей
нормальной фазы.
Когда внешнее поле, увеличиваясь от малых значений, дости-
достигает значения Hci, в цилиндре появляется одна вихревая нить.
Напишем термодинамическое условие, определяющее этот мо-
момент, не вникая сначала в структуру самой нити, а учитывая
лишь то обстоятельство, что с ней связана некоторая (положи-
(положительная!) энергия; эту энергию, отнесенную к единице длины ни-
нити, обозначим через е (в дальнейшем она будет вычислена).
Очевидно, что в цилиндрическом теле в продольном внеш-
внешнем поле индукция В тоже будет везде направлена вдоль оси
цилиндра. Это же относится и к макроскопической напряженно-
напряженности поля Н = В — 4тгМ, введенной в § 46. Из уравнения rot Н = О
следует тогда, что Н постоянно вдоль сечения (а потому и все-
всего объема) цилиндра; в силу граничного условия непрерывно-
непрерывности тангенциальной компоненты Н это постоянное значение сов-
совпадает с внешним полем: Н = $). Таким образом, мы должны
рассмотреть термодинамическое равновесие тела при заданных
его объеме, температуре и напряженности поля Н. Условие тако-
такого равновесия состоит в минимальности F — термодинамическо-
термодинамического потенциала по отношению к указанным переменным
(см. VIII, §31). Пусть Fs — этот потенциал для сверхпроводя-
сверхпроводящего цилиндра (поскольку в сверхпроводящей фазе В = 0, то
Fs совпадает со свободной энергией Fs). Тогда потенциал F для
цилиндра с одной вихревой нитью будет
4тг J
F = FS + L?- [™dV = Fs + L?-*- (BdV.
J 4тг	4 J
Член L? есть свободная энергия нити (L — длина нити, совпа-
совпадающая с длиной цилиндра), а последний член отличает потен-
потенциал F от свободной энергии F. Поскольку индукция В в теле
сосредоточена лишь вблизи вихревой нити, то / В dV = Ьф$,
где фо — поток индукции через сечение нити. Таким образом,
F = FS + Le-^-	D8.1)
4тг
Возникновение вихревых нитей становится термодинамически
выгодным, когда добавка к Fs делается отрицательной. Приравняв

48
СТРУКТУРА СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ
253
же ее нулю, мы найдем, следовательно, критическое значение
внешнего поля
Нс1 = 4-ке/фо.	D8.2)
Рассмотрим теперь структуру одиночной вихревой нити. Мы
ограничимся важным случаем, когда1)
х>1,	D8.3)
т. е. 6 ^ ?. Длина ? определяет порядок величины радиуса
«сердцевины» нити, в которой \ф\2 меняется от нуля (отвечаю-
(отвечающего нормальному состоянию на оси нити) до конечного значе-
значения, отвечающего основной s-фазе; на больших расстояниях г
от оси нити \ф\2 остается уже постоянным2). Индукция же В (г)
меняется значительно медленнее, затухая лишь на расстояниях
г rsj S ^ ?. Другими словами, весь магнитный поток в основном
проходит по области вне сердцевины ни-
нити, где \ф\2 = const (рис. 9).
Последнее обстоятельство позволяет
использовать для нахождения распре-
распределения поля уравнение Лондонов (при-
(применимость которого, напомним, не свя-
связана с близостью температуры к Гс).
Для придания ему нужного здесь ви-
вида прежде всего перепишем формулу
D4.7), связывающую плотность сверх-
сверхпроводящего тока с фазой волновой
функции:
А + S2mtB = ^ УФ,	D8.4)
2тг
S
Рис. 9.
введя в нее глубину проникновения S
и выразив j через индукцию согласно
j = crotB/47r. Лондоновскому приближению отвечает предпо-
предположение 6 = const. Проинтегрируем равенство D8.4) по за-
замкнутому контуру С, охватывающему нить и проходящему на
расстояниях г ^> ? от ее оси. Преобразовав интеграл от А по тео-
теореме Стокса в интеграл по поверхности, опирающейся на контур
С, получим
Bdf + 52(hrotBdl = 0о,	D8.5)
1)	Отметим, что такое условие хорошо выполняется в высокотемператур-
высокотемпературных сверхпроводниках. В этих анизотропных телах я зависит от направле-
направления и меняется, грубо говоря, в пределах от 50 до 500
2)	В этом параграфе буква г будет обозначать цилиндрическую координа-
координату — расстояние от оси.

254	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. V
а преобразовав таким же образом и второй интеграл, пишем
(В + б2 rot rot В) df = 0О;	D8.6)
в правой части написано наименьшее возможное (отличное от ну-
нуля) значение, отвечающее приращению фазы всего на одно 2тг.
Если контур С проходит на расстояниях г ^> 6 от нити, где поле
и токи уже можно считать отсутствующими, второй интеграл в
D8.5) может быть опущен, и мы видим, что фо совпадает с пол-
полным потоком индукции, сосредоточенным вокруг изолированной
вихревой нити. Самая же ось нити представляет собой особую
линию, обход вокруг которой меняет фазу волновой функции.
Поскольку равенство D8.6) должно выполняться для любого
контура С (удовлетворяющего указанным условиям), то из него
следует, что должно быть
В + ?2 rot rot В = В - S2 А В = фо8(т),	D8.7)
где г — двумерный радиус-вектор в плоскости поперечного сече-
сечения вихревой нити. Запись правой части этого уравнения в виде
^-функции означает, что расстояния ~ ? рассматриваются здесь
как нулевые. Во всем пространстве, за исключением линии г = О,
D8.7) совпадает с уравнением Лондонов D4.11), но для описания
вихревой нити требуется решение с особенностью при г = 0.
Распределение поля на расстояниях г от оси в области
S ^> г ^> ? может быть найдено прямо из D8.5). Выберем в ка-
качестве контура С окружность радиуса г в этой области. Поток
индукции через этот контур (первый член в левой части D8.5))
составляет лишь малую долю всего магнитного потока ~ (г/бJ]
пренебрежем ею. Во втором члене d\ есть элемент длины окруж-
окружности, а поскольку вектор В направлен вдоль оси z (цилиндриче-
(цилиндрической системы координат с осью вдоль оси нити) и зависит лишь
от г, то
дг	dr
A — единичный вектор касательной к окружности). Таким обра-
образом, приходим к уравнению
^ ?	D8.8)
dr 2nrS2
откуда
^n*, ?«r<5.	D8.9)
г
Ввиду логарифмического характера этой зависимости верхний
предел интегрирования (на котором должно быть В ~ 0) может

§ 48	СТРУКТУРА СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ	255
быть положен совпадающим с верхней границей рассматривае-
рассматриваемой области расстояний г.
Для продолжения найденного распределения в область г > 5
воспользуемся уравнением D8.7), применимым при всех г ^> ?.
Раскрыв оператор Лапласа в цилиндрических координатах
(с учетом того, что В = Bz(r)), перепишем уравнение (при г ф 0)
в виде
В" + -В' + 5~2В = 0.
г
Решение этого уравнения, убывающее при г —>• ос, есть
В (г) = const Ко (г/5),
где Ко — функция Макдональда (функция Ганкеля от мнимо-
мнимого аргумента). Постоянный коэффициент определяется путем
«сшивки» с решением D8.9): используя известное предельное
выражение Ko(z) ~ \nB/zry) при z <С 1 G = ес = 1,78). Таким
образом, окончательно
С помощью известного асимптотического выражения Ko(z) ~
« (/7r/2zI/2e~z при z —» ос находим отсюда, в частности, закон
затухания поля вдали от оси нити:
ад = jse
Обратим внимание на очевидную аналогию между свойства-
свойствами вихревых нитей в сверхпроводниках и в жидком гелии (§ 29).
В обоих случаях речь идет об особых линиях, обход вокруг ко-
которых меняет фазу конденсатной волновой функции. Круговым
траекториям сверхтекучего движения вокруг вихревых нитей в
жидком гелии соответствуют круговые токи в сверхпроводнике;
в первом случае по закону 1/г убывает скорость сверхтекучего
движения vs, а во втором — по такому же закону убывает плот-
плотность сверхпроводящего тока
\rotB\ = ^^.	D8.12)
4тг	' 8тгЧ2г	V	J
Это совпадение вполне естественно, поскольку в обоих случаях
эти законы являются прямым следствием существования особой
линии. Но в то время как в жидком гелии указанная зависи-
зависимость vs(r) простирается до любых расстояний, в сверхпровод-
сверхпроводнике убывание j(r) при г ^> 6 становится экспоненциальным.
Это различие связано с заряженностью электронной жидкости:
движение заряженных частиц создает магнитное поле, которое,

256
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
"I?
-Г НИТИ
в свою очередь, экранирует поле (если устремить заряд частиц
е к нулю, то глубина проникновения 6 —»> ос).
Теперь можно вычислить свободную энергию вихревой нити.
Вклад в нее, происходящий от области пространства вне сердце-
сердцевины (г ^> ?), дается взятыми по этой области интегралами
= i- Г В2 dV + ? /"(rot ВJ dV.	D8.13)
Действительно, варьируя это выражение по В (при заданной
температуре, т. е. заданном 5), мы прямо получим уравнение
Лондонов D8.7) (для г ф 0)х). Второй интеграл в D8.13), лога-
логарифмически расходящийся на обоих краях области 6 ^> г ^> ?,
велик по сравнению с первым. Подставив сюда |rotB| из D8.8),
получим для энергии на единице длины нити
е=(Щ21п1.	D8.14)
Это выражение имеет логарифмическую точность, т. е. предпо-
предполагается не только <$/? > 1, но и In(<$/?) ^ 1; именно с этой
точностью можно пренебречь вкладом в е от сердцевины нити.
Результат D8.14) дает, в частности, возможность обосновать
сделанное выше утверждение о том, что термодинамически вы-
выгодно возникновение вихревых нитей с наименьшим по величине
магнитным потоком. Действительно, поскольку свободная энер-
энергия нити пропорциональна квадрату связанного с нитью магнит-
магнитного потока, то для нити с потоком пфо в энергии появился бы
множитель п2; распадение же такой нити на п нитей с потока-
потоками фо приведет к выигрышу в энергии в п раз.
Подставив D8.14) в D8.2), найдем для нижнего критического
поля
^^	D8.15)
) Второй член в D8.13), будучи выражен через ток j, принимает вид
2ttcV
2	"ь^
во втором выражении подставлено также о = 	 и введена плотность
42
и скорость сверхтекучей компоненты согласно j = epsvs/m (см. примечание
на с. 227). Мы видим, что этот член можно рассматривать как кинетическую
энергию сверхпроводящих электронов.

§ 48	СТРУКТУРА СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ	257
При Г —»> Тс это выражение можно переписать с учетом D5.19)
также и в виде1)
Нс1 = Нс^..	D8.16)
По мере увеличения внешнего поля растет число вихревых
нитей и тем самым увеличивается проникновение магнитного по-
поля в сверхпроводник. При учете взаимодействия между нитями
термодинамическому равновесию отвечает определенное упоря-
упорядоченное расположение нитей, образующее двумерную решетку
(в плоскости сечения цилиндраJ). При любой плотности числа
нитей ось каждой из них остается линией, обход вокруг которой
меняет фазу волновой функции ф на 2тг. Среднее же (по сечению
цилиндра) значение индукции
В = гуфо,	D8.17)
где v — число нитей на единицу площади сечения. Действитель-
Действительно, если проинтегрировать соотношение D8.4) по контуру всего
сечения образца, то мы придем к уравнению D8.5) с Sv(f)Q в пра-
правой части (S — площадь сечения); в левой же части первый ин-
интеграл есть полный поток индукции SB, а второй представляет
собой краевой эффект, малый по сравнению с первым в отноше-
отношении ~ S/R и потому пренебрежимый (R — линейные размеры
сечения); здесь существенно, конечно, что поле вокруг нитей за-
затухает на расстояниях ~ 6.
До тех пор пока расстояния d между нитями остаются
большими по сравнению с корреляционным радиусом ?, можно
утверждать, что магнитные поля вихревых нитей просто скла-
складываются. Действительно, при d ^> ? все еще можно провести
контур, охватывающий собой любое число вихревых нитей та-
таким образом, чтобы он везде проходил далеко (на расстояниях
^> ?) от их сердцевин. На таком контуре выполняется условие
лондоновского приближения (постоянство <$), и потому мы сно-
снова придем к уравнению, отличающемуся от D8.7) лишь тем, что
в его правой части ^-функция заменяется суммой ^-функций от
расстояний до каждой из нитей; ввиду линейности этого уравне-
уравнения отсюда следует сделанное утверждение.
Когда внешнее поле приближается к НС2, расстояния между
вихревыми нитями становятся сравнимыми с ?. Это ясно видно
1)	Поскольку эта функция выведена в предположении In к ^> 1, ею нельзя
пользоваться при к ~ 1! В частности, при к = l/v2 поле Нс\ (как и НС2)
должно просто совпадать с Нс.
2)	Наиболее выгодна, по-видимому, решетка, образованная равносторон-
равносторонними треугольниками с вихревыми нитями в их вершинах.
9 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

258
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
и из самого выражения критического поля D7.2), если его напи-
написать (с помощью D5.9), D5.16), D5.17)) в виде
Яс2 = 0о/2тг?2;	D8.18)
оно отвечает потоку фо, сосредоточенному на площади ~ ?2.
Исчезновение сверхпроводимости при $) = НС2 происходит
как фазовый переход второго рода. В духе общей теории таких
переходов можно утверждать, что параметр порядка ф как функ-
функция внешнего поля обращается в нуль по закону |-0|2 ос Н& — S).
С другой стороны, намагниченность вещества М = (В — Н)/4тг
(как величина, не зависящая от выбора фазы ф) в этой области
сама пропорциональна \ф\2. Учитывая, что при ft = НС2 долж-
должно быть и В = НС2, мы приходим, таким образом, к линейному
закону зависимости индукции В в сверхпроводнике от внешнего
поля вблизи точки перехода
Б-Яс2ос?-Яс2.	D8.19)
3 адачи
1. Вычислить энергию взаимодействия двух вихревых нитей, располо-
расположенных на расстоянии d ^> ? друг от друга.
Решение. Преобразуем выражение свободной энергии D8.13) для си-
системы двух вихревых нитей к виду, в котором интегрирования производятся
лишь вблизи каждой отдельной нити. Для этого пишем, используя уравне-
уравнение D8.7):
В2 + E2(rotBJ = 52{-B rot rot В + (rot ВJ} = S2 div [В rot В].
Объемный интеграл преобразуется в интеграл
f
= ? f [BrotB]df,	A)
взятый по цилиндрическим поверхностям Д и Д (малого радиуса го; ? <^
Сго <С E), охватывающим сердцевины нитей. При d ^> ? поля нитей адди-
аддитивны, т. е. В = Bi +B2. Энергия взаимодействия нитей дается той частью
интеграла A), которая зависит одновременно от Bi и В2:
s2 Г f	f	1
= — I / [B2 rot Bi] dfi + / [Bi rot B2] df2 >
8тг
(интегралы же вида /[В2 rot Bi] d?i стремятся к нулю при го —>¦ 0). С помо-
помощью D8.8) и D8.10) находим отсюда
—'s

Ф1
?12 =
§ 49	СТРУКТУРА СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ	259
В частности, на расстояниях d^> 5:
_ (^.Y 2 e~d/s	B)
27/2^3/2^2 \dJ	'	V J
2. Определить зависимость средней (по сечению цилиндрического об-
образца) магнитной индукции В от внешнего поля fj в смешанном состоянии,
в котором вихревые нити расположены на расстояниях d^> S друг от друга,
образуя (в сечении образца) решетку из равносторонних треугольников.
Решение. Площадь равностороннего треугольника равна y/3d2/4 (d —
длина стороны), а число нитей равно половине числа треугольников в решет-
решетке (N треугольников имеют 37V вершин, но в решетке каждая вершина при-
принадлежит шести соприкасающимся треугольникам), поэтому v = 2/^/3d2.
Термодинамический потенциал / единицы объема тела в смешанном со-
состоянии
4тг	Z
г, к
где второй член отвечает выражению D8.1) (с Нс\ из D8.2); в третьем члене
ei2 — энергия взаимодействия двух нитей, а суммирование производится
по всем нитям, пересекающим единицу площади. Ввиду экспоненциального
убывания ?i2 при d ^> 5, в сумме достаточно учесть лишь пары соседних
нитей. В треугольной решетке каждая нить имеет 6 ближайших соседей,
поэтому
Е = 3"ei2
2	г
г, к	г
Подставив ?i2 из формулы B) предыдущей задачи, находим
а5/2
где а = d/S. Зависимость а от ^ определяется условием минимальности
функции /(а); это дает
(опущен член более высокого порядка по 1/а ^ 1). Это уравнение вместе с
равенством В = ^0о, т. е.
определяет искомую зависимость В($у). Отметим, что при Я ~~^ Нс\ произ-
производная dBId9) стремиться к бесконечности по закону
dB	1 , _3 1
	 ос 	In
Я ~~ Hci	Я ~~ Нс\

260	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. V
§ 49. Диамагнитная восприимчивость выше точки перехода
В конце §45 уже было отмечено, что область температур
вблизи Тс, в которой флуктуации параметра порядка ф стано-
становятся большими, в сверхпроводнике чрезвычайно узка. Вне этой
области флуктуационные поправки к термодинамическим вели-
величинам, вообще говоря, очень малы. Они могут, однако, оказаться
существенными для магнитной восприимчивости металла выше
точки перехода: появление вследствие флуктуации даже относи-
относительно малого числа сверхпроводящих электронов может при-
привести к вкладу в магнитную восприимчивость, превышающему
обычно очень малую восприимчивость нормального металла вда-
вдали от точки перехода1).
Рассмотрим металл в слабом (# <С Нс внешнем магнитном
поле при температуре выше точки Гс, но близкой к ней. Равно-
Равновесное значение параметра порядка здесь ф = 0, а для вычисле-
вычисления его флуктуации можно использовать свободную энергию из
теории Гинзбурга-Ландау. При этом в выражении D5.10) можно,
в виду малости флуктуации, сохранить только квадратичные по
ф члены, опустив член с \ф\^ и понимая под А векторный потен-
потенциал однородного поля i}. Флуктуации индукции В, связанные
с флуктуациями ф, квадратичны по ф (ввиду квадратичности
плотности тока j). Поэтому в члене В2/8тг можно понимать под
В среднее (термодинамическое) значение индукции, пренебрегая
ее флуктуациями. Таким образом, изменение полной свободной
энергии металла при флуктуации дается следующим выражени-
выражением — функционалом от ф2):
AF[if;} = /7_L|(-ifiV-^A) ^|2 + a|^|2| dV. D9.1)
Для вычисления флуктуационного вклада AF в свободную
энергию надо рассматривать функционал D9.1) как «эффектив-
«эффективный гамильтониан», определяющий AF согласно формуле
D9.2)
где интегрирование (функциональное) производится по всем рас-
распределениям ф(г) (см. V, § 147). Фактически оно осуществляется
1) Этот эффект был указан В. В. Шмидтом A966).
) Во избежание недоразумений подчеркнем, что магнитное поле не явля-
является по отношению к сверхпроводнику «внешним полем» h в том смысле,
как оно было введено в V, § 144. Последнее должно было бы входить в сво-
свободную энергию в виде члена —Н(ф + ф*), что в данном случае заведомо
невозможно ввиду неинвариантности такого члена по отношению к выбору
фазы ф.

§ 49	ДИАМАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ВЫШЕ ТОЧКИ ПЕРЕХОДА	261
путем разложения ф по некоторой полной системе собственных
функций и интегрированием по бесконечному множеству коэф-
коэффициентов этого разложения. В случае однородной (без внешне-
внешнего поля) системы разложение производится просто по плоским
волнам (см., например, задачу в V, § 147).
В данном же случае разложение следует производить по соб-
собственным функциям «уравнения Шредингера»
— (-ins/ - —А) ф = Еф,	D9.3)
4т V	с /
отвечающего гамильтониану D9.1). В §47 уже было отмечено,
что это уравнение формально совпадает с уравнением Шредин-
Шредингера для движения частицы (с массой 2га и зарядом 2е) в одно-
однородном магнитном поле. Его собственные функции нумеруются
одним дискретным (п) и двумя непрерывными (рж, pz) кванто-
квантовыми числами, причем собственные значения зависят только от
п и pz (ось z в направлении $S) и даются формулой
,pz) = (n+)^^ + f;	D9.4)
2 / V	2/ тс	Am
число различных собственных функций с заданным п, значением
pz в интервале dpz и всеми возможными рх есть
(см. III, §112).
Обозначим для краткости, совокупность чисел n, pz, px одним
символом q и напишем разложение функции ^(г) в виде
^(г),	D9-5)
где cq = c'q + ic'q — произвольные комплексные коэффициенты, а
©бственные функции предполагаются нормированными условием
Лфд\2 dV=l (интегрирование производится по объему металла).
Подстановка разложения D9.5) в D9.1) позволяет прежде все-
всего перейти от интегрирования по объему к суммированию по q.
Действительно, проинтегрировав первый член по частям, приво-
приводим D9.1) к виду
AF[i/>] = Г |^*^- (-Ш - -АJ ф + ф*аф\ dV.
Подставив сюда D9.5) и учтя, что каждая из функций фд удовле-
удовлетворяет уравнению D9.3) с Е = Eq и что собственные функции

262	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. V
с различными q взаимно ортогональны, получим
AF[tp] = ^2 \cq\2 (Eq + а).	D9.6)
я.
Функциональное интегрирование в D9.2) означает интегри-
интегрирование по всем dc'qdCq. После подстановки D9.6) интегрирова-
интегрирования по всем этим переменным разделяются и дают
или
Y^	D9.7)
В терминах квантовых чисел п и pz это выражение записывается
как
ME*	/"idp	D9.8)
^	E(pz, n +1/2) + a
—oo
Эта сумма расходится при больших Е, но расходимость в дей-
действительности фиктивна и связана лишь с тем, что исходная
формула D9.1) применима только при медленно меняющихся
функциях ф(г): изменение ф должно быть мало на расстояни-
расстояниях rsj ?0. В терминах собственных значений Eq это значит, что
допустимы лишь Eq ^C H2/m^Q. Обрезав сумму по п при некото-
некотором большом iV, удовлетворяющем поставленному условию, вос-
воспользуемся формулой Пуассона
Е
(см. V, E9.10)). В применении к D9.8) первый, интегральный,
член этой формулы дает, как легко понять, не зависящий от $
вклад в свободную энергию; этот член не нужен для вычисле-
вычисления магнитной восприимчивости, и мы его опустим. Во втором
же члене можно положить теперь N —»> ос (так что параметр
обрезания выпадает из ответа)х):
AF = V
J a -
48тг2 Птс2 J a + p2z/4m
1) В коэффициенте положено Т « Тс. При Т вблизи Тс существенные в
этом интеграле значения pz ~ л/тпа ~ Н/^(Т) <^ Н/?о, т. е. удовлетворяют
поставленному требованию.

§ 49	ДИАМАГНИТНАЯ ВОСПРИИМЧИВОСТЬ ВЫШЕ ТОЧКИ ПЕРЕХОДА	263
Окончательно, после взятия интеграла,
AF = V е*ТсЬ* .	D9.9)
Отсюда магнитная восприимчивость
±	=	е2Тс	(
V ад2	^TT^CmaJVa^TJVa	v '
(H. Schmidt, 1968; A. Schmid, 1969). Мы видим, что вблизи точки
перехода восприимчивость возрастает как (Г — Т^)/2. В этой
области D9.10) представляет собой основной вклад в магнитную
восприимчивость нормального металла.
3 а дачи
1. Определить магнитный момент тонкой (толщина d <С ?(Т)) пленки в
перпендикулярном ее плоскости магнитном поле при температурах Т > Тс,
Т -Тс <ТС.
Р е ш е н и е. Конечность толщины пленки приводит к дискретности кван-
квантового числа pz в D9.4), причем для тонкой пленки надо ограничиться в
D9.7) лишь значением pz=0 (уже первое отличное от нуля значение pz~H/d,
так что Е~Н2/md2^$>H2/m?2~a). Число собственных функций с заданными
nnpz (и всеми возможными рх) есть 2 | е \S^S/BtvHc), где S — площадь плен-
пленки; поэтому суммирование по q в D9.7) надо понимать как (S^S/тгНс) У].
п
Применив к сумме формулу Пуассона, получим в результате
AF = S-
24птс2а
Магнитный момент пленки
OAF
=_s
12тттс2а(Т - Тс
Обратим внимание на то, что он возрастает при Т —>> Тс быстрее, чем в
случае неограниченного металла.
2. То же для шарика радиуса R < ?(Т) (В. В. Шмидт, 1966).
Решение.В этом случае из всех собственных значений уравнения D9.3)
существенно лишь одно, наименьшее, отвечающее собственной функции
ф = const и равное Eq = 	 (см. все сказанное по этому поводу в
Ю2
задаче к §47). Сумма D9.7) сводится к одному члену, и магнитный момент
Тс дЕ0	e2TcR29)
М к,
Ътпс2а(Т - Тс)

264	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. V
§ 50. Эффект Джозефсона
Рассмотрим два сверхпроводника, разделенных тонким слоем
диэлектрика. Для электронов этот слой представляет собой
потенциальный барьер, и если слой достаточно тонок, то суще-
существует конечная вероятность их проникновения через него путем
квантового туннелирования. Даже если коэффициент пропуска-
пропускания барьера мал, его отличие от нуля имеет принципиальное
значение: оба сверхпроводника становятся единой системой,
описывающейся единой конденсатной волновой функцией. Это
обстоятельство приводит к эффектам, впервые предсказанным
Джозефсоном (В. D. Josephson, 1962).
Единство конденсатной волновой функции системы означает,
что через контакт между двумя сверхпроводниками может течь,
в отсутствие приложенной извне разности потенциалов, сверх-
сверхпроводящий ток. Подобно тому как внутри сверхпроводников
плотность тока определяется градиентом фазы Ф конденсатной
волновой функции, так плотность j протекающего через контакт
сверхпроводящего тока связана с разностью значений Ф2 и Ф±
фазы на обоих сторонах контакта1). Поскольку значения разно-
разности Ф2 — Фь отличающиеся на целое кратное от 2тг, физически
тождественны, то ясно, что функция
j=j($2l), Ф21 = $2-Ф1	E0.1)
должна быть периодической с периодом 2тг. Операция обраще-
обращения времени меняет знак тока j и в то же время меняет знак
фазы Ф21 (поскольку волновые функции заменяются своими
комплексно-сопряженными). Это значит, что функция E0.1)
должна быть нечетной и обращаться в нуль при Ф21 = 0. Будучи,
разумеется, ограниченной, функция j($2i) имеет свои макси-
максимальное и минимальное значения, между которыми она и меня-
меняется при изменении разности фаз, а в силу нечетности функции
эти значения одинаковы по абсолютной величине; обозначим их
через ±jm.
Следует отметить, что запись E0.1) предполагает пренебре-
пренебрежение влиянием на ток со стороны собственного магнитного по-
поля токов внутри контакта. В противном случае вместо разности
Ф21 должно было бы фигурировать калибровочно инвариантное
) Для того чтобы сверхпроводящий ток через контакт имел заметную
величину, толщина диэлектрического слоя фактически должна быть очень
мала: ~ 10~7 см. Такие расстояния малы даже по сравнению с наименьшим
характерным параметром длины в сверхпроводнике — длиной когерентности
?о- В этом смысле слой должен рассматриваться как бесконечно тонкий, а
поведение фазы внутри него в теории вообще не фигурирует.

§ 50	ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА	265
выражениег)
Фо - Фт - — / Ат dx.
1
Ввиду очень малой толщины диэлектрического слоя условие до-
допустимости пренебрежения стоящим здесь интегралом от непре-
непрерывной функции Ах{х) легко выполняется (а значения самого
потенциала Ах на обеих сторонах можно считать одинаковыми).
Определение вида функции j($2i) во всей области темпера-
температур возможно лишь на основе микроскопической теории. Мы
ограничимся здесь феноменологическим рассмотрением в рам-
рамках применимости теории Гинзбурга-Ландау.
Если бы контакт был совсем непроницаем для электронов,
волновые функции ф каждого из сверхпроводников удовлетво-
удовлетворяли бы на своем краю контакта граничным условиям D5.15):
dib\ 2ie л , м
Конечная проницаемость барьера и конечность значений ф на
границах контакта приводят к появлению в правых сторонах
этих условий отличных от нуля выражений, зависящих от зна-
значений ф по другую сторону контакта. Ввиду малости ф (вблизи
точки перехода Тс) можно ограничиться в этих функциях линей-
линейными по ф членами, т. е. написать
^1 _ «? Ахф1 = _*	в? _ 2* Ахф2 = 3V	E0.2)
дх he	X	дх Не	X
коэффициент 1/А пропорционален проницаемости барьера. Ра-
Равенства E0.2) должны удовлетворять требованиям симметрии
относительно обращения времени: они должны оставаться спра-
справедливыми при преобразовании ф —»> ф*\ А —)> —А; отсюда
следует, что постоянная А вещественна (тогда при указанном
преобразовании равенства E0.2) просто совпадают со своими
комплексно-сопряженными).
Связь между величиной сверхпроводящего тока через кон-
контакт и разностью фаз функции ф можно определить, применив
формулу D5.14) к какой-либо из сторон контакта (скажем, со
стороны 1):
геП ( , * дфг , д<ф1\ 2е2
2тп V дх	дх у тс
х) Направление оси х выбрано в глубь области 2.

266	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. V
Подставив сюда dipi/dx из граничного условия E0.2), получим
3 =
Для контактов одинаковых металлов величины ф\ и fa отлича-
отличаются только своей фазой; находим тогда для плотности тока:
j= jmsin Ф2ь jm = ^-\ф\2.	E0.3)
тл
При приближении к точке перехода \ф\2 стремится к нулю как
Тс — Г; по такому же закону, следовательно, стремится к нулю и
максимальная плотность тока через контакт1).
Пусть теперь к туннельному контакту приложена от внешне-
внешнего источника некоторая разность потенциалов, т. е. в контакте
имеется электрическое поле Е. Будем описывать это поле ска-
скалярным потенциалом, обозначив его здесь через V: Е=—W.
Влияние этого поля на сверхпроводящий ток через контакт мож-
можно выяснить уже на основании требований калибровочной
инвариантности.
В отсутствие поля (при V = 0) фаза волновой функции не за-
зависит от времени: дФ/dt = О2). Для обобщения этого равенства
на случай наличия электрического поля замечаем, что общее со-
соотношение должно быть инвариантно по отношению к калибро-
калибровочному преобразованию скалярного потенциала
E0.4)
С Оь
не затрагивающему векторный потенциал (который предполага-
предполагается не зависящим от времени). Точно так, как это было сделано
при выводе преобразования D4.3), D4.6), найдем, что одновре-
одновременно с V должна быть преобразована фаза волновой функции
согласно	Оо
^()	E0.5)
1)	Микроскопическая теория, основанная на модели БКШ, показывает,
что такая же связь E0.3) между j и Ф21 имеет место при всех температу-
температурах. Эта же теория позволяет связать jm с электрическим сопротивлением
контакта между двумя металлами в нормальном состоянии. Изложение этой
теории можно найти в книге: И. О. Кулик, И. К. Янсон. Эффект Джозеф-
сона в сверхпроводящих туннельных структурах. - М.: «Наука», 1970.
2)	Напомним (ср. примечание на с. 159), что временной множитель
exp(—2ijjLt/H) исключен из волновой функции тем, что гамильтониан систе-
системы Н заменен на Н' = Н — jiN.

§ 50	ЭФФЕКТ ДЖОЗЕФСОНА	267
Отсюда ясно, что калибровочно инвариантным будет соотношение
f +Чv = °'
переходящее в дФ/dt = 0 при V = 0.
При не зависящем от времени электрическом поле интегри-
интегрирование равенства E0.6) дает
Ф = Ф(о) _ ?±vt,
Н
где ф(°) не зависит от времени. Поэтому, если контакту приложе-
приложена постоянная электрическая разность потенциалов V21, то раз-
разность фаз на нем
Подставив это выражение в E0.3), находим сверхпроводящий
ток через контакт
((°)^)	E0.7)
Мы приходим к замечательному результату: наложение на тун-
туннельный контакт постоянной разности потенциалов приводит к
появлению сверхпроводящего переменного тока с частотой
Uj = l\eV2i\.	E0.8)
п
Потребляемая в контакте мощность дается произведе-
произведением jVzi] ее среднее (по времени) значение равно нулю, т. е.
систематическая затрата энергии от внешнего источника отсут-
отсутствует — как и должно быть для сверхпроводящего тока, не свя-
связанного с диссипацией энергии. Подчеркнем, однако, что при
наличии внешней электродвижущей силы через контакт будет
протекать также и некоторый нормальный ток (слабый при ма-
малом V21), сопровождающийся диссипацией.
Заключение о периодическом с частотой E0.8) изменении
сверхпроводящего тока через контакт следует уже из самого фак-
факта периодической зависимости j от Ф21 и линейной зависимо-
зависимости Ф21 от времени; это заключение не связано с какими-либо
предположениями о величине разности потенциалов. Конкрет-
Конкретная же формула E0.7) справедлива лишь при условии малости
частоты luj по сравнению с характерной для сверхпроводимости
частотой А/Н:
n 2\V\^A(T)	E0.9)

268
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
3 адача
Написать уравнение для тока в цепи, состоящей из последовательно со-
соединенных сопротивления R и сверхпроводника с туннельным контактом;
в цепи действует электродвижущая сила Vo.
Решение. Полное падение напряжения в цепи Vo = RJ + V21, где J —
текущий по цепи ток, a V21 — разность потенциалов на контакте ). Подста-
Подставив сюда J = Jm sin<I>2i и Vbi из E0.6), получим
= Vo — RJm Sill Ф21 •
2|e| dt
Отметим, что описываемый этим уравнением переменный ток имеет неси-
несинусоидальный характер.
§ 51. Связь тока с магнитным полем в сверхпроводнике
В § 44 были получены формулы, определяющие связь между
током и магнитным полем в сверхпроводнике в предельном (лон-
доновском) случае медленного изменения всех величин вдоль
объема тела; при этом поле предполагалось слабым — малым
по сравнению с его критическим значением. Теперь мы рассмот-
рассмотрим этот вопрос в общем случае произвольно меняющегося в
пространстве статического поля, по-прежнему предполагая его
слабым. Слова «произвольно меняющееся» означают здесь, что
поле может существенно меняться на расстояниях ~ ?о (НО5 ко~
нечно, по-прежнему мало меняется на расстояниях порядка ве-
величины постоянной решетки; поэтому неоднородность среды —
металла — на атомных расстояниях несущественна).
В общем случае связь между током и магнитным полем в
пространственно-неограниченной среде изображается интеграль-
интегральной формулой вида
ji(r) = -jQik(r-r')Ak(r')d3x',	E1.1)
где ядро Qik зависит только от свойств самой среды2). Линей-
Линейность зависимости E1.1) отвечает предположению о слабости поля.
Как известно, плотность тока может рассматриваться как ва-
вариационная производная от энергии системы по векторному по-
потенциалу: изменение функции Гамильтона системы при
х) Малым (при малом Vo) нормальным током в сверхпроводнике прене-
пренебрегаем.
2) Задача о неограниченной среде имеет в данной связи лишь формальный
смысл. Ее реальное значение состоит в дальнейшем применении ее резуль-
результатов к задаче об ограниченной среде — см. следующий параграф.

51	СВЯЗЬ ТОКА С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В СВЕРХПРОВОДНИКЕ	269
варьировании А есть
6Н = -- fj6Adsx
(см. III, A15.1)). Поэтому ядро Q^/c B E1-1) является второй вари-
вариационной производной, а симметрия относительно порядка дву-
двукратного дифференцирования (по Ai(r) и Ак(гг)) означает, что
Qik(r-r') = Qik(r'-r).	E1.2)
Разложив А(г) и j(r) в интегралы Фурье, запишем связь
E1.1) для фурье-компонент:
*(k) = -Qtt(k);4fc(k),	E1.3)
причем в силу E1.2) Q;/c(k) = Qfci(-k).
Некоторые важные свойства функции Q^/c(k) следуют уже из
требований калибровочной инвариантности. Ток j не должен ме-
меняться при калибровочном преобразовании A(r)—>-A(r)+Vx(r)
или, для фурье-компонент:
Это значит, что тензор Q^/c(k) должен быть ортогонален волно-
волновому вектору
Qik(k)kk = 0.	E1.4)
В частности, в кристалле кубической симметрии тензорная зави-
зависимость Qjk сводится к членам вида 6{к и kikk] из E1.4) следует
тогда, что
Qik = (Sik - ^г) Q(k),	E1.5)
где Q(k) — скалярная функция.
Для дальнейшего выберем калибровку потенциала, в которой
divA(r) = 0. Для фурье-компонент это значит, что к А (к) = 0.
Поэтому связь E1.3) между током и потенциалом сведется к ра-
венству	j(k) = -Q(k)A(k),	E1.6)
т. е. будет определяться лишь скалярной функцией Q(k).
Лондоновскому случаю отвечает предельное выражение Q(k)
при к —)> 0. Это выражение легко найти, применив к обоим ча-
частям уравнения D4.8)
х. • e2ns , A
rot j = —	rot A

270
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
операцию rot и учтя равенство divA = 0. Заметив, что в силу
уравнения непрерывности также и divj = 0, получим
В неограниченном пространстве для везде конечных функций
j(r) и А (г) отсюда следует, что и
j(r) = -^А(г),	E1.7)
тс
т. е. значение тока в каждой точке определяется лишь значени-
значением потенциала в той же точке. Такое же равенство имеет место
между фурье-компонентами j(k) и А(к), и сравнение с E1.6) по-
показывает, что Q(k) дается не зависящим от к выражением1)
Q(k) = ^± = -lr при к^О.	E1.8)
тс 4:7гд1
Дальнейшее содержание этого параграфа состоит в вычисле-
вычислении Q(k) для модели БКШ, под которой подразумевается, как
уже говорилось, изотропный вырожденный ферми-газ со слабым
притяжением между частицами (электронами). В то же время
предполагается, что эти частицы взаимодействуют с магнитным
полем своим зарядом е.
В §42 были написаны уравнения D2.5) для температурных
гриновских функций ферми-газа в отсутствие внешнего поля.
Введение магнитного поля осуществляется заменой оператора
V—)-V—геА/с в гамильтониане Н^ G.7J). Такое же измене-
изменение возникает, следовательно, в уравнении G.8) для Ф и соот-
соответственно замена V —>• V + геА/с в аналогичном уравнении для
Ф+; то же самое относится, очевидно, и к уравнениям для ^м и
Фм. Спиновый же член (~ сгН), отвечающий прямому взаимо-
взаимодействию магнитного момента электрона с полем, мал и им мож-
можно пренебречь в гамильтониане и уравнениях. При воздействии
оператора V на функции С/(т, г; т\ г') и Т{т, г; т\ г') дифферен-
дифференцированию подвергаются соответственно операторы Ф (т, г) и
Фм(т, г). Поэтому и в уравнениях D2.5) введение магнитного
поля осуществляется теми же заменами V—^V=FieA/c.
Наличие внешнего поля нарушает пространственную одно-
однородность системы, в результате чего зависимость гриновских
1) В этом и следующих параграфах лондоновская глубина проникновения
обозначается как 6ь-
2)Ниже в этом параграфе (в уравнениях E1.9)—E1.19)) полагаем Н=1.

§ 51	СВЯЗЬ ТОКА С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В СВЕРХПРОВОДНИКЕ	271
функций от аргументов гиг' уже не сводится к зависимости
от г — г'; от аргументов же т и т' функции по-прежнему зависят
только через разность т — т1. Мы запишем уравнения сразу для
фурье-компонент по т — тг:
; r, r')+gZ J{Cs\ г, г') = 6(г),
E1-9)
{-%'+Ш [V+ f А(г)]2+М| Г((в; г, r')-gZ*g((s; г, г') = 0.
В случае слабого поля, который мы только и будем здесь рас-
рассматривать, эти уравнения могут быть линеаризованы; полагаем
(где первые члены — значения функций в отсутствие поля, а
вторые — малые поправки, линейные по полю) и сохраняем в
уравнениях лишь члены первого порядка малости по А.
При этом надо иметь в виду, что наличие поля меняет также
и конденсатную волновую функцию S, не сводящуюся в этом
случае к постоянной. Это усложнение, однако, отсутствует при
выбранной нами калибровке векторного потенциала, в которой
divA = 0	E1.11)
Действительно, поправка первого порядка (к постоянному зна-
значению S(°)) в скалярной функции S(r) могла бы быть лишь про-
пропорциональной divA и при условии E1.11) обращается в нуль.
Поэтому с требуемой точностью можно положить в линеаризо-
линеаризованных уравнениях gS = gS(°) = А, где А — щель в энергети-
энергетическом спектре газа в отсутствие поля (вещественная величина).
В результате линеаризованные уравнения E1.9) принимают
вид
, г') + А^1) (С; г, г') =
a(o)(C,;r-r0,
E1.12)
г') - Дд« (С; г, г') =

272	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ	ГЛ. V
В виду линейности этих уравнений по А достаточно решить
их для одной из фурье-компонент поля, т. е.
А(г) = А(к) егкг, кА(к) = 0.	E1.13)
При таком А(г) зависимость функций C/W и J7^1' от суммы
г + г' можно сразу отделить, положив
Так, первое из уравнений E1.12) принимает после этого вид
[*& + t± (V + l-kf + м] g((s; r - r') + A/(G; r - r') =
^k(')/() (?; r - r')
и аналогично для второго уравнения. Произведем теперь фурье-
преобразование функций gn/nor-r'. Окончательно приходим
к следующей системе двух алгебраических уравнений:
P) =
РА(к)^(С„р-
E1.15)
, P) =
После простых преобразований с использованием выражений
D2.7), D2.8) для функций С/(°) и Т^ решение этих уравнений
приводится к виду
(), () д
приводится к виду
где е± = е(р ± к/2), rj± = rj(p ± к/2) (функция же /(E, р) нам
ниже не понадобится).
Перейдем к вычислению тока. Для этого исходим из известно-
известного выражения оператора плотности тока в представлении

§ 51	СВЯЗЬ ТОКА С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В СВЕРХПРОВОДНИКЕ	273
вторичного квантованияг)
" - —А$+$а.
Для перехода к мацубаровскому представлению этого опера-
оператора достаточно заменить гейзенберговские Ф, Ф+ на мацуба-
ровские Фм, Фм. Вспомнив определение гриновской функции
C7.2), найдем, что плотность тока (диагональный матричный
элемент оператора j, усредненный по распределению Гиббса) мо-
может быть записана в виде
2
j(r) = 2^-[(V - VH(t, г; т', г')] г, = г - ^А(г) п, E1.17)
2т	тс
где п — плотность числа частиц (множитель 2 возникает от
При подстановке в E1.17) Q = Q^ + Q^ член с Q^ выпада-
выпадает: для однородной и изотропной системы функция С/(°)(г —г') —
четная, и ее производная при г — г' = 0 обращается в нуль. Пе-
Перейдя также к разложению Фурье по т - т , получим
[(V -
тс
а после подстановки А(г) и Q^ из E1.13) и E1.14) —
При подстановке сюда g(Cs, p) из E1.16) удобно сразу учесть
поперечность векторов j(k) и А (к) и произвести усреднение по
направлениям р^ вплоскости, перпендикулярной направлению к,
по формуле
где в — угол между к и р. В результате находим следующее
г) См. III, § 115. Здесь опущен член, представляющий вклад в ток от спина
частиц. Для неферромагнитной системы (когда гриновская функция Qap =
= SapG) этот член при усреднении обращается в нуль.

274
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
выражение для функции Q(k), определяющей связь между
и А(к):
Написанные в таком виде стоящие здесь интегралы и сумма
формально расходятся. Хотя эти расходимости в действительно-
действительности фиктивны, но при вычислении требуется осторожность: до
устранения расходимости результат может зависеть даже от по-
порядка, в котором производятся интегрирование и суммирование.
Эту трудность можно обойти, если учесть заранее очевидное
обстоятельство, что при А = 0 должно быть Q = 0 — в нормаль-
нормальном металле сверхпроводящий ток вообще отсутствует. Поэтому
мы не изменим ответа, если вычтем из E1.18) такое же выраже-
выражение с А = 0:
	L-	 -SJL. E1.19)
(Ks — V+jiKs — Tf-) ) BтгK
Это выражение уже хорошо сходится и интегрирование и сум-
суммирование в нем можно производить в любом порядке.
Отметим прежде всего, что интересующие нас значения к
малы в том смысле, что к <С рр\ это равенство выражает со-
собой просто тот факт, что характерные расстояния, на которых
в сверхпроводнике меняются поле и ток, велики по сравнению с
межчастичными расстояниями (т. е. по сравнению с ~ 1/рр).
Произведем в E1.19) сначала интегрирование по dp. Этот ин-
интеграл сосредоточен в основном в узкой области импульсов вбли-
вблизи ферми-поверхности — в области \р — рр\ ~ к. В этой области
1	1
77+ ~ 77 =Ь -Vpk COS в « Vp (р — Vp) ± -Vpk COS в,
множитель р^в подынтегральном выражении можно заменить нар^,
а интегрирование по d?p—интегрированием по 27rmppdr}dcos6.
После этого интеграл по drj от второго члена в фигурных скобках
в E1.19) обращается в нуль: путь интегрирования в нем может
быть теперь замкнут бесконечно удаленной полуокружностью в
плоскости комплексного 7/, и обращение интеграла в нуль есть
следствие того, что оба полюса подынтегрального выражения на-
находятся в одной и той же полуплоскости (верхней или нижней

§ 51	СВЯЗЬ ТОКА С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ В СВЕРХПРОВОДНИКЕ	275
в зависимости от знака ?5). Интегрирование по drj в первом члене
в E1.19) производится элементарно, после чего остается лишь
интеграл по переменной х = cos#. Введя также плотность п со-
согласно равенству рр = Зтг3п, получим окончательный результат
в виде (в обычных единицах)
±г! J [
A2(l-x2)dx
4mc ^ J [CI + A2-
s=—оо_-^ L^
= B5 + 1) тгГ
E1.20)
(J. Bardeen, N. Cooper, J.R. Schrieffer, 1957)x).
В предельном случае малых значений к (к?о <С 1, где
?о ~ Hvf/Aq ~ Hvf/Tc — длина когерентности) можно показать,
что выражение E1.20) сводится к не зависящему от к лондо-
новскому выражению E1.8); мы не будем останавливаться здесь
на этом.
В обратном предельном случае, когда к?о ^> 1, в интеграле
E1.20) существенна область х < Тс/(Нкур) <^i 1. Поэтому можно
пренебречь х2 по сравнению с 1 в числителе подынтегрального
выражения, после чего (ввиду быстрой сходимости) распростра-
распространить интегрирование от —ос до ос. В результате найдем
Q(k) = 37rWT ^ Д2
2mchvFk ±^ Се +д2
Произведя суммирование с помощью D2.10), представим эту
формулу в виде2).
4тг&	me2 4:Hvf	2T
При Т < Тс имеем ns « п, А « До и тогда /3 ~ 1/S^o. При
Тс - Т < Тс щель А мала, так что th(A/2T) w А/2ГС; с учетом
формул D0.4), D0.5), D0.16) находим снова C ~ \/8\?$. Таким
образом, во всей области температур от 0 до Тс
E1.22)
1)	Излож:енный метод получения этого результата с помощью температур-
температурных гриновских функций принадлежит А. А. Абрикосову и Л. П. Горькову
A958).
2)	Формула такого вида была предложена Пиппардом (А. В. Pippard, 1953)
на основании качественных соображений еще до создания микроскопической
теории сверхпроводимости.

276
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Итак, функция Q(k) остается примерно постоянной в обла-
области к < 1/?о (причем вблизи точки к = 0 разлагается регулярно
по степеням к2)] вне этой области функция Q(k) убывает, при
к ^> 1/?о — по закону 1/к. Такому поведению функции Q(k) от-
отвечает координатная функция Q(r), убывающая медленно (как
1/г2) в области г < ?о и быстро (по экспоненциальному закону)
вне этой области. Таким образом, корреляция между полем и
током простирается всегда на расстояния ~ ?о- Подчеркнем, что
это утверждение справедливо во всей области температур от ну-
нуля до Тс. Тем самым мы пришли к обоснованию сделанного уже
в § 44 утверждения об универсальности ?о как характерного для
сверхпроводимости параметра длины.
§ 52. Глубина проникновения магнитного поля
в сверхпроводник
Применим полученные в предыдущем параграфе результаты
к задаче о проникновении внешнего магнитного поля в сверх-
сверхпроводник (в лондоновском приближении эта задача была рас
смотрена в § 44).
Пусть сверхпроводник ограничен плоской поверхностью и за-
занимает полупространство х > 0, а внешнее поле i] (а с ним и
индукция В внутри сверхпроводника) направлено параллельно
поверхности, вдоль оси z. Тогда все величины зависят только от
координаты ж, причем ток j и векторный потенциал А (в калиб-
калибровке с div A = 0) направлены вдоль оси у. Уравнение Максвелла
rot В = —ДА = 4?rj/c сводится к
A"(x) = -^j(x), x>0,	E2.1)
где ' означает дифференцирование по х.
Граничные условия к этому уравнению зависят, однако, от
физических свойств поверхности металла по отношению к па-
падающим на нее электронам. Наиболее прост случай зеркального
отражения электронов от поверхности. Очевидно, что при таком
законе отражения задача о полупространстве эквивалентна за-
задаче о неограниченной среде, в которой поле А(х) распределено
симметрично по обе стороны плоскости х = 0 (А(х) = А(—х)).
При этом производная А1 (ж), как нечетная функция ж, будет ис-
испытывать при х = 0 разрыв, меняя знак при прохождении х
через нуль. Другими словами, условию В = А1 = ^ на поверхно-
поверхности полупространства в задаче с неограниченной средой отвечает
условие
A'(-0) = 2fi.	E2.2)

§ 52 ГЛУБИНА ПРОНИКНОВЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В СВЕРХПРОВОДНИК 277
Умножим уравнение E2.1) на е~гкх и проинтегрируем его по
dx в пределах от —ос до ос. В левой части уравнения пишем
сю	0	сю	сю
/A"e~ikx dx = f(A'e-ikx)' dx + f(A'e-ikx)' dx + ik I' A'e~ikx dx.
— СЮ	—СЮ	0	—СЮ
Первые два интеграла дают в сумме — 2i}, а в последнем мож-
можно интегрировать уже просто по частям, поскольку сама функ-
функция А(х) непрерывна при х = 0. В результате мы приходим к
равенству
С
где А(к) и j(k) — фурье-компоненты функций А(х) и j(x), опре-
определенных во всем пространстве. Они связаны, следовательно,
соотношением j{k) = —Q{k)A(k), где Q(k) дается формулами,
полученными в предыдущем параграфе. Таким образом, для
фурье-компонент поля находим
А(к) =	^	.	E2.3)
Глубина проникновения 6 определяется как1).
сю
<*=! I B(x)dx = -^^.	E2.4)
0
Выразив А(х = 0) через фурье-компоненты А(к) и подставив
последние из E2.3), имеем
сю	сю
8 = -± [ А(к)^ = ± [ 	*	.	E2.5)
Si J V ' 2тг тг J k*+4TrQ(\k\)/c	У '
—сю	—сю
Основную роль в этом интеграле играет область значений к,
в которой к2 rsj 4ttQ/c. В лондоновском случае (когда 6l ^ Со)
эти значения малы в том смысле, что к?о ^С 1. При этом Q(k)
дается не зависящим от к выражением E1.8), и интегрирование
в E2.5) приводит, естественно, к значению 6 = Sl-
В обратном, пиппардовском случае (когда Sl ^C Со) суще-
существенные в интеграле значения к ^> 1/?о- Здесь Q(k) дается вы-
выражением E1.21), и интеграл E2.5) дает
S = 5Р = 4/33/2/?1/3.	E2.6)
1) При экспоненциальном законе затухания поля это определение совпа-
совпадает с определением в D4.13).

278
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
С учетом E1.22) находим, таким образом, что пиппардовская
глубина проникновения
SP ~ (StioI'3.	E2.7)
Изложенные вычисления относились к случаю зеркального
отражения электронов от поверхности металла. В лондоновском
случае, однако, глубина проникновения вообще не зависит от за-
закона отражения, как это ясно из вывода значения Sl в § 44; при
6 ^ ?о детали структуры поверхности не существенны.
Но и в пиппардовском случае зависимость глубины проник-
проникновения от закона отражения фактически оказывается весьма
незначительной. Так, в обратном, по отношению к зеркальному,
случае диффузного отражения (когда направления скоростей
отраженных электронов распределены изотропно при любом
направлении падения) значение 6Р оказывается всего в 9/8 раз
больше, чем при зеркальном отражении.
§ 53. Сверхпроводящие сплавы
Наличие примесей оказывает на свойства сверхпроводников
значительно более глубокое влияние, чем на свойства нор-
нормальных металлов. Поправки к термодинамическим величинам
нормального металла остаются малыми до тех пор, пока мала
концентрация х атомов примеси, и становятся значительными
лишь при х rsj l? т. е. когда среднее расстояние между атома-
атомами примеси становится сравнимым с постоянной решетки а.
Подчеркнем, что мы говорим здесь, конечно, об электронных
вкладах в термодинамические величины, причем о тех из
них, которые определяются средней плотностью распределения
квантовых состояний электронов проводимости в импульсном
пространстве (таковы, например, теплоемкость и магнитная
восприимчивость в слабых полях).
Иная картина в сверхпроводящих металлах. Это связано с
существованием характерного параметра длины, большого по
сравнению с а, — длины когерентности ?о- Поскольку рассеяние
электронов на атомах примеси нарушает корреляцию между
электронами, свойства сверхпроводника могут существенно из-
измениться, уже когда длина свободного пробега электронов срав-
сравнивается с ?о; концентрация же х остается при этом еще малой.
Мы изложим здесь качественно основные результаты, необхо-
необходимые для общего понимания свойств таких сплавов малой
концентрациих).
г) Полная теория сверхпроводящих сплавов, построенная А. А. Абрикосо-
Абрикосовым и Л. П. Горьковым, довольно сложна и выходит за рамки этой книги.
См. оригинальные статьи: ЖЭТФ. 1958. Т. 35. С. 1558; 1959. Т. 36. С. 319.

§ 53	СВЕРХПРОВОДЯЩИЕ СПЛАВЫ	279
Пусть атомы примеси не имеют механического, а тем самым
и магнитного момента (не парамагнитные примеси). В таком
случае они лишь слабо влияют на термодинамические свойства
сверхпроводника в отсутствие магнитного поля. Дело в том, что
такие примеси не нарушают симметрии относительно обращения
времени. Действительно, взаимодействие распределенных неко-
некоторым образом примесных атомов с электронами можно описать
заданием некоторого потенциального поля U(г). Согласно тео-
теореме Крамерса, уровни энергии электронов в таком поле оста-
остаются двукратно вырожденными, причем соответствующие этим
уровням состояния как раз являются взаимно обращенными по
времени, и, следовательно, электроны в них могут образовывать
куперовские пары. Это будет по-прежнему происходить вблизи
резкой поверхности Ферми с той лишь разницей, что самая эта
поверхность ограничивает теперь заполненные состояния не в
импульсном пространстве, а в пространстве квантовых чисел в
поле U(г); при малой концентрации примеси плотность кванто-
квантовых состояний вблизи ферми-поверхности изменяется мало.
Ясно поэтому, что после усреднения по положениям атомов
примесей должны получиться формулы, отличающиеся от фор-
формул теории чистых сверхпроводников лишь поправками порядка
малости х. В пренебрежении этими несущественными поправка-
поправками не изменятся, в частности, температура точки перехода Тс
и величина скачка теплоемкости в ней. Поэтому не изменится и
отношение о? /Ъ коэффициентов в уравнении Гинзбурга-Ландау
(см. D5.8)); самый же вид этого уравнения вообще не зависит от
отсутствия или наличия примесей, уравнение справедливо в рав-
равной степени как для чистых сверхпроводников, так и для сверх-
сверхпроводящих сплавов.
С другой стороны, магнитные свойства сверхпроводника, в
частности глубина проникновения магнитного поля, существен-
существенно меняются уже при Z ~ ?о- Оценим глубину проникновения,
предполагая, что хотя концентрация х <С 1, но уже длина
пробега I < ?0 (А. В. Pippard, 1953).
Столкновения электронов с атомами примеси уничтожают
корреляцию в движении электронов на расстояниях г > /. Это
значит, что ядро Q(r) в интегральной связи между током и по-
полем в сверхпроводнике будет экспоненциально затухать уже на
расстояниях г ~ / <С ?о- Соответственно в импульсном представ-
представлении функция Q(k) будет теперь оставаться постоянной в обла-
области к < 1/1. Значение этой постоянной можно определить путем
«сшивки» при kl rsj 1 с формулой E1.21) (остающейся справед-
справедливой при к ^> 1/1 ^> 1/?о)- Таким образом, находим, что
^^A<l.	E3.1)

280
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
Глубина проникновения S определяется соотношением
к2 ~ Q(k)/c при к ~ 1/5 (см. §52). Используя E3.1), найдем
S ~ 4ЧИСТ)(Г = 0) [	«°	1 V2 ~ 4ЧИСТ)(Г) (^)Ф , E3.2)
L V	У |_/th(A/2T)J	L V J \l ) ' V У
причем для справедливости этой формулы должно выполнять-
выполняться неравенство 6 ^> /, оправдывающее использование E3.1); ин-
индекс «чист» означает значение величины в отсутствие примесей,
значение для чистого сверхпроводника подразумевается также и
для ?о- Выражение E3.2) можно представить также и лондонов-
ской формулой, понимая в ней под плотностью числа сверхпро-
сверхпроводящих электронов величину
ns - п^ст)Ы1.	E3.3)
В терминах коэффициентов а и Ъ уравнения Гинзбурга-Ландау
соотношение E3.2) означает (см. D5.16)), что
а \ а / чист /
Учитывая также отмеченную выше независимость от наличия
примесей отношения а2/6, находим, что
ОС <^> С^чист^О/^ ^ rsJ ^чист(?о/^) •	E3.4)
Согласно D5.17) имеем отсюда для корреляционного радиуса
ССТ'Л ~, ССТ'Л	A 1С Л1/2	/го г\
и для параметра х, D5.18)
X, rsj Хчист?оЛ ^ ^чист-	E3.6)
При достаточно малой длине пробега становится к > 1/у2, так
что достаточно «грязные» сверхпроводники относятся ко второ-
второму роду.
Область применимости уравнений Гинзбурга—Ландау к «гряз-
«грязным» сверхпроводникам со стороны низких температур ограни-
ограничивается фактически только условием ТС — Т<^ТС. Необходимое
неравенство 6 (Г) ^ / эквивалентно в этом случае более слабому
условию
Г
Наконец, скажем несколько слов о свойствах сверхпровод-
сверхпроводников с парамагнитными примесями. Такие примеси нарушают
симметрию системы относительно обращения времени и тем
самым нарушают самое явление спаривания электронов (при

§ 54	ЭФФЕКТ КУПЕРА	281
наличии магнитных моментов обращение времени требует также
и изменения знаков моментов, т. е. по существу означает замену
одной физической системы другой). Количественной мерой
влияния этих примесей на свойства сверхпроводника является
длина пробега ls по отношению к рассеянию с изменением
направления спина (вызванного обменным взаимодействием с
атомами примеси). Сверхпроводимость исчезает при достижении
концентрацией х критического значения, при котором ls ~ ?о-
В действительности, однако, имеется две критические кон-
концентрации, обе одного порядка величины. При меньшей из них
(х±) обращается в нуль щель А в энергетическом спектре; кон-
денсатная же волновая функция S обращается в нуль лишь при
некоторой концентрации Х2 > х\. В области же концентраций
между Ж1 и Ж2 имеет место бесщелевая сверхпроводимость.
Поскольку при выводе уравнения Лондонов в § 44 использова-
использовались лишь самый факт существования конденсатной функции и
соображения калибровочной инвариантности, то ясно, что основ-
основные свойства сверхпроводника — существование сверхпрово-
сверхпроводящего тока, эффект Мейсснера — сохраняются и в этой
области. Отсутствие же щели в спектре проявляется (в равно-
равновесных свойствах сверхпроводника) в неэкспоненциальном тем-
температурном ходе теплоемкости. Отметим, что противоречия с
критерием сверхтекучести Ландау (§ 23) здесь не возникает, так
как к неупорядоченным системам (типа рассматриваемых спла-
сплавов) этот критерий вообще неприменим, поскольку элементарные
возбуждения не характеризуются определенным импульсом1).
§ 54. Эффект Купера при отличных от нуля
орбитальных моментах пары
Уже неоднократно говорилось о том, что в основе возникно-
возникновения сверхтекучести в ферми-системе лежит эффект Купера —
образование связанных состояний (спаривание) притягивающи-
притягивающимися частицами на ферми-поверхности. Для ферми-газа условие
притяжения формулируется как требование отрицательности
длины рассеяния а = fUdsx, т. е. положительность амплитуды
рассеяния двух частиц в состоянии с нулевым орбитальным
моментом относительного движения, / = 0 (именно это состояние
дает главный вклад в рассеяние при малых энергиях).
Справедливо, однако, и гораздо более сильное утверждение:
спаривание (и, как следствие, возникновение сверхтекучести)
^Изложение теории бесщелевой сверхпроводимости см. в оригинальной
статье: А. А. Абрикосов, Л. П. Горькое// ЖЭТФ. 1960. Т. 39. С. 1781.

282
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
происходит, если взаимодействие имеет характер притяжения хо-
хотя бы при одном каком-либо значении момента / {Л. Д. Лан-
Ландау, 1959). Подчеркнем, что речь идет об изотропной системе
(жидкость или газ), где можно классифицировать состояния по
значениям /.
Докажем это утверждение для ферми-газа с помощью мето-
метода, позволяющего, в принципе, определить температуру Тс пере-
перехода в сверхтекучее состояние исходя только из свойств системы
(нормального ферми-газа) при температурах Т > Тс.
В § 18 было упомянуто, что в математическом аппарате
гриновских функций нормальной ферми-системы энергия свя-
связанного состояния пары частиц проявляется как полюс вер-
вершинной функции Г; то же самое относится (при Т ф 0) и к
температурной вершинной функции, которую обозначим через
Т. После появления такого полюса весь этот аппарат становится
в действительности неприменимым, но он еще применим в
первый момент, когда (при понижении температуры) при Т = Тс
впервые появляется полюс, причем энергия связи пары в этот
момент должна равняться нулю; состояния сверхтекучей и
нормальной фаз при этом совпадают.
На скелетной диаграмме
кружок изображает —Т. Точка перехода Тс определяется, со-
согласно сказанному выше, как температура, при которой Т имеет
полюс при
C*i = C*2 = 0, pi+pi = 0.	E4.1)
Первое равенство выражает, что спаривающиеся частицы нахо-
находятся на ферми-поверхности, а энергия связи пары равна нулю;
второе равенство означает, что спаривающиеся частицы имеют
противоположные импульсы.
Спаривание частиц возникает уже при сколь угодно слабом
их притяжении. Ясно, что для возникновения полюса необходи-
необходимо, чтобы в ряде теории возмущений для вершинной функции
имелись бы члены, содержащие интегралы, расходящиеся при
условии E4.1) и при Тс —»> 0 (Тс мало при слабом притяжении);
в противном случае все поправки к (конечному) члену первого
приближения были бы заведомо малы по сравнению с последним
при всех температурах, и полюс не мог бы появиться.

54
ЭФФЕКТ КУПЕРА
283
Этому требованию удовлетворяет ряд «лестничных» диаграмм
.3
^^У 3-—*—1 3« .« «—1 3" ¦ « >« >«—1
E4.2)
Как будет видно из последующего, во всех этих диаграммах (на-
(начиная со второй) малость по взаимодействию (от прибавления
штриховых линий) компенсируется, в указанном смысле, расхо-
расходимостью интеграловх).
Применив к этому ряду прием, который был уже использо-
использован при переходе от A7.3) к A7.4), найдем, что равенство E4.2)
эквивалентно диаграммному уравнению
Pi
E4.3)
-Pi
Свободным концам и внутренним линиям диаграмм отвечают
аргументы, которые указаны в E4.3) уже с учетом условий E4.1):
Pi = @, pi), Рз = @, р3), Q = «5, q).
Спиновая зависимость гриновских функций идеального газа
отделяется в виде
а спиновая зависимость вер-
вершинной функции (без антисимметризации!) — в виде
з, Pa; Pi, P2) = ^VHPs, Pa; Pi,
Раскрыв диаграммы E4.3) по указанным в § 38 правилам и со-
сократив спиновые множители, получим для функции Т
1) К диаграммам E4.2) надо было бы добавить еще такой же ряд диаграмм
с переставленными концами 3 и 4, что приводит к антисимметризации вер-
вершинной функции по ее спиновым и орбитальным аргументам. Однако для
поставленной здесь цели определения Тс этого можно не делать, так как в
обеих этих частях вершинной функции полюс появляется одновременно.

284	СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
интегральное уравнение
-G,-qJx
E4.4)
В стоящих здесь сумме и интегралах существенны малые
значения дискретной переменной ?5 и значения q вблизи ферми-
поверхности (см. ниже). Поэтому в множителях U и Т под
знаком интеграла можно положить ?5 = 0 и q = рр • На ферми-
поверхности лежат также и векторы pi и рз- Таким образом,
все функции Т и U в уравнении E4.4) будут зависеть каж-
каждая лишь от одной независимой переменной — угла между
какими-либо двумя из трех векторов pi, рз, q на ферми-
поверхности.
Уравнение E4.4) можно теперь решить, разделив U и Т в
ряды по полиномам Лежандра:
сю
17@) = ^B1 + l)a/P/(costf),
l=J	E4.5)
1=0
где д — какой-либо из указанных углов. Подставив эти разло-
разложения в E4.4) и произведя интегрирование по направлениям с
помощью теоремы сложения сферических функций, получим
Ti(l + aiU) = ah	E4.6)
где
функция С/(°) взята из C7.13), а ?7q = q2/2m — [i « vp(q —
Согласно формуле суммирования D2.10), имеем
/th
2BтгK J 2T
E4.8)
Расходимость интеграла по dq = drj/vp на верхнем пределе
фиктивна (ср. примечание на с. 207) и интеграл должен быть

§ 54	ЭФФЕКТ КУПЕРА	285
обрезан при некотором т\ « S/1). Но при Г —»> 0 интеграл рас-
расходится логарифмически также и на нижнем пределе, т. е. ведет
себя как 1пA/Г).
Из E4.6) видно, что 7/ обращается в бесконечность (т. е. Т
имеет полюс) при условии
1 + сцП = 0.	E4.9)
Но это уравнение совпадает по форме с уравнением, определяю-
определяющим точку перехода при спаривании с / = 0, отличаясь от него
лишь заменой «константы связи» gHa —щ (ср. D2.11)); понимая
эту формулу как уравнение для определения Гс, надо положить
в ней А = 0, после чего е(р) совпадает с rjp. Мы видим, следова-
следовательно, что вершинная функция имеет полюс, если хотя бы одна
из величин а\ отрицательна; при этом температура перехода
= 1е,ехр (--?-)	E4.10)
7Г	\ \a\\VF )
(ср. D0.4) и C9.19)). Если щ < 0 при ряде различных значе-
значений /, то переход происходит при температуре Гс , отвечающей
максимальному \сц |2).
Можно показать, что во всяком ферми-газе (или жидкости),
состоящем из электрически нейтральных атомов, величины щ
во всяком случае должны стать отрицательными при достаточ-
достаточно больших значениях / (Л. П. Питаевский, 1959). Причина за-
заключается в том, что во взаимодействии нейтральных атомов
всегда есть область расстояний (больших), на которых оно име-
имеет характер притяжения — так называемое ван-дер-ваальсово
притяжение.
В реально существующей жидкости такого рода — жидком
изотопе 3Не — возникновение сверхтекучести происходит,
по-видимому, за счет спаривания с / = 13). Мы не будем останав-
останавливаться на структуре сверхтекучей фазы и обсудим лишь крат-
кратко вопрос о выборе параметра порядка, отличающего эту фазу
) В виду быстрой сходимости суммы по s в E4.7) в ней действительно
существенны лишь малые ?s, а логарифмический характер интеграла по dq
оправдывает предположение о близости q к pf .
) Отметим, что если бы были все щ > 0, то переход отсутствовал бы и
формула E4.6) для 71 была бы справедлива при всех температурах вплоть
до Т = 0. При этом все 71 стремились бы при Т —>> 0 к нулю по закону
Ti ос 1/| 1пТ|. Это является проявлением упомянутого в примечании на с. 42
факта обращения при Т = 0 в нуль функции Т (а с нею и функции взаимо-
взаимодействия квазичастиц /) для частиц с противоположными импульсами.
3) Переход происходит при температуре ~ 10~3. Заметим, что малость
Тс обеспечивает существование области применимости теории нормальной
ферми-жидкости к жидкому 3Не.

286
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
от нормальной. Величиной, равной нулю выше точки перехода
и отличной от нуля ниже нее, является аномальная гриновская
функция -Fa^(t, ri; ?, Г2) = -Fa/#(ri — Г2); как было уже указано в
§41, она играет роль волновой функции связанных пар частиц.
Ее фурье-компонента Fap(p), взятая на ферми-поверхности (т. е.
при р = 2pi?n), является функцией направления п (а не кон-
константой, как при спаривании с / = 0). В силу антикоммутации
^-операторов функция i^a^(n) антисимметрична, как и следова-
следовало, по отношению к перестановке частиц: Fap(n) = — Fpa(—n).
При спаривании с / = 1 (как и с любым нечетным момен-
моментом) Fap — нечетная функция п, так что F^p — симметричный
спинор. Это значит, что спин пары равен единице, как и долж-
должно быть для состояния двух одинаковых фермионов с нечетным
/. Симметричный спинор второго ранга эквивалентен вектору,
который обозначим через d. В случае 1 = 1 зависимость d от п
должна отвечать полиному Лежандра Pi (cos б), т. е. быть линей-
линейной: di = ipikUk. Комплексный тензор второго ранга ф^
(не обязательно симметричный!) и описывает сверхтекучую
фазу. Реально существуют две различные сверхтекучие фазы
жидкого 3Не, различающиеся видом тензора ф^.

ГЛАВА VI
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
§ 55. Электрон в периодическом поле
Электронные оболочки атомов в кристалле сильно взаимо-
взаимодействуют друг с другом, в результате чего уже нельзя говорить
об уровнях энергии отдельных атомов, а лишь об уровнях для
совокупности электронных оболочек всех атомов тела в целом.
Характер электронного энергетического спектра различен для
разных типов твердых тел. В качестве предварительного шага
для изучения этих спектров необходимо, однако, рассмотреть
более формальную задачу о поведении отдельного электрона во
внешнем пространственно-периодическом электрическом поле,
которое служит моделью кристаллической решетки. Этому
посвящены § 55-60.
Периодичность поля означает, что оно не меняется при парал-
параллельном переносе на любой вектор вида а = niai + П2&2 + ^заз
(где ai, а2, аз — основные периоды решетки; ni, П2, щ — целые
числа):	t ч t ч	( ,
J	U(r + а) = С/(г).	E5.1)
Поэтому и уравнение Шредингера, описывающее движение элек-
электрона в таком поле, инвариантно относительно любого преобра-
преобразования г —> г + а. Отсюда следует, что если ^(г) есть волновая
функция некоторого стационарного состояния, то ф(т + а) тоже
есть решение уравнения Шредингера, описывающее то же са-
самое состояние электрона. Это означает, что обе функции долж-
должны совпадать с точностью до постоянного множителя: ^(г + а) =
= const - ф(г). Очевидно, что const должна быть равна по моду-
модулю единице; в противном случае при неограниченном повторении
смещения на а (или на —а) волновая функция стремилась бы к
бесконечности. Общий вид функции, обладающей таким свой-
свойством, следующий:
<Ыг) = eikrnsk(r),	E5.2)
где к — произвольный (вещественный) постоянный вектор, а
— периодическая функция
+ з.) =щф).	E5.3)

288	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
Этот результат был впервые получен Ф. Блохом (F. Block, 1929);
волновые функции вида E5.2) называют функциями Блоха, и в
этой связи об электроне в периодическом поле часто говорят как
о блоховском электроне.
При заданном значении к уравнение Шредингера имеет, во-
вообще говоря, бесконечный ряд различных решений, отвечающих
бесконечному ряду различных дискретных значений энергии
электрона е(к); индекс s в ф8-^ нумерует эти решения. Такой же
индекс (номер энергетической зоны) надо приписать и различ-
различным ветвям функции е = ?5(к) — закону дисперсии электрона в
периодическом поле. В каждой зоне энергия пробегает значения
в некотором конечном интервале.
Для различных зон эти интервалы разделены «энергетиче-
«энергетическими щелями» или же частично перекрываются; в последнем
случае в области перекрытия каждому значению энергии отве-
отвечают различные (в каждой зоне) значения к. Геометрически это
означает, что изоэнергетические поверхности, отвечающие двум
перекрывающимся зонам s л s', находятся в различных областях
k-пространства. Формально перекрытие зон означает вырожде-
вырождение — различные состояния обладают одинаковой энергией, но
поскольку этим состояниям отвечают различные значения к, то
это не приводит к каким-либо особенностям в спектре. От об-
общего случая перекрытия надо отличать пересечение зон, когда
значения ?5(к) и ?5/(к) совпадают в одних и тех же точках к
(изоэнергетические поверхности пересекаются). Обычно под вы-
вырождением понимают только такой случай; пересечение приво-
приводит к появлению определенных особенностей в спектре.
Все функции -05к с различными s или к, разумеется, взаимно
ортогональны. В частности, из ортогональности ф8ь с различ-
различными s и одинаковыми к следует ортогональность функций и3ь.
При этом ввиду их периодичности достаточно производить ин-
интегрирование по объему v одной элементарной ячейки решетки;
при соответствующей нормировке
v = Sssf.	E5.4)
Смысл вектора к состоит в том, что определяет поведение
волновой функции при трансляциях: преобразование г —> г + а
умножает ее на егка,
Отсюда сразу следует, что величина к по самому своему опреде-
определению неоднозначна: значения, отличающиеся на любой вектор
b обратной решетки, приводят к одинаковому поведению волно-
волновой функции (множитель ехр{г(к + Ь)а} = ехр(гка)). Другими

§ 55	ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ	289
словами, такие значения к физически эквивалентны; они соот-
соответствуют одному и тому же состоянию электрона, т. е. одной
и той же волновой функции. Можно сказать, что функции фа\^
периодичны (в обратной решетке) относительно индекса к:
V4k+b(r)=Vsk(r).	E5.6)
Периодична также и энергия:
es(k + b) = es(k).	E5.7)
Функции E5.2) обнаруживают определенное сходство с вол-
волновыми функциями свободного электрона — плоскими волнами
ф = const • ехр(грг/Я); при этом роль сохраняющегося импульса
играет постоянный вектор Кк. Мы снова (как и для фонона —
см. V, § 71) приходим к понятию о квазиимпульсе электрона в пе-
периодическом поле. Подчеркнем, что истинного сохраняющегося
импульса в этом случае вообще нет, так как во внешнем поле за-
закон сохранения импульса не имеет места. Замечательно, однако,
что в периодическом поле электрон тем не менее характеризуется
некоторым постоянным вектором.
В стационарном состоянии с заданным квазиимпульсом Кк
истинный импульс может иметь, с различными вероятностями,
бесконечное число значений вида Н(к + Ь). Это следует из того,
что разложение периодической в пространстве функции в ряд
Фурье содержит члены вида е :
b
и потому разложение волновой функции E5.2) на плоские волны
^k(r) = ^a5,k+be^k+b)r.	E5.8)
ь
Тот факт, что коэффициенты разложения зависят только от
сумм k + b, выражает собой свойство периодичности в обрат-
обратной решетке E5.6). Подчеркнем, что этот факт, как и свойство
E5.6), не есть дополнительное условие, налагаемое на волновую
функцию, а является автоматическим следствием периодично-
периодичности поля U(г).
Все физически различные значения вектора к лежат в одной
элементарной ячейке обратной решетки. «Объем» этой ячейки
равен BтгK/г>, где v — объем элементарной ячейки самой решет-
решетки кристалла. С другой стороны, объем к/2тг-пространства опре-
определяет число соответствующих ему состояний (приходящихся на
единичный объем тела). Таким образом, число таких состояний,
заключенных в каждой энергетической зоне, равно 1/v, т. е. чис-
числу элементарных ячеек в единице объема кристалла.
10 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

290	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
Помимо своей периодичности в к-пространстве функции es (k)
обладают также и симметрией по отношению к поворотам и от-
отражениям, отвечающим симметрии направлений (кристалличе-
(кристаллическому классу) решетки. При этом, независимо от наличия или
отсутствия центра симметрии в данном кристаллическом клас-
классе, всегда
еа(-к) =еа(к).	E5.9)
Это свойство — следствие симметрии относительно обращения
времени. Действительно, в силу этой симметрии, если ф8\^ —
волновая функция стационарного состояния электрона, то и
комплексно-сопряженная функция ф*^ описывает некоторое со-
состояние с той же энергией. Но ф*^ умножается при трансляциях
на е~г , т. е. ей отвечает квазиимпульс —к1).
Рассмотрим, далее, два электрона в периодическом поле. Рас-
Рассматривая их вместе как одну систему с волновой функцией
ф{т\, Г2), мы найдем, что при параллельном переносе эта функ-
функция должна умножиться на множитель вида е , где к можно
назвать квазиимпульсом системы. С другой стороны, на больших
расстояниях между электронами ф(т\, Г2) сводится к произведе-
произведению волновых функций отдельных электронов и при трансляции
умножится на егк1аегк2« ц3 требования совпадения обоих видов
записи этого множителя находим, что
к = ki + к2 + Ь.	E5.10)
В частности, отсюда следует, что при столкновении двух элек-
электронов, движущихся в периодическом поле, сумма их квазиим-
квазиимпульсов сохраняется с точностью до вектора обратной решетки:
ki + k2 = k'i + k'2 + b.	E5.11)
Дальнейшая аналогия между квазиимпульсом и истинным
импульсом выясняется при определении средней скорости элек-
электрона. Вычисление ее требует знания оператора скорости v = г в
k-представлении. Операторы в этом представлении действуют на
коэффициенты csk разложения произвольной волновой функции
по собственным функциям ф8\^\
sk.	E5.12)
) При наличии перекрытия зон из этих рассуждений следует, строго гово-
говоря, лишь что ?s{—k) = es/(k), где s и s' — номера каких-либо зон. Равенства
E5.9) можно, однако, всегда добиться путем надлежащего определения но-
номеров различных ветвей функции е(к).

§ 55	ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ	291
Найдем сначала оператор ?. Имеем тождественно
гф = ?|Cskr^skd4 = Y:/с* (~г^ + ie^9-^) d4.
В первом члене производим интегрирование по частям, а во вто-
втором разложим периодическую (как и сама i?5k) функцию ди^/дк
по системе взаимно ортогональных функций us\^ с тем же к:
^	'к)«в,к,	E5.13)
где (sk | $11 s'k) — постоянные коэффициенты. Тогда получим
s'k d3k =
С другой стороны, по определению оператора ?, должно быть
s **
Сравнив с полученным выражением, находим
r = ij- + fi,	E5.14)
где оператор (эрмитов) fi задается своей матрицей (s'k | fi | sk).
Существенно, что эта матрица диагональна по индексу к, и по-
поэтому оператор Л коммутативен с оператором к = к.
Оператор скорости получается, по общим правилам, пу-
путем коммутирования оператора ? с гамильтонианом электрона.
В k-представлении гамильтониан Н является диагональной по
к и номерам зон s матрицей с элементами ?5(кI). Оператор
же Э/Эк, действующий только на переменную к, диагоналей по
номерам s. Поэтому в выражении
v= ЦЙт -тН) = -- (Й- - —Й) +П
х) Точнее, надо говорить о ks-представлении. Напомним, что волновые
функции в этом представлении, csk5 не вполне произвольны — они должны
быть периодичны по к.
10*

292	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	Г
первый член является диагональной матрицей с элементами
Матричные же элементы fi связаны с матричными элементами
Л соотношением
(sk | П | в'к) = 1[ев(к) - ев/(к)]<*к | П | в'к);
это выражение обращается в нуль при 5 = s', т. е. Г2 не имеет
элементов, диагональных по номеру зоны. Таким образом, окон-
окончательно находим для матричных элементов скорости электрона
(sk|v|sk) = ^^, (sk|v|s'k) = (sk|fi|s'k) (s^sf). E5.15)
Диагональные элементы этой матрицы представляют собой
средние значения скорости в соответствующих состояниях. Эти
значения, следовательно, как функции квазиимпульса даются
выражением	л ,, ч
1 ()
полностью аналогичным обычному классическому соотношению.
До сих пор мы вели изложение, отвлекаясь от наличия у
электронов спина. В пренебрежении релятивистскими эффекта-
эффектами (спин-орбитальным взаимодействием) учет спина приводит
просто к двукратному вырождению каждого уровня энергии с
заданным значением квазиимпульса к — по двум значениям
проекции спина на какое-либо фиксированное направление в
пространстве. С учетом же спин-орбитального взаимодействия
ситуация различна в зависимости от того, имеет ли или нет
кристаллическая решетка центр инверсии.
Спин-орбитальное взаимодействие для электрона в периоди-
периодическом поле описывается оператором
^	E5.17)
где (т — матрица Паули (см. IV, § 33). Волновые функции, на ко-
которые действует этот оператор, — спиноры первого ранга фзксп
где а — спинорный индекс. Согласно теореме Крамерса
(см. III, §60), относящийся к любому (в том числе периодиче-
периодическому) электрическому полю, комплексно-сопряженные спино-
спиноры ipska и ipgka всегда описывают два различных состояния с
одной и той же энергией. Поскольку в то же время функция

55
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
293
^*ка отвечает квазиимпульсу —к, то мы снова (теперь уже и с
учетом спин-орбитального взаимодействия) приходим к соотно-
соотношению типа E5.9):
C<S<J\—**¦/ 	 ^SO" \ /5	\ОО.±О1
где индексы а и а1 отличают два различных (обращенных по
времени) спиновых состояния1).
Равенство E5.18) не означает, конечно, вырождения в том
смысле, о котором говорилось выше, поскольку энергии в обеих
сторонах равенства относятся к различным значениям к. Но если
решетка обладает центром инверсии, то
состояния с к и —к имеют одинаковую
энергию. Тогда мы приходим к равенству
?5<7(к) = ?5G/(к), снова означающему дву-
двукратное вырождение каждого уровня с
заданным квазиимпульсом.
Наряду с вырождением, связанным
Щх)
II
I
III
0
a+b
Рис
с симметрией относительно обращения —Ь
времени, для электрона в периодическом
поле может существовать также и выро-
вырождение, обязанное пространственной симметрии решетки. Этим
вопросам посвящен ниже § 68.
Задачи
1. Найти закон дисперсии для одномерного движения электрона в пери-
периодическом поле, изображенном на рис. 10 (R. Kronig, W. G. Penney, 1930).
Решение. Волновая функция в области ямы I @ < х < а) имеет вид
ф = С1еЫгх + c2e~ixix, X! = у/2т?/П,	A)
а в области барьера II (—Ъ < х < 0):
ф = с%ег>С2Х + С4б г>С2Х5 Х2 = у 2m(s — Uo)/H.	B)
В области следующего барьера III волновая функция должна отличаться от
B) лишь фазовым множителем e*fc(a+b) (a + b — период поля):
/	ik(a-\-b) ( i>c-2 (x — a — b) ,	—гяо (x — a — b)\	/o\
Яр == 6	(C3 6	~Г С4 6	).	(О )
Условия непрерывности ф и ф' в точках х = 0 и х = а дают четыре уравнения
для ci, ..., С4; условие совместности этих уравнений приводит к дисперси-
дисперсионному уравнению
cos k(а + Ъ) = cos K\a • cos x2b	( — Л
2 \Я я
sin K\a •
D)
1) С учетом спин-орбитального взаимодействия оператор проекции спина
уже не коммутативен с гамильтонианом, так что эта проекция не сохраня-
сохраняется и спиновые состояния не могут, строго говоря, характеризоваться этим
числом.

294
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
определяющему в неявном виде искомую зависимость г(к). При г < Uo ве-
величина Кч мнима, и тогда уравнение надо записать в виде
cos к(а + Ъ) = cos К\а • ch |x2&| +
- [ —^-	— ) si
2 V *i 1^|
• sh
E)
Если в E) перейти к пределу Uo —>¦ оо, 6 —»> 0 при Uob = const = Pa, по-
получим дисперсионное уравнение
cos ка = cos xi a +
Рта2 si
F)
Оно решает задачу об уровнях энергии в периодическом поле, составленном
из E-функционных пиков:
ТТ(™\ — пР \ ^ Ж 'г nti\
С/ I Л/) — ex./ / с/1 Л/ — aft).
п
На рис. 11 дано графическое построение, иллюстрирующее распределение
корней уравнения F). Здесь изображена правая часть уравнения как функция
от я\а\ когда она пробегает значения между ±1, корни уравнения пробегают
значения в интервалах, указанных жирными отрезками на оси абсцисс.
1\ -Зп/Г
-4тг\\
\ "Я"/
/ ?г\
+ 1 \ Г^
0 |\7Г /[
\3п
/1 *
Рис. 11.
2. Найти закон дисперсии для одномерного движения частицы в слабом
периодическом поле U(x).
Решение. Рассматривая поле как малое возмущение, исходим из нуле-
нулевого приближения, в котором частица совершает свободное движение, опи-
описываемое плоской волной
(нормировка на 1 частицу на длине Na\ a — период поля); энергия части-
частицы г^ = Н2к2/2т. Представим периодическую функцию U(x) в виде ряда
Фурье
U(x)=
Une
27rinx/a
Матричные элементы этого поля по отношению к плоским волнам отличны
от нуля только для переходов между состояниями с волновыми векторами
к и к' = к + 2-кп/а и в этих случаях равны Uk'k = Un.

55
ЭЛЕКТРОН В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ
295
В первом приближении теории возмущений поправка к энергии дается
диагональным матричным элементом г^ = Ukk = Uo, т. е. не зависящей
от к постоянной, лишь смещающей начало отсчета энергий. Исключение со-
составляют, однако, уровни энергии в окрестности значений к = ттп/а (п = ±1,
±2,...). В этих точках к отличается лишь знаком от значения к' = к — 2пп/а,
так что энергии е^ (к) и е^ (кг) совпадают. В окрестности этих значений,
следовательно, отличны от нуля матричные элементы для переходов между
состояниями с близкими энергиями, и для определения поправки должен
быть использован метод теории возмущений, относящийся к случаю близ-
близких собственных значений (см. III, §79). Ответ дается формулой G9.4)(см.
III), согласно которой в данном случае
±il-
(к) + е@)(к - Кп)]±
1/2
|\
\
ч
е
^->
i
i
i
i
i
/1
i
i
i
2тг
а
7Г 2К
а а
1
1
1 /
1 /
1 /
\J
1
1
? '
i
ч i
\ i
\ '
\\б)
i
i
где Кп = 2тт/а, а аддитивная постоянная С/о опущена; выбор знака пе-
перед корнем определяется требованием, чтобы вдали от значения к = zLK"n/2
функция г(к) переходила бы в е^(к): знаки + и — относятся соответственно
к областям \к\ > \Кп/2\ и \к\ < \Кп/2\. В самих точках к = ±Кп/2 функ-
функция г(к) испытывает скачок, равный 2|С/П|. На рис. 12 а энергия г(к) изобра-
изображена как функция переменной /с, пробегающей значения от — оо
до оо. Если же привести значения к (квазиимпульса) к интервалу между
±тг/а, то мы придем к рис. 12 б,
где изображены две первые
энергетические зоны.
Обратим внимание на то,
что зоны на рис. 12 (как
и на рис. 11) не перекры-
перекрываются. Это общее свойство
одномерного движения в пе-
периодическом поле. Каждый
уровень энергии двукратно
вырожден (по знаку к), а
большая кратность вырожде-
вырождения при одномерном движе-
движении вообще невозможна.	Рис. 12.
Отметим, что в одномерном
случае границы каждой зоны
(минимальные и максимальные значения s(k)) соответствуют значениям
fc = 0nfc = тг/а. Дело в том, что волновые функции, соответствующие энер-
энергиям в запрещенном интервале, умножаются при смещении на период а на
некоторый вещественный множитель (в силу чего и возрастают неограни-
неограниченно на бесконечности). Волновые же функции в разрешенных интервалах
энергии при таком переносе умножаются на егка. На границе между запре-
запрещенным и разрешенным интервалами этот множитель, следовательно, дол-
должен быть одновременно вещественным и равным по модулю единице, откуда
и следует равенство ка нулю или тг.
3. Найти закон дисперсии частицы в одномерном периодическом поле,
представляющем собой последовательность симметричных потенциальных
ям, удовлетворяющих условию квазиклассичности (ввиду чего вероятность
проникновения частицы через барьер между ямами мала).
к
7Г
'а
7L к
а

296
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
Щх)
Решение аналогично ходу реше-
решения задачи о расщеплении уровней в
двойной яме (см. III, § 50, задача 3).
Пусть фо(х) — нормированная волно-
волновая функция, описывающая движение
(с некоторой энергией ео, рис. 13) в од-
одной из ям, т. е. экспоненциально зату-
х хающая в обе стороны от границ этой
ямы; эта функция вещественна и мо-
может быть четной или нечетной по пе-
переменной х. Правильная же волновая
функция нулевого приближения для
движения частицы в периодическом поле представляет собой сумму
Рис. 13.
фк(х) =
= С V
е'капф0(х-ап),
A)
где С — нормировочная постоянная (при сдвиге х —>¦ х + а эта функция
умножается, как и следовало, на егка).
Пишем уравнения Шредингера
^ Ш -
0 = 0, Vo + ^ [ео -
0 = 0,
умножаем первое на фо, второе на фк, вычитаем почленно и интегрируем по
dx в пределах от —а/2 до а/2 (рис. 13). Замечаем, что поскольку произве-
произведения фо{х)фо{х — an) cn/0 исчезающе малы везде, то
а/2
фк{х) фо{х) dx « С.
Находим
-а/2
е(к) -го =
П
2тС
[ф'ъфк-фоф'к]_аа%.
При х = а/2 в сумме A) должны быть сохранены лишь члены с п = 0 и
п = 1, причем фо(—а/2) = ±фо(а/2) в зависимости от четности или нечет-
нечетности функции фо(х):
аналогичным образом, при х = —а/2 должны быть сохранены лишь члены
с п = 0 и п = —1. В результате получим
е(к) - ?о = ±	фо [-) Ф'о [-) coska.
т \2/ \2/
Сюда надо подставить значения
а/2
<а\ | тли 1ч*	1 , , М|,
	 ехр	/ \р(х) \dx
2тгр(а/2) '	V * ' 1П Л
р(а/2) , /о

§ 56 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА 297
где uj — классическая частота колебаний частицы в яме; хо — точка поворота,
отвечающая энергии sq. Окончательно:
г(к) — го = =L — vDcoska, D = exp
тг
-- \p(x)\dx
Таким образом, каждый уровень энергии ео? отвечающий движению части-
частицы в изолированной яме, расширяется в узкую полосу (зону) с шириной
2fajjD1/2/тг, определяемой коэффициентом проницаемости D потенциально-
потенциального барьера, разделяющего две ямы.
§ 56. Влияние внешнего поля на движение
электрона в решетке
Рассмотрим движение электрона при наложении на решет-
решетку постоянного магнитного поля Н. Если исходить из гамиль-
гамильтониана электрона в периодическом поле U (г) в координатном
представлении:	^2
Н = *- + Щт),	E6.1)
2т
(где р = —iKV — оператор истинного импульса), то введение
внешнего магнитного поля осуществляется обычным образом:
где А (г) — векторный потенциал поля. Задача, однако, ради-
радикально упрощается — в случае достаточно слабого поля — путем
перехода к квазиимпульсному представлению.
Ввиду большого разнообразия в возможных видах зонной
структуры энергетического спектра электрона в решетке условие
малости внешнего поля может быть сформулировано в общем
виде лишь довольно грубым образом. Пусть электрон до вклю-
включения поля находится в некоторой определенной (s-й) зоне. Обо-
Обозначим через so наименьшую из энергетических величин,
характеризующих эту зону, — ее характерную ширину или рас-
расстояние до соседних зон (т. е. разностей ?5(к) — ?5'(к) при за-
заданных к). Для того чтобы магнитное поле можно было считать
слабым, во всяком случае должно выполняться условие
Пион < ео,	E6.3)

298	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
где «ларморова частота» оин~\ е | Н/т*с, a m*~hk/v — эффек-
эффективная масса электронах).
В отсутствие внешнего поля гамильтониан электрона в
решетке в k-представлении есть, как уже указывалось, диаго-
диагональная матрица с элементами ?5(к). В присутствии поля
гамильтониан будет содержать также и потенциал А (г) и его
производные по координатам — напряженность Н (а в неодно-
неоднородном поле — также и дальнейшие производные от напряжен-
напряженности); в k-представлении функция А (г) заменяется оператором
А = А (г), где ? — оператор E5.14).
Потенциал А (г) есть возрастающая (для однородного поля —
по линейному закону) функция координат. Ввиду этого возрас-
возрастания потенциал, даже для слабого поля, отнюдь не является
малым возмущением в гамильтониане неограниченной системы
(электрон в решетке). Именно поэтому уже слабое магнитное по-
поле существенно меняет свойства протяженной системы — пре-
превращает непрерывный спектр в дискретный (квантует уровни,
см. §58). Напряженность же слабого поля (в отличие от потен-
потенциала) приводит к малым поправкам.
Покажем, что в пренебрежении этими поправками зависи-
зависимость гамильтониана от потенциала поля можно выяснить в об-
общем виде исходя из одних только требований калибровочной
инвариантности. Поскольку мы рассматриваем постоянные поля,
то достаточно использовать инвариантность уравнений относи-
относительно не зависящих от времени преобразований потенциала и
волновых функций вида
А -> А + V/, ф -> ф ехр(^ /) ,	E6.4)
где /(г) — произвольная функция координат (см. 111,A11.8),
A11.9)).
В слабом поле потенциал А (г) — медленно меняющаяся функ-
функция координат. Имея в виду выяснение роли этой медленности,
рассмотрим сначала предельный случай постоянного потенциала:
А (г) = const = А (разумеется, постоянный потенциал фикти-
фиктивен — реальное поле при этом отсутствует, так что речь идет
о формальном преобразовании). Переход от А = 0 к А = Ао
эквивалентен преобразованию E6.4) с / = Aqt; поэтому вместо
х) Более точное определение частоты дается ниже формулой E7.7). Для
электронов проводимости в металле (см. ниже § 61) характерные зна-
значения к~1/а(а—постоянная решетки); положив также ео~К2/т*а2, най-
найдем, что условие E6.3) эквивалентно неравенству гн^>а, где «радиус
орбиты» th^v/uh-

§ 56 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА 299
исходных (при А = 0) собственных функций
</>sk = nskeikr	E6.5)
собственными функциями нового гамильтониана будут
и3ф) ехр |г (к + ^Ао) г|.
Отсюда видно, что для придания квазиимпульсу прежнего смыс-
смысла (величины, определяющей изменение фазы волновой функции
при трансляциях) надо положить k + eAo/Яс = К; определенную
таким образом величину К можно назвать обобщенным квази-
квазиимпульсом. Тогда новые собственные функции запишутся в виде
а соответствующие им значения энергии электрона: ?5(к) =
= ?5(К — еАо/Яс). Мы можем теперь утверждать, что при не
постоянном, но медленно меняющемся в пространстве потенциа-
потенциале А (г) волновые функции «нулевого» (по напряженности поля)
приближения будут
e* Г?	E6.6)
(причем функции и, благодаря переменности А, уже не являют-
являются строго периодическими) х). Энергии же ?5(К — еА/Нс) надо
рассматривать теперь как операторы, образующие гамильтони-
гамильтониан в К-представлении. При этом, в том же приближении, под ?
надо понимать оператор ? = гд/ЭК, опустив второй член (Q) в
определении E5.14). Действительно, при воздействии на волно-
волновую функцию оператор гЭ/ЭК, по порядку величины, умножает
ее на «размер орбиты» гн, возрастающий при уменьшении по-
поля; результат же воздействия оператора fi на волновую функцию
такого возрастающего множителя не содержит. В этом смысле в
слабом поле оператор Г2 мал по сравнению с id/d?L. Поскольку,
с другой стороны, оператор д/Ж диагоналей по номерам зон,
то оказывается диагональным и гамильтониан.
г) Если разложить функции E6.6) по функциям ф8ъ, то в разложение вой-
войдут, вообще говоря, функции с различными s. Подчеркнем, однако, что это
отнюдь не означает реального перехода в другую зону, а выражает лишь
изменение волновой функции под влиянием постоянного поля; напомним в
этой связи, что постоянное поле вообще не может вызвать реальный переход
с изменением энергии. Для уяснения ситуации следует заметить, что хотя
поле слабо, но связанное с ним изменение классификации состояний (в том
числе соответствия между квазиимпульсом и энергией) значительно.

300	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
Таким образом, мы приходим к результату, что движение
электрона в решетке в слабом магнитном поле описывается га-
гамильтонианом (в К-представлении)
Hs = es (К - ±А(г)) , г = гА	E6.7)
(R. Peierls, 1933). В этом приближении, следовательно, имеется
полная аналогия со способом введения магнитного поля в га-
гамильтониан свободной частицы в импульсном представлении.
Выражение E6.7) еще не вполне определено, так как не уста-
установлен порядок действия некоммутативных операторов — ком-
компонент вектора к = К — еА/Нс. Он должен быть определен так,
чтобы обеспечить эрмитовость гамильтониана. Этого можно,
в принципе, всегда достичь, представив периодическую (в обрат-
обратной решетке) функцию ?5(к) в виде ряда Фурье
aeika	E6.8)
(суммирование по всем векторам а прямой решетки). После
замены к —»> к в показателе каждого члена этого ряда будет
стоять только один оператор (проекция вектора А на а), так что
вопрос о порядке действия не возникает — все сводится к степе-
степеням этого одного оператора. Такой способ «эрмитизации», ко-
конечно, не единствен. Существенно, однако, что разница между
различными способами лежит за пределами рассматриваемого
приближения, поскольку коммутаторы операторов кх, ку, kz, в
этом приближении представляют собой малые величины. Так,
для однородного поля оператор
A = I[Hr]=i[HA];	E6.9)
прямым вычислением легко найти, что коммутаторы
кхку — кукх = г— Hz, ...	E6.10)
пропорциональны малой напряженности Н.
Операторы ? = id/dJ? иКеК имеют те же правила ком-
коммутации, что и координаты и обобщенные импульсы «свобод-
«свободной» (без решетки) частицы. Естественно поэтому, что вычисле-
вычисление коммутаторов операторов ? и К с гамильтонианом приводит
к операторным уравнениям
*	ОН "Г* ОН	(rn ii\
^, г=	,	E6.11)
От	ПОК'	v	J

§ 56 ВЛИЯНИЕ ВНЕШНЕГО ПОЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА 301
имеющим вид обычных уравнений Гамильтона (для вычисле-
вычисления — см. формулы A6.4), A6.5)(см. III)).
Снова повторим, что гамильтониан E6.7) является при-
приближенным в том смысле, что в нем отброшены все члены,
зависящие от напряженности Н и не содержащие больших мно-
множителей — порядка величины размеров орбиты тц. В следующих
приближениях ответ тоже может быть представлен в виде
некоторого эффективного гамильтониана HS(J? — еА/Кс, Н),
диагонального по номерам зон, но уже не выражающегося через
одни только функции ?5(к)х).
В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием, учет
спина электрона приводит в гамильтониане к появлению обыч-
обычного члена, описывающего взаимодействие магнитного момента
с полем: — /ЗсгН, где сг — матрицы Паули, а /3 = \ е \Н/2тс — маг-
магнетон Бора. Если кристалл обладает центром инверсии, спин-
орбитальное взаимодействие только меняет магнитный момент
электрона, так что взаимодействие спина с магнитным полем
приобретает вид
РНЫк).	E6.12)
Действительно, в этом случае гамильтониан должен быть
инвариантен по отношению к одновременным операциям об-
обращения времени и инверсии. При этом преобразовании надо
заменить Н—>> — Ни <т—>• — <у при неизменном к; E6.12)
является общим выражением, удовлетворяющим поставленному
требованию. Тензор ?^(к), разумеется, нельзя вычислить в
общем виде.
Наконец, остановимся на поведении электрона при нало-
наложении на решетку слабого электрического поля Е. Условие
слабости означает, что энергия, приобретаемая электроном в
поле на расстоянии ~ а, мала по сравнению с характерной энер-
энергией so : | е \Еа <С so-
Как и в случае магнитного поля, наиболее важную роль иг-
играют члены, содержащие возрастающую функцию координат —
скалярный потенциал электрического поля <р(г). Зависимость
гамильтониана от <р можно снова выяснить в общем виде исходя
из соображений, аналогичных использованным выше. Действи-
Действительно, включение фиктивного постоянного потенциала <р = <р$
эквивалентно в уравнении Шредингера добавлению к энергии
) Простой пример вычисления поправочного члена будет дан в § 59. Изло-
Изложение регулярного метода получения гамильтониана в виде ряда по степе-
степеням Н, а также общие выражения первых членов этого ряда даны в статьях:
E.I. Blount II Phys. Rev. 1962. V. 126. P. 1636; Solid Stste Physics. 1963. V.
13. P. 306. Отметим, что если кристалл обладает центром инверсии, ряд
начинается с членов порядка Н2 (см. §59).

302	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
постоянного слагаемого ес^о; такое слагаемое добавится и ко всем
собственным значениям ?5(к). При непостоянном же, но медлен-
медленно меняющемся в пространстве потенциале (р(г) аналогичный
операторный член добавляется к эффективному гамильтониану
в к-представлении:
E6.13)
§ 57. Квазиклассические траектории
Применим полученные в предыдущем параграфе результаты
к важному случаю, когда движение электрона в магнитном поле
квазиклассично. Условие квазиклассичности состоит, как извест-
известно, в малости изменения де-бройлевской длины волны частицы
на расстояниях порядка ее самой. В данном случае это условие
эквивалентно неравенству
гн > А	E7.1)
— радиус кривизны орбиты велик по сравнению с длиной
волны А ~ 1/кг).
В квазиклассическом случае имеет смысл понятие траекто-
траектории частицы. Она определяется уравнениями движения, полу-
получающимися из E6.11) заменой операторов соответствующими
классическими величинами:
НК = — —, v =	, Н = е К - — А(г)
дт '	НдК'	V Не v V
(индекс s для краткости опускаем). Раскроем эти уравнения, вве-
введя вместо обобщенного квазиимпульса К «кинетический квази-
квазиимпульс»
к = К--А(г).
Не V У
Имеем
Hdk e dA(r) _ ОН _ е ЗА{
dt с dt ~ дг ~ с Уг дг '
Написав здесь dA/dt = (vV) А и заметив, что
- (vV)A = [vrot A] = [vH],
1)Это условие, вообще говоря, более сильное, чем условие E6.3). Но
если к~1/а (как это имеет место для электронов проводимости в ме-
металле), то оба условия совпадают и фактически всегда выполняются:
при гн~ сНк/\ е \Н~сН/а\ е \Н условие гн^>а приводит к требованию
Ж сН/\е\ а2 ~108 -109Э.

§ 57	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ	303
получим уравнение движения
[VH], V.	E7.2)
dt с[ h	пдк	v }
Это уравнение отличается от обычного классического урав-
уравнения Лоренца лишь другой зависимостью е(к): вместо простой
квадратичной функции мы имеем дело со сложной периодиче-
периодической функцией; соответственно сложной периодической функци-
функцией является и зависимость v(k). Это обстоятельство приводит,
естественно, к существенному изменению характера движения
электрона.
Рассмотрим движение электрона в однородном магнитном
поле. Умножив уравнение E7.2) на v, найдем обычным обра-
образом: fwdk/dt = ds/dt = 0. Умножив же уравнение E7.2) на Н,
найдем, что d(Hk)/dt = 0. Таким образом, при движении элек-
электрона в решетке, как и при движении свободного электрона в
магнитном поле:
е = const, kz = const	E7.3)
(ось z — в направлении поля Н). Равенства E7.3) определяют
траекторию электрона в k-пространстве. Геометрически эта тра-
траектория представляет собой контур сечения изоэнергетической
поверхности e(k) = const плоскостью, перпендикулярной маг-
магнитному полю.
Изоэнергетические поверхности могут иметь самую разнооб-
разнообразную форму. Они могут содержать (в каждой ячейке обратной
решетки) несколько не связанных друг с другом листов. Эти ли-
листы могут быть односвязными или многосвязными, закрытыми
или открытыми. Для уяснения последнего различия удобно рас-
рассматривать изоэнергетическую поверхность, периодически про-
продолженную по всей обратной решетке. В каждой ячейке будут
находиться одинаковые замкнутые полости, а открытые поверх-
поверхности проходят непрерывным образом через всю решетку, уходя
на бесконечностьх).
Сечения изоэнергетической поверхности складываются из
бесконечного множества контуров. Сюда относятся как конту-
контуры сечения различных листов изоэнергетической поверхности в
пределах одной ячейки обратной решетки, так и контуры сече-
сечения листов, повторяющихся в различных ячейках. Если лист
изоэнергетической поверхности замкнут, то и все его сечения
1) Отметим, во избежание недоразумений, что может оказаться невозмож-
невозможным выбрать ячейку обратной решетки таким образом, чтобы все существен-
существенно различные (т. е. не являющиеся периодическими повторениями) замкну-
замкнутые полости были расположены внутри одной ячейки без того, чтобы быть
рассеченными ее гранями.

304	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
представляют собой замкнутые кривые. Если же лист откры-
открытый, то его сечения могут быть как замкнутыми, так и откры-
открытыми (т. е. непрерывно продолжающимися через всю обратную
решетку).
Квазиклассичность движения подразумевает также и малость
вероятности магнитного пробоя — скачкообразного изменения
квазиимпульса электрона с переходом его с одного контура на
другой (к условию этой малости мы вернемся в конце пара-
параграфа). В пренебрежении этой вероятностью, следовательно,
электрон движется лишь по одному контуру сечения изоэнер-
гетической поверхности.
Рассмотрим более подробно движение по замкнутым траек-
траекториям в квазиимпульсном пространстве. Такое движение, оче-
очевидно, периодично во времени; определим его период.
Проецируя уравнение E7.2) на перпендикулярную полю плос-
плоскость кх, ку, получим
dlk | е \Н
at	cfi
где dl/с = \ dkli + dk? — элемент длины к-орбиты. Отсюда
, 	 сН I dlk
~ ия J ^7*
Если траектория замкнута, то период движения дается инте-
интегралом
взятым по всему ее контуру. Это выражение можно преобразо-
преобразовать к более наглядному виду следующим образом.
Введем площадь S(s, kz) сечения изоэнергетической поверх-
поверхности е = const плоскостью kz = const. Ширина кольца в этой
плоскости между контурами е = const и s + ds = const составляет
в каждой его точке
de _ de
\де/д\ц_\ ~ ^7'
так что площадь этого кольца
Отсюда видно, что интеграл в E7.4) представляет собой не что
иное, как частную производную dS/ds. Таким образом, период
движения
сП2 dS(e, kz)	E7
\е\Н де	V "

§ 57	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ	305
(W. SЪоckley, 1950). Здесь естественно ввести величину
т* = — —,	E7.6)
которую называют циклотронной массой электрона в решетке.
Частота обращения электрона по орбите выражается через эту
величину согласно формуле
син = \е\Н/т*с,	E7.7)
отличающейся от известной формулы для ларморовой частоты
свободных электронов заменой их массы на га* х).
Подчеркнем, однако, что в случае электронов в решетке цик-
циклотронная масса — не постоянная величина, а функция е и kz,
так что она различна для разных электронов. Отметим также,
что эта величина может быть как положительной, так и отри-
отрицательной; в первом случае электрон движется по орбите как
отрицательно заряженная, а во втором — как положительно за-
заряженная частица — дырка. Соответственно этому говорят об
электронных и дырочных траекториях.
До сих пор мы говорили о траектории электрона в к-про-
странстве. Легко видеть, однако, что существует тесная связь
между траекториями в квазиимпульсном и обычном простран-
пространствах. Уравнение движения E7.2), переписанное в виде
после интегрирования (и надлежащего выбора начала отсчета
координат г и квазиимпульсов к), дает
Пк = -ЩтН].	E7.8)
с
Отсюда видно, что жу-проекция орбиты в обычном пространстве
по существу повторяет k-траекторию, отличаясь от нее лишь
ориентацией и масштабом: первая получается из второй заменой
,	\е\Н	,	\е\Н
Кх г	у: Ку г	X.
Пс	Пс
Кроме того, в обычном пространстве имеется движение вдоль
оси z со скоростью vz = de/hdkz. Если траектория в к-простран-
стве замкнута, то в обычном пространстве она представляет со-
собой спираль с осью вдоль направления поля. Если же траектория
х)Для свободного электрона изоэнергетическая поверхность — сфера
г = Н2к2/2т. Ее сечения — круги с площадью S = пBтгН~2 — к%), так что
производная dS/de = 2тгт/Н2 и т* = т.

306	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
открытая, то открыта также и проекция траектории на плоско-
плоскости ху в обычном пространстве, т. е. движение в этой плоскости
инфинитно.
Скажем еще несколько слов о квазиклассическом движе-
движении электрона при наложении на решетку постоянного однород-
однородного электрического поля Е. Из квазиклассического уравнения
Кк = еЕ имеем	РЕ
к = к0 + ^t.	E7.9)
п
Из закона же сохранения энергии имеем
e(k) -eEr = const.	E7.10)
Но энергия ?(к) пробегает значения в конечном интервале As
(ширина зоны); поэтому из E7.10) следует, что движение элек-
электрона в однородном электрическом поле фи-
финитно вдоль поля: электрон совершает в этом
направлении колебания с амплитудой Ае/| е \Е.
Если поле параллельно какому-либо периоду b
обратной решетки, то движение периодично с
частотой ио = 2/к\е\Е/НЪ\ при Ъ ~ 1/а имеем
Huje ~ | е \Еа. В общем случае произвольного на-
направления поля движение квазипериодично.
Наконец, остановимся на условии возмож-
возможности пренебречь упомянутым выше явлением
Рис. 14.	магнитного пробоя. Вероятность перехода с од-
одной траектории (в k-пространстве) на другую,
естественно, велика, если эти траектории где-либо подходят ано-
аномально близко друг к другу. Такая ситуация возникает в случае,
когда траектория близка к траектории с самопересечением, либо
если траектория проходит вблизи пересечения двух листов изо-
энергетической поверхности (т. е. вблизи точки вырождения).
Типичная картина траекторий в таких случаях изображена на
рис. 14; разрыв Sk между траекториями мал по сравнению с ха-
характерными размерами орбит в целом, а радиус кривизны R^
траекторий вблизи точек их максимального сближения по по-
порядку величины совпадает, вообще говоря, с Sk. Переход с одной
орбиты на другую происходит путем квантового туннелирова-
ния. Вероятность этого процесса мала (экспоненциально), если
Sk велико по сравнению с расстоянием А&ж, на котором затуха-
затухает волновая функция в классически недоступной области между
траекториями.
Оценку Акх можно получить, воспользовавшись аналогией
между движением электрона в магнитном поле и одномер-
одномерным движением в некотором потенциальном поле U(x). Эта

§ 58	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ	307
аналогия основана на том, что согласно E6.10), операторы
q = кхНс/\е\Н и р = Нку удовлетворяют правилу комму-
коммутации, совпадающему с правилом коммутации координаты и
импульса. Вблизи точек максимального сближения траектории
параболичны; им аналогична параболическая фазовая (ж, р)
траектория одномерного движения в однородном поле (U =
= —Fx), уравнение которой р2/2га = Fx (если координата х
отсчитывается от точки остановки). В последнем случае вол-
волновая функция затухает за точкой поворота на расстоянии
Ах ~ (fP/mFI/3 (см. III, §24); введя радиус кривизны фазовой
траектории R ~ (d2x/dp2)~1 ~ mF, напишем Ах ~ (Я2/^I/3. По
указанной аналогии искомое Акх можно получить путем замены
Ах —»> НсАкх/\ е |Д", R —»> Rj~fi\e\H/c. Таким образом, находим
Акх rsj (| е |Я/ЯсJ/3 ((^fc)/3, и условие Ак < 5к принимает вид
|е|Я/Яс< FкJ.	E7.11)
§ 58. Квазиклассические уровни энергии
Мы видели, что классическому движению электрона в решет-
решетке в магнитном поле по замкнутой траектории в к-пространстве
отвечает в обычном пространстве движение, финитное в плос-
плоскости, перпендикулярной направлению поля Н. При переходе к
квантовой механике это приводит к возникновению дискретных
уровней энергии при каждом фиксированном значении продоль-
продольного квазиимпульса kz. Эти уровни определяются общими пра-
правилами квазиклассического квантования.
Выберем векторный потенциал однородного магнитного поля
(направленного вдоль оси z) в виде Ах = —Ну, Ау = Az = 0.
Тогда компоненты обобщенного квазиимпульса
Кх = кх + Щну, Ку = ky, Kz = kz.	E8.1)
СП
Координата х является циклической переменной, и поэтому х-
компонента обобщенного квазиимпульса сохраняется:
Кх = кх + ^-Ну = const.	E8.2)
сН
Согласно правилу квантования Бора-Зоммерфельда (см. III,
48), пишем условие
2тг
(f)Kydy =rc,	E8.3)

308	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
где интегрирование распространено по периоду движения, an —
целое положительное число, предполагаемое большим1). Под-
Подставив сюда, согласно E8.1), E8.2), Ку=ку и dy= — (cH/\ e \H) dkx,
получим
сП I
2тг\е\Н Г
IXiqi
= гс,	E8.4)
где теперь интеграл берется по замкнутой траектории в к-про-
странстве. Этот интеграл — не что иное, как охватываемая тра-
траекторией площадь, т. е. введенная в предыдущем параграфе пло-
площадь S(e, kz) сечения изоэнергетической поверхности плоско-
плоскостью kz = const.
Таким образом, окончательно находим
5(е, kz) = 2тг№п	E8.5)
сН
{И.М. Лифшиц, 1951; L. Onsager, 1952). Этим условием и опре-
определяются в неявном виде уровни энергии sn(kz). Таким образом,
энергетическая зона (номер s которой мы для краткости не выпи-
выписываем) распадается на дискретный ряд подзон Ландау, каждая
из которых представляет собой полосу уровней энергии, отли-
отличающихся значением непрерывной переменной kz.
Как известно, квазиклассическое условие квантования может
быть уточнено введением поправки, сводящейся к прибавле-
прибавлению к большому квантовому числу п числа порядка единицы.
Определение этой поправки требует рассмотрения движения
вблизи «точек остановки», ограничивающих область интегри-
интегрирования в E8.3).
Зависимость Ку = ку от у на траектории электрона опреде-
определяется уравнением
е(к) =е(кх- i^y, ky, kz^j = const	E8.6)
при заданном значении kz и при Кх = const; точка останов-
остановки у = уо определяется условием обращения в нуль скорости
vy = ds/Hdky. Вблизи этой точки разложение уравнения E8.6)
1) При движении в однородном магнитном поле адиабатическим инвари-
инвариантом, не зависящим от выбора векторного потенциала, является интеграл
^г § К^ <ir, где К* — проекция обобщенного квазиимпульса на плоскость,
перпендикулярную полю (ср. II, §21). При сделанном выборе А интеграл
<f> Kx dx = Кх ? dx = 0, так что адиабатический инвариант совпадает с ин-
интегралом в E8.3).

§ 58	КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ	309
по степеням у — уо дает
где куо = ку(уо). Отсюда видно, что приближение к точке оста-
остановки происходит по корневому закону
(для определенности считаем, что классически недоступная
область лежит при у < уо). Но это — тот самый закон, к кото-
которому относится обычный вывод поправки в квазиклассическом
квантовании (см. III, §47,48). Уточненное правило E8.5) имеет,
следовательно, вид
^f(\)	E8.7)
Как это ясно из вывода (основанного на разложении функции
E8.6)), для справедливости уточненного правила квантования
необходимо, чтобы траектория проходила в достаточном удале-
удалении от особых точек функции ?(к) (в том числе от комплексных
точек ветвления). Необходимо также, чтобы нигде вблизи траек-
траектории не нарушалось условие квазиклассичности (в частности —
не обращалась в нуль ж, у-проекция скорости ds/дкI). Нако-
Наконец, надо иметь в виду приближенность самого гамильтониана
E6.7), на котором основаны все выводы. Если решетка обладает
центром инверсии, то поправки к гамильтониану квадратичны
по напряженности поля и не отражаются на условии E8.7). Но
если центр инверсии отсутствует, то поправки к гамильтониа-
гамильтониану линейны по Н; в этом случае поправочный член 1/2 в E8.7)
теряет смысл, так как погрешность того же порядка дает и при-
приближенность гамильтониана2).
Интервал As между двумя последовательными уровнями
отвечает изменению большого числа п на единицу. Он опреде-
определяется, следовательно, равенством
2llH	E8.8)
де	Не
1) Вблизи точек аномального сближения двух траекторий эти условия сов-
совпадают с требованием малости вероятности магнитного пробоя.
2)Для свободных электронов (см. примечание на с. 305) условие E8.7)
дает
е = Пин (п + -) + h2k2z/2m, ин = | е \Н/тс
в согласии с известным выражением Ландау для свободного электрона в
магнитном поле (III, § 112).

310	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
Введя классическую частоту периодического движения сон, со-
согласно E7.7), получим
Ае = Пион.	E8.9)
Подчеркнем, что частота ион сама есть функция е (и kz). По-
Поэтому последовательные уровни энергии еп (при заданном kz)
не являются строго эквидистантными, как это было бы в случае
свободных электронов, где ион есть постоянная величина.
Независимость уровней энергии от сохраняющейся величины
Кх означает (как и для свободных электронов в магнитном по-
поле — см. III, § 112) их вырождение. Если представлять себе решет-
решетку, обладающей большим, но конечным объемом У, то кратность
этого вырождения будет конечной. Число состояний в интервале
dkz и с заданным значением п определяется как УД5-б?А^/B7гK,
где AS — площадь в плоскости kz = const, заключенная между
траекториями с квантовыми числами пип+1. Эта площадь да-
дается выражением E8.8), и, таким образом, находим для искомого
числа состояний выражение
Vdkz\e\H	E8Л0)
BтгJ сП
— то же самое, что и в случае свободных электронов.
Наглядная причина вырождения уровней в магнитном поле
заключается в независимости энергии от положения в простран-
пространстве «центра ларморовской орбиты» электрона. Для свободного
электрона это вырождение является точным. Для электрона же
в решетке оно может быть лишь приближенным: в виду наличия
неоднородного (периодического) электрического поля различные
положения «центра орбиты» в элементарной ячейке решетки
уже не эквивалентны. Это обстоятельство должно приводить к
некоторому расщеплению уровней Ландау.
Учет спина электрона приводит к расщеплению каждого
уровня на две компоненты; в пренебрежении спин-орбитальной
связью эти компоненты разделены (как и для свободного элек-
электрона) постоянным интервалом 2(ЗН, где /3 — магнетон Бора:
Sna(kz) = sn(kz) + а/ЗН, а = ±1.	E8.11)
Такая ситуация остается и при учете спин-орбитального вза-
взаимодействия, если кристалл обладает центром инверсии. В этом
случае состояния электрона в отсутствие поля вырождены по
спину, а магнитное поле снимает это вырождение. В результате
получается та же формула E8.11) с заменой /3 на /3?п(кг), где
?n(kz) характеризует изменение магнитного момента электрона.

§ 59	ТЕНЗОР ЭФФЕКТИВНЫХ МАСС ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕ	311
§ 59. Тензор эффективных масс электрона в решетке
Рассмотрим точку к = ко в к-пространстве, в которой энер-
энергия электрона ?5(к) имеет экстремум; таковы, в частности,
точки, отвечающие верху и низу зоны. Если в этой точке нет
вырождения (за исключением лишь возможного крамерсовско-
го вырождения по спину — см. конец §55), то в ее окрестности
функция ?5(к) может быть подвергнута регулярному разложе-
разложению по степеням разности q = к — ко- Первые члены такого
разложения квадратичны:
es(k) = ?s(k0) + ym^W	E9Л)
Тензор га^, обратный тензору коэффициентов га^,1 в E9.1), на-
называют тензором эффективных масс электрона в решетке.
Покажем, каким образом можно выразить этот тензор через мат-
матричные элементы по отношению к блоховским функциям ipsko B
точке ко-
В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием гамиль-
гамильтониан электрона имеет вид E6.1). Подставим в уравнение Шре-
дингера с этим гамильтонианом волновую функцию в виде
E9.2)
Тогда уравнение примет вид
^!1 } = ?s(k) ^k> E9.3)
где р = —ifiV — оператор истинного импульса.
В окрестности точки к = ко вектор q является малой величи-
величиной, и выражение в квадратной скобке в E9.3) можно рассмат-
рассматривать как оператор возмущения. В нулевом приближении, при
q = 0, функции (ps\t совпадают с функциями ф8ко- Поэтому обыч-
обычная теория возмущений позволяет выразить поправку к энергии
через матричные элементы по отношению к этим функциям.
Так как ко — точка экстремума, то линейная по q поправка
отсутствует. Это значит, что диагональные матричные элементы
(sko|p|sko) = 0.	E9.4)
Для определения квадратичной по q поправки надо учесть член
с д2 в операторе возмущения в первом, а член с q — во втором

312	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
порядке теории возмущений. В результате получим для es(k)
формулу E9.1), где
т-} =SJt + ±y' (Pi)sAPk)s>s + (pk)sAPi)s>s.	E9>5)
III	III	Cg'lJvoJ &s\**-0)
s
суммирование производится по всем sr ф s1). Для упрощения
записи в обозначении матричных элементов здесь и ниже опус-
опускаем диагональный индекс ко : р55/ = (sko| p |s'ko). Отметим,
что при наличии близко расположенных зон (т. е. малых раз-
разностей esi — ?s) второй член в E9.5) может оказаться большим
по сравнению с первым, в результате чего эффективные массы
будут малы по сравнению с га.
Пусть теперь на кристалл наложено однородное магнитное
поле Н. Тогда, согласно E6.7), гамильтониан, действующий на
функции обобщенного квазиимпульса Q, получается из E9.1) за-
заменой q на оператор
Получающийся таким образом гамильтониан
= es (k0) + у т^фФе	E9.7)
пригоден, разумеется, лишь в той же области энергий, что и ис-
исходная формула E9.1). Это значит, что (помимо условия сла-
слабости поля E6.3)) предполагается, что рассматриваемые уровни
Ландау расположены не слишком высоко. В этом смысле вели-
величины q и Q должны рассматриваться как малые (возрастающий
же характер потенциала А проявляется в том, что даже в слабом
поле нельзя считать, что А мало по сравнению с Q).
Следующие после E9.7) члены в гамильтониане содержат по-
поле Н в «чистом» (т. е. без сопровождающих операторов 9/9Q)
виде. Такие члены уже нельзя найти из одних лишь соображе-
соображений калибровочной инвариантности. Определим первый из этих
членов, линейный по Н. При этом можно в силу относительной
малости этой поправки при ее вычислении положить Q = 0.
Рассмотрим сначала поставленный вопрос без учета спин-
орбитального взаимодействия. Интересующий нас линейный по
Н член может возникнуть только из линейного по А члена
г) Суммирование же по к7 отсутствует, так как, согласно E5.15), импульс
р = mv не имеет матричных элементов, недиагональных по к, так что все
промежуточные состояния относятся к тому же квазиимпульсу ко-

§ 59	ТЕНЗОР ЭФФЕКТИВНЫХ МАСС ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕ	313
в исходном точном гамильтониане электрона E6.2), т. е. путем
усреднения по волновой функции ф8ко выражения
_ _^_ (рА + Ар) = -—Ар	E9.8)
2тс	тс
(равенство связано с выбранной уже калибровкой с divA = 0).
Это приводит к добавлению к гамильтониану E9.7) члена
= -МН,	E9.9)
где
М = —Eк0|[гр]|5к0)	E9.10)
2тс
есть просто среднее значение магнитного момента электрона в
состоянии sko- Подчеркнем, что поправку E9.9) можно доба-
добавить к гамильтониану E9.7), не опасаясь, что этот эффект уже
частично учтен заменой E9.6); действительно, линейные по Н
члены в E9.7) при Q = 0 вообще отсутствуют.
Распишем выражение E9.10) по правилу матричного умно-
умножения, учтя, что в силу E9.4) р не имеет диагональных матрич-
матричных элементов
2тс ~
s'
(и аналогично для Му, Mz)\ как и должно было быть, поправка
к гамильтониану E9.7) выражается через матричные элементы
оператора П. С помощью соотношения
_	Ps
i(es> -e8)
можно переписать М в виде
	 ге \ л \Pz)ss'\Py)s's П- iPj/JssHP^Jg^	/РГП 1 1 \
2тс ~^	es/(ko) — ^s(ko)
5
Отметим, что М, а тем самым и вся поправка E9.9) обращается
в нуль, если кристалл обладает центром инверсии. Действитель-
Действительно, при одновременном обращении времени и инверсии состояние
электрона (без учета его спина) не изменяется, а потому не изме-
изменится и правая сторона равенства E9.11); между тем магнитный
момент при этом преобразовании должен изменить знак.
Учтем теперь спин-орбитальное взаимодействие в кристалле,
добавив к гамильтониану E6.1) спин-орбитальный член Hsi из

314	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
E5.17). Это приведет к изменению линейного по q члена в урав-
уравнении E9.3): оператор р в этом члене заменится на
^	E9.12)
Оператор тг имеет простой физический смысл: непосредствен-
непосредственно коммутируя гамильтониан (с учетом Hsi) с г, найдем, что (в
отсутствие магнитного поля)
г = тг/т.	E9.13)
Аналогично, произведя при наличии магнитного поля обыч-
обычную замену р —»> р — еА/с в исходном гамильтониане (в том
числе в Hsi), мы найдем, что и линейный по А член имеет вид
—етг А/гас, отличающийся от E9.8) той же заменой р на тг. К маг-
магнитному же моменту E9.11) надо прибавить еще и спиновый маг-
магнитный момент свободного электрона, так что будет
Мж =/3(sko| сгж Isko) +-^-У^ (пг)88'(пу)а1а - GVy)ssfGvz)sfs ^ E9.14)
2тс ,	eai — ss
s'
С учетом спин-орбитального взаимодействия второй член в этом
выражении отнюдь не равен нулю даже в кристалле с центром
инверсии. Действительно, одновременное изменение знака вре-
времени и инверсия приводят к состоянию, отличающемуся направ-
направлением спина, так что все выражение E9.14), чтобы изменить
знак при этом преобразовании, должно лишь сводиться к сред-
среднему от оператора /Зсг^ж(к) (ср. E6.12)).
Вычислим тензор ?^/с в случае, когда спин-орбитальное взаи-
взаимодействие может рассматриваться как возмущение1). Перепи-
Перепишем E5.17) в виде
V].	E9.15)
Рассматривая E9.9) и E9.15) как возмущение, найдем поправ-
поправку к энергии во втором порядке теории возмущений, оставив
при этом только перекрестные (по E9.9) и E9.15)) члены. Эта
х) Выражение Hsi E5.17) представляет собой первый член разложения по
релятивистскому отношению (v/cJ и потому в определенном смысле всегда
мало. Эта малость, однако, не имеет отношения к применимости теории воз-
возмущений в данной конкретной зоне. Поэтому Hsi в рассматриваемой задаче
не всегда может рассматриваться как малое возмущение.

§ 59	ТЕНЗОР ЭФФЕКТИВНЫХ МАСС ЭЛЕКТРОНА В РЕШЕТКЕ	315
поправка (все еще остающаяся оператором — матрицей — по спи-
спиновым переменным) имеет вид E6.12) с тензором ?^, равным
&* = Sik + - Е' {xi)°ALk)°'° + {Lk)°Axi)°'%	E9.16)
2	?si ?s
S'
где KL = [rp].
Все сказанное относилось к невырожденным (кроме как по
спину) состояниям. Если же при к = ко имеется вырождение,
то для определения энергии надо составить секулярное урав-
уравнение, учитывающее возмущение (квадратные скобки в уравне-
уравнении E9.3)) вплоть до членов второго порядка (т. е. по формуле
C9.4)(см. III)). Свойства получающегося таким образом секуляр-
ного уравнения зависят от симметрии в точке kg. Мы вернемся
еще к этому вопросу в § 68.
Задача
Найти квазиклассические уровни энергии для частицы с квадратичным
законом дисперсии E9.1) в магнитном поле произвольного направления.
Решение. Приведем тензор га^к к диагональному виду и будем от-
отсчитывать энергию и импульс от точки экстремума (для определенности —
МИНИМума). Тогда	2/2	2	2 N
?(k) = M*L+*L+*L
2 \rai ГП2 газ
где rai, ra2, газ—главные значения тензора rriik (положительные величины).
Обозначив через п единичный вектор в направлении поля Н, имеем
kz = nk = ni&i + П2&2 + пзкз	B)
(ni, П2, пз — направляющие косинусы поля относительно главных осей тен-
тензора гпгк). Нам надо найти площадь S той части плоскости B), которая ле-
лежит внутри эллипсоида A); она может быть представлена в виде интеграла
S= S(nk-kz)d3k,	C)
взятого по объему эллипсоида AI). Заменой переменных Hki = BerriiI'2qi
х) Пусть /(ж, у, z) = const — семейство поверхностей, заполняющих неко-
некоторый объем. Расстояние dl между двумя бесконечно близкими поверх-
поверхностями семейства: dl = d//|V/|, а объем между этими поверхностями:
dV = S(f) dl, где S(f) — площадь поверхности с заданным значением /.
Умножив равенство S(f)df = |V/|dV на E-функцию S(f) и проинтегриро-
проинтегрировав по объему и по df, получим площадь поверхности /(ж, у, z) = 0 в виде
5@) = f |V/| S(f) d3x. В нашем случае |V/| = 1, откуда и получается вы-
выражение C).

316	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
интеграл приводится к виду
S = BгK/2П-3(т1т2т3I/2 f S(uq_ - k
где вектор и в q-пространстве имеет компоненты щ = BsrriiI^2 щ/Н, а ин-
интегрирование производится по объему сферы q =1. Интегрирование легко
выполняется в цилиндрических координатах с осью вдоль v и дает
S(e к) = -т± (е-^
П2 \ 2т\\
где
77711 = 777177-1 + 777-277-2 Н~ ^-З^З?
D)
777 _L = G77177727773/ШцI/2.
Подставив в E8.7), найдем уровни энергии
,, ч е\НН ( 1 \ Н kz	,^ч
en(kz) = —!	(„+-)+-_«.	E)
777 I С V	2/	277711
§ 60. Симметрия состояний электрона
в решетке в магнитном поле
В этом параграфе мы рассмотрим точные общие свойства
трансляционной симметрии волновых функций блоховского
электрона в магнитном поле, не связанные с каким-либо при-
приближением (вроде условия слабости поля или условия квази-
квазиклассичности) .
Наложение однородного магнитного поля не меняет физиче-
физической трансляционной симметрии системы: она остается периоди-
периодической в пространстве. Своеобразие ситуации состоит, однако,
в том, что в то же время гамильтониан электрона E6.2) теряет
свою симметрию. Это связано с тем, что в гамильтониан входит
не постоянная напряженность Н, а векторный потенциал А(г),
зависящий от координат и не обладающий периодичностью.
Неинвариантность гамильтониана приводит, естественно, к
усложнению закона преобразования волновых функций при
трансляциях. Выберем для векторного потенциала однородного
поля калибровку	-,
А = 1[Нг],	F0.1)
и пусть ^(г) — некоторая собственная функция гамильтониа-
гамильтониана Н(т). При трансляции г —> г + а (а — какой-либо из периодов

§ 60	СИММЕТРИЯ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	317
решетки) эта функция переходит в ф(т + а), но это будет уже
собственная функция гамильтониана Д"(г + а), не совпадающего
с i?(r), поскольку произошла замена векторного потенциала
А(г)->А(г + а) = А(г) + ±[На].
Для нахождения искомого закона преобразования надо вернуть-
вернуться к исходному гамильтониану, что достигается калибровочным
преобразованием
A^A + V/, / = -l[Ha]r.
При этом волновая функция преобразуется согласно E6.4):
ф —»> ipex.p(ief/Kc).
Обозначив результат всех этих операций как Га^(г), находим,
таким образом,
Га^(г) = ^(г + а) ехр A г [ha]) ,	F0.2)
где h = | е |Н/Яс, а Та назовем оператором магнитной трансля-
трансляции. Если ф(г) — решение уравнения Шредингера Н(г)ф = еф,
то и F0.2) есть решение того же уравнения, относящееся к той
же энергии е (R. Peierls, 1933).
Из определения F0.2) легко сделать вывод, что
fafa/= Га+а/о;(а, а'),
о;(а, а') = ехр (-1 h[aa;]) .	F0.3)
При перестановке а и а' показатель степени в множителе c<j(a, a')
меняет знак; поэтому операторы Га и Га/, вообще говоря, не ком-
коммутативны:
ГаГа/ = fa/faexp(-ih[aa/]).	F0.4)
Таким образом, произведение двух операторов Га и и Га/
отличается, вообще говоря, фазовым множителем от оператора
Га+а/. По математической терминологии это означает, что опера-
операторы Га осуществляют не обычное, а проективное представление
группы трансляций; базисом этих представлений являются вол-
волновые функции стационарных состояний блоховского электрона

318	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
в магнитном полег). Классификация уровней энергии должна
производиться, следовательно, по неприводимым проективным
представлениям группы трансляций, подобно тому как в отсут-
отсутствие поля она производится по неприводимым обычным пред-
представлениям этой группы.
Напомним в этой связи, что группа трансляций — абелева
(все ее элементы коммутативны), а потому все ее неприводимые
обычные представления одномерны. Функция ф базиса каждого
такого представления при трансляции лишь умножается на неко-
некоторый фазовый множитель, причем для двух последовательных
трансляций этот множитель должен быть равен произведению
множителей для каждой трансляции в отдельности. Это значит,
что	^
Таф = eik?V,
где к — постоянный вектор; этот вектор (квазиимпульс элек-
электрона) оказывается параметром, классифицирующим неприво-
неприводимые представления.
Полная классификация неприводимых проективных представ-
представлений группы трансляции может быть произведена (Е. Brown,
1964; J. Zak, 1964) в случае, когда магнитное поле удовлетворяет
условию
Ь = 4тг^,	F0.5)
q v
где р и q — любые два взаимно простых целых числа; аз — один
из трех произвольно выбранных основных периодов решетки ai,
&2, аз5 v — [&1а2]аз — объем элементарной ячейки решетки. Дру-
Другими словами, магнитное поле должно быть направлено вдоль
какого-либо периода решетки, а величина ку/Dтга^) должна быть
рациональным числом. Умножив равенство F0.5) на [aia2], мож-
можно представить это условие также и в виде
h[aia2] = 4тгр/д,	F0.6)
Для классификации неприводимых проективных представле-
представлений группы трансляций существенно, что из этой группы можно
выделить подгруппу (будем называть ее магнитной), по отноше-
отношению к которой представление является не проективным, а обыч-
обычным. При соблюдении условия F0.6) такой подгруппой является
1) С понятием о проективных представлениях групп мы встречались уже
в V, § 134. Напомним, что проективными представлениями группы G назы-
называются вообще представления, осуществляемые операторами G, соотноше-
соотношения между которыми совпадают с соотношениями между соответствующи-
соответствующими элементами группы G лишь с точностью до фазовых множителей: если
G\Gi = G3, то для операторов имеем G\Gi = CJ12G3, где ш\2 должно быть
равно единице только по модулю.

§ 60	СИММЕТРИЯ СОСТОЯНИЙ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	319
совокупность трансляций вида
am = mai + n2qsi2 + ^3*3	F0.7)
с целочисленными коэффициентами ni, 712, щ. Действительно,
когда вектор h направлен вдоль аз и удовлетворяет условию
F0.6), для всех трансляций такого вида показатель экспоненты
в F0.3) обращается в нуль или в кратное от 2тг, так что все мно-
множители с<;(а, а') = I1). Совокупность трансляций F0.7) образует
решетку с основными периодами ai, ga2, аз (назовем ее магнит-
магнитной). Магнитная же обратная решетка соответственно имеет пе-
периоды bi, b2/g, Ьз, где bi, b2, Ьз — периоды основной обратной
решетки. Обычные неприводимые представления магнитной под-
подгруппы, как и группы трансляций в целом, одномерны; они ха-
характеризуются волновыми векторами (квазиимпульсами) К, все
неэквивалентные значения которого заключены в одной ячейке
магнитной обратной решетки.
Пусть ч/А1)— функция базиса одного из таких представлений
с квазиимпульсом к^ = К. Для нее
.	F0.8)
При трансляции же на период а2 (не входящий в магнитную под-
подгруппу) получим из ч/А1) функцию ч/А2) с другим квазиимпульсом.
Для его определения, используя F0.4) и F0.8), имеем
Гаго^B) = famfa2V>A)(r) = expHh[ama2])fa2famV>A)(r) =
= exp{-zam[a2h] +
или окончательно
где
kB)=kA)-[a2h] = K-2^b1
q
(в последнем равенстве подставлено F0.5) и введен период обрат-
обратной решетки 2тг[а2аз]/г> = bi). Далее надо различать случаи
нечетных и четных значений q2).
) Выбор магнитной подгруппы, вообще говоря, неоднозначен: вместо
F0.7) можно выбрать любую совокупность трансляций вида am = niqia.i-\-
+77-2^2а2 + пзаз, где gi, qi — целые числа такие, что q\qi = q.
2)При q = 1 магнитная подгруппа совпадает с полной группой трансля-
трансляций. Таким образом, если h — целое кратное от 4тгаз/г>, то проективные
неприводимые представления группы трансляций совпадают с обычными
неприводимыми представлениями и состояния электрона классифицируют-
классифицируются так же, как и в отсутствие поля.

320	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
Пусть q — нечетное число. Повторив трансляцию на а2 еще
q — 2 раз, получим всего q различных функций с квазиимпуль-
квазиимпульсами
=К-2 Р Ьь ..., к^=К - 2 ^=И bi. F0.9)
Вычитанием надлежащего целого кратного вектора bi эти зна-
значения приводятся (в той или иной последовательности) к зна-
значениям
к=К, К+- Ьь К+- Ьь ..., К+^ bi.	F0.10)
Q	Q	Q
Эти q функций и осуществляют ^-мерное неприводимое проек-
проективное представление группы трансляций. Мы получим все неэк-
неэквивалентные представления, когда К пробегает значения в ячей-
ячейке со сторонами bi/g, b2/g, Ьз (квазиимпульсы же к^, к^2), ...
пробегают при этом значения в ячейке со сторонами bi,
Ь2/«, Ь3).
Пусть теперь q — четное число. Тогда в последовательности
F0.9) уже (q/2 + 1)-е значение, равное К — pbi, отличается от
К лишь целым кратным периодов обратной решетки bi. Дру-
Другими словами, имеется всего q/2 неэквивалентных значений к;
они даются выражением F0.10) с q/2 вместо q. Таким образом,
в этом случае неприводимые представления g/2-мерны, причем
К пробегает значения в ячейке со сторонами 2bi/g, b2/g, Ьз-
Эти результаты позволяют сформулировать следующее за-
заключение о характере изменения энергетического спектра элек-
электрона в решетке при наложении на нее магнитного поля
(удовлетворяющего условию F0.5)). В отсутствие поля спектр
состоит из дискретных энергетических зон, в каждой из которых
энергия е(к) является функцией квазиимпульса, пробегающего
значения в одной ячейке обратной решетки. При наложении поля
такая зона расщепляется на q подзон, в каждой из которых все
уровни энергии вырождены с кратностью q при нечетном или
q/2 при четном q. Энергия в подзоне может быть выражена как
функция е(К) вектора К, пробегающего значения в 1/д2-й (при
нечетном q) или 2/д2-й (при четном q) части ячейки обратной
решетки.
Описанная картина в определенном смысле крайне чувстви-
чувствительна к величине и направлению магнитного поля. Действи-
Действительно, сколь угодно близко к значению Н, удовлетворяющему
условию F0.5) с некоторыми р и д, лежат значения, удовлетво-
удовлетворяющие такому же условию, но с гораздо большими д, так что
путем сколь угодно малого изменения поля число подзон мож-

§ 61	ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР НОРМАЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ	321
но сделать сколь угодно большим. Подчеркнем, однако, что это
отнюдь не означает такой же неустойчивости в наблюдаемых
физических свойствах. Последние определяются не столько кон-
конкретной зонной структурой, сколько распределением числа
состояний по малым, но конечным интервалам энергий; это рас-
распределение мало меняется при малом изменении поля. Дело в
том, что сильно меняется не энергия состояний, а лишь их клас-
классификация ввиду изменения области определения квазиимпульса .
§61. Электронный спектр нормальных металлов
В реальных кристаллах нормальных (несверхпроводящих)
металлов электроны образуют квантовую ферми-жидкость, от-
относящуюся к описанному в гл. I типу. Ряд отличий возникает,
однако, в связи с тем, что здесь мы имеем дело не со «свобод-
«свободной» изотропной жидкостью, а с жидкостью в анизотропном
периодическом поле решетки.
Подобно тому как энергетический спектр свободной ферми-
жидкости строится аналогично спектру идеального ферми-газа,
так спектр электронной ферми-жидкости в металле строится
аналогично спектру идеального «газа в решетке». Появление
квазиимпульса как сохраняющейся величины связано только с
пространственной периодичностью системы (подобно тому как
сохранение истинного импульса является следствием полной
пространственной однородности). Естественно поэтому, что пе-
перечисленные в § 55 свойства переносятся и на характер класси-
классификации уровней в спектре электронной жидкости в металле,
причем роль частиц (электронов) переходит к квазичастицам.
При температуре абсолютного нуля частицы идеального
ферми-газа в периодическом поле займут все нижние уровни с
энергиями е вплоть до некоторого граничного значения ер (сов-
(совпадающего со значением химического потенциала [i при Г = 0),
определяемого условием, что число состояний с е ^ ер совпада-
совпадает с полным числом электронов. При этом энергетические зоны,
для которых ?5(к) < ер при всех значениях к, окажутся полно-
полностью заполненными, зоны с es(k) > ер — пустыми, а зоны, для
которых уравнение
es(k) = eF	F1.1)
имеет решение, — будут заполнены частично. Уравнения F1.1)
определяют в k-пространстве граничную поверхность Ферми, от-
отделяющую (для каждой зоны) заполненные состояния от пустых.
Аналогично, в реальном металле существует поверхность в
k-пространстве, отделяющая область заполненных (при Г = 0)
состояний квазичастиц от свободных состояний; по одну сторо-
сторону этой поверхности энергии квазичастиц е > ер, а по другую
11 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

322	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
е < ер. Напомним, однако (см. § 1), что понятие квазичастиц в
ферми-жидкости имеет реальный физический смысл лишь вбли-
вблизи ферми-поверхности, где затухание элементарных возбужде-
возбуждений сравнительно мало. Поэтому представление о заполненных
энергетических зонах (возникающее при описании спектра иде-
идеального ферми-газа) в реальной электронной жидкости теряет
свой буквальный смысл.
Квазичастицы вблизи ферми-поверхности называют электро-
электронами проводимости. Их энергия является, в общем случае, ли-
линейной функцией квазиимпульса; аналогично A.12), имеем
е(к) - sF « Й(к - kF)vF,	F1.2)
где ki? — точка на ферми-поверхности, а
F1.3)
k	v J
— скорость электронов проводимости в этих точкахх).
Вблизи ферми-поверхности должна лежать и «область раз-
размытости» распределения электронов проводимости при отлич-
отличных от нуля температурах. Отсюда возникает условие приме-
применимости теории ферми-жидкости: Г <С Hkpvp, где кр и vp —
характерные величины размеров ферми-поверхности и скорости
на ней. Обычно размеры кр совпадают по порядку величины с
размерами ячейки обратной решетки, так что кр ~ 1/а (исклю-
(исключение составляют так называемые полуметаллы — см. ниже).
Положив также для оценки vp ~ Ккр/т, придем к условию
Г <С 104 — 10^К, практически всегда выполняющемуся.
Фактически все металлы имеют кристаллические решетки с
центром инверсии. Согласно сказанному в конце § 55, все уров-
уровни энергии электронов проводимости (с заданными к) двукратно
вырождены по спину (речь идет о металлах не ферро- и не ан-
антиферромагнитных) .
Форма и расположение ферми-поверхности являются важной
характеристикой каждого конкретного металла. У различных
металлов они имеют самую разнообразную, вообще говоря слож-
сложную, форму. Ферми-поверхность может состоять из нескольких
не связанных между собой листов, которые могут быть одно-
связными или многосвязными, закрытыми или открытыми (ср.
сказанное в §55 об изоэнергетических поверхностях вообще).
1) Формулы же типа B.11) для эффективной массы, полученные в §2
для «свободной» ферми-жидкости из соображений галилеевой инвариант-
инвариантности, к электронной жидкости в кристаллической решетке, разумеется,
не относятся.

§ 61	ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР НОРМАЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ	323
Замкнутые листы ферми-поверхности можно разделить на
две категории в зависимости от того, ограничивают ли они
области заполненных (при Г = 0) или свободных состояний
квазичастиц (в первом случае внутри полости е < ер, а во втором
е > ер). Оба случая можно, однако, описывать аналогичным
образом, если считать во втором случае, что «пустая» полость
заполнена «квазидырками»; переход системы в возбужденное
состояние описывается тогда как переход квазидырок изнутри
ферми-поверхности наружу. Самую ферми-поверхность называ-
называют тогда дырочной, в отличие от электронной в первом случаег).
Физическое различие между двумя типами квазичастиц —
электронами и дырками — ясно проявляется при их движении
во внешних полях. Так, все сечения дырочной (или электронной)
ферми-поверхности, определяющие квазиклассические траекто-
траектории при движении в магнитном поле, относятся к дырочному
(или электронному) типу в указанном в § 57 смысле.
В изотропной «свободной» ферми-жидкости, о которой шла
речь в § 1, ферми-поверхность представляла собой сферу, ради-
радиус которой определялся плотностью жидкости согласно теоре-
теореме Ландау A.1). Аналогичная связь имеется и для электронной
жидкости в металле, но специфика свойств, связанных с перио-
периодичностью решетки, приводит к некоторому изменению в фор-
формулировке этой связи.
Число электронов в металле удобно относить к одной элемен-
элементарной ячейке его решетки; пусть п — полное число электронов
в атомах одной ячейки. Обозначим через тр суммарный объем
в одной ячейке обратной решетки, лежащий с заполненной сто-
стороны ферми-поверхности (т. е. со стороны, где е < ер). Слово
суммарный означает здесь, что если заполненные области, соот-
соответствующие различным листам ферми-поверхности, частично
перекрываются, то они все равно должны складываться незави-
независимо. Объем тр условимся измерять в единицах объема самой
ячейки обратной решетки; сделанное замечание о перекрытии
областей означает, что определенная таким образом величина тр
может превышать единицу.
Интересующее нас утверждение (теорема Латтинжера), за-
заменяющее для металла теорему Ландау, выражается равенством
пс = 2тр = п-21	F1.4)
где / — некоторое целое число (/ ^ 0). В модели идеального газа
1) Подчеркнем, однако, во избежание недоразумений, что смысл термина
«дырка» не совпадает здесь со смыслом, в котором он применялся в описан-
описанном в конце § 1 альтернативном способе описания спектра ферми-жидкости
(там назывались дырками лишь пустые места, образовавшиеся в заполнен-
заполненной области при возбуждении системы).
11*

324	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
в решетке это число имеет простой смысл: полному заполнению
каждой зоны соответствует два электрона в ячейке обратной ре-
решетки (удвоение связано с двумя спиновыми состояниями), так
что 2/ есть число электронов, заполняющих / нижних зон, а раз-
разность п — 21 — число электронов в частично заполненных зонах.
Формула F1.4) выражает тот — отнюдь не тривиальный — факт,
что аналогичная ситуация продолжает иметь место и при учете
взаимодействия между электронами1). По определению метал-
металла, целое число пс отлично от нуля.
Пусть в металле имеются только замкнутые листы ферми-
поверхности — электронные и дырочные. Обозначим посредством
(a)	(а)
т_ и t_jl вклады в тр от отдельных электронных и дырочных
полостей:
Е(а) . v^ E)
S	S
(суммирования соответственно по всем электронным и всем ды-
дырочным листам). Величина т_ совпадает с объемом электрон-
электронной полости, а объем дырочной полости есть 1 — т_|_ . Введем
числа электронных и дырочных квазичастиц
(-\ п+ =
При четном п (а потому и четном пс) возможны случаи, когда
пс совпадает с удвоенным числом дырочных полостей. Тогда ра-
равенство F1.4) сведется, как легко убедиться, к равенству
п- = п+.	F1.5)
Такие металлы с равными числами квазичастиц и квазидырок
называют компенсированными.
Обратим внимание на то обстоятельство, что при точно вы-
выполняющемся равенстве F1.5) сами величины п_ и п+ могут
быть произвольными, в том числе сколь угодно малыми. В таких
случаях, когда объемы всех полостей ферми-поверхности очень
малы (по сравнению с объемом одной ячейки обратной решет-
решетки), говорят о полуметаллах2). Существует, однако, нижняя
граница для числа электронов проводимости, за которой элек-
электронный спектр металлического типа становится неустойчивым
и существовать не может (см. об этом ниже, в конце §66).
1)	Строгий вывод этого утверждения см. J. M. buttinger // Phys. Rev. 1960.
V. 119. P. 1153.
2)	Так, у висмута п- = n+ ~ 10~5.

§ 61	ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР НОРМАЛЬНЫХ МЕТАЛЛОВ	325
Термодинамические величины металла складываются из ре-
решеточных и электронных частей. Температурная зависимость
последних определяется квазичастицами в окрестности ферми-
поверхности (закон дисперсии F1.2)). Характер этой зависимо-
зависимости, естественно, тот же, что и у идеального ферми-газа или
у изотропной ферми-поверхности (ср. § 1); отличие в формулах
возникает лишь от другого числа состояний квазичастиц вблизи
ферми-поверхности, не являющейся теперь сферой.
Обозначим число состояний (отнесенное к единице объема
металла), приходящееся на интервал энергий de, через vde. Эле-
Элемент объема k-пространства между бесконечно близкими изо-
энергетическими поверхностями, отвечающими энергиям ер и
ер + de, равен df de/Hvp, где df — элемент площади ферми-по-
ферми-поверхности, a vp — величина нормального к ней вектора
vp = де/Кдк. Поэтому
"*¦ = тЛг / #->	F1-6)
где интегрирование производится по всем листам ферми-поверх-
ферми-поверхности, расположенным внутри одной ячейки обратной решетки
(при открытой ферми-поверхности грани самой ячейки в область
интегрирования, разумеется, не входят).
Величина F1.6) заменяет собой в термодинамических вели-
величинах выражение, которое для газа свободных частиц (поверх-
(поверхность Ферми — сфера) имело вид
2 4:7гр%
pF/m
Так, для электронной части термодинамического потенциала fi
металла имеем (ср. V, § 58)
Пе = ПОе - *—vFVT2,	F1.7)
6
где Лое — значение потенциала при Г = 0. Рассматривая второй
член в F1.7) как малую добавку к floe, согласно теореме о малых
добавках, можно написать такую же формулу и для термодина-
термодинамического потенциала Ф:
Фе = ФОе - 4ufVT2,	F1.8)
6
где теперь up и V предполагаются выраженными через Р (по
«нулевому» приближению, т. е. при Г = 0).

326	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
Определяя из F1.8) энтропию, а затем теплоемкость, найдем
Се = —vFVT.	F1.9)
о
Решеточная же часть теплоемкости пропорциональна Г3 (при
температурах, малых по сравнению с дебаевской Э); поэтому при
достаточно низких температурах электронный вклад в теплоем-
теплоемкость становится преобладающимг).
По этой же причине становится преобладающим в этой обла-
области температур также и электронный вклад в тепловое расши-
расширение металла. Определяя из F1.8) объем V = дФ/дР, а затем
коэффициент теплового расширения а, найдем
й =	=T_	(б110)
V \дТУр	3V дР	J
Отметим, что здесь (как и в области Т ^ 0 — см. V, § 67) отно-
отношение
aV _ d\n(VvF)
~с ~ ар
оказывается не зависящим от температуры.
§ 62. Гриновская функция электронов в металле
Проведенное в § 56-58 рассмотрение относилось к движению
одного электрона в решетке, на которую наложено еще внешнее
магнитное поле. Покажем теперь, что полученные при этом
результаты остаются по существу справедливыми и для ква-
квазичастиц (электронов проводимости) в электронной жидкости
реального металла, — меняется лишь несколько определение
входящих в соотношения величин (Ю. А. Бычков, Л. П. Горькое,
1961; J.M. buttingег, 1961). Подходящим математическим аппа-
аппаратом для общего рассмотрения электронной жидкости является
аппарат гриновских функций.
В гл. II этот аппарат был развит для «свободной» ферми-
жидкости. Выясним, в каких пунктах он должен быть изменен
для жидкости в решетке.
Гриновская функция электронной жидкости (при темпера-
температуре Г = 0) определяется через гейзенберговские ^-операторы
электронов той же формулой G.9), где усреднение происходит
г) Малым параметром разложения в F1.9) является отношение T/ef, а в
решеточной теплоемкости — отношение Т/в. Поэтому обе части теплоемко-
теплоемкости сравниваются при Т2 ~ в3 /sf-

§ 62	ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ	327
по основному состоянию металла. В силу однородности времени
эта функция зависит от аргументов t\ и i<i только через их
разность t = t\ — ?2. Пространственная же однородность нару-
нарушена теперь наличием внешнего по отношению к жидкости поля
решетки. Поэтому гриновская функция зависит не только от
разности ri — Г2- Можно лишь утверждать, что она инвариантна
относительно одновременного сдвига ri и Г2 на один и тот
же (любой) период решетки. Ниже мы будем рассматривать
гриновскую функцию в c<j, r-представлении, т. е. введем ее
фурье-компоненту по t : Са/з(^; ГЪ Г2)- Именно эта функция
позволяет, в принципе, определить энергетический спектр элек-
электронной жидкости в металле. Повторим (не производя вновь всех
вычислений) применительно к данному случаю изложенные в § 8
рассуждения.
В § 8 было показано, что однородность системы позволяет
полностью определить координатную зависимость матричных
элементов -^-операторов и тем самым позволяет записать общее
выражение гриновской функции в пространственно-временном
представлении в виде (8.5), (8.6); отсюда можно было затем
перейти и к ее импульсному представлению в виде раз-
разложения (8.7).
Для электронной жидкости в решетке инвариантность мат-
матричных элементов, выражаемая равенством (8.3), имеет место
только для трансляций на периоды решетки, т. е. при г = а. Это
приводит, естественно, к меньшей определенности в координат-
координатной зависимости: вместо (8.4) можно утверждать лишь, что
<0|Фа(*, г)| mk) = Х^кИ ехр(-ги>т0(к) t),
^	< n	(DZ.1)
<тк|ФаD, г)|0) =хЦ_к(г) (^(к)?)
к — квазиимпульс состояния; т — совокупность остальных
характеризующих его квантовых чисел, а и и v — некоторые
периодические в решетке функции координат (мы выписали мат-
матричные элементы только для переходов из основного состояния —
состояния 0). По своим свойствам функции х^ и Х^
аналогичны елоховским волновым функциям электрона в пери-
периодическом поле. Выразив гриновскую функцию через эти мат-
матричные элементы и переходя затем к компонентам Фурье по
времени (подобно тому, как это было сделано в §8), получим
где
= е ^к (г),

328	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
теперь вместо формулы (8.7) разложение
F2.3)
с прежним смыслом обозначений ?^+^ и ?(~); во втором члене про-
произведено переобозначение к —> — к.
Наличие незатухающих одночастичных элементарных возбу-
возбуждений вблизи ферми-поверхности металла проявляется в том,
что при е вблизи \i энергия состояния зависит только от к. Для
таких состояний функция Ga/#(c<j; ГЪ Г2) имеет полюс при
ио = е(к) — [I. Вблизи полюса она имеет вид
П (, , т. т. ^	Xak(ri)x?k(r2)	(ао Л\
Ga^(cj; ri, г2) = —¦	 р —:	.	F2.4)
ш + \i - е(к) + гО • signcj
При наличии вырож:дения по спинам должно еще производится
суммирование по двум спиновым состояниям.
Определение энергетического спектра по гриновской функ-
функции сводится, в принципе, к задаче о собственных значениях
некоторого интегро-дифференциального линейного оператора.
Основные принципы диаграммной техники в координатном
пространстве для рассматриваемого случая остаются теми же,
что и в обычной ферми-жидкости. В частности, введя собственно-
энергетическую функцию Sa/#(?, ri, Г2) (как сумму определен-
определенной в § 14 совокупности диаграмм), можно записать гриновскую
функцию Ga/3(t, ri, Г2) в виде ряда A4.3), который суммирует-
суммируется к диаграммному уравнению A4.4). Тонкая сплошная линия на
этих диаграммах обозначает гриновскую функцию Gai(t, ri— г2)
свободных электронов — не взаимодействующих ни с другими
электронами, ни с решеткой. Согласно (9.6), эта функция удо-
удовлетворяет уравнению
+") G$eri"Г2)=
Применив слева к уравнению A4.4) оператор (...) и перейдя
затем к фурье-компонентам по времени, получим искомое
уравнение
f	; rr, r2)dV =
-r2). F2.5)

§ 62	ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ	329
Вблизи полюса G-функции (по переменной ш), правая часть
уравнения может быть опущена, и получается однородное
интегро-дифференциальное уравнение, собственные значения
которого и определяют энергетический спектр системы. При
этом индекс /3 и переменная Г2 не затрагиваются никакими
операциями, т. е. играют в уравнении роль несущественных
параметров. Для определения спектра можно писать поэтому
уравнение вида1)
a(r) -|Sa>; r, r')x7(r')dV = (ш-Ь)Х(т) = 0.
F2.6)
Для электронной ферми-жидкости в металле оно заменяет со-
собой обычное уравнение Шредингера. Его собственные значения
определяют, как уже сказано, спектр согласно ио = е(к) — //;
соответствующими же собственными функциями являются функ-
функции Xak(r) из F2.4) (как это очевидно из прямой подстанов-
подстановки F2.4) в F2.5)). Поскольку затухание возбуждений вблизи
ферми-поверхности мало, оператор L при малых ио эрмитов
(с точностью до членов порядка си).
Для перехода к случаю наличия слабого внешнего магнитно-
магнитного поля надо заметить, что при калибровочном преобразовании
векторного потенциала ^-операторы преобразуются как волно-
волновые функции (ср. D4.3), D4.4)), а потому гриновская функ-
функция Ga^(c<j; ri, Г2) преобразуется как произведение -^-функций
V>(ri) V>*(r2)- Это значит, что и функция x(r) B F2.6) должна
преобразовываться как обычная ^-функция. Но, проследив за
произведенными в § 56 рассуждениями, легко обнаружить, что
в них использованы только периодичность решетки кристалла,
общие свойства калибровочного преобразования и тот факт, что
энергетический спектр определяется по собственным значениям
некоторого гамильтониана; роль последнего играет в данном
случае оператор L в F2.6J). Поэтому ясно, что и результат —
1)	Для микроскопически однородной ферми-жидкости это уравнение в им-
импульсном представлении сводится к уравнению A4.13)
w + а* = ?@) (Р) + S(w, p).
2)	Может показаться существенным отличием в этой связи , что в F2.6)
оператор L сам зависит от о;. В действительности это означает лишь
неявный способ записи гамильтониана. При малых ио (вблизи ферми-
поверхности) можно перейти и к явной записи, разложив L « Lq + ujL\
и умножив затем уравнение Lq\ = ^A ~~ -^i) X слева на оператор A — Li).

330	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
правило перехода от спектра в отсутствие поля к спектру
при наличии слабого поля — будет тем же: новый спектр
определяется по собственным значениям гамильтониана
^	• О	(пел 1-т\
где е(к) — спектр в отсутствие поля. Разумеется, смысл самой
функции е(к) теперь отличается от ее смысла в E6.7) — в ней
учитывается коллективное взаимодействие всех электронов в
системе.
Далее, поскольку проведенное в § 57, 58 рассмотрение квази-
квазиклассического случая целиком основывалось на существовании
гамильтониана вида F2.7), то и эти результаты непосредствен-
непосредственно переносятся на электронную жидкость. При этом, однако,
возникает вопрос о том, что именно следует понимать под
напряженностью поля, действующего на электрон проводимости
(а тем самым — и под векторным потенциалом А). Стро-
Строго говоря, это должно быть точное микроскопическое значе-
значение поля, создаваемого в данной точке г всеми электронами
(и внешним полем). Но в квазиклассическом случае харак-
характерные размеры гн области, в которой происходит взаимо-
взаимодействие («ларморов радиус орбит»), велики по сравнению с
порядком величины межэлектронных расстояний (совпадаю-
(совпадающим с постоянной решетки а). Это обстоятельство приводит
к автоматическому усреднению микроскопического поля. Про-
Происхождение этого усреднения можно пояснить следующими
рассуждениями.
Представим микроскопическую напряженность в виде суммы
ее среднего значения (которое, по принятой в макроскопической
электродинамике терминологии, есть магнитная индукция В)
и быстро меняющейся части Н. Векторный потенциал, отве-
отвечающий однородному полю В, возрастает на всем протяжении
размеров орбиты, принимая характерные значения ~ Вгц.
Потенциал же, отвечающий осциллирующему на расстояниях
~ а полю Н, не возрастает систематически и набирает лишь
значения ~ Ва, которыми можно пренебречь по сравнению с
Brjj. Между тем, как было объяснено в § 56, именно потенциал
поля определяет квантование движения электронов. Таким
образом, мы приходим к выводу, что достаточно учитывать
лишь потенциал А однородной индукции В = rot А, которая и
будет играть роль действующего на электрон поля (D. Shoenberg,
1962). Мы увидим ниже (конец §63), что это обстоятельство
может привести к некоторым новым явлениям в намагничении
металлов.

§ 63	ЭФФЕКТ ДЕ ГААЗА-ВАН АЛЬВЕНА	331
Таким образом, правило квазиклассического квантования
E8.7) для электронной жидкости в металле записывается как
F2.8)
где теперь S(s^ kz) — площадь сечения истинных изоэнергетиче-
ских поверхностей электронов проводимости металла (близких к
его ферми-поверхности).
Как и в задаче об одном электроне в решетке с центром ин-
инверсии 1), учет спина электронов проводимости приводит к рас-
расщеплению уровней в магнитном поле на две компоненты:
Sna(kz) = en(kz) + *Р?{кг)В, о = ±1.	F2.9)
Величина ^(kz) представляет собой результат усреднения некото-
некоторой функции ?(к) по квазиклассической траектории. При этом, с
достаточной точностью, все траектории можно считать лежащи-
лежащими на самой ферми-поверхности, так что результат усреднения
зависит только от kz. Подчеркнем, что для электронной ферми-
жидкости отличие величины ^(kz) от единицы (ее значения для
свободных электронов) связано не только со спин-орбитальным
взаимодействием, но и с обменным взаимодействием электронов
друг с другом.
§ 63. Эффект де Гааза-ван Альвена
Магнитная восприимчивость металла в слабых магнитных
полях ((ЗВ <С Г, /3 — магнетон Бора, В — магнитная индукция)
не может быть вычислена в общем виде. Дело в том, что в рамках
теории ферми-жидкости можно рассматривать только парамаг-
парамагнитную (спиновую) часть восприимчивости: эта часть опреде-
определяется электронами проводимости вблизи ферми-поверхности,
поскольку спины электронов в глубине распределения взаим-
взаимно скомпенсированы. В диамагнитную же (орбитальную) часть
восприимчивости вносят вклад все электроны, в том числе из
глубины распределения, где понятие квазичастиц в теории
ферми-жидкости уже теряет смысл. Между тем обе части вос-
восприимчивости, вообще говоря, одного порядка величины, а ре-
реальный физический смысл имеет только их сумма.
Обратимся к «сильным» полям, когда
Г < 0В « ц,	F3.1)
г) Фактически кристаллические решетки всех металлов обладают центром
инверсии.

332	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
т. е. интервалы между уровнями Ландау сравнимы с температу-
температурой, но все еще малы по сравнению с химическим потенциалом.
В этом случае пара- и диамагнитная части намагниченности во-
вообще не могут быть разделены, но здесь ситуация меняется в том
отношении, что в намагниченности металла появляется осцилля-
ционная зависимость от напряженности поля (эффект де Гааза-
ван Альвена)х). Монотонная часть намагниченности и здесь за-
зависит от всех электронов в металле и не может быть вычисле-
вычислена в рамках теории ферми-жидкости. Осциллирующая же часть
намагниченности определяется, как мы увидим, лишь электро-
электронами проводимости в окрестности ферми-поверхности и может
быть рассмотрена в общем виде (И. М. Лифшиц, А. М. Косевич,
1955). Именно эта часть и будет интересовать нас здесь.
Осцилляционная зависимость намагниченности от поля яв-
является следствием квантования уровней энергии орбитального
движения электронов. Но квантованию подвергаются только со-
состояния, отвечающие движению электронов по замкнутым
(в k-пространстве) траекториям. Поэтому вклад в осцилляци-
онную часть термодинамических величин возникает только от
электронов проводимости на замкнутых сечениях изоэнергети-
ческих поверхностей плоскостями, перпендикулярными заданно-
заданному направлению поля. Мы будем считать, что на этих сечениях
выполняется условие квазиклассичности, т. е. что определяемые
равенством F2.8) числа п велики:
Йс5/|е|В»1.	F3.2)
Для типичных ферми-поверхностей в металлах линейные раз-
размеры сечений ~ 1/а, так что S ~ а~2, и тогда условие F3.2)
заведомо выполняется (ср. примечание на с. 302).
Квазиклассические уровни даются (с учетом спина) выраже-
выражением F2.9), где sn(kz) — решения уравнения F2.8); каждому
уровню отвечает число состояний, даваемое формулой E8.10).
Поэтому статистическая сумма, определяющая термодинамиче-
термодинамический потенциал ft (функция //, Г и объема V системы), имеет
вид
= ~Т ^ Е / Е1п
Индекс s нумерует отдельные листы изоэнергетической поверх-
поверхности; этот индекс и знак суммирования по нему ниже для крат-
краткости опускаем. Интегрирование по dkz производится по такому
г) Ср. V, § 60, где этот эффект рассматривался для идеального электрон-
электронного газа.

§ 63	ЭФФЕКТ ДЕ ГААЗА-ВАН АЛЬВЕНА	333
интервалу, чтобы в него были включены все различные (т. е. за
исключением их периодических повторений) сечения всех листов
изоэнергетических поверхностей.
Прежде всего выделим из fi осциллирующую с полем часть
(обозначим ее через Г2), преобразовав сумму F3.3) с помощью
формулы Пуассона1):
- F@) +Y, F(n) = / F(x) dx + 2Re^ F(x) ^ dx' F3-4)
П=1	*П	1 = 1 Q
Первый член этой формулы, примененной к F3.3), дает неосцил-
лирующий вклад в Л; опустив его, пишем
%,,	F3.5)
где I/o- — осциллирующая часть интеграла
Ila = fdnf\n{l + exp ^-^(fe-)| eMln dkz	F3.6)
о
и введено также обозначение /v = [i — сг/З^В.
Для дальнейгпего преобразования введем функцию
, к ч _ cHS(e, kz) _ 1	,fi3 ?х
(ср. F2.8)) и перейдем от интегрирования по б?п в F3.6) к инте-
интегрированию по de:
= /Y
in {l + exp ^^} e2niln g dfcz d?;	F3.8)
о
выбор нижнего предела интегрирования по de (условно положен-
положенного равным нулю) безразличен, так как в интеграле все равно
будет существенна лишь окрестность значения е = \1а.
Поскольку функция n(?, kz) велика, экспоненциальный мно-
множитель в подынтегральном выражении в F3.8) — быстро ос-
осциллирующая функция kz. Эти осцилляции погашают интеграл
1)См. V, § 60. Тот факт, что в F3.4) член суммы ^@) стоит с коэффи-
коэффициентом 1/2, неважен, так как в сумме F3.3) все равно существенны лишь
члены с большими п.

334	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
по dkz, и потому основной вклад в него возникает от тех областей
переменной kz, в которых функция п(е, kz) меняется наиболее
медленно (так что и осцилляции наименее медленны). Другими
словами, основной вклад в интеграл дают области вблизи то-
точек экстремумов п как функции от kz (при каждом заданном е).
Пусть kzex(s) — одна из таких точек; вблизи нее вычисляем ин-
интеграл методом перевала: в показателе экспоненты пишем
n(e, fcz)«nex(e) + - (-^ ) (kz-kZe*J, ne^(s)=n(s, fczex(e)),
2 \OKZ Jex
а в неэкспоненциальных множителях берем их значение при
kz = kzex. В результате найдем, что каждая из экстремальных
точек дает в интеграл вклад
оо	-1/2
/1 \л i	LLa — е\ С?Пех 1 д2П	Го '7	I ^7Г 1 ,
In {1 + ехр ?_ j __ — ехр J2Wnex ± -} ds,
О
замена дп(е, kz)/de на dnex/ds допустима, поскольку в точке экс-
экстремума dn/dkz = 0. Знаки + или — в показателе экспоненты
относятся соответственно к случаям, когда kzex является точкой
минимума или максимума функции n(e, kzI). Преобразуем это
выражение интегрированием по частям, написав
ехр Bтгг/пех) ds = 	б? ехр Bтгг/пех(^))
2ттг/
ехр Bтгг/пех) ds
ds	2ттг/
и учитывая, что медленно меняющуюся функцию |/^|
можно не дифференцировать. Проинтегрированный член не при-
приводит к осцилляционной зависимости от поля; опустив его, имеем
_
f
У
где суммирование производится по всем экстремальным точкам
(смысл которых будет еще обсужден ниже).
Множитель ехр BтгИпех) в числителе подынтегрального вы-
выражения — быстро осциллирующая функция е. Эти осцилляции
) Перевальный интеграл вида J егаг dz вычисляется путем замены
z = иегж'А или z = ие~гж'А при а > 0 или а < 0, после чего интегриро-
интегрирование по du распространяется от — оо до оо.

§ 63	ЭФФЕКТ ДЕ ГААЗА-ВАН АЛЬВЕНА	335
погашают интеграл по de везде, за исключением области е — /v ~
~ Г, в которой быстро меняется знаменатель. Сама же функ-
функция пех(е) в этой области меняется плавно и потому может быть
представлена в виде
множитель же \д2п/дк^\ех просто заменяется его значением
при ? = [ia. После этого, перейдя от интегрирования по е к инте-
интегрированию пож= (е-^)/Ти заменив нижний предел —ца/Т
на —ос (поскольку ц/Т ^ 1), получим1)
1/2	"	I '
ex,/j,a
При суммировании этого выражения по а = ±1 можно везде
(кроме экспоненциального множителя) заменить /v на //,
поскольку по предположению F3.1) (ЗВ <С ц. В фазовом же
(экспоненциальном) множителе такая замена недопустима: вви-
ввиду большой величины функции nex(s) уже относительно малое
изменение ее аргумента приводит к заметному изменению фазы;
здесь, однако, достаточно разложить пех(м i РВ) по степеням
/ЗВ, ограничившись линейными членами. В результате получим
1±гтг/4]х
1/2
-1 [2тГ2/ГПеХ(//)] COS [27г/^Б^ехПех(м)]^ F3.10)
?ех = ^(^zex)- Остается выяснить смысл входящих в это вы-
выражение величин и подставить его в F3.5).
1) Использовано значение интеграла
ez + I	shTra
— оо
Эту формулу мож:но получить, рассмотрев интеграл по замкнутому конту-
контуру в плоскости комплексного z, составленному из вещественной оси, прямой
Im z = 2тг и двух бесконечно удаленных «боковых» отрезков (для обеспече-
обеспечения сходимости на последних вещественный параметр а заменяем на а — гО).
Интеграл по этому контуру определяется в полюсе z = гтг, откуда находим

336
ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
Согласно определению F3.7) функция пех(е) связана с экс-
экстремальным значением Seyi(s) площади сечения изоэнергетиче-
ской поверхности S(e, kz) как функции kz, а ее значение
при е = \i есть площадь экстремального
сечения ферми-поверхности. Для иллю-
иллюстрации на рис. 15 изображены экс-
экстремальные (два максимальных и одно
минимальное) сечения гантелеобразной
ферми-поверхности; они перпендикулярны
рис 15.	направлению поля, указанному стрелкой.
Суммирование по ех в F3.10) произво-
производится по всем экстремальным замкнутым сечениям всех листов
ферми-поверхности. Мы введем также, для упрощения записи
формул, циклотронную массу электрона проводимости при его
движении по экстремальной замкнутой траектории. Согласно
определению E7.6) эта масса
* _ ^ dS(e, kz
lib —
2тг де
где Sex(e) — S{e, kzeyL(e))\ последнее равенство снова связано с
тем, что в точке экстремума dS(e, kz)/dkz = 0.
В результате приходим к следующей окончательной фор-
формуле для осциллирующей части термодинамического по-
потенциала:
п =
(-1I fi, cos
4
, кх)
dkl
-1/2
-—COs(tt/
shA	V т
F3.11)
Л = 1тг2Тт*/т(ЗВ
(га — истинная масса электрона, знаки + или — в аргументе
косинуса относятся соответственно к случаям минимальных или
максимальных сечений)х).
1) Для газа свободных электронов ферми-поверхность — сфера радиуса
&F = у/2тЦ/Н, 5ех = tt&f, и формула F3.11) переходит в формулу F0.5) из
V.8 60.

§ 63	ЭФФЕКТ ДЕ ГААЗА-ВАН АЛЬВЕНА	337
Намагниченность М (магнитный момент единицы объема)
вычисляется как производнаях)
М = —	.	F3.12)
V дВ
При этом дифференцированию в F3.11) должны подвергаться
лишь наиболее быстро меняющиеся множители — косинусы.
Ввиду анизотропии ферми-поверхности (га* и 5ех зависят от на-
направления поля) направление М не совпадает, вообще говоря, с
направлением В. Для осциллирующей части продольной (в на-
направлении поля) намагниченности находим
ltfSe*±n
ч 2т(ЗВ 4
ех /=1	ч	F3.13)
-1/2	V	}
ч =
7Г7/2 ГП*13/2Н
, kz)
dkl
А
shA
cos
ex
Выражения F3.11) и F3.13) — сложные осциллирующие
функции магнитного поля, причем они содержат, вообще говоря,
члены различной периодичности: члены, происходящие от каж-
каждого из экстремальных сечений ферми-поверхности имеют свой
1)Тот факт, что дифференцирование производится по В, требует пояс-
пояснения. К формуле F3.12) можно прийти следующим образом. Изменение
гамильтониана системы при бесконечно малом изменении векторного по-
потенциала поля есть
6Н=--
'/
где j — оператор плотности тока (см. 111,A15.1)). Изменение же термоди-
термодинамического потенциала Q получается усреднением SH (при заданных зна-
значениях /i, T, V). Но тот факт, что квантование системы определяется (как
было показано в § 62) не точным микроскопическим полем Н, а его макроско-
макроскопическим средним значением В, означает, что и в SH под А надо понимать
векторный потенциал среднего поля В. Вариацию 6А молено, следователь-
следовательно, вынести из-под знака усреднения, и тогда
6П = (SH) = -- f(i)SAdV.
Введя теперь магнитный момент, по определению (j ) = с rot M, и произведя
интегрирование по частям, получим
SQ = -SB I M dV.

338	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
период по переменной 1/5, равный
А1_ = Ашгф = 2^
В
Отметим, что эти периоды не зависят от температуры.
Температурная же зависимость амплитуд осцилляции опре-
определяется множителем A/shA. При А ^> 1 амплитуды убывают
экспоненциально, и осцилляции фактически исчезают. При А < 1
множитель A/shA ~ 1, и порядок величины амплитуд опреде-
определяется остальными множителями в Л/ и М\\ к этому случаю и
относятся все последующие оценки.
Для грубой оценки положим
га* rsj rn, \i rsj H kF/m, S ~ kF,
где кр ~ 1/а — линейные размеры ферми-поверхности. Тогда
получим
где п rsj Щ? — плотность числа электронов. Что же касается мо-
монотонно зависящей от поля части намагниченности (обозначим
ее через М), то ее можно оценить, положив
М ~хВ~ Р2Т^В~ п/3^-,	F3.16)
Н2	fi
где х — «монотонная» часть магнитной восприимчивости, оце-
оцененная, например, по формуле для восприимчивости электрон-
электронного газа в слабых полях (см. V, § 59). Соответственно монотонная
часть термодинамического потенциала Q~VMB~Vn/jj(l3B//j,J.
Сопоставление написанных выражений показывает, что осцил-
осциллирующая часть термодинамического потенциала мала по срав-
сравнению с его монотонной магнитной частью:
п/Тг ~ (рв/цI/2 < 1,
и тем более — по сравнению с его значением JIq ^ Vn/j, в от-
отсутствие поля; ft/fto ~ ((ЗВ/'//M/2. Осциллирующая же часть на-
намагниченности, напротив, велика по сравнению с ее монотонной
частью	_
М/М - (ц/(ЗВI/2 > 1.
По поводу всей изложенной теории осцилляции намагничен-
намагниченности следует отметить, что она относится к электронной жид-
жидкости в идеальном кристалле, и в ней не учитывается возможное

63
ЭФФЕКТ ДЕ ГААЗА-ВАН АЛЬВЕНА
339
влияние на эффект процессов рассеяния электронов проводимо-
проводимости на фононах и на дефектах решетки (например, на атомах
примесей). Эти процессы приводят к неопределенности в энергии
электронов: As ~ К/т ~ Kvp/1 (где т — время между столк-
столкновениями; / — длина свободного пробега; vp — скорость элек-
электронов). Размытие же резких уровней энергии приводит, в свою
очередь, к сглаживанию осцилляции намагниченности. Условие
допустимости пренебрежения процессами
рассеяния состоит в малости неопреде-
ленности Ае по сравнению с интервалами
между уровнями, т. е. должно быть:
Нои в
F3.17)
В
Рис. 16.
При Т—»0 допустимы (условием F3.1))
сколь угодно малые значения В (точнее —
ограниченные лишь условием F3.17)).
При этом намагниченность М может, в
принципе, стать сравнимой с самой ин-
индукцией В (так как М / В^х^л/ (ЗВI/2),
но еще раньше становится большой
(по модулю) магнитная восприимчивость
X = SM/SH1). Действительно, снова за-
заметив, что дифференцированию должны подвергаться только ос-
осциллирующие множители, найдем
|X|~X(/V0BK/2.	F3-18)
В такой ситуации осцилляции намагниченности приводят
к появлению на кривой зависимости макроскопической напря-
напряженности Н = В — 4тгМ(В) от индукции В ряда последова-
последовательных перегибов, как это показано схематически на рис. 16
(А. В. Pippard, 1963). Но условие термодинамической устойчиво-
устойчивости требует, чтобы было2)
т) > о.
Поэтому состояния, отвечающие таким участкам кривой, как
Ьс, невозможны. Возникающая ситуация вполне аналогична той,
1) Во избежание излишних усложнений в следующем ниже качественном
рассмотрении возникающих эффектов мы отвлекаемся от влияния анизо-
анизотропии.
2)Ср. VIII, § 18, где аналогичное условие выведено для электрического
случая.

340	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
которая приводит к фазовому переходу в веществе при появ-
появлении перегиба на кривой зависимости давления от объема
(ср. V, §84,152). Равновесной кривой зависимости Н(В) будет в
действительности соответствовать прямолинейный горизонталь-
горизонтальный отрезок ad, проведенный так, чтобы заштрихованные на ри-
рисунке две площади были равны; участки же аЪ и cd отвечают
метастабильным состояниям.
Пусть металлический образец представляет собой цилиндр
с осью, направленной вдоль внешнего поля $). Тогда напряжен-
напряженность Н внутри цилиндра совпадает с^ипо мере увеличения
последнего тело будет испытывать последовательные фазовые
переходы со скачкообразными изменениями индукции: каждый
раз при достижении такой точки, как а, индукция меняется
скачком от значения Ва к значению Вд1). Если же образец
представляет собой плоскую пластинку в перпендикулярном ей
магнитном поле, то происходит разбиение тела на чередующиеся
слои (диамагнитные домены) с различной индукцией — вполне
аналогично разбиению проводника в промежуточном состоянии
на нормальные и сверхпроводящие слои (J. H. Condon, 1966).
Внешнее поле S) совпадает в этом случае со значением магнитной
индукции, усредненным по всем слоям. Так, в интервале
Ва < <б < Bd пластинка разбивается на слои с индукциями Ва
и Bd и, по мере возрастания S), объем вторых возрастает за счет
объема первых.
§ 64. Электрон-фононное взаимодействие
До сих пор мы рассматривали электроны проводимости в
кристалле, отвлекаясь от их взаимодействия с колебаниями ре-
решетки, т. е. с фононами. Это взаимодействие выражает тот факт,
что деформация решетки изменяет поле, в котором движется
электрон; это изменение поля называют деформационным
потенциалом.
Электрон-фононное взаимодействие играет определяющую
роль в кинетических явлениях в полупроводниках и металлах,
но здесь нас будет интересовать только качественное влияние
этого взаимодействия на энергетический спектр электронов.
Для его изучения целесообразно отвлечься от усложнений,
связанных с анизотропией решетки и ее микроскопической
неоднородностью. Другими словами, рассматриваем среду как
микроскопически однородную, изотропную жидкость, соответствен-
соответственно чему в ней возможны лишь продольные звуковые колебания.
х) Предполагается, что поверхностная энергия границы раздела между
фазами положительна.

§ 64	ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ	341
В первом приближении по деформации потенциал, отвечаю-
отвечающий такой упрощенной модели, представим в виде
= - [W(T - Г') p'(r') d3x',	F4.1)
Р J
где р1 — переменная часть плотности среды (а р — ее постоянное
равновесное значение). Функция W(r — г') убывает на длинах
порядка межатомных расстояний а. Мы упростим выражение
F4.1) еще дальше, заметив, что для взаимодействия с фононами
с волновыми векторами к <^i 1/а эти расстояния можно считать
равными нулю, т. е. положить W = w6(r — г'), где w — постоян-
постоянная. Тогда С/деф = оор' (г) /р. В квантовой теории, в представле-
представлении вторичного квантования, этот потенциал записывается как
гамильтониан электрон-фононного взаимодействия
Нер = - /$+(*, г)/7(?, г) Фа(*, г) dsx,	F4.2)
р J
где операторы Ф, Ф+ относятся к электронам, а /? — гейзенбер-
гейзенберговский оператор плотности, описывающий фононное поле; для
свободных (не взаимодействующих с электронами) фононов он
дается формулой B4.10).
В математическом аппарате гриновских функций в примене-
применении к электрон-фононному взаимодействию появляется наряду с
гриновской функцией электронов G еще и фононная гриновская
функция, определяемая как
D(XU Х2) = D(XX - Х2) = -г{Тр! (Хг) pf (X2)),	F4.3)
причем хронологическое произведение раскрывается по правилу
C1.2), отвечающему случаю бозонов. Для свободных фононов
гриновская функция в импульсном представлении
?>(°)(о;, k) = Et. /	1	_	1	\ =	рЛ	 F4.4)
(см. задачу к §31; в промежуточных формулах полагаем К = 1).
Рассматривая электрон-фононное взаимодействие как малое
возмущение, можно построить основанную на операторе F4.2)
диаграммную технику подобно тому, как это было сделано в
§ 13 для парного взаимодействия фермионов. Не повторяя за-
заново всех рассуждений, сформулируем получающиеся правила
составления диаграмм (в импульсном представленииI).
1) Структура выражения F4.2) для оператора электрон-фононного вза-
взаимодействия аналогична структуре оператора электрон-фотонного взаи-
взаимодействия в квантовой электродинамике. В связи с этим аналогичны и
правила диаграммной техники в обоих случаях.

342	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
Основными элементами диаграмм являются электронные
(сплошные) и фононные (штриховые) линии, каждой из кото-
которых приписывается определенный «4-импульс». Электронной
линии с 4-импульсом Р ставится в соответствие множитель
iGl = i5apG(®'(P) — гриновская функция свободных элек-
электронов. Фононной линии с 4-импульсом К сопоставляется
множитель iD^(K) — гриновская функция свободных фононов.
В каждой вершинной точке диаграммы сходятся две сплошные
и одна штриховая линии; такой точке дополнительно сопостав-
сопоставляется множитель —гои/р.
Так, первая поправка к электронной гриновской функции
изображается диаграммой1)
К
F4.5)
Р-К
которой отвечает аналитическое выражение
iSG(P) = ~ [G(°\P)}2 [g(°\p - К) D^\K) —a. F4.6)
Первая поправка к фононной гриновской функции изображается
диаграммой	о
к	<^
или в аналитическом виде
iSD(K) = 2 ^ [D@\K)}2 (g^\P) G^\P - К) —а F4.8)
(коэффициент 2 возникает от свертывания спиновых множите-
множителей: 6а/з6/3а — 2; учтен также множитель —1, связанный с нали-
наличием одной замкнутой фермионной петли — ср. § 13).
Покажем, что электрон-фононное взаимодействие в метал-
металле приводит к появлению «эффективного притяжения» между
1) Диаграмма с замкнутой на себя электронной линией (подобная диа-
диаграмме A3.13а)) отсутствует ввиду того, что D^°\0) = 0. При этом подра-
подразумевается, что переход к пределу к —>> 0 совершается прежде, чем ш —>¦ 0.
Это отражает то обстоятельство, что в координатном пространстве интегри-
интегрирование по d3x (как раз и означающее в данном случае переход к к —>> 0)
содержится уже в определении гамильтониана F4.2) и потому совершает-
совершается до интегрирования по времени, возникающего при применении теории
возмущений к этому гамильтониану.

§ 64	ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ	343
электронами вблизи ферми-поверхности. Оно может быть опи-
описано наглядно как результат испускания виртуального фонона
одним электроном и его поглощения другим (J. Bardeen, 1950;
Н. Frohlich, 1950).
Рассмотрим диаграмму
\к ,	F4.9)
изображающую рассеяние двух электронов, осуществляющееся
через обмен виртуальными фононами; 4-импульсы Р = (е—ц, р),
К = (о;, k), \i — химический потенциал электронов при Г = О,
совпадающий с граничной энергией ер. Этой диаграмме отвечает
вершинная функция
/ • \2
Г s в — Г?а 8йя гГ = [ — — ] iD^ (К)
или
/9	9 7 9 I 'П\ '	\ * /
причем Нои = e'i — ?i, Kk = pi' — pi.
По порядку величины, импульсы электронов вблизи ферми-
поверхности р rsj pF ^ Л/а. Рассеянию электронов на угол ~ 1
отвечает импульс фонона Hk ~ Н/а и его энергия Ник ~ Ни/а ~
~ Ниов, где иов — дебаевская частота (для металлов Ниов "С ер)-
С другой стороны, электрон не может отдать энергию большую,
чем е — ер. Поэтому, если для обоих электронов \е — ер\ ^С зд,
то заведомо
Г^ои2/ри2 >0.	F4.11)
Учитывая смысл Г как амплитуды рассеяния (§ 16), мы видим,
что ее знак соответствует притяжению между частицами. Под-
Подчеркнем, что этот результат относится лишь к электронам в
сравнительно узком слое (ширины ~ Huod по энергии) импульсного

344	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
пространства вблизи ферми-поверхности. Это обстоятельство
было уже использовано в § 43 для установления величины па-
параметра обрезания в теории сверхпроводимости металловг).
§ 65. Влияние электрон-фононного взаимодействия
на электронный спектр в металле
Рассмотрим вопрос о влиянии, оказываемом электрон-фонон-
ным взаимодействием на энергетический спектр электронов
в металле2).
В § 14 было показано, что для спектра фермиевского типа
поправка к закону дисперсии е(р) (по сравнению со спектром
системы свободных фермионов) определяется разностью
<fe(p) = S(e-/i,p)-S(O,p),	F5.1)
где S = G^'1 — G — собственно-энергетическая функция.
В данном же случае речь идет о поправке, вызванной взаимо-
взаимодействием с фононами, а роль «невозмущенного» играет спектр,
учитывающий «прямое» взаимодействие частиц (электронов).
Согласно F4.6), имеем3)
= -SG-1 = ^- = i^jG^{P-K)D^\K)^ F5.2)
но под G^ надо понимать теперь гриновскую функцию взаимо-
взаимодействующих друг с другом электронов. Вблизи своего полюса
такая функция имеет вид
-n, p) = Z[e-n- vf{p-pF) + гО • signfc-jx)] F5.3)
(см. A0.2)); индекс @) у vp означает, что в этой величине еще
не учтено влияние электрон-фононного взаимодействия.
г) Что касается постоянной w, то для грубой оценки ее для металлов мож-
можно заметить, что изменение энергии электрона должно достигать порядка ве-
величины ее самой (~ ef), когда изменение плотности р' ~ р. Отсюда из ~ Sf-
2) Излагаемые в этом параграфе результаты принадлежат А. Б. Мигдалу
A958).
) В промежуточных формулах полагаем Н = 1.

65	ВЛИЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР В МЕТАЛЛЕ	345
Нагла цель состоит теперь в оценке
теграла
6е =
- iu2 [ю{0)(г со к) G(o)(
Р2 J ^ Ш' Р
величины F5
p-k)}D@)(w
.1), т.
Л)}
е. ин-
d*K
BтгL
F5.
4)
Как видно из последующих вычислений, основной вклад в этот
интеграл дает область, в которой импульс р — к и энергия е — ио
(как и сами риг) лежат вблизи ферми-поверхности, т. е. к <С рр->
ио <С \i. По этой причине для функций G^ можно использовать
F5.3).
В сферических координатах в k-пространстве с осью вдоль р
имеем d4K = 2тгк2 dk duo d cos 0, где в — угол между к и р. Вместо
cos в введем переменную р\ = |р — к |; заметив, что р2 = р2 + к2 —
—2рк cos 0, имеем
d4K = 2тгк2 dk doupi dpi/pk « 2тгк dk duo dpi
(мы положили pi « p
В подынтегральном выражении в F5.4) от р\ зависит только
множитель в фигурных скобках, равный
{...} = -(s-/jJ)Z[s-/jJ-uj-vy(p1-pF)+i0 • sign(e-tJL-u))]~1x
х[—ио—Ур(р—рр)—гО • signer].
Ввиду быстрой сходимости интеграла по d(p\ — pp), можно рас-
распространить интегрирование до ±ос; введя переменную г] =
= Vp (pi — pi?), получим интеграл
сю
Г
J [q-(e-ti-w)-iO • si
= (e-Ji)Z Г 	dq
• sign(e-/i-o;)] [77+^+гО • signer]
Если оба полюса подынтегрального выражения находятся по од-
одну сторону от вещественной оси, то интеграл обращается в нуль
(в чем убеждаемся, замкнув путь интегрирования в другой по-
полуплоскости). Поэтому интеграл отличен от нуля, лишь если
е — [I > ио > 0 или е — /л < ио < 0] в первом случае он ра-
равен —2mZ/vp, а во втором 2/kiZ/vf . Учтя также четность

346	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ
функции D(®'(w, k) по переменной c<j, находим, таким образом,
|е-/х|
6s = ZuJ\n, [ [ (	-	-	1 к2 duo dk. F5.5)
%>K2puvyJ J \u-uk+iO uj+uk-iOj
Вещественная и мнимая части этого выражения определя-
определяют соответственно поправку к спектру квазичастиц (электронов
проводимости) и их затухание. Рассмотрим сначала затухание.
Отделяя в F5.5) мнимую часть по правилу (8.11), находим
f k2dk-	F5.6)
т г
—imos =
интегрирование по к производится по области от 0 до \е — |/
в которой полюс ио = ик подынтегрального выражения в F5.5)
лежит в интервале между 0 и \е — /i|. Таким образом (в обычных
единицах),
Для грубой оценки этой величины замечаем, что парамет-
@)
ры Vp та. ш имеют электронное происхож:дение и выражаются,
по порядку величины, лишь через межатомные расстояния а и
массу электрона га: Vp ~ pp/m ~ Н/ат, ио ~ ер ~ Н2/та2 (см.
примечание на с. 344). Плотность же р и скорость звука и зави-
зависят еще и от массы ионов М, причем р а М, и а М1/2, так что
/ш4 ос 1/М. Поэтому оценку затухания можно записать в виде
-ImSe - \е - iif(fvuoD)~2,	F5.8)
где дебаевская частота cud ~ и/а ос М/2.
Строго говоря, оценка F5.8) относится к значениям \е — /i| ^C
^С Hoop, при которых интегрирование в F5.6) производится по
области к < \е — /л\/иК ^С иов/и, где действительно применим
используемый нами закон дисперсии фононов ио = ки. Но для
грубой оценки по порядку величины можно применить F5.8) и
на краю области при е — [i ~ Hou^, где она дает
—lmSs ~ Huud ~ ? — Ц"	F5.9)
Наконец, при е — \i ^> Hoop область интегрирования в F5.6)
не зависит от е — //, так как полюс ио = ик < иов всегда лежит

65
ВЛИЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР В МЕТАЛЛЕ
347
в интервале между 0 и ? — \±. В этом случае / к2 dk
и затухание
-ImSe ~ HouD < е - /х.
F5.10)
Выражения F5.8)-F5.10) определяют специфическое зату-
затухание, связанное с испусканием фононов электронами1). Мы
видим, что в непосредственной близости к ферми-поверхности
при \е — /i| <С fcuoD, согласно F5.8), затухание мало (|Im(e —/i)| <С
<С \е — /ij), так что понятие о квазичастицах — электронах прово-
проводимости — имеет вполне четкий смысл. В области же е — \i ~ fiWD
затухание квазичастицы становится сравнимым с самой ее энер-
энергией, спектр размывается и в значительной степени теряет смысл.
Однако на еще больших расстояниях над ферми-поверхностью
при е — \i ^> Hoop (но, разумеется, по-прежнему е — \i <С /i),
согласно F5.10), затухание, оставаясь тем же по абсолютной
величине, снова становится малым по сравнению с энерги-
энергией ? — /i, и квазичастицы снова приобретают определенный
смысл. Разумеется, наряду с фононным затуханием электронов
проводимости всегда имеется также и затухание от электрон-
электронных столкновений. Это затухание, характерное для
всякой нормальной ферми-жидкости (§1), пропорционально
(е — //J и по порядку величины ~ (е — /iJ//i, т. е. всегда мало в
области применимости теории.
Оценим теперь поправку к вещественной части ?, т. е. к са-
самому спектру.
Вещественная часть интеграла по duo в F5.5) дается его глав-
главным значением
Re
= * Р
2u
— ик uj + ик
ёш =
е — ji — ик
2и
? — jJL
Поэтому для Re 5s имеем (обычные единицы)
Refe=
A;2 In
е-»-Пик
е — ц + Ник
1) Сохранение энергии при рождении квазичастицей фонона малой часто-
частоты выражается равенством (ds/d\s) Ek = v?k = и5к\ оно может выполнять-
выполняться лишь при v > и. В металле это условие всегда выполняется, поскольку
VF > U.

348	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
При е — \i ^> Hoop логарифм в подынтегральном выражении
~ Ник/(е — /i), и весь интеграл оценивается как Пиктах/(z ~ lA ~
~ Yiujc?(e — \i). Замечая также, что в силу наличия множителя
р в знаменателе в F5.11) все это выражение ос 1/М, приходим к
оценке
Re 6s	2
Таким образом, в этом случае поправка в спектре относительно
мала, так что спектр дается выражением
? — [л ~ Vp(p —рр) при е — fi^> Hujd	F5.12)
с «невозмущенным» значением скорости на ферми-поверх-
ности v^.
В области же е — /л<^ Hoop логарифм в F5.11) ~ (е — /л)/(Ник),
и интеграл оценивается как (е-^)к^ау./(Ни) ~ (е — fi)/(Hua2). Все
выражение F5.11) оказывается в результате пропорциональным
? — [I с коэффициентом, не зависящим от массы иона М (так как
произведение pv? не зависит от М). Это значит, что спектр в
этой области будет снова того же типа
? — \i « vf(p — Pf) при е — \i ^C Itjuod,	F5.13)
но со скоростью vf, отличающейся от v^ на величину порядка
ее самой1).
Таким образом, спектр фермиевского типа для электронов в
металле характеризуется двумя различными значениями скоро-
скорости vp и Vp — одним в непосредственной близости к ферми-
поверхности (е — \i ^C ^jd), а другим — при е — \i ^> fibO]j.
В термодинамических свойствах металла при низких темпера-
температурах (Г ^С Ниио) фигурирует параметр vp из F5.13). Такие же
явления, как оптические свойства металла для частот ио ^> uojj,
определяются скоростью v^p .
3 адача
Определить затухание длинноволновых (к <С Pf) фононов в металле за
счет их поглощения электронами.
1) Разумеется, в этих условиях использование первого приближения тео-
теории возмущений становится, строго говоря, некорректным. Учет следующих
приближений не может изменить, однако, самого характера полученного ре-
результата: когда первая поправка становится порядка единицы, того же по-
порядка и остальные поправки.

§ 66	ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ТВЕРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ	349
Решение. Поправка к гриновской функции фононов дается, согласно
F4.8), интегралом
[&Ч&Ч?? Р=(ро,Р), К=(ш,к).
В G-функциях надо, однако, еще учесть поправки, связанные со взаимодей-
взаимодействием электронов с кратковолновыми фононами. Согласно сказанному в
тексте, эти поправки приводят просто к замене G^ на функцию G, отли-
отличающуюся от F5.3) лишь заменой скорости vF' на vf, и перенормировоч-
перенормировочной постоянной Z на некоторую другую Z'. При малых К для произведения
G^0'(P)G^0'(P — К) можно воспользоваться формулой A7.10). Интегриро-
Интегрирование по dpo dp сводится к устранению E-функций, после чего остается еще
интегрирование по d cos# (в — угол между р и к);
1
с-т^-1/ тч Z2uj2pFk f cos в d cos в
SD (lj, к) =	?-?— /
J uj — VFkcosO + гО
(полагаем lj > 0). Полюс cos# = uj/kvF находится внутри области интегри-
интегрирования (поскольку vf > it), и мнимая часть интеграла
у1
imSD'1 =
2irp2v2Fk
Закон дисперсии фононов определяется как корень уравнения D^ ' ~ +
-\-SD~1 = 0, откуда находим (в обычных единицах)
ш = икA — га), а =
(поправкой к вещественной части ш не интересуемся). Произведение ри ос у/М\
поэтому в грубой оценке а ~ ^ут/М, т. е. затухание всегда мало.
§ 66. Электронный спектр твердых диэлектриков
Характерная особенность электронного энергетического спек-
спектра диэлектрического немагнитного кристалла состоит в том,
что уже первый возбужденный уровень находится на конечном
расстоянии от основного уровня; другими словами, между основ-
основным уровнем и спектром возбужденных уровней имеется энерге-
энергетическая щель (у обычных диэлектриков — порядка нескольких
электрон вольт).
Элементарное возбуждение в диэлектрическом кристалле
может быть наглядно описано как возбужденное состояние
атома, которое, однако, нельзя приписывать какому-либо опреде-
определенному атому; трансляционная симметрия решетки, как всегда,

350	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
приводит к «коллективизированию» возбуждения, распростра-
распространяющегося в кристалле, как бы перескакивая от одного атома
к другому. Как и в других случаях, эти возбуждения можно
рассматривать как квазичастицы (называемые в этом случае эк-
ситонами) с определенными энергиями и квазиимпульсами. Как
и всякие квазичастицы, которые могут появляться поодиночке,
экситоны обладают целочисленным моментом и подчиняются
статистике Бозе1).
При заданном квазиимпульсе к энергия экситона может про-
пробегать дискретный ряд различных значений ?5(к). Когда квази-
импульс пробегает значения в одной ячейке обратной решетки,
каждая из функций ?5(к) пробегает некоторую зону значений
энергии экситона; различные зоны могут частично перекрывать
друг друга. Минимальные значения каждой из функций es(k)
отличны от нуля.
Наряду с экситонами в диэлектрике могут существовать
электронные возбуждения также и другого рода. Их можно рас-
рассматривать как возникающие в результате ионизации отдельных
атомов. Каждая такая ионизация приводит к появлению в ди-
диэлектрике двух независимо распространяющихся квазичастиц —
электрона проводимости и «дырки». Последняя представляет
собой недостаток одного электрона в атоме и потому ведет
себя как положительно заряженная частица. И здесь, говоря
о движении электрона и дырки, мы в действительности имеем
в виду некоторые коллективные возбужденные состояния элек-
электронов диэлектрика, сопровождающиеся (в противоположность
экситонным состояниям) переносом отрицательного или положи-
положительного элементарного заряда.
Электроны и дырки обладают полуцелым спином и подчи-
подчиняются статистике Ферми. Подчеркнем, однако, что электронно-
дырочный спектр диэлектрика отнюдь не имеет характера
электронного спектра фермиевского типа в металлах. Для по-
последнего характерно существование граничной ферми-поверхности
в k-пространстве, в окрестности которой и лежат квазиимпульсы
электронов. В данном же случае никакой подобной поверхности
вообще нет, и одновременно появляющиеся электрон и дырка мо-
могут иметь произвольные квазиимпульсы.
Более глубоко различие между обоими типами спектров мож-
можно понять, рассматривая затухание элементарных возбуждений.
В ферми-жидкости любая квазичастица, находящаяся вне фер-
ферми-поверхности, может рождать пары новых возбуждений
(частицу и дырку) и потому обладает конечным временем жиз-
жизни, быстро убывающим при удалении от ферми-поверхности
1) Понятие об экситонах было впервые введено Я. И. Френкелем A931).

§66	ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ТВЕРДЫХ ДИЭЛЕКТРИКОВ	351
(электрон в металле может, кроме того, испускать фононы —
см. §65). Затухание же одиночного электрона (или дырки) в ди-
диэлектрике в идеальной решетке (при Г = 0) строго равно нулю
в конечном интервале энергий над ее минимальным значени-
значением1). Действительно, образование электронно-дырочной пары
во всяком случае требует (в виду наличия энергетической щели
А — см. ниже) конечной затраты энергии. Испускание же квази-
квазичастицей фонона (акустического) возможно, лишь если скорость
v квазичастицы не меньше скорости звука и (см. примечание
на с. 347).
Возможные значения энергии электронов проводимости ?(е)(к)
и дырок ?^(к) тоже заполняют зоны. Шириной энергетической
щели в диэлектрике обычно называют сумму А = ?„^п + ^mL
наименьших возможных значений энергий электрона и дырки.
Поскольку электрон и дырка появляются или исчезают вместе,
то реальным смыслом обладает именно эта сумма, а не величи-
величины e^in и ?^jn по отдельности; обычно условно полагают ?^jn = 0.
Минимальные значения энергии могут достигаться для электро-
электронов и дырок при одном и том же или при различных значени-
значениях квазиимпульса к = ко; в первом случае говорят о прямой,
а во втором — о непрямой щели. Если уровни энергии в зоне
невырождены (или вырождены только двукратно по спину как
следствие симметрии по отношению к обращению времени), то
вблизи своего минимума функции е(к) имеют вид
= А + imJJ-W е<*)(к) = ^'"'«й, F6.1)
где q = к — ко, а т^ и т^ — тензоры эффективных масс элек-
электронов и дырок.
В литературе электронную зону нередко называют просто
зоной проводимости, а вместо дырочной зоны говорят о валент-
валентной зоне, которая в основном состоянии кристалла полностью
заполнена электронами. Возникновение пары квазичастиц —
электрона и дырки — рассматривается при этом как результат
перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости с
оставлением дырки на покидаемом месте.
На больших (по сравнению с атомными) расстояниях элек-
электрон и дырка притягиваются по закону Кулона. Поэтому они
могут образовывать связанные состояния. Совокупность свя-
связанных электрона и дырки представляет собой электрически
х) Затухание же при конечных температурах, разумеется, всегда имеется
из-за рассеяния на других квазичастицах.

352	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
нейтральную квазичастицу, т. е. экситон. При заданном значе-
значении квазиимпульса связанным состояниям отвечают дискрет-
дискретные уровни энергии системы электрон+дырка; каждый уровень
отвечает одной из экситонных энергетических зон. Энергии экси-
тонов расположены, таким образом, под энергиями электронно-
дырочных возбуждений (энергетическая щель в указанном в
начале параграфа смысле не совпадает поэтому с величиной А,
а меньше ее на величину, равную максимальной энергии связи
экситонаI).
Уровни энергии экситона легко вычислить в предельном
случае слабо связанных состояний, когда средние расстояния
между электроном и дыркой велики по сравнению с постоянной
решетки а; такой экситон называют экситоном Ванье-Мотта.
В обратном же предельном случае, когда расстояние между
электроном и дыркой порядка атомного, говорят об экситоне
Френкеля] разумеется, экситон Френкеля можно рассматривать
как связанное состояние электрона и дырки лишь формально.
Рассмотрим диэлектрический кристалл кубической симмет-
симметрии. Для экситона Ванье-Мотта можно считать, что электрон и
дырка притягиваются по закону Кулона, причем роль остальных
атомов в решетке сводится лишь к созданию однородного ди-
диэлектрического фона, ослабляющего взаимодействие в е раз, где
е — диэлектрическая проницаемость кристалла (взятая для зна-
значений частот, отвечающих по порядку величины энергии связи
экситона); другими словами, энергия взаимодействия электрона
и дырки записывается в виде U = —е^/ег. Пусть щель в спектре
прямая и для простоты будем считать, что минимумы энергий
электрона и дырки лежат при к = 0. В кубическом кристалле
тензоры эффективных масс сводятся к скалярным константам
те и ra/j,, так что
е(е)(к) = А + *_*!, е(*>(к) = *_*!.	F6.2)
2те	2т
В конце § 56 было указано, что движение частицы в кристал-
кристаллической решетке с наложенным на нее медленно меняющимся в
пространстве внешним электрическим полем описывается урав-
уравнением Шредингера с гамильтонианом, в котором роль кинети-
кинетической энергии играет функция е(к). Поскольку в данном слу-
случае функции ?(е)(к) — А и ?(/г)(к) совпадают по форме с кинети-
кинетическими энергиями обычных свободных частиц, то и уравнение
Шредингера рассматриваемой системы совпадает по форме с та-
таковым для системы двух обычных частиц, взаимодействующих
1)Экситонные состояния обладают, однако, конечным временем жизни,
так как электрон и дырка могут рекомбинировать с испусканием, например
фонона или фотона.

§ 67	ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ	353
по закону Кулона, т. е. с уравнением Шредингера задачи об ато-
атоме водорода. Мы можем поэтому сразу написать уровни энергии
системы, т. е. энергию экситона в виде
4ех) (к) - А = —^	 -^-	F6.3)
(G. H. Wannier, 1937). Первый член в этом выражении есть энер-
энергия движения экситона «как целого» с квазиимпульсом к. Вто-
Второй же член дает энергию связи электрона и дырки в экситоне
(га = memh/(me + ra/J — приведенная масса системы). При за-
заданном к дискретные уровни энергии системы сгущаются по ме-
мере увеличения энергии к границе непрерывного спектра. Условие
применимости формулы F6.3) состоит в требовании достаточно
большой величины «радиуса орбиты» rex ~ fi?sn?/гае2 ^> а. Это
условие заведомо выполняется при больших п, но в кристаллах
С боЛЫПИМ 8 МОЖеТ ВЫПОЛНЯТЬСЯ И ДЛЯ П rsj 1 1).
В заключение этого параграфа вернемся к упомянутому в
§ 61 утверждению о существовании нижней границы для плот-
плотности числа электронов проводимости в полуметалле.
В диэлектрике, где электроны и дырки при Г = 0 отсут-
отсутствуют, возможность образования ими связанных состояний
означает лишь появление новых ветвей энергетического спектра.
В компенсированном же металле такая возможность означала
бы, что состояние со свободными электронами и дырками не
является низшим, т. е. спектр металлического типа был бы
неустойчивым. Возможность образования связанных состояний
устраняется экранировкой кулоновского взаимодействия между
электроном и дыркой находящимися «между ними» другими
квазичастицами. Другими словами, среднее расстояние между
квазичастицами должно быть порядка величины или меньше
размеров экситона гех (в его основном состоянии). Обратим
внимание на то, что устанавливаемый этим требованием нижний
предел допустимых для металла плотностей числа электронов и
дырок падает с уменьшением их эффективных масс.
§ 67. Электроны и дырки в полупроводниках
Энергетический спектр чистых (или, как говорят, собствен-
собственных) полупроводниковых кристаллов отличается от спектра ди-
диэлектриков только в количественном отношении — меньшими
г) Интересно отметить, что вблизи верхнего края (максимума) зоны, где
эффективные массы отрицательны, могут образовывать связанные состо-
состояния два электрона (или две дырки). Энергия таких состояний лежит в
запрещенной области выше максимума суммарной энергии электронов.
12 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

354	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
значениями щели А, в результате чего при обычных темпера-
температурах в полупроводнике имеется значительная (по сравнению с
диэлектриком) плотность носителей тока. Ясно, что это разли-
различие условно, и к тому же зависит от интересующей нас области
температур1). В примесных (или легированных) полупровод-
полупроводниках дополнительным источником электронов или дырок яв-
являются атомы примесей, для которых энергетическая щель по
отношению к отдаче электрона в решетку (донорная примесь)
или его захвата из решетки (акцепторная примесь) оказывается
меньше, чем энергетическая щель в основном спектре.
Рассмотрим подробнее вопрос о связи между величиной ще-
щели А и плотностью электронов проводимости и дырок в полу-
полупроводнике (или диэлектрике).
Попарное возникновение или исчезновение электрона (е) и
дырки (h) можно рассматривать, с термодинамической точки
зрения, как «химическую реакцию» е + h +± 0 (основное состо-
состояние кристалла играет роль «вакуума»). По общим правилам
(см. V, § 101) условие термодинамического равновесия этой ре-
реакции записывается в виде
Ме + /^ = 0,	F7.1)
где \ie и /i/j — химические потенциалы электронов и дырок. Ввиду
сравнительно небольшой плотности электронов (пе) и дырок (n/J
в полупроводнике (при Г <С А) распределение Ферми для них
с большой точностью сводится к распределению Больцмана, так
что электроны и дырки образуют классический газ2). Из усло-
условия F7.1) следует тогда обычным образом (см. V, § 101) закон
действующих масс, согласно которому произведение равновес-
равновесных плотностей
nenh = К(Т),	F7.2)
где справа стоит функция температуры, зависящая только от
свойств основной решетки, на атомах которой и происходит рожде-
рождение и уничтожение электронов и дырок; эта функция не зависит
от наличия или отсутствия примесей. Вычислим функцию К(Т),
приняв для определенности, что энергии электронов и дырок яв-
являются квадратичными функциями квазиимпульса F6.1).
Распределение электронов (в единице объема) по квазиим-
1)	Приведем значения энергетической щели А для некоторых полупро-
полупроводников: Si - 1,17, Ge - 0,74, InSb - 0,24, GaAs - 1,52, PbS - 0,29 эВ. Для
типичного диэлектрика алмаза А = 5,4 эВ.
2)	Плотности электронов и дырок в полупроводниках при обычных темпе-
температурах составляют 1013 —1017 см~3, в то время как в металлах они состав-
составляют 1022-1023 см~3.

§ 67	ЭЛЕКТРОНЫ И ДЫРКИ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ	355
пульсам дается распределением Больцмана
exp (^?iM) . 2 **
V Т / BтгK
(множитель 2 учитывает два направления спина). Переход к рас-
распределению по энергиям осуществляется заменой
9 d3k	У
2
где те = A71117121713) / , a rai, 7712, тз — главные значения тензо-
тензора эффективных масс чщ?. Полное число электронов в единице
объема, следовательно, равно
А
(в виду быстрой сходимости интегрирование можно распростра-
распространить до бесконечности). Вычислив интеграл, находим
п. =
Аналогичным образом, получим
nh = ^(^§Y/2^h/T-	F7.4)
Наконец, перемножив оба выражения и учтя F7.1), получим
искомый результат
^^	F7.5)
В собственном полупроводнике, где все электроны и дырки
возникли парами:
^	F7'6)
Приравняв же выражения F7.6) и F7.3), найдем химический
потенциал электронов1)
Р 2 4 me	V У
Х)В литературе эту величину часто называют уровнем Ферми. Подчерк-
Подчеркнем, однако, что химический потенциал электронов в полупроводнике от-
отнюдь не имеет того смысла граничной энергии, которым он обладает в ме-
металлах.
12*

356	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
Что касается вклада электронов и дырок в термодинамиче-
термодинамические величины полупроводника, то при Г < Д он экспоненци-
экспоненциально мал. Учитывая, что на рождение одной пары электрон —
дырка требуется энергия, близкая к А, имеем для электронно-
дырочного вклада во внутреннюю энергию Ее^ ~ VneA с пе из
F7.6). Этой величиной можно пренебречь по сравнению с реше-
решеточным вкладом в энергию кристалла.
§ 68. Электронный спектр вблизи точки вырождения
В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким
образом можно, исходя из соображений симметрии, найти вид
энергетического спектра электронов или дырок в полупроводни-
полупроводнике (или диэлектрике) вблизи определенных точек к-пространства
(обратной решетки), выделенных по своей симметрии1).
Рассмотрим решетку, относящуюся к кубическому кристал-
кристаллическому классу O/j,, и будем интересоваться свойствами энер-
энергетического спектра вблизи точки к = 0 — вершины кубической
ячейки обратной решетки; эта точка имеет собственную симмет-
симметрию полной точечной группы О^.
В качестве первого примера рассмотрим спектр без учета спи-
спина электрона, и пусть в самой точке к = 0 уровень энергии в
зоне двукратно вырожден, относясь к неприводимому представ-
представлению Её группы О^2). При выходе из точки к = 0 вырождение
снимается; задача состоит в нахождении всех ветвей закона дис-
дисперсии е(к) вблизи этой точки.
В § 59 было объяснено, каким образом можно рассматривать
отклонение от некоторой точки к = ко в к-пространстве как воз-
возмущение. Конкретный вид оператора возмущения для нас здесь
несуществен. Достаточно знать лишь структуру выражений,
определяющих поправку к энергии в каждом порядке по ма-
малой величине q = k — ко (в данном случае ко = 0, так что
q = к). В первом порядке поправки определяются секулярным
уравнением, составленным из матричных элементов (для пере-
переходов между состояниями, относящимися к одному и тому же
вырожденному уровню) от оператора вида к'у, где 'у — неко-
некоторый векторный оператор. В данном случае ввиду наличия в
группе симметрии центра инверсии все матричные элементы опе-
оператора 'у заведомо обращаются в нуль, так что эффект перво-
первого порядка по к отсутствует (ср. V, §136). Во втором порядке
1) Без учета спина электрона этот вопрос формально тождествен с таким
же вопросом для энергетического спектра фононов в кристалле; см. V, § 136.
) Обозначение представлений точечных групп — см. III, § 95, 99.

§ 68	ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ВБЛИЗИ ТОЧКИ ВЫРОЖДЕНИЯ	357
по к поправки к энергии определяются секулярным уравнением,
составленным из матричных элементов от оператора вида
V = 4ikkih,	F8.1)
где 7г/с — некоторый тензорный (симметричный по индексам г, к)
эрмитов оператор; сюда входят поправки от линейных по к чле-
членов в гамильтониане во втором приближении теории возмущений
и поправки от квадратичных по к членов — в первом прибли-
приближении. Среди матричных элементов оператора F8.1) заведомо
существуют отличные от нуля, но требования симметрии накла-
накладывают на них определенные связи.
В смысле своего закона преобразования при операциях сим-
симметрии волновые функции, составляющие базис представления Eg,
можно выбрать в виде
ф1 ~ х2 + иоу2 + uo2z2, ip2 ~ х2 + ш2у2 + uoz2,
ГД6	ш =
знак ~ означает здесь слова «преобразуется как». Поворот С%
вокруг диагонали куба преобразует координаты согласно ж, у,
z —>• z, ж, у; при этом функции ф\, ip2 преобразуются как
Сз : ф\ —> шф1, 1р2 —> u2ip2-
Поворот С% вокруг ребра куба (преобразование ж, у, z -л ж, —z, у)
преобразует функции согласно
С% : ф\ ~^ф2, Ф2 -+ipi
и т. п. При инверсии координаты ж, у, z меняют знак, а функ-
функции -01, xf>2 не меняются.
Отсюда легко сделать вывод, что все матричные элементы от
недиагональных компонент 7г/с обращаются в нуль, а матричные
элементы от диагональных компонент сводятся к двум незави-
независимым вещественным постоянным:
A
A
7*х|1)=<2|7*
Ъх\2)={2\Ъ
2)={1\1уу\1)=...=А,
1)=В, A\Ъу\2)=соВ,
Теперь матричные элементы оператора F8.1):
A\V
A\V
1)=B
2)=B
V\2)=Ak2,
V\l)*=B(k2x+iuk2vWk2z).
Составив по этим матричным элементам секулярное уравнение

358	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
и решив его, получим две ветви спектра:
eiJ(fc) - е@) = Ак2 ± В [к4 - 3(к2хк2 + к2хк2 + tfk2J}1/2. F8.2)
Вырождение снимается при выходе из точки к = 0 во всех на-
направлениях, за исключением направления диагонали куба
уКх = Ку = KZJ J.
В качестве другого примера рассмотрим спектр с учетом спи-
спина электрона; при этом уровням энергии отвечают двузначные
(спинорные) представления группы симметрии. Пусть в точке
к — 0 уровень четырехкратно вырожден, отвечая неприводимо-
неприводимому представлению D'u (или D'g) группы О^2).
Функции базиса этого представления можно выбрать так,
чтобы они преобразовывались как собственные функции ф3т
(ттт, = —j, ..., j) момента j = 3/23). Это обстоятельство поз-
позволяет применить следующий прием, существенно упрощающий
решение задачи {J.M. Luttinger, 1956).
Для четырехмерного представления матрица оператора F8.1)
будет равна 4 х 4, с 16 элементами. Всякую такую матрицу мож-
можно представить в виде линейной комбинации 16 заданных ли-
линейно независимых матриц 4 х 4, в качестве которых выберем
15 матриц
Зхч Jx •> уж5 Jyf+i Jx ? уж5 Jy ~ Jz /+
и получающихся из них циклическими перестановками индек-
индексов ж, у, z и матрицу {jx, {jy, jz}+}+ (символ {...}+ означает
антикоммутатор). Здесь jx, jy, jz — матрицы декартовых компо-
компонент момента j = 3/2, взятые по отношению к четырем функци-
о /о
ям фт . С другой стороны, при таком выборе функций базиса
следует считать, что сами операторы jx, Зу, 3z преобразуются
при поворотах и отражениях как компоненты аксиального вектора.
х)Тот же результат F8.2) получается и для представления Еи (в точке
к = 0). Вообще закон дисперсии вблизи заданной точки всегда одинаков для
представлений, отличающихся друг от друга лишь умножением на какое-
либо из одномерных представлений группы (в данном случае Eu=EgxAiu).
Очевидно, что в таких случаях матричные элементы для переходов меж-
между различными функциями базиса связаны друг с другом одинаковыми
связями.
2
) Такая ситуация имеет место для дна дырочной зоны в алмазе, кремнии
и германии, которые все имеют решетку одинакового типа.
3)В задаче в III, § 99 показано, что неприводимое представление
полной группы вращений остается неприводимым и по отношению к группе
О, совпадая с ее представлением D1.

§ 68	ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ВБЛИЗИ ТОЧКИ ВЫРОЖДЕНИЯ	359
Это обстоятельство позволяет записать оператор V, квадратич-
квадратичный по кх, ку, kz, составив его из выражений, инвариантных по
отношению ко всем преобразованиям группы О^:
V = /3ik2 B(l3
+ f3s(kxky{jx, jy}+ + kykz{jy, jz}+ + kxkz{jz, jx}+), F8.3)
где /?i, /?2, Ps — вещественные постоянные.
Матричные элементы оператора F8.3) по отношению к функ-
функциям
/ /3/2 , ,3/2 , уЗ/2	, уЗ/2
легко вычисляются теперь по хорошо известным матричным эле-
элементам момента (они даются формулами III, B9.7) - B9.10)). Та-
Такое вычисление приводит к следующим выражениям:
(А + 3/32)(к2х + к2у) + (А + 9/32) k2z,
V22 = VSS = (А + 7C2)(к2х + к2у) + (А + /32) kl
V12 = -F34 = ^Cskz(ky + ikx),	F8.4)
V13 = V24 = 2^3/32(к2у - к2х) + ^/
Vu = V2S = 0.
Составление секулярного уравнения можно упростить, заметив,
что расщепление уровня заведомо не может быть полным —
должно оставаться двукратное (крамерсовское) вырождение. Это
значит, что каждый корень Л = s(k)— s@) секулярного уравнения
(собственное значение матрицы V) будет двойным. Другими сло-
словами, каждому собственному значению Л будет соответствовать
два линейно независимых набора величин (рп {п = 1, 2, 3, 4) —
решений уравнений
nmVm = А(?п.	F8.5)
Комбинируя эти два набора, мы можем, следовательно, нало-
наложить на величины <рп одно дополнительное условие, в частно-
частности — обратить в нуль одну из них; пусть (^4 — 0. Тогда уравнение
F8.5) с п = 4 даст
= 0.
Подставив отсюда значение <р% в уравнения с п = 1, 2, получим

360	ЭЛЕКТРОНЫ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ	ГЛ. VI
систему всего двух однородных уравнений с двумя неизвестны-
неизвестными (fi И (f2'.
V2i - V41V23/V43 V22 - V42V23/V43) 1^2) ~ Л \<Р2
(уравнение же с п = 3 не дает ничего нового). Таким образом,
задача о собственных значениях 4 х 4-матрицы сводится к задаче
для 2 х 2-матрицы. Составив для нее секулярное уравнение и
решив его (со значениями Vnrn из F8.4)), получим
А = \ (Vn + F22) ± [\(Vu	1/2
или окончательно
?i,2(k) - ?@) = Ак2 ± [Вк4 + С(к%$ + к\к\ + к^к2,)}1/2, F8.6)
где
Л = /3! + 5/32, В = 16/31 С = 3 A/3| -
(G. Dresselhaus, A.F. Kip, Ch. Kittel, 1955). Уровень расщепля-
расщепляется при выходе из точки к = 0 во всех направлениях1).
Остановимся кратко на вопросе о виде уравнений, описываю-
описывающих поведение частиц вблизи вырожденного дна зоны в магнит-
магнитном поле. Для определенности будем иметь в виду второй из
рассмотренных в этом параграфе случаев — спектр F8.6).
Прямое использование гамильтониана, составленного из F8.6)
по общему правилу E6.7), натолкнулось бы на затруднения, свя-
связанные с неаналитическим характером спектра вблизи точки
к=0. Эти трудности можно обойти, если произвести замену
к —)> к = К — еА/Нс не в F8.6), а в матричном гамильтони-
гамильтониане F8.3) (для сохранения эрмитовости при этом должна быть
произведена симметризация по компонентам к). Каждый мат-
матричный элемент гамильтониана превращается после этого в ли-
линейных дифференциальный оператор, действующий не только
на спиновые индексы, но и на аргументы функций <рп(К) в урав-
уравнениях F8.5), которые превращаются, таким образом, в систему
четырех линейных дифференциальных уравнений.
х) Напомним, что применение теории возмущений к состояниям одного
только вырожденного уровня предполагает малость интервалом ?(к) — е@)
возникающего расщепления по сравнению с расстояниями до соседних зон,
в том числе тех, которые отщепились из-за спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия.

§ 68	ЭЛЕКТРОННЫЙ СПЕКТР ВБЛИЗИ ТОЧКИ ВЫРОЖДЕНИЯ	361
Для учета спиновых эффектов при наличии магнитного поля
к гамильтониану F8.3) надо еще добавить члены, непосредственно
зависящие от Н, которые не определяются соображениями ка-
калибровочной инвариантности. Поскольку поле считается слабым,
добавляемые члены должны быть линейны по Н; в то же время
в виду предполагаемой малости к они не должны зависеть от
к (ср. §59). В данном случае общий вид таких членов, инвари-
инвариантных относительно всех преобразований симметрии кристал-
кристалла, таков:
/34Hj + /35 (Нх 3! + Ну]* + НЩ).	F8.7)
В заключение этого параграфа упомянем об интересной си-
ситуации, возникающей, если одна из соприкасающихся в точке
вырождения ко зон является зоной проводимости, а другая — ва-
валентной зоной. Энергетическая щель в спектре такого типа равна
нулю; для рождения электрона и дырки с импульсами, близки-
близкими к ко, достаточно сколь угодно малой энергии. Такие кристал-
кристаллы являются в определенном смысле промежуточными между
диэлектриком и металлом. Энергетическая щель отсутствует, но
электронные и дырочные состояния не разделены только в одной
точке k-пространства. Можно сказать, что это металл, у которо-
которого поверхность Ферми «стянута» в одну точку ко- При Г = 0 в
таком бесщелевом полупроводнике х) носители тока отсутствуют,
но при низких температурах их число возрастает по степенному,
а не экспоненциальному закону. Вид спектра вблизи точки ко
нельзя установить исходя из одних только соображений симмет-
симметрии; кулоновское взаимодействие электронов и дырок приводит
к появлению в этой точке особенности у матричных элементов
возмущения2).
) Примером является одна из модификаций олова — серое олово.
2) Подробное исследование этого вопроса см.: А. А. Абрикосов, С. Д. Бе-
неславский // ЖЭТФ. 1970. Т. 59. С. 1280.

ГЛАВА VII
МАГНЕТИЗМ
§ 69. Уравнение движения магнитного момента
в ферромагнетике
Магнитная структура кристаллов приводит к появлению у
них специфических ветвей энергетического спектра. Переходя к
исследованию этих спектров, напомним прежде всего некоторые
особенности взаимодействий в магнитных телах.
Основным видом взаимодействий в ферромагнетиках яв-
является обменное взаимодействие атомов, которое и приводит
к установлению спонтанной намагниченности. Характерным
свойством этого взаимодействия является его независимость от
ориентации намагниченности относительно решетки: обменное
взаимодействие является результатом электростатического вза-
взаимодействия электронов с учетом симметрии волновой функции
системы и не зависит от направления суммарного спина1).
Простейшей ферромагнитной системой является диэлектрик,
в кристаллической решетке которого имеются атомы, обла-
обладающие магнитным моментом, причем знак обменного взаимо-
взаимодействия таков («ферромагнитен»), что энергетически выгодно
параллельное положение моментов. Тогда основным состоянием
системы будет состояние, в котором все спины параллельны.
Точнее, в этом состоянии проекция суммарного спина системы
на некоторое направление равна максимально возможному зна-
значению Ssa (сумма по всем атомам), где sa — спин одного атома.
Действительно, гамильтониан обменного взаимодействия Но§
коммутативен с оператором полного спина системы S, а значит
и с его проекцией Sz (это следует из того, что Но^ не зависит
от направления спинов, а оператор S и есть оператор поворота
в спиновом пространстве). Поэтому основное состояние должно
обладать определенным значением Sz, а минимуму энергии
соответствует максимальное Sz. Заметим, что тогда равны своим
1) Экспериментальные данные о гиромагнитных отношениях g, дающие
для ферромагнетиков значения, очень близкие к 2, свидетельствуют о спи-
спиновой природе ферромагнетизма.

§ 69	УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАГНИТНОГО МОМЕНТА	363
максимальным значениям sa и проекции sz спинов каждого из
атомов, так что магнитный момент в основном состоянии равен
своему «номинальному» значению S//a, где \ia — магнитный
момент одного атома. Это свойство, однако, нарушается более
слабыми — релятивистскими — взаимодействиями.
В более сложных случаях намагниченность тела не равна
номинальной. В частности, когда взаимодействие не между
всеми атомами носит ферромагнитный характер, возможно
образование структур из двух противоположно намагниченных
подрешеток, намагниченности которых различны и потому не
вполне компенсируются; вещества со структурой такого типа
называют ферритами (случай же полной компенсации соответ-
соответствует антиферромагнетику).
Наконец, в ферромагнитном металле нельзя рассматривать
спины атомов независимо от электронов проводимости, которые
во всяком случае не будут (из-за эффектов фермиевского
вырождения) полностью намагничены даже при Г = 0. Осо-
Особенности магнитных взаимодействий могут привести также к
более сложной структуре основного состояния ферромагнетика с
неколлинеарным расположением атомов магнитных моментов —
так называемые геликоидальные структуры.
Как и во всякой макроскопической системе, слабо возбу-
возбужденные состояния ферромагнетика можно рассматривать как
совокупность элементарных возбуждений — газ квазичастиц.
Элементарные возбуждения в упорядоченном распределении
атомных магнитных моментов называют магнонами. Посколь-
Поскольку речь идет о квазичастицах в трансляционно-симметричной
кристаллической решетке, магноны обладают определенными
не истинными импульсами, а квазиимпульсами, пробегающими
значения в одной ячейке обратной решетки. В классической
картине магнонам отвечают спиновые волны — распространяю-
распространяющиеся вдоль решетки колебания магнитных моментов. Магноны
подчиняются статистике Бозе, и предельному классическому
случаю спиновых волн отвечают большие числа заполнения
состояний магнонов.
Если длина спиновой волны велика по сравнению с посто-
постоянной решетки а (т. е. волновой вектор к <С 1/я)? то волну
можно рассматривать макроскопически; в результате закон
дисперсии волн c<j(k) будет выражен через феноменологические
параметры (материальные константы), входящие в макроско-
макроскопические уравнения движения магнитных моментов. Тем са-
самым будет выражен через эти параметры и спектр магнонов
s = faj(k). Такой путь определения спектра магнонов вполне
аналогичен определению спектра длинноволновых фононов че-
через макроскопические параметры (упругие модули), входящие

364
МАГНЕТИЗМ
в макроскопические уравнения колебаний в звуковых волнах.
Для выполнения этой программы необходимо предварительно
вывести указанные уравнения движенияг).
Рассмотрим сначала этот вопрос с учетом только обменных
взаимодействий.
Поскольку мы интересуемся слабо возбужденными состояни-
состояниями ферромагнетика (только их свойства и могут быть выяснены
в общем виде), мы должны ограничиться «медленными» движе-
движениями магнитного момента с малыми частотами. Такими будут
движения, в которых направление магнитного момента медлен-
медленно меняется в пространстве, а его величина остается постоянной.
Действительно, равновесная величина намагниченности фикси-
фиксирована обменным взаимодействием; поэтому ее изменение во вся-
всяком случае не связано с конечной затратой энергии при любой
длине волны. (Предполагается, что тело находится достаточно
далеко от точки Кюри, в которой спонтанная намагниченность
исчезает.) С другой стороны, при учете только обменных взаимо-
взаимодействий, энергия не меняется при повороте магнитного момента
как целого; поэтому неоднородный вдоль тела поворот намагни-
намагниченности будет требовать тем меньшей энергии, чем больше дли-
длина волны. Другими словами, длинноволновые колебания будут
иметь малую частоту.
Уравнение движения, определяющее изменение направления
магнитного момента есть не что иное, как уравнение процес-
процессии спинового механического момента HS под действием момента
сил К:	dns к
dt
(см. I, C4.4)). Мы будем понимать под HS и К соответственно ме-
механический момент и момент сил, отнесенные к единице объема.
Плотность магнитного момента (намагниченность) М выража-
выражается через S согласно
2тс
где 7 ~~ отношение магнитного момента к механическому,
е = — | е | и т — соответственно заряд и масса электрона, g — ги-
гиромагнитное отношение для ферромагнетика (ср. II, §45). Урав-
Уравнение для М имеет, следовательно, вид
F9.1)
1) Дальнейшие результаты этого параграфа принадлежат Л. Д. Ландау и
Е. М. Лифшицу A935). Отметим, что эти результаты справедливы для «об-
«обменных» ферромагнетиков. Мы не будем касаться здесь так называемого
слабого ферромагнетизма, в котором ферромагнитный момент появляется
только при учете релятивистских эффектов.

§ 69	УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАГНИТНОГО МОМЕНТА	365
Это уравнение является точным, когда момент сил К не зави-
зависит от координат и выполняется приближенно, если К медленно
меняется в пространстве.
Момент сил К определяется изменением энергии при беско-
бесконечно малом повороте спиновой системы. Пусть дф — вектор,
направленный вдоль оси вращения и равный по величине углу
поворота. Тогда согласно формулам механики момент сил дает-
дается выражением — (дЕ/дф) (см. 1,C4.6)). Если 5ф зависит от
координат, мы должны перейти от дифференцирования к ва-
варьированию в каждой точке пространства. Удобнее производить
это варьирование при постоянной температуре, постоянном объ-
объеме тела и постоянном магнитном поле в каждой точке тела.
Термодинамическим потенциалом в этих переменных является
свободная энергия F1). Таким образом, плотность момента сил
определяется уравнением:
6F =
= - [кбфёУ.	F9.2)
Запишем изменение свободной энергии dF при изменении
магнитного момента (точнее его направления, поскольку его ве-
величина фиксирована,) в виде
дР = - /НэфШсЛ/,	F9.3)
где по аналогии с выражением для энергии магнитного момента
во внешнем магнитном поле введено «эффективное поле» Нэф.
В равновесии Нэф = 0, поскольку равновесное распределение
магнитного момента как раз и определяется минимизацией сво-
свободной энергии. Учтем теперь, что изменение М при бесконечно
малом повороте дф равно:
дМ = [дфМ].
Подставляя это выражение в F9.3) и сравнивая его с F9.2), на-
находим плотность момента сил:
К = [МНэф].
1)См. VIII, § 39 (термодинамические величины, относящиеся к телу в це-
целом, обозначались там рукописными латинскими буквами). При неодно-
неоднородном распределении правильнее говорить о свободной энергии тела (при
заданном его объеме), а не о термодинамическом потенциале 6Ф. Мы не бу-
будем интересоваться здесь стрикционными эффектами, т. е. напряжениями и
деформациями кристалла, возникающими при изменении намагниченности.
В этом случае можно не делать различия между 5Фи SF.

366
МАГНЕТИЗМ
Подставляя в F9.1), приходим окончательно к уравнению Лан-
дау-Лифшица для магнитного момента:
НэфМ].	F9.4)
Покажем, что изменение магнитного момента, описываемое
этим уравнением, не сопровождается диссипацией энергии. Эта
диссипация равна:
4 dt	dt	dt'
где S — энтропия тела, a i?min — минимальная работа, необхо-
необходимая для приведения тела в данное неравновесное состояние.
С помощью F9.4) имеем, таким образом,
Q = /Нэф^ dV=^? /НзфРНзф] dV = О,
чем и доказывается сделанное утверждение. Заметим, что отсут-
отсутствие диссипации обеспечивается тем, что правая часть уравне-
уравнения F9.4) перпендикулярна к Нэф. (Мы вернемся к обсуждению
вопроса о диссипации в конце следующего параграфа.)
Согласно определению F9.2), явный вид эффективного поля
находится варьированием полной свободной энергии тела. По-
Последняя дается интегралом
= У|/о(М)
+ С/неод -MU-^-\ dV	F9.5)
(см. VIII, §39). Здесь fo(M) — плотность свободной энергии од-
однородно намагниченного тела при Н = 0, учитывающая лишь
обменные взаимодействия и потому не зависящая от направ-
направления М; С/неод — плотность дополнительной обменной энер-
энергии, связанной с медленным изменением направления вектора М
вдоль неоднородного намагниченного тела.
Первые члены разложения этой энергии по степеням произ-
производных от момента М по координатам имеют вид
F9.6)
- aik — — ,
2	OXi ОХк
причем эта квадратичная (по производным) форма существенно
положительна. Выражение F9.6) составлено так, чтобы (в соот-
соответствии со свойствами обменного взаимодействия) не зависеть
от абсолютного направления вектора М. В одноосных кристал-
кристаллах симметричный тензор второго ранга а^ имеет компоненты
ахх = ауу = «1, azz = «2 (ось z — ось симметрии кристалла); в
кубических кристаллах а^ ^

§ 69	УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАГНИТНОГО МОМЕНТА	367
Порядок величины коэффициентов а^ можно оценить, за-
заметив, что энергия неоднородности, отнесенная к объему одной
элементарной ячейки кристаллической решетки, должна была
бы достигать характерных атомных значений энергии обменно-
обменного взаимодействия, если бы направление момента существенно
менялось на расстояниях порядка постоянной решетки а. Ха-
Характерная обменная энергия совпадает, по порядку величины,
с температурой Кюри Тс (точка исчезновения ферромагнетиз-
ферромагнетизма). Из условия Гс/а3 ~ аМ2/а2 находим
а~Тс/аМ2.	F9.7)
Варьируя интеграл F9.5) (при заданных значениях Н в каж-
каждой точке тела) и произведя во втором члене интегрирование по
частям, получим
M	dxidxk
Согласно определению F9.2), выражение в фигурных скобках
есть — Нэф. Первый член в нем направлен вдоль М, но при под-
подстановке в уравнение движения F9.4) такой член все равно вы-
выпадает, и потому его можно вообще опуститьг). Таким образом,
находим	я2
Нэф=о*^^ + Н.	F9.8)
Для получения полной системы уравнений к F9.4) и F9.8)
надо добавить еще уравнение Максвелла, связывающее поле Н
с распределением намагниченности М. Спиновые волны, кото-
которые будут рассмотрены в следующем параграфе, являются низ-
низкочастотными в том смысле, что ио <С ск. В этих условиях поле
квазистационарно; в уравнениях Максвелла можно пренебречь
производными по времени, и они сводятся к виду
rot Н = 0, div В = div (Н + 4тгМ) = 0.	F9.9)
В связи с этим может возникнуть вопрос о правомерности ва-
варьирования интеграла F9.5) по М при постоянном Н несмотря
на то, что они связаны вторым уравнением F9.9). Дело, однако,
в том, что если положить Н = — \/(р (в виду первого уравнения)
и вычислить вариацию интеграла по <р, то она обратится в си-
силу второго уравнения в нуль, так что варьирование Н не дает
вклада в 6F.
х) После этого, однако, Нэф уже не обязательно будет обращаться в нуль
в равновесии.

368
МАГНЕТИЗМ
Если тело не находится во внешнем магнитном поле, то поле
внутри него целиком связано с распределением намагниченности
и представляет собой, вообще говоря, величину того же порядка,
что иМ.В этом смысле член Н в эффективном поле F9.8) пред-
представляет собой релятивистский эффект (напомним, что атомные
магнитные моменты, а с ними и спонтанная намагниченность
М, определяются магнетоном Бора C = \е\Н/Bтс), — величи-
величиной, содержащей с в знаменателе). Поэтому в рассматриваемом
пока чисто обменном приближении второй член в F9.8) следует
опустить, так что уравнение движения
at 2тс	\oxdx \
Обратим внимание на нелинейность этого уравнения.
Уравнение F9.10) можно переписать в виде уравнения непре-
непрерывности для магнитного момента:
fi = 0,	F9.11)
dx
dt dxi
где тензор потока момента имеет вид
а1к
Этого следовало ожидать заранее, поскольку в обменном при-
приближении полный магнитный момент тела сохраняется.
Учтем теперь, что наряду с обменными в ферромагнетике
существуют также и значительно более слабые релятивистские
взаимодействия электронных моментов: спин-спиновые и спин-
орбитальные. В макроскопической теории они описываются энер-
энергией магнитной анизотропии, плотность которой С/ан зависит от
направления вектора намагниченности по отношению к кристал-
кристаллической решетке; этими взаимодействиями устанавливается
равновесное направление спонтанной намагниченности ферро-
ферромагнетика. К релятивистским относится, как уже было указано,
также и взаимодействие М с магнитным полем Н.
В одноосном кристалле энергия анизотропии имеет вид
?7ан = -f Ml	F9.12)
Если К > 0, то равновесная намагниченность направлена вдоль
оси симметрии — ось z (ферромагнетик типа «легкая ось»); ес-
если же К < 0, то направление спонтанной намагниченности ле-
лежит в плоскости ху (ферромагнетик типа «легкая плоскость»).

§ 70	МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ. СПЕКТР	369
В кубическом кристалле энергия анизотропии может быть пред-
представлена в виде
UaH = ^{М1М2У + MlMl + MlM%	F9.13)
где оси х,у, z направлены вдоль трех осей симметрии четвертого
порядка (ребра кубических ячеек). Если К1 > 0, то равновесный
вектор М направлен вдоль одного из ребер кубических ячеек, а
если К1 < 0, то — вдоль одной из пространственных диагоналей
ячеекг).
Для определенности, будем рассматривать одноосный фер-
ферромагнетик. Добавив к подынтегральному выражению в F9.5)
член С/ан F9.12), получим после варьирования дополнительный
член —KMzv5TsA, где v — единичный вектор в направлении оси
симметрии кристалла. Таким образом, для эффективного поля
находим	о2М
Нэф = аи,-?-^- + KMzv + H.	F9.14)
Легко видеть, что этим изменением эффективного поля
исчерпываются изменения, которые учет релятивистских эф-
эффектов вносит в уравнение движения F9.9). Действительно, в
отсутствие диссипации правая часть уравнения движения по-
прежнему должна быть перпендикулярна Нэф, т. е. должна
иметь вид [М'Нэф], где М7 может отличаться от М лишь за счет
релятивистских поправок, всегда малых по сравнению с большой
величиной М и потому несущественных. Релятивистские же
члены в Нэф добавляются к величине, малой в силу медленности
изменения М вдоль тела; эти члены могут стать существенными
при достаточно больших длинах волн.
§ 70. Магноны в ферромагнетике. Спектр
Применим полученные в предыдущем параграфе уравнения к
распространению волн, в которых плотность магнитного момен-
момента совершает малые колебания, прецессируя относительно своего
равновесного значения Мо- Мы будем рассматривать однодомен-
ный образец, во всем объеме которого Мо постоянно, и ограни-
ограничимся случаем волн с длиной, много меньшей размеров образца.
Тогда среду можно рассматривать как неограниченную.
) Безразмерные величины К, К' для различных ферромагнетиков име-
имеют значения, лежащие в широком интервале от десятых долей единицы
до десятков. Порядок же величины отношения релятивистских взаимодей-
взаимодействий к обменному характеризуется величиной а3и&н/Тс и составляет обыч-
обычно 10-10.

370
МАГНЕТИЗМ
Рассмотрим сначала вопрос с учетом только обменных вза-
взаимодействий, т. е. на основе уравнения F9.11). Положим М =
= Mq + m, где m — малая величина, и линеаризуем уравнение,
отбросив члены второго порядка по т; поскольку абсолютная
величина М = Mq, то в этом приближении m _L Mq. Получим
т=^аЛ/^-М0]	G0.1)
тс	\_oxiOXk \
(здесь и ниже полагаем g = 2). Для т, засисящего от координат
и времени как ехр [г(кг — cut)], находим
= ^ ак2[тМ0],	G0.2)
тс
где а = а(п) = а^щп}~, п — единичный вектор в направле-
направлении волнового вектора к. Раскрыв это уравнение в компонентах,
имеем
штх = —
iuorriy
тс
= — — аМк2тп
тс
х
(ось z — в направлении Mq). Отсюда находим закон дисперсии
спиновых волнх)	, ,,,
ilM(n)fc2.	G0.3)
тс
Мы видим, в соответствии со сказанным в начале предыдущего
параграфа, что в обменном приближении частота стремится к
нулю при к —)> 0. Вектор m в спиновой волне вращается в плоско-
плоскости ху с постоянной угловой скоростью cj, оставаясь постоянным
по абсолютной величине.
В квантовой картине формула G0.3) определяет энергетиче-
энергетический спектр магнонов е = Нои2):
е(к) = 2(ЗМа(п)к2.	G0.4)
В формализме вторичного квантования макроскопические ве-
величины, описывающие ферромагнетик, заменяются оператора-
операторами, выраженными через операторы уничтожения и рождения
1)	Квадратичный закон дисперсии спиновых волн был впервые найден с
помощью микроскопической теории Ф. Блохом (F. Block, 1930). Выраже-
Выражение этого спектра через макроскопические параметры дано Л. Д. Ландау и
Е.М. Лифшицем A945).
2)	В этой главе /3 везде обозначает магнетон Бора: /3 = | е \Н/Bтс).

§ 70	МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ. СПЕКТР	371
магнонов. Покажем, как это должно быть сделано для магно-
нов G0.4).
Приведем в соответствие с классической величиной М
векторный оператор М, компоненты которого удовлетворяют
определенным правилам коммутации. Пусть S(r)?F — опера-
оператор суммарного спина атомов в физически бесконечно малом
элементе объема SV в точке г. Операторы S(ri)<$Vi и S(r2MV^,
относящиеся к различным элементам 5V\ и SV2, коммутативны.
Компоненты же одного и того же оператора S(r)?F удовлетво-
удовлетворяют обычным правилам коммутации момента:
SXSV • SySV - SySV • SXSV = iSz6V,
или SxSy — SySx = iSz/6V (и аналогично для остальных ком-
коммутаторов). В пределе SV —>• 0 эти правила записываются для
любых ri и г2 в едином виде
- г2).
Умножив теперь это равенство на 4/3 2 и заметив, что оператор
намагниченности М = — 2/3S, получим
Мх(Г1)Му(т2) - Myi^Mxin) = -2i0Mz(ri) 6(п - r2). G0.5)
В применении к спиновым волнам, в которых М испытывает
малые колебания вокруг оси z, в первом приближ:ении по ма-
малым величинам тж, ту можно заменить в правой стороне G0.5)
оператор Mz числом Mz ~ М\ тогда
fhx{Yi)fhy{Y2) - fhy{Y2)fhx{Yi) = -2i/3MS(Y1 - r2). G0.6)
Отсюда видно, что величины тх и ту играют (с точностью до
постоянных множителей) в данном случае роль канонически со-
сопряженных «обобщенных координат и импульсов» — подобно то-
тому, как <р и р' играли такую же роль при квантовании звуковых
волн в жидкости (§24). Подчеркнем, однако, существенное от-
отличие между обоими случаями. Правило коммутации B4.7) для
фононных операторов является точным, не связанным с мало-
малостью колебаний (т. е. с малостью чисел заполнения фононных
состояний). Правило же G0.6) является приближенным, спра-
справедливым лишь в первом приближении по малой величине т.
Исходя из правила коммутации G0.6) и соотношения меж-
между операторами тх и ту, отвечающего линейным уравнениям
G0.1), можно найти выражения этих операторов через операто-
операторы уничтожения и рождения магнонов, подобно тому как это
было сделано в § 24 для фононов (см. задачу 4 к § 71).

372
МАГНЕТИЗМ
Вернемся к изучению спектра магнонов и обратимся к учету
влияния релятивистских эффектов на этот спектр. Теперь уже
необходимо учитывать и магнитное поле Н, возникающее при
колебаниях М. Оно будет того же порядка малости, что и т;
обозначим его здесь как h.
Уравнения Максвелла F9.10) дают
[kh] = 0, kh = -4тгкт.
Отсюда видно, что поле h направлено вдоль волнового вектора
и равно
h = -4тг(пт)п.	G0.7)
Подставив G0.7) в последние два члена подынтегрального выра-
выражения в F9.5), получим
-mh - — = 2тг(птJ	G0.8)
(здесь опущен член Mgh, который ввиду потенциальности по-
поля h при интегрировании по всему объему преобразуется в
интеграл по поверхности и обращается в нуль); эту часть энер-
энергии анизотропии в спиновой волне иногда называют магнито-
статической.
Пусть ферромагнетик одноосен и относится к типу «легкая
ось», так что Mq направлено вдоль оси симметрии кристалла
(ось z)\ Mq = vM. Имея в виду дальнейшие применения, допу-
допустим также существование внешнего поля #, параллельного тому
же направлению v\ при этом образец надо представить себе как
цилиндр с осью вдоль v. Тогда поле внутри тела Н = $) + h.
Линеаризованное уравнение движения (которое мы выписываем
уже умноженным на К)
-ism = 2/3М { ( ак2 + К + $-) [i/m] - [i/h]} .	G0.9)
Для одноосного кристалла а = а\ sin2 в + о>2 cos2 0, где в — угол
между ки1/.
Подставив сюда h из G0.7), расписываем уравнение в компо-
компонентах (причем ось х удобно выбрать в плоскости, проходящей
через направления и и п). Из условия совместности получаю-
получающихся двух уравнений для тх и ту находим закон дисперсии
1 /О
е(к) = 2/ЗМ \(ак2 + К + Щ (ак2 + К + ^- + 4тгsin2 в)] .
LV	М/ V	М	/J
G0.10)

§ 70	МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ. СПЕКТР	373
Отметим, что благодаря наличию члена sin2 в = к2/к2 разло-
разложение е(к) по степеням компонент к не имеет простого степен-
степенного характера; это связано с дальнодействующим характером
магнитных взаимодействий.
Выражение вида G0.10), выведенное здесь для одноосного
ферромагнетика (типа «легкая ось»), справедливо и для куби-
кубических кристаллов. Это следует из того, что изменение энергии
анизотропии при малых отклонениях вектора М от своего рав-
равновесного направления имеет в обоих случаях одинаковый вид.
Так, для кубического кристалла с К' > 0 изменение 6UaH при от-
отклонении М от направления Мо вдоль ребра куба зависит только
от угла д между М и Мо и равно SUaH = К'М2гд2. Сравнив это
с аналогичным выражением SUaH = KM2id2/2 для одноосного
кристалла, мы видим, что для перехода к случаю кубического
кристалла с К' > 0 достаточно заменить в G0.10) К —»> 2К'.
Аналогичным образом, легко убедиться, что для перехода к слу-
случаю кубического кристалла с К' < 0 (направлением Мо вдоль
пространственной диагонали куба) надо заменить К —»> 4\Kf\/3.
Отметим также, что в кубическом кристалле величина а(п) сво-
сводится к постоянной. Для одноосного же ферромагнетика типа
«легкая плоскость» (К < 0) ситуация иная: изменение 6UaH при
отклонении М от Мо зависит как от полярного угла, так и от
азимута направления М относительно Mq; поэтому этот случай
требует особого рассмотрения — см. задачу.
Напомним, что результат G0.10) относится лишь к началь-
начальной части спектра, в которой квазиимпульсы к <С 1/а и допу-
допустимо макроскопическое рассмотрение. Со стороны больших, но
удовлетворяющих этому условию значений к (ак2 ^> 4тг, К) вы-
выражение G0.10) сводится к
е(к) = 2/ЗМа(п)к2 + 2Д6.	G0.11)
Первый член здесь совпадает с чисто обменным выражением
G0.4). Внешнее же поле добавляет к энергии магнона просто
член 2/3$). В этом приближении, следовательно, магнон обладает
проекцией момента на Мо, равной —2/3. Возбуждение в теле
каждого магнона уменьшает полный магнитный момент тела
на 2/3.
В обратном случае, при к —»> 0, выражение G0.10) стремится
к отличной от нуля величине, равной (при $) = 0)
s@) = 2/ЗМк(\ + — sin2 6) V2 .	G0.12)

374
МАГНЕТИЗМ
Таким образом, учет магнитной анизотропии приводит к появле-
появлению энергетической щели в спектре магноновх). Это естествен-
естественно, поскольку при наличии анизотропии даже поворот магнит-
магнитного момента как целого (т. е. при к = 0) связан с конечной
энергией. Мы видим, что при малых к релятивистские эффек-
эффекты, несмотря на их малость, приводят к относительно большим
поправкам к спектру.
Представление о магнонах как об элементарных возбуждени-
возбуждениях относится к слабо возбужденным состояниям тела, а тем са-
самым — к низким температурам. Поэтому в относящихся к маг-
нонам формулах значения всех материальных констант (в том
числе и намагниченности М) должны браться при Г = 0.
Вернемся к сделанному в § 69 предположению о слабости дис-
диссипации. В квантовой картине диссипация означает конечность
времени жизни магнонов, обусловленную их взаимодействием
друг с другом и с другими квазичастицами.
Если сначала говорить о взаимодействии магнонов друг с
другом, то прежде всего надо отметить, что в обменном прибли-
приближении число магнонов не меняется (каждый магнон дает
в Mz одинаковый вклад —2/3, а обменное взаимодействие сохра-
сохраняет Mz). Поэтому в таком приближении возможны лишь про-
процессы рассеяния. Их вероятность, однако, уменьшается с пони-
понижением температуры — уже просто из-за уменьшения числа рас-
сеивателей, — так что обменное затухание во всяком случае стре-
стремится к нулю при Г = 0. Мы увидим ниже (§72), что состояние
с одним магноном в обменном приближении есть действительно
строго стационарное состояние системы2).
При Г = 0 затухание магнонов обусловлено только процесса-
процессами их распада. Такие процессы возможны лишь за счет реляти-
релятивистских взаимодействий, и уже поэтому их вероятность мала.
Кроме того, при малых к вероятность распада всегда уменьша-
уменьшается за счет малости статистических весов (фазовых объемов)
конечных состояний процесса.
Затухание магнонов вызывается также и их взаимодействием
с фононами (роль оператора возмущения играет здесь завися-
зависящая от деформации кристалла часть гамильтониана обменного
взаимодействия). При Г = 0 возможен процесс рождения фоно-
на магноном; для этого, однако, квазиимпульс магнона должен
1)	Соответствующую частоту cj(O) = е@)/Н называют частотой ферромаг-
ферромагнитного резонанса.
2)	Отметим также, что сечение рассеяния двух магнонов друг на друге
в обменном приближении стремится к нулю при уменьшении их энергии
(см. § 73). Это обстоятельство дополнительно уменьшает обменное затухание
магнонов при низких температурах. При достаточно низких температурах
релятивистские эффекты существенны и для процессов рассеяния.

§ 71 МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 375
быть достаточно велик — скорость магнона de/hd\i должна быть
больше скорости звука (ср. примечание на с. 347). Вероятность
процесса мала также и за счет малости статистического веса ко-
конечного состояния.
Наконец, в ферромагнитном металле всегда возможно (за
счет обменного взаимодействия с электронами проводимости)
возбуждение магноном электрона из-под ферми-поверхности. И
здесь вероятность процесса при малых к мала за счет малости
статистического веса конечных состояний.
3 адача
Найти спектр магнонов в одноосном ферромагнетике типа «легкая плос-
плоскость» {К < 0).
Решение. Равновесная намагниченность Мо лежит в плоскости, пер-
перпендикулярной оси симметрии кристалла (оси z); выберем направление Мо
в качестве оси х. Линеаризованное уравнение движения магнитного момента
имеет в этом случае вид
—ism = 2/3 {ак2[пхт] — \K\mzny — [nxh]},
где пж, п^ — единичные векторы вдоль координатных осей, а вектор m ле-
лежит в плоскости yz, перпендикулярной Мо. Подставив сюда h из G0.7),
расписав уравнение в компонентах и приравняв нулю определитель полу-
получающейся системы, получим спектр магнонов
е(к) = 2/ЗМ[ак2(ак2 + \К\) + 47rsin2 0(ak2 + \K\sin2 <р)]1/2,
где в и (р — полярный угол и азимут направления к относительно направле-
направления Мо (причем азимут отсчитывается от плоскости xz). При ак ^> 1 мы
возвращаемся к тому же квадратичному спектру G0.4), а при к —»> 0 энергия
магнона стремится к величине
е@) = 4Gr|K|I/2/3Msin6'sm^|,
обращающейся в нуль, когда вектор к лежит в плоскости xz, образованной
осью симметрии и спонтанной намагниченностью кристалла. Это обращение
в нуль является, однако, приближенным: учет в энергии анизотропии членов
более высокого порядка приводит к появлению анизотропии и в плоскости ху
и тем самым — к конечной энергетической щели во всех направлениях к ).
§ 71. Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины
Возбужденные в ферромагнетике магноны вносят определен-
определенный вклад в его термодинамические величины. Полученные в
предыдущем параграфе результаты позволяют вычислить этот
г) Напомним (см. VIII, §40), что разложение энергии анизотропии по сте-
степеням М есть в действительности разложение по релятивистскому отноше-
отношению v/c (и не связано с малостью М, т. е. с близостью к точке Кюри).

376
МАГНЕТИЗМ
вклад при температурах, низких в том смысле, что Г <С Тс. Дей-
Действительно, в тепловом равновесии при температуре Г основная
часть магнонов имеет энергии е ~ Т. Для квадратичного спектра
е(к) = 2(ЗМа(п)к2,	G1.1)
это значит, что при температурах Т <^1 Тс возбуждены магноны с
квазиимпульсами к <С (Тс/'(ЗМаI/2. Воспользовавшись оценкой
F9.7) для а и оценив намагниченность как М ~ /3/а3 (на од-
одну элементарную ячейку приходится магнитный момент порядка
нескольких /3), находим отсюда afc < 1, т. е. условие применимо-
применимости результатов § 70.
«Магнонные» части термодинамических величин ферромаг-
ферромагнетика вычисляются как термодинамические величины идеаль-
идеального бозе-газа с равным нулю химическим потенциалом. Так, для
магнонной части термодинамического потенциала Л имеем
G1.2)
(см. V, E4.4)). Отсюда для магнонного вклада во внутреннюю
энергию1)
— ' 'маг J- ~
-h
дт
Магнонный же вклад в спонтанную намагниченность дает ее
изменение с температурой. Он вычисляется как производная
v ад
по внешнему магнитному полю (ср. VIII, C1.4)). Дифференцируя
выражение G1.2), получим
-I
Qf.	„г/Т 1 /О_\Я "	V ' /
Производная —(де/д?)) представляет собой собственный магнит-
магнитный момент магнона.
Вычислим интегралы G1.3), G1.4) при температурах
Г ^ 2тг(ЗМ2)] тогда для спектра магнонов можно пользоваться
х) При химическом потенциале ц = 0 (а потому и Ф = Nц = 0) имеем Е =
= Ф+TS-PV = TS+Q] энтропия же S = -дп/дТ. Выражение G1.3) можно
было бы, конечно, написать и непосредственно, без обращения к формуле
G1.2).
) Для типичного значения М = 2 • 10 Гс это условие дает Т ^> 1 К.

§ 71 МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 377
предельным выражением G1.1). В виду быстрой сходимости ин-
интегралов интегрирование можно распространить по всему
к-пространству (вместо одной ячейки обратной решетки). По-
Полагая величину а постоянной (для кубических кристаллов) и
заменив dsk —»> 4тгк2 dk, после очевидной подстановки получим
VT^2 f x3/2 dx _ т/ Т5/2ГE/2)СE/2)
/
где для краткости обозначено А = 2/3Ма (так что е = Ак2)г).
Для теплоемкости Смаг = 5Емаг/5Т находим отсюда
= 0,113 (|K/2 V.	G1.5)
Напомним, что это выражение дает лишь магнонную часть теп-
теплоемкости; наряду с ней теплоемкость кристалла содержит еще
и обычную фононную часть.
Обращаясь к интегралу G1.4), подставляем, согласно G0.11),
значение —2/3 для магнитного момента магнона. В результате
при Г ^ 2тг(ЗМ получим
G1.6)
о
откуда
Л/Т/'ТЛ ~\/Г(СЛ\ Р ^ 1"/^Jm"/^J ~\/Г(СЛ\ П 1 1 IRfT11 Л ^3/2 /»71 Т\
1V1 у± )—1V1 I U ) —	—1V1 I U )—U,l 1 / р I _L //i )	^/l.i )
(магнонный вклад исчерпывает, конечно, все изменение намаг-
намагниченности, поскольку фононы не несут с собой магнитного
момента). Таким образом, изменение спонтанной намагниченно-
намагниченности в области температур 2тг(ЗМ <С Т ^С Тс следует закону Г3/2
(F. Block, 1930).
Наличие щели G0.10) в спектре магнонов приводит к экспо-
экспоненциальной зависимости Смат и Ммаг от Г в области еще более
низких температур. При Г ^С (ЗКМ
осехр(-2/ЖМ/Т).	G1.8)
) О вычислении интегралов такого типа см. V, § 58.

378
МАГНЕТИЗМ
Величина, стоящая в числителе экспоненты, — наименьшее зна-
значение энергетической щели, достигаемое при в = 0 и в = тг (см.
также задачу 1).
Если спонтанная намагниченность ферромагнетика в основ-
основном состоянии равна наибольшему возможному (как говорят,
номинальному) значению, отвечающему параллельности всех
атомных моментов в теле, то это значение уже не изменится при
наложении (в том же направлении) внешнего магнитного поля,
т. е. восприимчивость х в этом направлении равна нулю.
Учет релятивистских взаимодействий уменьшает спонтанную
намагниченность (при Г = 0) по сравнению с ее «обменным» зна-
значением и приводит к появлению отличной от нуля восприимчи-
восприимчивости (Т. Holstein, H. Primakoff, 1940). Хотя этот эффект и очень
мал, его вычисление представляет принципиальный интерес.
При вычислении выше магнитной части термодинамических
величин мы опустили нулевую энергию «магнитных осциллято-
осцилляторов», не дающую вклада в температурную зависимость этих ве-
величин. Нулевая энергия отвечает числам заполнения магнонных
состояний, равным 1/2:
/, ,Vdsk
Соответственно для «нулевой» намагниченности имеем
М@) = - A-^^.	G1.9)
Этот интеграл расходится при больших к, т. е. он определяется
главным образом коротковолновыми магнонами (ка ~ 1), ко-
которые вообще нельзя рассматривать макроскопически. Однако
изменение намагниченности под влиянием релятивистских эф-
эффектов определяется, как мы увидим, длинноволновой областью
спектра магнонов и может быть вычислено с помощью получен-
полученных в § 70 формул.
Для простоты будем рассматривать кубический кристалл и
пренебрежем малой в этом случае константой анизотропии, т. е.
будем писать спектр магнонов G0.10) в виде
е(к) = 2C[(Ък2 + Ъ)(Ък2 + Я + 4тгМsin2 в)}1'2,	G1.10)
где Ъ = аМ\ релятивистским эффектам отвечает в этом выраже-
выражении член 4тгМ sin в, возникающий от учета магнитостатической
энергии. Искомое изменение 6М намагниченности под влияни-
влиянием релятивистских эффектов получается вычитанием из G1.9)

§ 71 МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 379
такого же интеграла с ?об(к) = 2/ЗЬк2 + 2/3$) вместо е(к):
SM = -- f — [e(k) - еоб(к)} —.	G1.11)
2 J ад1 V J	V П BтгK	V	}
Этот интеграл уже сходится при больших к1).
Для вычисления удобно сначала продифференцировать его
по М при постоянном Ъ ( для этого и введено обозначение Ъ в
G1.10)). После простых преобразование получим
ЭдМ _ 4тг2/ЗМ Г f	sm4e-2irk2dk-sm0d0
дМ	BтгK J J (Ък2 +fjI/2 (Ък2 + ft + 4тгМ sin2 вK/2
0 0
Ввиду сходимости интегрирование по dk можно распростра-
распространить до ос.
При $) = 0 интеграл легко вычисляется; интегрируя затем по
М, получим
G1.12)
Эта величина очень мала: 6М/М ~ 10~6.
Если же внешнее поле велико (й ^> 4тгМ), мож:но пренебречь
членом 4тгМ sin в в знаменателе подынтегрального выражения.
После этого вычисление приводит к результату
2,/Ш^	(	}
15аЗ/2?1/2	V	У
При ^ —> ос 5М стремится, как и следовало, к нулю.
В заключение отметим, что если бы мы попытались тем
же способом, который был применен в этом параграфе к
трехмерному случаю, рассмотреть температурную зависимость
намагниченности двумерного ферромагнетика, то (в чисто об-
обменном приближении) мы получили бы вместо G1.6) логариф-
логарифмически расходящийся интеграл. Это означает, что спонтанное
намагничение в двумерной системе с обменным взаимодействием
в действительности отсутствует при всех Г ф 0. Эта ситуация
аналогична той, которая была отмечена в § 27 для двумерной
бозе-жидкости (и в V, § 137 — для двумерного кристалла). Неза-
Независимость энергии системы от направления магнитного момента
приводит к тому, что в ее выражение входят только производные
1)Во избежание недоразумений отметим, что поправку к энергии основ-
основного состояния этим способом определить нельзя: без дифференцирования
по 9) интеграл от е — ео§ расходится при использовании длинноволновых
выражений для спектра магнонов.

380
МАГНЕТИЗМ
вектора М; в свою очередь, это приводит, в конечном итоге, к
расходимости флуктуации (в двумерном случае), разрушающих
намагничение. Учет релятивистских взаимодействий, зависящих
от направления М, стабилизирует флуктуации и делает возмож-
возможным существование двумерного ферромагнетика.
3 адачи
1. Вычислить магнонные части термодинамических величин при темпе-
температурах Т< е@).
Решение. Существенны магноны с малыми квазиимпульсами к, рас-
распространяющиеся в направлении, где щель минимальна, т. е. вблизи в = 0
и в = тг; оба эти значения дают одинаковый вклад. Например, при малых в
имеем, с требуемой точностью,
е(к) = 2/ЗКМ + Ак2 + 4тг/ЗМ<92,
где А = 2/3М а для кубических кристаллов или А = 2/3М а 2 для одноосных
кристаллов типа «легкая ось». Распределение магнонов при рассматривае-
рассматриваемых температурах можно считать больцмановским (т. е. можно пренебречь
единицей в знаменателях подынтегральных выражений) и заменить везде
в предэкспоненциальных множителях е(к) на е@). Интегрирование по к и
по в распространяется до оо, и в результате находим
-С/маг — У ~
327Г5/2АЗ/2 " V	Т Г	"	VKM
При вычислении теплоемкости следует дифференцировать только экспонен-
экспоненциальный множитель
Смаг = 2/ЗКМТ-2Емат.
2. Определить зависимость намагниченности от внешнего поля при усло-
условиях ft > 4тгМ, Т > /ЗД.
Решение. В указанных условиях можно пренебречь релятивистски-
релятивистскими членами и писать е(к) в виде G0.11). Продифференцировав выражение
G1.4), находим
f e?'T d3k
/ (W - IJ BтгK '
ад Г
В интеграле существенны малые к. Поэтому
l dsk т 7 edk
e2 BтгK ~ BтгJ J (ak2M0 +
о
(полагаем a = const; Mo — значение М при ft = 0) и окончательно
8M	T
Таким образом, в рассматриваемых условиях М — Mq ос

§ 72 МАГНОНЫ В ФЕРРОМАГНЕТИКЕ. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ 381
3.	Определить зависимость намагниченности при Т = 0 от внешнего
поля в слабых полях.
Решение. Дифференцируя интеграл G1.11) с ?(к) из G1.10) по fj, по-
получим
8М _ 	4тг2/ЗМ02 sin4 в	d^_
ад ~ [(аМ0к2 + 4тгМ0 sin2 6 + Ъ)(аМ0к2 + Ъ)}3/2 BтгK '
При fj —»> 0 интеграл по dk расходится логарифмически при малых к. Поэто-
Поэтому, ограничиваясь логарифмической точностью, можно положить в первом
множителе в знаменателе А; = 0, $ = 0, а во втором $у = 0, но при этом
обрезать интеграл снизу при к2 ~ ft/ аМо и сверху — при к2 ~ 4тг/ а. В ре-
результате получим
дМ _	/3	4тгМ0
~ЗЪ ~ 320FMO а3/2	Я
Напомним, что в G1.10) пренебрежено X. При Я <С КМ в логарифме Я
заменяется на KMq.
4.	В обменном приближении определить пространственную корреляци-
корреляционную функцию флуктуации намагниченности на расстояниях г ^> а.
Решение. Операторы тх и ту, удовлетворяющие правилу коммутации
G0.6) и выраженные через операторы уничтожения и рождения магнонов,
имеют вид (в шредингеровском представлении)
mx{v) = фМ/Vf'2 5>keikr+ik
k
my(r) = i{l5M/Vf12 ^(Skeikr
k
С помощью этих операторов вычисляем корреляционную функцию
;(ri)), r = n - r2
(индексы г, к пробегают значения ж, у). Учтя, что отличные от нуля диа-
диагональные матричные элементы имеют только произведения (a^cik) = ^k5
^ = Пк + 1 (где Пк — числа заполнения состояний магнонов), находим
<Р*(г) = 8ik J20M (пь + 1) eikr ^
Подынтегральное выраж:ение прямо дает фурье-компоненту корреляцион-
корреляционной функции. Постоянный член в ней можно опустить: ему соответствует
E-функционное слагаемое в <?^(г), между тем, как все рассмотрение отно-
относится лишь к расстояниям г ^> а. Таким образом,
<pik(k) = 2рМпъ6гк = 2/ЗМ[е?(к)/т - I] 6ik.
В классическом пределе, при г <^Т, находим
В кубическом ферромагнетике а = const, и тогда
Vik{v) = SikT/4nar, r » (/ЗМа/ТI/2.

382
МАГНЕТИЗМ
§ 72. Спиновый гамильтониан
Для получения закона дисперсии магнонов во всем интер-
интервале изменения квазиимпульса (а не только в длинноволновом
пределе) необходимо, разумеется, использовать более детальные
представления о микроскопической структуре ферромагнетика.
Рассмотрим диэлектрик, состоящий из атомов с равным
нулю орбитальным моментом, но отличным от нуля спином S.
Если не интересоваться высоко возбужденными состояниями, свя-
связанными с возбуждением электронных оболочек атомов, можно
усреднить гамильтониан системы по орбитальным переменным
электронов атомов в основном состоянии (и при закрепленных в
узлах решетки атомных ядрах). В результате мы получим спи-
спиновый гамильтониан системы, содержащий лишь операторы пол-
полных спинов атомов1).
Если учитывать только обменное взаимодействие, зависящее
лишь от относительных ориентации спинов, то операторы век-
векторов спинов атомов могут входить в гамильтониан лишь в ви-
виде скалярных комбинаций. Существенный методический интерес
представляет исследование системы, описываемой простейшим
гамильтонианом такого рода:
m/n
где суммирование происходит по всем атомам; «векторные» (с
целочисленными компонентами) индексы тип нумеруют узлы
решетки; гп — их радиус-векторы. Числа Jnm называют обмен-
обменными интегралами (ср. III, §62, задачиJ). При независимом
суммировании по m и п каждая пара атомов встречается в сум-
сумме G2.1) дважды, причем, конечно, Jnm = Jmn.
В G2.1) все магнитные атомы в решетке предполагаются оди-
одинаковыми (по одному в каждой элементарной ячейке). Основ-
Основное же предположение, лежащее в основе такого гамильтониана,
состоит в достаточной взаимной удаленности атомов в решет-
решетке. Обменный интеграл определяется «перекрытием» волновых
функций двух атомов и очень быстро (экспоненциально) убы-
убывает с увеличением расстояния между ними. Для системы
1) Такая процедура аналогична тому, как строятся гамильтонианы отдель-
отдельных атомов, описывающие тонкую структуру их уровней — ср. III, § 72.
) Описание обменного взаимодействия спиновым гамильтонианом бы-
было введено Дираком {P. A.M. Dirac, 1929). Гамильтониан G2.1) введен
ван Флеком (J. H. van Vleck, 1931); его обычно называют гейзенберговским,
поскольку он соответствует модели ферромагнетика, впервые рассмотрен-
рассмотренной Гейзенбергом.

§ 72	СПИНОВЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН	383
взаимно удаленных атомов можно поэтому считать взаимодей-
взаимодействие парным, в связи с чем в G2.1) отсутствуют члены с произ-
произведениями операторов спина более чем двух атомов. С этой же
точностью можно считать, что обменное взаимодействие между
двумя атомами осуществляется каждый раз всего одной парой
электронов — по одному из каждого атома. Тогда оператор вза-
взаимодействия будет составлен билинейно по операторам спинов
электронов, а после усреднения по состояниям атомов — били-
билинейно по атомным спинам (С. Herring, 1966)х).
Система, описываемая гамильтонианом G2.1), ферромагнит-
на, если обменные интегралы Jmn > 0. Определим энергию
основного состояния такой системы. Допустим при этом наличие
также и внешнего магнитного поля i}, добавив к G2.1) оператор
V = -2C$)Y,S™	G2-2)
m
(ось z — в направлении поля). Оператор J2 Smz проекции полно-
полного спина системы коммутативен как с Ноб, так и с V\ состояния
системы можно поэтому классифицировать по собственным зна-
значениям этой величины.
В ферромагнитном случае основному состоянию отвечает
наибольшее возможное значение проекции суммарного спина,
равное NS, где N — число атомов в системе (это не связано,
конечно, с наличием внешнего поля, которое лишь выделяет из-
избранное направление оси). Пусть хо — нормированная спиновая
волновая функция основного состояния.
Максимальное значение NS проекции полного спина может
достигаться, лишь если и проекция спина каждого атома имеет
свое максимальное значение S. Поэтому хо есть в то же время и
собственная функция каждого из операторов Snz:
SnzXo = 5xo.	G2.3)
Введем необходимые для дальнейшего операторы S±=Sx±iSy,
удовлетворяющие правилам коммутации
S+S- - S-S+ = 2SZ, SZS± - S±SZ = ±S±	G2.4)
(см. III, B6.12)). Их матричные элементы:
(SZ\S+\SZ - 1) = (Sz - 1\S-\SZ) = ,J(S + SZ)(S-SZ + 1) G2.5)
1) В таких условиях суммирование в G2.1) должно производиться, конеч-
конечно, лишь по парам соседних атомов. Этим, однако, запись формул никак не
упрощается, и потому мы не будем учитывать это условие явным образом.

384
МАГНЕТИЗМ
(см. Ill, B7.12)); оператор S+ увеличивает, a S- — уменьшает на
единицу значение проекции Sz. Далее, пишем
'Ьт'Ьп — bmzbnz + — (от+Оп_ + От_Оп+)
и затем
H = -\Y. Jmn(SmzSnz + Sm-Sn+) - 2/ЗД Yl Smz, G2.6)
m/n	m
где использована симметрия Jmn = Jnm и коммутативность опе-
операторов, относящихся к разным атомам.
Поскольку операторы 5П+ имеют матричные элементы лишь
для переходов с увеличением чисел Sz, то для состояния с наи-
наибольшими значениями этих чисел
?П+ХО = 0	G2.7)
(что видно также и из явных выражений матричных элементов
G2.5)). Поэтому при воздействии гамильтониана G2.6) на вол-
волновую функцию хо получается
Выражение в скобках и есть энергия Е$ основного состояния.
Заменив суммирование по m и п суммированием по m и по
q = n — m, запишем окончательно Е$ в виде
Ео = --NS2 ^ Jq - 2/3SNS].	G2.8)
2
Полный магнитный момент системы в этом состоянии есть 2/3SN.
Следующее, в порядке уменьшения проекции полного спина,
состояние системы отвечает значению NS — 1 указанной проек-
проекции; оно соответствует возбуждению одного магнона с магнит-
магнитным моментом —2/3. Таким значением проекции полного спина
обладает состояние с волновой функцией
BS)-^Sn_X0)	G2.9)
в котором воздействием оператора Sn- уменьшена на 1 проек-
проекция спина одного из атомов1). Эта функция, однако, не является
) Нормировку функции G2.9) легко проверить, заметив, что
(Sn-Xo)*En-Xo) = XoS+-Sn-Xo = {S\Sn+Sn-\S) =
= {S\Sn+\S -1){S- l\Sa-\S) = 2S.

§ 72	СПИНОВЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН	385
собственной функцией гамильтониана системы; в ней не учтена
еще трансляционная симметрия решетки. Собственная функция
гамильтониана должна быть построена как линейная комбина-
комбинация функций G2.9) со всеми номерами п. Те же рассуждения,
которые привели нас в § 55 к функциям Блоха для электрона
в периодическом поле, показывают, что для правильного уче-
учета трансляционной симметрии эта линейная комбинация должна
иметь вид
Xk = BNS)-1/2 ? е*кг" Sn-xo	G2.10)
П
(множитель iV/2 — нормировочный). Постоянный вектор к есть
не что иное, как квазиимпульс магнона.
Энергия е(к) магнона есть разность Ej^—Eq между энергиями
возбужденного и основного состояний системы. Поэтому
Подставив в левую сторону этого равенства выражение G2.10) и
заменив затем Eqxq на Нхо, получим
?(к)хк = BNS)-1/2 ?>ikr" (#?„_ - 5п_Я)хо- G2.11)
Стоящий здесь коммутатор легко вычислить, записав Н в ви-
виде G2.6) и использовав правила коммутации G2.4). Снова учтя
симметрию коэффициентов Jmn, найдем
HSn- - Sa-H = Y! Jmn(SmzSn--SazSm-)+2C$jSa-. G2.12)
m
Наконец, подставив это выражение в G2.11), вспомнив G2.3) и
перейдя к суммированию по q = n — m, получим
Jq(l - e*kr«)
Выражение в фигурных скобках есть искомая энергия магнона.
Мнимая часть выражения под знаком суммы, будучи нечетной
функцией rq, обращается в нуль в результате суммирования, так
что окончательно
e(k) = S Y^ M1 ~ coskrq) + 2/ЗД	G2.13)
(F. Block, 1930).
13 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

386
МАГНЕТИЗМ
Эта формула дает точный закон дисперсии магнонов в систе-
системе, описываемой гамильтонианом G2.1). В предельном случае
малых к она переходит, естественно, в квадратичный закон:
e(k) = l- Skikk Y, ^х^хф + 2Д6.	G2.14)
q/0
Точка Кюри рассматриваемой системы лежит при темпера-
температуре Тс rsj J5 так что при температурах Т ^> J система уже заве-
заведомо парамагнитна. При таких температурах можно, в первом
приближении, вовсе принебречь взаимодействием между атома-
атомами. В этом приближении магнитная восприимчивость системы
будет совпадать с восприимчивостью идеального газа атомов со
спином S и даваться формулой
N 4/^E + 1)	G2Л5)
А V	ЗТ	V	}
(см. V, §52); восприимчивость отнесена к единице объема. Это
выражение является первым членом разложения функции х(Г)
по степеням 1/Г. Следующие члены разложения уже зависят от
взаимодействия атомов; определим первый из них.
Восприимчивость (в нулевом поле) определяется как произ-
производная х — дМ/д$) при $) —> 0, а намагниченность М вычисляет-
вычисляется как производная от свободной энергии: VM = —dF/dS). Для
решения поставленной задачи надо вычислить F с точностью до
членов ~ 1/Г2.
Исходим из формулы F = —Т In Z, где Z — статистическая
сумма
т
2Т2 6Т3/
суммирование производится по всем уровням энергии системы1).
Полное число уровней в спектре рассматриваемой системы ко-
конечно и равно числу всех возможных комбинаций ориентации
атомных спинов относительно решетки. Каждый спин имеет 25+1
различных ориентации; поэтому указанное число есть BS + 1)^.
Обозначая чертой над буквой простое арифметическое усредне-
усреднение, перепишем Z в виде
— I	) [	Т	2Т2	6Т3
1) Последующее вычисление свободной энергии соответствует вычислени-
вычислениям в V, § 73, продлевая их до следующего члена разложения.

§ 72	СПИНОВЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН	387
Среднее значение ~Е™ = SpHm/BS + 1)N. По известному
свойству следа оператора он может вычисляться по любой пол-
полной системе волновых функций; пусть это будут функции, отве-
отвечающие всем возможным наборам ориентации атомных спинов.
Тогда усреднение сводится к независимому усреднению каждого
из спинов по его направлениям; при этом Е = 0. Логарифмируя
теперь Z и снова разлагая по степеням 1/Г, с той же точностью
получим
F = -NTln BS + 1) - —W + —W.	G2.16)
В этом выражении нас интересуют члены, содержащие i}2;
только эти члены дадут вклад в восприимчивость. Опустив все
остальные члены и заметив, что при усреднении нечетные сте-
степени компонент спина обращаются в нуль, получим
F_ B/ЗДJ ST^2~ B/ЗДJ , 1 у о т (о С we с л
n	n/m
Средние значения
(SnzSax) = (SazSny) = 0, (S?j = S(S
Таким образом,
F = -^CWNS(S + 1) - ^-2/3WNS2(S + I)
q/0
и отсюда окончательно восприимчивость
Х =
3TV	_
q/0
G2.17)
Обратим внимание на то, что знак поправочного члена в квад-
квадратных скобках зависит от знака обменного интеграла.
3 а дачи
1. Найти магнитную часть теплоемкости системы, описывающейся га-
гамильтонианом G2.1), при температурах Т ^> J'.
Решение. Первый член разложения теплоемкости по степеням 1/Т
возникает от члена —Е2/2Т в свободной энергии G2.16). Усредняя тем же
способом квадрат гамильтониана G2.1), получим
& = - • 1 > Jmnbmibmk Onibnk = О	 > Jt
2
13*

388
МАГНЕТИЗМ
(так как SiSk = S(S + 1) Sik/З)- Для теплоемкости находим в результате
_ NS(S + 1) ^ 2
в соответствии с V, G3.4).
2. Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить намагни-
намагниченность парамагнетика при произвольном соотношении между /3$) и Т.
Решение. Статистическая сумма (для одного спина в поле)
z=
Вычисляя свободную энергию и дифференцируя ее по fj, находим намагни-
намагниченность
v ад v
(L. Brillouin, 1927). При /ЗД <С T это выражение переходит в G2.15). В обрат-
обратном пределе, при /ЗД ^> Т, намагниченность стремится к своему номиналь-
номинальному значению по закону
§ 73. Взаимодействие магнонов
Существенный методический интерес представляет вопрос о
вкладе в магнитную часть термодинамических величин ферро-
ферромагнетика, происходящем от взаимодействия магнонов; напом-
напомним, что вычисления в § 71 были основаны на представлении
об идеальном газе невзаимодействующих магнонов. Рассмотрим
этот вопрос для системы, описываемой обменным спиновым га-
гамильтонианом G2.1).
Имея в виду нахождение вклада только наиболее низкого
порядка по малому отношению Г/Гс, мы можем ограничиться
лишь парным взаимодействием магнонов. Это значит, что надо
рассмотреть двухмагнонные состояния системы, в которых про-
проекция полного спина равна NS — 2.
Такой проекции отвечают волновые функции
Х„„ = [45B5 - l)]
Xmn = B5)5m_5n_xo, m ф n;

§ 73	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНОНОВ	389
поскольку операторы спина различных атомов коммутативны, то
Xmn=Xnm X). ФУНКЦИИ G3.1) нормированы уСЛОВИем XmnXmn = l,
в чем легко убедиться, раскрывая произведение таким же обра-
образом, как это было сделано для проверки нормировки в G2.9).
Тем же способом можно убедиться и во взаимной ортогонально-
ортогональности различных функций Xmn-
Функции G3.1) не являются сами по себе собственными функ-
функциями гамильтониана. Волновые же функции двухмагнонных
стационарных состояний системы должны представлять собой
определенные линейные комбинации функций Xmn, которые за-
запишем в виде
Х= Yl "T^mnXmn + X^nn*nn	G32)
m/n	n
(поскольку Xmn и Xnm ~ одно и то же, то надо полагать и
^mn = fnm)- Совокупность коэффициентов фтп составляет вол-
волновую функцию в представлении, в котором независимыми пере-
переменными являются номера атомов в решетке. Множитель l/v^2
в первой сумме в G3.2) введен для того, чтобы квадрат модуля
| х |2 был равен сумме S^mnl2, в которой каждая из различ-
различных ^щп встречалась бы лишь один раз.
Тем же способом, которым было найдено уравнение G2.11)
для волновых функций одномагнонных стационарных состоя-
состояний, найдем, что функции G3.2) должны удовлетворять анало-
аналогичному уравнению
m/n
где теперь ? = Е — Е$ — энергия двух взаимодействующих друг
с другом магнонов (а скобки {...} означают коммутатор).
Раскроем коммутаторы в правой стороне уравнения G3.3).
Для этого замечаем, что
{Н, Sm-Sn-} = {Н, Sm-}Sn- + Sm-{H, 5n-},
и используем выражения G2.12) для коммутаторов {Н, 5П_}.
После этого с учетом правил коммутации G2.4) переставляем
1)Если спин S = 1/2, то двукратное применение одного и того же опе-
оператора Sn- к функции основного состояния хо обращает ее в нуль. В этом
случае, следовательно, все «диагональные» функции Xnm = 0.

390
МАГНЕТИЗМ
операторы Sz в крайнее правое положение, где они, воздействуя
на функцию хсь умножают ее на 5. В результате получим
{Я, Sm-Sn-}Xo =
l
+ Jn\(Sn- - S\-)Sm-] X0 + ^ ^2
1
+ 4^5m_5n-xo; G3.4)
для упрощения записи формулы ограничения, налагаемые на ин-
индексы суммирования, не выписываются — суммирования произ-
производятся по всем значениям 1, но при этом подразумевается, что
все «диагональные» J\\ = 0.
Дальнейшая процедура сводится к подстановке G3.4) в урав-
уравнение G3.3) и приравниванию коэффициентов, стоящих при оди-
одинаковых функциях Xmn B обоих сторонах равенства. Вычисле-
Вычисления элементарны, хотя и довольно громоздки. Они приводят в
результате к следующей системе уравнений для величин ^mn:
BJS -
- AS Jranftm + in) + 2Sn
G3.5)
где
и введено обозначение J для суммы J2 Jnh не зависящей, очевид-
1
но, от индекса п1).
Перейдем в этом уравнении от координатного представления
(независимые переменные — координаты атомов rn, rm) к им-
импульсному, т. е. положим
^(К, k)eik(r--r»).	G3.6)
к
Вектор К играет роль суммарного квазиимпульса двух магно-
нов, а к — квазиимпульса их относительного движения; сумми-
суммирование производится по N дискретным значениям к, допуска-
допускаемым для решетки объема Nv (N — число атомов в решетке,
х)Эти уравнения справедливы и в случае спина 5=1/2, когда все ^„п
произвольны. Обратим внимание на то, что при 5=1/2 все «диагональные»
величины -0ПП вообще выпадают из уравнений с m ф п. Уравнения же с
m = n в этом случае надо просто считать отсутствующими.

§ 73	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНОНОВ	391
v — объем ее элементарной ячейки). Вместе с фтп надо предста-
представить в виде ряда Фурье также и обменные интегралы:
^	J0ne-^r°-r") G3.7)
(поскольку Jmn = Jnm, то J(k) = J(-k)).
Опустив простые промежуточные выкладки, приведем сразу
окончательный результат преобразования уравнения G3.5):
[?(| + к)+?(|-к)-ф(К,к)+
+ |?7(K,k,k')^(K,k')^ = 0, G3.8)
где
NU(K, к, к') = As\j (f + к) + J (| - к) + J (| + к') +
+ J (| - к')] - i [J(k - к') + J(k + к')], G3.9)
а е(к)— энергия одного магнона, определяемая формулой G2.13);
суммирование по к' заменено интегрированием по одной ячейке
обратной решетки.
Таким образом, точная (в рамках гамильтониана G2.1)) за-
задача о двухмагнонных состояниях системы сводится к решению
уравнения, вполне аналогичного уравнению Шредингера для си-
системы двух частиц в импульсном представлении (ср. III, A30.4)).
При этом функции е(к) играют роль кинетических энергий ча-
частиц, а ядро интегрального уравнения U (К, к, к') — роль мат-
матричного элемента энергии U их взаимодействия для перехода
(рассеяния) из состояний с импульсами ki, k2 в состояния с им-
импульсами к'1? к'2 где
к	xv . 1 1	К 1 1 /	К . 1 / 1 /	К 1 /
1 = - + к, к2 = - - к, k'i = - + к', к'2 = - - к'.
В этом смысле U (К, к, к') целесообразно записать в виде
NU (к'ь к'2; кь к2) = As [J(ki) + J(k2) + J(k'i) + J(k'2)]-
i	-k'2)]. G3.10)
В общем случае уравнение G3.8), G3.9) очень сложно. Мы
ограничимся вычислением поправки к термодинамическим вели-
величинам в предположении S ^> 1. Простота этого случая связана

392
МАГНЕТИЗМ
с тем, что энергия магнонов ?(к) пропорциональна 5, а их взаи-
взаимодействие U не зависит от S (при S ^> 1 коэффициент в G3.9)
As ~ 1/4)- Поэтому U можно рассматривать как малое возму-
возмущение. Тогда поправка Лвз (от взаимодействия магнонов) к тер-
термодинамическому потенциалу fi будет даваться просто средним
значением U. Взяв «диагональный матричный элемент»
U (ki, k2; kb k2) =± [J(ki)+J(k2)-J(ki-k2)-J@)], G3.11)
мы тем самым усредняем по состоянию с заданными квазиим-
квазиимпульсами магнонов. После этого статистическое усреднение по
равновесному распределению магнонов осуществляется интегри-
интегрированием
Пвз =|n(k1)n(k2)C7 (kb k2; kb k2) У2^к2,	G3.12)
где n(k) = [exp(e(k)/T) — I] — функция распределения Бозе.
При низких температурах интеграл определяется областью
малых значений ki, k2, соответственно чему следует разложить
все е(к) и «/(к) по степеням к. Тогда е(к) дается квадратичным
выражением G2.14). Поскольку «7(к) — четная функция к, то
квадратичны также и первые члены ее разложения:
J(k) ^J@) + aikkikk.
Тогда
C/(kb k2; ki, k2) = — щккцк2к-
Но при подстановке этого выражения, нечетного по ki и к2, в
G3.12) интеграл обращается в нуль в результате усреднения по
направлениям ki и к2.
Поэтому в разложении «/(к) надо учесть члены четвертого
порядка, в результате чего в интеграле G3.12) функция
C/(ki, k2; ki, k2) оказывается формой четвертой степени, при-
причем отличный от нуля вклад в интеграл дают члены этой формы,
квадратичные по ki и по к2. Ввиду быстрой сходимости инте-
интегрирование может быть распределено по всему к-пространству.
Заменой переменных к = куГ убеждаемся, что зависимость Лвз
от Г и $) имеет вид
^вз = VT5f(?,/T),	G3.13)
причем /@) и /'@) конечны. Отсюда следует, что поправочный

73	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ МАГНОНОВ	393
член в намагниченности
1 дав
v ад
?=0
= const Г4.	G3.14)
Такому же закону следует поправочный член в теплоемкостих).
Мы видим, что взаимодействие магнонов приводит к поправ-
поправкам в термодинамических величинах лишь в высоком приближе-
приближении по Т/Тс. Напомним, что основные члены в намагниченности
и в магнитной части теплоемкости следуют закону Г3/2. Между
этими членами и поправками от fiB3 существуют еще члены, про-
пропорциональные Г5/2 и Г7/2, происходящие от следующих членов
разложения энергии магнонов е(к) по степеням к2.
С помощью полученных уравнений можно рассмотреть также
вопрос о связанных состояниях двух магнонов. Эти состояния
проявляются как дискретные (при заданном К) собственные
значения уравнения G3.8). Как функции переменной К, эти
собственные значения ? (К) представляют собой новые ветви
элементарных возбуждений в системе. Исследование показывает,
однако, что эти состояния существуют только при достаточно
больших значениях К; поэтому они во всяком случае не влияют
на термодинамические величины ферромагнетика при низких
температурах2).
Задача
В предположении S ^> 1 найти поправочные члены от взаимодействия
магнонов в намагниченности и теплоемкости для кубической решетки, в
которой обменные интегралы отличны от нуля только для соседних (вдоль
кубических осей) пар атомов.
Решение. Каждый атом имеет шесть ближайших соседних атомов. По
определению G3.7), находим
J(k) = 2 Jo (cos kxa + cos kya-\- cos kza),
где Jo — обменный интеграл для пары соседних атомов, а а — длина ребра
кубической ячейки. При малых к
J(k) » Jo I2 - а2к2 + ^(kt + к4у + k
1) Эти результаты (в общем случае произвольного спина) были впервые
получены Дайсоном (F. Dyson, 1956). В изложенном выводе уравнения
G3.5) мы следовали в основном Войду и Каллавэю (R. J. Boyd, J. Callaway,
1965).
2)См. М. Wortis II Phys. Rev. 1963. V. 132. P. 85. Речь идет о трехмер-
трехмерной решетке. В двух- и одномерном случаях связанные состояния магнонов
существуют при всех значениях к.

394
МАГНЕТИЗМ
Отсюда
и к2; кь к2) = -^Л{к\хк1, + k\vklv + k2lzk22z)
(опущены члены, нечетные по ki и кг). Энергия магнона (согласно G2.14))
е(к) = SJ0a2k2 + 2/ЗД.
Вычисление интеграла G3.12) приводит к следующим результатам:
Мвз = ЗтгСC/2)СE/2) / Г У	= 15тгС2E/2OУ / Г У
М	2S2	\4tvSJoJ ' В3	S	\4tvSJoJ
(? — дзета-функция).
§ 74. Магноны в антиферромагнетике
Антиферромагнетики характерны тем, что магнитные мо-
моменты всех электронов в пределах каждой элементарной ячейки
кристаллической решетки взаимно компенсируются (в состоянии
равновесия в отсутствие магнитного поля). Плотность магнитно-
магнитного момента распределена, строго говоря, по всему объему ячейки.
Но в кристаллах антиферромагнитных диэлектриков с хорошей
точностью можно считать, что фактически эта плотность ло-
локализована у отдельных атомов, каждому из которых можно
приписать определенный магнитный момент. Эти моменты,
повторяясь периодически во всех ячейках, создают магнитные
подрешетки антиферромагнетика.
Различные антиферромагнетики очень разнообразны по сво-
своей структуре. Вопрос об их магнитном энергетическом спектре
мы рассмотрим на типичном примере кристалла с двумя магнит-
магнитными атомами, расположенными в эквивалентных точках каж-
каждой элементарной ячейки (т. е. в точках, переходящих друг в
друга при каких-либо преобразованиях кристаллографической
симметрии кристалла). Средние плотности магнитных моментов,
образованных этими атомами подрешеток, обозначим через Mi
и М2 и введем два вектора
M = Mi + M2, L = Mi-M2.	G4.1)
В основном состоянии антиферромагнетика М = О, L ф О,
между тем как у ферромагнетика было бы М ф О, L = 0. Под-
Подчеркнем существенную разницу между основными состояниями
в обоих случаях. В обменном приближении, в основном состо-
состоянии ферромагнетика проекции спинов всех магнитных атомов
имеют определенные (наибольшие возможные) значения Sz = 5,
чему соответствует номинальное значение намагниченности М.
В основном же состоянии антиферромагнетика намагниченности

§ 74	МАГНОНЫ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКЕ	395
подрешеток заведомо не могут иметь своих номинальных значе-
значений, так как суммарные проекции спинов каждой из подрешеток
в отдельности не являются (даже в обменном приближении) со-
сохраняющимися величинами и потому не имеют (в стационарном
состоянии) определенных значений. Тем более не имеют опреде-
определенных значений проекции спина отдельных атомов.
Вид макроскопических «уравнений движения» векторов L
и М, описывающих их длинноволновые колебания, устанавли-
устанавливается аналогично тому, как это было сделано в § 69 для фер-
ферромагнетика. Уравнение для плотности магнитного момента М
имеет тот же вид F9.1) что и в ферромагнитном случае:
^ = 7К,	G4.2)
ot
причем момент сил К определяется формулой F9.2).
Уравнение же для L можно получить, если учесть, что нали-
наличие углового механического момента HS = М/7 означает, вообще
говоря, вращение системы, в данном случае — системы спинов.
Угловая скорость этого вращения согласно термодинамической
формуле V, B6.8) определяется производной свободной энергии
по этому моменту:
) •
Эту формулу можно очевидным образом обобщить на случай
слабой неоднородности в пространстве:
SF = [ft 5HS dV = - [ft SM dV.	G4.3)
Изменение L со временем представляет собой вращение с угловой
скоростью fi, которое описывается уравнением:
§ = [ПЬ].	G4.4)
Перейдем к определению момента сил К. При повороте си-
системы на бесконечно-малый угол 5ф меняются оба вектора L
и М:
6L = [6фЪ], Ш = [8фМ].
Варьируя свободную энергию F и сравнивая с формулой F9.2),
определяющей К, находим:
i	G4.5)

396
МАГНЕТИЗМ
где мы ввели эффективное поле Hl, соответствующее антифер-
антиферромагнитному вектору L, согласно
5F = - fuLSLdV,	G4.6)
и использовали формулу G4.3) для варьирования по М.
Окончательно уравнение для М принимает вид
^	G4.7)
Отметим некоторые общие свойства уравнений G4.4) и G4.7).
Нетрудно проверить, что движение, описываемое этими уравне-
уравнениями, является бездиссипативным. Действительно, диссипация
энергии равна
T(	fHbdV+[ndV
dt \dtJT	J	dt	jj dt
и в силу G4.4) и G4.7) обращается в нуль. Далее, из уравнения
G4.4) очевидно следует, что 9L2/dt = 0. Как и должно быть,
длина вектора L остается постоянной. Наконец, умножая G4.4)
на М, а G4.7) на L и складывая, находим, что 9LM/9t = 0, так
что вектор М перпендикулярен L.
Для определения эффективнго поля Hl и угловой скорости
Л надо установить вид свободной энергии кристалла. В обменном
приближении свободная энергия должна быть инвариантна от-
относительно одновременного поворота всех магнитных моментов
(и следовательно векторов L и М) относительно кристалличе-
кристаллической решетки. Вместе с предположенной кристаллографической
эквивалентностью положений двух магнитных атомов в ячейке
отсюда следует также и необходимость инвариантности относи-
относительно перестановки Mi и М2, т. е. относительно преобразования
L —> — L, М —> М. Ввиду инвариантности свободной энергии при
этом преобразовании также и Н^ —> —Н^, $1 —>> $1.
Существенно, что в рассматриваемом нами длинноволновом
пределе магнитный момент М является малой величиной. Это
ясно уже из того, что если вектор L постоянен в пространстве,
в обменном случае никакого магнитного момента, естественно,
не возникает. В результате мы должны учесть члены не выше
второго порядка по М и по первым производным L. Выражение,
удовлетворяющее поставленным условиям, имеет вид
+ -«„-—JdF,	G4.8)
где коэффициент а положителен в соответствии с тем, что в

§ 74	МАГНОНЫ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКЕ	397
равновесии должно быть М = 0. В G4.8) опущены члены, ко-
которые можно свести к написанным интегрированием по частям.
Члены, квадратичные по ЭМ/cta^, можно не учитывать, посколь-
поскольку они заведомо малы по сравнению с М2.
Варьируя интеграл G4.8) (и произведя в нем интегрирование
по частям), получим
l^	G4.9)
В заключение отметим, что уравнение G4.7) для магнитно-
магнитного момента можно переписать в виде уравнения непрерывно-
непрерывности F9.11). Тензор потока момента имеет теперь вид
т 3L
L —
Уравнение же для L, разумеется, не имеет вида уравнения непре-
непрерывности, поскольку «антиферромагнитный момент» flidV не
сохраняется.
Рассмотрим теперь малые колебания магнитных моментов,
для чего положим
L = Lo + I = vL + L, M = m,
где I и m — малые величины, v — единичный вектор в рав-
равновесном направлении вектора Lo- Линеаризованные уравнения
движения G4.4) и G4.7) имеют вид
= 7b[i/HL].	G4.10)
UL	UL
Здесь учтено, что второй член справа в уравнении G4.7) тож-
тождественно равен нулю. Величины же S1 и Hl линейны по ма-
малым переменным и в них достаточно просто заменить L и М на
I и т.
Для плоской монохроматической спиновой волны уравнения
движения G4.10) дают
—ш\ = —^La [mi/1
G4.11)
—ioum = —^La(n)k [Ii/|,
где снова (как и в §69) а(п) = ац^щп^ п — единичный вектор
в направлении к. Умножив первое из этих уравнений векторно
на i^, получим
-yLam= -iu\Lv\,	G4.12)
Мы видим, что в рассматриваемом случае длинных волн вектор
m действительно мал по сравнению с I. Подстановка же этого

398
МАГНЕТИЗМ
выражения во второе уравнение сразу приводит к следующему
закону дисперсии спиновых волн:
ou = jLk[aa(n)}1/2.	G4.13)
Таким образом, частота спиновых волн, а тем самым и энергия
магнонов е = Нои в антиферромагнетике в обменном приближе-
приближении пропорциональны к, а не А:2, как в ферромагнетикег). Урав-
Уравнения G4.11) устанавливают однозначную связь между 1 и т,
но обе компоненты 1 (в плоскости, перпендикулярной v) остают-
остаются произвольными. Это значит, что спиновые волны имеют два
независимых направления поляризации.
Из уравнений G4.12) и G4.13) видно, что т ~ ^(ск/аI/2/ <С /.
Относительная малость m уже была использована выше. Для
учета магнитной анизотропии надо сделать более конкретные
предположения о характере симметрии кристалла. Мы будем
считать, что кристалл имеет одноосную симметрию, причем рав-
равновесное направление L совпадает с осью симметрии2). Выберем
ее направление за ось z.
Ввиду малости вектора m достаточно учесть анизотропию,
связанную с вектором 1. Это также позволяет пренебречь, в от-
отличие от ферромагнетика, возникающим при колебаниях маг-
магнитным полем.
При сделанных предположениях плотность энергии анизо-
анизотропии [/ан = ifl2/2, причем К > 0. Ее учет приводит к по-
появлению дополнительного члена —К\ в эффективном поле Hl,
которое для плоской волны становится равным
Щ = -[а(п)к2 + К]\.	G4.14)
Отсюда видно, что с учетом анизотропии закон дисперсии спи-
спиновых волн получается из G4.12) заменой ак2 на ак2 +К. В ре-
результате при к —»> 0 энергия магнонов будет стремиться не
к нулю, а к конечной величине3)
е@) = HjL^K	G4.15)
1) Такой закон дисперсии для антиферромагнетиков впервые получен
Хюльтеном (L. Hulthen, 1936). Вывод, использующий макроскопиче-
макроскопическое рассмотрение намагниченностей подрешеток, дан М. И. Когановым и
В. М. Цукерником A958).
2)К такому типу относится антиферромагнетик FeCCb, имеющий ром-
ромбоэдрическую решетку (кристаллический класс Dsd) с двумя ионами Fe в
элементарной ячейке. Магнитные моменты этих ионов направлены вдоль
оси третьего порядка.
3) Частоту ш@) = г@)/Н называют частотой антиферромагнитного резо-
резонанса.

§ 74	МАГНОНЫ В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКЕ	399
(Ch. Kittel, 1951). Обратим внимание на то, что щель в спектре
оказывается пропорциональной корню из константы анизотро-
анизотропии (а не ее первой степени, как в G0.12)). Поскольку малость
релятивистских эффектов выражается относительной малостью
константы анизотропии, то в антиферромагнетике эти эффекты,
вообще говоря, существеннее, чем в ферромагнетике.
Магнонный вклад во внутреннюю энергию антиферромагне-
антиферромагнетика вычисляется по формуле G1.3). (Правая часть этого равен-
равенства должна быть удвоена, поскольку магноны имеют два на-
направления поляризации.) В области температур
?@)<T<7V	G4.16)
(T/v — температура исчезновения антиферромагнетизма, точка
Нееля) можно пользоваться спектром G4.12). В одноосном кри-
кристалле
и>(к) = 7Ьа1/2 [«i(*? + Щ) + a2k2z].
Вычисление интеграла G1.3) приводит к следующему результату
для магнонного вклада в теплоемкость:
^МаГ — У	о го о/о/	2\Ч/9*:Ч *	G4.17)
157313а3/2( OL afK/2H3
При температурах же Г <С s@) магнонный вклад в термодина-
термодинамические величины экспоненциально мал.
Для того чтобы определить температурную зависимость ан-
антиферромагнитного вектора L, добавим к энергии единицы объ-
объема тела член вида
-GL = -GLZ « -GL (l - ^Л ,	G4.18)
где G — сопряженное вектору L вспомогательное поле, прило-
приложенное вдоль его равновесного направления.
Тогда равновесное значение L можно определить, дифферен-
дифференцируя по G свободную энергию: L = —(l/V)(dF/dG)T- (Ср. фор-
формулу E4.4)(см. V) для случая магнитного поля.) В результате
получаем аналогичную G1.4) формулу
LMar = LIT) - L@) = - f — —-— —.	G4.19)
v } v } J dG g^o e*lT -1 BpK	v J
Наличие поля G приводит в законе дисперсии магнонов к замене

400
МАГНЕТИЗМ
а(п)к2 —»> а(п)к2 + G/L. Дифференцируя, находим
де_ = H2j2La
dG~ 2e '
Подставляя в G4.18) и интегрируя, получаем окончательно для
области температур G4.15):
L(T) - L@) = -	Т2
Заметим, что в обменном приближении интеграл G4.18), как
и в случае ферромагнетика, расходится для двумерных систем,
что приводит к разрушению антиферромагнитного дальнего
порядка.
Задача
Найти спектр магнонов в одноосном антиферромагнетике типа «легкая
плотность» (К < 0).
Решение. Равновесный антиферромагнитный вектор Lo лежит те-
теперь в плоскости перпендикулярной оси симметрии кристалла — оси z.
Выберем направление оси х вдоль Lo. Энергия анизотропии имеет вид
t/ан = |if |(пг1J/2, где nz и далее п^ — единичные векторы вдоль осей гну.
В выражении для Hl появляется дополнительное слагаемое — |Х|(пг1)пг,
так что первое из уравнений G4.11) и уравнение G4.12) не меняются, а вто-
второе уравнение G4.11) приобретает вид
—iurni = — jLa(n)k2[\v] — jL\K\(nz\)ny.
В результате для магнона с поляризацией вектора 1 вдоль оси у закон дис-
дисперсии имеет прежний вид G4.13), а для магнона с 1 вдоль z в форму-
формуле G4.13) ак2 заменяется на ак2 + \К\. Анизотропия в этом случае снимает
вырождение по поляризациям.
§ 74*. Антиферромагнитное состояние спинового
гамильтониана
В § 72 мы видели, что в ферромагнитном случае можно
точно определить энергию основного состояния спинового га-
гамильтониана G2.1) и закон дисперсии элементарных возбу-
возбуждений — магнонов. Такое точное решение невозможно для
антиферромагнетика. Сама картина двух подрешеток с про-
противоположно направленными спинами в их узлах носит, по
существу, классический характер и нарушается возможностью
обмена электронами между подрешетками. В результате этого
суммарные проекции спинов подрешеток не имеют определенных
значений и не являются хорошими квантовыми числами для
характеристики основного и возбужденных состояний.

§ 74* АНТИФЕРРОМАГНИТНОЕ СОСТОЯНИЕ СПИНОВОГО ГАМИЛЬТОНИАНА 401
Картина вставленных друг в друга ферромагнитных подре-
шеток может, однако, служить правильным нулевым прибли-
приближением в квазиклассическом случае, когда спин каждого узла
подрешетки велик. В этом случае квантовые эффекты малы
и их можно учесть по теории возмущений.1) Условие S ^> 1
не выполняется для реальных антиферромагнетиков. Тем не
менее решение этой задачи представляет большой интерес
и излагаемый ниже метод полезен при исследовании многих
вопросов теории магнетизма. Отметим, что в этой модели в
простейшем случае взаимодействия только с ближайшими сосе-
соседями при отрицательных значениях обменных интегралов Jnm в
G2.1) заведомо возникает антиферромагнетизм. Действительно,
в первом приближении основное состояние определяется просто
минимизацией этого выражения по направлениям классических
векторов Sn. Минимуму соответствует состояние, в котором
ближайшие соседи каждого узла имеют противоположное на-
направление спина, т. е. принадлежат к другой подрешетке.
Мы воспользуемся спиновым гамильтонианом в форме G2.6)
и в качестве первого шага выразим входящие в эту формулу опе-
таторы Sz, S+, S- через операторы с бозевскими правилами ком-
коммутации. Запишем спиновые операторы для спина S в виде
1/2 ^	,	 / C4-\V2
G4*.1)
Sz=S-a+a.
Нетрудно убедиться в том, что если операторы а+, а удовле-
удовлетворяют обычным бозевским правилам коммутации
аа+ — а+а = 1,
то операторы Sz, S+ и S- будут удовлетворять правильным со-
соотношениям коммутации G2.4). Имеем, например,
в соответствии со второй формулой G2.4). (Фигурная скобка обо-
обозначает коммутатор.)
Аналогичным образом можно проверить, что
о 2 	 о о I q2i | о 	 С/ С | 1 "\
О = О —О-|- ~г &z \ дz — О ^О ~г -LJ*
1) Теория возмущений при условии S ^> 1 уже была использована в конце
\ 73 для исследования взаимодействия магнонов.

402
МАГНЕТИЗМ
Наконец, из G4*. 1) следует, что, как это и должно быть, ра-
равен нулю результат действия оператора S+ на состояние с макси-
максимально возможным значением Sz = S (т. е. с а+а = 0), равно как
и результат действия S- на состояние с Sz = —S, а+а = —2S.
Таким образом, формулы G4*.1) дают обладающие всеми
необходимыми свойствами точное представление спиновых опе-
операторов, причем операторы а+ и а имеют смысл операторов
рождения и уничтожения в данном узле решетки «частицы» с
проекцией Sz = — 11).
Начиная с этого момента нам будет удобно ввести разные
обозначения для узлов, принадлежащим к разным подрешет-
кам. Будем нумеровать узлы первой подрешетки векторными ин-
индексами а, а второй — индексами Ъ. Направим ось квантования
момента вдоль направления намагниченности подрешетки а.
В рассматриваемом квазиклассическом случае больших S кван-
квантовые флуктуации малы и эта намагниченность близка к но-
номинальному значению. (Ниже мы вычислим поправку к этому
значению.) Это означает, что оператор а+а, а следовательно и
сами операторы а+ и а следует считать малыми величинами и
пренебречь ими в подкоренных выражениях в G4*.1). В резуль-
результате G4*. 1) приобретает вид
Sa- « >/25а+, Sa+ « >/25 аа, Saz = S - a+aa. G4*.2)
Что касается второй подрешетки, то ее намагниченность на-
направлена вдоль отрицательного направления оси z. Поэтому для
ее операторов справедливы соотношения в точности аналогич-
аналогичные G4*.2), но в системе координат х' = ж, у' = —у, z' = —z.
(Изменение знака, а также и оси у, необходимо для того, чтобы
«штрихованая» система координат была правосторонней.) Штри-
Штрихованные операторы очевидно связаны с обычными следующим
образом S+ = 5_, S'_ = S+, S'z = — Sz. Поэтому, если ввести бо-
зевские операторы Ь\> уничтожения «частицы» с проекцией спи-
спина Sz = +1 на узле Ь, получаем для второй решетки вместо
G4*.2) формулы
G4*.3)
) Представление G4*.1) для спиновых операторов было найдено Хол-
штейном и Примаковым (Т. Holstein,H. Primakov,1940). Они же впервые
применили преобразование G4*. 1) в теории магнетизма. Излагаемая при-
приближенная теория антиферромагнетизма принадлежит Андерсону и Кубо
(P. W. Anderson, 1952; R. КиЪо, 1952).

§ 74* АНТИФЕРРОМАГНИТНОЕ СОСТОЯНИЕ СПИНОВОГО ГАМИЛЬТОНИАНА 403
Подставим G4*.2) и G4*.3) в выражение G2.6) для гамильто-
гамильтониана, оставив лишь члены не выше второго порядка по опера-
операторам рождения и уничтожения. Суммирование по узлам первой
и второй подрешеток должно производиться в отдельности. За-
Запись формул, однако, можно упростить, если нумеровать узлы
подрешеток одинаковым образом, т. е. так, чтобы было
га — га' — ГЬ — ГЬ' ПРИ а ~~ а' — Ь — t/.
(В силу эквивалентности подрешеток тогда Jaa/ = Jbb') После
этого можно обозначать индекс суммирования по узлам второй
подрешетки той же буквой а. Несложные вычисления дают в
отсутствие внешнего поля:
тт _ о2( тB) тA)ч , q( тA) тB)ч V^/-+- , i+- ч
И — b [Jo - JQ ) + b(JQ - JQ ) }^{аааа + Ьааа)-
a
+Ъ+ал.) + J<2(a+6J + aa6a0) • G4*-4)
Мы ввели здесь обозначение Jaa, для элементов матрицы Jaa/ в
том случае, когда узлы а и а' принадлежат одной и той же подре-
тB)
гпетке и Jaar, если они принадлеж:ат к разным подрешеткам,
тA,2) _ V- тA,2)
а
Запишем теперь гамильтониан G4*.4) в импульсном пред-
представлении, для чего положим, как в G2.7),
42	- Га') 41], 41] = Е е"^(Га - Г.,) J^,
к
аа = V/B/iV)^eikraak, ak = JB/N) ^~^^ G4*.5)
a /
к
и аналогично для других величин. (Учтено, что число узлов, по
которым производится суммирование, равно теперь iV/2, где N —
полное число узлов в решетке.) Введенная выше величина Jq
T(i)
есть не что иное, как «/?=ош
Используя эти формулы, легко приводим G4*.4) к виду
ak6_k) + (Sk/2)(a+ak +S+6k)}, G4*.6)

404
МАГНЕТИЗМ
где
Ak = -2Sji2\ Bb = 2SD1)-42)-ji1)).	G4*.7)
Гамильтониан G4*.6) формально аналогичен гамильтониа-
гамильтониану B5.11) слабонеидеального бозе-газа, отличаясь от последнего
только смыслом коэффициентов А^ и В^ и наличием двух типов
операторов йк и Ъ\^. Диагонализация G4*.6) достигается преоб-
преобразованием, аналогичным B5.8). Положим
-	G4*.8)
Выражения для Ьк отличаются от G4*.8) перестановкой опе-
операторов Ск и d\t\
+ Исс1к' ^к = ^к^к + ^кС-к-	G4*.9)
Новые операторы Ск, с^ и d^ d^, имеют смысл операторов ро-
рождения и уничтожения магнонов двух независимых поляриза-
поляризаций. Они будут удовлетворять бозевским правилам коммутации,
если, как и в § 25, наложить на г^к и у\^ условие
< - Я = 1.
Мы, однако, произведем диагонализацию гамильтониана нес-
несколько другим способом, чем в § 25.
Указанному условию можно удовлетворить тождественно, ес-
если положить:
u\z = ch c^k, ^р = sh c^k-	G4*.10)
При подстановке G4*. 8), G4*. 9) в G4*. 6) члены, не диагональные
по числам заполнения магнонов, выпадут, если параметр а^ в
формулах G4*. 10) определен согласно
Окончательно гамильтониан приобретает вид
Н = Е0 + $>(k)(c+ck + d?dk),	G4*.ll)
k
где ?(k) — энергия магнона с квазиимпульсом Як, равная
е(к) = \ v4 - К-	G4*.12)
Согласно G4*.7) 5к=о — ^к=о- Разложение же этих величин
по степеням компонент к начинается с квадратичных членов. По-
Поэтому при малых к энергия ?(к) линейна по |к| в соответствии с
результатом макроскопической теории предыдущего параграфа.

§ 74* АНТИФЕРРОМАГНИТНОЕ СОСТОЯНИЕ СПИНОВОГО ГАМИЛЬТОНИАНА 405
Отметим также, что, как видно из G4*. 11), вырождение по по-
поляризации магнонов в обменном приближении имеет место при
любых к.
Энергия основного состояния Е$ дается выражением:
к
аналогичным B5.13). Второй член справа представляет собой
квантовую поправку. Он очевидно имеет порядок 1/S по отно-
отношению к классическому первому члену.
Квантовые эффекты приводят к уменьшению намагниченно-
намагниченности подрешеток по сравнению с классическим значением рав-
равным 5, если относить его к одному узлу. Из G4*.2) следует, что
<&> = s -1 ?№а> = s - a
а	к
Выражая операторы а^, йк через магнонные операторы с помо-
помощью G4*.8) получаем при Г = 0, когда (c^Ck) = (d^d^) = 0,
формулу, аналогичную B5.18):
Подставим это выражение в формулу для (Sz) и перейдем от
суммирования по к к интегрированию по Уб?3&/BтгK:
0- G4*-14)
где v — объем элементарной ячейки подрешетки. Интегрирова-
Интегрирование в G4*. 14) производится по ячейке k-пространства, соответ-
соответствующего подрешетке. (Напоминаем, что в G4*.5) суммирование
производится по узлам подрешетки.) Численный расчет для про-
простой кубической решетки с взаимодействием между ближайши-
ближайшими соседями дает	iq\^q_ о с\я.
Отметим, что в этом случае поправка к классическому зна-
значению оказывается малой даже при экстраполяции к значению
5=1/2. Намагниченность подрешетки может, однако, оказать-
оказаться существенно меньше номинальной для решеток с «фрустра-
«фрустрацией» х), в которых существенно взаимодействие с отдаленными
соседями, причем его знак, в отличие от знака взаимодействия
между ближайшими соседями, соответствует ферромагнетизму.
х)От английского «frustration» — разочарование.

ГЛАВА VIII
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
§ 75. Гриновская функция фотона в среде
Приступая к изучению статистических свойств электромаг-
электромагнитного поля в материальных средах, напомним прежде всего, в
чем заключается смысл усреднений, которым подвергаются элек-
электромагнитные величины в макроскопической электродинамике.
Если исходить, для наглядности, из классической точки зре-
зрения, то можно различать усреднение по физически бесконечно
малому объему при заданном расположении всех частиц в нем
и затем усреднение полученной величины по движению частиц.
В уравнения Максвелла макроскопической электродинамики
входят полностью усредненные величины. При рассмотрении же
флуктуации поля речь идет о колебаниях со временем величин,
усредненных лишь по физически бесконечно малым объемам.
С квантовомеханической точки зрения говорить об усредне-
усреднении по объему можно, разумеется, не для самой физической
величины, а лишь для ее оператора; второй же шаг заключа-
заключается в определении среднего значения этого оператора с помо-
помощью квантовомеханических вероятностей. Фигурирующие ниже
в этой главе операторы поля будут пониматься как усредненные
только в первом смысле.
Статистические свойства электромагнитного излучения в ма-
материальной среде описываются гриновской функцией фотона в
среде. Для фотонов роль -^-операторов играют операторы по-
потенциалов электромагнитного поля. Фотонные функции Грина
определяются через эти операторы таким же образом, как они
определяются для частиц через ^-операторы.
Потенциалы поля составляют 4-вектор А^ = (Л°, А), где
А0 = if — скалярный, а А — векторный потенциалы. Выбор этих
потенциалов в классической электродинамике неоднозначен: они
допускают так называемое калибровочное преобразование, никак
не отражающееся ни на каких наблюдаемых величинах (см. II,
§ 18). Соответственно в квантовой электродинамике такая же неод-
неоднозначность имеет место в выборе операторов поля, а с ними — и

§ 75	ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА В СРЕДЕ	407
в определении гриновских функций фотона. Мы будем пользо-
пользоваться калибровкой, в которой скалярный потенциал равен нулю:
А0 = (р = 0,	G5.1)
так что поле определяется одним лишь векторным потенциалом.
Такая калибровка обычно оказывается удобной для задач, в кото-
которых речь идет о взаимодействии электромагнитного поля с нере-
нерелятивистскими частицами, — как это и имеет место для поля в
обычных материальных средах.
В этой калибровке функция Грина представляет собой трех-
трехмерный тензор второго ранга
DikiXu Х2) = -i(TAi(X1)Ak(X2))	G5.2)
(г, к = х, у, z — трехмерные векторные индексы), где угловые
скобки обозначают (как и в C6.1)) усреднение по распределению
Гиббса для системы, состоящей из среды вместе с находящимся с
ней в равновесии излучением; поскольку фотоны являются бозо-
бозонами, то перестановка операторов А{, А^ при их хронологизации
не сопровождается изменением знака произведения. Напомним
также, что операторы Ai — самосопряженные (чем выражается
истинная нейтральность фотона); поэтому в G5.2) не делается
различия между А{ и Af г).
В качестве первичного понятия для построения всех видов
фотонных гриновских функций следует, однако, пользоваться
не G5.2), а запаздывающей функцией Грина, определенной
согласно
((Ai(X1)Ak(X2)-Ak(X2)Ai(X1)), *i > *2,
(знак минус между двумя членами в угловых скобках отвечает
определению C6.19) для статистики Бозе).
Для замкнутой системы функция Грина зависит от моментов
времени ti, ?2 только через их разность t = t\ — ?2. Что же каса-
касается координат г 1, г2 то в общем случае неоднородной среды они
входят в функцию независимо друг от друга: D^(t\ ri, Г2). Соот-
Соответственно фурье-разложению эта функция будет подвергаться
1) В общем случае произвольной калибровки потенциалов фотонная функ-
функция Грина является 4-тензором D^ (в калибровке же G5.1): Doo = 0,
Doi = 0). Общие тензорные и калибровочные свойства фотонной функции
Грина в статистике — такие же, как и в квантовой электродинамике поля
в вакууме. Отметим, что определение G5.2) отличается знаком от приня-
принятого в т. IV. Оно выбрано здесь единообразно с определением гриновских
функций других бозонов (в том числе фононов).

408	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	ГЛ. VIII
только по времени; компонента этого разложения
D?k(u>; гь г2) = JeiujtDg(t; гь г2) dt.	G5.4)
о
Рассматривая величины, усредненные по физически беско-
бесконечно малым объемам, мы тем самым ограничиваем себя рас-
рассмотрением лишь длинноволновой части излучения, в которой
волновые векторы фотонов удовлетворяют условию
ка < 1	G5.5)
(а — межатомные расстояния в среде). В этой области частот
гриновская функция фотона может быть выражена через другие
макроскопические характеристики среды — ее диэлектрическую
и магнитную проницаемости е(ш) и [л(ш).
Для этого запишем оператор взаимодействия электромагнит-
электромагнитного поля со средой:
V = -- /jAd3z,	G5.6)
где j — оператор плотности электрического тока, создаваемого
частицами среды1). Если же в среду внести некоторый класси-
классический «сторонний» ток j(t, r), то с ним будет связан оператор
взаимодействия
V = — — \ (t г) A d^x	G5 7)
с J
Это выражение позволяет установить связь с общей теорией от-
отклика макроскопической системы на внешнее воздействие.
Напомним, что в этой теории (см. V, § 125) фигурировал дис-
дискретный ряд величин ха(а = 1, 2, ...), характеризующий поведе-
поведение системы под действием определенных внешних воздействий.
Эти воздействия описываются «возмущающими силами» fa{t)
такими, что оператор энергии взаимодействия имеет вид
V = -
х) См. IV, § 43 (в т. IV ток обозначается через ej, т. е. элементарный заряд
е выносился из определения j). Оператор G5.6) подразумевает использова-
использование релятивистского выражения для оператора тока. В нерелятивистских
задачах можно пренебречь в ^-операторах (из которых строится оператор
тока j) частями, связанными с отрицательными частотами, т. е. с анти-
античастицами. Это означает, в частности, пренебрежение радиационными по-
поправками, которые изменяют фотонную функцию Грина в вакууме за счет
виртуального рождения электронно-позитронных пар. Эти поправки прене-
пренебрежимо малы при длинах волн \^>К/тс — условие, заведомо выполненное
в области G5.5).

§ 75	ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА В СРЕДЕ	409
где ха — операторы величин ха. Средние значения жа(?), устанав-
устанавливающиеся под действием возмущения, являются линейными
функционалами сил /а(?). Для фурье-компонент всех величин
эта связь записывается в виде
ъ
(предполагается, что в отсутствие возмущения ха = 0). Коэф-
Коэффициенты ааь в этих соотношениях называют обобщенными вос-
приимчивостями системы. Если обе величины ха и хь ведут себя
одинаково по отношению к обращению времени, а тело не маг-
нитоактивно (не обладает магнитной структурой и не находит-
находится в магнитном поле), то величины ааъ симметричны по своим
индексам.
Здесь нам придется иметь дело с величинами fa и жа, имею-
имеющими распределенный характер — функциями координат г точ-
точки тела. В таком случае выражение V надо писать в виде
V = - J2 ffa(t, r) xa(t, r) d3x,	G5.8)
а соотношение между средними значениями ха и силами fa— как
Хаы{т) = Y, [<*аъ(ш; Г, г') fbuj(r') d*x'.	G5.9)
ъ J
Обобщенные восприимчивости становятся теперь функциями ко-
координат двух точек в теле, а их симметрия выражается ра-
венством	ааь{ш. Г; r,} = аьа{ш. r,j r)	G5ЛО)
Согласно формуле Кубо (см. V, A26.9)), восприимчивости вы-
выражаются через средние значения коммутаторов гейзенбергов-
гейзенберговских операторов жа(?, г):
ааЬ(и; г, г') =
eiujt(xa(t, г)жь@, г;) -жь@, r')xa(t, r))dt. G5.11)
о
Будем рассматривать теперь в качестве «сил» fa компонен-
компоненты вектора тока j. Тогда из сравнения G5.7) с G5.8) видно, что
отвечающими им величинами ха будут компоненты векторного
потенциала поля А/с. Сравнение же формулы G5.11) с опреде-
определением G5), G5.4) показывает теперь, что обобщенные воспри-
восприимчивости аа\)(ио] г, г') совпадают с компонентами тензора
-D?k(U; r, г')/Пс2.

410
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
В силу G5.10) отсюда сразу следует (для немагнитоактивных
сред), что
Dfk(u; r, r') = D&(u; r', г).	G5.12)
Соотношения же G5.9) принимают вид
?(u; r, r'HUrV*'.	G5.13)
Среднее значение А есть не что иное, как векторный потен-
потенциал макроскопического (полностью усредненного — см. начало
параграфа) электромагнитного поля в среде; ниже черту над А
(а также и над другими макроскопическими величинами) не бу-
будем писать. Учтем теперь, что макроскопическое поле, создавае-
создаваемое классическим током j, удовлетворяет уравнению Максвелла
4тг.
j
rotHw = — jw - —
с	с
где D — электрическая индукция; в общем случае анизотропной
среды D^ связано с напряженностью Е^ соотношениями D^ =
= Eik(oo) Екш] если среда неоднородна, то тензор диэлектрической
проницаемости является также и функцией координат: ^(о;, г).
В выбранной нами калибровке потенциалов G5.1) имеем
Ви = rot Aw, Ew = i -Aw,	G5.14)
с
где В — магнитная индукция, связанная с напряженностью Н
соотношениями В{ш = /л^Н^ 1). Поэтому для потенциала имеем
уравнение2).
[2
rot imi^i rot nk) - ^
Подставив сюда А^ в виде G5.13), найдем, что функция
должна удовлетворять уравнению
r, г/)=-4тгЙ^5(г-г/). G5.15)
г) Напомним, что в макроскопической электродинамике среднее значение
микроскопической электрической напряженности принято обозначать че-
через Е, а среднее значение магнитной напряженности — через В и называть
магнитной индукцией.
2) Здесь и ниже пользуемся обозначением rot^ = eikid/dxk, где еш —
единичный антисимметричный псевдотензор. При этом (rot A)i = rotuAi.

§ 75	ГРИНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА В СРЕДЕ	411
Это уравнение существенно упрощается для изотропных
(в каждом своем элементе объема) сред, когда тензоры е^ и \i{k
сводятся к скалярам. Магнитная проницаемость обычно близка
к 1, и ниже в этом параграфе мы будем считать ее равной 1.
Положив Sik = sSik и /i^ = 5ik, получим уравнение
= -4тгН5{к5(г-г'). G5.16)
Таким образом, вычисление запаздывающей функции Гри-
Грина для неоднородной среды сводится к решению определенного
дифференциального уравнения {И. Е. Дзялошинский, Л. П. Пи-
таевский, 1959). *).
На границах между различными средами компоненты тензо-
тензора Dj^ должны удовлетворять определенным условиям. В урав-
уравнении G5.16) вторая переменная г' и второй индекс к не
участвуют в дифференциальных или алгебраических операциях,
производимых над тензором D^ т. е. играют лишь роль парамет-
параметров. Поэтому граничные условия должны ставиться только по
координатам г для функции D^{u)\ r, г'), рассматриваемой как
вектор по индексу /. Эти условия соответствуют непрерывности
тангенциальных компонент Е и Н2). Поскольку Е = —А/с, то
роль вектора Е играет при этом производная
или, в компонентах Фурье,
i^Dg{u-r,r').	G5.17)
Аналогичным образом, роль вектора Н (совпадающего при [i = 1
с В) играет
TotHDik{(jj] r, г').	G5.18)
1)	Отметим, что функция Dfk оказывается функцией Грина уравнений
Максвелла в известном из математической физики смысле — решение урав-
уравнений поля с точным источником, удовлетворяющее условию запаздывания
(опережающая функция Dfk удовлетворяла бы такому же уравнению с г*
вместо г).
2)	Граничные условия для нормальных компонент В и D не дают в дан-
данном случае ничего нового в соответствии с тем, что в поле, меняющемся со
временем как e~ZUJt, уравнения divD = 0, divB = 0 являются следствием
уравнений rot Е = гс^В/с, rot Н = — iojT>/c.

412
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
Для пространственно-однородной неограниченной среды
функция D^ зависит только от разности г — г'. Для компонент
фурье-разложения по этой разности дифференциальное уравне-
уравнение G5.16) сводится к системе алгебраических уравнений
JL [fcifc, - 6ик2 + <*«? еН] Dg(u, к) = 6ik.	G5.19)
Решение этих уравнений:
Dg(u, к) = *f, L - 4^т1 •	G5-20)
ш2е(ш)/с2 — к2 |	и2г(и)\
Согласно C6.21), функция Грина D^ для однородной среды
выражается через запаздывающую функцию D^ формулой
Dik(u>, к) = ReDg(u, к) +icth^ -JmD^u, к). G5.21)
При Г —»> 0 эта формула дает
Dik(u, k) = ReDfk(uo, к) + г sign w • 1шД^(о;, к). G5.22)
Функция Dfl дается выражением G5.20); если учесть, что
Res(ou) — четная, а 1те(ои) — нечетная функции cj, то мы най-
найдем, что при Г = 0
Dik(u,k) = Dg(\uj\,k).	G5.23)
В пустоте е(ш) = 1. Но поскольку во всякой материальной
среде 1те(ои) > 0 при ио > 0, то вакууму отвечает предельный
переход е —»> 1 + г signer. При этом получаем выражение
совпадающее с известным результатом квантовой электродина-
электродинамики (см. IV, § 76).
§ 76. Флуктуации электромагнитного поля
Как уже было указано в начале предыдущего параграфа, при
рассмотрении флуктуации электромагнитного поля речь идет о
колебаниях со временем величин, усредненных только по физи-
физически бесконечно малым элементам объема (но не по движению
частиц в нем). В таком же смысле надо понимать и квантовоме-
ханические операторы этих величин.

§ 76	ФЛУКТУАЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	413
Основные формулы теории электромагнитных флуктуации
могут быть написаны непосредственно исходя из общих формул
флуктуационно-диссипационной теоремы (V, §125). Напомним,
что для дискретного набора флуктуирующих величин ха спек-
спектральное распределение флуктуации выражается через обобщен-
обобщенные восприимчивости ааь(ш) формулой
{xaxb)u = - {aba - aab) cth —,
где сама величина (хахь)и представляет собой компоненту фурье-
разложения по времени корреляционной функции
<Pab(t) = \ {xa(t)xb@) + Xb@)xa(i)),
a xa(t) — гейзенберговские операторы величин ха. В случае рас-
распределенных величин ха(т) (функции координат точки в теле)
эта формула записывается в виде
(хРх®)ы = f cth ^ [(а*Ьа(и; га, гх) - ааЬ(ш; гь га)], G6.1)
где индексы A) или B) означают, что значение величины берется
в точке ri или Г2-
В предыдущем параграфе было показано, что если величи-
величинами ха являются компоненты векторного потенциала А (г)/с,
то соответствующими обобщенными восприимчивостями будут
компоненты тензора —D^(uo\ ri; Г2)/Не2. Поэтому сразу находим
\ cth^{(DU(co; n, raHDgfa r2, п)]*}. G6.2)
Спектральные функции флуктуации напряженностей поля по-
получаются из G6.2) простым способом. Пусть (pfk(t\, 14; ^2, Г2) —
корреляционная функция флуктуации векторного потенциала;
выражение G6.2) есть компонента фурье-разложения этой функ-
функции по t = t\ — ?2. Поскольку электрическая напряженность
с
то такая же функция для компонент Е
Е _ 1 д2 А _ 1 д2 А
или, в фурье-компонентах:

414
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
Аналогичным образом, учитывая связь В = rot А, получим
G6.4)
G6.5)
Выражая корреляционные функции электромагнитных флуктуа-
флуктуации через запаздывающую функцию Грина, формулы G6.2)-
G6.5) сводят задачу об их вычислении к решению дифференци-
дифференциального уравнения G5.15) или G5.16) с надлежащими краевыми
условиями на заданных границах тел1).
Ниже мы будем считать, что среда немагнитоактивна. Тогда
функция Dik обладает свойством симметрии G5.12) и выражение
G6.2) принимает вид
DМ2))« = -cth %Im А*(<"; п. r2). G6.6)
Обратим внимание на то, что выражение G6.6) вещественно.
Вместе с ним вещественны и G6.3), G6.4), а G6.5) — мнимо. Это
значит, что функции временной корреляции компонент Е и ком-
компонент В друг с другом четны по времени t = t\ — i<i (как и
должно быть для корреляции между величинами, которые обе
четны или обе нечетны по отношению к обращению времени).
Функция же временной корреляции компонент Е с компонента-
компонентами В нечетна по времени (как и должно быть для двух величин,
из которых одна четна, а другая нечетна относительно обраще-
обращения времени). Отсюда следует, что значения Е и В в одинако-
одинаковый момент времени не коррелированы друг с другом (нечетная
функция t обращается в нуль при t = 0). Вместе с корреляцион-
корреляционной функцией обращаются в нуль также и средние значения от
любых билинейных по (взятым в одинаковый момент времени)
Е и В выражений, например, от вектора Пойнтинга. Последнее
обстоятельство, впрочем, заранее очевидно: в теле находящемся
в тепловом равновесии и инвариантном относительно обращения
времени, не может быть внутренних макроскопических потоков
энергии.
§ 77. Электромагнитные флуктуации в неограниченной среде
В однородной неограниченной среде функции Z?^(o;; ri, Г2)
зависят только от разности г = Г2 — ri, причем четны по этой пе-
переменной (уравнение G5.15) содержит только вторые производные
1) Теория электромагнитных флуктуации была развита в другой форме
С. М. Рытовым A953), а в форме, эквивалентной G6.2)-G6.5), — М. Л. Ле-
Левиным и СМ. Рытовым A967).

77 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	415
по координатам, и потому Z?^(o;; r) и Z?^(o;; —r) удовлетворяют
одному и тому же уравнению). Взяв фурье-компоненты по г от
обеих сторон равенства G6.2), получим
(AW42)U = ^ cth ^ {Dfk{u, k) - [Dg(w> к)]*}. G7.1)
Для немагнитоактивных сред, с учетом G5.12), эта формула за-
записывается в виде
«42)	^(c, к).	G7.2)
В изотропной немагнитной (// = 1) среде функция D^iuo, к)
дается формулой G5.20). Задача же об определении простран-
пространственной корреляционной функции флуктуации сводится к вы-
вычислению интеграла
Dg{u; г) = JDiic, k)e*kr 0.	G7.3)
Интегрирование осуществляется формулами
e*kr d3k е^
/с2 + х2 Bтг)з " 47ГГ '
+ х2 BтгK	^Жг^ж*. 4тгг '
из которых первая получается путем взятия компонент Фурье
от известного равенства
(А-х2) — = -4тг5(г),	G7.5)
г
а вторая получается дифференцированием первой. В результате
найдем
DfKco; г) = -П кк + 4^4-1 ~ ехР (--V^r) , G7.6)
|	0J2? ОХдХ] Г	\ С	/
Г
где г = |r"i — г*215 а корень у/—е долж:ен быть взят с таким знаком,
чтобы было Re \/—s > 0; для пустоты надо положить ? = 1,
л/^е = —г (см. ниже).
Отсюда, согласно G6.6) и G6.3), сразу находим
G7.7)

416
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
{СМ. Рытое, 1953). Свернув это выражение по индексам г, к
(и воспользовавшись формулой G7.5)), получим
g Im {i |j? exp (—V
+2*6 (т)\ } .
G7.8)
Аналогичным образом, вычисление по формуле G6.4) приводит
к выражениям для корреляционных функций магнитного поля,
отличающихся от G7.7), G7.8) отсутствием множителя 1/е перед
квадратной скобкой; при этом член с ^-функцией под знаком Im
в G7.8) становится вещественным и выпадает из ответа. Связь
выражений G7.7), G7.8) с мнимой частью е ясно подчеркивает
связь электромагнитных флуктуации с поглощением в среде. Но
если произвести переход к пределу Ir±i? —»> 0 в формулах G7.7),
G7.8), мы получим конечные, отличные от нуля выражения. Это
обстоятельство связано с порядком перехода к двум пределам —
бесконечным размерам среды и равной нулю Ir±i?. Поскольку в
бесконечной среде уже сколь угодно малое Im e приводит в конце
концов к поглощению, то при использованном нами порядке пе-
перехода к пределам получающийся результат относится к физиче-
физически прозрачной среде, в которой, как и во всякой реальной среде,
сколько-нибудь отличное от нуля поглощение все же имеется.
Произведем, например, указанный переход в формуле G7.8).
Для этого замечаем, что при малом положительном Ir±i?
(при си > 0)
— ? ~ — W Re ? 1 + г
V	2Ree/
(с учетом требования Re \/—? > 0). Поэтому в пределе Ir±i? —»> 0
получим
(Е«ЕB))Ш = -(Н^Н^ = — sin ^ cth ^, G7.9)
п2	с2г	с	2Т
где п = лУ~ё — вещественный показатель преломления. Ввиду от-
отсутствия члена с ^-функцией это выражение остается конечным
и при совпадающих точках ri и Г2:
^	^ cth ^.	G7.10)
2Т	V	J
cth
с3	2Т
Предельный переход к случаю прозрачной среды можно было
бы произвести и на более ранней стадии вычислений — в гринов-
ской функции. Учтя, что знак Iuis(lu) совпадает со знаком c<j,

§ 77 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	417
найдем, что в этом пределе функция G5.20) принимает вид
-nR( лл	4?г^	\х с2кгкк]	/7711ч
DikW k) =	—	.	 дг/с - —^-Н	G7.11)
oj2n2/c2 — к2 + гО • signer [	cj2n2 J
(М. if. Рязанов, 1957). Мнимая часть этой функции связана толь-
только с правилом обхода полюсов ио = ±ск/щ отделив ее с помощью
формулы (8.11) и подставив в G7.2), получим
^.G7.12)
Аргументы ^-функции в этом выражении имеют простой физи-
физический смысл: они показывают, что флуктуации поля с заданным
значением к распространяются в пространстве со скоростью с/п,
совпадающей со скоростью распространения электромагнитных
волн в данной среде. Фурье-обращением выражения G7.12) мож-
можно, разумеется, снова получить G7.7).
Энергия флуктуационного электромагнитного поля в прозрач-
прозрачной среде /i=lB спектральном интервале duo дается (в единице
объема пространства) выражением
8тг L	duo	-I 2тг
(см. VIII, § 80)х). Подставив сюда G7.10), получим после просто-
простого преобразования
^ _^_1 ^! d-^l duj.	G7.13)
Первый член в скобках связан с нулевыми колебаниями поля.
Второй же член дает энергию термодинамически равновесного
электромагнитного излучения в прозрачной среде, т. е. энергию
черного излучения. Эту часть формулы можно было бы полу-
получить и без рассмотрения флуктуации, путем соответствующего
обобщения формулы Планка для черного излучения в пустоте.
1) Полная энергия получается интегрированием по du от 0 до оо; множи-
множители же 2 в квадратных скобках связаны с тем, что по принятому нами
определению спектральных функций флуктуации среднее значение (х2) по-
получается интегрированием (х2)ш по duo/2тг от —оо до оо (см. V, A22.6).
14 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

418
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
Согласно последней, энергия черного излучения (в единице объ-
объема) в интервале волновых векторов d?k дается формулой
Пш 2d3k
(множитель 2 учитывает два направления поляризации). Соот-
Соответственно для получения спектральной плотности энергии надо
заменить d?k на 4nk^dk и подставить к = ио/с. Для перехода же
от пустоты к прозрачной среде достаточно положить к = пои/с,
т. е. написать
,2 л 7 2 dk 7	ио2п2 dinuo) j
к dk = к — duo =	-—-dcu,
doj	c3 doj
что и дает требуемый результат.
3 адачи
1. Найти флуктуации электромагнитного поля вдали от тела, погружен-
погруженного в прозрачную разреженную среду, с которой оно находится в тепловом
равновесии; длина волны излучения и расстояние от тела к точке наблю-
наблюдения велики по сравнению с размерами тела. Тело обладает анизотропной
электрической поляризуемостью а^/До;).
Решение. Разреженную прозрачную среду рассматриваем как вакуум.
Искомые флуктуации определяются малым (на больших расстояниях) из-
изменением вакуумной функции Грина, вызванным присутствием тела. Для
вычисления этого изменения исходим из аналогии, согласно которой ваку-
вакуумную функцию Dfk(uj; r, г7) (при заданном индексе к) можно формально
рассматривать как электрическое поле Е{(т, г7), создаваемое в точке г неко-
некоторым источником, находящимся в точке г7. Эта аналогия основана на том,
что поле Ei(r, г7) (как и его потенциал А»(г, г7)) удовлетворяет при г ф г'
такому же уравнению, как и функция Dfk(uj; r, г') — уравнение G5.16) с
г = 1. Пусть тело находится в точке г = 0. Поле
Е,@, г') = 2?2(ы;0, г') = I?g(W; r')
(где Dfl(oj] r) — гриновская функция в пустоте в отсутствие тела, давае-
даваемая выражением G7.6) с е = 1) поляризует тело, создавая тем самым в
точке г = 0 дипольный момент di = auDfl(uj; 0, г7). Поле же, создавае-
создаваемое, в свою очередь, этим дипольным моментом в точке г, и дает искомое
изменение 8Dfk{uj\ r, г7). Согласно известной из электродинамики формуле
(см. II, § 72), поле, создаваемое в точке г находящимся в точке г = 0 диполь-
дипольным моментом d (зависящим от времени как e~lU}t), есть
СГ	OXiOXi J	Г
причем расстояние г должно быть большим только по сравнению с размером

§ 77 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	419
тела, но не с длиной волны; это выражение можно представить в виде
2
Не2
(напомним, что функция D^(lj] г) четна по переменной г). С написанным
выше дипольным моментом находим, следовательно,
6D?k(Lj; г, г') = -^-dS(lj; r)alrnD*k(w, r').
Не2
Искомые корреляционные функции флуктуации даются теперь общими фор-
формулами G6.3)-G6.6) с 8Dfk вместо Dfk. Окончательно получаем
1m[D$(u>; п) a,mD^,(u; г2)]. A)
Напомним, что тело находится в точке г = 0, a i*i и г 2 — две точки вдали от
тела. Отметим, что вклад во флуктуации возникает не только от мнимой, но
и от вещественной части поляризуемости; последний можно рассматривать
как результат рассеяния на теле черного излучения, заполняющего прозрач-
прозрачную среду.
2. То же для тела с магнитной поляризуемостью щк(оиI).
Решение. В этом случае рассматриваем rotuDfl^uj] r, г') как магнит-
магнитное поле Hi(r, г'), создаваемое в точке г источником, находящимся в точке г'
(уравнение того же вида, что и для функции D^, удовлетворяет не не са-
само поле Hi, а его потенциал Ai). Это поле намагничивает тело, создавая в
точке г = 0 магнитный момент
пи = -аи rotim2}?fc(w; 0, г')
(дифференцирование по г заменено дифференцированием по г' с учетом
того, что D^k зависит только от разности г — г7). Искомое же изменение
гриновской функции совпадает с векторным потенциалом магнитного поля,
создаваемого этим магнитным моментом в точке г:
(см. II, § 72, задача 1). Таким образом,
6D?k(u>; г, г7) = - (toUi^—— j alrnrot'mnD*k(u\ 0, г').
Наконец, подставив D^k из G7.6), находим
/ eiujr /с\	eiu}r' /с
8Dik(u; г, г') = hi rotu	 aim rot'mk		B)
\	г J	rr
(использовано, что rotmnVn = emfcnVfcVn = 0).
1) Наличие магнитной поляризуемости не обязательно означает, что тело
состоит из магнитного материала. Так, речь может идти о вытеснении маг-
магнитного поля из тела за счет скин-эффекта.
14*

420
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
3. Определить флуктуации электромагнитного поля в условиях зада-
задачи 1, считая, однако, что температура среды много ниже температуры тела.
Решение. Вычисленное в задаче 1 поле естественно делится, в соответ-
соответствии с наличием двух членов в фигурной скобке в A), на нулевые флук-
флуктуации и тепловое черное излучение. Последнее, в свою очередь, состоит
из двух частей — теплового излучения самого тела и поля, возникшего при
рассеянии черного излучения среды на теле. Если температура среды низка,
вторая часть отсутствует. Для решения задачи мы вычислим ее отдельно, а
затем вычтем из A). Положим А(г) = А^ + А^, где А^ — флуктуаци-
онное поле в отсутствие тела, а А^ — поле, рассеянное телом. На больших
расстояниях, где А^ мало, можно при вычислении 5(АцАк2)ш пренебречь
членами квадратичными по А^. Для вклада от рассеяния имеем поэтому
Рассеянное поле снова дается формулой из II, § 72, но теперь под диполь-
ным моментом надо понимать просто момент, индуцированный черным из-
излучением: di = OLikAk @). Введя опять гриновскую функцию в вакууме в
отсутствие тела, имеем
Корреляционную функцию (А^\А)^)ш берем снова из G6.2). При этом, по-
поскольку нас интересует только тепловое излучение, надо опустить в этой
формуле нулевые колебания, т. е. заменить
1 , Пш	1	1	1
- cth — = ———	1	>
2 2Т еПш/Т - 1 2 еПш/т - 1
В результате находим для вклада рассеянного черного излучения в корре-
корреляционную функцию
2	^(a;; r2)+
(cj;r1)]. C)
Окончательно, чтобы найти флуктуационное поле в холодной среде, надо
вычесть C) из A). После простых преобразований с использованием сим-
симметрии тензоров Dik и otik получим
д(Т\АаАк2)ш =	2	D5(u,; n)[ImoJm(w)]?>S;(w; r2) D)
Нс2(еПш/т — 1)
(Т — температура тела). Здесь выписан лишь тепловой член; член с нулевы-
нулевыми колебаниями в A) остается без изменений. Обратим внимание на то, что
выражение D), определяющее тепловое излучение тела, зависит от мнимой
части поляризуемости. Поток энергии, вычисленный по выражению D), уже
не равен нулю, а дает интенсивность теплового излучения нагретого тела в
окружающую холодную среду.

§ 78	ФЛУКТУАЦИИ ТОКА В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ	421
§ 78. Флуктуации тока в линейных цепях
Еще одно интересное применение флуктуационно-диссипаци-
онной теоремы представляет вопрос о флуктуациях тока в
линейных цепях, впервые рассмотренный Найквистом (Н. Ny-
quist, 1928).
Флуктуации тока представляют собой свободные (т. е. про-
происходящие в отсутствие приложенной извне электродвижущей
силы) электрические колебания в проводнике. В линейной за-
замкнутой цепи наибольший интерес представляют, естественно, те
колебания, при которых возникает текущий вдоль провода пол-
полный ток J. Ниже мы предполагаем выполненным условие ква-
квазистационарности — размеры цепи малы по сравнению с длиной
волны Л ~ с/ио. Тогда полный ток J одинаков во всех участках
цепи и является функцией лишь от времени.
Выберем этот ток J в качестве величины ж(?), фигуриру-
фигурирующей в общей формулировке флуктуационно-диссипационной
теоремы в V, § 124. Для того чтобы выяснить смысл соответ-
соответствующей обобщенной восприимчивости ск, предположим, что в
цепи действует внешняя электродвижущая сила ?. Тогда дисси-
диссипация энергии в цепи Q=J?. Сравнив с выражением Q=—xf,
служащим определением «силы» / (см. V, A23.10), мы видим,
что f=—? или для фурье-компонент ?UJ=iuofUJ. С другой
стороны, ток и ЭДС в линейной цепи связаны соотношением
?UJ=Z(uo) Ju, где Z(uo) — комплексное сопротивление (импеданс)
цепи. Поэтому имеем
и, сравнив с определением обобщенной восприимчивости в со-
соотношении (х)ш = а (о;)/, находим а(ио) = iuo/Z(uo). Ее мнимая
часть:
где R = ReZ.
Согласно флуктуационно-диссипационной теореме,
(ж2)^ = Н cth — • Ima(w),
л.
находим теперь для спектральной функции флуктуации тока
(j2) = _^ тш) cth —.	G8.1)

422
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
Эту формулу можно представить в другом виде, описывая флук-
флуктуации тока как результат действия «случайной» ЭДС ?ш = ZJU.
Для нее имеем
(S2)u = fiwR(u>)cth—.	G8.2)
В классическом случае (Нои <^Т)
\	).	G8.3)
Подчеркнем лишний раз, что эти формулы совершенно не
зависят от природы явлений, ответственных за дисперсию со-
сопротивления цепи.
§ 79. Температурная функция Грина фотона в среде
Температурная функция Грина фотона в среде строится по
мацубаровским операторам потенциалов электромагнитного по-
поля подобно тому, как временная функция Грина G5.2) строится
из гейзенберговских операторов:
Vik = -(TrAfin, n)^ (n, г2)>.	G9.1)
Здесь учтено, что в силу эрмитовости шредингеровских опера-
операторов поля мацубаровские операторы Ам и Ам (определенные
согласно C7.1)) совпадают друг с другом. Эти операторы, од-
однако (в отличие от гейзенберговских), сами уже не эрмитовы;
ввиду вещественности параметра т имеем
[ км{т, г) ]+ = [ет5'/«А(г)е-т5'/«]+ = е-гЯ'/«А(г)егЯ'/й
ИЛИ
[Ам(т,г)]+ = Ам(-т,г).
Поскольку функция G9.1) зависит только от разности
т = т\ — Т2 (ср. §37), то можно написать (положив, например,
т>0)
Vik(r; п, г2) = -<ЛМ(т; rJAJf @, г2)),
ад-т; гь г2) = -{Af(r- г2)Дм@, п)>.
Из сравнения этих двух выражений видно, что
Vik(-r; гь г2) = 2?ы(т; г2, п).	G9.2)

79	ТЕМПЕРАТУРНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА ФОТОНА В СРЕДЕ	423
Функция T>ik может быть разложена в ряд Фурье по пере-
переменной т:
Х\*(т; п, г2) = Г Е Х\*(&; гь г2)е-*'т,	G9.3)
s=—оо
причем «частоты» ?5 пробегают (ввиду статистики Бозе, кото-
которой подчиняются фотоны) значения H(s = 2nsT (ср. C7.8)). Для
компонент этого разложения из G9.2) следует аналогичное соот-
соотношение	^ />	Ч ^ / >	Ч	/^Л .4
2?(С гь г2) = Vki(-Cs] гь г2).	G9.4)
Согласно общему соотногпению C7.12) эти компоненты свя-
связаны с запаздывающей функцией Грина равенством
Vik(C; ri, г2) = Dg(i(s; г2, ri)
при положительных ?5- В §75 было показано, что функции
D^iuj] ri, г2) можно в известном смысле рассматривать как
обобщенные восприимчивости, фигурирующие в общей теории
отклика макроскопической системы на внешнее воздействие.
Отсюда следовало свойство симметрии этих функций, выражае-
выражаемое (для немагнитоактивных сред) равенством G5.12), а ввиду
связи между функциями D^ и Х^/с таким же свойством обладают
и последние:
Vik(Cs] гь г2) = VkiiCsl г2, ri).	G9.5)
Из этого равенства, вместе с равенством G9.4), следует теперь,
что функции *Dik{Cs'i rii r2) четны по дискретной переменной ?5,
так что при всех (полож:ительных и отрицательных) ее значениях
имеем
Vik(Cs\ гь г2) = Dg(i |Ce|; гь г2).	G9.6)
Далее, функция D^{u)\ ri, г2), как и всякая обобщенная вос-
восприимчивость, вещественна на верхней мнимой полуоси ио
(см. V, § 123); из G9.6) следует поэтому, что функция I^/c(Cs; ГЪ Г2)
вещественна при всех значениях ?5. Наконец, из этих свойств
следует, в свою очередь, что и исходная функция Т>^{т\ гх,г2)
вещественна и четна по переменной т:
Vik(r] гь г2) = Vik(-T] гь г2).	G9.7)
Связь G9.6) меж:ду температурной и запаздывающей функ-
функциями Грина позволяет сразу написать дифференциальное
уравнение, которому должна удовлетворять функция Т){к в неод-
неоднородной среде; для этого достаточно произвести замену ио —»> г \C)S\

424
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
в уравнении G5.15) или G5.16). Так, для изотропной немагнито-
активной среды с \i = 1 находим уравнение
= -47rH5ik5(r-r'). G9.8)
Для однородной неограниченной среды функция 2^д.(?5; г, г')
разлагается в интеграл Фурье по разности г — г'. Компоненты
этого разложения удовлетворяют системе алгебраических урав-
уравнений
^ [fcfc, - 6цк2 - 6a?e(i |?|)] Vlk((s; k) = Sik	G9.9)
и даются формулой1)
v*&>к) = ~,2
Поскольку функция Dik(?s; k) выражается (в длинноволно-
длинноволновой области ка ^С 1) через е(о;), то диаграммная техника для ее
вычисления становится тем самым техникой для вычисления ди-
диэлектрической проницаемости среды. При этом последняя име-
имеет также и определенный диаграммный смысл, который будет
сейчас выяснен.
Будем изображать точную Х>-функцию жирной, а функцию
) в вакууме — тонкой штриховой линией по правилу2)
	= -Vik,	=-V$.	G9.11)
Вся совокупность диаграмм, изображающих Х>-функцию, может
быть изображена рядом (вполне аналогичным ряду A4.3) для
функции G):
	=---+- - О - - + - - О - О --+... , G9.12)
где кружок изображает совокупность диаграммных блоков,
не распадающихся на две части, связанные только одной штри-
штриховой линией; обозначим эту совокупность через —/
1)В реальных применениях (ср. §80) функция Т)^ всегда фигурирует в
произведении с (^; поэтому расходимость при Cs=O фактически устраняется.
2) Использование штриховой линии для обозначения D-функций не может
вызвать здесь недоразумений, так как в этом и следующем параграфах не
будет фигурировать в явном виде энергия парного взаимодействия частиц
среды (для которой ранее использовалось это обозначение).

79	ТЕМПЕРАТУРНАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА ФОТОНА В СРЕДЕ	425
Функцию Vik (аналогичную собственно-энергетической части
гриновской функции частиц) называют поляризационным
оператором.
Диаграммное равенство G9.12) эквивалентно уравнению
	=	+ - - -О		G9.13)
(ср. переход от A4.3) к A4.4)). В аналитическом виде оно дает
G9.14)
(все множители — функции одинаковых аргументов ?5, к). Умно-
Умножив это равенство справа на обратный тензор V~x и слева —
на Х^0), перепишем его в виде
Щ1 = *40Ь1 - ^-	G9-15)
Наконец, взяв V^~k из левой стороны уравнения G9.9) и такое же
выражение с е = 1 для V\^ , найдем
Г*(С; k) = -|L [е(г \С„\) - 1] Sik,	G9.16)
чем и определяется диаграммный смысл функции е(ш) — 1 в дис-
дискретном множестве точек на верхней мнимой полуоси ш. Анали-
Аналитическое продолжение функции ?(г|?5|) на всю верхнюю
полуплоскость должно, в принципе, производиться с учетом
того, что е(ш) не должна иметь особенностей в этой полуплос-
полуплоскости и что е(ио) —)> 1 при \ио\ —)> ос 1).
В неоднородной среде поляризационный оператор является
(как и V^) фУнкЦиеи координат двух точек. Повторив весь вы-
вывод в координатном представлении, получим вместо G9.14)
уравнение
r2) =
= ^(гь г2) + ±-
1) Для анизотропной среды надо писать
Vih(C; k) = (Bs/hc2)[eik(i |С|) - Sik].
Отметим, что в таком виде это выражение остается справедливым и при на-
наличии пространственной дисперсии, когда Sik зависит не только от частоты,
но и от волнового вектора.

426
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
(аргументы ?5 для краткости не выписываем). Подействовав на
это равенство слева оператором
и учтя, что D^ ' удовлетворяет уравнению G9.8) с е = 1, получим
Vu(tu r2)Vlk(rf, r2)dV = [e(ri) - l]^Vik(ru r2),
откуда
Vik((s; rb r2) = ^5ik5(v1-v2)[e{i\Q, n) - 1]. G9.17)
Структура конденсированной среды, а с нею и ее диэлектри-
диэлектрические свойства определяются силами, действующими между ее
частицами на расстояниях порядка атомных размеров а. На этих
расстояниях можно (при нерелятивистских скоростях частиц)
пренебречь запаздыванием взаимодействий, которое становится
существенным лишь для длинноволновых (в смысле Ь < 1)
компонент поля; другими словами, при вычислении поляриза-
поляризационного оператора можно пренебречь длинноволновой частью
поля. В диаграммах же для самой гриновской функции Т>{к длин-
длинноволновое поле фигурирует лишь через тонкие штриховые ли-
линии в правой стороне G9.12).
Рассмотренный в этом параграфе трехмерный тензор V{k яв-
является, конечно, лишь пространственной частью поляризацион-
поляризационного 4-тензора V^. Подчеркнем, во избежание недоразумений,
что его временная Роо и смешанные Voi компоненты отнюдь не
равны нулю. Более того, как и в квантовой электродинамике,
этот 4-тензор вообще не зависит от калибровки потенциалов.
В нерелятивистской теории эта калибровочная инвариантность
очевидна уже из указанной только что возможности вычисления
поляризационного оператора с учетом одних только незапазды-
вающих сил, не зависящих от калибровки длинноволнового поля.
Компоненты Роо и ^Ог можно найти из условия поперечно-
сти 4-тензора: V^k^ = 0, где к^ = (г?5, к) — волновой 4-вектор:
= -f2[s(i\Cs\)-l],
Пс	G9.18)

§ 80	ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСОВЫХ СИЛ	427
§ 80. Тензор напряжений ван-дер-ваальсовых сил
Хотя структура конденсированных тел в основном опреде-
определяется (как было отмечено в конце предыдущего параграфа)
силами, действующими между его частицами на атомных рас-
расстояниях, определенный вклад в термодинамические величины
тела (скажем, в его свободную энергию) вносят также и так на-
называемые ван-дер-ваалъсовы силы — силы, действующие между
атомами на расстояниях, больших по сравнению с атомными раз-
размерами а. Напомним, что для свободных атомов энергия этого
взаимодействия убывает с расстоянием, — как г~6 (см. III, §89),
а после того, как становятся существенными эффекты запазды-
запаздывания, — как г~7 (см. IV, §85). В конденсированной среде, разу-
разумеется, ван-дер-ваальсовы силы не сводятся к взаимодействию
отдельных пар атомов. В то же время тот факт, что их ради-
радиус действия велик по сравнению с межатомными расстояниями,
позволяет подойти к вопросу об их влиянии на термодинамиче-
термодинамические свойства тел с макроскопической точки зрения.
В макроскопической теории ван-дер-ваальсово взаимодейст-
взаимодействие в материальной среде рассматривается как осуществляющее-
осуществляющееся через длинноволновое электромагнитное поле (Е. М. Лифшиц,
1954); напомним, что это понятие включает в себя не только теп-
тепловые флуктуации, но и нулевые колебания поля. Важное свой-
свойство вклада этого взаимодействия в свободную энергию состоит
в его неаддитивности: он не просто пропорционален объему тел,
а зависит еще и от параметров, характеризующих их форму и
взаимное расположение. Именно эта неаддитивность связанная
с дальнодействующим характером ван-дер-ваальсовых сил, яв-
является тем свойством, которое выделяет их вклад в свободную
энергию от гораздо большей ее аддитивной части. В макроско-
макроскопической картине происхождение этого свойства связано с тем,
что всякое изменение электрических свойств среды в некото-
некоторой области приводит в силу уравнений Максвелла к изменению
флуктуационного поля и вне этой области. Фактически, конеч-
конечно, эффекты неаддитивности оказываются заметными лишь при
достаточно малых (хотя и больших по сравнению с атомными
размерами) характерных размерах: для тонких пленок, для тел,
разделенных узкой щелью, и т. п.
При вычислении вклада электромагнитных флуктуации в сво-
свободную энергию каждый раз существенны длины волн порядка
величины характерных размеров неоднородности среды (толщи-
(толщина пленки, ширина щели и т. п.). Именно это обстоятельство
является в макроскопической теории причиной степенного зако-
закона убывания ван-дер-ваальсовых сил; если бы были существенны
флуктуации с некоторой фиксированной длиной волны Aq , то это

428
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
привело бы к экспоненциальному закону убывания сил с показа-
показателем ~ t/Xq. Далее, поскольку характерные размеры, а с ними
и характерные длины волн флуктуации много больше атомных
размеров, все свойства этих флуктуации и их вклад в свободную
энергию полностью выражаются через комплексную диэлектри-
диэлектрическую проницаемость тел.
Нагла цель будет состоять в вычислении макроскопических
сил, действующих в неоднородной среде1). В качестве предва-
предварительного этапа вывода начнем с определения изменения сво-
свободной энергии среды при малом изменении ее диэлектрической
проницаемости (магнитными свойствами вещества будем прене-
пренебрегать, т. е. магнитная проницаемость \i = 1). Будем считать,
что изменение е вызывается изменением гамильтониана системы
на некоторое малое SH. Тогда изменение свободной энергии
SF= (SH),	(80.1)
где усреднение производится (при заданных температуре и объ-
объеме системы) по распределению Гиббса с невозмущенным га-
гамильтонианом Н. Представим последний в виде2)
Н = Н0 + V^, Удл = -J j A dsx,	(80.2)
где УцЛ описывает взаимодействие частиц с длинноволновым
электромагнитным полем, а в Hq включены все остальные взаи-
взаимодействия вместе с членами, отвечающими свободным частицам
и фотонам (строго говоря, в интеграле в (80.2) должно подра-
подразумеваться обрезание на некотором волновом векторе &о^С1/а;
в окончательный результат, однако, параметр обрезания не
входит). Оператор А — оператор векторного потенциала длин-
длинноволнового поля; существенно, что ответственный за измене-
изменение диэлектрической проницаемости оператор SH не содержитв
себе А, поскольку диэлектрическая проницаемость определяется
лишь взаимодействием частиц на атомных расстояниях.
Перейдем теперь в (80.1) к мацубаровским операторам в пред-
представлении, которое можно назвать «длинноволновым представ-
представлением взаимодействия»: зависимость операторов от т в этом
представлении определяется всеми членами в гамильтониане,
1)	Излагаемая ниже теория принадлежит И. Е. Дзялошинскому и
Л. П. Питаевскому A959).
2)	В этом параграфе полагаем Н = 1, с = 1.

§ 80	ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСОВЫХ СИЛ	429
за исключением лишь УцЛ. Тем же способом, как и при выво-
выводе C8.7), получим
1/Г
SF = J- (Тт5НмаH, Э = Тт ехр Г /JMAM d3z dr, (80.3)
\(т)о	J J
0
где (.. ,)о означает усреднение по распределению Гиббса с га-
гамильтонианом Hq. Согласно смыслу выбранного представления,
мацубаровские операторы определены как
Ам(т, г) = ехр(тЯо) А(г) ехр(-тЯ0)	(80.4)
и аналогично для 5НМ и для -^-операторов, из которых состав-
составляется оператор тока частиц jMl). Поскольку Hq не содержит
взаимодействия длинноволновых фотонов с чем бы то ни было,
то Ам совпадает с оператором (мацубаровским) свободного фо-
фотонного поля; для -^-операторов частиц это, конечно, не так, по-
поскольку Hq включает в себя взаимодействие между частицами.
Следуя общим принципам построения диаграммной техни-
техники, разложим экспоненту в (80.3) по степеням Удл2). При этом
в каждом члене разложения произведение операторов свобод-
свободного поля Ам обычным образом усредняется в виде попарных
сверток согласно теореме Вика. Нулевой член разложения, не
содержащий Ам, дает SFq — изменение свободной энергии без
учета длинноволновых флуктуации. Следующий, линейный по
Ам член обращается в результате усреднения в нуль. В квад-
квадратичном же по полю члене свертка двух операторов (Af^A-jf)
дает V^' — гриновскую функцию свободных фотонов; этот член
можно изобразить диаграммой
«™ = !.(^;	(80.5)
(выделен численный множитель 1/2!, возникающий при разло-
разложении экспоненты). Светлая штриховая кривая обозначает
г) Индекс 0, которым следовало бы снабдить дополнительно операторы в
этом представлении, опускаем во избежание загромождения обозначений.
2) Достаточно проследить за разложением числителя в выражении SF.
Как обычно, роль множителя (а)о в знаменателе сводится к устранению диа-
диаграмм, распадающихся на две или более несвязанных друг с другом частей.

430	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	ГЛ. VIII
^-функцию, а заштрихованный кружок — результат усред-
усреднения всех остальных множителей. Явный вид этой последней
величины мы не будем выписывать; важно лишь, что это есть не
что иное, как SVik/^K, где SVik — изменение поляризационного
оператора при изменении гамильтониана системы на 6Н.
В этом легко убедиться, рассмотрев тем же способом измене-
изменение Х>-функции. В том же представлении операторов эта функ-
функция дается выражением
Vikin, ri; т2, г2) = --Д- (тДм(ть ri)lf (т2, г2MH,
где теперь
1/Г
о
— во «взаимодействие» включается не только УцЛ, но и SH. Иско-
Искомое изменение ST>i^ дается линейным членом разложения этого
выражения по степеням SH :
5Vik	([	/
W)o \ J	J	/o
(80.6)
При разложении оставшейся экспоненты по степеням УцЛ
нулевой член должен быть отброшен: ему отвечает несвязанная
диаграмма (свертка (A^Aff) отделяется от других множителей,
не содержащих переменных ri, r2). Член первого порядка со-
содержит нечетное число Л-операторов и обращается в нуль при
усреднении. Наконец, член второго порядка дает в 6T>ik выраже-
выражение, изображающееся диаграммой
Щ1] =---&---	(80.7)
с тем же кружком, что и в (80.5) (множитель 1/2 в этом слу-
случае устраняется за счет двух способов свертки «внутренних»
Л-операторов, происходящих из операторов УцЛ, с «внеш-
«внешними» А^ и Ajf). С другой стороны, по определению поляри-
поляризационного оператора, гриновская функция в рассматриваемом
приближении изображается суммой
Т>гк =	+	О	>

§ 80	ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСОВЫХ СИЛ	431
где светлый кружок — поляризационный оператор Рг/с/4тг. Ва-
Вариация же этой функции дает, следовательно, диаграмму (80.7)
с SVik/^K в качестве заштрихованного кружка.
Все дальнейшие члены разложения в (80.3) представляют со-
собой поправки различных порядков к штриховой линии и к круж-
кружку на диаграмме (80.5). Эти поправки превращают штриховую
линию в точную функцию T>ik. Длинноволновые же поправки к
bVih-> как Уже говорилось, малы, так что под bVih сразу можно
понимать вариацию точного поляризационного оператора.
В аналитическом виде этот результат записывается (после
перехода к фурье-разложению по переменной т) как1)
6F=6F0-1- Y, T VikiCs^^-
s=-oo J
(80.8)
Согласно G9.17) изменение поляризационного оператора вы-
выражается (для изотропной среды) через изменение диэлектриче-
диэлектрической проницаемости:
SVki(Csl ri, г2) = CshiS(r1-r2)Ss(i\Csl ri);
наличие здесь ^-функции устраняет одно из интегрирований
в (80.8). Учитывая также четность функции Х^/с по См перепи-
перепишем (80.8) в виде
6F
= 6F0 - f Y! [ СзЫСз] г, г) 6е(г |С|, г) dsx, (80.9)
где суммирование производится только по положительным зна-
значениям 5; штрих у знака суммы означает, что нулевой член дол-
должен быть взят с множителем 1/2 (этот член имеет конечное зна-
значение: множитель (s устраняет расходимость в Т>ц при С = 0).
Для записи дальнейших формул будет удобно ввести помимо
функции T>ik еще две другие функции:
Vg((s; г, г') = -С'ЗДС*; г, г'),
VfliC; г, г') = rot« iot'kmVim(Cs; r, r'),
x)Mbi не даем общего правила определения знака диаграмм типа (80.5)
(диаграммы без свободных концов). В данном случае его легко установить,
записав в явном виде соответствующие члены разложений в (80.3) и (80.6).
Достаточно, впрочем, заметить, что этот член в (80.3) содержит одну сверт-
свертку пары Л-операторов, а в (80.6) — две пары; поскольку свертка одной пары
дает —T>ik, то диаграммы (80.5) и (80.7) имеют противоположные знаки, что
и приводит к знаку минус в (80.8).

432
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
построенные по аналогии с выражениями G6.3), G6.4). Тогда SF
запишется окончательно в виде
6F = SF0 + ^- Y! [vfiiCsi r, r) 6e(i \U г) dsx. (80.11)
Используем теперь формулу (80.11) для определения сил, дей-
действующих в неоднородной среде. Изотропия среды уже была
предположена; будем считать теперь ее также и жидкой, так что
изменение состояния в каждой ее точке (при заданной темпера-
температуре) может быть связано лишь с изменением плотности р.
Представим себе, что среда подвергнута изотермической ма-
малой деформации с вектором смещения и(г). Соответствующее
изменение ее свободной энергии есть
SF = - ffudsx,	(80.12)
где f — объемная плотность действующих на среду сил. С дру-
другой стороны, это же изменение можно определить из (80.11), вы-
выразив через тот же вектор смещения вариации SFq и 6s. Пусть
Ро(р, Т) — давление без учета ван-дер-ваальсовых поправок при
заданных значениях р и Г: соответствующая плотность объем-
объемных сил есть fo = — VPq5 так что
= f
SF0
Далее, изменение плотности связано с вектором смещения урав-
уравнением непрерывности 5р = —div(pu). Поэтому изменение ди-
диэлектрической проницаемости
6 s = — So = —— <
dp	dp
Подставив это в (80.11), произведя интегрирование по частям по
всему объему тела и сравнив затем получившееся для 6F выра-
выражение с (80.12), найдем
f = -VP0 - — V'pgrad 2?»(Си г, г')— .	(80.13)
4тг *-~i	I	dp I
Эта формула позволяет, в частности, сразу определить по-
поправку к химическому потенциалу тела. Для этого напишем ус-
условие механического равновесия: f = 0. При этом учтем, что при
постоянной температуре

§ 80	ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСОВЫХ СИЛ	433
где /ло(р, Т) — невозмущенный химический потенциал тела (т —
масса частицы). Тогда получим это условие в виде pV/i = 0, где
, Т) + ^Х>?@; г, г') g.	(80.14)
С другой стороны, условием механического равновесия всякого
неоднородного тела является постоянство вдоль него химическо-
химического потенциала; ясно, что выражение (80.14) и определяет этот
потенциал.
Наиболее полное описание действующих в среде сил осуще-
осуществляется, как известно, так называемым тензором напряжений
сг^/с, связанным с компонентами вектора f соотношениями
h = д-р±.	(80.15)
охк
Для преобразования выражения (80.13) к такому виду пере-
перепишем его сначала в форме
(в целях краткости аргументы ?5 в промежуточных формулах
не выписываем). Первые два члена уже имеют требуемый вид.
Третий же член представим как
--Е'
разделив дифференцирования по первому и второму аргумен-
аргументу функции Х>//(г, г); отождествление г = г' произведем в кон-
конце вычисления. Вычисление производится путем использования
уравнений (см. G9.8))
где
Аи = С^?(г) 5ц + rotirn rotm/ = (^ ф) 5ц + -^^ - 5цА.
В результате получим равенство (при г = г')
Р д <Т)Е - 9 д \гТ)Е U Г)Я1	д Т)Н
15 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

434
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
и окончательно следующее выражение для тензора напряжений:
| \ Sik Ша, )pf ,?(?; г,
s> r)Vg{Cs] r, r) -UikVfiiCs; г, r) + !$(&; г, г)} .
(80.16)
Полученные формулы еще не имеют, однако, прямого фи-
физического смысла. Дело в том, что функция 1^(г, г') стре-
стремится при г' —»> г к бесконечности, как 1/|г — г'| (в чем легко
убедиться с помощью уравнения G9.8)). Эта расходимость
возникает от вклада больших волновых векторов (А; ~ 1/|г — г'|)
и связана лигпь с неприменимостью уравнения G9.8) при к > a.
Это затруднение можно устранить, не вводя явным образом
обрезания на больших к. Для этого заметим, что коротко-
коротковолновые флуктуации не имеют отношения к интересующим
нас эффектам, связанным с неоднородностью среды. Их вклад
в термодинамические величины в каждой данной точке тела
одинаков для однородной среды и для среды неоднородной, но с
тем же значением е(г) в данной точке. Для придания формулам
однозначного смысла, не зависящего в действительности от
характера обрезания, надо поэтому произвести в формулах
соответствующие вычитания. Именно под гриновской функцией
*Dik(Cs] Г5 г) надо понимать предел разности
Пт {VikiC; г, г') - Vik((s; г, г')},	(80.17)
где Vik — гриновская функция вспомогательной однородной нео-
неограниченной среды, диэлектрическая проницаемость которой
совпадает с проницаемостью истинной среды в данной точке г;
этот предел уже не расходится. Во избежание излишнего услож-
усложнения записи формул оставим их в прежнем виде, подразуме-
подразумевая в них под V^ Уже разность (80.17). При этом Ро(р, Т) есть
давление в неограниченной однородной среде при заданных зна-
значениях р и Г.
Как в формулу (80.16), так и в уравнение G9.8), определяю-
определяющее гриновскую функцию T>ik, свойства среды входят только
через s(iC) — диэлектрическую проницаемость как функцию мни-
мнимой частоты. Напомним в этой связи, что эта функция связана
простым соотношением с мнимой частью диэлектрической про-
проницаемости при вещественных частотах:
du	(80.18)

§ 81 МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ	435
(см. VIII, § 82). Можно сказать поэтому, что единственной макро-
макроскопической характеристикой, определяющей ван-дер-ваальсовы
силы в материальной среде, является, в конечном итоге, мнимая
часть ее диэлектрической проницаемости.
Формула (80.16) по виду в точности соответствует известному
из макроскопической электродинамики выражению для максвел-
ловского тензора напряжений в постоянном электромагнитном
поле, причем квадратичные комбинации компонент Е и Н
заменены соответствующими функциями —T^f^ и —Т>^. Этой
аналогии не следует, однако, придавать слишком глубокое зна-
значение: она отнюдь не означает существования для переменного
электромагнитного поля как такового общего выражения для
тензора напряжений в поглощающей среде (содержащего в
качестве характеристики среды лишь ее диэлектрическую прони-
проницаемость). В данном случае мы имеем дело не с произвольным
электромагнитным полем, а с термодинамически равновесным
собственным флуктуационным полем в среде.
§81. Молекулярные силы взаимодействия
между твердыми телами.Общая формула
Применим полученные в предыдущем параграфе общие фор-
формулы к вычислению сил, действующих между твердыми телами,
поверхности которых сближены до очень малых расстояний, удо-
удовлетворяющих лишь одному условию: они должны быть велики
по сравнению с межатомными расстояниями в телах. Именно это
условие позволяет подойти к вопросу с макроскопической точки
зрения, в которой тела рассматриваются как
сплошные среды, а их взаимодействие — как осу- 1 ^ 3 t 2
ществляющееся посредством флуктуационного J J
электромагнитного поля. При этом существен- ^ J J_
ны те флуктуации, длины волн которых порядка J v I х
величины характерных размеров задачи — ши- ч J
рины щели между теламиг).
Будем обозначать индексами 1 и 2 величи-
величины, относящиеся к двум твердым телам, а ин-
индексом 3 — величины, относящиеся к пространству щели между
ними (рис. 17). Щель будем предполагать плоскопараллельной;
ось х направим перпендикулярно ее плоскости (так что поверх-
поверхностями тел 1 и 2 будут плоскости х = 0 и х = /, где / — ширина
щели). Сила F, действующая на единицу площади поверхности,
скажем, тела 2, вычисляется как поток импульса, втекающего
в тело через эту поверхность. Этот поток дается компонентой
Рис. 17.
1) Результаты §81, 82 принадлежат Е.М. Лифшицу A954).
15*

436
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
ахх электромагнитного тензора напряжений в пространстве ще-
щели, взятого при х = I. В пустоте е = 1 и выражение ахх из
(80.16) сводится к1)
F = Охху*) = — / 1^уу\Сп'') I") v Н~ ^zz\Cn] I") v — ^xx\Cn'i *) ')"[¦
(индекс суммирования обозначаем в этом параграфе буквой п).
В силу однородности задачи в направлениях у и z функ-
функции T>ik((n] г, г') зависят только от разностей у — у' и z — zf
(аргументы у—у1 и z — z1 в (81.1) не выписаны); Т>^((^п: q; ж, ж') —
фурье-компоненты по этим переменным. Тогда
; г, г) = [vik((n, q; x, x)-^-.	(81.2)
Для функций T>ik((m q; ж, х1) уравнения G9.8) принимают
вид (ось у направляем вдоль вектора q)
2 - ^j Vzz[x, x') = -4тг6(х - х'),
ои2 - q2 - —- ) Т>уУ(х, х1) + iq—Vxy(x, x1) = -4тг5(х - х1),
dx2 J	ах
LU2Vxy(x, xf) + iq—Vyy(x, xf) = 0,
dx
ou2Vxx(x, x1) + iq—Vyx(x, x1) = -4тг5(х - x1),
dx
где си = (eC^ + q2I/2, a s = ?(i(n), a x' играет роль параметра
(компоненты же Vxz = Vyz = 0, поскольку уравнения для них
оказываются однородными). Решение этой системы сводится к
решению всего двух уравнений
2 - J^) Vzz(x, x') = -4тг6(х - х'),	(81.3)
- ^) Vw{x, х') = ^- 5{х - х'\	(81.4)
) В промежуточных вычислениях полагаем Н = 1, с = 1.

§ 81 МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ	437
после чего Т>ху и Т>хх определяются как
Т>Ху[х, х ) = ——-—-Т>уу[х, х ),
,	л	(81-5)
Vxx(x, х') = -^±Vyx(x, х') ~-J{x- x').
и2 dx	и2
При этом надо учесть, что в силу G9.5) Vyx(r, г') = Т>ху{т\ г),
и поэтому T>yX(q; x, x') = Vxy(-q; x\ х).
Краевые условия, соответствующие непрерывности тангенци-
тангенциальных компонент напряженности электрического и магнитного
полей, сводятся к требованию непрерывности величин	f
, или, что то же, к непрерывности величин
Используя первое из равенств (81.5), получим, что на границе
раздела должны быть непрерывны
2>„, ?l>«, Vw, ^Vyy.	(81.6)
Поскольку мы имеем в виду вычислить тензор напряжений
лишь в области щели, то можно сразу считать, что 0 < х1 < I.
В области 0 < х < I функции Т>уу и Vzz определяются уравнени-
уравнениями (81.3), (81.4) с е=1, cu=cus=(Cn+Q2I/2- в областях 1 (х < 0)
и 2 (х > I) они удовлетворяют тем же уравнениям без правых
частей (поскольку здесь х ф х') соответственно с ?i, uo\ и еъ, ^2
в качестве е, ш.
Необходимое, согласно (80.17), вычитание сводится к тому,
что из всех функций Т>^ в области щели следует вычесть их
значения при е\ = 82 = 1. Вследствие этого, в частности, можно
сразу опустить второй член справа во втором из равенств (81.5),
так что в области щели
Т^ху = ~^~г 'Dyyi Dxx = — — — Vyx.	(81.7)
о;| ax	0J3 ax
Прежде чем приступить к решению уравнений, сделаем еще
одно замечание. Общее решение уравнений (81.3), (81.4) имеет
вид f~(x — х1) + /+(ж + х1). Используя уравнения (81.3), (81.4),
(81.7) и определение функций T>fk и Х>г^, можно показать,
что части гриновских функций, зависящие от суммы х + х\ не
вносят никакого вклада в выражение (81.1) для силы. Мы не
останавливаемся здесь на этом, так как этот результат заранее
очевиден из физических соображений: положив х = х' в решении
вида f~^(x+xf), мы бы получили поток импульса в щели, который

438
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
зависел бы от координаты — в противоречии с законом сохране-
сохранения импульса. В дальнейшем мы будем поэтому приводить в ре-
результате только выражения для частей гриновских функций 2Х^,
не зависящих от х + х1.
Перейдем к нахождению функции T*zz. Она удовлетворяет
уравнениям:
(о d \ ^ / /\ 	 ~	^П
0, х>1,	(81.8)
х - х'), 0<х<1.
Отсюда находим
Vzz = AeUlX, x<0,	Vzz = Be~^x, х > I,
Vzz = С1ешзх + С2е~шзх - JH-e-^x-z1] 0<x<L
UJ — 3
В последнем выражении учтено, что в силу третьего из уравне-
уравнений (81.8) производная dT>zz/dx испытывает при х = х' скачок,
равный 4тг. Определив Л, Б, Ci, C2 (функции х') из граничных
условий непрерывности Vzz и dVzz/dx, получим
XT = i^L chcus(x - х1) - 2JLe-^\x-x'\^ о < ж < /,
где
д _ 1 _
Вычтя значение V~z при lui = U02 = с^з (при этом 1/А = 0), имеем
окончательно
Аналогично, решая уравнение для Т>уу, получим (после вы-
вычитания)
д _ л _

§ 81 МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ТВЕРДЫМИ ТЕЛАМИ	439
и, используя (81.7),
Вычислив теперь функции T>fk и 22^, преобразовав их затем
согласно (81.2) и подставив в (81.1), получим
1Х
п-0 q
Наконец, перейдя к новой переменной интегрирования р, со-
согласно q = CnVР2 ~ 1? и возвратившись к обычным единицам,
мы придем к окончательному выражению для силы F, действую-
действующей на единицу площади каждого из двух тел, разделенных ще-
щелью шириной /:
где
'	'	\ Си = 2тгпТ/Н,
е\, 82 — функции мнимой частоты си = г?п; напомним в этой
связи, что e(iQ — положительная вещественная величина, мо-
монотонно убывающая от своего электростатического значения ?о
при С = 0 до 1 при С = ос1). Положительные значения F со-
соответствуют притяжению тел. Подынтегральное выражение в
каждом из членов суммы в (81.9) положительно и при каж-
каждых заданных ри(п монотонно убывает с ростом /2). Отсюда
х) Формула (81.9) выведена в предположении изотропии обоих тел. Поэто-
Поэтому ее применимость к кристаллам связана с возможностью пренебрежения
анизотропией их диэлектрической проницаемости. Хотя это в большинстве
случаев вполне допустимо, следует иметь в виду, что анизотропия тел приво-
приводит, вообще говоря, еще и к специфическому эффекту — появлению момента
сил, стремящегося повернуть тела друг относительно друга.
2) В этом легко убедиться, заметив, что для s = (е — 1 + р2I'2 (где р ^> 1)
имеют место неравенства ер > s > р при е > 1.

440
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
следует, что F > 0, dF/dl < 0 т. е. тела (разделенные пустой
щелью) притягиваются с силой, монотонно убывающей с увели-
увеличением расстояния.
Общая формула (81.9) очень сложна. Она, однако, может быть
существенно упрощена в связи с тем, что влияние температуры
на силу взаимодействия обычно совершенно несущественно1).
Дело в том, что благодаря наличию экспонент в подынтеграль-
подынтегральных выражениях в (81.9) главную роль в сумме играют лишь те
члены, для которых (п ~ с/1 или п ~ сН/1Т. В случае 1Т/сН <С 1
существенными будут, таким образом, большие значения п и
в (81.9) можно перейти от суммирования к интегрированию по
dn = Ы(/2тгТ. При этом температура исчезает из формулы, и
мы приходим к следующему результату:
ОО ОО	/	1
Г Г I Г / \/ \	1 ~*-
1ЧУ1) = ^^~^\ Р ^ 17	w	ч еХР\	Ч~1\ +
[	\dpd(. (81.10)
_(S1 -pSl)(S2 -PS)	V С /	J J
Согласно сказанному, эта формула применима для расстояний
/ <С сН/Т] уже при комнатных температурах это дает расстоя-
расстояния примерно до 10~4 см. Формула (81.10) допускает дальнейшее
существенное упрощение в двух предельных случаях.
§ 82. Молекулярные силы взаимодействия
между твердыми телами. Предельные случаи
Остановимся сначала на предельном случае «малых» рас-
расстояний, под которыми подразумеваются расстояния, малые по
сравнению с длинами волн До, характерными для спектров по-
поглощения данных тел. Температуры, о которых может идти речь
для конденсированных тел, во всяком случае малы по сравне-
сравнению с играющими здесь роль Ноио (например, в видимой части
спектра), поэтому неравенство а заведомо выполняется.
Благодаря наличию экспоненциального множителя в знаме-
знаменателях подынтегрального выражения при интегрировании по dp
существенна область, в которой pQ/c ~ 1. При этом р ^> 1, и
поэтому при определении главного члена в интеграле можно по-
положить 5i ~ 52 ~ р. В этом приближении первое слагаемое в
г) Говоря о влиянии температуры, мы отвлекаемся от того влияния, кото-
которое связано просто с зависимостью от температуры самой диэлектрической
проницаемости.

§ 82	ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ	441
фигурных скобках в (81.10) обратится в нуль. Второй же член
после введения переменной интегрирования х = 2рA/с даст
сю
ff*
(82.1)
(нижний предел интегрирования по dx заменен в этом же при-
приближении нулемI).
Сила в этом случае оказывается обратно пропорциональной
кубу расстояния, что, впрочем, и следовало ожидать в соответ-
соответствии с обычным законом ван-дер-ваальсовых сил между двумя
атомами (см. ниже примечание на с. 442). Функции s(iQ — 1 мо-
монотонно убывают с увеличением ?, стремясь к нулю. Поэтому
значения ?, начиная с некоторого С ^ Со? перестают вносить су-
существенный вклад в интеграл; условие малости / означает, что
должно быть / <С с/Со-
Покажем, каким образом можно перейти от макроскопиче-
макроскопической формулы (82.1) к взаимодействию отдельных атомов в
пустоте. Для этого предположим формальным образом оба те-
тела достаточно разреженными. С макроскопической точки зрения
это значит, что их диэлектрические проницаемости близки к еди-
единице, т. е. разности е\ — 1 и 82 — 1 малы. Из (82.1) имеем тогда с
должной точностью
F =
сю
П
Г Г х2е~х(е1 - 1)(е2 - l)dxd( =
сю
f[ei(iQ-i\[e2(iQ-i\dC.
64тг2/3
0
сю
- п
~ 32тг2/3
0
1) Интеграл вида
оо
a f х2 dx
2 J aex - 1
о
при изменении а от оо до 1 меняется незначительно: от 1 до 1,2. Практически
с достаточной точностью можно поэтому представить формулу (82.1) в виде
п О1Ч '	I Г / • >\ i I 1 Г / • >\ I I 1 ^"
Величина ш играет роль некоторой характерной для спектров поглощения
обоих тел частоты.

442
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
Выразив s(i() через 1т?(ои) на вещественной оси cj, согласно
(80.18), получим
///
F = —^— / / / ""^"""^^"^J dCdu), doj2 =
гл Л 11 I I I	/9i >O\ / 9 i >9\	J	-L	^
оо
Г Г
J J
16тг3/3 J J	шг +0J2
0
Эта сила соответствует взаимодействию атомов с энергией
U(г) =	^— [[ Im?l(a;i)Im?2(aJ) ског du2,	(82.3)
87Г4П1П2Г6 JJ	LJi + U2
где г — расстояние между атомами; ni, П2 — плотности чисел
атомов в обоих телах1). Эта формула совпадает с известной
квантовомеханической формулой Лондона, получающейся с по-
помощью обычной теории возмущений, примененной к дипольному
взаимодействию двух атомов (см. III, §89, задача). При сравне-
сравнении следует учесть, что мнимая часть е(ш) связана со спектраль-
спектральной плотностью «сил осцилляторов» f(oo) соотношением
(е, m — заряд и масса электрона; см. VIII § 82); силы же осцилля-
осцилляторов известным образом выражаются через квадраты матрич-
матричных элементов дипольного момента атомов (см. III, A49.10)).
Перейдем к обратному случаю «больших» расстояний: / ^ До-
При этом, однако, будем считать, что расстояния все же не столь
велики, чтобы нарушилось неравенство IT/Не ^С 1.
В формуле (81.10) снова вводим новую переменную интегри-
интегрирования х = 2pZ?/c, но в качестве второй переменной оставляем
теперь не ?, ар. Тогда е\ и еъ окажутся функциями аргумента
г? = ixc/2pl. Но благодаря наличию ех в знаменателях подынте-
подынтегрального выражения в интеграле по dx играют роль значения
х rsj l? а поскольку р ^ 1, то аргумент функции е при больших /
близок к нулю во всей существенной области переменных. В со-
соответствии с этим можно заменить ?i, ?2 просто их значениями
1)Если потенциальная энергия взаимодействия атомов 1 и 2 есть U(r) =
=—аг~ , то полная энергия парных взаимодействий всех атомов в двух полу-
полупространствах, разделенных щелью ширины /, равна С/Пол = — атгп1П2/1212.
Сила же есть F = dUuoji/dl = аттхгг^/б/3. В этом и заключается соответ-
соответствие между формулами (82.2) и (82.3).

82
ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ
443
при ? = 0, т. е. электростатическими диэлектрическими постоян-
постоянными ?ю, 820- Таким образом, окончательно
F =
Не
32тг2/4
О 1
dp da, (82.4)
= у ?10 - 1 + P2, 520 = V ^20 - 1 +
Закон убывания силы с расстоянием (как / 4) соответствует в
данном случае закону убывания ван-дер-ваальсовых сил между
двумя атомами с учетом запаз-
запаздывания (см. ниже).
Формула (82.4) сводится к
очень простому выражению в
случае, когда оба тела — ме-
металлы. У металлов функция
e(iQ —> ос при ? —»> 0; поэтому
для них надо считать ?о = ос.
ПОЛОЖИВ ?ю = ?20 — ОС, ПОЛу-
чим
F=
Не
1б7Г2/4
о
х3 dp dx 	 тг2 Не
?(рХ _1)~240 I4
0,8
0,6
0,4
0,2
?>(ео)
К
АД-
дм
дд-
0,4 0,6
Рис. 18.
0,8 1/ео
(82.5)
(Я. В. G. Casimir, 1948). Эта си- 0 0,2
ла вообще не зависит от рода
металлов (свойство, не имею-
имеющее места на малых расстояниях, где сила взаимодействия за-
зависит от поведения функции s(i() при всех значениях С, а не
только при ? = 0).
На рис. 18 представлен график функции <рт(ео), определяю-
определяющий силу притяжения между двумя одинаковыми диэлектри-
диэлектриками (?ю = ?20 = ?о); формула (82.4) представлена в виде
240 I4
ео-1
(82.6)
На том же рисунке дан график функции (рдм(?о), определяющий
силу притяжения для диэлектрика и металла (ею = ?о, ?20 — оо)

444	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	ГЛ. VIII
по формуле1)
'-S5? Sri *-<«•>•	(82-7)
Произведем в (82.4) переход к взаимодействию отдельных
атомов подобно тому, как это было сделано выше для форму-
формулы (82.1). При малых во — 1 имеем
so - Р ~ ?2-—^, s0 - ps0 « (s0 - 1) ( -p + J- j ,
2p	\	2pJ
и интеграл (82.4) принимает вид
F = Sr^°-
откуда
Эта сила соответствует взаимодействию двух атомов с энергией
(82.9)
где ol\, а,2 — статические поляризуемости атомов (во = 1 + 4тгпск).
Формула (82.9) совпадает с результатом расчета по квантовой
электродинамике для притяжения двух атомов на достаточно
больших расстояниях, когда становятся существенными эффек-
эффекты запаздывания (см. IV, § 85).
Наконец, рассмотрим расстояния настолько большие, что име-
имеет место неравенство IT/Не ^С 1, обратное тому, которое требо-
требовалось для возможности пренебрежения влиянием температуры.
В этом случае из всех членов суммы в (81.9) надо сохранить лишь
первый. Однако сразу положить в нем п = 0 нельзя ввиду возни-
возникающей при этом неопределенности (множитель (^ обращается
в нуль, но интеграл по dp расходится). Это затруднение можно
обойти, введя сначала вместо р новую переменную интегриро-
интегрирования х = 2р(п1/с (в результате чего множитель (^ исчезает).
1) При ?о —>• 1 функции (рдд и (рдМ стремятся соответственно к значениям
0,35 и 0,46, отвечающим предельным законам (82.8) и A) в задаче к этому
параграфу. При го —>¦ оо обе функции стремятся к значению 1, отвечающему
формуле (82.5).

§ 83	ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ	445
Положив затем ?п = 0, получим
~	1-1
J. —	I «а^	О	JL
16тг/3 J	L(?io "" 1)(?20 — 1)
о
Таким образом, на достаточно больших расстояниях убывание
силы притяжения замедляется и снова происходит по закону /~3,
но с коэффициентом, зависящим от температуры (все следую-
следующие члены суммы в (81.9) убывают с / экспоненциально). Усло-
Условие IT/Не ^> 1 есть по существу условие классичности (Нои <С Г,
где си rsj с/1). Поэтому естественно, что (82.10) не содержит Н1).
Задача
1. Найти закон взаимодействия атома с металлической стенкой на
«больших» расстояниях.
Решение. Взаимодействие отдельного атома с конденсированным те-
телом можно найти, рассматривая лишь одно из тел (пусть это будет тело 2)
как разреженную среду. Считая ?20 — 1 малым и положив ею = оо, получим
из (82.4)
оо	оо
A)
32тг2/4 ./	./ 2р2	32тг2/4
Если энергия взаимодействия атома со стенкой есть U = —aL~4 (L — рас-
расстояние атома от стенки), то энергия взаимодействия атомов в полупро-
полупространстве, отделенном от стенки щелью /, есть С/Пол = —an/3ls, а сила
F = dUnoji/dl = an/I4. По этому полученному значению F соответствует
притяжение отдельного атома к стенке с энергией
U(L) = -За2Нс/(8пЬ4)	B)
(Н.В. G. Casimir, D. Polder, 1948).
Для взаимодействия атома с диэлектрической стенкой тем же путем
получается результат
ЗНса2 ею — 1
с функцией <^ад, представленной графически на рис. 18. При ею —>¦ 1 она
стремится к значению 23/30 = 0,77, отвечающему формуле (82.8).
1) Полученные в §81,82 формулы могут быть обобщены таким образом,
чтобы включить в себя случай заполненной жидкостью щели между твер-
твердыми телами и случай тонкой жидкой пленки на твердой поверхности;
см. И. Е. Дзялошинский, Е.М. Лифшиц, Л. П. Питаевский // УФН. 1961.
Т. 78. С. 381; Advances in Phys., 1961. V. 10. P. 165.

446
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
§ 83. Асимптотическое поведение корреляционной
функции в жидкости
Длинноволновые электромагнитные флуктуации приводят
также к некоторым специфическим свойствам корреляционной
функции флуктуации плотности в однородной жидкости.
Напомним (см. V, §116), что корреляционная функция ъ>(г)
определяется через среднее значение от произведения флуктуа-
флуктуации плотности числа частиц п в двух точках пространства со-
согласно
(Sn(ri)Sn(r2)) = п5(т) + nv(r), г = гх — Г2.	(83.1)
Корреляционная функция связана со взаимодействием между
частицами, и ее асимптотическое поведение на больших рассто-
расстояниях определяется дальнодействующей, ван-дер-ваальсовой
частью этого взаимодействия. Поэтому ^(г), как и ван-дер-
ваальсовы силы, убывает с расстоянием по степенному закону
(J. Enderby, Т. Gaskell, N. Н. March, 1965).
Это отражается, разумеется, и на свойствах фурье-компонент
корреляционной функции z/(k) = v(k). Если бы между части-
частицами жидкости действовали только силы с радиусом действия
порядка атомных размеров а, то функция и (г) убывала бы
с расстоянием по экспоненциальному закону с показателем
~ г/а1). В терминах фурье-компонент это значит, что v(k) была
бы регулярной функцией от fca, разложимой при Ь <С 1 по
четным степеням ка. Дальнодействующие же силы приводят
к появлению в v(k) члена (обозначим его z/i(fe)), существенно
меняющегося уже в области к ~ 1/Ао (а не fc ~ I/a), где До —
характерные длины волн в спектре жидкости (До ^> а). В области
fca < 1 параметр А:До может быть как малым, так и большим;
функция ъ>\{к) в этой области имеет сингулярный характер.
Для вычисления корреляционной функции воспользуемся ее
связью со второй вариационной производной от свободной энер-
энергии тела по его плотности. По определению, эта производная есть
функция <р(г), фигурирующая в выражении
8F=± f ?>(|ri - г2|) Jrc(ri) 6n(r2) dsXl dsx2	(83.2)
1)Речь идет о жидкости при температурах Т~в (где О~Ни/а — «деба-
евская температура» жидкости) и вдали от критической точки. Вбли-
Вблизи критической точки корреляционный радиус неограниченно растет
(см. V, §152,153). Он растет и при низких температурах, оказываясь
при Т <^ в порядка величины Ни/Т (см. ниже §87).

§ 83	АСИМПТОТИКА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ В ЖИДКОСТИ	447
для изменения свободной энергии, связанного с флуктуациями
плотности (при заданной температуре). Фурье-компонента
(f(k) = (f(k) этой функции связана с искомой функцией v(k)
соотношением	т
4 1	(83.3)
(см. V, A16.14)). Подчеркнем, что эта формула предполагает
классичность флуктуации, для чего требуется Нио <С Г, где ио —
частота колебаний с волновым вектором к. Полагая ио ~ ки
(где и — скорость звука в жидкости), получим условие
Пки < Г,	(83.4)
что соответствует расстояниям г ^> Ни/Т.
«Регулярная» часть функции <р(к), связанная с короткодей-
короткодействующими силами, разложима по степеням к] ограничиваясь
(при Ь < 1) первым членом разложения и обозначив его че-
через 6, пишем
?>(*;) «Ь + ?>1 (А;),	(83.5)
где (fi(k) — интересующая нас «сингулярная» часть функции1).
Ввиду относительной слабости ван-дер-ваальсовых сил (fi(k) ^C 6,
и поэтому результат подстановки (83.5) в (83.3) можно предста-
представить в виде
^1^^(к).	(83.6)
по	по2
Поскольку связь гу(к) с (fi(k) оказывается линейной, то функция
г/(г) на больших расстояниях есть просто
"(r) = ~Vi(r).	(83.7)
Первому же (не зависящему от к) члену в (83.6) отвечает коор-
координатная функция вида const -6(г), связанная с близкодействую-
близкодействующими силами (при пренебрежении их радиусом действия).
1) Постоянная Ъ выражается через термодинамические величины жидко-
жидкости согласно Ь = — I —^ 1 (см. V, § 152).
п \дп / т

448
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
Для определения ip\(r) исходим из формулы (80.11) для ва-
вариации свободной энергии. Написав в ней
?_/•/- \ C'?\?'Cs) с^ /__\	/по о\
OSyl^si Tj = 	=—^ 0П[Г),	[оо.о)
мы видим, что выраж:ение
оо
4:7гНс2 ^-^ s	' '	^п
5=0
представляет собой первую вариационную производную свобод-
свободной энергии по плотности. Для второго дифференцирования на-
надо, в свою очередь, проварьировать это выражение, т. е. найти1)
?с2«ыс,г,г)*ш.	(83.9)
5=0
Сама Х>-функция удовлетворяет уравнению G9.8):
-г/), (83.10)
а его варьирование дает уравнение для вариации Х>-функции:
= -^Se(iC,T)Vik(C,;T,Tf). (83.11)
Решение уравнения (83.11) можно написать сразу, заметив,
что в силу (83.10) «невозмущенная» функция Т>\^ является гри-
новской функцией этого уравнения; поэтому
6Vik(Cs; r, r')=^Jde(iCs, r")Vlk((s; r", r')VH((s; r", r) <Рх"
г) Варьируется только функция Т>ц. Варьирование функции е привело бы
к члену вида const • 8{г) в ip(r), не имеющему отношения к дальнодействую-
щим силам.

§ 83	АСИМПТОТИКА КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ В ЖИДКОСТИ	449
(здесь использовано также, что Т>ц(г, г") = Т*ц(г", г)). Наконец,
подставив сюда (83.8) и затем все вместе в (83.9), получим вто-
вторую вариационную производную
(83Л2)
(г = |п — Г21). Эта формула вместе с (83.7) и дает искомое об-
общее выражение корреляционной функции и (г) при г <С Ни/Т
(М. 77. Кемоклидзе, Л. П. Пигпаевский, 1970).
Предположенное уже ранее условие (83.4) для волновых век-
векторов эквивалентно условию г ^> Ни/Т для расстояний. Если
одновременно с этим условием ограничить область значений г
также и сверху:	^ у> г >>
то в сумме будут существенны большие значения 5, и суммиро-
суммирование по дискретным «частотам» ?5 = 2ttTs/H можно заменить
интегрированием по ds = Hd(/B7rT):
„(г) = =?-[ [f *Щ WL(C; r, r2) f.	(83.14)
nb2Hc4 J L4tt an I	2тг
Функция Х>/ш получается из G7.6) заменой ио —)> г?. Произведя
дифференцирование и возведя в квадрат, получим
(83.15)
Подстановка (83.15) в (83.14) приводит к довольно сложному выра-
выражению, которое, однако, упрощается в двух предельных случаях.
В случае «малых» расстояний (г ^С До, ср. §81) в интеграле
существенна область ? ~ с/Ао; при этом r^/с ^С 1, так что в
(83.15) можно заменить экспоненциальный множитель единицей,
а в скобках сохранить лишь последний член. Тогда найдем
г«Х0. (83.16)
(iQ

450	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	ГЛ. VIII
Фурье-образ этой функциих)
i/(fe) = — Ак3, к\0 < 1.	(83.17)
В обратном случае «больших» расстояний (г ^> Ао в интегра-
интеграле существенна область ? ~ с/г <С c/Xq ~ loq. Поэтому можно
заменить e(iQ ее электростатическим значением ?$ и вынести
(део/дпJ из-под знака интеграла в (83.14). После этого интегри-
интегрирование производится элементарно (причем все члены в (83.15)
дают вклад одинакового порядка величины). В результате полу-
получается
„(г) = ?, В= 2Ш? (gp), r»V	(83.18)
Фурье-образ этой функции
v{k) = -—Вк4\п(кХ0), АгАо<1.	(83.19)
oU
§ 84. Операторное выражение для диэлектрической
проницаемости
В этом параграфе мы получим полезное представление
диэлектрической проницаемости среды через коммутатор опе-
оператора плотности зарядов (Ph. Nozieres,D. Pines, 1958). Эта
формула аналогична формуле Кубо с учетом специфики элек-
электромагнитного поля.
Будем рассматривать однородную среду, обладающую не
только временной, но и пространственной дисперсией диэлек-
диэлектрической проницаемости. Это значит, что индукция D(t, r)
зависит от значений напряженности Е(?, г) не только в предыду-
предыдущие моменты времени, но и в других точках пространства. Такая
1) Непосредственным интегрированием в сферических координатах
в k-пространстве можно получить
/„= lim ' -«*-*• ь" " " - ^' ' 2)sk
Нужный для проверки формулы (83.17) интеграл есть /з- Интеграл же, нуж-
нужный для проверки формулы (83.19) вычисляется как dlu/dv при v = 4.

§84	ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ	451
зависимость может быть представлена в общем виде как
A(t, г) = Ei{t, г) + JJfikir, r')Ek(t - т, г - г') dVdr. (84.1)
о
Для монохроматического поля, в котором Е, Da ехр[г(кг —cut)],
эта связь сводится к
Di=eik(u>,k)Ek,	(84.2)
где
eik(u>, k) = Sik + Ц fik(r, rV("—кг') dV dr.	(84.3)
о
Мы ограничимся случаем, когда среда не только однородна,
но и изотропна и не обладает естественной оптической активно-
активностью. Тогда диэлектрическая проницаемость остается тензором,
но составленным лишь с помощью вектора к. Общий вид такого
тензора
= ег(ш, к) ^ + et(u>, к) (sik - ^) .	(84.4)
eik
Скалярные функции е\ и St называют соответственно продоль-
продольной и поперечной проницаемостями. Если поле Е потенциально,
Е = — V(?, то для плоской волны Е параллельно волновому
вектору (Е = — гк<р) и тогда D = ?/Е. Если же поле солено-
идально (divE = гкЕ = 0), то Е перпендикулярно волновому
вектору, и тогда D = ?$Е.
Напомним (ср. VIII, §103), что при таком описании свойств
среды уже не имеет смысла разделение среднего значения ми-
микроскопической плотности тока ~ру (р — плотность зарядов) на
две части: дР/dt и с rot М, где Р — электрическая поляризация,
а М — намагниченность среды. Другими словами, уравнения
Максвелла записываются в виде
rotE = —	, rotB =
с dt	с dt
без введения (наряду с магнитной индукцией В — средним зна-
значением микроскопической напряженности магнитного поля) еще
и вектора Н. Все члены, возникающие в результате усреднения

452
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
микроскопических токов, предполагаются включенными в опре-
определение D = Е + 4тгР, pv = dP/dt.
Больший интерес в применениях представляет продольная
проницаемость, для которой мы и выведем операторное выра-
выражение. Оно получается путем рассмотрения отклика системы на
стороннее (т. е. созданное сторонними по отношению к системе
источниками) потенциальное электрическое поле Ест = — \7(рСт-
Оператор взаимодействия системы с этим полем записы-
записывается как
9 = Jp(t, r)VcT(t, r)d3x,	(84.5)
где p(t, r) — оператор плотности заряда в системе. Сопоставив
это выражение с общей формулой G5.8) и рассматривая ipCT как
«обобщенную силу» /, сразу находим, согласно формулам G5.9)—
G5.11), для фурье-компонент по времени от средней плотности
зарядов
Перейдя здесь также и к фурье-компонентам по пространству и
учтя, что в силу однородности системы среднее значение комму-
коммутатора зависит только от разности г — г', получим
ршъ = <*(ш,к)<р%\	(84.6)
где
а(ш, к) = -г- Це^~^(p{t, г)р@, 0) - p@, O)p(t, r))d3xdt.
(84.7)
Средняя плотность зарядов связана с вектором поляриза-
поляризации среды соотношением ~р = —divP (см. VIII, §6). Для фурье-
компонент отсюда следует

84	ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ	453
С другой стороны, Ас^ст — ~4тг/9ст, где р(ст) — плотность заря-
зарядов, создающих стороннее поле; индукция же D связана с этой
плотностью уравнением divD = 4тгрст. Из этих двух уравнений
находим
(ст) 4тг (ст) i
Наконец, подставив эти выражения в (84.6), получим искомое
выражение продольной проницаемости
_J-_ = l + ^a(u,k).	(84.8)
Под /?(?, r) в (84.7) следует понимать, строго говоря, оператор
плотности зарядов всех частиц в системе — электронов и ядер.
Обычно, однако, во всем существенном интервале значений ио
и к вклад в проницаемость вносят главным образом электроны;
поэтому под /? можно понимать е(п — тТ), где п — оператор элек-
электронной плотности, an — ее среднее значение.
Формулу (84.7), (84.8) можно преобразовать еще дальше, вы-
выразив ее через матричные элементы фурье-компонент операто-
оператора р. Для этого предварительно переписываем (84.7) в виде
а(ш, к) = -^уе^(/Зк(*)р_к(О) -p_k(O)j3k(t))dt, (84.9)
(V — объем системы). Матричные элементы гейзенберговского
оператора p\z(t) выражаются через матричные элементы шредин-
геровского оператора согласно
(Pk(t))mn = е^*Ытп.
Раскрыв произведение операторов по правилу матричного умно-
умножения и произведя интегрирование согласно C1.21), получим
окончательно
et(u, k)	Hk*V 2-"^Рк'п0 \ ш - ип0 + гО ш + ип0 + гО
(84.10)
где индекс 0 относится к заданному состоянию, для которого
ищется проницаемость.

454	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	ГЛ. VIII
§ 85. Вырожденная плазма
Рассмотрим полностью ионизованную плазму, в которой ио-
ионы образуют классический (больцмановский) газ, а электронная
компонента уже вырождена. Для этого температура должна удо-
удовлетворять условиям
е	(85.1)
(//е, \i{ — химические потенциалы электронов и ионов в плазме;
me, rrii — их массы; п — плотность числа частиц; при оценках
не делаем различия между пе и щ). В то же время будем счи-
считать, что плазма лишь слабо неидеальна. Для этого энергия ку-
лоновского взаимодействия двух частиц на расстоянии / ~ п/3
друг от друга должна быть мала по сравнению с их средней
кинетической энергией е. Для ионов е ~ Г, а для электронов
е ^ [ле ~ n2/sK2/me. Отсюда получаются условия
тее2/П2 < п1/3 < Г/е2.	(85.2)
В V, § 80 было показано, что в этих условиях основным
источником поправок в термодинамических величинах плаз-
плазмы (по сравнению с их значениями для идеального газа)
является обменное взаимодействие электронов; энергия этого
взаимодействия (отнесенная к единице объема плазмы) ока-
оказывается величиной ~ е2п4/3. Корреляционная же поправка
(являющаяся основной в классической плазме) в вырожденной
плазме мала по сравнению с обменной в отношении г/1/2, где
•ц = тее2/ffin1/3 ^C 1. Тем не менее ее вычисление для выро-
вырожденной плазмы представляет методический интерес и дает
поучительную иллюстрацию применения диаграммной техники.
Оператор кулоновского взаимодействия частиц плазмы запи-
записывается в виде
a,b
где индексы а, Ъ нумеруют различные сорта частиц — электро-
электроны и разные сорта ионов; zae — заряд частиц (для электронов

§ 85	ВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА	455
ze = —1). Взяв ^-операторы в мацубаровском представлении,
мы тем самым получим и оператор взаимодействия в этом пред-
представлении. Диаграммная техника для вычисления среднего (по
распределению Гиббса) значения (V) строится затем обычным
образом путем перехода к представлению взаимодействия для
мацубаровских операторов; возникающий в результате ряд теории
возмущений представляет собой разложение (V) по степеням е2.
Выражение (85.3) не содержит «свободных» (по которым не
производилось бы интегрирование) переменных. В диаграммной
технике это обстоятельство выражается тем, что члены ряда
теории возмущений для (V) изображаются диаграммами,
не имеющими свободных концов. Штриховым линиям этих
диаграмм (с 4-импульсами Q = (?5, q)) условимся сопоставлять
множителих)
-v(q) = ~	(85.4)
(не зависящие от ?5), т. е. взятую с обратным знаком фурье-
компоненту потенциала ^(г) поля единичного заряда. Сплош-
Сплошным линиям должен теперь приписываться (наряду с 4-импуль-
сом Р = (?5, р)) еще и индекс а, указывающий сорта частиц, и
каждой такой линии сопоставляется множитель — Уаа.в — взя-
взятая с обратным знаком гриновская функция свободных частиц
а. При этом сплошные линии диаграммы образуют замкнутые
петли, каждая из которых содержит «звенья» с одинаковыми
индексами а. Каждой вершине диаграммы — точке пересечения
штриховой линии со сплошными линиями сорта а — сопоставля-
сопоставляется дополнительно множитель zae. Каждая фермионная петля
вносит дополнительный множитель (—1). Построенные по этим
правилам диаграммы дают члены разложения величины
~(V)-	(85-5)
Множитель V в знаменателе — объем системы; этот множи-
множитель возникает в результате того, что подынтегральное выраже-
выражение в каждом члене ряда зависит только от разностей координат,
и поэтому одно из интегрирований по dsx дает просто объем V.
Знак минус в (85.5) — результат определения штриховых линий
х) Далее в этом параграфе полагаем fi = 1, с = 1 а е обозначает элемен-
элементарный заряд (е > 0).

456
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
по правилу (85.4), т. е. со знаком минус перед ^(q). Множитель
же 2 — результат переноса множителя 1/2 в (85.3) в левую сто-
сторону равенства.
В первом порядке теории возмущений имеются диаграммы
двух видов:
•9
«6
(85.6)
со всеми возможными а и Ъ. Диаграммы вида (85.6а) возни-
возникают от сверток -^-операторов, взятых в одинаковых точках
пространства. Эти диаграммы отвечают прямому кулонову
взаимодействию частиц а и 6, равномерно распределенных в
пространстве: вклады этих диаграмм взаимно сокращаются
(при суммировании по всем парам а, Ъ) ввиду электрической
нейтральности плазмы. Диаграммы же вида (85.66) возникают
от сверток -^-операторов разных аргументов и отвечают обмен-
обменному взаимодействию частиц данного сорта а. Вычисление этой
диаграммы приводит к результатам, полученным уже в V§80.
В следующем порядке возникают диаграммы следующих
видов:
а
\ I
а
г
Ь
Ь :
а ¦
а
д
(85.7)
Диаграммы (85.7а,б) представляют собой поправки к диаграмме
(85.6а) и по той же причине взаимно сокращаются при суммиро-
суммировании по всем а, 6, с. Диаграммы (85.7в-г) представляют собой
малые поправки к энергии обменного взаимодействия и не пред-
представляют здесь интереса.

§ 85	ВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА	457
Диаграмма же (85.7д) оказывается «аномально большой»
ввиду расходимости соответствующего интеграла. Эта расхо-
расходимость возникает в результате того, что импульсы q обеих
штриховых линий в диаграмме одинаковы (как это очевидным
образом следует из сохранения импульса в вершинах). Поэтому
диаграмма содержит интеграл fdsq/q4, расходящийся при ма-
малых q как 1/q.
В следующих приближениях появляются (наряду с диаграм-
диаграммами поправочных типов) также и новые «кольцевые» диаграм-
диаграммы с еще более сильной расходимостью. Так, диаграмма третьего
порядка
к...й
с тремя штриховыми линиями с одинаковыми импульсами q
содержит интеграл / q~® d?q, расходящийся, как д~3. Вообще
кольцевая диаграмма n-го порядка, образованная п сплошны-
сплошными петлями, соединенными п штриховыми линиями, расходится,
как <?-Bп-3).
Суммирование бесконечной последовательности кольцевых
диаграмм приводит, как мы увидим, к эффективному обреза-
обрезанию расходимостей на значениях q порядка малости е; поэтому
все эти диаграммы совместно дают вклад в (V) порядка малости
(е2)п/е2п~3 = е3. Графически этот вклад изобразится суммой (по
сортам частиц) скелетных диаграмм
Е
а,Ъ
а
Ь
(85.8)
где жирная штриховая линия представляет сумму бесконечного
множества линейных диаграмм
Е — <Z>"O-		(85.9)
а,ь,...	а	ь
с различными числами сплошных петель.

458
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
В то время как тонкая штриховая линия изображает по-
потенциал (р кулоновского поля изолированного заряда, толстая
штриховая линия представляет потенциал поля, искаженного
поляризацией окружающей плазмы; обозначим его посредством
Ф. Весь вклад (85.8) и дает, следовательно, искомую корреляци-
корреляционную часть средней энергии взаимодействия в плазме.
Введем обозначение —V^si ч)/4тг для суммы простых сплош-
сплошных петель всех родов частиц и будем обозначать эту величину
графически светлым кружком:
~=Т, <Z> =О .	(85.10)
Отметим, что аргумент ?5 этой функции пробегает «четные» зна-
значения ?5 = 2sttT независимо от статистики, которой подчиняют-
подчиняются частицы а. Действительно, в силу закона сохранения частот
в вершине этот аргумент равен разности частот обеих сплош-
сплошных линий; эта разность «четна» как при «четных», так и при
«нечетных» членах разности.
С обозначением (85.10) сумма (85.8) изобразится одной ске-
скелетной диаграммой:
^И= 1J .	(85.11)
Сама же жирная штриховая линия удовлетворяет диаграммному
уравнению
	=	+	О		(85.12)
(вполне аналогичному уравнениям A4.4) и G9.13)). В аналити-
аналитическом виде это уравнение имеет вид
)> q),
^±7Г
откуда
(85ЛЗ)

§ 85	ВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА	459
На эти формулы полезно взглянуть с несколько иной точки
зрения, чтобы установить связь с диаграммами в § 79. Дело
в том, что кулоново взаимодействие между зарядами можно
рассматривать как результат обмена виртуальными фотонами.
При этом, однако, удобнее использовать не калибровку G5.1),
а так называемую «кулонову» (см. IV, §76), в которой — Dqq
как раз равна фурье-компоненте кулоновского потенциала.
Пространственная же часть D^ в этой калибровке описывает
запаздывание и магнитное взаимодействие, и ею в нереляти-
нерелятивистской плазме можно пренебречь. Поэтому можно считать,
что штриховым линиям на диаграмме (85.11) соответствует
мацубаровская Х>ось а функция V есть не что иное, как компо-
компонента Роо поляризационного оператора. Согласно G9.18) можно,
следовательно, написать V((s, я) — —Q2[?l(i \(s\, я) ~ 1] (легко
видеть, что при наличии пространственной дисперсии в G9.18)
входит именно продольная проницаемость ?/). Подставляя это
выражение в (85.13), находим
q2e(AC\ q)
т. е., как и следовало, фурье-компоненту потенциала единичного
заряда в среде.
Раскрыв по общим правилам мацубаровской техники диа-
диаграмму (85.11), находим
(85.15)
Мы увидим ниже, что основную роль в сумме играет член с s = О,
причем соответствующий интеграл определяется областью ма-
малых q. Поэтому для вычисления (85.15) фактически достаточно
знать предельное значение Р@, q) при q —»> 0. Эту величину
легко определить из простых физических соображений, даже не
прибегая к прямому вычислению по диаграммам (85.10).
При Cs — 0 функция у? @, q) представляет собой фурье-образ
потенциала Ф(г) электростатического поля единичного заряда
в плазме. Невозмущенный потенциал <р(г) удовлетворяет урав-
уравнению Пуассона с ^-функцией в правой части: А(р = — 4тг6(т).
Уравнение же для потенциала Ф, искаженного поляризацией

460
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
плазмы, получается добавлением в правой стороне изменения 5р
плотности зарядов в плазме под влиянием самого поля:
АФ = -4тг[5(г) + 5р].	(85.16)
С другой стороны, при q —> 0 мы имеем дело с полем, медленно
меняющимся вдоль объема плазмы. В таком поле справедливо
термодинамическое условие равновесия
fia + егаФ = const = /^0),	(85.17)
где IIа — химический потенциал частиц сорта a, fia — его значе-
значение в отсутствие поля. Из этого условия находим для изменения
плотности частиц па:
дпа) ту
и затем для изменения плотности заряда:
^) Ф.
a	a	\9fJ-aJT,V
Подставив это выражение в (85.16), получим уравнение
АФ - ^Ф = -4тг<*(г),	(85.18)
где введено обозначение
Из (85.18) видно, что 1/я есть дебаевский радиус экранирования
поля в плазме (ср. V, §78). Наконец, взяв фурье-компоненту от
обеих сторон уравнения (85.18), найдем, что
*(q) = -ттЧ
и сравнение этого выражения с (85.13) дает
-«2.	(85.20)

§ 85	ВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА	461
Производя теперь интегрирование в (85.15) с этим значением V,
находим
^[Jg4	Yl?	(85.21)
Отметим прежде всего, что интеграл оказывается сходящимся на
нижнем пределе и основную роль в нем играют q ~ к. Для невы-
невырожденной ионной компоненты плазмы имеем дщ/д^ = щ/Т, а
для электронов дпе/дце ~ пе///е. Легко видеть, что в силу усло-
условий (85.2) к <С п1/3, а потому и g < п1/3, т. е. 1/q велико по
сравнению с межчастичными расстояниями. Этим оправдывает-
оправдывается использование условия равновесия (85.17). Для оправдания
же пренебрежения всеми членами суммы в (85.15) кроме чле-
члена с s = 0 замечаем, что, согласно (85.14), поляризация плазмы
при отличных от нуля частотах описывается диэлектрической
проницаемостью ?/(c<j, q). Согласно известному асимптотическо-
асимптотическому выражению при больших частотах, Ei(uo) « 1— 4тгпее2/(meou2),
а потому
_ /-I/- i\ л , 4тгпее
(см. VIII, § 78). В силу условий (85.1), (85.2) все отличные от нуля
частоты ?5 = 2sttT <^ (пее2/7тгеI/2, и потому для них можно уже
считать е{г |?5|) = 1, т. е. поляризация плазмы отсутствует и V
мало.
Формула (85.21) выражена через термодинамические пере-
переменные Г, У, \ia. Поэтому термодинамический потенциал Л плаз-
плазмы может быть найден прямым интегрированием равенства
(дп_\	=
\де2)т,УФа е
(см. V, (80.4)). В результате найдем для корреляционной части
Л следующее выражение (обычные единицы):
Р
(А. А. Веденов, 1959). Согласно общей теореме о малых добав-
добавках, эта же формула, выраженная через другие термодинамиче-
термодинамические переменные, дает поправку к другим термодинамическим
потенциалам.

462
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ
Для невырожденной плазмы все производные дпа/дца=па/Т,
и тогда (85.23) переходит в формулу
(\ 3/2
Х>Я]	(85.24)
для поправки к свободной энергии, совпадающую с V, G8.12).
В случае сильного вырождения электронов в плазме (Г <С це)
производная дпе/д/ле ~ пе/це <С пе/Т. В сумме по а в (85.23)
можно тогда вообще пренебречь электронным членом, и мы сно-
снова получаем формулу (85.24) с той лишь разницей, что сумма в
ней берется лишь по сортам ионов в плазме. Таким образом, при
сильном вырождении электроны вообще не влияют на радиус
экранирования и на корреляционную часть термодинамических
величин плазмы.

ГЛАВА IX
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
§ 86. Динамический формфактор жидкости
Рассмотренная в V, § 116 корреляционная функция флуктуа-
флуктуации плотности является частным случаем более общей функции,
связывающей флуктуации плотности не только в различных точ-
точках пространства, но и в различные моменты времени. В класси-
классической теории эта функция определяется как среднее значение
шт(?; п, г2) = (<$n(?i, ri)(Jn(t2, г2)),	(86.1)
где t = t\ —12\ из определения а вынесен множитель п = N/V —
средняя плотность числа частиц. Для однородной и изотропной
среды (жидкость, газ) функция (86.1) зависит от гх и Г2 только
через расстояние г = \ г\ — г2 | между двумя точками, что и
будет предполагаться ниже.
В квантовой теории аналогичная функция определяется с по-
помощью симметризованного произведения зависящих от времени
(гейзенберговских) операторов плотности как
na(t, r) = l (Sn(tu riMn(t2, r2) + 6n(t2, T2Nn(t1, n)> (86.2)
(в соответствии с общим способом определения согласно
V, A18.4)). Некоторые преимущества, однако, имеет в данном
случае несимметричное определение
шт(?, г) = (Sn(tu riMfi(t2, r2)>,	(86.3)
для которого сохраним обозначение <т(?, г)г). В противополож:-
ность функции 5(?, г) функция cr(t, r) не является четной по
переменной ?; очевидно, что
a(t,r) = ±[a(t,r) + a(-t,r)].	(86.4)
1) Именно эта функция является непосредственно наблюдаемой вели-
величиной, например, при неупругом рассеянии нейтронов в жидкости —
см. задачу.

464
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Фурье-образ функции <т(?, г) по времени и координатам
сю
<т(ш, к) = <т(и, к) = И ei(-ut-rk)a(t, r) dtdzx	(86.5)
— СЮ
называют динамическим формфактором среды. Ввиду изо-
изотропии функции сг(?, г) он зависит только от абсолютной ве-
величины волнового вектора. Из (86.4) следует, что фурье-образ
функции 5(?, г)
a(w, k) = - [а(и>, к) + <т(-и>, к)}.	(86.6)
Чисто пространственная корреляция флуктуации плотности
жидкости определяется функцией (86.1) при t = 0 : с (г) =
= cr(t = 0, г) = a(t = 0, г). Эта функция связана с введенной
в V, §116 (и использованной в §83) функцией г/(г) согласно
а {г) = г/(г) + 5(г); их фурье-образы: сг(к) = и (к) + 1. Функ-
Функцию а(к) или гу(к) называют статистическим формфактором
жидкости. Функции <t(c<j, k) и с (к) связаны друг с другом инте-
интегральным соотношением
сю	сю
а(к)= I а(ш, k)e~iu}t ^\ _ = f а(ш, k)j-.	(86.7)
— СЮ	—СЮ
Шредингеровский (не зависящий от времени) оператор плот-
плотности дается суммой
Й(г) = ^5(г-га),	(86.8)
а
взятой по всем частицам среды; координаты частиц га играют
роль параметров (ср. B4.4)). Нам понадобятся ниже компоненты
фурье-разложения этого оператора по координатам
пк = /n(r)e-*kr dsx = Y, е"'кГа •	(86.9)
^	а
Переход к зависящему от времени (гейзенберговскому) операто-
оператору происходит по общему правилу
n(?, r) = exp(iHt/H) п(т) exp(-iHt/H),	(86.10)
где Н — гамильтониан системы. Этот оператор может быть пред-
представлен выражениями (86.8), (86.9) с заменой в них та на?а(?) —
гейзенберговские операторы координат частиц.

§ 86	ДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМФАКТОР ЖИДКОСТИ	465
Согласно основным принципам статистики, усреднение (...)
можно понимать по-разному, в зависимости от того, через
какие термодинамические переменные должен быть выражен ре-
результат. Так, если функция а определяется при заданных полной
энергии и числе частиц системы, то усреднение производится по
определенному (ттг-му) стационарному состоянию, т. е. взятием
соответствующего диагонального матричного элемента. Для од-
однородной системы (жидкость) зависимость матричных элемен-
элементов оператора 5n(t, n) от времени и координат дается формулой
(т | 6n(t, г) | /) = (т | 6п@) | /) ехр[г(^ш/? - km/r)], (86.11)
вполне аналогичной (8.4) (в правой части стоит матричный эле-
элемент шредингеровского оператора 5п(г), взятого в точке г = 0).
С учетом этой формулы пишем
?, г) = ^2(т | 5n(ti, ri) | /)(/1 Sn(t2, Г2) | m) =
1
m\ Sn@) I /) |2 exp[i(oumlt - km/r)].
1
Фурье-образ этой функции
Па (и, /с)=BтгL ^ I (m \ Sn@) \ I) \2S(ou - u)lm) S(k - k/m). (86.12)
1
Суммирование в этих формулах производится по всем состояни-
состояниям системы с заданным (iVm) числом частиц (поскольку опера-
оператор Sri не меняет этого числа).
Если же мы хотим выразить формфактор через температуру
и химический потенциал жидкости, то выражение (86.12) долж-
должно еще быть усреднено по распределению Гиббса:
псг(ио, к) =
=BтгL J2 exp n-Em-'tNm | (m | 6п@) \ I) \4{и - ш1т) д(к - к1т)
(86.13)
(причем во всех членах суммы iV/ = Nm). Выписав такую же
формулу для а(—cj, —к) = а(—ш, к), взаимно переобозначив в
ней индексы суммирования / и т и заменив в экспоненциальном
множителе Е\ = Еш + fiuoim = Еш + Нои (последнее равенство —
следствие наличия ^-функции), получим
а{-ш, к) = <г(ш, k)e-^'T	(86.14)
16 Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский

466
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
и затем, согласно (86.6),
а(и>, к) = -A + e~^lT) <т(ш, к).	(86.15)
Отметим, что из (86.13) (или (86.12)) следует, что функ-
функция <t(c<j, к) ^ 0 при всех значениях ее аргументов. Из соотно-
соотношения же (86.14) следует, что при нулевой температуре
а(ои, к) = 0 при ио < О, Г = 0.	(86.16)
В макроскопическом пределе (iV, V —>• ос при заданном
отношении N/V) «частокол» ^-функций в (86.13) размазывается
в непрерывную функцию, но 5-функционные пики в а (со, к)
остаются при значениях ио = о;(А;), отвечающих незатухающим
элементарным возбуждениям (как это следует из рассуждений,
подобных изложенным в §8). Такие пики возникают, однако,
лишь для возбуждений без изменения числа частиц1).
Покажем, каким образом формфактор жидкости может быть
связан с величинами, фигурирующими в общей формулировке
флуктуационно-диссипационной теоремы (D. Pines, Ph. Nozie-
res, 1958).
Пусть на каждую частицу жидкости действует некоторое внеш-
внешнее поле, сообщающее частице потенциальную энергию [/(?, г).
Тогда оператор возбуждения, действующий на жидкость в це-
целом, будет	п
V(t) = / n(t, r)U(t, r) dsx.	(86.17)
Подвергнув все входящие сюда величины фурье-разложению по
времени, представим отклик системы (т. е. среднее значение вы-
вызванного возмущением изменения плотности) выражением вида
, п) = - (ol{u), | ri - г2 | )U(u, r2) dsx2,	(86.18)
где функция oi(uo, r) играет роль обобщенной восприимчивости.
Фурье-компонента по времени от корреляционной функции 5(?, г)
есть, в обозначениях флуктуационно-диссипационной теоремы:
па(ои, г) = Fn(ri) ($n(r2))w, г = ri — Г2.
х)Так, в ферми-жидкости <т(ш, к) имеет E-функционную особенность при
ш = кио (ио — скорость нулевого звука), но не имеет таких особенностей,
отвечающих фермионной ветви спектра — см. §91.

§ 86	ДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМФАКТОР ЖИДКОСТИ	467
Согласно этой теореме эта функция выражается через обобщен-
обобщенную восприимчивость формулой
па(и>, г) = Hcth — Ima(ou, r).	(86.19)
л.
Такой же формулой выражается фурье-компонента по координа-
координатам 5(о;, к) через а (о;, к) после чего, согласно (86.15), находим
для динамического формфактора
Важность этих формул связана прежде всего с тем, что ими
устанавливается связь динамического формфактора с функцией
с известными общими аналитическими свойствами (по перемен-
переменной ш)\ для функции а (о;, к) эти свойства описаны в V, § 123.
Они позволяют также применить к вычислению формфактора
общую формулу (ср. G5.11)), согласно которой
а (о;, к) =
^-kr)(n(t, r)n@, 0) -n@, 0)n(t, r))dtd3x. (86.21)
о
Выразив операторы плотности через ^-операторы (п =	),
мож:но привести это выраж:ение к виду двухчастичной функ-
функции Грина, для вычисления которой применима диаграммная
техника.
Задача
1. Выразить через динамический формфактор вероятность неупруго-
неупругого рассеяния медленных нейтронов в жидкости, состоящей из одинаковых
атомов (G. Placzek, 1952).
Решение. Согласно методу псевдопотенциала (см. III, § 151), рассеяние
медленных нейтронов может быть описано как результат взаимодействия с
потенциальной энергией
U{r)=2^-an{r),	A)
где п(г) — оператор плотности (86.8); М — приведенная масса атома и ней-
нейтрона; а — длина рассеяния медленного нейтрона на отдельном атоме (т. е.
взятое с обратным знаком предельное значение амплитуды рассеяния). Ве-
Вероятность перехода из некоторого начального (г) состояния системы жид-
жидкость + нейтрон в конечное (/) состояние в некотором интервале dvj есть
оо
(t)dt
B)
16*

468
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
(см. III, D0.5); для недиагональных матричных элементов Ufi в A) можно
писать дп вместо п. Волновую функцию начального состояния нейтрона
(с импульсом р и энергией е) нормируем на одну частицу в объеме V,
а волновую функцию конечного состояния (импульс р' и энергия г') норми-
нормируем на E-функцию от р/2тг. Тогда dvj = d3p'/BтгКK, а матричный элемент
возмущения
My/V
где Hk = p — p', a Huj = e — ?;, a ?rifi — матричный элемент по отношению
к волновым функциям жидкости. Подставив это выражение в dujfi, про-
просуммируем вероятность перехода по всем возможным конечным состояниям
жидкости. При этом квадрат модуля интеграла записываем в виде двойного
интеграла (по dtdt' d3xd3x') и замечаем, что
2^8nfi(t, rNrifi(t', r')* = 2_\&nif(t'I r')8nfi(t, г) =
= (г | Sn(tf, r') Sn(t, г) | г) = na(t' - t, r' - г)
(причем сг выражено в функции от полной энергии жидкости в состоянии г).
Интегрирование по d(t' —t) d3{x' — х) дает <т(ш, к), а еще одно интегрирование
(скажем, по dtd3x) дает просто объем V и полный интервал времени t. Опу-
Опустив множитель ?, получим в результате вероятность рассеяния в единицу
времени
w = 	na2a(uj, к)	.	C)
Это выраж:ение остается, конечно, справедливым и после усреднения по рас-
распределению Гиббса, т. е. при формфакторе, выраженном через температуру.
Отметим, что свойство формфактора (86.16) в применении к рассеянию
нейтронов выражает собой тот факт, что при Т = 0 жидкость может толь-
только приобретать, но не отдавать энергию. Соотношение же (86.14) выражает
собой принцип детального равновесия, так как процессы рассеяния с пере-
передачей энергии и импульса (ш, к) и (—ш, —к) являются взаимно обратными.
§ 87. Правила сумм для формфактора
Динамический формфактор удовлетворяет определенным
интегральным (по частотам си) соотношениям — правилам сумм.
Вывод одного из них основан на правиле коммутации между
операторами n\z(t) и n\^{t). Коммутатор гейзенберговских опера-
операторов, взятых в одинаковый момент времени, совпадает с ком-
коммутатором шредингеровских операторов % и %. Оператор п^
определяется выражением (86.9) и требуемый коммутатор

87	ПРАВИЛА СУММ ДЛЯ ФОРМФАКТОРА	469
дается формулой
- п+пъ = --k2N,	(87.1)
где т — масса частицы жидкостих).
Исходим из выражения компоненты фурье-разложения функ-
функции <т(?, г) только по координатам
шт(?, к) = / е г ^ri r2^($n(ti, ri) Sn(t2i 1*2)) d (x\ — #2).
Имея в виду, что подынтегральное выражение зависит только
от ri — Г2, заменяем интегрирование по d?{x\ — X2) интегрирова-
интегрированием по d?x\ dsX2/V] произведя его под знаком усреднения,
получим	-,
сг(?, к) = — (($nk(?i) (Jn_k(t2)).	(87.2)
Вычислим значение производной дсг(?, k)/dt при t = 0. По-
Поскольку сг(?, А;) зависит только от разности t = ti — t2, то
^<r(t, fc) _ 1 f до _ до
dt ~ 2
и после подстановки сюда (87.2)
Каждый из двух членов этого выражения зависит только от
абсолютной величины вектора к; на этом основании заменим
во втором члене к на —к. Положив затем t\ = ?2 и Учтя5 что
п_к = й^, найдем, что разность в угловых скобках совпадает с
коммутатором (87.1). Таким образом, находим
do(t, к)
dt
t=0	2m
г) Вычисление этого коммутатора совпадает с вычислением, произведен-
произведенным в III, § 149 в связи с выводом правила сумм A49.5); вместо числа элек-
электронов Z теперь фигурирует полное число частиц жидкости N.

470
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
С другой стороны, представив <т(?, А:) в виде фурье-интеграла
по частотам, имеем
da(t, к)
оо	оо
= *L[ e-iujta(ou, к) — = -г [ ша(ои, к) —.
t=0 dt J	V ' J 2тг t=0	J	2тг
—оо	—оо
Сравнив оба выражения производной, получим искомое соотно-
соотношение
(87.3)
(G. Placzek, 1952). Подчеркнем, что оно справедливо при лю-
любых к. Для перехода в этом соотношении к классическому пре-
пределу (Н—tO) надо записать интеграл в его левой стороне в виде
оо
О
и, согласно (86.14), подставить в него
гт(ы АЛ гт( dj к} — Пи гт(ы к}
сг{ш. К) — cry—to, К) ~ — сг{ш. К).
После этого множители Н в обеих сторонах равенства сокраща-
сокращаются и остается
оо
ш2а(ш,к)^-=Т^-.
V У 2тг	2гп
О
Применим формулу (87.3) к бозе-жидкости при Г = 0 и рас-
рассмотрим область малых значений к. При к —>• 0 главный вклад в
интеграл дает 5-функционный пик в формфакторе сг(си, А;), воз-
возникающий в (86.13) от переходов с рождением одного фонона
(поскольку в основном состоянии жидкости фононы отсутству-
отсутствуют, то переходов с уничтожением фонона при Г = 0 нет). Этот
член имеет вид AS (си — ик), где Ник — энергия фонона (и — ско-
скорость звука). Подставив же его в качестве сг(си, А;) в (87.3) найдем
коэффициент Л, и в результате
<7[ои, к) = 	д{ои — ик).	(87.4J
тпи

§ 87	ПРАВИЛА СУММ ДЛЯ ФОРМФАКТОРА	471
Интегрирование этого выражения по формуле (86.7) дает ста-
статический формфактор
а(к) = -**.	(87.5)
2ти
(R.P. Feynman, 1954)х). Поскольку эта формула относится к
области малых значений fc, то ее фурье-обращение дает асимпто-
асимптотическое выражение корреляционной функции при больших г:
^	(87-6)
(для проверки этой формулы см. интеграл, приведенный в при-
примечании на с. 450). При Г = 0 формула (87.6) справедлива
до сколь угодно больших расстояний. При низких, но конеч-
конечных температурах она верна вплоть до расстояний г ~ Ни/Т,
на которых флуктуации перестают быть чисто квантовыми. На
еще больших расстояниях закон (87.6) сменяется экспоненциаль-
экспоненциальным убыванием (если отвлечься от вклада ван-дер-ваальсовых
сил-см. §83J).
Еще одно правило сумм можно получить из установленной
в § 86 связи формфактора с некоторой обобщенной восприим-
восприимчивостью а (о;, к). Эта связь дается формулой (86.20), которая
при Г = 0 сводится (для ио > 0) к
п<г(ш, к) = 2Н1та(си, к).	(87.7)
1)	Формула (87.5), записанная в виде <г(к) = Н2к2/Bтг(к)) (е(к) — энергия
квазичастицы), строго справедлива лишь при к —»> 0. При увеличении к все
большую роль играют вклады в сг(к) от переходов с рождением нескольких
квазичастиц. Если все же пренебречь этим вкладом, можно считать, что
эта формула дает связь между формфактором и энергией квазичастиц в
бозе-жидкости. При этом максимуму, который сг имеет при к ~ 1/а (а —
межатомные расстояния в жидкости), отвечает «ротонный» минимум на
кривой е(к).
2)	Корреляционная функция (87.6) отрицательна (что соответствует от-
отталкиванию между частицами) в противоположность корреляционной
функции идеального бозе-газа, где она положительна (см. V, § 117). В связи
с этим напомним (§25), что в слабо неидеальном бозе-газе энергетический
спектр имеет фононный вид лишь при к ^С ти/Н (причем Н/ти ^> а). Со-
Соответствующие расстояния г ~ 1/к ^ Н/ти, так что при переходе к идеаль-
идеальному газу (и —»> 0) область применимости формулы (87.6) отодвигается на
бесконечность.

472
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Согласно формулам Крамерса-Кронига (см. V, A23.15))
Rea(u, jfe) = Ip f ImQ(a/'fcW.
7Г J	U' — U
—оо
Положив здесь си=О и учтя, что величина ск(О, А;) вещественна1),
имеем
а@, к) = -[- 1та(ои, к) duo.	(87.8)
7Г У CJ
7Г У
О
В пределе А: —»> 0 имеет место соотношение
а@, fc-> 0) = (^) = п№ .	(87.9)
Оно следует из того, что в статическом медленно меняю-
меняющемся в пространстве слабом поле U имеет место условие
равновесия /j, + U = const, так что включение внешнего поля
эквивалентно изменению химического потенциала на —U.
В пределе к —»> 0 имеем поэтому из (86.18)
6п
= -— U ^ -U [a@, ri -r2)ds(x1-X2) = -
djjt	J
откуда и следует (87.9).
Собирая полученные формулы (87.7)—(87.9), найдем, таким
образом, следующее правило сумм для формфактора жидкости
при Г = 0:
(о;?й_>0)^ = ^	(87.10)
о
(D. Pines, Ph. Nozieres, 1958).
3 адача
1. Найти корреляционную функцию и (г) в бозе-жидкости на расстоя-
расстояниях г > Ни/Т при температурах Т <^Т\.
Решение. Искомая корреляционная функция определяется формфак-
тором при значениях к ~ 1/г < Т/Ни < 1/а, для которых энергетический
спектр жидкости — фононный. При Т ф 0 в (t(lj, к) имеется член с д(ои-\-ки),
г) Величина а(ш = 0, г) вещественна в силу общих свойств обобщенной
восприимчивости. Вещественность фурье-компоненты а(ш = 0, к) следует
отсюда ввиду четности функции q(cj, г) по г.

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
473
отвечающий поглощению фонона, наряду с членом с S(и — ки), отвечающим
испусканию фонона. Коэффициенты в этих членах можно определить с по-
помощью (86.14) и (87.3):
a(Wj к) = —[1- е-^^Г1^ " ки) + е-пки/тд(и + ки)}. A)
тпи
Интегрируя это выражение, находим
/7 4 Й>к . Нки	/rt4
а (к) = 	 cth		B)
J 2mu	2T	V ;
и затем
оо
/ \ [ far ,1\ d к	Н	f ikri2 ,, ftku
и (г) = е а (к)	 = 	 / е к cth	dk.
J	BтгK 8ir2imur J	2T
— оо
Замыкая путь интегрирования по dk бесконечно удаленной полуокружно-
полуокружностью в верхней полуплоскости комплексного к, сводим интеграл к сумме
вычетов в полюсах (расположенных на мнимой оси). При г ^ Ни/Т глав-
главный вклад в интеграл возникает от вычета в полюсе при Нки/2Т = гтг:
ти4Н2г
ехр
I	г 1 .	C)
V Ни /
При условии аТ/Ни <^С 1 характерное расстояние затухания функции и (г)
оказывается много большим межатомных расстояний, на которых убыва-
убывают эффекты, связанные с прямым взаимодействием между атомами. При
этом в формулу C) существенно входит Н, так что описываемая ею кор-
корреляция имеет квантовый характер. Отметим, что при выводе мы прене-
пренебрегали вкладом ван-дер-ваальсовых сил. Как следует из результатов § 83,
этот вклад имеет степенной характер и является главным на достаточно
больших расстояниях. Расстояния, на которых происходит переход от C)
к (83.16), зависят от конкретного соотношения между коэффициентами, но
область применимости формулы C) всегда имеется при достаточно низких
температурах, поскольку на границе области применимости при г ~ Ни/Т,
согласно C), v ос Т4, а согласно (83.16), v ос Т7'.
§ 88. Гидродинамические флуктуации
В предыдущих параграфах мы рассматривали флуктуации
плотности жидкости при произвольных частотах ио и волновых
векторах к. При этом, разумеется, конкретный вид корреляци-
корреляционной функции не мог быть найден в общем случае. Это можно,
однако, сделать в гидродинамическом пределе, когда длина вол-
волны флуктуации велика по сравнению с характерными микроско-
микроскопическими размерами (межатомными расстояниями в жидкости,
длиной свободного пробега в газе).
Вычисление одновременных корреляционных функций флук-
флуктуации плотности, температуры, скорости и т. п. в неподвижной

474
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
жидкости не требует особого исследования: эти флуктуации
(в классическом, т. е. неквантовом пределе) описываются обыч-
обычными термодинамическими формулами, справедливыми для лю-
любой среды, находящейся в тепловом равновесии. Корреляции
между одновременными флуктуациями в различных точках
пространства распространяются на длины порядка величины
межатомных расстояний (при этом мы пренебрегаем слабы-
слабыми дальнодействующими ван-дер-ваальсовыми силами). Но эти
расстояния рассматриваются в гидродинамике как бесконечно
малые. Поэтому в гидродинамическом пределе одновременные
флуктуации в различных точках не коррелированы. Формально
это утверждение следует из аддитивности термодинамической
величины — минимальной работы ijmin, требуемой для осу-
осуществления флуктуации. Поскольку вероятность флуктуации
пропорциональна ехр (—Rm[n/T), то, представив i?min в виде
суммы членов, относящихся к отдельным физически бесконечно
малым объемам, мы найдем, что вероятности флуктуации в этих
объемах независимы друг от друга.
Имея в виду эту независимость, можно сразу переписать из-
известные формулы для средних квадратов флуктуации термоди-
термодинамических величин в заданной точке пространства (см. V, § 112)
в виде формул для корреляционных функций. Так, согласно
формуле
2
pcvV
для флуктуации температуры в объеме V (р — плотность;
cv — теплоемкость, отнесенная к единице массы среды) пишем
сначала
где флуктуации относятся к двум малым объемам Va и Ц,. Устре-
Устремив затем величину объемов к нулю, получим1)
FТ(п) 6Т(г2)) = ^- 6(п - г2).	(88.1)
PC
1) Эта и следующие формулы для одновременных корреляций в случае га-
газов справедливы для флуктуации с длинами волн, большими лишь по срав-
сравнению с межмолекулярными расстояниями, но не обязательно большими по
сравнению с длиной пробега. Последнее условие требуется, однако, для раз-
разновременных корреляционных функций в гидродинамическом приближении
(поскольку микроскопический механизм распространения возмущений в га-
газах определяется именно длиной пробега частиц).

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
475
Аналогичным образом записываются формулы для флуктуации
других термодинамических величин:
(Spin) 6р(т2)) = РТ (Л)г«(г1 - г2),	(88.2)
FР(т1NР(т2))=рт(??) 5(r1-r2)=pTu25(r1-r2), (88.3)
^г2)	(88.4)
(Р — давление; s — энтропия единицы массы среды); при этом
флуктуации пар величин р, Г и Р, s независимы. Выпишем так-
также формулу для флуктуации макроскопической скорости жид-
жидкости v (равной нулю в равновесии):
(Sviin) Svk(r2)) = * Sik Sin - r2).	(88.5)
р
Специфичным для гидродинамики является вопрос о вре-
временных корреляциях флуктуации, а также вопрос о флуктуа-
циях в движущейся жидкости. Решение этих вопросов тре-
требует учета диссипативных процессов в жидкости — вязкости и
теплопроводности.
Построение общей теории флуктуационных явлений в гид-
гидродинамике сводится к составлению «уравнений движения» для
флуктуирующих величин. Это может быть сделано путем введе-
введения соответствующих дополнительных членов в гидродинамиче-
гидродинамические уравнения (</7. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1957).
Уравнения гидродинамики, написанные в виде
g	= 0,	(88.6)
7Г + %к>	(88'7)
охг дхк
без спецификации вида тензора напряжений arik и вектора пото-
потока тепла q, выражают собой просто сохранение массы, импульса
и энергии. Поэтому в такой форме они справедливы для любого
движения, в том числе для флуктуационных изменений состо-
состояния жидкости. При этом под р, Р, v, ... надо понимать сум-
сумму значений величин ро, Pq, vo, ... в основном движении и их
флуктуационных колебаний <$р, 5Р, 5v, ... (по последним, конеч-
конечно, уравнения всегда могут быть линеаризованы).

476
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Обычные выражения для тензора напряжений и потока теп-
тепла связывают их соответственно с градиентами скорости и гра-
градиентом температуры. При флуктуациях в жидкости возникают
также местные спонтанные напряжения и потоки тепла, не свя-
связанные с указанными градиентами; обозначим их через s^ и g и
будем называть «случайными». Таким образом, запишем
) + Fik div v + sik, (88.9)
g	(88.10)
G7, С — коэффициенты вязкости; и — коэффициент тепло-
теплопроводности) .
Задача заключается теперь в установлении свойств 5^ и g —
в определении их корреляционных функций. Для простоты
проведем все рассуждения для естественного в гидродинами-
гидродинамике случая неквантовых флуктуации; это значит, что частоты
флуктуационных колебаний предполагаются удовлетворяющими
условию Нои <С Г. При этом коэффициенты вязкости и теп-
теплопроводности будем считать не диспергирующими, т. е. не
зависящими от частоты колебаний.
В общей теории флуктуации (изложенной в V, §119-122)
рассматривается дискретный ряд флуктуирующих величин х\,
Ж2, ..., между тем как здесь мы имеем дело с непрерывным
рядом (значения р, Р, ... в каждой точке жидкости). Это
несущественное затруднение мы обойдем, разделив объем тела
на малые, но конечные участки AV и рассматривая некоторые
средние значения величин в каждом из них; переход к бесконечно
малым элементам произведем в окончательных формулах.
Будем рассматривать формулы (88.9), (88.10) в качестве
уравнений	__^
YX + yb	(88.11)
общей теории квазистационарных флуктуации (см. V, A22.20)),
причем в качестве величин ха выберем значения компонент тен-
тензора arik и вектора q в каждом из участков АУ; тогда величина-
величинами уа являются s^ и g:
Уа -> Sik, gi-
Смысл же термодинамически взаимных величин Ха выясняет-
выясняется путем привлечения формулы для скорости изменения полной

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
477
энтропии жидкости S. Обычным путем (ср. IV, § 49) с помощью
уравнений (88.8)-(88.10) находим
5 = / К (** + »!*) - ^}dV.	(88.13)
J [2T \дхк dxij Т2 J	V	'
Заменив этот интеграл суммой по участкам ДУ и сравнив его
затем с выражением
найдем, что
а	2Т \дхк dxi) ' Т2 dxi '	У • )
Теперь легко найти коэффициенты 7аЬ> непосредственно
определяющие искомые корреляции согласно формулам
(ya(tl)yb(i2)) = {lab + Iba) ${р1 ~ ^)	(88.15)
(см. V, A22.21а)).
Прежде всего замечаем, что в формулах (88.9), (88.10) нет
членов, которые связали бы <j'ik с градиентом температуры,
a q — с градиентами скоростей. Это значит, что соответствующие
коэффициенты 7а& — 0 и в силу (88.15) имеем
(sik(tu ri)gz(t2j r2)> =0,	(88.16)
т. е. значения s^ и g вообще не коррелированы друг с другом.
Далее, коэффициенты, связывающие значения qi со значени-
значениями (AV/T^)dT/dxi, равны нулю, если эти величины взяты в
разных участках AV, и равны 7г/с — ^T^Sik/AV, если они бе-
берутся в одном и том же участке. С этими значениями 7а& по
формуле (88.15) получим после перехода к пределу AV —»> 0:
(a(ti, ri)gife(t2j r2)> = 2мТ26{к6(т1 -r2)S(t1 - t2). (88.17)
Аналогичным образом получаются формулы для корреляци-
корреляционных функций случайного тензора напряжений
г2)) =
=2T[r,{SuSkm+SimSkl)+ (C-f) ^*m]«(ri-r2)*(ti-t2). (88.18)

478
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Формулы (88.16)-(88.18) решают, в принципе, поставленный
вопрос о вычислении гидродинамических флуктуации в любом
конкретном случае. Ход решения задач при этом таков. Рас-
Рассматривая Sik и g как заданные функции координат и времени,
решаем формально линеаризованные уравнения (88.6)-(88.8)
относительно величин Sp, 5v, учитывая при этом необходимые
гидродинамические граничные условия. В результате получим
эти величины, выраженные в виде некоторых линейных функ-
функционалов от 5^, g. Соответственно любая квадратичная по 5р,
?v,... величина выражается через квадратичные функционалы
от 5гЬ g> после чего их среднее значение вычисляется с помощью
формул (88.16)-(88.18), и вспомогательные величины s^fc? g
выпадают из ответа.
Выпишем формулы (88.16)-(88.18) также и в фурье-ком-
понентах по частотам, причем сделаем это сразу в виде, обоб-
обобщающем формулы на случай квантовых флуктуации. Согласно
общим правилам флуктуационно-диссипационной теоремы, та-
такое обобщение достигается путем введения дополнительного мно-
множителя (Нии/2Т) cth(Hou/2T) (обращающегося в единицу в клас-
классическом случае, Нои <^i T). При наличии дисперсии вязкости
и теплопроводности величины 77, C> x являются комплексными
функциями частоты; при этом в формулах для флуктуации 77, С?
х, заменяются вещественными частями этих функций:
D?Л = 0,	(88.19)
?4i\	- г2) HwT cth ^ • RexM,	(88.20)
[{бц6кт + SirnSki - I SikSim^Reriiu) + SikSlmRe(;(u)\. (88.21)
§ 89. Гидродинамические флуктуации
в неограниченной среде
В этом параграфе мы рассмотрим гидродинамические флук-
флуктуации в неограниченной неподвижной жидкости. Эта задача
может быть, конечно, решена изложенным в предыдущем пара-
параграфе методом. Мы, однако, сделаем это здесь другим способом,
проиллюстрировав тем самым альтернативный метод решения
задач о гидродинамических флуктуациях.
Этот метод использует общую теорию квазистационарных
флуктуации в ее более ранней стадии, до введения случайных

§ 89	ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	479
сил. Напомним относящиеся сюда общие формулы (см. V, § 122).
Пусть
ха = -^2\abxb	(89.1)
ь
— макроскопические «уравнения движения» для набора вели-
величин xa{t), описывающих неравновесное состояние системы (в рав-
равновесии все ха = 0); эти уравнения справедливы, если величины
ха велики по сравнению с их средними флуктуациями (но в то
же время настолько малы, чтобы была допустима линеаризация
уравнений движения). Тогда можно утверждать, что таким же
уравнениям удовлетворяют (при t > 0) корреляционные функ-
функции флуктуации
(xa(t)xc@)) J2*ab{xb(t)xc@)), t > 0.	(89.2)
Начальным условием к этим уравнениям служат равенства
(xa(t)xc@))\t=+Q = (xaxc),	(89.3)
где (хахс) — одновременная корреляционная функция, предпо-
предполагаемая известной. В область t < 0 корреляционные функции
продолжаются по правилу
(xa(t) xc@)) = ±(xa(-i) яс@)),	(89.4)
причем верхний знак относится к случаю, когда обе величины ха
и хс четны (или обе нечетны) по отношению к обращению вре-
времени, а нижний знак — к случаю, когда одна из величин четна, а
другая нечетна. Решение уравнения (89.2) с условием (89.3) осу-
осуществляется путем одностороннего преобразования Фурье: умно-
умножив уравнение на elujt и проинтегрировав по t в пределах от 0
до ос (причем интеграл в левой стороне уравнения преобразуется
по частям), получим систему уравнений
-ш{ХаХс)^ = -^2 XabfaXc)™ + (xaXc)	(89.5)
ъ
для величин (функций частоты)
(хахъ)™ = Jeiut(xa(t)xb@)) dt.	(89.6)

480
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Обычные же фурье-компоненты корреляционной функции вы-
выражаются через величины (89.6) согласно
= ! e
Jeiwt(xa(t)xb(O))dt =
'I (89.7)
где знаки ± отвечают знакам в (89.4).
Переходя к поставленной задаче о флуктуациях в неподвиж-
неподвижной жидкости, прежде всего линеаризуем гидродинамические
уравнения (88.6)-(88.8) с а\к и q из (88.9), (88.10) (без послед-
последних членов). Положив р = р$ + 8р, v = ?v, ... и отбрасывая
нелинейные члены, получим
^	0,	(89.8)
р— = -VSP + т/Дv + (С + 5) V div v,	(89.9)
— = — AST	(89.10)
dt PT	v J
(после линеаризации индекс 0 у постоянных величин ро, ... от-
отбрасываем). В уравнениях (89.8)-(89.10) будет удобным сразу
разделить скорость на потенциальную («продольную») и вихре-
вихревую («поперечную») части v'' и v^ согласно определению
v = vW+v^,	(89.11)
diww = 0, rotv(/) = 0.
В (89.8) остается только продольная скорость:
^+pdivvW=0,	(89.12)
а (89.9), распадается на два уравнения
— = ^Avw,	(89.13)
dt p	v J
= -V5P +((+—) Vdiv VW.	(89.14)
dt

§ 89	ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	481
Уравнение для поперечной скорости независимо от осталь-
остальных уравнений. Соответственно этому, и для корреляционной
функции ее флуктуации имеем одно уравнение
±(vV(t, г) 4°@, 0)) - vb(v?\t, rL4)@, 0)) = 0 (89.15)
(где v = rj/p — кинематическая вязкость). Подвергнув его одно-
одностороннему преобразованию Фурье, получим
(где справа стоит одновременная корреляционная функция),
или, переходя к фурье-компонентам по координатам:
Одновременная корреляционная функция флуктуации скорости
дается формулой (88.5); перейдя в ней к фурье-компонентам и
отделив поперечную часть, имеем
(чМ\№\л — — (hi — kikk\	(%Q le^j
v г k /k — \^гк	9 J •	yoc/.±\jj
Подставив это в предыдущую формулу, окончательно получим1).
„Ш*)\ , - оъ„<ЖШ+) = т Ulk kik2k) 2 vk\ 4.
(89.17)
vk j^k — ^ne^ vk
Для остальных переменных имеем систему связанных друг
с другом уравнений (89.10), (89.12), (89.14). Эта система, од-
однако, упрощается в предельных случаях больших или малых
частот. Дело в том, что возмущения продольной скорости и дав-
давления распространяются в жидкости со скоростью звука и, а воз-
возмущенная энтропия — согласно уравнению теплопроводности.
Последний механизм требует времени ~ 1/х^2 Для распростра-
распространения возмущения на расстояние ~ 1/к(х — к/рср — темпера-
температуропроводность среды). Поэтому для частот, удовлетворяющих
(при заданном значении волнового вектора) условию
Хк2 < си - кщ	(89.18)
х) Легко видеть, что путем интегрирования выражения (89.17) по duj/2-к
мы вернемся, как и следовало, к одновременной корреляционной функции.

482
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
можно считать, что флуктуируют только v'' и Р при постоянной
энтропии. Напротив, при
Хк2^ио<^ки	(89.19)
происходят изобарические флуктуации энтропиих).
Рассмотрим сначала первую, высокочастотную область (89.18)
и определим, например, флуктуации давления.
Уравнение (89.14), переписанное для корреляционных функ-
функций, имеет вид
!<vW(t, rNP@, 0)) = -grad {6P(t, rNP@, 0)) +
ot
а начальным условием к нему служит равенство нулю одно-
одновременной корреляции v^ и SP. Произведя одностороннее пре-
преобразование Фурье по времени и полное преобразование по
координатам, получим отсюда
-шр(vW«P)W = -tk(«*)<+> -(c+|)k(kv(^P)W. (89.20)
Далее, в уравнении (89.12) пишем
6р = (ЕЕ.) 6Р + № Ss = ±SP-p* (™) 6з,
н \др)s \ds)p v? н \др)s
a OSs/dt выражаем с помощью уравнения (89.10), написанного в
виде
«• = JL (Щ ASP
dt Рт \др)s
(членом с ASs в правой стороне пренебрегаем по сравнению
с dSs/dt в силу условия х&2 ^ ^)- Это приводит к уравнению
1 дбР кр (дТ\2 AXD , ,. а) п
	 —- ( — ASP + о div v{ч = 0.
и2 dt Т \3pJs	И
Соответствующее уравнение для корреляционных функций сно-
снова получается отсюда заменой SP и \Д' соответственно на
1) Неравенство х&2 <^ ки выполняется в гидродинамической области
всегда. Так, в газах и ~ vt и х ~ vtI, где vt — средняя тепловая скорость
частиц, а / — их длина пробега. Поэтому неравенство х& <^ и эквивалентно
условию Ы ^С 1.

§ 89	ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ	483
EP(t, г)($Р@, 0)) и (vW(t, гMР@, 0)), а начальным услови-
условием к нему служит (88.3). После фурье-преобразований это урав-
уравнение дает
Из двух уравнений (89.20), (89.21) находим после некоторых
преобразований
\	*<? = 2 Re ^W(» + W^2)
LJ(UJ2 -
где	2 г	2 2	21
7= А_ ?+^ + ?2L?-(*L)	(89.23)
ApU |_	о	J. ч С/ -t 7 5j
— коэффициент поглощения звука в среде (см. VI, § 79), а 7т —
его часть, связанная с теплопроводностью. Выпишем оконча-
окончательный ответ для области частот вблизи значений ио = ±ки,
где флуктуации особенно велики:
~ !^-	(89.24)
Эта формула справедлива при \ио^ки\ ^uj1).
В низкочастотной области (89.19) достаточно рассмотреть,
как уже было указано, флуктуации энтропии, пренебрегая при
этом флуктуациями давления. Это значит, что в уравнении
(89.10) можно положить
(теплоемкость ср относится к единице массы). Поэтому для
искомой корреляционной функции имеем уравнение того же
типа, что и (89.15), а начальное условие к нему дается выра-
выражением (88.4). В результате найдем
(Ss2U=2-* f	(89.25)
1) Напомним (см. VI, § 79), что гидродинамический коэффициент поглоще-
поглощения звука всегда мал в газах (неравенство 7 ^ к автоматически следует из
условия kl <^ 1) и мал в жидкостях, в которых нет существенной дисперсии
звука.

484
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
3 адача
1. Найти корреляционную функцию флуктуации числа растворенных
частиц в слабом растворе.
Решение. Плотность п числа растворенных частиц удовлетворяет
уравнению диффузии	о
— = DAn
dt
(D — коэффициент диффузии). В слабом растворе одновременные значе-
значения плотности в различных точках пространства не коррелированы друг
с другом (подобно отсутствию одновременной корреляции для плотности
идеального газа); поэтому одновременная корреляционная функция
(<fa(ri) 6п(т2)) = П6(Т! - Г2).
Аналогично формуле (89.25), находим
/х 2ч	2nk2D
В этом решении мы пренебрегаем термодиффузией, вследствие чего флук-
флуктуации п могут рассматриваться независимо от флуктуации температуры.
2. Найти корреляционную функцию флуктуации давления в жидкости,
обладающей большой диспергирующей второй вязкостью C(cj) (связанной с
медленной релаксацией некоторого параметра).
Решение. Наличие медленных процессов релаксации приводит к по-
появлению второй вязкости вида
С(ы) ^(|&«о),
1 — гит
где т — время релаксации; uq — равновесная скорость звука; Uoo — скорость
звука при постоянном значении релаксационного параметра (см. VI, §81).
Уравнения (89.20), (89.21), а с ними и (89.22) справедливы также и при на-
наличии дисперсии. Положив ? = C(lj) и пренебрегая членами, происходящими
от 77 и х, получим после вычисления
_	2Ттрир(и2оо -up)
k
"k (и% - и2/к2J + ш2т2(и1о - и2/к2J '
§ 90. Операторные выражения для кинетических
коэффициентов
Полученным в §88 формулам (89.20), (89.21) можно придать
новый аспект, прочтя их «справа налево», т. е. рассматривая
их как выражения для коэффициентов теплопроводности и
вязкости. При этом корреляционные функции в левых частях
равенства можно выразить, согласно их определению, через опе-
операторы некоторых величин, имеющих микроскопический смысл;
в результате через эти операторы оказываются выраженными
кинетические коэффициенты жидкости.

§ 90	ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ	485
Прежде всего надо учесть, что отсутствие корреляции между
флуктуациями «случайных» потоков энергии и импульса в раз-
различных точках пространства (^-функция S(ri — Г2) в формулах
(89.20), (89.21)) является следствием гидродинамического при-
приближения; последнее справедливо лишь при малых значениях
волнового вектора. Чтобы выразить это условие в явном виде,
запишем формулы в компонентах фурье-разложения по про-
пространственным координатам (что сводится к замене множителей
<$(ri — Г2) единицей) и перейдем к пределу к —»> 0. Так, формулу
(88.20), свернутую по паре индексов г, к.
-r2)^Tcth— -RexH
= -J_th— Iim(g2)wk.	(90.1)
запигпем в виде
Легко видеть, что при такой записи можно заменить в этой
формуле «случайный» поток тепла g на полный поток энергии,
который обозначим через Q. Последний, как известно из гидро-
гидродинамики, складывается из потока конвективного переноса энер-
энергии и потока тепла q:
/2 \
Q= f — + w) pv + qtt pwv - xVT + g	(90.2)
(w — тепловая функция единицы массы жидкости; в последнем
выражении опущен член с более высокой степенью флуктуа-
ционной скорости v). Но при малых к флуктуации реальных
физических величин (v, Г, р и т. п.) содержат, по сравнению с
флуктуациями случайных потоков, лишнюю степень к, и потому
в пределе к —»> 0 флуктуации g совпадают с флуктуациями Q.
Это сразу очевидно уже из того, что в уравнении движения гид-
гидродинамических флуктуации (88.6)-(88.8) потоки g и s^ входят
только под знаком пространственных производных, а указанные
физические величины — также и в виде производных по времени;
после перехода к фурье-компонентам, следовательно, вторые
оказываются порядка к/си по отношению к первым.
В отличие от g, полный поток энергии Q есть величина, имею-
имеющая прямой механический смысл, и ей отвечает определенный
квантовомеханический оператор Q(t, r), выражающийся через
операторы динамических переменных частиц среды. Вспомнив
определение корреляционной функции через операторы (гейзен-
(гейзенберговские) соответствующей величины, приходим, таким

486
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
образом, к формуле
RexfcH	tn —:
2Т
tn :
6ПшТ 2Т
х lim [ [ e'^-^iQit, r)Q@, 0)+Q@, O)Q(t, v))dtdzx (90.3)
k-)>0 J J
—oo
(M.S. Green, 1954).
Более целесообразное представление функции k{lS) получит-
получится, однако, если воспользоваться формулой, выражающей кор-
корреляционную функцию через коммутатор соответствующих
операторов.
Если жа(г), жь(г) — две флуктуирующие величины (равные
нулю в равновесии и ведущие себя одинаковым образом при об-
обращении времени), то их корреляционная функция, согласно G6.1)
и G5.11), может быть представлена в виде
a(t, п), хь@, r2)})dt,
где скобки {., .} означают коммутатор. Перейдя к фурье-разло-
жению по координатам г = ri — Г2, получим формулу
ait, r), 2,@, 0)})didsx.
(90.4)
Применив эту формулу к корреляционной функции (Q2)u;k и
подставив в (90.1), получим
Rex(u>) = — lim Re //e*(w*-kp)({Q(t, r), Q@, 0)})dtd3x.
Справа и слева в этой формуле под знаком Re стоят функ-
функции cj, стремящиеся к нулю при ио —»> ос и не имеющие осо-
особенностей в верхней полуплоскости комплексной переменной си.
Из равенства вещественных частей таких функций на веществен-
вещественной оси си следует также и равенство самих функций, и мы при-
приходим к окончательной формуле:
, r),Q@, 0)})dtd*x. (90.5)

§ 91	ДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМФАКТОР ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	487
Чтобы получить статическое значение коэффициента теплопро-
теплопроводности, надо затем перейти и к пределу о; —^ 0.
Аналогичным образом можно преобразовать формулу (88.21)
и получить операторное выражение для коэффициентов вяз-
вязкости.
Если ввести полный поток импульса aik = —PSik + °\к (агк
из (88.9)), то в пределе к —»> 0 флуктуации всех членов, кроме
5^, обратятся в нуль, так что в этом пределе можно заменить
корреляционную функцию (s;/c<%n)u;k на (s;/cS/m)u;k- В результате
получим формулу
) [6ц6кг
, r), <j,m@, 0)})dtd3x, (90.6)
где dik(t, г) — оператор плотности потока импульса (Н. Mori,
1958). Свернув это равенство по парам индексов г, к и /, га
или г, / и к, га, получим отдельные выражения соответственно
для 9 С или 10 г] + 3 ?.
§91. Динамический формфактор ферми-жидкости
К ферми-жидкости неприменимы формулы (87.4)-(87.6) для
формфактора при Г = 0, поскольку их вывод предполагает
существование (при малых cj и к) лишь фононной ветви
спектра элементарных возбуждений. Неприменима к ферми-
жидкости также и развитая в § 88, 89 гидродинамическая теория
флуктуации: она требует выполнения условия Ы ^С 1 (/ — длина
свободного пробега квазичастиц), заведомо нарушающегося в
ферми-жидкости, поскольку / а Г~2 и стремится при Г —»> 0 к
бесконечности. Поэтому для вычисления формфактора ферми-
жидкости надо обратиться к кинетическому уравнению.
При этом удобно исходить из формул (86.17)-(86.20), уста-
устанавливающих связь формфактора с обобщенной восприимчиво-
восприимчивостью по отношению к воздействию на жидкость некоторого
поля [/(?, г). В компонентах Фурье также и по координатам
определение (86.18) записывается как
, k) = -a(u>, k)E/wk.	(91.1)

488
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Мы ограничимся случаем Г = 0. Тогда динамический формфак-
тор выражается через а(ио, к) согласно
, , ч ( 2Н1та(ои, к), ио > 0,
па(и, к) = | 0	'; щ < а	(91.2)
Возмущение же плотности 6п(ои, к) вычисляется с помощью
кинетического уравнения, причем в нем можно (при Г —> 0) пре-
пренебречь интегралом столкновений. Эти вычисления отличаются
от произведенных в § 4 для нулевого звука лишь тем, что в энер-
энергии квазичастицы добавляется член
Соответственно в производной де/дт D.3) добавляется член
dU/dr = гкС/, а в левой стороне кинетического уравнения D.8) —
член
dp
Решение кинетического уравнения ищем в виде
= S{? - eF) —— x(n), n = z.
2m*pF	p
Это фурье-компонента возмущения импульсного распределения
квазичастиц. Искомое же изменение плотности полного числа
квазичастиц (совпадающей с плотностью числа истинных
частиц) дается интегралом
, к) = /
J
Определение функции x(n) B (91.3) отличается от определе-
определения z/(n) в D.9) нормировкой: она выбрана здесь так, что фор-
формула (91.2) принимает вид
па(ои, k) = Im /x(n) —, ш > 0.	(91.4)
J	4тг
Для самой же функции х(п) получается уравнение
(ш - «Fkn) x(n) - vFknJF^)X(n') g = -kn Ц, (91.5)
отличающееся от D.11) своей правой частью.

§ 91	ДИНАМИЧЕСКИЙ ФОРМФАКТОР ФЕРМИ-ЖИДКОСТИ	489
Уравнение (91.5) не содержит в явном виде мнимых величин.
Появление мнимой части в его решении х(п) связано поэтому
лишь с обходами полюсов в возникающих в процессе решения
интегралах. Правило этих обходов определяется требованием,
чтобы наложенное на систему поле U ос e~lut адиабатически
включалось, начиная от t = — ос; для этого надо заменить его
частоту uj —»> uj + гО.
Конкретный вид решения зависит от вида функции взаимо-
взаимодействия квазичастиц F{$). Продемонстрируем ход решения и
его свойства на простейшем примере функции F = const = Fo.
В этом случае решение уравнение (91.5) имеет вид
Х(п) = С VFkn	(91.6)
vFkn - ш - гО
где С — постоянная. Последняя определяется обратной подста-
подстановкой выражения (91.6) в (91.5), дающей
C(l + IFo) = ^y^,	(91.7)
где
-/
do'
— oj — гО 4тт
Подынтегральное выражение зависит только от угла между п'
и к, и после очевидной подстановки находим
2 J x-s-iO
S
In
s+1
s-1
f is7r/2, s < 1,
+ \	(91.8)
10 , 5>1, V ;
где s = uo/kvp (мнимая часть интеграла отделяется по правилу
(8.11)).
Подставив функцию х(п) из (91.6)—(91.8) в (91.4), получим
динамический формфактор
па(си, к) = ^> Im J(s)	(91.9)
7T2H2	l + F0I(s)
(А. А. Абрикосов, И.М. Халатников, 1958). В силу (91.8) он от-
отличен от нуля при s < 1, т. е. при всех ио < kvp-
Если Fq > 0, то в ферми-жидкости возможно распределение
нулевого звука со скоростью щ, определяемой уравнением D.15):
1 + Fol(so) = 0, 50 =

490
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
При значениях s вблизи so выражение (91.9) принимает вид
const • Im	,
s — so
причем, согласно сказанному выше, s = ио /kvp надо понимать,
как s + гО. Это значит, что в ст(а;, к) появляется еще и 5-функ-
ционный член вида const- S(s — so), или
сг(о;, к) = const • к6(ш — кщ).	(91.10)
Этот член представляет собой вклад в формфактор, обязанный
нуль-звуковой ветви энергетического спектра ферми-жидкости;
он вполне аналогичен фононному вкладу (87.4) в формфактор
бозе жидкости.
Существование такого члена не связано, конечно, с предполо-
предположением F = const и является общим свойством ферми-жидкости,
в которой возможно распространение нулевого звука; от закона
взаимодействия квазичастиц зависит лишь значение постоянно-
постоянного коэффициента в (91.10). Без правой части уравнение (91.5)
совпадает с уравнением нулевого звука; поэтому решение неод-
неоднородного уравнения имеет полюс при ио /к = щ.
Из вида уравнения (91.5) ясно, что его решение зависит от
параметров со и к лишь в виде отношения ио /к. Функцией этого
отношения будет, следовательно, и динамический формфактор.
Статический же формфактор
а(к) =
будет, следовательно, иметь вид
(т(к) = const -к.	(91.11)
Это значит, что одновременная пространственная корреляцион-
корреляционная функция флуктуации плотности при Г = 0 в ферми-жидко-
ферми-жидкости (как и в бозе-жидкости) следует закону г/(г) ос г~4.
Отметим, наконец, что динамический формфактор идеально-
идеального ферми-газа может быть получен из (91.9) переходом к пределу
сг(о;, к) = ——, 0 < ио < kvp.
тгН2пк
При этом статический формфактор
, . . . / 7 \ duo p%k —
а(к) = / а(ио, к) — = -^—п
0
(в согласии с результатом задачи 1 в V, § 117).

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Векторные индексы обозначаются латинскими буквами г, к,...;
спиновые — греческими — ск, /3,... По всем дважды повторяю-
повторяющимся индексам подразумевается суммирование.
«4-векторы» (см. примечание на с. 71) обозначаются заглав-
заглавными буквами X, Р,...
Элемент объема dV или dsx.
Предел при стремлении величины к нулю сверху или снизу:
+0 или —0.
Операторы обозначаются буквами со шляпкой ^.
Гамильтониан Н, Н' = Н — jjlN . Оператор возмущений V.
^-операторы в шредингеровском представлении: ф, ф^\ в гей-
гейзенберговском — Ф, Ф+; в мацубаровском — Фм, Фм.
Гриновские функции G, D. Температурные гриновские
функции Q, V.
Термодинамические величины обозначаются так же, как
в томе V: температура Г, объем V, давление Р, химический по-
потенциал \i.
Напряженность и индукция магнитного поля Н и В; внеш-
внешнее магнитное поле $).
Ссылки на номера параграфов и формул других томов это-
этого курса снабжены римскими цифрами: I - «Механика», 1988;
II - «Теория поля», 1989; III - «Квантовая механика», 1989;
IV - «Квантовая электродинамика», 1989; V - «Статистическая
физика», ч. 1, 1995; VI - «Гидродинамика», 1986; VIII - «Элек-
«Электродинамика сплошных сред», 1982.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ1)
Аномальные функции Грина 159, 216
Антиферромагнитный резонанс 398
Асимптотика корреляционной функ-
функции 450, 471, 473, 490
Бесщелевые полупроводники 361
—	сверхпроводники 281
Взаимодействие атомов с металличе-
металлической поверхностью 445
Вика теорема 68, 75, 76, 163, 201
Вихревые кольца 149
—	нити в сверхпроводниках 251, 258
	точечные 185
Волновая функция сверхпроводящих
пар 217, 227, 228, 233, 285
Восприимчивость парамагнетика
386, 387
Галилеевское преобразование 21,
102, 119
Гамильтониан гейзенберговский 382
—	спиновый, антиферромагнитное
состояние 400-405
Глубина проникновения 230, 231, 238,
277
Дайсона уравнение 84
Деформационный потенциал 340
Диамагнитные домены 340
Длина рассеяния 35, 130, 204, 207
Запаздывающие функции Грина
189-192, 198, 407
Затухание возбуждений бозевских
173-176
	фермиевских 16, 17, 56, 111, 112,
346
Зоны энергетические 288
	в одномерном случае 293—297
Калибровочная инвариантность 99,
228, 235, 266, 298, 406
Квазиимпульс 289
— обобщенный 299
Квантование магнитного потока 232
Колебания вихревой нити 151
Компенсированные металлы 324
Конденсат 129, 134, 156
Корреляционная поправка в плазме
454, 461
Критическая скорость 149
Критическое поле 235
	верхнее и нижнее 247
	пленки 239
	третье 250
	шара 250
Купера эффект 203, 281
Латтинжера теорема 323
Лондонов уравнение 229
Лондоновский случай 231
Магнитный пробой 304, 306, 309
Магнитоактивные тела 409
Магнитостатическая энергия 372
Массовый оператор 77
Матрица плотности 48, 49, 137
Мацубаровские операторы 195
Мейсснера эффект 229
Намагниченность парамагнетика 388
Неполные вершины 164
Номинальная намагниченность 378
Обменные интегралы 382
х)Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В ука-
указатель включены термины и понятия, непосредственно не отраженные в
оглавлении.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
493
Параметр Гинзбурга-Ландау 238, 245
Перенормировка амплитуды рассея-
рассеяния 35, 130, 207
Перенормировочная постоянная 56,
112
Пиппардовский случай 231
Поверхности Ферми 321
	электронные и дырочные 323
Поверхностное натяжение жидкого
гелия 123
Поглощение звука в металлах 348
Подзоны Ландау 308
Подрешетки магнитные 394
Полуметаллы 324
Поляризационный оператор 425, 459
Потенциальное вращение 145
Примеси в сверхтекучей жидкости
122-124
Продольная и поперечная проницае-
проницаемости 451
Пространственная дисперсия 450
Рассеяние нейтронов в жидкости 467
Ротоны 115
Сверхпроводящая щель 208, 220
Сверхтекучая и нормальная части
120, 121, 123, 214, 227
Сверхтекучесть двумерных систем
182-188
Сила взаимного трения 149
Скелетная диаграмма 78, 88
Случайные потоки 476
"Устойчивость ферми-жидкости 23,
24, 98
Ферромагнитный резонанс 374
Флуктуации концентрации в раство-
растворах 484
—	магнитного момента 381
Флуктуационно-диссипативная тео-
теорема 413, 421, 466, 477
Форм-фактор динамический 464
	статический 467
Функция взаимодействия квазича-
квазичастиц 19, 25, 32, 41, 42
Циклотронная масса 305, 315, 336
Экситоны 350, 352
Экстремальные сечения ферми-по-
верхности 336
Электронные и дырочные траекто-
траектории 305
	ферми-поверхности 323
Электроны и дырки в диэлектрике
351, 352
—	проводимости 322
Эффективная масса 17, 18, 22, 41,
122
А-точка 122, 141-144, 187

Учебное издание
ЛИФШИЦ Евгений Михайлович
ПИТАЕВСКИЙ Лее Петрович
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Часть 2
Теория конденсированного состояния
(Серия: «Теоретическая физика», том IX)
Редакторы: Ю. Г. Рудой, Д. А. Миртова
Оригинал-макет: Е. Ю. Морозов
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 24.04.01. Формат 60x901/i6
Бумага офсетная №1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 31. Уч.-изд. л. 30
Заказ №
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная ул., 90
Отпечатано с диапозитивов
в РГУП «Чебоксарская типография № 1»
428019 Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК