«УД обо.	fJL Издание осуществлено при поддержке
^~91	^ |~| и Российского фонда фундаментальных
ББК 22.317	^	исследований по проекту 01-01-30008д
Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., РёпкеГ. Статистическая механика
неравновесных процессов. — М.: Физико-математическая литература, 2002. —
296 с. - ISBN 5-9221-0212-5 (Т. 2).
Книга представляет собой современный курс статистической теории нерав-
неравновесных процессов в классических и квантовых системах многих частиц. В от-
отличие от существующих учебников и монографий на эту тему, изложение тео-
теории кинетических, гидродинамических и релаксационных процессов основано на
едином методе, который является обобщением метода статистических ансамблей
Гиббса на неравновесные системы. Во втором томе излагаются метод неравновес-
неравновесных функций Грина, теория релаксационных и гидродинамических процессов, а
также теория гидродинамических функций.
Книга рассчитана на научных работников, аспирантов и студентов старших
курсов, работающих в области теоретической физики, химической физики, фи-
физики твердого тела, плазмы, газов и жидкостей.
Перевод с английского А.Г. Башкирова и И.В. Морозова под редакцией
В.Г. Морозова.
ISBN 5-9221-0210-9
ISBN 5-9221-0212-5 (Т. 2)	© ФИЗМАТЛИТ, 2002

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 6. Неравновесные корреляции и функции Грина	8
6.1.	Неравновесные термодинамические корреляции		9
6.1.1.	Неравновесные уравнения состояния		10
6.1.2.	Термодинамические функции Грина		12
6.1.3.	Теория возмущений для термодинамических функций Грина		16
6.1.4.	Термодинамические функции Грина ферми- и бозе-систем 		18
6.1.5.	Неравновесные корреляции в электронном газе		20
6.2.	Корреляции в частичном равновесии		28
6.2.1.	Термодинамические функции Грина в частичном равновесии		29
6.2.2.	Обобщенные восприимчивости в формализме функций Грина		32
6.2.3.	Диэлектрическая проницаемость системы заряженных частиц 		33
6.2.4.	Кинетические коэффициенты в формализме функций Грина		35
6.2.5.	Проводимость кулоновской плазмы		37
6.3.	Неравновесные временные функции Грина		40
6.3.1.	Основные определения		41
6.3.2.	Уравнения Дайсона		43
6.3.3.	Обобщенное кинетическое уравнение		47
6.3.4.	Квазичастичное приближение		50
6.3.5.	Связь между функциями Грина и одночастичной матрицей плотности .	56
6.3.6.	Граничные условия для временных функций Грина		58
6.4.	Квантовая кинетика с начальными корреляциями 		62
6.4.1.	Описание начального состояния с корреляциями		62
6.4.2.	"Смешанные" функции Грина		64
6.4.3.	Уравнение Дайсона на расширенном контуре		66
6.4.4.	Уравнения Дайсона для временных функций Грина		69
6.4.5.	Уравнение Дайсона для термодинамической функции Грина		71
6.4.6.	Уравнения Дайсона для перекрестных функций Грина		71
6.4.7.	Структура Т-матрицы на расширенном контуре		72
6.4.8.	Массовый оператор в приближении Т-матрицы 		76
6.4.9.	Кинетическое уравнение для пространственно однородной системы ...	77
Приложения		80
6А. Вычисление сумм по дискретным частотам		80
6Б. Вычисление диэлектрической проницаемости в методе функций Грина .	81
6В. Разложение по градиентам в кинетическом уравнении		84
6Г. Представление взаимодействия для смешанных функций Грина ....	85
Задачи 		87
Глава 7. Нелинейные релаксационные процессы	90
7.1. Слабо взаимодействующие подсистемы		90
7.1.1.	Обмен энергией между двумя подсистемами		90
7.1.2.	Кинетический коэффициент для обмена энергией		94
7.1.3.	Обмен частицами и энергией между подсистемами		97

ОГЛАВЛЕНИЕ
7.1.4. Теория горячих электронов в полупроводниках		100
7.2.	Основные кинетические уравнения 		104
7.2.1.	Обобщенное уравнение Паули		105
7.2.2.	Электронно-примесная система		110
7.2.3.	Классическая жидкость		114
7.3.	Релаксационные процессы в открытых системах 		117
7.3.1.	Основное кинетическое уравнение для системы в термостате		117
7.3.2.	Приближение слабого взаимодействия 		120
7.3.3.	Пример: квантовый осциллятор в термостате		121
7.3.4.	Квантовое уравнение Фоккера-Планка		123
7.4.	Кинетические процессы в лазерах		127
7.4.1.	Одномодовый лазер 		127
7.4.2.	Основное кинетическое уравнение для подсистемы поля и атомов ....	130
7.4.3.	Параметр накачки		132
7.4.4.	Атомные корреляции в лазере		134
7.4.5.	Уравнение Фоккера-Планка для лазера		135
Приложения		140
7А. Оператор производства энтропии в теории горячих электронов		140
7Б. Представление когерентных состояний		142
7В. Квантовые операторы в представлении когерентных состояний		145
7Г. Исключение атомных переменных в теории лазера		150
Задачи 		154
Глава 8. Гидродинамические процессы	158
8.1.	Общая теория гидродинамических процессов		158
8.1.1.	Локальные законы сохранения		158
8.1.2.	Обобщенные гидродинамические уравнения 		159
8.1.3.	Марковское и локальное приближения		161
8.2.	Процессы переноса в однокомпонентной жидкости		162
8.2.1.	Локальные законы сохранения для однокомпонентной жидкости ....	162
8.2.2.	Гидродинамика идеальной жидкости		165
8.2.3.	Локальные кинетические коэффициенты		169
8.2.4.	Коэффициенты переноса		173
8.2.5.	Диссипативные процессы в однокомпонентной жидкости		176
8.3.	Многокомпонентная жидкость		178
8.3.1.	Локальное равновесие в многокомпонентной жидкости 		178
8.3.2.	Процессы переноса в многокомпонентной жидкости		180
8.3.3.	Бинарная смесь		185
8.4.	Гидродинамика сверхтекучей жидкости 		187
8.4.1.	Равновесное состояние сверхтекучей жидкости		188
8.4.2.	Локально-равновесное состояние 		191
8.4.3.	Локальные термодинамические соотношения		193
8.4.4.	Гидродинамика идеальной сверхтекучей жидкости		196
8.4.5.	Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости		200
Приложения		207
8А. Термодинамические соотношения для классической жидкости 		207
8Б. Преобразование фазовых переменных в гидродинамике		210
8В. Оператор производства энтропии для сверхтекучей жидкости		212
Задачи 		214

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 9. Гидродинамические флуктуации	217
9.1.	Динамика крупномасштабных флуктуации		217
9.1.1.	Функция распределения для флуктуации		218
9.1.2.	Обобщенное уравнение Фоккера-Планка		220
9.1.3.	Разложение по градиентам		224
9.1.4.	Функциональная форма уравнения Фоккера-Планка		226
9.1.5.	Функционал энтропии		229
9.2.	Флуктуации в однокомпонентной жидкости		231
9.2.1.	Термодинамика флуктуации		232
9.2.2.	Коэффициенты дрейфа и диффузионная матрица		234
9.2.3.	Метод Ланжевена для гидродинамических флуктуации		237
9.3.	Линейные неравновесные флуктуации 		242
9.3.1.	Временные корреляционные функции		242
9.3.2.	Линеаризованные уравнения Ланжевена для простой жидкости ....	245
9.3.3.	Флуктуации плотности в неравновесном стационарном состоянии: звуко-
звуковые частоты		246
9.3.4.	Флуктуации плотности в неравновесном стационарном состоянии: низкие
частоты		251
9.4.	Статистическая механика турбулентности		254
9.4.1.	Статистическое описание турбулентного движения в жидкости		255
9.4.2.	Уравнение Фоккера-Планка в теории турбулентности		256
9.4.3.	Разделение переменных в уравнении Фоккера-Планка		260
9.4.4.	Уравнения Рейнольдса		261
9.4.5.	Энтропия и свободная энергия турбулентного движения		264
9.4.6.	Нормальные решения уравнения Фоккера-Планка		266
Приложения		270
9А. Оператор проектирования в теории флуктуации		270
9Б. Разложение матрицы перехода по градиентам		272
9В. Равновесное решение уравнения Фоккера-Планка		273
9Г. Вывод уравнения Фоккера-Планка из стохастических уравнений гидро-
гидродинамики 		275
Задачи 		278
Заключение 		280
Список литературы		285
Предметный указатель		290

ГЛАВА 6
НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ
ГРИНА
В главе 5 было показано, что линейная реакция многочастичных систем на меха-
механические и термические возмущения описывается обобщенными восприимчивостями и
кинетическими коэффициентами, которые связаны с равновесными временными кор-
корреляционными функциями и запаздывающими функциями Грина. В общем случае
кинетические коэффициенты выражаются через корреляционные функции в квази-
квазиравновесном ансамбле (см. главу 2). Для слабо неидеальных газов интересующие нас
величины можно вычислить элементарными методами, используя теорию возмущений
по слабому взаимодействию или плотности. Однако во многих задачах корреляцион-
корреляционные эффекты и взаимодействие отнюдь не малы, поэтому приходится суммировать
бесконечные последовательности членов в рядах теории возмущений. В таких случаях
необходимы более мощные методы, позволяющие, в принципе, производить подобное
суммирование.
Вообще говоря, в неравновесной статистической механике мы встречаемся с кор-
корреляциями двух типов. Термодинамические корреляции описываются оператором эн-
энтропии S(t) в квазиравновесном распределении gq(t) = ехр{ — S(t)}, в то время как
динамические корреляции описываются членом взаимодействия в гамильтониане Я. В
теории линейной реакции обычно нет необходимости разделять термодинамические и
динамические корреляции, поскольку оператор энтропии в равновесном распределении
Гиббса полностью определяется гамильтонианом системы. Это обстоятельство позво-
позволяет учесть корреляции обоих типов в рамках единого метода. Наиболее популярным
методом такого рода является формализм функций Грина, зависящих от "мнимого
времени". Он впервые был предложен Мацубарой [126] и затем развивался многими
авторами. Метод "мацубаровских" функций Грина и его многочисленные приложения
излагаются, например, в книгах [1, 64, 123].
Проблема многочастичных корреляций в сильно неравновесных состояниях явля-
является значительно более сложной, поскольку уровень описания долгоживущих термо-
термодинамических корреляций теперь определяется набором базисных переменных, ко-
которые входят в оператор энтропии. С другой стороны, динамические корреляции по-
прежнему описываются членом взаимодействия в гамильтониане, независимо от спосо-
способа задания неравновесного состояния. Следует также иметь в виду, что характеристики
неравновесных термодинамических корреляций изменяются со временем по мере того,
как изменяется само неравновесное состояние.
Распространение метода функций Грина на сильно неравновесные системы в значи-
значительной степени было стимулировано книгой Каданова и Бейма [95], а также работой
Келдыша [19]. В настоящее время этот метод применяется в основном для вывода кван-
квантовых кинетических уравнений, описывающих ферми- и бозе-системы [49, 55, 56]. К
сожалению, сам по себе формализм функций Грина не позволяет далеко продвинуть-
продвинуться в решении проблемы неравновесных многочастичных корреляций. Причина этого
состоит в следующем. Мы видели в главе 4, что структура кинетического уравнения,

6.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИИ	9
которое выводится с помощью какого-либо приближенного метода, существенно зави-
зависит от граничных условий для приведенных матриц плотности. Важно отметить, что
разработанный к настоящему времени метод функций Грина основан на граничном
условии полного ослабления начальных корреляций, который аналогичен граничному
условию Боголюбова к цепочке уравнений для матриц плотности [109]. Как мы знаем,
такое граничное условие применимо лишь в тех случаях, когда неравновесный про-
процесс в системе достаточно хорошо описывается кинетическим уравнением типа урав-
уравнения Больцмана для слабо взаимодействующих квазичастиц. Для плотных систем с
сильным взаимодействием необходимо использовать более общие граничные условия,
включающие долгоживущие корреляции1). Фактически это означает, что нужно явно
строить статистические ансамбли, описывающие неравновесные корреляции в много-
многочастичных системах.
В этой главе мы обсудим проблему термодинамических и динамических корреля-
корреляций с точки зрения связи между методом функций Грина и методом неравновесного
статистического оператора2). Оба подхода весьма часто используются в теории нерав-
неравновесных процессов и, как следует из сказанного выше, их объединение кажется со-
совершенно естественным. Мы увидим, однако, что это далеко не тривиальная задача,
поэтому ряд разделов настоящей главы можно рассматривать лишь как первые шаги
на пути к ее решению.
6.1. Неравновесные термодинамические корреляции
С проблемой неравновесных термодинамических корреляций мы встречаемся, на-
например, при попытке решить уравнения самосогласования
(РтУ=Тг{Ртвд(Ь)},	F.1.1)
где
M*)=e"S(t)	F-1.2)
— квазиравновесный статистический оператор и
3	Х>	F.1.3)
— оператор энтропии3). Соотношения F.1.1) имеют смысл неравновесных уравне-
уравнений состояния и определяют термодинамические параметры Fm(t) как функции (или
функционалы) от наблюдаемых (РпУ • Так как в общем случае базисные динамические
переменные Рт представляются многочастичными операторами, то средние значения
в правых частях уравнений F.1.1) содержат вклады от термодинамических корреляций
в квазиравновесном ансамбле.
Ч Этот аспект кинетической теории обсуждался в разделах 3.3.4 и 4.3.3 в рамках метода неравновес-
неравновесного статистического оператора.
2)	По понятным причинам мы не можем подробно изложить стандартные методы функций Грина,
разработанные к настоящему времени. Читателю, не знакомому с методом равновесных "мацубаров-
ских" функций Грина, мы рекомендуем обратиться к хорошо известным книгам [1, 64]. Современное
изложение метода неравновесных временных функций Грина, ориентированное на приложения к ки-
кинетической теории, имеется в прекрасных обзорах [49, 55].
3)	Квазиравновесные распределения подробно рассмотрены в параграфе 2.1 первого тома.

10	ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Далее, термодинамические восприимчивости
^ = (Pm,Pnyq	F.1.4)
выражаются через квазиравновесные корреляционные функции
1	1
{А,В)*д= fdx(AAgxABg-x)tq = fdx(AAe-x§{t)ABex§^\	F.1.5)
о	о
где АА — А — (A)q и АВ = В — (B)q. Мы видим, что при вычислении восприимчивостей
также необходимо учитывать многочастичные термодинамические корреляции.
В этом параграфе мы изложим общий подход к исследованию термодинамических
корреляций в квазиравновесных состояниях, основанный на технике функций Грина.
Будут рассматриваться квантовые ферми- или бозе-системы.
6.1.1. Неравновесные уравнения состояния. Даже в случае тепло-
теплового равновесия точное решение уравнений состояния возможно лишь для некоторых
простых моделей. Обычно приходится применять приближенные методы, в частности,
теорию возмущений по взаимодействию или плотности, рассматривая систему невзаи-
невзаимодействующих частиц как нулевое приближение. Если нельзя ограничиться несколь-
несколькими первыми членами теории возмущений, то довольно часто задача состоит в том,
чтобы выделить последовательность "главных" членов и выполнить ее суммирование.
В этих случаях удобен формализм "мацубаровских" или "температурных" функций
Грина, для вычисления которых разработана диаграммная техника [1]. Ниже мы по-
покажем, как аналогичная техника может быть построена и для неравновесных систем.
Как мы знаем, при изучении многочастичных квантовых систем наиболее удобно
использовать представление вторичного квантования, вводя операторы поля частиц
Фа(г) и Фа(г) или операторы рождения и уничтожения а] и а1 для некоторого базиса
одночастичных квантовых состояний |/). Естественно и квазиравновесный статисти-
статистический оператор F.1.2) записывать в этом представлении. В общем случае оператор
энтропии F.1.3) можно представить в виде ряда1)
Как обычно, функция Масье-Планка Ф(?) определяется из условия нормировки для
Qq(t), а множители Лагранжа Sj(/',/;?), s2{l'll'2^lll2]t) и т.д. находятся из условий са-
самосогласования
;,-¦-, F.1.7)
где
2,l'1l'2;t) = {a\a\alialjt,...	F.1.8
неравновесные приведенные матрицы плотности.
Ч Для простоты мы предполагаем, что в неравновесном состоянии "аномальные" средние типа
(flj/flj)g равны нулю.

6.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИИ	11
Если в разложении оператора энтропии F.1.6) оставить только члены с si (/',/;?)
и s2{l'il'2iWh'^)i т0 эт0 будет означать, что неравновесное состояние системы задается
значениями одночастичной и двухчастичной матриц плотности. Как уже отмечалось в
разделе 4.3.3 из первого тома, квазиравновесный статистический оператор такого типа
описывает важные долгоживущие корреляции — двухчастичные связанные состояния
и корреляции, обусловленные законом сохранения энергии. Кроме того, в равновесии
он совпадает с точным распределением Гиббса. В дальнейшем, чтобы не усложнять
формальную сторону дела, мы ограничимся таким описанием неравновесного состоя-
состояния, хотя, как мы увидим, излагаемый ниже подход применим, в принципе, и к более
общим квазиравновесным распределениям.
Для наших целей будет удобно записывать оператор энтропии F.1.6) в виде1)
fS",	F.1.9)
где оператор
~~	04az	F.1.10)
соответствует некоррелированным частицам, а член
О / j ^ i. Zi I Zi *2 1 1 2
описывает двухчастичные корреляции. Квазиравновесное распределение можно те-
теперь выразить через S0 и S1:
Qq = е~§ = e-(S°+§l) /Tr e-^+^J .	F.1.12)
Предположим, что мы хотим решить уравнения состояния F.1.7) относительно ла-
гранжевых параметров s1(l',l) и s2(l[l2,lil2), рассматривая одночастичную и двух-
двухчастичную матрицы плотности как заданные величины. С этой целью мы сначала
запишем квазиравновесный статистический оператор в виде ряда по степеням корре-
корреляционного члена Sf. Используя тождество (см. приложение 2Б в первом томе)
/ }	\
еА+в =еА 11+ / dxe-xABex{A+B)\,	F.1.13)
V о	/
справедливое для произвольных операторов А и В, получаем уравнение
1
которое легко решается итерациями. Подставляя результат в формулу F.1.12), нахо-
находим искомое разложение квазиравновесного оператора по степеням корреляционного
члена S'\
,У4vT
TrL-s0exp+(-Jdxex§0S'e-*§0\ I
Ч Ради упрощения формул мы будем опускать фиксированный аргумент t.

12 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
где ехр+(...) — упорядоченная экспонента1).
Теперь условие самосогласования F.1.7) для одночастичной матрицы плотности
можно записать в виде
ехр+ < - jdx exS° Sf e xS°>a],al
я
где символом (...)° обозначено среднее значение, вычисленное со статистическим опе-
оператором
g°q = e~s° /Тге° .	F.1.16)
Аналогичное условие для двухчастичной матрицы плотности имеет вид
I о
. о
пх§° д'„-х§° [jj
ехр, < - f dx exS° S' e xS° > a], a], a, a
Важным обстоятельством является то, что после разложения упорядоченных экспо-
экспонент в ряды по S' все средние значения в правых частях уравнений F.1.15) и F.1.17)
вычисляются с помощью теоремы Вика, поскольку невозмущенный оператор энтро-
энтропии F.1.10) есть билинейная форма от операторов рождения и уничтожения. Для
слабо неидеальных квантовых газов множитель Лагранжа ^Ci^j'i^) игРает роль
малого параметра. В этом случае уравнения F.1.15) и F.1.17) можно решить мето-
методом итераций (см. задачу 6.1). Если корреляции дают существенный вклад в неравно-
неравновесные термодинамические величины, то метод итераций непригоден и требуется по
крайней мере частичное суммирование формальных рядов теории возмущений. Как
уже отмечалось, для равновесных систем суммирование такого рода наиболее удобно
проводится в технике температурных функций Грина. Поэтому естественно построить
аналогичную технику и для неравновесных состояний.
6.1.2. Термодинамические функции Грина. Мы видели в начале па-
параграфа, что в неравновесной термодинамике величинами, представляющими интерес,
являются средние значения динамических переменных и их корреляционные функ-
функции F.1.5) в квазиравновесном ансамбле2). Однако диаграммная техника может быть
построена не для них, а для специальных величин, которые мы назовем термодина-
термодинамическими функциями Грина2*).
Начнем с того, что для любого оператора А введем термодинамическое представ-
представление Гайзенберга
Ан(х)=ех§Ае-х§ = ех^°+^Ае-х^°+§'\	F.1.18)
Ч Определение упорядоченной экспоненты см. в приложении 1А из первого тома
2)	В дальнейшем будем предполагать, что корреляционные функции (А1А2 ...А3)я рассматриваются
для операторов, средние значения которых в квазиравновесном состоянии равны нулю. Этого всегда
можно добиться с помощью замены А^^- А^ — (А^я.
3)	Как мы скоро увидим, термодинамические функции Грина являются естественным обобщением
равновесных "мацубаровских" функций Грина.

6.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИИ	13
где х — действительная переменная. Для двух динамических переменных Аг и А2 в
этом представлении определим термодинамическую функцию Грина как
SA1AM^2) = -rPr{gqT^[A1H(x1)A2H(x2)}}.	F.1.19)
Символом Т? обозначена операция "хронологического" упорядочения операторов по
значениям переменной ж, т.е.
F.1.20)
где 0(х) — ступенчатая функция, равная нулю при х < 0 и единице при х > 0. Множи-
Множитель rj — (—1)^ вводится для ферми-систем; V есть число перестановок фермиевских
операторов рождения и уничтожения, требуемое для преобразования произведения
АгА2 в А2А1. Вспомнив явное выражение F.1.2) для квазиравновесного статистиче-
статистического оператора, легко убедиться в том, что функция Грина F.1.19) зависит только от
разности аргументов х\ — х2 и определена в интервале от х\ — х2 — — 1 до х\ — х2 — 1,
где сходится след произведения операторов.
Зная функцию Грина, можно вычислить квазиравновесные средние значения про-
произведения операторов Ах и А2. Из формул F.1.19) и F.1.20) ясно, что эти средние
значения находятся как предельные величины
f>xi)>	F-L21)
= -V }™oOa1a2(xi>xi + 6) = -vGAlA,(xi^t)-	F-1-22)
Здесь и в дальнейшем мы используем обозначение
F{x±)= lim F{x±S),
которое определяет правило вычисления предельного значения функции. Для квази-
квазиравновесной корреляционной функции F.1.5) имеем полезное соотношение
1
(Аг,А2)ч = JdxgAiA2(x+,0).	F.1.23)
О
Ниже мы получим другие формулы, связывающие термодинамические функции Грина
со средними значениями в квазиравновесном ансамбле.
Функция Грина F.1.19) удовлетворяет важному соотношению1)
Оа1аЛх + 1) = гЮа1а2(х) (-К яг < 0),	F.1.24)
где Q(x) = Q{x\ — X'l). Его легко проверить, используя формулу F.1.18) и производя
циклическую перестановку операторов под знаком следа в F.1.19). Между прочим,
из F.1.24) видно, что термодинамическая функция Грина является периодической
функцией в интервале — 1 < х < 1, независимо от знака rj.
Ч Аналогичное соотношение для равновесных "мацубаровских" функций Грина часто называется
условием Кубо-Мартина-Швингера.

14 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Так как термодинамическая функция Грина Ga1a2(xiix2) зависит от разности ар-
аргументов х = хг — х2, то ее можно разложить в ряд Фурье
iz"xGA1AAizl,),	F.1.25)
где v — О, =Ы, dz2, .... Фурье-компоненты функции Грина даются формулой
1
dxetz"x Ga1a2{x)-	F.1.26)
-i
Из разложения F.1.25) следует, что условие F.1.24) выполняется, только если
ехр(—%Zy) — г]. Таким образом, фурье-компоненты функции Грина отличны от ну-
нуля лишь для частот
B^ + 1)тг	G/ = —1),
2,п	(п = 1).	F-L27)
Отметим, что в обоих случаях, в силу условия F.1.24), фурье-компоненты F.1.26)
можно записать как
1
GAlA2 {izv) = fdx eiz»x GAlA2 (x).	F.1.28)
о
Подставляя ряд Фурье F.1.25) в формулы F.1.21) и F.1.22), находим, что
F-1.30)
Эти соотношения обычно наиболее удобны для вычисления средних значений1).
Получим теперь спектральные представления для термодинамических функций
Грина. Пусть | %) и Si — собственные состояния и собственные значения оператора
энтропии2), т.е.
С I " \ п I "\	(п -1 О1 \
Ь \г) = Ьг\г).	F.1.31)
Тогда
Лр—Si ~ — {xi — x2)(Si — Sj)
Ч В приложении 6А показано, как суммы по дискретным частотам zv можно преобразовать в кон-
контурные интегралы по комплексной переменной z.
2) Мы предполагаем, что оператор энтропии имеет полный ортонормированный набор собственных
состояний. Ясно, что это накладывает некоторые ограничения на выбор базисных динамических пе-
переменных Рт.

6.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИИ	15
Заметим, что эти выражения можно представить в виде интегралов
оо
(A2H{x2)AlH{Xl))q= j ^JA2Ai(u)e~n^-^	(Xl-Xi>-1), F.1.32)
(A1H{Xl)A2H(x2))g= J ^JMAl{il)eae-a^-x^	(хг-х2<1), F.1.33)
— ОО
где введена термодинамическая спектральная плотность
Из формул F.1.32) и F.1.33) сразу видно, что спектральная плотность удовлетворяет
условию симметрии
Подставим теперь выражения F.1.32) и F.1.33) в F.1.19) и выполним преобразование
Фурье F.1.26). Интеграл по х = хг — х2 легко вычисляется и мы приходим к спектраль-
спектральному представлению для термодинамической функции Грина
ОО
= ^ / -^7 {<? -ч)
Оно напоминает формулу для образа Лапласа временной функции Грина, полученную
в параграфе 5.2 первого тома:
ОО
^1^ (W ) ^>'),	FЛ-37)
где
г Е^ (^И\	F.1.38)
— спектральная плотность, \т) и ?т — собственные состояния и собственные значе-
значения гамильтониана И = Я — fiN и Z — равновесная статистическая сумма1). В разде-
разделе 5.2.6 мы видели, что спектральная плотность равновесных временных корреляци-
корреляционных функций может быть получена из разности предельных значений ((^ll^b))^^
функции Грина ((^i|^2))z, определенной в комплексной плоскости z. Точно так же
мы можем найти спектральную плотность ^7^@), вводя обобщенную термодинами-
термодинамическую функцию Грина 6a1a2(z) Для комплексных значений переменной z:
ОО
= ^ / ^
Ч Напомним, что в теории линейной реакции используются коммутаторные функции Грина, ко-
которые связаны с обобщенными восприимчивостями. Если ц — —1, то формула F.1.36) аналогична
спектральному представлению для так называемой антикоммутаторной функции Грина [3, 10].

16 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Эта функция состоит из двух ветвей, одна из которых аналитична в верхней, а другая —
— в нижней полуплоскости z. Следует отметить, однако, что здесь мы сталкиваемся
с проблемой, хорошо известной в теории функций комплексной переменной. Вообще
говоря, нужно доказать, что F.1.39) является единственной аналитической функци-
функцией, совпадающей с Ga1a2^zv) в точках последовательности %zv. На основании работы
Бейма и Мермина [44] можно утверждать, что аналитическое продолжение F.1.39) яв-
является единственным, если $a1a2{z) ~ z~l при \z\ —> оо. Мы будем предполагать, что
для представляющих интерес спектральных плотностей это условие выполняется, хотя
его прямая проверка в конкретных задачах может оказаться непростым делом.
Положим теперь в формуле F.1.39) z = ?l±ie и воспользуемся под знаком инте-
интеграла тождеством
lim 	= Р-тгтг6(х),	F.1.40)
где символ Р означает главное значение интеграла. Тогда мы получим соотношение
GAlA2(fi + iO) ~ GAlA2(" - *'0) = -i (еП - V) Ja2Ai Ф),	F-1-41)
с помощью которого вычисляется термодинамическая спектральная плотность, а за-
затем, с учетом F.1.32), и среднее значение произведения двух операторов:
оо
= J ^JAiAl(O).	F.1.42)
Зная спектральную плотность, можно также вычислить квазиравновесную корреля-
корреляционную функцию:
оо
2^-jj-.7Wn)>
где мы воспользовались спектральным разложением F.1.33).
По аналогии с термодинамическими функциями Грина для двух операторов вво-
вводятся более общие функции
gi2_n{xux2,...,xn) = Tr{gqT^[A1H{x1)A2H{x2)---AnH{xn)}}.	F.1.44)
Символом Т? обозначена процедура упорядочения, в результате которой операторы
располагаются слева направо в порядке убывания значений переменной х. Для ферми-
систем, как и раньше, вводится множитель г\ — (—1)^, где V — число перестановок
фермиевских операторов при упорядочении. Благодаря инвариантности следа относи-
относительно циклической перестановки операторов, функция F.1.44) зависит фактически от
п — 1 независимых переменных. Выполняя фурье-преобразование по этим переменным,
можно выразить функции типа F.1.44) через спектральные плотности, зависящие от
нескольких частот. Впрочем, для практического вычисления средних значений такое
представление менее удобно, чем спектральное представление функций Грина F.1.19).
6.1.3. Теория возмущений для термодинамических функций
Грина. Свойства термодинамических функций Грина зависят в значительной сте-
степени от явной формы оператора энтропии S(t). Практические применения метода
функций Грина основаны на диаграммной технике, которую удается построить в тех

6.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИИ	17
случаях, когда оператор энтропии имеет вид суммы S(t) = Ф(?) + S°(t) + S'(t), при-
причем функции Грина легко вычисляются, если оставить только невозмущенную часть
оператора энтропии S°(t). В этом разделе мы получим формальное разложение тер-
термодинамических функций Грина F.1.44) по степеням "возмущения" S'(t) в операторе
энтропии.
Рассмотрим сначала произведение операторов AlH(xi)A2H(x2) ••• АкН(хи) в пред-
представлении F.1.18). Введем также операторы в термодинамическом "представлении вза-
взаимодействия" Ч
Aj{x)=ex§°Ae-x§°	F.1.45)
и заметим, что произведение гайзенберговских операторов выражается через операто-
операторы в представлении взаимодействия:
A1H(x1)-AkH(xk)=UI(O,x1)A1i(x1)Ul(x1,x2)-Aki(xk)Ul(xk,O), F.1.46)
где введен термодинамический оператор эволюции
Uj(x,x') = ех§° е-(*-*')(§°+§') е-ж'§°.	F.1.47)
Этот оператор обладает групповым свойством
UI(x,x")UI(x",x')=UI(x,x')	F.1.48)
и удовлетворяет уравнению
dU'^X>) =-S'I{x)UI{x,xl)	F.1.49)
с очевидным начальным условием Ы1(х1х) = 1. Поэтому его можно записать как упо-
упорядоченную экспоненту
- fdx"S'j(x")
Для наших целей, однако, будет удобно несколько изменить операцию упорядочения
в этой формуле, включив множитель г\ — (—1)^ для фермиевских операторов, т.е.
переходя от простого хронологического упорядочения к Т-упорядочению по перемен-
переменной х. При решении уравнения F.1.49) обе процедуры упорядочения эквивалентны,
поскольку S' всегда содержит четное число фермиевских операторов. Итак, для тер-
термодинамического оператора эволюции мы имеем выражение
F.1.50)
J	J	L	J
x' x'	x'
Ч Термин "представление взаимодействия" традиционно используется в методе равновесных функций
Грина [1, 64], где возмущение описывается оператором взаимодействия в гамильтониане. В контексте
квазиравновесных термодинамических функций Грина было бы логичнее говорить, скажем, о "пред-
"представлении корреляций", однако мы не будем усложнять терминологию.

18 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Отметим, что и квазиравновесный статистический оператор F.1.14) выражается через
операторы S'j(x) с новым определением упорядочения:
{ }
Тг
где символ (.. .)°q означает усреднение со статистическим оператором F.1.16).
Теперь, используя формулы F.1.46) и F.1.51), мы можем записать
°\А (х) А fx.ll ,ог
х[А1Н\х1) АкН\хк)\ - Qq
Отсюда сразу же следует такое представление для функции Грина F.1.44):
Gi2...n(xi,-,xn) = -	j1	—	—о	—¦ F-1.52)
Эта формула служит основой для вычисления термодинамических функций Грина по
теории возмущений и для построения диаграммной техники. Конечно, сама схема те-
теории возмущений будет эффективна только в тех случаях, когда средние значения со
статистическим оператором (pq вычисляются достаточно просто. Конкретные прави-
правила теории возмущений определяются явным видом оператора энтропии, т. е. выбором
базисных динамических переменных Рт, средние значения которых задают неравно-
неравновесное состояние системы.
6.1.4. Термодинамические функции Грина ферми- и бозе-
систем. В качестве типичного примера рассмотрим теорию возмущений и диа-
диаграммную технику для термодинамических функций Грина ферми- и бозе-систем1).
Начнем с обозначений и определений. В дальнейшем операторы рождения и уни-
уничтожения в "термодинамическом представлении Гайзенберга" F.1.18) будем записы-
записывать как агн(к) и ан(к), где аргумент (к) = Aк,хк) содержит квантовые числа 1к
одночастичных состояний и переменную хк, которая определяет "эволюцию" опера-
операторов с полным оператором энтропии 2). Те же самые операторы в термодинамическом
представлении взаимодействия F.1.45) будут обозначаться как а\(к) и аг(к). Наконец,
обозначения а\ = а\к ий^е alk оставим для операторов в представлении Шредингера.
Одночастичная термодинамическая функция Грина определяется соотношением
F.1.53)
Ч Содержательную теорию можно построить и в ряде других случаев, например, для спиновых си-
систем [7].
2) Следует иметь в виду, что в данном случае оператор а*н(к) не является эрмитово сопряженным к
ан(к).

6.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИИ	19
где упорядоченное по переменной х произведение операторов F.1.20) включает мно-
множитель
\ -1 (для фермионов),
rj=<	F.1.54)
[ 1 (для бозонов).
Из обсуждения в разделе 6.1.2 ясно, что, зная одночастичную функцию Грина, можно
вычислить квазиравновесные средние значения динамических переменных, которые
являются билинейными формами от операторов рождения и уничтожения1). Много-
Многочастичные корреляции в квазиравновесном состоянии описываются термодинамиче-
термодинамическими функциями Грина высших порядков. Определим s-частичную функцию Грина
с помощью соотношения
F.1.55)
Тогда квазиравновесные средние значения s-частичных операторов и s-частичные кор-
корреляционные функции можно выразить через 6A... s,V ... s') формулами, которые
аналогичны формулам F.1.21)-F.1.23) (см. задачу 6.4).
В случае ферми- или бозе-систем естественно взять в качестве невозмущенного
оператора энтропии 5° оператор F.1.10) и рассматривать члены более высокого по-
порядка по операторам рождения и уничтожения как возмущение S'. В частности, если
неравновесное состояние задается значениями одночастичной и двухчастичной матриц
плотности, то оператор S' имеет вид F.1.11).
Для одночастичной функции Грина F.1.53) общая формула F.1.52) дает
ыА-} dxS',(x)\ a,{\)а}BI \
0A.2) = ~ '	°	.,о	-	F-1-56)
Аналогичные формулы легко записать и для s-частичных функций Грина F.1.55).
Рассмотрим теперь средние значения вида
F.1.57)
где каждый из операторов Ai — либо оператор рождения, либо оператор уничтожения,
а усреднение ведется с распределением ?° = ехр{ — 5°}/Тгехр{ — 5°}, причем S0 —
— билинейная форма от операторов рождения и уничтожения. Важным обстоятель-
обстоятельством является то, что для средних значений F.1.57) справедлива теорема Вика [1, 64],
согласно которой эти средние выражаются через одночастичные функции Грина.
Назовем спариванием операторов величину
0	F.1.58)
Ч Для сверхтекучих и сверхпроводящих систем приходится рассматривать также функции Грина
^A,2) = Тг{дяТ$[анA)анB)]} , ^A,2) = Tv{gqTcx [4,AL,B)]} ,
которые связаны с "аномальными" средними (a1a2)q и (a\a\)q.

20 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
и введем полную систему спариваний AiiI(xi1)Ai2l(xi2) ••• Aik_iI(xik_1)AikI(xik), где
операторы расставлены в указанном порядке, а затем первый оператор спаривается со
вторым, третий — с четвертым и т.д. Для фермионов каждой полной системе спа-
спариваний приписывается множитель (—1)^, где V — число перестановок фермиевских
операторов, переводящих исходное произведение А\А^---А^ в А{1А{2---А{к. Теорема
Вика утверждает, что среднее значение F.1.57) равно сумме всех полных систем спа-
спариваний1). Теорема Вика для средних значений упорядоченных произведений была
впервые доказана Мацубарой [126] в теории равновесных функций Грина. Она по-
подробно обсуждается во многих книгах (см., например, [1, 64]). Отметим, однако, что
фактически доказательство теоремы Вика опирается лишь на тот факт, что стати-
статистический оператор д° описывает идеальный квантовый газ. Поэтому теорема Вика
автоматически переносится и на квазиравновесные состояния2).
С помощью теоремы Вика каждый член разложения s-частичной термодинами-
термодинамической функции Грина F.1.55) по S' может быть выражен через произведения "сво-
"свободных" одночастичных функций Грина, вычисляемых со статистическим оператором
,al > .
и'	) i	к iv	)
Для суммирования бесконечных последовательностей членов ряда теории возмущений
очень удобна диаграммная техника, которая практически не отличается от диаграмм-
диаграммной техники для равновесных систем (см. [1, 64]), поскольку квазиравновесные термо-
термодинамические функции Грина имеют ту же алгебраическую структуру, что и равновес-
равновесные "мацубаровские" функции Грина. Как и в равновесном случае, учет знаменателей
в выражениях типа F.1.56) приводит к сокращению вкладов несвязных диаграмм.
Таким образом, графическое представление для одночастичной термодинамической
функции Грина получается из формулы
^ii
J^ (-1)п Г	Г	^	+	п
0A,2) = - V-—/- / dx\-" \ dx'n(T^[S'I{x/1)---S/I{x/n)aI{l)a\{2)]) , F.1.59)
где символ (• • -)св означает учет только связных диаграмм. Аналогичная формула для
произвольной 5-частичной термодинамической функции Грина очевидна. Конкретные
правила построения диаграмм зависят от явного вида возмущения S' в операторе эн-
энтропии. Ниже мы рассмотрим один иллюстрирующий пример.
6.1.5. Неравновесные корреляции в электронном газе. В каче-
качестве примера использования метода термодинамических функций Грина рассмотрим
неравновесные уравнения состояния электронного газа. Будем считать, что положи-
положительные заряды образуют однородный компенсирующий "фон".
Ч Эта теорема аналогична теореме Вика-Блоха-Доминисиса для средних значений (Ai А% • • • А^)° (см.
раздел 2.2.3 и приложение 2А в первом томе). Различие между теоремами заключается лишь в опреде-
определении спаривания операторов. В теореме Вика-Блоха-Доминисиса для обычных средних спаривание
П
определяется как A{Aj— (AiAj)°.
2) Теорема Вика справедлива и в случае, когда статистический оператор ?° имеет вид
(	Л
где а^, и Рц, — некоторые коэффициенты (для квазиравновесного состояния — множители Лагранжа),
С — нормировочная постоянная. Нужно лишь учесть, что теперь полная система спариваний включает
"аномальные" средние типа (T^[a/(l)°

6.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИИ	21
Как известно, из-за дальнодействующего характера кулоновского взаимодействия
необходимо учитывать многочастичные корреляции, приводящие к экранированию. В
равновесном случае для получения термодинамических уравнений состояния электрон-
электронного газа методом функций Грина необходимо просуммировать бесконечную последо-
последовательность диаграмм, описывающих эффекты поляризации [64]. Мы хотим обобщить
этот подход на неравновесные состояния. Для этого прежде всего нужно построить
соответствующее квазиравновесное распределение.
Экранирование кулоновского взаимодействия возникает из-за флуктуации концен-
концентрации электронов. Фурье-компоненты динамических переменных, описывающих эти
флуктуации, в представлении вторичного квантования имеют вид
aUk,.<v- F-L6°)
В последнем выражении фермиевские операторы рождения и уничтожения соответ-
соответствуют одночастичным состояниям с заданным импульсом р и проекцией спина а. Из
формулы F.1.60) следует, что эффекты поляризации связаны с двухчастичными корре-
корреляциями. Поэтому при построении квазиравновесного статистического оператора есте-
естественно выбрать в качестве наблюдаемых одночастичную и двухчастичную матрицы
плотности. Этот вариант термодинамического описания неравновесных состояний мы
уже обсуждали в разделе 6.1.1. Из физических соображений ясно, однако, что наибо-
наиболее важные корреляции, приводящие к экранированию кулоновского взаимодействия,
описываются средними значениями (д^д^У при достаточно малых волновых векторах
кик7. Поэтому имеет смысл упростить термодинамическое описание неравновесного
состояния, выбрав именно эти средние в качестве наблюдаемых. Таким образом, пред-
предполагая, что неравновесное состояние является пространственно однородным1), мы
имеем два условия самосогласования:
F-1.61)
ч	F-1-62)
Одночастичная функция распределения /(р;?) в уравнении F.1.61) и корреляционная
функция в левой части уравнения F.1.62) — заданные неравновесные параметры со-
состояния. Для простоты будем считать, что /(р;?) не зависит от спинового состояния
частицы.
Следуя общей теории квазиравновесных ансамблей, изложенной в разделе 2.1.2 пер-
первого тома, находим, что квазиравновесный статистический оператор, соответствующий
приведенным выше условиям самосогласования, имеет вид F.1.12), где операторы S0
и S' даются формулами 2)
F.1.63)
U,<,«pv'aP.- FЛ-64)
р,р',сг,сг' к
Ч Для пространственно неоднородной системы в рамках этого предположения мы получим локальные
уравнения состояния, если масштаб неоднородности значительно превышает радиус Дебая.
2) Фиксированный аргумент t не выписываем.

22 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Штрих у суммы по к означает, что член с к = 0 должен быть опущен1). Множители
Лагранжа sx(p) и s2(k) должны быть найдены из условий F.1.61) и F.1.62), которые
в данном случае играют роль неравновесных уравнений состояния.
Отметим, что квазиравновесный статистический оператор F.1.12) совпадает с рав-
равновесным распределением Гиббса, если множители Лагранжа в формулах F.1.63)
и F.1.64) имеют вид
4тг р
{)	F.1.65)
где Т и /I — равновесная температура и равновесный химический потенциал элек-
электронного газа. Обратим также внимание на то, что в случае равновесного состояния
s2q(k) не является независимым параметром, поскольку равновесные корреляционные
функции полностью определяются гамильтонианом системы и зависят только от тем-
температуры и химического потенциала, которые находятся из условий самосогласования
для средней энергии и среднего числа электронов.
Для неравновесной системы электронов параметры sx(p) и s2(k) являются неко-
некоторыми функционалами от одночастичной функции распределения /(р;?) и корреля-
корреляционной функции (?_k?k)f. По аналогии с равновесным случаем [см. F.1.65)] следует
ожидать, что функция s2(k) сингулярна в пределе к —> 0, поэтому при вычислении
средних значений в правых частях уравнений F.1.61) и F.1.62) вклад членов с малы-
малыми к необходимо учесть во всех порядках теории возмущений по оператору S'. С этой
целью наиболее удобно воспользоваться диаграммной техникой для термодинамиче-
термодинамических функций Грина.
Сначала рассмотрим одночастичную термодинамическую функцию Грина, которая
в данном случае определяется как
}	-х')даа,, F.1.66)
причем Q(p,x) уже не зависит от спиновых индексов. Преобразование Фурье F.1.28)
по переменной х дает
1
a,= J
где zv — Bv + 1)тг — "нечетные" частоты.
Получим диаграммное представление для функции Грина Qaa'{pJizl,). Для это-
этого мы воспользуемся общей формулой F.1.59), в которой 0/A) = aI(p1,ai,xi) и
0/B) = О/(р2,0,ж2) — операторы в представлении взаимодействия с невозмущенным
оператором энтропии F.1.63). Если пренебречь корреляционным членом S", то среднее
значение легко вычисляется в явном виде и после преобразования Фурье по переменной
х находим "свободную" одночастичную функцию Грина
к.	F.1.67)
%zv — s
На диаграммах свободная функция Грина будет изображаться тонкой сплошной лини-
линией со стрелкой, которая указывает направление от второго аргумента функции Грина
Ч Поскольку полное число электронов есть интеграл движения, легко показать, что этот член можно
включить в невозмущенный оператор энтропии 5°.

6.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИИ	23
к первому1). Полная функция Грина будет изображаться жирной сплошной линией с
тем же правилом выбора направления. В импульсном представлении эти два элемента
диаграммной техники имеют вид
-стст^' "'	p,zv	->«а^^-~„,	PfZv	FL68)
Функции G°{p,izl/) и Gip^iz^), которые не зависят от спиновых переменных, будут
изображаться тонкой и жирной линиями без аргументов а и а'.
Введем также графическое изображение для множителя Лагранжа s2(k) в опера-
операторе возмущения F.1.64):
Как мы увидим дальше, удобно приписать этому графическому элементу "четную" ча-
частоту ujVi хотя, конечно, при записи явного выражения, соответствующего диаграмме,
нужно учесть, что функция У°(к,го;1/) не зависит от частоты2).
С помощью введенных выше графических элементов можно дать наглядное диа-
диаграммное представление любого члена в разложении одночастичной функции Грина
Qacri{v^zi) п0 степеням возмущения S' в операторе энтропии. Как мы уже отмечали,
правила диаграммной техники для термодинамических и равновесных мацубаровских
функций Грина фактически совпадают. Формально выражение F.1.64) для корреляци-
корреляционной части оператора энтропии аналогично выражению для оператора двухчастично-
двухчастичного взаимодействия в гамильтониане. Поэтому мы просто воспользуемся результатами
анализа рядов теории возмущений для мацубаровских функций Грина [1, 64], внося
необходимые изменения, связанные с рассматриваемой задачей. Итак, в импульсном
представлении правила построения диаграммного разложения одночастичной термо-
термодинамической функции Грина состоят в следующем:
1.	Поправка n-го порядка по возмущению S' дается суммой всех связных тополо-
топологически неэквивалентных диаграмм, содержащих п линий "взаимодействия" F.1.69)
и 2п +1 линий, соответствующих свободным функциям Грина G^a1- Каждая такая
диаграмма имеет In вершин, где сходятся две линии частиц и одна линия "взаимодей-
"взаимодействия".
2.	Импульсные переменные и частоты в каждой вершине удовлетворяют "законам
сохранения". Вклад каждой диаграммы находится путем суммирования по всем незави-
независимым промежуточным импульсам, волновым векторам возмущения и независимым
частотам. Корреляционный член F.1.64) содержит в качестве множителя обратный
объем системы, поэтому каждая сумма по волновым векторам к умножается на V~l.
То же самое относится и к суммам по промежуточным импульсам для системы, за-
заключенной в конечный объем. В термодинамическом пределе (V —> сю) эти суммы
преобразуются в интегралы согласно обычному правилу
BтгЙK
У Bтг)
Ч Это правило легко применять в ж-представлении, где аргументами являются а,х и af,xf. При
работе в импульсном представлении порядок аргументов можно определить, например, по спиновым
индексам.
2) В дальнейшем все четные (бозевские) частоты будут обозначаться ши = 2*/тг, а нечетные (ферми-
евские) — символом zv — Bi/ + 1)tt.

24	ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
3.	Полученное выражение умножается на (—l)n(—1)F, где F — число замкнутых
электронных петель в диаграмме.
4.	В каждой вершине необходимо выполнить суммирование по спиновым индек-
индексам. Так как в данном случае все одночастичные функции Грина содержат символ
Кронекера 8a(jll то это суммирование проводится элементарно.
5.	Если линия частицы образует петлю или ее концы соединяются линией взаи-
взаимодействия F.1.69), то при суммировании по фермиевской частоте zv вводится мно-
множитель егг" , где S —> +0. Происхождение этого множителя имеет простую причину.
Указанные элементы диаграмм появляются при спаривании фермиевских операторов
внутри одного и того же корреляционного члена F.1.64), в результате чего аналитиче-
аналитическое выражение в ^-представлении содержит функцию Грина ^^/(р, х = 0). Поскольку
в S' все операторы рождения расположены слева от операторов уничтожения, такую
функцию Грина следует интерпретировать как среднее значение (apa>apcr)oq- Теперь
остается вспомнить соотношение F.1.30) для термодинамических функций Грина.
Рис. 6.1. Приближение первого порядка для одночастичной термодинамической функ-
функции Грина
Следуя приведенным выше правилам, нетрудно построить графическое представ-
представление для одночастичной функции Грина ^^/(р,^) = Q^1\p,iziy)S(T(Tf в первом
порядке теории возмущений. После суммирования по спиновым индексам функция
Q^(p,izu) изображается диаграммами, показанными на рис. 6.1. Диаграмма с элек-
электронной петлей не дает вклада в функцию Грина, так как член с 52 @) должен быть
опущен в S'. Таким образом в первом приближении одночастичная функция Грина
записывается как
gW(p,iz,) = go(p,iz,)+go(p,izl/)^1\p,izl/)g°(p,iz,),	F.1.70)
где символом T^\p^izu) обозначена собственно энергетическая часть в первом по-
порядке теории возмущений1):
^p-7ik,J^)-	F-1.71)
Сумма по частотам zv> легко вычисляется с помощью явного выражения F.1.67) для
свободной функции Грина и формулы
Пт У -^— = —!—,	F.1.72)
^+о*" г Zv-у ev + 1
Ч Мы следуем традиции метода равновесных функций Грина, где собственно энергетической частью
называется любая часть диаграммы, соединенная с остатком двумя линиями свободных частиц [1].

6.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИИ	25
которая выводится в приложении 6А. В результате первое приближение для собственно
энергетической части принимает вид
fik).	F.1.73)
Величина
/(p)=[eSl(p) + l]	F.1.74)
имеет смысл одночастичной функции распределения в состоянии, где отсутствуют кор-
корреляции между электронами.
Мы не будем останавливаться на анализе всего ряда теории возмущений для одно-
частичной термодинамической функции Грина, так как он фактически повторяет ана-
анализ ряда теории возмущений для равновесной мацубаровской функции Грина в случае
двухчастичного взаимодействия [1, 64]. Можно показать, что точная функция Грина
g{p^izv) записывается через полную собственно энергетическую часть Е(р,г^) в
виде	^
Это соотношение аналогично формуле F.1.70), полученной в первом приближении те-
теории возмущений1).
Рис. 6.2. Уравнение Дайсона для одночастичной термодинамической функции Грина
Как и в теории равновесных функций Грина, удобно ввести неприводимую соб-
собственно энергетическую часть или массовый оператор H(p,izu). Массовый опера-
оператор представляет собой сумму всех диаграмм для Е(р,г^), которые не могут быть
разделены на две части, соединенные только одной Q^-линией. Соотношение между
массовым оператором и точной функцией Грина G{p,izv ) изображено на рис. 6.2. Оно
соответствует уравнению Дайсона
^(р,г^) = ^0(р,г^) + ^°(р,г^)Е(р,г^)^(р,г^).	F.1.76)
Вместе с формулой F.1.67) уравнение Дайсона позволяет записать точную одноча-
стичную функцию Грина в виде
Итак, задача вычисления одночастичной функции Грина сводится к вычислению мас-
массового оператора, который, в свою очередь, представляется бесконечным рядом диа-
диаграмм [1, 64]. Достоинство формулы F.1.77) состоит в том, что при подстановке в нее
Ч Впрочем, структура соотношения F.1.75) очевидна из общей формулы F.1.59) для одночастичной
термодинамической функции Грина. Действительно, при вычислении любого члена теории возму-
возмущений с помощью теоремы Вика каждый из операторов агA) и а\B) будет спарен с фермиевским
оператором, входящим в один из операторов возмущения S'. В результате на диаграмме появятся две
краевые (/(°)-линии. Остальные спаривания дают вклад в собственно энергетическую часть.

26 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
массового оператора в низших порядках теории возмущений, мы получаем для функ-
функции Грина выражение, в котором выполнено частичное суммирование бесконечного
ряда F.1.59). Если оператор S' рассматривать как малое возмущение, то в первом при-
приближении Е = Е^1), где Е^ имеет вид F.1.73). Тогда, вычислив с помощью функции
Грина F.1.77) квазиравновесное среднее значение в правой части F.1.61), мы получим
приближенное уравнение состояния.
К сожалению, для системы с кулоновским взаимодействием ряд теории возмущений
для массового оператора Е(р,г^) содержит расходящиеся члены, поскольку функ-
функция s2(k) сингулярна в пределе к —> 0. Поэтому необходимо выполнить суммирование
бесконечной последовательности членов этого ряда, соответствующих вкладу корре-
корреляций с малыми волновыми векторами. Аналогичная проблема возникает и в теории
равновесных систем с кулоновским взаимодействием [64, 107], где множитель Лагран-
жа s2(k) дается второй формулой в F.1.65). Эта аналогия между рассматриваемой
задачей и задачей о вычислении равновесного массового оператора позволяет восполь-
воспользоваться приемом, хорошо известным в теории кулоновской плазмы.
Рис. 6.3. Поляризационное приближение для массового оператора
Рис. 6.4. Приближение случайных фаз для термодинамического поляризационного оператора
Введем функцию V(k, iu^), которая описывает "взаимодействие" между электрона-
электронами, включая эффекты экранировки. На диаграммах эта функция будет изображаться
жирной пунктирной линией. Тогда суммирование расходящихся "поляризационных"
диаграмм соответствует приближенному выражению для массового оператора, пока-
показанному на рис. 6.3:
^	v)ao(p-7ik,s,,-uv).	F.1.78)
Функция V(k,ov) в свою очередь выражается через поляризационный оператор
П(к,го;1/), который вводится с помощью соотношения
V(k, шу) = V°(k, шу) + V°(k, шу) П(к, шу) V(k, ш„).	F.1.79)
Простейшим приближением для П(к,го;^), приводящим к "экранированию" длинно-
длинноволновых корреляций, является приближение случайных фаз (ПСФ) [64, 107], пока-
показанное на рис. 6.4. Соответствующее аналитическое выражение имеет вид

6.1. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ КОРРЕЛЯЦИИ	27
где множитель 2 возникает из-за суммирования по спиновым индексам. Подставляя
в эту формулу свободную функцию Грина F.1.67) и выполняя суммирование по дис-
дискретным частотам zv, (см. приложение 6А), получим
С помощью формул F.1.79) и F.1.80) легко проверить, что приближение случайных
фаз для поляризационного оператора эквивалентно так называемому кольцевому при-
приближению для "эффективного взаимодействия" У(к,го;1/), которое соответствует сум-
суммированию бесконечной последовательности диаграмм, изображенных на рис. 6.5.
Рис. 6.5. Кольцевое приближение для "эффективного взаимодействия" V(k,iuiu)
Поскольку в каждой диаграмме линия взаимодействия изображает одну и ту же
функцию s2(k), суммирование всех диаграмм дает
Подставляя это выражение в F.1.78), получаем массовый оператор в приближении
случайных фаз:
O = E	W	FL83)
где мы воспользовались формулой F.1.67) для свободной функции Грина.
Подведем итоги нашего рассмотрения. Формулы F.1.77), F.1.81) и F.1.83) опре-
определяют GvpfiPiiZy) как функционал от sx(p) и s2(k). Поэтому, вычислив (cLpaCLpa)q с
помощью соотношения F.1.30), мы можем записать условие самосогласования F.1.61)
в виде уравнения
/(р;*)= lim У 	f[V w , .	F.1.84)
с массовым оператором F.1.83). Оно является первым из уравнений для параметров
Лагранжа sx(p) и s2(k).
Чтобы получить второе уравнение для этих параметров, нужно вычислить квази-
квазиравновесное среднее в правой части F.1.62). С этой целью введем термодинамическую
функцию Грина
,Xl -x2) = - (Тсх [оън&дЯ-ънЫ])а ¦	F-1-85)

28 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Поскольку каждый из операторов флуктуации плотности электронов является били-
билинейной формой от фермиевских операторов, в фурье-преобразовании
Х>(к, х) = ^у^ж Х>(к, гии)	F.1.86)
суммирование ведется по четным частотам иои = 2vk.
Диаграммное представление для функции F.1.85) совершенно аналогично пред-
представлению для соответствующей равновесной мацубаровской функции Грина (см., на-
например, [64]), поэтому мы не будем его здесь подробно рассматривать. Для наших целей
важно то, что функция V{\<i^iujv) выражается через поляризационный оператор:
Используя для поляризационного оператора приближение случайных фаз F.1.81) и
учитывая, что в данном случае У°(к,го;1/) = s2(k), мы можем теперь вычислить ква-
зиравновесное среднее в правой части F.1.62) с помощью соотношения F.1.30). В ре-
результате получаем второе уравнение для параметров Лагранжа sx(p) и s2(k):
Уравнения F.1.84) и F.1.88) имеют смысл неравновесных уравнений состояния для
электронной системы.
Рассмотренный пример показывает, как метод термодинамических функций Грина
может быть использован для вычисления квазиравновесных средних значений и выво-
вывода неравновесных уравнений состояния. Мы видели, что этот метод является естествен-
естественным обобщением метода мацубаровских функций Грина, который широко применяется
в настоящее время для исследования равновесных свойств систем многих частиц.
6.2. Корреляции в частичном равновесии
В этом параграфе мы будем предполагать, что состояние системы представляется
частично-равновесным статистическим ансамблем. Это означает, что на выбранной
шкале времени неравновесное состояние можно задать средними значениями гамиль-
гамильтониана системы Н и некоторых дополнительных динамических переменных Ст, ха-
характеризующих частичное равновесие. Обычно динамические переменные Ст — ин-
интегралы движения для данной системы. Понятие частичного равновесия применимо
к ситуациям, когда интересующая нас система является одной из относительно слабо
взаимодействующих подсистем1).
Рассматривая средние значения (НI и {СтI как заданные неравновесные па-
параметры состояния, частично-равновесный статистический оператор находится, как
обычно, из условия максимума информационной энтропии и может быть записан в
виде
l(\\	F.2.1)
Ч Типичный пример такого рода — система, в которой идут химические реакции, — обсуждался в
параграфе 2.5 первого тома. С другими примерами частичного равновесия мы встретимся в главе 7.

6.2. КОРРЕЛЯЦИИ В ЧАСТИЧНОМ РАВНОВЕСИИ	29
где множители Лагранжа /3(t) и Xm(t) определяются из условий самосогласования
)* = Tr {Hgq(t)}, (СтУ=Тг{Ствд(Ь)},	F.2.2)
а функция Масье-Планка Ф(?) — из условия нормировки. В некотором смысле параметр
T(t) = P~1(t) можно интерпретировать как неравновесную температуру системы1).
Параметры Xm(t) аналогичны другим термодинамическим величинам. Например, ес-
если динамическая переменная Ст = TV, где TV — оператор числа частиц в системе, то
fJim{t) имеет смысл неравновесного химического потенциала. Отметим также, что рав-
равновесное распределение Гиббса является частным случаем распределения F.2.1).
При решении неравновесных уравнений состояния F.2.2) термодинамические кор-
корреляции можно учесть тем же способом, что и в предыдущем параграфе. В этом
отношении случай частичного равновесия ничем не отличается от более общих ква-
квазиравновесных состояний. Особый интерес представляет ситуация, когда все Ст —
одночастичные операторы. Тогда все корреляции — динамические и термодинамиче-
термодинамические — полностью описываются гамильтонианом системы Н. Как мы увидим, это дает
возможность применить технику функций Грина к вычислению обобщенных воспри-
имчивостей и кинетических коэффициентов в частичном равновесии.
6.2.1. Термодинамические функции Грина в частичном равно-
равновесии. Для простоты ограничимся рассмотрением квантовых ферми- или бозе-
систем, когда дополнительными динамическими переменными Ст в распределе-
распределении F.2.1) являются оператор полного импульса системы Р и оператор полного числа
частиц N. В этом случае удобно записать частично-равновесное распределение как
] J,
gq(t) = ехр |-Ф(*) -/3(t) \н - V(i) • Р - (p(t) - \mV2(t)^ я] J,	F.2.3)
где т — масса частицы. Множители Лагранжа V(?) и /Lt(t) определяются из условий
самосогласования
(НУ = (Н)Я, (РУ = (РУд, (Ny = {N)q.	F.2.4)
Из F.2.3) ясно, что V(?) имеет смысл скорости движения центра масс системы, a /i(t)
— неравновесный химический потенциал2).
Как обычно, мы предположим, что гамильтониан системы есть сумма гамильто-
гамильтониана свободных частиц (или квазичастиц) Н° и члена Н'', который описывает взаи-
взаимодействие. Вводя операторы рождения и уничтожения ар, ар, где индекс р = (р,сг)
включает импульс и проекцию спина, запишем невозмущенный гамильтониан Я0 как
я°=Е?иЯ>	F-2-5)
где ер — энергии одночастичных состояний. Будем предполагать, что гамильтониан
взаимодействия Н' коммутирует с Р и N. В остальном он остается произвольным.
Ч Было бы точнее использовать термин "квазитемпература", так как термодинамические соотноше-
соотношения в частичном равновесии отличаются от равновесных, но мы не будем здесь углубляться в эти
тонкости.
2) Статистическое распределение типа F.2.3) встретится, например, в разделе 7.1.4 в конкретной
задаче из физики полупроводников.

30 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Важно подчеркнуть, что многочастичные корреляции полностью описываются чле-
членом взаимодействия в гамильтониане, поскольку дополнительные динамические пере-
переменные Р и TV представляются одночастичными операторами
W	F.2.6)
Поэтому удобно переопределить гамильтониан свободных частиц и записать частично-
равновесное распределение F.2.3) в виде
F.2.7)
Эффективный гамильтониан % дается формулой Ч
П = П° + Н',	F.2.8)
где
l
plp	p p	F.2.9)
р
В полном статистическом равновесии V = 0 и /х = /xeq, поэтому
^° = YJ<?p ~ Veq) 4аР	(в Равновесии).	F.2.10)
р
Это обычный гамильтониан свободных частиц или квазичастиц.
При вычислении временных корреляционных функций и кинетических коэффи-
коэффициентов мы имеем дело с операторами в представлении Гайзенберга, где временная
эволюция операторов определяется гамильтонианом Я. Удобнее, однако, перейти к
представлению Гайзенберга с эффективным гамильтонианом F.2.8). Поскольку пред-
предполагается, что оператор взаимодействия Н' коммутирует cPniV, мы можем записать
eitH/h _ eimheit(H°-n°)/h^ e-itH/h _ e-it(H°-n°)/he-imh^	F.2.11)
Тогда легко проверить, что операторы рождения и уничтожения удовлетворяют соот-
соотношениям
eitH/ha e-itH/h = e-iujpteim/ha е-ии/к
Р	Р	'	F.2.12)
е^я/V e~itH/h = eiUpt eim/V e~itn/h,
где частоты иор зависят от термодинамических параметров /х и V:
F.2.13)
В общем случае динамические переменные, соответствующие наблюдаемым физиче-
физическим величинам, представляются операторами А = A\A<i'- Ak, где каждый из опера-
операторов Ai является либо оператором рождения, либо оператором уничтожения. Для
Ч Для краткости в дальнейшем мы не будем явно указывать фиксированный аргумент t, который
определяет параметрическую зависимость частично-равновесного распределения и эффективного га-
гамильтониана от термодинамических величин.

6.2. КОРРЕЛЯЦИИ В ЧАСТИЧНОМ РАВНОВЕСИИ	31
таких динамических переменных два представления Гайзенберга связаны простым со-
соотношением
еиН/Пде-иН/П _e-iuAt еиН/Пде-иН/П	/g % 14)
Ясно, что сод есть линейная комбинация частот ир и зависит от явного выражения для
динамической переменной через операторы рождения и уничтожения.
Соотношение F.2.14) играет важную роль при изучении частично-равновесных ан-
ансамблей, так как в этих ансамблях временная эволюция динамических переменных и
термодинамические корреляции фактически описываются одним и тем же эффектив-
эффективным гамильтонианом %. Как мы увидим ниже, это обстоятельство дает возможность
вычислять временные корреляционные функции, а также связанные с ними обобщен-
обобщенные восприимчивости и кинетические коэффициенты, применяя технику термодина-
термодинамических функций Грина, изложенную в предыдущем параграфе.
Остановимся кратко на определении термодинамических функций Грина в час-
частично-равновесном ансамбле. Согласно схеме предыдущего параграфа, термодинами-
термодинамическая функция Грина для двух операторов определяется выражением F.1.19), где
представление Гайзенберга F.1.18) вводится с оператором энтропии
S = <b + pU.	F.2.15)
В данном случае операторы энтропии 5° и S1 выражаются через гамильтонианы И° и
Я':
S° = fm° = Y,PEpalap, S' = EH'.	F.2.16)
V
Одночастичная и s-частичная функции Грина для ферми- и бозе-систем по-прежнему
определяются соотношениями F.1.53) и F.1.55). Заметим, однако, что теперь форму-
формула F.1.52) дает разложение термодинамической функции Грина по степеням взаимо-
взаимодействия.
В заключение сделаем еще одно замечание. Поскольку для частично-равновесных
ансамблей члены 5° и S1 в операторе энтропии пропорциональны соответствующим
членам в эффективном гамильтониане И, представление Гайзенберга в термодинами-
термодинамических функциях Грина можно определить соотношением
Ан{т)=етПАе~тП.	F.2.17)
Ясно, что тогда функция
САВ(т1,т2) = ОАВ(т1-т2) = -Тг{вдТ^[Ан(т1)Вн(т2)}}	F.2.18)
зависит от параметра т = тг — т21 значения которого лежат в интервале 0 < г < f3. Функ-
Функции Грина вида F.2.18) полностью аналогичны равновесным мацубаровским функци-
функциям Грина [1, 64]) и совпадают с последними в полном статистическом равновесии, когда
%° = Я0. Так как параметр г имеет ту же размерность, что и обратная температура,
функции F.2.18) иногда называют температурными функциями Грина1). Для рав-
равновесных и частично-равновесных ансамблей термодинамические функции F.1.19) и
температурные функции Грина связаны простым соотношением
GAB(n ~ т2) = дАВ(К - т2]//3).	F.2.19)
Ч Если определить представление Гайзенберга с помощью соотношения
Ан(т) = етП'пАе-тП'п,
то мы получим обычное представление Гайзенберга для "мнимого времени" t = —гг.

32 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Поскольку свойства температурных и термодинамических функций Грина фактически
совпадают, мы будем использовать термодинамические функции Грина и в тех случаях,
когда речь будет идти о полном статистическом равновесии.
6.2.2. Обобщенные восприимчивости в формализме функций
Грина. В параграфе 5.2 первого тома мы выяснили, что обобщенная восприимчи-
восприимчивость Ха А (и) равновесной системы выражается через предельное значение запазды-
запаздывающей функции Грина ((Л1|Л2)J, заданной в верхней полуплоскости комплексной
переменной z:
XAlA2H = -е^((А1\А2))ш+и.	F.2.20)
Выведем теперь соотношение между временными и термодинамическими функциями
Грина, которое дает возможность вычислять обобщенные восприимчивости с помощью
диаграммной техники1).
Вернемся к спектральному представлению F.1.37) для равновесной временной
функции Грина и выразим спектральную плотность Ja2a1(uj) чеРез термодинамиче-
термодинамическую спектральную плотность Ja2a1№)- Заметим, что в данном случае собственные
функции оператора энтропии F.2.15) совпадают с собственными функциями гамиль-
гамильтониана ?/, а соответствующие собственные значения Si и ?{ связаны соотношением
ч	F.2.21)
где равновесная функция Масье-Планка выражается через статистическую сумму:
Феч = 1пг = 1п^у№.	F.2.22)
г
Подставляя теперь F.2.21) в формулу F.1.34) и используя тождество 5(ах) = a~1S(xI
получим термодинамическую спектральную плотность в виде
^y	F.2.23)
Сравнение с формулой F.1.38) показывает, что
F.2.24)
Это соотношение позволяет выразить функцию Грина ((Л^Лг)^ через термодинами-
термодинамическую спектральную плотность. Производя в F.1.37) замену переменной интегриро-
интегрирования о/ = ?l//3h, находим
Мы видим, что
№Пг),	F.2.26)
Ч Альтернативным методом вычисления обобщенных восприимчивостей является расцепление бес-
бесконечной цепочки уравнений движения для временных функций Грина. Примеры можно найти в
обзоре [18].

6.2. КОРРЕЛЯЦИИ В ЧАСТИЧНОМ РАВНОВЕСИИ	33
где аналитическое продолжение термодинамической функции Грина в комплексную
плоскость z дается формулой F.1.39) с г\ — 1. Наконец, вспоминая равенство F.2.20),
получаем
XAlA2 И = -Р SAlA2 (РГш + iO).	F.2.27)
Таким образом, зная аналитическое продолжение термодинамической функции Грина
GA1A2{iun) с дискретного множества точек ип на всю верхнюю полуплоскость ком-
комплексной переменной z, можно вычислить обобщенную восприимчивость.
6.2.3. Диэлектрическая проницаемость системы заряженных
частиц. Для иллюстрации связи термодинамических функций с обобщенными вос-
приимчивостями рассмотрим линейную реакцию системы заряженных частиц на пе-
переменное электрическое поле1).
Предположим, что система содержит заряженные частицы нескольких сортов и, в
целом, является электронейтральной. Она помещена во внешнее электрическое поле
со скалярным потенциалом </?ext(r,?) , который связан с плотностью внешних зарядов
?ext(r,?) и вектором электрической индукции D(r,?) уравнениями
V-D = 47T0ext,	D = -V</?ext.	F.2.28)
В присутствии внешнего поля в системе возникает индуцированный заряд со средней
плотностью ?ind(r,?), поэтому среднее электрическое поле Е(г,?) удовлетворяет урав-
уравнению
V-E = 47r@ext + 2ind).	F.2.29)
Чтобы найти связь между D(r,?) и Е(г,?), нужно вычислить среднюю плотность ин-
индуцированного заряда. Для этого воспользуемся методом Кубо в теории линейной ре-
реакции на механические возмущения (см. раздел 5.1.4 первого тома).
Полный гамильтониан системы можно записать в виде
/
F.2.30)
где Я — гамильтониан системы в отсутствие внешнего поля и
е(г) = 5>^Т(гМ(г)	F.2.31)
г
— оператор плотности заряда. Индекс г = (а, с) включает в себя значение проекции спи-
спина а и индекс с, нумерующий сорт частиц. В представлении вторичного квантования
оператор плотности заряда определяется соотношениями
Р-и<,г«р;> F-2-32)
р,сг
где ?кс — фурье-компонента оператора плотности числа частиц сорта с.
Если второй член в гамильтониане F.2.30) рассматривается как малое возмущение,
то средняя плотность индуцированного заряда дается формулой Кубо
,0-	F-2.33)
Ч В параграфе 4.1 первого тома эта задача решалась с помощью кинетического уравнения Власова,
т. е. в рамках приближения самосогласованного поля.

34 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Напомним, что входящая сюда запаздывающая функция Грина определяется для про-
произвольных операторов А и В как
,B{t'))Y = ^0{t-«>-*<*-*'> ([A(t),B(t')])eq (e -> +0),	F.2.34)
где символ (.. .)eq означает усреднение с равновесным статистическим оператором.
Формула Кубо F.2.33) принимает особенно простую форму, если разложить функ-
функции ?ind(r,?) и </?ext(r,?) в ряды по плоским волнам
F.2.35)
Тогда получаем простое алгебраическое равенство
ш	))и+1ефе*\к,Ш),	F.2.36)
где мы воспользовались тем, что вследствие пространственной однородности равновес-
равновесной системы функция Грина ((^kl^k'))w+i? отлична от нуля лишь при k + k' = 0.
Как обычно, диэлектрическая проницаемость в (к, ^-представлении вводится с
помощью соотношения
D(k,o;) = б(к,о;)Ё(к,о;)	F.2.37)
между фурье-компонентами среднего электрического поля и вектора индукции1). Вы-
Выполняя теперь в уравнениях F.2.28) и F.2.29) преобразование Фурье по координатам
и времени, а затем исключая плотность индуцированного заряда с помощью F.2.36),
получаем общую формулу для диэлектрической проницаемости:
^)=1 + §^kl^k>L+i? (е-И-0).	F.2.38)
Как мы уже отмечали, спектральное представление F.1.37) позволяет аналитически
продолжить запаздывающую функцию Грина в верхнюю полуплоскость комплексной
переменной z. Поэтому, согласно формуле F.2.38), диэлектрическую проницаемость
б (к, о;) можно рассматривать как предельное значение функции б (к, г), которая опре-
определяется формулой
1	S»* (Im*>0),	F.2.39)
c(k,z)	к2
причем 1/б(к,2) является аналитической функцией в верхней полуплоскости z.
г) Следует, правда, отметить, что индуцированные заряды экранируют лишь продольную часть элек-
электрического поля, поэтому правильнее было бы записать соотношение F.2.37) в виде
k-D(k,cj) = e(k,6j)k-E(k,cj).
Для вычисления поперечной части электрического поля нужно учитывать магнитные эффекты (см.,
например, главу III в книге [14]).

6.2. КОРРЕЛЯЦИИ В ЧАСТИЧНОМ РАВНОВЕСИИ	35
Введем теперь термодинамические функции Грина1)
Vcc,(k,Xl-x2) = -Tr{geqTx[gkc(Xl) д_^с,(х2)]} ,	F.2.40)
где де — равновесный статистический оператор системы 2). Тогда, согласно общему со-
соотношению F.2.26) между запаздывающими и термодинамическими функциями Гри-
Грина, имеем
^ = i+^5>cec,pcc,(k,«.	F-2-41)
^ ' '	с,с'
Диэлектрическая проницаемость для действительных частот ш получается отсюда как
предельное значение
^) ^	i0).	F.2.42)
^ ' '	С,С'
Функция Грина Vcc,(k^ioj^) может быть вычислена при помощи диаграммного мето-
метода. Для систем с кулоновским взаимодействием необходимо выполнить суммирование
бесконечной последовательности поляризационных диаграмм, вклады которых расхо-
расходятся при к —> 0. Процедура суммирования таких диаграмм кратко обсуждается в при-
приложении 6Б. Читатель, специально интересующийся применением методов теории поля
к равновесным системам заряженных частиц, может обратиться к книгам [1, 64, 107]
и литературе по физике плазмы.
6.2.4. Кинетические коэффициенты в формализме функций
Грина. Обсудим теперь другое важное приложение метода термодинамических
функций Грина — вычисление кинетических коэффициентов в обобщенных уравне-
уравнениях переноса. Необходимо, правда, отметить, что в неравновесной статистической
механике встречаются кинетические коэффициенты различных типов. Поэтому снача-
сначала уточним задачу.
В главе 2 первого тома было показано, что в общем случае кинетические коэффици-
коэффициенты выражаются через временные корреляционные функции микроскопических по-
потоков, динамика которых описывается приведенным оператором Лиувилля. Этот опе-
оператор включает в себя проектирование на подпространство, ортогональное к подпро-
подпространству базисных динамических переменных Рт, средние значения которых играют
роль наблюдаемых в рассматриваемом неравновесном процессе3). С другой стороны,
временные функции Грина, которые могут быть найдены как аналитическое продол-
продолжение термодинамических функций Грина, строятся для операторов в представлении
Гайзенберга, т. е. эволюция микроскопических потоков в таких функциях описывается
обычным оператором Лиувилля. Ясно, что метод термодинамических функций Грина
может быть эффективен только тогда, когда кинетические коэффициенты можно (хо-
(хотя бы приближенно) выразить через временные корреляционные функции с обычным
оператором эволюции. К счастью, во многих конкретных задачах это удается сделать.
Ч Для упрощения обозначений мы опустим индекс Н у операторов в представлении Гайзенберга.
2)	Для того, чтобы при вычислении средних значений можно было использовать теорему Вика, geq
должен соответствовать большому каноническому ансамблю. Поскольку все операторы ?кс коммути-
коммутируют с операторами числа частиц Nc,, представление Гайзенберга можно определить с эффективным
гамильтонианом % = Н — J^c [icNc, где fic — равновесные химические потенциалы компонентов.
3)	В главе 5 мы видели, что даже в случае линейных процессов точные выражения для кинетических
коэффициентов содержат проектирование.

36 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
В качестве одного из важных примеров напомним теорию линейной реакции на ме-
механические и термические возмущения, изложенную в первом томе (см. параграф 5.1
и приложение 5В). Кинетический коэффициент Сл д (о;), который соответствует опе-
операторам потока Ах и А2ч дается формулой
! ; А2).+ге •	F-2-43)
В правой части стоит предельное значение образа Лапласа равновесной временной
корреляционной функции1):
оо
(Аг]А2)х= fdteizt(A1(t),A2) (Imz>0),	F.2.44)
о
где A^t) — оператор в представлении Гайзенберга с гамильтонианом системы Я. Как
мы увидим дальше, кинетические коэффициенты этого типа могут быть вычислены, в
принципе, при помощи метода термодинамических функций Грина.
Другой пример процессов, для которых кинетические коэффициенты выражают-
выражаются через временные корреляционные функции с обычным определением эволюции
микроскопических потоков, это медленные (марковские) процессы в системах, со-
состоящих из слабо взаимодействующих подсистем. В таких случаях корреляционные
функции вычисляются с частично-равновесным статистическим оператором F.2.7), где
T(t) = 1//?(?) — неравновесная температура подсистемы и H(t) — некоторый эффек-
эффективный гамильтониан. Кинетический коэффициент в частично-равновесном состоянии
имеет вид
о
6?lA2{t) = / dt'e?t' (A1,eit'H'hA2e-it'H'hy {e -> +0),	F.2.45)
—оо
где (j4i,j42I — корреляционная функция F.1.5). Кинетические коэффициенты этого
типа зависят параметрически от t через неравновесные термодинамические величи-
величины. Отметим, что в случае теплового равновесия кинетический коэффициент F.2.45)
совпадает с кинетическим коэффициентом F.2.43) при ш = 0.
Начнем с того, что найдем связь равновесных кинетических коэффициентов F.2.43)
с термодинамическими функциями Грина. Как и в случае с обобщенной восприимчиво-
восприимчивостью, удобно воспользоваться спектральным представлением для равновесных времен-
временных корреляционных функций, которое было получено в разделе 5.2.1 первого тома:
F-2-46)
С помощью соотношения F.2.24) легко записать корреляционную функцию через тер-
термодинамическую спектральную плотность. Спектральная плотность Ja2aS®)i в свою
Ч Мы приводим здесь только некоторые основные факты о временных корреляционных функци-
функциях, необходимые для дальнейшего рассмотрения. За подробностями читателю следует обратиться к
параграфам 5.1 и 5.2 первого тома книги.

6.2. КОРРЕЛЯЦИИ В ЧАСТИЧНОМ РАВНОВЕСИИ	37
очередь, может быть выражена через термодинамическую функцию Грина из форму-
формулы F.1.41) с г\ — 1. В результате этих простых преобразований получаем
оо
(Al;A2)z=-±- J ш,^ш1) [9MA2{Phu' + iH)-QAlM((mu'-Щ. F.2.47)
—оо
Как и в предыдущем разделе, GAia2(z) есть аналитическое продолжение термодина-
термодинамической функции Грина Ga1a2^UJu) b комплексную плоскость1). В частном случае,
когда А\ — А и А2 = А\ формула F.2.47) дает
F.2.48)
[
поскольку G*AAt{z) = GAA^{z*) (см. задачу 6.3). Соотношения F.2.43), F.2.47) и F.2.48)
дают возможность вычислять кинетические коэффициенты в равновесном состоянии
с помощью диаграммной техники для термодинамических функций Грина. Отметим
однако, что в каждом конкретном случае приходится решать проблему аналитического
продолжения термодинамических функций Грина GAlA2{izv) с дискретной последова-
последовательности точек на всю комплексную плоскость.
Перейдем теперь к кинетическим коэффициентам F.2.47) в частичном равновесии.
Как и раньше, предположим, что все дополнительные динамические переменные Ст
[см. F.2.1)], характеризующие состояние подсистем, представляются одночастичны-
ми операторами. Допустим также, что оператор потока А2 удовлетворяет соотноше-
соотношению F.2.14) 2). Тогда легко проверить, что
)=C{?)A2(wA2-,t),	F.2.49)
где ?AiA2{u]t) — равновесный кинетический коэффициент F.2.43) для системы с эф-
эффективным гамильтонианом %{t) при температуре T(t) = 1/f3(t). Мы видим, что в
общем случае марковские кинетические коэффициенты в частично-равновесном со-
состоянии выражаются через равновесные корреляционные функции при конечных зна-
значениях частоты.
6.2.5. Проводимость кулоновской плазмы. Как пример вычисления
временных корреляционных функций при помощи метода термодинамических функ-
функций Грина получим формулу для проводимости полностью ионизованной кулоновской
плазмы в постоянном электрическом поле.
Для простоты ограничимся случаем плазмы, состоящей из двух подсистем: элек-
электронов (масса те = га, заряд — е) и положительных ионов (масса mi = М, заряд е).
Среднюю плотность частиц для компонентов обозначим n = ne = ni. Операторы ро-
рождения и уничтожения для электронов и ионов в состояниях |р, а) с импульсом р и
проекцией спина а будем обозначать, соответственно, арсг, арсг и Ьра1 Ьрсг.
Ч Мы видим, что для вычисления кинетических коэффициентов требуется знать обе ветви функции
QA A (z), аналитические в верхней и нижней полуплоскостях z.
2) Даже если это не так, то его всегда можно записать как линейную комбинацию операторов, удо-
удовлетворяющих F.2.14).

38 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Гамильтониан плазмы можно записать как сумму
H = He + H{ + Hei,	F.2.50)
где Не и Hi — гамильтонианы электронов и ионов, а член Hei описывает кулоновское
взаимодействие между электронами и ионами.
Предположим, что электрическое поле Е является слабым и поэтому средний элек-
электрический ток можно найти методами теории линейной реакции. Мы пренебрежем
вкладом ионов в перенос заряда, что является хорошим приближением, поскольку мас-
масса электрона значительно меньше массы иона1). Итак, для оператора электрического
тока мы возьмем выражение
J = Je = - -^ра^ар(Т.	F.2.51)
р,сг
Прежде чем приступить непосредственно к вычислению проводимости, сделаем одно
замечание. Мы отмечали а параграфе 5.1. первого тома (см. также приложение 5Б), что
в теории электропроводности могут встретиться два предельных случая. В адиабати-
адиабатическом пределе средний импульс носителей заряда релаксирует значительно быстрее,
чем устанавливается равновесное распределение частиц по энергиям или, как говорят,
происходит "термализация" в системе. Такая ситуация возникает, например, в полу-
полупроводниках, когда концентрация электронов проводимости и дырок мала, а средний
импульс носителей заряда быстро релаксирует из-за их упругого рассеяния на примес-
примесных атомах. Как мы видели в приложении 5Б, в адиабатическом пределе необходимо
рассматривать процесс релаксации всех моментов одночастичной функции распреде-
распределения, поскольку упругие процессы рассеяния сами по себе не приводят к установле-
установлению равновесного распределения частиц по энергиям. Относительно проще обстоит
дело в изотермическом пределе, когда характерное время термализации носителей
заряда значительно меньше времени релаксации их полного импульса. В этом пределе
достаточно рассматривать лишь процесс релаксации первого момента одночастичной
функции распределения, т. е. среднего импульса. В плазме ситуация близка к изотер-
изотермической, поскольку сильное кулоновское взаимодействие между электронами быстро
приводит к термализации электронной подсистемы. Важно подчеркнуть, что само по
себе это взаимодействие не меняет полный импульс электронов, который релаксирует
только за счет взаимодействия между электронами и ионами. Из-за эффектов экра-
экранирования в плазме электрон-ионное взаимодействие является относительно слабым и
может быть учтено а рамках теории возмущений.
В приложении 5Б первого тома мы показали, что в случае слабого взаимодей-
взаимодействия изотермическая проводимость определяется временной корреляционной функ-
функцией оператора J = [J, H]/ih. С учетом того, что в данном случае J = Je, формула для
изотермической проводимости (на частоте ш = 0) записывается в виде
где V — объем системы, C = 1/Т — обратная температура. Заметим, что в этой формуле
Je = (\/ih) [Je, Hei], поскольку остальные члены гамильтониана F.2.50) коммутируют
с оператором электронного тока.
Ч Это означает, что вследствие значительного различия между т и М относительная скорость элек-
электронной и ионной подсистем практически совпадает со скоростью центра масс электронов. Таким
образом, подсистема ионов фактически рассматривается как компенсирующий равновесный фон.

6.2. КОРРЕЛЯЦИИ В ЧАСТИЧНОМ РАВНОВЕСИИ	39
Займемся корреляционной функцией в F.2.52). Прежде всего найдем явный вид
оператора Je, который определяется коммутатором оператора электронного тока с
гамильтонианом электрон-ионного взаимодействия
Штрих у суммы по волновым векторам к означает, что член с к = 0 должен быть
опущен. Здесь введены фурье-компоненты операторов плотности числа частиц для
электронной и ионной подсистем:
Р,СГ	V	р,СГ
Прямое вычисление коммутатора оператора электронного тока F.2.51) с Hei дает
Y!()QbeQKi	F.2.55)
т k
Введем теперь термодинамическую функцию Грина
]}	F.2.56)
которую, согласно F.2.55), можно выразить через функции Грина флуктуации плотно-
плотности числа частиц. В рамках приближения, где ионная подсистема рассматривается как
компенсирующий равновесный фон, а электрон-ионное взаимодействие учитывается в
главном порядке теории возмущений, мы имеем
(^ke(^l) Q-b,iiXl) ^k'efe) 2-k',;(^2))eq ~ <*k',-k Si(k) (^ke(^l) ^-k,e(^))eq • F.2.57)
Величина
есть не что иное, как равновесный статический структурный фактор ионов. Теперь
функция Грина F.2.56) записывается в виде
Qj j {x1-x2)=(—Jy2k2v2(k)Si(k)Vee(k,x1-x2),	F.2.59)
к
куда входит уже знакомая нам функция Грина флуктуации плотности числа частиц
[см. F.2.40)]. Учитывая, что д^е = ?_к е, и вспоминая соотношение F.2.48), находим
оо
^к2у2{к)8{{к) f du) . lmVee{k^hu) + i0). F.2.60)
к	-оо
В принципе, мы могли бы теперь вычислить функцию lmVee в подынтегральном
выражении, применяя диаграммную технику к термодинамической функции Грина

40 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Vee{k^iuju)^ а затем строя аналитическое продолжение этой функции в верхнюю ком-
комплексную полуплоскость z. Удобнее, однако, воспользоваться соотношением F.2.40),
которое в данном случае дает
^[^]	F.2.61)
где бе(к,о;) — равновесная диэлектрическая проницаемость электронной подсистемы.
Можно показать (см. задачу 6.5), что мнимая часть 1/бе(к, ш) является нечетной функ-
функцией частоты. Поэтому, подставляя выражение F.2.61) в формулу F.2.60) и затем пе-
переходя к пределу е —> +0 с учетом тождества F.1.40), легко проверить, что главное
значение интеграла по и равно нулю, а интересующая нас корреляционная функция
принимает вид
lim (Зе^е)^ = -^(—Jук2у(к)8^к)\\[т -1т .} 1.	F.2.62)
?^+Q\ ei е/ге	р\т) Z-J	V У гЧ У |_w-X) UJ 6e(k,0;)J	V	У
Мы видим, что вычисление проводимости свелось к вычислению бе(к,о;). Некоторые
типичные приближения для диэлектрической проницаемости рассмотрены в приложе-
приложении 6Б. Например, в приближении случайных фаз [см. формулу FБ.9)] имеем
где ?р = р2/2т, а /°(р) — равновесная функция распределения для электронов.
С помощью выражения F.2.63) нетрудно записать корреляционную функцию F.2.62)
через равновесную функцию распределения. Подставляя затем результат в F.2.52),
получим
Зе2п2 у ^'
к,р
v(k)
_№ - ер),	F.2.64)
куда входит диэлектрическая проницаемость электронной подсистемы на нулевой ча-
частоте бе(к) = б^СФ(к,0). Соотношение F.2.64) известно в литературе как формула Зай-
мана для проводимости плазмы. Ясно, что эта формула соответствует борновскому
приближению для рассеяния электронов в экранированном кулоновском поле ионов.
Обобщения формулы Займана, в которых более точно учитываются многочастичные
корреляции, рассматриваются, например, в работе [148].
6.3. Неравновесные временные функции Грина
До сих пор основным объектом изучения были термодинамические функции Гри-
Грина, которые зависели от переменной ж, аналогичной, в некотором смысле, "мнимому
времени". Мы видели, что иногда по этим функциям можно восстановить запаздыва-
запаздывающие функции Грина и корреляционные функции, зависящие от "реального времени"
и непосредственно связанные с восприимчивостями и кинетическими коэффициента-
коэффициентами. Основная причина, по которой приходится использовать такой "обходной путь",
состоит в том, что для вычисления запаздывающих функций Грина и временных кор-
корреляционных функций не существует диаграммной техники, подобной технике для

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	41
термодинамических функций Грина. Тем не менее, такую технику удается развить для
специальных матричных временных функций Грина. Важно отметить, что эта техни-
техника применима, в принципе, к произвольным неравновесным состояниям и даже может
быть использована для вывода кинетических уравнений. Основы метода, о котором
пойдет речь, были заложены Кадановым и Беймом [95], Келдышем [19] и Крейгом [54].
В дальнейшем ему было посвящено огромное число работ. Наиболее ясное и подробное
изложение метода матричных временных функций Грина, не потерявшее свое значение
до настоящего времени, имеется в уже цитированных обзорах [49, 55]. Нас прежде всего
будет интересовать связь этого метода с теорией неравновесных процессов, особенно,
с кинетической теорией.
6.3.1. Основные определения. Будут рассматриваться системы многих
частиц, подчиняющихся статистике Ферми или Бозе. Как мы знаем, для таких систем
все динамические переменные могут быть построены из операторов поля частиц ф(г)
и ф^(г), где аргумент г = (г, а) включает координаты точки пространства и спиновый
индекс. Коммутационные соотношения операторов поля имеют обычный вид:
ф(г)ф\г') ± ф\г')ф(г) = 6{г - г'),
ф{г)ф{г')±ф{г')ф{г)=О1	F.3.1)
где верхний знак соответствует статистике Ферми, а нижний — статистике Бозе. Здесь
и в дальнейшем дельта-функция S(r — rf) = 5(т — г') 5аа, включает символ Кронекера
для спиновых переменных. Чтобы избежать многочисленных появлений постоянной
Планка, в этом и следующем параграфах мы будем использовать систему единиц, в
которой h=l.
Чтоб пояснить суть подхода, который будет развит дальше, допустим, что мы хотим
вывести кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности
в{1НгУ^) = (фНг')ф(г)У=Тг{ф\г')ф(г)в(г)},	F.3.2)
где g(t) — неравновесный статистический оператор системы. Один из способов постро-
построения кинетического уравнения состоит в том, чтобы рассмотреть цепочку уравнений
для приведенных s-частичных матриц плотности, которая выводится из уравнения Ли-
увилля для статистического оператора. Такой подход к квантовой кинетической теории
был изложен в главе 4 первого тома. Теперь мы обсудим другой подход, основанный
на уравнениях движения для операторов поля.
Поскольку статистический оператор удовлетворяет уравнению Лиувилля, мы мо-
можем записать
g(t) = U(t,t0) g(t0) U\t,t0) = U(t,t0) g(t0) U(to,t),	F.3.3)
где t0 ~~ некоторый начальный момент времени и U(t,t') — оператор эволюции. В
частности, если гамильтониан системы Н не зависит явно от времени, то
{/(*,*') = е-<('-*')я.	F.3.4)
Подставляя выражение F.3.3) в F.3.2) и используя инвариантность следа относительно
циклической перестановки операторов, получим
)	F.3.5)

42 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
где введено представление Гайзенберга для операторов:
AH(t) = U\t, t0) A U(t, t0) = U(to,t) AU(t, t0).	F.3.6)
Формулы F.3.2) и F.3.5) можно назвать представлениями Шредингера и Гайзенберга
для одночастичной матрицы плотности. Согласно F.3.5), эволюция g^(r,r']t) опре-
определяется уравнениями движения для операторов поля.
Итак, одночастичная матрица плотности выражается через корреляционную функ-
функцию операторов поля с совпадающими временными аргументами. Удобно, однако, вве-
ввести более общие двухвременные величины. По причинам, которые станут ясны чуть
позже, введем функцииЧ
дсA, 1') = -г (Тс [фн A) V4 A')]>'°,	F.3.7)
{[\)}I\	F.3.8)
,	F.3.9)
.	F.3.10)
Как и раньше, верхний знак берется для фермионов, нижний — для бозонов. В при-
причинной функции Грина дс символ Тс означает обычное хронологическое упорядоче-
упорядочение операторов, которое уже встречалось в предыдущих параграфах. В данном случае
операторы располагаются справа налево в порядке возрастания времен. Для ферми-
фермионов необходимо также учитывать, что при перестановке любой пары фермиевских
операторов произведение меняет знак. В функции F.3.8) символ Та означает анти-
антихронологическое упорядочение, при котором операторы располагаются справа налево
в порядке убывания времен. Мы будем называть функцию да антипричинной функци-
функцией Грина. Наконец, формулы F.3.9) и F.3.10) определяют временные корреляционные
функции2). Функция д< представляет особый интерес в кинетической теории, так как
она непосредственно связана с одночастичной матрицей плотности:
Поэтому уравнение движения для д< может служить прообразом кинетического урав-
уравнения. Отметим, наконец, что функции F.3.7) - F.3.10) зависят от вида статистическо-
статистического оператора g{t0), с которым производится усреднение в начальный момент времени.
Как мы увидим ниже, это обстоятельство играет исключительно важную роль в раз-
развиваемом подходе. Пока статистический оператор g(t0) можно считать произвольным.
Непосредственно из приведенных выше определений следуют простые, по важные
свойства симметрии относительно операции комплексного сопряжения:
<?с*A,1') = -0°A',1), <Г (МО = -9СA',1),
F.3.12)
>*(')	>(')	<*(')	<(')
Ч Мы используем общепринятое сокращенное обозначение для аргументов, позволяющее значитель-
значительно упростить вид формул. В дальнейшем символами (к) и (к') обозначаются, соответственно, наборы
переменных (rk,tk) и (r'k,t'k).
2) При использовании системы единиц, где Н^1,в определения F.3.7)-F.3.10) обычно включают
постоянную Планка (см., например, [49]). Соответствующие формулы для функций Грина и корреля-
корреляционных функций получаются с помощью замены —г —>¦ (г/г).

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	43
Кроме того легко проверить соотношения
gc(hl') = O(t1-t'1)g>(hl') + O(t[-t1)g<(hl'),
F.3.13)
a(') e(')>(') e(f)<(')
которые показывают, что фактически из четырех функций F.3.7)-F.3.10) только две
являются независимыми.
Многочастичные временные функции Грина и корреляционные функции вводятся
аналогичным образом. Например, s-частичная причинная функция Грина определя-
определяется как
Антипричинная функция Грина получается отсюда заменой операции упорядочения
Тс —)> Та. Мы не будем приводить явные выражения для s-частичных корреляционных
функций, которые соответствуют различным порядкам времен в аргументах операто-
операторов поля. Оставляем это читателю в качестве упражнения.
6.3.2. Уравнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Грина и кор-
корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их
по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов по-
поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], ко-
которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотрен-
рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера
с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные за-
замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций
(см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде
Я = Я0 + Я', где Я0 описывает свободные частицы, и перейти в представление вза-
взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я'.
Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений уда-
удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо
изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с сум-
суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело
вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих
свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся1).
Для определенности возьмем гамильтониан системы в виде
г14г24г[йг12{г[г12\У\г1г2)ф\г12)ф\г[)ф{г1)ф{г2), F.3.15)
где первый член (Я0) — гамильтониан свободных частиц, а второй (Я') описывает пар-
парное взаимодействие2). Поскольку гайзенберговские операторы фн(г,г) и фн(г'\t') при
совпадающих значениях временных аргументов удовлетворяют обычным соотношени-
Ч Наше изложение техники временных функций Грина в разделах 6.3.2-6.3.4 следует, в основном,
работе Ботерманса и Малфлита [49].
2) Условимся, что символ интеграла по г включает суммирование по спиновым индексам.

44 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
ям коммутации для статистики Ферми или Бозе, легко получаем уравнение движения Ч
\r[r^
F.3.16)
Уравнение движения для i0j/(r1,^1) получается отсюда при помощи операции эрмито-
вого сопряжения. Эти два уравнения движения служат основой для построения цепоч-
цепочки Мартина-Швингера.
Как и в любой технике гриновских функций, одной из важных задач является вы-
вывод уравнения Дайсона для одночастичной временной функции Грина. Анализ уравне-
уравнений движения показывает, однако, что ряды теории возмущений содержат все четыре
функции F.3.7)-F.3.10) (см., например, [55]). Поэтому уравнение Дайсона, если оно
существует, должно иметь матричную структуру. Элегантный подход к этой проблеме
был намечен Швингером [152] и затем развит Келдышем [19]. Идея состоит в том, что-
чтобы объединить функции F.3.7)-F.3.10) в одну матричную функцию Грина GA,1'),
определенную на контуре С, который изображен на рис. 6.6. Этот контур идет вдоль
оси времени от t0 до ?тах и возвращается в точку ?0, т. е. на второй ветви точка с мень-
меньшим значением времени расположена дальше от начала контура, чем точка с большим
значением времени. Значение ?тах на контуре С берется таким, чтобы оно превышало
значения всех временных аргументов в функциях Грина и корреляционных функци-
функциях2). Введем теперь упорядочение операторов Тс вдоль контура Келдыша-Швингера.
На ветви С+ оно совпадает с хронологическим упорядочением Тс, а на ветви С~ — с
антихронологическим упорядочением Та. Иными словами, при Тс-упорядочении опе-
операторы с временными аргументами, лежащими на ветви С~, всегда располагаются
слева от операторов с аргументами на ветви С+.
w i\ Li	"max
Рис. 6.6. Контур Келдыша-Швингера С с нижней (хронологической) и
верхней (антихронологической) ветвями С+ и С~
С помощью этих правил легко проверить, что все функции F.3.7)-F.3.10) явля-
являются компонентами функции Грина, заданной на контуре С:
G(l,l') = -i (Тс [фнA) У4 A')])'°.	F.3.17)
Во многих случаях бывает удобно использовать матричное представление для этой
функции:
Ч Напомним, что для любого оператора AH(t) уравнение движения имеет вид (h = 1)
где НH(t) = Н — гамильтониан, записанный через операторы поля в представлении Гайзенберга.
2) В дальнейшем будет удобно перейти к пределу ?тах —>¦ оо.

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	45
Индекс "+" или "—" у матричного элемента G соответствует той ветви контура С, на
которой лежит временной аргумент. Ситуация, когда обе точки t\ и t[ принадлежат
ветви С+, показана на рис. 6.6. Согласно определению Тс-упорядочения, в этом слу-
случае формула F.3.17) дает G++ = gc. Проверку соотношений F.3.18) для остальных
элементов функции Грина G оставляем читателю в качестве упражнения.
По аналогии с одночастичной функцией Грина F.3.17), функции Грина более вы-
высоких порядков на контуре Келдыша-Швингера определяются как
СA...з,Г...в') = (-(у(Тс[фнA)-фн(з)фЪ(в')-фЪ(Г)]У°.	F.3.19)
Задавая значения аргументов на различных ветвях контура С, из этой компактной
формулы легко получить все возможные s-частичные временные функции Грина и
корреляционные функции, число которых быстро растет с ростом s.
Перейдем к построению цепочки уравнений для функций Грина F.3.19). Для этого
нам потребуются еще несколько математических конструкций.
Прежде всего введем правило интегрирования функций вдоль контура Келдыша-
Швингера:
оо	оо
J	JJC_,	F.3.20)
где мы выполнили предельный переход ?тах —> оо, поскольку контур на рис. 6.6 все-
всегда можно продолжить вправо, добавляя операторы эволюции в функциях Грина (см.
задачу 6.8). Удобно также ввести на контуре С дельта-функцию Sc(t — t'), которая
удовлетворяет соотношению
[ dt1 F{tf) Sc{t -11) = F{t).	F.3.21)
с
С помощью правила F.3.20) легко проверить, что
{S{t-t')	{teC+,t'eC+),
-5{t-tf) (teC-,t'eC-),	F.3.22)
0	(в остальных случаях).
Наконец, определим амплитуду взаимодействия V^A251/2/) на контуре С:
1/A2,1'2') = (гл r9\V\r\ го) 6r(U - U) 6r(U -1\) 8r(U -1'9).	F.3.23)
V	'	/	\1ZI I1Z/1_/\1	Z/l_/\l	l/l_/\Z	Z/	V	/
Тогда уравнение F.3.16) можно записать как уравнение движения для оператора поля,
заданного на контуре Келдыша-Швингера:
B')^#A'),	F.3.24)
где для краткости обозначено dk = drk dtk. Аналогичное уравнение для фнA) имеет
вид
ЧЯУрЯ^фЪМфЪМфнр).	F.3.25)

46 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Теперь все готово, чтобы построить цепочку уравнений для функций Грина F.3.19).
Дифференцируя G(l... s, V ... s1) по одному из временных аргументов, а затем исполь-
используя F.3.24) или F.3.25), получаем для нее уравнение движения, куда входят функции
Грина более высоких порядков. Мы не будем выписывать всю эту цепочку уравне-
уравнений в явном виде (см., например, [49]), поскольку нам понадобятся лишь уравнения
движения для одночастичной функции Грина
F.3.26)
где введена матричная дельта-функция, зависящая от всех аргументов:
6c{l,2) = I6{r1-r2Nc{t1-t2).	F.3.27)
Здесь / — единичная матрица по отношению к индексам функции Грина G. Символы
^± = (rk^t) B уравнениях F.3.26) показывают, что точка t~^ (t^) расположена дальше
(ближе) вдоль контура G, чем точка tk, на бесконечно малую величину.
Предположим, что на контуре С для функции Грина GA,1') существует обратная
функция G~1(l,l/), которая удовлетворяет уравнениям
J d2G-1№)GB,l') = 6c(l,l'), |d2G(l,2)G-1B,l/) = ^(l,l/). F.3.28)
с	с
Как мы увидим дальше, для существования обратной функции начальный статисти-
статистический оператор g(t0) должен удовлетворять довольно жестким требованиям. К это-
этому важному моменту мы вернемся позже, а пока просто предположим, что уравне-
уравнения F.3.28) имеют единственное решение G-1(l, 1'). Тогда уравнения движения F.3.26)
можно записать как уравнения Дайсона
J
d2Z(l,2)GB,l'),	F.3.29)
0, F.3.30)
где введен массовый оператор
1,1') = т» /d2d3d4d5KA2,34)GC4,52+)G-1E,l/) =
с
= =r /ti2d3d4d5G-1(l,5)GE2-,34)KC4,l/2).	F.3.31)
Поскольку массовый оператор задан на контуре G, его, как и одночастичную функцию
Грина, удобно представить в матричной форме

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	47
Используя лишь уравнения Дайсона F.3.29) и F.3.30), можно показать, что элементы
массового оператора обладают теми же свойствами симметрии относительно комплекс-
комплексного сопряжения, что и элементы гриновской функции GA,1') (см. задачу 6.11):
Ес*A,1') = -ХаA',1), Е°*A,1') = -ХсA',1),
F.3.33)
>*(')	>(')	<*(')	<(')
Хотя сами по себе формулы F.3.31) являются всего лишь соотношениями между массо-
массовым оператором и гриновскими функциями, достоинство уравнений Дайсона F.3.29)
и F.3.30) состоит в том, что многие важные величины в кинетических уравнениях,
включая интегралы столкновений, удается выразить через элементы массового опера-
оператора ЕA,1'). Таким образом, найдя некоторое приближенное выражение для двухча-
двухчастичной гриновской функции через одночастичные, из формулы F.3.31) можно найти
соответствующее приближение для элементов массового оператора, а затем и для ин-
интеграла столкновений. В сущности, это и есть обычный способ вывода кинетических
уравнений в технике временных функций Грина.
6.3.3. Обобщенное кинетическое уравнение. Мы теперь кратко об-
обсудим схему вывода кинетического уравнения из уравнений Дайсона F.3.29) и F.3.30).
Как уже отмечалось, нас интересует главным образом уравнение для корреляционной
функции д<A,11). Каждое из уравнений Дайсона, однако, есть на самом деле система
связанных уравнений. Поэтому мы должны рассмотреть уравнения для всех функ-
функций F.3.7) - F.3.10).
Вспоминая определение F.3.22) дельта-функции на контуре С и правила интегри-
интегрирования F.3.20), нетрудно записать уравнение Дайсона F.3.29) как матричное урав-
уравнение
оо
/
0
1,2) -Е<A,2) \/VB,l') g<B,V)
1,2) -Sa(l,2 ) \ д>{2,1') да{2,1')
где введена обычная дельта-функция, зависящая от аргументов операторов в пред-
представлении Гайзенберга:
S(l - 2) = 6{гг - r2) 5{tx -12).	F.3.35)
Отметим, что в уравнении F.3.34) выполнен предельный переход t0 —> —оо. В стандарт-
стандартной технике временных функций Грина, которую мы пока излагаем, это делается для
того, чтобы обойти проблему выбора начального распределения g(to). Аргументы при
этом сводятся к следующему. Поскольку все начальные корреляции затухают со вре-
временем, конкретная форма начального распределения становится несущественной, если
?о —>¦ —сю, и для вычисления средних можно взять любой подходящий статистический
оператор, например, описывающий идеальный газ. Мы вернемся к этому предположе-
предположению в разделе 6.3.6. Там мы покажем, что оно не всегда справедливо1).
Уравнение движения для любой компоненты гриновской функции GA,1') легко
получить из матричного уравнения F.3.34). Мы не будем выписывать эти уравнения,
Ч Здесь мы только отметим, что необходимо определить смысл предельного перехода ?0 —>¦ —оо в
статистическом операторе F.3.3).

48 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
так как в дальнейшем вместо причинной и антипричинной функций будет удобнее
использовать запаздывающую функцию Грина gR и опережающую функцию Грина
g , которые определяются соотношениями [95]
gR{l1\') = -г6{11-1){(фн{)^н{)^н{)фн{)))\
F.3.36)
В случае статистики Бозе это — коммутаторные гриновские функции, а в случае ста-
статистики Ферми — антикоммутаторные функции.
Из формул F.3.13) и F.3.36) легко находим простые, но важные соотношения меж-
ДУ 9Ri 9A и функциями F.3.7)-F.3.10) (для краткости аргументы не указаны):
gR = O(t1-t'1)(g>-g<) = gc-g<=g>-g\
F.3.37)
дА=в(*1-Ь)(д<-д>)=дс-д>=д<-да.
Аналогичным образом вводятся запаздывающие и опережающие компоненты массо-
массового оператора:
Ед = Т>3 + 6{h -1[) (?> - ?<) = ?с -?< = ?>- ?а,
F.3.38)
Т>А = Y,5 + 6{t[ - h) (?< - ?>) = Ес - Е> = Е< - Еа,
где TiS ~ 8{tl —t'i) — сингулярная часть этих компонентов1). Выпишем также полезные
равенства, которые следуют из определения запаздывающих и опережающих функций:
9R-9A=9>-9<,
F.3.39)
Итак, с помощью соотношений F.3.37) и F.3.38) мы можем исключить функции
дс, да, ?с и ?а в уравнении Дайсона F.3.34). После простых преобразований, которые
мы оставим читателю в качестве упражнения, приходим к системе уравнений
—оо
оо
Совершенно аналогичным способом из сопряженного уравнения Дайсона F.3.30) по-
получается система уравнений
—оо
оо
[-%	+ ^ ) qR/A(l, Л = 6A -!')+ [ dl qR/A(l,2) ?Я/ЛB,1').	F.3.43)
V dt 2т) v ' / v / / ^ v 7 /	v j /	v /
Ч Можно показать [55], что S^ совпадает с членом Хартри-Фока в массовом операторе.

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	49
Уравнения F.3.40) и F.3.42) для временных корреляционных функций известны как
уравнения Каданова-Бейма. Чуть позже мы увидим, что они играют важную роль при
выводе кинетического уравнения для одночастичной матрицы плотности.
Обратим внимание на то, что каждая из функций gR и дА удовлетворяет фор-
формально замкнутому уравнению [см. F.3.41)]. Именно это обстоятельство показывает
преимущество запаздывающих и опережающих функций Грина перед причинными и
антипричинными функциями. Следует, правда, отметить, что мы не можем решить
уравнения для gR и дА до тех пор, пока не построено приближение для массовых
операторов Y,R и Т,А.
Уравнения F.3.40)-F.3.43) можно записать в компактном виде, если перейти к
матричным обозначениям. Будем рассматривать любую функцию F(l,l') как матри-
матрицу F = [F(l,l/)], где аргументы A) = (г15^), A/) = (г^,^) играют роль индексов, и
определим произведение матриц FXF2 с помощью соотношения
оо
(F1F2)A,1')= f d^'F^l^F^",!1).	F.3.44)
—оо
Введем также оператор
1(^SI')- F-3-45)
Тогда в новых обозначениях уравнения F.3.40) - F.3.43) принимают вид
(9о-1-Ед)/<=Е></,	F.3.46)
I,	F.3.47)
Л><,	F.3.48)
1,	F.3.49)
где / = [/A,1/)] = [6A — 1')] играет роль единичной матрицы.
Многие свойства гриновских функций и массового оператора могут быть записаны
теперь как соотношения между матрицами. Например, равенства F.3.12) и F.3.33)
означают, что
(дс)* = -да, (^ = -Ъа, (<7><)t = -/<, (?*<)* = -?% F.3.50)
а с учетом F.3.37) и F.3.38) получаем
(дУ = дА, (Sfl)t = S-4.	F.3.51)
Таким образом, мы видим, что запаздывающие функции могут быть выражены че-
через опережающие и наоборот. С помощью приведенных выше соотношений между
матрицами легко проверить, что уравнения F.3.48) и F.3.49) получаются из урав-
уравнений F.3.46) и F.3.47) в результате эрмитового сопряжения.
Обобщенное кинетическое уравнение в технике временных функций Грина выво-
выводится из уравнений Каданова-Бейма F.3.46) и F.3.48). Вычитая второе уравнение из
первого, а затем исключая дл и Т>л с помощью соотношений F.3.39), получим
[(g^-HR),g><]-[H><,gR]=g><(H>-ll<)-ll><(g>-g<),	F.3.52)

50 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
где [/!,#] означает коммутатор матриц А = [ЛA,1/)] и В = [5A,1')]. Напомним те-
теперь, что любую матрицу А можно записать как сумму А = Re A -\-ilm А, куда входят
эрмитовые матрицы
F.3.53)
Используя это представление для gR и Ея, из F.3.39) и F.3.51) находим, что
lmgR = {g>-g<)/2i, 1т?я = (?> - ?<)/2г.	F.3.54)
Таким образом в F.3.52) мнимые части матриц gR и Y\R удается исключить. Тогда
после простых преобразований мы приходим к уравнению
= i(S>9<+ff<S>-S<ff>-9>S<), F.3.55)
которое в методе временных функций Грина играет роль обобщенного кинетического
уравнения. Мы увидим дальше, что левая часть этого уравнения описывает обрати-
обратимую эволюцию функции распределения, а правая часть представляет собой интеграл
столкновений.
6.3.4. Квазичастичное приближение. Несмотря на внешне простую
форму, на самом деле уравнение F.3.55) является очень сложным из-за эффектов па-
памяти и пространственной нелокальности. Однако во многих случаях, представляющих
физический интерес, наблюдаемые величины меняются достаточно медленно во вре-
времени и пространстве, поэтому в уравнении F.3.55) можно перейти к локальному при-
приближению1). С этой целью запишем обобщенное кинетическое уравнение F.3.55) в так
называемом смешанном координатно-импульсном представлении (или представлении
Вигнера) [52], что позволит нам выделить переменные, которые описывают "быстрые"
и "медленные" процессы в системе.
Для любой функции F(r1,t1;r'1,t'1) определим переход к смешанному представле-
представлению с помощью преобразования Вигнера
оо
F(r,p;t,E)= J dr J 4хе«Ет-^ F (r+^,t+^;r-^,t-^) .	F.3.56)
— ОО
Обратное преобразование есть
оо
F(r t v t')- f'^e-'^-'
p
'Р'
jp	p
BтгK	V 2 'Р' 2 '
— ОО
F.3.57)
Непосредственно из соотношения F.3.56) следует , что
F*(r,p;t,E) = Fi(T,p;t,E),	F.3.58)
Ч Условиями справедливости локального приближения, о котором пойдет речь, являются неравен-
неравенства / ^> Хв, г ^> т0, где / — масштаб неоднородности в системе, т — временная шкала неравновесного
процесса, \в — средняя длина волны де Бройля, т0 — характерное "время столкновения".

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	51
где F^(rx, tx;r^,t[) = F*(т[, t[;гг, tx) — "эрмитово сопряженная" функция. Для просто-
простоты будем считать, что все интересующие нас функции F(l,l/), рассматриваемые как
матрицы, диагональны по спиновым аргументам, т.е.
F(l,l') = F(r1,a1,t1;r'1,a'1,t'1) = F(ri,t1-yiA)Saia'1-	F-3-59)
Поэтому спиновые индексы можно явно не выписывать.
Смысл перехода к смешанному представлению для гриновских функций состоит
в том, что г и t играют роль "медленных" переменных. С другой стороны, ри?-
— переменные, которые описывают быстрые процессы, связанные со столкновениями
частиц1).
Применим операцию F.3.56) к каждому члену уравнения F.3.55). Преобразование
первого члена выполняется точно и дает
В остальных членах мы должны выполнить преобразование Вигнера произведений
матриц2) и полученные выражения разложить в ряд по градиентам д/дг и временным
производным д/dt. В приложении 6В показано, что в главном приближении образ
произведения FXF2 связан с Fx и F2 простой формулой
F\F2 = P1P2+t-{P1,P2},	F.3.61)
где {Fi,F2} — так называемая четырехмерная скобка Пуассона
[Р Рх дР1 дР2 dh of2 дР1дР2 дР1дР2
Применяя эту формулу к матричным произведениям в F.3.55), приходим к уравнению
где все величины являются функциями г,р,?,?\ Отметим, что в правой части урав-
уравнения поправки первого порядка по д/дг и d/dt точно сократились.
Уравнение F.3.63) было впервые получено Кадановым и Беймом [95]. Ясно, что оно
гораздо проще, чем исходное интегро-дифференциальное уравнение F.3.55). Следует
помнить, однако, что в нем эффекты памяти и нелокальности учитываются только в
первом приближении.
Напомним, что в главе 4 первого тома методом неравновесного статистического
оператора квантовое кинетическое уравнение выводилось для одночастичной функции
Вигнера
|(|^)	F.3.64)
Ч Отметим, что в равновесном состоянии гриновские функции и элементы массового оператора за-
зависят от р и Е, но не зависят от г и t.
2) Напомним, что мы имеем дело с произведениями типа F.3.44), где проводится интегрирование по
пространственным и временным аргументам.

52 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
где Q^l\r,r']i) = q^1\y,cr,y',cr']i) — одночастичная матрица плотности F.3.5). С дру-
другой стороны, в методе функций Грина роль кинетических уравнений играет система
уравнений Каданова-Бейма F.3.63) для функций д <(r,p;t,E). Поскольку эти функ-
функции есть не что иное как двухвременные корреляционные функции в смешанном пред-
представлении F.3.56), они описывают микроскопическую динамику более детально, чем
функция Вигнера, зависящая лишь от одного временного аргумента. Действительно,
с помощью соотношений F.3.11) и F.3.64) легко проверить, что
оо
fw(r,p;t) = T^ j dEg<(r,p;t,E).	F.3.65)
Мы видим, что, с точностью до множителя, функция Вигнера есть просто один из
моментов функции дк. Поэтому естественно ожидать, что кинетическое уравнение
для fw можно вывести из уравнения F.3.63).
Посмотрим, что получится, если проинтегрировать обе части уравнения F.3.63)
для ^<(r,p;^, E) по Е. Согласно соотношению F.3.65), в результате интегрирования
первых двух членов дк заменится на функцию Вигнера fw. К сожалению, в правой
части останутся функции дк и ду, так как элементы массового оператора Е < зависят от
Е. Таким образом, чтобы получить из F.3.63) замкнутое кинетическое уравнение для
функции Вигнера, нужно выразить временные корреляционные функции д < через fw
или, что то же самое, через одночастичную матрицу плотности. Эта проблема весьма
сложна и может быть решена только приближенно. В данном разделе мы покажем,
как она решается в так называемом квазичастичном приближении.
Введем величину
аA,Г) = i[g>A,1')-д<A,1')},	F-3-66)
которая называется спектральной функцией. В смешанном представлении F.3.56) име-
имеем
a(r,p;t,E) = i[g>(r,p;t,E)-g<(r,p;t,E)].	F.3.67)
Еще одно важное соотношение для спектральной функции можно вывести из перво-
первого равенства F.3.39), которое показывает, что разность временных корреляционных
функций может быть выражена через запаздывающую функцию Грина, поскольку
дА = (gR) . С учетом F.3.58) получаем
(г,р;*,#).	F.3.68)
Наконец, легко проверить, что спектральная функция удовлетворяет правилу сумм
оо
/ ^а(г,р;*,#) = 1.	F.3.69)
J ^тг
—оо
Оно является следствием коммутационных соотношений для операторов поля с совпа-
совпадающими временными аргументами (см. задачу 6.13).
Заметим, что соотношение F.3.67) удовлетворяется, если записать корреляционные
функции в таком виде:
g<(r,p;t,E) = ±ia(r,p;t,E)f(r,p;t,E),	F.3.70)
g>(r,p;t,E) = -ia(r,p;t,E)[lTf(r,p;t,E)},	F.3.71)

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	53
где /(r,p;?,i</) — новая, пока неизвестная функция1). Чтобы найти эту функцию, мы
воспользуемся формулой F.3.68), но сначала рассмотрим уравнение для запаздываю-
запаздывающей гриновской функции g^(r,p;?, Е) в смешанном представлении.
Запишем полусумму уравнений F.3.47) и F.3.49) для запаздывающей функции
Грина:
\ (9o19R + 9R9o1-^R9R-9R^R) = I	F-3-72)
и перейдем в смешанное представление. Ограничиваясь членами первого порядка по
пространственным градиентам и временным производным, проще всего воспользовать-
воспользоваться правилом F.3.61). Тогда мы получим уравнение
,р; t, E)] gR(r,p; t,E) = l,	F.3.73)
где ер = р2/2т — энергия свободной частицы. Отметим, что в этом уравнении сокра-
сократились члены первого порядка по производным д/дг и д/dt.
Из F.3.68) и F.3.73) немедленно находим, что
Вообще говоря, структура этой функции может быть весьма сложной. Если, однако,
выполняются условия
,	F.3.75)
где АЕ — интервал, на котором существенно меняется Y\R(E), то формулу F.3.74)
можно упростить, переходя к пределу lmY,R —> 0. Тогда мы получим2)
Ep(r,t)),	F.3.76)
где величина ?/р(г,?) есть решение уравнения
Ep(r,t) = ep + RetR(r,p;t,Ep(r,t)).	F.3.77)
Формула F.3.76) дает спектральную функцию в квазичастичном приближении. С фи-
физической точки зрения это приближение означает, что систему можно описать как газ
слабо взаимодействующих элементарных возбуждений (квазичастиц), энергии кото-
которых находятся из уравнения F.3.77). Подчеркнем, что энергия квазичастицы Ep(r,t)
Ч Формулы F.3.70) и F.3.71) напоминают выражения для равновесных корреляционных функций
идеального квантового газа, которые могут быть вычислены точно (см. задачу 6.12). В этом случае
a(r,p;t,E) = 2тг 6{Е-р2/2т), f(r,p;t,E) = /°(р),
где /°(р) — равновесное распределение Ферми или Бозе.
2) При вычислении предела ImS^ —)> 0 нужно считать, что мнимая часть функции flR отрицательна.
Это можно обосновать, например, сославшись на наш анализ из параграфа 5.2 первого тома. Там
мы показали, что фурье-образ запаздывающей функции Грина находится как предельное значение
функции, аналитической в верхней полуплоскости комплексной переменной z. Таким образом, если
мы полагаем в формуле F.3.73) ImS^ = 0, то действительную переменную Е следует заменить на
Е + ie, где е -? +0.

54 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
может существенно отличаться от энергии свободной частицы с тем же значением им-
импульса, поскольку величина ReE^ не обязана быть малой поправкой1). Важным об-
обстоятельством является также то, что энергии квазичастиц зависят от неравновесного
состояния системы и изменяются в пространстве и времени.
Выбирая спектральную функцию в форме F.3.76), проинтегрируем по Е равен-
равенство F.3.70). Тогда с учетом F.3.65) получим
f(r,p;t,E)\E=Ep(rt) = fw(r,p;t).	F.3.78)
Это соотношение решает проблему восстановления корреляционных функций из функ-
функции Вигнера в квазичастичном приближении, поскольку теперь формулы F.3.70)
и F.3.71) принимают вид
g<(r,p;t,E) = ±2niS(E-Ep(r,t))fw(r,p;t),
F.3.79)
g>(r,p;t,E) = -2niS(E - Ep(r,t))[lT fW(r,p;t)].
С помощью обратного преобразования Вигнера F.3.57) легко записать аналогичные
соотношения непосредственно для временных корреляционных функций:
9>(r1,t1;r'1,t'1) = -i J-^ &4>{ip-(r1-T>1)-iEp(r,t)(t1-ei)}[l4: fw(r,p;t)] ,
F.3.80)
где г = (Г1 +r'1)/2 nt = (t1 +1[)/2.
Подставляя выражения F.3.79) в уравнение F.3.63) для д< и затем интегрируя в
обеих частях по Е, мы приходим к кинетическому уравнению для функции Вигнера2)
(д , dEp(r,t) д dEp(r,t) d\iWl
\dt+ dp 'dv дт dp)t [r>p;t)-
= ±{?>(r,p;t)fw(r,p;t)±?<(r,p;t)[lTfW(r,p;t)}},	F.3.81)
где введено обозначение E <(r,p;^) = E <(r,p,^, Ep(r,t)). В теории вырожденных
ферми-систем кинетическое уравнение такого типа известно как уравнение Ландау-
Силина. Используя более точные приближения для спектральной функции F.3.74) и
соотношения F.3.70), F.3.71), можно найти поправки к кинетическому уравнению,
связанные с зависимостью массового оператора от Е (см., например, [48, 49]).
Кинетическое уравнение F.3.81) пока остается незамкнутым, так как в правую
часть этого уравнения и в формулу F.3.77) для энергии квазичастиц входят компо-
компоненты массового оператора. Их нужно найти в виде функционалов от fw. Возвраща-
Возвращаясь к исходному выражению F.3.31) для матричного массового оператора, мы видим,
Ч Например, поправка к энергии квазичастиц велика в плотной ферми-жидкости [1, 43].
2) При интегрировании последних двух членов в левой части уравнения F.3.63) нужно учесть, что, по
предположению, компоненты массового оператора — гладкие функции Е. Поэтому вкладом производ-
производных дТ>/дЕ можно пренебречь. Сложнее показать, что вклад последнего члена в левой части F.3.63)
равен нулю, так как в квазичастичном приближении функция Re^^ становится сингулярной. Мы
примем этот факт без доказательства. За подробностями отсылаем читателя к статье [49].

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	55
что фактически требуется найти подходящее приближение для двухчастичной функ-
функции Грина GA2,l/2/), заданной на контуре Келдыша-Швингера. В настоящее время
разработаны различные методы, позволяющие приближенно выразить GA2,l/2/) че-
через GA,1'). В частности, для временных функций Грина существует диаграммная
техника, впервые сформулированная Келдышем [19]1). Другой широко применяемый
способ состоит в расцеплении цепочки уравнений Мартина-Швингера [49, 95]. Мы не
будем углубляться в технические детали этих методов, а лишь кратко остановимся на
типичных приближениях для двухчастичной функции Грина.
Простейшим приближением для GA2,l/2/) является приближение Хартри-Фока
GHFA2,1'2') = G(l, 1') GB,2') т G(l, 2') GB,1').	F.3.82)
Если второй (обменный) член не учитывается, то соответствующее приближение назы-
называют приближением среднего поля или приближением Хартри. С помощью форму-
формулы F.3.31) легко проверить, что в приближении Хартри-Фока ? <A,1/) = 0 и, следо-
следовательно, правая часть в F.3.81) равна нулю. При этом само кинетическое уравнение
совпадает с квантовым уравнением Власова, которое рассматривалось в главе 4 пер-
первого тома.
Кинетические уравнения типа квантового уравнения Больцмана или уравнения
Улинга-Уленбека (см. главу 4 первого тома) получаются из F.3.81) в приближении
Т -матрицы для двухчастичной функции Грина [49]
/2/) = GHFA2,l/2/) + « /^3d3/d4d4/G(l,3)GB,3')ГC3',44'
с
F.3.83)
где символом 77A2,1/2/) обозначено симметризованное (для бозе-систем) или антисим-
метризованное (для ферми-систем) выражение
fA2,1'2') = Г A2,1'2') т ТA2,2/1/).	F.3.84)
Отметим, что Т-матрица задана на контуре Келдыша-Швингера С и, следовательно,
имеет несколько компонент. Она удовлетворяет уравнению [49]
ГA2,1'2') = КA2,1'2) + 1 /d3d3/d4d4/KA2,34)GC,3/)GD,4/)TC/4/,l/2/), F.3.85)
с
где КA2,1'2') — амплитуда взаимодействия F.3.23) на контуре С. Приведем другие
важные соотношения, куда входит Т-матрица:
/d3d4KA2,34)GC4,l'2') = /
с	с
/ <Ш4СA2,34) 1/C4,1'2') = /
С	С	F.3.86)
с	с
которые следуют непосредственно из F.3.83) и F.3.85).
Ч Применение этой техники в задачах квантовой кинетической теории подробно обсуждается в обзоре
Данилевича [55].

56	ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Подстановка выражения F.3.83) в формулу F.3.31) дает
ЕA,1') = Т» /d2d2'fA2,l'2')GB',2+) = T* f d2d2'G{2~ ,2')T{12',1'2). F.3.87)
с	с
Отсюда можно найти все компоненты массового оператора и получить явное выраже-
выражение для интеграла столкновений в кинетическом уравнении F.3.81) через Т-матрицу
и одночастичную функцию Вигнера [49].
Структура уравнения F.3.85) фактически такая же, как и структура уравнений
для различных Т-матриц, которые вводились в первом томе. На языке диаграммной
техники второй член в формуле F.3.83) представляет собой результат суммирования
бесконечной последовательности так называемых "лестничных" диаграмм, описыва-
описывающих столкновение двух частиц в среде [55]. Поэтому приближение Т-матрицы для
временных функций Грина применяется в квантовой кинетической теории систем с
сильным короткодействующим потенциалом взаимодействия.
6.3.5. Связь между функциями Грина и одночастичной матри-
матрицей плотности. Уже отмечалось, что при выводе кинетического уравнения ме-
методом функций Грина требуется найти выражения для временных корреляционных
функций д < через функцию Вигнера fw. В предыдущем разделе эта проблема была
решена в простейшем квазичастичном приближении. Результатом являются соотноше-
соотношения F.3.79) и F.3.80). Исключая функцию Вигнера с помощью формулы F.3.64), легко
также записать корреляционные функции через одночастичную матрицу плотности.
Было предпринято много попыток выйти за рамки квазичастичного приближения.
Важный результат в этом направлении был получен Липавским и др. [117]. Этим авто-
авторам удалось вывести точные интегральные уравнения, которые позволяют, в принципе,
найти выражения для корреляционных функций д < через функцию Вигнера метода-
методами теории возмущений или с помощью разумных "самосогласованных" приближений.
В этом разделе мы кратко обсудим основные идеи работы [117].
Обратим внимание на то, что соотношения F.3.80) выглядят довольно странно с
точки зрения принципа причинности, поскольку в них нет различия между случаями,
когда tx > t[ и tx < t[. В самом деле, естественно ожидать, что динамика корреля-
корреляций должна описываться разными функциями: "запаздывающего" типа, если tx > t[,
и "опережающего" типа, если tl < t[. Это важное обстоятельство не отражено в соот-
соотношениях F.3.80), так как они соответствуют приближению свободных квазичастиц.
Чтобы правильно учесть требования причинности, мы, следуя работе [117], рассмо-
рассмотрим вспомогательные корреляционные функции
<{tut2), F.3.88)
где явно выписаны только временные аргументы. Если t\ фЬ21 то
g><{t1M) = G>^{hM) + G>^{hM).	F.3.89)
Строго говоря, это соотношение не определяет g < при t\ — t2l поскольку G R и G А
имеют разрыв в этой точке. Мы можем, однако, дополнить определение g < при t\ = t2
с помощью предельных переходов t\ -л t2 =Ь0, которые дают правильный результат. По-
Поскольку представление F.3.89) всегда будет использоваться в интегралах по времени,
эта тонкость не является несущественной.

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	57
Выведем уравнения движения для запаздывающих корреляционных функций G ^ .
Дифференцируя их по аргументу tXl получаем
Производную по времени в последнем члене можно исключить с помощью уравнения
Каданова-Бейма F.3.40). Используя также под знаком интеграла по времени представ-
представление F.3.89) для корреляционных функций, приходим к уравнению движения
оо
—оо
ОО
+ 0{h-t2) fdh\b><{tl,h)gA{h,t2) + ^R{hM)G>?{h,t2)} ¦ F.3.90)
— ОО
Его можно записать в виде интегрального уравнения (см. задачу 6.15)
Jdt3 j dUgR{tutz){^><{hM)9A{tiM) + ^R{tzM)G>^{tiM)}- F.3.91)
^
Так как в правую часть входят "опережающие" функции G^ для них нужно иметь
аналогичное уравнение. Будем действовать по той же схеме. Сначала дифференцируем
G^(ti,t2) no t2, а затем исключаем производную дд <(ti,t2)/dt2 с помощью второго
уравнения Каданова-Бейма F.3.43). После простых алгебраических преобразований,
которые мы оставляем читателю в качестве упражнения, получим
ti	оо
fdt3 f
F.3.92)
Уравнения F.3.91) и F.3.92), полученные впервые в работе [117], могут служить осно-
основой для построения корреляционных функций д <(tl,t2) по известной одночастичной
матрице плотности д^\ так как функции д <(t1,t1) и д <(t2,t2) в правых частях этих
уравнений выражаются через одночастичную матрицу плотности. Для д< это сразу
видно из соотношения F.3.11). Аналогичное соотношение легко записать и для ду.
К сожалению, в общем случае найти точное решение уравнений F.3.91) и F.3.92) не
удается. Если, однако, компоненты массового оператора вычисляются в приближении
Хартри-Фока, тоЕ < = 0 и TiR' (t1,t2) ~ 8{tl —t2)- Тогда интегральные члены в правых
частях уравнений F.3.91) и F.3.92) обращаются в нульг), а из формулы F.3.89) следует,
что
9<(t1,t2) = т{дк(к,к)e<(t2)- g<(t1)gA(t1,t2)},
F.3.93)
9>(ti,ti) = 9R(h,h) Qy(h) - Q>(h)gA(h,t2).
Ч Это справедливо и в случае, когда система находится во внешнем переменном поле [55].

58 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Мы ввели матричные обозначения
Q<(r1,r'1;t) = Tig<(l,V)\t,=t =t = eA>(ri,ri;*),
1 1
F.3.94)
которые окажутся удобными в дальнейшем.
Как и ожидалось, формулы F.3.93) показывают, что динамика корреляций опи-
описывается запаздывающей функцией Грина, если tx > t2l и опережающей функцией
Грина, если tx < t2. Отметим также, что эти формулы согласуются с точными соот-
соотношениями F.3.37) между gRl и корреляционными функциями д <. Таким образом,
сохраняется важное соотношение F.3.68) для спектральной функции.
Итак, в приближении Хартри-Фока для массового оператора функции
G>R(tut2) = igR(tut2)g><(t2,t2), G>A<(tut2) = -ig><{t1,t1)gA(tut2) F.3.95)
являются точным решением уравнений F.3.91) и F.3.92). Интегральные члены в этих
уравнениях учитывают вклад столкновений частиц. Если плотность мала или взаимо-
взаимодействие в системе является слабым, то можно попытаться решить уравнения F.3.91)
и F.3.92) методом итераций, используя функции F.3.95) как нулевое приближение.
Следует, правда, отметить, что получающиеся ряды теории возмущений для G^,А и
соответствующие ряды для корреляционных функций д < до сих пор практически не
исследовались, и в большинстве работ по квантовой кинетической теории применяются
соотношения F.3.93), в которых gRlA — точные гриновские функции. На основании
качественных физических аргументов [117] можно сделать заключение, что интеграль-
интегральные члены в уравнениях F.3.91) и F.3.92) малы, если мал параметр то/т^ где т0 —
— некоторое характерное время столкновения, а г-> — время свободного пробега ква-
квазичастиц.
6.3.6. Граничные условия для временных функций Грина. Ме-
Метод временных функций Грина с успехом применялся и применяется до сих пор во
многих задачах квантовой кинетики. Одним из его главных достоинств является то,
что в нем естественным образом удается ввести понятие квазичастиц, для которых
закон дисперсии связан с массовым оператором соотношением F.3.77). Привлекатель-
Привлекательной чертой этого метода является также возможность применения диаграммной тех-
техники, позволяющей выполнять суммирование рядов теории возмущений в наглядной
графической форме. И все же метод функций Грина в существующем виде нельзя
рассматривать как универсальный метод в квантовой кинетике. Кроме проблемы по-
построения корреляционных функций по функции Вигнера, о которой речь шла выше,
метод функций Грина плохо приспособлен для описания многочастичных корреляци-
корреляционных эффектов. Этот недостаток и возможные пути его устранения мы обсудим в
данном разделе.
Ключевым моментом в методе функций Грина является то, что одночастичная
функция GA,1') удовлетворяет уравнению Дайсона на контуре Келдыша-Швингера
С . В большинстве практических приложений вопрос о существовании уравнения Дай-
Дайсона просто не рассматривается. Между тем, это совсем не тривиальный факт. Дело
в том, что мы можем записать уравнения движения для GA,1') в форме уравнений
Дайсона F.3.29) и F.3.30) только тогда, когда на контуре С существует единствен-
единственная обратная функция G~1(l,l/). В диаграммной технике [19, 54, 55] вывод уравнения
Дайсона основан на теореме Вика, с помощью которой каждый член ряда теории воз-
возмущений для GA,1') выражается через произведение свободных гриновских функций.

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	59
Можно сказать, что в диаграммной технике существование обратной функции Грина
доказывается конструктивно, путем суммирования бесконечной последовательности
диаграмм для массового оператора. Напомним, однако, что теорема Вика справедлива
только в случае, когда начальный статистический оператор g{t0) описывает идеальный
газ. В пределе t0 —> —оо это означает, например, что двухчастичная функция Грина
GA2,1/2') удовлетворяет граничному условию [109]
lim [GA2,l/2/)-(G(l,l/)GB,2/)TG(l,2/)GB,l/))lL1 = ,2 = ,o =0, F.3.96)
o^-oo L	J I _ , _ %
_ l2 _
o
1г _ l2 _ l0
которое подразумевает отсутствие корреляций в отдаленном прошлом.
Таким образом, уравнение Дайсона на контуре С существует, когда эволюция начи-
начинается из состояния, в котором отсутствуют многочастичные корреляции. На первый
взгляд кажется, что это обстоятельство не является столь уж важным, поскольку мно-
многочастичная система "забывает" детали своего начального состояния и, после перехода
к пределу t0 —> —оо, к любому конечному моменту времени t все корреляции "восста-
"восстанавливаются" за счет микроскопической динамики. Покажем, однако, что эти сообра-
соображения неверны, и для учета долгоживущих корреляций в методе временных функций
Грина нужно, по существу, рассматривать всю эволюцию системы.
Суть дела можно пояснить на примере временной корреляционной функции двух
операторов, хотя все приводимые ниже рассуждения в равной степени относятся и к
временным корреляционным функциям произвольного числа операторов. Итак, рас-
рассмотрим функцию
(AH(t1,to)BH(t2,to))to=Tr{U(to,t1)AU(t1,to)U(to,t2)BU(t2,to)g(to)}, F.3.97)
где явно отмечено, что гайзенберговский оператор AH(t11t2) = U(t2,t1)AU(t1,t2) за-
зависит от двух временных аргументов. Второй аргумент показывает, в какой момент
времени картины Гайзенберга и Шредингера совпадают. Используя групповое свойство
оператора эволюции U(t,t') = U(t,t")U(t" ,t') и инвариантность следа при перестанов-
перестановке операторов, легко проверить, что в формуле F.3.97) "начальный" момент времени
?0 можно заменить другим произвольным моментом Т, т.е.
<Ля(Мо)Яя(*2,*о)>*° = (AH{ti,T)BH(t2,T))T,	F.3.98)
где статистические операторы g(t0) и д(Т) связаны обычным соотношением
= U(T,t0)g(t0)U(t0,T).	F.3.99)
В качестве упражнения предлагаем читателю проверить, что формула F.3.98) спра-
справедлива и для средних произведений любого числа операторов:
(A1H(t1,to)-AkH(tk,to))to = (A1H(t1,T)-AkH(tk,T))T.	F.3.100)
При выводе кинетического уравнения методом функций Грина нас интересует, в
основном, поведение корреляционных функций типа F.3.97) с близкими значениями
аргументов tx и ?2, поэтому, как и раньше, удобно отделить "медленную" и "быструю"
эволюцию в F.3.98). Для этого введем соответствующие переменные t = (tl +?2)/2 и
г = tx —12, а также положим Т — t. Тогда корреляционная функция записывается как
(t-T/2,t)y.	F.3.101)

60 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Из этого соотношения можно сделать поучительные выводы. Во-первых, заметим, что
"быстрая" эволюция в корреляционной функции определяется зависимостью гайзен-
берговских операторов от т, а "медленная" эволюция — зависимостью статистического
оператора g(t) от t. Во-вторых, видно, что зависимость корреляционной функции от t0
входит через "медленную" эволюцию. Таким образом, для быстрой микроскопической
динамики, описываемой переменной т, роль "начального" момента времени факти-
фактически играет значение t. Все это трудно заметить в представлении F.3.97), которое
используется в методе функций Грина.
Теперь становится ясно, почему метод функций Грина является эффективным для
вывода кинетического уравнения только в тех случаях, когда система достаточно хоро-
хорошо описывается в квазичастичном приближении. Дело в том, что при использовании
разложений по временным производным d/dt неявно предполагается, что свойства g(t)
близки к свойствам начального статистического оператора g(t0), т.е. в любой момент
времени t корреляционные эффекты малы. Отметим, что наличие в системе долго-
живущих многочастичных корреляций проявляется как сильные эффекты памяти в
компонентах массового оператора1). Поэтому в рамках чисто динамического подхода,
составляющего основу метода функций Грина, мы сталкиваемся с серьезными трудно-
трудностями при попытке описать корреляционные эффекты в кинетических процессах.
Соотношение F.3.100) подсказывает один из возможных способов усовершенство-
усовершенствовать метод гриновских функций так, чтобы естественным образом учесть корреляци-
корреляционные эффекты. Для этого нужно сформулировать подходящее граничное условие для
статистического оператора F.3.99) при t0 —> —сю. Например, мы можем воспользовать-
воспользоваться эргодическим условием (см. раздел 2.3.4 в первом томе)
U(t,to){Q(to)- Qq(to)}U(to,t) ^0 (t-to^oc),	F.3.102)
где Qq(t) — квазиравновесный статистический оператор F.1.2), зависящий от средних
значений {Рт)г некоторых базисных динамических переменных Рт1 описывающих
долгоживущие корреляции. Теперь нетрудно получить граничное условие для сред-
средних значений (Л1я(^1,^о)'" AkH{tk,to)) °- Применяя эргодическое условие F.3.102) к
правой части соотношения F.3.100), находим, что
F.3.103)
Символ (.. .}q° означает среднее значение, вычисленное с квазиравновесным статисти-
статистическим оператором в момент времени t0. Поскольку s-частичные гриновские функ-
функции F.3.19) есть линейные комбинации средних произведений гайзенберговских опе-
операторов поля частиц, мы получаем для них граничное условие
{G{l...s,l'...s';to)-Gq{l...s,l'...s';to)}^0 (*<,->-«)),	F.3.104)
где G — гриновская функция в квазиравновесном состоянии2).
Ч Это заключение подтверждается довольно сложным анализом уравнений Каданова-Бейма в первом
приближении по запаздыванию [48, 9, 130, 154]. Кинетическое уравнение, получаемое в этом прибли-
приближении, сохраняет полную энергию системы с точностью до первой вириальной поправки, в то время
как уравнение F.3.81) сохраняет лишь кинетическую энергию. Другой важный результат (см. [48])
состоит в том, что с учетом эффектов памяти функция Вигнера представляется в виде суммы двух
функций: одна из них имеет смысл функции распределения квазичастиц, а другая описывает корре-
корреляции.
2) В соотношении F.3.104) аргумент t0 указывает на зависимость гриновских функций от статисти-
статистического распределения в момент времени t0.

6.3. НЕРАВНОВЕСНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ ФУНКЦИИ ГРИНА	61
Простейшее квазиравновесное распределение, применяемое в кинетической теории,
имеет вид
J
F.3.105)
где Z(to) — нормировочная постоянная, а лагранжевы множители 51(г^,г1;^о) выра-
выражаются через одночастичную матрицу плотности F.3.2) из условия самосогласования
g^(r1,r'1;t0) = Tr{^(r'1)i)(r1)gq(t0)}.	F.3.106)
Предлагаем читателю самостоятельно убедиться в том, что при таком выборе квазирав-
квазиравновесного распределения граничное условие полного ослабления корреляций F.3.96),
которое, как мы отмечали, лежит в основе стандартного метода функций Грина, следу-
следует из F.3.104). Таким образом, выбирая более общие квазиравновесные распределения,
учитывающие корреляции в системе, можно сформулировать новые граничные усло-
условия для гриновских функций.
Граничное условие F.3.104) удобнее использовать в несколько иной форме. В разде-
разделе 2.4.3 мы показали, что неравновесный статистический оператор, удовлетворяющий
эргодическому условию F.3.102), имеет вид
t
g(t)= lim e [ dtfe-?^-tr)U(t,tf)gq(tf)U(tf,t).	F.3.107)
?->+0 J
—oo
Фактически это выражение определяет смысл предельного перехода t0 —> — оо в стати-
статистических операторах типа F.3.99). Таким образом, согласно соотношению F.3.100),
предельные значения временных гриновских функций даются формулой
F.3.108)
Несколько неожиданным является тот факт, что здесь момент времени Т может быть
выбран произвольно. Отметим, однако, что сами по себе гриновские функции — вспомо-
вспомогательные величины, поэтому выбор момента Т зависит от того, какие физические ве-
величины вычисляются с их помощью. Допустим, например, что нас интересуют средние
(А]_ ••• АкУ, которые определяют наблюдаемые значения динамических переменных в
момент времени t. Тогда, обращаясь к соотношению F.3.100), мы видим, что следует
положить Т — t. Переходя теперь к пределу t0 —> —оо и используя выражение F.3.107)
для неравновесного статистического оператора, находим, что
t
{А, ¦¦¦АкУ =\unQe j dtoe-^-^{A1H(t1,to)---AnH(tk,to))^\^=	F.3.109)
— ОО
Временная корреляционная функция в правой части может быть выражена через гри-
гриновские функции в квазиравновесном состоянии. Важным частным случаем форму-
формулы F.3.109) является соотношение для одночастичной матрицы плотности:
F.3.110)

62 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Интересно сравнить его с формулой F.3.11) в стандартном методе функций Грина.
Следует напомнить, что величины в обеих частях формулы F.3.11) зависят от ста-
статистического оператора ?>(?q)- Чтобы исключить эту зависимость, нужно выполнить
предельный переход t0 —> —оо, смысл которого требует дополнительного определения.
Фактически соотношение F.3.110) и служит таким определением.
Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновес-
неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном
условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалент-
эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций
распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при
таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эф-
эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравне-
уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам,
которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих
квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные
условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что
предельные значения F.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-
квазиравновесные функции Gql в которых усреднение производится со статистическим опе-
оператором gq(t'), зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые (РтУ .
Таким образом, соотношение F.3.108) показывает, что в общем случае предельные
гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря,
уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться
совместно с уравнениями переноса для (РтУ. В параграфе 4.5 первого тома был рас-
рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических
процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая тех-
техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется
возможность внести свой вклад в решение этой проблемы.
6.4. Квантовая кинетика с начальными корреляциями
В предыдущем разделе мы встретились с новыми величинами — квазиравновес-
квазиравновесными временными гриновскими функциями Gq. Эти функции входят, например, в
граничное условие F.3.108) и в выражение F.3.110) для одночастичной матрицы плот-
плотности. Мы рассмотрим теперь задачу, в которой функции G' используются для вывода
квантовых кинетических уравнений.
Речь пойдет о начальном этапе эволюции системы из некоторого, вообще говоря,
неравновесного состояния, описываемого статистическим оператором g(t0). Хотя эта
задача имеет долгую историю (см., например, [21, 55, 56, 80, 81, 114, 153, 168]), ин-
интерес к ней значительно возрос в последнее время в связи с экспериментальными и
теоретическими исследованиями быстрых релаксационных процессов в полупроводни-
полупроводниках [83, 149] и столкновений тяжелых ядер [56, 75, 105, 106]. Кинетическое уравнение с
учетом начальных корреляций в низшем порядке теории возмущений было выведено
в работах [110, 114] из цепочки уравнений для приведенных матриц плотности. Более
общее квантовое кинетическое уравнение с начальными корреляциями было выведено
методом функций Грина в работе [133], которой мы и будем, в основном, следовать.
6.4.1. Описание начального состояния с корреляциями. Начнем
с вопроса о том, как математически описать произвольное начальное состояние систе-
системы в момент времени t0. В принципе это можно сделать различными способами. Во-

6.4. КВАНТОВАЯ КИНЕТИКА С НАЧАЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ	63
первых, можно просто задать статистический оператор системы g(t0). Ясно, что тогда
явное вычисление физических величин возможно лишь при использовании достаточно
простых модельных выражений для д^0). Вместо статистического оператора можно
задать приведенные матрицы плотности1)
} (8 = 1,2,...).
F.4.1)
Если начальное состояние описывается статистическим ансамблем систем с фиксиро-
фиксированным числом частиц TV, то s = 1,2,... N. Для большого ансамбля, который более
удобен в теории бозе- и ферми-систем, нужно, в принципе, задать бесконечную после-
последовательность приведенных матриц плотности2). Наконец, статистический оператор
g(t0) можно попытаться найти, рассматривая эволюцию системы при t < ?0, т.е. сам
процесс возникновения неравновесного состояния.
Все эти способы описания начального состояния можно объединить, используя по-
понятие квазиравновесного распределения. Действительно, рассмотрим статистический
оператор
«,(*„) = М*о) = *&+3>) Дг{е^*)} ,	F.4.2)
где
S° = IdridrisM^t^iriWrJ,	F.4.3)
ri---drb8b№'''rb>ri''^^	FA4)
и будем трактовать величины 52,52,... как множители Лагранжа. Они выражаются
через приведенные матрицы плотности из соотношений F.4.1), которые теперь имеют
смысл условий самосогласования. Наиболее подробное описание начального состояния
соответствует тому, что все приведенные матрицы плотности рассматриваются как
независимые параметры состояния. Тогда в большом ансамбле оператор S' содержит
бесконечное число членов. Ясно, что в этом случае практически невозможно решить,
даже приближенно, уравнения для множителей Лагранжа. Поэтому приходится огра-
ограничиваться модельными выражениями для S", содержащими конечное число членов.
Достаточно простое и во многих случаях физически разумное описание начального
состояния с многочастичными корреляциями дает модель, в которой независимыми
параметрами являются одночастичная и двухчастичная матрицы плотности. Эта мо-
модель уже не раз встречалась в книге, поэтому мы не будем ее снова обсуждать. Итак,
мы будем считать, что оператор S' в F.4.2) имеет вид
S' = ^ J d^d^d^dr^s^r^r^t^^ir'^ir'^ir^ir^,	F.4.5)
хотя сам подход, излагаемый ниже, применим и в случаях, когда оператор F.4.4) со-
содержит произвольное число членов.
Ч Мы используем обозначения из предыдущего параграфа и систему единиц, в которой /1 = 1.
2) Для сверхтекучих и сверхпроводящих систем начальное состояние описывается также "аномаль-
"аномальными" средними типа (/0(r^)'0(r1)) и т.д. Мы не будем здесь рассматривать этот случай.

64
ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
6.4.2. "Смешанные" функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вы-
вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера при t > t0, если начальное со-
состояние системы описывается статистическим оператором F.4.2). В принципе мож-
можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-
Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Де-
Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим опе-
оператором F.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре
С не существует обратная одночастичная функция Грина G~1(l,l/). Иначе гово-
говоря, мы не можем записать уравнения движения для GA,1') в виде уравнений Дай-
сона F.3.29) и F.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений
Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе.
Такой подход применялся, например, в
работе [153]. К сожалению, он не по-
позволяет продвинуться дальше низшего
порядка теории возмущений по началь-
начальным корреляциям, так как уравнения це-
цепочки быстро усложняются. В связи с
этим напомним два основных достоин-
достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно
определяет общую структуру кинетиче-
X к
1=(*оД)
с-
t
Рис. 6.7. Расширенный контур С_ с временной
эволюцией на участках С+, С~ и с термоди-
термодинамической эволюцией на участке Сх
ского уравнения. Во-вторых, приближе-
приближения делаются только в массовом операто-
операторе, который представляет собой резуль-
результат частичного суммирования бесконеч-
бесконечных рядов теории возмущений для це-
цепочки Мартина-Швингера. Поэтому же-
желательно сформулировать схему вывода
кинетического уравнения так, чтобы в
ней, в той или иной форме, фигуриро-
фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корре-
корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции GA,1')
на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной
функции Грина, заданной на расширенном контуре С_. Этот контур лежит в плоскости
(t,x), как показано на рис. 6.7.
Начнем с некоторых определений. Введем переменную ? = (t,x), которая задает
положение точки на контуре G, и определим интеграл вдоль этого контура с помощью
соотношения
ОО
fdZE(O= f
J	J
dtF{t,O)
- fdtF(t,O)
на С+ J
to
на C~
1
[dxF(to,
J
x)
на С,
F.4.6)
В дальнейшем символ F_ будет означать, что функция F задана на контуре С_. Такое
же обозначение будет применяться и для операторов. Для упрощения вида формул мы
будем часто писать F_(k) вместо F_(rk,?k) и F_(k') вместо F_(r'k,?'k).
Нам понадобится также функция ^A,1'), которая играет роль дельта-функции на
контуре G, т.е.
dl'6A,l')Z(l') =?(!)•
F.4.7)

6.4. КВАНТОВАЯ КИНЕТИКА С НАЧАЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ	65
Согласно правилу интегрирования F.4.6), эта функция имеет вид
( 8c(l,V) = 8{r1-r'1Mc{t1-t'l) A,1'eC),
1A,1')= < Sfa-x'JSfa-rl)	A,1'eCJ,	F.4.8)
[О	(в остальных случаях),
где 8c(t — t') — дельта-функция на контуре Келдыша-Швингера [см. F.3.22)].
Определим представление Гайзенберга для операторов, заданных на контуре С_:
Ан(О=Ш,ОАЦ(?,й),	F-4.9)
где ?j~ — начальная точка, лежащая на ветви С+ контура Келдыша-Швингера С,
f/(^l5^2) — оператор эволюции на контуре С_. Ясно, что эволюция на С описывается
гамильтонианом системы Я. Будем считать, что на участке контура Сх мы имеем тер-
термодинамическую эволюцию с оператором энтропии S = 5° + S1 [см. F.1.18)]1). Тогда,
вводя эффективный гамильтониан на контуре С_
оператор эволюции можно записать в компактной форме:
1
,	F.4.11)
где Тс — символ Т-упорядочения вдоль контура С_. Легко проверить, что оператор
эволюции обладает групповым свойством ?/(?,?') = Ц_{?Л")У-{?"•>?')•
Введем теперь матричные функции Грина операторов F.4.9). Будем называть их
смешанными функциями Грина, так как они совпадают с временными функциями на
контуре Келдыша-Швингера и с термодинамическими функциями на участке Сх.
Одночастичная гриновская функция на контуре С_ определяется как
Щ1,1') = -х (Та [±H(l)±Ul')]) ¦
Здесь и в дальнейшем символ (...) означает усреднение с начальным статистическим
оператором F.4.2). Аналогичным образом определяются многочастичные функции:
Чтобы получить представление о структуре смешанной гриновской функции F.4.12),
выпишем ее компоненты:
G(i,i') (i,i' e С),
a>A'1') (ieCa)i'€C),
а<A1') (led'eCJ	FA14)
Ч В этом параграфе мы будем называть S = S° + S' оператором энтропии, опуская с-числовую функ-
функцию Масье-Планка Ф в формуле F.1.9).

66
ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Эти функции удовлетворяют очевидным граничным условиям
Здесь G(l, 1') —ужезнакомая нам временная гриновская функция F.3.17). В последней
строке стоит термодинамическая функция
(/A,1 ) = —\Тх\ун\Ч'Фн(Х)\)'>	F.4.15)
где A) = (г1,ж1) и A') = (г^,^). Наконец, имеются "перекрестные" функции Грина
(фактически — корреляционные функции), построенные из операторов с различными
типами эволюции:
F.4.16)
F.4.17)
F.4.18)
F.4.19)
которые связывают их с временными и термодинамическими функциями Грина. Как
мы увидим, перекрестные функции играют важную роль в рассматриваемой задаче.
6.4.3. Уравнение Дайсона на расширенном контуре. Теория воз-
возмущений для смешанных функций Грина строится примерно так же, как для времен-
временных и термодинамических функций. Естественно ввести, кроме представления Гайзен-
берга F.4.9), представление "взаимодействия" на контуре С_. Записывая гамильтониан
система в виде суммы Я = Я0 + Я;, где Я0 — гамильтониан свободных частиц, опре-
определим операторы в представлении взаимодействия как
АЛО =LL0{t+iOALL0(^t+)'	F.4.20)
Оператор свободной эволюции на контуре U_° дается формулой
х-,=0~
!
-
F.4.21)
?2
в которой невозмущенный эффективный гамильтониан Ж0@ совпадает с Я0 на кон-
контуре Келдыша-Швингера и равен —iS° на участке Сх. В приложении 6Г показано, что
смешанные функции Грина F.4.13) можно записать через средние значения упорядо-
упорядоченных на контуре С_ произведений операторов поля в представлении взаимодействия.
Для одночастичной функции соответствующее выражение имеет вид
F.4.22)

6.4. КВАНТОВАЯ КИНЕТИКА С НАЧАЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ	67
где усреднение ведется со статистическим оператором
\	F.4.23)
который описывает начальное состояние без многочастичных корреляций. Эффектив-
Эффективный "гамильтониан взаимодействия" на контуре С_ равен
F.4.24)
где H'j(t) — оператор в обычном временном представлении взаимодействия на контуре
Келдыша-Швингера, a S'j(x) — корреляционная часть оператора энтропии в термоди-
термодинамическом "представлении взаимодействия" (см. раздел 6.1.3).
Формула F.4.22) имеет структуру, удобную для диаграммной техники, так как при
усреднении со статистическим оператором F.4.23) можно применить теорему Вика. Ис-
Используя диаграммное представление для (?A,1') и производя "блочное" суммирование
диаграмм, можно вывести уравнение Дайсона1) и тем самым конструктивно доказать,
что на расширенном контуре С_ существует обратная функция G_~l(\,V). Впрочем,
для доказательства существования обратной функции не обязательно обращаться к
теории возмущений и диаграммной технике. Добавляя на рис. 6.7 участок Сх с тер-
термодинамической эволюцией операторов, мы фактически добиваемся того, что усред-
усреднение в конечной точке ? выполняется со статистическим оператором g°{t0), который
удовлетворяет условию ослабления корреляций. Как уже отмечалось, это гарантирует
существование функции G_~l(\,V).
Как и в "обычном" методе временных функций Грина, уравнение Дайсона мож-
можно формально получить из уравнения движения для BA,1'). Явный вид уравнений
движения зависит от гамильтониана взаимодействия Н' и корреляционной части опе-
оператора энтропии S'. Для определенности будем считать, что Н' описывает парное
взаимодействие между частицами и дается вторым членом в формуле F.3.15), a S'
возьмем в виде F.4.5). Тогда на контуре Келдыша-Швингера операторы поля частиц
удовлетворяют уравнениям F.3.24) и F.3.25). Аналогичные уравнения на участке Сх
записываются как
—я^ = \SH^HA)], —	= [?я,-0^AI,	F.4.25)
где A) = (г1,х1). Подставляя сюда явное выражение для оператора энтропии, получим
сх	сх
F.4.26)
где введены функции, заданные на участке Сх контура С_:
s1(l,l') = s1(riyi;to)S(x1-x'1),	F.4.27)
VA2,1'2') = -s^r^r1^;t0N{Xl -x2N(хг -x[N(х'г -х'2). F.4.28)
Ч Прямой диаграммный вывод уравнения Дайсона для G_(l,lf) приводится в работе Вагнера [168].

68 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Уравнения движения F.3.24), F.3.25) и F.4.26) с различными типами эволюции мож-
можно записать в виде двух уравнений для операторов ф нA) и ф нA) на расширенном
контуре:
F.4.29)
с	с
Здесь G^^1 A,1') — матричный оператор
о —1/-1 -|/\	(Л Л> г- Г1\
JTq Ц, 1 J	Ц, 1 t Oj,
A,1'€C7J,	F.4.30)
(в остальных случаях),
компонентами которого являются операторы
г, -г'^ + а^У^ 8{Xl-x[).	F.4.32)
Мы ввели также "амплитуду взаимодействия" на контуре С_:
{ 1/A2,1'2')	A,2,1',2'еС),
iVA2,V2') A,2,1',2'еСх),	F.4.33)
0	(в остальных случаях).
Чтобы получить уравнения движения для смешанной гриновской функции G A,1/),
подействуем на соотношение F.4.12) слева и справа оператором G_^1, а затем восполь-
воспользуемся уравнениями F.4.29). В результате приходим к системе сопряженных друг дру-
другу уравнений
F.4.34)
которая аналогична системе уравнений движения F.3.26) для временной гриновской
функции. Как уже отмечалось, на расширенном контуре С_ существует функция
^~1A,1/), такая, что
J)G-1B,l') = S(l,ll). F.4.35)
[d2G_Q1{l12)G{21l')=l{l1lf)Ti /d2d3d4KA2,34)GC4,l'2+),
/d2G(l,2)Go1B,l/)=i(l,l/)=F« /

6.4. КВАНТОВАЯ КИНЕТИКА С НАЧАЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ	69
Поэтому мы можем записать F.4.34) в виде уравнений Дайсона
[ d2G_Q1{l12)G{21lf) = 5A,1')+ /d2E(l, 2HB,1'),	F.4.36)
Zti2d3d4d5G-1(l,5)GE2-,34)ZC4,l/2).	F.4.38)
/), F.4.37)
с	с
где матричный массовый оператор дается формулами
= Т»
= =r
Они напоминают формулы F.3.31) для массового оператора в методе временных функ-
функций Грина. Следует, однако, иметь в виду, что ЕA,1/) имеет больше компонент, чем
ЕA,1/), так как теперь каждый из аргументов может лежать на любом из трех участков
контура С_. В дальнейшем будем записывать компоненты Е как
1,1' ЕС,
1еС, 1'еСж,
, ^ ,, Д	6.4.39
,	1 Е Сж, 1 Е С,
¦'), 1Д'есг,
где, в свою очередь, ЕA,1') представляется матрицей F.3.18) с индексами ветвей кон-
контура Келдыша-Швингера.
Уравнения F.4.36) и F.4.37) имеют компактный вид, но на самом деле каждое из
них — довольно сложная система связанных уравнений. Чтобы выяснить, какие новые
черты вносят в теорию начальные корреляции, рассмотрим уравнения Дайсона для
отдельных компонент смешанной гриновской функции BA,1').
6.4.4. Уравнения Дайсона для временных функций Грина.
Как и в параграфе 6.3, наибольший интерес представляют временные компоненты
функции GA,1'), так как они непосредственно связаны с одночастичной матрицей
плотности. Предположим, что в F.4.36) и F.4.37) значения аргументов ^ и ?[ соот-
соответствуют точкам на контуре Келдыша-Швингера С. Тогда, поскольку участок Сх
расположен дальше от начала контура С, чем G, получаем
F.4.40)
F.4.41)

70 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Это все еще матричные уравнения, так как в GA,1') и ЕA,1') временные аргумен-
аргументы могут соответствовать различным ветвям контура С. Нетрудно, однако, перейти
к уравнениям для функций д < и gR' , действуя так же, как и в разделе 6.3.3. Нуж-
Нужно лишь учесть два обстоятельства. Во-первых, нижний предел интегрирования по
времени теперь всюду равен ?0. Во-вторых, перекрестные функции Q < и /С < не зави-
зависят, по определению, от положения их временного аргумента на контуре С. Оставляя
элементарные выкладки читателю в качестве упражнения, выпишем окончательные
уравнения. Из F.4.40) находим, что
+ f d2IC<(l,2)g>{2,l'), F.4.42)
/)- F-4.43)
Сопряженные уравнения следуют из F.4.41):
/d2?<(l,2)^B,1'),	F.4.44)
F.4.45)
Интересно, что в уравнения для gR и дл не вошли функции Q < и /С <, которые учи-
учитывают вклад начальных корреляций. Это не означает, однако, что запаздывающая
и опережающая гриновские функции вообще не зависят от состояния системы в мо-
момент времени t0. Мы увидим дальше, что вклады от корреляций входят в массовые
операторы ЕйиЕл.
В уравнениях F.4.42) - F.4.45) удобно перейти к компактным матричным обозначе-
обозначениям. Для функций, зависящих от ?, операция матричного умножения означает инте-
интегрирование в пределах от t0 до +оо, а для функций, зависящих от х — интегрирование
по интервалу 0 < х < 1. Кроме того, матричное умножение включает интегрирование
по аргументу г. Тогда уравнения для gR' формально будут иметь тот же вид, что
и в обычном методе временных функций Грина [см. F.3.47)и F.3.49)], а модифици-
модифицированные уравнения Каданова-Бейма для корреляционных функций д < запишутся
как
(<7o-1-s«)/< = s>V+/c<a>,
F.4.46)

6.4. КВАНТОВАЯ КИНЕТИКА С НАЧАЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ	71
6.4.5. Уравнение Дайсона для термодинамической функции
Грина. Вернемся к матричному уравнению Дайсона F.4.36) и возьмем значения
обоих аргументов A) = (rl,xl), (!') = (rj,^) на участке Сх контура С_. Тогда мы
приходим к уравнению
f 42{д^A,2)-Ц1,2)}дB,1') = 6A-1')+ f
F.4.47)
Напомним, что значения функций /С>A,2) и б<B, V) не зависят от того, какой из вет-
ветвей контура С соответствует временной аргумент t2 этих функций. Следовательно,
согласно правилу интегрирования F.3.20) вдоль контура Келдыша-Швингера, послед-
последний член в уравнении F.4.47) равен нулю. Итак, мы видим, что термодинамическая
компонента гриновской функции (?A,1/) удовлетворяет уравнению
J
F.4.48)
куда вообще не входят функции с временными аргументами. Впрочем, это не удиви-
удивительно, так как (/A,1/) есть не что иное, как термодинамическая функция Грина в
начальном состоянии. Ясно, что массовый оператор /СA,1') никак не связан с времен-
временной эволюцией при t > t0.
6.4.6. Уравнения Дайсона для перекрестных функций Грина.
Нам осталось рассмотреть уравнения для перекрестных гриновских функций Q <, ко-
которые учитывают влияние начальных корреляций на временную эволюцию. Полагая
в уравнении Дайсона F.4.36) 1 G С, V G Сх, получим
/"dl//{Go1(l,l//)-S(l,l//)}^<(l//,l/) = * /rfl///C<(l,l//)a(l//,l/)-	F-4.49)
с	сх
Здесь временной аргумент tl в A) = (т11г1) можно приписать к любой из двух ветвей
контура Келдыша-Швингера С. Легко проверить, что в обоих случаях получается одно
и то же уравнение. В матричных обозначениях оно записывается как
(go1-ZR)g<=iK<g	F.4.50)
и определяет эволюцию функции Q<A,V) = Q<(r1tlJr[x'1) во времени. Чтобы най-
найти уравнение, которое описывает "термодинамическую" эволюцию этой функции, вос-
воспользуемся сопряженным уравнением Дайсона F.4.37), где 1 G С и V G Сх. Это дает
f dlffg<{lX){g^\lffA')-K{lff1lf)} = i fdl^GilX)^^'',!').	F.4.51)
сх	с
Временной аргумент t\ опять можно взять на любой ветви контура С. Считая, на-
например, что tx G С+, получаем уравнение, которое в матричных обозначениях имеет
вид
g<(g-1-K)=igRtC<.	F.4.52)

72 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Действуя точно так же, для Q>A,V) = Q>(r1x1,r[t'1) получаем два уравнения
д>{д^-ИА)=гд1С>,	F.4.53)
{Gb1-K)Q>=iK>gA,	F.4.54)
которые описывают временную и термодинамическую эволюции этой функции.
Из F.4.50) и F.4.53) можно вывести "явные" выражения для перекрестных гринов-
ских функций. Прежде всего заметим, что решение этих уравнений дается формулами
g< = igRic<g+g<, g> = igic>gA+g^	F.4.55)
причем функции 00к удовлетворяют однородным уравнениям
(ffo- ЕЙHО<=О, до>(<7о-1-Ел)=0	F.4.56)
и граничным условиям F.4.18). С учетом очевидных свойств запаздывающей и опере-
опережающей гриновских функций F.3.36)
lim gR{r1tur2t2) = -iS{r1-r2), lim gA{ntur2t2) = i5{n-r2) F.4.57)
^1-^2+0	?l-^2-0
мы можем записать решение уравнений F.4.56) в таком виде (укажем только времен-
временные аргументы):
g<{h) = igR(t1,to)G<(to), G^h) = -iG>(to)gA(to,t1).	F.4.58)
Подстановка этих функций в F.4.55) дает
h
<(to) + i Idt2gR{t1,t2)K,<{t2)g,
*°	F.4.59)
tl
Интересно, что с помощью полученных выражений можно исключить перекрестные
гриновские функции в уравнениях F.4.46), поскольку величины д <(^0M как видно из
граничных условий F.4.18), полностью определяются начальным статистическим опе-
оператором ?>(?())• Это не означает, однако, что перекрестные гриновские функции вообще
исчезают из теории, так как они входят в компоненты /С массового оператора.
6.4.7. Структура Т-матрицы на расширенном контуре. До сих
пор мы выводили общие следствия из уравнения Дайсона на расширенном контуре G,
которые не зависят от конкретных выражений для гамильтониана системы Я и опера-
оператора энтропии S. Мы можем, однако, продвинуться дальше этих формальных резуль-
результатов, если возьмем массовый оператор Е в виде F.4.38) и построим некоторые при-
приближения для двухчастичной смешанной гриновской функции. Следуя работе [133],
рассмотрим приближение Т-матрицы, применимое к системам с короткодействующим
потенциалом взаимодействия.

6.4. КВАНТОВАЯ КИНЕТИКА С НАЧАЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ	73
В приближении Т-матрицы двухчастичная гриновская функция GA2,1'2') полу-
получается в результате суммирования "лестничных" диаграмм, описывающих взаимодей-
взаимодействие двух частиц в среде во всех порядках теории возмущений [55], что приводит к
уравнению
A
F.4.60)
По аналогии с F.3.85), определим Т-матрицу на контуре С_ как решение уравнения
ГA2,1'2') = КA2,1'2') + г /d3d3/d4d4/KA2,34)GC,3/)GD,4/)rC/4/,l/2/).
с
F.4.61)
Легко проверить, что Т-матрица удовлетворяет также сопряженному уравнению
г /
с.
F.4.62)
Приведенные выше уравнения удобно записывать в компактном матричном виде
+ z(G0G)^G^,	F.4.63)
T=V_ + iV_{G®G)T,	F.4.64)
Z = У. + %Т_ (G 0 G)V_,	F.4.65)
где двухчастичная гриновская функция обозначена как Gy*' = [G A2,1/2')], символ 0
означает прямое произведение матриц, а индекс "ех" показывает, что произведение
одночастичных матриц должно быть симметризовано или антисимметризовано в за-
зависимости от типа статистики [см. F.4.60)].
Уравнение F.4.63) можно решить итерациями и тем самым получить соотношение
между двухчастичной гриновской функцией и Т-матрицей:
F.4.66)
где введена симметризованная или антисимметризованная матрица
Г A2,1'2') = Г A2,1'2') Т ГA2,2/1/) = Г A2,1'2') Т ГB1,1'2').	F.4.67)
Формула F.4.66) аналогична формуле F.3.83) в "обычном" методе временных функций
Грина.
На первый взгляд кажется, что из формулы F.4.66) мы получим слишком громозд-
громоздкие выражения для компонент двухчастичной гриновской функции, так как матрица
ТA2,1/2/) зависит от четырех аргументов, каждый из которых может лежать на лю-
любом из трех участков контура С_ (см. рис. 6.7). Вспомнив, однако, определение F.4.33)
"амплитуды взаимодействия", легко убедиться с помощью уравнений F.4.64) и F.4.65),
что компоненты Т A2,1'2') отличны от нуля только в том случае, когда аргументы 1 и

74 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
2 принадлежат одному и тому же участку контура С_. То же самое относится и к паре
аргументов 1', 21'. Следовательно, Т-матрица имеет такую структуру:
ТA2,1'2')	A,2 G С, 1',2'еС),
Г<A2А<2<) A,2 е С, l',2'Gft),
r>A25l,2,} Aj2gC{bj 1/j2/gC)j	F.4.68)
iT(i2,i'2') A,2ecx, v,2'ecx).
Матрица 77A2,1/2/) задана на контуре Келдыша-Швингера С, поэтому
т=[ j-+ j— ) = ( j> ja J ,	F.4.69)
где индексы "+" и "—" показывают, на какой из ветвей контура С лежит временной
аргумент. В последней строке формулы F.4.68) стоит термодинамическая Т-матрица
Т, которая определяет массовый оператор /С в уравнении F.4.48). Отметим, наконец,
что имеются две перекрестные Т-матрицы Т <, связывающие временную эволюцию и
начальные корреляции.
Для матрицы Т = [77A2,1/2/)] из F.4.64) и F.4.65) легко получаем уравнения
<®g<)T>,	F.4.70)
{Q>®Q>)V,	F.4.71)
где V = [КA2,1/2')] — матрица F.3.23). К сожалению, приведенные выше уравнения
незамкнуты, так как в них входят перекрестные Т-матрицы, поэтому снова вернемся
к уравнениям для полной Т-матрицы на контуре С_. Из F.4.64) находим, что
^g>)T.	F.4.72)
Аналогичное уравнение для д< следует из F.4.65):
т< = r< {g®g)v-т\д< ®g<)v\	F.4.73)
Покажем, что перекрестные Т-матрицы можно точно выразить через ТA2,1/2/) и
7~A2,1/2'). С этой целью выпишем уравнения F.4.64) и F.4.65) для случая, когда все
четыре аргумента принадлежат участку Сх контура С_. В результате мы приходим к
уравнениям для термодинамической Т-матрицы
r=v+v(g®g)T, T=v+T(g®g)v,	F.4.74)
которые, как и следовало ожидать, не содержат функций с временными аргументами.
Предоставляем читателю проверить, что теперь в F.4.72) и F.4.73) можно исключить
матрицу V и записать перекрестные Т-матрицы в виде
= -т{д>®д>)т.	F.4.75)
Подставляя эти выражения в F.4.70) и F.4.71), получаем уравнения
®g>)]T,	F.4.76)
®g>)\v.	F.4.77)

6.4. КВАНТОВАЯ КИНЕТИКА С НАЧАЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ	75
Они компактны и, кроме того, дают наглядную интерпретацию роли начальных кор-
корреляций в микроскопической динамике. Допустим на минуту, что второй член в ква-
квадратных скобках равен нулю. Тогда уравнения F.4.76) и F.4.77) описывают процесс
рассеяния двух частиц, причем матрица (G<8>G) представляет собой двухчастичный
пропагатор в среде. Мы видим, что в некотором смысле начальные корреляции мож-
можно рассматривать как дополнительный источник рассеяния частиц. Соответствующая
Т-матрица есть Т, а роль пропагаторов играют перекрестные функции Грина Q <.
Удобно записать уравнения F.4.76) и F.4.77) для функций, которые более наглядно
отражают двухчастичный характер приближения Т-матрицы. Прежде всего с помо-
помощью формулы F.3.23) проверяем итерациями, что уравнения F.4.76) и F.4.77) пред-
предполагают такую структуру временной Т-матрицы:
TA2,l'2') = {r1r2\T12(t1,t[)\r'1r2)Sc(t1-t2)Sc(t'1-t'2).	F.4.78)
Это соотношение может служить определением для оператора T12(t,t'), который на-
назовем двухчастичной временной Т-матрицей. Аналогичным образом введем двухча-
двухчастичную термодинамическую Т-матрицу Т12(х11х[) и оператор двухчастичного вза-
взаимодействия V12:
,ll2l) = (r1r2\T12(x1,x[)\r[r2N(x1-x2N(xl1-xl2),	F.4.79)
,1'2') = (r1r2\V12\r'1r'2Nc(t1-t2)Sc(t1-tl1)Sc(t'1-t'2). F.4.80)
Сравнение последней формулы с F.3.23) показывает, что матричный элемент опера-
оператора V12 совпадает с амплитудой взаимодействия в гамильтониане F.3.15). Теперь
уравнение F.4.76) можно записать в виде (указаны только временные аргументы)
-t') + i j\affV12{G12(t1tff)-6^(t)Ti2g^(n}T12(tff1tfI F.4.81)
с
где гриновские функции
G12(t,t') = G1(t,t')G2(t,t'),	F.4.82)
?	4	(*)	F-4.83)
описывают независимые частицы. Ясно, что F.4.81) — все еще матричное уравнение на
контуре Келдыша-Швингера С. Поэтому имеет смысл перейти к двухчастичным опе-
операторам Т712<, Т?2 и Т7^, которые определены на интервале to <t < ос. Как и раньше,
вместо причинного и антипричинного операторов удобнее использовать запаздываю-
запаздывающий (Т7-^) и опережающий (Т7-^) операторы. Они определяются точно так же, как соот-
соответствующие компоненты массового оператора Е (см. раздел 6.3.3). С учетом того, что
значения функций Q < (t) не зависят от положения аргумента t на контуре Келдыша-
Швингера, матричное уравнение F.4.81) легко преобразуется в систему уравнений
(tJt")T1R2/A(t"Jt')J	F.4.84)
(t,t') = i Jdt"eft'"T&(t,t") {g^(t",t'") -9f2(t")Г129Un) T&(t'",t'), F.4.85)

76 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
где введены двухчастичные функции Грина
9^(t,t') = g>1<(t,t')g>2<(t,t'),	F.4.86)
)}.	F.4.87)
Структура уравнения F.4.84) показывает, что операторы Т12 описывают эффектив-
эффективное взаимодействие двух частиц в среде. Интересно, что это уравнение имеет точно
такой же вид, как и в обычном методе временных функций Грина [49, 55] без учета
начальных корреляций1). С другой стороны, уравнение F.4.85), которое представляет
собой обобщение так называемой оптической теоремы [49, 55], явно содержит корре-
корреляционные поправки.
Нам осталось записать перекрестные Т-матрицы F.4.75) через двухчастичные опе-
операторы. Вспоминая правило матричного умножения на контуре G, введенное в разде-
разделе 6.4.4, легко находим, что
tf,t). F.4.88)
6.4.8. Массовый оператор в приближении Т-матрицы. Подста-
Подставляя двухчастичную гриновскую функцию F.4.66) в формулы F.4.38), получаем вы-
выражения для массового оператора на контуре С_ через Т-матрицу:
?A,1') = =R ( d2d2'T_A2,1'2')GB',2+) = =R j d2d2' G_{2~ ,2')T_A2',1'2), F.4.89)
где мы воспользовались равенствами
ZGB)=f(G®G), GBV=(G®G)f,	F.4.90)
проверку которых оставляем читателю в качестве упражения2).
Для компонент массового оператора F.4.39) из формул F.4.89) следуют выражения
A,1') = =r /d2d2!f A2,1'2')GB', 2+) = =r /dld2lG{2~,2')TA2/,l/2), F.4.91)
с	с
<A,1/) = Т« td2' Id2f<{l21l'2')g>B'12I	F.4.92)
cx с
>A,1/) = Т« (d2 Id2'f>{l2,l'2')g<B',2),	F.4.93)
cx с
(l,lr) = T f d2d2ffA2,1'2')?B',2+) = T f d2d2fQB~,2')f{l2f,lf2). F.4.94)
Ч Следует, однако, иметь в виду, что в данном случае двухчастичные пропагаторы д12 зависят от
начальных корреляций.
2) Равенства F.4.90) следуют из уравнений F.4.64), F.4.65) для Т-матрицы и соотношения F.4.66).

6.4. КВАНТОВАЯ КИНЕТИКА С НАЧАЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ	77
Отметим, что полученное выражение для К позволяет, в принципе, найти из уравне-
уравнений F.4.48) и F.4.74) термодинамическую гриновскую функцию Q. Нас, однако, больше
интересуют формулы F.4.91) - F.4.93) для компонент массового оператора, непосред-
непосредственно связанных с микроскопической динамикой.
Прежде всего из F.4.91) находим
?^(М') = Ti Tr f^(t,t')gf(t',t),	F.4.95)
ZR/A(t,t') = TiTr{fR/A(t,t')g<(t',t) + f<2(t,t')gA/R(t' ,t)}, F.4.96)
где символ Тг означает матричный след по переменным частицы B). Далее, в форму-
формулах F.4.92) и F.4.93) можно исключить перекрестные Т-матрицы с помощью соотно-
соотношений F.4.88). Тогда для перекрестных компонент массового оператора получаются
выражения
F.4.97)
Итак, мы видим, что все компоненты массового оператора удалось выразить через вре-
менные Т-матрицы Т12 , Т12 и термодинамическую матрицу Т, которая описывает
начальные корреляции в системе.
6.4.9. Кинетическое уравнение для пространственно однород-
однородной системы. Прообраз кинетического уравнения с учетом начальных корреля-
корреляций выводится из модифицированных уравнений Каданова-Бейма F.4.46) для дк. Вы-
Вычитая второе уравнение из первого, пишем
[go\g<]=ZRg<-g<ZA + ?l<gA-gR?l<+K<g>-g<K>.	F.4.98)
Это точное, но чрезвычайно сложное уравнение, включающее эффекты памяти и нело-
нелокальности. Для простоты предположим, что состояние системы в любой момент вре-
времени является пространственно однородным. Тогда удобно ввести импульсное пред-
представление для всех функций F(l,l/) = F(r1t11 r[t[) с помощью соотношения
{pl\F{t1,t[)\p'l) = yJd^drie-bMe-*-* F(l,l'),	F.4.99)
V
где (р) = (р,сг), V — объем системы. В конце вычислений можно перейти к пределу
V —> оо. Предполагая также, что гриновская функция (?A,1/) и массовый оператор
ЕA,1/) диагональны по спиновым индексам, имеем
(Pi \9>K (h А) \Р\) = 9% (*i, t\) SPiP[, (Pl\S><(ti)\p'i) = Gp* (h) Spip[. F.4.100)
Аналогичные соотношения справедливы также для остальных гриновских функций и
для элементов массового оператора. В пространственно однородном состоянии одно-
частичная матрица плотности F.3.2) диагональна, т. е.
p[,	F.4.101)

78 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
и выражается через одночастичную функцию распределения fp(t) = {^рн{^)арн(^)У°•>
а соотношение F.3.11) принимает вид
fp(t) = Tig<{t,t).	F.4.102)
Вычисляя теперь диагональный элемент матричного уравнения F.4.98) по отноше-
отношению к импульсным и временным переменным, приходим к кинетическому уравнению
^/P(*) = =F{x:<(t)a>(*)-a<(t)JcP>(*)}=F
F.4.103)
где с помощью соотношений F.3.37) и F.3.38) исключены запаздывающие и опережа-
опережающие функции1).
Кинетическое уравнение F.4.103) все еще является точным и мы снова встречаемся
с проблемой, которая уже обсуждалась в разделе 6.3.5, — в правой части необходимо
выразить корреляционные функции gp<{t1tf) через функцию распределения F.4.102).
Хотя по-прежнему можно воспользоваться соотношением F.3.89), в данном случае
уравнения F.3.91) и F.3.92) несправедливы, поскольку в них не учитывается вклад
начальных корреляций. Мы не будем заново выводить уравнения для G^,л, так как
он почти дословно повторяет вывод из раздела 6.3.5. Остановимся лишь на двух но-
новых моментах. Во-первых, теперь нельзя переходить к пределу t0 —> — оо. Во-вторых, в
модифицированные уравнения Каданова-Бейма F.4.46) входят дополнительные кор-
корреляционные члены. Предоставляем читателю проверить, что новые уравнения для
Gх и G? имеют вид [133]
dt^g \tiits) sYj ytsjt^jg (?4,^2) H~^ (^35^4) ^д (^47^2) r ? F.4.104)
t2 t0
4
2) + Jdt3g<(t1)K>(t3)gA(t3,t2) +
h
{U,t2) + G>^{tuU)TiA(U,t3)\gA{t3,t2). F.4.105)
h t0
Ч Легко убедиться, что сингулярный член S^ в формулах F.3.38) не дает вклада в кинетическое
уравнение, если состояние системы является пространственно однородным.

6.4. КВАНТОВАЯ КИНЕТИКА С НАЧАЛЬНЫМИ КОРРЕЛЯЦИЯМИ	79
Для оценки корреляционных членов в этих уравнениях можно предположить, что вре-
временная эволюция функций gR/A, Q < и К < определяется уравнениями для операторов
поля свободных частиц. Тогда несложный анализ показывает, что корреляционные чле-
члены быстро осциллируют и отличны от нуля на самом раннем этапе эволюции, когда
{tx —10) < 1/е и (t2 —10) < 1/г, где е — средняя энергия частицы. Таким образом, ес-
если система достаточно хорошо описывается в рамках модели квазичастиц, то для не
слишком малых промежутков времени t1—t0 и t2 — t0 можно по-прежнему пользо-
пользоваться соотношениями F.3.93). В пространственно однородном состоянии, которое мы
рассматриваем, из F.3.94) следует, что
PlPiP2	Pl(*)KlP2>	F-4-Ю6)
поэтому соотношения F.3.93) записываются так:
F.4.107)
gp{ti,t2) = g^{t 1^2) [l~f/^(^2)] ~ [l~f fpi^i)] 9p (t 1^2)-
С их помощью кинетическое уравнение F.4.103) можно представить в виде
t
dt' {gp(t,t')T?(t' ,t)-T?(t,t')gp(t' ,t)\ fM')±
t
± / dt' {gR{t,t')^{t',t)-^{t,t')gA{t',t)} [IT/«(*')]•	F.4.108)
Входящие сюда перекрестные функции Gp<(t) можно исключить с помощью ра-
равенств F.4.59), а для запаздывающей и опережающей гриновских функций нужны
отдельные уравнения. Поскольку [g^{t,t'j\ = 9p{t',t), достаточно иметь уравнение
лишь для запаздывающей функции. Оно получается из F.4.43) и в пространственно
однородном случае имеет вид
F.4.109)
где ер = |р|2/2ш — энергия свободной частицы. Ясно также, что элементы массового
оператора в F.4.108) и F.4.109) должны быть выражены через одночастичную функ-
функцию распределения и gR. В рамках приближения Т-матрицы это можно сделать с по-
помощью формул из предыдущего раздела. Получающиеся уравнения для fp(t) и gp(t)
имеют довольно сложную структуру, поэтому мы не будем их здесь рассматривать.
Читатель, специально интересующийся квантовой кинетикой с начальными корреля-
корреляциями, может обратиться к работе [133].
Мы закончим этот параграф двумя замечаниями. Во-первых, мы видели, что метод
временных функций Грина можно обобщить на случаи, когда необходимо учитывать

80 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
многочастичные корреляции в начальном состоянии1). Конечно, в математическом
отношении теория несколько усложняется из-за влияния начальных корреляций на
динамические процессы, что приводит к увеличению числа гриновских функций и эле-
элементов массового оператора. Впрочем, многие соотношения, записанные в матричной
форме, имеют фактически тот же самый вид, что и в обычном методе временных функ-
функций Грина. Это позволяет воспользоваться диаграммной техникой и многими хорошо
известными приближениями.
Второе замечание касается связи рассмотренной задачи с проблемой граничных
условий для временных гриновских функций, которая обсуждалась в разделе 6.3.6.
Напомним еще раз, что в правую часть соотношения F.3.108) входят квазиравновес-
квазиравновесные гриновские функции Gq(l... s, V ... ;?'). Они, в принципе, могут быть вычислены
с помощью метода, изложенного в этом параграфе. Следует, правда, иметь в виду, что
в F.3.108) квазиравновесный статистический оператор Qq(tf), с которым производится
усреднение, зависит от времени, т.е. уравнения для смешанных гриновских функ-
функций должны быть дополнены обобщенными уравнениями переноса для наблюдаемых
(РтУ , описывающих неравновесные корреляции. Кроме того, соотношения F.3.108)
включают эффекты памяти, что, конечно, усложняет описание кинетических процес-
процессов. По-видимому, эти трудности преодолимы, если неравновесное состояние системы
меняется со временем достаточно медленно и эффекты памяти можно учесть по теории
возмущений.
Приложения к главе 6
6А. Вычисление сумм по дискретным частотам
При работе с термодинамическими гриновскими функциями часто приходится вы-
вычислять суммы величин F(izu) по дискретным частотам F.1.27). Обычно в таких слу-
случаях бывает удобно преобразовать сумму по частотам в контурный интеграл по ком-
комплексной переменной z.
Заметим, что функция rj(ez—r])~ имеет простые полюса в точках %zvl причем
вычет в каждой такой точке равен единице. Поэтому
где интеграл вычисляется вдоль контура С, который охватывает мнимую ось в плос-
плоскости z (см. рис. 6.8). Если F(z) — мероморфная функция с полюсами в некоторых
точках, то интеграл вдоль С можно заменить интегралом вдоль контура (С,Г), изо-
изображенного на рис. 6.8.
Для иллюстрации формулы FА.1) рассмотрим функцию F(izu) = etz"s(izL/ — y)~l
(S —> +0), которая часто используется при вычислении средних значений из термоди-
термодинамических гриновских функций2). В этом случае формула FА.1) дает
E
izv-y 'J 2ти (ez-t])(z-y)
Z v	(J
Ч Отметим, что изложенный выше подход применим и при наличии внешнего переменного поля.
2) Обычно параметр у является действительным числом, но, в принципе, он может принимать и
комплексные значения.

Приложения к главе б
81
Рассматриваемая нами ситуация соответствует рис. 6.8, где единственный полюс сов-
совпадает с точкой zx — у или z2 = у в зависимости от знака Rey. Поскольку 1 > S > О,
вклад в интеграл от участка Г стремится к нулю, если радиус этого участка стремится
к бесконечности. Следовательно, интеграл в FА.2) можно вычислить вдоль контура
С, который охватывает полюс. Согласно теореме Коши, имеем
lim
aiz,,5
%zv —
еУ-Tj
FА.З)
В частности, полагая rj = — 1, приходим к соотношению F.1.72), которое справедливо
для суммы по нечетным частотам zv.
\mz
%zv
Рис. 6.8. Контур С для вычисления интеграла в FА.1)
6Б. Вычисление диэлектрической проницаемости в методе функций
Грина
Мы рассмотрим различные приближения для диэлектрической проницаемости
многокомпонентной системы, которые получаются из формулы F.2.41), связывающей
диэлектрическую проницаемость с гриновской функцией флуктуации плотности.
Из общей теории систем заряженных частиц [64, 107] известно, что термодинами-
термодинамические гриновские функции Vcc>{k^iujv) могут быть выражены через так называемые
поляризационные операторы Псс,(к,го;1/), которые определяются с помощью соотно-
соотношения (см., например, [107])
FБ.1)
ъ,ъг
Функция 1/?с/(к,го;) описывает кулоновское взаимодействие между частицами сортов
с и с'. В диаграммной технике эта функция изображается как
FБ.2)

82 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Выразим с помощью уравнения FБ.1) диэлектрическую проницаемость через по-
поляризационные операторы. Умножая обе части этого уравнения на ес и ес,, а затем
суммируя по с и с', получаем
FБ.З)
1D^/А2)^П(кЧ)
с,с'
Заменим теперь iuju —> /3hz и подставим это выражение в F.2.41). После простых пре-
преобразований находим соотношение между диэлектрической проницаемостью и поля-
поляризационными операторами:
б(к, z) = 1 - -р12^ есес, Псс, (к, /3hz).	FБ.4)
с,сг
Чтобы получить диаграммное представление для Псс,(к,го;1/), введем точную и
свободную одночастичные гриновские функции1)
Р	/ . ч ас а'с'	rQ , . ч ас а1 с1
GC'G'd '	p,zu	ac'a'c' v	p,zv	FБ.5)
Для систем с кулоновским взаимодействием между частицами и в отсутствие химиче-
химических реакций имеем
Qacac,(p1iziy) = GciPiiz,,) Saa, 5СС,, Q^cac,(p1iziy) = G®c(p,izu) Saa, 5СС,, FБ.6)
где свободные функции Q^p^iz^) даются формулой2)
Диаграммное представление для поляризационных операторов получается из соотно-
соотношения FБ.1), если разложить гриновские функции Рсс/(к,го;^) в ряды по степеням
амплитуды взаимодействия У°с/(к,го;1/). Ясно, что в нулевом приближении мы имеем
Ii^c,Ak,iul/) = V\d(к,го;^), где V\d — гриновские функции свободных частиц3). Мы не
будем останавливаться здесь на диаграммном анализе соотношения FБ.1), который
хорошо известен (см., например, [64, 107, 123]). Диаграммы нулевого и первого поряд-
порядков для поляризационного оператора Псс,(к,го;1/) приведены на рис. 6.9. Отметим, что
Ч Для определенности будем предполагать, что все частицы являются фермионами и имеют спин
s = l/2.
2)	Напомним, что вместо мацубаровских функций мы используем равновесные термодинамические
гриновские функции, в которых представление Гайзенберга для квантовых оператором определяется
оператором энтропии S = Фес[ + C% с эффективным гамильтонианом % = Н — ^CIJ>CNC. Поэтому в
выражения для свободных одночастичных гриновских функций и амплитуды взаимодействия FБ.2)
входит обратная температура /?.
3)	Следует отметить, что, полагая Т>сс,(к^ш„) =7>^с,('к,ш1/) в F.2.41) и Псс,(к,го71/) = n°c,(k,z6t;^)
в FБ.4), мы получим разные результаты для диэлектрической проницаемости. Дело в том, что при
переходе от формулы F.2.41) к FБ.4) уже выполнено частичное суммирование диаграмм, дающих
сингулярные вклады в пределе |к| —>¦ 0.

Приложения к главе б	83
в пространственно однородном состоянии вклад третьей и четвертой диаграмм равен
нулю в силу электронейтральности системы.
В простейшем приближении случайных фаз (ПСФ) учитывается только первая
диаграмма на рис. 6.9. Соответствующее аналитическое выражение для поляризаци-
поляризационного оператора имеет вид (см. рис. 6.10)
FБ-8)
где /с (р) = [ехр{/5 (ерс — /ic)} +1] — равновесное распределение Ферми-Дирака для
частиц сорта с. Множитель 2 в FБ.8) появляется в результате суммирования по спи-
спиновым состояниям.
о
+
с
о
+ ...
Рис. 6.9. Члены нулевого и первого порядков по амплитуде взаимодей-
взаимодействия в поляризационном операторе
= 8С
Рис. 6.10. Приближение случайных фаз для поляризационного оператора
Чтобы выйти за рамки приближения случайных фаз, нужно в разложении
Псс,(к,го;1/) учесть диаграммы, содержащие линии взаимодействия. Заметим, что
последние две диаграммы на рис. 6.9 соответствуют поправке к гриновским функциям
на первой диаграмме. Суммирование членов такого рода во всех порядках теории воз-
возмущений означает, что свободные функции на первой диаграмме заменяются точными
гриновскими функциями Q. Тогда мы приходим к так называемому самосогласованно-
самосогласованному приближению случайных фаз для поляризационного оператора (см. рис. 6.11). В
этом приближении учитываются перенормировка энергии квазичастиц и их затухание,

84 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
но опускаются поправки к вершинным частям1). Отметим, однако, что перенормиров-
перенормировки вершин важны для того, чтобы диэлектрическая проницаемость удовлетворяла
правилам сумм (см., например, [107]).
Рис. 6.11. Самосогласованное приближение случайных фаз для поляризационного оператора
Построив некоторое приближение для поляризационных операторов, мы можем
затем получить явное выражение для диэлектрической проницаемости с помощью со-
соотношения FБ.4). Например, в приближении случайных фаз FБ.8) имеем
В разделе 6.2.5 мы использовали эту функцию для вычисления проводимости куло-
новской плазмы. Как уже отмечалось, приближение случайных фаз можно улучшить,
суммируя диаграммы для поляризационных операторов, соответствующие поправкам
к гриновским функциям и вершинным частям. Другой способ вычисления диэлектри-
диэлектрической проницаемости состоит в использовании подходящего приближения непосред-
непосредственно для запаздывающей гриновской функции флуктуации плотности, которая вхо-
входит в соотношение F.2.39) (см. задачу 6.6).
6В. Разложение по градиентам в кинетическом уравнении
Здесь мы дадим вывод формулы F.3.61), которая используется в основном тексте
для преобразования кинетического уравнения F.3.55).
Рассмотрим сперва простой случай двух пространственных переменных и введем
обозначение
Тогда преобразование Вигнера функции F(r1,r[) можно записать как
оо
F(r,p)= f dxe-v'^Tfax),	FB.2)
— ОО
а преобразование матричного произведения F\F<i функций Fi(r1,r[) и F2(r1,r[) да-
дается формулой
оо	оо
(F\F2){r,p)= f dxe-ipx'n f dr'F1(r + x/2,r')F2(r',r-x/2).
Ч Простейшая диаграмма такого типа — вторая диаграмма на рис. 6.9.

Приложения к главе б	85
Производя здесь замену переменной интегрирования г' = r + х', пишем
оо
(F\F2)(r,p)= f d(x-x')e-ip{x-x')/hx
— ОО
ОО
х f dx'e-ipx'/hJ:1(r + x'/2,x-x')T2{r-(x-x')/2,x'). FB.3)
— ОО
Разложим теперь функции Тх и Тч в ряды около точки г. В первом порядке по произ-
производным имеем
1 й
:1(r + x'/2,x-x') &Г1(г,х-х') + -х'—Г1(г,
Подставляя эти выражения в FВ.З) и используя очевидное равенство
op
получаем F\F<i с точностью до членов, линейных по производным:
Для функций, зависящих от трех пространственных аргументов, выражение в скобках
соответствует первым двум членам в правой части формулы F.3.62).
Аналогичную процедуру можно применить и к функциям, зависящим от времени.
С учетом того, что переменные ?ир входят в преобразование Вигнера F.3.56) с
противоположными знаками, получаем последний член в формуле F.3.62).
6Г. Представление взаимодействия для смешанных функций Грина
Легко проверить, что операторы А я(?) иЛ;((), определяемые формулами F.4.9)
и F.4.20), связаны соотношением
A At) = uI(ti,OAI(OHi(Z,ti),	(en)
где
?/&,&) = U0(ti,ti)U(Zi,Z2)U°(t2,ti)	FГ.2)
— оператор эволюции в представлении взаимодействия. Покажем, что он совпадает с
упорядоченной экспонентой
Hi(^Q = Tcex?l -iJK'dOdd,	FГ.З)

86 ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
L'iiO — оператор взаимодействия F.4.24) на контуре С_. В самом деле, определив
производную д/д^ как
^ \ д/дх (?ecj,	y }
с учетом выражений F.4.11) и F.4.20) находим, что оператор FГ.2) удовлетворяет
уравнению
д
Оно эквивалентно интегральному уравнению
г
где / — единичный оператор, а интеграл по ? вычисляется согласно правилу F.4.6).
Решая уравнение FГ.6) итерациями, получаем выражение FГ.З).
Рассмотрим теперь произведение гайзенберговских операторов F.4.9), аргументы
которых расположены в некотором порядке на контуре С_. С помощью соотноше-
соотношения FГ.2) мы можем записать это произведение как
= uI(ti^1)A1I(ti)uI(t1,t2)---Ui(tk-i,tk)AkI(t;k)iLi(tk,ti)- (бг.7)
Смешанные функции Грина есть линейные комбинации таких произведений операто-
операторов поля частиц ф #(г,?) ифд(г,?), усредненные с начальным статистическим опера-
оператором F.4.2), для которого в разделе 6.1.3 было получено выражение F.1.51), куда вхо-
входит оператор термодинамической эволюции U. Но, как ясно из рис. 6.7, t//(?o~,?(j~) = ^
и, следовательно,
{ с	'
Поэтому формулу F.1.51) для начального статистического оператора ?(?0) —
можно записать в виде
где ^°(^0) — невозмущенный статистический оператор F.4.23). Теперь из FГ.7) и FГ.8)
получаем следующее представление для смешанных гриновских функций F.4.13):
• FГ.9)
с ехр < -
^ с
Отсюда, в частности, следует формула F.4.22) для одночастичной функции.

Задачи к главе б	87
Задачи к главе 6
6.1 Предполагая, что неравновесное состояние системы является пространствен-
пространственно однородным, а слагаемые S0 и S' в операторе энтропии S = S° + S' даются фор-
формулами F.1.10) и F.1.11), решить уравнения самосогласования F.1.15) и F.1.17) от-
относительно множителей Лагранжа вг и s2 с точностью до первых корреляционных
поправок.
Указание. В данном случае удобно использовать представление с базисными одно-
частичными состояниями |/) = \р) = |р,сг), где р — импульс, а а — спиновый индекс.
В этом представлении одночастичная матрица плотности Q^1\p1p') и матрица s1(p,p')
диагональны, т.е.
Раскладывая правые части F.1.15) и F.1.17) в ряды по S1 и используя теорему Вика для
вычисления средних значений со статистическим оператором F.1.16), можно решать
эти уравнения итерациями. В первом приближении получаем
«2(PlP2,p'lP2) = \
где верхний знак берется для статистики Ферми, а нижний — для статистики Бо-
зе. Матрица K(plp2lp'lp'2) и неравновесная двухчастичная корреляционная матрица
B) Даются формулами
[lTf(p1)][lTf(p2)]f(p[)f(pt2)
liPlP'l)- f{Pl
6.2	Доказать соотношение F.1.24) для термодинамических функций Грина.
6.3	Проверить, что термодинамическая функция Грина F.1.39) обладает свойством
Указание. Учесть, что термодинамическая спектральная плотность F.1.34) явля-
является действительной функцией Л, если А2 = А[.
6.4	Выразить двухчастичную матрицу плотности ?^A2,1/2') = (о^о{/о1о2)д через
двухчастичную термодинамическую функцию Грина ^A2,1/2/) [см. F.1.55)].
6.5	Используя формулу F.2.38), доказать следующие свойства диэлектрической
проницаемости:
Re[l/6(k,u;)] = Re [l/e(k,-o;)], Im [l/e(k,a;)] =-Im [l/e(k,-a;)].
Указание. Удобно воспользоваться свойствами симметрии функций Грина, дока-
доказанными в параграфе 5.2 первого тома. Для произвольных операторов Аг и А2 имеем
[см. E.2.14)]

88	ГЛАВА 6. НЕРАВНОВЕСНЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ И ФУНКЦИИ ГРИНА
Тогда, поскольку д^ = ?_к, из F.2.38) следует, что б*(к,о;) = б(—к,— и). Далее, опе-
оператор плотности заряда д(т) инвариантен относительно операции обращения времени,
поэтому [см. E.2.33)]
Отсюда получаем ((?k|?_k))z = ((?_к1?к))г> а это означает, что б(—к,— ш) = б(к,— ш).
6.6 Показать, что соотношение F.2.39) можно записать в виде
где f3 — равновесная обратная температура, Jk — фурье-компонента оператора плот-
плотности электрического тока, а функция М(к,г) дается формулой
и/г(л \	• /т т \ , /т т \ (Jk;J-k)z (Jk;J-k)z
М(к, z) = -^(Jk, J_k) + (Jk; J_k)z	—4z—г	-.
(J;J)
Вычислив М(к,2:) для свободных частиц, убедиться, что для диэлектрической прони-
проницаемости получается выражение F.2.63).
Указание. Запаздывающую гриновскую функцию флуктуации плотности заряда
можно выразить через корреляционную функцию (Jk;J-k)z, если воспользоваться
соотношениями, полученными в разделе 5.1.2 первого тома:
-i2((A\B))z = ±(lA,B])eq + ((A\B))z, {(A\B))z=-0{A;B)z.
С учетом того, что операторы ?к и ?_к коммутируют друг с другом и удовлетворяют
уравнению ?к = —гк-Jk, получаем
Теперь нужно воспользоваться равенством
которое легко проверить, подставляя сюда приведенное выше выражение для
и вспоминая уравнения для корреляционных функций (см. раздел 5.1.2):
-iz(A;B}z = (A,B) + (A;B)z, -iz(A;B)z = (A,B)-{A;B)Z.
6.7	Используя соотношение F.2.62) и приближение случайных фаз F.2.63) для
диэлектрической проницаемости, вывести формулу Займана F.2.64) для проводимости
плазмы.
6.8	Исходя из определений временных гриновских функций F.3.7) - F.3.10), пока-
показать, что контур С на рис. 6.6 можно продолжить вправо, добавляя операторы эволю-
эволюции F.3.4) в средних значениях.
6.9	Проверить, что функция F.3.22) обладает обычным свойством дельта-функции:
)= I ^c{h-4

Задачи к главе б	89
где F(t) — некоторая функция, заданная на контуре Келдыша-Швингера С, а правило
интегрирования вдоль контура определяется формулой F.3.20).
6.10	С помощью уравнений F.3.24) и F.3.25) для полевых операторов, вывести
уравнения F.3.26) для матричной гриновской функции.
6.11	Доказать соотношения F.3.33) для элементов массового оператора.
Указание. Записав уравнение F.3.29) для функции G++(l,l/) и уравнение F.3.30)
для функции G A,1/), следует затем выполнить операцию комплексного сопряжения
в первом уравнении и воспользоваться равенствами F.3.12). В результате получаются
два уравнения, куда входят только функции да и д>. Сравнение этих уравнений сразу
показывает, что Ес*A,1') = -ЕаA',1) и Е<*A,1') = -Е<A',1). Остальные два соот-
соотношения F.3.33) следуют из уравнений Дайсона для других компонент гриновской
функции GA,1').
6.12	Проверить, что для идеальных ферми- или бозе-газов в равновесии функции
д к(р;Е) имеют вид
д<(р;Е) = ±2ni6(E-ep)f°(p), д>(р;Е) = -2тиё(Е-ер) [1=f/°(p)],
где ?р = р2/2т и /°(р) — равновесная одночастичная функция распределения.
Указание. Удобно выполнить преобразование Вигнера корреляционных функ-
функций F.3.9) и F.3.10) в два этапа. Сначала эти функции записываются через корре-
корреляционные функции операторов рождения и уничтожения ftp/#(^i) и flp//(^i)- Затем,
решив гайзенберговские уравнения движения, следует выполнить преобразование Виг-
Вигнера по временным аргументам, что дает дельта-образную спектральную функцию.
6.13	Доказать правило сумм F.3.69) для спектральной функции.
Указание. Проинтегрировать обе части соотношения F.3.68) по^и записать инте-
интеграл от правой части через коммутационные соотношения для операторов поля частиц.
6.14	Взяв двухчастичную функцию Грина в приближении Хартри-Фока F.3.82),
найти явные выражения для компонент Е^A,1') и Е <A,1/) массового оператора.
Убедиться, что в этом приближении Е <A,1') = 0.
Указание. Воспользоваться соотношениями F.3.31) между массовым оператором и
двухчастичной гриновской функцией, а также явным выражением F.3.23) для ампли-
амплитуды взаимодействия на контуре Келдыша-Швингера.
6.15	Преобразовать уравнение движения F.3.90) для G^ в интегральное уравне-
уравнение F.3.91).
Указание. В матричных обозначениях G^ = [G^A,2)] левая часть уравне-
уравнения F.3.90) записывается как [д^1 -Ея) G^, где д^1 — оператор F.3.45). Из уравне-
уравнения F.3.46) следует, что [д^1 — Ея) = [gR) - Остается умножить обе части F.3.90)
на матрицу gR.

ГЛАВА 7
НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
В этой главе рассматриваются нелинейные неравновесные процессы в простран-
пространственно однородных системах. Обычно такие процессы называют релаксационными
процессами, чтобы подчеркнуть их отличие от процессов переноса в пространствен-
пространственно неоднородном случае. Отметим, однако, что процессы переноса часто протекают
совместно с релаксационными, поэтому данную классификацию не следует понимать
слишком буквально. Некоторые особенности процессов переноса мы обсудим в главах 8
и 9, посвященных статистической гидродинамике.
7.1. Слабо взаимодействующие подсистемы
Важный случай нелинейного необратимого процесса — релаксация в системе, со-
состоящей из подсистем, слабо взаимодействующих между собой1). Так как существует
большое число различных задач, соответствующих этой модели, мы ограничимся толь-
только типичными примерами, которые иллюстрируют общий метод.
7.1.1. Обмен энергией между двумя подсистемами. Предполо-
Предположим, что интересующую нас систему можно разделить на две подсистемы, обмен энер-
энергией между которыми происходит достаточно медленно2). Тогда можно считать, что
процесс релаксации протекает в два этапа. Длительность первого этапа примерно равна
времени релаксации тг = max{r1,r2}, где тг и т2 — характерные времена установления
частичного равновесия в подсистемах. В конце этого этапа макроскопические состоя-
состояния подсистем характеризуются неравновесными температурами 7\(?) и Х^). Второй,
более медленный, этап релаксации всей системы описывается на шкале времени с "фи-
"физически бесконечно малым" интервалом At, удовлетворяющим неравенству At^> тг.
Тогда вообще нет необходимости рассматривать, как именно возникает частичное рав-
равновесие в подсистемах, и эволюцию системы можно описать релаксационными урав-
уравнениями для температур 7\(?) и Х^), которые при t —> оо стремятся к равновесной
температуре Т. Нашей задачей будет вывод закона изменения со временем неравно-
неравновесных температур подсистем. Для определенности рассмотрим квантовый случай.
Полный гамильтониан системы возьмем в виде
# = #10 + #2° + #',	G.1.1)
где Н® и Я2 — гамильтонианы подсистем, а оператор Н' описывает слабое взаимо-
взаимодействие между ними. Важно подчеркнуть, что взаимодействие частиц в каждой из
подсистем вовсе не обязано быть слабым. Более того, с точки зрения применимости
Ч Простейшим примером могут служить химические реакции, рассмотренные в разделе 2.5.3.
2) Такая ситуация возникает, например, в смеси двух газов, состоящих из легких и тяжелых частиц,
или в электрон-ионной плазме.

7.1. СЛАБО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОДСИСТЕМЫ	91
излагаемого ниже подхода, чем сильнее взаимодействие внутри подсистем, тем луч-
лучше, так как частичное равновесие в них устанавливается быстрее. Предполагается, что
коммутаторы [Т/^,//7] и [И®,!!'] не равны нулю, т.е. подсистемы могут обмениваться
энергией.
Как уже отмечалось, на достаточно грубой шкале времени макроскопическое со-
состояние всей системы характеризуется значениями температур подсистем. Для того,
чтобы построить соответствующий неравновесный статистический оператор, нужно
сначала выбрать базисные динамические переменные, средние значения которых опи-
описывают такое состояние. В данном случае кажется разумным взять в качестве базисных
динамических переменных гамильтонианы Н® и Н^. Тогда статистический оператор,
описывающий частичное равновесие в подсистемах, запишется в виде
g°q(t) = ехр {-Ф°(*) - & (*) Я° - /?2(i) Я20},	G.1.2)
где /Зг(г) = T~l(t) и j52{t) = T~l(t) — значения обратных температур подсистем, а
функция Масье-Планка Ф°(?) определяется из условия нормировки g^(t). Заметим,
однако, что квазиравновесное распределение G.1.2) имеет один важный недостаток:
оно не переходит в распределение Гиббса при выравнивании температур подсистем.
Действительно, в равновесии оператор G.1.2) зависит только от суммы гамильтониа-
гамильтонианов подсистем, в то время как распределение Гиббса содержит полный гамильтониан
системы Я. Поэтому удобно определить гамильтонианы подсистем Hi и Я2 так, чтобы
соотношение
Н = Нг + Н2	G.1.3)
оставалось верным и при Н' ф 0. Из выражения G.1.1) очевидно, что для этого можно
положить
H1 = Hl + aHl, Я2 = Я2° + A-а)Я/,	G.1.4)
где а — произвольный параметр. Будем считать, что 0 < а < 1, тогда а и 1 — а соот-
соответствуют долям энергии взаимодействия, распределенной между подсистемами.
Рассматривая в качестве гамильтонианов подсистем операторы G.1.4), получаем
следующее выражение для квазиравновесного статистического распределения:
<?,(*) = ехр {-Ф(*)-&(№-&(№}.	G-1-5)
Теперь, если /Зг= /32 = /3, квазиравновесный статистический оператор совпадает с рав-
равновесным (гиббсовским) распределением при температуре Т = 1//?. Однако Qq(t) мо-
может описывать и сильно неравновесное состояние системы, в котором "обратные темпе-
температуры" Pi(t) и /?2(?) имеют смысл множителей Лагранжа, определяемых из условий
самосогласования
<#!>' = <#!>?, (Н2У = (Н2Уд.	G.1.6)
Средние значения в левый частях этих соотношений считаются заданными величина-
величинами1). Дифференцирование функции Масье-Планка
^1(«)Я1-^2(*)Я2}	G.1.7)
по Pi(t) и /32(t) приводит к термодинамическим соотношениям
<Я>	G18)
Ч Вообще говоря, параметры Pi(t) и C2{t) в статистическом операторе G.1.5) не равны аналогич-
аналогичным параметрам, входящим в оператор G.1.2), так как в этих двух случаях используются различные
условия самосогласования.

92	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
из которых видно, что величины ^(t) и j32{t) действительно имеют смысл обратных
температур подсистем1).
С помощью квазиравновесного статистического оператора G.1.5) можно построить
истинный неравновесный статистический оператор g(t) и вывести уравнения баланса
для (HiI и (Яг)*- Ясно, что мы рассматриваем лишь частный случай более общей за-
задачи, в которой неравновесное состояние системы описывается произвольным набором
базисных динамических переменных Рт. Поэтому мы можем, в принципе, восполь-
воспользоваться обобщенными уравнениями переноса, полученными во второй главе первого
тома, подставив туда в качестве базисных переменных Рт гамильтонианы подсистем
Н\ и 7/25 а, вместо термодинамических параметров — обратные температуры f3\(t) и
/?2(?)- Останется только построить подходящее приближение для кинетических коэф-
коэффициентов. Будет полезно, однако, более подробно остановиться на выводе релакса-
релаксационных уравнений для слабо взаимодействующих подсистем, поскольку некоторые
возникающие при этом вопросы встречаются во многих конкретных приложениях.
Напомним, что квазиравновесное распределение G.1.5) может быть записано в фор-
форме F.1.2), где оператор энтропии F.1.3) в рассматриваемом случае равен
S{t) = *(t) + p1(t)H1+p2{t)H2.	G.1.9)
В разделе 2.3.5 первого тома было показано, что одно из возможных представлений
для неравновесного статистического оператора имеет вид
!0	ч
-S(t)+ f Ме?*'е«'н'н*8^К-«'н'н\ (е->+0), G.1.10)
—оо	'
где
dS(t)_dS(t)
-*г--дГ+
— оператор производства энтропии. С учетом термодинамических равенств G.1.8) в
данном случае для оператора производства энтропии получаем выражение
^(H2)t) + [f]1{t)-f]2{t)}J,	G.1.12)
куда входит оператор потока энергии между подсистемами
J = H1 = -H2 = ^-[H1,H2].	G.1.13)
in
Очевидно, что оператор производства энтропии G.1.12) равен нулю, если подсистемы
не взаимодействуют друг с другом.
Уравнения баланса для средних значений энергии подсистем можно записать в
следующем виде:
<&f- = -{jyq-Tr{JAe(t)},	G.1.14)
Ч Отметим, что квазиравновесный статистический оператор G.1.5) описывает ансамбль с постоян-
постоянным числом частиц. В ряде случаев, например для ферми- и бозе-систем, более удобно использовать
большой канонический ансамбль с переменным числом частиц.

7.1. СЛАБО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОДСИСТЕМЫ	93
где Ag(t) = g{t) — Qq(t). Нетрудно убедиться, что первые слагаемые в правых частях
этих уравнений равны нулю. Достаточно воспользоваться тождеством
([А,Щ)[ = 0,	G.1.15)
справедливым для произвольного оператора А. Подставляя А = Нг и явное выраже-
выражение G.1.9) для оператора энтропии, находим что ([H11H2\)q = ih(J)q = 0.
Остается вычислить только последние члены в уравнениях G.1.14). Из выраже-
выражения G.1.10) ясно, что отклонение неравновесного статистического оператора от квази-
квазиравновесного определяется интегралом, который линеен по гамильтониану взаимодей-
взаимодействия Н'. Отсюда следует, что правые части уравнений G.1.14) имеют, по крайней мере,
второй порядок по Н'. Отбрасывая в уравнениях баланса поправки более высокого по-
порядка, мы можем линеаризовать статистический оператор G.1.10) по интегральному
члену. В этом приближении можно также пренебречь производными по времени /Зг (t)
и $2(t) B операторе производства энтропии G.1.12), так как они дают в выражение для
потока энергии вклад второго порядка1). Итак, в первом приближении по взаимодей-
взаимодействию, неравновесный статистический оператор G.1.10) имеет вид
e(t) = gq{t) + [&(*)-&(*)] / dt'e't'Jdxe-*^ J(t')ex§°W e°q(t),	G.1.16)
-oo	0
где J(t') — оператор потока энергии в представлении Гайзенберга с гамильтонианом
J(t') = eit'H°"lJe-it'H0/h.	G.1.17)
Подчеркнем, что в G.1.16) оператор энтропии
\	°	l p2{t)Hl	G.1.18)
и соответствующий квазиравновесный статистический оператор G.1.2) описывают под-
системы в отсутствие взаимодействия /.
Последнее слагаемое в G.1.16) представляет собой поправку к квазиравновесному
статистическому оператору Ag(t), которая должна быть подставлена в уравнения ба-
баланса G.1.14). Как уже было показано, средние по квазиравновесному распределению
Qq(t) равны нулю, поэтому
Ч Поскольку обратные температуры подсистем являются функциями от (Н-^У и (Н2У, можно запи-
записать
dt
Производные d(H-)/dt имеют второй порядок по взаимодействию, поэтому первые два члена в опе-
операторе производства энтропии G.1.12) малы по сравнению с последним членом, линейным по взаимо-
взаимодействию.
2) Может показаться заманчивым "улучшить" выражение G.1.16), подставив в последний член пол-
полной оператор энтропии S(t) и полный гамильтониан Н. Однако это может привести к трудностям,
связанным с проблемой "плато", которая подробно обсуждалась в разделе 5.3.4 на примере линейных
релаксационных процессов.

94	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
где кинетический коэффициент
о	о
?jj(t)= J ^'ee*'(J,J(O)* = / dt'e^'iH^H^t')^	G.1.20)
—оо	— оо
выражается через временную корреляционную функцию в квазиравновесном состоя-
состоянии, которое описывается статистическим оператором G.1.2). Для произвольных дина-
динамических переменных А и В такая корреляционная функция определяется формулой
(A,B{t'j)bq= f dxTr{AAe-x§°^ AB(t')ex§0(-V g^t)}.	G.1.21)
Имея в виду общий случай, мы определили корреляционную функцию так, что она
содержит операторы флуктуации динамических переменных АА = А — Tr{Ag^(t)},
АВ = В — Tr{Bg^(t)}. Поскольку (J)^ = 0, это определение не противоречит форму-
формуле G.1.20).
7.1.2. Кинетический коэффициент для обмена энергией. Урав-
Уравнения баланса G.1.19) соответствуют следующему соотношению между "термодинами-
"термодинамической силой" /Зг — /?2 и средним потоком энергии:
*)-&(*)]•	G-1-22)
На первый взгляд это соотношение кажется линейным, однако, вообще говоря, оно
сильно нелинейно по /Зг — /?2, так как усреднение в формуле G.1.20) ведется не по
равновесному, а по квазиравновесному распределению. Чтобы явно показать это, мы
вычислим кинетический коэффициент Cjj(t).
Для начала напомним, что гамильтонианы подсистем Н® и Н® коммутируют друг
с другом. Следовательно, существует такой ортонормированный набор квантовых со-
состояний {|п)}, что в n-представлении матрицы операторов Я^, Н^ и Я0 = Н^ + Н^
диагональны, т.е.
(п'\Н°\п) = Е1п6пп1, (п'\Н$\п) = Е2П6пП', (п'\Н°\п) = Еп8пп,, G.1.23)
где Еп = Е\п + Ечп — значения энергии системы в квантовых состояниях при от-
отсутствии взаимодействия межу подсистемами. В n-представлении оператор энтропии
S°(t) и квазиравновесный статистический оператор G.1.2) также являются диагональ-
диагональными. Соответствующие матричные элементы равны
(n'\S°(t)\n) = Sn(tNnn,, (n'\eoq(t)\n)=wn(tNnn,.	G.1.24)
Здесь мы ввели обозначения
Sn(t) = Ф°D) + &(*) Eln + 02(t) E2n,	G.1.25)
wn(t)=exp{-Sn(t)}.	G.1.26)
Величину wn(t) можно рассматривать как вероятность нахождения системы в момент
времени t в квантовом состоянии \п).

7.1. СЛАБО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОДСИСТЕМЫ	95
Матричные элементы оператора потока G.1.17) в n-представлении даются форму-
формулой
(n\J{t1)\n') = (n\J\n')exp{it1{En-Enl)/h},	G.1.27)
поэтому выражение G.1.20) для кинетического коэффициента легко приводится к ви-
ду1)
(n\J\n')\2	wn,(tN{{En-En.)/h).	G.1.28)
Отметим, что здесь суммирование по квантовым состояниям — по существу интегриро-
интегрирование, поскольку, как всегда, подразумевается переход к термодинамическому пределу
(V —> оо, N /V = const). При этом спектр энергии Еп становится непрерывным.
До сих пор мы еще не использовали явное выражение для оператора потока. Со-
Согласно формулам G.1.4) и G.1.13), этот оператор можно записать как
J = ^ {A - a) [ff?, Н'} - a [Я°, Я']} .	G.1.29)
Его матричные элементы легко находятся с помощью выражений G.1.23):
И J\n') = 1 {Е1п - Е1п, -а(Еп- ??„,)} И #>')¦	G-1.30)
Хотя матричные элементы оператора потока содержат параметр а, из G.1.28) очевид-
очевидно, что кинетический коэффициент не зависит от этого параметра, так как ^-функция
отлична от нуля только при Еп = Еп,. Возвращаясь к определению гамильтонианов
подсистем G.1.4), мы видим, что окончательный результат для кинетического коэф-
коэффициента не зависит от того, к какой из подсистем была отнесена энергия взаимодей-
ствия ).
Благодаря ^-функции в формуле G.1.28), вклад в сумму по квантовым состояни-
состояниям дают только члены с Е1п — Е1п, = Е2п, — Е2п. Поэтому разность Sn — Sn, можно
преобразовать следующим образом:
Sn - Sn, = fa (Eln - Eln.) + p2 (E2n - E2n,) = [fr - p2] [Eln - Eln,].
Тогда с учетом G.1.30) получаем для кинетического коэффициента выражение
, G.1.31)
из которого следует, что кинетический коэффициент положителен, поскольку при лю-
любом х справедливо неравенство х[1 — ехр(—х)] > 0.
Ч При переходе к пределу е —>¦ +0 используется тождество F.1.40).
2) Необходимо подчеркнуть, что это заключение верно только в рамках первого приближения при вы-
вычислении кинетического коэффициента. Если энергия взаимодействия существенна в балансе энергии,
то ее следует рассматривать как дополнительный резервуар энергии и характеризовать "температу-
"температурой взаимодействия" Tjnt(?). Например, в теории магнитного резонанса таким способом учитывается
взаимодействие между спинами [2, 50].

96	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Хотя при подстановке G.1.31) в формулу G.1.22) множитель j3x — /32 сокращается,
ясно, что средний поток энергии является нелинейной функцией /Зг и /?2. Если состо-
состояние системы мало отличается от статистического равновесия между подсистемами с
общей температурой Т = 1//?, то можно записать
и считать разности /Зг — f3, f32 — f3, /Зг — /32 малыми величинами. Тогда, разлагая экспо-
экспоненту в G.1.31) в ряд по (Зг — Р2 с точностью до линейных членовх), получим линейное
соотношение между "термодинамической силой" и средним потоком энергии:
<./>'=/$., [&(*)-&(*)]>	GЛ-32)
где кинетический коэффициент
2\\2o{())	G.1.33)
п,п'
уже не зависит от времени, а зависит только от равновесной температуры Т через
распределение Гиббса w^ = ехр{-Еп/Т} /^кехр{-Ек/Т}.
Формулы G.1.31) и G.1.33) применимы, в принципе, к любой системе. Однако для
практического вычисления кинетического коэффициента они не всегда удобны, так
как нужно знать собственные состояния и спектр гамильтонианов Н® и Н2. В тех
случаях, когда подсистемы можно рассматривать как слабо взаимодействующие газы
квазичастиц, проще воспользоваться соотношением G.1.20) и вычислить временную
корреляционную функцию с помощью теории возмущений2) (см. задачу 7.2).
В заключение покажем, что в нелинейном процессе обмена энергией между подси-
подсистемами производство энтропии положительно. Согласно общему определению нерав-
неравновесной термодинамической энтропии, в нашем случае она равна среднему значению
оператора G.1.9), т.е.
H1)t + l32{H2)t.	G.1.34)
Дифференцируя это выражение по времени и учитывая термодинамические равен-
равенства G.1.8), пишем
^ = ?/?г (Ht) = (/?!-
г
Подставляя сюда выражение G.1.22) для среднего потока энергии, находим, что
^ = CJJ(Pl-p2)\	G.1.35)
Поскольку уже доказано, что кинетический коэффициент положителен, мы видим, что
производство энтропии положительно.
Ч Заметим, что в этом приближении вероятности квантовых состояний wп, вычисляются для равно-
равновесного состояния с /?х = /?2 = Р-
2) Как не раз отмечалось, для ферми- и бозе-систем удобно использовать квазиравновесное распре-
распределение, соответствующее большому каноническому ансамблю. В этом случае гамильтонианы i/J и
i/§ необходимо заменить эффективными гамильтонианами Н® — n1N1 и Н^ — А*2^2' гДе А*1> ^2 ~~
химические потенциалы, а ]У1; iV2 - операторы числа частиц в подсистемах.

7.1. СЛАБО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОДСИСТЕМЫ	97
7.1.3. Обмен частицами и энергией между подсистемами. В
предыдущем разделе предполагалось, что подсистемы обмениваются лишь энергией.
Однако нетрудно обобщить нашу теорию на случай, когда неравновесное состояние
описывается произвольным набором базисных переменных Рт. В качестве иллюстра-
иллюстрации рассмотрим систему, состоящую из слабо взаимодействующих подсистем, между
которыми возможен обмен как энергией, так и частицами. Если, например, в системе
протекают химические реакции, то молекулы различного типа (реагенты и продукты
реакции) образуют соответствующие подсистемы1).
Итак, будем считать, что неравновесное состояние рассматриваемой системы ха-
характеризуется наблюдаемыми (Н^ и (N^, где Hi — гамильтониан г-й подсистемы, а
Ni — соответствующий оператор числа частиц. Кратко рассмотрим вывод уравнений
баланса для наблюдаемых. Для определенности будем использовать квантовое описа-
описание.
Начнем с квазиравновесного распределения, которое в данном случае имеет вид
G.1.36)
= 1пТгехр j -^MlHi-n^Ni] 1,	G.1.37)
где параметры (множители Лагранжа) /ЗД?) = 1/Т{(Ь) и /хД?) имеют смысл обратных
температур и химических потенциалов подсистем. Они определяются из условий са-
самосогласования
У	*	У = {М{Уд,	G.1.38)
из которых, с учетом выражения G.1.37) для функции Масье-Планка, следуют термо-
термодинамические равенства
ew (N)t от	, ,
m	t)y	GЛ-39)
Так же, как и в предыдущем разделе, удобно определить гамильтонианы подсистем
таким образом, чтобы гамильтониан всей системы можно было представить в виде
суммы
Для этого можно, например, определить операторы Hi следующим образом:
< = 1,	G.1.41)
где Н® — гамильтониан изолированной г-й подсистемы, а Н' — гамильтониан взаимо-
взаимодействия. В дальнейшем будем предполагать, что
[Я?,Я?]=0, [HlNj]=0.	G.1.42)
Ч В разделе 2.5.3 первого тома рассматривалась упрощенная модель химических реакций, в которой
все компоненты имеют одинаковую (равновесную) температуру, и учитывался только баланс числа
частиц в подсистемах.

98	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Эти условия выполняются для большинства конкретных физических систем, которые
описываются рассматриваемой моделью.
Уравнения баланса энергии и числа частиц можно вывести из очевидных соотно-
соотношений
Для вычисления средних потоков нам потребуется построить неравновесный статисти-
статистический оператор системы. Поскольку вывод выражения для статистического оператора
полностью аналогичен выводу из предыдущего раздела, мы только кратко остановим-
остановимся на основных моментах. Во-первых, как нетрудно показать, потоки, усредненные по
квазиравновесному статистическому оператору G.1.36), равны нулю:
<#<>', = 0, <Л^ = 0.	G.1.44)
Следовательно, средние потоки в соотношениях G.1.43) имеют по крайней мере второй
порядок по гамильтониану взаимодействия Я'. В этом приближении неравновесный
статистический оператор можно записать в виде
!
-
где оператор энтропии равен
S(t) = Ф(*) + ?>(*) [Нг - fit(t)Nt],	G.1.46)
i
а динамические переменные в G.1.45) записаны в представлении Гайзенберга с гамиль-
гамильтонианом Я0 = ?. Яг°.
Усредним теперь потоки Hi и Ni со статистическим оператором G.1.45), ограни-
ограничиваясь членами второго порядка по взаимодействию Я;, и подставим найденные зна-
значения в соотношения G.1.43). В результате получим уравнения баланса
dt
dt
з
Кинетические коэффициенты
о
= J dt'eSt' {НиН^'))\,	C^.(t) = J dt'est' (NuNjif))^ G.1.49)
—oo	—oo
0	0
t'e?t' (^'A^'))l'	Сън,№ = J dt'e6t' (U>#i(*'))i G-1-50)

7.1. СЛАБО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОДСИСТЕМЫ	99
выражаются через квазиравновесные корреляционные функции вида G.1.21), в кото-
которых усреднение ведется с квазиравновесным распределением g°q(t) = ехр{ — 5°(?)}, а
оператор энтропии соответствует невзаимодействующим подсистемам:
S°(t) = Ф°(*) + ?&(*) [Я? - fiiit)Ni],	G.1.51)
г
Ф°@ = lnTVexp | -X)^(t) [/f? -^(*) JVf] 1.	G.1.52)
Для расчета кинетических коэффициентов необходимо иметь явные выражения для
операторов Н^ Однако некоторые важные свойства этих коэффициентов следуют
непосредственно из структуры временных корреляционных функций G.1.21). Во-
первых, можно показать, что кинетические коэффициенты не зависят от параметров
cti, входящих в определение гамильтонианов Hi [см. G.1.41)]. Во-вторых, кинетические
коэффициенты С^ ^ (t) и С^ ^ (t) всегда положительны. И, наконец, "перекрестные"
кинетические коэффициенты удовлетворяют соотношениям
которые можно рассматривать, как обобщение соотношений взаимности Онзагера на
случай нелинейной релаксации1). Доказательство этих свойств мы оставляем читателю
в качестве упражнения (см. задачу 7.4).
В качестве иллюстрации применения уравнений баланса G.1.47) и G.1.48), рас-
рассмотрим процессы ионизации в двухтемпературной плазме, состоящей из электронов,
ионов и нейтральных атомов [165]. Так как температура электронов Те может сильно
отличаться от температуры тяжелых частиц Тд из-за малого отношения масс те/ть,
существует поток тепла, зависящий от разности Те — Т^. Кроме того, количество ча-
частиц в подсистемах (электроны, ионы, атомы) меняется за счет процессов ионизации
и рекомбинации. Таким образом, неравновесное состояние плазмы описывается темпе-
температурами Te(t), Th(t) и химическими потенциалами электронов, ионов и атомов.
Допустим, что нас интересует ионизационное равновесие при заданных температу-
температурах Те и Th- Тогда взаимодействие между подсистемами соответствует реакции
е + Л°^е + е + Л+,	G.1.54)
где нейтральные атомы и ионы обозначены как А^ и А*,. Внутреннее состояние тяже-
тяжелых частиц задается индексами р и р1. В этой модели плазмы оператор Н' описывает
реакцию G.1.54), а все остальные операторы взаимодействия, описывающие упругие
столкновения частиц, включены в гамильтонианы подсистем Н®. Условие ионизаци-
ионизационного равновесия в двухтемпературной плазме можно получить из уравнения балан-
баланса G.1.48) для электронной подсистемы. Подстановка d(Ne)t/dt = 0 дает соотношение
между химическими потенциалами и температурами подсистем, т. е. обобщенный закон
действующих масс для двухтемпературной плазмы2). Подробное исследование иони-
ионизационного равновесия в двухтемпературной плазме с помощью метода, изложенного
в этом разделе, можно найти в работе [165].
Ч При записи соотношений G.1.53) подразумевается, что операторы Hi и Ni инвариантны относи-
относительно обращения времени (см. раздел 5.2.3).
2) Частный случай этого соотношения при Те = Тд известен как уравнение Саха.

100	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
7.1.4. Теория горячих электронов в полупроводниках. До сих
пор при рассмотрении нелинейных релаксационных процессов предполагалось, что эво-
эволюция системы определяется взаимодействием между подсистемами. Однако во мно-
многих случаях неравновесное состояние возникает из-за взаимодействия частиц с внеш-
внешним полем. Интересной особенностью релаксационных процессов во внешнем поле яв-
является существование неравновесных стационарных состояний, в которых наблюдае-
наблюдаемые величины не изменяются со временем, однако имеют значения, далекие от равно-
равновесных. В качестве примера мы выведем уравнения баланса, позволяющие рассчитать
нелинейную проводимость полупроводника в сильном электрическом поле.
Гамильтониан системы запишем как сумму операторов
H = He + Hp + H' + Hef,	G.1.55)
где Не и Нр — гамильтонианы электронов и фононов, Н' описывает взаимодействие
электронов с фононами и примесными атомами, a Hef описывает взаимодействие элек-
электронов с внешним полем, которое для простоты будем считать постоянным и однород-
однородным. Гамильтониан электронной подсистемы возьмем в виде
Не = Н°е + Н'е1	G.1.56)
где Н® — гамильтониан свободных электронов, а Н'е — оператор электрон-электронного
кулоновского взаимодействия. В гамильтониане фононов
Нр = Н°р + Н'р	G.1.57)
слагаемое Нр соответствует идеальному газу фононов, а Н'р описывает ангармони-
ангармонические эффекты, приводящие к установлению равновесия в фононной подсистеме. В
дальнейшем фононы будем рассматривать как термостат с температурой Т.
Прежде чем приступить к математическим выкладкам, имеет смысл хотя бы крат-
кратко обсудить физическую сторону задачи. Важная особенность нелинейного процесса
переноса заряда состоит в том, что он характеризуется несколькими временами релак-
релаксации. Электрон-электронное взаимодействие, описываемое оператором Н'е, приводит
к "термализации" электронов за некоторое время релаксации тее. Заметим, что это вза-
взаимодействие не меняет суммарный импульс электронов и их полную энергию. Поэтому,
если не учитывать других взаимодействий, на достаточно грубой шкале времени состо-
состояние электронной подсистемы можно характеризовать средним значением полного им-
импульса (Ре)* и средней энергией (НеI. Релаксация импульса электронов обусловлена
их взаимодействием с фононами и примесными атомами. Если температура не слишком
велика, то в реальных полупроводниках характерное время релаксации импульса элек-
электронов г определяется, в основном, их упругим рассеянием на примесных атомах1).
С повышением температуры возрастает роль электрон-фононного взаимодействия, ко-
которое приводит к релаксации как среднего импульса электронной подсистемы, так и
средней энергии. Тогда вместо тее и г нужно использовать другие значения времен
релаксации с учетом вклада электрон-фононного взаимодействия. В главе 5 перво-
первого тома (см. приложение 5Б) было показано, что следует различать изотермические
(тее <г) и адиабатические (тее ^> г) условия. В первом случае для описания состоя-
состояния электронной подсистемы достаточно задать средние значения полного импульса и
энергии, а во втором требуется более детальное описание, скажем, с помощью функции
распределения электронов.
Ч В этом случае т — транспортное время релаксации для упругого рассеяния на примесях (см. при-
приложение 4Б в первом томе).

7.1. СЛАБО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОДСИСТЕМЫ	101
Наше рассмотрение будет относиться к изотермическим условиям (см. [167]), когда
квазиравновесный статистический оператор можно записать в виде
вя(г) = ехА-Ф(г)-13е(г)[не-уе(г).ре-{^
G.1.58)
где
G.1.59)
— функция Масье-Планка. Множители Лагранжа /Зе = 1/Те, Ve, и /ле представляют
собой, соответственно, обратную температуру, макроскопическую скорость дрейфа и
неравновесный химический потенциал электронов, а C = 1/Т — обратная температура
решетки1). Эти параметры определяются из условий самосогласования
(неу = (неуд, (РеУ = (РеУч> (Юг = (Ю1,
G.1.60)
.
Оператор числа частиц для электронной подсистемы Ne включен в набор базисных
переменных, так как предполагается использование большого ансамбля, наиболее под-
подходящего для рассматриваемой задачи. Отметим также, что энергия взаимодействия
Н' включена в гамильтониан термостата. Впрочем, в рамках теории возмущений, ко-
которой мы воспользуемся, это всего лишь вопрос удобства.
Чтобы вывести уравнения баланса для наблюдаемых, нам потребуются явные вы-
выражения для базисных динамических переменных и операторов, входящих в гамиль-
гамильтонианы G.1.55) - G.1.57). В представлении вторичного квантования гамильтонианы
электронной и фононной подсистем можно записать как
Yl J2^ll	G.1.61)
per	pp'k aa'
G.1.62)
где V — объем кристалла. Индекс q = (q, /x) в гамильтониане фононов G.1.62) определя-
определяет волновой вектор q и моду /л колебаний кристаллической решетки. Мы ограничимся
рассмотрением модели с параболическим законом дисперсии ер = р2/2т, где m — эф-
эффективная масса электрона. Взаимодействие электронов с постоянным и однородным
электрическим полем Е, направленным вдоль вдоль оси х, описывается гамильтониа-
гамильтонианом
Яе/ = -еЯХ> = ~ieEBnK ? [^1 а^кстарст, е < 0. G.1.63)
4=1	р,к>0- L °Кх J
При использовании этого выражения необходимо иметь в виду, что в конце вычисле-
вычислений суммирование по волновым векторам к должно быть заменено интегрированием
Ч В присутствии сильного электрического поля электронная температура Te(t) может значительно
превышать температуру фононного термостата Т. Отсюда и возник термин "перенос горячих электро-
электронов".

102	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
согласно стандартным правилу (V^)Sk(---) "^ Bтг)~3/й(к (...). Наконец, оператор
взаимодействия электронов с фононами и примесями дается формулой (см. разде-
разделы 4.1.7 и 4.2.3 в первом томе)
и'=\ Е
P,k,j
где n(k) — фурье-компоненты примесного потенциала, a R,j — координаты атомов
примеси. В G.1.64) мы ввели обозначение q — (—q,//).
Нам осталось определить только операторы числа частиц и суммарного импульса
для электронной подсистемы. Соответствующие выражения имеют вид
per	per
Теперь все готово для вывода уравнений баланса. Сначала, используя приведенные
выше выражения для базисных динамических переменных и операторов, входящих в
гамильтониан системы G.1.55), запишем уравнения движения
— E-Pe + J2,	G.1.66)
т
= -J2,	G.1.67)
в которых операторы потоков Зг и J2 имеют вид
E p^^+Hi^v. G-L68)
G-L69)
Нетрудно проверить (см. задачу 7.5), что средние значения потоков Зг и J2 с квази-
квазиравновесным распределением G.1.58) равны нулю:
<.М? = 0, (J2>t = 0.	G.1.70)
Следовательно, уравнения баланса для энергии и импульса электронной подсистемы
запишутся следующим образом:
G.1.71)
G.1.72)

7.1. СЛАБО ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПОДСИСТЕМЫ	103
где TV = {NeY — среднее число электронов, а Ag(t) = g{t) — gq{t) — отклонение нерав-
неравновесного статистического оператора от квазиравновесного распределения.
Для неравновесного статистического оператора можно взять представление G.1.10)
с оператором энтропии
)	G.1.73)
который соответствует квазиравновесному распределению G.1.58). Можно показать
(см. приложение 7А), что интегральный член в G.1.10) имеет первый порядок по га-
гамильтониану взаимодействия Н1', который в теории горячих электронов считается ма-
малым возмущением. Таким образом, чтобы вычислить последние слагаемые в уравнени-
уравнениях баланса G.1.71) и G.1.72) с точностью до членов второго порядка по Я', достаточно
найти оператор производства энтропии dS(t)/dt в линейном приближении. Соответ-
Соответствующие выкладки приведены в приложении 7А. Здесь мы выпишем результат:
^ = -/Ш Ve(t) ¦ Ji + [Ш-Р] -h-	G-1.74)
Эта формула соответствует так называемому "стационарному" приближению, в ко-
котором производные термодинамических параметров по времени полагаются равными
нулю1). С учетом того, что в "стационарном" приближении можно пренебречь эффек-
эффектами запаздывания, получим
|*'[()]J- G-1.75)
Зависимость гайзенберговских операторов потока от времени определяется гамильто-
гамильтонианом G.1.55), в котором Н' = 0.
Дальнейшие преобразования довольно просты. Статистический оператор G.1.75)
раскладывается в ряд по операторам потока и оставляется только линейный член, кото-
который и определяет оператор Ag(t) = g(t) - gq(t) в уравнениях G.1.71) и G.1.72). Чтобы
несколько упростить уравнения баланса, воспользуемся соотношением (см. задачу 7.6)
(Pey=mNVe(t)	G.1.76)
и учтем, что отлична от нуля только проекция среднего суммарного импульса элек-
электронов на направление поля Е = Еех, т.е. (Ре)* = (РеI ех = mNVeex, где
ра
Ясно, что в уравнение движения для (Ре)* войдет лишь проекция на ось х оператора
потока Зг [см. G.1.68)], которую обозначим просто J1.
С учетом всех этих замечаний уравнения G.1.71) и G.1.72) приводятся к виду
G.1.78)
Ч Необходимо отметить, что производные термодинамических параметров по времени можно считать
равными нулю только в главном приближении по взаимодействию подсистем.

104	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
где введены следующее обозначение для кинетических коэффициентов:
о
Clk(t)= I dtfe?tt{Jt,Jk(tf)yq (.",* = 1,2).	G.1.79)
Временные корреляционные функции потоков вычисляются со статистическим опе-
оператором g°q(t) = Qq(t)geq, который описывает частичное равновесие в электронной
подсистеме и равновесное состояние фононной подсистемы. Статистический оператор
для электронов дается формулой
<#>(*) =ехр{-Фе(*)-/?e(i)[tfe-Ve(i)-Pe- (fie(t)-\mV?(t))Ne]} , G.1.80)
где
Фе(«) = lnTrexp {-&(*) [Яе - Ve(t) ¦ Ре - (Aie(t) - \ mVe2(t)) Ne] }	G.1.81)
— соответствующая функция Масье-Планка, а статистический оператор фононов имеет
вид распределения Гиббса:
вМ = ехр{-0Яр}/Тгехр{-0Яр} .	G.1.82)
В случае постоянного электрического поля левые части уравнений G.1.78) равны
нулю, и, следовательно, из этих уравнений можно найти стационарную скорость дрей-
дрейфа Ve и электронную температуру Те = 1//?е как функции электрического поля Е
при заданной температуре решетки Т = 1//?, а затем вычислить стационарный ток в
системе. Для этого нужно, конечно, иметь явные выражения для кинетических ко-
коэффициентов. Если рассматривать подсистемы электронов и фононов как квантовые
газы, то кинетические коэффициенты легко вычисляются (см. [167]). Однако даже в
этом простейшем приближении зависимость кинетических коэффициентов от Е и Т
оказывается весьма сложной, и уравнения баланса приходится решать численными
методами. Результаты таких расчетов, приведенные в работах [115, 118, 167], хорошо
согласуются с экспериментальными данными.
7.2. Основные кинетические уравнения
Уравнения баланса для наблюдаемых {РтУ не являются единственным способом
описания релаксационных процессов. Например, в разделе 2.4.1 первого тома излагал-
излагался проекционный метод Цванцига, который позволяет получить формально замкну-
замкнутое уравнение для квазиравновесной части статистического оператора, соответству-
соответствующей сокращенному описанию неравновесного состояния системы. Таким образом,
метод Цванцига оперирует не со средними значениями динамических переменных,
а с приведенными статистическими распределениями. Уравнения, описывающие эво-
люцию таких распределении, называются основными кинетическими уравнениями ).
Ч В западной литературе обычно используется термин "master equations", который можно перевести
примерно как "управляющие уравнения". Мы следуем общепринятой русской терминологии, хотя само
название "основные кинетические уравнения" нельзя признать удачным, так как область применения
этих уравнений гораздо шире, чем кинетическая теория.

7.2. ОСНОВНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	105
Примером основных кинетических уравнений является уравнение Паули для диаго-
диагональных элементов wn(t) = gnn{t) неравновесной матрицы плотности в некотором п-
представлении:
^^=E^»m«'m(*)-*'mB «»»(*)}•	G-2-1)
тфп
Это уравнение выводилось в разделе 2.5.2 первого тома, где было показано, что во вто-
втором порядке по взаимодействию коэффициенты перехода Кпт определяются хорошо
известным в квантовой механике "золотым правилом" Ферми. В этом параграфе мы
обобщим уравнение Паули на более высокие приближения для коэффициентов пере-
перехода и, кроме того, рассмотрим другие примеры основных кинетических уравнений.
7.2.1. Обобщенное уравнение Паули. Напомним общую схему вывода
основных кинетических уравнений в методе Цванцига [176] (см. также раздел 2.4.1 в
первом томе). Сокращенное описание неравновесной системы осуществляется квази-
квазиравновесной частью статистического оператора
gq{t)=Vg{t),	G.2.2)
где V — линейный оператор, удовлетворяющий обычному соотношению для проекци-
проекционного оператора: V2 = V. Предполагая, что выполняется граничное условие
lim lim e?teitQL{g(t)-VQ(t)} = 0,	G.2.3)
где Q = l — V, э, L — оператор Лиувилля, мы показали в разделе 2.4.1 первого тома, что
квазиравновесная часть статистического оператора удовлетворяет уравнению [172]
{t)- f е?^'-г)ПЬе^'-г)дь QiLQq(t')dt' = 0,	G.2.4)
причем после вычисления средних значений со статистическим распределением gq(t)
сначала выполняется термодинамический предельный переход, а затем е —> +0. В част-
частном случае, когда распределение Qq{t0) задано в некоторый начальный момент време-
времени ?0 и рассматривается эволюция системы при t > to, уравнение G.2.4) совпадает с
основным кинетическим уравнением Цванцига [176].
Важной реализацией проектора V является оператор, выделяющий диагональную
часть неравновесной матрицы плотности. Этот проекционный оператор уже был вве-
введен в разделе 2.4.1 первого тома. Здесь мы кратко напомним основные соотношения,
которые потребуются нам в дальнейшем.
Рассмотрим квантовую систему с гамильтонианом
Я = Я° + АЯ/,	G.2.5)
где Я0 — невозмущенная часть гамильтониана, аЯ'- оператор возмущения. Фор-
Формальный параметр А вводится для контроля за порядком приближения по Н1. В конце
вычислений можно положить А = 1.
Чтобы построить матрицу плотности системы Qnm(t) = (n|^(^)|m), предположим,
что в выбранном представлении матрица невозмущенной части гамильтониана Я0 диа-
гональна, т. е.
H°nm = (n\H°\m) = EnSnm,	G.2.6)

106	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
где Еп — невозмущенный спектр собственных значений энергии. В этом представлении
действие проекционного оператора V на некоторый квантовомеханический оператор А
определяется правилом
(n\VA\m) = (n\A\n)Snm.	G.2.7)
В частности, матричные элементы квазиравновесной части статистического операто-
оператора G.2.2) равны
(n\Qq(t)\m) = wn(t)Snm,	G.2.8)
где величину wn(t) = (n\g(t)\n) можно интерпретировать как вероятность нахожде-
нахождения системы в квантовом состоянии \п). Оператор 2 = 1 — 7^, дополнительный к V,
удовлетворяет соотношению
(n\QA\m) = (п\А\т) - (п\А\п) 6пт,	G.2.9)
которое непосредственно следует из G.2.7).
Оператор Лиувилля z'L, который определяется как квантовая скобка Пуассона с
гамильтонианом Я, можно разделить на невозмущенную часть и возмущение:
G.2.10)
где
iL°A=^-[A,H% iL'A = l-[A,Hl].	G.2.11)
in	in
Из приведенных выше определений проекционных операторов и операторов Лиувил-
Лиувилля следуют простые, но важные равенства, проверку которых оставляем читателю в
качестве упражнения:
= iL°V,	G.2.12)
ViLgq{t) = O,	G.2.13)
QiLgq(t) = iLgq(t) = iL'gq(t) = QiL'gq(t).	G.2.14)
Обобщенное основное кинетическое уравнение, определяющее зависимость диаго-
диагональных элементов неравновесной матрицы плотности wn(t) от времени, можно вы-
вывести из операторного уравнения G.2.4). В разделе 2.5.2 первого тома это уравнение
было получено в виде
dwjt)
dt
= A2 f dre-?T (n\iLfe~irQL iLf0q(t-T)\n).	G.2.15)
Во втором порядке теории возмущений из него легко получается уравнение Пау-
Паули G.2.1). Поэтому уравнение G.2.15) можно назвать обобщенным уравнением Пау-
Паули1). В этом разделе мы рассмотрим некоторые его свойства.
Прежде всего покажем, как правую часть уравнения G.2.15) можно записать через
вероятности wm(t). Для этого удобно воспользоваться так называемым тетрадным
представлением [176]. Напомним, что квантовый оператор Лиувилля iL фактически
является супероператором, который переводит любой квантовомеханический оператор
Ч Хотя формально правая часть уравнения G.2.15) имеет второй порядок по возмущению L', не
следует забывать, что члены более высокого порядка входят в оператор эволюции.

7.2. ОСНОВНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	107
А в его производную по времени: iLA = (l/ih)[A,H]. В n-представлении матричные
элементы (iLA)nn> имеют вид
{iLA)nn, = j^Y, (AnmHmn. - НптАтп1).	G.2.16)
Это соотношение можно записать как
(iLA)nni = у ^ %Lnnimm> Атт',	G.2.17)
га, га'
где Lnn,mm, — матрица с удвоенными индексами, или тетрадик:
1 L>пп' mm' — ~7Т у^птп ¦" m'n' On'm' ¦" пт) •	yt .Z.LoJ
В общем случае тетрадик представляет собой линейный оператор, действующий на
обычные матрицы. Он переводит матрицу с двумя индексами в другую матрицу той
же размерности. Алгебра тетрадиков изоморфна алгебре матриц, что очевидно, если
объединить пару индексов (п,п') в один составной индекс а, а матрицу Апп, рассма-
рассматривать как вектор Аа. При этом тетрадик Lnnimmi будет соответствовать матрице
Laa' с двумя составными индексами. Единичный тетрадик определяется выражением
(l)nn' mm1 = Snm $n'm' •	G.2.19)
В дополнение к Lnn> mmi введем тетрадики, соответствующие супероператорам L0
и /У, которые определяются формулами G.2.11). Поскольку матрица невозмущенной
части гамильтониана Я0 диагональна, имеем
iLQnn,mm, = iUnmSnmSn'm',	^пт = {Еп ~ Ет)/Н,	G.2.20)
^пп'тт' = ~ГТ\0пт Нт1 ri ~ °п'т' Нпт) •	G.2.21)
Остается найти тетрадное представление проекционных операторов V и Q. Из соотно-
соотношения G.2.7) следует, что
'п
п' mm' — *пт *п'т' *пп' ч	^dnn' mm
' ~~ \*-
где было использовано определение единичного тетрадика G.2.19).
Вернемся к обобщенному уравнению Паули G.2.15) и запишем его правую часть
в тетрадном представлении для супероператоров. Поскольку квазиравновесная часть
статистического оператора Qq(t) диагональна в n-представлении [см. G.2.8)], получаем
интегральное уравнение
TKnnmm(T)wm(t-T),	G.2.23)
т {
ядром которого является тетрадик
Knnmm(t) = \2e-?t\iL'e-itQLiL']	.	G.2.24)
пп in in \ j	L	inn mm	v	'

108	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
С учетом очевидного свойства проекционного оператора Q2 = Q и соотношений G.2.14)
ядро Knnmm(t) можно записать в более "симметричном виде":
Knnmm{t) = \2e-?t \iL'e-itQLQiL'}	.	G.2.25)
пи mm \ )	[	inn mm	v	'
На первый взгляд уравнение G.2.23), в отличие от уравнения Паули G.2.1), имеет
необычную структуру, поскольку его правая часть не соответствует балансу вероят-
вероятностей типа "приход-уход". Нетрудно, однако, записать G.2.23) в форме уравнения
баланса. Для этого воспользуемся правилом сумм
nnmm{t)=0,	G.2.26)
которое легко доказывается с помощью выражения G.2.24) (см. задачу 7.8). Из правила
сумм следует, что
/ J Knnmm(t) = —Knnnn(i).	G.2.27)
тфп
Таким образом, обобщенное уравнение Паули G.2.23) приводится к виду
dwn{t)
dt
оо
JdTKnnmm(T) [Wm(t-T)-wn(t-T)}.	G.2.28)
Отметим, что это уравнение является точным. Правда, оно значительно более сложное,
чем уравнение Паули G.2.1), так как включает эффекты памяти. Кроме того, простота
формулы G.2.25) для ядра этого уравнения обманчива. Фактически ядро выражается
через матричные элементы операторов по волновым функциям системы многих частиц
с учетом членов всех порядков по взаимодействию.
Основные сложности при вычислении ядра Knnmrn(t) связаны с тем, что оператор
эволюции U(t) = exp(-itQLQ) в формуле G.2.25) содержит проекционный оператор
Q. Покажем, однако, что если нас интересуют разложения ядра обобщенного уравне-
уравнения Паули по степеням Н1', то можно сформулировать теорию возмущений, в которой
используются только корреляционные функции с "обычной" эволюцией операторов, не
включающей проектирование.
Прежде всего заметим, что невозмущенный оператор Лиувилля L0 удовлетворяет
соотношению (см. задачу 7.9)
= iL°.	G.2.29)
Тогда
QiLQ = iL° + A QiL'Q,	G.2.30)
и задача сводится к тому, чтобы найти разложение тетрадика
Unrimm'V>) — G	{(.Z.01J
L	J ' '
по степеням А. Удобнее, однако, построить теорию возмущений для оператора резоль-
резольвенты [129, 176]
0), G.2.32)

7.2. ОСНОВНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	109
а затем найти оператор эволюции с помощью обратного преобразования Лапласа.
Определим оператор резольвенты для невозмущенной системы
и воспользуемся операторным тождеством
— = — + — {В-А)—,	G.2.34)
подставив туда А = —%z + %L° + XQiL'Q и В — —iz + iL°. Тогда G.2.32) принимает вид
уравнения для резольвенты
R(z) = R°(z) -XR°(z) QiL'QR(z),	G.2.35)
которое напоминает известное уравнение Липпмана-Швингера в квантовой теории рас-
рассеяния [158]. Решив G.2.35) методом итераций, мы получим оператор резольвенты в
виде степенного ряда по iL'.
Запишем уравнение G.2.35) в тетрадном представлении. Согласно правилу умно-
умножения тетрадиков, имеем
Rnn'mm'(z) = R°nn,mm,(z)-\ 53 R°nn'aa'(z)[QiL'Q}aa,bb,Rbb,mm,(z). G.2.36)
aa'bb'
Явное выражение для невозмущенной резольвенты в тетрадном представлении полу-
получается из G.2.20) и G.2.33):
Кп' тт' (*) = z_%	Sum <W -	G.2.37)
Элементы тетрадика QiL'Q легко найти, используя выражения G.2.21) и G.2.22). То-
Тогда, после простых алгебраических преобразований, уравнение G.2.36) приводится к
виду
^ Опт Оп'т'	1 — Vnn' 1 \~^ /	/
tinri mm' \Z) = —~ ~	Ь X - — — 2_^\^nk ^kn' mm' \Z) ~ H kn, Hnk mm' \Z)\ •
z — unn'	z — ujnn> a ^
G.2.38)
Применяя обратное преобразование Лапласа к обеим частям этого уравнения, находим
оператор эволюции в тетрадном представлении G.2.31):
тт	(±\ _ -iunn,t s r	,
v пп'тт'\ь) —с	unmun'm'i
G.2.39)
оо+гту
Й / 2тт
71 {Н' Rn> тт> № ~ Н'кп> Rnk mm>
—оо+гту
где г] > 0. Наконец, зная оператор эволюции, можно вычислить ядро G.2.25). С учетом
формулы G.2.21) для элементов тетрадика iL' получаем
_ л2 _?t —, ,
пптт	j-2	/_^ а а	аа	па	па т	т
aa'bb'

ПО	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Соотношения G.2.38) - G.2.40) дают возможность найти ядро в обобщенном уравнении
Паули G.2.28) в любом приближении по Н'. В случае газа малой плотности уравне-
уравнение G.2.38) для резольвенты можно решить с помощью групповых разложений1).
7.2.2. Электронно-примесная система. В предыдущем разделе опе-
оператор V определялся как проектор, выделяющий диагональную часть неравновесной
матрицы плотности. Однако во многих задачах встречаются другие интерпретации
оператора V. В качестве примера рассмотрим вывод основного кинетического уравне-
ния для электронов, взаимодействующих с атомами примеси /.
Гамильтониан системы представим в виде суммы Н = Н° + Н', где оператор Н°
описывает электроны проводимости в кристалле, включая, вообще говоря, их взаимо-
взаимодействие с фононами и внешним полем. Оператор Н' описывает взаимодействие элек-
электронов со случайно распределенными атомами примеси и параметрически зависит от
их координат {R} = {Rl5R2,... , R^.}, где Ni — полное число примесных атомов в
кристалле.
Пусть А = 4({R}) — некоторая величина, зависящая от конфигурации атомов при-
примеси. Наблюдаемое значение этой величины есть среднее по всем возможным конфи-
конфигурациям примесей:
А=
= f F{{R})A{{R})dR1---dRNil	G.2.41)
где ^({R}) — некоторая функция распределения. В частном случае, когда отсутствуют
корреляции в расположении примесных атомов, эта функция распределения имеет
простой вид ^({R}) = l/VNi, где V — объем кристалла. Отметим, что процедуру
усреднения G.2.41) можно также применять и к квантовомеханическим операторам.
Формулу G.2.41) можно рассматривать как определение линейного проектора V,
так как из очевидного равенства А— А следует, что V2 = V. Следуя этой аналогии,
введем "квазиравновесный" статистический оператор
e(t) = Vg(t) = j Т({Щ) д({Щ; t) dR^- dRNt,	G.2.42)
где ?({R};?) — решение уравнения Лиувилля с гамильтонианом, зависящим от кон-
конфигурации примесей. Для простоты будем предполагать, что интересующие нас ди-
динамические переменные сами не зависят явно от расположения примесных атомов.
Наблюдаемое значение любой такой переменной А записывается как
(А)* =Тг {A g(t)}-	G-2-43)
Тогда для полного описания динамики системы достаточно найти усредненное стати-
статистическое распределение ~g(t).
Основное кинетическое уравнение для ~g(t) получается из G.2.4), если заменить
Qq(t) —> ~g(t) и определить действие проекторов V и Q на любой оператор О формулами
= 6-d.	G.2.44)
Ч Вывод квантового уравнения Больцмана с помощью проекционного метода Цванцига приводится
в работе [40].
2) Электронно-примесная система обсуждалась в разделе 4.2.3 первого тома в рамках квантовой ки-
кинетической теории.

7.2. ОСНОВНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	111
Как и раньше, в квантовом операторе Лиувилля iL({H}) можно выделить невозму-
невозмущенную часть iL° и возмущение iL'({R\):
iL({B}) = iL° + iL'({B}),	G.2.45)
причем оператор iL'({H}) параметрически зависит от конфигурации примесей через
гамильтониан электрон-примесного взаимодействия Я'({11}). Удобно определить Н'
так, чтобы выполнялось условие Ч
ТР = 0.	G.2.46)
Тогда
G.2.47)
Поскольку Н° не зависит от расположения примесей, то мы имеем еще два важных
равенства:
ViL° = iL°V, QiL° = iL°Q.	G.2.48)
С их помощью уравнение G.2.4) можно записать в более простом виде. Соответствую-
Соответствующие преобразования сами по себе элементарны, но несколько громоздки. Поэтому мы
дадим другой вывод обобщенного кинетического уравнения для ~g(t), исходя непосред-
непосредственно из уравнения Лиувилля с граничным условием g([R};t) —^~g(t) при t —> — оо.
Это уравнение имеет вид
j	(e ->> +0), G.2.49)
где источник обеспечивает выполнение граничного условия
Q (t-^-oo).
После усреднения уравнения G.2.49) по конфигурациям примесей с учетом соотноше-
соотношений G.2.47) и G.2.48) получаем
^ + iL°\ ~Q{t) = -iL'AQ{t),	G.2.50)
где A^({R};^) = g({H};t) —~g(t). Теперь, вычитая G.2.50) из G.2.49), получаем урав-
уравнение для Д#(?):
— + iL° + iL' + e) Ag{t) = iL'Ag{t)-iL'-Q{t).
dt	)
Поскольку ApE?Ap = 0, это уравнение можно записать в виде
(-^ + iL° + QiL'Q + e\AQ(t) = -iLf-Q(t).	G.2.51)
Отсюда находим
t
Ag(t) = - f dtte«t'-thi(t'-tXL'>+QL'QUL'-Q(t).	G.2.52)
Ч Если условие G.2.46) не выполняется для исходного оператора Н', то всегда можно переопределить
этот оператор и невозмущенный гамильтониан Н° с помощью замен Н' —>¦ Н' — Hf, Н° —>¦ Н° + Н'.

112	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Подставляя теперь это выражение в G.2.50), приходим к основному кинетическому
уравнению
оо
= J drK{r)-Q{t-r),	G.2.53)
в котором роль ядра играет оператор
K(t) = е~?ЧЬ' exp[-it{L° + QLfQ)]iLf.	G.2.54)
Уравнение G.2.53) является точным, но, конечно, довольно сложным, в особенности,
когда взаимодействие между частицами включено в невозмущенную часть гамиль-
гамильтониана Я0. Поэтому при вычислении ядра K(t) в конкретных задачах приходится
прибегать к разного рода приближениям: разложениям по амплитуде взаимодействия
электрона с примесным атомом или по концентрации примесей.
В разделе 4.2.3 первого тома уже рассматривалась простейшая модель электронно-
примесной системы. В этой модели не учитываются взаимодействие электронов друг с
другом и электрон-фононное взаимодействие, поэтому динамика электронов проводи-
проводимости может быть описана одночастичной матрицей плотности, усредненной по кон-
конфигурациям примесных атомов1):
G-2-55)
где а], и а{ — операторы рождения и уничтожения для некоторого базисного набора
одночастичных квантовых состояний | /). Например, в качестве базисных можно взять
состояния |/) = |р,сг), где р — импульс, а а — спин электрона. Покажем теперь, что
в рамках этой модели можно вывести точное основное кинетическое уравнение непо-
непосредственно для одночастичной матрицы плотности ////(?).
Для начала напомним некоторые определения из раздела 4.2.3. Если учитывается
только взаимодействие электронов с примесями, то в представлении вторичного кван-
квантования гамильтонианы Я0 и Н' имеют вид
я°=y, hu> a\ai> > н' = Ys uw a]iai''	G-2-56)
//'	//'
где h®v и Uu, — матричные элементы одночастичных операторов:
h% = (l\h°\l'), Uw = (l\U\l').	G.2.57)
Оператор h° представляет собой гамильтониан электронов в идеальном кристалле, a U
описывает взаимодействие электронов с атомами примеси, расположенными в точках
Rx,..., 11дг.. В координатном представлении эти операторы записываются как
N-
= Х>(г-К,-).	G.2.58)
.7=1
Невозмущенная часть одночастичного гамильтониана h° включает в себя взаимодей-
взаимодействие электронов с электромагнитным полем, которое характеризуется векторным
Ч В разделе 4.2.3 усредненная одночастичная матрица плотности обозначалась как fni{t). Здесь
будет удобнее сохранить явное указание на операцию усреднения.

7.2. ОСНОВНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	113
А(г) и скалярным (р(т) потенциалами. Функция и(т — Rj) — потенциальная энергия
взаимодействия электрона с атомом примеси, расположенным в точке Rj. Без ограни-
ограничения общности можно положить U(г) = О, Н' = 0, как это было сделано в предыдущем
разделе.
Определим теперь одночастичную матрицу плотности, зависящую от конфигура-
конфигурации примесей:
/„.({R};*) = Tr [o},o, g({R};t)].	G.2.59)
Дифференцируя ее по времени, а затем исключая производную dg({H};t)/dt с помо-
помощью уравнения G.2.49), получаем
y	G.2.60)
Поскольку оба гамильтониана G.2.56) являются билинейными формами по операто-
операторам рождения и уничтожения, ясно, что среднее значение коммутатора в левой ча-
части полученного уравнения можно выразить через одночастичную матрицу плотности
/^, ({R};?). Здесь удобно перейти к матричным обозначениям. Введем матрицы
/({R};?)=[/;;,({R};*)], 7(*) =[/«'(*)],
G.2.61)
h°=[h%], U({R}) = [Ull,({K})]
и одночастичные операторы Лиувилля г?°, г?'({К}), которые действуют на произ-
произвольную матрицу А = [Ацг] по правилам
Тогда после вычисления коммутаторов в G.2.60) уравнение для одночастичной матри-
матрицы плотности /({R};?) можно записать в компактном виде
G.2.63)
Сравнивая это уравнение с уравнением G.2.49) для статистического оператора, заме-
замечаем, что они имеют совершенно одинаковую структуру, хотя операторы Лиувилля в
них имеют разный смысл. Поэтому можно сразу же записать основное кинетическое
уравнение для усредненной одночастичной матрицы плотности, которое аналогично
уравнению G.2.53) для статистического оператора, усредненного по конфигурациям
примесей:
оо
= [AтЦт)Лг-т).	G.2.64)
о
Ясно также, что выражение для ядра этого уравнения полностью аналогично форму-
формуле G.2.54):
G.2.65)
Уравнение G.2.64) является точным1) и может служить основой для получения
различных приближенных кинетических уравнений. Фактически дело сводится к по-
построению подходящего приближения для ядра K(t). В пределе слабого рассеяния опе-
оператор эволюции ехр[ — it(?° + Q?fQ)] можно заменить более простым оператором
Ч Разумеется, это утверждение относится к модели, где учитывается только взаимодействие элек-
электронов с примесными атомами.

114	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
ехр [ — it С0], поскольку ядро K(t) уже имеет второй порядок по электрон-примесному
взаимодействию. В этом случае уравнение G.2.64) совпадает с кинетическим уравне-
уравнением, в котором вероятность перехода вычисляется в борновском приближении (см.
задачу 7.10). Если концентрация примесей ni = NJV мала1), то ядро K(t) можно
вычислить с помощью метода групповых разложений.
7.2.3. Классическая жидкость. До сих пор мы обсуждали основные ки-
кинетические уравнения, описывающие квантовые системы. В этом разделе приводится
пример основного кинетического уравнения для классической системы.
Рассмотрим газ или жидкость из TV одинаковых классических частиц, заключенных
в объем V. Система описывается гамильтонианом
" = ?^ + |5>*	G-2.66)
г=1	гфз
где Ф^ = Ф^ = Ф(|г^ — Yj\) — энергия взаимодействия между двумя частицами.
Наиболее полное статистическое описание системы дается TV-частичной функци-
функцией распределения в фазовом пространстве дм(хг1... ,xN,t), где xi = (r^pj — набор
фазовых переменных одной частицы. В главе 3 первого тома была построена кине-
кинетическая теория классических газов на основе сокращенного описания системы, для
которого требуется только одночастичная функция распределения /х(ж, t) = /x(r,p, t).
Рассмотрим теперь еще один способ сокращенного описания, приводящий к основным
кинетическим уравнениям, которые применимы, в принципе, не только к газам, но и к
жидкостям.
Предположим, что макроскопическое состояние системы является пространствен-
пространственно однородным, и возьмем к качестве квазиравновесного распределения gq(t) функ-
функцию распределения частиц Qq{Pi,...,p^,t) в импульсном пространстве. Эта функ-
функция получается в результате интегрирования полной фазовой функции распределения
gN (хг,..., х дг, t) по пространственным координатам всех частиц. Если ввести оператор
VNl действие которого на произвольную фазовую функцию (р(хг,... ,xN) определяет-
определяется формулой
VN <р{хг,... ,ждг) = — / (р{г1,р1,... ,Гдг,Рдг) d^-'-dTjsf,	G.2.67)
то связь между распределениями gN и gq можно записать в символической форме
l. ..,xN,t).	G.2.68)
Предполагая, что условие нормировки для TV-частичной функции распределения имеет
вид
fn (т	г f)dxl'"dxN _1	G2т)
находим условие нормировки для квазиравновесного распределения:
Ч Роль безразмерного малого параметра здесь играет величина п^Гд, где го — радиус взаимодействия
электрона с атомом примеси.

7.2. ОСНОВНЫЕ КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	115
Из G.2.67) ясно, что VN — линейный оператор и V% = VN. Таким образом, основ-
основное кинетическое уравнение для рассматриваемой системы можно получить непосред-
непосредственно из уравнения G.2.4), если положить gq (t) = gq (рх ,..., рдг, ?) иТ = V N. Нужно
также учесть, что в данном случае L — классический TV-частичный оператор Лиувилля
Ьг дг, действие которого на произвольную фазовую функцию (р(хг,... ,xN) выража-
выражается через скобку Пуассона с гамильтонианом:
iLi...NV = {4>,H}.	G.2.71)
В TV-частичном операторе Лиувилля удобно выделить невозмущенную часть L\ N и
возмущение L[ N:
I>i...n = I>i...n + I>'i...n,	G-2-72)
где оператор L\ дг описывает свободное движение частиц, a L[ N — их взаимодей-
взаимодействие. С помощью G.2.66) и G.2.71) находим, что
г 0	_
li...n-
Из этих выражений и формулы G.2.67) следуют важные свойства проекционного опе-
оператора V:
??...Л=0,	G-2.75)
VNL°1,,,N=Q,	G.2.76)
T>NL^NVN = VNL[^NVN = 0.	G.2.77)
Благодаря соотношению G.2.77) имеем VNL1 Ngq = VNL1 NVNgN = 0 и, следова-
следовательно, в нашем случае второй член в левой части уравнения G.2.4) равен нулю.
Из G.2.76) ясно, что оператор VNiL1 N под знаком интеграла в уравнении G.2.4)
можно заменить на VNiL[ N. Далее, снова используя свойство G.2.77), пишем
— i^Y N
VNgN = И<г
где QN = l — TN — проекционный оператор, дополнительный к VN. Отметим, наконец,
что свойство G.2.76) и соотношение Q2N = QN позволяют записать оператор эволюции
в G.2.4) как ехр {*(*'-?)(??...N + QNiLi...№n)}-
С учетом всего сказанного получаем основное кинетическое уравнение для класси-
классического газа и классической жидкости
оо
Yt ^(Рь • • • jPtvj*) = dr gi...n(t) МРъ • • • jPtvj*- rM	G.2.78)
о
ядро которого — оператор
Gi...N(t) = e"?iVN iL[,,,N exp [-it{L\,,,N + ЯмЬ'г,„мдм)]iL[,,,N,	G.2.79)
действующий на функции в пространстве импульсов TV частиц.

116	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Интегрируя обе части уравнения G.2.78) по р5+1,... ,рдг, s > 1, можно вывести
цепочку уравнений для s-частичных функций /s(Pi,... ,ps,?), аналогичную цепочке
уравнений для фазовых функций распределения fs(x1,...,xs,t), которая обсужда-
обсуждалась в главе 3 первого тома. Свойства уравнения G.2.78) подробно рассмотрены в
работе [142]. Здесь мы остановимся лишь на одном моменте, отражающем связь этого
уравнения с кинетической теорией.
Как мы знаем, в неравновесной статистической механике всегда выполняется тер-
термодинамический предельный переход V —> оо, TV —> оо при условии, что N/V = const.
Функция распределения gN{xXl ... ,хNlt) включает корреляции между положениями
частиц в пространстве, причем вклад этих корреляций не исчезает в термодинами-
термодинамическом пределе. С другой стороны, Qq(pi,... ,Рдг,?) имеет смысл функции распреде-
распределения частиц по импульсам, т.е. в результате применения операции G.2.68) инфор-
информация о положении частиц в пространстве "теряется". Если корреляции затухают на
некотором характерном расстоянии гс, то их вклад в интеграл по координатам ча-
частиц должен стать пренебрежимо малым по мере стремления объема системы к беско-
бесконечности. Иными словами, разумно предположить, что в термодинамическом пределе
функция Qq(pi,... ,Рдг,^) имеет такую же структуру, что и функция распределения
для пространственно однородной системы, в которой отсутствуют корреляции между
частицами, т.е. она имеет вид произведения одночастичных функций fi{Pi,t). С уче-
учетом G.2.70) и условия нормировки для одночастичной функции распределения (см.
раздел 3.1.2 в первом томе)
G.2.80)
это предположение можно сформулировать в виде
[|	G.2.81)
г=1 L е	-I
где использовано соотношение TV! « (N/e)N, справедливое при больших N. Следует,
впрочем, отметить, что приведенные соображения и другие интуитивные аргументы
(см., например, [53, 145]) никоим образом не могут служить доказательством свой-
свойства G.2.81). Поэтому его следует рассматривать лишь как разумную гипотезу, по-
позволяющую выводить кинетические уравнения для одночастичной функции распреде-
распределения из основного кинетического уравнения G.2.78).
Замкнутое кинетическое уравнение для /i(Pi,?) получается из G.2.78) в резуль-
результате интегрирования обеих частей по р2,... ,pN с последующим применением форму-
формулы G.2.81) в правой части. Это приводит к уравнению
G.2.82)
О
где введен нелинейный функционал от одночастичного распределения
N~l
N/V = const
fV\N~l Г	N
f-J J dpr--dpNG1^N(r)Y\f1(pilt). G.2.83)
г=1
Уравнение G.2.82) применялось Резибуа и де Ленером [145] для построения кине-
кинетической теории классических газов и жидкостей. Хотя само по себе это уравнение

7.3. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОТКРЫТЫХ СИСТЕМАХ	117
справедливо только для пространственно однородных систем, его легко обобщить на
случай слабо неоднородных состояний. Если одночастичная функция распределения
/1(г1,р1,^) мало изменяется на расстояниях порядка радиуса взаимодействия частиц,
то интеграл столкновений можно найти из правой части уравнения G.2.82), сделав
замену f^p^t-r) -+ f^r^p^t-r).
7.3. Релаксационные процессы в открытых системах
В этом параграфе мы обсудим нелинейные релаксационные процессы в открытых
системах, т.е. системах, взаимодействующих с другими макроскопическими систе-
системами (окружением). Основное внимание будет уделено наиболее распространенной
ситуации, когда окружение системы можно рассматривать как термостат, состояние
которого близко к тепловому равновесию.
7.3.1. Основное кинетическое уравнение для системы в тер-
термостате. Предположим, что интересующая нас неравновесная система (S) взаи-
взаимодействует с другой системой (В), которая настолько велика, что ее макроскопи-
макроскопическое состояние в процессе этого взаимодействия лишь незначительно отклоняется
от состояния теплового равновесия1). Иными словами, система В выступает в роли
термостата2). Если нас интересуют усредненные значения только тех динамических
переменных, которые относятся к системе 5, то достаточно знать приведенный ста-
статистический оператор
G.3.1)
где g(t) — неравновесный статистический оператор полной системы S + В, а символ Тгв
означает взятие следа по квантовым состояниям термостата. Нашей целью будет вывод
замкнутого уравнения для приведенного статистического оператора Qs{t), который
можно рассматривать как неравновесный статистический оператор подсистемы S.
Запишем гамильтониан полной системы S + В в виде
H = HS + HB + H',	G.3.2)
где невозмущенный гамильтониан Hs + Нв описывает независимые подсистемы, Н'
— оператор взаимодействия между ними. Вообще говоря, подсистема S может взаи-
взаимодействовать еще и с внешними переменными полями, но для начала ограничимся
более простым случаем, когда гамильтониан полной системы S + В не зависит явно от
времени.
Для того, чтобы воспользоваться методом неравновесного статистического опера-
оператора, предположим, что в отдаленном прошлом подсистема S и термостат были стати-
статистически независимы. Тогда исходное уравнение Лиувилля можно записать как
{e -> +0),	G.3.3)
Ч Для определенности мы будем использовать квантовое описание, однако излагаемая ниже теория
в равной степени может быть применена и к классическим системам. Для этого нужно использовать
фазовую функцию распределения вместо статистического оператора и определить соответствующим
образом оператор Лиувилля.
2) Следует подчеркнуть, что подсистема S не обязательно является макроскопической. Можно счи-
считать, например, что она включает лишь небольшое число степеней свободы полной системы S + В.

118	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
где операторы iLs, iLB и iL' определяются соотношениями
iLsA = ±[A,Hs], гЬвА = ±[А,Нв], гЬ'А = ±[А,Н'}.	G.3.4)
Бесконечно малый источник в правой части уравнения G.3.3) отбирает запаздываю-
запаздывающее решение, удовлетворяющее граничному условию ослабления корреляций между
системой S и термостатом. Будем считать, что дв описывает состояние теплового рав-
равновесия термостата1).
Приступая к выводу замкнутого уравнения для gs{t), вычислим след Тгв опе-
операторного уравнения G.3.3). Используя определение G.3.1) и очевидное соотношение
TrB (iLBg{i)) = 0, получаем
^ gs(t) = -TrB {iL'e(t)).	G.3.5)
Это уравнение незамкнуто, поскольку в его правой части стоит полный статистический
оператор. Для того, чтобы выразить g(t) через gs(t) и дВ1 введем "корреляционную
часть" статистического оператора
= g{t)-gs{t)gB	G.3.6)
и выведем для нее уравнение эволюции. Начнем с очевидного соотношения
9 Ao(t)-9e{t) 9es{t)o
-Ag(t)-—t	—eB-
Производные по времени в правой части можно исключить с помощью G.3.3) и G.3.5).
После несложных преобразований получаем
jt + ej Ag{t) = -{iLs + iLB + iL1) g{t) + iLs gs{t)gB + gB TvB {iL'g{t)). G.3.7)
Запишем это уравнение в более удобной форме. Прежде всего заметим, что оператор
взаимодействия Н' в гамильтониане G.3.2) всегда можно определить так, чтобы
(Я%=Тгв(Я'^)=0.	G.3.8)
Если исходный оператор Н' не удовлетворяет этому условию, то достаточно просто
переопределить Hs и Н' путем замены Нs —> Нs + (Н')в и Н' —> Н' — (Н')в. Усло-
Условие G.3.8) обеспечивает выполнение соотношения
TrB(iL'QB)gs{t) = 0.	G.3.9)
Оно позволяет записать последний член в уравнении G.3.7) как
QBTrB(iL'g(t)) =ViL'Ag{t).	G.3.10)
Ч Это допущение вводится лишь для простоты. Излагаемый ниже метод остается в силе и в том
случае, когда дв является произвольным стационарным распределением, удовлетворяющим условию

7.3. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОТКРЫТЫХ СИСТЕМАХ	119
Здесь введен проекционный оператор
VA = gBTrBA,	G.3.11)
действие которого определено для любой динамической переменной Л, имеющей конеч-
конечный след. Наряду с очевидным свойством V2 = V этот оператор обладает свойствами
Vg(t) = gs(t)gB, VAg(t) = 0.	G.3.12)
Мы видим, что V есть частный случай проекционного оператора Цванцига.
Исключая в G.3.7) полный статистический оператор g(t) с помощью соотноше-
соотношений G.3.6) и G.3.10), приходим к уравнению
G.3.13)
где Q = 1 — V — проекционный оператор, дополнительный к V. Как уже отмечалось,
предполагается, что в отдаленном прошлом полный статистический оператор g(t) сов-
совпадает с gs{t)gB, т.е. Ag(t) —> 0 при t —> — оо. Поэтому формальным решением урав-
уравнения G.3.13) будет оператор
Ag(t) = - I dt'exp{-{t-t'){iLs + iLB + QiL'Q + e)}iL'gs{t')gB. G.3.14)
Теперь все готово для того, чтобы получить замкнутое уравнение для статисти-
статистического оператора д$A)- Исключая g(t) в правой части G.3.5) с помощью соотноше-
соотношений G.3.6) и G.3.14), приходим к интегральному уравнению
G.3.15)
с операторным ядром
П(Ь) = e~?t TrB {iL1 exp [- it(Ls + LB + QL1 Q)]iL'gB).	G.3.16)
Уравнение G.3.15) можно назвать основным кинетическим уравнением для системы
в термостате. Оно справедливо при любой интенсивности взаимодействия между си-
системой S и термостатом. Конечно, в общем случае явное выражение для ядра G.3.16)
является чрезвычайно сложным. Приближенное основное кинетическое уравнение
можно получить, применяя теорию возмущений к резольвенте оператора эволюции
примерно так же, как это делалось в разделе 7.2.1.
Основное кинетическое уравнение G.3.15) легко обобщить на случай открытой си-
системы, взаимодействующей с переменными внешними полями. Для этого нужно ре-
решить уравнение G.3.13) с зависящим от времени оператором Лиувилля iLs(t). Тогда
ядро % в основном кинетическом уравнении будет содержать оператор эволюции, упо-
упорядоченный по времени (см. задачу 7.11).

120	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
7.3.2. Приближение слабого взаимодействия. Во многих задачах,
представляющих физический интерес, взаимодействие между подсистемой S и термо-
термостатом можно считать слабым, что позволяет значительно упростить основное кинети-
кинетическое уравнение G.3.15), применяя теорию возмущений по Н'. Как правило, условие
слабости взаимодействия выполняется, когда сама подсистема S является макроско-
макроскопической и непосредственное воздействие термостата на подсистему происходит на ее
границе. Если число степеней свободы подсистемы невелико, но амплитуда взаимодей-
взаимодействия в операторе Н' пропорциональна некоторому малому параметру, то к уравне-
уравнению G.3.15) также можно применить теорию возмущений. Физический смысл малого
параметра зависит, конечно, от постановки задачи и рассматриваемой модели.
Из выражения G.3.16) видно, что ядро основного кинетического уравнения имеет
по крайней мере второй порядок по Н'. Поэтому, если взаимодействие между подси-
подсистемой S и термостатом является слабым, то в операторе эволюции можно опустить
QL'Q, а эффекты памяти в G.3.15) исключить с помощью соотношения
gs(t-т) «eiTLs 8s(t) = eiTfls?hgs(t)Q-iT"slh.	G.3.17)
Оно означает, что в главном приближении динамика подсистемы S описывается невоз-
невозмущенным гамильтонианом Hs. Тогда, с точностью до членов второго порядка по
взаимодействию, основное кинетическое уравнение G.3.15) записывается в виде
о
^- + ^[Qs(t),Hs] = ~ J dt'e?t'TrB{[H',[H'(t'),gBgs(t)]}}, G.3.18)
dt
где были использованы соотношения G.3.4) и произведена замена переменной инте-
интегрирования: t' = —т. В G.3.18) H'(t') — оператор в представлении Гайзенберга для
невзаимодействующих подсистем:
Н (t) = е ^ s B'i Я е ^ s B'i .	G.3.19)
Полученное нами уравнение G.3.18) дает общее описание неравновесных процессов
в открытой системе (не обязательно макроскопической), слабо взаимодействующей с
термостатом1). Это уравнение приобретает более наглядную форму, если выписать в
явном виде двойной коммутатор в правой части:
о
^^ + j^[gs(t), Hs] = -^ J dt'est'{{H'H'(t'))B gs(t) + gs(t) (H'(f)H')B -
—oo
-TrB (H'0B0S{t)H'(f) + H'(t)QBQS(t)H')},	G.3.20)
где символ (...)# означает усреднение по переменным термостата со статистическим
оператором дв. Ясно, что такие средние значения фактически являются оператора-
операторами, действующими на волновые функции подсистемы S, поэтому даже в приближении
слабого взаимодействия структура правой части уравнения G.3.20) может оказаться
довольно сложной. К счастью, во многих прикладных задачах гамильтониан взаимо-
взаимодействия Н' имеет вид
H'^AjRj,	G.3.21)
j
Ч Нетрудно изменить уравнение G.3.18) так, чтобы учесть влияние внешних переменных полей, дей-
действующих на систему. Оставляем это читателю в качестве упражнения (см. задачу 7.12).

7.3. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОТКРЫТЫХ СИСТЕМАХ	121
где Aj и Rj — квантовомеханические операторы, действующие, соответственно, на
волновые функции системы S и термостата1). Тогда влияние термостата на эволюцию
системы S можно описать временными корреляционными функциями операторов Rj.
Ниже будут приведены конкретные примеры гамильтониана взаимодействия G.3.21).
7.3.3. Пример: квантовый осциллятор в термостате. В качестве
иллюстрации общего формализма, развитого в предыдущих разделах, рассмотрим ди-
динамику квантового осциллятора, взаимодействующего с термостатом. Выбор этой мо-
модели объясняется двумя причинами. Во-первых, она относительно проста, что позво-
позволяет обсудить некоторые важные аспекты нелинейных релаксационных процессов, не
прибегая к сложной математике. Во-вторых, задача о квантовом осцилляторе в среде
представляет самостоятельный физический интерес. В частности, некоторые из полу-
полученных результатов будут использованы в параграфе 7.4 при анализе кинетических
процессов в лазерах.
В данном случае Hs — хорошо известный гамильтониан квантового осциллятора
Hs = hLjotfb1	G.3.22)
где ljo — собственная частота осциллятора. Операторы b и tf обладают свойствами
бозе-операторов, т.е. [b,tf] = 1. Для гамильтониана взаимодействия Н' возьмем выра-
выражение
Н' = Ы + ЪЧ\	G.3.23)
которое используется, например, в квантовой оптике для описания линейного затуха-
затухания мод электромагнитного поля в среде (см. параграф 7.4). Оператор / коммутирует
с операторами осциллятора и действует только на переменные термостата. Отметим,
что гамильтониан G.3.23) представляет собой частный случай гамильтониана G.3.21).
Напомним, что в уравнении G.3.20) H'(t') — оператор в представлении Гайзенберга
с гамильтонианом невзаимодействующих подсистем HS + HB. Следовательно,
и мы имеем
H'(t) = e~iuJot bI(t) + eiuJot bU\t),	G.3.24)
где представление Гайзенберга для операторов термостата определяется с гамильтони-
гамильтонианом Нв.
Теперь с помощью выражений G.3.23) и G.3.24) правую часть уравнения G.3.20)
можно записать в сравнительно простом виде. Будем считать, что члены, содержащие
корреляционные функции (II(t'))B и (I^I^(t'))B пренебрежимо малы по сравнению
с членами, содержащими корреляционные функции операторов / и /t. Такая ситуа-
ситуация типична для большинства приложений. Дело в том, что корреляционные функции
(II^(t'))B и (I^I(t'))B описывают "резонансное" взаимодействие между осциллятором
и термостатом, т.е. соответствующие члены в правой части уравнения G.3.20) пред-
представляют собой гладкие функции от t' и затухают с некоторым характерным временем
релаксации тг. С другой стороны, члены, связанные с (II(t'))B и (I^I^(t'))B, осцилли-
осциллируют с частотой 2о;0. Если соотг ^> 1, то вкладами этих "нерезонансных" членов можно
Ч Предполагается, что все константы взаимодействия включены в операторы Rj. Отметим также,
что эти операторы всегда можно представить в такой форме, что (Rj)B =0.

122	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
пренебречь. Тогда после несложных преобразований получаем основное кинетическое
уравнение
G.3.25)
где Qg(t) — статистический оператор осциллятора. Здесь введены перенормированная
частота осциллятора
(О
[ dte(iw
— on
u; = u;0 + Au; = u;0 + —Im( / dte{tu;°+?)t ([I,P{t)])R )	G.3.26)
и две релаксационные постоянные
i / ?
ъ = ?Ке\ / d*e(*"'0+e)t<//t(*
G.3.27)
Если термостат описывается произвольным стационарным распределением дВ1 то эти
релаксационные постоянные будут независимыми величинами. Для простоты будем
считать, что термостат находится в равновесном состоянии при некоторой температуре
Тв. Тогда дв совпадает с каноническим или большим каноническим распределением
Гиббса. Покажем, что в этом случае 7i и 72 выражаются через одну релаксационную
постоянную.
Как известно, равновесные корреляционные функции в формулах G.3.27) можно
записать через спектральную плотность J//t(o;) в виде1)
оо	оо
(Ili(t))B= f p-Jw{u)e~iut, AЧ*I)в = [ у-ЛцЛи)еПш/Тве~Ш. G.3.28)
—оо	—оо
Подставляя эти выражения в G.3.27) и интегрируя по ?, находим
1 —	1 / — . -| \	/rj ел с%(\\
/1 	 О /0 5	/2 	 О / V 0 *^ /5	ll.tl.^it/J
где
— среднее число квантов возбуждения осциллятора при температуре термостата TBl
а релаксационная постоянная 7 дается формулой
@	V
ydte(-o+^([/,/t(t)])Bj.	G.3.31)
Ч Спектральное представление равновесных корреляционных функций подробно обсуждалось в па-
параграфе 5.2 первого тома.

7.3. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОТКРЫТЫХ СИСТЕМАХ	123
С учетом соотношений G.3.29) основное кинетическое уравнение G.3.25) записывается
в виде [113, 150]
-iu [gs(t),b4] = -\
+ (n0 +1){b40s{t) -2bQs(t)tf + 0s{t)tfb)}. G.3.32)
Исследование этого уравнения можно проводить различными способами. Например,
его можно преобразовать в систему уравнений для элементов матрицы плотности ос-
осциллятора
gnm(t) = (n\gs(t)\m)	G.3.33)
в представлении чисел заполнения (см. задачу 7.13). Интересно отметить, что диаго-
диагональные матричные элементы
«>„(*) = <n|0s(*)|n> (n = 0,l,2,...),	G.3.34)
т.е. вероятности квантовых состояний |п), удовлетворяют замкнутому уравнению.
Чтобы убедиться в этом, вычислим диагональные матричные элементы уравне-
уравнения G.3.32) и воспользуемся хорошо известными соотношениями
Ъ\п) = у/п\п - 1).
G.3.35)
Тогда мы приходим к уравнению баланса
G.3.36)
правая часть которого описывает переходы между квантовыми состояниями осцил-
осциллятора, обусловленные взаимодействием с термостатом. Легко проверить (см. зада-
задачу 7.14), что нормированное стационарное решение уравнения G.3.36) совпадает с рав-
равновесным распределением
/[]	G.3.37)
Другой подход к исследованию уравнения G.3.32) и аналогичных ему основных
кинетических уравнений будет рассмотрен в следующем разделе.
7.3.4. Квантовое уравнение Фоккера-Планка. Наиболее изящный
метод исследования основных кинетических уравнений для бозе-систем основан на ис-
использовании так называемого представления когерентных состояний1), которое по-
позволяет свести операторное основное кинетическое уравнение к дифференциальному
уравнению для непрерывной функции распределения. В этом разделе мы применим
метод когерентных состояний к уравнению G.3.32) для затухающего квантового осцил-
осциллятора. Читателям, которые не очень хорошо знакомы с когерентными состояниями и
соответствующим представлением для квантовых операторов, рекомендуем обратить-
обратиться к приложениям 7Б и 7В. Здесь мы приведем лишь некоторые формулы, чтобы
фиксировать обозначения.
Ч Подробное обсуждение когерентных состояний и их применений, а также многочисленные ссылки
на оригинальные работы можно найти, например, в книгах [31, 104].

124	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Функцию распределения квазивероятностей для квантового осциллятора f(z, z*; t)
можно определить как [см. GВ.28) в приложении 7В]
f(z,z*\t) = Tr [gs(t)Sw(b -z)\	G.3.38)
с операторной дельта-функцией Ч
Sw{b-z)= f^-exp{ix*{b-z) + ix{tf-z*)},	G.3.39)
где z — zx + iz2 и х = хг +ix2 — комплексные переменные, a d2x = dx1 dx2. Интегри-
Интегрирование по хг и х2 производится независимо в пределах от —оо до +оо.
Как показано в приложении 7В, функция распределения G.3.38) обладает следую-
следующими свойствами:
' f{z,z*;t)d2z = l,	G.3.40)
{z*)mznf{z,z*;t)d2z = (Ubjf)mbn})t.	G.3.41)
Правая часть последней формулы представляет собой среднее значение симметризо-
ванного произведения
LJ2P^rbn,	G.3.42)
где символ Р означает перестановку операторов рождения и уничтожения. Например,
с помощью формулы G.3.41) можно вычислить среднее число квантов возбуждения
осциллятора n(t) = ^
n(t) + \= [\z\2f{z,z*;t)d2z.	G.3.43)
При работе с функцией распределения f(z,z*;t) часто бывает удобно использовать ее
связь с так называемым вейлевским символом (gs(t))w(z,z*) статистического опе-
оператора Qs{t)- Символы операторов в представлении когерентных состояний подробно
рассматриваются в приложении 7В. Здесь мы лишь напомним определение вейлевского
символа. Для любого квантовомеханического оператора О, построенного из бозевских
операторов рождения и уничтожения, вейлевский символ (O)w(z1z:?) есть функция
комплексных переменных z и z*, которая определяется соотношением
О
= JF)w(z,z') Sw(b - z) d2z.	G.3.44)
Ч Определение G.3.39) операторной дельта-функции соответствует симметризованному (или вей-
вейлевскому) упорядочению операторов рождения и уничтожения в средних значениях, вычисляемых
с функцией распределения f(z,z*;t). Если использовать другие определения операторной дельта-
функции, то можно ввести функции распределения для других типов упорядочения операторов ро-
рождения и уничтожения. Этот вопрос обсуждается в приложении 7В.

7.3. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОТКРЫТЫХ СИСТЕМАХ	125
Как показано в приложении 7В, вейлевский символ оператора можно записать в виде
G.3.45)
Из приведенных выше формул ясно, что функция распределения f(z,z*;t) и вейлев-
вейлевский символ статистического оператора пропорциональны друг другу:
f(z,z*;t) = v-1(es(t))w(z,z*).	G.3.46)
Вейлевские символы операторов обладают многими полезными свойствами, которые,
в силу соотношения G.3.46), автоматически переносятся на функцию распределения
квазивероятностей.
Чтобы вывести уравнение эволюции для /(?,?*;?), умножим слева операторное
уравнение G.3.32) на 5W, а затем вычислим след. Далее нужно записать выражения
типа Tr{Sw(b — z) btf gs} через f(z,z*;t). Задача сводится к вычислению вейлевских
символов произведений операторов. Имеются простые правила, которые позволяют
найти вейлевский символ произведения операторов АВ, если символы самих опера-
операторов А и В известны1). В данном случае требуется знать лишь вейлевские символы
операторов ^ и 6, поскольку символ статистического оператора gs пропорционален
f(z,z*;t). Используя соотношения G.3.44) и G.3.45), нетрудно показать, что
(tf)w(z,z*) = z*, (b)w(z,z*) = z.	G.3.47)
Итак, остается вычислить вейлевские символы всех операторов в уравнении G.3.32).
Процедура вычисления подробно описана в приложении 7В. Мы приведем оконча-
окончательное уравнение для функции распределения квазивероятностей. Оно называется
квантовым уравнением Фоккера-Планка и имеет вид
М)??? G-3-48)
где производные по комплексным переменным z — zl-\-iz2 и z* = z1 — iz2 определяются
как
°—l(-L-i±)	-L-l(-L + i±.\	G349)
dz~2\dZl dzj' dz*~2\dZl dzj-	[ >
Чтобы представить себе качественную картину процесса, который описывается кванто-
квантовым уравнением Фоккера-Планка, получим из него два простых уравнения эволюции.
Сначала выведем уравнение для усредненной амплитуды
(ЬУ= f zf(z,z*;t)d2z.	G.3.50)
С этой целью умножим G.3.48) на z, а затем проинтегрируем по z1 и z2. Предполагая,
что / -> 0 при \z\2 -> оо, получаем
>)*.	G.3.51)
dt
Отсюда ясно, что 7 играет роль константы затухания осциллятора. Легко также вы-
вывести уравнение для среднего числа квантов возбуждения осциллятора n(t) =
Ч Эти правила сформулированы в приложении 7В.

126	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
дифференцируя выражение G.3.43) по времени, а затем исключая производную df/dt
с помощью G.3.48). После простых преобразований (см. задачу 7.15) приходим к урав-
уравнению
Итак, мы видим, что уравнение G.3.48) описывает релаксацию осциллятора к состоя-
состоянию теплового равновесия.
Полученное нами уравнение G.3.48) для функции распределения квазивероятно-
квазивероятностей квантового осциллятора в термостате представляет собой частный случай обще-
общего уравнения Фоккера-Планка, которое широко используется в самых разных обла-
областях естествознания. Методы решения уравнения Фоккера-Планка и его приложения
подробно рассматриваются, например, в книге Рискена [146]. В некоторых случаях
уравнение Фоккера-Планка удается решить аналитически. Именно так обстоит дело с
уравнением G.3.48).
Прежде чем перейти к обсуждению аналитического решения уравнения G.3.48),
запишем это уравнение в несколько иной форме. Введем статистический оператор
Qs(t)=eitH'hQs(t)e-itH'h,	G.3.53)
где
G.3.54)
— гамильтониан осциллятора с перенормированной частотой ш. Очевидно, что среднее
значение любой динамической переменной Л, построенной из операторов рождения и
уничтожения, можно записать в виде
(А)* = Tr [Ags(t)] = Tr [A(t)Qs(t)].	G.3.55)
где A(t) = exp{itН/Н} A exp{-iiН/Н} — оператор в представлении Гайзенберга с га-
гамильтонианом G.3.54). Легко убедиться, что gs(t) удовлетворяет тому же самому
основному кинетическому уравнению G.3.32), но без второго члена в левой части.
Введем теперь новую функцию распределения
f(z,z';t)=Tr[gs(t)Sw(b-z)].	G.3.56)
Ясно, что она удовлетворяет уравнению G.3.48) с ш = 0. С помощью соотноше-
соотношений G.3.49) в уравнении Фоккера-Планка для f(z,z*;t) можно перейти к действи-
действительным переменным z1 и z2. После простых преобразований приходим к уравнению
Фоккера-Планка, записанному в стандартной форме:
Ih^^S^'».	G-3.57)
Величины vi принято называть коэффициентами дрейфа, а величины D- — коэффи-
коэффициентами диффузии. В нашем случае они даются формулами
у	G.3.58)
Как известно из математики, решение линейного уравнения G.3.57) с начальным
условием f(z,z*;0) можно записать как
f(z,z*;t) = JG(z,u;t)f(u,u*;0)d2u,	G.3.59)

7.4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЛАЗЕРАХ	127
где G(z,u;t) — функция Грина для уравнения Фоккера-Планка. В случае, когда для
коэффициентов дрейфа и диффузии справедливы выражения G.3.58), функция Грина
находится в явном виде [31, 86]:
где
p(t) = exp{-jt}.	G.3.61)
Предлагаем читателю самостоятельно убедиться, что функция G.3.59) действительно
удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка G.3.57), а при t —> оо и для любого началь-
начального условия f(z,z*;0) переходит в
1
12
т. е. в равновесную функцию распределения квазивероятностей для квантового осцил-
осциллятора.
7.4. Кинетические процессы в лазерах
Одной из важных областей приложения теории открытых систем является кванто-
квантовая оптика. В этом параграфе мы применим метод основных кинетических уравнений
к описанию процесса лазерной генерации. По физике лазеров имеется обширная ли-
литература1), поэтому для иллюстрации общей теории мы ограничимся простой, но до-
достаточно реалистической моделью лазера, которая может быть исследована на вполне
строгом уровне.
7.4.1. Одномодовый лазер. Рассмотрим кинетические процессы в одно-
модовом лазере на двухуровневых активных атомах. В данном случае мы имеем дело с
открытой системой, описываемой гамильтонианом G.3.2), где Нs — гамильтониан двух
динамических подсистем: поля излучения и активных атомов. Оператор Н' описывает
взаимодействие этих подсистем с соответствующими термостатами. Гамильтониан Hs,
в свою очередь, может быть записан как сумма
Hs = Hf + HA + HfA.	G.4.1)
Здесь Нj — гамильтониан поля излучения, Нл — гамильтониан подсистемы активных
атомов, а Н^л — гамильтониан взаимодействия между атомами и полем излучения.
Поскольку в модели одномодового лазера поле излучения может рассматриваться
как осциллятор в оптическом диапазоне частот, имеем
Hf = huj^b]b,	G.4.2)
где Uq — частота осциллятора в отсутствие всех взаимодействий, Ь^ и b — бозе-
операторы. Для простоты будем считать, что активные атомы не взаимодействуют
Ч Читателям, заинтересованным в более углубленном изучении физики лазеров, рекомендуем обра-
обратиться к книге Хакена [79] и специальной литературе. Некоторые математические аспекты теории
лазеров рассматриваются, например, в книге [146].

128	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
непосредственно между собой. Тогда слагаемое НА в G.4.1) записывается как
a	G.4.3)
а
с суммированием по индексам а всех активных атомов. Явный вид оператора На зави-
зависит от модели, выбранной для описания активного атома. Мы ограничимся двухуров-
двухуровневой моделью с базисными состояниями |1о) и |2о), схематически изображенными
на рис. 7.1.
Щ,
\2а)
\1а)
Рис. 7.1. Базисные состояния активных атомов в двухуровневой модели. Через Оо
обозначена частота перехода в отсутствие взаимодействия атомов с полем
Удобно представить эти состояния в виде векторов-столбцов
•	G.4.4)
Тогда динамику а-го активного атома можно описать с помощью "спиновых" операто-
операторов
«л- "-"-Л- о): '--Л' -0.- G"-5)
В дальнейшем вместо оха и ova будет удобнее использовать операторы
G.4.6)
\	/a
удовлетворяющие коммутационным соотношениям
0
а	\
Ьв . *e] = =F а*, [а+, а"] = 2а2.	G.4.7)
Приведем также полезные соотношения
<^e=5-ffa>	ot<rZ = \ + <	G-4-8)
и отметим, что операторы а^ и сг^ действуют на базисные состояния как
|	о-+|2о> = 0,	ff-|2o) = |lo).	G.4.9)
В представлении с базисными состояниями |1о) и |2о) гамильтониан a-го активного
атома записывается в простой форме
G.4.10)
где По — частота перехода (см. рис. 7.1).

7.4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЛАЗЕРАХ	129
Обратимся теперь к гамильтониану взаимодействия между полем излучения и ак-
активными атомами, который мы обозначили Н^А. В рамках рассматриваемой модели
этот гамильтониан должен описывать переходы между состояниями атомов с излуче-
излучением или поглощением фотонов. Возьмем для него выражение
HfA = Е Я/« = Е (Я* < Ь + 9l °a bf) ,	G-4.11)
а	а
которое в литературе принято называть гамильтонианом Дикке. Для простоты будем
считать, что полевая мода имеет форму бегущей волны. Тогда амплитуды взаимодей-
взаимодействия да в G.4.11) различаются только фазами, т.е.
да=де^-,	G.4.12)
где д можно считать действительным числом.
Рассмотрим, наконец, оператор Я', который описывает взаимодействие излучения
и активных атомов с другими степенями свободы полной системы:
H' = H'f + H'A,	G.4.13)
где слагаемые Н'^ и Н'А относятся, соответственно, к излучению и атомам. В простей-
простейшей модели лазера остальные степени свободы полной системы рассматриваются как
некие резервуары энергии (термостаты). Считается, что состояние каждого резервуара
является стационарным, но не обязательно равновесным1). Явная форма гамильтони-
гамильтониана резервуаров нам не понадобится. Будем лишь предполагать, что все резервуары
статистически независимы. Иначе говоря, их полный статистический оператор имеет
вид произведения
(PX[(b\	G-4-14)
в котором Qq и Qq — статистические операторы резервуаров, взаимодействующих с
полем излучения и о-м активным атомом.
Остается задать явный вид гамильтонианов взаимодействия Н'± и Н'А в G.4.13).
Для поля излучения воспользуемся моделью линейного затухания, рассмотренной в
разделе 7.3.3. Тогда
H'f = bl + tfl\	G.4.15)
где / — некоторый оператор, действующий на волновые функции резервуара. Взаимо-
Взаимодействие активных атомов с их резервуарами описывается оператором
-Я-+ « + <«),	G.4.16)
причем (R~)^ = R^ и (Rffi = Rzai поскольку оператор взаимодействия должен быть
эрмитовым. Без ограничения общности можно считать, что операторы резервуаров
удовлетворяют соотношениям
{R±)B = (Rza)B = 0.	G.4.17)
Ч Ниже мы увидим, что состояние резервуаров, взаимодействующих с активными атомами, должно
быть далеким от равновесия.

130	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Заметим, что процессы, описываемые гамильтонианом G.4.16), имеют простой физи-
физический смысл. Слагаемые с К^ соответствуют безызлучательным переходам активных
атомов, а слагаемые с Rza описывают модуляцию частоты перехода, обусловленную вли-
влиянием резервуара. Как и в G.4.15), предполагается, что все константы взаимодействия
включены в операторы резервуара.
7.4.2. Основное кинетическое уравнение для подсистемы поля
и атомов. Теперь, в принципе, все готово, чтобы вывести основное кинетическое
уравнение для подсистемы E), состоящей из поля излучения и активных атомов. Од-
Однако даже для описанной выше упрощенной модели лазера точное уравнение G.3.15)
оказывается слишком сложным, чтобы его можно было решить; поэтому придется по-
поискать подходящие приближения.
Во-первых, предположим, что взаимодействие поля излучения и активных атомов
со своими резервуарами является слабым и может быть учтено по теории возмуще-
возмущений, как это делалось в разделе 7.3.2. Фактически наше предположение означает, что
соответствующие времена релаксации поля (т^) и атомов (та) достаточно велики, т.е.
TjLJq ^> 1 и таПо ^> 1. Для реальных лазеров с очень высокой добротностью резонаторов
эти условия всегда выполняются.
Во-вторых, будем пренебрегать влиянием взаимодействия между полем и атомами
на релаксационные процессы, обусловленные взаимодействием с резервуарами. Как
видно из G.4.11), такое приближение предполагает, что константы взаимодействия да
и число фотонов в лазерном резонаторе достаточно малы. Следовательно, его нельзя
использовать в случае очень больших амплитуд поля излучения.
В силу сделанных предположений мы можем воспользоваться непосредственно
уравнением G.3.20), которое соответствует приближению слабого взаимодействия. С
помощью выражений G.4.13) и G.4.14) для гамильтониана взаимодействия и статисти-
статистического оператора термостата приводим основное кинетическое уравнение к виду
где для краткости статистический оператор подсистемы поля и атомов обозначен про-
просто как д = g(t). Стоящие в правой части члены (dg/ dt) , и (dg/ dt)a представляют
собой вклады от взаимодействия поля и а-го атома с соответствующими резервуарами.
Выпишем их в развернутой форме:
оо
(	)} G.4.19)
G-4-20)
Напомним, что мы пренебрегаем влиянием взаимодействия между полем и атомами
на процессы релаксации, обусловленные резервуарами. Это позволяет записать гайзен-

7.4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЛАЗЕРАХ	131
берговские операторы Hf(tr) и H'a(t') как
H'f{t') = е"^' bl{t') + ^^' b]l\t'),	G.4.21)
H'a(t') = e-«V' a- R-(t') + e^' а+ ц+tf) + ^ д* (^	G.4.22)
где учтено, что временная зависимость операторов поля и атомов определяется га-
гамильтонианами G.4.2) и G.4.10). Подстановка этих выражений в формулы G.4.19)
и G.4.20) позволяет исключить переменные резервуаров. Соответствующие выкладки
проводятся совершенно аналогично выкладкам из раздела 7.3.3, поэтому оставляем их
читателю в качестве упражнения. Для простоты будем считать, что статистический
оператор полевого резервуара дв соответствует состоянию теплового равновесия при
температуре Т^. В таком случае выражение G.4.19) приводится к виду [ср. G.3.32)]
j
G.4.23)
где сдвиг частоты До; определяется выражением G.3.26), а п0 — среднее число фотонов
при температуре Т^. Для константы релаксации 7 получается выражение G.3.31) с
При вычислении вклада от взаимодействия атомов с резервуарами [см. G.4.20)]
оставим только корреляционные функции (R~R^(t'))B и (R^(t')R~)B, описывающие
"резонансное" взаимодействие между активными атомами и резервуарами. Тогда вы-
выражение G.4.20) сводится к
Величина АП определяется как
/	0	v
Аи = -1 Im( I Ле(^)' ({R-Rt(t) + Я+(*)R~))B J	G.4.25)
^—СЮ	'
и представляет собой поправку к частоте атомного перехода. Остальные три параметра
в G.4.24) даются формулами
0	v
|	G.4.26)
G.4.27)
G.4.28)

132	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Их физический смысл мы обсудим в следующем разделе.
Подстановка выражений G.4.23) и G.4.24) в G.4.18) приводит к основному кинети-
кинетическому уравнению для статистического оператора подсистемы поля и атомов. Чтобы
представить это уравнение в компактной форме, введем "операторы Лиувилля" Lp La
и L^a, которые действуют на д согласно правилам
iLfg = -iw [g,tfb],	G.4.29)
iLaQ = -iSl[Q,<Tza],	G.4.30)
iLfaQ=[e,Hfa]/ih,	G.4.31)
где введены перенормированные частоты ш = о;0 + До; и П = По + ДП, а также релак-
релаксационные операторы Л^ иЛа, действие которых определяется соотношениями
AfQ= |7{n0 (btfg-itfgb + gbtf) + (n0 +1)[tfbg-2bgb] + gtfb)},	G.4.32)
В новых обозначениях уравнение G.4.18) записывается как
H- G-434)
7.4.3. Параметр накачки. Прежде чем приступить к детальному анализу
уравнения G.4.34), кратко обсудим физический смысл параметров 7^, 7^ и 7_и которые
определены формулами G.4.26) - G.4.28).
Предположим на минуту, что эволюция активных атомов описывается только опе-
операторами G.4.30) и G.4.33), т.е. каждый активный атом взаимодействует только со
своим резервуаром. Тогда уравнение для статистического оператора ga(t) атома при-
принимает вид
(<) =0.	G.4.35)
Преобразуем его в систему уравнений для матричных элементов
<&,(«) = (ja\Qa(t)\j'a) (j, j1 = 1, 2)	G.4.36)
в представлении с базисными состояниями G.4.4). С помощью формул G.4.30) и G.4.33)
нетрудно проверить, что для любой матрицы А--,
Ап А12 \_( 0 -гпА12
\2l A22 J у iuA21
Aa\ A21 A22 l~'	*. A..	-* A ..-L^ А Ь	\<А.дй)

7.4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЛАЗЕРАХ	133
поэтому вычисление матричных элементов уравнения G.4.35) дает
().
G 4 39)
dt	V dt
Из этих уравнений видно, что релаксационная константа 7^ определяет скорость пере-
переходов из основного состояния атома 11о) в возбужденное состояние 12а) под действием
резервуара. С другой стороны, релаксационная константа 7^ определяет скорость зату-
затухания возбужденного состояния. Наконец, член с так называемой константой попереч-
поперечной релаксации 7_l описывает затухание квантовой когерентности между различными
квантовыми состояниями атома.
Рассмотрим теперь стационарное решение уравнения G.4.39), которое играет важ-
важную роль в объяснении лазерного эффекта. Положив равными нулю производные по
времени и учитывая условие нормировки д^г + д%2 = 1, находим элементы стационарной
матрицы плотности для активных атомов
011 = —, Й2 = —. 012 = 021=0,	G.4.40)
7Н	Т||
где
G-4.41)
— константа продольной релаксации. Величина
А0 = ва22-дап = ^^	G.4.42)
называется параметром накачки1). Для возникновения лазерного эффекта большин-
большинство активных атомов должно быть переведено в возбужденное квантовое состояние
12а) (см. рис. 7.1). Разумеется, это налагает ограничения на состояние резервуаров, вза-
взаимодействующих с активными атомами. Предположим, что состояние атомных резер-
резервуаров характеризуется некоторой температурой Та. В таком случае параметр накачки
легко вычислить в явном виде. Воспользуемся для этого спектральным представлением
временных корреляционных функций, входящих в G.4.26) и G.4.27):
оо	оо
(R-Rt(t))B= J ^J(w)e-^, {R+a(t)R-a)B= j ^J^e^e--', G.4.43)
—oo	—оо
где J(m) — соответствующая спектральная плотность. Подставим эти выражения
в G.4.26) и G.4.27). Интегралы по и и t легко вычисляются и в результате получа-
получаем
^	^.	G.4.44)
Ч Иногда в литературе параметром накачки называется разность средних значений числа атомов в
возбужденном и основном состояниях. В наших обозначениях эта величина записывается как А^Л0,
где TV — полное число активных атомов в резонаторе.

134	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Таким образом параметр накачки G.4.42) принимает вид
Мы видим, что он положителен, если температура атомных резервуаров отрицатель-
отрицательна. Хорошо известно, что состояние с отрицательной температурой неустойчиво и мо-
может быть реализовано только в открытой системе благодаря потоку энергии от других
неравновесных систем1).
7.4.4. Атомные корреляции в лазере. Вернемся к основному кинети-
кинетическому уравнению G.4.34). Вообще говоря, основной интерес представляет не сам
статистический оператор д, а статистический оператор поля излучения gf, который
получается из д в результате вычисления следа по квантовым состояниям всех актив-
активных атомов:
gf(t) = Tr Ag(t).	G.4.46)
Однако из-за взаимодействия между полем излучения и активными атомами, опи-
описываемого операторами iLfa, мы не можем получить замкнутое уравнение для gf
непосредственно из уравнения G.4.34). Поэтому приходится рассматривать цепочку
уравнений для gf и приведенных матриц плотности [33]
ga(t) = Tr;ug(t), gfa(t) = Tr^g(t), gfab(t) = Truhg(t) и т.д., G.4.47)
где подчеркнутые нижние индексы указывают, что след не берется по состояниям дан-
данного атома. Выпишем несколько уравнений цепочки, которая получается из уравне-
уравнения G.4.34):
G.4.48)
G.4.49)
gfab\.	G.4.50)
dt
Ьфа
Как видно из уравнения G.4.50), взаимодействие порождает корреляции между ато-
атомами, которые удобно описывать с помощью корреляционных матриц G. Они опреде-
определяются соотношениями
gab = Gab + да дь,	G.4.51)
gfab = gfab + gf gab + Qa gfb + ^gfa + gf ga gb ^ _ _ _ _
Ч В реальных лазерах неравновесное стационарное состояние активных атомов обеспечивается на-
накачкой.

7.4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЛАЗЕРАХ	135
Из цепочки уравнений для приведенных матриц плотности G.4.47) можно вывести
цепочку для корреляционных матриц. В частности, из уравнений G.4.48) - G.4.51)
получаем
Ьфа
G.4.52)
где введено следующее обозначение:
iCfa = (l-QfTrf-gaTra)iLfa.	G.4.53)
Уравнение G.4.52) содержит матрицу плотности gfab(t), которая в свою очередь вы-
выражается через корреляционную матрицу G^ab(t). Оборвем цепочку на уровне корре-
корреляционной матрицы G^a(t), описывающей взаимодействие между полем излучения и
данным атомом. Обрыв цепочки осуществляется приближенным представлением двух-
двухатомной матрицы плотности gfab(t) в виде
Qfab(t)*Qa{t)Q*b(t).	G.4.54)
Иначе говоря, в уравнении G.4.52) мы пренебрегаем последним членом1). В рамках
этого приближения получаем замкнутую систему уравнений
^ = - (iLf+\f) ef - ?Тгй {iLfa (<? V + О?а)},	G.4.55)
(efea + Gta)},	G.4.56)
л,	\v^a ' а) с
GJ —i?fagJ g .	G.4.57)
Несмотря на то, что осталось всего три оператора вместо практически бесконечной
последовательности корреляционных матриц в исходной цепочке уравнений, получить
общее решение нелинейных уравнений G.4.55) - G.4.57) не удается. Ситуация несколь-
несколько упрощается в стационарном случае, когда операторы gf, ga и Gaf не зависят от вре-
времени. Некоторые важные свойства стационарного решения уравнений G.4.55) - G.4.57)
были рассмотрены в работе Покровского [33]. Мы не будем повторять здесь довольно
громоздкие построения из этой работы. Более поучительно будет показать, как из опе-
операторных уравнений G.4.55) - G.4.57) получается уравнение Фоккера-Планка для поля
излучения.
7.4.5. Уравнение Фоккера-Планка для лазера. Примем следующие
допущения, типичные в теории лазеров:
1. Будем считать, что поле излучения находится в резонансе с атомными пере-
переходами, т.е. ш = П. Это позволяет исключить операторы Lf и La, воспользовавшись
Ч Величину этого члена можно оценить как 7/Лпор, где Лпор — значение параметра накачки на
пороге лазерной генерации [33]. Поскольку величина первого члена в правой части уравнения G.4.52)
может быть оценена как тах{7^,7м}? Т0 приближение G.4.54) вполне оправдано при условии, что
^пор ^ 7V7_l и* Эт0 условие выполняется, если число активных атомов в резонаторе не слишком
велико.

136	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
представлением взаимодействия для матриц плотности. Записав
gf(t) = e~itLf
нетрудно убедиться, что g^(t), ga(t) и G^a(t) удовлетворяют той же самой системе
уравнений G.4.55) - G.4.57), где отсутствуют операторы свободной эволюции1).
2. Обычно константа релаксации поля 7 много меньше постоянных затухания
атомных возбуждений j± и 7ц- Поэтому в уравнении G.4.57) пренебрежем релакса-
релаксационным оператором Л^. Отметим также, что на шкале времени с характерным интер-
интервалом At, который удовлетворяет условиям At^ j± и At^> 7ц, производные дда/dt
и dG^a I dt в уравнениях G.4.56) и G.4.57) можно положить равными нулю. Как мы
увидим, это адиабатическое приближение позволяет вывести марковское уравнение
для матрицы плотности поля.
На основании сделанных предположений уравнения G.4.55) - G.4.57) записываются
в представлении взаимодействия как
Jl+^f) Qf = -ЕТгЛ^/<Уа}>	G-4-59)
G.4.60)
fgf\	G.4.61)
где знак тильды опущен для краткости, корреляционная матрица G^a выражена через
матрицу плотности д?а и использовано соотношение G.4.53). На будущее отметим,
что матрицы плотности gf, да и д?а не являются совершенно независимыми, так как
выполняются условия
gf=Tragf\ ga = Trfgf\	G.4.62)
которые следуют из определения этих матриц.
Задача состоит в том, чтобы с помощью уравнений G.4.60) и G.4.61) выразить пра-
правую часть G.4.59) через матрицу плотности поля. На первый взгляд уравнения G.4.60)
и G.4.61) кажутся довольно простыми, но в действительности мы имеем дело с опера-
операторными уравнениями, которые приводят к бесконечной системе уравнений для ма-
матричных элементов в обычном "осцилляторном" представлении для поля излучения.
Рассмотрим структуру gfa(t) по отношению к атомным состояниям. Введем ма-
матричные элементы
<?#(*) = Ме/о(*IА> (i,i' = 1,2),	G.4.63)
которые одновременно являются операторами по отношению к полевой подсистеме.
Особый интерес представляет оператор iL^ag^a = [д^а,Н^а] /ih. Его матричную фор-
Ч В случае резонанса оператор L , не меняет своего вида при переходе к представлению взаимодей-

7.4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЛАЗЕРАХ	137
му можно найти с помощью явного выражения G.4.11) для гамильтониана взаимодей-
взаимодействия Нja. Соответствующие преобразования приводят к
Теперь легко проверить, что оператор, входящий в правую часть уравнения G.4.59),
можно записать в таком виде:
Tra{iLfagfa} = 1 Eа [д{«,Ъ] +д*а [<??,&*]) .	G.4.65)
Ha этом этапе удобно перейти к представлению когерентных состояний для всех
операторов, связанных с полевой подсистемой. Во-первых, введем функцию распреде-
распределения квазивероятностей Ч
G.4.66)
где {gf)w — вейлевский символ матрицы плотности поля излучения, а операторная
дельта-функция определяется выражением G.3.39). Напомним читателю, что в дан-
данном случае функция распределения G.4.66) соответствует матрице плотности поля
излучения в представлении взаимодействия. Следуя общей процедуре, описанной в
приложении 7В, определим также вейлевские символы (qjji)w{z,z*]i) матриц плот-
плотности G.4.63). После этого G.4.59) можно преобразовать в уравнение для f(z,z*;t).
Что касается левой части уравнения G.4.59), то ее преобразование фактически
уже было проведено в разделе 7.3.4, где рассматривалось уравнение Фоккера-Планка
для квантового осциллятора с затуханием. В частности, преобразованный оператор
(—A^gf) совпадает с правой частью уравнения G.3.48), если там положить ш = 0. Для
преобразования правой части уравнения G.4.59) следует воспользоваться выражени-
выражением G.4.65) и правилами вычисления вейлевского символа произведения АВ [см. фор-
формулы GВ.26) и GВ.27) в приложении 7В]. Простые выкладки оставим читателю в ка-
качестве упражнения и выпишем получающееся уравнение для функции распределения
квазивероятностей:
d2f
dz*dz
Итак, задача свелась к тому, чтобы выразить вейлевские символы операторов q\^ и
qt^ через функцию распределения f{z1z*]iI используя уравнения G.4.60) и G.4.61).
Анализ этих уравнений (см. приложение 7Г) показывает, что точные выражения будут
содержать производные функции распределения по z и z* произвольных порядков, в то
время как в случае квантового затухающего осциллятора уравнение Фоккера-Планка
Ч Свойства функции распределения квазивероятностей для осциллятора уже обсуждались в разде-
разделе 7.3.4. Представление когерентных состояний для операторов рассматриваются в приложении 7В.

138
ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
содержало лишь члены с производными первого и второго порядков. Отметим, однако,
что во многих задачах теории лазеров поле излучение можно описывать в квазикласси-
квазиклассическом приближении. Благодаря тому, что в резонаторе имеется большое количество
фотонов, достаточно знать функцию распределения f(z,z*;t) для \z\ ^> 1. В этой обла-
области дифференциальные операторы д/dz и d/dz*, действующие на функцию распреде-
распределения, можно рассматривать как малые возмущения "операторов" z и z*. Иначе говоря,
уравнения G.4.60) и G.4.61), записанные для {q{2)w и {q{i)wi можно решать методом
последовательных приближений по производным функции распределения. Подробно-
Подробности этой процедуры изложены в приложении 7Г. Здесь мы приведем окончательное
уравнение для / с точностью до вторых производных:
dt
__
dx
д
дх
dx
G.4.68)
Чтобы обсудить роль различных членов этого уравнения, мы ввели новую комплекс-
комплексную переменную
где g = \ga\ — амплитуда взаимодействия1).
Уравнение G.4.68) напоминает квантовое уравнение Фоккера-Планка для затуха-
затухающего осциллятора, но является гораздо более сложным. Для коэффициента дрейфа
v и коэффициента диффузии D имеем теперь выражения
An 1
v = ~2'yx\ 1~"
D
= ^7{7
1 + -
1-
АА0
Здесь введены параметры
пор
- 7
G.4.70)
G.4.71)
G.4.72)
G.4.73)
и величина
G-4.74)
которая представляет собой инверсную населенность уровней активных атомов2).
Уравнение G.4.68) содержит также дополнительные члены с комплексным коэффи-
коэффициентом диффузии
Q(x,x*) = -
1
8Дпор1 +
1 +
1 + 1 ж
G.4.75)
Ч Поскольку амплитуда взаимодействия \да\ в гамильтониане G.4.11) пропорциональна 1/V~N, ясно,
что Zq ~ y/~N. Следовательно, значения |ж| и 1 соответствуют макроскопическому числу фотонов.
2) Заметим, что A(t) = (N2(t) — N^t)) /N, где N^t) и N2(t) — средние числа атомов в квантовых
состояниях |1) и |2). Как показано в приложении 7Г, в хорошем приближении инверсную населенность
можно записать как Д(?) = Ао/A-\-n(t)/Zq), где n(t) — среднее число фотонов в резонаторе лазера.

7.4. КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ЛАЗЕРАХ	139
Как и в случае квантового затухающего осциллятора (см. раздел 7.3.4), уравне-
уравнение G.4.68) легко записать в действительных переменных хг и х2, определяемых
соотношением х = х1-\-гх2-
Для иллюстрации основных свойств лазерного уравнения Фоккера-Планка G.4.68)
предположим, что функция распределения зависит только от г\ — |ж|2 = \z\2/z0, т. е. фа-
фаза поля излучения остается неопределенной1). В этом случае удобно выбрать условие
нормировки для соответствующей функции распределения f(rj;t) в виде
G.4.76)
Формулу G.3.41) для средних нетрудно преобразовать, если вспомнить условие норми-
нормировки G.3.40) для исходной функции распределения f(z, z*\ i) 2). В частности, основное
соотношение G.3.43) для среднего числа фотонов теперь записывается как
G.4.77)
В рамках сделанного предположения G.4.68) приводится к более простому уравне-
уравнению (см. задачу 7.20)
g »(8Й + Ш»?	G.4.7S)
dt drj	2 дт] drj
с коэффициентами дрейфа и диффузии
)	„,79)
Рассмотрим стационарное решение уравнения G.4.78), которое описывает лазерное
излучение при заданном значении параметра накачки3). Уравнение для стационарной
функции распределения /st(//) можно записать в виде
\^^-=O.	G.4.81)
Вообще говоря, правая часть этого уравнения равна некоторой константе С, предста-
представляющей собой поток вероятности в стационарном состоянии. В нашем случае этот
поток не имеет физического смысла, поэтому полагаем G = 0.
Ч Отметим, что стационарное решение уравнения G.4.68) не зависит от фазы переменной z.
2)	Записав интеграл в G.3.40) в полярных координатах г и </>, с учетом очевидных соотношений
z = гехр(г</>), d2z = rdrAф и г2 = \z\2 = z2rj находим, что во всех формулах переход от f(z,z*;t) к
f(r)\t) осуществляется путем замены f(z,z*;t) —>¦ /KZ2f{r)\t).
3)	Переходный режим подробно рассматривается, например, в книге [146] (см. также работу [141], где
учитываются эффекты "насыщения").

140	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Из выражений G.4.79) и G.4.80) следует, что D/v ~ т/7- С другой стороны, из
формулы G.4.73) видно, что j/j = 1/zq. Поскольку z\ ~ TV и TV ^> 1, диффузионный
член в уравнении G.4.81) пропорционален малому параметру 7/7 ~ N-1. Это означает,
что стационарная функция распределения имеет острый пик вблизи r\ — rjm, где rjm
находится из условия
v(rim) = 0.	G.4.82)
В зависимости от значения параметра накачки Ао, можно выделить два различных
режима. Если Ао < Апор, то из выражения G.4.79) для коэффициента дрейфа получаем
т\т — 0. Этот режим соответствует слабому возбуждению поля излучения. В случае
Ао > Апор существует и другое решение
Цт = ^-\.	G.4.83)
Оно соответствует ситуации, когда среднее число фотонов
G-4.84)
пропорционально числу активных атомов TV, т.е. становится макроскопической вели-
величиной. Таким образом, Апор есть пороговое значение параметра накачки для возникно-
возникновения когерентного лазерного излучения с макроскопической амплитудой1). Подобное
поведение поля излучения в лазере представляет собой пример так называемого явле-
явления самоорганизации в неравновесных системах [78].
В окрестности значения г\ — г\т решение уравнения G.4.81) выше порога в доста-
достаточно хорошем приближении можно представить в виде (см. задачу 7.21)
Ш = Се-("-"™J/2«2	G.4.85)
с нормировочной константой С и дисперсией
(^)|}	G-4.86)
пор
где z0 дается формулой G.4.69). Поскольку z0 ~ y/N^ ясно, что относительная средне-
среднеквадратичная флуктуация числа фотонов [п2 — n2t] /nst = [rj2 —//^] /r/m, вычис-
вычисленная с функцией распределения G.4.85), пропорциональна l/y/~N, т.е. очень мала,
за исключением непосредственной окрестности порога, где средняя флуктуация может
иметь тот же порядок величины, что и nst.
Приложения к главе 7
7А. Оператор производства энтропии в теории горячих электронов
Покажем, что в первом приближении оператор производства энтропии может быть
представлен в форме G.1.74). С этой целью запишем оператор энтропии G.1.73) в
Ч Из формулы G.4.83) видно, что rjm —>¦ 0 при Ао —>¦ Дпор. Следовательно, в непосредственной окрест-
окрестности порога приведенные рассуждения несправедливы. Подробный анализ этой ситуации [146] пока-
показывает, что среднее число фотонов ппор вблизи порога много больше единицы, но много меньше N.
Типичные значения лежат в области ппор и 103.

Приложения к главе 7	141
сокращенных обозначениях:
где базисными динамическими переменными Рт и сопряженными параметрами Fm(t)
являются
m} = {He,Pe,Ne,Hp + H'},	GA.2)
22),f3}.	GA.3)
С помощью термодинамических соотношений <9Ф(?)/'dFm(t) = —{Рт)г для оператора
производства энтропии G.1.11) получаем выражение
^ ^(Pm)')+^Fm(i)Pm.	GA.4)
т	т
Заметим теперь, что уравнения движения G.1.66) и G.1.67) для базисных переменных
можно записать в виде
YrnnPn + Jm,	GA.5)
где матрица Птп зависит от поля, a Jm — операторы потоков. Из уравнений G.1.66)
и G.1.67) видно, что часть элементов матрицы ?1тп и некоторые из операторы потоков
равны нулю.
С учетом того, что Fm(t) = dS(t)/'д{Рт)г, где S(t) = (#(?))* — неравновесная эн-
энтропия, преобразуем производные параметров Fm(t) по времени:
GА.6)
где были использованы уравнения движения GА.5). Члены с Slni можно записать
в более простом виде с помощью очевидного соотношения ([S,H])q = 0. Поскольку
(Jm)q = 0 [см. G.1.70)], это соотношение совместно с формулой GА.1) и уравнения-
уравнениями GА.5) дает
Х>»П»/(^> = 0.	GA.7)
71,1
Дифференцируя по (Рш), находим, что
f) F
^^^^Е^П	GА.8)
Подставив это выражение в GА.6), получаем
f) F
7ujrs	GA.9)
Теперь оператор производства энтропии GА.4) записывается как
GА-10)

142	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
где Ag(t) = g{t) — Qq(t). Из полученного выражения можно сделать несколько важных
выводов:
1)	Интегральный член в неравновесном статистическом операторе G.1.10) для го-
горячих электронов имеет по крайней мере первый порядок по взаимодействию Я';
2)	Члены в уравнениях движения GА.5), зависящие от поля, не дают вклада в
оператор производства энтропии;
3)	Если в уравнениях баланса G.1.71) и G.1.72) ограничиться членами второго
порядка по взаимодействию Я', то для оператора производства энтропии можно взять
выражение
которое совпадает с G.1.74).
7Б. Представление когерентных состояний
Свойства когерентных состояний мы обсудим на простейшем примере системы с
одной степенью свободы. Обобщение на произвольную бозе-систему не представляет
особых затруднений и будет дано позже.
Основными операторами для системы с одной степенью свободы являются опера-
операторы координаты q и импульса р. Они удовлетворяют коммутационному соотношению
[q,p] = ihl	GБ.1)
с единичным оператором в правой части. Часто бывает удобнее иметь дело с операто-
операторами рождения и уничтожения, построенными по следующим правилам:
b = Bh)-1'2(q + ip), b^ = BH)-1/2(q-ip).	GБ.2)
С помощью GБ.1) легко убедиться, что b и Ь^ удовлетворяют коммутационному соот-
соотношению Ч
[Mf]=T.	GБ.З)
Полный ортонормированный базис {|п)} в представлении чисел заполнения обра-
образуется состояниями
0) (п = 0,1,2,...),	GБ.4)
где 10) — так называемое вакуумное состояние со свойствами
Ь|0) = 0, @|0) = 1.	GБ.5)
Когерентное состояние \z) характеризуется комплексным числом z = z1-\-iz2 и
может быть представлено в форме [31]
|*> = ВД|0),	GБ.6)
Ч Поскольку последующий анализ основывается, фактически, на коммутационном соотношении
GБ.З), ясно, что представление когерентных состояний может также быть введено для любой системы
квазичастиц, подчиняющейся статистике Бозе.

Приложения к главе 7	143
где унитарный оператор D(z) определяется как
D{z) = ezb*-Z*b.	GБ.7)
С помощью тождества Вейля
елев = е1[л,в]е(л+в);	GБ8)
которое справедливо для операторов А и В, удовлетворяющих условиям [А, [А, В]] =
[В, [А, В]] = 0, из GБ.7) легко получить другие формулы для оператора D(z):
D(z) = e-W2/2ezb\-z'b,	GБ.9)
D(z) = e^2/2e-z'bezb\	GБ.10)
Они различаются порядком расположения операторов b и Ь\ Выражение GБ.9), в
котором операторы уничтожения стоят справа от операторов рождения, соответству-
соответствуют нормальному упорядочению, а выражение GБ.10) соответствует антинормальному
упорядочению1).
Из формул GБ.5), GБ.6) и GБ.9) следует, что
Теперь, разлагая операторную экспоненту ехр(^) в ряд по степеням z, с учетом GБ.4)
получаем соотношение
n=0 Vn*
которое определяет когерентное состояние как суперпозицию базисных состояний в
дискретном п-представлении.
Оператор D(z) обладает свойством
= b + z,	GБ.13)
с помощью которого можно показать, что
b\z) = z\z),	GБ.14)
т. е. когерентные состояния являются собственными состояниями оператора уничтоже-
уничтожения, а комплексные числа z — собственными значениями2).
Ч Аналогичные определения используются и в случае, когда система описывается произвольным
набором бозе-операторов {6^} и {bj}.
2) Для доказательства равенства GБ.13) преобразуем оператор b(z) = D^(z)bD(z), воспользовав-
воспользовавшись эрмитовым сопряжением D^(z) выражения GБ.9) и формулой GБ.10) для D(z). Тогда получаем
Дифференцирование по z приводит к уравнению db(z)/dz = 1, которое следует решать с очевидным
начальным условием 6@) = Ь. В результате приходим к равенству GБ.13). Соотношение GБ.14) можно
доказать следующим образом. Заметим сначала, что из GБ.13) следует
поскольку D(z)D^(z) = 1. Вспоминая теперь определение GБ.6) когерентного состояния, а также свой-
свойство 6|0) =0, получаем равенство D(z)bD^(z)\z) = 0, которое эквивалентно соотношению GБ.14).

144	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Из квантовой механики известно, что состояния GБ.4) образуют полный базис.
Формально это свойство выражается соотношением
GБ.15)
п=0
Когерентные состояния | z) образуют переполненный нормированный базис, причем
(z\z')=exp{-\\z\2-l\z'\2 + z*z'}.	GБ.16)
Тем не менее, можно показать, что когерентные состояния удовлетворяют соотноше-
соотношению, аналогичному GБ.15):
j^\z){z\=i,	GБ.17)
где d2z = d(Rez) d(lmz), а интегрирование проводится независимо по действительной
и мнимой частям z. Соотношение GБ.17) играет важную роль в практических прило-
приложениях когерентных состояний1).
Рассмотрим кратко представление когерентных состояний для бозе-системы, опи-
описываемой набором операторов рождения и уничтожения Ь] и 6/5 где индекс / нумерует
одночастичные квантовые состояния. Поскольку операторы рождения и уничтожения,
относящиеся к различным одночастичным состояниям, коммутируют, все приведенные
выше соотношения для системы с одной степенью свободы могут быть легко обобщены
на случай произвольной бозе-системы. Дискретное n-представление (или представле-
представление чисел заполнения) строится с использованием полного ортонормированного базиса
К =0,1, 2,...),	GБ.18)
1пЛ
где |0) — вакуумное состояние, для которого frjO) = 0. Когерентное состояние |{^/}
характеризуется набором комплексных чисел zl = zn + izl2 и определяется как
= D({zl})\0),	GБ.19)
где унитарный оператор D({zt}) имеет вид
{}	GБ-2°)
В заключение отметим, что представление когерентных состояний может быть
введено и для систем, отличных от рассмотренной здесь бозе-системы. Если расши-
расширить гильбертово пространство состояний, определив произведение векторов состоя-
состояния на антикоммутирующие величины ?а, которые являются образующими так назы-
называемой алгебры Грассмана, то представление когерентных состояний можно обобщить
на ферми-системы [135]. Другим важным примером являются спиновые системы [144]
Ч Соотношения GБ.16) и GБ.17) можно доказать с помощью формулы GБ.12). Соответствующие
выкладки не требуют дополнительных предположений или допущений, хотя несколько громоздки;
поэтому они здесь не приводятся (подробное изложение см., например, в [31, 104]).

Приложения к главе 7	145
(см. также [162] и цитируемую там литературу). Далеко идущие обобщения когерент-
когерентных состояний на произвольные алгебры Ли базисных операторов Ч рассмотрены в [31].
Эти обобщения имеют преимущественно формальный характер и поэтому выходят за
рамки нашей книги.
7В. Квантовые операторы в представлении когерентных состояний
Преимущества представления когерентных состояний становятся очевидны при ра-
работе с квантовомеханическими операторами. Как мы увидим, такие операторы могут
быть представлены функциями комплексных переменных, которые отражают все кван-
квантовые свойства динамических переменных. В статистической механике особую важ-
важность приобретает то обстоятельство, что аналогичное представление может быть вве-
введено также и для статистических операторов. Для простоты в дальнейшем ограничим-
ограничимся случаем одной степени свободы, описываемой бозе-операторами b и Ь^. Обобщение
на многочастичные бозе-системы оставим читателю в качестве упражнения.
Пусть О = O(b^b) — динамическая переменная, построенная из операторов рожде-
рождения и уничтожения. Предполагая, что О может быть разложена в ряд по степеням b и
b\ получаем три эквивалентные формулы
ra,n
3{mlbm(bf)n,	GB.2)
m,n
0 = ^2 °mV {(^)mbn},	GB.3)
m,n
где Отп, Отп и Отп — некоторые коэффициенты. Обозначение {{b^)mbn} ис-
используется для симметризованного произведения операторов [см. G.3.42)]. Говорят,
что формулы GВ.1) и GВ.2) определяют оператор О в нормально-упорядоченной и
антинормально-упорядоченной формах. Выражение GВ.З) обычно называется фор-
формой Вейля для оператора О. В принципе, операторы рождения и уничтожения могут
быть упорядочены и многими иными способами, но приведенные выше выражения
используются наиболее часто.
Покажем, что коэффициенты в GВ.1) - GВ.З) тесно связаны с тремя функциями
комплексных переменных (O)N(z,z*), (O)A(z,z*) и (O)w(z,z*), которые содержат
полную информацию об операторе О.
Определим нормальный символ (O)N(z1z:?) оператора О как диагональный эле-
элемент в представлении когерентных состояний:
F)N(z,z*) = (z\6\z).	GB.4)
Используя разложение GВ.1) и основное свойство когерентных состояний GБ.14), на-
находим
" '"" )mzn.	GB.5)
Ч Когерентные состояния, введенные в настоящем приложении, соответствуют так называемой ал-
алгебре Гайзенберга-Вейля с базисными операторами 6, 6^, 1.

146	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Итак, если известна функция (O)N(z,z*), то нормально-упорядоченную форму опе-
оператора О можно найти путем разложения этой функции по степеням z* и z. Коэф-
Коэффициенты в этом разложении совпадают с коэффициентами Отп в GВ.1). Интересно,
что в представлении когерентных состояний оператор полностью определяется своими
диагональными матричными элементами1).
Антинормальный символ (O)A(z,z*) оператора О связан с антинормально-
упорядоченной формой GВ.2). Чтобы определить функцию (O)A(z,z*), запишем
произведение Ьт(Ь^)п в виде Ьт1(Ь^)п, где 1 — единичный оператор, а затем восполь-
воспользуемся соотношением GБ.17). С помощью свойства GБ.14) находим
0 = J —\z)(O)A(z,z*)(z\,	GB.6)
где антинормальный символ оператора определен как
Т-	GВ.7)
Выражение GВ.6) для квантовомеханических операторов было впервые использовано
Глаубером [73] и Сударшаном [155] в задачах квантовой оптики.
Введем, наконец, так называемый вейлевский символ (O)w(z,z*), который связан
с выражением для оператора О через симметризованные произведения операторов
рождения и уничтожения [см. GВ.З)]. Рассмотрим с этой целью оператор Sw(b — z),
который определяется формулой G.3.39). Нетрудно убедиться, что некоторые свойства
оператора Sw(b — z) аналогичны свойствам обычной дельта-функции:
Sw{b-z)d2z=%	GB.8)
bn}.	GB.9)
Если операторы b и tf заменить комплексными числами а и а*, то выражение G.3.39)
совпадет с дельта-функцией комплексной переменной S(a — z), которая определяется
как
S(u) = S(u1)S(u2I и = иг-\-ги2.	GВ.10)
В некотором смысле интегрирование функции F(z,z*) с Sw(b — z) сводится к подста-
подстановкам z ^ b и z* ^ tf. Заметим, однако, что в свойстве GВ.9) проявляется оператор-
операторный характер функции Sw(b — z\ поскольку ее моменты определяют симметризован-
симметризованные произведения операторов рождения и уничтожения.
Теперь ясно, что оператор GВ.З) можно представить как
= J(d)w(z,z*)Sw(b-z)d2z,
где
)mzn	GB.12)
Ч Это обстоятельство связано с тем, что набор когерентных состояний переполнен.

Приложения к главе 7	147
— вейлевский символ оператора О. В частном случае, когда О является оператором
рождения или уничтожения, имеем
(tf)w(z,z*) = z*, (b)w(z,z*) = z.	GB.13)
Оператор О в нормально-упорядоченной и антинормально-упорядоченной формах
GВ.2) и GВ.З) можно записать в виде, аналогичном GВ.11). Нужно лишь опреде-
определить операторные дельта-функции, которые соответствуют этим типам упорядочения.
Они даются формулами
SN(b-z)= f^-exp{ix{b^-z*)}exp{ix*{b-z)},	GB.14)
8A{b-z)= f^exv{ix*{b-z)}exv{ix{tf-z*)}	GB.15)
с тем же правилом интегрирования по ж, что и в выражении G.3.39). Таким образом,
все рассмотренные выше символы оператора О определяются соотношениями
б= f(d)k(z,z*Mk(b-z)d2z (k = N,A,W).	GB.16)
Поскольку все операторные дельта-функции эрмитовы, ясно, что
(&)k(z,z*)=[(d)k(z,z*)}* (k = N,A,W).	GB.17)
Отметим также, что операторные дельта-функции обладают важным свойством
Тг [?,(&-2)]=^ (k = N,A,W),	GB.18)
которое нетрудно доказать прямым вычислением1). Из GВ.16) и GВ.18) следует по-
полезное выражение для следа оператора, заданного в представлении когерентных со-
состояний:
Тгб= / — {6)k{z,z*) {k = N,A,W).	GB.19)
J 7Г
В частности, при использовании нормального символа GВ.4) получаем соотношение
Tr<5= f — (z\d\z),	GB.20)
J 7Г
которое напоминает правило вычисления следа в полном базисе.
Одним из достоинств формализма операторных дельта-функций является возмож-
возможность вывода соотношений между различными символами операторов путем примене-
применения тождества Вейля GБ.8) для преобразования одной операторной дельта-функции в
Ч Запишем для этого след в n-представлении, а затем воспользуемся соотношением GБ.17), чтобы пе-
перейти к матричным элементам операторной дельта-функции в представлении когерентных состояний:
(\)(\S\)(\)[[ {\)(\S\)
[ (\)(\k\)(\)[[
-к J -к	J -к J -к
Скалярное произведение (v \u) имеет вид GБ.16), а матричный элемент (м|(^|г7) легко вычисляется с
помощью выражения GБ.11). Интегрирование по и и v проводится элементарно и дает GВ.18).

148	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
другую1). Выбор наиболее удобного символа операторов зависит от рассматриваемой
задачи. Как мы увидим ниже, в неравновесной статистической механике вейлевские
символы имеют ряд преимуществ перед нормальными и антинормальными символа-
символами. Поэтому в дальнейшем мы будем использовать только вейлевские символы.
Соотношение GВ.11) позволяет найти оператор О в симметризованной форме, если
известен его вейлевский символ. Однако во многих случаях требуется найти вейлевский
символ заданного оператора. Формула GВ.12) не всегда удобна, поскольку требует
знания всех коэффициентов Отп в разложении GВ.З) оператора О. Чтобы вывести
другую формулу для вейлевского символа, воспользуемся соотношением
Тг [бw{b-z) 5w{b-u)\ =тг-1ф-?/),	GВ.21)
которое проверяется так же, как соотношение GВ.18). Умножая обе части GВ.11) на
Sw(b — и), а затем вычисляя след, получаем
[6\	GB.22)
Важно иметь в виду, что эта формула справедлива только для вейлевского символа,
так как операторные дельта-функции SN и 8А не обладают свойством GВ.21).
В конкретных приложениях обычно приходится иметь дело с произведениями опе-
операторов. Поэтому нужно сформулировать правило, с помощью которого вычисляется
вейлевский символ оператора С = АВ, если символы операторов А и В известны. Мы
кратко опишем вывод этого правила, основанный на формализме операторных дельта-
функций2).
Положим в GВ.22) О = АВ, а затем выразим операторы А и В под знаком следа
через их вейлевские символы с помощью соотношения GВ.11). Это дает
*),	GВ.23)
J J
где
Как уже отмечалось, след операторных дельта-функций можно вычислить в представ-
представлении когерентных состояний [см. сноску к формуле GВ.18)]. В результате простых,
хотя и несколько громоздких выкладок получаем
g{z,u,v)= (-] exp{2(z*-v*)(u-v)-2(z-v)(u*-v*)}.	GB.25)
Подстановка этого выражения в GВ.23) и интегрирование по и и v приводят к соотно-
соотношению
/ 1 я	1 я \
GВ.26)
Ч Имеющиеся в литературе выводы правил преобразования символов (см., например, [4, 31]) факти-
фактически основаны на той же самой идее, хотя операторные дельта-функции явно не вводятся.
2) Другой вывод можно найти, например, в [60].

Приложения к главе 7	149
Это правило можно также записать в виде формулы
.	GB.27)
Она бывает полезна, если вейлевский символ (B)w имеет более простую структуру,
чем (A)w.
Изложенный формализм находит многочисленные применения в задачах квантовой
механики и статистической физики [4, 31, 104]. В теории неравновесных процессов он
дает возможность преобразовать квантовое уравнение Лиувилля или основные кине-
кинетические уравнения в дифференциальные уравнения для символов матриц плотности.
Во многих случаях решать эти дифференциальные уравнения проще, чем иметь дело
с исходными операторными уравнениями.
Возвращаясь к случаю системы с одной степенью свободы, предположим, что нерав-
неравновесное состояние системы описывается статистическим оператором g(t). Приме-
Применяя формализм когерентных состояний к этому случаю, мы можем перейти, напри-
например, к вейлевскому символу (g(t))w(z,z*), который определяется формулами GВ.11)
и GВ.22). Удобнее, однако, использовать функцию
f(z,z*;t) = Tr[g(tMw(b-z)],	GB.28)
которую можно интерпретировать как функцию распределения квазивероятностей 1).
Поскольку операторы g(t) и Sw эрмитовы, f(z,z*;t) является действительной функ-
функцией. Из свойств GВ.8) и GВ.9) следует, что функция распределения удовлетворяет
соотношениям G.3.40) и G.3.41).
Из формул GВ.22) и GВ.28) видно, что вейлевский символ статистического опера-
оператора и функция распределения f(z,z*;t) связаны простым соотношением
f(z,z*;t) = n-1(g(t))w(z,z*).	GB.29)
Оно дает возможность записать g(t)A и Ag(t) в виде произведений функции распре-
распределения f(z,z*;t) и вейлевского символа оператора А.
Если исходить из определений GВ.14) и GВ.15) операторной дельта-функции, то
можно ввести две другие функции распределения fN(z,z*;t) и f A(z, z*; t); их моменты
определяют средние значения нормально- и антинормально-упорядоченных произве-
произведений операторов рождения и уничтожения. В квантовой оптике функция распреде-
распределения
fN(z,z*;t) = Tr[e(t)SN(b-z)\	GB.30)
известна как представление Глаубера-Сударшана для матрицы плотности2).
Рассмотрим в качестве иллюстрации вейлевские символы операторов, входящих в
основное кинетическое уравнение G.3.32) для квантового осциллятора. Например, с
помощью GВ.13) и GВ.26) находим (для краткости аргументы опущены)
Ч Существует тесная связь между функцией распределения GВ.28) и одночастичной функцией Виг-
нера. Этот аспект метода когерентных состояний подробно рассмотрен в книге [60].
2) Можно показать, что функция распределения GВ.30) пропорциональна символу (g(t))A(z,z*),
который входит в формулу GВ.6) для статистического оператора: (g(t))A(z,z*) = тг fN(z,z*;t).

150	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
Используя соотношение GВ.29), можно выразить символ {gs)w чеРез функцию рас-
распределения. Тогда после перегруппировки членов получаем
1 S2/
4dz*dz'
Аналогичным способом получаем
4 dz*dz'
Вейлевские символы остальных операторов в уравнении G.3.32) можно найти с помо-
помощью легко проверяемых равенств
Комбинируя приведенные выше формулы, приходим к соотношениям
которые были использованы в разделе 7.3.4 при выводе квантового уравнения Фоккера-
Планка G.3.48).
Изложенный здесь формализм может быть обобщен на бозе-системы, описываемые
набором операторов рождения и уничтожения {b]} и {6^}. Поскольку операторы с
различными индексами коммутируют, такое обобщение фактически тривиально.
7Г. Исключение атомных переменных в теории лазера
Покажем, как с помощью уравнений G.4.60) и G.4.61) можно выразить приведен-
приведенные матрицы плотности ga(t) и g^a(t) через матрицу плотности поля излучения gf (?),
а затем через функцию распределения f(z,z*;t), определяемую соотношением G.4.66).
Начнем с уравнения G.4.60) для матрицы плотности активных атомов. Используя
формулы G.4.38) и G.4.64), легко записать соответствующие уравнения для матрич-
матричных элементов ga--,{t)\
~~	•— ^^ f \9а@12 — *
_У_± гр /r>fah^ — h^n^a\	GV?)
Ш

Приложения к главе 7	151
Для матричного элемента д[2а не требуется отдельного уравнения, так как д{2 = (qIi)* •
Решив уравнение GГ.1) с учетом условия нормировки д%г + д%2 = 1, находим ин-
инверсную населенность
^ Г/ (9й е?6 - д*аfet<,?•),	GГ.З)
где Ао — параметр накачки [см. G.4.42)]. Уравнение GГ.2) для недиагонального ма-
матричного элемента мы обсудим позже.
Обратимся теперь к уравнению G.4.61) и запишем сначала уравнения для элемен-
элементов д\^ и д22 , гДе нижние индексы указывают атомные состояния1). Используя еще
раз формулы G.4.38) и G.4.64), получаем
Эти уравнения не являются независимыми, поскольку их сумма дает тождество 0 = 0.
Удобно в качестве независимого уравнения взять их полуразность
- 7^° = ^ I9*^ + 6t^a) "9а№Ь + Ъе
Второе уравнение для д^ и д^ следует из соотношения между приведенной матрицей
плотности д?а и матрицей плотности поля gf [см. G.4.62)]:
Qfu+Qfn=Qf-	GГ.5)
С его помощью GГ.4) можно привести к более удобному виду
7ц	Ш7
GГ.6)
Легко заметить, что правые части уравнений GГ.5) и GГ.6) содержат только матрицу
плотности поля gf и недиагональные элементы матрицы д?а по отношению к атомным
состояниям.
Выпишем теперь уравнения для операторов д[2 и д^, которые следуют из матрич-
матричного уравнения G.4.61):
§	^a(iLfaQfa),	GГ.7)
f|	ra(iLfagfa).	GГ.8)
В принципе, входящие сюда матричные элементы д\2 и д\х = (д%2)* можно исключить с
помощью уравнения GГ.2). Чуть позже, однако, мы покажем, что правая часть GГ.2)
отлична от нуля лишь в случае, когда функция распределения f(z,z*;t) описывает
Ч Напомним, что д{^ и д^ являются операторами по отношению к полю излучения.

152
ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
состояние с некоторой фиксированной средней фазой поля излучения. Поскольку в
реальных лазерах подобная ситуация не имеет практического значения, мы положим
#21 = ^?2 = О И опустим последние члены в уравнениях GГ.7) и GГ.8).
Итак, теперь из системы уравнений GГ.5) - GГ.8) нужно выразить операторы д^2а
и qIi через матрицу плотности поля gf. Удобно записать предварительно эту систему
уравнений в представлении когерентных состояний, переходя к вейлевским символам
всех операторов по схеме, изложенной в приложении 7В.
Из формул GВ.26) и GВ.27) следует, что для любого оператора О
GГ.9)
-1 A) (d)w,
Поэтому с учетом G.4.65) находим
)w = (z* +1 A) F)w.
(„
п
9а
12 )W
dz*
GГ.10)
Остальные члены в GГ.5) - GГ.8) также легко преобразуются с помощью правил GГ.9).
В результате приходим к следующей системе уравнений:
GГ.11)
9а
)w
¦9a
)w
dz*
GГ.12)
fa, _ 9az \( fa\	(fa,
9a
22 )W
dz
dz
GГ.13)
dz*
dz*
GГ.14)
где было использовано соотношение G.4.66) между вейлевским символом матрицы
плотности поля и функцией распределения f(z,z*). Заметим, что диагональные эле-
элементы (q{i)w и @22)w корреляционной матрицы легко исключаются, после че-
чего GГ.13) и GГ.14) превращаются в замкнутую систему уравнений для недиагональ-
недиагональных элементов (gl^w и (@li)w Именно эти элементы входят в уравнение G.4.67) для
функции распределения квазивероятностей.
Элементарные преобразования мы оставим читателю в качестве упражнения. Вы-
Выпишем систему уравнений для (Q12)w и (oii)w^ гДе вмест0 z введена комплексная

Приложения к главе 7
153
переменная х, определяемая соотношением G.4.69):
1/2
27V Gj/
df 1 7A ,
5Ж 2/V7||Anop
дх
дх*
GГ.15)
7Д

27V Gх7цI/2Д„ор
2Я7||Д
жпор
дх
е
)W
Здесь А^ — число активных атомов в резонаторе лазера, а параметр Апор определяется
выражением G.4.72). При записи приведенных выше уравнений мы воспользовались
представлением G.4.12) для амплитуды взаимодействия да .
Поскольку (q{2)w и (@2i)w удовлетворяют дифференциальным уравнениям
GГ.15), ясно, что точное решение этих уравнений должно зависеть от производных
функции распределения / всех порядков, т. е. в общем случае G.4.67) не будет иметь
вид уравнения Фоккера-Планка. Отметим, однако, что последние члены в уравнени-
уравнениях GГ.15) относительно малы, так как они обратно пропорциональны числу актив-
ных атомов, которое является макроскопической величиной ). Поэтому, считая, что
TV ^> 1, можно решать уравнения GГ.15) методом итераций. В нулевом приближении
пренебрегаем последними двумя членами в этих уравнениях. Это приводит к системе
алгебраических уравнений, которые легко решаются. Затем полученное решение под-
подставляется в правые части уравнений GГ.15) и функции (^[2a)vK и {q{i)w находятся в
первом приближении по параметру TV. Ограничиваясь этим приближением, находим
nfa\ -
)
ЯДпорG±7|I/2
dx*
- 1 +
GГ.16)
где опущена поправка к члену ж*/, пропорциональная TV l. Подставляя эти выраже-
выражения в G.4.67), приходим у уравнению Фоккера-Планка G.4.68) для функции распре-
распределения квазивероятностей.
Теперь, когда получены явные выражения для {g{2a)w и (oii)w^ c помощью соотно-
соотношений GГ.2) и GГ.З) можно записать недиагональные элементы матрицы плотности
атомов и инверсную населенность через функцию распределения /. Прежде всего с
учетом формулы GВ.19) для следа операторов в представлении когерентных состоя-
Ч Напомним, что переменная ж остается конечной в пределе TV —>¦ оо (см. раздел 7.4.5).

154	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
ний и правил GГ.9) находим, что
rf2 = (ЙГ = ?^J^z* [(Qf2S)w-(Qfn)w\ >
GГ.18)
Подынтегральное выражение в GГ.17) записывается через функцию распределения /
с помощью уравнения GГ.12) и формулы GГ.16). Легко проверить, что в "изотропном"
состоянии с неопределенной фазой поля матричные элементы д^2 и д%г равны нулю1).
Для вычисления инверсной населенности GГ.18) воспользуемся формулой GГ.16), где,
в силу условия TV ^> 1, можно пренебречь членами с производными функции распре-
распределения. В результате получим
(/^)	GГ.19)
Как и раньше, х = z/z0. В разделе 7.4.5 было отмечено, что в режиме лазерной гене-
генерации функция распределения / имеет острый пик при \z\2 = n(?), где n(t) — сред-
среднее число фотонов в резонаторе. Тогда, полагая \х\2 « n(t)/z^ под знаком интеграла
в GГ.19) и учитывая нормировку функции распределения, находим, что
-	GГ-20)
Вблизи порога возбуждения лазера n(t) <С z\. В этом случае инверсная населенность
практически совпадает с параметром накачки. С ростом среднего числа фотонов n(t)
инверсная населенность уменьшается, что приводит к эффектам "насыщения" в режи-
режиме лазерной генерации [141].
Задачи к главе 7
7.1	Вывести релаксационные уравнения для обратных температур подсистем fii(t)
и P2{t)^ исключив производные по времени в левых частях уравнений G.1.19).
Указание. Продифференцировать условия самосогласования G.1.6) по времени и
учесть, что уравнения баланса энергии G.1.19) были получены во втором приближении
по#'.
7.2	Система представляет собой смесь двух слабо взаимодействующих газов ква-
квазичастиц — фермионов или бозонов. Гамильтонианы подсистем и гамильтониан взаи-
взаимодействия имеют вид
где а и fi — индексы состояний квазичастиц первого и второго сорта, Ф — амплиту-
амплитуда взаимодействия. Для описания системы используется большой ансамбль, поэтому
Ч В полярных координатах имеем z = гехр(г</>) и правая часть GГ.17) содержит интегралы от /cos</>
и /sin</>, которые равны нулю в изотропном состоянии, где функция распределения не зависит от ф.

Задачи к главе 7	155
в гамильтониане удобно взять Еа = еа — /аг и Е^ = е^ — /х2, где еа и е^ — энергии
квазичастиц, а /хх и /х2 — химические потенциалы компонентов.
Вычислить с помощью теоремы Вика кинетический коэффициент G.1.20). Прове-
Проверить, что результат не зависит от значения параметра а в выражении G.1.29) для
оператора потока. Найти кинетический коэффициент для невырожденных газов, в ко-
которых (а^ааа) <1и (b^b^) <С 1.
7.3	Проверить соотношения G.1.44), используя тождество G.1.15) и явное выра-
выражение G.1.46) для оператора энтропии.
7.4	Вычислить кинетические коэффициенты G.1.49) и G.1.50) в представлении,
где гамильтонианы подсистем Н® диагональны.
а)	Убедиться в том, что кинетические коэффициенты не зависят от значений пара-
параметров ai в G.1.41).
б)	Доказать, что кинетические коэффициенты С^ ^ (t) и С^ ^ (t) положительны.
в)	Доказать свойства симметрии кинетических коэффициентов G.1.53).
7.5	Проверить равенства G.1.70), где средние значения вычисляются с квазирав-
квазиравновесным распределением G.1.58).
Указание. Воспользоваться тождеством G.1.15) для А = Ре, А — Не и учесть, что
все динамические переменные в статистическом операторе G.1.58), за исключением
гамильтониана взаимодействия Н', коммутируют с Ре и Не.
7.6	Вывести соотношение G.1.76).
Указание. Если ввести унитарный оператор U = ехр{—irnVe -Fle//i}, в котором
Re = Yli=i ri ~ радиус-вектор центра масс электронов, то с помощью коммутационных
соотношений [ReonPeai] = ihNe5aa, и [Ке,Яе] = гКРе/т легко проверить, что
/f = Ре	]	*
е
Найти преобразованное квазиравновесное распределение UQq(t)W = exp{—f()}
где оператор энтропии имеет вид G.1.73), и убедиться, что среднее значение
(UiPeU)q = (Pe)-mVe(Ne) равно нулю.
7.7	Проверить соотношения G.2.12) - G.2.14) путем явного вычисления матричных
элементов в тетрадном представлении.
7.8	Доказать правило сумм G.2.26).
Указание. Согласно выражению G.2.24), левая часть правила сумм может быть
представлена в виде
Ejr	f/)-ji2p-efWfO'p"<wl	(П'\ и
l^nnmm\l) — л е / j / j Г е	\ппаЪ^ >аЪт
га ab
Остается лишь вычислить сумму поте помощью G.2.21).
7.9	Используя тетрадное представление G.2.20) и G.2.22) для L0 и Q, доказать
равенство G.2.29).
7.10	Рассмотреть основное кинетическое уравнение G.2.64) для пространствен-
пространственно однородной электронно-примесной системы. Записать это уравнение через диаго-
диагональные элементы np(?) = fpp(t) одноэлектронной матрицы плотности и вычислить

156	ГЛАВА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ
ядро G.2.65) с точностью до членов второго порядка по электрон-примесному взаимо-
взаимодействию. Убедиться, что при этом получается кинетическое уравнение с вероятностью
перехода в борновском приближении.
7.11	Исходя из уравнения G.3.13) с зависящим от времени оператором Лиувилля
Ls(t), получить для приведенного статистического оператора gg(t) основное кинети-
кинетическое уравнение в виде
оо
(jt + iLs(t)\ gs(t) = Idt'n(t,t-t')gs(t-t').
О
Найти явное выражение для операторного ядра 7?(?, t — t').
7.12	Используя результат задачи 7.11, вывести основное кинетическое уравнение
для системы 5, слабо взаимодействующей с термостатом, в присутствии внешнего пе-
переменного поля. Влиянием поля на состояние термостата пренебречь.
Указание. Если внешнее переменное поле действует только на систему S, то лишь
гамильтониан Hs(t) явно зависит от времени.
7.13	Исходя из операторного уравнения G.3.32), вывести основное кинетическое
уравнение для матрицы плотности G.3.33) в представлении чисел заполнения. Убе-
Убедиться, что диагональные элементы gnn(t) = wn(t) удовлетворяют уравнению G.3.36).
7.14	Проверить, что равновесное распределение G.3.37) является стационарным
решением уравнения G.3.36).
Указание. Искать решение в виде wn = Сехр{—An}, где С — нормировочная по-
постоянная, а А определяется из условия равенства нулю правой части G.3.36).
7.15	Вывести уравнение G.3.52) из квантового уравнения Фоккера-Планка G.3.48).
Указание. При вычислении интегралов по аг и а2 комплексные величины а и а*
можно считать независимыми переменными. Это следует, например, из соотношений
да/да* = да*/да = 0, где производные определяются выражениями G.3.49).
7.16	Вывести релаксационные уравнения G.3.51) и G.3.52) непосредственно из
основного кинетического уравнения G.3.32).
Указание. Умножить обе части G.3.32) на операторы 6, b^b и вычислить след. Даль-
Дальнейшие преобразования основаны на коммутационном соотношении [б,^] — 1.
7.17	Пусть квантовый осциллятор находится в равновесном состоянии и описы-
описывается матрицей плотности (n|^eq|^') — dnriwm гДе вероятности wn даются форму-
формулой G.3.37). Полагая gs = geq в G.3.38), найти в явном виде равновесную функцию рас-
распределения /о(г, z*) и убедиться, что она совпадает со стационарным решением G.3.62)
квантового уравнения Фоккера-Планка.
Указание. Вычисление следа в G.3.38) удобно проводить в представлении когерент-
когерентных состояний (см. приложения 7Б и 7В). Тогда
Е[ d2u [ d2v	-	м \ / i \
wn 	 / 	(п\и) (u\Sw(b-z)\v) (v\n).
J 7Г J 7Г
Скалярные произведения (п\и) и (v | п) легко вычисляются с помощью соотноше-
соотношения GБ.12), а матричный элемент (u\Sw(b — z)\v) — с помощью GБ.11).

Задачи к главе 7	157
7.18	Доказать свойства G.4.37) и G.4.38) операторов iLa и Ла.
7.19	Вычислить след по состояниям поля в G.4.61) и с помощью второго соотноше-
соотношения из G.4.62) проверить, что уравнение G.4.61) не противоречит уравнению G.4.60)
для матрицы плотности атомов.
7.20	Вывести уравнение G.4.78) из уравнения Фоккера-Планка G.4.68).
Указание. Для произвольной функции F(r],t) = F(\x\2,t) производные по ком-
комплексным переменным х и х* могут быть представлены как
dF__ ,dF_	dF^_ dF_
дх дт] ' дх* дт] '
7.21	Показать, что функция распределения G.4.85) является решением уравне-
уравнения G.4.81) в первом приближении по I/^q.
Указание. Решение уравнения G.4.81) удобно искать в виде fst{rj) = ехр{-F(rj)},
где F(rj) — новая неизвестная функция, для которой легко получить выражение
При вычислении интеграла записать v(u) в виде степенного ряда по u — r\ml а затем
воспользоваться условием G.4.82).

ГЛАВА 8
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В этой главе метод неравновесного статистического оператора применяется к те-
теории гидродинамических процессов. Основное внимание мы уделим построению ста-
статистических распределений, соответствующих гидродинамической стадии эволюции,
и выводу уравнений переноса на основе микроскопического подхода1).
Общий формализм излагается в параграфе 8.1. Затем в параграфах 8.2 и 8.3 бу-
будут рассмотрены примеры гидродинамических процессов в классических жидкостях.
Параграф 8.4 посвящен статистической гидродинамике квантовой сверхтекучей жид-
жидкости.
8.1. Общая теория гидродинамических процессов
Начнем с некоторых общих свойств гидродинамических процессов и их описания
методом неравновесного статистического оператора. Для определенности мы ограни-
ограничимся классическим случаем, хотя дальнейшие рассуждения легко обобщить и на кван-
квантовые системы.
8.1.1. Локальные законы сохранения. Рассмотрим типичную ситуа-
ситуацию, когда неравновесное состояние классической системы задается средними значе-
значениями локальных динамических переменных am(r) = am(g,p;r), которые соответству-
соответствуют полумакроскопическим величинам2). В общем случае уравнения движения можно
записать в виде
дат(г)
dt
= {ого(г), Я} = -V • jm(r) + Яга(г),	(8.1.1)
где динамические переменные jm (r) принято называть локальными потоками , а пе-
переменные Rm(r) — источниками3). При этом предполагается, что источник Rm(r) в
уравнении (8.1.1) не может быть представлен в форме дивергенции.
Исходя из структуры уравнений движения (8.1.1), можно выделить различные ти-
типы неравновесных процессов. Если во всех уравнениях Rm(r) = 0, то динамические
переменные ат(г) являются плотностями сохраняющихся величин, и процессы, опи-
описываемые набором их средних значений (ат(г)У, называют гидродинамическими про-
процессами (в широком смысле этого термина). Напротив, если в уравнениях (8.1.1) от-
отсутствуют члены V • jm, то мы имеем дело с чисто релаксационными процессами; неко-
некоторые примеры процессов такого типа рассматривались в предыдущих главах.
Ч Линейные гидродинамические процессы кратко рассматривались в разделе 5.4.2 первого тома.
2)	Для локальных динамических переменных мы используем обозначение ат(г) вместо обозначения
Pm(r), которое, в основном, применялось в первом томе. Удобство новых обозначений выяснится в
главе 9, где будут рассматриваться гидродинамические флуктуации.
3)	Символ V-jm означает обобщенную дивергенцию, поскольку^ не всегда является вектором.

8.1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 159
Во многих случаях, представляющих физический интерес, источники Rm(r) про-
пропорциональны малому параметру. Это означает, что релаксация происходит медленно
и оба члена в правых частях уравнений (8.1.1) могут оказаться одного порядка ма-
малости. Процессы, в которых одновременно происходят и релаксация и перенос, изу-
изучаются релаксационной гидродинамикой. В этой главе будут рассматриваться чисто
гидродинамические процессы, когда уравнения движения для базисных динамических
переменных имеют вид локальных законов сохранения:
^f^ = -V-jm(r).	(8.1.2)
Отметим, однако, что уравнения для фурье-компонент
9Amk ., ,	10Л „,
о —	«/ток	^о.±.оу
можно рассматривать как релаксационные уравнения с временами релаксации, стре-
стремящимися к бесконечности при к —> 0.
8.1.2. Обобщенные гидродинамические уравнения. Гидродина-
Гидродинамические уравнения можно вывести из соотношений
где средние вычисляются с неравновесной TV-частичной функцией распределения
g(q,p,t). Для вычисления средних потоков необходимо построить функцию распреде-
распределения, которая соответствует гидродинамическому описанию системы. Покажем, что
метод неравновесного статистического оператора дает возможность установить основ-
основные свойства такого распределения, не вдаваясь в детали микроскопической динамики.
В данном случае отправной точкой является локально-равновесное распределение г)
(8.1.5)
Параметры Fm(r,t) играют роль лагранжевых множителей и выражаются через на-
наблюдаемые (ат(г)У из условий самосогласования
<ага(г)>' = (ога(г)>},	(8.1.6)
а Функционал Масье-Планка Ф(?) определяется из условия нормировки для gl и равен
(8.1.7)
В соответствии с общими свойствами квазиравновесных распределений (см. пара-
параграф 2.1 первого тома) имеем соотношения
= -(ат(г))\	(8.1.8)
SFm(T,t)
Ч Пример подобного распределения был приведен в разделе 2.2.1 первого тома.

160	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
которые имеют смысл неравновесных термодинамических равенств.
Гидродинамические уравнения можно получить как частный случай обобщенных
уравнений переноса, которые были выведены в разделе 2.3.2 первого тома1). С учетом
микроскопических уравнений движения (8.1.2) для базисных динамических перемен-
переменных уравнения переноса B.3.45) принимают вид
(8.1.9)
где кинетические коэффициенты Cmn(r,t;r',t') даются формулой
(8.1.10)
Здесь и далее символ (...)/ означает среднее значение, вычисленное с локально-
равновесным распределением (8.1.5). Динамические переменные
Jm(r,t) = Q(t)jm(r)=(l-V(t))jm(r)	(8.1.11)
представляют собой локальные микроскопические потоки; они содержат оператор
Q(t) = 1 — V(t), дополнительный к проекционному оператору Мори V(t) [см. выра-
выражение B.3.38) в разделе 2.3.2 первого тома]. Оператор Мори действует на любую ди-
динамическую переменную А согласно правилу
.	(8.1.12)
Напомним также, что кинетические коэффициенты (8.1.10) содержат эволюцию во
времени микроскопических потоков не с обычным оператором Лиувилля «L, а "при-
"приведенную" эволюцию. Соответствующий оператор эволюции имеет вид упорядоченной
экспоненты
Uiltj) =exp+}-JdT(l-Vi(T))iL\.	(8.1.13)
Как было показано в разделе 2.3.2, оператор Vt(t) можно взять в форме проекционного
оператора Кавасаки-Гантона B.3.28), т.е.
ig(*\ • (8.1.14)
(r))} i,\t
п	°\an\Y)l
Поскольку здесь рассматриваются классические системы, величина А = A(q,p) — неко-
некоторая фазовая функция, а символ Тг(...) означает интегрирование по фазовому про-
пространству.
Позже мы увидим, что первый член в правой части (8.1.9) соответствует конвек-
конвективным потокам, характерным для идеальной жидкости, в то время как второй член
описывает необратимые процессы типа теплопроводности, диффузии или вязкости,
Ч Приводимые ниже соотношения непосредственно следуют из формул раздела 2.3.2, поэтому мы
рекомендуем читателю заглянуть в этот раздел.

8.1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 161
т.е. процессы, обусловленные хаотическим движением частиц. Основное достоинство
уравнений (8.1.9) состоит в том, что они точные. Нетрудно, однако, догадаться, что
именно по этой причине они являются очень сложными. Мы будем использовать их
как основу для вывода приближенных гидродинамических уравнений.
8.1.3. Марковское и локальное приближения. Если релаксация си-
системы к локально-равновесному состоянию происходит медленно, то в последнем члене
уравнений (8.1.9) необходимо учитывать временное запаздывание. Примером такого
рода может служить служить релаксация внутренних степеней свободы сложных мо-
молекул. Отметим, однако, что в этом случае естественно расширить набор базисных
локальных переменных {am(r)}, включив в него включить переменные, описывающие
внутренние степени свободы. Рассмотрим простейшую, но реальную ситуацию, когда
время релаксации тс корреляционных функций (8.1.10) достаточно мало по сравнению
с характерным временем изменения термодинамических параметров Fn(r'\t'). Тогда
запаздыванием в уравнениях (8.1.9) можно пренебречь, и мы приходим к марковским
гидродинамическим уравнениям
(())t V(j())\YJd'VC(jt)VF('t)	(8.1.15)
в которых кинетические коэффициенты ?mn(r,r';?) имеют вид
t
?mn(r,r>;t) = J сИ'е-^-^Стп(г,Ь;г',Ь').	(8.1.16)
— ОО
Отметим, что в данном случае локально-равновесное распределение Qi(t') и микроско-
микроскопические потоки Jn(vf, t') в формуле (8.1.10) зависят от времени только через медленно
меняющиеся термодинамические параметры Fm(r',?'). Поэтому, пренебрегая эффек-
эффектами памяти, можно положить Qt(t') « Qt(t) и Jn(r',t') ~ Jn(r' ,t). В этом же прибли-
приближении оператор эволюции (8.1.13) заменяется на
Ui{t -1') = exp { - (t -1') [1 - Vi(t)] iL}.	(8.1.17)
Итак, марковские кинетические коэффициенты (8.1.16) можно вычислять, используя
упрощенное выражение для корреляционных функций:
r',t))ti.	(8.1.18)
Формулы (8.1.17) и (8.1.18) определяют кинетические коэффициенты для медленных
гидродинамических процессов с учетом эффектов нелокальности.
Если термодинамические параметры Fn(r,t) мало меняются на корреляционной
длине, на которой функции (8.1.18) существенно отличны от нулях), то в (8.1.15) можно
вынести V'Fn(r', t) за знак интеграла в точке г; = г. Тогда мы приходим к локальным
и марковским гидродинамическим уравнениям
dt
Ч Эта ситуация типична для жидкостей, за исключением состояний вблизи критической точки.

162	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
в которых величины
о
Cmn{v,t) = jdv1 I dt'e?t' (jm(r,t)e»*'LJn(r/,t))|	(8.1.20)
—oo
называются локальными кинетическими коэффициентами1) . Сравнивая исходные за-
законы сохранения (8.1.4) и гидродинамические уравнения (8.1.19), видим, что в локаль-
локальном и марковском приближении средние потоки (jm(r))f и термодинамические силы
WFm(r,t) связаны соотношениями
Um(*))t = Cjm(T))tl+Y,Cr»n(T,t)-VFn(r,t).	(8.1.21)
п
Эти соотношения хорошо известны в неравновесной термодинамике [59], где кинети-
кинетические коэффициенты рассматриваются как некоторые феноменологические величи-
величины, зависящие от параметров состояния. Статистический подход к гидродинамическим
процессам позволяет не только вывести основные соотношения неравновесной термоди-
термодинамики, но и выразить кинетические коэффициенты через корреляционные функции
микроскопических потоков.
До сих пор предполагалось, что движение частиц описывается классической меха-
механикой, однако очевидно, что все рассуждения автоматически переносятся на квантовые
системы, поскольку они были основаны лишь на локальных законах сохранения. Кван-
Квантовый характер микроскопической динамики может сказаться лишь при вычислении
кинетических коэффициентов2).
8.2. Процессы переноса в однокомпонентной жидкости
Применим теперь общий формализм, изложенный в предыдущем параграфе, к про-
простой, но реалистической модели. Рассмотрим гидродинамику классической жидкости
(или газа), состоящей из одинаковых частиц.
8.2.1. Локальные законы сохранения для однокомпонентной
жидкости. Начнем с вывода законов сохранения энергии, импульса и числа ча-
частиц, предполагая, что система описывается гамильтонианом
г=1	%Фз
где Ф(| г^ — г • |) — энергия взаимодействия, т — масса частицы. Уравнения Гамильтона
имеют вид
Ч Обратим внимание на то, что локальные кинетические коэффициенты (8.1.20) имеют значительно
более простую структуру, чем исходные кинетические коэффициенты (8.1.10), так как теперь эволюция
микроскопических потоков во времени описывается обычным оператором Лиувилля iL. Переход к
марковскому приближению в обобщенных уравнениях переноса, частным случаем которых являются
гидродинамические уравнения, подробно осуждался в разделе 2.3.4 первого тома.
2) Особый случай квантовой сверхтекучей жидкости будет рассмотрен в параграфе 8.4.

8.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	163
где силы взаимодействия между частицами % и j даются формулами
огг	ar{j
~ Yij\~ Yi
r{j r{j
Динамической переменной, соответствующей плотности числа частиц, является
N
(8.2.4)
Поскольку зависимость координат частиц г^ от времени описывается уравнения-
уравнениями (8.2.2), производную dn(r)/dt можно представить в виде
дп{т)
dt
г	г
что приводит к локальному закону сохранения
дп(т)
dt
с потоком частиц
= "V-jn(r)	(8.2.5)
N
V^(r-ri).	(8.2.6)
Выведем теперь закон сохранения импульса в локальной форме. Для плотности
импульса естественно ввести динамическую переменную
PiSir-Ti),	(8.2.7)
г=1
поскольку интеграл от этой величины по всему объему равен полному импульсу
Р = Х^гРг- Дифференцируя выражение (8.2.7) по времени, с учетом уравнений Га-
Гамильтона (8.2.2) получаем
д:/™\	1	1
?и[6{т-т{)-6{т-ч)],	(8.2.8)
0Ъ	. ТТЬ	Ii
где р^р^ — тензор с компонентами pf pf. Здесь и далее греческими буквами обознача-
обозначаются декартовы индексы векторов и тензоров.
Уравнение (8.2.8) пока еще не имеет вида локального закона сохранения, посколь-
поскольку второй член в правой части не представлен в форме дивергенции. Для того, чтобы
преобразовать его к такой форме, введем вектор г- = r^ —Yj и воспользуемся соотно-
соотношением
1	1
8{т — тЛ — 8(т — тЛ = — I ds —8(г — Г{ + вгц) = —V • / dsrij 8(г — r^ + sr^7-).
J os	J
о	о
(8.2.9)

164	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Теперь видно, что последнее слагаемое в уравнении (8.2.8) может быть представлено
в форме дивергенции тензора, в результате чего мы приходим к локальному закону
сохранения
M2 -V-f(r),	(8.2.10)
= Vf(r),
ot
где динамическая переменная Т(г) есть тензор напряжений с компонентами
1
Нетрудно убедиться, что в случае центральных сил взаимодействия тензор Тар(т)
является симметричным.
Тензор напряжений можно записать в более простой форме, если нас интересу-
интересуют не сами по себе динамические переменные, а интегралы от их произведений на
функции, мало меняющиеся на расстояниях порядка эффективного радиуса взаимо-
взаимодействия. Предполагая, что в дальнейшем выражение (8.2.11) будет использоваться
именно таким образом, можно в дельта-функции положить 5 = 0, после чего получаем
(8.2.12)
Если необходимо, поправки к Та^{т) легко найти путем разложения дельта-функции
в (8.2.11) по степеням г-.
Рассмотрим теперь локальный закон сохранения энергии. Возьмем
[^ ^Е)	(8.2.13)
г=1 \	)
в качестве динамической переменной, которая соответствует плотности энергии1). То-
Тогда, дифференцируя выражение (8.2.13) по времени и используя уравнения движе-
движения (8.2.2), получим
С помощью тождества (8.2.9) правая часть этого соотношения записывается в форме
дивергенции, после чего приходим к локальному закону сохранения
^ = -V-je(r),	(8.2.14)
Ч Очевидно, что интеграл от е(г) по объему совпадает с гамильтонианом системы (8.2.1).

8.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	165
в котором динамическая переменная
(8.2.15)
есть плотность потока энергии. В случае короткодействующих сил можно пренебречь
нелокальными поправками. Тогда выражение для плотности потока энергии принимает
более простой вид
^6{т-т{), (8.2.16)
m
где использована формула (8.2.3) для силы взаимодействия. Выражение в больших
круглых скобках является тензором, причем U = [Sap] — единичный тензор.
Законы сохранения (8.2.5), (8.2.10) и (8.2.14) удобно записать в виде одного матрич-
матричного уравнения
'"'+V-jm(r)=0 (m = 0, I, 2),	(8.2.17)
dt
где локальные базисные переменные йто(г) и локальные потоки jm(r) определяются
как
«о(г)-е(г)> «iW-JJr), а2(т)-п(т)	(8.2.18)
jo(r)=je(r), j1(r)=T(r), j2(r)=jn(r).
Согласно этим определениям, второй член в (8.2.17) есть дивергенция вектора или
тензора.
Среди локальных законов сохранения (8.2.17) мы не выписали закон сохранения мо-
момента импульса, так как в случае центральных сил взаимодействия тензор напряжений
Тао(т) симметричен и закон сохранения для тензора плотности момента импульса
ma/3\r) — raJ /3\r) r/3Ja\r)	vO.Z.iyj
следует из закона сохранения импульса (см. задачу 8.2). Для нецентральных сил пол-
полный момент импульса системы I drmao(r) не сохраняется, но это лишь означает, что
нужно учитывать вклад внутренних степеней свободы частиц, например, момент им-
импульса, связанный с вращением молекул или спином (см. [32]). Рассмотрение нецен-
нецентральных сил без учета внутренних степеней свободы было бы непоследовательным.
8.2.2. Гидродинамика идеальной жидкости. Имея полный набор за-
законов сохранения и следуя схеме, изложенной в предыдущем параграфе, теперь нетруд-
нетрудно вывести гидродинамические уравнения для однокомпонентной жидкости. Для про-
простоты мы ограничимся марковскими уравнениями (8.1.19), которые справедливы с точ-
точностью до второго порядка по градиентам.

166	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Сначала займемся параметрами Fn(r, t), сопряженными локальным динамическим
переменным оте(г) [см. (8.2.18)]. Запишем локально-равновесное распределение для
жидкости в виде
Ql{t) = ехр| -Ф(г) - f drP(r,t) [е(г) - (//(М) - \mv\v,*)) Й(г) - v(r,*) -j(
(8.2.20)
где /3(r,t) — локальная обратная температура, /x(r, t) — локальный химический потен-
потенциал в расчете на одну частицу и v(r,?) — массовая скорость1). Сравнивая форму-
формулы (8.2.20) и (8.1.5), сразу находим, что
F0(r,t) = ^(r,*), Fi(r,*) = -P(r,t)v(r,t),
(8.2.21)
Пренебрежем последними слагаемыми в уравнениях (8.1.19), т. е. вычислим средние
значения локальных потоков энергии je(r), частиц jn(r) и импульса Т(г) с локально-
равновесным распределением (8.2.20). Как мы увидим позже, соответствующие урав-
уравнения
^<ara(r)>' = -V-(jra(r)){	(8.2.22)
или, в развернутом виде,
= v(j.(r),|, ^ = v,tW,!, ^ = v<j,,W>,
(8.2.23)
совпадают с гидродинамическими уравнениями идеальной жидкости.
Для вычисления средних потоков в локально-равновесном состоянии удобно сна-
сначала выполнить каноническое преобразование фазовых переменных частиц
p^p'i + mvtf), n=r'h	(8.2.24)
которое соответствует переходу в систему координат, движущуюся с локальной мас-
массовой скоростью2). Используя полученные в предыдущем разделе явные выражения
для локальных динамических переменных о,т(т) и локальных потоков jm(r), нетрудно
вывести для них правила преобразования при замене фазовых переменных. Плотности
энергии, импульса и числа частиц преобразуются следующим образом:
e(r) = e/(r) + v(r).j'(r) + ^/(r)T;2(r),
(8.2.25)
j(r) = j'(r) + ^(r)v(r), й(г) = n;(r),
где e;(r), j (r), ft'{г) имеют ту же форму, что и ранее, но с заменой фазовых переменных
частиц г^ и р^ на г^ и р^. Введенная здесь динамическая переменная
N
д{т) = mn(r) = m^{(r-ri)	(8.2.26)
N=1
Ч Термодинамический смысл величин j3(r,t), //(r,?) и v(r,f) подробно обсуждался в разделе 2.2.1
первого тома (см. также приложение 8А).
2) Массовая скорость, как и другие термодинамические величины, зависит от времени, поэтому новые
импульсы pj также параметрически зависят от t. Поскольку это обстоятельство не играет существен-
существенной роли при вычислении средних локальных потоков, фиксированный аргумент t обычно не будет
явно указываться.

8.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	167
соответствует плотности массы. Поток энергии je(r), тензор напряжений Тар(т) и по-
поток частиц jn (r), средние значения которых входят в уравнения (8.2.23), преобразуются
по формулам
je(r) = j'e(r) + {ё'(т) + \д'(т)у2(г) + v(r) -j'(r)}v(r) + ft>2(r)j'(r) + f (r) ¦ v(r),
Ta0 W = K& (r) + va (r) j'0 (r) + j'a (r) v0 (r) + Q'(r)va (r)V/3 (r),	(8.2.27)
jn(r)=j'(r) + n'(r)v(r).
В новых фазовых переменных локально-равновесное распределение (8.2.20) принимает
вид
Ql(t)=eKp(-*(t)-Jdrp(r,t)[e'(r)-lt(r,t)n'(r)\\,	(8.2.28)
и, следовательно, функционал Масье-Планка записывается как
]\	(8.2.29)
J
причем интегрирование можно проводить либо по фазовым переменным {г^,р^}, ли-
либо по новым переменным {г^,р^}, поскольку якобиан канонического преобразова-
преобразования (8.2.24) равен единице. Выражение (8.2.29) оказывается полезным при выводе тер-
термодинамических соотношений для неравновесной жидкости (см. приложение 8А).
Смысл перехода к системе координат, движущейся с массовой скоростью v(r), со-
состоит в том, что теперь можно вычислить локально-равновесные средние потоки в
уравнениях (8.2.23), используя лишь правила преобразования (8.2.27). Покажем сна-
сначала, что в движущейся системе координат
(j'n(r))/=0, <j'e(r)>,=0, (f^(T)), = P(r)Sap,	(8.2.30)
где средние значения вычисляются с распределением (8.2.28), а величина
(r)><	(8-2-31)
есть среднее гидростатическое давление. Доказываются соотношения (8.2.30) довольно
просто. Прежде всего заметим, что динамические переменные п(г) и е(г) инвариантны
относительно обращения импульсов частиц. То же самое справедливо и для динами-
динамических переменных п'(г) и е;(г) как функций новых импульсов р^. Следовательно,
локально-равновесное распределение (8.2.28) также инвариантно относительно обра-
обращения импульсов. С другой стороны, легко проверить, что потоки jn(г) и je(r) меняют
знак при замене р[ на — р[. Поэтому средние значения этих потоков, вычисленные с
распределением (8.2.28), равны нулю. Что касается недиагональных элементов тензора
напряжений Т^(г), то их локально-равновесные средние значения равны нулю вслед-
вследствие свойств симметрии распределения (8.2.28) как функции координат и импульсов
частиц1).
Ч Тензор Т'ао(г) получается из выражения (8.2.12) путем замены р^ —>¦ р^ и г^

168	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
С учетом соотношений (8.2.30) интересующие нас локально-равновесные средние
значения записываются как
(8.2.33)
где
е(г) = <е'(г));	(8.2.34)
— средняя плотность энергии в системе координат, движущейся со скоростью v(r).
Теперь с помощью выражений (8.2.32) и (8.2.33) правые части гидродинамических
уравнений можно представить в явном виде. Вообще говоря, существует несколько эк-
эквивалентных форм этих уравнений в зависимости от выбора независимых переменных,
которыми описывается неравновесное состояние жидкости. Обычно в качестве таких
переменных используются средняя плотность массы ^(r, t) = (д(г)I, массовая скорость
v(r,?) и средняя плотность энергии в движущейся системе координат e(r,t) = (ё'(г))*.
В этом случае из (8.2.23) получаем уравнения
(8.2.35)
о. ¦ V- - )* — * * * •>	(8.2.36)
ot
-^ + v • Ve = -(г + Р) V • v,	(8.2.37)
ot
которые совпадают с хорошо известными гидродинамическими уравнениями для иде-
идеальной жидкости. Уравнение (8.2.36) носят название уравнения Эйлера. Оно описывает
макроскопическое движение идеальной жидкости.
Рассмотрим, как изменяется со временем энтропия системы
(г))*,	(8.2.38)
если гидродинамические процессы описываются уравнениями (8.2.22). В общем случае
производная энтропии по времени равна
^1-yfdrF (riAa (r))'	(8 2 39)
— / /ra-V'/oj-Nra-V//?	yo.A.oo j
at ^—' /	ot
га J
так как из (8.1.7) и (8.1.8) следует, что
dt	,,,--	ах v-mv-,, •	(8-2-40)
Производные в правой части (8.2.39) исключаются с помощью уравнений перено-
переноса (8.1.4), после чего находим
—nJ- = -ydrFm(T,t)V-(jm(T))t.	8.2.41
dt	*-^J

8.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	169
Введем плотность энтропии S(r,t), записав
S(t)= fs{r,t)dr.	(8.2.42)
v
Тогда (8.2.41) можно преобразовать в локальное уравнение баланса
ds(r,t) r.
dt
(8.2.43)
До сих пор мы использовали точные соотношения, поэтому уравнение (8.2.43) является
просто следствием законов сохранения. Заменим теперь средние потоки их локально-
равновесными значениями (je(r,?))J, (T(r))J, и (jn(r))J. Тогда после несложных пре-
преобразований, которые мы оставляем читателю в качестве упражнения (см. задачу 8.4),
получим
№Ut)v(r,t)}.	(8.2.44)
dt
Отсюда следует уравнение баланса для полной энтропии
^ = -{s(T,t)v(T,t)-d*,	(8.2.45)
dt	J
где интегрирование производится по поверхности системы. Итак, в приближении иде-
идеальной гидродинамики энтропия может изменяться лишь вследствие ее притока или
оттока из объема системы. Иначе говоря, приближение идеальной жидкости описывает
хотя и неравновесные, но обратимые процессы переноса.
8.2.3. Локальные кинетические коэффициенты. Для описания
диссипативных эффектов в неравновесной жидкости нужно учесть последний член в
уравнениях переноса (8.1.19). Поскольку нам уже известны явные выражения (8.2.21)
для термодинамических параметров Fml остается лишь вычислить кинетические ко-
коэффициенты (8.1.20).
Начнем с анализа структуры микроскопических потоков Jm для однокомпонент-
ной классической жидкости. Напомним общее определение локальных потоков (8.1.11),
которое в нашем случае дает
Последнее соотношение обусловлено двумя обстоятельствами. Во-первых, плотность
потока частиц jn (г) пропорциональна плотности импульса j (г), которая входит в набор
базисных динамических переменных ош(г). Во-вторых, известно, что проекционный
оператор Мори V не изменяет базисных переменных, т.е. Vam(r) = ош(г).
Благодаря тому, что ^(г) — 0, кинетические коэффициенты (8.1.20) ст = 2ип = 2
равны нулю. Это означает, что уравнения для средней плотности числа частиц (п(г)I и
средней плотности массы g(r, t) = т(п(г)У не будут содержать диссипативных членов.
При вычислении кинетических коэффициентов Стп(г) удобно выделить в явном
виде их зависимость от поля скоростей v(r). С этой целью введем, как и ранее, дви-
движущуюся систему координат и выразим кинетические коэффициенты через корреля-
корреляционные функции для покоящейся жидкости. Напомним, что переход к движущейся

170	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
системе координат осуществляется путем канонического преобразования фазовых пе-
переменных (8.2.24). Для упрощения некоторых громоздких выражений удобно записать
это преобразование в символической форме [100]
Up^Pi-mvin), Uvi=Vi.	(8.2.47)
Эти равенства могут рассматриваться как определение оператора Е/, действующего на
фазовые переменные частиц. Ясно, что обратный оператор U~l действует по правилу
и~гр{ = Pi+mv(ri), и~гтг = т{.	(8.2.48)
Вспоминая исходные соотношения (8.2.24) между старыми и новыми фазовыми пере-
переменными, видим, что
p'i = UPi, Pi = U-1p'i.	(8.2.49)
Отметим также, что для локально-равновесного среднего значения произвольной ди-
динамической переменной А
(8.2.50)
Как и ранее, фазовая функция А' получается из функции А заменой г^ —> rj, р^ —> р[.
С помощью оператора U локально-равновесное распределение (8.2.20) можно за-
записать в виде
Qi = Uq4,	(8.2.51)
где распределение
?|У[]|	(8.2.52)
формально совпадает с (8.2.28), но теперь фазовые переменные частиц не зависят явно
от массовой скорости. Из соотношений
Тг [Ад,] =Tv[U-1(AQl)]=Tr[U-1(AUQ(})] = Тф°1/-М]
следует, что
(А), = (и~1 A)l	(8.2.53)
где символ (...)? означает усреднение с функцией распределения (8.2.52). Заменяя А на
UА, получаем {A')i = (А)®, т.е. (А)® есть среднее значение динамической переменной
А в движущейся системе координат.
Воспользуемся теперь формулами (8.2.47) и (8.2.53) для преобразования корреля-
корреляционных функций в кинетических коэффициентах (8.1.20). Заметим сначала, что
(jm(r)exp(it'L)jn(r'))l = ([[/-^(r)] ехр(и'и-гЬи) [[/"^„(г')])"- (8.2.54)
Среднее в правой части этого равенства вычисляется с распределением д®, которое
уже не зависит от поля скоростей v, однако теперь нужно найти явные выражения для
преобразованных потоков U~l Jm и оператора U~1LU.
Преобразования потоков основаны на тождестве (см. [100] и приложение 8Б)
-\	(8.2.55)

8.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	171
где введен проекционный оператор Мори, определенный для покоящейся жидкости:
VoA = <А)° + Y, [ dv *(fL (aB(r) - (о„(г)>?).	(8.2.56)
п J	°\an\Y)ll
Запишем очевидные соотношения
и-\Тт(г) = U-1 A-t/Poir1) jro(r) = (l-Vo)U-ljm{v)
и заметим, что, согласно равенствам (8.2.49), потоки U~1je(r) и U~1Tap(r) получаются
из формул (8.2.27), если убрать штрихи в правых частях, т. е. (ради краткости аргумент
t не указан)
Поскольку проекционный оператор A — Vo) обращает в нуль любую линейную комби-
комбинацию базисных динамических переменных ош(г), получаем1)
(8.2.58)
и-1!?" И = (i-ro)u-%l/(r) = nllv(r),
где введены новые микроскопические потоки
J,(r) = (l-7>o)je(r), fi^(r) = (l-Po)V(r)-	(8.2.59)
Ниже мы покажем, что Jq(r) — поток тепла, а П^(г) описывает вязкие напряжения в
жидкости. Следует подчеркнуть, что эти потоки не зависят от массовой скорости v(r).
Динамические переменные Voje и VqT^ в (8.2.59) представляют собой те части
потоков, которые выражаются через базисные переменные ат. Их можно найти в яв-
явном виде, если воспользоваться определением (8.2.56) проекционного оператора Vo.
Соответствующие выкладки приведены в приложении 8Б. Здесь мы выпишем оконча-
окончательные формулы:
(8.2.60)
где динамические переменные Ае(г) = е(г) — (е(г))° и Дп(г) = п(т) — (п(г))° описыва-
описывают локальные флуктуации плотностей энергии и числа частиц.
Теперь микроскопические потоки (8.2.59) можно представить как
Jg(r)=jc(r)--(e + P)j(r), ПмДг) = ПмДг) + П(г)^.	(8.2.61)
ь и далее подразумевается суммирование по повторяющимся греческим индексам.

172	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В тензоре вязких напряжений часть Пм^ имеет нулевой след:
а скалярная часть П дается формулой
)	_(^0 дй(г),	(8.2.63)
где динамическая переменная
Др(г) = - ^ ATaa(r) = - ^ {Таа(т) - (Таа(г))П	(8-2.64)
а	а
описывает флуктуации давления.
Формулы (8.2.58) и (8.2.61) дают окончательные выражения для преобразованных
микроскопических потоков, которые нужны для вычисления корреляционных функ-
функций (8.2.54). Остается выяснить, что собой представляет оператор U~1LU. Так как
действие самого оператора Лиувилля L на произвольную динамическую переменную
А сводится к вычислению скобки Пуассона этой переменной с гамильтонианом (8.2.1),
то следует просто найти явный вид функции U~1LUA с учетом соотношений (8.2.47)
и (8.2.48). Соответствующие выкладки, которые приводятся в приложении 8Б, пока-
показывают, что
U~ iLU = iL-\-iLf,	(8.2.65)
где дополнительный оператор %Ы зависит от поля скоростей v(r) и имеет вид
(8.2.66)
Если скорость v постоянна, а оператор (8.2.65) действует только на динамические пе-
переменные, которые зависят от относительных положений частиц, то можно считать,
что L' = 0. Поскольку в формуле (8.1.20) для кинетических коэффициентов проводится
интегрирование по г', оператор (8.2.65) всегда действует именно на такие переменные.
Это означает, что член L' необходимо учитывать лишь в тех случаях, когда требуется
найти зависимость кинетических коэффициентов от градиентов массовой скорости1).
Будем считать для простоты, что градиенты скорости достаточно малы, и соответству-
соответствующими поправками к кинетическим коэффициентам можно пренебречь. Тогда опера-
оператор U~1LU просто совпадает с исходным оператором Лиувилля L. Напомним также,
что сами уравнения (8.1.19) справедливы лишь в случае слабой пространственной за-
зависимости гидродинамических переменных. Следовательно, для того, чтобы локаль-
локальное приближение для кинетических коэффициентов (8.1.20) было самосогласованным,
усреднение в корреляционных функциях (8.2.54) должно проводиться с распределени-
распределением (8.2.52), в котором градиенты параметров J3 и /х уже не учитываются. Фактически
это означает, что вместо д® следует взять распределение
^0(^,р;г,^)=ехр{-Ф0(г,^)-/5(г,^)[Я-/х(г,^OУ]}	(8.2.67)
Ч Зависимость коэффициента сдвиговой вязкости от градиентов массовой скорости изучалась, на-
например, в работе [100].

8.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	173
с функционалом Масье-Планка
||	(8.2.68)
Заметим, что формально (8.2.67) совпадает с равновесным распределением Гиббса при
температуре Т = 1//?(г,?) со значением химического потенциала /х = /х(г,?). В даль-
дальнейшем нужно иметь в виду, что локальные кинетические коэффициенты зависят от
/3(г,?) и /х(г,?) через распределение (8.2.67), хотя эта зависимость, как правило, не
будет явно указываться.
На основании всего сказанного, выражение (8.1.20) для локальных кинетических
коэффициентов можно записать в виде
о
Cmn(v,t) = V J dt'eet' ({U-1Jm)eit>L{U-1Jn))i0,	(8.2.69)
— ОО
где (.. .)о означает усреднение с распределением (8.2.67), а динамические переменные
(8.2.70)
представляют собой микроскопические потоки, усредненные по объему системы1).
Основное достоинство выражения (8.2.69) состоит в том, что теперь задача вычис-
вычисления локальных кинетических коэффициентов фактически сводится к вычислению
временных корреляционных функций микроскопических потоков в равновесной жид-
жидкости при значениях температуры и химического потенциала Т = l//3(r, t), /л = /л(г, t).
8.2.4. Коэффициенты переноса. Как мы видели, при выводе уравне-
уравнений гидродинамики методами неравновесной статистической механики диссипатив-
ные члены в этих уравнениях выражаются через кинетические коэффициенты. Од-
Однако в конкретных задачах удобнее записывать кинетические коэффициенты через
скалярные коэффициенты переноса: коэффициент теплопроводности, коэффициенты
вязкости, диффузии и т. д. Основная идея перехода от кинетических коэффициентов
к коэффициентам переноса состоит в том, что для изотропной системы корреляцион-
корреляционные функции, построенные из векторных или тензорных микроскопических потоков,
можно записать в форме скаляров, умноженных на единичные тензоры.
Чтобы яснее представить себе тензорную структуру кинетических коэффициен-
коэффициентов (8.2.69), введем обозначение
Jm;U-1Jn).	(8.2.71)
Заметим, что, согласно соотношениям (8.2.58), (8.2.61) и (8.2.70),
U-lJS = J$ + nvll + nllvvv, U-1J^v = n5llv + nllv.	(8.2.72)
Ч Подчеркнем, что в (8.2.70) производится усреднение только по фазовым переменным частиц. Вхо-
Входящие в выражения для потоков термодинамические параметры берутся в точке г.

174	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Скалярные, векторные и тензорные микроскопические потоки, усредненные по объему
системы, имеют вид
АН
(r)*-^(E + '>l^.	(8-2.73)
Z	1 Г ^	1
П^=у / ^Дг)^--^^,
V
где Р = Х^гРг ~~ полный импульс системы, а динамическая переменная
dr^faair)	(8.2.74)
V	V
соответствует среднему давлению. В формуле для скалярного потока П динамические
переменные Ар = р — (рH, АН = Я — (Я)о и A7V = N — (N)o описывают флуктуации
давления, энергии и числа частиц в ансамбле с функцией распределения (8.2.67).
Кинетические коэффициенты (8.2.71) представляют собой билинейные функциона-
функционалы от микроскопических потоков и, следовательно, их можно выразить через кинети-
о
ческие коэффициенты, построенные из П, Jq и Пм^. Напомним еще раз, что в (8.2.71)
усреднение проводится с функцией распределения (8.2.67), которая фактически опи-
описывает равновесное состояние с локальными значениями температуры и химического
потенциала. Легко показать (см. задачу 8.6), что для изотропной жидкости равновес-
равновесные кинетические коэффициенты, соответствующие потокам разных тензорных раз-
размерностей, равны нулю1) . Таким образом, с помощью соотношений (8.2.72) получаем
^i11™ =C(n-,nNltlUlSlt2U2+?(nillVl-,nil2V2),	(8.2.75)
Вследствие изотропности равновесного состояния жидкости имеем
)	(8.2.76)
где Т = 1/Р — температура, А и г\ — скалярные коэффициенты переноса. Компоненты
тензора AMlf/lM2f/2 даются формулой
2
Ч В неравновесной термодинамике это утверждение известно как теорема Кюри [59].

8.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	175
Последний член добавлен для того, чтобы удовлетворить условиям
/ ;**[ IIр!^',IIii2l/2 J = у L( Il^lf/I;ll^2^2 j = U,
так как кинетические коэффициенты построены из тензоров с нулевым следом.
Подставим выражения (8.2.76) в (8.2.75) и введем еще один скалярный коэффици-
коэффициент переноса ?, записав
?°(П;П)=СТ.	(8.2.78)
Мы приходим к важным равенствам, отражающим тензорную структуру кинетических
коэффициентов:
Л	fa о 7Ql
= TrjA lVl 2l/2vl;1+T(v г5
Вычисляя след (т. е. свертку) тензоров в левых и правых частях этих равенств, можно
выразить коэффициенты переноса через корреляционные функции микроскопических
потоков. Оставляя выкладки читателю в качестве упражнения, приведем окончатель-
окончательные формулы:
о
\ 	 	 п ( 'Гц, . Тм\ 		/ j± et I 7м /^?L Тм\	(Q О Q(\\
Л — ^9L\Jq ' Jq ) — "^F? / ate \JQe Ja/n'	{b.Z.b\J)
V = ^fC{ Пм,;П„м) = i^7 / dteet (Пд„ eitL П^)^	(8.2.81)
О
С = ^?(П;П) = ^ I dteet(fieitLfiH.	(8.2.82)
— СЮ
Физический смысл коэффициентов переноса A, rj и ( выясняется при подстановке выра-
выражений (8.2.79) в гидродинамические уравнения. Как будет показано в следующем раз-
разделе, формула (8.2.80) определяет коэффициент теплопроводности. Коэффициенты
переноса г\ и ( можно интерпретировать, соответственно, как коэффициент сдвиговой
вязкости и коэффициент объемной вязкости.
Выражения (8.2.80) - (8.2.82) и другие аналогичные выражения для коэффициен-
коэффициентов переноса через корреляционные функции известны как формулы Грина-Кубо1).
Впервые они были получены Грином [77], который использовал методы теории стоха-
стохастических процессов. В работах Грина усреднение проводилось по микроканоническо-
микроканоническому ансамблю, где Н и TV не испытывают флуктуации, поэтому члены с АН и A7V в
выражении (8.2.73) для потока П отсутствовали. Однако микроканонический ансамбль
не удобен для расчетов, так как все равно приходится учитывать дополнительные усло-
условия постоянства Я и N. После Грина выражения для коэффициентов переноса через
корреляционные функции были выведены многими авторами различными методами
(см., например, [96, 119, 131]).
Ч В рамках линейной теории необратимых процессов формула Грина-Кубо для коэффициента диф-
диффузии была выведена в разделе 5.4.3 первого тома.

176	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
8.2.5. Диссипативные процессы в однокомпонентной жидко-
жидкости. Воспользуемся теперь формулами (8.2.79) для вывода полной системы урав-
уравнений гидродинамики однокомпонентной жидкости.
Вернемся к уравнениям переноса (8.1.19) и запишем их для средней плотности энер-
энергии е(г,?) = {ё(г)У и средней плотности импульса j(r,?) = (j(r))*. Вспоминая определе-
определения базисных динамических переменных (8.2.18) и сопряженных термодинамических
параметров (8.2.21), получаем
dt ^" ¦
Подставив сюда выражения (8.2.79) для кинетических коэффициентов, сгруппируем
члены с градиентами V^Vy и VM/5 = A/T2)VMT. Это приводит к уравнениям
f^	|i	;	(8.2.83)
где поток тепла q(r,?) и вязкая часть тензора напряжений тг^(г,?) имеют вид
q(r,?) = -AVT,	(8.2.84)
7г^(г, t) = -rj (V°v)^ - С 6ц„ V • v.	(8.2.85)
Тензор {S/°v)lll/ построен из пространственных производных массовой скорости и имеет
нулевой след:
(VotV = V^ + V^M-^V-v.	(8_2.86)
С учетом формул (8.2.32) для средних плотностей энергии и импульса, а также вы-
выражений (8.2.33) для локально-равновесных потоков (je)/ и (Т)/ уравнения (8.2.83)
можно записать в той форме, в какой их обычно используют в гидродинамике:
(8.2.87)
(8.2.88)
т- -v.-/	(8-2.89)
образуют полную систему гидродинамических уравнений для однокомпонентной клас-
классической жидкости.
Уравнение (8.2.88) описывает макроскопическое движение жидкости и известно как
уравнение Навье-Стокса. В практических задачах гидродинамики (см., например, [24])
обычно пренебрегают зависимостью коэффициентов вязкости rj и ? от локальных тер-
термодинамических параметров и считают их постоянными. Тогда, подставляя выраже-
выражение (8.2.85) в (8.2.88) и вынося коэффициенты вязкости за знак градиента, уравнение
Навье-Стокса можно записать в более простом виде:
+ \г)) V(V-v).	(8.2.90)
в (^ + v • v\va = -V/, (Р даР + тга/3).
Эти уравнения совместно с законом сохранения массы
V

8.2. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	177
Если к тому же можно пренебречь изменениями плотности массы, то, согласно закону
сохранения (8.2.89), V • v = 0, и последний член в уравнении (8.2.90) обращается в нуль.
Во многих случаях вместо уравнения (8.2.87) для плотности энергии удобнее поль-
пользоваться уравнением баланса энтропии. При выводе этого уравнения будем исходить
из термодинамического равенства (см. задачу 8.9)
дТ 6 s = бе - - {е + Р) бд,	(8.2.91)
Q
где s = s(e,g) — энтропия на единицу массы в системе координат, движущейся со
скоростью v. Перепишем теперь (8.2.91) в форме соотношения между полными или
субстанциальными производными:
Tds = de_l_	dj>
* dt dt gy } dt'	y }
где
Полные производные de/dt и dg/dt можно выразить из уравнений (8.2.87) и (8.2.89),
исключив dv/dt с помощью уравнения Навье-Стокса (8.2.88). В результате простых
преобразований, которые оставим читателю в качестве упражнения, (8.2.92) принимает
вид
ds
qT— = -V-q-7ra/3VaB/,.	(8.2.94)
Остается воспользоваться явными выражениями (8.2.84) и (8.2.85) для плотности по-
потока тепла q и тензора вязких напряжений тг^. Мы приходим к уравнению баланса
энтропии
(^\	i	J,	(8.2.95)
которое также называют уравнением переноса тепла. Как уже отмечалось, его можно
использовать вместо уравнения (8.2.87) для плотности энергии.
В разделе 8.2.2 уравнение баланса энтропии (8.2.44) было получено в рамках
приближения идеальной гидродинамики. Рассмотрим теперь, как изменяется энтро-
энтропия жидкости с учетом диссипативных процессов. Вернемся к плотности энтропии
S(r,t) = gs и запишем
dS(r,t) ds dg
dt ~ Q dt S dt'
Полные производные в правой части исключим с помощью уравнения (8.2.95) и закона
сохранения массы (8.2.89). Тогда получим уравнение
^^	t),	(8.2.96)
в котором
(8.2.97)
поток энтропии, а скалярная величина
(vrJ + (V°VMV°VW + j; (v •vJ	(8-2-98)

178	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
есть локальное производство энтропии, обусловленное теплопроводностью и вязко-
вязкостью. Так как все коэффициенты переноса положительны (см. задачу 8.7), то as > 0.
Таким образом, уравнение (8.2.96) согласуется с законом возрастания энтропии в
необратимых процессах.
8.3. Многокомпонентная жидкость
Рассмотрим теперь гидродинамические процессы в смеси классических жидкостей,
ограничившись случаем, когда в системе не происходят химические реакции и не воз-
возбуждаются внутренние степени свободы молекул.
8.3.1. Локальное равновесие в многокомпонентной жидкости.
Предположим, что рассматриваемая система состоит из взаимодействующих частиц
нескольких сортов, которые будут обозначаться латинскими индексами с, с', и т.д.
Гамильтониан такой системы может быть записан в виде
где
{^ + ^ЕфС(|г,-г,1)}	(8.3.2)
— гамильтониан с-го компонента, а члены
Nc Nc,
Hcd = Hdc = Y^bcc (|гг -i-l)	(8.3.3)
описывают взаимодействие между частицами различных сортов.
Введем теперь базисные динамические переменные, описывающие гидродинамиче-
гидродинамические процессы в системе. Очевидно, что в данном случае локально сохраняющимися
величинами являются плотность числа частиц с-го компонента
Nc
пс(г) = ^>(г-гг),	(8.3.4)
г
плотность импульса
j(r) = ^jc(r) = ^^PjE(r-rJ)	(8.3.5)
с	с i
и плотность полной энергии
efr)-Ve W + -VK ,fr)	(8 3 6)
с	сфс'
Динамическая переменная
Мг) = >:<!?^ + ^»с(|г,-г,|)и(г-г,)	(8.3.7)

8.3. МНОГОКОМПОНЕНТНАЯ ЖИДКОСТЬ	179
есть плотность энергии с-го компонента, а дополнительные динамические переменные
VcAr) = VCA*) = ^EEMlr*-ri0 [Нг-гд + 6(г-т^]	(8.3.8)
i J
учитывают вклад взаимодействия частиц различных сортов в плотность полной энер-
энергии.
Уравнения движения для всех динамических переменных можно получить из урав-
уравнений Гамильтона. Для частиц с-го компонента эти уравнения имеют вид
ЛГС	Nc,
где
(С)	(С)	дФс{\т{-^\)	(сс0	(с,с)	дФс&{\т{-^\)
Fij=-Fji =	-fa,—' Fij = ~Fji =	-fa,	• (8-зл°)
Из-за взаимодействия между молекулами различных сортов плотности энергии ес(г)
и плотности импульса jc(r) отдельных компонентов не сохраняются. Если на макро-
макроскопической шкале времени обмен энергией и импульсом между компонентами про-
происходит медленно, то можно рассматривать парциальное локальное равновесие, кото-
которое характеризуется средними величинами (ёс(г))*, (jc(r))f и (пс(г)I. Это означает,
что компоненты имеют различные локальные температуры Тс(г,?), массовые скоро-
скорости vc(r,?) и химические потенциалы /хс(г,?). В этом случае уравнения баланса будут
описывать не только процессы переноса, но и релаксационные процессы, т.е. установ-
установление локального равновесия между компонентами. В дальнейшем мы ограничимся
достаточно медленными процессами, в которых все компоненты имеют одну и ту же
локальную температуру T(r,t) = 1//?(г,?) и общую массовую скорость v(r,?). Тогда
в качестве квазиравновесного распределения можно взять локально-равновесное рас-
распределение
r,t)-j(r)]|,
-v(r,t)-j(r)]|, (8.3.11)
которое отличается от аналогичного распределения (8.2.20) для однокомпонентной
жидкости тем, что значения химических потенциалов /хс могут отличаться друг от
друга.
Все динамические переменные в локально-равновесном распределении (8.3.11) удо-
удовлетворяют законам сохранения. В матричной форме соответствующие уравнения дви-
движения выглядят как
^f^ + V-jra(r) = O (m = 0,l,...,K + l),	(8.3.12)
где К — число компонентов,
«о(Г) = е(г),	a1(r)=j(r),	Йс+1(г) = Йс(г),	/QQ1Q4
jo(r) = je(r),	ij(r) = T(r),	jc+1(r) = jB)C(r).

180	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Динамические переменные
't'?^ х '	(ГУЛ ^^^^
соответствуют локальным потокам частиц отдельных компонентов. Явные выражения
для потока энергии je(г) и тензора напряжений Т(г) легко получить, используя урав-
уравнения Гамильтона (8.3.9). Эта процедура фактически не отличается от рассмотренной
в разделе 8.2.1, поэтому не будем на ней останавливаться (см. задачу 8.11).
8.3.2. Процессы переноса в многокомпонентной жидкости. В
марковском и локальном приближениях уравнения переноса для многокомпонентной
жидкости имеют вид (8.1.19) с набором базисных динамических переменных (8.3.13).
Сопряженные термодинамические параметры Fm(r,t) можно определить из выраже-
выражения (8.3.11) для локально-равновесного распределения:
F0(r,t) = /?М), *\(г,*) = -0(r,*)v(r,*),
(8.3.15)
Fc+1{r,t) = -P{r,t)[tAc{r,t)-\mcv2{r,t)] (с>1).
Следуя общей схеме, изложенной в параграфе 8.1, нужно вычислить средние пото-
потоки (8.1.21), где первый член соответствует приближению идеальной жидкости, а второй
представляет собой диссипативную часть потока.
Начнем с потоков в локально-равновесном состоянии, которое описывается распре-
распределением (8.3.11). Как и в параграфе 8.2, удобно перейти к системе координат, движу-
движущейся с массовой скоростью v(r), с помощью канонического преобразования фазовых
переменных. Для с-го компонента это преобразование имеет вид
Р;=р^ + тсу(г'Д Ti=vli.	(8.3.16)
Легко проверить, что динамические переменные j(r) и е(г), заданные соотношени-
соотношениями (8.3.5) и (8.3.6), преобразуются в соответствии с правилами (8.2.25), но теперь
динамическая переменная плотности массы записывается как
(8.3.17)
В результате канонического преобразования (8.3.16) локально-равновесное распреде-
распределение (8.3.11) в новых фазовых переменных принимает вид
(8.3.18)
Это выражение аналогично выражению (8.2.28) для однокомпонентной жидкости.
Плотности числа частиц пс инвариантны относительно преобразования (8.3.16).
Следовательно, как и в случае однокомпонентной жидкости, массовая скорость равна
>/.	(8.3.19)
Отсюда следует, что (j (r))^ = 0.

8.3. МНОГОКОМПОНЕНТНАЯ ЖИДКОСТЬ	181
Чтобы вычислить локально-равновесные средние (Т(г))/ и (je(r))/, необходимо
выяснить правила преобразования тензора напряжений и потока энергии. С физи-
физической точки зрения очевидно, что правила должны быть такими же, как и в случае
однокомпонентной жидкости [см. (8.2.27)]. Впрочем, в этом нетрудно убедиться и непо-
непосредственно, получив явные выражения для Т(г) и je(r). Соответствующие выкладки
оставляем читателю в качестве упражнения. Таким образом, средние значения (Т(г) V
и (je(r))/ для многокомпонентной жидкости даются формулами (8.2.33).
Наконец, для вычисления локально-равновесных потоков частиц (jn c(r))^ выпол-
выполним каноническое преобразование (8.3.16) в выражении (8.3.14). Так как в движущейся
системе координат средняя плотность импульса равна нулю, то
<]„,*(')>, = <Mr))*v(r).	(8.3.20)
Займемся теперь диссипативными потоками в формуле (8.1.21). Анализ кинетиче-
кинетических коэффициентов ?mn(r, t) производится в основном так же, как и в параграфе 8.2.
Сначала запишем выражения для микроскопических потоков
(8.3.21)
¦ = 1,2,..., К),
где проекционный оператор Мори V соответствует набору базисных динамических
переменных {am(r)} = {e(r), j(r), nc(r)}.
Поскольку наш анализ ограничен главным приближением по градиентам термоди-
термодинамических параметров, мы вправе воспользоваться формулами (8.2.69) для локаль-
локальных кинетических коэффициентов, в которых оператор канонического преобразования
определяется соотношениями
UPi=pi-mcv(ri)J Uri = Yi.	(8.3.22)
Как уже отмечалось, правила преобразования потока энергии je и тензора напряжений
Т остаются такими же, как и в случае однокомпонентной жидкости. Поэтому динами-
динамические переменные f/~1J0(r) и f/~1J1(r) можно записать в виде (8.2.58). Плотность
потока тепла J9(r) и вязкая часть тензора напряжений Пм^(г) определяются, как и
ранее, формулами (8.2.59), где проекционный оператор Vo имеет вид (8.2.56), но сред-
средние значения (.. .)^ вычисляются теперь с распределением
(8.3.23)
Очевидно, что явные выражения для Jg(r) и ПД1Дг) как функций фазовых переменных
отличаются от своих аналогов для однокомпонентной жидкости.
В данном случае появляются новые микроскопические потоки, соответствующие
дополнительным диссипативным процессам, а именно, диффузионные потоки
JdjC(r) = U-1 Jc+1 (г) = A - Vo) U-1 jn>c(r).	(8.3.24)
Так как, согласно (8.3.14),

182
ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
то с учетом очевидного равенства Vonc = nc формулу (8.3.24) можно записать как
Jd,c(r) = (l-?o)jn>c(r).	(8.3.25)
Результат действия проекционного оператора Vo на jn c нетрудно найти в явном виде.
Прежде всего заметим, что распределение (8.3.23) описывает состояние с v = 0, поэтому
<Jn,c>° = <J>° = °- Далее> из (8.3.19) и (8.3.20) следует, что
Наконец, вспоминая определение (8.2.56) проектора Vo, находим, что
Подстановка этого выражения в (8.3.25) дает
(8.3.26)
где функция Масье-Планка имеет вид
Заметим, что для однокомпонентной жидкости (пс) = (п) = (д)/т и }пс = jn = j/ra,
поэтому диффузионный поток равен нулю.
Формулы (8.2.58) и (8.3.25) позволяют выразить все кинетические коэффициен-
коэффициенты (8.2.69) для многокомпонентной жидкости через скалярные коэффициенты перено-
переноса. Как и ранее, ограничимся локальным приближением. Тогда корреляционные функ-
функции в (8.2.69) нужно вычислить с распределением
(8.3.27)
(8.3.28)
Напомним также, что все микроскопические потоки усредняются по объему системы
согласно соотношению (8.2.70).
По характеру микроскопических потоков U~lJm и термодинамических сил VFm
диссипативные процессы в многокомпонентной жидкости можно разбить на три груп-
группы. Для векторных процессов, связанных с переносом энергии и вещества, кинетиче-
кинетические коэффициенты строятся из потока тепла Jq и диффузионных потоков Jd,c- Тен-
Тензорный процесс связан со сдвиговой вязкостью и описывается кинетическим коэффи-
коэффициентом, построенным из компонент тензора напряжений (8.2.62), имеющего нулевой
след. И наконец, скалярный процесс связан с объемной вязкостью. Соответствующий
кинетический коэффициент пропорционален корреляционной функции динамической
переменной (8.2.63).
Как уже отмечалось, в изотропной среде кинетические коэффициенты, построен-
построенные из потоков разной тензорной размерности, равны нулю. Отсюда сразу следует, что

8.3. МНОГОКОМПОНЕНТНАЯ ЖИДКОСТЬ	183
вязкая часть среднего значения тензора напряжений имеет точно такой же вид (8.2.85),
как и в случае однокомпонентной жидкости, поскольку диффузионные потоки не вли-
влияют на тензорный и скалярный диссипативные процессы, описываемые тензором тг .
С другой стороны, ясно, что макроскопический поток тепла q теперь не будет иметь
вид (8.2.84) из-за появления перекрестных кинетических коэффициентов, построенных
из микроскопических потоков J и Jd c.
Записав среднее значение потока энергии как сумму
(ШУ = (ШУ,+ФЛ	(8-3-29)
получаем, согласно формуле (8.1.21), выражение для проекций макроскопического по-
потока тепла:
(')^(?).	(8.3.30)
Обратим внимание на то, что последний член содержит химические потенциалы ком-
компонентов, а не комбинации /хс — mcv2/2, как термодинамические параметры Fc+i
[см. (8.3.15)]. Причиной этого является очевидное свойство микроскопических диф-
диффузионных потоков (8.3.26):
^cJd,c(r) = 0.	(8.3.31)
Из него следует, что
Y()Y{c;A)=0,	(8.3.32)
где А — произвольная динамическая переменная. Поэтому в последнем члене форму-
формулы (8.3.30) параметры Fc+\ можно заменить на (—/?/хс).
В случае изотропной жидкости все кинетические коэффициенты в выраже-
выражении (8.3.30) пропорциональны единичному тензору Saa>, поэтому удобно ввести ска-
скалярные кинетические коэффициенты
Lq
о
= \с{%;%) = j J dtest{j«eitLJ«H,	(8.3.33)
— OO
0
Lqc = \C(J»;J2J = jj dtest (J?eitLJZcH.	(8.3.34)
Тогда макроскопический поток тепла можно записать в виде
(8.3.35)
Заметим, что первый член в этом выражении не равен — AVT, как это было в слу-
случае однокомпонентной жидкости, поскольку соотношение (8.2.80) для коэффициента
теплопроводности не справедливо. Этот вопрос будет рассмотрен более подробно в
следующем разделе.

184	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Запишем теперь уравнения переноса (8.1.19) для средних плотностей числа частиц
(пс(г)У. С учетом равенств (8.3.32) имеем
д(пс)	-	,-а -aiv	^ (~a -ai
Локально-равновесный поток частиц в правой части этого уравнения дается форму-
формулой (8.3.20), а диссипативные члены для изотропной жидкости можно выразить через
скалярные кинетические коэффициенты
о
1 ^ ^ V Г	^
_Lr(Ja . 7а\ _	/ j± et I 7a
- ~^L\Jd ,dJq ) - у / ate \Jd,
p—itL fa\
с
—оо
О
Т	_ Г ( 7а . 7а \_	 / j . et I 7a itLja \	/о о оо\
—оо
Тогда уравнение (8.3.36) принимает вид
= -V-((nc)v + ic),	(8.3.39)
dt
где
ic(r,t) = -Lcq -j^-^2Lcc> V {^f)	(8.3.40)
d
— макроскопический диффузионный поток с-го компонента. Важно отметить, что по-
потоки ic не являются независимыми; они связаны равенством
?mcic = 0,	(8.3.41)
С
благодаря которому уравнения (8.3.39) согласуются с законом сохранения массы. Для
доказательства (8.3.41) воспользуемся равенством (8.3.31). Из него следует, что
ьсЬс&=0.	(8.3.42)
Теперь, умножив (8.3.40) на тпс и просуммировав по компонентам, приходим к (8.3.41).
Итак, подведем итоги. Система гидродинамических уравнений для многокомпо-
многокомпонентной жидкости включает в себя уравнения переноса энергии и импульса (8.2.83), а
также уравнения (8.3.39), описывающие перенос частиц. Вязкая часть тензора напря-
напряжений tTq,^ и тепловой поток q даются формулами (8.2.85), (8.3.35). Если взять закон
сохранения массы (8.2.89) в качестве одного из гидродинамических уравнений, то число
независимых уравнений (8.3.39) будет на единицу меньше, чем число компонентов.
Поскольку микроскопический поток тепла Jq и микроскопические диффузионные
потоки Jd,c имеют одинаковую четность относительно обращения времених), справед-
справедливы соотношения взаимности Онсагера
Lcq = Lqci Lcd = Ldc,	(8.3.43)
которые уменьшают число независимых кинетических коэффициентов.
Ч Легко проверить, что при этой операции они меняют знак.

8.3. МНОГОКОМПОНЕНТНАЯ ЖИДКОСТЬ	185
8.3.3. Бинарная смесь. В качестве иллюстрации рассмотрим более подроб-
подробно процессы переноса в смеси двух жидкостей или газов. Согласно равенству (8.3.41),
в этом случае i2 = —(wii/wi2)ii; следовательно, достаточно рассмотреть лишь один
диффузионный поток, например, i = ii. Обозначив
Ld = Ln, Lqd = Lqi = L\qi	(8.3.44)
с учетом соотношений (8.3.42) представим макроскопические потоки (8.3.35) и (8.3.40)
в форме
/T-72	L	4U
(8.3.45)
где введен химический потенциал
// = — -—.	(8.3.46)
mi m2
Заметим, что именно /х входит во все термодинамические равенства для бинарной
смеси. Чтобы убедиться в этом, запишем основное термодинамическое соотношение
[см. (8А.18) в приложении 8А]
Т ds = du + Р d(g~l)	 dCA	 dC2l	(8.3.47)
ml	m2
где s — энтропия на единицу массы, и — энергия на единицу массы в системе коорди-
координат, движущейся с массовой скоростью v, P — локальное давление, а Сг = m1(ni)/g
и С2 = т2{п2)I д — массовые концентрации компонентнов1). Поскольку массовые кон-
концентрации связаны очевидным равенством С1 + С2 = 1, уравнение (8.3.47) можно пе-
переписать в виде
(8.3.48)
где С — Сх играет роль независимой термодинамической переменной, причем
Вернемся к формулам (8.3.45) для макроскопических потоков. Прежде всего заме-
заметим, что в формуле для потока тепла можно исключить градиент V(/x/T). Это дает
^i,	(8.3.50)
Ld
где введен коэффициент переноса
Если диффузионный поток равен нулю, то перенос тепла обусловлен чистой теплопро-
теплопроводностью. Мы видим, что величина (8.3.51) играет роль коэффициента теплопровод-
теплопроводности для бинарной смеси.
Ч Средняя плотность массы обозначается как д.

186	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В формуле (8.3.45) для диффузионного потока удобно перейти в термодинамиче-
термодинамических функциях к переменным Р, Т и С. Тогда
и мы получаем выражение
Коэффициент
есть коэффициент диффузии для бинарной смеси; он определяет диффузионный поток
в случае, когда давление Р и температура Т постоянны. Коэффициент термодиффузии
имеет вид
^(	^ (?))	(8-3-54)
где безразмерный множитель Кт — термодиффузионное отношение. Наконец, вели-
величина KPD называется коэффициентом бародиффузии. Множитель
не зависит от кинетических коэффициентов и полностью определяется термодинами-
термодинамическими свойствами жидкости. Отметим, что коэффициенты КТ и Кр равны нулю
при С = 0 и С = 1, так как оба этих предельных случая соответствуют однокомпонент-
ной жидкости, в которой отсутствует диффузионный поток.
Процессы диффузии и теплопроводности обычно описываются уравнениями для
массовой концентрации С и энтропии на единицу массы s. Чтобы вывести эти уравне-
уравнения, запишем
dC С dg mi d{nl)
dt	g dt g dt
где d/dt — полная производная [см. (8.2.93)]. Используя закон сохранения мас-
массы (8.2.89) и уравнение (8.3.39) для средней плотности числа частиц (ni), получаем
q[ ^+v-VC) =-miV-i.	(8.3.56)
Уравнение баланса энтропии можно вывести с помощью термодинамического соотно-
соотношения (8.3.48). Положим и = е/ д, где е — плотность энергии в движущейся системе
координат, а затем запишем
^ ds de I , _ dp	dC	, ч
gT— = -	(? + Р)-г-ди — .	8.3.57
^ dt dt gy } dt ^P dt	v	;
Первый и второй члены в правой части этого уравнения преобразуются точно так же,
как соответствующие члены в уравнении (8.2.92) для однокомпонентной жидкости.

8.4. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	187
Полную производную dC/dt в третьем члене можно исключить с помощью уравне-
уравнения (8.3.56). В результате получаем уравнение баланса энтропии (или уравнение пере-
переноса тепла) для бинарной смеси:
( — + v • Vs ) = - V • (q - mi/х i) - mii •
-7ra0Wave.	(8.3.58)
Вообще говоря, уравнения (8.3.56) и (8.3.58) нужно решать совместно с уравнением
Навье-Стокса (8.2.88). Если, однако, в жидкости отсутствует макроскопическое движе-
движение, то Р = const и v = 0. В этом случае неравновесный процесс полностью описывается
системой уравнений (8.3.56) и (8.3.58).
Предположим, что v = 0, а градиенты температуры и концентрации столь малы,
что уравнения (8.3.56) и (8.3.58) можно линеаризовать по неравновесным поправкам.
В этом приближении коэффициенты переноса Аи D, а также термодинамические ве-
величины, входящие в формулу (8.3.52), можно считать постоянными. Тогда линеаризо-
линеаризованные уравнения (8.3.56) и (8.3.58) легко преобразовать к виду
Кт ^2rT1 x	(8.3.59)
где Ср = Т' (ds/ дТ)с р — теплоемкость на единицу массы при постоянном давлении, а
величина
DT = X/gcp	(8.3.61)
называется коэффициентом температуропроводности. Уравнения (8.3.59) и (8.3.60)
описывают линейные необратимые процессы в бинарной смеси, обусловленные теп-
теплопроводностью и диффузией. Как уже отмечалось, термодиффузионное отношение
КТ стремится к нулю при С —> 0. Поэтому при малых концентрациях С в уравнени-
уравнениях (8.3.59) и (8.3.60) можно пренебречь перекрестными членами. Тогда концентрация
удовлетворяет обычному уравнению диффузии
f = ?V2C,	(8.3.62)
а (8.3.60) принимает вид уравнения теплопроводности
дТ
= DTVT,	(8.3.63)
о ъ
которое называют также уравнением Фурье.
8.4. Гидродинамика сверхтекучей жидкости
До сих пор мы изучали гидродинамические процессы в классических газах или
жидкостях. При низких температурах, близких к абсолютному нулю, возможны ситу-
ситуации, когда квантовые эффекты проявляются на макроскопическом уровне. В таких
случаях существенно меняется структура гидродинамических уравнений, причем пове-
поведение квантовой жидкости зависит от типа статистики, которой подчиняются атомы.

188	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Наиболее интересные свойства низкотемпературной фазы изотопа гелия Не4 (так на-
называемого Не II) — сверхтекучесть, т.е. исчезающе малая вязкость при протекании
через капилляры, и термомеханический эффект — были открыты в 1938 году Капи-
Капицей [97] и Алленом и Джонсом [39].
В настоящее время существует обширная литература, посвященная равновес-
равновесным и неравновесным свойствам Не II, который является типичным примером бозе-
жидкости. Феноменологическая гидродинамика сверхтекучести, развитая Ландау
в 1941 году [22], изложена во многих книгах (см., например, [24, 38, 143]). В этом
параграфе мы рассмотрим микроскопический подход к построению гидродинамики
сверхтекучей бозе-жидкости, основанный на методе неравновесных статистических
ансамблей1).
8.4.1. Равновесное состояние сверхтекучей жидкости. Рассмо-
Рассмотрим систему тождественных бозе-частиц с гамильтонианом
Н= fe{r)dr.	(8.4.1)
В представлении вторичного квантования оператор плотности энергии е(г) имеет вид
ё(г) = — VVf(r) ¦ VV(r) + - у dv1 Ф(|г - г'|) фЦг)ф\г')ф(г')ф(г),	(8.4.2)
где операторы поля частиц ^(г) и ф^(г) удовлетворяют коммутационным соотношени-
соотношениям статистики Бозе-Эйнштейна
[ф(г),фЦт')]=6(г-г'), [ф(г),ф(т')]=[фЦт),ф^г')}=0.	(8.4.3)
Следует отметить, что оператор плотности энергии не определяется условием (8.4.1)
однозначно; к е(г) можно добавить дивергенцию произвольного вектора. Впрочем, по-
подобная неопределенность локальных динамических переменных характерна для любой
теории поля. Обычно используется оператор (8.4.2), так как он эрмитов.
Современная микроскопическая теория сверхтекучести бозе-жидкости основана на
предположении, что ниже некоторой температуры перехода Тс конечная доля частиц
"конденсируется" в квантовое состояние с нулевым импульсом2). Это явление назы-
называется конденсацией Бозе-Эйнштейна. Для иллюстрации понятия конденсата рассмо-
рассмотрим сначала идеальный бозе-газ при Т < Тс.
Введем одночастичную матрицу плотности идеального бозе-газа в координатном
представлении
вA\т,т') = (фЦт')ф(г)),	(8.4.4)
где (...) означает усреднение с равновесным распределением geq. Выражая операторы
поля частиц через бозе-операторы рождения и уничтожения по формулам
ф(г) = -L^eikrak, ^(г) = _L?e-ik-r4,	(8.4.5)
Ч К сожалению, объем книги не позволяет обсудить чрезвычайно интересные гидродинамические
свойства сверхтекучей фазы ферми-жидкости Не3 и гидродинамическую теорию сверхпроводимости.
Для первого знакомства с экспериментальными и теоретическими исследованиями сверхтекучести в
Не3 можно рекомендовать прекрасные обзоры [116, 169]. Гидродинамические аспекты сверхпроводи-
сверхпроводимости рассмотрены в [63].
2) Для жидкого Не4 температуру перехода Т\ =2.19 К называют "А-точкой", поскольку температур-
температурная зависимость удельной теплоемкости напоминает греческую букву лямбда со скачком при Т = Т\.

8.4. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	189
запишем (8.4.4) в виде
^O4	i^ y'^L%e^r-r'),	(8.4.6)
где по = {а\а$) /V — равновесная плотность конденсата, a nk = (а^ ак) — средние числа
заполнения одночастичных состояний с ненулевыми волновыми векторами. Ясно, что в
макроскопической системе среднее значение произведения двух локальных операторов
{Ai(r') А2{г)) должно переходить в {Ai(r')){A2{r)) при увеличении разности коорди-
координат. Следовательно, в общем случае равновесную одночастичную матрицу плотности
бозе-газа можно представить как
2«(г,г') = (ф(т)) (фНт1)) + /(г,г'),	(8.4.7)
где функция /(г,г7) обращается в нуль при увеличении расстояния между точками г и
г'. Сравнивая соотношения (8.4.6) и (8.4.7) с учетом того, что последний член в (8.4.6)
стремится к нулю при |г — г'| —> оо, приходим к выводу, что в бозе-газе при Т < Тс
{^	{^О.	(8.4.8)
На первый взгляд этот результат может показаться парадоксальным. Действительно,
из коммутационных соотношений (8.4.3) и явного выражения для оператора числа
частиц
N = ! ф\т)ф{т)йт	(8.4.9)
следует, что
[ф(т),М] = ф(т), [фЦт),М]=-фНт).	(8.4.10)
Если дщ — каноническое или большое каноническое распределение, то [TV, geq] = 0, и
поэтому
<V(r)> = Тг{[ф(т),Щ geq} = Tr{V(r) [N, geq}} = 0.
Оказывается, что в равновесном состоянии среднее (^(г)) должно быть равно нулю!
Ясно, что это противоречит соотношениям (8.4.8), которые являются следствием кон-
конденсации Бозе-Эйнштейна и общего принципа ослабления пространственных корреля-
корреляций в многочастичных системах.
Противоречие может быть устранено, если рассматривать (^(г)) и (^(г)) как ква-
квазисредние [6] (см. также раздел 2.3.6 первого тома). Напомним, что именно квазисред-
квазисредние играют роль наблюдаемых величин для систем с нарушенной симметрией. В дан-
данном случае симметрия равновесного состояния бозе-газа связана с законом сохранения
числа частиц и описывается унитарным оператором
[/ = е^,	(8.4.11)
где (р — произвольный параметр1). Гамильтониан (8.4.1) и, следовательно, канони-
каноническое и большое каноническое распределения ?eq инвариантны относительно пре-
преобразования (8.4.11), которое обычно называют градиентным преобразованием, т.е.
Ч Поскольку собственные значения оператора TV являются целыми числами, можно считать, что
0< (р <2тг.

190	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
= Я и UQeqU^ = geq. Равенство нулю средних (ф(т)) и (ф^(т)) в состоянии, опи-
описываемом каноническим или большим каноническим распределением, является факти-
фактически частным случаем более общего результата. Пусть д — некоторое статистическое
распределение, обладающее градиентной симметрией. Тогда из соотношений
[q,U]=0, [A1,N] = A2	(8.4.12)
следует, что (А2) = 0. Из формул (8.4.10) видно, что в нашем случае в роли операторов
А\ и A<i выступают полевые операторы ф(т) и ^(г).
Итак, равновесный ансамбль, соответствующий состоянию с (^(г)) / 0, должен
описываться таким статистическим оператором, который не коммутирует с оператором
числа частиц N. Следуя методу квазисредних [6], введем распределение
„) = ехр{-/3(Я„ - fiN)}/Trexp{-/3(Я„ - fiN)},	(8.4.13)
где гамильтониан
HU = H- f dr {1/*{т)ф{т) + 1/{т)ф*{т)}	(8.4.14)
содержит "источник частиц", нарушающий градиентную симметрию. Теперь наблюда-
наблюдаемое значение (^(г)) вычисляется как квазисреднее
<V>(r)) = lim	lim Тг{дщ(Н„)ф(г)}.	(8.4.15)
v—>0	V —» сю
V/{N) = const
Вообще говоря, вспомогательная функция ^(r) = |^(r)| exp{i(p(r)} в гамильтони-
гамильтониане (8.4.14) может иметь произвольные амплитуду и фазу. Если равновесное состояние
бозе-газа пространственно однородно, то среднее значение (^(г)) не должно зависеть
от координат. В этом случае следует положить v(r) = v ехр (г у?), где v и ц> — некоторые
постоянные. Тогда гамильтониан с нарушенной градиентной симметрией принимает
вид
W(i j^)	(8.4.16)
Покажем, что квазисреднее (8.4.15), соответствующее некоторой фиксированной фазе
(р, можно выразить через квазисреднее (^(г))^=о. С этой целью воспользуемся преоб-
преобразованиями
и]ф{г) U = ei<p ф{т), U] ф]{г) U = e~i(p ^f(r),	(8.4.17)
которые следуют из коммутационных соотношений (8.4.10) и явного выражения (8.4.11)
для унитарного оператора U. Пишем
Далее с учетом выражений (8.4.13) и (8.4.14) находим, что
(р=0
Поэтому (ф) = (l0)(p=o exp{i(p}. Ясно, что (ф)^ = (ф^)<р=о = у/п0, где п0 — равновесная
плотность конденсата. Таким образом для пространственно однородного бозе-газа
^.	(8.4.18)

8.4. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	191
Отметим, что равновесное состояние конденсированного бозе-газа вырождено, по-
поскольку фаза (р может быть выбрана произвольно.
Разумеется, модель идеального бозе-газа нельзя непосредственно использовать для
описания жидкого гелия, так как в нем взаимодействие между атомами отнюдь не мало.
Разумно предположить, однако, что одночастичная матрица плотности бозе-жидкости
с сильным взаимодействием имеет ту же форму (8.4.7), поскольку ее вывод был основан
на весьма общих аргументах: нарушении градиентной симметрии и принципе ослабле-
ослабления пространственных корреляций1). Это допущение, впервые выдвинутое Пенроузом
и Онсагером [138], впоследствии было использовано в гидродинамике сверхтекучей
жидкости Боголюбовым [5], Хоэнбергом и Мартином [85] и многими другими. Мы так-
также предположим, что сверхтекучая бозе-жидкость характеризуется отличными от нуля
средними (ф(т)) и (^t(r)), которые описывают бозе-эйнштейновский конденсат.
8.4.2. Локально-равновесное состояние. Для вывода уравнений гид-
гидродинамики сверхтекучей жидкости нам потребуется статистический оператор, опи-
описывающий локально-равновесное состояние. Прежде всего необходимо выбрать соот-
соответствующие базисные динамические переменные.
Как и для обычной жидкости, локально-равновесное состояние сверхтекучей бозе-
жидкости характеризуется средними плотностями сохраняющихся величин. В кванто-
квантовом случае это
e(r,t) = <e(r)>', g(r,t) = (g(r)Y, j(r,i) = <j(r)>',	(8.4.19)
где e(r), д(т) и j(r) — операторы, соответствующие плотностям энергии, массы и им-
импульса. Средние вычисляются с некоторым неравновесным статистическим операто-
оператором g(t). Оператор плотности энергии определяется выражением (8.4.2), а остальные
два оператора имеют хорошо известную из квантовой механике форму:
}.	(8.4.20)
Для описания сверхтекучего движения введем "волновую функцию" конденсата
Ф(г, t) = (ф{г)У = s/no{r,t) е^<г-*>	(8.4.21)
где no(r, i) = |Ф(г, i)\ — неравновесная плотность конденсата. Если жидкость находит-
находится в состоянии покоя, то фаза конденсата ц> постоянна; следовательно, неравновесное
состояние характеризуется градиентом фазы в каждой точке. Удобнее, однако, исполь-
использовать векторное поле
^	(8.4.22)
Как будет показано ниже, его можно интерпретировать как локальную скорость кон-
конденсата. С помощью выражения (8.4.21) нетрудно получить другую формулу
{	)	( }
которая выражает поле vs непосредственно через волновую функцию конденсата.
Ч Имеющиеся экспериментальные данные не указывают явно на наличие конденсата в Не П. По-
видимому, плотность конденсата п0 очень мала по сравнению с полной плотностью числа частиц
п = N/V. Согласно теоретическим оценкам [138], п0 составляет несколько процентов от п.

192	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
При выводе локально-равновесного распределения будем следовать обычной про-
процедуре, основанной на принципе максимума информационной энтропии для заданного
набора наблюдаемых. В данном случае роль наблюдаемых играют величины (8.4.19)
и (8.4.23). Поэтому, вводя множители Лагранжа, ищем абсолютный экстремум функ-
функционала (фиксированный аргумент t для краткости опустим)
где д' — пробный статистический оператор. Зависимость векторного поля v5(r; [g1]) от
д' определяется формулой
Тт{д'Уф(т)} Tr{g'Vy,t(r)}
Из условия экстремума SS' = S'[gl + Sg] — S"[#/] = 0 находим локально-равновесное
распределение [27]
q, = exp |-Ф - Jdr/3(r) [e(r) - Ji(r) g(r) - vn(r) • j(r) - j,(r) • us(r)] J (8.4.25)
с функционалом Масье-Планка
]| (8.4.26)
Обратим внимание на последний член в выражении (8.4.25), содержащий новый тер-
термодинамический параметр j5 и оператор
Этот оператор обладает очевидным свойством
<iis(r)};=0,	(8.4.28)
поэтому его нельзя интерпретировать как оператор скорости конденсата. Тем не менее
в дальнейшем выяснится, что оператор us играет важную роль при выводе термоди-
термодинамических соотношений для сверхтекучей жидкости.
Сформулируем теперь условия на множители Лагранжа /3, Jl, vn и j5. Поскольку
локально-равновесное распределение соответствует максимуму информационной эн-
энтропии при заданных средних значениях (8.4.19) и заданном поле скоростей (8.4.23),
должны выполняться условия самосогласования
(ё(г)У = (ё(г))„ (e(r))t = (g(r))l, <j(r)>* = <](г)>„	(8-4.29)
(ф(г)У (фЦг)У	{ф(г)I (фЦг)I •

8.4. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	193
Последнее условие означает, что скорость vs, которая выражается через градиент фа-
фазы локально-равновесной волновой функции конденсата ФДг) = (ф{г))^ совпадает с
истинной скоростью (8.4.23). Подчеркнем, что при этом локально-равновесная плот-
I 2
ность конденсата \4fl не обязана совпадать с истинной неравновесной плотностью
по(г,?), которая входит в формулу (8.4.21).
Докажем теперь одно важное свойство оператора (8.4.27). Хотя его локально-
равновесное среднее значение равно нулю, он зависит от термодинамических парамет-
параметров через локально-равновесную волновую функцию конденсата, поэтому при варьи-
варьировании этих параметров us изменяется. Вариацию Sus можно вычислить, используя
соотношения
= Saei<p + i(^ 6(p, 6{ф]I = Sae~i<p -
где а = |(^)/|. После несложных преобразований с учетом условия (8.4.30) получаем
(SusW^-SYsir).	(8.4.31)
Отметим, что (Su8)l / ^(й5)г
8.4.3. Локальные термодинамические соотношения. Чтобы вы-
выяснить физический смысл параметров в локально-равновесном распределении (8.4.25),
выведем термодинамические равенства для сверхтекучей жидкости.
При рассмотрении классической гидродинамики мы убедились, что для вывода
термодинамических равенств удобно выполнить каноническое преобразование фазо-
фазовых переменных частиц, исключающее макроскопическое движение жидкости. К со-
сожалению, в случае сверхтекучей жидкости переход в движущуюся систему координат
позволяет исключить лишь одно из векторных полей vs или vn, которыми теперь
описывается макроскопическое движение. Для определенности получим термодина-
термодинамические равенства в системе координат, движущейся со скоростью v5(r). Переход в
эту систему координат можно осуществить с помощью унитарного преобразования
^'(г) = иф(г)и\ ф'\г) = иф\г)и\	(8.4.32)
где оператор U имеет вид
- [dTtp(T)Q(T)\, v,(r) = -Vp(r).	(8.4.33)
т J	)	т
Обратное преобразование записывается как
^(г) = {/У (г){/, ^f(r) = {/У+(г){/,	(8.4.34)
где оператор U имеет прежнюю форму, но оператор плотности массы д(г) заменяется
на д'(г) = тф'^ф'.
Правила преобразования полевых операторов (8.4.34) можно представить в очень
простом виде (см. задачу 8.12):
^(г) = е**(р) ф'{г), ф\г) = е-**(р) ^/f(r).	(8.4.35)
С помощью этих соотношений нетрудно преобразовать любой вторично-квантованный
оператор. Например, при переходе в систему координат, движущуюся со скоростью
vs(r), базисные динамические переменные (8.4.2) и (8.4.20) преобразуются по правилам
e(r) = e/(r/) + v5(r).j/(r) + ^/(r)i;52(r),
./	(8.4.36)

194
ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
которые аналогичны правилам преобразования динамических переменных для клас-
классической жидкости.
Подставляя операторы (8.4.36) в (8.4.25), получим
(8.4.37)
где
(8.4.38)
(8.4.39)
Поэтому опера-
(8.4.40)
Обратим внимание на второе равенство, которое отличается от (8.4.31).
С помощью нового выражения (8.4.37) для локально-равновесного статистического
оператора функционал Масье-Планка можно записать как
Ф = lnTrexp|-y>(/r/?[ё'(r)-/^^(r)-(vn-vs)•j•'(r)-js•й;(r)]J. (8.4.41)
Формально этот функционал зависит от /5, /х, vn — vs, j5 и |(^)J. Заметим, однако, что
из (8.4.40) следуют равенства
и введен новый термодинамический параметр
Из выражений (8.4.35) следует, что (ф'(г)I = |(^'(r))z|
тор (8.4.38) обладает следующими свойствами:
<й',(г)),=0, <Яй',(г)),=0.
= 0,
=0.
Они показывают, что в действительности Ф = Ф(/3, /х, vn — vs). Соответствующие функ-
функциональные производные имеют вид
—— = [vn(r)-v,(r)] -(j (r))/+/x(r)(^/(r))/-(e/(r))/,
^Ф	л/ х , „, х,	^Ф
(j (Г)),.
Определим теперь неравновесный термодинамический потенциал
жидкости по формуле
Ф = - f dr/3(r)u(r).
Тогда из (8.4.43) получаем термодинамическое соотношение
где ^(г) = (^(г))^ — средняя плотность массы, а величины
ео(г) = (е'(г)>„ jo(r) = <j'(r)
(8'443)
сверхтекучей
(8.4.44)
(8.4.45)
(8.4.46)

8.4. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	195
есть средние плотности энергии и импульса в системе координат, движущейся со ско-
скоростью vs(r). Соотношение (8.4.45) можно представить в более удобной форме, если
ввести плотность энтропии
S{T) = p{eo-u-nQ-{vn-v,)-jo}.	(8.4.47)
Тогда из (8.4.45) получаем
-v8)-eio,	(8.4.48)
где Т(т) = Р~1(г). Поскольку это равенство записано для вариаций, оно справедливо
даже в случае, когда плотность энергии является нелокальным функционалом от плот-
плотностей энтропии, массы и импульса1). В локальном приближении равенство (8.4.48)
можно записать для дифференциалов:
deo = TdS + ndQ + (vn-v8)-dio.	(8.4.49)
Оно выражает второй закон термодинамики для сверхтекучей жидкости, который по-
постулируется в феноменологической теории [38]. Мы видим, что Т(т) есть локальная
температура, а /х(г) — химический потенциал единицы массы.
Далее ограничимся случаем локальной термодинамики и будем считать локально-
равновесное состояние изотропным2). Тогда в системе координат, движущейся со ско-
скоростью v5, вектор плотности импульса j0 должен быть параллелен вектору vn — vs.
Запишем
Jo = 2n(vn-v5),	(8.4.50)
где дп называется плотностью нормальной компоненты3). Разность gs = д — дп на-
называется плотностью сверхтекучей компоненты. Она стремится к нулю при Т —> Т\
и равна плотности массы д при Т = 0 [38]. Смысл понятий "нормальная компонен-
компонента" и "сверхтекучая компонента" становится ясен, если выразить среднюю плотность
импульса j через скорости v5 и vn. Для этого сначала заметим, что правило преобра-
преобразования (8.4.36) оператора j приводит к соотношению для средних величин
v5.	(8.4.51)
Подставляя сюда (8.4.50), находим, что
nVn-	(8.4.52)
Это выражение играет важную роль в феноменологической теории сверхтекучести
Ландау [22]. Видно, что j формально совпадает с плотностью импульса для смеси двух
"жидкостей", одна из которых имеет плотность массы gs, а другая — дп. Сверхтекучая
часть жидкости характеризуется безвихревой скоростью vs, в то время как ротор ско-
скорости vn может быть отличен от нуля. Отметим, однако, что к подобным параллелям
между Не II и смесью двух жидкостей следует относиться осторожно. Например, обе
плотности gs и дп зависят от
vs — vn
Ч Это имеет место в окрестности А-точки жидкого гелия из-за сильных крупномасштабных флукту-
флуктуации [82].
2)	Это предположение не справедливо для вращающегося Не II, в котором образуются вихревые
линии [38, 143]. Впрочем, весь наш анализ относится к случаю, когда поле скоростей vs потенциально,
т.е. вихревые линии отсутствуют [см. (8.4.22)].
3)	В принципе, дп может быть вычислена с помощью локально-равновесного распределения (8.4.37).

196	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Итак, сверхтекучее движение в бозе-жидкости характеризуется полем скоростей
vs и двумя величинами, имеющими смысл плотности массы: плотностью сверхтеку-
сверхтекучей компоненты gs и плотностью массы конденсата дс = га|Ф| , где Ф(г,?) — волно-
волновая функция (8.4.21). Вообще говоря, дс определяется независимо от скорости vs, в
то время как определение gs следует из формулы (8.4.50) для плотности импульса в
системе координат, движущейся со скоростью vs. Поэтому нет никаких оснований ото-
отождествлять плотность сверхтекучей компоненты с плотностью конденсата. Как уже
отмечалось, даже при Т = 0, когда gs = g, плотность конденсата дс в Не II составляет
всего нескольких процентов от д.
Выясним теперь термодинамический смысл векторного поля js(r) в локально-
равновесном распределении (8.4.25). Для этого воспользуемся очевидным тождеством
([A,S]), = 0,	(8-4.53)
где А — произвольная динамическая переменная, а
}	(8.4.54)
— оператор энтропии, определяемый соотношением gl = exp{—S}. Положим теперь
в (8.4.53) А = д(г) и вычислим коммутаторы. Это дает
V-{/?(J-0vn)}-V-(/?jJ = O.	(8.4.55)
Как выяснится дальше, вектор j5 входит в гидродинамические уравнения только в
комбинации V-(/Jjs). Поэтому можно считать, что
h =J-^vn = ?*(v5-vn),	(8.4.56)
т.е. js(r) есть средняя плотность импульса в системе координат, где нормальная ком-
компонента жидкости покоится.
8.4.4. Гидродинамика идеальной сверхтекучей жидкости. Пе-
Перейдем к выводу гидродинамических уравнений для сверхтекучей жидкости. Как и
в случае обычной жидкости, исходными являются локальные законы сохранения. В
операторной форме они имеют вид уравнений движения
? = vj(,).	= vJ.(,). % = **(„. (*ш,
где je(r) — оператор плотности потока энергии, Т — оператор тензора напряжений.
Обозначение dO/dt используется для производных квантовомеханических операторов
О по времени, т.е. квантовых скобок Пуассона dO/dt = [O,H]/ih. Явные выражения
для je(r) и Т можно найти с помощью уравнения движения
= ~^2ф{т) + J
8.4.58)
и эрмитово сопряженного уравнения для ^(г). Дальнейшие выкладки очевидны, по-
поэтому оставляем их читателю (см. задачу 8.14). В случае короткодействующих сил

8.4. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	197
операторы потоков имеют вид
Je(r) = ^ Vf	t	V
f (Г)= % (	{
2т 1 <9га дгр дгр дга 2тп дга дг
)], (8.4.59)
дф(т) 1 д2д(т) |
-\JdT'\
), (8.4.60)
где г = |г —
Гидродинамические уравнения для плотности массы g(r,t) = (д(г)I, плотности
энергии е(г,?) = (ё(г))г и плотности импульса j(r, ^) = (j(r))f получаются из оператор-
операторных уравнений движения (8.4.57) после усреднения их с неравновесным распределени-
распределением g(t):
^M	«M -V.(f(r)>*. (8.4.61)
^ = VJM),	= V<je(r)),	= V(
Уравнения для скорости сверхтекучего движения получается путем дифференцирова-
дифференцирования по времени выражения (8.4.23):
Ясно, что (8.4.61) и (8.4.62) остаются лишь формальными соотношениями, пока их
правые части не выражены через гидродинамические переменные.
Для идеальной сверхтекучей жидкости средние значения в (8.4.61) и (8.4.62) вы-
вычисляются с локально-равновесным распределением, т.е. система гидродинамических
уравнений записывается в виде
| = -V-j, | = -V.(je), H = -V-<*>,,	(8.4.63)
Явное вычисление средних в правых частях этих уравнений является более сложной
задачей, чем вычисление потоков для классической идеальной жидкости. Основная
проблема опять состоит в том, что в гидродинамике сверхтекучести приходится иметь
дело с двумя полями скоростей vs и vn. Поэтому невозможно исключить конвек-
конвективное движение путем перехода в движущуюся систему координат. Чтобы выразить
локально-равновесные средние через гидродинамические переменные, мы воспользу-
воспользуемся специальной процедурой, основанной на тождестве (8.4.53).
dt 2mi¦ \ <^(r)>/ \ dt /i (^(г))Л dt ' l>

198	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Начнем с уравнения для vs и положим в тождестве (8.4.53) А = ^(г). Пренебре-
Пренебрегая пространственными изменениями обратной температуры C(г), получаем соотно-
соотношение Ч
= jdv' {vn(r') ¦ ([V(r) j(r')]), + M(r')([V(r), e(r')])t H-j.(r') ¦
Коммутаторы в правой части легко вычисляются, и в результате имеем
где Ф/ = (i/))i — волновая функция конденсата в локально-равновесном состоянии. Под-
Подставляя это выражение и комплексно сопряженное выражение для (дф^ /dt)l в (8.4.64),
получаем первое гидродинамическое уравнение для идеальной сверхтекучей жидкости:
O.	(8.4.66)
Перейдем к вычислению локально-равновесных потоков (je)/ и (Т)^. Полагая в
тождестве (8.4.53) А = Н1 находим, что
J
(8-4-67)
(по повторяющимся греческим индексам проводится суммирование от 1 до 3). При
записи последнего члена было использовано соотношение
которое следует из (8.4.27) и (8.4.65). Хотя равенство (8.4.67) справедливо для любой
функции J3(г), отсюда еще не следует, что выражение в фигурных скобках равно нулю.
Можно лишь утверждать, что
•4v-g,	(8.4.68)
где g(r) — некоторое векторное поле, удовлетворяющее условию
(8.4.69)
Чтобы найти средние потоки и поле g(r) из соотношения (8.4.68), выделим в его правой
части полную дивергенцию вектора, а в оставшихся членах сгруппируем множители
Ч Обратная температура считается постоянной лишь для простоты. Все расчеты могут быть проведе-
проведены и в случае, когда C(г) не постоянна, а медленно изменяется в пространстве [27]. Соответствующие
поправки к уравнению для vs имеют чисто квантовое происхождение и очень малы, если средняя
длина волны де Бройля частиц значительно меньше характерной длины, на которой меняется темпе-
температура жидкости.

8.4. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	199
при производных Vqj/x, VaT, Va>vna и V'a/Vsa. С этой целью удобно ввести тензор
таа,(г) по формуле
,,	(8.4.70)
где
Р(т) = -Я(г) = Г5 - е0 + fig + (vn - ve) • j0	(8-4.71)
— локальное давление. Для него из (8.4.45) следует термодинамическое равенство
d{vn-v8),	(8.4.72)
которое справедливо в локальном приближении. Подставим теперь выражение (8.4.70)
в (8.4.68) и учтем, что градиент Р может быть записан в форме
В результате простых преобразований получаем
+ U a' Vna ~ Vna> За) ^a'Vsa + U a> Vsa + Vna> Зоа ~ maa')^a'Vna'	(8.4.73)
Заметим, что члены с производными V^/x точно сократились.
Поскольку правая часть (8.4.73) должна быть дивергенцией вектора при произ-
произвольных значениях градиентов термодинамических параметров Т, vn и vs, соответ-
соответствующие коэффициенты должны быть равны нулю. Легко проверить, что члены с
производными V a,vSOL обращаются в нуль благодаря тому, что скорость сверхтекучего
движения является потенциальной. С другой стороны, приравняв нулю коэффициенты
при VT и Va/VnCK, находим явные выражения для вектора g и тензора таа,:
g = S vn, maa, = ja, vsa + vna, jOa = g8v8av8a, + Qnvnavna,.	(8.4.74)
Как и следовало ожидать, тензор тпаа, является симметричным.
Теперь с помощью выражений (8.4.74) можно вычислить средний поток энергии и
средний тензор напряжений в локально-равновесном состоянии. Поток энергии опре-
определяются первым слагаемым в правой части (8.4.73), а тензор напряжений находится
из (8.4.70):
C	o)
(8.4.75)
(Таа' )i=P Saa> + QnVnaVna> + QsVsaVsa> •
Подведем итоги. Полная система гидродинамических уравнений для идеальной
сверхтекучей бозе-жидкости состоит из уравнений (8.4.63) со средними потока-
потоками (8.4.75) и дополнительного уравнения (8.4.66) для скорости сверхтекучего дви-
движения. Эти уравнения впервые были получены Ландау [22] в рамках феноменоло-
феноменологической теории. Впоследствии уравнения Ландау были выведены Боголюбовым [5],
который использовал микроскопический гамильтониан и явные выражения для опе-
операторов потоков. Хотя вывод Боголюбова был основан на той же идее, что скорость
сверхтекучего движения vs связана с фазой волновой функции конденсата, изложен-
изложенный здесь подход обладает тем преимуществом, что в нем не приходится иметь дело
с громоздкими формулами для операторов микроскопических потоков. Мы видели,

200	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
что с помощью локально-равновесного распределения все члены в гидродинамиче-
гидродинамических уравнениях для идеальной сверхтекучей жидкости довольно легко находятся из
тождества (8.4.53) и правил преобразования операторов потоков1).
Во многих задачах теории сверхтекучести вместо уравнения для энергии удобнее
пользоваться уравнением баланса энтропии. Уравнение для плотности энтропии 5(r, t)
легко получить из термодинамического соотношения (8.4.49), записанного в форме
dS _ де0 dg	<9j0
Г?-?"^"К"У^?'	(8А76)
Плотность импульса jo(r,?) и плотность энергии ео(г,?) в системе координат, движу-
движущейся со скоростью сверхтекучей компоненты, можно выразить через j(r,?) и е(г,?) с
помощью правил преобразования (8.4.36) соответствующих операторов:
Jo = <i'(r)>«=J-0v., eo = (H'(T)),=e-vs-j + \Qv2s.	(8.4.77)
Дифференцируя эти соотношения по времени, а затем используя уравнения (8.4.63)
и (8.4.66), исключим временные производные в правой части уравнения (8.4.76). В
результате получаем
^ = -V-(Svn).	(8.4.78)
Отсюда видно, что энтропия идеальной сверхтекучей жидкости сохраняется. Отметим,
что поток энтропии определяется скоростью нормальной компоненты. Это согласуется
с принятым в теории Ландау предположением, что энтропия сверхтекучей компоненты
равна нулю.
8.4.5. Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости. Вид
диссипативных членов в уравнениях гидродинамики сверхтекучести не удается уста-
установить, исходя непосредственно из обобщенных уравнений переноса (8.1.9), так как
скорость сверхтекучего движения vs(r,?) связана с градиентом волновой функции
конденсата соотношением (8.4.23) и, вообще говоря, ее нельзя представить как среднее
значение "оператора скорости" vs(r), для которого выполнялось бы условие самосогла-
самосогласования (у8(г)У = (vs(r))J. Поэтому мы должны найти явное выражение для неравно-
неравновесного статистического оператора g(t), с которым производится усреднение в правых
частях уравнений (8.4.61) и (8.4.62).
Согласно общей схеме построения неравновесных ансамблей, изложенной в главе 2
первого тома, статистический оператор сверхтекучей жидкости можно записать в виде
g(t) = exp < -S(t) + / dt'e?t elt H/n —y—-f—- e~lt H/n > ,	(8.4.79)
I	-oo	J
причем e —> +0 после термодинамического предела {V —> оо и TV/К = const) в средних
значениях, вычисленных с этим статистическим оператором. Напомним, что оператор
энтропии S(t) сверхтекучей жидкости дается формулой (8.4.54), а оператор производ-
производства энтропии dS(t)/dt, как всегда, имеет вид
4 [?(*), Я],	(8.4.80)
dt \ dt	ih
\	/ expl
Ч Другой вывод линеаризованных гидродинамических уравнений для сверхтекучей жидкости, осно-
основанный на локально-равновесном распределении, приведен в работе Хоэнберга и Мартина [85].

8.4. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	201
где первый член в правой части означает производную, связанную с явной зависи-
зависимостью оператора энтропии от времени1). С помощью выражений (8.4.44) и (8.4.54)
оператор производства энтропии можно записать как
dS(t) fJ Г д/т 0/3 Л, ч dpvn ~ др]1
dt
|dr{je(r)-V/3-fQa.(r)VQ,()SBna)-j(r)-V(/3/i)}
где были использованы уравнения движения (8.4.57), а затем в членах с потоками je,
Таа> и j выполнено интегрирование по частям.
Как и в случае обычной жидкости, оператор производства энтропии должен быть
пропорционален градиентам термодинамических переменных. В дальнейшем будем
считать, что эти градиенты малы. Тогда для неравновесного статистического операто-
оператора (8.4.79) можно взять приближенное выражение
— п (+\ _|_ / Л±1 c±?t I П ф пх (t\ с*г I 	-	- р	I п х (+\	^Я4Я9^
-оо	О
Следует отметить, что, в отличие от нормальной жидкости с одним полем массовой
скорости, кинетические коэффициенты для сверхтекучей жидкости зависят от разно-
разности скоростей vn — vs, так как даже в локальном приближении не удается исключить
макроскопическое движение с помощью перехода в сопровождающую систему коорди-
координат. Для простоты предположим, что малы не только градиенты термодинамических
переменных, но и разность скоростей vn — vs сверхтекучей и нормальной компонент
жидкости2).
В линейном приближении по градиентам локально-равновесный статистический
оператор gi(t) под знаком интеграла в (8.4.82) можно заменить на оператор
20 = ехр {-РН) /Тгехр (-рП)	(8.4.83)
с эффективным гамильтонианом
(8.4.84)
Формально статистический оператор (8.4.83) описывает равновесное состояние сверх-
сверхтекучей жидкости, но, как и в случае нормальной жидкости, при вычислении средних
значений динамических переменных Л (г) в фиксированной точке г параметры J3 и /х
Ч В случае сверхтекучей жидкости S(t) явно зависит от времени не только через термодинамические
параметры /3(r,t), fJt(r,t) и т.д., но и через локально-равновесные средние (^(г)>* и (^t(r))*, которые
входят в оператор us(r) [см. (8.4.27)] .
2) Феноменологический вывод формул для диссипативных членов в уравнениях гидродинамики
сверхтекучести с учетом нелинейных поправок по wn — ws излагается в книге [143].

202	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
следует рассматривать как локально-равновесные величины /5(г, t) и /x(r, t). Ради упро-
упрощения формул мы не будем постоянно на это указывать. Отметим также, что, вообще
говоря, эффективный гамильтониан И следовало бы заменить оператором
Uv = U -
[ dr {ф(г) + ^f(r)}, v -Л 0, (8.4.85)
поскольку в сверхтекучем состоянии нарушена градиентная симметрия. Впрочем, это
различие между И и Hv не имеет особого значения при записи уравнений движения
для гайзенберговских операторов. Поэтому мы будем использовать выражение (8.4.84).
Следует, однако, помнить, что средние значения любых динамических переменных с
распределением (8.4.83) интерпретируются как квазисредние по Боголюбову.
Итак, на основании всего сказанного, средние потоки правых частях уравне-
уравнений (8.4.61) и (8.4.62) будут вычисляться со статистическим оператором
О	/3
¦i / dt'eet dxe-xneil H/h [, ' е~п H/hexn в0. (8.4.86)
/3 J	J	df
—oo	0
Оператор производства энтропии (8.4.81) нужно записать в линейном приближении
по градиентам и опустить слагаемые, явно зависящие от скоростей vn и vs. Матема-
Математические выкладки приведены в приложении 8В. Здесь мы выпишем окончательное
выражение:
V / 	 / Л™ J 'Y ТТ /Э /ЭТТ	Г7 „.	/ЭТТТТ,,	/ЗГТ Г7 I I	f 8 4 87)
(8.4.88)
dt
Оператор плотности потока тепла
аналогичен соответствующей классической динамической переменной [см. (8.2.61)], так
как для нормальной жидкости имеем дп = д и, следовательно, S/f3g + /i = (е + Р) / д.
Часть оператора тензора напряжений с нулевым следом дается формулой
о
Пас (г) = faa,{v) - 5аа,р(г),	(8.4.89)
где
а
(г)	(8.4.90)
— оператор давления. Наконец, скалярный оператор
П(г) = Др(г)-[ — j Дё(г)-[ —j Д?(г)	(8.4.91)
описывает флуктуации давления. Символ АА = А — {А)о означает отклонение дина-
динамической переменной А от среднего значения, вычисленного со статистическим опера-
оператором (8.4.83).

8.4. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	203
Приведенные выше микроскопические потоки являются естественным обобщением
соответствующих динамических переменных для нормальной жидкости. Напротив,
последний член в выражении (8.4.87) описывает диссипативные эффекты, характерные
только для сверхтекучей жидкости. Скалярный оператор потока в этом члене имеет
вид
где производные полевых операторов по времени определяются квантовыми скобками
Пуассона с эффективным гамильтонианом (8.4.84):
ф(г) = ±_[ф(г),Щ, ф\г) = ±_[фЦг),Щ.	(8.4.93)
Из структуры оператора производства энтропии (8.4.87) видно, что в гидродинамике
сверхтекучести имеют место два скалярных диссипативных процесса. В нормальном
состоянии жидкости вектор j5 [см. (8.4.56)] равен нулю, и, следовательно, остается
только один скалярный процесс.
Подставив оператор производства энтропии (8.4.87) в неравновесное распределе-
распределение (8.4.82), можно, в принципе, вычислить средние значения в правых частях урав-
уравнений (8.4.61) и (8.4.62). Для не слишком быстрых процессов достаточно марковско-
марковского приближения. Напомним, что обычно марковское приближение в гидродинамиче-
гидродинамических уравнениях означает, что dS(t-\-t')/dt' « dS(t)/dt. Иначе говоря, предполагает-
предполагается, что термодинамические параметры, описывающие неравновесное состояние, мало
изменяются за время затухания корреляционных функций микроскопических пото-
потоков. Однако в случае сверхтекучей жидкости правило перехода к марковскому при-
приближению нужно уточнить. Дело в том, что первый оператор в формуле (8.4.92) яв-
явно зависит от времени через локально-равновесную волновую функцию конденсата
ФДг,?), которая быстро осциллирует. В приближении идеальной жидкости можно по-
положить <9Ф//'dt = (дф/dt)^ где локально-равновесное среднее определяется выраже-
выражением (8.4.65). Опуская там все слагаемые, зависящие от vs и vn, получаем
Vl(r,t + t') = e-imflt'/hVl{r,t), Vi{r,t + t') = eimflt'/hVi{r,t).	(8.4.94)
Обозначим оператор (8.4.92) с Ф/ = Ф/(?) иФ[ = Ф/*(?) как Ust- Тогда с помощью
(8.4.94) и операторных соотношений
e~iaNil>eiaN =е{аф, e~iaN i>UiaN = e~ia ф\
где а = miit'/H, нетрудно убедиться, что
eit'H/k nM+f/ e-i?H/n = jfn/п f}M e-wn/n_	(8495)
Таким образом осцилляции волновой функции конденсата в операторе Us исключают-
исключаются, если Я заменить на эффективный гамильтониан %. Поскольку остальные операто-
операторы потоков коммутируют с оператором числа частиц TV, правило перехода к марков-
марковскому пределу в статистическом операторе (8.4.86) должно выглядеть так:
е	> е
dt'	dt

204	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Отсюда следует, что в марковском приближении неравновесное среднее значение любой
локальной динамической переменной А(г) дается формулой
^ ,	(8.4.97)
где A(r,t') — оператор в представлении Гайзенберга с эффективным гамильтонианом
% т.е.
А{т, t') = еи'п/п А{т) е-и'п^п.	(8.4.98)
Корреляционная функция под знаком интеграла в формуле (8.4.97) вычисляется в
состоянии, которое описывается статистическим оператором (8.4.83) с f3 = /3(r,t) и
/I = /x(r, t). Поскольку сверхтекучая жидкость является системой с нарушенной гради-
градиентной симметрией, для любых динамических переменных Аг и А2 эта корреляционная
функция определяется как квазисреднее:
1
=lim lim	f dx Tr\AA^-i/Shx) AA2 g^) ,	(8.4.99)
0 v—>0 у —> сю J	I	J
V/(N) = const 0
где статистический оператор
W	PHv)	(8.4.100)
содержит эффективный гамильтониан (8.4.85) с нарушенной градиентной симметрией.
Интегральный член в выражении (8.4.97) дает диссипативные поправки к средним
значениям в правых частях гидродинамических уравнений (8.4.61) и (8.4.62). В част-
частности, полагая A(r) = je(r), а затем А(г) = Та/з(г), получаем средний поток энергии и
средний тензор напряжений. В силу условий самосогласования (8.4.29), при вычисле-
вычислении корреляционных функций оператор плотности потока энергии je(r) можно заме-
заменить на оператор потока тепла (8.4.88), а вместо Тар(г) можно взять сумму операто-
о	о
ров Па(з (г)н-П(г) 5ар, где Иар (г) и П(г) определяются формулами (8.4.89) и (8.4.91).
С учетом того, что для изотропной сверхтекучей жидкости отличны от нуля толь-
только локально-равновесные корреляционные функции операторов одинаковой тензорной
размерности, после простых преобразований находим
(8.4.101)
(fa/3)t = (fa/3);-^(v%n)a/3-(CiV-js + c2v-v)l)^,
где введен тензор с нулевым следом, построенный из производных скорости нормаль-
нормального движения:
{V°Vn)a0=VaVnp + VpVna-lsapV-Yn.	(8.4.102)
Для коэффициента теплопроводности имеем формулу Грина-Кубо
А= з^1 / dr' jdte~st (J«(r,i),J«(r')H,	(8.4.103)

8.4. ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ	205
которая аналогична формуле (8.2.80) в обычной гидродинамике. Так называемый пер-
первый коэффициент вязкости
(8.4.104)
в нормальной фазе совпадает с коэффициентом сдвиговой вязкости [см. выраже-
выражение (8.2.81)]. Остальные два коэффициента переноса d и B в (8.4.101) называются
вторыми коэффициентами вязкости. Они выражаются через корреляционные функ-
функции операторов скалярных потоков:
оо
= ^Jdrfjdte-?t (П(г,*)Д(г')H,	(8.4.105)
? =
B = ^Jdr'Jdte-?t (П(г,*),П(г')H.	(8.4.106)
о
Коэффициент B можно считать обобщением коэффициента объемной вязкости обыч-
обычной жидкости, а коэффициент переноса d появляется только в сверхтекучей гидроди-
гидродинамике.
Формулы (8.4.101) совместно с выражениями (8.4.75) для локально-равновесных
потоков позволяют записать уравнения переноса энергии и импульса в окончательном
виде:
|| = - V • {{(I + v2j2)j + (TS + vn • j0) vn - ЛVT},	(8.4.107)
QnVnaVna, + QsVsaVsa,) +
n)aa, + ((iV-js + BV-vnNaa,}.	(8.4.108)
Рассмотрим теперь диссипативные члены в уравнении для скорости сверхтекучего
движения vs. Вернемся к уравнению (8.4.62) и запишем
где посредством <J(...)diSS обозначены диссипативные вклады в средние значения, ко-
которые определяются вторым слагаемым в формуле (8.4.97). После простых выкладок
находим, что в первом порядке по диссипативным поправкам уравнение (8.4.62) при-
принимает вид
v ¦ (щiw;>s'- - т т'<-) ¦ {ЙЛлт)
ш v (iw;>s
Первый член в правой части представляет собой производную скорости сверхтекучего
движения по времени в локально-равновесном состоянии. Этот член входит в уравне-

206	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
ние (8.4.66). Второй член есть искомая диссипативная поправка1). В силу условий само-
самосогласования (8.4.29) ее можно записать как -V ^(ns)diss с оператором потока (8.4.92).
Тогда, используя еще раз формулу (8.4.97) и вспоминая явное выражение (8.4.87) для
оператора производства энтропии, получаем
H.	(8.4.110)
Здесь введены еще два коэффициента второй вязкости:
Сз = ^Jdr'Jdte-?t (П,(г,*)Д(г')H,	(8.4.111)
?t (П,(г,*),П(г')H.	(8.4.112)
о
оо
о
Нетрудно убедиться, что операторы П(г) и Пв(г) инвариантны относительно обра-
обращения времени2). Тогда, согласно формулам (8.4.105) и (8.4.112), имеем соотношение
взаимности Онсагера
Ci = C4,	(8.4.113)
которое уменьшает число независимых коэффициентов вязкости.
Уравнения (8.4.107), (8.4.108) и (8.4.110) совместно с законом сохранения массы об-
образуют полную систему уравнений гидродинамики сверхтекучей бозе-жидкости. Впер-
Впервые эти уравнения были выведены Халатниковым [37, 38] на основе феноменологиче-
феноменологических соображений. Изложенный здесь подход (см. также [27]) позволяет не только
обосновать феноменологическую теорию сверхтекучести, но и получить выражения
для коэффициентов переноса через корреляционные функции микроскопических по-
потоков 3).
В завершение нашего анализа сверхтекучей гидродинамики сделаем несколько за-
замечаний. Во-первых, напомним, что диссипативные члены были получены в линей-
линейном приближении по скоростям vs и vn. В принципе, исключая временные производ-
производные термодинамических параметров в операторе производства энтропии с помощью
нелинейных гидродинамических уравнений идеальной сверхтекучей жидкости, мож-
можно получить более общие выражения для диссипативных членов, зависящие от относи-
относительной скорости vs — vn. Феноменологический вывод подобных членов приводится,
например, в уже цитированной книге Паттермана [143]. Более серьезным ограниче-
ограничением изложенного здесь подхода является предположение о том, что ротор скорости
сверхтекучего движения V х vs всюду равен нулю. Это предположение становится
Ч Отметим, что здесь производные ф и ф^ следует понимать как квантовые скобки Пуассона полевых
операторов с эффективным гамильтонианом %.
2)	Мы не будем останавливаться здесь на доказательстве этого утверждения, оставляя его читателю
в качестве упражнения. Операция обращения времени для квантовых систем подробно обсуждалась
в разделе 1.2.6, а вытекающие из нее свойства симметрии корреляционных функций — в разделе 5.2.2
первого тома.
3)	В несколько иной форме формулы Грина-Кубо для коэффициентов переноса сверхтекучей бозе-
жидкости были получены Хоэнбергом и Мартином [85], которые использовали метод линейной реак-
реакции. Следует, однако, отметить, что в этом методе структура гидродинамических уравнений заранее
предполагается известной из феноменологической теории.

Приложения к главе 8	207
неприменимым в некоторых условиях (во вращающемся Не II или при течении через
капилляры), когда в сверхтекучей жидкости возникают квантованные вихревые нити
или вихревые кольца . Онсагер [137], а затем Фейнман [65] предположили, что вихре-
вихревые линии или кольца можно рассматривать как новые элементарные возбуждения,
энергия которых определяется квантовым соотношением
т Ф vs -dr = 2тг/ш,	(8.4.114)
где п — целое число1). Обсуждение экспериментальных данных, подтверждающих
формулу (8.4.114) для вихревых нитей и колец в Не II, можно найти, например, в [143].
Если состояние сверхтекучей жидкости обладает вихревой структурой, то некото-
некоторые из выведенных в этом параграфе соотношений оказываются несправедливыми.
Несмотря на то, что делались различные попытки сформулировать термодинамиче-
термодинамические соотношения и построить феноменологическое обобщение гидродинамики сверх-
сверхтекучести при наличии квантованных вихревых линий [38], в настоящий момент мы
не имеем удовлетворительного микроскопического подхода к этой проблеме. Трудно-
Трудности возникают даже при построении статистического распределения, описывающего
локально-равновесное состояние с квантованными вихрями.
Наконец, отметим, что локальное и марковское приближения в уравнениях гид-
гидродинамики сверхтекучести непригодны в непосредственной окрестности Л-точки, где
времена релаксации плотности конденсата пс и плотности сверхтекучей компоненты gs
становятся очень большими из-за сильных крупномасштабных флуктуации параметра
порядка, роль которого играет волновая функция конденсата Ф(г,?). Обсуждение кри-
критических флуктуации в сверхтекучей жидкости и их влияния на процессы переноса
выходят за рамки данной книги, поэтому мы отсылаем интересующихся читателей к
специальной литературе2).
Приложения к главе 8
8А. Термодинамические соотношения для классической жидкости
Термодинамические соотношения для однокомпонентной жидкости можно полу-
получить путем варьирования функционала Масье-Планка (8.2.29) по локальным парамет-
параметрам, от которых он явно зависит3). Определим неравновесный термодинамический
потенциал П(г,?) по формуле (для краткости здесь и далее опустим фиксированный
аргумент t)
Ф = - [j
Ч Это соотношение становится очевидным, если вспомнить, что скорость сверхтекучего движения
выражается через фазу волновой функции [см. выражение (8.4.22)]. Поскольку Ф является однознач-
однозначной функцией координаты г, интеграл от V<?> по любому замкнутому контуру должен быть равен
2тгп. Тем самым мы приходим к формуле (8.4.114).
2)	Метод изучения динамических процессов вблизи точек фазовых переходов, включая окрестность
Л-точки Не 4, изложен, например, в обзоре [82], а феноменологическая гидродинамика сверхтекучести
с учетом уравнения для gs построена в работах [8].
3)	Некоторые термодинамические соотношения для классической жидкости уже рассматривались в
разделе 2.2.1 первого тома.

208	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Тогда из (8.2.29) находим обобщение хорошо известного в термодинамике соотношения
Гиббса-Дюгема на случай неравновесной жидкости:
Щт)] = (e'(r)); Sf3(r) - <Й(г)>, S [/?(r) /i(r)].	(8A.2)
Введем теперь плотность энтропии S(r) с помощью равенства1)
Г1 (г) S(r) = (ё'(т)), - /z(r) <n(r)>, - fi(r)	(8А.З)
и перепишем соотношение (8А.2) в виде
6п(т) = S(t) ST(t) - <n(r)); 6ц(т),	(8A.4)
где T(r) = 1//J(r) — локальная температура. Тогда для вариации плотности энтропии
получаем равенство
Т(т) SS(t) = 6{ё'(т)I - д(г) S{n(r))h	(8A.5)
которое выражает второй закон термодинамики в локальной форме. В некоторых слу-
случаях удобнее пользоваться энтропией и энергией, отнесенными к единице массы:
s(r) = S(r)/(e(r))l, u(r) = (e'(r))l/{g(r))h	(8A.6)
где (^(r))/ = m(n(r))l — средняя плотность массы. В новых переменных равен-
равенство (8А.5) записывается как
Г(г) 6s(r) = 6и(г) + Р{т) 6v(r),	(8A.7)
где
«(г) = 1/Ш),	(8А.8)
—	удельный объем, а
Р(т) = -Щт) = Г(г) S(t) - (е'(т)), + fi(v) <n(r)>;	(8A.9)
—	локальное давление.
Приведенные выше соотношения, записанные для вариаций термодинамических
величин, справедливы даже в случае, когда ft (г) — функционал от Т(г') и /х(г'). Это
имеет место в непосредственной окрестности критической точки жидкости. Вдали от
критической точки можно считать, что ft(r) является функцией температуры и хи-
химического потенциала, взятых в той же точке пространства, т.е. ft(r) = ft(T(r),//(r)).
Все остальные уравнения состояния также имеют локальный вид, поэтому соотноше-
соотношение (8А.7) можно записать для полных (субстанциальных) производных:
где
В феноменологической неравновесной термодинамике соотношение (8А. 10) обычно по-
постулируется и выражает собой гипотезу о локальном равновесии элемента жидкости в
сопровождающей системе координат [59].
г) Нетрудно убедиться, что определение (8А.З) совместимо с формулами (8.2.38) и (8.2.42).

Приложения к главе 8	209
Выведем теперь термодинамические соотношения для неоднородной многокомпо-
многокомпонентной жидкости, описываемой локально-равновесным распределением (8.3.11) или,
после преобразования (8.3.16) фазовых переменных частиц, распределением (8.3.18).
Так как якобиан канонического преобразования (8.3.16) равен единице, функционал
Масье-Планка можно записать в виде
Ф = 1пТгехр|- fdr/3(r)[ef(r)-Y,^c(r)nfc(r)] I.	(8A.12)
Вычисляя функциональные производные по /5(г), //с(гM и v(rM получаем1)
(/())
= (e(r))/
8Ф	С	5Ф	(8АЛЗ)
Ж(М))	0
Как и в случае однокомпонентной жидкости, термодинамический потенциал Щг) опре-
определяется формулой (8А.1). Из (8А. 13) для него следует соотношение Гиббса-Дюгема
(/xc(r)).	(8A.14)
Это соотношение можно также представить в виде
Ytc(r)S(nc(r))h	(8A.15)
С
где
S(t) = 0(т) [<е'(г)>, - $>с(г) <fic(r)>, - П(г)].	(8А.16)
с
Легко убедиться, что эта величина совпадает с плотностью энтропии. Действительно,
полная энтропия жидкости равна
S = -(\пв1), = Ф+ fdrp(r) [<ё'(г)>, -53а*с(г)<йс(г)>,] .	(8А.17)
Подставляя сюда выражение (8А.1) для функционала Масье-Планка через термодина-
термодинамический потенциал, видим, что (8А.16) можно отождествить с плотностью энтропии.
Равенство (8А. 15) выражает второй закон термодинамики для многокомпонентной
жидкости. Вводя энтропию на единицу массы и энергию на единицу массы в движу-
движущейся системе координат по формулам (8А.6), из (8А.15) получим
Т(т) Ss(r) = ,J«(r) + Р(г) Sv(t) - 5>с(г) S (^у1) ,	(8АЛ8)
где локальное давление определяется как
Р(т) = -П(г) = T(r) S(r) - <ё'(г)>, + 53 Mr) <«c(r)>; •	(8А.19)
х) Напомним, что {п^)^ = (ис)/-

210	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Термодинамическое равенство (8А. 18) является обобщением равенства (8А.7) на слу-
случай многокомпонентной жидкости. Вдали от критической точки все соотношения, за-
записанные для вариаций термодинамических величин, можно записать для дифферен-
дифференциалов.
8Б. Преобразование фазовых переменных в гидродинамике
Здесь мы рассмотрим преобразования корреляционных функций (8.2.54) при кано-
каноническом преобразовании (8.2.47) фазовых переменных частиц.
Начнем с доказательства тождества (8.2.55). Для упрощения обозначений будем
записывать ат(т) в виде ош, предполагая, что суммирование по т включает интегри-
интегрирование по координатам. Тогда локально-равновесное распределение (8.1.5) принимает
вид (фиксированный аргумент t опускаем)
С помощью термодинамических соотношений (8.1.8), которые в сокращенных обозна-
обозначениях выглядят как
^ = -{ат),	(8Б.2)
О г т
нетрудно убедиться, что в классическом случае действие проекционного оператора
Мори (8.1.12) на динамическую переменную А дается формулой
т,п п
где АА — А- {АI и Аат — ат- {а^^ Производные 5Fm/5{an) можно выразить
через корреляционные функции. Для этого воспользуемся соотношением
*'~? = -(МкМп),,	(8Б.4)
SFn
которое следует непосредственно из условий самосогласования (ак) = {ak)v Ясно, что
=р^	(8Б.5)
6(а)
где (АаАаI — матрица с элементами [(AaAa)J = (AamAan)i. Если подставить
производные (8Б.5) в формулу (8Б.З) и ввести вектор-столбец а = {ат}, то в матрич-
матричных обозначениях действие проекционного оператора V определяется как
ГА = (A)i+Aa • (АаАа)'1 • (Да AA)t.	(8Б.6)
Эта формула позволяет доказать одно важное свойство проекционного оператора Мо-
Мори, которое понадобится в дальнейшем. Пусть базисные динамические переменные
а = {ат} есть линейные комбинации новых переменных а' = {а'п}, т.е. а = а а', где
а = [атп] — некоторая невырожденная матрица. Тогда из (8Б.6) получаем
VA = (А}1 + Аа' • (Аа'Аа1)-1 • (А

Приложения к главе 8	211
Покажем, что указанное свойство оператора Мори обеспечивает выполнение тожде-
тождества (8.2.55). Прежде всего заметим, что с учетом (8.2.53) выражение (8Б.6) записы-
записывается в виде
VA = (trM)? + иА{и-га) • [(A(f/a) A(f/a))?] ~г
В гидродинамике динамические переменные U~1am являются линейными комбина-
комбинациями переменных оте, поэтому вектор-солбец U~la может быть заменен на а. Тогда
получаем
Легко проверить, что выражение в скобках равно VqU~1 А, где То — оператор (8.2.56),
записанный в другом виде. Тем самым тождество (8.2.55) доказано.
Выведем теперь выражения (8.2.60). Напомним, что среднее (jg)^ является
локально-равновесным потоком энергии при v = 0. Отсюда следует (jg)^ = 0. Вариа-
Вариация 8(}е)® пропорциональна вариации массовой скорости 5v = {д)~г ^(j)? [см. (8.2.33)],
поэтому
Таким образом, полагая в формуле (8.2.56) А = je и учитывая, что (j)° = 0, получаем
первое выражение в (8.2.60). Из (8.2.33) ясно также, что (Тск/з(г))/ = PSap и, следова-
следовательно,
где (е(г))° = (е/(г))/ = е. Вспоминая опять определение (8.2.56) проекционного опера-
оператора Vo, получаем второе выражение в (8.2.60).
Докажем, наконец, правило преобразования (8.2.65) оператора Лиувилля. Пусть
А = Л({г^,р^}) — некоторая функция фазовых переменных частиц. Согласно опреде-
определению (8.2.47) оператора Е/, имеем
UА = А({г;,Рг - mv(rj}) = Л(К,р'г}) = А'.
Воспользуемся теперь выражением для оператора Лиувилля через скобку Пуассона с
гамильтонианом и запишем
Производные в правой части легко выразить через производные по новым фазовым
переменным:
дА__дА__ дгу(г'.) дА1	8А' _ дА1
дн дн' дн 1 1 , .,. дн

212	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Тогда находим, что
дА1 дН1
Действуя на обе части этого соотношения оператором U l, мы возвращаемся к исход-
исходным фазовым переменным г^ и р^. Следовательно
^ ^ [.	] jf]	(8Б.7)
что эквивалентно преобразованию (8.2.65).
8В. Оператор производства энтропии для сверхтекучей жидкости
Рассмотрим преобразования, приводящие оператор производства энтропии (8.4.81)
к более простому виду (8.4.87). Напомним, что градиенты термодинамических величин
а также скорости vs и vn считаются малыми, поэтому в операторе (8.4.81) нужно
оставить только члены, которые линейны по градиентам и не зависят от скоростей.
Ниже мы покажем, что все производные термодинамических величин по времени,
входящие в (8.4.81), пропорциональны градиентам. Поэтому, исключив производную
d(C?L)/dt с помощью соотношения
~{e)
21 _
at ~{e)o at Шо at '
которое следует из термодинамического равенства (8.4.45) при vn — vs = 0, оператор
производства энтропии можно записать в виде
dS(t) [
+ J dr{
(8В"
где А А = А — (А)о — оператор отклонения динамической переменной А от ее локально-
равновесного среднего значения в неподвижной жидкости.
Теперь нужно исключить оставшиеся производные по времени в (8В.1). Как мы
знаем, это можно сделать с помощью проекционных операторов, но в данном случае
можно пойти более простым путем и воспользоваться линеаризованными гидродина-
гидродинамическими уравнениями для идеальной сверхтекучей жидкости1).
Ч Аналогичным образом можно поступить и в случае классической гидродинамики, если не учиты-
учитывать зависимость диссипативных членов от массовой скорости [14].

Приложения к главе 8
213
Рассмотрим сначала производные д/3/dt и d{iij3)/dt. Считая, что j3 = /3(g,S) и
fi = //(?, S), где g — средняя плотность массы и S — плотность энтропии, пишем Ч
dt" l '
=(	+(	= (	(
dt \dSJedt \dg)sdt7	dt \dS )edt \dg Jgdt
Для идеальной сверхтекучей жидкости производные плотности массы и плотности
энтропии определяются уравнениями
Отсюда находим с точностью до членов, линейных по градиентам и скоростям:
дд_
dt
Подстановка этих выражений в (8В.2) дает
Q\-*-\ +b Иттт
V-vn,
(8В.З)
. _
V-vn.
Поскольку все термодинамические функции берутся для неподвижной жидкости, мож-
можно воспользоваться термодинамическими соотношениями
p = p-1S-e + /j,g,	(8B.4)
где е — равновесная плотность энергии. Тогда нетрудно убедиться, что
'дР\	(д}Ф\ Ч(<НФ_\ _ 3(дрЛ
После этого выражения (8В.З) принимают вид
(8B.5)
dt	\dg
Г| V.V..
Займемся теперь производной dvn/dt в формуле (8В.1) для оператора производ-
производства энтропии. Чтобы записать ее через градиенты термодинамических величин, вос-
воспользуемся уравнением
gn -^- + gs -^т" =
dt	dt
Ч Здесь и далее все производные термодинамических величин вычисляются из уравнений состояния
неподвижной сверхтекучей жидкости.

214	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
которое есть не что иное, как линеаризованное уравнение для плотности импульса в
приближении идеальной жидкости. Производную dvs/dt можно исключить с помо-
помощью линеаризованного уравнения (8.4.66). Учитывая также соотношение
которое следует из термодинамического равенства (8.4.72) для неподвижной жидкости,
получаем
4Hk+'Yi- (8B-6)
Это выражение нужно подставить в формулу (8В.1).
Теперь остается преобразовать последний член в операторе производства энтро-
энтропии (8В.1). Из выражения (8.4.27) видно, что оператор vls явно зависит от времени
через локально-равновесную волновую функцию конденсата 4fl = (ф)^ Поэтому пи-
пишем
В приближении идеальной жидкости имеем ФДг,?) « Ф(г,?), g(t) « g^t) и, следова-
следовательно,
dt ~\dt/i	h h	dt ~ ft ll
где мы воспользовались выражением (8.4.65), в котором опущены все члены, зависящие
от скоростей vs и vn. Исключая производные волновой функции конденсата в (8В.7),
приходим к соотношению
Отметим, что производные операторов по времени в правой части определяются кван-
квантовыми скобками Пуассона (8.4.93) с эффективным гамильтонианом (8.4.84).
Формулы (8В.5), (8В.6) и (8В.8) позволяют исключить производные по времени
в операторе производства энтропии (8В.1). После этого, выполнив в последнем члене
интегрирование по частям, получаем выражение (8.4.87).
Задачи к главе 8
8.1	Доказать, что в случае центральных сил тензор напряжений (8.2.11) является
симметричным.
8.2	Исходя из уравнения (8.2.10) с симметричным тензором напряжений Т(г), до-
доказать, что тензор плотности момента импульса (8.2.19) удовлетворяет уравнению дви-
движения
которое показывает, что в случае центральных сил закон сохранения момента импульса
есть следствие закона сохранения импульса.

Задачи к главе 8	215
8.3	Проверить правила преобразования (8.2.25) и (8.2.27) локальных гидродинами-
гидродинамических переменных и локальных потоков.
8.4	Вывести уравнение баланса энтропии (8.2.44) в идеальной жидкости.
Указание. Используя определения (8.2.21) гидродинамических переменных и явные
выражения (8.2.33) для потоков в локально-равновесном состоянии, доказать равенство
с помощью которого можно выразить первый член в правой части уравнения (8.2.43)
через гидродинамические переменные1). Убедиться, что второй член может быть пред-
представлен в виде
^2(jm(r))l ' V^m(r) = -V • [P(r) P(r)v(r)] .
m
Объединение этих результатов приводит к уравнению баланса энтропии (8.2.44).
8.5 Рассматривается жидкость в стационарном состоянии при наличии постоян-
постоянного градиента скорости D = dvy/dx. Проверить, что в этом случае оператор (8.2.66)
принимает вид [100]
д \
8.6	Доказать, что кинетические коэффициенты (8.2.71), построенные из потоков
разной тензорной размерности, равны нулю.
Указание. Проверить, что оператор Е/, который определяется каноническим пре-
преобразованием (8.2.47), не меняет тензорной размерности динамических переменных.
Учесть также, что в случае изотропной жидкости все локально-равновесные величины
имеют форму скаляров, умноженных на единичные тензоры 8ар.
8.7	Доказать, что коэффициенты переноса (8.2.80) - (8.2.82) положительны.
Указание. Рассмотреть спектральное представление временных корреляционных
функций, определяющих коэффициенты переноса (см. параграф 5.2 первого тома).
8.8	Доказать, что для одноатомных газов малой плотности коэффициент объемной
вязкости ( равен нулю.
Указание. Воспользоваться формулой Грина-Кубо (8.2.82) для коэффициента объ-
объемной вязкости. Пренебрегая в тензоре напряжений (8.2.12) и в плотности энер-
энергии (8.2.13) вкладами взаимодействия, вычислить термодинамические производные
в (8.2.63) с помощью уравнений состояния идеального газа. Убедиться, что в этом слу-
случае динамическая переменная П равна нулю и, следовательно, ( = 0.
8.9	Вывести термодинамическое соотношение (8.2.91), используя равенство (8А.7)
из приложения 8А, а также формулы е = ди и v = 1/ д.
8.10	Вывести уравнение баланса (8.2.96) для плотности энтропии S(r,t) = gs, ис-
исходя из уравнения (8.2.95).
8.11	С помощью уравнений Гамильтона (8.3.9) вывести законы сохранения (8.3.12)
с локальными потоками в виде (8.3.13). Найти явные выражения для je(r) и Т(г).
Ч Необходимые термодинамические соотношения для неравновесной жидкости приведены в прило-
приложении 8А.

216	ГЛАВА 8. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Показать, что при переходе к движущейся системе координат правила преобразова-
преобразования полного тензора напряжений и полного потока энергии для многокомпонентной
жидкости совпадают с правилами преобразования для однокомпонентной жидкости
[см. (8.2.27)].
8.12	Проверить соотношения (8.4.35), в которых унитарное преобразование поле-
полевых операторов определяется в виде (8.4.34).
Указание. Рассмотреть вспомогательный оператор ф(г,а) = и^ф'(г)иа, где уни-
унитарный оператор Ua = ехр [а (г/т) J dr(p(r) ?'(г)} зависит от параметра а. Доказать,
что дф(г,а)/да = %(р(г)ф(г,а).
8.13	С помощью соотношений (8.4.35) вывести правила преобразования (8.4.36)
и (8.4.38) для локальных динамических переменных в сверхтекучей жидкости. Найти
соотношение между операторами us(r) и u's(r).
8.14	Вывести формулы (8.4.59) и (8.4.60) для локальных операторов потоков в
случае короткодействующих сил взаимодействия между частицами.
Указание. Чтобы представить производные de(r)/dt и dj(r)/dt в виде диверген-
дивергенций, удобно воспользоваться формальным соотношением
которое справедливо в случае короткодействующих сил.
8.15	Преобразовать уравнение (8.4.76) в уравнение баланса (8.4.78).
8.16	Вывести уравнение баланса для плотности энтропии сверхтекучей жидкости
с учетом диссипативных процессов. Показать, что локальное производство энтропии
положительно.

ГЛАВА 9
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
До сих пор при изучении процессов переноса мы не учитывали флуктуации гидро-
гидродинамических переменных, возникающие в результате хаотического движения частиц
или случайного внешнего воздействия на систему. Даже если эти флуктуации малы
и не оказывают заметного влияния на среднее макроскопическое движение, они про-
проявляются в некоторых интересных физических явлениях, например, при рассеянии
света в жидкостях и газах [46]. Особый интерес представляют флуктуации, длина вол-
волны которых значительно больше, чем характерный микроскопический масштаб (меж-
(межмолекулярное расстояние в жидкостях и длина свободного пробега в газах), а время
затухания которых превышает время установления локального равновесия в малых,
но макроскопических объемах, содержащих большое число частиц. Такие крупномас-
крупномасштабные флуктуации обычно называют гидродинамическими флуктуацииями, так как
их эволюция со временем описывается уравнениями, аналогичными уравнениям гид-
гидродинамики.
Напомним, что, вообще говоря, гидродинамические уравнения нелинейны. Поэто-
Поэтому крупномасштабные флуктуации взаимодействуют друг другом. Роль взаимодей-
взаимодействия флуктуации особенно велика, когда равновесное состояние системы становится
неустойчивым и флуктуации могут усиливаться. Это имеет место, например, в окрест-
окрестности критической точки [30, 82] и при возникновении турбулентности [24, 26].
В последние несколько десятилетий появилось обширная литература, посвященная
теоретическим и экспериментальным исследованиям гидродинамических флуктуации
в различных системах. Интерес к этой проблеме связан не только с ее чисто научны-
научными аспектами, но и с многочисленными практическими приложениями, среди которых
наиболее важным является гидродинамика турбулентности. В этой главе будет изло-
изложен подход к теории гидродинамических флуктуации, основанный на общих принци-
принципах неравновесной статистической механики.
9.1. Динамика крупномасштабных флуктуации
Как и в главе 8, базисные динамические переменные, удовлетворяющие локаль-
локальным законам сохранения, будут обозначаться посредством ат(г). В гидродинамике
неравновесное состояние системы описывалось средними значениями (ат(г)У, для ко-
которых выводились гидродинамические уравнения. В теории флуктуации такого опи-
описания недостаточно, так как средние значения локальных переменных и моменты их
флуктуации удовлетворяют цепочке связанных уравнений. Таким образом, нужно рас-
расширить набор базисных переменных, включив в него произведения аШ1(г1)оШ2(г2),
^rai(ri)^ra2(r2)^ra3(r3) и т- Д- Недостатком этого подхода является то, что в нем при-
приходится иметь дело со сложными формальными выражениями, содержащими беско-
бесконечные векторы и матрицы [98, 99]. Поэтому более удобно использовать уравнение
для функции распределения (или функционала распределения) гидродинамических
переменных, которое мы выведем в этом параграфе.

218	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
В дальнейшем для простоты рассматриваются классические системы. Впрочем,
учет квантовых эффектов в теории гидродинамических флуктуации мало что дает,
поскольку такие флуктуации всегда являются квазиклассическими. Там, где это необ-
необходимо, мы кратко обсудим возможные модификации теории для случаев, когда ми-
микроскопическая динамика описывается квантовым образом.
9.1.1. Функция распределения для флуктуации. Предположим
сначала, что неравновесное состояние системы характеризуется некоторым дискрет-
дискретным набором динамических переменных о1?... оте,..., где ап = ftn (</,/?) — функции
координат и импульсов частиц. Для краткости обозначим весь набор многомерным
вектором а или просто а. Тогда функция распределения T{a]i) этих переменных мо-
может быть определена как
T{a\t) = {8{a-a))t = TYr{8{a-a)Q{t)},	(9.1.1)
где а = (о1?..., оте,...) — вектор с числовыми компонентами, a g(t) = Q(q,p,t) — нерав-
неравновесная фазовая функция распределения. Многомерная дельта-функция определяет-
определяется как произведениег)
]\an).	(9.1.2)
= ]\5(
Напомним, что в классическом случае символ Тг означает интегрирование по фазовым
переменным всех частиц, а при использовании большого ансамбля — дополнительное
суммирование по числу частиц. Зная функцию распределения (9.1.1), можно вычис-
вычислить все неравновесные моменты флуктуации:
{аП1аП2...аПз) = I аП1аП2...аПзТ(а]1
где da — произведение дифференциалов dan. Итак, поскольку динамика флуктуации
полностью описывается функцией распределения T{a\t\ основной задачей является
вывод уравнения эволюции для этой функции, исходя из уравнения Лиувилля для фа-
фазовой функции распределения g(t). Однако сначала нужно уточнить смысл введенных
выше формальных определений в теории гидродинамических флуктуации.
В случае непрерывной среды локальные динамические переменные ат(г) характе-
характеризуются непрерывным "индексом" г, поэтому величины типа дельта-функции (9.1.2),
содержащие произведения по всем переменным, не являются вполне определенными.
Для перехода к дискретному набору динамических переменных можно, например, вос-
воспользоваться следующим приемом [72, 166]. Разделим систему на малые кубические
ячейки с объемом ДК, положение центров которых в пространстве задается вектора-
векторами гс, где индекс с нумерует ячейки. Тогда можно ввести дискретный набор базисных
динамических переменных
ап = атс = — / am{r)dr,	(9.1.4)
AVC
где интегрирование проводится по объему ячейки с индексом с. Эти переменные дают
приближенное "решеточное" описание гидродинамических полей. Переходя к пределу
Ч В квантовом случае динамические переменные (операторы) не коммутируют, поэтому определе-
определение дельта-функции должно быть модифицировано с учетом упорядочивания операторов (см., напри-
например, [28]).

9.1. ДИНАМИКА КРУПНОМАСШТАБНЫХ ФЛУКТУАЦИИ	219
AV —> 0 в конце вычислений, мы возвращаемся к непрерывному описанию среды1). С
физической точки зрения соотношение (9.1.4) соответствует "сглаживанию" динамиче-
динамических переменных по объему ячейки, поэтому размеры ячеек должны быть значительно
меньше характерного масштаба гидродинамических флуктуации.
Вместо операции сглаживания (9.1.4) обычно бывает удобнее использовать дис-
дискретное k-представление в объеме V, переходя в конце вычислений к пределу V —> оо,
как это уже неоднократно делалось раньше. Введем динамические переменные
m(r)e-ikrdr (|k| < к0),	(9.1.5)
где к0 — некоторое "обрезающее" волновое число. Переменные ftmk, у которых |к| > к0,
положим равными нулю. Тогда обратное фурье-преобразование
^	umke*kr	(9.1.6)
|к|<Л0
определяет "сглаженные" локальные динамические переменные. Действительно, бла-
благодаря обрезанию в k-пространстве эти переменные мало изменяются на расстояниях
г, удовлетворяющих неравенству г < к^1. Величина А;^1 фактически играет такую же
роль, как и объем ячейки в выражении (9.1.4). Следует подчеркнуть, что сглаживание
базисных динамических переменных есть не более, чем удобный прием, позволяющий
избежать некоторых математических трудностей. Позже мы убедимся, что оконча-
окончательные результаты для наблюдаемых величин не зависят от конкретного значения
ко, если для флуктуации применимо гидродинамическое описание.
Кроме динамическим переменных ат(т) и amk введем соответствующие числовые
переменные
= fa
e-*'rdr.	(9.1.7)
Тогда дельта-функцию (9.1.2) можно интерпретировать как произведение
(9.1.8)
Поскольку flmk и flmk являются комплексными величинами, необходимо пояснить
смысл дельта-функции для комплексных аргументов. По определению функция S(z)
при z = z' + iz" является произведением дельта-функций действительной и мнимой
частей z, т.е.
- a
mk)
С помощью функции распределения (9.1.8) можно вычислить средние значения (9.1.3),
где индексы включают в себя волновые векторы, а символ da означает произведение
дифференциалов da'm^da'^.
Ч Отметим, однако, что в строго математическом смысле сам предельный переход Д V—>¦ 0 не вполне
определен, так как фактически для гидродинамического описания неравновесного состояния каждая
ячейка должна содержать достаточно большое число частиц.

220	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Иногда функцию распределения Т{{ат^}\ t) будет удобно рассматривать как функ-
функционал !F({am(r)};t) от непрерывных переменных ош(г). Этот функционал опреде-
определяется очевидными соотношениями
T({amk};t)=T{{jam(v)e-^dv};t)=T({am(v)};t).	(9.1.10)
Для упрощения формул функцию распределения базисных динамических переменных
amk и соответствующий функционал распределения будем обозначать как T{a\t).
9.1.2. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка. Перейдем теперь
к выводу уравнения эволюции для !F(a;t). Следуя методу неравновесного статистиче-
статистического оператора, необходимо найти решение уравнения Лиувилля, зависящее от вре-
времени через T{a]t), т.е. имеющее вид функционала g(t) = д(... ,T{a]t),...).
Построим сначала вспомогательное квазиравновесное распределение gq{q,p,t),
рассматривая 5(а — а) как основную динамическую переменную, среднее значение
которой характеризует неравновесное состояние системы. Как обычно, найдем ква-
квазиравновесное распределение из условия максимума информационной энтропии при
заданном среднем значении E(а — а)I и при сохранении нормировки. Для этого ищем
абсолютный экстремум функционала
S'[gf] = -Tr{gf\ngf}- fdaG(a;t)Tr{gf5(a-a)},
где д' = g'{q^p) — пробное фазовое распределение, а значения функции G(a;t) играют
роль множителей Лагранжа1). Из условия экстремума, т. е. обращения в нуль вариации
Sf[gf] по д', находим квазиравновесное распределение
Qq(q,p,t)=exp<- daG(a;tM(a-a)\=exp{-G(a;t)}.	(9.1.11)
Функцию G(a;t) необходимо выразить через T{a\t) из условия самосогласования
(<*(Й - а))\ = Tr [gq{t) 5{а - а)} = ^(а; t).	(9.1.12)
Подставляя сюда квазиравновесное распределение (9.1.11), получаем
(w)	(9ЛЛЗ)
где величина
W{a) = TrS{a-a),= fS[a{q,p) - a]dT	(9.1.14)
есть статистический вес состояния с фиксированными значениями базисных динамиче-
динамических переменных. С помощью (9.1.13) квазиравновесное распределение (9.1.11) можно
записать в виде
Ч Заметим, что вводить специальный множитель Лагранжа, соответствующий условию нормиров-
нормировки, нет необходимости, так как он автоматически включен в функцию G(a\t) в виде слагаемого, не
зависящего от а.

S(t) = -(\пдд(Щ = -jdaT{a;t) ln^^.
9.1. ДИНАМИКА КРУПНОМАСШТАБНЫХ ФЛУКТУАЦИИ	221
Из этой формулы следует компактное выражение для неравновесной энтропии систе-
системы:
j	^^	(9.1.16)
Ниже мы покажем, что S(t) совпадает с равновесной энтропией Гиббса, если в качестве
T(a]i) взять равновесную функцию распределения гидродинамических переменных.
Теперь уравнение эволюции для !F(a;t) может быть получено стандартным спосо-
способом. Исходным является уравнение для g(t) с бесконечно малым источником, который
отбирает решение уравнения Лиувилля, совпадающее с квазиравновесным распреде-
распределением в отдаленном прошлом:
+0.	(9.1.17)
Дифференцируя выражение (9.1.1) по времени и учитывая условие самосогласова-
самосогласования (9.1.12), получаем
^[]	(9.1.18)
где
6{а -а) = iL6{a - а) =-к-—8{а-а).	(9.1.19)
Правую часть (9.1.18) нужно выразить через функцию распределения гидродинамиче-
гидродинамических переменных, решив уравнение (9.1.17). Используя явное выражение (9.1.15) для
Qq(t), запишем это уравнение в виде
и рассмотрим фазовую функцию
Шт-	(9-1-21)
Согласно (9.1.20), она удовлетворяет уравнению
Прежде чем его решать, имеет смысл исключить производную по времени, стоящую
в правой части. Как и во многих рассмотренных ранее случаях, это можно сделать с
помощью соответствующего проекционного оператора. В результате несложных мате-
математических преобразований (см. приложение 9А), уравнение (9.1.22) переходит в
Динамические переменные
X(a) = QakS(a-a)	(9.1.24)
и приведенный оператор Лиувилля
L = QaLQa	(9.1.25)

222	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
содержат оператор Qa = 1 — Va, дополнительный к проекционному оператору Va, дей-
действие которого на любую фазовую функцию А = A(q,p) определяется формулой
VaA= [daS["~^ Tr\A8{a-a)].	(9.1.26)
J	W{a) L	J
Иногда удобнее записывать эту формулу в виде
VaA= [da5(a-a)(A)a = (A)a ,	(9.1.27)
J	a=a
где среднее значение (А)а вычисляется с фазовым распределением
Qa(q,p) = 6[a(q,p)-a}/W(a).	(9.1.28)
Ясно, что это распределение описывает микроканонический ансамбль, в котором ба-
базисные динамические переменные amlc имеют фиксированные значения arnic-
С помощью формулы (9.1.26) и очевидного соотношения
Тг {5{а - а) 5{а - а')} = W(a) S{a - а')
легко убедиться, что оператор Va обладает свойством V\ —Va- Отсюда следует, что
Va и Qa являются проекторами. Приведем другие свойства Va-> проверку которых
оставляем читателю в качестве упражнения:
Tae(t) = eg(t), Гад-^ = ^,	(9.1.29)
VaS{a-a) = S{a-a).	(9.1.30)
Из равенств (9.1.29) видно, что Va аналогичен проекционному оператору Кавасаки-
Гантона, введенному в разделе 2.3.2 первого тома, но он не зависит от времени. Важное
значение имеет свойство (9.1.30); оно показывает, что оператор Va оставляет неизмен-
неизменными как сами базисные переменные {сьгп\<}^ так и любые функции от них. Иначе гово-
говоря, Va осуществляет проектирование на пространство функций базисных переменных.
Таким образом динамические переменные (9.1.24) ортогональны этому пространству,
т.е. 7\Х(а) = 0, и поэтому имеют смысл "случайных" микроскопических потоков, не
связанных с крупномасштабными флуктуациями. Легко также убедиться (см. зада-
задачу 9.1), что среднее значение случайных потоков в квазиравновесном состоянии равно
нулю:
()^{}	(9.1.31)
Вернемся к уравнению (9.1.23). Интегрируя его с учетом граничного условия
> 0 при t —> —оо, из (9.1.21) находим окончательное выражение для неравно-
неравновесного распределения в фазовом пространстве:
Это очень важный результат, так как с его помощью мы можем теперь вывести замкну-
замкнутое уравнение эволюции для функции распределения базисных переменных. Нужно

9.1. ДИНАМИКА КРУПНОМАСШТАБНЫХ ФЛУКТУАЦИИ	223
лишь подставить выражение (9.1.32) в правую часть (9.1.18). Предварительно преоб-
преобразуем производную (9.1.19). Пишем
На-а) = -~Гакб(а-а)-~Х(а),	(9.1.33)
где мы использовали определение (9.1.24) случайных потоков. Согласно форму-
формуле (9.1.26), имеем
Гакб(а-а) = fda'6i^~^ Тг {кб(а-а) 6(а-а')} =
= jda'S(a-a')S(a-a'){k)a, = (k)aS(a-a).
Таким образом (9.1.33) принимает вид
H)	(k
(9.1.34)
Подставляя это выражение в (9.1.18) и вычисляя среднее значение с неравновесным
распределением (9.1.32), приходим к уравнению
оо
д	[
TJ{mt)-J da
, [ _?т д	д (?{а';1-т)\
J dre -.К(а,а;т)-^\-щ^-)=0.
О
(9.1.35)
Вектор-столбец
U(o) = (к)а	(9.1.36)
представляет собой средний поток в пространстве базисных переменных и называется
обобщенной скоростью дрейфа, а его компоненты Umlc(a) = (flmk)a — коэффициентами
дрейфа. Матрица перехода К(а,а';т) определяет вероятность перехода из состояния
а' в состояние а за время т. Элементами этой матрицы являются корреляционные
функции
{)	(9.1.37)
где эволюция случайных потоков определяется приведенным оператором Лиувилля:
Х(о; t) = eitlX(o) = eitQ"LQ<- X(o).	(9.1.38)
В динамической теории флуктуации уравнение (9.1.35) принято называть обоб-
обобщенным уравнением Фоккера-Планка, так как по структуре оно напоминает уравнение
Фоккера-Планка, которое широко используется в теории броуновского движения и во
многих других физических задачах [146]. Обобщенное уравнение Фоккера-Планка в
форме (9.1.35) было выведено Цванцигом [175] с помощью разработанного им метода
проектирования1). Аналогичное уравнение для квантовых систем получено методом
неравновесного статистического оператора в работе [28].
Ч Отметим, что в уравнении Цванцига интегрирование по т ведется в пределах от т = 0 до т = t, что
связано с выбором начального условия g(t = 0) = gq(t = 0), а не граничного условия при t —>¦ —оо, как
в нашем подходе.

224	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
9.1.3. Разложение по градиентам. Уравнение (9.1.35) является точ-
точным. Кроме того, оно справедливо для функции распределения любых базисных ди-
динамических переменных. Все это — несомненные достоинства обобщенного уравнения
Фоккера-Планка. Но к сожалению, это уравнение очень сложное и в таком виде непри-
непригодно для решения конкретных задач. Покажем, что в случае крупномасштабных гид-
гидродинамических флуктуации уравнение (9.1.35) можно существенно упростить.
Заметим, что при выводе обобщенного уравнения Фоккера-Планка нигде не ис-
использовался явный вид уравнений движения для базисных динамических переменных.
Поскольку переменные ат(т) соответствуют плотностям сохраняющихся величин, эти
уравнения движения должны иметь форму локальных законов сохранения
aro(r) = -V-im(r),	(9.1.39)
где потоки jm (r) могут быть векторами или тензорами. Для фурье-компонентов урав-
уравнения (9.1.39) выглядят как
amk = -zk-jmk.	(9.1.40)
Фурье-компоненты базисных переменных с к = 0 являются интегралами движения.
Следовательно, при достаточно малых к они близки к интегралам движения, и правые
части уравнений (9.1.40) можно считать малыми величинами. Естественно воспользо-
воспользоваться этим обстоятельством для упрощения уравнения Фоккера-Планка (9.1.35).
Как мы вскоре убедимся, вычисление скоростей дрейфа Um\^{a) не представляет
особой проблемы, поэтому рассмотрим сначала элементы матрицы перехода (9.1.37).
Идея состоит в том, чтобы записать их в форме разложения по градиентам базисных
переменных. Отметим, что, согласно уравнениям (9.1.39) и (9.1.40), производные по
времени ош(г) или amk можно считать величинами первого порядка малости1).
Запишем случайные потоки (9.1.38) в виде
X(a;r) = A(a;r)Z(r),	(9.1.41)
где введены следующие обозначения:
Z = Qa4, Z(r) = eirZZ,	(9.1.42)
A(a;r) = eirZS{a - a)e"irZ.	(9.1.43)
Так как потоки Хтъ(а) линейны по градиентам, то разложение матрицы перехо-
переходов (9.1.37) начинается с членов второго порядка. С другой стороны, анализ операто-
оператора (9.1.43), проведенный в приложении 9Б, показывает, что его разложение начинается
с члена нулевого порядка, который равен
A(a;r) = E(a-a).	(9.1.44)
Впрочем, на интуитивном уровне это выражение легко получить непосредственно из
формулы (9.1.43). Действительно, оно означает, что оператор эволюции exp(zrL) не
изменяет базисные динамические переменные в аргументе дельта-функции. Так как
из (9.1.40) следует, что производные базисных переменных малы при малых к, то в
нулевом порядке по градиентам А(о;г) имеет вид (9.1.44).
Ч Фактически безразмерным малым параметром при разложении по градиентам является произве-
произведение kRo, где Яо — корреляционная длина для микроскопических потоков Х(а).

9.1. ДИНАМИКА КРУПНОМАСШТАБНЫХ ФЛУКТУАЦИИ	225
В дальнейшем мы ограничимся членами второго порядка по градиентам базисных
переменных в уравнении (9.1.35). Используя выражение Х(а;т) = 5(а — a)Z(r) для
микроскопических потоков в (9.1.37), получаем матрицу перехода в виде
Km1im'v(a,a';T) = W(a')Dm]im.v(a';T)8(a-a'),	(9.1.45)
где
?)mkm'k'(a;T) = (Zmk(r)ZmV)o.	(9.1.46)
В приложении 9Б показано, как вычислить поправки к (9.1.45) в любом порядке по
градиентам базисных переменных.
Теперь остается подставить выражение (9.1.45) для матрицы перехода в уравне-
уравнение (9.1.35). Заметим, что при этом можно пренебречь эффектами запаздывания, по-
поскольку производная функции распределения T{a]i) по времени имеет по крайней
мере первый порядок по градиентам базисных перменных1). В результате несложных
преобразований получаем марковское уравнение Фоккера-Планка
rak mK
? ^^(^H, (9.1.47)
где
оо
?>rakra'k'M= / dte~?t (Zmb(t)Zm,u)a	(9.1.48)
о
— матрица коэффициентов диффузии в пространстве переменных flmk. Обычно урав-
уравнение (9.1.47) удобнее записывать в несколько ином виде:
dP^=^ (9.1.49)
at *-f да k	^ да k	оат'\г
rak mK	rak,ra'k' mK	mK
где введены новые коэффициенты дрейфа
^гак(^) = f/mk(a) + У\ ^rakra'k'(^) T	~"	(9.1.50)
Они выражаются через величину
S(a)=\nW(a),	(9.1.51)
которая имеет простой физический смысл. Действительно, из определения (9.1.14) ста-
статистического веса W(a) ясно, что S(a) является энтропией состояния с фиксирован-
фиксированными значениями базисных переменных. По аналогии с обычной гидродинамикой про-
производные
^°±	(9.1.52)
Ч Эффекты запаздывания можно учесть с помощью соответствующего приближения для Т{а'\ t — r)
(см. [173]).

226	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
можно трактовать как термодинамические параметры, сопряженные переменным ат1с.
Несмотря на то, что марковское уравнение Фоккера-Планка (9.1.47) по своей струк-
структуре значительно проще исходного уравнения (9.1.35), получить его точное решение не
удается из-за чрезвычайно большого числа переменных. Можно, однако, доказать неко-
некоторые важные свойства этого уравнения. Например, в приложении 9В показано, что
равновесная функция распределения гидродинамических переменных является стаци-
стационарным решением уравнения (9.1.47). Это означает, что уравнение Фоккера-Планка
описывает релаксацию системы к равновесию.
9.1.4. Функциональная форма уравнения Фоккера-Планка.
До сих пор мы рассматривали T{a]i) как функцию переменных flmk. Однако во
многих случаях, когда приходится учитывать граничные условия для гидродинамиче-
гидродинамических полей, более естественной является формулировка теории на языке переменных
ат(г). В этом разделе мы получим гидродинамическое уравнение Фоккера-Планка
для соответствующего функционала распределения.
Начнем с того, что перепишем коэффициенты диффузии (9.1.48) в новой форме, бо-
более удобной для перехода к непрерывному представлению. Заметим, что динамические
переменные Zm\^ определяемые формулой (9.1.42), можно представить как
Zmk = -ik.Jmk,	(9.1.53)
причем векторные или тензорные микроскопические потоки
ортогональны пространству базисных гидродинамических переменных. Подставим те-
теперь выражения (9.1.53) в формулу (9.1.48) и выразим Jmk через локальные потоки
Jm(r) с помощью пространственного преобразования Фурье:
Xn(r)e-ikrdr.	(9.1.55)
v
В результате получаем соотношение
оо
Отът'и(а) = - Jdte~?t Jdr, Jdr2 [k- (Jm(rl5t) Jm>(r2))a -k'] e-*k^-*k'^,
0
в котором удобно заменить переменные интегрирования тг и г2 на г = (тг +г2)/2 и
R = гг — г2. Это дает
оо
?>mkm'k'(a) = - fdte-?t jdv J dR
0
x exp (-«(k + k') t) exp (-i(k-k') -R/2).
Поскольку гидродинамические степени свободы исключены из потоков Jm(r) проек-
проекционным оператором Qa, можно считать, что корреляционная функция этих потоков
быстро затухает при |R| > Rq, где Ro — некоторая микроскопическая длина корре-
корреляции. В гидродинамической области волновых векторов имеем kRo ^С 1 и к' Ro ^1,

9.1. ДИНАМИКА КРУПНОМАСШТАБНЫХ ФЛУКТУАЦИИ	227
благодаря чему множитель ехр(—г (к — к7) -R/2) может быть представлен в виде степен-
степенного разложения по R. Это дает поправки к коэффициентам диффузии, которые про-
пропорциональны (ka)s(kfp)s . Ясно, что в координатном представлении член (ka)s(kfp)s
переходит в дифференциальный оператор (Va)s (V^M , действующий на функции от
гидродинамических полей ош(г). Следовательно, с точностью до второго порядка по
градиентам можно заменить ехр(—i(k — k') -R/2) на единицу и записать коэффициен-
коэффициенты диффузии в виде
Г) , i (п\ =	 / (Jyр~*(^+к ) r k • jC i (v q} ' к'	С9 1 56)
с локальными кинетическими коэффициентами
оо
/Г	^	^
dte~?t / dTL(Jm{r + \TL,t) Jmf{r- \TL))a .	(9.1.57)
о
Это выражение напоминает формулы Грина-Кубо для кинетических коэффициентов
в обычной гидродинамике. Необходимо, однако, обратить внимание на несколько важ-
важных различий между "гидродинамическими" кинетическими коэффициентами и их
обобщением, используемым в теории флуктуации. Прежде всего отметим, что проек-
проекционный оператор Qa исключает из потоков Jm(r) все вклады флуктуационных гид-
гидродинамических мод. С другой стороны, в обычном гидродинамическом подходе про-
проекционный оператор Мори Q исключает лишь те вклады в микроскопические потоки,
которые линейны по гидродинамическим переменным. Другое важное отличие состоит
в том, что временная эволюция потоков в выражении (9.1.57) определяется приведен-
приведенным оператором Лиувилля L = QaLQa, а в обычных формулах Грина-Кубо оператор
эволюции выражается через оператор L = QLQ, из которого не исключены вклады гид-
гидродинамических флуктуации. Наконец, средние значения в (9.1.57) вычисляются с рас-
распределением да1 которое описывает состояние с фиксированными ("замороженными")
гидродинамическими флуктуациями, в то время как в обычных формулах Грина-Кубо
корреляционные функции микроскопических потоков вычисляются в равновесном или
локально-равновесном состоянии. Можно сказать, что величины (9.1.57) представляют
собой затравочные кинетические коэффициенты , учитывающие вклад только микро-
микроскопических корреляций1). Напротив, кинетические коэффициенты в уравнениях для
усредненного движения содержат вклады гидродинамических флуктуации. Отметим
также, что затравочные кинетические коэффициенты (9.1.57) зависят от переменных
ат(г) через распределение да. Следовательно, они сами являются флуктуирующими
величинами.
Вернемся к уравнению Фоккера-Планка (9.1.49) и будем рассматривать T(a]t) как
функционал от полевых переменных ат(г). Подставим в это уравнение коэффициен-
коэффициенты диффузии (9.1.56) и выразим производные по дискретным переменным ат1с через
функциональные производные, используя соотношение
д
Ч В английской литературе обычно используется термин "bare kinetic coefficients", что переводится
как "голые кинетические коэффициенты". Аналогичная терминология принята в квантовой теории
поля, где названия типа "голый заряд" или "голая масса" элементарной частицы применяются для
величин, не включающих вклада вакуумных флуктуации.

228	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
которое следует непосредственно из формул (9.1.7). Тогда после несложных выкладок
уравнение Фоккера-Планка принимает вид
J ^ J dr' J dr" ^
х {	Щ-	—- >T(a]t) = 0, (9.1.59)
{5ат1{г") 5ат,{г"))
где
jm(r;a) = (]m(r))a	(9.1.60)
— средние значения локальных потоков в состоянии с фиксированными значениями
гидродинамических переменных, а функция А (г) определяется как
Д(г) = - Y, е*к"Г-	(9Л-61)
|к|<Л0
Если снять ограничение на волновые векторы, то в пределе V —> оо эта функция пе-
перейдет в обычную дельта-функцию S(r). Нетрудно убедиться, что Д(г) обладает все-
всеми основными свойствами дельта-функции, если она интегрируется со сглаженными
функциями, т. е. с функциями, которые мало меняются на расстояниях порядка к$ . В
частности, для произвольной функции G(r), фурье-компоненты которой G(k) равны
нулю при |к| > ко, имеем
Г drf G(rf) Д (г - r;) = G(t) .	(9.1.62)
Это соотношение легко проверить с помощью фурье-преобразования функций G(r) и
А (г). В уравнении Фоккера-Планка (9.1.59), а также во всех других формулах, А (г)
появляется только в интегралах с функциями от сглаженных переменных ош(г). По-
Поэтому далее повсюду будем заменять ее обычной сингулярной дельта-функцией 5(т).
Это позволит пользоваться более компактными обозначениями, но может оказаться,
что некоторые формальные математические выражения будут не вполне определены1).
В таких случаях мы будем возвращаться к исходной сглаженной функции (9.1.61).
Если функцию Д(г) заменить сингулярной дельта-функцией, то уравнение (9.1.59)
примет более компактную форму [173]:
га, га'
Ч Подобные ситуации возникают в любой полевой теории, где нелокальные эффекты учитываются в
рамках разложений по градиентам. Например, хорошо известные "ультрафиолетовые расходимости"
в формулах квантовой теории поля связаны именно с этим [92].

9.1. ДИНАМИКА КРУПНОМАСШТАБНЫХ ФЛУКТУАЦИИ	229
Другая удобная функциональная форма уравнения Фоккера-Планка есть аналог урав-
уравнения (9.1.49). Вводя локальные коэффициенты дрейфа
'?mm>{r;a)'V у	(9.1.64)
8t
m
и обобщенную диффузионную матрицу
Dmm, (г, г'; а) = - V • ?тт, (г; а) • V ё{т - г'),	(9.1.65)
можно записать уравнение (9.1.63) в виде
J	Sam(r)
r / dr> Т^П D™™' (r'r^ a) 6/^Т1 = °- (9'L66)
J Sam{v)	Sam,{Y')
В заключение отметим, что структура уравнения Фоккера-Планка полностью опре-
определяется тем обстоятельством, что уравнения движения для базисных динамических
переменных ат(т) имеют форму локальных законов сохранения. Поэтому подход к
теории флуктуации, основанный на уравнении Фоккера-Планка, применим к самым
различным системам "гидродинамического типа". Специфика рассматриваемой систе-
системы проявляется в выборе базисных переменных am(r), а также в конкретной форме
функционала энтропии S(a), локальных потоков jm(r;a) и кинетических коэффици-
коэффициентов ?mn(r;a).
9.1.5. Функционал энтропии. Напомним, что функционал энтропии
S(a) был определен через статистический вес W(a) микроканонического ансамбля, в
котором базисные динамические переменные am(r) имеют фиксированные значения
am(r). Это определение неудобно для конкретных приложений теории, поскольку вы-
вычислить статистический вес W(a) из (9.1.14) очень трудно или вообще невозможно. Мы
получим для функционала энтропии другое выражение, которое позволяет использо-
использовать в теории гидродинамических флуктуации локальные уравнения состояния.
Излагаемые ниже соображения основаны на том факте, что гидродинамические пе-
переменные am(r) соответствуют полу макроскопическим величинам, поскольку обреза-
обрезающее волновое число к0 было выбрано таким образом, чтобы пространственная ячейка
с размерами / « l/fc0 содержала большое число частиц. Тогда каждую из таких ячеек
можно рассматривать как малую, но макроскопическую подсистему, взаимодействую-
взаимодействующую с другими ячейками через свои границы. Согласно общему принципу термодина-
термодинамической эквивалентности статистических ансамблей (см. раздел 1.3.10 первого тома),
можно считать, что энтропия S(a) микроканонического ансамбля, определяемого усло-
условиями am(r) = ош(г), является таким же функционалом от {am(r)}, как и энтропия
Si(a) локально-равновесного большого канонического ансамбля от {(^т(г))^}, если со-
соответствующее фазовое распределение g^q^p^a) удовлетворяет условиям
(am(r))/ = am(r).	(9.1.67)
Физически это означает, что мы имеем своеобразную "иерархию" флуктуации, связан-
связанную с тем, что характерное время релаксации крупномасштабных гидродинамических

230	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
флуктуации, описываемых переменными ош(г), значительно больше времени установ-
установления локального равновесия в относительно малых объемах при фиксированных зна-
значениях этих переменных1). Приведенные физические соображения можно подкрепить
математическими оценками, которые ради краткости опустим2). Итак, в дальнейшем
мы не будем делать различия между энтропией микроканонического ансамбля S(a) и
энтропией локально-равновесного ансамбля 5До), в связи с чем индекс / опустим.
Если S(a) рассматривается как энтропия ансамбля, определяемого условиями
(9.1.67), то функционал S(a) можно найти как информационную энтропию, соответ-
соответствующую фазовой функции распределения
(9.1.68)
где функционал Масье-Планка Ф(о) находится из условия нормировки:
(9.1.69)
Отметим также, что локальные параметры Fm(r;a) в выражении (9.1.68) играют роль
множителей Лагранжа и находятся из условий самосогласования (9.1.67). С помощью
функции распределения (9.1.68) функционал энтропии гидродинамических флуктуа-
флуктуации теперь записывается в виде
[r;a)am(r).	(9.1.70)
Для вариации Ф(а) относительно параметров Fm{r\a) с учетом условий (9.1.67) имеем
6Ф{а)
SFm(r;a
¦ = -am(r),	(9.1.71)
а из выражения (9.1.70) можно вычислить вариацию энтропии относительно перемен-
переменных ош(г). В результате получаем
Напомним, что эти функциональные производные входят в гидродинамическое урав-
уравнение Фоккера-Планка (9.1.63).
Соотношения (9.1.71) и (9.1.72) показывают, что функционал Масье-Планка играет
роль термодинамического потенциала в переменных Fm(r;a), а функционал энтро-
энтропии — в переменных ош(г). Таким образом, существует аналогия между свойства-
свойствами неравновесных флуктуации и обычной термодинамикой. Эта аналогия позволяет
воспользоваться некоторыми понятиями термодинамики при построении функциона-
функционала энтропии S(a) и расширить гидродинамическое описание на крупномасштабные
Ч Фактически подобные аргументы использовались в разделе 1.3.10 первого тома при изложении
термодинамической теории равновесных флуктуации.
2) Например, функционал энтропии микроканонического ансамбля может быть вычислен методом пе-
перевала [14]. Далее можно показать, что разность между S(a) и St(a) относительно мала, если пк^ ^> 1,
где п = N/V — средняя концентрация частиц.

9.2. ФЛУКТУАЦИИ В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	231
флуктуации. Поэтому динамическую теорию крупномасштабных флуктуации часто
называют флуктуационной гидродинамикой.
Остановимся еще на одном моменте. Хотя соотношения (9.1.71) и (9.1.72) имеют
сходство с обычными термодинамическими равенствами, это вовсе не означает, что
"флуктуационная термодинамика" локальна. Иначе говоря, в общем случае функцио-
функциональные производные
SFm(r;a)
Sam,(V)
X
которые аналогичны обратным термодинамическим восприимчивостям, не пропорци-
пропорциональны 5(г — г'), а могут характеризоваться длиной корреляции гс, существенно пре-
превышающей межатомное расстояние. Подобная ситуация имеет место в окрестности
критической точки [30]. Вдали от критической точки можно пренебречь нелокально-
нелокальностью и считать, что х^г1т,(г,г/) ~ 5(г — г'). Тогда
^^ = ^о)
Отсюда следует, что плотность энтропии 5(г;о), определяемая соотношением
S{a)= f S{r;a)dr,	(9.1.75)
есть функция переменных ош(г), т.е. 5(r;o) =
Как уже было отмечено, вблизи критической точки энтропию S(a) необходимо рас-
рассматривать как нелокальный функционал от ош(г). В грубом приближении эффекты
нелокальности можно учесть, предположив, что плотность энтропии 5(г; а) зависит не
только от самих переменных ош(г), но и от их градиентов. В большинстве существую-
существующих моделей критических флуктуации градиентные члены учитываются в простейшем
приближении второго порядка, т. е.
J2 V()V() + 5({()})	(9-1.76)
га, га'
где cmmi — постоянные коэффициенты и Sloc — нелинейная функция гидродинамиче-
гидродинамических полей [82, 30]. Термодинамические функционалы, построенные на основе форму-
формулы (9.1.76) или, что бывает чаще, на основе аналогичных феноменологических соотно-
соотношений, принято называть функционалами Гинзбурга-Ландау-Вильсона.
9.2. Флуктуации в однокомпонентной жидкости
В этом параграфе мы обсудим флуктуационную гидродинамику однокомпо-
однокомпонентной жидкости. Будут получены явные выражения для термодинамических сил
5S(a)/5am(r), локальных потоков jm(r;a) и кинетических коэффициентов Стп(г;а)
в уравнении (9.1.63). Кроме того будет изложен метод стохастических гидродинами-
гидродинамических уравнений, эквивалентный методу уравнения Фоккера-Планка.

232	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
9.2.1. Термодинамика флуктуации. В рассматриваемом случае базис-
базисные динамические переменные можно представить вектором а(г), компоненты кото-
которого
ат(т) = {Й0(г), Й^г), а2(т)} = {е(г), j(r), ?(г)}	(9.2.1)
соответствуют плотностям энергии, импульса и массы1). Вектор а(г) строится из функ-
функциональных переменных и имеет компоненты
om(r) = {o0(r), Mr), a2(r)} = {e(r),j(r), g(r)}.	(9.2.2)
Ранее уже отмечалось, что соотношения (9.1.71) и (9.1.72) аналогичны термодинами-
термодинамическим соотношениям для локально-равновесного состояния жидкости. Чтобы продол-
продолжить эту аналогию, запишем функциональные производные Fn(r;a) в форме
fi(r;«) = ^| = -«г) [/.(г) - i»!(r)] .	(9.2.3)
Отметим, что эти формулы служат определениями флуктуирующих термодинамиче-
термодинамических величин: локальной температуры T(r) = f3~l{rI локальной скорости v(r) и хи-
химического потенциала на единицу массы //(г). Подставив выражения (9.2.3) в (9.1.68),
получаем функцию распределения в фазовом пространстве, соответствующую ансам-
ансамблю с фиксированными значениями гидродинамических флуктуации:
g(q,p;а) = ехр
-Ф(о) - Jdr/?(r) [е(г) - [д(г) - 1«2(г)] д(т) - v(r) -j(r)] J . (9.2.4)
Она напоминает локально-равновесную фазовую функцию распределения, которая
уже встречалась в гидродинамике [см. формулу (8.2.20)]. Следует, однако, еще раз
подчеркнуть, что физический смысл самих функций (8.2.20), (9.2.4) и входящих в них
величин совершенно различен. Напомним, что локально-равновесное распределение
g^t) описывает состояние жидкости, задаваемое средними значениями базисных пере-
переменных (am(r))f, зависящими от времени. Эти средние связаны с параметрами /?(г,?),
/х(г,?) и v(r,?) локально-равновесными уравнениями состояния. С другой стороны па-
параметры /J(r), /x(r) и v(r) в распределении (9.2.4) определяются условиями (9.1.67)
и, следовательно, являются функциями (или функционалами) от переменных ош(г).
Тем не менее, формальное сходство локально-равновесного распределения (8.2.20) с
распределением (9.2.4) позволяет распространить термодинамические соотношения на
крупномасштабные флуктуации.
Определим плотность функционала энтропии 5(г;о) выражением (9.1.75). Тогда,
используя формулы (9.2.3), получим
Г(г) SS(r; а) = де(т) - [//(г) - ±«2(r)] Sg(r) - v(r) • Sj(r).	(9.2.5)
Это соотношение для вариаций напоминает обычное локальное термодинамическое
равенство. Если функционал энтропии S(a) известен, то (9.2.5) позволяет выразить
параметры Т(г), /х(г) и v(r) через переменные е(г), ^(г) и j(r).
Ч В качестве одной из базисных переменных будет удобнее использовать плотность массы, а не плот-
плотность числа частиц.

9.2. ФЛУКТУАЦИИ В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	233
Выражение для v(r) можно получить фактически тем же способом, как это было
сделано в разделе 8.2.2 для средней массовой скорости в обычной гидродинамике. Сна-
Сначала производим каноническое преобразование фазовых переменных частиц: г^ = г^,
р^ = р^ imv(r-). Очевидно, что при этом базисные динамические переменные преоб-
преобразуются по формулам [ср. с (8.2.25)]
()()
(9.2.6)
q(t) = q'(t),
где функции а'т(г) в новых фазовых переменных г[,р[ имеют такой же вид, как am(r)
в фазовых переменных г^,р^. Распределение (9.2.4) в новых фазовых переменных за-
записывается как
||}	(9-2.7)
Повторяя рассуждения из раздела 8.2.2, приходим к заключению, что (j (r))a = 0.
Отсюда следует, что
j(r) = g(r)v(r).	(9.2.8)
Это равенство аналогично соотношению между средней плотностью импульса и мас-
массовой скоростью в гидродинамике, но в данном случае оно выражает v(r) через функ-
функциональные переменные j (г) и д(т).
С учетом (9.1.27) формулу (9.2.5) для вариации плотности функционала энтропии
можно записать в виде
Г(г) SS(r; а) = 6е(т) - /.(г) ^(г),	(9.2.9)
где введена функция
ф) = е(г)-^(г)г,2(г),	(9.2.10)
которая аналогична плотности энергии в системе координат, движущейся со скоро-
скоростью v(r). Из (9.2.9) следует, что в случае однокомпонентной жидкости S(a) является
функционалом от ^(г) и г (г).
Соотношение (9.2.8) полностью определяет поле скоростей v(r) как функцию пе-
переменных ош(г). Что касается параметров Т(т) и /х(г), то их, в принципе, можно най-
найти из (9.2.9), если известен функционал энтропии S(a). В общем случае вычисление
функционала энтропии представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Однако вне
критической области, когда 5(г; а) есть функция переменных ^(г) и е(т) в той же точке
пространства, вычисление параметров Т(г) и //(г) фактически сводится к использова-
использованию равновесных уравнений состояния. Действительно, вдали от критической точки
соотношение (9.2.9) для вариаций переходит в соотношение для дифференциалов:
Г (г) dS{r; a) = de{r) - /x(r) dg{r),	(9.2.11)
где функция
5(r;«) = Seq(g(r),e(r)) = 5eq^(r),e(r) - |^j)	(9.2.12)
совпадает по форме с равновесной плотностью энтропии, так как, если пренебречь
корреляциями е;(г) и ^(г) в разных точках, то распределение (9.2.7) можно заменить

234	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
большим каноническим распределением Гиббса, которое параметрически зависит от
локальных значений C (г) и /х(г).
Итак, в приближении локальной термодинамики из (9.2.11) находим
Дг)~Т(г)-	&г(г) ' МГ)- 7(Г) дд(т) •	(9-2ЛЗ)
Вблизи критической точки соотношения (9.2.9) и (9.2.11) не эквивалентны, поэтому
функционал энтропии S(a) приходится строить специально, например, используя мо-
модельное выражение (9.1.76) для плотности энтропии.
9.2.2. Коэффициенты дрейфа и диффузионная матрица. Полу-
Получим теперь явные выражения для локальных коэффициентов дрейфа (9.1.64) и диф-
диффузионной матрицы (9.1.65) в уравнении Фоккера-Планка. Поскольку для функцио-
функциональных производных SS(a)/Sam(r) мы уже имеем выражения (9.2.3), остается найти
локальные потоки jm(r;a) и затравочные кинетические коэффициенты ?шш,(г;о).
Начнем с локальных потоков. Уравнения движения для базисных динамических
переменных ё(г,?), j(r,?) и g(r,t) имеют вид законов сохранения
fUvj,W, %Uv*(,,, = vJW, ,,,»)
где динамические переменные je (r, t) иТ(г,?) соответствуют плотности потока энергии
и тензору напряжений. Вычисление нужных нам средних значений je(r;a) = (je(r))
и Т(г;о) = (Т(г)) с распределением (9.2.4) фактически повторяет вывод локально-
равновесных потоков в разделе 8.2.2, поэтому можно просто воспользоваться полу-
полученными там результатами, заменяя средние значения (ат(г)У функциональными
переменнымиат(г). Из выражений (8.2.33) сразу следует, что
je(r; а) = [е(г) + Р(т) + ^(iV(r)l v(r),
L	J	(9.2.15)
Ta0 (г; а) = Р(т) 5а0 + в(г) va (r) W/3 (r).
Функция Р(т) определяется как
Р(т) = Г(г) 5(г) - е(г) + \ g{v) v\v) + /i(r) д(т)	(9.2.16)
и является аналогом локального давления в неравновесной термодинамике; ее можно
интерпретировать как флуктуирующее давление. Легко проверить, что с помощью
выражений (9.2.3) для функциональных производных формула (9.2.16) записывается
в виде
где ат(г) — функциональные переменные (9.2.2). Отметим, что выражение (9.2.17)
справедливо даже в тех случаях, когда энтропия S(a) является нелокальным функ-
функционалом гидродинамических полей, например, вблизи критической точки. Форму-
Формулы (9.2.15) вместе с очевидным выражением для потока массы определяют первый
член в правой части (9.1.64).

9.2. ФЛУКТУАЦИИ В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	235
Теперь нужно найти явные выражения для затравочных кинетических коэффици-
коэффициентов (9.1.57). Покажем, что их можно выразить через так называемые "затравочные
коэффициенты переноса", которые аналогичны коэффициентам переноса в гидродина-
гидродинамических уравнениях.
Для однокомпонентной жидкости микроскопические потоки Jm(r) = A — Va)jm(r)
имеют вид
30(т) = A-ГаУШ, J1(r) = (l-7>o)t(r), J2(r) = (l-7>o)j(r) = 0. (9.2.18)
Интересно сравнить эти выражения с формулами (8.2.46) для микроскопических по-
потоков в гидродинамике. Мы видим, что все различие заключается только в операторах
проектирования, но это — важное различие. Дело в том, что оператор Мори 1 — V
исключает из микроскопических потоков только члены, линейные по аш(г), поэтому
потоки (8.2.46) содержат вклады гидродинамических флуктуации. С другой стороны,
проекционный оператор 1 — Va в выражениях (9.2.18) исключает гидродинамические
флуктуации всех порядков. Отсюда, в частности, следует, что корреляционные функ-
функции потоков (9.2.18) затухают в пространстве и во времени значительно быстрее, чем
корреляционные функции потоков (8.2.46). Более того, поскольку "гидродинамические
кинетические коэффициенты" содержат флуктуационные поправки, вблизи критиче-
критической точки, где крупномасштабные флуктуации сильно возрастают, при вычислении
этих кинетических коэффициентов нельзя пренебрегать эффектами нелокальности
и памяти. Ясно, что ничего подобного не обнаруживается в затравочных кинетиче-
кинетических коэффициентах (9.1.57), в которых исключен вклад крупномасштабных флук-
флуктуации. Таким образом, затравочные и "гидродинамические" кинетические коэффи-
коэффициенты практически совпадают вдали от критической точки, где крупномасштабные
флуктуации очень малы, но они сильно различаются в критической области.
Уже отмечалось, что усреднение по микроканоническому ансамблю в форму-
формуле (9.1.57) можно заменить на усреднение по большому ансамблю с фазовой функцией
распределения (9.2.4). Это означает, что теперь затравочные кинетические коэффи-
коэффициенты будут зависеть от функциональных переменных ош(г) через сопряженные
параметры ^п(гM определяемые соотношениями (9.2.3).
При вычислении среднего значения в (9.1.57) удобно воспользоваться канониче-
каноническим преобразованием фазовых переменных частиц, как это делалось в разделе 8.2.3
при вычислении кинетических коэффициентов в гидродинамике. Это позволяет вы-
выразить затравочные кинетические коэффициенты через корреляционные функции в
состоянии с v(r) = 0. Так как эффекты нелокальности в данном случае несуществен-
несущественны, то эти корреляционные функции можно вычислить с распределением
(9.2.19)
Тогда затравочные кинетические коэффициенты (9.1.57) будут зависеть от координат
через температуру Т(т) и химический потенциал //(г).
Из сказанного выше следует, что тензорная структура затравочных кинетических
коэффициентов точно такая же, как и структура гидродинамических кинетических
коэффициентов вдали от критической точки. Поэтому мы можем записать по аналогии
с формулами (8.2.79):
С^2 (г; а) = Г2 Ао S^^ + Тщ ДМ1^^2 ^ vU2 + Т(о v^ v^2,
??Г ^ (г; а) = Тщ ДМ1ТО2 + Г (о <Wi <W2,	(9.2.20)

236	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
где введены затравочные коэффициенты сдвиговой вязкости, объемной вязкости и теп-
теплопроводности:
%(r) = %(T(r),/x(r)), Со(г) = Со(Пг),Мг)), A0(r) = A0(T(r),/x(r)). (9.2.21)
Вдали от критической точки г]0 « г\, Со ~ С> \ ~ ^> гДе ^ С? ^ ~~ "наблюдаемые"
гидродинамические коэффициенты переноса. Хотя для затравочных коэффициентов
переноса можно вывести выражения через корреляционные функции, аналогичные
формулам Грина-Кубо (8.2.80) - (8.2.82), их вычисление для реальной жидкости явля-
является очень сложной задачей. Поэтому в теории гидродинамических флуктуации затра-
затравочные коэффициенты переноса обычно рассматриваются как заданные величины1).
Подведем итоги. Формулы (9.2.3), (9.2.15) и (9.2.20) определяют все члены в гидро-
гидродинамическом уравнении Фоккера-Планка (9.1.63) для однокомпонентной жидкости.
Для полноты приведем явные выражения для коэффициентов дрейфа (9.1.64):
ио(г; а) = -Va [(е + P)va - \0\7аТ - щАар^Ур(\7 ^v») - (ova(V • v)],
<(г; а) = -V/з [PSa/3 + QvaV{3 - щАа^у{^ ^у) ~ Co Sa0 (V • v)],	(9.2.22)
и обобщенной диффузионной матрицы (9.1.65):
a^Vv}VJ{r-r').	(9.2.23)
Видно, что даже в случае относительно простой системы, каковой является одноком-
понентная жидкость, гидродинамическое уравнение Фоккера-Планка имеет довольно
сложную структуру. Отметим, однако, что во многих физических задачах это урав-
уравнение можно упростить. Если флуктуации малы, то диффузионную матрицу можно
разложить в ряд по отклонениям гидродинамических переменных от их средних зна-
значений. Тогда удается найти явное решение уравнения Фоккера-Планка или, по край-
крайней мере, вычислить корреляционные функции флуктуации и поправки к наблюдае-
наблюдаемым коэффициентам переноса. В другом типичном случае, когда сильные флуктуации
испытывают только некоторые из гидродинамических переменных, общее уравнение
Фоккера-Планка может быть сведено к уравнению для функционала распределения
от меньшего числа переменных. Важный пример — теория турбулентности — будет
рассмотрен в параграфе 9.4.
Ч Уравнения гидродинамики для средних значений базисных переменных и корреляционные функ-
функции флуктуации, вычисленные с помощью уравнения Фоккера-Планка, содержат коэффициенты пере-
переноса г], ( и Л, которые получаются из затравочных коэффициентов в результате процедуры "перенор-
"перенормировки". Ситуация здесь во многом схожа с квантовой теорией поля, где окончательные выражения
для физических величин содержат перенормированные заряды и массы частиц, а не их затравочные
значения. Как уже отмечалось, вне критической области затравочные и наблюдаемые коэффициен-
коэффициенты переноса практически совпадают, поэтому значения т]0, ?0 и Ло можно найти из эксперимента.
Даже в окрестности критической точки флуктуации температуры и химического потенциала очень
малы, так что и в этом случае затравочные коэффициенты переноса часто удается оценить, отделяя
"критические аномалии" в наблюдаемых коэффициентах переноса.

9.2. ФЛУКТУАЦИИ В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	237
9.2.3. Метод Ланжевена для гидродинамических флуктуации.
Динамическую теорию крупномасштабных флуктуации можно сформулировать на
языке "уравнений движения" для гидродинамических полей, рассматриваемых как
случайные переменные. Этот подход является далеко идущим обобщением известного
метода Ланжевена в теории броуновского движения [112]. Он был впервые использо-
использован Ландау и Лифшицем [23] для описания линейных гидродинамических флуктуации
вблизи равновесия, а затем применялся многими авторами к различным конкретным
задачам.
Основная идея метода Ланжевена в теории гидродинамических флуктуации состо-
состоит во введении в уравнения переноса "случайных источников", описывающих тепловой
шум. После этого уравнения переноса становятся стохастическими дифференциаль-
дифференциальными уравнениями, а их решения описывают не только регулярное (усредненное) дви-
движение, но и флуктуации на фоне этого движения. Средние значения случайных источ-
источников равны нулю, а их корреляции определяются из дополнительных условий самосо-
самосогласования, например, из флуктуационно-диссипационной теоремы. Метод стохастиче-
стохастических уравнений и метод уравнения Фоккера-Планка дополняют друг друга. Отметим,
однако, что эти методы, вообще говоря, не эквивалентны. Мы видели, что уравнение
Фоккера-Планка может быть выведено из фундаментального уравнения неравновесной
статистической механики — уравнения Лиувилля, в то время как метод стохастических
уравнений по своей сути является феноменологическим, и его применимость необходи-
необходимо обосновывать в каждом конкретном случае. Тем не менее, метод Ланжевена часто
оказывается очень удобным, особенно при вычислении временных корреляционных
функций флуктуации. Поэтому представляет интерес построение стохастических гид-
гидродинамических уравнений, соответствующих уравнению Фоккера-Планка (9.1.63).
Напомним сначала метод Ландау и Лифшица в теории линейных гидродинами-
гидродинамических флуктуации вблизи равновесного состояния. Исходным пунктом этого метода
служат обычные гидродинамические уравнения, выражающие законы сохранения мас-
массы, импульса и энергии:
др ^ .	dja „ , „ .	ч
я7 = " V'J'	~яГ = "V^ (P Sa& + g VaVP + *aP)'
dt	°	(9.2.24)
де
-тп = -Va [(е + Р) va + TTapVp + qa],
где P(r,t) — давление, 7га/3(г,?) — тензор вязких напряжений и q(r,?) — поток теп-
тепла. Чтобы сделать уравнения (9.2.24) пригодными для описания гидродинамических
флуктуации, предположим, что потоки пар и q можно разделить на регулярные (S) и
случайные (R) части, т. е.
(9.2.25)
Регулярные части задаются линеаризованными выражениями, известными из гидро-
гидродинамики:
7Г^ = /eq Да/?/и, V^ " Ceq <W V • V,	qS = "AeqVT,	(9.2.26)
где 7/eq, (eq и Aeq — коэффициенты переноса, зависящие от равновесных термоди-
термодинамических параметров, а тензор Да/3^ определяется выражением (8.2.77). Потоки
тг^з(г,?) и qR(r,?) учитывают эффекты, связанные с микроскопической динамикой,
и играют роль "случайных сил". В подходе Ландау и Лифшица предполагается, что

238	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
случайные силы в различных точках и в различные моменты времени не коррели-
коррелируют между собой и имеют гауссовское распределение. На основе этих допущений и
флуктуационно-диссипационной теоремы1) получаются соотношения [23]
= 2Te2q Aeq <W 6(r - r') S(t -1'),	(9.2.27)
где Teq — равновесная температура жидкости. Символ (...) интерпретируется как сред-
среднее значение по "ансамблю реализаций" движения жидкости. Уравнения (9.2.24) сов-
совместно с выражениями (9.2.26) и (9.2.27) лежат в основе самосогласованной теории
линейных гидродинамических флуктуации вблизи равновесия. Подробное изложение
этой теории можно найти, например, в [25, 70].
Серьезные трудности возникают при попытке применить уравнения (9.2.24) к
нелинейным или неравновесным флуктуациям. Во-первых, ясно, что корреляционные
функции случайных потоков более не совпадают со своими равновесными значени-
значениями, которые даются формулами (9.2.27). С физической точки зрения естественно
ожидать, что интенсивность теплового шума будет зависеть от локальных параметров
состояния, т. е. от флуктуирующих гидродинамических полей. Во-вторых, в уравнение
баланса энергии [см. (9.2.24)] входит член тг^/з^/?' который описывает так называемый
"мультипликативный шум", обусловленный корреляциями между микроскопическими
случайными потоками и крупномасштабными флуктуациями. Здесь важно отметить,
что, вообще говоря, математический смысл стохастических уравнений с мультипли-
мультипликативным шумом неоднозначен [42, 72, 146]. В контексте теории гидродинамических
флуктуации это означает, что выражения типа (тг^(г,^)|;/з(г,^/)) имеют разрыв при
* = *', т.е.
Нто(тг^(г,ф^
Таким образом, применимость стохастических уравнений (9.2.24) к описанию нелиней-
нелинейных гидродинамических флуктуации требует дополнительного исследования.
Существуют различные интерпретации нелинейных стохастических дифференци-
дифференциальных уравнений. Наиболее известными являются интерпретации Ито [91] и Страто-
новича [36]. Краткие сведения об этих интерпретациях приведены в приложении 9Г.
Отметим, что с чисто математической точки зрения выбор интерпретации есть, в значи-
значительной мере, вопрос удобства. Имея систему стохастических уравнений, записанную в
какой-то одной интерпретации, нетрудно, следуя хорошо известным правилам, перепи-
переписать ее в любой другой интерпретации. Более серьезной проблемой является построение
в явной форме нелинейных стохастических уравнений, описывающих данную систему,
и определение свойств случайных источников. Тогда выбор интерпретации стохастиче-
стохастических уравнений становится физическим вопросом. Для его решения естественно исхо-
исходить из микроскопического описания системы. Как мы видели, такой подход позволяет
вывести уравнение Фоккера-Планка для функции распределения флуктуации, в кото-
котором корреляционные функции микроскопических потоков определяют коэффициенты
дрейфа и диффузионную матрицу. С другой стороны, уравнение Фоккера-Планка мож-
можно вывести непосредственно из стохастических уравнений (см., например, [72, 146]).
Ч Фактически требуется, чтобы средние значения флуктуации (Aam(r*i) Aan(r2)), вычисленные с
помощью линеаризованных стохастических уравнений (9.2.24), были равны средним, известным из
теории равновесных флуктуации.

9.2. ФЛУКТУАЦИИ В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	239
Поэтому случайные силы в нелинейных стохастических уравнениях и интерпретация
самих этих уравнений должны быть выбраны так, чтобы получались те же самые
выражения для коэффициентов дрейфа и элементов диффузионной матрицы, кото-
которые следуют из микроскопической теории. Для некоторых простых моделей свойства
случайных сил удается определить путем непосредственного вычисления собственных
значений диффузионной матрицы [146], однако в более сложных случаях приходится
прибегать к тем или иным эвристическим приемам.
Чтобы наметить путь к построению метода Ланжевена для нелинейных гидро-
гидродинамических флуктуации, сформулируем несколько иначе изложенную выше схему
Ландау и Лифшица. Представим случайную компоненту тензора напряжений тг^ как
сумму
j-a,	(9-2-28)
где 7г^? — часть тензора тг^ с нулевым следом. В изотропном равновесном состоянии
переменные ttr, тг^ и q^, имеющие различную тензорную размерность, должны быть
статистически независимы в том смысле, что все их перекрестные корреляционные
функции равны нулю1). Поэтому удобно записать линеаризованные случайные потоки
в виде
Ta/5(r,i) = (%qreqI/2/S(r,i) + (CeqreqI/2/S(r,i),
(9.2.29)
/
где fal fap и fap — независимые случайные переменные, причем след тензора fa^
равен нулю, а /^ ~ &ар- Легко проверить, что соотношения Ландау-Лифшица (9.2.27)
выполняются, если
S	й	//*'),	(9-2-30)
</Э (г' *) f% (rl,t')) = 2Sap6a,0,S(r-r'N(t-tl),
(fa(r, t) fa,(r',t')) = 25aa, 6{r-r') S(t-1').
Мы видим, что динамические свойства линейных гидродинамических флуктуации
можно описать с помощью "универсальных" случайных источников fa, fa^ и /^j,
свойства которых не зависят от значений коэффициентов переноса и температуры.
Формулы (9.2.29) подсказывают обобщение метода Ландау и Лифшица на случай
нелинейных и неравновесных флуктуации. Поскольку гидродинамические перемен-
переменные am(r,t) = {^(r,^), j(r,?), e(r,?)} изменяются со временем гораздо медленнее, чем
g^(r,?) и тг^(г,?), естественно предположить, что тензорная структура случайных
потоков останется такой же, как для равновесных флуктуации, однако множители,
Ч Это утверждение эквивалентно теореме Кюри в обычной гидродинамике (см. раздел 8.2.4), со-
согласно которой кинетические коэффициенты, построенные из равновесных корреляционных функций
микроскопических потоков различной тензорной размерности, равны нулю.

240	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
определяющие интенсивность шума, будут зависеть от мгновенных значений флукту-
флуктуирующих полей am(r,t). Иначе говоря, разумно взять случайные потоки для неравно-
неравновесной жидкости в виде [132]
(9.2.31)
q^(v,t)=[X0(v,t)T2(v,t)]1/2fa(v,t),
где затравочные коэффициенты переноса (9.2.21) зависят от температуры и химиче-
химического потенциала, которые теперь рассматриваются как флуктуирующие переменные:
0({)))
(9.2.32)
X0(r,t) = X0(T(r,t),ii(r,t)).
Ясно, что выражения (9.2.26) для регулярных потоков также следует изменить, по-
поскольку вдали от равновесия эти потоки не могут зависеть от равновесных значений
коэффициентов переноса. По аналогии со случайными потоками предположим, что
новые выражения содержат затравочные коэффициенты переноса (9.2.32), т.е.
тг^ = -т/о Да/?/** V^ - Со <W V • v, qs = -Ао VT.	(9.2.33)
Подчеркнем еще раз, что все сказанное выше следует рассматривать лишь как на-
наводящие физические соображения. Теперь мы должны показать, что стохастические
уравнения (9.2.24), в которых случайные части потоков даются формулами (9.2.31),
эквивалентны функциональному уравнению Фоккера-Планка (9.1.66).
Напомним, что уравнения (9.2.24) содержат члены, описывающие "мультиплика-
"мультипликативный шум". Поэтому нужно выбрать подходящую интерпретацию этих уравнений.
В теории гидродинамических флуктуации наиболее естественна интерпретация Стра-
тоновича, которая предполагает обычные правила замены переменных в нелинейных
стохастических уравнениях (см. [42, 72]). Таким образом для флуктуирующих пере-
переменных можно использовать локальные уравнения состояния и термодинамические
соотношения, рассмотренные в разделе 9.2.1. К вопросу о возможности других интер-
интерпретаций мы вернемся позже.
Для вывода уравнения Фоккера-Планка из стохастических уравнений гидродина-
гидродинамики (9.2.24) удобно записать их для набора переменных an(t), представляющих собой
дискретные аналоги локальных переменных am(r,t) = {#(r,?), j(r,?), e(r,?)}. Переход
к дискретному описанию гидродинамических флуктуации уже обсуждался в разде-
разделе 9.1.1, поэтому не будем на нем останавливаться.
Нетрудно убедиться в том, что уравнения для переменных an(t) имеют следующую
структуру:
*^	Л«)Ш,	(9.2.34)
где ип(а) и дпи(а) зависят от а = {ат} , а источники ?u(t) являются линейными ком-
комбинациями введенных ранее гауссовских случайных переменных fa, /^j, /^j. Ясно,
что корреляционные функции источников можно записать в виде
(t')) = 2A^S(t-t').	(9.2.35)

9.2. ФЛУКТУАЦИИ В ОДНОКОМПОНЕНТНОЙ ЖИДКОСТИ	241
Явные выражения для функций ип(а), дп(а) и коэффициентов Kvv, приводятся в при-
приложении 9Г.
Уравнения (9.2.34) типичны для систем с "мультипликативным шумом". Свойства
таких уравнений хорошо изучены и существуют стандартные способы вывода из них
уравнения Фоккера-Планка для функции распределения T(a,t) [42, 72, 146]. Вообще
говоря, явный вид уравнения Фоккера-Планка зависит от интерпретации стохастиче-
стохастических уравнений (9.2.34). Можно показать (см. приложение 9Г), что в случае гидроди-
гидродинамических флуктуации все интерпретации эквивалентны в том смысле, что все они
приводят к одному и тому же уравнению Фоккера-Планка
^^^^u „,36)
п	п,п' п	п
с диффузионной матрицей
Dnw («) = !>-» К,' <W («) ¦	(9-2-37)
Более того, если случайные потоки даются выражениями (9.2.31), то в непрерывном
пределе уравнение (9.2.36) переходит в функциональное уравнение Фоккера-Планка
(9.1.66), полученное методом неравновесного статистического оператора из уравнения
Лиувилля1). Это очень важный момент, так как возможность различных интерпрета-
интерпретаций уравнений (9.2.34) вызвала в свое время возражения против метода Ланжевена в
теории нелинейных гидродинамических флуктуации [67-69]. Частично эти возражения
были сняты в работах [45, 166]. Полное доказательство эквивалентности интерпрета-
интерпретаций стохастических уравнений для нелинейных гидродинамических флуктуации было
дано в [132].
Эквивалентность различных интерпретаций уравнений (9.2.24) тесно связана с тем
обстоятельством, что переменные am(r,t) = {#(r,?), j(r,?), e(r,?)} соответствуют ло-
локально сохраняющимся величинам (см. приложение 9Г). Если бы случайные источни-
источники были введены в другие гидродинамические уравнения (например, в уравнение для
энтропии или для температуры, а не в уравнение для энергии), то эквивалентность
различных интерпретаций была бы утрачена. Иначе говоря, стохастические уравне-
уравнения гидродинамики для различных наборов независимых переменных не обязательно
имеют один и тот же вид в различных интерпретациях. Мы всюду будем пользоваться
интерпретацией Стратоновича, благодаря чему отпадает необходимость изучать новые
правила замены переменных, интегрирования и дифференцирования, которые прихо-
приходится вводить, например, в случае интерпретации Ито.
Метод уравнения Фоккера-Планка и соответствующий нелинейный метод Ланже-
Ланжевена легко могут быть обобщены на многокомпонентные жидкости. Как было показано
в параграфе 8.3, единственным новым обстоятельством является то, что в многоком-
многокомпонентной жидкости существует несколько векторных диссипативных процессов, свя-
связанных с переносом энергии и вещества: теплопроводность, диффузия и перекрестные
эффекты. Поэтому случайные составляющие потока тепла и диффузионных потоков
будут линейными комбинациями нескольких гауссовских переменных. Пример постро-
построения нелинейного метода Ланжевена для многокомпонентной жидкости можно найти
в работе [132].
Ч Интересно отметить, что само по себе уравнение Фоккера-Планка (9.1.66) не соответствует ни
интерпретации Ито, ни интерпретации Стратоновича в методе Ланжевена.

242	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
9.3. Линейные неравновесные флуктуации
Во многих экспериментальных ситуациях крупномасштабные флуктуации относи-
относительно малы, что позволяет решать уравнение Фоккера-Планка или соответствующие
уравнения Ланжевена путем разложения локальных величин в ряды по их отклонени-
отклонениям от средних значений, которые удовлетворяют уравнениям гидродинамики. Отме-
Отметим, что даже в случае малых флуктуации само макроскопическое состояние системы
может значительно отличаться от равновесного.
В этом параграфе мы рассмотрим линейные гидродинамические флуктуации в
неравновесных системах. Особый интерес представляют флуктуации в стационарных
состояниях, порождаемых статическими возмущениями типа внешнего градиента тем-
температуры или сдвига скорости течения. Такие состояния относительно легко создать
в эксперименте. Кроме того, крупномасштабные флуктуации в неравновесных стацио-
стационарных состояниях обладают рядом интересных свойств, отсутствующих у равновес-
равновесных флуктуации. Большинство этих свойств тесно связано с тем обстоятельством, что
в стационарном неравновесном состоянии нарушена симметрия относительно обраще-
обращения времени. Разумеется, здесь невозможно дать полное описание всех особенностей
неравновесных флуктуации. Основная цель состоит в том, чтобы проиллюстрировать
общий подход, развитый в предыдущих параграфах.
9.3.1. Временные корреляционные функции. Линейные флуктуа-
флуктуации в неравновесных системах могут изучаться как с помощью уравнения Фоккера-
Планка для функции (функционала) распределения, так и с помощью эквивалентной
ему системы уравнений Ланжевена для гидродинамических переменных. Наш анализ
будет основан на методе Ланжевена1).
Общее обсуждение удобно начать с нелинейных стохастических уравнений (9.2.34)
для дискретных аналогов локально сохраняющихся гидродинамических переменных.
Как уже было отмечено, эти уравнения рассматриваются как уравнения Стратоновича.
Поэтому используя обычные правила замены переменных, легко получить систему
стохастических уравнений и для любого другого набора переменных {bk{t)}, которые
выражаются через {an{t)} из уравнений состояния bk(t) = bk({an(t)}):
^	t),	(9-3.1)
где
~ —ип{а),	(9.3.2)
ап
Р^9пЛа).	(9-3.3)
Поскольку в гидродинамических задачах часто используются функции сохраняющихся
переменных (например, энтропия или температура), дальнейшее рассмотрение будет
основано на уравнениях (9.3.1).
Предположим, что члены с источниками шума в уравнениях (9.3.1) можно считать
малыми возмущениями. Тогда в нулевом приближении эволюция системы описывается
Ч Подход, основанный на гидродинамическом уравнении Фоккера-Планка, излагается в [76].

9.3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	243
системой детерминированных уравнений
	= и^ \b(t)\ ,	(9.3.4)
где bk(t) — соответствующие усредненные функции состояния. Полагая в (9.3.1)
t)	(9.3.5)
и оставляя лишь линейные поправки к средним значениям, получаем систему уравне-
уравнений, описывающих динамику флуктуации:
4 6Ьк (*) = -? Акк, [b(t)] 8Ък, (t) + Г, (t).	(9.3.6)
ат	к'
Матрица А(Ь) = [,4^,F)] имеет вид
Akk,(b) = -duk(b)/dbk,,	(9.3.7)
а "случайные силы"
$>"[*(*)] U*)	(9-3-8)
описывают, в общем случае, нестационарные процессы с гауссовским распределением.
Корреляции этих сил легко найти из выражений (9.2.35), поскольку коэффициенты
gkv [b(t)] являются детерминированными функциями. Получаем
()	[}	(9.3.9)
где величины
Dkk, [b(t)\ = 5>„ [Щ kvv, gk,v, [Щ	(9.3.10)
определяют интенсивность неравновесного шума.
Предположим теперь, что система находится в стационарном макроскопическом
состоянии, которое, вообще говоря, отличается от равновесного. Как видно из (9.3.4),
на детерминированном уровне описания стационарное состояние характеризуется пе-
переменными 6те, удовлетворяющими системе уравнений
ик{Ь) = 0.	(9.3.11)
Фактически это стационарные гидродинамические уравнения, записанные в дискрет-
дискретных переменных, которые соответствуют полевым переменным ^(г). Поскольку гра-
граничные условия в гидродинамике обычно формулируются для полевых переменных,
уравнения (9.3.11) удобнее решать в координатном представлении. Если, например, си-
система описывается локально сохраняющимися переменными ош(г), то стационарные
детерминированные уравнения вытекают непосредственно из уравнения (9.1.64):
0.	(9.3.12)

244	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
При использовании других переменных {bk(r)} стационарные уравнения можно полу-
получить с помощью правил преобразования (9.3.2) после перехода от дискретного описания
к непрерывному1).
Предположим, что стационарные решения Ьк детерминированных гидродинамиче-
гидродинамических уравнений известны, и рассмотрим временные корреляционные функции
Ckk,(t,t') = {Sbk(t)Sbk,(t')),	(9.3.13)
описывающие динамические свойства неравновесных флуктуации. Поскольку в стаци-
стационарном состоянии эти корреляционные функции зависят только от разности t — t1,
удобно ввести фурье-преобразование
оо
{5Ьк5Ьк,)ш= f dteiu{t-t')Fbk(tNbk.(t')).	(9.3.14)
—оо
Продифференцировав по t соотношение (9.3.13), воспользуемся уравнением (9.3.6),
а затем перейдем к фурье-компонентам. В результате получаем систему уравнений,
которая в матричных обозначениях записывается как
\-ш + А(Ь)] EЬ 5Ь)Ш = (Г 5Ь)Ш,	(9.3.15)
где матричные элементы (Г^^б^/)^ являются фурье-компонентами корреляцион-
корреляционных функций (Tk(t) Sbk,(t')). Чтобы исключить эти функции, продифференцируем
(Tk(t) Sbk,(t')) no t' и еще раз воспользуемся уравнением (9.3.6). Тогда для фурье-
компонентов получим
(Г&Ь)Ы [ш + АТ{Ь)} = 2D{b),	(9.3.16)
где А^к,(Ь) = —дик,(ЬIдЪк — матрица, транспонированная к матрице (9.3.7). При за-
записи (9.3.16) было использовано соотношение
Ь),	(9.3.17)
которое следует из (9.3.9) в стационарном случае. Из (9.3.15) и (9.3.16) находим
EЬ Щш = 2 [-ш + A(b)]-lD(b) [ш + Ат (Ъ)]-1.	(9.3.18)
Эта формула выражает флуктуационно-диссипационную теорему для неравновесных
стационарных состояний, так как она связывает фурье-компоненты корреляционных
функций флуктуации с диффузионной матрицей Dkk,(b), которая зависит от диссипа-
тивных характеристик системы — коэффициентов переноса2). Для явного вычисления
временных корреляционных функций флуктуации формула (9.3.18) практически не
используется из-за математических трудностей, связанных с нахождением обратных
матриц (как правило, бесконечных). Как мы увидим ниже, более простой путь состоит
в решении системы связанных уравнений (9.3.15) и (9.3.16).
Ч Вообще говоря, переменные bk(r) могут быть нелокальными функционалами от ап(г). Тогда
непрерывные аналоги уравнений (9.3.2) имеют вид
В частном случае, когда bk(r) являются локальными функциями ап(г), эти соотношения упрощаются,
поскольку Sbk{r)/San{rf) = \dbk{r)/дап{г)] S{r-rf).
2) Флуктуационно-диссипационная теорема (9.3.18) была получена в работе [159] методом Ланжевена;
вывод, основанный на уравнении Фоккера-Планка, приведен в [76].

9.3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	245
9.3.2. Линеаризованные уравнения Ланжевена для простой
жидкости. В качестве примера рассмотрим линейные гидродинамические флук-
флуктуации в неравновесной однокомпонентной жидкости. Будем исходить из стохастиче-
стохастических уравнений (9.2.24) для локальных переменных {am(r,t)} = {e(r,?), ja{r), g(r,t)}.
Поскольку нас интересуют лишь линейные флуктуации около детерминированного
движения, в выражениях (9.2.31) и (9.2.33) затравочные коэффициенты переноса
можно заменить на наблюдаемые (локально-равновесные) коэффициенты.
В данном случае детерминированные уравнения (9.2.24) имеют вид
|f = -Vja, ^ = -V0fa0, |? = -VaJa,	(9.3.19)
где введены регулярные потоки импульса и энергии
/3-r)Aa/3lll;Vllvl;-Eai31V-v,
(9.3.20)
Здесь и в дальнейшем символ А означает, что функция A(r,t) = A({an(r,t)}) вычис-
вычисляется при an(r,?) = an(r,?).
Линеаризованные уравнения для флуктуации 5an(r,t) = an(r,t) — an(r,t) имеют
вид
sQ = Va8ja, ^Jia = VpSTap+Ya, lLse = -Va8Ja + r (9.3.21)
ot	ot	ot
с флуктуационными поправками к потокам
STaj3 = ТаР{{ат + 6ат}) - Т{{ат}), 6Ja = Ja{{am + 6am}) - Ja{{am}). (9.3.22)
Правые части этих соотношений необходимо записать в линейном приближении по
8ап. Случайные силы Ta(r,t) и Г(г,?) в уравнениях (9.3.21) описывают в линейном
приближении влияние теплового движения на гидродинамические переменные. Явные
выражения для этих сил нетрудно получить с помощью общих формул (9.2.31) для
случайных потоков в однокомпонентной жидкости:
(9.3.23)
Вспоминая свойства (9.2.30) гауссовских переменных fa(r,t), /^(г,^) и f^(r,t), на-
находим корреляционные функции случайных сил [101, 132]:
(Га(г,ф = 0, (Г(г,ф = 0,
(Га(г, t) Г^(г', t1)) = -2VM [fjTAaP^ + C.T8a»8Pv\ V, S(v - r') S(t -11),
(Г(г, t) Га(г;, t1)) = -2VM [fj TAa^ + lTSailSpv] vpVv S(r - r') S(t -11),
(Г(г, t) r{r',t')) = -2Va [fj ТАа^„ + CTSailSffv] v^v,, V p 5{r - r') S(t -1') -
XT2
-2VaXT2VaS(r-r')S(t-t').	(9.3.24)

246	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Отметим, что все гидродинамические величины и коэффициенты переноса берутся в
момент времени ? и в точке г.
Во многих задачах удобнее пользоваться переменными, которые выражаются че-
через е, j и д из локальных уравнений состояния. К ним относятся, например, локаль-
локальная скорость движения жидкости v(r,?), температура Т(г,?), давление Р(г,?) и т.д.
Уравнения Ланжевена для линейных флуктуации таких переменных легко выводятся
из уравнений (9.3.21) с помощью обычной замены переменных.
9.3.3. Флуктуации плотности в неравновесном стационарном
состоянии: звуковые частоты. Корреляционные функции флуктуации в
жидкости можно измерить с помощью неупругого рассеяния света [46]. Непосредствен-
Непосредственно измеряется динамический структурный фактор, который выражается через кор-
корреляционную функцию флуктуации плотности массы:
оо
= fdx f
(9.3.25)
Отметим, что в неравновесной жидкости 5wk(r) параметрически зависит от г.
В гидродинамической области значений о; и к центральная линия (линия Рэлея)
спектра 5wk с максимумом при со = 0 возникает из-за флуктуации плотности при по-
постоянном давлении и связана с тепловой диффузионной модой. Центры двух других
линий (дублет Бриллюэна или Бриллюэна-Манделынтама) расположены в и = ±ск,
где с — адиабатическая скорость звука; эти линии соответствуют флуктуациям плот-
плотности при постоянной энтропии и связаны с акустическими модами.
В настоящем разделе мы вычислим структурный фактор неравновесной жидкости
в окрестности линий Бриллюэна1). Для простоты рассмотрим плоский слой жидкости
и будем считать, что неравновесное стационарное состояние создается двумя термоста-
термостатами с различными температурами. В таком случае состояние жидкости характеризу-
характеризуется стационарным градиентом температуры2).
Поскольку предполагается, что средняя скорость течения жидкости v равна нулю,
стационарные уравнения (9.3.12) принимают вид
VP = 0, V-(AVT) = 0.	(9.3.26)
С помощью локального уравнения состояния Р = Р(д,Т) и термодинамического то-
тождества (8Р/дТ)д = —(дд/дТ)р (дР/дд)т первое из уравнений (9.3.26) можно пере-
переписать как
V?+-^=V7F = 0,	(9.3.27)
дТ
где а = — (ТI д) (дд/дТ)р — коэффициент теплового расширения. Для обычных жид-
жидкостей, как правило, имеем а <С 1, поэтому вторым членом в (9.3.27) можно прене-
пренебречь3). В этом приближении находим, что g = const.
Ч Низкочастотная область, соответствующая линии Рэлея, будет рассмотрена в следующем разделе.
2)	Более общие стационарные состояния с градиентами температуры и скорости рассмотрены в рабо-
работах [29, 139, 160].
3)	Мы не рассматриваем здесь так называемую конвекцию Бенара в горизонтальном слое жидкости,
подогреваемом снизу; при достаточно большом градиенте температуры тепловое расширение вызывает
макроскопическое движение жидкости [24]. Устойчивое стационарное состояние, в котором тепловое
расширение не играет заметной роли, возникает, например, если температура верхней стенки сосуда
с жидкостью выше температуры нижней стенки.

9.3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	247
При решении второго из уравнений (9.3.26) предположим, что температурной зави-
зависимостью коэффициента теплопроводности можно пренебречь. Тогда получаем уравне-
уравнение V2T = 0, которое нужно решать с заданными граничными условиями для темпера-
температуры. Если рассматривается плоский слой жидкости с толщиной L вдоль оси z и неогра-
неограниченный вдоль осей х и у, то граничные условия имеют вид T(z = ±L/2) = Tq± AT/2,
где Т0±АТ /2 — температуры стенок. Отсюда следует, что VT = const. Таким образом,
мы имеем дело с неравновесным стационарным состоянием, которое характеризуется
постоянным градиентом температуры.
Вернемся теперь к линейным уравнениям движения для флуктуации (9.3.21). По-
Поскольку в данном случае v = 0, имеем 5} = j и Sv = (l/g)j. Тогда флуктуационную
поправку к тензору напряжений можно представить в виде
6ТаР = SP 5а0 - (fj/g) Да/3„„ VMi, - (С/д) Sa0 V j.	(9.3.28)
Чтобы вычислить флуктуацию давления SP, воспользуемся локальным уравнением
состояния P(g1sI где s — энтропия на единицу массы, и запишем
Из термодинамики известно, что
где cv — удельная теплоемкость. Таким образом, если тепловым расширением можно
пренебречь, то флуктуация давления дается выражением
SP = c2Sg,	(9.3.29)
в котором с2 = (dP/dg)s — квадрат скорости звука.
С учетом сказанного выше получаем из (9.3.21) линейные стохастические уравнения
для флуктуации плотности и импульса
J^0 = -V-j,	(9-3.30)
^+Va(ei8Q)-(l/Q)Vt}(f}baf,llvVlljl, + C6af,V-3)=ra,	(9.3.31)
которые будут служить исходными уравнениями для вычисления динамического
структурного фактора1).
Рассмотрим корреляционную функцию (Sg(r,t) Sg(r',t')) флуктуации плотности в
стационарном состоянии. Дифференцируя ее по t и t', с помощью уравнения (9.3.30)
получаем
{5(t)S(',t')) = VaV0{ja(v,t)j0(v',t')).	(9.3.32)
Для фурье-компонентов корреляционных функций (9.3.14) это соотношение записы-
записывается как
Eв(тMв(т'))ш =ш-2УаУ',Са13(т,г';и),	(9.3.33)
Ч В приближении, где коэффициент теплового расширения полагается равным нулю, можно обойтись
без уравнения для флуктуации энергии.

248	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
где введены корреляционные функции флуктуации импульса
))ш.	(9.3.34)
Заметим, что соотношение (9.3.32) является точным.
Покажем, что корреляционные функции (9.3.34) удовлетворяют замкнутой систе-
системе уравнений. Повторяя общий ход рассуждений из раздела 9.3.1, дифференцируем
функцию (ja(r,?) jp(r',t')) no ?, а затем используем уравнение (9.3.31). После преоб-
преобразования Фурье и исключения перекрестной корреляционной функции (Sgir)}^^'))^
с помощью соотношения
шFв(т)]р{т'))ш=^11С11р{тУ;ш),	(9.3.35)
которое есть очевидное следствие закона сохранения массы, получаем
)VC?(')AV-()VC(')
-yVQC(r)V^C^(r,r';a;) = ia;<ra(r)j>(r')>a,. (9.3.36)
Отметим, что, вообще говоря, скорость звука и коэффициенты переноса зависят от
координат через стационарную температуру Т(т).
Уравнения для корреляционных функций, стоящих в правой части (9.3.36), мож-
можно получить, опять следуя схеме, изложенной в разделе 9.3.1. Продифференцируем
функцию (ra(r,t)jp(r',t')) no t' и воспользуемся еще раз уравнением (9.3.31). После
преобразования Фурье по времени исключим корреляционные функции (Га(г)
с помощью очевидного равенства
))и = -V'/3{ra(r)i/3(r')>w.	(9.3.37)
В результате простых преобразований приходим к системе уравнений
a;2<ra(r)j/,(r'))u;+V^c2(r')V'/i(ra(r)i/i(r')>w +
+ j A^v^r') v;<ra(r).ur')b + + у v'^oo v;<ra(r)jM(r')>. =
= -»о;<Га(г)Г^(г;)>а,. (9.3.38)
Напомним, что корреляционная функция случайных сил Та(г) известна [см. (9.3.24)].
В принципе, решив уравнения (9.3.36) и (9.3.38), можно найти корреляционные
функции флуктуации импульса, а затем вычислить корреляционную функцию флук-
флуктуации плотности с помощью соотношения (9.3.33). Удобнее, однако, вывести систему
уравнений, куда входит непосредственно динамический структурный фактор. С этой
целью подействуем на уравнения (9.3.36) и (9.3.38) оператором V^V^, а затем просум-
просуммируем по а и р. С учетом (9.3.33) получим
0J2(Sg(r) Sg(r'))u + V2[c2(r) - iwD,(r)](Sg(r) 6д(г'))ш = Qw(r,r;),
(9.3.39)

9.3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	249
где введены следующие обозначения:
!»?(г) + С(г)),	(9.3.40)
Qw(r,r') = ^а%{Та{г))р{г'))ш.	(9.3.41)
Величину Dl иногда называют коэффициентом продольной вязкости, так как она
играет роль константы релаксации в уравнении для "продольной" части плотности
импульса с V х j = 0. Если пренебречь тепловым расширением, то величина Dl про-
пропорциональна коэффициенту поглощения звука [24].
Перейдем в уравнениях (9.3.39) к смешанному (г,к)-представлению. Для любой
функции G(r,r/) оно определяется формулой
= /
n (r\ — / ^ур"гк<х/7(г + у/5 r-y/2)	(Q 3 42^
После простых, но несколько громоздких преобразований, которые мы оставляем чи-
читателю в качестве упражнения (см. задачу 9.5), уравнения (9.3.39) можно записать в
компактной форме
k4,	(9.3.43)
где линейный оператор К имеет вид
2(r+i^)-iWA(r+i^)].	(9.3.44)
В правой части второго уравнения (9.3.43) опущены члены порядка gDtTk4/kLv, где
Lv = Т/| VT| = | VlnTp1	(9.3.45)
— характерная длина, на которой меняется температура в жидкости. Таким образом,
уравнения (9.3.43) справедливы при условии, что kLv ^> 1. Хотя это условие не по-
позволяет вычислить динамический структурный фактор при очень малых &, но оно
выполняется с большим запасом в экспериментах по рассеянию света1).
Исключая функцию QCt,k(r) в (9.3.43), получаем замкнутое уравнение для динами-
динамического структурного фактора [29]:
k"KS^(r) = 2gDl(T)T(r)k\	(9.3.46)
которое фактически является частным случаем флуктуационно-диссипационной тео-
теоремы (9.3.18).
Чтобы решить уравнение (9.3.46), необходимо задать зависимость скорости звука
с и коэффициента Dl от температуры. Здесь мы ограничимся простейшим случаем,
когда обе эти величины являются некоторыми постоянными2). Тогда легко убедиться
с помощью прямой подстановки, что уравнение (9.3.46) имеет точное решение
(9-3.47)
Ч В реальных экспериментах по рассеянию света в неоднородно нагретой жидкости [47] kL^ и 103.
2) Более общие случаи рассмотрены, например, в [29, 102, 159].

250	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
где и:к = ск — частота звуковой моды. Динамический структурный фактор (9.3.47)
имеет два пика вблизи и = ±ск, которые соответствуют линиям Бриллюэна в экспе-
экспериментах по рассеянию света. Для интегральной интенсивности этих линий получаем
оо
/к(г) = / ^ &*(г) = дТ(т)/с2.	(9.3.48)
—оо
Отсюда видно, что в рамках приближения с = const и Dl = const интегральная интен-
интенсивность не зависит от градиента температуры.
Интересным свойством полученного результата (9.3.47) является асимметрия линий
Бриллюэна, которую можно характеризовать величиной
оо
Д/к(г) = I ^ [S-.k(r) - Swk(r)].	(9.3.49)
о
Вычисление интеграла с динамическим структурным фактором (9.3.47) дает
|^|,	(9.3.50)
где к = к/|к|. В экспериментах по рассеянию света измеряется приведенный параметр
асимметрии [47] е = A/k//k- Из выражений (9.3.48) и (9.3.50) находим, что
6 = ^ГТТ = Ш5 k- VlnT(r) = -^ k-ev.	(9.3.51)
/k (г) Dtkl	Lv
Единичный вектор ev = VT/| VT| направлен вдоль градиента температуры, а вели-
величина 1к = с/Dtk2 есть "средняя длина пробега" звуковой моды. В гидродинамической
области волновых чисел отношение lk/Lv не обязательно очень мало. Например, в экс-
экспериментах по рассеянию света [47] lk/Lv « 0,35 при к « 2000см и |VT| « 75К/см.
Таким образом, формула (9.3.51) предсказывает существенное влияние градиента тем-
температуры на линии Бриллюэна1).
С физической точки зрения наиболее интересным является то, что в стационар-
стационарном неравновесном состоянии нарушена симметрия относительно обращения времени,
вследствие чего некоторые "аномальные" корреляционные функции могут отличаться
от нуля. Рассмотрим, например, корреляционную функцию
Cak(r) = Jdxe"ikx (Mr + x/2) ja(r-x/2)),	(9.3.52)
которая в равновесном состоянии равна нулю, так как плотность массы и плотность
импульса имеют разную четность при обращении времени. Для вычисления этой кор-
корреляционной функции подействуем на обе части равенства (9.3.35) оператором V^ и
просуммируем по /5, а затем воспользуемся соотношением (9.3.33). Это дает
Ч Экспериментальные значения параметра асимметрии [47] меньше тех, которые следуют из фор-
формулы (9.3.51). Связано это, по-видимому, с рядом причин. В частности, из-за большой длины пробе-
пробега флуктуационных звуковых мод существенное влияние на интенсивность линий Бриллюэна могут
оказывать условия на границе системы. Отметим также, что величина е уменьшается, если в уравне-
уравнении (9.3.46) учесть зависимость скорости звука от координат [29].

9.3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	251
Перейдем теперь в смешанное (г,к)-представление [см. (9.3.42)] и проинтегрируем по
частоте. Предполагая, что kLv ^> 1, находим
к- VlnT(r),	(9.3.53)
где было использовано выражение (9.3.47) для динамического структурного фактора.
Из соотношений (9.3.50) и (9.3.53) видно, что корреляционная функция флуктуации
импульса и плотности массы связана с параметром асимметрии линий Бриллюэна в
спектре рассеяния света. Другое интересное следствие из соотношения (9.3.53) заклю-
заключается в том, что градиент температуры порождает крупномасштабные корреляции
в системе. Действительно, в координатном представлении корреляционная функция
{5g(r)ja(r')) затухает по закону |r — г'1. Мы видим, что длина корреляции флук-
флуктуации в неравновесной системе может значительно превышать равновесную длину
корреляции, которая для жидкости составляет несколько межатомных расстояний.
Следует напомнить, однако, что при вычислении интеграла в (9.3.53) мы использовали
для динамического структурного фактора выражение (9.3.47), полученное при усло-
условии &LV ^> 1. Поэтому затухание флуктуации по закону |r — г'1 происходит лишь на
расстояниях |r — r'| <С Lv.
9.3.4. Флуктуации плотности в неравновесном стационарном
состоянии: низкие частоты. Рассмотрим теперь динамический структурный
фактор (9.3.25) в области низких частот (|о;| <С ск). Как и в предыдущем разделе,
ограничимся случаем постоянного градиента температуры.
Если частота флуктуационных мод много меньше звуковой частоты, то флуктуации
плотности жидкости связаны с флуктуациями энтропии при постоянном давлении1).
Поэтому при вычислении низкочастотного вклада в динамический структурный фак-
фактор (9.3.25) можно воспользоваться соотношением 2)
I's(M)'	(9-3-54)
где 6s(r, t) — флуктуация энтропии на единицу массы, ср — удельная теплоемкость при
постоянном давлении. Таким образом, низкочастотная часть динамического структур-
структурного фактора представляется в виде
^^) Fses)Ub,	\ш\<ск,	(9.3.55)
Ср \О1 )р
где
Fs Es)wk = f dt f dxeiuj{t-tr) e"ikx Fs{r + x/2, t) 8s(y - x/2, t'))	(9.3.56)
—oo
— корреляционная функция флуктуации энтропии.
Ч Флуктуации давления распространяются в форме высокочастотных звуковых мод, в то время как
флуктуации энтропии соответствуют медленным диффузионным модам, связанным с вязкостью и
теплопроводностью.
2) В дальнейшем там, где это не приводит к недоразумениям, стационарные значения термодинами-
термодинамических величин будем записывать без черты сверху.

252	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Здесь необходимо сделать одно замечание. Оно относится к соотношению (9.3.55) и
другим аналогичным соотношениям, которые появятся в дальнейшем. Как и в преды-
предыдущем разделе, предполагается, что kLv ^> 1, поэтому при переходе от координатного
представления для корреляционных функций к смешанному (г,к)-представлению ста-
стационарные значения термодинамических величин будут браться в точке г, даже если
это специально не оговаривается. Именно в этом смысле следует трактовать множитель
в правой части (9.3.55).
Итак, задача сводится к вычислению корреляционной функции флуктуации эн-
энтропии (SsSs)^- Как и в предыдущем разделе, будем исходить из системы уравне-
уравнений (9.2.24), разбив тензор вязких напряжений и поток тепла на регулярные и слу-
случайные части. В данном случае удобнее записать эти уравнения для энтропии s(r,?) и
поля скоростей v(r,?). Поскольку стохастические уравнения (9.2.24) можно интерпре-
интерпретировать как уравнения Стратоновича, для перехода к новым переменным достаточно
воспользоваться локальными уравнениями состояния. Полагая v = j/ g и s = s{g1e'I
где ef = е — j2/2g — плотность энергии в движущейся системе координат, в результате
простых преобразований получаем
в [ж + V'V) Va + V/3 (P6ap + 7r«^ + 7r^) =0,	(9.3.57)
вТ (JL + v ¦ v) « + V ¦ (qs + qR) + (Wav0) (nsa0 + тг*,) = 0.	(9.3.58)
Эти уравнения нужно линеаризовать по флуктуациям, записав Р = Р + 5Р, д = д + 5д,
s = s + 5s, v = v + #v и Т — Т + 5Т, где средние величины (с чертой) удовлетворяют
стационарным гидродинамическим уравнениям. На основании приведенных выше со-
соображений можем считать, что Р = const и 5Р = 0. Кроме того, поскольку в стацио-
стационарном состоянии жидкость покоится, имеем v = 0; поэтому 5v = v. Если флуктуации
давления пренебрежимо малы, то V • v = 0, т. е. низкочастотные флуктуации скорости
распространяются в форме поперечных вязких мод.
Используя теперь явные выражения для регулярных и случайных частей тензора
напряжений и потока тепла (см. раздел 9.2.3), из (9.3.57) и (9.3.58) получаем линеари-
линеаризованные стохастические уравнения
\
(9.3.59)
l-v = F',	(9.3.60)
где DT = А/дср — коэффициент температуропроводности, v = т)/ д — кинематическая
вязкость1). Случайные силы Fa(r,t) и F'(r,t) выражаются через гауссовские пере-
переменные /oj(r,?) и /а(г,?), которые определены соотношениями (9.2.31). Нетрудно
Ч В уравнениях (9.3.59) и (9.3.60) коэффициенты переноса рассматриваются как постоянные вели-
величины, но в окончательном выражении для динамического структурного фактора (9.3.55) их следует
взять в точке г. Отметим, что при вычислении структурного фактора в области линии Рэлея поправка-
поправками к корреляционным функциям флуктуации, связанными с зависимостью коэффициентов переноса
от координат, можно пренебречь при всех разумных значениях градиента температуры, так как, в
отличие от звуковых мод, вязкие и тепловые моды имеют очень малую "длину пробега".

9.3. ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ	253
проверить, что
Va/a.	(9.3.61)
Здесь и далее обозначение Ах(г) используется для "поперечной" (соленоидальной) ча-
части любой векторной величины А(г). Так как V • А± = 0, то фурье-компоненты соле-
соленоидальной части записываются в виде
Ku = {Sap-Kh)A0k-	(9-3-62)
Корреляционные функции случайных сил (9.3.61) легко вычисляются с помощью со-
соотношений (9.2.30). В (о;,к)-представлении они даются формулами
Sa0-kak0), (F'F')uk = 2Ср°тк ,	(9.3.63)
проверку которых оставляем читателю в качестве упражнения.
Как видно из уравнения (9.3.60), флуктуации энтропии взаимодействуют с флук-
туациями скорости, причем интенсивность этого взаимодействия зависит от градиента
энтропии Vs = cpVr/T, который в неравновесном стационарном состоянии отличен
от нуля1).
Для вычисления корреляционной функции (SsSs)^ удобно воспользоваться тем
же самым приемом "дифференцирования по двум временам", который уже приме-
применялся ранее. Продифференцируем функцию (Ss(r,t) Ss(r',t')) по времени t и с по-
помощью уравнения (9.3.60) исключим производную dSs/dt. Переходя затем к фурье-
компонентам, получим
(-ш + DTk2) Es fo)wk = -{\7as) (va fo)wk + (F1 Ss)^.	(9.3.64)
Уравнения для функций, стоящих в правой части, выводятся путем дифференцирова-
дифференцирования (va(r,tNs(r',t')) и (F'(r,tNs(r',t')) no t'. Снова используя уравнение (9.3.60) и
переходя к фурье-компонентам корреляционных функций, получаем
[ш + DTk2) (va 5s)^ = " (V^s) K^)wk,
(ibj + DTk
Теперь из (9.3.64) находим, что
(v/iU]^p4-	(9-3-65)
Остается найти корреляционную функцию флуктуации скорости с помощью уравне-
уравнения (9.3.59). Здесь опять помогает прием "дифференцирования по двум временам".
Выкладки элементарны, поэтому не будем их приводить. В результате получаем
(9-3-66)
Ч На странице 252 мы отмечали, что при вычислении низкочастотной части динамического структур-
структурного фактора можно пренебречь пространственной зависимостью стационарных значений термодина-
термодинамических величин. Однако приведенные там аргументы не относятся к члену с градиентом энтропии
в (9.3.60), поскольку он имеет тот же порядок величины, что и другие члены в уравнении, и его вклад
в динамический структурный фактор отнюдь не мал (см. ниже).

254	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Теперь все готово для вычисления динамического структурного фактора в области
низких частот. Но перед этим имеет смысл вернуться на минуту к формуле (9.3.65). За-
Заметим, что флуктуации скорости играют роль дополнительного "неравновесного шума",
свойства которого кардинально отличаются от свойств теплового (молекулярного) шу-
шума, описываемого корреляционной функцией (Fr F')^. В то время как интенсивность
теплового шума не зависит от частоты и растет с ростом волнового числа [см. (9.3.63)],
интенсивность неравновесного шума максимальна при малых ш и к, т. е. в области
гидродинамических флуктуации.
Выпишем явное выражение для низкочастотной части динамического структурно-
структурного фактора (линии Рэлея в спектре рассеяния света), которое следует из соотноше-
соотношений (9.3.55), (9.3.65) и (9.3.66):
к2 1 "с ФТ№Т)	1 (9367)
DTT W2+ 1/2*4
Градиент энтропии представлен здесь в форме Vs = cpVT/Т. Напомним, что все
термодинамические величины и коэффициенты переноса берутся в точке г.
В эксперименте трудно определить точную форму линии Рэлея, поэтому обычно
измеряется интегральная интенсивность рассеяния света /k(rM которую легко вычис-
вычислить с помощью (9.3.67):
Второй член в квадратных скобках представляет собой вклад неравновесных флуктуа-
флуктуации в интенсивность рассеяния. При разумных значениях волнового числа и градиента
температуры он может быть значительно больше единицы [147].
Здесь были затронуты лишь некоторые аспекты теории флуктуации в неравновес-
неравновесных жидкостях. Более подробное обсуждение этого вопроса и ссылки на литературу
можно найти, например, в обзоре [151].
9.4. Статистическая механика турбулентности
Турбулентность является одним из наиболее интригующих явлений в неравновес-
неравновесных системах. Теория турбулентности имеет долгую историю, но, тем не менее, она
далека от завершения. Несмотря на то, что к настоящему времени сложилось ясное
представление о некоторых качественных свойствах турбулентного движения в жид-
жидкостях [24, 26], методы исследования прикладных проблем остаются, по существу, по-
полуэмпирическими. Число подобных методов возрастает по мере того, как в поле зрения
исследователей попадают новые классы турбулентных течений [71]. В последние три
десятилетия был достигнут заметный прогресс в теории так называемой "изотропной
турбулентности", когда среднее поле скоростей равно нулю, а турбулентность созда-
создается внешними случайными силами. Этот прогресс во многом обязан методу ренор-
мализационной группы, который первоначально был разработан в теории фазовых
переходов [30, 122, 170], а затем применялся и к задачам турбулентности (см., напри-
например, [58, 66,171]). К сожалению, изотропная турбулентность является лишь чрезвычай-
чрезвычайно упрощенной моделью реальных турбулентных потоков. Как это ни странно, но до
настоящего времени методы статистической механики практически ничего не привне-
привнесли в теорию реальной турбулентности, хотя основные идеи этих двух теорий довольно
близки.

9.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ	255
Здесь мы обсудим некоторые аспекты теории турбулентного движения в жидкостях
с позиций общего подхода к гидродинамическим флуктуациям, изложенного в пара-
параграфах 9.1 и 9.2. Разумеется, наш анализ нельзя рассматривать как последовательную
теорию турбулентности. Однако мы надеемся, что он указывает один из возможных
путей к построению такой теории.
9.4.1. Статистическое описание турбулентного движения в
жидкости. В гидродинамике макроскопическое движение однокомпонентной
жидкости описывается уравнением Навье-Стокса (8.2.90) с соответствующими началь-
начальными и граничными условиями1). С точки зрения статистической механики подобное
описание предполагает, что неравновесное состояние жидкости полностью задается
средними значениями гидродинамических переменных. Иными словами, флуктуации
этих величин считаются малыми и для практических целей их можно не учитывать.
Хорошо известно, что свойства решения уравнения Навье-Стокса существенно за-
зависят от значения числа Рейнольдса
Re = UL/v,	(9.4.1)
где U — характерная величина скорости потока, L определяет пространственный мас-
масштаб потока 2I31iy = rj/g — кинематическая вязкость жидкости. Если число Рейнольдса
не превышает некоторого критического значения Recr, то решение уравнения Навье-
Стокса устойчиво по отношению к малым возмущениям, которые всегда существу-
существуют в реальных условиях. Такое решение описывает ламинарное движение жидкости
с несущественными тепловыми флуктуациями. При Re > Recr ситуация радикально
меняется, и решение, описывающее ламинарный поток, становится неустойчивым. В
этой области значений числа Рейнольдса наблюдаемое движение жидкости становится
"стохастическим" или "турбулентным". В каждой точке потока происходят случайные
изменения поля скоростей v(r,?), которые обычно называют пульсациями.
До настоящего времени не известно ни одного решения уравнения Навье-Стокса, о
котором можно было бы сказать, что оно описывает турбулентный поток. Однако, если
бы даже и удалось найти такое решение, оно, конечно же, оказалось бы бесполезным
для вычисления характеристик движения, наблюдаемых в экспериментах. Поэтому
в теории турбулентности рассматриваются величины, усредненные по ансамблю ре-
реализаций движения или по времени. Отметим, что многие простые и замечательные
закономерности в турбулентных течениях удается сформулировать именно в терминах
средних величин^.
Предположим, что A(r,i) — некоторая локальная переменная (скорость, темпе-
температура, давление и т.д.), описывающая турбулентное движение. Тогда усредненную
величину A(r,t) можно определить как
(r,t-t')dtf.	(9.4.2)
Подобное усреднение аналогично операции, предложенной Кирквудом в теории бро-
броуновского движения [103] (см. также параграф 1.3 первого тома). Промежуток време-
Ч Во многих случаях жидкость можно считать несжимаемой. Тогда V • v = 0, и последний член в
уравнении (8.2.90) исчезает.
2)	Например, для потока в трубе U — скорость на оси трубы, a L — диаметр трубы.
3)	К ним относится, например, так называемая кривая отклика — зависимость коэффициента трения
от числа Рейнольдса [93].

256	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
ни Т следует выбирать достаточно большим, чтобы обеспечить сглаживание быстрых
пульсаций величины Л, но достаточно малым, чтобы учесть медленные изменения кар-
картины движения, связанные с изменениями внешних условий. В случае стационарного
потока промежуток времени усреднения можно формально считать бесконечным.
Одним из достоинств временного усреднения (9.4.2) является то, что оно, в общем-
то, соответствует процедуре проведения экспериментальных измерений. Однако с точ-
точки зрения теоретических исследований удобнее определить наблюдаемые величины как
средние по ансамблю реализаций движения. Каждая реализация описывается уравне-
уравнением Навье-Стокса, в котором скорость v(r,?) рассматривается как случайная пере-
переменная. Такая процедура усреднения гораздо ближе к определению средних, приня-
принятому в статистической механике. При этом, конечно, возникает вопрос, совпадают ли
средние по ансамблю реализаций со средними по времени. Хотя этот вопрос заслужи-
заслуживает внимания, но скоро мы увидим, что основные проблемы в теории турбулентности
не связаны с выбором процедуры усреднения. В дальнейшем все наблюдаемые вели-
величины будут рассматриваться как средние по ансамблю реализаций. Это позволит нам
воспользоваться методами статистической механики.
9.4.2. Уравнение Фоккера-Планка в теории турбулентности.
Во многих задачах теории турбулентности, представляющих практический интерес,
жидкость можно считать несжимаемой. В таких случаях поле скоростей является со-
леноидальным, т.е. V-v = 0. Из гидродинамики известно (см. , например, [24]), что
модель несжимаемой жидкости применима, если
v < с, Кет,	(9.4.3)
где с — скорость звука, а т и / — характерные значения промежутков времени и рас-
расстояний, на которых происходят изменения скорости движения. Будем считать, что
эти условия выполняются как для усредненной скорости движения, так и для турбу-
турбулентных пульсаций. Кроме того, все гидродинамические переменные, кроме скорости
и давления, будем считать постоянными параметрами.
Дальнейший анализ основан на стохастическом уравнении (9.3.57) для поля ско-
скоростей. Благодаря условию V • v = 0 регулярная часть тензора вязких напряжений
[см. (9.2.26)] удовлетворяет соотношениям
p pJ = -r)V2va .	(9.4.4)
Поэтому (9.3.57) сводится к уравнению
^	1	4-0-1V/37rR,.	(9.4.5)
В отличие от уравнения Навье-Стокса (8.2.90), оно содержит слагаемое, которое опи-
сывает тепловой шум /.
Иногда бывает удобно исключить в (9.4.5) давление Р. Чтобы это сделать, подей-
подействуем на обе части оператором Va и просуммируем по а. С учетом того, что V • v = 0,
получим
V2F = -вЧаЧр {vavp) - VaV^.	(9.4.6)
Ч Хотя и принято считать, что тепловые флуктуации не играют никакой роли в турбулентности,
ниже мы увидим, что некоторые общие свойства турбулентного движения логичнее формулировать с
учетом теплового шума.

9.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ	257
Запишем теперь давление в виде суммы
P(r,?)=p(r,?) + PR(r,?),	(9.4.7)
где первое слагаемое зависит от поля скоростей, а второе связано с тепловыми флук-
туациями. Определим р как решение уравнения
V2p = -gVaVp(vavp).	(9.4.8)
Тогда из (9.4.6) следует уравнение для случайной части давления:
V2PR = -VaV/37r^.	(9.4.9)
Оно легко решается с помощью пространственного преобразования Фурье. В резуль-
результате получаем
pR(r' *) = ^Е*Л ^ (к' *) е'кг'	(9-4Л°)
к
где V — объем системы, ка — проекции единичного вектора к = к/|к| и
Подставляя выражение (9.4.7) в (9.4.5), приходим к уравнению
^ + (v.V)v = -0Vp + j/V2v + F.	(9.4.11)
ot
Проекции Fa случайной силы даются формулой
Следуя методу Ланжевена в теории гидродинамических флуктуации, для тензора тг^
возьмем выражение [ср. (9.2.31)]
тг^М) = v^r/g(r,t) +v^T/®(r,t).	(9.4.13)
Тогда корреляционные функции случайных сил (9.4.12) очень просто записываются
для пространственных фурье-компонентов, которые определяются обычными форму-
формулами
/	ikr^k(?).	(9.4.14)
Элементарные выкладки с использованием приведенных выше выражений для Fal PR
и тг^, а также корреляционных функций гауссовских переменных (9.2.30) дают
ITvk2
(Pakit) F^(t')) = V SK_k, (Sap - kakp) -^- S(t-1').	(9.4.15)
Как и следовало ожидать, в случае несжимаемой жидкости переменная faL связанная
с объемной вязкостью, не дает вклада в корреляционные функции случайных сил.

258	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Уравнение (9.4.11) для поля скоростей совместно с уравнением (9.4.8) для давления
и выражением (9.4.15) для корреляций случайных сил лежат в основе статистической
теории турбулентного движения в несжимаемой жидкости. Хотя уравнение (9.4.11) на
первый взгляд кажется не сложнее, чем гидродинамическое уравнение Навье-Стокса,
тот факт, что теперь v(r,?) — случайная переменная, сильно усложняет задачу. Де-
Дело в том, что для поля скоростей v, усредненного по некоторому промежутку времени
или по реализациям, не удается получить замкнутого уравнения. Действительно, после
усреднения (9.4.11) (скажем, по реализациям) в уравнение для v войдут корреляци-
корреляционные функции пульсаций 5v = v — v типа Eva5vpY В уравнения для этих функций
войдут корреляционные функции более высоких порядков и т. д. Мы получим так на-
называемую цепочку уравнений Рейнолъдса, проблему замыкания которой до сих пор не
удается решить. Дело также осложняется тем, что в задаче фактически нет малого
параметра, поэтому не удается воспользоваться теорией возмущений. Как известно, в
таких случаях необходим метод, позволяющий сравнительно просто получать общие
соотношения и строить самосогласованные приближения, не опирающиеся на теорию
возмущений. С этой точки зрения формулировка теории турбулентности на основе сто-
стохастического уравнения (9.4.11), при всей ее внешней простоте, мало что дает. Гораздо
удобнее перейти к описанию турбулентного движения с помощью функционала распре-
распределения для поля скоростей и вывести для него уравнение Фоккера-Планка, которое в
компактной форме содержит информацию о всей цепочке уравнений Рейнольдса.
В принципе, уравнение Фоккера-Планка для турбулентного движения можно по-
получить из общего уравнения (9.1.66). Но, поскольку нас интересует функционал рас-
распределения только одной случайной гидродинамической переменной — скорости v,
проще вывести уравнение Фоккера-Планка непосредственно из стохастического урав-
уравнения (9.4.11). Единственной нетривиальной проблемой является учет дополнительно-
дополнительного условия V • v = 0, которое в терминах пространственных фурье-компонентов вы-
выглядит как kavalc = 0. Оно означает, что для любого к только две из переменных
val(. являются независимыми. С другой стороны, обычные способы вывода уравнения
Фоккера-Планка предполагают, что все переменные в стохастических уравнениях явля-
являются независимыми. Для решения этой проблемы нам понадобятся некоторые сведения
из теории векторных полей.
В функциональном анализе доказывается, что любую векторную функцию А(г)
можно представить в виде суммы
причем V • А^ = 0 и V х А" = 0. Поперечная (соленоидальная) часть А^ и продольная
(потенциальная) часть А" ортогональны друг к другу в функциональном простран-
пространстве, т. е.
fdv(A±-All)={).	(9.4.17)
Введем k-представление векторного поля по обычным формулам пространственного
разложения Фурье
кгЛак.	(9.4.18)
Тогда легко убедиться, что фурье-компоненты поперечной и продольной частей век-
векторного поля удовлетворяют соотношениям
^ак = ка^Р /Зк-	(9.4.19)

9.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ	259
В координатном представлении эти соотношения выглядят как
r'S^(r-r')A0(r'), (9.4.20)
где введены "поперечная" и "продольная" дельта-функции
Таким образом, условие V • v(r, t) = 0 будет автоматически выполняться, если рас-
рассматривать v(r, t) как соленоидальную часть нового векторного поля V(r, ?), проекции
которого уже являются независимыми переменными. Запишем это новое поле и соот-
соответствующую функциональную переменную V(r) в виде
V(r, t) = v(r, t) + V11 (г, t), V(r) = v(r) + V11 (r),	(9.4.22)
где v(r,?) = Vx(r,?) и v(r) = Vx(r). Идея состоит в том, чтобы вывести уравнение
Фоккера-Планка для функционала распределения
*)-Vj!J,	(9.4.23)
а уже из него получить уравнение для функционала распределения интересующего нас
соленоидального поля скоростей v(r).
Чтобы применить общую схему вывода уравнения Фоккера-Планка, нужно знать
стохастические уравнения для всех независимых переменных. Для v(r,?) таким урав-
уравнением является (9.4.11). Поскольку уравнение для вспомогательного продольного по-
поля V"(r,?) можно выбрать произвольно, сделаем самый простой выбор:
<9V"
— =0.	(9.4.24)
Теперь, записав стохастические уравнения (9.4.11) и (9.4.24) в k-представлении и сле-
следуя правилам, приведенным в приложении 9Г, нетрудно вывести искомое уравнение
Фоккера-Планка для ,F(V;?). Оставим это читателю в качестве упражнения и сразу
выпишем уравнение Фоккера-Планка в функциональных переменных:
;*) +
l^J T(V;t) = 0. (9.4.25)
Отметим, что это уравнение описывает движение жидкости как в ламинарном, так и
в турбулентном режиме. В частности, легко проверить, что оно имеет стационарное
решение
|^y>J	(9.4.26)
где С — нормировочная постоянная. Этот функционал распределения соответствует
тепловому равновесию жидкости. Ниже будут рассмотрены некоторые другие свойства
уравнения (9.4.25).

260	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
9.4.3. Разделение переменных в уравнении Фоккера-Планка.
Получим теперь из (9.4.25) уравнение Фоккера-Планка для функционала распределе-
распределения, зависящего только от соленоидального поля скоростей v(r). Чтобы исключить
лишние "продольные" переменные, воспользуемся очевидным соотношением
SVJv) =Jdr'{ SVa(r) SV?(t<) + SVa(r) SV^(t>) j '
Согласно формулам (9.4.20) имеем
Следовательно, функциональная производная 5/5V(r) может быть представлена в
форме
л/>) = ад)+^Ш'	(9А28)
где введены операторы
Их можно рассматривать как "поперечную" и "продольную" функциональные произ-
производные.
Используя представление (9.4.28) для функциональных производных, легко прове-
проверить, что переменные в уравнении (9.4.25) разделяются, т. е. его решение имеет вид
^(V;^)=^(v;^)^(V11),	(9.4.30)
где ?/(V") — произвольный функционал, a ^(v;^) зависит от соленоидального поля v
и удовлетворяет уравнениюг)
^(;) , (9.4.31)
Q Svj
где функциональные производные S± /Sva определяются как
Отметим, что теперь компоненты поля v(r) можно рассматривать как независимые
переменные в том смысле, что 5va(r)/5vp(r') = 5ар 5(г — г').
Ч Функциональное уравнение Фоккера-Планка, описывающее флуктуации скорости в несжимаемой
жидкости, было выведено (в несколько иной форме) в [16]. Аналогичное уравнение для "изотропной
турбулентности" в k-представлении было получено Эдвардсом [62].

9.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ	261
В теории турбулентности интерес представляют средние значения функционалов
A(v) от поля скоростей1). Согласно соотношению (9.4.30) имеем
(А)г= JA{v)T{v;t)D[V].	(9.4.33)
Символ D\V] означает функциональное интегрирование по независимым переменным
V(r) и определяется как
),	(9.4.34)
где ?/(V") — произвольный нормированный функционал. Например, в качестве этого
функционала можно взять равновесное распределение
2}	(9.4.35)
с соответствующей нормировочной постоянной С. Фактически введение произвольно-
произвольного функционала Q, зависящего от нефизического "продольного" поля скоростей V",
нужно лишь для того, чтобы придать корректный математический смысл операции
функционального интегрирования с учетом дополнительного условия несжимаемости
V • v = 0. Основным объектом исследования является, конечно, функционал ^(v;^).
Итак, уравнение Фоккера-Планка (9.4.31) можно рассматривать как основное урав-
уравнение статистической теории турбулентного движения в несжимаемой жидкости. Дру-
Другой, также достаточно общий подход основан на уравнении для так называемого про-
производящего функционала Хопфа [87, 26]
/"|V	(9.4.36)
где г/(г) — вспомогательная векторная функциональная переменная. Если ФG/;?) из-
известен, то, дифференцируя его по ?7, а затем полагая г] = 0, можно вычислить как
усредненную скорость движения жидкости, так и корреляционные функции пульса-
пульсаций. В математическом отношении метод производящего функционала Хопфа и ме-
метод, основанный на функционале распределения, эквивалентны, поскольку при выводе
уравнений для этих функционалов используется одно и то же стохастическое уравне-
уравнение (9.4.7). Более того, можно показать, что Ф(г/;^) и T{y\t) связаны функциональным
преобразованием, аналогичным преобразованию Фурье. Однако метод функционала
распределения более тесно связан с неравновесной статистической механикой, что дает
возможность перенести в теорию турбулентности некоторые важные понятия и идеи,
которые успешно применяются в статистической теории неравновесных процессов2).
9.4.4. Уравнения Рейнольдса. Ясно, что найти точное решение функци-
функционального уравнения Фоккера-Планка (9.4.31), описывающее турбулентное движение,
очень сложно, если вообще возможно. Поэтому имеет смысл рассмотреть некоторые
Ч Простейшим, но важным примером функционала такого рода служит само поле v(r).
2) В связи с этим отметим интересный подход, предложенный Мартином, Сиггиа и Розе [125] (см.
также [140]), который напоминает метод неравновесных функций Грина.

262	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
следствия из этого уравнения, которые могут оказаться полезны при построении при-
приближенных методов. В качестве примера использования уравнения (9.4.31) выведем
цепочку уравнений для корреляционных функций поля скоростей.
Определим среднюю скорость U(r,?) как скорость, усредненную по ансамблю ре-
реализаций:
(9.4.37)
Тогда функциональные переменные, соответствующие пульсациям, определяются со-
соотношением
u(r,?)=v(r)-U(r,?)	(9.4.38)
и в случае нестационарного усредненного движения параметрически зависят от време-
времени. Очевидно, что (u(r,?))f = 0. Заметим также, что оба поля U и и соленой дал ьны,
т.е. V-U = V-u = 0.
Уравнение для средней скорости может быть выведено из уравнения Фоккера-
Планка (9.4.31). Умножив обе части на va(r) и выполнив функциональное интегри-
интегрирование по скоростям [см. (9.4.33)], получаем
dt
где было использовано равенство (9.4.38). Уравнение для усредненного давления (р)г
легко находится с помощью (9.4.8):
^2(рУ = - gV aV ^(UaU$ + (иаи рУ).	(9.4.40)
Вообще говоря, уравнения (9.4.39) и (9.4.40) необходимо решать с граничными усло-
условиями на твердых поверхностях. В случае неподвижной поверхности S эти условия
имеют вид
U
(9.4.41)
= 0	о~ V('
s и,	q v^
Первое условие означает, что на поверхности твердого тела вязкая жидкость покоится.
Второе условие следует из уравнения (9.4.39), записанного для точки, лежащей на
поверхности S.
Уравнение (9.4.39) является первым в цепочке уравнений Рейнольдса для корре-
корреляционных функций поля скоростей. Если положить (uaUp) = 0, то (9.4.39) перехо-
переходит в уравнение Навье-Стокса, описывающее ламинарное движение. Следовательно,
турбулентность характеризуется большими значениями корреляций (ua(r, t) г^(г, t)I,
которые образуют так называемый тензор напряжений Рейнольдса 1).
Уравнение (9.4.39) не замкнуто, поэтому необходимо дополнить его уравнением,
описывающим эволюцию напряжений Рейнольдса. Как скоро станет понятно, удобнее
с самого начала ввести двухточечные корреляции
т (г г' +\ — In (r f}>)i (г' УЛ\^	(Q А А*)\
которые можно записать как
(9.4.43)
Ч Иногда тензор напряжений Рейнольдса определяется как д(иаиоУ [24].

9.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ	263
Продифференцируем это соотношение по времени. Учитывая, что дм/dt = —dXJ/dt,
получим
^	J^^	(9.4.44)
Исключив производную функционала распределения по времени с помощью уравнения
Фоккера-Планка (9.4.31), положим v = U + u и проинтегрируем по скоростям1). После
несложных преобразований (см. задачу 9.9) приходим к уравнениям2)
J-t + U(r) ¦ V + U(r') ¦ V - vV2 - v{V'J) тар (r, r') =
= -VMf/a(r)r/,/3(r,r')-Ta/,(r,r')V'/if//,(r')-
(9.4.45)
Флуктуация давления #p(r,?) = p(r) — (р(т)У удовлетворяет уравнению
V2Sp = q Va V^ (Uaup + Upua + uaup - (uaup)),	(9.4.46)
которое следует из (9.4.8) и (9.4.40).
В правую часть (9.4.45) входят корреляции типа {ua(r)ua,(r')uall(r")). Для них
тем же способом можно вывести уравнения, куда войдут корреляции высших поряд-
порядков. Число новых функций и сложность уравнений нарастают так быстро, что в при-
прикладных задачах приходится прибегать к более или менее грубым аппроксимациям
высших корреляционных функций через усредненную скорость и напряжения Рей-
нольдса. Здесь мы не будем рассматривать все существующие аппроксимации. Даже
их классификация потребовала бы слишком много места. Этому вопросу посвящена
обширная специальная литература (см., например, [71]), к которой отсылаем заинте-
заинтересованного читателя. В разделе 9.4.6 будет изложен альтернативный подход к реше-
решению цепочки Рейнольдса, основанный на понятии квазиравновесных функционалов
распределения.
В большинстве работ по теории турбулентности опускается последний член
в (9.4.45). При этом предполагается, что пульсации скорости существенно превы-
превышают тепловой уровень. Такое предположение справедливо для крупномасштабных
пульсаций, но, вообще говоря, оно может нарушаться на малых масштабах, где основ-
основную роль в релаксации скорости играет вязкость. Заметим также, что тепловой шум
необходимо учитывать для того, чтобы уравнение Фоккера-Планка имело правильное
равновесное решение.
Ч Ясно, что и можно использовать как переменную функционального интегрирования вместо v.
2) В полуэмпирических теориях турбулентности уравнения (9.4.45) обычно записываются для одно-
одноточечных корреляций (напряжений Рейнольдса) Tao(r,t) = {иa(r,t)иЛг,t)Y [71]. Следует отметить,
однако, что в этих уравнениях все равно появляются двухточечные корреляции.

264	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
9.4.5. Энтропия и свободная энергия турбулентного движения.
С помощью функционала распределения ^(v;^) можно определить информационную
энтропию, связанную с флуктуациями скорости:
Sint(t) = -/^(v; t) ln^(v; t) D[V] + So.	(9.4.47)
Значение постоянной So зависит от выбора единиц скорости; в дальнейшем So опустим.
В теории систем, эволюция которых описывается уравнением Фоккера-Планка,
представляет интерес еще одна величина — "свободная энергия" F(t). В данном случае
она определяется как
J	In [у^\ D\V\,	(9.4.48)
где Т — температура жидкости, a Т${у) ~~ равновесный функционал распределения
[ср. (9.4.26)]
|^yJ	(9.4.49)
с нормировочной константой С. Следует пояснить смысл термина "свободная энергия"
в применении к турбулентному движению. Рассмотрим для этого функционал энергии
= | fv2(r)dr.	(9.4.50)
Вычисление его среднего значения (ЕI с распределением ^(v;^) приводит к соотно-
соотношению
F{t) = (ЕУ- Т 5inf(i),	(9.4.51)
которое аналогично хорошо известному термодинамическому равенству для свободной
энергии1).
Выведем с помощью уравнения Фоккера-Планка (9.4.31) уравнения баланса для
F(t), S-mf(t) и {Е)К Начнем со свободной энергии и продифференцируем соотноше-
соотношение (9.4.48) по времени. Предполагая, что функционал распределения ^(v;^) норми-
нормирован на единицу, получим
dF(t)_ = , - v-»-/ j I ^a^Z I дгу1	(9.4.52)
Производная dJ-(v;t)/dt исключается с помощью уравнения Фоккера-Планка (9.4.31),
после чего простые преобразования (см. задачу 9.10) приводят к уравнению баланса
= I dr{-V-JF + aF).	(9.4.53)
Плотность потока свободной энергии J F и скорость ее производства aF даются фор-
формулами
\ QV2))' - ^ V(R2I,	(9.4.54)
y,	(9.4.55)
Ч Отметим, однако, что аналогию между функционалом F(t) и термодинамической свободной энер-
энергией не следует понимать буквально, поскольку F(t) не обладает всеми свойствами свободной энергии.

9.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ	265
где введено векторное поле
R(r,?) = ——ln^vj^/^v)].	(9.4.56)
Очевидно, что в состоянии теплового равновесия жидкости R = 0. Из выраже-
выражения (9.4.55) следует, что aF < 0, причем знак равенства соответствует тепловому
равновесию. Итак, мы приходим к заключению, что в любом турбулентном потоке
производство свободной энергии отрицательно. Для стационарных потоков имеем
dF/dt = 0 и, следовательно,
Г	Г
/ aFdr= & JF • da,	(9.4.57)
j	j
v	s
где интеграл в левой части вычисляется по всему объему жидкости, а в правой части
— по границе этого объема.
Уравнение баланса информационной энтропии выводится аналогичным способом.
Сначала дифференцируем по времени соотношение (9.4.47). Это дает
(9.4.58)
Затем исключаем производную функционала распределения по времени с помощью
уравнения Фоккера-Планка (9.4.31). В результате (9.4.58) принимает форму уравнения
баланса (см. задачу 9.11)
dSin((t)
= Jdr(-V-3s + as),	(9.4.59)
dt
где плотность потока энтропии и скорость ее производства имеют вид
^ 2)'
Js(r, *) = ^ V (Я2)' - v (v^Rj,	(9.4.60)
as(v, t)=U-j ((VaR0) (V0Ra)y - v <(Va^) (V^J)'. (9.4.61)
В тепловом равновесии, когда R = 0, производство энтропии равно нулю. Что каса-
касается неравновесных состояний жидкости (особенно с сильными турбулентными пуль-
пульсациями), то здесь трудно заранее сказать что-либо о знаке as. Дело в том, что в
выражении (9.4.61) первое слагаемое явно положительно, а знак второго необходимо
определить. Рассмотрим с этой целью уравнение баланса средней кинетической энер-
энергии (E)f, которое можно получить из соотношения1)
dF{t) | T dS-m((t)
dt	dt	dt
Ч Искомое уравнение баланса можно также вывести непосредственно, дифференцируя по времени
равенство
и используя явное выражение (9.4.50) для функционала энергии.

266	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Подстановка (9.4.53) и (9.4.59) приводит к уравнению баланса
^t = Jdr(-V.JE + aE),	(9.4.62)
где
/ /	\ \1
E{r,t) = ( v I p-\- 2 QV \) —vl {vavRa}	(9.4.6о)
— плотность потока энергии, а величина
aE(r, t) = -uT {(Vav0) (VpRjY	(9.4.64)
определяет диссипацию кинетической энергии движения жидкости. Из физических
соображений аЕ должна быть отрицательна. Это можно доказать непосредственно,
используя определение поля R (9.4.56). Имеем
(TE(r,t) = -^Q {({^aV/з) (^CVa)y ~((^aVC)(^CVa)) )j	(9.4.65)
где
^ k"	(9-4-66)
|к|<л0
— равновесное среднее. Из (9.4.65) ясно, что в неравновесном состоянии аЕ < 0.
Возвращаясь к производству энтропии (9.4.61), заметим, что последний член в точ-
точности равен (тЕ/Т и, следовательно, он отрицателен. Итак, два члена в правой ча-
части (9.4.61) имеют разные знаки и, по-видимому, знак as зависит от конкретной формы
функционала распределения ^(v;^). Принято считать, что для любой разумной моде-
модели турбулентности производство энтропии должно быть положительно, так как само
явление турбулентности — явно необратимый процесс. Однако дело обстоит не так
просто, поскольку энтропия была определена в виде (9.4.47), т.е. как информационная
энтропия неравновесного функционала распределения. Между тем хорошо извест-
известно, что в турбулентных потоках часто наблюдаются макроскопические упорядоченные
структуры. Образование таких структур приводит к уменьшению информационной
энтропии турбулентного движения.
В некотором отношении энтропия (9.4.47) аналогична энтропии Гиббса в статисти-
статистической механике. Иногда используются другие определения. Например, в [20] нерав-
неравновесная энтропия вводится через локально-равновесное максвелловское распределе-
распределение, зависящее от флуктуирующей макроскопической скорости. В разделе 9.4.6 будет
показано, что можно определить "термодинамическую энтропию" турбулентного дви-
движения, основанную на квазиравновесном распределении для поля скоростей. Ясно,
что различным определениям могут соответствовать различные свойства энтропии.
Во всяком случае поведение энтропии в турбулентности является очень интересным
вопросом, который требует дальнейших исследований.
9.4.6. Нормальные решения уравнения Фоккера-Планка. Как
уже отмечалось, уравнение Фоккера-Планка (9.4.31) является слишком сложным, что-
чтобы его можно было решить в явном виде. Однако в частных задачах нет необходи-
необходимости знать сам функционал распределения, поскольку интерес представляют лишь
средняя скорость U(r,?) и некоторые корреляции низших порядков, например, корре-
корреляционные функции (9.4.42) или напряжения Рейнольдса. В этом отношении ситуация
напоминает неравновесную статистическую механику, где уравнение Лиувилля или

9.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ	267
кинетические уравнения служат основой при выводе уравнений переноса для наблю-
наблюдаемых величин. Продолжая эту аналогию, можно использовать уравнение Фоккера-
Планка (9.4.31) как исходное уравнение эволюции и построить нормальные решения
этого уравнения в форме функционалов от наблюдаемых величин1).
Предположим, что неравновесное состояние жидкости характеризуется средней
скоростью (9.4.37) и двухточечной корреляционной функцией
Cap(T,r',t) = jva(r)v0(v')T(Y;t)D[V],	(9.4.67)
где ^(v;^) удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка (9.4.31). Поскольку величи-
величины (9.4.67) связаны с корреляционными функциями (9.4.42) очевидным соотношением
Cal3(T,T',t) = Ua(v,t)Ul3(Tl,t) + Tal3(T,T',t),	(9.4.68)
в качестве наблюдаемых можно выбрать Tap(r,r',t).
Построение нормальных решений уравнения Фоккера-Планка начнем с того, что
введем квазиравновесный функционал распределения !Frel(v;t), который соответству-
соответствует максимуму информационной энтропии (9.4.47) при заданных средних значени-
значениях (9.4.37) и (9.4.67) и условии нормировки всех пробных функционалов T'(y;t). Ис-
Используя метод Лагранжа, ищем абсолютный экстремум функционала
' + Х + J drga(v,t)va(v)+
dv jdv1gap(r,r',t)va(r)vp(r')\ ,
где A, ga(r,t), и gap(r1rf1t) играют роль множителей Лагранжа. Варьируя S'[T'} no
J-', а затем полагая SS' = 0, получаем квазиравновесный функционал распределения
^(у;*)=ехр|-Ф(*)- jdrga(r,t)va(r)- jdv j' dr'дар(гУ ,t)va(r)vp(r')X.
(9.4.69)
Как обычно, функционал Масье-Планка Ф(?) находится из условия нормировки и равен
Ф(*) = 1п(|D[V]expj-1'drga(T,t)va(r)- Jdv jdv'ga^v,v',t)va{v)v^v')^j.
(9.4.70)
Множители Лагранжа ga(r,t) и gap(r,r'\t) выражаются через наблюдаемые Ua(r,t)
и Cap(r,r',t) из условий самосогласования
Ua{v,t) = (va{v))\,	Ca?(v,v',t) = {va(v)v0(v%,	(9.4.71)
где функции, стоящие в левых частях, считаются заданными величинами, а символом
{.. .IЯ обозначены средние, вычисленные с квазиравновесным функционалом распре-
распределения (9.4.69).
Ч Аналогичная процедура для уравнения Больцмана рассматривалась в приложении ЗА в первом
томе.

268	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
По аналогии с методом неравновесных статистических ансамблей определим тер-
термодинамическую энтропию турбулентного движения S(t) как информационную эн-
энтропию, соответствующую квазиравновесному функционалу распределения:
S(t) = -Jrq(v,t) \nFq(Y;t)D[V].	(9.4.72)
Подставив сюда выражение (9.4.69), получаем явное выражение для энтропии
5(*) = Ф(*) + JdT9a(v,t)Ua(T,t) + jdv Jdv'gap(T,T',t)Cap(v,T',t). (9.4.73)
Уже неоднократно подчеркивалось, что энтропия, определяемая через квазиравновес-
квазиравновесное распределение, играет роль неравновесного термодинамического потенциала. В
данном случае энтропию (9.4.73) можно рассматривать как термодинамический по-
потенциал в переменных Ua и Сар, причем
^Т,=9а0(г,г',1).	(9.4.74)
SU (r t) ~*aVi'""	SC (r r' t) ~ *a(jy ' ' r
С другой стороны, функционал Масье-Планка (9.4.70) играет роль неравновесного тер-
термодинамический потенциала в переменных да и дао, т.е.
Аналогичные соотношения легко вывести и для случая, когда вместо функций
Cap(r,r',t) в качестве наблюдаемых величин выбираются двухточечные корреля-
корреляционные функции та/з(г,г',?).
Наметим кратко, как с помощью квазиравновесного функционала распределе-
распределения (9.4.69) можно получить замкнутую систему уравнений для средней скорости
U(r,?) и корреляций Cap(r,r',t), отбирая определенный класс решений уравнения
Фоккера-Планка (9.4.31).
Для дальнейших рассуждений будет удобно записать уравнение Фоккера-Планка
в компактной форме
^M = LFP^(v;*)	(9.4.76)
с оператором эволюции
)-^va]-^Jdr?-V2?-. (9.4.77)
Дифференцируя по времени соотношение (9.4.33) и проводя функциональное интегри-
интегрирование по частям, находим, что уравнения движения для средних значений функци-
функционалов A(v) могут быть представлены в виде
д(ЛУ
dt
где сопряженный оператор эволюции LFP дается формулой
= (LFPA)\	(9.4.78)
va]?--^-jdr?-V2?-. (9.4.79)

9.4. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ	269
Полагая в (9.4.78) A=va(r) и A=va(r) vр(г'), получаем первое и второе уравнения
цепочки Рейнольдса. В новых обозначениях они имеют вид
dUa(T,t)
= jja(r)T(v;t)D[V],
dt
(9.4.80)
dCa0(r,r',t)
dt
где введены соответствующие функционалы потоков
Ja(r) = ZFP^(r),	Ja/з^У) = Zpp^Cr)^^').	(9.4.81)
Уравнения (9.4.80) не замкнуты, поскольку средние потоки зависят от функциона-
функционала распределения, который пока не известен. Если, однако, найти ^(v;^) в форме
функционала от Ua(r,t) и Cap(r,r',t), т.е. построить нормальное решение уравне-
уравнения Фоккера-Планка, то уравнения (9.4.80) станут замкнутыми уравнениями переноса,
хотя, возможно, и довольно сложными.
По виду уравнение Фоккера-Планка (9.4.76) напоминает уравнение Лиувилля, по-
поэтому для построения его нормального решения воспользуемся тем же методом, кото-
который неоднократно применялся для отбора нужного класса решений уравнения Лиу-
Лиувилля. В соответствии с общей идеей сокращенного описания, определим нормальное
решение уравнения (9.4.76) как решение, совпадающее в отдаленном прошлом с квази-
квазиравновесным функционалом распределения (9.4.69). Формально это граничное условие
можно учесть, переходя от (9.4.76) к уравнению с источником
^j^- - bFP^(v; t) = -s{F(v; t) - ^(v; *)},	(9.4.82)
где е —> +0 после вычисления средних значений с функционалом T{y;t). Мы исполь-
используем этот прием, в основном, как еще один поучительный пример общего подхода к
уравнениям эволюции для статистических распределений разного рода. В теории тур-
турбулентности можно построить нормальные решения уравнения Фоккера-Планка и дру-
другим способом, рассматривая задачу с начальным условием
.F(v;*0)=.F9(v;*0),	(9.4.83)
т. е. действуя в духе подходов Робертсона и Цванцига, которые обсуждались в парагра-
параграфе 2.4 первого тома. Решение этой задачи определяет истинный функционал распре-
распределения на временах ?, достаточно больших, чтобы затухли нефизические корреляции,
связанные с выбором начального условия (9.4.83). В режиме развитой турбулентности
начальные корреляции затухают очень быстро из-за сильного взаимодействия между
пульсациями, поэтому решение начальной задачи выходит на истинное неравновесное
распределение уже за короткий промежуток времени t — t0. Отметим также, что во
многих конкретных задачах интерес представляют стационарные функционалы рас-
распределения, которые заведомо можно построить описанным выше способом.
Решение уравнения (9.4.82) удобно искать в виде суммы
T(v;t) =.7r(/(v;?) + A:F(v;?),	(9.4.84)
где A^r(v;^) —> 0 при t —> — оо. Уравнение для этого функционала сразу следует
из (9.4.82):
/я	\	/	я \
:q(v]t).	(9.4.85)

270	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Производную d!Fq(v;t)/dt в правой части можно исключить, вводя соответствующий
оператор проектирования, как это делалось при выводе уравнений переноса из урав-
уравнения Лиувилля, но здесь мы не будем останавливаться на деталях.
Формальное решение уравнения (9.4.85) можно записать как
= J ^'e-^-'V-*'^ (ХР-^^;О.	(9.4.86)
Подставляя его в (9.4.84), получаем запаздывающее решение уравнения Фоккера-
Планка в искомой форме:
(9.4.87)
Оно определяет, в принципе, неравновесное распределение поля скоростей как функ-
функционал от наблюдаемых (средней скорости Ua и корреляций Сар), так как множители
Лагранжа, входящие в (9.4.69), выражаются через эти наблюдаемые из условий само-
самосогласования (9.4.71).
Подстановка выражения (9.4.87) в (9.4.80) приводит к формально замкнутым урав-
уравнениям для средней скорости Ua и корреляций Сар. Эти уравнения аналогичны обоб-
обобщенным уравнениям переноса, которые выводились ранее методом неравновесного ста-
статистического оператора из уравнения Лиувилля, поэтому в общем случае они сильно
нелинейны и содержат эффекты памяти. Тем не менее, вполне возможно, что более
детальное изучение нормальных решений уравнения Фоккера-Планка — один из путей
построения последовательной статистической теории турбулентности. Надеемся, что
читатель, дочитавший до конца книгу, достаточно подготовлен к тому, чтобы принять
участие в решении этой важной и увлекательной проблемы.
Приложения к главе 9
9А. Оператор проектирования в теории флуктуации
Здесь мы дадим вывод уравнения (9.1.23) и обсудим некоторые свойства оператора
проектирования (9.1.26).
Прежде всего докажем равенства
W(a) '	dt dt\ W{a)
где g(t) — неравновесное фазовое распределение1). Поскольку оба равенства доказы-
доказываются элементарно, ограничимся доказательством первого. Непосредственно из опре-
определения оператора проектирования (9.1.26) следует, что
(о)
Ч Если вспомнить формулу (9.1.15) для квазиравновесного распределения, то легко заметить,
что (9А.1) есть не что иное, как соотношения (9.1.29).

Приложения к главе 9	271
Второе равенство доказывается точно так же.
С помощью равенств (9А.1) можно исключить производную по времени в правой
части (9.1.22). С учетом того, что g(t) удовлетворяет уравнению Лиувилля (9.1.17),
пишем
I (Ш)=-'•iLeit)=-'•iL Ш)-г-iLAe{t>- (9A 2)
Подстановка результата в (9.1.22) приводит к уравнению
^-.	(9A.3)
Чтобы получить его в окончательном виде (9.1.23), воспользуемся тем, что L — линей-
линейный дифференциальный оператор, и поэтому
/ daS(a — a)amk т;	I 	7-r I = / daS(a — a)a- —— (	-^—- I ,
J	c'ftmk V vv(a) ) J	os. \ W(a) )
где amk = iLam\t = {amk, Я} — потоки базисных переменных. Заметим также, что в
левой части (9А.З) оператор A — Va) iL — QaiL можно заменить более симметричным
приведенным оператором Лиувилля iL = QaiLQa, поскольку Va Ag(t) = 0.
Оператор эволюции exp(^L) = exp(itQaLQa) обладает следующими важными
свойствами:
JitL г\ д — /л JitL д	(Qh А\
Tr| (zitl A^j я} = Trji (z-itl B^j } ,	(9A.5)
где Аи В — произвольные фазовые функции. Равенство (9А.4) можно доказать путем
разложения экспоненциальных операторов по степеням t и последующего сравнения
явных выражений в левой и правой частях1). Для доказательства (9А.5) воспользуемся
соотношением
3),	(9А.6)
которое следует непосредственно из определения (9.1.26) оператора проектирования
Va- С учетом очевидного свойства оператора Лиувилля Tr{ALB} = — Tr{(LA) В} со-
соотношение (9А.6) записывается как
Tr{ALB} = -Tr{(Zi) В).
Этого достаточно для доказательства (9А.5).
г) Напомним, что Q2a = Qa.

272	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
9Б. Разложение матрицы перехода по градиентам
Чтобы получить разложение матрицы перехода (9.1.37) по градиентам гидродина-
гидродинамических переменных, найдем сначала аналогичное разложение оператора
который входит в формулу (9.1.41) для микроскопических потоков. Дифференцируя
выражение (9Б.1) по т, находим, что
дА{а,т)
дт
= eiTLiL U{а - a)e"irL} - eirL6{a - a) iLe~iTL.	(9Б.2)
Преобразуем первый член в правой части, используя тождество (А — произвольная
динамическая переменная)
которое следует из соотношения Qa = 1 — Va и определения проекционного оператора
Та (9.1.26). Итак, пишем
eirZil {б{а - a)e"irZ} = eirZQaiL {б{а - a) Qaz~iT~L} =
= eirZQa{iL5{a-a)}Qae-irZ +eirZ5{a-a)iLe-irZ =
га,к
где введены операторы
стъ(т) = е1т1аайтъпае-.	(9Б.З)
Теперь (9Б.2) можно представить в виде дифференциального уравнения
—о	= ~2^~я	Л(а,т)стк(т).
га,к
Так как оператор Л(о,г) удовлетворяет очевидному условию Л(а,0) = 5(а — а), это
уравнение эквивалентно интегральному уравнению
т
9 'd8A(o,e)cmk(e).	(9Б.4)
В разделе 9.1.3 мы уже отмечали, что производные amk являются величинами первого
порядка по градиентам базисных динамических переменных. Как видно из (9Б.З), то

Приложения к главе 9	273
же самое можно сказать и об операторах cmk(s). Поэтому, решая уравнение (9Б.4)
методом итераций, получаем Л(о,г) в виде ряда по градиентам:
9	9 "«-«)Vnikl...n.k.(r), (9Б.5)
где
г	n	Tj-i
Г Г Г
i...n7k7(T) = / dr\ dr2 ...	/ rfrjCn.k.(rj)...cTOlkl(ri).	(9Б.6)
J J	J
о о
С помощью формул (9Б.5) и (9.1.41) теперь нетрудно получить разложение матрицы
перехода (9.1.37) по градиентам. Сначала запишем эту матрицу как
^mknq(fl, а1, т) = Тг | (Л(а, г) Zmk(r) J Zn4 6(а - а'Ц =
а затем подставим разложение (9Б.5) оператора Л(о,г) и воспользуемся тождеством
5(о - а) 5(о - а') = 5(о - а') 5(а - а').
В результате получаем
^mknq(a, а',т) = W(a') Отъпч(а',т) S(a - а') +
оо	Я	Я
+Е(~1У Е ^-•••^nr^(«')Af^1-f>iki(e'.'-)*(e-e'). (9Б-7)
3=1	mki...njk|	^ ^
где величины Dm\^n4{a^T) даются формулой (9.1.46), а
M»^-»'-k'-(o,r) = ([vBlkl...B,.k,.(T)Zmk(r)] 2ич)й	(9Б.8)
— временные корреляционные функции высших порядков. Первый член в (9Б.7) со-
соответствует второму приближению по градиентам в уравнении Фоккера-Планка. За-
Заметим, что учет членов более высокого порядка по градиентам в матрице перехода
приводит к появлению в уравнении Фоккера-Планка слагаемых с высшими производ-
производными по гидродинамическим переменным.
9В. Равновесное решение уравнения Фоккера-Планка
Покажем, что равновесная функция распределения гидродинамических перемен-
переменных является стационарным решением уравнения Фоккера-Планка (9.1.47).
Начнем с определения самой равновесной функция распределения Jreq(a). Пусть
Qeq{q,p) — одно из равновесных распределений Гиббса. Напомним, что Qeq{Q,p) зависит
только от аддитивных интегралов движения
m = ftm,k=0 = / CLm
Am = am,k=o = / am(r) dr,	(9B.1)

274	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
что позволяет записать Qeq{q,p) = g({Am(q,p)}), где явный вид функции д зависит
от выбора ансамбля, описывающего равновесное состояние. Для микроканонического
ансамбля с фиксированными значениями А®т интегралов движения имеем
9{{Ат})=Х\5{Ат-А°т) Ъ\[8(Ат-А1).
т	I	m
Если равновесное состояние описывается большим каноническим ансамблем, то
<7({im})=exp|-^Fmiml /тгехр|-5>тДт1,
где Fm — термодинамические параметры, сопряженные средним значениям (Ат)
интегралов движения. Важно то, что любое равновесное распределение может быть
представлено в форме
Qeq(q,p) = fdag(A) 6(а - а),	(9В.2)
где А = {Ат} и
Ат = ат,к=о = / am{r)dr
— числовые аргументы, соответствующие интегралам движения.
Равновесная функция распределения базисных переменных определяется как
J~eq(a) = ^ I^eq 8(а — а)] .	(9В.З)
Подставив сюда выражение (9В.2) для равновесного распределения в фазовом про-
пространстве, получаем
где W(a) — статистический вес (9.1.14), a S(a) = In W(a) — соответствующая энтропия.
Отметим, что (9В.4) есть точное выражение для равновесной функции распределения
флуктуации.
Убедимся, что функция (9В.4) удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка (9.1.47).
Заметим сначала, что
9 {?еч(а)\ дд{А) 8д(А)
	I 	 I ^	^	Ok' о •
<9am/k' V W(a) ) dam>\t> dAmi
Поскольку ^mkm'k'(ft) = О ПРИ k' = 0, то "диффузионный член" в уравнении (9.1.47)
равен нулю, если T{a]t) = Тщ{а). Остается доказать, что
X, а	ит^(а)Тщ(а) = 0.	(9В.5)
ra,k ttmk
Для этого напомним определение дрейфового члена (9.1.36), в котором среднее вычис-
вычисляется по микроканоническому ансамблю с фазовым распределением (9.1.28). Исполь-
Используя также выражение (9В.4), пишем
д ГТ , ч ^ , ч	\-^v д
га,к "^	га,к
	{д(А)ъ(&тк6(а-а))} =
Тг [Ат5(а - а)] -д(А) Tr [iL6(a - а)}.

Приложения к главе 9	275
Так как динамические переменные Ат являются интегралами движения, то Ат = 0.
Заметим также, что Tr [iLS(a — а)] = 0, поскольку L является дифференциальным опе-
оператором, а символ Тг означает интегрирование по фазовому пространству. Тем са-
самым (9В.5) доказано.
9Г. Вывод уравнения Фоккера-Планка из стохастических уравнений
гидродинамики
Рассмотрим связь между обобщенным уравнением Фоккера-Планка (9.1.66) и гид-
гидродинамическими уравнениями (9.2.24), в которых все величины считаются флуктуи-
флуктуирующими переменными. Сначала для читателей, не знакомых в достаточной степени
с теорией стохастических процессов, мы приведем основные сведения, знание которых
необходимо для дальнейшего обсуждения конкретного случая флуктуационной гидро-
гидродинамики1).
Стохастические дифференциальные уравнения вида (9.2.34) эквивалентны инте-
интегральным уравнениям
t	t
«„(*) = <>пМ+ jun[a(t!)} dt' + Y, /<?,», [<*(*')] dW»(t'),	(9Г.1)
i	" /o
где ?o — некоторый начальный момент времени, a Wu(t) описывает винеровский про-
процесс, для которого
t')dtl.	(9Г.2)
о
Распределение величин Wv(i) является гауссовским, причем
(Wl/(t))=0,	(W,(t)Wl/,(t')) = 2A^,mm(t,tl),	(9Г.З)
где коэффициенты Kvv, определяются формулой (9.2.35). Переход к интегральным сто-
стохастическим уравнениям объясняется тем, что математический смысл уравнений (9Г.1)
хорошо определен, в отличие от дифференциальных уравнений (9.2.34), правые части
которых сингулярны из-за наличия в них дельта-коррелированных случайных пере-
переменных iv(t\
Отметим, что в последних членах уравнений (9Г.1) необходимо использовать инте-
интеграл Стилтьеса, поскольку, строго говоря, временные производные Wv(i) существуют
только в смысле обобщенных функций. Другим важным обстоятельством является то,
что интегралы
t
jtf)	(9Г.4)
требуют дополнительного определения, так как an(t) и Wu(t) — случайные перемен-
переменные. Естественно определить эти интегралы в смысле средних, т.е. чтобы величина
{Tu(t)) была равна пределу средних значений интегральных сумм для выражения, сто-
стоящего в правой части (9Г.4). Однако такое определение не столь очевидно, как может
Ч Более подробное изложение дается, например, в книгах [42, 72, 146].

276	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
показаться на первый взгляд. Дело в том, что предел средних значений интегральных
сумм
N-1
=0
где to<t1<---<tN = tn
т^ = ati+1-\-(L —ajt^	U<a<l,	(У1 .о)
зависит от значения параметра а. Таким образом, существует континуум интерпре-
интерпретаций уравнений (9Г.1). Наиболее популярны две интерпретации стохастических ин-
интегралов: Ито (а = 0) и Стратоновича (а = 1/2). С математической точки зрения
интерпретация Ито имеет некоторые преимущества, в то время как интерпретация
Стратоновича часто используется в физике, поскольку она допускает обычные правила
преобразования переменных и интегрирования. Существует однозначное соответствие
между стохастическими интегралами в интерпретациях Ито и Стратоновича, но здесь
мы не будем на этом останавливаться (см., например, [42, 72]).
Подставляя переменные an(t) в виде (9Г.1) в функцию распределения
(9Г.7)
а затем дифференцируя T{a]t) по времени, можно вывести уравнение Фоккера-
Планка. Если для стохастических интегралов принято определение Ито, то получаем
уравнение [42]
^	^^^*) = 0	(9Г.8)
п	п,п' п п
с диффузионной матрицей (9.2.37). В случае определения Стратоновича уравнение
Фоккера-Планка имеет вид
(9Г.9)
Отметим, что уравнения (9Г.8) и (9Г.9) можно преобразовать в уравнение (9.2.36) при
условии, что
Докажем, что эти условия выполняются в теории гидродинамических флуктуации, ес-
если переменные ап соответствуют локально сохраняющимся величинам. Для простоты
ограничимся случаем однокомпонентной жидкости.
Запишем сначала уравнения (9.2.24) в дискретных переменных an(t) = ftmk(?),
где составной индекс п указывает гидродинамическую переменную (т) и волновой
вектор. Соответствующие коэффициенты дрейфа un(t) = umlc(t) представляют собой
пространственные фурье-компоненты величин (9.2.22). В соответствии с выражениями
для случайных потоков (9.2.31), гауссовские переменные ^„(t) = ?Mk№ можно опреде-
определить как

Приложения к главе 9	277
Отличные от нуля элементы матрицы kvv,, входящие в выражение (9.2.35) для корре-
корреляционных функций гауссовских переменных, легко найти с помощью (9.2.30) и (9Г.11).
Они имеют вид
Наконец, подставляя случайные части потоков (9.2.31) в гидродинамические уравне-
уравнения (9.2.24), а затем переходя к пространственным фурье-компонентам, можно найти
функции дП1У(а), определяющие интенсивность теплового шума. Впрочем, явные вы-
выражения для этих функций не понадобятся. Важно лишь то, что каждая из них имеет
такую структуру:
a) = ikaGmix(k-k'),	(9Г.13)
где проекция ка волнового вектора соответствует составному индексу m, a GmM(k) по-
получается в результате фурье-преобразования некоторой функции Gm/I(r) = Gm/I [о(г)],
зависящей от локальных гидродинамических переменных1). Этого будет достаточно
для доказательства равенств (9Г.10).
Начнем с доказательства первого первого равенства. С этой целью запишем цепочку
преобразований
где производные d/darn-k выражены через функциональные производные 5/5ат(г) с
помощью (9.1.58). Кроме того, мы учли, что
SGm»[a(r')} =dGm,[a(r')} _
8ат(т)	dam{v') {T * >'
Напомним теперь, что в теории гидродинамических флуктуации сингулярную дельта-
функцию следует заменить на сглаженную функцию (9.1.61). Тогда получаем
[
Va5(r) = 0.	(9Г.14)
Это завершает доказательство первого из равенств (9Г.10).
Ч Подчеркнем, что множитель ка появляется в выражениях (9Г.13) вследствие того, что исходные
стохастические уравнения (9.2.24) имеют форму законов сохранения.

278	ГЛАВА 9. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ
Для доказательства второго равенства снова удобно перейти к функциональным
производным. Используя также выражение (9.1.56) для диффузионной матрицы, пи-
пишем
V
8am,(r')
9!:™'}*}. [dr'6(r')V6(r') =
oaml(r) J
Тем самым второе из равенств (9Г.10) доказано.
Задачи к главе 9
9.1	Доказать свойство (9.1.31) случайных потоков (9.1.24).
Указание. Воспользоваться выражением (9.1.15) для квазиравновесного распреде-
распределения и формулой (9.1.26).
9.2	Проверить, что оператор функционального дифференцирования 5/5ат(г),
определенный в виде (9.1.58), удовлетворяет соотношению
где G(r) = G[a(r))] — произвольная функция локальных гидродинамических перемен-
переменных.
9.3	Доказать свойство (9.1.62) сглаженной дельта-функции (9.1.61).
9.4	С помощью (9.2.29) и (9.2.30) вывести соотношения Ландау-Лифшица (9.2.27).
9.5	Привести уравнения (9.3.39) к виду (9.3.43).
Указание. Удобно воспользоваться преобразованием, обратным к (9.3.42):
— e*-('i-'i>Gk((r1+r2)/2).
9.6	Проверить, что динамический структурный фактор (9.3.47) удовлетворяет
уравнению (9.3.46), если скорость звука с и "коэффициент продольной вязкости" Dl
не зависят от координат.
9.7	Вывести линейные стохастические уравнения (9.3.59) и (9.3.60) из уравне-
уравнений (9.3.57) и (9.3.58).
9.8	Вывести уравнение Фоккера-Планка (9.4.25) из уравнения (9.4.11) (соответ-
(соответствие между уравнением Фоккера-Планка и стохастическими дифференциальными
уравнениями рассмотрено в приложении 9Г).
9.9	Доказать, что продольная и поперечная дельта-функции (9.4.21) удовлетворя-
удовлетворяют условиям ортогональности
/¦
где г = ±, || и j = ±,\\.

Задачи к главе 9	279
9.9 Вывести уравнения Рейнольдса (9.4.45), исходя из соотношения (9.4.44).
Указание. После исключения производной dT(v]i)/dt с помощью уравнения
Фоккера-Планка (9.4.31) удобно воспользоваться правилом функционального инте-
интегрирования по частям
которое справедливо, если хотя бы один из функционалов Gx(v) и G2(v) стремится к
нулю при |v| —> 0. В данном случае роль такого функционала играет ^(v;^).
9.10 Вывести уравнение баланса (9.4.53) для свободной энергии турбулентного
движения.
Указание. Для исключения в (9.4.52) производной функционала распределения по
времени удобно переписать уравнение Фоккера-Планка (9.4.31) в виде
где /(v) — равновесный функционал (9.4.49), а
Затем, исключив дТ/' dt в уравнении (9.4.52), можно получить
где R(r) — векторное поле (9.4.56). Наконец, остается воспользоваться соотношением
которое следует из определения w и равенства S±p(r)/Sva(rf) = 0 [доказать его можно
с помощью (9.4.8)].
9.11 Вывести уравнение баланса (9.4.59) для информационной энтропии турбу-
турбулентного движения.
Указание. Для исключения производной дТ / dt в (9.4.58) удобно воспользоваться
уравнением Фоккера-Планка, записанным в такой же форме, как в задаче 9.10. Следует
также учесть, что
6va ~ 6va + 6va -Ha eVjl-
9.12 Получить явные выражения для потоков Ja(r) и Jao(r1rf) [см. (9.4.81)] и дока-
доказать, что уравнения (9.4.80) могут быть преобразованы в уравнения Рейнольдса (9.4.39)
и (9.4.45).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Хорошо известно, какую важную роль в развитии статистической физики равно-
равновесных систем сыграл метод ансамблей Гиббса. До недавнего времени было широко
распространено мнение, что теория неравновесных процессов не может иметь едино-
единого универсального метода, применимого к любой системе, подобного методу Гиббса, и
допускает точную постановку задачи лишь в предельных случаях, для которых воз-
возможно построение кинетического уравнения. Однако уже в 1951 году Кэллен и Велтон
в работе по теории флуктуации [51] писали: "Мы думаем, что установленная связь
между равновесными флуктуациями и необратимостью открывает путь к построе-
построению общей теории необратимости, использующей методы статистических ансамблей".
В настоящей книге мы попытались подвести итоги, которые достигнуты на этом пути.
Большая часть книги посвящена единому подходу к теории неравновесных процессов
в различных физических системах, который получил название метода неравновесно-
неравновесного статистического оператора Ч. Рассмотрен также ряд примеров, иллюстрирующих
применение метода к конкретным задачам.
Теперь мы хотели бы кратко остановиться на некоторых нерешенных проблемах и
перспективах развития метода неравновесных статистических ансамблей. Разумеется,
перечень обсуждаемых ниже вопросов не претендует на полноту и отражает лишь
точку зрения авторов книги.
Начнем с проблем принципиального характера.
1. До сих пор остается открытым вопрос об определении термодинамических ве-
величин в случаях, когда при описании процессов переноса нужно учитывать эффекты
нелокальности и памяти2). В так называемой расширенной неравновесной термодина-
термодинамике [94,134] для учета эффектов памяти в набор наблюдаемых включаются не только
локальные термодинамические величины, но и их потоки. Эта идея имеет долгую исто-
историю и восходит к работе Максвелла по кинетической теории классических газов [127],
где впервые была сделана попытка учесть память в уравнениях переноса с помощью
релаксационного уравнения для тензора вязких напряжений. Следующий важный шаг
был сделан Трэдом [74], который разработал метод моментов для построения нормаль-
нормальных решений уравнения Больцмана3).
В главе 2 первого тома было показано, что, в принципе, неравновесный статисти-
статистический оператор можно построить для любого набора базисных динамических пере-
переменных Рт, средние значения которых описывают процессы переноса в системе. В
частности, на формальном уровне несложно включить средние потоки локальных пе-
переменных в набор наблюдаемых (РтУ и вывести соответствующую систему уравнений
переноса [121]. Для линейных процессов расширение набора базисных динамических
переменных можно обосновать в рамках вариационного принципа при вычислении ки-
Ч Отметим пионерские работы Д.Н. Зубарева [11, 12] и Р. Цванцига [174, 175], с которых фактически
началось развитие современного метода неравновесных статистических ансамблей (Прим. ред.).
2)	На феноменологическом уровне эффекты памяти в термодинамике неравновесных процессов рас-
рассматриваются, например, в книгах [57, 161].
3)	Методом неравновесного статистического оператора уравнения типа Грэда получены в работе [35].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ	281
нетических коэффициентов (см. главу 5). В случае сильно неравновесных систем урав-
уравнения переноса нелинейны, и связь описаний одного и того же процесса с помощью
различных наборов базисных переменных пока не вполне выяснена. Дело в том, что
термодинамический смысл неравновесных параметров, сопряженных средним значе-
значениям (РтУ, меняется, если мы переходим от одного набора базисных переменных к
другому1). Поэтому нужно найти соотношения между неравновесными параметрами
теории2) и величинами, которые реально измеряются в эксперименте. В некоторых
конкретных задачах это удается сделать [120, 121], но общее решение проблемы пока
не найдено, хотя оно имеет важное значение для обоснования расширенной неравно-
неравновесной термодинамики.
2.	Интересным приложением неравновесной статистической механики является те-
теория открытых систем, которая активно развивается в последние десятилетия (см.,
например, [78, 136]). Наиболее впечатляющим свойством открытых систем является
"самоорганизация", т. е. возникновение упорядоченных макроскопических структур. В
главе 7 было выведено основное кинетическое уравнение для матрицы плотности от-
открытой системы, взаимодействующей с термостатом. Однако, как правило, реальные
открытые системы взаимодействует с окружением, которое само находится в неравно-
неравновесном состоянии. Поэтому актуальной задачей является разработка метода постро-
построения статистических ансамблей, представляющих состояние открытой системы, взаи-
взаимодействующей с другими неравновесными системами.
3.	В главе 9 мы отмечали, что статистическая теория крупномасштабных (гидроди-
(гидродинамических) флуктуации служит основой для описания процессов переноса в окрест-
окрестности критической точки. За последние тридцать лет в теории фазовых переходов и
критических явлений был достигнут существенный прогресс, но до сих пор даже наи-
наиболее "микроскопические" методы в критической динамике [30, 82] являются, по суще-
существу, феноменологическими. Эти методы, основанные на стохастических уравнениях
переноса типа уравнений Ланжевена, которые обсуждались в разделе 9.2.3, позволяют
вычислить так называемые "динамические критические индексы" для наиболее сильно
расходящихся коэффициентов переноса. Однако более тонкие эффекты, связанные со
"слабыми аномалиями", не удается последовательно описать в рамках чисто феноме-
феноменологического подхода3). По-видимому, здесь требуются новые принципы построения
функционала энтропии для нелинейных флуктуации, основанные на методе статисти-
статистических ансамблей.
4.	Другой важной областью применения теории гидродинамических флуктуации
является проблема турбулентности. Хотя в настоящее время известен ряд качествен-
качественных результатов и разработано много полуэмпирических схем расчета турбулентных
течений в жидкостях и газах (см., например, [26, 71]), полной количественной теории
турбулентности пока не существует.
С точки зрения статистической механики теория турбулентности имеет некоторое
сходство с кинетической теорией. В частности, цепочка уравнений Рейнольдса для
усредненной скорости движения и корреляционных функций пульсаций скорости мо-
Ч В качестве простого примера напомним, что в кинетической теории неидеальных классических га-
газов величина T*(r,t) = 1//?(г,?), где /? — параметр, сопряженный средней плотности энергии, уже не
имеет смысла локальной температуры, если неравновесное состояние характеризуется не только плот-
плотностями сохраняющихся переменных, но и одночастичной функцией распределения (см. раздел 3.3.4
первого тома).
2)	В методе неравновесного статистического оператора роль этих параметров обычно играют множи-
множители Лагранжа, сопряженные средним значениям (Рт)ь.
3)	К такого рода аномалиям относится, например, поведение коэффициента затухания звука вблизи
критической точки жидкости [157].

282	ЗАКЛЮЧЕНИЕ
жет быть получена из функционального уравнения Фоккера-Планка, которое в теории
турбулентности играет роль "кинетического уравнения". К сожалению, уравнения Рей-
нольдса намного сложнее, чем уравнения для приведенных функций распределения в
кинетической теории. Кроме того, в теории турбулентности фактически отсутствует
малый параметр типа параметра плотности или параметра взаимодействия, поэто-
поэтому обрыв цепочки Рейнольдса на уровне низших корреляционных функций скоростей
вряд ли может привести к успеху. Непосредственное же суммирование бесконечных
последовательностей членов в цепочке Рейнольдса крайне затруднено из-за быстрого
роста числа корреляционных функций и их сложной структуры. Поэтому более пер-
перспективным представляется построение нормальных решений функционального урав-
уравнения Фоккера-Планка (см. раздел 9.4.6).
5.	На протяжении всей книги неоднократно подчеркивалась важная роль термоди-
термодинамического предельного перехода (N —> оо, N/V = const) при построении статистиче-
статистических ансамблей, представляющих неравновесные состояния макроскопических систем.
Строго говоря, сам принцип отбора запаздывающих решений уравнения Лиувилля,
которые описывают необратимые процессы, справедлив только в термодинамическом
пределе1). Однако встречаются ситуации, когда система содержит большое число ча-
частиц (т. е. возможно ее статистическое описание), но имеет конечные размеры, и поэто-
поэтому переход к термодинамическому пределу не соответствует физической постановке
задачи2). Задачей на будущее является построение последовательной статистической
теории диссипативных процессов и флуктуации в такого рода системах.
6.	Стоит упомянуть о применении метода неравновесных статистических ансамблей
к релятивистским квантовым системам. В настоящей книге этот вопрос не рассматри-
рассматривался по двум причинам. Во-первых, объединение идей неравновесной статистической
механики и релятивистской квантовой теории поля является далеко не тривиальной
проблемой, обсуждение которой привело бы к неизбежному увеличению объема кни-
книги 3). Другая, более важная, причина состоит в том, что релятивистская статистическая
механика находится еще в процессе развития и ее принципы пока не разработаны в той
же мере, что и принципы нерелятивистской статистической механики. В настоящее вре-
время более или менее завершенным разделом является релятивистская кинетика, осно-
основанная на обобщениях уравнения Больцмана с учетом квантовых и релятивистских
эффектов. Путем построения нормальных решений релятивистского кинетического
уравнения иногда удается вычислить коэффициенты переноса [61], а метод момен-
моментов [90], аналогичный методу Трэда в нерелятивистской кинетической теории, позво-
позволяет распространить релятивистскую гидродинамику на случай быстрых процессов,
когда необходимо учитывать конечную скорость распространения термических возму-
возмущений.
Ясно, что кинетическая теория, основанная на релятивистском (классическом или
квантовом) уравнении Больцмана, непригодна для описания неравновесных процессов
в произвольных квантово-полевых системах, поэтому естественно обратиться к более
общим методам статистических ансамблей и попытаться вывести уравнения переноса
для таких систем, исходя из релятивистского уравнения Лиувилля. На этом пути уже
достигнут определенный прогресс. Метод неравновесного статистического оператора,
изложенный в настоящей книге, применялся в некоторых задачах [13-15, 34, 88]). От-
Ч Напомним, что бесконечно малый источник, отбирающий такие решения, стремится к нулю после
вычисления термодинамического предела в средних значениях динамических переменных.
2)	Важными примерами конечных многочастичных систем являются полумакроскопические струк-
структуры в полупроводниках [84] и атомные ядра.
3)	В качестве введения в предмет интересующимся читателям можно рекомендовать книги [34, 61].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ	283
метим, однако, что метод статистических ансамблей пока не привел к результатам,
выходящим за рамки релятивистской кинетической теории или феноменологической
релятивистской гидродинамики. Одной из проблем, где этот метод действительно мог
бы сыграть важную роль, является построение расширенной неравновесной статисти-
статистической термодинамики. По-видимому, в релятивистской области переход к расширен-
расширенной термодинамике имеет принципиальное значение с точки зрения ковариантности и
причинности [89, 108].
7. Недавно был предложен новый общий подход к теории неравновесных процес-
процессов [17, 41, 156], основанный на так называемой термополевой динамике квантовых
систем (см., например, [163, 164]). Как показано в работе [17], метод термополевой
динамики близок к методу неравновесного статистического оператора и приводит, по
существу, к тем же результатам. Тем не менее, эта новая формулировка неравновесной
статистической механики может оказаться полезной для изучения процессов переноса
в квантово-полевых системах и требует дальнейшей разработки.
Кроме перечисленных выше вопросов, касающихся основ статистической теории
неравновесных процессов, остается много нерешенных проблем более частного харак-
характера, связанных с изучением конкретных физических систем и вычислением неравно-
неравновесных величин. Упомянем только некоторые из них.
1.	Пока мало известно о свойствах классических кинетических уравнений с инте-
интегралом столкновений, в котором учитываются коррелированные многочастичные про-
процессы (см. раздел 3.3.3 первого тома). В частности, для вычисления коэффициентов
переноса с учетом неаналитических поправок по плотности нужен метод построения
нормальных решений таких кинетических уравнений.
2.	Как отмечалось в параграфе 3.4, пока не существует последовательного выво-
вывода сходящегося интеграла столкновений, который правильно учитывал бы эффекты
динамического экранирования и близкие столкновения частиц в плазме. Фактически
эта проблема связана с трудностями вычисления парной корреляционной функции для
неравновесной плазмы.
3.	Многие величины в неравновесной статистической механике, например, кинети-
кинетические коэффициенты в уравнениях переноса и ядра в основных кинетических урав-
уравнениях, выражаются через временные корреляционные функции с приведенным опе-
оператором эволюции, который содержит проектирование. Если взаимодействие являет-
является слабым или мал параметр плотности, такие корреляционные функции можно вы-
вычислить, применяя теорию возмущений (см., например, главу 7). Однако во многих
физически интересных случаях нельзя ограничиться несколькими членами ряда те-
теории возмущений, поэтому необходим метод, позволяющий проводить суммирование
бесконечных последовательностей "главных" членов. Для корреляционных функций с
приведенным оператором эволюции пока не удалось разработать метод такого сумми-
суммирования, аналогичный диаграммной технике для функций Грина.
4.	Нерешенной проблемой квантовой кинетической теории остается учет неравно-
неравновесных многочастичных корреляций. В параграфе 4.3 первого тома было получено
квантовое обобщение кинетического уравнения Энскога, в котором учитываются кор-
корреляции, связанные с законом сохранения энергии. Классическое уравнение Энскога
применялось и до сих пор успешно применяется для описания кинетических процессов
в плотных газах. Это позволяет предположить, что и в квантовых системах основную
роль играют многочастичные корреляции, связанные с сохранением энергии. К сожа-
сожалению, интеграл столкновений в квантовом уравнении Энскога имеет гораздо более
сложную структуру, чем в классическом случае, поэтому для решения конкретных
задач требуется разработка эффективных численных методов.
5.	Важным обстоятельством является то, что в кинетических процессах многоча-

284	ЗАКЛЮЧЕНИЕ
стичные корреляции тесно связаны с эффектами памяти1). В последние годы инте-
интерес к немарковской кинетике значительно возрос благодаря исследованиям быстрых
процессов, вызванных взаимодействием лазерного излучения с веществом [83]. Следу-
Следует отметить, однако, что здесь теория пока отстает от эксперимента, так как до сих
пор не удается описать самосогласованным образом эффекты памяти, корреляции и
квазичастичное затухание. Среди возможных путей к решению этой проблемы наибо-
наиболее перспективным кажется объединение метода временных функций Грина и метода
неравновесного статистического оператора. В главе 6 было показано, что для учета
многочастичных корреляций удобно использовать так называемые "смешанные" функ-
функции Грина, в которых усреднение проводится по квазиравновесному распределению,
зависящему от времени через макроскопические наблюдаемые или сопряженные им
термодинамические параметры. Это означает, что уравнения движения для функций
Грина должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для наблюдаемых.
С физической точки зрения такая постановка задачи является вполне естественной,
поскольку уравнения переноса описывают "медленную" эволюцию системы, в то вре-
время как уравнения движения для функций Грина хорошо приспособлены для описа-
описания спектральных свойств микроскопической динамики и квазичастичного затухания.
Дальнейший прогресс в этом направлении существенно зависит от построения теории
возмущений для смешанных функций Грина, которая была бы столь же эффективной,
как диаграммная техника в "обычном" формализме, основанном на граничном условии
полного ослабления начальных корреляций.
Заканчивая краткое обсуждение современного состояния неравновесной стати-
статистической механики, хотелось бы отметить возможности моделирования неравновес-
неравновесных процессов, которые дает быстрое развитие вычислительной техники (см., напри-
например, [111, 128]). Не исключено, что именно сочетание теоретических исследований и
численных экспериментов откроет новые пути развития неравновесной статистической
механики.
Ч Обсуждение этого аспекта немарковской кинетики см. в параграфе 4.5 первого тома.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Абрикосов А.А., Горьков Л.П., Дзялошинский И.Е. Методы квантовой теории поля в
статистической физике. — М.: Физматгиз, 1962.
2.	Александров И.В. Теория магнитной релаксации. — М.: Наука, 1975.
3.	Боголюбов Н.Н., Тябликов СВ. // ДАН СССР. 1959. Т. 126. С. 53.
4.	Березин Ф.А. // Мат. Сб. 1971. Т. 86. С. 578.
5.	Боголюбов Н.Н. К вопросу о гидродинамике сверхтекучей жидкости. Препринт ОИЯИ
Р-1395. - Дубна: ОИЯИ, 1963.
6.	Боголюбов Н.Н. Лекции по квантовой статистике. // Избранные труды в трех томах.
Т. 2. - Киев: Наукова Думка, 1970.
7.	Вакс В.Г., Ларкин А.И., Пикин С.А. // ЖЭТФ. 1967. Т. 53. С. 281.; // ЖЭТФ. 1967.
Т. 53. С. 1089.
8.	Гинзбург В. Л., Собянин А.А. // УФН. 1977. Т. 120. С. 153.; // J. Low Temp. Phys. 1982.
V. 49. P. 507.
9.	Гончарова И., Кухаренко Ю.А., Лалаян А.С. // Краткие сообщ. по физике. 1988. Т. 1.
С 3
10.	Зубарев Д.Н. // УФН. 1960. Т. 71. С. 71.
11.	Зубарев Д.Н. // ДАН СССР. 1961. Т. 140. С. 92.
12.	Зубарев Д.Н. // ДАН СССР. 1965. Т. 162. С. 532.
13.	Зубарев Д.Н. // ДАН СССР. 1965. Т. 164. С. 537.
14.	Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. — М.: Наука, 1971.
15.	Зубарев Д.Н., Прозоркевич А.В., Смолянский С.А. // ТМФ. 1979. Т. 40. С. 394.
16.	Зубарев Д.Н. // ТМФ. 1982. Т. 53. С. 93.
17.	Зубарев Д.Н., Токарчук М.В. // ТМФ. 1991. Т. 88. С. 286.
18.	Зубарев Д.Н., Церковников Ю.А. Метод двухвременных температурных функций Грина
в равновесной и неравновесной статистической механике. // Труды Математического
института АН СССР. 1989. Т. 175. С. 134.
19.	Келдыш Л.В. // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. С. 1515.
20.	Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. — М.: ТОО "Янус", 1995.
21.	Кухаренко Ю.А., Тиходеев С.Г. // ЖЭТФ. 1982. Т. 83. С. 1444.
22.	Ландау Л.Д. // ЖЭТФ. 1941. Т. 11. С. 592.; // J. Phys. (USSR). 1947. V. 11. P. 91.
23.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. // ЖЭТФ. 1957. Т. 32. С. 618.
24.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Изд. 3-е. — М.: Наука, 1986.
25.	Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсиро-
конденсированного состояния. — М.: Наука, 1978.
26.	Монин А.С, Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Ч. 1,2. — М.: Наука, 1965.
27.	Морозов В.Г. // ТМФ. 1976. Т. 28. С. 267.
28.	Морозов В.Г. // ТМФ. 1981. Т. 48. С. 373.
29.	Морозов В.Г. // ТМФ. 1986. Т. 66. С. 241.
30.	Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. — М.:
Наука, 1982.
31.	Переломов A.M. Обобщенные когерентные состояния и их применения. — М.: Наука,
1987.
32.	Покровский Л.А. // ДАН СССР. 1967. Т. 177. С. 1054.
33.	Покровский Л.А. // ТМФ. 1978. Т. 37. С. 102.
34.	Смолянский С.А., Панферов А.Д. Введение в релятивистскую статистическую гидроди-
гидродинамику нормальной жидкости. — Саратов: Изд. Саратовского университета, 1988.
35.	Савченко В.А., Хазанович Т.Н. // ТМФ. 1970. Т. 4. С. 246.

286	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
36.	Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуации в радиотехнике. — М.: Со-
Советское радио, 1961.
37.	Халатников И.М. // ЖЭТФ. 1952. Т. 23. С. 8.; // ЖЭТФ. 1952. Т. 23. С. 169.
38.	Халатников И.М. Теория сверхтекучести. — М.: Наука, 1971.
39.	Allen J.F., Jones J. // Nature. 1938. V. 141. P. 243.
40.	Andersen H.C., Oppenheim I. // Ann. Phys. (N.Y.). 1968. V. 48. P. 1.
41.	Arimitsu T.// J. Phys. A. 1991. V. 24. P. L1415.
42.	Arnold L. Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. — New York: Wiley,
1974.
43.	Baym C, and Pethick Ch. Landau Fermi-Liquid Theory. - New York: Wiley, 1991.
44.	Baym C, Mermin N.D. // J. Math. Phys. 1961. V. 2. P. 232.
45.	Bedeaux В., Mazur P., van Saarloos W. // Physica. 1982. V. 112A. P. 505.
46.	Berne B. J., Pecora R. Dynamic Light Scattering with Applications to Chemistry, Biology
and Physics. — New York: Wiley, 1975.
47.	Beysens D., Garrabos Y., Zalczer G. // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 403.;
Beysens D. // Physica. 1983. V. 118A. P. 250.
48.	Bornath Th., Kremp D., Kraeft W.D., Schlanges M. // Phys. Rev. 1996. V. E54. P. 3274.
49.	Botermans W., Malfliet R. // Phys. Rep. 1990. V. 198. P. 115.
50.	Buishvili L.L., Zviadadze M.D. // Physica. 1972. V. 59. P. 697.
51.	Callen H.B., Welton T. A. // Phys. Rev. 1951. V. 83. P. 34.
52.	Carruthers P., Zachariasen F. // Rev. Mod. Phys. 1983. V. 55. P. 245.
53.	Clavin P. // С R. Acad. Sci. Paris. 1972. V. 274. P. 1085.
54.	Craig R.A. // J. Math. Phys. 1968. V. 9. P. 605.
55.	Danielewicz P. // Ann. Phys. (N.Y.). 1984. V. 152. P. 239.
56.	Danielewicz, P. // Ann. Phys. (N.Y.). 1984. V. 152. P. 305.
57.	Day W.A. The Thermodynamics of Simple Materials with Fading Memory. —
Berlin/Heidelberg/New York: Springer, 1972.
58.	De Dominicis C, Martin P.С // Phys. Rev. 1979. V. A19. 419.
59.	De Groot S.R., Mazur P. Non-Equilibrium Thermodynamics. — Amsterdam: North-Holland,
1962. [Имеется перевод: Де Гроот СР., Мазур П. Неравновесная термодинамика. — М.:
Мир, 1964.]
60.	De Groot S.R., Suttorp L.G. Foundations of Electrodynamics. — Amsterdam: North-Holland,
1972. [Имеется перевод: Де Гроот СР., Сатторп Л.Г. Электродинамика. — М.: Наука,
1982.]
61.	De Groot S.R., van Leeuwen W.A., van Weert Ch.G. Relativistic Kinetic Theory. Principles
and Applications. — Amsterdam: North Holland, 1980. [Имеется перевод: Де Гроот С, ван
Леувен В., ван Верт X. Релятивистская кинетическая теория. Принципы и применения.
-	М.: Мир, 1983.].
62.	Edwards S.F. // J. Fluid Mech. 1964. V. 5. P. 239.
63.	Enz P.С // Rev. Mod. Phys. 1974. V. 46. P. 705.
64.	Fetter A.L., Walecka J.D. Quantum Theory of Many-Particle Systems. — New York:
McGraw-Hill, 1971.
65.	Feynman R.P. // In: Progress in Low Temperature Physics. Vol. 1. (Gorter C.J., ed.). P. 36.
—	Amsterdam: North-Holland, 1955.
66.	Forster D., Nelson D.R., Stephen M. J. // Phys. Rev. 1977. V. A16. P. 732.
67.	Fox R.F. // Phys. Rep. С 1978. V. 48. P. 179.
68.	Fox R.F. // Supp. Prog. Theor. Phys. 1978. V. 64. P. 425.; // J. Math. Phys. 1978. V. 19.
1993.
69.	Fox R.F. // Physica. 1982. V. 112A. P. 505.
70.	Fox R.F., Uhlenbeck E.E. // Phys. Fluids. 1970. V. 13. P. 1893.; // Phys. Fuids. 1970. V. 13.
P. 2281.
71.	Frost M., Moulden Т.Н. (eds.). Handbook of Turbulence. - New York: Plenum Press, 1977.
[Имеется перевод: Турбулентность. Принципы и применения (под ред. Фроста У. и Мо-
улдена Т.). - М.: Мир, 1980.]
72.	Gardiner CW. Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	287
Sciences, 2nd ed. — Berlin/Heidelberg: Springer, 1985. [Имеется перевод: Гардинер К.В.
Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986.]
73.	Glauber R.J. // Phys. Rev. 1963. V. 130. P. 2529.; // Phys. Rev. 1963. V. 131. P. 2766.
74.	Grad H. Principles of the Kinetic Theory of Gases. // In: Encyclopedia of Physics. Vol. XII.
(Fliigge S., ed.). — Berlin: Springer, 1958. [Имеется перевод: Грэд Г. Кинетическая теория
газов. // В сб.: Термодинамика газов. — М.: Машиностроение, 1970. С. 5 — 109.]
75.	Greiner С, Wagner К., Reinhard P.G. // Phys. Rev. 1994. V. С49. 1693.
76.	Grabert H. // J. Stat. Phys. 1981. V. 26. P. 113.
77.	Green M.S. // J. Chem. Phys. 1952. V. 20. P. 1281.; // J. Chem. Phys. 1954. V. 22. P. 398.
78.	Haken H. Advanced Synergetics. — Berlin: Springer, 1984.
79.	Haken H. Light. Vol. 2. Laser Light Dynamics. — Amsterdam: Noth-Holland, 1985.
80.	Hall A.G. // J. Phys. A. 1975. V. 8. P. 214.
81.	Hall A.G. // Physica. 1975. V. 80A. P. 369.
82.	Hohenberg P.C., Halperin B.I. // Rev. Mod. Phys. 1977. V. 49. P. 435.
83.	Haug H., Jauho A.-P. Quantum Kinetics in Transport and Optics of Semiconductors. —
Berlin/Heidelberg: Springer, 1997.
84.	Henneberger F., Schmitt-Rink S., Gobel E.O. (eds.). Optics of Semiconductor Nanostructures.
— Berlin: Akademie Verlag, 1993.
85.	Hohenberg P.C., Martin P.C. // Ann. Phys. (N.Y.). 1965. V. 34. P. 291.
86.	Holiday D., Glassgold A.E. // Phys. Rev. 1965. V. A139. P. 1717.
87.	Hopf E. // J. Rat. Mech. Anal. 1952. V. 1. P. 87.
88.	Hosoya A., Sakagami M.-A., Takao M. // Ann. Phys. (N.Y.). 1984. V. 154. P. 229.
89.	Israel W. // Ann. Phys. (N.Y.). 1976. V. 100. P. 310.
90.	Israel W., Steward J. M. // Ann. Phys. (N.Y.). 1979. V. 118. P. 341.
91.	Ito K. // Proc. Imp. Acad. 1944. V. 20. P. 519.
92.	Itzykson C, Zuber J.-B. Quantum Field Theory. - New York: McGraw-Hill, 1980. [Имеется
перевод: Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория поля. Т. 1,2. — М.: Мир, 1984.]
93.	Joseph D.D. Stability of Fluid Motions. Vol. 1. — New York: Springer, 1976. [Имеется пере-
перевод: Джозеф Д. Устойчивость движения жидкости. — М.: Мир, 1981.]
94.	Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended Irreversible Thermodynamics, 2nd ed. — Berlin:
Springer, 1996.
95.	Kadanoff L.P., Baym G. Quantum Statistical Mechanics. — New York: Benjamin, 1962.[Име-
1962.[Имеется перевод: Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика. — М.: Мир, 1964.]
96.	Kadanoff L.P., Martin P.C. // Ann. Phys. (N.Y.). 1963. V. 24. P. 419.
97.	Kapitza P.L. // Nature. 1938. V. 141. P. 74.
98.	Kawasaki K. // Ann. Phys. (N.Y.). 1970. V. 61. P. 1.
99.	Kawasaki K. // In: Phase Transitions and Critical Phenomena. Vol. 5a. P. 165. — New York:
Academic Press, 1976.
100.	Kawasaki K., Gunton J.D. // Phys. Rev. 1973. V. A8. P. 2048.
101.	Keizer J. // Phys. Fluids. 1978. V. 21. P. 198.
102.	Kirkpatrick T.R., Cohen E.G., Dorfman J.R. // Phys. Rev. 1982. V. A26. P. 950.; // Phys.
Rev. 1982. V. A26. P. 972.; // Phys. Rev. 1982. V. A26. P. 995.
103.	Kirkwood J.G. // J. Chem. Phys. 1946. V. 14. P. 180.; // J. Chem. Phys. 1947. V. 15. P. 72.
104.	Klauder J.R., Skagerstam B.-S. Coherent States, Applications in Physics and Mathematical
Physics. - Singapore: World Sci. Publ. Co., 1985.
105.	Kohler H.S. // Phys. Rev. 1995. V. C51. P. 3232.
106.	Kohler H.S. // Phys. Rev. 1996. V. E53. P. 3145.
107.	Kraeft W. D., Kremp D., Ebeling W., Ropke G. Quantum Statistics of Charged Particle
Systems. — New York: Plenum Press, 1986. [Имеется перевод: Крефт В.-Д., Кремп Д.,
Эбелинг В., Рёпке Г. Квантовая статистика систем заряженных частиц. — М.: Мир,
1988.]
108.	Kranys M. J. // J. Phys. A. 1980. V. 13. P. 1075.
109.	Kremp D., Schlanges M., Bornath Th. // J. Stat. Phys. 1985. V. 41. P. 661.
110.	D. Kremp D., Bonitz M., Kraeft W.D. Schlanges M. // Ann. Phys. (N.Y.). 1997. V. 258. P. 320.
111.	Landau D.P., Mon K.K., Schutter H.-B. (eds.). Computer Simulation Studies in Condensed-

288	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Matter Physics. VIII. Recent Developments. — Berlin/Heidelberg: Springer, 1995.
112.	Langevin P. // Compt. Rend. 1908. V. 146. P. 530.
113.	Lax M. // Phys. Rev. 1960. V. 145. P.110.
114.	Lee D., Fujita S., Wu F. // Phys. Rev. 1970. V. A2. P. 854.
115.	Lei X.L., Xing D.Y., Liu M., Ting C.S., Birman J. L. // Phys. Rev. 1987. V. B36. P. 9134.
116.	Leggett A. J. // Rev. Mod. Phys. 1975. V. 47. P. 331.
117.	Lipavsky P., Spicka V., Veliky B. // Phys. Rev. 1986. V. B34. P. 6933.
118.	Liu M., Xing D.Y., Ting C.S., Xu W.T. // Phys. Rev. 1988. V. B37. P. 2997.
119.	Luttinger J .M. // Phys. Rev. 1964. V. 135. P. A1505.
120.	Luzzi R., Vasconcellos A.R., Casas-Vazquez J. C, Jou D. // Physica. 1997. V. 234A. P. 699.
121.	Luzzi R., Vasconcellos A.R., Ramos J.G. Statistical Foundations of Irreversible
Thermodynamics. — Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden: B.G. Teubner, 2000.
122.	Ma S.-K., Mazenko G.F. // Phys. Rev. 1975. V. Bll. P. 4077.
123.	Mahan CD. Many-Particle Physics, 2nd ed. - New York: Plenum Press, 1990.
124.	Martin P.C., Schwinger J. // Phys. Rev. 1959. V. 115. P. 1342.
125.	Martin P.C., Siggia E.D., Rose H.A. // Phys. Rev. 1973. V. A8. P. 423.
126.	Matsubara T. // Prog. Theor. Phys. 1955. V. 14. P. 351.
127.	Maxwell J .C. // Phil. Trans. Roy. Soc. 1867. V. 157. P. 49.
128.	Miyashita S., Imada M., Takayama H. (eds.). Computational Approaches in Condensed-
Matter Physics. — Berlin/Heidelberg: Springer, 1992.
129.	Montroll E.W. // In: Fundamental Problems in Statistical Mechanics (compiled by
Cohen E.G.D.). P. 230. - Amsterdam: North-Holland, 1962.
130.	Morawetz K., Ropke G. // Phys. Rev. 1995. V. E51. P. 4246.
131.	Mori H. // Prog. Theor. Phys. 1962. V. 28. P. 763.
132.	Morozov V.G. // Physica. 1984. V. 126A. P. 443.
133.	Morozov V.G., Ropke G. // Ann. Phys. (N.Y.). 1999. V. 278. P. 127.
134.	Muller I., Ruggeri T. Extended Thermodynamics. — Berlin: Springer, 1993.
135.	Negele J. W., Orland H. Quantum Many-Particle Systems. — New York: Addison-Wesley,
1988.
136.	Nicolis C, Prigogine I. Self-Organization in Nonequilibrium Systems. — New York: Wiley,
1977. [Имеется перевод: Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных
системах. — М.: Мир, 1979.]
137.	Onsager L. // Nouvo Cimento Suppl. 1949. V. 6. P. 249.
138.	Penrose O., Onsager L. // Phys. Rev. 1956. V. 104. 576.
139.	Perez-Madrid A., Rubi J.M. // Phys. Rev. 1986. V. A33. P. 2716.
140.	Phythian R. // J. Phys. A. 1977. V. 10. P. 777.
141.	Pokrovsky L.A. // Physica. 1981. V.105A. P.105.
142.	Prigogine I., George C, Henin F., Rosenfeld L. // Chem. Scrip. 1973. V. 4. P. 5.
143.	Putterman Seth J. Superfluid Hydrodynamics. — Amsterdam/London: North-Holland,1974.
[Имеется первод: Паттерман С. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. — М.: Мир,
1978.]
144.	Radcliffe J. M. // J. Phys. A. 1971. V. 4. P. 313.
145.	Resibois P., de Leener M. Classical Kinetic Theory of Fluids. — New York: Wiley, 1977. [Име-
[Имеется перевод: Резибуа П., Де Ленер М. Классическая кинетическая теория жидкостей и
газов. - М.: Мир, 1980.]
146.	Risken H. The Fokker-Planck Equation. Methods of Solution and Applications. —
Berlin/Heidelberg: Springer, 1984.
147.	Ronis D., Procaccia I. // Phys. Rev. 1982. V. A26. P. 1812.
148.	Ropke G. // Phys. Rev. 1988. V. A38. P. 3001.
149.	Shan J. Ultrafast Spectroscopy of Semiconductors and Semiconductor Microstructures.
Springer Series in Solid-State Sci. Vol. 115. — Berlin/Heidelberg: Springer, 1996.
150.	Shen Y.R. // Phys. Rev. 1967. V. 155. P. 921.
151.	Schmitz R. // Phys. Rep. 1988. V. 171. P. 1.
152.	Schwinger J. // J. Math. Phys. 1961. V. 2. P. 407.
153.	Semkat D., Kremp D., Bonitz M. // Phys. Rev. 1999. V. E59. P. 1557.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ	289
154.	Spicka V., Lipavsky P. // Phys. Rev. 1995. V. B52. P. 14615.
155.	Sudarshan E.C.G. // Phys. Rev. Lett. 1963. V. 10. P. 277.
156.	Suzuki M. // Int. Journ. Mod. Phys. 1991. V. B5. P. 1821.
157.	Tanaka H., Wada Y. // Phys. Rev. 1985. V. A32. P. 512.
158.	Taylor John R. Scattering Theory. The Quantum Theory of Nonrelativistic Collisions. — New
York: Wiley, 1972. [Имеется перевод: Тейлор Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория
нерелятивистских столкновений. — М.: Мир, 1975.]
159.	Tremblay A.-M.S, Arai M., Siggia E.D. // Phys. Rev. 1981. V. A23. P. 1451.
160.	Tremblay C, Tremblay A.-M. S. // Phys. Rev. 1982. V. A25. P. 1692.
161.	Truesdell C. Rational Thermodynamics, 2nd ed. — Berlin: Springer, 1988.
162.	Tsuzuki T. // Prog. Theor. Phys. 1986. V. 76. P. 52.
163.	Umezawa H., Matsumoto H., Tachiki M. Thermo Field Dynamics and Condensed States. —
Amsterdam: North-Holland, 1982.
164.	Umezawa H. Advanced Field Theory. Micro, Macro, and Thermal Physics. — New York:
American Institute of Physics, 1993.
165.	van der Sanden M.C.M., Schram P.P. J.M. // Phys. Rev. 1991. V. A44. P. 5150.
166.	van Saarloos W., Bedeaux D., Mazur P. // Physica. 1982. V. 110A. P. 147.
167.	Xing D.Y., Hu P., Ting C.S. // Phys. Rev. 1987. V. B35. P. 6379.
168.	Wagner M. // Phys. Rev. 1991. V. B44. P. 6104.
169.	Wheatley J. // Rev. Mod. Phys. 1975. V. 47. P. 415.
170.	Wilson K.G. // Rev. Mod. Phys. 1975. V. 47. P. 773.
171.	Yakhot V., Orzag S.A. // J. Sci. Сотр. 1986. V. 1. P. 3.
172.	Zubarev D.N., Kalashnikov V.P. // Physica. 1971. V. 56. P. 345.
173.	Zubarev D.N., Morozov V.G. // Physica. 1983. V. 120A. P. 411.
174.	Zwanzig R. // J. Chem. Phys. 1960. V. 30. P. 1338.
175.	Zwanzig R. // Phys. Rev. 1961. V. 124. P. 983.
176.	Zwanzig R. // Physica. 1964. V. 30. P. 1109.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда перехода 37
Антинормальное упорядочение опера-
операторов рождения и уничтожения 143
Базисные волновые функции для бозе-
систем 30, 33
	для ферми-систем 31, 33
—	динамические переменные 84
Бриллюэна линии 246
Вариационный принцип Колера 400
Вихревые линии квантованные 207
Возмущения механические 338
—	термические 338, 406
Волновая функция в ^-представлении
23
	вторично-квантованная 35
	конденсата 191
Восприимчивости обобщенные 344
—	термодинамические равновесные 341
Восприимчивость Кубо 350
	статическая 353
—	магнитная продольная 355
Время релаксации магнитное попереч-
поперечное 379
	продольное 379
	марковское 383
	транспортное 332
—	столкновения 81
Второй закон термодинамики 62
Гамильтониан Дикке 129
Гиббса-Дюгема соотношение 208
	 неравновесное 209
Гидродинамические уравнения идеаль-
идеальной жидкости 166
	марковские 161
Гидродинамический процесс 158
Градиентное преобразование 189
Граничное условие в теории рассеяния
120, 122
Граничные условия периодические 29
Групповое разложение приведенных
функций распределения 175
Давление гидростатическое среднее
167
Диагональная часть оператора 353
Диаграммное представление s-частич-
ной корреляционной функции 190
	интеграла столкновений 192
Динамическая неустойчивость траекто-
траекторий 13
Динамический структурный фактор
246
— хаос 13
Дифференциальное эффективное сече-
сечение рассеяния 158
Диффузионная матрица обобщенная
229, 236
Диэлектрическая проницаемость 34,
260
	квантовой плазмы 262, 288
Допустимые волновые функции бозе-
системы 33
	ферми-системы 33
Закон действующих масс 148
Законы сохранения локальные 165
Иерархия времен релаксации 81
Интеграл столкновений Балеску-Ле-
нарда 228, 229
	Балеску-Ленарда квантовый 288
	немарковский 230
	Блоха 265
	Больцмана квантовый 274
	классический 234
	Ландау для плазмы 220, 221
	квантовый 287
	Левинсона 311
Ч Номера страниц, указанные обычным шрифтом, относятся к первому тому, а полужирным — ко
второму.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
291
Интеграл столкновений Улинга-Улен-
бека 263
	Чо-Уленбека 179
—	— Энскога квантовый 295
—	— — классический 215
	обобщенный 166
Интегральное уравнение для нерав-
неравновесного статистического оператора
115, 133
Квазисреднее 122, 190, 365
—	в неравновесной статистической ме-
механике 123
Квазитемпература 315
Квазихимический потенциал 315
Квантовый статистический ансамбль
смешанный 26
	чистый 25
Кинетические коэффициенты 94, 98,
160
	для линейных процессов 375
	для стационарных процессов 348
	затравочные 227
	локальные 162, 173, 227
	марковские 161
	обобщенные 111, 130, 350
Кинетическое уравнение Больцмана
классическое 173
	Власова для классической плазмы
219
	для функции Вигнера 258
	квантовое 255, 256
	Ландау 196
	Энскога квантовое 296
	классическое модифицирован-
модифицированное 215
—	— для квантовой системы в сильном
внешнем поле 298
	для одночастичной матрицы плот-
плотности 255
	для электронно-примесной систе-
системы 282
	квантовое линейное 389
	обобщенное 50, 84, 111, 166, 251
	марковское 85
Когерентное состояние 142
Константа поперечной релаксации 133
—	продольной релаксации 133
Контур Келдыша-Швингера 44
Корреляционная матрица s-частичная
283
Корреляционная матрица двухчастич-
двухчастичная 283
Корреляционные функции временные
345
	 квазиравновесные 114
	квантовые равновесные 341
Коэффициент вязкости объемной 175
	 сдвиговой 175
—	диффузии обобщенный 394
—	сдвиговой вязкости разреженного га-
газа 239
—	температуропроводности 187
—	теплопроводности 175
	разреженного газа 239
	сверхтекучей жидкости 204
Коэффициенты вязкости для сверхте-
сверхтекучей жидкости 205
—	диффузии в уравнении Фоккера-
Планка 126, 225
—	дрейфа в уравнении Фоккера-План-
ка 126, 223, 225
—	переноса 175
Крамерса-Кронига соотношение 368
Локально-равновесное распределение
159
	для сверхтекучей бозе-жидкости
192
Локальные потоки 158
Магнитная восприимчивость попереч-
поперечная 378, 379
	продольная 378, 379
Максимум производства энтропии 400
Матрица перехода в уравнении Фокке-
ра-Планка 223, 225
—	плотности 27, 37
	в смешанном представлении 31
	одночастичная 28, 94
—	рассеяния 157
—	функций памяти 376, 382
Матрицы Паули 41
—	плотности приведенные 266
	квазиравновесные 267
Наблюдаемые 84, 106
Неравновесная температура подсисте-
подсистемы 103
Нормальная компонента сверхтекучей
жидкости 195
Нормальное упорядочение операторов
рождения и уничтожения 143

292
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Нормальные решения кинетических
уравнений 173
Обобщенные термодинамические коор-
координаты 62
Одночастичная плотность в фазовом
пространстве 92
Оператор Лиувилля квантовый 38
—	— классический 18
	приведенный 375
—	массовый 25, 46, 56, 69
—	обращения времени 42
—	обращенный во времени 363
—	поляризационный 26, 81
—	производства энтропии 117
—	скорости химической реакции 145
—	столкновений Больцмана 205
	для слабо взаимодействующих ча-
частиц 194
—	эволюции квантовый 38
—	— классический 18
	приведенный 110
	упорядоченный по времени 74
—	энтропии 87
Операторная дельта-функция 124
Операторы поля частиц 35
—	рождения и уничтожения 32, 34
—	чисел заполнения 34
Опережающее решение уравнения Лиу-
Лиувилля 124
Оптическая теорема в теории рассеяния
158
—	— для Т-матрицы 328
Основное кинетическое уравнение 104
	Цванцига 105, 126
	для классического газа и клас-
классической жидкости 115
—	— — для осциллятора в термостате
123
	для системы в термостате 120
	для электронно-примесной си-
системы 112
Отрицательная температура 134
Парадокс Лошмидта 22
Параметр взаимодействия для плазмы
217
—	накачки 133
Параметры отклика 340
Парная корреляционная функция для
плазмы неравновесная 226, 227
Перемешивание в фазовом простран-
пространстве 17
Плазменный параметр 217
Плотность импульса 163
—	числа частиц 163
—	энергии 164
—	энтропии 169
	сверхтекучей жидкости 195
Поперечная и продольная дельта-функ-
дельта-функции 259
	функциональные производные
260
Поток тепла 171, 176
	в разреженном газе 239
—	частиц 163
—	энтропии 177
Потоковый оператор 169, 176
Правила сумм 368
Представление Глаубера-Сударшана
для матрицы плотности 149
—	вторичного квантования 32
—	когерентных состояний 123, 419
—	чисел заполнения 32, 33, 144
	для квантовых операторов 34
Преобразование волновой функции при
обращении времени 40
—	квантового оператора при обраще-
обращении времени 42
—	статистического оператора при обра-
обращении времени 44
Приближение Т-матрицы 55, 73
—	Хартри-Фока 55
—	парных корреляций в квантовой ки-
кинетике 285
—	случайных фаз 83
	фаз самосогласованное 83
Проводимость 358, 401
—	примесная адиабатическая 404
	изотермическая 403
Проекционный оператор Кавасаки-Ган-
тона 109, 153, 160
—	— — равновесный 374
	Мори ПО, 152, 160, 171, 210, 410
	равновесный 374
	Робертсона 128, 154
	Цванцига 125
Производство энтропии 88, 112
	локальное 178
Производящая функция для равновес-
равновесных флуктуации 68, 71
Производящий функционал Хопфа 261

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
293
Пространство Фока 33
Процесс квазистационарный 62
Процессы переноса 90
Пульсации скорости 255
Радиус Дебая 216
Распределение микроканоническое 53
—	Гаусса для равновесных флуктуации
70,73
—	Максвелла локальное 236
—	большое каноническое 59
	 квантовое 60
	классическое 60
—	каноническое квантовое 59
	классическое 57
—	микроканоническое квантовое 55
—	— классическое 54
Распределения Гиббса 53
Резольвента оператора эволюции 192
Релаксационная гидродинамика 159
Релаксационные постоянные 122
—	процессы 83, 90
Рэлея линия 246
Самоорганизация 140
Сверхтекучая компонента бозе-жидкос-
ти 195
Свободная энергия 57
	турбулентного движения 264
Символ оператора антинормальный
146
	вейлевский 124, 146
—	— нормальный 145
Симметризованная временная корреля-
корреляционная функция 371
Симметризованное произведение опера-
операторов 124
Симметрия относительно обращения
времени квантовая 42, 43
	классическая 20, 21
Скобка Пуассона квантовая 37
	классическая 18
Случайные силы 111
Сокращенное описание системы 79, 85
Соотношения взаимности Онсагера для
кинетических коэффициентов 365
	для обобщенных восприимчи-
востей 365
Спектральная плотность корреляцион-
корреляционной функции 360
—	функция 52
Спектральное представление временной
корреляционной функции 361
	функции Грина 361
Среднее время свободного пробега 81
—	значение динамической переменной
15
	квантовой 24, 26
Средняя длина свободного пробега 81
—	скорость химической реакции 145
Стадия эволюции гидродинамическая
82
	динамическая 81
	кинетическая 81
Статистика Бозе 24
—	Ферми 24
Статистическая сумма 59, 60
Статистический ансамбль 14
	большой канонический 59, 60
	 канонический 56
	квазиравновесный 79, 86
—	— микроканонический 53, 55
—	вес 54, 55
—	интеграл 57, 60
—	оператор 26
	локально-равновесный 406
	неравновесный 107, 108
—	— приведенный 117
	равновесный 53
Статистическое распределение 84
	квазиравновесное 86, 93
	локально-равновесное 89
	неравновесное 105, 107
—	— — в экспоненциальной форме 117
Стационарные детерминированные
уравнения 243
—	состояния 100
Стехиометрические числа 143
Субстанциальная производная 177
Супероператор 106
Т-матрица двухчастичная квантовая
272
—	трехчастичная 241
Температура подсистемы 92
Тензор вязких напряжений 172, 176
—	давления в разреженном газе 239
—	магнитной восприимчивости 355
—	напряжений 164
	Рейнольдса 262
—	плотности момента импульса 165
—	электропроводности 358

294
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Абеля 105, 353
—	Вика-Блоха-Доминисиса 99
—	Лиувилля 16, 17
—	Нернста 65
Термодинамическая эквивалентность
ансамблей 65, 69
Термодинамические силы 62, 88, 162
—	соотношения для большого канони-
канонического ансамбля 63
—	— для канонического ансамбля 64
	 неравновесные 87
Термодинамический потенциал нерав-
неравновесный 87, 207
	равновесный 60, 62, 65
—	— сверхтекучей жидкости 194
Термодиффузионное отношение 187
Термоэлектрические эффекты 409
Тождество Кубо 151
Удельное сопротивление 358
Упорядоченная по времени экспонента
75
Уравнение Дайсона 46, 69
—	Липпмана-Швингера 156
—	Лиувилля квантовое 37
	классическое 17
—	Навье-Стокса 176
—	Паули 106, 142
	обобщенное 108
—	Робертсона 129
—	Фоккера-Планка для лазера 138
	для флуктуации скорости 259,
260
	квантовое 125
	обобщенное 223
—	Шредингера 25
—	Эйлера 168
—	баланса энтропии 177
—	диффузии 187
	обобщенное 394
—	переноса тепла 177
—	теплопроводности 187
—	фон Неймана 37
Уравнения Гамильтона 12
—	Гиббса-Гельмгольца неравновесные
88
—	Каданова-Бейма 49, 70
—	Мори 376
—	баланса 98
—	отклика 344
—	переноса обобщенные 84, 111, 130
Уравнения состояния равновесные 61
Условие нормировки для одночастич-
ной функции распределения 92
	для статистического оператора 27
	для фазовой функции распределе-
распределения 14, 15
—	ослабления корреляций Боголюбова
130, 165
—	химического равновесия 143
Условия самосогласования 86
Фазовая плотность приведенная (s-час-
тичнаяI66
—	функция распределения 14
—	— — крупноструктурная 47
	 равновесная 52
Фазовое пространство 12
Флуктуации энергии равновесные 68
Флуктуационно-диссипационная теоре-
теорема Кэллена-Велтона 371
	для неравновесных стационарных
состояний 244
Формула Кирквуда для коэффициента
трения 138
Формулы Грина-Кубо 175, 395
—	Кубо 350
Функционал Масье-Планка 86, 89, 159
	для классической жидкости 167
	для сверхтекучей жидкости 192,
194
Функционалы Гинзбурга-Ландау-Виль-
Гинзбурга-Ландау-Вильсона 74
Функция Вигнера калибровочно-инва-
риантная 301
	TV-частичная 32
—	— одночастичная 29, 256
—	Грина "перекрестная" 66
	"смешанная" 64, 65
	 антипричинная 42
	запаздывающая 48, 347
	на контуре Келдыша-Швингера
44
	опережающая 48, 347
	 причинная 42
	 температурная 31
	термодинамическая 12, 13
—	Масье-Планка 72, 86
—	— в частичном равновесии 102
	для квантового газа 95, 97
—	распределения s-частичная 166
	квазивероятностей 124, 149

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
295
Функция распределения равновесных
флуктуации 71
— — флуктуации энергии 69
Химический потенциал равновесный 64
Химическое сродство 146
Цепочка уравнений ББГКИ 167
	Мартина-Швингера 43
	Рейнольдса 262
	для корреляционных функций 183
Частичное равновесие 83, 102
Частотная матрица 376
Четность динамических переменных
при обращении времени 43
Числа заполнения одночастичных со-
состояний 30
Число Рейнольдса 255
Экстремальные распределения вероят-
вероятностей 50
Электрохимический потенциал 408
Энтропия Больцмана 94
—	Гиббса квантовая 45
	классическая 45
—	большого канонического ансамбля 60
—	информационная 49
—	канонического ансамбля 57
—	равновесная для изолированной си-
системы 55
—	термодинамическая 44
—	— для неравновесного квантового га-
газа 98
	 неравновесная 87
—	турбулентного движения информа-
информационная 264
	термодинамическая 268
Эргодическая гипотеза 15
—	динамическая переменная 354
—	постоянная 353

Научное издание
Зубарев Д.Н., Морозов В.Г., Рёпке Г.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ
ТОМ 2
Редактор Е. С. Артоболевская
Оригинал-макет: И. В. Морозов
Оформление обложки: А.А.Логунов
ЛР Ш 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 14.03.02.
Формат 70x100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 18,5. Уч.-изд. л. 24,9. Тираж 300 экз.
Заказ тип. №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»,
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: pfpv@vologda.ru http://www.vologda/~pfpv
ISBN 5-9221-0212-5
9785922 102124