Текст
                    КЛАССИКА МИРОВОЙ ПЕДАГОГИКИ
В.Ф. Шаталов ИЗУСТНАЯ АЛГЕБРА
[рка>1 ьозраст,
i® j / -	-	_	*- ытт* е><в •
Z'/ :>	Х>1,
< s *,ГУП!Х<('
.П"г а<1

В.Ф. Шаталов ИЗУСТНАЯ АЛГЕБРА Москва - 2007
УДК 371.32 ББК74. 202.4 Ш28 Шаталов В.Ф. Ш 28Изустная алгебра. Учебное пособие. М.: «Школа Шаталова», 2007. - 36 с. ISBN 978-5-933-234-6 Методические материалы предназначены для школьников, учителей и родителей, а также студентов педагогических вузов. УДК 371.32 ББК74. 202.4 ISBN 978-5-933-234-6 © Шаталов В.Ф., 2007. © «Школа Шаталова», 2007
КТО СТАНЕТ АВТОРОМ СОТОЙ? Это происходило многократно. После семинаров по математике, а они проводились ежемесячно на протяжении 30 лет, в Донецк приходило, как минимум, одно письмо со странной просьбой о приглашении ещё раз на этот же семинар. Зачем? Мотивация была предельно откровенной и убедительной. «После двух месяцев работы в новом методическом режиме мне стало до боли сердечной понятно, что я НЕ УМ ЕЮ ГОВОРИТЬ». Три четверти писем, и это понятно, шли от молодых учителей, но ещё более понятно, что на обнажённую откровенность возрастному учителю решиться безмерно трудно — письма такого содержания приходили от них много реже. Причин лекционного несовершенства среди учителей математики много, и одна из них видится в том, что на курсовых экзаменах по математике в высшей школе редкий экзаменатор — дефицит времени! — обращает внимание на лексическую ущербность речи студента. Написано правильно и устные дополнения к записям воспринимаются фрагментарно: всё восполняет визуальная проверка математических преобразований в экзаменационных черновиках. Для оценки в зачётке большего и не требуется. Волна за волной уходят из студенческих аудиторий выпускники, лексическая составляющая которых, мягко говоря, далека от совершенства. Кульминацией такого небрежения стал случай, о котором нам, студентам-заочникам Владивостокского педагогического института, рассказал заведующий раионо, преподававший по совместительству педагогику на заочном отделении. Рассказ этот относился ко времени, когда только-только на дальние окраины страны стали приезжать выпускники университетов с академическими значками, украшенными гербом страны. У всех прочих на голубом фоне красовалась открытая книга. Школа приняла универсала с затаённым ожиданием поучиться у столичного профессионала. А у внешне уверенного в себе и несколько амбициозного учителя математики первые же уроки пошли вразнос: не понимал и его дети! Двойки, скандалы, жалобы родителей и — обилие детских слёз. При посещении его уроков коллегами и администраторами школы вдруг выяснилось, что выпускник университета не учитель, а лектор. Лектор, какими были его преподаватели. Математических ошибок у него не было, но и живыми, участливыми, шутливо-располагающими интонациями при объяснении нового материала пользоваться его не научили. О возрастной детской психологии он и знать ничего не знал — не содержалась эта самая психология в университетских программах тех лет. К концу третьей недели всё стабилизировалось: дети перестали его слушать. А зачем, если всё равно «ничего не поймёшь»? Попытки районного отдела народного образования чем-то помочь молодому учителю несколько припозднились, и, дабы не потерять начинающего учителя с университетским дипломом, с его согласия был подписан приказ о переводе его в окраинную школу в районе Первой Речки. Наивные помощники! Едва только новый учитель появился в школьном коридоре, как по классам прошла волна дестабилизации: "этотот, у которого ничего не поймёшь". Первый урок, обволакивающая тишина — дети приготовились его НЕ ПОНИМАТЬ. Через две недели — новая школа, новые нервные терзания, бесплодные попытки следовать многочисленным советам, увольнение.
— Весной, — закончил свой грустный рассказ преподаватель, — я случайно встретил его в городе. Он стал имбициликом и тихо разговаривал сам с собой. Реакция отдельных представителей науки на первые листы с опорными сигналами по математике была воинственной. Новым методическим пособиям они приписывали нелепые, ими же самими придуманные недостатки. А дети работали с упоением, от родителей одни только восторги, от участников семинаров — десятки тысяч благодарственных писем. Первопричиной же глубокого проникновения практиков в существо новой системы являлось ИЗУСТНОЕ восприятие учебного материала, которое получали и участники семинаров, и школьники, но которого сторонились, более того — избегали кабинетные критики. О родителях и говорить нечего: они видели радость детского труда, в результате которого выпускники школы без посторонней помощи поступали в самые престижные институты, а по прошествии десяти летодин за другим стали защищать научные диссертации, и общее количество таких диссертаций учеников автора приближается к первой сотне. Кто защитит СОТУЮ научную работу? Не дано было понять некоторым кабинетным учёным, что двуединая система УЧИТЕЛЬ-УЧЕБНИК вдруг превратилась в ТРИЕДИНУЮ, дополнившись ЛИСТАМИ С ОПОРНЫМИ СИГНАЛАМИ, беспромедлительно укрепившимися на второй позиции, потеснив учебник. Не отработав в новых условиях хотя бы один семинарский цикл, уяснить смысл и значение листов практически невозможно. Если, тем более, для такой работы нет ни желания, ни внутреннего долга чести. Именно это и стало трагедией для уже ушедших из жизни и доживающих свой век критиканствующих кабинетчиков. А новая система ширится, укрепляется, живёт, проясняя всем, что из ТРИЕДИНОЙ связи по прошествии некоторого времени сначала отходит УЧИТЕЛЬ, во многом теряет свою давнюю значимость УЧЕБНИК, а каналы долговременного хранилища памяти заполняются чертежами, контрольными связями и логическими взаимопереходами листов с опорными сигналами. Непродолжительный взгляд на страницу, мысленное проговаривание уже закрытого текста и ШКОЛЬНИКИ, СТУДЕНТЫ, ПРЕПОДАВАТЕЛИ готовы вести обстоятельные ИЗУСТНЫЕ воспроизведения самых сложных разделов, десятилетиями казавшихся недоступными ВСЕОБЩЕМУ сознанию. В последний день работы над рукописью книги пришло сообщение из Испании отом,что88-юдиссертациюзащитил ученик автора Алексей Тарасов.
Арифметическая прогрессия . cl S разность о о Н М у! у , . . d “ 0 "»™- Л “ Л т 4 I «Простое» число Лфехчлен Эйлера п м И И Проверим подмеченную нами закономерность при П = 1. Предположим, что эта закономерность верна для П-го члена, и докажем,^что она справедлива для а7+<1(п—l)+d = го члена. а «и+<1 = Ка/и 7ацсс 1+2+3+...... +99+100 = 5050 W
Любой удвоенный член арифметической прогрессии равен сумме равноотстоящих от него членов.
Арифметическая прогрессия - это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом СИМ ВОЛ И КА: С1] первый член; II — рассматриваемых членов; Пп — произвольный член; d —разность прогрессии; S сумма рассматриваемых членов; — условный знак арифметической прогрессии. Прогрессия ВОЗРАСТАЮЩАЯ,если d>0 УБЫВАЮЩАЯ,если d<0, ПОСТОЯННАЯ,если d =0. Запишем столбиком несколько первых членов прогрессии и заметим, что порядковый номер каждого члена на ЕДИНИЧКУ больше коэффициента при d. Если это свойство сохранится и далее, то формула ДЕВЯТОГО члена будет такой: — Clj + Sd, а формула И-го (произвольного) члена запишется просто: an= a,+(n-l)d В сущности, это она и есть, но способ её нахождения — Метод Неполной Математической Индукции. ОПАСНЫЙ МЕТОД!’ Подметив любопытную закономерность, мы предположили, что она всесильна. Исторический факт. Великий русский математик Леонард Эйлер, рассматривая трёхчлен X —Х + 41 , нашёл, что при X = 1 образуется простое число 41, а при X = 2 получаем очередное простое число - 43. Далее пойдут: 47, 53... Прямо-таки, если довериться неполной математической индукции, КОПИЛКА простых чисел! Увы, копилки не было: далее одно за другим стали образовываться составные числа. Стало быть, заниматься НМ И — пустая трата времени? Ничуть не бывало: этот метод позволяет высказать ГИПОТЕЗУ, завершать которую следует методом Полной Математической Индукции. Суть его в том, что подмеченную закономерность проверяют сначала при П=1, предполагают, что она верна для П-го члена и доказывают её справедливость для (П+1) -го члена. Математический КАПКАН! Если она окажется верной для (П+1)-го члена, то она будет верной для <п+2) -го члена, затем для (п+З)-го и т.д. до бесконечности. Используем этот метод для вывода формулы Л ЮБОГО члена арифметической прогрессии. Для первого члена сомнений нет: Я] = + d(l—1). Теперь предположим, что она верна для П-го члена: a„ = a, + (n-l)d и определим по ней следующий член: а„+1= a„+d = a, + d(n—1) +d = a1 + dn—y+jt=a, + dn
Конструкция та же: Коэффициент при d на единичку меньше порядкового номера! Не совсем документально, но интересно: ученик начальной школы, будущий «король математиков» Карл Фридрих Гаусс без труда назвал сумму всех чисел от 1 до 100: 5050 , пояснив, что сначала сложил два крайних числа и результат умножил на 50, так как каждая новая пара крайних снова дает в сумме 101. Не вдаваясь в историческую подлинность этого рассказа, запишем одной строкой сумму П членов арифметической прогрессии, а под ней сумму этих же членов, но записанных в обратном порядке. В каждой новой вертикальной паре один член становится на d больше, другой на d меньше, а сумма их остается неизменной: Jlj + Яп. Таких пар П, и все вместе они дают удвоенную сумму членов прогрессии. А сама сумма оказывается равной: (а, + ajn 2 Из трех соседних членов арифметической прогрессии СРЕДНИЙ на d больше ПЕРВОГО и на d меньше ТРЕТЬЕГО, откуда следует равенство: Я — Я 1 ““ Я II ““ я п п-1 п+1 п ивывод: УДВОЕННЫЙ СРЕДНИЙ РАВЕН СУММЕ КРАЙНИХ: 2ап = ап+1 + an.v Если же заметить, что в каждой новой паре сумма остаётся неизменной, то всё завершается чрезвычайно важным выводом: ЛЮБОЙ УДВОЕННЫЙ ЧЛЕН АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ РАВЕН СУММЕ РАВНООТСТОЯЩИХ ОТ НЕГО ЧЛЕНОВ.
Геометрическая прогрессия Знаменатель 2 п н м Сесс^ S. = п-1 Cfy = 1 пост, (у <0 колеблющ. знакоперем. и п и (осе члены улшолсилс на Ц и выч/пелс исходную ап/гоку)

Геометрическая прогрессия Последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число, называется геометрической прогрессией. СИМВОЛИКА: — первый член; П — количество членов; — произвольный член; S — сумма членов прогрессии; Ц, — знаменатель прогрессии; • • — условный знак геометрической прогрессии. Прогрессия ВОЗРАСТАЮЩАЯ, если 1, УБЫВАЮЩАЯ, если 0<#<1, • П ОСТ ОЯ Н НАЯ, если ц, =1, ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ (колеблющаяся), если < 0. Запишем столбиком несколько первых членов прогрессии и заметим, что порядковый номер каждого члена на ЕДИНИЦУ больше показателя у Ц. Но это снова-таки неполная математическая индукция. Поэтому на основании метода ПМИ проверим справедливость нашего предположения для первого члена, предположим, что оно верно для П-го члена, и докажем его верность для (П+1)-го члена. Конструкция результата, как видим, сохранилась: порядковый номер члена на единицу более показателя у знаменателя. Итак, окончательно: «л = Члены возрастающей геометрической прогрессии увеличиваются несопоставимо быстрее, чем члены арифметической прогрессии. Тому несколько иллюстраций. Общеизвестная легенда об изобретателе шахмат. Дополним её русским сказом о крестьянине, который после долгих торгов продал жадному боярину лошадь при условии оплаты: копейка за первый гвоздик в подкове лошади, а за каждый следующий в два раза больше. При 16 гвоздях боярину пришлось выложить более 700 рублей, хотя лошадь стоила 50. И ещё один пример. Французская графиня Элизабет-Анжелика де Буотвиль овдовела в 20 лет. Её супруг, губернатор Сенлиса, по завещанию велел выплатить ей после первого года одиночества ОДНУ золотую монету, и за каждый следующий год вдвое больше, если она не выйдет замуж. Графиня прожила одинокой 69 лет и получила право на 147 573 952 314 798 306 112 золотых монет, что равнозначно сегодняшним 737 квинтиллионам долларов. Правда, умерла графиня 320 лет назад и достоверность этого документа вызывает сомнения. Для вывода формулы суммы членов геометрической прогрессии, запишем их одной строкой и умножим каждый член на Ц. Вторую строку запишем над первой, сместив все члены правой части на одну позицию вправо. Очевидно, что — это второй член, — третий член. После вычитания нижней строки из верхней, слева останутся Sq,—S, а справа
Отсюда конечная формула: S = В ней можно заменить пп на , вынести за скобки п.| и получить ещё одну формулу, незаменимую в последующих разделах. (^П -1 ) Рассмотрим три последовательных члена геометрической прогрессии. Разделив средний на первый и третий на средний получим Ср и приравняем левые части: К _ к Отсюда следует, что квадрат среднего равен произведению крайних. И снова-таки, это свойство можно расширить. Каждый предыдущий в раз меньше последующего, а каждый последующий в раз больше предыдущего. Потому КВАДРАТ ЛЮБОГО ЧЛЕНА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ РАВНООТСТОЯЩИХ ОТ НЕГО ЧЛЕНОВ. Заметим, что эти свойства двух прогрессий обратимы: они определяют наличие прогрессий. Практически важная формула СУМ МЫ КВАДРАТОВ ЧИСЕЛ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА. Доказывается методом полной математической индукции. При П = 1 она верна. Предположим, что она верна для П членов, и докажем, что она верна для (П+1) членов. Прибавим к ней квадрат следующего члена. Приведём к общему знаменателю и, разложив на множитель числитель, получим формулу той же конструкции: (п+1)(п+2)(2п+3) 6
Если переменная величина изменяется так, что абсолютная величина разности между нею и данной постоянной величиной может стать и остаться меньше сколь угодно малой наперёд заданной 8, то тогда эта постоянная величина называется пределом этой переменной величины Основные теоремы о пределах п—оо 4-0 1-»
Бесконечные прогрессии В сущности, каждая прогрессия, если не ограничивать количество её членов, бесконечна, и это хорошо видно на четырех графиках. На розовом при первом члене 2 каждый следующий на единицу больше и — в бесконечность. Это БЕСКОНЕЧНО ВОЗРАСТАЮЩАЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ. Её разность равна! и именуют её иногда ШАГ. На зелёном графике — члены БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩЕЙ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ П РО ГРЕССИ И с тем же первым членом, но с отрицательным шагом — 1. Уже четвёрты м своим членом она проникает в область отрицательных чисел и далее - бездна. Оранжевый график иллюстрирует быстрый рост членов БЕСКОНЕЧНО ВОЗРАСТАЮЩЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ с первым членом 1 и знаменателем 2. Это снова шахматы, подковы и завещание. Совсем иное дело — красный график. На нём — члены БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ с первым членом 1 и знаменателем 1/2. По формуле суммы членов найдём сумму первых 10 членов. 1 .[1-ф“]_ 1 - фю 1, 1-9 1-1 - 1 - L 2 2 Легко видеть, что для (П+1) членов конструкция результата останется такой же, но из неё следует, что при бесконечно большом П дробь станет мало отличимой от 0, а сама сумма станет практически равной 2. Следовательно модуль разности (без учёта знака) станет и в дальнейшем останется меньше скольугодно малой наперёд заданной величины £. Отсюда — определение ПРЕДЕЛА ПЕРЕМЕННОЙ. п , 1 юскольку У в сущности своей - это та же геометрическая прогрессия, то в формуле ее суммы разделим почленно и • Ц, на знаменатель дроби. В ИДИ М: в уменьшаемом все элементы — постоянные величины, а в вычитаемом при бесконечно большом П его числитель, а вместе с ним и вся дробь, станут практически равными НУЛЮ. Формула же суммы членов БЕСКОНЕЧНО УБЫВАЮЩЕЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ оказывается предельно простой, удобной при решении задач и числовых расчётах. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ можно оставить для самостоятельного ЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
у = а 2. При а>1 f(x) возраст. а< 1 f(x) убывает 3. Чем больше а, быстрее рост 4. При а> 1 f(x)> 1, если х>0 f(x)<l, если х<0 5. При а<1 - наоборот 6. f(0)=l
Показательная функция X Определимся: >а>0, иначе появятся корни чётной степени из отрицательных чисел. , т.к. при Я— 1 ничего другого, кроме ЕДИНИЦЫ получить невозможно. ...) хариф.Х — любое действительное число. Как ни антинаучно, но сегодня почти все авторы рассматривают свойства показательной функции по внешнему виду нескольких графиков. Опустимся и мы на время к уровню этого математического примитива, рассматривая графики функций. у=2” у = (1Г У = 10х 1.Если а>0, f(x)>0. При всяком положительном основании функция всегда положительна. 2.пРиа>1 f(x) — возраст. приа<1 f(x) — убыв. При основании больше ЕДИНИЦЫ функция —ВОЗРАСТАЮЩАЯ. При основании меньше ЕДИНИЦЫ функция —УБЫВАЮЩАЯ. З.Чем больше основание, тем быстрее рост. 4. При основании, большем единицы, функция от X тоже больше 1, если х>0 функция от X меньше ЕДИНИЦЫ, если х<0 5. При основании, меньшем единицы, всё наоборот. 6. F(0) —1 Узелок!
а>0 1. При а>0 f(x) > 0 а) X — целое (N) ах= а • а • а... б) (дробь) а9 = \а =.... в) X = —d (отриц.) a d=l/ad г) х = а (иррац.) 2. Если а>1, то f(x) > 1 (х>0) F(x) < 1 (х<0) Дано: а> 1 - ариф. яа' > п * Л V дроби -^а“2 >0 а) X — целое ах> Iх m щ hi б)Х= п (дробь) а >1 Va“>^ в) X = а (иррац.) а“'>1 г) X = —р (отриц.) а 3. Приа>1 f(x) возрастает а) Х,>Х2 (целое) аХ1>аХ2 б) -£ (дроби) тд > рп а"”: sT Jr [ а“2> 1 дроби -р= 1 ар>1^±<1 а а >а₽” >^а-"
Показательная функция Исходные условия те же: а>0,а?4 . Корни арифметические. О При а>0 f(x)>0 .) Если X натуральное, то а* = Я • Я • а... — сомножители (Т) ..) Если Х= Ч (дробь), то sf=y[a т.к. корни арифметические. ...) Если Х= —d (отрицательное) Я = 1/я Числитель и знаменатель положительные ....) Если Х= 01 (иррациональное). Можно показатель взять с НЕДОСТАТКОМ или ИЗБЫТКОМ. Оба дробные и с ними функция положительна. Истинная — между ними и потому тоже положительна. О При а>1,то f(x)> 1 (х>0) Если х<0, то f(x) < 1 Дано: а>1. .) X - целое. Возводим обе части в степень Xd /1 m X ..) Х= П (дробь). Сначала возводим обе части в степень 1П, а затем извлекаем из обеих частей корни П-ой степени:. ...) Если Х= 01 (иррациональное). Приближённые значения показателей взятые и с НЕДОСТАТКОМ и с ИЗБЫТКОМ, дроби! С ними результаты БОЛЕЕ ЕДИНИЦЕЙ Истинный - между ними и потому он тоже более ЕДИНИЦЕЙ -р_—р- ...,)ЕслиХ— —р (отрицательное). Тогда Я — а У этой дроби знаменатель БОЛЕЕ ЕДИНИЦЫ, а₽>1 а сама дробь МЕНЕЕ ЕДИНИЦЫ .)Xj>X2 - (целые). аХ‘>а’ 1 В левой части сомножителей больше. m Р ..) П > Ч (дроби). ПриводимихкН 03: ту. > рп Обе части— числа ЦЕЛЫЕ. т<^ \ Р11 Для них: а а Извлекаем из обеих частей корни степени П^:
34 = 81 х = 3 4 3х = 81 X = 3.3.3.3 X4 = 81 X = Сод 381 Возвед. в степень х 81 -3 Нахожд. логарифма Извлечение корня Логарифм - показатель
Из предельно простого равенства З4 — 81 можно составить три уравнения, разместив неизвестное на месте одного из трёх его членов. В самом деле: X = З4. Это действие мы давно уже назвали действием ВОЗВЕДЕНИЯ В СТЕПЕНЬ, и для нахождения неизвестного необходимо ТРОЙКУ умножить саму на себя четыре раза. Что в этом сложного? Если же рассмотреть второе уравнение X = 81, то и здесь всё привычно: для нахождения неизвестного достаточно извлечь корень четвёртой степени из 81. Но вот третье уравнение: 3* = 81. Неизвестное разместилось на позиции показателя степени. Эка беда?! Назовём это действие нахождением показателя степени при известном основании степени и самой степени. Только ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ будем называть его международным именем ЛОГАРИФМ. Вот и пришли мы к действию НАХОЖДЕНИЯ ЛОГАРИФМА. В третьем уравнении, как видим, этот логарифм равен 4. В дальнейшем же мы установим строгие законы его нахождения и правила обращения с ним, как раньше установили правила действий со степенями и правила действий с радикалами. Для начала построим графики трёх функций. Первая: В ней у = £од2Х - это показатель, в который нужно возвести ДВОЙКУ, чтобы получить X. А более строго: ИГРЕК — это логарифм X при основании 2. Ничего сложного, но к этому некоторое время придётся привыкать. Атеперь начнём неторопливо наносить точки на график. .) Чтобы получить ЕДИНИЦУ, нужно ДВОЙКУ возвести в нулевую степень. ..) Чтобы получить ДВОЙКУ, нужно ДВОЙКУ возвести в первую степень. ...) Чтобы получить4, нужно двойку возвести в квадрат. ....) Для получения ВОСЬМЁРКИдвойку надо возвести в куб. 1 А 1 ....) Можно получать и 2, и 4, и 8 , возводя ДВОЙКУ в минус первую, в минус вторую и в минус третью степени. Полученные точки принадлежат графику функции у = ^ogr2X. Так же неторопливо отметим точки зелёного графика точками розового графика у = £о<710Х. Cog X и ограничимся тремя
свойства логарифмов 1. При всяком + основании отрицательные числа не имеют логарифмов. а) у = Сод X = аУ > 0 б) точки справа. 2. Логарифм самого основания = 1. бодаа = а =а 3. Логарифм ЕДИНИЦЫ = 0. а) узелок б) Сод^\ — 0—> а° — 1 4. При основании > 1 логарифмы чисел > 1 положительны. / логарифмы чисел < 1 отрицательны. 5. При а < 1 логарифмы чисел < 1 положительны. \ 1 логарифмы чисел > 1 отрицательны. 6. При а > 1 у БОЛЬШЕГО ЧИСЛА БОЛЬШИЙ ЛОГАРИФМ 6. При а < 1 у БОЛЬШЕГО числа МЕНЬШИЙ логарифм. N, > N2 ёод^х > £од^г n,<n2
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ зеркально перекликаются со свойствами показательной функции и потому воспринимаются наглядно просто. 1. У = (togji. => X = 3У > 0. При всяком положительном основании функция всегда положительна. Для наглядности: все точки графиков находятся в правой полуплоскости. 2. Содяа = 1 а1 = а. И это справедливо, т.к. любое число, будучи возведённым в П ЕРВУ Ю степень, остаётся неизменным. 3. СодД = 0 а° = 1. На координатной плоскости все кривые проходят через общую точку (1; 0), образуя УЗЕЛОК. 4. Получать числа, БОЛЬШИЕ единицы, при основании, БОЛЬШЕМ единицы, можно только при положительных показателях степени, и это иллюстрирует РОЗОВЫЙ участок координатной плоскости. ЗЕЛ ЁН Ы Й участок—для самостоятельного анализа. 5. При основании, М ЕНЫПЕМ единицы, это свойство зеркально преображается. 6,7. При а>1 мы имеем дело с ВОЗРАСТАЮЩЕЙ функцией, а Приа<1 -с УБЫ БАЮЩЕЙ. Если Nj>N2, то ^ograNj> £ogaN2. EcnHNj<N2,TO...
EcjihN,—аХ| N2=aX1 =>x,= &?gaNj =^’X2 N1»N2=aX1+X2 =>x1+x2=6og,(N!.N2) > огарифм ПРОИЗВЕДЕНИЯ = сумме логарифмов сомножителей. Ni:N2=aXlX2 ^х_-х2=^а(^) ^Логарифм ЧАСТНОГО = разности логарифмов делимого и делителя. N" = (ах)”= ахп=> пх = &>gaN” фл огарифм СТЕПЕНИ = произведению показателя степени на логарифм основания. фЛогарифм КОРНЯ = частному от деления логарифма подкоренного выражения на показатель корня
Самый ПРОСТОЙ и самый АКТИВНЫЙ лист Логарифмирование Перемножим два числа N, = Я 1 и N2 = a*2. Получим: Nj*N2= ЯХ|+Х2. НоХ! —3To^ogaNj, Х2— 3TO^ogaN2,a Х, + х2— это£oga(N,*N2). Стало быть, ^ogJNj.N,) = ^og^N, + 6ogaN2. Отсюда первое правило логарифмирования: ЛОГАРИФМ произведения равен СУМ ME логарифмов сомножителей. Теперь разделим эти же числа. N,:N2 = Ях'*2 => х, - х2= Содя ) Значит: £oga(Nj:N2) = £ograN, - £ogaN2. И сразу же ВТОРОЕ правило: ЛОГАРИФМ частного равен РАЗНОСТИ логарифмов делимого и делителя Возведём первое число в П-ю степень: Nn = (ах)" = ах"=> их = £ogaN". Новая связка: £?ogaN” = n»£?ogaN и ТРЕТИ Й вывод: ЛОГАРИФМ степени равен произведению показателя степени на логарифм основания. п/— и Извлечём кореньП-й степени из первого числа: \N = N . Логарифмируем это выражение, уже зная, чему равен ЛОГАРИФМ СТЕПЕНИ: &>g>/N=l&>gN=eogN. ЧЕТВЁРТОЕ правило: логарифм КОРНЯ равен частному от деления ЛОГАРИФМА подкоренного выражения на ПОКАЗАТЕЛЬ КОРНЯ. С каким восторгом мы, курсанты школы военных разведчиков, впервые осмыслили эти правила в первом послевоенном году и с каким вдохновением решали самые разные упражнения! Сегодня, спустя более 60 лет, это остаётся так же захватывающе интересно и останется им навсегда. Успехов вам, молодым!
aw= I ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО Логически: закроем а И 11 р Читаем! — Логарифм Т1 при основании И — это показатель, в который надо возвести И (открываем И), чтобы получить (открываем 'll) Аналитически: логарифмируем при основании И: Zog^c/g >а = £од$ъ логарифмируем при основании 'll: (Log.^(Logft. = Q,J>g^a Формула обратной связи логарифмируем при новом основании С: (^од^о^од^ = (Log^a Логарифм данного числа по СТАРОМУ основанию равен логарифму этого же числа по НОВОМУ основанию, делённому на логарифм СТАРОГО основания по НОВОМУ. йодса — модуль перехода
ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО и его несколько необычное доказательство. Закроем указательными пальцами крупно написанные Я и 1т и вслух прочитаем оставшееся: «Показатель, вкоторый нужно возвести Я, чтобы получить-^». Неторопливо прочитаем это ещё раз, и, называя Я, откроем Я, а называя &, откроем &. Всё красиво и просто становится само собой разумеющимся. После этого проведём доказательство со всеми, так сказать, математическими строгостями. Логарифмируем обе части равенства при основании Я. В левой части — логарифм степени. Он равен произведению показателя степени на логарифм основания. В правой части получаем (Logja e.ogaL&^>gaa = £oga& Но Сод яа=\, и теперь в бывшем равенстве можно поставить третью КРАСНУЮ чёрточку: ТОЖДЕСТВО! Логарифмируем наше тождество при основании И, заменив после этого правую часть ЕДИНИЦЕЙ: Cog£»Cogta = Сод^. Получаем чрезвычайно активную при решении упражнений формулу обратной связи: йо%а=&|9л В завершение снова логарифмируем тождество, но уже при новом основании С: Сод^Сод^ = Из него найдём /? £ п о _ Полученную формулу иногда называют «модулем перехода», хотя МОДУЛЕМ ПЕРЕХОДА к новому основанию служит ЛОГАРИФМ СТАРОГО ОСНОВАН ИЯ ПО НОВОМУ— £одса. Отсюда окончательно: Логарифм данного числа по СТАРОМУ основанию равен логарифму этого же числа по НОВОМУ основанию, делённому на логарифм СТАРОГО основания по НОВОМУ.
^Десятичные логарифг 71Ы \ 1) &д 10 =1 'I &7100 =2 V 2а10п = п£д10 = п _CalQQQ_=3_- J 2)6g0,l =1 'j &Д01 =2 J> gglO” = -n^gio = -П 6g0,00l = 3 ) ... Включая и / 3) 1<&?56,1<2 £g56,l = 1,... характеристика мантисса (трансцендентное) 4) —2<&?0,08<—1 &?0,08 = 2,... ... Включая и i 5) 2^40 = ^(4.10) = + вд 10 = Ci Мантисса не Следствие ^’Д2 °’"* едоэ2 —2,..к е30,0852 = 2,..ч юль целых! юль целых! 74 + 1 изменяется.
Десятичные логарифмы За основание логарифма, в принципе, можно принять любое число, и одним из них является число 10. 1. В этих случаях в записях основание не обозначается, а вместо &од пишут Сд. Так, к примеру, = 1. И это понятно: показатель, в который нужно возвести число 10, чтобы получить 10, равен ЕДИНИЦЕ. Точнотакже: gglOO = 2,а ^1000 = 3. И вообще: &71Оп=п&71О = п. Отсюда: «Десятичный логарифм числа, выраженного единицей с последующими нулями, содержит столько единиц, сколько нулей в изображении этого числа». 2. Так же просто определить десятичный логарифм десятичной дроби, выраженной единицей с предшествующими нулями. £д0,1 =Т; <?0О,(И = 2; £д0,001=3. И вообще: £д\0”=-\\Сд 10 ~ п Этот логарифм содержит столько отрицательных единиц, сколько нулей в записи этого числа, ВКЛЮЧАЯ И НОЛЬ ЦЕЛЫХ. Важная особенность: для упрощения дальнейших вычислений минус записывается НАД ЛОГАРИФМОМ и зачитывается «единица под минусом», «двойка под минусом» и так далее. 3. Вспомним ещё раз: &у10 = 1 ,a£?gd00 = 2. Стало быть, 1< 6,1 < 2, то есть &?56,1 = 1,... Целая часть этого логарифма называется ХАРАКТЕРИСТИКОЙ, и она содержит столько положительных единиц, СКОЛЬКО ЦИФР В ЦЕЛОЙ ЧАСТИ этого числа БЕЗ ОДНОЙ. Дробная часть десятичного логарифма — МАНТИССА. Это бесконечная непериодическая дробь из области ТРАНС ЦЕН ДЕНТН ЫХ Ч И СЕЛ. Точнотакже —2 < 2д0,08 < — 1, и, значит, ^0,08 = 2,... 4. ХАРАКТЕРИСТИКА десятичного логарифма десятичной дроби, содержащей НОЛЬ ЦЕЛЫХ, имеет столько ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦ, сколько нулей предшествует первой значащей цифре, ВКЛЮЧАЯ И НОЛЬ ЦЕЛЫХ. Вот только теперь становится понятным, почему МИНУС ставится над ХАРАКТЕРИСТИКОЙ; он относится только к ней. Мантисса же всегда положительна и минус не имеет к ней никакого отношения. В вычислениях с десятичными логарифмами отдельно производят действия с ХАРАКТЕРИСТИКАМИ иотдельнос МАНТИССАМИ. Потом результаты суммируют. Как видим, приписывание нулей к числу не изменяет МАНТИССЫ его десятичного логарифма. Изменяется только ХАРАКТЕРИСТИКА. СЛЕДСТВИЕ: ед8,52 =0,...*----- Йд852 = 2,..*------ Й0О,О852 = 2,..и--- Перенос запятой в числе изменяет только ХАРАКТЕРИСТИКУ его десятичного логарифма. МАНТИССА остаётся неизменной.
ПЕРВЫЙ ЛИСТ ГРУППОВОГО КОНТРОЛЯ 1. Арифметическая прогрессия. 2. Символика арифметической прогрессии. Возрастание, убывание. 3. Вывод формулы любого члена (неполная математическая индукция). 4. Трёхчлен Эйлера. Полная математическая индукция. 5. Вывод формулы любого члена (полная математическая индукция). 6. Вывод формулы суммы членов арифметической прогрессии. 7. Свойство любого члена арифметической прогрессии (доказательство). 8. Геометрическая прогрессия. 9. Символика геометрической прогрессии. Возрастание, убывание. 10. Вывод формулы любого члена (неполная математическая индукция). 11. Вывод формулы любого члена (полная математическая индукция). 12. Вывод формулы суммы членов геометрической прогрессии. 13. Свойство любого члена геометрической прогрессии (доказательство). 14. Сумма квадратов чисел натурального ряда (доказательство). 15. Бесконечные прогрессии. 16. Предел переменной (доказательство). 17. Формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (доказательство). 18. Основные теоремы о пределах. 19. Графики показательных функций. 20. Графическая интерпретация свойств показательной функции. 21. Первое свойство показательной функции (доказательство). 22. Второе свойство показательной функции (доказательство). 23. Третье свойство показательной функции (доказательство).
ВТОРОЙ ЛИСТ ГРУППОВОГО КОНТРОЛЯ 1. Возникновение логарифма. 2. Графики логарифмических функций. 3. Первое свойство логарифмов, графическая интерпретация. 4. Логарифм основания. Почему? 5. Логарифм единицы. Почему? Графическая интерпретация. 6. Четвёртое свойство логарифмов. Графическая интерпретация 7. Пятое свойство логарифмов. Графическая интерпретация 8. Возрастающие и убывающие логарифмические функции. 9. Логарифм произведения. Доказательство. 10. Логарифм частного (дроби). Доказательство. 11. Логарифм степени. Доказательство. 12. Логарифм корня. Доказательство. 13. Логарифмическое тождество. Логическое доказательство. 14. Логарифмическое тождество. Доказательство. 15. Формула обратной связи. Вывод. 16. Фор мула перехода к новому основанию. Вывод. Модуль перехода. 17. Десятичный логарифм числа, выраженного единицей с последующими нулями. 18. Десятичный логарифм дроби, выраженной единицей с предшествующими нулями. 19. Характеристика десятичного логарифма произвольного числа. 20. Мантисса. 21. Характеристика десятичного логарифма десятичной дроби, не содержащей целых единиц. 22. Случаи неизменности мантиссы. 23. Следствие.
МЕТОДИКА Подведём первые итоги. На 30 страницах изложен огромный материал повышенной сложности, не случайно отнесенный к изучению в ДЕВЯТОМ и ДЕСЯТОМ классах. Ещё более сложна его практическая часть, составляющая основу оценки знаний учащихся на вступительных экзаменах в высших учебных заведениях. По времени этот материал охватывает более двух учебных четвертей, а его практическая значимость пронизывает все учебники физико-математических и технических факультетов. В условиях же семинарских занятий при работе не только с учителями, но и с учениками ему отводится шесть дней, последний из которых — завершающий экзамен. Детализируем. За пять дней учащиеся воспроизводят по памяти все 12 листов с опорными сигналами и озвучивают их ИЗУСТНО по 4-5 человек с опорой на собственные записи, как это обычно делается на вступительных экзаменах, или на плакаты, позволяющие включать в ответы всю группу учащихся. Сам по себе этот вид контроля включает более 50 человек в устные ответы по всему материалу, но он не идёт ни в какое сравнение с работой по листам группового контроля, когда небольшие группы по 5-6 человек без предварительной подготовки дают развёрнутые ответы по всему материалу, сопровождая свои ответы чертежами и выкладками на доске перед всеми учащимися группы. Объём живой речи в этих условиях в несколько раз превосходит всё то, что происходит в школах на обычных уроках: идёт одновременный рассказ по всем ДВЕНАДЦАТИ листам, сложность и математическое содержание которых уже оценил читатель. Иными словами, проводится экзамен, на котором ребята излагают не отдельные темы, а ВЕСЬ ИЗУЧЕННЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ. Новизна этой работы требует от читателя глубокого проникновения в методику работы, и до конца разобраться в ней может только участник семинара. Не стоит только думать, что преимущественнотеория составляет основу работы. Параллельно с опросом по листам группового контроля идёт решение самых разнообразных упражнений, среди которых лишь малую часть составляют ознакомительные задания. Они в тексте опущены. Уже в ходе первого занятия группа переходит к решению конкурсных задач, составляющих реквизит письменных и устных экзаменов в высших учебных заведениях. Благо, разделы «Арифметическая и Геометрическая прогрессии» позволяют использовать РАСЧЕТНЫЙ МАТЕРИАЛ, доступный для всех учащихся. На следующих страницах представлены все задачи и примеры, которые были решены на одном из последних семинаров, и, если процесс работы над теоретическим материалом вызвал у некоторых читателей вполне извинительные сомнения, то какими же они станут после ознакомления с тремя страницами упражнений! Вот оно — непроходимое препятствие на путях рассуждения кабинетных мудрецов! Без семинара осмыслить это невозможно! Упредим ещё одно возможное заблуждение. Кому-то может показаться, что в решении этих упражнений удоски могут быть задействованы только 24 человека. Нелепость! Обратимся к примеру № 15. Быстро сменяя друг друга, к доске попеременно выходят ПЯТНАДЦАТЬ человек, выполняя подготовительные и завершающие действия над его изолированными одна от другой частями. Нетрудно представить себе уровень внимания ребят на этом участке урока. Ежесекундно к доске может быть приглашён КАЖДЫЙ, и КАЖДОМУ прививается заряд уверенности в своих способностях. И снова необычное: уравнение образца № 16 решают одновременно от начала до конца ТРИ ЧЕЛОВЕКА, и вместе с ними эти же упражнения самостоятельно решает КАЖДЫЙ ученик. Процесс все три записывают на большой доске условия примеров и создают паузу в 20 30 секунд, предоставляя возможность тем, кто сидит за партами, уйти вперёд. Гандикап! В работе весь класс! Приступили к работе ребятаудоски, итеперь сидящие в классе могут сравнивать свои результаты с неторопливыми выкладками на доске. Но с кем сравнивать, если эти трое вдруг разбредутся в своих преобразованиях? Так на уроке происходит игра, финал которой — исправление ошибок. Теперь уже не вызовет сомнения простой расчёт: при решении всех упражнений у доски побывают 150 человек! Суммируйте читатель! Вполне естественно, что при работе в таком ритме в тетрадях ребят не исключаются описки и ошибки, и потому ежедневным домашним напутствием является разъяснение: необходимо беловое переписывание всех решений в специальные тетрадки-решебники. Разъяснения нужны только на первых двух уроках, уже на третьем в обилии решённых задач и примеров каждому становится понятна многолетняя значимость таких тетрадей, беловые записи становятся психологическими убеждённостями каждого.
1. 5х+б + Зх+7 = 7 • 5х+4 + 19 • Зх+5 X х(1 + л/х) = 81 3.2х2'1-3х2 = зЛ1-2х2+2 х+2ЕЛ- 1-ЛГГГ 4.2,5 .0,4 = 51О-О,15 5. Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 5/3, а произведение третьего и четвёртого её членов равно 65/72. Найти сумму первых 17 членов этой прогрессии. 6. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой в частном получается 2, а в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии. 7. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1, сумма которой равняется 8/5, второй член равен —1,2. 10- £ogr2x + £одг4х + £ogr8x —11 11. £о0з(3 -8) —2-х 12. Сумма трёх первых членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найти первый член и знаменатель этой прогрессии. 13. Найти четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, у которой сумма крайних членов равна -49, а сумма средних членов равна 14. 14. Найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1, сумма которой равняется 6, а сумма первых пяти членов равна 93/16. ,s (27^3+5е°^49)(81^9-8^49 ,^°9'1625 _ • • 5 16. 3 • 52х4 - 2 • 5х 1 = 0,2 17. 9<х’5 - 27 = 6 • 3<х’5 X 4 + 2 л!х + 2 я т 18.5 -0,2 = 125х4 -0,04х’2
19 Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что а4 —а2= -45/32, а а5 — а4= —45/512. 20. Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа составят арифметическую прогрессию. Найти эти числа. 21. Найти трёхзначное число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же числами, но в обратном порядке. Если из цифры, выражающей число сотен, вычесть 4, а остальные цифры искомого числа оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию. 22. Знаменатель геометрической прогрессии равен 1 /3, четвёртый член этой прогрессии равен 1,54, а сумма всех её членов равна 121/162. Найти числочленов прогрессии. 23. Сд8 — Cg^lx + 6 = &7I6 — Сд(х — 2) 24.7е9Х-5е9х + ' = 3.5е9Х-'-\ЗЛе9Х-' Сборник задач для поступающих во ВТУЗы. М., 1988.
Несколько перефразируя Данте Алигьери, настоятельно посоветуем: ОСТАВЬ СОМНЕНЬЯ ВСЯК СЮДА ВХОДЯЩИЙ На следующей странице представлен полный список учащихся последней группы, и каждая фамилия — реальный ученик со всеми его родственниками. В ближайшие дни ребята получат эту книгу, так как работать на семинаре им довелось по первым издательским версткам, содержавшим значительное количество типографских ошибок. Списка в вёрстках, естественно, не было, а теперь читатель видит перед собой группу из 35 мальчиков и девочек, 21 из которых до начала занятий не имели ни малейшего представления о прогрессиях, показательных и логарифмических функциях — возрастом не приспели. Из 14 оставшихся более половины, как выяснилось, вообще имели смутное представление о МАТЕМАТИКЕ, с трудом определяя, как найти неизвестный делитель или неизвестное уменьшаемое, не говоря уже о действиях с алгебраическими дробями или о решении квадратных уравнений. Но кто из учителей-практиков ежедневно не сталкивается стакими фактами, ни в малой степени не представляя, что все эти трудности остались в давно прошедшем времени у С.С. Богоявленской, и Э.С. Ламакиной, Г.А. Псахье, В.Д. Корнеева, Л.Э. Глок и у тысяч учителей, прошедших школу Донецких семинаров.
СЛ Ы w w w © чо оо bJ Ю 04 сл к> w ts> о о 1—^ оо м сл Голубкова О. Кондратьева В. Тюрин Е. Яковлева К. Шепелев А. Шагов М. Шитов А. Чумарикова И. ЧемакинаА. Тронина А. Соловьёва И. Соддатченкова А. Смирнов А. Рогожин П. Петрова А. Петренко А. Осипова М. Мазурин Э. Ладина Е. Корочкин Д. Колесников С. Зубрилин А. 01 О1 О1 01 СЛ 01 01 СЛ 01 СЛ СЛ СЛ СЛ 01 01 01 01 СЛ СЛ 01 О1 О1 01 О1 01 01 СЛ 01 01 01 01 01 01 01 01 01 СЛ 01 01 01 СЛ 01 01 01 01 О1 СЛ 01 01 СЛ 01 СЛ 01 01 СЛ 01 01 СЛ 01 СЛ 01 01 СЛ 01 01 О1 01 О1 СЛ 01 01 СЛ СЛ СЛ СЛ 01 СЛ 01 СЛ 01 01 СЛ 01 01 СЛ 01 О1 01 01 О1 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 О1 О1 СЛ 01 СЛ СЛ 01 СЛ 01 01 СЛ СЛ 01 СЛ 01 СЛ СЛ 01 СЛ СЛ 01 О1 СЛ U1 сл сл О1 OI сл СЛ OI 01 сл сл О1 О1 01 01 О1 01 О1 О1 О1 СЛ 01 О1 01 СЛ 01 01 01 СЛ 01 01 СЛ 01 01 01 01 СЛ СЛ 01 01 01 01 01 01 О1 СЛ 01 01 СЛ 01 СЛ 01 01 СЛ 01 01 01 01 01 01 01 01 01 01 О1 oi сл сл сл О1 сл сл О1 О1 О1 OI 01 OI О1 01 О1 OI OI О1 OI OI О1 л л 01 01 сл сл О1 OI О1 сл сл U1 01 01 01 01 01 01 01 01 OI OI
U) N) — 1—4 о 40 ое сл w ts> № п/п Зайцева И. Губина А. Григорьев А. Гвозденко П. Величко Ал. Величко А-рей. Виданова Ю. Бондаренко В. Боброва А. Белкина Е. Бакшеев М. 1 Ахтариев М. Астахов А. Фамилия, имя СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ СЛ сл СЛ Арифметическая прогрессия СЛ СЛ СЛ СЛ сл СЛ СЛ сл СЛ СЛ сл сл СЛ Геометрическая прогрессия сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл Бесконечные прогрессии сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл Понятие о пределе сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл Свойства показательной функции сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл Логарифмическая функция сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл Первый лист группового контроля сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл Действия с логарифмами сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл Логарифмическое тождество сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл Второй лист группового контроля сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл сл Общая оценка гп 01 2007
В.Ф. Шаталов ИЗУСТНАЯ АЛГЕБРА Учебное пособие Компьютерная верстка — В.П. Давыдов Корректорская читка — Н.А. Ростовская Подписано в печать 16.03.2007 г. Бумага офсетная 80 г/м ГарнитураКемопС. Печать офсетная. Печатных листов 2,25. Тираж 100 экз. Заказ № 22/4 Отпечатано в типографии «Школа Шаталова» г. Москва, Рязанский пер., д. 3. (495)772-47-34,265-80-59, 265-80-42