и * л

Издательство
иностранной
литературы

*
TULLIO LEVI-CIVITA e UGO AMALDI

LEZIONI
di
MECCANICA RAZIONALE

VOLUME PRIMO
Cinematica—Principi e Statica
Seconda Edizione Riveduta
ed Aumentata

BOLOGNA

1 930
Т. ЛЕВИ-ЧИВИТА и У. АМАЛЬДИ

КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ

Том первый

КИНЕМАТИКА
ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
СТАТИКА

ЧАСТЬ ВТОРАЯ

Перевод с итальянского
д. и. КУТИЛИНА

Под редакцией
И. И. МЕТЕЛИЦЫ НА

1952

ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Москва

Глава IX

ТРЕНИЕ И СТАТИКА ТОЧКИ

§ 1.	Равновесие точки, опирающейся на поверхность

1.	В п. 11 гл. VII мы видели, что для равновесия материаль-
ной точки необходима и достаточно, чтобы равнодействующая
всех сил, действующих на эту точку, т. е. всех активных сил,
если речь идет о свободной точке, и активных сил и реакций,
если речь идет о несвободной точке, была равна нулю.

В случае несвободной точки из условия равновесия, которое
мы здесь привели, нельзя вывести какое-либо определенное заклю-
чение о поведении равнодействующей активных сил до тех пор,
пока не удастся прямым путем определить, каким образом ведут
себя реакции. Этого можно достичь лишь при условии, что в каж-
дом случае действие связей исследуется опытным путем.

Наиболее простыми из возможных для точки связей являются
следующие три:

а)	точка вынуждена двигаться по некоторой кривой (одна сте-
пень свободы);

б)	точка вынуждена двигаться по некоторой поверхности (две
степени свободы);

в)	точка вынуждена оставаться по одну сторону от некоторой
заданной поверхности (односторонняя связь—три степени свободы).

Рассмотрим теперь поведение реакций в этих различных слу-
чаях, начиная с третьего.

2.	Точка на горизонтальной плоскости. Опыт Кулона. Рассмо-
трим прежде всего тяжелое тело, которое можно уподобить мате-
риальной точке Р, опирающейся на твердую горизонтальную пло-
скость. Если на тело Р не действует никакая другая прямо при-
ложенная сила, кроме веса, то мы опытным путем устанавливаем,
что оно остается в покое, т. е. находится в равновесии. Так как
в этом случае тело подвергается только действию собственного
веса и реакции поддерживающей его плоскости, то на основании
условия равновесия мы заключаем, что реакция направлена прямо
противоположно весу, т. е. действует по нормали к плоскости
опоры.

Но это не всегда бывает так. Например, если мы попытаемся
переместить тяжелое тело по плоскости и для этого приложим
К нему некоторую силу, направленную горизонтально, то увидим,
Фиг. 1.

щая на другом конце В чашку

что при достаточно малой силе тело будет оставаться в равновесии,
и только после того, как сила превзойдет некоторую величину,
тело начнет двигаться. Наибольшая величина т0 горизонтальной
силы, которая, будучи приложена к телу Р, оставляет его непо-
движным, называется предельной силой тяги; всякая сила, превос-
ходящая т0 хотя бы на ничтожно малую величину, приведет
тело Р в движение.

Повседневный опыт учит, что предельная сила тяги зависит от
веса тела Р, от материала, из которого состоит тело, и от св'ойств
поверхности опоры. Для того
чтобы установить законы этой
зависимости, Кулон ’) произвел
следующий опыт.

Ящик без крышки, имеющий
форму параллелепипеда, был по-
мещен на горизонтальный стол,
по которому ящик мог сколь-
зить. В точке А к ящику (фиг. 1)
была привязана веревка, несу-
с гирями. Веревка проходила

по желобку блока С, расположенного так, чтобы часть ее АС была
горизонтальной. Мы уже имели случай говорить о том (гл. VII,
п. 13), что в первом приближении можно принять, что веревка
действует на ящик в точке А с горизонтальной силой, равной
общему весу грузов и чашки. При таком устройстве можно по
желанию изменять вес р тела, над которым производится опыт, и
натяжение т веревки.

Кулон производил такие опыты с ящиками и плоскостями опоры
из различных материалов. Определяя предельные силы тяги, соот-
ветствующие различным весам, он пришел к следующим выводам.

Предельная сила тяги для тела, опирающегося на горизон-
тальную плоскость: I) при прочих равных условиях пропорцио-
нальна весу тела', 2) зависит от физической природы поверх-
ностей тела и плоскости опоры и не зависит от их формы и
размеров.

Поэтому если р — вес тела, а т0 — соответствующая предельная
сила тяги, то отношение xjp не зависит ни от веса тела, ни от
формы и размеров поверхностей соприкосновения. Оно зависит

Шарль Огюстен Кулон родился в Ангулеме в 1736 г., умер в Париже
в 1806 г. После нескольких лет работы в качестве инженера вступил
в Инженерный корпус, был членом Института Франции и в последние годы
своей жизни генеральным инспектором Парижского университета. Кулону
принадлежат важные исследования по трению и другим видам пассивных
сопротивлений, а также по электромагнетизму. Достаточно напомнить, что
знаменитые законы элементарных электростатических и магнитостатических
действий носят его имя.
только от физической природы тяжелого тела и плоскости опоры
и, в частности, от большей или меньшей гладкости и твердости
поверхностей. Это отношение называется коэффициентом трения
(относящимся к материалу тела и опоры) и обозначается обыкно-
венно через f (начальная буква слов ,,frottement“ и „friction" —
„трение"). Таким образом, между весом, предельной силой тяги и
коэффициентом трения существует зависимость

Коэффициент трения всегда меньше 1; для шероховатых из-
вестняковых плит он может доходить до 0,75. Для дерева и для
наиболее распространенных металлов при такой степени обработки
их поверхностей, которая обычно достигается в машинах и при-
борах, коэффициент трения изменяется от 0,15 до 0,20. Он может
уменьшиться даже до 0,07, если позаботиться о том, чтобы не было
непосредственного сухого соприкосновения между поверхностями
твердых тел. Это достигается применением смазки. Заметим, на-
конец, что коэффициент трения, как отношение между двумя
силами, является отвлеченным числом, т. е. величиной безраз-
мерной.

3.	Точка, опирающаяся на плоскость. Из предыдущего пункта

следует, что для равновесия материальной точки Р, веса р, опи-
рающейся на горизонтальную плоскость и находящейся под дей-
ствием горизонтальной силы т, необходимо и достаточно, чтобы т

не превосходила предельной силы тяги. Таким
образом, обозначив через f коэффициент тре-
ния между материалами, из которых состоят
точка и плоскость опоры, будем иметь

fp-

Это заключение приводит к постановке
более общей задачи о равновесии точки,
опирающейся на любую поверхность, через
которую она не может пройти.

Для того чтобы сделать следующий шаг
в этом индуктивном обобщении, рассмотрим
сначала точку Р, опирающуюся вместо

горизонтальной плоскости на произвольно ориентированную пло-
скость л (фиг. 2). Предположим, что в данный момент материаль-
ная точка Р находится в соприкосновении с плоскостью под дей-
ствием известных активных сил, равнодействующая которых (вклю-
чающая и вес, если Р — тяжелая точка) есть F. Обозначим через п

внутреннюю нормаль к плоскости в точке Р, т. е. перпендикуляр
к «, направленный в ту сторону, куда связь не позволяет точке
двигаться. Если равнодействующая активных сил направлена
наружу, т. е. образует с внутренней нормалью п тупой угол, то
будем иметь Fn < 0. В этом случае связь вследствие своей одно-
сторонней природы не в состоянии как-нибудь ограничить свободу
точки, которая поэтому будет подчиняться действию силы F, как
если бы она была свободна. Отсюда как необходимое условие
для равновесия точки Р вытекает соотношение

^„>0.	(1)

Предполагая теперь, что это условие выполнено, рассмотрим,
наряду с проекцией Fn силы F на внутреннюю нормаль п, ее
составляющую F', параллельную плоскости л, и обозначим соот-
ветственно через N и Т абсолютные значения Fn и F'. Заметим,
что при выполнении условия (1) Fn совпадает и по знаку с N.
Тогда можно считать, что точка находится под действием двух
активных сил: силы Fn, направленной по внутренней нормали и
имеющей величину 2V, и силы F', параллельной плоскости к и
равной по величине Т. Таким образом, за исключением того об-
стоятельства, что здесь плоскость опоры не горизонтальна, точка Р
находится в условиях, совершенно аналогичных тем, которые были
рассмотрены выше, когда точка веса р опиралась на горизонталь-
ную плоскость и находилась под действием силы тяги т, парал-
лельной плоскости опоры. Роли веса р и силы т выполняются
здесь соответственно силами, имеющими величины N и Т. На осно-
вании того соображения, что результат действия силы не зависит
от способа, которым она осуществляется, мы можем считать, что
поведение точки Р будет точно таким же, как если бы плоскость
опоры была горизонтальной, а на точку Р действовали только
вес N и горизонтальная сила Т. Обозначая через f коэффициент
трения точки о плоскость, мы заключаем, что необходимым и
достаточным условием для равновесия [в предположении, что вы-
полняется соотношение (1)] будет

T<fN.	(2)

4.	Точка, опирающаяся на любую поверхность. Теперь остается
сделать еще один шаг и рассмотреть случай, когда тело, на кото-
рое опирается точка Р, ограничено любой поверхностью а. Какова
бы ни была равнодействующая F активных сил, действующих на
точку, опорная поверхность а, ограничивающая свободу перемеще-
ния точки Р, действует на точку только по небольшой площадке,
которую можно отождествить с элементом касательной плоскости
ков положении, занимаемом точкой Р. Отсюда следует, что усло-
вия равновесия совпадают с теми, какие имели бы место, если бы
эта касательная плоскость была изготовлена из того же самого
материала, из которого состоит тело, ограниченное поверхностью о.
Другими словами, если f есть коэффициент трения точки Р о по-
верхность a, a N и Т— соответственно абсолютные величины
составляющих силы F по внутренней нормали и по касательной
плоскости, то необходимые и достаточные условия равновесия вы-
разятся соотношениями

^п>0,	(1)

(2)

В частности, равновесие будет иметь место также и при T = fN\
в этом случае говорят, что имеется предельное состояние равно-
весия, так как, для того чтобы нарушить равновесие, достаточно
самого незначительного увеличения касательной составляющей
равнодействующей активных сил.

6. Угол и конус трения. Условиям (1) и (2) можно придать
вид, более удобный для приложений. Рассматривая угол, составляе-
мый равнодействующей активных сил с внутренней нормалью,
будем иметь равенство (фиг. 3)

у
tg.Fre=^

выполняющееся как по величине, так и по
знаку, так как речь идет не о тупом угле.
Условие равновесия (2) можно поэтому на-
писать в виде

tg Fn f

Фиг. 3.

или, обозначая через <р угол (меньший тт/4,
потому что f < 1), тангенс которого есть f,

Fn^,<o.

Называя угол <р углом трения, а геометрическое место полу-
прямых, выходящих из Р и образующих угол с внутренней
нормалью, внутренней полостью конуса трения, заключаем, что
для равновесия материальной точки, опирающейся на поверхность,
необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая активных сил
не лежала вне внутренней полости конуса трения.

Таким образом, наибольшее отклонение равнодействующей актив-
ных сил от внутренней нормали, совместимое с равновесием, опре-
деляется углом трения; это наибольшее отклонение определяет
предельные состояния равновесия.

Условия равновесия (1) и (2) накладывают ограничения на на-
правление и сторону равнодействующей активных сил F, а не на
ее величину. Это, очевидно, может иметь место только в идеаль-
ном предположении, что связь обладает абсолютной твердостью и,
не разрушаясь, может сопротивляться действию нормальных сил
произвольно большой величины. Практически же условия (1) и (2)
приложимы только до тех пор, пока величина N нормальной силы
не превосходит предельного значения, при котором связь разру-
шается.

6.	Понятие об угле трения оказывается особенно удобным при
рассмотрении равновесия тяжелой точки на наклонной плоскости.
Обозначая через а угол наклона плоскости к горизонту (фиг. 4),
р	мы непосредственно видим, что условие

равновесия сводится к следующему: угол
'L	наклона а не должен превосходить угла

----/--------трения (о.

7.	Поверхности вез трения. Коэффициент
фиг- 4.	трения f, всегда меньший 1, будет тем

меньше, чем более гладкими будут поверх-
ности соприкосновения. Известно (п. 2), что, применяя смазку, можно
уменьшить f до нескольких сотых долей единицы. Предельное
предположение /’=0 хотя и не может быть осуществлено нракти'
чески, все же заслуживает того, чтобы рассмотреть его отдельно.
При этом предположении можно получить (как в статике, так и
в динамике, как мы увидим в свое время) некоторые общие, очень
простые п убедительные теоретические результаты, которые не
слишком сильно расходятся с действительными явлениями. Поэтому,
по крайней мере в первом приближении, оно приложимо к этим
явлениям, тогда как точный подход к ним был бы очень сложен.
Если f — 0, то говорят, что соприкосновение осуществляется без
трения или также что поверхность а абсолютно гладкая. Конус
трения вырождается в нормаль, и соотношение (2) сводится к ра-
венству

Т = 0.	(2')

В этом случае для равновесия требуется, чтобы активная сила F
была нормальной; далее, на основании соотношения (1), необхо-
димо (и в то же время достаточно), чтобы эта нормальная сила
была обращена внутрь тела, представляющего собой опору для
точки Р.

Так, например, для тяжелой точки, опирающейся на абсолютно
гладкую поверхность, положениями равновесия будут только те
положения, для которых внутренняя нормаль вертикальна и на-
правлена вниз.

8.	Реакция и трение. На основании условий (1) и (2) можно
определить поведение реакции R, которую развивает поверхность
опоры а в случае равновесия, когда на точку действуют активные
силы, имеющие равнодействующую F. Мы знаем, что при равно-
весии выполняется равенство

F + Л — 0, или Л = — F,
т. е, уравновешиваются отдельно нормальные и касательные соста-
вляющие сил F и F и, в частности, совпадают соответственно их
величины.

Поэтому, принимая во внимание рассуждения предыдущих пунк-
тов и называя внешней полостью конуса трения полость, проти-
воположную относительно вершины внутренней полости, можно
утверждать, что реакция В, с которой материальная поверхность <з
действует на материальную точку Р, находящуюся с ней в со-
прикосновении, зависит от равнодействующей F активных сил,
действующих на точку Р. В случае равновесия реакция В всегда
направлена во внешнюю сторону поверхности а и лежит внутри
внешней полости конуса трения. Другими словами, ее соста-
вляющая по нормали к поверхности а имеет величину N, равную
величине нормальной составляющей силы F, а составляющая
в касательной плоскости к а по величине не может превзойти fN,
где f есть коэффициент трения между точкой и поверхностью.

В идеальном случае абсолютно гладкой поверхности касатель-
ная составляющая реакции равна нулю, или, другими словами,
полная реакция направлена по внешней нормали.

Касательная составляющая реакции JB в случае равновесия
называется трением скольжения, или статическим трением
(в предельном случае, когда T — fN, также предельной силой тре-
ния), или просто трением, если нет основания смешать его с тре-
нием качения, о котором мы еще будем говорить (гл. XIII, § 6).

9.	Одновременное действие многих односторонних связей. Прин-
ципы, установленные в предыдущих пунктах, позволяют исследовать
условия равновесия материальной точки Р, которая одновременно
соприкасается с двумя или большим числом материальных поверх-
ностей (представим себе, например, шарик, лежащий на полу и
прислоненный к одной или двум стенам). Каждой точке сопри-
косновения соответствует одна реакция: в действительности речь
идет о силах, приложенных к различным геометрическим точкам,
но так как Р рассматривается как материальная точка, эти раз-
личные точки приложения можно считать совпадающими.

Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы геометрическая
сумма всех реакций была направлена прямо противоположно актив-
ной силе F.

Поэтому в каждом отдельном случае достаточно исследовать,
возможно или невозможно, чтобы сумма векторов (реакций), лежа-
щих во внешних полостях различных конусов трения;, была равна —F.

В данном случае оказывается существенным следующее замеча-
ние: для каждой отдельной поверхности а, находящейся в соприко-
сновении с Р, необходимо предварительно исследовать, положительна
или отрицательна соответствующая проекция Fn на нормаль к а,
направленную внутрь. В первом случае действительно может
возникнуть реакция (лежащая, конечно, во внешней полости конуса
трения); во втором случае поверхность а не в состоянии развить
реакцию, и все будет происходить так, как если бы этой поверх-
ности не существовало.

Отсюда следует, что для равновесия необходимо, чтобы сумма
реакций тех поверхностей, которые действительно способны раз-
вить реакции, была равна —F (что будет происходить всякий раз,
когда сила F будет составлять острый угол с внутренней нормалью).

10.	В качестве простого примера представим себе материальную
точку Р, которая не может проникнуть сквозь две взаимнопер-
пендикулярные плоскости. Такими
плоскостями являются, например,
пол и вертикальная стена ком-
наты, представленные на фиг. 5
прямыми Ох, Оу пересечения их
р	с плоскостью чертежа. Точка Р

-----------------------— может принимать любое положение

।	внутри двугранного угла с нор-

I	мальным сечением хОу или на его

।	гранях, но не может переходить

[	через самые грани. При этом одно-

I?'	временное действие обеих связей

фиг>	может иметь место только тогда,

когда точка Р находится в сопри-
косновении с обеими плоскостями, так как иначе или не будет
действовать ни одна из двух связей (если Р не находится в сопри-
косновении ни с той, ни с другой плоскостью), или не будет дей-
ствовать только одна (если Р опирается только на одну плоскость).
Предполагая поэтому точку Р опирающейся на обе плоскости, на-
пример в О, подвергнем ее действию некоторой силы F (равнодей-
ствующей и поэтому включающей вес, если он должен быть принят
во внимание), которую предположим действующей в плоскости хОу.
Если сила F лежит внутри угла хОу, то ни одна из стенок не будет
препятствовать движению точки Р, которая будет подчиняться только
действию силы F, как если бы она была свободной.

Поэтому равновесие будет невозможно (если только сила F не
равна 0). Обозначим через Ох', Оу' продолжения осей Ох и Оу-
Если сила F направлена внутрь угла хОу' (ълъуОх'), то действует
только одна связь, именно плоскость Ох (шш соответственно Оу),
и мы возвращаемся к случаю, рассмотренному в предыдущих пунк-
тах. Если же сила F направлена внутрь угла х'Оу', то действуют
обе связи и равновесие обеспечено при всех условиях. Действительно,
если мы разложим силу F на ее составляющие F^, Fv>, то, каковы
бы ни были коэффициенты трения обеих плоскостей, силы Fxr,Fy>,
как нормальные к этим плоскостям, будут уравновешены каждая
соответствующей реакцией.

Заметим, что если обе плоскости абсолютно гладкие, то каждая

из них способна развить реакцию только в направлении нормали
(предыдущий пункт), поэтому реакции, действующие на точку Р

в рассмотренном выше случае, будут
однозначно определены как силы, равные
и прямо противоположные составляю-
щим Fx,, FVf активной силы. Но если
обе плоскости шероховатые (коэффи-
циенты трения их могут быть различ-
ными) и если мы выберем в плоско-
сти Ох'у' (фиг. 6) два каких угодно
направления г и s из точки О, не внеш-
них относительно конусов трения
обеих плоскостей, то силу F можно бу-
дет разложить по этим направлениям
на составляющие Fr и Fg. При этом
обе плоскости в состоянии развить реак-

ции, прямо противоположные этим двум составляющим. Однако,

поскольку направления г и в в обоих конусах трения выбраны про-

извольно, то ничего нельзя сказать о величине и направлении реак-
ций, развиваемых двумя отдельно взятыми плоскостями; можно
только утверждать, что их совместное действие должно обеспечить
равновесие.

11.	Эта неопределенность реакций кажется парадоксальной для
нашего представления о явлениях природы, согласно которому
мы допускаем, что во всяком вполне определенном явлении
каждое отдельное обстоятельство должно быть определено одно-
значно.

Мы сможем отдать себе отчет о причинах неудовлетворитель-
ности выводов, к которым мы пришли при рассмотрении разобран-
ной частной задачи, если вспомним, что при формировании нашего
теоретического представления о механических явлениях мы шли
путем последовательной идеализации экспериментальных данных,
пренебрегая теми обстоятельствами, сопутствующими изучаемому
явлению, которыми, как нам казалось, можно пренебречь в первом
приближении.

Так, в рассмотренном случае мы считали опорные поверхности
абсолютно твердыми и недефармируемыми. Если бы мы приняли
во внимание деформации (хотя бы они были и самыми незначи-
тельными), которые испытывают обе поверхности, будучи не абсо-
лютно твердыми, под давлением материальной точки, то смогли бы
определить обе реакции однозначно.
14

Гл. к. трений и статика точки

§ 2.	Независимость условий равновесия от способа
осуществления связей

12.	В предыдущем параграфе мы предполагали, что односторон-
няя связь (или каждая из односторонних связей), наложенная на
материальную точку Р, осуществляется соприкосновением с поверх-
ностью тела, которое действительно существует, однако на практике
связь этого типа может быть осуществлена также и другими спо-
собами; например, точка Р, связанная посредством гибкой и нерас-
тяжимой нити заданной длины I с неподвижной точкой О, может
двигаться только внутри или по поверхности сферы с центром О и
радиусом I (эта сфера материально не существует).

Хотя условия равновесия материальной точки Р были опреде-
лены нами в предположении, что односторонняя связь осуществляется
первым способом, однако можно считать, что эти условия приме-
нимы в значительно более широких пределах. Действительно, при
изучении статики произвольной материальной системы мы увидим
(ср. гл. XV, § 1), что, по крайней мере в идеальном случае, когда
можно отвлечься от трения и всякого рода пассивных сопротивле-
ний, механическое действие связей совершенно не будет зависеть
от способа их осуществления. В действительности это следствие из
основного принципа теоретической механики (принципа виртуаль-
ных работ), который будет сформулирован ниже, является лишь
приближенным законом. Однако этот закон оказывается полезным,
по крайней мере как руководящее правило, также и в реальных
случаях, в которых приходится учитывать пассивные сопротивле-
ния. Все же в каждом отдельном случае необходимо заботиться
о его проверке путем непосредственного исследования физических
условий задачи и, если окажется необходимым, изменить его в ка-
ких-нибудь деталях.

В этом смысле и с указанными оговорками мы можем считать,
что для материальной точки, подчиненной произвольной связи, не
позволяющей точке переходить через поверхность а, условия равно-
весия всегда выражаются соотношениями

Fn>0,	(1)

T<fN.	(2)

Словами эти условия можно выразить так: для равновесия ма-
териальной точки Р необходимо и достаточно, чтобы равнодействую-
щая F активных сил не находилась вне той полости конуса трения,
которая имеет осью внутреннюю нормаль к о, т. е. нормаль, на-
правленную в ту сторону, куда связь не позволяет проникнуть
точке Р.

В предельном случае отсутствия трения, который физически
невозможен, но часто может служить в качестве приближения, не-
обходимо и достаточно, чтобы сила Е действовала по внутренней
нормали к поверхности а.

13.	Применим принцип независимости, изложенный в предыду-
щем пункте, к частной задаче.

Рассмотрим тяжелое колечко Р, скользящее вдоль гибкой и не-
растяжимой нити, закрепленной на концах А и В, и предположим,
что длина I нити больше длины отрезка АВ (фиг. 7). Требуется

определить положения равновесия колечка.

Геометрическим местом возможных поло-
жений колечка Р в какой-нибудь плоскости,
проходящей через А ъ В, при натянутой
нити будет эллипс, так как в каждом из
этих положений должно выполняться равенство
АР РВ — 1; фокусами этого эллипса бу-
дут точки А и В, а большая ось будет
равна I; возможными же положениями колечка
в той же самой плоскости при ненатянутой
нити будут внутренние точки указанного
эллипса. Поэтому, если мы представим себе
рассматриваемую плоскость вращающейся во-

Фиг. 7.

круг АВ, то колечко будет точкой, подчиненной связи, которая
позволяет ей двигаться внутри или на поверхности эллипсоида вра-
щения Е с фокусами А и В и с большой осью, равной I.

Очевидно, что внутри эллипсоида Е для колечка не существует
положений равновесия, так как, когда нить не натянута, колечко
можно рассматривать как свободную тяжелую точку. Поэтому поло-
жения равновесия надо искать только на поверхности эллип-
соида.

Если допустить, что нить очень гибкая и что колечко может
скользить вдоль нее, не встречая заметного сопротивления, мы будем
иметь случай, очень близкий к случаю связи без трения. При пол-
ном отсутствии трения мы должны искать те точки на поверхности
эллипсоида, в которых вес направлен по нормали к эллипсоиду,
в ту сторону, куда связь не допускает перемещения, или, другими
словами, — те точки на Е, в которых нормаль, ориентированная
наружу, направлена по вертикали вниз. Так как нормаль к поверх-
ности вращения всегда лежит в проходящей через нее меридианной
плоскости, то возможные положения равновесия точки Р будут на-
ходиться на эллипсе, по которому эллипсоид пересекается с верти-
кальной плоскостью, проходящей через АВ. На этом эллипсе суще-
ствуют две точки, в которых нормаль вертикальна, а именно, точки,
где касательная горизонтальна (самая верхняя и самая нижняя
точки эллипса); из этих двух точек только нижняя является поло-
жением равновесия колечка, так как только в ней внешняя нор-
маль будет направлена вниз.
§ 3.	Несвободная точка, вынужденная оставаться
на поверхности или на кривой

14.	Рассмотрим материальную точку Р, вынужденную оставаться
на заданной поверхности о (двусторонняя связь). Физической мо-

делью, в которой осуществляется такого рода связь, может служить
маятник, прикрепленный к твердому стержню (весом которого можно
пренебречь), подвешенному на сферическом шарнире. Ту же самую
связь можно осуществить и другими способами, например посред-
ством двух материальных поверхностей У, о", находящихся в не-
посредственной близости кас той и другой стороны от нее (фиг. 8)

и удерживающих точку

Р в промежутке между ними при наличии
незначительного зазора между точкой и
одной из поверхностей. Этим осущест-
вляется геометрическая связь, выражаю-
щаяся в том, что точка не может покинуть
поверхности о.

Мы легко придем к условиям равновесия
для обоих этих случаев, руководствуясь прин-
ципом независимости, приведенным в п. 12.

Таким образом, нашу двустороннюю связь можно рассматривать
как осуществленную совместным действием двух односторонних свя-
зей, определяемых двумя материальными опорными поверхностями а'
и а", каждая из которых не позволяет точке Р сойти с поверхно-
сти а в одну из двух сторон. Из этих двух односторонних связей

в действие вступает та или другая, в зависимости от того, в какую
сторону относительно плоскости, касательной к а в точке Р, дей-
ствует приложенная к Р активная сила F (равнодействующая).
Вводя также и в этом случае коэффициенты трения (которые мы
будем считать одинаковыми для У и а") и называя конусом трения
совокупность двух полостей конуса, относящихся к двум односто-
ронним связям, образующим двустороннюю связь, мы можем выска-
зать следующее заключение: для того чтобы материальная точка,
вынужденная оставаться на какой-нибудь поверхности, находи-
лась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы действующая
на нее сила не была внешней для конуса трения.

В частности, если поверхность абсолютно гладкая, то необхо-
димо и достаточно, чтобы сила была направлена по нормали
к поверхности (в том или в .другом направлении).

Таким образом, при равновесии реакция однозначно опреде-
ляется как сила, прямо противоположная действующей силе.

15.	Займемся, наконец, определением условий равновесия для
точки, вынужденной оставаться на заданной кривой с.

Для этой цели воспользуемся еще раз постулатом о независи-
мости (п. 12) и обратимся к случаю шарика, скользящего внутри
трубки. Если связь осуществляется таким образом, то, какова бы
ни была активная сила F, шарик всегда будет опираться только
на элемент поверхности (элементарную площадку) стенки трубки,
так как между шариком и трубкой предполагается незначительный
зазор, а, с другой стороны, всякая элементарная площадка стенки
трубки при подходящих условиях действия силы может оказаться
опорной площадкой. Поэтому все будет происходить так, как если
бы точка могла удерживаться всеми поверхностями а, проходящими
через с, из которых в действие вступает та или другая, в зависи-
мости от действующей силы.

Спроектируем теперь активную силу F на касательную к кри-
вой с и на плоскость, нормальную к с, и обозначим через Т и N
абсолютные величины полученных таким образом составляющих,
а через п — линию действия нормальной составляющей.

Из всех поверхностей, проходящих через с, выберем одну, для
которой п является нормалью, и заметим, что если удовлетворяются
условия равновесия для точки Р в предположении, что она может
двигаться только по этой поверхности, то тем более будут удовле-
творяться условия равновесия для реального случая, в котором Р
может подвергаться действию других связей.

Отсюда следует, что если f есть некоторый коэффициент, кото-
рый может зависеть от того, какая из поверхностей о вступает
в действие, то соотношение

T<fN

является достаточным условием для равновесия точки Р.

Геометрическая интерпретация этого условия очевидна. Если,
как обычно, <? есть угол трения (tg<? = f), то условие Т ^.fN вы-
ражает, что при равновесии линия действия силы F должна соста-
влять с касательной к кривой с угол, не меньший, чем к/2— <?, т. е.
должна лежать вне или на поверхности конуса Г, ось которого
совпадает с касательной, а половина угла при вершине равна до-
полнению угла трения до прямого угла (конуса прямых, проходя-
щих через точку Р и образующих с нормальной плоскостью к кри-
вой угол <р).

16.	Докажем обратное, ограничиваясь случаем, когда f имеет
одно и то же значение для всех предполагаемых поверхностей, про-
ходящих через кривую с.

Речь идет о том, чтобы доказать, что если точка Р под дей-
ствием активной силы F находится в равновесии на кривой, то вы-
полняется соотношение

T<fN,

т. е. сила F лежит вне или на поверхности конуса Г.
Действительно, обращаясь опять к шарику, скользящему в трубке,
мы видим, что равновесие может существовать только благодаря
тому, что шарик удерживается элементом площади стенки трубки.

Далее, если бы выполнялось неравенство Т > /N, т. е. сила
была внутренней относительно конуса Г, она составляла бы с каса-
тельной угол, меньший угла тт/2 — <р, и потому отклонялась бы
больше чем на угол <р от нормальной плоскости. В этом случае ни
одна из поверхностей, проходящих через с, не была бы в состоя-
нии воспрепятствовать движению точки Р, так как нормали ко всем
таким поверхностям составляли бы с F углы, большие угла трения.

Мы Приходим, таким образом, к следующему правилу: Для
равновесия материальной точки Р, вынужденной оставаться на
кривой, необходимо и достаточно, чтобы абсолютное значение Т
касательной составляющей активной силы не превосходило неко-
торой доли fN (f < 1) от абсолютного значения N нормальной
составляющей, или иначе, чтобы активная сила не была внутрен-
ней для некоторого кругового конуса, имеющего осью касательную.

В случае связи без трения должно быть Т = 0, т. е. сила дол-
жна быть нормальна к кривой.

§ 4. Статическое понятие об устойчивости равновесия

17.	Обратимся опять к условиям равновесия точки, опирающейся
на шероховатую поверхность:

^„>0,	(1)

T<fFn.	(2)

На основании соотношения (2) разность fFn— Т, неотрицатель-
ная в статических условиях и равная нулю только в предельном
состоянии равновесия, определяет наибольшую величину добавочной
касательной силы, которая без нарушения равновесия может быть
присоединена к первоначальной силе F. Предположим, что Fra>0.
Отношение

fFn-T

Fn ’

которое в силу условия (2) никогда не бывает отрицательным,
определяет наибольшее значение добавочной касательной силы,
отнесенной к единице нормальной составляющей активной силы,
при котором еще возможно равновесие. Оно принимается за меру
устойчивости рассматриваемого состояния равновесия и позволяет,
очевидно, сравнивать случаи равновесия, соответствующие различ-
ным значениям Fn и f.

18.	Для статических задач, отличных от только что рассмотрен-
ной (точка, опирающаяся на шероховатую поверхность), вообще
говоря, еще не определено аналогичное количественное понятие
устойчивости; однако всегда возможна качественная оценка, позво-
ляющая разделять различные состояния равновесия на устойчивые
и неустойчивые.

Основываясь на физической интуиции, мы будем называть со-
стояние равновесия материальной точки (или системы материаль-
ных точек) устойчивым, если при любом, достаточно малом воз-
мущении равновесия (смещение точки или системы из положения
равновесия в какое-нибудь другое, достаточно близкое положение,
совместимое со связями) силы, действующие на точку (или систему),
стремятся возвратить ее в положение равновесия.

Выясним, какой смысл следует придавать этому стремлению
сил возвратить точку (или систему) в положение равновесия. Для
этой цели обратимся к понятию о работе и, как это вполне есте-
ственно, будем считать, что силы стремятся сообщить данное пе-
ремещение или препятствуют этому перемещению, в зависимости
от того, будут ли эти силы в своей совокупности силами движу-
щими (положительная работа) или силами сопротивления (отрица-
тельная работа). Таким образом, для того чтобы различить, стре-
мятся или нет некоторые силы сообщить точке (или системе)
заданное перемещение, достаточно обратить внимание на знак
полной работы, которую совершили бы силы на этом перемещении.

Отсюда вытекает следующее точное определение понятия об
устойчивости равновесия (в статическом смысле) ’).

Пусть Р есть материальная точка (или одна из материальных
точек, составляющих данную систему) и пусть F—сила, дейст-
вующая на Р в заданном положении равновесия М. Рассмотрим
какое-нибудь перемещение, совместимое со связями, которое со-
вершает точка Р (или система) из положения равновесия М в не-
которое близкое положение М'~, пусть L есть полная работа сил,
действующих на точку Р (или на точки системы) при переме-
щении из М' в М. Если в достаточно малой окрестности поло-
жения равновесия работа L на всяком перемещении, совместимом
со связями, оказывается положительной, то равновесие называется
устойчивым.

Если существует хотя бы одно перемещение, для которого
П<0, то равновесие называется неустойчивым-, если же Z = O
для любого перемещения, то равновесие называется безразличным.
При Z>0 равновесие часто тоже называют устойчивым, хотя
правильнее было бы называть его только не неустойчивым.

Эти определения предполагают, что сила F известна не только
для данного положения равновесия М, но также и для всякого

*) В динамике мы увидим, как можно углубить учение об устойчи-
вости равновесия, рассматривая движение, которое вызывают данные ак-
тивные силы, когда равновесие будет (слегка) нарушено.
другого положения М', достаточно близкого к данному и совме-
стимого со связями.

Как действует сила F вне рассматриваемого положения равно-
весия, можно судить по определению силы, если речь идет о по-
зиционных силах; в других же случаях необходимо предварительно
учесть особые обстоятельства, которые могут оказывать влияние
на поведение силы.

19.	Применим теперь результаты, полученные в предыдущих
пунктах, к некоторым конкретным примерам, в которых речь будет
итти о позиционных и, в частности, о консервативных силах, т. е.
о таких силах, для оценки работы которых при переходе из лю-
бого положения М7 в положение равновесия М нет 'необходимости
указывать путь перехода.

а)	Тяжелая точка, удерживаемая на гладкой поверхности.
В положении равновесия М реакция поверхности а должна быть

равна и противоположна весу; следовательно, она направлена по
вертикали. В то же время, так как трение исключается, реакция
должна быть направлена по нормали к поверхности, т, е. перпен-
дикулярно к касательной плоскости к а в М.

Если предположим, что речь идет о выпуклой поверхности, то
а в окрестности М будет лежать целиком выше или целиком ниже

Фиг. 9.

упомянутой касательной
плоскости (фнг. 9).

Перемещения, подле-
жащие рассмотрению,
очевидно, должны быть
такими, которые допу-

скаются связью, т. е. та-
кими, в результате которых точка Р переходит из положения равно-
весия М в другое положение М', постоянно оставаясь на поверх-
ности а. Реакция поверхности не будет при этом совершать работы, так
как она всегда перпендикулярна к перемещению. Поэтому доста-
точно рассмотреть только работу силы тяжести. В первом случае
оказывается, что всякая точка М' поверхности а, достаточно
близкая к М, будет находиться выше М. Отсюда следует, что на
всяком перемещении М'М, совместимом со связями, активная сила
(вес точки Р) будет совершать существенно положительную работу
и потому состояние равновесия будет устойчивым.

Во втором случае аналогичная работа будет отрицательной и
равновесие, следовательно, будет неустойчивым.

Если поверхность опоры а представляет собой горизонтальную
плоскость, то работа силы тяжести будет равна нулю на всяком
перемещении М'М, и потому мы будем иметь безразличное равновесие.

б)	Материальная точка, притягиваемая к грани куба силой,
перпендикулярной к грани и возрастающей вместе с расстоянием.
Если допустить, что для всякой пары противоположных граней
закон притяжения является одним и тем же, то центр куба будет,
очевидно, положением равновесия.

Далее легко видеть, что мы имеем здесь дело с устойчивым
равновесием. Действительно, рассмотрим любое положение М'
внутри куба. Так как притяжения возрастают вместе с расстоянием,
то между силами, происходящими от любой пары противоположных
граней, преобладать будет всегда та, которая относится к более
удаленной грани.

Отсюда следует, что когда точка возвращается из М' в М, она
следует в сторону большего притяжения и сумма работ сил при-
тяжения к двум противоположным граням будет положительна.
Вследствие этого и полная работа шести сил при переходе из лю-
бого положения к положению равновесия будет положительной.

в)	Свободная точка, находящаяся под действием каких угодно
консервативных сил.

Пусть U (х, у, г) есть соответствующий потенциал, М — поло-
жение равновесия и М'— какое-нибудь другое близкое к М поло-
жение. Обозначим через Um, Um- соответствующие значения, при-
нимаемые функцией U в точках М я М'. Для того чтобы равновесие
в точке М было устойчивым, требуется, чтобы, согласно нашему
определению, работа, совершаемая силой при переходе точки из
любого положения М' (достаточно близкого к 3/) в М, была по-
ложительной; требуется, следовательно, чтобы было

Uja — Uji’ > О

для всякой точки М', принадлежащей к некоторой окрестности
точки И (и не совпадающей с М).

Это можно выразить так: потенциал U должен иметь в поло-
жении М максимум. Легко видеть, что, наоборот, если потенциал U
имеет в точке М максимум, то этому положению соответствует
состояние устойчивого равновесия.

Действительно, мы имеем в этом случае состояние равновесия,
так как существование максимума, как известно из анализа, пред-
полагает обращение в нуль первых производных dUjdx, dUjdy,
dCjdz, т. е. проекций силы. Далее, равновесие будет устойчивым
в силу неравенства Um—Um’>0, определяющего максимум.

УПРАЖНЕНИЯ!)

1.	Принимая для f крайние значения, указанные в п. 2, найти пределы
между которыми может изменяться угол трения <р (от 4° до 37° в круглых
цифрах).

1) В этих упражнениях для краткости мы употребляем выражение:
«сила, которая может сдвинуть", вместо точного выражения: «сила, которая
может привести точку в условия предельного равновесия".
2.	Тяжелое тело покоится на шероховатой горизонтальной плоскости.
Угол трения равен tp. Доказать, что наименьшая сила, которая может сдви-
нуть тело, образует угол tp е плоскостью.

3.	Тяжелое тело опирается на наклонную плоскость. Какова будет наи-
меньшая сила tj, достаточная для того, чтобы сдвинуть тело вверх, в пред-
положении, что сила действует по линии наибольшего наклона? Наоборот,
какова будет наименьшая сила т2, направленная в противоположную сторону,
под действием которой тело начнет опускаться?

Во втором случае, конечно, предполагается, что угол трения <р превос-
ходит угол наклона а, так как в противном случае движение точки вниз
началось бы без действия какой бы то ни было силы, — р (/'cos a -ф-
+ sin а), т2 =т> (/'cos а — sin а), где р— вес тела, f — коэффициент трения.]

4.	В дополнение к предыдущему упражнению определить величину и
направление наименьшей добавочной силы, которая может сдвинуть тело.
(Сила лежит в вертикальной плоскости, содержащей линию наибольшего
наклона к горизонту, и направлена перпендикулярно к той образующей
конуса трения, которая составляет наименьший угол с вертикалью; величина
силы равна р sin (ср — а).]

5.	Тяжелое, тело весом р опирается на наклонную плоскость (угол на-
клона а больше угла трения <р). Показать, что наименьшая горизонтальная
сила, под действием которой тело может оставаться в равновесии, равна
р sin (а — tp).

6.	Тяжелый шарик может двигаться внутри трубки, изогнутой по окруж-
ности и расположенной в вертикальной плоскости: коэффициент трения
шарика о трубку есть f. Какова та часть трубки, внутри которой шарик
может оставаться в равновесии?

7.	Тело весом в 120 к» опирается на внутреннюю поверхность полой
сферы. Оно находится в равновесии в некотором положении, смещенном
на 20° от самой низкой точки (в том смысле, что радиус сферы, проходя-
щий через положение равновесия, составляет с вертикалью угол в 20°).
Коэффициент трения f равен 0,56- Вычислить наименьшее усилие т, направ-
ленное к самой низкой точке, при помощи которого можно сдвинуть тело
(с = 20,43 т).

8.	Иллюстрировать геометрически количественную меру устойчивости
(fFn — T)/Fn, указанную в п. 17. Достаточно для этого ввести угол ф, кото-
рый активная сила F составляет с нормалью п, и заметить, что предыдущее
отношение принимает тогда чисто геометрический вид tg ? — tg ф.
Глава X

ГЕОМЕТРИЯ МАСС

1.	В главах VII—IX мы занимались исключительно материаль-
ной точкой. Чтобы распространить полученные результаты на какие
угодно материальные тела, прежде всего необходимо определить
также и для этих тел понятие о массе. С этим понятием в каче-
стве необходимой предпосылки для будущих механических выводов
непосредственйо связывается ряд теорем, независимых от понятий
времени и силы, которые обычно объединяют под названием гео-
метрия масс.

§ 1. Масса тела

2.	Масса материальной точки была определена как отноше-
ние р[д веса точки к ускорению силы тяжести (гл. VII, п. 14).
Это отношение имеет определенный физический смысл также и
для какого угодно тела, лишь бы размеры тела были таковы, чтобы
внутри занимаемой им области ускорение д оставалось приблизи-
тельно постоянным. Как и в случае материальной точки, это отно-
шение веса тела к ускорению силы тяжести будет приниматься за
существенную характеристику тела, неизменную при всяком его
движении и всякой деформации.

Оно является практическим определением массы тела.

3.	Из опыта мы убеждаемся, что вес какого-нибудь тела С,
разделенного каким угодно способом на части, всегда равен сумме
весов отдельных частей. Таким образом, из определения предыду-
щего пункта следует, что масса обладает аддитивным свойством,
в силу которого масса какого-нибудь тела равна сумме масс его
частей, каким бы способом ни представлять себе тело разбитым
на части.

Поэтому, в частности, если мы представим себе тело С разде-
ленным на части, которые можно уподобить материальным точкам,
то сумма масс всех этих точек не будет зависеть от способа раз-
деления.

Обратно, если на основании только что указанных опытных
данных мы допустим в виде постулата, что, как бы мы ни раз-
бивали тело на отдельные материальные точки, для суммы масс
этих точек всегда получится одно и то же число, то можно будет
определить массу тела как сумму масс отдельных материальных
точек, на которые его можно представить себе разделенным по
какому-нибудь закону.

Это новое определение, так как оно основывается на понятии
массы материальной точки, сообщает понятию массы тела характер
универсальности (или независимости от каких-либо соображений,
относящихся к земному полю тяготения), который мы имели в слу-
чае одной материальной точки (гл. VII, п. 16).

§ 2. Плотность

4.	Для того чтобы выразить аналитически закон распределения
массы внутри тела, необходимо ввести понятие о плотности.

Тела физически однородные (вода, литое железо и т. п.) хара-
ктеризуются тем свойством, что веса (измеренные в одном и том
же месте) их частей пропорциональны соответствующим объемам.
Следовательно, мы имеем пропорциональность (независимо от того,
в каком месте на Земле мы находимся) между массами различных
точек однородного тела и соответствующими объемами.

Поэтому, если мы обозначим через 8 объем любого однородного
тела, через т его массу и через A;S' и Дт объем и массу какой-
нибудь его части, то будем иметь

Д»г т

это отношение численно равно массе единицы объема рассматри-
ваемого тела. Оно называется плотностью тела С. Обозначая плот-
ность через р, будем иметь

это равенство справедливо, каков бы ни был объем рассматривае-
мой части тела С. Поэтому, предположив, что рассматриваемая часть
тела стягивается к точке, так что ее объем и масса стремятся
к нулю, в пределе будем иметь

Пользуясь языком анализа бесконечно малых, мы можем сказать,
что р есть отношение массы бесконечно малой частицы нашего
тела к соответствующему объему. Из соотношения (1) имйем

dm = р dS,	(2)

так что массу т тела С можно представить в виде интеграла

J dm,

8
распространенного на всю область 8 пространства, занятую телом С.
На основании равенства (2) этот интеграл не отличается от инте-
грала

J*pd;S'

8

или от интеграла

u С dS = у.8,

s

что согласуется с данным выше определением величины р{р = т/8).

Эти естественные замечания подсказывают нам обобщение, ко-
торое в то же время соответствует нашей физической интуиции
и духу анализа бесконечно малых. Мы можем представить себе,
что тело С состоит не из однородной материи, а из смеси раз-
личных веществ; идеализируя, мы можем предположить, что мате-
риальная структура тела С изменяется от точки к точке непре-
рывно. Тогда отношение

массы некоторой частицы тела С к соответствующему объему
{средняя плотность тела С в объеме Д/S') будет изменяться при
изменении частицы. Предположим, что когда мы заставляем
объем Д£ стремиться к нулю, стягивая его к одной из его точек Р,
отношение (3) стремится к определенному конечному пределу

Н =

lim

Д8->Р

Am

(4)

88

Этот предел называется плотностью тела в точке Р; мы будем
предполагать, что плотность р. представляет собой конечную и, во-
обще говоря, непрерывную ’), а поэтому, в частности, интегри-
руемую функцию от точек области 8, занятой телом.

Отправляясь от этой функции р., мы получим массу т в виде-
интеграла от р., распространенного на область 8. Для этой цели
достаточно принять во внимание, что равенство (4), обозначив
через е некоторую величину, стремящуюся к нулю вместе с Д8,.
можно написать в виде

Ат
дУ

= p-j-s

или в виде

Дт = р, &8 е Д8;

(5)

*) Этим мы хотим сказать, что может существовать лишь конечное число'
поверхностей, при переходе через которые функция испытывает разрывы.
отсюда следует, что

т = 2 (11 s А-S'),

где сумма распространяется на весь объем S, занятый телом С.
Так как это соотношение справедливо при любом разделении тела
на части, то достаточно будет заставить стремиться к нулю по
какому угодно закону объем Д# каждой отдельной частицы, чтобы
на основании известных соображений из анализа получить

т = J [1 (х, у, г) dS,	(6)

s

где dS означает элемент объема.

Элемент интеграла (6), распространенного на область трех
измерений, можно представить на основании формулы (5) (по край-
ней мере, до бесконечно малых высшего порядка) в виде

dm = y.(x, у, s)dS.	(7)

Этот материальный элемент (бесконечно малая масса, распреде-
ленная в бесконечно малом объеме) является чисто математическим
понятием; но так как при изложении принципов механики мате-
риальной точки и при дальнейших выводах мы всегда отвлекаемся
от абсолютной величины частицы, которую называем точкой,
и считаем, что эти принципы и выводимые из них следствия спра-
ведливы для частиц сколь угодно малых размеров, то они могут
считаться имеющими силу и в пределе, а следовательно, и для
только что рассмотренных материальных элементов.

Заметим, что равенство (6) при постоянном у- (т. е. при у-,
не зависящем от х, у, г) дает

т — р. j* dS= pS,
в

откуда мы снова можем найти выражение для плотности р одно-
родного тела, из которого исходили.

5.	Материальные поверхности и линии. Рассмотрим, в частности,
тело, одним измерением которого можно пренебречь, например
пластинку или мембрану или стенки сосуда столь малой толщины
(по сравнению с другими размерами), что занятое ими простран-
ство можно приближенно определить посредством куска поверхно-
сти. Такое тело называется материальной поверхностью.

Аналогично, материальной линией называется тело, уподобляе-
мое (в отношении занимаемого пространства) геометрической линии,
например нить, тонкий стержень, тонкое кольцо (с таким отвер-
стием, чтобы его нельзя было рассматривать как одну материаль-
ную точку).
Обозначим через /S' геометрический образ (поверхность или ли-
нию), соответствующий некоторой материальной поверхности или
линии. Далее, введем условие, посредством которого всякому эле-
менту AS поверхности или линии соответствует некоторый элемент АС
тела. Самый простой и естественный способ установить такое соот-
ветствие заключается в следующем:

1)	В случае поверхности элементу Д/S' (фиг. 10) ставят в соот-
ветствие часть тела, заключенную внутри цилиндроида, который
образован нормалями к поверхности 8, восставленными из отдель-
ных точек контура Д/S'.

Когда поверхность 5 представляет собой плоскость, цилиндроид
обращается в цилиндр, который всегда можно рассматривать, пред-
полагая Д/S' бесконечно малым.

Фиг. 10.

Фиг. 11.

2)	В случае линии элементу Д/S' (фиг. 11) ставят в соответствие
часть тела, заключенную между двумя нормальными к /S' плоско-
стями, проведенными через концы AS.

Так как всем точкам пространства, занятого телом, могут быть
поставлены в соответствие точки S, то, очевидно, тело можно рас-
сматривать как совокупность материальных точек, размещенных
на 8. Разделив /S' на достаточно малые части AS, каждой из них
ставят в соответствие материальную точку по только что устано-
вленным правилам.

6.	Подобно тому как мы поступили в случае тел трех измерений,
введем и здесь среднюю плотность т/S и локальную плотность

11т дУ’

предполагая, что элемент AS безгранично уменьшается, стремясь
к определенной точке Р из /S'.

Что касается существования этого предела и его аналитического
выражения в функции от точек области S, то здесь сохраняют свое
значение соображения, аналогичные соображениям п. 4.

В конечном счете достаточно сохранить формулы (6) и (7) с оче-
видной оговоркой, что хотя р и продолжает обозначать (интегри-
руемую) функцию точек области 8, однако ее физическая природа
будет различной в зависимости от числа измерений области; в общем
случае п. 4 у. будет отношением (или пределом отношения) массы
к объему и, следовательно, будет иметь размерность /~8?п; в случае
материальной поверхности речь идет об отношении массы к пло-
щади, имеющем размерность 1~*т\ в случае материальной линии—
об отношении массы к длине, имеющем размерность 1~гт.

Для избежания неясности эти три случая плотности различают,
вводя названия: кубическая или объемная плотность (понятие,
сохраняющее свое значение для какого угодно тела), поверхностная
плотность (применяется в случае материальных поверхностей),
линейная плотность (применяется в случае материальных линий).

7.	Материальная поверхность называется однородной, когда ее
поверхностная плотность постоянна. Заметим, что однородная ма-
териальная поверхность, рассматриваемая как тело трех измерений,
т. е. имеющая постоянную объемную плотность, может не быть-
однородной в смысле поверхности, т. е. может иметь не постоян-
ную поверхностную плотность. Достаточно представить себе пла-
стинку или лист из однородного материала, но с изменяющейся
от точки к точке толщиной; в этом случае поверхностная плотность
изменяется пропорционально толщине.

То же самое справедливо и для материальной линии.

§ 3. Центр тяжести системы дискретных материальных
точек

8. Пусть мы имеем систему состоящую из некоторого конеч-
ного числа материальных точек Р{ с массами (i=l, 2, 3 ...),
и рассматриваем силы веса т{д, действующие на эти точки. Эти
силы составляют систему параллельных и одинаково направленных
векторов, которая имеет, как мы знаем (гл. I, п. 56), вполне
определенный центр G. Если мы выберем в качестве начала коор-
динат произвольную точку О системы отсчета и обозначим через т
полную массу точек системы, то положение центра G парал-
лельных сил определится векторным уравнением

OG

2 miOPi
т

(8)

Точка G называется центром тяжести системы. Она зависит
исключительно от конфигурации системы и от масс отдельных ее
точек, а потому называется также центром масс системы.

Относительно любой системы координат с началом в О будем
иметь

X — **------	У —	---- г — "----------

u m f zu m ’	” m

(8')
где:

xt, Ун 2i — координаты точек Pi системы;

ж0) Уо> — координаты центра тяжести G.

Отсюда видно, что если мы изменим массы всех точек системы
в одном и том же отношении, то центр тяжести не изменится.

9.	Из равенства (8) следует, что если все точки системы лежат
в одной и той же плоскости или на одной и той же прямой, то то
же самое будет иметь место и для их центра тяжести.

Действительно, если в случае точек, лежащих в одной плоско-
сти, мы возьмем начало координат О в той же плоскости, то в ней
же, очевидно, будут лежать и все векторы OPit а, следовательно,
в силу равенства (8) также и вектор OG, т. е. центр тяжести G.
В случае прямой достаточно подобным же образом взять точку О
на прямой и применить формулу (8).

10.	Статические моменты. Равенствам (8') можно придать гео-
метрическое истолкование, которое в некоторых приложениях имеет
преимущество, так как оно не зависит от предварительного выбора
системы координат.

Будем называть статическим моментом некоторой материаль-
ной точки с массой т относительно какой-нибудь плоскости те
произведение т на расстояние точки от плоскости, со знаком плюс,
если точка лежит в одном (произвольно выбранном) из двух полу-
пространств, определяемых плоскостью те, и со знаком минус, если
точка лежит в другом полупространстве.

Совмещая с плоскостью л одну из координатных плоскостей,
например плоскость # = 0, из третьего из равенств (8') выводим,
что сумма статических моментов точек системы относительно
любой плоскости те равна статическому моменту всей массы си-
стемы, в предположении, что эта масса сосредоточена в центре
тяжести.

Это и есть то геометрическое истолкование формул (8'), о ко-
тором говорилось выше; применяя его к трем координатным плос-
костям, мы опять придем к формулам (8').

Для материальных точек, лежащих в одной и той же плоскости,
мы будем иметь аналогичное предложение, если определим тем же
способом статический момент материальной точки относительно
прямой.

11.	Из определения центра тяжести вытекают некоторые важ-
ные свойства его. Докажем прежде всего одно из них, которое спра-
ведливо для центра всякой системы параллельных приложенных век-
торов, направленных в одну и ту же сторону (ср. гл. I, п. 56):
Центр тяжести системы материальных точек лежит вну-
три всякой выпуклой поверхности с, заключающей все точки
системы.

Достаточно показать, что относительно любой плоскости и, ка-
сательной к поверхности а, центр тяжести G лежит с той же сто-
роны от плоскости л, с которой находится а, так как тогда он
должен лежать в области, огибаемой различными касательными плос-
костями, т. е. как раз должен быть внутри а.

Для этого, выбрав любую касательную плоскость п, примем ее
за координатную плоскость ху и направим ось s в ту сторону, где
лежит а. Координаты г отдельных точек Pi будут тогда положи-
тельными, а следовательно, будет положительной н координата
z = 2 центра тяжести.

Аналогичными рассуждениями можно доказать, что:

Центр тяжести системы материальных точек, лежащих
в одной и той же плоскости, находится внутри выпуклой зам-
кнутой линии, заключающей все точки системы.

Центр тяжести системы материальных точек, лежащих на
одной и той же прямой, находится внутри отрезка, определяе-
мого двумя крайними точками системы.

12.	Распределительное свойство центра тяжести. Если система >8’
материальных точек разделена на две части Я' я Я" я т', т" —
полные массы систем Я' и Я", a G', G" — их центры тяжести, то
центр тяжести G системы £ совпадает с центром тяжести масс т',
т”, в предположении, что они сосредоточены соответственно в G'
и G".

Действительно, если через Р'{ и Pj обозначим точки из Я' я Я",
через т'{ и т" — их массы, то относительно любой точки О будем
иметь

—>	Ут.:0Р1	—У,т" ОР"

---*,	QG=- 3„ }

и, следовательно,

m’ OG' + m" OG" = 2 OPt^^ m- OPj.

Так как в суммы в правой части входят все точки данной си-
стемы, то заключаем на основании формулы (8), что

т' OG' 4- т" OG" = т OG;

т. е. центр тяжести G системы совпадает с центром тяжести масс т',
т", помещенных соответственно в G', G".

Теорема, очевидно, распространяется и на тот случай, когда
система разделена более чем на две части.
13.	Диаметральные плоскости и плоскости симметрии. Говорят,
что система S' материальных точек обладает диаметральной плос-
костью к, сопряженной с некоторым заданным направлением г
(не параллельным плоскости), когда всякой точке из S соответствует
другая с равной массой, расположенная на прямой, параллельной г
и проходящей через первую, на том же самом расстоянии от плос-
кости лис противоположной стороны от нее.

Точки, которые таким образом соответствуют друг другу, назы-
ваются сопряженными.

Диаметральная плоскость л называется, в частности, плоскостью
симметрии, когда она перпендикулярна к сопряженному направле-
нию г, так что сопряженные точки будут симметричными относи-
тельно плоскости Л.

Так как центром тяжести двух точек с равными массами является
их средняя точка, то всякая пара сопряженных точек имеет центр
тяжести на диаметральной плоскости л. Воображая систему S' раз-
битой на столько частей, сколько имеется пар сопряженных точек,,
и применяя распределительное свойство, выводим следующее заклю-
чение: если система обладает диаметральной плоскостью или,
в частности, плоскостью симметрии, то центр тяжести лежит
в этой плоскости.

Отсюда следует, что: 1) если имеются две диаметральные плос-
кости, то центр тяжести лежит на прямой их пересечения',
2) если система допускает больше чем две диаметральные плос-
кости, то эти плоскости имеют, по крайней мере, одну общую-
точку, которая и является центром тяжести системы.

В случае системы, все точки которой расположены в одной и
той же плоскости, можно, очевидно, рассматривать диаметральные
прямые (сопряженные с заданным направлением) или, в частности,
оси симметрии; при этом будут справедливы выводы, аналогичные
только что высказанным.

14.	Теорема Лагранжа j). Будем называть полярным моментом
инерции системы материальных точек относительно точки Р сумму
произведений масс mt точек Pt системы на квадраты их расстояний
от Р, т. е. число

Мр = 2 mi PPi •

i

Исходя из этого определения, докажем теорему: центр тяжести
любой системы можно определить как такую точку простран-
ства, для которой полярный момент будет наименьшим.

’) Жозеф Луи Лагранж родился в Турине в 1736 г., умер в Париже
в 1813 г., широко известен как автор Аналитической механики. Он дал си-
стематическое изложение аналитической механики, показав, как можно все
частные теоремы о равновесии, как известные, так и доказанные им самим,
Действительно, принимая во внимание тождество

PP2i = PPl PPi —PG-]-GPit
мы можем написать

=	+	GP(. (9)

Но в последнем члене правой части множитель

равен тождественно нулю, как это видно из равенства (8), если
предположить, что начало координат О совпадает с центром тяже-
-сти G; поэтому равенство (9), в котором первый член в правой
части является не чем иным, как полярным моментом М& системы
относительно точки G, можно написать в виде

МР = M&-]-mPGn-.

Отсюда непосредственно следует, что центр тяжести G есть
-точка, для которой полярный момент инерции достигает минимума;
действительно, для всякой другой точки Р этот момент будет больше,
чем Мд, на существенно положительную величину mPG^, которая
обращается в нуль только тогда, когда Р совпадает с G.

§ 4. Центр тяжести тела, материальной поверхности
и материальной линии

15. Для того чтобы определить центр тяжести какого-нибудь
тела С, представим себе, что оно разложено как-либо на части ДС,
которые можно считать материальными точками, и рассмотрим центр
тяжести G' этих материальных точек, составляющих тело С. При
изменении разбиения С на части изменяет, вообще говоря, свое
вывести из одного общего принципа, называемого принципом виртуальных
скоростей или принципом виртуальных работ. „Mecanique analytique“ была
напечатана в первый раз в Париже в 1788 г.

Помимо вариационного исчисления, которое было одним из первых от-
крытий Лагранжа, надо отметить его исследования, ставшие классическими,
по теории чисел и теории алгебраических уравнений, по теории обыкновен-
ных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с част-
ными производными, по небесной механике (в частности, по задаче трех
тел и по теории возмущений) и по гидродинамике.

Девятнадцати лет он получил звание профессора математики в Артилле-
рийской школе в Турине; немного позже был одним из основателей Турин-
ской Академии наук. В 1766 г. был приглашен в Берлинскую Академию наук,
где, после Эйлера, руководил математической секцией. В 1787 г. был пригла-
шен в Париж. В течение революции и в последующий, наполеоновский,
период он был советником французского правительства и сенатором. Препо-
давал в Высшей нормальной школе и в Политехнической школе, где им
были написаны руководства по теории функций и по элементарной математике.
§ 4. Центр тяжести тела, поверхности и линии

положение также и этот центр тяжести G'- но, как мы сейчас по-
кажем, точка G', при одновременном стремлении к нулю объемов
всех отдельных частей тела С, всегда стремится к вполне опреде-
ленному предельному положению G, не зависящему от закона, по
которому заставляют стремиться к нулю объемы отдельных частиц.
Когда это будет доказано, тогда будет оправдано и название опре-
деленной таким образом точки G центром тяжести тела.

Чтобы доказать существование и единственность точки G, вспом-
ним, что если р (ж, у, г) есть плотность (объемная, локальная) тела С,
то масса Дмг любой частицы ДС из С при каком угодно разбиении
определяется (п. 4) равенством

Дт — р Д8 в AS,

где р подразумевается вычисленной для одной из точек объема &S
частицы АС, а е стремится к нулю вместе с Д/S’; если обозначим
через т полную массу тела С, то центр тяжести G' системы ма-
териальных точек ДС, составляющих тело С, относительно начала
координат О определится векторным уравнением

mOG' = ^ OP р AS2 OP е AS.

(Ю)

Далее, представим себе, что разбиение тела С изменяется таким
образом, что объем &8 всякой отдельной его частицы стремится
к нулю. Так как по предположению (п. 4) функция р(ж, у, я) ин-
тегрируема и, следовательно, таковыми же будут функции яр, уу.,
#р и вектор рОР, то первая сумма в правой части равенства (10)
стремится к интегралу

JoPpdtf,

распространенному на объем 8 тела С. С другой стороны, вслед-
ствие известных из анализа рассуждений вторая сумма, в которой s
бесконечно мало вместе с AS, стремится к нулю, каков бы ни был
закон, по которому стремятся к нулю объемы отдельных частиц
тела С; поэтому заключаем, что G' всегда имеет в качестве пре-
дельного положения точку G, определяемую векторным равенством

m~0G== JOPpPS',

которое, если примем во внимание равенство (6) из п. 4, можно
написать в виде

f ОР р dS

(П)
Если мы спроектируем это равенство на оси координат, то для
координат ж0, у0, z0 точки G получим выражения

жр. dS	f у\>- dS	( гр dS

Хл    ?	, У а  ~	• Ял  7-	•	(11)

0 f pd<S'	Г pdtf 0 f p.ds

8	S	S

Этими формулами определяется центр тяжести какого угодно
тела. Очевидно, что предыдущие рассуждения и окончательные
формулы (11), (11') сохраняют свое значение также и для какой
угодно материальной поверхности или материальной линии; при
этом вместо объемной плотности подставляется поверхностная или
линейная плотность, а в качестве области интегрирования берется
вместо объема поверхность или линия. Полученный результат
можно выразить так: в случае непрерывной системы материаль-
ных точек центр тяжести всегда можно определить векторным
равенством (8) п. 8, для этого достаточно вместо массы частицы
подставить элементарную массу (т. е. произведение локальной
плотности на соответствующий элемент объема), а вместо суммы —
интеграл.

Отметим, наконец, что для однородной системы (р —const)
равенства (11) и (11') принимают вид

f OPdS

OG = -^—,	(12)

J ж dS	f у dS	J г dS

;ro = g > Уо— g > Zo — ^—g	•	(12z)

Положение центра тяжести зависит в этом случае исключительно
от геометрической формы области интегрирования. Поэтому можно
говорить о центре тяжести тела, поверхности, линии как о геоме-
трической точке, определяемой равенством (12) или (12'); однако
эта точка представляет интерес лишь благодаря механическому
смыслу, вытекающему из того, что область S предполагается за-
полненной равномерно распределенной материей.

16. Определение центра тяжести некоторых фигур. У фигур,
имеющих центр (точка пересечения трех несовпадающих диамет-
ральных плоскостей, если речь идет об объеме, и двух диаметраль-
ных прямых, если речь идет о плоской фигуре), центр тяжести
совпадает с центром фигуры (п. 13).

У параллелепипеда плоскости, проходящие через середины
параллельных .ребер, будут, очевидно, диаметральными плоскостями,
сопряженными с направлениями соответствующих ребер; отсюда
легко вывести, что центр тяжести параллелепипеда совпадает
с точкой пересечения этих или диагональных плоскостей; центр
тяжести параллелограмма совпадает с точкой пересечения его
диагоналей, а для эллипсоида или эллипса — с соответствующим
центром, н т. д.

Очевидно, что центром тяжести отрезка является его середина.

а)	Треугольник. Каждая медиана есть диаметральная линия,
сопряженная с направлением стороны, которую она делит пополам.
Точка встречи медиан есть поэтому центр фигуры и центр тяжести ее.

Простые рассуждения из элементарной геометрии показывают
(фиг. 12), что на каждой медиане центр тяжести находится на

расстоянии одной трети ее от основания. Можно также сказать,
выбрав одну сторону как основание, что центр тяжести находится
на соответствующей медиане на расстоянии одной трети ее от
основания.

б)	Четырехугольники и многоугольники. Пусть задан простой,
т. е. выпуклый, четырехугольник ABCD (фиг. 13). Диагонали АС,
BD разбивают его каждая на два треугольника ABC, ADC и
BAD, BCD.

На основании предыдущего мы можем указать центры тяжести
С , G , Gi, Gi каждого из этих треугольников. В силу распреде-
лительного свойства (п. 12) центр тяжести G четырехугольника
является также и центром тяжести двух точек G', G", если каждой
из них приписывается надлежащая масса (масса соответствующего
треугольника). Отсюда следует, что G лежит на отрезке G'G". По
той же причине G лежит на отрезке GAD, так что центр тяжести
четырехугольника совпадает с точкой пересечения отрезков G'G"
с G'rG’i.

Для многоугольника с п сторонами молено применить способ
последовательного приведения к многоугольникам с меньшим числом
сторон и, следовательно, в конечном счете к треугольникам. До-
статочно, например, разложить его двумя способами на многоуголь-
ник с п — 1 сторонами и треугольник. Обозначив через G', G[ центры
тяжести двух многоугольников, через G , Gj центры тяжести соот-
ветственных треугольников (соответственных в том смысле, что
они дополняют указанные многоугольники), мы, как и выше, будем
иметь центр тяжести G в точке пересечения отрезков G'G"
и GiGi.

в)	Душ окружности. Пусть АВ есть дуга (фиг. 14), О — центр
окружности, М— средняя точка дуги. Прямая ОМ, очевидно,
является осью симметрии, так что центр тяжести G следует искать
на ней. Обозначив через N точку пересечения ОМ с хордой АВ,

можно добавить, что центр тя-
жести должен лежать на отрез-
ке MN.

Действительно, G есть также
и центр тяжести всех точек, ле-
жащих на отрезке MN (частич-
ные центры тяжести пар симме-
тричных точек); поэтому он будет
внутренней или по крайней мере
не внешней точкой для этого
отрезка (п. 11). 

Для того чтобы определить по-
ложение точки G на MN, обра-

тимся к формулам, выбрав в качестве начала координат точку О
и приняв ось симметрии ОМ за ось у. Вторая из формул (12')

определит тогда координату ?/0, которая в настоящем случае есть OG,

в виде

f У AS

OG = ^-—

где областью интегрирования 5 является дуга АВ. Интеграл,
стоящий в числителе, определяется просто, если примем за пере-
менную интегрирования угол 0, образуемый переменным радиусом ОР
с осью Оу и отсчитываемый в направлении от Оу к Ох.

Если 2а есть центральный угол, соответствующий дуге АВ,
т. е. угол АОВ, то для точек Р дуги АВ угол 0 будет изменяться
от —а до -f-а. Обозначив через г радиус, очевидно, будем иметь

у = г cos 0, dS — rdh.

Искомый интеграл принимает, таким образом, вид

J* г2 cos 0 d/,
’-(X
где г является постоянной величиной; легко видеть, что этот инте-
грал равен 2r2 sin а. Так как 2r sin а есть длина хорды АВ, то
окончательно будем иметь равенство

л В
-- у —-—

из которого видно, что расстояние OG центра тяжести дуги от
центра окружности относится к радиусу, как хорда к дуге.

Для частного случая а —л (полуокружность) AB = 2r, 8 — г.г,
и мы будем иметь

OG== — r.
ТС

г)	Призма и цилиндр. Рассмотрим сечения, параллельные
основанию; все они равны между собой. Центры тяжести этих
сечений являются их соответственными точ-
ками и все лежат на одной и той же пря-	"

мой у, параллельной ребрам (или, соответ-	/д\

ственно, образующей).	/ /|\ \

Центр тяжести G тела есть средняя точка / / } \ \
отрезка этой прямой д, отсекаемого на ней /	/ |Д \

основаниями. Можно также сказать, что g/_________

центр тяжести тела совпадает с центром	j.-

тяжести сечения, проведенного через сере-	\ /

дину высоты.	^'4/

Для подтверждения этого достаточно пред-	с

ставить себе призму (или цилиндр) разделен-	Фиг. 15.

ной на бесконечно тонкие слои посредством
равноотстоящих, параллельных основанию плоскостей. Каждый слой
можно уподобит!, однородной материальной площадке, которая
имеет свой центр тяжести G' на прямой д. В силу распредели-
тельного свойства точка G есть центр тяжести всех точек 6",
если приписать им массы соответствующих слоев. Но все эти
массы равны между собой. Поэтому точки G' составляют однород-
ный отрезок, центр тяжести которого совпадает с его серединой.

д)	Тетраэдр. Будем называть плоскостями-медианами плоскости,
определяемые ребром и средней точкой противоположного ребра.
Всякий тетраэдр имеет, очевидно, шесть плоскостей-медиан.

Эти плоскости, как мы скоро увидим, являются диаметральными
плоскостями, сопряженными с направлением того ребра, которое
они делят пополам, и не проходят все через одну и ту же прямую
(так как из этого следовало бы, что четыре вершины тетраэдра
лежат на одной и той же прямой); вследствие этого они определяют
центр тяжести G как их общую точку пересечения (п. 13).

Через каждую вершину, например через А (фиг. 15), проходят
три плоскости-медианы. Они пересекают противоположную грань BCD
но трем медианам, поэтому все содержат центр тяжести Н туе-
угольника BCD и, следовательно, прямую АН. Мы можем, таким
образом, определить центр тяжести G тетраэдра как точку пере-
сечения отрезков, соединяющих каждую вершину с центром тяжести
противоположной грани.

Важно отметить, что центр тяжести делит эти отрезки в отно-
шении 1:3. Для доказательства обозначим через В среднюю точку
ребра ВС и проведем медианы DE и АЕ треугольников BCD и
АВС. Центры тяжести Н, К этих треугольников находятся на со-
ответствующих медианах DE и АЕ на расстояниях, равных одной
трети каждой медианы от основания Е, т. е. ЕН и ЕК равны
соответственно третьей части от ED и ЕА. Отсюда следует, что
два треугольника ЕНК я EDA подобны, так как они имеют один
и тот же угол, заключенный между пропорциональными сторонами.
Поэтому НК составляет одну треть от AD. Соединив Н и К
с противоположными вершинами А и D отрезками НА и KD, мы
увидим, что точка пересечения G этих отрезков есть как раз центр
тяжести тетраэдра. Из подобия треугольников GHK и GAD сле-
дует, что GH и GK равны соответственно одной трети от GA
и GD.

Приняв любую грань тетраэдра за основание, можно сформули-
ровать следующую теорему: центр тяжести тетраэдра совпадает
с центром тяжести сечения, параллельного основанию и прове-
денного на расстоянии одной четверти высоты от основания.

Действительно, точка G принадлежит такому сечению, как это
видно из предыдущего, а отсюда следует, что она есть центр
тяжести сечения, потому что лежит на трех плоскостях-медианах,
проходящих через вершину А тетраэдра, которые пересекают по
медианам каждое сечение, параллельное основанию.

е)	Пирамида. Центр тяжести пирамиды (и, как предельный
случай, конуса) лежит на отрезке, представляющем собой геоме-
трическое место центров тяжести сечений, параллельных основанию,
и делит этот отрезок (считая от вершины) в отношении 3:1. Можно
также сказать, что он совпадает с центром тяжести сечения, парал-
лельного основанию и проведенного на расстоянии одной четверти
высоты от основания.

Доказательство очень просто. Представим себе основание пира-
миды разделенным на треугольники Т', Т", ..., и пусть S', S", ...
будут соответствующие им тетраэдры, т. е. тетраэдры, имеющие
основаниями эти треугольники и общей вершиной — вершину пира-
миды.

Рассмотрим еще сечение а, проведенное на расстоянии одной
четверти высоты от основания. Оно пересекает тетраэдры S', S",...
по треугольникам Т", ..., подобным треугольникам Т', Т", ...
(соответственные стороны относятся друг к другу, как 3 к 4, и,
следовательно, площади, как 9 к 16). Обозначая через G’, G", ...
центры тяжести тетраэдров S', S", ..,, мы можем утверждать на
основании предыдущего, что они совпадают с центрами тяжести
треугольников 'I\, Ti, ... С другой стороны, в силу распредели-
тельного свойства (п. 12) центр тяжести G пирамиды можно рас-
сматривать как центр тяжести точек G', G”, ..., массы которых
равны соответственно массам тетраэдров S', 8", ... Эти массы
пропорциональны объемам, а так как речь идет о тетраэдрах
с одной и той же высотой, то они пропорциональны площадям их
оснований Т', Т", ..., или, наконец, площадям треугольников
7’i, Ti, ... Центр тяжести сечения а, проведенного на расстоянии
одной четверти высоты от основания, также совпадает, вследствие
распределительного свойства, с центром тяжести точек G', G", ...
(центров тяжести треугольников Ti, 7’1, составляющих вместе
сечение а), если представить себе, что в этих точках сосредоточены
массы треугольников. Так как общий множитель пропорциональ-
ности, если на него умножить массы точек системы, не изменит
координат центра тяжести (п. 8), то таким образом доказано, что
центр тяжести G пирамиды совпадает с центром тяжести этого
сечения а.

17. Теорема Гюльдена х). Объем тела, образованного вращением
какой-нибудь плоской фигуры вокруг оси, расположенной в пло-
скости фигуры и не пересекающей ее, равен
произведению площади фигуры на длину

дуги окружности, описанной ее центром тя-
жести.

Пусть а есть площадь фигуры; примем ось
вращения за ось Ох (фиг. 16) и предположим,
что плоскость хОу фигуры поворачивается
на некоторый угол а. Найдем, каков будет
объем V тела, образованного при таком вра-
щении. Очевидно, что мы можем сначала вы-

числить объем, образованный вращением эле- ° с D
ментарной площадки dxdy, я затем про- Фиг. 16.

интегрировать полученное выражение по всей
площади а. Объем, образованный вращением прямоугольника dxdy,

можно рассматривать как разность между объемом, образованным
вращением фигуры А'В'7)С, и объемом, образованным вращением
фигуры ABDC-, каждый из них равен произведению а/2л на объем
соответствующего цилиндра. Обозначив через х, у координаты
точки А, для первого из этих объемов будем иметь

£ nA'C*-CD=^(y + dy'?dx,

!) Павел Гюльден родился в кантоне Сен-Галле в 1577 г., умер в Граце
в 1643 г. Был иезуитом и долго жил в Риме, затем преподавал в универси-
тетах Вены и Граца.
а для второго у2 dx: отсюда (пренебрегая бесконечно малыми
третьего порядка, не влияющими на величину двойного интеграла)
следует, что объем, образованный вращением площадки dx dy,
равен aydxdy и, следовательно,

V = a J ydx dy.

<3

Введем теперь центр тяжести G площади о. Для координаты у0
уравнение (12') дает

f У dx dy

а отсюда следует равенство

которое и доказывает теорему Гюльдена, так как «у0 есть не что
иное, как дуга, описанная центром тяжести G фигуры а при по-
вороте на угол а.

§ 5.	Моменты инерции

18.	Определения. Пусть Р — материальная точка с массой т,
г — какая-либо прямая, 8 — расстояние точки Р от г.

Моментом инерции точки Р относительно оси г называется
произведение то2 массы точки на квадрат ее расстояния от оси.

Моментом инерции системы 8,- состоящей из конечного числа
материальных точек РД£=1, 2, ...,), относительно оси г на-
зывается сумма моментов инерции отдельных ее точек.

Обозначив через I момент инерции системы, через массу
г-й ее точки Р{, через расстояние точки Р{ от оси г, согласно
определению будем иметь

(13)
i

где сумма, очевидно, должна распространяться на все точки системы.
Обозначив, как обычно, через т массу системы и положив

I = m82,	(14)

будем называть определенное таким образом положительное число 8,
т. е.

радиусом инерции системы 8 относительно оси г.

Механический смысл радиуса инерции непосредственно виден
из формулы (14): 3 есть то расстояние от оси г, на котором должна
находиться материальная точка с массой т, равной массе системы,
чтобы момент инерции ее относительно оси г был равен моменту
инерции I системы.

Размерность момента инерции, как это следует из формулы (14),
есть Z2m; размерность же радиуса инерции есть I, что непосред-
ственно видно из его определения.

19.	Аналогично определению момента инерции любой мате-
риальной системы 8 относительно оси можно ввести еще следующие
определения.

1.	Моментом инерции системы £ относительно точки Р назы-
вается сумма произведений масс точек системы £ на квадраты их
расстояний от Р (так называемый полярный момент инерции, п. 14).

2.	Моментом инерции системы 5 относительно плоскости к
называется сумма произведений масс точек системы 8 на квадраты
пх расстояний от плоскости к.

В приложениях почти исключительно пользуются моментами
инерции относительно оси, поэтому мы ограничиваемся изучением
только их.

20.	Изменение момента инерции при изменении положения оси.
Для заданной материальной системы & существует бесконечно много
моментов инерции I, соответствующих бесконечному множеству
осей г. Мы изучим, как изменяется I при изменении положе-
ния г.

Исследование упростится, если предварительно заметим, что
можно ограничиться разбором двух частных случаев, а именно:
а) как изменяются моменты инерции относительно параллельных
осей;

б) как изменяются моменты инерции относительно осей, пере-
секающихся в одной точке.

Действительно, предполагая известными законы изменения мо-
ментов инерции в случаях „а“ и „б“, мы будем в состоянии найти
соотношение между моментами инерции относительно двух
осей г, s, расположенных как угодно в пространстве. Для этого
достаточно провести через точку, выбранную как угодно на s,
прямую г', параллельную г. Ответ на вопрос „а“ позволит нам
перейти от момента инерции относительно г к моменту инерции
относительно г', а ответ на вопрос „б“ — от момента инерции
относительно г' к моменту инерции относительно s.

21.	Прежде всего докажем теорему, принадлежащую Гюйгенсу])
(и сформулированную Эйлером, которому принадлежит введение
понятия и систематическая теория моментов инерции).

!) Христиан Гюйгенс родился в Гааге в 1629 г., умер там же в 1695 г., был
одним из трех первых иностранных членов Академии наук в Париже и
Королевского общества в Лондоне. Главнейшие его труды: открытие кольца
Момент инерции системы относительно оси г равен моменту
инерции 10 относительно оси г0, параллельной г и проходящей
через центр тяжести, сложенному с произведением массы системы
на квадрат расстояния d между этими осями.

Примем за ось z ось г0, параллельную г и проходящую через
центр тяжести G, и за плоскость zx плоскость, содержащую пря-
мую г. При этих условиях уравнения прямой г будут иметь вид

х — d, у = О,
где d — расстояние между двумя осями.

Поэтому, если обозначим через хь yis zt координаты произ-
вольной точки системы S, то координатами ее проекции Qt на
прямую г будут d, 0, z{. Расстояние точки Pi от оси г есть не
что иное, как длина отрезка PiQi, поэтому

62==(^_й)2 + ?/2

и, следовательно, согласно определению момента инерции I, мы
будем иметь

1=2 [($* — d)2 + yh = 2	+ Vi)2 — 2d 2	+ d2 2

i	i	i	i

Если заметим, что ось z мы провели через центр тяжести G и
что, следовательно, координата х0 этой точки равна нулю, то уви-
дим, что сумма 27n»a:i равна нулю; с другой стороны, сумма
i

2	(х2 -|- у2) равна моменту инерции относительно оси z, т. е. 10',

t

2т» есть полная масса т системы.
i

Поэтому мы имеем равенство

I = I04-md2,	(15)

которое и нужно было вывести.

Эта формула показывает, что между всеми осями, параллель^
ными заданному направлению, та, для которой момент инерции
наименьший, проходит через центр тяжести. Кроме того, если для
заданной системы мы знаем момент инерции I относительно осц г
и положение центра тяжести, то равенство (15) позволяет вычи-
слить значение Г момента инерции относительно другой какой-

Сатурна, первая волновая теория распространения света, которая позволила
ему объяснить, помимо известных тогда явлений, явление двойного прело-
мления, открытого им же в исландском шпате, наконец, его вклады в ме-
ханику, из которых мы ограничимся упоминанием закона колебаний маят-
ника с практическими приложениями к устройству часов; в его исследова-
ниях о колебаниях физического маятника по существу и содержится понятие
о моменте инерции и приводимая в тексте теорема. Ср. Horologium oscillat-
jiuni (Париж, 1673 г.).
нибудь прямой г', параллельной г. Действительно, мы имеем два
соотношения

I = 10 4- md2, Г —10 4- /nd'2,

где через d' обозначено расстояние от центра тяжести до пря-
мой г', или же расстояние между осями г' и г0. Исключив 10,
получим

Г ==I4-m(d'2 —d2).

При заданных предположениях величины в правой части все
известны.

22.	Моменты инерции относительно пересекающихся осей. Опре

делив, каким образом изменяется
к которой он относится, изменяет
положение, но не направление, рас-
смотрим поведение момента инер-
ции относительно оси, проходящей
через точку О и изменяющей свое
направление в пространстве.

Поместим в О начало коорди-
нат (фиг. 17), и пусть а, (3, у
будут направляющими косинусами
прямой г (на которой установлено
определенное направление как по-
ложительное). Из прямоугольного
треугольника OPtQi видно, что

момент инерции, когда ось,

расстояние 2^ любой точки Рг системы от оси г определяется

соотношением

& = ОР* — Оф-

так как ОР| — х\ 4- у2 4-а проекция OQ{ вектора ОР4. на ось г
равна 4- у& 4~ гд, то будем иметь

4- у} 4- £ — (ж/г 4- у$ 4- г^)2 =
= (1-а2) ^4-(1-02)^ 4.(1-^)

— 2₽ТУ^4- — 2у ctZiXi —

Если вместо а2 4- Р 4~ № напишем единицу, то после перегруппи-
ровки членов получим 4

'4 = «2	4- Р (^ 4- 4- т2 (^ 4- ур -

— 2^7?/^ — 2^^—2а0ж*у<;

4 Выражение 82 можно было бы также получить, рассматривая момент
относительно точки Pt единичного вектора оси г, который мы представим
себе приложенным в О, Проекции этого момента определяются (гл. I, п. 27)
поэтому будем иметь

/ = 2	= я2 Э * 2 mi (y2i +	2 mi (4+«>1)+т2 5 (ду + yfy—

it	I	i

— 2Py 2 miVi^i — 2уя 2 misixi — 2«P 2 mixiVi
i	i	i

ИЛИ

I = Л a2 + 2ф2+ Су2 — 2Л'ру — 2./>"уя — 2G"a₽,	(16)

где положено

A = 2 mi (ж? + ?/<)>	= 2 mi (4 + xt), C=^m{(x}-\-yi),

i	0

А'—^тру^, B' = ’^lmizix{, C' = '£mixiy{.
i	i	<

Равенство (16) определяет момент инерции относительно произволь-
ного направления а, р, у, проходящего через О, в функции от шести
постоянных Л, В, С, А', В', С', зависящих, как мы видим, от распре-
деления масс в системе, но не от частного выбора оси г. В пра-
вой части равенства (16) стоит однородная квадратичная функция
от а, р, у, которая не изменится, если одновременно изменить а,
Р, у на — я, — р, — у. Это можно было предвидеть, так как при
замене a, р, у на —я, —р, —у изменяется только сторона,
которую надо приписать г, а не сама прямая, момент же инер-
ции I, как это видно из его определения, не зависит от направле-
ния, выбранного на прямой.

Коэффициенты А, В, С представляют собой моменты инерции
относительно осей координат, как это видно из формулы (16), если
подставить в нее вместо я, р, у соответственно 1, О, О; 0, 1, 0;
О, 0, 1. Остальные три коэффициента А' — 2 тгУ^ь £>' =

i	i

С" = 2 mixiyi обычно называют произведениями инерции или
i

также (по причине, которая будет выяснена в динамике твердого
тела) моментами девиации').

минорами матрицы

и, следовательно, квадратом модуля момента будет

— 1У()2 + (т — a?i)2 + («2/; — W2.

Модуль момента единичного вектора (произведение единицы на расстояние
от точки Pt до оси г) по величине совпадает, очевидно, с а{.

Э В русской литературе их чаще всего называют центробежными мо-

ментами инерции. См., например, Г. К. Суслов, Теоретическая механика,

1046, стр. 265. {Прим, ред.}
Согласно равенству (17), определение трех моментов инерции
Л, В, С приводится к определению трех сумм:

«1 —	«а = 5	s&='^miz'i,	(18)

i	i	i

которые можно истолковать как моменты инерции системы относи-
тельно координатных плоскостей. Действительно, имеем тождественно

Л = з2-|-з3, .B^sg + sj, C=s1 + s2.	(19)

§ 6.	Эллипсоид инерции. Главные оси инерции.
Замечательные частные случаи

23.	Закону изменения моментов инерции относительно оси,
проходящей через неподвижную точку и изменяющей свое напра-
вление в пространстве, который аналитически выражается равен-
ством (16), можно придать наглядное геометрическое истолкование.

Представим себе, что на каждом луче а, р, у, выходящем из
точки О, откладывается от О отрезок

=	(2°)

где I есть квадратичная функция от а, (3, у, определенная равен-
ством (16).

Если исключим частный случай, когда все точки системы В
лежат на одной прямой, проходящей через О, то момент инерции
I = 2 т$ не может быть нулем ни для какого направления а,
i

р, у, проведенного через О; величина 1/У Г, соответствующая
всякому -пучу, будет поэтому числом конечным, а геометрическое
место Е точек L представит замкнутую поверхность, окружающую
точку О и симметричную относительно нее, потому что на двух
противоположных лучах точки L лежат на одном и том же рас-
стоянии от О, как это следует из равенства (20); вспомним (пре-
дыдущий пункт), что I не изменяется, когда изменяется знак
у «, р, у. Теперь легко найти и уравнение поверхности. В самом
деле, обозначив через ж, у, z координаты любой точки L поверх-
ности, будем иметь

x=OL-<i = ^=, y = 0L-8 = -^, z = OL*4 = -i=-
VI J	VI

или	_

a = хУ I,	p = г/ У1, у — z У I]

если в формуле (16) вместо а, р, у подставим эти значения, то
по сокращении на I получим

Ах^-уВу^С^-— 2А'уг— 2B'zx — 2С'ху = 1.	(21)
46

гл. х. геометрия Масс

Это и есть уравнение поверхности Е. Отсюда видим, что мы имеем
дело с поверхностью второго порядка, а так как мы знаем, кроме
того, что поверхность Е должна быть замкнутой, то она может
быть только эллипсоидом, центр которого есть точка О, как это
следует из симметрии поверхности Е относительно О.

24.	Эллипсоид Е называется эллипсоидом инерции относительно
точки О. Если эллипсоид инерции дан, то можно найти момент
инерции относительно всякой прямой г, проходящей через О. Дей-
ствительно, обозначив через L одну из двух точек, в которых г
пересекает эллипсоид, мы получим на основании равенства (20)

1 ОТХ

(20')

Отсюда следует, что из всех осей, проведенных через О, та,
которой соответствует наименьший момент инерции, является
большой осью, а та, которой соответствует наибольший момент
инерции, — малой осью эллипсоида инерции.

Оси эллипсоида инерции называются главными осями инерции
относительно рассматриваемой точки.

Принимая их за оси координат, уравнение (21) можно, привести
к виду

Ах2 + By2 + Cz2 = 1;	(21)

произведения инерции А', В', С' равны в этом случае нулю, или,
если принять во внимание вторую группу равенств (17), равны
нулю суммы

2 »ЧУ^ь	S	2 тр-чу{.

г	i	i

Величины А, В, С, очевидно, сохраняют свой смысл и, следова-
тельно, будут моментами инерции относительно главных осей,
или, как обычно говорят, главными моментами инерции. Соот-
ветствующие радиусы инерции

называются главными радиусами инерции.

25.	Эллипсоид инерции относительно центра тяжести системы
называется центральным эллипсоидом инерции.

В общем случае, когда хотят вполне описать распределение
моментов инерции заданной системы, указывают (помимо полной
массы) элементы, определяющие центральный эллипсоид инерции,
т. е. оси и главные моменты (или главные радиусы) инерции
относительно центра тяжести. Этим будут определены в сжатой
форме моменты инерции относительно любой центральной (т. е.
проходящей через центр тяжести) оси; моменты же инерции отно-
сительно оси, не проходящей через центр тяжести, определятся из
равенства (15).

В некоторых случаях самая конфигурация системы (п. 13)
показывает, где находится центр тяжести и как направлены
относящиеся к нему главные оси инерции. Принимая их за оси
координат, можно сказать (п. 22), что все сводится к тому, чтобы
определить три суммы:

= 2 тгх], s2 = 2 ss = 2 т^1>
i	i	i

представляющие собой моменты инерции системы относительно
главных плоскостей центрального эллипсоида инерции.

Полезно отметить, что если система 8 отнесена к главным осям
инерции, проходящим через центр тяжести, то каждая из шести
сумм

2 трч,	2	2	тЛ, 2	т<У&, 2 m^Xi,	2	тМ

i	i	i	i	i	i

будет равна нулю; первые три равны нулю потому, что начало
координат находится в центре тяжести, а вторые три (предыдущий
пункт) — вследствие того, что осн координат являются главными
осями инерции.

26.	Главная ось инерции относительно центра тяжести
является главной осью инерции также и относительно всякой
другой своей точки.

Действительно, пусть О есть центр тяжести и Ог — одна из
главных осей инерции. Тогда будем иметь

А' — 2 тгУ(г1 = 0» В' = 2	— 0.

i	i

Взяв на Ог какую-нибудь точку Ov отличную от О, положим
001 = йи рассмотрим систему координат О^ур;, оси которой хг, уг
параллельны осям х, у и одинаково направлены с ними. Но-
выми координатами точки Pi (xi} у{, будут xt, у$,	— а, так

что новые произведения инерции будут иметь значения

Ai = 2 (zi ~ а) = 2	— « 2 miy<> I

г	i	)

X = 2m«(^ — й) xi = 2 mizixi — а^т^хр i

i	i	i	J

оба эти произведения инерции обращаются в нуль, потому что, по
предположению, произведения инерции А!, В' и статические моменты
~S mixt, 2 miVi равны нулю. Это и означает, что Oz является
i	i

главной осью инерции также и относительно любой ее точки О.

Предположим теперь, что О есть произвольная точка системы
и что одна из ее главных осей инерции Ог проходит через центр
тяжести Ор равенства (22), которые справедливы также и при этих
предположениях, показывают, что если мы имеем

л'=в' = 2	= 5	= о,

i	i

то будут обращаться в нуль также и Ai и Bi. Таким образом,
если прямая является главной осью инерции относительно одной
из своих точек и проходит через центр тяжести, то она будет
также главной осью инерции относительно центра тяжести
(и, следовательно, относительно всякой другой своей точки).

27.	Если рассматриваемая система 5 имеет плоскость симмет-
рии (п. 13), то 'достаточно принять ее за плоскость координат,
чтобы два из произведений инерции обратились в нуль.

В самом деле, если плоскость симметрии принимается за пло-
скость z = 0, то имеем

2	= 0, 2 miyizi = О,

<	i

так как для двух точек, симметричных относительно плоскости z = О,
величины mi} xif yt одни и те же, в то время как zt равны по
величине, но противоположны по знаку. Поэтому члены суммы
попарно сокращаются.

Таким образом, если система имеет плоскость симметрии,
то всякий перпендикуляр к этой плоскости является главной
осью инерции для своего основания.

Кроме того, если система имеет две взаимно перпендикулярные
плоскости симметрии, то они необходимо будут главными плоско-
стями эллипсоида инерции относительно какой угодно точки пря-
мой их пересечения.

Действительно, если примем эти плоскости за координатные пло-.
скости, то, очевидно, обратятся в нуль все произведения инерции.

Эта теорема находит применение в случае тел вращения. Вся-
кая меридианная плоскость, очевидно, есть плоскость симметрии,
поэтому ось вращения является главной осью инерции для всякой
ее точки, а соответствующие эллипсоиды инерции все будут эллип-
соидами вращения вокруг этой оси.

28.	Плоские системы. Если все точки системы лежат в одной
плоскости, то момент инерции относительно какой-нибудь оси, пер-
пендикулярной к этой плоскости, равен сумме моментов инерции
относительно двух любых взаимно перпендикулярных осей, лежа-
щих в плоскости и проходящих через точку пересечения этой пло-
скости с первой осью.

Примем плоскость, в которой лежат точки системы, за пло-
скость £ = 0, ось, перпендикулярную к плоскости, за ось z, а две
другие взаимно перпендикулярные оси — за оси х и у. Тогда для
всякой точки системы имеем ^ = 0, и, следовательно, на осно-
вании формулы (18) s3 = 0; поэтому из равенств (19) найдем:

A — s{, B — s2, С ~ s1-{-s2 — А-[-В,
что и доказывает наше утверждение.

29.	Эллипс инерции. В некоторых случаях важно изучить рас-
пределение моментов инерции относительно осей, лежащих в неко-
торой плоскости к и пересекающихся в одной точке О. Типичным
примером такого случая будет система материальных точек, лежа-
щих в одной плоскости (предыдущий пункт). Изменение моментов
инерции относительно осей, лежащих в плоскости к системы и про-
ходящих через одну точку О, согласно с геометрическим истолко-
ванием, изложенным в п. 23, определяется эллипсом инерции е,
который получается при пересечении с плоскостью к эллипсоида инер-
ции Е относительно О. Если эллипс е отнесен к его главным осям
Oi, (Bq и соответствующие моменты инерции обозначены через Н
и К, то уравнение этого эллипса имеет вид

Я$а + Кт]2 = 1.	(23)

Момент инерции 1Г относительно какой-нибудь прямой г, лежа-
щей в плоскости к и проходящей через точку О, если направляю-
щие косинусы этой прямой относительно осей системы Ofy равны а
и р, может быть представлен в виде

1г = На?-\-К^.	(24)

Докажем теперь следующее замечательное свойство эллипса инерции е:
Расстояние от центра О до какой-нибудь касательной к эллипсу
инерции пропорционально моменту инерции 1Г относительно пря-
мой, проходящей через О и параллельной рассматриваемой каса-
тельной, и (по абсолютной величине) равно

r=V"i-	<*>

Действительно, если обозначим через координаты точки
касания, то из уравнения касательной

НЦ-\-	= 1

будет следовать, что направляющие косинусы перпендикуляра на
касательную (направленного от О к касательной) и длина р этого
перпендикуляра определятся выражениями

Hh ,	_ g^)i ,	=	1	.

Ун^+КЪ]! ’ Ун^+къЦ ’ Vh^i + k^I

Отсюда следует, что направляющими косинусами прямой г, парал-
лельной касательной и проходящей через точку О (ориентирован-
ной в том или другом направлении), будут

а = —±	, р = ~=^Ж= = ^Я5^,

У Н-^1 +	V + Krf

так что равенство (24) примет вид

1Г = ЯЯ(Я51 + Ящ)р2;

а так как в силу равенства (23) оно сводится к равенству .

4 = H£jp2,

то формула (25) тем самым доказана.

30.	Из только что установленных свойств следует, что, если
для всякой прямой г, проходящей через точку О, проведены с той
и другой стороны параллельные ей прямые, находящиеся от О на
расстоянии р' = X У 1г, где X есть произвольный постоянный коэф-
фициент пропорциональности, то огибающая полученных таким
образом прямых будет эллипсом е', гомотетичным *) эллипсу е'; отно-
шение гомотетии (отношение подобия) между эллипсами е,’ и е
будет р'/р, или, на основании формулы (25),_Х У НК.

Если, в частности, мы возьмем X = 2/|/ т, где т означает массу
системы, то получим такой эллипс е0, что расстояние каждой его
касательной от параллельной ей прямой г, проходящей через центр,
будет равно У 1г1т, т. е. радиусу инерции 8Г системы относительно
прямой г. Так как отношение гомотетии между эллипсами е0 и е
равно У НК/т, то уравнение эллипса е0 будет иметь вид

я52+я^=~

или, если обозначим через h и 1с радиусы инерции, соответствую-
щие двум осям О\, Оч\, так что Я — т№, К = т№,

₽2 т2

— 4-— = 1

Следовательно, полуоси эллипса, лежащие на прямых 05 и Of],
равны соответственно радиусам инерции относительно Of] и 05;

!) Определение гомотетии см. Ж. А д а м а р, Элементарная геометрия,
ч. I, стр. 125; ч. II, стр. 121, Учпедгиз, 1938. (Прим, перев.)
g t. моменты инерции тел, Поверхностей и линий	gj

вообще, расстояние от центра до любой касательной дает радиус
инерции относительно диаметра, параллельного рассматриваемой
касательной.

§ 7. Моменты инерции тел, поверхностей и линий. Примеры

31. Едва ли нужно доказывать, что понятие о моменте инерции
и его свойства, установленные для дискретных масс, можно непо-
средственно распространить и на массы, непрерывно распреде-
ленные по объему, поверхности или линии. Достаточно вспомнить
соображения, посредством которых аналогичное обобщение было
оправдано для центров тяжести (п. 15).

С аналитической точки зрения дело сводится к замене формулы

i

определяющей момент инерции, и, вообще, сумм, распространенных
на точки системы 8, интегралами, распространенными на область 5
(объем, поверхность или линию), занимаемую системой.

Таким образом, если d8 есть любой элемент области, содержа-
щий точку Р, dm — масса элемента, 8—расстояние точки Р от
оси г, р— плотность (объемная, поверхностная или линейная) в Р,
то будем иметь формулу

I = J Шт = J р8I 2 dS,	(2Q)

s s

которую в случае однородной системы можно- написать в виде
I=py82dS.	(26')

8

32. Прямой однородный параллелепипед. Центр тяжести О совпа-
дает с точкой пересечения диагоналей (п. 16).

Три плоскости, параллельные граням и проведенные через
точку О, являются плоскостями симметрии и, следовательно (п. 27),
главными плоскостями центрального эллипсоида инерции, так что,
согласно общему замечанию п. 25, дело сводится к вычислению
моментов инерции з2, з3 относительно этих трех плоскостей.

Обозначив, как обычно, через р плотность (по предположению,
постоянную) и через а, Ъ, с — длины трех ребер, будем иметь

т = рабе.

Возьмем начало координат в точке О и направим оси параллельно
ребрам, вследствие чего уравнения шести граней будут иметь вид

, а	, Ь	, с
Выражение для Sj мы можем написать в виде



J / J ж2 ’

где интегрирование по х, у, z будет производиться между пределами
а . a	bib	с , с

-¥и+у,	-2-И+2-

Так как подинтегральная функция ж2 не зависит ни от у, ни
от г, то можно интегрировать по этцм двум аргументам при любом
значении х, что дает
а
2

Sj = у. Ъс J x*dx;

а

вспоминая, что масса параллелепипеда равна уабс, получим

, 2 а3 а2

=	8 =^12-

Выполнив круговую замену букв а, Ъ, с, получим, очевидно,

Ь2	с2

«2 = т J2 > 5з = т 12 >

так что главные моменты инерции получат вид

= т

Ь2 + с2

12

D с2 + «2

«2 + Ь2

12

а соответствующие радиусы инерции будут равны

ь24-с2

12

33.	Однородный прямоугольник. Центр О прямоугольника совпа-
дает с его центром тяжести. Плоскость прямоугольника и две пло-
скости, проведенные через О перпендикулярно к сторонам, оче-
видно, являются главными плоскостями инерции, так что главными'
осями инерции будут прямые, параллельные сторонам, и перпенди-
куляр к плоскости прямоугольника.

Значения моментов и радиусов инерции можно получить и без
прямого вычисления (хотя это вычисление и весьма просто), обра-
щаясь к предыдущему случаю. В самом деле, рассмотрим однород-
ный параллелепипед с ребрами а, Ъ, си объемной плотностью у. и
предположим, что величиной с можно пренебречь по сравнению
с величинами а, Ъ, так что параллелепипед можно уподобить мате-
риальному прямоугольнику со сторонами а, Ь. Речь будет идти об
однородном прямоугольнике; каждому его элементу dS будет соот-
ветствовать масса \>-cdS, а следовательно, поверхностная (постоян-
ная) плотность v будет равна р.с.

Очевидно, можно сделать так, чтобы v сохраняла заданное зна-
чение даже в том случае, когда с стремится к нулю: достаточно
представить себе, что объемная плотность р параллелепипеда воз-
растает при стремлении с к нулю, принимая значения p = v/c.

Для нашей цели достаточно, впрочем, заметить, что если материаль-
ный прямоугольник рассматривается как предел параллелепипеда, то
масса прямоугольника должна быть равна массе т параллелепипеда.
Если поэтому в формулах, относящихся к параллелепипеду, в которые
входят а, Ъ, с и т, положим с = О, то непосредственно получим
соответствующие формулы, относящиеся к однородному прямоуголь-
нику.

Поэтому тремя главными моментами инерции относительно сред-
них линий прямоугольника и общего перпендикуляра к ним в точке
их пересечения будут

Л-m-,	В=т-&,

а соответствующими радиусами инерции

Ъ a

У12’	У12 ’	У 2

Как мы видим, С совпадает с А-\-В, что и должно иметь место
на основании общего замечания п. 28.

34.	Однородный эллипсоид. Центр и три главные плоскости эллип-
соида совпадают, очевидно, с его центром тяжести и главными
плоскостями центрального эллипсоида инерции.

Если через а, Ъ, с обозначим полуоси данного эллипсоида,
через р — плотность, то объем эллипсоида будет равен (4/8) каЪс,
а для массы будем иметь выражение

т — ~ itpabc.

О

Уравнение

у । у । У _ 1
в2 Т 62 Т С2 - 4

выражает поверхность эллипсоида, отнесенную к главным осям.
Таким образом, и здесь все сводится к вычислению зп з2, з3.

Прежде всего достаточно определить только одну из этих величин,
так как две другие можно получить из нее круговой перестановкой
букв «, Ъ, с.
Рассмотрим, например,

«з = J J J z? dxdy dz,

где интегрирование должно быть распространено на весь объем
эллипсоида.

Для того чтобы выполнить интегрирование наиболее простым
способом, представим себе, что область интегрирования разложена
на элементарные слои толщиной dz,
заключенные между плоскостями, па-
раллельными плоскости £=0 (фиг. 18).
Функция z2 под знаком интеграла
остается постоянной (по крайней мере,
с точностью до бесконечно малых)
в каждом слое, и значение тройного
интеграла по слою будет, очевидно,
равно произведению г2 на объем слоя,
основанием которого, соответствующим
произвольному значению з, является
сечение нашего эллипсоида плоскостью,
к которой относится это значение я.

Контуром такого сечения является эллипс, который проектируется
на плоскость ху в истинную величину в виде эллипса с уравнением

или

Полуосями этого эллиптического сечения будут

так что площадь его равна

и объем элементарного слоя будет равен поэтому

1 —

Для того чтобы исчерпать всю область интегрирования, доста-
точно изменять я от —с до -[-с. Выражение s8 можно поэтому
написать в виде

С
С /	$ \

S3 = |A1t«6

—с

Проинтегрировав, мы получим

S8 = ^ Л|1«6с8

ЛЭ

или, вводя полную массу т,
сз
s„ == т —.
а 5

Аналогичные значения мы будем иметь и для двух других пло-
скостей:
аз	ба

з, = т	—

1	5	*	5

следовательно, главные моменты инерции определятся равенствами

л	Ь2 + еЗ	„	сЗ-j-a2	аЗЦ_Ь2

А = т	—,	В —т	—г-— >	С=т	—-—,

5	5	5

а соответствующие радиусы инерции будут.иметь вид

/ Ь2 + е2	Л с24-а2	Г а? + 62

V 5 ’ V 5 ’ V 5

35.	Шар. Момент инерции 10 однородного шара с радиусом В
относительно одного из его диаметров получится из любого из най-
денных выражений для А, В, С, если положить в них а = b = с = В.
Поэтому момент инерции шара определится равенством

10= |тй3,

а радиус инерции будет равен

36.	Момент инерции относительно оси однородного круглого
цилиндра, ограниченного двумя параллельными плоскостями. Пусть В
есть радиус цилиндра, h— его высота, р— плотность и I—иско-
мый момент инерции. Можно избежать прямого вычисления, при-
менив следующий искусственный прием. Момент инерции есть функ-
ция от радиуса В; если (при постоянных значениях h и р) В
возрастает на dB, то I получает приращение di, представляющее
собой момент инерции цилиндрического слоя с внутренним радиу-
сом В и толщиной dB. Так как -расстояние точек слоя от оси
является для всех них равным R (с точностью до бесконечно
малых), а масса слоя есть

р2к.НЛ dR,

то будем иметь

dl — 2r.\s.hRA dR.

Отсюда следует, что

I — у rjihRi-\- const,

а так как при R = 0 имеем I — О, то можно написать
а

Масса цилиндра равна ркЛ2Л, поэтому окончательно имеем

I = | mR2,
а

а радиус инерции равен R/ К 2.

37.	Однородный круглый диск. От случая цилиндра, очевидно,
можно перейти к случаю диска, представляя себе, что высота h
становится бесконечно малой. Как и в п. 33, мы будем иметь для

диска поверхностную плотность v, свя-

занную с р соотношением
v = /гр.;

так как т и R сохраняют их значения,
то для момента инерции и для соответ-
ствующего радиуса инерции остаются
в силе выражения ~mR2 и 2?/j^2.

38.	Момент инерции относительно оси
однородного твердого тела вращения,
ограниченного двумя параллельными пло-
скостями. Пусть y = f{z) есть уравне-

ние меридиана поверхности вращения,
имеющей осью вращения ось z (фиг. 19). Рассечем тело вращения

плоскостями, перпендикулярными к оси, на элементарные диски.
Момент инерции какого-нибудь одного из этих дисков с радиусом,
равным R, и высотой dz будет равен (п. 36) у	где р.

представляет собой плотность; если z — zr и z = z^ суть уравнения
плоскостей, ограничивающих твердое тело, то момент инерции I
определится равенством

«2

Rkdz.
Но В есть не что иное, как текущая координата у — f (z) точки
меридиана, так что будем иметь

(27)

г>

39.	Усеченный конус. Есди меридиан есть прямая y — ztga,
то тело вращения будет представлять собой круговой усеченный
конус, половину угла при вершине которого обозначим через а.
Формула (27) дает

Ttp.tg4a ( 5 б)

^—Zrj,

и, выражая I через радиусы	B2 = z2tga и высоту

h — z2 — zx усеченного конуса, получим

Если заметим, что масса усеченного конуса есть .

h (Bl + B2Bt + Bl) =	* (Bl - Bl),

О	О xl>2

то радиус инерции 8 можно будет определить из соотношения

82_ з д|-д!

10 — Bf

Для конуса (Bt = 0, В2 = В), в частности, будем иметь

7 = 1	« = /йЛ

40. Сферический сегмент. Для вычисления момента инерции
сферического сегмента относительно оси симметрии сегмента доста-
точно будет в равенстве (27) предположить, что меридиан пред-
ставляет собой окружность с центром на оси вращения, например,
в начале координат. Если обозначим через В радиус этой окруж-
ности, т. е. радиус сферы, которой принадлежит сегмент, то будем
иметь

f(z) = 1/^2 —52

и, следовательно,

г3

1	= [Bi — 2BW-\-zi}dz =

=(z2-1 в* (4-4) + у (4-4)}.
Если сферический сегмент имеет только одно основание, то в пре-
дыдущей формуле надо положить

= О.

УПРАЖНЕНИЯ

Примечание. Если речь будет идти о центре тяжести геометриче-
ской фигуры, то при этом будет подразумеваться, как в п. 4, что фигура
однородна, т. е. что плотность заполняющего ее вещества постоянна.

1.	Важное свойство положения центра тяжести, установленное в п. 11,
можно получить прямым геометрическим путем, основываясь на том, что
центр тяжести двух материальных точек лежит внутри соединяющего их
отрезка, и принимая далее во внимание, что отрезок, соединяющий две
точки выпуклой фигуры, за исключением его концов, лежит внутри фи-
гуры.

2.	Центр тяжести трапеции ABOD лежит на прямой (диаметральной)
ЕЕ, соединяющей средние точки Е, F оснований АВ и CD. Разделив тра-
пецию иа два треугольника посредством диагонали, применить свойство рас-
пределительности и правило моментов относительно каждого основания для
доказательства того, что расстояния центра тяжести <?0 От обоих оснований'
находятся в отношении (2а + Ь): (2 b + а), где а и Ь — длины оснований.
Отсюда приходим к следующему построению. Продолжим АВ на длину
ВИ = DC и CD в противоположную сторону на длину DK = В А. Центр
тяжести G- будет тогда точкой пересечения ЕЕ с ИК. Доказать это.

3.	Показать, что центр тяжести кругового сектора лежит на радиусе,
проходящем через середину его дуги, на расстоянии от центра, равном 2/3
расстояния центра тяжести соответствующей дуги.

4.	Найти центр тяжести кругового сегмента.

5.	Доказать, что центр тяжести сегмента параболы (части плоскости,
заключенной между параболой и какой-нибудь хордой) лежит на сопряжен-
ном с хордой диаметре на расстоянии от нее, равном 2/6 хорды (Архимед).

6.	Доказать, что центр тяжести сферической зоны (части сферической
поверхности, заключенной между двумя параллельными плоскостями) нахо-
дится на середине высоты.

7.	Каждый элемент тела С (однородного или неоднородного) притяги-
вает точку Р с силой, прямо пропорциональной массе элемента и расстоя-
нию его от Р. Доказать, что результирующая притяжения, испытываемого
точкой Р, проходит через центр тяжести С.

8.	Дана цилиндрическая ось длиной L и с радиусом г, по которой мо-
жет скользить надетый на эту ось и соосный с ней цилиндрический диск
толщиной I и с внешним радиусом R. Диск и ось однородны, но плотность
диска равна половине плотности цилиндрической оси. Пусть d есть расстоя-
ние от центра тяжести диска до центра тяжести цилиндрической оси. Найти
центр тяжести системы.

9.	Тело состоит нз центральной цилиндрической части (длиной I и
с радиусом г) (фиг. 20), несущей на одном своем конце конус (высотой h
и е радиусом основания *4) и на другом конце полусферу (с радиусом г2).
Все части тела состоят из одного и того же однородного материала. Найти
центр тяжести тела.

Фиг. 20.

10.	Найти центр тяжести октанта сферы.

11.	Вторая теорема Гюльдена. Поверхность образована плоской
кривой, вращающейся вокруг оси, лежащей в ее плоскости и не пересекаю-
щей эту кривую; площадь поверхности равна произведению длины кривой
на длину дуги, описанной центром тяжести (на длину окружности, если речь
идет о полном повороте).

12.	Определить поверхность и объем тора, пользуясь теоремами Гюль-
дена.

13.	Пусть а и Ь — полуоси эллипса и 8 — полуэллипс, находящийся
с одной стороны от той оси, длина которой равна 21. Найти центр тяжести

4

площади 8, пользуясь теоремой Гюльдена и известным выражением т.а2Ь

О

объема, образованного полным вращением фигуры &

14.	Радиус инерции тела относительно какой-нибудь оси равен гипоте-
нузе прямоугольного треугольника, катетами которого являются: 1) радиус
инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр
тяжести, 2) расстояние между обеими осями.

15.	Материальная система 8 состоит из двух частей и 8%. Пусть 7i
12 и Г—моменты инерции соответственно ф, 8$ и ‘S' относительно парал-
лельных между собой осей, проходящих через соответствующие центры тя-
жести.

Показать, что

1=Т1 + Г2-+

™'т2	&

Щ	’

где mlt —массы частей и 82 и d — расстояние между соответствую-
щими центральными осями.

16.	Из трех главных моментов инерции, относящихся к одной и той же
точке, ни один не может превзойти сумму двух других. Вывести отсюда, что
если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то он может быть сколь
угодно удлиненным, но не сколь угодно сжатым. Если назовем сжатием от-
ношение (а — с)/а, где а означает экваториальный радиус и с — полярную
полуось, то наибольшее значение, которое может иметь сжатие, есть 1-1//2-

17.	Показать, что радиус инерции однородного прямоугольника со сто-
ронами а, Ь относительно стороны длиной а равен Ь/'Кз.

18.	Радиус инерции однородного треугольника относительно одной из
сторон равен Л/ , где h — соответствующая этой стороне высота. Пока-
зать, что радиус инерции относительно перпендикуляра к плоскости тре-
угольника, проведенного через центр тяжести, равен фЛя-’ -j- Ь3 + с3/6 (а, Ъ, с—
стороны треугольника).

19.	Определить центральный эллипсоид инерции полого параллелепипеда
(коробки, ящика и т. п.), т. е. однородно распределенной массы, заключен-
ной между двумя прямыми прямоугольными параллелепипедами, имеющими
один и тот же центр и параллельные грани [сначала составляется разность
между главными моментами инерции обоих параллелепипедов (п. 82), отно-
сящимися к общему центру].

20.	Дана кубическая коробка, грани которой имеют столь малую тол-
щину, что их можно уподобить материальным поверхностям. Показать (или
на основании предыдущего упражнения, или обращаясь к пп. 33 и 21), что
радиус инерции относительно одной из центральных осей, параллельной
одному из ребер, равен У1оа/6, где а — длина ребра.

21.	Доказать (вспоминая п. 33), что центральные моменты инерции прямо-
угольной рамы (масса, равномерно распределенная между двумя прямоуголь-
никами с одним и тем же центром и с параллельными сторонами) относительно
прямых, параллельных сторонам, суть

(ЯДЗ _ дьз), _L (вдз _ ьдз),

14	14

где:	v — плотность;

В и Н— основание и высота внешнего прямоугольника;

Ъ и h — соответствующие размеры внутреннего прямоугольника.

22.	Сечения балок имеют форму J, С, Д. (фиг. 21). Доказать, что для
каждого из трех сечений момент инерции относительно центральной оси,

Фиг. 21.

параллельной основаниям (т. е. отрезкам длиной В и Ь), равен

^-(ВНЗ-ЬДЗ),
14

где я есть постоянная поверхностная плотность.

23.	Сечения балок имеют форму Н, —-[ (фиг. 22). Доказать, что для
момента инерции будем иметь выражение

~(ВНЗ + №).
14
24.	Доказать, что радиус инерции круглого однородного диска относи-
тельно одного из диаметров равен половине радиуса диска (Ср. пп. 28 и 37).

25.	Доказать, что для кругового однородного кольца, заключенного между
двумя окружностями с радиусами Яр Я2, момент инеоции относительно од-
него из диаметров равен ---------(v — плотность), а момент инерции от-
носительно оси, перпендикулярной к плоскости кольца и проведенной через
центр, вдвое больше (п. 28).

Соответствующими радиусами инерции будут





28. Доказать, что радиус инерции однородной сферической оболочки от-
носительно любого диаметра равен

2(Я^-Я|)

где и Я2 — радиусы обеих сфер, ограничивающих оболочку.

27.	Доказать, что моменты
его осей равны

инерции однородного эллипса относительно

~ аЪ\ Ъа\
4	4

где:	о — плотность;

а и Ь — полуоси.

28.	Доказать, что главные радиусы инерции* (относительно центра тя-
жести) эллиптического однородного кольца, заключенного между двумя го-
мотетическими эллипсами с полуосями а, & и да, qb (q < 1), равны соответ-

Т/р -L	т/'l д2

ственно Ъ ——	, а------- (для Ъ = а см. упражнение 25).

29.	В однородном (прямом) круговом конусе высота равна половине ра-
диуса основания. Доказать, что эллипсоид инерции относительно вершины
есть шар.

30.	Пусть а есть меридианное сечение какого-нибудь тела вращения, не
пересекаемое осью вращения Ог; &'о — центр тяжести сечения; Gr£ — ось, про-
ходящая через центр тяжести сечения параллельно оси вращения; R — рас-
стояние от Go до оси вращения; ос — расстояние любого элемента da от оси;
5 — абсцисса элемента da (расстояние, отсчитываемое с надлежащим знаком)
относительно осей G-^f, с началом в центре тяжести.

Если обозначим через ;j. плотность тела, предполагаемого однородным,
то часть его, образованная вращением любого элемента da, очевидно, имеет
момент инерции

2тср.ж3 da.

Следовательно, момент инерции тела равен

I = 2лр. j* afl de
СТ

ИЛИ

1=2пц J (R + e)3da.
G

Далее, предполагая, что <?о является осью симметрии для площади а и при-
поминая теорему Гюльдена (п. 17), доказать, что

I = т (В? + 38g).

где т есть масса тела, а о0—радиус инерции сечения а относительно пря-
мой (т£ (параллельной оси вращения и проведенной через центр тяжести).

31.	Для тела вращения, оСь симметрии которого принимается за ось О г,
имеем (п. 25) Sj = s2 и, следовательно, при обозначениях предыдущего упра-
жнения,

1 г

St _ s2 _ —

Выражение для суммы =	(так как координата «любого элемента

i

de одинакова для всей части, образованной вращением этого элемента) можно
написать в виде

«з = 2лр. J" г2» da.
a

Предположим, что за плоскость Оху принята плоскость, содержащая
центр тяжести меридианного сечения; тогда ось х будет совпадать с осью $
и мы будем иметь

,?3 = 2я(1 J" г2 (R + i) de.
a

Считая и здесь, что (?(£ является осью симметрии для а, и обозначая
через 80 центральный радиус инерции сечения а относительно (?05 (перпен-
дикуляр к оси вращения), будем иметь

s3 = mo'2.

Отсюда получаем следующее правило:

Пусть 8 есть однородное тело вращения. меридианное сечение кото-
рою е имеет ось симметрии, параллельную оси вращения. Пусть 6 и <>' —
радиусы инерции тела 8 относительно оси врагцения и некоторой (какой
угодно) перпендикулярной к ней прямой, проведенной через центр тяжести
тела. Их можно выразить через радиусы инерции оо и 8g площади мери-
дианного сечения а относительно осей, проходящих через центр тяжести
сечения, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к оси вра-
щения, по формулам

§2 = Д2

6/2 = | 82 +	= 1 да +1.82 + 6,2(

где R есть средний радиус (расстояние от центра тяжести любою сечения
до оси вращения),

N. В. В упражнениях 32—36 8 и 8Z имеют только что указанное зна-
чение и тела предполагаются однородными.

82.	Доказать, что для цилиндра (R— радиус, h — высота) имеем

82=5!

2

(как это уже было получено в п. 33) и

8z2 = 5!+5i.

4 Т 12

88.	Доказать, что для полого цилиндра (Rb R2— радиусы внешней и
внутренней стенок, Л — высота) имеем

Rl + Rl „	Л2

82 — .ЛЛ--2-,	J/2 — _12—1 _1--

2	4	12

84.	Доказать, что для тора (R— средний радиус, г—радиус образую*
щего круга) имеем

82 = Д2 3 r2>	g/2 = 1	5

4	Jo

85.	Доказать, что для кольца с эллиптическим сечением (R— средний
радиус, а и & — полуоси сечения, вторая из которых параллельна оси вра-
щения) (ср. пример 27) имеем

82 = Д2_(_За2	8/2^ 1 да+3 аа U

'4	2	'8'4

36.	Представим себе, что параболоид вращения пересечен плоскостью,
перпендикулярной к оси. Пусть R есть радиус сечения. Доказать, что для
соответствующей части параболоида имеем 8 = R/ j/з".

37.	Маховое колесо состоит из втулки (сквозь которую проходит вал),
обода и шести спиц (расположенных радиально на расстоянии 60°), соеди-
няющих втулку с ободом.

Среднее сечение (плоскостью, перпендикулярной к валу) втулки огра-
ничено двумя окружностями с радиусами r-t = 40 см, г2 = 20 см; сечение
обода ограничено двумя окружностями с радиусами Rx = 2 м, R2 — 1,80 м;
толщина (нормальная к плоскости сечения) как втулки, так и обода равна
40 см. Спицы представляют собой цилиндры с радиусами 8 я и высотой
Rv — rj = 1,40 м. Удельный вес материала (предполагаемого однородным)
равен 7,5.
Вычислить момент инерции I махового колеса относительно оси враще-
ния.

Ответ'. 1=2835,12 кг-м-сек1. Выразить Iq в системе CGS.

38.	Два стальных шара (однородных и равных между собой) соединены
посредством двух цилиндрических стержней (однородных, равных и соос-
ных) со втулкой (однородной) в виде тора, которая может вращаться во-
круг вала (фиг. 23). Среднее сечение, нормальное к оси, имеет вид, пред-
ставленный на фигуре.

Фиг. 23.

Радиусы шаров равны 10 см, радиусы цилиндрических стержней — 1 см,
длины стержней — 40 см. Средний радиус сечения втулки равен 6,5 см, ра-
диус меридианного сечения втулки —1,5 см. Стержни и втулка сделаны из
дерева. Удельный вес стали 7,6, удельный вес дег0'	числить мо-

мент инерции системы относительно оси вращен’-

Ответ: I = 2,21 кг. м • сек2.
Глава XI

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ
О НЬЮТОНОВОМ ПРИТЯЖЕНИИ

§ 1.	Общие соображения

1.	В дальнейшем, при изучении динамики, мы увидим, какие
индуктивные соображения (основанные на законах Кеплера и на
основном уравнении механики, связывающем массу, ускорение и
силу) привели Ньютона к формулировке его знаменитого закона
всемирного тяготения. Этот закон получил удивительные при-
ложения к объяснению и предвидению разнообразных астроно-
мических и земных явлений. Не касаясь здесь вопроса о проис-
хождении закона Ньютона и его конкретных приложений, мы
обратимся сейчас к выяснению природы сил, определяемых этим
законом.

Изучение этих сил является настолько важным (не только для
механики, но также и для других областей математической физики),
что оно вылилось в создание особой дисциплины, так называемой
теории потенциала.

Мы ограничимся здесь изложением лишь первоначальных све-
дений по этой теории.

2.	Пусть Р и Q — две материальные точки с массами соответ-
ственно т и ть расположенные на расстоянии г друг от друга.
Они притягивают друг друга (закон всемирного тяготения) с силами,
прямо пропорциональными произведению их масс и обратно про-
порциональными квадрату расстояния между ними. Таким образом,
каждая из двух масс действует на другую с силой притяжения,
равной по величине

тт±
/ г2 >

где множитель пропорциональности f является универсальной посто-
янной, одинаковой для любых пар материальных точек (принадле-
жат ли они земным телам или входят в состав каких угодно дру-
гих небесных тел). Коэффициент f называется постоянной всемир-
ного тяготения или постоянной Гаусса. Эта постоянная, очевидно,
может быть истолкована (если положить т = ш1==г = 1) как сила,
с которой притягиваются две единичные массы, расположенные
на расстоянии, 'равйом единице. По размерности она, однако, не
однородна с силой. Действительно, так как величина fmm^ имеет
размерность силы (Zf-2m), то размерность f определится равенством

3.	Первое определение постоянной f путем прямого лаборатор-
ного опыта было сделано Кэвендишем (1797)’)• Впоследствии для
определения f были применены другие, более точные способы. Все
они дают для f численное значение (в круглых цифрах) 6,7 • 10~8
(в системе CG-S), т. е. 67 миллиардных долей дины, равное
6,7 • 10~8/980 г, или около 6,7 • 10-11 г2).

Ввиду крайней малости этого числа притяжение двух масс
может стать ощутимым только тогда, когда будет очень большим
произведение ттх или же очень малым знаменатель г2. Первый
случай имеет существенное значение для астрономии, второй встре-
чается в молекулярных явлениях (которые, впрочем, в отличие от
астрономических явлений нельзя рассматривать, пользуясь только
законом всемирного тяготения, так как необходимо учитывать и
многие другие элементы). При значениях т, тг и г, встречающихся
в обычных практических задачах, можно, очевидно, не принимать
во внимание влияние взаимного притяжения. Это, конечно, будет
справедливо до тех пор, пока обе массы будут иметь величину
обычных предметов; но этого нельзя делать, когда одна из них
представляет собой массу Земли. В этом случае, напротив, необ-
ходимо учитывать ньютоново притяжение Земли: оно, как это
будет разъяснено в дальнейшем (гл. XVI), определяет, хотя и не
вполне, но в существенной части, вес тела.

§ 2.	Потенциал

4.	Если даны две материальные точки Р и Q, то по закону
Ньютона они испытывают равные и прямо противоположные при-
тяжения. Очень часто приходится рассматривать только одно из
них, например, притяжение, испытываемое точкой Р. Тогда обна-
руживается различная роль, приписываемая обеим точкам Q и Р.
Мы будем называть Q притягивающей точкой (или притягиваю-
щей массой) и Р — притягиваемой точкой.

’) Кэвендиш Генри родился в Ницце в 1731 г., умер в Лондоне в 1810 г.
Выл членом Лондонского королевского общества и членом Французской
академии наук.

Доклад о его опытах над притяжением тел был опубликован под назва-
нием «Experiments to determine the density of the Earth» (Philosophical
Transactions, 1798).

a; Новейшие определения указывают для f численное значение 6,664 • 10 •
См., например, доклад: Р. R. Heyl, Proc, of the National Academy of Sci-
ences, t. 13, Вашингтон, 1927.
Легко убедиться, что притяжение точки Р точкой Q, рассмат-
риваемое в зависимости от положения точки Р, является консер-
вативной силой. Достаточно заметить, что мы имеем дело с цен-
тральной силой, так как линия действия силы притяжения • должна
постоянно проходить через точку Q (положение которой не зави-
сит от положения, или, что одно и то же, от координат точки Р);
величина является, очевидно, функцией только расстояния г
точки Р от центра притяжения.

Так как сила является притягивающей, то ее радиальная про-
екция (т. е. проекция на направление QP) имеет значение —•
Это и есть та функция от г, которую мы обозначали через <р (г),
рассматривая центральные силы в общем случае [гл. VII, п. 29, в].
Мы видели тогда, что потенциал U есть не что иное, как неопре-
деленный интеграл от функции <р (г); поэтому в настоящем случае,
с точностью до несущественной аддитивной постоянной, мы будем
иметь

JJ__. у? ^^1

Отметим, что мы придем, очевидно, к тому же самому выраже-
нию, если переменим роли точек Р и Q.

Поэтому потенциал U, рассматриваемый как функция от коор-
динат точки Р, определяет проекции силы притяжения, испытывае-
мой точкой Р; наоборот, если потенциал рассматривать как функ-
цию от координат точки Q, он определит проекции притяжения,
испытываемого точкой Q.

Все это можно доказать формально, вводя координаты х, у, st
точки Р и xt> уи точки Q, после чего мы будем иметь

Г = V(x — xtf + {у — ytf -4- (г — ^)2;

выполнив дифференцирование U по различным аргументам, получим

<П7__	dU__ „тт^х— х1

дх	дх1	'	г2	г	’

дЦ_____дЦ______у —

ду	дуг	'	г2	г	’

дЦ_____дЦ____	z— zx

dz	дг^	'	г2	г

В последних частях этих равенств стоят проекции вектора дли-
ной с направляющими косинусами (жх — x)/r, (yL—у)/г,
эти направляющие косинусы и показывают, что мы имеем
здесь дело с притяжением, испытываемым точкой Р. Приравняв
эти проекции соответственно первым или вторым частям равенств,
мы и получим формальное доказательство высказанных выше
утверждений.

5.	В дальнейшем мы будем рассматривать Р только как при-
тягиваемую точку и будем предполагать, что имеется какое угодно
число притягивающих точек Qi (г = 1, 2, обозначив через mt
массу точки Qit через xit yit ее координаты, через ее рас-
стояние от точки Р, мы будем иметь для каждого из испытывае-
мых этой точкой притяжений потенциал f^£ и, следовательно,

ri

результирующей силы потенциал, определяемый суммой

п

ртт^  хтт.2 .	. ,ттп „	%

/ Г1 "Т' Га “Г • • • + / r

i = l

Обычно (см. замечание из гл. VII, п. 24, по поводу любого
силового поля) отвлекаются от множителя т и называют ньютоно-
вым потенциалом (потенциалом притяжения, испытываемого точ-
кой Р от притягивающих масс т1г т2, ..тп) функцию

п

(1)

1 = 1

которая, очевидно, является единичным потенциалом, т. е. потен-
циалом силы, которую испытывала бы единичная масса, помещен-
ная в положение Р.

Функция U, рассматриваемая как функция от координат х, у, г
точки Р; очевидно, будет конечной и непрерывной для всех значе-
ний аргументов, при которых не обращается в нуль ни один из
знаменателей т. е. для всех точек пространства, за исключе-
нием притягивающих точек Qt. Когда точка Р приближается
к какой-нибудь одной из точек Qit то один (и только один) из
знаменателей rt стремится к нулю и функция U (х, у, г) вслед-
ствие этого неограниченно возрастает.

Очень легко показать, что производные от Р какого угодно
порядка тоже непрерывны во всякой точке, за исключением точек Q,-.
Это имеет место, в частности, для первых производных, или про-
екций силы притяжения, что следует также из закона обратной
пропорциональности квадратам расстояний.

6.	Для всякой системы значений ж, у, г, за исключением зна-
чений xit у{, остаются в силе обычные правила дифференциро-
вания. Применяя их к функции l/rir последовательно найдем,

<э-	с»2-	.	,

Г] ___x — Xj г{ ___________1_ , (ж — х{)-

дх	’ дх-	Tf
и аналогичные формулы для переменных у и z. Складывая три
вторых производных и принимая во внимание, что

(ж — ж,-)2 + (у—ytf + (z — ^,-)2

есть не что иное, как г2, тождественно получим

З2 А З2 —	32 —

ri I	ri I___и   п

За-2 ~1 ду2 ' dz2

Отсюда для потенциала U тотчас же получится уравнение

(2)

дх2 т ду2 Г dz2 ’	W

представляющее собой уравнение с частными производными вто-
рого порядка; потенциал U(x, у, .?) удовлетворяет этому уравне-
нию в каждой правильной точке (т. е. во всякой точке, в которой
функция U и ее производные остаются конечными и непрерыв-
ными), или, иначе, в точке, отличной от притягивающих масс.

Уравнение (2) обычно пишется в сокращенной форме

Д21/=0,	(2')

где через Д2 обозначен дифференциальный оператор

32  32 , 82

дх2 "* Зу2 "* dz2 ’

применяемый к любой функции от х, у, z. Оно называется урав-
нением Лапласа1) и имеет основное значение не только для тео-
рии потенциала, но также и для других областей чистого и при-
кладного анализа.

7.	Все предыдущее распространяется со случая конечного числа
притягивающих материальных точек на случай (более соответствую-
щий действительности) масс, непрерывно распределенных внутри
некоторой области трех, двух или одного измерения, т. е. на слу-
чай материального тела, поверхности или линии С.

Представим себе, как обычно, тело С разделенным на части ДО,
каждая из которых рассматривается как материальная точка с мас-
сой Диг, локализованной в какой-либо геометрической точке Q
области пространства, занятой частью ДО тела.

!) Лаплас Пьер Симон родился в 1749 г. в маленьком городке Бомоне
на северо-западе Франции, умер в Париже в 1827 г. Известен не только
результатами, полученными им в небесной механике и  в различных обла-
стях математической физики (в частности, в акустике, в теории капилляр-
ности и в электромагнетизме), но также своими трактатами по небесной
механике (в пяти томах) и по теории вероятностей и произведениями:
„Exposition du Systeme du mond“ (в двух томах) и „Essai philosophique sur
les probabilities”,
Обозначим через г расстояние точки Q от притягиваемой точки Р
(которая, конечно, предполагается внешней для области 8, занятой
телом С и, следовательно, отличной от любой точки Q) и рассмот-
рим сумму

распространенную на различные части АС.

Если введем плотность р (которую надо считать, как обычно,
конечной и, вообще говоря, непрерывной функцией от точек
области /?), то, как известно, интеграл

U^ff^dS,	(3)

8

распространенный на область 8, представляет собой предел, к кото-
рому стремится сумма f 2 — > когда число частей АС, на кото-
рые мы делим тело, стремится к бесконечности по какому-нибудь
закону, а объем А8 каждой части стремится к нулю. Обоснование
этого определения по существу тождественно с тем, которое было
дано при выводе формул, определяющих положение центра тяжести
(гл. X, п. 15), а также при вычислении моментов инерции (гл. X,
и. 31). Достаточно, чтобы была определена плотность и чтобы функ-
ция под знаком интеграла, т. е. в настоящем_.случае функция р/г,
была интегрируема. Если ограничиться, как мы условились, при-
тягиваемыми точками Р, внешними для области £ (вследствие
чего г остается всегда > 0), то можно утверждать, что р/r является
интегрируемой функцией, так как оба множителя р и 1/г интегри-
руемы; последний является, кроме того, конечной, непрерывной и
дифференцируемой функцией как координат 6, т;, С любой притя-
гивающей точки Q (по которым должно выполняться интегрирова-
ние), так и координат х, у, z притягиваемой точки Р.

Далее, если мы будем рассматривать интеграл j*y d8 как функ-
s

цию от координат х, у, z точки Р (которые входят в подинте-
гральную функцию в виде параметров), то можно утверждать, что
интеграл представляет собой функцию конечную, непрерывную и
сколько угодно раз дифференцируемую; так как, кроме того, пре-
делы области интегрирования не зависят от параметров х, у, z
(потому что при изменении Р область 6' остается неизменной), то
можно еще применить правило дифференцирования под знаком
интеграла и, принимая во внимание, что р- есть функция точки Q
И не зависит от х, у, z, написать

д-

d.Vf C^-LdS	(4)
и аналогичные формулы для двух других координат; на таком же
основании можно выполнять и дальнейшие дифференцирования.
В частности, уравнение (2х) принимает при этом вид

Д8г7=/-/ |ад81(^=о.

S

Таким образом, дело обстоит так, как если бы функция U была
суммой конечного числа слагаемых: в этом последнем случае имеет
место элементарное правило, заключающееся в том, что производ-
ная от суммы равна сумме производных от отдельных слагаемых.

Подобно тому, как потенциал U является пределом, к которому
Дт

стремится сумма f , когда неограниченно уменьшаются части
ДС, так и интеграл, стоящий в правой части равенства (4), является
пределом суммы

di

представляющей собой проекцию на ось х полного притяжения раз-
личных частей ДС, рассматриваемых как материальные точки. По-
лученный таким образом предел (при любом законе деления на
части, лишь бы оно продолжалось до бесконечности) можно рас-
сматривать как соответствующую проекцию полного притяжения,
действующего на точку Р со стороны масс, непрерывно распреде-
ленных внутри области 8. Отсюда имеем правило:

Для всякой притягиваемой точки Р, внешней для области 8,
занятой притягивающими массами, проекции силы притяжения
равны (как и в случае конечного числа притягивающих масс)
соответствующим производным от потенциала U, выражающегося
в виде

U^f^dS-,

s

это выражение для V совпадает с выражением для потенциала
в случае конечного числа притягивающих точек [равенство (1)],
за исключением лишь того, что сумма заменена здесь интегралом.

8.	Возвращаясь опять к случаю конечного числа притягиваю-
щих масс Q4(i = l, 2, ..., ri), вспомним (и. 5), что потенциал и
сила притяжения безгранично возрастают, когда притягиваемая
точка Р приближается к одной из точек (Д

В случае массы, распределенной непрерывно внутри некото-
рой области (одного, двух или трех измерений), сама собой воз-
никает задача исследовать, что происходит, когда притягиваемая
точка Р неограниченно приближается к области 8 или находится
внутри этой области.
Существенная разница, по сравнению с рассмотренным только
что случаем точки Р, внешней относительно тела (т. е. относи-
тельно области, занятой притягивающими массами), состоит в том,
что функция р./г под знаком интеграла в выражении потенциала U
обращается в бесконечность в точке Р, если Р является внутрен-
ней для S, или стремится к бесконечности, если точка Р (пред-
полагаемая внешней) неограниченно приближается к телу. Необхо-
димо поэтому исследовать, как влияет особая точка, которую имеет
подинтегральная функция, на потенциал U, на его производные,
на проекции X, Y, Z силы притяжения, на соотношения

ди	v_du	у__ди

Л ~ дж’	1 ~ ду ’	дя '

которые имеют место, когда речь идет о внешних точках, и т. д.

На все эти важные вопросы исчерпывающим образом отвечает
теория потенциала1)*). Чтобы привести здесь те соображения и
результаты, к которым при этом приходят, предпошлем некоторые
сведения из анализа.

9.	Несобственные интегралы. Обратимся сначала ради простоты
к функции f(x) от одного только переменного и предположим, что
она остается конечной и непрерывной во всем закрытом интервале,
от х = а до х — Ъ, за исключением лишь одной точки х = с,
в которой она становится бесконечно большой. Если мы около точки
х = с рассмотрим интервал (с — 8, с 8'), расположенный внутри
заданного интервала, то функция f (ж) будет конечной и непрерыв-
ной, а следовательно, и интегрируемой от х = а до х — с— 8 и
от х — с 8' до х = Ъ, так что сумма двух интегралов

с-8	ь

§f(x)dx-}- J f(x)dx	(5)

a	c-f-5'

окажется вполне определенной и конечной. Если эта сумма стре-
мится к конечному и определенному пределу при всяком одновре-
менном стремлении к нулю 8 и В', то этот предел называется не-
собственным интегралом от а до & функции f{x) и обозначается
символом

ъ

J f(x)dx.

___________ а

1) См., например, Betti, Teorica delle forze newtoniane, Пиза, 1879,
гл. I; Poincare, Theorie du potentiel newtnien, Париж, 1889, гл. I — III, или
еще Appell, Traite de mecanique rationelle, t. Ill, 3-е изд., Париж, 1921,
гл. XXIX; А п п e л л ь П., Руководство теоретической механики, т. Ill,
гл. XXIX, 1911.

*) Идель сон Н. И., Теория потенциала с приложениями к теории
фигуры Земли и геофизике, Ленинград, 1936; Сретенский Л. Н„
Теория ньютоновского потенциала, Москва, 1946. {Прим, ред.)
Ь

Аналогично определяется и интеграл J f(x) dx, когда функ-
а

ция f(x) обращается в бесконечность при значениях х — а или
х = Ъ; это определение распространяется и на более общий случай
интеграла по области одного, двух или трех измерений функции
f(Q) переменной точки Q, когда функция остается конечной и не-
прерывной во всей области интегрирования, за исключением одной
точки Р, где она обращается в бесконечность. Если для опреде-
ленности речь будет идти об области 8 трех измерений, то мы
будем представлять себе около точки Р, внутри S, малую область у,
например сферу с центром в Р с достаточно малым радиусом 8,
и рассмотрим область /?*, которая получится из 8 в результате
вычитания области у. Внутри 8* функция f (Q) остается конечной
и непрерывной, так что остается определенным и конечным ин-
теграл по области

J f (2) dS.
s*

Если этот интеграл стремится к конечному и определенному
пределу, как бы ни уменьшалась неограниченно область около
точки Р, то этот предел называется несобственным интегралом
от f(Q) в области 8 и обозначается символом

//«?) dS.

8

10. Предыдущие интегралы имеют смысл только при условии,
что предел интеграла (5) или аналогичного интеграла (5') является
определенным. При этом нет необходимости указывать общий при-
знак, позволяющий определить во всяком случае, на основании
поведения функции f в особой точке, существует или не суще-
ствует этот предел, т. е. несобственный интеграл. Достаточно, как
и для сходимости рядов, иметь признаки, приложимые к различным
частным случаям.

Наиболее простым и наиболее полезным для нашей цели при-
знаком является следующий. Функция /’(Q), остающаяся конечной
и непрерывной во всей области 8, за исключением лишь одной
точки Р, где она обращается в бесконечность ’), будет интегри-
руемой в этой области, если в точке Р она обращается в беско-
нечность порядка не выше т, где т есть число, меньшее 3, 2
или 1, в зависимости от того, будет ли область интегрирования

!) О функции f (Q) говорят, что она обращается в точке Р в беско-
нечность порядка не выше т, если произведение r^f (Q), где г есть рас-
стояние QP, остается конечным при стремлении Q к Р, и обращается
в бесконечность порядка т, если это произведение стремится к конеч-
ному и отличному от нуля пределу.
трех, двух или одного измерения. В противоположность этому,
если функция f(Q) обращается в Р в бесконечность порядка не
ниже 3, 2 или 1, в зависимости от размерности области 8, то она
будет наверное неинтегрируемой в этой области. Если же о по-
рядке бесконечности функции f(Q) в точке Р известно только,
что он не превышает 3, 2 или 1 в зависимости от рассматривае-
мого случая, то ничего нельзя сказать об интегрируемости функ-
ции, если не обратиться к какому-нибудь другому, более точному
признаку.

Так, например, интеграл

1 • 1 л

* sin — ах

Г х
J X
о

существует и является вполне определенным, тогда как интеграл

2 sin2 — dx
Г X
J х
о

не имеет смысла, хотя в обоих случаях рассматриваются функции,
которые при х = 0 имеют бесконечность порядка не выше 1.

11.	Дифференцирование под знаком интеграла. Пусть функция f
зависит, помимо переменной точки, изменяющей свое положение
в области 8, еще от некоторого параметра Л, изменяющегося в
некотором промежутке А. Если она является конечной и непре-
рывной как относительно Q ъ 8, так и относительно А в А, то
интеграл

I=ffWd8	(6)

8

будет функцией от Л, непрерывной во всем промежутке А; если,
кроме того, существует производная dfjdK, которая является также
конечной и непрерывной функцией относительно Q в 8 и относи-
тельно Л в А, то существует также интеграл

fl®
J ок

S

и оказывается справедливым так называемое правило дифференци-
рования под знаком интеграла, поскольку мы имеем, что

= (?)

J дК ак	' '
Предыдущие результаты при подходящих условиях распростра-
няются также и на случай, когда функция /’(Q|X) при некотором
значении Хо параметра Л обращается в точке Р внутри области 8
в бесконечность.

Именно, предположим, что функция является интегри-
руемой внутри области 8 (п. 10), каково бы ни было значение
параметра X в промежутке А; предположим, кроме того, что если
точка Р находится в некоторой сколько угодно малой области у,
внутренней для 8, то функция f (Q|X) остается конечной и непре-
рывной, как бы ни изменялось положение точки Р внутри области
8* = 8—г

При этих предположениях интеграл (6) все еще будет опреде-
ленной и непрерывной функцией от X в промежутке А. Если,
далее, существует производная df/dX и обладает теми же только
что допущенными для функции f свойствами, то будет иметь силу
равенство (7), т. е. к равенству (6) можно приложить правило
дифференцирования под знаком интеграла; таким образом, и в этом
случае будет справедливо равенство (7) во всем промежутке А.

12.	Предыдущие теоремы непосредственно применяются к по-
тенциалу Ньютона.

Рассмотрим прежде всего потенциал некоторого трехмерного
распределения материи

U(x, у, =

8

Очевидно, что если притягиваемая точка Р (я, у, г) совпадает или
стремится к совпадению с некоторой точкой Q ($,-/], С) притягиваю-
щего тела, то подинтегральная функция обращается в бесконеч-
ность; но так как порядок бесконечности равен 1 (т. е. меньше 3),
то, как мы уже знаем (п. 1.0), подинтегральная функция остается
интегрируемой и потенциал U будет конечным и непрерывным не
только вне притягивающей массы, но также и на поверхности и
внутри нее. Кроме того, внутри области 8 существуют также и
частные производные от функции р/г по координатам х, у, г при-
тягиваемой точки; если точка является внутренней для тела С, то
частные производные обращаются в ней в бесконечность порядка
не выше 2, тогда как во всем остальном теле они остаются конеч-
ными и непрерывными. Отсюда заключаем (и. 11), что’потенциал U
представляет собой дифференцируемую и потому непрерывную
функцию не только вне притягивающей массы, но также на поверх-
ности и внутри нее; производные потенциала также будут непре-
рывными функциями и получатся путем дифференцирования под
знаком интеграла, т. е. определятся формулами (4) п. 7.

Если мы перейдем ко вторым производным от функции р/г по
координатам х, у, z точки Р, то на основании и. 6 увидим, что
если Р будет совпадать с какой-нибудь точкой Q притягивающей
массы, то производные обратятся в бесконечность порядка, не пре-
вышающего 3, так что мы сталкиваемся здесь с одним из тех слу-
чаев, когда, согласно критерию и. 10, интегрируемость остается
сомнительной. Мы ограничимся здесь лишь утверждением, что эти
вторые производные от потенциала по х, у, z существуют и не-
прерывны внутри притягивающей массы, если непрерывна плот-
ность р; но их нельзя получить путем дифференцирования под зна-
ком интеграла, и они обнаруживают разрывы при переходе через
границу.

13.	Если, далее, мы будем рассматривать потенциал V поверх-
ностного распределения материи, то, как и выше, увидим, что он
будет конечным и непрерывным в точках поверхности, благодаря
тому что функция р/r при совпадении притягиваемой точки Р (х, у, z)
с точкой Q ($, т], Q притягивающей поверхности остается все еще
бесконечно большой величиной первого порядка. Но здесь, вслед-
ствие того, что речь идет об интеграле по области двух измерений,
на основании критерия п. 10 уже для производных первого порядка
от . подинтегральной функции будет иметь место сомнительный
случай интегрируемости, так как эти производные при совпадении
точки Р с Q обращаются в бесконечность порядка не выше 2.
Подобно тому, как мы поступили выше, в п. 12, мы ограничимся
и здесь утверждением, что первые производные от U существуют
даже тогда, когда притягиваемая точка безгранично приближается
к притягивающей поверхности или лежит на ней, но представляют
разрывы при переходе через поверхность и не могут получиться
прямым дифференцированием под знаком интеграла.

Наконец, в случае материальной линии I критерий п. 10 пока-
зывает, что потенциал

U = f$

i

обращается в бесконечность на притягивающей линии, поскольку
речь идет об одномерном интеграле от функции, которая внутри
области интегрирования обращается в бесконечность первого порядка.

14.	Обычная физическая интерпретация аналитических выводов,
полученных выше, позволяет дополнить результат п. 7.

Для определенности обратимся к наиболее интересному и ясному
случаю трехмерного распределения материи и попытаемся отдать
себе отчет о притяжении телом С точки Р (единичной массы),
расположенной внутри него (или на поверхности). Заключим точку Р
в малый объем у, внутренний для пространственной области S,
занятой телом С, например в маленькую сферу (или часть ее)
С центром в Р и с достаточно малым радиусом 8, и обозначим
через С* тело, которое получится после удаления из тела С малень-
кой части его у. Областью, занимаемой телом С*, будет 8* = 8— у.
Сила притяжения, с которой С* действует на Р, на основании п. 7
имеет проекции

di	di

fh-sds' Фъ® Фтг™-
8»	8*	В*

Если мы будем приближать объем у к нулю, стягивая его в точку Р,
то проекции силы притяжения будут стремиться к интегралам по
области 8, т. е. к интегралам

di di di

(8)

s	s	s

это будет иметь место, какова бы ни была форма полости у, кото-
рую мы должны представлять себе в 8, и каким бы способом мы ни
заставляли ее стремиться к точке Р. Если теперь представим себе,
что при этом переходе к пределу, вводя последовательно все новые
и новые материальные элементы тела С, придется исчерпать их все,
то физически окажется оправданным рассмотрение выражений (8)
как проекций силы притяжения, действующей на Р от целого тела.

В заключение, учитывая также результат, сформулированный
в конце п. 7, мы можем сказать, что для любой притягиваемой
точки (масса которой равна единице), будет ли она внешней или
внутренней для притягивающего тела (или находящейся на его по-
верхности), проекции силы притяжения, действующей на нее, будут
производными по координатам точки от потенциала

и (Ж, у, 2) + fftdS.

S

Речь идет, следовательно, о консервативной силе, которая
является (векторной) непрерывной функцией от притягиваемой точки
во всем пространстве.

§ 3. Приложения

15.	Изложенного в предыдущих пунктах достаточно для действи-
тельного определения потенциала в некоторых простых случаях,
которые, впрочем, являются наиболее важными для механических
приложений.
16.	Притяжение однородной сферической поверхности. Прежде

всего рассмотрим силу притяжения, действующую на точку Р,
внутреннюю для сферы, ограниченной притягивающей поверхно-
стью <з (фиг. 24). Пусть do есть любой элемент поверхности этой
сферы, Q— точка, внутренняя для элемента. Обозначая через v
поверхностную плотность (по предположению, постоянную), можно

будет самый элемент уподобить материальной точке, совпадающей
с Q, с массой v do (конечно, с точностью до бесконечно малых по-
рядка, высшего, чем порядок do).

Если мы рассмотрим элементарный конус с основанием do и

с вершиной в точке Р,
женные за вершину Р,

то соответствующие образующие, продол-
вторично пересекут сферическую поверх-
ность по контуру элементарной площадки do';
если мы обозначим через Q' точку пересе-
чения со сферой прямой PQ, находящуюся
по другую сторону от Р по сравнению с Q,
то элемент da' можно рассматривать как
другую материальную точку, помещенную
в Q' и с массой vda'.

Далее легко установить, что силы притя-
жения, действующие на точку Р со стороны
двух элементов da и da', уравновешиваются
(по крайней мере, с точностью до бесконечно
малых порядка, высшего, чем da или da').
Эти силы имеют (по крайней мере, с точ-

ностью до бесконечно малых указанного порядка) прямо противо-

положные направления; поэтому все сводится к тому, чтобы дока-
зать равенство двух абсолютных величин fidajr2 и fids'! г'* сил,
где через гиг' обозначены расстояния точки Р от точек Q и Q'.
Для этой цели представим себе две сферы л и «', описанные из
центра Р радиусами г и г' и проходящие соответственно через
точки Q и Q', и обозначим через drc и dP элементы площади
(окружающие Q и Q'), которые будут вырезаны из этих сфер кону-
сами, проектирующими элементы da и da' из Р. Элементы dit и drc',
как подобные элементы двух сфер с радиусами г и г', относятся

как квадраты радиусов, так что

die  drt'

,•2	rf2

(9)

Кроме того, все рассматриваемые сферические элементы da,
da', du, dit' (по крайней мере, с точностью до бесконечно малых
высшего порядка по отношению к площадям) можно уподобить
плоским элементам, в частности элементам касательных плоскостей
в точках Q и Q' к сферам а, л и с другой стороны, так как
различные радиусы (выходящие из Р), проектирующие da и da',
пересекают контуры элементов dit и dot' под прямыми углами, то
dit и du' можно рассматривать как прямоугольные проекции эле-
ментов da и da' на плоскости, касательные соответственно к сфе-
рам к и я' в точках Q и Q'. Далее, угол между двумя касатель-
ными плоскостями к элементам da и drc или к элементам da' и
dit' равен углу между соответствующими нормалями, т. е. между
радиусами двух сфер аил или а' и л', идущими соответственно
к Q или Q'. На фиг. 24, если обозначим через О центр сферы а,
это будут углы OQP и OQ'P, которые, как углы при основании
равнобедренного треугольника OQQ', равны между собой. Поэтому
если обозначим через 6 общую величину углов OQP и OQ'P, то
будем иметь

dit = da cos 6, dit' = da' cos 0;

равенство (9) можно будет после этого написать в виде

da__da'

•

Отсюда как раз и следует равенство

f£d<}==f^d°'>

т. е. равенство абсолютных величин сил притяжения, действующих
на точку Р со стороны материальных элементов da и da', проти-
воположных относительно Р.

Теперь легко показать, что полное притяжение однородной
сферической поверхности равно нулю во всех точках, внутрен-
них для сферы.

Для определения этого результирующего притяжения достаточно
представить себе, что каждому притягивающему элементу da со-
ответствует противоположный ему (относительно притягиваемой
точки Р) элемент da', а затем составить (геометрическую) сумму
элементарных составляющих силы притяжения, нроисходящих от
всех таких пар элементов. Так как каждая из этих элементарных
составляющих равна нулю (по крайней мере, с точностью до чле-
нов порядка, высшего, чем da), то интеграл (предел только что
указанной геометрической суммы) будет (строго) равен нулю.

17.	Вспоминая (п. 7), что проекции силы ньютонова при-
тяжения суть не что иное, как производные от потенциала U, мы
должны отсюда сделать вывод, что во всем внутреннем для a
пространстве (где притяжение есть нуль) потенциал

v=f№

имеет постоянное значение.
Для того чтобы определить это значение, достаточно подсчи-
тать его для какой-нибудь отдельной точки, выбранной как угодно
внутри сферы. Выберем в качестве такой точки центр; тогда рас-
стояние г притягиваемой точки от любого притягивающего эле-
мента da будет постоянно и равно радиусу сферы, откуда следует,
что

Л J

9

или, если заметить, что J vda есть не что иное, как полная масса т
притягивающей сферической поверхности,

XV

18.	Перейдем теперь к случаю внешней притягиваемой точки

и сделаем сначала одно замечание геометрического характера.

Пусть Р (фиг. 25) есть
верхности а, р — расстояние

точка, внешняя для сферической по-
точки Р от центра О сферы. Пусть
р > В и, следовательно, если поло-
жим

рр' = Р?,

р' < В. Если поэтому на отрезке ОР
рассматривается та точка Р', которая
отстоит от О на р', то можно быть
уверенным, что Р' находится внутри
сферы.

Далее, обозначим через г и г'
расстояния от Р и Р' до произволь-

ной точки Q на поверхности о. На основании соотношения
рр’. — Р? общий угол треугольников QOP', POQ при вершине О

оказывается заключенным между парами пропорциональных сторон.
Эти треугольники, следовательно, подобны, и отношение между
двумя соответственными сторонами P'Q — r' и QP = r равно отно-
шению двух других соответственных сторон OQ — В и ОР — р.

Поэтому имеем

1=В2

V р г'

(Ю)

19.	После этого замечания возвратимся к притяжению сфери-
ческой поверхностью а точки Р, внешней для сферы. Вместо силы
здесь (как, впрочем, и в огромном большинстве случаев) удобнее
определить прямо потенциал
Используя соотношение (10) и принимая во внимание, что р и R
не зависят от положения точки Q на поверхности а, можно вынести
их из-под знака интеграла; поэтому будем иметь

9

п	!	С da

Если задано значение г, то f I очевидно, представляет

собой потенциал притяжения сферы а во внутренней точке Р'.
Ему можно приписать значение, найденное в п. 17, после чего
получим

(и)

Это есть ньютонов потенциал (для притягиваемой точки Р)
некоторой массы т, расположенной в О; мы получили, таким
образом, теорему:

Однородная сферическая поверхность действует на внешние
точки так, как если бы вся масса ее была сосредоточена в центре
сферы.

20.	Притяжение однородного сферического слоя и, в частности,
сферы, состоящей из однородных концентрических слоев. Пусть Rt
и R2 (J?j>J?2)—радиусы сферического слоя К (т. е. радиусы
двух сферических поверхностей, ограничивающих слой изнутри и
снаружи), и р — радиус любой сферической поверхности а, кон-
центрической с граничными поверхностями и лежащей внутри слоя
(J?2<^ Р <^); обозначим, кроме того, через ЯК элементарный слой,
заключенный между сферами с радиусами рирН-dp, а через dm —
массу этого слоя.

Предположение об однородности каждого из составляющих сферу
слоев позволяет рассматривать его как однородную материальную
сферическую поверхность; поэтому можно непосредственно прило-
жить результаты предыдущих пунктов. Остается только сумми-
ровать элементарные слагаемые, соответствующие каждому эле-
ментарному слою dK. Рассмотрим отдельно различные случаи,
которые могут представиться в зависимости от положения притя-
гиваемой точки Р относительно слоя.

21.	В точках, находящихся внутри полости, образуемой сфери-
ческим слоем, притяжение, очевидно, равно нулю, так как (п. 16)
притяжения отдельных элементарных слоев dK. в этих точках
равны нулю. Следовательно, потенциал остается постоянным внутри
всей полости, и его численное значение получится, если мы про-
суммируем элементарные потенциалы.

Обозначив через р плотность слоя, которая, по предположению,
является функцией только расстояния от центра р, и через dm
массу любого элементарного слоя dK, мы будем иметь (принимая
во внимание, что объем dK равен 4~p2dp)

dm == 4~р (р) р2 dp,

откуда (если в качестве переменной интегрирования будем писать з
вместо р)

к,

U = 4-rtf j* р (s) s ds.	(12)

R,

Это и есть постоянное значение потенциала слоя внутри полости.
Если плотность р постоянна, то будем иметь

У =2^ (Б2-Б2).	(129

22.	Случай притягиваемой точки Р, внешней для слоя (радиус-
вектор р > R). Так как каждый элементарный слой dK действует
на Р так, как если бы вся его масса была сосредоточена в О,
то то же самое можно сказать и о целом слое К, и потому потен-
циал, как и в случае сферической поверхности, будет иметь вид

U = f~,
Р

(И)

где т означает всю притягивающую массу, т. е. полную массу
слоя.

Это выражение представляет собой, в частности, потенциал
притяжения полной сферы (состоящей из однородных концентриче-
ских слоев) во внешних точках.

23.	Предположим, наконец, что притягиваемая точка находится
внутри притягивающего слоя (Б2 р R,). В этом случае потен-

Фиг. 26.

циал можно вычислить, воспользовавшись
тем обстоятельством (п. 12), что для вся-
кого пространственного распределения при-
тягивающих масс потенциал и его первые
производные остаются всюду конечными и
непрерывными функциями (несмотря на то,
что точка Р, лежащая внутри притягиваю-
щей массы, есть особая точка подинте-
гральной функции).

Представим себе, что слой К разделен
на две части посредством сферической по-

верхности с радиусом р, проходящей через
притягиваемую точку Р (фиг. 26). Пусть Кг есть внешний слой
(с радиусами Rlt р) и ТГ2— внутренний (с радиусами р, Р2). Если
мы обозначим через и Р2 потенциалы слоев КЛ и К2, относя-
щиеся к какой-нибудь точке и, в частности, относящиеся к точке Р,
то будем, очевидно, иметь (в точке Р)

и=и^и2,

поэтому достаточно определить Ux и U2. Мы знаем уже (п. 21)
(постоянное) значение Ur во всех внутренних точках сферы с радиу-
сом р (которая составляет полость слоя К^; вследствие непрерыв-
ности функция U\ сохранит то же самое значение также и на
поверхности сферы с радиусом р и, в частности, в точке Р, так
что на основании формулы (12) будем иметь

л,

Ui = 4xf J р (s) s ds.
p

Что же касается потенциала U2, то мы знаем (п. 22) его
выражение для всякой точки, внешней относительно слоя К2; вслед-
ствие непрерывности потенциала выражение для U2 останется
в силе также и на внешнем контуре; поэтому равенство (11),
если его применить к точке Р и принять во внимание, что т
(масса 2Г2) имеет значение р (s) s2 ds, даст

1 г

U2 = ±Kf~ Г p(s)s2ds.

Отсюда получается искомое выражение потенциала для внут-
ренних точек притягивающего слоя, а именно

Jp(s)sds + у Jp(s)s2ds| (Й2<р<2?1). (13)
Р	-Ра

В случае однородного слоя (плотность р постоянна), выполняя
указанное интегрирование, найдем

11	1	1 7?3 \

и, в частности, для полной сферы с радиусом В, — R, В2 — 0)

^=Wp|lj?2-|p2) (р<7?).	(1з')

24.	Как мы видим и как это можно предвидеть из соображе-
ний симметрии, потенциал сферического слоя, составленного из
однородных сферических слоев, зависит только от расстояния р
притягиваемой точки Р от центра слоя. Поэтому эквипотенциаль-
ные поверхности представляют собой концентрические сферы,
а силовые линии — соответствующие радиусы, так что притяжение
(также и в точках Р, внутренних для притягивающей массы) есть
центральная сила, имеющая О центром силы. Проекция <? силы
притяжения на направление радиуса (радиальная проекция) опре-
деляется (гл. VII, п. 26) производной dUfd^, дифференцируя
равенство (13) по р и принимая во внимание, что оба члена, про-
исходящие от дифференцирования первого интеграла по нижнему
пределу и второго по верхнему пределу, сокращаются, получим

? =	№<р<2?1),	(14)

откуда видно, что является существенно отрицательной величи-
ной. Это подтверждает тот факт, становящийся очевидным на осно-
вании деления слоя на две части Кг и К2, что также и внутри при-
тягивающего слоя сила притяжения всегда направлена к центру.

Заметим, что при р = 2?р если примем во внимание, что пол-
в,

ная масса т слоя равна j* 4itsep (s) ds, выражение (14) может быть

написано в виде

т. е. для точки, лежащей на поверхности слоя, как и для внешней
точки, потенциал имеет такой вид, как если бы вся масса слоя
была сосредоточена в центре.

При р = У?2, наоборот, имеем <р = 0, как это и требуется для
того, чтобы сила притяжения была равна нулю во всех точках
внутренней полости.

Таким образом, в этом примере непосредственными вычисле-
ниями мы подтвердили непрерывность поля силы тяжести.

В частном случае полной однородной сферы из равенства (14),
полагая в нем плотность р постоянной и Х = О, или из равен-
ства (13) после дифференцирования будем иметь

<р = —-|тг/рр (р<Б).	(14')

О

Притяжение во внутренних точках будет поэтому прямо про-
порционально расстоянию от центра.

26. Притяжение полной однородной сферы. Обозначим через В
радиус сферы, через р плотность, вследствие чего масса будет
определяться равенством

т — р 4 кУ?3,
О

и через р расстояние любой притягиваемой точки Р от центра.
На основании пи. 22, 23 будем иметь

и=

— , во внешних точках (p>J?),

4-itfp. 0- J?2 — -i- p2 ) == (у 7?2—-j- p2), во внутренних точ-
ках (p< R).

При p = R мы получим

одно и то же значение из обоих

равенств.

Сила притяжения всегда
, . I dU I

9 = j- определяется во

направлена к центру, и ее величина

внешних точках выражением fmjfi,

как если бы вся масса была сосредото-
чена в центре; во внутренних точках
сила притяжения равна у к/’р.р—fmp/R3
и оказывается, таким образом, про-
порциональной расстоянию от центра.
На поверхности (р = R) имеем общий
предел fmlRP. Поэтому, если предста-
вим графически величину силы притя-
жения, беря за абсциссу расстояние р

притягиваемой точки от центра и за

ординату абсолютную величину радиальной проекции <р силы при-
тяжения (фиг. 27), то получим непрерывную кривую, составленную
(для значений р между р = 0 и р — R) из прямолинейного отрезка,
выходящего из начала и (при p>J?) из дуги кубической гипер-
болы, пересекающей прямолинейный отрезрк под конечным и
отличным от нуля углом, образуя точку заострения. Поэтому про-
изводная от абсолютной величины силы притяжения по р при р == R

имеет разрыв.

26.	Притяжение однородным эллипсоидальным слоем внутренних

точек. Понимая под эллипсоидальным слоем всякий материальный

слой, заключенный между двумя концентрическими гомотетичными

относительно общего центра эллипсоидами,
мы покажем здесь, что, в предположении
однородности, притяжение такого слоя во
всякой точке внутренней полости равно нулю.

Обратимся сначала к эллипсоидальному
слою очень малой толщины, которую мы
будем считать величиной первого порядка;
выберем внутри полости какую-нибудь точ-
ку Р (фиг. 28) и рассмотрим элементарный
конус с вершиной в этой точке. Этот конус

вырежет на поверхности внешнего эллипсоида элементарную пло-
щадку da — основание материального элемента, заключенного внутри
конуса. Противоположный конус вырежет из слоя другой матери-
альный элемент, площадь основания которого на внешнем эллип-
соиде обозначим через da'. Покажем теперь, что силы притяже-
ния, действующие на точку Р со стороны двух указанных матери-
альных элементов, равны и прямо противоположны. Так как
материальные элементы, о которых идет речь, можно считать
материальными точками, то непосредственно ясно, что обе силы
притяжения имеют одну и ту же линию действия и противополож-
ные направления, так что все сводится к тому, чтобы доказать
равенство (по крайней мере, с точностью до бесконечно малых
высшего порядка) абсолютных величин этих сил.

Для этой цели, обозначив через А, В точки, в которых какая-
нибудь произвольно взятая образующая пересекает оба эллипсоида
с одной стороны от Р, через А', В' — точки, в которых та же
самая образующая пересекает оба эллипсоида с противоположной
стороны от Р, заметим, что объем элемента слоя при АВ равен
(с точностью до бесконечно малых высшего порядка) объему
цилиндра (вообще говоря, наклонного) с основанием da и образую-
щей АВ (с точностью до бесконечно малых, которыми можно пре-
небречь). Нормальное сечение этого цилиндра, проходящее через А,
представляет собой (с точностью до бесконечно малых высшего по-
рядка) элемент dit, вырезаемый конусом, проектирующим da из Р,
на сфере с центром в Р и радиусом РА. Поэтому объем цилиндра
или, в конечном счете, элемента слоя представится (с точностью
до бесконечно малых, которыми можно пренебречь) выражением

АВ • dit.

Но если мы сравним dit с элементом da, вырезаемым тем же
самым проектирующим из Р конусом на сфере с центром в Р и
радиусом, равным 1 (т. е. с так называемым телесным углом,
под которым виден элемент da из Р), то будем иметь

dit — РА2 • da;

поэтому заключаем, что объем элемента рассматриваемого слоя
(с точностью до бесконечно малых высшего порядка) может быть
представлен в виде

АВ. РН2 • da,

а абсолютная величина силы притяжения точки Р—в виде

Р • АВ • da,	(15)

где через р обозначена плотность (постоянная) слоя.

Аналогично сила притяжения точки Р со стороны элемента
при А'В' противоположна первой и по абсолютной величине равна

Р • А'В' • da,	(15х)
Но оба эллипсоида, будучи гомотетичны относительно общего
центра, имеют по отношению ко всякому направлению одну и ту
же сопряженную диаметральную плоскость; поэтому, в частности,
плоскость, сопряженная с направлением АА', делит обе хорды АА'
и В.В' пополам. Отсюда следует и равенство двух отрезков АВ,
А'В' и, следовательно, равенство абсолютных величин (15), (15')
сил притяжения точки со стороны обоих рассматриваемых элемен-
тов. Поэтому полная сила притяжения, действующая на точку Р,
будет равна нулю; достаточно ко всякому материальному элементу
слоя присоединить противоположный ему относительно Р элемент,
чтобы заключить, что сила притяжения всякой точки внутренней
полости слоя будет равна нулю.

Полученный таким образом результат, очевидно, распростра-
няется на однородный эллипсоидальный слой конечной толщины,
если представить себе его разложенным на элементарные (т. е.
бесконечно тонкие) слои, что можно выразить словами так: потен-
циал однородного эллипсоидального слоя для всех точек внутрен-
ней полости имеет постоянную величину.

27.	Нормальная составляющая притяжения плоского однород-
ного слоя. Если задан плоский однородный слой а (фиг. 29) плот-
ности v и выбрана точка Р, расстояние
которой от плоскости а есть h, то силу притя-
жения плоскостью а точки Р можно разло-	р

жить на составляющие нормальную и каса-	h i

тельную к плоскости. Ограничимся рассмотре- _______д’_______

нием первой, так как она встречается во /	/

многих приложениях (в частности, в Электра- / ОаА-уу/
статике).	Л I

Для этой цели рассмотрим прежде всего	'

нормальную составляющую притяжения пройз- фиг. 29.
вольного материального элемента dm — э da.

Если обозначим через г его расстояние от точки Р и через в
угол (острый), который образует с нормалью к плоскости а пря-
мая, соединяющая его с точкой Р, то нормальная составляющая
элементарного притяжения точки Р будет равна

Л^созб.	(16)

Рассматривая сферу с центром в Р, проходящую через какую-
нибудь точку элемента da (и поэтому имеющую, с точностью до
бесконечно малых высшего порядка, радиус г), и рассуждая как
в п. 16, мы увидим, что произведение cos 6 da численно равно
(с точностью до бесконечно малых, которыми можно пренебречь)
площади, вырезаемой на этой сфере элементарным конусом,
проектирующим из Р контур da. Следовательно, выражение

cos 6 <Za

Г2

численно равно площади, вырезаемой тем же самым элементарным
конусом на сфере с центром в Р и радиусом, равным 1, т. е.
телесному углу da>, под которым элемент da виден из точки Р.
Поэтому величине (16) нормальной составляющей элементарного
притяжения можно придать вид

/v dm.

Проинтегрировав по всей площади а и обозначив через 2 телесный
угол, под которым она видна из Р, найдем, что величина нормаль-
ной составляющей притяжения плоскостью а точки Р выразится
в виде

Л2.	(17)

Этот результат получает особый интерес, если в качестве при-
тягивающей поверхности рассматривается однородный круглый диск,
а в качестве притягиваемой точки — точка на его оси (т. е. на
перпендикуляре в центре круга к его плоскости); в этом случае
полное притяжение диском точки Р вследствие очевидной симмет-
рии должно быть направлено по оси диска, так что выраже-
ние (17) дает как раз это полное притяжение.

Если, далее, рассматривается однородная притягивающая пло-
скость, то притяжение какой угодно точки остается всегда нормаль-
ным к плоскости; а так как в этом случае телесный угол измеряется
площадью полусферы радиуса, равного 1, то по абсолютной вели-
чине сила притяжения представится в виде

2тс/|л.

Прибавим последнее замечание, справедливое для плоской при-
тягивающей площадки а произвольного вида. Обозначив через Q
основание перпендикуляра, опущенного из точки Р на плоскость
площадки а, представим себе, что Р стремится по перцендикуляру
к Q. Если Q находится вне а, то из выражения (17) получится,
что нормальная составляющая притяжения стремится к пулю; она
будет стремиться к нулю и в том случае, когда притягиваемая
точка стремится к Q, по этому перпендикуляру, с противоположной
стороны от плоскости площадки а. В силу симметрии нормальная
составляющая будет иметь с обеих сторон от плоскости (относи-
тельно общей направленной нормали) противоположные знаки. Она
будет оставаться непрерывной также и при переходе притягиваемой
точки с одной стороны плоскости на другую, как, впрочем, мы это
уже знаем из п. 7.
Предположим, наоборот, что точка Q является внутренней для а.
Когда притягиваемая точка Р стремится к Q вдоль перпендикуляра
как с одной, так и с другой стороны от плоскости, то нормальная
составляющая притяжения стремится, по абсолютной величине,
к 2к/\; так как с обеих сторон от плоскости она имеет противо-
положные знаки, то мы приходим к следующему заключению: если
притягиваемая точка проходит ортогонально сквозь притягивающую
поверхность, то нормальная составляющая притяжения испытывает
разрыв, изменяясь на 4ic/V Это является частным случаем общего
результата, который мы указали в п. 13.

28.	Притяжение произвольным телом удаленной точки. Пусть Д
есть наибольший размер части <8 пространства, занятой притяги-
вающим телом С (наибольшее расстояние между двумя точками
тела). Если расстояние р притягиваемой точки Р от любой точки О
из & столь велико (по сравнению с размерами тела), что отно-
шение Д/р можно считать ничтожным, то все точки пространства 8
(в отношении их расстояния до Р) будут .как бы совпадать с гео-
метрической точкой О и притяжение будет таким, как если бы вся
масса т тела была сосредоточена в О; следовательно, прямая РО
является линией действия силы притяжения; величина силы при-
тяжения равна fm)?1, а соответствующий потенциал равен /»г/р.

Предположим теперь, что отношение Д/р не настолько мало,
чтобы им можно было пренебречь, но все же оказывается возмож-
ным пренебречь подходящей степенью этого отношения, например
квадратом или кубом. Притяжение тела нельзя уже считать совпа-
дающим с притяжением одной только точки с массой т, помещен-
ной в О, так как будут иметь место небольшие отклонения от
величины и направления этого притяжения. Мы определим эти от-
клонения (с точностью до величин определенного порядка по срав-
нению с отношением Д/р), указав поправочные члены, которые
нужно присоединить к выражению /те/p (точечного) потенциала,
чтобы производные дали проекции притяжения в пределах нужного
приближения.

Введем для этой цели следующие обозначения: г — расстояние
точки Р от какой-либо точки Q из 8, р- — плотность тела в Q, 6,
»}, С — координаты точки Q относительно какой-нибудь системы
осей координат Охуг с началом в точке О, 8 — радиус-вектор OQ,
х, у, z— координаты точки Р относительно той же самой системы
координат и, наконец, 6 — угол между полупрямыми ОР и OQ.

Из треугольника OPQ имеем

г1 = р2 -J- 82 — 2pS cos 9,
откуда
где для краткости положено

28р cos 6 — В2 8 ( _	.	8)

р2	р I	Р )

Если заметим, что радиус-вектор 8 не может превзойти наи-
больший размер Д тела S, то тотчас же увидим, что w будет малой
величиной первого порядка, так что если обозначим через (3)
выражение третьего порядка по сравнению с отношением 8/р, то
из разложения в биномиальный ряд будем иметь

(1 —a»)-Ve==14_| w + |m2 + (3)>

Кроме того, имеем

<о2 =	4 cos2 6 -j- (3);

поэтому, выявляя члены двух первых порядков, можно написать

7 = 7 (1	= у {1 + | cos 9 + 4 р(3 cos2e-l) + (3)}. (18)

Внесем это значение 1/г в выражение потенциала

U=ff^dS

s
и положим

U0^f?diS=^,	(19)

r S

= 7 j* P'S cos 9 ds,	(20)

^ = 7 / Г S2 (3 c°s2 0 — l)dS;	(21)

теперь, обозначая через U* дополнительный член — J* р. (3) dS,
р s

будем иметь

(22)

В первых трех слагаемых мы имеем соответственно точечный
потенциал и поправки первого и второго порядка. Найдем их явные
выражения на основе равенств (20) и (21).

29.	Если заданы значения 8 и 0, то произведение 8 cos в будет
не чем иным, как проекцией вектора 0Q, т. е. радиуса-вектора
точки Q, на направление ОР. Можно также сказать, что если ОР
рассматривается как положительное направление одной из осей
координат, то 8 cos 9 — q представит соответствующую координату
точки Q. Теперь (гл. X, п. 15)

j* од dS — mq0,
s

где q0 означает соответствующую координату центра тяжести Qo,
или, если угодно, проекцию радиуса-вектора OQo на ОР. Равен-
ство (20) можно, таким образом, представить в виде

U	fm So

1	Р Р

(20')

Количество qQ зависит одновременно от положения центра тя-
жести притягивающего тела и от ориентации ОР, или, по существу,
от координат ж, у, г притягиваемой точки. Желательно выставить
эти координаты на вид, так как для перехода к проекциям силы
притяжения необходимо дифференцировать по х, у, г.

Обозначим для этой цели через £0, ?]0, Со координаты центра
тяжести ф0 по отношению к системе Оху г, которые, очевидно, не
зависят от притягиваемой точки Р. Учитывая, что направляющие
косинусы ОР суть х/р, у/p, г/р, непосредственно будем иметь
и поэтому

^i = Y-(^+^+W.	(20'9

Отсюда [как, впрочем, также и из равенства (20')] следует, что
поправка первого порядка U1 равна тождественно нулю, если
точка О совпадает с центром тяжести, т. е. притяжение тела
равно притяжению материальной точки, имеющей массу тела и
помещенной в центре тяжести.

30.	Перейдем теперь к вычислению величины U2 и начнем
с тождества

|б2(3 cos29 — 1) =-^82 (2 — 3 sin2 9).
J	а

Так как 82sin29 есть квадрат расстояния точки Q от оси ОР,
то, обозначив через I момент инерции притягивающего тела отно-
сительно ОР и через

М = J од2 dS

S
его полярный момент (гл. X, п. 14) относительно О, получим из
равенства (21)

(21')

Здесь следует отметить, что, в то время как М есть постоянная
характеристика притягивающего тела, I зависит, кроме того, от
направления ОР, являясь (гл. X, п. 22) квадратичной функцией
от направляющих косинусов ж/p, у/p, z/p.

Предположив для простоты, что оси х, у, z являются главными
осями инерции относительно начала О, мы приведем выражение I
(гл. X, п. 24) к виду

I = i(^ + ^+^2),

где, как обычно, А, В, С представляют собой главные моменты
инерции.

Внесем это выражение I в равенство (21') и примем во вни-
мание соотношение

М = J	у11(^ + т]2 + С2)<?<8'=4(Л + В+С).

8

Введя вместо А, В, С главные радиусы инерции 8Х, 82, 83 и

положив

С1==_ 282 + 82_|_

<\ =	8?-28|+ 82,	(23)

с3 =	8* + 82 — 282

(вследствие чего ct -f- с2 + с3 = 0), после очевидных приведений
получим

^2 = -§-у{С1ж2 + С2?/2 + ^2)-	(21")

Г Л

31.	Таким образом, потенциал U притяжения каким-нибудь
телом удаленной точки, по крайней мере до членов третьего по-
рядка (по отношению к Д р), на основании равенств (20), (20') и
(21') может быть приведен к виду

Р 1 Р Р Р3 (	2	)’

где р означает расстояние от Р до какой угодно точки О притя-
гивающего тела, есть проекция на направление ОР радиуса-
вектора, проходящего через центр тяжести, М — полярный момент
тела относительно О, I—его момент инерции относительно оси ОР.
Если совместим точку О с центром тяжести, то у0 будет равно
нулю и в формуле не будет поправки первого порядка. Останется
поправка второго порядка

которая относительно главных осей инерции принимает вид (2Г')-
В конечном счете, при подходящем выборе осей и пренебрегая
членами третьего порядка, мы придем к выражению

и = у- {1 + V- №+,

где с(, с2, с3 означают постоянные [определяемые равенством (23)
в функциях от главных радиусов инерции].

32.	Поправки силы притяжения. Из найденной поправки для
потенциала путем дифференцирования можно получить поправки
для силы притяжения. Остается только устранить сомнение, заклю-
чающееся в том, что отброшенные в выражении потенциала члены
третьего порядка (по отношению к Д/р) после дифференцирования
могут дать поправки второго, а может быть и первого порядка.
Чтобы выяснить это обстоятельство, мы можем поступить так, как
указано ниже.

Положив для краткости

е = у, у = cos 9,	(24)

так что е будет членом первого порядка и [у |< 1, очевидно, по-
лучим

-=	{14-S2 —

г У рг + — 2р8 cos в р

Тождество 1 -1-е2 — 2еу — (1—sy)2~h(l— у2)®2 показывает, что
при | у | < 1 и при | е | < L (условие, удовлетворяющееся в нашем
случае с избытком ввиду малости е) левая часть его не может
обратиться в нуль.

Отсюда следует, что выражение

(е, у) = (!-)-в2— 2еу)~'^

(25)

при указанных значениях е и у представляет собой функцию от
двух переменных, конечную, непрерывную и дифференцируемую
сколько угодно раз.

Применим к этой функции разложение Маклорена по аргу-
менту s, остановленное на члене третьего порядка, используя для
остаточного члена не обычную форму Лагранжа, а интегральную
форму, получающуюся при интегрировании по частям 9- Будем
иметь

? (s> У) = ? (О, у) + е?' (0, у) 4- -у (°> Т) +

1

+4/ (1- уж
о

где штрихи указывают дифференцирование функции « по ее пер-
вому аргументу * 2).

Так как на основании равенства (25)

<?' = — -i- (14-г2— 2еу)-’/г(2е — 2у) — (у — е) <р3
а

и, следовательно,

®" = 3 (у — е) <s2<f/ — ®3 = 3 (у — е)2 ®5 — ®3,

то при в = О имеем

ф (О, у) = 1,	®'(0, У) = У, (0, у) = 3у2 — 1,

откуда следует, что

1 1 , ч

7 = 7<р(е, У) =

1

= 7 { 1 + еУ + ~ (ЗУ2 ~ П + 4/ - О2 } •
О

33.	Сравнение с выражением (18) для 1/г показывает, что до-
полнительный член, обозначенный символом (3), совпадает с по-
следним слагаемым в скобках, что можно было предвидеть, так как
разложение по степеням е приводит как раз к разделению членов
различных порядков.

Таким образом, мы можем теперь написать выражение для до-
полнительного члена СТ* (п. 28), представляющего собой отбрасы-

!) См., например, Dini, Lezioni di Analisi infinitesimale, т. I, Пиза, 1909,
стр. 301. В указанном там выражении для остаточного члена надо поло-
жить х = г, а = 0, п = 2, затем г> = те. Тогда получится форма, которой мы
здесь воспользовались.

2) Заметим, что коэффициенты — tp(re) (0, 7) (п = 1, 2,...) при после-
' . 1

довательных степенях е в разложении (А, 7) = —^====- будут поли-
V1 Н" — 2^7

номами степени и относительно 7, называемыми сферическими функциями
(первого рода).
ваемую в выражении для потенциала часть (порядка выше второго),
а именно

1

Г*	PS3^J(1_W/(TS) 1)dx>	(26)

Г 8	О

где s и у представляют собой величины, определенные равен-
ствами (24).

Мы достигнем нашей цели, если покажем, что в производных
от U* по х, у, z остается (как и в самом выражении 17*) множи-
тель е8 (умноженный на функции, остающиеся конечными, когда г
стремится к нулю).

34.	Рассмотрим, например, dU*/dx. Так как 17* зависит от х
через посредство р, г, у, а пределы интегрирования (как простран-
ственные, так и относящиеся к переменной т) постоянны, то до-
статочно выполнить дифференцирование под знаком интеграла.

Заметим, далее, что по определению р имеем

др	х	р  	1 х

дх	р ’	дх	р2 р ’

йг _	1	х df __ 1 / i	х \

дх	р	р	’ дх	р \ 8	? Ч /

и, следовательно,

XI — e3<pw (те, у) I =
дх ( р т v 5 17J

iff /	\	х iv /	\ । / £ os \ д fff г . 1

==7Ц—(г£’ 7)Г

Если мы заметим, что ж/Р и 5/6— направляющие косинусы
(векторов ОР и OQ соответственно), и вспомним, что было сказано
выше о поведении функции <р и ее производных, то очевидно,
что количество в скобках есть функция F, которая остается конеч-
ной и непрерывной (во всей области интегрирования) даже при е,
стремящемся к нулю.

Таким образом, получаем

S о

и аналогичные формулы для производных по у и £, откуда видно,
что эти производные содержат множителем е3, как мы и хотели
показать.
35.	Заметим, что так как уменьшение е = 8/р происходит для
заданного притягивающего тела от удаления притягиваемой точки Р
или от возрастания р, то производные от V* будут стремиться
к нулю по двум причинам: вследствие наличия множителя е3 под
знаком интеграла и делителя р2 перед интегралом. Относительно 1/р
(величины, обратной расстоянию от притягиваемой точки) произ-
водные от U* будут поэтому пятого, а не третьего порядка и ана-
логично, согласно равенству (26), функция U* — четвертого порядка.
Эти рассуждения не вызывают возражений. Но с физической точки
зрения нельзя забывать, что понятия „большая величина", „малая
величина" заданного порядка приобретают определенный смысл
только при сравнении с другой величиной того же вида.

В настоящем случае характер вопроса подсказывает и величины
сравнения: для U* следует взять точное значение U потенциала,
для производных от [Г* — точное значение Ф! величины силы при-
тяжения.

Для оценки можно взять вместо точных значений элементов
сравнения первые члены разложения их fm/p и fm/p2, которые
соответствуют предельному случаю, когда размеры тела очень малы
по сравнению с р и когда масса сосредоточена в О

Составив отношения

U* производная от U*
fm ’	fm	’

У	у

мы увидим, что множители 1/р и 1/р2 исключаются и оба отноше-
ния оказываются величинами третьего порядка по отношению к в.

То же самое можно сказать и об отношениях

U‘ производная от С*.
г _ ;

для этого достаточно написать их в виде

U* . U производная от У* . Ф
fm ’ fm ’	fm	' fm ’

P P	P2	P2

заметив при этом, что U: (fm/p) и Ф: (fm/p2) отличаются от еди-
ницы членами, представляющими собою, по меньшей мере, члены
первого порядка по отношению к в.

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Представим себе, что единица длины выбрана произвольно и мы
условились принимать за единицу массы массу куба дестиллированной воды
(при 4° С и т. д.) с ребром, равным единице длины. Как надо выбрать
единицу времени для того, чтобы постоянная всемирного тяготения была
равна единице?
Ответ. Заметив, что в единицах CGS f = 6,7 • 10-8 можно представить
в виде ggg^, мы тотчас же найдем, что искомая единица времени равна
3862 сек., т. е. немногим больше одного часа {натуральный час, предло-
женный французским физиком Липпманном).

2.	Потенциал однородного отрезка АВ в какой-нибудь точке Р (внеш-
ней для отрезка) можно написать в виде

, РА + NA
Яп Р'В + АВ •

где ч означает (линейную) плотность и АГ — проекцию точки Р на АВ.
Предполагая, что отрезок направлен от В к А, и учитывая надлежащие
знаки NA и Д7>, проверить, что значение потенциала не изменится, если
мы обменяем местами А и В (и обратим сообразно с этим направление
отрезка).

3.	Показать, что притяжение а, действующее со стороны дуги окруж-
ности на ее центр, тождественно притяжению материальной точки, поме-
щенной в средней точке дуги. Масса материальной точки должна относиться
к массе дуги так же, как длина дуги к длине соответствующей хорды.
Следовательно, имеем формулу

2fv sin а

В, ’

где: ч — линейная плотность дуги;

2а — центральный угол (в радианах), соответствующий дуге;

.В —радиус дуги.

Для полуокружности, в частности, будем иметь

4.	При значениях букв, указанных в упражнении 2, рассмотреть
окружность с центром в Р и радиусом PN и дугу С (содержащую точку N),
отсекаемую на этой окружности отрезками РА и РВ. Притяжение от-
резка АВ в точке Р тождественно притяжению дуги С (предполагаемой
также однородной и с плотностью ч, как у отрезка). Отсюда следует
(предыдущее упражнение), что притяжение в точке Р бесконечной прямой
(которая получается в виде предельного случая, если представим себе,
что точки А н В удаляются в бесконечность в противоположные стороны)
направлено по PN и равно ‘ifvjPN. См., например, Tarleton, An intro-
duction to the mathematical theory of attraction, т. I (Лондон, 1899), стр. 7.

5.	Показать, что притяжение (чисто осевое) однородным круговым
диском точки на его оси (перпендикулярной к плоскости диска и прове-
денной через центр) выражается в виде

а = 2r.f-i 11--. *  I,

I	У В2 + «2)

где: В— радиус диска;

ч — плотность (поверхностная);

г — расстояние от притягиваемой точки до диска (ср. п. 27).

6.	Из предыдущего упражнения следует, что притяжение однородного
кругового диска в точках оси, очень близких к самому диску (величиной я
можно пренебречь по сравнению с В), равно 2г,/'л
Отсюда независимо от и. 27 можно получить притяжение плоской пло-
щади а, имеющей какую угодно форму и плотность.

Рассмотрим точку Р, лежащую вне плоскости площади с и очень
близкую к а. Пусть О есть ее проекция (лежащая внутри площади).
Пусть, далее, Q есть какая-нибудь точка площади, отличная от О, и
da — окружающий ее элемент. Притяжение элементом da точки Р имеет
линией действия прямую PQ, которая составляет с плоскостью площади о
тем меньший угол, чем ближе точка Р к плоскости. Проекция элементар-
ного притяжения на перпендикуляр к плоскости стремится поэтому к нулю,
когда Р приближается к О. Это заключение, верное в предположении, что
точка Q отлична от О, теряет силу, когда Q совпадает с О, т. е. когда
рассматривается элемент da0 притягивающей плоскости, составляющий
непосредствеиную окрестность точки О.

Мы доказали таким образом, что предельное значение я-о (при Р, стре-
мящемся к О) нормальной составляющей притяжения всей площади а.
действующего на Р, равно притяжению элемента da,,.

Но притяжение элементом da0, очевидно, будет то же самое, каковы
бы ни были другие элементы-, составляющие вместе с da0 площадь а.

При частном предположении, когда da представляет собой центральный
элемент однородного кругового диска, мы уже знаем значение «о- В этом
случае, обозначив через м0 значение плотности в точке О, будем иметь

я0 = 2я/ч0.

То же самое соотношение будет иметь место й во всяком другом
случае.

Установив это, найти результирующую притяжений, действующих
между двумя однородными плоскими пластинками, равными между собой
и расположенными в параллельных, очень близких между собой плоско-
стях таким образом, что одна является нормальной проекцией другой.

Ответ. Результирующая будет нормальна к плоскостям пластинок и
равна 2к/>2с (а — площадь каждой из пластинок, м — плотность).

7.	Вычислить притяжение (чисто осевое) со стороны однородного
кругового цилиндра (^ — плотность, Л — радиус, h— высота) в точке на
его оси.

(Представить себе цилиндр разделенным на элементарные слои, упо-
добляемые дискам, посредством плоскостей, параллельных основаниям,
и воспользоваться формулой упражнения 5.)

Ответ. Для внешней точки, отстоящей на s от ближайшего основания:

8 |-?1

Л = 2к/> f ( 1 -	I d-a =

J I У Р? + г2 )

= 2теГи {Л + Ул2 + s2 — VЛ2 + (®Н-Л)2}-	(1)

Для определения притяжения во внутренней точке следует прежде
всего обратиться к п. 12 и рассуждать, как в п. 23.

Обозначив через s расстояние от ближайшего основания, найдем, считая
заположительные притяжения,направленные к более удаленному основанию,

Л-е	8

А = 2те/р- Г f •! 1-г I dz — f (1--------—*------I (bl =

L J I	У IP + г2 )	J I У Л2 + г2 ) J

= 2к/н (Л — 2s) /1---  h - -	-1.	(2)

1	Ук2 + (А — s)2+ Ул2 + б’2»
Для одного пз двух центров оснований (полюсов) имеем (безразлично
из формулы (I) или (2), полагая в них л’ = 0)

А = 2«/и {h + R —	+ }.	(3)

8.	Обозначим через Af притяжение, с которым заданная однородная
масса, имеющая форму сферы (полной), действует на какую-нибудь точку
ее поверхности, через Л притяжение той же самой массой, распреде-
ленное по объему цилиндра, на его полюс [ср. предыдущие формулы (3)|,
Показать, что

А _	^86^

А' ~ 1 + а + /1 + а2’

где а обозначает отношение lijR высоты цилиндра к его радиусу.

Показать еще, что:

1)	отношение AjA' стремится к нулю как для цилиндра с очень малой
высотой, так и для цилиндра очень удлиненной формы (т. е. при а, стре-
мящемся к нулю или к со);

2)	отношение AjA' допускает один (и только один) максимум,
соответствующий значению «= 1,6404 (являющемуся корнем уравнения
g

а2 — — а 1 = 0, большим единицы);

3)	в условиях максимума притяжение А цилиндром очень немного
превосходит (меньше чем на 1%) притяжение А' сферой;

4)	имеются два цилиндра, для которых А равно А'; в одном из них
диаметр в полтора раза больше высоты.

См., например, Tisserand, Traite de mecanique celeste, т. 11, Париж,
1891, стр. 72, где имеется полное доказательство.

9.	Вычислить притяжение, вызываемое однородным телом вращения
(или частью такого тела, заключенной между двумя плоскостями, перпен-
дикулярными к оси) в какой-нибудь точке на оси тела.

Предположим, для определенности, что притягиваемая точка Р является
внешней для тела, и условимся отсчитывать координаты г от точки Р,
выбрав положительное направление на оси г в сторону притягивающего
тела.

Пусть z — s и я — s-\-h будут крайними параллелями и ж — <?(г) урав-
нением меридианной кривой.

Достаточно представить себе тело разбитым на элементарные слои
между очень близкими друг к другу плоскостями, перпендикулярными
к оси, и обратиться к упражнению 5, чтобы тотчас найти

8 + Л

= f , ““ 1,
I J У,(«) + гМ

где р, как обычно, обозначает плотность.

10.	Применить формулу предыдущего упражнения к случаю усеченного
конуса, сферического сегмента и сегмента параболоида вращения. Показать,
в частности, что:

1)	для конуса притяжение в вершине равно

ал/’рй (1 — cos 7),

где 7 — половина угла при вершине конуса;
2)	для сферического сегмента будем иметь в полюсе

Л = 2к/’рл(1-|уЛА^

где R—радиус сферы, которой принадлежит сегмент;

3)	для сегмента параболоида вращения будем иметь в полюсе

А = 2^ | Л - VW+Wh + Р In	| _

где р — параметр меридианной параболы (я? — 2рз).

11.	Рассмотреть однородную (твердую) полусферу и точку Р ее эква-
тора. Притяжение полусферой точки Р лежит вследствие симметрии
в (диаметральной) плоскости, проходящей через Р, центр О и полюс В
полусферы. Определить значение составляющей no РО н по нормали
к экваториальной плоскости.

[Проинтегрировать соответствующие составляющие элементарных при-
тяжений, пользуясь полярными координатами с полюсом в Р. Соответ-
ствснно найдем —, — р-В, где через В обозначен радиус полусферы
О о

п через [х — ее плотность. См. Tarleton, цит. место в упражнении 4, стр. 16.]

12.	Тело максимального притяжения. Найти форму, кото-
рую должно иметь однородное тело вращения данного объема, для того
чтобы оно вызывало наибольшее притяжение в полюсе, т. е. в точке,
в которой поверхность тела встречается с осью вращения. См. Tisserand,
цит. место в упражнении 8, стр. 77—79.
Глава XII

ПРИНЦИП РАВЕНСТВА ДЕЙСТВИЯ
И ПРОТИВОДЕЙСТВИЯ.

УСЛОВИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛА

§ 1. Принцип равенства действия и противодействия

1. В постулатах механики, введенных в гл. VII и объединен-
ных в основном уравнении динамики, рассматриваются только силы,
приложенные к одной и той же материальной точке. Так как теперь
мы приступаем к изучению механики тел, каждое из которых дол-
жно рассматриваться как совокупность материальных точек, то нам
придется рассматривать системы сил, приложенных к различным
материальным точкам, о взаимодействии которых упомянутые по-
стулаты ничего не говорят. Поэтому необходимо опять обратиться
к данным опыта, чтобы на основании их установить некоторый
новый принцип.

Рассматривая две материальные точки Р и Q, предположим,
что при некоторых определенных обстоятельствах можно устано-
вить, что на одну из этих точек, например на точку Р, действует
сила F, источником которой является другая точка Q, понимая
под этим то, что сила F будет отсутствовать, как только будет
устранена точка Q, а все остальное, насколько это возможно,
останется неизменным. Чтобы привести наиболее наглядный пример,
укажем на действия, производимые друг на друга материальными
элементами Р и Q двух тел при их соприкосновении: эти действия
прекращаются всякий раз, как прекращается соприкосновение.
Представим себе, например, ножку Q стола, которая давит па точку
Р пола, или конец Q веревки, привязанной к крюку Р. Давле-
ние на пол или сила, действующая на крюк, представляют со-
бой, очевидно, действия другого тела Q (ножки стола или ве-
ревки) .

Во всех таких случаях опыт учит, что действие, производимое
точкой Q на Р, вызывает прямо противоположную силу—реакцию
со стороны точки Р на Q; так, в только что указанных примерах
ножка стола испытывает сопротивление, равное давлению, которое
она производит на опору. Конец веревки, прикрепленной к крюку,
испытывает действие растягивающей силы, противоположной силе,
с которой веревка действует на крюк. В более общем случае не-
свободной материальной точки реакции, которую она испытывает
со стороны связи, всегда соответствует прямо противоположная
сила, испытываемая самой связью; эта последняя сила, представ-
ляющая собой давление точки на связь, всегда должна быть по
величине меньше некоторого определенного предела, чтобы связь
могла выдержать ее действие.

Эти наблюдения разъясняют на простых случаях содержание
следующего постулата, впервые высказанного Ньютоном и обычно
называемого принципом равенства действия и противодействия.

Всякий раз, когда материальная точка Р вследствие наличия
другой материальной точки Q подвергается действию некоторой
силы F, существует как в условиях покоя, так и в условиях дви-
жения равная и прямо противоположная ей сила — F {реакция),
действующая со стороны Р на Q.

Отметим, что когда речь идет о силах, действующих между ма-
териальными точками Р и Q, которые не находятся в непосред-
ственном соприкосновении, только что сформулированный принцип
требует, чтобы эти силы имели в качестве общей линии действия
прямую, соединяющую обе эти точки, так как обе силы взаимодей-
ствия между точками должны быть прямо противоположны и при-
ложены соответственно в Р и Q.

§ 2. Необходимые условия равновесия, общие для всех
материальных систем

2. Внешние и внутренние силы. Пусть & есть какая угодно
материальная система, т. е. система, состоящая из одного или не-
скольких тел (твердых, жидких или газообразных). Мы будем рас-
сматривать ее как совокупность материальных точек и предполагать,
что она находится под действием системы сил, в которую входят
также и реакции. Эти реакции представляют собой действия свя-
зей, которые ограничивают свободу перемещения отдельных мате-
риальных точек системы.

Для механического изучения заданной системы основное значе-
ние имеет следующее замечание. Выбрав произвольную материаль-
ную точку Р системы 8, мы всегда сможем указать, какие из всех
сил, действующих на систему (как активных, так и реакций свя-
зей), приложены к точке Р, и разделить их на две категории:

1)	силы, представляющие собой действия на точку Р других
точек системы # и, в частности, точек, смежных с Р; эти силы назы-
ваются внутренними силами (активными или реакциями связей);

2)	силы другого происхождения, представляющие собой- действия
на точку Р материальных точек и тел, внешних по отношению
к системе 8, например вес, если система £ предполагается нахо-
дящейся в обычном поле силы тяжести, или реакции опоры, не
входящей в S, и т. д. Силы этой категории (как активные, так и
реакции связей) называются внешними.

Заметим, что обычно, когда говорят без дальнейшего уточнения
о силах, действующих на систему, при этом подразумевают только
внешние силы.
3.	Из самого определения внутренних сил и из принципа ра-
венства действия и противодействия вытекает замечательное свой-
ство этих сил. Так как всякая внутренняя сила /, приложенная
к какой-нибудь точке Р системы, представляет собой действие
другой точки Q той же самой системы, то по принципу равенства
действия и противодействия существует сила—/, представляющая
собой действие точки Р на точку Q и поэтому тоже внутренняя.
Отсюда вытекает, что внутренние силы, рассматриваемые в их
совокупности, попарно равны и прямо противоположны, так что
мы приходим к следующей теореме: во всякой материальной си-
стеме, находящейся под действием сил, внутренние силы по
самой их природе таковы, что приложенные векторы, представ-
ляющие эти силы, составляют систему, эквивалентную нулю,
или уравновешенную, т. е. систему, результирующий вектор и
результирующий момент которой (относительно всякого центра при-
ведения) равны нулю.

Заметим, что эта теорема приложима также ко всякой системе
S', полученной путем мысленного выделения одной части данной
системы необходимо только обратить внимание на то очевидное
обстоятельство, что среди сил, действующих на систему S', внеш-
ними для S' будут не только силы, являющиеся одновременно
внешними и по отношению к системе S, но и те из сил, внутрен-
них по отношению к S, которые представляют собой действия на
систему S' точек системы не принадлежащих к /?'.

4.	Основные уравнения равновесия. Предположим теперь, что
материальная система Z? находится в равновесии под действием
некоторых сил; этим мы хотим сказать, что если система & в дан-
ный момент находится в покое, то рассматриваемые силы не мо-
гут вызвать ее движения.

Если, как уже предполагалось выше, вместо возможных связей,
существующих между точками системы S, представим себе соответ-
ствующие силы (реакции), заменяющие действие связей, то систему
можно будет рассматривать как состоящую из совокупности сво-
бодных материальных точек, каждая из которых находится в рав-
новесии под действием приложенных к ней сил (активных и реак-
ций связей).

Поэтому если мы разделим силы, действующие на произвольную
точку Р системы S, на внешние и внутренние и обозначим через
F результирующую первых, через f результирующую вторых, то
для всякой отдельной точки из S (гл. VII, п. 11) будем иметь

F-\-f=0, или F=—f.

Рассмотрим теперь, с одной стороны, систему всех внешних сил
и, с другой — систему всех внутренних сил, действующих на си-
стему 5. Так как система внутренних сил векторно эквивалентна
(1')

нулю (предыдущий пункт), то такой же будет и система внешних
сил, т. е. если какая-нибудь материальная система находится
в равновесии под действием некоторых сил, то система прило-
женных векторов, представляющих внешние силы (активные и
реакции связей), действующие на систему, эквивалентна нулю.
Если векторы JR и ЛГ представляют собой результирующий вектор
и результирующий момент внешних сил по отношению к какому-
нибудь центру приведения О, то предыдущее условие равновесия
выражается двумя векторными уравнениями:

J? = 0,	Л£=0;	(1)

уравнения (1) после проектирования на оси какой-нибудь системы
координат дадут шесть скалярных уравнений:

2х = о, 2r=o, Sz=o;

SG/Z—^У)=0, S(^X — xZ) = 0, 2(жУ— уХ) = О,

где суммы должны быть распространены на все точки х, у, z си-
стемы 8, к которым действительно приложены внешние силы
(активные или реакции связей). Если эти точки распределены
непрерывно (в пространстве трех, двух или одного измерения), то
указанные выше суммы должны быть заменены интегралами ио
области (трех, двух или одного Измерения), распространенными на
все материальные элементы системы 8, на которые действуют внеш-
ние силы.

Уравнения (1) или (1'), которые, как мы видели, выражают не-
обходимые условия равновесия всякой материальной системы, назы-
ваются основными или общими уравнениями равновесия.

&. Чтобы оценить большую общность основных уравнений, заме-
тим, что если материальная система 8 при заданных внешних
силах находится в равновесии, то будет находиться в равновесии
и всякая ее часть 8', если предположить, что на нее действуют
все силы, которые являются по отношению к ней внешними (по
отношению к & эти силы могут быть как внешними, так и внут-
ренними) (п. 3). Таким образом, уравнения (1) или (!') оказы-
ваются приложимыми не только ко всей системе 8, но также и ко
всякой ее части 8', для которой можно определить действующие
на нее внешние силы, хотя бы в суммарном виде, представленном
их результирующей и их результирующим моментом по отношению
к какому-нибудь центру приведения.

Однако вместе с большой общностью основные уравнения имеют
тот недостаток, что они, вообще говоря, необходимы, но не доста-
точны для равновесия системы. Чтобы убедиться в этом, рассмот-
рим наиболее простой возможный случай, когда мы имеем две
свободные материальные точки и Ра, которые находятся под
Рг	~F

-F	Р„

действием двух равных и прямо противоположных (притягивающих
или отталкивающих) сил F и —F, действующих по соединяющей
эти точки прямой (фиг. 30). Система этих двух сил удовлетво-
ряет, очевидно, основным условиям равновесия, и тем не менее
эти две точки не будут, конечно, в равновесии, так как дей-
ствующая на каждую из них сила (результирующая) не равна
нулю.

Поэтому основные уравнения равновесия позволяют лишь утвер-
ждать, что данная материальная система 8, на которую действуют
известные внешние силы, может находиться в равновесии, но они
не достаточны, вообще говоря, для того, чтобы она действительно
находилась в равновесии. Реше-
ние задачи о равновесии данной у*----------р

системы & на основе общих урав-	’

нений равновесия начинают с при-
ведения известными из теории век- Р,	р

торов (гл. I, § 6) способами систе-

мы приложенных векторов F к не-	Фиг. 30.

которой более простой системе и
убеждаются, равны ли нулю результирующий вектор и результирующий
момент (по отношению к некоторому центру). Если это не выпол-
няется, то мы можем быть уверены, что система 8 не находится
в равновесии; если же результирующий вектор и результирующий
момент равны нулю, то равновесие возможно, и для того, чтобы
убедиться, что оно действительно существует, необходимо в общем
случае дальнейшее прямое исследование задачи.

Заметим, что в случае системы 8, находящейся под действием
сил тяжести, совокупность весов отдельных точек системы векторно
эквивалентна их результирующей (полный вес 8), приложенной
в центре тяжести системы.

Для избежания недоразумений следует заметить, что рассмо-
трение системы сил, векторно эквивалентной данной системе внеш-
них сил F, имеет чисто теоретическое значение, связанное с воз-
можностью приложения основных уравнений, но, вообще говоря,
было бы ошибочным рассматривать эквивалентные системы сил как
одинаковые по отношению к их механическим действиям.

В главе XIII мы встретимся с одним важным классом мате-
риальных систем, для которых векторная эквивалентность систем
внешних сил переходит в механическую эквивалентность.

6. Примеры. В качестве первого простейшего приложения основ-
ных уравнений рассмотрим тяжелую цепь, подвешенную за концы
к двум крюкам А и В и находящуюся в равновесии. Здесь внеш-
ними силами будут: 1) реакции FA и FB двух крюков; 2) веса
отдельных звеньев, вместо которых, так как речь идет о прило-
жении основных уравнений, мы можем подставить полный вес р
цепи, действующий по вертикали, проходящей через ее центр
тяжести G.

На основании уравнений (1) необходимое условие равновесия
заключается в том, чтобы три вектора FA, FB, р составляли урав-
новешенную систему, для чего требуется (гл. I, п. 51), чтобы эти
три вектора были компланарны, чтобы линии действия сил FA и
FB пересекались в точке на линии действия силы р, т. е. на
вертикали, проходящей через центр тяжести G, и чтобы, наконец,
результирующая сил FA и FB была равна и прямо противопо-
ложна р.

Отсюда следует, в частности, что когда кусок цени АВ, подве-
шенный за концы, находится в равновесии под действием силы
тяжести, центр тяжести должен лежать в вертикальной плоскости,
проходящей через обе точки подвеса.

В качестве второго примера рассмотрим действие, оказываемое
тяжелым телом, находящимся в равновесии, например живым суще-
ством 8, на пол или на какую-либо другую опору, которая его
поддерживает. Внешними силами, приложенными к 8, в этом слу-
чае будут: вес, эквивалентный одной силе р, приложенной в цен-
тре тяжести G, и реакции, которые тело 8 испытывает в точках
опоры. Эти реакции и вектор р, приложенный в G, составляют,
на основании п. 4, уравновешенную систему. С другой стороны,
на основании принципа равенства действия и противодействия силы,
с которыми 8 действует на опору, равны и противоположны реак-
циям. Таким образом, мы приходим к заключению, что тело 8
производит на опору давления, (векторно) эквивалентные собствен-
ному весу. Этот результат очевиден, однако полезно получить его,
исходя из постулатов, на которые можно опереться с абсолютной
уверенностью. Между прочим, отсюда следует, что как бы ни ста-
ралось живое существо 8 уменьшить или увеличить давление на
опору, равное его весу, применяя только внутренние силы, напри-
мер мускульные усилия, ему не удастся это сделать, пока оно
находится в покое.
Глава XIII

СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1.	Характеристический постулат, относящийся к твердым
телам, и его следствия

1.	Основные уравнения, которые в случае материальной системы
произвольного вида являются, как мы видели (гл. XII, п. 4),
только необходимыми условиями равновесия, в случае твердого тела
оказываются также и достаточными. Для того чтобы установить
этот важный результат, мы должны прежде всего определить, что
в механике называют твердым телом.

В действительности все материальные тела, когда на них дей-
ствуют достаточно большие сжимающие или растягивающие силы,
деформируются. Тела, которые в обыденной жизни называются
твердыми, обладают рсобенно большой сопротивляемостью дефор-
мациям, так что даже при действии довольно значительных давле-
ний или растяжений они не обнаруживают заметных изменений
формы.

Идеализируя это свойство, твердым телом в механике назы-
вают всякую материальную систему, которая при каких угодно
действующих на нее силах и в каких угодно условиях движения
(или покоя) ведет себя как абсолютно твердое тело в смысле,
данном этому названию в кинематике, т. е. всякую систему мате-
риальных точек с такими связями, что расстояния между любыми
точками системы не изменяются, каковы бы ни были силы, дей-
ствующие на систему, и каково бы ни было состояние движения
(или покоя) системы.

Для дальнейшего уточнения поведения твердых тел по отноше-
нию к действующим на них внешним силам мы обратимся к физи-
ческому опыту. Если возьмем какое-нибудь твердое (в обычном
смысле) тело, которое уже находится в равновесии под действием
заданных внешних сил, и присоединим к этим силам две равные
и прямо противоположные силы F и —F, приложенные в каких
угодно точках Р и Q твердого тела, то не только убедимся в том,
что расстояние между точками Р и Q останется неизменным (если
пренебречь незначительными деформациями), но и увидим, что
вся система останется в равновесии. Таким образом, оказывается
возможным принять следующий принцип (характеристический
постулат твердых тел, который следует считать практически
имеющим силу в тех пределах приближения, в которых естествен-
ные твердые тела можно рассматривать как абсолютно твердые):
Равновесие твердого тела не нарушится, если к двум каким
угодно его точкам приложить две равные и прямо противополож-
ные силы.

2.	Мы уже знаем (гл. XII, п. 4), что если какая угодно мате-
риальная система 8 (т. е. также и нетвердое тело) находится
в равновесии под действием заданиой системы сил и вместо свя-
зей, существующих между точками 8, введены соответствующие
реакции, то систему можно рассматривать как состоящую из свобод-
ных материальных точек, каждая из которых находится в равно-
весии под действием приложенных к ней активных, сил и реакций
связей. Поэтому, в силу необходимых и достаточных условий равно-
весия точки (гл. VII, и. 11), равновесие системы & не нарушится,
если вместо двух или большего числа сил, действующих на одну
и ту же точку системы, будет приложена соответствующая резуль-
тирующая или, наоборот, сила, действующая на точку системы 8,
будет разложена на несколько сил, приложенных к той же самой
точке.

Мы видим, таким образом, что в какой угодно материальной
системе всегда можно, не нарушая равновесия, выполнить над при-
ложенными к отдельным точкам силами первую из векторных опе-
раций, которые в п. 40 гл. I мы назвали элементарными.

С другой стороны, в случае твердого тела характеристический
постулат предыдущего пункта утверждает, что над силами, прило-
женными к телу, можно, не нарушая равновесия тела, выполнить
также и вторую элементарную операцию.

Так как, комбинируя обе элементарные операции, мы можем
(гл. I, п. 14) перейти от одной заданной системы приложенных
векторов ко всякой другой эквивалентной ей системе, т. е. к системе,
имеющей те же самые результирующий вектор и результирующий
момент (по отношению к какому угодно центру приведения), то мы
заключаем, что равновесие твердого тела не нарушится, если
систему действующих на него сил заменить какой угодно другой
системой сил, (векторно) эквивалентной первоначальной.

§ 2. Необходимые и достаточные условия равновесия
твердого тела

3.	Предыдущая теорема позволяет доказать, что в случае твер-
дых тел основные условия равновесия не только необходимы, как
это имеет место для всякой материальной системы, но и доста-
точны.

Предположим, что твердое тело 8 находится под действием
известных внешних сил F, удовлетворяющих основным условиям

1? = 0,	ЛГ = 0,	(1)

т. е. составляющих систему, эквивалентную нулю.
Если обозначим через / внутренние силы, то твердое тело 8
можно рассматривать как систему свободных материальных точек,
находящуюся под действием сил F и /. Так как и система сил F
(по предположению) и система сил f (в силу их свойства как внут-
ренних сил, п. 3 предыдущей главы) (векторно) эквивалентны
нулю, то система, составленная из сил F и /, будет, в частности,
эквивалентна системе сил, из которых каждая равна нулю. Но если
бы каждая точка тела 8 подвергалась действию силы, равной нулю
(т. е. была бы свободна от действия каких бы то ни было сил),
то система находилась бы, очевидно, в равновесии. Поэтому на
основании теоремы предыдущего пункта она будет находиться также
в равновесии под действием сил F и /, эквивалентных системе,
состоящей только из сил, в отдельности равных нулю.

Поэтому заключаем, что для твердых тел необходимые и доста-
точные условия равновесия выражаются двумя векторными уравне-
ниями (1) или шестью эквивалентными им скалярными уравнениями:

2х=о, 2У=О, 2^=0;

(!')

S(?/z—^У)=о,	ж2)=о, 2(жУ—уХ)=о,

где суммирование распространяется на те точки твердого тела, к
которым приложены внешние силы, и суммы должны быть заме-
нены интегралами, распространенными на область (одного, двух
или трех измерений), когда эти точки распределены непрерывно.

В частных случаях уравнения (1') можно свести к меньшему
числу, так как некоторые из них могут удовлетворяться тождест-
венно. Например, если все внешние силы действуют в одной и той
же плоскости те, то в той же плоскости лежит и их результирую-
щая сила 11, тогда как результирующий момент II (по отношению
к какому угодно центру, взятому в плоскости те) будет перпенди-
кулярен к этой плоскости; поэтому если те выбрать за координат-
ную плоскость £ = 0, то равенства (!') приведутся к трем уравне-
ниям

2Х-О,	2 (.тУ—-г/Х) = О.

§ 3. Равновесие несвободных твердых тел

4.	Твердое тело & может быть подчинено не только внутренним
связям неизменяемости, но и внешним связям, осуществляемым,
например, посредством соприкосновения с другими твердыми те-
лами или посредством сферических или цилиндрических шарниров,
делающих неподвижной точку или прямую тела, и т. д. В каж-
дом из этих случаев, если мы хотим применить к твердому телу 8,
находящемуся под действием заданной системы сил, основные усло-
вия, необходимые и достаточные для равновесия, то к внешним
силам нужно причислить также и реакции связей, наложенных на
тело; поэтому внешние силы, как это уже указывалось в п. 2 пре-
дыдущей главы, будут разбиваться на две категории:

i)	активные, или прямо приложенные, силы, которые будем
обозначать вообще через F',

2)	реакции связей, которые мы будем обозначать через Ф.

Условия равновесия (1) или (1') содержат в себе как силы F,
так и силы Ф. Однако известными являются только активные силы F
и способ осуществления внешних связен, но не соответствующие
реакции Ф, которые входят в задачу в виде вспомогательных не-
известных.

Поэтому во всяком конкретном случае нужно прежде всего выяс-
нить по заданным силам, возможно ли равновесие, т. е. нужно
определить условия равновесия, выраженные посредством только
известных элементов; затем нужно определить также и неизвестные
реакции Ф или, по крайней мере, установить соотношения между
реакциями и приложенными силами F. Исследование, относящееся
к реакциям, может быть опущено, если для изучаемой задачи до-
статочно определить поведение активных сил при равновесии.

5.	Твердое тело с одной закрепленной точкой. Пусть точка О
твердого тела £ закреплена. Примером такого тела является рычаг
или вообще тяжелое тело, подвешенное на крюке посредством ко-
лечка О, неизменно связанного с телом. Если считать колечко и
крюк точками, то можно сказать, что неподвижность точки О тела
будет обеспечена, каковы бы ни были силы, действующие на тело,
лишь бы они не могли разорвать колечко, или сломать крюк, или
вызвать у них заметные деформации.

Если к телу & приложены известные заданные силы F, то для
того, чтобы учесть все внешние силы, действующие на /У, мы дол-
жны присоединить к силам F реакцию Ф, возникающую в точке О
благодаря действию устройства, обеспечивающего неподвижность
тела. Если обозначим через R и результирующую силу и ре-
зультирующий момент относительно точки О одних только актив-
ных сил F, то неебходимые и достаточные условия для равновесия
твердого тела (так как момент реакции Ф относительно О равен
нулю) примут вид

1£4-ф = 0,	(2)

ЛГ=О.	(3)

Последнее из этих уравнений показывает, что при равновесии
тела результирующий момент активных сил относительно неподвиж-
ной точки равен нулю, или, другими словами, совокупность актив-
ных сил векторно эквивалентна одной силе F, приложенной в
точке О (гл. I, п. 39).

Легко видеть, что условие (3) достаточно для равновесия; это
доказывается на основании теоремы п. 2, согласно которой для
равновесия достаточно, чтобы уравновешивалась система сил, век-
торно эквивалентная действительной системе (которая в настоящем
случае состоит из сил F, силы Ф и из внутренних сил /).

Примем в качестве системы, эквивалентной силам F и f (эти
последние в их совокупности эквивалентны нулю), силу И, прило-
женную в неподвижной точке О. Точка О будет находиться тогда
под действием равнодействующей I?-)-® сил -В я Ф, а так как
эта точка, по предположению, неподвижна, то уравнение (2) должно
удовлетворяться и, следовательно, тело 8 должно находиться в равно-
весии.

Обыкновенно говорят более коротко: если условие (3) удовлет-
воряется, то система активных сил эквивалентна одной силе,
приложенной в неподвижной точке О; эта сила уравновешивается
реакцией в неподвижной точке.

Эта краткая формулировка, полное обоснование которой при
помощи постулатов содержится в приведенных выше рассуждениях,
отвечает нашим непосредственным физическим представлениям и
оказывается удобной в приложениях, поэтому ее полезно за-
помнить.

Таким образом, условие (2) не накладывает никаких ограни-
чений на активные силы F и служит только для определения
реакции Ф в неподвижной точке О. Условием, необходимым и
достаточным для равновесия, является условие (3), т. е. обраще-
ние в нуль результирующего момента всех прямо приложенных
сил относительно закрепленной точки.

6.	Твердое тело о закрепленной осью. Предположим, что непо-
движность оси обеспечивается специальными приспособлениями, ко-
торые закрепляют две или большее число её точек; закрепленных
точек может быть и бесконечно большое число; они составляют
тогда один или несколько отрезков. Физическими моделями твер-
дого тела с закрепленной осью могут служить: крышка ящика,
имеющая два шарнира (петли), мельничное колесо, маховое колесо.
Дверь или створку окна нельзя, вообще говоря, рассматривать как
твердое тело с закрепленной осью; ось в этом случае может сколь-
зить вдоль самой себя (в определенную сторону), так как двери
или створки окон в большинстве случаев устраиваются так, чтобы
их можно было снимать с петель, поднимая в направлении оси.

Пусть 8—твердое тело, которое может вращаться вокруг непо-
движной оси а, неизменно связанной с телом. Обозначим через F
действующие на тело внешние активные силы. Реакции связей Ф
приложены в точках оси а и потому их моменты относительно
этой оси равны нулю. Для равновесия необходимо, чтобы обра-
щался в нуль результирующий момент всех внешних сил относи-
тельно какой угодно точки, а потому и относительно какой угодно
прямой и, в частности, относительно этой оси; поэтому, обозначая
через Ма результирующий момент сил F относительно оси а, за-
ключаем, что необходимое условие для равновесия имеет вид

Ма = 0.

(4)

7.	Только что полученный результат молено обратить, т. е. можно
доказать, что условие (4) является также и достаточным для равно-
весия. Но для этой цели необходимо сделать некоторые предвари-

тельные замечания о векторах.

Если векторы системы S все приложены в точках некоторой
прямой а, то момент каждого из них относительно этой прямой
равен нулю, а потому будет равен нулю также и результирующий
момент системы S относительно этой прямой. Другими сло-
вами, если за центр приведения берется произвольная точка О на
прямой а, то результирующий момент ЛГ системы 2 относительно

О будет перпендикулярен к а.

Здесь важно обратить внимание на то, что это является един-

ственной особенностью систем векторов, приложенных в точках

какой-нибудь прямой, т. е. если, задав прямую а, мы возьмем два

Фиг. 31.

перпендикулярную к

произвольных вектора Л и JML (фиг. 31) при
единственном условии, что второй должен
быть перпендикулярен к а, то найдется
бесконечно большое число (эквивалентных
между собой) систем векторов, приложенных
в точках прямой а, имеющих при произвольном
центре приведения О на прямой а результи-
рующим вектором Л и результирующим мо-
ментом Л£.

Начнем с доказательства того, что суще-
ствует бесконечно много таких систем, состоя-
щих только из двух векторов, приложенных
соответственно в точке О и в другой точке О',
выбранной произвольно на заданной пря-
мой а. Проведем через точку О плоскость л,
вектору Л£ и поэтому содержащую прямую а,

которая предполагается перпендикулярной к этому вектору, и рас-
смотрим в плоскости ~ два вектора —г/ и v', однозначно опреде-
ляющиеся тем, что они должны быть приложены соответственно
в точках О и. О' в направлении, перпендикулярном к а, и составлять
пару с моментом Ж (гл. I, п. 47). Система, составленная из век-
торов Л и —г', приложенных в О, и из вектора v', приложен-
ного в О', имеет, очевидно, относительно О результирующий вектор Л
и результирующий момент Л£; таким образом, если положим
v — Л— v', то система векторов v и v', приложенных соответ-
ственно в точках О и О’, удовлетворяет поставленным усло-

виям.
Наиболее общая система, состоящая только из двух векторов,
приложенных в точках О и О' и имеющая относительно О резуль-
тирующий вектор .В и результирующий момент 2lf, получится
путем присоединения к v и v' двух взаимно уравновешивающихся
векторов, приложенных в О и О', т. е. (гл. I, п. 39) двух прямо
противоположных векторов w и —wr, имеющих линией действия
прямую а. Изменяя величину го этих двух добавочных векторов,
мы и получим бесконечно большое число систем из двух векторов,
удовлетворяющих поставленному условию; очевидно, что произвол
выбора значений величины w по существу соответствует возмож-
ности произвольного выбора направления на плоскости тг двух век-
торов, составляющих пару с моментом Л£.

Ясно, что мы будем иметь еще более значительный произвол,
если отбросим условие, что система должна состоять только из
двух векторов, так как тогда к системе из двух векторов v и. v' можно
будет присоединить сколько угодно векторов, приложенных в точ-
ках прямой и составляющих уравновешенную систему.

8.	После этих предварительных замечаний обратимся опять к
твердому телу 8 с закрепленной осью а и покажем, что обращение
в нуль результирующего момента Ма прямо приложенных сил
относительно оси а является достаточным условием для равновесия;
для этой цели воспользуемся рассуждением, аналогичным рассуж-
дению п. 5.

Если примем условие (4), то, как это следует из предыдущего
пункта, существует бесконечно много систем 2 векторов, эквива-
лентных системе активных сил F и приложенных к тем точкам
прямой а, которые, по предположению, являются закрепленными.
То же самое можно сказать и о реакциях, возникающих в этих
точках. Под действием такой системы сил (активных сил и реак-
ций, эквивалентных, если не тождественных тем, которые имеются
в действительности) тело останется, очевидно, в равновесии (вспом-
ним о том, что было сказано в п. 5 относительно реакции, возни-
кающей в закрепленной точке, и о системе внутренних сил). Опо
останется поэтому в равновесии также и под действием данных
приложенных сил F.

Поэтому имеем теорему: для того чтобы силы F, прямо при-
ложенные к твердому телу с закрепленной осью, уравновешивались,
необходимо и достаточно, чтобы их результирующий момент
относительно этой оси был равен нулю.

9.	В случае твердого тела с одной закрепленной точкой О реак-
ция Ф, возникающая в точке О при действии на тело системы сил,
находящейся в равновесии, будет определена однозначно основными
уравнениями как сила, прямо противоположная результирующей
активных сил.
Если же речь идет о твердом теле с закрепленной осью, то отно-
сительно реакций, возникающих в закрепленных точках оси, основ-
ные уравнения равновесия утверждают только то, что их резуль-
тирующая сила и результирующий момент (относительно данной
точки) должны быть равны и прямо противоположны результирую-
щей силе и результирующему моменту активных сил, но не дают
возможности определить эти реакции в отдельных закрепленных
точках оси. Таким образом, основные уравнения равновесия при-
водят к заключению, что в статических условиях действие связей
можно зайенить какой угодно из систем реакций (эквивалентных
между собой), приложенных в закрепленных точках и имеющих
результирующую силу и результирующий момент, прямо противо-
положные результирующей силе и результирующему моменту актив-
ных сил. Такое заключение, очевидно, неудовлетворительно, так
как с физической точки, зрения бесспорно, что при равновесии
реакции всегда определяются однозначно. Мы приходим, таким
образом, к новому случаю статической неопределенности, который
можно сравнить со случаем, уже встречавшимся в и, 10 гл. IX;
эта неопределенность происходит от того, что в принципах статики
твердого тела не принимаются во внимание деформации, вызывае-
мые силами. Это вполне допустимо в первом приближении, так как
деформации вообще бывают незначительными, так что следствия,
которые вытекают из этого упрощающего предположения, в доста-
точной степени соответствуют результатам опыта. Но нельзя пре-
тендовать на правильное и детальное отображение всех обстоятельств,
связанных с рассматриваемым явлением, если мы намеренно пре-
небрегаем какими-либо существенными элементами этого явления.
Поэтому мы не должны удивляться тому, что относительно реак-
ций Ф мы в состоянии определить лишь свойства, относящиеся
к ним в целом (т. е. то, что они имеют результирующую силу и
результирующий момент, прямо противоположные результирующей
силе и результирующему моменту активных сил F), и не можем
указать их распределение в каждой точке. Это достигается в тео-
рии упругости, где как раз учитываются указанные выше дефор-
мации.

10.	Рассмотрим отдельно случай, когда на оси а имеются две
закрепленные точки О и О' (например, две петли двери, когда обе
они закреплены; ср. замечание из и. 6). В этом случае будут
действовать только две реакции: одна из них, Ф, приложена в О,
другая, Ф', в О'. Так как результирующая сила и результирующий
момент этих реакций известны (при равновесии они соответственно
равны и противоположны результирующей силе и результирующему
моменту системы сил F), то на основании п. 7 заключаем, что неопре-
деленность Ф и Ф' в этом случае сводится к двум осевым, равным
и прямо противоположным составляющим. Если бы, например, было
известно, что реакция Ф' нормальна к закрепленной оси, то обе
реакции были бы вполне определенными.

На практике этот случай встречается тогда, когда речь идет
об оси, закрепленной на одном конце О, в то время как другой
конец опирается на подшипник.

Теоретически при неизменности расстояния ОО' точка О' тоже
будет закреплена. В действительности же указанное приспособле-
ние оставляет точке О' свободу для продольных удлинений и уко-
рочений, которые могут иметь место благодаря несовершенной
твердости оси и вытекающей из нее возможности малых упругих
и термических деформаций, и позволяет избежать опасных усилий,
которые могли бы появиться, если бы расстояние ОО' оставалось
строго неизменным.

Чтобы понять, почему при этих условиях реакция Ф' в Фочке
О' будет нормальна к оси, достаточно уподобить О' материальной
точке, вынужденной оставаться на отрезке прямой (ось подшип-
ника), и заметить, что при xopoipo смазанных оси и подшипнике
можно пренебречь трением (гл. IX, п. 16).

11.	Твердое тело с осью, скользящей вдоль самой себя. На
практике мы будем иметь такой случай, когда обе цапфы (цилин-
дрические) О, О' оси а тела опираются на соответствующие (цилин-
дрические) подшипники. Если по указанной только что причине
(предыдущий пункт) можно пренебречь трением, то реакции Ф и Ф'
в точках О, О' твердого тела должны быть перпендикулярными
к оси (при этом они могут действовать по всякому направлению,
нормальному к оси, и иметь любую величину); поэтому проекция
их результирующей силы на ось а и результирующий момент отно-
сительно этой оси будут равны нулю. Если существует равновесие,
то и активные силы F, которые в силу основных уравнений рав-
новесия должны составлять вместе с реакциями систему, эквивалент-
ную нулю, будут иметь проекцию результирующей на ось а и
результирующий момент относительно этой оси равными нулю.
Таким образом, должны удовлетворяться два уравнения:

Ба = 0, Ма = О.	(5)

Обратно, если удовлетворяются оба эти уравнения, то непосред-
ственно из п. 7 следует (принимая во внимание отсутствие трения
и перпендикулярность реакций к оси) однозначное существование
двух нормальных реакций Ф, Ф', уравновешивающих систему актив-
ных сил.

Если связи наложены не только на цапфы О и О', но также
и на другие изолированные точки или на целые отрезки оси, то
будут справедливы аналогичные рассуждения с единственной ого-
воркой, что распределение нормальных реакций (как и в случае
закрепленной оси) будет неопределенным.
Таким образом, мы приходим к следующему результату: для
равновесия твердого тела, которое может вращаться вокруг
некоторой оси и скользить вдоль нее, необходимо и достаточно,
чтобы проекция результирующей активных сил на эту ось и
результирую'щий момент их относительно этой оси были равны
нулю.

§ 4. Равновесие твердых тел,
опирающихся на другие твердые тела

12.	Если твердое тело опирается на другие тела в одной или
нескольких точках, то в этих точках возникают реакции Ф; на
основании замечаний п. 4 мы получим условия равновесия, если
выразим, что система, составленная из активных сил F и реак-
ций Ф, эквивалентна нулю.

На каждую из этих реакций можно распространить свойства,
с которыми мы познакомились в случае одной материальной точки
(см. гл. IX, п. 8). При этом мы должны опираться на один посту-
лат, который подсказывается самой природой вещей и подтвер-
ждается ежедневным опытом, а именно: мы должны считать, что
любая опора Р способна обеспечить равновесие, развивая реак-
цию Ф, заранее неопределенную (и, возможно, равную нулю).
Величина этой реакции зависит от действующих сил, но может
быть какой угодно, а линия действия всегда остается внутри или
на внешней полости конуса трения и совпадает с внешней нор-
малью (к телу, на котором находится опора), если опора лишена
трения или рассматривается как свободная от трения (когда трение
очень мало). На основании такого свойства реакции Ф мы всегда
можем получить количественные условия равновесия, т. е. усло-
вия, которым должны удовлетворять силы F для того, чтобы вместе
с реакциями Ф они могли составить систему, эквивалентную нулю.

Если оставаться при общих предположениях, то мы ничего уже
больше не сможем прибавить к тому, что было сказано выше.

Перейдем поэтому к конкретным случаям, имеющим большой
практический интерес.

13.	Установим предварительно справедливость очень простого
и в то же время очень важного правила, заключающегося в том,
что в вопросах статики, отвлекаясь от трения, мы всегда дей-
ствуем в сторону большей надежности.

Этим мы хотим сказать, что выводы, полученные при рассмот-
рении равновесия без учета трения в опорах, тем более справед-
ливы, когда трение на самом деле имеется, и потому вполне при-
ложимы к действительности (где в большей или меньшей степени
всегда действует трение).

Убедиться в этом можно непосредственно. Достаточно обратить
внимание на то, что если реакции, уравновешивающие силы F
нормальны к поверхностям опор, то они необходимо должны лежать
внутри соответствующих полостей конусов трения, как бы эти
конусы ни были узки.

Таким образом, когда мы отвлекаемся от трения, то этим мы
накладываем на активные силы лишние условия, благодаря чему
в некотором смысле гарантируется устойчивость: имеется основа-
ние предполагать, что даже в том случае, когда эти лишние усло-
вия не будут строго выполняться, то равновесие все же будет
существовать, если только речь идет о системе сил которая не
отличается значительно от системы сил Е, удовлетворяющих указан-
ным условиям. Это следует из того, что, вообще говоря, систему S'
можно уравновесить реакциями, приложенными в точках опоры и
весьма близкими к реакциям, уравновешивающим систему S, т. е.
лежащими во внешних полостях конусов трения, что как раз и
является необходимым'и достаточным для равновесия.

Однако важно отметить, что могут встретиться не только такие
случаи, в которых трение способствует равновесию, но и такие,
когда равновесие возможно только при наличии трения. Таков,
например, случай лестницы, опирающейся своими концами на пол
и на вертикальную стенку, который мы будем подробно рассмат-
ривать в пн. 17—18. Если бы трения вовсе не было, то равновесие
было бы невозможно, как бы мало ни была наклонена лестница
к вертикали: опоры не препятствовали бы ей двигаться под дей-
ствием силы тяжести, скользя вдоль пола и вдоль стены. Поэтому
необходимо обязательно принимать во внимание трение, когда мы
замечаем, что, пренебрегая им, мы слишком удаляемся от действи-
тельности, вводя искусственные ограничения или прямо оставляя
в стороне практически интересные формы равновесия.

Обратимся теперь к некоторым важным случаям, когда можно
пренебречь трением, благодаря чему исследование очень упро-
щается,

14.	Тяжелое тело на горизонтальной опорной плоскости. Пусть <8
есть твердое тело, опирающееся несколькими точками Р на гори-
зонтальную плоскость. Если число точек опоры конечно, то мы
будем называть опорным многоугольником такой выпуклый много-
угольник, имеющий все свои вершины в точках Р, что ни одна
из опор не остается вне его (между тем как опорные точки внутри
него могут существовать). Если число точек опоры задано, то могут
представиться различные случаи в отношении числа сторон пери-
метра, в зависимости от конфигурации системы точек Р. Это видно
уже в простом случае четырех опор (фиг. 32), если исключить
случай, когда три из них лежат на одной прямой.

Понятие опорного многоугольника легко распространяется на
общий случай, когда имеется бесконечно большое число точек опоры,
причем дочки опоры могут составлять части линий или даже части
плоскости. Необходимо только иметь в виду, что опорный много-
угольник может быть ограничен частью прямолинейными отрезками,
частью дугами кривых линий. Но всегда должно удовлетворяться
условие, что каждая его вершина является опорой.

Каков бы ни был опорный многоугольник, во всякой точке Р
будет действовать некоторая реакция Ф, и если мы допустим
идеальное предположение об отсутствии трения, то все эти реакции
будут перпендикулярны к плоскости опоры, т. е. будут верти-
кальны и направлены вверх, так что в своей совокупности они
составят систему параллельных и одинаково направленных сил.
Какова бы ни была величина отдельных реакций, система их век-
торно эквивалентна их результирующей (гл. I, п. 56), приложен-
ной в некоторой точке Q (центре реакций), которая является внут-
р	ренней (или, по меньшей мере,

р не внешней) относительно вся-
/ ч\	\ кой замкнутой выпуклой ли-

/ X	\ нии, содержащей все точки Р

/	Р4° \	>	\ (гл. X, п. 11), и, в частности,

<4_____________\ л-------------относительно опорного много-

P|	р2 Pj	Р2 угольника.

фИГ. 32.	Ее™ твердое тело нахо-

дится в равновесии,то резуль-
тирующая реакций должна уравновешиваться системой активных сил,
которые здесь сводятся к весам отдельных материальных точек тела
система весов отдельных материальных точек тела эквивалентна
полному весу р, приложенному в центре тяжести G. Результирую-
щая реакций в статических условиях должна быть прямо проти-
воположна весу р, приложенному в центре тяжести G; поэтому
заключаем, что вертикаль, проходящая через центр тяжести тела
(линия действия р), должна проходить и через центр Q реакций,
т. е. для равновесия тяжелого твердого тела на плоской гори-
зонтальной опоре необходимо, чтобы проекция центра тяжести
на эту плоскость была внутренней (или, по меньшей мере, не
внешней) для опорного многоугольника.

15.	Только что доказанное необходимое условие равновесия
является также и достаточным.

Для доказательства рассмотрим сначала случай только трех
точек опоры Р2, Р3 и для определенности предположим, что
они не лежат на одной прямой (фиг. 33), хотя рассуждение будет
иметь силу, с надлежащими изменениями, также и в исключенном
здесь случае.

Предположим, что проекция Q центра тяжести G твердого тела
на плоскость опоры является внутренней (или, по крайней мере,
не внешней) для треугольника РХР2Р«,. Для того чтобы доказать,
что в этом случае твердое тело находится в равновесии, покажем,
Фиг. 33.

что можно определить (и даже однозначно) три реакции, верти-
кальные и направленные вверх, Фр Ф2, Ф3, которые, будучи при-
ложены в точках Рр Р2, Ръ, в состоянии уравновесить вес твер-
дого тела р, приложенный в G, или, что одно и то же, в Q.

Для этого выразим прежде всего, что результирующий момент
веса р и трех реакций (г = 1, 2, 3) относительно каждой из
сторон треугольника, например относител] " ~
Так как моменты реакций Ф2, Ф3 относител;
нулю, а реакция Ф1 параллельна и на-
правлена в сторону, противоположную ве-
су р, то достаточно выразить, что равны по
абсолютной величине моменты относительно
Р2Р3 этих двух последних сил, т. е.

Ф^ =Р&1,
где через обозначены расстояния точек
Pt и Q от стороны Р^Ра, и через Ф,—ве-
личина реакции Ф,. Если обозначим через А
площадь треугольника Р^Р^Р^, а через Дп Д2, Д3 площади тре-
угольников QP2P3, QPgP,, QP^P^, определяемых точкой Q, то будем
иметь

Ai____

Д 7»! ’

12т3, равен нулю,
прямой PaPs равны

р

после чего для величины Ф} реакции находим выражение

/R Д1

Ф| обращается в нуль, если Д1==0, т. е. если Q лежит на сто-
роне Р$РЪ.

Аналогично будем иметь

д- До	-т-	До

= Фз = ^-

Эти три реакции действительно уравновешивают вес тела р, так
как результирующая их прямо противоположна p(At -f-Д2 -|~ Д3 = Д),
а, с другой стороны, достаточно принять за центр приведения одну
из трех вершин треугольника, например Pt, чтобы убедиться, что
и результирующий момент силы р и реакций Ф4 также равен
нулю (так как равны нулю три его некомпланарные составляющие:
по двум сторонам РгР2 и Р^Рй в силу условий, которые мы нало-
жили на Фр Ф2, Ф3, и по вертикали, ввиду того что все силы
вертикальны).

16.	Если число опор больше трех, то условие, заключающееся
в том, что проекция центра тяжести на опорную плоскость не
лежит вне опорного многоугольника, тоже всегда обеспечивает
равновесие. В этом можно убедиться, предположив, например, все
реакции равными нулю, за исключением трех, и обращаясь к пре-
дыдущему случаю; достаточно выбрать, что всегда возможно, три
соответствующие опоры таким образом, чтобы проекция центра
тяжести не была внешней для построенного на них треуголь-
ника.

Однако ясно, что в этом случае (т. е. в случае числа точек
опоры, большего трех) распределение реакций не может быть опре-
делено на основании чисто статических условий равновесия неде-
формируемых тел, и эта неопределенность будет тем большей,
чем больше имеется точек опоры. Здесь, как и в случае твердого
тела, имеющего больше двух закрепленных точек, лежащих на
одной прямой (п. 9), для устранения неопределенности необходимо
обратиться к новым данным опыта, дополняющим данные, полу-
ченные из предельных предположений совершенной твердости (см.
по этому поводу упражнение 26, стр. 145).

17.	Состояние равновесия, зависящее исключительно от трения
в опорах. Покажем теперь на примере, что иногда, как мы уже
отмечали в п. 13, равновесие опертого твердого тела обеспечивается
исключительно трением в опорах, так что физиче-
ски оказываются возможными условия равновесия,
которые исключались бы при идеальном предпо-
ложении об отсутствии трения.

Рассмотрим лестницу, опирающуюся на пол
наклонно к нему и на вертикальную стену. Число
опор, соответствующих концам двух стоек лест-
ницы, равно четырем; но вследствие геометри-
ческой и материальной симметрии фигуры отно-
сительно вертикальной плоскости, равноотстоя-
щей от стоек, мы можем рассматривать задачу
схематически, представляя себе лестницу в виде
твердого тяжелого стержня, расположенного
в вертикальной плоскости и опирающегося в двух
соответственно на горизонтальную прямую Ох

и на вертикальную прямую Оу (фиг. 34). Допустим, что на какую-то
ступеньку лестницы поднялся человек. Веса лестницы и чело-
века эквивалентны их результирующей р, которую можно пред-
ставить себе приложенной в центре тяжести системы, состоящей
из лестницы и человека, или перенесенной вдоль линии ее дей-
ствия в точку Р, в которой вертикаль, проходящая через центр
тяжести, пересекает РуР^ (п. 2). Точка Р, очевидно, будет лежать
внутри отрезка PrPv

Для равновесия необходимо и достаточно, чтобы сила р и обе
реакции «I*! и Ф2, приложенные в точках Рх и Ра, составляли
уравновешенную систему или же (гл. I, п. 51) чтобы линии дей-
ствия трех сил пересекались в одной точке (так как возможность
параллельности здесь исключается) и чтобы, кроме того, результи-
рующая реакций Фх и Фа была прямо противоположна полному

весу р.

Если мы допустим теперь, что опоры в точках Рх и Р2 абсо-
лютно гладкие, то обе реакции Фх и Фа будут направлены по
перпендикулярам в плоскости фигуры соответственно к Ох, Оу,
пересекающимся в точке Q, через которую не может пройти линия
действия полного веса, параллельная прямой QPX и пересекающая
отрезок PiP2 во внутренней точке Р; поэтому предположение об
отсутствии трения приводит к парадоксальному заключению, что

лестница, опирающаяся на пол и на
стену, не может оставаться в равно-
весии. Аналогично мы увидим, что
только одно трение о стену не было
бы достаточным для обеспечения равно-
весия.

Парадокс объясняется тем обстоя-
тельством, что как раз трение об опоры
и делает возможными те состояния
равновесия, которые мы наблюдаем на
каждом шагу. Для того чтобы сформу-
лировать соответствующие условия
равновесия, обратим внимание на тре-
ние в точках Ро Ра и рассмотрим
внешние полости конусов трения,

каждая из которых будет пересекаться плоскостью фигуры по двум

образующим, симметрично расположенным относительно соответ-

ствующей нормали. В этой плоскости получаются таким образом
два угла трения, которые определят некоторый четырехуголь-
ник ABCD (фиг. 35) (или треугольник, если лестница составляет
с вертикалью угол, меньший угла трения о пол, или с горизон-
талью угол, меньший угла трения о стену). Условие, необходимое
и достаточное для равновесия, заключается в том, чтобы полный

вес мог быть уравновешен двумя реакциями, пересекающимися
в одной из точек его линии действия (вертикаль через центр
тяжести) и лежащими внутри соответствующих углов трения, или,
другими словами, условие, необходимое и достаточное для равно-
весия лестницы, состоит в том, чтобы вертикаль, проходящая
через центр тяжести, имела, по крайней мере, одну общую
точку с четырехугольником (или с треугольником), общим для
обоих углов трения.

Если в случае четырехугольника эта вертикаль проходит через
вершину С, более близкую к оси у, то обе реакции будут опреде-
лены однозначно, поскольку они должны иметь линиями действия
Р,С и Р2С, и их результирующая должна быть прямо противопо-
ложной полному весу.

Во всех других случаях равновесия вертикаль, проходящая
через центр тяжести, имеет с четырехугольником (или с треуголь-
ником) общим целый отрезок, на котором точку пересечения линий
действия двух реакций можно выбрать произвольно; поэтому по-
следние не могут быть определены однозначно (ср. предыдущий
пункт).

18.	На практике интересно знать, при каких условиях можно
подняться до самой вершины лестницы, не опасаясь скольжения,
или, иначе, при каком наибольшем

наклоне лестница остается в равно-
весии при любом положении на ней
человека.

Предположив для простоты, что
пол и стена имеют одинаковые коэф-
фициенты трения, легко понять, что
лестница, наверное, останется в равно-
весии, если она образует с верти-
калью угол а, меньший угла трения
<р (f — tg <р). Действительно, в таком
случае общая плоская область для
обоих углов трения есть такой тре-
угольник Р%АВ (фиг. 36), что верти-
каль, проведенная через любую точку
отрезка Р^, будет иметь с этим

треугольником общий отрезок (или, по крайней мере, точку, если
речь идет о вертикали точки Р2).

Если, далее, угол а лестницы с вертикалью больше угла <р
(см. фиг. 35), то точка из общей области двух углов трения, наи-
более близкая к стене, будет точкой пересечения С верхней сто-

роны угла треиия о стену с левой стороной угла трения о пол,
так что для равновесия необходимо и достаточно, чтобы вертикаль,
проходящая через центр тяжести, не лежала между точкой С и
стеной. Если теперь примем в качестве положительных полуоси Ох,
Оу и обозначим через I и т длину и массу лестницы и через т)
и массу и абсциссу человека, то будем иметь прежде всего

OPi = I sin а, ОРа — I cos а,

и для абсциссы центра тяжести системы, состоящей из лестницы и
человека, получим выражение

1 . . ,
ml sin a -f- Wjaij

а


тогда как точка С, как пересечение прямых Рав, P^D, определяе-
мых соответственно уравнениями

7	,	х — I sin а

у — l&OSa =fx, у==------------------,

будет иметь абсциссой

, Sin а — f COS п ,	. ,	.

i-----i -р/з— —1 C0S ? Sln (а ~~ ?)•

Поэтому условие равновесия выражается соотношением

1 , .

“ ml sin а + mjXj
а

т + т1

I cos<? sin (а — о).

Если мы хотим, чтобы равновесие существовало, каково бы ни
было положение человека на лестнице, то необходимо, чтобы пре-
дыдущее соотношение удовлетворялось ппи xt = 0; тогда оно будет
удовлетворяться и для всякого другого значения (положительного) xt.
Таким образом, должно удовлетворяться соотношение

т sin а .	. .	.

ТГ7----i--\ <> COS Ф Sin (а — ф).

2 (ж -|- ж})	‘7

Разделив обе части его на Va cos а и выделив член sin 2<р, найдем

{ 2 cos2 ф------;--} tg а sin 2ф.

1	1 ж ®i ) ° ' т

Коэффициент при tg а несомненно положителен, поскольку при
ф < тг/4 имеем неравенство 2cos2<p>l, тогда как вычитаемое
m/(m -j-mj меньше единицы.

Поэтому обе части неравенства можно разделить на коэффициент
при tga, решая его относительно tga, а это дает для а искомое
неравенство

,	sin 2ф

tg а <-------------1----.

2	eosa ср	:-

1	т +

§ 5.	Устойчивость равновесия твердого тела

19.	Чтобы показать, как в некоторых случаях можно опенить
количественно устойчивость равновесия твердого тела, рассмотрим
задачу, в которой встречаются одновременно связи обоих видов,
изученные в предыдущих параграфах, т. е. тело имеет закреплен-
ные точки и точки опоры. Именно, рассмотрим твердое тело 8,
имеющее закрепленную ось а. и одну или больше опор на пло-
скости it, проходящей через ось, и для определенности предположим,
что плоскость it (а следовательно, и ось а) горизонтальна и что
твердое тело опирается на верхнюю сторону плоскости it, как это
имеет место, например, у крышки на шарнирах, когда она опи-
рается на стенки соответствующего ящика. Наконец, представим
себе, что ось а направлена в ту сторону, относительно которой
вращение тела 8, допускаемое плоскостью опоры, оказывается
правым.

Заметим, далее, что если бы опора отсутствовала и, следова-
тельно, речь шла просто о твердом теле с закрепленной осью, то
необходимое и достаточное условие равновесия заключалось бы
в равенстве нулю результирующего момента активных сил относи-
тельно оси (п. 8). Мы можем свести задачу как раз к этому слу-
чаю, рассматривая временно в качестве активных сил реакции Ф,
происходящие от опор. Таким образом, обозначая через Ма и Ма
результирующие моменты относительно оси а активных сил и со-
ответственно реакций опоры Ф, заключаем, что необходимое и
достаточное условие для равновесия нашего твердого тела имеет
вид

Ма^М'а = 0.	(6)

Реакции опоры Ф являются неизвестными; следовательно, неиз-
вестен и их результирующий момент Ма. Независимо от того,
имеется или нет трение в опорах, известно, что всякая отдельная
реакция Ф, не равная нулю, направлена в ту сторону от плоскости it,
в которую тело 8 может вращаться, или, другими словами, всякая
реакция стремится сообщить телу правое вращение относительно
направленной оси а, так что несомненно будем иметь

Ж>0;

отсюда и из уравнения (6) следует, что для равновесия тела <8
необходимо, чтобы активные силы удовлетворяли условию

Ма<0.	(7)

20.	Докажем, что условие (7) оказывается также и достаточным
для обеспечения равновесия. Для этой цели достаточно убедиться,
что всякий раз как удовлетворяется неравенство (7), возможно
определить каким-либо образом реакции Ф отдельных опор так,
чтобы удовлетворить условию (6), достаточному для равновесия,
а также, конечно, общим требованиям статики опертых твердых
тел (п. 12).

Начиная со случая, когда вне оси а имеется только одна точка
опоры Р и опора абсолютно гладкая, легко увидим, что при вы-
полнении условия (7) единственная реакция Ф, способная обеспе-
чить равновесие, будет однозначно определена. Действительно,
реакция Ф, как перпендикулярная к плоскости it и правая относи-
тельно направленной оси а, имеет по отношению к ней момент АФ,
если через h обозначим расстояние'точки Р от оси; достаточно
будет взять для Ф значение (положительное или нуль) — Л/о/Л для
того, чтобы было удовлетворено условие равновесия (6).

Если, далее, окажется, что в единственной опоре Р имеется
трение, то для равновесия достаточно будет, чтобы нормальная
составляющая реакции имела только что определенное значение;
момент касательной реакции относительно оси а в любом случае
равен нулю, поэтому касательная реакция будет оставаться неоп-
ределенной, однако при соблюдении условия, что полная реакция
не выходит из внешней полости конуса трения.

Наконец, если имеется несколько опор с трением или без него,
то при наличии условия (7) всегда можно будет бесконечным
множеством способов выбрать систему реакций, результирующий
момент которых относительно оси был бы равен Ма. Достаточно,
например, предположить все реакции равными нулю, за исключе-
нием одной, которая определяется способом, указанным выше,
в предположении, что имеется только одна опора. Равновесие ока-
зывается поэтому действительно обеспеченным соотношением (7);
во всех случаях, за исключением одного, рассмотренного выше
(когда имеется только одна опора и притом абсолютно гладкая),
мы встречаемся с неопределенностью реакций, которую нельзя
устранить, если не обращаться к соображениям, выходящим за
пределы статики твердых тел.

21.	Из соотношения (7) следует, что равновесие твердого тела,
имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость, может
быть нарушено только такими активными силами, результирующий
момент которых относительно этой оси (ориентированной так, как
мы условились выше) положителен. Поэтому можно сказать, что
заданное состояние равновесия будет тем далее от этого опасного
случая, чем больше абсолютная величина | Ма | момента (самого
по себе отрицательного) активных сил; естественно поэтому при-
нять число | Ма | за меру устойчивости рассматриваемого состоя-
ния равновесия. Число определяет наибольшее значение,
которого может достичь без нарушения равновесия момент относи-
тельно оси случайных сил, т. е. сил, не причисляемых заранее
к активным силам.

Это число | Ма | называется моментом устойчивости равно-
весия твердого тела, имеющего закрепленную ось и опирающегося
на плоскость.

22.	Рассуждения предыдущего пункта можно распространить на
случай твердого тела, опорный многоугольник которого (прямоли-
нейный или криволинейный, но во всяком случае выпуклый) на
плоскости « окружен со всех сторон малыми выступами, так что
тело не может скользить по плоскости, а может только поворачи-
ваться вокруг любой из его сторон или вокруг любой из его каса-
тельных. Будем вообще обозначать через а те прямые, вокруг
которых тело может опрокидываться. Что же касается вопроса
о том, будет ли тело в действительности опрокидываться, если
оно подвергается действию заданной системы активных сил, то
здесь дело .будет обстоять так же, как и в случае твердого тела,
имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость
(пп. 19—21). Поэтому, если представим себе все прямые а напра-
вленными в ту сторону, по отношению к которой опрокидывание,
возможное для твердого тела, окажется правым, то для равновесия
потребуется, чтобы результирующий момент активных сил относи-
тельно всякой отдельно взятой прямой а был отрицательным (или
равным нулю). Вследствие этого в статических условиях будет
законно назвать моментом устойчивости рассматриваемого со-
стояния равновесия наименьшее абсолютное значение этих резуль-
тирующих (отрицательных) моментов активных сил относительно
различных прямых а.

В частности (если иметь в виду конкретные задачи, которые
находят здесь свое схематическое представление), оказывается
интересным случай тяжелого твердого тела 8, которое опирается
на горизонтальную плоскость так, что центр тяжести его проекти-
руется внутрь опорного многоугольника или на его контур. При
этом предполагается, что на центр тяжести, помимо собственного
веса тела, действует горизонтальная сила, которая стремится
опрокинуть тело.

Чтобы выразить точно условие равновесия, заметим, что если
мы будем выбирать принятым ранее способом стороны обращения
отдельных прямых а, то вес тела 8, приложенный в центре тяжести,
который, по предположению, проектируется внутрь или на кон-
тур опорного многоугольника, будет левовращающим по отношению
ко всем этим ориентированным прямым (или, в исключительном
случае, будет пересекать одну из них); поэтому относительно каж-
дой из прямых а вес будет иметь отрицательный (или равный
нулю) момент, в то время как момент горизонтальной силы может
быть положительным или отрицательным (или равным нулю),
в зависимости от рассматриваемой прямой. Если обозначим через
—Ва и Та моменты веса и горизонтальной силы относительно любой
прямой а, то для равновесия твердого тела будет необходимо и
достаточно, чтобы для всех отдельных прямых удовлетворялось
условие

Ма = Та-Ра<П.	(7')

Если сила действует в какой-нибудь проходящей через центр вер-
тикальной плоскости, то предыдущее условие можно выразить сло-
вами так: линия действия равнодействующей веса и горизонталь-
ной силы должна пересекать плоскость опоры в точке, внутрен-
ней (или, по крайней мере, не внешней) для опорного многоугольника.
тельных. Будем вообще обозначать через а те прямые, вокруг
которых тело может опрокидываться. Что же касается вопроса
о том, будет ли тело в действительности опрокидываться, если
оно подвергается действию заданной системы активных сил, то
здесь дело -будет обстоять так же, как и в случае твердого тела,
имеющего закрепленную ось и опирающегося на плоскость
(пп. 19—21). Поэтому, если представим себе все прямые а напра-
вленными в ту сторону, по отношению к которой опрокидывание,
возможное для твердого тела, окажется правым, то для равновесия
потребуется, чтобы результирующий момент активные сил относи-
тельно всякой отдельно взятой прямой а был отрицательным (или
равным нулю). Вследствие этого в статических условиях будет
законно назвать моментом устойчивости рассматриваемого со-
стояния равновесия наименьшее абсолютное значение этих резуль-
тирующих (отрицательных) моментов активных сил относительно
различных прямых а.

В частности (если иметь в виду конкретные задачи, которые
находят здесь свое схематическое представление), оказывается
интересным случай тяжелого твердого тела 8, которое опирается
на горизонтальную плоскость так, что центр тяжести его проекти-
руется внутрь опорного многоугольника или на его контур. При
этом предполагается, что на центр тяжести, помимо собственного
веса тела, действует горизонтальная сила, которая стремится
опрокинуть тело.

Чтобы выразить точно условие равновесия, заметим, что если
мы будем выбирать принятым ранее способом стороны обращения
отдельных прямых а, то вес тела 8, приложенный в центре тяжести,
который, по предположению, проектируется внутрь или на кон-
тур опорного многоугольника, будет левовращающим по отношению
ко всем этим ориентированным прямым (или, в исключительном
случае, будет пересекать одну из них); поэтому относительно каж-
дой из прямых а вес будет иметь отрицательный (или равный
нулю) момент, в то время как момент горизонтальной силы может
быть положительным или отрицательным (или равным нулю),
в зависимости от рассматриваемой прямой. Если обозначим через
—Ва и Та моменты веса и горизонтальной силы относительно любой
прямой а, то для равновесия твердого тела будет необходимо и
достаточно, чтобы для всех отдельных прямых удовлетворялось
условие

Ма = Та-Ра^.	(7Z)

Если сила действует в какой-нибудь проходящей через центр вер-
тикальной плоскости, то предыдущее условие можно выразить сло-
вами так: линия действия равнодействующей веса и горизонталь-
ной силы должна пересекать плоскость опоры в точке, внутрен-
ней (или, по крайней мере, не внешней) для опорного многоугольника.
Во втором случае, как бы ни двигалось тело около точки О,
центр тяжести G поднимается, так как должен оставаться на одном
и том же расстоянии от О и, следовательно, двигаться по сфере,
самой низкой точкой которой является его исходное положение,
находящееся под точкой О на одной с ией вертикали. Отсюда
следует, что при движении тела от любого положения до положения

Фиг. 37.

кой плоскости. Предположим,

равновесия вес совершает поло-
жительную работу. Равновесие по-
этому оказывается устойчивым.
Подобным же образом устанавли-
вается, что в третьем случае мы
имеем существенно неустойчивое
равновесие.

б) Однородная полусфера на
горизонтальной, абсолютно глад-
что однородная тяжелая полусфера

с центром в О находится в равновесии, опираясь своим полюсом Р
на горизонтальную плоскость в некоторой произвольной точке Q
этой плоскости (фиг. 38).

При этих условиях ось симметрии РО полусферы будет верти-

кальна, и так как вследствие однородности твердого тела центр
тяжести G лежит на РО, то вес и реакция прямо противоположны
друг другу. Любое перемещение полусферы, не нарушающее ее
соприкосновения с плоскостью, можно получить, комбинируя пере-

мещения двух следующих типов.

1.	Заставить полусферу скользить по плоскости так, чтобы
соприкосновение происходило постоянно в Р и, следовательно,

Фиг. 38.

ось РО оставалась верти-
кальной.

2.	Оставляя неизменной
точку прикосновения Q
плоскости, наклонить ось
РО полусферы, устанавли-
вая соприкосновение с пло-

скоетью в другой точке по-
лусферы, отличной от Р.

Ясно, что на всех этих перемещениях реакция плоскости опоры
(всегда нормальная к ней) совершает работу, равную нулю, так
что достаточно обратиться к весам. Работа веса в первом случае
равна нулю. Во втором случае в конце перемещения центр тяже-
сти G будет находиться на некоторой высоте над плоскостью опоры,
большей высоты GP, на которой он находился в состоянии равно-
весия. Действительно (см. фиг. 38, правую часть), проектируя G
на вертикаль OQ в G', необходимо будем иметь OG'<OG и, сле-

довательно,

G'Q = OQ — OG' >OQ — OG,
Из соотношения (7'), которое можно написать в виде

Т < Р

-1 а -1 а>

мы замечаем, что в случае равновесия для всякой прямой а,
относительно которой момент горизонтальной силы Та будет поло-
жительным, отношение Ра1Та будет больше или, по меньшей мере,
равно единице; чем больше это отношение, тем лучше тело пре-
дохранено от опасности опрокидывания вокруг соответствующей
прямой а. Поэтому в случае равновесия минимум положительных
отношений PjTa называется коэффициентом устойчивости.

23.	Как и в случае точки, мы не всегда в состоянии количе-
ственно оценить устойчивость равновесия твердого тела, но в каж-
дом данном случае можно придти к качественной оценке, опре-
деляя на основании критерия, указанного в п. 18 гл. IX, какое
равновесие имеет место в этом случае: устойчивое, неустойчивое
или безразличное. Применим этот критерий к двум особенно про-
стым случаям.

а) Тяжелое твердое тело с закрепленной точкой. Если тело
находится в равновесии, то результирующий момент активных сил
относительно закрепленной точки О должен обращаться в нуль.
Заметим теперь, что внутренние силы и реакция в точке О не
совершают никакой работы при всяком перемещении тела, не
нарушающем неподвижности точки О. Это очевидно для реакции, так
как точка приложения ее не перемещается; что же касается вну-
тренних сил, то они эквивалентны нулю (в смысле теории векто-
ров), и, как мы докажем в гл. XV, эта эквивалентность нулю
системы сил достаточна в случае твердых тел (однако, вообще
говоря, не для каких угодно систем) для того, чтобы работа,
совершаемая ими, равнялась нулю.

Здесь мы допустим это и заметим, что если для твердого тела,
закрепленного в точке О, активные силы сводятся к весу, то
в положении равновесия центр тяжести G должен находиться на
вертикали, проходящей через закрепленную точку О. При этом
необходимо различать три случая, в зависимости от того, совпа-
дает ли G с О, находится ли G ниже или выше О (фиг. 37).

В первом случае при всяком перемещении твердого тела, со-
вместимом со связями (т. е. при всяком перемещении, которое
оставляет неподвижной закрепленную точку), центр тяжести G
остается неподвижным, а, следовательно, работа веса равна нулю ’).
Речь идет поэтому о безразличном равновесии.

!) На самом деле, вес распределен между отдельными элементами тела
и только эквивалентен одной силе (в смысле теории векторов), приложен-
ной к центру тяжести. Но этого, как мы только что видели, и достаточно
для того, чтобы можно было вычисление работы отнести к такой един-
ственной силе.
С другой стороны, из активных сил такому же условию удо-
влетворяет вес, так как он пересекает прямую д, тогда как сила т
всегда имеет относительно д момент (по абсолютному значению
равный Вх), отличный от нуля. Таким образом, ввиду того что
результирующий момент всех внешних сил относительно прямой д
не равен нулю, мы приходим к заключению, что равновесие не-
возможно, как бы мала ни была сила х.

25.	Для того чтобы устранить это противоречие между опытными
данными и теоретическими выводами, основанными на предположе-
ниях „а“ и „б“, нужно отказаться по крайней мере от одного из
них.

Мы уже не раз отмечали, что абсолютная недеформируемость
твердых тел с физической точки зрения недопустима. Легко видеть,
что, отказываясь от предположения „а“ абсолютной твердости,
можно сохранить предположение „б“, не впадая в противоречия.
В самом деле, допустив, что у цилиндра (или у пола, или у того
и другого) возникает какая-то деформация, так что соприкоснове-
ние имеет место не только по одной прямой д, но по целой пло-
щадке (узкая полоска, содержащая прямую д), мы увидим, что
момент реакций относительно прямой д уже не должен обязательно
обращаться в нуль; основываясь на этом допущении, можно также
очень хорошо объяснить (при помощи обычных законов трения
скольжения), почему вес и достаточно малое натяжение х уравно-
вешиваются.

Однако отказ от предположения об абсолютной твердости, кото-
рое, естественно, напрашивается при оценке данных опыта в пер-
вом приближении, вызвал бы полный и коренной пересмотр тех
общих принципов статики твердого тела (вспомним, например,
о доказательстве достаточности основных условий), которые позво-
лили дать простое и отвечающее действительности изображение
наиболее распространенных случаев равновесия твердых тел.
С другой стороны, при теоретическом истолковании физических
явлений, если иметь в виду приложения, важно охватить все при-
знаки явления в целом, сохраняя, насколько возможно, более про-
стые и более естественные схемы и избегая анализа тех частных
признаков, которые не имеют непосредственного практического
интереса.

Поэтому оказывается удобным оставить без изменения предпо-
ложение „а“ и изменить предположение „б“, которое имеет цели-
ком эмпирическое происхождение, допуская, что в каждой опоре,
наряду с обычной силой, предусматриваемой законом Кулона, воз-
никает пара с незначительным моментом, как это должно было бы
происходить в действительном случае, когда тело вместо одной
геометрической точки. Р опиралось бы на малую площадку, окру-
жающую Р. Тогда реакции, происходящие от точек площадки,
вообще говоря, сводились бы не к одной силе, приложенной в Р,
а к силе и паре с малым моментом (при заданных малых разме-
рах площадки). Для определения этой добавочной пары мы будем
иметь в виду указанный выше случай цилиндра и будем искать,
как, исходя из этого примера, получить более общий критерий,
приложимый ко всем случаям начинающегося качения.

26.	В случае цилиндра, подвергающегося действию горизонталь-
ной силы х, мы сейчас же увидим, что согласие между теорией и
физической действительностью восстанавливается, если допустим,
что помимо реакций (заключенных в соответствующих конусах
трения и т. д.) точек прямой д возникает пара сопротивления
с осью д; момент этой пары может достигнуть определенной вели-
чины Го, но не может ее превзойти. Пока	равновесие

продолжает существовать; но как только момент силы х относи-
тельно образующей д цилиндра превзойдет значение Го, цилиндр
начнет катиться по полу. То же самое будет происходить и при
действии какой угодно другой силы, смотря по тому, будет или
не будет превосходить величину Го момент этой силы относительно
прямой д. Так, например, если добавочная сила представляет собой
вес, равный весу цилиндра и имеющий относительно д плечо Ъ
(расстояние от д линии действия веса), то условие равновесия
принимает вид

^<Г0.

Реактивной паре, которая может уравновесить внешнюю силу
с моментом относительно д, не превосходящим Го, дают название
пары трения качения, а Го называется предельным моментом
трения качения. Как мы видим, отношение Го/Д измеряет так
называемую предельную силу тяги, т. е. наибольшую горизонталь-
ную силу, перпендикулярную к оси, которая, будучи приложена
к центру тяжести, не нарушит его равновесия.

Далее, согласно закону Кулона, который первым произвел опыты
также и над явлениями этого рода, предельную силу тяги для
данного материала обеих соприкасающихся поверхностей надо
считать прямо пропорциональной весу цилиндра и обратно про-
порциональной радиусу R.

В обычных случаях, когда радиус Л равен нескольким деци-
метрам (и в еще большей степени, если речь идет о бблыпих
радиусах), предельная сила тяги всегда будет очень мала по
сравнению с предельной силой тяги, относящейся к трению сколь-
жения (гл. IX, п. 2). Так, например, чтобы вызвать качение поли-
рованного металлического цилиндра, с радиусом в 50 см, по дере-
вянному или металлическому столу, тоже полированному, доста-
точно будет (на высоте оси) приложить силу, которая была бы
приближенно равна одной тысячной веса цилиндра. Коэффициент
трения скольжения между аналогичными материалами приближенно
равен */6; предельная сила тяги была бы равна 1/6 веса тела, т. е.
в 200 раз больше, чем предельная сила тяги при качении.

27.	Так как предельная сила тяги Г0/2?, по крайней мере при-
ближенно, прямо пропорциональна весу р цилиндра и обратно
пропорциональна соответствующему радиусу В, то с тем же самым
приближением можно считать, что момент пары трения качения
пропорционален весу цилиндра, т. е.

Г0=7ф,
где множитель пропорциональности h зависит от материальной
природы поверхностей соприкосновения, а не от радиуса В.

Если, как и в предыдущем пункте, мы предположим, что до-
бавочная сила представляет собой вес, равный весу цилиндра и
имеющий относительно прямой д плечо Ъ, то условие равновесия
выразится соотношениями

Ър^Ър или же

поэтому множитель h можно истолковать как наибольшее плечо
рычага (относительно д'), к концу которого можно приложить
вертикальную силу, равную весу цилиндра, не нарушая его равно-
весия.

Множитель h обыкновенно называют коэффициентом или пара-
метром трения, качения-, в отличие от коэффициента f трения
скольжения он представляет собой не отвлеченное число, а неко-
торую длину (так как выражается отношением момента силы
к самой силе). Поэтому, если дается его численное значение, не-
обходимо указать еще единицы, в которых он выражен; естественно,
удобно принять ту же самую единицу, к которой отнесен радиус В.

В указанном в предыдущем пункте случае, где

Го = (1/1000) Вр и В=50 ем, имеем h = В/1000 = 0,05 см.

Для колес экипажа на обыкновенной дороге имеем значения h,
заключенные между 10 и 75 мм в зависимости от типа и состоя-
ния, в котором содержится дорога. На замощенных дорогах он
изменяется от 10 до 40 мм, если они сильно загрязнены и испор-
чены; на незамещенных дорогах от 20 до 50 мм и даже больше
(до 75 мм), если они покрыты гравием.

28.	Параметр h зависит от материальной природы поверхностей
соприкосновения и, наоборот, не зависит от длины В, которая
входит, как это было в рассмотренном примере, при определении
геометрического вида тела, если оставаться в области эксперимен-
тальных фактов, из которых мы вывели правило.
С другой стороны, h является длиной, которая (подобно, напри-
мер, среднему молекулярному расстоянию) зависит исключительно
от структуры тела (или, лучше сказать, от структуры двух сопри-
касающихся тел), а не от геометрической формы. Грубо интуитив-
ным путем эту длину h можно сопоставить с шероховатостью
двух поверхностей, от которых зависит взаимное трение.

Это заключение не может, конечно, служить удовлетворитель-
ной основой для построения окончательной теории трения качения.
Однако установленные выше принципы достаточно хорошо соот-
ветствуют наблюдаемым фактам и приводят к формулировке общих
законов, относящихся к трению качения, достаточных для нужд
техники.

29.	В случае цилиндра мы обнаружили, что плоскость опоры
обладает свойством противодействовать внешним силам не только

силами, приложенными в точках соприкосновения (обычные реак-

ции трения скольжения), но также (в извест-
ных пределах) и парами. Это наводит на мысль,
что аналогичные явления будут иметь место
также и в случае однородного тяжелого шара,
тоже опирающегося на горизонтальный пол.

Например, если к произвольной точке
поверхности шара мы приложим горизонталь-
ную силу, направленную как угодно, ио
достаточно малую, то равновесие будет еще

сохранено; то же самое будет происходить и фпг. 39.

в более общем случае действия какой угодно

силы F (фиг. 39), не превосходящей определенной величины. Это

значит, что в точке опоры Р возникает не только сила (реакция),
но также и пара (реактивная) с моментом Г (реактивный момент),
который может уравновесить момент относительно точки Р (вообще
говоря, отличный от нуля) внешней силы. Для определения мо-
мента Г удобно рассмотреть две его составляющие: тангенциаль-
ную Гт и нормальную Гп, соответственно называемые моментом
трения качения (или трения второго рода) и моментом трения
верчения (или трения третьего рода).

Для оправдания таких наименований достаточно обратить вни-

мание на то, что происходит в частных случаях, в которых мо-
мент Г является чисто касательным или чисто нормальным.

Предположим сначала, что на шар действует только одна сила F,
лежащая в вертикальной плоскости к, которая проходит через
точку опоры Р. Момент силы F относительно точки Р перпенди-
кулярен к плоскости к и, следовательно, является чисто касатель-
ным к шару. При равновесии реактивный момент должен быть
прямо противоположным моменту силы F и потому будет тоже ка-
сательным к шару. Как только величина силы превзойдет известный
предел, мы увидим, что шар начнет катиться, причем мгновен-
ная ось вращения будет совпадать с касательной в точке Р
к шару, т. е. с линией действия реактивного момента. Таким обра-
зом, в рассматриваемом нами случае равновесия мы приходим
е заключению, что реактивный момент препятствует качению шара
в направлении, перпендикулярном к линии его действия; отсюда и
происходит название момент трения качения.

Предположим теперь, что шар подвергается действию двух рав-
ных и противоположных сил, расположенных в одной и той же
горизонтальной плоскости. Момент этой пары сил относительно
точки опоры Р будет вертикальным; поэтому вертикальным бу-
дет и реактивный момент, уравновешивающий момент активной
пары. Увеличивая этот последний, мы увидим, что шар начнет вра-
щаться вокруг вертикали, проходящей через точку Р и представ-
ляющей собой линию действия реактивного момента. Это заставляет
с полным основанием предположить, что в статических условиях
этот момент препятствует телу вертеться, как если бы оно было
зажато в подшипниках, расположенных вокруг нормали к пло-
скости опоры в точке соприкосновения. Поэтому реактивный мо-
мент, нормальный к плоскости опоры, и называется моментом тре-
ния верчения.

30.	Как и в случае цилиндра, можно считать, что момент тре-
ния качения Гт пропорционален весу и множитель пропорциональ-
ности (имеющий размерность длины) не зависит в заметной сте-
пени от радиуса шара; то же самое относится и к моменту трения
верчения Г„. Соответствующие множители пропорциональности,
которые мы будем обозначать через и h2, вообще говоря, раз-
личны между собой, а именно: h2 < ht. Например, для металличе-
ского шара с диаметром в 1 м, опирающегося на твердый пол,
приближенно имеем Л2 = 0,07 мм, тогда как сохраняет тот
порядок величины, который указан в п. 27 для качения цилин-
дра (Aj = 0,5 мм, т. е. приблизительно в семь раз больше, чем Л2).

Заметим, наконец, что множитель допускает истолкование,
подобное тому, которое в случае цилиндра (п. 27) было дано для
множителя h трения качения; т. е. есть наибольшее плечо отно-
сительно точки Р, к концу которого, не нарушая равновесия, можно
приложить добавочную вертикальную силу Р, равную весу шара.
Аналогично h2 есть наибольшее плечо, которое можно дать, не
нарушая равновесия, горизонтальной паре, состоящей из двух сил,
равных по величине весу шара.

31.	Изложенные до сих пор опытные результаты подсказывают
выводы и обобщения, подобные тем, которые были признаны досто-
верными в случае трения скольжения. Мы будем предполагать сле-
дующее:
1.	Если на шар помимо веса (или вместо веса) действуют
другие какие угодно силы, то остаются в силе те же самые за-
коны, в предположении, что вместо веса подставлена величина
нормального давления, производимого шаром на плоскость опоры,
или (что одно и то же) величина N нормальной реакции со сто-
роны плоскости.

При этом подразумевается, что давление направлено в сторону
опоры (и, следовательно, реакция направлена наружу), так как
иначе не возникнут ни сила трения, ни момент трения.

2.	Если, в более общем случае, вместо шара, соприкасающе-
гося с плоскостью, речь идет о каком угодно теле S, которое
касается в какой-нибудь точке Р материальной поверхности а,
то момент трения связан с нормальной реакцией N соотноше-
ниями того же самого вида, как и в случае шара и плоскости.

Таким образом, в заключение, как синтез непосредственных
опытных данных и последующих выводов, можно высказать сле-
дующий общий закон трения качения.

Если твердое тело опирается в одной или в нескольких точ-
ках на другие тела, то каждая опора Р способна противо-
действовать {обеспечивая равновесие) не только одной силой Ф,
содержащейся во {внешней) полости конуса трения, но еще и
моментом Г, который, вообще говоря, может иметь какое угодно
направление, но по величине не может превзойти некоторого
предела, зависящего от внешней силы и от материальной при-
роды двух соприкасающихся поверхностей.

Если мы обозначим через У абсолютное значение составляющей
реактивной силы Ф по нормали п к поверхности опоры в точке Р,
через Гт и Г„ абсолютные значения касательной (момент трения
качения) и нормальной (момент трения верчения) составляющих
момента Г, то будем иметь

Г,

где коэффициенты и Ji2 в заметной степени не зависят от внеш-
ней силы (и, следовательно, от N), а также и от геометрической
формы поверхности соприкосновения.

32.	По отношению к трению качения нет необходимости оста-
навливаться на соображениях, приведенных в п. 13 по поводу тре-
ния скольжения и заключающихся в том, что если мы при расче-
тах отвлекаемся от трения, то это дает лишь большую гарантию
равновесия. В самом деле, при этом приходится пренебрегать такими
действиями, которые могут только способствовать равновесию и
были бы в состоянии обеспечить его также в том случае, когда
действующая сила, не удовлетворяя в точности условиям равнове-
сия при отсутствии трения, достаточно мало отличалась бы от зна-
чения, требуемого этими условиями.
Во многих практически интересных случаях равновесия можно
пренебрегать как трением скольжения, так и трениями качения и
верчения (см. § 4). В других случаях (п. 18) существенное влия-
ние оказывает только трение скольжения, трениями же качения и
верчения можно пренебречь, так как эффект их весьма мал по
сравнению с эффектом трения скольжения.

Наконец, бывают также случаи, тоже важные для приложений,
когда необходимо принимать во внимание трение качения и тре-
ние верчения (или одно их них), чтобы увидеть наиболее сущест-
венные черты реального явления. Высказанное общее правило как
раз и позволяет поставить и исследовать такие вопросы.

§ 7. Возникающее движение паровоза.
Наибольшая сила таги

33.	В качестве заключительного приложения законов трения
рассмотрим паровоз веса Р, установленный на п парах колес, кото-
рый должен тянуть поезд. Представим себе, что паровоз находится
в таком состоянии готовности к движению, какое требуется при
нормальной его работе, когда движение его колес представляет
собой чистое качение без скольжения.

Силы, действующие на паровоз, находятся в состоянии предель-
ного равновесия относительно качения, так что всякая опора ока-
зывает наибольшее сопротивление качению, на которое она спо-
собна, т. е. момент реактивной пары имеет для каждой опоры наи-
большее возможное для него значение. В то же время, так как
мы исключаем возможность скольжения, реакции трения скольже-
ния не будут наибольшими из возможных. Силы, действующие на
паровоз, должны удовлетворять основным уравнениям равновесия.
Для вывода, который мы имеем в виду, достаточно приравнять
нулю результирующую всех внешних сил, которые (если прене-
бречь сопротивлением воздуха) сводятся к следующим:

1)	вес Р паровоза;

2)	2п реакций рельсов;

3)	реакция состава, равная и противоположная силе тяги Т,
приложенной к составу и стремящейся сдвинуть состав, преодоле-
вая трение качения (колес о рельсы).

Если предположим, что путь горизонтален, то вертикальные
силы сведутся к весу Р и нормальным реакциям	...,

отдельных опор (обязательно направленным вверх), поэтому мы
должны прежде всего иметь

гп

(8)

«=1,

можно предположить,' что вес равномерно распределен между 2п
опорами.
Горизонтальные силы, т. е. реакция состава и трение в опорах,
также должны уравновеситься, что можно выразить векторным
соотношением:

сила тяги Т = результирующей сил трения в опорах.

Это делает очевидным одно важное (и на первый взгляд пара-
доксальное) обстоятельство. Сначала может показаться, что резуль-
тирующая сил трения, будучи направлена в ту же сторону, как и
сила тяги, т. е. в сторону движения, имеет характер движущей
силы. В действительности трение скольжения опор не должно рас-
сматриваться ни как движущая сила, ни как сопротивление, так.
как, поскольку колеса не скользят, скорость точки соприкосновения
каждого из них, как лежащей на соответствующей мгновенной оси
вращения, равна нулю. Истинным пассивным сопротивлением в рас-
сматриваемом здесь случае является трение качения, которое должно-
быть преодолено движущим моментом, передаваемым от давления
пара посредством поршней, шатунов и т. д. на оси колес.

Далее, из указанного выше условия равновесия, так как абсо-
лютное значение результирующей не может превосходить сумму
абсолютных значений составляющих, следует соотношение

сумме абсолютных значений сил трения.

Так как во всякой отдельной опоре, для которой является
величиной соответствующей нормальной реакции, и Д — соответ-
ствующим коэффициентом трения, сила трения не может превы-
шать fi^i, то мы будем иметь

2п

<=i

или, обозначая через f наибольший из коэффициентов f{ (на прак-
тике можно считать fj — f для всех 2п колес) и принимая во вни-
мание равенство (8),

Таким образом, мы приходим к важному результату: сила тяги
паровоза (т. е. усилие, на которое он способен) не может превы-
шать некоторой части его веса, выражающейся дробью f, или,
точнее, наибольшей силы трения скольжения, которая может воз-
никнуть между ведущими колесами и рельсами.

Эта дробь, называемая коэффициентом сцепления, колеб-
лется между i/s и */12, смотря по состоянию поверхностей сопри-
косновения; при помощи струи воды или песка коэффициент сцеп-
ления может искусственно поддерживаться высоким (вплоть до */8).
На практике при нормальной работе паровоза сила тяги составляет
около
Предыдущее неравенство делает понятной причину продолжаю-
щегося увеличения веса современных паровозов. Не достаточно
увеличить мощность; для того чтобы такое увеличение оказалось
полезным, необходим соответствующий вес.

34. Это тем более необходимо, когда речь идет о движении на
подъемах.

Если а есть угол наклона к горизонту, то нормальная реакция
рельсов будет равна в этом случае Р cos а. Наоборот, сила тяги на
подъеме будет больше: вместо ее значения Т, которое мы при про-
чих равных условиях имели бы на горизонтальном пути, мы должны
подставить теперь сумму T-j-gsina, где через q обозначен полный
вес всего поезда, включая и локомотив.

Эти результаты можно получить тем же способом, который был
указан в предыдущих пунктах: достаточно спроектировать первое
основное условие равновесия (результирующая равна нулю) на нор-
маль к плоскости дороги и на самую плоскость, имея при этом
в виду, что нормаль и плоскость не будут уже более соответственно
вертикалью и горизонтальной плоскостью.

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Теория простых машин. Проверить так называемое золотое
правило механики: „что выигрывается в силе, то теряется в пути", или, точ-
нее, „если отвлечься от трения, то элементарная работа активных сил на
всяком перемещении системы из положения равновесия равна нулю*.—
Теория весов, См., например, Levy, Elements de cinematique et de
mecanique, Paris, 1902, XXII. Эти вопросы рассматриваются также и в тексте
(гл. XVI, § 5) как приложение принципа виртуальных работ. Интересно по-
этому показать, что те же самые результаты можно также установить более
элементарным и прямым путем, обращаясь только к общим предпосылкам
механики и статики твердого тела.

2.	Показать, что если несколько сил, приложенных к твердому телу,
уравновешиваются или, если рассматривать более общий случай, эквива-
лентны паре сил, то центр тяжести равных масс, расположенных в точках
приложения сил, будет также и центром тяжести других масс, тоже
равных между собой, но расположенных в свободных концах тех же са-
мых сил.

3.	На твердый тетраэдр действуют четыре силы, нормальные к его гра-
ням, пропорциональные площадям граней и направленные все или внутрь,
или наружу тетраэдра. Показать, что равновесие будет существовать, если
точка приложения каждой из сил является центром тяжести перпендикуляр-
ной к ней грани или вершиной, противоположной такой грани (ср. упраж-
нение 18 гл. I).

4.	Распространить свойство, указанное в предыдущем упражнении, на
какой угодно многогранник, а также, переходя к пределу, на твердое тело,
ограниченное как плоскими, так и кривыми поверхностями. См. В i s с о п-
с i n i, Esercizi е complement! di meccanica razionale, Milano, 1927, стр. 254—
256.
5.	Твердый однородный стержень ОА может вращаться в вертикальной
плоскости вокруг точки О. В точке В стержня, находящейся на расстоянии
Ъ от О, подвешен груз q. Вес единицы длины стержня равен р. Стержень
удерживается в равновесии в горизонтальном положении посредством напра-
вленной вверх вертикальной силы, приложенной в конце А. Какую длину 2Z
должен иметь стержень, чтобы эта сила оказалась наименьшей?

Ответ: I =

, наименьшая величина силы есть f^2bpq.

6.	Однородный прямоугольник может вращаться вокруг одной из своих
горизонтальных сторон; он находится в равновесии под действием ветра,
отклоняясь на угол а от вертикали.

Предполагается, что ветер, дующий в горизонтальном направлении, дей-
ствует на каждый элемент da прямоугольника с некоторой горизонтальной
силой, пропорциональной da cos а (проекции элемента на плоскость, перпен-
дикулярную к направлению ветра).

Обозначив через к коэффициент пропорциональности, через р вес прямо-
угольника, через а его площадь, показать, что имеем

к a cos2 а — р sin a.

7.	Требуется повалить столб (вертикальный) АВ, имея в распоряжении
веревку, менее длинную, чем столб. Ее привязывают к столбу в точке С на

высоте х от поверхности земли и располагают так,
что ее конец JD находится на высоте 1 м. Обо-
значив через I длину веревки (в метрах), найти
значение х, при котором начальное усилие, не-
сбходнмое для того, чтобы повалить столб, бу-
дет наименьшим. [Необходимо, чтобы прямая CD
отстояла возможно далее от Л.]

8.	Твердая однородная дуга О А (фиг. 40) рас-

положена в вертикальной плоскости и может вра-	Фиг. 40.

щаться в этой плоскости вокруг точки О. В точке А

действует (в той же вертикальной плоскости) горизонтальная сила т, урав-

новешивающая вес дуги.

Каким должен быть профиль дуги, чтобы после удаления какой-ни-
будь ее части РА оставшаяся часть ОР могла оставаться
предположении, что к точке Р приложена та же самая

в равновесии, в

Фиг. 41.

горизонтальная сила т?

[Дуга О А должна представлять собой часть окруж-
ности радиуса т/р (р равно весу единицы длины).]

9.	Крышка прикреплена к ящику цилиндрическим
шарниром CD (фиг. 41) и удерживается под углом а
к горизонтальной плоскости силой q, приложенной
в точке В крышки и направленной к точке А, которая
лежит на вертикали, пересекающей прямую CD и рас-
положенной в вертикальной плоскости, проходящей че-
рез В и перпендикулярной к CD. На практике это осуще-
ствляется посредством веревки, привязанной к крышке
н точке В, перекинутой через блок и несущей на D
другом конце груз весом q. Известны вес крышки р,
расстояние а центра тяжести G крышки от стороны CD,
аналогичное расстояние I точки В и высота h точки

А над шарниром;

определить угол наклона а. Предположив, что крышка находится в гори-
зонтальном положении, опираясь на края ящика, определить наименьшее
значение силы д, необходимое, чтобы поднять ее, ^Найдем: sin а
hlq2	_

— 2а2р2 ’ ПРИ а = ° КРЫШКУ можно поднять при условии, что

'’я- <₽+₽-]

h2 + l2

~ 2Ы

q превышает

10.	Подъемный кран АВС (фиг. 42) может вращаться вокруг вертикаль-
ной оси АВ; нижний конец А стойки крана поддерживается подпятником,.

в то время как верхний конец В, находящийся от А на
расстоянии Л, опирается о подшипник. Кран несет груз q,
приложенный в С. Расстояния центра тяжести крана
и точки приложения С груза от оси АВ соответ-
ственно равны а и с.

Определить реакции в точках А и В, пренебрегая
трением в подшипнике В. [Вертикальная составляющая
(направленная вверх) реакции в точке А равна р + q;
горизонтальные составляющие (равные и противопо-
ложные) реакций в точках А и В имеют величину,
равную (ар -|- bq)/h.]

11.	Горизонтальная балка на двух опорах А и В
поддерживает груз q в промежуточной точке С, нахо-

дящейся на расстоянии а от А. Во всем остальном имеется симметрия
относительно плоскости, перпендикулярной к отрезку АВ и проходящей
через его середину. Расстояние между опорами равно Ъ, вес балки равен р.

Определить давления на опоры (равные и противоположные нормаль-
ным реакциям этих опор).

12.	Тяжелый однородный шар поддерживается двумя гладкими наклон-
ными плоскостями (фиг. 43), Найти отношение между величинами реакций
в двух точках соприкосновения в функциях от углов,
наклона 6', 6" двух плоскостей.

Фиг. 43.

13.	Валка опирается на два круглых цилиндра
с горизонтальными осями, расположенными на раз-
ных уровнях. Кроме того, верхний конец балки удер-
живается веревкой, параллельной оси балки и при-
вязанной к неподвижной опоре. Рассматривая сред-

нюю вертикальную плоскость, можно свести задачу
(при наличии симметрии относительно указанной средней плоскости) к слу-
чаю тяжелого твердого тонкого стержня, расположенного в вертикальной
плоскости, закрепленного в точке А и опирающегося в точке В на окруж-

ность.

Известны вес р балки, расстояние I между точками опоры А (верхняя
точка) и В (нижняя точка), разность их уровней Л, расстояние а центра
тяжести балки от 2 и угол наклона а балки к горизонтальной плоскости.
Определить (графически и численно) реакцию опоры в точке В, предполо-
жив, что трения нет. Проверить, что если освободить верхний конец балки
от веревки, то равновесие может существовать только при наличии трения
и при условии, что угол трения в каждой опоре больше, чем угол наклона а.
, Гтэ	D а У?2 — Л2 I

балки. Реакция в точке В равна —-—™-------р.

14.	Стержень АВ опирается в точке А на вертикальную стену, в точке В —
на горизонтальный пол. Он находится в равновесии в вертикальной пло-
скости под действием своего веса р. В точке В ему мешает скользить вы-
ступ в полу; все будет происходить так, как если бы конец В был закре-
плен.

Известны положения стержня и его центра тяжести; определить реак-
ции в точках А н В, предположив, что в опоре А трения нет.

15.	Однородный стержень АВ длиной I опирается в точке С на цилиндр
радиуса г с горизонтальной осью.

Стержень находится в равновесии в вертикальной плоскости под дей-
ствием своего веса и натяжения привязанной к верхнему концу В стержня
веревки, которая некоторой своей частью проходит по цилиндру и несет на
нижнем конце груз веса q. Натяжение веревки по величине равно весу q и
направлено по касательной BJ) к окружности нормального сечения цилиндра.
Пренебрегая трением в точке опоры С, составить уравнение, определяющее
.угол наклона 0 стержня к горизонтальной плоскости в функции от р, ? и г.

16.	Два стержня АС, ВС, прикрепленные (посредством шарниров) кон-
цами А и В к неподвижным опорам и связанные между собой (тоже по-
средством шарнира) в точке С, нагружены весами (распределенными как
угодно) и находятся в равновесии в вертикальной плоскости. Определить
реакции (две для каждого стержня), принимая во внимание, что силы,
с которыми действуют стержни друг на друга в точке С, равны между собой
по величине и направлены в противоположные стороны.

17.	Двойная лестница (стремянка) находится в равновесии, опираясь
четырьмя своими концами на горизонтальную плоскость. Распределение на-
грузки предполагается каким угодно, но симметричным относительно вер-
тикальной плоскости, проходящей через середины ступенек лестницы. В таком
•случае можно, складывая симметричные силы, свести систему сил к силам,
действующим в вертикальной плоскости симметрии. Пусть АВХ, АВ2 — следы
на этой плоскости двух частей лестницы, СХС2— соединяющая их цепь,
расположенная в плоскости симметрии. Силы, действующие на каждую из
частей лестницы, можно привести к четырем, а именно, для части АВХ:
вес рх; сила Вх, приложенная в Вх (результирующая реакций двух опор);
сила F, приложенная в А и представляющая собой реакцию другой части
лестницы; горизонтальное натяжение цепи, действующее в точке Сх;
для АВ2: вес р2, сила В2, приложенная в В2, две силы —F и —т, прило-
женные соответственно в А и С2. (Что сила, приложенная в А и происхо-
дящая от соединения с первой частью, есть —F, следует из принципа
равенства действия и противодействия; убедиться в том, что сила, прило-
женная в С2, есть —т, можно, комбинируя принцип равенства действия и
противодействия с тем уже не раз использованным обстоятельством, что,
в первом приближении, сила передается неизменной с одного конца натяну-
той цепи на другой.)

Пренебрегая трением в опорах, определить усилие т, которому подвер-
гается цепь.

Ответ:	т = -дг-1 (« — «i) Pi + (а — «2) Pi

LiV

т, Pi> Р2 имеют очевидное значение, 2а = BiB2, Ъ — высота точки А над
цепью и at, а2 — расстояния центров тяжести 6гх, Сг2 двух частей лестницы
от вертикали, проходящей через точку А.

18.	Тяжелый однородный полушар опирается на наклонную шерохова-
тую плоскость, касаясь ее своей сферической поверхностью. Равновесие
может существовать (даже если оставить в стороне трение качения), лишь
бы угол а наклона плоскости не превосходил угла трения и, кроме того
был таким, чтобы удовлетворялось неравенство sin а 3/8. На какой парал-
лели должна находиться точка соприкосновения при равновесии1)?

19.	Однородный стержень опирается на край (предполагаемый горизон
тальным) и на точку внутренней поверхности чаши, имеющей форму полу
сферы. Обе опоры рассматриваются как опоры без трения, благодаря чем
реакция края чаши, действующая иа стержень (край чаши можно считать
окружностью, а стержень — материальной прямой), должна быть нормальной
к стержню.

Заметим прежде всего, что плоскость, определяемая стержнем и цент-
ром сферической поверхности, вертикальна и положение равновесия опреде-
лится, если будет известен радиус г сферы и длина 2Z стержня.

Проверить, что в предложенных условиях при равновесии должно удов-
летворяться неравенство Z >• г 2/3 и что наклон стержня а будет опреде-
ляться посредством своего косинуса, являющегося положительным корнем
уравнения

4r COS2 а — I COS а — 2г = 0.

20.	Тяжелый однородный треугольник, со сторонами а, Ъ, с, опирается
тремя своими вершинами на внутреннюю поверхность сферы радиуса г. Пред-
полагается, что трение отсутствует.

Показать, что в положении равновесия центр тяжести треугольника дол-
жен находиться на вертикали, проходящей через центр сферы, и отстоять
от него на расстоянии, равном

Г2_^.(Й2+Ь2_|.С2).

21.	Циркуль с одинаковыми геометрически и материально ножками
(однако не необходимо однородный) опирается в раздвинутом виде на цилиндр,

с горизонтальной осью.

Определить угол раскрытия 2<р
рое возможно даже при отсутствии

циркуля в состоянии равновесия (кото-
трения); циркуль рассматривается как
два твердых стержня СА, СВ, соеди-
ненных шарниром в О и опирающихся
на окружность нормального сечения ци-
линдра так, что прямая, соединяющая
точку С с центром, вертикальна.

Предполагается, что известен ра-
диус г цилиндра и расстояние а центра
тяжести каждой из ножек от С.

22.	Потолок Серлио. Четы-
ре стены имеют сечение в виде не
слишком удлиненного прямоугольника
(именно такого, чтобы удвоенная мень-
шая сторона превосходила большую).
Можно построить покрытие из четырех
равных балок, длина которых меньше

меньшей из сторон опорного прямоугольника, но превосходит половину
большей стороны,.

Устройство будет таким, как указано на фиг. 44. Валка АА' опирается
на стену (представленную на схеме отрезком а) в точке А и на балку ВВ'
в точке А' и служит опорой для балки ВВ'; балка В В' опирается на стену
(представленную на схеме отрезком Ь) в точке В и на балку АА' в точке В'
п служит опорой для балки СС' в точке С', и т. д.

*) Ср. Bisconcini, соч., цит. на стр. 83 гл. I, стр. 275—277.
Обозначим длину каждой балки через I, длины отрезков АВ', GD'
через X «I) и длины отрезков ВС', JDA' через р.« X), так что длины сто-
рон опорного прямоугольника будут равны Z-|-X, I -1- р.

Предположим, что балки нагружены (причем нагрузки на каждую балку
могут быть и не равными друг другу), и обозначим момент относительна
оси а1) нагрузки, действующей на балку АА', через Мь момент относи-
тельно оси Ь нагрузки, действующей на балку В В, через ЛГ2, момент отно-
сительно оси с нагрузки, действующей на балку СО', через М3 и, наконец,,
момент относительно оси d нагрузки, действующей иа балку DIA, через AQ.

Далее вводятся четыре взаимные реакции (неизвестные), возникающие-
в точках А', В', О', В', которые следует считать (как это непосредственно-
очевидно) вертикальными. Если обозначим через Bt, В2, В®, В4 соответ-
ственно их величины, в предположении, что равновесие возможно^ то на
балку АА' будет действовать (помимо прямо приложенных нагрузок н реак-
ции стены в точке А) одна из сил В^ (направленная вниз) в точке В' и
одна из сил В\ (направленная вверх) в точке А', и т. д. Выражая, что
момент сил, действующих на балку АА' относительно прямой а, равен нулю,,
будем иметь

JWj Х1?2 — ZjRj 0.

Остальные три уравнения будут иметь вид

3f2 “Н р-^3 — Zl?2 " О,

ДГд -f- Х1?4-ZEg = О,

If4 -|- p-fZi — 1В4 = 0.

В частном случае, когда р = X (потолок квадратной формы), только что-
написанные уравнения получаются из первого посредством круговой пере-
становки индексов 1, 2, 3, 4. В этом случае, положив для краткости

так что fc будет меньше единицы, и

Л=-/'	(г = 1, 2, 3,4),

мы можем написать систему четырех уравнений в виде

B1 — kB2=Pi,

В% — кВ% =Р2,

B3 — kBi=p3,
В4 — kBi = р^

Для того чтобы получить В4, достаточно умножить эти уравнения по-
следовательно соответственно на 1, к, к?, к3 и сложить их. Получится

р Л + P-Jc + р№ + Р^3
й1 =-------T^ki--------’

откуда, производя круговую перестановку индексов 1, 2, 3, 4, получим
р _Ра+Рз1с+Р41с2+Р1к3	„ m „

^2  ------------------- и т- «•

Неизвестные В оказываются, таким образом, положительными (так как
положительны все М и. следовательно, все р).

!) Где направление оси а берется таким образом, чтобы момент нагрузки,
приложенной к балке АА', был положительным.
Закончить решение, указав реакции опор, требуемые равновесием, и
убедившись, что они действительно возможны (направлены вверх) и что
все условия равновесия оказываются выполненными.

Рассмотреть общий случай, когда р.<Х. (Ср. Bisconcini, соч., цит. на
стр. 83 гл. I, стр. 287—290.)

23.	Три ядра (равных и однородных) опираются на горизонтальную пло-
скость и касаются попарно друг друга. На них положено такое же четвер-
тое ядро, касающееся всех трех.

Равновесие возможно только при условии, что коэффициент трения f
между ядрами не будет меньше, чем 1/(1^ 2+ У 3) =0,318..., а коэффи-
циент трения между ядрами и плоскостью (один и тот же для всех трех
ядер) будет равен, по крайней мере, четвертой части указанной вели-
чины.

24.	Металлическое кольцо (фрикционный хомут) имеет неизменно свя-
занный с ним боковой выступ. Кольцо, насаженное, на круглый стержень
немного меньшего диаметра, находится в равновесии, упираясь в стержень
в точках А и В, под действием нагрузки q, приложенной к концу С высту-
пающей части.

Даны: диаметр d стержня, высота h точки А над точкой В, длина I
выступающей части ВС (предполагаемой горизонтальной), вес р кольца
вместе с выступом, расстояние а точки В от линии действия веса и коэф-
фициент трения f между стержнем и кольцом (одинаковый для точек А и В).
Определить, при каких ограничениях возможно равновесие и каково наимень-
шее значение q, при котором оно может существовать.

Имея в виду, что вертикаль, проходящая через центр тяжести, пересе-
кает хомут, так что а <4, и положив b = V d2 — h2, \=f (2а	7г), Ъ2 =

= f(2l-\-h), показать, что для возможности равновесия необходимо, чтобы Ъ
было заключено между bi и Ь->. Наименьшее значение q, способное обеепе-
Ъ — bj
чить равновесие, есть &--±р.

25.	Стержень АВ, крепко зажатый между двумя вертикальными стен-
ками, находится в равновесии в вертикальной плоскости, перпендикулярной
к стенкам. Это предполагает, что стержень лежит внутри конусов трения,
относящихся к точкам опоры А и В.

Известны: расстояние d между стенками; разность уровней h между кон-
цами А и В и вес р стержня; давление № (нормальная составляющая реак-
ции), действующее в каждой из опор; коэффициент трения f между стерж-
нем и стенками (одинаковый для обеих опор А и В).

Определить наибольшую силу q, действующую по вертикали вверх,
которую можно приложить в некоторой точке С стержня, находящейся на
расстоянии с от верхней опоры, не сдвигая его.

Ограничиваясь типичным случаем, в котором весом стержня можно пре-
небречь цо сравнению с jV, найдем

q = fN (1 + cos а),

где угол а (заключенный между — л/2 и я/2) определяется посредством tg а
при помощи формул

h — fe	. 1 /, . 7г\

при с<2	+

tg а = •

6	h-\-f(d — С)	1 / , h\

------ при С>2\? + т)-
26.	Тяжелое твердое тело опирается в п (> 3) точках Р (i = 1,..., и)
на горизонтальный пол. Если мы примем поверхность пола за плоскость
z = 0, возьмем за начало координат Проекцию центра тяжести тела на пло-
скость z = 0 и обозначим через у{ координаты точек Р{, через Фг вели-
чину нормальной-реакции в Р{, через р вес тела, то шесть основных усло-
вий равновесия сведутся к следующим трем:

« 1

2 =?>

п

2 =°- 

4=1

(1)

2 y^i = °-
4=1

Мы знаем уже, что, в пределах статики неизменяемых тел, распределе-
ние реакций остается неопределенным (п. 16). Уравнения (1) выражают ана-
литически степень неопределенности, представляя собой только три соотно-
шения между п неизвестными (положительными) Ф(. Если все реакции Фг-
положительны, то (п. 14) вертикаль, проходящая через центр тяжести,
должна пересекать опорную плоскость в точке, лежащей внутри опорного
многоугольника.

Предположим, что это условие выполняется, и укажем критерий, позво-
ляющий устранить неопределенность, если принять во внимание малые
деформации пола, сохраняя условие, что тело является абсолютно твердым.

Предположим, что под действием нагрузки, каждая из опор Рг- несколько
оседает, так что после установления равновесия она не лежит уже в пло-
скости г = 0, а находится от нее (в направлении вниз) на расстоянии неко-
торого малого количества Это количество можно рассматривать как
третью координату точки опоры, если условиться, что за положительное
направление оси z мы будем считать направление, обращенное вниз.

После этого нет ничего более естественного, как допустить, что коор-
дината zt пропорциональна той части полной нагрузки Р, которая должна
приходиться на опору Pj, т. е. (на основании принципа равенства действия
и противодействия) пропорциональна Фг-. Обозначив через 1/к{ (положитель-
ный) коэффициент пропорциональности (если свойства опорной плоскости
одинаковы во всех точках опоры, то к{ будет иметь численное значение к,
не зависящее от индекса г), можно написать

к^Ф{'

Если допустить, кроме того, что оседание опор не связано ни е какой
деформацией стоящего над ними тела, то п точек опоры, лежащие в пло-
скости 4 = 0 в случае абсолютно твердой опорной плоскости, будут нахо-
диться в одной и той же плоскости н в рассматриваемом нами случае. Эта
плоскость будет очень близка к плоскости z = 0 (находясь несколько ниже
ее), если предположить, что вертикальные перемещения отдельных точек
опоры Zj — Ф{/к{ очень малы.

Возьмем уравнение плоскости в виде

z —	ч

(где коэффициенты X, р, м заранее не определены) и выразим то обстоятель-
ство, что оно удовлетворяется координатами zi любой точки Р{, тогда
будем иметь

ф4 = к{ (\х{ 4-	4- v) (г = 1, 2,..., п).	(2)
Таким образом, комбинируя предположения, что каждая опора оседает
пропорционально приходящейся на нее нагрузке и что деформация опертого
тела равна нулю (или ничтожна по сравнению с деформацией опорной пло-
скости), мы достигнем того, что выразим все реакции посредством только
трех вспомогательных неизвестных X, р., \.

При этих условиях исчезает всякая неопределенность: достаточно обра-
титься к трем статическим уравнениям (1) и подставить в них, вместо Ф,-,
выражения (2), чтобы получить из них значения X, ;л, ч Внося затем эти
значения в равенства (2), мы получим окончательные значения реакций.

Выполнить вычисления, написав при этом дополнительные условия,
которые требуются для того, чтобы значения, получающиеся для Ф<, были
все положительными.

Рассмотреть случай четырех опор, совпадающих с вершинами прямо-
угольника, предполагая все коэффициенты осадки равными между собой
(fc< = fc).

27.	Прямолинейная плотина с трапецеидальным сечением АВСВ высо-
той h н шириной d по верхнему гребню имеет вертикальную стенку (со
следом АВ в плоскости сечеиия) и откос (со следом ВС), наклоненный
к вертикали под углом а, так что длина основания сечения равна

d -|- h tg а.

Предположив плотину однородной, с весом р на единицу объема, опре-
делить моменты Гь, Го (на единицу длины) относительно следов Ь и с вер-
тикальной стенки и откоса.

Проверить, что момент устойчивости - есть ГБ и что он увеличивается
при равных сечении и высоте вместе с углом наклона а откоса. Наимень-
шая величина Гь будет соответствовать, таким образом, прямоугольному
сечению АНКВ (АН = ВК = d -i- h tg aY

\	л	/

28.	Дымовая труба высоты h имеет цилиндрическую полость радиуса г
и постоянной толщины s. Вес единицы объема есть р. Труба подвергается
действию ветра.

Полное действие ветра при наибольшей его силе можно заменить гори-
зонтальной силой т, линия действия которой пересекает ось трубы на рас-
стоянии, равном 3/б высоты от поверхности земли.

Определить коэффициент устойчивости.

29.	Однородный тяжелый цилиндр радиусом г, параметр трения качения
которого есть h, опирается на наклонную плоскость; образующая соприко-
сновения нормальна к линии наибольшего наклона. Каков наибольший угол
наклона а, при котором цилиндр останется в равновесии? [tga = A/r.]

80. Однородный тяжелый шар опирается на горизонтальную плоскость.
Коэффициент трения скольжения f = ’/Б; параметр трения качения Лд = 0,5 мм.

Требуется сдвинуть шар, прикладывая к нему на высоте 8 от плоскости
опоры горизонтальную силу наименьшей возможной величины.

Показать, что шар из положения равновесия начнет катиться или сколь-
зить, в зависимости от того, будет лн высота 6 больше или меньше 2,5 мм.

31. Определить верхний предел силы тяги локомотива на подъеме в 25°/оо
при коэффициенте сцепления, равном ’/а (ср. п. 34). (При весе локомотива
в 100 т и весе поезда в 300 т наибольшая сила тяги будет равна 2,5 т.)

82. Материальная точка (подвижная) Р притягивается другими-точками
(закрепленными) (» = 1, 2, ..., п) прямо пропорционально массе соответ-
ствующей притягивающей точки и расстоянию РР,-. Показать, что центр
тяжести G точек Р(- является положением устойчивого равновесия точки Р
(ср. гл. X, п. 14)

38.	Две прямолинейные направляющие, расположенные в вертикальной
плоскости по разные стороны от вертикали, проходящей через точку их
пересечения, наклонены к этой вертикали под углами а и а'.

“Тяжелый однородный твердый стержень может скользить своими кон-
цами по этим направляющим без трения. Показать, что положение равнове-
сия является неустойчивым.

34.	Однородный горизонтальный стержень поддерживает на своих кон-
цах, посредством двух равной длины нитей, два равных шара одного и того
же веса. Стержень может вращаться в вертикальной плоскости вокруг конца С
маленького штифта ничтожного веса, прикрепленного перпендикулярно
к стержню в средней его точке. Показать, что в таких условиях равновесие
будет неустойчивым. Показать, кроме того, что, наоборот, равновесие было
бы устойчивым, если бы нити были заменены двумя такими твердыми стерж-
нями, жестко связанными с горизонтальным стержнем, чтобы (в положении
равновесия) центр тяжести G всей неизменяемой системы (составленной из
трех стержней и двух шаров) находился ниже С.

35.	Два тяжелых однородных шара находятся в равновесии внутри
сферической оболочки в соприкосновении (без трения) между собой и с обо-
лочкой. Показать, что равновесие системы является устойчивым. (В этом
можно убедиться, заметив, что в положении равновесия центр тяжести двух
шаров совпадает с самой нижней точкой сферической поверхности, предста-
вляющей собой геометрическое место всех его возможных положений.)

36.	Неоднородный тяжелый цилиндр находится в равновесии, опираясь
на наклонную шероховатую плоскость вдоль образующей, перпендикулярной
к линии наибольшего наклона этой плоскости. Угол наклона плоскости
меньше угла трения (скольжения), так что возможность скольжения исклю-
чена.

Рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия по отношению к каче-
нию, пренебрегая трением качения.

37.	Введение в астатику. Равновесие твердого тела, находяще-
гося под действием заданной системы сил (Р$, F{), где Р{ (г = 1, 2,..., N) —
точки твердого тела, к которым приложены силы, называется астатическим,
если оно продолжает существовать, как бы ни изменялось положение твер-
дого тела, лишь бы оставались (векторно) неизменными отдельные силы t}
(несмотря на изменение положения в пространстве соответствующих точек
приложения, неизменно связанных между собой).

Прежде всего очевидно, что поступательное перемещение твердого тела
не оказывает никакого влияния на условия равновесия. Поэтому достаточно
рассмотреть изменение ориентации тела и можно даже ограничиться рас-
смотрением только бесконечно малого вращения его вокруг произвольной
оси, потому что всякое изменение ориентации, даже конечное, можно пред-
ставить себе как результат последовательных элементарных вращений. Если
определены условия, обеспечивающие сохранение равновесия при элемен-
тарном вращении, то эти условия будут необходимыми и достаточными для
астатического равновесия.

Заметим, далее, что из двух основных условий В = О, М = О, необхо-
димых и достаточных для равновесия твердого тела, первое очевидно
остается справедливым (при допущенных предположениях о силах), как бы
ни изменялась ориентация твердого тела. Остается определить, будет ли
удовлетворяться второе основное уравнение при элементарном вращении
тела.

Рассмотрим бесконечно малое вращение е неизменяемой системы вокруг
оси, проходящей через точку О и имеющей единичный вектор и. Переме-
щение любой точки Р( выразится при этом в виде

8Рг = ЪОР( =еиХОР{ (г = 1, ..N).

Изменение, которое испытывает результирующий момент М. сил F{
относительно полюса О в результате этого элементарного вращения, опре-
делится равенством

N _______„	N	__h

XFi^s^Fi-ujOPi — eVu,	(3)

4=1	4=1

где V обозначает вириал системы сил относительно полюса О (гл. I, упраж-
нение 10). Для того чтобы равновесие было астатическим, необходимо и
достаточно, чтобы было 8М = 0, каково бы ни было и (и г). В равенстве
ВМ = О, где 8ЛГ выражено равенством (3), подставим вместо и последо-
вательно три взаимно перпендикулярных единичных вектора, например три
единичных вектора i, j, к осей, и, по умножении (скалярном) полученных
таким образом уравнений соответственно на г, J, к, сложим их почленно.
Таким образом придем к соотношению e(V—ЗУ) = 0, т. е. к равенству
V = 0; после этого легко проверить, что условие астатического равновесия
выражается соотношением

W	_ь

^(Fi-u)(OPrv)^0
i = l

при любом выборе двух произвольных единичных векторов и и V.

Это векторное условие равносильно девяти скалярным уравнениям,
из которых первыми тремя, относящимися к проекциям Хг- сил, будут

N	N	N

2	=о, 2	— °> 2	= °;

4=1	4 = 1	4 = 1

шесть аналогичных уравнений будут иметь место по отношению к проек-
циям Y{ и Z{.

Систематическое изложение исследований этого рода можно найти
в книге: М. Bottasso, Astatique, Павия, 1915.
Глава XIV

СТАТИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ,
НИТЕЙ И ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ

§ 1. Стержневые системы. Усилия. Узловые нагрузки

1.	Стержневой системой называют всякую систему, состоящую
из твердых прямолинейных стержней, соединенных между собой на
концах посредством шарниров (сферических). Шарниры, соединяю-
щие стержни системы, называются узлами системы. Важный тип

стержневых систем представляют собой
так называемые решетчатые балки, или
фермы, структура которых может быть
чрезвычайно разнообразной; наиболее про-
стым примером является схематически
представленный на прилагаемой фигуре
(фиг. 45). Не нарушая общности, мы мо-

Фиг. 45.

жем ограничиться рассмотрением связных

стержневых систем, т. е. мы можем не рассматривать системы,
составленные из двух или более отдельных систем, не соединенных
между собой. Если геометрическая конфигурация системы пред-
ставляет собой ломаную линию со свободными концами, так что
нельзя удалить никакой промежуточный стержень, не лишив систему
связности, то система называется односвязной. Наоборот, система
называется многосвязной, если возможно, по крайней мере одним
способом, удалить один стержень (связанный в своих концах с дру-
гими стержнями) без того, чтобы оставшаяся система потеряла
связность; такой, в частности, будет всякая система, конфигурация
которой представляет собой замкнутый многоугольник (плоский
или пространственный).

2.	Мы будем изучать условия равновесия стержневых систем.
Что касается отыскания достаточных условий, то, очевидно, здесь
нельзя ограничиться основными уравнениями, так как, вообще
говоря, речь идет не о неизменяемых системах, а о системах де-
формируемых, состоящих из связанных между собой неизменяемых
частей (стержней и шарниров). Но подобно тому, как равновесие
какой угодно материальной системы обязательно будет иметь место,
если всякая ее отдельная материальная тойка (или элемент) нахо-
дится в равновесии под действием всех сил (внешних и внутренних),
которые на нее действуют, так и в случае стержневой системы мы
обязательно будем иметь равновесие, если каждая отдельная ее
часть (т. е. каждый стержень и каждый шарнир) сама по себе бу-
дет в равновесии под действием внешних сил и реакций, действую-
щих на нее в местах соединения с другими частями системы.

Основываясь на самом определении стержневой системы, можно
внести значительное упрощение: отдельные шарниры можно считать
материальными точками, так что в конце концов всякую стержне-
вую систему можно рассматривать просто как систему твердых
стержней и материальных точек или узлов. Чтобы охарактеризовать
роль шарниров, мы будем считать, что каждый стержень связан
в каждом из своих концов с соответствующим узлом, а не непо-
средственно с другими стержнями, которые сходятся в этом узле.
При схематическом изображении узла нужно представлять себе, что
в каждом узле, в котором сходятся п стержней, имеется n-f-1
материальных элементов: сам узел и п концов сходящихся в нем
стержней, причем последние нужно считать связанными с узлом,
а не непосредственно между собой.

Из всего этого следует, что для равновесия стержневой системы
необходимы и достаточны два класса условий:

а)	условия, выражающие, что каждый стержень АВ находится
в равновесии под действием системы прямо приложенных к нему
сил и двух реакций Фл и Фд, происходящих от соединения с двумя
узлами А и В: эти две реакции называются усилиями, действую-
щими со стороны узлов на стержень;

б)	условия, выражающие, что для всякого узла А результирую-
щая прямо приложенных к нему сил и реакций	.. ^кото-

рые этот узел испытывает со стороны различных стержней В А, С А,...,
сходящихся в нем, равна нулю. Естественно, что для усилия Ф4,
которое любой стержень АВ испытывает со стороны узла А, и
реакции с которой сам стержень действует на узел (силы,
внутренние для системы), остается в силе принцип равенства дей-
ствия и противодействия, так что будем иметь

щ —_ф
ЛА	А

3.	Между возможными системами внешних сил, действующих
на стержневую систему, интересны, в частности, те, в которых
активные силы приложены исключительно к узлам.

В этих случаях каждый отдельно взятый стержень АВ системы
подвергается исключительно действию двух сил ФА и Фд, прило-
женных к его концам Л и В и представляющих собой усилия,
действующие со стороны узлов А а В, и условия равновесия „а“
просто выражают, что для всякого стержня оба усилия (гл. VIII,
п. 3) должны быть прямо противоположными. Если оба усилия
направлены внутрь стержня, то они называются сжимающими и
стержень, который при этом сопротивляется сжатию, называется
сжатым-, наоборот, если оба усилия направлены наружу, они на-
зываются растягивающими и стержень, который в этом случае
сопротивляется растягиванию, называется растянутым.

4.	Важность рассмотрения чисто узловых сил зависит от двух
причин. Прежде всего во многих конкретных приложениях систему
сил можно считать чисто узловой, хотя и не в абсолютном смысле,
так как каждый стержень, конечно, испытывает действие силы
тяжести, но, по крайней мере, приближенно, поскольку собствен-
ный вес каждого из стержней часто оказывается ничтожным по

сравнению с силами, прямо приложенными к узлам.

С другой стороны, как мы здесь докажем, имеет место следую-

щая важная теорема.

Для всякой системы сил Е, действующей на стержневую
систему, можно определить чисто узловую систему сил £*, ста-

тически эквивалентную данной, т. е. такую, что условия равно-

весия стержневой системы при действии
на нее системы сил I* не будут отли-
чаться от условий, которые мы имели бы
для той же системы при заданной системе
сил S.

Покажем прежде всего, что систему сил £
всегда можно заменить такой статически
эквивалентной ей системой сил, в которой по-
мимо возможных сил, приложенных к узлам,
на стержни системы могут действовать лишь

силы, приложенные к их концам. Для этой

цели рассмотрим любой стержень АВ стержневой системы; пусть f
будет какая угодно из сил системы Е, действующих на этот стер-

жень. Так как стержень представляет собой твердое тело, то, не
нарушая возможного равновесия (гл. XIII, п. 2), мы можем заме-
нить силу f любой векторно эквивалентной ей системой сил (лишь
бы речь шла о силах, приложенных к точкам стержня); в частно-
сти, можно заменить силу f (фиг. 46) двумя силами fA и fB, па-

раллельными /, направленными в одну и ту же сторону и прило-
женными соответственно к концам А, В стержня (но не к соответ-
ствующим узлам). Поступая аналогично со всеми силами из S,
прямо приложенными к стержню АВ, сложим все полученные таким
образом силы fA и соответственно все силы fB. В результате получим
две силы RA и RB, приложенные к концам А и В стержня; обозначим
через R'A, RA, ... результирующие, аналогичные RA, которые полу-
чатся для других стержней, сходящихся в узле А, и будут приложены
к соответствующим концам этих стержней. Наконец, обозначим, как и
в предыдущем пункте, через ФА, Ф3 усилия, которые стержень АВ
испытывает со стороны узлов А й В, через FB силу, прямо при-
ложенную к узлу А, и через Ф, ЧТ, ЧТ", ... силы, которые испы-
тывает этот узел со стороны различных связанных с ним стержней;
припоминая (п. 2), что есть реакция стержня АВ, имеем

Таким образом, после указанных приведений на любой узел А
будут действовать силы

FA,	(1)

Т, Т', Т",...,	(2)

а на любой стержень АВ силы (приложенные к концам А, В)

FA, Fs, Фа, Фв.	(3)

Все эти силы вследствие самого способа их получения статически
эквивалентны системе сил S, но еще не являются чисто узловыми,
так как каждый из стержней, на который действуют силы системы
2, подвергается действию внешних сил и в полученной нами си-
стеме (приложенных исключительно к концам стержня).

Для того чтобы исключить эти важные для стержней силы, за-
метим, что, не нарушая равновесия, мы можем вместо сил (1) и
(2), действующих на любой узел А, подставить эквивалентную им
систему сил

+ + (1*)

ф* = ф—ф'*==ф'_1гл, Ф"* = чг"—в",... (2*)

Положив тогда

Ф*л = 1?л + Фл, Ф^ = 2?5 + Фв,	(3*)

мы увидим, на основании равенства = — Фл и первых из ра-
венств (2*), (3*), что

Ф* = —Ф*
А1

т. е. результирующая Ф^ внешней силы IIА и усилия Ф4, дей-
ствующих на конец А стержня АВ, обладает относительно W*
характеристическим свойством внутренних сил и может быть сама
истолкована как усилие.

Поступая аналогично со всеми другими узлами и стержнями,
заключаем, что заданная система сил 2 статически эквивалентна
системе чисто узловых сил, в которой сила, прямо приложенная
ко всякому отдельному узлу, определяется равенством типа (1*),
тогда как внутренние силы, испытываемые отдельными узлами, и
усилия, испытываемые отдельными стержнями, определяются ра-
венствами (2*), (3*) и аналогичными им.

Для того чтобы исследовать условия равновесия данной стер-
жневой системы под действием системы сил £, достаточно обра-
титься к системе сил £*; полученные таким образом условия снова
можно перенести на систему сил S. Естественно, что если равно-
весие возможно, то для обеспечения его в обоих случаях будут
участвовать различные внутренние силы; но когда найдены силы
Ф*, V*, относящиеся к системе S*, то мы можем перейти к силам
Ф, Т реального случая, пользуясь равенствами (2*), (3*).

В качестве окончательного вывода из предыдущих рассуждений
мы получаем, на основе равенств (1*), следующее практическое
правило.

Если стержни данной стержневой системы подвергаются дей-
ствию внешних сил, то каждую из них можно разложить на две
(параллельные и направленные в одну и ту же сторону) силы,
приложенные к концам соответствующего стержня; условия равно-
весия получаются при этом так, как если бы стержни были осво-
бождены от внешних сил и каждый узел находился под действием,
помимо прямо приложенных сил, также и сил, происходящих от
указанного разложения.

Отсюда следует, что во всех случаях нам придется принимать
во внимание исключительно условия вида „б“ и. 2.

§ 2.	Односвязные стержневые системы

5.	Уравнения равновесия. Оставим теперь общие рассуждения и
займемся сначала односвязными системами. Конфигурация рав-
новесия, 'принимаемая каждой такой стержневой системой под дей-
ствием данной системы сил и представляющая собой ломаную ли-
нию, называется веревочным многоугольником (вследствие интерес-
ной интерпретации, которую мы укажем далее).

Для изучения веревочных многоугольников, возможных для дан-
ной стержневой системы, мы можем ограничиться на основании
теоремы, доказанной в предыдущем пункте, рассмотрением сил,
действующих исключительно на узлы.

Обозначив через Ри Р2, • ., Рп узлы системы (у которой,
в силу предположения о простой связности, узел Рг отличен от Ри),
мы будем обозначать соответственно через Fu F2, .. .,Fn прило-
женные к ним внешние силы. Что же касается (неизвестных) уси-
лий, то совершенно бесполезно, как мы сейчас увидим, сохранять
двойное обозначение У и Ф сил, относящихся к узлам и к стер-
жням, применявшееся в предыдущих пунктах.

Действительно, если мы рассмотрим любой стержень и
условимся обозначать через Ф»+11 ® и Ф», /+1 усилия, которые он
испытывает соответственно в концах Pt и Рг+1, то, рассматривая
чисто узловую систему сил (п. 3), будем иметь

ф/, 4+1 = — Ф< + 1.	(4)

С другой стороны, на основании принципа равенства действия и
противодействия, узел Р( вследствие соединения со стержнем PtPi+i
испытывает действие силы, прямо противоположной Фг+i, i, ко-
торая поэтому, на основании равенства (4), тождественна с Ф/, <+1.

Прежде чем идти далее, остановимся еще на обозначениях,
введенных нами для усилий. Во всяком символе Фг, г+i или Фг+i, i
оба индекса обозначают стержень, к которому отнесено усилие,
идет ли речь об усилиях, испытываемых им самим, или о силах,
с которыми он действует на узлы. Если стержень рассматривается
как воспринимающий усилие, то второй индекс, согласно принятому
выше соглашению, обозначает тот конец стержня, к которому при-
ложено усилие; если же, наоборот, мы будем рассматривать узел,
например Р{, с которым соединены стержни Д^Рг и PiPi+1, то
силами, действующими на Р{, соответственно будут Фг, г-i и Ф/, <+ъ

так что узел, к которому приложена сила, определяется первым
индексом.

Важно еще заметить, что если усилие Фг, г+i (или Фг+i, <)
является растягивающим, то порядок i, i-f-1 (или соответственно
i 4-1, i) индексов находится в согласии со стороной P{Pi+1 (или

Pi+1 Р^, в которую действует усилие (на ко-
нец ли Р{+1 стержня Р{Р(+1 или на узел Р{).

Наконец полезно заметить, что в даль-
нейших статических исследованиях, для
того чтобы привести вспомогательные ве-
личины к наименьшему числу, можно огра-
ничиться, на основании равенства (4), введе-
нием лишь усилий типа Ф<.<+1, так как
другие усилия, в которых имеется обра-
щение (инверсия) индексов, им равны и
прямо противоположны.

Выразим теперь условия равновесия, ко-

торые, как мы видели в предыдущем пункте,
будут исключительно типа „б“ из п. 2. Так как на каждый проме-
жуточный узел действуют три силы, а именно: сила Ft (фиг. 47)

и силы:

Фг, г-i = — Фг-i, < и Фг, г+i,

представляющие собой реакции стержней Рг-Л и P<P»+i> то мы
будем иметь

Ft — Фг_1,г4-Фг, *+1 = О (г = 2, 3, ...,п— 1).	(5)

Наоборот, в каждом из концевых узлов Pt и Ра прямо приложен-
ная сила должна быть уравновешена одной реакцией, и мы должны
иметь

P’14_®12 = O> Fn-----Фя-1, п — о.	(6)

Уравнения (5) и (6) в своей совокупности, как обеспечивающие
равновесие отдельных твердых частей системы, и дают нсобходц-
мые и достаточные условия, для равновесия (односвязной) стерж-
невой системы.

Уравнения (5) называются неопределенными уравнениями (или
условиями) равновесия, а уравнения (6), относящиеся к крайним
узлам, — уравнениями (или условиями) на концах.

Если мы обратим внимание на то,- что усилия Ф имеют линиями
действия стороны веревочного многоугольника, то увидим, что для
равновесия имеют значение соотношения между внешними силами,
геометрическая конфигурация и величина усилий.

В большей части практических случаев усилия представляют
собой неизвестные силы, которые требуется определить, предпо-
лагая, что веревочный многоугольник задан, или ate неизвестна
конфигурация равновесия, и нам нужно определить ее по данным
задачи, исключая или, по крайней мере, принимая за вспомога-
тельные неизвестные величины усилий.

6.	Для того чтобы равновесие стержневой системы было возможно
и в этом случае, как и во всяко.м другом, должны удовлетворяться
основные уравнения, т. е. система приложенных векторов, пред-
ставляющих собой внешние силы Fit должна быть эквивалентна
нулю. Отсюда можно заранее заключить, что это последнее усло-
вие должно неявно содержаться в векторных уравнениях (5) и (в);
это легко проверить и на самих этих уравнениях.

В самом деле, так как силы, входящие в уравнения (5) и (6),
приложены к одной и той оке точке и потому результирующий
момент их относительно общей точки приложения равен нулю, то
каждое из этих уравнений можно истолковать не только как соот-
ношение эквиполлентности, но и как соотношение эквивалентности
между системами приложенных векторов (гл. I, п. 38). То же
свойство будет выражать и уравнение, которое получится, если
почленно сложить уравнения (5) и (6); выполняя сложение и при-
нимая во внимание равенства (4), получим уравнение

-f- F% 4- •. • + Fn — о,

которое выражает, что система приложенных векторов Ft экви-
валентна нулю.

Эта эквивалентность является, таким образом, следствием век-
торных уравнений (5) и (6); однако, поскольку эти уравнения не
только необходимы, но также и достаточны для равновесия стер-
жневой системы, они в общем случае неявно содержат дальнейшие
условия.

Эти условия выражаются теоремой, которую мы докажем в сле-
дующем пункте и которая дает для условий равновесия одно-
связной стержневой системы механически выразительную и удобную
для некоторых приложений форму,
7.	Для того чтобы односвязная стержневая система, на-
ходящаяся под действием данной системы внешних сил, была
в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы система внешних
сил была эквивалентна нулю и чтобы, кроме того, результирую-
щий момент, относительно каждого отдельно взятого узла,
внешних сил, приложенных к предыдущим (или последующим)
узлам, был равен нулю.

Чтобы доказать, что высказанные условия необходимы для
равновесия, припомним прежде всего, что при равновесии [т. е.
когда выполняются уравнения (5) и (6)] система внешних сил J?,-
векторно эквивалентна нулю. Кроме того, если сложим почленно
первое из уравнений (6) и первые г — 1 из уравнений (5), рас-
сматривая их как соотношения эквивалентности между системами
приложенных векторов, то получим, принимая во внимание равен-
ства (4), соотношение

•^1 + ^2+ ••• +-fi + ®»,«+i = 0,	(7)

которое выражает, что система внешних сил J1!, J?2, ..., Ff
векторно эквивалентна единственному усилию—Ф/,*+1 = ®<+i,i,
имеющему линией действия отрезок Р^+1, и поэтому результи-
рующий момент этой системы относительно каждого из узлов Р{,
Д+1 равен нулю.

Наоборот, если предположим условия теоремы выполненными,
то прежде всего будем иметь соотношение эквивалентности

... -\-Fn = 0;	(8)

кроме того, так как результирующий момент системы внешних
сил Ft, F2, .., Ft (при г = 1,2, ..., п — 1) относительно узла
равен нулю, то эта система эквивалентна (гл. I, н. 39) одному
вектору, приложенному в Р^ который мы можем обозначить через
Ф<+1,< = -Фм+ь так что будут справедливы уравнения (7) при
i — 1, 2, ..., п — 1, причем все они будут представлять собой
соотношения эквивалентности. Вычитая почленно из равенства (8)
равенство (7) при г = п — 1, а из каждого из равенств (7) равен-
ство с индексом непосредственно низшим, мы последовательно
получим равенства:

Fn — ФЯ_1,„ = О, —Ф^1^ + Ф,.гЧ1 = 0 (г = 1, 2, ..., п — 1),
которые, будучи присоединены к последнему из равенств (7), т. е.
к равенству

F1 + Ф19 = °’

будут иметь в точности вид уравнений равновесия (неопределенных
и на пределах) стержневой системы (п. 5). Докажем теперь, что
равновесие существует при условии, что приложенные векторы
которые мы формально определили посредством уравнений (7),
имеют характер усилий, т. е. каждый из них имеет линией дей-
ствия прямую PiPi+r.

Для этой цели рассмотрим соотношения эквивалентности

Ч~ = О

или, в другом виде,

и вспомним, что два приложенных вектора Ft и Ф^г-+1 имеют оба
началом точку Pt (первый по определению, второй по предположе-
нию), так что по отношению к этому узлу их результирующий
момент равен нулю. Поэтому будет равен нулю также и момент
относительно Pi вектора Ф^_1>о эквивалентного им, а так как этот
вектор, по определению, приложен в Р$_1, то он имеет линией
действия прямую

8.	Силовой многоугольник, или многоугольник Вариньона. Усло-
вие (необходимое для равновесия односвязной стержневой си-
стемы PjP2 ... Рп), заключающееся в том, что результирующая
внешних сил Ft должна быть равна нулю, геометрически выра-
жается тем, что векторный многоугольник, построенный для сил Flt
F2, Fn, должен быть замкнутым. Другими словами, если,
задав точку Qlf определить п— 1 точек Q2> Qg, ..., Qn последо-
вательно равенствами

Qi Qi= Qi	Qi — F2,..., Qn Qn-i = Pn-i, (э)

или, в другом виде,

Q1Q2 —QiQi — F2,..., Qn-iQn — Fn-i,
то будем иметь

Qi Qn~ -^п>

или, что одно и то же,

QnQi — Fn.

Многоугольник (замкнутый) QjQ2 ... Qn, который таким обра-
зом надо присоединить к веревочному многоугольнику РХР2 ... Рп,
называется силовым многоугольником или многоугольником Варинь-
она. Он обладает одним характерным свойством, которое мы здесь
установим и которое позволит свести к простым геометрическим
построениям решение задач о равновесии односвязных стержне-
вых систем.

9.	В силовом многоугольнике QrQ2 •. • Qn (фиг. 48), присоеди-
ненном к веревочному многоугольнику РгР2 ;. Рп, стороны и
диагонали Q2Qt> Q3Q1, QnQi> направленные в сторону
будут соответственно эквиполлентны усилиям Ф1)2, Фг.з» • • >

Ф«-1, п-	__

Действительно, припомним прежде всего, что вектор Q2Qi — —QiQz
эквиполлентен вектору —FY и что вследствие первого из равенств (6)
этот вектор эквиполлентен Ф1.2.

Что же касается вектора Q3Qi, то возьмем равенство (5) при
i = 2, т. е. равенство

F% — Ф1, а —|- Фз.з = О.

Принимая во внимание только что полученный результат и

вспоминая, что по построению вектор Q2Q8 эквиполлентен вектору F%,

можно написать предыду-
щее равенство в виде

Q2Q3 ‘— Q2Q1Ч- Фг,з — О,

или

Фг,з = Q3Q2 4“ Q2Q1,

откуда заключаем, что век-
тор -QsQi эквиполлентен век-
тору Ф2,з.

Таким образом будем
продолжать до тех пор,
пока не дойдем до вектора
QnQi> который, будучи экви-
поллентен силе Fn, будет

также эквиполлентен, вследствие второго из равенств (6), усилию

Наоборот, если для какого-нибудь многоугольника РгР2 ... Рп
можно построить такой замкнутый многоугольник QrQ2 • • • Qn,
что стороны и диагонали Q2QX, QsQi, ..., QnQi> сходящиеся в
будут соответственно параллельны прямым РГР2, Р2Р2, • • •,
Р„_1РП, то многоугольник Р±Р2 ... Рп будет представлять собой
веревочный многоугольник, для которого QjQ2 ... Qn является

силовым многоугольником.

Действительно, если представим себе, что на стержневую систему
РгР2 ... Р„ в узлах Pj, Р2, ..., Рп действуют силы, эквипол -
лентные векторам QiQ2, Q2Q2, QnQi> ив качестве усилий Ф1,2,
Ф2,3, ..., Ф„_1)П соответственно принимаются векторы
Q3Qi, • ••, QnQi> то, на основании сделанных допущений о двух
многоугольниках, будут непосредственно выполняться условия (5)
и (6), необходимые и достаточные для равновесия стержневой
системы.

10.	Доказанное таким образом характеристическое свойство
силового многоугольника позволяет, как мы об этом уже говорили,
решать. посредством геометрических построений задачи, относя-
щиеся к равновесию односвязных стержневых систем.

Для того чтобы дать типичный пример приложения этого ме-
тода, рассмотрим стержневую систему РГР2 ... Рп> прикрепленную
на конце Рг к неподвижному шарниру и имеющую свободными
другой конец и промежуточные узлы (за исключением лишь связей,
происходящих от соединения их со стержнями). Представим себе,
что к п — 1 узлам Р2, Р2, ..., Рп приложены заданные силы F.2,
P's’ •  Р'п) и определим веревочный многоугольник (или конфи-
гурацию равновесия системы) и реакцию в неподвижном конце Рх.

Прежде всего силовой многоугольник можно построить непо-
средственно, откладывая один за другим, начиная от произвольной
точки Q2, приложенные векторы Q2Q3, Q2Q.it ..., QnQi, соответст-
венно эквиполлентные векторам F2, Fa, ..., Fn; после этого за-
мыкающий вектор QrQ2 представит по величине, направлению
и стороне- реакцию Ft в неподвижной точке.

Что же касается веревочного многоугольника, то вспомним, что
его стороны должны быть параллельны соответственно отрезкам
Q2Q1} Q&Qi> • • QnQi- Поэтому, начиная с закрепленной точки Plt
мы должны направить первый стержень РГР2 параллельно Q1Q2
в ту или другую из двух возможных сторон; эта неопределенность
в выборе стороны будет сохраняться до тех пор, пока мы не будем
знать заранее, должно ли быть усилие Ф1>2 растягивающим или
сжимающим. Определив Р2, мы получим положение точки Р8, на-
правив стержень Р2Р2 параллельно (в ту или другую сторону
в согласии с только что сказанным о характере усилия Ф1>2); так
нужно поступать до тех пор, пока, направив стержень Рп_хРп
параллельно QnQi (в ту же самую сторону или в противоположную),
мы не получим положение равновесия свободного конца Рп.

11.	Параллельные силы. Менее просто, чем в предыдущем слу-
чае, выполняется геометрическое построение веревочного много-
угольника, когда стержневая система прикреплена (посредством
шарниров) к неподвижным точкам на обоих концах Pt, Рп и за-
даются силы, приложенные в п — 2 промежуточных узлах. Здесь
мы ограничимся рассмотрением этой задачи в том случае, когда
и — 2 силы F2, Fs, ..., Fn_i параллельны и направлены в одну
и ту же сторону (фиг. 49); заметим, что это частное предположение
заслуживает рассмотрения потому, что оно осуществляется в случае,
когда внешние силы, действующие на систему, представляют собой
силы тяжести.

Прежде всего легко убедиться, что, независимо от того, закреп-

или нет, в том случае, когда в системе сил, прило-
женных к узлам и способ-
ных поддерживать равнове-
сие, силы, прямо приложен-
ные к промежуточным узлам,
параллельны (и направлены
в какую угодно сторону), си-
ловой многоугольник будет
плоским.

В самом деле, в этом слу-
чае стороны ф2ф3, Q3Q4, . • •,
Qn-iQn силового многоуголь-
ника будут лежать на одной
прямой, так что, каково бы
ни было положение оставшейся
вершины Qj, приложенные

лены концы

такими же будут и стороны Р^Р2,

векторы Q2Qlr Q3Qlt ..., QnQlf
представляющие собой усилия,
будут компланарны, а поэтому
2Р3, ..., Рп_гРп веревочного

многоугольника, поскольку они должны быть параллельны усилиям.

12.	Предположим теперь опять, что оба конца Plf Рп стержне-
вой системы закреплены, и, рассматривая п—2 параллельные силы
как веса, обозначим величины их через р2, р§, ..., рп_г.

Для того чтобы определить силовой многоугольник, будем идти
аналитическим путем. Возьмем в вертикальной плоскости, прохо-
дящей через точки Р± и Рп, в которой должен лежать веревочный
многоугольник (см. предыдущий пункт), декартову систему осей Оху
с осью у, направленной вверх, и обозначим через хг, ух и хп, уп
координаты точек Ри Рп, а через llf 12, ..., 1п_г — длины стерж-
ней РХР2, Р2Р3, ..., P„_t, Р„.

За главные неизвестные задачи примем углы а1Л а2, ..., ап_х,
которые эти стержни (каждый из них направлен в сторону обхода
веревочного многоугольника от Р, к Рп) образуют с направлением
оси х; заметим при этом, что для определения их мы должны вос-
пользоваться уравнениями равновесия (5) и (6). Обратим внимание
только на неопределенные уравнения

Ft — Ф<-м + фМ+1 = 0	(« = 2, 3, ..., п — 1),

так как уравнения (6) служат лишь для определения двух послед-
них неизвестных (сил и Fn, приложенных к закрепленным
узлам Рх и Рп) и не влияют на форму многоугольника.
Далее, уравнения (5) (представляющие собой и — 2 векторных
уравнений в плоскости) переходят в 2(w— 2) скалярных уравне-
ний между горизонтальными и вертикальными проекциями. Так
как горизонтальные проекции сил Ф, равны нулю, то, проектируя
уравнения (5) на ось х, мы увидим, что усилия Ф1>2, Ф2;3, ...,
Фп-1>я все имеют одинаковые горизонтальные проекции.

Здесь мы можем ограничиться рассмотрением случая, когда эти
проекции, общую величину которых мы обозначим через <р, от-
личны от нуля. Действительно, если какое-нибудь из усилий обра-
щается в нуль, то можно представить себе, что связность в соот-
ветствующем узле устранена без нарушения равновесия, и тогда
задача оказывается сведенной к двум различным задачам, относя-
щимся к многоугольникам с меньшим числом стержней. Исключив
этот случай, никакое усилие уже нельзя считать равным нулю; и
тогда предположение © = О будет означать, что усилия, а вместе
с ними и стороны веревочного многоугольника, все будут верти-
кальными. Если мы оставим в стороне не представляющий интереса
случай, когда и Рп находятся на одной и той же вертикали,
то упомянутая только что возможность исключается, поэтому сле-
дует считать, что =# О.

Теперь, принимая за вспомогательную неизвестную, мы в со-
стоянии выразить через <р и через главные неизвестные а1г а2,..., аи_ j
вертикальные составляющие усилий. Достаточно заметить, что если
они имеют линиями действия АА> АА» •••> ?п-1Рп> то отно-
шения (конечные в силу предположения, что <р =# О) между вели-
чинами вертикальных и горизонтальных составляющих выражаются
(каково бы ни было направление отдельных усилий) тангенсами
углов наклона а1; а2, ..., »n_i, так что величины вертикальных
составляющих соответственно будут иметь значения

(ftgaj, <?tga2, ..., ©tgan_!.

Проектируя векторные уравнения (5) на ось у (вертикальную
и направленную вверх), мы получим уравнения

P< + ?tga4_1 = <ptga< (г = 2, 3, ..., w—1), (10)
к которым необходимо присоединить уравнения, связывающие хп,
Уп с xi> У1> и а. Эти два уравнения можно получить, спроекти-
ровав веревочный многоугольник Р^Р2 •.. A-iA> на две оси
координат и выразив, что эти проекции являются не чем иным,
как хп — xit yn — yv

Таким образом, мы получим

n—1

= «! + 2 k COS af,

nA	(11)

Уп = У1 + 2 k sin «<•
i=l
Уравнения (10), (11) в совокупности составляют п уравнений
между таким же числом неизвестных аи а2,	а„-1> ?• Для

решения их удобно положить

tg“i = р

что, конечно, возможно, так как, на основании сделанного выше
замечания, « можно предполагать не равным нулю. Суммируя
уравнения (10) от i = 2 до любого г и сокращая в полученном урав-
нении члены <ptga2, ®tgas, ..., <ptgai_1, общие обеим частям
уравнения, будем иметь

1+2^-

tg«i =-----~—	(г = 2, ..., п — 1). (10')

Уравнения (10') вместе с равенством tga1 = <p/<p выражают
тангенс любого угла af через, ф и «. Если определим из этих
уравнений обычным способом cos а и sin а и внесем их значения
в уравнения (11), то получим два уравнения между <? и пригод-
ных для определения этих величин. Следует, однако, предупре-
дить, что действительное определение ? и 4 в общем случае будет
очень сложным: для п = 3 положение точки Р2 определяется непо-
средственно, если будут заданы длины PjP2, Р3Р2; но уже при
п = 4 уравнения для <р и освобожденные от радикалов, имеют
довольно высокую степень.

§ 3. Геометрическое исследование плоских решетчатых
балок (ферм)

13.	Перейдем теперь к многосвязным стержневым системам.
Мы будем рассматривать только один класс таких систем, так
называемые плоские решетчатые балки или фермы, т. е. системы,
составленные из стержней, расположенных в одной и той же пло-
скости (и, следовательно, содержащие цилиндрические шарниры).

Фермы могут быть двух видов: изменяемые и неизменяемые.
Изменяемые фермы, как и односвязные системы, могут принимать
непрерывную совокупность различных конфигураций. Таким, на-
пример, является какой угодно простой (замкнутый) многоугольник
или также многоугольник с добавочным стержнем, один конец
которого соединен шарниром с какой-нибудь вершиной много-
угольника.

Неизменяемая ферма должна иметь число стержней, достаточное
для обеспечения неизменяемости своей конфигурации. Таким будет,
например, полный многоугольник, в частности четырехугольник
с обеими его диагоналями.
Неизменяемые фермы в свою очередь делятся на два класса:
неизменяемые фермы без лишних стержней и неизменяемые фермы
с лишними стержнями. В первом случае достаточно удалить один
стержень для того, чтобы ферма стала изменяемой; во втором слу-
чае можно удалить один или несколько стержней, не нарушая
жесткости системы.

Мы рассмотрим здесь подробно неизменяемые фермы без лишних
стержней. Прежде всего мы выведем общее соотношение между
числом п узлов и числом т стержней, справедливое для всякой
такой системы.

Так как система неизменяема, то ее положение в плоскости,
как и положение всякой другой неизменяемой плоской системы
(гл. V, п. 2), должно быть однозначно определено, когда заданы
положения двух ее точек, например двух узлов РЛ, Рэ, лежащих
в концах одного и того же стержня. Это, с аналитической точки
зрения, приводится к тому, что 2(п — 2) координат других п — 2
узлов (где индекс г принимает все значения 1, 2, ..., п, за
исключением а и 0) должны однозначно определяться структурой
системы, т. е. длинами т—1 стержней, отличных от того, который
соединяет узлы Ра и Р$. Каждый из этих стержней, если обозна-
чим через Р{ и Pj его концы, через xi} у 4 и xjf у^— соответствую-
щие координаты, через ltj = — длину, даст уравнение

(ж< —«/ + (?/< —%/=	(«, J=l, 2, ..., »=#а, р). (12)

А для того чтобы из этой системы т — 1 уравнений можно было
определить 2 (п — 2) неизвестных xit у4, необходимо и достаточно,
вообще говоря, чтобы было т — 1 = 2 (п — 2), т. е.

т — 2п— 3.	(13)

Из этого условия вытекает, между прочим, как необходимое
следствие, что в соответствующей неизменяемой ферме без лишних
стержней имеется, по крайней мере, один узел, из которого выхо-
дит не более трех стержней. Действительно, если из каждого из
п узлов выходило бы больше трех стержней, то полное число т
их было бы не меньше чем 4п/2 = 2п, вопреки равенству (13).
Подобным же образом из равенства (13) следует, что если п < 6,
то, по крайней мере, из одного из узлов фермы выходят только
два стержня.

14.	Как уже было замечено, условие (13), к которому мы при-
шли путем сопоставления числа неизвестных и числа уравнений,
достаточно для обеспечения неизменяемости системы только во-
обще, т. е. при условии, что т—l = 2(w— 2) уравнений (12)
являются совместными и независимыми друг от друга; для этой
цели достаточно, как известно, чтобы не был тождественно равен
нулю якобиан J левых частей уравнений (12) по xit у{ (при i=l,
2, ..., п, за исключением а и Р).

Когда это условие не имеет места, решетчатая система, даже
в предположении, что уравнение (13) удовлетворяется, может ока-
заться изменяемой. В качестве примера представим себе полный
плоский четырехугольник с лишним стержнем, шарнирно соединен-
ным одним концом с какой-нибудь вершиной четырехугольника.
Уравнение (13) удовлетворяется, так как имеется пять узлов и
семь стержней, тогда как система очевидно является изменяемой.

Но бывают также исключительные, или, как мы будем говорить,
особые случаи в некоторой степени противоположного свойства,
когда ферма неизменяема и не имеет лишних стержней и все же
уравнение (13) не удовлетворяется. Чтобы дать наиболее простой
пример такой фермы, рассмотрим систему, составленную из п > 3
узлов Pi, Р2, ..., Рп и п стержней РГР2, Р%Р$, • • •> Pn?i- Если
длина каждого из стержней будет меньше суммы длин осталь-
ных п — 1 стержней, то мы будем иметь простой многоугольник,
очевидно, изменяемый; но если, например, длина 1п стержня РхРп
равна сумме длин Ц(г — 1, 2, ..., п—1) остальных п — 1 стерж-
ней, то система может иметь узлы только на прямой Р]Рп; в этой
своей единственно возможной конфигурации она будет неизменяемой,
между тем как числа узлов и стержней, оба равные п > 3, не
удовлетворяют условия (13). Другие менее тривиальные примеры
ферм, особых в указанном смысле, будут приведены после общих
соображений, которые мы изложим в следующем пункте.

15.	Заметим, что можно заранее предвидеть, каково может быть
происхождение таких особых случаев. Действительно, в области
вещественных чисел, которой мы здесь и должны ограничиться,
существуют такие случаи систем уравнений, когда число неизве-
стных больше числа уравнений и все же все неизвестные могут
быть однозначно определены. Простым примером этого может слу-
жить уравнение ж2 Д- у2 = О, имеющее корни х = О, у = 0.

Обратимся к исследованию возможности указанных выше особых
типов ферм; для этой цели рассмотрим какую-нибудь систему т
уравнений

А = о, /2 = 0,..., /т = 0	(14)

с N неизвестными ^2,..., zN. Предположив т < N, допустим,
что система удовлетворяется некоторыми N значениями неизвестных,
причем эти значения всегда можно предположить приведенным
к я, = 0 (v = l, 2,..., N); пусть в окрестности этого решения
функции fh можно разложить в ряд Маклорена. Выставляя на вид
члены первого порядка, будем иметь

N

+ П (7г=1, 2,...,m),	(15)

V=1
где ah., суть постоянные, тогда как Fh означают такие функции,
разложения которых в степенные ряды по начинаются с членов
степени не ниже второй.

Если якобиева матрица от функций fh по ?., при = О
(v = l, 2,..., N), т. е. матрица

(Ijl Я)2  •  dlN

®21 ®22 • • 	(161

будет ранга т, то система (14) будет однозначно разрешимой от-
носительно т неизвестных из z^, а остальные N — т неизвестных
останутся неопределенными.

Рассмотрим здесь случай, когда матрица (16) имеет ранг, мень-
ший т. При этом предположении между т линейными формами,
составленными из членов первого порядка отдельных функций (15),
будет существовать, по крайней мере, одно тождественное соотно-
шение (с коэффициентами, не равными одновременно нулю)

т N

2 Р'Л 2 ah> — Oj

Л=1 Ч = 1

которое, если предположим для определенности, что О, можно
написать в виде

ш-1

5	2 5 aft A = 0.	(17)

v =1	h=l	v = i

Отсюда следует, что функция

т-1
fm4~ 2 Мл
Л = 1

не имеет членов первого порядка, так. что мы будем иметь

Ш —1

+ 2 Ч/’л = ? + Ф>	О8)

Л=1

где <р означает некоторую квадратичную форму относительно z.,

1 N

? = -о 2 Ь г, z	(19)

* ъ р==1

а ф есть функция, разложение которой в степенной ряд по z^ на-
чинается с членов, по крайней мере, третьего порядка.

Легко убедиться, что если квадратичная форма ® является
определенной, то из уравнений (14), даже если число их меньше
числа неизвестных, можно однозначно определить эти неизвестные.
так как в достаточно малой окрестности I начала координат эти
уравнения будут удовлетворяться только значениями

г„ = 0 (v== 1, 2,, .., N).

Заметим прежде всего, что функции f но могут все обратиться
в нуль, если не обращается в нуль выражение (i8); покажем, что
при заданном определенном характере квадратичной формы (19)
выражение (18) в окрестности I начала координат может обратиться
в нуль только тогда, когда обращаются в нуль все аргументы.

В самом деле, полагаем	в виде = рсу, где

N	N

2 а2 = 1,	р2= 2

v = l	v = l

это (если воспользоваться языком пространства п измерений) равно-
значно введению модуля р и направляющих косинусов вектора, при-
ложенного в начале координат и имеющего концом точку с коор-
динатами ^2,..., zN. В силу предположения, что квадратичная
форма ® является определенной, наименьшее из абсолютных значе-
ний формы

?«=|- Т &<Ра»аР
v,p = l

для действительных значений величин а, удовлетворяющих уравне-
нию гиперсферы с центром в начале координат и с радиусом,
равным единице,

у

2 «2 = 1

М = 1

является, конечно, числом М, большим нуля. С другой стороны,
функция ф, если для г берутся указанные выше выражения, при-
нимает вид

P3 * *X(«1, «nW,

где у для достаточно малых значений р является конечной и не-
прерывной функцией своих аргументов и, следовательно, в окрест-
ности I начала координат по абсолютной величине остается меньше
вполне определенной положительной постоянной М'. После этого
непосредственно ясно, что если не исчезают все я.» т. е. если имеем
р > 0, то не может выполняться равенство

? Ф — О,

потому что его левая часть, если разделить ее на р2, принимает
вид

?«+рх;
абсолютное значение первого слагаемого не может быть меньше М,
тогда как абсолютное значение второго при р < будет, конечно,
меньше М.

16.	Предположения аналитического характера, сделанные выше
и заключающиеся в том, что ранг матрицы (16) меньше т и ква-
дратичная форма <р определенная, можно истолковать наглядно.
Из тождества (18) следует, что в разложении функции

т—1

(20)
ft=l

по степеням z часть первой степени равна нулю, в то время как
часть второй степени представляется в виде определенной квадра-
тичной формы <р.

Поэтому если мы будем рассматривать координаты z как бес-
конечно малые или, что равносильно, вместо каждого zt представим
соответствующий дифференциал то увидим, что первый диф-
ференциал функции (20) будет равен нулю, тогда как второй диф-
ференциал определится формой <f>(dz); так как эта последняя пред-
ставляет собой определенную квадратичную форму, то мы заклю-
чаем, что для функции (20) выполняются условия существования
максимума или минимума. Наоборот, если эти условия удовлетво-
рены, то достаточно вместо отдельных dz.t подставить соответствую-
щие z4, для того чтобы снова придти к равенству (18), где функ-
ция будет представлять собой определенную квадратичную форму.

Теперь, на основании формы (20) и теории условного максимума
или минимума, очевидно, что существование максимума или мини-
мума для функции (20) равносильно существованию максимума или
минимума для функции fm, согласно условиям Д=/'2= •••==/’»_ i = 0.
Таким образом, мы видим, как из существования такого условного
максимума или минимума необходимо следует, что система уравне-
ний (14) способна определить в действительной области число не-
известных, большее числа самих уравнений.

Отсюда имеем непосредственную иллюстрацию случая системы
с п узлами и п стержнями, рассмотренной в конце п. 14. Она
вообще может принимать бесконечность конфигураций, множество
которых начинается с' п = 4 и растет вместе с та; но для какого-
нибудь и ^>4 система будет неизменяемой, когда длина

1п = V (^п — ж1)2 + (Уп — У if

стержня РуРп достигает своего максимума, совместного с условиями
k = V+1 — ж02 + (?Л+1 — %)2	0е = Ъ 2, ..., та — 1).

где It означают та — 1 заданных чисел.
17.	Другие более наглядные примеры особых неизменяемых
ферм [т. е. ферм, не удовлетворяющих условию (13)] были найдены
Е. Кбттером (Е. Hotter) ’). Основные указанные им типы полу-
чаются на основании следующих соображений.

а)	Рассмотрим многоугольник PjPa ... Рай (фиг. 50) с 2fc сторо-
нами и с соответствующими диагоналями P{Pk+i (г = 1, 2, ..., &).
Так как п = 2к и т — Зк и, следовательно, 2п — 3 — т = к — 3,
то в общем случае, как только будет к > 3, т. е. начиная с вось-
миугольника, мы будем иметь неопределенность, соответствующую

к — 3 произвольным параметрам; но если каждая сторона парал-
лельна своей противоположной, то ферма будет для какого угодно
к > 3 фермой без лишних стержней.

б)	Пусть в двух многоугольниках РХР2 ... Рк и Р]Р2 • • • Р'к
(фиг. 51) с одним и тем же числом к сторон вершины с одина-
ковыми индексами соединены стержнями. Так же как и в предыдущем
случае, мы будем иметь Зк стержней и 2к узлов, так что в общем
случае система при к > 3 будет неопределенной кратности (й — 3);
но если, например, многоугольник Р\Р'2 ... Р’к будет внутренним
для другого и, 'кроме того, будет иметь стороны, параллельные
сторонам многоугольника PrP2 •••Pi: и соответственно меньшие
этих сторон, то ферма будет неизменяемой.

18.	Замечательный класс стержневых систем, для которых
непосредственно очевидно, что они неизменяемы и не имеют лиш-
них стержней, получается при помощи следующего построения:
пусть мы имеем три узла Рп Ра, Р8 (фиг. 52), соединенные по-
парно стержнями, и пусть всякий другой узел определяется посред-
ством двух стержней, выходящих из двух вершин этого треуголь-
ника или из двух каких угодно узлов, которые таким образом
последовательно получаются (включая и первые три). На фиг. 52

i) Festschrift Heinrich МцПег — Breslqu; Лейпциг, 1912, стр. 61.
точка Р4 соединена с Р2 и -^з» в т0 время как точка РБ соеди-
няется с Pi и Р4.

Полезно отметить, что эта структура не является наиболее общей
структурой неизменяемых ферм без лишних стержней; это следует
уже из существования особых ферм, которые мы рассматривали
в предыдущем пункте, но даже оставляя в стороне особые фермы
и ограничиваясь стержневыми системами, удовлетворяющими усло-
вию (13), т- е. системами, имеющими п узлов и 2п — в стержней,

мы- легко обнаружим неизменяемость и отсутствие лишних стерж-
ней в ферме (фиг. 53 — шестиугольник с тремя диагоналями), кото-
рая не является фермой указанной выше структуры.

Систематическое изучение различных типов (неособых) неизме-
няемых стержневых систем без лишних стержней было недавно
предпринято X. Поллячек-Гейрингер ’), которая пришла к заключе-
нию, что, для того чтобы ферма была неизменяемой и не имела
лишних стержней, необходимо и достаточно, чтобы никакая из
содержащихся в ней стержневых систем не имела лишних стержней.

19.	Вернемся опять к стержневым системам, структура которых
определена построением предыдущего пункта. Между ними заслу-
живают особого внимания так называемые треугольные системы,
которые внутри рассматриваемого класса ферм будут определяться
условием, что два узла, определяющие новый узел посредством
двух выходящих из них стержней, сами соединены одним стержнем.
Такова ферма, изображенная на фиг. 54, между тем как ферма на
фиг. 52 не будет принадлежать рассматриваемому типу, так как
в ней узел Рб соединен с узлами Pi и Р4, не соединенными между
собой одним стержнем. Причина названия таких ферм треугольными
очевидна: рассматриваемые фермы таковы, что каждый стержень
является стороной, по крайней мере, одного треугольника.

I) Zeitschrift fur апд. Math. и. Meeh,, т. 7 (1927), стр, 58, 72,
Дальнейшее разделение приводит к простым треугольным
фермам. Этим именем называют треугольные системы, в которых
треугольники следуют в таком порядке, что первый треугольник
имеет общий стержень только со вторым треугольником, второй
имеет два общих стержня с первым и третьим треугольниками,
третий — с вторым и четвертым, и т. д., предпоследний — с послед-
ним. Как видно из фиг. 55, контур фермы составлен из стержней,
каждый из которых принадлежит только одному треугольнику; эти
стержни называются внешними. Остальные стержни, каждый из
которых является общим для двух, и только для двух, треугольни-
ков, называются внутренними (или также, когда ферма располо-
жена в вертикальной плоскости, укосинами, если они наклонны, и
стойками, если вертикальны).

В этих простых треугольных системах все узлы лежат на кон-
туре; между ними будут два, и только два узла (на фиг. 55 Plt Р6),
в которых сходятся только два стержня,
тогда как в каждом из остальных сходятся
три или четыре стержня. Этими двумя конце-

р3

Р,

Гз

Фиг. 55.

выми узлами контур делится на две ломаные линии (на фиг. 55
Р^Р^РйР^Ръ и Р^Р^Р^), которые, когда ферма находится
в своем типичном положении в вертикальной плоскости, с концами
на одинаковой высоте, удобно назвать нижним и соответственно
верхним поясами. Если число узлов есть п, то составляющих
ферму треугольников будет п— 2 и, смотря по тому, будет ли п
четным или нечетным, нижний и верхний пояса или будут иметь
одно и то же число стержней, или один из них будет иметь одним
стержнем меньше другого.

Если Pt есть один из двух концевых узлов и полное число
узлов четно и равно 2k, то другим концевым узлом будет Рк^г.
Если же, наоборот, число узлов нечетно и равно 2&-J-1, то вторым
концевым узлом будет или Р*+1, или Pft+2, в зависимости от
того, идем ли мы при нумеровании узлов, начиная с Р1г сна-
чала по поясу, имеющему одним узлом меньше, или же по другому
поясу.
§ 4. Равновесие неизменяемой системы без лишних стержней
под действием мисто узловых сил

20.	Векторное определение усилий. Начнем с рассмотрения
какой угодно неизменяемой системы без лишних стержней (неосо-
бой), п узлов которой пусть будут Р1} Р%,... , Рп, и, как в § 2,
обозначим через Fu F2, .... Fn соответствующие внешние, прямо
приложенные силы, предполагая, что все они лежат в плоскости
системы. Конфигурация системы здесь задана, а в конкретных
задачах следует считать известными также и положения отдельных
узлов, так что речь будет идти об определении усилий, которым
под действием указанной системы внешних сил подвергается каж-
дый отдельно взятый стержень. После того как будут найдены
усилия, действующие на стержни, на основании принципа равен-
ства действия и противодействия можно также определить и силы,
действующие на узлы.

Обобщая символы, принятые в п. 5 для просто связных систем,
мы будем обозначать усилия, которые испытывает любой стержень
PiPj со стороны соответствующих узлов Pi и Pj, через Фу,< и Ф/j,
так что при равновесии будем иметь

Ф^ = —Ф,'.г-	(21)

Как уже было указано несколько ранее, линии действия этих
усилий известны по заданию, так что неизвестными остаются
величины усилий и стороны, в которые они направлены. Вслед-
ствие соотношений (21) число этих неизвестных равно числу стерж-
ней фермы, т. е. 2п— 3, и, так как соотношения (21) исчерпы-
вают условия равновесия стержней, определение этих неизвестных
можно получить только из условий равновесия узлов.

Если в каком-нибудь узле сходятся стержни PiPj, PiPi, • •  ,
то усилия, которые этот узел испытывает со стороны стержней, могут
быть представлены в виде — Ф^, — Фм, ..., или, на основании
соотношений (21), в виде Фг-,у, Ф/,г, ..., (все с первым индексом г)
и соответствующее условие равновесия приведется к виду

^• + Фм + Фщ+---О	(г=1, 2, ...,«).	(22)

Так как речь идет о плоской задаче, то эти п векторных
уравнений перейдут в 2п скалярных уравнений; но легко видеть,
что если задача разрешима, то число их уменьшится. Действи-
тельно, заметим, что здесь, как и в случае просто связной системы
(п. 6), каждое из векторных уравнений (21), (22), поскольку это
относится к приложенным векторам с линиями действия, пересе-
кающимися в одной и той же точке, можно истолковать не только
как простое векторное равенство (эквиполлентность), но и как
векторную эквивалентность в собственном смысле; поэтому, скла-
дывай по частям уравнения (22) и принимая во внимание, что
в сумме, вместе с каждым усилием Ф,^, появляется один, и только
один, раз соответствующее усилие Ф^,г-, относящееся к другому
концу того же самого стержня, на основании соотношений (21) за-
ключаем, что система внешних сил Flt F2,..Fn является уравно-
вешенной. Другими словами, равенства (21), (22) содержат в себе
основные уравнения равновесия, не зависящие от усилий (внут-
ренних), и, так как эти уравнения относятся к плоской системе
сил, они сводятся к трем скалярным уравнениям, которые должны
удовлетворяться данными задачи, как условия ее разрешимости.

Согласно этому, скалярные уравнения, являющиеся следствиями
уравнений (22), сводятся к 2п — 3 уравнениям, т. е. мы имеем
как раз столько уравнений, сколько имеется неизвестных; очевидно
при этом, что речь идет о линейных неоднородных уравнениях.

Чтобы быть уверенным, что эти 2w — 3 уравнений вполне опре-
деляют неизвестные задачи, следовало бы убедиться в том, что
они независимы. К этому мы еще вернемся в § 8 гл. XV, рас-
сматривая снова ту же задачу на основе принципа виртуальных
работ; здесь же мы ограничимся лишь утверждением, что уравне-
ния (22) действительно единственным образом определяют неиз-
вестные всякий раз, как будет отличен от нуля якобиан J, о ко-
тором мы говорили в п. 14, т. е. когда будет удовлетворяться
условие, что ферма (неособая) не имеет лишних стержней.

Намеченный здесь способ вычисления представляет собой ана-
литический метод для определения усилий. Как мы видели, он
состоит в решении 2я — 3 линейных неоднородных уравнений
с таким же числом неизвестных, поэтому необходимо выбрать
такой метод решения этих уравнений, чтобы по возможности умень-
шить сложность вычислений.

21.	Графическое определение усилий. На практике обычно прибе-
гают к более прямым способам, преимущественно графическим, кото-

шей ясности

рые приводят или к изолиро-
ванному определению некото-
рых усилий, независимо от дру-
гих, или же к представлению
всех усилий в одной диаграм-
ме, позволяющей проверять
результаты, к которым мы по-
следовательно приходим. Эти
методы применяются к неиз-
меняемым системам любого ти-
па; однако здесь мы, для боль-

и чтобы не слишком отклоняться в сторону, ограни-

чимся простыми треугольными системами (п. 19).

Обратимся, например, к ферме Р^Р^.. .Р%, представленной на
фир. 55 ц, 19, которую мы здесь воспроизводим (фиг. 56). Рас-
сматривая один из двух крайних треугольников, например тре-
угольник Р\Р2Р$, мы видим, что в первом узле сходятся только
два стержня Р2Рг, Р9Р1г так что уравнение равновесия точки Pt

Т Ф1.8	Ф1,9 = О

единственным образом определяет усилия Ф1,2 и Ф1,9 как равные
составляющим силы —F1 соответственно по прямым РгР2, PiPq-

Рассматривая второй треугольник Р2Р8Р9, мы видим, что
в одном из узлов, именно в узле Р9, сходятся три стержня, тогда
как в каждом из двух других узлов сходятся по четыре стержня.
Уравнение равновесия, соответствующее первому узлу,

-Fg Ф9,1 ф9,3 -j- Ф9,8 = О

определяет Ф9,2 и Ф9>8 как составляющие силы —-Ед-рФм по
соответствующим стержням, поскольку сила Ф9Л является уже
определенной, как противоположная силе Ф1,9. После этого можно
переходить к узлу Р2, в котором из четырех сил уже известны
Ф2,1 и Ф2>9, тогда как силы Ф218, Ф2,8 определяются соответствую-
щим уравнением равновесия

F2 -f- Ф9,1 -f- Ф2,9 “Ь Фа,8 4" Фа,з = О,

как составляющие по соответствующим стержням вектора

— F2 — Фг,1 — Фа,9-

Так можно продолжать до тех пор, пока не будут определены все
усилия. Определение неизвестных усилий будет закончено, когда,
дойдя до последнего треугольника P4P6PG, мы рассмотрим две
его вершины Pi и Р6: после этого мы можем проверить точность
полученных результатов, обращаясь к
крайнего узла Р6, т. е. проверяя, дей-
ствительно ли будут полученные для
Фб.4, Фз,а векторные значения (как это
требуется этим уравнением) прямо про-
тивоположны составляющим силы F6 по
стержням РБР4, РЪР(,-

22.	Метод сечений или метод Кульмана.
Обратимся к ферме, составленной из тре-
угольников (см. фиг. 56), и рассмотрим
два последовательных треугольника, имею-

щих общий стержень, например два треугольника РйР~Ръ, Р^Р^Р^
Представим себе, что ферма разбита на две части 6'j и S2 посред-
ством сечения, проходящего соответственно через три точки
Н, К, L (фиг. 57) внутренние для стержней контура Р7Р8, Р^Р^.
и стержня Р8Р7.

уравнению равновесия

Фиг. 67.
Рассмотрим условия равновесия одной из двух частей фермы,
например части ,8), содержащей первый узел Р2 (т. е. левой
части).

Внешними силами, действующими на Яр являются, кроме сил,
прямо приложенных к узлам части усилия (ff, Фя), (К, Фя),
(L, Фе), с которыми части НР1, КР± и РР7 стержней Р8Р7,
Р3Р4 и Р3Р7 действуют соответственно на части Р8Н, PSK и
Р3Р тех же стержней. Эти усилия тождественны с усилиями Ф8г7,
Фзл, Фзл, которым стержни Р8Р1г РАР^ и Р3Р7 подвергаются
в соответствующих узлах Р7, Р4, Р7, и так как необходимо, чтобы
были удовлетворены основные условия равновесия, то три усилия
(Н, Фя), (К, Фя), (L, Фе) должны уравновешивать систему сил,
приложенных в узлах части 8Ь т. е. в нашем случае сил (Р4, Р\),
(Р2, FJ, (Р8, Fs), (Р8, F8), (Р$, Ф9). Такая система, все силы
которой лежат в одной плоскости, эквивалентна или одной силе,
или одной паре (гл. I, п. 50); в практически важных случаях
речь идет обыкновенно об одной силе R, линию действия г кото-
рой молено построить (применяя, например, графический метод,
указанный в упражнении 21 гл. I). При таком предположении речь
идет об определении величин и сторон обращения трех векторов
Фя, Фя, Фе таким образом, чтобы система

(Н, Фя), (К, Фя), (L, Фе), (F на г)

была уравновешена; легко убедиться, что эта задача всегда допу-
скает единственное решение.

Действительно, прямая г необходимо пересекает, по крайней
мере, одну из линий действия трех неизвестных усилий. Если,
например, она пересекает прямую Р8Р7 в точке Q, то мы можем
считать результирующую активных сил R и усилие Фя приложен-
ными в этой точке, а усилия Фя и Фе в узле Р3; и так как,
если мы временно обозначим через Ф результирующую этих двух
последних усилий, тоже приложенную в Р3, мы должны иметь

(Q, Л? + Фя) эквивалентной (Р3, Ф),

то линией действия силы Ф может быть только прямая P3Q;
поэтому силы Фя, ЧГ можно определить как составляющие силы
— К по прямым QP8 и QP3. Найдя Ф, достаточно будет разложить
ее по двум прямым Р3Р4, Р3Р7, чтобы иметь усилия Фя и Фе-

23.	Метод моментов или метод Риттера. Этот метод, по суще-
ству, является прямым следствием метода сечений, но по срав-
нению с последним обладает преимуществом большей быстроты и
точности построений.

Возьмем снова пример из предыдущего пункта и введенные
там обозначения. Принимая во внимание то обстоятельство, что
четыре приложенных вектора

(Я, Фя), (К, Фк), (Д ФД (Я на г)

составляют уравновешенную систему, и имея в виду определить
одно из неизвестных усилий, например Фн, возьмем за центр при-
ведения узел Р3, общий для двух других стержней, и заметим,
что, так как моменты сил (К, Фг) и (L, Фх) относительно точки Р8
равны нулю, момент силы (Я, Фя) должен быть равен моменту
силы Л. Так как эти два приложенных вектора лежат в одной
и той же плоскости, то равенство моментов сводится к единствен-
ному скалярному уравнению, т. е. к равенству их проекций на
прдизвольно ориентированную нормаль к плоскости. В конечном
счете речь идет о равенстве так называемых статических момен-
тов, т. е. произведений из величин сил Фя и Я на соответствую-
щие плечи относительно точки Р3, причем каждый момент берется
со знаком плюс или минус, в зависимости от того, положительна
или отрицательна проекция соответствующего вектора-момента на
ориентированную нормаль. Тем самым вектор Фя, имея линией
действия прямую Р8Р7, будет определен по величине, направлению
и стороне.

24.	Лемма. Для того чтобы сократить рассуждения, которые
мы намерены изложить в ближайшем пункте, предпошлем одно
общее замечание.

Рассмотрим какую-нибудь не-
изменяемую плоскую вертикаль-
ную систему, опертую (горизон- р
тально и без трения) в двух точ-
ках Р и Р', расположенных на
одинаковой высоте (фиг. 58); пусть
система находится под действием
веса или нагрузки р, приложен-
ной в одной из ее точек М, вну-
тренней для полосы, заключенной

между вертикалями, проходящими через точки Р и Р'. Если
система находится в равновесии, то реакции опор Ф и Ф' в точ-
ках Р и Р' будут вертикальны и направлены вверх. Можно по-

казать, что, как бы мы ни изменяли положение точки Q внутри
указанной полосы, результирующий момент относительно Q тех из
трех внешних сил Ф, Ф', р, которые находятся слева (или справа)
от Q, расположенный перпендикулярно к плоскости фермы, напра-
влен всегда в одну и ту же сторону, а именно; от наблюдателя
(или соответственно к наблюдателю); соответствующий статический
момент будет отрицателен (или соответственно положителен). Это,
очевидно, справедливо до тех пор, пока точка Q остается слева
от вертикали, проходящей через точку М, потому что в этом
случае мы имеем только момент реакции (Р, Ф). Далее, если
точка Q переходит направо от вертикали через точку М, то не-
обходимо принимать во внимание также и нагрузку (М, р\. но так как
в силу второго основного условия равновесия результирующий
момент сил (Р, Ф) и (М, р) должен быть противоположен моменту
силы (Pz, Ф), который является правым, утверждение все еще
остается справедливым. Из этого замечания, как непосредствен-
ное следствие, вытекает, что если неизменяемая плоская верти-
кальная система, опертая в точках Р и Р', подвергается действиям
какого угодно числа нагрузок, приложенных в таком же числе
точек, внутренних для полосы, заключенной между вертикалями,
проходящими через точки Р и Р', и внутри этой полосы берется
какой-нибудь центр приведения, то соответствующий результи-
рующий момент тех из внешних сил (нагрузки и реакции опор),
которые находятся, относительно наблюдателя, слева (или справа)
От вертикали через точку Q, окажется для этого наблюдателя
левым (или соответственно правым), каково бы ни было положение
точки Q.

В этом можно убедиться, рассматривая последовательно, помимо
надлежащей реакции опоры, отдельные нагрузки и повторно при-
меняя сделанное выше замечание.

25.	Плоская вертикальная ферма, опертая на концах и нагру-
женная только в узлах. Этот случай системы сил типичен и важен
для стержневых систем вообще и в частности для ферм, соста-

вленных из треугольников.

Для этого вида ферм, в указанных выше условиях действия

сил, замечание предыдущего пункта позволяет установить общее

Фиг. 59.

правило для определения усилий в отдельных
стержнях контура фермы в состоянии равно-
весия.

Обращаясь, для определенности, к ферме
из пп. 21—23, рассмотрим в ней один из
стержней верхнего контура, например стер-
жень Р6РЧ (фиг. 59). Для того чтобы видеть,
как он работает, применим метод Риттера,
проведя сечение, как и в и. 23, через точки
В, К, L стержней Р7Р8,

Обозначив через часть фермы слева
от сечения и приняв за центр приведения
узел Р3, в котором сходятся два стержня Р7Р8

и Р4Р8, сосредоточим внимание на тех внешних силах, действую-
щих на /?1, которые находятся слева от вертикали г, проходящей

через точку Р8. В силу леммы предыдущего пункта их резуль-
тирующий момент относительно нормали к плоскости фермы, про-
ходящей через точку Р8 и направленной к читателю, будет отри-
§ 4. Равновесие неизменяемой системы без лишних стержней 177

дательным. Если, как на фиг. 59, узел Р8 и, следовательно,
нагрузка на этот узел находятся слева от г, то достаточно вспом-
нить, что часть фермы находится в равновесии под действием
указанных внешних сил, приложенных слева от г, силы, прило-
женной к узлу Р3, и трех усилий (Я, Фн), (Я, Фг), (Р, Фь),
из которых два последних имеют относительно Ра момент, равный
нулю, чтобы заключить, что статический момент силы (Я, Фн)
относительно того же центра приведения положителен, или, дру-
гими словами, стержень Р8РЧ подвергается сжатию. К тому же
самому заключению мы придем, если узел Р8 и соответствующая
нагрузка находятся справа от г, потому что в этом случае стати-
ческий момент этой нагрузки относительно точки Р3 так же, как
и результирующий момент внешних сил, лежащих слева от г,
отрицателен.

Подобным же образом (принимая за центр приведения узел Р7
и рассматривая внешние силы, действующие на часть 8а системы
и расположенные справа от вертикали, проходящей через точку Р7)
мы увидим, что любой стержень Р8Р4 нижнего пояса подвергается
растяжению.

Поэтому имеем следующее важное предложение.

Если на простую треугольную ферму, опертую на концах,
внешние силы действуют только в узлах, то каждый стержень
верхнего пояса подвергается сжатию (или работает на сжатие), а
каждый стержень нижнего пояса подвергается растяжению (или
работает на растяжение).

26.	Силовой многоугольник, относящийся к заданной фирме.
Мы ограничимся здесь случаем простой треугольной фермы; за-
метим только, что с соответствующими изменениями аналогичные
рассуждения можно было бы применить и к фермам более
сложной структуры, какие иногда встречаются в технических
задачах.

Для простоты мы обратимся к случаю, представленному на
фиг. 60, где дана ферма, состоящая из четырех треугольников;
далее мы увидим, что число треугольников не оказывает никакого
влияния на тип конструкции и на рассуждения.

Пронумеруем узлы с 1 до 6, начиная с одного из двух край-
них узлов (в которых сходятся только по два стержня) и обходя
ферму против часовой стрелки; обозначим четыре треугольника,
начиная с первого, через Т, Т, Т", Т"'. На фиг. 60 представлены
также внешние силы Fu F%,..., F6, приложенные соответственно
к узлам Р7, Ра, ...,Р6. Построенную таким образом диаграмму
можно назвать, обобщая название, которым мы пользовались
в случае просто связных систем, веревочным многоугольником (и. 5).

Покажем, как и в этом случае, в дополнение к веревочному
многоугольнику (или диаграмме „а“ Кремона), можно построить
силовой многоугольник (или диаграмму „б“ Кремона), который
представляет внешние силы F вместе с усилиями Ф, действую-
щими на отдельные стержни фермы.

Для этой цели построим,

начиная от какой-нибудь точки Q1(

многоугольник . .Q6 (фиг. 61) приложенных сил Fu F2)..., F6,

который, если речь идет об уравновешенной системе сил, необхо-

Фиг. 61.

димо будет замкнутым, и
затем обратимся к одному
из двух крайних узлов, на-
пример к узлу Pi1).

Для равновесия точки Pj
необходимо, чтобы сила Ft
уравновешивалась двумя
усилиями Ф1.2, Ф1,6, дей-
ствующими на узел Pt вдоль
стержней, сходящихся в Pv
Если через точки
проведем две прямые, со-
ответственно параллельные
двум (пересекающимся) пря-
мым PiP6, Р^Р^, то на осно-
вании QjQa получится тре-
угольник, две другие сто-
роны которого и представят

по величине и направлению

соответствующие усилия.

Для того чтобы видеть, в какую сторону они направлены,
достаточно обойти контур треугольника, начиная обход с силы Fu

*) На фиг. 61 для ясности многоугольник QiQ2---Qe приложенных сил
увеличен в три раза по сравнению с предыдущей диаграммой „а*.
в направлении этой силы. Обозначим третью вершину треуголь-
ника той же самой буквой Т, которой мы обозначили первый
треугольник фермы. Мы скоро увидим, какое теоретическое зна-
чение имеет это соглашение. Тогда усилия Ф1,2, Фм будут пред-
ставлены по величине, направлению и стороне соответственно
отрезками Q2T, TQX. Заметим, что на фиг. 61 каждое из этих
усилий (так же как и усилия, которые далее будут последова-
тельно определяться) удобно обозначить соответствующей парой
индексов, взятых в надлежащем порядке, вместе со стрелкой,
указывающей надлежащую сторону.

После этого перейдем к рассмотрению того из двух узлов,
смежных с узлом Р1( в котором сходятся только три стержня
(а не четыре), т. е., в нашем случае, узла Ра (а не Р6). Из четы-
рех сил, действующих на Р2 (и уравновешивающихся между собой),
уже известны сила F2 как заданная (и представленная отрезком
QaQs) и усилие Ф2д как противоположное усилию Ф1,2 (и поэтому
представленное отрезком 7'Q2): для Двух других усилий Ф2>3, Ф2>6
известны только линии действия их P2PS, Р2Р6. Поэтому если из
точек Qs и Т проведем прямые, соответственно параллельные
(пересекающимся между собой) прямым Р2Р3, Р6Р2, и обозначим
их точку пересечения той же самой буквой Т', которая обозначает
второй треугольник фермы, то на основании условия равновесия
узла Р2 заключим, что усилия Фа.з, Фа,в будут представлены со-
ответственно отрезками Q3P' и Т’Т не только по величине и на-
правлению, но также и по стороне (сторона каждого из ориенти-
рованных отрезков QaT' и Т’Т определяется направлением обхода
четырехугольника Q2<?37T\ в предположении, что этот обход
начинается со стороны Q2Q3 и производится в направлении
силы F^).

Надо заметить, что три прямые, выходящие из точки Т диа-
граммы, которую мы строим, соответственно параллельны трем
сторонам треугольника, входящего в состав веревочного много-
угольника и обозначенного той же самой буквой Т; мы сейчас
увидим, что такое же соответствие имеется между построенной уже
точкой Т' и точками Т", Т'", которые мы сейчас будем строить,
с одной стороны, и треугольниками Т', Т", Т"’ веревочного много-
угольника, с другой стороны.

Чтобы продолжить построение, нужно перейти не к узлу Р3,
следующему за Р2 в направлении обхода фермы, а к узлу Р6.
В этом узле сходятся четыре стержня и, следовательно, действуют
пять сил, а именно: сила F§ и четыре усилия Ф6д, Ф6,г, Ф8.з, Фе,а.
Из этих сил известны прямо приложенная сила F6 как одна из
данных сил и усилия Ф6д, Фе,2 как противоположные усилиям
Фм, Фг,в. Для двух других усилий указаны линии действия Р6Р8,
Р6РБ, так что достаточно провести прямые, параллельные этим
двум прямым (пересекающимся между собой), соответственно через Т'
и Qs, чтобы получить направленные отрезки Т'Т", T"QS, предста-
вляющие по величине, направлению и стороне усилия Ф618, Фе,5.

Очевидно, что для продолжения построения нужно перейти к
узлу Р8; достаточно рассмотреть равновесие этого узла (с после-
дующим определением точки Т'", соответствующей четвертому
треугольнику фермы), чтобы закончить построение силового много-
угольника; в качестве контроля точности построения может слу-
жить то обстоятельство, что ориентированный отрезок QbT"', пред-
ставляющий собой усилие Ф4>5, должен быть параллелен стержню

Сравнивая силовой многоугольник или диаграмму „б“, получен-
ную таким образом, с веревочным многоугольником или диаграм-
мой „а“ (ферма с прямо приложенными силами), отметим, что
между ними существует следующее соответствие: 1) каждому отрезку
одного соответствует в другом параллельный отрезок; 2) отрезкам,
сходящимся в одном и том же узле диаграммы „а“ (таких отрез-
ков в рассматриваемом здесь случае простой треугольной фермы
будет три, четыре или пять), на диаграмме „б“ соответствует
столько же отрезков, образующих многоугольник (соответственно
треугольник, четырехугольник или пятиугольник), и, с другой сто-
роны, тройкам сторон треугольников Т, Т', Т", Т'" диаграммы „а“
на диаграмме „6“ соответствуют тройки отрезков, сходящихся в
соответственных одноименных точках.

Благодаря таким свойствам диаграммы „а“ и „б“ называются
взаимными между собой; эта взаимность, представляющая собой
соответствие между двумя плоскими фигурами, которое заключается
в том, что отрезкам одной фигуры, сходящимся в одной точке,
соответствуют на другой фигуре отрезки, образующие контур зам-
кнутого многоугольника, распространяется и на более сложные
случаи диаграмм „а“ и „б“ простых треугольных ферм.

Геометрическое объяснение такого соответствия, как мы увидим
в следующем параграфе, следует искать в том, что две фигуры,
находящиеся во взаимно.м соответствии, могут быть получены по-
средством ортогонального проектирования двух пространственных
фигур, находящихся в некотором соответствии между собой.

В заключение заметим, пользуясь словами Кремона* *), что,
даже когда не следуют изложенным выше правилам построения
силового многоугольника фермы *), задачу можно решить путем
графического определения внутренних усилий, но мы уже не будем
иметь взаимных диаграмм, а вместо них будут фигуры более слож-
ные и несвязные, где один и тот же отрезок, не находясь на своем

х) Opere matemaiiche, т. III, стр. 352.

•) Более подробные указания, относящиеся к построению диаграммы
Кремона, можно найти, например, в книгах: В. Л. Кирпиче в, Основания
графической статики, Москва, 1933; А. И. Некрасов, Курс теоретической
механики, т. 1, Москва, 1945. (Прим. ред.)
надлежащем месте, должен быть повторен или удален, чтобы дать
место дальнейшим построениям, как это имело место в старом
методе построения силового многоугольника для каждого узла кон-
струкции.

§ 5. Нулевая система в качестве посредствующего звена
между плоскими взаимными фигурами

27.	Некоторые сведения из геометрии. Представим себе, как это
обычно делается в проективной геометрии, два совмещенных про-
странства 5 и и, относя их оба к одной и той же системе одно-
родных декартовых координат (или даже, более общим образом,
к проективным координатам), обозначим через хк (к —0, 1, 2, 3)
и (h — 0, 1, 2, 3) координаты двух любых точек Р и Р', при-
надлежащих соответственно к и /?'.

Как известно, билинейное соотношение между координатами хк
и хк

3

S Chk^k = 0,	(23)

h, fc=0

в предположении, что соответствующий определитель

	С0О С01	С02 СОЗ	
	сю си Gia с1з	
	С20 С21	С22	*23	(24)
	С30 С31	С32 $33	
отличен от нуля, определяет проективное соответствие между точ-		

ками каждого из двух пространств и плоскостями другого, которое
называется взаимностью или корреляцией. Точке Р с координа-
тами хк первого пространства соответствует во втором плоскость it'
с однородными плюккеровыми (или, в более общем случае, проек-
тивными) координатами ик, определяемыми, по крайней мере, с точ-
ностью до произвольного множителя р из равенств

8

Р«л = 2 chkxk;	(25')

к=О

таким же образом точке Р' с координатами х'к второго простран-
ства соответствует в первом плоскость it с координатами ик, опре-
деляемыми из формул

з

<7йй = 2 Chkxh'	(25")
Предположим, что билинейное соотношение (23) корреляции
является кососимметрическим, т. е. что мы имеем

с№ = 0	)	(/i = O, 1, 2, 3),

Ghk + ckh — 0		j (h, k = 0, 1, 2, 3; h^k),			(26)
так что соответствующий		определитель (24), который мы			предпо-
дожили отличным от нуля		будет	тоже кососимметрическим		*), т. е.
будет иметь вид  с =  В таком случае	0	с01  coi 0  С02	С12  С03	С13  как известно,		С02	С03  С12	С13  0	^23  с23	0  корреляция j	тывается	(24')  нулевой

системой и будет инволюционной в том смысле, что равенства (25'),
(25"), когда в правых частях переменным хк и жй приписываются
соответственно равные значения, дают пропорциональные значения
ДЛЯ Uk, ик.

Выражаясь в геометрической форме, молено сказать, что любой
точке, рассматриваемой как в первом, так и во втором простран-
стве, корреляция относит одну и ту же плоскость.

Поэтому нет необходимости различать оба пространства, и соот-
ветствие можно рассматривать как соответствие между точками
и плоскостями одного и того же пространства. Следовательно,
вместо двух систем уравнений (25'), (25") можно рассматривать одну
систему
3

Р«л = 2 СлЛ (fe = O, 1, 2, 3).	(25)

Плоскость те, соответствующая произвольной точке Р, называется
полярной плоскостью точки Р, а точка Р называется полюсом пло-
скости те.

Основное и характеристическое свойство нулевой системы состоит
в том, что всякая точка лежит на своей полярной плоскости.
В самом деле, выражение

з	з

2 Vk = P 5

Л=о	h, k=o

обращается тождественно в нуль в силу условий (26).

*) Известно, что кососимметрические определители четного порядка (но
не нечетного порядка) могут быть отличными от нуля и что всякий косо-
симметрический определитель порядка 2п, отличный от нуля, равен ква-
драту однородного выражения и-й степени от элементов (пфаффиан). Так,
р случае, рассмотренном в тексте, имеем

₽ = (CQ1C23 + CQ2C34 + cQ3cJ?)2>
Вследствие линейной (и, следовательно, проективной) природы
соответствия, если точка Р описывает прямую г, то совокупность
соответствующих полярных плоскостей к представляет собой пучок
плоскостей; если прямая г' есть ось этого пучка, то, наоборот,
каждой точке прямой г' соответствует полярная плоскость, прохо-
дящая через прямую г (а именно та, которая из этой точки проек-
тирует прямую г). Две прямые, такие, как г, г' (т. е. обладающие
тем свойством, что полярная плоскость любой точки одной из этих
прямых проектирует другую прямую), называются взаимно поляр-
ными между собой или, как мы будем говорить для простоты,
полярными.

Существуют прямые, полярные самим себе или, как обычно
говорят, автополярные. Между оо2 прямых, проходящих через
любую точку Р, автополярными будут те, и только те, оо1 пря-
мых, которые лежат в полярной плоскости точки Р; и наоборот,
среди оо2 прямых, лежащих в одной плоскости к, автополярными
будут те и только те оо 1 прямых, которые проходят через полюс
плоскости к. Таким образом, в пространстве имеется оо3 автопо-
лярных прямых, составляющих так называемый линейный ком-
плекс рассматриваемой нулевой системы.

28. Приведение к каноническому виду уравнЕНий нулевой системы.
Для приложений, которые мы имеем в виду, удобно рассматри-
вать xk как однородные декартовы координаты. А именно, положим

х0: х}: ж2 : xs — 1: х : у; z

(27)

и соответственно введем систему плюккеровых координат и, и, w,
связанных с х, у, г:

и0: Wj: м2 ; w3 = 1 ; и : v : w.

(27')

После этого полярную плоскость те любой точки Р с координа-
тами (27) можно определить как плоскость, проходящую через Р
и (так как ее плюккеровы координаты и, v, w пропорциональны
м2’ м,з) перпендикулярную к вектору с проекциями, пропорцио-
нальными значениям, которые получаются для ма, и3 из трех
последних уравнений (25) в соответствии со значениями (27).

Между определенными таким образом векторами выберем вектор Л£
с проекциями

^l = Clo+ * +С12?/ + С18^

-z^a = c2o + caia:+ * +

-Я/з == с31жс32у*

(28)

и введем затем два вспомогательных вектора: вектор с проек-
циями см (h — 1, 2, 3) и вектор JS с проекциями с^, с13, с21, что
равносильно равенству Rh = сл+2*л+х> при условии рассматривать как
тождественные те индексы, разность которых равна 3. Вследствие
этого равенства (28) можно объединить в одно векторное равенство

ЛГ = Л£0 + РОХ^,	(29)

которое, если сравнить его с равенством (24) и. 32 гл. I, показы-
вает, что вектор ИЛ зависит от точки Р так, как если бы он был
результирующим моментом системы S приложенных векторов, имею-
щих результирующим вектором Л и результирующим моментом
относительно начала координат Л£о.

Это истолкование позволяет без каких-либо вычислений выпол-
нить ту замену координат, которая приводит кососимметрическое урав-
нение (23) нулевой системы к наиболее простому виду. Прежде всего
заметим, что инвариантный трехчлен Т систем S определяется
равенством

Р = ИЛ0 • Л = С10С32 -f- С20С]3 -р- <?зоС21 = С01С2з -р- Cq2C81	С08С12»

т. е. представляет собой пфаффиан, который, по возведении в квад-
рат, дает определитель (кососимметрический) формы, стоящей в левой
части соотношения (23), согласно предположению отличный от
нуля.

Поэтому имеем также Р^эО, так что система S имеет вполне
определенную центральную ось (см. гл. I, п. 36). Мы примем ее
за ось z, ориентируя эту ось в сторону вектора Л. В силу этого
будем иметь:

0,	==	— О, _Z?3 —	О,

>0l 1 “ С1О ~	>01* = С20 =	>013 = С30 “ — О'

Уравнение (23), если примем во внимание соотношения (27), полу-
чит вид

±М (z— z')-\-P (xyr— yaf) = O

К ,
или, если положим zz: = к,
а

к (z — z') — ху' — ух'.	(30)

29.	Дальнейшие геометрические замечания о нулевой системе.
Прежде чем воспользоваться свойствами нулевой системы для целей,
которые мы здесь себе поставили, остановимся несколько на иллю-
страции этих свойств, основываясь на указанном ранее построении
полярной плоскости к любой точки Р как плоскости, проходящей
через Р и перпендикулярной к соответствующему результирующему
моменту Л£ заданной системы S приложенных векторов. Продолжая
обозначать через Л результирующий вектор системы, обозначим
через ИЛ0 результирующий момент относительно нового начала,
т. е. (так как за ось z была принята центральная ось) наимень-
ший момент, направленный вместе с Л по этой центральной оси.
Для точки Р, лежащей на оси, полярная плоскость перпенди-
кулярна к самой оси, т. е. параллельна плоскости z = o, которую
мы будем называть далее ортографической плоскостью. Если, на-
оборот, точка Р лежит вне оси, то момент М, как геометрическая
сумма вектора Л£о, параллельного оси z, и вектора РО X Ж, па-
раллельного ортографической плоскости, не будет ни параллель-
ным, ни перпендикулярным к центральной оси, так что то же самое
будет иметь место и по отношению к полярной плоскости к. Если
точка Р неограниченно удаляется от оси в каком-нибудь одном
>

направлении, то вектор РО X возрастая по величине, будет
все больше превосходить постоянный вектор _7ИГ0, так что полярная
плоскость будет стремиться расположиться параллельно центральной
оси, т. е. перпендикулярно к ортографической плоскости.

Обратно, если задана плоскость к, не параллельная оси, то ее
полюс Р определится как такая точка, относительно которой момент
системы 2 будет перпендикулярен к к. Предоставляем читателю
показать, обратившись к равенству (30), что полюс будет таким
образом однозначно определен и будет находиться на конечном
расстоянии. Построение показывает также, что полюс неограниченно
удаляется в определенном направлении, когда плоскость л стремится
принять определенное положение, параллельное оси.

Для всякой точки Р автополярные прямые можно определить,
согласно сказанному в п. 27, как прямые, перпендикулярные к соот-
ветствующему моменту Л£, т. е. как такие прямые, проходящие
через Р, относительно которых (осевой) момент системы 2 будет
равен нулю.

Несколько труднее выяснить, каково, с принятой здесь точки
зрения, характеристическое свойство взаимно полярных пар прямых г
и г'. Для этой цели удобно обратиться к следующему свойству
систем приложенных векторов, которое мы уже предлагали доказать
в виде упражнения (гл. I, упражнение 13) и которое мы напомним
здесь для удобства читателя. Как бы ни была выбрана прямая г,
лишь бы она не была параллельна центральной оси данной системы 2
приложенных векторов и не была прямой с нулевым (осевым)
моментом, систему 2 можно привести к двум векторам v, v', у
первого из которых линией действия является прямая г, а у вто-
рого— вполне определенная (соответствующая г) прямая /. Для
доказательства возьмем на прямой г какую-нибудь точку Р (на ко-
нечном расстоянии) и обозначим через Л£ соответствующий резуль-
тирующий момент и через л — плоскость, перпендикулярную в точке
Р к вектору М (т. е. полярную плоскость точки Р), которая в силу
установленных предположений не будет параллельна центральной
оси (потому что точка Р находится на конечном расстоянии) и не
будет проходить через г (потому что г не является прямой нуле-
вого момента, т. е. автополярной). Если векторы v и ч>' являются
составляющими силы R по прямой г и соответственно в плоскости тс,
то вторая составляющая не будет, конечно, равна нулю, так как
прямая г не параллельна вектору Л, и потому в плоскости тс
всегда будет существовать одна, и только одна, прямая г', такая,
что если ее принять за линию действия вектора v', то последний
будет иметь моментом относительно точки Р вектор Л£. Таким
образом, система, состоящая из двух приложенных векторов (г на г)
и (v' на г'), будет эквивалентна системе 2. Не может существовать
другой системы (г на г) и (г?! на гг), тоже эквивалентной 2,
с прямой <г\, отличной от г'-, действительно, так как система век-
торов

(г? на г), (г/ на г'), (—v на г), (—на

должна быть эквивалентна нулю, то два вектора (г/ на г'), (—
на rj), взаимно уравновешиваясь, прямо противоположны друг
ДРУГУ-

Теперь легко видеть, что две прямые гиг будут между собой
полярны. Достаточно показать, что как для точки Р, так и для
всякой другой точки Q прямой г полярная плоскость проходит
через г'. Это непосредственно следует из того, что результирующий
момент системы векторов (V на г) и (у' на г') относительно точки Q
сводится к моменту вектора (у' на г') и поэтому перпендикулярен
к плоскости Qr'.

Если прямая г стремится расположиться параллельно централь-
ной оси, то составляющая v' стремится к нулю, так что соответ-
ствующее плечо, т. е. расстояние прямой г' от Р, стремится к бес-
конечности; таким образом, поляра прямой, параллельной централь-
ной оси, является несобственной прямой.

Заметим, наконец, что если две полярные прямые г и г' (соб-
ственные и потому обе непараллельные оси) спроектировать ортого-
нально на ортографическую плоскость, то получатся две парал-
лельные прямые. Действительно, плоскость, проектирующая какую-
нибудь одну из них, поскольку она параллельна оси, имеет в каче-
стве полюса несобственную точку другой прямой. Поэтому каждая
из двух прямых г и г' параллельна плоскости, проектирующей
ортогонально другую прямую на ортографическую плоскость, что
и доказывает высказанное выше утверждение.

30.	Пространственной построение плоских взаимных фигур. После
этого геометрического отступления обратимся к нашей задаче. Рас-
смотрим в пространстве многогранник g (который может быть и от-
крытым) и соответствующий ему полярный многогранник g' отно-
сительно любой нулевой системы (30). Обе фигуры будут находиться
между собой в таком соответствии, что каждой вершине, грани или
ребру одной фугуры будет отвечать на другой соответственно грань,
вершина или ребро.
Если многогранники g и g' спроектировать ортогонально на
ортографическую плоскость, то получатся две фигуры F и F', вза-
имные в смысле, указанном в п. 26.

Действительно, сторонам, сходящимся в вершине одной фигуры,
соответствуют в другой фигуре стороны, составляющие периметр
многоугольника; кроме того, на основании последнего замечания
предыдущего пункта будет выполняться условие, заключающееся
в том, что соответственные стороны на обеих фигурах парал-
лельны.

Важно отметить, что если один из двух многогранников, из
которых мы исходили, например многогранник g', открытый и
имеет контуром пространственный многоугольник, то фигура F'
содержит в качестве проекции этого контура замкнутый много-
угольник, но сторонам его отвечают на фигуре F столько же
отрезков, которые, будучи параллельны соответственным сторонам
многоугольника на фигуре F', не сходятся в одной и той же точке,
потому что многоугольник фигуры F' в данном случае не полу-
чен в результате проектирования плоского многоугольника.

Это обстоятельство имеет место, в частности, для диаграммы „б“
фермы. Сторонам (замкнутого) силового многоугольника соответ-
ствуют на диаграмме „а“ внешние, прямо приложенные к узлам,
силы, которые параллельны соответственным сторонам силового
многоугольника, но, вообще говоря, не сходятся в одной и той же
точке.

§ 6. Приложение к фермам

31. Чтобы видеть, какое применение находят предыдущие сооб-
ражения в случае ферм, обратимся к простым треугольным фермам.

Как и в случае фиг. 60 (соответствующем предположению п = 6),
обозначим, начинав от крайнего узла, через Pi; Р2, ..., Рп узлы
произвольной простой треугольной фермы, взятые в одном из двух
возможных порядков их следования на контуре. Предполагается,
что к узлам фермы приложены внешние силы Flf F%, ..., Fn и
система находится в равновесии.

Обозначим через М2,	.. ., Мп, Мг точки пересечения линий

действия сил и F%, F2 и Fa, ..., Fn_t и Fn,Fn и 2^ и рас-
смотрим сначала общий случай, когда линии действия сил, прило-
женных к двум последовательным узлам, непараллельны.

Отвлечемся временно от величины этих сил и представим себе,
что к ферме присоединены треугольники Р]Р2Ми Р^Р^М^, ...
..., PnPiMn', полученную таким образом диаграмму F, которая
все еще состоит исключительно из треугольников (но не может уже
называться простой), назовем веревочным многоугольником. При
этом нужно обратить внимание на то, что на линии действия каждой
силы, например на линии действия силы' F$, найдутся две такие
точки М, а именно: точки пересечения Mi и с линиями дей-
ствия сил F{-i и Ft+i, что каждый узел будет находиться
на одной прямой с соответствующими двумя точками и М{+1.
Это будет справедливо для всех значений 1, 2, ..., п индекса i,
если мы условимся, что индексы 0 и и, 1 и п -f-1 эквивалентны
между собою.

Такой веревочный многоугольник F можно рассматривать беско-
нечным множеством способов как ортогональную проекцию на пло-
скость (которую мы примем за ортографическую плоскость г — 0)
многогранника g с треугольными гранями. Для этого достаточно
принять за вершину многогранника g, соответствующую каждой
отдельно взятой точке М, произвольную точку Wi перпендикуляра
в точке Mi к ортографической плоскости. Тогда, так как точка Pi
находится на одной прямой с точками М{ и Mi+U если мы хотим
сохранить это свойство для соответствующих точек поверхности
точка должна быть определена в плоскости, проектирующей
прямую ЭКг+1, как точка пересечения этой прямой с перпенди-
куляром к ортографической плоскости в Этот способ нельзя
применять только тогда, когда точки Mt и М{+1 совпадают; но
в этом случае точку можно взять произвольно на перпендику-
ляре к ортографической плоскости, восставленном из Р{.

Таким образом, каждый треугольник веревочного многоуголь-
ника (будь то треугольник фермы или один из присоединен-
ных треугольников Pi_YPiM^ является проекцией одной грани
(треугольной) многогранника g. Следует, однако, предупредить,
что такое построение не всегда выполнимо, когда речь идет о ферме,
имеющей нетреугольное звено; когда это возможно, то необходимо
соблюдать некоторую осторожность в выборе вершин многогранника,
следя за тем, чтобы вершины, которые проектируются в узлы одного
и того же звена, лежали в одной плоскости.

Возвращаясь к фигуре g, рассмотрим полярную ей фигуру
относительно нулевой системы, имеющей центральную ось, перпен-
дикулярную к ортографической плоскости. Мы знаем, что ортого-
нальная проекция F' фигуры на ортографическую плоскость
будет взаимной с F в смысле, разъясненном в и. 26. В частности,
сторонам МГМ^, M2MS, ..., МпМг, расположенным на линиях дей-
ствия сил Flt F9, ..., Fn, отвечают отрезки Оа> Оз- QnQi,
соответственно им параллельные. Но если фигура § была построена
произвольно, т. е. если высоты точек относительно ортографи-
ческой плоскости были взяты произвольно, то нет основания для
того, чтобы многоугольник QjQa ... Q„ был силовым многоуголь-
ником для сил Ft. Мы покажем здесь, что, выбирая подходящим
образом высоты отдельных точек можно добиться того, чтобы
действительно указанный многоугольник был силовым многоуголь-
ником, т. е. чтобы ориентированные отрезки QiQ?, QaQs> • • •> QnQi>
параллельные силам Fir F%, Fn, были также равны им
по величине и направлены каждый в сторону соответствующей
силы.

Чтобы убедиться в этом, представим себе, что выбрана система
декартовых осей координат Охуз, имеющая плоскостью г = О орто-
графическую плоскость и осью з центральную ось нулевой системы,
так что соответствующее уравнение будет иметь вид (30), и обоз-
начим через v)f, 0 координаты любой точки (i— 1, 2, ..., п).
Теперь остается подходящим образом выбрать третью координату Cf
для каждой отдельно взятой точки (первые две координаты
КОТОРОЙ СуТЬ 70-

Заметим сначала, что для системы сил Ft существует оо2 сило-
вых многоугольников, наложимых друг на друга посредством посту-
пательного перемещения, поэтому достаточно закрепить положение
одной из вершин для того, чтобы многоугольник был однозначно
определен. Выбрав один из этих многоугольников и обозначив
его через QiQ2 ... Qn, предположим, что

«<У + р< = 0 (i = l, 2, ..., п) (31)

есть уравнение стороны QiQi+1 в нормальном виде, где а<, обо-
значают направляющие косинусы силы 7^.

Наша цель будет достигнута, если мы покажем, что при надле-
жащем выборе высот отдельных точек ©t/ каждой отдельно взя-
той прямой M{Mi+1 фигуры F соответствует [как проекция на
плоскость з — 0 поляры прямой	относительно нулевой

системы (30)] прямая QiQi+i с уравнением (31). Для этой цели за-
метим, что, на основании уравнения (30), уравнения поляры пря-
мой	(пересечения плоскостей, полярных точкам 2)lt< и Wii+])

имеют вид

Q =	— ty, ^ — Ci+l) = -rli+1x--li+1y,	(32)

так что уравнение проекции этой поляры на плоскость з = 0, т. е.
уравнение прямой, взаимной с	получится, если мы исклю-

чим з из уравнений (32). В результате мы получим уравнение

— А:ЛСг = жЛ^ — ук^	(*=1, 2, ..., w),	(33)

где положено

^i + 1	==	~~

(г ==1,2, ..., w) (34)

Рассматривая теперь общий случай, когда две точки Mi ($4, vjJ,
-^<+1(^+1» ^+i) различны, вспомним, что соединяющая их прямая
есть линия действия силы Ft, направляющие косинусы которой —
ао так что при подходящем множителе Х4- (по величине равном
расстоянию M{Mi+1) будем иметь

Д^ = А<а*, Д'17* = Л.<р< (i = l, 2, ..., ri) (35)
и уравнение (33) можно будет написать в виде
ь

— у Д^==М —«<.¥•	(33)

Для того чтобы это уравнение было тождественно с уравнением (31)
прямой QiQi+i, необходимо и достаточно, чтобы было

=	=	0 = 1, 2, ..., и).	(36)

Если Mi+1 совпадает с М<, то достаточно представить себе,
что Х1 стремится к нулю, чтобы заключить, на основании самого
уравнения (36), что в пределе мы получим ДС< = 0; таким образом,
если совпадают две (или более) последовательные точки М, то будут
совпадать также и соответствующие им вершины многогранника 9)0

Выбрав произвольно одну из величин С, например из пер-
вого из уравнений (36) мы получим значение складывая по-
членно два первых уравнения (36), получим С3; продолжая таким
образом, найдем сложив почленно первые п — 1 уравнений (36).

После этого остается только проверить, удовлетворят ли полу-
ченные таким образом значения для последнему из уравнений (36).
Эту проверку можно выполнить, установив, что последнее уравне-
ние является следствием остальных; в справедливости этого можно
убедиться, складывая почленно все уравнения (36) и замечая, что
получающееся в результате уравнение представляет собой тожде-
ство.

Действительно, прежде всего ясно, что сумма левых частей будет
тождественно равна нулю, так что все сводится к тому, чтобы
убедиться, будет ли равна нулю также и сумма правых частей,
или, что равносильно, будет ли равно нулю выражение

п

<3 = 2 х,^.

i = l

Это следует из обычного истолкования а. Обозначив через
координаты точки Q{, лежащей вместе с Qi+l на прямой, выра-
жающейся уравнением (31), будем тождественно иметь

— М» + Р/ —°	0 = 1, 2, ..., п),

так что можно написать

а = 2 АДа^ —р^),

<=1

или, на основании равенств (35) и (34),

0 = — 2 [У< 01+1 — Q —0k+i — т)4)].

i=i
Но в силу соглашения считать тождественными два индекса,
если они отличаются друг от друга на п, будем иметь тождественно

п	п	П	п

2 «/Л = 2 y^i ^+i> 2	''it+i

г~1	i=l	4=1	i=l

и, следовательно,

п

° = 5 &+1(?Л+1 — ?/<) —•'k+i (^<+1 — ML
4=1

Отсюда, так как разности ж<+1 — х{, yi+x — yt являются проек-
циями вектора Qf+1 — Qt — F(, тогда как $<+j, v)f+1 суть коорди-
наты точки Mt+i на линии действия силы, приложенной в узле Р{,
мы видим, что —а есть результирующий момент системы сил F{
относительно начала координат, в скалярном смысле, что подходит
для плоского случая. Так как речь идет об уравновешенной системе,
то непосредственно имеем а = 0.

В заключение мы можем сказать, что тем самым в простран-
стве определен многогранник gj, по крайней мере, с точностью до
поступательного перемещения, перпендикулярного к ортографиче-
ской плоскости, происходящего от произвольности выбора высоты
одной из точек

Этот многогранник имеет:

1)	ортогональной проекцией на ортографическую плоскость
веревочный многоугольник, составленный из фермы и линий дей-
ствия прямо приложенных сил;

2)	полярной фигурой относительно нулевой системы (с осью, пер-
пендикулярной к ортографической плоскости) фигуру F', которая
проектируется на эту плоскость в виде диаграммы внешних сил и
внутренних усилий; на диаграмме произвольно заданным является
положение одной из вершин многоугольника внешних сил.

32.	Для полноты рассмотрим случай, когда какая-нибудь прямо
приложенная сила параллельна одной из двух смежных сил, так
что соответствующая точка М уходит в бесконечность; надо заме-
тить, что для практики этот случай наиболее важен, так как он
имеет место для всех прямо приложенных сил, когда речь идет
о фермах, подвергающихся исключительно действию вертикальных
сил в узлах.

Легко видеть, что построения и рассуждения предыдущего пункта
распространяются, с очевидными изменениями, также и на этот
случай.

Пользуясь обозначениями предыдущего пункта, предположим,
что Fj есть первая из прямо приложенных сил, параллельная смеж-
ной с ней силе Fj+l, так что Му+1 есть первая из точек М, кото-
рая уходит в бесконечность. Для предыдущих точек Mlf М2,Mj
можно предположить, что соответствующие им вершины Dtj, 31t2,
многогранника построены способом, указанным в предыдущем пункте.
Что же касается несобственной точки Mj+1, то если «у, ру по преж-
нему обозначают направляющие косинусы силы Fj (и, следовательно,
также силы Fy+j), то ее можно рассматривать как предельное поло-
жение точкй с координатами pay, рру, когда р стремится к беско-
нечности; высоту Су+1 точки £Vty+J, проекцией которой на орто-
графическую плоскость является точка 2Иу+1, можно выразить
в виде РХу+р где величина /у+1 произвольна.

Вследствие этого уравнение (33), для значения j индекса i, если
обе части этого уравнения разделить на р и заставить р стремиться
к бесконечности, в пределе принимает вид

— ^+i = ^y—2/ау5

если сравним его с уравнением (31) при i—j, т. е. с уравнением

—яу?/ + ру = О	(37)

прямой QjQj+t, то увидим, что

Таким образом (посредством своих однородных координат
яу : ру :xy+i :0) определена та несобственная точка Ф1у+1, полярная
плоскость которой (параллельная оси) пересекает полярную пло-
скость точки Tty по прямой, имеющей проекцией на ортографиче-
скую плоскость прямую QyQy+1. Так как Tty+1 лежит в своей поляр-
ной плоскости, перпендикулярной к ортографической плоскости и
пересекающей ее вдоль прямой QjQj+1, то этим подтверждается,
что -My*, (несобственная точка этой последней прямой) есть орто-
гональная проекция (на плоскость s = O) точки Tty+j.

Если, далее, и точка ТИу+2 является несобственной, что равно-
сильно тому, что сила 2*у+2 параллельна двум предыдущим, то
сторона Qy+2Qy+3 многоугольника внешних сил будет идти по пря-
мой двух предыдущих сторон QjQj+1, Qj+i,Qj+2, т. е. она также
будет лежать на прямой, выражающейся уравнением (37), и
точка Му+а совпадет с Mj+1.

Для того чтобы и в этом случае общее построение привело
к этой прямой (37), необходимо и достаточно, чтобы она была сле-
дом полярной плоскости (перпендикулярной к ортографической пло-
скости) точки 2Ry+2. Другими словами, необходимо и достаточно,
чтобы ЗДу+2 совпадала с определенной ранее несобственной точ-
кой 2Ry+1. Так продолжаем до тех пор, пока встречаются несоб-
ственные последовательные точки М, т. е. параллельные прямо при-
ложенные силы.

33.	Мысль обратиться к пространственным построениям для
того, чтобы связать две диаграммы „а“ и „б“, соответствующие
любой неизменяемой ферме без лишних стержней, принадлежит
Максвеллу1), который, впрочем, пользовался не нулевой системой,
а полярностью относительно параболоида вращения с осью, перпен-
дикулярной к ортографической плоскости. Теория взаимных диаг-
рамм Максвелла строится аналогично теории, указанной в преды-
дущих пунктах; при этом, однако, имеется то неудобство, что пло-
ские диаграммы, к которым приходят таким путем, хотя и взаимны
в смысле п. 26, но не обладают свойством параллельности между
соответствующими сторонами. Стороны, соответствующие друг другу
на обеих диаграммах в силу полярности относительно параболоида,
будут взаимно перпендикулярными. Если мы примем во внимание,
что главной целью этих способов является определение усилий, напра-
вление которых уже установлено стержнями фермы, так что для
каждого из них требуется определить лишь величину и сторону
действия, то станет очевидным, что ориентация диаграммы „6“
относительно диаграммы „а“ не имеет существенного значения. Но
несомненно более наглядную связь между двумя диаграммами дает
диаграмма „б“ с той ориентацией, к которой мы приходим пря-
мым методом (п. 26).

Что этого можно достичь путем обращения к нулевой системе,
впервые было доказано Кремона2) в его мемуаре ,,Le figure reci-
proche nella Statica grafica" 3).

§ 7.	Гибкие и пер астяжиные нити

34.	Определение и характеристический постулат. Рассуждения,
подобные тем, которые были применены в § 2 к односвязным
стержневым системам, позволяют рассмотреть задачу о равновесии
гибкой и нерастяжимой нити. Под этим названием подразуме-
вается всякая материальная система одного измерения (см. гл. X, п. 5),
обладающая следующим^ свойствами:

а)	под действием подходящих сил система может расположиться
по любой геометрической линии;

*) Collected Papers, т. 1, стр. 514 — 525, т. 2, стр. 161—207.

2) Луиджи Кремона родился в Павии в 1830 г., умер в-Риме в 1903 г.
Преподавал последовательно в университете в Болонье, в Высшем техни-
ческом институте Милана и с 1873 г. до конца жизни в университете
в Риме, руководя одновременно там же Школой инженеров. Из многочис-
ленных научных трудов Кремона, которые, кроме мемуара, приведенного
в тексте, выходят из области механики, здесь достаточно упомянуть от-
крытие бирациональных преобразований, связанных с его именем.

3) Милан, 1872. См. также: Орете, matematiche, т. III, стр.,336—366. Более
Обширные и систематические приложения этого метода можно найтн
у С. Saviotti, La Statica grafica, т. Ill, Милан, 1878; L. Henneberg,
Die graphische Statik der starren Systeme, Лейпциг, 1911; M. L e v y, La
Statique graphique, ч. I, изд. 3, Париж, 1907. .[См. также В. Л. К и р п и ч е в,
Основания графической статики, 1923. (Дрмм. ред.)]
б)	дуга между какими-либо двумя точками системы сохраняет
во всякой возможной ее конфигурации одну и ту же длину.

Примем в качестве постулата следующий физически непосред-
ственно очевидный статический принцип: для равновесия гибкой и
нерастяжимой нити АВ, находящейся под действием двух сил
Fu F%, приложенных к ее концам, необходимо и достаточно,
чтобы нить была прямолинейна и силы были растягивающими,
равными по величине и направленными в противоположные сто-
роны.

Для краткости в изложении этой главы, говоря о нитях, мы
будем всегда подразумевать, что они гибки и нерастяжимы, т. е.
обладают только что указанными свойствами „а“, „б“.

35.	Натяжение. Из постулата предыдущего пункта можно вывести
важное следствие. Выбрав какую-нибудь точку Р нити между кон-
цами А а В (фиг. 62), приме-
'	1	 -.............-* ним к одной из двух частей нити,

F, АР Ф В F2 например, к АР, основные усло-
вия равновесия. Так как внешние
Фиг. 62.	силы (относительно АР) сводятся

к двум: к силе Flt приложенной
в точке Л, и к неизвестному усилию Ф, которое испытывает точка Р
со стороны смежного с нею элемента части РВ нити, то мы видим,
что усилие Ф должно быть прямо противоположно силе Ft, т. е.
равно Р2. Таким образом, усилие Ф всегда направлено так, что
оно растягивает часть АР нити, т. е. от Р к В', поэтому его
называют натяжением. Натяжение одно и то же для всех то-
чек- Р нити.

Совмещая, в частности, Р с А, мы увидим, что А испытывает
со стороны нити натяжение, равное силе F2, прямо приложенной
на другом конце. Таким образом, действие силы передается неизмен-
ным вдоль нити, пока нить прямолинейна, находится в равновесии
и на нее не действуют другие силы, кроме сил, приложенных на
концах.

Этой передачей силы посредством нити мы уже пользовались
во многих конкретных примерах (и при менее простых обстоятель-
ствах); при этом мы пришли к некоторым законам, хотя и. при-
ближенным путем (гл. VII, § 6). Как на самом деле протекает это
явление, мы исследуем в п. 58.

36.	Условия равновесия. Рассмотрим теперь часть нити, на
которую силы действуют не только на концах, но также и в не-
котором числе (конечном) каких-нибудь промежуточных точек.

Обозначим через Р} и Рп два конца, через Р2, Р3, ..., Рп_]
промежуточные точки, к которым приложены силы, и через Ft
силу, приложенную в Р< (г = 1, 2, ..., п).
Фиг. 63.

от Pt к Р

Для того чтобы знать, может ли и при каких условиях (если
может) нить находиться в равновесии, заметим прежде всего, что
в силу принятого постулата отдельные частя (»=1, 2, ...
..., п — 1) нити должны быть прямо-
линейными.

Выбрав какие-нибудь две точки
и Bi+i (фиг. 63) между Р{ и Pi+1
(в написанном порядке), найдем, что
часть A{Bi+1 нити должна находиться
в равновесии под действием натяжений
на концах. Обозначим через Фм+i на-
тяжение, действующее в В{+1; при равно-
весии, как мы видели, оно направлено в

и не зависит от положения В{+1. Аналогично, обозначим через Фги,*
натяжение, действующее в Ар, оно направлено в сторону от Pi+1
к Pf, не зависит от положения At и уравновешивает натяжение Ф«,<+1,
что выражается равенством

Ф»,*+1 = — Ф<+м,	(4)

где индекс г может принимать значения 1, 2, ..., п—1. Эти век-

торные соотношения между натяжениями
с равенствами (4) п. 5, которые полу-
чаются для усилий в случае равновесия^
системы, состоящей из твердых стержней,
сочлененных посредством шарниров.
Прежнюю форму сохраняют также и дру-
гие условия равновесия.

Действительно, выразим то обстоятель-
ство, что элемент B^Af нити, содержа-
щий точку Pt (i — 2, 3, ..., п — 1), нахо-

тождественны по форме

дится в равновесии. Представляя себе, что В{ и At бесконечно близки

к Pi} мы можем рассматривать этот элемент как материальную точку,
на которую действуют три силы: прямо приложенная сила Ft и
натяжения нити в Bt и в At, соответственно равные Ф<,<—i =
— — Ф<-1,<, Фшг Приравнивая нулю их результирующую, полу-
чим равенства (5) п. 5- Аналогично, рассматривая два крайних
элемента типа Р1А1, ВпРп (фиг. 64) и принимая их за материаль-
ные точки, мы будем иметь уравнения (6) п. 5 для концов.

Мы установили, таким образом, необходимость условий (4), (5), (6).
Но они также и достаточны для равновесия, поскольку они обес-
печивают его для любых частей нити, представляющих собой прямо-
линейные отрезки [что видно из равенства (4)] или элементы,
содержащие Р [что видно из равенств (5) и (6)] (при условии, что
усилия Ф представляют собой натяжения).

В заключение мы имеем следующий результат: гибкая и не-
растяжимая нить (на которую действуют силы в конечном числе
196 гл. xiv. Статика стёрЖнёвых систем, нйтей и тонких стержней

точек) ведет себя в отношении равновесия как система, состоя-
щая из твердых стержней, с одним лишь добавочным ограниче-
нием, заключающимся в том, что усилия должны быть только
растягивающими.

Таким образом, статические вопросы, относящиеся к нитям,
рассматриваются способом, изложенным выше для стержневых систем’
однако здесь надо принимать во внимание дальнейшее качествен-
ное условие, относящееся к стороне, в которую действуют усилия.

Если для некоторой конфигурации мы установили, что все коли-
чественные условия выполнены, но некоторые усилия являются
сжимающими, то надо заключить, что равновесие нити в этой кон-
фигурации невозможно. Для обеспечения равновесия можно было
бы, например, заменить некоторые части нити (сжимаемые) твер-
дыми стержнями.

Конфигурация равновесия нити, как и конфигурация стержневой
системы, называется веревочным многоугольником-, именно случай
нити (практически веревки или цепи) и дал повод для такого
названия.

37.	Висячие мосты (реальный случай дискретной системы сил).
В качестве простого примера рассмотрим канаты, поддерживающие
р	р подвесной мост, и отыщем конфигурацию,

которая должна соответствовать состоя-
।	———— Г” । нию равновесия.

।	I Канаты закреплены на концах, а рас-

।	I положенная ниже проезжая часть моста

—————————1 прикрепляется к канатам посредством

Фиг. 65.	вертикальных тяг, равноотстоящих друг

от друга.

Обозначим через и Рп (фиг. 65) концы одного из двух кана-
тов, через Р2, Р3, ..., Pn_i точки прикрепления тяг.

Считая мост горизонтальным (с двумя поддерживающими кана-
тами, расположенными симметрично), можно допустить, что вес Р
моста равномерно распределен между различными тягами, так что
на каждую из них действует вес

р' — —______

2 (п — 2) '

Пренебрегая по сравнению с Р' собственными весами канатов
и тяг, каждый канат можно уподобить нити, закрепленной на кон-
цах Pj, Рп и находящейся под действием (равных) весов, приложен-
ных в промежуточных точках Р2, Ps, ..., РП_Р

Предположение, что тяги находятся на одинаковых расстояниях
друг от друга, приводит к тому, что горизонтальные проекции
различных частей Р^Р^, Р^Р^> • ••, Pn-iP» каната должны быть
равны между собой, так что если а есть длина моста, то общая
всем частям длина их проекций будет

Для определения веревочного многоугольника мы, очевидно,
опять приходим к задаче, рассмотренной в пп. 11—12, поэтому
можно утверждать, что весь канат будет лежать в вертикальной
плоскости, проходящей через его концы.

Пользуясь опять обозначениями п. 12, мы будем иметь в этом
случае два упрощающих обстоятельства: все pt равны Р', и гори-
зонтальные проекции cos отдельных частей PfPf+1 (i = 1, 2, ...
..., п — 1) каната также будут одинаковы и каждая из них будет
равна е.

Вертикальные проекции ^sina^ можно выразить в форме

l{ cos a< tg = е tg ao

в то время как равенства (10), (10') принимают вид

tg«j—~-+-г~1)Р'	(г = 1, 2, . .., w—1),	(38)

где <р есть постоянная по величине проекция на ось х усилий
Ф1.2, Фг.з, Ф«—i,n> которые здесь представляют собой натяже-
ния (п. 36). Теперь важно отметить, что если предположим ось х
ориентированной так, чтобы абсцисса хп точки Рп была больше
абсциссы хх точки Рх (т. е. в сторону от Рх к Р„), то постоян-
ная 7 будет существенно положительной. Действительно, из того,
что каждая из сил Фуи является растягивающей, и следует, что
она направлена в сторону от Р< к Р<+1 (п. 5), так что постоянная
горизонтальная проекция ® различных сил Ф*,<+1 могла бы быть
отрицательной только в том случае, если бы абсциссы точек
Pj, Р2, ..., Рп убывали (в алгебраическом смысле), что невоз-
можно при условии х„ > xv

Отсюда легко вытекает характеристическое свойство веревочного
многоугольника, заключающееся в том, что его можно вписать
в параболу с вертикальной осью. В самом деле, для любой вер-
шины Р{ (i — 2, 3, ..., п) имеем

Xi — хх — (г — 1)г,	I

Vi — 2/i = E(tg<Xi + tga2+---+tga<_i), J

как это получается, если спроектировать на обе оси ломаную
линию PjP2 ... Р{ и принять во внимание, что проекции ее равны
соответственно xt— хх, у{ — ух. Внося во второе из равенств (39)
значения тангенсов, даваемые равенствами (12), получим
или, подставляя вместо i — 1 и i — 2 значения, получаемые из пер-
вого из равенств (39),

lJi — =	+	— ^i —е)}	(«= 1, 2, ..., п). (40)

Отсюда заключаем, что координаты xif каждой точки Р{
(i=l, 2, ..., п) удовлетворяют уравнению

У —	+	— xi— е)}>	(41)

которое выражает параболу с вертикальной осью, обращенную
вогнутостью вверх (так как коэффициент Р/2е<р члена второй сте-
пени относительно х существенно положителен).

Если уравнение (41) отнести к двум осям $, ц, параллельным
осям х, у, направленным в ту же сторону и имеющим начало
в самой нижней точке параболы, т. е. в ее вершине V, которая
имеет координаты



е(р/ —2<Р)

'	2Р'

е(Р'-2ф)2

31 sP'f ’

то оно примет вид

Р' 62
Т] = S— V.
1 2ef

38.	Нить ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕПРЕРЫВНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ.
Рассмотрим тяжелую нить АВ, находящуюся в равновесии под дей-
ствием сил Fa и Fb, приложенных к ее концам, и сил тяжести.
Сила тяжести (вес) действует на каждый элемент нити; если для
определенности предположим, что нить однородна и обладает плот-
ностью (линейной), равной единице (гл. X, п. 6), то можно считать,
что каждый материальный элемент нити находится под действием
силы gds (бесконечно малой того же самого порядка, что и ds),
где д, как обычно, означает ускорение (вектор) силы тяжести.

Можно представить себе, что нить при помощи надлежащих
искусственных приспособлений и благодаря специальным физическим
условиям окружающей среды помимо (или сверх) силы тяжести
подвергается, кроме (конечных) сил Fa, Fb, приложенных на кон-
цах, действию непрерывно распределенных сил, т. е. сил какой
угодно природы, действующих на каждую сколь угодно малую
часть нити. Так же, как в случае силы тяжести, мы будем считать,
что на нить действует бесконечно много бесконечно малых сил,
приложенных к различным материальным элементам ds нити; каж-
дую из этих сил можно представить в виде Fds, F есть не-
который конечный и определенный вектор (вообще говоря, непре-
рывно изменяющийся от элемента к элементу). Вектору F дано
название нагрузка, или сила на единицу длины; модуль (как отно-
шение силы в собственном смысле к длине) не имеет размерности
силы. Причиной такого названия является то обстоятельство, что
если вектор F остается постоянным вдоль некоторой части нити,
то его можно определить как отношение результирующей сил, дей-
ствующих на эту часть, к длине самой части, или, другими словами,
как результирующую сил, действующих на часть нити, имеющую
единицу длины.' В общем случае вектор F представляет собой пре-
дел только что указанного отношения при стремлении к нулю длины
части нити, находящейся под действием сил.

Заметим еще, что всякую систему непрерывно распределенных
сил можно рассматривать как предел системы конечного числа сил,
приложенных к дискретной совокупности точек, в предположении,
что число сил стремится к бесконечности и соответственно стре-
мится надлежащим образом к нулю всякая приложенная сила. Отсюда
заключаем, что фигура равновесия нити в случае непрерывно рас-
пределенных сил представляет собой кривую (предел переменного
веревочного многоугольника), которая называется веревочной кривой.
От этих интуитивных соображений мы обратимся теперь к рассужде-
ниям аналитического характера, чтобы придти к дифференциаль-
ным уравнениям, определяющим веревочные кривые.

39,	Натяжение. Пусть даны силы Fa и Fb, приложенные к кон-
цам нити АВ, и сила F, отнесенная к единице длины нити; всякая
часть нити АР, заключенная между точкой А и любой точкой Р
нити, испытывает в точке Р, вследствие соединения ее с осталь-
ной частью РВ нити, некоторое усилие Т, аналогичное усилиям Ф
отдельных стержней веревочного многоугольника. Поэтому для рас-
пространения на этот предельный случай свойств усилий, возникаю-
щих при действии дискретных сил, нам придется допустить, что
усилие Т направлено к точке, бесконечно близкой к Р, т. е. по
касательной к нити в точке Р, и имеет характер растягивающего
усилия. Оно называется натяжением нити в точке Р. Поэтому, если
условимся обозначать через s дугу АР нити, отсчитываемую в на-
правлении от А к В, которое мы будем считать положительным,
натяжение для всякой определенной точки нити будет пред-
ставлять собой вектор, касательный в точке М к нити, направлен-
ный в сторону возрастающих значений дуги s и зависящий от s.

Усилие в точке Р, испытываемое частью РВ нити со стороны
части АР, на основании принципа равенства действия и противо-
действия равно —T(s).

40.	Уравнения равновесия. Для того чтобы получить уравнения
равновесия нити, достаточно выразить то обстоятельство, что силы,
действующие на каждый отдельный элемент нити, находятся в равно-
весии. На любой элемент нити, заключенный между точками с криво-
линейными абсциссами s и s-\~ds (фиг. 66), действуют три силы:
активная сила F ds, натяжение в конечной точке s -f- ds элемента,
равное T(s-]-ds), или, с точностью до бесконечно малых высшего
порядка, T(s)-]-dT и, наконец, натяжение в начальной точке s
элемента, равное, в силу сказанного в конце предыдущего
пункта, —T(s). Так как элемент нити можно рассматривать как
материальную точку (см. гл. X, п. 4), то необходимое и доста-
точное условие равновесия заключается в равенстве нулю резуль-
тирующей этих трех сил и, следовательно, выражается векторным

уравнением

dT
ds

(42)

которое должно выполняться для каждой точки Р, внутренней
для дуги АВ нити; это уравнение объединяет в себе неопределен-

ные условия равновесия, т. е. условия равновесия произвольно

выделенной части нити. Обратимся теперь к условиям на концах

(по существу тождественным

условиям (6) п. 5); выражая, что
каждый из концов А, В нахо-
дится в равновесии под действием
соответствующей силы Fa или Fb
и натяжения, действующего на него
со стороны нити, мы получим
уравнения

Fa — — Т(0), FB = T(l), (43)

где I означает длину нити.

Уравнения (42), (43) вместе
дают необходимые и достаточные

условия равновесия. Следует заметить (как мы уже имели случай
напомнить в п. 6), что необходимые условия равновесия любой
материальной системы всегда заключают в себе оба основных" урав-

нения для любой части системы. Первое основное уравнение мы

уже приняли во внимание, так как мы применили его к произволь-
ному элементу нити, получив таким образом уравнение (42). Если
бы подобным же образом мы применили к этому элементу второе
основное уравнение, приравнивая нулю результирующий момент
(например, относительно конца s), то легко увидели бы, что это

условие автоматически выполняется в силу предположения, что
натяжение Г направлено по касательной к нити. Поэтому можно
было бы избежать предварительного введения этого геометрического
предположения (которое оказывалось очевидным при переходе к пре-
делу от случая веревочного многоугольника) и, наоборот, получить
его затем в качестве следствия из второго основного уравнения.

41.	Можно сделать вывод, что, как и в случае веревочного
многоугольника (п. 6), уравнения (42) и (43), так как они пред-
ставляют собой необходимые и достаточные условия равновесия,
должны содержать основные уравнения как для целой нити, так и
для всякой ее конечной части. Для того чтобы проверить это,
достаточно заметить, что и в этом случае каждое из уравне-
ний (42), (43), поскольку оно выражает обращение в нуль резуль-
тирующей трех (или двух) сил, действующих на один и тот же
материальный элемент, который можно рассматривать как точку,
можно истолковать как соотношение эквивалентности между систе-
мами приложенных векторов. То же самое истолкование остается
и для уравнения, которое мы получим, интегрируя уравнения (42)
вдоль нити между двумя точками Р', Р" с криволинейными асбцис-
сами s', s", т. е. для уравнения

S"

T(s") —T(s')4- f Fds — 0,
а’

которое как раз и выражает, что система всех внешних сил, дей-
ствующих на любую часть Р’Р" нити, векторно эквивалентна нулю.

Уравнения (42), (43), будучи не только необходимыми, но и
достаточными для равновесия, кроме основных уравнений, содержат
все те дальнейшие условия, которые достаточны для того, чтобы
обеспечить равновесие рассматриваемой (изменяемой) материальной
системы.

42.	Для того чтобы спроектировать векторное уравнение (42)
на оси координат, вспомним, что растягивающее усилие Т есть
вектор, касательный к нити и направленный в сторону возрастаю-
щих дуг s, так что оно может быть представлено в виде T(s)t,
где t есть единичный вектор dPjds касательной, а функция T(s)
существенно положительна. Поэтому проекции вектора Т будут
равны Р^,	®сли тепеРь % суть проекции силы,

относящейся к единице длины, то из уравнения (42) получаем

ds \ dsj 1	’

^(/т|)+У = 0,	(42')

Что же касается переменной величины s, то она не является
произвольным параметром, а представляет собой длину дуги вере-
вочной кривой, так что должна быть связана с х, у, г дифферен-
циальным уравнением

'doA2 । /dy ,2 । /dz\2
d~s)

(44)

Из предыдущего следует, что задача определения фигуры равно-
весия цитц под действием данных непрерывно распределенных сил
приводит к интегрированию системы дифференциальных уравнений*
А именно: если силу, приходящуюся на единицу длины, можно рас-
сматривать как позиционную, так что X, Y, Z являются известными
функциями от х, у, z, то неизвестными задачи, если мы временно
отвлечемся от условий на концах, являются четыре функции х(з),
y(s), z(s) и T{s), из которых первые три определяют веревочную
кривую, а четвертая дает натяжение и, как мы знаем, должна быть
существенно положительной.

Для того чтобы определить эти четыре неизвестных, мы имеем
три уравнения (42') второго порядка (относительно х, у, г) и
одно уравнение (44) первого порядка; произвольные постоянные, от
которых зависит общий интеграл, легко вычисляются. Для этой
цели заметим, что, продифференцировав уравнение (44), получим

dx <Рх , dy d2y । dz d2z 	(дл'\

Ts№ ‘ Tsds2''~ds d& ~U’	'44^

откуда, выполнив в уравнениях (42') дифференцирование по s и
просуммировав почленно, после умножения их соответственно на

dx dy	dz

ds ’ ds ’ ds

получим

—	+	= — F t.	(44")

ds \ ds 1 ds 1	ds)	' '

Теперь, пользуясь этим равенством, достаточно исключить из
уравнений (42') dTjds, чтобы можно было определить из них
величины

<Рх	d2y d?z

ds2 ’	ds2 ’ ds2 ’

на основании примечания 2 к и. 18, гл. II (ч. I, стр. 103) мы можем
заключить, что общий интеграл системы, состоящей из уравне-
ний (42') и (44"), зависит от семи произвольных постоянных. Но
эта система, как это проверяется вычислением, обратным только что
указанному, включает уравнение (44'), так что допускает интеграл

одну из семи произвольных постоянных мы должны выбрать так,
чтобы сделать правую часть равной единице. Таким образом, мы
заключаем, что общий интеграл системы (42'), (44) зависит от
шести произвольных постоянных, которые должны быть выбраны
так, чтобы удовлетворялось столько же независимых условий; на-
пример, если в качестве условий на концах заданы силы FA и FB,
то при проектировании на оси координат мы получим как раз
шесть скалярных уравнений. Но в конкретных задачах в число
данных не входят силы, приложенные к концам; обычно предпо-
лагается, что концы нити (имеющей длину I) прикреплены к двум
данным неподвижным точкам Л и В. В таком случае шесть произ-
вольных постоянных должны быть определены так, чтобы функции
x(s), y(.s), при s = 0 и s — l были равны заданным коорди-
натам точки А и соответственно точки В; уравнения (43) служат
тогда для определения реакций FA и FB в закрепленных точках.

43.	Если нить, кроме непрерывно распределенной нагрузки, на-
ходится под действием конечных сил, приложенных в одной или
нескольких внутренних точках, то условимся разбивать ее на ча-
сти, на которые она будет делиться этими точками. Для каждой
части продолжают сохранять свое значение предыдущие рассужде-
ния; несколько сложнее будет определение постоянных (шесть для
каждой части). Условий, которые должны быть удовлетворены
в точках деления, будет также шесть для каждой точки: три
условия выражают, что две части имеют общую точку, остальные
три определяют равновесие этой точки, которая играет роль узла
в веревочном многоугольнике.

44.	Параллельные силы. В п. 11 мы видели, что веревочный
многоугольник, в промежуточных узлах которого действуют парал-
лельные силы, лежит в плоскости, содержащей общее направление
сил. Отсюда мы заключаем, переходя к предельному случаю не-
прерывно распределенных сил, действующих по одному постоян-
ному направлению, что веревочная кривая будет плоской кривой.
Это заключение можно получить на основании уравнений (42'),

предполагая одну из осей, например ось у, параллельной
Тогда имеем X — Z— 0 и из первого и третьего уравнений
интегрируя по s, получаем

т dx
r~di=^’

7^=0,
as

где <p и С обозначают две произвольные постоянные; после

силам.
(42'),

этого,

умножая первое из этих уравнений на dztds, второе на dx[ds и
почленно вычитая, получаем

г, dx dz

С-j----® ~т~ — О,

ds	‘ds

откуда, интегрируя еще раз, находим

Сх — уг = const;

это линейное уравнение между координатами х, z произвольной
точки веревочной кривой и выражает то, что она лежит в плоскости,
параллельной оси у, т. е. параллельной общему направлению
активных сил. Уравнение это сводится к тождеству, в частном слу-
чае, когда С' = ® = 0. Этот случай можно оставить в стороне, за-
метив, что он содержит в себе один из следующих двух случаев:
или Т= 0, и тогда, на основании уравнения (42), это означало бы
обращение в нуль силы F; или dx<ds == dy/'ds = 0, что означало бы
прямолинейную веревочную кривую, имеющую то же направление,
что и F; оба этих тривиальных случая мы будем предполагать ис-
ключенными. Поэтому во всех остальных случаях плоскость, содер-
жащая веревочную кривую, будет определена; легко прямо придти
к плоской задаче, если за координатную плоскость выбрать пло-
скость ху. Уравнение

Т^- = С
ds

сводится тогда к тождеству (постоянная С принимает частное зна-
чение нуль) и для определения кривой и растягивающего усилия
остаются два уравнения

к которым надо присоединить уравнение, определяющее параметр s
как дугу веревочной кривой

dx \2 . / dy'fi

~dsj '\ds~J

(46)

Постоянная ®, как это видно из первого уравнения (45), яв-
ляется произвольной постоянной, о которой можно только сказать,
рассуждая как и выше, что она отлична от нуля.

Механическое истолкование постоянной вытекает непо-
средственно из первого уравнения (45): она равна проекции на ось
х натяжения Т, откуда заключаем, что составляющая натяже-
ния, нормальная к неизменному направлению действующей силы,
постоянна вдоль веревочной кривой.

В этой формулировке мы видим предельный случай свойства,
найденного в и. 12 для веревочных многоугольников; постоянная ®
в обоих случаях имеет один и тот же смысл.

Заметим, наконец, что интегрирование системы уравнений (45),
(46) вводит, кроме <р, три другие произвольные постоянные, как
легко убедиться на основании обычного критерия (гл. II, и. 18 и
гл. XIV, и. 42).

Для определения четырех произвольных постоянных остаются
в силе соображения, которые приведены в п. 42 и 43, в примене-
нии в случаю плоской задачи.
45.	Висячие мосты (упрощающее предположение о непрерыв-
ном распределении приложенных сил). В и. 37 мы изучили конфи-
гурацию равновесия канатов, поддерживающих подвесные мосты,
предполагая, что вес моста поровну распределен между некоторым
конечным числом дискретных точек (точки прикрепления тяг).
На основании такого предположения мы нашли, в качестве конфи-
гурации равновесия каждого поддерживающего каната, многоуголь-
ник, вписанный в параболу с вертикальной осью, проходящей через
концы каната.

Если число тяг велико, то практически можно рассматри-
вать силы как распределенные непрерывно и допустить, что
каждый элемент каната поддерживает половину части моста, непо-
средственно лежащую под этим элементом, между тем как другая
половина приходится на второй канат.

Задача, поставленная таким образом, решается даже более про-
сто, чем задача в п. 37, где рассматривались дискретно действую-
щие силы; при этом мы придем к особенно простой формуле,
постоянно применяемой в технике.

Прежде чем приступить к аналитическому решению, заметим,
что конфигурация равновесия представляет собой параболу с вер-
тикальной осью, обращенную вогнутостью вверх и проходящую
через концы (предельный случай вписанного многоугольника).

46.	Так как все силы вертикальны, то веревочная кривая будет
плоской и можно исходить из уравнений (45) и (46) и. 44, если
за плоскость ху принять вертикальную плоскость, проходящую
через концы А, В рассматриваемого каната, а ось у направить
вертикально (например, вверх), оставляя временно произвольным
положение начала.

Вследствие этого, если структура моста одинакова по всей его
длине и если мы обозначим через 2р все единицы длины моста,
то каждый элемент ds каната будет находиться под действием
вертикальной силы, величина которой равна произведению р на
горизонтальную проекцию элемента ds (это произведение равно
весу половины части моста, находящейся непосредственно под
элементом ds).

Заметим теперь, что в силу первого из уравнений (45), в ко-
тором tp является постоянной (отличной от нуля), dxjds не может
обращаться в нуль. Если выбрать положительное направление (го-
ризонтальной) оси х в сторону от Л к В, то производная dx,ds
всегда будет положительной, таге как, не обращаясь в нуль, она
не может изменить знак, и если бы она была отрицательной, то
абсцисса х должна была убывать, когда s переходит от значения О
(точка А) к значению I (точка В), тогда как, в силу способа вы-
бора положительного направления оси х, абсцисса точки В будет
больше абсциссы точки А.
При этом соглашении dx (приращение, которое испытывает х
при положительном приращении дуги ds) есть величина существенно
положительная и представляет собой горизонтальную проекцию
элемента. Сила, действующая на элемент dx, равна pdx и направ-
лена по вертикали вниз; поэтому сила, приходящаяся на единицу
длины каната, определяется выражением pdxjds, а ее проекция Y
на ось у (вертикальную и направленную вверх) — выражением

Внося это значение в уравнения (45), получим

ds \ dsj Р ds ’

(45')

где постоянную <р надо считать положительной; такой же должна
быть и функция Т по своей природе, а в рассматриваемом случае
и dxfds.

47.	Найдя таким образом дифференциальные уравнения равно-
весия, перейдем к их интегрированию.

Из второго уравнения (45') посредством одной квадратуры
получаем

~рх-\- const;

так как до сих пор были определены направления осей, а не по-
ложение начала, то мы можем путем поступательного перемещения
осей параллельно оси х заставить ось у проходить через точку,
в которой касательная горизонтальна, т. е. через точку, в которой
dyjdx = Q (скоро мы увидим, что речь идет о точке минимума).

Таким образом, мы будем иметь

Т^=РХ>	(47)

после чего достаточно будет разделить почленно это уравнение на
первое из уравнений (45') и исключить Т и s, чтобы получить
дифференциальное уравнение

dx <р ’
интегрирование которого, очевидно, дает
у — х? -4- const,

где постоянная интегрирования обращается в нуль вследствие пе-
реноса начала координат в точку, лежащую на кривой. Благодаря
этому уравнение веревочной кривой принимает вид

2/ = -^-^	(48)

а отсюда видно, что эта кривая есть парабола с вершиной в на-
чале координат, имеющая осью симметрии ось у и обращенная
вогнутостью вверх.

Что касается натяжения Т, то достаточно возвести в квадрат и
сложить первое из уравнений (45') и уравнение (47) и принять во
внимание равенство (46), чтобы получить

(49)

Естественно, что натяжение будет минимальным и равным своей
постоянной горизонтальной составляющей <р в самой низкой точке
веревочной кривой (ж = 0).

48.	Представляет интерес сравнение параболы (48) с парабо-
лой, которую мы получили в и. 37 как описанную вокруг вере-
вочного многоугольника и которая, если отнести ее к главной оси
(вертикальной) и касательной в вершине, выражается уравнением

(«')

Если мы примем во внимание соотношения

pz Р	_ а

1 в 2(п — 2) ’	е—’ п— 1 ’

связывающие Р' с весом Р моста и расстояние е между тягами
с несущей частью а (п. 37), то получим

Р' = (w —1)Р	/ .	1 \ Р .

2е?	4 (и— 2)а<р	\ ' п — 2/ 4а<р ’

отсюда, если заставить число п — 1 тяг (предполагая их равноот-
стоящими друг от друга) стремиться к бесконечности, получим

.. Р' Р
lim -и— = л— •
,,->0=^ 4с"Г

Мы видим, таким образом, что парабола (40'), описанная вокруг
веревочного многоугольника, при и -> оо стремится к параболе (48).

49.	Как бы ни были заданы условия на концах, предназначен-
ные для того, чтобы определить конфигурацию равновесия, эта
конфигурация представляет собой, при надлежащем значении ме-
ханической постоянной <р, дугу параболы, выражаемой уравнением
(48). В конкретных случаях чаще всего задаются, для каждого
каната, концы А и В, расположенные на одном и том же уровне,
и расстояние а (длина моста или пролет поддерживающих кана-
тов). Обе точки А, В, очевидно, симметричны относительно оси
у параболы, так что их абсциссами соответственно будут + я/2.
Поэтому на основании уравнений для концов (43) и равенства (49)
заключаем, что обе реакции FA, FB в закрепленных точках по
абсолютной величине равны

]/

Разница в уровнях между концами каната, с одной стороны,
и его низшей точкой, с другой, называется стрелой провеса-,
обозначая стрелу провеса через f и замечая, что она есть не что
иное, как общая ордината точек А и В, найдем, полагая в урав-
нении (48) x — z^a/2,

это и есть та формула, важная вследствие ее технических прило-
жений, о которой мы упоминали в и. 45.

Остается еще определить соотношение, связывающее механиче-
скую постоянную ® с данными вопроса, т. е. с величинами р и а
и длиной I каната. Очевидно, что I определяется длиной дуги па-
раболы (48), заключенной между точками А и В; если ввести, на
основании уравнения (46), элемент дуги ds веревочной кривой,
то I примет вид

0/2____________

(=2/

о

где радикал должен браться в арифметическом смысле, а производ-
ная dyfdx должна быть вычислена на основании уравнения (48).
Таким образом, получится

0/2____________

1	= 2 f ! +
О

или, если положить р.=^ж/<р,

(50)

о

отсюда, в' поминая элементарную формулу интегрирования

2	J/l-bir2 </р. = 1п(р.+ У1Ч-/2) + р-У1 Ч-/2,
заключаем, что

>	. у (ра . _ Г I р"-аг I । “Г. । ^2“2
Из этой формулы, или, проще, из формулы (50), можно получить
приближенное выражение длины I, пригодное всякий раз, когда ра/<р
(отношение между полной нагрузкой и горизонтальной составля-
ющей <р натяжения, равной горизонтальной составляющей каждой из
сил, приложенных на концах) будет достаточно малым, например
таким, четвертой степенью которого можно было бы пренебречь,
как это вообще делается в технических задачах.

Так как переменная интегрирования р. остается всегда меньше,
чем т?а/2<р, то с тем большим основанием можно пренебречь сте-
пенями р, начиная с четвертой. Поэтому если применим разложе-
ние в ряд Тэйлора к выражению -|-р2== (1 -j-p2)7’, то можно
будет остановиться на втором члене, опуская остаток, содержащий
множителем р4.

Подставляя 1 -j- р2/2 вместо р2, получим

pafif

!=М ('+Н*

О

откуда будем иметь приближенное выражение

(51)

50.	Однородная цепь. К задаче, изученной в предыдущих пунк-
тах, присоединим задачу об определении конфигурации равновесия
материальной однородной нити, подвешенной за концы в двух
заданных точках А и В (не расположенных на одной и той же
вертикали) и подвергающейся только действию силы тяжести.

В этом случае все внешние силы также вертикальны, так что
(п. 44) веревочная кривая будет лежать в вертикальной плоскости,
проходящей через точки А и В; предположим, как в п. 46, что
ось у направлена вертикально вверх, а ось х — так, чтобы абсцисса
точки В была (алгебраически) больше абсциссы точки А, и сначала
оставим положение начала произвольным.

Сила, приходящаяся на единицу длины нити, представляет собой
вес (постоянный, так как речь идет об однородной нити) части
нити длиной 1. Обозначив через р величину этой силы, будем
иметь X = 0, Y=—p; поэтому уравнения равновесия (45) п. 44
в рассматриваемом случае будут иметь вид

(52)

постоянная ? при указанной выше ориентировке осей, как и
в общем случае в п; 44, должна быть положительной.
Исключая Т из второго уравнения при помощи первого, по-
лучим

d / dy\__р

ds \dx )	’

где dyjdx означает отношение между приращениями координат
вдоль веревочной кривой, соответствующее приращению ds дуги.
Принимая абсциссу х за независимую переменную, а ординату у —
за функцию, можно придать только что найденному соотношению
вид дифференциального уравнения только между координатами
х, у точек веревочной кривой.

Если мы напишем для краткости у' вместо dyjdx и заметим,
что ds можно заменить через V1	г/'2 dx, то, умножая на dx,

получим

——dy' = — dx.	(53)

]/1 + г/'2	*

Если производную у' рассматривать как вспомогательную не-
известную, то равенство (53) будет дифференциальным уравнением
первого порядка с разделенными переменными, которое интегри-
руется непосредственно и дает

In (/1 + у'2 + /) = ~ х const;

пользуясь свободой выбора начала осей (у которых неизменны
только направления), постоянную интегрирования можно свести
к нулю, перенося ось у поступательно в направлении, парал-
лельном оси х, так чтобы она (ось у) прошла через точку, в ко-
торой касательная к веревочной кривой горизонтальна, т. е. у' — О
(мы увидим, что существует только одна такая точка и она будет
как раз точкой минимума).

Таким образом, получим

In (V1 + /2 + у') — ~ х,

или, переходя от логарифмов к числам,

УТ+Р + у' = е(р/^.	(54)

Отсюда, принимая во внимание тождество

О^ + У'2 + &') (^1 +у'2 - /) = 1,

выводим

/Г+72 — у' = е-{Шх-
это уравнение в результате вычитания из уравнения (54) и сложе-
ния с ним дает

Vi-H/'2 =	|	(55)

Первое из этих уравнений посредством одной квадратуры дает

^^(^+e-»)4-Const.

Теперь достаточно выполнить поступательное перемещение осей
параллельно оси у (т. е. принять за новую ординату разность
у — const), чтобы постоянную интегрирования свести к нулю.
Таким образом, для веревочной кривой (относительно осей, кото-
рые, в силу предыдущего, теперь уже вполне определены) полу-
чается уравнение

y =	+	(бв)

С другой стороны, припоминая, что V14~ т//2 dx — ds, и усло-
вившись измерять дуги s веревочной кривой, начиная от точки
кривой с абсциссой x = Q в сторону возрастающих х, из
из уравнений (55) посредством одной квадратуры получим

s _ JL.

Заметим, что если ввести гиперболические функции

второго

(57)

и положить Л = <р/р, то уравнения (56), (57) примут вид

у е= Л СП V,

s = Л sh v.

Л

(56')

(57')

51.	Кривая (56) или (56'), найденная Гюйгенсом, называется
цепной линией и обычно характеризуется названием однородная,
если общее название цепных линий распространить на все кривые
равновесия тяжелых нитей или цепей (также и неоднородных).

Чтобы отдать себе отчет о форме однородной цепной линии,
заметим прежде всего, что производная dy'/dx == dPyjdx12, на осно-
вании равенства (53), всегда положительна, так что г/' постоянно
возрастает, а так как функция у', как это следует из первого урав-
нения (55), обращается в нуль при x = Q, то мы видим, что она
отрицательна при х < 0 и положительна при х > 0. Отсюда и из
уравнения (56) следует, что ордината у цепной линии всегда по-
ложительна (фиг. 67) и стремится к бесконечности при х -> zt оо;
она монотонно убывает, когда х изменяется от х — — оо до х = О,
достигает при х — 0 минимума (положительного) А. = <р/р (самая
нижняя точка, или вершина V цепной линии)
„	и затем монотонно возрастает при возра-

стании ж от 0 до-j-oo. Кроме того, так как
/ функция у, определяемая равенством (56),
\	/ представляет собой четную функцию абс-

\	/ циссы (т. е. принимает одни и те же значения

\.	/ для противоположных значений х), то цеп-

ная линия симметрична относительно оси у,
у	т. е. относительно вертикали, проходящей

через самую нижнюю точку V. Отсюда и из
F	единственности минимума следует, что если

д	дуга цепной линии имеет концами две

точки А и В, расположенные на одном и том
Фиг. 67. же уровне, то вся она лежит ниже горизон-
тали АВ и симметрична относительно вер-
тикали, проходящей через середину, что можно было предвидеть
на основании статического истолкования цепной линии.

Горизонтальная ось х, к которой отнесено уравнение (56), на-
зывается основанием цепной линии, а существенно положительная
ордината Л = <р/р самой нижней точки называется параметром ее.

52.	Как уже указывалось несколько раз, типичная задача со-
стоит в отыскании конфигурации равновесия однородной нити за-
данной длины I, когда даны обе точки прикрепления А и В (не
расположенные на одной и той же вертикали).

В таком случае заранее неизвестно, каково будет положение
начала О тех осей, к которым относятся уравнения (56), (57) [или
(56'), (57')], относительно точек А и В, между тем как ориентация
этих осей известна; обе они лежат в вертикальной плоскости, про-
ходящей через точки А и В, и ось х горизонтальна, а ось у
вертикальна и направлена вверх. Любая система осей, имеющих
такие направления, может быть получена простым поступательным
перемещением из той, к которой должны быть отнесены уравне-
ния (56), (57), поэтому более общие уравнения могут быть получены
из уравнений (56), (57) при помощи подстановки вместо х и у
соответственно х — х0, у — у0, где х0, у0 обозначают две постоян-
ные величины. Поэтому все сводится к определению трех постоян-
ных (интеграции) xQ, у0 и у (или, вместо этой последней, А. = <р/р)
таким образом, чтобы цепная линия проходила через точки А, В
и дуга, отсекаемая этими двумя точками, имела заданную длину I.
Покажем, что эти условия однозначно определяют три постоян-
ные.

Для этой цели возьмем опять оба уравнения (56), (57) в виде
(56'), (57') и выполним в них указанную выше подстановку, после
чего они примут вид

У —Уо = Ас11^-т^> s (») = Xsh^=-^,	(58)

где s (ж) обозначает криволинейную абсциссу на цепной линии,
отсчитываемую от точки с абсциссой х0.

Мы всегда можем предположить, что А не выше В', с другой
стороны, мы можем взять начало координат в точке А, направляя
ось х от А к В, так что, обозначив через а и b координаты, по-
лученные таким образом для точки В и известные в качестве дан-
ных, будем иметь а>0, 5^0 и (для того чтобы задача была
возможна) Р а2 Ь2-

Условие, чтобы цепная линия прошла через точку А (с коор-
динатами х==у — 0), поскольку гиперболический косинус есть
функция четная, дает уравнение

-?/0 = Zch^;	(59)

при этом значении постоянной у0 условие, чтобы цепная линия
проходила также через точку В (с координатами а и 6), прини-
мает вид

Ъ = Л fch	- ch .	(60)

\ Л	Л /

С другой стороны, в силу определения функции з(ж), мы должны
иметь

I = s (а) — s (0),

или, на основании второго из уравнений (58) и вследствие того,
что гиперболический синус есть функция нечетная,

Z = xfsh^=^-°+sh-S-').	(61)

После этого, если возведем в квадрат равенства (60), (61),
вычтем почленно первое из второго и примем во внимание извест-
ное тождество ch2^— sh2.®—1 и формулу сложения для гипербо-
лического косинуса 9, найдем

Р—52 = 2Х2 (ch Y — 1) •	(62)

9 Как известно, имеет место формула

ch («j +	= ch ch «3 + sh sh

что видно из соотношения

ch (®i -|- г2) —

ег*ег’+ е г‘е~*г
-
Положим для краткости

— — £

2k 4

и обозначим через д2 известную постоянную, не меньшую 1 (по-
скольку Z2 а2 4~ Ь2),

Р — Ъ*

а3

На основании этих обозначений и тождества ch.? — 1 = 2sh2^/2
равенство (62) принимает вид

Соотношение (62') содержит только неизвестную $ или, в ко-
нечном счете, горизонтальное натяжение <р, поскольку

<Р =

ар

25’

и так как <? и, следовательно, 5 — существенно положительные
величины вместе с д, то равенство (62') эквивалентно равенству

Легко убедиться, что это уравнение однозначно определяет зна-
чение 5. Действительно, припоминая определение гиперболического
синуса и подставляя вместо показательных функций, входящих
в его выражение, их разложения в степенные ряды по степеням
найдем

1+ + •••’ (64)

откуда следует, что функция в левой части равенства (63) при
; = О принимает значение 1, а при 5->оо стремится к бесконеч-
ности, постоянно возрастая. Поэтому она проходит один (и только
один) раз через всякое значение g > 1. Определив таким образом
значение 5 и, следовательно, Л = а/25 из равенства (60) или (61),
безразлично, будем иметь единственное значение для ж0, после
чего значение у0 получится прямо из равенства (59).

Для вычисления $ можно, например, прибегнуть к обращению
ряда (64), что является законным для значений д, достаточно
близких к 1, которые, именно, и встречаются в конкретных слу-
чаях.

если принять во внимание, что

в* = ch z( 4- sh е Zi = ch — sh zt (г =1,2).

Для «j = = г/2, принимая во внимание тождество ch2 z — sh2г = 1, по,
лучим

eh « —1 = 2 sh2 ~г.
в
53.	Остается вычислить натяжение. Для этой цели возьмем
снова первое из уравнений (52), написав его в виде

сопоставляя второе из уравнений (55) и уравнение (56), получим
так что будем иметь

Т — РУ>	(65)

т. е. натяжение в любой точке однородной цепной линии равно
весу куска нити длиной, равной расстоянию точки от основания.

В частности, равенство (65) подтверждает то известное заранее
свойство веревочной кривой, что натяжение является наименьшим
в самой низшей ее точке V и имеет там значение ср (постоянная
касательная составляющая натяжения); если рассматривается дуга
цепной линии, концы которой А и В находятся на одинаковой
высоте над основанием (и, следовательно, в силу предыдущего
пункта симметричны относительно вертикали точки F), то натяже-
ние достигает в них своего наибольшего значения, определяемого
величиной ру0, где у0 есть общая им ордината. Если обозначим
через т это наибольшее натяжение, через f стрелу провеса — <?/р
дуги цепной линии (п. 49), то получим важную для приложений
формулу

: =	(66)

54.	Случай больших натяжений. Заслуживает внимания случай,
когда нить сильно натянута; под этим подразумевается, что по-
стоянная <р (горизонтальная составляющая натяжения) велика по
сравнению с полным весом pl нити.

Предположим, что отношение paj<p (где а обозначает пролет,
т. е. горизонтальную проекцию рассматриваемой веревочной кри-
вой) достаточно мало для того, чтобы можно было пренебречь его
четвертой степенью по сравнению с единицей.

Так как а h то указанное условие будет выполняться, если
можно пренебречь величиной (р Z/<?)2. Покажем, что, для того чтобы
веревочную кривую можно было рассматривать как дугу параболы,
достаточно, чтобы можно было пренебречь величиной

Действительно, если допустить, что концы А, В лежат по раз-
ные стороны от самой нижней точки нити (что обязательно будет
иметь место, если они находятся на одном и том же уровне), то
абсцисса х любой точки веревочной кривой по абсолютной величине
будет меньше пролета а и даже не может превзойти а/2, если А
и В находятся на одной и той же горизонтали.
Поэтому р%/<? по абсолютной величине остается меньше pafe,
так что вместо epxlv можно подставить первые четыре члена раз-
ложения этой величины в ряд, пренебрегая остаточным членом,
содержащим множитель (ря/ср)4. Подобным же образом можно раз-
ложить и функцию e~px,!f.

Поступая таким образом, мы получим разложения

1 _s_px	i	1 (Р®\2	।	1	(рх'*?

—pa;l<f_1 рх	।	1 fpx^	1	(рх''?

?	'	2 \ ? )	3!	\ f /

и приведем уравнение	(56) цепной линии к виду

У = 7 + ^	<56')

это уравнение, очевидно, выражает параболу с вертикальной осью
и с параметром p/<f, так что достаточно перенести начало координат
в вершину, чтобы привести уравнение (56') к виду

у = ^х2-

За исключением лишь иного значения р, мы снова находим
ту же самую параболу (48), которую мы получили в п. 47 как
фигуру равновесия канатов висячего моста, в предположении
непрерывно распределенной нагрузки. Если, в частности, рассма-
тривается случай, когда два конца А, В находятся на одном и
том же уровне, то длина I нити приближенно выразится форму-
лой (51), к которой и здесь можно было бы придти прямым путем,
подставляя в уравнение (57) вместо показательных функций только
что указанные разложения их.

Что касается натяжения, то из уравнения (65), приняв во вни-
мание уравнение (56'), можно вывести приближенное выражение

которое, если написать его для концов (ж —±а/2), дает наиболь-
шее значение натяжения

=	(67)

В заключение отметим, что, в том случае, когда натяжение
велико (ра мало по сравнению с <р), цепную линию можно прибли-
женно рассматривать как параболу
отнесенную к осям с началом в самой нижней точке; если точки
прикрепления находятся на одном и том же уровне, то стрела про-
гиба f, длина нити I и наибольшее натяжение определяются (через
вес р единицы длины, пролет а и горизонтальную составляющую
натяжения на концах <р) формулами (48') й (51) и. 49 и форму-
лой (67)

Р& j Л ।	1 ра?

* =	' = ? + -8Г-

Из первого и третьего из этих равенств, очевидно, снова най-
дем равенство (66).

55.	Между случаем нагрузки, пропорциональной длине элемента
(однородная цепная линия), и случаем нагрузки, пропорциональной
горизонтальной проекции элемента (висячий мост), по отношению
к дифференциальным уравнениям (52) и (45') существует только
одно различие: вместо величины р в первом случае, во втором
входит величина р dxjds. Если обозначим через 0 угол наклона
(к горизонту) касательной к веревочной кривой в любой ее точке,
то dxjds будет не что иное, как cos 6, так что разность между
обеими нагрузками равна у>(1— cos 6). Если йить натянута так
сильно, что можно пренебречь членами второго порядка относи-
тельно 9, то можно пренебречь и величиной 1 — cos 6, так что
оба случая совпадают.

Таким образом, возможность замены, при данных обстоятель-
ствах, дуги цепной линии дугою параболы можно было предвидеть
на основании сравнения дифференциальных уравнений. Однако
если мы хотим придать условиям заменяемости (как это делалось
в предыдущем пункте) форму, непосредственно выводимую из прак-
тических данных вопроса, необходимо предварительно проинтегри-
ровать дифференциальные уравнения.

§ 8, Естественные уравнения равновесия нитей
и приложения

56.	Возвратимся к общему случаю непрерывной нагрузки
(пп. 38—43) и рассмотрим опять векторное уравнение

^+-Г=0.	(42)

которое объединяет в себе условия равновесия. Полагая в нем
T—Tt (где t обозначает обычный единичный вектор касательной
к веревочной кривой, ориентированный в сторону возрастания s)
и принимая во внимание первую векторную формулу Френе (гл. I,
п. 79), получим

ds 1 г 1	*
где г обозначает радиус кривизны веревочной кривой и п — еди-
ничный вектор, направленный по главной нормали и ориентирован-
ный от любой точки кривой к соответствующему центру кривизны.

Если спроектируем предыдущее векторное уравнение на три
ребра естественного трехгранника (касательную, главную нормаль
и бинормаль, ориентированные согласно условиям, принятым в гл. I)
и обозначим через Ft, Fn, Fb соответствующие проекции силы,
отнесенной к единице длины, то придем к трем скалярным уравне-
ниям:

^+^ = 0,	^ + F„ = 0, Fb = 0,	(68)

которые носят название внутренних, или естественных уравнений
равновесия гибкой и нерастяжимой нити. Из третьего уравнения
прямо следует, что при равновесии линия действия силы, отне-
сенной к единице длины, во всякой точке веревочной кривой лежит
в соответствующей соприкасающейся плоскости.

57.	Нить, натянутая на гладкой поверхности. Применим есте-
ственные уравнения (68) к изучению фигуры равновесия нити, на-
тянутой на какой-нибудь поверхности силами, приложенными
к концам нити. Здесь силы, непрерывно распределенные вдоль
нити, представляют собой реакции опоры, если можно отвлечься
от веса, т. е. если вес (полный) можно считать весьма малым по
сравнению с растягивающими усилиями, приложенными к концам.

В рассматриваемом нами идеальном случае гладкой поверхности
все элементарные реакции нормальны к ней; с другой стороны,
реакция, отнесенная к единице длины, во всякой точке веревочной
кривой, как мы видели в предыдущем пункте, должна лежать
в соприкасающейся плоскости к кривой; отсюда можно заключить,
что во всякой точке веревочной кривой соприкасающаяся плоскость
нормальна к поверхности опоры.

Напомним теперь, что кривые, лежащие на поверхности и
имеющие то свойство, что во всякой их точке соприкасающаяся
плоскость нормальна к поверхности, называются геодезическими
линиями. Полезно обратить внимание на то, что определенные
таким образом кривые характеризуются также и тем свойством,
что каждая из них представляет собой кратчайшую линию на по-
верхности между любыми двумя точками кривой (не слишком уда-
ленными друг от друга). Например, на сфере геодезические линии
представляют собой окружность больших кругов; каждая дуга такой
окружности, меньшая полуокружности, представляет собой кратчай-
шую линию на сфере между соответствующими концами. В более
общем случае поверхности вращения всякий меридиан является
геодезической линией (но, конечно, нельзя сделать обратного за-
ключения): действительно, на поверхности вращения нормаль к но-
верхности в какой-нибудь ее точке лежит в соответствующей мери-
дианной плоскости, которая является соприкасающейся плоскостью
меридиана, проходящего через эту точку. Таким образом, для
цилиндра геодезическими линиями будут винтовые линии (и, в част-
ности, образующие и окружности нормальных сечений).

Возвращаясь после этого краткого отступления к нашей задаче,
мы можем сформулировать полученный немного ранее резуль-
тат так:

Нить, натянутая на гладкой поверхности и подвергающаяся
действию активных сил только на концах, располагается по
геодезической линии этой поверхности. Таким образом, натянутая
нить, если она не слишком длинна (не превышает половины окруж-
ности большого круга в случае сферы), отмечает на поверхности
самый короткий путь от одного ее конца до другого.

Кроме того, при равновесии реакция во всякой точке будет
нормальной к поверхности, и потому Ft — О, а из первого из урав-
нений (68) следует, что

Т = const,

т. е. натяжение передается неизменным от одного конца нити
к другому; в частности, на концах нити (s = 0 и s = l) имеем

Т(0) = Т(1),

так же как .и в случае свободной нити, находящейся под действием
только двух сил, приложенных к ее концам.

58.	Результаты предыдущего пункта позволяют понять, как
происходит передача сил посредством нитей, блоков и грузов,
к которым мы уже обращались несколько раз, допуская, что в пер-
вом приближении натяжение нити на одном конце равно весу
груза, подвешенного к другому концу (гл. VII, п. 13; гл. IX, и. 2).
Теперь мы можем сказать, что это было бы строго справедливо
в идеальном случае свободной или расположенной на гладкой по-
верхности нити, на которую не действуют другие активные силы.

Приближенно это заключение будет оставаться верным, если
можно пренебречь:

1)	силой, отнесенной к единице длины нити (по сравнению
с силами, действующими на концах), и

2)	силами, происходящими от трения в опорах.

Следует, однако, заметить, что, вообще, влиянием трения
далеко не всегда можно пренебречь и что, напротив, во многих
практически важных случаях влияние трения может быть весьма
существенным, как мы это покажем на одном примере в пи. 60, 61,

59.	Останавливаясь на общих соображениях, отметим одно
непосредственное следствие естественных уравнений (68) в случае
консервативных сил. Если U (ж, у, г) есть потенциал силы F, то
для любого элементарного перемещения dP будем иметь

dV = F • dP

и, следовательно, в частности, для перемещения вдоль веревочной
кривой dP = t ds

dU — F • t ds = Ftds.

Поэтому первое из уравнений (68) в этом случае можно написать
в виде

d{T+V)

ds ’
откуда следует, что

T-j-U= const,	(69)

т. е. если силы консервативны, то натяжение нити отличается
только на постоянную от потенциала, взятого с обратным знаком.
Оно, следовательно, определено как функция от положения, неза-
висимо от знания веревочной кривой. В частности, если известны
положения концов нити и значение натяжения в одном из них
[что определяет постоянную в правой части уравнения (69)], то
этим определяется и значение натяжения на другом конце.

Так, например, в случае однородной цепной линии (пп. 50—55)
вес р единицы длины относительно принимаемых нами осей имеет
потенциал —ру, так что на основании уравнения (69) для натя-
жения будем иметь выражение

Т—ру-\- const;

достаточно заметить, что в самой нижней точке 7' = <р, у — ^'р,
чтобы заключить, что постоянная равна нулю. Таким образом, мы
опять приходим к равенству

Т—ру,

которое уже получили в п. 53.

60.	Трение нити, расположенной на шероховатой поверхности.
В п. 57 мы видели, что если нить, растягиваемая двумя силами Fa
и Fb, приложенными к концам Ан В, лежит на гладкой поверхности
и не подвергается действию других внешних сил, то натяжение Т
в статических условиях постоянно вдоль нити, так что для равно-
весия требуется, чтобы обе силы Fa и Fb имели одинаковую
величину; достаточно малейшего изменения, величины одной из них
для того, чтобы равновесие было нарушено.

Это теоретическое заключение вполне объясняет, как это отме-
чалось в п. 58, действие нитей в экспериментальных лабораторных
установках; но на практике мы встречаемся также с бесчисленным
множеством примеров материальных систем, которые можно упо-
добить нитям (веревки, канаты, цепи и т. д.), расположенным или
навернутым на другие тела и удерживаемым в равновесии силами,
приложенными к концам и далекими от того, чтобы иметь равные
величины. Если канат намотан на столб, стоящий на берегу реки,
то при достаточном числе витков силой одного человека, прило-
женной к концу каната, можно воспрепятствовать большой барже
плыть по течению реки.

В таких случах равновесие, которое при отсутствии трения
теоретически было бы невозможным, обусловливается трением нити
о поверхность, на которую она опирается или навернута, т. е. мы
встречаемся с обстоятельствами, подобными тем, которые мы иллю-
стрировали в п. 17 предыдущей главы примером лестницы.

Для исследования равновесия в таких случаях обратимся опять
к естественным уравнениям

= 0’	+ гь = °	<68)

и предположим, что активные силы действуют только на концах
нити; тогда F будет представлять собой неизвестную силу, с кото-
рой поверхность а действует на единицу длины нити. Отбросим,
кроме того, предположение об отсутствии трения. В этом случае,
ввиду того что реакция F не необходимо нормальна к а, каса-
тельная составляющая Ft может быть, и вообще говоря, будет
отличной от нуля; поэтому, на основании первого из уравнений (68),
то же саМое будет иметь место и для dTjds, так что натяжение
будет, вообще говоря, изменяться вдоль нити. Задача, которую
мы здесь будем рассматривать, и заключается в том, чтобы оценить
в статических условиях возможную разность между растягиваю-
щими усилиями Та и Тв на концах, или, что одно и то же, раз-
ность между величинами Fa и Fb сил, приложенных к концам
нити.

Для этой цели необходимо определить реакцию F, отнесенную
к единице длины нити, как функцию s. Для простоты мы ограни-
чимся здесь рассмотрением частного (и как увидим, особенно
интересного) случая, когда нить располагается на поверхности а
вдоль геодезической линии, т. е. вдоль одной из таких кривых,
которые дают возможные конфигурации равновесия и при отсут-
ствии трения.

Главная нормаль к веревочной кривой совпадает в этом случае
с нормалью к поверхности (п. 57), так что составляющая Fn тож-
дественна с нормальной реакцией поверхности. Кроме того, так
как Fb = 0, то проекция силы F на касательную плоскость, т. е.
сила трения (отнесенная к единице длины), направлена по каса-
тельной к веревочной кривой и поэтому совпадает с Ft.

Рассматривая всякий элемент ds нити, расположенной на по-
верхности а, как материальную точку, находящуюся в равновесии
на шероховатой поверхности, вспомним, что реакция такой поверх-
ности может быть направлена только во внешнюю для тела часть
пространства н не должна лежать вне соответствующей полости
конуса трення.

Теперь из второго из уравнений (68) следует, что, для того
чтобы натяжение Т было положительным, должно быть Fn < 0;
это, так как реакция F, как мы видели, может быть направлена
только во внешнюю для тела часть пространства, означает, что
главная нормаль к веревочной кривой (направленная к центру кри-
визны) направлена внутрь тела, или, другими словами, веревочная
кривая обращена во всякой своей точке вогнутостью к телу, огра-
ничиваемому поверхностью а.

Другое условие для реакции, указанное ранее, выражается со-
отношением

\Ft\<f\Fn\,

где f обозначает коэффициент трения. Отсюда, принимая во вни-
мание естественные уравнения (68), заключаем, что при равно-
весии нити между натяжением и его дифференциалом должно су-
ществовать соотношение

\dT\^f^\ds\.	(69')

Полезно отметить, что, при сделанных предположениях, неопреде-
ленные уравнения равновесия по существу приводятсй к соотноше-
нию (69'). Действительно, достаточно, чтобы оно удовлетворялось,
для того чтобы существовала реакция поверхности а [величина F,
определяемая из уравнений (68)], способная обеспечить равновесие
каждого элемента нити.

Из соотношения (69) мы снова находим, что предположение
f=Q влечет за собой равенство dT[ds — 0, или же Т— coast; при
произвольном f соотношение (69') показывает, что натяжение должно
изменяться мало и при прочих равных условиях будет изменяться
тем менее, чем меньше будет f.

61.	Определим теперь наибольшее значение разности между
натяжениями Та и Тв на концах, при которой еще возможно
равновесие.

Для этой цели условимся, во-первых, считать положительной
дугу s, отсчитываемую от А к В, и, во-вторых, заметим, что,
п

если имеется сумма конечного числа слагаемых S ai>не зависимых
4 = 1

между собой и таких, что каждое а,- может быть как положитель-
ным, так и отрицательным, но не может превзойти по абсолют-
ной величине некоторого максимума »г4-, то рассматриваемая сумма
будет иметь наибольшее значение по абсолютной величине только
тогда, когда слагаемые или все положительны, или все отрица-
тельны и каждое достигает соответствующего максимума абсолют-
ной величины. Это замечание мы можем применить к нашему слу-
чаю, переходя к пределу и принимая во внимание, что разность
Тв — Та есть сумма элементов dT на отрезке нити от А до В. При
наибольшем значении разности Тв — Та мы должны иметь в силу
соотношения (69')

т
dT=±f—ds,

где вдоль всей нити будет или знак плюс или знак минус. Мы
можем предположить, что имеем знак плюс (т. е. что натяжение
возрастает, когда мы идем вдоль нити в направлении от А к В),
так как в противном случае достаточно изменить положительное
направление отсчета дуг на нити. При этом предположении, раз-
делив обе части предыдущего равенства на Т и проинтегрировав
от А до В, получим

(’О)

А АВ

в то время как в случае, когда имеем знак минус, будет суще-
ствовать аналогичная формула, которая получается из предыдущей,
если мы в левой части заменим Та на Тв-

Это и есть соотношение, которое должно существовать между
натяжениями Та и Тв при наибольшей разности этих натяжений
(совместной с равновесием). Если натяжение на одном из концов,
например Та, задано, то тем самым Тв будет однозначно опреде-
лено и, следовательно, будет также определено и численное зна-
чение указанной выше наибольшей разности натяжений.

Особенно интересен случай веревки, навернутой по дуге окруж-
ности на круглый цилиндр. Радиус кривизны г совпадает тогда
с радиусом цилиндра, и если обозначим через 8 центральный угол,
заключенный между А а В (считаемый положительным от А к В),
то ds будет равно rdb. Предполагая f постоянным, из уравне-
ния (70) получим

1п ^ = /'9,	(71)

л А

ИЛИ

Отсюда мы видим, что наибольшее отношение натяжений, до-
пустимое без нарушения равновесия, зависит от величины угла 9,
но не от радиуса цилиндра.

Так как показательная функция efi растет очень быстро, то
достаточно обернуть веревку вокруг цилиндра небольшое число раз
для того, чтобы могло существовать равновесие при огромной раз-
нице между натяжениями.

Пусть, например, /’=1/а и требуется намотать веревку на
горизонтальный цилиндр таким образом, чтобы весом в 1 кг, при-
ложенным к одному концу веревки, уравновесить груз в 1 т,
подвешенный на другом конце веревки. Вследствие равенства (71)
необходимо, чтобы fb было равно, по крайней мере, In 1000; так
как отношение между десятичным логарифмом (который мы будем
обозначать 1g) и натуральным логарифмом одного и того же числа
есть 0,434..., достаточно будет принять

Q 3	— 9 — op 7

0,434	0,434

Так как каждому витку соответствует угол 2к, то число необхо-
димых витков будет >20,7/2^ = 20,7/6,28; таким образом, при
четырех витках цель будет достигнута с избытком.

§ 9. Равновесие тонких стержней

62.	Мы назвали материальной линией (гл. X, п. 5) всякое тело,
одно измерение которого настолько преобладает над остальными,
что конфигурация системы может достаточно хорошо определяться
какой-нибудь одной его внутренней кривой, называемой направляю-
щей. Известным примером материальных линий являются гибкие и
нерастяжимые нити, которые мы рассматривали в предыдущих
параграфах. При изучении вопросов их равновесия мы пренебре-
гали поперечными размерами нити не только с точки зрения гео-
метрической конфигурации, но также и при оценке действия при-
ложенных сил. Действительно, рассматривая силы, под действием
которых находится часть материальной линии, соответствующая
любому элементу ds направляющей, мы считали, что их можно
заменить одной силой Fds, приложенной в какой-нибудь точке Р
элемента дуги ds. В действительности эта сила заменяет силы,
приложенные в различных точках Q рассматриваемого элемента
материальной линии. В таких случаях, при поперечных размерах,
достаточно малых для того, чтобы с геометрической точки зрения
тело можно было рассматривать как линию, с физической точки
зрения может оказаться незаконным при оценке действия сил отож-
дествлять все точки Q рассматриваемого материального элемента
с точкой Р, т. е. пренебрегать моментами относительно точки Р
(а вместе с ними и результирующим моментом) сил, приложенных
в различных точках Q.

Здесь мы дадим краткие указания о постановке названной ста-
тической задачи, когда учитываются и эти моменты приложенных
сил.
63.	Отвлекаясь сначала от предположения, что речь идет о мате-
риальной линии, рассмотрим тело В какой угодно физической
структуры, и допустим, что геометрическая конфигурация тела может
быть определена плоской площадкой а (фиг. 68), которая, изменяясь
по величине и по форме, движется, описывая своей внутренней
точкой Р некоторую дугу АВ (направляющая) и оставаясь во вся-
ком своем положении нормальной к этой кривой. Обозначим через
<3j, а2 элементарные площадки на концах А и В, обе нормальные,
по предположению, к направляющей. Если допустим, для простоты,
что каждое сечение тела, нормальное к направляющей, пересекает

эту кривую только в одной
любую точку Р направляю-
щей, можно определить дли-
ной s дуги АР, отсчитывае-
мой в направлении от А
к В, принимаемом за поло-
жительное.

После этого представим
себе, что тело /8' удержи-
вается в равновесии некото-
рыми силами, приложен-

точке, то сечение, проведенное через

ными в точках площадок ар

а2, и некоторой системой непрерывно распределенных сил, действую-
щих на тело; обозначим через Fa и Fb результирующие сил, при-
ложенных соответственно к площадкам а2, и через АГа, АГв
соответствующие результирующие моменты относительно точек А я В.

Что же касается непрерывно распределенных сил, то мы будем

предполагать, что они приложены к каждому материальному элв'

менту тела и имеют порядок элемента массы, или, что одно и то
же, порядок элемента объема (массовая сила), как, например, для

силы тяжести.

Если рассмотрим в теле & любой элементарный слой, т. е.
часть тела, заключенную между двумя нормальными сечениями а,
о', соответствующими точками Р и Р' = Р + dP направляющей
с криволинейными абсциссами s и s-^-ds, то силы, прямо прило-
женные к материальным элементам слоя, приведутся к результи-
рующей силе, приложенной в точке Р, и результирующему моменту
относительно Р, которые после выполнения интегрирований по
конечной площади а принимают вид Fds и АГ ds, где F и АГ
обозначают два определенных конечных вектора, представляющих
собой функции дуги s. Подобно тому как мы условились в случае
нитей в п. 38, мы будем называть эти два вектора, характеризую-
щие совокупность активных сил, действующих на элементарный
слой, смежный с Р, результирующей силой и результирующим
моментом системы сил, отнесенными к единице длины напра-
вляющей, в точке Р.
Но при равновесии на каждый элементарный слой, помимо
активных сил с результирующей силой Fds и результирующим
моментом (относительно P)ALds, действуют силы, приложенные
к площадкам а и а7 и происходящие от соприкосновения со смеж-
ными слоями, если рассматриваемый слой не является одним из
двух крайних слоев; в этом последнем случае площадка или а2
подвергается соответственно действию Fa, Ма или Fb, Mb-
Чтобы точнее описать силы, происходящие от соприкосновения
с соседними элементами, рассмотрим любое нормальное (промежу-
точное) сечение а. При равновесии благодаря действию заданных
активных сил в сечении а возбуждаются внутренние молекулярные
силы, с которыми часть РВ тела, или, точнее, ее материальные
элементы, непосредственно прилегающие к а, действуют на отдель-
ные поверхностные элементы а. Сила, приложенная таким образом
к произвольному элементу поверхности а, представляет собой
бесконечно малую величину одного и того же порядка с элементом
поверхности (поверхностная сила). Интегрируя по всей конечной
площадке а, мы получим для усилий, действующих на площадку а
со стороны части РВ тела 5, некоторую результирующую силу Ф
и некоторый результирующий момент Г относительно точки Р,
представляющие собой конечные функции дуги s. Векторы Ф и Г
называются соответственно результирующим усилием и резуль-
тирующим моментом усилий в точке Р; составляющая усилия Ф,
касательная к направляющей (и, следовательно, нормальная к пло-
щадке а), и составляющая, расположенная в плоскости а, соответ-
ственно называются нормальным усилием и перерезывающим уси-
лием-, аналогичные составляющие результирующего момента уси-
лий Г называются крутящим моментом и изгибающим мо-
ментом.

Обращаясь теперь к усилиям, испытываемым частью РВ тела
в сечении а вследствие соединения ее с частью АР, заметим, что
усилие, действующее на всякий поверхностный элемент площадки а,
на основании принципа равенства действия и противодействия
прямо противоположно усилию, с которым действует на тот же
самый поверхностный элемент часть РВ; поэтому результирующая
сила и результирующий момент (относительно точки Р) усилий,
с которыми действует часть АР тела на площадь сечения а, будут
равны и прямо противоположны Ф(л) и Г(з).

64.	Теперь мы можем написать, исходя из основных уравнений,
локальные условия (необходимые) равновесия, т. е. условия, отно-
сящиеся к отдельному элементарному слою. Рассматривая сначала
неопределенные уравнения, обратимся к какому-нибудь слою, лежа-
щему внутри тела 8. В число внешних для слоя сил входят, по-
мимо активных сил с результирующей силой Fds и результирую-
щим моментом (относительно Р) Mds, усилия, испытываемые
слоем на обеих площадках а и о' вследствие его соединения
с частями тела АР, Р'В. Соответствующими результирующими
усилиями, на основании сказанного в предыдущем пункте, будут
—Ф(з) и Ф ("s—|—cZs), так что первое основное уравнение будет иметь
вид

Ф (s + ds) — Ф (s) F ds — О,
или

т+-Р=о.

ds 1

Для того чтобы написать второе основное уравнение, заметим,
что —Г_(з) есть результирующий момент относительно точки Р
усилий, испытываемых площадкой а, в то время как Г(з-{-^з)—
результирующий момент относительно точки Р' усилий, испыты-
ваемых площадкой а', так что результирующий момент этих уси-
лий относительно точки Р будет равен (гл. I, п. 32)

Г (з	ds) -Д- dP X Ф (s + ds).

Приравнивая нулю результирующий момент относительно точки Р
всех внешних сил, действующих на слой, получим второе основное
уравнение

Г (з -}- ds) — Г (s) dP X Ф (s -f- ds) ds — О;

разделив обе части на ds и перейдя затем к пределу при ds -> О,
получим

^-4-«ХФ(4+^ = 0,	(73)

где t — dPjds означает единичный вектор, касательный к направ-
ляющей, ориентированной в сторону возрастающих з, т. е. от А
к В.

Для определения условий на концах достаточно повторить пре-
дыдущие рассуждения для двух крайних слоев: так, например, если
обратимся к слою, заключенному между крайней площадкой
проходящей через точку А, и сечением а', проходящим через
точку A-{-dA, то, приравнивая нулю результирующую силу и ре-
зультирующий момент относительно точки А внешних сил, дей-
ствующих на слой, получим

Fa + F (0) ds + Ф (ds) = О,

Al а + Г (ds) -f- dA X Ф (ds) + JU (0) ds = 0;

переходя к пределу, при ds -> 0, будем иметь

Ра + Ф(0) = 0, Л£д4-Г(0) = 0.	(74')

Таким же образом для крайней площадки, проходящей через
точку В, обозначая через I длину дуги АВ направляющей, найдем

FB — Ф (I) = 0,	— Г (I) = 0.	(74")
65.	Уравнения (72), (73), (74) [т. е. (74') и (74")] представляют
соббй обобщения уравнений (42), (43) и. 40, относящихся к гибким
и нераетяжимым нитям. Они даже сводятся к ним, когда моменты
ЛИГ, Г, МА и ЛГв тождественно равны нулю и, кроме того, уси-
лие Ф действует по касательной к направляющей, так как в этом
случае уравнение (72) и первые из уравнений (74') и (74") совпа-
дают соответственно с уравнениями (42), (43), в то время как
уравнение (73) и вторые из уравнений (74'), (74") будут выпол-
няться тождественно.

Однако между этими двумя случаями имеются существенные
различия, на которых не бесполезно коротко остановиться в этом
и следующем пунктах.

В то время как уравнения (42), (43) в силу характеристического
постулата для гибких и нерастяжимых нитей (пп. 34, 40), необхо-
димы и достаточны для равновесия, уравнения (72), (74) только
необходимы; это станет ясным, если мы вспомним, что при их
выводе мы ограничились выражением того, чтобы удовлетворялись
основные условия для всякого элементарного слоя тела 5. Этот
слой должен рассматриваться не как материальная точка, а как
деформируемая система, и потому о равновесии его нельзя судить
на основании одних только суммарных величин (результирующей
силы и результирующего момента активных сил), входящих в урав-
нения (72)—-(74). Таким образом, эти уравнения обеспечивают
только возможность, но не действительное существование рав-
новесия.

Уравнения (72), (73) содержат, как и уравнение (42) в случае
нитей (п. 40), основные уравнения для всякой конечной части
тела 8%, заключенной между двумя любыми нормальными сечениями
а', а". К этому выводу можно придти, исходя из самого способа,
посредством которого были получены уравнения (72), (73), но его
также легко проверить и непосредственно. Если Р' и Р" суть
точки направляющей, соответствующие нормальным сечениям а', о",
и s', s"— их криволинейные абсциссы, то прежде всего, интегри-
руя равенство (40) вдоль направляющей от Р' до Р", имеем урав-
нение

Ф (s") — Ф (s') -f- J F ds = 0,
8'

которое и выражает обращение в нуль результирующей всех внеш-
них сил, действующих на рассматриваемую часть тела /?.

Что же касается результирующего момента всех внешних сил,
который мы для определенности будем вычислять относительно
точки Р', то вспомним прежде всего, что для сил, прямо приложен-
ных к слою, соответствующему любой точке Р с криволинейной
абсциссой s, результирующий момент относительно точки Р может
быть обозначен через Jf(s)ds и на основании уравнения (73) дол-
жен удовлетворять уравнению

_М^з4^Г-НрХФ = 0.	(73')

Результирующий момент всех прямо приложенных сил относительно
томки Р определяется равенством

ЛГ ds =	Р7? X F\ ds.

Исключая посредством уравнения (73') и принимая во внима-
ние уравнение (72), получим

ЛГ ds 4--f-dP X Ф + Р7? X <2Ф === 0,
или

М' ds -|- dr 4- d {FP'X Ф} = О.

Отсюда, интегрируя вдоль направляющей от Р' до Р", получим
уравнение

в"

f М' ds — Г (s') + (Г (s") + Р'Р" X Ф (*")} = О,
s'

которое и выражает то, что результирующий момент относительно
точки Р' всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части
тела 8, равен нулю.

66.	Отметим теперь другую существенную разницу между урав-
нениями равновесия нити и уравнениями (72)—(74).

Первые, как мы видели, определяют фигуру равновесия нити,
когда заданы внешние силы вдоль нити и условия на концах (ти-
пичный случай: нить, закрепленная на концах).

Вместо этого неопределенные уравнения (72), (73) дают шесть
скалярных уравнений между силами, конфигурацией и усилиями,
представляемыми в их совокупности двумя векторами Ф (з) и Г (s),
каждый из которых имеет три проекции, так что уравнения (72),
(73), дополненные условиями на концах (74), достаточны для опре-
деления этих двух векторов в зависимости от задаваемых как
угодно сил и конфигурации равновесия.

Интуитивные физические соображения приводят к заключению,
что конфигурация равновесия определяется внешними силами и
условиями на концах, если только задана материальная природа
системы, как это, например, можно заметить в случае металличе-
ского стержня, заделанного на одном конце и подвергающегося
действию заданной системы сил на другом.

Отсюда следует, что, для того чтобы рассматриваемую нами
статическую задачу представить в виде, отвечающем физической
интуиции, необходимо помимо сил (и условий на концах) задать
материальную структуру системы и вывести из нее некоторое даль-
нейшее относящееся к усилиям условие, которое вместе с систе-
мой уравнений (72), (73), (74) даст возможность определить
в функции указанных выше данных конфигурацию равновесия.

В общем виде эта задача решается в теории упругости. Однако
уже в случае гибких и нерастяжимых нитей мы имели первый
пример такой физической постановки задачи; теперь в качестве
прямой иллюстрации предыдущих рассуждений мы рассмотрим один
типичный случай, в котором вместо двух лишних векторов, вхо-
дящих в систему (72)—(74), имеется лишь один.

67.	Тонкие стержни. Рассмотрим тело с криволинейной направ-
ляющей, равновесие которого мы изучали в предыдущих пунктах,
и предположим, что наибольшее измерение h его нормальных сече-
ний а сравнимо с элементом дуги ds направляющей, в тбм смысле,
что может рассматриваться наравне с ним как величина первого
порядка. Такое тело в отношении геометрической конфигурации
можно рассматривать как материальную линию. Что же касается
нагрузок и вызываемых ими усилий, то мы будем считать, что,
несмотря на малость поперечных сечений, нужно принимать во
внимание также и моменты. Материальная система, определяемая
таким образом, носит название тонкого стержня.

Для равновесия тонкого стержня будут иметь силу уравнения
(72)—(74) п. 64, из которых для удобства мы перепишем здесь
неопределенные уравнения

+	+Jf_0.	(73)

Но если, как обычно, в качестве типичной активной. силы
берется вес, то мы приходим к предположению о внешних силах,
которое допускает замечательное упрощение уравнений (74') и (74").
Именно, руководствуясь поведением силы тяжести, допустим, что
величина результирующей Fds всех сил /, действующих на раз-
личные элементы элементарного слоя тонкого стержня, будет того
же самого порядка, что и сумма S |/| их абсолютных значений1).
Тогда соответствующий результирующий момент ЛГ ds (относительно
точки Р, определяющей положение слоя на направляющей) будет
иметь порядок величины X | f 18, где величина 8 не должна пре-
восходить наибольшего значения h поперечного сечения тонкого
стержня, так что вектор Л£ ds будет сравним по величине с F hds.
Так как величина h предполагается достаточно малой для того,
чтобы ее можно было рассматривать как величину того же порядка,

*) Заметим, что аналогичное предположение об усилиях Ф оказалось
бы незаконным.
что и ds, то заключаем, что будет того же порядка, что и
Fds, или, на основании уравнения (72), того же порядка, что и
йФ. Если мы допустим, в согласии с характером задачи, что изме-
нение усилия Ф на толщине ds любого слоя, т. е. вектор d&,
весьма мало по сравнению с самим усилием Ф, то вектор ЛГ (ко-
торый будет порядка йФ) можно считать весьма малым по сравне-
нию с«ХФ (порядка Ф). Таким образом, в уравнении (73) надо
положить 2lf==0, благодаря чему уравнения равновесия стержня
приводятся к виду

< + ^ = 0,	f + «XO = 0;	(75)

в эти уравнения, как уже было указано в конце предыдущего
пункта, входят только три вектора F, Ф и Г. Естественно, что
условия на концах сохраняют вид уравнений (74/), (74").

68.	Если мы отнесем неопределенные уравнения (75) предыду-
щего пункта к естественному трехграннику t, п, Ь направляющей
кривой, то получим так называемые внутренние, или естествен-
ные уравнения, аналогичные уравнениям (68) п. 56, относящимся
к нитям. Положив

ф = Ф2 п 4- Ф3 Г = Pj «4-r2n+r8&

и приняв во внимание формулы Френе (гл. I, п. 79) и очевидное
тождество

t X Ф = Ф2 & — Ф3 п>

мы найдем, что уравнения (75) перейдут в шесть скалярных урав-
нений:

—сФ2-М; = 0,	—сГ2==0,

^ + ^ + ^, + Рп = 0,	^ + еГ, + гГ,-ф, = О.

^-rf>a + F» = 0,	«1-хГ1 + Ф2 = 0;

когда мы имеем тонкий стержень с плоской направляющей, отно-
сительно плоскости которой можно считать симметричными как
активные силы, так и силы молекулярного взаимодействия, внутрен-
ние уравнения приводятся к трем уравнениям:

^+<ф,+ь-».

>+*•=«.

так как в этом случае т = 0, Fb = Ф3 = 0, Га = Г2 = 0.
69.	Взяв снова уравнения (75), предположим, что действующая
сила F тождественно равна нулю вдоль стержня, как это, напри-
мер, имеет место, когда речь идет о стержне, весом которого
можно пренебречь по сравнению с силами, приложенными на кон-
цах. При таком предположении первое из уравнений (75) имеет
интеграл

Ф = const,

т. е. усилие остается постоянным вдоль стержня.

Далее, так как второе из уравнений (75) можно написать
в виде

у + 4<^ХФ) = 0.	(79)

то, проинтегрировав его вдоль направляющей от точки A (s = 0)
до точки Р с криволинейной абсциссой s, получим

Г(з) + 7РХФ = Г(О),

или, принимая во внимание второе из уравнений для концов (74'),
Ма4-Г(з) + ЛРХФ = 0.	(77)

Векторное соотношение (77) выражает обращение в нуль ре-
зультирующего момента относительно точки А всех сил, действую-
щих на часть АР стержня; мы могли бы написать это соотноше-
ние и непосредственно, как второе из основных уравнений равно-
весия.

70.	Динамометры. Результаты предыдущего пункта приложимы
к случаю пружинных весов (динамометр), состоящих в основном
(гл. VII, п. 14) из пружины, изогнутой по винтовой линии и при-
крепленной одним своим концом А к оправе и имеющей на дру-
гом конце отросток, расположенный по ее оси; на конец В от-
ростка действует осевая сила Fb (АРв — 0). Ввиду того что мы
можем здесь пренебречь весом пружины (F = Q), усилие Ф будет
постоянным и, вследствие первого из уравнений для концов (74"),
равным Fb- Кроме того, из уравнения, аналогичного уравнению
(77) и относящегося к-концу В, полагая в нем Ф = Fb и Мв = 0,
выводим

Г(з) + ДРХ^в = 0,

т. е. в любой точке Р момент Г усилий по абсолютной величине
равен, а по знаку противоположен моменту относительно этой
точки силы Fb-

71.	Плоская эластика. В качестве последнего приложения ре-
зультатов п. 69 рассмотрим тонкий стержень АВ, который в со-
стоянии естественного равновесия, т. е. при отсутствии всякой
активной силы, имеет форму плоской кривой. Предположим, что
он достиг состояния вынужденного равновесия под действием дан-
ных активных сил, приложенных к его концам и симметричных
относительно его плоскости, т. е. под действием двух сил Fa и Fb,
приложенных к концам А и В и лежащих в плоскости стержня,
и двух (изгибающих) моментов ЛГд и Л£в, перпендикулярных
к этой плоскости.

Из соображений симметрии следует, что фигура равновесия
стержня будет плоской; а так как весом стержня в этом случае
можно пренебречь, т. е. положить F=O, то усилие Ф будет по-
стоянным вдоль стержня. Для возможности равновесия, на осно-
вании уравнений для концов (74'), (74"), должно быть

Ф = — Fa = FB.

Кроме того, при равновесии будет удовлетворяться уравнение
"+«ХФ-О,	(78)

которое здесь сводится к скалярному соотношению, так как оба
вектора в левой части перпендикулярны к плоскости фигуры.

Для того чтобы из этого уравнения можно было определить
фигуру равновесия, необходимо задать некоторые дополнительные
условия (и. 66). Чтобы охарактеризовать упругие стержни, вводятся
два предположения, подсказываемые непосредственно интуицией,
одно — качественного, другое — количественного характера.

а)	Если предположим, что тонкий стержень сначала имеет пря-
молинейную форму и будем рассматривать его в каком-нибудь со-
стоянии упругой деформации, оказывается естественным рассматри-
вать изгибающий момент Г в любой точке Р, происходящий от
внутренних действий, как момент упругих реакций, которые стре-
мятся уничтожить искривление стержня, т. е. заставляют сечение,
проведенное через точку Р, вращаться в ту сторону, поворот в ко-
торую уменьшает кривизну направляющей. Припоминая, что еди-
ничный касательный вектор t предполагается направленным в сто-
рону возрастающих s, т. е. от А к В, и что вектор п направлен
к центру кривизны, мы увидим, что указанное предположение ка-
чественного характера можно сформулировать так: изгибающий
момент Г стремится повернуть вектор п в сторону вектора t и по-
этому должен иметь направление, противоположное направлению
вектора бинормали Ь.

б)	Что же касается величины Г изгибающего момента, то допу-
скают, что во всякой точке Р направляющей она. пропорциональна
разности значений с0 и с, которые имеет кривизна в Р, когда
стержень находится в естественном состоянии и в условиях рас-
сматриваемого вынужденного равновесия; т. е. полагают

Г = 5|с —cQ|,	(79)
где В обозначает положительную постоянную величину. Это соот-
ношение, которое восходит к Якову и Даниилу Бернулли *) и к Эй-
леру, соответствует схематическому, но геометрически наглядному
представлению о внутреннем механизме упругих явлений в балке
и составляет теоретическую основу науки о сопротивлении мате-
риалов.

72. Для того чтобы освободить уравнение (79) от знака абсо-
лютной величины, необходимо напомнить некоторые сведения из
анализа бесконечно малых. Если дана плоская кривая и за пара-
метр выбрана длина дуги s (отсчитываемая от любой ее точки), то
равенства

ж = ж(«), y = y(s)

будут ее параметрическими уравнениями относительно каких-нибудь
заданных осей координат.

Пусть 6 есть угол (отсчитываемый как положительный в на-
правлении от оси х к оси у), который касательная в любой точке
Р кривой, ориентированной в сторону возрастающих s, образует
с положительным направлением оси ж; обозначая дифференциро-
вание по s штрихами, будем иметь

X — COS 6, у = Sin 6, X — — Sino-T-, У =008 0 -7-,
’ J	’	ds J	ds’

откуда следует

x'y" — x"y' = ^.	(80)

Если обозначим через к производную dft/ds (отношение угла смеж-
ности к соответствующей элементарной дуге), абсолютное значение
которой есть кривизна с кривой в рассматриваемой точке, то будем
иметь

к = ±с;

*) Яков Бернулли родился в Базеле в 1654 г., умер там же в 1705 г.,
был в течение многих лет профессором математики в Базельском универ-
ситете. Последователь Лейбница, он способствовал распространению анализа
бесконечно малых и был одним из первых основоположников системати-
ческого изложения интегрального исчисления. Применял новые методы
к вопросам механики, касающимся, в частности, цепной линии, таутохроны
и плоской эластики.

Даниил Бернулли, сын Ивана Бернулли, родился в Базеле в 1700 г. и
умер там же в 1782 г. Ближайший друг Эйлера, был его сотрудником
в течение двадцати лет в Петербурге; затем вернулся в Швейцарию и пре-
подавал, последовательно, медицину, метафизику и натуральную философию.
Помимо известных работ по основам теории упругости и сопротивления
материалов, указанных в тексте, мы обязаны ему исследованием по гидро-
динамике (содержащим, между прочим, знаменитую формулу, носящую его
имя), известными исследованиями о колебаниях струны и первой научной
попыткой создания кинетической теории газов.
остается выбрать знак, который мы должны приписать величине &
{кривизна со знаком) в отличие от величины с, по определению
существенно положительной (гл. I, п. 73).

Для этой цели заметим прежде всего, что k = df)/ds не зависит
от выбора осей координат (если, конечно, рассматриваются только
пары осей, конгруентных друг другу в плоскости): действительно,
длина дуги s не зависит от выбора осей, а угол 0 при изменении
положения осей (если остается неизменным положительное напра-
вление вращения) возрастает во всех точках кривой на одну и ту
же постоянную, положительную или отрицательную, так что при-
ращение db остается неизменным. Следовательно, для определения
знака к мы можем обратиться к осям, выбранным наиболее удоб-
ным образом. Именно, мы возьмем за начало координат произволь-
ную точку Р кривой и за ось х касательную в Р, направленную
в сторону возрастающих s, вследствие чего ось у будет однозначно
определена тем условием, что она должна составлять с осью х си-
стему осей, конгруентных с системой первоначальных осей. Отно-
сительно новых осей в точке Р = О мы будем иметь

х' — 1, у' = О

и, на основании равенства (80),

у" = Ь;

так что в непосредственной близости отточки Р разложения х, у
в ряд Тэйлора примут вид

X = 8 -}- . . .,

г/= A-fcj2-]-...

Отсюда непосредственно следует, что, в зависимости от того,
будет ли к > 0 или < 0, кривая будет обращена вогнутостью
в сторону положительных у или в противоположную сторону. Обра-
щаясь к обычным единичным векторам t и п и вспоминая, что
вектор п, по определению, всегда обращен в сторону вогнутости
кривой, мы можем высказать предыдущее замечание так: кривизна
к будет положительной или отрицательной в зависимости от того,
совпадает или не совпадает направление вращения от t к п в пло-
скости кривой с направлением вращения от оси х к оси у, или
также в зависимости от того, совпадает или не совпадает напра-
вление вектора бинормали Ь с положительным направлением оси г.

73.	Вернемся теперь к случаю тонкого стержня, первоначально
прямолинейного и находящегося в состоянии упругой деформации.
Так как изгибающий момент Г всегда направлен в сторону, про-
тивоположную стороне Ь (качественная гипотеза „а“ п. 71), тогда
как кривизна 7c = ztc будет положительной или отрицательной,
в зависимости от того, будет ли сторона Ь совпадать со стороной
направления оси s или нет, то количественное предположение (79)
в том случае, когда имеем со = О, можно написать в более опре-
деленном виде

Гг = -5й.

Число к здесь можно рассматривать как разность между кривизной
(со знаком) в состоянии упругого и кривизной в состоянии есте-
ственного равновесия. С этой точки зрения предыдущее уравнение
можно непосредственно распространить на случай направляющей,
уже искривленной в естественном состоянии равновесия, и написать
в виде

Г,= - В (к-kJ.	(79')

74.	Мы ограничимся случаем к0 = const, т. е. предположением,
что в естественном состоянии тонкий стержень имеет форму дуги
окружности или, в частности, прямолинейного отрезка. Если уси-
лие Ф (постоянное вдоль тонкого стержня, п. 69) равно пулю и,
следовательно, равны нулю силы Fa, Fb, действующие на концах,
то из равенства (78) мы увидим, что вдоль тонкого Ътержня изги-
бающий момент Г остается постоянным, так что на основании ра-
венства (79') постоянной будет также и кривизна; т. е. фигурой
равновесия плоского тонкого стержня (плоская эластика) будет все
еще дуга окружности (или прямолинейный отрезок).

Если Ф^О, то достаточно взять ось х параллельной Ф и на-
правленной в ту жё сторону для того, чтобы уравнение (78),
спроектированное на ось я, приняло вид

^_ф^ = 0.

ds ds

Если принять во внимание равенство (79'). и припомнить, что

7 d6 dy .

к = -=- и = si п О,

ds ds	’

ТО	Л’П

Ь’^ = -ф8тО;

положив

В = Ф12

и подставив в предыдущее уравнение, мы получим

— л sinO.	(81)

ds2 р	4 7

Это и есть дифференциальное уравнение, определяющее пло-
скую эластику в предположении с0 = const.

Не останавливаясь на аналитическом представлении интеграла
этого уравнения, мы ограничимся замечанием, что если стержень
в естественном состоянии является прямолинейным и подвергается
небольшому изгибу, как это происходит в случае тонкого прямо-
линейного стержня, заделанного одним концом и подвергающегося
на другом конце действию сил, направление результирующей ко-
торых мало отличается от направления стержня, то угол между
касательной к направляющей в любой точке и ориентированным
направлением усилия Ф можно рассматривать как малую величину
первого порядка; уравнение (81) сведется тогда к уравнению

<Р6 _ а

которое интегрируется в тригонометрических функциях (гл. II,
и. 36).

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Стержневая система находится в равновесии в вертикальной плоско-
сти. Три последовательных стержня в одном и том же направлении обхода
наклонены к горизонтали под углами а, 8, у. Промежуточные узлы этих
трех стержней находятся под действием вертикальных нагрузок р и q.
Доказать, что существует соотношение

р _ sin (а — fl) cosy
q sin (fl — y) cos a'

2.	Показать, что если линии действия сил, приложенных к промежуточ-
ным узлам веревочного многоугольника, пересекаются в одной и той же
точке О, то веревочный многоугольник лежит в плоскости, проходящей
через О. Различные усилия Ф все имеют один и тот же момент относи-
тельно точки О.

3.	Стержневая система Р^Р^ ... Рп^гРп (с чисто узловыми внешними
силами) представляет собой простой замкнутый многоугольник, в котором Рп
совпадает с Pj. Для того чтобы иметь условия равновесия, достаточно
отбросить условия на концах (6) и, наоборот, присоединить одно уравнение
к уравнениям (5) (приписывая, например, индексу г также значение 1 и
замечая^ что индекс 0 должен быть отождествлен с п).

В этом случае точки и Цп силового многоугольника должны совпасть.

Показать, что существует такая точка О (полюс), что отрезки OQ\,
OQ*..., OQn-i, по величине и направлению, представляют усилия Ф^
(достаточно применить правило, указанное в п. 26).

Как можно определить положение полюса, если заданы длины стержней
веревочного многоугольника и силы Fi, F& ..., Fn, приложенные к узлам?

4.	Два кольца Р, Q могут скользить (без трения) вдоль нити заданной
длины и ничтожного веса, привязанной к двум точкам А, В.

На первое кольцо действует только его вес р, на второе кольцо
с ничтожным весом действует сила величиной q в заданном направлении,
не вертикальном, но содержащемся в вертикальной плоскости, проходящей
через точки А, В.

При равновесии угол между двумя частями нити, которые сходятся в Р,
должен делиться пополам линией действия приложенной силы (веса кольца Р);
то же самое нужно сказать и о частях нити, сходящихся в Q.

Доказать это свойство, исходя из замечания, что равновесие должно
существовать и в том случае, когда мы закрепим одно из колец, благодаря
чему к другому можно применить рассуждения гл. IX, и. 13; два отрезка
нити будут тогда фокальными радиусами-векторами эллипса, а сила будет
направлена по нормали к эллипсу.

Отсюда тотчас же следует, если принять во внимание условия равно-
весия колец (узлов) Р и Q, что абсолютная величина растягивающего усилия
остается постоянной вдоль нити.

Мы можем поэтому решить задачу графическим способом, пользуясь
силовым многоугольником. Достаточно провести из какой-нибудь точки
отрезок §2§з> эквиполлентный весу р, из Q3 отрезок Q3Q4, эквиполлентный
другой силе д, и заметить, что полюс должен находиться на равных
расстояниях от точек Q2> Qi (вследствие постоянства натяжения) и
лежать в той же плоскости, что и эти точки, так что он должен совпадать
с центром круга, описанного около треугольника Q^Q3Q4.

Распространить решение на случай, в котором заданное направление
силы q не лежит в вертикальной плоскости, проходящей через точки А, В,
а также на случай, в котором вместо того, чтобы задать направление, требуют,
чтобы линия действия силы q проходила через некоторую точку С верти-
кальной плоскости, содержащей точки А, В. (Заметим, что это последнее
предположение можно осуществить очень просто, помещая в С блок, по
желобу которого проходит нить, прикрепленная одним концом к кольцу Q
и несущая на другом конце груз q.)

5.	Тяжелая неоднородная нить, прикрепленная к двум неподвижным
точкам А, В, находящимся на одной и той же высоте, располагается по
дуге окружности (нижней полуокружности). По какому закону должна
изменяться плотность (линейная) нити?

Каково выражение натяжения в любой точке?

6.	Тяжелая нить, подвешенная за ее концы, располагается по кривой,
представляемой уравнением су3 = а4 (с — постоянная, ось у вертикальна).
В какой точке находится максимум линейной плотности нити? Каково это
максимальное значение?

1.	Два конца А и В поддерживающего каната висячего моста не нахо-
дятся на одном и том же уровне. Обозначив через h превышение точки А
над В, через f превышение точки В над нижней точкой каната (стрела
провеса), через а пролет, через 2р вес 1 not. м моста, определить наиболь-
шее натяжение, которому подвергается канат.

8.	Канат закреплен в двух точках А, В, расположенных на одном и
том же уровне. Его нагрузка состоит из двух равных клиньев, имеющих
вид прямоугольных треугольников, симметрично расположенных относи-
тельно средней вертикали таким образом, что два катета их горизонтальны,
равны каждый АВ/2 и имеют на средней вертикали общую точку, пред-
ставляющую собой общую вершину острых углов треугольников.

Можно считать, что на каждый элемент ds нити действует вертикальная
сила (направленная вниз), пропорциональная горизонтальной проекции эле-
мента и своему расстоянию от средней вертикали. Принимая эту вертикаль
за ось у (с положительным направлением вверх) и обозначая через р
множитель пропорциональности, показать, что для проекции Y силы, отне-

сенной к единице длины, мы будем иметь выражение —р I ж 1 (пп. 46 и 50).
Определить веревочную кривую на основании уравнений (45), а также
(при очевидном значении букв) соотношение между <р, р и а.

9.	Длина дуги з цепной линии, отсчитываемая от вершины (нижней
точки), выражается через угол наклона 0 касательной к горизонтальной
плоскости формулой [см. формулы (55) и (57)]

s = — tg в.

Р

Однородная тяжелая нить АС длиной I прикреплена одним концом
к данной точке А и свешивается таким образом, что, начиная от некоторой
точки В, идет далее по линии наибольшего наклона данной плоскости к.
В точке А имеется стенка, наклоненная под углом а к вертикали, и нить
касается ее. Угол наклона плоскости я равен £. Определить длину Zj куска ВС
нити, лежащего на этой плоскости, в предположении, что трение ничтожно
и им можно пренебречь. (Приравнять значения натяжений в точке В, отно-
сящихся к кускцм АВ и ВС. Первое определяется обычной формулой для
натяжения цепной линии [формулой (65)]; второе —это надо доказать —
равно произведению веса куска ВС на sin р.)

10.	Дана однородная нить длиной I. В одном случае концы ее прикре-
пляют к двум неподвижным точкам А и В, лежащим на одной и той же
горизонтали, и оставляют под действием ее веса, В другом случае ее
поддерживают также и в средней точке, прикрепляя эту точку к средине С
отрезка АВ. Доказать, что в крайних точках А, В обе цепные линии вто-
рого случая имеют тот же самый наклон, что и цепная линия в первом
случае, в то время как натяжение во втором случае в два раза меньше, чем
в первом.

11.	Однородная нить длиной I прикреплена одним концом к неподвижной
точке А и проходит по небольшому блоку В, расположенному на высоте
точки А. Часть нити, находящаяся за блоком, свободно свешивается вниз.

Выразить длину I; свешивающейся части нити в функции от I и от а
(расстояние АВ), предполагая ничтожными размеры и трение блока.

Каково наибольшее значение а, при котором еще возможно равновесие?

12.	Расстояние а между двумя последовательными изоляторами теле-
фонной линии равно 80 м. Провод (бронзовый, диаметром в 1 мм) весом 7 кг
на 1 км, так что вес р 1 пог. м равен 7-10~3 «», был натянут в момент
подвешивания грузом в 4 кг. Эта нагрузка действовала на проволоку в гори-
зонтальном направлении (посредством блока) до пайки, так что ее можно
отождествить с горизонтальным натяжением <р. Так как отношение

ра 7 • 10~3 -80 Л.

<f	4

достаточно мало, то цепную линию можно рассматривать как дугу параболы
(п. 54) и пользоваться соотношением (48').

Предполагается, что подвешивание провода производилось летом при
средней температуре 20°. Когда температура падает, проволока укорачивается
и ее длина становится равной 1'<^1; а, конечно, остается неизменным, а р
мы должны будем заменить через р' = pl{l'. Это увеличивает натяжение
и дает новое значение <р' величине <р. Определить [пользуясь равен-
ством (48')] для наиболее низкой зимней температуры, считая ее рав-
ной — 10° С и приняв коэффициент расширения провода равным 16 • 10~6 см
на каждый градус Цельсия. Найти также наибольшее натяжение провода
при заданных условиях [6,225 кг; ср. G. Bisconcini, Boll, dell' Unione Mat.
Italiana, IV, 5—7 (1925)].

13.	У дуги цепной линии концы находятся на одном и том же уровне.
Коли а означает пролет, то наибольшим значением натяжения Т, согласно
формулам (65) и (56), будет

— Л {еР°1-У е-ра/2?у
2

Для нити с заданной величиной веса единицы длины (или с заданной
линейной плотностью) т, как мы видим, изменяется вместе с длиной а про-
лета, постоянно возрастая, и вместе с горизонтальным натяжением <р (кото*
рое зависит от длины нити).

Допустив, что т не должно превосходить заданный предел t0 (для того
чтобы не подвергать нить излишней опасности), показать, как определить
предельный пролет а0 (т. е. наибольшую его величину, совместную с усло-
вием т С t0).

Показать, что:

1)	Если обозначить через то значение <р, которое мы имеем в случае
цепной линии, соответствующей предельному пролету, то рао/2^о является
корнем уравнения

ег-]~ е~г — z (ег — е-г) = 0.

2)	Предыдущее уравнение относительно z имеет только один положи-
тельный корень, заключенный между 1 и 2; приближенное значение этого
корня есть 1,2.

3)	Численное значение ао в функции от t0 получается из двух уравнений

Рао :

Ч

1,2,

то=>{е1’Че-^}.

4)	Стрела провеса f и длина I нити, Определяемые вообще из равенств

f =	{еР°№ +	_ 2J>;

I = ±	_ g~pa/^yt

будут равны приближенно i/з и 5/1 предельного значения.

Вычислить а0 для случая бронзового телефонного провода в 1 о
диаметром, принимая to = 15 к» и, как и в предыдущем упражнении,
р — 0,007 кг на 1 пог. м. (Будем иметь «0 = 2 841 м.)

Заметим, что для всякого значения величины а, меньшего предельного
пролета, стрела провеса, соответствующая наименьшему значению т, связана
с а тем же самым соотношением, которое связывает /о с «о-

При числовых данных задачи а = 1 км, т. е. не превосходит «ц. Поль-
зуясь для стрелы провеса f предыдущим выражением при ра[2у = 1, 2
(т. е. около одной трети километра), определить, каково будет наибольшее
растягивающее усилие? [Ср. Bisconcini, цит. место, стр. 341—345.]

14.	Исследуем вопрос предыдущего упражнения (определить наиболь-
ший пролет, совместимый с условием t < t0) на основании приближенной
формулы, которой обычно пользуются техники и инженеры (п. 54). Однако
надо заметить (это можно проверить вычислением), что таким образом мы
найдем только грубо приближенные результаты (с относительной ошибкой
около 1О°/о). Причину этого мы найдем, если покажем, что из формул, отно-
сящихся к сильно натянутой нити, следует равенство

*о

8,

так что мы находимся вне области, в которой было бы законным (п. 54)
применение приближенной формулы. Ср. Bisconcini, Boll, dell' Unione Mat,
Italiana, IV, 5—7 (1925), стр. 345—346.
15.	Приведем следующие (почти очевидные) геометрические замечания.

1)	Если р и <р — полярные координаты точки Р на плоскости, a i и
j—единичные векторы соответствующей декартовой системы осей Оху, то
будем иметь

ОР = р (cos tfi sin <pj).

2)	Для окружности с радиусом R (так как ds = В, dtp) отсюда следует

, dp	•	•	,	j

t = -v- = — sin <рг cos yj,
ds

n — — ~ OP = cos<pi — sin<y.
t\

3)	И, наконец, для винтовой линии на круговом цилиндре имеем, на
основании формул гл. I, п. 82,

t = ± sin 0 (—- sin ср/	cos су) + cos 0fc,

а также

п = & = — cos <р/ — sin cpj,

Ь = t X п = cos 0 (sin ср/ — cos <fj) ± sin 0fc,
причем будут иметь место верхние или нижние знаки, в зависимости от
того, идет ли речь о правой или левой винтовой линии.

Имея в виду эти замечания, показать, что если при равновесии тонкого
стержня, имеющего форму винтовой линии, внешняя сила F обращается
в нуль и, следовательно, усилие Ф передается неизменным, то проекции
его на касательную, Ф2 на главную нормаль, Ф3 на бинормаль будут
изменяться вместе с ср согласно формулам

Ф2 = щ A sin 0 cos (ср 4- а) + В cos 0,

Ф2 = A sin (ср + а),

Ф3 = A cos 0 cos (ср а) ± В sin 0,
где А, В, а (а также и 6) — постоянные, а для знаков остается в силе
указанное выше условие. В частном случае, когда усилие Ф является чисто
осевым, А = 0.

16.	В предположении, что внешние силы приложены исключительно
к концам тонкого стержня, находящегося в равновесии (F = 0), на основа-
нии уравнений (75) остается постоянным не только Ф, но также и Г • Ф.

17.	Вывести из внутренних уравнений равновесия тонкого стержня
(п. 68) три дифференциальных соотношения, каждое нз которых содержит
только одну из величин Ф1( Ф2, Г3.

18.	Определить (на основании уравнений п. 68) общие выражения для
перерезывающего усилия и изгибающего момента вдоль тонкого кругового
стержня, подвергающегося действию равномерно распределенных сил (Ft
и Fn— постоянные).

Указать статическое значение постоянных, вводимых интегрированием
(представляя себе стержень разрезанным вдоль любого нормального сечения).
Глава XV

ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ СТАТИКА

§ 1.	Принцип виртуальных работ

1.	Чтобы установить условия равновесия материальной системы S
какой угодно природы, когда известны связи и активные силы, под
действием которых система находится, теоретически достаточно
представить себе всякую связь замененной соответствующей реак-
цией и рассматривать систему как состоящую из свободных точек,
каждая из которых находится под одновременным действием при-
ложенных к ней активных сил и реакций. Условия равновесия
получатся, если для каждой точки системы приравнять нулю
результирующую этих двух сил.

Уравнения равновесия, к которым мы таким образом приходим,
содержат реакции связей, представляющие собой, вообще говоря,
неизвестные силы, так как в число данных задачи входят лишь
различные способы осуществления связей, а не самые реакции.
Отсюда следует, что, если мы хотим выразить условия равновесия
только посредством прямых данных задачи, мы должны из указан-
ных выше уравнений исключить реакции (ср., например, гл. XIII, § 3);
в конкретных случаях, как это заранее можно предвидеть, этот
способ исключения может оказаться весьма сложным, если не со-
всем невозможным.

Конечно, можно было бы попытаться упростить его, по крайней
мере в некоторых случаях, следующим искусственным путем, подоб-
ным тому, которому мы следовали в случае стержневых систем
(предыдущая глава). Так как мы уже вывели ранее условия равно-
весия для различных частных видов материальных систем (твердые
тела, стержневые системы, нити,...), то можно представить себе,
что данная система & разложена на отдельные системы, каждая из
которых принадлежит к одному из этих видов, и введя, кроме
активных сил, реакции, соответствующие взаимным связям различ-
ных частей системы /?, написать уравнения равновесия для каждой
из этих частей в отдельности. Но при этом в уравнения равновесия
всегда будут входить реакции, подлежащие исключению; важно
отметить, что при прочих равных условиях число подлежащих
исключению реакций будет тем больше (и, следовательно, тем более
трудным будет процесс их исключения), чем больше будет число свя-
зей, т, е. (пользуясь выражением, которое вполне точно в случае голо-
номных систем), чем меньше будет число степеней свободы системы.
Все это показывает, насколько желательно установить такие спо-
собы, при применении которых реакции автоматически исключались
бы из уравнений равновесия при самом составлении этих уравнений,
как бы ни были разнообразны и сложны практические приспособле-
ния, осуществляющие связи. В случае связей без трения такой
способ дается так называемым принципом виртуальных работ,
который мы сформулируем и разъясним в следующем пункте,
а индуктивное обоснование его дадим непосредственно после этого.

2.	Принцип виртуальных работ, в своей наиболее общей форме,
приложим как к статическим, так и к динамическим задачам. Его
можно выразить так:

Реакции, происходящие от связей без трения, таковы, что
сумма элементарных работ их равна нулю на всяком виртуаль-
ном обратимом перемещении и положительна или равна нулю
на всяком необратимом перемещении (ср. гл. VI, §§ 3, 4).

Полезно отметить, что при составлении суммы работ реакций
работа каждой из них должна быть вычислена на виртуальном пере-
мещении той материальной точки, к которой она приложена в рас-
сматриваемой системе. Так, если речь идет о системе материаль-
ных точек Pt<(i — 1, 2, ...) и есть реакция, приложенная
к точке Р{, то сумма работ 8А реакций на виртуальном перемеще-
нии 8Р4- определится соотношением

8A = S^<-8P<.
i

Заметим, что сформулированному выше принципу можно придать
более сжатую форму, а именно: сумма виртуальных работ 8А
реакций не может быть отрицательной.

Действительно, для необратимых перемещений это как раз и
утверждается в высказанном только что принципе; для обратимых
перемещений рассмотрим вместе с любым обратимым перемещением
противоположное ему перемещение; характеристическое неравенство
охватывает тогда одновременно случаи

8А>0 и 8А<0;

оба эти случая будут совместимы только при условии, чтобы было
8А = 0.

Оставляя в стороне системы с односторонними связями (что
довольно часто делается даже без явной оговорки), мы можем рас-
сматривать только обратимые перемещения; в этом случае принцип
виртуальных работ требует, чтобы работа реакций обращалась в нуль
на всяком виртуальном перемещении, совместном со связями, и
поэтому выражается равенством

8А==0.
Заметим, наконец, что свойство реакций, выражаемое принципом
виртуальных работ, не зависит от способа осуществления связей.
Это же можно сказать и об общих условиях равновесия, которые
мы выведем в ближайшем параграфе из этого принципа для любой
материальной системы. Таким образом, будет оправдан тот взгляд
на независимость условий равновесия от способа осуществления
связей, который был введен как руководящее правило в элемен-
тарной статике точки (гл. IX, п. 12) и с надлежащими оговорками,
в тех случаях, когда следует принимать во внимание трение и пас-
сивные сопротивления (поскольку эти последние можно представить
в виде трения в связях).

3.	С физической точки зрения законность принципа виртуальных
работ можно обосновать, показав, что он оправдывается (т. е. оказы-
вается согласным с опытами) в весьма большом числе частных
случаев; отсюда мы и приходим к естественному и необходимому
выводу, что его надо считать справедливым вообще.

а)	В случае одной точки, вынужденной оставаться на поверх-
ности или на кривой (лишенной трения), имеется одна реакция,
нормальная соответственно к поверхности или к кривой, тогда как
всякое виртуальное перемещение (по крайней мере, с точностью до
бесконечно малых порядка выше первого) расположено в касатель-
ной плоскости или соответственно на касательной прямой.

Поэтому элементарная работа (скалярное произведение силы на
перемещение) будет равна нулю.

б)	Остановимся на случае односторонней связи. Например, пред-
положим, что точка, находясь на поверхности, не может перейти
через нее на другую сторону, но ничто не мешает ей сойти с по-
верхности в ту сторону, на которой она находится.

В обыкновенной конфигурации (гл. VI, п. 21) связь не действует,
и потому работа R • 8Р равна нулю. В пограничной конфигурации
реакция в силу своей природы направлена в ту сторону от поверх-
ности, на которой находится точка, и нормальна к поверхности.
Эти свойства реакции, подсказываемые наблюдениями, равносильны
принципу виртуальных работ.

Действительно, на всяком необратимом перемещении, т. е. на
перемещении, которое направлено в наружную сторону, реакция и
перемещение образуют острый угол и работа положительна; у вся-
кого обратимого перемещения этот угол прямой и работа равна
нулю.

в)	В случае неизменяемой системы достаточно обратить вни-
мание на то обстоятельство, что реакции связей (реакцйи, возни-
кающие вследствие неизменности расстояний между точками системы,
а не реакции, происходящие от возможных связей с другими телами,
посторонними для системы) являются силами внутренними и потому
попарно равными и направленными в противоположные стороны.
Полная работа внутренних реакций может поэтому рассматри-
ваться как сумма работ, выполненных этими равными и прямо
противоположными силами, и утверждение, заключающееся в прин-
ципе виртуальных работ, будет доказано, если сумма элементарных
работ каждых двух таких сил будет равна нулю.

Пусть Р, Р' будут две какие угодно точки системы 8Р, 87''—
соответственные перемещения, испытываемые точками в общем вир-
туальном перемещении системы; JR — сила, с которой точка Р'
действует на Р, и JR' = — JR — сила, с которой точка Р действует
на Р'. Во всяком движении неизменяемой системы (гл. III, п. 2)
скорости двух любых ее точек имеют равные проекции на соединяю-
щую их прямую. То же самое свойство принадлежит, следовательно,
и бесконечно малым перемещениям, испытываемым точками (в дей-
ствительном движении системы) в течение некоторого промежутка
времени dt.

Так как, когда речь идет о системе со связями, независящими
от времени, всякое виртуальное перемещение является также и
возможным (гл. VI, п. 14), то мы можем считать, что 8Р и 8Р'
имеют равные составляющие по направлению РР'.

Обозначим, через Д общее значение этих составляющих, пред-
ставив себе для определенности, что за положительное направлелие
на РР' берется направление силы JR.

Тогда виртуальная работа JR • ьР силы R сведется к 7?Д (в силу
определения скалярного произведения), а виртуальная работа JR' • 8Р'
силы JR' — к —РД.

Отсюда следует, что

R • 8Р -[-JR' • 8Р' = О.

г)	Если, наконец, связи, наложенные на твердое тело, таковы,
что в теле имеется закрепленная точка или закрепленная прямая
или тело опирается (без трения) на другие тела, то мы тотчас же
видим, что виртуальная работа реакций, происходящих от этих свя-
зей, равна нулю в первых двух случаях и положительна или равна
нулю в третьем.

д)	Справедливость принципа виртуальных работ можно подтвер-
дить непосредственно в очень многих случаях как путем анализа
различных видов связей и комбинирования их между собой, так
(даже и для неголономных систем) и на основе более простых
постулатов и рассуждений.

Можно также утверждать, что для всех систем, встречающихся
в природе, удается установить его непосредственно; такое исследо-
вание очень способствует полному пониманию механики и ее много-
численных приложений.

Мы не можем пойти по такому длинному пути и примем принцип
виртуальных работ как общий постулат, рассматривая его как син-
тез опытных данных всей механики систем без трения. С абстракт-
ной точки зрения этот принцип дает все, что можно требовать от
общего принципа, так как он может быть выражен общей форму-
лой, приложимой к сколь угодно сложным системам ]).

§ 2.	Общие условия равновесия. Общее
соотношение статики

4.	Как в случаях, разобранных в .предыдущих главах, так и
в аналитической статике чаще всего приходится рассматривать
связи, вид которых, как бы ни был он сложен, не изменяется со
временем, что, впрочем, отвечает самой природе статических задач,
в которых речь идет об определении сил, способных удерживать
тела в покое.

По этой причине, а также и для того, чтобы следовать истори-
ческому ходу развития статики, мы изложим здесь приложение
принципа виртуальных работ к аналитической статике, обращаясь
к материальным системам, связи которых не зависят от времени',
следует, однако, заметить, что выводы, к которым мы таким обра-
зом придем, останутся в силе во всех случаях, если только речь
идет о системах без трения.

Из предположения о независимости связей от времени можно
легко вывести два следствия, относящихся к действительным пере-
мещениям системы:

а)	Действительное перемещение движущейся материальной
системы со связями, не зависящими от времени, за всякий бес-
конечно малый промежуток времени dt всегда можно рассматри-
вать как виртуальное перемещение.

б)	Сумма работ реакций на всяком действительном (бес-
конечно малом) перемещении системы равна нулю.

Следствие „а“ известно уже из кинематики (ср. гл. VI, п. 14),
так что остается только доказать следствие „б“. Далее, если дей-
ствительное перемещение (которое на основании следствия „а“ можно
рассматривать как виртуальное) является обратимым, то утвержде-
ние „б“ входит в принцип виртуальных работ.

*) Первые указания на принцип виртуальных работ можно встретить
уже у Аристотеля. Столетняя работа над этим принципом, проводимая на
наиболее замечательных конкретных задачах статики такими учеными, как
Стевин, Галилей, Декарт, Иван Бернулли, завершилась в синтезе Лагранжа,
поставившим во главу всей статики систем, лишенных трения, свой знаме-
нитый принцип виртуальных скоростей, который по существу выражает,
только лишь для случая равновесия, свойство реакций, высказанное в тексте,
и совпадает, даже и по форме, с так называемым общим соотношением ста-
тики (см. § 2). Допущение, сделанное в тексте, что указанное там свойство
реакций имеет место во всяком случае (а не только при равновесии),
оправдывается другими постулатами механики, как мы увидим в гл. V, т. II.
Для ознакомления с историческим происхождением принципа виртуальных
работ рекомендуем обратиться к лекциям G, Collonnetti, Г fonda-
menti della Statica, Турин, 1927.
Если действительное перемещение, рассматриваемое как вир-
туальное, оказывается необратимым, то следствие „б“ можно дока-
зать индуктивным способом, обращаясь, как в и. 3, к непосред-
ственному Аанализу типичных случаев и допуская непрерывность
реакций, которая, если предположить непрерывными прямо прило-
женные силы, что имеет место в большей части случаев, равносильна
допущению непрерывности ускорений точек движущейся системы
(ср. гл. II, п. 4), как это следует из основного уравнения та — F-j-R.

Действительно, обратимся к случаю одной материальной точки,
вынужденной оставаться на некоторой поверхности а (не изменяю-
щейся с течением времени). Действительное перемещение надо счи-
тать (как виртуальное) необратимым только тогда, когда точка
отрывается от поверхности в область, в которую связь не препят-
ствует ей двигаться. Если точка Р оставляет поверхность а в мо-
мент /0, то в моменты, t, непосредственно следующие за 10, реакция,
очевидно, будет равна нулю. Так как это будет иметь место при
каком угодно t > t0, как бы ни был момент t близок к t0, то мы
заключаем, при допущении непрерывности реакции R, что она
равна нулю, также и в момент t0 начала перемещения, так что
работа реакции для рассматриваемого перемещения, конечно, будет
равна нулю.

К подобному же выводу мы придем, очевидно, и в случае двух
материальных точек РР', связанных гибкой и нерастяжимой нитью;
при такой связи необратимым будет всякое действительное перемеще-
ние, при котором две точки переходят из одной конфигурации
с натянутой нитью в другую, бесконечно близкую конфигурацию
с ослабленной нитью. Применяя подобные рассуждения к различным
типам систем со связями, которые могут встретиться в природе, мы
придем, как это уже было при рассмотрении принципа виртуальных
работ, к следствию „б“.

5.	Рассмотрим теперь произвольную систему материальных то-
чек Р{ (г — 1, 2, ..., N), подчиненных связям без трения и не
зависящим от времени. Будем искать условия равновесия, т. е. усло-
вия, необходимые и достаточные, для того чтобы силы Fit прямо
приложенные к точкам Р{ системы, были в состоянии удерживать
систему в покое. Если для всякой точки Pt вместо связи мы введем
соответствующую реакцию R{, то отдельные точки системы можно
рассматривать как свободные материальные точки, каждая из которых
находится под действием силы F{ -f- R(, так что всякий раз, когда
система находится в равновесии, мы должны будем иметь (гл. VII, и. 11)

F{= — R{ (г=1, 2, ..., Л7);

N

сумма работ 8L =	активных сил Ft на каком угод-

но виртуальном перемещении oPi системы будет определяться
равенством

№

8Р = —= —8Л,
»’ = 1

где через 8Д, как и в п. 2, обозначена сумма элементарных
работ реакций.

Отсюда на основании принципа виртуальных работ в его общей
формулировке (п. 2) заключаем, что для равновесия системы необ-
ходимо, чтобы активные силы на всех виртуальных перемещениях
удовлетворяли соотношению

8Z < 0.	(1)

6.	Предполагая опять, как в и. 5, что на систему наложены
связи без трения, не зависящие от времени, мы можем утверждать,
что условие (1) является также и достаточным для равновесия
системы, т. е. если для всякого виртуального перемещения оправды-
вается соотношение (1) и система в данный момент находится
в равновесии, то она будет оставаться в равновесии до тех пор,
пока будет удовлетворяться это соотношение.

Достаточно показать, что если система, предполагаемая вначале
покоящейся, начала бы двигаться под действием данной системы
сил, то существовало бы, по крайней мере, одно ее виртуальное
перемещение, на котором, вопреки соотношению (1), сумма 8L
элементарных работ активных сил оказалась бы положительной.
Так как в силу замечания „а“ п. 4 всякое действительное пере-
мещение системы можно рассматривать как виртуальное, то доста-
точно также показать, что сумма элементарных работ активных
сил будет положительной на действительном перемещении, которое
испытывает система в первый элемент времени при переходе ее из
состояния покоя в состояние движения.

Для этой цели вспомним прежде всего, что если вводятся реак-
ции связей Ri} то точки системы ведут себя так, как свободные
материальные точки, на каждую из которых действует сила Ft-\-Rt.
Поэтому всякая точка Р{, которая начинает действительно двигаться
из состояния покоя (по предположению, существует, по меньшей
мере, одна такая точка), испытывает в первый элемент времени dt
перемещение 8Р<; которое, в силу закона возникающего движения
(гл. VII, п. 12), будет иметь направление и сторону соответствующей
силы Ft Ri, так что виртуальная работа (X -f- J?,) • 8РЪ совер-
шенная этой силой, будет существенно положительной >)•

*) Полезно добавить некоторые разъяснения о бесконечно малых пере-
мещениях ЪР(, которые мы рассматриваем в тексте. Воспользовавшись тем
обстоятельством, что речь идет о системах со связями, не зависящими от
времени, мы приняли за виртуальное перемещение ЪР( действительное эле-
ментарное перемещение, которое имеет место за элемент времени dt, еле-
Складывая выражения для элементарных работ, относящиеся к
точкам Pi, которые действительно движутся, и обозначая, как
обычно, через 8Z и 8Д суммы элементарных работ активных сил
и, соответственно, реакций, будем иметь

8Z + 8A>0.

Так как на основании замечания „б“ и. 4 8Д — 0, то предыду-
щее неравенство принимает вид

8JC > О,

что противоречит условию (1). Таким образом, доказано, что мате-
риальная система, которая находится вначале в покое и подвер-
гается действию активных сил, удовлетворяющих на всяком вир-
туальном перемещении условию (1), ие может придти в движение.

7.	Объединяя в общей формулировке оба предложения, одно
обратное другому, установленные в двух последних пунктах при
добавочном предположении „б“ п. 4, т. е. допуская непрерывность
реакций, мы придем к следующей основной теореме.

Условие, необходимое и достаточное для равновесия материаль-
ной системы со связями без трения (и не зависящими от вре-
мени), состоит в том, что сумма элементарных работ актив-
ных сил на всяком виртуальном перемещении должна быть равна
нулю или меньше нуля.

Это заключение, как мы видим, не зависит от способов осуще-
ствления связей, так как в нем идет речь о виртуальных переме-
щениях, которые зависят от геометрического и кинематического
эффектов связей, но не от тех устройств, при помощи которых
осуществляются связи. Это делает более ясными рассуждения п. 12
гл. IX.

дующий за любым начальным моментом I; т. е. мы положили '‘Р{ =
= Р( (t 4- dt) — Pt (t) = — щ dt2 4- бесконечно малые величины высшего по-
а

рядка, где третья часть равенства может быть получена на основании рас-
суждений пп. 62 и 67 гл. I, если применить разложение в ряд Тэйлора
к точке Pi (t 4- dt) и принять во внимание, что dP{/dt — щ — О. Отсюда ясно,
что различные ЬР{ будут иметь порядок dt2. Если dt рассматривается как
главная бесконечно малая величина, то каждой величиной 8Рг- можно было
бы пренебречь как бесконечно малой порядка выше первого и доказатель-
ство было бы лишь кажущимся. Но ничто не мешает принять саму вели-
чину dt2 за главную бесконечно малую, или, сохраняя dt в качестве главной
бесконечно малой, за виртуальные перемещения оР{ принять не самые раз-
ности Pi (t 4- dt) — Р/ («), но их отношения к dt. В обоих случаях ЪР{, не
равные нулю, будут бесконечно малыми одного и того же наименьшего
порядка (рассуждение ведется здесь в предположении, что желательно
исключить случай, когда не все щ являются нулями).
8.	Заметим, что в этой именно форме и был высказан с самого
начала принцип виртуальных работ (или, как одно время называли
его, принцип „виртуальных скоростей*1).

Здесь уместно остановиться на интуитивном доказательстве
принципа виртуальных работ, которое дал Лагранж $ своей Ана-
литической механике.

Обратимся к обычной системе из N точек Pir подчиненных
связям без трения, не зависящим от времени, и находящихся под
действием заданных прямо приложенных сил Ff, предположим сна-
чала, что величины Р* этих силг соизмеримы между собой, т. е.
могут быть выражены в виде

F{ = п^, F2 — п2т, ..., Fn = njfT,	(2)

где «j, и2, ..., nN обозначают N известных целых чисел. Если
величины сил Ft несоизмеримы, то всегда можно выбрать их до-
статочно малыми для того, чтобы
они могли быть представлены
в виде (2) с каким-нибудь заданным
\ Pt	приближением.

\	/ I Предположим теперь, что с ка-

\	/ I ждоп точкой Pt (фиг. 69) связано

\	/ I весьма малое, абсолютно гладкое

\	/ I колечко и что, кроме того, в про-

\	/ I странстве закреплены N таких же

\ п /	/ колечек Q{, соответственно на ли-

\	/ I нии действия каждой отдельной

\ V /	силы Ft и с той стороны, в кото-

\	/	’ рую действует эта сила *).

\ /	Привязав к колечку Q{ конец

W	гибкой и нерастяжимой нити, за-

q	ставим эту нить пройти попере-

2	менно через колечки Pt и

Фиг. 69.	Wj раз, так что между Р, и	будут

натянуты 2nt кусков нити. После
этого заставим свободный конец нити, который выходит в послед-
ний раз из Qlf пройти попеременно п2раз через Р2 и Q2; так будем
продолжать до тех пор, пока не будем иметь 2nN кусков нити, натя-
нутых между колечками Pn и Qn, и свободный койец, выходящий
из Qn- Предполагая нить натянутой по всей ее длине, приложим
к свободному ее концу силу, равную т/2. Так как нить передает
эту силу вдоль всей своей длины неизменной, то любая точка Р{,
поскольку между Pt и Q{ натянуты 2nt кусков йити, подвергается

•) Лагранж в своем доказательстве пользуется для рассматриваемой
цели полиспастами, составленными из отдельных блоков. См. Л а г р а н ж Я?. Л,,
Аналитическая механика, т. I, стр. 42—47, 1950. (Прим, ред.)
действию полного натяжения величиной 2п{ • т/2 = Ft в направле-
нии ориентированного отрезка P<Qi и в сторону от Р, к Q{, т. е,
в ту же сторону, в которую действует сила Fit так что только одна
сила т/2, приложенная к свободному концу нити, определяет в каж-
дой точке Pi системы, благодаря описанному устройству, силу,
тождественную заданной силе Ft.

Теперь заставим точки системы совершить виртуальные перемещения
8Pf; если есть проекция вектора на ориентированное направле-
ние вектора PiQt, то очевидно, что 6^ с точностью до бесконечно
малых высшего порядка дает вариацию расстояния между закреп-
ленным колечком Qi и подвижным колечком Рр. именно, мы будем
иметь сближение, если 8^ > 0, и удаление, если 8?г < 0. Другими
словами, мы можем сказать, что каждый кусок нити, натянутой
между Pi и Qi, укорачивается в алгебраическом смысле на 8^,
так что полное укорочение (алгебраическое), которое на рассматри-
ваемом виртуальном перемещении системы испытывает полная длина
нити, заключенной между закрепленным началом в Qt и концом Q#
последнего куска, натянутого между P# и Qn, определяется выра-
жением

2/Jj 8Z| —2'^2 8/q —|— .  • -Д- 2un 8Zjv.

Можно также сказать, что это выражение, взятое по абсолют-
ной величине, измеряет кусок нити, который при рассматриваемом
виртуальном перемещении системы выходит из кольца Qn или соот-
ветственно входит туда, в зависимости от того, положительно
или отрицательно это выражение.

Допустим, далее, что система под действием активных сил Ft
находится в равновесии. Предположив, что силы F{ заменены опи-
санным выше устройством, мы увидим, что точки Pi, вначале нахо-
дящиеся в покое, останутся в покое также и тогда, когда к свобод-
ному концу нити будет приложена сила т/2. Это означает, что
связи не допускают никаких перемещений точек Р4, при которых
нить, подчиняясь действию силы т; 2, выходила бы, хотя бы незна-
чительно, из последнего колечка Qn; или, другими словами, если
имеется равновесие, то для всякого виртуального перемещения
системы должно быть

2^^8/| —2^28^2 —.. • —2n^lN 0.	(3)

Обратно, легко убедиться, что если на всяком виртуальном пере-
мещении удовлетворяется соотношение (3), то система будет нахо-
диться в равновесии под действием силы т/2 или,, что одно и то
же, под действием заданных сил Fi. Действительно, если система,
предполагаемая вначале находящейся в покое, начала бы под дей-
ствием силы натяжения т/2 двигаться, До, по крайней мере, в
первый элемент времени нить следовала бы по силе т/2, вы-
ходя на некоторый кусок из кольца Qn; поэтому существовало бы
перемещение, совместимое со связями (действительное перемещение),
для которого осуществлялось бы неравенство

2^ SZj —2^2 ^2 4” * • • 4~ &In О

вопреки предположению (3).

Таким образом, необходимое и достаточное условие для равно-
весия выражается соотношением (3), которое, если обе части его
умножим на т/2 и примем во внимание равенства (2), преобразуется
в соотношение

F2 б/2 4~ • • • 4~ Fn 8^ <4 9,

т. е. как раз в соотношение (1) из п. 5.

9.	В пп. 4 — 7 было доказано, что для систем со связями без
трения и не зависящими от времени условие

8Z < О	(1)

необходимо и достаточно для равновесия. Но, как мы уже указы-
вали в самом начале, можно доказать, что оно является необходи-
мым и достаточным условием равновесия также и для систем со
связями без трения и как угодно изменяющимися во времени.

Соотношение (1), взятое в этом общем своем значении, обычно
называется общим соотношением статики.

Если система не допускает необратимых виртуальных переме-
щений, что будет иметь место, если система не имеет односторон-
них связей, то соотношение (1) сводится к равенству

8Е = 0	(Г)

и называется общим уравнением статики.

10.	Из соотношения (1) можно вывести два следствия.

1)	Если к системе активных сил S, способных удерживать дан-
ную материальную систему Z? в равновесии, присоединяется другая
система сил S', также способная удерживать /S в равновесии, то
результирующая система сил S4-S' (т- е- система, составленная
из сил систем £ и S') также удовлетворяет условиям равно-
весия.

2)	Если материальная система /8) отличается от системы 8 нали-
чием некоторых добавочных связей и если некоторая система сил S
удерживает /S' в равновесии, то тем более она будет удерживать
в равновесии систему /S). Действительно, виртуальные перемещения
системы /S) все содержатся среди виртуальных перемещений системы /S';
поэтому, если соотношение (1) удовлетворяется для всех виртуаль-
ных перемещений системы 8, то тем более оно будет удовлетво-
ряться для всех виртуальных перемещений системы /S) (но не об-
ратно). Если далее все связи двусторонние (или, в более общем
§ з. замечания о частных постулатах

253

случае, когда рассматриваемая конфигурация системы не является
предельной), то из соотношения (1') выводим:

Если система активных сил, приложенных к материальной системе,
находится в равновесии, то в равновесии будет находиться и система,
составленная из тех же самых сил, но обращенных в противопо-
ложные стороны.

§ 3.	Замечания о частных постулатах, введенных
в статике твердых тел и нитей

11.	Мы занимались уже подробно статикой твердого тела (гл. XIII).

Наше изложение основывалось, если не считать основных прин-
ципов механики, только на одном специальном постулате (гл. XIII, п. 1):

Равновесие твердого тела не нарушается, если к двум любым
его точкам прикладываются две равные по величине и прямо
противоположные силы.

Мы покажем сейчас, что это утверждение, введенное ранее как
самостоятельный постулат ради удобства, т. е. ради возможности
дать простое и элементарное изложение всей статики твердого тела,
теоретически является лишь частным следствием принципа виртуаль-
ных работ.

Доказать это можно непосредственно. Достаточно с одной стороны
заметить, что естественные твердые тела, к которым относится
указанный выше характеристический постулат, должны (приближенно)
рассматриваться как неизменяемые системы. G другой стороны,
вспомним (п. 3), что сумма элементарных работ двух равных и прямо
противоположных сил на всяком (бесконечно малом) перемещении,
не изменяющем расстояния между точками приложения сил, равна
нулю; это обстоятельство имеет место для всякого виртуального
перемещения твердого тела.

После этого становится ясным, что если твердое тело (с какими
угодно связями) находится в равновесии и, следовательно, сумма
виртуальных работ различных активных сил 8L < 0, то это же
соотношение будет иметь место и после присоединения двух равных
и прямо противоположных сил, так как сумма элементарных работ
таких сил при всяком виртуальном перемещении твердого тела
равна нулю.

12.	Так как характеристический постулат статики твердого тела
входит в принцип виртуальных работ, то в него должны входить
также и его следствия, в частности условия, определяющие равно-
весие в различных случаях, рассмотренных в гл. XIII.

Укажем здесь коротко, как можно их снова найти, пользуясь
общим соотношением статики.

Рассмотрим сначала свободное твердое тело, т. е. систему мате-
риальных точек, подчиненных исключительно связям неизменяемости;
пусть тело находится под действием данных активных сил. Вспом-
ним сначала, что, выбрав за центр приведения какую-нибудь точку О,
неизменно связанную с телом, мы получим наиболее общее вир-
туальное перемещение какой нибудь точки Р{ в виде (гл. VI, п. 16)

где Ю и to' обозначают два произвольных бесконечно малых вектора
(виртуальное перемещение полюса О и виртуальное вращение вокруг
точки О).

Поэтому если Ft есть равнодействующая сил, прямо приложен-
ных к точке Pt, то виртуальная работа активных сил определится
равенством

8Z = 2-₽<-[8O + <i>'xaP<];

i

раскрыв скобки и приняв во внимание векторное тождество (гл. I, п. 25)

F< • [и' X OPt\ = to' • [0Р4 X -FJ,

мы приведем полученное равенство к виду

i	г

Обозначив результирующую активных сил и их результирующий
момент относительно точки О, входящие в последнее равенство,
соответственно через 11 и М, мы получим общее выражение для
виртуальной работы активных сил

ЪЪ = Ю • -R + to' • Ж,

которое, как мы видим, зависит от В, М, а также и от характери-
стических векторов Ю и м' виртуального перемещения.

Так как здесь рассматриваются лишь связи, обеспечивающие
неизменяемость системы, которые не могут допускать необратимых
виртуальных перемещений, то можно воспользоваться общим урав-
нением статики; таким образом, мы приходим к заключению, что
для равновесия необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялось
уравнение

60 • R to' • М — О

при каком угодно выборе характеристических векторов 80 и и',
что равносильно двум условиям

Т? = 0,	Л£=0;

эти условия совпадают с теми, которые мы уже нашли в качестве
основных условий равновесия свободного твердого тела в п. 3 гл. XIII,
так как в рассматриваемом случае активные силы являются в то же
зремя внешними и, наоборот, все внешние силы являются только
активными.

В случае твердого тела, закрепленного в одной точке, выбрав
юлюс в этой точке, мы можем выразить самое общее виртуальное
геремещение точки (гл. VI, и. 17) в виде

(? = 1, 2, ..., N)
и, следовательно, будем иметь

= м' X М.

Так как бесконечно малый вектор ш' является совершенно про-
извольным, то обращение в нуль Si равносильно условию 2W —О,
которое было получено прямым путем в п. 5 гл. XIII как необхо-
димое и достаточное условие равновесия твердого тела в этом
случае.

Подобным же образом мы можем снова найти условие равнове-
сия для твердого тела с закрепленной осью (гл. XIII, п. 8), между
тем как. в случае тяжелого твердого тела, опирающегося на другие
тела (гл. XIII, § 4), благодаря наличию односторонних связей мы
получим условия равновесия, применив вместо общего уравнения
общее соотношение статики 8i<I0.

13.	Не бесполезно отметить, что в то время как силы, вхо-
дящие в выражение виртуальной работы 8Z, в общем соотношении
статики все являются только активными, в элементарной статике
(гл. XII, § 3) основные уравнения содержали внешние силы-, потом
из основных уравнений исключались реакции связей, поэтому окон-
чательные условия равновесия содержат силы, которые являются
одновременно активными (т. е. не происходящими от связей) и
внешними.

Может показаться, что силы, рассмотренные обоими методами,
не являются одними и теми же и что элементарный метод вводит
только часть тех сил, которые участвуют в образовании 8Z.

Строго говоря, это действительно так; но речь идет о несуще-
ственном различии, потому что возможные внутренние активные
силы, будучи попарно равными и прямо противоположными, ничего
не прибавляют к 8L (см. и. 3, „в“) и, следовательно, от них можно
отвлечься.

Поэтому из формального тождества окончательных условий рав-
новесия (даваемых для различных случаев обоими методами), можно
заключить о полном их совпадении, рассматривая в них только
внешние активные силы.

14.	Наконец, укажем еще, не приводя доказательства, что, исходя
из принципа виртуальных работ, можно построить статику гибких
и нерастяжимых нитей, полученную нами (гл. XIV) как предельный
случай статики стержневых систем на основе очевидного специаль-
ного постулата (гл. XIV, § 7), если выразить аналитически все пере-
мещения нити, совместимые с нерастяжимостью ее элементов. Это
приводит, как показал Лагранж, к введению (сначала как вспомо-
гательного элемента вычислений) функции Т точек нити, которая
потом истолковывается как натяжение; в конце концов этим путем
мы приходим к тем же самым  векторным соотношениям, которые
были уже найдены в упомянутой главе [неопределенное уравне-
ние (42) и условия на концах (43)].

§ 4.	Статика систем, находящихся нод действием силы
тяжести. Принцип Торричелли *)

15.	Рассмотрим произвольную материальную систему S и пред-
положим, что активные силы, действующие на нее, сводятся к весам
отдельных ее элементов.

Если предположим, что ось z вертикальна и направлена вниз,
и обозначим через т{ массу произвольного элемента Pit то сила F{,
приложенная к Pt, будет иметь проекциями

О, 0; mtg.

Обозначим через 8ж4, 8(/f, 8дг. проекции перемещения 8Р,-, испы-
тываемого точкой Pi при любом виртуальном перемещении системы.

Виртуальная работа активных сил, очевидно, сводится к выра-
жению

8L = 2Х •

i	i

где сумма распространяется на все точки Р{, составляющие систему.
Введем координату центра тяжести G системы

где т есть масса системы.

В Эванджелиста Торричелли родился в Фаенце в 1608 г., умер в Фиренце
в 1647 г. После изучения в Романье гуманитарных и естественных наук
отправился в Рим для усовершенствования под руководством Кастелли,
ученика и друга Галилея. В 1641 г. он был приглашен Кастелли в Арчетри
к его учителю, уже старому, слепому и больному, где помогал ему подго-
товлять к печати еще не опубликованные сочинения. Спустя три месяца
Галилей умер,, и Торричелли стал его наследником по должности матема-
тика герцога тосканского. Торричелли был крупным геометром, но после-
дующим поколениям известен главным образом своими открытиями в ме-
ханике, среди которых нужно назвать принцип, приведенный в тексте,
открытие атмосферного давления, изобретение барометра и формулу исте-
чения тяжелой жидкости из сосуда через отверстие. Эта формула содер-
жится в мемуаре „De motu gravium naturaliter descendentium".
Если испытывают приращения 8^, то £0 получит приращение
(вертикальное перемещение центра тяжести), определяемое равен-
ством

Выражение виртуальной работы может быть поэтому написано
в виде

8Z = тд 8^0,

так что условие равновесия 8L О сводится к соотношению

8^0 < О,

где равенство имеет силу для обратимых перемещений.

Поэтому для равновесия требуется, чтобы связи допускали для
центра тяжести только такие перемещения, для которых будет
иметь место соотношение 8^оСО, или, что одно и то же, для ко-
торых не может оказаться > 0. Мы пришли, таким образом,
к следующему результату (принцип Торричелли).

Для равновесия тяжелой системы необходимо и достаточно,
чтобы ее цейтр тяжести не опускался ни при каком виртуаль-
ном перемещении системы (т. е. чтобы не было положительных
приращений координаты я0).

16.	Полезно обратить внимание на то обстоятельство, что вы-
сказанный здесь принцип относится только к бесконечно малым
виртуальным перемещениям. Поэтому из него нельзя заключить, что
в положении равновесия высота центра тяжести должна быть в соб-
ственном смысле минимальной (т. е. ко-
ордината должна быть максимальной). Рас- Р
смотрим этот вопрос точнее, предположив для

определенности, что все связи двусторон- (	I

ние. Условие равновесия будет тогда иметь ’

вид Ц, = 0.	п

С другой стороны, как известно из ана-

лиза, для того чтобы функция имела макси- Фиг. 70.
мум или минимум, требуется не только, чтобы

обращался в нуль ее первый дифференциал (для системы значений,
к которой относится максимум или минимум), но чтобы, кроме
того, .удовлетворялось дополнительное условие, относящееся ко вто-
рому дифференциалу. Между тем в случае равновесия тяжелой
системы условие обращения в нуль первого дифференциала функ-
ции £о(8го = О) удовлетворяется, но ничего не известно о втором
дифференциале.

Поэтому равновесие может существовать и без того, чтобы вы-
сота центра тяжести была действительно минимумом; в частности
она может оказаться максимумом.
Это можно сделать очевидным, например, в случае тяжелой
точки, опирающейся на поверхность без трения: из двух положе-
ний равновесия Р, Q, указанных на фиг. 70, первое соответствует,
очевидно, максимуму, второе — минимуму высоты центра тяжести.

17.	Заметим, что более ограничивающее условие, заключаю-
щееся в том, что координата z0 должна иметь действительный
минимум, т. е. что центр тяжести должен находиться в самом
нижнем положении, совместимом со связями, обеспечивает одно-
временно существование равновесия и его устойчивость. В этом
случае, действительно, можно утверждать, что при всяком достаточно
малом перемещении системы, совместимом со связями, центр тяже-
сти поднимается. Отсюда следует, что при возвращении к положению
равновесия активные силы (которые здесь сводятся к весам отдель-
ных элементов) совершают положительную полную работу.

Условие устойчивости в статическом смысле, определенное
в п. 18 гл. IX, поэтому удовлетворяется.

§ 5.	Статика системы с полными связями. Простые машины

18.	Мы знаем, что системой с полными связями называется
всякая голономная система с одной только степенью свободы (т. е.
система, имеющая только одну лагранжеву координату) и со свя-
зями, не зависящими от времени. Такой, например, будет точка,
вынужденная оставаться на заданной кривой, твердое ,тело, которое
может вращаться вокруг неподвижной оси, винт в соответствующей
гайке и т. д.

Перемещения отдельных точек системы и, в частности, их
проекции Ы{ на линии действия сил Ft определяются (для любой
конфигурации) приращением 8g единственной лагранжевой коорди-
наты.

С другой стороны (так как в рассматриваемом случае не может
быть необратимых перемещений), общее условие равновесия будет
выражаться уравнением (1'), которое в настоящем случае можно
написать в виде

8Z = 2><^ = 0.	(4)

i

Оно, очевидно, равносильно единственному условию, которое
мы получим, если приравняем нулю коэффициент при произвольной
вариации 8g.

19.	Простые машины. Между системами с полными связями
заслуживают специального упоминания так называемые простые
машины (рычаг, наклонная плоскость, клин, винт и т. п.) и весы.
Условия их равновесия можно исследовать прямым путем, анали-
зируя, если надо, поведение отдельных частей (чаще всего твердых
тел) и вводя в виде вспомогательных величин взаимные реакции
этих частей.

Однако если отвлечься от трения, то очень быстро можно
достигнуть цели, обращаясь к принципу виртуальных работ. Этот
принцип дает условие равновесия в его окончательной форме, без
упомянутого выше введения и последовательного исключения вспо-
могательных реакций, которое требуется при элементарном способе
и которое может стать очень затруднительным, если система состоит
из многих частей.

Обычно, как в простых машинах, так и в весах, активные силы
сводятся к двум силам Ft и F%, соответственно называемым силой
и сопротивлением. Предположим, что системе дано единственное
бесконечно малое перемещение, совместимое со связями, и напишем
условие равновесия

^1^1+^2^2 = 0»

(5)

которое можно представить в конечной форме, если принять во
внимание, что в пределе отношение Щ/Щ зависит только от при-
роды системы и от рассматриваемой конфигурации равновесия.

Если заметим, что SZj и 8/2, взятые по абсолютной величине,
измеряют перемещения точек приложения сил Ft и F% в надрав-
лении соответствующих линий действия, то из равенства (5) (или,
лучше, из пропорции

которая является его непосредственным следствием) получим так
называемое золотое правило: „То, что выигрывается в силе, те-
ряется в пути".

Приложим предыдущие общие рассуждения к изучению винто-
вого пресса, весов Квинтенца (или десятичных), и бифилярного
маятника, отсылая за сведениями о других простых машинах и
о других типах весов к более полным сочинениям ’)•

20.	Винтовой пресс. Винт, вставленный в соответствующую
гайку, представляет собой систему с полными связями. Рассмотрим
любое бесконечно малое его перемещение, которое является вместе
с тем и виртуальным перемещением, так как связи в этом случае
не зависят от времени. Это перемещение, очевидно, может рассма-
триваться как результирующее двух других: элементарного поступа-
тельного перемещения в направлении оси (винта) .и элементарного
вращательного перемещения вокруг оси.

!) См., например, П. А п п е л л ь, Руководство теоретической (рациональ-
ной) механики, т. I, гл. VIII, п. 169, 1911 и руководство Е. В a g п о 1 i, Teoria
е eostruzione degli strumenti metric! e per pesare, изд. 2, Милан, 1925.
Обозначив через 8s0 величину первого, через 8w величину вто-
рого и через р шаг винта, легко увидим, что

8©: 8$0 = 2те: р.

Действительно, когда винт делает полный оборот, он продви-
гается на один шаг р в направлении оси; с другой стороны, связь
заставляет тело вращаться и двигаться поступательно вдоль оси
при постоянном отношении между величинами поворота и поступа-
тельного перемещения (идет ли речь о бесконечно малом переме-
щении, или о полном повороте).

Отсюда следует уже написанная пропорция, или соотношение

р и

(6)

21.	Предположим, далее, что винт находится в равновесии, нажи-
мая посредством пластинки те (фиг. 71) на часть плоской поверхно-

сти а, нормальной к оси, как это схемати-
чески происходит в прессе, и пусть винт
находится под действием силы F, прило-
женной к концу рукоятки и нормальной
к оси. Для того чтобы иметь дело с самым
обыкновенным случаем, предположим еще,
что сила F действует нормально к пло-
скости, определяемой рукояткой и осью, и
что собственным весом системы можно прене-
бречь (по сравнению с величиной силы F).
Таким образом, мы будем иметь следую-
щие активные силы: 1) сила F; 2) сопро-

ф	тивление, состоящее из совокупности давле-

ний (реакций), которые испытывает
Фиг. 71. пластинка те винта со стороны сжатой по-
верхности а. Результирующая всех этих раз-
личных реактивных давлений естественно будет равна и противо-
положна полному давлению, действующему на о: обозначим ее
абсолютное значение через Ф.

Предположим, что мы сообщили системе виртуальное переме-
щение, вращая рукоятку в одном из двух возможных направлений,
например в том, в котором ее стремится вращать сила F. Это
перемещение можно разбить на два: поступательное и вращатель-
ное. Оценим соответствующие части виртуальной работы различных
сил. При поступательном перемещении винта работа силы F, по
предположению, перпендикулярной к оси, равна нулю; давления
на пластинку (которые стремятся заставить винт вращаться в про-
тивоположную сторону) все совершают отрицательную работу,
в сумме равную —Ф8$о.
При вращательном перемещении (вокруг оси винта) работа дав-
лений, очевидно, равна нулю; что же касается силы F, то, ввиду
того что перемещение ее точки приложения идет в направлении
силы, работа будет положительной и будет измеряться произве-
дением F на величину перемещения. Таким образом, будем иметь
Fbhs>, где через Ъ обозначена длина рукоятки. Подставляя вместо
элементарного вращения Зю его величину (6), мы получим для
полной виртуальной работы выражение

7л6 21 з^-фз^,

так что условие равновесия будет выражено равенством

Ф =	(7)

Как мы видим, оно не зависит от размеров винта (радиуса ци-
линдра, на который нанесена винтовая нарезка), а зависит от
шага р. Для того чтобы произвести большие давления умеренными
силами, нужно, очевидно, уменьшить насколько возможно р и уве-
личить длину рукоятки.

22.	Если помимо F на головку винта действует другая анало-
гичная сила F' (также нормальная к плоскости, проходящей через
ось винта и через соответствующую точку приложения и стремя-
щаяся вращать винт в ту же сторону, что и сила F) и Ъ' есть
соответствующая рукоятка, то вместо (7) мы тотчас же находим
уравнение

ф=^{Р64-^и

Количество, стоящее в скобках, можно истолковывать как ре-
зультирующий момент сил и F’ относительно оси или как
результирующий момент всех активных сил, так как момент дав-
лений равен нулю; давление Ф, стоящее в левой части, можно
рассматривать как результирующую в направлении оси всех актив-
ных сил (так как силы F и JF ничего не прибавляют к ней).

Обозначая, как обычно, через JS и результирующую силу
й результирующий момент (относительно какой-нибудь точки на
оси) всех активных сил и через г направление оси (в одну из двух
сторон, выбранную как угодно), мы можем написать найденное
условие равновесия в виде

пг=^мг.

Было бы очень просто убедиться (припоминая общее выра-
жение 8£, приведенное в и. 12, и применяя его к винтовому
перемещению, о котором идет речь), что условие равновесия сохраняет
этот вид в общем случае, т. е. каково бы ни было число актив-
ных сил, приложенных к винту, их величина и направление.

23.	Весы Квинтенца. Кинематическую структуру таких весов
можно схематически описать следующим образом: коромысло АВ
(фиг. 72), которое может вращаться вокруг одной своей точки О
(лежащей между А и В), связано в конце Вив некоторой точке С,

лежащей между О и В, посредством двух вертикальных стержней

с двумя платформами DE, FG, первая из которых опирается
на неподвижное ребро Е,

О С В

А

jP

а вторая — на ребро HG,
прикрепленное к нижней
платформе. Обе платформы
будут горизонтальными,
если горизонтально коро-
мысло.

Пренебрегая весами ко-

Фиг. 72.

тело веса В (сопротивление), и

делить, какой вес Р (силу)

ромысла, соединяющих стер-
жней и платформ, пред-
ставим себе, что на верхнюю
платформу FG положено
предположим, что нам надо опре-

необходимо приложить в А, чтобы

удержать плечо в горизонтальном положении. Мы имеем здесь,

очевидно, систему с полными связями, и ее виртуальное перемеще-
ние (для конфигурации, в которой коромысло горизонтально) одно-
значно определяется углом 89, описываемым коромыслом вокруг
точки О. Перемещение точки А приложения веса Р (с точностью
до бесконечно малых высшего порядка) равно ОЛ-89. Перемещение
точки приложения веса JS (центра тяжести тела, которое нужно
взвесить), тоже вертикальное, но направленное в противоположную
сторону, вообще говоря, зависит qt положения, которое тело зани-
мает на платформе FG; но легко видеть, что, подбирая надлежащим
образом положение Н ребра HG на нижней платформе ЕЕ, можно
сделать так, чтобы это перемещение центра тяжести тела не зави-
село от его положения на FG. Очевидно, что, для того чтобы это
имело место, необходимо и достаточно, чтобы при виртуальном
перемещении платформа FG сохраняла горизонтальное положение,
или, другими словами, чтобы точки F и G испытывали равные
перемещения. Далее, в то время как точка F испытывает то же
самое перемещение, что и точка т. е. ОС • 89 — перемещение
точки G равно перемещению точки II, а это последнее, поскольку
точка Е неподвижна, получится (в силу пропорциональности между
дугами, соответствующими одному и тому же углу, и радиусами),
если мы умножим на HE/.DE перемещение точки D или переме-
щение точки В, которое определяется произведением ОВ • 80.
В результате верхняя платформа будет оставаться горизонтальной
при условии, что будет выполняться равенство

80 = ОС-80,

-Ujli

или

НЕ _ ОС

ЕЕ ~~ OB’

т. е., что две прямые ОЕ и ОН будут пересекаться в точке, лежа-
щей на прямой BD.

При этом предположении для существования равновесия необ-
ходимо и достаточно, на основании общего уравнения статики,
чтобы было

Р ОА -80 — 7?. ОС-80 = 0
или

Р-.В = ОС-.ОА.

Таким образом, мы имеем то же самое условие равновесия,
которое имело бы место, если бы вес В был приложен прямо
в точке О.

Заметим, что способ, аналогичный тому, кото-
рый мы здесь применили, позволяет также и для
обыкновенных весов Роберваля показать незави-
симость условия равновесия от положения, занимае-
мого грузами на чашках.

24.	Вифилярный маятник. Представим себе тяже-
лый твердый однородный стержень АА' (фиг. 73)
длиной 2а, удерживаемый в горизонтальном положе-
нии двумя гибкими и нерастяжимыми нитями длиной
прикрепленными соответственно к концам А, А'
стержня и к двум неподвижным точкам О, О', рас-
стояние 00' между которыми равно длине 2а

стержня. Система располагается в вертикальной плоскости, прохо-
дящей через точки О, О', принимая конфигурацию четырехуголь-
ника АА'ОО'.

Если к стержню АА' в горизонтальной плоскости, проходящей
через АА', прикладывается пара с заданным моментом Г, то стер-
жень, оставаясь горизонтальным, повернется на некоторый угол <р
(в направлении действующей пары) вокруг вертикали, проходящей
через его середину, в то время как та точка, которая сначала

*) Ж. П. де Роберваль родился в 1602 г. близ Бове, департамент
Уазы, умер в 1675 г. в Париже, был профессором в College reale de France.
Написал трактат о неделимых, с геометрическими приложениями к построе-
нию касательной. Занимался алгеброй и механикой и известен благодаря
изобретению весов, носящих его имя (1670 г.).
была в М, займет положение точки N этой вертикали, поднявшись
на некоторую высоту MN = h над своим первоначальным положе-
нием М (так как нити О А и О'А' нерастяжимы).

Определим условие, при котором сохраняется состояние равно-
весия стержня, предполагая, что весом нитей можно пренебречь.
Для этого заметим прежде всего, что, в силу симметрии системы
и действующих сил относительно вертикали точки 21Д центр тяжести
стержня, как мы только что отметили, останется на этой вертикали,
а сам стержень будет находиться в горизонтальном положении;
поэтому эту систему можно рассматривать как систему с одной
степенью свободы. С этой точки зрения виртуальное перемещение
(для указанной конфигурации равновесия) будет определяться
вариацией 67г. высоты h точки N относительно точки М и вариа-
цией 8ср угла между ВВ' и АА'. Для определения соотношения
между 87г., 8<р возьмем начало координат в точке М, ось z направим
по вертикали 21ЛУ, ось х— по прямой МА, ось у — по перпенди-
куляру к плоскости xz, направленному таким образом, чтобы на-
правление вращения от х к у совпадало с направлением действия
приложенной пары. Тогда, выразив, что расстояние между двумя
точками О, В с координатами соответственно а, О, I и acoscp,
asincp, h остается равным I, мы найдем

а2 {(1 — cos <р)2 sin2 ср} 4~ (7г. — I)2 — I2
или

4а2 sin2 4 + 7г.2 — 2lh = О.
J

Отсюда, продифференцировав, получим

a2 sin <р 8<р	(7г. — I) 87г. = О,

т. е.

8д==«1зп^8
I — ft т

Работа пары (которую мы представим себе состоящей из двух
противоположных сил величиной Г/2а, приложенных соответственно
в точках А, А', горизонтальных и перпендикулярных к стержню)
равна

2 а 8<р == Г Sep.

Общее уравнение статики дает условие равновесия в виде

Г 8ср —р 67г — О,

откуда, на основании значения, полученного для 87г.,
г агр sin <р
1 “ l — h '
§ 6. Статика голономных систем с каким угодно числом
степеней свободы. Условия равновесия в лагранжевых
координатах

25.	Мы будем рассматривать в этом параграфе голономную
систему, состоящую из точек (г = 1, 2, ..., N), имеющую п
степеней свободы. Относя ее к любой системе лагранжевых (неза-
висимых) координат qh(h = l, 2, ..., п), будем иметь

Л =	•••> 3»10	(г=1, 2, ..., #). (8)

Так как всякое виртуальное перемещение

п

8Р<” ®

Л=1

(где t>qh— произвольные и независимые вариации) будет здесь об-
ратимым (гл. VI, п. 14), то необходимые и достаточные условия,
для того чтобы система под действием данных сил Ft («= 1, 2,..., N)
была в равновесии, можно получить из общего уравнения статики

N

2^-8Л = 0,	(10)

<=1

которое, если примем во внимание уравнения (9), принимает вид
# п

<=1 А=1	h

ИЛИ

2$Л=о,	(ю')

если положим

N

2, ..., »). (11)
i=i	ft

Уравнение (10') должно иметь место при любом виртуальном пере-
мещении системы, т. е. при всяком возможном выборе произвольных
вариаций 8gft (в частности, когда все они принимаются равными
нулю, за исключением одной); отсюда следует, что при равновесии
должны одновременно удовлетворяться п уравнений

Qi = O, Qa = 0, ..., Qn = 0.	(12)

Если, наоборот, эти уравнения удовлетворяются, то будет удо-
влетворяться также и уравнение (10'), а следовательно, и ура-
внение (10) при каком угодно выборе 8gft, т. е. при всяком
виртуальном перемещении системы; таким образом, равновесие будет
обеспечено.

Следовательно, необходимые и достаточные условия для равно-
весия рассматриваемой голономной системы выражаются п уравне-
ниями (12).

26.	Рассмотрим п скалярных величин определяемых равен-
ствами (11). Из этих равенств следует прежде всего, что величины
будут равны нулю всякий раз, когда обращаются в нуль прямо
приложенные силы Ft; далее, когда голономная система сводится
к N свободным точкам Р{, так что за независимые координаты
можно принять декартовы координаты х{, yt, zt этих точек, то Qh
принимают вид

F<-^-, Fi-~-, Ff^- (i=l, 2, ..., N),
* дх. ’	1 ду.	дг. 4	’	’	’	"

г	i	i

т. е. сводятся к проекциям Х{, У,-, Zt активных сил Ft на оси
декартовых координат.

В виду этой аналогии (а также благодаря другим аналогиям
между Х{, Yi, Zt и Qh, которые мы сейчас укажем) величины Qh
обыкновенно называют составляющими данной системы сил по
лагранжевым координатам qj,1).

27.	Для того чтобы указать другие замечательные аналогии
между лагранжевыми составляющими Qh системы сил и проекциями

Yi, Z{ сил на декартовы оси координат, выясним сначала,
в каком смысле должны считаться заданными, с математической
точки зрения, активные силы Fif действующие на систему.

В согласии с тем, что было сказано в случае одной свободной
материальной точки (гл. VII, § 8), система сил 2^ (где F{ есть
результирующая сил, действующих на точку Р{ системы) в любой
момент определяется в функции от конфигурации -системы и от
скоростей отдельных ее точек. Если мы примем во внимание равен-
ства (8) и выражения, которые получаются из них для скоростей
различных точек

h=l h

то увидим, что система сил должна считаться известной, когда
каждый из векторов Ft задан в функции от обобщенных коорди-
нат qh, от обобщенных скоростей qh [которые называются скоро-
стями системы по лагранжевым координатам qh (гл. VI, п. 10)] и,
возможно, от времени.

!) Величины Qh называют также обобщенными силами. {Прим, ред.)
В частности, система сил называется чисто позиционной, если
силы зависят только от конфигурации системы, т. е. только от
величин qh. В этом случае, как это следует из равенств (11), также
и лагранжевы составляющие Qh будут зависеть только от qh; усло-
вия равновесия (12) дают тогда п уравнений между п координатами
положения qh, определяющими конфигурации равновесия системы,
аналогично тому, как это имеет место в случае одной свободной
точки, находящейся под действием позиционной силы, когда урав-
нения равновесия получают, приравнивая нулю проекции активной
силы на декартовы оси координат.

28.	Следуя дальнейшим аналогиям между силами Х{, Yi; Zt.
и укажем, что система сил JF£(i=l, 2, ..., N), приложенных
к системе N материальных точек, называется консервативной, если
сумма работ сил Ft на любом перемещении dPt системы тожде-
ственна с полным дифференциалом какой-нибудь функции U от 3^
декартовых координат xif у{, точек системы, т. е. когда имеем
тождественно

N

^Ff-dP^dU.	(13)

i=i

Так как это уравнение можно написать явно в виде

N	N

2 (Xi dXi 4- Yt dyt 4- Zi d^i) = У dXi 4- diji 4- ds^,
i=i	*=i	*

то заключаем, приравнивая коэффициенты при дифференциалах
(произвольных и независимых) с?ж£, dyit dst, что оно эквивалентно
&N тождествам

Х£ = ^-,	Zi = ^ (i = l, 2, .. ., N).

Функция U, определенная, по крайней мере, с точностью до адди-
тивной произвольной постоянной, называется, как и в случае
только одной консервативной силы, потенциалом системы сил.

Далее, применяя тождество (13) к случаю виртуального пере-
мещения, будем иметь

2 Fi -ьр<=ъи

1=1

или, принимая во внимание равенства (9) и (11),

N
предполагая потенциал U выраженным посредством равенств (8)
в функции от лагранжевых координат qh и отождествляя коэффи-
циенты при oqh, получаем

“ dq}’ $2 ~ <)32 ’ • • ' ’	“ dqn •

Поэтому мы можем сказать также, что и лагранжевы составляющие
являются производными от потенциала.

Следует заметить, что предыдущее замечание необратимо, так
как может случиться, что виртуальная работа на любом перемеще-
нии, совместимом со связями данной голономной системы,

п

2 Qn Чъ,
h=l

тождественно равна полному дифференциалу, а виртуальная работа
на совершенно произвольном перемещении

N

i = l
может и не быть такою.

Всякий раз, как лагранжевы составляющие Qh имеют потенциал,
из условий равновесия (12) и из тождеств (14) мы находим, что
всякому максимуму или минимуму потенциала соответствует
конфигурация равновесия голономной системы.

Если, далее, мы распространим на равновесие голономных систем
качественный критерий устойчивости, указанный в п. 18 гл. IX,
то увидим, что также и для этих систем конфигурациями устой-
чивого равновесия являются те, которым соответствует макси-
мальное значение потенциала. Мы вернемся к этому заключению
в динамике, где дадим ему более строгое обоснование.

29.	В п. 25 мы определили условия равновесия голономной
системы, отнесенной к независимым лагранжевым координатам.
Можно спросить, как выражаются эти условия в том случае, когда
прибегают, как это в некоторых случаях оказывается удобным,
к избыточным координатам. Ответ на этот вопрос будет вытекать
из рассуждений, которые мы изложим в следующем параграфе.

§ 7. Общая (аналитическая) статика.

Метод множителей Лагранжа. Вычисление реакций

30.	Для того чтобы иметь наиболее общие условия, рассмотрим
материальную систему Я из N точек Р<(г = 1, 2, ..., N), на кото-
рую наложены двусторонние и односторонние связи, как геометри-
ческие, так и кинематические. Мы знаем (гл. VI, п. 24), что если
система Р отнесена к системе осей Оху г, то виртуальные переме-
щения ЗР< системы для какой угодно конфигурации и момента
времени должны удовлетворять следующим г уравнениям, соответ-
ствующим двусторонним связям, и s неравенствам (включающим и
равенства), соответствующим односторонним связям:

N

2 аы • bPi = О

<=i

N

2 ««• < о
»=i

(&= 1, 2, ..., г), (15)

0 = 1, 2, .... s), (16)

где аы, aji обозначают (г-|-з).Р определенных (чисто позиционных)
векторов. Левые части этих (г—]—s) соотношений после выполнения
вычислений будут линейными однородными функциями от проекций
8жй Ъу{, перемещений 8Pf всех N точек системы. Обозначим
для простоты левые части соотношений (15), (16) соответственно
через Вк, U.; обозначая через a'ki, а"ы, a"ki и	соответ-

ственно проекции векторов aki и на оси Охуг, получим

Р4 = 2 («и Ч + аы Ч + а"м Ч>

а?)

^=2(а;Ч + «лЧ + «лЧ)-

Соотношения (15), (16) можно поэтому написать в более сжатой
форме:

РЙ = О	(fc=l, 2, ...,г),	(15')

Р,<°	0=1, 2, ...,s).	(16')

Если система Р подвергается действию системы сил, в кото-
рой Ft является равнодействующей сил, прямо приложенных
к точке Р{, то условия равновесия, благодаря тому, что наличие
односторонних связей (16) означает для системы Р возможность
необратимых виртуальных перемещений, будут даны общим соот-
ношением статики, а именно: для равновесия системы Р необхо-
димо и достаточно, чтобы для всех перемещений, определяемых
соотношениями (15), (16), силы Ft удовлетворяли условию

N

i=l

(18)

Далее, легко видеть, что мы будем в состоянии обсуждать
задачу о равновесии системы Р, когда будем иметь наиболее общие
выражения для N сил Fit удовлетворяющих соотношению (18)
на всех перемещениях, определяемых соотношениями (15), (16).
Действительно, получив такие общие выражения, мы сможем опреде-
лить, является ли данная система сил Ff способной удержать
систему в равновесии, проверив, войдет ли она в эти общие
выражения при надлежащем выборе содержащихся в них произ-
вольных постоянных.

31.	Обратимся поэтому к только что сформулированной задаче.
Заметим прежде всего, что если среди односторонних связей (16)
имеются только позиционные, то мы можем ограничиться рассмо-
трением системы только для тех конфигураций, которые являются
предельными для каждой из этих связей (гл. VI, п. 21), так как
в противном случае, по крайней мере, одно из условий (16) пере-
стало бы быть действительным и мы имели бы аналогичную задачу
с меньшим числом односторонних связей.

При таком предположении для сил Ff легко найти выражения,
зависящие от произвольных постоянных и удовлетворяющие, при
любом выборе этих постоянных, условиям равновесия (15), (16), (18).
Действительно, взяв г—s каких угодно постоянных величин

(к — 1, 2, .. ., г) и О’ = 1, 2, ..., з), положим *)

Г	3

(19>

Й=1	j=l

Сумму работ 8L = 2 F{ • этих сил Ft на любом переме-
к=1

щении 8Р,- можно выразить, принимая во внимание равенства (17),
в виде

Г	8

oi == — 2 ^кВк — 2] h'Cj;

k=l	J=1

отсюда мы заключаем, что для всех виртуальных перемещений
системы /?, определяемых соотношениями (15'), (16'), силы Ff,
определенные выражением (19), действительно удовлетворяют усло-
вию равновесия (18), как бы ни были выбраны постоянные
но при условии, чтобы постоянные jj-j все были отрицательными
(или нулями).

Таким образом, равенство (19) дает выражения для бесконечно
большого числа систем сил, под действием которых рассматриваемая
нами система будет находиться в равновесии.

Произвольные коэффициенты \к, p.s (последние подчинены огра-
ничениям p.j О 0) называются множителями Лагранжа.

*) В этих обозначениях знак минус поставлен для того, чтобы сохра-
нить обозначения Лагранжа, который, исходя из своего принципа вирту-
альных скоростей и обращаясь впервые к систематическому использова-
нию неопределенных множителей, пришел к условиям равновесия, экви-
валентным условиям (19), но имеющим скалярную форму.
32.	В рассуждениях предыдущего пункта остались нерешен-
ными два вопроса:

а)	Являются ли существенными в выражениях (19) множи-
тели Aft, в том смысле, что при изменении их будут изменяться
также и соответствующие уравновешивающиеся системы сил jF<?

б)	Дают ли равенства (19) наиболее общую систему сил, спо-
собную удержать в равновесии систему /?, т. е. получится ли
всякая такая система сил из равенств (19) при надлежащем выборе
множителей Хк,

Покажем, что легко ответить утвердительно на оба эти вопроса,
если остановиться на вполне приемлемом для приложений предпо-
ложении, что общее число »:-|-з связей (15), (16) меньше, чем 3N,
т. е. меньше числа составляющих вариаций ЗР1 и что уравнения

Вк = О, Uj^=Q (& = 1, 2, ..., я; 1, 2, ..., з) (20)
независимы между собой.

Это последнее предположение означает, что никакое из уравне-
ний (20) не является следствием остальных, или, другими словами,
между левыми частями уравнений (20) не могут существовать
тождества "с постоянными коэффициентами вида

Г	8 _

Zj + Zj P3U3 = О,
k=i	3=1

если не все множители равны нулю.

Отсюда получается ответ на вопрос „а“. Действительно, если
одна и та же уравновешивающаяся система сил Ff допускает два
различных представления (19) (одно с множителями Хк, \±к, другое
с множителями А', [/), то путем вычитания мы получим N тождеств

Г	8

— 4)аы+2(ь — Ь-)«л = 0	(i = l,

к=1	3=1

которые, после умножения на йРг и почленного сложения дали
бы тождество

Г	8

S (^к — ^к) Вк + 2 (1Ъ — Hj) ^3 ~

к=1	3 = 1

из этого тождества, вопреки предположению, следовали бы равенства

^к — 'К'к, Н) = НА (& = 1, 2, .. j — 1, 2, ..., з).

Поэтому заключаем, что равенства (19) дают оо различных уравно-
вешивающихся систем сил.

33.	Переходя к вопросу „б“ предыдущего пункта, заметим
прежде всего, что с кинематической точки зрения уравнения (20)
определяют только обратимые виртуальные перемещения системы $
(для какой-либо ее предельной конфигурации). Уравнения (20)
являются линейными и однородными по отношению к 3*V неиз-
вестным 8ж4, Зт/4, 8^4; так как, по предположению, число их мень-
ше ЗУ и они между собой независимы, то существуют п = ЗУ — r — s
линейно независимых решений этих уравнений, так что общее
решение получится посредством линейной комбинации этих' п
частных решений с п произвольными коэффициентами.

Этому общему решению мы можем придать наглядную и удоб-
ную форму, заметив, что каждое из п частных решений, рассмо-
тренных выше, дает ЗУ проекций векторов 6Р4 (i = 1, 2,..., У),
соответствующих какому-нибудь частному обратимому виртуальному
перемещению системы 8; обозначая через

tW, тСр),	(р = 1, 2,

(бесконечно малые) перемещения, получающиеся для точек Ри
Р2, ..., Pn из п частных решений, мы можем представить общее
решение уравнений (20), т. е. общее виртуальное обратимое пере-
мещение системы $ в виде

п

=	(г=1, 2,...,У),	(21)

р = 1 *

где '»р обозначают п произвольных коэффициентов.

Самая общая система сил Fit способная удержать систему
в покое, должна обладать тем свойством, что полная работа ее
на каждом из п обратимых перемещений должна быть равна
нулю, так что должны тождественно удовлетворяться п уравнений

N

= Q (р=1, 2,	(22)

i = 1

Эти уравнения составляют, конечно, только часть условий,
определяющих все возможные уравновешивающиеся системы сил
(при этом все еще не принимаются в расчет необратимые вирту-
альные перемещения), но они достаточны, чтобы убедиться, что
всякая такая система сил входит в выражения (19) из п. 31.

Действительно, уравнения (22), образующие систему из п линей-
ных однородных уравнений относительно неизвестных проекций
Х{, Yit Z{ сил F{, являются, конечно, линейно независимыми,
так как матрица их коэффициентов из п строк и 3N столбцов
есть не что иное, как матрица п линейно независимых решений
уравнений (20). Поэтому уравнения (22) имеют в свою очередь
ЗА'—» = r-|-s линейно независимых решений и самое общее ре-
шение линейно зависит от г-s существенных произвольных по-
стоянных, как они появляются в выражении

Г	S

= ~ 2 Ми —	(i = l,2,	п),	(19)

к=1	j=l

найденном прямым путем в п. 31.

Отсюда мы заключаем, что выражения (19), как это и было
высказано выше, дают (при соблюдении ограничений	кото-

рые отражают еще не рассмотренные условия для сил Ft) наибо-
лее общую систему сил, способную удержать систему в покое.

Это заключение, как уже говорилось в п. 30, кладется в основу
определения, является ли заданная система сил уравновешиваю-
щейся на нашей материальной системе; достаточно будет проверить,
войдет ли она в уравнения (19) при надлежащем выборе множите-
лей кк и (при существенных условиях pj-СО). Из замечания
в п. 32 следует, что в утвердительном случае эти множители будут
определены однозначно. Равенства (19) дадут в конечном счете
параметрическое решение соотношения (18) в согласии с соотно-
шениями (15), (16), и если примем во внимание только что сде-
ланное замечание, то можно будет также сказать, что они соста-
вляют условия равновесия системы 8 в параметрической форме.

34.	Применим эти условия к некоторым простым частным случаям.

Если речь идет только об одной точке Р, вынужденной дви-
гаться по поверхности (без трения)

/•(ж, у, г|/) = 0,

то виртуальные перемещения удовлетворяют единственному условию
^b-]_^8y+^ = 0,
дл 1 ду я 1 dz 9

так что имеется только одно уравнение вида (15') (п. 30) и, следо-
вательно, только один вектор а, определяемый проекциями

Поэтому параметрическое условие равновесия, если F есть
равнодействующая активных сил, будет выражено в векторной
форме равенством

F =— ка

или в проекциях на декартовы оси координат равенствами

Если же, наоборот, точка Р подчинена только односторонней
связи

®(ж, у, s।/)<со,
то мы должны иметь

при р.<СО.

Наконец, в случае точки, вынужденной оставаться на кривой
без трения

Л(^ У, -10 = 0,	f2(x, у, —

мы будем иметь два уравнения типа (15'), следовательно, два век-
тора а и два множителя л. Условия равновесия будут иметь вид

Х + Х/^ + ^т^^О,	У + А1^ + А2^2 = О,

1 1 дх 1 - дх ’	1 1 ду 1 J dz ’

Z-\- Aj + А2 = 0.

1	1 Oz 1 J dz

35.	Возвратимся временно к ограничительным предположениям,
допущенным в и. 32 о числе и независимости уравнении

/4 = 0, /4 = 0 (к = 1, 2, ..г; j = 1, 2, .. .,s).	(20)

Можно заранее считать, что уравнения Вк = 0, соответствующие
двусторонним связям, независимы и что их меньше 3N; действи-
тельно, мы можем не принимать во внимание те уравнения Вк = О,
которые случайно окажутся следствиями остальных, а число неза-
висимых между собой уравнений должно быть меньше 3N, если мы
хотим, чтобы система допускала, по крайней мере, одно виртуаль-
ное перемещение.

Однако этого нельзя сказать по отношению к уравнениям Uj — О,
которые выражают односторонние связи. Чтобы убедиться в этом,
обратимся к элементарному примеру. Пусть мы имеем только одну
материальную точку В, вынужденную не выходить из пределов
выпуклого многогранного угла с s гранями и с вершиной в точке О,
и хотим рассмотреть условия равновесия в положении О, которое,
очевидно, является предельным для всех связей.

Величины Uj в таком случае являются линейными однородными
формами от проекций 8ж, 6т/, Зя любого виртуального перемещения
точки Р. Если мы предположим, что речь идет о действительном
многогранном угле с числом граней, большим трех, то три (и только
три) из форм Uj будут независимыми, в то время как ни одна из
связей Uj 0 не будет лишней.

Для изучения независимости между собой односторонних связей
потребовалось бы более глубокое исследование, которым мы не будем
заниматься.

36.	Реакции. Как уже отмечалось с самого начала (п. 1) и
было показано непосредственно в §§ 2—6 (в частности, в случае
систем с полными связями), одно из главных преимуществ приме-
нения принципа виртуальных работ в статике заключается в том
обстоятельстве, что он позволяет систематически исключать реак-
ции и рассматривать одни только активные силы. Однако бывают
такие случаи, в которых главный интерес задачи сосредоточен на
определении этих реакций, или по крайней мере части их.

Мы покажем здесь, что метод множителей исчерпывающим
образом отвечает этим требованиям.

Обратимся к случаю, вполне разобранному и объясненному
в пп. 32—33, в котором для всякой системы сил, способной удер-
живать систему в покое, множители и у-j определяются одно-
значно.

Мы знаем, что в этом предположении представление активных
сил в форме

Г	Я

^ = -2^-2^	(i=l, 2, ..., N) (19)

k=l	j-1

эквивалентно общему уравнению статики.

Если мы введем все реакции Hit появляющиеся в отдельных
точках совокупности связей, которым подчинена система, то
при равновесии для каждой точки Pt должно иметь место равенство

И< = — Fi

(г = 1, 2, ..., М).

Поэтому, принимая во внимание уравнения (19), мы получим
для реакций выражения

Г	я

H'i— 2	2 РЛ'»	(«=1, 2, ...,М),	(23)

Й=1	J=1

представляющие собой разложение каждой отдельной реакции
в сумму г-j-s составляющих.

Каждую из этих составляющих можно рассматривать как дей-
ствие, оказываемое на соответствующую точку одной из r-j-s связей

ВЙ = О	(7с=1, 2, ..., г), (1b')

U^O	(7 = 1, 2, ..., s). (16')

Чтобы убедиться в этом, обратим внимание на одну из связей,
например на двустороннюю связь Вг = о, и заметим, что условия
равновесия (19) нашей системы молото написать также в виде

Г	8

Fi — — 2 Liiaia — 2	(7=1, 2, ..., A7).

A=2	J=1

В этой форме их можно истолковать как условия равновесия
новой системы А'1; подчиненной всем связям системы 8, за исклю-
чением связи В1 = 0, и находящейся под действием активных сил
F1-|-X1aH. Введенные таким образом А' дополнительных сил
эквивалентны действиям, оказываемым на точки Pt исключенной
связью Бг = О, и потому представляют собой реакции, происходя-
щие от этой связи.

Величина этой частичной реакции в любой точке опреде-
ляется выражением | | а1г. Если, в частности, исключенная связь
является позиционной и голономной

fK, ^5 •••; xN, yN, zN\t) = Q,	(24)

так что уравнение = О имеет вид

N

Шь'-+<8’'+<Ч=«-

4 = 1

то составляющие Х^", Хрх"' реакции этой связи в точке Р.
определяются выражениями

>ч^,	(« = 1, 2, ..., N);

1	dxi 9 1 tyi	1 дг^ v 9 9	>	„

поэтому величина реакции связи равна

а направление совпадает с направлением нормали к поверхности,
которая будет представлена уравнением (24), если мы положим
в нем t равным значению времени в рассматриваемый момент и
заставим изменяться только координаты х{, yl} а координатам
остальных точек системы припишем те значения, которые они
имеют в рассматриваемом положении равновесия.

37.	Способом, аналогичным тому, который был ррименен выше
для двусторонней связи, мы можем выделить реакцию в любой
точке Р^ происходящую от односторонней связи, например от
связи UjCO, и найдем, что эта реакция равна рча1<.

Если условие происходит от позиционной связи

? Ух> • • • >	®N> У1Я’ &N I 0	(26)

то ограничение для виртуальных перемещений

У(А8ж<++.£l8 А<0

4J\da:t 41 ду( । dzt

4=1

должно выполняться только для предельной конфигурации, т. е.
для конфигурации, в которой соотношение (25) удовлетворяется,
как равенство.
_____277

При этом предположении, реакция, происходящая от связи (25),
будет иметь в точке Р{ проекции

до	до	до

V'1 дх(’	1X1 ду{ ’	1X1 дг{ ’

так что, аналогично случаю двусторонней связи, реакция будет
направлена по нормали к поверхности, представленной уравнением

? (®Р yv ; xN, yN, ^19 = о,

куда, как и в уравнение (24), вместо i подставляется значение
времени в рассматриваемый момент и вместо координат различных
точек, за исключением точки Р{, для которой они остаются пере-
менными, значения координат этих точек в конфигурации равно-
весия.

Так как при равновесии 0, то реакция будет направлена
в ту сторону от поверхности ? = О, в которой функция от перемен-
ных xif yf, становится отрицательной, т. е. в сторону, допу-
скаемую связью.

Так, например, если две точки Р15 Р2 соединены твердым стерж-
нем или, в более общем случае, гибкой н нерастяжимой нитью
длины I, то связь выразится соотношением

(•И _	+ (?/1 _ у2)2 +	_ ^)2 <

где в случае стержня будет иметь место только знак равенства.
В конфигурации равновесия (при натянутой нити во втором случае,
если мы хотим, чтобы в точках Р1г Р2 возникли реакции) реакция
в каждой из двух точек будет направлена по прямой PJ\ (нор-
мальной к сфере с центром в другой точке и с радиусом I), причем
в случае нити реакция всегда направлена в сторону другой точки.

38.	Выяснив, что векторы hkaki, можно рассматривать как
реакции, действующие на точку Pt со стороны отдельных связей
Вк = о и Uj 0, мы можем теперь дать наглядное истолкование
условиям равновесия в форме (19). Написанные в виде

Г	3

^ + 2	+	(* = 1,2,...,#),

7r = l	j = l

они выражают, что для равновесия системы с какими угодно связями
(лишь бы, конечно, связи были без трения) необходимо и доста-
точно, чтобы прямо приложенные силы в любой точке уравно-
вешивались соответствующими реакциями связей.

В этой формулировке можно видеть обобщение того критерия,
которым мы неоднократно пользовались в предыдущих главах, изу-
чая различные частные случаи систем. Там мы определяли, осно-
вываясь на интуиции, характер реакций, которые были в состоянии
развить связи. Здесь же поведение реакций характеризуется с одной
общей точки зрения, на основании принципа виртуальных работ,
который сам был установлен как раз путем синтеза отдельных
частных случаев, изученных непосредственно по интуиции.

3!). Прежде чем идти далее, вернемся временно к общему выраже-
нию (23) реакций, различные члены которого представляют собой, как
мы видели в предыдущих пунктах, реакции в любой точке Pt системы,
происходящие от отдельных -двусторонних и односторонних связей,
выражаемых соотношениями вида (15'), (16'). Следует обратить
внимание на то, что особенности осуществления связей с аналити-
ческой точки зрения отражаются в той частной форме, которая была
выбрана для уравнений (15х), (16х) из бесконечного множества экви-
валентных ей форм, и что всякому такому выбору соответствует
особое определение отдельных векторов аы, <Xj{. Мы видим, таким
образом, что реакции, которые, согласно формуле (23), можно рас-
сматривать как происходящие от отдельных связей, зависят от
осуществления связей, в отличие от условий равновесия, которые,
наоборот, не зависят от них (п. 7).

Очень простую иллюстрацию этого замечания дает эллипсограф,
описанный в гл. V п. 15. Если связь, действующая, по предполо-
жению, без трения и вынуждающая точку Р описывать эллипс,
является именно топ, которая описана там, то возбуждаются реак-
ции Ла, Лв, приложенные к концам стержня и нормальные соот-
ветственно к двум направляющим. Но если мы осуществляем ту л.ч;
самую связь для стержня АВ, вынуждая две другие его точки Р, Q
описывать без трения соответствующие эллипсы (удалив обе напра-
вляющие), то вместо реакций (А, Ла) и (В, Лв) возбуждаются две
реакции (Р, Л,р) и (Q, Ло), нормальные к двум эллипсам. Этот
пример показывает, что местное распределение реакций действи-
тельно зависит от способа, посредством которого осуществляются
связи; это означает, если речь идет о неизменяемой системе, что
два приложенных вектора (Р, Лр), (Q, Ло") составляют систему,
эквивалентную системе (А, Ла), {В, Лв).

40.	Действительное вычисление реакций, происходящих от от-
дельных связей. Так как векторы aki, aj7 известны по заданию,
то вычисление реакций или которые в различных точ-
ках Pt происходят от определенной связи (Bk = Q или соответ-
ственно Vj^.0), сводится к определению соответствующих множи-
телей или ру.

Способ, быстро ведущий к такой цели, вытекает из следующих
соображений. Определим, например, реакцию Х^,-, происходящую
от двусторонней связи Bt = O. Так как, по предположению, уравне-
ния

Ь\ = 0,	= О (& = 1, 2, ..., г- j=l, 2, ..., з) (20)
совместны и независимы, то такими же будут и уравнения

Б1 = s,	(26)

Pft = O, Uj = O (fc = 2, 3, ..r; j= 1, 2, . .., s), (27)
где г обозначает произвольную, бесконечно малую скалярную (но
не равную нулю) величину. Поэтому мы можем указать бесконечно
малое перемещение ЗРг, удовлетворяющее этим уравнениям и пред-
ставляющее собой, в силу самого своего определения, перемещение
системы /S, совместное со всеми связями, кроме связи = 0, реак-
цию которой требуется вычислить.

Умножая обе части равенства (19) на дР{ и суммируя по ин-
дексу г от 1 до N, мы получим, на основании уравнений (26), (27),
уравнение

N

=	(28)

г' = 1

которое непосредственно дает значение неизвестного множителя Ai
п, следовательно, значение каждой из реакций Aja^, которые про-
исходят от связи Pi — 0.

Легко убедиться, что реакции определяются таким способом
однозначно, т. е. они не зависят от выбора частного перемеще-
ния дР{ из числа тех, которые определяются уравнениями (26), (27).
В самом деле, наиболее общее перемещение DP{, удовлетворяющее
этим уравнениям, получится, в силу известных свойств систем линей-
ных уравнений, если мы присоединим к частному решению 9Р,;
уравнений (26), (27) общее решение соответствующей однородной
системы (20), т. е. самое общее обратимое виртуальное перемеще-
ние 8Р< нашей системы. Вследствие этого

DPi^dPi + iPi

и, на основании уравнений (20),

N	N

DPt	дР<.

i=l

Аналогично можно поступить при определении каждого другого
множителя, с единственной оговоркой, что если речь идет об одном
из множителей (соответствующем односторонней связи), то, вслед-
ствие того, что условия равновесия будут удовлетворены, он должен
получиться отрицательным (или равным нулю).

41.	Механическое истолкование алгебраического способа, которым
мы пользовались выше при определении множителя Л1з очевидно.
Рассмотрим, как это уже делалось в п. 36, систему /Д, которую
мы получим пз данной системы, уничтожая связь Д = 0 и при-
числяя к активным силам помимо 4^ реакции Х^^, происходящие
от уничтоженной связи. Для такой системы обратимые виртуаль-
ные перемещения (для предельной конфигурации) определяются
равенствами (27), так что наиболее общее перемещение DPt, опре-
деляемое равенствами (26), (27), является обратимым виртуальным
перемещением системы /?1, подчиненным условию не быть совмест-
ным с уничтоженной связью, вследствие того, что оно удовлетво-
ряет условию, выраженному уравнением (26).

Если теперь к системе (и к системе активных сил Ц- XjCJjJ
применим общее уравнение статики, составляя его для перемеще-
ния DPi, то получим уравнение

N

2	+ Х^ц) • DPi = о,

*=1

которое, если примем во внимание уравнения (26), (27), совпадет
с уравнением (28), полученным в предыдущем пункте для опреде-
ления множителя ХР Таким образом, мы пришли к следующему

правилу, которое, впрочем, очевидно с ме-
ханической точки зрения. Для определения
реакций, происходящих от одной заданной
связи, при заданных условиях действия сил,
достаточно рассмотреть систему, которая
получится, если мы уничтожим эту связь
и к действующим активным силам при-
соединим соответствующие реакции, и при-
менить общее уравнение статики для
какого-нибудь виртуального перемещения
новой системы, которое было бы несо-
вместимо с отброшенной связью.

42.	Применим предыдущее правило к
одному простейшему примеру. Пусть имеются
четыре равных твердых стержня, попарно

соединенных шарнирами так, что они со-
ставляют ромб ABCD (фиг. 74). Пусть этот ромб удерживается
в заданной конфигурации пятым твердым стержнем, соединяющим
В с D, так что угол ВАС равен 6. Если система подвешена на
крюк в точке А и подвергается действию груза р в точке С, то
она расположится так, что диагональ АС будет вертикальна.

Пусть требуется определить давление, испытываемое стержнем
BD, если весом пяти стержней можно пренебречь.

Неизвестное давление, действующее на стержень в точке В, на
основании принципа равенства действия и противодействия, равно

и прямо противоположно реакции, которая там возникает со стороны
стержня BD; то же самое можно сказать и о давлении в точке D,
так что дело сводится к вычислению общей величины двух реак-
ций в точках В и D.

Для этой цели, в согласии с правилом предыдущего пункта,
достаточно рассмотреть стержневой ромб ABCD, получающийся
из данной системы путем отбрасывания стержня BD и последую-
щего присоединения к действующей силе, весу р, двух реакций
в точках В и D, и применить общее уравнение статики к тому
виртуальному перемещению ромба, которое сближает или удаляет
две точки В и D. Такое перемещение определяется соответствующей
вариацией угла 6; поэтому, обозначая через I общую длину четырех
стержней ромба, будем иметь-

BD — 21 sin 9, АС — 2l cos 9.

Общее уравнение статики принимает для этого перемещения вид

Р8 (21 sin 9) -|- (21 cos 9) = 0;

решая его относительно 11, получим

P=_ptg9.

§ 8. Приложение к плоским неизменяемым фермам
без лишних стержней

43.	Согласно тому, что установлено в § 3 предыдущей главы,
плоскую неизменяемую форму без лишних стержней можно рас-
сматривать как систему из п материальных точек Р< с координа-
тами xit i/i, которые связаны т = 2п — 3 уравнениями вида

/— х^ -ф (рг — у^ — ltj = 0,	(29)

где индексы г, j относятся ко всем узлам Pit Pj, действительно
соединенным стержнями.

Выберем, как в п. 13 предыдущей главы, два узла Ра, Р?,
являющихся концами одного и того же стержня, и рассмотрим
материальную систему S, состоящую из остальных п — 2 узлов Р{
и подчиненную исключительно двусторонним связям, которые осу-
ществляются

т — 1 = 2 (п — 2)

стержнями фермы, отличными от РЛР$- К системе S, определен-
ной таким образом, применим общее правило п. 36 для вычисления
реакций, действующих на любой из узлов Р<(»<а, Р). Речь идет
об определении векторов а, соответствующих отдельным уравнениям
связей ./> = 0, которые заданы в виде (29). Узел Р,: испытывает
реакции, происходящие от тех стержней, которые в нем сходятся,
т. е. от тех связей вида (29), в которых при заданном значении i
значения у соответствуют узлам, соединенным с Р< стержнями.
Если обозначим для краткости через fj = О любое из этих уравне-
ний связей, то проекции соответствующего вектора определятся
в виде

Ofj
’ ду{
пли, в явной форме,
—	Vi — yj

hj ’ kj
откуда следует

jPi'

Вектор есть не что иное, как версор (единичный вектор)
стержня J'iPj, ориентированный от Pj к Р{, так что если мы пред-
положим, что версор приложен к узлу Pit то он будет направлен
во внешнюю сторону от стержня, к которому он относится.

Так как в ферме нет односторонних связей, то выражение (23)
полной реакции, испытываемой узлом Р{, представится в виде

Ri^S^PjPi,	(30)

где скаляры p{j представляют собой множители Лагранжа, а сумма
должна быть распространена только на те узлы Pj, которые соеди-
нены стержнями с Р{. Равенство (30) дает для интересующего нас
случая разложение реакции, действующей на узел Pit по различ-
ным стержням, которые в нем сходятся; слагаемое р^Р^{/1^ даст
реакцию, испытываемую узлом Р{ со стороны стержня PiPj- В этой
реакции скаляр р^ представляет собой проекцию этой реакции на
ориентированное направление PtPj стержня; сам стержень P^j ис-
пытывает равное и прямо противоположное усилие со стороны узла Р^,
стержень сжат, если р^ > 0, и растянут — в противном случае.

Остается определить скаляры р^, которых в совокупности бу-
дет столько же, сколько имеется стержней в системе, за исключе-
нием стержня РаРр, т. е. т — 1 — 2 (п — 2).

Из общих рассуждений п. 32 следует, что так как в рассматри-
ваемом нами случае все связи двусторонние, то множители Ла-
гранжа будут однозначно определены при единственном условии, что
уравнения связей независимы между собой, т. е. что функциональ-
ная матрица левых частей этих уравнений, рассматриваемых как
функции от координат точек системы, имеет ранг, равный числу
самих уравнений. В нашем случае число уравнений равно т — 1 =
= 2 (та— 2) [поскольку должно быть исключено равенство (29), со-
ответствующее г = а, j— р]; в силу самого определения неизме-
няемой системы без лишних стержней, их левые части независимы
(гл. XIV, п. 14) по отношению к 2 (та — 2) координатам различных
узлов РДг<а, р).
Таким образом, мы нашли аналитическим путем, что значения
усилий в неизменяемой ферме без лишних стержней подчиняются
общему принципу виртуальных работ. На практике, конечно, более
предпочтителен графический метод (гл. XIV, § 4). Но рассуждения,
изложенные выше, имеют большую общность, так как применяются
без исключения ко всевозможным неизменяемым фермам без лишних
стержней, между тем как геометрические методы, пригодные даже
для более обширных классов ферм, чем простые треугольные фермы,
рассмотренные нами в предыдущей главе, все-таки подчинены,
в отношении их приложимости, некоторым специальным ограниче-
ниям.

44.	Равенства (30) дают усилия, относящиеся к любому стержню,
путем полного определения всех реакций узлов Р4-. Когда нас инте-
ресует усилие, испытываемое определенным, стержнем, надо обра-
титься к способу, указанному в пн. 40 и 41, который в настоящем
случае состоит: а) в том, чтобы ввести вместо рассматриваемого
стержня те два усилия, с которыми он действовал на соответствую-
щие узлы; -в) в применении к системе, освобожденной таким обра-
зом от одной связи и тем самым превращенной из неизменяемой
системы в систему с полными связями, принципа виртуальных работ
на перемещении, которое стало для нее возможным вследствие
выбрасывания этого стержня.

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Стержневая система состоит из четырех однородных стержней, со-
единенных шарнирами Р2, P в то время как концы Pj и Р.-, прикреплены
к двум неподвижным точкам, расположенным на одном и том же уровне.
Два крайних стержня равны друг другу и весят каждый равны между
собой также и промежуточные стержни, общий вес которых есть р2. При
равновесии под действием собственного веса система располагается в верти-
кальной плоскости, симметрично относительно средней вертикали (содержа-
щей шарнир Р3).

Доказать, применяя, например, принцип Торричелли, что если через «ь
а2 обозначены углы наклона к горизонтали В Д’.-, первых двух стержней, то
в конфигурации равновесия должно иметь место соотношение

(Pl + 2 р.,) tg	tg aj.

2.	Тело (материальная точка) Р веса р опирается на абсолютно гладкую
плоскость, наклоненную под углом а к горизонту, и удерживается нитью,
проходящей по жолобу блока и несущей на своем конце груз q. Блок нахо-
дится выше наклонной плоскости и расположен в вертикальной плоскости,
пересекающей первую по линии наибольшего наклона, проходящей через Р.

Вертикаль, проходящая через блок, пересекает линию наибольшего
наклона на расстоянии s от Р; отрезок вертикали, заключенный между бло-
ком и этим пересечением, есть h. Показать, что для равновесия требуется,
чтобы противовес q заключался между р и касательной составляющей ?>
и чтобы существовало соотношение

S3 2hs sin а =

(р2 — q2) h2 sin2 а
q2 —р2 sin2 а
3.	Гибкая и нерастяжимая нить ничтожной массы может скользить
вдоль параболического профиля с вертикальной осью (вогнутость обращена
вниз). Концы нити находятся под действием двух грузов весом и q2.
Показать, что если yj и у2 обозначают ординаты концов нити и а-г = 2ру
есть уравнение параболы (ось у совпадает с вертикалью, проходящей через
вершину), то в положении равновесия будем иметь

2	2	2	2

71 ' 71	7‘2

р ~ 2уг 2у2'

4.	Шесть одинаковых стержней, каждый веса р, сочлененных друг
с другом, находятся в вертикальной плоскости. Один из них АВ закреплен
в горизонтальном положении; другие расположены симметрично относи-
тельно вертикали, проходящей через середину стержня АВ. Показать, что
шестиугольник будет находиться в равновесии, если к середине М стороны,
противоположной АВ, приложить силу, равную Зр и направленную по вер-
тикали вверх.

5.	К двум точкам Р и Q приложены две равные и прямо противопо-
ложные силы Фи —Ф. Обозначим через проекцию силы Ф на ось QP
и равную ей проекцию силы — Ф на ось PQ, или величину обоих усилий,
принимаемых за положительные, если речь идет о растягивающих усилиях.
Показать, что если 5Z есть вариация расстояния, соответствующего произ-
вольным элементарным перемещениям оР и 6Q обеих точек, то сумма
элементарных работ сил Фи — Ф будет равна tfbZ (п. 3, в).

6.	Стержень АВ веса р может вращаться вокруг точки А в вертикаль-
ной плоскости. Другой стержень ВС сочленен с первым в конце В и может
вращаться в той же самой вертикальной плоскости вокруг своего конца В.
Оба стержня однородны. В С приложена горизонтальная сила величины F.
Показать, что если и ф — углы наклона обоих стержней к горизонтальной
прямой в плоскости стержней, то при установившемся равновесии будем
иметь

х р 4- 2q	, , q

tor 'П — 1 ! £	to“ Ф = —£_

° * 2F ’	2F

7.	Пусть будут а и Ъ длины сторон
внутренних углов, так что квадраты Z2, Z'2

параллелограмма, <р — один из
диагоналей выражаются в виде

а2 -ф- Ь2 ± 2ab cos <р.

В предположении, что речь идет о шарнирно-сочлененном параллело-
грамме, <р можно принять за лагранжеву координату.

Показать прежде всего, что при любом виртуальном перемещении
системы имеем

I bZ -ф-1' W = 0.

Предположим далее, что шарнирно-сочлененный параллелограмм нахо-
дится в равновесии, если к концам диагонали длины V приложены две
прямо противоположные силы величиной F, стремящиеся сблизить их,
в то время как две другие противоположные вершины (концы диагонали
длины Z) соединены гибкой и норастяжимой нитью. Показать (на основе
и. 40 и/ упражнения 5), что усилие Т, растягивающее нить, определяется
равенством
8.	Шестиугольник ABCDEF, составленный из шести однородных и
равных стержней, подвешен в точке А и симметрично расположен относи-
тельно вертикали, проходящей через эту точку. Он удерживается в равно-
весии двумя горизонтальными стержнями BF, СЕ ничтожного веса. Показать
(п. 40 и упражнение 5), что первый стержень испытывает давление, в пять
раз большее, чем давление, испытываемое вторым стержнем.

9.	Многосвязная стержневая система находится в равновесии без при-
ложения внешних сил. Поэтому имеются только внутренние усилия.

Показать, что если Означает для какого-нибудь стержня величину
(включая и знак) усилия, испытываемого им (упражнение 5), и I — длину
стержня, то будем иметь 2 <pZ = 0, где сумма распространяется на все
стержни системы.

[Каждый узел системы надо рассматривать как свободную точку, нахо-
дящуюся под действием усилий, происходящих от стержней, которые схо-
дятся в этом узле, и представлять себе, что определенная таким образом
система свободных точек испытывает гомотетичное расширение с произ-
вольным центром.]

10.	п однородных стержней длины I и веса р сочленены в точке А и
находятся в равновесии, будучи расположены симметрично вокруг верти-
кали, проходящей через точку А, и опираясь нижними концами на сфери-
ческую поверхность с радиусом r>Z и с центром О, расположенным вер-
тикально над точкой А. К узлу А подвешен груз веса д. Показать, что
если а есть угол, образуемый каждым стержнем с вертикалью, то будем
иметь соотношение

Р (Зн2/>2 4npq) cos2 а = (г2 — Z2) (пр -j- 2</)2.
Рлава XVI

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ

§ 1.	Понятие об относительном равновесии

1.	В предыдущих главах мы изучали условия равновесия раз-
личного вида материальных систем, относя их к неподвижной си-
стеме координат или к системе, рассматриваемой как неподвижная
(в том смысле, который в механике приписывается этому назва-
нию). Рассмотрим более общий случай системы осей Оху г, нахо-
дящейся в каком-нибудь заданном движении, и поставим себе
задачу найти условия, которым надо подчинить прямо приложен-
ные к материальной системе силы для того, чтобы эта материаль-
ная система, несмотря на действие сил, сохраняла неизменным
положение относительно осей Oxyz. Это и есть то, что мы будем
называть относительным равновесием, приписывая, если может
возникнуть неясность, название абсолютного равновесия тому равно-
весию, которое мы рассматривали до сих пор (и в котором оси
Оху г предполагаются неподвижными).

2.	Начнем, как и при изучении абсолютного равновесия, с про-
стого случая, в котором речь идет об одной материальной точке Р.
Поскольку опа сохраняет свое положение неизменным относи-
тельно подвижной системы осей, ее относительная скорость vr и,
следовательно, относительное ускорение аг должны обращаться
в нуль.

Пусть F есть результирующая всех действующих на Р сил
(включая возможную реакцию, если имеются связи). Речь идет об
установлении того, каким условиям должна удовлетворять сила F
для того, чтобы точка Р оставалась в относительном равновесии.

Здесь достаточно будет кроме основного уравнения динамики

таа = F

(где, для большей ясности, через иа обозначено абсолютное уско-
рение) принять во внимание теорему Кориолиса, выражаемую
(гл. IV, и. 3) уравнением

ас[ = пг—[—

Если относительное равновесие существует, то (п. 1) будем
иметь аг — 0, а также —wXrf = fl, следовательно, аа = аТ и
основной закон (абсолютного) движения можно будет написать
в виде

та. — F,
или в виде

F—ma. — Q.	(1)

Это и есть условие, .которому необходимо должна удовлетворять
сила F, когда точка Р находится в относительном равновесии.

Но оно также и достаточно, т. е. если уравнение (1) удов-
летворяется, то равновесие существует; или, иначе, если предпо-
лагается, что в какой-то момент t — /0 точка Р находилась в от-
носительном покое (vr = 0 при t = t0), то из равенства (1) следует,
что равенство vr = 0 будет иметь место в какой угодно момент
времени t.

В самом деле, предположение (1) равносильно равенству аа — <хТ
или, если вместо аа подставим его выражение, даваемое теоремой
Кориолиса, равносильно также равенству

2бгс = 0.

Так как вектор ас = шХг,, если он не будет равен нулю,
будет перпендикулярен к г»,., то предыдущее соотношение, умно-
женное скалярно на г»г, обратится в равенство

vr • аг = О

или

dvr Id, ,

1 dr*

2 dt

= 0,

откуда мы заключаем, что vr — const; так как, по предположению,
скорость vr обращается в нуль в момент <0, то она будет оставаться
постоянно равной нулю.

Уравнение (1) является поэтому необходимым и достаточным
условием для того, чтобы точка Р находилась в относительном
равновесии по отношению к осям Оху г.

3.	Этот результат можно истолковать очень наглядно, если
сравнить его с условием абсолютного равновесия, заключающимся
в том, что результирующая всех сил, приложенных к точке, должна
быть равна нулю. Это значит, что равенство (1) можно рассматри-
вать как условие абсолютного равновесия материальной точки, на
которую, кроме силы F (действительно приложенной), действует
еще добавочная сила х — — тах. Эта фиктивная сила, которая,
в условиях относительного равновесия, представляет влияние дви-
жения осей и приводится к нулю не только тогда, когда эти оси
неподвижны, но также и всякий раз, как ат = 0, называется силой
инерции переносного движения.
Вводя систематически такую силу, мы можем высказать сле-
дующее правило.

Все вопросы об относительном равновесии точки исследуются
так, как если бы речь шла об абсолютном равновесии, при усло-
вии, что к внешним прямо приложенным силам причисляется
гцакже сила инерции переносного движения.

Эта сила, по самому определению ер, зависит от движения
осей, и в ближайшем параграфе мы исследуем ее поведение в не-
которых простых и интересных для приложений случаях.

4.	Только что установленное в случае материальной точки
правило относительного равновесия распространяется и на мате-
риальные системы какой угодно природы и оказывается непосред-
ственно приложимым ко всем тем случаям (свободные и несвобод-
.ные твердые тела, стержневые системы, нити и т. п.), для которых
уже известны условия абсолютного равновесия.

Чтобы показать это, достаточно, если речь идет о связях без
трения, воспользоваться принципом виртуальных работ, т. е. (пре-
дыдущая глава, п. 2) соотношением

8А = 2ж<.8Р<>0,
<

и заметить, что в случае относительного равновесия всякая реак-
ция Rt в точности равна — (активная сила-(-сила инерции пере-
носного движения). Таким образом, мы пришли к той же самой
.формулировке (предыдущая глава, п. 7) необходимого и достаточ-
ного условия, которая была получена для абсолютного равновесия,
с тою разницей, что в случае относительного равновесия к актив-
ным силам должны быть причислены также и силы инерции пере-
носного движения.

Мы можем при выводе условий равновесия пользоваться также
и более элементарными и частными способами (в некотором отно-
шении даже более практичными, потому что заранее не исключаются
силы трения), которым мы следовали в гл. IX, ХШ и XIV при
установлении условий абсолютного равновесия, пригодных для
всякой категории рассмотренных там систем. Мы поступали там
так:

а)	выражали, что каждая точка Р системы находится в равно-
весии под действием прямо приложенных сил (внешних и внутрен-
них) и реакций связей, удовлетворяющих определенным экспери-
ментальным характеристикам;

б)	комбинировали следствия из этих элементарных условий
равновесия таким образом, чтобы исключить, насколько возможно,
вспомогательные элементы, оставив прямо приложенные силы.

Тот же самый способ, очевидно, применим и к выводу условий
относительного равновесия. Если можно считать, как это бывает
во многих случаях, что внутренние силы и реакции связей также
и во время движения сохраняют те же самые свойства, которые
были обнаружены у них в состоянии покоя, то элементарные усло-
вия для относительного равновесия будут отличаться от аналогич-
ных условий абсолютного равновесия только присоединением к каж-
дой точке соответствующей силы инерции переносного движения.

Таким образом правило предыдущего пункта может быть рас-
пространено на какие угодно материальные системы при условии,
что внутренние силы и реакции связей сохраняют во время дви-
жения те свойства, которые они имеют в состоянии покоя.

Следует заметить, что это не всегда имеет место, как мы увидим
в § 3. В таких случаях всегда можно применить указанный выше
способ, но при применении его необходимо принимать во внимание
влияние, которое оказывает состояние движения на поведение внут-
ренних сил и реакций.

§ 2.	Замечательные частные случаи

5.	Поступательное движение. Пусть система осей Охуг нахо*
дится в каком угодно поступательном движении. Ускорение пе-
реносного Движения а. в любой момент времени одно и то же для
какой угодно точки Р (гл. III, п. 4) и' равно ускорению а0 на-
чала О. То же самое можно сказать и о силе инерции переносного
движения х = — та0.

Очень простой пример, иллюстрирующий этот случай, предста-
вляет собой равновесие по отношению к свободно падающему телу,
в предположении, что оно брошено или просто отпущено из со-
стояния покоя таким образом, что движется далее чисто поступа-
тельно.

Обозначив через g ускорение силы тяжести (по величине и на-
правлению), будем иметь а0 = д, так что переносная сила х = ~тд
уравновешивает вес.

Если мы предположим, например, что человек несет на плечах
груз и прыгает вниз, то за время падения мускульное усилие, под-
держивающее груз, сводится к нулю. То же самое можно сказать
и о времени опускания, если прыжок был сделан вверх- Противо-
положное ощущение при прыжке вверх следует приписать пред-
варительному усилию, необходимому для того, чтобы сделать такой
прыжок.

Если, далее, поступательное движение осей Oxyz будет в то же
время прямолинейным и равномерным, то ускорение переносного
движения, а вместе с ним и сила х будут равны нулю.

Прямолинейное и равномерное поступательное движение не
оказывает никакого влияния на условия равновесия', они остаются
одинаковыми с условиями, имеющими место дЛя абсолютного
равновесия.
6.	Вращения и поступательно-вращательные равномерные дви-
жения. Центробежная сила. Пусть система осей находится в равно-
мерном вращательном движении. Обозначим через w угловую
скорость и через Q проекцию на ось вращения произвольно взятой
точки Р (фиг. 75); мы знаем (гл. III, п. 8), что



следовательно, имеем

X — m®2QP.

(2)

Сила инерции переносного движения в том случае, когда пере-

носное движение есть равномерное вращение, называется центро-
бежной силой.

Центробежная сила зависит, как мы видим, от положения точки Р
относительно оси вращения; она направлена радиально от оси (т. е.

по продолжению QP) и величина ее про-
порциональна массе точки, расстоянию ее
от оси и квадрату угловой скорости.

Если ось вращения мы примем за ось z
и через х, у, z обозначим координаты
точки Р, то проекциями вектора х, на осно-
вании равенства (2), будут

Хж = тв>2ж, 'ky^mv^y, х2 = 0-
т. е. они совпадают с производными (по ко-
ординатам х, у, z точки Р) от функции

т (ж2 4~ у2) — 1 mid2PQ2.

А	А

Следовательно; центробежная сила имеет характер консерва-
тивной силы; ее единичный потенциал (т. е. потенциал, отнесен-
ный к единице массы) равен

А

т. е. пропорционален квадрату расстояния от оси вращения и квад-
рату угловой скорости.

7.	Рассмотрим, например, тяжелую точку Р, вынужденную
оставаться нй поверхности о, равномерно вращающейся вокруг вер-
тикальной оси, и будем искать, при каких условиях точка может
оставаться в равновесии на поверхности, предполагаемой лишенней
трения.

Согласно общему правилу п. 3, центробежную силу х мы должны
будем рассматривать наряду с весом р, как силу, прямо прило-
женную к Р; таким образом мы придем (гл. X, п. 8) к заключению,
как в случае

идет речь, так что

что результирующая р + х направлена по нормали к поверх-
ности <з. Если речь идет о точке, не вынужденной обязательно
находиться на а, а подчиненной только односторонней связи, то
необходимо добавить качественное ограничение, чтобы сила р -Д- X
была обращена к области, не совместимой со связью (т. е. внутрь
тела, поверхность которого представляет собой опору).

Поэтому положениями равновесия будут только те положения,
в которых нормаль к поверхности а параллельна силе р + х, с до-
бавлением указанного условия для стороны, если связь не является
двусторонней.

Далее, заметим прежде всего, что в точках оси вращения будем
иметь Х = 0> так чт0 все будет обстоять так,
лютного равновесия; если поэтому наша по-
верхность пересекает ось (по предположению,
вертикальную) в некоторой точке, то равно-
весие в этой точке может существовать только
при условии, что соответствующая касательная
"тоскость горизонтальна.

Во всех остальных случаях центробежная
сила х = nwPQP будет представлена горизон-
тальным, не равным нулю вектором.

С другой стороны, обе силы р и х> а сле-
довательно, и сила р + х будут находиться
в одной и той же вертикальной плоскости,
определяемой осью вращения и положением
равновесия точки Р, об определении которого

линия действия jp4~x> т- е- нормаль к поверхности а (фиг. 76),
в точке Р должна пересекать ось вращения в некоторой точке N,
необходимо расположенной выше точки Р (для того, чтобы х была
направлена радиально во вне).

Условие, чтобы нормаль встречала ось, выполняется само собой,
когда речь идет о поверхности вращения (имеющей своей осью
ось вращения). Далее, обозначив через 0 угол наклона нормали
к вертикали, мы должны иметь

или, обращаясь к прямоугольному треугольнику PQN,

(3)

Отсюда следует, что положения относительного равновесия за-
висят от геометрической формы поверхности и от угловой скорости,
но не от массы точки.

В случае поверхности вращения, отрезок QN представляет собой
очевидно субнормаль меридианной кривой (относящейся к точке Р),
так что исследование положений равновесия (не расположенных
на оси) приводит тогда к отысканию тех точек меридиана, для
которых субнормаль принимает заданное значение

8.	В случае сферы субнормаль QN, если R означает радиус,
будет равна J?cos0, так что равенство (3') принимает вид

cos0=JL.	(4)

Это уравнение относительно 0 допускает действительные (т. е.
вещественные) решения и однозначно определяет (острый) угол,
при условии < 1, или, что одно и то же,

Поэтому необходимо, чтобы угловая скорость, с которой вра-
щается сфера, превосходила известный предел для того, чтобы
тяжелая точка могла находиться на ней в относительном равно-
весии в положениях, отличных от полюсов. Если этот предел пре-
взойден, то геометрическим местом возможных положений равно-
весия будет горизонтальная параллель нижней полусферы, допол-
нение широты которой определяется из уравнения (4).

Чем быстрее вращение сферы, т. е. чем более значительной
является угловая скорость w, тем меньше будет cos0; поэтому
горизонтальная параллель относительного равновесия должна пере-
мещаться от нижнего полюса к экватору и стремиться к экватору
асимптотически при безграничном возрастании w.

9.	Рассмотрим, наконец, случай равномерного поступательно-
вращательного движения системы осей Oxyz.

Припоминая, что в сложном движении, составленном из двух
или большего числа движений, ускорение равно сумме ускорений,
относящихся к составляющим движениям, мы можем сказать, что
прямолинейное и равномерное поступательное движение (наложен-
ное на какое-нибудь другое движение твердого тела) не изменяет
его переносного ускорения. Таким образом, при равномерном
поступательно-вращательном движении все происходит так, как
и в случае простого равномерного вращения, и, следовательно, мы
снова приходим к центробежной силе.

§ 3.	Установившееся вращение горизонтального вала.
Смещение точек опоры

10. Рассмотрим (цилиндрический) горизонтальный вал, опи-
рающийся двумя своими концами на подшипники, каждый из кото-
рых состоит из цилиндрической впадины немного большего, чем
у вала, диаметра, и предположим, что вал вращается равномерно
вокруг собственной оси.

Мы покажем сейчас, что в условиях действия сил, которые
часто наблюдаются на практике (и которые немного позже будут
точно определены), вал при наличии трения опирается на под-
шипники не в самых нижних точках этих подшипников, как это
могло бы казаться с первого взгляда и как это очевидно происходит
при равновесии.

Разберем сначала фиктивный случай, рассматривая явление
в вертикальном плоском сечении. В этом случае мы будем иметь
твердый круг (круглый диск) с радиусом г, равномерно вращаю-
щийся вокруг собственного центра О, опираясь точкой Р (см.
фиг. 77 на стр. 294) на неподвижную окружность (след подшипника).
Предположим, что внешние, действительно приложенные силы (все
расположенные в названной плоскости) приводятся к следующим
двум парам и двум силам:

1)	движущая пара, т. е. пара с моментом 1\, параллельным
оси вращения (и перпендикулярным к плоскости круга), сторона
вращения которого совпадает со стороной вращения вала;

2)	пара сопротивления, т. е. пара с момента Г2, всегда парал-
лельным оси вращения и направленным в противоположную сторону;

3)	весь р (направленный по вертикали вниз);

4)	реакция Л точки опоры Р вала на подшипник.

Предположим еще, что вал, а следовательно, и диск, который
мы рассматриваем вместо вала, однородны. Центр тяжести совпа-
дает тогда с центром О диска.

Выясним теперь, каким образом вал может находиться в (рав-
номерном) установившемся вращении вокруг собственной оси. Оче-
видно, достаточно будет выразить, что по отношению к системе
осей, неизменно связанных с валом и, следовательно, равномерно
вращающихся вместе с ним, имеет место относительное равновесие
самого вала под действием только что перечисленных сил.

Так как речь идет о твердом теле, то необходимо и доста-
точно, чтобы удовлетворялись основные уравнения; при этом под-
разумевается, что, согласно ранее изложенному правилу, необхо-
димо принять во внимание также и центробежные силы отдельных
точек тела. В настоящем случае при заданной однородности
вала центробежной силе, возникающей в любом элементе А, соот-
ветствует равная и прямо противоположная центробежная сила,
относящаяся к элементу А', симметричному А относительно О.

Отсюда следует, что совокупность центробежных сил ничего
не вносит в основные уравнения, и поэтому от них можно -от-
влечься.

Выразим теперь, что результирующая внешних сил обращается
в нуль. Так как результирующая каждой из пар (движущей пары
и пары сопротивления) равна нулю, то должна быть равна нулю
также и геометрическая сумма веса и реакции В, что означает,
что вес и реакция должны составлять третью пару (или, в част-
ности, должны быть равны и прямо противоположны).

Для того чтобы пойти далее, необходимо принять во внимание
то обстоятельство, что реакция В является как раз одной из тех

сил, на поведение которых влияет состояние движения, так что
на В, в условиях движения, нельзя распространять правила,
полученные из опытов над статическим трением (гл. IX). Опи-
раясь на экспериментальный результат, который лучше и более
строго будет объяснен в динамике, мы ограничимся здесь утвержде-
нием, что во время движения реакция в каждый момент действует
по образующей внешней полости конуса трения (динамического)
с вершиной в точке опоры, имеющего осью нормаль, а именно по
той образующей, проекция которой на касательную к траекто-

рии направлена в сторону, противоположную стороне движения
точки диска, совпадающей в рассматриваемый момент с точкой

опоры.

Если мы исключим идеальный случай, когда трение равно

нулю, то отсюда будет следовать, что точка опоры не должна сов-

падать с самой нижней точкой под-
шипника. Действительно, так как в этом
случае вертикаль совпадает с нор-
малью к поверхности подшипника, она
не может быть образующей конуса
трения, и потому невозможно, чтобы
результирующая веса и реакции была
равна нулю.

Следовательно, мы должны пред-

положить, что точка соприкоснове-
ния Р несколько смещена из самого нижнего положения.
Легко видеть, что величина смещения измеряется углом динами-
ческого трения ср. Действительно, вертикаль PV (фиг. 77), прове-
денная через Р, должна быть образующей конуса трения, что

означает, что угол OPV равен углу ®. Так как, далее, сила
трения препятствует движению точки Р, то точка соприкоснове-
ния должна сместиться на угол <р в сторону, противоположную

вращению.

Выразим теперь, что результирующий момент относительно
точки О всех внешних сил, действующих на вал, равен нулю. Это
векторное соотношение сводится к алгебраическому, так как ли-
нией действия всех моментов является ось вала, так что доста-
точно, чтобы обращался в нуль результирующий момент относи-
тельно этой оси. Обозначим через Г1; Г2 величины моментов движущей
пары и пары сопротивления; момент пары вес — реакция (ввиду
того, что линия действия веса проходит через точку О, а линия
действия реакции есть вертикаль, проходящая через точку Р) по
абсолютной величине равен

tg ®	f

т — гр sin ® = гр ... ° т — — гр -		;

Kl + tg2?	/1+Г

его можно считать равным величине rpf (f—коэффициент дина-
мического трения), если угол <р достаточно мал.

С другой стороны, он направлен в ту же сторону, что и мо-
мент Г2, потому что касательная составляющая реакции оказывает
сопротивление движению, а нормальная реакция имеет момент, рав-
ный нулю, так как направлена в точку О. Поэтому абсолютная
величина ?! момента движущей пары должна быть равна сумме
абсолютных величин моментов двух других пар, т. е.

Г^Гз + у,	(5)

где можно считать у = rpf.

Равенство (5) в сочетании с геометрическим фактом, что
смещение точки опоры измеряется углом трения ср, составляет
искомое условие относительного равновесия.

11. В реальном случае, в котором опорой являются два под-
шипника, мы можем представить себе вес р вала разложенным на
две равные и вертикальные силы ри р2, приложенные к концам
вала.

Если мы предположим, что другие внешние силы попрежнему
приводятся к двум парам (движущей и сопротивления) с момен-
тами ?! и Г2, имеющими линией действия ось вала, то для отно-
сительного равновесия, очевидно, будет достаточно:

1)	чтобы сила pt и реакция JRj опоры Рх составляли пару;

2)	аналогично, чтобы составляли пару сила р2 и реакция
опоры Р2;

3)	чтобы обращался в нуль результирующий момент четырех
пар (движущей; сопротивления; plt Rf, р2, R2) относительно оси
вращения.

Если допустить, что угол трения ср один и тот же для обоих
подшипников, то первые два условия будут удовлетворены при
равенстве углов смещения обеих опор Pt и Р2.

Третье условие, если через и 7а обозначим моменты (отно-
сительно оси вращения) двух пар ри Ri и р2, R2, выразится
арифметическим равенством

Г1 = Г2-(-Т14-т2.

Как и в предыдущем пункте, мы будем иметь приближенно
где г есть радиус вала. Отсюда следует, что
Г1=Г2 + г/>,
где р — полный вес вала.

Таким образом, также и для случая, который мы обычно
имеем, мы снова находим то же самое условие, что и в предыду-
щем пункте.

§ 4. Сопротивление качению ')

12. Пусть г = ОА— радиус колеса повозки (фиг. 78), р==ОБ —
радиус отверстия ступицы; при этом предполагается, что в отверстие
ступицы вставлена и опирается на нее цилиндрическая ось (общая для
____________ обоих спаренных колес), неизменно связанная
f___________с кузовом повозки (в отличие от железно-

I 0	\ дорожного вагона, у которого колеса неизменно

I связаны с осью).

V J	Пусть ср есть угол динамического трения

хмежду осью и ступицей (отверстие ступицы,
°	по обыкновению, хорошо смазано).

Предполагается, что повозка находится
в прямолинейном и равномерном поступатель-
ном движении и что на колесо действует опре-
г	деленная часть р веса повозки, передаваемая

на ступицу опирающейся на нее осью.

Колесо можно рассматривать как твердое
тело, находящееся в равномерном поступа-
тельно-вращательном движении, так что раз-
личные приложенные к нему силы, включая
в число их и центробежные силы, должны на-
_______ 4_________ ходиться в относительном равновесии. Если
собственный вес колеса мал по сравнению с р,
то им можно будет пренебречь; не придется
Фиг. 78. рассматривать и центробежные силы отдель-
ных материальных элементов колеса, так как
(в случае симметрии колеса) они (п. 10) будут попарно равны и
прямо противоположны.

В заключение заметим, что силы, действующие на колесо со
стороны дороги и со стороны оси повозки, уравновешиваются (по
крайней мере, приближенно). Каждая из этих систем сил содержит
силу и пару (трения качения). Но трением качения между ступицей
и осью по сравнению с трением скольжения мы можем пренебречь,
так что силами, которые нужно принять во внимание, будут:

’) Ср., в частности, Levi-Civita, Sforzo di regime e sforzo di trazione
per veicoli trainati, Atti del R. 1st. Veneto, t. LXXIII, 1914, стр. 931—946.
а)	реакция Иг дороги, приложенная в точке соприкосновения А,
не необходимо вертикальная, но расположенная как-нибудь в пло-
скости колеса;

б)	пара трения качения между колесом и дорогой, характери-
зуемая своим моментом, перпендикулярным к плоскости колеса;
эта пара (гл. XIII, § 6) действует в сторону, противоположную
направлению вращения колеса, и момент ее по величине равен hp,
где h — соответствующий параметр.

в)	усилие JR2, передаваемое осью ступице колеса и действующее
в плоскости колеса.

Вертикальная составляющая силы В2, по предположению,
приводится к весу р. Горизонтальная составляющая, которую мы
обозначим через т, представляет собой силу тяги, под действием
которой колесо катится, преодолевая пассивные сопротивления.
Для того чтобы показать это, достаточно представить себе, что,
в силу принципа равенства действия и противодействия, —_В2
есть сила, действию которой подвергается ось (неизменно связан-
ная с повозкой). Все сопротивление движению повозки обусловли-
вается давлением осей на колеса. Поэтому горизонтальная состав-
ляющая силы —_В2 является частью сопротивления, относящегося
к рассматриваемому колесу (на которое действует вес р). Эта
составляющая направлена в сторону, противоположную направлению
движения, и ее величина, равная т, измеряет силу тяги.

Необходимо заметить, что так как _В2 . имеет горизонтальную
составляющую, направленную в сторону движения, то ее линия
действия необходимо будет отклонена от вертикали, также в
сторону движения.

Какова точка приложения силы JK2? Вообще говоря, ею не
будет точка В (самая нижняя точка отверстия ступицы), как это
было бы, если бы колесо не вращалось (см. фиг. 78). Благодаря
вращению колеса между осью и ступицей развивается динамическое
трение, а это означает (см. п. 10), что реакция действует по обра-
зующей конуса трения. Ось, следовательно, должна опираться на
ступицу колеса в такой точке С, чтобы сила _В2 образовывала
угол о с ОС. Так как сила трения, действующая на ступицу
колеса в точке С, направлена в сторону, противоположную ско-
рости точки Р ступицы в движении относительно оси, то сила
JK2, составляющая с ОС угол, равный углу трения, должна быть
отклонена от ОС в сторону движения.

Легко понять, что точка С должна лежать ниже точки О:
иначе реакция JB2 (которая по предположению имеет направлен-
ную вниз вертикальную составляющую, равную весу р), не могла
бы оказывать давление на ступицу колеса.

13. После этих замечаний'мы в состоянии выразить, что только
что определенная (плоская) система сил а), б), в) находится
в равновесии. Отсюда будут определены в функции конструктив-
ных данных (г, р, ®, р) и условий качения по дороге (представ-
ленных параметром К) сила тяги х и положение точки опоры С.

Как мы увидим (и. 17), в зависимости от случая это положе-
ние С будет смещено (от В) в ту или другую сторону. На нор-
мальной дороге, характеризуемой неравенством

/г < (г — р) tg ®,

точка С оказывается смещенной
положную движению (фиг. 79).

Фиг. 79.

прийти к направлению _В2. Угол
так как проекции векторов _В2, р

назад, т. е. в сторону, противо-
Но на очень плохих дорогах, где
трение качения так велико, что
h > (г — р) tg <р, наоборот, проис-
ходит смещение точки опоры
в сторону движения.

14. Примем сначала во вни-
мание то, что результирующая
должна обращаться в нуль.
Так как действующими силами
являются Ry R2, то эти силы
должны составлять пару. Для
равновесия необходимо и доста-
точно, чтобы момент этой пары
(движущей) равнялся моменту
пары (сопротивления) трения ка-
чения hp.

Для того, чтобы определить
момент пары (R} R%), нужно
ввести угол наклона ф векторов
jRj, JK2 к вертикали, или, точ-
нее, угол, на который надо по-
вернуть вокруг точки С в сто-
рону движения повозки верти-
каль, направленную вниз, чтобы
ф будет заключен между О ц к/2,
на вертикаль, направленную вниз,

положительны, а сила х горизонтальна и направлена в сторону
движения (и. .12, в). Поэтому имеем

-t=?tg^,

J?2

Р

COS ф

(6)

(7)

15.	Момент пары (JKj, _В9) вычисляется очень просто, если
мы заменим эту пару двумя парами, приложив в точке О два
равных и противоположных вектора: вектор R[, эквиполлент-
ный и Н'2, эквиполлентный _Ва. Момент пары (JKP JBa) можно
представить тогда в виде разности двух моментов: момента пары
(Жр ^), которая всегда (см. фиг. 79) представляет собой дви-
жущую пару, и момента пары (JKa, JK'), являющейся, наоборот,
всегда парой сопротивления. Общая длина каждого из векторов
этих пар, согласно равенству (7), есть 2>/созф.

Так как точки приложения А и О обоих векторов первой пары
находятся на расстоянии г друг от друга, и векторы наклонены
под углом ф к вертикали О А, то очевидно плечо пары равно
ОА sin ф = г sin ф и, следовательно, соответствующий момент ра-
вен prigty.

Для пары сопротивления (jRa, JK[) аналогично имеем: расстоя-
ние между точками приложения есть р = ОС, плечо равно р sin у,
так как (п. 12,в) реакция И2 наклонена к оси ОС под углом <р, и
потому момент равен

р

------—г P Sin Ф,
СОбф г т

Момент пары (Ru jR2) равен поэтому

( , , sin <р i
р {r tg ф — р--у-У.

* ( ° т ” COS Ф J

Приравнивая его Ър, будем иметь

г tg ф р 81П У = h;	(8)

° ‘ r cos ф

таким образом все свелось к исследованию этого уравнения, кото-
рое содержит только одну неизвестную ф (угол наклона реакции
к вертикали) и служит для определения ее. Сила тяги тотчас же
получается на основании равенства (6).

16.	Уравнение (8) при помощи очевидного преобразования
можно свести к квадратному уравнению относительно tgф. Но сна-
чала мы остановимся на качественном изучении этого уравнения.
Предполагая, что г (значительно) больше р, как это обычно бывает
в действительности мы увидим, прежде всего, что уравнение (8)
допускает один и только один корень ф, заключенный [как это и
должно быть на самом деле (п. 14)] в промежутке 0, л/2. Кроме
того, из уравнения (8) можно вывести некоторые практически
важные свойства этого корня (п. 19), на основании которых можно
будет выбрать знак в выражении для корня квадратного уравне-
ния относительно tg ф.

Девая часть уравнения (8) есть некоторая функция

Ф (ф) = ^ф — р-^Ц-
от аргумента ф, конечная и непрерывная при ф, заключенном
между 0 и 1г/2 (за исключением верхней границы). Ее произ-
водная

—V,- {г — р sin ср sin ф)
cos3 ф 1 г т ' ’

всегда положительна, так как мы предположили г > р. Поэтому
Ф (ф) есть возрастающая функция.

При ф = 0 она приводится к —psin® и, следовательно, отри-
цательна. При ф, достаточно близком к тс/2, она, наоборот, поло-
жительна и сколь угодно велика; это сделается очевидным, если
запишем Ф (ф) в виде

г sin ф — р sin

” COS Ф

и заметим, что при стремлении ф к тс/2 числитель стремится к по-
ложительному пределу

г — р sin ср,
в то время как знаменатель стремится к нулю.

Так как при изменении ф от нуля до тс/2 функция возрастает
от некоторого отрицательного значения до 4~оо, то она пройдет
один и только один раз через всякое положительное значение и,
в частности, через значение 7», входящее в правую часть уравне-
ния (8).

Уравнение (8) имеет поэтому один и только один корень
между 0 и тс/2.

17.	Следует заметить, что этот корень будет меньше или больше
угла ср, в зависимости от того, превосходит или не превосходит

ф(ср) = (г —p)tgcp

величину h. Действительно, так как Ф (ф) есть возрастающая функ-
ция от ф, то чтобы сделать Ф (ф) равной h, мы должны в первом
случае [Ф (ср) > h] приписать аргументу ф значение, меньшее ср, а
во втором случае [Ф (?)<Ч— значение, большее ср.

То обстоятельство, что корень ф уравнения (8) оказывается
в зависимости от случая < или > угла ср, равносильно тому гео-
метрическому факту (уже отмеченному в п. 13), что точка каса-
ния С оси с внутренней поверхностью ступицы оказывается сме-
щенной назад или вперед (относительно направления движения).

Чтобы убедиться в этом, достаточно припомнить (п. 14 и 12),
что ср и ф представляют собой углы наклона R2 к нисходящей
вертикали и к ОС в сторону движения. Отсюда следует, что раз-
ность ф — ср измеряет угол наклона ОС к нисходящей вертикали и
будет положительной, если радиус ОС отклонен от вертикали,
т. е. от ОВ, в сторону движения, и отрицательной — в противном
случае,
Вот почему характер смещения (вперед или назад от точки В)
точки С зависит от знака разности Ф— <р и находит свое выраже-
ние в неравенстве

(г — р) tg ф h.

18.	Для численных данных, представляющихся на практике,
возможно как то, так и другое неравенство.

Действительно, можно считать: 50 см С г < 1 м; р < 5 см;
0,07 <tg<p< 0,15 (предполагается, что внутренняя поверхность
ступицы и ось хорошо смазаны); наконец (гл. XIII, п. 27) h заключено
между 10 мм и 75 мм, в зависимости от состояния дороги; за-
метим, что значения к, превосходящие 50 мм, относятся к дорогам
сильно испорченным, незамощенным, грязным или покрытым гра-
вием.

Наименьшее значение величины (г—p)tg<p при этих числовых
данных будет

(50 —5)Х0,07 = 3,15 см

или 31,5 мм, т. е. больше, чем параметр h трения качения для
дороги в хорошем состоянии. Для некоторых дорог, например по-
крытых гравием, h превосходит (г—р) tg ?; h достигает в таких
случаях значения 70 мм и, даже при коэффициенте трения
tg<p —0,1 и при значительном радиусе колес (г = 70 см), имеем
(г — p)tg<p < 70 мм.

19.	Разделим обе части равенства (8) на г и положим для

краткости

р sin ср__

г

(9)

так что е и 1с будут отвлеченными числами, меньшими единицы.
Уравнение, определяющее ф, принимает тогда вид

/(ф, s, k) = tg^—^ — k = O.	(8Z)

Будем рассматривать в этом уравнении ф как функцию от двух
параметров е и к. Применяя правило дифференцирования неявных
функций, получим

df

дф__ дг	дф_______dfc

ds ~'	df’	dfc-	df

dcp	dtp
Так как числители = — cpg = — 1 отрицательны для
всевозможных значений угла ф (заключенных между 0 и к/2), в то
время как знаменатель

df  1 — sin ф

Йф COS3 ф

(ср. п. 16) положителен, то будем иметь неравенства

Таким образом .мы доказали, что угол ф, определенный равен-
ством (8), а вместе с ним и tg ф, является возрастающей функ-
цией как от е = р sin ф/r, так и от & = h/r.

Если мы вспомним, что сила тяги т выражается через 7? tg ф,
то сразу увидим, как будет изменяться величина силы тяги при
изменении конструктивных данных (и параметра А). Таким обра-
зом мы приходим к следующему результату: сила тяги будет
тем меньше, чем меньше будут параметр h (входящий множи-
телем в к) и радиус ступицы р (входящий множителем в е), чем
лучше смазка, т. е. чем меньше угол ? (так как е пропорционально
sin?), и, наконец, (так как в и к обратно пропорциональны г),
чем более радиус колеса г.

Можно было ожидать заранее, что сила тяги возрастает с воз-
растанием h и ?. Не столь очевидны два другие заключения,
особенно последнее; убедиться в его справедливости можно только
путем точного исследования. Полученные нами результаты подтвер-
ждают известное из практики преимущество больших колес. Телеги
для перевозки тяжелых грузов, которыми все еще пользуются на
наших дорогах, имеют как раз два больших колеса.

20.	Переходим наконец к количественному определению tg?.
Из уравнения (8') имеем

tg ф— к = —^—г,
° т	COS Ф

откуда, возводя в квадрат и принимая во внимание тождество
1/cos2 Ф = 1 + tg2 ф, получаем

(1 — е2) tg2 ф — 2к tg ф -ф- (к2 — s2) — 0;

разрешив это уравнение относительно tg ф, получим

f _ - /fc2 — (1 — е2) (/с? — е2) _	е /1 -|- — е2

Y —	1 _ е2	—	1 — е2

Из двух корней уравнения, полученного путем возведения
в квадрат обеих частей уравнения (8'), тот, который принадлежит
также и самому уравнению (8') и, следовательно, первоначальному
уравнению (8), должен, как мы видели, возрастать вместе с в.
Поэтому следует взять корень со знаком -f-, и мы окончательно
будем иметь

с»)

где е и & определяются равенствами (9).

21.	Мы уже отмечали, что величины е и к на практике полу-
чаются весьма малыми (несколько сотых, при численных данных,
приведенных в п. 18). Поэтому с достаточным приближением
можно пренебрегать их квадратами. Равенство (10) при этом при-
нимает вид

tgtp = &—[—е	(ю')

и сила тяги оказывается равной

т = tg<J» =J> (й-|—в),	(10")

т. е. представляется в виде суммы двух членов: рк и .ре; первый
член тот же самый, который мы имели бы, если бы сопротивле-
ние представляло собой только трение качения (качение по до-
роге), второй член выражает исключительно трение (скольжения)
в ступице.

22.	Обычно допускают, что оба эффекта складываются J), и уста-
навливают равенство (10"), находя отдельно:

1.	pk,=ph;r, на основе закона трения качения (гл. XI, § 6) и
допуская, что сила тяги приложена приближенно на высоте оси;

2.	рг = рр sin ср/r; это выражение получается на основании сле-
дующих рассуждений.

Предположим, что колесо подвергается действию только сил
Uj, В2 [определенных в п. 12, а) и в)]; при этом предполагается,
что трение качения отсутствует. Для равновесия необходимо и до-
статочно, чтобы эти силы были равны и прямо противоположны,
имея общей линией действия прямую, соединяющую соответствую-
щие точки приложения А и С. Остановимся в частности на силе В%.
Так как сила В% (п. 12) должна иметь составляющую, направлен-
ную в сторону движения, и С А есть линия действия этой силы,
то необходимо, чтобы, при допущенном предположении, точка С
была позади точки А (относительно направления движения). Сле-
довательно, мы имеем первый из указанных в п. 13 случаев, что
вполне естественно, так как трение качения равно нулю.

!) Ср., например, Е. Cavalli, Element! di meccanica applicata alle
mascbine (Неаполь, 1908, стр. 20—23, 91—93).
Если затем мы вспомним, что через Ф обозначен угол, соста-
вляемый силой Н2 с нисходящей вертикалью, откуда следует соот-
ношение

т = р tg ф,

то увидим [см. фиг. 79], что такое же значение имеет угол с вер-
шиной в точке А прямой АС (линия действия реакции их) с вос-
ходящей вертикалью АО.

С другой стороны (в силу того, что сила _В2 лежит на обра-
зующей конуса трения с вершиной в точке С) внешний угол тре-
угольника ОАС с вершиной в точке С есть <?. Поэтому, выражая,
что отношение сторон ОС = р, О А — г треугольника ОАС равно
отношению синусов противолежащих им углов, будем иметь

sin ф _р_
sin ср г

Отсюда следует, что ф всегда (значительно) меньше <р. Предпо-
лагая угол <р (при обилии смазки) столь малым, что значением <р2
можно пренебречь и приравнивая cos® единице, мы найдем, что
то же самое будет иметь место в еще большей степени и для ф,
и поэтому в предыдущее соотношение можно будет подставить
sin ф/cos ф = tg ф вместо sin ф, откуда

^Ф = ™.

Отсюда и получается для силы тяги р tg ф выражение

рр sin у
г ’

принятое в практике.

23.	Сила тяги при начали движения. Сравнение о силой тяги
при установившемся движении. Если вместо установившегося дви-
жения колеса мы будем рассматривать начальную фазу движения,
то тотчас же увидим, что наименьшая сила тяги т0, необходимая
для того, чтобы привести колесо в движение, вообще говоря, будет
значительно больше. Определим т0, принимая для простоты стати-
ческое трение между осью и ступицей колеса одинаковым с дина-
мическим трением.

Так как мы рассматриваем движение, начинающееся из состоя-
ния покоя, то точка опоры будет в В. С другой стороны, для того
чтобы могло начаться скольжение ступицы по оси, необходимо,
чтобы сила J?2 имела касательную составляющую, по крайней мере
равную y>tg®. Отсюда следует, что v0^>j?tg<p. Момент этой каса-
тельной составляющей относительно точки А будет равен

^o(r — p)>jPiS?(r — Р)-
Если, как это чаще всего бывает (ср. п. 18), (г—• р) tg9 пре-
восходит h, то достаточно будет иметь силу тяги, едва превосхо-
дящую jPtgfp, чтобы заставить колесо катиться.

В другом возможном случае такая сила тяги (заставляя _В2
выйти из конуса трения с вершиною в В) делает равновесие не-
возможным, но движение оси ограничивается при этом только не-
значительным скольжением внутри ступицы колеса, благодаря ко-
торому точка опоры смещается (вперед), например, из В в С (см.
вторую из фигур, помещенных в п. 13), однако качение еще не на-
чинается. Для того чтобы колесо действительно начало катиться,
необходимо, чтобы момент силы тяги превосходил момент трения
качения hp. Легко видеть, что предельная сила тяги необходимо
должна совпадать с силой тяги установившегося движения (пре-
восходящей в этом случае ./’tg®); в самом деле, речь идет о том,
чтобы выразить, что абсолютное равновесие находится в предель-
ном состоянии, когда опора находится в точке С, Д лежит на
соответствующем конусе трения, и т. д.; поэтому сохраняют свою
силу рассуждения предыдущих пунктов, причем здесь нет различия
между' относительным и абсолютным, так как (п. 12) центробежная
сила не вносит изменений и (предыдущий пункт) численное зна-
чение коэффициента трения между осью и ступицей колеса рас-
сматривается одинаковым в обоих случаях.

Окончательно мы приходим к следующему заключению: пре-
дельная сила тяги в начале движения равна по крайней мере
ptg<p и для дорог в хорошем состоянии значительно превосходит
силу тяги при установившемся движении. Для плохих дорог
наименьшая сила тяги, необходимая для приведения колеса в дви-
жение, приближенно совпадает с силой тяги при установившемся
движении.

§ 5. Нить на вращающемся блоке

24.	Для гибкой и нерастяжимой нити (векторное) неопределен-
ное уравнение относительного равновесия можно вывести непосред-
ственно из соотношения

dT -}- Fds = О,
рассмотренного в § 7, гл. XIV, где сохранены прежние обозначе-
ния, присоединяя к силе Fds, действующей на любой элемент
нити, силу инерции переносного движения х- Выставляя на вид
ds и выражая х в виде х* ds (гДе через х* обозначена сила инер-
ции переносного движения на единицу длины нити), будем иметь

^+^+х* = о.	(П)
Особенно интересным является случай, когда нить навернута
на жолоб блока и движется вместе с блоком равномерно без отно-
сительного скольжения.

Предположим, пренебрегая собственным весом нити по сравне-
нию с натяжением, что сила F для любого элемента ds сводится
к реакции, происходящей от блока, в соприкосновении с которым
находится этот элемент. Обозначим через г радиус блока, через а>
его угловую скорость, через р вес единицы длины нити, предпола-
гаемой однородной, так что р)д есть масса единицы длины (линей-
ная плотность).

Будем отсчитывать дуги в сторону движения и перейдем от
уравнения (11) к внутренним уравнениям (см. гл. XIV, § 8), проек-
тируя это уравнение на ребра естественного трехгранника траекто-
рии, в обычном предположении, что вектор t направлен в сторону
отсчета дуг, т. е. в сторону движения, а вектор п в сторону во-
гнутости, т. е. в сторону центра блока. Обозначим, как обычно,
через Ft, Fn, Fb проекции силы F на касательную, главную нор-
маль и бинормаль к траектории. Так как жолоб блока может ока-
зывать реакции только наружу (в сторону выпуклости), то проекция
Fn необходимо будет отрицательной и мы можем положить ее
равной —N, обозначая через N величину нормальной реакции.
Из трех проекций центробежной силы две, а йменно у* и у*, будут
равны нулю; проекция у*, будучи направленной наружу, очевидно
будет равна —paflrlg.

Уравнения относительного равновесия веревки принимают таким
образом вид

f + ^ = O, 1 =	F6 = o. (12')

25.	Если мы обратим внимание на то, что величина p<s^rjg
является постоянной, и положим

=	^о?г,	(13)

то можно будет также написать

^- + Ft = O, = Fb = O;	(12)

эти уравнения тождественны с уравнениями абсолютного равновесия
в аналогичных условиях, за исключением лишь того, что величина
Т* представляет здесь не само натяжение, а натяжение, умень-
шенное на постоянную величину p^rfg.

Это замечание позволяет также и в случае относительного
равновесия определить предельное соотношение, которое должно
существовать между значениями Та и Тв натяжений на концах
А, В куска нити, когда, при заданном значении одного из них,
их разность Д27 достигает максимума, совместимого с существова-
нием равновесия.

Для этого достаточно обратить внимание на то, что на основа-
нии соотношения (13) мы можем рассматривать безразлично Т
или Т*, так как Д2’ = ДТ*; для этой же последней разности усло-
вия максимума [совместимого с уравнениями (12')] были уже уста-
новлены в гл. XIV (п. 61).

Предположив, например, что Т*в есть большее из натяжений
на концах А и В, мы нашли тогда, что если равновесие существует,
то должно быть

т*

з1!

так что предельное соотношение, при котором еще возможно равно-
весие, имеет вид

где 9 есть центральный угол (в радианах), соответствующий дуге
АВ, и 'f есть коэффициент трения (статического) между нитью и
блоком. Подставив вместо Т* его 'выражение (13), мы получим
прежде всего соотношение

Тп —
g <ел>,

Л 9

выражающее необходимое условие относительного равновесия, т. е.
отсутствия скольжения между нитью и вращающимся блоком,
и, в частности, равенство

Тв — Р.<ацъ

J-Л-------=

т
А 9

которое и является искомым соотношением между натяжениями
на концах, когда одно из них дано и разность достигает наи-
большего возможного значения.

То же самое соотношение между Тд и Тв должно, конечно,
существовать и тогда, когда, наобуот, предполагается заданной
разность &Т и требуется (совместно с существованием относи-
тельного равновесия), чтобы натяжение Та было наименьшим.

(14)

26.	Заметим, что мы с самого начала предположили возможным
цренебрегать собственным весом нити по сравнению с натяжением.
Так как вес единицы длины нити равен р и нить охватывает при-
близительно половину окружности блока, то вес, о котором идет
речь (по предположению, ничтожный по сравнению с Т) будет
равен крг. Отсюда следует, что в равенстве (14) можно будет
отбросить член рвРг^д = npr (pfy/ng) как в числителе, так и
в знаменателе и, следовательно, привести равенство к обычному
виду

всякий раз, когда коэффициент oaring при прг не будет очень
большим числом.

В обычных случаях ременной передачи (которую мы будем рас*
сматривать в следующем параграфе) это обстоятельство большею
частью будет выполняться. Действительно (принимая метр за еди-
ницу длины и секунду за единицу времени), радиус г шкива,
вообще говоря, будет <1, g = 10 (приближенно) и ш = 2тп, где п
обозначает число оборотов в секунду. Например, при г = 0,50, при-
нимая приближенно 2л/^ = 2/3, будем иметь taring = 2»2/3 и доба-
вочным членом можно пренебрегать, пока речь идет о небольшом
числе оборотов в секунду.

27.	Произведение гДТ при относительном равновесии нити на
блоке измеряет (по абсолютной величине) результирующий момент Г
относительно оси блока сил, с которыми нить (или веревка) дей-
ствует на Самый блок. Действительно, любой элемент нити ds
в силу принципа равенства действия и противодействия действует
силой —Ids на элемент (жолоба). блока, с которым он соприка-
сается. Составляющая — Fb ds этой силы по бинормали равна нулю,
составляющая — Fnds = Nds по главной нормали пересекает ось;
остается касательная составляющая — Ft ds, момент которой отно-
сительно оси блока равен —Ftrds (положительное направление
оси выбирается таким образом, что момент касательной силы поло-
жителен, если сила направлена в сторону отсчета дуг, и отрица-
телен, если сила направлена в ппотивоположную сторону).

Суммируя эти частичные слагаемые —Ftrds, т. е. интегрируя
по s между двумя концами А и В рассматриваемой дуги и при-
нимая во внимание постоянство г и .первое из уравнений (12),
получим равенство

-г fFtds = r f ^-ds = r(_TB~TA'),
АВ	АВ

ив которого, приравнивая абсолютные величины, найдем

Г=гДТ,

согласно утверждению.
Заметим, что если речь идет о касательных составляющих,
направленных в сторону отсчета дуг, произведение —Ftds будет
положительным, и величина Т должна, следовательно, возрастать
от Л к В. Тогда имеем &Т—Тв— Та.

§ 6.	Ременные передачи

28.	Вращательное движение можно, как известно, передавать

с одного вала на другой, параллельный первому, посредством ремня,
натянутого на два шкива, каждый из которых жестко соединен

с соответствующим валом; оба
шкива должны лежать в одной
и той же плоскости, нормаль-
ной к обеим осям вращения.

Обратимся к этому случаю
и изобразим оба шкива в виде
двух окружностей С и Cj
(фиг. 80); обозначим через О
и 01 их центры, т. е. следы
соответствующих осей, через
А, Ах ъВ, — точки касания
общих касательных к двум
окружностям (внешних или
внутренних в зависимости от
того, будет ли передача откры-
той или перекрестной).

Ремень расположится приближенно по замкнутому контуру, со-
стоящему из двух дуг окружностей АР В, А^Р^В^ и из двух пря-
молинейных отрезков AAt, BBV Предполагая для определенности,
что С*! является ведущим шкивом и шкивы вращаются в стороны,
указанные на фиг. 80 стрелками, будем называть отрезок BBY
ремня (в котором движение обращено к ведущему шкиву) ведущим,
а отрезок АА1 ведомым.

При установившемся режиме точки ремня движутся с постоян-
ной скоростью, которая передается наружным (рабочим) поверх-
ностям ободов шкивов. После того, как материальный элемент
ремня приходит в соприкосновение в положении А (или Bt) с ма-
териальным элементом шкива С (или шкива CJ, он остается
в соприкосновении с тем же самым элементом до положения В
(или соответственно /tj.

Поэтому, обозначив через т и ту радиусы шкивов С, Сх и
через <о и (Dj угловые скорости установившегося движения (соот-
ветственно вокруг О и OJ, мы получим, приравнивая линейные

окружные скорости,
29.	Предположим, что на ведущий вал 0! (равномерно вращаю-
щийся с заданной угловой скоростью о^) накинут ремень для того,
чтобы заставить вращаться с угловой скоростью ш другой вал О,
преодолевая некоторые сопротивления, момент которых относительно
оси вращения (точнее, абсолютную величину этого момента) мы
обозначим через у.

Согласно уравнению (15), мы должны выбрать радиусы г и г1
обратно пропорциональными угловым скоростям <о и «р Что же
касается ремня, то ясно, что он, во-первых, не должен быть натянут
слишком слабо, потому что в таком случае или на него не было
бы воздействия со стороны шкива <4 или же он сбегал бы с обода
шкива (или даже с ободов обоих шкивов), не сообщая валу О желатель-
ного вращения. Но ясно также, что ремень не должен быть и
слишком сильно натянут, так как в этом случае увеличится бес-
цельно трение (между осями валов и соответствующими подшипни-
ками) и, следовательно, потребуется большая мощность у ведущего
внлз.

Для того чтобы рассмотреть точнее этот вопрос, определим
различные силы, действующие на шкив С и неизменно связанный
с ним вал, имея в виду, что по существу речь идет о твердом
теле с неподвижной осью, находящемся в равномерном вращении,
и что, следовательно, силы должны удовлетворять соответствующему
условию относительного равновесия, т. е. должен исчезать результи-
рующий момент относительно неподвижной оси всех внешних сил,
действующих на шкив G (центробежные силы ничего не прибав-
ляют к этому моменту).

Действительно приложенными силами будут:

1)	Силы, с которыми ремень действует на шкив С вдоль дуги АР В.
Их результирующий момент равен (п. 27) гД7'. Так как в пред-
положенных условиях касательные составляющие этих сил действуют
вдоль дуги АРВ в сторону от А к В, то (согласно замечанию
в конце п. 27) будем иметь

ТВ>ТА и № = ТВ — ТА.

2)	Различные сопротивления, которые можно разделить на
полезные и вредные (пассивные сопротивления).

Результирующий момент первых представляет собой данную
величину, которую мы обозначим через у.

Пассивные же сопротивления, между которыми преобладающим
является трение оси о подшипники, наоборот, существенно зави-
сят от натяжения ремня. Обозначим неизвестный заранее момент
пассивных сопротивлений через а. Тогда у-|-а будет общим мо-
ментом сопротивления.

Поэтому будем иметь

гкТ= у а-

(16)
30.	Задача, которую мы теперь будем рассматривать, заклю-
чается в следующем. Подобрать натяжение ремня так, чтобы:

а)	части ремня, налегающие на внешние поверхности ободов,
находились в относительном равновесии;

б)	выполнялось равенство (16);

в)	пассивные сопротивления были сведены к минимуму. Заме-
тим сначала, что при условии хорошей работы передачи величина а
должна представлять собой незначительную часть от у, так что
равенство (16) (с приближением, достаточным для практически
интересных случаев) может быть заменено равенством

гЬТ = у.	(16')

Условие заключается, таким образом, в том, что разность между
натяжениями на концах дуги АР В должна иметь заданное значение.

Далее, легко видеть, что для выполнения условия „б“ надо
уменьшить, насколько возможно, натяжение или, если задана раз-
ность А 7' — Тв — ТА между значениями натяжепий па концах,
уменьшить, насколько возможно, Та (конечно, при выполнении
условия ,,а“, обеспечивающего относительное равновесие по отно-
шению к С).

Мы пришли таким образом к условиям и. 25, и, следовательно,
для ответа на вопрос задачи должны присоединить к уравнению (16')
предельное соотношение (14) [или (14'), если угловая скорость
не слишком велика].

Если в равенство (14) внесем вместо Тв значение Та + у/Ч
полученное из соотношения (16'), то для определения Та оконча-
тельно будем иметь уравнение

откуда

здесь первый член большей частью весьма мал по сравнению со
вторым.

31.	Надо заметить, что угол 6 (строго равный л, если мы имеем
открытую передачу между двумя равными шкивами) во всяком
случае будет достаточно близок к л.

На практике обычно для предохранения от соскакивания натя-
жению задается величина, несколько большая ее нижнего предела.
Для Та берется значение, несколько большее значения, давае-
мого формулой (17), когда в нее вместо 6 подставляется постоян-
ная 4ir/5.
При /’=0,28 (среднее значение коэффициента трения для рем-
ней из кожи, на шкивах из чугуна) е9’28-№>к очень близко к 2,
и поэтому формулу (17) можно взять в виде

+	(И')

или, для умеренных скоростей, в виде

Тл = |-	(И")

Отметим еще, что когда мы пользуемся формулой (17"), что
встречается в большей части обычных случаев, то из равенетва (16')
имеем

Тв = Та + ± = 2Та,

т. е. натяжение ведущей части ремня равно удвоенному натяжению
ведомой части.

32.	Мы не заботились о выполнении условия относительного
равновесия ремня относительно шкива Сг (условие ,,а“). Это оправ-
дывается тем обстоятельством, что если исключается проскальзы-
вание на шкиве С, то практически будет исключено и проскальзы-
вание на шкиве С).

Чтобы убедиться в этом, заметим, что на двух прямолинейных
частях ремня натяжения постоянны ’), так что имеем Та, = Та,
Тв, = Тв- Условие относительного равновесия (и. 25) части АгРг.Вг
ремня относительно шкива может быть написано в виде

Тп — Т- <оМ

А д

где через обозначен угол, соответствующий дуге	Это

неравенство, конечно, удовлетворяется найденными значениями
Та и Тв-. Действительно, мы нашли эти значения из уравнений

Тв — Т. Ш2Г2

-------9---= еГв	(14)

ТА-Т- Ш2Г2
л д

	гА7' = у,	(16')

*) Прямолинейные части ремня, которые сбегают со шкивов с постоян-
ной скоростью, могут рассматриваться как находящиеся в относительном
равновесии по отношению к осям, движущимся поступательно, и притом
прямолинейно и равномерно. Условия относительного равновесия будут
тогда тождественны (п. 5) с условиями абсолютного равновесия; с другой
стороны, постоянство растягивающего усилия в прямолинейной части ремня,
на которую не действуют силы, является, как мы знаем (ср. гл. XIV, п. 35),
непосредственным следствием из основного постулата.
в которых из осторожности взяли для угла 6 Численное значение,
несколько меньшее того значения, которое он может иметь в каж-
дом конкретном случае. Поэтому мы необходимо будем иметь

Т РШ2Г2

-----£-----= еЛ <

§ 7.	Вес и притяжение Землею. Изменение ускорения силы
тяжести с широтою. Отклонение вертикали

33.	Рассмотрим материальную точку Р, находящуюся вблизи от
земной поверхности, и предположим, что Р не находится в сопри-
косновении с другими телами, и на нее не действуют силы, про-
исходящие от каких-либо специальных устройств. Тогда остается
одна сила, „вес“ точки Р, которую можно, следовательно, рассма-
тривать, как такую силу, уравновесив которую, мы помешаем точке
падать или, иначе, удержим ее в (относительном) равновесии по
отношению к Земле.

Сопоставим это экспериментальное утверждение с законом все-
мирного тяготения (гл. XI, п. 2). Согласно этому закону на нашу
материальную точку Р (которая, как мы сказали, предполагается
свободной от действия какой-либо искусственно вызванной силы)
действуют силы притяжения других тел и только эти силы. Так как,
далее, благодаря огромным расстояниям, притяжения различных не-
бесных тел будут ничтожны по сравнению с земным притяжением Gr,
то это притяжение и будет по существу единственной силой, -дей-
ствующей на Р. Поэтому для того, чтобы удержать точку Р
в абсолютном равновесии, необходимо и достаточно было бы урав-
новесить силу бг. Если же мы хотим рассматривать относитель-
ное равновесие по отношению к осям, неизменно связанным с Зем-
лей, то мы должны (п. 3) присоединить к бг переносную силу
инерции х, происходящую от движения этих осей (относительно
неподвижных звезд).

Таким образом, основываясь на законе всемирного тяготения,
мы приходим к заключению, что вес представляет собой сумму
«+х земного притяжения и переносной силы инерции.

Прежде всего, путем простой качественной оценки, мы можем
убедиться, что поведение величины бг -|- X согласуется с поведением
силы, наблюдаемой нами как вес.

Переходя от качественной оценки к количественной, мы можем
(ограничиваясь даже первым приближением в вычислении бг)
объяснить характер изменения ускорения силы тяжести на земной
поверхности (см. гл. П, п. 27). Это дает нам очевидное подтвер-
ждение совершенной достоверности закона Ньютона. Более точ-
ные подтверждения этот закон получил в астрономии (движение
небесных тел); однако указанная здесь статическая проверка
(которая в отличие от опыта Кэвендиша не требует тонких экспе-
риментальных методов) заслуживает внимания.

34.	Определение G. Будем рассматривать Землю как шар, со-
стоящий из однородных концентрических слоев. В отношении
геометрической формы это предположение близко к действи-
тельности, если мы примем во внимание размеры Земли, так
как относительные отклонения от сферической формы (проис-
ходящие, например, от полярного сжатия, от гор и т. п.) не пре-
восходят (и даже остаются почти всегда значительно меньше) пяти-
тысячных. Что же касается гипотезы о концентрической слоистости,
то она вполне приемлема в качестве пробной, так как нет прямого
указания о внутреннем строении Земли; с другой стороны, имеется
еще одна неопределенность (а именно, закон, по которому изме-
няется плотность в функции от расстояния от центра), благодаря
которой всегда можно предположить, что плотности любого слоя при-
писано именно то среднее значение, которое принадлежит ему
в действительности.

Приняв эти гипотезы, мы в качестве следствия из них получим,
что притяжение Земли во внешних точках (ив частности в не-
посредственной близости от поверхности) оказывается таким (гл. XI,
п. 22), какое мы имели бы, если бы вся масса М была сосредо-
точена в центре О. Вектор G- вследствие этого будет направлен
к О, и его величина, отнесенная к единице массы притягиваемой
точки Р, будет иметь значение /*Л£/р2, гДе f—постоянная тяготения
и р—расстояние точки Р от центра.

Заметим, что если рассматривается область вокруг какой-нибудь
точки поверхности Земли с окрестностью в несколько километров,
то вектор бг, внутри этой области, будет приближенно постоянным
по величине и направлению.

Действительно, так как радиус Р земного шара равен прибли-
женно 6370 км, то радиальное или трансверсальное перемещение
в несколько километров очень мало изменит как величину, так и
направление его. О порядке величины этих изменений дают пред-
ставление следующие вычисления.

1.	(Изменение направления). При перемещении по сфере ради-
уса Р по дуге (большого круга) Да угловое отклонение будет равно
(в радианах) bsjP, или в градусах (360/2-) • (Да/Б). Предположив,
например, что Да не превосходит 1 км, мы увидим, что отклонение
не будет превосходить полминуты.

2.	(Изменение величины.) При перемещении вдоль радиуса,
начиная от ? = Р, на ДБ величина G — fMlr^ получит изменение

f№ fM _f№	, дл v2 ,)

(Л + ДЛ)2 №	/?2(\ r) 1Г
Так как ДД мало по сравнению с Л, то, разлагая (14-ДЙ/2?)-2
в ряд по формуле бинома Ньютона и останавливаясь на первом
члене, мы получим для изменения G выражение

fM 2kR.
R2 ’ R ’

следовательно, по абсолютной величине, относительное изменение
(т. е. отношение изменения к величине притяжения на поверхности
Земли) представится в виде 2 ДД/К, что меньше 1/1000 для высот
ДЛ, не превосходящих 3 км.

35.	Обращаясь к вопросу о том, каким образом изменяется

сила притяжения бг вдоль любого меридиана, выберем систему

осей Оху (фиг. 81), расположенных
в плоскости мёридиана, с началом О
в центре земного шара и с положи-
тельными направлениями осей Оу и Ох
соответственно к северному полюсу и
к меридиану (полуокружности боль-
шого круга), о котором идет речь.

Если обозначим через А широту
какой-нибудь точки Р меридиана, то
cos X и sin А очевидно будут направляю-
- ►
щими косинусами радиуса-вектора ОР
точки Р (с началом в центре О
Земли), и проекции вектора G- на оси
Ох и Оу будут равны

Фиг. 81.

О^ — — G cos A, Gy — — G sin А, (18)

где величина G есть	и, следовательно, не зависит от А и

Йрстоянна на всей земной поверхности.

36.	Точное определение X- Движение Земли предполагается
Сложным, складывающимся, как известно, из равномерного враще-
ния вокруг полярной оси ШГ (суточное вращение) и поступатель-
ного движения как неизменяемой системы, в силу которого (со-
гласно законам Кеплера) Земля описывает в течение года вокруг
Солнца эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Переносная сила инерции х будет, следовательно, суммой двух
слагаемых: одного Хи происходящего от вращения, и другого /2,
происходящего ют поступательного движения. Если мы обратим
внимание на то, что в этом последнем движении требуется целый
год для того, чтобы совершить один оборот, и что, следовательно,
(для промежутков времени, малых по сравнению с периодом) дви-
жение приближенно можно рассматривать как прямолинейное и
равномерное, то, как уже было сказано выше (и. 5), можно пре-
небречь вектором Х2 ')•

Таким образом остается только одно первое слагаемое Хп т- е-
центробежная сила, происходящая от суточного вращения Земли.
Угловая скорость ш суточного вращения (дуга единичного радиуса,
описанная в единицу времени, т. е. в секунду среднего солнечного
времени) определяется, как мы знаем (гл. VII, п. 18), выражением

__ 2л

Ш ~ 86164’

а центробежная сила, действующая на единицу массы, находящуюся
на расстоянии 3 от полярной оси, равна ш1 28. Для точки Р на по-
верхности Земли на широте X, очевидно, будем иметь 3 = В cos X,
а центробежная сила будет действовать в плоскости меридиана,
перпендикулярно к полярной оси; поэтому относительно принятых
в п. 35 осей будем иметь

•/ж = ш27? cos X; Zj/=»0.	(19)

Численное значение величины <»27? (имеющей размерность уско-
рения) будет около 3,4 с.и/сек2.

37.	Сравнение с весом. Первое приближение. Так как наиболь-
шее значение центробежной силы / (которое она принимает при
X = О, т. е. на экваторе) равно 3,4 дин, то можно пренебречь ее
влиянием на д и считать в первом приближении вес равным зем-
ному притяжению. При принятых гипотезах относительно внутрен-
него строения Земли отсюда следует, что вес тела не изменяется
при перемещении из одного места в другое на земной поверхности,
и что направление радиуса Земли во всякой точке совпадает с на-
правлением нити с грузом на конце. То и другое очевидно согла-
суется с данными грубого опыта.

1) В связи с этим следует вспомнить, что в обращении Земли вокруг
Солнца переносное ускорение (которое в силу того, что речь идет о посту-
пательном движении, является одним и тем же для всех точек Земли)
будет несколько меньше 1 см/сек2, т. е. около одной тысячной, части от g
(гл. VII, п. 18).

Так как х? для точки с массой, равной единице, есть не что иное, как
это ускорение, взятое в противоположную сторону, то мы действительно-
можем при вычислении веса, т. е. д, пренебречь им при том порядке при-
ближения, которым мы здесь пользуемся. Даже когда требуется и большая
точность, мы можем пренебречь вектором Хз, но не потому, что вектор Хз
сам по себе ничтожен, а потому, что он всегда направлен в сторону, про-
тивоположную солнечному притяжению, и поэтому компенсируется солнеч-
ным притяжением, которым мы здесь также пренебрегли (п. 33) по сравне-
нию с земным притяжением.
38.	Второе приближение. Если мы примем во внимание пере-
носную силу инерции х, то получим равенство

gr==«4-x,	(20)

которое при первом же взгляде разъясняет тот качественный факт
(отмечаемый наблюдением), что ускорение силы тяжести д изме-
няется, увеличиваясь при перемещении тела от экватора к полюсам.
Достаточно принять во внимание, что центробежная сила х равна
нулю на полюсах (так что вес д там сводится к силе притяжения бг)
и имеет наибольшую величину на экваторе, где она направлена
прямо противоположно земному притяжению G- и поэтому умень-
шает величину д. Между экватором и полюсом, через промежуточ-
ные параллели, изменение д идет всегда в одну и ту же сторону.
Это можно установить геометрическим путем, но еще более просто
можно получить его из явного выражения д через А, которое мы
найдем в ближайшем пункте, рассматривая следствия из фор-
мулы (20).

Здесь же заметим, что вес д, как это следует из формулы (20),
вместе с G и центробежной силой х> лежит в меридианной пло-
скости, проходящей через рассматриваемую точку Р, и предста-
вляет собой диагональ параллелограмма (фиг. 81), построенного на
векторах бг и X- Если обозначим через у острый угол, который
направление такой диагонали (нить с грузом) образует с плоскостью
экватора, то у очевидно будет (несколько) больше А. Разность
у — А. называется отклонением вертикали, происходящим от вра-
щения Земли.

39.	Спроектируем равенство (20) на оси х, у, определенные
в п. 35, и изменим знаки в обеих частях равенства; если мы за-
метим, что проекции вектора д суть — <7 cos у, —<7 sin у и примем
во внимание равенства (18) и (19), то получим

(jcosy==(G — o>2jR) cos X,	<7 sin у = GsinA.

Обозначив через д0 силу тяжести на экваторе (где А = у = О)
из первой из написанных формул, мы будем иметь

0о = G — <и2Б,

как это уже было указано в предыдущем пункте. Если положим

М
----= е,
9й

где (п. 36) s есть отвлеченное число, равное немногим тысячным
долям, то будем иметь

G = д0 + а)2-й = Уо (1 + е)
и проекции вектора д можно будет написать в виде

0 cos у = 0О cos X, 0siny = 0o(14*e)sinX;	(20')

возводя равенства (20у) в квадрат и складывая, получаем

02 = 0a{cosaX-J-(l —|— е)2 sin2 X} =0о|1 H-2ssin3A^l +vy®)}-

Таким образом доказано утверждение, что д изменяется, по-
стоянно возрастая вместе с X. Если из обеих частей полученного
равенства извлечем квадратный корень и разложим {1 —j— 2е sin2 л X
X (1 + у е)} п0 Ф°РмУле бинома Ньютона, пренебрегая членами
второго и высшего порядков относительно е, то будем иметь

0 = 0о(1 +esin2X).	(21)

Эта формула хорошо представляет общий ход изменения силы
тяжести вдоль меридиана.

Далее, переходя к более точному приближению, можно устано-
вить, что формула (21) хорошо выражает также и количественно
действительное изменение д, если только величине е вместо значе-
ния <^Rlg0 приписать подходящее числовое значение е = 0,005302
и положить !) 0О =978,030 сл/сек2.

40.	Из равенств (20'), умножая первое на sin у, второе на cos у
и вычитая, получим

0О cos X sin у — 0О sin X cos у—0ое sin X cos у = 0;

это равенство можно написать в виде

sin (у — X) = е sin X cos у = s sin X cos {X -f- (У — X)J.

Отсюда прежде всего следует, что sin (у — X) содержит множи-
тель е,так что, пренебрегая величиной е2, cos(y—Х)=У"1 — sin2(y—X)
можно положить равным единице и ssin(y — X) — нулю.

Благодаря этому выражение

е cos {X 4- {(у — X)} = е cos X cos (у — X) — е sin X sin (у — X)
приближенно сведется к есозХ, так что будем иметь

sin (у — X) = е sin X cos X — ± в sin 2Х,
а

откуда, подставив угол вместо Синуса, получим окончательно
(с тем же приближением)

у — X — -|- е sin 2Х.	(22)

’) Ср. Pizzetti, Trattato di Geodesia teoretica (Болонья, второе издание,
1928, стр. 15).
Эта формула показывает, что наибольшее отклонение вертикали
имеется на широте в 45° (sin 2А = 1). Оно достигает (в радианах)
значения е/2, или в градусах 360 e/4w. При значении s, указанном
в предыдущем пункте, значение последнего выражения оказывается
немногим менее 10'.

УПРАЖНЕНИЯ

1.	Если твердое тело находится в поступательно-вращательном движе-
нии, в котором угловая скорость w и ускорение а0 какой-нибудь точки О
постоянны, то переносная сила йнерции % (для всякой точки твердого тела)
не будет зависеть от времени.

Показать, что не существует других движений твердого тела, обладаю-
щих аналогичными свойствами.

2.	Тонкий стержень АВ, наклоненный под углом 6 к вертикали, напра-
вленной вверх и проходящей через конец А, вращается вокруг этой верти-
кали с постоянной угловой скоростью <о. Тяжелый шарик может двигаться
без трения по стержню. На каком расстоянии Z от А шарик может нахо-
диться в относительном равновесии?

3.	Тяжелый шарик может двигаться без трения вдоль окружности, кото-
рая равномерно вращается вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости
окружности.

Показать, что для шарика, в зависимости от случая, могут быть четыре,
два или ни одного положения относительного равновесия.

4.	Применить статическое понятие об устойчивости (гл. IX, § 4) к отно-
сительному равновесию тяжелой точки, вынужденной оставаться на сфере,
вращающейся без трения вокруг вертикальной оси (п. 8).

[Принимая во внимание, что работа реакции при перемещении точки
по сфере равна нулю, мы придем к рассмотрению (гл. IX, п. 19) потенциала
двух сил, веса и центробежной силы, в окрестности положения равновесия.]

5.	На какой поверхности, в предположении, что она абсолютно гладкая
и равномерно вращается вокруг вертикальной оси, тяжелая точка может
находиться всюду в относительном равновесии?

Ответ. На параболоиде (<о2/2) (ж2 + 2/2) — 9g — const (ось Оя направлена
вертикально вверх).

6.	Пусть С—твердое тело, равномерно вращающееся вокруг неподвиж-
ной оси, (?—центр тяжести тела. Найти результирующую R и результи-
рующий момент М центробежных сил относительно какой-нибудь точки О
оси и вывести затем условия, при которых система центробежных сил
равносильна одной силе или одной паре или нулю.

Ответ. Результирующая R тождественна с центробежной силой точки (?,
в предположении, что в ней сосредоточена вся масса тела. Если за систему
отсчета примем систему осей с началом в точке О и с осью я, направленной
по оси вращения, то получим

ЛГ=<о2(— A'i + B'j),

где <о — есть угловая скорость и А', В' — произведения инерции 2
2 т{я{х{.

i
7.	Твердый диск движется произвольным образом в своей плоскости.
Определить (на основе п 59 гл. V; систему приложенных векторов, соста-
вленную из переносных сил инерции.

8.	Показать, что материальная точка Р, находящаяся под действием
центральной притягивающей силы (гл. VII, п. 29, в), может равномерно опи-
сывать вокруг центра силы О произвольную окружность С, лишь бы угло-
вая скорость <в имела надлежащую величину.

[Условие, которое накладывается на Р, равносильно, очевидно, требова-
нию находиться в относительном равновесии по отношению к осям, лежащим
в плоскости окружности С и равномерно вращающимся вокруг точки О
с той же самой угловой скоростью <о, с к 'кой вращается радиус точки Р.

Тогда все сведется к выбору угловой скорости w таким образом, чтобы
центробежная сила уравновешивала притяжение.]

9.	Показать (применяя указание предыдущего упражнения), что система,
состоящая из двух материальных точек Р и Р}, притягивающихся по закону
Ньютона, может равномерно вращаться (так, как если бы точки были неиз-
менно связаны) вокруг их центра тяжести. Угловая скорость должна в этом
случае удовлетворять соотношению

/’(m-4-mO

где т, mi представляют собой массы обеих точек, d есть расстояние между
ними и f—постоянная тяготения.

10.	Указать конфигурацию относительного равновесия равномерно вра-
щающейся । ибкой и нерастяжимой нити. Предполагается, что концы А и В
нити прикреплены к двум точкам оси вращения, что нить однородна и весом
ее можно пренебречь по сравнению с центробежной силой.

11.	Ремень трансмиссии весит 270 г на погонный метр. Он движется
со скоростью 15 ем/сек.

Сопротивление, которое надо преодолеть (в обозначениях § 6), имеет
момент т = 20 (где силы выражены в килограммах, а длины в метрах).
Положив г = 0,6 м, f = 0,28, 9 = л (в предположении, что оба шкива С и Cj
равны), найти растягивающие усилия ТА и Тв.

Ответ. ТА = 20,8 к»; Тв = 62,5 Kt.

12.	Показать, что если бы угловая скорость Земли была в 17 раз больше,
то тела на экваторе (приближенно) были бы лишены веса.
ИМЕННОЙ И ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютно твердое тело 107

Аристотель 246

Бернулли Даниил 234

Бернулли Иван 246

Бернулли Яков 234

Вес 313

Весы Квинтенца 262

Взаимность (корреляция) 181

Висячие мосты 196, 205

Вращение горизонтального вала 292

Галилей 246, 256

Главные оси инерции 45

Гюйгенс 41

Гюльден 39

Декарт 246

Диаграмма Кремона 177

Диаграммы взаимные Кремона 180

----Максвелла 193

Динамометр 232

Закон всемирного тяготения 65

Кастелли 256

Кёттер 168

Коэффициент сцепления 137

Кремона 193

Кулон 6

Кэвендиш 66

Лагранж 31, 32, 246

Лаплас 69

Лапласа уравнение 69

Максвелл 193

Максвелла теория взаимных диаграмм

193

Масса тела 23

Машины простые 258

Маятник бифилярный 263

Метод множителей Лагранжа 268

— моментов (метод Риттера) 174

— сечений (метод Кульмана) 173

Многоугольник веревочный 153, 177,
187

— силовой 157, 177, 178

Момент изгибающий 226

—	инерции относительно оси 40

—	— полярный 32

—	крутящий 226

Моменты инерции относительно пе-
ресекающихся осей 43

—	статические 29

Несвободная точка на поверхности
или на кривой 16

Нити гибкие нерастяжимые 193

------, естественные уравнения
равновесия 217

--------, натяжение 194

—--------, условия равновесия 194

Нить на вращающемся блоке 305

Нулевая система 181

Общее соотношение статики 246, 248,
252

—	уравнение статики 252

Опыт Кулона 5

—	Кэвендиша 66

Отклонение вертикали 313

Плоскость диаметральная 31

—	ортографическая 185

Плотность 24

—	линейная 28
Плотность объемная 28

— поверхностная 28

Поверхность абсолютно гладкая 10,11

Поллячек-Гейрингер 169

Потенциал притяжения 66

— системы сил 267

Пресс винтовой 259

Принцип виртуальных работ 242

•----—, доказательство Лагранжа

250

-------, приложение к фермам 281

— равенства действия и противо-
действия 101

Принцип Торричелли 256

Притяжение однородного сфериче-
ского слоя 81
-------эллипсоидального слоя 85
— однородной сферической поверх-
ности 78

Прямые автополярные 182

— взаимнополярные 182

Равновесие несвободных твердых тел
109

— относительное 286

— твердого тела с закрепленной
осью 111

------------- точкой 110

----------осью, скользящей вдоль
самой себя 115

-----тяжелого тела на горизон-
тальной плоскости 117

— тонких стержней 224

-------, внутренние или естествен-
ные уравнения 231

-------, изгибающий момент 226

-------, крутящий момент 226

-------, нормальное усилие 226

-------, перерезывающееусилие226

-------, результирующее усилие
226

-------, результирующий момент
усилий 226

Радиус инерции 40

Ременные передачи 309

Роберваль 263

Сила инерции переносного движения
287

------- центробежная 290

Силы узловые 151

Системы треугольные 169

Сопротивление качению 296

Стевин 246

Стержневые системы 149

-----многосвязные 149

-------, геометрическое исследова-
ние 162

-----односвязные 149,153

-----треугольные 169

Стержни тонкие 230

-----, внутренние уравнения равно-
весия 231

— упругие 233

Теорема Гюйгенса 41

— Гюльдена 39, 59

Трение качения 129

-----, коэффициент или параметр
трения качения 132

-----, момент трения качения 131,
133

-----,------верчения 133

----- , предельная сила тяги 131

Трение скольжения 5,11

-----, конус трения 9, 11

— — , коэффициент трения скольже-
ния 7

----- , предельная сила тяги 6

— — , предельное состояние равно-
весия 9

----- статическое 11

----- , угол трення 9

Уравнение Лапласа 69

Уравнения равновесия нити 217

-----основные или общие 103

Условия астатического равновесия
148

— равновесия голономной системы
в лагранжевых координатах 265

----- твердого тела 108

Усилие нормальное 226
Усилие перерезывающее 226

— растягивающее 151

— сжимающее 150

Устойчивость равновесия 18

----, коэффициент устойчивости
127

---, момент устойчивости 125,126

Фермы 162

— изменяемые 162

— неизменяемые 162

----без лишних стержней 163

------------ , равновесие 170

------------, соотношение между
числом узлов и числом стержней
163

Фермы изменяемые с лишними
стержнями 163

— треугольные 169

----простые 170

Центробежная сила 290

Центр тяжести 28

---- , распределительное свойство
30

Цепная линия 211

Цепь однородная 209

Эластика плоская 232

Эллипс инерции 49

Эллипсоид инерции 45, 46

----центральный 46
ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава IX

Трение и статика точки	Стр.

§ 1.	Равновесие точки, опирающейся на поверхность.............. 5

§ 2.	Независимость условий равновесия от способа осуществления
связей......................................................   14

§ 3.	Несвободная точка, вынужденная оставаться на поверхности или
па кривой..................................................... 16

§ 4.	Статическое понятие об устойчивости равновесия........... 18

Упражнения.................................................... 21

Гл а в а X

Геометрия масс

§ 1.	Масса тела............................................... 23

§ 2.	Плотность................................................ 24

§ 3.	Центр тяжести системы дискретных материальных точек ....	28

§ 4.	Центр тяжести тела, материальной поверхности и материальной
линии......................................................... 32

§ 5.	Моменты	инерции......................................... 40

§ 6.	Эллипсоид инерции. Главные оси инерции. Замечательные частные
случаи........................................................ 45

§ 7.	Моменты	инерции тел, поверхностей и линий. Примеры...... 51

Упражнения.................................................... 58

Глава XI

Краткие сведения о ньютоновом притяжении

§ 1.	Общие соображения........................................ 65

§ 2.	Потенциал...................-............................ 66

§ 3.	Приложения .............................................. 77

Упражнения.................................................... 96

Глава XII

Принцип равенства действия и противодействия
Условия, необходимые для равновесия теЗта

§ 1.	Принцип равенства действия и противодействия............ 101

§ 2.	Необходимые условия равновесия, общие для всех материальных
систем....................................................... 102
Глава 'XIII

Статика твердого тела	Стр.

§ 1.	Характеристический постулат, относящийся к твердым телам, и
его следствия................................................ 107

§ 2.	Необходимые и достаточные условия равновесия твердого тела 108

§ 3.	Равновесие несвободных твердых тел....................... 109

§ 4.	Равновесие твердых тел, опирающихся на другие твердые тела .	116

§ 5.	Устойчивость равновесия твердого тела.................... 123

§ 6.	Понятие о трении качения................................. 129

§ 7.	Возникающее движение паровоза. Наибольшая сила тяги.....	136

Упражнения.................................................... 138

Глава XIV

Статина стержневых систем, нитей и тонких стержней

§ 1.	Стержневые системы. Усилия. Узловые нагрузки............. 149

§ 2.	Односвязные стержневые системы........................... 153

§ 3.	Геометрическое исследование плоских решетчатых балок (ферм) 162

§ 4.	Равновесие неизменяемой системы без лишних стержней под
действием чисто узловых сил................................... 171

§ 5.	Нулевая система в качестве посредствующего звена между пло-
скими взаимными фигурами...................................... 181

§ 6.	Приложение к фермам . ................................... 187

§ 7.	Гибкие и нерастяжимые нити............................... 193

§ 8.	Естественные уравнения равновесия нитей и приложения ....	217

§ 9.	Равновесие тонких стержней............................... 224

Упражнения...................................................  237

Гл а в а XV

Принцип виртуальных работ и аналитическая
статика

§ 1.	Принцип виртуальных работ................................ 242

§ 2.	Общие условия равновесия. Общее соотношение статики ....	246

§ 3.	Замечания о частных постулатах, введенных в статике твердых
тел и нитей.................................................. 253

§ 4.	Статика систем, находящихся под действием силы тяжести. Прин-
цип Торричелли .............................................. 256

§ 5.	Статика системы с полными связями. Простые машины.......	258

§ 6.	Статика голономных систем с каким угодно числом степеней
свободы. Условия равновесия в лагранжевых координатах . . .	265

§ 7.	Общая (аналитическая) статика. Метод множителей Лагранжа.
Вычисление реакций........................................... 268

§ 8.	Приложение к плоским неизменяемым фермам без лишних стерж-
ней ......................................................... 281

Упражнений............................................  •	• •	283
Глава XVI

Относительное равновесие	Стр.

§ 1.	Понятие об относительном равновесии..................... 286

§ 2.	Замечательные частные случаи............................ 289

§ 3.	Установившееся вращение горизонтального вала. Смещение
точек опоры.................................................. 292

§ 4.	Сопротивление качению.................................   296

§ 5.	Нить на вращающемся блоке............................... 305

§ 6.	Ременные передачи....................................... 309

§ 7.	Вес и притяжение Землею. Изменение ускорения силы тяжести с

широтою- Отклонение вертикали............................ 313

Упражнения................................................... 319

Именной и предметный указатель............................... 321