Курс теоретической механики. В двух томах. Том 1. Статика и кинематика - Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р.

Автор: Бутенин Н.В. Лунц Я.Л. Меркин Д.Р.

Теги: общая механика механика твердых и жидких тел теоретическая механика статика кинематика

Год: 1979

Похожие

Курс теоретической механики. Том 1. Статика и кинематика

Курс теоретической механики. Статика и кинематика Т.1

Курс теоретической механики. Т.1 Статика и кинематика

Теоретическая механика. Часть 1. Лекции 1-10. Статика. Кинематика

Текст

Н В БУТЕНИН, Я Л. ЛУНЦ, Д. Р. МЕРКИН
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ
ТОМ I
СТАТИКА И КИНЕМАТИКА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника
для студентов высших технических учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1979

22.21
Б 93
УДК 531
Бутенин Н. В., Лунц Я. Л., Мер-
Мерки и Д. Р. Курс теоретической механики. В двух
томах. Т. Г Статика и кинематика. — 3-е изд.,
стереотип. — М.: Наука. Главная редакция физико-
математической литературы, 1979. — 272 с.
В книге изложены статика и кинематика. Приве-
Приведено большое количество примеров и задач, имеющих
прикладное значение. Кроме традиционного материа-
материала, книга содержит некоторые разделы, выходящие
за пределы программы, как, например, определение
натяжения тяжелой подвешенной нити, определение
реакций упругих опор твердого тела, криволинейные
координаты.
Книга рассчитана на студентов дневных, вечер-
вечерних и заочных отделений технических вузов с пол-
полной и сокращенной программой по механике, а также
может быть полезной для аспирантов и инженерно-
технических работников."
Табл. 3, илл. 223.
Й9 Ф ?лавная РеДак«ия
^UJO?UbZ^ nnononnnn фнзико математической лите
Ь пео/ло. „- 146-79. 1703020000 издательства «Наука», 1976,
UOO(VZ)-7y с изменениями

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 6
Введение ¦ 7
СТАТИКА
Глава I. Основные понятия и аксиомы статики 16
§ 1.1. Сила. Система сил. Равновесие абсолютно твердого тела ... 16
§ 1.2. Аксиомы статики и их следствия 19
§ 1.3. Активные силы и реакции связей 25
§ 1.4. Основные задачи статики 29
Глава II. Система сходящихся сил 31
§ 2.1. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей . . 31
§ 2.2. Условия равновесия системы сходящихся сил 36
§ 2.3. Задачи
Глава III. Теория пар 43
§ 3.1. Сложение двух параллельных сил - 43
§ 3.2. Момент силы относительно точки и относительно оси. Момент
пары сил 45
§ 3.3. Теоремы о парах 50
§ 3.4. Приведение системы пар к простейшему виду. Равновесие
системы пар 54
Глава IV. Основная теорема статики н условия равновесия простран-
пространственной системы сил 56
§ 4.1. Лемма о параллельном переносе силы 56
§ 4 2. Основная теорема статики 56
§ 4.3. Аналитическое определение4 главною вектора и главного мо-
момента пространственной системы сил 58
§ 4.4. Условия равновесия пространственной системы сил ...... 61
Глава V. Плоская система сил 65
§ 5.1. Приведение плоской системы сил к простейшему виду .... 65
§ 5.2. Условия равновесия плоской системы сил 70
§ 5.3. Задачи .на применение уравнений равновесия 74
§ 5.4. Задачи на равновесие системы тел 78
§ 5.5. Условия равновесия частично закрепленного тела 81
§ 5.6. Определение натяжения тяжелой подвешенной нити 83
§ 5.7. Определение реакций упругих опор твердого тела 85
§ 5.8. Приложение методов статики к определению усилий в стерж-
стержнях фермы 89
Глава VI. Равновесие тела при наличии трения 95
§ 6.1. Равновесие тела при наличии трения скольжения 95
§ 6.2. Равновесие тела при наличии трения качения 105
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава VII. Пространственная система сил 109
§ 7.К Статические инварианты. Динамический винт 109
§ 7.2. Частные случаи приведения пространственной системы сил . ИЗ
§ 7.3. Уравнения равновесия пространственной системы сил ... 117
§ 7.4. Задачи # 121
Глава VIII. Центр параллельных сил и центр тяжести 130
§ 8.1. Центр параллельных сил 130
§ 8.2. Центр тяжести 132
§ 8.3. Методы нахождения центра тяжести . г . 136
§ 8.4. Центры тяжести простейших фигур , 139
КИНЕМАТИКА
Глава IX. Кинематика точки 143
§ 9.1. Введение 143
§ 9.2. Способы задания движения 144
§ 9.3. Понятие о производной вектора по скалярному аргументу . 150
§ 9.4. Скорость точки " 152
§ 9.5. Задачи 158
§ 9.6. Ускорение точки 160
§ 9.7. Частные случаи движения точки 167
§ 9.8. Задачи 169
§ 9.9. Криволинейные координаты 176
§ 9.10. Задачи 180
Глава X. Основные движения твердого тела 183
§ 10.1. Задание движения твердого тела 183
§ 10.2. Простейшие движения твердого тела 184
Глава XI. Плоское движение твердого тела 193
§ 11.1. Задание движения 193
§ 11.2. Скорости точек тела при плоском движении 195
§ 11.3. План скоростей 198
§ 11.4. Мгновенный центр скоростей. Центроиды 200
§ 11.5. Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр
ускорений 204
§ 11.6. План ускорений 207
§ 11.7. Задачи 211
Глава XII. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой. Сво-
Свободное твердое тело 218
§ 12.1. Задания движения. Углы Эйлера 218
§ 12.2. Распределение скоростей точек твердого тела, имеющего одну
неподвижную точку. Мгновенная ось вращения. Мгновенная
угловая скорость 219
§ 12.3. Ускорения точек тела, имеющего одну неподвижную точку . 226
§ 12.4. Движение свободного твердого тела 228
Глава XIII. Сложное движение точки 233
§ 13.1. Основные определения. Абсолютная и относительная произ-
производные от вектора 233
§ 13.2. Теорема о сложении скоростей 235
§ 13 3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса) .... 237
§ 13.4. Задачи 239

ОГЛАВЛЕНИЕ О
Глава XIV. Сложное движение твердого тела 250
§ 14.1. Постановка задачи : 250
§ 14.2. Сложение поступательных движений 251
§ 14.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Кинема-
Кинематические уравнения Эйлера 251
§ 14.4. Пара вращений 256
§ 14.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей 257
§ 14.6. Задачи 259
§ 14.7. Сложение поступательных и вращательных движений .... 261
§ 14.8. Общий случай сложения движений твердого тела 264
Предметный указатель 268

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящий курс рассчитан на студентов технических вузов
с полной программой по теоретической механике. По сравнению
с традиционными курсами в книге более подробно рассматри-
рассматриваются общие теоремы динамики системы, движение материаль-
материальной точки в центральном силовом поле, динамика тела перемен-
переменной массы, теория гироскопов, некоторые вопросы аналитической
механики и теории колебаний. При построении курса авторы
стремились к единству используемых методических приемов и
учитывали фактический объем известных студенту втуза сведений,
в частности, в курсе последовательно использован аппарат век-
векторной алгебры.
В 1972 г. авторский коллектив понес тяжелую утрату —после
непродолжительной болезни скончался Яков Львович Лунц.
При подготовке второго издания, выполненной Н. В. Бутени-
ным и Д. Р. Меркиным, частично или полностью переработаны
и заново изложены некоторые разделы курса, написана новая,
XXI глава, посвященная элементам теории нелинейных колеба-
колебаний, введены новые параграфы, в которых рассматривается дви-
движение искусственного спутника Земли относительно центра масс,
добавлено много новых задач, пересмотрен весь текст, исправлены
замеченные опечатки. Сохранены § 5.6 и § 5.7, написанные для
первого издания Я. Г. Пановко.
В связи с тем, что учащиеся многих втузов нуждаются в
более углубленном изучении ряда важнейших разделов механики,
была написана серия книг, дополняющих настоящее руководство.
К настоящему времени Главной редакцией физико-математической
литературы издательства «Наука» изданы следующие приложения:
Н. В. Б у те нин, «Введение в аналитическую механику»,
Я. Л. Лунц, «Введение в теорию гироскопов», Д. Р. Меркин,
«Введение в теорию устойчивости движения» (два издания),
Я. Г. Пановко, «Введение в теорию механических колебаний»,
Н. В. Б у те нин, Ю. И. Не им ар к", Н. А. Фуфаев, «Введе-
«Введение в теорию нелинейных колебаний», Я- Г. Пановко, «Введе-
«Введение в теорию механического удара».
Авторы выражают глубокую благодарность С. М. Таргу,
В. К. Прокопову, В. Г. Демину, Г. Д. Мошкову, Л. М. Грин-
шпуну, А. Г. Мамиконову и Г. С. Шпаку, замечания которых
позволили существенно улучшить курс.

ВВЕДЕНИЕ
Теоретическая механика — раздел физики, в котором изу-
изучается механическое движение материальных тел, т. е. изменение
с течением времени положения их относительно друг друга.
Так как состояние покоя есть частный случай механического
движения, то в задачу теоретической механики входит также
изучение равновесия материальных тел.
Движение материи происходит во времени и пространстве.
За пространство, в котором происходит движение тел, прини-
принимают «обычное» евклидово трехмерное пространство. Для изуче-
изучения движения вводят так называемую систему отсчета, понимая
под ней совокупность тела отсчета (тела, относительно которого
изучается движение других тел) и связанных с ним систем коор-
координатных осей и часов. В теоретической механике принимается,
что время не зависит от движения тел и что оно одинаково во
всех точках пространства и всех системах отсчета (абсолютное
время). В связи с этим в теоретической механике, говоря о
системе отсчета, можно ограничиться указанием только тела
отсчета или системы координатных осей, связанных с этим
телом.
Движение тела происходит в результате действия на движу-
движущееся тело сил, вызванных другими телами. При изучении ме-
механического движения и равновесия материальных тел знание
природы сил не обязательно, достаточно знать только их вели-
величины. Поэтому в теоретической механике не изучают физическую
природу сил, ограничиваясь только рассмотрением связи между
силами и движением тел.
Теоретическая механика построена на законах И. Ньютона,
справедливость которых проверена огромным количеством непо-
непосредственных наблюдений, опытной проверкой следствий (зачас-
(зачастую далеких и вовсе не очевидных) из этих законов, а также
многовековой практической деятельностью человека. Законы Нью-
Ньютона справедливы не во всех системах отсчета. В механике
постулируется наличие хотя 'бы одной такой системы (инерци-
альная система отсчета). Многочисленные опыты и измерения
показывают, что с высокой степенью точности система отсчета
с началом в центре Солнечной системы и осями, направленными
к далеким «неподвижным» звездам, является инерциальной систе-

8 ВВЕДЕНИЕ
мой отсчета (она называется гелиоцентрической пли основной
инерциальной системой отсчета).
В дальнейшем будет показано, что если имеется хотя бы
одна инерциальная система отсчета, то их имеется бесчислен-
бесчисленное множество (очень часто инерциальные системы отсчета на-
называют неподвижными системами). Во многих задачах за инер-
циальную систему отсчета принимают систему, связанную с Землей.
Ошибки, возникающие при этом, как правило, столь незначи-
незначительны, что практического значения они не имеют. Но имеются
задачи, в которых уже нельзя пренебречь вращением Земли.
В этом случае за неподвижную систему отсчета следует при-
принимать введенную гелиоцентрическую систему отсчета.
Теоретическая механика является естественной наукой, опи-
опирающейся на результаты опыта и наблюдений и использующей
математический аппарат при анализе этих результатов. Как во
всякой естественной науке, в основе механики лежит опыт,
практика, наблюдение. Но наблюдая какое-нибудь явление, мы
не можем сразу охватить его во всем многообразии. Поэтому
перед исследователем возникает задача выделить в изучаемом
явлении главное, определяющее, отвлекаясь (абстрагируясь) от
того, что менее существенно, второстепенно.
В теоретической механике метод абстракции играет очень
важную роль. Отвлекаясь при изучении механических движений
материальных тел от всего частного, случайного, менее сущест-
существенного, второстепенного и рассматривая только те свойства,
которые в данной задаче являются определяющими, мы приходим
к рассмотрению различных моделей материальных тел, представ-
представляющих ту или иную степень абстракции. Так, например, если
отсутствует различие в движениях отдельных точек материаль-
материального тела или в данной конкретной задаче это различие прене-
пренебрежимо мало, то размерами этого тела можно пренебречь, рас-
рассматривая его ка'к "материальную точку. Такая абстракция при-
приводит к важному понятию теоретической механики—понятию мате-
материальной точки, которая отличается от геометрической точки тем,
что имеет массу. Материальная точка обладает свойством инерт-
инертности, как обладает этим свойством тело и, наконец, она обла-
обладает той же способностью взаимодействовать с другими мате-
материальными телами, какую имеет тело. Так, например, планеты
в их движении вокруг Солнца, космические аппараты в их дви-
движении относительно небесных тел можно рассматривать в первом
приближении как материальные точки.
Другим примером абстрагирования от реальных тел является
понятие абсолютно твердого тела. Под ним понимается тело,
которое сохраняет свою геометрическую форму неизменной, неза-
независимо от действий других тел. Конечно, абсолютно твердых
тел нет, так как в результате действия сил все материальные

ВВЕДЕНИЕ 9
тела изменяют свою форму, т. е. деформируются, но во многих
случаях деформацией тела можно пренебречь. Например, при
расчете полета ракеты мы можем пренебречь небольшими коле-
колебаниями отдельных частей ее, так как эти колебания весьма
мало скажутся на параметрах ее полета. Но при расчете ра-
ракеты на прочность учет этих колебаний обязателен, ибо они могут
вызвать разрушение корпуса ракеты.
Принимая те или иные гипотезы, следует помнить о пределах
их применимости, так как, забыв об этом, можно- прийти к со-
совершенно неверным выводам. Это происходит тогда, когда усло-
условия решаемой задачи уже не удовлетворяют сделанным предпо-
предположениям и неучитываемые свойства становятся существенными.
В курсе при постановке задачи мы всегда будем обращать вни-
внимание на те предположения, которые принимаются при рассмот-
рассмотрении данного вопроса.
Приведем некоторые сведения из истории механики. Подобно
всем другим наукам механика возникла и развивалась под вли-
влиянием практических нужд человеческого общества. Она является
одной из древнейших наук и ее история насчитывает приблизи-
приблизительно 25 веков напряженных исканий. В примитивном виде
первичные понятия механики, в частности, понятия силы и ско-
скорости, появились еще в античный период. Чисто практическое
применение катков, наклонной плоскости, рычага, блоков при
постройке грандиозных сооружений древности (пирамиды, дворцы
и т. п.) накапливало определенный опыт и, очевидно, должно было
привести к обобщению этого опыта, к установлению некоторых за-
законов механики (статики). Так, в трактате «Механические про-
проблемы» Аристотель C84 — 322 до н. э.) рассматривает конкретные
практические задачи при помощи метода, основанного на законе
рычага. Однако первые попытки установления динамических зако-
законов оказались неудачными. Аристотель ошибочно полагал, что
скорости падающих тел пропорциональны их весам и что равно-
равномерное и прямолинейное движение является результатом дейст-
действия постоянной силы. Потребовалось почти два тысячелетия,
чтобы преодолеть эти ошибочные представления и заложить на-
научные основы динамики. К числу бесспорных достижений антич-
античной механики следует отнести работы Архимеда B87—212 до
н. э.), который был не только выдающимся инженером своего
времени, но и дал ряд научных обобщений, относящихся к
гидростатике (закон Архимеда), учению о равновесии и центре
тяжести.
В течение XIV—XVII столетий под влиянием торгового мо-
мореплавания и военного дела возник обширный комплекс задач,
связанных с движением небесных тел, полетом снарядов, проч-
прочностью кораблей, ударом тел. Решение этих задач не могло
быть осуществлено старыми методами и требовало прежде всего

10 ВВЕДЕНИЕ
установления связи между движением и причинами, вызываю-
вызывающими его изменение.
Созданию основ динамики предшествовал сравнительно дли-
длительный период накопления опытных данных и их научного
анализа. Здесь необходимо прежде всего отметить работы Н. Ко-
Коперника A473—1543), который на основе данных, установлен-
установленных многовековыми наблюдениями, показал, что планеты обра-
обращаются не вокруг Земли, а вокруг Солнца. Дальнейший шаг
к изучению движения небесных тел сделал Иоганн Кеплер
A571 —1630). Обрабатывая многочисленные наблюдения своего
учителя Тихо Браге, он установил три закона движения планет.
К этому же периоду относятся работы Галилео Галилея
A564—1642). Он сформулировал принцип относительности класси-
классической механики и принцип инерции (хотя и не в общем виде),
установил законы свободного падения тел. Галилеем была по-
построена количественная теория движения тяжелого тела по на-
наклонной плоскости и теория движения тела, брошенного под
углом к горизонту. Кроме того, Галилей занимался изучением
прочности стержней и сопротивлением жидкости движущимся
в ней телам. Последователем Галилея в области механики был
Христиан Гюйгенс A629—1695), который сформулировал поня-
понятия центростремительной и центробежной сил, исследовал коле-
колебания физического маятника, заложил основы теории удара.
Успешно преодолевая схоластический стиль античной науки,
ученые этого периода с особым вниманием относились к опыт-
опытным данным и систематически контролировали истинность своих
теоретических построений экспериментальными наблюдениями. Та-
Таковы, в частности, установленные Галилеем и Гюйгенсом законы
движения тел.
В 1687 г. вышла в свет книга Исаака Ньютона A642—1727)
«Математические начала натуральной философии» (в Англии на-
натуральной философией называют физику). Прежде всего в этой
книге Ньютон, завершая работы своих предшественников, глав-
главным образом Галилея и Гюйгенса, создает стройную систему
основных законов динамики. Он впервые вводит понятие массы,
устанавливает основной закон динамики, связывающий масеу
точки, ее ускорение и действующую на нее силу, и закон ра-
равенства действия и противодействия.
Исходя из законов Кеплера, он математически установил за-
закон всемирного тяготения, а затем доказал, что если этот закон
справедлив, то планеты должны двигаться по законам Кеплера.
Закон всемирного тяготения", открытый и доказанный И. Ньюто-
Ньютоном, получил за последние десятилетия особо важное значение,
так как он лежит в основе расчета межпланетных траекторий
космических кораблей и траекторий искусственных спутников
Земли.

ВВЕДЕНИЕ 11
Ньютон установил также тождественность природы сил вза-
взаимного тяготения и силы тяжести на Земле. Он показал, что
Земля сплюснута у полюсов, объяснил явления приливов и огли-
вов, заложил основы теории удара.
Установление общих законов механики и закона всемирного
тяготения является научным открытием первостепенного значе-
значения. Но этим не исчерпывается значение «Математических начал
натуральной философии» Ньютона. В своей книге он с предель-
предельной ясностью изложил общий метод, которым нужно руководст-
руководствоваться при физических исследованиях.
Кратко этот метод сводится к следующему. Из опытов сле-
следует вывести два или три общих закона (принципы) и затем
показать, как из этих простых законов логически вытекают раз-
различные свойства (следствия), наблюдаемые на практике. Хотя
этот метод исследования не является единственно возможным,
а в наши дни он кажется само собой разумеющимся, ясное
изложение его и блестящий пример построения механики, дан-
данный Ньютоном в его книге, оказал громадное влияние на все
последующие поколения физиков. Именно поэтому академик
С. И. Вавилов сказал, что в истории естествоенания не
было события более крупного, чем появление «Начал» Нью-
Ньютона *).
Период развития механики после Ньютона в значительной
мере связан с именем Л. Эйлера A707—1783), отдавшего боль-
большую часть своей исключительно плодотворной деятельности Пе-
Петербургской Академии наук, членом которой он стал в 1727 г.
Эйлер развил динамику точки (им была дана естественная форма
дифференциальных уравнений движения материальной точки) и за-
заложил основы динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную
точку («динамические уравнения Эйлера»), нашел решения этих
уравнений при движении тела по инерции. Он же является осно-
основателем гидродинамики (дифференциальные уравнения движения
идеальной жидкости), теории корабля и теории упругой устойчи-
устойчивости стержней. Эйлер получил ряд важных результатов и в
кинематике (достаточно вспомнить углы и кинематические урав-
уравнения Эйлера, теорему о распределении скоростей в твердом теле).
Ему принадлежит заслуга создания первого курса механики в
аналитическом изложении.
К этому же периоду относится глубокая разработка механики
свободных и несвободных систем материальных точек. Развитие
этого направления было дано работами Ж- Л. Даламбера A717 —
1783), Ж- Л. Лагранжа A736—1813). В «Трактате по динамике»
первого из этих авторов показано, «каким образом все задачи
*) С. И. Вавилов, «Исаак Ньютон», изд. АН ОХР, Москва, 1961,
стр. ПО.

12 ВВЕДЕНИЕ
динамики можно решать одним и притом весьма простым и пря-
прямым методом». Однако законченное развитие этого метода было
дано лишь спустя- полвека Лагранжем («уравнения Лагранжа»)
в замечательном трактате «Аналитическая механика» A788 г.), где,'
в частности, содержалось также вполне современное изложение
теории линейных колебаний систем с несколькими степенями
свободы.
Последующее развитие механики характеризуется углубленным
изучением ранее намеченных разделов и появлением ряда ее
новых ветвей. Дальнейшее обоснование принципа возможных
перемещений, сформулированного Лагранжем, было проведено
П. С. Лапласом A749—1827), который ввел реакции связей,
действующие на каждую точку материальной системы, и сделал
предположение об идеальности связей. М. В. Остроградский
A801 — 1861) обобщил принцип возможных .перемещений, рас-
распространив его на неудерживающие связи.
В 1829 г. К. Ф. Гаусс A.777 —1855) сформулировал диффе-
дифференциальный вариационный принцип — «Принцип наименьшего
принуждения».
Развитие принципа наименьшего действия связано с именами
П. Л. Мопертюи A698—1759), Эйлера, Лагранжа, К. Г. Якоби
A804 — 1851). Существенный вклад в развитие аналитической
механики на основе сформулированного им принципа был сделан
У. Р. Гамильтоном A805—1865). Независимо от Гамильтона
этот принцип несколько позднее был разработан Остроградским,
который применил его для более широкого класса задач. Этот
наиболее важный и общий принцип получил название принципа
Гамильтона — Остроградского.
Существенные результаты были достигнуты Остроградским,
Гамильтоном, Якоби в области методов интегрирования уравне-
уравнений динамики.
Дальнейшее развитие получила теория движения тяжелого
твердого тела. В эту область после существенных результатов
Эйлера и Лагранжа сделала значительный вклад С. В. Ковалев-
Ковалевская A850—1891). Работа Ковалевской послужила толчком для
целого ряда исследований по отысканию частных случаев инте-
интегрирования уравнений движения тяжелого твердого тела около
неподвижной точки.
Л. Фуко A819—1868) впервые продемонстрировал во Фран-
Французской Академии наук гироскоп в кардановом подвесе. После-
Последующее развитие теории гироскопов, обусловленное требованиями
навигационных нужд, происходит в конце XIX века и особенно
интенсивно в XX веке. Наиболее существенные результаты в этом
разделе механики были получены М. Шулером, А. Н. Крыловым
A863-1945), Б. В. Булгаковым A900-1952), Б. Н. Кудреви-
чем A884-1953) и др.

ВВЕДЕНИЕ 13
Развитие механики неголономных систем связано с именами
С. А. Чаплыгина, П. В. Воронца, П. Аппеля, В. Вольтеры
и многих других ученых.
Существенное развитие получила теория устойчивости равно-
равновесия и движения, начала которой были даны еще Лагранжем;
наиболее крупные результаты здесь принадлежат Э. Раусу A831 —
1907), Н. Е. Жуковскому A847—1921), А. Пуанкаре A854—
1912) и в особенности А. М. Ляпунову A857—1918).
Проблема борьбы с опасными вибрациями машин и сооруже-
сооружений вызвала к жизни углубленную разработку теории колебаний
(исследования Рэлея A842—1919), А. Пуанкаре, А. Н. Крылова).
В XX веке особенно интенсивное развитие получила теория не-
нелинейных колебаний, описывающая важные процессы не только
в механи геских, но и в радиотехнических системах. Основопола-
Основополагающими в этой области являются работы Ван-дер-Поля,
А. А. Андронова A901 — 1952), Н. Н. Боголюбова, Л. И. Ман-
Мандельштама A879-1944), Н. М. Крылова A879-1955), Н. Д. Па-
палекси A880—1947) и др.
В механике заррдилась теория автоматического регулирова-
регулирования (работы И. А. Вышнеградского A831-*-1895)); в настоящее
время эта теория представляет собой самостоятельную научную
дисциплину, которую связывают с механикой, помимо историче-
исторических корней, теория устойчивости движения и теория колебаний.
В XIX веке сложилась теория упругости—наука о законах
статического и динамического деформирования упругих тел (рабо-
(работы Эйлера, Навье A785—1836), Коши A789—1857), Сен-Венана
A797—1886)). В настоящее время ее начинают называть теорией
твердого деформируемого тела в связи с расширением представ-
представления о законах деформирования и учетом вязких и пластичных
свойств реальных тел.
В конце XIX века под сильным влиянием развития надвод-
надводного и подводного кораблестроения и авиации начата углублен-
углубленная разработка проблем гидро- и аэродинамики. Наиболее круп-
крупные результаты в этих областях связаны с именами Н. Е. Жу-
Жуковского, С. А. Чаплыгина A869 — 1942), Л. Прандтля A875—
1953), Т. Кармана A881 — 1963).
В известных работах И. В. Мещерского A859—1935) зало-
заложены основы механики тела переменной массы (переменного сос-
состава)—дисциплины, служащей фундаментом изучения реактив-
реактивного полета. Основополагающими работами в области ракето-
динамики являются работы К. Э. Циолковского A857—1935).
Механика прошла огромный путь развития, но и в наши дни
она представляет живо развивающуюся науку. Укажем на одну
проблему, возникшую в самое последнее время (за последние
десятилетия)—проблему управления движением. Речь идет об
установлении характера изменения сил, с помощью которых

14 ВВЕДЕНИЕ
можно обеспечить движение по заранее выработанной программе.
Сюда непосредственно примыкает проблема оптимального управ-
управления, например, каким образом управлять движением ракеты,
чтобы она вышла на заданную орбиту при минимальном расходе
горючего.
Строго говоря, под механикой следует понимать совокупность
достаточно обособленных отраслей знаний, базирующихся на
законах Ньютона. Круг вопросов, изучаемых механикой, все
время расширяется, охватывая все новые и новые области науки
и техники. Это привело к тому, что ряд разделов теоретической
механики вследствие специфики объектов исследования и приме-
применяемых математических методов становится вполне самостоятель-
самостоятельными науками. К их числу относятся дисциплины: механика
жидкостей и газов, теория упругости, теория механизмов и ма-
машин, небесная механика, теория регулирования и др. Этот естес-
естественный процесс развития науки продолжается и в наши дни.
Сейчас под собственно теоретической механикой обычно пони-
понимают сравнительно узкий раздел механики, а именно: механику
материальной точки, механику абсолютно твердого тела и их
систем. Несмотря на это, теоретическая механика является одним
из важнейших курсов, изучаемых в высшей технической школе;
ее законы и выводы широко применяются в целом ряде других
предметов при решении самых разнообразных и сложных техни-
технических задач. Все технические расчеты при постройке различных
сооружений, при проектировании машин, при изучении полета
различных управляемых и неуправляемых летательных аппара-
аппаратов и т. п. основаны на законах теоретической механики.
Особое значение механика приобретает сейчас, когда началась
эра исследования космоса*. Расчеты космических траекторий,
разработки методов управления полетом представляют сложные
задачи механики.
Отдавая должное значению механики как одного из важней-
важнейших разделов физики и фундамента современной техники, следует
все же иметь в виду, что классическая механика лишь прибли-
приближенно описывает законы природы, ибо в ее основе лежат посту-
постулаты, не вполне точно отражающие геометрию мира и характер
механического взаимодействия тел. Это стало очевидным после
создания А. Эйнштейном специальной теории относительности, на
которой основывается релятивистская механика.
Согласно теории относительности не существует абсолютного
времени и абсолютного пространства, служащего лишь простым
¦вместилищем тел. На самом деле свойства пространства и времени
существенно зависят от взаимодействующих в них тел. Более
того, механические характеристики, такие как масса, тоже ока-
оказываются переменными и зависящими от обстоятельств движения
(скорости). Однако становление релятивистской механики отнюдь

ВВЕДЕНИЕ 15
не привело к отрицанию классической механики. Классическая
механика, являясь частным (точнее, предельным) случаем реляти-
релятивистской механики, не теряет своего значения, ибо ее выводы
при скоростях движения, достаточно малых по сравнению со
скоростью света, с большой точностью удовлетворяют требова-
требованиям многих отраслей современной техники.
В высших технических учебных заведениях теоретическая
механика делится обычно на три раздела: статику, кинематику
и динамику. Эта сложившаяся традиция нашла отражение и в
настоящем курсе.
В статике изучаются методы преобразования одних совокуп-
совокупностей сил в другие, эквивалентные данным, выясняются усло-
условия равновесия, а также определяются возможные положения
равновесия.
В кинематике движения тел рассматриваются с чисто геомет-
геометрической точки зрения, т. е. без учета силовых взаимодействий
между телами.
В динамике движение тел изучается в связи с силовыми
взаимодействиями Между телами. Более подробные сведения о
задачах статики, кинематики и динамики будут даны в соответ-
соответствующих разделах курса.

СТАТИКА
Г Л А В А 1
основные понятия и аксиомы статики
§ 1.1. Сила. Система сил. Равновесие
абсолютно твердого тела
Как уже отмечалось во введении, в теоретической механике
изучается движение материальных тел относительно друг друга.
Для этого требуется прежде всего построить модели объектов и
дать определение понятий, с которыми имеет дело механика. В
теоретической механике рассматривается простейшая модель «обыч-
«обычного» евклидова трехмерного пространства. Постулируется, что
в этом пространстве существует хотя бы одна система коорди-
координат, в которой справедливы законы Ньютона (инерциальная сис-
система). Многочисленные опыты и измерения показывают, что с
высокой степенью точности система отсчета с началом в центре
Солнечной системы и осями, направленными к далеким «неподвиж-
«неподвижным» звездам, является инерциальной системой. В дальнейшем
будет показано, что если существует хотя бы одна инерциальная
система, то их имеется бесчисленное множество*) (инерциальные
системы отсчета условно называются неподвижными).
В статике, не внося никаких погрешностей в вычисления,
можно считать, что системы координат, жестко связанные с Зем-
Землей, неподвижны**). Условия относительного равновесия в дру-
других, неинерциальных системах отсчета, в частности, в системах,
движущихся относительно Земли, будут выяснены в динамике.
Как для статики, так и для динамики одним из основных
является понятие силы. Первичное представление о силе дают
нам мускульные ощущения. В механике под силой понимается
мера механического взаимодействия материальных тел, в резуль-
результате которого взаимодействующие тела могут сообщать друг
*) Более подробно о моделях пространства и инерциальных системах от-
отсчета будет рассказано в разделе «Динамика» (см. том II, § 1.2). Здесь же
предполагается, что читатель знаком с законами Ньютона в объеме школьного
курса физики.
**) Это объясняется тем, что сила тяжести имеет сложный характер, учиты-
учитывающий вращение Земли (см. том II, § 6.3).

§ 1 1] СИЛА СИСТЕМА СИЛ 17
другу ускорения или деформироваться (изменять свою форму).
Из этого определения сразу вытекают два способа измерения
сил: первый, динамический способ, основан на измерении ускоре-
ускорения тела в инерциальной системе отсчета, а второй, статический
способ, основан на измерении деформации упругих тел.
В механике не изучают физическую природу сил. Укажем
только, что силы могут возникать как при непосредственном
контакте тел (например, сила тяги электровоза, передаваемая
вагонам, сила трения между поверхностями соприкасающихся тел
и т. п.), так и на расстоянии (например, силы притяжения небес-
небесных тел, силы взаимодействия
электрически заряженных или намаг-
намагниченных частиц и т. п.).
Сила является векторной величи-
величиной — она характеризуется числен-
численным значением или модулем, точкой
приложения и направлением. Точка
приложения силы и ее направление
определяют линию действия силы.
На рис. 1.1 показана сила F, при- Рис- 11-
ложенная в точке А, длина,отрезка
АВ в соответствующем масштабе равна модулю силы, точка В назы-
называется концом силы; у конца силы ставится стрелка, указываю-
указывающая направление действия силы. Прямая LM называется линией
действия силы. Условимся обозначать силу буквой жирного
шрифта, например, F, а ее модуль той же буквой обычного
шрифта, т. е. F.
Для измерения модуля силы ее сравнивают с некоторой
силой, выбранной в качестве единицы. В международной системе
единиц измерения физических величин (СИ) за единицу силы
принят один ньютон Aн), а в технической системе единиц (сис-
(система МКГСС) — один килограмм силы AкГ или \кгс — не следует
смешивать с единицей массы в системе СИ—1кг). Напомним, чго
эти единицы связаны соотношениями
1 кГ^9,81 к; 1 н ^0,102 кГ.
Применяются и более крупные единицы измерения сил, в
частности, 1 Ми = 10е к (меганьютон), 1 кн = 10J н (килоньютон),
1 T = l mc=W кГ (тонна) и т. п.
Силу часто задают непосредственным описанием, например: к
концу балки приложена сила F, численно равная 5 кн и направ-
направленная вертикально вниз. Но можно задать силу и способом,
которым обычно определяют векторы, а именно, через ее проек-
проекции на оси прямоугольной системы координат и точку приложе-
приложения силы. Если, как обычно, единичные векторы (орты) осей х,
У, г обозначить через i^ j, k (рис. 1.2),_тасила F определится

18
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ
[ГЛ. 1
Рис. 1.2.
точкой прилсжения и равенством
где Fх, Fy, Fz—проекции силы F на соответствующие координат-
координатные оси *).
Рассматривая действие сил на материальные тела, мы будем
отвлекаться не только от физической природы сил, но и от мно-
многих свойств самих тел. Так, реаль-
реальные твердые тела обычно мало изме-
изменяют свою форму под действием
приложенных к ним сил. Поэтому
для решения многих задач механики
допустимо вовсе пренебречь малыми де-
деформациями (т. е-, малыми измене-
изменениями формы) и пользоваться мо-
моделью абсолютного твердого тела,
понимая под ним тело, в котором
расстояния между двумя любыми
точками его остаются неизмен-
неизменными независимо от действия тех или
иных сил**). Для краткости мы будем часто пользоваться выра-
выражением «твердое тело» или даже просто «тело», имея в виду
только что введенное понятие абсолютно твердого тела.
Совокупность нескольких сил (Fb ..., Fn) называется системой
сил. Если, не нарушая состояния тела, одну систему сил (Fx> ..., Fn)
можно заменить другой системой (Рь ..., Pk) и наоборот, то та-
такие системы сил называются эквивалентными. Символически это
обозначается следующим образом;
(Fx FB)~(PX, .... Р/;). A.2)
Введенное понятие эквивалентности систем сил не устанавли-
устанавливает условий, при выполнении которых две системы сил будут эк-
эквивалентны. Оно означает только, что эквивалентные системы сил
вызывают одинаковое состояние тела (одинаковые ускорения или,
если тело не абсолютно твердое, одинаковые деформации).
В том случае, когда система сил (Fb ..., Р„) эквивалентна од-
одной силе R, т. е.
(Fb .... FB)~R, A.3)
*) Здесь и в дальнейшем нижними индексами х, у, г отмечаются проекции
вектора на соответствующие координатные оси.
**) Кроме простейшей модели абсолютно твердого тела, в механике приме-
применяются другие модели твердых, жидких и газообразных тел. Так, например,
имеются модели упругих и пластических тел, модели идеальной и вязкой жид-
жидкости и т. п. Эти модели изучаются в других разделах механики — в теории
упругости, в механике жидкостей и газов и т. п. Конечно, все модели тел пред-
представляют лишь приближение к реальным телам и ими можно пользоваться толь-
только в рамках сделанных предположений.

§12] АКСИОМЫ СТАТИКИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ 19
последняя называется равнодействующей данной системы сил. Это
означает, что одна равнодействующая сила может заменить дей-
действие всех данных сил. В дальнейшем будет показано, что не
всякая система сил имеет равнодействующую.
Как уже отмечалось, в инерциальной системе координат вы-
выполняется закон инерции. Это означает, в частности, что тело,
находящееся в начальный момент в покое, останется пребывать
в этом состоянии, если на него не действуют никакие силы.
(Полная формулировка закона инерции будет дана в разделе
динамики.) Если абсолютно твердое тело остается в состоянии
покоя при действии на него системы сил
(Fi, ..., Fn), то последняя называется
уравновешенной системой сил или систе-
системой сил, эквивалентной нулю:
(Fi FB)~0. A.4)
Часто в этом случае говорят, что тело
находится в равновесии *).
В заключение этого параграфа обратим
внимание на различие между понятием Рис' '• •
эквивалентности сил и понятием равенства
векторов, изображающих эти силы. В математике два вектора
считаются равными, если они параллельны, направлены в одну
сторону и равны по модулю. Для эквивалентности двух сил этого
недостаточно и из равенства F = Р еще не следует соотношение
F~P. Из сделанных определений вытекает, что в общем случае
две силы эквивалентны, если они геометрически (векторно) равны
и приложены к одной точке тела. На рис. 1.3 показаны две
геометрически равные, но не эквивалентные силы. В этом прояв-
проявляется различие ме^кду свободными векторами, рассматриваемыми
в математике, и силами.
§ 1.2. Аксиомы статики и их следствия
В аксиомах статики формулируются те простейшие и общие
законы, которым подчиняются силы, действующие на одно и то
же тело, или силы, приложенные к взаимодействущим телам.
Эти законы установлены многочисленными непосредственными
наблюдениями, а также опытной проверкой следствий (часто да-
далеких и вовсе не очевидных), логически вытекающих из этих
аксиом.
Как следует из второго закона Ньютона, тело под действием
одной силы приобретает ускорение и, следовательно, оно не мо-
*) Отметим, что введенное определение уравновешенных сил, приложен-
приложенных к абсолютно твердому телу, не может быть распространено на силы, при-
приложенные к деформируемым телам.

20
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ CTVTI1KII
(ГЛ 1
жет находиться в покое. Это означает, что одна сила не может
составлять уравновешенную систему сил. Первая аксиома
устанавливает условия, при выполнении которых простейшая
система сил будет уравновешена.
Аксиома 1. Две силы, приложенные к абсолютно твердому
телу, будут уравновешены (эквивалентны нулю) тогда и только
тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой
и направлены в противоположные стороны.
Рис. 1.4
Это означает, что если абсолютно твердое тело находится в
покое под действием двух сил, то эти силы равны по модулю,
действуют по одной прямой и направлены в противоположные
стороны. Обратно, если на абсолютно твердое тело действуют
по одной прямой в противоположные стороны две равные
по модулю силы и тело в начальный момент находилось в покое,
. то состояние покоя тела сохра-
а' А в нится.
t - г ' Jc-p ^а Рис- 1-4 показаны урав-
' г~ ' новешенные силы Fb F2 и Рь
Р2, удовлетворяющие соотноше-
соотношениям: (Fb F2)~0, (Рь Р2)~0.
При решении некоторых за-
задач статики приходится рассмат-
рассматривать силы, приложенные к
Рис. 1.5. концам жестких стержней, весом
которых можно пренебречь, при-
причем известно, что стержни находятся в равновесии. Из сформу-
сформулированной аксиомы непосредственно следует, что действующие
на такой стержень силы направлены вдоль прямой, проходящей
через концы стержня, противоположны по направлению и равны
друг другу по модулю (рис. 1.5, а). Этот вывод сохраняется и
в случае, когда ось стержня криволинейная (рис. 1.5, б).
Первая аксиома устанавливает необходимые и достаточные
условия уравновешивания только двух сил, но, конечно, уравно-
уравновешенная система сил может состоять и из большего числа сил.
Две следующие аксиомы устанавливают простейшие действия
с силами, при которых состояние тела не изменяется.

§ 12J
АКСИОМЫ СТАТИКИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
21
Аксиома 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела,
к нему можно прикладывать или отбрасывать силы тогда и
только тогда, когда они составляют уравновешенную систему,
в частности, если эта система состоит из двух сил, равных
по модулю, действующих по одной прямой и направленных в про-
противоположные стороны.
Из этой аксиомы вытекает следствие: не нарушая состояния
тела, точку приложения силы можно переносить вдоль линии ее
действия.
Действительно, пусть сила F^ приложена к точке А (рис.
1.6, а). Приложим в точке В на линии действия силы ?А две
уравновешенные силы FB
и Fs, полагая, чго Рв=Рл
(рис. 1.6, б). Тогда соглас-
согласно аксиоме 2 будем иметь
Fa~(Fa, Fb, Ffi).
Так как силы F^ и FB
образуют также уравнове-
уравновешенную систему сил (ак-
(аксиома 1), то согласно аксиоме 2 их можно отбросить (рис.
1.6, в). Таким образом,
или
Рис. 1.6.
что доказывает следствие.
Это следствие показывает, что сила, приложенная к абсолютно
твердому телу, представляет собой скользящий вектор.
Обе аксиомы и доказанное следствие нельзя применять к дефор-
деформируемым телам, в частности, перенос точки приложения силы
вдоль линии ее действия меняет напряженно-
деформированное состояние тела.
Аксиома 3. Не меняя состояния тела, две
силы, приложенные к одной его точке, можно
заменить одной равнодействующей силой, при-
приложенной в той же точке и равной их гео-
геометрической сумме (аксиома параллелограмма
сил).
Эта аксиома устанавливает два обстоятель-
обстоятельства: первое —две силы Fx и F2 (рис. 1.7),
приложенные к одной точке, имеют равнодействующую, т. е.
эквивалентны одной силе
Рис. 1.7.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯ1ИЯ И АКСИОМЫ СЛЧТПКИ
(ГЛ I
второе — аксиома полностью определяет модуль, точку приложе-
приложения и направление равнодействующей силы
R = F1 + F2. A.5)
Другими словами, равнодействующую R
диагональ параллелограмма со сторонами,
и F2.
Модуль равнодействующей определится равенством
можно построить как
совпадающими с Fj
Рис.
R = Yf\ + FI + 2FXF2 cos a,
где а — угол между данными векторами Fx и F3.
Отметим, что третья аксиома применима к любым, не обяза-
обязательно абсолютно твердым телам.
Вторая н третья аксиомы статики дают возможность перехо-
переходить от одной системы сил к другой системе, ей эквивалентной.
В частности, они позволяют разложить
любую силу R на две, три и т. д. со-
составляющие, т. е. перейти к другой
системе сил, для которой сила R яв-
является равнодействующей. Задавая, на-
например, два направления, которые ле-
лежат с R в одной плоскости, можно по-
построить параллелограмм, у которого
диагональ изображает силу R. Тогда
силы, направленные по сторонам парал-
параллелограмма, составят систему, для которой сила R будет равно-
равнодействующей (рис. 1.7). Аналогичное построение можно провести и
в пространстве. Для этого достаточно из точки приложения
силы R провести три прямые, не лежащие в одной плоскости,
и построить на них параллелепипед с диагональю, изображающей
силу R, и с ребрами, на-
направленными по этим пря-
прямым (рис. 1.8).
Аксиома 4 C-й закон
Ньютона). Силы взаимодей-
взаимодействия двух тел равны по
рис 1 э> модулю и направлены по
одной прямой в противо-
противоположные стороны.
Заметим, что силы взаимодействия двух тел не составляют си-
систему уравновешенных сил, так как они приложены к разным
телам.
Если тело / действует на тело // с силой Р, а тело // дейст-
действует на тело / с силой F (рис. 1.9), то эти силы равны по моду-
модулю (F = Р) и направлены по одной прямой в противоположные
стороны, т. е. F = — Р.

§ 1.2]
АКСИОМЫ СТАТИКИ И ИХ СЛЕДСТВИЯ
23
Рис. 1.10.
Если обозначить через F силу, с которой Солнце притягивает
Землю, то Земля притягивает Солнце с такой же по модулю,
но противоположно направленной
силой —F. I—-—
При движении тела по плоскости - I > т=-т
к нему будет приложена сила тре- ww//#////b//#/j)w)>/M/}}w/Mt
ния Т, направленная в сторону, про-
противоположную движению. Это — си-
сила, с которой неподвижная плос-
плоскость действует на тело. На основа-
основании четвертой аксиомы тело действует на плоскость с такой же си-
силой, но ее направление будет противоположно силе Т. На рис. 1.10
показано тело, движущееся вправо; сила трения Т приложена
к движущемуся телу, а сила Т' = —Т— к плоскости.
Рассмотрим еще покоящуюся систему, изображенную на
рис. 1.11, а. Она состоит из двигателя А, установленного на фунда-
фундаменте В, который в свою очередь .
находится на основании С. На а) У7\
двигатель и фундамент действуют
силы тяжести Fi и F2 соответст-
соответственно (они представляют собой
действие Земли на эти тела). Кроме
указанных двух сил, действуют
также следующие силы:
F3 — сила действия тела А на
тело В (она равна весу тела Л); g\
F'&—-сила обратного действия
тела В на тело Л;
F4 — сила действия тел Л и В
на основание С (она равна сум-
суммарному весу тел Л и В); в)
F4 — сила обратного действия
основания С на тело В. Эти силы
показаны на рис. 1.11, б, в, г.
Согласно аксиоме 4 ,\
В
У////////////
7777777,
1
V77777777777,
Рис. 1.11
Y7777?
/
F3 = —F3, F4 = — F4,
причем эти силы взаимодействия
определяются заданными- силами
Fi и F2.
Для нахождения сил взаимо-
взаимодействия необходимо исходить из аксиомы 1. Вследствие покоя
тела Л (рис. 1.11, б) должно быть
а 'значит, F3=F1.

24 -основные понятия и аксиомы статики [гл. i
Точно так же из условия равновесия тела В (ркс. 1.11, б)
следует
Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится,
если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твер-
твердым .
Этой аксиомой (ее называют иногда принципом отвердевания)
пользуются в тех случаях, когда речь идет о равновесии тел,
которые нельзя считать твердыми. Приложенные к таким телам
внешние силы должны удовлетворять условиям равновесия твер-
твердо! о тела, однако для нетвердых тел эти условия являются лишь
необходимыми, но не достаточными. Проиллюстрируем это поло-
положение простым примером. На стр. 20 было показано, что для
равновесия абсолютно твердого невесомого стержня необходимо
и достаточно, чтобы приложенные к концам стержня силы F и
F' действовали по прямой, соединяющей его концы, были равны
F
F
а)
Стертвиь
Стертень
F'
F'
Рис.
F
1.12.
б)
Нить
по модулю и направлены в разные стороны. Эти же условия
необходимы и для равновесия отрезка невесомой нити, но для
нити они недостаточны — необходимо дополнительно потребовать,
чтобы силы, действующие на нить, были растягивающими
(рис. 1.12,6), в то время, как для стержня они могут быть и
сжимающими (рис. 1.12, а).
В заключение этого параграфа рассмотрим случай эквива-
эквивалентности нулю трех непараллельных сил, приложенных к твер-
твердому телу (рис. 1.13, а).
Теорема о трех непараллельных силах. Если под действием
трех сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил
пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии
действия пересекаются в одной точке.
Пусть на тело действует система трех сил, Fx, F3 и F3, при-
причем линии действия сил Fx и F2 пересекаются в точке А

§ 1.3]
АКТИВНЫЕ СИЛЫ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ
25
(рис. 1.13, а). Согласно следствию из аксиомы 2 силы F± и F2
можно перенести в точку А (рис. 1.13, б), а по аксиоме 3 их
можно заменить одной
силой R, причем (рис. а) ,-.6/
1.13,6)
Таким образом, рассмат-
рассматриваемая система сил
приведена к двум си-
силам R и F3 (рис. 1.13, в). Рис 1.13.
По условиям теоремы
тело находится в равновесии, следовательно, по аксиоме I си-
силы R и F3 должны иметь общую линию действия, но тогда линии
действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке.
§ 1.3. Активные силы и реакции связей
Условимся называть тело свободным, если его перемещения
ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены
другими телами, называется несвободным, а тела, ограничиваю-
ограничивающие перемещения данного тела, связями. Как уже упоминалось,
в точках контакта возникают силы взаимодействия между данным
телом и связями. Силы, с которыми связи действуют на данное
тело, называются реакциями связей. При перечислении всех сил,
действующих на данное тело, необхо-
необходимо, разумеется, учитывать и эти кон-
контактные силы (реакции связей).
В механике принимают следующее
положение, называемое иногда принци-
принципом освобождаемости: всякое несвободное
тело можно рассматривать как свобод-
свободное, если действие связей заменить ре-
реакциями их, приложенными к данному
телу.
В статике полностью определить
реакции связей можно с помощью ус-
условий или уравнений равновесия тела,
которые будут установлены'в дальнейшем, но направления их
во многих случаях можно определить из рассмотрения свойств
связей.
В качестве простейшего примера на рис. 1.14, а представлено
тело, точка М которого соединена с неподвижной точкой О при
помощи стержня, весом которого можно пренебречь; концы
стержня имеют шарниры, допускающие свободу вращения. В
данном случае для тела связью служит стержень ОМ; стеснение

26 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ II АКСИОМЫ СТАТИКИ [ГЛ I
свободы перемещения точки М выражается в том, что она
вынуждена находиться на неизменном удалении от точки О. Но,
как мы видели выше (см. рис. 1.5,6), сила действия на такой
стержень должна быть направлена по прямой ОМ, и согласно
аксиоме 4 сила противодействия стержня (реакция) R должна
быть направлена вдоль той же прямой. Таким образом, направ-
направление реакции стержня совпадает с прямой ОМ (рис. 1.14,6).
(В случае криволинейного невесомого
'///////////////////////////у. стержня — по прямой, соединяющей концы
стержня; см. рис. 1.5,6).
Аналогично сила реакции гибкой не-
нерастяжимой нити должна быть направлена
вдоль нити. На рис. 1.15 показано тело,
висящее на двух нитях, и реакции нитей
Ri и R2.
Возвращаясь к общему случаю, отме-
Рис- 115- тим, что силы, действующие па несвобод-
несвободное тело (или на несвободную материаль-
материальную точку), можно разделить на две категории. Одну категорию
образуют силы, не зависящие от связей, а другую категорию —
реакции связей. При этом реакции связей, в сущности, носят
пассивный характер — они возникают лишь постольку, поскольку
на тело действуют те или иные силы первой категории. Поэтому
силы, не зависящие от связей, называют активными силами
(иногда они называются заданными), а реакции связей — пассив-
пассивными силами.
Ь А В F, F, А ВТ.
й > с ! +-? §-
а) б)
Рис. 1.16.
На рис. 1.16, а вверху показаны две равные по модулю
активные силы Fx и F2, растягивающие стержень АВ, внизу
показаны реакции Rx и R2 растянутого стержня. На рис. 1.16,6
вверху показаны активные силы Fx и F2, сжимающие стержень,
внизу показаны реакции Rx и R2 сжатого стержня.
Рассмотрим еще некоторые типичные виды связей и укажем
возможные направления их реакций; конечно, модули реакций
определяются активными силами и не могут быть найдены, пока
последние не заданы определенным образом. При этом мы будем
пользоваться некоторыми упрощенными представлениями, схема-
схематизирующими действительные свойства реальных связей.

§ 13]
АКТИВНЫЕ СИЛЫ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ
27
1. Если твердое тело опирается на идеально гладкую (без
трения) поверхность, то точка контакта тела с поверхностью
может свободно скользить вдоль поверхности, но не может пере-
перемещаться в направлении вдоль нормали к поверхности. Реакция
идеально гладкой поверхности направлена по общей нормали к со-
соприкасающимся поверхностям (рис. 1.17, а).
7777,
а)
/7777777777777
Ф */*
Рис. 1.17.
Если твердое тело имеет гладкую поверхность и опирается
на острие (рис. 1.17,E), то реакция направлена по нормали
к поверхности самого тела.
Если твердое тело упирается острием в угол (рис. 1.17, б),
то связь препятствует перемещению острия как по горизонтали,
так и по вертикали. Соответственно реакция R угла может быть
представлена двумя составляющими — горизонтальной R.v и вер-
вертикальной Ry, величины и направления которых в конечном
счете определяются заданными силами.
/777777777/777777/'
Рис. 1.18.
2. Сферическим шарниром называется устройство, изобра-
изображенное на рис. 1.18, а, которое делает неподвижной точку О
рассматриваемого тела. Если сферическая поверхность контакта
идеально гладкая, то реакция сферического шарнира имеет на-
направление нормали к этой поверхности. Поэтому единственное,
Что известно относительно реакции, —это то, что она проходит

28
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ
[ГЛ I
У77///////у
V777777777.
через центр шарнира О; направление реакции может быть любым
и определяется в каждом конкретном случае в зависимости от
заданных сил и общей схемы
закрепления тела. Точно так
же нельзя заранее определить
направление реакции подпят-
подпятника, изображенного на рис.
1.18,6.
3. Цилиндрическая шар-
нирно-неподвижная опора
(рис. 1.19, а). Реакция такой
опоры проходит через ее ось,
причем направление реакции может быть любым (в плоскости,
перпендикулярной оси опоры).
4. Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора (рис. 1.19,6)
препятствует перемещению закрепленной точки тела по перпен-
перпендикуляру к плоскости/ — /; соответственно реакция такой опоры
также имеет направление этого перпендикуляра.
Рис. 1.19.
а)
6)
Рис. 1.20.
На одно и то же тело может быть наложено одновременно
несколько связей, возможно, различного типа. Три примера

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ
29
такого рода представлены на рис. 1.20, а. На рис. 1.20, б изо-
изображены соответствующие системы сил; здесь, в соответствии
с принципом освобождаемости, связи отброшены и заменены
реакциями. Реакции стержней направлены вдоль стержней (верх-
(верхняя схема); при этом предполагается, что стержни невесомы и
соединены с телом и опорами с помощью шарниров. Реакции
идеально гладких опорных поверхностей направлены по нормали
к этим поверхностям (две нижние схемы). Кроме того, реакция
цилиндрического шарнира в точке А (средняя схема) должна
.на основании теоремы о трех непараллельных силах проходить
через точку пересечения линий действия сил F и R2 —точку С.
Реакция R± идеально гибкой нерастяжимой и
направлена вдоль нити (нижняя схема).
невесомой нити
Рис. 1.21.
В механических системах, образованных путем сочленения
нескольких твердых тел, наряду с внешними связями (опорами)
имеются внутренние связи. В этих случаях иногда мысленно рас-
расчленяют систему и заменяют отброшенные не только внешние,
но и внутренние связи соответствующими реакциями. Один при-
пример такого рода, в котором два тела соединены шарниром С,
представлен на рис. 1.21. Отметим, что силы R2 и R3 равны друг
другу по модулю, но противоположно направлены (по аксиоме 4).
В заключении этого параграфа отметим, что силы взаимодей-
взаимодействия между отдельными точками данного тела называются внут-
внутренними, а силы, действующие на данное тело и вызванные дру-
другими телами, называются внешними. Из этого следует, что реак-
реакции связей являются для данного тела внешними силами.
§ 1.4. Основные задачи статики
Содержание статики абсолютно твердого тела составляют две
основные задачи:
1. Задача о приведении системы сил: как данную систему сил
заменить другой, в частности наиболее простой, ей эквивалентной?

30 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И АКСИОМЫ СТАТИКИ [ГЛ. I
2. Задача о равновесии: каким условиям должна удовлетво-
удовлетворять система сил, приложенная к данному телу (или материаль-
материальной точке), чтобы она была уравновешенной системой?
Первая основная задача имеет важное значение не только
в статике, но и в динамике.
Вторая задача часто ставится в тех случаях, когда равнове-
равновесие заведомо имеет место, например, когда заранее известно, что
тело находится в равновесии, которое обеспечивается связями,
наложенными на тело. При этом условия равновесия устанавли-
устанавливают зависимость между всеми силами, приложенными к телу;
во многих случаях с помощью этих условий удается определить
опорные реакции. Хотя этим не ограничивается сфера интересов
статики твердого тела, но нужно иметь в виду, что определение
реакций связей (внешних и внутренних) необходимо для после-
последующего расчета прочности конструкции.
В более общем случае, когда рассматривается система тел,
имеющих возможность перемещаться друг относительно друга,
одной из основных задач статики является задача определения
возможных положений равновесия. Эти вопросы рассматриваются
в аналитической статике (см. том II, глава XVIII).

ГЛАВА II
СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
§ 2.1. Приведение системы сходящихся сил
к равнодействующей
Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил,
составляющих систему, пересекаются в одной точке. Простейший
случай трех сил был рассмотрен в главе I. Здесь рассматри-
рассматривается общий случай произвольного числа сил, образующих
систему.
Существует немало практических задач, которые требуют
исследования систем сходящихся сил; в частности, они возни-
возникают цри расчетах шарнирно-стержневых систем (ферм), о чем
будет сказано в § 5.8. Кроме того, изучение системы сходя-
сходящихся сил необходимо для дальнейших обобщений, относящихся
к произвольной пространственной системе сил.
Прежде всего докажем теорему:
Система сходящихся сил эквивалентна одной силе (равнодейст-
(равнодействующей), которая равна сумме всех этих сил и проходит через
точку пересечения их линий действия.
Пусть задана система сходящихся сил Flt F2, F3, ... , ?п,
приложенных к абсолютно твердому телу (рис. 2.1, а). Согласно
следствию из аксиомы 1 перенесем точки приложения сил по
линиям их действия в точку пересечения этих линий (рис. 2.1, б).
Таким образом, мы получаем систему сил, приложенных в одной
точке. Она эквивалентна исходной системе сходящихся сил.
Складывая теперь силы Fx и F2, на основании аксиомы 3 полу-
получим их равнодействующую:
Индекс в обозначении равнодействующей соответствует номеру
добавляемой силы F2. Затем, сложив силу R2 с силой F3, найдем
Сила R3 является равнодействующей трех сил, Fb F2, F3, и
равна их сумме. Дойдя, таким образом, до последней силы Fn,

32 СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ [ГЛ II
получим равнодействующую R всей системы п данных сил *)
Этим соотношением и доказывается справедливость сформулиро-
сформулированной теоремы.
У
Рис. 2.1.
Построение равнодействующей может быть упрощено, если
вместо параллелограммов построить силовой многоугольник.
Пусть, например, система состоит из четырех сил (рис. 2.2).
Если от конца вектора F{ отложить вектор F2, то вектор, соеди-
соединяющий начало О и конец вектора F2, будет вектором R2.
Далее отложим вектор F3, помещая его начало в конце
вектора F2. Тогда мы получим вектор R3, идущий от точки О
к концу вектора F3. Наконец, точно так же добавим вектор F4;
при этом получим, что вектор, идущий от начала первого век-
вектора Fi к концу вектора F4, является равнодействующей R**).
Пространственный многоугольник, который получен указан-
указанным образом, называется силовым многоугольником.
На рис. 2.2 показан разомкнутый силовой многоугольник
(конец последней силы не совпадает с началом первой силы);
равнодействующая R направлена по замыкающей силового мно-
многоугольника. Конечно, при практическом построении силового
*) Построенные таким образом параллелограммы лежат в общем случае
в разных плоскостях.
**) Понятно, что при изменении порядка сложения сил равнодействую-
равнодействующая не изменится.

§ 2 1]
ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ
33
многоугольника промежуточные равнодействующие R2, R3 и т. д.
строить ие нужно.
Если для нахождения равнодействующей при помощи сило-
силового многоугольника используются правила геометрии или три-
тригонометрии, то такой способ нахо-
нахождения равнодействующей на-
называется геометрическим способом.
В случае плоской системы сил
можно воспользоваться плоским
чертежом, откладывая силы в не-
некотором масштабе; равнодействую-
равнодействующая определяется непосредствен-
непосредственным измерением по чертежу. Та-
Такой способ ее нахождения назы-
называется графическим.
Наиболее общим способом оп-
определения модуля и направления
равнодействующей является ана-
аналитический способ, который также
вытекает из основного соотноше-
соотношения B.1). Поместим, например,
начало прямоугольной системы
координат в точку пересечения
линий действия сил (см. рис. 2.1); тогда, пользуясь теоремой (она
доказывается в курсе векторной алгебры), согласно которой
проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проек-
проекций на ту же ось слагаемых векторов, получим
Рис. 2.2.
k=l
B.2)
где Fkx, Fky, /^- — проекции силы Fk на указанные оси, a Rx,
Ry и JR. —проекции равнодействующей на те же оси.
Итак, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на
координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих
сил на соответствующие оси.
С помощью выражений B.2) можно найти модуль равнодей-
равнодействующей и ее направление в прямоугольной системе коорди-
координат Охуг.
2 Бутенин Н. В. и др.

34 СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ 1ГЛ. II
Так как составляющие равнодействующей R системы сил
RX = RJ, Ry = Ryl, R, = ?*k B.3)
взаимно перпендикулярны (рис. 2.1), то модуль равнодействую-
равнодействующей равен
Направляющие косинусы равнодействующей соответственно равны
cos (x, R) = —, cos (у, R) = -?, cos (г, R) = -±. B.5)
В частном случае, когда все силы расположены в одной
плоскости, удобно выбрать систему координат Оху в плоскости
расположения сил. Тогда проекции всех сил на ось г равны
нулю и вместо формул B.2), B.4) и B.5) будем иметь
kx = Flx + F2x+...+Fn
B.6)
R
= VR% + Rl = \f[ S
cos(jt, R) = ^-, cos (г/, R) = ~. B.8)
§ 2.2. Условия равновесия системы сходящихся сил
При приведении системы сходящихся сил (Fb F2, ... , Fn)
было показано, что такая система эквивалентна одной равно-
равнодействующей силе
Отсюда следует, что для равновесия тела, находящегося под
действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно,
чтобы равнодействующая их равнялась нулю:
R = 0. B.9)
Следовательно, в силовом многоугольнике уравновешенной си-
системы сходящихся сил конец последней силы должен совпадать
с началом первой силы; в этом случае говорят, что силовой
многоугольник замкнут (рис. 2.3). Это условие удобно исполь-
использовать при графическом решении задач для плоских систем сил.

§2.2]
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
35
Векторное равенство B.9) эквивалентно трем скалярным ра-
равенствам:
Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0. B.10)
Принимая во внимание равенства B.2), получаем аналитические
условия равновесия:
п \
B.11).
Рис. 2.З.
т. е. для равновесия сходящейся системы сил необходимо и доста-
достаточно равенства нулю алгебраических сумм проекций всех сил
данной системы на каокдую из координатных осей.
Для частного случая плоскостей системы сходящихся сил, рас-
расположенных, например, в плоскости ху, третье условие B.10)
отпадает (т. е. обращается в тожде-
тождество).
Очевидно, что условия равнове-
равновесия (как в аналитической, так и в
геометрической форме) позволяют
проконтролировать, находится ли в
равновесии заданная система сил.
Однако еще большее практическое
значение имеет другая возможность
использования этих условий. Часто
заведомо известно, что вследствие наложенных связей тело нахо-
находится в равновесии, причем мы знаем только часть действующих
сил, а именно, активные силы; при этом опорные реакции из-
известны лишь отчасти (например, известны их направления). Тогда
с помощью условий равновесия можно найти остальные неиз-
неизвестные, определяющие реакции связей. Условия равновесия,
в которые входят неизвестные, будут уже служить уравнениями
для определения этих неизвестных. Конечно, определение неиз-
неизвестных возможно лишь в тех случаях, когда число неизвест-
неизвестных составляющих реакций не больше числа уравнений равно-
равновесия. Для определенности решения пространственной задачи
на равновесие системы сходящихся сил она должна содержать
не более трех неизвестных (соответственно трем уравнениям рав-
равновесия), а для плоской задачи —не более двух. Если неизвест-
неизвестных реакций больше, чем уравнений равновесия, в которые эти
2*

36
СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
[ГЛ II
реакции входят, то задача не может быть решена только мето-
методами статики твердого тела (статически неопределимая задача) ¦*•).
Хотя выбор направления координатных осей, на которые
проектируются силы, не имеет принципиального значения, однако
при решении задач для получения более простых уравнений
равновесия рационально иногда направлять координатные оси
перпендикулярно неизвестным силам; при этом некоторые урав-
уравнения равновесия будут содержать меньшее число неизвестных,
чем их содержится в задаче.
§ 2.3. Задачи **)
Задача 2.1. Кран состоит из стрелы АС, блоков В, троса ABD и мотора D.
К концу А стрелы подвешен груз, вес которого равен Р. С помощью мотора D
и троса стрелу можно установить под любым углом ф (рис. 2.4, а). Пренебре-
Пренебрегая весом троса и стрелы, а также размерами блоков В, определить натя-
натяжение троса Т и усилие S в стреле, если известно расстояние ВС—а и длина
стрелы /. Вычислить найденные величины при а=1,5 м, 1 = 4 м, cf = 60D,
Р = 6 тс.
Рассмотрим равновесие стрелы АС. В точке А к ней приложена активная
сила Р (сила тяжести груза). В той же точке к ней приложена реакция Т
троса ВА, направленная от Л к В, а в точке С к стреле приложена реакция S
опоры С, направленная вдоль стрелы. Мысленно освободимся от связей и
заменим их реакциями (рис. 2.4, б). Так как все-три силы, Р, Т и S, прило-
приложенные к стреле, уравновешены и пересекаются в одной точке А, то силовой
треугольник должен быть замкнут.
*) Методы решения статически неопределимых задач выходят за рамки
теоретической механики и относятся к курсу сопротивления материалов и
строительной механики.
**) Во втором издании книги принята двойная нумерация задач: первое
число означает номер главы, второе — номер задачи в этой главе.

. 231
ЗАДАЧИ
37
Построение замкнутого треугольника сил следует начинать с известной
силы Р. Из ее конца проводится направление силы S (или Т), а из начала
силы Р проводится прямая, параллельная силе Т (или S). Точка пересечения
этих прямых определяет силы S и Т (рис. 2.4, в).
При отбрасывании связей было заранее предположено, что стрела (стер-
(стержень) АВ сжата и поэтому реакция опоры С была направлена от С к Л.
В данном примере это очевидно; в других, более сложных, случаях состояние
стержня (растягивается он или сжимается) определяется решением задачи.
Треугольник сил PST подобен треугольнику ABC, образованному элемен-
элементами крана (так как соответствующие стороны параллельны). Поэтому
АС АВ
ВС -
Отсюда
вс
Т-АВ Р
По условию задачи АС=1, ВС = а. Пользуясь теоремой косинусов, из
треугольника ABC найдем
АВ = Va2 + 12~2al cos ф\
Внося значения для АС, ВС и АВ в S и Т, получим
При заданных значениях будем иметь
S=16 тс, Г=14 тс.
В заключение этого примера отметим, что при хорошем выполнении чер-
чертежа (строгое соблюдение масштабов и параллельности линий) приближенные
значения усилия S и натяжения Т
можно определить без всяких вы- у
числений простым измерением дтин ^л Л ""
сторон силового треугочышка
Недостаток графического метода
состоит в том, что он не позволяет
провести анализ полученного ре-
решения, так как численные значе-
значения искомых величин отвечают
одному фиксированному положе-
положению механизма.
Задача 2.2. Шар веса Р и ра-
радиуса г удерживается нитью АВ
длины / на неподвижной гладкой
цилиндрической поверхности ра-
радиуса R (рис. 2.5, а). Определить
натяжение нити Т и давление шара на опорную поверхность
крепления нити лежит на одной вертикали с центром О цилиндрической по-
поверхности.
Рассмотрим равновесие шара. Мысленно освободим шар от связей и заме-
заменим их реакциями (рис. 2.5, б). Реакция нити Т, равная ее натяжению, на-
направлена вдоль нити от В к Л; реакция N гладкой цилиндрической поверх-
поверхности направлена по нормали к поверхности (она приложена к шару в точке D
касания шара с опорной поверхностью и направлена по нормали к поверх-
поверхности шара, т. е. по радиусу DC) Щар находится в равновесии под дейст-
»|^N
если точка

38
СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
[ГЛ. II
вием трех снл: Р, N и Т. Построив замкнутый силовой треугольник (из конца
известной силы Р проводим пряйую, параллельную DC, а из начала силы Р
прямую, параллельную ВА\ точка пересечения этих прямых определяет конец
силы N и начало силы Т; рис. 2.5, в), мы можем определить модули сил N
и Т с по"мощью масштаба простым измерением их длины. В данном примере
легко использовать аналитические методы.
Действительно, из подобия треугольни-
треугольника ОСА (рис. 2.5 а) и силового треуголь-
треугольника PNT следует
N Т Р
R + r l-
Отсюда найдем
т=-
P.
. It
Давление шара N' на. опорную по-
поверхность (аксиома 4) равно по модулю
реакции N, но направлено в противопо-
противоположную сторону: N'=—N.
Задача 2.3. Однородная балка дли-
длины / и веса Р удерживается в рав-
равновесии нитью ВС и шарниром А (рис.
2.6, а).
Найти натяжение нити и реакцию
шарнира А, если /, ВСА = 30°, L ABC —
= 90°.
Рассмотрим равновесие системы, со-
состоящей из балки и нити. Мысленно
освободим систему от связен в точках А
и С и приложим в эгих точках реакции
(рис. 2.6, б). К балке приложены сила
тяжести Р, сила натяжения нити Т и
реакция шарнира R. Эта система сил
должна быть эквивалентна нулю. По тео-
теореме о трех непараллельных силах реакция R должна проходить через точ-
точку D (середину стороны ВС). Построим силовой треугольник {рис. 2.6, е).
Иг подобия силового треугольника и треугольника ADC (рис. 2.6, б) сле-
следует, что
_Р Т _ R
AC ~~CD~~ AD ¦
Рис. 2.6
Подставляя сюда
CD=-
AD = -
получим
Т—
PVT
Начаяо этих рассуждеянй может быть несколько видоизменено, если рассмат-
рассматривать равновесие балки, отделенной как от стены (в точке А), так и нити
(в точке В); см. рис. 2.6, г, Однако последующие выкладки останутся преж-
прежними, в частности, тем же останется силовой треугольник на рис. 2.6, в.
Задача 2.4. Определить реакции опорных шарниров невесомой трехшар-
ниряой арки ABC, левая половина которой нагружена силой Р (рис. 2.7 а).

§2.3]
ЗАДАЧИ
39
Рассмотрим равновесие каждой полуарки отдельно. К правой полуарке
приложены две силы: реакция в шарнире В и реакция Wc левой полуарви
на правую. Значит, линии дей-
действия этих сил проходят че-
через В и С. Левая полуарка
(рис. 2.7, б) находится в равно-
равновесии, следовательно, силы Р,
R^ и Rc образуют уравнове-
уравновешенную систему и линия дей-
действия реакции R^ проходит че-
через точку пересечения линий
действия силы Р и реакции Rc
(реакции правой полуарки на
левую). Так как направления
всех сил известны, то можно
построить силооой треугольник
(рис. 2.7, в) и определить ве-
величины искомых реакций. После
этого можно построить систему
сил для правой полуарки; это
сделано на рис. 2 7, г, причем
В)
Рис 2.7.
Задача 2.5. Однородный
цилиндр веса Р расположен
менаду двумя гладкими наклон-
наклонными плоскостями, образую-
образующими с горизонтом углы а и р" (рис. 2.8, а). Определить силы давления
цилиндра на обе опорные плоскости.
Так как плоскости гладкие, то их реакции Rj и R2 (рис. 2.8, б) направ-
направлены перпендикулярно плоскостям, т. е направлены к оси цилиндра и вместе
Рис. 2.8.
с силой Р образуют сходящуюся систему сил. Запишем уравнения равновесия
этой системы сил:
п
У) Fk^=RLsm a—R2 sin [5 = 0,

40
СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
[ГЛ. II
Р sin
P sin a
sin
откуда находим
Искомые силы давления RJ и Rj будут равны (согласно аксиоме 4) по
модулю и противоположны по направлению реакциям RT n R,.
Задача 2.6. Горизонтальная балка АВ удерживается в равновесии стерж-
стержнями АС и AD. Найги усилия в стержнях и балке, если к концу А балки
приложена сила Р, перпендикулярная балке и образующая с вертикалью
угол а.
Дано: Z.O/45 = P, L DAO= /_ САО = у. Весами балки и стержней пре-
пренебречь; крепления шарнирные (рис. 2.9, а).
Заменяя действие стержней и балки на узел А реакциями S,, S2, S3,
получим систему четырех сил, приложенных в одной точке А (рис. 2.9, б).
Проекции этих сил на координатные оси (систему координат см. на
рис. 2.9, б) равны:
Проекции
Fkx
Fky
Fk*
Силы
Р
0
Р sin a
— Р cos a
Si
— S1 cos у cos P
— St sin у
Sx cos у sin P
s2
— S2 cos y cos P
S2 sin y
Sa COS у Sin P
s3
s3
0
0
Поэтому в соответствии с условиями B-.11) уравнения равновесия данной
системы сил имеют вид
п
2J Fkx = — S1 cos у cos p — S2 cos у cos p + S3 = 0,
n
2 Fky — p sin a — Sx sin у + S2 sin у = 0,
n
2 -Ffcz = — P cos a + St cos у sin P + S2cosy sin P=0.
Отсюда
_ P sin a sin p cos у -\- cos a sin у
1 2 sin у cos у sin P '
_ _ P sin у cos a — sin a sin p cos у
2 2 sin у cos у sin P '
Усилия в стержнях и балке соответственно равны найденным реакциям
Ol, О2 И Оз.
Если бы балка поддерживалась большим числом стержней, то задача
стала бы статически неопределимой, поскольку число неизвестных превзошло
бы число уравнений.

§ 2.3]
ЗАДАЧИ
41
Задача 2.7. Невесомые стержни АВ и АС, соединенные в точке А шарни-
шарниром, поддерживаются в равновесии нитью AD. Определить натяжение нити
и усилия в стержнях, если Z. ЛВС= L АСВ =•- р = 45°, L Л?О = а = 30°,
а к точке А приложена горизонтальная сила F — 2 кГ, линия действия кото-
которой образует с плоскостью yz угол у (рис. 2.10, а). Концы стержней В и С за-
закреплены шарнирно. Прямая ВС горизонтальна.
Рис. 2.9.
Заменим дейавие стержней и нити на узел А реакциями Sb S2 и Т.
Проекции сил F, Sb S2 и Т на оси координат будут (рис. 2.10, б):
Проекции
Fkx
?*„
Fkz
F
F sin y
F cosy
0
Силы
Si
— St cos P
— Si sin f) cos a
— Si sin fi sin a
-S
~s
Si
SjCos
2 sin p
, sin p
•со
cos a
sin a
T
0
0
T

42 система сходящихся сил [гл. и
Составим уравнения равновесия:
n
У] Fk4 = F cos y — Si sin f> cos a — 52 sin p" cos a = 0,
n
V Fkz= — 5j sin p sin a — 52 sin p" sin
отсюда
71 = fcosytga=2 —^— cos у «Г,
о
F / cos у , sin y \ r— li V~b , .
ТГ ¦ q й- = V 2 ~4— cos Y + sm у
2 \ sm p cos a cos p у ' \ 3 '
F
Натяжение нити и усилия в стержнях соответственно равны полученным
значениям Т, 5Х и 52.
Если y = 0> то
T = ~Vr~3 ^=1Л5 кГ, S! = 52 = ^-—-=«1,63 кГ.
О О
При y = 90°
Т = 0, 51= |ATs»l,41 кГ, 52 = —1^2" яа—1,41 л'Г
(знак минус в выражении для 52 означает, что стержень АС сжат, а не рас-
растянут, как предполагалось при построении реакций).
При tg у = 2 ]/" 3/3 (y =^ 49°5';) усилие в стержне АС равно нулю.

ГЛАВА III
ТЕОРИЯ ПАР
§ 3.1. Сложение двух параллельных сил
Настоящий параграф носит вспомогательный характер и не-
необходим для дальнейшего построения теории.
Пусть параллельные и одинаково направленные силы F! и F2
приложены к точкам А и В тела и нужно найти их равнодей-
равнодействующую (рис. 3.1). Приложим к
точкам А и В равные по модулю
и противоположно направленные
силы QL и Q2 (их модуль может
быть любым); такое добавление
можно делать на основании ак-
аксиомы 2. Тогда в точках А и В
мы получим две силы Rx и R2:
Ri~(Fi, Qi) и R2~(F2, Q2).
Линии действия этих сил пересе-
пересекаются в некоторой точке О. Пере-
Перенесем силы Rr и R2 в точку О и раз-
разложим каждую на составляющие:
Ri~(Fj', Q,') и
.; Q0.
Рис. 3.1.
Из построения видно, что Q, = Qj и Qj = Q2, следовательно,
QJ = —Q'i и две эти силы согласно аксиоме 2 можно отбросить.
Кроме того, Fj' = F!, Fg = F2. Силы F{ и F.^ действуют по одной
прямой, и их можно заменить одной силой
R = F1 + F2, C.1)
которая и будет искомой равнодействующей. Модуль равнодей-
равнодействующей равен
Очевидно, что линия действия равнодействующей параллельна
линиям действия слагаемых. Из подобия треугольников Оасх

44
ТЕОРИЯ ПАР
ti-л. ш
C.2)
и ОАС, а, также ОЬс2 и ОВС получим соотношение
Fi __ ВС
F2~ AC'
которым определяется точка приложения равнодействующей R.
Таким образом, система двух параллельных сил, направленных
в одну сторону, имеет равнодействующую, параллельную этим
силам, причем ее модуль равен сумме модулей слагаемых; линия
действия равнодействующей делит
расстояние между точками прило-
приложения слагаемых сил внутренним об-
образом на части, обратно пропорцио-
пропорциональные модулям этих сил.
Рассмотрим теперь задачу о сло-
сложении -двух параллельных сил, на-
направленных в разные стороны и не
равных друг другу по модулю. Пусть
даны две силы Fr и F2 (рис. 3.2.),
причем для определенности будем
считать, что Fl>F2.
Пользуясь формулами C.1) и C.2),
можно силу Fx разложить на две
составляющие, F^ и R, направленные в сторону силы Ft. Сделаем
это так, чтобы сила F^ оказалась приложенной к точке В, и поло-
положим Fj = — F2.
Таким образом, (F1; F2)/^(R, F.^, F2). Теперь заметим, что
силы F2, Fj можно отбросить как эквивалентные нулю (аксиома 2),
следовательно, (Fb F2) ^ R, т. е. сила R и является равно-
равнодействующей. Определим силу R, удовлетворяющую такому раз-
разложению силы Fi. Формулы C.1) и C.2) дают
Рис. 3.2.
rfc
Отсюда следует
R = F1-F.; = F1 + F2,
и так как силы F! и F2 направлены в разные стороны, то
R = Fl-Fi. C.4)
Подставим это выражение во вторую формулу C.3), получим
после простых преобразований
F1 _ ВС
F2~ AC
Из двух последних формул следует, что две не равные
по модулю противоположно направленные параллельные силы имеют
равнодействующую, параллельную этим силам, причем ее модуль
равен разности модулей слагаемых; линия действия равнодействую-
равнодействующей делит расстояние между точками приложения слагаемых сил

§ 3 2] МОЛШНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИ 45
внешним образом на части, обратно пропорциональные модулям
этих сил. Заметим, что равнодействующая в этом случае всегда
расположена за большей из двух сил.
Прежде чем рассмотреть случай двух равных по модулю,
параллельных, но противоположно направленных сил, заметим,
что из равенств C.3) и C.4) следует
АС= J\, AB. C.5)
'"l — 'г
Рассмотрим теперь случай двух параллельных, равных по
модулю, но противоположно направленных сил (рис. 3.3). Эта
система сил называется парой сил или просто
парой и обозначается символом (F1; F2). Рас-
Рассуждения, которыми мы пользовались при вы-
выводе соотношений C.4) и C.5), здесь непри-
непригодны. Формальное применение этих соотноше-
соотношений приводит к заключению, что в данном случае
модуль равнодействующей равен нулю, а линия рис 3 g
ее действия находится на бесконечном удалении
от линий действия слагаемых сил. Чтобы по-
понять природу этого результата, вновь вернемся к случаю, когда
слагаемые силы имеют различные модули, и предположим, что мо-
модуль^ постепенно возрастает, приближаясь к значению модуля Рг.
Тогда разность модулей будет стремиться к нулю, а система сил
(Fi> F2) — к паре. При этом модуль равнодействующей будет неогра-
неограниченно приближаться к нулю (см. C.4)), а линия ее действия —
неограниченно удаляться от линий действия слагаемых (см. C.5)).
Как следует из сказанного, для пары сил понятие равно-
равнодействующей лишено смысла, так как она представляет неуравнове-
неуравновешенную систему, которая не может быть заменена одной силой. Го-
Говорят, что пара сил не имеет равнодействующей*).
Таким образом, пара сил является неприводимым (неупро-
щаемым) элементом статики; наряду с силой она является вторым
самостоятельным элементом статики.
В следующих параграфах рассматриваются свойства пар сил,
а также правила действия над системами пар.
§ 3.2. Момент силы относительно точки и относительно оси.
Момент пары сил
Прежде чем перейти к исследованию свойств пары сил, введем
понятие момента силы, которое необходимо для дальнейшего.
Моментом силы относительно какой-либо точки (центра) на-
называется вектор, численно равный произведению модуля силы
на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки
*) По этому поводу см. главу IV.

46
ТЕОРИЯ ПАР
[Г Л III
до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости,
проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту
сторону, откуда «вращением, совершаемое силой вокруг точки,
представляется происходящим против хода часовой стрелки. Момент
силы характеризует ее вращательное действие.
Если О — точка, относительно которой находится момент силы F,
то момент силы обозначается символом M0(F). Покажем, что если
точка приложения силы F определяется радиусом-вектором г относи-
относительно О, то справедливо соот-
соотношение
M0(F) = rxF. C.6)
Согласно этому соотношению мо-
момент силы равен векторному
произведению вектора г на век-
вектор F.
В самом деле, модуль век-
векторного произведения равен
Мо (F) = rFsinot,=Fh, C.7)
где h — плечо силы (рис. 3.4).
Заметим также, что вектор Мо (F)
направлен перпендикулярно
плоскости, проходящей через
векторы г и F, в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора г
к направлению вектора F представляется происходящим против
хода часовой стрелки. Таким образом, формула C.6) полностью
определяет модуль и направление момента силы F.
Иногда формулу C.7) полезно записывать в виде
MO(F) = 25, C.8)
где 5 — площадь треугольника ОАВ (рис. 3.4).
Пусть х, у, г — координаты точки приложения силы, a Fx,
Fy, Fz — проекции силы на координатные оси. Тогда, если точка О
находится в начале координат^момент силы выражается следующим
образом:
I j I
Рис. 3.4.
x у
F F
z
F
-yFjk. C.9)
Отсюда следует, что проекции момента силы на координатные
оси определяются формулами:
C.10)

§3 2] МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИ 47
Введем теперь понятие проекции силы на плоскость.
Пусть даны сила F и некоторая плоскость. Опустим из на-
начала и конца вектора силы перпендикуляры на эту плоскость
(рис. 3.5).
Проекцией силы на плоскость называется вектор, начало и ко-
конец которого совпадают с проекцией начала и проекцией конца
силы на эту плоскость.
Если в качестве рассматриваемой плоскости принять пло-
плоскость хОу, то проекцией силы F на эту плоскость будет век-
вектор Fxu (рис. 3.5).
Момент силы F,v/, относительно точки О (точки пересечения
оси z с плоскостью хОу) может быть вычислен по формуле C.9),
если в ней положить г = 0, Fz = 0. Получим
Мо (Fxy) = (xF4 — yFx) k.
Таким образом, этот момент направлен вдоль оси г, а его про-
проекция на ось z в точности совпадает с проекцией на ту же ось
момента силы F относительно точ-
точки О. Другими словами, ~ .
МОг (F) = МОг {Fxy) = xFy - yFK.
(З.П)
Очевидно, тот же результат
можно получить, если спроекти- .^ ^L j • у
ровать силу F на любую другую ocj*^ Р^Л/
плоскость, параллельную плоско- ХУ
сти хОу. При этом точка пересе-
пересечения оси z с плоскостью будет Рис- 3-5#
уже иной (обозначим новую точку
пересечения через 0г). Однако все входящие в правую часть
равенства C,11) величины х, у, Fx, Fy останутся неизменными,
и, следовательно, можно записать
! I
I I
А
Другими словами, проекция момента силы относительно точки
на ось, проходящую через эту точку, не зависит от выбора
точки на оси. Поэтому в дальнейшем вместо символа МОг(Р)
будем применять символ M.(F). Эта проекция момента назы-
называется моментом силы относительно оси z. Вычисление момента
силы относительно оси часто бывает удобнее производить по-
посредством проектирования силы F на плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную оси, и вычисления величины Мг(?ху).
В соответствии с формулой C.7) и учитывая знак проекции,
будем иметь:
h*. C.12)

48
ТЕОРИЯ ПАР
[ГЛ III
Рис. 3.6.
Здесь h* — плечо силы Fxv относительно точки О (рис. 3.6);
если наблюдатель видит со стороны положительного направления
оси z, что сила F*,, стремится повернуть тело вокруг оси z
против хода часовой стрелки, то берется
знак «плюс», и в противном случае — знак
«минус».
Формула C.12) дает возможность сфор-
сформулировать следующее правило для вычис-
вычисления момента силы относительно оси. Для
этого нужно:
1) выбрать на оси произвольную точку и
построить плоскость, перпендикулярную оси;
2) спроектировать на эту плоскость силу;
3) определить плечо проекции силы к*.
Момент силы относительно оси равен произведению модуля
проекции силы на ее плечо, взятому с соответствующим знаком
(см. изложенное выше правило).
Из формулы C.12) следует, что момент силы относительно
оси равен нулю в двух случаях: 1) когда проекция силы на
плоскость, перпендикулярную оси,
равна нулю, т. е. когда сила и ось
параллельны; 2) когда плечо проек-
проекции п* равно нулю, т. е. когда ли-
линия действия еилы пересекает ось.
Оба эти случая можно объединить в
один: момент силы относительно оси
равен нулю тогда и только тогда,
когда линия действия силы и ось на-
У ходятся в одной плоскости.
Задача 3.1. Вычислить относительно
точки О момент силы F, приложенной к
точке А и направленной по диагонали
грани куба со стороной а (рис. 3.7).
. При решении подобных задач рацио-
рационально сначала вычислить моменты силы F
относительно координатных осей х, у, г. Координаты точки А приложения
силы F будут
Проекции силы F на координатные оси:
Подставляя эти значения в равенства C.10), найдем
Mox=YFa' Moy=--TFa' Moz^-YFa-
Эти же выражения для моментов силы F относительно координатных осей
можно получить, пользуясь формулой C.12). Для этого спроектируем силу F
Рис. 3.7.
V2
F — — F
z~ 2 '

§ 3 21 МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИ 49
на плоскости, перпендикулярные осям х и у (рис. 3 7). Очевидно, что Fxy =
-- Fyz~V~2/2F- Применяя изложенное выше правило, получим, как и следо-
следовало ожидать, те же выражения:
V*Fa, Мг=У* Fa.
Модуль момента определится равенством
Введем теперь понятие момента'пары. Найдем сначала, чему
равна сумма моментов сил, составляющих пару, относительно
произвольной точки. Пусть О —произвольная точка просгранства
(рис. 3.8), a F и F'—силы, составляющие пару.
Тогда
M0(F) = O4xF, Mo(F') = OBxF',
откуда
Mo (F) + Мо (F') = О А X F + OB х F',
но так как F' = — F, то
Mo (F) + Мо (F') = ОА X F -ОВх F - @А-OB) x F.
Принимая во внимание равенство ОА — ОВ = ВА, окончательно
находим:
Следовательно, сумма моментов сил, составляющих пару, не за-
зависит от положения точки, относи-
относительно которой берутся моменты.
Векторное произведение В А X F и на-
называется моментом пары. Обозначается
момент пары символом !W(F, F'), причем
M(F, F') = BlxF = ASxF',
или, короче,
M = MxF = ASxF'. C.13)
Рассматривая правую часть этого
равенства, замечаем, что момент пары Рис- 3-8-
представляет собой вектор, перпендику-
перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля
одной из сил пары на плечо пары (т. е. на кратчайшее расстояние
между линиями действия сил, составляющих пару) и направлен-
направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим
против хода часовой стрелки. Если h — плечо пары, то М(?,

50
ТЕОРИЯ ПАР
[ГЛ. III
. Из самого определения видно, что момент пары сил пред-
представляет собой свободный вектор, линия действия которого не
определена (дополнительное обоснование этого замечания сле-
следует из теорем 2 и 3 этой главы).
Для того чтобы пара сил составляла уравновешенную си-
систему (систему сил, эквивалентную нулю), необходимо и доста-
достаточно, чтобы момент пары равнялся нулю. Действительно, если
момент пары равен нулю, М = Fh = 6, то либо F = 0, т.е. нет
сил, либо плечо пары h равно нулю. Но в этом случае силы
пары будут действовать по одной прямой; так как они равны
по модулю и направлены в противоположные стороны, то на
основании аксиомы 1 они составят уравновешенную систему.
Обратно, если две силы, F! и F2, составляющие пару, уравно-
уравновешены, то на основании той же аксиомы 1 они действуют по
одной прямой. Но в этом случае плечо пары h равно нулю
и, следовательно, М = Fh = 0.
§ 3.3. Теоремы о парах
Докажем три теоремы, с помощью которых становятся воз-
возможными эквивалентные преобразования пар. При всех рассуж-
рассуждениях следует помнить, что они относятся к парам, действую-
действующим на какое-либо одно твер-
твердое тело.
Теорема 1. Две пары, лежа-
лежащие в одной плоскости, можно
заменить одной парой, лежа-
лежащей в той же плоскости, с мо-
моментом, равным сумме момен-
моментов данных двух пар.
Для доказательства этой тео-
Рис. 3.9. ремы рассмотрим две пары
(Flt F',) и (F2, Fa) (рис. 3.9)
и перенесем точки приложения всех сил вдоль линий их дей-
действия в точки А а В соответственно. Складывая силы по аксио-
аксиоме 3, получим
и R' =
но
FI = — Ь\ и F-г = — F2
Следовательно, R= — R\ т. е. силы R и R' образуют пару.
Найдем момент этой пары, воспользовавшись формулой C.13):
М = М (R, R') = В А х R = В А х
F2) = ВАх?г + В А х F2.
' C-14)

§3 3] ТЕОРЕМЫ О ПАРАХ 51
При переносе сил, составляющих пару, вдоль линий их дей-
действия ни плечо, ни направление вращения пары не меняются,
следовательно, не меняется и момент пары. Значит,
и формула C.14) примет вид
C.15)
что и доказывает справедливость сформулированной выше теоремы.
Сделаем два замечания к этой теореме.
1. Линии действия сил, составляющих пары, могут оказаться
параллельными. Теорема остается справедливой и в этом случае,
но для ее доказательства следует воспользоваться правилом сло-
сложения параллельных сил.
2. После сложения может получиться, что M(R, R') = 0; на
основании сделанного ранее замечания из этого следует, что со-
совокупность двух пар (F1( F'u F.,, FJ)<~0.
Теорема 2. Две пары, имеющие геометрически равные мо-
ментЫ, эквивалентны.
Пусть на тело в плоскости / действует пара (F,, FJ) с мо-
моментом ML. Покажем, что эту пару можно заменить другой
парой (F2, FJ), расположенной в плоскости //, если только ее
момент JVL равен Мх (согласно определению (см. § 1.1) это
и будет означать, что пары (F1( F\) и (F2, FJ) эквивалентны).
Прежде всего заметим, что плоскости lull должны быть парал-
параллельны, в частности, они могут совпадать. Действительно, из
параллельности моментов Мг и М2 (в нашем случае М1=М2) сле-
следует, что плоскости действия пар, перпендикулярные моментам,
также параллельны.
Введем в рассмотрение новую пару (F3, F'3) и приложим ее
вместе с парой (F2, FJ) к телу, расположив обе пары в плоско-
плоскости II. Для этого согласно аксиоме 2 нужно подобрать пару
(F3, F'i) с моментом М3 так, чтобы приложенная система сил
(F2, FJ, F3, F3) была уравновешена. Это можно сделать, напри-
например, следующим образом: положим F3 = — F\ и F3 = — F, и сов-
совместим точки приложения этих сил с проекциями Лх и BL точек
А и В на плоскость // (см. рис. 3.10). В соответствии с по-
построением будем иметь: М3 = — Nl1 или, учитывая, что М1 = М2,
Принимая во внимание второе замечание к предыдущей тео-
Реме, получим (F2, F.>, F3, F^^O. Таким образом, пары (F2, FJ)
и (Fa. F.i) взаимно уравновешены и присоединение их к телу
не нарушает его состояния (аксиома 2), так что
(Flt F,')~(F1, Fi, F2> FJ, Fa, F3). C.16)

52
ТЕОРИЯ ПЛР
[1Л III
С другой стороны, силы ?х и F3, а также Fi и F'i, можно
сложить по правилу сложения параллельных сил, направленных
в одну сторону. По модулю все эти силы равны друг другу,
поэтому их равнодействующие R и R' должны быть приложены
в точке пересечения диагоналей
прямоугольника ABB^i, кроме
того, они равны- по модулю и
направлены в противоположные
стороны. Это означает, что они
составляют систему, эквивалент-
эквивалентную нулю. Итак,
(Flf F[, F3, FJ)~(R, R')~0.
Теперь мы можем записать
ъ Ft, F2, Fi, FSt FS)~(Fa, Fi).
C.17)
Сравнивая соотношения C.16)
и C.17), получим (F1, FJ) <~-
~ (F2, Fi), что и требовалось до-
доказать.
Из этой теоремы следует, что
рис. з.ю пару сил можно перемещать в
плоскости ее действия, переносить
в параллельную плоскость; наконец, в паре можно менять одно-
одновременно силы и плечо, сохраняя лишь направление вращения
пары и модуль ее момента (F1ht = Fih2).
В дальнейшем мы будем широко пользоваться такими экви-
эквивалентными преобразованиями пары.
Теорема 3. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях,
эквивалентны одной паре, момент которой равен сумме моментов
двух данных пар.
Пусть пары (Fb F\) и (F2) F!j) расположены в пересекаю-
пересекающихся плоскостях lull соответственно. Пользуясь следствием
теоремы 2, приведем обе пары к плечу АВ (рис. 3.11), распо-
расположенному на линии пересечения плоскостей I и II. Обозначим
трансформированные пары через (Qb Qi) и (Q2, QJ). При этом
должны выполняться равенства:
x, Q,')=M(F1, FJ) и M2 = M(Q2, QJ)=
a, F!2).
Сложим по аксиоме 3 силы, приложенные в точках А и В
соответственно. Тогда получим R = Q14-Q2 и R'= Qj'-r-Q-2- Учи-
Учитывая, что Qi'=—-Q]. и Qi=—Q2, получим: R= — R'. Таким
образом, мы доказали, что система двух пар эквивалентна одной
паре (R, R').

3 3]
ТЕОРЕМЫ О ПАРАХ
53
Найдем момент М этой пары. На основании формулы C.13)
имеем M(R, R') = ?MxR, но R^Qx + Ог и, следовательно,
М (R, R')-ВАх(Qx + Qa) =
= m(q1, q;)
r + ВАхQ2 =
lf f;)+jv\(f2,
или
m(r,r')
т. е. теорема доказана.
Заметим, что полученный результат справедлив и для пар,
лежащих в параллельных плоскостях. По теореме 2 такие пары
можно привести к одной плос-
плоскости, а по теореме 1 их
можно заменить одной парой,
момент которой равен с^мме
моментов составляющих пар.
Доказанные выше теоремы
о парах позволяют сделать
важный вывод: момент пары
является свободным вектором
и полностью определяет дей-
действие пары на абсолютно
твердое тело. В самом деле,
мы уже доказали, что если
две пары имеют одинаковые
моменты (следовательно, ле-
лежат в одной плоскости или Рис. З.п.
в параллельных плоскостях),
то они друг другу эквивалентны (теорема 2). С другой стороны, две
пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, не могут быть эк-
эквивалентны, ибо это означало бы, что одна из них и пара, про-
тнвоптаожная другой, эквивалентны нулю, что невозможно, так
как сумма моментов таких пар отлична от нуля.
Таким образом, введенное понятие момента пары чрезвычайно
полезно, поскольку оно полностью отражает механическое дей-
действие пары на тело. В этом смысле можно сказать, что момент
исчерпывающим образом представляет действие пары на твердое
тело.
Для деформируемых тел изложенная выше теория пар неприме-
неприменима. Две противоположные пары, действующие, например, по тор-
торцам стержня, с точки зрения статики твердого тела эквивалентны
нулю. Между тем их действие на деформируемый стержень вызы-
вызывает его кручение, и тем большее, чем больше модули моментов.
Перейдем к решению первой и второй задач статики в слу-
случаях, когда на тело действуют только пары сил.

54 ТЕОРИЯ ПАР [ГЛ. Ш
§ 3.4. Приведение системы пар к простейшему виду-
Равновесие системы пар
Пусть даиа система п пар (Fb F[), (F2, F.^, ..., (Fn, F^),
как угодно расположенных в пространстве, моменты которых
равны М1; М2, ..., Мя. На основании теоремы 3 первые две пары
можно заменить одной парой (Rb Ri) с моментом М*:
Полученную пару (Rt, R[) сложим с парой (F3, F3), тогда полу-
получим новую пару (R2, Щ) с моментом Мз:
М| = М| + М3 •= Мх + М2 + М3.
Продолжая и дальше последовательное сложение моментов
пар, мы получим последнюю результирующую пару (R, R')
с моментом
M = M! + Ma + ... + Mn=2]Mft. C.18)
Итак, система пар приводится к одной паре, момент которой
равен сумме моментов всех пар.
Теперь легко решить вторую задачу статики, т. е. найти
условия равновесия тела, на которое действует система пар.
Для того чтобы система пар была эквивалентна нулю, т. е. приводи-
приводилась к .двум уравновешенным силам, необходимо и достаточно,
чтобы момент результирующей пары был
равен нулю. Тогда из формулы C.18) по-
fM(F,,F/) лучим следующее условие равновесия в
векторном виде:
М1 + Ма + М8 + ... + М„ = 0. C.19)
В проекциях на координатные оси
уравнение C.19) дает три скалярных урав-
уравнения.
Условие равновесия C.19) упрощается,
когда все пары лежат в одной плоскости.
В этом случае все моменты перпендикулярны этой плоскости, и
поэтому уравнение C.19) достаточно спроектировать только на
одну ось, например ось, перпендикулярную плоскости пар. Пусть
это будет ось г (рис. 3.12).
Тогда из уравнения C.19) получим:
= 0. C.20)
При этом ясно, что Мг = М, если вращение пары видно
с положительного направления оси z против хода часовой стрелки,

§3.4]
ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ ПАР К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ
55
и Mz = — М при противоположном направлении вращения,
эти случая представлены на рис. 3.12.
Оба
М
Задача 3.2. Один конец балки длиной / укреплен в неподвижной шарнир-
шарнирной опоре А, а второй ее конец В опирается на гладкую наклонную плоскость,
составляющую с балкой угол а. На
балку действует пара сил с моментом,
равным М. Пренебрегая весом балки,
определить реакции опор (рис. 3. 13).
Действие опор заменим реакция-
реакциями. Реакция гладкой поверхности RB
направлена по нормали к поверхно-
поверхности. Так как балка находится в равно-
равновесии, то система сил, действующих
на балку, эквивалентна нулю. Но ак- Рис. 3.13.
тивная пара сил с моментом М может
быть уравновешена только парой сил.
Следовательно, реакция R^ неподвижной опоры А вместе с реакцией плос-
плоскости Rfi должны составлять пару сил. Модули реакций найдутся из условия
равенства модулей моментов пар:
или
= RA-h,
где h = / cos a — плечо пары. Отсюда

Г Л А В А IV
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ И УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
§ 4.1. Лемма о параллельном переносе силы
В этом параграфе рассматривается вспомогательная задача
о параллельном переносе силы.
Докажем лемму:
Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, экви-
эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке
этого тела, и паре сил, момент которой
равен моменту данной силы относительно
новой точки приложения.
Пусть в точке А твердого тела приложена
сила F (рис. 4.1). Приложим теперь в точ-
точке В тела систему двух сил F' и F", экви-
эквивалентную нулю, причем выбираем F' = F
(следовательно, F" = — F). Тогда сила
F~(F, F', F"), так как (F', F") — 0.
Но, с другой стороны, система сил
(F, F', F") эквивалентна силе F' и паре сил
(F, F"); следовательно, сила F эквивалентна силе F' и паре
сил (F, F"). Момент пары (F, F") равен
M = M(F, F") = BlxF,
т. е. равен моменту силы F относительно точки В
M = Mfl(F).
Таким образом, лемма о параллельном переносе силы доказана.
§ 4.2. Основная теорема статики
Введем определения. Пусть дана произвольная система сил
(?ъ F2, ..., Fn). Сумму этих сил
Рис. 4.1.
называют главным вектором системы сил.

§4 2]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМ\СТАТИКИ
57
Сумму моментов сил относительно какого-либо полюса (центра
приведения) называют главным моментом рассматриваемой системы
сил относительно этого полюса.
Пользуясь теперь леммой о параллельном переносе силы,
докажем следующую основную теорему статики (теорема Пуаисо):
Всякую пространственную систему сил в общем случае можно
заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы,
приложенной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной
главному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент
которой равен главному моменту всех сил относительно выбран-
выбранного центра приведения.
Следовательно, основная теорема статики устанавливает закон
эквивалентной замены произвольной системы сил более простой
системой, состоящей из одной силы и одной пары.
Рис 4 2.
Пусть О — центр приведения, принимаемый за начало коор-
координат, гъ г2, г3, ..., г„ — соответствующие радиусы-векторы точек
приложения сил Fb F2, F3, ..., F,,, составляющих данную систему
сил (рис. 4.2, а). Прежде всего перенесем силы Fb F2, F3, ..., F,,
в точку О, а затем сложим эти силы как сходящиеся; в резуль-
результате получим одну силу:
которая равна главному вектору (рис. 4.2,6). Но при последователь-
последовательном переносе сил Fb Fa, ..., Fn в точку О мы получаем каждый раз
соответствующую пару сил (Fb F'{), (Fa, Fl), ..., (Fn, ?"n).
Моменты этих пар соответственно равны моментам данных
сил относительно точки О:
M(F1, F[)=r1xF1 =
M(F2, F;')=rsxFs =
D.1)

58 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ [ГЛ IV
На основании правила приведения системы пар к простейшему
виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент
равен сумме моментов всех сил системы относительно точки О,
т. е. равен главному моменту, так как согласно формулам C.18)
и D.1) имеем (рис. 4.2, в)
Итак, систему сил, как угодно расположенных, в пространстве,
можно в произвольно выбранном центре приведения заменить
силой
Fo= У] Fft D.2)
и парой сил с моментом
M0=|]M0(F,)= |] rftxFft. D.3)
* = 1 к = 1
Не следует считать, что главный вектор и главный момент
имеют чисто формальное значение и что их можно найти только
с помощью вычислений. Очень часто отдельно действующие на
тело силы нельзя определить даже опытным путем, в то время
как главный вектор или главный момент находятся сравнительно
легко. Поясним это примером. Рассмотрим вал, находящийся
в подшипниках скольжения. При вращении вала на точки его
поверхности действуют со стороны подшипника силы трения.
Число точек контакта и модули сил трения, как правило, нам
не известны. Не всегда их можно определить и с помощью
эксперимента, однако простым измерением находится сумма момен-
моментов всех сил трения относительно оси вращения, т. е. главный
момент сил трения.
По тем же соображениям момент силы и момент пары сил
также не следует рассматривать только как формальные величины,
введенные для удобства доказательства. В технике очень часто
проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характе-
характеристику электромотора входит не сила, с которой статор действует
па ротор, а вращающий момент.
§ 4.3. Аналитическое определение главного вектора
и главного момента пространственной системы сил
Определим модули и направления векторов Fo и Мо. Пусть
декартова система координат Oxyz имеет начало в центре при-
приведения О. Тогда проекции силы Fo на координатные оси

§ 4.31 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОГО ВЕКТОРА 59
найдутся из соотношений:
п
/7 X 1 г* С1 I С1 1 1С1
* Ох= 2-Х *v = l-v "• 2л ' *¦¦ ~Т~ ' я*'
/="oi/ = % Fky = FtlJ + Fz,j+...+ Fny, D.4)
Foz = S ^/e, = Fw + Fk + ... + Fnz.
Модуль силы Fo равен
f > У Fkll
D.5)
а направление определяется направляющими косинусами
cos (х, Fo) = -~, cos (у, F0)=-yt, cos (г, Fo) ~—jr- D.6)
Для проекций вектора Мо имеем (см. C.10))
л л
Мол-= У ^Ол-(Р^) = 2 (ykFkz — zkFklJ),
Je=1 ft=l
MOy = 2 ^o« (Fft) = Ц (г*^v -xftfftz), D.7)
(xHFky-ykFk,).
k=i
Следовательно, модуль и направление вектора Мо определя-
определяются формулами
Мо = УМЪх + МЪу + МЬг, D.8)
=^°-\ cos (у, Мо)=^, cos (г, М0)=^г. D.9)
При приведении пространственной системы сил к одной силе
и одной паре сил угол между направлением главного вектора и
направлением главного момента может получиться любым в зави-
зависимости от действующих сил. Для определения этого угла вос-
воспользуемся формулой, выражающей скалярное произведение век-
векторов Fo и Мо:

60 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ [ГЛ. IV
Отсюда
cos(Fo, Мо) = F/'м° = F°xMnx+ F^
0 0 0 0
или, в соответствии с формулами D.6) и D.9),
cos (Fo, Мо) = cos (*, Fo) cos (x, Mo) + cos (y, Fo) cos (y, Mo) +
+ cos(z, Fo)cos(z, Mo). D.11)
Выясним, как будут меняться сила и пара сил, к которым
приводится рассматриваемая система сил, при перемене центра
приведения. Так как сила Fo равна глав-
главному вектору, т. е. сумме всех сил системы,
то для любого центра приведения она будет
одной и той же. Если в качестве нового
центра приведения взята точка 0х, то
Fo, = Fo= V Fk. D.12)
Рис. 4 3. k=\
Для центра приведения Ох момент пары равен главному
моменту относительно этого центра приведения
М0, = J] г,; х Fk, D.13)
где r'k — радиус-вектор точки приложения силы Fft, проведенный
из нового центра приведения Ох (рис. 4.3). Из рассмотрения
рис. 4.3 видно, что
Подставив значение г'к в формулу D.13), получим
MOl = ? x'k X Fft = 2 (гй + Ofi) X Ffc ^ ? xk x Fk + Ofi X 2 F A.
откуда на основании формул D.2) и D.3)
Мо, = Mo + OfixFo = Мо + Мо, (Fo), D.14)
т. е. момент пары, а следовательно, и главный момент при пере-
перемене центра приведения изменяются на момент силы, равной
главному вектору, приложенному в старом центре приведения, отно-
относительно нового центра приведения.
Из формулы D.14) следует, что если в каком-либо центре
приведения, например, точке О, Fo=0 и Мо =0, то и для любого
центра приведения 0х будет
FOl = 0, MOl =0,

§4 4] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ
61
Приведение произвольной системы сил к силе и паре сил не
является единственным способом приведения к простейшему виду
(хотя и применяется наиболее часто). Возможен другой вариант
приведения; согласно этому варианту
система сил, как угодно расположенных
в пространстве, может быть приведена
к двум силам, в общем случае не лежа-
лежащим в одной плоскости.
В самом деле, пусть произвольная
система сил приведена в данном цент-
центре О к силе Fn* и паре сил с момен-
моментом Мо. Выберем силы, составляющие
пару,равнымиРиР'(Р = — Р'); приложим
одну из них (например, Р') в центре
приведения (рис. 4.4) и сложим ее с силой Fo- В результате
получим силу Q = Fo + Р', уже не лежащую в плоскости дей-
действия пары (Р, Р').
Таким образом, пространственная система сил приведена к
двум силам Q и Р, которые в общем случае не лежат в одной
плоскости.
Рис. 4.4.
§ 4.4, Условия равновесия пространственной системы сил
В этом параграфе мы обратимся ко второй задаче статики
и установим условия, при которых пространственная система
сил эквивалентна нулю, т. е. условия ее равновесия. Докажем тео-
теорему.
Для равновесия пространственной системы сил необходимо
и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой
системы равнялись нулю.
Достаточность сформулированных условий вытекает из того,
что при Fn = 0 система сходящихся сил, приложенных в центре
приведения О, эквивалентна нулю, а при Мо = 0 система пар
сил гквивалентна нулю. Следовательно, исходная система сил экви-
эквивалентна нулю.
Докажем необходимость этих условий. Пусть данная система
сил эквивалентна нулю. Приведя систему к двум силам, заме-
заметим, что в нашем случае система сил Q и Р (рис. 4.4) должна
быть эквивалентна нулю, следовательно, эти две силы должны
иметь общую линию действия и, кроме того, должно выпол-
выполняться равенство Q = — Р. Но в рассматриваемом нами случае
это может быть, если линия действия силы Р проходит через
точку О, т. е. если Л —0. А это значит, что главный момент
равен нулю (Мо = 0). Далее, так как Q-f P=0, a Q = F0-f-P',
то Fo-f-P'-f-P = 0, и, следовательно, Fo=0.

62
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ
[ГЛ. IV
Итак, необходимые и достаточные условия равновесия про-
пространственной системы сил будут иметь вид
Fo = 0, Мо=0 D.15)
или, в проекциях на координатные оси,
п
Fox = 2 F** = Fi* + F^+---+ Fnx = 0,
+ ... + Fnu = 0, \ - D.16)
MOx =
) = MOx (Fj) + MOx (Fa) + ... + MOx (Fn) = 0,
i = MOy (Fx) + Moy (Fa) + ... + MOy (Fn) = 0,
(Fa)
n) = 0.
D.17)
Таким образом, при решении задач о равновесии простран-
пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, мы имеем
возможность из уравнений D.16) и
D.17) определить шесть неизвестных
величин.
Замечание. О невозможности приведения
пары сил к равнодействующей. Проведем дока-
доказательство от противного. Пусть пара сил
(Fj, FJ) приводится к равнодействующей R,
приложенной к какой-либо точке А тела.
Тогда эта пара и сила R'(R'=—R), прило-
приложенная в точке А, эквивалентны нулю (рис.
4.5). На основании только что доказанного
павный вектор и главный момент этой системы
должны быть равны нулю. Примем за центр
приведения точку А, тогда главный момент Мд^=0 и равен моменту пары
(Fj, FJ); главный вектор тоже не равен нулю (F^=R'=^0). Следовательно,
предположение о существовании равнодействующей для пары сил неспра-
несправедливо.
Уравнения равновесия для более частных систем сил могут
быть получены из уравнений D.16) и D.17).
Рис. 4.5.

§ 4.4] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ 63
1. Равновесие пространственной системы параллельных сил.
Направим ось г параллельно линиям действия сил (рис. 4.6).
Тогда проекции сил Fu на оси х и у равны
нулю (Fkx = 0, Fky == 0) и остается удов-
удовлетворить только одному из уравнений
группы D.16):
ft=i
Во второй группе уравнений D.17)
последнее выполняется тождественно, так
как силы параллельны оси г (MOz(Fk) = 0), и остаются только
два уравнения:
Мох = S MOx(Fk) = МОх (F,) + МОх (F2) +
+ ...+Mo,(Fn) = 0, .
п D 19)
МОу = V Моу (Fk) = МОи (Fx) + Моу (F2) +
+ ...+MOu(Fn) = 0.
2. Равновесие плоской системы сил.
Для плоской системы сил из уравнений первой группы оста-
останутся два уравнения:
Ц Fkx = Flx + F2X +...
D-20)
Из уравнений второй группы два первых удовлетворяются
тождественно, так как силы лежат в одной плоскости с осями х
и у (рис. 4.7). Остается только третье уравнение:
МОг = Ц МОг (Fft) = МОг (Fx) + MOz (F2) + • • • + МОг (Fn) = 0.
D.21)
3. Равновесие плоской системы параллельных сил.
Условия равновесия для этого частного случая следуют из
Уравнений D.20) и D.21). Направим ось у параллельно линиям

64
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА СТАТИКИ
[ГЛ IV
действия сил (рис. 4.8). Тогда первое из уравнений D.20) удов-
удовлетворяется тождественно (для любой системы параллельных
о
Рис. 4.7.
сил на плоскости) и остаются только два уравнения равновесия:
~ Fny = О,
D.22)
Напомним, что при составлении уравнений равновесия D.17)
за центр приведения может быть выбрана любая точка (см. § 4.3).

ГЛАВА V
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 5.1. Приведение плоской системы сил к простейшему виду
Рассмотрим систему сил (F1; F2, ..., Fn), расположенных в од-
одной плоскости. К этому случаю приводится весьма большое чис-
число практических задач техники. Совместим с плоскостью распо-
расположения сил систему координат Оху и, выбрав ее начало в ка-
качестве центра приведения, согласно основной теореме статики
(§ 4.2) приведем рассматриваемую систему сил к одной силе
п
го — Л, гь \ол)
равной главному вектору, и к паре сил, момент которой равен
главному моменту
E.2)
где Mo(Fk) — момент силы Fk относительно центра приведения О*).
Так как силы расположены в одной плоскости, то сила Fo
также лежит в этой плоскости. Мо-
Момент же пары Мо направлен перпен-
перпендикулярно этой плоскости, так как
сама пара расположена в плоскости
действия рассматриваемых сил. Та-
Таким образом, для плоской системы
сил главный вектор и главный мо-
момент всегда перпендикулярны друг
другу (рис. 5.1).
Рис. 5.1.
При рассмотрении плоской системы сил мы имеем дело с па-
парами, расположенными в плоскости действия сил. Поэтому в плос-
*) Здесь и в дальнейшем на протяжении всей пятой главы предполагается,
что все силы расположены в одной плоскости ху и что точки, относительно ко-
которых вычисляются моменты, лежат в плоскости действия сил. Ось г, перпен-
перпендикулярная плоскости действия сил, на рисунках не показывается.
3 Бутенин Н. В. и др.

66
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ. V
системах нет необходимости придавать векторный смысл моменту
пары. Момент полностью характеризуется алгебраической величи-
величиной Мг, равной произведению плеча пары на величину одной из сил,
составляющих пару, взятой со знаком плюс, если «вращение» пары
происходит против хода часовой стрелки, и со знаком минус,
если оно происходит по ходу часовой стрелки. Иными словами,
за момент пары в плоских системах принимается проекция век-
вектора момента пары на ось г,
перпендикулярную плоскости
действия сил.
Пусть, например, даны две
пары, (Flf FJ) и (Fa, F'2)
(рис. 5.2); тогда согласно дан-
данному определению имеем
Рис. 5.2.
E.3)
Аналогично, моментом силы относительно точки будем назы-
называть алгебраическую величину, равную проекции вектора момента
силы относительно этой точки на ось, перпендикулярную плос-
плоскости, т. е. равную произведению модуля силы на плечо, взятому
с соответствующим знаком. Для случаев, изображенных на
рис. 5.3, а и б, соответственно будет
MOll(F1)=hF1, MOt(Ft)=-hFa. E.4)
Индекс г в формулах E.3) и E.4) сохранен для того, чтобы
указать на алгебраический характер моментов.
Рис. 5.3.
Модули же момента пары и момента силы обозначаются
следующим образом:
Исходя из этих определений, для нахождения главного мо-
момента вместо формулы E.2) будем пользоваться формулой
Мог =
E-5)

§ 5.1] ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ
67
Формула D.14), определяющая изменение главного момента
при перемене центра приведения, примет вид
E.6)
Для аналитического определения главного вектора применя-
применяются формулы:
E.7)
+ ... + Fan
ky == * 1 у ~\~ * 2У "I • • • ' 14"
'b,=
\2
O.v
cos(x, Fo) = -F^,cos((/, ?o) = -TL-
' О 0
Согласно формулам E.5) и C.11) главный момент равен
E.8)
E.9)
E.10)
ft=i
ft=i
где Xk, \jk — координаты точки приложения силы Fk.
Докажем теперь, что если главный вектор плоской системы
сил не равен нулю, то данная система сил эквивалентна одной
силе, т. е. приводится к равнодействующей.
F,=R
Рис. 5.4.
Пусть для выбранного центра приведения главный вектор
и главный момент не равны нулю, т. е. Fo ф 0, МОг ф 0
(рис. 5.4, а). Дуговая стрелка на рис. 5.4, а символически изо-
изображает пару с моментом MOz- Пару сил, момент которой равен
главному моменту, представим в виде двух сил Fx и FJ, равных
по модулю главному вектору Fo, т. е. F1 = F[ = F0. При этом
одну из сил (Fi), составляющих пару, приложим к центру

68 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ [ГЛ V
приведения и направим в сторону, противоположную направ-
направлению силы Fo (рис. 5.4, б). Тогда система сил Fo и ?[
эквивалентна нулю и может быть отброшена. Следовательно,
заданная система сил эквивалентна единственной силе Fb прило-
приложенной к точке Оь эта сила и является равнодействующей.
В дальнейшем равнодействующую будем обозначать буквой R,
т. е. Fi = R. Очевидно, что расстояние h от прежнего центра
приведения О до линии действия равнодействующей можно
найти из условия | MQz | = hFx — hF0, т. е.
"-— p
Расстояние h нужно отложить от точки О так, чтобы момент
пары сил (Fb Fi)совпадал с главным моментом МОг (рис. 5.4, б).
В результате приведения системы сил к данному центру могут
встретиться следующие случаи:
1. Роф0, МОгф0.
В этом случае система сил может быть приведена к одной
силе (равнодействующей), как это показано на рис. 5.4, в.
В этом случае система сил приводится к одной силе (равно-
(равнодействующей), проходящей через данный центр приведения.
3. Fo = 0, МогФО.
При этом система сил эквивалентна одной паре сил.
В этом случае рассматриваемая система сил эквивалентна
нулю, т. е. силы, составляющие систему, взаимно уравновешены.
Для системы сил, которая приводится к равнодействующей,
справедлива следующая теорема о моменте равнодействующей.
Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система
сил приводится к равнодействующей, то момент этой равно-
равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической
сумме моментов всех сил данной системы относительно той же
самой точки.
Предположим, что система сил приводится к равнодействующей
R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра
приведения другую точку Ох. Главный момент E.5) относительно
этой точки равен сумме моментов всех сил:
С другой стороны, на основании- формулы E.6) имеем
=MOl2(R), E.12)

§ 5 1] ПРИВЕДЕНИЕ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ
69
так как главный момент для центра приведения О равен нулю
(МОг — 0). Сравнивая соотношения E.11) и E.12), получаем
п
д|0 (|^\__ V* yyj (Ft)" E 13)
это и доказывает сформулированную теорему.
При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение
линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая Rx
приложена в какой-либо точке О1 с координатами х и у (рис. 5.5)
и известны главный вектор Fo и главный момент МРг при центре
приведения в начале координат. Так как Ri = F0, то составляю-
составляющие равнодействующей по осям х и у равны Rix — Fox=FOxi
и Riy = YQlJ = FOt)]. Согласно тео-
теореме Вариньона момент равнодей- „
стелющей относительно начала
координат равен главному момен-
моменту при центре приведения в начале
координат, т. е.
У
Рис. 5.5.
Величины МОг, FOx и FOtJ при пе-
переносе точки приложения равно-
равнодействующей вдоль ее линии дей-
действия не изменяются, следователь-
следовательно, на координаты х и у в урав-
уравнении E.14) можно смотреть как
на текущие координаты линии
действия равнодействующей. Та-
Таким образом, уравнение E.14) есть
уравнение линии действия равно-
равнодействующей. При РОхф0 его-
можно переписать в виде
FQ MQ2
У =rz: -р—*- X — —р——.
Ох ' Ох
Задача 5.1. Равнодействующие Р и F
сил давления воды на гравитационною
плотину приложены в вертикальной
плоскости симметрии перпендикулярно
соответствующим граням на расстояниях
Я = 4 м и h = 2,4 м от основания (рис. 5.6). Сила тяжести Gj прямоугольной
части плотины приложена в ее центре, а сила тяжести G2 треугольной
части —на расстоянии одной трети от вертикальной грани треугольного сече-
ния.
Определить равнодействующую распределенных сил реакции грунта на
котором установлена плотина, если Р = 2000 Т, /7=1300 Т С, ==3000 Т
Ga = 1500 Т, а = Ь м, 6 = 10 м, <g ft = 5/12. '
х
Рис. 5.6.

70
плоская система сил
[гл v
Прежде всего найдем равнодействующую заданных сил Р, F, Gi и G2,
приложенных к плотине Для вычисления главного вектора Fo и главного
момента MQz относительно начала координат О нам понадобятся значения
sm a, cosa и координаты точки А. Так как tga = 5/12, то sina = 5/13,
cos a = 12/13. По условию задачи уА = 1г = 2,4 м. Из треугольника ABC найдем
СВ =fttga = l м. Следовательно, хА = 9 м. Согласно формулам E.7) и E.10)
имеем
= 800 T,
FOy = — G1-G2-Fsina = — 5000 Т,
Главный вектор не равен нулю, поэтому система заданных сил Р, F, Ои
G2, приложенных к плотине, приводится к равнодействующей R2=F0, модуль
которой равен
/ Т.
Уравнение линии действия равнодействующей найдем по формуле E.14):
2Ьх+4у—136 = 0.
На рис. 5.6 показана равнодействующая R заданных сил, приложенных
к плотине. Равнодействующая реакция грунта действует по той же прямой,
но она направлена в сторону, противоположную R. Модули этих сил, конечно,
равны между собой.
§ 5.2. Условия равновесия плоской системы сил
Как было установлено в главе IV, необходимым и достаточ-
достаточным условием равновесия системы сил является равенство нулю
главного вектора и главного момента. Для плоской системы сил
эти условия получают вид
Fo= 2 F* = 0, МОг= S MoA?k) = 0,
где О — произвольная точка в плоскости действия сил.
На основании E.15) и E.7) имеем
E.15)
FOy=
2
= MOz (Fx) + MOz (F2) +
E.16)

§5 2] v УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ 71
т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо и доста-
достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две
координатные оси и алгебраическая сумма моментов всех сил
относительно произвольной точки равнялись нулю.
Возможны также другие формы уравнений равновесия.
Второй формой является равенство нулю алгебраических сумм
моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих
на одной прямой:
n
E.17)
где А, В и С — указанные точки.
Необходимость выполнения этих трех равенств в случае равно-
равновесия системы сил вытекает из условий E.15), и нам остается
доказать их достаточность. Предположим, что все равенства
E.17) выполняются. Равенство нулю главного момента при
центре приведения в точке А возможно, либо если система при-
приводится к равнодействующей (R^O) и линия ее действия прохо-
проходит через точку А, либо R = 0; аналогично равенство нулю
главного момента относительно точек В я С означает, что либо
R=/=0 и равнодействующая проходит через обе точки, либо
R = 0. Но равнодействующая не может проходить через все эти
три точки А, В я С (по условию они не лежат на одной прямой).
Следовательно, равенства E.17) возможны лишь при R = 0, т. е.
система сил находится в равновесии.
Заметим, что если точки А, В к С лежат на одной прямой,
то выполнение условий E.17) не будет достаточным условием
равновесия, — в этом случае система может быть приведена к равно-
равнодействующей, линия действия которой проходит через эти точки.
Третьей формой уравнений равновесия плоской системы сил
является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил
системы относительно двух любых точек и равенство нулю алгебраи-
алгебраической суммы проекций всех сил системы на ось, не перпендику-
перпендикулярную прямой, проходящей через две выбранные точки:
Fk) = 0, j^Fkx = O E.18)
k^i *=i a=i
(ось х не перпендикулярна отрезку АВ).

72 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ (ГЛ. V
Необходимость выполнения этих равенств для равновесия сил
вытекает непосредственно из условий E.15). Убедимся в том, что
выполнения этих условий достаточно для равновесия сил.
Из первых двух равенств, как и в предыдущем случае, выте-
вытекает, что если система сил имеет равнодействующую, то ее линия
действия проходит через точки А и В (рис. 5.7). Тогда проекция
равнодействующей на ось х, не перпендикулярную отрезку АВ,
окажется отличной от нуля. Но эта возможность исключается
третьим уравнением E.18) ,так как Rx = У] Fkx\. Следовательно,
\ k = 1 /
равнодействующая должна равняться нулю и система находится
в равновесии. Понятно, что если ось л; будет перпендикулярна отрез-
отрезку АВ, то уравнения E.18) не будут достаточными условиями
равновесия, так как в этом случае система
может иметь равнодействующую, линия дей-
действия которой проходит через точки А и В.
Таким образом, система уравнений равно-
равновесия может содержать одно уравнение мо-
моментов и два уравнения проекций, либо два
уравнения моментов и одно уравнение проек-
проекций, либо, наконец, три уравнения моментов.
Отметим, что при составлении любой из
Рис' 5-7> форм уравнений, равновесия выбор коорди-
координатных осей и точек, относительно которых
берутся моменты сил, вообще говоря, произволен. Однако для
получения наиболее простых уравнений равновесия (каждое
из которых содержит минимальное число неизвестных) целесо-
целесообразно координатные оси проводить перпендикулярно неизвест-
неизвестным силам, а указанные точки выбирать на пересечении линий
действия неизвестных сил.
При рассмотрении равновесия несвободного твердого тела на
основании принципа освобождаемое™ заменяем действие связей
их реакциями. Значит, если число этих заранее неизвестных ре-
реакций будет равно числу уравнений равновесия, в которые реак-
реакции входят, то задачу их определения можно выполнить. Если
же число неизвестных реакций будет больше уравнений равнове-
равновесия, содержащих реакции, то задача становится статически не-
неопределимой.
Среди плоских задач статики особого рассмотрения заслужи-
заслуживает случай плоской системы параллельных сил. Хотя для этой
системы главный вектор и главный момент по-прежнему опреде-
определяются формулами E.1) и E.5), но фактические вычисления зна-
значительно упрощаются.
Пусть линии действия всех сил параллельны оси у (рис. 4.8).
Тогда уравнения равновесия для рассматриваемой системы

§ 5.2] УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ 73
параллельных сил будут
п п
2и Ьу— ' 2-1 тОг\^Ю—и- (Э.1У;
В соответствии с E.17) уравнения равновесия можно также
записать в виде
2 MAZ (Fft) = 0, X mbz (F*) = 0, E.20)
причем точки Л и В не должны лежать на прямой, параллель-
параллельной оси у (если точки А я В будут лежать на прямой, парал-
параллельной оси у, то эти уравнения будут удовлетворяться при
равнодействующей, отлич-
отличной от нуля, если ее ли-
линия действия проходит че- а'
рез указанные точки).
В заключение этого па-
параграфа отметим, что си-
система сил, действующих на
твердое тело, может со- б)
стоять как из сосредоточен-
сосредоточенных (изолированных) сил,
так и распределенных сил.
Различают силы, распреде-
распределенные по линии, по по- 7 \\\\\
У77////////Л
верхности и по объему тела.
Так, например, давление г-
тяжелого цилиндрического
катка на горизонтальную Рис. 5.8.
опорную поверхность (рис.
5.8, а) представляет собой силы, распределенные вдоль линии
(в данном случае — вдоль прямой). Давление газа на стенки со-
сосуда может служить примером сил, распределенных по поверх-
поверхности (рис. 5.8, б). Действие сил тяжести (рис. 5.8, в) иллюстри-
иллюстрирует случай сил, распределенных по объему тела.
Распределенные силы задаются их интенсивностью. Так,
например, для объемных сил сначала вводится понятие средней
интенсивности силы в окрестности рассматриваемой точки тела
Здесь ДУ — объем элемента, выделенного в окрестности точки,
Д/7 —сила, действующая на этот элемент. Тогда
¦ду^ДУ

74
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ. V
называется интенсивностью силы, распределенной по объему
в данной точке тела.
Аналогично вводится понятие интенсивности для силы, рас-
распределенной по поверхности и по длине линии:
Fn= lim
Д<т->0
F%= lim
As-0
&F
As
где Act и As — соответственно элементарная площадь и элемент
длины линии.
W//////A у////////.
'///////////У/
Рис. 5.9.
Очень часто интенсивность силы называют силой, отнесенной
к соответствующей геометрической единице — длине, площади или
объему. Соответственно этому единицами интенсивности служат
кГ/см3, кГ/см2 и кГ/см.
Понятно, что в простейших случаях (см., например, рис. 5.8,а)
интенсивность определяется простым делением полной силы
давления на длину, площадь или объем участка ее приложе-
приложения.
В ряде случаев силы оказываются неравномерно распределен-
распределенными. Так, на рис. 5.9, а изображено давление воды на стенку
плотины, оно переменно и зависит от глубины, т. е. от коорди-
координаты z. На рис. 5.9, б показан случай, когда давление сыпучего
тела на основание является функцией двух координат хну
из-за переменной толщины слоя.
§ 5.3. Задачи на применение уравнений равновесия
Задача 5.2. Однородная гладкая балка АВ весом Р = 2 кн, закрепленная
в точке А при помощи шарнира, опирается в точке С на стену. В точке В
подвешен груз Q=l кн. Определить опорные реакции в точках Л и С, если
балка составляет с горизонтом угол а=30°, h=\ м и / = 3 м (рис. 5.10, а).

§5 31
ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
75
Образуем силовую схему, заменив действие связей их реакциями. Реакция
в точке Л не известна ни по величине, ни по направлению, поэтому будем
У
У \
Рис. 5.10.
искать эту реакцию через ее проекции ХА и Y А, реакция в точке С направ-
направлена перпендикулярно балке (рис. 5.10, б).
Уравнения равновесия напишем в форме E.16):
п
2
отсюда находим
2.25 кн.
Задача 5.3. Ферма опирается на неподвижный шарнир А и каток В,
который может без трения перемещаться по наклонной плоскости. Определить
реакции опор А и В, если к ферме приложены силы Р = 3 Т и Р1 = 6 Г
tP ИС ( 0.11, и) %

76
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ V
Заменяя действие опор реакциями, составляем силовую схему (рис. 5.11, б).
Уравнения равновесия возьмем в форме E.17). В качестве точек, относительно
*)
Рис. 5.11.
которых составляются уравнения моментов, выберем точки А, В и С. Урав-
Уравнения равновесия при этом будут
k=l
К — \
отсюда находим
р Vz—
2/2
±
2/2
Т.
Задача 5.4. К балке, изображенной на рис. 5 12, а, приложены: сосредо-
сосредоточенная сила F=1600 кГ и равномерно распределенная нагрузка интенсив-
интенсивности 9=120 кГ/м. Угол a = 30J, a = 3 м, b = 7 м, /=12 ж. Вес балки Р =
= 500 кГ. Определить реакции опор.

5 3]
ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ
77
Действие опор на балку заменяем реакциями Хд, Y^ и Re, а распре-
распределенную нагрузку —ее равнодействующей Q = q (l — b), приложенной в
X* yd™* Yi/T
fp та
Рис. 5.12.
середине отрезка DB (рис, 5.12, б). Уравнения равновесия имеют вид
k=l
v = XA-F cos a^O.
Решая эти уразнения, получаем
Х^/7 cos a =1380 кГ,
У А = -. sin a -[- -g- -f- У „/ ^^ 925 к/,
= у sin a + -|-
/сГ.
Познакомимся теперь с особым видом связи, которая назы-
называется жесткой (или полной) заделкой. Эта связь препятствует
не только линейным перемещениям закрепленной точки тела,
но и повороту вокруг этой точки.
Такова, например, жесткая заделка левого конца балки
на рис. 5.13, а; этот конец оказывается полностью закрепленным —
невозможны его вертикальное и горизонтальное перемещения,
а также и поворот. Такая связь создает систему реакций,
состоящую (рис. 5.13, б) из двух составляющих ХА и \А и пары,
момент которой обозначен через М*. Это следует из того, что

78
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ. V
на заделанный конец балки действует распределенная нагрузка,
которую можно привести к силе, приложенной к точке А, и
к паре сил с моментом М*.
а)
4?
%
у
Рис. 5.13.
Задача 5.5. К однородной балке, вес которой равен Q и длина /, в точке В
приложена сила Р (рис. 5.14, а). Определить реакции в месте заделки.
Силовая схема изображена на рис. 5.14, б. Уравнения равновесия будут
отсюда имеем
§ 5.4. Задачи на равновесие системы тел
Рассмотрим задачу о нахождении опорных реакций трех-
шарнирной арки, которая состоит из двух частей, М и N,
имеющих шарнирные опоры А и В и соединенных между собой
идеальным шарниром С (рис. 5.15, а). Если рассматривать эту
систему тел как одно твердое тело (аксиома 5), то будем иметь
три уравнения равновесия с четырьмя неизвестными ХА, YА,
Хв, YB (проекции опорных реакций в точках А и В).
Тем не менее эта задача статически определенная. Дело
в том, что в равновесии находятся два тела М и N, соединен-
соединенных между собой шарниром С, и можно рассматривать равно-
равновесие каждого тела в отдельности. Таким образом, число урав-

§ 5.4]
ЗАДАЧИ НА РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ
79
нений равновесия будет равно шести —по три уравнения для
каждого тела. Действие тела N на тело М, передаваемое через
идеальный шарнир, может быть заменено одной силой, а дейст-
действие тела М на тело N может быть заменено такой же по модулю
силой, но противоположно направленной (аксиома 4).
Рассмотрим равновесие каждого тела в отдельности. На
рие. 5.15, б указаны силы, приложенные к телам М и N, при-
причем силы Хс и Yc представляют собой составляющие силы,
заменяющие собой действие тела N на тело М, а Хс, У с —
составляющие силы, заменяющие действие тела М на тело /V.
Рис. 5.15.
Для каждого тела мы можем составить по три уравнения
равновесия, т. е. всего шесть уравнений, неизвестных же тоже
будет шесть, так как в силу аксиомы 4
Хс = — Хс, Yc =— Yc.
Указанный путь решения задачи, конечно, не единственный.
Можно, например, составить три уравнения равновесия для
тела М, а остальные три —для системы тел М и N, принимая
их за одно твердое тело, или составить уравнения равновесия
для тела N и уравнения равновесия для системы тел М и N,
как для одного твердого тела. Целесообразность применения того
или иного способа решения задачи зависит от условий конкрет-
конкретной задачи.
Задача 5.6. Два однородных стержня одинаковой длины соединены шар-
нирно в точке С и шарнирно закреплены в точках А и В. Вес каждого
стержня равен Р. В точке С к системе стержней подвешен груз Q. Расстоя-
Расстояние AB = d. Расстояние точки С до горизонтальной прямой АВ равно Ь.
Определить реакции шарниров А и В (рис. 5.16, а).
Заменяя действие опор реакциями, рассмотрим сначала равновесие этой
системы в целом (рис. 5.16, б). Уравнения равновесия E.16) в этом случае

80
будут
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ V
2 d d p 3d
Из этих уравнений находим
Для нахождения ХА рассмотрим теперь равновесие левого стержня. Сумма
Рис. 5.16.
моментов всех сил, приложенных к левому стержню, относительно С должна
быть равна нулю, т. е.
отсюда
Задача 5.7. Определить опорные реакции системы, состоящей из двух балок,
сочлененных идеальным шарниром, если Р1==10 Т, Р2 = 6 Т, а = 2 м. Конец
А балки АС защемлен, конец В балки СВ укреплен в катковой опоре
(рис. 5.17, а).
Рассмотрим равновесие каждой балки в отдельности. Мы получаем два
твердых тела, на которые действуют реакции внешних связей \А, УА, М*, Yfi

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ЧАСТИЧНО ЗАКРЕПЛЕННОГО ТЕЛА
81
И попарно равные силы взаимодействия Хс=— Х^, Yc= — У'с. Таким обра-
образом общее число неизвестных равно шести.
Запишем уравнения равновесия в форме E.16) для левой балки
(рис. 5.17, б):
для правой балки (рис. 5.17, s):
n
k=\
')
Рис. 5.17.
Ha основании аксиомы 4 (третьего закона Ньютона) модули сил Хс и Х^
а также сил Yc и Y'c, равны между собой, т. е ХС=Х'С и YC = Y'C. Учи-
Учитывая эти равенства и решая затем полученную систему уравнений, находим
У. = 13 Г,
М*=32 Гл.
§ 5.5. Условия равновесия частично закрепленного тела
В некоторых случаях приходится рассматривать равновесие
частично закрепленных тел, т. е. тел, на которые наложены
связи, допускающие некото-
некоторое перемещение тела. Два а.)
примера такого рода изобра-
изображены на рис. 5.18, а, б. Оче-
Очевидно, что при произвольной
системе активных сил Fk,
приложенных к телу, равно-
равновесия не будет. Однако воз-
возможны и такие случаи, когда
равновесие имеет место. Выяс-
Выясним } словия, которым должны
Удовлетворять активные си- Рис. 5.18.
лы, чтобы тело находилось
в равновесии. Прежде всего остановимся на случае твердого
тела, имеющего неподвижную ось вращения; к телу приложена
система активных сил Fx, F2, F3, ..., Fm расположенная в плос-

82 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ [ГЛ V
кости, перпендикулярной к оси вращения (рис. 5.18, а). Ось вра-
вращения служит связью для рассматриваемого тела; согласно прин-
принципу освобождаемости действие связи заменяем реакцией N, при-
приложенной к точке А (предполагаем, что трение отсутствует).
Направление реакции N зависит от характера приложенных
к телу сил Fj, F2, ..., Fn. Напишем уравнения равновесия
в форме E.18):
к=\
Из первых двух уравнений можно найти обе составляющие реак-
реакции N. В последнее уравнение N не входит. Это уравнение
устанавливает зависимость между активными силами, необходи-
необходимую для равновесия тела.
Таким образом, для рассматриваемого случая активные силы
должны удовлетворять одному уравнению
I! МАг(Р*) = 0. E.21)
k = \
Обратимся теперь ко второму примеру (рис. 5.16, б), где
связью служит стержень. Направление реакции N фиксировано
и совпадает с осью стержня. Выбирая систему координат Вху,
как указано на рис. 5.18, б, имеем следующие уравнения равно-
равновесия:
Первое уравнение служит для определения реакции N. Два
остальных уравнения накладывают определенные требования на
систему активных сил. Таким образом, для равновесия тела не-
необходимо, чтобы активные силы в данном случае удовлетворяли

5 6] ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОЙ ПОДВЕШЕННОЙ НИТИ
83
двум условиям:
E.22)
k=\
Последнее уравнение записано для точки тела В; понятно,
что его можно видоизменить, записав его для любой точки оси х.
§ 5.6. Определение натяжения тяжелой подвешенной нити
Задача об определении натяжения в подвешенной тяжелой нит»
(рис. 5.19, а) связана с проблемой прочности тросов или проводов линий
электропередачи. Будем считать, что нить идеально гибкая и нерастяжимая
и что провисание нити происходит
только из-за различия между ее дли-
длиной L и расстоянием между опорами /
(рис. 5.19, а).
Обозначим через q линейный
удельный вес нити. Для пологой кри-
кривой можно принять, что вес равно-
равномерно распределен не по кривой АОВ,
а по ее проекции АВ. Таким образом,
общий вес нити будем считать рав-
равным ql.
В соответствии с аксиомой 5 можно
рассматривать условия равновесия лю-
любой части нити. Рассмотрим, напри-
например, правую половину нити; действую-
действующие на нее силы изображены на
рис. 5.19, б. Заметим, что натяжение
в любом сечении нити направлено по
касательной к кривой в соответствую-
соответствующем месте (это следует из предполо-
предположения об идеальной гибкости нити).
Поэтому в нижней точке нити О, Р с 5 19
принятой за начало координатной си- '
стемы, натяжение горизонтально. Обо-
Обозначив через / стрелу провеса (т. е. расстояние по вертикали между нижней
точкой и опорами), запишем уравнение моментов относительно точки В
4-=o.
k=i
Здесь P = ql/2 представляет собой вес половины нити. Из этого уравнения
находим
Ло 8/'
E.23)
отсюда, между прочим, ясно, что чем меньше стрела провеса нити f, тем
больше натяжение XQ.
Из двух уравнений для проекций сил на оси можно найти составляющие
Натяжения в точке В

84 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ [ГЛ V
а затем и полное натяжение в точке В
щ У г г- •
Второе слагаемое в сумме под знаком корня значительно меньше единицы,
и мы можем воспользоваться приближенной формулой
достаточно точной для малых по модулю значений а. Тогда будет
^ E.24)
Этот результат определяет наибольшее натяжение нити, которое, впрочем,
мало отличается от наименьшего натяжения XQ.
Для вычисления XQ и Г по найденным формулам необходимо знать стрелу
провеса f, а для этого требуется располагать уравнением кривой, по которой
провиснет нить. С этой целью рассмотрим часть нити, расположенную между
началом координат и произвольным сечением с абсциссой х (рис. 5.19, в).
Для этой части можно написать следующие уравнения равновесия (для проек-
проекций сил на оси х и у):
X
Txsmq> — Рх = 0.
Здесь Px — qx — вес рассматриваемой части нити, Тх—натяжение на правом
конце этой части.
Из первого уравнения можно заключить, что с удалением от нижней
точки, т. е. с увеличением угла ср, натяжение нити возрастает и достигает
максимума в точках подвеса.
Исключив из этих уравнений Тх, получим с учетом формулы E.23)
8fx
Hotgcp= , и мы приходим к дифференциальному уравнению, определяю-
определяющему форму нити в положении равновесия:
dx - T2 • E-25)
Интегрируя его, полутаем
4/2
Постоянную интегрирования С найдем из условия, что у==0 при х = 0;
отсюда следует
Таким образом, приближенно установлено, что тяжелая нить в положении
равновесия принимает форму параболы *). Теперь можно выразить стрелу
*) В тех случаях, когда стрела провеса f не мала по сравнению с длиной
пролета /, уравнение кривой равновесия тяжелой нити определяет цепную ли-
линию
нию.

§ 5 71 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ УПРУГИХ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА 85
провеса / через L и I. Для этого запишем известное из курса математического
анализа выражение длины дуги
1/2
— Г/2
я заметим, что для пологой нити у'}<^1. Поэтому у 1 -\-у'~ «з 1 + л У'~-
Тогда будем иметь
1/2 1/2
L^ \ (l+12y''\dx=l+l2 \ у'Чх.
- 1/2 - 1/2
Подставляя сюда выражение E.25), находим
V2
Ъ1 '
-1/2 '
отсюда получаем
\-l). E.26)
Задача 5.8. Определить наименьшее и наибольшее натяжение иити, если вес
единицы длины составляет 10 кГ, длина пролета 1 = 20 м, а полная длина нити
L = 21 м.
Прежде всего по формуле E.26) находим
/= ! V'3-20- 1 = 1,94 м.
Наименьшее натяжение нити (в нижней точке) определяется по формуле
E.23):
10 ¦ 202
*257кЛ
Наибольшее натяжение (в точках подвеса) находим по формуле E.24):
. 1,94^276 кГ.
§ 5.7. Определение реакций упругих опор твердого тела
Если твердое тедо опирается на большое число опор, то задача определе-
определения реакции может оказаться статически неопределимой. Такова, например,
балка, изображенная па рис. 5.20, а. Очевидно, что трех уравнений равно-
равновесия недостаточно для определения пяти реакций, т. е. система статически
неопределимая (единственная определимая реакция, горизонтальная реакция
левой опоры, равна нулю).
Задача определения реакций в таких системах, вообще говоря, выходит
за рамки курса теоретической механики и чаще всего требует использования
методов сопротивления материалов. При этом приходится отказываться от
предположения об абсолютной жесткости балки и исследовчть ее изгиб под
Действием заданной нагрузки и неизвестных реакций (рис. 5.20, б).
Однако среди статически неопределимых задач встречаются такие, которые
Не требуют привлечения сложных соображений. Здесь мы имеем в виду такие
сИсгемы, которые можно схематизировать в виде абсолютно твердых тел,

86
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ. V
покоящихся на упругих опорах. Примером может служить та же балка (в пред-
предположении ее абсолютной жесткости), лежащая на упругих опорах, показан-
показанных на рис. 5.20, в.
и
I I I 1
Рис. 5.20.
В качестве дополнительного условия примем, что реакции опор пропор-
пропорциональны их осадкам при одинаковом для всех опор коэффициенте жесткости;
по-видимому, это условие приемлемо в тех случаях, когда физические свойства
всех опор одинаковы. Как мы сейчас убе-
убедимся, это условие вместе с уравнениями
равновесия позволяет легко найти все опор-
опорные реакции независимо от их числа. После
приложения нагрузки опоры несколько ося*
дут, а балка займет новое положение. При-
Принимая координатные оси, как показано на
рис. 5.20, в, мы можем записать уравнение
смещенной оси балки в виде
X
Рис 5 21.
Обоснованный выбор расчетной схемы
в виде б) или в) определяется конкретными
соотношениями жесткости балки и опор. Однако случай б) мы вынуждены
оставить в стороне и будем рассматривать только случай в) *). Обозначим
соответственно осадки опор через yj (рис. 5.21), причем
j — абсцисса /-й опоры).
По предположению, величины реакций опор пропорциональны осадкам
*) Может оказаться, что необходим одновременный учет малой жесткости
балки и малой жесткости опор.

§ 5.71 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ УПРУГИХ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА 87
где k — коэффициент жесткости; для определения реакций значение коэффи-
коэффициента жесткости несущественно. Введем неизвестные параметры ao = ka и bo — kb;
тогда реакции всех опор будут выражены через эти две неизвестные:
E.27)
Для их определения воспользуемся двумя уравнениями равновесия плос-
плоской системы параллельных сил (рис. 5.21):
22
E.28)
здесь п — число заданных сил, т — число неизвестных реакций, Подставляя
выражение E.27) в систему уравнений E.28), получим
п т
k=\ /=1
п mm
Xkfhy — ao Zj x/ — °OtZj x) — v-
k=\ /=1 /=1
Отсюда находим
-I Vx.W Fb
n I m \ I n
v
h _
m I m
m 2 *5- 2
Внося эти значения ад и b0 в формулу E.27), получим решение задачи.
К той же категории относится и следующая задача.
Задача 5.9. К жесткой плите А, прикрепленной несколькими болтами
к основанию В, приложена активная пара сил, действующая в плоскости
плиты. Момент пары равен М, координаты центров болтов х^ и yk известны
(рис. 5.22, а). Под действием пары произойдут малые деформации болтов и
плита повернется вокруг некоторого центра («центра жесткости») на малый угол.
Найти положение центра жесткости и усилия, действующие на каждый
болт, считая, что усилия перпендикулярны радиусам-векторам центров бол-
болтов, проведенным из центра жесткости. Усилия можно принять пропорцио-
пропорциональными модулям этих радиусов-векторов.
С*ема сил, действующих на плиту, представлена на рис. 5.22, б, причем
через Ffc обозначены реакции болтов. Система сил F^ вместе с моментом М
(рис. 5.22, б) находится в равновесии и должна удовлетворять трем уравнениям
равновесия. Очевидно, что этих трех уравнений недостаточно для нахожде-
нахождения всех усилий, так как общее число неизвестных равно 2я (каждое усилие
определяется двумя проекциями на координатные оси хну). Тем не менее

88
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ V
нам удастся решить до конца эту задачу, опираясь на указанные выше
дополнительные условия.
Обозначим через х^ и yt искомые координаты центра жесткости и через
Ра —радиусы-векторы центров болтов, проведенные из центра жесткости
(рис. 5.22, в)
Рис. 5.22.
Усилия Fk, как было сказано, принимаются пропорциональными вели-
величинам pk, т. е.
Fk = kpk> E.29)
где к, — коэффициент пропорциональности.
Проекции усилий F^ на оси координат, очевидно, будут
Подставляя сюда выражение E.29), находим
Ра '
xk— х*
' Ра
E.30)
Заметим, что все 2я неизвестные составляющие реакций выражены всего
через три числа: координаты центра жесткости хм, у* и коэффициент пропор-
пропорциональности k. Для определения этих величин мы располагаем тремя урав-
уравнениями равновесия: 3V
E.31)
п
2

§5 8] ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДОВ СТАТИКИ 89
Последнее уравнение представляет собой уравнение моментов всей сис-
системы сил относительно центра жесткости О*, причем для момента силы f^
имеем
Из первых двух уравнений системы E.31) находим координаты центра жест-
жесткости
п п
Ук' E-32)
после чего из третьего уравнения следует
* = — . E.33)
*—1
Теперь можно с помощью формул E.29) найти все усилия F/,.
§ 5.8. Приложение методов статики
к определению усилий в стержнях фермы
При перекрытии больших пролетов (мосты, промышленные здания и т. п.)
и в крупных строительных кранах часто применяются сквозные конструкции,
называемые фермами (рис. 5.23). Ферма состоит из большого числа стержней,
соединенных в точках схода их осей; соединения стержней называются узлами.
Важной частью инженерного расчета фермы является определение усилий,
возникающих в стержнях при действии заданной нагрузки на ферму. При
этом обычно исходят из следующих упрощающих предположений:
1) внешние силы приложены только в узлах фермы;
2) веса стержней пренебрежимо малы;
3) узлы представляют собой идеальные шарниры (т. е. силы трения в них
не возникают).
При таких допущениях сила, действующая со стороны какого-либо узла
на примыкающий к нему стержень (усилие в стержне), всегда направлена
вдоль прямой, проходящей через концы этого стержня. Поэтому стержни,
если они прямолинейные, либо растягиваются, либо сжимаются под действием
этих сил.
Прежде чем обратиться к определению усилий в стержнях, необходимо
рассмотреть вопросы структуры ферм.
Простейшей плоской фермой является трехстержневая ферма ABC, изобра-
изображенная на рис. 5.24, а; она содержит три узла. Если к этой конструкции
добавить еще один узел D с помощью двух стержней, то вновь получится
неизменяемая ферма, содержащая пять стержней и четыре узла (рис. 5.24, б).
Добавляя этим же способом новые узлы, как показано на рис. 5.24, б штри-
штриховой линией, можно образовать множество более сложных ферм.
Простой плоской фермой называется такая ферма, которая может быть
получена из треугольной путем последовательного присоединения каждого нового
узла при помощи двух новых стержней.
Найдем свя1ь между числом s стержней и числом п узлов в простой
ферме. Число добавляемых узлов в простой ферме равно п — 3, а число добав-
добавляемых стержней равно s —3. Из способа построения простой фермы видно,
что число новых стержней в два раза больше числа новых узлов; следовательно,

90
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ. V
т. е.
= 2rt-3.
E.34)
Простая ферма всегда статически определима, т. е. число независимых
уравнений статики достаточно для определения усилия в каждом стержне.
Рис 5.23.
В самом деле, для каждого узла можно составить два уравнения равно-
равновесия, так как на узел действует сходящаяся система сил. Таким образом,
всего можно составить 2п уравнений равновесия. Подсчитаем теперь число
6)
Рис. 5.24.
содержащихся в них неизвестных. Прежде всего неизвестными будут все 5 реакций
стержней, кроме того, неизвестны три опорные реакции (Хд, YA, Y^ на
рис. 5.23). Таким образом, всего имеем s + З неизвестных. Воспользовавшись
соотношением E.34), получим

§5 8]
ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДОВ СТАТИКИ
91
т. е. число неизвестных равно числу уравнений равновесия, поэтому простые
фермы всегда статически определимы.
При расчете ферм обычно составляют сначала три уравнения равновесия
для всей фермы, определяют из них три опорные реакции, а затем уже
Приступают к нахождению усилий в стержнях.
Рассмотрим способ расчета фермы, который позволяет найти усилие в любом
стержне фермы независимо от усилий в других стержнях. Согласно этому
способу предварительно необходимо определить реакции опор. Для этого
следует рассматривать ферму как абсолютно твердое тело и написать соот-
соответствующие три уравнения равновесия. Затем мысленно производится полное
рассечение фермы на две части; при надлежащем выборе сечения мысленно
перерезаются, как правило, три стержня. Поэтому для определения трех
Рис. 5.25.
неизвестных усилий могут быть записаны три уравнения равновесия сил, прило-
приложенных к какой-либо из полученных частей фермы. Чаще всего пользуются
уравнениями в форме E.17), но иногда пользуются и формой E.18).
Рассмотрим для примера ферму, изображенную на рис. 5.25, и предполо-
предположим, что опорные реакции найдены.
Пусть требуется определить усилие в стержне 4. Для этого мысленно
рассечем ферму разрезом / — / и рассмотрим равновесие левой части фермы,
изображенной на рис. 5.25, а (вместо этого можно рассматривать правую
часть фермы —результат от этого не изменится, но вычисления окажутся
более громоздкими). На эгу часть действуют известные силы Rx и F5, а также
три неизвестные по модулю силы Sb S3, S4. Для определения искомой вели-
величины силы S4 составляем уравнение моментов относительно точки пересечения
направлений 1 и 3 (точка О4); при таком выборе моментной точки усилия Sx и
^з в уравнение равновесия не войдут и оно будет содержать только одну
неизвестную величину —искомое усилие S4 (такой выбор точек, относительно
которых берут моменты, типичен для рассматриваемого способа). Обычно при
составлении уравнения равновесия величины плеч сил снимаются с чертежа
? Учетом его масштаба. Понятно, что решение полученного уравнения не
вызовет никаких затруднений. Совершенно таким же образом составляются

92
ПЛОСКАЯ СИСТЕМ* СИЛ
[ГЛ. V
уравнения моментов относительно точки Ог (для определения усилия Sx) и
точки О3 (для определения усилия S3).
Для определения усилий в других стержнях требуются иные рассечения
фермы; так, на рис. 5.25, а показано также рассечение // — //, необходимое
для определения усилий в стержнях 7, 9 и 10. Для определения указанных
усилий проще рассматривать равновесие правой части фермы, как это показано
на рис. 5.25, в. Через О7 и О10 обозначены точки, относительно которых
берутся моменты; мы получим по одному неизвестному усилию в каждом из
уравнений моментов. Определение усилия в стержне 9 обладает некоторой
особенностью. Дело в том, что точка пересечения усилий S7 и Slo бесконечно
удалена и уравнение моментов составить нельзя. В этом случае вместо него
можно составить уравнение проекций на ось у, что позволит достигнуть той
же цели: получить уравнение с одним неизвестным усилием S9.
Масштаб длин
О Ш 2м
Масштаб сил
Узел I Узел I S* F,
О
УзелЖ
s,
5Т ЮГ
Узел Ж
Узел 7
Рис. 5.26.
Способ рассечения весьма удобен для простых схем ферм, образованных
путем наращивания последовательных треугольников. В более сложных слу-
случаях все же приходится решать громоздкие системы уравнений, так как не
удается проводить сечение только через три стержня.
Иногда применяется графический способ определения усилий в стержнях
фермы. Предполагая, что опорные реакции фермы определены, для нахож-
нахождения усилий в стержнях применим способ «вырезания» узлов. Согласно
этому способу необходимо поочередно «вырезать» узлы и находить усилия
в стержнях из условий замкнутости силовых многоугольников для каждого
из узлов. ,
Для определенности рассмотрим ферму, изображенную на рис. 5.26, а,
где показаны внешние силы Fb F2, F3, F4 и опорные реакции Rt и R3. Расчет
всегда нужно начинать с тоге узла, где сходятся два стержня. Начнем с рас-
рассмотрения равновесия узла /, на который действуют сила Rx и неизвестные
по величине реакции стержней Si и S2. Графическим условием равновесия
сходящейся системы сил является замкнутость силового многоугольника.

§5.8]
ПРИЛОЖЕНИЕ МЕТОДОВ СТАТИКИ
93
Н
2?
гз
К
Г4
При всех дальнейших построениях придерживаемся определенного мас-
масштаба сил. На рис. 5.26, б дан силовой многоугольник для узла / (в данном
случае — треугольник); величины сил Si и S2 можно определить по масштабу
сил. Сила Sj направлена к узлу, следовательно, на стержень она действует
в обратном направлении, т. е. стержень 1 сжат. Сила S2 направлена от узла,
значит, стержень 2 растянут. Заметим, что если начать расчет с узла //,
то определить усилия в стержнях /, 3, 4 не удается,, так как в узле схо-
сходится более двух стержней и силовой многоугольник однозначно не может
быть построен.
Но теперь, после определения усилий в стержнях 1 и 2, можно перейти
к расчету узла //. Обходим его по часовой стрелке, начиная с первой извест-
известной силы — реакции стержня /. Из условия равновесия стержня 1 очевидно,
что эта реакция по модулю равна Si, но направлена противоположно S1#
На рис. 5.26, б она обозначена через S'. Затем от конца S[ откладываем
вектор Ft и проводим направление S4 параллельно стержню 4, а из начала
вектора S[ проводим направление реакций S3 параллельно стержню 3. Полу-
Получаем замкнутый многоугольник S',
Fi, S4, S3 и тем самым находим
силы S3 и S4. Направления векто- л/ _
ров S4 и S3 показывают, что стер- I
жень 4 сжат («к узлу»), а стержень 3
растянут («от узла»). Рассматривая
равновесие узлов ///, IV и V,
определяем остальные реакции стер-
стержней S5, Se, S7, S8, S9.
Из рис. 5.26, б видно, что
каждое из усилий в стержнях ]
встречается дважды (S1 и SJ, S» и
-Sj и т. д.). Оказывается, нто, не
меняя существа этого метода, мож-
можно его несколько усовершенствовать g
и избежать таких повторений. При *
этом получается особое построе-
построение, называемое «взаимной диа-
диаграммой» или диаграммой Макс-
Максвелла— Кремоны. Метод построе-
построения такой взаимной диаграммы
проиллюстрируем на только что
разобранном примере.
Прежде всего введем единый р g 97
метод обозначения усилий в стерж-
стержнях, реакций опор и внешних сил.
Обозначим буквами А, В, С, D, Е, F области, ограниченные внешними силами
и стержнями контура фермы (рис. 5.27, а), а внутренние области, ограничен-
ограниченные только стержнями фермы, обозначим буквами G, Н, К, L. Далее, усло-
условимся обходить всю ферму, а также каждый узел по ходу часовой стрелки.
Начало и конец вектора силы, пересекаемой при таком обходе, будем
обозначать малыми буквами, которые соответствуют названиям пограничных
областей. Например, силу Rx (рис. 5.27, а) теперь обозначим через ab (рис. 5.27, б),
силу F3 —через de, силы, действующие на узел III, — через he, cd, dk kh
и т. п.
Теперь построим многоугольник всех внешних сил, откладывая их в опре-
определенном масштабе в порядке обхода фермы по часовой стрелке; в результате
мы получим многоугольник abcdefa (рис. 5.27, б). Конечно, этот многоугольник
обязательно замкнут, так как ферма находится в равновесии. Мы теперь
можем и не ставить на концах векторов стрелки — правило обхода областей
по часовой стрелке однозначно определяет, где начало и конец вектора.
Масштаб сип
5Т
~ior

94 ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ [ГЛ. V
Далее воспользуемся способом вырезания узлов. Обойдем узел / по часо-
часовой стрелке, начиная с известной силы аЬ. Эта сила уже имеется в много-
многоугольнике внешних сил, и остается построить две другие силы, действующие
на узел /, т. е. силу bg и силу ga. Для этого из точек h и а проводим пря-
прямые, параллельные стержням 1 и 2; точка их пересечения даст нам точку g.
Сила bg оказалась направленной к узлу, значит, стержень 1 сжат, сила ga
направлена от узла, следовательно, стержень 2 растянут.
Обращаясь к узлу //, обходим его также по часовой стрелке в порядке
GBCH. Используя уже найденные точки g, b, с, находим точку h — конец
силы ch и начало силы hg. Для этого из с проводим прямую, параллельную
стержню 4, а из g —прямую, параллельную стержню 3; точка их пересечения
и даст нам искомую точку h.
Продолжая такое построение дальше, для остальных узлов фермы мы
получим фигуру (рис. 5.27, б), называемую взаимной диаграммой или диаграм-
диаграммой Максвелла — Кремоны. Каждому узлу фермы соответствует некоторый
многоугольник диаграммы, стороны которого параллельны стержням, сходя-
сходящимся в этом узле. Наоборот, каждой вершине диаграммы соответствует
некоторая область плоскости фермы. Таким образом, любой вершине одной
фигуры соответствует многоугольник другой фигуры; такие фигуры называются
взаимными (отсюда и название диаграммы). Легко видеть, что эта фигура
состоит из тех же многоугольников, которые ранее были построены
на рис. 5.26, б. По принятому масштабу сил можно найти численное значение
всех усилий в стержнях.
Таким образом, при построении взаимной диаграммы используется,
по существу, тот же способ вырезания узлов, но здесь чертеж компактнее и
не содержит повторений, в чем легко убедиться, сравнив чертежи на рис. 5.26
и 5.27.

ГЛАВА VI
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
§ 6.1. Равновесие тела при наличии трения скольжения
Если два тела I и II (рис. 6.1) взаимодействуют друг
с другом, соприкасаясь в точке А, то всегда реакцию RA, дейст-
действующую, например, со стороны тела // и приложенную к телу /,
можно разложить на две составляю-
составляющие: NA, направленную по общей
нормали к поверхности соприкасаю-
соприкасающихся тел в точке Л, и Тл, лежащую
в касательной плоскости. Составляю-
Составляющая NA называется нормальной реак-
реакцией, сила Тл называется силой тре-
трения скольжения — она препятствует
скольжению тела / по телу //. В со-
соответствии с аксиомой 4 (третьим за-
законом Ньютона) на тело // со стороны
тела / действует равная по модулю и
противоположно направленная сила
реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плос-
плоскости, называется силой нормального давления. Как было сказано
выше, сила трения ТА = 0, если соприкасающиеся поверхности
идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты
и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.
Для выяснения основных свойств сил трения произведем
опыт по схеме, представленной на рис. 6.2, о. К телу В, нахо-
находящемуся на неподвижной плите D, присоединена перекинутая
через блок С нить, свободный конец которой снабжен опорной
площадкой А. Если площадку А постепенно нагружать, то с уве-
увеличением ее общего веса будет возрастать натяжение нити S,
которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая
нагрузка не слишком велика, сила трения Т будет удерживать
тело В в покое. На рис. 6.2, б изображены действующие
на тело В силы, причем через Р обозначена сила тяжести,
а через N —нормальная реакция плиты D.
Рис. 6.1.

96 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ [ГЛ. VI
Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справед-
справедливы следующие уравнения равновесия:
N-P = 0, F.1)
S-r = 0. F.2)
Отсюда следует, что N — P и T — S. Таким образом, пока
тело находится в покое, сила трения остается равной силе натя-
натяжения нити S. Обозначим через Ттах силу трения в критический
момент процесса нагружения, дагда тело В теряет равновесие и
начинает скользить по плите D. Следовательно, если тело нахо-
находится в равновесии, то
Т^Ттак. F.3)
Максимальная сила трения Ттах зависит от свойств материа-
материалов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от харак-
характера обработки поверхности), а
<у также от величины нормального
давления N. Как показывает опыт,
/////////У
N
максимальная сила трения при-
приближенно пропорциональна нор-
нормальному давлению, т. е. имеет
место равенство
Tmax=fN. F.4)
Это соотношение носит название
закона Амонтона — Кулона.
Безразмерный коэффициент /
называется коэффициентом тре-
трения скольжения. Как следует из
опыта, его величина в широких
Рис- 6'2- пределах не зависит от площади
соприкасающихся поверхностей, но
зависит от материала и степени шероховатости соприкасаю-
соприкасающихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавли-
устанавливаются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах.
Неравенство F.3) можно теперь записать в виде
T^fN. F.5)
Случай строгого равенства в F.5) отвечает максимальном)
значению силы трения. Это значит, что силу трения можно
вычислять по формуле T = fN только в тех случаях, когда зара-
заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же
других случаях силу трения следует определять из уравнений
равновесия.

§6 1]
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ
97
Задача 6.1. Тяжелая плита АВ веса Р, длины / опирается на идеально
гладкую стенку ОВ и шероховатый пол ОА (рис. 6.3, а). Определить, при каких
углах наклона плиты возможно ее равновесие, если коэффициент трения пли-
плиты и пола равен /. Составим уравнение равновесия:
?
2 ^
Кроме того, в соответствии с условием F.5)
должно быть
TfN
Решая уравнения, получим
Следовательно,
О '///
/у////
ТА А
Последнее неравенство и содержит решение задачи. Критическое значение
угла а* определяется из уравнения
Определим теперь критическое значение угла а* с учетом трения плиты
о стенку, если соответствующий коэффициент трения равен также /.
Относящаяся к этому случаю силовая схема изображена на рис. 6.3, б.
В общем случае система является статически неопределимой, так как содержит
четыре неизвестные реакции, а мы располагаем только тремя уравнениями
равновесия (при заданном угле а нельзя найти силы трения и нормальные
давления). Однако в критическом состоянии силы трения пропорциональны
соответствующим нормальным давлениям, и это позволяет решить задачу. Для
этого состояния имеем два уравнения для сил трения
и три уравнения равновесия
— Р = 0, Р^ cos a* —NBl sin a*—TBl cos а* =0.
В этих пяти уравнениях содержатся четыре неизвестные реакции и неиз-
неизвестное критическое значение угла а*. Решая эту систему уравнений, находим
1—/»
tga*=-
2/
д/
А-1+/2.
4 Бутенин Н. В. и др.

98
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
[ГЛ VI
Подчеркнем, что последние четыре выражения относятся только к крити-
критическому состоянию, но если
то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо
привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений
о твердых телах).
Задача 6.2. На шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол
а = 30° с горизонтальной плоскостью, находится тело весом Р = 20 кГ
(рис. 6.4, а). Тело удерживается на плоскости тросом АВ, весом которого
можно пренебречь. Определить силу трения Т между телом и плоскостью
и минимальное натяжение троса S при двух значениях коэффициента трения:
Д = 0,8 и /„ = 0,2.
а)
Рис. 6.4.
На тело действуют четыре силы: активная сила тяжести Р, сила трения Т,
нормальная составляющая реакции плоскости N и реакция троса S (рис. 6.4, б).
Составим условия равновесия тела:
— T — S = 0,
y= N— Р cosa =
Г ===/#.
Отсюда найдем:
S = P sina — T, N = Pcosa, Tsc/
или, учитывая условия задачи,
S-=10-T, Г ===17,3/.
Для первого случая /1 = 0,8 будем иметь: Г=ё13,8 кГ. При отсутствии
троса (S = 0) получим Г=10 кГ. Так как при этом условие Г===.13,8 кГ
не нарушается, то это означает, что при /1 = 0,8 тело будет находиться в равно-
равновесии за счет одной силы трения Г=10 кГ.
Пусть теперь /2 = 0,2. Тогда должно выполняться условие Т === 17,3 • /, =
= 3,46 кГ. При отсутствии троса (S = 0) это неравенство находится в противо-
противоречии с первым уравнением 10 —Г = 0. Это означает, что при отсутствии
троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при /2 = 0,2 сила трения дости-
достигает своего максимального значения, равного 3,46 кГ, а натяжение троса
будет: 5 = 10 — Г = 6,54 кГ.

§ 6 1
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ
99
Итак,
при
при
^ = 0,8:
/2 = 0,2:
Г=10 кГ,
Т = 3,46 кГ,
5 = 0;
5 = 6,54 кГ.
Задача 6.3. К однородной прямоугольной призме веса G, находящейся
на шероховатой горизонтальной плоскости, прислонена под углом а однород-
однородная балка веса Р и длины 11 (рис. 6.5, а). Коэффициент трения между балкой
и плоскостью, равен Д, а между призмой и плоскостью /2. Пренебрегая силами
трения между балкой и призмой и поперечными размерами балки, определить:
1) условия равновесия всей системы; 2) условия, при которых призма оста-
останется в покое, а балка начнет двигаться; 3) условия, при которых конец
А балки останется в покое, а призма начнет скользить по плоскости влево
или опрокидываться вокруг ребра Е.
a)
E
У//А
'////////////Л
g
6)
E
л
////
0
1.'
]
В
Рис. 6.5.
Расчленим систему и изобразим все силы (активные и реакции связей),
действующие на призму (рис. 6.5, б) и балку (рис. 6.5, в). На призму дейст-
действуют сила тяжести G, сила давления Nb балки на призму, равнодействующая
сил нормального давления плоскости N, приложенная в некоторой точке D,
и сила трения Т2. На балку действуют сила тяжести Р, сила давления Nb
причмы на балку, нормальная составляющая N^ реакции плоскости и сила
трения Т1. Конечно, модули сил Nb и Nb равны между собой (аксиома 4).
Будем считать вначале, что вся система находится в покое, и составим
условия равновесия балки:
-NB-2lcosa, = 0, Тг;
'а- )
Из уравнений находим
Внеся значения 7\ и NА в неравенство, получим условия равновесия
балки:
tga<2/1.

100 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ [ГЛ. VI
Составим теперь условия равновесия призмы:
k k
k
Из уравнений находим
Число с нам неизвестно, но его можно найти из равенства N% = Nb, или
отсюда
с = -тг / sin a.
и
Так как точка приложения силы N, точка D, не может находиться левее
точки Е, то с^а, или
р
~рг I sin a ^ а,
и
что дает нам еще одно условие равновесия:
a G
soe?
Это неравенство равносильно требованию, чтобы под действием силы Nb
призма не опрокинулась вокруг ребра Е (его можно получить из условия,
чтобы момент силы Nb относительно точки Е не превосходил по модулю
момента силы G относительно той же точки).
Потребуем теперь, чтобы, призма не скользила по плоскости, т. е. чтобы
выполнялось неравенство
Имеем: 7\, = N% = Nb = 1/2P tg a, A/ = G. Подставляя это в написанное
выше неравенство, получаем
Таким образом, вся система будет находиться в покое, если угол а
удовлетворяет трем условиям:
tgas?2fc, sina^y^-, tga-c2/2^-. F.6)
Если будет нарушено только первое из этих неравенств, т. е. при
tga>2/x, sinas?y-p-, tg a =<: 2/.-р-,
призма останется в покое, а балка начнет двигаться.
Если будет нарушено только второе условие F.6), т. е. при

§6 1]
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ
101
точка А балки останется в покое, а призма начнет опрокидываться вокруг
ребра Е.
Наконец, если будет нарушено только третье условие F.6), т. е. при
tgas?2/1,
п /""
точка А балки снова останется в покое, но призма начнет скользить
по плоскости влево.
Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности.
Будем считать, что в результате действия активных сил и сил
реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. 6.6, а
показана предельная реакция R и ее составляющие N и Ттах
а)
'тол
У//////////////////
Рнс. 6.6.
(в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы
стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения Ттах
направлена влево). Угол ф между предельной реакцией R и нор-
нормалью к поверхности называется углом трения. Найдем эгот угол.
Из рис. 6.6, а имеем
Т
1 max
l6Y — ft >
или, пользуясь выражением F.4),
tgq> = /. F.7)
Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения
можно задавать угол трения (в справочных таблицах приводятся
обе величины).
В зависимости от действия активных сил направление пре-
предельной реакции может меняться. Геометрическое место всех воз-
возможных направлений предельной реакции R образует коническую
поверхность — конус трения (рис. 6.6, б). Если коэффициент тре-
трения / во всех направлениях одинаков, то согласно формуле F.7)
конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффи-
коэффициент трения / зависит от направления возможного движения
тела, конус трения не будет круговым.

102
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
[ГЛ VI
Рассмотрим теперь случай, когда активные силы, действую-
действующие на тело, приводятся к одной равнодействующей F, состав-
составляющей угол а с нормалью к поверхности (рис. 6.6, в). Такая
сила оказывает двоякое действие: во-первых, ее нормальная со-
составляющая Fn определяет нормальную составляющую N реакции
поверхности и, следовательно, предельную силу трения Ттах =
= fN, а, во-вторых, ее касательная составляющая Ft стремится
эту силу преодолеть. Если увеличивать модуль силы F, то про-
пропорционально будут возрастать обе составляющие. Отсюда можно
заключить, что состояние покоя или движения тела не зависит
от модуля силы F и определяется только углом a — чем меньше
этот угол, тем меньше тенденция к нарушению равновесия.
Для аналитического решения задачи составим условия равнр-
весия тела:
^iFkx = T~F sin a = 0,
к
?Fky = N-Fcosa = 0,
Из уравнений найдем T = F sin a, N = F cos а и, подставляя
их в неравенство, получим
tga<f,
или, учитывая F.7), tgasgtgcp. Следовательно, при равновесии
тела
Это означает, что если равнодействующая активных сил нахо-
находится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя
нарушить равновесие тела; для того,
чтобы тело начало движение необходимо
(и достаточно), чтобы равнодействующая
активных сил F находилась вне конуса
трения.
Задача 6.4. Найти условие, определяющее
размер h самотормозящегося механизма, изобра-
изображенного на рис. 6.7. Необходимо, чтобы при-
приложенная к узлу С сила F не могла вызвать
скольжения ползунов Л и В по вертикальным
направляющим. Коэффициент трения / = 0,2,
расстояние между направляющими 2 м.
Сила F вызывает сжатие наклонных стержней, и последние передают на
ползуны силы давления под некоторым углом к горизонтальной плоскости.
Для того чтобы скольжение отсутствовало, ось каждого стержня должна
располагаться внутри соответствующего конуса трения. А это имеет место при
выполнении условия
tg ф < 0,2.
Но h = 1 • tg ф. поэтому h < 0,2 м.

§Ы]
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ СКОЛЬЖЕНИЯ
103
Рассмотрим теперь трение гибких тел. Пусть трос охватывает
неподвижный круглый цилиндр. Требуется определить силу натя-
натяжения троса Р, достаточную для уравновешивания силы Q, при-
приложенной ко второму концу троса, если между тросом и цилинд-
цилиндром имеется трение (рис. 6.8 а).
Опыт показывает, что благодаря трению сила Р может быть
во много раз меньше, чем сила Q. Эта задача будет статически
определена лишь в том случае (представляющем наибольший
интерес), когда рассматривается критическое состояние и силы
трения пропорциональны соответствующим нормальным давле-
давлениям. Речь идет о критическом состоянии, в котором сила Q
уже способна вызвать скольжение троса по неподвижному ци-
цилиндру (по ходу часовой стрелки).
Нормальное давление и сила трения непрерывно распределены
по всей длине охвата срг. Обозначим через N и Т значения этих
сил, отнесенных к единице длины троса. Эти силы, конечно,
являются функциями полярного угла ф, определяющего положе-
положение элемента, т. е. N = N(y), Г = Т(ф) =/W(cp). Натяжение троса
в любой его точке на цилиндре также является функцией ф, т. е.
Выделим элемент троса длины ds = r dtp. На этот элемент дей-
действуют две реакции шкива: Т ds и N ds, а также две силы натя-
жепия, S и S1 = S-f-dS, приложенные к рассматриваемому эле-
элементу в точках рассечения (рис. 6.8, б).
Пренебрегая весом троса, запишем условия равновесия выде-
выделенного элемента троса, спроектировав силы на направления
нормали (п) и касательной (т), взятые в середине элемента:

104 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ [ГЛ. VI
При составлении этих уравнений мы воспользовались малостью
угла dq> и положили
. dq> dw dcp ,
2 /~~' 2 ' 2
Подставляя в уравнения равновесия вместо Sx и ds их значения
S]. = S + dS, ds = rdy,
получаем
Wr - S = 0,
7r+f = 0.
1 dcp
Первое из этих уравнений дает S = Nr, а так как T = fN, то
второе уравнение можно переписать в виде
dS = —
или
dS
Выполняя интегрирование в пределах от ф = 0 до ф = ф*, находим
1п|*=-/Ф*.
Здесь So —натяжение в сечении ф = 0, т. е. величина силы Q,
S* — натяжение в сечении ф = ф*, т. е. величина силы Р. Следова-
Следовательно,
1п|- = -/ф* F.8)
и, окончательно,
P = Qe-(f*. F.9)
Эта формула (формула Эйлера) позволяет найти наименьшую
силу Р, способную уравновесить силу Q.
Можно поставить обратный вопрос: при каком значении Р
наступит скольжение троса против хода часовой стрелки, т. е.
какая сила Р способна преодолеть сопротивление трения вместе
с силой Q? Для ответа на этот вопрос нет необходимости заново
повторять все выкладки; они останутся прежними с тем единствен-
единственным различием, что сила трения на рис. 6.8, б изменит свое
направление. Поэтому в окончательном результате, изменяя знак
при коэффициенте трения, получаем
Р = 0е1ч>*. F.10)
Таким образом, если сила Р удовлетворяет неравенствам
Qe-ff'^P^Qeff*,
то трос будет находиться в равновесии.

§6 2]
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ
105
Задача 6.5. Найти угол охвата ф* цилиндра тросом, необходимый для
того, чтобы удержать силой Р = 200 кГ груз весом Q = 2000 кГ, если коэффи-
коэффициент трения / = 0,2.
По формуле F.8) имеем
• 20° =-0,2ф*;
отсюда
2000"
= 11,5<2-2я,
т. е. несколько меньше двух полных охватов.
Задача 6.6 К концу троса подвешен груз весом Q = 2000 кГ; угол охвата
цилиндра тросом ф* = 11,5. Найти силу, необходимую для подъема груза,
если коэффициент трения / = 0,2.
В данном случае нужно воспользоваться формулой F.10)
f* °2п5 кГ.
Q
О
Сопоставляя этот результат с полученным в задаче 6.5, заключаем, что трос
будет находиться в состоянии равновесия, если 200 чГ sg Р s^ 20 000 кГ. При
Р < 200 кГ начинается движение в сто-
сторону силы Q, а при Р>20 000 кГ —
движение в сторону силы Р.
Задача 6.7. При причаливании (швар-
(швартовке) судна матрос удерживает его с по-
помощью каната, накинутого в форме вось-
восьмерки на причальные тумбы (кнехты),
причем один конец каната А укреплен
на судне, а второй конец каната В на-
находится в руках матроса (рис. 6.9). Счи-
Считая, что угол охвата каждой тумбы равен
5я/3 C00°), определить, какое максималь-
максимальное усилие Р судна может выдержать матрос, прикладывая силу Q = 50 кГ
при одной, двух и трех уложенных канатных восьмерках, если коэффициент
трения между канатом и причальными тумбами равен 0,2.
При одной восьмерке общий угол охвата ф1 = A0/3)я, а при двух и трех
восьмерках соответственно ф2 = B0/3)я и ф3=10я. Применяя формулу F.10),
получаем
/////////////77/77777777777. Д
Рис. 6.9.
или, пользуясь таблицами показательных функций, находим (аналогично
получены значения сил Р2 и Р3):
1 = 404 кГ, Р2 = 3270 кГ,
кГ.
Таким образом, при трех уложенных восьмерках за счет сил трения между
канатом и причальными тумбами один матрос может удержать судно, разви-
развивающее усилие в 26,4 тонны, т. е. в 528 раз большее силы, прикладываемой
матросом.
§ 6.2. Равновесие тела при наличии трения качения
Рассмотрим цилиндр (каток), покоящийся на горизонтальной
плоскости, когда на него действует горизонтальная активная
сила S; кроме нее, действуют сила тяжести Р, а также нормаль-
нормальная реакция N и сила трения Т (рис. 6.10, а). Как показывает опыт,

106
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
[ГЛ VI
при достаточно малой величине силы S цилиндр остается в покое.
Но этот факт нельзя объяснить, если удовлетвориться введением
сил, изображенных на рис. 6.10, а. Согласно этой схеме равно-
равновесие невозможно, так как главный момент всех сил, действую-
действующих на цилиндр Мег = — Sr, отличен от нуля и одно из условий
равновесия не выполняется.
Причина выявившегося несоответствия состоит в том, что
в наших рассуждениях мы продолжаем пользоваться представ-
представлением об абсолютно твердом теле и предполагаем касание
цилиндра с поверхностью происходящим по образующей. Для
устранения отмеченного не-
несоответствия теории с опы-
опытом необходимо отказаться
от гипотезы абсолютно
твердого тела и учесть, что
в действительности ци-
цилиндр и плоскость вблизи
точки С деформируются и
существует некоторая пло-
площадь соприкосновения ко-
конечной ширины. Вслед-
Вследствие этого в ее правой
части цилиндр прижимает-
прижимается сильнее, чем в левой,
и полная реакция R при-
приложена правее точки С (см.
точку С1 на рис. 6.10, б).
77777,-f?7?rf777777777777. Полученная теперь схе-
ма действующих сил ста-
статически удовлетворитель-
удовлетворительна, так как момент пары
(S, Т) может уравновеситься моментом пары (N, Р). Считая де-
деформацию малой, заменим эту систему сил системой, изображен-
изображенной на рис. 6.7, в. В отличие от первой схемы (рис. 6.10, а),
к цилиндру приложена пара сил с моментом
MT = Nh. F.11)
Этот момент называется моментом трения качения.
Составим уравнения равновесия цилиндра:
S-T = 0,
N-P = Q,
F.12)
Первые два уравнения дают T = S, N — P, а из третьего урав-
уравнения можно найти Мт. Затем из F.11) определяем расстояние

РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ
107
между точками С и Ct:
А =
Sr
F.13)
Как видно, с увеличением модуля активной силы S растет рас-
расстояние к. Но это расстояние связано с площадью поверхности
контакта и, следовательно, не может неограниченно увеличи-
увеличиваться. Это значит, что наступит такое состояние, когда увели-
увеличение силы S приведет к нарушению равновесия. Обозначим
максимально возможную величину h буквой б (см. рис. 6.10, б).
Экспериментально установлено, что величина б пропорциональна
радиусу цилиндра и различна для разных материалов.
Следовательно, если имеет место равновесие, то выполняется
условие
A==S6. F.14)
Величина б называется коэффициентом трения качения;
она имеет размерность длины.
Условие F.14) можно также запи-
записать в виде
или, учитывая F.12),
S^N
F.15)
Очевидно, что максимальный мо-
момент трения качения М™ах = 6ЛГ про-
пропорционален силе нормального дав- Рнс. 6.11.
ления.
В справочных таблицах приводится отношение коэффициента
трения качения к радиусу цилиндра (К = 8/г) для различных
материалов.
Задача 6.8. На наклонной плоскости находится цилиндр. Найти, при
каких углах наклона плоскости к горизонту а цилиндр будет находиться
в равновесии, если л —радиус цилиндра, /—коэффициент трения скольжения
б — коэффициент трения качения (рис. 6.11).
Составим уравнения равновесия:
п
V F —
k=i
п
= N-Pcosa =

108 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ [ГЛ VI
Кроме того, должны выполняться неравенства
Из первых трех уравнений мы можем определить N, Т, Мт; подставив
эти величины в последние два неравенства, полечим
/, F.16)
y. F.17)
Эти неравенства должны удовлетворятьгя одновременно. В тех случаях,
8 ,
когда — < f, потеря равновесия происходит иутем перехода к качению, так
как сначала нарушится неравенство F.17), если же /<—, то нарушится
неравенство F.16) и цилиндр начнет скользить.

ГЛАВА VII
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
§7.1. Статические инварианты. Динамический винт
Ранее было установлено, что главный вектор системы сил,
как угодно расположенных в пространстве,
Fo=SFft G.1)
не изменяется при перемене центра приведения. Главный же
момент при этом изменяется и для нового центра приведения
определяется формулой (см. формулу D.14))
^xFo, G.2)
где Мо и Мо, — главные моменты относительно центров приведе-
приведения О и Ох. Второе слагаемое в правой части формулы G.2)
представляет собой момент главного вектора, приложенного
в центре приведения О, относительно нового центра приведения Oi.
Умножим скалярно обе части равенства G.2) на вектор Fo'
Так как вектор О±О х Fo перпендикулярен вектору Fo, то их
скалярное произведение равно нулю. Следовательно,
Mo,-F0 = Mo-F0, G.3)
т. е. скалярное произведение главного вектора Fo на главный
момент не зависит от центра приведения.-
Таким образом, при перемене центра приведения не изменяются
главный вектор и скалярное произведение главного вектора на
главный момент. Говорят, что эти величины инвариантны отно-
относительно выбора центра приведения.
Первым статическим инвариантом называется главный век-
вектор Fo. В более узком смысле этого слова под первым инвариантом
понимают квадрат модуля главного вектора
G.4)

ПО ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ [ГЛ. VII
Вторым статическим инвариантом называется скалярное про-
произведение главного вектора на главный момент:
IJo-Mo^FxMx + FyMy + FMz. G.5)
Из второго инварианта вытекает простое геометрическое след-
следствие. Действительно, запишем равенство G.3) в следующем виде;
Mo1-/7ocos(MOl, Fo) = M0-F0 cos (Mo, Fo).
Если Fo ^= 0, то
MOi cos (MOt, Fo) = Mo cos (Mo, Fo).
Каждое из этих произведений представляет проекцию главного
момента на направление главного вектора. Следовательно, при
перемене центра приведения проекция главного момента на направ-
направление главного вектора не изменяется. Заметим, что при Fo=^0
это следствие можно принять за определение второго инварианта.
Так как проекция главного момента на направление главного
вектора не изменяется при перемене центра приведения, то можно
утверждать, что для центра приведения,' в котором главный век-
вектор и главный момент направлены по одной прямой, модуль
главного момента будет минимальным. В этом случае модуль
главного момента равен величине его проекции на направление
главного вектора.
Очевидно, что проекция М* главного момента на направление
главного вектора определяется равенством
или, принимая во внимание значения первого и второго инва-
инвариантов,
Совокупность силы и пары сил с моментом, коллинеарным
силе, называется динамическим винтом или динамой. Так как
плоскость действия пары перпендикулярна моменту пары, то
динамический винт представляет собой совокупность силы и пары
сил, действующей в плоскости, перпендикулярной силе. Различают
правый и левый динамические винты. На рис. 7.1, а показан
правый динамический винт, составленный из силы Fo, равной
главному вектору системы, и пары сил с моментом Мо, равным
главному моменту; на рис. 7.1, б показан левый винт, состав-
составленный из тех же элементов.
Может возникнуть вопрос, в каких случаях данную систему
сил можно привести к динаме? На этот вопрос отвечает следую-
следующая теорема:

§ 7.1]
СТАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ. ДИНАМИЧЕСКИЙ ВИНТ
111
Если второй статический инвариант не равен нулю, то сис-
систему сил можно привести к динаме.
Пусть в произвольной точке О (рис. 7.2, а) система приведена
к силе, равной главному вектору Fo, и паре сил с моментом,
равным главному моменту. Так как по условию теоремы /2 =
= Fo • Мо Ф 0, то оба вектора, Fo и Мо, не равны нулю и не
Рис. 7.1.
перпендикулярны между собой. Разложим главный момент на две
составляющие: одну М* направим по главному вектору и другую
Mi направим перпендикулярно главному вектору (рис. 7.2, а).
Составляющая Mi представляет собой момент пары сил, располо-
расположенной в плоскости, перпендикулярной вектору Мг. Выберем
силыТ' и F", составляющие эту пару, равными по модулю глав-
главному вектору Fo и приложим силу F' к центру приведения
*)
М,
м
F» *)
м"
Рис. 7.2.
(рис. 7.2, б). Система сил Fo, F', как эквивалентная нулю, может
быть отброшена (рис. 7.2, в). Так как момент М* — вектор сво-
свободный, то его можно перенести из точки О в точку О* (рис. 7.2, г).
Таким образом, заданная система сил приведена в точке О*
к силе F"=F0 и к паре сил с моментом М* (рис. 7.2, г), рас-
расположенной в плоскости, перпендикулярной силе, т. е. мы полу-
получили динамический винт.

112
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ. VII
Из формулы G.6) видно, что положительному второму инва-
инварианту (/2>0) отвечает правый динамический винт, а отрица-
отрицательному второму инварианту (/2 < 0) — левый динамический винт.
Точка О* не единственная, где система сил приводится
к динаме. В самом деле, силу можно переносить вдоль линии
ее действия, момент же пары
сил есть вектор свободный, сле-
следовательно, система сил может
быть приведена к динаме во всех
точках прямой, проходящей че-
через точку О* и являющейся ли-
линией действия силы F"= Fo. Эта
прямая называется центральной
осью системы сил. Найдем те-
теперь уравнение центральной оси.
Пусть О* (рис. 7.3) —точка
центральной оси. Тогда для этой
точки главный вектор и глав-
главный момент должны быть кол-
линеарны друг другу. На основании формулы G.2) главный
момент для точки О* можно записать в виде
М* = Мо+ОЮ х Fo = Мо - 00* х Fo.
Условие коллинеарности главного вектора и главного момента
для точки О* записывается следующим образом:
Рис. 7.3.
где о —параметр винта, имеющий размерность длины.
Таким образом,
pFo = Mo-OO*xFo.
G.7)
Пусть Fx, Fu, Fs и МОх, Мои, МОг — соответственно проекции
главного вектора и главного момента на оси х, у и г; тогда
Пусть координаты какой-либо точки О* центральной оси будут
х, у, г, следовательно,
Подставляя соответствующие выражения в соотношение G.7),
получим
zk) = МОх\ + МОу] + МОгк -
i j к
х у г
"х F Fz
=[МОх - (УР* - zFy)] i + [МОу - (zFx - xFs)] j + [МОг— (xFy-yFx)]k.

§7 2] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ СИЛ 113
Приравнивая коэффициенты при единичных векторах i, j и к,
будем иметь
pFx = MOx-(yFz~zFy),
pFy = МОу — {zFx — xFz),
pFz = MOz - (xFy - yFx).
Следовательно,
/^ - fu - fz v-*>
Это и есть искомые уравнения центральной оси.
§ 7.2. Частные случаи приведения пространственной системы сил
Если при приведении системы сил к динамическому винту
главный момент динамы оказался равным нулю, а главный век-
вектор отличен от нуля, то это означает, что система сил приведена
к равнодействующей, причем центральная ось является линией
действия этой равнодействующей.
Выясним, при каких условиях, относящихся к главному век-
вектору Fo и главному моменту Мо, это может быть. Поскольку
главный момент динамы М* равен составляющей главного мо-
момента Мо, направленной по главному вектору, то рассматривае-
рассматриваемый случай М* = 0 означает, что главный момент Мо перпенди-
перпендикулярен главному вектору, т. е. /2=Fo-Mo = 0. Отсюда непо-
непосредственно вытекает, что если главный вектор Fo не равен нулю,
а второй инвариант равен нулю, .
Fo#0, /2 = Fo-Mo = 0, G.9)
то рассматриваемая система приводится к равнодействующей.
В частности, если для какого-либо центра приведения Fo Ф О,
а Мо = 0, то это овначает, что система сил приведена к равно-
равнодействующей, проходящей через данный центр приведения; при
этом условие G.9) также будет выполнено.
Обобщим приведенную в главе V теорему о моменте равно-
равнодействующей (теорему Вариньона) на случай пространственной
системы сил.
Если пространственная система сил приводится к равнодейст-
равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной
точки равен геометрической сумме моментов всех сил относительно
той же точки.
Пусть система сил имеет равнодействующую R и точка О
лежит на линии действия этой равнодействующей. Если приводить
заданную систему сил к этой точке, то получим, что главный
момент равен нулю.

114 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СШГ [ГЛ. VII
Возьмем какой-либо другой центр приведения Ой тогда
Мо, = S Мо, (F*). G.10)
С другой стороны, на основании формулы D.14) имеем
так как Мо = 0. Сравнивая выражения G.10) и G.11) и учиты-
учитывая, что в данном случае Fo = R, получаем
MOl (R) = ? MOl (F*).
G.12)
Таким образом, теорема доказана.
Пусть при каком-либо выборе центра приведения Fo = 0,
Мо ф 0. Так как главный вектор не зависит от центра приведе-
приведения, то он равен нулю и при любом другом выборе центра при-
приведения. Поэтому главный момент тоже не меняется при пере-
перемене центра приведения, и, следовательно, в этом случае система
сил приводится к паре сил с моментом, равным Мо.
Составим теперь таблицу всех возможных случаев приведения
пространственной системы сил:
1
2
3
4
/2=-F0-M0
/2=7^0
/0=0
/2 = 0
/2=о
Fo
Fo=^O
Fo?=0
F0 = 0
F0 = 0
м„
мо^о
M0=^0
М„ = 0
М0^0
М0=0
Случай приведения
Динамический винт
Равнодействующая
Пара сил
Система сил эквивалентна
нулю
Если все силы находятся в одной плоскости, например, в пло-
плоскости Оху, то их проекции на ось z и моменты относительно
осей х н у будут равны нулю. Следовательно,-
Внося эти значения в формулу G.5), найдем, что второй инва-
инвариант плоской системы сил равен нулю.
Тот же результат мы получим и для пространственной системы
параллельных сил. Действительно, пусть все силы параллельны
оси z. Тогда проекции их на оси х и у и моменты относительно

§7 2]
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРИВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ СИЛ
115
оси г будут равны нулю. Отсюда
Fx = 0, /=¦«, = 0, МОг = 0.
Пользуясь снова формулой G.5), найдем /2 = 0.
На основании доказанного можно утверждать, что плоская
система сил и система параллельных сил в пространстве не при-
приводятся к динамическому винту.
Задача 7.1. Систему двух сил Рх = 8 кГ и Р2=12 кГ, направленных парал-
параллельно осям х и у, как указано на рис. 7.4, а (расстояние между точками
приложения сил равно 1,3 м), требуется привести к динаме, определив глав-
главный вектор и главный момент динамы. Найти углы а, E и у, составляемые
центральной осью системы с координатными осями, а также уравнение
центральной оси.
Возьмем за центр приведения начало координат О. Проекции главного
вектора F на оси координат будут
Модуль главного вектора
Направляющие косинусы главного вектора равны
F F F~
cos а = -^ = 0,834, cos р = у-= 0,555, cos7 = -^=0.
Найдем проекции главного момента на оси координат:
= 0, МОу =
= 15,6 кГм,
На рис. 7.4, б показано расположение главного вектора F и главного
момента Мо для центра приведения О.
(Проекцию главного момента на направление главного вектора опреде-
определим по формуле
F-Mo ГМ0 8-15,6
М* =—г- = —— = -щ-= 8,66 кГм.
Уравнение центральной оси G.8) имеет вид
8г _ 15,0— 12г _ — Ъх+\2у
12 ~ 8 ~ 0

116
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ VII
Отсюда следует, что центральная ось является линией пересечения пло-
плоскостей
2
У
На рис 7.4, в показано расположение этой оси (ОО1 = 0,9 м).
Задача 7.2. По ребрам к>ба со стороной а действуют двенадцать равных по
модулю сил, как показано на рис. 7.5, а. Привести систему к простейшему виду.
Рис. 7.5
За центр приведения возьмем начало коорцинат О и вычислим проекции
главного вектора F и главного момента на координатные оси. Имеем
где Р — общее значение модуля заданных сил.
По формулам G.4) и G.5) найдем значения статических инвариантов
Так как второй инвариант положителен, то система сил приводится к пра-
правому динамическому винту (главный вектор F и момент М* направлены в одну
сторону). Модель момента М* найдем по формуле G.6):
у 1, з ™-
Напишем уравнение центральной оси G.8):
— Q/-4P— Z-4P) _ — 2Ра — [г( — 2Р) — х ¦ 4Р] _ 4Ра— [х 4Р—у( —
— 2Р
4Р
4Р
Отсюда видно, что центральная ось системы представляет линию пересече-
пересечения плоскостей
2х + 5у — 4г = 2а.
Подставляя в эти уравнения сначала z = 0, а затем </ = а, найдем точки
пересечения центральной оси с нижней и боковой гранями куба (рис. 7.5, б)
А 78 У А 9 ' А '
5 8

§7 3] УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ 117
Таким образом, динамический винт, эквивалентный данной системе сил,
состоит из силы F, модуль которой равен F = V Ii—ЪР, и пары сил с момен-
моментом М*, коллинеарным силе F и численно равным М*=4/з Ра- Центральная
ось и составляющие динамического винта показады на рис. 7.5, б.
§ 7.3. Уравнения равновесия пространственной системы сил
Как было выяснено в § 4.4, необходимые и достаточные усло-
условия равновесия пространственной системы сил, приложенных
к твердому телу, можно записать в виде трех уравнений проек-
проекций D.16) и трех уравнений моментов D.17):
п п п
п п п
v1 Д4П (рл = О 'У1 Мп (Fb)==0 ^ Мп' (Ft) = 0 G 14)
fc~\ fe—I k—i
Если тело полностью закреплено, то действующие на него
силы находятся в равновесии и уравнения G.13) и G.14) служат
для определения опорных реакций. Конечно, могут встретиться
случаи, когда этих уравнений недостаточно для определения опор-
опорных реакций; такие статически неопределимые системы мы рас-
рассматривать не будем.
Для пространственной "системы параллельных сил уравнения
равновесия принимают следующий вид (§ 4.4) *):
= 0. G.15)
k=l
Рассмотрим теперь случаи, когда тело закреплено лишь
частично, т. е. связи, которые наложены на тело, не гарантируют
равновесия тела. Можно указать четыре частных случая.
1. Твердое тело имеет одну неподвижную точку. Иначе говоря,
оно прикреплено к неподвижной точке при помощи идеального
сферического шарнира.
Поместим в эту точку (см. точку А на рис. 7.6, а) начало непод-
неподвижной системы координат. Действие связи в точке А заменим
реакцией; так как она неизвестна по модулю и направлению, то
мы ее представим в виде трех неизвестных составляющих Х^,
Уа> ZA, направленных соответственно вдоль осей х, у, г.
*) Предполагается, что линии действия сил параллельны оси г.

118
Пространственная система сил
[гл vij
Уравнения равновесия G.13) и G.14) в этом случае запи-
запишутся в таком виде".
п
i\ V.J. V P. =fl
1) ЛА ^ Si гкх — V,
2)
3)
4)
k=~l
5)
6)
MAy(Fk)=0,
2
ft--1
G.16)
Последние три уравнения не содержат составляющих реакции,
так как линия действия этой силы проходит через точку А. Сле-
Следовательно, эти уравнения устанавливают зависимости между
а)
активными силами, необходимые для равновесия тела, причем
три первых уравнения могут быть использованы для определения
составляющих реакции.
Таким образом, условием равновесия твердого тела, имеющего
одну неподвижную точку, является равенство нулю каждой из
алгебраических сумм моментов всех активных сил системы отно-
относительно трех осей, пересекающихся в неподвижной точке тела.
2. Тело имеет две неподвижные точки. Это, например, будет
иметь место, если оно прикреплено к двум неподвижным точкам
при помощи шарниров (рис. 7.6, б).

§73] УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ СИЛ 119
Выберем начало координат в точке А и направим ось z вдоль
линии, проходящей через точки А и В. Заменим действие связей
реакциями, направив составляющие реакций вдоль координатных
осей (рис. 7.6, б). Обозначим расстояние между точками А и В
через а; тогда уравнения равновесия G.13) и G.14) запишутся
в следующем виде:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
MAz(Fk)=0.
G.17)
Последнее уравнение не содержит составляющих сил реак-
реакций и устанавливает связь между активными силами, необ-
необходимую для равновесия тела. Следовательно, условием равно-
равновесия твердого тела, имеющего две неподвижные точки, является
равенство нулю алгебраической суммы моментов всех активных
сил, приложенных к телу, относительно оси, проходящей через
неподвижные точки. Первые пять уравнений служат для опре-
определения неизвестных составляющих реакций ХА, YA, ZA, Хц,
Yв, ZB.
Заметим, что составляющие ZA и ZR не могут,быть опреде-
определены в отдельности. Из третьего уравнения определяется только
сумма ZA-\-ZB и, следовательно, задача в отношении каждого
из этих неизвестных для твердого тела является статически неоп-
неопределимой. Однако, если в точке В находится не сферический,
а цилиндрический шарнир (т. е. подшипник), не препятствующий
продольному скольжению тела вдоль оси вращения, то ZB = 0
и задача становится статически определимой.
3. Тело имеет неподвижную ось вращения, вдоль которой онс
может скользиib без трения. Это значит, что в точках А и В
находятся цилиндрические шарниры (подшипники), причем сос-
составляющие их реакций вдоль оси вращения равны нулю.

Уа
120 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
Следовательно, уравнения равновесия примут вид:
1)
2)
3)
4)
5)
[ГЛ. VII
-аУв
аХв
к — 1
п
G.18)
Два из уравнений G.18), а именно, третье и шестое, накла-
накладывают ограничения на систему активных сил, а остальные урав-
уравнения служат для определения реакций.
4. Тело опирается в трех точках на гладкую плоскость, при-
причем точки опоры не лежат на одной прямой. Обозначим эти точки
через А, В и С и совместим с плоскостью ABC координатную
плоскость Аху (рис. 7.7). Заменив действие связей вертикальными
реакциями NA, NB и Nc, запишем условия равновесия G.13) и
G.14) в таком виде:
2)
3)
4)
5)
6)
k=i
G.19)

§7.4]
ЗАДАЧИ
121
Третье — пятое уравнения могут служить для определения
неизвестных реакций, а первое, второе и шестое уравнения пред-
представляют собой условия, связываю-
связывающие активные силы и необходимые
для равновесия тела. Конечно, для
равновесия тела необходимо выпол-
выполнение условий УУл5^О, jVb;^O,
Nc^O, так как в точках опоры могут
возникнуть только реакции приня-
принятого выше направления.
Если тело опирается на горизон-
горизонтальную плоскость более чем в трех
точках, то задача становится стати-
статически неопределимой, так как при
этом реакций будет столько, сколько
точек, а уравнений для определения
реакций остается по-прежнему только
три.
§ 7.4. Задачи
Задача 7.3. Найти главный вектор и X/
главный момент системы сил, изображенной
на рис. 7.8, а; силы приложены к верши-
вершинам куба и направлены вдоль его ребер,
причем F1 = F.2 = F3 = P, Fi = Fr, = Fe = 3P. Длина ребра куба равна а.
Проекции главного вектора находим по формулам D.4):
Рис. 7.7.
Fx = — P+3P =
Его модуль равен F =
будут
cos(*, F)=
= 4,9P. Направляющие косинусы
2Р
= 0,407,
2P
cos (y, F) = - pjg = - 0,407, /_y, F « 114°,
4P
cosB, F)= j-il =0,814, L г, F«= 35°30'.
Главный вектор изображен на рис. 7.8, б.
Далее находим проекции главного момента по формулам D.7):

122 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
а модуль главного момента по формуле D.8)
[ГЛ. VJ1
cos
Теперь определим направляющие косинусы главного момента:
: = 0,833, Lx, Mo = 33°40',
cos (у, Мо) = 0, L У, Мо = 90',
cos (г, Мо) = - ??- = - 0,555, L г, Мо=123°40\
Главный момент изображен на рис 7.8, в. Угол между векторами F и Мо
вычисляется по формуле D.11)
cos(F, Мо) = 0,407. 0,833— 0,407-0 — 0,814-0,555= —0,112.
Следовательно, угол между этими векторами равен 96°30'.
/
У
г
/
Qt
р
/ У
/
>
г,
/
/
J
CCjf
a
Рис. 7.8.
Задача 7.4. Жесткая конструкция, имеющая форму параллелепипеда
ABCDEFGH, прикреплена к основанию шаровым шарниром А и тремя стерж-
стержнями 1, 2 и 3. Определить реакцию шарнирной опоры и усилия в стержнях,
если задана нагрузка в виде двух сил Рг и Р2> причем Pi = P, P2 = 2P. Весом
конструкции пренебречь. Размеры указаны на чертеже (рис. 7.9, а).
Усилия в стержнях обозначим через N1? N, и N3; реакцию шарнира пред-
представим в виде трех составляющих Хд, Уд и ZA, Соответствующая схема сил
изображена на рис. 7.9, б. Выбрав координатную систему, как указано на

§ 7 4] ЗАДАЧИ
чертеже, составим уравнения равновесия в следующем виде:
123
2
/e^= 1
Число уравнений равно числу неизвестных, т. е. рассматриваемая задача
Рис. 79.
статически определимая. Решив полученную систему уравнений, найдем зна-
значения усилий
и составляющие реакции шарнира
^ Задача 7.5. Прямоугольная пластинка тремя ножками опирается на глад-
гладкий пол (рис. 7.10). Вес Р пластинки приложен в ее центре. Размеры указаны

124
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ. VII
на оисунке В точке с координатами х и у к пластинке приложена вертикаль-
вертикальная сила Q. Определить область, внутри которой можно брать точки прило-
приложения сиаы Q, чтобы пластинка ие опрокинулась. Определить также, при
Гаком соотношении между модулями сил Р и Q вся поверхность пластинки
будет безопасной.
/ V I
7
У
В
У
Рис. 7.10.
Заменяя действие пола вертикальными реакциями NA, NB, ND> составим
уравнения равновесия. Так как все силы, действующие иа пластинку, парал-
параллельны, то можно воспользоваться уравнениями G.15):
Отсюда
"•— I'-s-

§7.4]
ЗАДАЧИ
125
Для того чтобы пластинка не опрокинулась, необходимо выполнение
условий:
Границы искомой области найдем из условий:
», _ Q „ Q .. , р , Q п
Отсюда находим
аР
1а , аР
На рис. 7.10, б искомая область, построенная при P = Q/2, заштрихована. При
Q < Р/2 вся поверхность пла-
пластинки будет безопасной.
Задача 7.6. Тонкий стер-
стержень ОА, весом которого можно
пренебречь, шарнирно закреп-
закреплен в точке О и удерживается
в горизонтальной плоскости ни-
нитями АВ и CD (рис. 7.11).
Точка С находится в середине
стержня ОА. На стержень дей-
действует вертикальная сила Q,
приложенная в точке Е стер-
стержня. Дано: Z AOD= ?BAK =
= а, OA = l, OE = a, OD^AK.
Найти натяжение иитей АВ и
CD.
Стержень ОА шарнирно ук-
укреплен в точке О; для опреде-
определения натяжения нитей вос-
воспользуемся уравнениями мо-
моментов.
Заменяем действие нитей
реакциями I*! и Т2. Так как
имеется лишь две неизвестные
величины, то составим уравнения моментов сил, действующих на стержень,
только относительно осей х и z:
)=:~ Qa sin
sinccsincc =
M-Oz (Fft) = TJ. cos a sin a — Т±1 sin a cos a = 0.
Отсюда следует:

126
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
[ГЛ VII
Мы не составляем уравнения моментов относительно оси у, так как оно
удовлетворится найденными значениями Ti и Т-, Это уравнение может служить
для проверки решения задачи.
Определив силы Tj и Т>, можно найти и реищию шарнира О. Для чтого
составим уравнения проекций, заменив действие шарнира реакциями Хо
/и ky о '
Следовательно,
aQ
= Q-Г2'sin a = Qfl-y
Задача 7.7. Прямоугольная пластинка удерживается в горизонтальном
положении при помощи петель в точках А я В и однородного стержня DC,
имеющего шарниры в точках С и D. Стержень имеет длину / и вес Р. Размеры
а)
С х-
пластинки указаны на рис. 7.12, a, /_DCE = a,. Определить реакции в точках
А, В, С и D, если сила тяжести Q, действующая на пластинку, приложена
в точке с координатами х и у.
В данном случае мы имеем дело с равновесием двух сочлененных тел: пла-
пластинки и стержня.
Рассмотрим каждое тело в отдельности. Заменяя связи в точках А, В я С
реакциями Хд, ?д> ZA, Xfi, Yfi, Zfi и Xc, Yc, Zc, составим уравнения

§ 7 4] ЗАДАЧИ 127
равновесия пластинки (рис. 7.12, б):
ft = i
2] ^ =
fc=i
k = l
Выбрав систему координат Сх'у'г', составим теперь уравнения равновесия
для стержня. Освобождаясь от связей в точках D и С и вводя реакции Хд>
\Dt ZDj X'Cf \'C) Z'c (рис. 7.12, s), получим следующие уравнения:
k~ 1
n
Л Mc , (FA) = —• P g-cosa + Z^/cosa + X^/sina = 0.
ft = i
Мы не составляли уравнения моментов относительно оси г', так как оно
будет содержать только неизвестную YD, определяемую из уравнения
Так как Х^. = Хс> F^: = ^с. 2с = 2с, то

128 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
Решая полученные уравнения, найдем:
[ГЛ. VII
Q
кс=о.
Как и следовало ожидать, мы не смогли определить реакции YА и Ув, а нашли
только их сумму (§ 7.3).
Отметим, что если Р = 0 то, как легко проверить, реакции шарниров С
и D будут направлены вдоль стержня CD.
Задача 7.8. Однородная балка АВ длины 2/ и веса Р опирается верхним
концом В на угол, образованный двумя вертикальными гладкими взаимно
перпендикулярными плоскостями.
Нижний конец балки А, находясь на
горизонтальной шероховатой плоско-
плоскости, упирается в прямолинейный вы-
выступ DE, отстоящий от оси у на
расстоянии 2а (рис. 7.13). Пренебре-
Пренебрегая поперечными размерами балки,
определить, при каком угле а между
балкой и горизонтальной плоскостью
возможно равновесие, если коэффи-
коэффициент трения между концом А балки
и углом, .образованным горизонталь-
горизонтальной плоскостью и выступом DE, ра-
равен /.
Прежде чем перейти к составле-
у—————— нию уравнении равновесия, введем
г& вспомогательный угол р (см. рис. 7.13).
Рис 7 13 Легко видеть, что между углами а
" ир имеется простая связь. Действи-
Действительно, отрезок АК по условию ра-
равен 2а; с другой стороны, из прямоугольного треугольника ОКА имеем АК-=
= ОА cos р\ а из треугольника ОАВ найдем ОА =2/ cos а. Таким образом,
АК = 2a — 2l cos a cos {5 или
cos а cos {3 =
G.20)
Перейдем к рассмотрению сил, действующих на балку. Прежде всего
к ней приложена одна активная сила — сила тяжести Р; кроме того, на балку
действуют реакции гладких вертикальных стенок N^ и Ny, нормальные состав-
составляющие Nx и N2 реакции угла, образованного выступом и горизонтальной
плоскостью, и сила трения Т (она направлена влево, так как под действием
силы тяжести Р конец балки А стремится переместиться вправо).

§ 7.4] ЗАДАЧИ 129
При равновесии балки перечисленные силы должны удовлетворять урав-
уравнениям равновесия G.13) и G.14). Имеем:
sina —PI cos a sin P + N a • 2/ cos a sin P = 0,
2 MO* (Fft) = ^1 • 2/ cqs a sin p — Г ¦ 2a = 0.
k
Пользуясь этими уравнениями, легко найдем
(другие величины нас не интересуют).
Для того чтобы балка находилась в равновесии, сила трения должна
удовлетворять условию TsS^fN, где Л/=У N'j-\-Nl — полная нормальная со-
составляющая реакции угла, в который упирается конец балки А. Внося в это
неравенство найденные значения для Т, Ni и Л/2, получим
или, возводя в квадрат и сокращая на Р2,
ctg2 a sin2 р s? /2 cosec2 a ^- + 4/2.
Из равенства G.20) найдем
sin2P=l — cos2 p = 1 — -^sec2a.
Внесем это значение для sin2 C в предыдущее неравенство. Тогда после
несложных преобразований получим
Таково условие, которому должен удовлетворять угол а, чтобы при задан-
заданных условиях балка находилась в равновесии. Как и следовало ожидать,
при а = 0 это условие совпадает с соответствующим неравенством, полученным
при решении задачи 6.1 (стр. 97).
б Бутенин Н. В. и др.

ГЛАВА VIII
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
§ 8.1. Центр параллельных сил
В этой главе рассматриваются такие системы параллельных
сил, которые приводятся к равнодействующей. Прежде всего
нужно отметить, что условия приведения системы^ параллельных
сил к равнодействующей сводятся к одному неравенству F ФО.
Действительно, уже было показано,
что второй инвариант системы па-
параллельных сил тождественно ра-
равен нулю (стр. 114). Поэтому един-
единственным условием приведения
пространственной системы парал-
параллельных сил к равнодействующей
является неравенство нулю глав-
главного вектора этой системы
F=^0. (8.1)
Рис. 8.1. Считая это условие выполнен-
выполненным, выясним, что происходит
с равнодействующей R при одновременном повороте линий дейст-
действия данных параллельных сил на один и тот же угол, если точки
приложения этих сил сохраняются неизменными и повороты линий
действия сил происходят вокруг параллельных осей.
При этих условиях равнодействующая заданной системы сил
также.одновременно поворачивается на тот же угол, причем по-
поворот происходит вокруг некоторой фиксированной точки, кото-
которая называется центром параллельных сил. Перейдем к доказа-
доказательству этого утверждения.
Предположим, что для рассматриваемой системы параллель-
параллельных сил Flt F2, ..., F,, главный вектор не равен нулю, следо-
следовательно, данная система сил приводится к равнодействующей.
Пусть точка Ох есть какая-либо точка линии действия этой равно-
равнодействующей. Пусть теперь г — радиус-вектор точки Ох относи-
относительно выбранного полюса О, a rk — радиус-вектор точки прило-
приложения силы F* (рис. 8.1).

§8 1] ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ 131
Согласно теореме Вариньона (§ 7.2) сумма моментов всех сил
системы относительно точки Ох равна нулю:
2(rft-r)xF, = 0, (8.2)
так как точка 0х лежит на линии действия равнодействующей.
Полученное равенство можно переписать в следующей форме:
S rftxFft- J] rxF*= J] r,xF,-rx |] Fft = 0. (8.3)
k=i *=i *=i *=i
Введем теперь в рассмотрение единичный вектор е, параллель-
параллельный линиям действия сил. Тогда любая сила Fk может быть
представлена в виде
Fft = />te, (8.4)
где Ft = Fk, если направление силы Fk и вектора е совпадают,
и Ft = — Fk, если Fft и е направлены противоположно друг другу.
Очевидно, что при этом
2Fft = e?fI. (8.5)
ft=i k=\
Подставляя выражения (8.4) и (8.5) в соотношение (8.3), получим
k=\ k=l
откуда
*=i
(8.6)
Последнее равенство удовлетворяется при любом направлении
сил (т. е. направлении единичного вектора е) только при усло-
условии, что первый множитель равен нулю:
j]rkFt-rj]Fl = O. (8.7)
В свою очередь это равенство имеет единственное решение
относительно радиуса-вектора г, определяющего такую точку при-
приложения равнодействующей, которая не меняет своего положе-
положения при повороте линий действия сил. Такой точкой и является
центр параллельных сил, чем и доказывается его существование.
Обозначив радиус-векгор центра параллельных сил через гс, из

132 ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ" [ГЛ. VIII
равенства (8.7) получим
"Р*"Р*" SA (8-8)
k=\
Пусть хс, Ус, zc — координаты центра параллельных сил, a xk,
yft> 2k — координаты точки приложения произвольной силы Fft;
тогда координаты центра параллельных сил найдутся из формул:
Ус— п
SI
¦-+П '
(8.9)
V
гг =
с п
1Т'8 ' •••
Выражения
называются соответственно статическими моментами заданной
системы сил относительно координатных плоскостей yOz, xOz, xOy.
Отметим, что если начало координат выбрано в центре парал-
параллельных сил, то
хс = ус = гс = 0
и статические моменты заданной системы сил равны нулю.
§ 8.2. Центр тяжести
Тело произвольной формы, находящееся в поле сил тяжести,
можно разбить сечениями, параллельными координатным пло-
плоскостям, на элементарные объемы (рис. 8.2). Если пренебречь
размерами тела по сравнению с радиусом Земли, то силы тя-
тяжести, действующие на каждый элементарный объем, можно
считать параллельными друг другу. Обозначим через АУА объем

§8.21
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
133
элементарного параллелепипеда с центром в точке Mk (см. рис. 8.2),
а силу тяжести, действующую на этот элемент, — через APft.
Тогда средним удельным весом элемента объема называется отнсг-
шение APk/AVk. Стягивая параллелепипед в точку Mk, получим
удельный вес в данной точке тела, как предел среднего удель-
удельного веса
Y (хь Ук, гк) =
ду.
AVk
(8.10)
Рис. 8.2.
Таким образом, удельный вес яв-
является функцией координат, т. е. у =
— У (х> У> z)- Будем считать, что вместе
с геометрическими характеристиками
тела задан также и удельный вес в
каждой точке тела.
Вернемся к разбиению тела на эле-
элементарные объемы. Если исключить
объемы тех элементов, которые грани-
граничат с поверхностью тела, то можно получить ступенчатое тело,
состоящее из совокупности параллелепипедов. Приложим к центру
каждого параллелепипеда силу тяжести APk = ykAVk, где yk —
удельный вес в точке тела, совпадающей с центром параллеле-
параллелепипеда. Для системы п параллельных сил тяжести, образованной
таким образом, можно найти центр параллельных сил
(8.11)
Формула (8.11) определяет положение некоторой точки С„.
Центром тяжести называется точка, являющаяся предельной
для [точек Сп при я-»-оо. Другими словами, центром тяжести
тела называется такая точка,-радиус-вектор которой определяется
следующим пределом:
rc= lim г("> = 1
п~>со п
или, переходя к удельному весу,
г, = lim
(8.12)
lira
(8.13)
lim

134 ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ [ГЛ. VIII
При таком предельном переходе предполагается, что размеры
всех параллелепипедов стремятся к нулю. Пределы знаменателей
в формулах (8.12) и (8.13) равны весу тела
п п
Поскольку пределы интегральных сумм в числителе и знаме-
знаменателе формулы (8.13) представляют собой определенные интег-
интегралы, распространенные по объему тела, то гс можно представить
в следующем виде:
-¦ил
Координаты центра тяжести определяются формулами:
(V)
у(х, у, z)rdxdydz.
гделяются форм
с, у, z)dxdydz,
^-р- \\\ УУ(х, у, z)dxdydz,
(V)
= -p- J уJ zy (x, у, г) dx dy dz.
(8.14)
Тело называется однородным, если у (х, у, z) = y = const.
В этом случае величина у выносится в формулах"(8.14) за знаки
интегралов в числителе и знаменателе и сокращается. Знамена-
Знаменатели в формулах (8.14) после «окращеиия их на у равны объему
тела V. Таким образом, получим
Ш(8.15)
z dx dy dz.
Центр тяжести однородного тела часто называют центром
тяжести объема.
В ряде случаев тело можно считать тонкой пластиной или
оболочкой (рис. 8.3, а).
Найдем центр тяжести однородной оболочки, предполагая, что
вес элемента ее поверхности пропорционален площади этого
элемента
и, следовательно, вес тела Р — y'S E — площадь рассматриваемой
части поверхности).

§ 8 2]
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
135
Из определения центра тяжести в соответствии с формулами
(8.15) получим при у'= const
. (8.16)
\S)
\S)
Центр тяжести однородной оболочки называют центром тя-
тяжести поверхности.
сс S—
Рис. 8.3.
Как следует из формул (8.16), определение координат центра
тяжести поверхности связано с вычислением интегралов по по-
поверхности.
Для плоской однородной пластины г ]
(рис. 8.3, б) получим
1 С Г
dx dy, ус= ^ \\ У dx dy.
(8.17)
(S)
Наконец, рассмотрим криволиней-
криволинейный стержень —тело удлиненной фор-
формы, один из характерных размеров
которого значительно больше двух дру- Рис 8.4.
гих (рис. 8.4). Полагая, что вес элемента
такого стержня, заключенного между двумя сечениями, нормаль-
нормальными к его оси, пропорционален длине А/ дуги этой оси, получим
где L — длина стержня.
Величину у" называют «погонным» весом. При сделанном пред-
предположении у".— величина постоянная. Тогда в соответствии с фор-
формулами (8.15) координаты центра тяжести однородного стержня

136 ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
имеют вид
(L)
[ГЛ VIII
(8.18)
хс = \- § xdl, ус = ~ ^ J
(L) (L) (L)
Центр тяжести однородного криволинейного стержня называют
центром тяжести линии.
§ 8.3. Методы нахождения центра тяжести
Во многих случаях центр тяжести тела можно определить
с помощью весьма простых методов. Мы рассмотрим некоторые
из них.
Симметрия. Если тело однородно и имеет плоскость симметрии
(рис. 8.5, а), то задача определения центра тяжести несколько
Рис. 8.5.
упрощается. Совместим с этой плоскостью симметрии координат-
координатную плоскость хОу. Тогда каждому элементу объема тела AVk,
положение которого определяется координатами xk, yk, zk, будет
соответствовать элемент объема тела AVy с координатами х;, yj,
Z/, причем
Следовательно,
п
lim У, zk Л Vk
так как в сумме
все члены попарно уничтожаются.
Поэтому, если однородное тело имеет плоскость симметрии,
то центр тяжести тела лежит в этой плоскости.
Пусть, далее, однородное тело имеет ось симметрии. Выберем
эту ось за ось z (рис. 8.5, б); тогда каждому элементу объема

§8 3]
МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
137
тела AVft с координатами xk, yk, zk будет соответствовать эле-
элемент объема тела Л У, с координатами хп г/,, г,-, причем
Следовательно,
xc = v lim У
v n->co ~*
k=l
¦={vlim 2¦
так как в суммах
xkAVh и ^ ykAVk все члены попарно
k=i k=\
уничтожаются.
Таким образом, если однородное тело имеет ось симметрии,
то его центр тяжести лежит на этой оси.
Аналогично можно показать, что если однородное тело имеет
центр симметрии, то центр тяжести тела будет совпадать с этой
точкой. Так, например, для пластинки, имеющей прямоугольную
форму, центр тяжести лежит в центре прямоугольника.
Разбиение. Иногда представляется возможным разбить тело
на такие части, для которых вес и положение центра тяжести
заранее известны. Пусть гь г2, ..., г„ — радиусы-векторы центра
тяжести каждой части, а Ръ Р2, •••
..., Рп — веса соответствующих частей. У
Из формулы (8.8) следует, что "*
(819)
где
Для однородной пластинки, напри-
например, из формулы (8.19) следует
= ~ 2 xkSk, ус = 1
\/
•1
|\
(/~п
а
--4
| =а у' I \ (_,
X,
ь=\
k=\
Рис. 8.6.
где Sk — площади частей плоской фигуры; xk> yk — координаты
центров тяжести этих частей.
Задача 8.1. Способом разбиения найти координаты центра тяжести пло-
площади поперечного сечения неравиобокого угольника, размеры которого ука-
указаны на рис. 8.6.
Разобьем угольник на два прямоугольника, площади которых равны
Si = bd, Si = (a — d)d.
На основании (8.20) формулы для координат центра тяжести угольника
имеют вид
' Уе~

138
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[ГЛ VIII
где хи </! —координаты центра тяжести первого прямоугольника, а х2, у2-
координаты центра тяжести второго прямоугольника.
Очевидно, что
А.
2'
Таким образом, имеем
х, = -
— d)
bd + d(a —
-d) '
2(a
d)
Отрицательные веса. Этот способ применяют при нахождении
центра тяжести тела, имеющего свободные (т. е. пустые) полости.
Пусть дано тело, у которого имеется k свободных полостей
(рис. 8.7), причем Рс — вес тела, гс —искомый радиус-вектор,
определяющий положение центра тяжести
этого тела.
Если бы тело не имело полостей, то его
вес Р, очевидно, равнялся бы сумме
Рис. 8.7.
где Ръ Ра, ..., Pk — веса частей тела, кото-
которыми мы мысленно заполняем полости.
Обозначим через г —радиус-вектор, опре-
определяющий положение центра тяжести тела,
не имеющего полостей, а через гь г2, ..., rk —
цадиусы-векторы, определяющие соответственно центры тяжести
частей тела, заполняющих полости. На основании формулы (8.19)
для тела, не имеющего полостей, можно за-
записать
... + rkPk
Рис. 8.8.
Находя из этой формулы радиус-вектор гс
центра тяжести тела, имеющего полости,
получим
_ ТР rl"l TiP-2 '••• rkPk mnn
Гс~ р-рг~р2-. .-pk • Уй-гЧ
Таким образом, при нахождении центра тяжести тела, имеющего
свободные полости, следует применять способ разбиения, но счи-
считать, что полости имеют отрицательные веса.
Задача 8.2. Найти центр тяжести однородной круглой пластинки ра-
радиуса R, у которой вырезано отверстие в виде прямоугольника со сторонами а
и b (рис. 8.8), использовав способ отрицательных весов.

§ 8 4]
ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ ПРОСТЕРШИХ ФИГУР
139
Пластинка симметрична относительно оси *; следовательно, ус = 0. Остается
найти лишь одну координату хс.
Согласно (8.21) будем иметь
lJJA Oi Л1
*с = 5__g - .
где
Таким образом,
П
Рис. 8.9.
§ 8.4. Центры тяжести простейших фигур
Центр тяжести треугольника. Воспользуемся способом раз-
разбиения и разделим треугольник ABC (рис. 8.-9) на элементарные
полоски, проведя линии, параллельные
стороне АС треугольника. Каждую та-
такую полоску можно принять за прямо-
прямоугольник; центры тяжести этих прямо-
прямоугольников находятся в их серединах,
т. е. на медиане BD треугольника. Сле-
Следовательно, центр тяжести треугольника
должен лежать на этой же медиане BD.
Разбивая теперь треугольник на
элементарные полоски линиями, парал-
параллельными стороне АВ, заключаем, что центр тяжести треуголь-
треугольника должен быть расположен на медиане ЕС,
Следовательно, центр тяжести треугольника находится в точке
пересечения его медиан. Эта точка, как известно, делит каждую
из медиан на отрезки
в отношении 1:2, т. е.
OD :0В =1:2.
Центр тяжести трапе-
трапеции. Аналогично предыду-
предыдущему, разобьем трапецию
ABCD (рис. 8.10) на эле-
элементарные полоски, парал-
параллельные сснованиям ВС и
AD. Центры тяжести по-
полосок расположатся на
прямой KL, соединяющей
середины оснований трапеции. Следовательно, и центр тяжести
трапеции лежит на этой прямой. Для того чтобы найти его
расстояние уа от нижнего основания, разобьем трапецию на

140
ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[ГЛ VIII
треугольники ABC и ACD. Для этих треугольников соответст-
соответственно имеем
_ JL А с _ *А — — Л S — —
Используя формулу (8.20), получаем
Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу ADB окруж-
окружности радиуса R с центральным углом 2а. Поместим начало
координат в центре окружности и направим ось х перпендику-
перпендикулярно хорде АВ (рис. 8.11, а).
а) У
со
Рис. 8.11.
Так как вследствие симметрии фигуры относительно оси х
центр тяжести будет лежать на этой оси х, т/е. ус = 0, то остается
найти только абсциссу центра тяжести хс; для этого восполь-
воспользуемся формулой (8.18). Согласно рис. 8.11, а имеем x = Rcosq>,
dl = Rd<p, l = 2Ra и, следовательно,
\ R2 cos ф dtp
R sin a
(8.22)
где а —половина центрального угла в радианах.
В частности, для дуги полуокружности (а = я/2) будем иметь
х -2R
Центр тяжести кругового сектора. Для определения положе-
положения центра тяжести кругового сектора разобьем его на элемен-
элементарные секторы, как показано на рис. 8.11,6. Каждый элемен-
элементарный сектор можно принять за равнобедренный треугольник
с высотой, равной R. Но высота в равнобедренном треугольнике
является также и медианой; следовательно, центр тяжести каж-

§8 4]
ЦЕНТРЫ ТЯЖЕСТИ ПРОСТЕЙШИХ ФИГУР
141
дого элементарного треугольника лежит на расстоянии ^R от на-
начала координат О. Соответственно геометрическим местом цент-
центров тяжести всех элементарных треугольников является дуга
2
окружности радиуса ~^R.
Это означает, что центр тяжести площади кругового сектора
можно искать как центр тяжести материальной линии, по кото-
которой непрерывно и равномерно распределен вес этого сектора.
Применив формулу (8.22), получим координату центра тяжести
площади сектора
2R sin g
: 3a '
(8.23)
где a —половина центрального угла в радианах. В частности,
для сектора в виде полукруга (а = л/2) получим
х,=
4R
Зл'
(8.24)
Задача 8.3. Пластинка, изображенная на рис. 8.12, получена из квадрата,
сторона которого равна а, после того как из него была вырезана часть, состав-
составляющая четверть круга радиуса а с центром в вершине А квадрата. Опреде-
Определить центр тяжести пластинки.
Рис. 8.12.
Рис. 8.13.
Ось х проведем по диагонали квадрата, взяв начало оси в вершине А.
Так как ось х является осью симметрии пластинки, то центр тяжести ее нахо-
находится на этой оси. Площадь квадрата без выреза S = a%, абсцисса его центра
тяжести х = а]^2/2; площадь вырезанной части 51 = ла2/4, абсцисса центра
тяжести ее определяется формулой (8.23), в которой R — a, а=я/4:
since
4/2
-а.
Центр тяжести пластинки определим по формуле
[Sx —

142 ЦЕНТР ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ И ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
или, подставляя соответствующие величины,
[ГЛ VIII
х ...
4-л
1,09а.
На рис. 8.12 показан цегтр тяжести пластинки.
Приведем без вывода формулы, - определяющие положения
центров тяжести некоторых простейших однородных тел.
S
Рис. 8.14.
Поверхность шарового сегмента (рис. 8.13)
xc = R-\. (8.25)
Пирамида и конус (рис. 8.14).
Центр тяжести находится на прямой, соединяющей вершину
с центром тяжести Р площади основания, на расстоянии 1/i ее
длины, считая от основания
Шаровой сектор (рис. 8.15).
_ 3^
хс — ~
(8.26)
(8.27)
где R — радиус шара и h — высота сферической части
сектора.
Задача 8.4. Определить центр тяжести колонны, состоящей из
однородного цилиндра веса Р, высоты // и радиуса R, на кото-
который установлена половина однородного шара веса G и того же
радиуса R (рис. 8.16). •
Разделим колонну на цилиндрическую и шаровую части.
Центр тяжести всей системы лежит на оси симметрии. Абсцисса
центра тяжести цилиндра xL = H/2. Расстояние от центра полушара до его центра
тяжести найдем по формуле (8.27) при h = R, что дает 3/gR- Следовательно,
хг = Н-\-3lsR. Пользуясь равенством (8 19), найдем центр тяжести колонны

КИНЕМАТИКА
ГЛАВА DC
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 9.1. Введение
В этом разделе курса мы пристудим к изучению движения
материальных тел. Когда говорят о движении тела, то подразу-
подразумевают под этим изменение его положения с течением времени
по отношению к какому-либо другому телу. Это значит, что при
изучении движения тела мы всегда должны указать, относительно
какого другого тела рассматривается его движение. С телом, по
отношению к которому изучается движение (тело отсчета), свя-
связывают систему координатных осей и часы. Эту совокупность
тела отсчета и связанной с ним системой координатных осей
(системы координат) и часов, как было уже сказано во введении,
называют системой отсчета.
Так как в теоретической механике считается, что время,
являясь непрерывно изменяющейся величиной, не зависит от
движения тел и одинаково во всех точках пространства и всех
системах отсчета, то, говоря о системе отсчета, можно ограни-
ограничиться указанием только тела отсчета или системы координатных
осей (системы координат), связанных с этим телом. В кинематике
движение тел изучается с чисто геометрической точки зрения и
связь между движением и движущими силами не рассматривается.
В кинематике движение считается заданным, т. е. считаются
заданными как функции времени параметры, определяющие поло-
положение тела по отношению к выбранной системе координат.
В кинематике безразлично, какое движение совершает выбран-
выбранная система координат по отношению к каким-то иным телам,
не входящим в рамки нашего рассмотрения. Однако всегда сле-
следует иметь в виду, что характер наблюдаемого движения суще-
существенно зависит от выбора тела (системы координат), относительно
которого изучается движение. Так, .поршень автомобильного дви-
двигателя совершает относительно корпуса автомобиля прямолиней-
прямолинейное колебательное движение, а относительно дороги, по которой
движется автомобиль с постоянной ,скоростью, поршень переме-
перемещается по синусоиде.
Если тело не перемещается по отношению к выбранной системе
координат, то говорят, что оно находится в покое. Так как покой

144 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ. IX
и движение тела мы рассматриваем лишь относительно выбранной
системы координат, которая в свою очередь может перемещаться
произвольным образом, то понятия «покой» и «движение» являются
относительными понятиями. Однако в кинематике часто поль-
пользуются терминами «абсолютное движение», «абсолютная скорость»
и т. п., имеющими, конечно, условный характер. В частности,
если нет специальной оговорки, под выражением «неподвижная
система координат» следует понимать систему осей, относительно
которых рассматривается движение.
Рассматривая движение, мы связываем изменение положения
тела (или точки) с течением времени (будем обозначать его через t).
При изучении движения всегда устанавливается начало отсчета
времени t = t0 (во многих задачах будем полагать to = O). Под
промежутком времени понимают разность между значениями
времени в какой-либо момент времени U_ и момент времени t±.
При движении тела все его точки в общем случае совершают
различные движения, например, при качении колеса по прямому
рельсу центр колеса движется по прямой линии, а точки обода
движутся по циклоидам. Поэтому изучению движения тела, естест-
естественно, должно предшествовать изучение движения точки. Кроме
того, некоторые практические задачи о движении тел могут быть
решены непосредственно на основании изучения движения точки.
Непрерывную кривую, которую описывает точка при своем
движении, называют траекторией точки. В задачах небесной
механики траекторию именуют также орбитой. Если траектория
точки является прямой линией, то движение точки называют
прямолинейным. Если же траектория — кривая линия (не обяза-
обязательно плоская), то движение точки называется криволинейным.
Мы сразу начнем с изучения криволинейного движения точки,
так как прямолинейное движение представляет собой частный
случай криволинейного. Приступая к изучению движения точки,
мы должны сформулировать те задачи, которые решаются в кине-
кинематике. Исходя из того, что основными пространственно-времен-
пространственно-временными (кинематическими) характеристиками движения точки
являются ее положение, скорость и ускорение, мы можем сфор-
сформулировать эти задачи следующим образом: найти способы задания
движения и, исходя из них, найти методы определения скорости
и ускорения.
§ 9.2. Способы задания движения
Прежде всего определим, что значит задать движение.
Движение точки по отношению к избранной системе отсчета
считается заданным, если известен способ, при помощи которого
можно определить положение точки в любой момент времени.
Следовательно, задать движение точки это значит указать способ,

§9.2] СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ 145
позволяющий в любой момент времени определить ее положение
по отношению к выбранной системе отсчета.
Векторный способ. Положение точки в пространстве будет
вполне- определено, если ее радиус-вектор г, проводимый из
какого-либо заданного центра, известен как функция времени,
т. е. r = r(t). Следует, однако, иметь в виду, что задать вектор
как функцию времени значит уметь находить его модуль и направ-
направление в любой момент времени. Это можно сделать, если избрана
какая-либо определенная система координат, т. е. задание ради-
радиуса-вектора как функции времени обязательно предполагает
наличие системы координат, но в то же время не конкретизирует
ее. Считая, что радиус-вектор задан, мы тем самым должны
предполагать, что умеем определять его модуль и направление
в избранной нами системе координат.
То обстоятельство, что введением радиуса-вектора, определя-
определяющего положение точки, мы не связываем себя с конкретной
системой координат, позволяет широко использовать задание
радиуса-вектора как функции времени для получения основ-
основных кинематических характеристик движения. Для решения же
конкретных задач обычно переходят от векторного способа
к координатному .и естественному способам задания движе-
движения.
Введем еще одно полезное для дальнейшего понятие о годо-
годографе вектора, рассматриваемого как функция скалярного аргу-
аргумента (например, времени).
Годографом какого-либо вектора называют кривую, которую
вычерчивает конец этого вектора (предполагается, что начало
вектора находится все время в одной и той же точке) при изме-
изменении его аргумента.
Следовательно, годографом радиуса-вектора, определяющего
положение точки, будет траектория точки.
Перейдем теперь к рассмотрению координатного и естествен-
естественного способов задания движения.
Координатный способ. Положение точки по отношению к какой-
либо системе координат полностью определяется координатами
точки. Поэтому задание координат точки в виде известных функ-
функций времени дает возможность определить ее положение в любой
момент времени. Способ задания движения, заключающийся
в задании координат точки как известных функций времени,
называется координатным способом задания движения и требует
выбора конкретной системы координат. Этот выбор определяется
содержанием решаемой задачи; конечно, предпочтительнее та
система координат, использование которой наиболее целесообразно
для данной задачи.
При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой
системе координат указанный способ заключается в задании

146
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ IX
координат х, у, г точки М (рис. 9.1) как известных функций
времени, т. е.
* = *(*), У = УЦ), 2 = 2@- (9.1)
Во многих случаях бывает предпочтительнее использовать
цилиндрические или сферические координаты.
В цилиндрических координатах (рис. 9.1, а) положение точки
определяется радиусом р, углом ф (азимут) и аппликатой г.
Следовательно, движение будет задано, если р, ф и г будут
известными функциями времени
= р(О. Ф =
= 2@-
(9.2)
В сферических координатах (рис. 9.1, б) положение точки
определяется полярным радиусом г, углом ф и углом 8 (полюсный
угол). Движение будет задано, если
r(t), Ф =
(9.3)
— известные функции времени.
Формулы, связывающие цилиндрические и сферические коор-
координаты с декартовыми, соответственно будут -
, г/ = р sin ф, z = z\
х = г cos 0 cos ф, г/ = г cos 6 sin cp, 2 = rsinS.
При движении точки в плоскости иногда целесообразно
использовать полярные координаты. В этом случае нужно задать
в виде функций времени координаты г и ф (рис. 9.2):
r=r(t), ф = ф@-

§ 9 2]
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
147
Связь этих координат с декартовыми дается формулами
х = г coscp, г/ = г sin ф.
Уравнения (9.1) движения точки представляют одновременно
и уравнения траектории в параметрической форме, где роль
параметра играет время t. Если тре-
требуется определить уравнение траектории
в координатной форме, то нужно ис-
исключить каким-либо образом из этих
уравнений время t.
Задача 9.1. Движение точки в плоскости
хОу (рис. 9.3) задано при помощи уравнений " ж X
x = at, у=Ы* + с («>0,6>0, с>0), (9.4) ^ g ^
и движение начинается в момент ^ = 0. Найти
уравнение траектории в координатной форме.
Из первого уравнения следует, что t = x/a, поэтому уравнение траектории
будет
Это — уравнение параболы. Однако траекторией будет не вся парабола,
а только часть, показанная на рис. 9.3 сплошной линией. Это следует из того
обстоятельства, что от начального момента дви-
движения ^ = 0 (когда х = 0, у=с) координата х бу- У
дет увеличиваться (время t положительно и не- |
прерывно возрастает). Направление движения точки »
по траектории определяется из уравнений (9.4) и '
показано на рис. 9.3 стрелкой. ^
\
В рассмотренном примере исключение \
времени из уравнений движения было ч^„
произведено путем нахождения времени t С
из уравнения для х и подстановки в урав-
уравнение для у. Такой прием не всегда удо-
бен, поэтому исключение времени можно
производить и другими способами.
Рис. 9.3.
Задача 9.2. Движение точки в плоскости хОу задано уравнениями
x = acosut, y=^b sin (at. (9.5)
Найти уравнение траектории в координатной форме. Уравнения
— = cos <ot и J- = sin (at
a b
следует возвести в квадрат и сложить. Тогда получим уравнение траектории
tit

148
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ IX
Она представляет собой эллипс (рис. 9.4). Из уравнений (9.5) следует,
что движение начнется в точке А с координатами х = а, у = 0 и будет проис-
происходить в направлении, указанном стрелкой (предполагается, что движение
начинается в момент времени ^ = 0).
Естественный способ. При естественном способе задания дви-
движения указываются траектория точки и закон ее движения по
этой траектории.
Пусть точка движется по отношению к выбранной системе
отсчета по заданной траектории (рис. 9.5), определяемой урав-
уравнениями
h(x,y,z) = 0,\
Пусть Мо — какая-либо фиксированная точка на траектории.
Выбрав направление положительного отсчета дуги по траектории,
z,
О.
Рис. 9.4.
Рис. 9.5.
мы определим положение точки М в любой момент времени,
если будем знать, как изменяется дуга а = М0М (см. рис. 9.5)
со временем
o = o(t). (9.7)
Эта зависимость называется законом движения.
Кривая, построенная на плоскости (t, а), выражающая зави-
зависимость a — a(t), называется графиком движения.
Если движ'ение происходит в сторону возрастания дуги а,
то дифференциал дуги *)
da = a (t) dt
будет положительным, если же движение происходит в сторону
убывания дуги, то дифференциал дуги будет отрицательным.
*) В механике производная по времени обозначается точкой над функцией,
da
так что а = -jr .
at

§9 2]
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ
149
Отметим, что путь s, проходимый точкой, всегда будет возрастать
и, следовательно, положителен, т. е.
ds = \da |.
Задача 9.3. Закон движения точки по траектории имеет вид
(t — в срк, а—в м). Построить и исследовать график движения.
Графиком'движения будет кривая, изображенная на рис. 9.6. Из рассмот-
рассмотрения этого графика следует, что дуга а увеличивается до значения а = 7 м
при t = 2 сек, а затем начинает уменьшаться. Ход графика движения в области
отрицательных а характеризует увеличение абсолютного значения дуги при
движении точки от начала отсчета Мд в сторону, противоположную положи-
положительному отсчету дуги.
На рис. 9.6 показана и кривая s(t), представляющая график функции
s1(^) + 3, где sx(t) — путь, пройденный точкой. До значения t = 2 сек кривая s
совпадает с кривой а, для t^2 сек s(t) показана пунктиром.
2 4\6 8 t,cen
Рис. 9.6.
Рис. 9.7.
Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны.
Пусть, например, движение задано координатным способом
в виде (9.1). Очевидно, что при этом проекции радиуса-вектора г
(рис. 9.7) на оси координат равны координатам точки М и, сле-
следовательно, можно записать
г = х\ + у] + zk,
где 1, j и к —единичные векторы осей х, у, г.
Модуль г найдется по формуле
а направление определится направляющими косинусами
= y, cos
, r)= vy, cos(z, r)=y.
(9.8)
(9.9)
(9.10)
Рассмотрим еще переход от координатного способа к естест-
естественному.

150
КИНРМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ IX
Пусть движение задано уравнениями (9.1). Исключая из этих
уравнений время t, получим уравнения траектории (9.6). Найдем
теперь закон движения
O = G(t).
Дифференциал дуги мо-
может быть найден по фор-
\dz муле (рис. 9.8)
где dx, dy, dz — дифферен-
дифференциалы координат точки
dx = x(t)dt, dy = y(t)dt,
dz ¦= z (t) dt.
Формулу для da можно
переписать в виде
Рис. 9.8. do = ± у i
Интегрируя эго выражение в промежутке от / = 0 (начало
движения) до какого-либо момента времени t, получим закон
движения
t
Знак «плюс» или «минус» перед интегралом ставится в зави-
зависимости от выбора направления положительного отсчета дуги;
если движение точки начинается в сторону выбранного положи-
положительного отсчета дуги, то следует брать знак «плюс», в против-
противном случае — знак «минус».
§ 9.3. Понятие о производной вектора
по скалярному аргументу
При рассмотрении задач кинематики и динамики мы встре-
встретимся с необходимостью вычисления производных векторов,
имеющих различный физический смысл и являющихся функциями
различных скалярных аргументов (времени, дуги и пр.). Поэтому
в начале этого параграфа мы определим понятие производной
вектора по скалярному аргументу в общем виде, не придавая
конкретного физического значения вектору и аргументу.
Пусть вектор а задан в какой-либо системе координат как
непрерывная функция скалярного аргумента и
а = а(и).

§9 3]
ПРОИЗВОДНАЯ BERTOP'V ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ
151
При изменении аргумента и будут меняться как модуль век-
вектора а, так и его направление. Конец вектора а при изменении
аргумента и описывает кривую —годограф вектора а(и) (рис. 9.9).
Пусть и — некоторое фиксированное значение аргумента, а Дм —
его приращение. Тогда
при значении аргумента
и + Аи вектор а будет иметь
другой модуль и другое
направление, чем при зна-
значении аргумента, равном и.
Разность
Да = а (и ~\- Аи) — а (м)
называется приращением
вектора а.
Предел огношення
Да
Д«
-а (и)
Аи
Рис. 9.9.
при Аи-»-0, если он существует, называется производной вектора
da
по скалярному аргументу и обозначается через -г-, т. е.
da ,. Да ,.
-,-= lim .—= hm
du д«-о Ам д«-о
—а (и)
Дм
Заметим, что вектор Да всегда направлен по секущей годо-
Да
графа вектора а (рис. 9.9), а значит, и вектор -г- направлен
также по секущей. При Ди->-0 секущая займет предельное поло-
положение, совпадающее с касательной к годографу вектора а. Сле-
Следовательно, производная вектора по скалярному аргументу всегда
направлена по касательной к годографу этого вектора.
Приведем без доказательства свойства производной вектора
по скалярному аргументу:
1. Производная постоянного по величине и направлению век-
вектора равна нулю.
2. Производная суммы векторов равна сумме производных,
т. е.
d(a»bb) __ da db
du du ' du
3. Производные скалярного и векторного произведений век-
векторов соответственно определяются выражениями:
_— /а ¦ Ь) = -А • b + а • -т-,
du v ' du du
da
db

152 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ. IX
Пусть вектор а задан в неподвижной прямоугольной системе
координат; тогда
а (и) = ах (и) \ + ау (и)) + а2 (и) к,
где ах(и), ау(и), аг(и)~ проекции вектора а на оси х, у, z
(рис. 9.9). Так как векторы i, j и к постоянные, то
da dax йЬц . daz
1 + + к
d
-г
da
С другой стороны, вектор -г- можно записать через его проекции
следующим образом:
da / da \ . , / da \ . , / da
A[)у[)г
Сравнивая оба выражения, найдем проекции производной
вектора на координатные оси
/ da \ dax I da \ day /da \ da^
\du )x~ du ' \dujy ~~ du ' \ du /z du '
Эти равенства можно прочитать следующим образом: проек-
проекции производной вектора на неподвижные оси равны производным
от соответствующих проекций вектора.
Модуль производной определяется из равенства
da
du
da,
du I ' \ du I ' \ du
Если модуль вектора а(ы) остается постоянным при измене-
изменении аргумента и, то годографом вектора а будет кривая, распо-
расположенная на сфере радиуса а. Следовательно, производная da/du,
направленная по касательной к годографу вектора а, будет
в этом случае перпендикулярна вектору а.
§ 9.4. Скорость точки
Перейдем теперь к определению понятия скорости точки и
методам ее нахождения.
Пусть в момент времени t положение точки определяется
радиусом-вектором г(^), а в момент t + At — радиусом-вектором
r(t + M). Вектор
ДГ = г (t + Д*) - г (t)
будем называть вектором перемещения точки за время Д^
(рис. 9.10).

> 9.41
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
153
Отношение вектора Аг к промежутку времени А
средней скоростью точки за промежуток времени At
называется
?cp — At •
Скоростью в данный момент времени называется предел отно-
отношения вектора перемещения точки к промежутку времени, ча
который произошло это перемещение, когда этот
промежуток
времени стремится к нулю, т. е.
*-"!".$-*-'• <9Л1>
Размерность скорости будет
М
Рис. 9.10.
Гу1 _ _
*• * [время] Т '
Единицами измерения могут быть
м/сек, см/сек, км/час.
Из этого определения видно,
что скорость точки равна произ-
производной радиуса-вектора точки по
времени. На рис. 9.10 показаны
средняя скорость vcp и скорость v точки М. Как следует из
общей теории, скорость точки \ — этор вектор, направленный по
касательной к траектории в сторону движения точки.
Скорость точки при координатном способе задания движения.
Пусть движение точки задано в декартовой системе координат,
принятой за неподвижную, т. е. пусть заданы координаты точки
как функции времени '
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Согласно выражению (9.8) имеем
Так как единичные векторы i, j, k выбранной системы коорди-
координат постоянны, то на основании формулы (9.11) получаем
dx
'"dt
dx,
dlX
dy
dt
На рис. 9.11 показано разложение скорости на составляющие
по осям координатной системы Oxyz.
Таким образом, проекции скорости vx, vu, vz на координат-
координатные оси будут
_ dx _dy _dz
^- dt' vy~ dt' v*-dt>

154
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
1ГЛ IX
т. е. проекция скорости точки на координатную ось равна
первой производной по времени от соответствующей этой
оси координаты.
Так как производную по
времени мы условились обозна-
обозначать точкой сверху, то получен-
полученные формулы можно переписать
в виде
к
/
у?
fa М
/
z. (9.12)
Модуль скорости опреде-
у ляется формулой
Рис. 9.11.
а направление скорости — направляющими косинусами
COS (X, V) = — = ¦
(9.13)
cos (у, v) = — = ¦
V
cos (z, v) = — ==¦
(9.14)
Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то
движение называется равномерным.
Задача 9.4. Движение точки задано уравнениями
х — a cos at, ^y = asinat, z = bt.
Найти скорость точки.
В соответствии с выражениями (9 12) получим проекции скорости
1>х=х = —аи sin ti)t, Vy = у = аи cos wt, v2 = & = b.
Модуль скорости определится формулой (9.13):
Направление скорости найдем, используя формулы (9.14):
aw sin
, , vx .
v
vy am cos at
cos(y, v) = —=
v у а2ш2 + й2
I \ ~°Z Ь
cos (г, v) = — =

§9 41
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
155
Из этих соотношений видно, что точка движется равномерно (v = const),
но направление скорости изменяется с течением времени.
Исследуем траекторию точки. Из первых двух уравнений движения найдем
Это — уравнение цилиндра радиуса а, ось которого совпадает с осью г
(рис. 9.12).
Опустим теперь из ючки М на плоскость хОу перпендикуляр MN и
обозначим угол между осью х и прямой ON через ф. Координаты точки N
будут
= acos ф.
у=а sm ф
Сравнивая эти соотношения с уравне-
уравнениями движения, найдем
Таким образом, угол ф изменяется про-
пропорционально времени. Из этого сле-
следует, что прямая ON равномерно вра-
вращается, а точка М в это время равно-
равномерно перемещается по образующей
NM (z — bt). Следовательно, точка дви-
движется по винтовой линии. Уравнения
винтовой линии в параметрической форме
совпадают с уравнениями движения, а в
координатной форме имеют вид
х = a cos
шг
—г-
/V
а:
Рис. 9.12.
Рассмотрим теперь движение, заданное в полярных коорди-
координатах, т. е. пусть даны как функции времени полярный радиус
r = r(t) и угол Ф = ф(г"), определяющие положение точки.
Введем в рассмотрение единичные векторы: г°, направленный
по радиусу-вектору в сторону возрастания г, и р°, повернутый
относительно г° на угол л/2 в сторону возрастания угла ф
(рис. 9.13). Единичные векторы г° и р° могут быть представлены
через единичные векторы i, j координатных осей:
r° = cos(p- i + sinф¦ j,,
= — sin i
-j.
В дальнейшем нам будут нужны выражения для производных
по времени от единичных векторов г°, р°.
Дифференцируя г0 по времени, получим
-,т = (— sin ф • 1 + cos
• j) ф = фр°.
Аналогично
--й- == — (cos ф - i + sin ф • j) ф = — фг°.
(9.15)
(9.16)

156
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. IX
Радиус-вектор г, определяющий положение точки, может быть
представлен в виде r = rr° (рис. 9.13). При движении точки
меняются как модуль, так и направление радиуса-вектора г, сле-
следовательно, и г, и г0 являются функциями времени. На основа-
основании равенства (9.11) имеем
dr
~dt
dr
~dt
dro
dt ¦
Используя соотношение (9.15), будем иметь
dt
dt
Полученная формула дает разложение вектора скорости на две
взаимно перпендикулярные составляющие: радиальную vr = rr° и
поперечную ур = /-фр° (рис. 9.14).
У
Рис. 9.14.
Проекции скорости на радиальное и поперечное направления
vr = r и ир = гф (9.17)
называются соответственно радиальной и поперечной скоростями.
Модуль скорости находится по формуле
v = Yv'r + v-p = Y?* + r\2. (9.18)
Формулу (9.18) можно также получить, используя связь между декарто-
декартовыми и полярными координатами,
x=^rcos(p, У=г sin ф.
Продифференцировав эти соотношения по времени x = rcoscp — rep sin ф,
у = r sin ф+npcos ф и используя равенство (9.13), получим
Нахождение скорости при естественном способе задания дви-
движения. Пусть точка М движется по какой-либо кривой (рис. 9.15).
За промежуток времени Д^ точка переместится по кривой из

§ 9 4J
СКОРОСТЬ ТОЧКИ
157
положения М в положение Mi. Дуга МЛ11 = Ла>0, если дви-
движение точки происходит в сторону положительного отсчета дуги
(рис. 9.15, а), и Да<0, если движение происходит в противо-
противоположную сторону (рис. 9.15, б). На основании (9.11) имеем
v= lim
Аг
ДГ
Перепишем это равенство в виде
v= ИтГАг.ДЕ.]= Ит ДЦ.Щп
I До Дс 1 Дсг л^ п
Да
Д1
Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен
А6<0
Рис. 9 15.
по модулю единице, а предельное положение секущей ММ\ сов-
совпадает с направлением касательной к кривой в точке М, то
Аг
где т —единичный вектор касательной к кривой, направленный
в сторону положительного отсчета дуги.
Действительно, если Да>0, то вектор ~^~ направлен в сто-
сторону Дг (см. рис. 9.15, а), а при Да<0 вектор -г— направлен
в сторону, противоположную Дг (см. рис. 9.15, б). В обоих слу-
dt
чаях этот вектор, а следовательно, и его предел ~р — т, направ-
направлены в сторону возрастания дуги а (на рис. 9.15 положительное
направление отсчета дуги а выбрано вправо от начала отсчета Мо).
Принимая во внимание, что
,. Да da ¦
д<_о д* dt

158 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ IX
имеем
v = -g-t. (9.19)
Обозначая vx = -~, получим
v = vxx. (9.20)
Из формулы (9.20) следует, что v = \vx\. Очевидно, что vx = v,
если движение происходит в сторону положительного отсчета
дуги, и vx = — v, если движение происходит в противоположную
сторону.
Так как проходимый точкой путь всегда положителен, то
элемент пути
ds = \da
и, следовательно, модуль скорости можно определить по формуле
da
v =
dt
§ 9.5. Задачи
Задача 9.5. Если ось х направить горизонтально, а ось у вертикально
вверх, то движение тяжелой точки (например, артиллерийского снаряда)
у поверхности Земли в предположении, что сопротивление воздуха пропор-
пропорционально скорости точки, будет описываться уравнениями
где iH, a, k, g — постоянные величины.
Найти модуль и направление скорости в начальный момент времени.
Найти также наибольшую высоту h подъема точки над уровнем ее начального
положения, дальность L по горизонтали от начального положения точки до ее
наивысшего положения.
На основании (9.12) имеем
vx = x=v0 cos а?~к8',
Vy = y=\v0 sm i
При ? = 0 u_v = r0cosa, vy = vosma, а модуль v скорости будет
y = l
Направление начальной скорости определим, найдя направляющие косинусы
при ^ = 0:
vx vu cos a Vy v0 sin a
cos (x, v) = — = = cos a, cos (y, v) = — = — = sin a.
Следовательно, начальная скорость, равная по модулю v0, направлена под
углем а к горизонту.

§9 5]
ЗАДАЧИ
159
Так как точка траектории, где vy = 0, соответствует наибольшей высоте
подъема движущейся точки, то из уравнения
\
мы определим момент времени tx достижения точкой наибольшей высоты. Имеем
отсюда
sin a).
Подставляя найденное значение tt в выражение для у, получим искомую вы-
высоту (рис. 9.16)
, Do sin a 1 , .
ft = -^ ^ In A + Ь0 яп а).
Найдем теперь расстояние по горизонтали от начального положения точки до ее
положения в наивысшей точке. Для этого подставим время tx в выражение
для х:
. vl sin 2a
Задача 9.6. Точка движется так, что ее радиус-вектор образует со ско-
скоростью постоянный угол. Определить уравнение траектории в полярных
У'
о
/
А
\
L
v
\
\
Рис. 9.16.
Рис. 9.17.
координатах, если угол, образуемый скоростью с радиусом-вектором, равен а
(ряс. 9 17).
Согласно формуле (9.17) проекции скорости на радиальное и поперечное
направления будут
dr d(p
По условию задачи
Следовательно,
— = tga = const.
dq> dr,

160
Отсюда
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
dr
[ГЛ IX
- = dipctg<z.
Интегрируя это уравнение и приняв при
угол ф = 0, получим
Тогда /• = roe<pctgct> где г0 — модель радиуса-вектора г в момент времени ^=0.
Таким образом, траектория представляет собой логарифмическую спираль.
Если угол <z = 0, то траектория будет прямолинейной—движение будет
происходить вдоль радиуса-вектора. Если угол сс = л/2, то движение будет
происходить по окружности, так как г = г0.
§ 9.6. Ускорение точки
Предположим, что в момент времени t скорость точки равна
vi = v@> а в момент времени t + At будет v2 = v(t-\-At) (рис. 9.18).
Изменение вектора скорости за промежуток времени At найдем
как разность векторов v2 и v1( если параллельно перенесем век-
вектор v2 в точку /Wi (рис. 9.18).
Вектор
Av*=v8-v1 = v(f + A0-v@
представляет собой прираще-
приращение вектора скорости за про-
промежуток времени At.
Отношение вектора Av к
промежутку времени А^ на-
называется средним ускорением
точки за промежуток време-
времени At:
Рис. -9.18. СР ~~ Д^ '
Ускорением w точки в данный момент времени называется
предел отношения приращения скорости Av к приращению вре-
времени At при условии, что последнее стремится к нулю, т. е.
w= lim -г| = -^ = -т^-, (9.21)
Д^ —*¦ 0
так как v= ,т. Можно также пользоваться следующей формой
записи: w = v = r.
Следовательно, ускорение точки в данный момент времени
равно первой производной по времени от вектора скорости точки
или второй производной по времени от радиуса-вектора точки.
Годографом скорости называется кривая, которую вычерчивает
конец вектора скорости при движении точки, если вектор ско-
скорости проводится из одной и той же точки (рис. 9.19).

§9 6]
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
161
Очевидно, что скорость точки, вычерчивающей годограф ско-
скорости, будет равна w = v, т. е. ускорению точки при ее движе-
движении по траектории. Размерность
ускорения
[скорость] _ [длина] _ L
м=
[время] [время]2
Единицами измерения могут быть
м/сек2, см/сек2.
Нахождение ускорения при ко-
координатном способе задания дви-
движения. Пусть движение точки за-
задано в прямоугольной системе
координат:
x = x(t), y = y(t), г = гA).
Годограф
скорости
Рис. 9.19.
Так как вектор скорости точки можно представить в виде
то на основании (9.21) будем иметь
dv dox
w = — = —
dt dt
dv.
dt*^~ dt k#
Пусть wx, Wy, wz — проекции ускорения на координатные оси х,
у, z; тогда
dvx dvy dvz
х ~ dt ' у dt ' z dJ'
(9.22)
m. e. проекция ускорения точки на какую-либо координатную
ось равна первой производной по времени от соответствующей
проекции скорости точки.
Выражения (9.22) на основании (9.12) можно переписать
в виде
wx = X, wy = y, wz = z. (9.23)
Следовательно, проекция ускорения точки на какую-либо коор-
координатную ось равна второй производной по времени от соответ-
соответствующей координаты.
Модуль ускорения определяется по формуле
w = yw%
6 Бутеннн Н В. и др.
+ wi = У'хг+у2
(9.24)

162 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ IX
Зная проекции ускорения и епэ модуль, легко находим на-
направляющие косинусы вектора ускорения:
1 \ wx
cos (х, w) = — = ,
; w У ;E2
— = ,
w У ;E2 + ?2
wu У
cos {у, w) = — =
cos B, w) = — =
(9.25)
Найдем теперь ускорение в полярных координатах. Пусть
координаты точки заданы как функции времени
r = r(t), ф = ф(/).
Согласно (9.17) имеем
На основании (9.21) получим
d< Л2 ТЙЙТ1ЙAГ т Л2 v ~T' dt dt '
но так как [ем. (9.15) и (9.16)]
dr» djp 0 dp» = _ Ар _о
d< dt v f dt dt '
TO
w = (f - гф2) r° + (гф + 2гф) р°.
Отсюда находим проекции ускорения на радиальное и попе-
поперечное направления
wr ~ г — гф2,
(96)
Модуль и направление вектора ускорения определяются по
формулам
W = К^г + !^р,
Wr WD
cos (г°, w) =¦ —, cos (p°, w) = —.
Нахождение ускорения при естественном способе задания дви-
движения. Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями
из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную
кривую. Пусть т —единичный вектор касательной, проведенной
в какой-либо точке М этой кривой (рис. 9.20). Возьмем теперь на
кривой точку Mi, близкую к точке М, и обозначим единичный

§9 6]
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
163
вектор касательной в этой точке через хг. Параллельно перенеся
вектор хг в точку М, проведем плоскость через векторы т и т1(
приложенные в точке М.
При стремлении точки Мх к точке М эта плоскость в пределе
займет определенное положение. Полученную таким образом пло-
плоскость называют соприкасающейся
плоскостью в точке М. Отметим,
что если рассматриваемая кривая
плоская, то она целиком будет
расположена в соприкасающейся
плоскости.
Плоскость, проведенную через
точку М перпендикулярно каса-
касательной, называют нормальной
плоскостью. Линия пересечения
соприкасающейся и нормальной плоскостей определяет главную
нормаль к кривой в точке М. Плоскость, проведенную через
точку М перпендикулярно главной нормали, называют спрям-
спрямляющей плоскостью. На рис. 9.21 соприкасающаяся, нормальная
и спрямляющая плоскости обозна-
обозначены соответственно цифрами /, //
и ///.
Линия пересечения спрямляющей
и нормальной плоскостей определяет
бинормаль к кривой.
Таким образом, в каждой точке
кривой можно указать три взаимно-
перпендикулярных направления: ка-
касательной, главной нормали и бинор-
бинормали. Принимая эти направления за
координатные оси, введем единичные
векторы этих осей.
Единичный вектор касательной т нами уже был введен. Единич-
Единичный вектор п, направленный в сторону вогнутости кривой, будет
единичным вектором главной нормали. Направление единич-
единичного вектора бинормали b определим из требования, чтобы
касательная, главная нормаль и бинормаль, направления кото-
которых определяются векторами т, n, b, образовывали правую си-
систему осей. Полученный трехгранник, составленный из соприка-
соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется
естественным трехгранником. Векторы т, п, b являются единич-
единичными векторами осей естественного трехгранника (рис. 9.21).
Обозначим через е величину угла между вектором т, прове-
\
г
n
и
Рис.
1
** /
ж/
9.21.
денным в точке М, и вектором
близкой к точке М. Этот угол
(рис. 9.22, а).
6*
tu проведенным в точке Мъ
называется углом смежности

164
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. IX
Кривизной кривой в точке М называют предел отношения
угла смежности е к абсолютному значению длины дуги ММХ =
= Да, т. е.
k = lim
|Аст|
(9-27)
Радиусом кривизны кривой в точке М называется величина,
обратная кривизне
р = 1. (9.28)
Заметим, что кривизна прямой равна нулю, а ее радиус кри-
кривизны равен бесконечности.. Кривизна окружности во всех ее
точках одинакова и равна обратной величине радиуса (^ = гг)',
радиус кривизны равен радиусу окружности (p = jR).
б)
Рис. 9.22.
Если через точку кривой М и две близкие к ней точки про-
провести окружность, то при стремлении этих точек к М в пределе
получится окружность, которая называется кругом кривизны.
Круг кривизны лежит в соприкасающейся плоскости. Радиус
этого круга равен радиусу кривизны кривой в точке М. Центр
круга кривизны лежит на главной нормали и называется цент-
центром кривизны *).
Вектор скорости согласно выражению (9.20) можно предста-
представить в виде
V = VXX,
где vx — проекция скорости на направление т. На основании
формулы (9.21) имеем
dv d
dvx
dx
(9.29)
*) Доказательства этих утверждений можно найти в любом курсе диффе-
дифференциальной геометрии.

§ 9.6] УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ 165
Определим величину и направление вектора -тт.
Пусть в момент времени t точка находится в положении М
на траектории, а в момент времени t-\-At — в положении Мг.
Перенося вектор х1 в точку М, найдем приращение вектора т
за промежуток времени At (рис. 9.22, а)
Дт = т1 —т.
Вектор Дт при движении точки в сторону положительного отсчета
дуги направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 9.22, а),
а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги
направлен в сторону выпуклости траектории (рис. 9.22, б).
Найдем производную вектора т:
dt
dt
.. Дт ,- ГДт Дсг~| ,. At ,. Дет dx
= игл -т-т = игл -г- -т-т = lim -г— lim -7-7 = vx -.— •
Вектор -Д всегда направлен в сторону вогнутости траектории
(см. рис. 9.22, а и б) и лежит в плоскости, проходящей через
точку М и векторы т и тх (плоскость МЛВ). Следовательно,
вектор -г- лежит в соприкасающейся плоскости, так как при
Да-»-О (Д?-*-0) плоскость МЛВ совпадает с соприкасающейся
плоскостью к траектории в точке М.
Дифференцируя тождество т2 = 1 по а, получим
dt
т. е. скалярное произведение т на т- равно нулю, а это значит,
dt rr ^ dt
что вектор -з- перпендикулярен т. 1аким образом, вектор -т-
лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вог-
вогнутости траектории и перпендикулярен т; следовательно, он
направлен по главной нормали к центру кривизны.
Определим теперь модуль вектора -т-. Из равнобедренного
треугольника АМВ (см. рис. 9.22, а) найдем
Л? = |Дт| =2sin-|-
или, используя равенства (9.27) и (9.28), получим
dt
da
. в
.. |Дт| .. sin" е
= lim lm
—г = lim г-.—
до->0 1А01 До->0 ± 1Дсг
2

166 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ. IX
Учитывая, что п есть единичный вектор главной нормали,
будем иметь
dx __ п
da ~~ р '
Значит,
— = — п
и, следовательно,
так как v\ = vl.
Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в со-
соприкасающейся плоскости.
Составляющие ускорения по направлениям тип соответственно
равны
dvr v
w^x * п
Проекция ускорения на направление т
называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция
ускорения на главную нормаль
wn = j (9.32)
называется нормальным ускорением. Касательное ускорение харак-
характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение
характеризует изменение скорости по направлению.
Модуль вектора ускорения равен
Касательное ускорение wx = -~ равно нулю при движении
точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени,
в которые скорость vi достигает экстремальных значений.
Если vx и wt одного знака, то модуль скорости v = \vx\ точки
возрастает и движение в этом случае называется ускоренным.
Если же vt и wx разных знаков, то модуль скорости v = \vx\
точки убывает и движение будет замедленным. При шт = 0 модуль
скорости остается постоянным — движение равномерное.
Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном дви-
движении (р = оо), в точках перегиба криволинейной траектории и
в моменты времени, в которые скорость точки обращается в нуль.

§9 7] ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ 167
Отметим, что для вычисления касательного ускорения wx
можно использовать равенство
v
так как т =—.
Если движение точки задано координатным способом, то
в случае задания движения в декартовых координатах (x — x(t),
y = y(t), z = z{tj) будем иметь
для полярных координат получим
vrwr-\-vpwp
§ 9.7. Частные случаи движения точки
Прямолинейное движение. Если траектория точки является
прямой линией, то, направляя одну из координатных осей, напри-
например, ось х, вдоль этой прямой, мы полностью определим поло-
положение точки заданием ее абсциссы как функции времени, т. е.
x = x(t).
Проекции скорости и ускорения на ось х согласно формулам
(9.12) и (9.23) будут
vx = х, wx — х.
Модули скорости и ускорения соответственно равны
V = | X |, ДО= |J?|.
Если vx>0, то движение точки происходит в сторону поло-
положительного направления оси х. Если при этом wx > 0, то дви-
движение ускоренное, если же wx<c0, то движение замедленное.
При vx<.0 точка движется в направлении, противоположном
положительному направлению оси х. Если при этом wx>0, то
движение замедленное, если же wx<.0, то движение ускоренное.
В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение,
происходящее по закону
х = a sin (co^ -f- e),
где а, со, е — постоянные величины.
Движение точки по такому закону называют гармоническим.
Величина а, равная максимальному отклонению точки от
положения х = 0, называется амплитудой колебаний; co^-fe назы-
называется фазой и е — начальной фазой колебаний.

168
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[Г Л IX
Скорость и ускорение точки, совершающей гармоническое
колебание, соответственно будут
ух — & = ш cos (at -f е), wx = х = — асо2 sin (wt -f e) = — co2x.
Из формулы для wx следует, что ускорение точки всегда направ-
направлено к началу координат и по модулю пропорционально откло-
отклонению точки от начала координат.
С помощью закона движения и формулы для скорости нетрудно
установить, что если для какого-либо момента времени t = tx
координата х = хъ а скорость vx = vXl, то в момент времени t = t2,
при котором имеет место равенство
®t2 + е = со^ + е + 2пп,
где п =1,2,3, ... —скорость точки и ее положение буд>т таки-
такими же, как и в момент t = tx.
X
a
-a
T
H
/ 1 \
V
Рис. 9.23.
Значит, гармоническое движение будет периодическим *), т. е.
через промежутки времени, равные
, , 2л
h-tx = --n,
движение будет полностью повторяться.
Наименьший промежуток времени, по истечении которого дви-
движение повторяется, называется периодом колебаний. Очевидно,
что период гармонических колебаний будет равен
Число колебаний в единицу времени называется частотой
колебаний и равно v = l/7\ Если время измеряется в секундах,
то частота измеряется в герцах. Величина а> = 2лд> называется
круговой частотой. Круговая частота равна числу колебаний за
2л единиц времени. График движения приведен на рис. 9.23.
*) В общем случае движение x{t) называется периодическим, если суще-
существует такой промежуток времени Т, что для всех t будет справедливо равенство
x(t + T) = x(t)

§9 8]
ЗАДАЧИ
169
Движение точки по окружности. При движении точки по окруж-
окружности удобно задать ее движение в полярных координатах, так
как при этом координата г является постоянной величиной, рав-
равной радиусу R окружности (рис. 9.24). Положение точки вполне
определяется углом ф.
Так как г = R — постоянная величина, то проекция скорости
на радиальное направление vr = r = 0. Поперечная проекция ско-
скорости равна
Модуль скорости будет
X
где со = |ф|.
В соответствии с формулами (9.26) проекции ускорения на
радиальное и поперечное направле-
направления определяются равенствами „ о»
Модуль ускорения равен
где е = | ф |.
Если выбрать направление поло-
положительного отсчета дуги, проходимой
точкой, как указано на рис. 9.24,
то очевидно, что касательное уско-
ускорение точки будет равно wx = Rip, a
нормальное wn = co2i? (это ускорение рис 9 24.
называют центростремительным ус-
ускорением).
Заметим, что со определяет угловую скорость вращения ради-
радиуса г, а е —соответствующее угловое ускорение (подробнее об
этом см. § 10.2).
§ 9.8. Задачи
Задача 9.7. Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравне-
ар
ниям х = и,/cos а, у = vot sin a — ---. Определить скорость и ускорение сна-
снаряда в начальный момент времени, высоту траектории, дальность полета,
а также радиус кривизны в начальной и наивысшей точках траектории. Ось х
направлена горизонтально, ось у — вертикально вверх (рис. 9.25).
Траекторией снаряда, очевидно, будет парабола
cos2 a'

170
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ IX
Определим сначала скорость движения снаряда. Имеем
vx = х = v0 cos a, vy = y = v0 sin a—gt.
Следовательно,
В момент времени ^ = 0 величина скорости v = v0. Направление скорости опре-
определяется по формулам
. , vx
cos (x, v) = — =
cos (y, v) = — 2-
При ^ = 0 получим
cos (x, v) = cos a, cos (y, v) = sin a,
т. е. скорость в начальный момент образует с осью х угол а.
Проекции ускорения на координатные оси б^дут
wx = X=0, wy = y = — g,
следовательно, модуль ускорения равен
и оно направлено по вертикали вниз (ускорение силы тяжести). Под высотой
траектории понимается максимальное значение ординаты у. Очевидно, что у
принимает максимальное значение при vy — 0, т. е. когда
1>0 sin a—gt = O.
Находя отсюда ^ = (i>0 sin cc)/g и подставляя его в уравнение для у, полу-
получим
«о/
Дальность полета определяется из усло-
условия у = 0. Из уравнения
et2
casinos — V =
найдем
Рис. 9.25.
g
Момент ^ = 0 соответствует начальному положению снаряда. Подставляя < = ^2
в уравнение для х, найдем дальность полета
_ yj sin 2a
Максимальная дальность полета будет при a = 45° и равна v*/g.
Найдем теперь радиус кривизны траектории в начальной и наивысшей ее
точках. Из формулы wn = v2/p имеем
Таким образом, задача нахождения радиуса кривизны траектории сводится
к нахождению скорости и проекции ускорения точки на нормаль.
Согласно (9.33) имеем
\ 2 l
w\ = w2 — wl.

§9 8]
ЗАДАЧИ
171
Так как движение точки происходит все время в сторону возрастания
дуги, vt = v, и, следовательно,
_ dvt _ dv_ _ — g(t'o sing — gt)
dt dt y^cos2a + (i>0 sin a—gtJ '
При t = 0 wx = — g sin а, а так как w = g, то wn = g cos а и, следовательно,
радиус кривизны траектории в начальной точке равен
Р=
gcos a
Для момента времени t = '.
i
рии, шт = 0. Поэтому wa=g.
У
"о
sin a
( соответствующего наивысшей точке траекто-
траекто¦Ш=д
Рис. 9.26.
Скорость точки в этот момент равна y = fl0cosa и радиус кривизны
в наивысшей точке траектории будет
v\ cos2 a
Отметим, что в данной задаче проекцию ускорения на нормаль в на-
начальной и наивысшей точках траектории можно легко найти и простым
проектированием (рис. 9.26).
Задача 9-8. Колесо радиуса R уt
катится без скольжения по горизон-
тальному рельсу. Скорость центра
колеса постоянна и равна vn. Найти
уравнения движения точки М, ле-
лежащей на ободе колеса, ее траекто-
траекторию, скорость, ускорение и радиус
кривизны траектории как функцию
времени.
По условию, колесо катится
без скольжения, следовательно,
дуга AM равна отрезку ОА при
предположении, что в начальный
момент времени точка М находилась
в точке О (рис. 9.27).
Так как дуга AM = Rep, а O
Координаты точки М будут:
Рис. 9.27.
= v0t, то Vot =
где (a =
х = V(f — R sin ф = vot — R sin wt,
y = R — R cos ф = R(l— cos ait).

172 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ IX
Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения траек-
траектории, которая представляет собой циклоиду.
Проекции скорости точки на оси Ох и Оу равны
vx = x = v0 — Ru) cos at = vo(l — cos att),
vy — y = R® s>n ®t — uo s>n ш^
Модуль скорости равен
v = Yvx + Vy "" vo ]f(l~ cos atf + sin* at =
= v0 V2 A - cos at) = y01/ 4 sin2 у = 2v0 sin у.
Заметим, что угол ф изменяется от нуля до 2я и поэтому sin у >: 0.
Направляющие косинусы вектора скорости будут
% vx 1 — cos ad at vy sin at wt
cos (x, v) = — = г- = sin tt , cos (y, v) = — = -. = cos "o" •
у „ . at 2 v n . at ?
2 sin у 2 sm y
Отсюда следует, что вектор скорости все время проходит через верхнюю точку
колеса.
Проекции ускорения на оси Ох и Оу равны
wx ~ х = voa sin at, wy = y = voa cos at
и, следовательно,
w = yw\ + w* — voa = a2R,
а так как
wx wy
cos (x, w) = — = sin at, cos (y, w) = — = cos att.
то вектор ускорения точки М всегда проходит через центр колеса.
Радиус кривизны траектории найдем из выражения
_ _ ,5a dv ayt
Так как wn=yw2 — w%. и при vt = v wx= j = voa cos -_-, то
-if. jM .at
Wn=voa у 1 — cos2-2"= voa sin у.
Следовательно,
4o5 sin* у
p= ^= 4/? sin у =2АМ,
voa sin -
где AM = 2R sin ——длина отрезка от рассматриваемой точки колеса до его
нижней точки.

§9 8]
ЗАДАЧИ
173
Ш
Задача 9.9. Движение точки М задано в полярных координатах уравне-
уравнениями r = aekt и <p = kt (рис. 9.28), где а и k — постоянные величины.
Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны
траектории точки как функции ее радиуса г.
Исключая из уравнений r = aekl и ц> — М время (, получим уравнение
траектории *
/¦ = аеЧ>. л у
Это — уравнение логарифмической спирали.
Согласно формуле (9.17) радиальная и по-
поперечная составляющие скорости соответственно
будут
Следовательно, скорость точки М равна ^"
1Г .•> i •> и* l/o
V== I/ V" -J- V~ = /с/ f Z.
Согласно формулам (9.26) будем иметь
Wp = rip + 2гф = 2fc2a?ft/ = 2fe2r,
т. е. ускорение точки М Рис- 9.28.
Определим теперь радиус кривизны траектории. На оснований (9.32) по-
получим
Скорость V нами уже определена. Найдем wn. Согласно (9.33)
имеем
wx = % =
aekt =
Таким образом.
Итак, радиус кривизны траектории будет
р=:
Задача 9.10. Радар О, установленный на берегу, непрерывно следит
за движением судна М, определяя в каждый данный момент времени расстояние г
и угол ф между меридианом и направлением от радара на судно, а также скоро-
скорости изменения этих величин. Пренебрегая кривизной земном поверхности, опреде-
определить модуль скорости судна v относительно Земли, его курс (угол а между
меридианам и скоростью v) и расстояние р от радара до направления ско-
скорости v (рис. 9.29).
Для решения задачи построим прямоугольную систему координат Оху,
направив ось х по касательной к меридиану на север, а ось у по касательной
к параллели на запад. Величины г, ф, г и ф, которые непрерывно измеряет
радар, суть полярные координаты судна и их скорости. Поэтому модуль

174 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
скорости судна будет (см. формулу (9.18))
[ГЛ. IX
Для определения курса (угла а) разложим вектор скорости судна v
на радиальную vr и поперечную vp составляющие. Имеем (см.,рис. 9.29):
СВМ = L <Ж? = о
<р
(углы СВМ и ОМЕ — соответственные при параллельных прямых СВ и ОМ
a L МЕх — внешний для треугольника ОМЕ).
Из треугольника ВСМ найдем
или, учитывая значения проекций поперечной vp и радиальной vr состав-
составляющих скорости v,
tg(« —q>) = ^r. (9.34)
(9.35)
Отсюда
, i ''Ф
a = cp+arctg -f.
Из треугольника ОАМ найдем параметр р:
р = г sin (a — ф) = •——.
(9.36)
С помощью счетно-решающих устройств скорость судна V, его курс а и
параметр р определяются по формулам (9.18), (9.35) и (9.36) или им эквива-
эквивалентным непрерывно»
Если судно идет постоянным курсом а, т. е. движется по прямой линии АМВ,
то равенство (9.36) определяет уравнение траектории судна в полярных коор-
. динатах. Покажем, что при a = const
Я (север/ эт0 уравнение может быть получено из
равенства (9.34). Действительно, умно-
умножая числитель и знаменатель правой
части равенства (9.34) на dt, получим
«-{
tg(a-q>) =
_ rd(f
dr
или
/р
у(запад)
О
Рис. 9.29.
--= ctg(a — ф) с^ф.
Интегрируя обе части этого равенства
и учитывая, что по предположению а =
= const, получим
lnr = — In sin (а — ф) + С, (9.37)
где С—произвольная постоянная интегрирования. При ф = а—^ расстояние
от радара до судна будет равно р, т. е. г = р. Подставляя эти значения
в (9.37), найдем
1пр = — In sin -=- + С,

§9 8]
ИЛИ
ЗАДАЧИ
175
Вноси это значение для С в равенство (9.37), получаем
In /-= —In sin (а —ф) + 1пр,
откуда следует равенство (9.36);
Р
г =
sin (a —
Задача 9.11. Угол ip между неподвижной осью Ох и кривошипом ОИ
изменяется по закону \р = ы(, где ы — постоянное положительное число. С криво-
кривошипом в точке А шарнирно соединен стержень АВ, проходящий все время
через качающуюся муфту О. Найти уравнения движения точки М стержня АВ,
отстоящей от точки А на расстоянии Ь, ее траекторию, скорость и ускорение,
если О1Л = ОО1 = а/2 (рис, 9,30, а).
У
а)
Рис. 9.30,
Положение точки М проще всего определяется полярными координатами:
радиусом г —ОМ и полярным углом ф=/. О^ОА, Так как треугольник ОО±А
равнобедренный, то if = ^ '• а сторона О А = a cos ф = a cos ^-. Из рис. 9.30, а
имеем г = ОА — Ь; следовательно, уравнения движения точки М будут:
ш-
и
wt
Исключая отсюда время t, найдем уравнение траектории точки М в поляр-
полярных координатах:
— Ь,
(Для сравнения рекомендуем читателям самостоятельно найти уравнения дви-
движения и траекторию точки М в декартовых координатах.)
На рис. 9.30, б показана траектория точки М, построенная по точкам *)
для случая 6 = а/2 (при 6 = а получается обычная кардиоида). Точка Мо — началь-
начальная точка траектории, соответствующая моменту времени ^ = 0 или ф = 0
(ОцМ = а — Ь). Направление движения точки М показано стрелками. Отметим,
что точка М попадет в свое начальное положение Mj не через один оборот
кривошипа Oi_A, а через два оборота, когда угол ip изменится на 2я, а угол ip
на 4л. радиана (это произойдет в момент времени ^ = 4/)
*) Если при заданном значении полярного угла ф получается отрицатель-
отрицательный радиус г, то его нужно отложить в обратном направлении,

176 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ. IX
Найдем проекции скорости точки на радиальное и поперечное направления.
Имеем
аы , Ы сил .
vr = r= - — sin -2 = - -у- sin ф,
/ at Л ш ш . ,.
vp — ГФ = [а cos "n— " ) "о" = -s-(йсоэф—6).
Теперь найдем модуль снорости точки М:
или, подставляя найденные значения для у,- и Ур и произведя очевидные пре-
преобразования,
- ]/ a2 + &2-2abco
Для ускорения будем иметь".
., аы2 at , 6ш2 ш2. п ,.
шг = г- /-(f2= - у cos у -f -j- = -4- (— 2a cos ф + Ь),
Модуль ускорения
=^21/ 4а2 + *2
да =^1/ 4а2 + *2- 4аЬ cos ^ = ~
В начальной точке Л10 прн ? = 0 (ф = 0):
( й)
Через один оборот кривошипа т|! = 2л, ф = л точка УИ попадет в положе-
положение Mt (рис. 9.30, б) и ее скорость и ускорение будут соответственно равны
§ 9.9. Криволинейные координаты
Положение точки в трехмерном пространстве, как известно,
можно однозначно определить тремя числами. Так, например,
в декартовой системе координат такими числами будут коорди-
координаты х, у и z точки, в цилиндрической и сферической системах
координат такими числами соответственно будут р, ф, г и г, 6,
Ф (§ 9.2). Очевидно, что можно ввести в рассмотрение и другие
системы координат, в которых определен ;>акон выбора трех
чисел, однозначно определяющих положение любой точки. В этом
параграфе мы рассмотрим так называемые криволинейные коорди-
координаты.
Предположим, что для однозначного определения положения
любой точки нами установлен закон выбора трех чисел qu q2, q3,

§9 9]
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
177
тем самым нами введена в рассмотрение определенная система
координат. Эти числа qlt q2, q3 называются криволинейными коор-
координатами, а введенная система координат —криволинейной. Пусть
радиус-вектор, определяющий положение точки М, заданной
координатами qlt q2, Яз, проведен из произвольно выбранного
полюса О. Этот радиус-вектор будет функцией координат qt,
Яг, Яз-
r = r(qlt q2, Яз)- (9.38)
Проекции радиуса-вектора г на оси декартовой системы коор-
координат также будут функциями qlt q2, q3, т. е.
x = x(qu q2, qa),
У = У{Яи Яг, <7з),
z = z (<7i, Яг, Яз)-
Возьмем какую-либо точку Мо с координатами Яъ Яго, Ям',
тогда уравнения
x = x(qu Я20, Язо),
У = У(Яи ?2о, <7зо),
2 =г(Яи Яы, Язо),
в которых переменной является только одна координата я%> опре-
определяют кривую, проходящую через точку Мо. Эту кривую назы-
называют координатной линией, соответствую-
соответствующей изменению координаты q±. Анало-
Аналогично определяются координатные линии,
соответствующие изменению q2 и qa.
Касательные к координатным линиям,
проведенные в точке Мо в сторону воз-
возрастания соответствующих координат, на-
называются координатными осями [91], [q2],
[qa] (рис. 9.31).
Координатными поверхностями назы-
называются поверхности, определяемые урав-
уравнениями (9.39) при изменении двух ко-
координат и при одной фиксированной
координате. Так, например, поверхность (qlt q2) определяется
следующими уравнениями:
x = x(qu q2, q30),
У = У(Яъ Яг, Язо),
Рис. 9.31.
Касательные плоскости, проведенные в точке Мо к координатным
поверхностям, называются координатными плоскостями.

178
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
[ГЛ. IX
Определим теперь единичные векторы еь е2, е3 координатных
осей. Рассмотрим движение точки по координатной линии, соот-
соответствующей изменению координаты qt. Пусть в момент времени
/ точка находится в положении Мо
(рис. 9.32). Вектор ^—, вычисленный
в точке Мо, направлен по касательной
к координатной линии q2 — const, q.d —
= const, т. е. он направлен по коорди-
координатной och[<7i] в сторону возрастания qt.
Так как
дг дх . . ду . . дг .
М,
ТО
Рис. 9.32.
Таким образом, единичный вектор et равен
1 дг
Аналогично можно получить
дт
где
=V'~
дх\*
ду
W
Ik) - я-
(9.40)
(9.41)
(9.42)
(9.43)
(9.44)
Коэффициенты Ни Н2, На называются коэффициентами Ламе.
Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные
координаты, т. е. такие, у которых координатные оси взаимно
перпендикулярны. Условием ортогональности является
е,-е, = 0 (i, / = 1, 2, 3; 1Ф\)'. (9.45)
Скорость точки может быть найдена посредством дифференци-
дифференцирования соотношения (9.38)
dr дт
дт
дг
(9.46)

§9 9] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 179
но так как
то
v^q1H1e1 + q2H2ei-{-q3H3e3. (9.47)
Учитывая, что еь е2, е3 по предположению взаимно перпендику-
перпендикулярны, для модуля скорости имеем
v =
Проекции скорости на координатные оси определяются выраже-
выражениями
vgi — qiHlt Vq2 = q2H2, vqa = qsH3. (9.49)
Проекция ускорения точки на координатную ось [q^], оче-
очевидно, будет равна
отсюда
d I dr \ d I dr \ ._ _„.
^^W) (9-50)
Взяв частную производную от выражения (9.46) по qlt получим
Так как производная ~ зависит от координат qu q2 и qbt то
d I dr \ ег-т . d2r
Дифференцируя теперь обе части равенства (9.46) по qlt получим
dv d
дЧ1 dq2 ^ + dqx dq3 ^~
Сравнивая оба выражения, найдем
Подставляя полученные равенства (9.51) и (9.52) в формулу
(9.50), имеем
d I дч\ dv
dt\ dqj dqi
Так как v2 = v2, то
dv dv
V V

180 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ [ГЛ. IX
Аналогично
d4l oqi \2j-
Теперь выражение для wqi можно записать в следующей форме:
где v находится по формуле (9.48). Аналогично получаем
(9-54>
§ 9.10. Задачи
Задача 9.12. Найти скорость и ускорение точки в цилиндрической системе
координат р, ф, г (§ 9.2). Координатные линии и координатные оси показаны
на рис. 9.33.
Так как
х = р cos ф, у = р sin ф, 2 = г,
то согласно формулам (9.40) и (9.44]
Н1=1, Я2 = р, #з=1.
Следовательно, в соответствии с формулами (9.48) и (9.49), получим
ар = Р. оф = рф. vz = ? (9.56)
и
Для полярной системы координат (р — г, 2 = 0)
Имея в виду, что
найдем
д [v* \ ,. д
Ырф> й
0 (
Таким образом, по формулам (9.53), (9.54) и (9.55) получим
даР = р - РФ2.
= ' -d 2-)= ¦¦ +2б' (9 57)
О Q,t
w, =2.

, 9 10] ЗАДАЧИ \
Для полярной системы координат
181
Задача 9.13. Найти скорость и ускорение точки в сферической системе коор-
координат г, ф, 6 (рис. 9.34).
У
Рис. 9.33.
Рис. 9.34.
Декартовы координаты связаны со сферическими зависимостями
х = г cos 6 cos ф, y = r cos 6 sin ф, г = г sin ft
Так как
дх „ ду „ . дг . „
¦=- = cos 6 cos ф, з~ = cos 6 sm ф, v- = sm 6,
Эг т w T дг
то
согласно формуле (9.40) имеем
Вычисляя далее
дх
ох . . оу
g— = — г cos 6 sm ф, -у- = г cos 6 cos ф,
дф
аж
= — г sin 6 cos ф, -~ = — л sin 6 sm
и используя формулы (9.44), получим
#2 = г sin 6, #3 = а.
дг-о
Оф
дг
#2 = г sin 6, #3 = а.
Следовательно, проекции скорости на координатные оси сферической систе-
систекоординат равны
у2 = г2 + г2ф2 cos2 6 + А2в2.
Вычислив производные
дг \ 2 / ' дф \ 2 / '"
(9.58)
д /у2
2') = — л2Ф2 cos е sin

182 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 1ГЛ. IX
найдем проекции ускорения на оси сферических координат:
—2npSsin 6,
г cos 6 dt
Id. ...
= — -77 (гЦ) 4- гф2 sin 6 cos 6 = г 6 + 2г6 + гф" sin 8 cos Q.
т dt
(9.59)
Задача 9.14. Найти скорость и ускорение точки, движущейся равномерно
по винтовой линии.
Так как в этом случае в цилиндрической системе координат
p = R = const, (p~^kt, z = ut
(k и и постоянны), то в силу формул (9.56) имеем
чр = 0, v4, = Rk, vz = u,
и, следовательно,
Используя формулы (9.57), получим
w9 = ~Rk2, шф = 0, wz=Q.
Так как t)=const, то wx=0 и wn = w = Rk2. Радиус кривизны
Задача 9.15. Точка движется по земной поверхности (принимаемой за сферу
радиуса R), имея северную и восточную составляющие скорости соответственно
равными Уд, и v0. Найти ускорение точки относительно Земли, не учитывая ее
вращения. Составляющие vN и v0 считать известными функциями времени.
Из условия задачи находим
В соответствии с формулами (9.55) получим
«v=——g—» W9=vo ^~tg

ГЛАВА X
ОСНОВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 10.1. Задание движения твердого тела
При движении твердого тела отдельные его точки движутся
в общем случае по различным траекториям и имеют в каждый
момент времени различные скорости и ускорения. Вместе с тем
имеются кинематические характеристики, одинаковые для всех
точек твердого тела. Основными задачами кинематики твердого
тела являются установление способа задания его движения и
изучение кинематических характе-
характеристик, присущих телу, а также
определение траекторий, скоро-
скоростей и ускорений всех точек тела.
Необходимо сначала уточнить
понятие «задание движения твер-
твердого тела». Мы будем говорить,
что движение твердого тела за-
задано, если имеется способ опре-
определения положения любой его
точки в любой момент времени
по отношению к выбранной си-
системе координат.
Может сначала показаться,
что для задания движения твер-
твердого тела требуется задать движение каждой его точки, т. е.
необходимо иметь бесконечное множество уравнений движения.
На самом деле это не так, ибо перемещения отдельных точек
связаны условием неизменяемости расстояний между ними.
Покажем, что положение твердого тела в общем случае вполне
определяется заданием шести независимых параметров. Для этого
возьмем в теле три не лежащие на одной прямой точки (рис. 10.1)
Аи А2, А3 с координатами
xk = xk{t), yk = yk{t), zk = zk(t) (?=1,2,3). A0.1)
Так как расстояния d±, d2, d3 между точками твердого тела
не изменяются, то координаты точек должны удовлетворять трем
Рис. 10.1.

184 ОСНОВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
уравнениям:
(х2 — хгJ
(х3 - x,f
(г3
[ГЛ. X
A0.2)
Следовательно, из девяти координат A0.1) независимых только
шесть, остальные три определяются из уравнений A0.2). Если
взять еще одну точку Л4 с координатами xit yiy z4, то эти коор-
координаты должны будут удовлетворять трем уравнениям вида (Ю.2),
выражающим неизменность расстояния до ранее выбранных точек
А1у Ач, А3. Таким образом, положение твердого тела относи-
относительно произвольно выбранной системы координат вполне опре-
определяется шестью независимыми параметрами.
Если твердое тело будет закреплено в какой-либо точке, то
его положение будет определяться уже только тремя независи-
независимыми параметрами.
Число независимых параметров, задание которых однозначно
определяет положение твердого тела в пространстве, называется
числом степеней свободы твердого тела.
Заметим, что задание шести декартовых координат, например,
Х\, У\, zlt x2, у2. х3, не является наилучшим способом задания
движения твердого тела. Как будет позднее выяснено, существуют
более удобные параметры, определяющие положение тела в про-
пространстве. В каждом отдельном случае мы будем стараться выби-
выбирать независимые параметры, определяющие движение твердого
тела, исходя из соображений про-
простоты и удобства решения основ-
основных задач кинематики.
§ 10.2. Простейшие движения
твердого тела
Поступательное движение твер-
твердого тела. Поступательным дви-
^ жением твердого тела называется
У такое движение, при котором
любая прямая, проведенная в теле,
остается во все время движения
параллельной своему первоначаль-
первоначальному положению.
движется поступательно относительно
(рис. 10.2), хА — радиус-вектор точки
Рис. 10.2.
Пусть твердое тело
системы координат
А, гв — радиус-вектор точки В, а р —радиус-вектор, определяю-
определяющий положение точки В в подвижной системе координат Ахуг,
жестко связанной с телом (на рис. 10.2 эта система не показана).

§10 2] ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 185
Так как рассматриваемое тело абсолютно твердое и его дви-
движение поступательное, то вектор р при движении тела не меняет
модуля и направления.
Из рассмотрения рис. 10.2 следует
A0.3)
Пусть в момент времени t тело занимало положение /,
а в момент времени t-\-At — положение // (рис. 10.2). Тогда Дгл
будет вектором перемещения точки А, а Дгв — вектором переме-
перемещения точки В за промежуток времени Д/.
Во время движения вектор р не изменяется, значит, отрезки
А0В0 и АВ равны и параллельны и, следовательно, фигура
А0В0ВА — параллелограмм.
Таким образом,
т. е. при поступательном движении абсолютно твердого тела
перемещения всех его точек геометрически равны между собой.
Из равенства A0.3) и условия постоянства вектора р также
следует, что траектории точек тела, движущегося поступательно,
одинаковы и получаются друг из друга параллельным смещением.
Продифференцировав выражение A0.3) по времени, получим
drB dr A dp
~di = ~di ~^~ ~at'
но так как р = const, то р = 0 и, следовательно,
или
т. е. при поступательном движении твердого тела скорости всех
его точек в каждый момент времени равны между собой.
Дифференцируя полученное соотношение по времени, получим
"VB __ <^_A
dt ~ dt
или
\Vg = \?Л,
г. е. ускорения всех точек тела в каждый момент времени равны
между собой.
Таким образом, при поступательном движении твердого тела
все его точки движутся одинаково, так как их перемещения, ско-
скорости и ускорения геометрически равны.

186
ОСНОВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ X
Следовательно, для определения движения твердого тела, дви-
движущегося поступательно, нет необходимости рассматривать дви-
движение всех точек тела, а достаточно рассмотреть движение одной
точки тела, иначе говоря, поступательное движение твердого тела
определяется движением одной точки этого тела, координаты ко-
которой должны быть заданы как функции времени.
Пользуясь понятием поступательного движения, докажем тео-
теорему о сложении скоростей точки, совершающей сложное дви-
движение *).
Предположим, что точка М движется по отношению к системе
координат Ахуг, которая жестко связана с телом, перемещаю-
перемещающимся поступательно по отношению к неподвижной системе коор-
координат Ох^у^. Положение точки относительно неподвижной си-
системы координат определяется
радиусом-вектором (рис. 10.3)
Рис. Ю.З.
где гл — радиус-вектор начала
У подвижной системы координат,
р —радиус-вектор, определяющий
положение точки М в подвижной
системе координат.
Дифференцируя это равенство
по-времени, получим
dr drA dp
It = ~dT~^"dt'
dr
В этом равенстве -п есть скорость точки относительно неподвиж-
неподвижной системы координат, которая называется скоростью точки
в сложном движении или абсолютной скоростью и обозначается
через va.
drA
Первое слагаемое в правой части равенства —г—скорость
точки А. Так как система координат Axyz движется поступа-
поступательно, то это одновременно будет скоростью той точки тела,
с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М. Эта
скорость называется переносной скоростью точки М и обозна-
обозначается ve.
Выясним смысл производной ~. Вектор р определен в под-
подвижной системе координат, следовательно,
p = xi+ y'j+zk,
*) Более общий случай сложного движения точки будет рассмотрен
в главе XIII.

10.21
ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
187
где х, у, г — координаты точки М в системе координат Axyz,
a i, j, k —единичные векторы этих осей.
Так как подвижная система координат перемещается посту-
поступательно, то i, j, k —постоянные векторы и их производные по
Бремени равны нулю, поэтому
f =ii+yj + 5k.
Это равенство определяет скорость точки по отношению к по-
подвижной системе координат и называется относительной ско-
скоростью точки М. Обозначим эту скорость
через vr.
Таким образом, имеем
A0.4)
Полученное равенство выражает теорему
;о сложении скоростей: скорость точки в слож-
сложном движении равна сумме переносной и отно-
относительной скоростей.
Вращение твердого тела вокруг неподвиж-
неподвижной оси. При движении твердого тела с двумя
^неподвижными точками А и В (рис. 10.4) все Рис. Ю.4.
точки на прямой АВ остаются неподвиж-
неподвижными. Это следует из условия неизменяемости расстояний между
точками твердого тела. Прямая АВ называется осью вращения,
а движение тела называется вращательным. Нетрудно видеть,
что все точки тела описывают дуги окружностей с центрами в
основаниях перпендикуляров, опущен-
опущенных из этих точек на ось вращения.
> Возьмем на оси вращения две точки
¦Л и В и введем систему координат
jU-Vji/xZ! с началом в точке А (рис. 10.5).
'Так как положение точек Л и В нам
известно, то положение тела будет
полностью определено, если мы будем
знать в любой момент времени положе- & .
ние какой-либо точки С тела (не лежа-
щей на оси вращения). Из трех коор- Рис- Ю.5.
динат этой точки независимой будет
только одна, так как расстояния АС и ВС постоянны и коорди-
координаты точки связаны двумя уравнениями:
(ха - xcf + (уА - ycf + (г А - zcf = АС\
(хв - xcf + (у в - ycf + (гв ~ zcf = ВС\
Отсюда следует, что положение твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, определяется одним параметром.

188
ОСНОВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ X
Направим ось Az1 неподвижной системы координат Ax1y1z1 по
оси вращения тела. Введем подвижную систему координат Axyz,
жестко связанную с телом, ось Az которой так же направим по
оси вращения (рис. 10.6). Положение тела будет полностью опре-
определено, если задан угол ф = ф(^) между неподвижной плоскостью
xtAzt и подвижной плоскостью (жестко связанной с телом) xAz
(рис. 10.6). Этот угол называется углом поворота тела.
Для однозначного определения положения тела необходимо
знать не только величину, но и направление отсчета угла ф.
Условимся считать положительным направлением отсчета направ-
направление против хода часовой стрелки,
если смотреть с конца оси Ozt.
Характер вращательного дви-
движения твердого тела целиком
определяется заданием угла его
поворота как функции времени.
Главными кинематическими харак-
характеристиками вращательного движе-
движения тела в целом будут угловая
скорость иугло'вое ускорение, к опре-
определению которых мы и перейдем.
Пусть в момент времени t угол
Рис. Ю.6. между неподвижной полупло-
полуплоскостью x1Az1 и подвижной полу-
полуплоскостью xAz равен (p(t), а в момент времени t-\-At равен
Ф(^ + At). Это значит, что за промежуток времени Д^ подвиж-
подвижная плоскость, а следовательно, и тело повернулись на угол
Отношение угла поворота Дф к промежутку времени At, за
который тело повернулось на этот угол, называется средней угло-
угловой скоростью тела за промежуток времени Д^
<«*,-?¦
Предел этого отношения при Д?->-0 называется угловой ско-
скоростью тела в данный момент времени
@г = ПГП —гг = -тт = ф. (Ш.О)
Введенная таким образом угловая скорость юг может быть
как положительной, так и отрицательной в зависимости от закона
изменения угла ф. Абсолютное значение угловой скорости будем
обозначать через со, т. е. <»= -?- .
Если угол поворота измеряется в радианах, а время —в се-
секундах, то единицей измерения угловой скорости "будет сек'1.

§ 10.2] ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 189
В технике часто при равномерном вращении тела пользуются
числом оборотов в минуту. Зависимость между угловой ско-
скоростью и числом оборотов в минуту определяется по следую-
следующей формуле:
а==Ж = М 1/сек'
где л —число оборотов в минуту.
Пусть теперь в момент времени t угловая скорость вращения
равна a>z(t), а в момент t-{-At равна coz(^ + A^); тогда за проме-
промежуток времени А^ приращение угловой скорости будет равно
Дюг = сяг (t + АО — сог (О-
Средним угловым ускорением тела за промежуток времени Д^
будем называть отношение приращения угловой скорости к про-
промежутку времени, за который это изменение произошло, т. е.
Предел этого отношения при At-*-О называется угловым ускоре-
ускорением тела в данный момент времени
,. Дшг _ d(?>z d2(p _ .. ..- „.
так как
Угловое ускорение, характеризующее изменение угловой ско-
скорости с течением времени, равно производной по времени от угло-
угловой скорости или второй производной по времени от угла по-
поворота.
Единица измерения углового ускорения — 1/сек2.
Весьма полезным для дальнейшего изучения кинематики твер-
твердого тела является введение в рассмотрение вектора угловой ско-
скорости и вектора углового ускорения.
Вектором угловой скорости твердого тела, совершающего вра-
вращение вокруг неподвижной оси, мы будем называть вектор, модуль
которого равен абсолютному значению производной угла поворота
тела по времени, направленный вдоль оси вращения в ту сторону,
откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой
стрелки.
Учитывая ранее введенное определение направления положи-
положительного отсчета угла <р, вектор угловой скорости можно опре-
определить по формуле
*> = §к = югк, A0.7)
где к —единичный вектор оси Ог.

190
ОСНОВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. X
Из этой формулы следует, что при йг = ф>0 направление
вектора ю совпадает с направлением вектора к, а при юг = ф<0
вектор ю направлен в сторону, противоположную направлению'
вектора к.
Вектором углового ускорения будем называть вектор, равный
производной по времени от вектора угловой скорости, т: е.
е = л» d^k = e,k,
где ег =
•*> Ъ
Из формулы A0.8) следует, что вектор е направлен,
как и вектор ю, вдоль оси вра-
вращения.
Величины иг и ег представ-
представляют проекции векторов угловой
скорости ю и углового ускоре-
ускорения е на ось вращения.
Перейдем к нахождению ско-
скорости и ускорения любой точки
тела, вращающегося вокруг не-
неподвижной оси. Пусть единич-
единичные векторы координатных осей
х, у, г, соответственно будут i,
j и к (рис. 10.7). Радиус-вектор
произвольной точки М можно
представить в виде
Рис. 10.7.
A0.9)
где х, у, г — координаты точки (постоянные величины).
Скорость точки М будет равна
v=— -х— + u^-4-z— ПО lm
dt dt^ydt^ df *• i
Так как вектор k неподвижен, то k = 0; что же касается произ-
производных векторов i и j, то мы уже вычисляли их, рассматривая
движение точки в полярной системе координат. Если обозначить
r° = i и p° = j, то формулы (9.15) и (9.16) примут вид
di _ ,nS d'i _. .•„:
Подставляя в формулу A0.10) эти производные и учитывая, что
ф = сог, получим
V = X(uJ — у(Ог\. A0.11)
Отсюда следует, что проекции вектора скорости точки М на
оси х, у и z соответственно равны
vx = — y<i>z, vy = x(i>x, иг = 0. A0.12)

10 2]
ПРОСТЕПШНЁ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
191
Так как векторное произведение
i i к
О 0 со,
х у z
= — уаг\ -f
имеет те же проекции на оси х, у и z, что и вектор скорости v,
то имеем
v = ft)xr, A0.13)
иначе говоря, скорость любой точки твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению вектора
угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.
Из формулы A0.13) следует, что
у = юг sin (ft), г) = юр,
т. е. модуль скорости любой точки твердого тела равен произведению
модуля угловой скорости тела на расстояние от точки до оси вра-
вращения. Направлен же век/пор скорости по касательной к окруж-
окружности, по которой перемещается z,
точка М, в сторону ее движения.
Взяв производную по времени
от обеих частей равенства A0.13),
получим
"~~ dt dtK ' dt" ' "df
Но зт> = е — угловое ускорение, а
-г? — v = ft) x r — скорость точки М.
Тогда
Рис. 10 8.
Вектор ехг направлен по касательной к траектории точки
(к окружности радиуса р), т. е. параллельно скорости (так как
вектор е направлен по оси вращения (рис. 10.8)). Эта состав-
составляющая ускорения является касательным ускорением точки М
тела..В дальнейшем будем называть эту составляющую враща-
вращательным ускорением, т. е.
wBp — ехг.
Это название связано с тем, что с такой составляющей ускоре-
ускорения мы встретимся при изучении более сложного движения тела,
когда вектор ехг уже не будет являться касательным ускоре-
ускорением точки М.

192 ОСНОВНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА. [ГЛ X
Численное значение вращательного ускорения равно
швр = e/"sin(r, e) = ер.
Вектор wxv направлен в плоскости окружности радиуса р
от точки М к точке С, т. е. направлен к оси вращения по нор-
нормали к траектории и является нормальным ускорением точки М.
Этот вектор
Woc = ft) X V,
направленный к оси вращения, будем называть осестремитель-
ным ускорением.
Так как вектор v перпендикулярен вектору аи, то численное
значение осестремительного ускорения равно
w°c — сои = со2р.
Модуль полного ускорения точки М будет
w = У (да00J + (wapJ = р У е2 + со4.
Угол р, образованный векторами полного и осестремительного
ускорений, определяется из формулы
Задача 10.1. Стрелка гальванометра длиной / движется по закону ф =
. 2я ,
= (fosm-jrt, где ф0—угол максимального отклонения стрелки от положения
ф = 0, а Т — период колебаний. Найти модуль и направление ускорения конца
стрелки гальванометра в момент времени t = T/4.
Угловая скорость и угловое ускорение соответственно равны
_._2я 2я _.. 4я2 . 2я
XT' Т2 Т
Модуль вращательного ускорения будет
2я
а модуль осестремительного ускорения
При ^ = Г/4
' 42
В момент t = T/4 угол ф^ф0, т. е. стрелка доходит до своего крайнего
положения. В ?тот момент времени скорость конца стрелки у = /со = 0, а уско-
ускорение будет равно модулю вращательного ускорения.

ГЛАВА XI
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 11.1. Задание движения
Движение твердого тела называется плоским, если все точки
тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой непод-
неподвижной плоскости.
Примером плоского движения тела может служить качение
цилиндра по горизонтальной плоскости, при котором его основа-
основание остается все время параллельным плоскости иг (рис. 11.1).
' Рассмотрим произвольное плоское движение твердого тела.
Пусть все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных
У
Рис. 11.1.
Рис. 11.2.
плоскости ху (рис. 11.2). Из определения плоского движения и
из свойств твердого тела (углы между любыми прямыми, фикси-
фиксированными в твердом теле, сохраняются неизмендыми) следует,
что любая прямая АВ, проведенная в теле перпендикулярно
плоскости ху, будет перемещаться поступательно, т. е. траекто-
траектории, скорости и ускорения всех точек этой прямой будут одина-
одинаковы.
Таким образом, для определения движения тела необходимо
знать движение лишь одной точки на каждой прямой, проведен-
проведенной перпендикулярно плоскости ху. Взяв точки в одной пло-
плоскости, параллельной плоскости ху, мы можем утверждать, что
7 Бутенин Н. В. и др.

194
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
[ГЛ. XI
плоское движение твердого тела вполне определяется движением
плоской фигуры, полученной от пересечения тела любой плоскостью
Q, параллельной плоскости ху (см. рис. 11.2).
Итак, задание движения твердого тела сводится к заданию
движения одного его сечения. Поэтому в дальнейшем будем
изображать только плоскую фигуру— сечение тела и изучать
движение точек этого сечения в его плоскости.
Пусть A (xlA, ylA) и В (х1В, у1В) — Две точки плоской фигуры,
находящейся в плоскости Оххух (рис. 11.3, а). Так как расстоя-
расстояние d между этими точками остается неизменным
(х1А - х1ВJ 4- (УгА — УшJ = d2,
то из четырех координат независимых только три. Присоедине-
Присоединение третьей точки С (xlC, г/ic) не увеличивает числа независимых
yi
о
Уг
Л/ лм
Рис. 11.3.
координат, ибо две новые координаты ххс и угс должны удовлет-
удовлетворять двум равенствам, выражающим неизменность расстояний
до ранее выбранных точек А и В. Таким образом, для описания
плоского движения тела требуется знать три независимые коор-
координаты как функции времени.
Свяжем жестко с плоской фигурой систему координат Аху.
Тогда положение системы Аху, а вместе с ней и положение
плоской фигуры относительно системы координат Ох1у1 будет
вполне определено заданием координат х1Д и у1А точки А и
углом ф между осями Ах2 и Ах — см. рис. 11.3, б (оси Ах2 и Ау2
соответственно параллельны осям Охх и Оух и перемещаются при
движении фигуры поступательно). Следовательно, три функции
времени
Щ (t) (О (П1)
определяют положение плоской фигуры в любой момент времени.
Равенства A1.1) называются уравнениями движения плоской
фигуры или уравнениями плоского движения твердого тела.

§ П2]
СКОРОСТИ ТОЧЕК ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ
195
§ 11.2. Скорости точек тела при плоском движении
Найдем формулы, позволяющие при заданных функциях A1.1)
определить координаты любой точки плоской фигуры.
Пусть система координат Оххуг является неподвижной систе-
системой, а система координат Ах2у2, имеющая начало в произвольно
выбранной точке А плоской фигуры, движется поступательно.
Систему координат Аху жестко свяжем с плоской фигурой.
Радиус-вектор гв, опре-
определяющий положение точки у, &,,
В относительно неподвиж-
неподвижной системы координат
Ох^Ух (рис. 11.4), можно
задать при помощи двух
векторов: Гд," определяю- У'в
щего положение точки А
в системе отсчета ОххУх,
и р, определяющего поло-
положение точки В в системе у1А
отсчета Ах.2у2,
гв = гл + р. A1.2) О
Зная координаты хгл и Рис- 11>4-
Уха точки А ~\\ координа-
координаты хв и ув точки В в системе координат Аху, а также угол q>
между осями Ах2 и Ах, можно определить координаты xlB и у1В
точки В по формулам:
Xib @ = Хха @ + хв cos cp (t) — yB sin ф (t),
У IB (t) = Уи (I) + хв sin ф (t) -f г/д cos ф (t).
A1.3)
Напомним, что координаты хв и у в — постоянные величины.
Продифференцировав по времени xlB и у1В, найдем проекции
скорости точки В на координатные оси:
ХхВ = ХхА —ХВЦ> Sin (р—
фвтф-г/вфо^ф, |
К этому же результату можно прийти, дифференцируя непосред-
непосредственно тождество A1.2),
dr,
dt
Л
dt
A1.5)
dr;
Заметим, что -Jj- — \B, ~ — \A. Что же касается ^-, то это есть
скорость точки В относительно подвижной системы координат Ах2у2>
7*

196 ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ XI
т. е. относительная скорость (см. § 10.2). Введем для нее обо-
обозначение vBA:
d
Движение тела относительно системы координат Ах2у2 представ-
представляет собой вращение тела вокруг оси* Az2, направленной перпен-
перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 11.4) на читателя. Таким обра-
образом,- скорость vB4 есть скорость точки В при вращении тела
вокруг оси Агг. Для определения этой скорости мы уже полу-
получили формулу (!? 10.2)
где «л —угловая скорость вращения фигуры вокруг точки А
(вокруг оси Az2), которую в дальнейшем будем называть полюсом.
Формула A1.5) принимает теперь вид
A1.6)
т. е. скорость какой-либо точки В плоской фигуры равна геомет-
геометрической сумме скорости полюса А и скорости точки В при враще-
вращении плоской фигуры вокруг полюса А.
Покажем, что угловая скорость вращения фигуры не зависит
от выбора полюса. Пусть А и В —две какие-нибудь точки плос-
плоской фигуры. Пусть полюсу А соответствует угловая скорость юл,
а полюсу В — угловая скорость ю^. Найдем скорость точки В,
приняв за полюс точку А
У В = VA 4" (Л А X р.
Приняв теперь за полюс точку В, найдем скорость точки А
Сложив оба равенства, пол>чим
(юд-юв)хр = 0.
Но вектор юд — юв перпендикулярен плоскости фигуры, и,
значит, полученное равенство может выполняться только при юд =
= (ав. Таким образом, нет надобности в дальнейшем сохранять
индекс полюса в обозначении вектора угловой скорости, т. е.
Формула A1.6) может быть записана теперь в виде
Vg = Vд -f- Удд = Уд -\- (ЛУ< р. A1.7)
Если заметить, что
О 0 о,
Х2В У^В ®

§ 112]
где
СКОРОСТИ ТОЧЕК ТЕЛА. ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ
197
sin ф,
— xB sin
то из (П.7) после проектирования на оси координат можно получить уже ранее
выписанные формулы A1. 4).
Так как vBA = wxp = (t>x АВ, то модуль скорости
ибо вектор ю перпендикулярен плоскости чертежа. Отметим, что
вектор \ra перпендикулярен также АВ. Направление вращения
Рис. 11.5.
плоской фигуры вокруг полюса зависит только от знака проекции
угловой скорости на ось Az2. Так как юг = ф, то при щ i> О вра-
вращение происходит против хода часовой
стрелки и при йг<0 —по ходу часовой
стрелки.
На рис. 11.5, а и б показано, как, зная
скорость точки А, можно найти скорость точ-
точки В при йг>0 и йг<0.
Из формулы A1.7) следует одна полезная
теорема:
При плоском двибкении проекции скоростей двух точек тела
на ось, проходящую через эти точки, равны между собой.
Выберем положительное направление для оси АВ, как указано
на рис. 11.6. Воспользуемся далее формулой A1.7)
у в = vA 4- vBA.
Проектируя это равенство на направление АВ, получим
(ув)ав = (va)ab + (vBa)ab-
Последнее слагаемое в этом соотношении равно нулю, так
как вектор \ВА перпендикулярен АВ и, следовательно,
(vb)ab = (уа)ав-

198
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ XI
Задача 11. 1. Определить скорость ползуна В кривошипно-шатуиного меха-
механизма, изображенного на рис. 11.7, если АС = СВ = 1 и известна угловая ско-
скорость со кривошипа АС в момент времени, когда
АС и ВС взаимно перпендикулярны.
На основании доказанной теоремы
(vc)bc~(vb)bc,
откуда
Рис. 11.7.
так как
vc = со/.
Определения и теоремы этого параграфа можно использовать
для графического нахождения скоростей точек плоской фигуры.
§ 11.3. План скоростей
Приступая к графическому нахождению скоростей точек плоской фигуры,
будем считать заданными модуль и направление скорости одной точки и на-
направление скорости другой точки.
Пусть, например, известны вектор скорости точки А и направление скоро-
скорости точки В (рис. 11.8, а). Определим сначала модуль скорости точки В, а
Затем векторы скоростей точек С и D.
Скорость точки В определяется формулой A1.7)
В А <~ В А*
Так как нам известны вектор vA и направления векторов vB и vBA (напом-
(напомним, что вектор vBA перпендикулярен отрезку АВ), то можно получить гра-
графическое решение уравнения A1.7). Для этого из произвольно выбранного
Рис. 11.8.
полюса р (рис. 11.8, б) в произвольно выбранном масштабе отложим вектор
P~a = vA.
Если бы нам была известна скорость vBA, то, отложив от точки а вектор
ab = vBA, мы получили бы точку Ъ и, очевидно, вектор pb был бы равен век-
вектору скорости vB. Но нам известно лишь направление вектора vBA (vBA I AB).
Поэтому поступим следующим образом' через точку а проведем прямую, пер-
перпендикулярную отрезку АВ. Конец вектора \ВА должен лежать на этой пря-

§113] ПЛАН СКОРОСТЕЙ 199
мой. Проведем теперь из полюса р прямую, параллельную вектору скорости
точки В. Пересечение этих прямых и опргделит точку Ь, причем вектор ab =
= vBA, а вектор p6 = vfl.
Зная теперь векторы скоростей точек А и В, найдем скорость точки С.
На основании формул
VC = VA + VCA> vC = VB + VCfl
можно записать:
Проведем из точки а прямую перпендикулярно отрезку АС (так как
\„, ± АС). Конец вектора vc^ должен лежать на этой прямой. Из точки b
проведем прямую перпендикулярно отрезку ВС (vCB J. ВС). Конец вектора vCB
лежит на этой прямой. Следовательно, точка пересечения прямых, проведен-
проведенных нами из точек а и Ь, определит точку с. в соответствии с равенством
A1.8) будем иметь
Соединяя точки рас прямой, получим
Для нахождения скорости точки D снедает использовать формулы
и провести аналогичные построения.
Фигура abced (рис. 11.8, б) представляет собой графическую картину
распределения скоростей точек плоской фигуры н называется планом скоростей.
Точки а, 6, с, е и d называются вершинами, а точка р — полюсом плана
скоростей; векторы pa, pb, рс, ре и pd называются лучами и представляют
собой скорости соответствующих точек. Векторы, соединяющие вершины плана
скоростей т. е. векторы ab, be, ас, ае, ad, be и cd, равны скоростям точек
В, С, Е, D при вращении фигуры вокруг соответствующих полюсов.
Легко показать, что треугольник относительных скоростей на плане ско-
скоростей подобен соответствующему треугольнику плоской фигуры и повернут
по отношению к нему на угол 90°. Так как ab J. AB, ас J. AC, be 1 ВС, то
Z.abc=LABC, Lacb=LACB, Lcab=-LCAB,
а следовательно, треугольник аЬс подобен треугольнику ABC и повернут по
отношению к нему на угол 90°.
Построив план скоростей, можно определить угловую скорость плоской
фигуры. Так как ab=>\BA, 6c = vCB и т.д., то, приняв во внимание принятый
масштаб построения плана скоростей, угловую скорость найдем по формуле
1>„. ab be
»~$М = АВ-ВС-'- (И9)
Задача 11.2. Определить скорость точки О механизма, изображенного
на рис. 11.9, а, путем построения плана скоростей, если известно, что угло-
угловая скорость стержня OtA равна щ.
Скорость точки А будет равна по модулю vA = O\A • сов и направлена,
как показано на рисунке. Направление скорости точки В перпендикулярно
стержню О2В. Для определения скорости точки D мы сначала должны найти
скорость точки С, принадлежащей как стержню АС, так и стержню CD,

200
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
(ГЛ. XI
Отложим от полюса р вектор ра = УА, из точки а проведем прямую, пер-
перпендикулярную стержню АВ (рис. 11.9, б). Прямая, проведенная из точки р
параллельно направлению скорости точки В, пересечет прямую, проведенную
из точки а, в точке Ь и, следовательно, вектор рЪ будет равен у„. Точку с
на плане скоростей получить путем нахождения точки пересечения прямых
С
Рис. 11.9.
линий, проведенных из точки а перпендикулярно стержню АС и из точки Ь
перпендикулярно ВС, нельзя, так как эти линии сливаются. Поэтому для
нахождения точки с воспользуемся соотношениями (П-9):
ab _ be
ЛВ= ВС'
Это значит, что точка b делит отрезок ас в том же отношении, что и точка
В — отрезок АС. Таким образом, находим точку с. Вектор pc=vc-
Теперь проведем из точки р прямую, параллельную направлению скоро-
скорости точки D, а из точки с прямую, перпендикулярную стержню CD. Пересе-
Пересечение этих прямых определит точку d, причем pd = vD.
§ 11.4. Мгновенный центр скоростей. Центроиды
Мгновенным центром скоростей называется точка плоской
фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.
Докажем теорему о существовании мгновенного центра ско-
скоростей: если угловая скорость плоской фигуры отлична от нуля,
то мгновенный центр скоростей существует.
Пусть скорость vA произвольной точки плоской фигуры от-
отлична от нуля (в противном случае точка 'А была бы мгновен-
мгновенным центром скоростей).
По знаку угловой скорости сог = ф определяем направление
вращения плоской фигуры вокруг точки Лив этом направле-
направлении откладываем от точки А отрезок АР = иА/а перпендикулярно
скорости \А.

§ 114]
МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ. ЦЕНТРОИДЫ
201
На рис. 11.10 предполагается, что сог = ф>>О, и поэтому от-
отрезок АР повернут относительно vA против хода часовой стрелки.
Докажем, что скорость полученной точки Р равна нулю,
т. е. эта точка и есть мгновенный центр скоростей.
В соответствии с формулой A1.7) имеем
Так как скорость vPA перпендикулярна АР, то вектор vPA
параллелен \А. Кроме того, в соответствии с правилом построе-
построения отрезка АР векторы vA и vP^
имеют противоположные направ-
направления. Модуль скорости Ура равен
vPA = со • АР = -J- со = vA.
Два вектора, равных по вели-
величине и противоположно направ-
направленных, в сумме равны нулю. Сле-
Следовательно,
0,
Рис. 11.10.
т. е. скорость точки Р равна нулю.
Выберем теперь за полюс точку Р. Тогда скорость произ-
произвольной точки А плоской фигуры найдется по формуле
(рис. 11.11)
ул=Уя + <0ХРЛ = С0ХРЛ, A1.10)
tjk как vp = 0.
Отсюда следует, что скорости точек тела при его плоском
движении распределяются точно так же, как и при вращатель-
вращательном движении. Роль неподвижной оси играет мгновенная ось,
проходящая через мгновенный центр скоростей перпендикулярно
плоскости движения. Таким образом, скорости всех точек фигуры
перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновен-
мгновенным центром скоростей (уаХ.АР), а модули скоростей пропор-
ц юнальны расстояниям до мгновенного центра скоростей
(Уд-СО-РЛ).
Зная положение мгновенного центра скоростей, можно найти
скорости всех точек плоской фигуры, если известна скорость
какой-либо ее точки.
В самом деле, пусть известна, например, скорость vA точки Л;
ттда из равенства ьА = <л-АР найдем a>=vA/AP и скорость
любой точки В будет vB = vA-PB/PA. Соединив конец вектора
Уд с точкой Р, получим эпюру распределения скоростей вдоль
отрезка РВ (см. рис. 11.11).

202
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. XI
Используя основные свойства мгновенного центра скоростей,
можно определить его положение и в других случаях. На
¦рис. 11.12, а показано, как находится эта точка, когда известны
направления скоростей двух точек. Из точек А и В восстав-
восставлены перпендикуляры к v^ и vB. Точка Р находится на их пе-
пересечении. Если скорости точек А и В параллельны и АВ J_vA,
то для определения мгновенного центра скоростей следует вос-
воспользоваться свойством пропорциональности модулей скоростей
расстояниям точек до мгновенного центра скоростей. На
рис. 11.12, б и в показано, как находится мгновенный центр в этих
случаях. На рис. 11.12, г показан случай, когда vB и \А па-
параллельны, но vA не перпендикулярна отрезку АВ. Очевидно,
что в этом случае прямые,
перпендикулярные v^ и
vB, пересекаются в беско-
бесконечности и мгновенного
центра скоростей не суще-
существует. В самом деле, на
основании теоремы о проек-
проекциях скоростей имеем
vA cos a = vB cos а. 'Отсюда
vA = vB и vA = vB. Из фор-
формулы A1.7) следует, что
в)
Рис. 11.12.
при этом (охЛБ = 0, т. е. угловая скорость фигуры равна нулю
(о) = 0). Значит, в данный момент времени скорости всех точек
плоской фигуры равны по модулю и направлению и, следова-
следовательно, точки, линейная скорость которой равна нулю, не суще-
существует.
При качении без скольжения одного тела по поверхности
другого (рис. 11.12, д) мгновенный центр скоростей совпадает
с точкой соприкосновения тел (так как при отсутствии сколь-
скольжения скорость точки соприкосновения равна нулю).
Использование мгновенного центра скоростей очень часто
упрощает решение задачи.

§ 11 4] МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ. ЦЕНТРОИДЫ 203
Задача 11.3. В двухползунковом кривошипном механизме кривошип О А —
= г=15 см вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью щ =
= 2 сек~± (рис. 11.13). Длины шатунов равны между собой (AB = CD = l —
= 60 см), АС =1/3. При го-
горизонтальном (правом) поло-
жении кривошипа ОА опре-
делить: 1) угловые скорости
шатунов АВ и CD; 2) ско-
скорость ползуна D.
В рассматриваемом меха-
механизме звенья АВ и CD со-
совершают плоское движение. ¦ ^
Определим положение мгно- * А
венных центров скоростей
шатунов АВ и CD. Восстав- Рис. 11.13.
ляя перпендикуляры к нап-
направлениям скорости точки А
и скорости точки В (точка В движется по горизонтальной прямой), убеждаемся,
что мгновенный центр скоростей шатуна АВ в данный момент времени совпадает
с точкой В (рис. 11.13).
Модуль скорости точки А как точки кривошипа ОА равен vA = (?>Qr, с дру-
другой стороны, модуль скорости этой же точки как точки шатуна АВ будет
vA = a>- АВ,
где со— угловая скорость шатуна АВ.
Следовательно, о)(/ = со ¦ АВ и
со = ^=0,5 1/дас,
Модуль скорости точки С шатана АВ равен
vc = со -ВС = 20 см/сек.
Направление вектора vc перпендикулярно АВ.
Так как скорости точек С и D параллельны, то мгновенный центр ско-
скоростей шатуна DC лежит в бесконечности и угловая скорость coi шатуна DC
равна нулю. Значит, vD=vc и &D = 20 см/сек.
В отличие от чисто вращательного движения, при плоском
движении мгновенный центр скоростей меняет, вообще говоря,
свое положение на плоскости. Если наклеить на фигуру, совер-
совершающую плоское движение, лист бумаги и в каждый момент
времени прокалывать иглой мгновенный центр скоростей, то
получатся две серии отметок: одна на неподвижной плоскости,
другая на листе, связанном с фигурой.
Геометрическое место мгновенных центров скоростей, отмечен-
отмеченных на неподвижной плоскости, называется неподвижной центро-
идой.
Геометрическое место мгновенных центров скоростей, отме-
отмеченных на плоскости, жестко связанной с фигурой, называется
подвижной центроидой.

204
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА*
[ГЛ, XI
При качении цилиндра по горизонтальной плоскости
(рис. 11.12," д) неподвижная центроида —горизонтальная прямая,
а подвижная— окружность.
В каждый момент времени подвижная и неподвижная цент-
центроиды имеют общую точку касания—мгновенный центр скоро-
скоростей Р, т. е. точку, скорость которой равна нулю. Поэтому
плоское движение можно представить, как качение без скольже-
скольжения подвижной центроиды по не-
неподвижной.
Задача 11.4. Определить иентроиды
подви.чного звена CD ангипараллело-
грамма ABCD, у которого звено АВ зак-
закреплено неподвижно, CD—AB, CB = AD.
Изобразим в точках С и О скорости
VC и vrr Перпендикуляры к ним пере-
секагснся в точке Р (рис. 11.14) — мгно-
мгновенном центре скоростей звена CD. Треу-
Треугольники ABD и CBD равны по трем
сторонам. Следовательно, /. ADB =
— ?. CBD и треугольник PBD равнобед-
равнобедренный. Поэтому
Рис. 11.14.
const.
Отсюда вытекает, что точка Р неподвижном плоское!и, жестко связанной
со звеном АВ, описывает эллипс с фокусами в А и В, а в подвижной пло-
плоскости, связанной со звеном CD,—эллипс с фокусами в С и D. Первая кри-
кривая является неподвижной центроидой (она заштрихована), вторая —подвижной.
§ 11.5. Ускорения точек при плоском движении.
Мгновенный центр ускорений
Для определения ускорения точки плоской фигуры продиффе-
продифференцируем равенство A1.7) по времени:
dvB
dt
В этом соотношении
dvA
dt
dv,
dt
dco
dv.
d9_
dt
т
— w^ — соответственно ускоре-
ускорения точек В и A, -^ = co>p=vM, -J^- = e —вектор углового уско-
ускорения. Вектор е, как и вектор ю, направлен перпендикулярно
плоскости фигуры и определяется формулой
Таким образом, ускорения точек А и В связаны между собой
соотношением

§ И 5]
1СК0РЕНИЯ ТОЧЕК ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ
205
Два последних слагаемых в равенстве A1.11) определяют
ускорение точки В при закрепленной точке A (w^ = 0). Поэтому
их сумма
е X р + (о X vBA = Wba
дает ускорение точки В во вращательном движении относи-
относительно системы координат Ax^jt.
При изучении вращательного движения мы уже выяснили,
как направлены составляющие вектора ускорения wfiA. Легко
еще раз убедиться, пользуясь правилом составления векторного
произведения, что (axvBA имеет нап-
направление, совпадающее с В А (от точки
к полюсу), а ехр перпендикулярно
В А. Сохраним за этими составляющими
старые названия — осестремительного
(или центростремительного) и враща-
вращательного ускорений, т. е.
Модули этих составляющих будут
= со2р = со2 • АВ,
ч>А = го = е-АВ.
A1.12)
На рис. 11.15 геометрически сло-
сложены три вектора и определено уско-
ускорение точки В при помощи формулы
Рис. 11.15,
Таким, образом, ускорение любой точки В плоской фигуры
геометрически складывается из ускорения полюса и осестремитель-
осестремительного и вращательного ускорений во вращательном движении фигуры
относительно полюса.
Заметим, что при решении задач, прежде чем устроить уско-
ускорение точки по формуле A1.13), необходимо вычислить угловую
скорость тела, его угловое ускорение и выбрать полюс. За полюс
выбирается обычно такая точка, ускорение которой легко нахо-
находится из условия задачи. Иногда, зная, например, направление
искомого ускорения точки, угловое ускорение можно определить
по формуле A1.13).
Из A1.12) найдем угол, составленный вектором wBA с направ-
направлением на полюс (рис. 11.15),
"В А
Отсюда видно, что этот угол, во-первых, не зависит от выбора

206 ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. XI
полюса и, во-вторых, для всех точек при фиксированном времени
одинаков.
Модуль ускорения точки при вращении фигуры вокруг полюса
также находится из равенства A1.12)
Он зависит от расстояния точки до полюса.
Введем понятие мгновенного центра ускорений.
Мгновенным центром ускорений называется точка плоской
фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.
Для построения мгновенного центра ускорений будем пред-
предполагать, что нам известны ускорение одной из точек wA, угловая
скорость со и угловое ускорение е, причем
предполагается, что со и е не равны нулю
одновременно. Из точки А отложим под
углом а — arctg \ к ускорению w^ отре-
jqa зок AQ
A1.15)
Рис. 11.16. г|рИ ЭТ0М) если е^^ф.^о, то угол от-
откладывается против хода часовой стрелки
(рис. 11.16), при противоположном знаке ф — по ходу часовой
стрелки.
Убедимся в том, что ускорение точки Q равно нулю. Выбрав
за полюс точку А, получим
Как мы уже отметили ранее, угол между ускорением точки отно-
относительно полюса и направлением на полюс не зависит от выбора
полюса. Следовательно, wQA составляет с направлением QA угол а.
Такой же угол составляет и w^ с AQ. Поэтому векторы wQA и
wA параллельны (рис. 11.16). В сийу принятого правила отсчета
угла а ускорения mQA и wA будут всегда противоположно
направлены. Остается теперь установить, что они равны по модулю.
Вспоминая A1.14) и подставляя A1.15), получим
w0A = AQ V*2 + «4 = у== /е2 + «4 = «л-
Отсюда следует:
Таким образом, мы доказали, что точка Q —мгновенный центр
ускорений.

§ 11.6] ПЛАН УСКОРЕНИЙ 207
Ускорение любой точки в данный момент времени теперь
ыожет быть определено так же, как и при вращении вокруг
неподвижной оси:
У А = Wq + WAQ = *AQ = Q fQ
(поскольку wq = 0).
Следует иметь в виду, что мгновенный центр ускорений и
мгновенный центр скоростей, —вообще говоря, разные точки.
В этом легко убедиться, рассмотрев простой пример. Допустим,
диск катится по горизонтальной плоскости без скольжения
(рис. 11.12, д) и скорость его центра О постоянна. Как мы уже
знаем, мгновенный центр скоростей находится в точке касания Р.
Так как вектор скорости точки О постоянен, то ускорение центра
диска равно нулю. Таким образом, мгновенный центр ускорений
совпадает с центром диска, а мгновенный центр скоростей —
с точкой касания.
§ 11.6. План ускорений
В этом параграфе мы рассмотрим методы графического определения уско-
ускорений точек плоской фигуры.
Пусть заданы скорости точек плоской фигуры (рис. 11.17) (построен план
скоростей), ускорение w^ точки А и направление ВВ' ускорения точки В.
Определим ускорения точек В а С плоской фигуры. На основании формулы
A1.13) для данных точек А и В фигуры можно записать
В этом уравнении вектор w^ известен по модулю и направлению, вектор w^
известен по направлению — направлен от точки В к точке А, а его модуль
определяется по формуле
ос VBA _ (abf
™ВА- АВ - АВ •
Вектор wj^i направлен перпендикулярно АВ, а вектор wfl — вдоль линии ВВ'.
Поэтому уравнение A1.13) можно графически решить следующим образом.
Выбирая соответствующий масштаб, из произвольной точки q (полюса
построения) проводим вектор qax, геометрически равный вектору w^. К вектору
qat прикладываем вектор (цпу, геометрически равный вектору vfgA. Через
точку я, проводим прямую, перпендикулярную АВ (параллельно вектору
\??РЛ), на этой прямой будет лежать конец вектора w^ — последнего слагае-
слагаемого векторной суммы, а следовательно, и конец вектора wfl. Для определения
модуля вектора wB проведем из точки q прямую, параллельную ВВ'. На этой
прямой лежит конец вектора wfl; следовательно, конец вектора wfl будет
лежать в точке by пересечения прямых, проведенных параллельно векторам
wsP/4 и wb из точек "i и Я-
Таким образом, мы построили векторы qbi = wB, nxbx = 4i^A

208
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. XI
В первом уравнении нам известен вектор
Для определения ускорения точки С можем написать следующие два урав-
уравнения:
чА по модулю и направлению, век-
вектор w?^ мы знаем по направлению
(он направлен от точки С к точке
Л), а модуль его определяется по
формуле
Вектор w^Pj известен только по
направлению (он перпендикулярен
АС).
Вектор wc не известен ни по
модулю, ни по направлению. Поэ-
Поэтому первое уравнение графически
решить нельзя. Точно так же нельзя
решить и второе уравнение, так
как в него входит искомый вектор
wc и вектор w^, неизвестный по
модулю.
Из уравнений A1.16) следует
В этом уравнении вектор w°-g
направлен от точки С к точке В, модуль же вектора определится из равенства
Вектор w?g перпендикулярен отрезку СВ. Таким образом, в уравнение A1.17)
входят известные векторы w,, wo, w?.c» и w9?R и векторы w?P. и w^, извест-
ные по направлению. Следовательно, уравнение (П.17) можно решить графи-
графически.
К построенному вектору qal = vtiA прикладываем вектор alft1 = W??1 и через
точку k\ проводим прямую, перпендикулярную вектору a\k\. Вдоль этой пря-
прямой будет направлен вектор w^ и, следовательно, на этой прямой будет
лежать конец вектора wc. К построенному вектору qby = v/B прикладываем
вектор &1mi = w°^g и через точку mt перпендикулярно &lml проводим прямую.
Вдоль этой прямой будет направлен вектор w^ и, следовательно, и на этой
прямой будет лежать конец вектора wc.
Так как конец вектора wc должен лежать на прямых, перпендикулярных
векторам ахку и Ьхт\, то он лежит в точке их пересечения С\. Таким образом,
полученный вектор цсх будет вектором ускорения точки С. Итак, мы опреде-

§ 11.61 ПЛАН УСКОРЕНИЙ 209
лили графически ускорения точек В и С. Векторы qalt qbx и qclt выходящие
из полюса q, будут векторами ускорений точек А, В и С.
Фигура qa^xCxq (рис. 11.17, в), представляющая собой графическую кар-
картину распределения ускорений точек в плоской фигуре, называется планом
ускорений.
На плане ускорений векторы Oi&i = wB^, a1c1 = v/CA и b1c1 = v/CB суть
ускорения точек В к С, обусловленные вращением фигуры вокруг соответст»
вующих полюсов, причем
A1.18)
Построив план ускорений, легко показать, что фигура аф^ подобна
фигуре ABC и повернута по отношению к ней на угол л; —а, где а опреде-
определяется по формуле
Действительно, согласно формулам A1.18) отрезки афъ Ь^ н с^ пропорци-
пропорциональны отрезкам АВ, ВС и С А, поэтому Д axbic1~ Л ABC. Далее, так как
Z n^bi = Z /njfrjC! = Z fei^ti = a, то векторы а-фх, Ьгсх и cxax составляют
с отрезками А В, ВС и С А угол п —а.
Если из плана скоростей мы можем определить угловую скорость плоской
фигуры, то из плана ускорений можно определить угловое ускорение плоской
фигуры. Действительно, так как
то
Следует заметить, что при всех вычислениях нужно принимать во внима-
внимание принятый масштаб построения планов скоростей и ускорений.
Задача 11.5. Определить ускорение точки D механизма, изображенного
на рис. 11.18, а.
План скоростей для этого механизма нами уже построен (рис. 11.9, б).
Полное ускорение точки А направлено к точке О1? так как угловая скорость соо
постоянна, а модуль ускорения точки А равен wA — 01A • cog. Модуль и на-
направление ускорения точки В нам неизвестны. Определить ускорение точки В
можно, например, следующим образом.
Согласно формуле A1.13) имеем
+ WBA •
Вектор w^ нам известен, вектор w^ направлен от точки В к точке А, а его
«в а (аЬ?
модуль равен wba~~ab'=~AR~ (величииУ аЬ берем из плана скоростей),
вектор w^j перпендикулярен отрезку АВ.
Из какой-либо произвольной точки q (рис. 11.18, б) отложим вектор
qai-^vtA (в произвольно выбранном масштабе), к точке аг приложим вектор
aan1 = wg:4, а через точку пг проведем прямую, перпендикулярную отрезку АВ
8 Бутенин Н. В. и др.

210
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. XI
(или вектору а^п^). Очевидно, что конец вектора wB должен лежать на этой
прямой.
Так как стержень 02В вращается вокруг точки 02, то можно представить
вектор ускорения wfl в следующем виде:
WB == WBO2 "Т" WBO2 >
где Wgc0 —осестремительное ускорение точки В относительно О2, направленное
к точке 02 и равное по модулю w^q^ =(p&J/O2S (величина рб берется из
плана скоростей), a w^q —вращательное ускорение точки В относительно 02,
направленное перпендикулярно 02В. Отложим теперь от точки q вектор
D
Рис. 11.18.
qm1 = WgC0 , а через точку т1 проведем прямую, перпендикулярную стержню О2В.
Конец вектора wB должен лежать на этой прямой. Следовательно, конец век-
вектора wB находится в точке пересечения прямых, проведенных из точек ях и mi,
т. е. wB = q61.
Построив вектор wB, мы можем перейти к определению ускорения точки С.
Заметим, что вектор a1b1 = wBA. Так как векторы v/BA и \vCA образуют с на-
направлением стержня АС один и тот же угол a (tg a = в/со2), то векторы
аА = И1.вл и aici = wCA будут лежать на одной прямой. Для нахождения
точки сх воспользуемся зависимостями A1.18). Из них следует, что
w,
АВ
'СА
АС
или
АВ
АС
(г. е. точка сх делит отрезок «i^ внешним образом на части, пропорциональные
отрезкам, на которые точка С делит отрезок АВ. Таким образом, построив
точку е-р находим, что ^Cj^w^ и (/c1 = wc.
Ускорение точки D определяется формулой
Вектор wc = qc1 мы только что нашли, вектор w?fc направлен от точки D
f
к точке С и по модулю равен w°?c = (cdf/DC, а вектор w?fc перпендикулярен
стержню CD. Направление ускорения точки D известно (точка D совершает

§117] ЗАДАЧИ 211
прямолинейное движение). Из точки с± отложим вектор ч/<?с = с3г1 (парал-
(параллельно стержню CD). Проведя теперь из точки кг прямую, перпендикулярную
стержню CD, найдем ее точку пересечения с прямой, проходящей через точку q
и параллельной направлению ускорения точки D, Эта точка пересечения и
будет точкой di и, следовательно,
qd1 = wjDC, g51 = wD.
§ 11.7. Задачи
Задача 11.6. В двойном кривошипно-шатунном механизме, изображенном
на рис. 11.19, размеры звеньев следующие: 0А = 10 см, АВ = CD = DE = 20 см.
Расстояние между ползунами ВС =10У^З см. Оси кривошипов О и ? распо-
расположены на одной прямой с направляющей ползунов В и С. Расстояние ОЕ =
= 40 У см. Определить угловую скорость ведомого кривошипа ED в момент,
Рис. 11.19.
когда кривошип ОА перпендикулярен направляющей ОЕ, если угловая ско-
скорость кривошипа ОА в этот момент равна со0=6 сек'1.
Найдем расстояние СЕ. Из рис. 11.19 следует:
СЕ = ОЕ — ОВ — ВС = 40 У3 —10 У3 — 10 У3 = 20 У3 см.
Скорости точек А и В оказались параллельными. Следовательно, на основании
равенства проекций скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, их
соединяющую, имеем
vB = ид — <в0 • ОА = 6 ¦ 10 = 60 см/сек.
Заметим, что ползуны В к С составляют одно тело и движутся поступа-
поступательно, поэтому vc = vB = 60 см/сек.
Найдем мгновенный центр скоростей для шатуна CD. Восставим перпен-
перпендикуляры к скоростям vc и vDt точка их пересечения Р— мгновенный центр
скоростей шатуна CD.
Скорости точек относятся как их расстояния до мгновенного центра ско-
скоростей
PD
vc - PC
Из А РСЕ следует (по условию CD = DE)
= D? = 20 см,
PC = У"Р?2 —С?2 = 20 см.
Отсюда получим
PD
vD^-pc~vc = m см!сек.
Искомая угловая скорость кривошипа ED равна
v. 60
8*

212
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. XI
Задача 11.7. Стержень АВ движется в вертикальной плоскости так, что
его нижний конец А скользит по горизонтальной прямой ОС, а сам стержень
все время опирается в точке М на выступ, высота которого равна h (рис. 11.20).
Найти неподвижную и подвижную
центроиды.
Начало неподвижной системы
координат Оххух возьмем в точке О
(у основания выступа), а ось хх нап-
направим по прямой ОС. Начало подвиж-
подвижной системы координат Аху возьмем
в нижнем конце А стержня и ось у
направим вдоль стержня.
Так как скорость точки А нап-
направлена горизонтально, а точки
стержня, совпадающей с точкой М,—
вдоль стержня, то мгновенный центр
скоростей лежит в точке пересечения
перпендикуляров, восставленных из
точек А и М к направлениям скоро-
Рис 11 20. стеи этих точек.
Вводя в рассмотрение угол фмежду
стержнем и горизонтальной прямой,
получим для координат мгновенного центра скоростей в неподвижной системе
координат следующие выражения:
xip= Л ctg ф,
у1Р = АК + КР = h + xip ctg ф = ft cosec2 ф.
Исключая из этих уравнений угол ф, получим уравнение неподвижной
центроиды:
Это — уравнение параболы. На рис. 11.20 неподвижная центроида заштрихо-
заштрихована. Координаты мгновенного центра скоростей в подвижной системе коор-
координат Аху будут
, „ h cos ф
—/г cosec2 ф cos ф = ¦ 2
хр = АР ¦
h
¦ 2
sin<p
Исключая ф из этих уравнений, получим уравнение подвижной центроиды
Подвижная центроида является кривой четвертого порядка.
Задача 11.8. Коромысло ОА длиной 40 си, качаясь вокруг оси О, приводит
в движение шатун АВ длиной 80 см. Ползун В скользит по направляющей ED,
составляющей с горизонтальной линией угол а = 45°. Найти ускорение пол-
ползуна В и угловое ускорение шатуна АВ в момент, когда угол р" =90° (рис. 11.21),
если в этот момент угловая скорость кривошипа О А равна шв=2 сект1, а его
угловое ускорение ео = О.
Согласно формуле A1.13) имеем

§ П.7]
ЗАДАЧИ
213
Ускорение точки А направлено к точке О и равно
wA = cojj • О А = 160 см'сек2.
Осестремительиое ускорение wg^ направлено от точки В к точке А и равно
"ВА
= ш2 • АВ,
где со — угловая скорость шатуна АВ.
Для определения угловой скорости ш найдем скорость точки А и мгно-
мгновенный центр скоростей шатуна АВ, который лежит в точке пересечения пер-
перпендикуляров к скоростям то-
точек А и В этого тела; следова-
следовательно, мгновенный центр ско-
скоростей звена АВ находится
в данный момент в точке Р (см.
рис. 11.21) Треугольник АВР —
прямоугольный и равнобедрен-
равнобедренный:
АВ = АР = 80 см.
Угловая скорость со опре-
определится по формуле
v, соп.ОЛ
^V1
Подставляя значение со в фор-
формулу для wBcA, получим
ш^сл=80 см/сек2.
Рис. 11.21.
Вектор wfl направлен вдоль прямой DE. Вращательное ускорение w|^ направ-
направлено перпендикулярно АВ.
Выберем в указанном положении ползуна В две взаимно перпендикулярные
оси, одну ось направим вдоль ВА, а другую — перпендикулярно к ней; тогда,
проектируя обе части исходного векторного равенства на выбранные оси,
получим
wB cos 45°
= w
'В А'
Отсюда находим
wB = 80 У 2 см/сек1, wBBpA = 240 см/сек?.
Угловое ускорение шатуна АВ определяется по формуле
wBpA 240
Задача 11.9. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма (рис. 11.22)
делает 3000 оборотов в минуту. Определить угловую скорость и угловое уско-
ускорение шатуна, скорость и ускорение поршня и средней точки С шатуна,
а также положения мгновенных центров скоростей и ускорений в моменты
времени, когда L ЛОВ=90° н ? АОВ = 0°, если ОА = 100 мм, ЛВ = 300 мм.
Определим искомые величины в момент, когда с ЛОВ = 90°(см. рис. 11.22, а).
Скорости vA и vB параллельны, следовательно, угловая скорость шатуна

214
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. XI
= 0 и
Из условий задачи следует, что
о. = ™ОЛ = 100я-0,1 = Юя
а ускорение точки А равно
' ял \2
ШЛ = Ш
¦ ОЛ = A00яJ • 0,1 = 1000л2 м,сек2
и неправлено к точке О.
Обозначая через еАВ угловое ускорение шатуна АВ, положение мгновен-
мгновенного центра ускорений шатуна определим с помощью формул:
w.
tga = -
Ы А В
но солв = 0; тогда
tga = co и а = 90°.
Следовательно, мгновенный центр ускорений лежит на прямой, Перпенди-
Перпендикулярной ускорению точки А и проходящей через эту точку.
у>а A Q
Рис. 11.22.
Одновременно мгновенный центр ускорений лежит на прямой, проведенной
через точку В перпендикулярно ускорению точки В. Так как ускорение
точки В направлено параллельно оси цилиндра (вдоль ОВ), то мгновенный
центр лежит в точке Q.
Ускорение точки А, как точки, принадлежащей шатуну, равно
но так как co^B = 0, то
Отсюда
ЮООя2
ВАВ—^-
Vo,32 — 0,12
= 3525я2 сек'2;

§117] ЗАДАЧИ 215
тогда ускорение точки В будет
wB = едв ¦ BQ = 3525л2 -0,1= 352,5л* л/сек8,
а ускорение точки С
Определим искомые величины во втором положении, когда ZAOB=0
(рис. 11.22, б). Мгновенный центр скоростей шатуна будет находиться в точке В.
Угловая скорость шатуна найдется из формулы
отсюда
Юя 100
а ^1
Скорость точки В равна нулю, а скорость точки С будет равна
100
vc = ыАП ¦ ВС = —=— л • 0,15 = 5л м/сек.
Для определения положения мгновенного центра ускорений необходимо
иайти угловое ускорение шатуна. Для этого воспользуемся формулой
В этом уравнении вектор w^ направлен к точке О, вектор w^ направлен от
точки В к точке А и вектор wB направлен вдоль линии ОВ. Так как вектор wB
параллелен двум слагаемым векторам w^ и ч/°вд, то вектор w^, перпенди-
перпендикулярный вектору wA, равен нулю. Но ш^ =ё^в- ВА, следовательно, е^в = 0.
Зная ускорение точки А, угловую скорость и угловое ускорение шатуна АВ,
можем найти положение мгновенного центра ускорений Q шатуна:
w .
tga = —#^- = 0, a = 0.
Точка Q лежит на продолжении примой ВА слева от точки А. Ускорение
точки В определится по формуле
wB = wBQ = (a-AB-QB= 1333,3л2 м/сек?,
где QB = \,2 м.
Ускорение точки С находится по формуле
QC= 1166,7л2
где QC — расстояние от точки С до мгновенного центра ускорений, рав-
равное 1,05 м.
Задача 11.10. Шестерня / радиуса R приводится в движение кривошипом О А,
вращающимся вокруг оси О неподвижной шестерни // радиуса г по закону
ф = ф@- Определить ускорения точек M, N, В и положение мгновенного
центра ускорений Q (рис. 11.23).
Найдем сначала угловую скорость и угловое ускорение шестерни /.
Кривошип ОА вращается вокруг оси О с угловой скоростью ф. Поэтому
скорость vд точки А перпендикулярна кривошипу ОА и равна по модулю

216
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
(ГЛ. XI
\A = 0A ¦ | ф | = (л + #) I Ф I • Так как точка А принадлежит одновременно
шестерне /, то ее скорость определяется равенством (точка М является мгно-
мгновенным центром скоростей)
vA = \a>z\R,
где сог —угловая скорость шестерни /. Сравнивая оба выражения для vAt
найдем
Отсюда
Дифференцируя это соотношение по времени, найдем угловое ускорение ъг
шестерни /:
°г dt R *'
Осестремительиое ускорение точки А, как точки кривошипа О А, направ-
направлено к О и по модулю равно (/?-[-/-) ф2. Вращательное ускорение точки А
перпендикулярно прямой ОА и равно по
модулю
р
Таким образом,
A1.19)
На рис. 11.23 направление w^p показано
в предположении, что ф>0 и ф > 0.
Ускорения точек М, N к В будем
искать по формуле A1.13), приняв точку
Л за полюс Для точки М имеем
Ускорение точки А уже найдено через
составляющие w^c и w^p. Осестреми-
тельное ускорение точки М относительно
точки А направлено к А (см. рис. 11.23),
модуль этого ускорения равен Ra>2. Под-
Подставляя значение со, будем иметь
Рис. 11.23.
Вращательное ускорение точки М относительно точки А перпендикулярно
прямой AM и модуль этого ускорения равен R | ег | , или
Так как, по предположению, ф>0, то ег =—5— ф>0. Поэтому враща-
вращательное ускорение w^j будет иметь направление, указанное на рис. 11.23.
Проектируя обе части равенства A1.20) на оси х и у (см. рис. 11.23) и
принимая во внимание формулы A1.19), получим
2 г^
~~R
wMy= " ~ ' " "
R

§ П.71 ЗАДАЧИ 217
Из этих выражений видно, что ускорение точки М направлено к точке А и
равно по модулю wMx
Для точки N формула A1.13) примет вид
Вращательное ускорение v/^A точки N относительно точки А по модулю равно,
конечно, w'ma', его направление указано на рис. 11.23. Осестремительное уско-
ускорение w^j точки N направлено к Л и по модулю равно v/^A. Проектируя
последнее равенство на оси х и у, получим
Модуль ускорения точки N равен
Аналогично находится ускорение точки В. Имеем
направление ускорений w^ и w°gA показано на рис. 11.23. Проектируя
равенство
на оси х и у, получим
Отсюда
Расстояние от точки М до мгновенного центра ускорений Q в соответствии
с формулой A1.15) равно
wM rR<f2
MQ= M -
l ф4 *
Для определения угла а между ускорением w^j и отрезком MQ воспользуемся
формулой
tea 8 - ^|ф|

ГЛАВА XII
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
С ОДНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ.
СВОБОДНОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО
§ 12.1. Задание движения. Углы Эйлера
Движение тела, имеющего одну неподвижную точку, назы-
называют иногда сферическим движением или вращением тела вокруг
неподвижной точки. Первый термин объясняется тем, что все
точки тела движутся по поверхностям сфер, общий центр кото-
которых совпадает с неподвижной точкой.
В главе X мы установили, что твердое тело с одной закреп-
закрепленной точкой имеет три степени свободы. Три параметра, опре-
определяющих положение такого тела относительно неподвижной
системы координат Ох^у^г^ (рис. 12.1), могут быть выбраны раз-
различными способами. В теоре-
теоретической механике положе-
положение тела с одной неподвиж-
неподвижной точкой, как правило,
определяют при помощи углов
Эйлера, которые вводятся сле-
следующим образом.
Свяжем жестко с телом
подвижную систему коорди-
координат Oxyz, выбрав начало ко-
Рис. 12.1. ординат в неподвижной точ-
точке О (рис. 12.1).
Координатная плоскость хОу пересекается с неподвижной
плоскостью XiOt/i вдоль прямой ОК, которая называется линией
узлов. Угол, составляемый неподвижной осью Охх с линией узлов,
называется углом прецессии и обозначается буквой ty. Угол,
составляемый линией узлов с подвижной осью Ох, носит назва-
название угла собственного вращения и обозначается буквой ф. Угол
между осями Огг и Ог называется углом нутации и обознача-
обозначается буквой 6. Все углы отсчитываются соответственно от осей

12 2]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА
219
0хъ ОК и 0гг против хода часовой стрелки, как показано на
рис. 12.1.
Покажем, что, зная три функции if> = if(?), 6 = 6@ и Ф=Ф@> можно
всегда найти положение системы координат Охуг, а следовательно, и положе-
положение тела, скрепленного с ней. Действительно, откладывая от оси Охх угол
прецессии ф, мы найдем линию узлов ОК- Проведем через точку О плоскость,
перпендикулярную линии узлов, и от оси Ог^ (эта ось должна лежать в по-
построенной плоскости) отложим угол нутации 6. Таким образом, будет опреде-
определено положительное направление оси Ог. Через точку О проведем плоскость,
перпендикулярную оси Ог; эта плоскость пройдет через линию узлов ОК.
Отложим теперь в построенной плоскости от линии узлов угол собственного
вращения ф и определим положительное направление оси Ох. Ось Оу должна
лежать в той же плоскости и со-
составлять вместе с осями Ох и Ог г>
правую систему координат. Таким z v ^
образом, углы 1|э, 6 и ф полностью ""
определяют положение осей под-
подвижной системы.
Углы, определяющие по-
положение тела, можно ввести
и другим способом. Напри-
Например, положение корабля от-
относительно его центра тя-
тяжести С определяется кора-
корабельными углами, введенными
А. Н. Крыловым. Ось Сх
жестко связанной с кораблем
системы координат Cxyz на-
направляется от кормы к носу,
ось Су — клевому борту, ось Cz расположена в диаметральной
плоскости корабля. В положении равновесия корабля оси системы
координат Cxyz совпадают с осями неизменного направления си-
системы координат Cx1y1z1. Угол гр между осью Схг и линией С/С,
образованной пересечением плоскостей хСу и x-[Czx (рис. 12.2),
называется углом дифферента, угол ср между линией С/С и осью
Сх называется углом рыскания. Угол # между осью Cz и линией
СМ пересечения плоскостей xxCzx и yfiz называется углом крена.
§ 12.2. Распределение скоростей точек твердого тела,
имеющего одну неподвижную точку. Мгновенная ось вращения.
Мгновенная угловая скорость
Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку О. Свя-
Свяжем жестко с телом систему координат Oxyz (рис. 12.3). Система
координат Oxyz однозначно определяет положение рассматривае-
рассматриваемого тела по отношению к неподвижной системе отсчета OxxyxZ\
(§ 12.1). Положение произвольной точки М твердого тела опре-
определяется радиусом-вектором г. Если х, у и z — координаты
Рис. 12.2.

220
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
|ГЛ. XII
точки М в подвижной системе координат, a i, j и к —единич-
—единичные векторы осей этой системы координат, то радиус-вектор
можно представить в виде
r = xi + «/j+zk. A2.1)
Координаты х, у, z точки М в подвижной системе отсчета
являются постоянными величинами, а единичные векторы i, j, k
будут функциями времени, так как
система координат Oxyz движется
вместе с твердым телом.
Скорость точки М определяется
по формуле
v~ Ж'
поэтому, дифференцируя A2.1) по t,
получим
л
Рис. 12.3.
v==JC
х
dt
dt
dt'
21
Умножая обе части равенства A2.2) скалярно на i, j и к, получим
dt
dk
-k.
A2.3)
„г — , .» ~ dt „ , v dt .. t ~ d{
Так как векторы i, j и к взаимно перпендикулярны, то
i - j = 0, j-k = O, ki = 0. /
A1
Дифференцируя эти равенства по времени, найдем две группы
формул:
di i_n *L i-n dk k— n /19^
_jl.j = _A.i, _Jl.k = _*.j> л.1 = _л.к A26)
d^ J dt at dt 3 dt dt v '
Выражения A2.3) при этом примут вид
dk . di .
d}
d\ . dk .
y, = -jf • kw — ,-т- ¦ \x.
г dt у dt
dt
A2.7)

§ 12 21
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА
221
Формулы A2.7) содержат три скалярные функции времени,
d]
dt
dk
di
для которых введем обозначения:
dk
di
Перепишем теперь формулы A2.7) в виде
Vz = (йху —
A2.9)
Так как
то, в соответствии с выражением A2.9), имеем
v = i (cdyz - согу) + j (<azx - a>xz) + k ((oxy —
Если теперь ввести вектор « с проекциями озх, соу) сог,
то скорость точки можно представить векторным произведением
I J k
V =
у
Итак, скорость точки тела, совершающего сферическое дви-
движение, определяется формулой
v = (axr. A2.10)
Геометрическое место точек, скорость которых равна нулю,
определяется из уравнения
«хг = 0, A2.11)
представляющего собой условие коллинеарности векторов ю и г.
Это векторное уравнение в системе координат Oxyz можно запи-
записать в виде
X U Z
= = A212>
Уравнения A2.12) определяют прямую линию, направляю-
направляющие косинусы которой пропорциональны проекциям а>х, <ау, <аг

222
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ XII
вектора «. В общем случае вектор ю и его проекции сох, &v, сог
являются функциями времени, поэтому положение прямой A2.12)
изменяется как относительно тела, так и относительно непо-
неподвижной системы координат Ox1y1z1.
Прямая A2.12), в каждой точке которой скорости точек тела
в данный момент равны нулю, называется мгновенной осью вра-
вращения. (Она также называется мгновенной осью скоростей.)
Введенный нами вектор ю направлен по мгновенной оси вра-
вращения.
Как уже было установлено, скорость любой точки М тела
определяется формулой A2.10), совпадающей по своей форме
с выражением для скоростей точек твердого тела, вращающегося
вокруг неподвижной оси с угловой скоростью о (см. формулу
A0.13)). Следовательно, скорости точек твердого тела, имеющего
одну неподвижную точку, распределяются так, как если бы тело
вращалось вокруг оси, совпадающей в данный момент с мгновенной
осью вращения. В частности, модуль скорости точки М в дан-
данный момент определяется равенством
v ==сор,
где р —расстояние от точки М до мгновенной оси вращения.
Скорость точки М направлена перпендикулярно плоскости, про-
проходящей через ее радиус-вектор г и мгновенную ось вращений
(рис. 12.4).
По аналогии с вращением тела вокруг неподвижной оси назо-
назовем в рассматриваемом нами случае сферического движения тела
вектор о вектором угловойскорости.
При этом следует иметь в виду,
что при вращении тела вокруг
неподвижной оси вектор угловой
скорости ю представляет собой
вектор, всегда направленный по
неподвижной оси вращения и ха-
характеризующий изменение во вре-
времени реального угла ф поворота
тела. Для тела, имеющего одну
неподвижную точку, выражение
«угловая скорость» имеет услов-
условный характер, так как положение тела определяется не одним,
а тремя углами (§ 12.1) и, следовательно, нет такого одного угла,
скорость изменения которого представил бы введенный вектор ю.
Кроме того, этот вектор может меняться и по модулю и по
направлению. Проекции этого вектора на координатные оси
являются функциями углов Эйлера и их первых производных.
Эти формулы будут приведены в дальнейшем (§ 14.3).
•Рис. 12.4.

12 2]
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА
223
Отметим, что из формул A2.8) для случая вращения твердого теяа вокруг
неподвижной оси, например, вокруг оси Ог, можно получить
(x)x d~ ¦ — ф1 • , O)a
так как (§ 10.2) -rr- = q>j, -т{-= —<
rfk
i = 0,
= -^- - j = фj - j=c
Если известны направления скоростей двух точек тела, то
мгновенную ось вращения можно найти графически. Как следует
из картины распределения скоростей точек тела в данный момент
времени, мгновенная ось вращения лежит в плоскости, перпен-
перпендикулярной направлению скорости точки тела, и проходит через
неподвижную точку тела. Следовательно, если через точки тела,
направления скоростей которых известны, провести плоскости,
перпендикулярные этим скоростям, то линия пересечения этих
плоскостей и будет мгновенной осью вращения.
Мгновенную ось вращения можно определить и в том случае,
когда известна одна точка тела, скорость которой в данный
момент времени равна нулю. Соединяя эту точку с неподвижной
точкой тела, найдем мгновенную ось вращения.
К понятию о мгновенной оси вращения можно прийти и другим путем.
Для этого сначала докажем теорему Эйлера — Даламбера:
Всякое перемещение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку,
можно заменить одним поворотом вокруг оси, проходящей через неподвижную
точку.
Возьмем в теле две точки Л и В, отстоящие от неподвижной точки на
одинаковом расстоянии, но не лежащие с ней на одной прямой. Проведем
через эти две точки сферу с центром в непод-
неподвижной точке О (рис. 12.5). Пусть в момент
времени t положение тела определяется точ-
точками Л и В. К моменту времени t-\-&t эти
точки переместятся и займут положение Лх и Вг.
Для доказательства теоремы нам достаточно
показать, что поворотом тела вокруг некоторой
оси, проходящей через точку О, можно добиться
совмещения точек Л и В с точками Лх и В1.
Соединим точки Л и В, Ах я В1 дугами боль-
больших кругов. Тогда АВ=А1В1, так как в твер-
твердое теле расстояния между точками сохраняются.
Соединим теперь также дугами больших кругов
точки Л и Лъ В и Вх (рис. 12.5). Из середины
дуг ААг и ВВг — точек М и N — проведем сфе-
сферические перпендикуляры — дуги больших кру-
кругов, плоскости которых перпендикулярны плоскостям кругов АОА^ и ВОВХ.
Эти сферические перпендикуляры пересекаются в точке Р на сфере (см.
рис. 12.5).
Рассмотрим сферические треугольники (треугольники, составленные дугами
больших кругов) АРАХ и ВРВ^. В этих треугольниках дуга АР равна дуге
АуР и дуга ВР равна дуге B-J3 как наклонные дуги, имеющие равные проек-
проекции. Отсюда следует, что сферические треугольники АРВ и AiPB^ равны
(по трем сторонам) и, следовательно, при повороте вокруг их общей вершины Р
Рис. 12.5.

224
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
[ГЛ. XII
a>Op
треугольник АРВ совместится с треугольником j4xPSx. При таком повороте
остаются неподвижными две точки тела: точка О и точка Р. Таким образом,
перемещение тела может быть осуществлено при помощи одного поворота
вокруг оси ОР.
Ось ОР называют осью конечного вращгния, а угол APA^ — ft называется
углом конечного вращения.
Положение оси ОР зависит от начального и конечного положений тела.
Зафиксируем начальный момент времени t и рассмотрим близкий к нему
момент времени t-\-kt. Сравнивая положение тела в момент t с его положе-
положением в момент t-\-kt, мы всегда можем найти ось конечного вращения. Если
теперь промежуток времени &t устремить
к нулю, то ось конечного вращения будет
менять положение, стремясь к своему пре-
предельному положению. Предельное положение
оси конечного вращения при Д/ -»0 назы-
называется мгновенной осью вращгния для момента
времени t.
Для каждого промежутка времени (t,
/-J-Д/) с фиксированным начальным моментом
времени t можно определить угол конечного
поворота б. Введем в рассмотрение вектор
8 угла конечного поворота, равный по
модулю б и направленный по оси ОР в сто-
сторону, откуда конечный поворот виден проис-
происходящим против хода часовой стрелки Сред-
Средней угловой скоростью будем называть век-
вектор, равный
Рис. 12.6. »ср=-гр
Предел средней угловой скорости, когда промежуток времени Д/-»-0
<о = lim -т-г,
называется мгновенной угловой скоростью тела (рис. 12.6) *). Из этого опре-
определения следует, что вектор угловой скорости направлен по мгновенной оси
вращения.
Положение точки М тела в неподвижной системе координат
определяется координатами хъ у1 и гъ а вектор ю имеет проек-
проекции wXl, (Oj,,, co2l. Тогда, в соответствии с формулой A2.10), проек-
проекции скорости точки М на неподвижные оси координат будут
A2.13)
Уравнение мгновенной оси вращения в неподвижной системе
координат имеет вид
(О
1/1
A2.14)
*) Мы не останавливаемся на доказательстве идентичности определения
угловой скорости по этой формуле и ранее данного определения (стр. 222).

§ 12 21
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА
225
Геометрическое место мгновенных осей вращений, построенных
в неподвижной системе координат, называется неподвижным аксои-
дом, а в подвижной системе координат — подвижным аксоидом.
Из уравнений A2.14) следует
Полученные уравнения дают уравнение неподвижного аксоида
в параметрическом виде; параметром служит время /. Исключая
из этих уравнений t, можно ,
получить уравнение конической
поверхности (неподвижного ак-
аксоида)
?L_/7 (У1_
Ч 1 \гг
Аналогично, исключая время t
из уравнений
у Фу @ г ыг (t)
г и>г (t)' х (лх (t)'
полученных из формул A2.12),
найдем уравнение подвижного
аксоида
г г./>'
Рис 12 7
Задача 12.1. Коническая шестерня '
/ (рис. 12.7) обкатывает неподвижную
коническую шестерню //. Определить угловую скорость шестерни / и непо-
неподвижный и подвижный аксоиды, если ?. AOD = $, L COD = а, ОС = h, a ско-
скорость центра С шестерни / равна v.
Так как движение шестерни / происходит без скольжения, то скорость
ее точки D равна нулю. Неподвижной точкой является точка О пересечения
осей ОА и ОС шестерен. Следовательно, прямая OD является мгновенной осью
вращения шестерни /. Геометрическое место мгновенных осей вращений, кото-
которое образуется при качении шестерни /,—конус с вершиной в точке О, осно-
основанием которого является неподвижная шестерня //. В системе же коорди-
координат, связанной с подвижной шестерней /, наблюдатель, следящий за мгновен-
мгновенной осью вращения, заметит, что эта ось описывает боковую поверхность
конуса, имеющего вершину в точке О и основанием подвижную шестерню /.
Теперь перейдем к определению направления и модуля угловой скорости.
В соответствии с формулой A2.16), скорость точки С равна
Отсюда следует, что вектор ы направлен по мгновенной оси вращения OD
от точки О к точке D. Далее имеем
C?=/isina, a> =
h sin a '

226
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
1ГЛ XII
§ 12.3. Ускорения точек тела, имеющего
одну неподвижную точку
Введем прежде всего понятие углового ускорения. Угловым
ускорением называется производная угловой скорости по времени,
т. е.
е = 76" A2.15)
Из определения видно, что вектор углового ускорения можно
рассматривать как скорость конца вектора со (рис. 12.8). Угло-
Угловое ускорение е направлено по касатель-
касательной к годографу вектора угловой скорости
(рис. 12.8), поэтому его направление
может быть каким угодно в зависимости
от закона изменения вектора угловой ско-
скорости. Заметим попутно, что годограф век-
вектора угловой скорости —кривая, лежащая
на неподвижном аксоиде (рис. 12.8).
Перейдем теперь к определению уско-
ускорения произвольной точки тела. Исходя
из определения ускорения и используя
Рис.12.8
равенство A2.10), получим
W
_ d\ _ d (wXr) _ da>
— sj — 31 — -^j
Ho
следовательно,
dt
dr
dt'
dt
da
а -г, =(
A2.16)
Таким образом, ускорение w может быть представлено как сумма
двух ускорений: ехг и toxv.
Ускорение wBp = exr называется вращательной составляющей
ускорения. Модуль этого ускорения равен
давР = гг sin (e, г) = е/г,
где h — расстояние от точки М до вектора е. Направлено это
ускорение перпендикулярно плоскости векторов е и г в ту сто-
сторону, откуда кратчайший переход от вектора е к вектору г ви-
виден против хода часовой стрелки. Заметим, что вследствие не-
несовпадения направлений угловой скорости и углового ускорения
вращательная составляющая ускорения может быть направлена
по отношению к направлению скорости под любым углом, оста-
оставаясь перпендикулярной вектору г. В этом существенное разли-
различие между вращением твердого тела вокруг неподвижной оси и
движением тела, имеющего одну неподвижную точку.

§ 12 3]
УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
227
Ускорение oxv направлено по перпендикуляру к плоскости
векторов о и v, т. е. по направлению вектора d (рис. 12.9),
имеющего начало в точке М и
конец в основании перпендику-
перпендикуляра, опущенного из точки М на
мгновенную ось вращения. Модуль
векторного произведения oxv
равен
о х v | = сои = w2d,
так как
v — cor sin a = cod.
Следовательно, можно записать
Woc = (oxv = co2d. A2.17) Рис. 12.9.
Это ускорение называется осестремительнои составляющей
ускорения.
Итак, ускорение любой точки тела равно сумме вращатель-
вращательной и осестремительнои составляющих ускорения
w = wbp+woc. A2.18)
Задача 12.2. Найтн скорость и ускорение точки В конического катка,
равномерно катящегося без скольжения по горизонтальной конической коль-
кольцевой опоре (рис. 12.10, а). Диаметр катка ВС —30 см, ОА = 20 см, скорость
центра катка Уд = 40 см/сек и направлена перпендикулярно плоскости чер-
чертежа на читателя.
Прежде всего необходимо определить величину и направление угловой
скорости и углового ускорения катка ВС
При движении катка точка О остается неподвижной. Скорость точки С
равна нулю (качение без скольжения), поэтому мгновенная ось вращения про-
проходит по прямой ОС. Угловая скорость также направлена по ОС от точки О
к точке С. Модуль угловой скорости можно определить из равенства
W =-=-? = -
" АК VA ¦ sin a '
Из Д О АС Имеем ОС = ]/Л2 + ЛС2 = 25 см, тогда
Найдем скорость vB
vb=u>x0S,
vB = OB ¦ со sin 2a = 79 см/сек.
Скорость Vjj перпендикулярна плоскости чертежа и направлена на читателя.

228
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
[ГЛ. XII
Конец вектора ы описывает окружность с центром в точке Oi на верти-
вертикальной оси OOi (рис. 12.10, б). Найдем теперь угловое ускореннее. Вектор г
определяется как скорость конца вектора и, следовательно, вектор е направ-
направлен по касательной к окружности,
описываемой вектором ш, т. е. пер-
перпендикулярно плоскости чертежа
на читателя. Найдем модуль 8. Так
как конец вектора а> движется по
окружности, то имеем
V////7T
V/////77/a77V77777777?
Здесь Q—угловая скорость враще-
вращения плоскости ОАС, в которой
расположен вектор ю, вокруг вер-
вертикальной оси OOi
v, 40
Отсюда имеем
8-0) sin^-osj- — да
«а 5,3 сект*.
Перейдем к определению уско-
ускорения точки В
Рис. 12.10.
Заметим, что d = OB • sin 2a = 0,24 м, rB=OB = 0,25 м. Отсюда
о>?С=-д-- 0,24 «=2,7 м/сек2, о>дР= ^- = 1,3 ж/сех2.
Вектор ускорения WgP направлен перпендикулярно ОВ, лежит в плоскости ВОС
и составляет с ускорением w^c угол E = 180° — 2а. Тогда
wB=Vr(w'gy + (w%py—2wcgw1$ cos2a. ^2,56 м/сек2.
§ 12.4. Движение свободного твердого тела
Рассмотрим движение свободного твердого тела. Введем, кроме
неподвижной системы координат Ох^ггъ еще подвижную си-
систему координат Лх2г/222, перемещающуюся поступательно от-
относительно осей Ox1y1z1 и связанную с телом только в одной точке —
точке Л, и подвижную систему координат Axyz, жестко связан-
связанную с телом (рис. 12.11). В подвижной системе координат
Ax2y.2z2 тело имеет одну закрепленную в ней точку —точку Л,
следовательно, тело в этой системе координат участвует в движе-
движении, рассмотренном нами в предыдущем параграфе. Для того
чтобы задать положение тела в подвижной системе координат
2, можно ввести три угла Эйлера S, г|), <р, а для определе-

§ 12 4]
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
229
ния положения относительно неподвижной системы координат
нужно, кроме того, задать положение точки А, для чего потре-
потребуется знать еще три величины: х1А, у1А, zlA. Таким образом,
положение свободного твердого тела определяется шестью неза-
независимыми параметрами: xlA, ylA, z1A, 6, г|), ф.
Перейдем к определению скоростей точек свободного тела.
Скорость произвольной точки В равна производной от ее ра-
радиуса-вектора гв по времени. Пользуясь рис. 12.11, найдем
Следовательно,
dr.
dxB dx. dp
A2.19)
Заметим, что —,т=ча — скорость точки Л; кроме того, вектор
2
Рис. 12. П.
dp/dt представляет собой скорость точки В относительно подвиж-
подвижной системы координат Ax-zy2Zn, в которой тело имеет одну
закрепленную точку. Следовательно, согласно формуле A2.10)
Таким образом, формулу A2.19) можно переписать в виде
vu = v, + wxp. A2.20)
Здесь о — угловая скорость вращения тела относительно системы
координат Ахпу.гг.2. (Так же как и для плоского движения, можно
показать, что угловая скорость w не зависит от выбора полюса.)
Формулу A2.20) можно прочитать следующим образом: ско-
скорость любой точки свободного твердого тела геометрически скла-
складывается из скорости произвольно выбранного полюса и скорости
этой точки во вращательном движении тела относительно полюса.

230
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ
1ГЛ XII
Пользуясь формулой A2.20), можно доказать следующую
теорему:
Проекции скоростей двух точек свободного твердого тела на
прямую, проходящую через эти точки, равны между собой.
Согласно равенству A2.20) имеем
(v/зЬв =
но вектор toXp перпендикулярен вектору р = .4В; следовательно,
<<йХр)дВ = 0 и (vb)ab = (va)ab- Определим ускорения точек сво-
свободного твердого тела. Для
этого продифференцируем по
времени равенство A2.20):
dp
dt
dv,
Замечая, что —- =
Рис. 12.12.
Используя A2.17), можно записать
dt '
A2.21)
dvA da
dt ~w^> dt ~~
=e—угловое ускорение тела в
подвижной системе координат
Лх2у2г2, a-J-=(oxp, получим
wB = v/A + е х р + о X (со х р).
где dB —вектор, имеющий начало в точке В, а конец в основа-
основании перпендикуляра, опущенного из В на и (рис. 12.12).
В окончательном виде ускорение точки свободного тела выра-
выражается следующим образом:
wB = w^ + exp + «2dB. A2.22)
Два последних члена дают ускорение точки В в ее движении
вокруг полюса.
Таким образом, ускорение точки свободного тела равно геомет-
геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее
движении вокруг полюса.
Задача 12.3 *). Точка М твердого тела движется со скоростью v по про-
пространственной кривой. Определить угловую скорость естественного трехгран-
трехгранника х, n, b траектории точки М**).
*) А. И. Лурье, Аналитическая механика, Фнзматтиз, 1961.
**) Рассмотрение этого примера вызвано тем, что в некоторых задачах
механики бывает полезно изучать движение твердого тела по отношению
к естественному трехграннику одной из точек тела.

§ 12 4]
ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
231
Пусть pN — радиус-вектор любой точки N, неизменно связанной с естест-
естественным трехгранником МхпЪ (рис. 12.13). Так как производная dp^/dt опре-
определяет скорость точки N во вращательном движении координатной системы
УИтпЬ относительно точки М, то будем иметь
где (о — угловая скорость естественного трехгранника.
Положив pN = x затем р^ = п и pv = b, получим
dx
dn
db
или. вводя в рассмотрение длину дуги а (см. § 9.2) и применяя очевидное
d do d ¦ d
тождество d- =
A2.23)
Воспользуемся теперь формулами Френе, вывод
которых можно найти в любом курсе дифференциаль-
дифференциальной геометрии:
EL—L ^"- — — JLtii ь — - п °
db ~ p ' da р Т ' da T рис, 12.13.
A2.24)
В этих равенствах р —радиус кривизны, а Г —кручение кривой в данной
точке, определяемые формулами
Р =
l4
da2
d3r
Т ~р2 do ' \do*X da3)'
Заметим, что первая формула Френе была получена нами ранее при выводе
формулы (9.30). Теперь последние две формулы A2.23) можно записать в сле-
следующем виде:
Умножая первое из этих равенств слева векторно на п, а вторсе — b и учи-
учитывая при этом, что nxt = —b, а пхЬ=т, имеем
или *)
= nx(wxn), ^t =
a , a a
-j,t+ b=w—co;,n, -j,
A2.25)
*) В курсе векторной алгебры доказывается следующая формула для
двойного векторного произведения:
аХ(Ьхс) = Ь(а, с) —с(а, Ь).

232 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ XII
где сол = ш-п и cos = <о • Ь — проекции угловой скорости ю на оси п и b соот-
соответственно.
Вычитая из первого равенства второе, найдем
— Ь = — й)
О»сюда а>„ = 0 и, пользуясь первым равенством A2.25), найдем искомую
угловую скорость й) естественного трехгранника:
Таким образом, зная скорость t>T=a движущейся точки М, радиус кри-
кривизны р и кручение Т траектории, можно по формуле A2.26) определить угло-
угловую скорость естественного трехгранника. Заметим, что вектор и лежит
в спрямляющей плоскости х, Ь.

ГЛАВА XIII
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§ 13.1. Основные определения. Абсолютная
и относительная производные от вектора
В главе IX мы изучали основные характеристики движения
точки по отношению к заданной системе отсчета (системе коор-
координат). Однако в некоторых случаях бывает целесообразно изу-
изучать движение точки одновременно по отношению к двум систе-
системам координат, одна из которых совершает заданное движение
по отношению к другой (основной), принимаемой за неподвижную.
Случай, когда подвижная система координат совершала поступа-
поступательное движение, был нами частично рассмотрен в § 10.2 (при-
(приведено доказательство теоремы о сложении скоростей).
В этой главе рассматривается общий случай, когда движение
подвижной системы координат может происходить по любому
заданному закону.
Изучение движения точки по отношению к каждой из этих
координатных систем производится методами, изложенными
в главе IX. Нашей задачей является установление связи между
основными характеристиками этих движений.
Будем называть сложным или «абсолютным» движением точки
ее движение по отношению к системе координат, выбранной за
основную. Движение точки по отношению к подвижной системе
координат будем называть относительным.
Под переносным движением будем понимать движение подвиж-
подвижной системы координат относительно неподвижной.
Установление связи между сложным, относительным и пере-
переносным движениями позволит решать разнообразные задачи по
определению кинематических характеристик сложного и состав-
составляющих движений.
В этой главе мы встретимся с необходимостью дифференци-
дифференцирования вектора, определенного в системе координат, которая
может двигаться произвольным образом. В связи с этим мы
введем понятия абсолютной и относительной производных век-
вектора.

234 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. XIII
Пусть даны основная система координат и подвижная система
координат, которая совершает произвольное движение. Пусть
какой-либо вектор а = а(^) определен в подвижной системе коор-
координат, т. е. проекции этого вектора ах, ау, а2 на оси подвижной
системы — заданные функции времени. Если i, j, k —единичные
векторы подвижной системы координат, то вектор а может быть
представлен в виде
a = axi + ayi+a,k. A3.1)
Установим теперь правило нахождения производной в непо-
неподвижной системе координат (абсолютной производной) от этого
вектора. Дифференцируя обе части равенства A3.1) по времени,
будем иметь в виду, что векторы i, j и к вследствие движения
подвижной системы координат меняют свое направление, т. е.
являются функциями времени.
Таким образом, абсолютная производная вектора а по вре-
времени будет равна
da dax dau da, d\ d\ dk
1 + 1+к+а + а + а (I32)
Сумма первых трех слагаемых представляет собой производную
от вектора а в подвижной системе координат. В самом деле,
если бы мы поставили задачей изучить изменение вектора а
только по отношению к подвижной системе координат, то мы
учитывали бы при этом только изменение проекций вектора на
оси этой системы координат. Движение же самой системы нас бы
не интересовало.
Назовем сумму первых трех слагаемых в A3.2) относительной
или локальной производной и обозначим ее через da/dt, т. е.
da dax da,, da,
^i + fiJk О3
Заменяя в формулах (9.11) и A2.10) радиус-вектор г последова-
последовательно на i, j и к, получим
~ = wxi, ^- = ©xj, *=юхк:
Поэтому сумма последних трех слагаемых
„ di-Ln di лп dk
может быть представлена в виде
j~\- агк) = юха, A3.4)
где ю —угловая скорость подвижной системы координат.

§ 13 2] ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ
Следовательно,
da da ,
-dt= dt+(aXa-
235
A3.5)
Таким образом, абсолютная производная вектора равна сумме
относительной производной этого вектора и векторного произведе-
произведения угловой скорости подвижной системы координат на этот вектор,
§ 13.2. Теорема о сложении скоростей
Выбирая систему координат Ох^^ за основную, предполо-
предположим, что система координат Ахуг движется по отношению
к основной системе произвольным образом (рис. 13.1). Движение
какой-либо точки М может быть изучено как по отношению
к основной, так и по. отношению к подвижной системам коорди-
координат методами, изложенными ра-
ранее. В данном параграфе мы по-
поставим задачу о нахождении
связи между скоростями точки
по отношению к выбранным
нами системам координат. На-
Напомним данные ранее определе-
определения (§ 10.2).
Скорость точки М по отно-
отношению к основной
координат называется
ной скоростью.
Скорость \г точки
шению к подвижной
координат называется
тельной скоростью.
Важным понятием является
системе
абсолют-
абсолютпо отно-
относистеме
относи-
относиССг
рис. 13.1,
Переносной скоростью \е точки
понятие о переносной скорости,
называется скорость той точки
подвижной системы координат, с которой в данный момент сов-
совпадает движущаяся точка.
Остановимся на этом определении несколько подробнее. Рас-
Рассматриваемая точка при своем движении относительно подвижного
тела, с которым жестко связана подвижная система координат,
проходит через разные точки этого тела, имеющие в общем случае
отличные друг от друга скорости. Поэтому переносной скоростью
точки в данный момент будет скорость именно той точки подвиж-
подвижного тела (подвижной системы координат), через которую в дан-
данный момент проходит движущаяся точка.
Если радиус-вектор г = г(^) определяет положение точки М
по отношению к системе координат Oxxu^zx, радиус-вектор гЛ =
= Гд (t) определяет положение начала системы координат Axyz

236 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ XIII
в системе Ох^гх, а ридиус-вектор р = р(О определяет положение
точки М в системекоординат Ахуг, то в соответствии с рис. 13.1
имеем
A3.6)
Пусть координаты точки в подвижной системе координат
будут х, у и г; тогда
где i, j, k — единичные векторы осей подвижной системы коор-
координат.
По определению абсолютная производная радиуса-вектора
по времени будет абсолютной скоростью точки. Следовательно,
дифференцируя равенство A3.6) по времени, найдем абсолютную
скорость точки
Так как вектор р определен в подвижной системе координат,
то для нахождения абсолютной производной от него воспользуемся
формулой A3.5):
^ | A3.8)
где ю — угловая скорость подвижной системы координат, а
представляет собой относительную производную от р по времени.
Согласно определению это буде* относительная скорость точки,
т. е.
v. = ii-HJ + 2k. A3.9)
Подставляя выражения A3.8) и A3.9) в соотношение A3.7),
получим
v = vA + ©xp + v,, A3.10)
где \а = -п— скорость начала подвижной системы координат
по отношению к основной.
Для определения переносной скорости точки закрепим ее
в подвижной системе координат, т. е. положим в формуле A3.10)
уг = 0, тогда получим
хр*). A3.11)
*) Эта формула нам уже знакома (§ 12.4) Скорость, определяемая по этой
формуле, есть скорость той точки свободного твердого тела (подвижной системы
координат), с которой в данный момент совпадает движущаяся точка.

$ 13 3] ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ 237
Таким образом, имеем
v = ve + vr, A3.12)
т. е. абсолютная скорость точки равна геометрической сумме
переносной и относительной скоростей.
§ 13.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)
Для того чтобы найти абсолютное ускорение точки, т. е.
ее ускорение по отношению к основной системе координат, про-
продифференцируем формулу A3.10) по времени:
dv dv. da dp d\r
%xp+«+i- <13ЛЗ)
Абсолютную производную вектора относительной скорости vr
найдем по формуле A3.5):
% = W + *x*~ <13Л4>
dv
В этом соотношении -~ есть относительная производная век-
вектора \г по времени и, следовательно, представляет собой относи-
относительное ускорение v/r, т. е. ускорение точки по отношению
к подвижной системе координат
Используя равенства A3.8), A3.9), A3.14) и A3.15), преобразуем
формулу A3.13) к виду
w == w А + е X р + ю х [\г + («* X р)] + w,. + ю х vr =
v0 A3.16)
где шд = Уд — ускорение начала подвижной системы координат,
а е = (о —ее угловое ускорение.
Для того чтобы найти переносное ускорение w,, (ускорение
той точки подвижной системы координат, с которой в данный
момент совпадает движущаяся точка!), закрепим точку в подвиж-
подвижной системе координат, т. е. положим vr = 0, v/r = 0.
В этом случае согласно формуле A3.16) будем иметь
we = wA + exp + cox(coxp), A3.17)
т. е. переносное ускорение представляет собой ускорение точки
свободного твердого тела, с которым жестко связана подвижная
система координат. Таким образом, имеем
v,. A3.18)

238
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
[ГЛ. XIII
Ускорение, определяемое членом 2oxvr, называется поворот-
поворотным или кориолисовым ускорением и обозначается через wc, т. е.
A3.19)
+ wc. A3.20)
Итак, имеем
Эта формула выражает содержание теоремы Кориолиса: абсолют-
абсолютное ускорение точки равно сумме пере-
переносного, относительного и кориолисова
ускорений.
При использовании формулы A3.20)
полезно иметь в виду, что переносное
ускорение следует определять по пра-
правилам нахождения ускорения точек
твердого тела. При нахождении от-
относительного ускорения подвижную
систему координат следует считать
неподвижной и использовать правила, изложенные в главе IX.
Остановимся несколько подробнее на кориолисовом ускорении
Рис. 13.2.
wc =
х vr.
Модуль этого ускорения, очевидно, равен
aic = 2юв, sin (ю, v,). A3.21)
Направление кориолисова ускорения определяется направлением
векторного произведения век-
векторов и и vn т. е. кориоли-
сово ускорение будет напра-
направлено перпендикулярно пло-
плоскости, проходящей через
векторы ийу, в ту сторону,
откуда кратчайший переход
от и к vr виден происходя-
происходящим против хода часовой
стрелки (рис. 13.2). Если
векторы о и vr не лежат в
одной плоскости, удобно
бывает мысленно перенести
вектор о параллельно самому себе в начало вектора скорости vr
и применить указанное выше правило.
Иногда нахождение кориолисова ускорения облегчается при-
применением следующего правила Н. Е. Жуковского (рис. 13.3): про-
проекцию относительной скорости vr на плоскость, перпендикулярную
угловой скорости со подвижной системы координат, равную vr$,ma.,
следует умножить на 2со и повернуть на угол 90° вокруг <л
Рис. 13.3.

§ 13.4] ЗАДАЧИ 239
в направлении вращения. Вектор, равный по модулю 2avr sin а и
имеющий найденное направление, и будет кориолисовым ускорением.
На основании формулы A3.21) можно указать, что кориоли-
сово ускорение равно нулю в следующих случаях:
1) ю = 0, это будет при поступательном перемещении подвиж-
подвижной системы координат;
2) угловая скорость ю подвижной системы параллельна отно-
относительной скорости vr;
3) в моме[,т времени, когда относительнай скорость \г точки
равна нулю.
§ 13.4. Задачи
Задача 13.1. Круговой спутник пролетает над экватором. Его скорость
fo = 7,9 км/сек. Плоскость орбиты наклонена к плоскости экватора под углом 6.
Определить скорость движения спутника,
видимую с Земли на экваторе, и видимое
направление движения полярного спут-
спутника (б = я/2). Раднус Земли Я = 6400 км
(рис. 13.4).
Скорость движения по орбите является
абсолютной скоростью в системе коорди-
координат, движущейся поступательно с нача-
началом в центре Земли. Земля в этой
системе координат вращается с угловой п V ? Л *—(восток)
скоростью ш = 2л/B4- 3600) секГ1. ve со
Отложим от оси х, касательной к
экватору, вектор v0. Он составляет Рис. 13.4
с направлением на восток угол 9.
Переносная скорость точки на экваторе равна скорости точки, участву-
участвующей во вращательном движении Земли. Следовательно, переносная скорость
направлена по касательной к экватору на восток и равна по модулю
ve = соЯ = 24 200 6400 = 0,465 км/сек .
Зная абсолютную и переносную скорости точки, можно определить и от-
относительную скорость. Для этого разложим вектор v0 на две составляющие,
из которых одна равна \е. Определим проекции относительной скорости на
оси х я у (рис. 13.4):
vrx = v0 cos 6 — ve = 7,9 cos 6 — 0,465,
vry = щ sin б = 7,9 sin 6.
Таким образом, угол ty, составленный относительной скоростью с мери-
меридианом, определится из соотношения
°rx 7,9 cos 6-0,465
vry ~ 7,9 sin 9
а модуль относительной скорости — из равенства

240
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
[ГЛ. XIII
Для полярного спутника б = я/2 и поэтому
0,465
7.9
= - 0,059.
Соответствующий угол if 5= —3°,4. Знак минус указывает на то, что при
направлении абсолютного движения на север видимое с Земли направление
скорости отклонено на северо-запад.
Модуль относительной скорости для полярного спутника мало отличается
от модуля абсолютной скорости
о,. = ]/,92 + 0,4652 = 7,914 км/сек.
Задача 13.2. Стержень ОА вращается вокруг оси, проходящей через его
конец О, с постоянной угловой скоростью ш Ползун М движется вдоль
стержня от точки О с постоянной относительной скоростью vr. Определить
величину и направление переносного, относительного и кориолисова ускоре-
ускорений ползуна в тот момент, когда 0М = х (рис. 13.5, а).
Для того чтобы определить переносное ускорение, мысленно закрепим
ползун на стержне. Переносным ускорением ползуна будет ускорение той
Рис. 13.5.
точки стержня, в которой ползун закреплен. Так как стержень вращается
с постоянной угловой скоростью о, то ускорение этой точки (переносное уско-
ускорение ползуна) будет направлено к точке О и по модулю равно
We = 0JХ.
Относительное движение ползуна равномерное и прямолинейное, поэтому
его относительное ускорение равно нулю, т. е. vir = 0 Согласно формуле
A3.19) кориолисово ускорение численно будет равно
шс = 2@0,.,
так как векторы и и \г перпендикулярны. Направлено же кориолисово уско-
ускорение перпендикулярно стержню в сторону вращения стержня.
В рассматриваемом примере достаточно просто можно показать причину
возникновения кориолисова ускорения. В самом деле, при нахождении пере-
переносного и относительного ускорений мы не учитывали следующих обстоятельств:
во-первых, относительная скорость при вращении стержня меняет свое направ-
направление по отношению к неподвижной системе координат; во-вторых, переносная
скорость ползуна меняет свою величину вследствие перемещения ползуна из
точек стержня с меньшей скоростью в точки стержня с большей скоростью.
Учтем теперь эти обстоятельства.

§ 13.4] ЗАДАЧИ 241
Пусть в момент времени t расстояние точки М от точки О равно х,
а в момент t1 = t + At оно составляет хг. За промежуток времени At стержень
повернется на угол Дф = ыД? (рис. 13.5, б). Вектор относительной скорости vr
повернется также на угол Дф. Приращение вектора \г за промежуток At,
очевидно, равно
где v'r — относительная скорость в момент t-\-At.
Из рассмотрения рис. 13.5, 6 следует, что для достаточно малых At мо-
модуль вектора Avr будет равен
| Д\г \ = tr Дф = vrii) At.
Разделив обе части равенства на Д^, получим
\Avr\
w1=^-^ = vrm.
Так как Л СМВ равнобедренный, то при Д^->-0 вектор щ будет направ-
направлен перпендикулярно стержню в сторону его вращения.
В момент времени t переносная скорость ползуна равна ve = (ax, а в мо-
момент t-\-At — v'e = tox1. Приращение величины переносной скорости равно
или, поделив на Д^, получим
Ave
Вектор w2, учитывающий изменение величины переносной скорости, будет,
очевидно, направлен по переносной скорости, т. е. перпендикулярно стержню
в сторону его вращения.
Складывая теперь w1 и wit получим
Это и есть кориолисово ускорение, найденное нами ранее при помощи фор-
формулы A3.19).
Итак, в рассматриваемом случае кориолисово ускорение появляется, во-
первых, вследствие изменения направления относительной скорости по отно-
отношению к неподвижной системе координат за счет вращения подвижной системы
координат, во-вторых, вследствие перемещения точки из-за относительного
движения в сторону больших переносных скоростей.
Задача 13.3. По ободу диска радиуса R, вращающегося с постоянной угло-
угловой скоростью о, движется точка М с постоянной по модулю относительной
скоростью vr (рис. 13.6, а). Найти абсолютное ускорение точки М.
Так как диск вращается с постоянной угловой скоростью, то переносное
ускорение будет равно
и направлено к центру диска. Относительное ускорение рацио
и также направлено к центру диска.
Согласно формуле A3.21) модуль кориолисова ускорения
wc = 2@0,..
9 Бутенин Н. В. и др.

242
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
[ГЛ XIII
Направлено же кориолисово ускорение также к центру диска (при относи-
относительном движении точки, направленном в сторону, обратную вращению диска,
ускорение Кориолиса направлено в противоположную сторону).
Таким образом, абсолютное ускорение точки равно
Эту формулу можно получить и иначе. Абсолютная скорость точки равна по
модулю
v = (aR + vr — const,
а так как траекторией является окружность, то
Появленир кориолисова ускорения в этом примере связано с двумя при-
причинами: изменением направления относительной скорости вследствие вращения
<*)
Рис. 13.6.
диска (подвижной системы координат) и изменением' направления переносной
скорости из-за относительного (по отношению к диску) перемещения точки.
Пусть система координат Ох1у1 неподвижная, а система координат Оху
жестко связана с диском. За промежуток времени Д^ точка М диска вслед-
вследствие его вращения переместится в положение М'. Точка же, движущаяся по
диску за этот же промежуток времени, переместится в положение М1
(рис. 13.6, 6, в).
Приращение относительной скорости, обусловленное вращением диска,
обозначим через Дшуг. Из рис. 13.6, 6 следует, что при достаточно малых Д?
Направление вектора Лю\г/Ы при Д?->-0 стремится к направлению соответ-
соответствующего радиуса диска. Модуль же этого вектора стремится к
=(oty.
Приращение вектора переносной скорости, обусловленное относительным
перемещением точки, будет равно (рис. 13.6, в)
Так как дуга М'М-^ равна vr Ы, то угол Да, иа который повернется пере-

§ 13 4]
ЗАДАЧИ
243
носная скорость из-за относительного перемещения, определится из выра^
жения
Поэтому имеем
Да =
"R "
(uRvr At
= a>vr At.
Вектор ¦¦ Vg при At^-0 по направлению также будет стремиться совпасть
с радиусом, а по величине приблк кается к
2= lim
At
— = шг.
Итак, полное приращение вектора скорости,
причинами, приводит к появлению ускорения,
ной скорости, направленного к центру диска
и равного по величине
связанное с двумя указанными
перпендикулярного относитель-
т. е. к ускорению Кориолиса.
Задача 13.4. Диск вращается с постоян-
постоянной угловой скоростью ы = 2 сек'1 вокруг
оси, перпендикулярной плоскости диска и
проходящей через его центр (рис. 13.7).
По прямолинейному пазу CD движется пол-
ползун N по закону о = СЛ/ = 3^2 см, расстоя-
расстояние от центра диска до паза h = 5 см;
CD = 24 см. Определить скорость и ускоре-
ускорение ползуна N в момент, когда он достигнет Рис. 13.7.
середины паза Е.
Абсолютная скорость ползуна N определяется по формуле v = ve-|-vr.
В рассматриваемой задаче подвижная система координат, относительно
которой происходит движение ползуна Л/, жестко связывается с диском. Сле-
Следовательно, переносной скоростью ползуна, когда он совпадает с точкой Е
диска, будет скорость точки Е диска, т. е.
vе = (о • ОЕ — 10 см/сек.
Вектор \е направлен перпендикулярно ОЕ.
Относительное движение точки является прямолинейным. Относительная
скорость равна
vr=~~r7 = bt см/'сек.
Векторы ve и \г направлены в одну сторону, следовательно, абсолютная ско-
скорость ползуна N равна
ц=A0 + 6г) см/сек.
Так как С? = 12 см, то момент t = tx прохождения ползуна через точку Б
определится из соотношения 3^=12, откуда t\ — 2 сек и, следовательно, при
^i = 2 сек имеем
4=22 см/сек.
Абсолютное ускорение ползуна определяется формулой
9*

244
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
[ГЛ. XIII
Диск вращается с постоянной угловой скоростью, поэтому ускорение точки Е
диска (в которой в момент ty находится ползун) равно
we = w°c = а>2ОЕ = 20 см/сек*.
Вектор w,, направлен к центру О диска. Относительное ускорение, как уско-
ускорение точки в прямолинейном движении, будет
wr= -7^ = 6 см/сек2.
направлен вдоль прямой CD. Так как вектор угловой скорости ю
и вектор \г взаимно перпендикулярны, то ко-
риолисово ускорение равно
wz = 2(?>vr=24t см/сек2
и при (х = 2 сек
дас = 48 см/сек2.
Направление вектора wc указано на рис. 13.7.
Абсолютное ускорение ползуна N в момент
t = t1 — 2 сек равно
Вектор
w =1
см/сек2.
Рис. 13.8.
Задача 13.5. Равнобедренный прямоуголь-
прямоугольный треугольник ABC вращается вокруг катета
АВ (рис. 13.8) с постоянным угловым ускоре-
ускорением 8 = 0,5 сек; начальная угловая скорость
треугольника равна нулю. По гипотенузе треу-
треугольника от вершины В к основанию движется
точка М по закону а — ВМ = 20t см. Определить абсолютное ускорение точки
М в момент t — 2 сек.
Подвижная система координат в рассматриваемой задаче жестко связы-
связывается с треугольником ABC. Пусть в рассматриваемый момент времени
точка М находится в положении, указанном на рис. 13.8. Так как угловое
ускорение треугольника постоянно, то угловая скорость треугольника равна
a = et (начальная угловая скорость по условию задачи равна нулю).
Переносное ускорение, т. е. ускорение той точки гипотенузы, с которой
в данный момент совпадает движущаяся точка М, может быть разложено на
вращательное и осестремительное. Модули этих ускорений равны
где MN^BM sin 45° = 20 < sin 45°. Для t = 2 сек имеем
= 28,2 см/сек2,
ffii»P=10yr2 = 14,l см/сек2.
Направление ускорений w°c и w^p указано на рис. 13.8.
Относительное движение точки прямолинейное. Так как
da
ог = — = 20 смIсек = const,
то wr —

§ 13.4] ЗАДАЧИ
Ускорение Кориолиса определится по формуле
245
где о — угловая скорость треугольника (переносная угловая скорость). Направ-
Направление wc указано на рис. 13.8 (wc перпендикулярно плоскости Д ABC).
Модуль кориолисова ускорения равен
и при t = 2 сек
шс = 2шг sin A80° — 45°) = 2avr sin 45°
tt)L?tj28,2 см/сек2.
Модуль абсолютного ускорения точки в момент t = 2 сек равен
: 509 см/сек\
w = У{КР +
+ {wTf
Задача 13.6. Определить проекции абсолютного ускорения точки М, дви-
движущейся по меридиану Земли на юг с постоянной по величине относительной
скоростью \г (рис. 13.9), на оси си-
системы координат Мхуг (ось х напра-
направлена по касательной к меридиану
на север, ось у— по касательной к
параллели на запад, ось г — по радиусу
Земли).
Так как абсолютное ускорение
точки определяется формулой
то его проекции на оси координат
будут
Угловая скорость Q Згмли по-
постоянна, и, следовательно, переносное
ускорение равно рис 13.9.
we = №R cos ф,
где R — радиус Земли, а ф —геоцентрическая широта той точки Земли, с кото-
которой в данный момент совпадает точка М. Направлено we от точки М к оси
вращения Земли. Так как точка М движется по меридиану с постоянной ско-
скоростью, то относительное ускорение точки будет по модулю равно
wr
1L
R
и направлено к центру Земли.
Кориолисово ускорение согласно A3.19) по модулю равно
wz = 2Q.vr sin (я — ф) = 2?lvr sin ф
и направлено в сторону, противоположную направлению оси у.
Проектируя xve, v/ri w? на оси координат, получим
wex = Q2R sin ф cos ф, wey = 0, wes = —Q2/?
wzx = 0, wcy = — 2Qvrsmy, wcz = 0.

246
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
[ГЛ. XIII
Таким образом, имеем
wx= Q2R sin ф cos ф,
Wy = — 2Qvr sin ф,
w2 = — Q2R cos2 Ф —i^L.
R
Задача 13.7. Точка М движется по поверхности Земли по произвольной
траектории. Определить горизонтальную составляющую кориолисова ускоре-
ускорения точки, если ее скорость относительно Земли равна \г.
Постронм географически ориентированную систему координат хуг, напра-
направив ось х по касательной к меридиану на север, ось у по касательной к парал-
параллели на запад и ось г по радиусу Земли вверх (рис. 13.10, а). Обозначим
курс точки через ty (угол между относительной скоростью \г и направлением
а)
Рис 13.10.
на север, т. е. осью х (рис. 13.10, б)). Тогда проекции относительной скоро-
скорости vr на оси х, у, г будут
Проекции угловой скорости Q вращения Земли на те же оси определяются
равенствами
где ш —широта места точки М в данный момент (см. рис. 13.10, а).
Кориолисово ускорение найдем по формуле
vc = 2Q X vr=2
i j к
Qx 0 Qz
Vrx Vry 0
Далее находим проекции кориолисова ускорения на горизонтальные оси
х и у
wzx = — 2Qzyrj/ = 2QyA sin <f> sin ф,
wcy = 2Qzvrx = 201), sin ф cos ip.
Определим модуль горизонтальной составляющей кориолисова ускорения
= 2Qvr sin

§ 13.41
ЗАДАЧИ
247
Из этого выражения видно, что модуль горизонтальной составляющей
кориолисова ускоргния зависит только от относительной скорости vr и широты
места движения точки и ие зависит от направления движения.
Покажем, что в северном полушарии горизонтальная составляющая корно-
лисова ускорения направлена всегда перпендикулярно \г влево от движения,
т. е. влево от направления относительной скорости (в южном полушарии
вправо). Действительно, составим проекцию горизонтальной составляющей
кориолисова ускорения на направление относительной скорости \г. Имеем
(см. рис. 13.10, б)
nPvrwctf = wtx costj?—оусу sin ф
или, подставляя найденные значения для wzx и wzy.
Я+Лк/
что и доказывает сделанное замечание.
Задача 13.8. Принимая поверхность Земли за сферу радиуса R и считая,
что движение точки М относительно вращающейся Земли задано, определить
скорость v и ускорение w точки М .
относительно системы координат, дви-
движущейся поступательно и имеющей
начало ё центре Земли.
Пусть положение точки М отно-
относительно Земли определяется долго-
долготой X, широтой ф и высотой h над
уровнем поверхности Земли. Введем
в рассмотрение подвижную систему
координат Ахуг. Ось z направим по
радиусу Земли так, чтобы она прохо-
проходила через точку М, ось х направим
по касательной к меридиану на север,
ось у — по касательной к параллели
на запад. Начало координат А этой
системы располагаем на земной по-
поверхности (рис. 13.11). Единичными
векторами осей х, у и г соответст-
соответственно будут i, j и к.
Эту задачу можно решить различ-
различными методами, в частности, с помощью рис 13 11
теоремы о сложении ускорений. Одна-
Однако мы воспользуемся не методом раз-
разложения движения на простейшие, а используем формулу, связывающую абсо-
абсолютную производную вектора с относительной производной, так как в дан-
данном примере это приводит быстрее всего к цели.
Пусть система координат О^у^ движется поступательно, а система
координат Оххгуггг жестко связана с Землей. Будем считать заданными проек-
проекции скорости точки М относительно вращающейся Земли на оси системы
координат Ахуг. Очевидно, что vN, v0, vh — проекции скорости на меридиан,
параллель и вертикаль — соответственно равны
A3.22)
При движении точки М и вращении Земли система координат Ахуг
совершает вращение вокруг оси у с угловой скоростью ф и вокруг оси вра-
вращения Земли с угловой скоростью Q + Ju где Й —угловая скорости Земли
(рис. 13.11). Следовательно, проекции угловой скорости системы координат

248 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ [ГЛ. ХШ
Ахуг на ее оси будут
1/ ф, г ( + ) sin
или, учитывая A3.22), получим
A3.23)
Эти формулы имеют самостоятельное значение в различных прикладных
вопросах.
Радиус-вектор г точки М относительно центра Земли в системе коорди-
координат Ахуг представляется в следующем виде:
A3.24)
Абсолютная скорость точки М (скорость по отношению к системе коор-
координат OyXxyxZi) равна
йт Яг
где
5
Следовательно,
vy = (со X г)у = — шх (R+h),
Принимая во внимание формулы A3.23), получаем
vy = — v0-Q(R+h)cos<{>, \ A3.25)
Определив вектор v в системе координат Ахуг, абсолютное ускорение
точки М найдем по формуле
dv dv
w = -^ = -7i- + e>Xv, A3.26)
где
dt dt Г dt '^ dt
В соответствии с формулой A3.26) имеем
dvx
dVy
Wy— •
dvz

§ 13 41 ЗАДАЧИ 249
Так как
dt "It,
dvy ,
¦—"j7~== —' ^*o — ?lVfr cos ф -(- Q (R ~\~h) ф sin ф = —' ^o — ЙУд cos ф-f- v \tQ sin i
at Jv
то, учитывая соотношения A3.23) и A3.25), найдем
^J t + 2О К i f-vh cos
— 2v0Q cos ф -(/? + Л) Й2 cos2 Ф *).
Это и есть проекции абсолютного ускорения точки Л1 на оси системы коор-
координат Акуг.
*) Эта соотношения в книге А. И. Лурье, Аналитическая механика
Физматгиз, 1961, получены с использованием формул A3.11) иA3.20). См. также
V ТТ 14 и ir п п а II TmnU ГТП1Л \Го Ч 1Q11
***n3M.diL ид, 1VKJX, пилу "icnoi с m^llu^lD^UDeirmuivi t
Е. Л. Николаи, Труды ЛПИ, № 3, 1941.

ГЛАВА XIV
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 14.1. Постановка задачи
Пусть твердое тело движется относительно подвижной системы
координат Огх2у2г^ а последняя в свою очередь перемещается
относительно основной системы координат О^у^, принимаемой
за неподвижную. В этом случае говорят, что тело совершает сложное
движение, которое состоит из двух составляющих движений.
Сложное движение может состоять из п составляющих дви-
движений. В этом случае имеется п систем координат и задается п
движений: движение тела относительно системы координат
Onxnynzn, движение системы Опхпупгп относительно системы
0л-А-1#л~12«-1 и т. д., наконец, задается движение системы
О2х2у2г2 относительно основной системы О1х1у1г1. Движение тела
или движение какой-либо одной системы координат относительно
другой в общем случае ничем не ограничено. Задача заключается
в нахождении зависимости между оснорными характеристиками
составляющих движений и сложного движения.
В главе XII было установлено, что движение свободного
твердого тела можно представить как сложное движение, состоя-
состоящее из совокупности сферического движения тела вокруг неко-
некоторого полюса и поступательного движения тела вместе с систе-
системой координат, связанной с полюсом. Таким образом, основными
кинематическими характеристиками движения тела являются ско-
скорость и ускорение поступательного движения и угловые скоро-
скорости и ускорения. Следовательно, задача изучения сложного дви-
движения тела, заключающаяся в нахождении зависимости между
основными характеристиками составляющих движений и слож-
сложного движения, сводится к установлению связи между поступа-
поступательными и угловыми скоростями и ускорениями составляющих
движений. В настоящем курсе мы ограничимся лишь установле-
установлением связи между поступательными и угловыми скоростями.
Рассмотрение начнем с простейших случаев.

§ 14 3]
СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИИ ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ
251
§ 14.2. Сложение поступательных движений
Пусть Vj — скорость поступательного движения тела Р отно-
относительно системы O2x2y2z2 (рис. 14.1), a v2 —скорость поступа-
поступательного движения системы О^у^ относительно неподвижной
системы координат O1x1y1z1. Тогда,
чтобы найти абсолютную скорость ,
какой-либо точки М тела Р, нужно
применить теорему о сложении ско-
скоростей (глава XIII):
vM = vr + ve. A4.1)
В нашем случае
следовательно,
= vx и ve = v2,
A4.2)
О,
Таким образом, у всех точек
тела абсолютные скорости оказались
одинаковыми, следовательно, при
сложении поступательных движений Рис. 14.1.
твердого тела результирующее дви-
движение будет также поступательным и скорость результирующего
движения равна сумме скоростей составляющих движений.
В случае п поступательных движений, применяя последовательно фор-
формулу A4.1), можно показать, что результирующее движение также будет
поступательным и его скорость будет равна сумме скоростей составляющих
движений, т. е.
Возможен случай, когда скорости всех точек тела только
в данный момент времени оказываются равными между собой.
Этот случай называют мгновенно-поступательным движением.
Однако следует иметь в виду, что ускорения точек при эгом
различны (см. случай а) в задаче 11.9).
§ 14.3. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.
Кинематические уравнения Эйлера
Пусть тело Р вращается в системе координат Охгу^г% вокруг
оси г2 с угловой скоростью <о2, а система координат Ох2у2г2 вра-
вращается вокруг оси z1 неподвижной системы с угловой скоро-
скоростью 6)! (рис. 14.2). Точка О остается неподвижной, поэтому
результирующее движение тела будет сферическим. Обозначим
через й угловую скорость этого движения. Наша задача состоит
в том, чтобы найти угловую скорость абсолютного движения
тела, зная угловые скорости щ и <о2 составляющих вращений.

252
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ XIV
Найдем абсолютную скорость произвольной точки М тела.
Для этого в формулу A4.1) следует подставить
уг=(О2ХГ, Ve==(O1Xr,
где г —радиус-вектор точки М; тогда
VM = «1 X Г + «2 X Г = (б)! + <О2) X Г.
С другой стороны, скорость той же точки М в абсолютном дви-
движении будет равна
A~Z <
Сравнивая оба равенства, получим
ЙХГ = ((Oj + G^) ХГ.
Так как точка М, а следователь-
следовательно, и ее радиус-вектор г произ-
произвольны, то
й = @1 + <»2- A4.3)
Из формулы A4.3) следует, что
совокупность двух вращений, проис-
происходящих вокруг пересекающихся осей,
эквивалентна одному вращению, про-
происходящему с мгновенной угловой
равной сумме угловых скоростей составляющих ера-
Рис. 14.2.
скоростью,
щений.
Замечание. В случае щ =— со2 из A4.3) следует, что ум = 0. Следова-
Следовательно, совокупность двух вращений вокруг одной и той же оси, происходя-
происходящих с одинаковыми по модулю, но противоположно направленными угловыми
скоростями, эквивалентна покою. Такую совокупность движений всегда можно
присоединять к любому сложному движению тела.
Совокупность п вращений вокруг пересекающихся в одной
точке осей эквивалентна одному вращению с мгновенной угловой
скоростью
Полученное правило сложения вращений вокруг пересекаю-
пересекающихся осей позволит нам теперь выразить проекции мгновенной
угловой скорости тела, имеющего одну неподвижную точку О,
через углы Эйлера и их производные.
Напомним (§ 12.1), что положение подвижной системы коор-
координат Охуг, жестко связанной с телом, полностью определяется
относительно неподвижной системы координат Ох^у^ углами

14 3]
СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ
253
Эйлера (рис. 14.3). Тело участвует в трех вращениях: первое
вращение, соответствующее изменению угла прецессии ijj, про-
происходит вокруг неподвижной оси Огг с угловой скоростью -fyk^,
второе вращение, соответствующее изменению угла нутации 9,
происходит вокруг линии узлов ОК с угловой скоростью Gi', где
Г — единичный вектор линии узлов; наконец, третье вращение,
соответствующее изменению угла собственного вращения ф, про-
происходит вокруг оси Ог с угловой скоростью фк. Следовательно,
абсолютная угловая скорость о) тела будет
A4.4)
Составим таблицу направляющих косинусов единичных векто-
векторов кь Г и к в системе подвижных осей Oxyz:
к
X
sin 8 sin ф
COS ф
0
у
sin 8 cos ф
— sin ф
0
Z
cos 8
0
1
Поясним составление первой строки этой таблицы (вторая и
третья строки непосредственно следуют из рис. 14.3, а). Разложим
единичный вектор ki на две взаимно перпендикулярные составляю-
составляющие, направив одну из них по оси г (она равна cos б к, см.
рис. 14.3,6); тогда вторая составляющая, равная sin 8 • j', где
j' — единичный вектор вспомогательной оси х\, будет находиться
в плоскости ху. Следовательно,
n8-j'. A4.5)
Вспомогательная ось т) составляет с осями х и у углы -к—ф и

254
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ XIV
ф. Проектируя единичный вектор кг на оси х, у и г, получим
(напомним, что проекции единичных векторов равны соответст-
соответствующим направляющим косинусам)
cos (kb x) = sin б sin ф, cos (klf у) = sin 9 cos ф, cos (kb z) = cos 9.
Эти выражения и составляют первую строку таблицы направ-
направляющих косинусов.
Проектируя теперь обе части равенства A4.4) на оси х, у, z
и учитывая таблицу косинусов, найдем проекции вектора угловой
скорости тела на оси, жестко связанные с телом:
соА- = -ф sin 6 sin ф + бсовф, \
со,, = Ф sin 9 cos ф — %$\щ, \ A4.6)
сог = ф cos б + Ф- i
Полученные соотношения носят название кинематических уровне-
ний Эйлера.
Модуль угловой скорости определяется равенством
A4.7)
Таблица направляющих косинусов между единичными векто-
векторами кь Г и к в системе неподвижных осей Ох^у^ имеет вид
к
О
COStj)
sin S sin
г/i
О
sin tf>
• sin S cos tjj
0
cosS
Для того чтобы получить последнюю строку, мы разложили век-
вектор к на две составляющие, направив
одну из них по оси 2Х (она равна
cosS-kj; см. рис. 14.4); тогда вторая,
равная sin 8 - j", где j" —единичный век-
вектор новой вспомогательной оси ц, бу-
будет находиться в плоскости
k = cos
- j"
Третья строка второй таблицы получена
проектированием этого равенства на
оси хъ ylt гг. Проектируя теперь обе
Рис 14.4. части равенства A4.4) на оси х1} ylt zx
и пользуясь второй таблицей направ-
направляющих косинусов, найдем ^проекции вектора угловой скорости

§ 14 3]
СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИИ ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ
256
на неподвижные оси координат:
со^ = 8cos ijj -f- Ф sin 9 sin ijj,
a)yi = 6sinij3 — фвгпб cost];,
A4.8)
Кинематические уравнения Эйлера A4.6) и A4.8) устанавли-
устанавливают связь между проекциями вектора угловой скорости со
на соответствующие оси, углами Эйлера ijj, б и ф и их первыми
производными по времени.
Задача 14.1. Планетарный редуктор с коническими шестернчми передает
вращение вала / на вал // (рис. 14.5). Определить число оборотов в минуту
вала // и число оборотов в минуту в абсолютном и относительном вращении
сателлитов, если дано: г1 = 8О мм, л2 = 80 мм, л3 = 60 мм и га = 600 об/мин.
Подвижная шестерня 3 вращается вокруг своей оси ОВ и вместе с. этой
осью вращается вокруг оси ОА; мгновенная ось абсолютного движения ше-
шестерни 3 проходит через точку пересечения осей слагаемых вращений, т. е.
через точку О и точку С (так как
шестерня / неподвижна). Для
определения числа оборотов абсо-
абсолютного движения шестерни 3 и
числа оборотов при относительном
вращении ее вокруг своей оси вос-
воспользуемся формулой A4.3), кото-
которая в рассматриваемом случае при-
принимает вид
где (Од — абсолютйая угловая ско-
скорость шестерни 3, со — угловая ско-
скорость вала /, в>з — относительная
угловая скорость шестерни 3.
Из рассмотрения подобных тре-
треугольников ОаЬ и СВО (см. рис.
14.5) следует
ш
> = -t ИЛИ —2. = -±
га г3'
Рис. 14.5.
где га3 — число оборотов в минуту шестерни 3 в относительном движении,
а « — число оборотов в минуту вала /. Отсюда имеем
г ЯП
п3 = - п = _ ¦ 600 = 800 об/мин.
Абсолютная угловая скорость шестерни 3 равна
2ппп п VrPA-n
60
30
100
причем через па обозначено число оборотов в минуту шестерни 3 в абсолютном
движении.
В точке D происходит зацепление шестерен 2 и 3, поэтому скорости точек
шестерен 2 и 3, совпадающих с точкой D, равны между собой.
Скорость точки В шестерни 3 равна
_ кп
Vb~ 30 'i

256 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
и, следовательно,
[ГЛ. XIV
2пп
Но скорость точки D шестерии 2 равна
Таким образом, учитывая, что гх = гг, получим
га2 = 2га =1200 об/'мин.
§ 14.4. Пара вращений
Рассмотрим сложное движение, состоящее из двух вращений
относительно параллельных осей 0^ и О2г2 (рис. 14.6).
Пусть угловые скорости относительного (щ) и переносного (щ)
движений равны по модулю, но противоположно направлены
(<о2 = — (i)z). Такая совокупность движений называется парой вра-
вращений.
Найдем абсолютную скорость какой-либо точки М твердого
тела:
VM = Ve + V,-.
В нашем случае
vr = оJ X r2, ve = (al х Гх,
следовательно,
= «1 X Гг + ОJ X Г2 => (I)! X Г! —
X Г2 =
A4.9)
Векторы
и ОхОъ не зависят от положения точки М, поэтому
из A4.9) вытекает, что ско-
скорости всех точек тела одина-
одинаковы. Этим свойством обла-
обладает только поступательное
движение.
Из A4.9) следует, что
х
2. A4.10)
Векторное произведение
О^Оъ х <о2 называется момен-
моментом пары вращений. Таким
рис [4 6 образом, тело, участвующее
в паре вращений, движется
поступательно со скоростью, равной моменту пары вращений.
Легко видеть, что совокупность п пар вращений эквивалентна
одной паре, т. е. поступательному движению. Заметим, что любое

§ 14.5] СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИИ ВОКРУГ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ 257
мгновенно-поступательное движение можно представить как мгно-
мгновенную пару вращений.
Задача 14.2. Велосипедист едет со скоростью 21 км/час, диаметр колес 700 мм,
передаточное число рабно трем.г Определить, сколько оборотов в минуту делает
педаль вокруг своей оси, если велосипед движется без свободного хода.
Педаль велосипеда в результирующем движении перемещается поступа-
поступательно. Это поступательное движение образуется из поступательного движения
вместе с велосипедом и поступательного движения педали относительно вело-
велосипеда (последнее движение будет поступательным потому, что велосипедист
с1'упней своей ноги держит педаль все время параллельно поверхности дороги).
Поступательное движение педали относительно велосипеда осуществляется ее
вращением относительно* своей оси и вращением вместе с осью вокруг оси шату-
шатуна. При таком движении педали ее угловая скорость при вращении вокруг
своей оси будет равна и противоположно направлена ее угловой скорости
при движении вокруг оси шатуна (пара вращений).
Так как велосипед движется без свободного хода, то движение колеса
велосипеда зависит от движения шатуна. Определим число оборотов криво-
кривошипа вокруг своей оси из условия, что передаточное число равно трем.
Обозначая через п число оборотов колеса, а через nj —число оборотов криво-
кривошипа, будем иметь
Щ.
Предполагая, что колесо катится по поверхности дороги без скольжения,
найден зависимость между скоростью велосипеда и числом оборотов колеса.
Очевидно, это будет
где г — радиус колеса. Таким образом,
ЗОу 30-21000 500 ..
П = = r-7j= ^ст; = об MUH.
пг 0,35я • 3600 я
Следовательно, число оборотов шатуна равно
п 500 „
пх = -=- = -=— яа 53 об/мин
и число оборотов п2 педали
щ — пх «= 53 об/мин,
§ 14.5. Сложение вращений вокруг параллельных осей
Из содержания предыдущих параграфов видно, что введенные
выше простейшие кинематические элементы — угловые скорости
вращения тела (или системы координат) и скорости поступатель-
поступательных движений подчиняются тем же законам, что и силы и пары
в статике. В самом деле, пары вращений или поступательные
движения аналогичны парам сил.- Как и в статике, совокупность
кинематических пар эквивалентна паре, момент которой (или ско-
скорость результирующего поступательного движения) равен сумме
моментов слагаемых пар.

258
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ XIV
Угловые скорости вращения вокруг осей, пересекающихся
в одной точке, заменяются одной угловой скоростью так же, как
и сходящаяся система сил в статике приводится к одной силе
(равнодействующей). Аналогия между угловыми скоростями
составляющих вращений и силами
этим не ограничивается. Мы сей-
сейчас установим, что сложение вра-
вращений вокруг параллельных осей
совершенно аналогично сложению
параллельных сил.
Предположим, что тело вра-
вращается с угловой скоростью <о2 во-
вокруг оси 0ггг относительно систе-
системы координат O2x2r/2z2, а послед-
последняя вращается с угловой скоростью
(Oj вокруг оси 0хгх относительно
системы координат Oxxxyxzx, причем
оси 0хгх и O2z2 параллельны (рис.
14.7).
Тогда абсолютная скорость
любой точки М тела
V = Ve + V, = Щ X Гх + <О2 X Г2.
Скорости vr и ve точки М распо-
расположены в плоскости, перпенди-
перпендикулярной осям Охгх и O^Zi, следо-
следовательно, и абсолютная скорость v точки М лежит в плоскости,
перпендикулярной этим осям. Так как точка М произвольна,
то это означает, что тело участвует в плоском движении. Найдем
в плоскости х1О1у1 мгновенный центр скоростей в случае, когда
щ и <о2 направлены в одну сторону (рис. 14.7, а).
Для точки Р, лежащей на прямой ОХО2, vr и ve коллинеарны,
но направлены в разные стороны. Для того чтобы их геометри-
геометрическая сумма была равна нулю, должно выполняться равенство
Рис. 14.7.
или
ОгР
A4.11)
Точка Р делит отрезок 0х0^ внутренним образом на части,
обратно пропорциональные модулям угловых скоростей состав-
составляющих вращений.
Перейдем теперь к сложению вращений, имеющих противо-
противоположные направления. Пусть со2>со1. Скорости \г и ve в этом
случае имеют противоположные направления в точках на пря-

§ 14 6] ЗАДАЧИ 259
мой ОхОъ, расположенных вне отрезка 0^ (рис. 14.7, б). Най-
Найдем точку Р, в которой эти скорости равны:
или
Точка Р делит отрезок 0гО2 внешним образом на части, обратно
пропорциональные модулям угловых скоростей. Такую точку
всегда можно найти, если только щфщ.
В каждом из рассмотренных случаев точка Р имеет скорость,
равную нулю, т. е.
= 0. ( A4.13)
Найдем теперь скорость произвольной точки М:
v=Й! X rx + «2 X r2 = o)x X {(hP 4- r'} + «2 X ЩР + г').
Здесь г' — радиус-вектор точки М относительно мгновенного
центра скоростей Р. Раскрывая скобки в правой части и исполь-
используя равенство A4.13), получим
v = (lI хОхР +(о1хг'+ <о2X О2Р + <о2 хг' = (щ + «г) Xг' = Q хг',
A4.14)
где й = (!)! +«2-
Отсюда следует, что совокупность двух вращений, происходя-
происходящих вокруг параллельных осей, но не представляющих собой пары
вращений, приводится к одному вращению, мгновенная ось кото-
которого делит внутренним или внешним образом расстояние между
осями составляющих вращений на части, обратно пропорциональ-
пропорциональные модулям угловых скоростей. Угловая скорость результирую-
результирующего вращения равна геометрической сумме угловых скоростей
составляющ их движен ий.
Если угловые скорости направлены в одну сторону, то мгно-
мгновенная ось вращения расположена между, осями 0^ и О2г2 и
модуль результирующей угловой скорости Q = co1 + c»>2- В случае
противоположно направленных вращений мгновенная ось распо-
расположена за осью, вокруг которой вращение происходит с большей
угловой скоростью и Q = |co1 —со2|. Результирующая угловая
скорость направлена в сторону большей из угловых скоростей.
§ 14.6. Задачи
Задача 14.3. В редукторе (рис. 14.8) водило ОС делает п—720 об/мин,
а подвижные шестерни 2 и 3 вращаются вокруг своей оси относительно
поводка в том же направлении с угловой скоростью, соответствующей п23 =
— 240 об/мин. Определить радиус гг неподвижного колеса 1 и число оборо-
оборотов вала //, если ОС = 240 мм, Л4 = 4О мм (л4 —радиус шестерни 4).

260
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. XIV
Подвижные шестерни 2 и 3 совершают сложное движение. Они вращаются
вокруг оси MN относительно поводка и вместе с этой осью вокруг оси вала /.
Радиус г\ неподвижного колеса 1 найдем из условия, что мгновенная ось
абсолютного вращения шестерен 2 и 3, параллельная оси MN, проходит
через точку касания неподвижного колеса 1 и подвижной шестерни 2. На
основании соотношения A4.11) можем
записать:
г2 со
rl С°23''
@23
ОС ¦ (о23
I1!—'
где ш2з—угловая скорость шестерен 2 и
3 при их вращении вокруг оси MN,
а со— угловая скорость вала /.
Между угловой скоростью и числом
оборотов в минуту существует зависимость
вида
ЯП
//////////////77//////,
следовательно,
Рис. 14.8.
ОС ¦ гия 240 • 240
п+п23 720 + 240
= 60 мм.
Абсолютная угловая скорость ыв шестерен 2 и 3 при вращении вокруг
мгновенной оси на .основании A4.14) равна
Характеризуя угловую скорость числом оборотов, получим
па = п + «23 = 720 + 240 = 960 об/мин.
Для определения числа оборотов шестерни 4, а следовательно, и вала //,
воспользуемся тем обстоятельством, что абсолютные скорости точек шестерен 3
и 4 в точке В их зацепления равны между собой (нет относительного про-
проскальзывания):
nad =
где
Таким образом,
яа(^) = 960F0-401 = 480 о(_/лшн
Задача 14.4. Сколько оборотов в минуту должен делать ведущий вал /
редуктора (рис. 14.9), чтобы ведомый вал // совершал w4=1800 об/мин?
Первое колесо с внутренними зубьями неподвижно. Дано: /1=150 мм, л2 =
='30 мм, ri = 50 мм.
Подвижные шестерни 2 к 3 как одно целое совершают сложное движение.
Они вращаются вокруг оси MN относительно поводка и вместе с ней вра-
вращаются вокруг оси /.

§ H.7] СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ И ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ 261
Мгновенная ось абсолютного вращения этих шестерен проходит через
точку В —точку зацепления подвижной шестерни 2 и неподвижной шестерни /.
Эта ось параллельна оси MN. Так как мгновен-
мгновенная ось абсолютного вращения шестерен 2 и 3
лежит вне осей слагаемых движений, то вра-
вращение этих шестерен вокруг оси MN происхо-
происходит в сторону, противоположную направлению
вращения вала /.
На основании формул A4.12) и A4.14) имеем
согз
щ
г
Н
в
и
Ж.
ж
где (о23 — угловая скорость вращения шестерен
2 и 3 вокруг оси MN, а>а—абсолютная угло-
угловая скорость этих шестерен.
Из полученных соотношений следует
Г\ Г\ — /*2
Скорости точек зацепления шестерен 3 и 4 равны, т. е. соа (гх — /
Отсюда следует:
У//////////////////////////
Рис. 14.9.
или
100-120
Вал II вращается в ту же сторону, что и вал /.
Of) VLf)
= 1800 .Г." Г! =225 об/мин.
§ 14.7. Сложение поступательных и вращательных движений
Первый случай. Рассмотрим сначала следующий случай слож-
сложного движения: тело Р движется поступательно с постоянной
скоростью Vj относительно системы координат О^х^у^^, а она
в свою очередь вращается вокруг оси zx неподвижной системы
координат 0\Xxi)Lzx с постоянной угловой скоростью (о, парал-
параллельной скорости v0 поступательного движения. Найдем абсолют-
абсолютную скорость некоторой точки М тела (рис. 14.10):
Ум = у г + ve = v0 + (о х г.
Таким образом, абсолютная скорость точки может быть разло-
разложена на две составляющие: одну v0, параллельную оси г2, и дру-
другую ve = «)X г, перпендикулярную плоскости, проходящей череа
ось г! и точку М.
Отсюда следует, что точка М движется по боковой поверх-
поверхности кругового цилиндра с осью z1. Касательная к винтовой
траектории образует с плоскостью, перпендикулярной оси

262
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
(ГЛ. XIV
цилиндра, угол а, причем
где R — радиус цилиндра (см. рис. 14.10).
Время Т одного оборота тела в винтовом движении
у,_2л
со '
Любая точка тела переместится за это время параллельно оси
на расстояние, равное
называемое шагом винта. Величина р = у0/со называется парамет-
параметром винта.
Рассмотренное сложное движение тела называется кинемати-
кинематическим винтом.
Если скорость v0 и угловая скорость ю переменны, то дви-
движение тела будет мгновенно винтовым движением. Естественно,
что параметр винта в общем случае также будет переменным.
Второй случай. Скорость поступательного движения перпен-
перпендикулярна угловой скорости вращательного движения. Согласно
§ 14.3 мгновенное поступательное движение можно рассматривать
как сложное движение —пару вращений. При этом момент пары
вращений должен быть равен скорости данного поступательного
движения. Плоскость пары вращений должна быть перпендику-
перпендикулярна v0 —проведем ее через ось z1 (рис. 14.11). Поступательное
движение со скоростью v0 относительно системы координат О2х2у^2
можно заменить вращением тела с угловой скоростью ш" отно-

§ 14 71 СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ И ВРАЩАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИИ 263
сительно некоторой новой системы и вращением этой новой си-
системы относительно системы координат О^у^г^ с угловой ско-
скоростью ш' = — ш". Для
упрощения чертежа пло-
плоскость y2O2z2 проведена
перпендикулярно v0 через
ось ьгх. Пусть одно из
вращений, составляющих
пару, имеет угловую ско-
скорость ю' = — и и проис-
происходит вокруг оси, совпа-
совпадающей с гг; тогда другое
вращение имеет угловую
скорость ю" = (о и проис-
происходит вокруг параллель-
параллельной оси, проходящей через
точку 03. Для эквивален-
эквивалентности этой пары вращений данному поступательному движению
тела достаточно, чтобы было выполнено условие
v0 = 0103X(o".
Если О1Оз1^О1г1 (см. рис. 14.11), то отсюда следует, что
Рис. 14
Таким образом, совокупность поступательного и вращатель-
вращательного движений нами приведена к трем вращениям (ю", ю', ю),
при этом два последних вращения («', ю) эквивалентны покою,
так как угловые скорости оУ
и (о равны по модулю и нап-
направлены по одной прямой в
противоположные стороны.
Следовательно, результи-
результирующее движение эквива-
эквивалентно только одному враще-
вращению вокруг мгновенной оси,
проходящей через точку 03,
с угловой скоростью, рав-
равной углоеой скорости задан-
заданного вращения.
Третий случай. Скорость
поступательного движения Рис. 14.12.
v0 направлена под углом ср
к угловой скорости (о вращательного движения (рис. 14.12).
Этрт случай легко приводится к первому. В самом деле,
поступательное движение со скоростью v0 можно сначала пред-

264
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
(ГЛ XIV
ставить как совокупность двух поступательных движений со ско-
скоростями vx и v2, причем Vjlta, v2 _L ю (рис. 14.12) и v1 + v2 = v0.
Поступательное движение со скоростью v2 (в соответствии со
вторым случаем) можно заменить парой вращений («', ю"). По-
Получилась система четырех движений (v1; ю", ю', ю); при этом
два последних движения (ю', ю) эквивалентны покою, следова-
следовательно, остается мгновенно-винтовое движение (\1у ю").
Если скорости v0, (о постоянны, то движение будет винтовым.
При этом ось винта отстоит от оси zx на расстоянии
Шаг винта равен
А — vi _ vo sin Ф
• ~ "© " G)
, _ 2яи0 sin ф
§ 14.8. Общий случай сложения движений твердого тела
Продолжим установленную в §§ 14.4 и 14.5 аналогию между
угловыми скоростями и силами, приложенными к твердому телу,
а также между скоростью поступатель-
поступательного движения и моментом пары сил.
Эта аналогия объясняется тем, что уг-
угловая скорость со тела и сила, приложен-
приложенная к твердому телу, являются сколь-
скользящими векторами. Можно показать
(мы не будем останавливаться на до-
доказательстве *)), что любая система
скользящих векторов, независимо от их
физической природы, эквивалентна од-
одному скользящему вектору (главному
вектору) и одной паре скользящих векторов, момент которой
равен главному моменту.
Применительно к сложению движений твердого тела это озна-
означает следующее: если тело участвует одновременно в п вращениях
с угловыми скоростями щ, «2, ..., а>п и в т поступательных
движениях, скорости которых равны vx, v2, ..., \т (моменты пар
вращений), то вся система этих движений эквивалентна совокуп-
совокупности одного вращательного и одного поступательного движений.
Угловая скорость ю результирующего вращения равна сумме (глав-
(главному вектору) составляющих угловых скоростей
• + <о„, A4.15)
Рис. 14.13.
*) См , например, Г. К Суслов, Теоретическая механика, Гостехиздат,
1946, §§ 6—25; Д. Р. Мерк и н, Алгебра свободных и скользящих векторов,
Физматгиз, 1962.

§ 14 8]
общий случаи сложения движении твердого тела
265
а скорость \А результирующего поступательного движения равна
сумме (главному моменту) моментов угловых скоростей «, отно-
относительно центра приведения А и скоростей v,- поступательных
движений (моментов пар вращения):
о„) + У1 + ... + ут, A4.16)
причем ось вращения проходит через выбранный центр приведе-
приведения А.
На рис. 14.13 показаны результирующая угловая скорость»
вращательного движения (главный вектор) и результирующая
скорость v^ (главный момент) поступательного движения. Век-
тсры \А и (о можно рассмат-
рассматривать так же, как скорость
полюса А и угловую скорость
вращения тела относительно
полюса (§ 12.4).
Покажем, что имеются
два кинематических инва-
инварианта, аналогичных стати-
статическим инвариантам. Дейст-
Действительно, из равенства A4.15) Рис. 14 14.
следует, что главный вектор
(о не зависит от выбора центра приведения А и, следовательно,
представляет собой первый кинематический инвариант. По су-
существу, инвариантность главного вектора тождественна с ранее
доказанным утверждением о независимости угловой скорости '
тела от выбора полюса. В более узком смысле под первым инва-
инвариантом /х будем понимать квадрат модуля главного вектора
/х = со2. A4.17)
Прежде чем перейти ко второму инварианту, заметим, что
при переходе к новому центру приведения, например точке В,
главный момент \в будет связан с главным моментом \А относи-
относительно старого полюса формулой (рис. 14.14)
VB = v4 + <»Xp. A4.18)
Эту формулу можно получить непосредственно из равенства
A4.16). Она также следует из того, что главный момент vB есть
скорость точки В твердого тела и определяется формулой A2.20).
Умножим скалярно обе части равенства A4.18) на вектор ю:
\в ¦ (о = \А • (о + (ю х р) • (о.
Так как вектор юхр перпендикулярен вектору ю, то их ска-
скалярное произведение равно нулю. Поэтому
\А ¦ (о = \в ¦ и, A4.19>

266 СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА (ГЛ XIV
т. е. скалярное произведение главного вектора ю на главный мо-
момент не зависит от центра приведения, иначе говоря, скалярное
произведение скорости точки твердого тела на угловую скорость
тела в каждый момент времени одинаково для всех точек тела.
Вторым кинематическим инвариантом /2 называется скаляр-
скалярное произведение скорости v любой точки тела на его угловую
скорость со
/2 = v-(o. (I4.20)
Запишем равенство A4.19) в следующей форме:
vA& cos ax = vB& cos а2.
Если со Ф 0, то '
vA cos ax = vB cos а2.
Каждое из этих произведений представляет проекцию главного
момента относительно соответствующей точки (скорости соответ-
соответствующей точки) на направление главного вектора (угловой ско-
скорости тела). Следовательно, если
угловая скорость тела (главный век-
вектор) не равна нулю, то проекция
скорости точки тела (главного мо-
момента) на направление угловой ско-
скорости тела не зависит от выбора
точки.
Покажем, что если второй кине-
кинематический инвариант не равен нулю,
У то совокупность всех движений, в
которых участвует тело, может быть
сведена к мгновенному винтовому
рис 14 15 движению. Действительно, если
/2 ф 0, то скорость v^ любой точки
А тела и угловая скорость его отличны от нуля; кроме того, в этом
случае угол а между векторами а и v^ не равен я/2. На стр. 264
было показано, что в этом случае имеется такая точка В, ско-
скорость которой vB параллельна угловой скорости (отела (рис. 14.15).
Для этой точки должно выполняться равенство
или, учитывая формулу A4.18),
р(о, A4.21)
где р — некоторый скаляр, а р —радиус-вектор точки В в си-
системе координат Ахуг, жестко связанной с телом; vB —скорость
точки В.
Очевидно, что равенству A4.21) удовлетворяет радиус-век-
радиус-вектор р любой точки, лежащей на прямой NN', проходящей через

§ И 8] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СЛОЖЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА 267
точку В и параллельной вектору ю. Следовательно, равенство
A4.21) представляет векторное уравнение прямой линии, все
точки которой в данный момент времени имеют скорости, парал-
параллельные угловой скорости (о. Прямая AW называется мгновен-
мгновенной винтовой осью тела; совокупность угловой скорости ю тела
и скорости v любой точки мгновенной винтовой оси называется
кинематическим винтом, а число р в равенстве A4.21) — пара-
параметром кинематического винта. Происхождение этих названий
очевидно: винтовое движение состоит из вращения вокруг неко-
некоторой оси и одновременного поступательного перемещения вдоль
этой оси. Таким образом, в самом общем случае скорости точек
твердого тела распределяются так, как если бы тело совершала
мгновенно-винтовое движение.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома параллелограмма сил 21
Аксиомы статики 19—24
Аксоид неподвижный 225
— подвижный 225
Амплитуда колебаний 167
Бинормаль 163
Вектор главный 56, 58, 61, 65, 109,
115, 121
— углового ускорения 190
— угловой скорости 189, 222
Винт динамический ПО, 111, 117
— кинематический 262, 267
Вращение твердого тела вокруг не-
неподвижной осп 187
точки 218
Время абсолютное 7
Гироскоп в кардановом подвесе 12
Годограф 145
— скорости 160
График движения 148
Движение абсолютное 233
— винтовое 262
¦— вращательное 187
— гармоническое 167
— замедленное 166
— криволинейное 144
— материи 7
— мгновенно-винтовое 262
— механическое 7
— относительное 233, 243
— переносное 233
— периодическое 168
— по окружности 169
— поступательное 184, 256
— прямолинейное 144, 167
— равномерное 154, 166
— сложное 186, 233
— твердого тела 183, 250
— — — вращательное 158
— — — мгновенно-поступательное
251
— — — плоское 193
Движение твердого тела поступатель-
поступательное 184, 251
свободного 228
— — — с одной неподвижной точ-
точкой 218
— точки по окружности 169
— ускоренное 166
Диаграмма взаимная 93, 94
— Максвелла — Кремоны 93, 94
Динама ПО
Динамика 11, 15
— твердого тела, имеющего одну не-
неподвижную точку И
Задача о параллельном переносе силы 56
— статически неопределимая 36, 40,
85, 98, 119
Задачи на равновесие системы тел 78
— статики основные 29, 30, 53
Заделка жесткая (полная) 77
Закон Амонтона— Кулона 96
— Архимеда 9
— всемирного тяготения 10, 11
— движения 148
— инерции 19
— Ньютона третий 22, 81, 95
Законы Ньютона 7, 16
Инварианты кинематические 265
— статические 109, ПО, 265
Интенсивность силы 73, 74
Кило1 рамм-сила 17
Кинематика 15
— точки 143
Конус трения 101
Координаты криволинейные 176, 177
— — ортогональные 178
— полярные 146
— сферические 146
— цилиндрические 146
Коэффициент трения качения 107
— — скольжения 96
Коэффициенты Ламе 178
Кривизна 164
Круг кривизны 164

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
269
Линия действия силы 17
— координатная 177
— узлов 218
Метод абстракции 8
Механика абсолютно твердого тела 14
— жидкостей и газов 14
— материальной точки 14
— небесная 14
— релятивистская 14, 15
— систем свободных и несвободных
11
— тела переменной массы 13
— теоретическая 7, 8, 14, 16
Многоугольник силовой 32, 33
замкнутый 34, 92
— — разомкнутый 32
Модели материальных тел 8
Модель тела абсолютно твердого 18
Момент главный 57, 58, 60, 67, 109,
115, 265
— пары 49, 50, 53, 66
вращений 256
— силы относительно оси 47, 48
точки 45, 66
— статический 132
— трения качения 106
Натяжение нити тяжелой подвешен-
подвешенной 83
Начало отсчета 144
Нить тяжелая 83
Нормаль главная 163
Ньютон (единица силы) 17
Опора цилиндрическая шарнирно-не-
подвижная 28
— — шарнирно-подвижная 28
Опоры, их виды 26—29
Определение усилий в стержнях фермы
89
Орбита 144
Ось винтовая мгновенная 267
— вращения 187
мгновенная 222, 224
— конечного вращения 224
— координатная 177
— скоростей мгновенная 222
— центральная системы сил 112, 113
Пара вращений 256
мгновенная 256—257
— результирующая 54
— сил 45
Параметр винта 262
— кинематического винта 267
Период колебаний 168
План скоростей 198, 199
— ускорений 207, 209
Плоскость координатная 177
— нормальная 163
— соприкасающаяся 163—166
— спрямляющая 163
Поверхность координатная 177
Полюс 196
Правило Жуковского 238
Приведение плоской системы сил к про-
простейшему виду 65
— пространственной системы сил
к простейшему виду 57, 65, 111, 113
— системы пар if простейшему виду
54
Принцип возможных перемещений 12
— Гамильтона — Остроградского 12
— инерции 10
— наименьшего принуждения 12
— освобождаемостн 25
— отвердевания 24
— относительности классической меха-
механики 10
Проекции производной вектора на
неподвижные оси 152
— скоростей точек при плоском движе-
движении 197
— — — свободного твердого тела 230
Проекция равнодействующей системы
сходящихся сил на координатные
оси 33
— силы на плоскость 47
— скорости точки на координатную
ось 154
— ускорения точки на координатную
ось 161
Производная вектора абсолютная 233—
235
— — локальная 234
относительная 233, 234
— — по скалярному аргументу 151
Пространство трехмерное евклидово
7, 16
Равновесие материальных тел 7
— пространственной системы сил 117
— тела 19
— — при наличии трения качения
105—108
— — — — — скольжения 101, 102
Равнодействующая системы сил 19
Радиус кривизны 164, 170
Реакции упругих опор твердого тела 85
Реакция нормальная 95
— поверхности идеально гладкой 27
— подпятника 28
— связи 25

270
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Связи 25—29
— внутренние 29
Связь жесткая 77
Сила 16, 17
— активная 26
— нормального давления 95, 107
— пассивная 26
— равнодействующая 31
— распределенная 73
— сосредоточенная 73
— трения скольжения 95
Силы взаимного тяготения 11
— внешние 29
— внутренние 29
— сходящиеся 31
— тяжести 11, 132
Система отсчета гелиоцентрическая
инерциальная 8, 16
инерциальная 7, 8, 143
— сил плоская 65, 115
пространственная 109
— — уравновешенная 21
— — эквивалентная нулю 19
Системы неподвижные 8, 16
— осей координатных 7, 143
— сил эквивалентные 18
Скорость абсолютная 186, 235, 237,
239, 243, 251
— в сложном движении 186
— относительная 187, 235, 2Э6,
239
— нереносная 186, 235, 239, 241,
243
— поперечная 156
— поступательного движения 185, 250,
251
— радиальная 156
— точки 152—154
плоской фигуры 196
твердого тела свободного 229
— — тела, вращающегося вокруг не-
неподвижной оси 191
— угловая 169, 188, 250
мгновенная 224
• средняя 224
Сложение вращений твердого тела во-
вокруг параллельных осей 257
— пересекающихся осей
251, 252
— движений твердого тела, общий слу-
случай 264
— двух параллельных сил 43—45
— поступательных движений твердого
тела 251
— — и вращательных движений твер-
твердого тела 261
Сложное движение твердого тела 250
Составляющая ускорений вращатель-
вращательная 226
осестремительная 227
Способ аналитический нахождения рав-
равнодействующей сил 33
— геометрический нахождения рав-
равнодействующей сил 33
— графический нахождения равнодей-
равнодействующей сил 33
— естественный задания движения 148,
149
— координатный задания движения
145—148
Способы задания движения 144—148
Статика 15, 16
Степени свободы твердого тела 184
Тело абсолютно твердое 8, 19
— несвободное 25, 26, 72
— отсчета 7
— свободное 25
Теорема Вариньона 68, 113, 131
— Кориолиса 237
— о приведении системы сил к динаме
111
трех непараллельных силах 24
— Пуансона 57
— сложения скоростей 186, 187, 237,
251
— — ускорений 237
— статики основная 56, 57
— Эйлера — Даламбера 223
Теоремы о парах 50—53
Теория автоматического регулирования
13
— движения тела, брошенного под
углом к горизонту 10
по наклонной плоскости 10
— механизмов и машин 14
— нелинейных колебаний 13
— относительности 14
— регулирования 14
— упругости 13, 14
Точка материальная 8
, отличие от геометрической точ-
точки 8
Траектория точки 144, 148, 185
Трение гибких тел 103
— качения 105
— скольжения 95
Трехгранник естественный 163
Углы корабельные 219
— Эйлера 218, 222, 228, 252
Угол дифферента 219
— конечного вращения 224
— крена 219

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
271
Углы нутации 218, 253
— поворота тела 188
— прецессии 218, 253
— рысканья 219
— смежности 163
— собственного вращения 218, 253
— трения 101
Узлы фермы 89
Управление движением 13
Уравнения движения плоской фигуры
194
— Лагранжа 12
— плоского движения твердого тела
194
— равновесия плоской системы сил
70, 71
пространственной системы сил
117—121
— Эйлера кинематические 11, 254
Ускорение вращательное 191, 244
—, вращательная составляющая 226
—, осестремительная составляющая
227
Ускорение касательное 166
— кориолисово 238—240, 242, 245
•— нормальное 166
— осестремительное 192, 210, 244
— относительное 240, 242
— переносное 240, 242, 244
— поворотное 238
— при поступательном движении тела
185
— тангенциальное 166
— точки 160
абсолютное 238, 242, 243
— — плоской фигуры 205
— — свободного тела 230
— угловое 169, 188, 226, 250
— центростремительное 169
Условия равновесия 34, 61—64
— — плоской системы сил 70—72
призмы 100
пространственной системы сил
56, 61
— — системы сходящихся сил 34
твердого тела, имеющего две не-
неподвижные точки 119
Условия равновесия твердого тела,
имеющего одну неподвижную точку
118
частично закрепленного тела 81
— уравновешивания двух сил 20
Фаза колебаний 167
начальная 167
Ферма 89
— простая плоская 89
—, расчет способом вырезания узлов
92
—, рассечения -91
— статически определенная 90
Формула Эйлера для определения на-
натяжения троса 104
Формулы Френе 231
Центр кривизны 164
— параллельных сил 130
— приведения 109, 113, 115
— скоростей мгновенный 200, 258
— тяжести 132, 133
дуги окружности 140
кругового сектора 140, 141
— — линии 136
— —, методы его нахождения 136—
138
— — объема 134
однородного тела, имеющего ось
симметрии 137
— —, — плоскость симметрии
136
— — поверхности 135
трапеции 139, 140
треугольника 139
— ускорений мгновенный 204, 206
Центроида неподвижная 203, 212
— подвижная 203, 212
Частота колебаний 168
— круговая 168
Число степеней свободы 184
Шаг винта 262
Шарнир сферический 27

Николай Васильевич Бутенин
Яков Львович Лунц
Давид Рахмильевич Меркин
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Том I
Статика и кинематика
М , 1979 г., 272 стр. с илл.
Редактор // И Розальская
Те"н редактор //. Ш. Аксельрод
Корректоры Е. А. Белицкая, Н. Б. Румянцева
ИБ № 11516
Подписано в печать с матриц 20.03.79. Формат 60X90'/ie.
Б>мага тип. № 3. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Условн. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 16,14. Тираж 45 000 экз.
Заказ № 546. Цена книги 70 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградское производственно-техническое объе-
объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького «Союзпо«
лиграфпрома» прн Государственном комитете СССР по де-
делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 197136,
Ленинград, П-136, Гатчинская, 26.