Г. И. БОГАТЫРЕВ,
. О. А. БОКОВНЕВ
МАТЕМАТИКА
для
ПОДГОТОВИТЕЛЬ»ЫХ
КУРСОВ
ТЕХНИКУМОВ
НА БАЗЕ 8 КЛАССОВ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Издание 2-е, переработанное
Допущено Министерством высшего
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для средних специальных учебных заведений
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ .
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ •
19881
1

ББК 22.1
Б73
УДК 51 (075.3)
Бог ат ы ре в Г.И., Бок овне в О.А . Математика для под­
готовительных курсов техникумов (на базе 8 классов средней
школы): Учебное пособие. - 2-е изд., перераб.
_:_ М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1988. -
408 с.
В пособие включены основные математические понятия, формулы, теоре­
мы, специально разработанная система упражнений, а также варианты ра-
бот вступительных экзаменов.
•
1-еизд.- в1982г.
Для поступающих в средние специальные учебные заведения (на базе
неполной средней школы), для учащихся 6-8 кпассов, учителей и препо­
давателей техникумов и ПТУ.
Ре ц е н з е н т кандидат педагогических наук доцент Т.И. Куз нецова
Геннадий Иванович Боrатырев
Олег Александрович Боковнев
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫХ КУРСОВ ТЕХНИКУМОВ
на базе 8 классов средней школы
Редактор Т.А. Панькова
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы С. Н. Баранина, С. В. Геворкян
Корректоры Н.П. Круглова, Т.В. Обод
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ No 32620
Сдано в набор 04.09.87. Подписано к печап-1 20.12.88.
Формат 60X88 1/,s - Бумага 1<>1ижно-журнаJ1ьная
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Усл. печ ..п. 24,99 .
Усл. кр.-отт. 25,24 . Уч.-изд. л. 25,37. Тираж 600 ООО экз.
(2-й завод 200 001-500 ООО экз.). Зак. No 204. Цена I р. 1О к.
Ордена Трудовото Красного Знамени
издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Типография им. Котлякова издательства "Финансы и статистика"
Государственного комитета СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
195273Ленинград, ул. Руставели 13
Б l?i:~~i~)~ ~059 св.пл. 106-88
ISBN 5-02 -013744-8
© Издательство "Наука".
Главная редакция
физико-математической литературы,
1982; переработанное, 1988

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ... . . . .......... . .. . .
Глава 1
ЧАСТЬ /
АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА
8
ЦЕЛЫЕЧИСЛАИДРОБИ........................
9
§ l. Арифметические действия над целыми числами
.
.
.
.
.
.
9
§ 2. Простые и составные натуральные числа.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
10
§ 3. Наиболыrшй общий делитеm, и наименьшее общее кратное
11
§ 4 . Дроби обыкновенные и десятичные , арифметические действия над
ними................ ,
.
.
.
.
14
§ 5. Периодические десятичные дроби
.
19
§ 6 . Решение задач
23
Упражнения .
Глава 2
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ... ... .................. . ..... . .
§ l . Рациональные числ~
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
§ 2. Иррационаm,ные числа
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
§ 3. Понятие действительного числа
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
§ 4 . Модуm, (абсолютная величина) действитеm,ного числа.
§ 5 . Числовая прямая и числовые промежутки .
.
.
.
.
.
Упражнеиия...............................
Глава 3
ПРИБЛИЖЕНН Ы Е ВЫЧ ИСЛ ЕНИЯ.
§ 1. Приближенные значения величин. Метод границ
..
.
..
.
.
.
.
§ 2. А бсолютная и относитеm,ная погрешности . .
.....
.
.. ..
.
§ 3. Запись приближенных значений чисел. Стандартный вид числа
§ 4 . Сложение и вычитание приближенных значений чисел.
§ 5. Умножение и де лени е приближенных значений чисел
Упражне ния.
.!*
26
29
29
30
31
34
35
37
39
39
41
44
46
47
49
3

Глава 4
СТЕПЕНИ И КОРНИ .
51
§ 1. Степень с натуральным показателем
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
51
§ 2. Степень с целым показателем.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
§ 3. Квадратный корень. Арифметический квадратный корень.
56
§ 4. Существование иррациональных чисел. Приближенное вычисление
квадратных корней . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
§ 5. Арифметический корень п-й степени. Корень нечетной степени из
отрицательногочисла................
65
§ 6. Свойства арифметического корня п-й степени
66
§ 7. Степень с рациональным показателем.
69
§ 8. Решение задач
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
71
Упражнения.
Глава 5
ЧИСЛА И АЛГЕБРАИЧЕСК И Е ПРЕОБРАЗОВ АН ИЯ ..
§ 1. Числовые и алгебраические выражения.
.
.
.
.
.
.
.
.
§ 2. Отношения чисел и однородных величин. Проценты.
§ 3. Пропорции
..
.
..
..
..
...
.
..
.
§ 4. Одночлены и многочлены
.
. .....
.
§ 5. Формулы сокращенного умножения
.
§ 6. Разложение многочлена на множители
§ 7. Алгебраические дроби
..
.
.
..
..
.
.
§ 8. Иррациональные выражения
.
.
.
.
..
§ 9. Алгебраические преобразования (решение задач)
Упражнения.
Глава 6
75
79
79
81
84
88
90
92
94
99
103
107
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА . ... ...... .. . . . . , ,
.
.
,........
116
§ 1. Уравнения с одним неизвестным . Корень уравнения.
.
.
.
116
§ 2. Линейные уравнения
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
118
§ 3. Квадратные уравнения . Теорема Виета (прямая и обратная)
120
§ 4. Разложение квадратного трехчлена на множители . .. . .. • .
129
§ 5. Уравнения, приводимые к линейным и квадратным.
.
.
.
.
.
131
§ 6. Уравнения с несколькими неизвестными. Системы уравнений
135
§ 7. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
137
§ 8. Уравнения и системы уравнений (решение задач)
139
§ 9. Задачи на составление уравнений
·1 46
§ 10. Неравенства и их свойства.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
151
§ 11. Доказательство неравенств
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
155
§ 12. Решение линейных и квадратных Неравенств с одним неизвестным
159
§ 13 . Системы неравенств с одним неизвестным. Неравенства, содержащие
модуль... ,· .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
165
§ 14. Задачи на уравнения и неравенства. Метод интервалов
..
169
Упражнения .
4
175

Глава 7
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ.
§ 1. Прямоугольная система координат на плоскости
.
§ 2. ПонЯ1ие функции. Способы задания функции
..
.
§ 3. Свойства функций
...
. ...... ,
..
, ..... .
§ 4. Свойства и графики некоторых простейllШХ функций
..
§ 5. Графический способ решения уравнений и систем уравнений. Урав-
нения прямой и окружности .. ... ....... .
§ 6. Построение графиков (решение задач) .
.
.
.
.
.
§ 7, Применение графиков к решеншо неравенств.
Упражнения. . ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
,.
Глава 8
ПРОГРЕССИИ .... ... , ..................... , ... ' ...... .
§ 1. Числовая последовательность.
§ 2. Арифметическая прогрессия
.
§ 3. Геометрическая прогрессия . .
§ 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
§ 5. Задачи на прогрессии ..... ..... .... ,
...
.
.
Упражнения . ... , ,
..
, , ....·
.....................
.
ЧАСТЬ II
ГЕОМЕТРИЯ
Глава 9
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
§ 1. Основные понятия геометрии.
§ 2. Геометрические фигуры.
Упражнения.
Глава 10
ПРЯМАЯ...,.............,.......,........,..........
§ 1. Треугольники
.............
,.
§ 2, Основные геометрические построения
§ 3. Параллельные прямые
.
§ 4. Четырехугольники
.. ..
.
..
.
Упражнения.
Глава 11
ОКРУЖНОСТЬ
§ 1. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окруж- •
185
185
187
190
'192
207
212
217
219
222
222
223
226
228
232
236
239
239
241
247
247
247
257
259
265
271
273
ности ... , ,
.
,...
273
§ 2. Углы в окружности. , ..... ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
275
5

§ 3. Свойства хорд и диаметров окружности ..
§ 4. Вписанные и описанные многоугольники
.
§ 5. Четыре замечательные точки треугольника
278
280
284
Упражнения..........................
287
Глава 12
ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ, . ... ,
..,
,......,,,
.
.
.
.
.
... .
289
289
291
295
§ 1. Пропорциональные отрезки.
.
.
§ 2. Подобные треугольники .
....
.
.......
.
....
..
........ •.
§ 3. Теорема Пифагора
... ...
.
.. ..
..........
.
..
.
.. ..
..
.
§ 4. Свойство биссектрисы треугольника. Пропорциональность отрезков
хордисекущих.........
§ 5. Подобные многоугольники ..
298
301
Упражнения .
.....
.
.....
.
,....
303
Глава 13
РАВЕНСТВО И ПОДОБИЕ ФИГУР ....... ,
305
305
307
310
§ 1. Примеры преобразования фигур.
§ 2. Движение. Равенство фигур.
.
.
.
§ 3. Подобные фигуры .....
.
...
.
Упражнения.
312
Глава 14
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
313
§ 1. Векторы. Сложение и вычитание векторов.
313
§ 2. Умножение вектора на число
.
.
.
.
.
316
§ 3. Координаты вектора на плоскости
.
.
.
.
.
317
§ 4. Повороты на углы любой величины.
.
.
.
.
320
§ 5. Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс угла)
321
§ 6 . Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треуголь-
ника. Значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45°, 60°
327
§ 7. Теорема синусов и теорема косинусов. Решение треугольников
331
§ 8. Скалярное произведение векторов, Проекция вектора на ось .
334
§ 9. Формулы сложения.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
339
§1О.Формулыприведения.............
341
§ 11. Формулы двойного и половинного углов
343
§ 12 . Тригонометрические преобразования.
.
.
346
Упражнения . ........ ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
350
Глава 15
ПЛОЩАДИМНОГОУГОЛЬНИКОВ............................ 353
§ 1. Понятие площади, основные свойства площадей
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
354
§ 2. Площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника и тра-
пеции............. ......................
355
§ 3. Площадь многоугольника. Отношение площадей подобных много-
угольников . .
Упражнения.
363
365
6

Глава 16
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
ИПЛОЩАДЬКРУГА....................................
367
§ 1. Правильные многоугольники.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
367
§ 2. Длина окружности
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
371
§ 3. Длина дуги екружности. Радианное измерение углов
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
374
§ 4. Площадь круга и его частей.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
375
Упражнения........................................... J77
Глава 17
ЗАдАЧИ ................................... .
378
Упражнения...........................................
388
Глава 18
КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАдАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПОАРИФМЕТИКЕ,АЛГЕБРЕИГЕОМЕТРИИ.....................
391
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ И ЗАДАНИЯМ.....................
396
СПИСОКФОРМУЛ................................. ,
404

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное пособие предназначено для окончивIШ!х восьмилетнюю школу
и поступающих в средние специальные учебные заведения .
Материалы, изложенные в пособии, соответс'rвуют действующей про­
грамме по математике. Кроме того, в пособие включ ен дополнительный
• 'материал с целью углубленного повторения.
Пособие состоит из двух частей: первая посвящена арифметике и ал­
гебре, вторая - геометрии на плоскости. В конце каждой главы приво­
дятся упражнения. Они состоят из двух разделов: первый предназначен
для занятий с преподавателями, а второй - для самостоятельных занятий.
Приводятся ответы к задачам, а в некоторых случаях - указания к реше­
нию задач .
Во втором издании исключены главы "Множества" и "Начал ьные све­
дения из стереометрии". Остальные главы существенно переработаны и
дополнены. Кроме того, внесены поправки редакционного характера и
исправлены опечатки.
Авторы приносят благодарность рецензентам - доктору физико-мате­
матических наук профессору Г.Н. Яковлеву, старшему научному сотруд­
нику НИИ школ А.П. Назаретову и кандидату педагогических наук доценту
Т.И. Кузнецовой за ценные советы и замечания.
8

ЧАСТЬ I _
АРИФМЕТИКА И АЛГЕБРА ·
ГЛАВА 1
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ
§ 1. Арифметические действия над целыми числами
Числа, появившиеся в результате счета, называются натуральными чис­
лами. Натуральные числа обозначают с помощью десяти знаков цифр:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,о.
Множество всех натуральных чисел бесконечно. Оно имеет наимень­
шее число - единицу, но не имеет наибольшего числа.
Все натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, образу­
ют ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, ... Совокупность чисел О, ±1, ±2, ±3,
±4, ±5, ... образует множество целых чисел.
Над целыми числами устанавливаются действия сложения и умножения,
которые обладают следующими о снов н ы ми с в ой ст вам и :
1) переместителыюе свойство сложения: а+ Ь = Ь + а;
2) сочетательное свойство сложения: (а+ Ь) + с =а+ (Ь +с)*);
3) переместительное свойство умножения : а• Ь = Ь • а;
4) сочетательное свойство умножения : (а • Ь) •с = а • (Ь • с);
5) распределительное свойство, связывающее сложение и умножение:
(а+Ь)•с=а•с+Ь•с.
Основные свойства (законы арифметики) остаются справедливыми
для любого конечного числа слагаемых и сомножителей.
Используются также следующие свойства :
6) свойство нуля при сложении: а + О= а;
7) свойство нуля при умножении: а • О = О;
8) свойство единицы при умножении: а • 1 = а.
Вычитание и _деление определяются как действия, обратные сложению
и умножению.
Вычесть из числа а число Ь - значит найти такое число с , которое при
сложении с числом Ь дает число а:
с=а -Ь, если Ь+с=а.
*) Буквы а, Ь, с, . . . обозначают здесь целые числа.
9

Число с называется разностью чисел а и Ь. Для целых чисел вычитание
всегда выполнимо и единственно, т .е. для любых а и Ь существует и притом
единственная разность с.
Разделить число а на число Ь - значит найти такое число q, при умноже­
нии на которое число Ь дает число а:
а
q=а:Ьилиq=-
,
если Ь•q =а.
ь
Число q называется частным.
При сложении, умножении, вычитании целых чисел всегда получаются
целые числа. Деление не всегда выполнимо в множестве целых чисел.
Невозможно деление на нуль. Если а * О, а Ь = О, то нет такого числа q,
длякоторогоЬ•q =а.Еслиа=Ь =О,тоq- любоечисло.
Если для чисел а и Ь существует частное q, т.е. bq =а, то говорят, что а
делится на Ь (или Ь делит а). При этом а называется делимым (или крат­
ным числа Ь) , а Ь - делителем числа q. Целое число . называется четным,
если оно делится на 2, и нечетным, если оно не делится на 2. Нуль
-
чет­
ное число.
Теорем а. Если число Ь есть делитель чисел а 1 и а 2 , то Ь есть дели­
тель суммы а1 +а2.
Доказательство.ТаккакпоусловиюЬ- делительчислаа1,то
а1 =bq1
•
Аналогично, а 2 = bq 2
.
Применяя распределительное свойство,
получаем а1 +а2 = bq1 + bq2 = b(q1 + q2). Следовательно, число а1 +а2
делится на число Ь. Теорема доказана.
•
Деление с осrатком. Для любых чисел а и Ь (Ь > О) справедливо сле­
дующее утверждение: число а всегда можно представить и притом един­
ственным образом в виде
a=Ьq+r, где о..;; r < Ь.
(1)
Определение.Разделить числоаначислоЬ (Ь>О)состатком-
значит найти такие числа q и r, что а= bq + r, причем r удовлетворяет усло­
виюО..;;r<Ь.
Число q назьmается частным, а число r - остатком. Если r = О, то а де­
лится на Ь без остатка, или нацело.
Например, при делении 37 на 5 получается в частном 7 и в остатке 2,
априделении-8на3
-
вчастном-3ивостатке1:
37=5 ·7+2,
-8 =3 ·(-3)+1.
§ 2. Простые и составные натуральные числа
Пусть а - натуральное число. Делителем числа а называется натураль­
ное число, на которое число а делится нацело. Например, число 20 имеет
шесть делителей: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Оп р еде лен и е. Натуральное число а, не равное единице, называ­
ется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само число а.
Натуральное число а называется составным, если оно имеет более двух
10

делителей. Единица - единственное натуральное число, которое не явля­
ется ни простым, ни составным.
Таким образом, множество натуральных чисел состоит из единицы,
простых и составных чисел.
Наименьumм простым числом является число 2. Это единственное чет­
ное простое число. Остальные простые числа - нечетные. Вот первые двад­
цать простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53,
59,.61, 67, 71.
Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорем а (основная теорема арифметики). Всякое натуральное
число, большее единицы, можно представить в виде произведения простых
сомножителей и притом единственным способом (произведения, отличаю­
щиеся только порядком сомножителей, различными не считаются).
Объединяя равные сомножители, получаем
(2)
где р1, р2,... , Рп - различные простые делители числа а, а а1, а2,...
.
.
.
, О :п - - число их повторений в разложении числа а.
Равенство (2) называется разложением натурального числа а на простые
множители.
Например,360=23 •32 •5, 13=131.
§•3. Наибольпшй общий делитель и наименьшее общее кратное
Будем рассматривать натуральные числа.
Определение. Если натуральные числа а, Ь, . .. делятся нацело на
одно и то же натуральное число d, то число d называется общим делителем
чисел а, Ь, . . . Наибольшее натуральное число, на которое делится нацело
каждое из данных натуральных чисел, называется наибольшим общим де­
лителем этих чисел и сокращенно обозначается НОД. Если НОД чисел
а, Ь, . .. равен 1, то эти числа называются взаимно простыми.
Например, НОД чисел а = 48 = 2
4
•
3иЬ=36 =2
2
•
32 равен 22
•
3=12.
Числа28=22•7и15=3 •5 -взаимнопростые,таккакихНОДравен1.
Числа 6, 8 , 15 также являются взаимно простыми.
Кратным натурального числа а называется натуральное число k, которое
делится нацело на а .
Определение. Всякое натуральное число , которое делится нацело
на каждое из натуральных чисел а, Ь, .. . , называется общим кратным
чисел а , Ь, ... Наименьшее натуральное число, которое делится' на каждое
из данных натуральных чисел, называется наименьшим общим кратным
этих чисел и сокращенно обозначается НОК.
Например,НОКчисел48 =24•3и36=22•32 естьчисло24 •32=144.
Приведем без доказательства с в о й с т в а взаимно простых чисел.
1) Если число а делится на каждое из взаимно простых чисел, то оно
делится и на произведение этих чисел.
11

Например, если число делится на 3 и на 5, то оно делится и на 15. Од­
нако нельзя утверждать, что число, делящееся на 4 и на 6, для которых
НОД -:1= 1, обязательно делится и на 24 . Например, это неверно для 36.
2) Если произведение аЬ делится на с , где Ь и с - взаимно простые
числа, то а делится на с.
Пример 1.НайтиНОДиНОКчисел72и60.
Решение.Таккак72=23•32, 60 =22•3 ·5,тоНОД(72;'60)=
=22•3=12,НОК(72;60)=23•32•5=360.
Практически при разложении натурального числа на множители и нахож­
дении НОД и НОК пользуются признаками делимости.
Пусть р - делимое. В десятичной системе счисления натуральное число р
записывается в виде
р =ап. 10n +ап-1. 1on-l + ... +а2 . 102 +а1 -10 +ао,
(3)
где а0 - число единиц, а1 - число десятков, а2 - число сотен и т.д.,
а0,а1, ... , ап могут принимать значения О, 1,2,., . , 9.
Число р можно записать и в виде
р =anan-I
... а2а1а0
(черта сверху, ставится для того, чтобы отличать это число от произведения
апап-1 ... а2а1ао)-
Рассмотрим признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9.
Признак делимости на 2 и на 5. На 2 (или на 5) делятся те и только те
числа, цифра единиц которых обозначает число, делящееся на 2 (или со­
ответственно на 5) .
В самом деле,
р=(ап •10n +ап-1 •10n-l +···+а1 -10)+ао.
В скобках стоит число, кратное 10, и оно делится на 2 и 5. Если число
а 0 делится на 2 (или на 5), то и р будет делиться на 2 (или соответствен­
но на 5) как сумма чисел, каждое слагаемое которой делится на одно и
то же число.
Докажем обратное утверждение . Если р делится на 2 (или на 5), то
число
ао =р -(ап .1on +an-1
. 1on-l + ... +а1. 10)
будет делиться на 2 (или соответственно на 5). Признак доказан.
Признак делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа, у которых
две последние цифры образуют число, делящееся на 4.
Предлагаем доказать этот признак самостоятельно, записав делимое р
в виде
р=(ап-10п+ап-1 •10n-l +••-+а2 •102) +(а1 •10+ао),
Признак делимости на 3 и на 9. Н~ 3 (или на 9) делятся те и только
те числа, сумма цифр которых делится на 3 (или соответственно на 9).
12

Для доказательства запишем делимое в виде
Р = [ап(lоп - l)+an-1Uon-l
- 1)+ • · -+а1(1O-1)] +
+(ап +an-l + •••+а1 +а0).
Очевидно, что число
lOk-1=99 ... 9
________,
kцифр
делится на 3 и на 9. Если число, стоящее в круглых скобках и равное
сумме цифр числа р, делится на 3 (или на 9), то и р делится на 3 (или
соответственно на 9). Обратно, из делимости числа р на 3 (или на 9) сле­
дует, что и число
ап+ап-1+...+а1+ао =
=р- [ап(lоп -l)+an_ 1(lon-l
-1)+ · · -+а1(1O-1)],
равное сумме цифр числа р, будет делиться на 3 (или соответственно на 9).
Признак доказан.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те и только те числа, которые од­
новременно делятся на 2 и на 3.
Это следует из свойства делимости числа на произведение взаимно про­
стых чисел.
Свойство последовательных целых чисел. Из п последовательных целых
чисел
а,а+l,...,а+п-l
(4)
одно и только одно делится на п.
Действительно, если а =nq, то утверждение справедливо.
Пустьа=nq+k,гдеk-одноизчисел1,2,..., п -l.Тогдачисло
а+(п - k)=nq+k+(п- k)=n(q+1)находитсясредичисел(4)иделит­
ся на п. Среди чисел (4) нет других чисел, делящи хся на п, так как иначе
разность таких чисел, меньшая п, делилась бы на п, что невозможно .
Например, число п3 - п = (п - l)n(n + 1) делится на 2, на 3 и, следо­
вательно, на 6.
Пр им ер 2. Найти наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное чисел 126, 540,630.
Решение. Применяя признаки делимости, разложим данные числа
на простые множители. Получим
1262 5402 6302
633 27023153
213 1353 1053
77
453
355
153
77
55
13

/
Поэтому 126 = 2 •32
•
7, 540=22
•
33 •.5, 630 =2•32
•
5 •7. Отсюда
нод(126; 540; 630) =2 •32 = 18, нок (126; 540; 630) =22
,
33
•
5•7 =
= 3780.
§ 4. Дроби обыкновеm1ые и десятичные,
арифметические действия над ними
Обыкновенные дроби. Число, равное п-й части числа единица (п - нату-
1
ральное число, большее единицы), обозначают - • Если эта часть бер ет с я т
п
раз (m - натуральное число), то получаемое в результате этого новое чис л о
т
обозначают - и называют арифметической дробью. При этом число т
п
т
называют числителем дроби, а число п - ее знаменателем. Дробь
можно
п
рассматривать так же, как частное от деления т на п.
Всякое натуральное число а . можно считать дробью со знаменател ем еди ­
а
ница,т.е.а= -
• Поэтому дальше ограничение п > 1 снимается и говорят,
1
что частное от деления одного натурального числа на друг ое м о жно найти
и записать в виде дроби.
о
Будем считать нуль дробью с любым знаменателем п, т . е . О= -
,гдеп-
п
натуральное число.
Число вида
а
-
'
ь
(5)
где а - натуральное или нуль и Ь
-
натуральное число, называетс я обыкно ­
венной дробью; а - числитель дроби, Ь
-
ее знаменатель .
14
а
с
Две дроби - и
-
считаются равными:
Ьd
а
с
-
=-
,
если ad = Ьс.
Ьd
По определению
с
а
(1
ь
> , если ad>Ьс, и
d
Ь
4
с
<-,
d
если ad< Ьс.
5
Например,
8
> - , так как5·7>8·4.
7
а
ak
Из определения равенства дробей следует, что дроби
и
равны.
Ь
bk

Действительно, справедливо равенство а• bk = Ь • ak = abk. Отсюда выте­
кает основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умно­
жить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь,
равная данной:
а
ь
ak
=
=
bk
а:п
Ь:п
На этом свойстве основано сокращение дробей, т.е. деление числителя и
24
12
4
знаменателя на их общий делитель. Например, -
=-
=-
• Обычно
42
21
7
сокращение проводят до тех пор, пока числитель и знаменатель не будут
взаимно простыми числами.
Основное свойство дроби используют и для приведения дроби к друrо-
5
му знаменателю . Например, дробь - можно привести к знаменателю 24.
12
·
Для этого надо умножить числитель и знаменатель дроби на число 2. Полу-
5•2
10
чим
12 •2
24
В этом случае число 2 называют дополнительным
5
множителем. Дробь - можно привести и к другому знаменателю, на-
12
пример к знаменателю 36. В самом деле,
5
12
5.3
=
=
12 •3
15
36
Здесь дополнительным множителем служит число 3 .
Часто приходится приводить две или несколько дробей к общему зна­
менателю, Для этого находят наименьшее общее кратное знаменателей
данных дробей и каждую дробь приводят к этому знаменателю, Например,
7
5
приведем дроби - и
-
к общему знаменателю . Для этого найдем
12
18
•
наименьшее общее кратное чисел 12 и 18 . Таким числом будет 36. Теперь
найдем дополнительный множитель для первой дроби: разделим наимень­
шее общее кратное 36 на знаменатель дроби 12 и получим 36 : 12 = 3. За­
тем найдем дополнительный множитель для второй дроби и получим
36 : 18 = 2. Умножив числители и знаменатели данных дробей на их допол­
нительные множители, получим
7
7,3
21
5
5•2
10
=--- =
-=
=
12
12 •3
36
18
18 •2
36
15

/
Сложение и умножение дробей определяются по правилам
а с ad+bc
ас
ас
- +-= ---
-.-=-·
Ь
d
bd
Ьd,bd
Вычитание и деление дробей определяются как действия, обратные - со­
ответственно сложению и умножению, Из этого определения выводятся
правила этих действий
а
с ad-Ьс
асad
ь
d
bd
ьdЬс
Для дробей сохраняются основные свойства арифметических действий
над целыми числами, приведенные в § 1.
Арифметические дроби подразделяются на правильные и неправильные
дроби. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаме­
нателя. Неправильной называется дробь, у которой числитель больше зна­
менателя или равен ему, Любая правильная дробь меньше 1, а любая непра-
259
вильная дробь больше или равна 1. Например, -
,-
,-
-
правильные
3710
58121
дроби, а -
,-
, -- - неправильные дроби.
3810
Из любой неправильной дроби можно вьщелить целую часть. Для этого
надо выполнить деление с остатком числителя на знаменатель, Например,
45
вьщелим целую часть дроби
7
а в остатке 3. Значит,
45
7
3
=6-
7
Разделив 45 на 7, получим в частном 6,
Число, которое состоит из натурального числа и правильной дроби,
3
называется смешанным числом. У смешанного числа 6- число 6 является
7
3
целой частью, а дробь - - дробной частью числа.
7
Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, нужно
умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к произведению
прибавить числитель дробной части. Полученная сумма будет числителем
неправильной дроби, а ее знаменателем будет знаменатель дробной части.
5
Например, представим смешанное число 3 - в виде неправильной дроби.
,
8
Для этого умножим 3 на 8 и к произведению прибавим 5. Получим
529
3•8+5=29.Итак,3 -
=
8
8
16

а
Десятичные дроби . Рассмотрим те дроби -
, у которых знаменатель
ь
Ь = 1оп, где п - натуральное число:
а
10n
Любая дробь (6) представима в виде суммы
где а0,а1,... , ат, Ь1,... , Ъп - цифры.Например,
3
3
27
7
=О+-, --=2+ -
,
10
10
10
10
3297 3297
-- =3-10+2+
100
9
10
7
+-- .
102
(6)
Условились дробь (6) или, что то же, (7) заIШсывать также в виде
(8)
гдеС=ат •1,От +ат-1 •10m-l + •••+ао =атат-1 . ,, ао -целое ЧИСЛО
(целая часть дроби}, а Ь 1 , Ь 2 , .•• , Ъп - десятичные знаки (они образуют
дробную часть), Например,
3
-
=03
10 ''
27
-
=27
10
''
3297
-- 2- = 32,97.
10
Так как (8) -- иная запись суммы (7), то после Ъп можно приписать
любое число нулей, и величина дроби от этого не изменится.
Дробь (6), заIШсанную с помощью десятичных знаков в виде (8), на­
зывают десятичной дробью. Такая заIШсь удобна для сравнения дробей
и для выполнения действий над ними.
Например, сравнивая десятичные дроби 17,839 и 18,153, получаем, что
17,839 < 18,153. Сравним 13,2 и 13,187; их целые части равны. Рассмат­
ривая дробные части, получаем, что 13,2 > 13,187.
Правила действий над десятичкыми дробями. Чтобы сложить две деся­
тичные дроби, надо:
1) заIШсать каждый разряд · одной дроби под соответствующим раз-
рядом другой дроби;
2) сложит;,.__rюлучивllШеся числа как целые числа;
3) поставить в сумме запятую под запятыми в слагаемых.
Аналогичным образом производят вычитание десятичных дробей.
17

Например,
+
83,759
+
83,759
5,370
5,37
ИЛИ
или
4,280
4,28
'
2,093
2,093
-
·'-
88,039
88,039
3,277
3,277
Чтобы умножить одну десятичную дробь на другую, надо вьmолнить
их умножение как целых чисел, не обращая внимания на запятые ,~ за­
тем в произведении отделить справа число знаков, равное сумме числа
знаков после запятой у сомножителей. Например,
Х 0,38
39
Х 1.52
2,3
Х 1,37
0,04
342
456
0,0548
114
304
14,82
3,496
Из правила умножения десятичных дробей следует, что умножение де­
сятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. сводится к переносу запятой в этой
дроби соответственно на один, два, три и т.д. знака вправо. Например,
3,57 • 10 =35,7; 3, 57 • 100 =357; 3,57 • 1000 =3570.
Аналогично, умножение десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.
сводится к переносу запятой в этой дроби соответственно на один, два,
три и т.д. знака влево. Например, 13,2 •0,1 = 1,32; 13,2 -0,01 = 0,132;
13,2 -0,001 =0,0132.
Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:
1) сначала выполнить деление целой части дроби на это число;
2) поставить в полученном частном запятую;
3) вьmолнить затем деление числа, полученного присоединением к
остатку первого знака дроби, и т.д.
Например,
16,45 rf.зs-7
7,41 1 13
2,8351 45
2,35
0,57
0,063
14
65
270
-
24
91
135
21
91
135
35
о
о
35
о
(деление "уголком").
18

Деле!Ше о дной десятичной дроби на другую сводится к деле!Шю де­
сятичной дроби на натуральное число . Надо только в делимом и делите ­
ле перенести запяту ю вправо на столько знаков, сколько их бьио в де­
лителе после зап ятой. Напо мним, что перенос в десятичной дроби запя­
той вправо на один, два, три и т .д . знака означает умноже!Ше этой дроби
на 10, 100, 1000 и т.д. При это м частное от деле1Шя дробей не изме!Штся,
так как делимое и дели тел ь умножаю тся на одно и то же число. Например,
4,551 :1,23=455,1 :123=3,7;
743,6: 1,43 = 74360: 143 = 520,
так как
455,1 ~
1 3,7
369
861
861
о
74360 ~
1 520
715
286
286
о
Деле!Ше десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д. сводится к ее умно­
же!Шю на 0,1 ; 0,01; 0 ,001 и т .д., т.е. к переносу запятой в . этой
дроби соответственно на один, дв а, три и т.д. знака влево. Например,
385 ,3: 100 = 3,853; 2,77: 10 = 0,277; 0,5: 1000 =0 ,0005 .
Деле!Ше де сятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. сводится к пере­
но__су запятой в этой дроби соотв етстве нно на один, два, три и т.д. знака
вправо. Например, 5,323 : 0 ,01 = 5,323 • 100 = 532,3 ; 0,027 : 0,001 = 27;
0,5 : 0,001 = 500.
•
§ 5. Периодические десятичные дроби
Кроме десятичных дробей, которые в дальнейшем будем назьmать
также конечными десятичными дробями, рассматриваются и бесконечные
десятичные дроби .
Бесконечной десятичной дробью
(9)
называется десятичная дробь, у которой по сл е запятой стоит бесконечно
много знаков (цифр).
Бесконечные десятичные дроби вида
(10)
19

или вида
с,-Ь1Ь2 •••bkbk+lbk+2 • • •bk+pbk+lbk+2 • • •bk+n • • ·,
(11)
где одна или несколько цифр повторяются в неизменном порядке, на­
зываются периодическими. Совокупность повторяющихся цифр назы­
вается периодом дроби. При этом вместо записей (10) и (11) употреб­
ляют сокрашенные записи c,(b 1 bz ... Ъп) и с,Ь1Ь2
... bk(Ъk+l
.. . bk+n).
Например, 0,131313 ... = 0,(13); 2,3444 ... = 2,3 (4). Дробь 0,(13) чи­
тается: "Нуль целых и тринадцать в периоде", а дробь 2,3 (4) : "2 целых,
3 десятых и 4 в периоде". Дробь вида (10) назьmается чистой периоди­
ческой дробью, дробь вида (11) - смеш.аююй периодической дробью.
Период;ические дроби являются частным случаем бесконечных деся­
тичных дробей.
Обрьmая дробь (9) на каком-нибудь п-м десятичном знаке, получаем
конечную десятичную дробь с,Ь 1 Ь 2 ... Ъп. С возрастанием п такая дробь
не уменьшается, т.е. либо не изменяется, либо увеличивается. Например,
для дроби 0,15004 ... получаем
0,1 < 0,15 -= 0,150 = 0,1500 < 0,15004 ...
Определение. Бесконечная десятичная дробь (9) считается равной
а
обыкновенной дроби - · :
ь
.
а
с,Ь1Ь2 ...Ъп· · ·=ь•
(12)
если при всех п вьmолняется неравенство
·а
1
О3⁄4- -с,Ь1Ь2 ... Ьп3⁄4
--.
Ь
10n
3 а меч ан и е. Легко проверить, что зто определение содержит и
а
случай с,Ь 1 Ь2 ... Ъп =- для конечной десятичной дроби. Равенство (12)
.
ь
означает, что конечная десятичн_ая дробь c,b 1q2 ... Ъп дает приближение (с
а
1
недостатком) к дроби - с точностью до
-
.
Ь
10n
Отсюда следует, что все периодические дроби с периодом 9 равны соот­
ветствующим конечным десятичным дробям. Например,
0,(9) =1; 4,12(9) =4,13.
Орратить обыкновенную дробь в десятичную - значит найти такую де­
с~тичную дробь, конечную или бесконечную, которая равна данной обык­
нфвенной дроби.
20

Практически для обращения дроби делят числитель на знаменатель
11
(по способу деления "уголком") . Например, для дроби 6 по~учаем
_
11 Г_б__
.
б 1,833 ...
50
-
48
20
-
18
20
18
2 ...
Следовательно,
11
6
11
= 1,8 (3). Дробь
-
можно обратить в конечную
6
11
десятичную дробь и приближенно, например, с точностью до 0,001 : -
~
11
6
~ 1,833 (с недостатком), - ~ 1,834 (с избытком).
6
Имеем
33
-
=-
=0,375·
8 23•
'
2
2
3
-
=-
=008·
25 52
'
'
20
3
-2
-
=0,15.
2.5
Данные несократимые обыкновенные дроби представимы в виде конеч­
ных десятичных дробей . Их знаменатели не содержат простых множи­
телей, кроме 2 и 5.
а
Вообще, если у несократимой дроби - знаменатель Ь = 2k • 5 1 , то про-
Ь
цесс д~ления а на Ьпосле конечного числа его повторения закончится,и в
результате будет пол учена конечная десятичная дробь . Если Ь =t- 2k • 51 ,
т.е. Ь содержит простые делители, отличные от 2 и 5, то процесс деления
можно продо· 1 ,1- :1 гь неограниченно, и в результате будет получена бесконеч­
ная десяти чн;1>1 .1робь. Она обязательно является периодической дробью.
Поясним зто на примере .
26
П р и м е р . Записать число -- в виде бесконечной десятичной дроби .
11
Решение. Применяем способ деления :•уголком". После выделения
целой части каждый из остатков будет меньше 11, т.е . он равен одному
из чисел 1, 2, ... , 10. Поэтому после десятого шага или раньше какой -то
из остатков повторится и, следовательно, в частном будет повторяться
21

одна и та же группа цифр . Имеем
26 11
-
22 1 2,3636 ...
40
33
70
66
40
33
7 ...
Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же
26
группа цифр: 36. Следовательно,
-
=2,3636... =2,(36).
11
Теорем а. Всякую обыкновенную дробь можно обратить в десятчную
дробь, конечную или бесконечную периодическую.
Например,
1
= 0,125;
8.
13
6
= 2,166 . .. =2,1 (6);
4
-
=0,1212 ... =0,(12).
33
Те о р е м а. Для всякой периодической дроби всегда найдется равная
ей обыкновенная дробь.
Доказательство этой теоремы не входит в программу по математике
для восьмилетней школы.
Правило обращеЮ1я периодических дробей. Любая периодическая дробь
вида О,Ь1Ь2 ... Ъп
... равна обыкновенной
дроби, составленной по следую­
щему правилу:
1) ее числитель есть разность между числом, стоящим до второго перио­
да, и числом, стоящим до первого периода;
2) ее знаменатель есть число, изображаемое цифрами 9 и нулями на
конце. Цифра 9 повторяется столько раз, сколько бьmо цифр в периоде,
а нуль столько раз, сколько цифр содержится между запятой и первым
периодом.
Например, смешанная периодическая дробь О,Ь 1 (Ь 2 Ь 3 ) равна обык-
Ь1Ь2Ь3 - Ь1
новенной дроби-------, а чистая периодическая дробь О,(Ь 1 Ь 2 )
990
равна
22

Применяя правило обращения периодических дробей, получаем
314-3 311
0,3(14) = -- =
990
990
'
2,(13) =2+0,(13) =2+
7-0
7
0,(7) = -
9-
=9
§ 6. Решение задач
13-0
99
Пр им е р 1. Доказать, что
а) сумма аЬ + Ьа кратна 11;
13
=2
99'
б) трехзначное число, написанное одинаковыми цифрами, делится на-
цело на 37.
--
Решение. а) аЬ+Ьа= (l0a+b) + (l0b+a) =ll(a+b);
б)ааа=1ООа+1Оа+а=11la=37•За.
Пример 2. Доказать, что разность 1025 - 7 делится нацело на 3.
Решение. Запишем разность в виде
1025 - 7 = (102•5
-
1)-6.
Число1025 - 1 =99...9делитсяна3(ина9).Таккакчисла(1025 -1)
._______,.__...
25цифр
,
и 6 делятся на 3, то и число 102 5 - 7, как их разность, тоже делится на-
цело на 3.
Пример 3. Доказать,что прилюбомпростомр>3числор2 - 1
делится на 24.
Решение. По свойству последовательных целых чисел (см. §3)
произведение (р - l)p(p + 1) делится на 3.
.
Таккакр>3- простое,тона3делитсячисло(р- 1)(р+J.) =р2- 1.
Оно является произведением двух последовательных четных чисел (вся­
кое простое число, не равное 2,-нечетное), т.е. (р - 1) (р + 1) = 2k (2k + 2) =
= 4k (k + 1) , и, следовательно, оно делится на 8.
Число р 2 - 1 делится на взаимно простые числа 3 и 8, а значит, делится
и на их произведение 24.
Отсюда следует, что число р2 - q 2 , где р и q - простые, большие 3,
также делится на 24. Всамомделе, р 2 - q
2
=(р2-1)-(q2
-
1), и каж-
дое из этих чисел делится на 24.
П р и м е р 4. Доказать, что квадрат любого простого числа р ~ 5 при
делении на 12 дает в остатке 1.
23

Ре ш е ни е. Натуральное число при делении на 6 может дать в ос­
' татке только числа О, 1, 2, 3, 4, 5. Поэтому всякое натуральное число имеет
один из следующих видов:
6k, 6k+l, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5 .
Очевидно, что числа 6k, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4 - составные. Поэтому
простоечислор;;;;,,5имеетвид6k+1или6k+5.Еслир =6k+1,то
р2=(6k+1)2 =36k2 +12k+1.
Еслир=6k+5, то
р2=(6k+5)2 =36k2 +60k+25=12(3k2 +5k+2)+1.
Таким образом, в обоих случаях остаток при делении р 2 на 12 равен 1.
При м е р 5. Доказать, что при любом натуральном п >1число п4 +4 -
составное .
Решение . Имеем
п4+4=(п2+2)2 - 4п2=(п2+2n+2)(п2 - 2n+2).
Еслип>1,то
п2+2n+2>5, п2- 2n+2=(п -1)2+1;;;;,,2,
т.е. число п4 + 4 разлагается на произведение двух чисел, каждое из ко ­
торых больше единицы. Следовательно, при п > 1 число п4 + 4 - сос­
тавное.
Пример 6_.
Найти двузначное число, равное утроенной сумме его
цифр.
Решение. Пустьtiii = lOa + Ь - искомое число. По условию 10а + Ь =
=3(а+Ь) или2Ь =7а.Таккакпроизведение2Ьделитсяна7,где2и7-
взаимно простые числа, то число Ь делится на 7. Число Ь обозначено циф­
рой, отличной от нуля. Поэтому Ь =7. Тогда а =2. Искомое число равно 27.
П р и м ~ р 7 . Найти натуральные числа п, при которых дробь
15п2+8n+6
является натуральным числом.
п
Решение . Имеем
15п2 +8п+6
6
---
--- = 15п+8+-.
п
п
Так как 15n + 8 - натуральное число, а
6
п
является натуральным только
при п=1,п =2,п =3,п =6,топриэтихзначенияхпданнаядробьесть
натуральное число.
24

161
9999
Пример8.Сравнитьдро5и
и--- .
160
9998
Решение.Имеем
161
1
9999
1
1
1
>
-
=1+-- ---=1+--,
160
160 ' 9998
9998
160
9998
161
9999
Поэтому -- > -- .
160
9998
Пр им ер 9. Вьгшслить:
26 : ------ + -------- +
(3:(0,2 -0,1)
(34,06 - 33,81) · 4 )
2,5. (0,8 + 1,2) 6,84: (28,57 - 25, 15)
2
3
4
21
Решение. Используется следующий порядок вьшолнения действий:
1) если числовое выражение не содержит скобок, то сначала выпол­
няют действия третьей ступени (возведение в степень), затем - действия
второй ступени (умножение и деление) и, наконец, действия первой сту­
пени (сложение и вычитание); при этом действия одной и той же ступени
выполняют в том порядке, в котором они записаны;
2) если выражение содержит скобки, то сначала выполняют все дейст­
вия над числами, заключенными в скобках, а затем - все остальные дейст­
вия; при этом выполнение действий над числами в скобках и вне скобок
производится в порядке, указанном в п. 1);
3) если вьгшсляется значение дробного выражения, то выполняются
действия в числителе дроби и в знаменателе и первый результат делится
на второй.
Последовательно получаем :
1)0,2 -0,1 =0,1; 3:0,1 =30;
2)0,8+1,2=2; 2,5 - 2=5;
3)30:5=6;
4) 34,06 - 33,81 =0,25; 0,25 ·4 =1;
5) 28,57 - 25,15 = 3,42; 6,84: 3,42 = 2;
6) 1.: 2 =0,5;
7) 6+0,5 =6,5;
8)26:6,5 =26:
13
-=4·
2
'
24
2·21
7
9) 3:21 =~ =2 =3,5;
10) 4+3,5 =7,5.
Ответ. 7,5 .
25

Упражнения
РАЗДЕЛ 1
1. Какой цифрой оканчивается произведение 71 • 72 • 73 • . .. • 79 ?
2. Из цифр 2, 3, 5 составить двузначные числа, кратные а) 2; б) 3; в) 5.
3. Доказать, что число 3 п при любом натуральном п имеет четное число десятков .
4. Доказать, что сумма ·пяти последовательных целых чисел всегда делится нацело
на 5.
s; Доказать, что разность аЬ - Ьа кратна 9.
6. Доказать, что сумма 10 1 3 + 5 делится на 3.
7. Доказать, что квадрат нечетного числа при делении на 8 дает в остатке 1 .
8. Разложить на простые множители 3084 и 1050 .
9. Найти наибольший общий делитель чисел 54, 72 и 96.
10. Найти наименьшее общее кратное чисел 18, 45 и 108.
11. Доказать, что если две положительные несократимые дроби в сумме равны 1,
то их знаменатели равны.
12. Вьmолнить действия :
(-2)·(-2)+1(-6):2-2
-
3+4
9-7+5-3
13. Выполнить действия:
(-1,5+4-2,5)•(-6)+5- 7+9
(О , 3 ·2 +0,3-0,2) ·2-О,4+2· (-2) +4
14.Чтобольше: } или0,36; 194 или16 •18 •20 •22?
2
53
15. Обратить
-
и - в периодические дроби.
7
22
.
16. Обратить в обыкновенные дроби 2, (3) и 0,35 (28).
17. Вычислить,
10
25
45- -44-
63
84
(
: 31.
~-2
.!_
-
1 .!.) :4
4
3
9
18 ✓ Вычислить:
4,5 : (47,375 -(26 1⁄4- 18 • 0,75 )- 2,4: 0,88)
2
5
17,81:1,37-233 16
19. Вычислить :
(
(3,2 - 1,7) : 0,003
( ~- ~) -4:02
35
7
'
26.
(113
20
(2,44+1
1,5 )· 1,5)
~)..!.
25
8
:62
1
-+
20
1,364 : 0,124.

20. Найти число, если 3,6 % его сuставляют
3+4,2:0,1
(1:0,3 - 21⁄2)·0,3125
21. Найти х из пропорции
(4-3,5 •(2f- 11⁄4)}:0,16
х
22. Найти х, если
1
(2,7-0,8)·2
-
3
9
---------+ х + 8
3
(5,2 -1,4):7
11
РАЗДЕЛ II
23
49
41
-
40
84
60
(1,6 + 154,66 : 70,3) : 1,9
(23⁄4- 1,3):4,3
2,625.
23. Найти две последние цифры произведения 26 • 27 • 28 • . . , • 34 • 35.
24. Доказать, что сумма 108а + 3Ь делится на 6 при любом натуральном а и чет­
ном ь.
25 . Не производя деления, найти остаток от деления числа 10 239 на 5.
26. Как изменится частное и остаток, если к делимому прибавить удвоенный
делитель?
27 . Какую цифру нужно написать вместо а, чтобы число 5431а делилось на 9?
28. Какие цифры нужно поставить вместо с в число 28с, чтобы получившееся
числобылократно:а)2;б)3;в)4;г)5;д)6;е)9;ж)10?
29. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел делит­
сяна6.
30. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел, nервое
из которых - четное число, делится на 24.
31 . Разложить на простые множители числа 2 880 и 6 048.
32. Найти наибольший обший делитель чисел : а) 52, 65 и 130; б) 42, 140 и 882.
33. Найти наименьшее общее кратное чисел : а) 54, 81, 135 и 189 ; б) 156, 195
и 1950.
1
34. Доказать, что произведение нечетных чисел есть число нечетное.
35. Доказать, что если число не кратно 3, то его квадрат при делении на J дает
в остатке 1.
36 . Выполнить действия :
2· (-4) -6: (-2) -1+2 · (-3) +1~
2·(-1)+5
37. Выполнить действия :
(1 - 3+5-9): (-2)-2
(-2)•(-3)+(-7)•(-1,2+2,5 - 1,3)
38 . Сравнить числа:
5
-
иО11·114и9•10 •12 •14.
46
'
'
3
37
39 . Обратить 11 и 15 в периодические дроби.
27

40. Обратить в обыкновенные дроби 1, (6) и 5 ,2 (38).
41. Вычислить:
( 19 3⁄4+ 43,75): 3⁄4
( 13,3 - 11 1⁄2):1,8
(26,8 - 23 f):365
0,5
42. Вычислить:
1,32 :(1,17:1,3+8 ; •f ·(6
43. Найти 72 %от числа
(2,3 +5 :6,25)•7
8 •0,0125 +6,9
(13.!:_- 2~-10
~) •23004+4675
4
27
6
'
'
0,01
44. Найти число, если 26 % его составляют
l
9
1
1
1
9--1-- -•3-+-
6
14 30
363
19(4
7)
1
-
+8-
-
6-
:О8-1
-
:225
96
15
24
'
2'
45. Вычислить:
(9- 5 ~).(4~- 4:2~+(о3-о5:4)·i)
8\12
3
'
'
7
46. Вычислить:
1
1
24+0,25:133
))·
(
6:3⁄4-1
3,25 -
10
4,2•-+
11
16
67
2
5-
11
20
'
15 49
1
·2
-
12
3
(2__+О5--1)•~)
3-+-
з9
47. Найти х из пропорции
3,6
х
1
14 -15
-
: 2,2
8
48. Найти х, если
2
1,5+2-+3,75
3
-
•1- +4375:х-372+1-
• 375:2-
-
1-
·9
= 903.
7
2
1(
1
3)
9
7
'
'
45
'
12
23
'
49 (устно) . Сумма скоростей движения теплохода по течению реки и против
течения равна 29 км/час. Найти скорость теплохода в стоячей воде. •
50 (задача-шутка). Летели галки, сели на палки. Сели по одной - галка лишняя,
сели по две - палка лишняя. Сколько было галок и сколько было палок?
28

ГЛАВА 2
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Рациональные числа
Пусть т и п - натуральные числа.
Дробь
т
п
называется положительным рациональным числом. Дробь
со знаком минус (- : ) будем называть отрицательным рациональным
числом. Такую дробь можно рассматривать так же, как частное от деления
отрицательного целого числа - т на натуральное число п.
а
О п р е д е л е н и е. Рациональным числом называется число вида -
,
ь
гдеа- целоечислоиЬ
-
натуральное число.
а
В частном случае, когда Ь = 1, полагаем - = а.
1
Множество рациональных чисел состоит из всех целых и дробных чисел.
Оно содержит в себе как часть множество целых чисел.
а
с
Два рациональных числа - и
-
считаются равными:
Ьd
а
с
ь
, еслиad=Ьс.
d
По определению
а
с
а
с
-
>
Ьd
еслиad>Ьс,и-<
, если ad<Ьс.
Ьd
-3
-6
Например,->- ,так как (-3) ·7=-21, 1·( -6) =-24 и -:-21 >
4
7
> -24.
Над рациональными числами можно производить действия сложения,
вычитания, умножения и деления (кроме деления на нуль). Правила этих
действий такие же, как для обыкновенных дробей ( § 4 гл. 1). При выпол­
нении четырех арифметических действий (кроме деления на нуль) над
рациональными числами всегда получаются рациональные числа.
3 а меч ан и е. Так как целое число есть частный вид рационального
числа, то возникает вопрос: не противоречат ли введенные теперь действия
ранее установленным арифметическим действиям над целыми числами?
1:9

ЕслиаиЬ- целые,то
аЬа+Ь
аЬаЬ
а+Ь=-+-=-- а·Ь=
11
1'
т.е. противоречия нет. Проверка для вычитания и деления не нужна, так
как эти действия определяются как действия, обратные соответственно
сложению и умножению.
Любое положительное рациональное число и нуль можно представить
в виде десятичной дроби, конечной или бесконечной периодической (см.
§ 5 гл. 1). Конечную десятичную дробь будем записывать в виде беско ­
нечной периодической дроби с периодом, равным нулю.
1
9
Н-шример, -
= 0,2 =0,200... = 0,2(0), -
-
= -2,25 = -2,25000 .. . =
5
4
= -2,25 (О), О= 0,000 ... = О, (О).
Приведем без доказательства следующую важную теорему.
Т е о р е м а. Любое рациональное число можно представить в виде
бесконечной периодической десятичной дроби.
Справедливо и обратное утверждение: любая бесконечная периодиче­
ская десятичная дробь может быть представлена как частное двух целых
чисел и поэтому является рациональным числом.
Например,
1
-
-
=-О125(О)
.
8
'
'
311
-03(14) = -
-
'
990
13
6
= - 2,1{6),
-
2,(13)
13
=-2
-
99
4
= -0,(1 2),
33
-
0,(7) =
7
9
(см. соответствующие примеры для положительных дробей в § 5 гл. 1) .
Уславимся в дальнейшем не •использовать бесконечные десятичные
дроби с периодом 9. Вместо таких дробей будем записывать равные им
конечные десятичные дроби ищ1 бесконечные десятичные дроби с перио­
дом о.
Например,
- 0,(9) =-1,(0),
-4,12(9)=-4,13=-4,13(0).
§ 2. Иррациональные числа
Наряду с бесконечными периодическими десятичными дробями будем
рассматривать бесконечные непериодические десятичные дроби.
Если бесконечная десятичная дробь - непериодическая, то она не явля­
ется рациональным числом.
Например, дробь О,101001000100001 . .. , в которой после первой
цифры I стоит один нуль, после второй цифры 1 - два нуля , и вообще,
30

после п-й цифры 1 стоит п нулей, не является периодической: в ней ника­
кая группа цифр не будет периодом, нет периода и сразу после запятой
и после любой из цифр. Эта дробь не представляет никакого р._~циональ­
ного числа.
Бесконечные непериодические десятичные дроби определяют новые,
не рациональные числа.
О п р е д е л е н и е . Иррациональным числом называется бесконечная
непериодическая десятичная дробь .
Иррациональные числа, так же как и рациональные, могут быть по­
ложительными и отрицательными .
Например, О,101001000100001 . ..
-
положительное иррациональное
число; -2,07007000700007 .. .
-
отрицательное иррациональное число.
Необходимость рассматривать иррациональные числа будет показана
в гл . 4 при изучении корней. Примером иррациональных чисел могут слу­
жить квадратные и кубические корни из натуральных чисел 2, 3, 5, 6, 7
и т. д., не являющихся соответственно квадратами или кубами натураль­
ных чисел.
Иррациональные числа получаются не только при извлечении КОР.Ней.
Например, число тт == 3,14 . . . , равное отношению длинь~ окружност и к
ее диаметру, яв ляется иррациональным числом.
§ 3. Понятие действительного числа
Рациональные и иррациональные числа образуют множеств о действ и­
тельных чисел.
Таким образом, действительное число обозначает число либо рацио­
нальное, либо иррациональное.
Всякое действительное число представимо в виде бесконечной десятич­
ной дроби, т.е. дроби вида
где а 0 - целое неотрицательное число, а а 1 , а2 , а 3 , ... обозначают какие­
либоиздесятицифр:О,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Например, в записи действительного числа
х == + 247,9836 ...
число а 0 == 247, а первые три десятичных знака
а1==9, а2==8, а3==3.
Если число рациональное, то дробь периодическая; если же число ир­
рациональное , то дробь непериодическая.
Действительное число может быть положительным, отрицательным
или равным нулю.
Бесконечная десятичная дробь равна нулю, если все цчфры в ее записи -.
нули.
31

Положительное действительное число - это десяти'll!ая дробь, не равная
1
нулю, со знаком "+", а отрицательное - со знаком "-". Знак "+" перед
дробью обычно опускается.
Например, х = 247,9836 ...
-
положительное число, у= -15,834 ... -
отрицательное число.
Два действительных числа
а0, а1а2а3 ... и -а0, а1а2а3 ...
называются противоположными. Все соответствующие цифры в их записи
одинаковы; отличие только в знаке.
Два положительных действительных числа
х=а0,а1а2а3... и У =Ьо,Ь1Ь2Ьз ...
считаютсяравными:х=у, еслиа0 =Ь0,а1 =Ь1,а2 =Ь2,аз=Ьз ...ит.д.
Два отрицательных действительных числа равны, если равны противо­
положные им числа.
Из двух положительных действительных чисел
х=а0,а1а2а3... иУ =Ьо,Ь1Ь2Ьз . . .
число х больше числа у (или у меньше х):
х>у(илиу<х),
'еслиа0>Ь0либоа0=Ьо,ноа1>Ь1,либоеслиа0=Ь0иа1=Ь1,но
а2 >Ь2 иr,д.
Из двух отрицательных чисел больше то, у которого противоположное
(положительное) число меньше. Положительное число больше нуля и
любого отрицательного числа. Нуль больше любого отрицательного числа.
<;;огласно этим определениям для любых действительных чисел х и у
имеет место и притом только одно из соотношений:
х=У, х>у, х<у.
Пр им ер. Сравнить числа -2,7 и -2, (7).
Решение.Таккак
-2,7 = -2,700... ,
- 2,(7) =
- 2,777 ...
и2,700...<2,777 ..., то
-2,7>-2,(7).
8
Каждое действительное число, заданное бесконечной десяти'll!ой дробью,
можно приближенно заменить конечной десятичной дробью.
Например, для числа 1,2 (34) конечные десятичные дроби
1,2; 1,23; 1,234; 1,2343; 1,23434; ...
являются приближением этого числа с недостатком. Дроби
1
1,3; 1,24; 1,235; 1,2344; 1,23435; ...
. ,:дают приближение числа 1,2 (34) с избытком
[д

1
Для числа -0,1234567 ... конечные десятичные дроби
- 0,1; -0,12; -0,123; -0,1234; -0,12345; ...
являются приближением этого числа с избытком . Дроби
- 0,2; -0,13; -0,124, -0,1235; -0,12346; ...
дают приближение числа -0,1234567 ... с недостатком.
Нам известно (см. § 4 гл. 1), как выполняются арифметические дейст­
вия над конечными десятичными дробями. Арифметические действия
над действительными числами, т.е. бесконечными десятичными дробями,
обычно заменяются действиями над их приближениями.
Для действительных чисел сохраняются все основные свойства ариф­
метических действий над рациональными числами. Строгое обоснование
этих действий и их свойств приводится в курсе высшей математики.
Любое действительное число можно представить в виде суммы двух
слагаемых, причем различными способами. Например, число 27,2 можно
записать в виде суммы чисел 10 и 17,2 или 20 и 7,2, или 18,1 и 9,1, или
-3
и 30,2, и т.д. Будем представлять действительное число и в виде суммы
таких двух слагаемых, одно из которых является целой частью данного
числа, а другой - его дробной частью.
Оп р еде л е ни е. Целой частью действительного числах называется
наибольшее целое число, не превосходящее х. Целая часть числа х обозна­
чается [х].
Например,
[27,2] = 27, [О,54] = О, [-3] = -3, [-4,6] = -5.
Если х - целое число, то [х] = х. Если х -- нецелое число, то [х] < х;
в этом случае число х заключено между двумя последовательными це­
лыми числами: [х] < х < [х] + 1. Таким образом, при любом х верно
неравенство [х] 3⁄4 х < [х] + 1.
О п р е д е л е н и е. Дробной частью действительного числа х называ­
ется разность между числом х и его целой частью. Дробная часть числа х
обозначается {х}. Таким образом,{х} =х - [х].
Например,
{27,2} = 27,2 - [27,2] = 0,2, {0,54} = 0,54 - [0,54] = 0,54,
{-3} = -3
-
[-3] =о, {-4,6}= -4,6 - [-4,6] = - 4,6 -(-5)=0,4.
Таккак[х]3⁄4Х<[х]+1,тоО3⁄4Х - [х]<1,т.е.прилюбомхверно
неравенство О 3⁄4 { х} < 1. Дробная часть числа есть неотрицательное число,
меньшее 1.
Согласно определению дробной части числа { х } = х - [х] . Отсюда х =
= [х] + { х}, т .е. любое число можно представить в виде суммы его целой
и дробной частей. Например,
27,2 =27+0,2; 0,54=О+0,54; -3 = -3+О; - 4,6 = -5+0,4.
2. Г.И. Богатырев
33

§ 4. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
О п р е д е л е н и е. Модулем (или абсолютной величиной) действи-
тельного числа а называется:
1) само это число, если а - положительное;
2) нуль, если а= О;
3) число -а, если а - отрицательное число .
Модуль действительного числа а обозначается I а 1, Таким образом,
1а1={а,
-а,
если а ;;;.. О,
еслиа<О.
Для любого числа его модуль есть число неотрицательное : 1а 1 ;;;.. О,
причем Iа1=О только при а= О. Например, l24I =24, 1-71=- (-7) =7,
l - 13,2 I = -(-13,2) = 13,2.
Противоположные числа а и -а имеют равные модули: 1а 1 = 1-а 1.
Например, 15 [ =1- 5 1=5.
Из определения модуля числа следует, что
1а 1;;;., а, 1а 1;;;., -а.
В самом деле, если а ;;;.. О, то Iа 1=аиподавно Iа 1;;;.. -а. Если а< О,
тоIа1=-аиподавноIа1>а,таккакIа1>О.
Основные свойства модулей.
1) Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих
чисел :
lab1=1а1•1Ь1.
Доказательство.ЕслихотябыодноизчиселаилиЬравноО,
то рассматриваемvе равенство очевидно. Возможны следующие случаи:
а)а>О,Ь>О;б)а>О,Ь<О;в)а<О,Ь>О;г)а<О,Ь<О.Рассмот­
римслучайг).Таккака<О,Ь<О,тоаЬ>О.ВэтомслучаеIа1=-а,
lbl= -b, 1abl=ab=(-a)·(-b)=lal •lbl.
Аналогично рассматриваются остальные случаи. Свойство модуля произ­
ве дения доказано .
2) Модуль частного двух чисел равен частному модулей этих чисел:
1а1
IЬI
(Ь =I= О).
3) Модуль суммы двух чисел меньше или равен (говорят также "не ­
больше") сумме модулей этих чисел :
1а+Ь1,;;;; 1а1+1Ь1.
4) Модуль разности двух чисел меньше или равен сумме модулей этих
чисел:
!а-Ь1,;;;;1а1+1Ь1.
34

Кроме того,
1а-Ь1>1и1- 1ЬJ.
Например,
l3+81 = 131 + 181,
13-81<131+181,
l3+(-8)1 < 131 + 1-81,
13-81>131- 181.
§ 5. Числовая прямая и числовые промежутки
Построим прямую . Отметим на ней начало отсчета - точку О, выберем
на ней единицу длины и зададим направление (рис. 1). Из двух возможных
направлений на прямой одно из них называется положительным (на рис. 1
обозначается стрелкой), а другое - отрицательным. Прямую, на которой
выбрано начало отсчета, положительное направление и введен масштаб,
называют числовой прямой или числовой осью.
Для наглядности действительные числа изображают точками числовой
прямой.
Чтобы изобразить данное число х, в принятом масштабе строим отрезок
ОМ длины I х 1, откладывая его от точки О в положите.r:ьном направлении
на числовой прямой, если х > О, и в отрицательном направлении, если
х < О. Точка М соответствует числу х. Числу нуль соответствует начало
отсчета •- точка О. Каждому действительному числу отвечает вполне опре ­
деленная точка числовой прямой.
И обратно, каждой точке числовой прямой отвечает определенное дейст­
вительное число (изображением которого и служит эта точка) .
Например, чтобы найти на числовой прямой точку В, соответствующую
числу 3, надо в положительном направлении последовательно отложить
от точки О три единичных отрезка (рис. 2). Чтобы найти точку С, соот­
ветствующую числу - 4, надо от точки О отложить четыре единич.ных
отрезка, но в направлении,· противоположном положительному. Чтобы
о
,.,
ЕС
1
:i:
Рис. 1
3
ОА lltJ
о1zj3
Рис. 2
г
5
отметить точку D, соответствующую числу 2 -
, надо от точки О отложить
5
в положительном направлении два и еще три пятых единичного отрезка.
Если точка М соответствует числу х, то говорят, что точка М имеет
координату х, и записывают М (х). Например, на рис. 2 О (О), А ( 1), В (3),
С(- 4), D ( 2 f).Координата точки определяет ее положение на число­
вой прямой.
2·•
35

Если точка М имеет координату х, тu модуль числа х равен длине от­
резка ОМ
Например, точка С имеет координату - 4 и длина отрезка ОС равна 4.
Противоположные числа а и -а изображаются на числовой прямой
точками, расположенными симметрично относительно начала отсчета,
так как I а 1 == 1-а 1. На рис. 2 числа -5 и 5 изображены точками Е(-5)
и F (5), равноудаленными от точки О.
Если числовая прямая - горизонтальная, то положительные числа
изображаются точками, расположенными справа от начала отсчета, а отри­
цательные числа - fЛева. Из двух чисел меньшим будет то, которое рас­
положено левее, а большим - то, которое расположено правее.
Например, из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого
меньше:
-2>-3, таккак 1-2i<1-31;
-
4,8< -3,6, таккак 1-4,81>1-3,61
Пусть М1 (х 1 ) и- М2 (х 2 ) - точки, расположенные на числовой прямой.
Справедлива следующая формула для расстояния между двумя точками
на числовой прямой :
М1М2 = lx2 - х11,
rде М1 М2 - длина отрезка М1 М2 .
Например, если А (1) и В (3), то по формуле (1)
АВ=13-11=2.
Из рис. 2 видно, что в этом случае
АВ=ОВ-ОА =3-1=2.
Например, если С(-4) и D (2 %), то по формуле (1)
CD=i2f-(-4)1=6f.
Из рис. 2 видно, что в этом случае
3
3
CD=ОС+OD=4+2- =6-
.
5
5
(1)
Поэтому доказательство формулы (1) сводится к рассмотрению различ­
ных случаев расположения точек М1 и М2 .
Пусть а и Ь - действительные числа и а< Ь.
Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенст­
вам а < х < Ь, называется числовым отрезком (или просто отрезком)
и обозначается [а; Ь].
36

Множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенст ­
вам а < х < Ь, называется интервалом и обо значается (а; Ь).
Множества всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенст­
вам а ,;;;; х < Ь, а < х ,;;;; Ь, называются полуинтервалами и обозначаются
соответственно [а; Ь), (а; Ь].
Отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежут­
ками. На числовой прямой промежутку соответствует некоторый геометри­
ческий отрезок с включением в него концевых точек или без включения
их в зависимости от типа промежутка.
e(L«<<««««« •
-2
12
5
-12
Рис. 3
Рис. 4
Например, отрезок [- 2; 1] - это множество всех чисел х, удовлетво­
ряющих неравенствам - 2 ,;;;; х ,;;;; 1; полуинтервал (2; 5] - это множество
всех чисел х, удовлетворяющих неравенствам 2 < х ,;;;; 5 (рис. 3).
Рассматриваются также бесконечные промежутки. Например, [а; + 00 ) -
множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х;;,;, а; (а; + 00 ) -
множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству х > а, и т.п.;
( - оо; + оо) - множество всех действительных чисел. На числовой прямой
бесконечные промежутки изображаются лучами.
Например, [2; + 00 ) - это множество всех чисел х, удовлетворяющих
условию х ;;,;, 2; ( - 00 ; - 1) - это множество всех чисел х, удовлетворяю­
щихусловию х<- 1(рис.4).
Упражнения
РАЗДЕЛ 1
1. Выполнить действия:
О+(- 3,5)-(- 4 3⁄4)+(- 2,75)-(- 1--h)
- 45+(-2i)-475-( -1 . ..! ... )
'
5
'
12
2. Выполнить действия:
(28- 253⁄4}4,8 +51⁄4:(7,95- 10,45)
с-з)·(-f }с-о,1)·(-})-29,4
3. Верно ли равенство
(-2,4+3⁄4)·(-0,6)
9
-------
+ ___1
_
1_
-
17,04=- 1?
(-i
-
о25)-о4
7-б
-
8'
'
20
37

4. Верно ли равенство
2,4 ,(13_!_: 6 + 69,3: 19,8)- 13,68
\5
-- ----
--------
=1?
(-5) ·(-3⁄4)+ (-0,8): (-4)
5. Расположить действительные числа в порядке возрастания:
1
1
-
0,1423...; - 0,1(4); - 9;0,1(25);8.
6. Расположить числа в порядке убьmания их модулей:
1
0,125; - 2,6 (3); 9 ; 0,112; - 2,63.
7. При каких значениях х верны равенства:
х
а)1-х1=х;б)х+1х1=О;в)хIх1=х2; г)-
= -1?
1х1
8 . При каких значениях х верны неравенства:
х
а)1-х1<х;б)х-1х1;;.О;в)хIх1;;.х2;г)--,;;; -1?
IX1
9. Найти х, если
а)1х-11=1; б)1х+21=3; в)х+1х1=2х.
10. Найти расстояние между точками числовой прямой:
а)А(-5,3)иВ(-3,9); б)А(-1⁄2)ив(~58); в)А(О,23)ив(1⁄2).
а+Ь
11.Доказатьгеометрически,чтоеслиIх-а1=1х-Ь1,гдеа*Ь,тох= -
2-.
РАЗДЕЛ II
12. Выполнить действия :
-
· 58-136: -4 -
9
(1)
29'
.
'
4.·
•(
1
\
27,5 • - 3444+336,25)
13. Выполнить действия:
141
55. ii: 5 :5: (-1,25): (-0,1). (-0,2)
(7,2 +8,4 - 22,4) - (15,56 - 22,4)+0,1 •(-0,3)
14. Верно ли равенство
-2,5 - 8,3 :(1,875 + 1⁄2)

15. Верно ли равенство
47-35
-(-2 _!__ + 1.!..)
'
'
,
75,
4
9
-3 5 -+34-
21
35
16. Расположить действительные числа в порядке убывания :
5
1,4; - 33; - о, (12); 1(4); -0,1234. ..
17. Расположить числа в порядке возрастания их модулей· :
1
3,1; -3,(1); -5 ; -0,18 .
18 (устно).Найтицелыечасти: [48,3]; [О,29]; [-5,7].
19 (устно). Найти дробные части: {- 2}; { 3,9} ; {- 7,15} .
20 (устно). При каких значениях х верны равенства:
а)х21х1=х3;б)1х21•х =х3;в)х3=1х13;г) х3=1х31?
21 (устно). При каких значениях х верны равенства:
а) lx-31=0; б) l x-31=1; в) 13-xi=l ; г) lx-31=-1?
22. Найти расстояние между точками числовой прямой:
а) А(О,2)иВ(-О,7); б) л(-})ив(-3⁄4).
23. Доказать геометрически, что если Iа 1= 1Ь 1, то а= Ь или а= - Ь.
ГЛАВА 3
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
§ 1. Приближенные значения величин. Метод границ
Числовые значения величин можно получить в результате их измере­
ния. Однако истиннqе (точное) значение величины най;rи обычно не уда­
ется и можно получить только приближенное ее значение с недостатком
или с избытком.
Например, при взвеlllliвании бьmо установлено, что масса тела больше
19 г, но меньше 21 г. Пусть т - числовое значение массы . Тогда 19 < т <
< 21; 19 - приближенное значение массы с недостатком , а 21 - ее приб­
лиженное значение с избытком. Установлены границы числового значения
массы: число 19 - нижняя граница, число 21
-
верхняя граница.
Зная границы значения одной величины, можно оценить значение дру­
гой величины, зависящей от нее .
39

П р и м е р 1. Дано: 3 < х < 5. Требуется оценить значение величины
1
-
, т.е. найти границы значещ1я этой величины.
х
11
Решение.Таккак3<х,то- > -;
'3х
1
таккакх>Оих<5,то- >
х
1
> -. Следовательно,
5
11
1
- <-<
5х
3
Принято границы значения величины представлять в виде десятичных
дробей.
Заменим границы значения
х
1
десятичными дробями. При этом =
5
1
= 0,2;
= 0,333... ~ 0,4 (приближенно с избытком). Следовательно,
3
1
0,2 < - <О,4.
х
1
Взяв - ~ 0,3 (приближенно
3
1
с недостатком), получили бы 0,2 < -- <
х
< 0,3, что моr:ло бы оказаться неверным для неизвестного нам точного
1
значения дроби -
. Поэтому нижнюю границу можно
заменить только мень­
х
шим числом (приближением с недостатком), а верхнюю - только боль­
шим числом (приближением с избытком).
3 ад а ч а. Пусть а и Ь - приближенные значения числах, взятые соот­
ветственно с недостатком и с избытком. Тогда
а<х<Ь.
(1)
Если с и d - приближенные значения числа у, взятые соответственно с не­
достатком и с избытком, то
c<y<d.
(2)
Найти оценки значений суммы, разности, произведения и частного этих
чисел.
Решение. Применяя к неравенствам (1) и (2) свойство о почлен­
ном сложении неравенств одинакового зIШка, получаем
a+c<x+y<b+d,
(3)
т.е.а+с- нижняяграницасуммых+у,аЬ +d - ееверхняяграница.
40

Из неравенств (1) и (2) почленным вычитанием получим
a-d<x-y<b-c,
т.е. наumи оценку разности х - у.
(4)
Пусть а > О, с > О. Тогда, почленно умножая неравенства (1) и (2),
будем иметь
ас<ху<bd.
(5)
Аналогично при условии а> О и с> О:
ахЬ
-
<- <-.
(6)
dус
Неравенства (3), (4), (5), (6) позволяют оценить сумму, разность,
произведение и частное с помощью метода границ.
Пример 2.Дано: 2<х<4, 1<у<3.Оценитьзначениях+у,х
-
у,
х
ху, -.
у
Решение. Применим неравенства (3), (4), (5), (6):
2х
3<х+у<7, -1<х-у<3, 2<ху<12, - <- <4.
3у
2
х
Так как -
= 0,666 ... ""=' 0,6 (с недостатком), то 0,6 < - < 4.
3
у
§ 2. Абсолюrnая и оrnосительная погреunюсти
Пусть х - точное значение некоторой величины, а
-
ее приближенное
значение, взятое с недостатком или с избытком: х ""='а.
Разность точного и приближенного значений величины называется пог­
решностью приближения.
Например, х = 4,28, число а = 4,2 - приближенное значение числах с
недостатком, число Ь = 4,3 - приближенное значение числа х с избытком.
Если взять х ""=' а., то погрешность приближения
х- а=4,28- 4,2 =0,08.
Если взять х ""=' Ь, то погрешность приближения
х-Ь =4,28-4,3 = - 0,02.
Погрешность приближения с недостатком всегда положительна, а пог­
решность приближения с избытком всегда отрицательна.
Абсолютной погрешностью д (читается "дельта") приближения назы­
вается модуль разности точного и приближенного значений величины:
1х-а1=д.
41

. Чем
меньше абсолютная погрешность, тем ближе приближенное зна­
чение величины к ее точному значению.
В рассмотренном примере абсолютная погрешность приближения с не­
достатком
1х-а1=10,081=0,08,
а абсолютная погрешность приближения с избытком
\х-Ь 1=1- 0,021= - (-0,02)=0,02.
Следовательно, лучшим из двух приближенных значений числах является
его приближение с избытком: оно меньше отличается от числах.
':---v -- --''- --v- -- -- --'
а-Ллала+Л
Рис. 5
Если М(х) и А (а) - две точки числовой прямой, то расстояние между
ними
AМ=lx-al
(по формуле (1) гл. 2). Абсолютная погрешность д = lx - а I равна длине
отрезка между точками с координатами х и а.
П р и м е р 1. Найти число х, если его приближенное значение а = 0,8 и
абсолютная погрешность д = 0,01.
Решение.ТаккакIх-а1=д,тох =а+длибох =а -д(рис.5).
Поэтомух=0,8 +0,01=0,81либох=0,8 - 0,01=0,79.
1
Пример2. Обратитьчислох = -
в десятичную дробь и округлить
3
ее соответственно до десятых, сотых и тысячных. В каждом случае найти
абсолютную погрешность.
1
Решение. Так как -
= 0,333 ... , то в результате округления до деся-
3
тых, сотых и тысячных получим значения 0,3; 0,33; 0,333. Находим, что
1 _!_
-
о3\= -
1-\
_!_
-
о33\= -
1-\
_!_
-
о3331 = -
1-,
3'
30'3
'
300' 3
'
3000
т.е. с увеличением точности вычислений абсолютная погрешность умень­
шается.
Точность приближения х ~ а определяется величиной абсолютной пог­
решности д = 1х - а 1. Практически точное значение х неизвестно, и, сле­
довательно, точного значения абсолютной погрешности мы обычно не
знаем. Поэтому приходится оценивать абсолютную погрешность некото­
рым положительным числом h ;;,, д. Число h называется границей абсолют­
ной погрешности: 1х - а 1 3⁄4 h.
42

i.
При этом число а называют приближенным значением числа х с точ­
ностью доh изаписываютх =а ±h.
Из условия I х - а 1 < h следует, что на числовой прямой точка с коор­
динатой х удалена от точки с координатой а не более чем на h, т.е . а - h <
<х <а+ h.
Пр им ер 3. Найти границы числах = 10,6 ± 0,5.
Решение.Таккака=10,6иh=0,5,то
10,6 - 0,5 <х<10,6 +0,5,
т.е . 10,1 <х< 11,1.
Пр им ер 4. Известно, что 1,56 < х < 1,60. Вычислить приближенное
значение, равное среднему арифметическому границ, и найти точность приб ­
лижения.
Решение. Находим среднее арифметическое чисел 1,56 и 1,60:
1,56+1,60
-----
= 1,58.
2
Тогда х ~ 1,58, а = 1,58. Точность приближения h в этом случае равна
полуразности границ, т.е .
1,60-1,56
h= ---
-
= 0,02.
2
Поэтому х = 1,58 ± 0,02.
Абсолютная погрешность недостаточно характеризует качество изме ­
рения или точность вычисления. Например, при измерении (в сантиметрах)
толщиныdкниги и высотыНстолаполучим, что d = 3 ±0,5, Н = 100 ± 0,5 .
Граница абсолютной погрешности h = 0,5 сама по себе невелика, тем не ме­
нее результат измерения толщины книги (d ~ 3 см) является по срав­
нению с результатом измерения высоты стола (Н ~ 100 см) весьма грубым.
Таким образом, чтобы сравнивать точность вычисления (измерения), необ­
ходимо знать, какую часть измеряемой величины составляет абсолютная
погрешность. Мы приходим к понятию •относительной погрешности.
Относительной погрешностью о (читается "дельта") приближения назы­
вается отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного зна­
чения величины
д lx-a1
о=-=---
1а1
1а1
Обычно относительную погрешность выражают в процентах.
На практике пользуются и понятием границы относительной погреш­
ности (аналогично случаю абсолютной погрешности).
43

Пусть д <,h. Тогда число е (читается "эпсилон"):
h
е=--
1а1
называется границей относительной погрешности; при этом Б 3⁄4€.
Таккакh=1а1•е,тозапись
х=а±h
может быть представлена в виде
x=a(I ±е).
В рассмотренном примере d = 3±0,5. Так как h =0,5, то е =
1
= - = 0,166...,е ~о,167 или е ~16,7%.
6
0,5
3
Значит, при
не превосходит
измерении толщины книги относительная погрепnюсть
0,5
16,7%.ВтомжепримереН =100±0,5.Отсюдае = -- =
100
1
=-
-
или е = 0,5 %. При измерении высоты стола относительная погреш-
200
ность не превосходит 0,5 %. В этом случае качество измерения выше.
§ 3. Запись приближенных значений чисел.
Стандартный вид числа
На практике вычисление абсолютной и относительной погрешностей
приближенного значения числа для характеристики его точности произ­
водится не только способом, рассмотренным в § 2." Часто точность приб­
лиженного значения числа характеризуется указанием количества его вер­
ных значащих цифр.
Значащими цифрами десятичной дроби называют все ее цифры, кроме
нулей, расположенных левее первой, отличной от нуля цифры.
Например, у дробей 4,321 и 0,0170 значащими являются подчеркнутые
цифры. Число значащих цифр равно соответственно четырем и трем.
Значащими цифрами целого числа называют все его цифры, кроме
нулей, расположенных в конце числа, если они стоят взамен неизвестных
или отброшенных цифр.
Например, число 1234 имеет четыре значащие цифры, точное число
1200 - тоже четыре, приближенное число 1,ОО, полученное в результате
округления 512, имеет одну значащую цифру (подчеркнутые цифры явля­
ются значащими).
44

Цифра какого-либо десятичного разряда в записи приближенного зна­
чения числа называется верной, если абсолютная погреrшюсть приближения
не превосходит единицы этого разряда.
Сомнительными называют все цифры приближенного значения чис­
ла, расположенные правее последней верной цифры.
Пусть, например, х = 4,63 ± 0,05. Это означает, что число принадлежит
отрезку [4,63 - 0,05; 4,63 + 0,05], т.е. 4,58 .;;;х .;;;4,68.
В записи 4,63 приближенного значения числах цифра 6 является верной,
так как граница абсолютной погреrшюсти h = 0,05 меньше единицы разря­
да десятых (неравенство 0,05 .;;; 0,1 - верное). Очевидно, что верной будет
и цифра 4, расположенная левее цифры 6. В записи 4,63 цифра 3 является
сомнительной, так как h = 0,05 больше единицы разряда сотых (неравен­
ство 0,05 .;;;0,01 - неверное).
За приближенное значение числа х возьмем число 4,6, полученное в ре­
зультате округления числа 4,63 до десятых, т.е. до первой справа от запя­
той верной цифры.
Правила округления чисел. Чтобы округлить число до п значаrцих цифр,
отбрасывают все его цифры, следуюrцие после п-го разряда, или, если это
нужно для сохранения разряда, заменяют их нулями. При этом:
1) если первая из отбрасьmаемых цифр меньше 5, то последняя сох­
раняемая цифра не изменяется;
2) если же первая из отбрасьmаемых цифр равна 5 и все остальные
отбрасываемые цифры являются нулями, то последняя сохраняемая циф­
ра не изменяется, если она четная, и увеличивается на единицу, если она
нечетная;
3) если первая из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то послед­
няя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Погрешность округления не превосходит пяти единиц первого отбро­
шенного разряда.
В вычислительной практике рекомендуется оставлять в записи при­
ближенного числа только верные цифры, так как все цифры, следуюrцие
за верными, увеличивают объем работы без значительного повышения
точности вычислений. В такой записи границу абсолютной погрешности
можно и не указывать, так как ясно, что абсолютная погрешность не пре­
восходит единицы последнего сохраняемого разряда числа.
Например, запись х ""5,32 означает, что абсолютная погрешность не пре­
восходит 0,01, т.е. х = 5,32 ± 0,01. Если же х ""5,320, то х = 5,320 ± 0,001.
В науке и технике часто используются очень большие и очень малые
(положительные) числа. Такие числа удобно записывать в стандартном ви­
де с сохранением только верных цифр, т.е. в виде а· 10n, где 1 .;;; а< 10,
а п - целое число.
Например,диаметрСолнца 1390600000 м = 1,3906 • 109 м, диаметр
молекулы воды 0,00000003 см = 3 • 10-8 см, масса Земли 5,98 • 1024 кг,
скорость света 2,99793 • 10 8 м/с и т.п.
4S

В записи приближенного значения числах ~а· 10n, представленного в
стандартном виде, абсолютная погрешность не превосходит единицы пос­
леднего сохраняемого числа а, умноженной на 10n.
Например , запись х ~ 5,3 • 10 3 означает, что абсолютная погрешность не
превосходит 0,1 • 10 3
,
т.е.х=5,3 •103 ±0,1 •103 илих =(5,3±0,1) •103
.
Еслих ~5 ,3 • 10-
3
,
тох=(5,3 ±0,1) •10-
3
.
§ 4 . Сложение и вычитание приближенных значений чисел
Пусть а и Ь - приближенные значения чисел х и у с точностью до ha и
hь,т.е.х=а±haилиа - l1a<х<а+l1a,Y =Ь±hьилиЬ-l1ь<у<Ъ+hь.
Требуется определить границу абсолютной погрешности суммы а + Ь.
Применяя свойство о по,mенном сложении неравенств, получаем
а+Ь-(l1a +hь)<х+У<а+Ь+(ha +hь),
т.е.
х+у=а+Ь±(!1а+hь),
Таким образом, граница абсолютной погрешности суммы равна сумме
границ абсолютных погрешностей слагаемых : hа+ь = ha + hь. Это верно
и для любого конечного числа слагаемых .
Поэтому граница относительной погрешности суммы
ha+hь
Еа+Ь =
а+Ь
еслиа>О,Ь>О.
Из формулы hа+ь = ha + hь следует, что граница абсолютной погреш­
ности сумм не может быть меньше границы абсолютной погрешности
каждого слагаемого , даже наименее точного . С какой бы степенью точ­
ности ни было найдено другое слагаемое, мы не можем за его счет увели­
чить точност ь суммы.
Отсюда вытекает правило сложения приближенных значений 'IИсел,
которое часто применяется при вычислениях.
Сначала округляют данные числа, сохраняя столько десятичных зна­
ков , сколько их имеет наименее точное данное число, и затем выполняют
сложение.
Пример 1. Найти сумму чисел а1 =0,423, а2 =72,8 и аз =14,715,
если все значащие цифры данных чисел - верные.
Р ешение. Слагаемое а 2 имеет наименьшее число верных десятичных
знаков (один знак) . Округлим слагаемые а 1 и аз до одного десятичного
знака. Получим
0,4 + 72,8 + 14,7 =87,9 .
Отсюда
0,423 + 72,8 + 14,715 ~о,4 + 72 ,8 + 14,7 =87,9.
46

Аналогично сумме находится граница абсолютной погреunюсти разнос­
ти приближенных значений чисел:
hа-ь= ha + hь.
Поэтому граница относительной погреunюсти разности
ha +hь
1а-Ь1
(а -=I= Ь).
Отсюда следует, что при вычитании достаточно близких друг к другу приб­
лиженных чисел а и Ь величина еа - ь может оказаться очень большой, т.е.
может произойти потеря точности.
Например, если а= 1,234, Ь = 1,238 и ha = hь = 0,001, то
0,001 + 0,001
0,002 1
€а-Ь= 11,234- 1,238i = 0,004 =2
или еа-ь = 50%. Поэтому избегают выполнять вычитание двух почти рав­
ных приближенных чисел.
При вычитании приближенных значений чисел применяется правило,
такое же, как при сложении.
Пр им ер 2. Найти разностьх -у, еслих ~7,25,у ~3,8245.
Решение. Округлим число 3,8245 до двух десятичных знаков:
3,8245 ~ 3,82. Получим
7,25 - 3,8245 ~7,25 - 3,82 = 3,43.
Отсюдах - у ~3,43.
§ 5. Умножение и деление приближенных значений чисел
Пусть х =а± ha, у = Ь ± hь, причем а> О, Ь > О. Требуется определить
границу абсолютной погрешности произведения аЬ.
Числа х и у заключены в границах
a-ha<,.x<,.a+ha, Ь-hь<,_у<,.Ь+hь.
Допустим, что а - ha > О, Ь - hь > О. Тогда, применяя свойство о почлен­
ном умножении неравенств, получаем
аЬ-аhь
-
bha +ha hь <,.ху <,.аЬ +аhь +bha +hahь.
Отсюда
ху=аЬ +hahь ±(аhь +Ъhа)-
Пренебрегая произведением hahь, находим, что приближенно
hаь =аhь +bha.
Используя эту оценку для границьt абсолютной погрешности произве-
47

дения, имеем оценку (приближенно) для границы относительной погреш­
ности
аhь+bha ha hь
€аь=
=- +- =€а+€ь.
аЬ
а
а
Граница относительной погрешности произведения равна (приближенно)
сумме границ относительных погрешностей сомножителей.
Во многих задачах абсолютная погрешность является малой величиной
сравнительно с точным и приближенным значениями. Если ha и hь малы
по сравнению с а и Ь, то можно пренебречь членом ha hь и применить полу­
ченные выше оценки для величин ha ь и €а ь.
Отсюда вытекает правило умножения приближенных значений чисел,
которое часто применяется при вычислениях. Данные числа и оконча­
тельный результат округляют, сохраняя столько значащих цифр, сколь­
ко их имеет то из данных чисел, у которого наименьшее число значащих
цифр.
Пр им е р 1. Найти произведение чисел х ""'3,491 и у""' 8,6.
Ре ш е ни е. Число 8,6 имеет две значащие цифры. Поэтому округ­
лим число 3,491 до двух значащих цифр: 3,491 ""' 3 ,5. Найдем произве ­
дение3,5 •8,6 =30,1 .
Сохраняя две значащие цифры, получим ху ""'30.
Для оценки границы относительной погрешности частного справедли­
ва формула €а/Ь =€а+ €ь - На практике сначала находят границу относитель­
ной погрешности частного, затем - границу абсолютной погрешности
частного .
При делении приближенных значений чисел применяется правило, та­
кое же, как при умножении.
х
Пр им ер 2. Найти частное-, еслих ""'39,57 иу ""'42,6137.
у
Решение. Округляем число 42,6137 до четырех значащих цифр:
42,6137 ""'42,61. Находим
39,57
--
""' 0,92865 ...
42,61
х
Отсюда -
""'0,9287.
у
При решении различных задач часто приходится выполнять совместно
несколько различных действий с приближенными значениями величин. В
таких случаях нужно последовательно применять правила действий с приб­
лиженными числами, выполняя вычисления в соответствии с порядком
действий.
Пр им ер 3. Вычислить значение выражения х + yz, если х ""' 104,367,
у""' 14,8, z ""'0,73 .
48

Р е ш е н и е. Найдем произведение
yz ""14,8 •0,73 ""15 •0,73 ""11.
Отсюда х + yz ""104,367 + 11 ""115.
З а м е ч ан и е. При возведении в степень с натуральным показателем
и извлечением корня в результате сохраняют столько значащих
цифр, сколько их имеет основание степени и соответственно подкоренное
число.
Громоздкие вычисления сейчас производятся на микрокалькулято­
рах. Надо иметь в виду, что обычно в калькулятор вводятся приближен­
ные числа и соответственно получаются приближенные числа часто с боль­
шим количеством лишних цифр . Приведенные выше рассуждения могут
оказаться полезными, чтобы разобраться в том, какие из этих цифр можно
без ущерба отбросить.
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Найти границы значения выражения
х
х
1
-
2, если
3
1
<х<
2
2.Оценитьзначениях+у,х -у,ху,у,если5<х<6,2<у<3.
3. Число 5,84 округлить до десятых долей с недостатком и с избытком. В каждом
из случаев найти абсолютную погрешность приближения.
4. Найти границы приближения числах= 22,7 ± 0,5.
5. вы,шслить приближенное значение х, равное среднему арифметическому границ,
и найти точность приближения, если 8,442,;; х,;; 8,444.
6. Даны два результата измерения длины, выраженные в см: 11 = 15 ,О ± 0,5 и 1 , =
= 140,0 ± 0,5. Какое измерение точнее?
7. Найти границу относительной погрешности (в процентах) величины х = 0,230 ±
± 0,005.
8. По границе относительной погрешности Е = 0,4% приближенного числа а= 40,2
установить его абсолютную погрешность и границы, между которыми находится само
приближенное число.
9, Приближенное значение величины х заключено межцу 17,32 ми 17 ,36 м. С какой
точностью произведено измерение?
10. Известно, что х = 83,4 ± 0,5. Какие цифры в записи приближенного числах яв­
ляются верными?
11. Записать число х"' 2,1 · 10' и число у"' 3,9 · 10 -, с помощью границы абсолют-
ной погрешности .
12. Найти приближенные значения суммы и разности чисел:
а) а"'2,38иЬ"'15,41;б) а"'7,2иЬ"'4,25.
13. Найти значение выражения а - Ь +с , если а "' 27,345, Ь "' 13 ,8, с"" 5 ,23.
14. Найти приближенные значения произведения и частного чисел а"" 2,05, Ь ""'12.
х
15. Найти значение выражения -
,если х "'437,5,у ""О,32,z "'84,8.
yz
16. Найти значение а 3 , если а ""'3,4.
17 . Найти объем комнаты , если ее размеры следующие: высота h "'2,8 м, ширина
а"'3,4м,длина/"'4,6м.
49

18 . Сколько весит воздух, содержащийся в комнате, размеры которой указаны в
предыдущей задаче, если 1 м 3 его весит (1,29 ± 0,01) кг?
19. Расстояние между двумя точками на карте 1 "'14,3 см. Определить действитель­
ное расстояние между этими точками, если масштаб карты 1 : 2 500 000.
20. Найти сопротивление участка цепи, напряжение на концах которого равно 127 в ,
а сила тока равна 2,30 а .
РАЗДЕЛП
2
21 . Найти границы (с точностью до десятых долей) значения выражения 7 , если
6<х<7.
2
22. Найти абсолютную погрешность округления числа
-
с избытком и с недостат -
7
ком.
2
23. Представить число х = 3 в виде десятичной дроби и округлить ее до десятых,
сотых, тысячных долей. В каждом из случаев найти абсолютную погрешность.
24 . Округлить число х = 15 ,28 ± 0,05 до первой справа верной цифры .
25. В чем разница между записями 8 кг и 8 ,О кг?
_
26. Числа 28,4501; 28,450; 28,5500 округлить до десятых долей.
27 . Записать число х"' 15,12 • 10 3 и число у"' 8,3 • 10-2 с помощью границы абсо ­
лютной погрешности .
28. Найти приближенные значения суммы а + Ь и разностJJ а - Ь чисел: а) а "' 12,3
иbss8,121; б)а"'13,6иЬ"'6,7378 .
29 . Найти значение выражениях+ у +z,если Х"' 13,81,у "'4,6, z ss5,197 .
30 . Найти значение выражения аЬ
-
с, если а "'2,9, Ь ""13,5 , с"" 7,563 .
х
31. Найти значение выражения
-
-
z, если х"" 64,4, у ""21,25, z "'4,15.
у
аЬ
3~ . Найти значение выражения -
, если а"' 14,2, Ь ""0,2215, с"" 4,8.
с
123
33 . Найти сумму 13 + 7 + 11 с двумя точными десятичными знаками .
34. Вычислить приближенное значение выражения, ограничиваясь при обращении
обыкновенной дроби в десятичную точностью до 0,01:
(2~+12_):(2~-12-_)
·~
.
16
8
16
87
35. Найти значение ,Jx, если х "" 13,24.
36. Сторона квадрата равна а = 2,52 ± 0,01 см. Вычислить площадь квадрата .
37. Найти периметр и площадь прямоугольника длиной а и шириной Ь, если а"'
"'4,8 см, Ь "'14,5 см.
38. На окраску пола в комнате длиной а "'5 ,2 м и шириной Ь "'4,8 м затрачено
2,35 кг краски. Сколько кг краски потребуется для окраски пола в комнате длиной
х"" 6,1 ми шириной у"' 5,0 м?
•
39 . Найти силу тока на участке цепи, если его сопротивление R "'3,2 ом и напряже­
ние на этом участке И"' 0,3 в.
40. Вычислить путь, пройденный телом при равноускоренном движении, по форму ­
аt2
леs=-
2-
, если а "'4,3м/с2,t "'4с.
50

ГЛАВА 4
СТЕПЕНИ И КОРНИ
Кроме арифметических действий дпя действительных чисел устанавли ­
ваются также действия возведения в степень и извлечения корня.
§ 1. Степень с натуральным показателем
Пусть а - действительное число, п
-
натуральное число .
Определение . Степенью числа а с наrураль н ым показателем
п (п > 2) называет ся произведение п сомножителей, к.1ждь1й из которых
равен а:
ап=аа ...а
____ ____ _, __. ,
~ раз
Полагаюта1=а.
Таким образом , по определению
[ ~,если п> 2.
ап=lпраз
а.
если п =l.
При этом число а называют основанием степени, число п - показателем
степени, результат возведения в степень (ап) называют степенью с натураль ­
ным показателем.
Для второй и третьей степеней числа используются сокращенные назва ­
ния: а 2 = аа называют квадратом числа а (или а в квадрате), а 3 = ааа
называют кубом числа а (или а в кубе).
Из определения вытекает :
1) четная степень отрицательно го числа есть •rncлo положительное;
например , (-5) 20 > О;
2) нечетная степень отрицательного числа есть число отрицательное;
например, ( - i) 15
<О;
З) любая степень положительного числа есть ,rncлo положительное :
ап >О,еслиа> О;
4) при возведении нуля в степень с любым натуральным показателем
получается нуль: оп = О;
5) при возведении единицы в степень с любым натуральным показате­
лем получается единица : 1 п = l.
Рассмотрим основные свойства степени с натуральным пока­
зателем.
51

1) При умножении степеней с одинаковыми , основшtuями показатели
степеней складываются, т .е.
ат •ап =am+n (т, п - натуральные числа) .
Доказательство.
ат.ап =(аа...а)• (аа ...а)=аа ...а
----------
------------
m раз
п раз
(m+п)раз
(по сочетательному свойству умножения) . Отсюда ат
.ап
=ат +п.
2) При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели сте-
пеней вычитаются, т.е.
ат
-
=ат-п
(а=1=-О; т, п
-
натуральные числа , т > 11) .
ап
Доказательство.
m раз
ат м.~
=
ап
аа...а
п раз
Сократим дробь и получим
(m -п)раз
~
аа...а
= ------
ат
Замечание.Еслит<п,то-
=---•
ап ап-т '
еслит=п,то
Таким образом , Д)IЯ натуральных тип
если т>п,
если т=п,
если т<п
З). При возведении степени в степень показатели степеней умножаются,
т.е.
52
(ат )п = ат п (т, п - натуральные числа) .
Доказательство.
праз
(ат)п =ат ат ...ат =ат+т+ ...+т
.__ ,,__ .,
п раз

(по свойству умножения степеней с одинаковыми основаниями). Отсюда
(ат)п = атп_
если п - четное,
если п - нечетное.
Это свойство сразу вытекает из определения степени с натуральным пока­
зателем.
5) При возведении в степень произведения в эту степень возводится
каждый множитель, т . е.
(аЬ)п =апьп (п - натуральное число).
Доказательство.
(аЬ)п=(аЬ)(аЬ) ... (аЬ)=(аа . .. а) (Ъ Ь
...
Ъ)
______ ___,
п раз
п раз
п раз
(по сочетательному и переместительному свойствам умножения) . Отсю­
да (аЬ)п=ап·ьп.
6) При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель
и знаменатель дроби, т.е.
(Ь -=l=O, п - натуральное число) .
Доказательство.
а
ь
п раз
п раз
,.... _, .__ _
а
аа...а
=----
Ь ЬЬ...Ь
----..,,.__..,
п раз
(по правилу умножения дробей). Отсюда ( f) п = ::
Покажем применение этих свойств.
153 ·212
Пример1.Вычислить:
352 •34
153 212
(3.5)3 •(3.7)2
Решение.
=
352 34
(5.7)2 34
=
3з. 5з.32 .72
52 .72
.34
3s.5з.72
=---- =3·5=15.
34'52.72
Прим ер 2. Найти значение выражения: (-1,4) 3 • ( 3 ~ ) 3
=
53

Решение. (-1,4) 3 •( 3 ~)
3
= __ (1,4)3•(2,: )
3
=- (1,4•2
~)
3
-
(14 25)3-
3-
--
10о7 --(5) --125.
(-2).(-3)17 - (
-
3)16
П р и м е р 3. Выполнить действия:
Решение .
(-2).(--3)17 - (
-
3)16
97•15
316 (6--1)
314 .3.5
97•15
(-2) (-3)17 - 316
97•15
316.5
=--=3.
315.5
Пр им ер 4. Расположить в порядке возрастания следующие числа :
(_:)
3
,(-})
2
, о,32 ,с -1,2)2•
Решение.Найдем
27
4
64'
-
=О16
25
'
'
(О,3)2 = 0,09, (-1,2)2 = (1,2)2 = 1,44.
Отсюда(-: )
3
<(О,3)2<(-3⁄4) 2 <(-1,2)2.
Пример5.Какоеизчиселбольше:
а)2300или3200; б) 544или2112; в) (0,4)4или(0,8)3?
Решение . а) 2300 = (23)100 = 8100, 3200 = (3")100 = 9100; отсюда
3200 > 2300.
б) 544 = '(2 -27)4 = (2·33)4 =24 . 312, 2112 = (3·.7)12 =312 .712 =
= (73) 4 -312 = 3434 ·312 ; отсюда21 12 >544;
в)2 ;о,4)' • (:)' • С)' 3⁄4, (0,8)' • (~)' {~J 2' а
= ( 5) ·8; отсюда (0,8)3> (0,4)4.
54
11
11

§ 2. Степень с целым показателем
Обобщая понятие степени, вводят степени с нулевым и с целым отрица-
тельным показателями.
Определение . Если а :;i= О, то а0 = 1.
Выражение 0° не имеет смысла.
Определение . Если а* О и п - натуральное число, то
1
а-п= -
ап
Выражение О -п не имеет смысла .
Свойство степени с натуральным показателем
т-п
а
'
если т>п,
~
1,
если т =.п, (а:;i=О).
=
ап
1
ап-т
если т<п
можно теперь, используя понятия степени с нулевым и с целым отри­
цательным показателями, записать в виде
ат
-
=ат-п (а* О)
ап
для любых натуральных показателей т и п.
Справедливы следующие с в о й ст в а степени с любым целым пока-
зателем_:
l)aP ·aq =ap+q;
2)(аР)q=аРq;
З) ...1l!:. _ _
=ap-q.
aq
'
4)(аЬ)Р = аРЪР;
5)(~)р=:: • '
гдеа*ОиЬ*О-любыечисла,риq- любыецелыечисла.
Докажем, например, справедливость равенства 4) при р< О. Пусть
р = -п , где п - натуральное число . Тогда , используя определение степени
с отрицательным целым показателем и свойства степени с натуральным ·
показателем , получаем
1
(аЬ)Р=(аЬ)-п = -- =
--
=
(аЬ)п
апьп
ап
55

Пример 1. Вычислить:
13-3 .37 2s.37
2s.3?
2s.37
Решение.---
=--- =
---
=22 -3=12.
2-5
183
(2-32)3
23 -36
Пример 2. Найти значение выражения: 1,T3-9°:s,1 - 3
.6-3
.
Решение.1,Т3 -9°:5,Г3 -6-3 = 1,Т3 -1:5,Г3 -б-3 = ( 1•7
"
6)-
3
=
5,1
= (+)-
3
= т3=+
Пример 3. Записатьввидеаpbq (р,q- целые)выражение
(аЬ)4
(а* О, Ь *О).
(аЬ) 4
Решение.----- = - - ----- =
(а-2. ьз)-3
(а-2)-з . (Ьз)-з
а4. ь4
-
-
---
а-2. ь~з.
аб. ь-9
§ 3. Квадратный корень. Арифметический квадратный корень
Пусть а - действительное число.
Определение. Квадратным корнем из числа а назьmается такое
число, квадрат которого равен а.
Например, 7 является квадратным корнем из 49, так как 72 = 49, а
12 является квадратным корнем из 144, так как 12 2 = 144.
Число - 7 также квадратный корень из 49, так как ( - 7 ) 2 49; <шсло
- 12 -квадратный корень из 144, так как (-12) 2 = 144.
Вообще, если а> О и Ь - квадратный корень из а, то и
-
Ь также являет­
сяквадратнымкорнемиза:еслиЬ2 =а,тои(-Ь)2 =Ь2 =а; еслиа=О,
тоь=о.
Действие нахождения квадратного корня из 'ШСЛа 'Назьmается извле­
чением квадратного корня. Это действие является обратным к возве­
дению в квадрат.
Возводить в квадрат можно любые действительные числа, но извле­
кать квадратные корни можно не из любого действительного числа. На­
пример, нельзя извлечь квадратный корень из числа -4.
В самом деле, если бы такой корень существовал, то, обозначив его
буквой х, мы получили бы наверное равенство х2 = -
4, так как слева
стоит неотрицательное число (х2 ;;;, О для любого действительного числа
х), а справа - отрицательное.
Вообще, если а < О, то квадратный корень из числа а не существует
(на множестве действительных чисел).
56

Для того чтобы из числа а можно бьmо извлечь квадратный корень,
необходимо, чтобы а бьио неотрицательным числом (а > О), т.е. поло­
жительным числом или нулем.
О п р е де л е н и е. Арифметическим квадратным корнем из неотри­
цательного числа а называется неотрицательное 1шсло Ь, квадрат которого
равен а.
Например, числа 2 и -2 являются квадратными корнями из числа 4.
При этом число 2 является арифметическим квадратным корнем из 4,
а число -2 не является арифметическим корнем .
Арифметический корень обозначается так: -,/а(а> О).
Например, у49 = 7, ,/4= 2, уО = О. Знак ✓называется знаком ариф­
метического квадратного корня; а называется подкоренным выраже-
нием (или подкоренным числом). Выражение ,/а читается так: арифме­
тический квадратный корень из числа а или, короче, корень квадратный
иза(а>О).
Таким образом, Ь = уа есть арифметический квадратный корень из
числаа(а>О),еслиЬ>ОиЬ2=а.
Из определения арифметического квадратного корня следует:
1) выражение .....,Гаимеет смысл только при а > О;
2) )J)IЯ любого числа а > О выполняется неравенство .....,Га> О, так как
va>Оприа>Ои "'°=О;
3) )J)IЯ любого числа а> о выполняется равенство ( va) 2 =а.
Для того чтобы доказать, что Ь является арифметическим квадратным
корнем из числа а> О, надо проверить выполнение двух условий:
1)Ь>О; 2)Ь2=а.
Например,у25=5,таккак52 = 25 и 5>О.
Т е о ре м а. Из- любого действительного числа а > О можно извлечь
арифметический квадратный корень и притом только один.
Мы не станем доказывать, что ../а (а > О) существует (доказательство
этого утверждения трудное). Докажем единственность арифметического
квадратного корня.
·
г-
Г-
'
2
2
Пусть уа=Ь1 и ,,/а=Ь2,гдеа>О,Ь1 >О,Ь2>О.ТогдаЬ1=Ь2=а.
Если Ь1 * Ь2, например, Ь1 < Ь2, то bi < Ь~ по свойству неравенств
с неотрицательными числами, и мы приumи к противоречию с равенством
bi = Ъ1. Из полученного противоречия следует единственность арифмети­
ческого квадратного корня, т.е. Ь 1 = Ь 2 .
Т е о ре м а. JJ,ля любого действительного числа- а
v"i2-= 1 а 1.
До к аз ат ел ь ст в о. Рассмотрим два случая:
1) если а > О, то по определению арифметического квадратного корня
•./а2 =а;
57

2)еслиа<О,то-а>О.
_
Число -а положительно, и (-а) 2 == а2 . Поэтому ../а 2 = - а.
Таким образом,
- .,fiI ={ а, если а;;;;, О,
-а, если а< О,
или по определению модуля действительного числа - .,fr.1 = 1а 1, что и утверж­
далось.
.
1--211
/
21
1 {а-Ь,еслиа;;;;,Ь,
Например v(-5) ==
-5
=5· -.,(а-Ь)
= а-Ь
==
'
'
Ь-а,еслиа<Ь.
Равенство # = 1а· 1 вьmолняется при любых значениях а. Говорят,
что это равенство является тождеством на множестве действительных
чисел.
Подставляя в тождество -. ,la 2 = 1 а I число а = ьn (п - натуральное число) ,
получаем тождество
уЬ2п=1ьпI или уЬ2п=1ЬIп.
Если Ь;;;;, О, то имеем уЬ2п = ьп. Например, -.,ls4 = 52 = 25, у (-3)6 =
== 1(-3)31== 27.
Рассмотрим с в ой ст в а арифметического квадратного корня.
1) Корень из произведения неотрицательных множителей равен про-
изведению корней из этих множителей, т.е.
уаЬ= va· уЬ (а;;;;,о, ь;;;;,о).
До к аз ат ель ст в о. Нужно установить, что
уа-уЬ;;;;,о и (Va· уЬ)2 =аЬ.
Так как а;;;;, О и Ь;;;;, О, то по определению арифметического квадратного
корня ( -.,Га) 2 = а, ( ./ь) 2 = Ь. Квадрат произведения равен произведению
квадратов. Поэтому
Так как уа;;;;, О, -.,Гь;;;;, О, то ..[ti. -.,Гь;;;;, О. Свойство доказано. Отсюда сле­
дует, что
,/а.$ =уаЬ (а;;;;,О ,Ь;;;;,О).
В частности,
(уа)п =# (а;;;;, О, п - натуральное число).
2) Корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным
знаменателем равен корню из числителя, деленному на корень
58•

из знаменателя, т.е.
fl_
=
va
'vЪ
...jь (а;;;.о, Ь>О) .
До к аз ат ел ь ст в о. Нужно установить, что
;;;.о и (;)2 =+-
так как а ;;;. О и Ь > О, то по определению арифметическ о го квадратного
уа
корня ( vГа) 2 = а, ( vlь) 2 = Ь. Возводя дробь ~ в кв адрат, получаем
,..,tb
Так как ....,Га;;. О, • ....,fь > О, то
дует,что
....,Jё;
-
;;;. О. Свойство доказано. Отсю да cлe­
vlfi
✓а=/а
,Jь\,ь
(а>О, Ь>О).
а
Заметим, что при а,;;;; О и Ь < О дробь -
.
ь
Га -J-a
..j -
-
--
(а,;;;;о, Ь<О).
ь v-ь
3) Если а> Ь > О, то ....,Га>,JЬ.
-а
=-
-
;;;. О . В этом случае
-Ь
До к аз ат ель ст в о. Допустим, что ,/а,;;;; ....,Гь. Тогда, возводя обе
части неравенства в квадрат, получаем а ,;;;; Ь, что противоречит условию.
Поэтому уа> ....,tь. Отсюда следует, что
если а>О, Ь>Ои,Jа> $, то а>Ь.
Рассмотрим преобразования квадратных корней.
Вынесение множителя из-под знака корня. Так называется преобразо­
вание вида
Jа 2 Ь = а..,/ь (а;;;.о, ь;;;.о).
В самом деле, ....,(lь = .J?.....,!fi = 1 а 1- ....,!fi = а ,Jь.
3амечание.Еслиа<О,Ь;;;.О,то
Ja2 Ь = - а ....,г,;:
таккакIа1.,,
-
а приа<О.
59

Внесение множителя под знак корня. Так называется преобразование вида
а,/ь=Jа1 Ь (а;;,,,о, ь;;,,,о)
или
а .../Ь= -Jа2ь (а< О, Ь;;,,, О).
Покажем применение свойств и преобразований арифметических квад­
ратных корней при выполнении действий над ними.
Пр и м е р 1. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
V4a 2 b 3 ,гдеа<О,Ь>О.
Решение. Имеем
,./4а2Ь3 = ,/4✓с;2. ✓-,;з= 2 1а1,/v·--. ✓ь =
= 2 1а 1•1Ь 1•уЬ,
Таккака<ОиЬ>О,тоIа 1 = - а,1Ь1 =Ь.Поэтому '-/4а2Ь3 = - 2аЬ .,Jь.
Пр им ер 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Vlба4 Ь 6 с 3 ,гдеЬ<О,с;;,,, О .
Ре ше ни е. Число а2 всегда неотрицательно; 1а2 1 = а2. Так как
ь < о и.с;;,,, о, то ib3 1 = -Ь3, lcl =с. Поэтому V16a4b6c3 =
=41а2 1 · IЪ3 1 •lcl- ,../с=-4а2Ь3сус.
Пр им ер 3. Внести множитель под знак корня в выражении Гх
у
гдех;;,,, О,у< О .
Решение.Таккаку<О,то,./у2 =1у1= - у. Значит, у = -
Vy2 .
Поэтому
vх=Гх=_,/х
у-#
у2•
Пр им ер 4. Вьmолнить действия: V343 - ,/252 - ,/Г.
Решение. Заметим, что 343 = 49 •7, 252 = 36 •7. Поэтому
V343 - v1252 - ✓1= 7 .../7- 6ft-.../7= о.
Пр им ер 5. Сравнить числа: 3 vls и 4$.
Р еше ни е. Внесем множители 3 и 4 под знаки корней и получим
3 ✓s =~ = v'45, 4 .../3= v~=vt'48.
Так как 45 < 48, то по свойству сравнения корней получаем, что у45<
< ✓,48 или 3 v'S< 4v/з.
60

Пр им ер 6. Упростить выражение:
G
./:::.__
у
Jiх
Решение. Корень
имеет смысл только при у > О, а корень
у
v/i_
при одинаковых знаках х и у. Поэтому для данного выражения
х
-
g- Гу г;-;
х>Оиу >О.Имеем v;::__
.
vf._!_
= ./ .::_
.~=
у
х
у
х
§ 4. Сущесmование иррациональных чисел.
Приближенное вычисление квадратных корней
vГх,гдех>О,у>О.
Мы знаем, что арифметический квадратный корень ,Jaсуществует для
любого действительного числа а;:;;, О. Таким образом, уа- действительное
число, рациональное или иррациональное. Уже при извлечении квадратного
корня из рационального числа не всегда получается рациональное число.
Например, не существует рационального числа, равного квадратному
корню из 2. Докажем, это.
Предположим, что у2 - рациональное число:
т
Ф=-,п
т
где т и п - натуральные числа. Дробь -будем считать несократимой
п
(этого всегда можно добиться, применяя основное свойство дроби).
Тогда
(:)
2
= 2 или т2=2п2•
Так как правая часть равенства делится на 2, то и левая его часть должна
делиться на 2. Поэтому число т 2 и, следовательно, число т - четное:
т=2т 1 ,гдет 1 - натуральное. Тогда (2т 1 )2=.2п 2 'или n 2 =2mf, т.е.
п - также четное число : п = 2п 1 , где п 1 - натуральное. Следовательно,
т
2т1
дробь -
=--
сократима.
п
2п1
Допустив, что у2 есть рациональное число, выраженное несократимой
т
дробью -,
мы получили, что т и п делятся на 2, т.е. мы пришли к пре­
п
тиворечию.
Из полученного щютиворечия следует, чтоу2 не является рациональным
числом. Поэтому V2 есть иррациональное число.
61

Использовано доказательство способом от противного. Этот способ
заключается в следующем : строится отрицание утверждения, сформули­
рованного в теореме (предположение "от противного"). Затем на основа­
нии построенного отрицания приходим к выводу, который либо неверен ,
либо противоречит сделанному отрицанию. Тем самым из двух логически
возможных случаев (верно либо данное утверждение, либо его отрицание)
остается только 0Щ1н - верно данное утверждение.
Отметим, что этим способом доказательства мы уже пользовались в § 3.
Кроме у2 примерами иррациональных чисел могут служить квадратные
корни из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных
чисел: •
Эти числа выражаются бесконечными непериодическими десятичными
дробями.
Определение . Рациональное число Ь > О называется приближенным
значением квадратного корня уа(а> О) с недостатком с точностью до а
(а - положительное рациональное число) , если
ь2 <а<~ь+а:)2.
При этом число Ь + а называется приближенным значением квадратного
корня ,Ja: с избытком с точностью до а.
Можно доказать, что приближенные значения квадратных корней из
положительных чисел всегда существуют для любого рационального числа
а>О .
-
1
Пример1.Извлечьу2сточностьюдо
-
.
7
2.72
Решение. Заметим, что 2 = - -
2-
.
7
=
98 ,у2 =у98 =v'93
.
Поэто-
49
у49 7
му достаточно извлечь корень \1'98 с точностью до 1 и разделить полученное
rr;-;;
-
9
число на 7. Так как у98""' 9 (с недостатком с точностью до 1), то у2""' -
7
,
1)
( с точностью до 7 .В самом деле,
(9)2
9
])2
-
<2<(- +
-
7
\77
1
За меру точности а чаще всего принимают - - (п
-
некоторое натуральное
10n
·число), а за приближенное значение квадратного корня принимают десятич­
ную дробь сп знаками после запятой.
62

Пр им ер 2. Извлечь ../2 с точностью до 0,01.
Решение . Заметим, что 1 <../2< 2 . l'ассмотрим десятичные дроби
1,1; 1,2; ...; 1,9. Будем последовательно возводить эти дроби в квадрат,
пока не получим числа, большего 2. Получим, что
1,42 <2; 1,5 2 >2.
Следовательно, 1,4 < 2 < 1,5.
Рассмотрим теперь дроби 1,41; 1,42;
1,41 2 <2; l,4i>2.
Следовательно,
1,41 < ../2 < 1,42.
. . . ' 1,49. Получим, что
Таким образом, ../2"'=' 1,41 с точностью до 0,01 с недостатком.
Полученная точность вполне достаточна для многих практических
вычислений.
Например, ./3 "'=' 1 ,73 с точностью до 0,01 с недостатком. Рассмотрим
на примерах другой способ приближенного вычисления квадратных корней .
Пр им ер 3. Извлечь -.,/72 ,6115 с точностью до 0,01.
Решение. Выполним следующие действия :
1) число под корнем разобьем на грани по две цифры; целую часть
разобьем на грани справа налево от запятой, а дробную часть - слева напра-
во:✓n: 61 '15;
2) извлечем с точностью до 1 квадратный корень из первой грани , т.е .
из числа 72, и перенесем вторую грань (61) :
Jn',61'15==8, ... ,
-64
861
3) удвоим найденный корень и запишем результат слева :
✓п', 61'15==8, . .. ,
-64
16Г°sбI
4) к числу 16 припишем справа такую наибольшую цифру, чтобы произ­
ведение полученного тре хзначного числа на эту цифру не превосходило 861.
Этой цифрой будет 5 :
,
,
165•5 ==825<861,а166•6>861.

Получим
165
5
J72',61'15=8,5 ... ,
-64
861
825
36
5) удвоим найденный корень, перенесем третью грань (15) и поступаем
также,каквп.4):
165
5
1702
2
J121,61115=8,52...
-64
861
825
3615
3404
211 (остаток).
Корень у'72,6115 """8,52 (с недостатком с точностью до 0,01), т.е. 8,52 2 <
<72,6115< (8,52+0,01) 2 .
__
Пр им ер 4. Найти приближенное значение y'l 13,5 с точностью до 0,01.
Решение . Запишем yl 13,5 = v/(' 13', 50;00. Далее, действия выпол­
няются аналогично действиям при решении примера 3:
20
206
6
2125
5
yl1131, 50 100 =10,65 ...
--1
13
1350
1236
11400
10625
775
Корень ..JПз,5""" 10,65 ( с недостатком с точностью до 0,01).
Для практических вычислений составляются специальные таблицы, в
которых приводятся квадраты и кубы чисел и приближенные значения
квадратных и кубических корней (например: Бра ди с В.М. Четырех­
значные математические таблицы. - М.: Просвещение, 1981). Приближен­
ные вычисления производятся также с помощью микрокалькулятора •
или логарифмической линейки.
64

j
11
1
1
§ 5. Арифметический корень n-й степени.
Корень нечетной сrепени из отрицательного лисла
Пусть а - действительное число, п> 2 - натуральное число.
Определение. Корнем п-й степени из числа а назьmается число,
п-я степень которого равна а.
Если п = 2, то имеем квадратный корень. Если п = 3, то корень называют
кубическим. Например, 2 является кубическим корнем из 8, так как
23 = 8, а 3 является корнем четвертой степени из 81, так как 34 = 81. Число
-3
-
также корень четвертой степени из 81, так как ( -3) 4 = 81.
Вообще, если а> О и Ь - корень четной п-й степени (п
-
четное натураль- .
ное число) из а, то и -Ь также является корнем п-й степени из а: при п .
четномеслиьп=а,то (-Ь)п=ьп =а.
•
Действие нахождения корня п-й степени из числа называется извлечением
корня п-й степени. Это действие является обратным к возведению в п-ю
степень.
Возводить в п-ю степень можно любые действительные числа, но извле­
кать корни п-й степени можно не из любого действительно числа. Например,
нельзя извлечь корень шестой степени из числа -64.
В самом деле, если бы такой корень существовал, то, обозначив его
буквой х, мы получили бы неверное равенство х6 = -64, так как слева
стоит неотрицательное число (х 6 ;;;. О для любого действительного числах),
а справа - отрицательное .
Вообще, если а< О, то корень четной п-й степени из числа а не сущест­
вует (на множестве действительных чисел).
Определение. Арифметическим корнем п-й степени из неотрица­
тельного числа а называется неотрицательное число Ь, п-я степень которого
равна а .
Например , числа 3 и -3 являются корнями четвертой степени из числа 81.
П ри этом число 3 - арифметический корень четвертой степени из 81, а число
-3
не является арифметическим корнем .
_
Арифметический корень п-й степени обозначается так : 1Va (а> О). Число
а назьmается подкоренit ым выражением, а натуральное число п (п;;;. 2) -
показателем корня.
Если п = 2, то имеем арифметический квадратный корень; в этом случае
•
показатель корня не пишется .
Например, вместо ~ пишут у7.
Таким образом, Ь =Vёz есть арифметический_ корень п-й степени из числа
а(а>О),еслиЬ>Оиьп=а.
_
Например, {,/8 = 2, {/8Т = 3, {/О= О.
Т еоре м а . Из л юбого действительного числа а > О можно извлечь
арифметический корень п-й степени и притом только один.
Единственность ари фметического корня п-й степени доказывается
аналогично случаю арифметического квадратного корня.
3. Г . И. Богатырев
65

Мы знаем, что корень четной степени из отрицательного числа не сущест­
вует. Для корня нечетной степени из отрицательного числа имеет место
другое утверждение.
Пусть а> О. То гда Ь = !;ifa - арифметический корень из числа а:
Ъ>О и ьп=а.
Если п - нечетное натуральное число (п;;;, 3), то
(-Ь)п = -
ьп=-а.
Следовательно , отрицательное число - Ь = -уаявляется корнем нечетной
п-й степени из отрицательного числа -а. Этот корень единственный и обо ­
значается так же, как и арифметический корень.
Например,
{/-64= -{/64= - 4,
{/-32 = -{/32 = -
2.
Корень нечетной п-й степени из отрицательного числа а связан с арифме ­
тическим корнем из числа -а = 1 а I следующим равенством :
Va= - ~=-~,
где а< О, п - нечетное натуральное число (п;;;, 3).
В дальнейшем запись вида !.;,Гсi будет означать арифметический корень,
когда а;;;, О, или корень нечетной п-й степени из отрицательного числа,
когда а< О.
~ 6. Свойсгва арифметического корня п-й степени
Рассмотрим с в ой ст в а арифметического корня п-й степени .
1) Основное свойство арифметического корня.
Величина арифметического корня не изменится, если показатель корня
уммжить на любое натуршzьме число k и одмвременм подкоренме
выражение возвести в степень с тем же показателем k, т .е .
~= п'{f;т (а;;;, О).
Доказательство.Пусть.!;/а-= Ь(Ь;;;,О). Это означает,что ьn=а.
Тогда по свойству степени
(bn)k = ьnk = ak.
Отсюда следует, что Ь = пW. Поэтому
~а=Ь=п-!;j;7
Свойство доказано .
66
J
j
~\1
'j
1
1
.J
1

2) При умножении арифметческих корней с одинаковыми показателя­
ми подкоренные выражения умножаются, а показатель корня остается
прежним, т.е.
(а;;,о, ь;;,о).
До к аз а тел ь ст в о. По свойству степени имеем
так как (1⁄4)п= а, (~п = Ь при а;;, О, Ь;;;. О. Отсюда, согласно определе­
нию арифметического корня, следует, что
Свойство доказано.
В частности, {1/ап Ь = {1/?' ~Ь = аVЬ, где а;;, О, Ь;;, О (вынесение мноЖJ-1-
теля из-под корня) .
3) При делении {l{Jифметческих корней с одинаковыми показателями
подкоренные выражения делятся, а показатель корня остается прежним,
т.е.
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее свойство. В част­
ности,
-- /а
п~ пJаьп- 1
у~ =у------.:-;;---== --- (а;;, О Ь >О) .
ь
ьn
ь
,
4) При возведении арифметического корня · в степень с натуральным
показателем возводится в эту степень подкоренное выражение, а показа­
тель корня остается прежним, т .е.
({1/a)m = {1/а"' (а;;, О, т - натуральное число).
• Это свойство вытекает из свойства умножения корней.
5) . При извлечении корня из корня умножаются показатели корней,
а подкоренное выражение остается прежним, т . е.
'VVa = т{1/а (а;;, О; т, п - натуральные числа, т;;, 2, п;;, 2).
В самом деле, согласно свойству возведения корня в степень, имеем
( nifiJa)mn = ~({1/а)тп = ~((1⁄4)п)т.
Отсюда
('Wa)mn=~=a (а;;,о).
3"'
67

По определению арифметического корня имеем
o/Fji=m~
что и требовалось доказать.
Сравнение арифметических корней основано на следующем свойстве:
если а>Ь>О,то1⁄4>~и обрато, еслиуа> уЬ(а> О, Ь> О), то а> Ь.
Оно вытекает из свойств неравенств. Например, ✓-0;1 < ..VО,Т. Чтобы
доказать это, сначала, ,:I_ЕИМеняя основное свойство арифметического
корня, приведем v'o,oI и~О,1 к общему показателю б(наименьшему обще­
му кратному показателей данных корней):
v'o,l=~, {I0,1 ={/(О,1)2 .
Так как (0,1 ) 3 < 0,1) 2 , то по свойс·твх_сравнения арифметических корней
получим, что 6 (0,1) <{/(О,1) 2 или уО,1<.VО,Т.
Замечание. Для корня нечетной степени из отрицательного числа
справедлива формула
2k+r-a= _
2k+$ (а;;;, 0).
С помощью этой формулы можно показать, что свойства 2) - 5) ариф­
метических корней справедливы также и для корней нечетной степени с
отрицательными подкоренными выражениями.
В общем случае, когда в преобразованиях участвуют как арифметиче­
ские, так и корни нечетной степени из одицательноrо числа, эти свойства
неверны. Например, для произведения у2 -~применение свойств 1) и 2)
приводит к неверному результату:
./i. ·{l-3 ={!~ -{1(-3)2 =1/72.
Правильное решение: так как{/- 3 = - {/з, то
.д·Г-з= - ('1f·{/3)=- ({Гi.з•{/32 ) =-{i1'I:
В случае арифметического квадратного корня было доказано, что J;} =
= 1 а I для любого действительного числа а. Аналогично получим, что
_
( 1а 1, если п ;;;, 2 - четное натуральное число,
уап =
а, если п;;;, 3 - нечетное натуральное число.
Например,
{!х3 =х, -v'x4= 1xl, {17= 1x l;
в преобразованиях
68
6..Jx 3 =Ш-=vх сх;;;,о), W=~=vТхТ,
l 5ух3 = sJw= \[хИ т.п.

Пр и м е р 1. Внести множитель под знак корня в выражении а Л,-,
.
а
гдеа=I=О.
Решение.Таккак а=W,то
а~=W ~= </43(1 + 1аз)=W+!.
аз
.
аз
П р и мер 2. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
~где а<О.
аь
Решение.Мызнаем,чтоV7= 1а 1= -а, так как а<О.Поэтому
~ = 16+1 = W+Т =- Va6+I".
аб
аб
Vаб
а
Пр им ер 3. Выполнить действия: J2JiJ:/2.
Решение . Преобразуем: 2{!Г=~= {,/2 4 . Поэтому ,./iЩ = ~
={/Т4 =-e/l2 (по основному свойству арифметического корня) . Отсюда
f/2$= f/2ff= ~ =ifiJ =ifзi.
§ 7. Степень с рациональным показателем
Понятие и свойства степени с любым целым по.казателем бьmи рассмот­
рены в § 2. Введем теперь степень с дробным показателем .
Определение.Еслиа>Оих- рациональноечисло,представленное
т
дробью -
, где т - целое, а п ;;;,, 2 - натуральное число, то
п
!!!
ах=ап
=·~
еслиа=О их>О,тоах=О.
2
Например, а 5 =W при любом а;;;,, О;
11
=-
= -+- при Ь>О.
w~
ь4
з
или
т
Рациональное число представляется в виде дроби - неоднозначно, так
mkт
п
как-- =
-
при любом натуральном k. Покажем, что
nkп
69

В самом деле,
mk
т
ank = n{jamk=.ry;;m=an
(использовано основное свойство арифметического корня) .
т
Если а> О их - целое число, представленное дробью -
,гдет-целое,
.
~
п
а п ~ 2 - натуральное число, то равенство ап =~также верно, но не
по определению степени с дробным показателем, а по определению арифме-
т
-
тического корня . В самом деле, если -
= х, то~ат =ах(а>О),таккак
п
по свойству степени с целым показателем
(ах)п =апх =ат и ах> О.
Значит,
т
ах =ап =~
что и утверждалось для случая целого числа х.
т
Таким образом, для любого рационального числа х = -
(дробного или
п
целого)
т
(а> О),
где т - целое, п ~ 2 - натуральное число.
Следовательно, степень ~ определена для любого рационального показа ­
телях и положительного основания а. Если а= О их> О, то ах = О.
Свойства степени с целым показателем распространяются и на степень
с любым рациональным показателем и положительным основанием.
Например, для любых рациональных чисел р и q
aP·aq=ap+q (а>О).
Это вытекает из свойств корней.
Приведем примеры на применение свойств степени.
1
1
З
17
Пример 1.Ньrчислить:83 ·8 3 - 16: 16 4 +(~Р)2.
1
11
2
З
-
-+-
Решение.83•83 =83 3=83 =~82={/64;16:164=
1
17
1°(
1
=164 =у'Iб; (97)2=97.2 =92 =V9,
70
з
1--
164=

_Поэтому данное выражение р авно
~-{/Iб+у9=4 - 2+3=5.
4
1
Пр им ер 2. Найти значение выражения:(0,04)- 1 , 5 ,(О,125}- з-(2-)-2.
121
3
З
З
•4
Решение.(О,04Г1•5~(;5J2=(:2)- 2 = (5-2)- 2 = 53; (0,125) - 3 =
.
4
4
4
1
1
1
=(~)- з=(~з)-з= стз)- з=24;(~~1у2 =(:12)- 2=(ll-2)- 2 = 11 .
Поэто му данное выражение равно
53•24
-
11=(5·2)3•2 -11 =2000-11 =1989.
Пр им е р 3. Вьmолнить действия:
2•4-2+(81- ~)3·(+у
3
- ---- ---
125- 1⁄2 .(+)-
2
+ (~о·(~)-2
-
+)3.(91) -3
-
решение.1)2·4-2+(81
=
1
9
=-
+1= -
·
8
8'
-
-
1
( 1)-2
(1)-2
1
2
21
2)125 з, -5
+ (уЗ)О, -2
=--- ,5 +1·2 =- Х
z,rrn
5
х52+22 =5+4=9;
9
1
1
3)- :9=-
.
Дробь равна -
8
8
8
§ 8. Решение задач
Пр им ер 1. Доказать, что 165 + 215 делится на 33.
решение.165+215-= (24)5+215-= 220+215=215(25 +1)=215.33.
Пр им ер 2. До казать, что
.,/3- иррационнальное число.
71

Решение. Предположим, что •../3 - иррациональное число:
т
.. /3=-,
п
т
V
гдетип
натуральные числа. Дробь - будем считать несократимои.
п
Согласно qпределению корня
(:J=3 или т2=3п2•
Отсюда следует, что т делится на 3: т = 3т 1 , где т1 - натуральное число.
tогда(3m1) 2 -= 3п2 или п2~3m1. • Значит, п также делится на3:п =
т 3m1
= 3п 1 , где п 1 _:_ натуральное число. Следовательно, дробь
-= --
со-
п
3п1
кратима.
Допустив, что ✓з есть рациональное число, выраженное несократимой
т
дробью -, мы получили, что и тип делятся на 3, т.е. мы пришли к про­
п
тиворечию. Из полученного противоречия следует, что уЗ - иррацио­
нальное число.
Заметим, что мы использовали следующее утверждение: если квадрат
Rатурального числа делится без остатка на 3, то и само число делится
без остатка на 3. Предоставим читателю доказать это утверждение.
п
/3
__
Пр им ер 3. Упростить выражение: 3 ✓...::_- ~ 2 v -
+ v/6 +v/150.
3
2
fi"
;_:з__Г2;-з
Решение. зJ.:::._ - 2v - + v/6 +v/150= ✓з2 • ...; - -
-
22 --+
3
2
3
2
+ ✓Г+ ✓2s . 6 =v;б-.,/6+ ✓6 + s ✓6= 6 -..,/6:
-
---
пр им ер 4. Упростить выражение: v/ (х - 1) 2 • -
у(х+1)2.
Решение.vl(x- 1)2 - у(х+1)2 =1х- 11 - 1х+11.По определе­
нию модуля
72
lx-11={ x-l,
-(х-1),
если х-1),,0, илиlх-ll={ х-1, еслих),,1,
если х-1<0,
-(х-1), еслих<l;
lx+ll ={ х+1, если x+l),,0, или l х+ll -{ x+l, еслих),,-1,
- (х+l),еслих+l<О,
-
-(х+l),еслих<-1.

Точких= -
1 и х = 1 разбивают числовую ось на три промежутка:
(-оо; -1), (-1; 1), (1; + 00 ) (рис.6).
-f
О
1
-~-----------........-- х
Рис. 6
Еслих3⁄4- 1,тоIх- 11
-
•1х+11•= -
(х-1)-( _.:.(х+1))= _ х+1+
+х+1=2.
Если- 1<х<1,тоIх-11
-
1х+11 =
-
(х-1)_(х+1)=
= -2х.
Еслих;;;,1,тоIх-11
-
1х+11=х -1-(х+1)= - 2.
Таким образом,
{
2, если Х3⁄4-1,
-J(x- 1)2 --J(x+1)2= - 2х, если
-
1<х<1,
-
2, если х ;;;, 1.
П р , и мер 5. Доказать, что верно неравенство 3 - ...,12+ 2 - . /7> 3 ..._,13+ 4.
Р е ш е н и е. Внесем множители под знак корня и запишем исходное
неравенство так:v/32 • 2 + -./22 • 7 > ..._,132 • 3 + -./16или -...,/[8+ v28> -...,ffl-+
+ -. /16. Это неравенство верное, оно получается сложением двух верных
неравенств: -J 18> -./16, у28 > - ./27.
.
Пример6. Доказать,что ,Ja+Ь <-Ji+-...,lь, еслиа> О,Ь >О.
Решение. (-...,1а+Ь) 2 =а+Ь, (-...,Га+....,Гь) 2 =a+b+2 ·,/alY, еслиа>О,
Ь>О,тоО<а+Ь<а+Ь +2-...,ГаьилиО<(....,la+Ь)2<(-...,Га+..._,$)2.Отсю­
да по свойству сравнения корней следует, что -...,Га+Ъ < -...,Га+ \tГь, если
а>О,Ь >О.
П р и м ер 7. Расположить в порядке возрастания числа \/J, \14 1/5.
Решение. Заметим, что 4- ./4= \Гi2 = ,/5: Сравним сначала \Гз и ..../2.
Приведем их к общему показателю 6: 3- . /3= \Гз2 = \/9: ..._ ,12= \[2.3 =
бГ:::-
3-
-
= -...,1 8, следовательно, ,Jз >-... ,12.
Сравним теперь - . . .,fi и \Гs: ....,12= 1\11"=
1 \Гз2,\Гs = 10,JSZ = 1\!25,
следовательно, - .. .,12> \Гs. Поэтому \Г5< \Г4 < \,fз.
Пр им ер 8. Найти значение выражения:
(
5
3)4
а12;__ в 3
а24
при а= 125.
73

Решение . Сначала упростим данное в ыражение:
(s
за-274)-~з
=
а12.ав
.
=
(1)4
1
=а4 з=аз = \,Га.
з;--
При а= 125 получим v 125 = 5.
Пр им ер 9. Упростить выражение:
А_ з /Т, (-fу-4)- 1⁄2 /х-2у- 1⁄2
- vх-2у-2. х
.
"\,
.
Решение. Имеем
5
1
1
Х2•у-4=----= ----
у4,J7 х2Y 4v1x,
еслих>О,у=I=О;
1
~=
1
Jx2 \,Гу
----
, если х =I=0,у>О.
lxl\ty
Данное выражение А имеет смысл при х > О, у> О. Получим
л- 3~
2/
у '\iX
з,Jх2 у2
=---
x\ly
1
х
х
еслих>О, у>О.
74

Упражнения
РАЗДЕЛ 1
(3.22о+7.219) •52
1. Вычислить:---~----­
(13.84)2
5·2k-2+10·2k-l
2. Упростить:------~--
1оk+2
3. Доказать, что значение выражения 333 5 5 5 + 555 3 3 3 кратно 37. •
4.Доказать,что200300 >300200 •
5. Доказать иррациональность чисел -. /5и 3../2.
1
6. Упростить выражение: (,/I4 - 2 -JE) · 7 ft + .../20 .
7. Вычислить с точностью до 0,01:
5
3
а) .Jz+т; б) т- F
8. Извлечь квадратный корень с точностью до 0,01:
а) ,jз2,5; б) ✓о,954 .
1-
1
9. Сравнить значения выражений 3 ✓63 и т ✓во."
10. Доказать неравенство:
-/f7+✓6+1>48.
11. Доказать, что
{2х, если х;;.у,
х+у+✓(х-у)2=
2у, , если х..; у.
12. Внести множитель под знак корня:
(1-х)Jх ,еслих>1.
х-1
13. Упростить выражение путем вынесения множителя из-под знака корня:
(2 -а)~2 , если а< 2.
(а-2)
4 Г::,:-
4✓-4--
14.Доказать,что у.аЬ = -аV-b,еслиа<О,Ь<О.
15. Упростить выражение:
✓ 4✓~
.Jа·\fа2Ьв
приа>О,Ь<О.
7S

16. Выполнить действия :
ь.Jiь3✓--;ь
а 3Jа•ь• ✓аь
17. Выполнить умножение корней: \/2· 3✓~
18. Упростить :
1
4а3
4
а3-4а3
1
а2
19 . Упростить выражение:
1
а2
.1
4а2
.ь 3.
5
.
7
)
2
1/а-3 • ь~•
ь6
20. Найти значение выражения:
7
5
-
-
хз х3
х
3
3
-Х
прих=3.
1
4
2
-
3
з
х.
х
хз+х3
РАЗдЕЛ II
634 • 353
2 1. Вычислить:
-
-- --
217•55
22.Вычислить: (- 2,2)5 •( 2 :lУ
23 . Сравнить числа:
а)5100и2200; 6)1020и4010•
24. Расположить в порядке возрастания числа:
-
(35)-•,
-
(0,4) -2 •
25. Доказать иррациональность чисел
.j? и 3.js:
26. Может ли сумма двух положительных иррационнальных чисел быть числом ра­
циональным ?
27. Может ли произведение двух неравных иррациональных чисел быть числом ра­
циональным?
_
1
1
1
28. Найти ✓ 3 с точностью до -; до
до
5
10
100
76

29. Найти ,J153, 213 , .J0,487 с точностью до 0,01.
1
30. Вычислить с точностью до ~ :
г1
5
г,
а)у7+7;б)9-у5.
31. Приняв
../6"" 2,45, вычислить: Ji, 4.
32. Найти арифметические корни:
а).J(- 3)2 ; б) .J(-5)6 ; в) J~(l---
./ 3:
-3)-2 ; г) J(.JS-2)2 .
33 (устно) . При каких значениях х справедливы равенства :
а).J(x- 2)2=х-2; б) .J(x- 4)2=4-х; в)-./(5х-8)2=15х-81?
34. Доказать, что
1
2 {О,
если х;;;. у,
х-у
-
у(х-у)
=
2(х-у), еслих<у.
35. Вынести множитель из-под знака корня в выражении ~ если а < О,
ь<о,с>о.
36, Внести множитель под знак корня в выражении 3х 3 у .Jху 2 , если х > О,. у< О.
37. Вьmолнить действия:
.JП- 2$-3Щ+2.Jis+3✓108.
38. Выполнить действия :
зд -~.Jп-o,1.J15+2J-;_
27
6
3
39. Сравнить числа :
-
Г~ Г~
а) ,./8 и ../50; б) 3 ,J-Т и .Jт-
40, Вычислить корни:
,гт­
V-ii - -;
41 . Вынести множитель из-под знака корня :
J 0,054 а•
a)3
.Ja6 b
4
;
б)\/а'0Ь'; в) 3,J27х0у4; г) 3 -----
Ь12с6
.j2 1 а•ь••
д) 3• с'•
е) •15 2п-!4 06п+З .
77

42. Сравнить значения выражений:
а)\/6 и ''VE; б) J 3.joJ и •J:;of; в)'✓~ и V- 3 .
43. Вьmолнить действия:
а) (0,2 4✓х'у•)3 ; б) ( : ✓Is++✓2)';
г)6.)а•Га; д)'Fa· 6.../~ь. где Q > о, Ь <о.
44. Выполнить действия:
аЬ•fi -аЬ•Л. + а '✓аЬ4 _..!:_ '✓а•Ь.
а•
ь•ь
а
45. Упростить выражение:
•✓•#8
<•✓а) 10 •
46. Упростить выражение:.
47. Вычислить:
4
3
а)1024-О,б; б)9-О,~- 2 ·8 3 + (0,25) 2
48: Вьmолнитъ действия:
49. Упростить выражение и запис·а п, ответ, используя степень с дробными
показателями:
50. Упростить выражение:
1
1
•
l
х' с •(х~/
z
3.у3
5 ! .Упростить выражение:
4
4
а3Ь +аЬ3
'Га+ •✓ь
78
-
аЬ.
5
2\
_х_б_У_·:_z_з_)

52. Упростить выражение:
1
1
22
2
2
з(-3) - 2(3) +$+✓150.
53. Найти значение выражения:
3-x+.Jc2-Х)2 прих=15.
54. Найти значение выражения:
(
2
1,2
-
-
-
-
х3 у4
З
1⁄4•- ~) при х=О,001, у =25.
х
.
у
ГЛАВА5
ЧИСЛА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Числовые и алгебраические выражения
Числовым выражением называют выражение, составленное из дейст­
вительных 1Шсел и знаков действий над ними. Например, 48 : 12, ,Js 2 :__ 32 ,
3 •(102 + 1), ( vfI - 1) • ( vfI + 1). Выражением иногда называют и от­
дельное число.
Если . в числовом выражении можно вьmолнить все указанные в нем
действия, то полученное в результате число называют числовым значением
данного числового выражения, а о числовом выражении .говорят, что оно
имеет смысл. В приведенных примерах первое и второе числовое выра­
жения имеют числовое значение 4, третье - 303, а четвертое - 1.
Числовое выражение не имеет числового значения, если не все указан­
ные в нем действия выполнимы; о таком числовом выражении говорят,
что оно не имеет (лишено) смысла. Например, числовые выражения
5
~
о
---
-, v9 - 25, (4 - 4) лишены смысла.
6-3 ·2
,
Вместо числовых выражений часто удобнее рассматривать выражения,
в которых числа обозначаются буквами.
Алгебраическим выражением называют выражение, ' составленное из
чисел (обозначенных буквами или цифрами) при помощи алгебраических
действий (сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в сте­
пень и извлечения корня)*).
*) Предполагается, что указанные действия применяются конечное число раз.
79

Алгебраическое выражение, содержащее величины х, у, . . . , z, сокра­
щенно записьmается в виде А (х, у, . . . , z ). Числовое значение алгебраичес­
кого выражения - это число, полученное в результате вычислений после
замены букв числами .
Значения величин х, у, .. . , z , при которых вьmолнимы все действия ,
указанные в выражении А (х, у, .. . , z) , назьmаются допустимъzми значе­
ниями. Они образуют область определения или областо допустимых зна­
чений (сокращенно ОДЗ) выражения А . Примеры алгебраических выра­
жений:
а +Ь,
хз .-
уз
z
з--
у2ху+Зх 2у - 1.
При совместном рассмотрении не скольких алгебраических выражений
нужно брать общую часть их областей определения. Например, рассматри­
вая совместно выражения
х
у
А= --иВ=
х+1
х(у+2)
считают,чтох* - 1, х * О, у*
-
2.
Два алгебраических выражения А и В, соединенные знаком равенства
(=), образуют равенство А = В. При любом конкретном выборе значений,
величин (из общей части областей определения выражений А и В) равенство
А = В обращается в числовое равенство. Полученное числовое равенство
может быть справедливым (верным) или несправедливым (неверным) .
Например, равенство х2 + 1 = - х4 является несправедливым для любого
действительного числа х, так как х2 + 1 ;;>- 1, а ( - х4 ) ,:;;; О. Например, ра-
венство ,../х2 =х справедливо при х ;;>- О и несправедливо при х < О.
Алгебраические вь1ражения подразделяются на рациональные и ирра­
циональные.
Алгебраическое выражение называется рациональным относительно
какой-нибудь величины, входящей в это выражение, есл_и над этой вели­
чиной производятся только действия сложения, вычитания, умножения,
деления и возведения в степень с целым показателем .
Алгебраическое выражение называется иррациональным относитель ­
но какой-нибудь величины, если оно содержит эту величину под знаком
корня.
Например, выражения 2х 3 - х 2 + 3,
х4 -у
-
рациональные,
х2+У2+1
з
.
а выражения ух 2 + 1, у 2 ,./х4 + 1 + у \fхГ - иррациональные относи-
тельно х, и последнее из них - рациональное относительно у .
80

§ 2. Отношения чисел и однородных величин.
Проценты
При сравнеIШИ двух положительных чисел иногда нужно узнать, во
скольк.о раз одно число больше (меньше) другого или какую часть одно
1
число составляет от другого. Например, 15 составляет 3 часть от 45 или
45 больше 15 в три раза. В этом случае часто говорят иначе : "отношение
1
15к45равно-
", "отношеIШе 45 к 15 равно 3".
3
Вообще, отношением числа а к числу Ь называется частное
аиЬ.
а
чисел
ь
Например, отношение 12 к 10 равно 1,2, так как 12 10 = 1,2; отно-
3
3
шение3к7равно -
,так как3:7=-- .
7.
7
Отношением называют не только результат деления одного числа на
другое, но и само выражение. Например, отношения 12 : 10, 3 : 7 . Числа,
входящие в отношение, называют членами отношения.
В математике, физике и других науках часто используют отношения
однородных величин. Отношением величины а к величине е (того же рода)
называется число, которое получится при измерении величины а, . если
за единицу измерения принять величину е. Отношение однородных вели­
чин равно отношению чисел, получающихся при измерении этих величин
одной и той же единицей; оно не зависит от выбора единицы измерения.
• Например, масштаб карты 1 : 2 ООО ООО. Это отношение означает, чrо на
карте расстояние в ·20 км изображается отрезком длиной 1см.
Иногда рассматривают отношения разнородных величин, например
отношение пути ко времеIШ, отношеIШе массы к объему и т .д . Такие отно­
шения представляют собой новую величину: скорость, плотность и т.д .
Отношение разнородных величин зависит от выбора единицы 'измерения.
Например, найдем скорость движения поезда, если поезд прошел 360 км
за 3 ч . Отношение пути ко времени движеIШя дает скорость: 360: 3 =
=
120 (км/ч). Если выразить данные в других едиIШцах, например
360 км"" 360 ООО ми 3 ч = 10 800 с, то получим другое отношение:
1
360ООО:10800= 3-(м/с).
3
Отношение двух положительных чисел часто выражают в сотых долях .
В этом случае сотую долю числа называют процентом.
Например, отношение 4 : 5 = 0 ,8; 0 ,8 равно 80 сотым. Данное отноше­
ние составляет 80 процентов. Если слово "процент" непосредственно идет
после числа, то вместо него ставят знак %. Отсюда 4 : 5 = 0 ,8 или 80 %.
Говорят, что число 4 составляет 80 %от числа 5.
81

. Чтобы
выразить отношение двух чисел в процентах, надо значение этого
отн9шения умножить на 100.
Пусть отношение числа а к числу Ь равно r(%). Тогда
а
r=-
• 100.
ь
Рассмотрим три основные задачи на проценты.
З ад а ч а 1. Нахождение процентов отношения чисел.
Из группы в 25 человек на занятиях присутствовало 22 человека. Сколь­
ко процентов учащихся группы присутствовало на занятиях?
.
22
Решение.Таккака=22,Ь =25,тоr =-•100=88 (%).
25
З ад а ч а 2. Нахождение процентов данного числа.
При перегонке нефти получается 30 % керосина. Сколько керосина полу­
чается при перегонке 360 т нефти?
а
Решение. Используем формулу r = Ь •100. Так как r = 30, Ь = 360,
а
то30= ~
-
100; отсюда а= 108 (т).
360
З ад а ч а 3. Нахождение числа по его процентам.
За один час машина пропmа 48 км, что составляет 12% всего пути.
Каков весь путь?
Р-е ш е ни е. Используем формулу r
48
то12= -
• 100; отсюда Ь = 400 (км).
ь
а
=-
-100.Таккакr =:12,а=48,
ь
Рассмотрим решение более сложных задач.
З а д а ч а 4. Турист прошел весь маршрут за три дня. В первый день
он прошел 30% всегопути,вовторой - 60% остатка, после чего ему оста­
лось пройти на 1 км меньше, чем он прошел в первый день. Какова дrшна
всего маршрута?
Ре ш е ни е. Пусть щrина всего маршрута равна х (км). Тогда в пер­
вьiй день пути турист прошел 0,3 х (км) (30% от х сос1авляют О,3х),
и после первого дня остаток пути составил О,7х (км) (х - 0,3 х =О,7х) .
Во второй день турист прошел О,42х (км) (60% от 0,7 х составляют
0,6 • О,7х = О,42х), и ему осталось пройти в третий день О,28х (км)
(О,7х - О,42х = О,28х). По условию задачи турист прошел в третий день
на 1 км меньше, чем он прошел в первый день. Значит,
О,3х - О,28х = 1.
Решая уравнение, получим О,02х = 1, откуда х = 50 (км) .
З ад а ч а 5. Цена товара повысилась на 25%. На сколько процентов
надо снизить новую цену товара, чтобы получить первоначальную цену?
82

Реше ни е . Пусть а - первоначальная цена товара. После повышения
цены товар стал стоить а + О,25а = 1,25а. Найдем отношение первоначаль­
ной цены товара к его новой цене и выразим это отношение в процентах:
а
-- • 100=80(%).
1,25 а
Значит, новую цену товара надо снизить на 20% (100% - 80% = 20%) .
3 адача 6. Свежие грибы содержат по массе 90%воды, а сухие со­
держат 12 % воды . Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих
грибов?
Решение. По условию свежие грибы содержат 90% воды. Поэтому
22 кг свежих грибов без воды имеют массу 2,2 кг (т.е. 10% от 22 кг). Так
как сухие грибы содержат воду (12%), то 22 кг составляют 88% от массы
сухих грибов, полученных из 22 кг свежих грибов. Отсюда
2,2
-
•100=25(кг)
88
'
-
масса сухих грибов.
3 а д а ч а 7. После двух последовательных снижений цен на одно и то
же число процентов цена товара снизилась с ар. до Ь р. (Ь <а). На
сколько процентов снижалась цена товара каждый раз?
Решение. Пусть х - искомое число процентов. Тогда в первый раз
ах
цена товара снизится на --р . , и его новая цена будет
100
а-1~: =a(l- 1:0).
Вовторойразценатовараснизитсянаа( l - х ) х р.,и ценатова-
100
100
ра после двух снижений будеt
х
100
По условию она равна Ь р. Поэтому
a(l- 10:)2 =Ь.
Чтобы решить это уравнение , запишем его в виде
(1- 1:0)2- :
83

и извлечем арифметический квадратный корень:
1-~\=Л-.
100
а
Таккак х<100,то 11- _х_\ =
1
100
х
1---.
Следовательно
100
х
1--
100
= 4илих=100(1- 4)(%).
§ 3. Пропорции
Определение. Пропорцией называется верное равенство вида
а
с
;=-;;,
где числа а, Ь, с, d не равны нулю.
Пропорцию можно записать иначе:
a:b=c:d.
Пропорция читается так: а относится кЬ,как с относится к d.
Числа а и d называются крайними членами пропорции, · а числа Ь и с -
ее средними членами.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропор­
ции ррвно произведению ее средних Ч.llенов.
а
с
Это означает, что если -
= ---;тоad=Ьс.
•
Ьd
а
с
Для доказательства умножим обе части данного равенства -
.
.
ь
=-
на
-
d
Ьdиполучим
а
с
-
•bd=-•bd
Ь
d
или ad = Ьс, что и утверждалось.
Верно и обратное утверждение: если произведение двух чисел а и d
равнопроизведениюдвухдругихчиселЬис(а* О,Ь * О,с * О,d*О),
а
с
то из этих чисел можно состави-ть пропорцию -
=-
.
Ьd
Действительно, пусть ad = Ьс. Разделим обе части этого равенства на
• Ьdиполучим
ad Ьс
ас
ьi=ьiилиь =-;; •
что и утверждалось.
84

Ьс
Ьс
Из основного свойства пропорции следует, что а= - и d = -
(край-
.
d
а
ний член пропорции равен произведению средних членов, деленному на
.
ad
ad
известный крайний член пропорции) , Ь = -
ис= -
( средний член про-
с
ь
порции равен произведению крайних членов, деленному на известный сред­
ний член пропорции) .
Пусть дана пропорция
а
с
Ьd
Согласно основному свойству пропорции
ad=Ьс.
Разделив обе части равенства (2) на cd, получим
аЬ
-
=-
сd
(1)
(2)
(3)
Пропорция (3) получается из пропорции (1) перестановкой ее сред­
них членов.
Точно так же, разделив обе части равенства (2) на аЬ, получаем
dс
Ьа
(4)
Пропорция (4) получается из пропорции (1) · перестановкой ее край-
них членов.
Итак, в пропорции можно переставить: а) средние члены; б) крайние
члены.
Пропорции (3) и (4), образованные из членов данной пропорции (1),
называются производными пропорциями.
•
Например, составим пропорцию из чисел 15, 18, 35 и 42. Это возможно,
15 35
42 35
42 18
так как 15 •42 = 18 •35. Поэтому
-
=-
или -
=-
или-=-,
18 42
18 15'
35 15
15
18
15 35
или -
=-.
Для пропорции -
=-
остальные полученные прапор-
•3542
18 42
ции являются производными пропорциями.
Вообще, если верна пропорция (1), то верна производная пропорция
вида
ka+lb
. kc+ld
--- =
та+ пЬ те+ nd
(5)
85

гдеа-:/=О,Ь -:/=О,е -:/=О,d-:/=О,та+пЬ-:/=О,те+nd-:/=О,ka+lb-:/=О,ke+
+ ld-:/= О.
В самом деле, нетрудно проверить, что
(ka +lb)(те+nd)=(ke +ld)(та+пЬ),
если использовать равенство ad = Ье (т.е. основное свойство пропорции).
Придавая числам k, l, т и п различные значения, получаем частные
случаи производной пропорции (5). Например,
а+Ь e+d
Ь
d
(k=1,l =1,т =О,п =1),
а-Ь e-d
--=--
Ь
d
(k= 1,l=-1,m=0,n= 1),
а+Ь e+d
--= --
а-Ь e-d
(k=1,l =1,т =1,п = - 1).
Справедливо также свойство равных отношений (равных дробей): из
равенств
следуют равенства
а1+а2+...+ап
Ь1+Ь2+. .. +Ьп
Действительно,
а1+а2+...+ап
а1
Ь1+Ь2+...+Ъп =;;'
так как из условия (6) нетрудно получить равенство
(а1 +а2 + ... +ап)Ь1 =(Ь1 +Ь2 + .. . +Ьп)а1,
что и доказывает справедливость равенств (7) .
Кроме того, из равенств (6) следуют равенства
k1Ь1+k2Ь2+...+kпЪп
Действительно, .
а1 k1a1 а2 k2a2
ап
Ь~=k1Ь1 ' ь; =k2Ь2'•••'Ъп
86
(6)
(7)
(8)

Тогда по свойству равных отношений получаем
k1a1 +k2a2 +...+kпar,
k1b1 +k2b2 + ... +k~Ьп
что и утверждалось.
С помощью пропорций решают различные задачи.
3 ад а ч а 1. Из 2000 зерен пшеницы взошло 1800 зерен. Чему равен
процент всхожести семян?
Ре ш е ни е. Пусть всхожесть семян равна r (%). Тогда один процент
всхожести семян можно найти так: разделить 1800 на r или 2000 на 100.
Отсюда 1800 : r = 2000 : 100. Найдем неизвестный средний член этой про­
порции:
r=
1800 • 100
--- =90 (%).
2000
3 а д а ч а 2. Чертеж составлен в масштабе 2 : 5. Чему будет равна длина
болта на чертеже, если в натуре длина болта 60 мм?
•
Решение. Пусть х (мм) - длина болта на чертеже. Так как масштаб
показывает отношение длины отрезка на чертеже к длине отрезка в нату­
ре, то получим пропорцию х : 60 = 2 : 5. Найдем неизвестный крайний
член этой пропорции:
60 •2
х= --=24(мм).
5
Рассмотрим решение более сложных задач.
Зад а ч а 3. Мясо при варке теряет 35 % своей массы. Сколько получит­
ся вареного мяса из 2 кг сырого? Сколько потребуется сырого мяса дriя .
получения 2,6 кг вареного?
Решение. Пусть из 2 кг сырого · мяса получится х (кг) вареного
мяса. Тогда х : 2 = 65 : 100 (так как при варке сохраняется 65 % массы).
Отсюда
65 •2
х= -- = 1,3(кг).
100
Пусть для получения 2,6 кг вареного мяса потребуется у (кг) сырого
мяса. Тогда 2,6 : у= 65 : 100 . Отсюда
2,6 • 100
у=---= 4(кг).
65
3 ад а ч а 4. Собственная скорость моторной лодки 20 км/ч, а скорость '
течения реки 4 км/ч . Двигаясь по течению , лодка прошла 120 км. Какое
расстояние пройдет за это же время моторная лодка при движении против
течения?
87

Р е ш е н и е. Скорость лодки при движении по течению реки равна
20 + 4 =24 (км/ч), а при движении против течения равна 20 - 4 = 16 (км/ч).
Поэтому 120: 24 =х: 16. Отсюда
120•16
х=
24
= 80 (км)
-
искомое расстояние.
§ 4. Одночлены и многочлены
Произведение нескольких чисел, обозначенных цифрами или буквами,
называют одночленом.
Степень числа с натуральным показателем и произведение степеней чи­
сел с натуральными показателями также называют одночленами, так как
в виде степени можно записать произведение равных множителей. Каждое
число а есть также одночлен, так как а =а • 1.
Множители одночлена, записанные с помощью цифр, называются число­
выми множителями этого одночлена, а множители, обозначенные буква­
ми, называются буквенными множителями.
Стандартный вид одночлена - это такая запись одночлена, в которой
есть только один числовой множитель, стоящий на первом месте, а затем
различные буквенные множители или их степени с натуральными пока­
зателями.
В стандартном виде одночлена нет одинаковых букв. Любой одночлен
можно записать в стандартном виде. Для этого нужно умножить все чис­
ловые множители и поставить их произведение на первое место, а затем
произведения одинаковых буквенных множителей записать в виде степе­
ни. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде,
называется коэффициентом этого одночлена.
Например, приведем к стандартному виду одночлен За 2 Ьс 2 • ( __:__2аЬ 2 с) 3 •
По свойствам степени с натуральным показателем получим
3а2Ьс2 •(-2аЬ2с)3 =
=3а2Ьс2 ·(-2)3а3(Ь2)3с3 =3а2Ьс2 ·(-8)а3Ь6с3 .
Теперь, используя переместительное и сочетательное свойства умноже­
ния, . а также свойство степени с одинаковыми основаниями, получим
3а2Ьс2 ·(-2аЬ2с)3=-24а5Ь7с5.
Одночлены называются подобными, если они одинаковы или отличают­
ся только коэффициентами.
Одночлены умножаются по правилам умножения чисел. Для возведения
одночлена в степень с натуральным показателем нужно возвести в эту
степень каждый его множитель.
При умножении одночленов или возведении в степень с натуральным
показателем снова получается одночлен .
88

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней его бук­
венных множителей. Если одночленом является число, то степень такого
одночлена считается равной нулю. Числу О как одночлену не приписыва­
ется никакой степени.
Например, 5х 2 - одночлен второй степени, 5x 3 y 2 z - одночлен шестой
степени, 5 - одночлен нулевой степени.
lv!ногочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов,
т.е. алгебраическое выражение, представляющее собой сумму или разность
двух или нескольких одночленов .
Каждый одночлен, входящий в многочлен, называют членом много­
члена. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами.
Если все члены многочлена записать в стандартном виде и привести
подобные члены, то получится многочлен стандартного вида.
Например, приведем к стандартному виду многочлен
Зх•(-2ху2)+4х •5ху2 - (5ху2)2 + 8х2у4.
Для этого надо записать все одночлены в стандартном виде и привести
подобные члены:
Зх•(-2ху2) +4х •5ху2 -(5ху2)2 +8х2у4 =
=-6х2у2 +20х2у2 -25х2у4 +8х2у4 =14х2у2 -17х2у4.
В зависимости от числа членов многочлены называют двучленами, трех­
членами и т.д. Одночлен также можно рассматривать как многочлен, сос­
тоящий из одного члена.
Степенью многочлена называют наибольшую степень одночлена, входя­
щего в этот мнqгочлен .
Например, в многочлене 2х2у + 5х4у 3 - ху + 6 наибот,шую степень,
равную 7, имеет одночлен 5х 4у 3 . Значит, степень этого многочлена тоже
равна 7.
При сложении и вычитании нескольких многочленов надо привести по­
добные члены. В результате снова получается многочлен.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно умножить каждый
член одного многочлена на каждый член другого многочлена. В резуль­
тате снова получается многочлен; его нужно записать в стандартном виде.
Например,
(3x-2y+z)·(5x-2z)= 15х 2 -6xz-10xy+4yz+5xz-2z 2 =
=15х 2 -xz-10xy+4yz-2z 2 .
В результате сложения, вычитания, умножения и возведения в степень
с натуральным показателем нескольких одночленов и многочленов снова
получается многочлен. В перечисленных действиях нет действия деления.
Выражения, содержащие деление, будут подробно рассмотрены в § 7.
Иногда в результате деления также получается многочлен. Результат
деления можно проверить умножением: делимое должно равняться дели­
телю, умноженному на частное .
89

Например, при делении одночлена 28азЬ 2 с 4 на одночлен 4а 2 Ьсз полу­
чим 7аЬс, так как
28а3Ь2с4 = (4а2Ьсз) •(7аЬс).·
Деление (28а3Ь2с4) : (4а2Ьсз) =7аЬс выполнено верно.
Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочле­
на разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.
Например, (45х2у4 - Збхзуз) : Зх2уз
(45х2у4) : (Зх2уз) +
+ (-Збхзуз) : (Зх 2 уз) = 15у- 12х.
§ 5. Формулы сокращенного умножения
!.Квадрат суммы: (а+Ь) 2 =а,. +2аЬ+Ь 2 .
Пользуясь правилом умножения многочлена на многочлен, получаем
(а+Ь)2 = (а+Ь)(а+Ь)=а2+аЬ+аЬ+Ь2=а2+2аЬ+Ь2,иформулаД)1Я
квадрата суммы доказана. В этой формуле можно считать, что а и Ь -
любые числа. Поэтому ее формулируют так: квадрат суммы двух чисел
равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа
на второе плюс квадрат второго числа.
2.Квадратразности: (а
-
Ь)2 = а2 - 2аЬ +Ь2, т.е.квадратраз­
ности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произве­
дение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.
Доказывается аналогично: (а - Ь ) 2 = (а - Ь) (а
-
Ь)=а2 - аЬ
-
аЬ+
+Ь2 =а2 -2аЬ+Ь2.
3. Куб суммы: (а+ Ь)з =аз+ 3а 2 Ь+ 3аЬ 2 + ьз, т.е. куб суммы
двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квад­
рата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа
на квадрат второго плюс куб в1'орого числа.
Действительно,(а+Ь)з =(а +Ь)2(а+Ь) =(а2+2аЬ+Ь2,)(а+Ь) =
=аз +а2Ь+2а2Ь+2аЬ2 +аЬ2 +Ьз =аз +3а2Ь+3аЬ2 +Ьз_
4.Куб разности: (а-Ь)з=а 3 -3а 2 Ь+ЗаЬ 2 -Ьз.
Словесную формулировку и доказательство формулы Д)1Я куба раз-
ности предоставим читателю.
90
3 а меч ан и е. Полученные формулы можно записать ищче:
а2 +Ь 2 =(а+Ъ)2-2аЬ,
а2 +Ь2 = (а-Ь)2 +2аЬ,
(а+Ь) 3 =аз +Ьз +ЗаЬ(а+Ь) ,
(а-Ь)3 =аз -Ь 3 -ЗаЬ(а-Ь),
а3 +ьз =(а+Ь)з -3аЬ (а+Ь),
аз -Ьз =(а-Ь)3 +ЗаЬ(а-Ь).
5.Разность квадратов: (а+Ь)(а-Ь) =а 2 -Ь 2 .
В самом деле, (а+Ь)(а-Ь) =а 2 -аЬ+аЬ-Ь 2 = а 2 -Ь 2 .

----·----------
Равенство а 2 - Ь 2 = (а+ Ь) (а - Ь) удобно для запоминания в следую•
щей формулировке: разность kвадратов двух чисел равна произведению
суммы этих чисел на их разность.
6.Сумма кубов: (а+Ь)(а 2 - аЬ+Ь 2 ) =аз +ьз.
Доказательство этой формулы предоставим читателю. Для запомина­
ния: сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на
неполный квадрат их разности.
?.Разность кубов: (а - Ь)(а2 +аЬ+Ь2) =аз -Ь3.
Словесную формулировку и доказательство этой формулы предоста­
вим читателю.
Формулы 1 - 7 называются формулами сокращенного умножения.
Они справедливы для любых чисел а и Ь. Поэтому говорят также, что эти
равенства являются тождествами.
Пользуясь формулами для квадрата суммы и квадрата разности, по­
лучим
(а-Ь+с)2=а2+Ь2+с2-2аЬ+2ас-2Ьс.
Действительно, (а-Ь+с)2 = ((а - Ь) +c):l = (а-Ь)2+2(а-Ь)с+с2=
=а2 - 2аЬ +Ь2 +2ас - 2Ьс +с2,чтоиутверждалось.
Аналогично можно получить
(а+Ь+с+d)2 =а2+Ь2+с2+d2 +2аЬ+2ас+2ad+2Ьс+2bd+2cd.
Для доказательства надо записать выражение в виде ( (а + Ь) + (с+ d) ) 2
и применить формулу для квадрата суммы.
Формулы сокращенного умножения часто применяются для упрощения
выражений.
Например,
(а+1)(а- 1)(а4+а2+1)+(а2- а+1)(а+1)=
= (а2- 1)(а4+а2+1)+(а+1)(а2- а+1)=(а6- 1)+(аз+1)=а6+аз.
Здесь последовательно использовались формулы для разности квад-
ратов, разности и суммы кубов.
Формулы сокращенного умножения можно применить и для приближен­
ных вычислений.
Воспользуемся формулой (1 +а)2 = 1 +2а +а2• Отсюда (1+а)2 R<
R< 1 + 2а. По этой формуле можно находить приближенное значение числа
(1 + а) 2 в тех случаях, когда а - положительное или отрицательное число,
модуль которого мал по сравнению с единицей.
Например, 1,0022 = (1 + 0,002) 2 R< 1 + 2 •0,002 = 1,004 (с точностью
ДО 0,001); 0,997 2 = (1 - 0,003) 2 R< 1 - 2 '0,003 = 0,994 (с ТОЧНОСТЬЮ ДО
0 ,001).
Отбрасываяа2вформуле (п +а)2 =п2 +2па +а2 , получаем (п +а)2-R<
R<n2+2rш.
91

Например, 4,9972 = (5 - 0,003) 2 ::::::5 2 - 2 • 5 • 0,003 =24,97.
По формуле для разности квадратов имеем
(1 +a)(l -а)= 1 -а2 :::::: 1,
1
т.е.сточностьюдо а 2 получаем (1 +a)(l - a) ::::::1. Отсюда
1+а
Например,
1
--
:::::: 1- О004=О996•
1,004
'
'
'
:::::: 1 + 0,01 = 1,01.
0,99
§ 6. Разложение многочлена на множители
:::::: 1 - а.
Определение. Преобразование многочлена к виду произведения
двух или нескольких многочленов ненулевой степени называется разло­
жением многочлена на множители. Если многочлен может быть разложен
на множители, то он называется приводимым; многочлен называется
неприводимым, если его нельзя разложить на множители.
Например, х2 - а 2 - приводимый многочлен, так как
х2-а2=(х+а)(х-а).
Очевидно, что многочлен х + 1 неприводим. Многочлен х 2 + 1 также
неприводим*) .
Задача о разложении многочлена на множители аналогична задаче о раз­
ложении натуральных чисел на множители. Здесь неприводимые много­
члены играют роль простых чисел, а приводимые многочлены - составных
чисел.
Рассмотрим · различные приемы · разложения многочленов на множите­
ли. В общем случае эти частные приемы не могут установить разложи­
мости или неразложимости данного многочлена. На практике отдельные
приемы используются в различных комбинациях.
1) Вынесение общего множителя и 2) способ гр у п­
п и р о в к и. При использовании этого способа иногда целесообразно
применить "искусственные" преобразования - разбить отдеш,ные члены
на подобные слагаемые или ввести взаимно уничтожающиеся члены.
Пример1.Разложитьнамножителиа2- 2Ьс+2ас-аЬ.
Решение.а 2 - 2Ьс+ 2ас - аЬ= (а 2 +2ас) - (2Ьс+аЬ) =а(а+2с)
-Ь(2с+а) = (а+2с)(а - Ь).
Пример2.Разложитьнамножителих2 - Зх+2.
Решение.х2 - Зх+2=х2 - х
-
2х+2=(х2 - х)
-
(2х-2)=
=х(х-1) - 2(х - 1) = (x - l)(x-2).
*) Точнее, многочлен х 2 + 1 неприводим на множестве действительных чисел.
92

3) Применениеформупсокращенногоумножения.
С помощью формул сокращенного умножения часто значительно облег­
чается разложение на множители.
Пр им ер 3. Разложить на множители 5а5х3 + 5а2х9 .
Ре ш е ни е. Сначала вынесем за скобки общий множитель 5а 2 х 3 , а
затем применим формулу для суммы кубов:
5а5х3 + 5а2х9 = 5а2х3(а3 +х6)=5а2х3(а3 +(х2)3)=
=5а2х3(а+х2)(а2 - ах2 +х4).
Пр им ер 4. Разложить на множители многочлен Р(х) = х 3 - 3х
-
2.
Решение.Р(х) =х 3 -3х-2=х 3 -х-2х-2= (х 3 -х)-(2х+2)=
=x(xi-1)-2(х+1)=х(х+1)(х-1)-2(х+1)=(х+1)(х2-х
-
2).
Так как
то
х2-х
-
2=х2-х
-
1-1=(х2-1)-(х+1)=
=(х+1)(х- 1)-(х+1)=(х+1)(х- 2),
Р(х)=(х +I)2(x - 2).
Иногда полезно выделение полного квадрата.
Пример5.Разложитьнамножителих4 +4.
Решение.х4 + 4 = х4 + 4х2 +4-4х2 =.(х2+2)2-(2х)2=
= (х2+2х+2)(х'-2х+2).
Для разложения на множители оказалось удачным . выделение полного
квадрата в выражении х" + 4 = (х2) 2 + 22 (использована формула а2 +
+Ь 2 =(а+Ь) 2 -2аЬ).
Пр им ер 6. Разложить на множители многочлен
р=х4 +у4 +z4 - 2х2у2
-
2х2z2 - 2у2z2.
Решение. Выделяя полный квадрат; имеем
Р=(х2 -у2 - z2)2 -4y2i2=(х2-у2 - z2 -2yz)(x2 -у2 -z2 +2yz)=
= (х2 -(у +z)2)(x2 - (у
-
z)') =
= (х +у+z)(x-у
-
z)(x+у- z)(x- у+z).
П р и м е р 7. Разложить на множител-и многочлен
Р=(х-у)3 +(y - z) 3 +(z-x)3.
Решение. Представимz- хввиде
z-х=(z-у)
-
(х-у)
иприменимформулу(а-Ь)3 = (а3 - Ь3) - 3аЬ(а
-
Ь). Тогда получим
Р=(х -у)3+(у-z)3+((z-у)3
-
(х - у)3)
-
-
3(z - у)(х
-
у)(z-у
-
х+у)=3(х-у)(у
-
z)(z - х).
93

4)Разложение квадратноrо трехчлена на множи­
t ел и. При использовании формулы (см. § 4 гл. 6)
ах2 +Ьх+с=а(х-х 1 )(х - х2 ) (a-=l=O,D=b 2 -4ас;;;,,о),
где Х1 И Х2 - корни трехчлена ах 2 + Ьх + с, иногда удобно ввести вспомо­
гательные неизвестные .
П р и м е р 8. Разложить на множители многочлен
Р(х) = (х2 +х + 1) (х2 +х-+: 2)-12.
Решение.Р(х) = (х2 +х+ 1) ((х2 +х+ 1) +1) :__ 12= (х" +х+ 1)2 +
+ (х2 +х+ 1) - 12. Пусть х2 +х+1=у. Тогда имеем у2 +у-12=
= (у+4)(у- 3),таккаккорнитрехчленау2 +у - 12равны-4и3.Пе­
реходя от у к х, получаем
Р(х)=(х2 +х +5)(х2 +х - 2).
Таккактрехчленх"+х- 2 =(х - 1)(х+2),то
Р(х)=(х - 1)(х+2)(х2 +х+5).
Используя разложение на множители, удобно вычислять значения неко­
торых выражений.
Пример 9. Найти значение выражения: А =х3 +х2у - ху2 - у3при
х=3,6,у = - 2,6.
Решение. Выполним сначала преобразование:
А= (х3 +х2у)-(ху2 +у3 ) =х2(х +у)-у-.: (х +у)=
=(х +у) (х2-у.:)=(х+у)2(х-у).
Подставляя теперь х = 3,6,у = - 2,6, получим
А= (3,6 - 2,6)2 (3,6 + 2,6) = 6,2.
Пр им ер 10. Вычислить значение выражения: А = х 3у + ху 3 , если
х-у=4,ху=3.
Реше ни е. Имеем
А =ху(х2 + у2)=ху((х2 - 2ху + у2 )+ 2ху) =ху((х -у)2 + 2ху).
ОтсюдаА=3(16+6)=66.
§ 7. Алгебраические дроби
Многочлен п-й степени относительно х имеет вид
P(x)=a0 xn+a 1 xn-l + ... +ап - 1Х+ап,
где а0 -=I= О, п ;;;,, О - целое число, а0 , а1, ... , а11 - постоянные (коэффициен­
ты многочлена), буква (величина) х может принимать любые числовые
значения.
94

Многочлен Р(х) записан в стандартном виде по убывающим степеням х.
Тот же многочлен Р(х) можно расположиц и в ином порядке, например ,
по возрастающим степеням х.
Два многочлена Р (х) и Р1 (х) считаются равными:
Р(х)=Р1 (х),
если при в_сех значениях х они принимают одинаковые значения . Выражение
вида
Р(х)
Q(x) ,
где Р(х) и Q(x) - многочлены , называется алгебраической дробью, причем
многочлен Р(х) называется числителем алгебраической дроби, а много­
член Q (х) - ее знаменателем.
Если вместо буквы х, входящей в алгебраическую дробь, подставить
некоторое число, то после соответствующих вычислений получится число­
вое значение этой алгебраической дроби. · Поэтому в дал ьнейшем дробь
Р(х)
-
-
--
рассматривается только для допустимых значении входящеи в нее
Q(x)
величины (буквы) х, т.е. для тех значений х , при которых Q(x) - знаме­
натель этой дроби, не равен нулю
Например , для дроби
2х+3
х2-1
считаем,чтох2 - 1=/=О,т.е.х =I=1,х =/= - 1.
Из арифметики нам известно . основное свойство дроби, а также пра­
вила выполнения действий над обыкновенными дробями .
Р(х)
Р1 (х)
Определение. Алгебраические дроби -- и
---
считаются
Q(x)
Q1 (х)
равными:
Р(х)
Q(x)
если для многочленов выполняется равенство
Р(х) •Q1(х) =Р1(х) •Q(х).
Например,
х+1
х2-I х-1
(x=l=l , x=l=-1),
таккак(х+1)•(х-1)=1.(х2- 1).
95

Из определения равенства д,робей вытекает, что алгебраическая дробь
не изменится, если числитель и знаменатель умножить на один и тот же
многочлен К (х) :
Р(х) P(x)k(x)
-
= ---
(Q(x)-:/= О, К(х) 4= О)
Q(x) Q(x)K(x)
(основное свойство алгебраической дроби).
Используя основное свойство дроби, можно сокращать алгебраическую
дробь на общий множитель (многочлен, входящий в разложение числителя
и знаменателя одновременно) и приводить дроби к общему знаменателю.
Например,
х2-1
(х- 1)(х+1)
х+l
-- -=
=
х3-1 (х-1)(х2-х+l) х2-х+l
(х-:/= 1).
Сложение и умножение алгебраических дробей определяются по следую-
щим правилам:
Р(х) Р1 (х) P(x)Q1(х) +Р1 (х) Q(x)
--+---=---
------
Q(x) Q1 (х)
Q(x) Q1 (х)
'
Р(х) Р1 (х) Р(х) Р1 (х)
--·---=
Q(x) Q1 (х) Q(x)Q1 (х)
где Q(x)-:/= О, Q1 (х)-:/= О.
Вычитание и деление алгебраических дробей определяются как дейст­
вия, обратные соответственно сложению и умножению. Из этого определе­
ния выводятся правила вычитания и деления:
Р(х) Р1 (х) Р(х) Q1 (x) -P1(x)Q(x)
--
-
---
= ---------
Q (x) Q1(х)
Q(x)Q1(х)
Р(х)
Q(x)
P(x)Q1(х)
=-----
P1(x)Q(x)
где Q (х) -:/= О, Q1 (х) -:/= О и, кроме того, в случае деления Р 1 (х) =1=-, О.
Для алгебраических дробей сохраняются основные свойства арифме­
тических действий. Практически для выполнения сложения или вь1чита­
ния дроби приводят к общему знаменателю. Разложив знаменатели дробей
на множители, принимают за общий знаменатель произведение всех полу­
ченных множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они входят
в знаменатели данных дробей. Очевидна аналогия с арифметическими
дробями.
Точно так же определяются равенство и действия для алгебраических
Р(х,у, ... , z)
дробей вида --- --- , где Р и Q - многочлены.
Q(x,y, ... , z)
96
1

Две равные алгебраические дроби образуют пропорцию
РР1
Q=~,
где Р, Q, Р1 , Q1 - многочлены, причем Q=f= О, Q1 =f= О.
Во всякой пропорции произведение крайних членов пропорции равно
произведению ее средних членов, т.е.
Р
Р1
Верно и обратное: если Р •Q1 =Р1 •Q, то дроби - и
--
образуют
Q
Q1
РР1
пропорцию -
=- , гдеQ=f=О,Q1=f=О.
QQ1
•
РР1
Из пропорции -
=-
(Q =f= О, Q1 =f = О) можно получить производную
QQ1
пропорцию
KP+LQ
MP+NQ
(Q=f=о,Q1=f=о,
(сравните с § 3 о пропорциях дl!Я чисел).
Рассмотрим примеры на действия с алгебраическими дробями.
П р и м е р 1. Выполнить действия:
•
(l+х2-2ху+у2)( Зх _2х+у)·
х2 -у2
2х-у
х
Реше ни е. Сначала выполним действия в скобках :
х2-2ху+у2 х2-у2+х2-2ху+у2 2х2-2ху
1 + ------ = --------- =
--- -
=
х2_у2
х2_у2
х2_у2
2х(х -у)
2х
=
=--
(х-у)(х+у) х+у
3х
2х+у 3х2- 4х2+у2
у2 -х2
=----
2х-у
х
(2х -у)х
Затем iмножим полученные дроби:
2х
у2-х2
2х(у - х)(у +х)
=
х+у
х(2х -у)
х(х + у)(2х-у)
х(2х -у)
=
2(у-х)
2х -у
Допустимые значения: х =f= у, х =f= -у, х· =f= О, 2х - у =f= О.
-
1. Г.И. Богатырев
2(х -у)
2х-у
97

П р им е р 2. Упростить выражение:
(_х_ +-!-
.
х2-2х+4 ) :
Х---:-2 Х +8
2-Х.
8
х2-4х+4
х2+х+6
4х+ 8
Реше ни е. Порядок выполнения действий над алгебраическими дробя­
ми такой же, как для действий над числами: сначала выполняют возведе­
ние в степень, затем - умножение и деление и;наконец, сложение и вычита­
ние; при наличии скобок прежде всего выполняют действие в скобках.
В данном примере:
х2 х2-2х+4
х2(х2 - 2х+4)
х2
l)х3+8 • 2-х
=
=-----
(х+2)(х2 - 2х +4)(2 - х) (х+2)(2 -х)
Использовано тождество а3 + Ь 3 =(а+ Ъ) (а2 - аЬ + Ь 2 ) и сокращение
дроби .
х
х2
х•
х2
2)--+
---- =
-
.--
-
--- -
=
х-2 ~+~~-~ х-2 ~+~~-~
х(х+2)-х2
2х
=-----= -----
(х+2)(х- 2) (х+2)(х- 2)
2х
8
2х(х2 - 4х +4)
3) ----- :
-----
= ------ =
(х+2)(х-2) х2-4.х+4
8(х + 2)(х--2)
·2х(х-2)2
х(х-2)
= ------ =
---
8(х+2)(х- 2) 4(х+2)
2
:t
2
()
х(х-2) х +х+6 х -2х-х -х-6 -3х+2
4)-- -
.
=------ =
---
=
4(х+2)
4х+8
4(х+2)
4(х+2)
3
4
Полученные резул ьтаты справедливы для всех значений х, удовлетворяю­
щихусловиямх3+8*О,х- 2*О,т.е.приxi= - 2,xi=2.
а4-16
Пр им ер 3. Сократить дробь:
-
4--
·
-
3 ------
а-4а+8а2-16а+16
Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители :
а4- 16=(а2)2 - 42 =(а2+4)(а2 - 4)=(а2+4)(а+2)(а- 2),
а4- 4а3+8а2- 16а+16=(а4+8а2+16)-(4а3+16а)=
= (а2 +4)2
-
4a(a:i +4)=(а2 +4)(а2 +4 -:- 4а) =(а2 +4)(а - 2)2
.
Поэтому данная дробь равна дроби
(а2 +4)(а+2)(а - 2) а.+2
(а2 +4)(а - 2)2
=--,
а-2
гдеа*2.
98

Пр им ер 4. Найти числовое значение выражения:
1
4
4
х2+4х+4
.
+----
х4+4х3+4х2 х3+2х2
при х= 0,5.
Реше ни е . Сначала преобразуем данное выражение:
1
4
4
х2- 4+4(х+2)
(х+2)2
----+
----=-------=
х2(х+2)2 х2(х+2)
х2(х+2)2
х2 -4+4х+8 х2+4х+4
(х +2)2
1
=-------=- -- --=
=-
х2(х+2)2
х2(х +2)2 х2(х +2)2
1
Следовательно, искомое числовое значение выражения равно -- = 4.
0j2
Пр им ер 5. Бассейн наполняется одной трубой за а часов, а другой
-
за Ь часов. За сколько часов наполнится бассейн, если одновременно от­
крыть обе трубы?
Р ~ ш е ни е. Пусть объем бассейна равен V. За час первая труба запол-
V
V
нит объем, равный -
, вторая - объем, ·равный
-
, а вместе трубы за
а
Ь
час .заполняют (; + ; ) . Пусть t - искомое время. За t часов обе трубы
заполнят весь бассейн, т.е. ( : + : ) •t = V. Сумма дробей, стоящих в
V(a+b)
V(a+b)
скобках, равна ---- . Следовательно,
----
• t = V или, сокрашая
аЬ
аЬ
а+Ь
аЬ
на V, -- · t = 1,откудаt =---(часов).
аЬ
а+Ь
§ 8. Иррациональные выражения
Алгебраическое выражение называется иррациональным, если оно содер­
жит какую-нибудь величину (букву) под знаком корня.
Преобразования иррациональных алгебраических выражений произво­
дятся на основании общих правил арифметических действий (таких же,
как в случае алгебраических дробей) и действий над корнями. Специфи ­
ческим является только "уничтожение иррациональности" в числителе или
р
знаменателе иррационального выражения вида А=-, где хотя бы одно
Q
из выражений Рили Q содержит корни.
't* '
99

Пусть S :_ данное выражение, содержащее корни.
О п ре д ел е н и е. Сопряженным множителем относительно S назы- .
вается всякое выражение К, не равное тождественно нулю, такое, что вы­
ражение S •К не содержит корней.
Знание сопряженного множителя позволяет представить выражение
р
А = Q в виде выражения , не содержащего корней либо в числителе, либо
в знаменателе:
РК1 РК2
A=--=- -
QK1 QK2 '
где К1 - сопряженный множитель числителя Р, К2 - -сопряженный мно­
житель знаменателя Q. Это преобразование и называется уничтожением
иррациональности (соответственно в числителе или в знаменателе).
:Рассмотрим важные частные случаи отыскания сопряженного множи­
теля .
1. Для выражения вида
s= ';/ХРyq...z1
(х;;;;.о, у;;;;,,о, ... , z;;;;.o),
где р, q, ... , l - натуральные числа, меньшие п (п;;;;. 2) , сопряженный мно-
житель К есть
•
К= ~хп-рyn-q
...zп-1,
так как SK=XY ... Z.
2. Для выражения вида
s=v'x+../Y
(х;;;;.о, у;;;;,,о)
сопряженный множитель есть
К=./Х-../У,
так как
SK=(./Х)2 -(VY)2 =Х - У.
Для выражения вида
s=../X-
.../Y (х;;;;.о, у;;;;,,о)
сопряженный множитель К = ../5{+ ./У.
3. Для выражения вида
s= vx+w
сопряженный множитель
К= lfx2 - 1/хУ+ Vf2",
так как
SK=( 1/Х)3+(1/У)3 =Х+У
длялюбых Хи У.
100

Для выражения вица
'S=W-w
сопряженный множитель
К= {No+ WY+ VY2
для любых Хи У.
П р и м е р 1. Выполнить действия:
9
22
1
..............,._
+---- ---
5 -../7 7 +vs ../?+vs
Решение. Сначала освободимся от иррациональности в знаменателе.
Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение,
сопряженное знаменателю. Для 5 -
.. /7 сопряженным множителем будет
5 +../7, для 7 + ../5" сопряженный множитель есть 7 -
.. /5, а Д)IЯ .Jf+ ,!s
сопряженный множитель равен../? --JS,"Поэтому.
.9
22
1
9(5 +у1)
--- +
-
---- - · ------- +
5 -../7 7 +../5
../7+../5 (5 -./7) (5 +./7)
22(7 -'15)
+
.Jf- v's
--------=
(7 + ../5)(7 -у5)
=
22(7 -:- v's)
+ -----
---=
25 -7
49-5
7-5
s+.Jf 1 - vs .Jf- vs 5 +vf+1 -vs- ./7+vs
=---+
---
---- =
------ ----
6.
2
2
2
2
Пр им ер 2. Упростить выражение:
(Гх-,-- -уху"+у )( Гх + ./у
+
-
vx+ ✓'i Гх+v ..rх-ГУ
2-,Jxi .) ··
х-у
Решение. Выражение имеет смысл при х> О, у> О, х::;=у (условия
существования квадратного корня и дроби). Заметим, что дробь
~+у
'
~
---
можно сократить: так как у > О, то у = ,ry2 и
,Jx+y'y
vxi+у = ,Гху +..Jy'f = .,,Гу(.Jх+.J'i) = .Ji.
vx+..fi vx+.Ji vх+ГУ
101

Отсюда выражение, стояшее в первой скобке, равно Vx -уу.
Выполним действия, указанные во второй скобке. Заметим, что выра­
жение х - у можно разложить на множители:
х-у=ух2 -#=(ух+уу) (ух - уу) (х~О,у~О).
Тогда
Гх
уу
2../ху
---+---+-------=
vx-v'i Cvx+ ✓J)Cvx-yy)
..rxc..rx - ✓У) +yy(vx +уу) +2у1ху
=
=
(ух +уу) (ух -уу)
# -../ху+../ху+у1у2 +2уху
(ух+уу)2
=------------=- ----
--=
c..rx +w)cvx - ✓У)
cvx +v'i)cvx -v'i)
Гх+Б
Гх-П
с~
уХ+\у
Теперь остается найти произведение выражений ух -уу и ----
\Гх-\!у
Получим
Гх+ГУ
сГх- .Ji) •✓- .;;
= vx +vi,
х-у
гдех~О, у~О,х*у.
Пр им ер 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби
W-W
Решение. Сопряженный множитель Д11я выражения {Гз- {fi равен
сt'з) 2 + vз- t'2+ ({п) 2 = W+ 1⁄45+ {14.поэтому
1
lf9+ lfб"+ 1/4
----=------------=
1⁄4- V2" ( ~- lf2)(~+ t'б+ 1⁄4)
lf9""+ ~ + 1⁄4"°
3m
Зrz Зг,.
=------= v9+ vб+ v4
(1⁄4)3- ( lf2)3
(использовано тождество (а - Ь)(а2 +аЬ +Ь2) = а3 - Ь3).
102

§ 9. Алгебраические преобразоваЮ1я (решение задач)
П р и м е р 1. доказать тождество:
1+а2 +а
а-а2
1
----
+ --- =---
1-аз
(1-а)з (1-а)2 •
Решение. Обозначим левую часть доказываемого тож дества через А.
Тогда
. 1+а+а2
a(l-а)
1
а
А=-------+
· =--+---=
(1 - a)(l +а+а2) (1-а)3
1-а (1-а)2
1-а+а
1
----=----
(1-а)2 (1 -а)2 '
что и требовалось доказать. Тождество справедливо для всех а =I= 1.
•
а2 +Ь2 а2
аЬ
Пример2.Доказать,что 2
2=-
2,если-=-
.
Ь+с
Ь
Ьс
аЬ
а2 Ь2
Решение.Изданнойпропорции-
=-
следует, что - 2
=-. ,для
Ьс
Ь
с~
а2 +Ь2 а2
которой ·можно образовать производную пропорцию - -- =-
что
ь2+с2 ь2 '
и требовалось доказать.
Пр им ер 3. Упростить выражение:
Ь-с
с-а
а-Ь
А=------+-----+------
(а-Ь)(а-с) (Ь-с)(Ь-а) (с-а)(с-Ь)
Решение. Допустимыми являются те значения а, Ь и с, для которых
(а - Ь) (Ь - с) (с -а) =I= О. Преобразуем сначала первое слагаемое, раз­
бивая его на две дроби:
Ь-с
(а- с)+(Ь
-
а)
-
--- -
=
---
(а-Ь)(а-с) (а-Ь)(а
-
с) а-Ь а-с
Аналогично,
с-а
(Ь-а)+(с-Ь)
1
1
-
-
----=----
---=-- -
--
(Ь - с)(Ь
-
а)
(Ь -с)(Ь -а)
Ь-с Ь-а
а-Ь
(с -Ь)+(а-с)
1
1
------=------=--
(с - а)(с-Ь) (с - а)(с-Ь)
с-а с-Ь
Поэтому
2
2
2
А=--+--+--
а-Ь Ь-с с-а
103

П имер4.Вычислить:
✓68(322 - 152) ( Vio-·
'V7) ·( 1⁄2оо+ 1/т + 1⁄4°9)
2+ ---- -+
•
47
•
(v16 у10) 2
(3у16- 3y'Io)2 • -3- +
-3-
1,62 -1,6 -О,в°+О,42
1,42 - 0,22
Решение. l) ~г-+ -✓--:;::::6=8=(3=2=:г. =_=1=5==2=) = h +J 68(32-15)(32+15) =
47
47
j ✓ 68-17-47
=2+
47
= ✓2+у68-17=у2+2-17=6;
(Щб - ifi) ·({/Пю +<fro + 3у49)
({,/iо)З _ ( -if7)3
2)
.
=-----=
32(vТб-у'Iо)2-( ~)\vТб+v10)2 C(ffi)2 - (v'Io)2)2
10-7
3
1
=
----
(16- 10)2 36 12
1,62 - 1,6 ·О,~+ 0,42
(1,6 - 0,4)2
3).
•
1,42 -0,22
(1,4-0,2)(1,4+0,2)
1,2 2
172 .12 3
=---= -=- =
-
1,2 •1,6 1,6 16 4
1
3
1
4)6+- --
=5-
.
124
3
1
Ответ. 5 -
.
3
Пример5. Вычислить50%отА= J4+2y3-J4 - 2у3.
Решение.1)Заметим,что4+2у3=3+2у3+1=(у3)2 +2 •уЗ+12 =
=(VЗ + 1)2 и, аналогично, 4 - 2у3 =(уЗ - 1)2.
2)ПоэтомуА=J(VЗ+1)2-J(у'з- 1)2 = 1уЗ+11- 1vJ- 11 =
= сvз+1)-сvз -1)=vз+1-v'З+1=2.
3) 5U % от А составляют
А
2
-
•50=-
•50=1.
100
100
Ответ. 1.
104

Пр им ер 6. Упростить выражение : А= ({!9 + 4V5 +{/2 +VS) ·-Vvs - 2 .
Решение. 1) Выделим квадрат: 9 + 4$=4+2-2,vS +5 =2 2 +2-2- . .js +
+ (у5)2 = (2 + ./5)2. Поэтому{19 + 4v'5 = \/(2 + ,v5)2 = 3✓2 + ../5.
2)Теперь А=2 {12 + у5 · 1/..,/5 - 2 = 2{/cvs+ 2)(-. /5 - 2) = 21/l,-(yS-= -:: -)2-- -2 .,,.. .
2=
=2.
Пр им ер 7. Дано: ух+ 3уу- Тz= О. )..!,оказать, что (х +у - z)3 =
=- 27xyz.
Решение. Из условия следует, что 3ух +\!у = 3../i . Возведем обе
части этого равенства в куб:
,
х +у+ з \.Гх; ·(vx+ 3✓;i) = z
(поформуле (а+Ъ)3=а3 +Ъ3+ЗаЬ(а+Ь)). Отсюдах +у - z = -3-VxjiХ
Х(\/.х+ 3V)i) или х+у- z = - З\/ xyz, т.е.
(х+у- z)3 = -27xyz.
Пр им ер 8. Упростить выражение:
( а-4Ь
а-9Ь)Ь2
а+,Jafi- бЬ а+6,JiБ+9Ь ~
1•
а2- зь2
Решение. Обозначим все выражение через А, первую дробь · _ В,
вторую - С и третью
-
D.ТогдаА=(В -С)Г
. Очев идно ,
должно быть
а;;;;. О, Ь;;;;. О. ПоэтомууаЬ =,.,/а./Ь. Рассмотрим
а +...jab - бЬ =а +·Jciь- 2Ь
-
4Ь = (а - 4Ь) +..JБ(va- 2..Jь) =
= (va+ 2../Б)(vа - 2..JЬ) +..J"Б(va - 2vь)=
= (va - 2. .JJj)(va + зvГь).
Имеем
(✓а - 2..JЬ)(..J"i+ 2..JБ) -.Га+ 2..Jь
В = ---=---==----=с- = ----=
(уа=I= 2-,JБ или а =I= 4Ь) ,
(уа - 2✓h)(va + З.,/Б) уа+ 3.,/Б
(va+ зvГь)(vа- ЗуЬ) va - з-Jь
с--------- -
-=--=
-
сva+ з-,JБ)2
-
.,/а+ з.,/ь'
va+2v1Б ../а- 3..jБ
5 ...jь
в-с -.,/а+з.,/ь
-
J/i+з-,JБ ..Ja+з.Д '
1
D= _к
_r: :
_к (уа=f. 3.,/ь или а =f. 9Ь)
v Ъ(va - ЗvЬ)
105

Следовательно,
s.jь
1
s
А=.
.
------=- --,
уа+ зуБ уЬ(уа- зуБ) а - 9Ь
если a;;;i,o, Ъ>О, а*4Ъ, а#с-9Ь.
П р и м е р 9. Упростить выражение:
а2+1
А
Jt(a 2
- 1)2
0'-- -
+1
2а
Ре ш е ни е. Выражение А имеет смысл при а* О. Так как
то
А
аIа22:
1
1
а2+1
1а1
-- -=2 ·--
а2+1
а
a· --
2lal
или
1
2,
А=
.
-
2,
если а> О,
если а< О.
Пр им ер 10. Упростить выражение::
(m+x) 2 +(m-x) 2
А=
1
1·,
-
-
(т +х/-(т- х)2
2тп
если х=-2 -, причем т>О, О<п<l.
п+1
Решение.Имеем
1
2 ~ / 2тп /т(п2+1)+2тп =Ап(п+1)2
(т+х) =vm +х=ут+--=у-
у-
п2+1
п2+1
п2+1
106

1
-
~(п -1)2
аналогично, (rri - х)2 =v'm - х =
2
.
Поэтому данное выражение
п+1
j_т(п+1)2 + jп(п - 1)2
•
п2+1
п2+1
А --;====;., -- -- -,===;;=--=
jn:(n + 1)2 _jn: (n - 1)2
п2+1
п2+1
✓(п+1)2+✓(п- 1)2
✓(п+1)2-✓(п - 1)2
(при m > О подкоренное выражение положительно). Отсюда А =
ln+ll+ln--1
ln+ll-ln-11
По условию О <п<l. Следовательно, п +- 1 > О,
п-1<Ои,значит,1п+l1=п+l,1п- l1= -
(п - 1). Получим
(n+l) - (n-1) 2 -1
A=-----=-=-
(n+l)+(n -1) 2n п
Упражнения
РАЗДFЛ I
1. Лен'l)' миной 1,98 м разрезали на две части так , что одна часть оказала~;ь на
20% миннее другой. Найти длину каждой части.
2. На карте расстояние между двумя пунктами равно 3,5 см. Каково расстояние
между этими пунктами в действительности, если масштаб карты 1 : 2 ООО ООО?
3. Рабочий изготовил 480 деталей, выполнив задание на 120%. Сколько деталей
изготовил бы рабочий, если бы он выполнил задание на 110%?
4. Объем монтажных работ увеличился на 80 %. На сколько процентов надо увели­
чить число рабочих, чтобы выполнить рабо'l)' за то же время, если производительность
труда при этом будет увеличена на 20 %?
5. Цену товара снизили на 20 %, а затем новую цену снизили еще на 15 % и, нако­
нец, после перерасчета произвели снижение еще на 1О%. На сколько процентов всего
снизили первоначальную цену товара?
•
6. Найти неизвестный член пропорции:
14
1
1
а)х:0,3=3-:
-
; б)9-:14- =х:0,75.
39
2
4
Разложить на множители (No 7 - 12) :
7.Зх 3 +х 2 -х-3.
9.х4- 3х2+9.
8.а3+02с+аЬс+Ь3.
10.а•+3а2Ь2 + 4Ь4.
11.х4+у4_
12. (а-Ь)3 + (Ь-с)3 + (с-а)3.
13. Освободиться от иррациональности в .знаменателе:
1
а)--·
wь·
1
6)---- ·
4./з- 3✓2'
107

14. Освободиться от иррациональности в числителе:
.Js-$
а)---
б)
2
15. Сократить дроби:
х2- 3ху+2у2
а)-----
х2- ху-2у2
\/9+ •,jб + V4
5
(а4+1)(а4- а•+1)
а4+2а2Ь2+9Ь4
б} --------= ,, --
в)------
(а6 + l)(a2 - а../2+ 1) '
а•-2аЬ+3Ь2
1- 8а3
Г)-r=====
.
J4a2- 4а+1
д)
2а+3,Jiiь-9Ь
а+s.jаь+бЬ
108
Упроститьвьrражения (No 16 - 35):
а2+9
(
18)
16. ----: З+а - -- ·(а-3).
iz• - ба+9
3-а
11.(-ь- + ..:.!:___) ·ь-• +(-ь- - -1-):ь-•.
ь+1 ь•- 1
ь-1 ь•-ь
х2-у2 х3 -у3
18.-----.
х-у х'-у•
х
19.---
__
2___ . ·( 1 + _зх_+_х_')
х•+х-2ах
-
2а
3+х
•
ах- 2а2
21.( 1-х - х'+х-2 )·( 1+х
_
1-х+х').
х'+х3-х4 х5-х3-2х2-Х • х3+х4+х5
х'
(а-/а+Ъ.,JЬ )
2..jь
22.
---- -
.jаь : (а-Ь)+ --=--=·
. Ja+ .Jь
✓а+✓Ъ
(cr: аЬ ) 4.Jаь_..jь
23. уаЬ-~ :
а+ vab
а-Ь
24.
(
($+ 1)3
- a.Jii+ 2 J'
а-../ах
(.jii + 1)'----
. Ji- .,/х

(.jii- $)3 + 2а2 :
.Ja+ b ,Jb 3,jаь - 3Ь
25.
----------+ ----
а-Jа+ь..jь
а-Ь
а+х
lfax' - Wx
--с=---= + --:=---== --"""""
W- 1х 2- W-21/ax+ $2
26.
lfa- ifx
27. (_:__
_
3✓4)~3 - (6+5./2 _ 2+~) -
3,,fi
,J2
2,,/i- 2 2
-
✓2
2+- ./3
2-✓3
28.
+
r;;-r, ,·
,J2+J2 + ,J'3
.J'I - ....;2 - ,.J3
(
4а-9а-1 •
29. .
1
1
-
--
2а2-За 2
а-4+;)2
+1
1
•
-
--
2
2
а-а
.
х~ )' - (2..=..::)-, -(~)-1
~!_
Зх- 2
х2
хз-хз
2
./7ьW+.Ji4ь3 : Va" -з(
За2
а+Ь аЬ)
32.--------- -
а ------ :
--- -
(b 2 -ab-2a2 )· . Jii[j
3Ь-6а+2аЬ-Ь 2 За-аЬ а+Ь.
а-Ь
_
. Jiiij
33. --
х2- 2ах+a,Jb,еслих ----
.jь
Га-.Jь
34. ,Ja2+4а+4+....;'а2- 4а+4, если -2<а<2.
'-...._...
va+Ьх+....;'а - Ьх
2am
35.
.,
если х----, а> О, Ь*О,0<1т1<1.
.Ja+Ьх- .Ja-Ьх
Ь(1+m2)
36. Доказать тождества:
а) (х+у)(х-у)(х2+у2)(х4+у4)=х•-у8;
б) (а+Ь+с)3-а3:._
Ь3- с3 =З(а +Ь)(Ь +с)(с +а).
109

х2-1
1- 2х
37. Доказать, что су)l,!ма дробей
-----
+ ---- равна сумме их кубов.
(х-1)х+1 (1 - х)х-1
38. Проверить равенства:
1
3
4
а)---- = ---- +----
$-
../5
,Js-
- . /2 ../6+-/f
б) зJз._;2- 1 = 3~
-
J:__+J!.;
9
9
9
в) J11 + 12.j2+J11 - 12у'2 = 6;
r) J29 - 12.js- v129 +12.js= - 6.
Доказать тождества (No 39 - 45):
39.(2+ху+х+у)2+(2-ху+х-у)2=2(х+2)2+2у2(у+1)2.
а2 (а+ х)•
40.-
+---
(а+ у)•
ху-у•
=1.
ху
х•-ху
41.(6а2 +5а-1+ а+ 4 ):(3а - 2+-3-.)=2а+З, где a,t, - 1 .
а+1
а+]
1
а-а-•
42. а2 - -,----.,-
+ -:----,- + 3 =о.
2
а
а2+а 2
а2+1
1
43.
-~
3~ - -а=-1..
44.
-----------
--
-
-
((а+3#х):(х+ 3.jax2) - 1
1)•
1⁄4- {Гх
ifx
х4
ьу1 + --1
-,--- = о.
J11
а4Ъ2-1
Вычислить значения данных выражений (No 46 - 50) :
46.(~ -
х-1):·(х'+1-~)прих=- 3 _:
х-1 х+1
х•-1 х2+1
4
110

'
а2 - 2а+1 ((а+2)2 - а2
3.)
47.- - --
• ----- ---
при а=-0,01.
•
а-3
4а2-4
а2- а
48.(а2- Ь2- с2+2Ьс): ----при а+с=2,
a+l,- c
ь=Jз.
а+Ь+с
49.(а+1)-1+(Ь+l)-1 при а=(2+-./3)-1
,
Ь=(2- ,Jз)-1.
з
з
а2+ь2
5о.-·---,,-2
2
аз~
а../а - Ъ.Jь
3
приа=1,2,Ь=-
.
5
51 . Найrи число, если 5 % его составляюr
а1,5 + bl,5
_
0 0,Sb0,5
•
00,s + ьо,s
•а -Ь
+ ao,s + Ь6,s
52. Найти число х, если 40 % его равны
РАЗдЕЛ 11
53.Найти110%ОТ47р.20к.; 80%от1ч15мин.
54. Найrи число, если 35 % его составляюr 63.
55. Товар со скидкой в 12 % был продан за 44 р. Какова бьmа первоначальная
стоимость товара?
56. В 20 л раствора, содержащего 4% соли, добавили 15 л воды . Какова стала
концентрация соли в новом растворе?
57. Масштаб топографической кар1ы 1 : 50 ООО. Каково расстояние на местности,
если на карте оно составляет 1,5 мм; 2,8 см?
•
58. Цена товара снизилась на 20 %. На сколько процентов надо повысить новую
цену товара, чтобы получить его первоначальную стоимость?
59. В сберкассу на срочный вклад бьmо положено 500 р. (через год размер вклада
увеличивается на 3 %) . Какая сумма будет на сберкнижке через 2 года?
60. Улучшение организации производства повысило производительность труда
на 10%, а рационализаторские предложения повысили производительность еще на
20%. На сколько процентов повысилась производительность труда по сравнению
с первоначальной?
61. После двух последовательных снижений цен на одно и то же число процентов
цена товара снизилась с 25 р . до 16 р. На ско~процентов снижалась цена товара
каждый раз?
62 . Макет здания выполнен в масштабе 3 : 140 и имеет высоту 75 см. Какова
планируемая высота здания?
63. Высев семян пшеницы составил 5 ООО ООО зерен на 1 га. Сколько растений
будет на 1 м 2 , если всхожесть семян 96 %? '
Разложить на множители (No 64 - 68) :
64.4а2- с•
-
2ас- с3.
65.х3+2х2- 3х.
66.а4 +4Ь4.
67. .(х - у)3 -8у3• 68. x5 +x+l.
111

69. Сократить дроби :
а-Ь
а2-1
х3+5х2+7х+3
а)а2+2а-З;б)2х3+5х2+4х+1
в) --с-с-,--­
а -..JiБ - 2Ь
Упростить вь1ражения (No 70 - 93) :
(аЬ•
Ь•) 2Ь
?О,а2-Ь2-2а
-- 2Ь
.
:а2-Ь2
71_(ах-ЬЬ
_
ЬЬх+а)(а:-Ь2 :а2+Ь2)-
а+
-а
х-1
х-1
72--_:
-- ---
• --- +---
(2а
4а2 )(2а
1)
•
2а+Ь 4а2+4аЬ+Ь2 • 4а2-Ь2 Ь-2а
•
73 _(х
_
_4_х_у_ +У)·(_х_ _ _У_
_
_
2_ху_)
х+У
•х+уу-х•х'-у2•
74 . (~ +у)(-у -х) - (-у +х)(-х - у).
у+х
у-х
у+х
у-х
75.
-- ---
+
•
,
-
-Jx2+Вх+16.
(
1
.2Vx)-
2
Jx _4(у'х)-1
• зр _ з-./64.х
.
( 4../аБ _ .Jiij' 1 _ 4../аЬ)
$ь
76.
-----+
---
: ----
1-.jаБ
• 4.Jаь
1 + 4.,_/ёi3Р
1- 4.Jiii -Jаь
Jаь
Га- $+1 .Ja+..jь ( .../а ✓а )
77. ----- +-'--- •
---
+---
.
а - .jаБ • 2../аЬ
ь -Д Ь +.,Гаь
(_._✓,i'х_а2_х_+_Гх_х_ + • vx)3.+ 4 (х + 1)
з.jх+ з✓О
78,
г-r==-.
( 3у_Х$+1)'
79.
з.jх2 + i 211/xy+4з.jy2
(3./х' -8уз.jх) : з.Jху
. (2 _ зfl-).
\
у
80 Sa 2 b (}___-'- 2Ь
~-~
.j4ab3 + За3 Гь
'
✓-jb✓liЬ·
✓7.
112
1У'
+-}
.,fi .
•
11

ь2+с2
84 · - 1--1--1-- --
1
ьз
1
з
-с
1
ь6 +с6
-
-
-
ЬЗ-Ь6с6 +сз
х -у2
85.
- 1,-
. ----,--
хз -у6
87.
.
Узz2-z
88. 2
уз- z
+
89,
Jа• -a,Js+ 2
2а-8
4
2
х9 -уз
2
1
хз -уз
.!..
.!..)
1
2
2
--
х+У
2
2
1
1
•х
•у
.х·2+у2,
у
21
У+Уз z2
т+п (т+п п - т -)+Jо- ✓п)',
90• .jт + ,..[/ .Jmri + т - ../тп
.Jmri +п
.
т>О,п>1.
если O<n< 1,
тп -~-~
1
1
91. ----------,если 2т=х+
-
, 2n =у+-, х < -1,у<-1.
тп+~-~
х
•
у
1
92.(1+х-i)-2+(1-х
-
1)02,если х=(1-п
-
1)2(1+п-1) 2, 1п1>1.
(2-)-!..(
~) - !...
93. а+х2 2 +'.а-х2 2 , если х=4(а - 1), I<a<2.
113'

94. llров ерить раl\ енсrво:
(15
4
12 ·) т;-
--+
---
---
-
(vб + ll) =- 115.
Jб+l Jб- 2 З-Jб •
•
95. Проверить равенство:
.J9-5,Jз = ,J'f-1
.
9 +5.Jз Jз+ 1
96. Преобразовать и вычислить без таблиц:
а)J5 - 2../6:(( Vз+ 1/2) •( ':./3- ✓2));
б)J<Jз+.js)2 +j;,, - 2✓
3-.JS;
в) •J5..Д+1 -• J<./2 - 1) 3 •
Доказать тождества (No 97 - 103) :
1
1
1
97.
-----
+ -----+--
-
---
а(а - Ь)(а
-
с) Ь(Ь-а)(Ь-с) с(с-а)(с-Ь) аЬс
((х+2)2-х2 _ _ з_-)= ~
.
4х2-4•
х2-х
xn+l
99 (2+Ьа -, - 6Ь(4Ь2-а2)-,) :(2anb + 3an+l _ 6ап+2
•
а+2Ь
•
2а-Ь
((../а+1)2 - а
-
. Jax
100.
../а- .Jx
.
(-/а+1)3 -а-/а+2
102.
103,
х-1
з
4
1
аз-8а3Ь
2
х2+х4
1
·
х2+1
2
аз +2ifaБ+4Ьз
• х4+1=./х.
Вычислить значения данных выражений (No104 - 110):
104.
Гх
1 - х-./х
114
Гх+х
х+-./х+1
при х=0,5.

-
-
--
-- - - - - ·- ------------ --
--
-
--
105. ✓<х +2)2-8х
•
2
-Гх- -
Гх
при
х=l,21.
х-l
х2 +1
2
прих=l,9.
106.
_ .._______
+
1
3
--
х+х2 +1
х2 -1
х
2
107
х-
+ --,--.;_-~
·----+
___
..;.____
(
2у
у
) х3 -ху2
2у2
•
х3 +у3
х3 -х 2у+ху2 х2 +у2
х3 +х2у+ху2 +у3
'IрИХ =0,2, у=0,8.
1
1
108.
---
-- + ------+ -----
а(а - Ь)(а
-
с) Ь(Ь-а)(Ь-с) с(с - а)(с -Ь )
1
.Jз
при а=- Ь=З с=-.
3'
'
2
2-
(,✓х- .Ji + ./у ) 3 прих=13,у =5.
✓х
✓х--ГУ
110. А =а4+Ь4+с4приа+Ь+с=О, а2+Ь2+с2=1.
111. Найти число, если 25 % его составляют
а-5
4(а+1) ( 9а
_б___З_а_ + -а-2 _+_4_а_ · а 2 - 16
а+4 )
а2-4а
•
112. Найти процентное отношение чисел А и В, если
А = _8_-_х_ . ( 2 + _1/х'_х_2_) +(э.jх+ _2_1⁄4_х-)
. _{!_х•_-_4_
2+1/х.
2+ 1/х
1⁄4-2
1/х' +2{/х'
1
.,}
4
1
2
-
-
-
-
В=(~-уз +3
уз + 27уз
+
40 -уз
2
1
2
1
у+ 27
-
-
уз-Зуз
16 -уз
4+уз
115

ГЛАВА 6
УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Уравнения с одним неизвесn1ым.
Корень уравнения
Буквенные величины, входящие в равенство двух выражений А и В:
А =В,
по условию задачи моrут быть неравноправными. Одни из них считаются
известными, или параметрами. Они моrут принимать все свои допусти­
мые значения. Друrие буквенные величины являются неизвестными.
Равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами,
называется уравнением.
В зависимости от числа неизвестных, входящих в уравнение, рассмат­
ривают уравнения с одним, с двумя и т.д. неизвестными.
Неизвестные величины в уравнениях обычно обозначают буквами х,
у, z, ... , а известные (или параметры) - буквами а, Ь, с, ...
Будем сначала рассматривать уравнение с одним неизвестным х:
А(х) = В (х).
Выражения, стоящие слева и справа от знака равенства, называются
левой и правой частями уравнения. Каждое слаrаемое части уравнения на­
зывается членом уравнения.
Областью допустимых значений (сокращенно ОДЗ) или областью опре­
д-еления уравнения А (х) = В (х) называется множество всех числовых
значений неизвестноrо х, при каждом из которых имеют смысл выражения
А(х)иВ(х) одновременно.
Определение. Корнем (или решением) уравнения называется то
значение неизвестноrо, при котором это уравнение обращается в верное
равенство.
Очевидно, что корень уравнения принадлежит ОДЗ этоrо уравнения.
Решить уравнение - это значит найти все ero корни или установить,
что их нет.
Например, уравнение 2х = 2 имеет единственный корень х = 1; урав­
нение х2 + 1 = О не имеет корней: для любоrо действительноrо числа х
всеrдах2 +1>О.
Определение. Два уравнения называются равносильными (экви­
валентными), если всякий корень одноrо уравнения является корнем
дpyroro, и наоборот. Если оба уравнения не имеют корней (решений),
то они также считаются равносильными.
Иначе rоворя, равносильными называются уравнения, множества кор­
ней которых совпадают.
116
1
j

Если уравнения А = В и А 1 = В 1 равносильны, то пишут
А = В~А1 =В1-
Например,х2 - 1 =о~ (х +1)(х-1)=О;х2+1=О~х2+4=0,так·
как эти уравнения не имеют действительных корней. Ясно, что уравнения
х(х+1)=Ои(х+1)(х- 1)=Онеравносильны.
При решении уравнения путем различных преобразований стараются
заменить его более простым, ра~носильным ему уравнением. Однако та­
кая замена не всегда удается. Тогда возможны следующие два случая:
1. При переходе к новому уравнению может произойти · потеря кор­
ней. Например, при переходе от уравнениях (2х - 1) = х 2 к уравнению
2х - 1 = х сокращением на неизвестное х происходит потеря корня х = О.
Поэтому при переходе к новому уравнению надо учитывать возможность
потери корня данного уравнения.
2. Новое уравнение может содержать корни, не являющиеся корн:ями
данного уравнения (так называемые посторонние корни). Например,
припереходеотуравненияу2х- 1 =ух - 1куравнению2х- 1=х- 1
возведением в квадрат обеих частей исходного уравнения получим х = О -
посторонний корень этого уравнения. Поэтому часто делают проверку кор­
ней, подставив их в данное уравнение.
Напомним, что числовые равенства обладают следующими свойствами:
1) числовое равенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить
одно и то же число;
2) числовое равенство не нарушится, если обе его части умножить или
разделить на одно и то же число, отличное от нуля.
Из свойств числовых равенств и понятия равносильных уравнений вы­
текают следующие основные с в ой ст в а уравнений:
1) Уравнение А = В равносильно уравнению А + С= В+ С, где С - число
или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве допустимых зно­
чений (т.е. на ОДЗ) уравнения А= В.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части урав­
нения в другую с противоположным знаком.
Например,А =В~ А - В= О .
2) Уравнение А =В равносильно уравнению А· С= В· С, где С - число
или некоторое выражение, имеющее смысл на множестве допустимых зна­
чений уравнения А =В и не обращающееся на нем в нуль.
С л е д с т в и е. Обе части уравнения можно сокращать на общий мно­
житель, не обращающийся в нуль на множестве допустимых значений
данного уравнения.
(1) (1)
Действительно, уравнение А· С = В· С ~ АС· С = ВС · С
, т.е.
равносильно уравнению А =В.
А1 В1
3) Уравнение -
=-
равносильно уравнению А 1 • В2 = А 2 • В1, рас-
А2 В2
сматриваемому на множестве допустимых значений исходного уравнения
117

В1
=
А2 В2
или на своем множестве при дополнительном условии А 2 =1=- О,
В2 =1=-0.
Эти свойства используются при решении уравнений.
§ 2. Линейные уравнения
Определение. Уравнением первой степени с одним неизвестным
называется уравнение вида
ах+Ь=О,
где а, Ь - заданные чиспа, причем а =1=- О, ах
-
неизвестное.
При этом число а называется коэффициентом при неизвестном х, чис­
ло Ь - свободным членом уравнения.
Это уравнение равносильно уравнению ах = - Ь, из которого получаем,
ь
чтох= -
.,... . Таким образом, уравнение первой степени всегда имеет единст-
а
Ь
венный корень х = -- .
а
Уравнение первой степени является частным случаем линейного
уравненияах+Ь =сх +d,гдеа,Ь,с,d - заданныечисла,ах
-
неизвестное.
Линейное уравнение сводится к равносильному ему уравнению вида
k • х = 1, где k и 1 - известные числа. При, этом число k - коэффициент
при неизвестном х, может оказаться равным нулю, в отличие от коэффи­
циента при неизвестном в уравнении первой степени.
Решим, например, линейное уравнение
Зх .-
5=1О-2х.
Тогда имеем Зх + 2х = 10 + 5 и, значит, данное линейное уравнение равно­
сильно уравнению первой степени Sx = 15; х = 3 - единственный корень.
Может оказаться, что линейное уравнение не имеет · корней или имеет
бесконечное множество корней.
Пример 1. Показать, что уравнение 2(х
-
1)+1=3-(1-2х)не
имеет корней.
Р е ш е н и е . Данное уравнение равносильно уравнению
2х-2х =2+1илиО•х =3.
Это уравнение не имеет корней, так как левая часть О· х равна нулю при
любомх, а значит, не равна 3.
Пр им ер 2. Решить уравнение ах = а.
Реше ни е. Это уравнение содержит параметр а (переменную, которая
в условии данной задачи сохраняет одно и то же значение).
118
j
11

а
Еслиа-:/=О,тоах=а~х= -
, т.е. х = 1 - единственный корень уравне­
а
ния. Если а = О, то уравнение принимает вид О •х = О и его корнем являет­
ся любое действительное число х.
Пр им ер 3. Решить уравнение а2х =а(х +2) - 2.
Решение. Перенося члены с неизвестным в одну часть уравнения,
а известные члены - в другую, получаем равносильное уравнение
а(а - 1)х=2(а-1) .
Если а (а - 1) -:/= О, т.е. а-:/= О, а-:/= 1, то имеем уравнение первой степени,
2
их= -
-
единственный корень .
а
Если а = О , то данное линейное уравнение принимает вид О • х = - 2 и,
значит, не имеет корней.
Если а = 1, то уравнение принимает вид О •х = О и его корнем являет­
ся любое число.
Пр им ер 4. Решить уравнение
Зах- 5
-- ---- +
(а- l)(x+3)
За- 11
а-1
2х+7
=---
х+3
Решение. 1) После приведения дробей к общему знаменателю
(а - 1) (х + 3) получим линейное уравнение
Зах- 5+(За- 11)(х+3)=(а - 1)(2х+7),
равносильное исходному, при условии, что
(а- l)(х+З)-:/=О, т.е . а-:/=1, х-:/=-3.
2) После приведения подобных членов и сведения полученного урав­
нения к стандартному для линейного уравнения виду kx ·= Ь имеем
(4а - 9)х=31 - 2а.
1
31 - 2а . Теперь необходимо
3)А)Если4а-9
-:/=О =>а-:/=24,тох=4а _9
исключить те значения параметра а, при которых найденное значение х
равно -3, чего не может быть по области определения (ОДЗ) исходного
31-2а
уравнения. Приравняем дробь --'--к -3:
4а-9
31-2а
2
---
=-3 31-2а=-12а+27 10а=-4=>а= - -.
4а- 9
'
'
5
119

2
Таким образом, при а = - -
полученное в результате преобразования
5
линейное уравнение имеет корень х = - 3, посторонний для исходного
уравнения.
1
Б) Если а = 2 - , то уравнение (*) примет вид
4
9
1
О•х=31-2•-
илиО=26-
4
•
2
-
неверное равенство, т.е. уравнение (*) не имеет корней ..
Вообще, если уравнение не имеет корней, то говорят также, что мно­
жество корней уравнения пустое, и обозначают ф.
1
2
Ответ.1)Приа=I=1,а =I=2 -иа =I= - -
уравнение имеет единственное
4
5
31-2а
решение х = ---- ; 2) при а = 1 данное уравнение не имеет смысла;
4а-9
1
2
3)приа=2-иа = - - нет решений.
4
5
Ответ можно записать короче:
2
1
31-2а
2
1
1) еслиа=l=-- , 1,2-,тох=---, 2) еслиа=--,1,2-,тоф. ·
5
4
4а-9
5
4
§ 3. Квадратные уравнения.
Теорема Виета (прямая и обратная)
Определение. Квадратным уравнением (или уравнением второй
степени) называется уравнение вида
ах2 +Ьх+с=О,
где а, Ь, с - заданные числа, причем а =I= О, ах - неизвестное. Числа а, Ь, с
называются коэффициентами квадратного уравнения: а - коэффициент
при квадрате неизвестного, Ь - коэффициент при неизвестном в первой
степени, с - свободный член.
Квадратное уравнение ах 2 + Ьх + с = О называется неполным, если хо­
тя бы один из коэффициентов Ь или с равен нулю.
Неполное квадратное уравнение - это уравнение одного из следующих
видов:
ах2=О (а=I=О),
ах~+с=О .
ах2 +Ьх=О
120
(а=I=О, с =I=О),
(а=I=О, Ь =I=О).

Покажем, как решаются неполные квадратные уравнения.
1. Уравнение ах 2 = О (а i= О) имеет единственный корень х = О.
2. Уравнение ах2 + с = О (а i= О, с *О) равносильно уравнениюх2 =
с
=--
. Возможны два случая.
а
с
с
с
Если - >О,то-- <О,ипоэтомууравнениех2= - -
не имеет дей-
а
а
а
ствительных корней.
с
с
с
Если--<О,то- - >О,иуравнениех2 = -
-
имеет два корня:
а
а
а,
х1=д,а Х2=-Р
а
Действительно, перенося в уравнении х 2
часть, получаем
х2 -(-:)=о.
Так как - ~>О, то
-
~= (Д)
2
.
Поэтому
а
а
а
с
а
с
величину - - в левую
а
Разложив левую часть этого уравнения на множители, получим
Данное произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей
равен нулю.
Рассматриваях - д = О, получим х1 =
а
рассматривая х +
+ Д=О,находимх2=-д
а
а
Следовательно, уравнение ах 2 + с =
с
Опри- <Оимеетдвакорня;
а
х1 = Д х2 = _:__ ✓--f,, что и утверждалось. Ответ .часто записывается
а
а
в виде
г;-
Х12=±у--
'
а
121

Например, _ неполное квадратное уравнение х 2 + 4 = О не имеет действи­
тельных корней. Для неполного квадратного уравнения х 2 - 4 = О по­
лучаем
(х- 2)(х+2)=о=>Х1=2, Х2 = - 2, Х1,2 =±2.
Это уравнение можно решить по-другому:
Х2~4, 1Х 1=-J4"=2 =>Х1=2,Х2 = -2,Х1,2 =±2.
3. Уравнение ах 2 + Ьх = О (а -=I= О, Ь -=I= О) можно решить с помощью
разложения его левой части на множители. Очевидно, что ах 2 -+ Ьх =О~
ь
~х(ах+Ь) =О,откудах1=О,х2=
-. Например,
Зх~+8х=О~
а
8
<?х(Зх+8) :~::О,откудах 1 =О,х 2 =- -.
3
В общем случае для решения квадратных уравнений применяется метод
выделения полного квадрата.
Применение этого метода поясним сначала на примерах.
П р им ер 1. Решить квадратное уравнение х 2 - 4х
-
5=О.
Решение. Запишем левую часть уравнения в виде
х2-4х
-
5=(х2-2 •2х+22)- 5
-
22=(х-2)2-9.
Эти преобразования выполнены с целью выделения полного квадрата
(х- 2)2•
•
Исходное уравнение можно записать в виде
(х-2)2-32=О
или ((х- 2) - 3)((х- 2) +3)=О.Следовательно,х - 2
-
3=Оилих -2+
+3=О,откуда
Х1 =5, Х2 =-1.
Заметим,что уравнение (х - 2)2 - 9 =О или (х - 2)2 = 32 имеет корни
х 1 -2=3их2 -2=-3.
:Вообще, уравнение вида х 2 =а (а> О) имеет корних 1 ,2 =±../а. В самом
деле,x:l =а~х2 - (✓а)2 =Оили (х - уа)(х+уа) =О,откудаиследует
справедливость утверждения.
Пр им ер 2. Решить квадратное уравнение 3х 2 + 2х - 5 = О.
Р е ш е н и е; Разделим обе части уравнения на 3:
2
2
5
х+-х-- =О.
3
3
Применим метод выделения полного квадрата:
х2 +3⁄4х-: =(х2 +2 ·х· 1⁄4+(1⁄2У)-(1⁄4 У - %=(х +:У
122
16
9

Поэтому получим
16
9
1
4
16
=-
9
откудах+-
=±-
. Следовательно,
3
3
41
5
Х2=--
-
-
=--
.
33
3
Можно выделить полный квадрат в исходном уравнении и без предва­
рительного деления на 3 (коэффициент при квадрате неизвестного):
з(х2+fх)- s =з(х2+2 •х •1⁄2+(f)2-С))-s=
16
3
Рассмотрим теперь квадратное уравнение общего вида
ах2 +Ьх+с=О (а*О).
(1)
Применим метод выделения полного квадрата. Для этого запишем ле­
вую часть уравнения в следующем виде:
ах2 +Ьх+с=а(х2 +~х)+с=
=а(х:, +2·х· .!!_+(.!!_)
2
-(!__) 2 )+с=а(х+ .!:_)
2
-~+с.
2а 2а
2а
2а
4а
Поэтому
а(х+2:)2
ь2
( Ь)2
4а+с=Оилих+2а =
Ь2-4ас
4а2
(2)
Дальнейшее решение зависит от знака правой части полученного урав­
нения (2).
Так как 4а 2 > О (а =I= О), то знак правой части совпадает со знаком вы­
ражения Ь 2 - 4ас.
О п р е дел е н и е. Выражение Ь2 - 4ас называется дискриминантом
квадратного уравнения ах 2 + Ьх + с = О (а * О) и обозначается буквой D:
D=Ь2-4ас.
123

Рассмотрим три случая: D> O,D= O,D< О.
1.D=b -4ас>О.
•
В этом случае уравнение (2) можно записать так:
(х+ ..!!_)
2
=(.jь2 -4ас ) 2
2а.
2а
следовательно,
ь ✓ь2-4ас
х+-=±-----
откуда
или
2а
2а
-
ь±✓ь2- 4ас
2а
- b±yJJ
2а
rде D - дискриминант уравнения ( 1) .
(3)
(4)
Такмм образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при Ь 2
-
4ас > О , ур~нение ах 2 + Ьх + с = О имеет два различных корня, которые
можно найти по формуле (3) или (4) .
2.D=Ь2 - 4ас =О.
В этом случае уравнение (2) принимает вид
(х + .!_)
2
=О,
.
2а
ь
ь
откудах + -=О, т.е.х =--.
2а
2а
Таким образом, если дискриминант равен нулю, т .е. Ь 2 - 4ас =О, то урав-
Ь
•
пение имеет единственный корень х = - -
.
.
2а
Заметим, что формула (3) или, что то же, (4) применима ·и в случае
D = О. В самом деле, эта формула дает единственный корень уравнения (1).
Говорят также, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных
ь
корня:х,1 =х2 = - -. Такое
соглашение освобождает нас от специальных
·
2а·
оговорок, относящихся к этому случаю при формулировке свойств квад­
ратных уравнений, а в дальнейшем (в rл. 7) -свойств квадратичных
функций.
3.D=Ь2 - 4ас<о.
124

В этом случае в правой части уравнения (2) стощ отрицательное число,
а в левой части - неотрицательное (положительное или равное нулю).
Следовательно, если Ь 2 - 4ас < О, то уравнение (2), а значит, и уравнение
ах 2 + Ьх + с = О не имеют действительных корней.
В ы в о д. Квадратное уравнение ах 2 + Ьх + с = О имеет действительные
корни только при дискриминанте D = Ь 2 - 4ас;;,, О; если D > О, то корни
•
различные; если D = О, то корни равные. Формула корней квадратного
уравнения имеет вид (3) или (4) .
По этой формуле можно находить и корни неполных квадратных урав­
нений, но проще вычислять их путем разложения левой части неполного
квадратного уравнения на множители, как бьmо показано.
Замечание 1. Если коэффициент Ь
-
четное число, т.е. Ь = 2k, то
формула корней квадратного уравнения примет вид
- 2k±V4k2 -4ас
-
k±Vk2 - ас
•
=
2а
а
Например, вычислим корни уравнения Зх 2 - бх
-
5 = О (заметим, что
уравнение имеет действительные корни, так какD = (- 6)2 - 4 •3 • (- 5) >.
>О):
3±~
З±у24 3±2..;'6
Х1,2 =
=
3
3
3
З а м е ч а ни е 2. Если коэффициент а = 1, то квадратное уравнение
принимает вид х 2 + рх + q = О. Такое квадратное уравнение назьmается
приведенным квадратным уравнением. Всякое квадратное уравнение
ах2 + Ьх +с =Оможнопривестиквидух2 +рх +q =Оделениемобеих
частей уравнения на а =f: О.
Найдем корни приведенного квадратного уравнения. В формуле (3)
полагаема= 1, Ь =р,с =q. Тоrда
Х12 = _!!.. ±Ji(E)2
-
q
'
2
2
-
формула корней приведенного квадратного уравнения х 2
Например, решим уравнение х 2 + 4х - 5 = О:
Х1,2= - 2±у14-(-5)= - 2±./9=-2±3,
откудах1 = 1,х2 =- 5.
+рх+q=О.
В § 5 гл. 7 будет рассмотрен графический способ решения квадратного
уравнения.
Пример 3.Решитьуравнение
2
х-4
1
х2-4 х2+2х
+ ---
=---
х2-2х•
125

Решение. Разложив знаменатели на множители , имеем
2
х-4
---- --+---= ---
(х+2)(х- 2) х(х+2) х(х-2)
После приведения дробей к общему знаменателю х (х 2 - 4) получим
уравнение
2х+(х-4)(х-2)=х+2
или х 2 - 5х + 6 = О, равносильное исходному уравнению, при условии;
что х(х2 - 4) *О, т.е. х *О, х *±2. Находим корни приведенного квадрат­
ного уравнения:
Х12 = 3-_
±~= ~ ±л=3-_
±~,
'
2
4:...
2
422
откуда х1 = 3,х2 =- 2. Так как х2 = 2 не удовлетворяет ограничениюх*2
(
(не входит в ОДЗ исходного уравнения), то, следовательно, исходное урав-
нение имеет единственный корень х = 3.
ТеоремаВиета.Есликвадратноеуравнениеах2 +Ьх +с =Оимеет
ь
действительные корни х 1 и х 2 , то их сумма равна - - и произведение
.
а
с
равно- :
а
ь
с
Х1+х2=-- , Х1·Х2=-.
(5)
а
а
Формулы (5) называются формулами Виета.
До к аз ат ель ст в о. По условию дискриминант квадратного урав­
нения D = Ь 2 - 4ас ;;;i,, О. Тогда по формуле (4) уравнение имеет два корня:
-Ь+у]5
2а
-
b-vlJ
2а
Найдем сумму и произведение корней:
- b+yD-b-yD
Ь
Х1 +Xz = --------=--,
2а
а
(- ь +..,/l))(- ь
-
../IJ) Ь2 - D
=--- =
4а2
4а2
••• и формулы (5) получены.
ь•-(Ь2- 4ас)
4а2
с
=-
а
Теорема Виета устанавливает связь между корнями квадратного урав­
нения и его коэффициентами.
126

Для приведенного квадратного уравнения
х2+рх+q=О
с дискриминантом D = р 1.
-
4q;;;,, О формулы (5) принимают вид
х1+~=- р,
х1•х2=q,'
(6)
Полученные для приведенного квадратного уравнения формулы Вие­
та читаются так: сумм.а корней приведенного квадратного уравнения
равна коэффициенту при неизвестном в первой степени, взятому с про­
тивоположным знаком, а произведение корней равно свободному
члену.
Если корни квадратного уравнения действительн:ь1е (D;;;,, О), то фор­
мулы Виета позволяют по знакам коэффициентов уравнения определить
знаки корней. Например, если а > О, Ь > О, с< О (и, следовательно, D =
2
с,
=Ь
-
4ас>О),тох1•х2= -
< О и корни имеют разные знаки,. Так как
а
ь
при этом х1 + х2 = -- < О, то отсюда следует, что больший по, моду­
а
лю корень отрицателен (сумма двух чисел разных знаков отрицатель­
ная!).
Теорем а (обратная теореме Виета). Если числа х 1 , х2 , р, q таковы,
ЧТО
Х1+Х2=-р, X1'X2=q,
тох1их2- корниуравнениях2 +рх +q =О.
В теореме Виета для приведенного квадратного уравнениях 2 + рх + q = О
утверждалось, что для его корней х 1 , х 2 и коэффициентов р, q справед­
ливы формулы (6) .
В обратной теореме Виета утверждается: если для чисел х 1 , х 2 , р, q
1 . справедливы формулы (6), то х 1 и х2 - корни приведенного квадратного
уравнениях"+ рх + q = О.
1
Доказательство.Рассмотрим
и получим
(х-х1)(х-х2)=х2- (х1+х2)х+х1х2=х2+рх+q.
Очевидно, что х 1 и х2 - корни уравнения
(х-х1 )(х-х2 ) =О
f
и, значит, уравнениях2 +рх + q = О.
~-
Теорема Виета и теорема, обратная ей, часто применяются при решении
i~ различных задач.
127

Пр им ер 4. Не решая уравнения х 2 - 452х + 987 = О, определить зна-
ки ero корней.
Решение. Дискриминант этого уравнения положителен, так как
D =226:.i
-987>0.
4
Следовательно, уравнение имеет действительные корни х 1 и х 2 . По теоре­
ме Виета х 1 х 2 = 9.87 > О; корни имеют одинаковые знаки. Так как по тео,
реме Виетах1+х2 =452> О, то корних1их2 - положительные.
П р и м е р 5. Составить приведенное квадратное уравнение, корни
которого х1 =2,х2 = 3.
Р е ш е ни е. По обратной теореме Виета
р=-(х 1 +х2 )=-5; q=x1x 2 =6.
Искомое уравнение х2 - 5х + 6 = О.
Пр им ер 6. Не вычисляя корни х1 и х2 уравнения 3х2 - 2х
-
6=О,
11
найти: а)-+-; 6) xf + х~; в) Xi +х~.
Х1 Х2
Решение. Дискриминант D = 22 -4 · 3,•( -6)> О . По формулам Виета
Ь2
с
Х1+Х2=--;; =З , Х1Х2 =-;; =- 2.
1
1
Х1 +Х2
2
а)-+-= ~--=
Х1
Х2 Х1Х2
3
1
(-2)= --
3
(2)2
40
б)xf+х~=(х1+х2)2-2х1х2 = 3
-2 ·(-2)= 9
в) х1 +х~ =(х1 +х2)(х1 - х1х2 +х~)=
=(.х1 +х2)((х1 +х2)2 -3Х1Х2)=+((~ } 2
-
3·(-2)) = 1;76
П р и м е р 7. Найти р, если сумма квадратов корней уравнения х2 +
·1
+. рх
-
3=Оравна10.
•,
Ре ш е ни е. Очевидно, что дискриминант D > О. По формулам Виета i
,цля приведенноrо . квадратноrо уравнения
Х1+Х2"'-р,Х1Х2=- 3.
ТаккакXi +х~ =(х1+х2)2- 2х1х2=р2+6,тор2+6=10,откудар2=4
и,следовательно,р=2илир= - 2.
128

J
§ 4. Разложение квадратного трехчлена на множители
Рассмотримквадратный трех'Иен
ах2 +Ьх +с (а*О).
Квадратный трехчлен это много'Иен второй степени. Значения х,
при которых квадратный трехчлен обращается в нуль, назьmаются кор­
нями квадратного трех'Иена.
Для нахождения корней квадратного трех'Иена нужно решить квад­
ратное уравнение ах2 + Ьх + с = О.
Мы уже знаем, что число действительных корней квадратного урав­
нения, а значит, и квадратного трехчлена зависит от знака дискриминанта
D=b2 - 4ас.
Пусть дан квадратный трехчлен
ах2+ Ьх+с (а*О)
с неотрIЩательным дискриминантомD = Ь 2 - 4ас;;;,, О.
Теорем а. Если х 1 и х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх + •
+с,то
(а* О).
(7)
Доказательство.Так какх1 их2 - корниквадратного урав­
нения ах2 + Ьх + с = О с дискриминантом D;;;,, О, то по теореме Виета
ь
с
Х1+Х2=--,
Х1Х2 =-.
а
а
Поэтому
ах2 +Ьх+с=а(х2 ++х +-;)=а(х2 -(х1 +х2)х+х1х2 )=
=а((х2 -Х1Х)- (Х2Х-Х1Х2))=
=а(х(х-х1) - х2(х- х1))=а(.х- х1)(х-х2);
Полученное равенство (7) называется формулой разложения квадрат
наго трехчлена на линейные множители.
Пр им ер 1. Упростить выражение
2х2-5х+2
4-х2
Решение. Для квадратного трехчлена 2х2 5х + 2 дискриминант
D = 25 - 16 > О. Найдем корни трехчлена, решив квадратное уравнение
1
2х2- 5х+2=О. Получимх1=2их2==2
.
Поэтому по формуле ( 7)
5. Г.И. Богатырев
129

2х2-5х+2
4-х 2
(х - 2)(2х
-
1)
(х - 2)(х +2)
2х- 1
х+2
Пр им ер 2. Пусть х = 2 - корень квадратного трехчлена 4х 2 - 14х + q.
Найти q и разложить трех1Иен на множители.
Решение.Таккакх=2 -кореньтрех1Иена,то
4-22 - 14 -2+q=0,
откуда q = 12. По теореме Виета для квадратного уравнения 4х 2 - 14х +
12
3
+12=Оимеемх1х2=
-
= 3,атаккакх1=2,тох2= -
. Поэт ому
4
2
4х2- 14х+12=4(х -2\х -+)=2(х -2)(2х
-
3).
Пр им ер 3. Доказать, что выражение
(4у-5+ 9(у-3) ).4у2-17у+15
у2-9
15-7у -4у2
у-2
7
у+З
при всех допустимых значениях у есть величина постоянная.
Решение. 1) Разложим знаменатель второй дроби на линейные мно­
жители.
Решив уравнение 15 - 7у
-
4у2 =О <=> 4у2 +7у- 15= О,найдему1,2 =
-
7±17
5
=
8
=>У1=-
3,У2 =4
. Получаем раз ло жен ие квадра тного
трех1Иена:
15-7у
-
4у2= - 4(у +3)(У -
~)=- (у+3)(4у
-
5).
4у-5
9(у-3)
2)2
+
2=
у-9 15-7у
-
4у
(у-3)(у+3)
4у-5
9(у-3)
---
-
--=
(у+ 3)(4у - 5)
(4у- 5)2 - (З(у
-
3))2
(4у-5 -3(у
-
3))(4у- 5+3(у - 3))
=--- ---
-
-
-
= ----
--
- ---
----
=
(у - 3)(у +3)(4у - 5)
(у - 3)(у +3)(4у - 5)
7(у+4)(у - 2)
=----- ----
(у - 3)(у +3)(4у - 5)
130
-
j

7(у+4)(у-2)
4у2 -17у+15
3) (у-3)(у+3)(4у-5) у- 2
7(у+4)(у - 2) •4(у - 3)(у --+)
(у - 3)(у +3)(4у - 5)(у
-
2)
7у +28
у+3
7у+28
7
7у+21
7(у+3)
~
-- -=
= ---=7
у+3
у+3
у+3
у+3
-
величина, постоянная при всех допустимых значениях у'(т.е. при любых
значенияху, ЩIЯ которыху i=- ± 3,у i=-
: ,уi=- 2).
.
§ 5. Уравнения, приводимые к шmейным и квадратным
Уравнение вида
а0хп +a1xn-l + ... +ап_1х +ап =О (а0 i=-0, п - натуральное)
называется алгебраическим уравнением п-й степени. Его левая часть -
многочлен п-й степени относительно х. Уравнение первой степени и квад­
ратное уравнение являются его частными случаями при п = 1 и п = 2 соот­
ветственно.
Уравнения, в которых неизвестное содержится под знаком корня, назы­
ваются иррациональными.
Рассмотрим примеры решения некоторых алгебраических уравнений
степени п;;;. 3, а также иррациональных уравнений.
Пр им ер 1. Решить уравнения:
а)х3 -8=0; б)х3 +8=0 .
Р е ш е н и е . Оба уравнения можно решить разложением левой части
на множители. Проще поступить по-другому:
а)х3-8=О <==>х3=8<=>х=\!в =2;
6)х3+8=О<=>х3=- 8<==>х=3...,,г=-в= - 2.
Пр им ер 2. Репшть уравнение
х3+2х-3=О.
Решение. Используем разложение на множители :
х3+2х-3=х3+2х-2
-1 =(х3- 1)+2(х-1)
или
х3+2х-3=(х -1)(х2+х+3).
131

Поэтому(х- 1)(х2+х+3)=О,откудах - 1 =Оих2+х+3=О.Полу­
чим х = 1; дискриминант квадратного уравнения D = 1 - 12 < О; следо­
вательно, квадратное уравнение действительных корней не имеет.
Значит, х = 1 - единственный действительный корень данного уравнения.
Пр им ер 3. Реrшпь уравнение
(х2-5х)2-ЗО(х2-5х)
-
216=О.
Решение. Заметим важную особенность уравнения: его левая часть
содержит неизвестное х в виде выражения х2 - 5х. Поэтому д;rrя решения
этого уравнения используем метод введения нового неизвестного . Пусть
х2 - 5х = у, где у - новое неизвестное . Тогда данное уравнение приводится
к квадратному уравнению относительно у:
у2 -ЗОу-216=0.
Решаяего,получаем у1 = - 6, у2 =36.
Теперь найдем х. Решая уравнение
х2-5х=- 6или х2-5,.х+6=О,
получаем х 1 = 2, х2 = 3. Решая уравнение
х2-5х=36 или х2-5х
-
36=О,
получаемх3 = - 4,х4 = 9.
Итак,х1 =2,х2 =3,х3= - 4,х4=9 - всекорниданногоуравнения.
Отметим, что без введения нового неизвестного решить данное урав-
нение четвертой степени бьmо бы затруднительно.
Пример4.Решитьуравнение
х(х2 - 1)(х+2)+1=О.
Решение. Имеем
х(х+1)(х -1)(х+2)+1=0 или(х 2 +х)(х 2 +х-2)+1=0.
Полагаем х 2 + х =у. Тогда получим
у(у- 2)+1=О или (у - 1)2=о,
откудау1=у2=1.Теперьизуравнениях2+х=1илих2+х-1=О
находим
-1 +v!S
2
,
Хз,4 =
-1-. ./ 5
2
Пример 5. Рсшннуравнение
х2
х2 +---- =3.
(х+1)2
132

Решение. Выделив полный квадрат, запишем уравнение в виде
(
Х)2
Х
х--- +2х-
---
=3
х+1
х+1
или
(.х2+х-х)2+ 2х2
·
х+1
х+1
-
3 =О, (._!_ )
2
+2 -~
-3=0.
х+1
х+1
х2
Полагаем --
=у. Тогда у2+2у-3=0,откудау1=1,у2= - 3.
х+1
Решая уравнение
х2
х+1
=1 или х2-х-1=О,
1 ±..js
получаем х1 ,2 = ---
.
Для уравнения
2
х2
--
=- 3 илих2+3х+3=О
х+1
дискриминант D< О, т.е. действительных корней нет.
1 ±,/5
Итак, х 1 2 = --- - все корни исходного уравнения.
'
2
Пр им ер 6. Решить биквадратное уравнение
ах4 +Ьх2 +с=О (а =I= О).
Решение. Биквадратное уравнение - важный частный случай урав­
нения четвертой степени. Заменой х2 = у биквадратное уравнение приво­
дится к квадратному уравнению ау2 + Ьу +с= О, которое имеет действи­
тельные корни только в случае, когда его дискриминант D = Ь 2 - 4ае
неотрицательный. Тогда возможны следующие случаи ,(в зависимости от
корней у 1 , у2 вспомогательного квадратного уравнения) :
1) у 1 ;;;;,, О,у2 ;;;;,, О; биквадратное уравнение имеет четыре действительных
корня:
Х1,2 =±б~, Хз,4 =±yj;.
2) у 1 ;;;;,, О, у 2 < О; биквадратное уравнение имеет два действительных
корня:
Х1 ,2 = ± .....,ry;.
Очевидно, аналогично и при у 1 < О, У2 ;;;;,, О.
3) у 1 < О, у 2 < О; биквадратное уравнение не имеет действительных
корней.
133

Например, решим биквадратное уравнение х4 - 8х2 - 9 =О.Полагаем
х2 =у. Тогдау2 - 8у
-
9 = О;дискриминантD> О; корниу 1 = 9,у 2 =-1 .
Решая уравнение х2 = 9, получаем х1 ,2 = ± 3. Уравнение х2 = - 1 действи­
тельных корней не имеет .
Пример 7. Решить уравнение (16 -х 2 ) ,Jx - 3 = О.
Решение. 1) Квадратные корни существуют только из неотрицатель­
ных чисел. Поэтому х - 3;;. О=> х;;. 3 (ОДЗ уравнения).
2) Произведение двух сомножителей в данном случае равно нулю,
если каждый из них порознь равен нулю (при условии, что другой сущест­
вует) .
Имеемдваварианта:А)16- х2 =ОилиБ),../х - 3 =О.
А) 16-х2 =О, х2 =16, lxl =4 -=> х1 =4,х2 =-4.
Заметим,чтох=4входитвОДЗуравнения,ах= - 4невходитвОДЗ
уравнения и не может быть корнем исходного, уравнения .
Б),Jх-3 =О, х -3=О=>х,;,3.
Ответ.х1-= 4,Х2 =3.
Прим ер8.Решить уравнение ух=х - 2.
Решение. Возведем в квадрат обе части уравнения:
х=х2-4х +4 или х2 - 5х+4-= О ,
откуда х 1 = 4, х2 = 1. Вьmолненное преобразование может привести к
появлению посторонних корней. Поэтому проверим, являются ли полу­
ченные числа решениями исходного уравнения . При подстановке числа
х = 4 в данное уравнение получаем: верное равенство ,./4 = 4 - 2. При под­
становке же числа х = l получаем неверное равенство 1 = - 1; следова­
тельно, х = 1 - посторонний корень. Корнем иррационального уравнения
Гх=х - 2являетсятолько число х=4.
Пр им ер 9. Решить уравнение ,./х 2 - 2 =,/х.
Р е ш е ни е. Возведем в квадрат обе части уравнения:
х2-2=х илих2-х
-
2=О,
откуда х 1 = 2, х2 = - 1. При подстановке х = 2 в данное уравнение полу­
чаем верное равенство ,./22 - 2 = 'vf2, Следовательно, х = 2 - корень урав ­
нения. Число х = -
l не является корнем уравнения, оно не принаЩiежит
области определения уравнения (не входит в ОДЗ уравнения) ,
Пример 1О.Решитьуравнение✓х2+1- 'vl2x2 +5 =1.
Решение. Так как х2+1<2х2 +5 для любого действительного числах,
то ✓х2 + 1 < J2x2 + S и, знащп, данное уравнение действительных корней
не имеет.
Ответ. ф.
134

Пр им ер 11. Решить уравнение J3x + 1 -
.Jx- 1=2.
Решение . Заrш:шем уравнение в виде
и возведем обе части его в квадрат:
3х+1=х - 1+4v'x=1°+4 или 2.Jх- 1=х - 1,
откуда4(х-1)=(х -1)2,т.е.(х -1)(х-1
-
4) =О.Следовательно,
х 1 = 1, х2 = 5 . Проверка показывает, что числах= 1, х = 5 удовлетворяют
исходному уравнению.
Ответ.х1 =1,х2=5.
ТТример 12.Решитьуравнение \/х+2\f?=3.
Решение. Пусть \/х=у. Тогда имеем 2у2 +у - 3 =О, откудау1 = 1,
3
3
33
3
. Если
у=1,то .ух=1,х1=1.Еслиу=- - ,то ух=- -
2
2
2
27
8
Пример13. Решитьуравнение Jx2 - 3х +5+х2 =3х +7.
Решение. Заrш:шем уравнение в виде
../х2-3х+5+(х2-Зх+5)=12.
Полагаем ..,/х2 - Зх + 5 =у (у ;;,,, О) .Тогда имеем}' +у2 ;-12 или у2 +у -
-
12=О,откудау1=3,у2= - 4 .Еслиу=3,то .Jx2 - 3х+5=3илих2-
-
3х- 4 =О,откудах1=4,х2= - 1.Значен~еу= - 4непригодно.
§ 6. Уравнения с несколькими неизвестными.
Системы уравнений
Уравнение может содержать несколько неизвестных. Например, х + 2у =
= 3 - уравнение с двумя неизвестными, х2 + у2 = z 2 - уравнение с тремя
неизвестными и т .д .
Решением уравнения с двумя, тремя и т.д. неизвестными будем назы­
вать пару (х; у), тройку (х; у; z) и т.д. значений неизвестных, обращаю­
щих зто уравнение в верное равенство .
Например, решениями уравнениях + 2у = 3 являются пары (о; : ),
(3; О), (1; 1) и другие. Вообще, придавая х произвольное значение, можно
найти соответствующее значение у. Общий вид решения этого уравнения
(.. 2-=_: _)
х,
.
.
2
135

Решениями уравнения х2 + у 2 = z 2 являются тройки чисел (О; 1; 1),
(О; 1; - 1), (З; 4; 5) и другие. Общий вид решения этого уравнения
(х; у; ± ✓xz +yz).
Уравнение х2 + (у - 1) 2 + (z + 1) 2 = О имеет единственное действи­
тельное решение (О; 1; - 1). В самом деле, сумма квадратов действитель­
ных чисел равна нулю в том и только в том случае, когда каждое из них
равно нулю, т.е. в нашемпримере прих =О,у - 1 =О, z + 1 =О.
Уравнение х2 +у 2 + 1 =О действительных решений не имеет .
Уравнения с несколькими неизвестными имеют те же свойства, какие
имеют уравнения с одним неизвестным.
Пусть задано несколько уравнений с одним, двумя, тремя или большим
числом неизвестных.
Совокупность этих уравнений называют системой уравнений. Ре­
шение системы - число, пара чисел, тройка чисел и т.д., являющихся ре­
шением всех данных уравнений этой системы.
Например,
{х-1 =О
х2+х-2=о'
-
система двух уравнений с одним неизвестным. Число х
воряющее обоим уравнениям, является решением системы;
{ х+у=2,
х-у=О
1, удовлет-
-
система двух уравнений с двумя неизвестными. Пара чисел х = 1 и
и у = 1, удовлетворяющих уравнениям системы, является решением
системы.
Число уравнений в системе не обязательно равно числу неизвестных.
Например,
{ x+y=z,
2х -у= 2z
система двух уравнений с тремя неизвестными. Решением этой систе­
мы является тройка чисел (х; у; z), обращающих каждое уравнение сис­
темы в верное равенство. Например, (1; О; 1) - решение системы; (1; 2; 3)
не является решением системы.
Две системы уравнений назьmаются равносильными, если любое · ре­
шение одной системы является решением другой, и наоборот. Если обе сис­
темы уравнений не имеют решений, то они также считаются равно­
сильными.
Если система не имеет решений, то говорят, что она противоречивая,
или несовместная. Решить систему - это значит найти множество всех ее
решений.
136

~-
§ 7. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвесrnыми ~ •
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид
{а1х+Ь1у=с1,
а2х +Ь2У =с2,
где а1, Ь1, с1,а2, Ь2, с2 - заданные числа, ахиу-неизвестные.
Решением этой системы называют такие два числа х и у, которые при
подстановке в систему обрашают каждое ее уравнение в верное равенство .
Решить систему уравнений - это значит найти все ее решения или устано­
вить, что их нет. В дальнейшем будем считать, что коэффициенты а 1 , Ь 1 и
а2 , Ь 2 соответственно не обращаются в нуль одновременно. Тогда полу­
чим систему двух уравнений первой степени с двумя неизвестными -
частный случай системы двух ттинейных уравнений.
Рассмотрим способы ее решения.
Способ подстановки. Этот способ заключается в следующем:
1) из одного уравнения системы нужно выразить одно неизвестное че­
рез другое, например у выразить через х;
2) найденное выражение подставить в другое уравне~ше системы; по ­
лучится одно уравнение с одним неизвестным х;
3) решив это уравнение, найти значение х;
4) подставив полученное значение х в выражение для у, найти зна-
чение у,
Решим способом подстановки систему уравнений
{'2х+5у=15,
3x+8y=~ l.
1) Из первого уравнения находим
15-2х
у=
5
2) подставим выражение для у во второе уравнение системы;
8
3х+5(15-2х) =- 1;
3) решаем это уравнение:
15х+120-1бх=- 5,х=125;
4) подставляя х = 125 в выражение для у, получаем
15-2 ·125
у=------
5
= -47.
Ответ. х=125,у=-47.
137

-------------
---------
епособ алгебраического сложения. Этот способ состоит в следующем:
1) сначала нужно уравнять модули коэффициентов при каком-нибудь
неизвестном ;
2) складывая или вычитая почленно полученные уравнения, найти одно
неизвестное;
3) подставляя найденное значение в одно из уравнений системы, найти
второе неизвестное.
Этот способ оказывается удобным в тех случаях, когда у обоих урав­
нений коэффициенты при каком-нибудь неизвестном одинаковы или
отличаются только знаком .
Peurn:м способом алгебраического сложения систему уравнений
f2х+5у =15,
l4х+зу = -5.
1) Оставляя второе уравнение без изменения, умножим обе части пер-
вого · уравнения на 2:
{4х+10у=30,
4х+Зу=-5;
2) вычитая из первого уравнения полученной системы второе уравне-
ние, находим
7у=35, у=5;
3) подставляя у = 5 в первое уравнение исходной системы , получаем
2х+5•5=15,х=- 5.
Ответ.х= - 5,у=5.
Рассмотрим примеры.
Пример1.Реuштьсистему
{ 5х+у =7,
2х-Зу=
-4.
Решение.а)Способподстановки.Изпервогоуравненияна­
ходим у = 7 - 5х и подставляем это выражение во второе уравнение сис-
темы:
•
2х-3(7-5х)=-4, откуда х=1.
Поэтому у= 7 - 5 • 1 =2. Система имеет единственное решение (1; 2)
(оно записано в виде упорядоченной пары чисел) .
б) Способ алгебр а и чес к ого сложен и я. Уравняем модули
коэффициентов при у. Оставим второе уравнение без изменения и умно ­
жим обе части первого уравнения системы на 3:
f 15х+ Зу =21,
l 2х-Зу=
-
4.
138

Складывая почленно эти уравнения, находим
17х=17, откуда x=l.
Тогда из первого уравнения данной системы получим
5-l+y=7, откуда у=2.
Пр им ер 2. Решить систему
{2х-у =1,
4х-2у=2.
Решение. Из первого- уравнения находим у = 2х - 1 . Подставляя
во второе уравнение, имеем
4х-2(2х- 1)=2 или 2=2.
Полученное тождество означает, что система имеет бесконечное мно­
жество решений, определяемых по формуле у = 2х - 1, где х - любое
число.
Пр им ер 3. Решить систему
{2х+Зу=4,
бх+9у=2.
Решение. Применяя способ алгебраического сложения , уравняем
коэффициенты при х:
·{6х+9у=12,
бх+9у=2.
Вычитая из первого уравнения полученной системы второе уравнение,
приходим к неверному равенству О = 10. Полученное противоречие озна­
чает, что исходная система несовместна, т.е. она не имеет решений .
В § 5 гл. 7 будет рассмотрен графический способ решения систем
-
-
~
двух уравнении первои степени с двумя неизвестными .
~ 8. Уравнения и системы уравнений (решение задач)
При решении уравнений или систем уравнений нужно следить за равно­
сильностью выполняемых преобразований.
Если уравнение или система уравнений содержит параметр, то надо
исследовать решение: в зависимости от значений параметра уравнение
(система уравнений) может иметь одно или несколько решений, а может
и не иметь решений.
При решении уравнений или систем уравнений часто используется введе­
ние новых неизвестных.
139

Пример1.Решитьуравнение·
х+1
4х+1
10
-- -=
2х2- 3х 4х2+бх 4х2-9•
x+l
Решение . 1)---­
х(2х - 3)
4х+1
2х(2х + 3)
10
=О.
(2х- 3)(2х+3)
2) Найдем общий знаменатель дробей и допустимые значениях:
3
2х(2х- 3)(2х+3),гдех =I=±-их =I=О.
2
3) Тогда
(2х+2)(2х+3)-(4х+1)(2х- 3)- 1О•2х =О<=>
<=>4х2+6х+4х+6-8х2+l2x- 2х+3-20х =О<=>
3
-
не годен по области определения уравнения, так как х =I= ± -
. Исходное
2
уравнение корней не имеет.
Ответ. ф.
Прим,ер2.Решитьуравнение
ах-Ь Ьх+а а2+Ъ2
- -+---= ---
а-f:Ь
а-Ь а2-Ъ2•
Решение.Приа2- Ь2=I=О
(а-Ь)(ах- Ь)+(а+Ь)(Ьх+а)=а2 +Ь2,
откуда после упрощений имеем (а2 +Ь2)х = О. Поэтому при а2 - Ь2• =I= О
получим х = О - корень уравнения . Если а2 - Ь 2 = О, то уравнение теряет
смысл .
Пример3.Решитьуравнение
(а2+а-2)х2+(2а2+а+3)х+а2- 1=О.
Решение.Пустьснач~уJа-а2+а- 2 =I=О,т.е.а =I=1,а =I= -
2. Тогда имеем
квадратное уравнение / с дискриминантом D = (2а2 + а + 3)2 -
-4(а2 +а-2)(а2 -1)=4а4 +а2 +9+4а 3 +12а2 +6а - 4(а4 -а2 +а 3 -
-
a-2a2 +2) = 25a 2 +10a+l=(Sa+l)2 . Так как п;;;;.о, то находим
корни:
-
(2а2+а+3)+(Sa+1) -2(а
-
1)2
а-1
Х1=------с-------= -----
2(а2+а-2)
2(a - l)(a+2)--~ ,
- (2a2 +a+3)-(5a+l) - 2(a+2)(a+l)
a+l
х2= 2(а2+а-2)
2(а-l)(a+2)--а -1'
140

разложив на множители квадратные трехчлены
а2+а- 2 =(а - 1)(а+2), а2+За+2=(а+2)(а+1).
При а= 1 исходное уравнение принимает вид
бх=О или х =О;
при а= - 2 исходное уравнение имеет вид
1
9х+3=Оилих=-
-
.
3
а-1
а+1
Ответ.Еслиа*1иа*- 2,тох1=---, х2=---;еслиа=1,то
1
а+2
а-1
х=О; еслиа=2,тох = -
-
.
3
Пр.имер4.Решитьуравнение ух+а=а - ../х.
Решение. Имеем х +а;:;,,, О, х ~О.Заметим, что при а < О уравнение
корней не имеет: его левая часть неотрицательна (т.е. больше или равна
нулю), а правая часть отрицательна. При а = О уравнение принимает вид
ух=- ух,откудах =О.
Рассмотрим случай а> О. Возведем в квадрат обе части уравнения. Тогда
х +а =а2 - 2ау'х +х, откуда после сокращения на а * U получим 2ух=
(а-_1)2
(а-1)2
=а -1илих=•
.
. Проверка
показывает, что х --- явл·яется
4
4
корнем уравнения только при а;:;,,, 1.
(а- 1)2
Ответ. Если а= О, то х = О; если а;;,,, 1, то х =----
4
П р и мер 5. Решить систему уравнений
·{х +ау= 1,
ах- Зау =2а+3.
Решение. Используем способ подстановки: х = 1 - ау. Тогда
a(l - ау)
-
Зау=2а+3или а(а+3)у= - (а+3).
•Еслиа*Оиа* - 3,тоу=-
~,х=1-а(-
~) =2.
Еслиа=О, тоО •у = - 3 и система несовместна.
Еслиа=- 3,тоО·у=О,т.е.у -любоечисло,ах =1+Зу.
Ответ. Если а* О и а* -3, то система имеет единственное решение
(2; - ; ) ; если а= О, то система не имеет решений; если а= - 3, то система
141

имеет бесконечное множество решений, определяемое формулой х = l + Зу,
где у - любое число.
Пр и м е р 6. Решить систему уравнений
f2х2-ху+Зу2-7х
-
l2y+1=О,
lх-у +l=О.
Решение. 1) Из второго уравнения системы имеем х = у - l.
2) ({x=y- l,
) =>2(у- 1)2-(y- l)y+
2х2- ху+3у2- 7х
-
l2y+1=О
+3у2- 7(у- 1)-12у+l=О
(применили способ подстановки). Упрощая, получаем 2у2 - l ly + 5 = О,
1
откуда у1 = -
,У2=5.
2
1
3) Поэтомух1 =у1 -1 = 2
-1 =-
2,т.е.Х1 - - 2,У1=2;Xz
=у2 -1 = 5 -1 =4,т.е.х2 =4,у2 =5.
Ответ.(-➔;1⁄2),(4; 5).
П р и м е р 7. Решить систему уравнений
{ х2 +у2 +x+y=ll:s,
х2-у2+х-у =6.
Решение. Складывая почленно и вычитая уравнения данной системы,
получаем равносильную систему
{х2+х-12 =О,
у2+у-6=О.
Решая первое уравнение,найдемх = - 4 их= 3; решая второе уравнение,
найдему=- 3иу=2.
142
Ответ. (-4; -3), (-4; 2) , (3; -3), (3; 2).
Пр и м е р 8. Решить систему уравнений
{ х2уз=8,
хэу2 =4.
Решение. 1) Умножив почленно уравнения системы, найдем
(ху)5=32=>ху=2.
2
2)Тогдау= -
.
х

1
1
1
----------
-·--
-
3) Подставив найденное выражение для у, например, в первое уравнение
данной системы, получим
8
х2•-
=8
3
'
'
х
откуда х = 1. Поэтому у= 2.
Ответ. (1; 2).
Пр им ер 9. Решить систему уравнений
{ (х +у)2- 2(х +у)= 15,
ху=6.
Ре ш е ни е-. Пусть х. +у = и, где и - вспомогательное неизвестное. Тогда
первое уравнение системы примет вид u2 -2u'--l5 = О, откуда и 1 = 5,
И2=-3.
Исходная система распадается на две системы:
{х+у=5,
ху=6
и {х+у=- 3,
ху=6.
Для каждой из эmх систем можно применить способ подстановки.
Например, _для первой системы найдем из ее первого уравнения у = 5 - х
и подставим во второе уравнение: х (5 - х) = 6.
Поступим иначе. Будем рассматривать х и у как корни приведе_нного
квадратного уравнения
z2+pz+q=О.
ПоформуламВиетар= - (х+у), q=ху.
Для системы
{ х+у=5,
ху=6 -
имеемz2 - 5z +6=О,откуда z1= 3,z2 =2. Следовательно,х1 = 3,у1=2;
х2=2,у2=3.
Для системы
{х+у=- 3,
ху= 6
имеемz2 +Зz+6=О сдискриминантомD=9 - 4 •6<О. Это уравнение
и, следовательно, сама система уравнений действительных решений не имеет.
Ответ. (3; 2), (2; 3).
Пр и м е р 1О. Решить систему уравнений
{. ху(х2+у2)= 10,
ху+х2+у2=7.
143

Решение. Пусть ху =и, х2 +у2 =и (и ;;;;,, О), где и и и - новые неизвест­
ные. Тогда
{uv;=10,
u+v=7.
Будем рассматривать и и и как корни приведенного квадратного уравне­
ния z 2 - 7 z + 10 = О, составленного при помощи формул Виета. Находим
z 1 =2 ,z2 =5.Следовательно,и 1 =2,v1 =5; u2 =5 ,v2 =2.
А) Для системы
{х2+У2=5,
ху =2
имеем равносильную систему
{ х2+У2=5,
{ (х+у)2 =9,
или
2ху =4
(х-у)2 =1,
откудах+у=±3, х -у=±l.
Решая способом алгебраического сложения системы
{х+у=3, {х+у=3, {х+у= -3, {х+у= -3,
x-y=l; x-y=-l; x-y=l;
x-y=-l,
получим соответственно четыре решения исходной системы:
(2; 1), (1; 2), (-1; -2), (-2; -1).
Б) Для системы
{х2+у2=2,
ху= 5
имеем равносильную систему
{ х2+у2=2, или {(х+у)2=12,
2ху== 10
(х-у)2 =-8,
из второго уравнения которой следует, что действительных решений нет.
Ответ. (2; 1), (1; 2), (-1; -2), (-2; -1).
Пр им ер 11. Решить систему уравнений
{.2х2- 3ху+у2- 3=О,
х2+2ху-2у2-6=О.
Решение. Запишем систему в виде
{2х2- 3ху+у2=3,
х2+2ху-2у2=6
144

и выполним деление:
2х2 - Зху +у2
х2 + 2ху- 2у2
3
6
у
Полагаем -
= t или у= xt, где t - новое неизвестное. Получим
х
x2(2-3t+t 2 )
1
х2(1 +2t- 2t2) 2
откуда4-6t+2t2=1+2t- 2t2или4t2- 8t+3=О.
3
1
Решая это уравнение, находим t 1 = -
,
t2=-
.
3
3
2
2
Еслиt=
-
, т о у = -х. Подставив, например, в первое уравнение исход-
2
2
ной системы, получим уравнение
2
9292
~
2х--х+-х
-
3=О или х~+12.= О,
2
4
которое не имеет действительных корней.
1
1
Еслиt=2
, то у= 2 х. После подстановки в первое уравнение системы
получим
3
1
2х2--х2+- х2-3=Оилих2-4=О,
2
4
откуда Х1 =2, Х2 =-2; следовательно, У1 = 1, У2 =-1 .
Ответ. (2; 1), (- 2; -1).
Пр им ер 12. Решить систему уравнений
[
2-+_ _: _=2.,
ху2
1
15
-
+-
=-
х2у24
1
Решение. Пусть - = и,
= v. Тогда получим
х
у
3
и +v=-
2'
5
и2+v2= -
4
145

3
Из первого уравнения найдем и= -
. .. :. . и и подставим во второе уравнение:
2
u2 +(%~иУ =: или 2u2 -3u+1=0,
1
откуда и1 =1, и2 =2; следовательно, v1 = -
, v2=1.Поэтомух1=1,
2
У1=2;Х2=2,У2 =1.
Ответ. (1; 2), (2; 1) .
Пр им е р 13. Решить систему уравнений
{х2+у2-ху=61,
x+y-. .Jii=7 .
Решение. 1) Область допустимых значений неизвестных определяется
неравенством ху), О.
2) Полагаем х +у= и, уху= и (и), О). Тогда, представив первое урав-
нение в виде (х +у)2 - 3ху = 61, получаем систему
{ u2 -3v2 =61, ( {u2 -3v2 -61=0,)
=>
и-v=7,
u=v+7
=>(V+7)2- 3u2- 61=0ИЛИV2- 7V+6=0,
.откуда v1 = 1, v2 = 6; следовательно, и1 =8, И2 = 13.
3) Теперь исходная система распадается на две простые:
{х+у=8,
ху =1
и
{ х+у=13,
ху =36.
Решая эти системы, получаем
х 4+vfs 4-у15 9 4
у4-$4+у1549
Ответ. (4+у15; 4-у15), (4-ylS; 4+·J15), (9; 4), (4; 9).
§ 9. За,цачи на сосrавление уравнений
Для решения таких задач надо ввести неизвестные и выразить условия
задачи соответствующими уравнениями. При этом большое значение имеет
удачный выбор неизвестных и эффективность способа решения. Не всегда
целесообразно выбирать в качестве неизвестного именно то, что требуется
найти в задаче.
Если в условии задачи нигде не встречается выбранная единица длины
(времени, скорости и т.д.), то можно эту единицу выбрать произвольно.
146
.,
1
J

В задачах на составление уравнений иногда бьmает полезно сделать
чертеж, поясняющий условие задачи.
В отдельных задачах число уравнений может оказаться меньше числа
неизвестных, входящих в них, но эти уравнения таковы, что позволяют
получить ответ на поставленный вопрос.
Пр и м е р 1. Двузначное число в четыре раза больше суммы и в три раза
больше произведения своих цифр. Найти это число.
Решение. Пусть х - число десятков, у
-
число единиц искомого ·
числа. Тогда само число будет равно 10х + у. Согласно условию имеем
систему уравнений
{ 10х+у=4(х+у),
10х +у= 3ху.
Из первого уравнения выразим у через х: у= 2х, и подставим во второе
уравнение системы:
1Ох +2х =6х2,
откуда х = 2 (значение х = О не удовлетворяет условию задачи); тогда
у= 4. И скомое число равно 24.
П р и м е р 2. Велосипедист проезжает расстояние от А до В за 3 ч. Чтобы
проехать за то же время расстояние от А до С, он должен проезжать каждый
километр на 1 мин быстрее, так как расстояние от А до С на 30 км больше
расстояния от А до В. Найти расстояние от А до В.
Ре ш е ни е. Обоfзначим скорость велосипедиста через х км/ч. Тогда
расстояниеотАдо-Вбудетравно3хкм,аотА доС
-
3х + 30 (км).
Так как велосипедист проезжает х км за час или 60 мин, то он затрачи-
~
.
.
вает на 1км - мин. Новая скорость велосипедиста при движении от А до
х
3х+30
60
С будет равна --- = х + 10 (км/ч); следовательно,-- мин - затра-
3
х+10
та времени на 1 км. По условию задачи
60
60
-1.
х+10
х
После упрощений получим х 2 + 10х - 600 = О, откуда х =20 (км/ч) (вто­
рой корень уравнения отрицательный и непригоден). Искомое расстояние
равно 20 • 3 =60 (км).
Пр им ер 3. Из городов А и В, расстояние между которыми равно
180 км, отправлены в одно и то же время два поезда навстречу друг другу.
После их встречи поезд, вышедший из А, прибьmает в В через 2 ч, а другой
поезд приходит в А через 4 ч 30 мин. Найти скорость каждого поезда (ско­
рости считать постоянными).
147.

Решен и е.1) Анализ за в и с им о ст ей. В задаче две зависимости:
одна очевидная, другая содержится в скрытой форме, а именно:
(время II поезда, вышедшего из Л) - (время I поезда, вышедшего
1
r
изА)=4
-
ч-
2
ч=2
-
ч.
2
2
1 и II поезда отправились одновременно, поэтому время до встречи у
них одинаковое .
2) Задача допускает несколько способов решения.
Рассмотрим один из них. Предоставим читателю найти другие способы
решения и сравнить их.
Обозначим одинаковое для обоих поездов время движения до встречи
за х ч, где х > О. Отметим на чертеже время движения после встречи;
InoeJil
А1:
х
}2
~8
4-f
.х
ЛnoeJtl
Рис. 7
сверху - для I поезда, вышедшего из А, снизу - для II поезда, вышедшего
изВ {рис. 7). 1 поезд идет с постоянной скоростью . Поэтому пройденные
АСх
им пути пропорциональны времени движения . Отсюда..,,....._= -
. Аналогично
l
_
вс2
4-
АС2
для II поезда имеем -- =
-- . Сравнивая
эти равенства, получим
всх
х9
22х
или х2 =9,
откуда х = 3 ч (второй корень отрицательный).
Теперь легко находятся скорости обоих поезда.в.
На путь АВ = 180 (км) поезд, отправленный из города А, затратит вре­
мених+2 =3+2 =5(ч); следовательно,егоскоростьравна180:5=
180
= 36 (км/ч), а скорость поезда, отправленного из города В, равна--- =
1
х+4-
180 180 •2
2
= -- =--- 24 (км/ч).
1
15
7-
•2
148
1
1j

r1_
• П р и м е р4.ИзАвВпотечениюпароходидетдвадня,обратно
-
три
дня. Определить, сколько дней будет плыть плот из А в В, если скорость
плота равна скорости течения.
Решение . Пусть S - расстояние от А до В, х
-
собственная скорость
парохода,у - скорость плота.
s
Требуется определить
вВ.
-
время, за которое плот будет плыть из А
По условию задачи
{ S=2(x+y),
S=З(х -у).
Поэтому
у
3(х-у)=2(х+у) илих=5у.
s
Отсюда S = 2(х +у)= 12у. Следовательно, искомое время- = 12 (дней).
у
П р и м е р 5. В бассейн проведены три трубы. Первые две, действуя
совместно, наполняют бассейн за то же время, за которое наполняет бассейн
одна третья труба. При этом вторая труба, действуя одна, наполняет бассейн
на 5 ч быстрее первой трубы · и на 4 ч медленнее третьей. За какое время
наполняет бассейн каждая труба отдельно?
Решение. Пусть V - объем бассейна, х ч -время наполнения бассейна
второй трубой. Тогда (х + 5) ч - время наполнения первой трубой, а
(х - 4) ч - третьей трубой. Производительности каждой из труб соответ-
V
VV
ственноравны-- , - , -- .
х+5 х х-4
По условию
V
V
V
-- +-=--
x+S х х-4'
откуда, сокрашая на V, получим уравнение х2 - 8х
-
20 =О.Решая его,
находимх = 10 (ч) (х = -2 не годится).
Ответ.15ч,10ч,6ч.
Пр им ер 6. Два рабочих могут выполнить некоторую работу за 6 ч.
Если бы один первый выполнил 60% всей работы, а затем один второй -
оставшуюся часть, то они затратили бы 12 ч. Сколько времени нужно
каждому для того, чтобы выполнить эту работу одному?
Решение. Пусть а - величина работы,х ч -время, за которое первый
рабочий может выполнить эту работу, уч - время, за которое второй рабо-
149

а
чий может выполнить всю работу. Тогда - - производитецьность первого,
а
х
'-' -
-
производительность второго рабочего.
у
По условию
( (~+~)-6=а,
О,6х+О,4у=12
(
111
-+-=-,
илиху6
3х+2у=60.
Решим полученную систему способом подстановки. Из второго уравнения
системы выразим у через х:
60 -3х
у=----
2
Подставляя это выражение в первое уравнение системы, получаем
1
2
-+----
х 3(20-х) 6
или, после упрощений, х2 -22х + 120 = О, откудах 1 = 12,х2 = 10. Следова­
тельно, у1 = 12,у2 = 15.
Задача допускает два ответа: 12 ч и 12 ч; 1О ч и 15 ч.
Пр им ер 7. Соревнуются три бригады лесорубов. Первая и третья
бригады обработали древесины в два раза больше, чем вторая, а вторая ,и
третья - в три раза больше, чем первая. Какая бригада победила в этом
со рев нов ании?
Решение. Пусть х, у, z - количество древесины, обработанное соот-
ветственно первой, второй и третьей бригадами.
По условию
{х+z=2у,
у+z=3х.
Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем
х -у=2у -3х или 4х=3у.
4
Отсюда у = - х > х. Значит, победила вторая или третья бригада. Подстав-
43
ляя у= - х в первое уравнение системы, находим
3
8
5
x+z=- х
или z=- х.
3
3
150
1J

r
'-
4
5
Сравним у =
хиz
3
х. Заключаем, что z >у. Победила третья
3
бригада.
Пр им ер 8. Имеется два сплава золота и серебра; в одном количество
этих металлов находится в отношении 2 : 3, в другом - в отношении 3 : 7.
Из скольких частей обоих сплавов можно получить третий сплав, содержа­
щий те же металлы в отношении 5 : 11?
Решение. Пусть третий сплав содержит х частей первого и у частей
второго сплавов, т.е. на х кг первого сплава приходится у кг второго
cIUiaвa.
2
З
В х кг первого сплава будет содержаться - х кг золота и
-
х кг серебра,
3
57
5
а в у кг второго cIUiaвa - -·-у кг золота и
-
у кг серебра. Поэтому в
10 (2
310
(3 7)
(х+у) кгтретьегосплавабудет _:. х +-у)кгзолотаи -х+ - у кг
5
10
510
серебра. По условию
•
2
3
-х+-у
5
10
5
3
7
11
-х+-у
5
10
х
Пусть -
=zилих=yz.Тогда
у
y(~z+.2 _)
5
10
5
=- или
y(~z+2-)
11
5• 10
1
2
3
- z+-
5
10
3
7
- z+-
5
10
5
11
откуда находим z = -
; следовательно, х: у = l : 7.
•
7
Ответ. На одну часть первого сплава нужно взять семь частей второго
сплава:
§ 10. Неравенства и их свойства
Два действительных числа или два алгебраических выражения, соеди­
ненные знаком > (больше) или < (меньше) (а также знаком ;;;,, или ,r;;;)
образуют неравенство
А>в, А<в, л;;;.в, л,r;;;в.
Неравенство состоит из двух частей: левой части А и правой части В.
151

Если в неравенстве содержится знак > или <, то оно называется стро­
гим. Неравенство, содержащее знак;;,, или<, называется нестрогим.
В неравенствах выражения А и В рассматриваются на том множестве,
где А и В одновременно имеют смысл. Это множество называют областью
допустимых значений (сокращенно ОДЗ) или областью определения не­
равенства.
При конкретных значениях буквенных величин из области допустимых
значений неравенство обращается в числовое неравенство, которое может
быть верным (справедливым) или неверным (несправедливым) .
Два или несколько неравенств называются неравенствами одинакового
смысла или знака, если они содержат од-чн и тот же знак >или< . Два
неравенства называются неравенствами противоположного смысла или
знака, если в одном стоит знак >, а в другом - знак < . Например, нера­
венства А> В и С> D имеют одинаковый знак, а неравенства А< В и
С> D- противоположный знак .
Пусть а и Ь - действительные числа .
Говорят, что число а больше числа Ь (а> Ь), если разность а - Ь поло­
жительна.
Аналогично говорят, что число а меньше числа Ь (а< Ъ), если разность
а - Ь отрицательна .
Для любых двух действительных чисел а и Ь только одно из следуюших
соотношений является верным: а= Ь, а> Ь, а< Ь.
Будем рассматривать нестрогие неравенства а;;,, Ь и а <Ь.
Неравенствоа;;,, Ь означает, что а > Ь илиа =Ь,т.е.а не меньшеЬ.
Неравенство а <Ъ означает, что а< Ь или а = Ь, т.е. а не больще Ь.
Например, нестрогие неравенства 15 ;;,, 11, 7 ;;,, 7, 3 < 5, 4 < 4 - верные, а
4;;,, 6, 5 < 3 - неверные.
Рассматриваются также двойные неравенства
а<Ъ<с, а<Ь<с, а<Ъ<с, а<Ъ<с.
Например, двойное неравенство а< Ь < с означает, что одновременно
а< Ь и Ь < с; двойное неравенство а <Ь < с означает, что одновременно
а<Ъ,Ъ<с :
Свойства числовых неравенств.
1)Еслиа>Ь,тоЬ<а,и,обратно,еслиЬ<а,тоа>Ь.
До к аз ат ель ст в о. Если а> Ь, то разность а - Ь положительное
число. Тогда Ь -а - отрицательное число, т.е. Ь < а.
Иобратно,еслиЬ<а,тоЬ -а<Ои,значит,а
-
Ь>О,т.е.а>Ь.
2)Еслиа>Ьи Ь>с,тоа>с.
Доказательство. Рассмотрим разностьа-с=(а
-
Ь)+(Ь-с).
Поусловиюа-Ь>ОиЬ -с>О.Следовательно,а
-
с>О,т.е.а>с.
3) Если а> Ь, то при любом с а+ с> Ь + с, т.е. неравенство остается
справедливым, если к обеим его частям прибавить одно и то же число.
До к аз ат ел ь ст в о. Рассмотрим разность
(а+с)- (Ь+с)=(а
-
Ь)+(с - с)=а
-
Ь.
152
]

По условию а> Ь и, з начит, а - Ь > О. Следовательно,
(а+с) - (Ь+с)>О,т.е. а+с>Ъ+с.
Следствие. Любое число можно перенести из одной части нера­
венства в другую, изменив при этом знак переносимого числа на про­
тивоположный .
В самом деле, пусть а+ Ь > с. Прибавляя к обеим частям неравенства
число -Ь, получаем
а>с-Ь,
т.е. число Ь перенесено из левой части неравенства в правую с противопо­
ложным знаком.
4) Если а>Ъ и с>О, то ас>Ъс; если а>Ъ и с<О, то ас<Ьс, т.е.
при умножении о беих частей неравенства на одно и то же положительме
число знак неравенства не изменится; при умножении обеих частей не­
равенства на одно и то же отрицательме число знак неравенства изменит­
ся на противоположный.
Доказательство . Пусть а>Ъ и с>О. Докажем, что ас>Ьс.
Рассмотрим разность ас - Ьс = (а - Ь) с. Так как а
-
Ь>Оис>О,то
а с- Ьс = (а - Ь)с>О. Следовательно, ас>Ьс. Аналогично, если а>Ь
ис<О_,тоас-Ьс=(а
-
Ь) с< О. Следовательно, ас< Ьс.
5)Еслиа>Ьис>d,тоа+с>Ь+1i; еслиа>Ьис<d,тоа -с>Ь
-
d,
т.е. два неравенства одинакового знака можно почленм складывать;
два неравенства противоположмго знака можно почленм вычитать,
оставляя знак того неравенства, из которого вычитали другое нера­
венство.
Доказательство. Пусть а>Ъ и c>d. Докажем,чтоа+с>Ъ+d.
Запишем разность (а+с)- (Ь+d) в виде (а-Ь) +(с- d). Так как
а-Ь>Оис
-
d>О,то
•
(а+с)- (Ь +d)>Ои,значит,а+с>Ь+d.
Пусть а> Ь и с< d. Тогда d >си d - с> О. Поэтому разность
(а-с)-(Ь
-
d)=(а -Ь)+(d-с)>О,
т.е.а- с>Ь
-
d; свойство доказано.
б) Если а, Ь, с, d - положительные числа и а> Ь, с> d, то ас> bd, т.е.
неравенства одинакового знака, у которых левые и правые части положи­
тельны, можно почлеюю уммжать; при этом получается неравенство того
же знака.
Доказательство.Имеем
ас- bd==(ас -Ьс)+(Ьс-bd)==(а -Ь)с+(с-d)b,
гдеа-Ь>О,с>О,с-d>О,Ь>О.Отсюдаас-bd>Оилиас>bd,что
и утверждалось.
153

7) Если а и Ь - положительные числа и а> Ь, то при любом натураль­
• 1юм п выполняется неравенство ап > ьп.
доказательство.Еслиа>Ь>О,топо свойству 6) а·а>Ь•Ь,
т.е.а 2 >Ь 2 ; еслиа 2 >Ь 2 иа>Ъ>О,тоа 2 -а>Ъ 2 •Ь,т.е.а 3 >Ъ 3 ,ит.д.
Последовательно применяя свойство 6), получим ап > ьп, что и утверж­
далось .
8) Если а и Ь - положительные числа и а> Ь, то при любом натураль-
ном п> 2 выполняется неравенство nva> п,fь.
ДО К а За Те ЛЬ СТ В о . Предположим, что nva < п,!ь. Тогда ПО свойст­
ву 7) имеем
(п../а)п < (n..JБ)n' т.е. а < Ь,
что противоречит условию. Очевидно, что нельзя предполагать и то, что
n.Ja=п~ (тогдаа =Ь) .
Следовательно, пvа> пуь, что и утвержд.алось.
Свойства 1) - 8) справе)])Iивы ' и )])IЯ нестрогих неравенств . Это сле­
дует из справе)])Iивости свойств 1) - 8) )])IЯ строгих неравенств и извест­
ных свойств числовых равенств.
Например, если а> Ь, то Ь -(а, и, обратно, если Ь -(а, то а> Ь. В самом
деле, утверждение справе)])Iиво )])IЯ строгих неравенств; кроме того, извест­
но, что аналогичное утверждение справедливо и )])IЯ равенств, т.е. если
а=Ь,тоЬ=а,и,обратно,еслиЬ=а,тоа=Ь.
Свойства 1) - 8), установленные )])IЯ числовых неравенств, сохраняют­
ся и )])IЯ любых неравенств вида
А>В, А<в,А;;.в, А-(В,
где А и В -люб<ые алгебраические выражения.
Оп ре дел е ни е. Два неравенства называются равносильными, если
из справе)])Iивости одного из них следует справе)])Iивость другого, и наобо­
рот. Если два неравенства являются несправе)])Iивыми, то они также счи­
таются равносильными.
Равносильность неравенств обозначается так же, как и равносильность
уравнений, т .е . с помощью знака =.
Свойства 3) и 4) выражают равносильность неравенств:
А>В=А+С>В+С,
А >В=АС>ВС (С>О),
где выражения А, В, С рассматриваются в обшей части их областей допус ­
тимых значений.
Установленные свойства неравенств используются при доказательстве
неравенств и при решении различных задач.
154

§ 11. Доказательсrво неравенСIВ
Рассмотрим сначала доказательство некоторых основных неравенств.
а2+ь2
1) а2 + Ь 2 ;;;,, 2аЬ или --- ),, аЬ, причем равенство достигается
2
толькоприа=Ь.Всамомделе,разностьа2 +Ь2 - 2аЬ =(а - Ь)2 . Очевид­
но,что(а-Ь)2 ),,Ои,значит,а2+Ь2 ),, 2аЬ.
2) 1а+Ь 1· 3⁄41а1+1Ь 1, причем равенство достигается лишь в случае,
когда числа а и Ь имеют одинаковые знаки или хотя бы одно из них равно
нулю.
Так как
.Ja2°=1a l, N=lbl, J(a+b)2 =1a+b l,
то доказываемое неравенство принимает вид
J(a +Ь)2 3⁄4# +$,
а это неравенство приводится возведением в квадрат к равносильному:
а2 +2аЬ +Ь2 3⁄4а2 +2.Jа2"ь2 +Ь2, аЬ 3⁄4,J;!iьi,
т.е. аЬ 3⁄4 i аЬ 1, что очевидно. Неравенство доказано. ·
Это неравенство справедливо и для любого числа слагаемых:
la1 +а2 + ... +ап l3⁄4l a1 l+!a2 1+ ... +lап 1-
3) 1а- Ь1;;;,,1а1- 1Ь1.Всамомделе,
а=(а - Ь)+Ь.
ПоэтомуIа1=1(а-Ь)+Ь13⁄41а-Ь1+1ЬIили Iа-Ь1;;;,,1а1- 1Ь 1•
4) ах2 +Ьх+с;;;,,О, еслиа>ОиD=Ь2 - 4ас3⁄4О.Равенстводостигается
ь
лишь в случае, когда D = О их= - - (см. доказательство в § 12).
2а'
'
а+Ь -
5) -- ),, уаЬ, если а;;;,, О, Ь;;;,, О, причем равенство достигается лишь
2
цриа =Ь.
а+Ь
Число --- называется средним арифметическим чисел а и Ь, а число
2
,JаЬ - их средним геометрическим.
Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их
среднего геометрического.
Для доказательства рассмотрим разность ·
а+Ь -.JiБ= (../а--Jь)2 ;;,,о.
2
2
155

а+Ь
Значит, -- ;;;,, ../аЬ, причем равенство достигается только при (уа -
2
-
.JБ) 2 = О, что возможно только при а =Ь.
Приведем также геометрическое доказательство этого важного нера­
венства. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике длина медианы,
проведенной из вершины прямого угла , равна половине длины гипотену­
зы, а длина высоты, опушенной из вершины прямого угла на гипотенузу,
Рис. 8
равна среднему геометрическому длин отрезков, на которые она делит
гипотенузу. В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 8) длина медианы
а+Ь
ОС= -- , длина высоты CD = ..,/аь; очевидно , что при а* Ь ОС> CD,
2
приа=Ь ОС =CD.
Понятия среднего арифметического и среднего геометрического вво­
дятся и для п неотрицательных чисел а1,а2, ... , а п;
это числа
а1+а2+...+ап
-----
-
-
и пуа 1 а2 ... ап; в этом обшем случае справедливо
п
неравенство
а1+а2+...+ап
,----~
--------;;;,, nva1a2 · ·.ап,,
п
причем равенство достигается лишь при а 1 = а 2 = ... = ап.
аЬ
6) - + -;;;,, 2, если а> Ь, Ь > О, причем равенство достигается лишь
Ьа
а
Ь
при а= Ь. В самом деле, числа - и
-
положительны. Поэтому среднее
Ь
а
арифметическое чисел
аЬ
~+-
ьа
2
156
аЬ
и - не меньше их среднего геометрического:
Ьа
Ь
аЬ
ИЛИ - +- ;;;,,2
а
Ьа

l
аЬ
(равенство только в случае -
=-
,т.е.приа=Ь,таккакаиЬположи-
тельны) .
Ьа
Можно доказать иначе:
аЬ
а2-2аЬ+Ь2
-
+- -2= ------=
(а -Ъ)2
--->О,
аЬ
Ьа
аЬ
аЬ
так как а>О, Ъ>О.Значит,- +- >2.
Ьа
7) а3 + Ь3 >аЬ(а+Ь), если а>О,Ь> О, причем равенство достигается
лишь при а= Ь.
В самом деле,а3+Ь3-аЬ(а+Ъ)=(а+Ь)(а2-аЬ+Ь2)-аЬ(а+Ь) =
=(а+Ь)(а2 - 2аЬ +Ь2) =(а+Ь)(а - Ъ)2 >О, что и требовалось доказать.
Перейдем к доказательству более сложных неравенств. Способы их
доказательства состоят в следуюшем:
1. Доказываемое неравенство путем преобразований, основанных на
свойствах неравенств и сохраняюших их равносильность, сводят к нера­
венству, справедливость которого известна.
2. Путем равносильных преобразований очевидное или известное не­
равенство сводят к доказываемому неравенству.
3. Комбинируют первый и второй способы, т.е. преобразуют как из-
вестное, так и доказьmаемое неравенства.
Применение этих способов покажем на следуюших примерах.
Пример 1.Доказать,чтоа2 +Ь 2 +с2 >аЬ +Ьс+ас.
Р е ш е н и е. 1-й с п о с о б. Доказываемое неравенство равносильно не­
равенству2а2 +2Ь2 +2с2 -2аЬ - 2Ьс
-
2ас>Оили(а-Ь)2+(Ь-с)2+
+ (а -с) 2 > О. Последнее очевидно. Равенство достигается только при
а=Ь=с.
2-й с п о с о б. Складывая три известных неравенства:
а2 +ь2
--->аЬ,
2
ь2 +с2
----;;,. Ьс,
2
получаема2 +Ь2 +с2 >аЬ+Ьс +ас.
а2 +с2
---;;;.ас,
2
Пр им ер 2. Доказать, что (а+ Ь) (Ь + с) (а+ с)> 8аЬс, если а;;,. О,
Ь;;;. О, с> О.
Решение. Умножая неравенства
получаем
(а+ Ь)(Ь + с) (а+ с);;;. 8аЬс,
так как у'аЬ .Jьс v'аё = аЬс.
157

Пример 3.Доказать,что
а а+с
-<--
ьЬ+с'
еслис>Ои О<а<Ь.
Решение. Используем равносильность неравенств:
а
а+с
-
< --- = аЬ +ас<аЬ +Ьс=ас<Ьс=а<Ь.
Ь
Ь+с
Пример 4. Доказать, что при любых значениях х верны неравенства:
а)х2- 2х+~2>О;б)2х2+3х+5>О.
Решение. Используем приведенное выше неравенство 4) для квад­
ратного трехчлена: у данных квадратных трехчленов коэффициенты при
квадрате х положительны, а дискриминанты отрицательны; например,
для трехчлена 2х2 + 3х + 5 дискриминант D = 9 - 40 < О. Неравенства
доказаны.Заметим,чтох2 - 2х+2=(х - 1)2+1, откуда ясно, чтох2-
-
2х + 2 > О для любого значениях.
Пример 5.Доказать,чтодлялюбыххиу
х2+5у2-4ху+2х-бу+3>О.
Решение. Рассматривая левую часть неравенства как квадратный
трехчлен относительно х, имеем
х2+2(1- 2у)х+(Sy2 - бу+3).
Так как дискриминант
D=4(1- 2у)2
-
4(5у2-бу+3)=- 4(у2-2у+2)=
= -4((у -1)2 + l)<O
для любых у, а коэффициент при х2 положителен, то квадратный трех­
член х2 +2(1-2у)х+ (5-6у+3) положителен для всех х и у, что и
требовалось доказать.
Прим ер 6. Доказать, что для любых чисел а1 ,а2,Ь1, Ь2, удовлетво­
ряюших условиям at +а~= 1, bi +Ь] = 1, справедливо неравенство
а1Ь1 +а2Ь2 1 <:1.
Решение. Используем доказанные ранее неравенства 2) и 1) . Имеем
·а2 +Ь2 aj +bj
1а1Ь1 +а2Ь2 1<1а1Ь1 1+ la2b2 1<: -1
--
1+---
2
2
Так как
а1+ь1 aj+ьj af+aj ь 2 +ь 2
--- +---=-- -+ 1
2=1
2
2
2
2
'
то Iа1Ь1+а2Ь2 1<: 1, что и требовалось доказать.
При доказательстве некоторых неравенств удобно использовать замену
данных величин другими.
158

r
1
1
~
l
1
Пр им ер 7. Доказать; что
Д- +!E-~va+v'Б,
Ь
а
еслиа>О, Ь>О.
Р е ш е н и е. Полагая va = х, vЪ =у, запишем доказываемое неравенст-
во в виде
х2 у2
-
+- ~х+у (х>О, у>О),
у
х
равносильное известному х 3 + у 3 ~ ху (х +у) (см. неравенство 7)). Не­
равенство доказано.
Пр им ер 8. Доказать, что для любых чисел а и Ь, удовлетворяюших
условию а + Ь = 2, справедливо неравенство а4 + Ь 4 ~ 2.
Решение. Пусть а= 1 +с.Тогда Ь = 2 -а= 1 - с. Поэтому
а4 +Ь4 =(1 +с)4 +(1 ::...с)4 =((1 +с)2 )2 +((1-с)2)2 =
= (1 +2с+с2)2 +(1 - 2с+с2)2
или
а4+Ь4=(1+4с2+с4+4с+2с2+4с3)+
+(1+4с2+с4- 4с+2с2- 4с3)=2+12с2+2с4~2,
что и требовалось доказать.
§ 12. Решение линейных и квадратных неравенств
с одним неизвестным
Будем рассматривать неравенства с одним неизвестfiым.
Определение. Решением неравенства назьmается то значение не-
известного, при котором это неравенство обрашается в верное числовое
неравенство.
Решить неравенство - это значит найти все значения неизвестного, при
которых данное неравенство является верным, или установить, что таких
значений неизвестного нет.
Два неравенства назьmаются равносШ1ьными, если всякое решение
одного из них является решением другого, и наоборот . Если оба неравен:ст­
ва не имеют решений, то они также считаются равносильными. Например,
х2+1<О<===>х4+4<О.
Решая неравенство, заменяют данное неравенство другим, более прос­
тым, но равносильным данному. При этом используются основные свойства
неравенств.
Линейные неравенства. Линейным неравенством называется неравенство
вида
ах+Ь VО,
159

где а и Ь - заданные числа, х
-
неизвестное, а символ V может обозначать
любой из знаков>,<,;;,,,,;;;;.
Если а -=I= О, то имеем неравенство первой степени - частный случай ли­
нейного неравенства.
Для определенности рассмотрим решение неравенства первой степени
вида
ах+Ь>О
ь
Это неравенство запишем в виде ах> -Ь. Отсюда получаем х> - -
,
а
(а -=I= О).
ь
еспиа>О,их<- -
,еслиа<О.
а
ь
Другая запись: если а>О, то ах+Ь>О=х>- - ; если а<О, то
а
ь
ах+Ь=х<-­
а
Например, решим неравенство
2(х-3)-1>З(х-2)-4(х+1).
Упростим обе части неравенства: раскроем скобки и приведем подобные
члены. Получим
2х-6
-
1>Зх-6 -4х
-
4,
1'
2х-7>-х-10,
откуда
Зх>-З;
значит, х > -1
-
решение неравенства первой степени . Множество всех
чисел х, удовлетворяюших неравенству х> - 1, на числовой оси изобра­
жается лучом (-1; + 00 ) (см. § 5 гл. 2).
В этом примере после упрошения неравенства получили неравенство
первой степени, в котором коэффициент при неизвестном не равен нулю.
Для некоторых линейных неравенств с одним неизвестным этот коэффи­
циент может оказаться равным нулю.
П р и м е р 1. Решить неравенство
2(х-1)+1>3-(1-2х).
Решение. Упрошая неравенство, получаем
2х-2+1>3- 1+2х,
2х-2х >2+1 или 0-х>З.
Это неравенство не имеет решений, так как \т-о_ левая часть О ·х равна
нулю при любом х, а неравенство О> 3 - неверное.
160

Ответ можно коротко записать так: ф (нет решений) .
В случаенеравенства 2(х- 1)+1<3- (1- 2х) имели бы О•х<3
или О< 3; следовательно, любое значение х является решением нера­
венства.
Пр им е р 2. Решить неравенство ах> а.
Решение. Данное нера~нство содержит параметр а. Если а> О, то
ах>а=х>1; еслиа<О, то1ах>а=х< 1; если а =О, то решений
нет (ф).
Квадратные неравенства. Квадратным неравенством или неравенством
второй степени называется неравенство вида
ах 2 +bx+cVO (а:;60),
где а, Ь, с - заданные числа, причем а * О, х
-
неизвестное, а символ V
может обозначать любой из знаков>,<,;:;,,,~.
Другими словами, квадратное неравенство - это неравенство, в левой
части которого стоит квадратный трехчлен, а в правой - нуль.
Рассмотрим квадратный трехчлен
у=ах 2 +Ьх+с (а:;60).
Вынося а за скобки и выделяя полный
трехчлен в виде
квадрат, запишем квадратный
у=ах2+Ьх+с=а~2+; х)+с='
=afx+ !....)
2
-
}!_ +c=affx+ !!._)
2
\2а
4а
\'( 2а
Ь2-4ас)
4а2
или
(8)
гдеD=Ь2 - 4ас
-
дискриминант квадратного трехчлена.
Возможны следуюши(е :У)\аи:
•
D
1.D<О . Таккак х+ .: _
;:;,,одпялюбогох,а --2 >ОприD<О,
2а
4а
то выражение в скобках (8) положительно, и, следовательно:
1)еслиа>О,тоах2+Ьх+с>Одпявсехх;
2)еслиа<О,тоах2+Ьх+с<Одпявсехх.
Таким образом, если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен,
то для всех х квадратный трехчлен принимает значения одного знака,
совпадаюшего со знаком коэффициента при х2 .
Отсюда следует, что в случае D=b2 -4ас< О квадратные неравенст­
ва ах2 + Ьх +с> О и ах2 + Ьх +с;:;,, О имеют решением все действительные
числах при а> О и не имеют решений при а< О.
6. Г.И. Богатырев
161

Аналогично, в случае D = Ь 2 - 4ас < О квадратные церавенства ах 2 +
+Ьх+с< О и ах2 +Ьх+с,о;;;;;Оне имеют решений приа>О и имеют реше­
нием все действительные числах при а< О.
2. D = О . В этом случае, согласно равенству (8), квадратный трехчлен
представим в виде
ах2+Ьх+с=а(х +:а )
2
(D =О).
Следовательно, если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю,
ь
то квадратный трехчлен дl!Я всех х * - - принимает значения одного
2а
ь
знака, совпадающего со знаком коэффициента при х2 ; при х = -
-
он
2а
принимает значение, равное нулю. Поэтому в случае D = О:
ь
1) неравенство ах2 +Ьх+с>О имеет решением любоех* - -
, если
2а
а> О, и не имеет решений, если а< О;
ь
2) неравенство ах 2 + Ьх+ с< О имеет решением любое х* - -
, если
2а
а< О, и не имеет решений, если а> О;
3) неравенство ах 2 + Ьх +с~ О имеет решением любое х, если а> О, и
ь
единственное решение х = - -
, если а<О;
-
2а
4) неравенство ах 2 + Ьх + с ,о;;;;; О имеет решением любое х, если а< О,
ь
их=- -
, если а>О.
2а
3. D> О. В этом случае квадратный трехчлен можно разложить на множи­
тели:
(9)
где х 1 и х2 - действительные и различные корни квадратного трехчлена
ах2+Ьх+с(см.§4гл.6).
Будем считать, что х1<х2. Очевидно, что (х- х1)(х- х2)>О дl!Я
х< х1 и х> х2 (оба множителя одного знака : соответственно отрицатель ­
ны или положительны) и (х- х1)(х- х2)<О дl!Я х1<х<х2 (первый
множитель положителен, а второй отрицателен).
При х=х1 илих=х2, очевидно, (х-х1)(х-
~ ) = О. Поэтому, соглас­
но формуле (9), в случае а> О квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с положи­
телен дl!Я всех х вне отрезка [х 1 ; х 2 ] и отрицателен дl!Я всех значений х
из интервала (х1 ; ~) . В случае а< О - наоборот.
Полученные результаты дают способ решения квадратного неравенства
ах2 +bx+cV О,когдаD=Ь 2 -4ас>О.
162

f
11
1
f
1
1
\;::/
V
С\
IJJ<O \
Рис. 9
Приведем геометрическое истолкование . Графиком квадратного трех­
члена у = ах2 + Ьх +с (а* О) является парабола (см. § 4 гл. 7) . Располо­
жение этой параболы относительно оси Ох для различных случаев пред­
ставлено на рис. 9.
Графический способ решения квадратных неравенств будет рассмотрен
в§7гл.7 .
Пример 3.Решитьнеравенства:а)х2 - 5х+6> О; б) -2х2+х+1~
~О; в) - 2х2 +х - l<О; г) 3х2 -4x+S<0; д)4х2 +4х+l>О.
Решение. а) Дискриминант D = 25 - 4 • 6 > О; корни квадратного
трехчлена действительны и различны: х 1 = 2, х2 = 3 .
Следовательно, х2 - Sx+ 6 = (х - 2)(х - 3), и данное неравенство при­
нимаетвид(х-2)(х- 3)>О.
Решением неравенства являются числа х< 2 (оба множителя отрица­
тельны, и произведение их положительно), а также числах> 3 (оба мно­
жителя положительны, и прощзведение их положительно) .
Ответ.х<2,х>3. _
•
б) Дискриминант ' D = 1 - 4 · (-2) = 9 > О; корни квадратного трехчлена
действительны и различны:
-1±у'9
2·(-2)
-
1±3
=---
-
4
1
1
•
откудах1 = - -
, х2=1,и,следовательно,..:..2х2+х+l =-2(х+~)(х- 1).
2-
2
Имеем-2(х+i)(х- 1) ~ О_или (х+~ ) (х- 1) ,;;;; О (при делении обеих
частей неравенства на отрицательные число знак неравенства меняется на
6"'
163

противоположный). Неравенству удовлетворяют все числа из отрезка
[-i ;1] .
1
Ответ. - - :,;;;; х :,;;;; 1.
2
в) Дискриминант D=l-4 · (-2)(-1)<0; коэффициент при х2 от­
рицателен. Квадратный трехчлен -2х 2 + х - 1 для любого х принимает
только отрицательные значения.
Ответ. х - любое число.
r) D= 16 -4 · 3 • 5 < О; коэффициент при х2 положителен. Квадрат­
ный трехчлен Зх2 - 4х+ 5 для любого хпринимает только положитель­
ные значения. Неравенство Зх2 - 4х+ 5 < О не имеет решений.
Оrвет. ф.
д)D=16- 4 ·4 =О. Квадратный трехчлен 4х2 +4х+1 представляет
собой квадрат (2х + 1) 2 , и данное неравенство принимает вид
(2х + 1)2 >О,
откуда следует, что решениями неравенства являются все действитель-
1
ные числах, кроме х =
1
2
Ответ. х =f. -
-
.
2
Пример4.Решитьнеравенство(а - 2)х2- х
-
1 ;;;;,, О.
Решение.Приа=2имеем-х- 1;;;;,, Оилих3⁄4-1.
При а =f. 2 неравенство является квадратным. Находим дискриминант
D=l+4(a-2) =4а-7.
Если D=4a -7< О, т.е. а<
7
4
то коэффициент.а- 2< О и, следо-
вательно, неравенство решений не имеет (для любого х его левая часть
от-рицательна) .
7
х2
Еслиа= -
, т .е . D = О, то неравенство принимает вид
-
х-1?>О
4
•
4
или - (х + 2) 2 ?> О. Следовательно, его решением будет толькох=-2.
7
Если а> - и a=f. 2, то находим корни квадратного трехчлена:
4
1+~
2(а-2)
1-~
2(а-2)
Неравенство запишем в виде (а - 2)(х
-
х1)(х - х2)?>О.
164

7
В случае - < а < 2 коэффициент а - 2 < О, и неравенство равносильно
4
неравенству (х - х1) (х - Xz) <О. В этом случае х1 < х2 . Поэтому реше­
нием неравенства являются все числа отрезка [х1 ; х2 ], т.е. х 1 <х<х2 •
В случае а > .2 неравенство равносильно неравенству (х -х 1 ) (х-х2 ) ~ О.
В этом случае х 1 > х2 . Поэтому решением неравенства будут все числа
вне интервала (х 2 ; х 1 ),т.е.х<х 2 ,х~х 1 .
7
1+.J4а- 7
1- ,;4а-7
Ответ.х=- 2,еслиа = -
; ----- <х< -----,
.
4
2(а-2)
2(а-2)
7
если-<
4
,
1-,14а
-
7
1+,;4а- 7
<а<2 ; х< -1, если а=2; х<-----и х~ -----, если
2(а-2)
2(а-2)
7
а>2; ф,еслиа<
4
При решении квадратных и более сложных неравенств используется
также метод интервалов ( см. § 14).
§ 13. Системы неравенсrв с одним неизвесmым.
Неравенства, содержащие модуль
Пусть задано несколько неравенств с одним неизвестным .
Совокупность этих неравенств называют системой неравенств с одним
неизвестным. Решение системы - то значение неизвестного, при котором
все неравенства системы обрашаются в верные числовые неравенства .
Решить систему неравенств - это значит найти все решения этой системы
или установить, что их нет.
Две системы неравенств называются равносильными, если всякое реше­
ние одной из них является решением другой, и наоборот. Если обе системы
неравенств не имеют решений, · то они также считаются равносильными .
П р и м е р 1. Решить систему неравенств
[
Зх-4 <8х+6,
2х-1 > 5х-4
llx-9 < 15х+~. ,
Ре ш е н и е. Решим первое нер11венство :
3х-4 <8х+6,
-5х < 10,
х>-2.
Оно выполняется при х > -2.
165

Решим второе неравенство:
2х-1 >Sx-4,
-3х>-3,
х<1.
Оно выполняется при х < 1.
Решим третье неравенство:
11х- 9, .;;; 15х+3,
-4х ,;;; 12, .
х~
-
3.
Оно выполняется при х~ - 3 .
Все три данных неравенства верны при -2 < х< 1 (рис. 10) .
Ответ.- 2<х<1.
П р и м е р 2. Решить неравенство
Решение . Имеем
2х-1
х-2
2х-1
х+1
--- -1<О ИЛИ --<О.
x+l
x+l
<1.
Дробь отрицательна только в тех случаях, когда ее числитель и знамена­
тель имеют разные знаки . Поэтому полученное неравенство равносильно
совокупности двух следуюших систем неравенств :
{х-2>О, и {х- 2<О,
х+1<О
х+1>о.
Это означает , что решение исходного неравенства состоит из решений каж­
дой из этих систем .
Решая первую систему неравенств, получаем
{х>2, ,
х< -1.
Очевидно, решений нет (неравенства противоречивы) .
Решая вторую систему неравенств, получаем
{х< 2,
х>-1,
т.е.-1 <х<2.
Ответ. - 1<х<2.
Неравенства , содержащие модуль. Установим следуюшие с в ой ст в а:
1) Неравенство
/х / ,;;;а,
(10)
166

где а > О, означает то же самое, что и двойное неравенство
-а <х <а,
т.е. при а> О неравенство (1 О) равносильно неравенству (11).
(11)
Действительно, если х;;. О, то I х 1 = х; неравенство I х 1 <а примет вид
х<а. Следовательно, все числа отрезка [О; а] являются решениями нера­
венства (10).
Еслижех<О,тоIх1=-х; неравенство Iх1<априметвид-х<а,
откуда х;;. -а. Следовательно, все числа полуинтервала [-а; О) также
являются решениями неравенства (1 О).
?!]
ixl ,;; а
~
..
lE
"l
••
...
-3
-2
1
х
-а
оХ'
а:с
Рис. 10
Рис. 11
Объединяя полученные результаты, заключаем, что все числа отрезка
[-а; а] удовлетворяют неравенству (10). Неравенство (11) установлено.
Таким образом, из неравенства (1 О) следует неравенство ( 11).
И обратно, пусть выполнено неравенство (11). Имеются две возможнос-
ти: х;;. О их< О. Если х;;. О, то I xl =х , и вместо х<а можно написать
1 х 1 <а, т .е. справедливо (1 О).
Еслижех<О,то Iх1=-х,ивместо -а<хилиа;;:;. -хможнонаписать
а;;. 1 х1, т.е. опять справедливо(1О).
Таким образом, из неравенства (11) следует неравенство (10). Свойство
доказано.
Геометрически неравенство (1 О) или равносильное ему неравенство
(11) означает, что число х лежит на отрезке между числами -а и а, т.е .
расстояние от точки х до точки О не больше а (рис. 11).
Точно так же получим, что неравенство I х 1 < а, где а> О, означает то
же самое, что и двойное неравенство -а< х < а, т .е. при а> О неравенство
1 х 1 < а равносильно двойному неравенству : -а < х< а.
В случае а< О приходим к неверным (или противоречивым) неравенст­
вамIх1<аиIх1<а,таккаквсегдаIх1;;.О.
2) Неравенство
1х 1>а,
(12)
гдеа>О,означает,чтох>аилих<-а.
В самvм деле, если х;;. О, то I х 1 =х и из (12) следует х>а; если же
х<О,тоIх1 =-хииз(12)следует,что-х>аилих<-а.
Иобратно,еслих>а (а>О),то,очевидно,1х 1 > а; еслих< -а(а> О),
то-х>аилиIх1>а.
Таким образом, условие I х 1 > а (а> О) означает, что на числовой оси
точка х лежит либо справа от точки а, либо слева от точки -а (рис. 12).
167

ЕслиIх1~а,гдеа>О,тох~аилих3⁄4-а.
Очевидно, что при а< О неравенства I х1>а и I х 1~ а выполняются
для любого значениях.
Пр им ер 3. Решить неравенство 1 2х - 3 1 3⁄45.
Решение. По свойству !}данное неравенство равносильно двойному не­
равенству
-53⁄42х-33⁄45.
Так как двойное неравенство -5 3⁄4 2х - 3 3⁄4 5 означает краткую запись
Х<-а
-а
о
Рис. 12
х>а
ах
двух неравенств -5 3⁄42х
-
3 и 2х - 3 3⁄45, то можно применить основные
свойства неравенств.
Прибавляя к каждой части неравенства -5 3⁄42х
-
3 3⁄45 число 3, полу­
чаем - 2 3⁄4 2х 3⁄4 8, откуда делением каждой части неравенства на число 2
находим, что -1 3⁄4Х3⁄44. Множеством решений является отрезок [-1; 4].
Ответ. -1 3⁄4Х 3⁄44.
Пример4.Решитьнеравенство11- х1~3.
Решение.Таккак 11-х1=1х- 1.1 ,тоимеем Iх- l1>3.По
свойству 2) это неравенство выполняется только в случае, когда х - l > 3
или х - l < -3, т.е. при х> 4 или х< -2 . Множество решений изображает­
ся на числовой оси двумя лучами.
Ответ.х>4, х< -2.
Пример5.Решитьнеравенствох2 +4х+4<25.
Р е ш е н и е. Запишем неравенство в виде
(х+2)2 < 25.
Извлекая из обеих частей неравенства арифметический квадратный
корень, получаем равносильное неравенство
lx+21<5
или -5 < х + 2 < 5, откуда - 7 < х< 3. Множеством решений является ин­
тервал (-7; 3).
Ответ. -7 < х< 3.
Пример6.Решитьнеравенство)9х2 +бх+1< 2- х.
Решение. Запишем неравенство в виде
✓ (3х+1) 2 <2-х
ИЛИ
13х+11<2-х,
168

равносильное совокупности двух систем неравенств:
{Зх+1;;;;.О,
{ Зх+1<О, •
Зх+1<2-х и -(Зх+1)<2-х.
Решением первой системы является полуинтервал
реше-
нием второй системы - интервал ( - -; ;
-- 1⁄4 ). Следовательно, реше­
t~ием исходного неравенства является интервал (- ~ ; ~) .
3
1
24
Ответ. --<х < -.
2
4
§ 14. Задачи на уравнения и неравенства.
Метод интервалов
Рассмотрим несколько задач, связанных с выявлением определенных
свойств уравнений и неравенств и их решений.
П р и м е р 1. Найти коэффициенты квадратного уравнения
х2+рх+q =О,
если его корни равны р и q.
Решение . Если дискриминант уравнения D =р2 - 4q;;;;. О, то по фор­
мулам Виета
Х1+х2= - р, X1X2=q.
Пусть х1 =р, х2 =q. Тогда
{р+q=-р,
pq =q.
Эта система имеет два решения: р1=О,q1=О; р2=1,q2= -2.Еслир =О,
q=О,тоD=О;еслир =1,q = -2,тоD>О.
Ответ.р1=О,q1=О;Р2 =1,q2= - 2.
Пр им ер 2. В уравнении х2 - 2х+ с= О определить то значение с,
при котором его корни х 1 и х2 удовлетворяют условию 7х2 -4х 1 :::;47 .
Решение . Если дискриминант D =4 - 4с;;;;. О, то по формулам Виета
Х1 +х2 =2, Х1Х2 =с.
Рассмотрим систему уравнений
[х1+х2=2,
Х1Х°-2 = С,
7х2 - 4х1 =47.
169

Решая линейную систему
{
Х1+Х2 =2,
7Х2 -4Х1 =47 ,
получаемх1 = -3,х2 =5.Поэтомус=х1х2 = -15иD>О.
Ответ. с= -15.
Пример3.Прикакихзначенияхаобакорняуравнениях2 - (а +1)х+
+а+ 4 = О отрицательны?
Решение. Найдем дискриминант уравнения
D=(а+1)2- 4(а+4)=а2- 2а
-
15.
Пусть D> О. Решая квадратное неравенство а 2 - 2а
-
15 > О, получаем
а3⁄4-3, а> 5.
Выясним, при каких значениях а из этих промежутков оба корня урав­
нения отрицательны .
Обозначим произведение корней через Р, а их сумму - S . По формулам
Виета
S=Х1+Х2=а+1.
Условие отрицательности обоих корней квадратного уравнения: дискри­
минант D> О, произведение корней Р > О и сумма корней S < О .
Имеем Р>О, т .е. а+4>0 или а>-4. Если -4<а3⁄4-3, то D>O,
Р>О, S=a+l<O - корни отрицательны; если а?,5, то D>O, Р>О,
S > О - корни положительны.
Ответ. Оба корня отрицательны при -4 <а3⁄4 -3 .
Пр и м е р 4. При каких значениях а неравенство
х2 +ах-2
- 3<----<2
х2-х+1
вьmолняется для всех значений х?
Р е ш е н и е. Квадратный трехчлен х2 - х + 1 принимает только поло­
жительные значения, так как его дискриминант D = 1 - 4 < О и коэффи­
циент при х2 больше нуля. Получаем равносильное двойное неравенство
-3х2+3х-3<х2+ах-2<2х2-2х+2
или систему неравенств
{-3х2 +3х - 3<х2+ах- 2,
х2 +ах-2<2х 2 -2х+2,
ИЛИ
170
{4х2 +(а - 3)х +1>О,
х2 -(а+2)х+4>0.

Каждое из этих неравенств будет выполняться при всех значениях х,
если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен:
{D1=(а-3)2- 16<0,
D2=(а+2)2 - 16<О.
Находим
т.е.
{(а- 3)2<16,
(а+2)2<16
или
{1а-31<4,
1а+21 <4,
{ -4<а -3 <4,
-4<а +2 <4
{ -l<a<7,
или
-6<а<2;
следовательно, -1 <а< 2.
Ответ. -1 <а< 2.
Пр им ер 5. Решить неравенство I х2 - 5х 1~ 6.
Решение_ . Данное неравенство, содержащее модуль, означает, что
х2- 5х~6илих2- 5х<-6.
Решая неравенство х2 - 5х - 6 ~ О, получаем х<-1, х~ 6.
Решая неравенство х2 - 5х+ 6 <О, получаем 2 <х<3.
Ответ. х<-1, 2<х<3, х~ 6.
П р и м е р 6. Доказать, что если между коэффициентами уравнений
х2 +p1x+q1-=0 и х2 +p2x+q2 =О
выполняется соотношение р1 р2 = 2 (q 1 + q 2 ), то по крайней мере одно из
этих уравнений имеет действительные корни.
Решение. Покажем, что при данном соотношении хотя бы один из
дискриминантов
D1=pi-4q1иD2=р~-4q2
неотрицателен. В самом деле,
D1 +D2 =pi +р~ -4(q1 +q2)
ИЛИ
D1 +D2 =pi +р~ -2Р1Р2 =(р1 -Р2)2 ~О.
Если сумма двух чисел неотрицательна, то хотя бы одно из них неотри•
цательно. Из дискриминантов D1 и D2 хотя бы один больше или равен
нулю, что и требовалось доказать.
Пример7.Исследоватькорниуравнения(а - 2)х2-2ах+2а- 3 =О
в зависимости от параметра а.
Решение. Если а= 2, то уравнение является линейным : -4х + 4 - 3 =
1
= О; оно имеет положительный корень х = -
4
171

При а =I= 2 уравнеf{ие является квадратным с дискриминантом
D=4а2- 4(а
-
2)(2а - 3) =-4(а - l)(a - 6),
если разложить на множители квадратный трехчлен относительно а .
Если а< 1 или а> 6, то D< О и уравнение не имеет действительных
корней.
Если 1 3⁄4О 3⁄46(а =I= 2), то D~ О. По формулам Виета
2а-3
2а
Р=х1х2 =
а-2
а-2
S=x, +х2 == ---
Найдем на числовой оси интервалы
(рис. 13).
а-2
знакопостоянства величин D, Р и s
При а= 1 имеем D=О, Р> О, S < О, и, следовательно, корни равные
(D = О), одинакового знака (Р > О) и притом отрицательные (S < О).
3
На интервале 1 <а< - имеем D> О, Р > О, S < О, и, следовательно,
2
корни различные и оба отрицательные.
3
Приа==- имеемD>О,Р=О,S<О- одинкореньравеннулю,адру-
2
•
гой - отрицательный.
3
На интервале - <а<2имеемD>О,Р<О,S<О- корни разных
2
знаков (Р < О), причем больший по модулю корень отрицательный
(S<О).
IJ<D
IJ>D
IJ<O
о12
5 :r;
'
P>fl Р<О P>D
о :3z
.х
2
S>fl S<O
S>O
о
z
.:с
Рис. 13
Наинтервале2<а<6 имеем D>О, Р>О,S>О - корниразличные,
оба положительные.
При а==6 имеем D= О, Р>О, S >О - корни равные, положительные.
Метод ингервалов. Этот метод используется для решения неравенств
вида
172
Р(х)
--vo,
{2(х)
(13)

где Р(х) и Q(x) - многочлены, а символ V означает любой из знаков>,
<,;;;.,,;;;;_
Метод интервалов основан на следуюшем свойстве многочленов.
Число х 0 называется корнем мног~;,члена Р (х), если при значении х = х0
многочлен принимает значение, равное нулю, т.е. Р(х0 ) =О. Приведем
без доказательства свойство действительных корней многочлена: если
х1 и Х2 (х1 < Xz) - два соседних корня многочлена, т .е. в интервале
(х1 ; Xz) других корней многочлен не имеет, то в этом интервале много­
член сохраняет знак: для любого числа х из интервала (х 1 ; .xz) многочлен
~r+
~;
Рис. 14
+
у
Рис. 15
+
)
х
принимает значения одинакового знака. Чтобы установить этот знак, дос­
таточно установить его для какого-нибудь числа из этого интервала ("проб­
ной точки") .
Это свойство многочлена можно сформулировать так: многочлен Р (х)
может изменить знак только при переходе через точку х=х 0 , где х0 -
действительный корень многочлена.
Поясним на следуюших примерах. Рассмотрим квадратный трехчлен
(т.е. многочлен второй степени) х2 - 3х+ 2. Найдем его корни х 1 = 1 и
х2 =2 и разложим квадратный трехчлен на множители:
х2-3х+2=(х -l)(x-2).
Точки х = 1 и х =2 разбивают числовую ось на три интервала. Из разло­
жения квадратного трехчлена следует, что в каждом из этих интервалов
трехчлен сохраняет знак. Если двигаться вдоль числовой оси слева напра­
во, то знак квадратного трехчлена будет меняться: плюс, минус, плюс,
причем смена знака происходит только при переходе через корень трех­
члена. Последовательность знаков указана на рис. 14.
Квадратнь1й трехчлен х2 - 2х + 1 = (х - 1) 2 при переходе через точку
х =1 (корень трехчлена) не меняет знака (рис. 15).
Для решения неравенств вида (13) методом интервалов надо:
1) найти все действительные корни многочленов Р (х) , Q (х) ;
2) оставить из найденных корней только те, которые не являются од­
новременно корнями многочленов Р(х) и Q(x), и расположить эти корни
в порядке возрастания: х 1 < х2 < ... < Хп;
3) отметить на числовой оси точки х1 , х2 , ... , Хп , раз бив аюш ие числовую
Р(х)
ось на интервалы, в каждом из которых дробь --- сохраняет знак;
Q(x)
4) выбрать в каждом из этих интервалов "пробную точку" и установить
Р(х)
по знаку дроби
в этой точке ее знак в соответствующем интервале;
Q(x)
173

5) изобразить последовательность знаков дроби и получить все решения
неравенства (13) в зависимости от значения символа V.
Пр им ер .8. Решить методом интервалов неравенство
(х2 - 3х +2)(х2 +2х +2) :::;;,
2
-0.
(х - 3)(х
-
1-2х)
Решение. Заметим, что дискриминанты кв адратных трехчленов
х2 + 2х+ 2 и -2х2 + х - 1 отрицательны. Поэтому трехчлены принимают
значения одного знака, совпадаюшего со знакQм коэффицие нта при х2 · :
х2 +2х+2>О, -2х2 +х- 1<О для любого х. Получаем неравенство,
равносильное данному:
х2 -3х+2
(x-l)(x-2)
-- - -- ,;;;; 0 ИJIИ ------ ,;;;; 0.
х-3
х-3
Отметим на числовой оси точки х=1,х =2, х =3 (рис. 16).Дляинтер­
валов х< 1, 1 < х< 2, 2 < х< 3, х> 3 в качестве "пробных точек" можно
3
5
(х- 1)(х- 2)
взятьх=О,х=- х=
-, х=4. В точкех=Одробь
-- ---
-=
2'
2
(х- 3)
2
=
3 < О; значит, при х< 1 эта дробь отрицательна. Аналогично посту-
паем для остальных интервалов.
Последовательность знаков дроби указана на рис. 16.
/+"\.
~-
~:с
Рис. 16
В точках х = 1 и х = 2 дробь обрашается в нуль; следовательно, х = 1 и
х = 2 - решения данного нестрогого неравенства . При х = 3 дробь теряет
смысл .
Получаем решение исходного неравенства: х..;;; 1, 2 ..;;;х < 3.
П р и м е р 9. Решить неравенство
(х2 - 3х +2)(х +2)3х2
---------~о
(х2-l)(x-3)4
•
Ре ш е ни е. Запишем неравенство в виде
(х- l)(x - 2)(х +2)3х2
---------~о.
(х- l)(x+l)(x- 3)4
Заметим,чтох2~О,(х- 3)4~О, (х+2)3 совпадаетпознакус(х+2)
для любого х;х=О - решение данного неравенства, а при х =1, х = - 1,
х= 3 дробь теряет смысл.
174

Получаем неравенство
(х- 2)(х+2)
х+1
и решаем его методом интервалов (рис. 17). Имеем -2 3⁄4Х < - 1 .
Рис. 17
Чтобы получить решения исходного неравенства, надо исключить из
найденных решений неравенства ( *) точку х =3 и добавить х =О.
Ответ. -2 3⁄4Х< -1,х= О, 2 3⁄4Х< 3,х> 3.
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1
1. Какие из чисел 3, 8
, О и -1 являются решениями уравнений:
а)2х+7=5; б)О·х+4=- З;
в) О·х=О?
2. Равносильны ли уравнения:
2х-1 4
-
х
х-3
а) --- ---х=1+-- и О ·х-4=1;
3
2
6
1
б)5х+(х-1)2=(х+2)(х-2)+Зх+5и--;=2;
х-3
в)2(х-2,5)+1= _1_и 4х+7-0,5(2х- 10) =О?
х-3
х-3
х+4
З. Решить уравнения относительно х (No а) - в)
-
устно):
a)ax=l; б)ах2 -а2 =0; в) (a2 - l)x=a+l;
Ь+Ь2х 2 а2(х-1)
г)(а-2)(х-1)=а2; д) 2х_1
=
;е)х+3
а
Ь
з)--=
1аЬ * 0).
1-Ьх 1-ах~
ж)ах+Ь=х;
4. Решить уравнения:
а+3(х-3)
----+1·
х+3
'
1
а)5х2- 80 =О· б)х2- -х =О; в)10(х-2)+-19=(5х -1)(5.х+1);
'
•
3
5х2+9 4х2-9
г) -------=З; д)х 2 +8х+12 = 0; е)4х 2 -17х - 15=0;
6
5
ж)Зх2-4х
-
4=Q.
175

5. Разность корней уравнения 25х 2 - ЗОх + с = О равна 2. Найти с.
6. Отношение корней уравнения 32х 2 + Ьх + 75 = О равно 6. Найти коэффициент Ь .
2
1'
7. Одинизкорнейуравнения Зх +Ьх +с =Оравен - 13,адругойравенЬ.Най-
ти коэффициенты этого уравнения.
8.Корних,их2уравнениях2+рх+12=Ообладаютсвойствомх, -х2=1.Най­
тир.
9. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы больше соответст­
вующихкорнейуравненияЗх2 - 11х+2 =Она1.
10. Составить квадратное уравнение, корни которого были бы равны соответ­
ственно сумме и произведению корней уравнения Зх 2 + 2х - 15 = О.
11. Не решая уравнения х 2 - Зх
-
10 = О, вычислитьсуммукубов его корней.
12. Не решая уравнения х 2 - 5х + 6 = О, составить квадратное уравнение , корни
которого обратны корням данного .
13. Корних, их2 уравнениях2 - Зах+а2 = Отаковы, что xf +х~ =1,75. Найти
значение а.
14. При каком значении а один из корней уравнения х2 - (2а + l)x +а2 + 2 =О
в два раза больше другого?
15. Составить биквадратное уравнение, сумма квадратов корней которого рав­
на 50, а произведение корней равно 144.
16. При каких значениях коэффициентов или при каких соотношениях между
нимивуравненииах2+Ьх+с=О (а*О):
а) сумма корней равна . их прои з ведению;
б) корни равны по моцулю, но противоположны по знаку;
в) один корень равен нулю;
г) оба корня равны нулю;
д) отношение корней равно З?
Решить уравнения (No 17-20) :
.
4
•7
37•
3(9х - 3)
Зх+1
17•а) х+2 +х+З х2+5х+б; б) 9х-6 =2+ Зх-2;
х+1 х+2
4
2
1
4
в)
--+
-----
=О;
г)-- +
-
= ---,-
х-1 х+3 х2+2х-3
2-х 2 2х-х2
х2-3
д)х-2
=--
х-2
бх
х+3
е) -- +2= --·
х+З
х'
ж)х+2+х(х-4)=х -2
_
4(1+х)
:х-2 х2-4 х+2 4-х2•
Ь
а
х
2а+х
16а 2
18. а)
--+
--
=2;б)-----
х-а х
-
Ь
2а+х х-2а 4а2-х2•
19.а)(х2-5х+7)2- (х
-
2)(х-3)=1;б)х3+х2-2 =О;
в)х4=16; г)х5=- 32; д)4х4- 5х2+1=О.
20.а) (х2- 1).Jix=1'=О;
б) (9 - х2) 1/Т=х=О;
176
в) 1/1=х· (9х2 - 16) = О;
21 . Сократить дроби:
г) 1/Зх- 1(х2- 4х) =О.
х2+бх-91
а2+9аЬ+14Ь2
а)----; б)
х'+Вх-105
а2 +аЬ-2Ь2
бс2+11с+3
в)-------,­
З+5с-12с2•

------
---
----· -
22. Доказать, что при , всех допустимых значениях букв, заданные выражения -
постоянные числа:
2
--·
a+l'
( 36t2
5t-2) llt-2
28t-t2
б) 5t2 +13-6- t+З;: t 2 -2t-15-
~-
23. Решить уравнения:
а) .Jx+'l- ~ = 2; б) ,Jx"+1 +.../[х+з= 1;
в)х2+11+Jх1+Тi"=42; г) j2x+2 _j х+2 =}_ ·
х+2
2х+2 12 '
д)х=а-Ja2 - x.Jx2+а2•
Решить системы уравнений (No 24-26):
{
х2 +ху+у 2 =13, {х 2 +2ху-4у 2 -5х+4='о,
N.~
~
х+у=4;
х-у=2;
\
_2х_-_у_+_9 = l,
в)
4
х2+у2 =5;
\ху13
-+-=-
ух16'
г)
х+у =5;
\
ху,25
-
+-=-
ух12'
25. а)
х2 -у2 =7;
{х3 +у3 = 35,
д)
х+у=5;
{
х+ху+у=11,
б)
х2у+ху2 = 30;
{ х-у=5,
е)
ху=14.
{ у 2 -ху=-12,
г)
х2-ху=28;
!
.Jxy+2x=2 ,
д)
J,у
=1;
х-2
\
~
-fТ= i,
у
х2
е)
х-у =6.
f5х-2у =7,
26, а)\
l10x+7y=3;
{ х+у=13,
б)
.
{ х-у=-5,
в)
{
(а-l)x+2ау=- 2,
г)
2ах+(а-1)у=а - 1;
2х-у=12,5;
7х+20у=-8;
{
(а-l)x+(2а-3)у=а+2,
д)
(а+1)х+(а+3)у=За+1;
{ах+у =3,
е)
4х+2у=Ь.
177

27. Найти целые решения системы:
{2х2 -ху+у2 =2,
а)
.
х2 +2у2 =3;
\
. !. .+.!.=5,
б)ху
J.. + ..!.. = 13;
х2 у2
{
x-. Jxi+y=?,
в)
. jx+.Ji =5.
Решить задачи на составление уравнений (No 28-52):
•28. Найти двузначное число, если известно, что сумма квадратов его цифр равна
53, а сумма его цифр в три раза меньше искомого числа.
29. Сумма двух чисел равна 15, а их среднее арифметическое на 25 % больше сред­
него геометрического. Найти эти числа.
30, Произведение цифр двузначного числа в два раза больше суммы этих цифр.
Если к этому двузначному числу прибавить 27, то получится число, написанное теми
же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.
31. Поезд должен был пройти 54 км. Пройдя 14 км, он бьm задержан у семафо­
ра на 10 мин. Увеличив скорость после этого на 10 км/ч, он прибьm на место назна­
чения с опозданием на 2 мин. Определить первоначальную скорость поезда.
32, Расстояние от пунка А до пункта В равно 19 км. ИзА в В выехал велосипе­
дист. Через 15 мин в том же направлении выехал автомобиль. Через 10 мин после вы­
хода он догнал велосипедиста, доехал до В и, повернув обратно, встретил велосипе-_
диета через 50 мин после своего выхода из А. Определить скорости велосипедиста
и автомобиля.
33, Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 84 км, выехал
велосипедист, а через 2 ч навстречу ему из В в А выехал мотоциклист, скорость ко­
торого на 48 км/ч больше скорости велосипедиста. Найти их скорости, если известно,
что к моменту встречи велосипедист проехал на 16 км меньше, чем мотоциклист.
34. Расстояние от А до В по течению моторная лодка проплывает за 8 ч, а от В
до А против течения - за 12 ч. За сколько часов проплывет расстояние от А до В
плот? Скорость плота равна скорости течения.
35. Дорога от А до В длиной 11,5 км идет сначала в гору, потом по ровному месту
и затем под гору. Пешеход, идя из А в В, прошел всю дорогу за 2 ч 54 мин, а на обрат­
ную дорогу затратил 3 ч 6 мин. Скорость ходьбы: в гору 3 км/ч, по ровному месту
4 км/ч, под гору 5 км/ч. На каком протяжении дорога идет по ровному месту?
36. Две бригадr,1, работая вместе, закончили заготовку леса за 6 дней. Сколько
дней протребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, . если одной бри­
гаде для этого требуется на 5 дней меньше, чем другой?
37. Предприятие увеличивало объем выпускаемой продукции ежегодно на одно
и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за два года объем вы­
пускаемой продукции возрос в два раза.
38, Две машинистки получили для перепечатки рукопись. После двух часов сов­
местной работы одна из машинисток получила другое задание, и вторая, оставшись
одна, закончила работу через 1 ч 20 мин. За сколько часов могла бы перепечатать
рукопись каждая машинистка, если втор9й на это понадобилось бы на 1 ч 10 мин
больше, чем первой?
39. Уборку урожая с участка начал один комбайнер. Через 2 ч к нему присоеди­
нился второй комбайнер, и после 8 ч совместной работы они убрали 80 % урожая.
За сколько часов мог бы убрать урожай с участка каждый комбайнер, если известно,
что первому на это понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?
40. За 3,5 ч работы один штамповочный пресс может изготовить 42% всех зака­
занных деталей. Второй пресс за 9 ч работы может изготовить 60 % всех деталей,
а скорость выполнения работы на третьем прессе относится к скорости выполнения
работы на втором, как 6 : 5. За какое время будет выполнен весь заказ, если все три
пресса будут работать одновременно?
178

41. Основание прямоугоJIЬНика больше высоты на 10 м. Найти периметр прямо­
угольника, если его площадь равна 1200 м 2 •
42. Одна сторона прямоугольника в три раза больше, а другая на 4 см меньше сто­
роны квадрата . Найти площадь квадрата, если она больше площади прямоугольни­
кана10см2•
43. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см, а его площадь 96 см 2 •
Найти длины сторон треугольника .
44. Два раствора, из которых первый содержит 0,8 кг, а второй 0,6 кг безводной
серной кислоты, соединили вместе и получили 10 кг раствора серной кислоты. Найти
массу первого и второго растворов, вошедших в смесь, если известно, что в первом
растворе безводной серной кислоты содержится на 10% больше, чем во втором раст­
воре .
45 . Имеется два различных сплава меди. Процент содержания меди в первом спла­
ве на 40 меньше, чем во втором сплаве . По сле того как их сш, шшш 1>1.,.,сте, получили
сплав, содержащий 36 % меди. Определить процентное содержание меди в первом и
во втором сплавах, если известно, что меди в первом сплаве 6 кг, а во втором 12 кг.
46. Объем вещества А составляет половину суммы объемов веществ В и С, а объем
вещества В составляет одну пятую часть суммы объемов веществ А и С. Найти отно­
шение объема вещества С к сумме объемов веществ А и В.
47 . Кусок материи стоит 35 р. Если бы в куске бьmо на 4 м материи больше, а каж­
дый метр стоил на 1 р. дешевле, то стоимость куска материи осталась бы прежней.
Сколько метров материи было в куске?
48. Четыре года назад отец был в шесть раз старше сына; через 16 лет отец будет
вд в ое старше сына . Сколько лет каждому?
49. Два стрелка сделали по 30 выстрелов каждый; при этом было 44 попадания,
остальные промахи. Сколько раз попал каждый, если известно, что у первого стрел­
ка на каждый промах приходилось в два раза больше попаданий, чем у второго?
50. Продают три куска ткани. Из первого продали половину, из второго 2/3, а тре­
тий кусок , в котором бьmо 1/3 всей ткани, продали весь. Сколько процентов ткани
продано, если всего осталось вдвое меньше, чем бьmо во втором куске?
5 1. Имеются две бочки бензина разной цены. В одной 220 л, а в другой 180 л.
Из каждой берут по одинаковому количеству бензина и переливают в другую, после
чего цена литра бензина в каждой бочке стала одинаковой. Какое количество лит­
ров было перелито?
52. Группа студентов решила купить магнитофон ценой от 170 до 195 р . Однако
в последний момент двое отказались участвовать в покупке, и поэтому каждому
из оставшихся пришлось внести на 1 р. больше, чем предполагалось. Сколько стоит
магнитофон, если студенты платили поровну?
53. Решить системы неравенств :
{
7(х+1)-2х>9-4х,
а)
3(5 - 2х)
-
1;;;,4 - 5х;
{ 5х-2,;,2х+1,
в)
2х+3<18-3х;
54. Решить неравенства :
{
2х+1>3х+4,
б)
5х+3;;;,8х+21;
3х.;;; 5 - бх,
4х-1;;;,1-3х,
7-2х>2х+9.
а)х•+5.х-14>О; б)2х2- 5х
-
3 .;;; О;
1
в)- >1·
х'
3х-2
г)
.;;; О;
х-2
6
д)5-х
-
-
;;;, О;
х
x+l
3
1
е)-->
---
-2;
х-2 х-2
179

1
3
ж) --<
--·
х+2 х-3'
2х
з)О< 3+2х <1.
55, Реumть неравенства:
а)(х-1)(х+2)(х-5)<О; б)(х+1)(3-х)(х
-
2)2>О;
3х2- 10х+3
в)•
• >О·
х2 -10х+25
'
е)Sx- 20 ,;;;х2,;;; Вх;
х 2 -7х+12
г) -----;;►- о·,
х2-2х
-
3
ж) х5 <х.
х•-Зх+2.
д) 2 3 2;;►-1;
х+х+
S6. Реumть уравнения и неравенства, содержащие модуль:
а)1х-11=3; б)1х-11=1х+21; в)1х-21-1х-11=1;
г)х2- 21х-11=2; д)хIх-31=2; е)1х2- 4х+21<2;
ж)lx - 2i>ix+li - 3; з) \х:+-/1<1; и)!2х2 - 9х+15!;;►-20.
S7. Доказать неравенства:
а) а2(1+Ь2)+Ь2(1 +с2)+с2(1+а2);;►-6аЬс;
б) (а +Ь +с)(.!_+~ +.!.);;►-9, еслиа > О, Ь > О, с> О;
аЬс
a+b+c+d
в)·4
;;►- 1/abcd, если а ;;►- О, Ь ;;►- О, с;;►- О, d ;;►- О;
х2+2
г) -✓ -::2
• ;;►-2; д)а3 +Ь3 < с3,еслиаиЬ- длиныкатетов,с
-
длина гипотенузы.
.
х+1
S8.Реuштьнеравенство (а+ 1)х+4 < (3 - 2а)х
-
1.
S9. При каких значениях а оба корня квадратного трехчлена х 2 + 2 (а+ 1) х + 9а - 5
отрицательны?
60. При каких значениях а квадратный трехчлен ах 2 - 7х + 4а (а * О) принимает
отрицательные значения для любых действительных значений х?
х•-ах
-
2
61. При каких значениях а неравенство
2
4 > - 1 выполняется пр.и лю-
х-Зх+
бомх?
62. При каких значениях а корни уравнения (а + l)x2 - Зах+ 4а = О (а * - 1)
действительны и больше 1?
РАЗДЕЛП
63. Равносильны ли уравнения:
6-х
1
а)--=6+--и2х
-
10=5;
х-5
х-5
х+1 2(x+l) 1
1
1
б)х-1 3(х-3)=3их-1=х+1;
в)х3=1и (х-1)(х2+х+1)=О;
г)7х2-2х=Зх3и7х-2=Зх2?
180

Решить уравнения (No 64-66) :
64.а) (х+2)(а- 1)+1=а2; б)Ь(Ьх- 1)=3(3х+1);
с 2 (х-1) 2(c+l)
в)---- --- =1.
х-5
х-5
65.а).х2+О,4х=О; б)(х - 7)(х+3)+(х-1)(х+5)=102;
8х2+3 9х2+5
4
1
1
в)5
+-4
--
= l; г) х2-10х+25+25-х2 х+5=О;
д)36- 12х =-х2; е)7х2=25х - 23; ж)7=О,4х+О,2х2•
66. а) (х2 + 4х).Jх=°З= О; б) (х2 - х)</х
-
2=О;
в)(9-х 2 ){!2+х = О; г) (х 2 - 4x)Z,,'l=x = 0.
67. Найти значение дроби, предварительно сократив ее:
5х+10
а)22
2 ,еслих = 5,5;
х+3х-
Зх2-7х
-
20
б)Зх'+11х+10'еслих =1;
5х2-7х
-
24
в) 24х_9
_
7х• ,еслих =О.
68. Решить уравнения:
2х+1 х2-1 х+3 4+х
а)~-х2-9 =З-х
-
З+х;
х2+I0x
4
4х+21
б)
+--=
+
х4-1
х2+1 х3+х2+х+I х3-х2+х-I '
х+6
х2+17 х+36
x+l
в)
-
х2+х+I-Х3-1
-
х2+х+1'
х-1
г) (а2- Ь2)х2+аЬ=(а2+Ь2)х;
а+ 4Ь
д) х+2Ь -
а-4Ь 4Ь
---=-
х-2Ь а
69. Доказать, что при всех допустимых значениях букв заданные выражения
-
постоянные числа:
21
х2-25( 6
х•)
а)4х+6 +~. 25
-
х2+2х2- 7х- 15/;
2
у+4 (9(у-1)_(2у
-
7)2)••
6)--+ --:
2-у у
-
1
Зу+ 4
Зу2- у
-
4
181

70. Решить уравнения:
а)(х2+3х)2+2(х2+3х)=24;
1
18
18
б) ----+----
х•+2х-3х2+2х+2 х2+2х+1
4х
3х
в)----+----- =1 ;
4х2- 8х+7 4х2- 10х+7
г)3# +2Гх-3=О; д) .J22-х
-
.Jio=x =2;
е)~+J
sx
-
19= J
3
x
+4; ж)J
a
+Гх-Ja
-
--.[х= уа.
Решить системы уравнений (No 71 - 73):
{ 2х-3у=12 ,
71. а)
х+2у= - 1;
{О,2х+3,1у= - 2,3,
б)
х+15,5у= -
11,5;
{ 12,3х-4,7у=5,
в)
36,9х - 14,ly = 16,1;
{
(а-2)х+(а-5)у=36,
г)
(а+2)х+(а -l)y=24;
(
~1 =1,
у-3
72. а)
(х+1)(у-3)=4;
{
(k+3)х+2у=4,
д)
2x-y =k;
{
х2+у• =5,
б)
ху=2;
{
(k+2)x+3y=6 ,
е)
х+ky=2.
{
2х2- 3ху+5у=5,
в)
(х - 2)(у
-
1) =О;
·{
х•+у• =20,
г)
х• +у•= 20;
{
х2у3 +х3у2 =12,
д)
х2у3 -х3у2 =4;
{ х•+3ху =18,
е)
ху+4у 1 =7.
1
_х-_у =10,
.Jx-.Jy
73. а)
.,/ху = 16;
{
Vx+{/'y=3 ,
в)-
~х• -1⁄4Y+W = з;
l ·Гх+; ~
,./
_:....__
+ ..J __:_
__
= 14,
2
3
б) Jx+у -Jх-у-=3;
8
12
74. а) Считая, что х,, х 2 - корни уравнения х 2 + рх + q =О, составить уравнение,
1
1
корни которого - и
-
;
х, х,
б) считая, что х I их 2 - корни уравнения ах• + Ьх + с =О (а ,t . О), составить уравне-
11
ние, корни которого - и
-.
75. Выразить сумму квадратов корней уравнения х 2 + рх + q = О через коэффициен­
тыриq.
182
1
ё
j
!

76. Выразить сумму кубов корней уравнения х 2 + рх + q = О через коэффициенты
риq.
77. Решить уравнение x:i + рх + 45 = О, зная, что квадрат разности его корней ра­
вен 144.
78. В уравнении х2 - 6х + q =О найти значение q, при котором его корни х1 и х2
удовлетворяют условию 3х 1 + 2х 2 = 20.
Решить задачи на составление уравнений (No 79 - 99) :
79. Сумма двух чисел равна 15, а сумма их квадратов равна 125. Найти эти числа.
80. Среднее арифметическое двух чисел равно 20, а среднее геометрическое 12.
Найти эти числа.
81. Найти двузначное число, если число его единиц на 2 больше числа десятков,
а произведение этого числа на сумму его цифр равно 144.
82. Трехзначное число оканчивается цифрой 3 . Если эту цифру перенести влево
(т.е. поставить в начале), то новое число будет на 1 больше утроенного первоначаль­
ного числа. Найти это число.
83. Экскаватор роет котлованы объемом 20 м 3 • После того как бьm вырыт первый
котлован, производительность экскаватора уменьшипась на 1 м' /ч. Известно, что
1
через 6 - ч после начала работы бьmо вырыто полтора котлована. .Определить перво-
2
начальную производительность экскаватора.
84. Два подъемных крана разгрузили баржу за 40 ч совместной работы. Если бы
половину баржи разгрузил один кран, а затем другую половину - второй, то на ра-з­
грузку баржи ушел бы 81 ч. За сколько времени может разгрузить баржу каждый
кран, работая один?
85. Из двух двигателей одинаковой мощности первый израсходовал 600 г бензина,
а второй, работавший на 2 ч меньше, 384 г. Если бы первый двигатель расходовал
в час столько бензина, сколько второй, а второй столько, сколько первый, то ·з а это
же время расход бензина в обоих двигателях бьm бы одинаковый. Сколько бензина
в час расходует каждый двигатель?
86. Два тракториста при совместной работе обрабатывают поле за 45 мин. Скоnько
времени потребовалось бы .одному первому трактористу на обработку поля, если
известно, что один второй тракторист обрабатывает все поле на 2 ч дольше, чем
первый?
1
87. Три рабочих, работая вместе, могут выполнить всю работу за 2-ч. Первый
7
может выполнить эту работу вдвое быстрее . второго и на 1 ч быстрее третьего. За
какое время каждый рабочий может выполнить эту работу?
88. Половину пути мотоциклист ехал с одной скоростью. Затем задержался на
5 мин, а поэтому, чтобы наверстать потерянное время, увеличил скорость f!a 1 О км/ч.
Найти первоначальную скорость мотоциклиста, если весь путь, пройденный им, равен
50 км.
89. Моторная лодка прошла против течения реки 38 км, а затем по течению реки
34,5 км, затратив на весь путь 3,5 ч. Скорость течеf!ия реки 2 км/ч. Найти собственную
скорость моторной лодки .
90. Два туриста вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В.
При встрече в пункте С оказалось, что первый прошел на 6 км больше второго.
1
Продолжая движение с прежними скоростями, первый турист пришел в В через 4-ч,
2
а второй - в А через 8 ч после их встречи в пункте С. Каково расстояние между пунк­
тамиАиС?
91. Из А в В вышел пешеход. Спустя 1 ч 24 мин в том же направлении из А выехал
.:велосипедист и через час бьm на расстоянии 1 км позади пешехода, а еще через час
183

велосипедисту осталось до В вдвое меньшее расстояние, чем пешеходу. Найти скоро­
сти пешехода и велосипедиста, если извесrnо, что расстояние АВ равно 27 км.
92. Два поезда вышли из города А в город В, и весь путь каждый из поездов про­
шел с постоянной скоростью. Второй поезд вышел на 5 ч позже первого и прибыл в В
одновременно с первым поездом. За один час до прибытия в В расстояние между
поездами составило 30 км, а когда первый поезд находился в середине пути , то второй
отставал от него на 225 км. Найти скорости поездов и расстояние между городами.
93. Высота прямоугольника составляет 75 % его основания . Найти периметр этого
прямоугольника, если площадь прямоугольника равна 48 м 2 .
94. От квадратного листа отрезали полосу шириной 3 см, после чего площадь
оставшейся части листа стала равной 1О см 2 . Определить первоначальные размеры
листа.
95. Периметр прямоугольного треугольника равен 36 см, а его площадь 54 см 2 .
Найти длины сторон треугольника.
96. На плоскости отмечено несколько точек. Каждьrе две из них соединены отрез­
ком. Всего отрезков оказалось 10. Сколько точек отмечено на плоскости?
97. 800 кг руды содержат некоторое количество железа. После удаления из руды
400 кг примесей, содержащих 12,5 % железа, процент содержания железа в оставшейся
руде повысился на 25 %. Определить, сколько кг железа содержится в 800 кг руды.
98. К раствору, содержащему 40 г соли, добавили 200 r воды, после чего концент­
рация уменьшилась на 10%. Сколько воды содержал раствор?
99. В двух колоннах , состоящих из 28 автомобилей в каждой, бьmо 11 "Жигулей",
остальные - "Москвичи" . Сколько "Москвичей" бьmо в каждой колонне, если извест­
но, что в первой из них на каждую машину "Жигули" приходилось в два раза больше
"Москвичей", чем во второй?
184
100 . Решить системы неравенств:
{
5х-2;,,2х+1,
а)
.
2х+3<18- 3х;
1
.:..:._
_
6х- 1<4х+1 '
4
4
12
в)
2х+1 2-х
>1;
5
3
б){
2х+1>3х+4,
5х+3;,,8х +21;
{
х2- 4х+3>О,
г)
х2-6х+8<О.
Решить неравенства (No 101 - 104) _:
101.а)х2- 5х+6<О;
б)-2х2+х+1.;;;О;
г)3х2- 4х+5>О;
д)х2+2х+1>О.
102.а)11-2х1>3-х; б)1х+81,;;;3х-1;
в)-2х2+х-1>О;
в)12х+31>[4х- 31; г)-Jx(x+6)+9- -Jx• - бх+9>1.
103. а) (х +3)(х-2)(х+5)>О; б) (х+2)(х- 3)(х
-
5)2 ;,, О;
6-3.х
(х - 1)(х
-
2)(х - 3)
в)-----< О; ·
г)
3х2+2х-5
(х+1)2(х+2)(х2+х+1)
д)
(х - 1)(х
-
3)
ж) х''> х.
--------- > О;
х2+1
Зх 2 -17х+18
е) ------- <2;
х 2 -5х+4

х
104. а) О< --
3-х
Js-2х
в) --->1;
х
Зх- 2
<1;
б) 1 <---
х+1
г),Е< 1.
х
105. Доказать неравенства:
1
ху
<3;
a)lal-->l при а< -1; 6)-+->2 приху> О;
а
у
х
1 х2-х+1
в)х2+у2+z2+3>2(х+у+z); г) -
. ,;-- --.,; 3;
3
х2+х+1
д)8(а4+Ь4).;;.(а+Ь)4, еслиа>О,Ь>О.
ГЛАВА 7
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
§ 1. Прямоугольная сисrема коордиюrг на плоскосm
Действительные числа можно изобразить точками на числовой оси (или
координатной прямой) (см.§ 5 гл. 2).
Пусть х1 и х2 - действительные числа, а М1 (х 1) и М2 (х2) - соответст-
вующи:е им точки, расположенные на числовой оси.
Справедлива формула для расстоя­
ния между любыми двумя точками на
числовой оси:
M1M2=lx2-x 1 1,
(1)
где М1 М2 - длина отрезка М1 М2 (см.
§5гл.2).
Перейдем от прямой к плоскости.
л
Две взаимно перпендикулярные чис­
ловые оси с общим началом О образуют
прямоугольную систему координат на
плоскости. Горизонтальная ось назы­
вается осью абсцисс или осью Ох, верти­
кальная - осью ординат или осью Оу
(рис. 18). Плоскость, на которой вы- Ш
брана система координат, называют
координатной плоскостью.
!J
о1
I
11,
/1
р
Р,
х
;с1
N
Рис. 18
!12
N
Pz
;с2 (])
185

Координатная rmоскость делится осями на четыре части, называемые
координатными четвертями или квадрантами. Их нумерация показана на
рисунке. Прямые углы, образуемые осями координат, называют коорди­
натными углами.
Пусть М - произвольная точка координатной плоскости. Спроектируем
ее на ось абсцисс и ось ординат, т.е. опустим из этой точки перпендикуляры
на оси координат (см.рис. 18).
Определение. Координата проекции точки М на ось Ох называется
абсциссой точки М, координата проекции точки М на ось Оу называется
ординатой точки . М.
Абсциссу и ординату точки М называют координатами точки М. При
этом записьmают М(х; у) (на первом месте всегда пишут абсциссу).
Таким образом, каждой точке М координатной плоскости соответствует
упорядоченная, пара чисел (х; у) - ее координаты. И обратно, каждой паре
чисел х и у соответствует единственная точка М координатной плоскости с
координатами (х; у). Значит, координаты х и у определяют положение
точки на rmоскости.
В самом деле, на оси абсцисс отметим точку с координатой х и проведем
через нее перпендикуляр к этой оси, на оси ординат - точку с координатой
у и проведем через нее перпендикуляр к оси ординат. Пересечение этих
перпендикуляров и дает искомую точку М (на рис. 18 показан случай,
когдах>Оиу>О).
Если точка лежит на оси абсцисс, то ее ордината равна нулю. Если точка
лежит на оси ординат, то ее абсцисса равна нулю. Справедливы и обратные
утверждения. Начало координат имеет абсциссу и ординату, равные нулю:
0(0; О).
Пусть на координатной rmоскости даны точки М1 (х1; У1) иМ2 (х2; У2).
Для нахождения расстояния между ними справедлива следующая формула:
(2)
Для доказательства рассмотрим прямоугольный треугольник М 1M 2N, в
котором, согласно формуле (1), длина катета M 1N равна I х 2 - х 1 1 и
длина катетаМ2 Nравна ly2 -у 1 1. По теореме Пифагора
М1М2 =.J(M1N)2 + (M2N)2 =
=уIХ2 -Х1 12+1У2 -У1 12=✓(Х2-Х1)2+(У2-У1)2.
Формула (2) верна и в том случае, когда х1=х2 или у1=у2 . Тогда эта
формула дает либо
М1М2=✓(У2- Y1i = IY2 -Yi 1,
либо
М1М2 =J(x2 - Х1)2 =1Х2 - х1 1.
186
j
1

Например, найдем расстояние между точками М1 (1; 3) и М2 ( - 3; О).
Согласно формуле (2)
М1М2 =Vi,_(
-- 3---1)---:::2,-+ _( _0__ _3_) -= -
2 =./25 =5.
Если точка Мимеет координаты (х; у), то ее расстояние от оси Ох равно
1у 1,расстояние от оси Оу равно Iх 1, аот точкиО ,_.Jx2 + у2:
MP=iyl, MQ=lxl, OM=Jx2 +y2 •
§ 2. Понятие функции. Способы задания функции
При изучении явлений окружающего мира и в пракrnческой деятельно­
сrn нам приходится рассматривать величины различной природы: длину,
mющадь, объем, массу, температуру, время и т.д. В зависимосrn от рассмат•
риваемых условий одни из величин имеют постоянные числовые значения,
у других эrn значения переменные. Такие величины соответственно назы­
ваются постоянными и переменными.
Матемаrnка изучает зависимость между переменными в процессе их
изменения. Например, при изменении радиуса круга меняется и его пло•
щадь, и мы рассматриваем вопрос об изменении площади круга в зависи­
мосrn от изменения его радиуса.
Матемаrnческим выражением взаимной связи реальных величин явщ1ет­
ся идея функциональной зависимосrn. Понятие функции - важнейшее
поняrnе математики.
Пусть переменная х принимает числовые значения из некотороr,о мно­
жества.
Если каждому значению х из некоторого множества действительных
чисел поставлено в соответствие по определенному правилу число у, то
говорят, что на этом множестве задана функция от переменной х, и записы­
вают у = f(x) или у (х). При этом х называют независимой переменной
или аргументом функции, ~ у - зависимой переменной или функцией.
Множество значений х' ЩIЯ которых определены значения у (Х)' называют
областью определения функции и обозначают D (у) или D(f). Множество
значений, принимаемых переменной у, назьmают множеством значений
или областью изменения функции и обозначают Е(у) или E(f) .
Запись у =f(x) или у (х) означает, что у зависит от х. Буква f символи­
зирует правило, по которому получается определенное значение у, соответ­
ствующее данному значению х из множества D:
Вместо букв х, D, у, f(x), Е используются и-другие буквы и обозначения.
Задать функцию у = f(x) на множестве D - это значит указать правило,
по которому для каждого х из D получается соответствующее ему значе­
ние у.
Рассмотрим основные способы задания функции .
1) Функция может бьпь задана фоР,мулой.
187

При этом функция может быть задана одной формулой во всей ее обла­
сти определения или несколькими, различными для разных частей области
ее определения. Например,
{х,
у=
х2, если х>О.
у= 3х,
если х..;;о,
Такой способ задания функции называется аналитическим.
В общем случае, если нет специальной оговорки, за область определения
функции, заданной аналитически, принимают область сущесmования соот­
ветс.твующеrо аналитического выражения, т.е. множесmо тех значений х,
для которых это выражение имеет смысл. Например, функция у = х2
определена на всей числовой оси, как и задающее ее аналитическое выраже­
ние. Но если эта функция выражает зависимость площади квадрата от
длины ero стороны, то функция у = х2 задана для любого х > О.
2) Функция может бьпь задана таблицей.
Записываются в виде таблицы значения аргумента х 1 , х~, ... , Хп и
сооmетсmующие им значения функции у 1 , у2 , ... , Уп· Такой способ
задания функции называется табличным.
Табличный способ задания функции часто применяется во время опытов,
когда исследуется зависимость между величинами.
Табличное задание функции у = f (х) неудобно тем, ч_то_ значения функ­
ции определяются только для тех значений х, которые приведены в таблице.
3) Функция может быть задана с помощью ее графика.
На координатной плоскости Оху (см. § 1) для каждого значениях ИЗ
множесmа D (области определения функции) строится точка М(х,· у),
абсцисса которой равна х, а ордината - сооmетсmующему значению функ­
ции у (х). Построенные точки образуют некоторую линию, которую назы­
вают графиком данной функции.
Вообще, график функции у = f(x), заданной на множесmе D, есть
множесmо точек М(х; f(x)) координатной ruiоскости (при этом х прини­
мает значения из D).
Способ задания функции с помощью графика называют графическим.
Чтобы по заданному графику найти значение функции у (х) при каком-то
определенном значении х, поступим следующим образом. Проведем через
точку х оси абсцисс перпендикуляр к этой оси и найдем точку пересечения
ero с графиком данной функции. Ордината точки пересечения и дает соот­
ветсmующее значение функции. •
Графический способ задания функции IIШроко используется в научных
исследованиях и в современном производсmе. Самопишущие приборы
автоматически вычерчивают графики изменения различных величин.
Кроме рассмотренных трех основных способов задания функции, исполь­
зуются и другие способы ее задания.
Функция может быть задана описательно. Такова, например, функция
у=[х],rде[х]
-
целая часть х, т.е . наибольшее целое число, которое
188

меньше или равно х. Эта функция задана для любого действительного х . .
Например,[3] =3, [ ~] =2, [
-%]= - 2.
При вычислении значений функции на ЭВМ применяется удобная вычис­
лительная схема (алгоритм). Такой. способ задания функции называется
алгоритмическим. Например, для вычисления значений функции у =ах2 +
+Ьх +с(пятьопераций) запишемееввидеу =х(ах +Ь) +с,иалгоритм
вычисления состоит уже из четырех операций .
Мы будем чаще всего рассматривать функции, заданные аналитически,
причем область определения их представляет собой промежуток (отрезок,
интервал или полуинтервал).
П р и м е р 1. Найти область определения функций:
1
~-
1
а)у= ----; б)у=v'4-х 2 ; в)у= ---
х2 -3х+2
з_г.:--,
уХ-1
Решение. а) Функция задана для всех значений х, кроме тех, для
которых х2 - 3х + 2 =О.Решая это квадратное уравнение, находим х =1
и х = 2. Таким образом, область определения функции состоит из трех
интервалов:(- 00; 1),(1; 2)и(2; +00) .
б) Область определения функции находится из условия 4 - х2 ~ О .
Решая это неравенство, получаем - 2
. . ;; х ..;; 2. Таким образом, область
определения функции есть отрезок [ - 2; 2].
в) Область определения функции находится из условиях - 1
-=I= О,от­
куда х -=I= 1. Следовательно, область определения функции состоит из интер­
валов(- 00; 1)и(1;+оо).
Пр им ер 2. Найти область определения D(y) и множество значений
Е(у) функции у=v'- 2х2 - 3х +2.
Решение. 1) Так как для действительных чисел корни четной сте­
пени сушествуют только из неотрицательных чисел, то - 2х2 - 3х + 2 ~ О.
Решая это квадратное неравенство (например, метрдом интервалов),
1
получаем - 2 ..;;х ..;;
-
.
2
2) Чтобы найти Е(у), найдем х из условия у = v'- 2х2 - 3х + 2, где
у~О.Возведявквадрат,получиму2= - 2х2- 3х+2или2х2+3х+
+ (у2- 2) =О,откуда
-
3±v'9 - 4
· 2(у2-2)
4
Это возможно , если
=
-
з ±,J2s - 8у2
4
5
5
2
2
25
5
25 - 8у ~О=у ,;;;_ =iyl..;;--
8
2ф, ~ - 2 . ./2 ..;;у..;; 2../2
189

s,.,/2
Учитывая условие у;;;,. О, имеем 9 <(у .,;; - 4
-
•
илиD(y) -= [-2; +],Е(у) =
§ 3. Свойства функции
Четные и нечетные функции. Числовое множество назовем симмет­
ричным относительно начала координат, если этому множеству вместе
с числом х принадлежит и противоположное ему число - х. Примерами
таких множеств являются любой отрезок вида [-а; а] , любой интервал
(- а; а),всячисловаяось ( - оо; оо).
Пусть область определения функции у = f (х) является множествf!>_м,
симметричным относительно начала координат. Функция у = f (х) назы­
вается четной, если f ( - х) = f (х) для любого х из области определения
функции. Функция у = f (х) называется нечетной, если f ( - х) = - f(x)
для любого х из области определения функции.
Примерычетных функций:у=х2,у =х2+3,у = - 3х2 +1,у=1х1,
у=4. В самом деле, (-х)2 =х2, (-х)2 +3=х2 +3,-3(-х)2 +1 =
=-3х2+1, 1-х1=1х1,у=4длялюбогох.
Сумма, разность, произведение и частное четных функций также есть
четная функция.
-
х
Примеры нечетных. функций: у = х3, у =Х 3 +х, у= - 2
--
.
В самом деле,
х+1
(х3 + х),
(-х)
х
дл я любого х.
Сумма и разность нечетных. функций есть функция нечетная, а произ­
ве дение и частное двух нечетных функций - функция четная.
Не следует считать, что каждая функция является четной или нечетной.
• Болышшство функций свойством четности или нечетности не обладает.
Например,таковафункцияу=х3 +х2.Всамомделе, ( - х)3.+(- х)2 =
= - х3+х2,т.е.(-х)3+(-х)2*х3+х2итакже(-х)3+(-х)2*
*- (хз +х2).
Из определения четных и нечетных функций следует, что график четной
функции симметричен относительно оси ординат, а нечетной - относительно
начала координат.
Действительно, пусть точкаМ(х 0 ; у0 ) является точкой графика четной
функции у =f(x): Уо =f(xo), Рассмотрим точкуN(-х 0 ; у 0 ) (ри,с.19),
симметричную точке М(х0 ; у0 ) относительно оси Оу. В силу четности
190

данной функции
t·
;
f(-xo)=f(xo)=yo,
а это означает, что точка N( - х 0 ; у 0 ) также принадriежит графику функ­
ции у =f(x).
Симметрия графика нечетной функции относительно начала координат
еле-дует из того, что наряду с точкойМ(х 0 ; Уо) графика нечетной функции
у
!/
х
о
х
Рис. 19
Рис. 20
у= f(?c) этому графику принадriежит и точка N (- х 0 ; - у0 ): в силу
нечетности функции
f(-xo)-=
-f(?co)-= -Уо ,
Точка N(- Хо,' -Уо) симметрична точке М(х 0 ; у 0 ) относительно начала
координат. Точка О - середина отрезка МN (рис. 20) .
МонотоЮiые функции. Функция у = f{x) называется возрастающей
в нексуором промежутке, если дrIЯ любых двух значений х из этого про­
межут1<а большему •значению аргумента соответствует большее значение
функции, т.е. из условия х 1 < х2 следует, что f(x 1 ) < f(x 2) дriя лю­
быхх 1 и х2 из данного промежутка.
Ордината графика возрастающей функции возрастает с возрастанием
х (рис. 21).
Функция у = f (х) называется убывающей в некотором промежутке,
если дrIЯ любых двух значений х из этого промежутка большему значе­
нию аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. из условия
х1 < х2 следует, что f(x1) >f(x2) дriя любых х1 и х2 из данного проме­
жутка.
Ордината графика убывающей функции убьmает с возрастанием
х (рис. 22).
Возрастающие и убывающие функции назьmаются монотонными функ­
циями.
191

При исследовании функции на возрастание или убьmание в некотором
промежутке сначала надо проверить, задана ли функция в этом проме­
жутке . Чаще всего функция у = f (х) не является возрастающей (или убы­
вающей) во всей области ее определения, но иэ области определения обыч­
но можно указать промежутки, на которых функция является возрастаю­
щей (или убьmающей). Их называют промежутками монотонт-юсти
функции.
Промежутки знакопосrоянства и корни функции. Промежутки, в ко­
торых функция сохраняет свой знак (т.е. остается положительной или
!/
у
тrх,
f (3:z)
f (:с,)
f(Xz
о
Х1
Xzх
ох,
Xzх
Рис. 21
Рис. 22
отрицательной), назьmаются промеж;утками знакопостоянства функции.
Например, функция у = х2 + 1 положительна на всей оси Ох; функция
у = х 3 положительна при х > О и отрицательна при х < О, ее промежутки
знакопостоянства - интервалы (О; + 00 ) и ( - 00 ; О); следовательно,
графи~< функции у = х 3 расположен выше оси Ох при х > О и ниже оси
Охприх < О.
Значения аргумента х, при которых f (х) = О, назьmаются корнями
(или нулями) функции f (х). Таким образом, корень функции f (х) - то
же, что и корень уравнения f (х) = О. Геометрически корни функции -
это точки пересечения ее графика с осью Ох.
Корнем функции у = х 3 является х =О .Функция у= х2 + 1 действитель­
ных корней не имеет.
§ 4. Свойства и графики некоторых просrейших функций
В общем случае исследование функции у= f (х) проводится по следую-
щему плану :
1. Находят область определения функции и множество ее значений.
2. Проверяют, является ли функция четной или нечетной.
3. Находят промежутки монотонности и промежутки знакопостоянст­
ва функции.
4. Определяют точки пересечения графика с осями координат и другие
характерные точки .
После этого можно построить график функции. В некоторых случаях
проще построить график функции, а затем по его виду выяснить свойства
функции.
192
1

•
1
1
1
11
1
Лm1ейная функция у = kx + Ь и ее график. Линейной функцией назы­
вается функция вида
у =kx +Ь,
где k и Ь - заданные числа.
1) Рассмотрим частный случай, когда k =О.Тогда
у=Ь.
Эта функция задана на всей оси Ох и для каждого х прюшмает одно
и то же значение Ь. Следовательно, ее график - прямая, параллельная оси
Охиотстоящаяотнеена IЬ Iединиц (вверх,еслиЬ>О,ивниз,еслиЬ<О
(рис. 23)). При Ь,= О графиком функции у= О является прямая, совпадаю­
щая с осью Ох.
2) Если Ь = О, то у= kx. При k * О функция у= kx назьmается прямой
пропорциональной зависимостью.
Эта функция задана всюду: Она монотонно возрастает при k > О и
убьmает при k < О на всей оси Ох. Докажем монотонность функции у= kx.
Возьмем дВа каких-нибудь значения аргумента х 1 и х2 . Найдем для
них соответствующие значения функцииу 1 иу 2 :
У1 =kx1, У2 =kx2 ,
Вычитая из у2 значение у 1 , получаем
У2 ~У1 =k(x2 - х1).
ЕслиХ2 >Х1иk>О,тоУ2 - у1> О; тогдаУ2>у1,ифункцияу=kx
возрастает на всей оси Ох.
!/
!J
(Ь>О)
о
Рис. 23
ЕслиХ2>х1иk<О,тоу2-у1<О;тогдау2<у1ифункцияу=kx
убьmает на всей оси Ох.
Следовательно, функция у = kx является монотонной .
Если х = О,то значение функции у= kхтакже равно нулю, следовательно,
точка 0(0; О) принадлежит графику функции. При k > О знаки х и у
совпадают; при k < О знаки х и у противоположны:.
Отсюда заключаем, что при k > О точки графика функции у= kx принад­
лежат первой и третьей координатным четвертям, а при k < О - второй
и четзертой.
7 .Г,И, Богатырев
193

Докажем, что графиком прямой пропорциональности у = kx (k - = f; О)
является прямая, проходящая через начало координат.
Возьмем х = 1, Тогда у= k . Прямая, проходящая через точку P(l; k)
и начало координат О (О; О), - график функции у= kx (рис. 24).
В самом д~ле, пусть k > О.
Треугольники MON и POQ подобны при любом положении точки
М (х; у) на построенной прямой. Из подобия следует , что
MN
PQ
у
k
и
=
т.е. у =kx.
ON
OQ
х
Результат сохраняется и для любой точки М на рассматриваемой прямой,
расположенной в третьей координатной четверти (в этом случае ее рас­
стояни~отосейОхиОусоответственноравныIу 1 = - у иIх1 = -
х,
таккаку<О,х<О).
Тем самым доказано, что любая точка на прямой, проходящей через
точки P(l; k) и 0(0; О), принадлежит графику функции у= kx. Ника­
кая другая точка М1 , не лежащая на этой прямой, не может принадлежать
графику у= kx (см. рис. 24). Если допустить, что точкаМ1 (х; у 1 ) принад­
лежит этому графику, то должно бытьу 1 = kx. Вместе с тем точкаМ(х; у),
полученная при пересечении прямой, проведенной через точку М1 парал­
лельно Оу, с прямой ОР, по доказанному принадлежит искомому гра­
фику. Значит, у = kx, что противоречит равенству у 1 = kx: их правые части
Н1
Рис. 24
Рис. 25
равны, а левые - различны, так как у '=/= у 1 . Следовательно, график функ­
ции у = kx есть прямая ОР.
Аналогично рассматривается случай k < О. Отметим, что графиком
функции у = х (k = 1) является биссектриса первого и третьего коорди­
натных углов. В самом деле, при k = 1 угол POQ равен 45° (см. рис. 24).
Трафиком функции у= - х (k = -
1) является биссектриса второго и чет­
вертого координатных углов.
З) Общий случай: у= kx + Ь. Каждая точка графика этой функции полу­
чается сдвигом на I Ь I единиц вдоль оси Оу (вверх, если Ь > О, и вниз,
если Ь < О) соответствующей точки графика функции у = kx . Поэтому
194

графиком линейной функции является прямая, параллельная прямой
у=kx(рис.25,Ь>О).
Коэффициент k назьmается угло.вым коэффициентом прямой у = kx.
Этот коэффициент определяет уrол наклона а этой прямой к оси Ох:
k=tga.Еслиk>О,тоуrола-острый;еслиk<О,тоуrола-тупой.
Ордината точки пересечения прямой у = kx + Ь с осью Оу равна Ь.
Таким образом, графиком линейной функции у= kx + Ь является пря­
мая, расположение которой на координатной плоскости зависит от зна­
чений уrловоrо коэффициента k этой прямой (k = tga; а - угол наклона
прямой к оси Ох), и Ь - ординаты точки пересечения с осью Оу.
!/
Рис. 26
Приk>Офункцияу=kx+ЬвозрастаетнавсейосиОх,апри
k < О убьmает.
Практически для построения графика линейной функции надо построить
две точки графика, а затем провести через эти точки прямую.
1
Например, построим график функции у = - -
х+1.
'
2
Прих=Оу =1;приу=:=О х =2.Соединяяпрямойнайденныеточки,
1
1
получаем график данной функции (рис. 26) . Здесь k = -
2,tga= -
2
иа-тупойуrол,Ь =1.
k
k
Функция у = -
и ее график. Функция вида у =
, гдеk-:/=О -за-
х
х
данное число, называется обратной пропорциональной зависимостью .
Рассмотрим случай k > О:
1) функция задана всюду, кроме х = О, т.е. область ее определения
состоитизинтервалов ( - 00 ; О) и (О; + 00 );
2) функция нечетная, так как
k
k
[(-х)=
-
-
-
=-f(x)
-х
х
для любого х -:/= О; следовательно, график функции у=
'l*
k
х
симметричен ·
195

!J
1
1
1
(k<O)
/
'
,
/
/
!J =ls.
./
31
_,,,.
---- --
1/
1,
,
,
1
1
f'uc. 27
!/
y=-l
(k>O)
,,,-
------
:t
Рис. 28
относительно начала координат, и поэтому дальнейшее исследование функ­
ции проводим для х > О;
3) знак у совпадает со знаком х;
4) функция убьmающая на интервале (О; + 00), так как при О< х 1 <х2
имеем
k
k
k(x1 - Х2)
---
= --- <О (k>O)
Х2
(очевидно, что при k > О функция убьmает и на интервале ( - 00 ; О)).
k
Используя эти свойства, строим график функции у = -
приk>О
х
(рис . 27) . Полученная кривая называется гиперболой. Она состоит из
двух ветвей, расположенных в первой и третьей координатных четвертях.
k
Аналогично доказьmается, что в случае k < О функция у= - являет-
х
ся монотонной: она возрастает на каждом из интервалов ( - 00 ; О) и
(О; + 00 ) . График также называется гиперболой. Ее ветви расположены
во второй и четвертой координатных четвертях (см. рис . 27).
k
.
Таким образом, графиком обратной пропорциональности у = -
(ki=О)
х
является гипербола , расположение которой на координатной плоскости
зависит от значений k. Например, на рис. 28 изображены гиперболы
196

у=
х
гипербол.
иу=-
2
х
; начало коордиflаТ - центр симметрии этих
Квадраmый трехчлен и его график. Квадратный трехчлен есть функция
вида
у =ах2 +Ьх+с,
где а, lJ, с - заданные числа и а =I= О. Эту функцию называют также квадратич­
ной функцией или функцией второй степени.
Мы уже встречались с квадратными трехчленами при решении квадрат­
ных уравнений и неравенств, а также при разложении квадратного- трехчле­
на на линейные множители (гл. 6). Рассмотрим сначала его частные случаи.
1.Квадратичнаяфункция у =ах2.
При а = 1 имеем у = х2 • Для построения графика функции у = х2 сос­
тавим таблицу ее значений:
1
1
х-3
-2
-
1
о
123
2
2
1
1
у
941
О
149
4
4
График функции у = х2 изображен на рис. 29 и называется параболой.
При х = О значение функции у = х2 равно нулю. При х =I= О значения
функции положительны. Оказывается, что парабола у· = х 2 касается
оси Ох в начале координат. Остальные точки параболы лежат выше
оси Ох.
Парабола у = х2 симметрична относительно оси Оу, так как функция
у = х2 является четной. Точка пересечения параболы с ее осью симметрии
:с
Рис. 29
!/
/7)
/
/
'
3J
\
/
/
/
/
I
I
\
\ у•а:с2
\ (u<O)
\
1
1
Рис. 30
197

называется вершиной параболы . Верпm:ной параболы у = х2 является
начало координат.
Сраюшм теперь функции у= 2.х2 иу =х2 . При одном и том же х значение
функции у = 2х в два раза больше значения функции у = х 2 . Следователь­
но, график функции у = 2х 2 можно получить растяжением параболы у = х2
в два раза вдоль оси Оу.
Вообще, график функции у= ах2 при а. > О можно получить растяжением
параболы у = х2 в а раз вдоль оси Оу (точнее, растяжением при а> 1,
сжатием при О < а < 1). Отметим следующие свойства функции у = ах 2
при а> О:
1) функция задана для любого х, причем у = ах2 ;;;:,, О; следовательно,
наименьшее значение функции равно нулю и достигается при х = О;
2) функция четная, так как f(- х) =а( - х 2 ) =ах 2 =f(x) для любого
х, поэтому ось Оу является осью симметрии графика;
3) функция возрастает на интервале (О; + 00 ) и убьmает на интервале
(- оо; О)
Докажем возрастание функции при х > О. При О< х 1 < х 2 имеем axi <
< ах~ (а> О) (по свойству неравенств), и, значит, функция у= ах 2 - воз­
растающая при а> О на интервале (О; + 00 ). Убьmание функции при х < О
следует из четности функции и ее возрастания при х > О.
Сравнимфункцииу= - х2 иу=х2. При одном и том же х значения•
этих функций равны по модулю и противоположны по знаку .
Следовательно, график функции у = -х 2 можно получить симмет­
рией относительно оси Ох параболы у = х 2 . Говорят, что ветви па­
раболы у = 1,Х 2 направлены вверх, а ветви параболы у = -х 2 направле-
ны вниз.
.
График фУJ-!кции у= ах 2 при любом а* О также назьmают параболой.
Осью симметрии является ось Оу, вершиной параболы - начало коор­
динат. При а > О ветви параболы направлены вверх, а при а < О - вниз
(рис. 30).
•
.
2.Квадра·тичнаяфункцияу =а(х -хO)2.
Сравним функции у=2(х - 1)2 и у=2х2. Функция у=2(х - 1)2при­
нимает такое же значение, что и функция у = 2х 2 , но при увеличении соот­
ветствующего значения аргумента на единицу. Следовательно, график
функции у= 2(х - 1) 2 можно получить сдвигом параболы у = 2х 2 вдоль
оси Ох вправо на единицу. В результате получим параболу у = 2 (х - 1) 2 ,
ось симметрии которой параллельна оси Оу, а верпm:ной является
точка (1; О).
Аналогично получим параболу у = 2 (х + 1) 2 , ось симметрии которой
параллельна оси Оу, а верпm:ной является точка (- 1; О) , в результате
сдвига параболы у= 2х2 вдоль оси Ох влево на единицу.
Вообще, графиком функции у = а (х - х O) 2 является парабола с верпm:­
ной (х 0 ; О) и осью симметрии - прямой , проходящей через верпm:ну па­
раболы параллельно оси Оу.
198

Эту параболу можно получить сдвигом параболы у= ах 2 вдоль оси Ох
на lx 0 1единиц (вправо,еслих 0 >О,ивлево,еслих 0 < О) (рис. 31).
3.Квадратичная функция у=ах2 +с.
Графиком функции у = ах 2 + с является парабола с верпm:ной (О; с)
и осью симметрии - осью Оу. Эту параболу можно получить сдвигом
параболы у =ах2 вдоль оси Оу на Iс \ единиц (вверх, если с > О, и вниз,
если с< О) (рис. 32).
4. Общ и й случай: квадратичная функция у =ах 2 + Ьх + с (а* О).
!I
у
Рис. 31
Рис. 32
Выделяя в квадратном трехчлене ах 2 + Ьх + с полный квадрат (см. фор-
мулу (8) гл. 6), запишем функцию у= ах 2 + Ьх +св виде
•
У =а(х - хо)2 +Уо,
Из рассмотренных ранее частных случаев следует, что графиком квадрат­
ного трехчлена является парабола с верпm:ной в точке С(х 0 ; у 0 ) и осью
параболы - прямой, проходящей через ее вершину параллельно оси Оу.
Ветви параболы у =ах 2 + Ьх + с направлены вверх, если а > О, и направ­
,
лены вниз, если а < О. Отметим, что абсциссу х 0 верпm:ны параболы у=
=ах 2 + Ьх + с можно найти по формуле
ь
Хо=--.
2а
Ординатау 0 верпm:ны этой параболы равна
Уо =ах~ +Ьх0 +с.
График квадратного трехчлена можно построить, используя следующую
схему:
1. Методом выделения полного квадрата привести квадратный трех­
членквидуу=а(х- х0)2 +у0.
2. Построить верпm:ну параболы
-
точку С(х0 ; у0) и провести через
нее прямую, параллельную оси Оу, - ось симметрии параболы.
199 '

•3" Построить точку пересечения параболы с осью Оу.
4. Найти действительные корни квадратного трехчлена, если они есть,
и построить на оси Ох соответствующие точки параболы.
5. Провести через построенные точки параболу с направлением ветвей
вверх, если а> О, и вниз, если а< О.
Замечание. Легко проверить, что абсцисса вершины параболы
Х1 +Х2
Хо=
2
где х 1 и х 2 - корни квадратного трехчлена.
Таккаку=ах2 +Ьх +с=а(х - х0)2 +у0,тоимеем:
1) Если а > О, то квадратный трехчлен принимает при х = х 0 наимень­
шее значение, равное у 0 . В самом деле, если а> О , то для л юбого х
а(х-х0 )2 ~О.
Поэтому у ~ у0 , причем у =у0 только при х =х0 . Графически это озна­
чает, что из всех точек параболыу = ах2 + Ьх + с при а > О наименьшую
ординату имеет точка С(х 0 ; у0 ) - вершина параболы (рис. 33).
2) Если а < О, то квадратный трехчлен принимает при х = х 0 наиболь­
шее значение, равное у 0 . В самом деле, если а< О, то для любого х
а(х - х0)2 ..;;о.
Поэтому у ..;; у0 , причем у = у0 только при х = х O. Графически это озна-
!J=a(JJ-JJu)z+!fu
(а>О)
3}
Рис. 33
!/
r:
3Jg
!JJ
g=a(x-mo/+go
(а<О)
Рис. 34
чает, что из всех точек параболы у = ах 2 + Ьх + с при а< О наибольшую
ординату имеет точка С(х 0 ; у 0 ) - вершина параболы (рис. 34).
Рассмотрим примеры.
П р и м е р 1. Данное положительное число а представить в виде сум­
мы двух слагаемых, чтобы их произведение было наибольшим.
Решение. Обозначим через х одно из искомых слагаемых. Тогда
другое слагаемое будет равно а - х. Их произведение х (а
-
х) явг '~тся
200

.
.
•
~
квадратным трехчленом. Преобразуем трехчлен, выде~J!В_полный квадрат:
(а)2а2
х(а-х)=-х2+ах=- х-2 ·+4.
.
а
Отсюда видно, что при х = -
квадратный трехчлен принимает наибольшее
2
а2
а
значение, равное -
.
Итак, каждое из искомых слагаемых равно -
.
4
2
Пример2.Построитьграфикифункций: а) у =х2 + 2х + 3; 6)у=
=- 2х2+4х+1;в)у=-2(х-1)(х+3).
!/
!/
1
-1О
Рис. 35
Рис. 36
Решение.а)Выделимполныйквадрат:у=х2+2х+3=(х+1)2 +2.
Следовательно, вершина параболы С( - 1; 2); (О; 3) - точка пересечения
с осью Оу; ветви параболы направлены вверх (рис. 35) .
6) Преобразуем трехчлен:у=-2х2+4х +1=-2(х2- 2х) +1=
= - 2(.х2- 2х+1- 1)+1= - 2(х- 1)2+3.Отсюдавершинапараболы
C(l; 3) ; (О; 1) - точка пересечения с осью Оу; ветви параболы направлены
вниз (рис. 36). Корни трехчлена: х1 = 1 -fl,х2 = 1 +fi.
2
2
в) Корнями трехчлена у = - 2(х
-
1)(х+3)являютсях1=1,х2=- 3,
1-3
и, следовательно, х 0 = --- =
-
1 - абсцисса вершины параболы С На-
2
ходимееординатуу0.: у0 = - 2(- 1
-
1)(-1+3) =8.ПоэтомуС(-1;8)
(рис . 37).
Степе1П1ая функция с целым показателем и ее график. Степенной функ­
цией с целым показателем называется функция вида
у=хп,
где п с/= О - любое целое число.
201

-
1О
1х
Рис. 37
Эта функция задана д;1я любого х (кро­
мех=Оприп<О).Прип=1,п =2,
п •= - 1 соответственно имеем у = х, у = х:ъ-,
1
у=х-1 = - ; ихграфики- прямая(бис­
х
сектриса uервого и третьего координатных •
углов), парабола и гипе'рбола.
Еслип - нечетное число,то д;1я любого до­
пустимого х степенная функция у = х п явля­
ется четной функцией:(- х)п = (хп)длялюбо­
го х (кроме х =Опри п < О). Если п -нечетное
число, то функция у = xn является нечетной
функцией: (-х )п = -(хп). Следовательно, гра­
фик функции у= xn симметричен относитель­
но оси Оу при четном п и симметричен отно-
сительно начала координат при нечетном п.
Если п > 2 - натуральное число, то гра­
фик функции у = хп называется параболой п-й степени. При п = 2 это па­
рабола, при п = 3 - кубическая парабола, при п = 4 - парабола 4-й степени
и т.д. Если п > 2, то по свойству неравенств из условия О< х 1 < х2 следует
xr < Xf, Т.е. функция у= Хп, где n - натуральное ЧИСЛО, возрастает на ИН·
тервале (О; + 00 ); следовательно,наинтервале (- 00 ; О) причетномп она
убывает, а при нечетном п возрастает на всей оси Ох. Графики функции у=
= х4.ИУ =х3 приведены нарис. 38, 39.
Вообще, график степенной функции у = хп с целым положительным
показателем выглядит при четном п > 2 так же, как и график функции
у=х~, апринечетномп>3так же, как играфик функцииу =х3.
!/
Рис. 38
Рис. 39
202

Рассмотрим теперь степенную функцию у =хп с целым отрицательным
1
показателем п. Если п = - 1, то имеем гиперболу у = -
(рис. 40). Если
х
1
п= - 2,тоимеемфункциюу =х-2=- 2
, гр а фи к кото рой изображен на
рис. 41.
х
Вообще, график степенной функции у =х п с целым отрицательным по­
казателем выглядит при нечетном п < О так же, как и график функции
у =х- 1 , а при четномп < О так же, как и график функции у =x-:l.
!J
:rJ
:с
Рис. 40
Рис. 41
График функцииу = yi. Функция у = ~ и ее график. Мы уже знаем
( § 3 rл. 4) свойства арифметического квадратного корня. Отсюда имеем
следующие свойства функции у = ух:
1) функция задана для всехх;;;. О;
2) значение функции равно нулю только при х = О и положительно
для любого х > О;
3) функция монотонная - она возрастает во всей области определения.
График функции у = ух изображен науис. 42. Так как у= ух~ у2 = х
при у ;;;. О, то графиком функции у = ух является одна (верхняя) ветвь
параболы у2 = х с вершиной в !iачале координат и осью симметрии -
осью Ох.
Рассмотрим функцию у = J:;/x, где п ;;;. 3
-
натуральное число. Эта функ­
ция задана для всех х ;;;. О, когда п
-
четное число, и для любЬL'{ х, когда
п - нечетное число (см. § 5 гл. 4).
Мы уже знаем ( § 6 гл. 4) свойства ари~етическоrо корня n-й степени.
Отсюда делаем вывод, что функция у = .f1x, где п ;;;. 2
-
четное натураль­
ное число, имеет такие же свойства, как и функция у = ух, и график ее
выглядит так же, как и график функции у = v'x.
203

Функция у= .ffi, где п ;;;i, 3 - нечетное натуральное число, задана на всей
оси Ох и является нечетной, так как при п = 2k + 1 имеем
2 k+v=x = 2~+Vx"
для любого х. Ее график симметричен относительно начала координат.
Эта функция возрастает на всей оси Ох. График ее выглядит так же, как
и график функции у = {Гх (рис. 43) .
!I
у
,Х
Рис. 42
Рис. 43
Графики функций, содержащих модуль.
{ х, еслих;;;i,О,
1)у=1х1=
•
-х, если х<О.
Мы знаем, что прямая у = х - биссектриса первого и третьего коорди­
натных углов, а прямая у = - х
-
биссектриса второго и четвертого коор­
динатных углов. Получаем график данной четной функции у = 1х 1
(рис. 44).
2)у=i2х+11=
2х+1, еслих;;;i, -
-
2'
1
1
1
-
(2х+1),еслих<--
.
2
.Пос тро им
сначалапрямыеу=2х+1иу= - 2х
-
1, определив их точки
пересечения с осями координат. На прямой у = 2х + 1 возьмем только точ-
1
1
ки с абсциссой х ;;;i, •-
-
,анапрямойу=-2х
-
1- точкисх<-- .По-
.
2
2
лучаем график функцииу = 12х + 11 (рис. 45) .
204
{ х2, еслих;;;i, О,
3)у=хiх1=
-
х2, еслих<О.

------- ----------
!f
!/
Рис. 44
Рис. 45
Рис.46
Функция нечетная; дафик симметричен относительно точки О (рис. 46) .
4) У =v'\xi, у =f/ 1х 1. Обе функции заданы для любого х и принимают
только неотрицательные значения.
Данные функции четные; при х > О у =ух и у =1⁄4. Отсюда способ
построения их графиков (рис. 47).
Пр им ер 1. Построить графики функций: а) у = lx2 - 11; б) у =
=x2 +2lxl.
•
Решение. а) Построим сначала параболу у= х2 - 1. Так как Iх2 - 11 =
=х2- 1прих2- 1>ОиIх2- 11 =- (х2- 1)прих2- 1<О,топоступи~
Рис. 47
следующим образом. Часть параболы у = х2 - 1, лежащую под осью Ох,
отобразим симметрично этой оси. График функции у= lx2 - 11 изображен
на рис. 48.
б) Данная функция является четной, так как
(-х)2 +21 -х 1=х2 +21xl
для любого х. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Оу.
Прих>Оимеему=х2+2х=(х+1)2- 1
-
параболу с вершиной
205

!!
!!
Рис. 48
Рис. 49
(- 1; - 1) . Все ее точки с абсциссой х ?Jo О являются также точками графи­
кафункцииу=х2 +21х1(рис.49).
Пример 2.Построить график функцииу= lx + 11 - lx - 21.
Решение. По определению модуля
lx+ll=
lx- 21=
{ х+l,еслих?J:-1,
{ х - 2,еслих?J:2;
-(х + 1), еслих < -1;
-(х- 2),еслих<2.
Точки х = -1 их = 2 разбивают всю числовую ось на три интервала:
(- оо,-1), (-1; 2) И (2; +оо).
g
3
y=lx+1\-\x-2\
2
Рис.50
Рассмотрим данную функцию на каждом из промежутков.
Пустьх<-1.Тогдау= - (х+l)-( - (х-2)) = - 3.
Если-1<х,;:;;2,тоу =х+1- (-(х
-
2))=2х -1.
Прих?Jo2у=х+1- (х
-
2) =3.
Следовательно, данную функцию можно записать в виде
(
-
3, • если х,;:;; - 1,
у= 2х-1,если-1..;;х<2,
3,еслих?Jo2.
Отсюда ясно, что на каждом из рассматриваемых промежутков графи­
ком функции служит часть соответствующей прямой (рис. 50) .
206

§ 5. Графический способ решения уравнений
и систем уравнений .
Уравнен}Щ прямой и окружности
Рассмотрим уравнение с одним неизвестным
f(x) = О,
где f (х) - заданная функция переменной х.
Для графического решения этого уравнения надо построить график
функции у= f(x) и найти его точки пересечения с осью абсцисс. Абсциссы
этих точек дают значения действительных корней уравнения f (х) = О.
В частности, графический способ можно · применить для решения линейно­
гоуравненияах+Ь =Оиквадратногоуравненияах2 +Ьх +с =О (аi=О).
В некоторых случаях удобно преобразовать уравнение f (х) = О к равно­
сильному уравнению вида g (х) = h (х) . В таких случаях строят графики
функций у = g (х) и у = h (х) и находят абсциссы их точек пересечения.
Пр им ер 1. Решить графически уравнение х2 +х - 2 = О.
Решение.Можнопостроитьпараболуу=х2 +х - 2инайтиабсциссы
ее точек пересечения с осью Ох. Однако проще поступить по-другому.
Запишем данное квадратное уравнение в виде
х2=2-х.
Построим параболу у= х 2 и прямую у = 2 - х. Найдем абсциссы их
точек пересечения: х = - 2, х = 1 (рис . 51).
!J
:х
Рис. 51
Значит, данное уравнение имеет корни х 1 = - 2, х2 = 1.
Рассмотрим уравнение с двумя неизвестными х и у . Графиком уравне­
ния с двумя неизвестными называется множество всех точек (х; у) коор­
динатной плоскости, координаты которых обращают данное уравнение
в верное равенство.
Пусть, например, дано уравнение 2х - Зу = 6. Преобразуем его к ви-
2
2
ду у = -х - 2 и построим график линейной функции у= -х - 2. Полу-
З
З
ченная прямая есть график уравнения 2х - Зу= 6.
207

Рассмотрим теперь произвольное линейное уравнение
ах+ Ьу =с,
(3)
где а, Ь, с - заданные действительные числа, причем хотя бы одно из чи­
селаиЬнеравнонулю.
Пусть Ь =t- О. Тогда уравнение (3) можно преобразовать к виду
а
с
у= - -х+-.
ЬЬ
ас
Графиком линейной функции у = - Ь х + Ь является прямая. Она и бу-
дет графиком уравнения ах+ Ьу =св случае Ь =t- О.
!J
о
Рис. 52
(JJ = _g_
а
Рис. 53
Пусть теперь Ь = О. Тогда уравнение (3) принимает вид ах = с или х =
с
=-
(если Ь = О, то из условия следует, что а =t- О). Множество точек плос­
а
с
кости, координаты которых удовлетворяют уравнению х = - , есть прямая,
а
параллельная оси Оу (рис. 52) .
Таким образом, графиком любого линейного уравнения ах + Ьу = с,
где а и Ь одновременно в нуль не обращаются, является прямая линия.
с
/'
Вчастномслучае,когдаа=О,Ьу =с,и,значит,у= - (Ь =t-О)
-
прямая,
ь
параллельная оси Ох.
.
1
Пусть дано уравнение ху = - I. Преобразуем его к виду у = - - и постро­
х
1
им график функции у = - -
(рис. 53) . Полученная гипербола является
х
графиком уравнения ху = - I.
208

, ----
В рассмотренных выше примерах по данному уравнению мы находили •
ero rрафик и получали на плоскости соответс'fВующую линию - прямую
и rиперболу .
Возникает обратная задача: для данной линии на плоскости составить
уравнение, rрафиком котороrо является эта линия.
РеIIШм эту задачу для случаев прямой и окружности и составим их урав­
нения.
Пусть на плоскости задана прямоуrольная: система координат Оху
и дана некоторая.линия L.
Определение. Уравнением линии L на rutоскости называется урав­
нение с двумя переменными х и у, которому удовлетворяют координаты
любой точки линии L ц не удовлетворяют координаты никакой точки, не
принадлежащей этой линии.
Уравнение прямой. Докажем, что любая прямая на плоскости имеет
в прямоуrольной системе координат уравнение вида
ах+Ьу=с,
(3)
rде а и Ь одновременно в нуль не обращаются.
Пусть h - произвольная прямая на плоскости Оху. Проведем какую­
нибудь прямую, перпендикулярную прямой h, и отложим на ней от точки
пересечения В с прямой h равные отрезки ВА 1 и ВА 2 (рис . 54).
Пусть а1 ,Ь1 -координаты точки А1 и а2 , Ь2 - координаты точки А2 .
Мы знаем, что любая точка М(х; у) прямой h равноудалена от точек А 1
и А 2 (из равенства прямоуrольных треуrольников А 1 ВМ и А 2 ВМ следует
!I
h
о
:z:
Рис. 54
равенство А 1 М = А 2 М). Применяя формулу (2) для расстояния между
двумя точками на плоскости, имеем
v1 (х - а 1)2 + (у - Ь 1) 2 = Vг-(х---а-2 )~2-+_(у_--Ь2-)~2
ИЛИ
(х - а1)2 +(у - Ь1)2 =(х-а2)2 +(у-Ь2)2
(*)
для любой точки М (х ; у) прямой h.
Если же точка М(х; у) не принадлежит прямой h, то для нее А 1 М ~
* А2М и, следовательно, координаты такой тоЧJСи не удовлетворяют урав-
209

нению (•). Таким образом, уравнение (*) является уравнением прямой h.
После упрощений это уравнение примет вид
2(а2 -а1 )х+2(Ь2 - bi)y=a1 +b1 - aI - bi,
rде коэффJЩИенты при х и у одновременно в нуль не обращаются, так как
точки А 1 и А 2 различны.
Полученное уравнение прямой h имеет вид (3), что и утверждалось.
Таким образом, всякая прямая на плоскости определяется линейным
уравнением (3). А ранее бьmо доказано, что всякое линейное уравнение
(3) является уравнением прямой. •
у
@11(х;у)
~
о
.х
Рис. 55
П р и м е р 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
A(l; О) иВ(2; 1).
Решение.Прямаяимеетуравнениевидаах+Ьу =с.ТочкиАиВле­
жат на прямой, а значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению.
Отсюда
а·1+Ь·О=с, а•2+Ь•1=с
или а= с, 2а + Ь =с.Выразим Ь через с:
Ь=с-2а=с-2с=-с.
Подставляя выражения для а и Ь через с в уравнение ах + Ьу = с, полу-
чаем
сх-су=силих-у=1
уравнение прямой, которая проходит через точки А (1; О) и В(2; 1).
Уравнение окружности. Докажем, что окружность с центром в точке
С(а; Ь) и радиусом, равным r, имеет в прямоугольной системе координат
уравнение
(.х-а)2+(у - Ь)2=,2.
(4)
Пусть М(х; у) - произвольная точка данной окружности (рис. 55).
Ее расстояние от центра окружности С равно радиусу окружности: СМ= r.
С другой стороны, по формуле (2) имеем
CM=.J(x - a) 2 +(у - Ь)2.
210

Поэтому
--~-- -~
../(х-а)2+(у-;Ь)2=r или (х -а)2+(y- b)2=r2.
Таким образом, координаты любой точки данной окружности удовлет­
воряют уравнению (4) . Если же точка не принадлежит данной окружности,
то ее координаты не удовлетворяют уравнению (4) .
Всамомделе,тогдаICMI-=I=r, .j(х-а)2+(у-Ь)2-=I=r и (х-а)2+
+(у_Ь)2-=/= ,2.
Отсюда следует, что уравнение (4) является уравнением окружности
с центром С (а; Ь) и радиусом r .
В частности, окружность с центром в начале координат имеет уравнение
х2+у2=r2.
Для графического решения системы двух уравнений с двумя неизвест­
нь1ми надо построить в одной системе координат графики данных урав­
нений и найти координаты точек пересечения этих графиков.
П р и м е р 3. Решить графически систему уравнений
{х2+у2-=25,
х+у-=5.
Решение. Построим в одной системе координат графики уравнений
х2 +у2 =25 и х +у =5. Графиком уравнения х2 +у2 =25 является ок­
ружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5, а графи­
ком уравнения х + у = 5 - прямая (рис. 56). Окружность и прямая
!!
Рис. 56
пересеклись в точках А (О ; 5) и В (5; О) . Следовательно, данная система
имеет два решения: (О ; 5) и (5; О) .
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
хиу:
{ а1х+Ь1у-=с1,
(5)
а2х+Ь2У -= с2,
где а1 , Ь 1, с 1 , а2 , Ь2, с2 - заданные действительные числа, причем хотя
быодноизчисела1иЬ1ихотябыодноизчисела2иЬ2неравнонулю.
211

Чтобы графически решить эту систему, надо построить прямые, кото­
рые являются графиками уравнений системы. Решение системы (5) за­
висит от взаимного расположения на плоскости двух прямых.
Две прямые на плоскости могут пересекаться - в этом случае система
(5) будет иметь единственное решение, определяемое координатами точки
пересечения, могут быть различны и параллельны - в этом случае система
(5) не будет иметь решений, и, наконец, прямые могут совпадать - в
этом случае система (5) будет иметь бесконечное множество решений -
решением являются координаты любой точки на совпавших прямых.
!!
Рис. 57
Таково геометрическое истолкование решения системы двух линей-
ных уравнений с двумя неизвестными.
П р и м е р 4. Решить графически систему уравнений
{х-2у:1,
2х-4у:4.
Решение. Построим прямыех - 2у =1 и 2х - 4у =4 (рис. 57).
Эти прямые параллельны, и, значит, система не имеет решений.
§ 6. Построение графиков (решение задач)
Рассмотрим примеры на построение графиков- функций и уравнений .
Пример 1.Построитьграфик
у:{
х,
х2
'
если
если
х>О.
Реше ни е. График этой функции, заданной разными формулами
на разных промежутках изменения аргумента, состоит из биссектрисы
третьего координатного угла и одной ветви параболы у = х2 (рис. 58).
212

lx1
Пр и мер 2. Построить график у=
х
Решен и е. Функция задана для любого х =I= О. При этом
у={
1,
-
1,
если х> О,
если х<О.
График функции изображен на рис. 59.
Пример 3. Построитьграфик у =·-✓х2 - 4х +4.
!/
!J
IX/o-1_____
!J= х
:с
о
-----0---1
Рис.58
Рис.59
Решение.Таккакх2- 4х+4=(х - 2)2,тоу= - 1х- 21 .Имеем
1
{х-2,если
х-2/:
-
(х- 2), . если
,.
Следовательно,
х;;;;,, 2,
х<2.
{~(х- 2), если х;;;;,,2,
у"'- ✓х2-4х+4"'
(х- 2), если х<2.
Построим прямые у = -
(х- 2)иу=х - 2,напервойизнихвозьмем
точки с абсциссой х ;;;;,, 2, на второй - с х < 2 и получим график данной
функции (рис. 60). Заметим, что график у = -
1х - 2 1- можно также
получить сдвигом графика у = 1х I вдоль оси Ох вправо на 2 и затем отоб­
разить симметрично оси Ох.
Пр им ер 4. Построить график ly 1 = lx 1.
Решение. Данное уравнение распадается на два равенсmа: у = х
и у = - х, так как при равенсmе двух чисел по модулю сами числа либо
равны, либо отличаются только знаком. График уравнения ly 1 = lx 1
состоит из биссектрис координатных углов (рис. 61).
213

!J
!J
!J
х
J}
-1
1 !1J
Рис. 60
Рис. 61
Рис. 62
Пример 5.Построитьграфикlхl +lyl =1.
Решение. Так как 1 -х 1 = lx 1, то если (х; у) - точка графика,
то точкой графика будет и ( - х ; у). Значит, график симметричен от­
носительно оси Оу. Уравнение содержит у только под знаком модуля,
и, следовательно, вместе с точкой (х; у) графика его точкой будет и точка
(х; -у), т.е. график симметричен также оси Ох.
Пусть х ;;;,, О, у ;;;,, О. Тогда для точек первой координатной четверти
уравнение принимает . вид х + у = 1. Построив прямую х + у = 1, возьмем
на ней только точки, расположенные в первой координатной четверти .
Получим отрезок и затем используем симметрию графика относительно
осей координат. График уравнения lx 1 + ly 1 = 1 - контур квадрата
(рис. 62).
Пример 6. Построитьграфик lxl +lyl =О.
Решение. Так как Iх 1 ;;;,, О и ly 1 ;;;,, О, то данному уравнению удов -
летворяют только числа х = О и у = О. График состоит из одной точки -
начала координат.
Пример 7.Построитьграфикх2 +2х - 3 =О.
Решение. Решаяквадратноеуравнениех2+ 2х- 3 =О,находим
егокорних1= -
3их2=1.Поэтомуграфикуравнениях2+2х- 3 =О
состоит из двух прямых х = -
3 и х = 1, параллельных оси Оу (рис. 63).
у
!J
x =-J
-
J
о
1
х
Рис. 63
Рис. 64
214

х-1
Пример 8.Построитьграфику = ---- .
х
1
Решение.Имеем у=1 - -
.
Поэтому график данной функции
х
1
можно получить сдвигом гиперболы у = -
1 (рис . 64).
Пример 9. Построить график у =х3 -х.
Решение. Данная функция является нечетной:
(-х)3-(-х) =-
(х3-х)
вдоль оси Оу вверх на
для любого х; следовательно, график симметричен относительно начала
координат.
Пустьх;;;,О.Таккаку =х3 - х =х(х+1)(х- 1),топриО<х<1
имеем.У<О;прих;;;, 1имеему;;;,О.Вточкахх =О,х =1,х = - 1гра­
фик будет пересекать ось Ох. Учитывая нечетность функции и промежутки
знакопостоянства, строим график функции (рис. 65) .
Пример10.Построить график у=✓1 -х2 .
Ре ш е ни е. Возведем обе части в квадрат и получим
у2=1-х2 или х2+у2=1.
Так как у = ✓ 1 - х2 ;;;, О, то, построив график уравнения х2 +у2 =1,
нужно оставить только точки с ординатой у ;;;, О. График уравнения
х2 + у2 = 1 - окружность с центром в начале координат и радиусом, рав-
ным 1. Следовательно, графиком функции у = ✓ 1 - х2 является
"верхняя" полуокружность (рис. 66).
у
!J
y =:r:3- JJ
:J)
у
,1
\.
/
1
\
/
y=✓t-!112
\
/
\
/
\
/-3
-1о1
iIJ
\
'-
/-q
Рис. 65
Рис. 66
Рис. 67
2_15

Пример 11. Построить график у= lx2 +21х 1- 31.
Решение . Данная функция - четная; ее график симметричен отно­
сительно оси Оу. При х ;;;,,, О имеем у = 1х2 + 2х - 3 1 Отсюда способ пост­
роения заданной функции: сначала построим параболу у = Х2 ' + 2х - 3,
затем - график функции у = 1х2 + 2х - 31 (рис. 67) и, наконец, график
функцииу=1х2+21х1-31 (рис.68).Графику=х2+2х-3 =
=(х+1)2-4
-
парабола с вершиной (- 1; - 4) , направлением ветвей
,
у
-
-1 1 t~-= --~
- --, -- -y= 1(a~f)
y=a(O<a<f)
х
о
:r
Рис. 68
Рис. 69
вверх и ординатой - 3 точки пересечения параболы с осью Оу. Решая квад­
ратноеуравнениех2+2х- 3 =О,находимегокорних1= - 3,Х2 =1 -
абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох.
Пр им ер 12. Сколько решений имеет уравнение
llx-11
-
ll=a
при различных значениях параметра а?
Решение. Очевидно, что при а < О уравнение решений не имеет.
Пусть а ;;;,,, О. Будем решать уравнение графически, построив графики
функцийу=11х- 11 - 11иу=а.
График функции у = 11х - 11
-
11 можно получить сдвигом графика
у = 1х I вдоль оси Ох вправо на 1, затем сдвигом полученного графика
у = 1х - 11 вдоль оси Оу вниз на 1 и, наконец, симметрией относительно
осиОхчастиграфикау= 1х - 11
-
1, расположенной под осью Ох.
График функции у =а - прямая, параллельная оси Ох. Абсциссы точек
пересечения графиков функций у = 11х - 11
-
11 и у =а являются кор­
нями уравнения 11х - 11
-
11=iz (рис. 69).
Ответ. Если а= О, то два решения; если О< а< 1, то четыре решения;
если а= 1, то три решения; если а> 1, то два решения; если а< О, то ре­
шений нет .
216

§ 7. Применение графиков к решению неравенсm
Умение построить параболу - график квадратного трехчлена
-
мож­
но использовать для графического способа решения квадратных нера­
венств.
Пр им ер 1. Решить графически неравенство
-
3х2- Sx+2>О.
Решение. График трех'Dlена у = - 3х 2 - Sx +2 - парабола, ветви
1
которой направлены вниз. Находим корни трех'Dlена: х 1 = -
2их2= -
.
.
3
Поэтому парабола пересекает ось Ох в этих точках (рис. 70) .
Неравенству - 3х2 - Sx + 2 > О удовлетворяют те значениях, при ко­
торых точки параболы лежат выше оси Ох, т.е. такие числа х, что
1
-2<х< -
.
3
Можно решить графически и сис_тему нера1:1енств с одним неизвестным.
Пр и м·е р 2. Решить графически систему неравенств
{х- 1>О,
3-х>О.
Решение. Построим в одной системе координат графики функций
у=х - 1иу=3-х(рис.71).ОбаграфикалежатвышеосиОхпризна­
ченияхх из интервала (1; 3) - решения системы неравенств.
!J
у
:r.
Рис. 70
Рис. 71
Покажем, как применяются графики к решению неравенств и систем
неравенств с двумя неизвестными.
Пр им ер 3. Решить графически неравенство х + 2у - 1 > О.
Ре ш е ни е. Чтобы графически решить неравенство х + 2у - 1 > О
1
1
или у>
2
2
х, сначала построим график линейной функции
217

у
~~1=2х-2
!J
{
X+!f<l,
ZX-!J<Z
:JJ
~"'
х
+у< 1 ,у=1-х
-
Рис. 72
Рис. 73
1
у=
1
2
х. Множество решешш неравенства х + 2у - 1> О состоит
2
1
1
из точек rmоскости, лежащих над прямой у = -
-
-
х (рис. 72) .
2
2
П р и м е р 4. Решить графически систему неравенств
{х+у< 1,
2х -у< 2.
Решение.Так какх+у<1,тоу<1-х;так как 2х-у<2, то
у> 2х - 2. Множество решений неравенства х +у< 1 состоит из точек
. плоскости,лежащих по д прямой у = 1 - х, а неравенства 2х - у< 2 - из точек,
лежащих над прямой у= 2х - 2 (рис . 73), т.е. множество решений каждого
из этих линейных неравенств есть полуплоскость. Графически решение
данной системы не равенств есть пересечение полуrmоскостей .
!!
Рис. 74
218
1-!!
1-i
]1
1
!

Пр и м е р 5. Изобразить множество точек, заданное системой не-
равенств
{ х 2 +у,;;;;1,
у-х>-1.
Реше ни е. Имеем неравенства у ,;;;; 1 - х 2 , у),, х - l . Построим пара­
болу у= 1 - х2 и прямую у =х - 1. Множество, заданное системой не­
равенств, состоит из точек, лежащих на параболе у = 1 - х 2 или
под ней и одновременно на прямой у = х - 1 или над ней (рис. 74).
Упражнения
РАЗдЕЛ 1
1. Найти длины сторон треугольника с вершинами А (1; 1), В(2; 3) и C(S; - 1).
Найти область определения функций (No 2- 11):
2.у=:JГ="х. 3.у=\/1 -'х. 4.у =J4x - х•. S. .у=Vt -х
-
2х2 .
1
•6 • у = -✓=1=х-1---х
7.у =.J6х-х• +Jх-1• . 8.у =VI=x+
х-6
~2
9. у=~+~- 10. у=~+ ,J'2=x. 11 . у=~+~-
12. Найти область определения D(y) и множество значений Е(у) функции:
а)у=..)3+4х-4х2;б)у=Jx• +2х- 3.
Определить, какие из данных функций являются четными, какие нечетными
и какие свойством четности или нечетности не обладают (No 13 - 18) :
х•
13.у =2х3-3х. 14.у=х4-х•+х+2.1S.у=3
.
16.У =3.,_/х+2Х5, 17.у =Х2+../х. l8.у =2Х - z-X.
19. Найти промежутки монотонности и знакопостоянства функции:
а)у=1-х;б)у=l-х•;в)у=(х -1)3•
1
20. Найти наибольшее значение функции у=
-
-
х•+2х.
2
1
21. Найти наименьшее значение функции у = х + -
, если х>О.
х
22. Доказать, что из всех прямоугольников с периметром, равным 4 м, наиболь­
шую площадь имеет квадрат.
219

Построить графики функций и уравнений (No 23 - 43) :
23.y=l+x - 1 ,.
24.у= - 3х2 +6х+1. 25.у=-х2 +4х - 4.
1
26.y=x'-lx \. 21.у= - х\х\. 28. у=
_
lx1
29.у= - ~-
30. 2х +Зу= 6. 31. х• +у•= 4.
32.х2 +2х+у 2 - 2у=О. ЗЭ.х2 - Зх+2=0. 34. lyl=x.
2+х
э5.1х 1- 1у 1= 1. з6. У=\!x-=-I. з1. У=\fх+Т. 38. У=--.
х
39.у=13-х1. 40.
.jx+ly1=0. 41 ../х- ly1=0. 42. ху=О.
43.у = (х] (целаячасrьх).
Решить графически уравнения и сисrемы уравнений (No 44 - 50) :
44.2х2 +х-З = О. 45.х'=бх - 5. 46.х3 =х.
{х2+у2=100
47. llllxl-2I-1I -2I=2. 48.
'
{х•+у• =25,
49.
.
ху=12.
х+у=-2.
{х•+у• =25,
50.
у2-х=5.
51. Сколько решений имеет уравнение 11 х + 1 \ - 2 1 = а при различных значениях
параметра а?
Изобразить на координатной плоскости точки, координаты которых удовлетворя­
ют неравенсrву или системе неравенств (No 52 - 59) :
2
52.х-у
-
4>О.
53. у ;;.
-
-
.
54.у ..;1х\.
х
55.х• +у2 ,;;4.
{У>х•,
56.
у<2-х•.
{
x-y+l>0,
51. х+у-3 ..;О,
х +Зу+ 1;;;, О,
!х - 2у ;;;.1,
58. 2х -у;;;, 1,
х-у..;о,
х;,, О, у >О.
РАЗДFЛ II
{
х•+у• ..;100,
59. х• +у2 ;;,64,
ху ;;.о.
60. Найти длину отрезка АВ, если
а)А(О; - 2), В(-3; 2);
220
б)А(-3; -1), В(-8; 3).

Найти область о пределения функций (No 61 - 70):
1
61.у=-=.62. у=1/х-2. 63.у=1/6х-х•. 64.y =J24+10x- x•.
..,/2 - х
1
65. y ~----
lx- 11-2
л::х
66. y = ..J--
-
.
х-6
68. у=✓-зх-=-i +~ 69. у=.Jх+...Г-х. 70. у= ..Jx - х3•
71. Найти о бл асть определения D(y) и множ е ств о значенийЕ(у) функции:
а) у=J-х•+2х+3; б) у=Jx•+2х+2.
Опре делить, какие из данных функций являются четными, какие неч етными и ка­
кие свойством четн о сти или нечетности не о бладают (No 72 - 77) :
1
х
72.у=-
х- 15х•.
3
73.у=--. 74.у=2х.
х2+5
4-х•
75. у=
76.у=2Х+2-х. 77.у =х6 - 3х3 +1.
78. Найти промежутки монотонности и знакопостоянства функции:
а)у=2х+4; б) у=х2 -4; в) у=(х+2)3.
79. Найти наименьшее з начение функции у = х• - 2х + 11 .
80. Найти наибо льшее значение функции у = 2 - 4х
-
х2•
По стр оить графики функций и уравнений (No 81 - 97):
1
81.у= -
-
х2+4х-1.82.у=Зх' -9х+4. 83.у=13-2х1.
2
84.у=1х2- 11
.
85. у=2х'+1х1. 86. у=1-х2+2х+31.
1
87.у=--.
х2+1
91.Зх-4у=12.
1
88. у=--.
lx1
х-3
_
_
89.у=--. 90.y =..J4- x2•
х
92.ly1 =2x+l. 93.y=lx+Зl+lx-11.
1
94.у =(1х+11+l)(x- 3). 95.у=
-
(1х+31- З)(х
-
2).
2
96.у=х• - 1х1(х+4)+2. 97. у={х}(дробнаячасть х).
Решить графически уравнения и системы уравнений (No 98 - 103) :
98.2х -3=- х2. 99.х3=,/х.
100. 1х+21+1х1+1х- 21=4. 101.11х- 11
-
11=2.
fх2+у• =169,
102. \
lx- y =7.
{х.•-у=7,
103 .
;,;у =6.
221

104. Сколько решений имеет уравнение 11 х - 2 1- 3 1=а при различных значениях
.параметра а?
105. Сколько решений имеет уравнение 11 х - 1 1- xl = Ь при различных значениях
параметра Ь?
Изобразить на координатной плоскости точки, координаn,1 которых удовлетворя­
ют неравенству или системе неравенств (No 106 - 111):
106.3+у-х<О. 107.х2+у2;;.9. 108.
fх2+у2.;;25,
'
3
tу.;;- х.
4
100. х;;. х'.
{у>х2
110.
;,
fу>\х - 11,
111. lу<2,
х<1.
ГЛАВА 8
ПРОГРЕССИИ
у <ух.
§ 1. Числовая последоваrельность
Пусть каждому натуральному числу п отвечает по некоторому правилу
число ап. Говорят, что задана числовая последовательность
Числа а 1 ; а2 ; ... называются членами последовательности; ап
-
п-й или
общий член последовательности . Саму последовательность будем обозна­
чать так: (ап). Таким образом, числовой последовательностью (ап) (или,
короче, последовательностью) назьmается функция, заданная на множестве
натуральных чисел.
Часто последовательность задается формулой ее п-го (или общего) члена:
ап=f(п) (n=l,2,3, ... ),
позволяющей по -номеру члена последовательности вычислить этот член.
Например, если известно, что ап = п2 при любом п, то а1 = 1; а2 = 4;
аз=9ит.д.
Формула п-го члена может быть и более сложной. Например, формула
если п=2k,
(k=1,2, ...),
если п=2k- 1
222

задает · последовательность
1
з· 4;...;
2k;
Иногда последовательность задается рекуррентной формулой, позволяю­
щей находить члены последовательносrn по известным предыдущим.
При рекуррентном способе задания последовательности обычно ука­
зьmают:
1) первый член последовательности (или несколько первых членов);
2) формулу, которая позволяет определить любой член последователь­
носrn по известным предыдущим членам.
Например, рассмотрим последовательность (ап), первый член которой
равен 1, второй 2, а каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух
предыдущих членов:
а1=1; а2=2; ап+2=ап+ап+1·
Тогдаа3 =1+2 =3; а4 =2 +3=5; а5=3+5=8ит.д.Значит,последова­
тельность (ап) задана.
Не всякую последовательность можно задать формулой n-ro члена или
рекуррентной формулой. Например, можно образовать последовательность
приближенных значений (с недостатком) числа у2:
1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...
или последовательность простых чисел (в порядке возрастания):
2;3;5;7;11;13;...,
хотя формулы n-ro члена или рекуррентной формулы в обоих случаях мы
не имеем. Для каждой последовательности должно быть задано правило,
по которому можно получить любой ее член. В каком виде приведено это
правило, в принципе не имеет значения.
§ 2. Арифмеrическая прогрессия
Определение . Числовая последовательность, каждый член которой,
начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем
же числом, назьmается арифметической прогрессией.
Если последовательность (ап) - арифметическая прогрессия, то по
определению
а2-а1 =аз -а2 =...=ап+1- ап=...,
т.е. разность между любым членом и предыдущим с ним равна одному и
тому же числу. Оно называется разностью арифметической прогрессии и
обозначается буквой d.
Таким образом, арифметическая прогрессия (ап) определяется усло­
виями:
223

1) а1 = а, где а - некоторое число.
2)ап+1=ап+d,!J)IЯлюбого п~1.
Если, например, а1 = 1 и d = 1, то мы имеем арифметическую прогрес­
сию, членами которой являются последов-ательные натуральные числа:
1; 2; З;4;...
Арифметическая нроrр.ессия обладает следующим характеристическим
свойством: любой член ее, начиная со второго, является средним арифмети­
ческим предыдущего и поспедующего членов.
До к аз ат ель ст в о. По определению арифметической прогрессии
ап+ 1 =ап +d,
ап+2 =ап+1+d
Справе,!J)lиво и обратное: если некоторая последовательность такова,
что любой ее член, начиная со второго, является средним арифмети11еским
предыдущего и последующего членов, то эта последовательность - ариф­
метическая прогрессия.
В самом деле, пусть для любых трех соседних членов некоторой последо­
вательности (ап) выполняется соотношение
an+l = -----
2
(n~l) .
(1)
Тогда 2ап+ 1 =ап+ап+ 2 или ап+ 1 -ап=ап+ 2 -ап+~, т.е. разность
между любым членом последовательности (ап) и предыдущим с ним равна
одному и тому же числу. Значит, (ап ) - арифметическая прогрессия.
Таким образом, установленное свойство присуще арифметической
прогрессии и только ей.
Пусть (ап) - арифмеm:ческая прогрессия, а1 - ее первый член, а d
разность прогрессии.
Выведем формулу ,!J)IЯ п-го члена арифметической прогрессии. Имеем
а2 =а1 +d,
а3 =а2 +d,
a4=a 3 +d,
224
ап-1=ап-2+d,
an=an-i+d.

Складывая почленно эти п - 1 равенств, получаем
(а2+аз+а4+...+ап_1)+ап=
=а 1 +(а2 +аз+ ... +ап_ 2 +an_ 1 )+(n-1)d,
откуда
(2)
Формула (2) позволяет найти любой член арифметической прогрессии,
если известны ее первый член и разность. Поэтому она называется форму­
лой общего члена арифметической прогрессии.
Выведем теперь формулу дпя суммы п первых членов арифметической
прогрессии.
Обозначим сумму п первых членов арифметической прогрессии (ап)
через Sn и запишем эту сумму дважды, изменив во втором случае порядок
слагаемых на обратный:
Sn =.а1 +а2 +аз+...+an-l +ап,
Sn=ап+an-l +ап-2+...+а2+а1.
Складывая почленно эти равенства, получаем
2Sп==(а1+ап)+(а2 +ап_1)+...+(ап_1+а2)+(ап+а1).
В правой части равенства сумма двух чисел в каждой скобке равна
а1 + ап. В самом деле,
а2+an-I =(а1+d)+(ап- d)=а1+ап;
аз+ап_2=(а2+d)+(ап-l - d)=а2+ап-1=а1+апит.д.
Число слагаемых, заключенных в скобки, равно п. Поэтому
2Sn =(а1 +ап) •п,
откуда
-
формула суммы первых п членов арифметической прогрессии.
(3)
Заменим в этой формуле член ап его выражением а 1 + d(п - 1). Тогда
S =2а1+d(n- 1).п
(4)
п
2
•
По этой формуле сумма первых п членов арифметической прогрессии
(ап) выражается через первый член, разность и число членов.
8. Г.И. Богатырев

§ 3. Геометрическая прогрессия
Определение. Числовая последовательность, первый ,иен которой
отличен от нуля, а каждый ,иен, начиная со второго, равен предыдущему
<mену, умноженному на одно и то же не равное нулю 'illcлo, называется
геометрической прогрессией.
Если посnедовательность (ап) - геометрическая прогрессия, то по
определению
т .е. отношение любого члена к предыдушему равно одному и тому же
'Шслу. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и
обозначается буквой q.
Таким образом, геометрическая прогрессия (а,.) определяется усло-
виями:
1) а 1 = а, где а =tO -- некоторое число;
2)ап+1 =апq (q*О)длялюбогоп;оl.
Если, например, а1 = 1 и q = 2, то мы имеем rеоl\•Jетрическую прогрессию
1;2;4;8;...
Условиями а1 ':" 4, q = -
-
задается геометрическая прогрессия
1
2
4; -2; 1;
,,'...
, :.,
.
Геометрическая прогрессия (ап) обладает следуюшим характеристиче­
ским свойством: квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произ­
ведению предыдущего и последующего членов:
(5)
До к аз ат ель ст в о. По определению геометрической прогрессии
ап+1 _ ап+2 _
-
-
-
-
-
-q,
ап
ап+1
откуда а~+1 = апап+2·
Справедливо и обратное: если некоторая последовательность (ап) тако
ва, что а~+ 1 = апап + 2 (п ;о 1), а1 i= О, а2 * О, то эта последов[[Ге.;1ыюсть
(ап) - геометрическая прогрессия.
В самом деле, пусть для любых трех соседних членов некоторой последо­
вательности (ап) выполняется соотношение (5). Тогда
226

т .е . отношение любого ч,'1ена последовательности (ап) к предыдущему
равно одному и тому же числу. Значит, (ап) - геометрическая прогрессия.
Т аким образом, установленное свойство присуще геометрической про­
гре ссии и только ей.
В случае -геометрической прогрессии с положительньпvrn членами соотно­
шение (5) можно записать в виде
(6)
Геометрическая прогрессия с положительными членами обладает следую­
щим характеристическим свойством: любой ее член, начиная со второго,
является средним геометрическим предыдущего и последующего членов .
Пусть (ап) - геометрическая прогрессия, а 1 - ее первый член, а q
зна.м:енатель прогрессии.
Выведем формулу для п-го члена геометрической прогрессии . Имеем
ап-1 = an-2q,
ап = an-1q,
Умножая почленно эти п - 1 равенств, получаем
(а2аза4...ап_1)ап=(а2а3... an_2an_1)a1qn-l_
Так как а2 а3 а4 ... а,1 _ 1 =I= О, то после сокращения имеем
ап=а1qп-1_
(7)
Формула (7) позволяет найти любой член геометрической прогрессии,
если известны ее первый член и знаменатель. Поэтому она называется
формулой общего члена геометрической прогрессии .
Выведем теперь формулу ДJ,я суммы п первых членов геометрической
прогрессии.
Обозна,шм сумму п первых членов геометрической прогрессии (ап)
через Sn:
Если знаменатель прогрессии q равен 1, то Sn = па 1 .
Если q * 1, то поступим следующим образом. Умножим равенство ( *)
почленно на q:
qSn =a 1 q+azq+ ... +an_ 1q+anq.
qSn=а2+а3+...+ап+anq.
\',*
227

Вычитая почлешю из этого равенства равенство ( * ), получаем
qSn-Sn=anq--a1, (q-l)Sп=a11 q-a1,
откуда
anq-а1
Sп =----
q-1
(8)
-
формула суммы п первых членов геометрической прогрессии со зна_мена­
телемq*1.
Заменим в этой формуле член ап его выражением а 1qn - 1
.
Тогда
a1(qn-l)
Sп '"'. ----
(q ,t-1).
(9)
q---1
Выведем. формулу
где п - натуральное число.
Очевидно, формула верна при х =1.
Пусть х * 1. Рассмотрим геометрическую прогрессию, у которой а 1 = 1,
q=х (х*1).Тогдадлясуммыпчленов
по формуле (9) находим
l(x11 -l) хп-1
Sп'"' -----=
х-1
х-1
Отсюда
хп-1'"'(х -1)(хп-1+хп-2+...+1)
)])1Я любого х и натурального п.
В частности, при п =2 получим
х 2 - 1 '"' (х - 1)(х + 1) (разность квадратов) ,
априп=З
х3 - 1 '"'(х - 1)(х2 +х+1) (разностькубов).
§ 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Определение. Геометрическая прогрессия а 1 ; а 2 ; ... ; ап; . ..
называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше
единицы.
228

Например, геометрическая прогрессия, заданная формулой п-го члена
2
2
•2
ап= -
-
является бесконечно убьmающей. В самом деле, а1 = -
,а2=-2,
3n'
3
3
откуда q =
2
1
222
; геометрическая прогрессия
3
...-
бесконечно убывающая, так как Iq 1 < 1.
Геометриче ская прогрессия
1.
l'
2
(- 21)
2
' •'.'
. '.,
у которой q =
1
2
, также является бесконечно убьmающей, так как
1
lq1=
<1.
2
Рассмотрим теперь произвольную числовую последовательность (хп).
Если с возрастанием номера п члены последовательности приближаются
к нулю (становятся по модулю сколь угодно малыми), то говорят, что
эта последователыюсть стремится к нулю. При этом пишут Хп ➔ О · при
п ➔ 00 (читается: Хп стремится к нулю при п, стремящемся к бесконеч­
ности). В этом случае говорят также, что последовательность (хп) имеет
предел, равный нулю, и пишут
lim Хп =О
п-+ 00
(читается: предел
Например,
Хп при п, стремящемся к бесконечности, равен нулю).
1
lim -п =О,
п--. 00 2
lim
=О,
п➔ООп
lim
=
О, lim
п
Можно доказать, что
lim qп=О,
п-+ 00
если Iq1< 1,
п-+00 ~
=О.
Бесконечно убьmающая геометрическая прогрессия обладает сле ­
дующим свойством: ее п-й член стремится к нулю при п ➔ 00 • Это о значает,
229

что lim ап = lim (a 1 qn- 1 )=0,если lq 1 < 1. Примем это свойство
n➔00
п - -j,,ос;
без доказательства.
2
Например, lim -
п➔оо3n
=О, lim (-!_)
,z➔oo
2
п-1
lim
О.
Вообще говорят, что последовательность (хп) стремится к числу а, если
(хп - а) ➔ О при п ~ 00 • В этом случае число а называют пределом после­
довательности х 1 ; х2 ; ... ; хп; ... и rшшут lim Хп =а. Например,
п➔00
п-1
lim
=1,
n➔оо
п
n-l
1
так как
-1= -
➔О при n➔оо.
п
п
Понятие предела числовой последовательности позволяет определить
сумму членов любой бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Оп редел е ни е. Суммой бесконечно убьmающей геометрической
прогрессии назьmают предел суммы п первых членов этой прогрессии
приn➔00:
S= lim Sn.
n_,. 00
Вьmедем формулу суммы бесконе'Шо убывающей геометрической про­
грессииа~; a1q; a1q2; ... ; а1qп-1;
По формуле (9) находим
a1(qn-l)
Sп= -----
q-1
откуда
а1
Sп-
1-q
a1(l -qn)
а1
=----- =
1-q
1-q
Таккакlq1<1,тоqn➔Оприп➔00,ипоэтому
qп (lql<l),
а1
qn➔Оприп➔00•
1-q
а1
Следовательно, Sn ➔ --- при п -► 00 • Таким образом, сумма S беско-
1-q
не,пю убьmающей геометрической прогрессии равна
а1
S=
1-q
(10)
230

1
В частности, при а 1 = 1 получаем S =
1-q
Это равенство записьmают
так:
1+q+q2+...+qn-I +...=
1
1-q
или
(l-q)(l+q+q 2 + ... +qn-I+ ... )=1 (lql<l).
Пример1.Найти сумму
11
бесконечно убьmающей геометрической
1
прогрессии
2
4
8
1
Решение.Таккака1=1иq= - -
, то по формуле (1 О) получим
2
1
2
3
Пр им ер 2. Записать периодическую дробь Ь = 0,(3) = 0,333 ... в виде
обыкновенной дроби.
Решение. Состави..м следующую последовательность приближенных
значений данной бесконечной дроби:
3
33
Ь1=О3=-
• Ь2=О33=-
+-•
'
10'
'
10 102'
3
33
33
3
Ьз=0,333 =10+102 +1оз;•••;Ьп=10+102+...+1011 ;•••
Запись приближений показьmает, что данную периодическую дробь
можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической
3
1
прогрессии, у которой а1 = -, q = -
:
10
10
333
3
Ь=-+-+- + ... +--+ ...
10 102 103
10n
По формуле (10) получим
3
10
31
Ь=
-
-
-
-
193
1--
10
231

Обобщая решение примера 2, можно показать, что смешанная периоди­
ческая дробь О, Ь 1 (Ь 2 Ь 3 ) представима в виде
Ь1 Ь2Ь3 Ь2Ь3
О,Ь1(Ь2Ьз) = 10 +103 + ""°"io5 + ... ,
где члены правой части, начиная со второго, образуют бесконечно убываю-
Ь2Ь3
1
щую геометрическую прогрессию с а1 = --
3иq=-
2 . Применяя формулу
10
10
(10), нетрудно получить, что
Ь1Ь2Ь3 - Ь1
О,Ь1(Ь2Ьз) = ---- ,
990
и правило обращения периодических дробей, сформулированное в ~ 5 гл. 1,
доказано.
§ 5. Задачи на прогрессии
Пр им е р 1. Доказать, что последовательность, заданная формулой п-го
члена ап = 5 - 2n, является арифметической прогрессией.
Реш е ни е. Составим разность
ап+1-ап =(5-2(п+1))-(5-2n)=5-2n-2
-
5+2n= - 2=d.
Эта разность не зависит от номера п;;;;. l; следовательно, (ап) по опреде­
ле!lliю является арифметической прогрессией; при этом ее первый член
а1=3иразностьd= - 2.
Пр им ер 2. Между числами 3 и 19 вставить три средних арифметиче­
ских.
Ре ш е ни е. Требуется найти такие три числа а2 , аз, а4 , чтобы в последо­
вательности 3; а2 ; аз; а4 ; 19 каждый член был равен среднему арифмети­
ческому предыдущего и последующего членов. Эта последовательность
является арифметической прогрессией (по ее характеристическому свой­
ству).
Пусть разность этой прогрессии равна d. По формуле (2) общего члена
арифметической прогрессии имеем 19 = 3 + 4d (п = 5); отсюда находим
d = 4. Получена прогрессия З; 7; 11; 15; 19. Искомые числа: 7; 11; 15.
Пр им ер 3. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии
1О; 15; 20; ... , чтобы их сумма была равна 2475?
. Решение.
По условию в арифметической прогресии а 1 = 10, d = 5,
Sn = 2475. Применив формулу (4) :
2a1+d(n-l)
S =------·п,
п
2
232

получим
20+5(п-1)
2475= ----- •п
илип2+3n-990=О,
2
откудап1= - 33,п2=30.Таккакп
-
натуральное число, то п = _: 30.
П р и м е р 4. Найти сумму всех двузначных натур.альных чисел.
Ре ш е ни е. Числа 10; 11; 12; ... ; 98; 99 образуют арифметическую
прогрессию; приэтома1=10, ап =99,d =1.Тогдаап =а1+d(п- 1),т.е.
99=10+п-1илип=90.Поформуле(3)
а1+ап
10+99
S= --- •п = --- •90=4905.
2
2
Пр им ер 5. Решить уравнение
х-1 х-2 х-3
7
--
+-- +- -+
+-=-
х2
•х2
х2
•••
х2 15'
где х i= О - целое t~'Исло.
Решение . Имеем
(х-1)+(х-2)+(х-3)+...+1
7
------- -------
=
х2
15
В числителе дроби сумма членов арифметической прогрессии, у которой
а1=х-1,ап=1,d=(х-2)-(х
-
1)=- 1:
(х- 1)+1
х
Sп=-----•п= -
•п.
2
2
По формуле общего члена а п = а1 + d(n - 1) получим
1=(х-1)-1(п-1)или1=х-1 -п+1,п=х-1.
Данное уравнение принимает вид
х
-
(х-1)
2
7
х-1 7
х2
-
-
<==>-- =
-
(х i=O),
15
2х
15
откуда х = 15.
Пр им ер 6. Числа а2 ; Ь 2 ; с2 образуют арифметическую прогрессию"
1
1
1
Доказать, что t~'Исла -- ;
--;
--
также образуют арифметическую
Ь+с а+с а+Ь
прогрессию.
233

------------Решение. По условию Ь2 - а2 =с2 - Ь2 . Рассмотрим
1
1
ь-а
Ь2-а2
а+с
-
---
-----
=--------
Ь+с (а +с)(Ь+с) (а+с)(Ь +с)(а +Ь)'
с-Ь
с2-ь2
--
-
-- ------
=-------
а+Ь а+с (а+Ь)(а+с) (а+Ь)(Ь+с)(а+с)
1
1
1
Отсюда следует, что -- -
--=
---
--
и, значит, числа--
а+с .Ь+с а+Ь а+с ·
Ь+с
1
1
а+с а+Ь
образуют арифметическую прогрессию.
Пр им ер 7. Найти все последовательности, которые являются одно­
временно и арифметическими, и геометрическими прогрессиями.
Решение. Пусть последовательность (ап) одновременно является
и арифметической, и геометрической прогрессиями.
Так как (ап) - арифметическая прогрессия, то
ап + ап+2
(п;;,,, 1).
Так как (ап) - геометрическая прогрессия, то, применяя формулу (7)
общего члена ап =а1 qn- l, где а1 =f=. О, q =1=- О, получаем
a1qn-1 +a1qn+1
aiqn = --~-----
2
или, после сокращения на a 1 qn-l =1= - О,
1+q2
q= -2-,
т .е. (q - 1) 2 = О. Отсюда q = 1, и данн8!1 последовательность есть последо­
вательностьравныхчисела1;а1;а1; ..:;а1; ...
Пр и м е р 8. Доказать, что последовательность, заданная формулой
п-го члена Ьп =1,5 • 2 п, является геометрической прогрессией.
Ре ш е ни е. Составим отношение
2n+l
=-- =2=q.
2n
Это отношение не зависит от номера п;;,,, 1; следовательно, (Ьп) - гео­
метрическая прогрессия; при этом ее первый член Ь 1 = 1,5 • 2 = 3 и знамена­
тель q =2.
Пр им ер 9. Между числами 1 и 256 вставить три средних геометриче­
ских.
234
1
11
1·,
-1
1
1
1
1

Решение. Требуется найти такие три числа а2 , а 3 , а4 , чтобы в последо­
вательности 1; а2 ; а3 ; а4 ; 256 каждый член был равен среднему геометри­
ческому предыдущего и последующего членов. Эта последовательность
является геометрической прогрессией (по ее характеристическому свой­
ству).
Пусть знаменатель этой прогрессии равен q. По формуле (7) общего
члена геометрической прогрессии имеем 256 = 1 • q 4 (п = 5); тогда 4 4 = q4,
откуда q = 4. Получена прогрессия 1; 4; 16; 64; 256. Искомые числа:
4; 16; 64.
Пр и мер 1О. В геометрической прогрессии сумма первых четырех
членов равна 15, а сумма членов от второго до пятого включительно равна
30. Найти прогрессию.
Решение. По условию S4 = 15, S5 - а1 =30. По формуле (9) получим
\
a1(q4- 1)
r
a1(q °' -
1)
= 15,
=15.
q-1
q-1
a1(q5- 1)
или
1
a1q(q4 - 1)
-
а1=30
= 30.
q-1
q-1
Решая эту систему, находим q = 2, а 1 = 1; следовательно, найдена про­
грессия 1; 2; 4; 8; 16.
П р и м е р 11. Три положительных числа образуют геометрическую
прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет ариф­
метической. Но если после этого увеличить третье число на 64, то прогрес­
сия снова станет геометрической. Найти эти числа.
Решение.Обозначаячисла а;aq;aq2, имеем
faq+8=а+aq2 ,
l(aq + 8)2 =:(aq2 + 64).
Упрощая второе уравнение системы, получаем
aq+4-4а=О.
Тогда
{a(l+q2 - 2q)=16,
a(4--q)==4,
откуда q 2 + 2q - 15 =О.Получаем q = 3 (отрицательное значение отбрасы­
ваем) . Тогда а= 4. Искомые числа: 4; 12; 36.
Пр им ер 12. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии (ап) равна 56, а сумма квадратов ее членов равна 448. Найти
первый ЧJiен и знаменатель прогрессии.
235

Реше ни е. По условию
а1+а2+...+ап+...=56,а1+а~+...+а~+...=448.
Слагаемые второй суммы образуют также бесконечно убываюшую геомет­
рическую прогрессию с первым членом а{ и знаменателем q 2. Поэтому
а1
а{
--
=56,
--
2 =448 (iq l<l).
1-q
1-q
Из первого уравнения находим а 1 = 56(1 -q) и подставим во второе
уравнение
562(1 - q)2
= 448
(1-q)(l+q)
'
откуда56(1 -q)=8(1 +q) или q =;. Поэтому а1= 56(1 -~) = 14.
Пр им ер 13. Записать периодическую дробь в виде обыкновенной
дроби: а) U,(5); 6) 0,(12); в) 0,1 (23).
Решение.
5
55
105
а) О,(5) =0,555 ... =
10+102+... =
--
1 -9,
12
б) О,(12) =О,121212... =
-
2
10
1--
10
12 12
+-+-+
104 106
23 23
12
102
124
=-- 1- =99 =33;
1--
102
23
в)0,1(23)=0,1232323...= 0,1+- 3 +- 5
10 10
+-+ ...=
107
23
103
--
+ ---
10
1
1- --
102
Упражнения
РАЗдЕЛ I
1
23 122 61
= -+--=--=-
1О 990 990 495•
1. Числовая последовательность (ап) задана формулой п-го члена: ап = п 2 - п
-
6.
Является ли число 104 членом этой последовательности?
2. Последовательность (ап) задан.а формулой п -го члена: ап = 10 - Зп. Доказать,
что (ап) - арифметическая прогрессия.
236

------
-- ----- --
3. При каких значениях х числ а ,Jx; .Jsх + 4; .J12х + 13; . . . , взятые в указанном
порядке, образуют арифметическую прогрессию?
4. Между числами 113 и 163 вставить 9 средних арифметических.
S. Сколько надо взять членов арифметической прогрессии 18; 16; 14; ... , чтобы
их сумма была равна нулю?
6. Решить уравнения:
х-1 х-2 х-3
1
а)1+6+11 +...+х=148; б)-- +--+--+ ...+
-
=3,
х
х
х
х
где х - целое положительное число.
7. Найти сумму всех четных натуральных чисел от 96 до 12 8 включительно.
8. Найти сумму дВадцати членов арифметической прогрессии, у которой а 1 + а 4 +
+а,=45иа4•а6=315.
9 . Дана арифметическая прогрессия 7; 9; 11; ... Найти: а) восемнадцатый член
этой прогрессии; б) сумму восемнадцати первых членов прогрессии.
10. Доказать справедливость равенства:
1-1+...+(3-2n)=(2-п)п,
где п - натуральное число.
11 . Доказать, что если положительные числа а, Ь, с составляют арифметическую
прогрессию, то
1
1
2
-- --
+ ----= ---- -
.Ja+ ,Jli .Jь+✓с .Ja+ .Jё
12. Сумма п первых членов последовательности (ап) определяется по формуле
Sn = 2п 2 + 3n. Доказать, что (ап)
-
арифметическая прогрессия.
13. Существует ли такая арифметическая прогрессия, у которой сумма любого
числа ее членов равна квадрату числа членов?
14. При каких значениях х числа .Jx;.(/x; 1/х, взятые в указанном порядке, состав­
ляют : а) арифметическую прогрессию; б) одновременно арифметическую и геометри­
ческую прогрессии?
15. Н,оказать, что поспедовательность (brz), заданная формулой п-го члена Ьп =
= 0,5 • 3 , является геометрической прогрессией.
16. Дана функция у= Зх. Показать, что если аргументу придать последовательность
значений, образующих арифметическую прогрессию, то соответствующие значения
функции образуют геометрическую прогрессию.
17 . Между числами 31 и 496 вставить три средних геометрических.
18. В геометрической прогрессии а,= 256, q = 2 . Найти S7 .
19.Вгеометрическойпрогрессииа1+а2+а3=6,аа2 +а3+а, = - 3.Найтизту
прогрессию.
20. Доказать равенства:
а) 1+2+4 ... + 2n-J =2п-1;
б) 8+4+2+ ... +16([)п =16(1-·(;)п),
где п -- натурэльное чиспо.
21. Найти четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, у которой третий
член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18.
22. Определить число членов геометрической прогрессии (ап), если а 1 = 3, ап =96,
s,1 = 189.
23.Решитьуравнение1+х+х2+х3+...+х100 =О.
237

24.Найтисумму1+11 +111 +...+ ~-
п раз
25. Сумма трех чисел, являющихся последовательными членами арифметической
прогрессии, равна 21. Если второе число уменьшить на 1 , а третье увеличить на 1, то
получатся три последовательных члена геометрической прогрессии . Найти эти чиспа .
26. Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 56. Если
из них вычесть соответственно 1, 7, 21, то вновь полученные числа составят арифме­
тическую прогрессию. Найти эти числа.
27. Найти сумму бесконе<nю убывающей геометрической прогрессии, если извест­
но, что сумма ее первого и четвертого членов равна 54, а сумма второго и третьего
членов равна 36.
28. Определить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, в которой
1
второй член равен 6, а сумма членов равна - суммы квадратов ее членов.
8
29. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех ее членов,
стоящих на нечетных местах, равна 36, а сумма всех членов, стоящих на четных
местах, равна 12. Найти эту прогрессию.
РАЗдЕЛ II
30. Числовая последовательность (а11) задана формулой п -го члена: ап = n 2 - п-- 12 .
Является ли чиспо 60 членом этой последовательности?
31. Доказать, что последовательность (а 11 ), заданная формулой ап =- 5 п + 4, являет­
ся арифметической прогрессией.
32. Последовательность (ап) задана формулой ап = п 2 - 1 . Доказать, что (ап) не
является арифме-гической прогрессией .
33 . При каких значениях х числа :
а)2х2 ;х 4 ;24; ... ; б)v'x=!;,Jsx="l; ✓ 12x+l; . .. ,
взять1е в указанном порядке, образуют арифметическую прогрессию?
34. Между числами 3 и 24 вставить 6 средних арифметических так, чтобы образо­
вавшаяся числовая последоватепьность явпяпась арифметической прогрессией.
35. Сколько членов арифметической прогрессии 2; 5; 8; ... надо взять, чтобы их
сумма была равна 100?
36. Сколько членов арифметической прогрессии 3; 5; 7; ... надо взять, чтобы их
суммабьmабольше 143?
37. Найrи сумму всех двузначных чисел от 21 до 50.
38. Решить уравнения:
а)1+7+13+...+х=280; б)(х+1)+(х+4)+...+(х+28)=155.
39. Дана арифметическая прогрессия 3; 7; 11; ... Найти а 16 и S1 6 •
40. В арифметической прогрессии а3 + а5 + а7 = 60,а, •а6 = 300. Найти S1 5 .
41. Суruествует ли та1<ая арифметическая прогрессия, у которой сумма пюбого
чиспа ее членов равна кубу числа членов?
42. Доказать справедливость равенств:
а)6+4+2+...+2(4-п) =п(7-п);
б)4+2+О+...+2(3-п) =п(5-п),
где п - натуральное чиспо.
43. Третий член арифметической прогрессии равен 25, а деслтый - 3 . Найти первый
член и разность.
44. Найти разность арифметической прогрессии, первый член которой равен 1 .00, а
сумма шести первых членов в пять раз бопьше суммы последующих шести членов .
238

45. Доказать, что последовательность (xr,) , задан:-~ая формулой п-го чл ена:
2
а)Хп=0,5 •2п-2; б)Хп=-
2-
,
3-п
является геометрической прогрессией .
46. Первый член геометрической прогрессии равен 1 . Сумма третьего и пятого
членов равна 90. Найти знаменатель прогрессии.
47. При каких значениях х числа 1; х 2 ; 6 - х 2 , взятые в указанном порядке,
образуют геометрическую прогрессию?
48. Между числами 3 и 24 вставить два средних геометрических.
49. В геометрической прогре ссии а4 =88, а q =2 . Найти S,.
50. В геометрической прогрессии а3 + а, =180, а а 1 + а 3 =20. Найти эту про-
грессию.
51.РешитьуравнеIШе1+х+х2+х' +...+х99 =О.
52. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их
квадратов р~на 189. Найти а 1 и q.
53. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, если первое
число больше второго на 36, а третье больше четвертого на 4.
54. Если из четырех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, вычесть
соответственно 2, 7, 9 и 5, то полученные числа составят геометрическую прогрессию .
Найти члены арифметической прогресии.
55. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогресии, сумма пер вого
и пятого членов которой равна 34, а произведение первого и девятого членов равно 4.
56. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4,
а сумма кубов ее членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
57. Найти зна."1енатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у
которой каждый член относится к сумме последующих членов как 2 : 3.
ГЛАВА 9
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ
И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
§ 1. Основные понятия геометрии
ЧАСГЬП
ГЕОМЕТРИЯ
В школьном курсе геометрии приняты как основные или начальные
поняшя следующие четыре понятия: 1) точка; 2) прямая; 3) плоскость;
4) расстояние от одной точки до другой. Эти понятия являются неопреде­
ляемыми, такими же, как и понятия множества, натурального числа и
величины в арифметике и алгебре.
Точки обозначаются буквами А, В, С, ... , а прямые - буквами а, Ь, с, .. .
Для расстояния от точки А до точки В принято обозначение АВ.
239

Всякая геометрическая фигура составлена из точек. Свойства геометри­
ческой фигуры выражаются аксиомами и теоремами. Аксиома - это пред­
ложение, принимаемое без доказательства. Теорема - это предложение,
истинность которого устанавливается путем логического рассуждения, т.е.
доказательством.
Аксиомы выражают основные свойства простейпшх фигур, которые
являются отравными свойствами в доказательстве других, более сложных
свойств. Мы не будем приводить всех аксиом и ограничимся некоторыми
из них.
А к с и о м а 1. Для любой прямой существуют точки, принадлежащие
прямой, и точки, не принадлежащие прямой.
ЕслиА-точкаиа
-
прямая, то либо А принадлежит а, либо А не
принад,тrежит а. Коротко это записывают так: А Е а, А(/. а. В первом случае
говорят, что прямая а проходит через точку А, во втором случае - прямая
а не проходит через точку А .
А к с и ом а 2. Через любые две различные точки проходит одна и толь­
ко одна прямая.
Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей
точки.
Говорят, что две прямые пересекаются, если они имеют только одну
общую точку.
А к с и о м а 3. Если две различные точки прямой принадлежат некото­
рой плоскости, то эта прямая принадлежит этой плоскости.
Сформулируем основные свойстварасстояний.
1) Расстояние от точки А до точ1ш В положительно, если эти точки
различны, и равно нулю, если они совпадают:
АВ>О, если А=l=B, и АВ =О, еслиА=В.
2) Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до
точки А:
АВ =ВА.
3) Для любых трех точек А, В, С расстояние АС меньше или равно сумме
расстояний АВ и ВС:
АС,( АВ +ВС.
Эти свойства расстояний принимаются без доказательства и являются
аксиомами.
Те о ре м а 1. Для любых трех точек А, В, С расстояние АС больше
или равно разности расстояний АВ и ВС:
АС ·;;;;.АВ -ВС.
До к аз ат ел ь ст в о. По свойству расстояний
АВ ,(АС+ВС.
240

1
1
1
\.•
Вычитая из обеих частей этого неравенства ВС, получаем
АВ-ВС3⁄4АС,
т.е.
Среди понятий геометрии, которые выбраны за основные, нет понятия
"лежать между". Его можно определить, используя понятия "точка" и
"расстояние".
•
Определение. Точка М лежит между точками А и В, если эти три
точки различны и АМ + МВ :::: АВ.
А
/]
с
Рис. 75
Рис. 76
Будем считать, что три точки принадrrежат одной прямой тогда и только
тогда, когда одна из них лежит между двумя другими (рис. 75).
Теорем а 2 (неравенство треугольника). Для любых точек А, В и С,
не принадлежащих одной прямой, расстояние АС меньше суммы расстояний
АВ uBC:
АС<АВ +ВС
(рис. 76).
Доказательство.Посвойствурасстояний
АС3⁄4АВ +ВС,
т.е. либо АС<АВ +ВС, либо АС= АВ +ВС. Равенство АС= АВ +ВСв
нашем случае выполняться не может.
В са.rvюм деле, это равенство означает, что точка В лежит между точками
А и С. Но тогда А, В и С принадrrежали бы одной прямой. Это противоречит
условию. Следовательно,
•
АС< АВ +ВС.
§ 2. Геометричесю1е фигуры
Основными геометрическими фигурами на гиоскости являются точка и
прямая. Рассмотрим следующие геометрические фигуры: отрезок, луч,
ломаная, угол, многоугольник, окружность и круг.
Отрезок. Отрезком АВ называется геометрическая фигура, состояшая
из двух различных точек А и В и всех точек, лежащих между ними, и обо-
241

значается АВ. Точки А и В называются кощами отрезка АВ . Отрезок АВ
является частью прямой а, на которой лежат точки А и В (рис. 77).
Длиной отрезка называется расстояние между его кощами. Длина
отрезка АВ обозначается так же, как и расстояние между его кoiщa!'vrn А и
В: АВ.
ПолуIDiоскостъ и луч. Основными свойствами расположения точек на
прямой и плоскости назовем следующие с в о й ст в а:
1) Из трех различных точек на прямой одна и только одналежитмежду
двумя другими.
2) Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы
какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не
пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полу­
плоскостям , то отрезок пер есекается с прямой (рис. 78).
]
га
А
fj
AtJ
а
А1
Рис. 77
Рис. 78
Возьмем на прямой а точку А и проведем через точку А какую-нибудь
прямую Ь, отличную от а (рис. 79). Прямая Ь разобьет плоскость на две
полуплоскости. Часть прямой а, лежащая в одной из этих полуплоскостей,
назьmается лучом или полупрямой. Точка А называется началом луча.
Лучи прямой а, на которые она разбивается точкой А, называется дополни­
тельными.
Ломаная. Ломаной А 1 А2 Аз. . . Ап называется фигура, состоящая из
ОЧJезков А 1 А2 , А2 А3 , ... , Ап_ 1Ап, причем любые два отрезка, имеющие
общий конщ, не принадлежат одной прямой .
дz
Рис. 79
Рис. 80
Рис. 81
242

Точки А1, А2, А3,... , Ап называют..:я вершинами ломаной А 1А2Аз ...
...Ап,
аотрезки А1А2,А2А3,...
, Ап_ 1Ам
-
звеньями ломаной. Ломаная
называется простой, если она не имеет само пересечений. На рис. 80 изобра­
жена простая ломаная, а на рис. 8] -- ломаная с самопересечением в точке В.
Длиной ломаной или периметром называется сумма дпин ее звеньев.
Те о ре м а 1. Длина ломаной больше расстояния между ее концами.
До к аз ат ель ст в о. Рассмотрим, например, случай, когда ломаная
состоит из трех звеньев (рис. 82). Точки А 1 , А 2 и А 3 по определению
ломаной не лежат на одной прямой . Согласно теореме 2 § 1 имеем
А1А2 +А2Аз > А1Аз.
По свойству расстояний
А1Аз + АзА-11 ;;,А1А4.
Поэтому
А1А2 +А2А3 +А3А4 >А1А4,
что и требовалось доказать.
Угол. Углом называется фигура, которая состоит из двух различных
лучей с общим началом. Эта начэльная точка называетея вершиной угла,
а лучи - сторонами угла. Если стороны угла являются дополнительными
лучами одной прямой, то угол назьmаетсяразвернутым.
Угол обозначается тремя больпшми буквами, из которых средняя ста­
вится у вершины, а две другие - у каких-нибудь точек сторон, или одной
буквой, поставленной у вершины: LAOB или L О (рис. 83).
•
Говорят, что луч с началом в вершине LAOB проходит между сторонами
этого угла, если он пересекает какой-нибудь отрезок с ко~щами на сторонах
угла (рис. 84). В случае развернутого угла будем считать, что любой луч
с началом в вершине угла, оmичный от его сторон, проходит между сторо­
нами угла.
,,,,,,,..,,,"'
,,,,..
д1 ~--------------Ач о-------в__ь
Рис.82
Рис. 83
с
Рис. 84
Измеряя отрезок, мы находим его дmп-rу. Измеряя угол при помощи
транспортира, мы находим его величину или градусную меру. Величина
угла АОВ обозначается L. АОВ.
Основныесвойстваизмеренияотрезков:
1) каждый отрезок имеет определенную дпину, большую нуля;
2) если точка С прямой АВ ле»-JП между точками А и В, то дпина отрез­
ка АВ равна сумме дпин отрезков АС и ВС.
243

1
о1 )сновн"ые свойства измеренияуглов: (
)
_1
каждыи угол имеет определенную величину или градусную меру ,
il
большую нуля; величина развернутого угла равна 180 градусам;
2) если луч ОС проходит между сторонами угла АОВ, то величина угла
1
АОВ равна сумме величин углов АОС и ВОС.
Угол величиной в один rрацус (1 °) -- это угол, величина которого
меньше величины развернутого угла в 180 раз. Применяются и другие
единицы щrя измерения углов: минуты и секунды. Одна минута (1 1 )
1
"
1
составляет - часть гоадуса. Одна секунда (1 ) состэвляет - часть мину-
160
L
60
ты или-- часть градуса.
360
Угол, в дваразаменьпшйпо величине по сравнению с развернутым, назы­
вается прямым углом (рис. 85). Углы АОС иВОС - - прямые: LAOC = 90°,
LBOC = 90°. Величину прямого угла часто обозначают буквой d.
Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину.
Два угла называются равными, если они имеют одинаковую величину
(или градусную меру). На любом луче иэ ero начала можно отложить
отрезок, рэ.вш,rй данному, и притом толы~о один . Из двух неравных отрез­
ков будем считать б6льпwм тот, который имеет болыную д)Jину. От любого
луча в данной полуплоскости можно отложить утол, равный данному, и
притом только один . Из двух неравных ·углов будем считать больпшм тот,
который имеет большую величину .
д
с
о
Рис. 85
tJ
{}
r:
о
Р11с. Яб
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а дру­
гие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рис. 86
углы АОВ и ВОС - смежные.
Теорем а 2. Сумма величин смеж11ых углов равна 180°.
До к аз ат ель ст в о. Луч ОВ (см. рис. 86) проходит между сторона­
ми развернутого угла. Поэтому LAOB -t -LBOC= 180", что и утверждалось.
Из теоремы 2 следует, что если два угла равны, то смежные с ними уг­
лы также равны.
Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являют­
ся дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и
244

---- ·--------. --
АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикаль­
ными (рис~ 87) .
Те о р е м а 3. Вертикальные углы равны.
До к аз ат ель ст в о . Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD
(см. рис. 87). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ
и COD. По теореме 2
LAOB+LBOD= 180°,
LCOD +LBOD= 180°.
Отсюда заключаем, что LAOB = L COD. Равенство углов доказано.
ь
а
tJ
{,'
А
А
Рис. 87
P1.JC . 88
Из теоремы 2 следует также, что угол, смежный с прямым углом, есть
прямой угол.
Угол, величина которого меньше 90", называется острым. Угол, велиЧЮiа
которого больше 90° , называется тупым. Так как сумма величин смеж­
ных углов равна 180", то угол, смежный с острым , тупой, а смежный с
тупым, острый.
При пересечении двух прямых образуется четыре угла. Если один из
углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае прямые на­
зываются взаимно перпендикулярными (рис. 88).
Запись а l Ь обозначает перпендикулярность прямых а и Ь. Каждая
из двух взимно перпендикулярных прямых называется перпендикуляром
к другой из них. Через каждую точку прямой можно провести и притом
только одну прямую, перпендикулярную к ней (свойство единственности
перпендикуляра к прямой). В самом деле, от луча прямой а с началом в
точке А (см. рис. 88) можно отложить и притом только один угол, рав­
ный 90".
Многоугольник. Ломаная называется замкиутой, если у нее концы
совпадают. Простая замкнутая ломаная называется многоугольником.
При этом верпшны ломаной называются вершинами многоугольника,
а звенья ломаной - сторонами многоугольника . Отрезки, соединяющие
вершины многоугольника, не принадлежащие одной его стороне,
называются диагоналями многоугольника.
Во всяком многоугольнике число вершин равно числу сторон. Много­
угольники разделяются на виды в зависимости от числа сторон . Много-
245 •

Рис. 89
Рис. 90
Рис. 91
угольник с тремя сторонами называется треугольником, многоугольник с
четырьмя сторонами - четырехугольником и т.д.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полу­
плоскости относительно любой его стороны и ее продолжения. На рис. 89
изображен выпуклый пятиугольник, а на рис. 90 - невыпуклый четырех­
угольник. В выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются.
Фигуру, образованную многоугольником вместе с его внутренней об­
ластью, называют многоугольной областью (на рис. 91 заштрихована много­
угольная область). Для выпуклого многоугольника отрезок, соединяю­
щий любые две точки многоугольной области, целиком ей принадлежит.
Мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.
Окружность и круг. Окружностью с центром О и радиусом R называ­
ется фигура, точками которой являются все точки плоскости, находя-
щиеся на расстоянии R от точки О.
•
Окружность можно определить как множество точек плоскости,
равноудаленных от данной точки, называемой ее центром.
Радиусом называют также любой отрезок ОМ, соединяющий точку
М окружности с ее центром О. Отрезок, соединяющий две точки окруж­
ности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности,
называется диаметром окружности . На рис. 92 ОМ - радиус окружности,
АВ - хорда, CD- диаметр.
Кругом puдuyca R с центром О называется часть плоскости, все точки
которой находятся от точки О на расстоянии, не большем R (рис. 93) .
Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом.
Геометрия разделяется на планиметрию и стереометрию. Планиметрия
изучает свойства фигур на плоскости, а стереометрия - ·
свойства фигур
в пространстве. Мы будем изучать nланиметрию.
246
с
А
р.Рис. 93

Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Отрезок АВ разделен на три отрезка, длины которых относятся как 2: 3 : 4.
Расстояние между серединами крайних частей равно 5,4 см. Найти длину отрезка АВ.
2. Доказать, что если М - внутренняя точка отрезка АВ, то АМ < АВ.
3, На сторонах ВМ и BN неразвернутого угла М BN взяты соответственно точки
А,DиС,Е,nричемВА>BDиВС>ВЕ.Доказать,чтоАЯ+ВС>AD+DE+ЕС.
4.НаnрямойаотточкиОотложеныотрезкиОАиОВ,nричемОА =11смиОВ=
= 16 см. Каким может быть расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ?
5. Из вершины туnого угла nроведены nерnендикуляры к его сторонам; угол
4
между этими перnендикулярами равен 7 а. Найти величину туnого угла.
•
6. Сумма величин двух углов, которые получаются при пересечении дв ух прямых,
равна 40°. Найти величины этих углов.
7. Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 3 : 2.
8. Величина одного из углов, которые получаются при nересечении двух прямых,
в гри раза больше величины другого. Найти эти углы.
РАЗДЕЛП
9. Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если АВ = 1,8 см, АС= 1,3 см ,
ВС=3см?
10. Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пе­
ресекать каждую его сторону?
11. Отрезок, длина которого равна 36 см, разделен на четыре не равные друг дру­
гу части. Расстояние между серединами крайних частей равно 30 см. Найти расстояние
между серединами сред-,rих частей.
12. Чему равен угол, если величины двух смежных с ним углов составляют в сум ­
ме 100"?
13. Найти смежные углы, если их градусные меры относятся как 3 : 7.
14. Величина одного из углов, которые получаются при пересечении двух прямых,
на 40° меньше величины другого. Найти эти углы.
ГЛАВА 10
ПРЯМАЯ
§ 1. Треугольники
Треугольник и его элементы. Треугольником называется фигура, кото­
рая состоит из трех точек, не лежащих на одной :прямой, и трех попарно
соединяющих их отрезков. Точки называются вершинами треугольника,
а отрезки - его сторонами. Треугольник с вершинами А, В, С и сторо­
нами АВ, ВС, А С обозначается 6 АВС (рис. 94) .
Углом (или внутренним углом) 6 АВС при вершине А назьmается угол,
образованный лучами АВ и АС. Так же определяются углы треугольника
при вершинах В и С.
247

Рис. 94
Рис. 95
Если продолжить одну из сторон за вершину треугольника, то получим
внешний угол треугольника. На рис. 95 L BAD - внешний угол 6.АВС
Любой внешний угол является смежным с одним из внутренних углов
треугольника.
Биссектрисой треугольника называется отрезок, делящий внутренний
угол треугольника пополам и проведеllliый из вершины до пересечения с
противоположной стороной.
Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий верuшну
треугольника с серединой противоположной стороны.
Высотой •• треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вер­
шины треугольника на противоположную сторону или на ее продолжение
(рис. 96, а, б). На рис. 96 отрезок BD - высота 6 АВС
3 а м е чан и е. В этом параграфе будет доказано, что из любой точки,
не лежащей на прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую
и притом только один.
В любом треуголышке можно провести по три биссектрисы, медианы
и высоты. В общем случае биссектриса, медиана и высота, проведенные
из одной и той же вершины треугольника, не совпадают.
Треугольники подразделяются на виды по сравнительной длине их сто­
рон или по величине их углов. В зависимости от длины сторон различают­
ся разностороннце треугольники, когда все стороны различной длины,
и равнобедренные, когда две стороны равны; в частности, равнобедрен­
ный треугольник называется равносторонним или правильным, когда
все три его стороны равны между собой .
А
248
[}
lJ
f1)
Рис. 96
{}
лА С'll
tI)
1;
·1
1
-!

В зависимости от величины углов различаются остроугольные треу­
гольники, когда все углы острые, прямоугольные, когда среди углов
треугольника есть прямой, и тупоугольные, когда среди углов треуголь­
ника есть тупой. В прямоуг.ольном треугольнике стороны, образующие
прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая против верпmны
прямого угла, - гипотенузой.
Признаки равенства треугольников. Свойства равнобедреююго треу­
гольника. Треугольники АВС и А 1 В 1 С1 называются равными, если LA =
= LA1, LВ=LВ1,LС=LС1,АВ =А1В1,ВС =В1С1,АС =А1С1(рис.97).
лл
А
(J
А1
01
Рис. 97
Для обозначения равенства треугольников используется запись: ЛАВС =
= .6.А 1 В 1 С1 . При этом имеет значение порядок, в котором записывают­
ся верпmны треугольника. Согласно определению равенство Л АВС =
= ЛА1В1С1 означает,чтоLA =LA1, ... , АС= А1С1.АравенствоЛАВС=
= ЛВ1А1С1 означает уже другое: LA = LB1 , ... , АС= В1С1 *). Таким
образом, в равных треугольниках против равных углов лежат равные сто­
роны и, обратно, против равных сторон лежат равные углы.
Первый пр из на к равенств а т ре угольник о в. Если у
двух треуголыщков АВС и А1В1С1 LA = LA1, АВ =А1В1, АС=А1С1,
то эти треугольникиравны, т.е. LB=LB1, LС= LC1, ВС =В1С1.
Этот признак принимается без доказательства и является аксиомой.
Пользуясь им, будем доказывать другие признаки равенства треугольни­
ков. Можно сформулировать первый признак равенства треугольников
следующим образом:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответствен­
но равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то
такие треугольники равны.
Теорем а 1 (второй признак равенства треугольников). Если у
треугольников АВС и А1В1С1 АВ =А1В1, LA =LA1, LB =LB1, то треу­
гольники равны, т.е. АС =А 1 С1, ВС =В1 С1, LC= LC1 (рис. 98).
До к аз ат ель ст в о. Отложим на луче АС отрезок АС2 , равный
отрезку А 1С1 . Треугольники А 1В1С1 и АВС2 равны по первому признаку
равенства: АВ = А 1 В 1 и LA = LA 1 по условию,АС2 =А 1 С1 по построению.
Из равенства этих треугольников следует равенство углов А 1В1С1 и АВС2 ,
а уголА 1 В 1 С1 равен углу АВСпо условию.
*) Общее определение равенства геометрических фигур приводится в § 2 гл. 13.
249

А
!J А1
Рис. 98
С'
Рис. 99
Уrлы АВС и АВС2 отложены в одной полуплоскости от луча ВА. Из ра­
венства углов следует, что их стороны ВС и ВС2 совпадают; значит, точ­
ки С и С2 совпадают. Таким образом, Л АВС совпадает с Л АВС2 , а значит,
равен ЛА 1 В1 С1 . Теорема доказана.
Можно сформулировать второй признак равенства треугольников так:
Если два угла и прилежащая к ним сторона одного треугольника соот­
ветствеюю равны двум углам и прилежащей к ним стороне другого треу­
гQльника, то такие треугольники равньz.
Пусть ЛАВС - равнобедренный с равными сторонами АС и ВС. Эти
равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона АВ
называется основанием треугольника (рис. 99) .
Т е о р е м а 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании
равны.
До к аз ат ель ст в о. Л САВ = Л СВА по первого признаку равенства
треугольников. В самом деле, СА = СВ, СВ = СА, LC =LC. Из равенства
треугольников следует, что LA =LB. Теорема доказана.
~А
lJ
fJ
Рис. 100
Теорем а 3. Если в треуголышке два угла равны, то треугольник
равнобедренный.
Дано: LA = LB (см. рис. 99). Требуется доказать, что ЛАВС - равно­
бедренный.
До к аз ат ель ст в о. ЛАВС = ЛВАСпо второму признаку. равенства
треугольников. В самом деле, АВ = ВА, LB = LA, LA =LB. Из равенства
треугольников следует, что АС= ВС. Теорема доказана.
Теорема 3 является обратной теореме 2.
250

Т е о р е м а 4. В равнобедрен ном треуголышке мед иана, проведенная
к основат-1ию, является биссектрисой и высотой.
Дано : СА = СВ, CD - медиана (рис. 100) . Требует ся доказать, что ме­
диана CD есть биссектриса и высота 6 АВС
Доказательство.6CAD= 1:-. CBDпопервомупризнакуравенства
треугольников . В самом деле, СА = СВ по условию, LCAD = L CBD по тео­
реме 2, AD = BD, так как CD - - медиана. Из рав енства треугольников сле­
дует, что LACD= LBCD, LAIX = LBIX. Так как LACD = LBCD, то CD -
А
биссектриса. Так как углы АОС и BDC - смежные и равные , то они пря­
мые и, значит, CD - высота треугольника . Теорема доказана.
Теорег"1ы 2, 3 и 4 выражают свойства равнобедренного треугольника.
Т е о р е м а 5 (третий признак равенства треугольников) . Если у -треу­
гольниковАВСиА1В1С1 АВ =А1В1,АС=А1С,\, ВС=В1С1, то треуголь­
никиравны, т.е.LA=LA1, LB =LB1, LC=LC1.
Доказательство.ЕслиLA =LA1илиLB=LB1 (рис. 101),то
1:- . АВС = 1:- . А 1В 1 С1 по первому признаку равенства треугольников . Допус­
тим, что LA =I= !.А1, LB =I= LB1 . Отложим от луча АВ в полуплоскость,
где лежит точка С, угол, равный LA 1 , и на его стороне отложим о трезок
АС2, равный А1С1. дА1В1С1 =дАВС2 по первому признаку ра­
венства треуголышков: А1В1 =АВ по условию, А1С1 =АС2 и LB1A 1C1 =
= LBAC2 по построению. Из равенства треугольников следует , что ВС2 =
=В1С1 .
Треугольники СС2 А и СС2 В - равнобедренные с о бщим о снованием
СС2 • Пусть D - середина отрезка СС2 . Точка D не л ежит на прямой АВ ,
так как отрезок СС2 не пересекает эту прямую. Следов ательно, прямые
AD и BD различны.
По теореме 4 прямые АDи BD как медианы в равнобедренных треуголь­
никах перпендикулярны прямой СС2 . Однако чер ез точк у D можно про~
вести только одну прямую, перпендикулярную прямой СС2 ( свойство
единственности перпендикуляра к прямой) . Допустив, что L A =I= L A 1 и
LB =I= L_B 1 , мы пришли к противоречию. Теорема док азана .
Итак, если три стороны одного треугольника равны трем сторонам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
251 ,

Сооmошения между углами и сторонами треугольника.
Те о ре м а 6. Сумма величин любых двух внутренних углов треуголь­
ника меньше 180°.
Доказательство.Докажем,чтосуммавеличинугловприверши­
нах В и С ЛАВС меньше 180° (рис. 102).
Через середину О стороны ВС проведем медиану А О и на ее продолже­
нии отложим отрезок OD, равный отрезку АО. По первому признаку ра­
венства треугольников ЛАОВ = ЛDОС: углы при вершине О равны, как
вертикальные, ОА =OD и ВО= ОС по построению. Из равенства треуголь­
ников следует, что LABO = LOCD. Величина угла ACD равна сумме вели­
чин углов АСВ и OCD, так как луч СО проходит между сторонами угла
ACD. Так как LOCD =LABC, то
LACD =LABC + LACB.
Угол ACD - неразвернутый, так как точка D не лежит на прямой АС
Значит, LACD < 180°. Поэтому LABC + LACB < 180". Теорема доказана.
С л е д с т в и е. В любом треугольнике два внутренних угла острые.
Те о ре м а 7. Внешний угол треугольника больше любого внутренне­
го, не смежного с ним.
До к аз ат ель ст в о. Докажем, что внешний угол BCD ЛАВС боль­
ше любого из внутренних углов А и В, не смежных с этим внешним
(рис. 103).
По свойству смежных углов LBCD+ LACB = 180°.
По теореме 6 LACB + LBAC < 180°, LACB + LABC < 180°. Отсюда
следует, что LBCD> LBAC, LBCD> LABC Теорема доказана.
Между сравнительной величиной углов треугольника и сравнительной
длиной его сторон С)-1.Цествуют соотношения. Мы уже знаем, что против
равных сторон в треугольнике лежат равные углы и, обратно, против
равных углов в треугольнике лежат равные стороны (свойства равнобед­
реннного треугольника).
Те о ре м а 8. Против большей стороны в треугольнике лежит боль­
ший угол, и, обрата, против большего угла в треугольнике лежит боль­
шая сторона.
До к аз ат ель ст в о. Пусть в ЛАВС (рис. 104) сторона АВ больше
стороны ВС, т.е. АВ > ВС Требуется доказать, что угол С больше угла
А, т.е. LBCA > LBAC
!}
[]
l><l'..__-~
А
СА
D
Рис. 102
Рис. 103
Рис. 104
252

Отложим на большей стороне ВА от верnmны В отрезок BD, равный
меньшей стороне ВС, и соединим точки С и D отрезком CD. Тогда полу­
чим равно бедренный 1.:::. DBC, у которого углы при основании равны, т.е.
LBDC == LBCD. Угол BDC, как внешний по отношению к !.::: .ADC, больше
угла А; значит, и угол В CV больше угла А. Угол ВСА больше угла BCD; следо­
вательно, угон ВСА бопьше угла.А, Первое утверждение теоремы доказано.
Пусть в L АВС угол С больше уша А. До1,ажем, что сторона АВ боль­
ше стороны ВС.
Допу стим, что утверждение нев ерно. Тогда либо АВ = ВС, либо АВ < ВС.
В первом случае !.:::.АВС - равнобедренный и, следовательно, углы А и С
при его основании равньr . Но это противоречит условию: угол С больше
у гла А. Во втором случае АВ < ВС и по доказанному угол А больше угла С,
что также противоречит условию. Поэтому АВ > ВС Теорема до казана
полно стыо.
Из теоремы следует , что в прямоу1'ольном треугольнике гипо тенуза
больше катета.
Из свойств расстояний (§ 1 гл. 9) следует, что в любом треугольнике
каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности .
Признаки равенства прямоугольных треугольников . В прямоугольных
треугольниках угпы М<:Жду катетами всегда равны, как углы прям ые .
Поэтому прямоугольные треугольники равны:
1) если катеты одrюго 1реуголышка соответствеюю равны ка тетам
другого ;
2) если катет и пр илежащий к нему острый угол одного треугольника
соотв етственн о рав ны катету и прилежащему к нему остр ому углу дру­
го го треуголышка.
Э·ш два признака Нё ЧJебу1ш доказаJель"т:ва, тюс ка~, они. представляю т
собой частные случаи общих признаков равенства треугольников. Дока­
жем дв а следующих при знак а , отно сящиеся только к пря моугольным
треугольникам.
Те о ре м а 9. Прямоугольные треуголыщкu равны:
1) если гипотенуза и острый угол од11ого треугольн ика соответствен­
но равны г ипотенузе и острому углу другог о треугольника или
2) если гипотенуза и катет одного 1реуголытка соответстветю рав ны
гипотенузе и катету другого треугольника.
Доказательство. ПустьАВСиА1В1С1 - прямоугольные тре­
угольники с прямыми углами С и С1 .
1) Дано:АВ==А1В1,LA==LA1• Докажем, что !.:::.АВС= !.:::.А1В1С1.
Если при этом А С == А 1 С1 , то треугольники равны по первому призна­
ку равенства треугольников
Допустим,чтоАС* А 1 ('1 , нащ"нмер,А 1 С1 < .4С ОтножимтрезокАС2 ,
равный А1С1 (рис. 105). ЛАВС2 ::= !.:::.А1В1'(,\, так как А.В =А1В1, LA =
= LA 1 по условию , А С2 = А 1 С1 по построению. Из равенства треугольников
следует, что LAC2 B - прямой . Значит, LCC2 B - прямой , как смежный
253

{}
{}
А
CzС' А1
Рис. 105
к прямому углу. Мы приumи к противоречию: в Л СВС2 два прямых угла,
аэтоневозможно.ОтсюдаАС=А1С1,ав этомслучаеЛАВС=ЛА1В1С1.
2) Дано:АВ=А1В1,ВС=В1С1.Докажем,чтоЛАВС=ЛА1В1С1.
Если при этом А С = А 1 С1 , то треугольники равны по третьему призна­
ку равенства треугольников.
Допустим, что АС =I= А 1 С1 , например, А 1 С1 <АС.Отложим отрезок
СА2, равный С1А1 (рис. 106).ЛА2ВС=ЛА1В1С1,так как углыСиС1 -
прямые, ВС = В 1 С1 по условию, А 2 С= А 1 С1 по построению. Из равенства
треугольников следует, что ВА 2 = В 1 А 1 . В равнобедренном ЛАВА 2 угол
при вершине А 2 -- тупой, как смежный к острому углу прямоугольного
ЛВСА 2 . Значит, LA - тоже тупой, а это невозможно. Поэтому АС =А 1 С1
и, следовательно, Л АВС =Л А 1В 1 С1 •
Предоставим читателю доказать сл едующий признак равенства пря­
моугольных треугольников: треугольиuкu АВС и А 1 В 1 С1 с прямыми уг­
лами С и С1 равllы, если ВС =В1С1 и LA =LA1.
Перпендикуляр и накло1Шая . Пусть а - прямая, В
-
точка вне прямой
и А - точка на прямой а (рис. 107) . Отрезок ВА называется перпендику­
ляром, опущенным из точки В на прямую а, если прямые а и АВ перпенди­
кулярнь1; при этом точка А называется основанием перпендикуляра.
Теорем а 10. Из точки вне данной прямой можно провести перпеи­
дикуляр к этой прямой и притом только один.
Доказательство.Пустьа- даннаяпрямаяиВ
-
точка, не лежа­
щая на этой прямой (рис. 108) . Рассмотрим на прямой а какие -нибудь
точки С и D. Если прямая ВС перпендикулярна прямой CD, то отрезок
ВС и есть перпендикуляр к прямой CD.
{j
tJ
с
А
lJ
(/
а
А
IЗ1
Рис. 107
Рис. 108
254
;
j
j

Допустим, что прямая ВС не перпендикулярна к прямой CD. Прямая а
разбивает плоскость на две полуплоскости. Точка В лежит в одной из
них. Отложим в другой полуплоскости от прямой CD угол, равный углу
BCD, и отложим на стороне этого угла отрезок СВ 1 , равный СВ. Отрезок
ВВ 1 пересекает прямую а в некоторой точке А. Л САВ = Л САВ 1 , так как
у них сторона АС - общая, LВСА = LB1СА и СВ = СВ1 по построению.
Из равенства треугольников следует равенство смежных углов ВАС и
В 1 АС А если смежные углы равны, то они прямые. Следовательно, отре­
зок ВА - перпендикуляр к прямой а.
Допустим тепеt>ь, что из точки В можно провести два перпендикуляра
ВА 11 ВА1 к прямой а. Тогда уt:,ВАА1будетдвапрямыхугла:LAи
15
/,
/'
/
1
--"
----1=1----·
а
('
_ ;:.
~uc. 109
\\
__ _ ,,_/_ _... ..______\ __ _g_
С
Ад
N
Рис. 110
l_A 1, iIO это HCDOЗl\ •. J,кH lJ.
JН<..'-!ИТ, _;;,3 точки В l\1OЖНС нрозест:и r;,,_~пенди­
куляр к прямой а и r,::штом только О,"\lШ. Теорема доказа.n:а.
Пусть " RA
-
nерr.р,:~V'>~куляр, опу1.г~Н!-fЬ1Й: у~:; точкJ.-r В :Еа пp;:\r.yr;1 а, и С -
любая точю.1. ЫI :r;_:- ·, :ей а, ОТШIЧБ::Э." о:,: А. О·,резол ВС н:азътвг.с,с,: ;дклтt­
ной~ пронедеБ"пой ,;~ ·-~ т.оuхи 13 к пгямо~ (i (~ис. 1ra). ·т·с-~; ... - ~ ,::· назы:;.;зется
асн.ование.-~ нзкпонf-~оЙ, а отре?( 1r АС--; - npoe;<uJtezl ~- :
--~ ~
•.
- - •. YI~ т:ряl'-'iО··
угот,но·,·о 6.ВА.Сс r.ся.мым уТJюм А ЗУμ,11,•1., <;те• ннклш1.· ·; (,сл:,ше перпен­
дикуляра: в этом треу,ольып:<1; н~>.кnоюшv являете.,, ги,ютенус::<JЙ, а перпен­
дикуляр - кате,ом
Расстоянием от ;-очки В до ;щямой а, не нрод.дР.'' ~ нс_~"' , ";(у В, на"
зывz.ется: ,тина перпендакуляра, опущенног-J из -о,:кн В t щхv1ую а.
Так как перпендикупяр меньше наклонной, проведешюi1 из rои же точки,
то расстояF_ие от точки В до прямой а является юшменьшим Ез расстоя­
ний от точки В до любой нз точtок прямой а.
Теорем::t •1
..
Если из одной и той J:ce тсч1си вf:с прямr;й прозеде,чы
;,, этой прямой пеμпеноикуляр и наклонные, то
" ) если осн.ова1-1.ия двух шtклmтых одинаково удалены Gr основан.ия
перпендщ<уляра, то такие ;иклонн.ые равны;
2) если основтшя двух наклонных неодинаково удалены от основания
перпендикуляра, то та из наклонных больше, ос1-ювание к:оmрой даль­
ше отстоит от OCH(,8{]fiUЛ перпендикуляра (рис. 110).
255

Справедлива и обратная теорема. Формулировку обратной теоремы
и доказательства обеих теорем предоставим читателю.
Свойства середюmого перпенди1суляра к отрезку и биссектрисы угла.
Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпенди­
кулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
Теорем а 12 (о свойствах серединного перпендикуляра). 1) Каж­
дая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от кон­
цов этого отрезка;
2) и, обратно, каждая точка плоскости, равноудаленная от концов от­
резка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
А
11
р
Рис. 111
А
о
lJ
Рис. 112
До к аз ат ель ст в о . 1) Пусть р - середин..чый перпендикуляр к от­
резку АВ и точка О - середина отрезка АВ (рис. 111).
Рассмотрим произвольную точку 1vf на серединном перпендикуляре
р. Проведем отрезки АМ и ВМ 6. А ОМ = 6. ВОМ, так как углы при верши­
не О - прямые, катет ОМ
-
общий, а катет ОА равен катету ОВ по усло­
вию. Из равенства треугольников следует, что Akf = ВМ
2) Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ, т.е. АМ = ВМ.
Тогда 6. АМВ
-
равнобедренный. Проведем через точку М и середину
О отрезка АВ прямую р. Отрезок МО по построению есть медиана равно­
бедренного 6. AkfB, а следовательно, и высота, т.е. прямая р есть середин­
ный перпендикуляр к отрезку АВ. Теорема доказана.
Таким образом, множество всех точек плоскости, равноудаленных
от концов данного отрезка, есть серединный перпенw.куляр к этому от­
резку.
Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершиньr,
проходит между его сторонами и делит угол пополам.
Теорем а 13 (о свойствах биссектрисы угла). 1) Если точка лежит
на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла;
2) если точка луча, проведенного между сторонами угла, равноудале­
на от сторон этого угла, то она лежит на его биссектрисе.
256
J
1
1

1
До к аз ат ель ст в о. 1) Пусть l - биссектриса угла АОВ (рис. 112).
Рассмотрим произвольную точку М на луче l. Опустим из точки М пер­
пендикуляры МС и MD на стороны угла АОВ. Л ОМС = Л OMD: у них гипо­
тенуза ОМ - общая, а углы СОМ и DOM равны по условию. Отсюда следу­
ет, чтоМС=МD .
2) Пусть точка М на луче l равноудалена от сторон угла А ОВ (см.рис. 112),
т.е. перпендикуляры МС иМD к сторонам этого угла равны. Тогда Л ОМС=
= Ь OMD по признаку рвенства прямоугольных треугольников. Отсюда
L СОМ= LDOM, и, следовательно, луч ОМ является биссектрисой углаАОВ.
Теорема доказана.
§ 2. Основные геометрические построения
В задачах на построение будем рассматривать построение геометричес­
кой фигуры, которое можно выполнить с помощью линейки и циркуля.
Решение задачи состоит не столько в построении фигуры, сколько в ре­
шении вопроса о том, как это сделать, и соответствующем доказательстве.
С помощью линейки можно провести произвольную прямую; произ­
вольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую
через дВе данные точки.
С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность
данного радиуса. Циркулем можно отложить отрезок на данной прямой
из данной точки.
Основные задачи на построение.
З ад а ч а 1. Построить треугольник с данными сторонами а, Ь, с
(рис. 113).
Реш е ни е. С помощью линейки проводим произвольную прямую и
возьмем на ней произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а,
описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С - точка ее пере­
сечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность
а
ь
с
~
с
а
о
Рис. 113
из центра В, а раствором циркуля, равным Ь, - окружность из центра С,
Пусть А - точка пересечения этих окружностей. ЛАВС имеет стороны, рав­
ные а,Ь,с.
f Задача имеет решение только в том случае, когда каждый из отрезков
а, Ь, с меньше суммы двух других отрезков, но больше их разности.
З а д а ч а 2. Отложить на данном луче в данную полуплоскость угол,
равный данному углу (рис. 114).
9 . Г.И. Богатырев
257

Рис. 114
Решение. Проведем произвольную окружность с центром в верши­
не А данного угла. Пусть В и С - точки пересечения окружности со сторо­
нами угла. Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О -
начальной точке данного луча. Точку пересечения этой окружности с дан­
ным лучом обозначим С1 . Опишем окружность с центром С1 и радиу­
сом ВС. Точка В 1 пересечения двух окружностей в указанной полуплос­
кости лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства ЛАВС =
=ЛОВ1С1.
3 ад а ч а 3. Построить биссектрису данного неразвернутоrо угла
(рис. 115) .
Р е ш е н и е. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим
окружность произвольного радиуса. Пусть В и С - точки ее пересечения со
сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности.
Пусть D - точка их пересечения, отличная от А. Луч AD делит угол А попо­
лам. Это следует из равенства ЛАВD = ЛАСD.
3 ад а ч а 4. Разделить данный отрезок пополам (рис. 116).
Р е ш е н и е. Из концов А и В данного отрезка АВ описываем окруж­
ности радиусом АВ. Пусть С и D - точки пересечения этих окружностей.
Они лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Отрезок CD
пересекает прямую АВ в некоторой точке О. Эта точка и есть середина
отрезка АВ. В самом деле, ЛСАD = ЛСВD. Отсюда LACO =LBCO. Поэто-
А
D
Рис. 115
Рис. 116
258

му ЛАСО = ЛВСО и, следовательно, АО =ВО. Таким образом, О - сере­
дина отрезка АВ.
3 ад а ч а 5. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку.
Решается так же, как задача 4; прямая CD - серединный перпенди-
куляр к отрезку АВ (см. рис. 116).
3 ад а ч а 6. Из данной точки провести перпендикуляр к данной прямой.
Решение. Возможны два случая:
1) данная точка О лежит на данной прямой а (рис. 117);
А
!}
Рис. 117
{]
А
о
01
Рис. 118
а
!}
2) данная точка О не лежит на данной прямой а (рис. 118).
Рассмотрим оба случая.
1) Из точки О проводим произвольным. радиусом окружность . Она
пересекает прямую а в двух точках А и В. Из точек А и В проводим окруж ­
ности радиусом АВ. Пусть С - точка из пересечения. Получаем ОС 1 АВ.
В самом деле, ЛАСЕ - равнобедренный, СА= СВ. Отрезок СО есть медиана
этого треугольника, а следовательно, и высота.
2) Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересе­
кающую прямую а в точках А и В. Из точек А и В тем же радиусом прово­
дим окружности. Пусть О 1 - точка их пересечения, отличная от О. Полу ­
чаем 00 1 1 АВ. В самом деле, точки О и О 1 равноудалены от концов
отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к это­
му отрезку.
§ 3, Параллельные прямые
Определение параллельных прямых. Две различные прямые либо имеют
только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки. В первом
случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае - прямые
не пересекаются. Дадим определение, соответствующее второму случаю
взаимного расположения двух прямых на плоскости.
Определение. Две прямые на плоскости называются параллель­
ными, если они не пересекаются.
259

а
Рис. 119
Параллельность прямых а и Ь обозначается так : а 11 Ь.
Пусть две прямые а и Ь пересечены третьей прямой с (рис . 119) . Пря­
мая с называется секущей по отношению к прямым а и Ь, если она пересе­
кает их в двух различных точках. При пересечении прямых а и Ь секу­
щей с образуется 8 углов, которые на рис . 119 отмечены цифрами. Опреде­
ленные пары углов имеют специальные названия: соответственные углы 1
и5,4и8,2и6,3и7; накрестлежащиеуглы3и5,4и6;односторонние
уrлы4и5,Зи6 .
Признаки параллельности двух прямых.
Т е о р е м а 1. Если при пересечении двух прямых секущей:
1) накрест лежащие углы равны, или
2) соответственные углы равны, или
3) сумма величин односторонних углов равна 180°,
то прямые параллельны (рис. 120).
До к аз ат ель ст в о. 1) Пусть при пересечении прямых а и Ь секу­
щей АЕ накрест лежащие углы равны: L 4 = L 6. Докажем, что а 11Ь.
Предположим противное : прямые а и Ь не параллельны. Тогда они пе­
ресекаются в некоторой точке М, и, следовательно, один из углов 4 или 6
будет внешним углом ЛАЕМ. Пусть для определенности L 4 - внешний
угол ЛАЕМ, а L 6 - внутренний. По теореме о внешнем угле треугольника
L 4 больше L 6, а это противоречит условию. Значит, прямые а и Ь не могут
пересекаться, поэтому они параллельны. Признак параллельности двух пря-
. мых для этого случая доказан.
а
ь
Рис. 120
260

2) Пусть при пересечении прямых а и Ь секущей с соответственные
углы равны. Например, L 2 = L 6. Докажем, что а 11 Ь.
Вертикальные углы 2 и 4 равны. Значит, накрест лежащие углы 4 и 6
равны. Отсюда следует, что а 11 Ь.
3) Пусть при пересечении прямых а и Ь секущей с сумма величин одно­
сторонних углов равна 180°. Например, L 3 + L 6 = 180°. Докажем, что а II Ь.
УглыЗи4 - смежные. Поэтому LЗ +L4= 180°. Из равенств LЗ +L6=
= 180° и L 3 + L 4 = 180° следует равенство накрест лежащих углов 4 и 6:
L 4 = L 6. Поэтому а 11 Ь. Теорема доказана полностью.
р
а
ь
11
ь
4
ь
5
{/
а
р
Рис. 121
Рис. 122
Рис. 123
С л ед ст в и е. Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные
к одной и той же прямой, параллельны.
Пусть прямые а и Ь перпендикулярны прямой р (рис. 121). При пересе­
чении прямых а и Ь секущей р накрест лежащие углы 4 и 6 - прямые, по­
этому они равны. Отсюда следует, что а II Ь.
З ад а ч а. Построить прямую, проходящую через данную точку М
и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М.
Решение. Проводим через точку М прямую р, перпендикулярную
прямой а - задача 6 § 2 (рис. 122). Затем проводим через точку М пря­
мую Ь перпендикулярно прямой р. Прямая Ь параллельна прямой а соглас­
но следствию из теоремы 1.
Свойства параллельных прямых. Из рассмотренной задачи следует
важный вывод : через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно
провести прямую, параллельную данной.
Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем.
Аксиома о параллельных прямых. Черезданнуюточку,
не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллель­
ная данной прямой.
Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, вытекающие
из этой аксиомы.
1) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пере-
секает и другую (рис.123).
•
Пусть а 11 Ь и прямая с пересекает прямую Ь в точке М. Если бы пря­
мая с не пересекала прямую а, то через точку М проходили бы две различ-
261

ные прямые Ь и с, параллельные прямой а. Так как это противоречит аксио­
ме о параллельных прямых, то прямая с пересекает и прямую а.
2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они
параллельны (рис. 124).
Допустим, что прямые а и Ь не параллель ны. Тогда они перес ек ают ся
в некоторой точке М. Через точку М проходили бы дв е различные пря ­
мые а и Ь, параллельные прямой с. Это противоречит аксиоме о пар аллель­
ных прямых. Поэтому наше допущение неверно , и прямые а и Ь парал­
лельны .
Докажем теорему об углах, образованных двумя параллельными пря­
мьrми и секущей , обратную теор е ме 1.
р
а
а
ь
с
с
Рис. 124
Рис. 125
Т е о р е м а 2. Если две параллельные прямые пересечены секу щей , то
1) накрест лежащие углы равны;
2) соответственные углы равны;
3) сумма величин односторонних углов равна 180°.
До к аз ат ель ст в о . Пусть параллельные прямые а и Ь пересечены
секущей с.
Допустим, что L 1 =I= L 2 (рис , 125). Построим луч МР так , чтобы LPMN
и L 2 были накрест лежащими при пересечении прямых МР и Ь секущей MN.
Причем LPMN = L 2. Так как эти накрест лежащи е углы равны , то прямые
МР и Ь параллельны. Тогда две различные прямые МР и а проходят через
точку Ми параллельны прямой Ь. Это противоречит аксиоме о параллель­
ных прямых. Значит, наше допущение неверно, и L 1 = L 2. Из равенства
накрест лежащих углов следует равенство соответственных углов и ра­
венство суммы величин односторонних углов 180 градусам. Теорема до­
казана.
Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух парал­
лельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.
Доказательство.Пустьа11Ьисlа(рис.126).Прямаяспере­
секает прямую а; значит, она пересекает прямую Ь , параллельную а. При
пересечении двух параллельных прямых а и Ь секущей с образуются рав ­
ные накрест лежащиеуглы:LI =L2.Так как сl а, то LI =90°, поэтому
L2=90°,т.е. cl Ь.
262
1
1
1

(J-----,-1 - -- - -
Ь-----+2________
Рис. 126
Рис. 127
Рис. 128
Предоставим читателю доказать следующие две теоремы.
Теорем а (об углах с соответственно параллельными сторонами).
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого
угла (т.е. принадлежат параллельным прямым), то величины этих углов
илиравны,иливсуммесоставляют180°: L1=L2илиL1+L3=180°
(рис. 127).
Теорем а (об углах с соответственно перпендикулярными сторо­
нами). Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторо­
нам другого угла, причем оба угла принадлежат одной и той же плоскости,
то величины этих углов или равны, или в сумме составляют 180°: L 1 = L 2
или·L1+L3=180° (рис. 128).
Сумма велИЧЮf внуrренних углов треугольника и многоугольника.
Теорем а 3. Сумма величин внутренних углов треугольника рав­
на 180°.
До к аз ат ель ст в о . Пусть АВС - данный треугольник (рис. 129).
Докажем, что LA +LB +L С = 180°.
IJ
D
!Xl
А
С
[
Рис. 129
Через середину О стороны ВС проведем медиану АО и на ее продолже­
нии отложим отрезок OD, равный отрезку АО. По второму признаку ра ­
венства треугольников !::,АОВ = i::,DOC: углы при вершине О равны, как
вертикальные, АО = OD и ВО = ОС по построению. Из равенства треуголь­
ников следует, что LABO = LOCD. Так как эти углы являются равными
накрест лежащими углами при пересечении прямых АВ и CD секущей ВС,
то прямые АВ и CD параллельны .
Рассмотрим луч СЕ, дополнительный к лучу СА. Угол А равен утлу DCE,
как соответственные углы при параллельных прямых АВ и CD. Так как
LDCE +LOCD+LACO= 180°, то LA +LB +LС= 180°. Теорема доказана.
263

Следствия. 1) Внешний угол треугольника равен сумме двух внут-
ренних углов, не смежных с ним,
.
Всамомделе,изравенствLA +LB +LC= 180° иLBCE+LACB = 180°
получаем,что LBCE=LA +LB.
2) Сумма величин острых углов прямоугольного треугольника рав­
на90° .
3) В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый
угол имеет величину в 45°.
4) В равностороннем треугольнике каждый угол имеет величину в 60°.
5) Длина катета прямоугольного треугольника , лежащего против угла
в 30°, равна половине длины гипотенузы.
Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом А и LABC =
о
1
о
= 30 (рис.130).Докажем,чтоАС = - ВС, Так какLABC+LС=90 ,
2
то L С = 60°. Рассмотрим луч AD, дополнительный к лучу АВ, и отложим
на нем отрезок AD, равный отрезку АС. Прямоугольные треугольники
АВС и ABD равны: катет АВ - общий, а катеты АС и AD равны по построе­
нию . Из равенства треугольников следует, что LD = L С = 60°, LABD =
= LABC = 30°, и поэтому LDBC = 60°. Значит в ЛВСD углы DBC и BDC
равны (LDBC = LBDC = 60°), и, следовательно , DC = ВС. Так как АС=
1
1
= - DC, то АС= - ВС, что и требовалось доказать.
2
2
Предоставим читателю доказать обратное утверждение: если в прямо­
угольном треугольнике длина катета равна половине длины гипотенузы,
то величина угла, лежащего против этого катета, равна 30°.
Т е о р е м а 4, Сумма величин внутренних углов выпуклого много­
угольника, имеющего п сторон, равна 180° (п - 2). Сумма величин внеш­
них углов любого выпуклого многоугольника равна 360°.
Доказательство.ПустьА1А2...Ап
-
данный выпуклый много­
угольник (рис. 131). Из какой-нибудь его вершины, например из верши­
ны А 1 , проведем диагонали многоугольника. Тогда получим п - 2 треуголь­
ника А 1 А2Аз, А 1 АзА4, ... , А 1 Ап_ 1 Ап. Сумма величин внутренних углов
треугольника равна 180°. Поэтому сумма величин внутренних углов дан­
ного многоугольника равна 180° (п - 2).
!J
А1;
D
А
С'
Рис. 130
Рис. 131
264

Рис. 132
\
\
\
\
__
...... _
Рис. 133
В частности, при п = 4 ,- т.е. для выпуклого четырехугольника, сумма ве­
личин внутренних углов равна 360° (рис . 132).
Внешним углом многоугольника является угол, сме)Ю!ЫЙ внутреннему
(рис. 133). Так как сумма величин сме)Ю!ЫХ углов равна 180°n, то сумма
величин внеuших углов многоугольника равна 180°n - 180° (п - 2) = 360° .
Теорема доказана.
§ 4. Четырехугольники
Будем рассматривать выпуклые четырехугольники с параллельными
сторонами: параллелограмм, прямоугольник, ромб , квадрат, трапецию .
Параллелограмм.
Определение. Параллелограммом называется четырехугольник,
у которого противополо)Юlые стороны параллельны, т . е. лежат на парал­
лельных прямых (рис . 134) .
L------ . . J!__li?lc
А
DА
D
Рис. 134
Рис. 135
Теорем а 1 (о свойстве сторон и углов параллелограмма). В парм­
лелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы
равны и сумма величин углов, прилежащих к одной стороне параллело­
грамма, равна 180°.
До к аз ат ель ст в о . В данном параллелограмме ABCD проведем
диагональ АС и получим два треугольника Аве и ADC (рис. 135). Эти
треугольники равны, так как L 1 = L 4 , L 2 = L 3 (накрест лежащие углы
при параллельных прямых), а сторона АС - общая. Из равенства ЛАВС =
265

= 6.ADCследует,чтоАВ=CD, ВС =AD, LB =LD, LA=LC,Суммаве­
личин углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна
180°, как односторонних при паралле-льных прямых. Теорема доказана,
3 а меч ан и е. Равенство противоположных сторон параллелограмма
означает, что отрезки параллельных, отсекаемые параллельными, равны.
С л ед ст в и е. Если две прямые параллельны, то все точки одной пря­
мой находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой.
До к аз ат ель ст в о. Пусть а 11 Ь (рис. 136), Проведем из каких­
нибудь двух точек В и С прямой Ь перпендикуляры ВА и CD к прямой а.
Так как АВ 11 CD, то четырехугольник ABCD - параллелограмм и, следо­
вательно, АВ = CD.
Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется рас ­
стояние от произвольной точки одной из прямых до другой прямой. По
доказанному оно равно длине перпендикуляра, проведенного из какой­
нибудь точки одной из параллельных прямых к другой прямой.
Теорем а 2 (признак параллелограмма). Если в выпуклом четырех-
угольнике:
1) противоположные стороны равны между собой, или
2) две противоположные стороны равны и параллельны, или
3) диагонали в точке пересечения делятся пополам,
то такой четырехугольник: - параллелограмм.
До к аз ат ель ст в о. 1) Пусть ABCD - четырехугольник, у которого
АВ = CD, ВС = AD (см. рис. 135). Докажем, что ABCD - параллелограмм:
АВ11CD, ВСIIAD.
Проведем диагональ АС и получим треугольники АВС и ADC. 6.АВС =
= 6.ADC, так как АС - общая сторона, АВ = CD и ВС = AD по условию.
Поэтому L 1 = L 4, L 2 = L 3, а из равенства накрест лежащих углов следует
параллельность прямых: ВС 11 AD, АВ 11 CD.
:[ [Q<lc
А
О
А
1J
Рис. 136
Рис. 137
2) Предлагается доказать читателю.
3) Пусть ABCD - данный четырехугольник и О
-
точка пересечения
его диагоналей (рис. 137). 6.АОВ = 6.COD: у них углы при вершине О
равны, как вертикальные, ОА = ОС и ОВ = OD по условию. Следовательно,
АВ =CD, LOAB =LOCD. Эти углы являются накрест лежащими при пря­
мыхАВиCDисекущейАС; значит,АВ 11CD.Итак,АВ =CDиАВ11CD.
Поэтому ABCD - параллелограмм.
266

---- ---- ------
Те о р е м а 3 (обратная теореме 2, п. 3)). Диагонали параллелограмма
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство.Пусть ABCD
данный параллелограмм
(рис. 138). Проведем его диагональ BD; точка О - середина диагонали BD.
На продолжении отрезка АО отложим отрезок ОС1 , равный АО. По теоре­
ме 2, п. 3), четырехугольник ABC1D - параллелограмм. Следовательно,
прямая ВС1 параллельна прямой AD. Согласно аксиоме о параллельных пря­
мых через точку В можно провести только одну прямую, параллельную AD.
Поэтому прямая ВС1 совпадает с прямой ВС. Так же доказывается, что
LX/C
о
с
_______с
А
Л
А
Рис. 138
Рис. 139
Рис. 140
прямая DC1 совпадает с прямой DC. Так как прямые ВС и DC имеют толь­
ко одну общую точку С, то точка С1 совпадает с точкой С. Параллелограмм
ABC1D совпадает с параллелограммом ABCD. Поэтому диагонали парал­
лелограмма ABCD пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Прямоугольник, ромб, квадрат. Прямоугольником называется парал­
лелограмм, у которого все углы прямые. Прямоугольник обладает всеми
свойствами параллелограмма; например, в прямоугольнике противопо­
ложные стороны равны, диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны.
Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
Предлагаетсячитателюдоказатьследующиеособые свойства
прямоугольника и ромба:
1) диагонали прялюугольника равны: АС= BD (рис. 139);
2) если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм яв­
ляется прямоугольником;
3) диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят углы ромба
пополам (рис. 140).
Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
Квадрат является ромбом, у которого все углы прямые. Поэтому он обла­
даетсвойствамипрямоугольникаиромба.Основные свойства
квадрата: диагонали квадрата равны, в.заимно перпендикулярны, в точке
пересечения делятся пополам и делят его углы пополам (рис. 141).
Теорема Фалеса. Свойство средней лmши треугольника.
Теорема Фалеса.Еслинаоднойиздвухпрямыхотложитьпосле­
довательно несколько равных отрезков и через их концы провести па-
267

'г
I --+=-..~,,---.F--+-:::---
Рис. 141
Рис. 142
раллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на
второй прямой равные между собой отрезки.
До к аз ат ель ст в о. Пусть !1 и !2 - данные прямые. Если прямые
!1 и 12 параллельны, то утверждение теоремы сразу следует из свойства
параллелограмма: противоположные стороны параллелограмма равны.
Остается доказать теорему для случая, когда прямые !1 и !2 не парал­
лельны.
Рассмотрим на прямой l1 равные отрезки А 1В 1 и В 1С1 и через их концы
проведем параллельные прямые а, Ь и с, которые пересекают прямую !2
соответственно в точкахА2, В2 и С2 (рис. 142). Докажем, чтоА1В2 = В 2С2.
Проведем через точку В 2 вспомогательную прямую !, параллельную
прямой l1 . Она пересекает прямые а и с в точках А и С. Четырехугольники
А1АВ2В1 и В1В2СС1 являются параллелограммами, поэтомуА1В1 = АВ2,
В1С1 = В2С. Следовательно, АВ2 = В2С, т.е. точка В2 - середина отрез­
ка АС.
Рассмотрим треугольники АА 2 В 2 и СС2 В 2 . Эти треугольники равны,
так как АВ2 = В2С, LAB2A 2 = LCB2C2, как вертикальные углы,
r;
-~
А
01
02
03
О
Рис. 143
LA 2AB 2 = L С2 СВ 2 , как накрест лежащие углы при пересечении параллель­
ных прямых а и с и секущей!; следовательно, А 2 В 2 =В 2 С2 .
Точно так же доказывается,что В2С2 = C2D2, если В1С1 = C1D1 , и т.д.
Теорема доказана.
3 ад а ч а. Разделить данный отрезок АВ на п равных частей.
Решение. Проведем из точки А произвольный луч АС, не принадле­
жащий прямой АВ, и на нем от точки А отложим последовательно п рав­
ных отрезков АА1, А1А2, .•. , Ап_ 1Ап (рис. 143), Проведем через точки
268

Ап и В прямую. Прямые, параллельные прямой АпВ и проходящие через
точки А1, А2,... ,
Ап - ~, пересекают отрезок АВ в точках В 1 , Н2 , ...
. . . , Bn - -l, которые и делят отрезок АВ на п равных частей. Это следует
из теоремы Фалеса.
Определение. Сре.дней линией треугольника называется отрезок,
соединяющий середины двух его сторон.
Теор ем а 4 (о свойстве средней линии треугольника). Средняя ли­
ния треугольника параллельна третьей его стороне, а длина ее равна поло­
вине длиньz этой стороны.
ь
о.,______....с
А
р
llо
Рис. 144
Рис. 145
Рис. 146
До к аз ат ель ст в о. Пусть АВС - данный треугольник, а MN -
средняя линии, соединяющая середины сторон АВ и ВС (рис. 144). Дока-
1
жем,чтоMNIIAC иMN= - АС.
2
Проведем через точки В и М прямые Ь и т, параллельные прямой АС.
Точка М - середина отрезка АВ, поэтому, согласно теореме Фалеса, пря­
мая т проходит через середину N отрезка ВС, т.е. совпадает с прямойМN.
Значит, MN 11 АС.
Проведем через точки N и С прямые п и с, параллельные прямой АВ.
Точка N - середина отрезка ВС, поэтому прямая п проходит через сере­
дину отрезка АС - точку Р. Четырехугольник AMNP - параллелограмм,
1
таккакАМIIPN, MN11АР.ПоэтомуMN=АРилиMN= - АС. Итак,
1
MNIIAC и MN= -АС. Теорема доказана.
2
•2
Трапеция. Свойство средней ЛИШIИ трапеции. Трапецией называется вы­
пуклый четырехугольник, у которого две противоположные стороны па­
раллельны, а две другие стороны не параллельны.
Параллельные стороны трапеции (AD и ВС) называются ее основания­
ми, непараллельные (АВ и CD) - боковыми сторонами (рис . 145). Трапе­
ция называется равнобочной, или равнобедренной, если боковые стороны
равны (рис. 146). Трапеция, один из углов которой прямой, называется
прямоугольной (рис. 147).
269

В равнобочной трапеции углы при основании равны.
Докажем, например, что LA = LD (см. рис . 146). Из точек В и С прове­
дем перпендикуляры ВР и CQ к основанию AD. Так как ВС 11 AD, то
ВР = CQ. Прямоугольные треугольники АРВ и DQC равны: у них ВР = CQ,
а АВ = CD по условию. Из равенства треугольников следует, что LA = LD.
Верно и обратное утверждение: если углы (например, А и D) при осно­
вании трапеции равны, то трапеция является равнобочной.
Рис. 147
Рис. 148
В любой трапеции сумма величин углов, прилежащих к боковой стороне,
равна 180° (по свойству односторонних углов, образованных при пересе­
чении двух параллельных прямых и секущей).
Оп р е деление. Средней линией трапеции называется отрезок,
соединяющий середины ее боковых сторон.
Т е о р е м а 5 (о свойстве средней линии трапеции) . Средняя линия тра­
пеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме длин оснований.
Дрказательство. ПустьABCD- даннаятрапеция,аMN - еесред-
1
няялиния (рис.148).Докажем,чтоМN IIАD иМN= - (AD+BC).
2
Проведем через середину М стороны АВ прямую т, параллельную осно­
ваниям AD и ВС. Согласно теореме Фалеса прямая т проходит через сере­
дину отрезка CD - точку N, т.е. совпадает с прямой MN. Значит, MN IIAD.
Проведем диагональ BD и обозначим точку ее пересечения со средней
линией трапеции через Р. По теореме Фалеса точка Р - середина отрезка ВD.
Отрезки МР и PN - средние линии треугольников ABD и BDC. По свойству
средней линии треугольника
1
МР=- AD,
2
Следовательно,
1
PN=- ВС.
2
1
1
1
MN=МР+PN= - AD+- ВС= - (AD+ВС).
2
2
2
1
Итак, MN 11 AD и MN = 2 (AD + ВС) . Теорема доказана.
270
1
1
i1
1
1
!

Упражнения
РАЗДЕЛ 1
---------·------ -
1. Доказать, что в равнобедренном треугольнике две медианы равны, две биссек­
трисы равны, две высоты равны.
2. Доказать, что прямая, перпендикулярная биссектрисе угла, отсекает от его сто­
рон равные отрезки.
3. Доказать, что биссектриса внelllliero угла при вершине равнобедренного тре­
угольника параллельна основанию.
4. Доказать, что множество точек плоскости, равноудаленных от данной прямой
на расстояние h, состоит из двух прямых, параллельных этой прямой и отстоящих от
нее на h.
5. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипоте­
нузе, равна ее половине. (У к аз ан и е . Прод олжить медиану на отрезок, равный ме ­
диане.) Доказать обратное утверждение: если медиана равна половине стороны, к ко­
торой она проведена, то треугольник прямоугольный.
6. Построить треугольник: а) по стороне и прилежащим к ней углам; 6) по двум
сторонам и углу между ними; в) по двум сторонам и углу, противолежащему одной
из них.
7, В данном треугольнике построить его медианы, высоты и биссектрисы.
8. Построить треугольник, если даны середины его сторон.
9. Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и высоте, опущен­
ной на боковую сторону.
10. Построить треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма
двух других сторон.
11. Найти величины углов треугольника, зная, что внешние углы при двух его вер-
шинах равны 100° и 150°.
•
12, Величины углов треугольника относятся как 1 : 2 : 3. Большая сторона имеет
длину 8 м. Найти длины меньшей стороны и медианы большей стороны.
13. Найти величину угла между: а) двумя биссектрисами равностороннего тре­
угольника; 6) биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.
14. Доказать, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются верши­
нами параллелограмма.
15. Доказать, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
И обратно, середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
16. Доказать, что всякий отрезок с концами на основаниях трапеции делится сред­
ней линией трапеции пополам.
17. Построить прямоугольник: а) по стороне и сумме его диагоналей; б) по диаго­
нали и углу между диагоналями.
18. Построить ромб: а) по стороне и диагонали; 6) по стороне и углу; в) по диаго ­
нали и высоте.
19. Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна
6 см. Найти длины сторон треугольника, если его периметр равен 32 см.
20. Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а периметр его равен 1,4 м.
Найти длины сторон.
21. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его
вершины находятся на гипотенузе, а две другие - на катетах. Найти сторону квадрата,
если известно, что гипотенуза равна 6 см.
22. Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон, относятся как
5 : 4. Найти величины углов ромба.
23, Из одной точки окружности проведены две взаимно перпе~щикулярные хорды,
которые удалены от центра на 3 см и 5 см. Найти их длины.
271

24. Меньшее основание равнобочной трапеции равно боковой стороне, а диагональ
перпендикулярна боковой стороне. Найти величины углов трапеции.
25 , Основания трапеции относятся как 2 : 3 , а средняя линия равна 10 м. Найти
основания.
РАЗДЕЛ 11
26. Каждая из сторон равностороннего треугольника АВС продолжена: АВ за вер­
шину В, ВС за вершину С, СА за вершину А, и на продолжениях сторон отложены
отрезки одинаковой длины , через их концы В 1 , С1 , А I и соответственно вершины С,
А, В проведены прямые В I С; С 1 А и А I В. Определить вид треугольника , полученного
пересечением этих прямых.
27 , Д-:жазать, что длина каждой стороны треугольника меньше его полупериметра .
28 . Доказать, что в равн_обедренном прямоугольном треугольнике высота, опу ­
щенная на гипотенузу , равна ее половине.
29. Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. До­
казать, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делится в этой
точке пополам.
30. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции , паралле ­
лен основаниям и равен полуразности оснований.
31 . Постр оить равносторонний треугольник по его высоте.
32 . Даны угол и точка . Провести через эту точку прямую, которая отсекает от
сторон угла равные отрезки.
33 . Даны три точки: А , В, С. Построить точку, которая одинаково удалена от
точек А и В и находится на данном расстоянии от точки С.
34 . Построить треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и раз­
ность двух других сторон .
35. Построить прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и
гипотенузы .
36. Построить треугольник, если даны его периметр и два угла.
37, В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 6 см, вписан
прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найти периметр прямо­
угольника .
38. Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ = 9 см. Какую сторону па­
раллелограмма пересечет биссектриса угла А? Найти длины отрезков, которые полу­
чатся при этом пересечении.
39. Середины F и Е сторон АВ и CD параллелограмма ABCD соединены прямыми
соответственно с вершинами D и В. Доказать, что эти прямые делят диагональ АС на
три равные части .
40. Стороны ромба образуют с его диагоналями углы, разность которых равна
3
-
d. Найти величины углов ромба.
17
41 , В равнобочной трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона рав ­
на 1 м, угол между ними 60° . Найти меньшее основание.
42. Построить квадрат: а) по двум вершинам; б) по данному периметру; в) по
данной диагонали.
43. Построить трапецию: а) по основаниям и боковым сторонам; б) по основаниям
и диагоналям.
272

ГЛАВА 11
ОКРУЖНОСТЬ
§ 1. Взаимное расположеJШе прямой и окружности.
,,1
Касательная к окружности
r
1
1i
!
Пусть R - радиус окружности и d - расстояние от центра окружности
до прямойр (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из центра на прямую).
Возможны три случая:
а) если R > d, то прямая имеет две общие точки с окружностью
(рис . 149,а);
Cl)
о)
Рис. 149
/J
6) если R = d, то прямая имеет только одну общую точку с окружностью
(рис. 149, 6);
в) если R < d, то прямая не имеет общих точек с окружностью
(рис. 149, в) .
До к аз ат ель ст в о . Примем центр окружности за начало координат,
а прямую, перпендикулярную данной прямой р, за ось Ох. Тогда уравне­
нием окружности будет х2 + у2 =R 2 , а уравнением прямой р будет х =d
( § 5 гл. 7). Для того чтобы прямая и окружность имели общие точки, надо,
чтобы система двух уравнений
{х2 +у2 = R2,
х=d
имела решение. И обратно, всякое решение этой системы дает координаты
(х; у) общей точки прямой и окружности. Решая систему, получаем
у2=R2_d2.
Из этого выражения для у видно, что система имеет два решения, если
R > d. Система имеет одно решение, если R =d. Система не имеет решения,
если R < d*).
Определение . Прямая, имеющая с окружностью только одну об­
щую точку, называется касательной к окружности, а общая точка прямой
и окружности - точкой касания
*) Нас интересуют действительные решения системы .
273

На рис. 149, б прямая р - касательная к окружности,А
-
точка касания.
Таким образом, при R > d прямая и окружность пересекаются; прц
R = d прямая и окружность касаются; при R < d прямая и окружность
не пересекаются,
Рассмотрим с в о й с т в а касательной к окружности.
Теор е м а 1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу
этой окружности, проведенному в точку касания.
До к аз ат ель ст в о. Пусть р - касательная к окружности, А
-
точка касания (см, рис, 149, б) . Докажем, что ОА 1 р.
с
ь
(1
А
Рис. 150
Рис. 151
Рис. 152
Допустим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к пря­
мой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, мень­
ше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р
меньше радиуса. Значит, прямая р пересекает окружность. Но это проти­
воречит условию. Наше допущение неверно, и ОА 1 р.
Т е о р е м а 2 (обратная теореме 1). Если прямая перпендикулярна
радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности,
то она является касательной к этой окружности.
Предлагаем доказать эту теорему самостоятельно.
З ад а ч а 1. Построить касательную к данной окружности, параллель­
ную данной прямой.
Решение. Опускаем на данную прямую а из центра О перпендикуляр
ОА и через точки В и С, в которых этот перпендикуляр пересекается с
окружностью, проводим прямые Ь и с параллельно а (рис. 150). По тео­
реме 2 Ь и с - искомые касательные.
З а д а ч а 2. Через данную точку провести касательную к данной окруж­
ности.
Решение. Рассмотрим два случая.
1) Данная точка А лежит на данной окружности (рис. 151). Тогда про­
водим радиус ОА и из его конца А построим перпендикуляр ВС к этому
радиусу. По теореме 2 ВС - искомая касательная.
2) Данная точка А лежит вне данной окружности (рис. 152). Тогда,
соединив точку А с центром окружности О, делим отрезок АО пополам
в точке О 1 . Затем с центром О 1 и радиусом 00 1 проводим окружность.
274
1~1
1
1
1
1
1
i
!
~1
'

Эта окружность пересекается с данной. Через их точки пересечения В и В 1
проводим прямые АВ и АВ 1 . Эти прямые и будут касательными, так как
углы ОВА и ОВ 1 А, как вписанные угпы, опирающиеся на диаметр, пря­
мые (см. § 2).
С л ед ст в и е. Отрезки двух касательных, проведенных к окружности
из точки вне ее, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей
эту точку с центром.
Это свойств о кас ательных к окружности следует из равенства прямо­
угольных треугольников АОВ и АОВ 1 : АВ = АВ 1 , LOAB = LOAB 1
(см. рис. 152).
§ 2, Углы в окружности
Пусть А и В - две точки окружности (рис. 153) . Проведем через них
прямую. Она разбивает плоскость на две полуплоскости. Части окруж­
ности, лежащие в этих полуплоскостях, называются дугами окружности.
Если АВ - диаметр, то дуги окружности называются полуокружностями.
Чтобы различить две дуги окружности с общими концами А и В, на каждой
из них отмечают промежуточную точку, например L и М, и обозначают
дуги тремя буквами: vALB и vAMB.
Если хорда АВ не является диаметром, то дуга АМВ лежит в полуплос­
кости, которая содержит центр окружности. Говорят, что эта дуга больше
полуокружности, а дуга ALB меньше полуокружности.
/1
l
Рис. 153
Центральным углом, отвечающим данной дуге окружности, будем
называть фигуру, которая состоит из лучей, исходящих из центра окруж­
ности и пересекающих эту дугу.
Для центральных углов определяем градусную меру по следующему
правилу. Если соответствующая дуга АВ меньше полуокружности, то за
величину центрального угла АОВ принимаем обычную меру угла, образа- •
ванного полупрямыми ОА и ОВ. Если дуга равна полуокружности, т.е.
АВ - диаметр, то угловую меру полагаем 180°. Если дуга больше полуок­
ружности, то за угловую меру принимаем 360° - а, где а
-
градусная мера
дополнительного угла (меньшего полуокружности).
275

Введем понятие градусной меры дуги окружности. Будем считать, что
градусная мера дуги равна угловой мере центрального угла, который со-
ответствует этой дуге.
...,
Градусные меры дуг ALB и АМВ будем обозначать так: ALB и АМВ.
V
V
0
Тогда ALB = LAOB = а, АМВ =360 - а (см. рис. 153). Сумма градусных
мер двух дуг с общими концами равна 360°.
Две дуги называются равными, если они принадлежат одной и той же
окружности или разным окружностям с равными радиусами и их градус­
ные меры равны.
н
Рис. 154
Отметимдвасвойстваравенствадуг:
1) если центральные углы данной окружности равны, то соответствую­
щие им дуги попарно равны;
2) если две дуги одной окружности равны , то центральные углы, отве­
чающие этим дугам, также равны.
Оп редел е ни е. Угол, - вершина которого лежит на окружности,
а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным.
На рис. 154 угол АВС - вписанный. Говорят, что этот угол опирается
на дугу АМС (дуга АМС - та из двух дуг с концами А и С, которой не при­
надлежит вершина В вписанного угла). Центральный угол, отвечающий
дуге АМС, называется центральным углом ., соответствующим данному
вписанному углу АВС.
Т е о р е м а 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на кото­
рую он опирается.
До к аз ат ель ст в о. Пусть LABC - вписанный угол окружности
с центром О (рис. 155). Обозначим через
...,АС ту дугу с концами А и С,
1
на которую опирается угол АВС. Докажем, что LABC = - АС.
2
Рассмотрим три возможных случая.
1) Одна из сторон вписанного угла является диаметром (см. рис. 15 5, а),
В этом случае дуга А С меньше полуокружности. Поэтому центральный
угол, соответствующий вписанному углу АВС, равен углу АОС.
Так как LAOC является внешним углом равнобедренного треугольника
АОВ, то LAOC = LOAB + LOBA. Углы ОАВ и ОВА при основании этого
276

в
а)
с
в
о) IJ
Рис. 155
в
1
треугольника равны. Поэтому LAOC = 2LOBA, т.е. LABC = -
LAOC или
2
1 '-'
LABC = - АС, что и утверждалось.
2
2) Стороны угла АВС разделяются диаметром BD (см. рис. 155, 6).
1 '-'
В этом случае LABC = LABD + LDBC. По доказанному LABD = -
AD,
2
1 '"'
1 '"'
1 '"'
1 '"'
LDBC= -
DC, поэтому LABC = -
AD+ - DCилиLABC= - АС.
2
2
2
2
3) Стороны угла АВС не разделяются диаметром BD (см. рис. 155, в).
1 '"'
1 '"'
В этом случае LABC = LABD - LCBD. Поэтому LABC = -
AD--CD
2
2
1 '-'
или LABC = - АС. Теорема доказана.
2
Таким образом, вписанный угол равен половине соответствующего
центрального угла . .
Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу,
равны (рис. 156).
С л е д с т в и е 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность,
-
прямой (рис. 157).
Пусть АВ - хорда окружности (рис. 158) . Проведем касательную к
окружности в точке А. Точка А разбивает касательную на две полупрямые,
tl2.
D
Рис. 156
Рис. 157
Рис. 158
277

полукасательные. Рассмотрим угол между полукасательной и хордой и
центральный угол, отвечающий той из дуг АВ, которая лежит в одной по ­
луплоскости с полукасательной относительно прямой АВ.
Те о р ем а 2. Угол между хордой и полукасательной равен половине
соответствующего центрального угла.
До к аз ат ель ст в о. Возьмем сначала угол ВАС между хордой и
полукасательной, соответствующий меньшему центральному углу (см.
рис. 158). В этом случае LBAC = 90° -LOAB. Так как 2LOAB + LAOB =
о
о1
1'
= 180,тоLОАВ=90
-
-
LAOB и, следовательно, LBAC = -
LAOB,
2
2
т.е. угол ВАС равен половине соответствующего центрального угла.
Угол BAD между хордой и другой полукасательной будет смежным
о1
и поэтому равен 180 - - LAOB. А это и есть половина величины допол-
2
нительного центрального угла. Теорема доказана.
§ 3. Свойства хорд и диаметров окружности
Теорем а 1. Диаметр есть наибольшая из хорд.
До к аз ат ель ст в о . Пусть АВ - хорда, не проходящая через центр
окружности, CD - диаметр (рис. 159). Рассмотрим !:,,АОВ. В треугольнике
каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Поэтому АВ < ОА +
+ ОВ. Так как ОА и ОВ - радиусы, то АВ < CD. Значит, диаметр больше
всякой хорды, не проходящей через центр окружности. Но так как диаметр
есть тоже хорда, то диаметр - наибольшая из хорд.
с
А1
Рис. 159
Рис. 160
Говорят, что хорда стягивает дугу окружности, если она соединяет
концы этой дуги.
Теор е м а 2. Две равные хорды окружности стягивают попарно рав­
ные дуги, и, обратно, если две дуги окружности равны, то стягивающие
их хорды также равны.
Докажем только первое утверждение.
Пусть в окружности с центром О хорды АВ и А 1 В 1 равны (рис. 160).
Если эти хорды являются диаметрами, то наше утверждение очевидно .
278
1
1
1
1
1
1
1
i

Поэтому рассмотрим случай, когда хорды АВ и А 1 В 1 не являются диамет­
рами. ЛАОВ =ЛА10В1,таккакОА=ОА1, ОВ=ОВ1, АВ=А1В1.
Поэтому центральные углы АОВ и А 1 OВ 1 , отвечающие дугам ALB и
А1L1В1
,
равны. Отсюда следует, что дуги равны: v ALB =..., А 1 L 1В1
.
Теорем а 3. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит хорду попо­
лам. И обратно, диаметр, проведенный через середину хорды, не проходя­
щей через центр окружности, перпендикулярен к этой хорде.
Доказательство.ПустьАВ - даннаяхордаиМ
-
ее середина
(рис. 161). Проведем диаметр через точку М. ЛОАМ = ЛОВМ: у них сторо­
ны ОА и ОВ равны , как радиусы, сторона ОМ - общая, АМ=МВ, так как
М - середина отрезка АВ.
]]
Рис. 161
Рис. 162
Из равенства .этих треугольников следует, что L ОМА = L ОМВ. Эти рав­
ные углы смежные и, значит, прямые. Поэтому диаметр CD, проведенный
через точку М, перпендикулярен хорде АВ и делит ее пополам.
Другого перпендикулярного хорде АВ диаметра не существует, так
как через точку О можно провести только одну прямую 1 АВ. Перв ое
утверждение теоремы доказано .
Пусть диаметр CD проходит через середину М хорды АВ (см. рис. 161).
Докажем, что CD l АВ. ЛАОВ - равнобедренный (ОА = ОВ), и отрезок
ОМ является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, прове­
денная к основанию, является также высотой треугольника. Поэтому
ОМ l АВ или CD l АВ. Теорема доказана.
3 а д а ч а. Через точку М пересечения двух окружностей с центрами
О и 0 1 проведены два отрезка: АВ, параллельный 00 1
,
и CD, не парал­
лельный 00 1 (рис. 162). Доказать, что АВ > CD.
Реш е ни е. Из центров О и О 1 опустим на АВ перпендикулярь1 ОР и
O 1 Q. В прямоугольнике OPQ0 1 имеемРQ = 00 1
.
Потеореме3РиQ-
середины хорд АМ и МВ. Поэтому АВ = 2PQ, т.е. АВ = 200 1 .
Выполним аналогичное построение для CD и получим прямоугольную
трапецию OP1Q1O1 , в которой P1Q1 < 001 и, значит, CD < 2001 .
Поэтому АВ > CD.
279

§ 4. Вписmmые и ОПИСЗIПIЫе многоугольники
Определение. Многоугольник, все верllШНЫ которого лежат
на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность -
описанной около этого многоугольника. Многоугольник, все стороны
которого касаются окружности, называется описанным около этой окруж­
ности, а окружность - вписанной в этот многоугольник.
Докажем для треугольника существование описанной и вписанной
окружностей.
Т е о р е м а 1. Около любого треугольника можно описать окружность
и притом только одну. Центром этой окружности является точка пересе­
чения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
До к аз ат ель ст в о. Пусть АВС - данный треугольник (рис. 163).
Проведем через середины сторон АВ и АС треугольника прямые, перпен­
дикулярные к этим сторонам. Они пересекаются в I некоторой точке О.
Если бы они бьmи параллельны, то прямые АВ и АС, как перпендикуляр­
ные параллельным, были бы тоже параллельны , а они пересекаются
(в точке А).
Из равенства прямоугольных треугольников АОВ 1 и СОВ 1 следует,
что ОА = ОС. Из равенства прямоугольных треугольников АОС1 и ВОС1
следует, что ОА = ОВ. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА
проходит через все три вер1IШны ЛАВС и, следовательно, является описан­
ной окружносrью.
Точка О равноудалена от концов отрезка ВС, и, значит, она лежит также
на серединном перпендикуляре стороны ВС треугольника
!J
,4
4
Рис. 163
Рис. 164
Таким образом, серединные перпендикуляры трех сторон треугольника
пересекаются в одной точке, и эта точка является центром окружности,
описанной около треугольника . Теорема доказана.
Согласно теореме через три точки, не лежащие на одной прямой, можно
провести окружность и притом только одну .
Будем говорить, что точка лежит внутри ЛАВС, если она лежит по
одну сторону с точкой А относительно прямой ВС, по одну сторону с точ­
кой В относительно прямой АС и по одну сторону с точкой С относительно
прямой АВ.
280
-,
1

Предоставим читателю убедиться, что центр описанной окружности ле­
жит внутри треугольника только тогда, когда треугольник остроугольный;
в тупоугольном он лежит вне треугольника, а в прямоугольном - на сере­
дине гипотенузы.
Те о р е м а 2. В любой треугольник можно вписать окружность и при­
том только одну. Центром этой окружности является точка пересечения
биссектрис треугольника.
До к аз ат ель ст в о. Пусть АВС - данный треугольник (рис. 164) .
Проведем две биссектрисы треугольника при вершинах А и В. Они пере­
секаются в некоторой точке О внутри треугольника. (То, что биссектрисы
пересекаются, доказывается дословно так же, как то , что пересекаются
медианы, - см. далее § 5; то, что точка пересечения биссектрис всегда
лежит внутри треугольника , примем без доказательства.)
Опустим из точки О перпендикуляры ОА 1 , ОВ 1 и ОС1 на прямые ВС,
АС и АВ. Прямоугольные треугольники АОВ I и АОС1 равны: у них гипо­
тенуза АО - общая, а углы ОАВ I и ОАС1 равны, так как АО - биссектри­
са. Следовательно, ОВ 1 = ОС 1 . Из равенства прямоугольных треуголь­
ников ВОС1 и ВОА 1 следует, что ОС 1 = ОА 1 . Значит, окружность с цент­
ром О и радиусом ОА1 проходит через точкиА1, В1 и С1 .
Эта окружность касается сторон ЛАВС в точках А 1 , В 1 и С1 , так как
стороны в этих точках перпендикулярны радиусам в их концах и, следо­
вательно, являются касательными к окружности (см . § 1) . Существова­
ние окружности , вписанной в ЛАВС, доказано .
Точка О равноудалена от сторон угла АСВ, а значит, СО - биссектриса.
Таким образом, три биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке , и эта точка является центром окружности, вписанной в треуголь­
ник . Теорема доказана.
Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем (или правильном) тре­
угольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают; эта
точка называется центром равностороннего треугольника .
Рассмотрим теперь вопрос о существовании описанной и вписанной
окружностей для случая выпуклого четырехугольника.
Теорем а 3. 1) Если около выпуклого четырехугольника можно
описать окружность, то сумма его противоположных углов равна двум
прямым углам .
2) Если в выпуклом четырехугольнике сумма его противоположных
углов равна двум прямым углам , то около четырехугольника можно
описать окружность.
До к аз ат ель ст в о . 1) Пусть ABCD - данный выпуклый четырех­
угольник , около которого описана окружность (рис . 165). Докажем, что
LA+LC=180°,
LB + LD= 180°.
Так как сумма величин всех четырех углов выпуклого четырехугольника
равна 360°, то достаточно доказать только одно из этих равенств.
281

Рис. 165
Докажем, например, что L А + L С= 180°.
По теореме о вписанном угле
1
LA=
-
BCD
2
,
1 '-"
LC= -
DAB.
2
Рис. 166
1 '-"
'-"
Следовательно, L А + LC =
-
(BCD + DAB) = 180°, так как сумма
·
2
j
градусных мер двух дуг BCD и DAB с общими концами равна 360°.
2) Пусть ABCD - выпуклый четырехугльник, у которого LA + LC =
= 180° и, следовательно, LB + LD = l 80° (рис . 166). Требуется доказать,
что около такого четырехугольника можно описать окружность.
Проведем через точки А, В, С окружность ( это всегда возможно) . До­
пустимо лишь одно из трех положений: точка D лежит внутри этой окруж­
ности; вне окружности; на окружности.
А
о
lJ
Рис. 167
Предположим, что точка D лежит внутри окружности. Тогда LB + LD =
= 180° (по условию теоремы), LB + LE = 180° (по доказанному). Отсюда
LD = L E, что неверно, так как внешний угол D 6.EDC больше его внутрен­
него угла Е. Следовательно, точка D не может находиться внутри построен­
ной окружности.
Аналогично доказывается, что вершина D не может лежать и вне этой
окружности (рис. 167).
282

Следовательно , точка D лежит на ок ружности , проведенно й через верши­
ны А, В, С данно го четырехуго льн ик а, т . е. около четырехугольника ABCD
можно описать окружность . Теорема до к азана.
С л е д с т в и е 1. Из всех параллелограммов только около прямо­
угольника можн.о описать окружн.о сть.
С л ед ст в и е 2. Около трап еции можн.о описать окружн.ость только
тогда, когда трапеция равн.обоч н.ая, и, обратн.о, если около трапеции описа­
н.а окружн.ость, то эта трапеция являе тся равн. обочн.ой.
[j
А
lJ
Ри с. 168
Те орем а 4. 1) Если в четы рехугольн.и к можн.о вписать окружн.ость,
то суммы длин. его противоположн ых сторон. равн.ы.
2) Обратн.о, если суммы длин. пр отив оположн. ых сторон. выпуклого
четырехугольника равны, то в этот четырехугол ь н. ик м ожн.о вписать окруж­
ность.
Д о к а за тел ь ст в о. 1) Пусть ABCD - данный четырехугольник,
в который вписана окружность (рис. 168). Тре буется доказать, что
АВ+CD =BC+AD.
Стороны четырехугольника касаются окружности в точках М, N, Р, Q.
По свойству касательных, проведенных из одной т очки (см. § 1), имеем
АМ=AQ, ВМ =BN, CN =СР, DP=DQ.
Следовательно,
АМ+МВ+СР+РQ = AQ+QD+BN+NC,
т.е.
АВ+CD =AD+ВС.
Второе утверждение теоремы прим ем бе з до казательства .
С л е д с т в и е 1. Из всех параллелограммов только в ромб можн.о
вписать окружн.ость; ее цен. тром явля ется то чка пересечен.ия диагон.алей
ромба, так как диагон.али ромба деля т его углы пополам.
Следствие 2.Втрапециюможн.овписатьокружн.остьвтомитоль­
ко в том случае, если сумма бо ковых сторон. трапеции равн.а сумме ее
осн.ован.ий.
283

а)
Рис. 169
Из теорем 3 и 4 следует, что в квадрате центры вписанной и описанной
окружностей совпадают; эта точка называется центром квадрата. Центр
квадрата - точка пересечения его диагоналей.
3 а д а ч а. Доказать, что в прямоугольном треугольнике сумма
катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей.
Р е ш е н и е. Диаметр 2R окружности, описанной около прямоуголь­
ного треугольника АВС, равен гипотенузе АВ (рис. 169, а). Диаметр 2r
вписанной окружности равен МС + CL, так как MOLC - квадрат
(рис. 169, б). По свойству касательной к окружности
АМ=АК, BL=ВК.
Поэтому
АС+ВС =(АМ+МС)+(BL +LC) =(МС+CL)+(АК+ВК) = 2r+2R.
§ 5. Четыре замечательные точки треуголыmка
В § 4 доказано, что
1) серединные перпендикуляры трех сторон треугольника пересекают­
ся в одной точке, и эта точка является центром описанной окружности;
2) три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта
точка является центром вписанной окружности.
Следующие две теоремы дают еще две замечательные точки треуголь-
ника:
3) точку пересечения трех медиан и
4) точку пересечения трех высот .
Те орем а 1. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке;
эта точка делит каждую медиану в отношении 2: 1, считая от вершины.
Доказательство.ПустьАВС-данныйтреугольник(рис.170).
Проведем его медианы АА 1 и ВВ 1 и докажем, что они пересекаются.
Точки С и В 1 лежат в одной полуплоскости относительно прямой АА 1 .
Точки С и В лежат в разных полуплоскостях. Следовательно, точки В
и В 1 лежат в разных полуплоскостях. Поэтому медиана ВВ 1 пересекает-
284
1'
1

ся с прямой АА 1 . Точно так же доказываем, что медиана АА 1 пересекает­
ся с прямой ВВ 1 . Так как прямые АА 1 и ВВ 1 пересекаются только в одной
точке, то эта точка принадлежит медиане АА 1 и медиане ВВ 1 , т .е. медианы
пересекаются. Пусть О - точка их пересечения.
Проведем среднюю линию А 1 В 1 ЛАВС и среднюю линию А 2 В2 ЛАОВ.
Обе они параллельны стороне АВ и равны половине этой стороны. Отсюда
- следует, что четырехугольник А 1 В 1 А 2 В2 - параллелограмм. По свойству
диагоналей параллелограмма В 1 О = ОВ2 , и ОВ 2 = ВВ2 по построению.
А1
!}
А
Рис. 170
Рис. 171
Следовательно, медиана АА 1 пересекает медиану ВВ 1 в точке О, которая
делит медиану ВВ 1 в отношении 2 : 1, считая от вершины В. Точно так же
доказывается, что точка О делит медиану АА 1 в отношении 2 : 1, _считая
от вершины А.
Медиана СС1 , проведенная из вершины С, пересекает каждую из медиан
АА 1 и ВВ 1 в точке, которая делит эти медианы в том же отношении. Зна­
чит, медиана СС 1 проходит через точку О и делится этой точкой в отноше­
нии 2: 1, считая от вершины С. Теорема доказана.
Из физики известно, что точка пересечения медиан треугольника есть
его центр тяжести; он всегда лежит внутри треугольника.
Т е о рем а 2. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересека­
ются в одной точке.
Доказательство. ПустьАВС-данныйтреугольник,АН1,ВН2,
СН3 - высоты (рис. 171). Через каждую вершину Л АВС проведем прямую,
параллельную противоположной стороне. Получим вспомогательный
ЛА 1 В 1 С1 . Так как четырехугольники АСВС 1 и АВСВ 1 - параллелограм­
мы, тоАС1 =ВС =АВ1.ПопостроениюВС11В1С1,поэтомуАН1l_В1С1.
Следовательно, прямая АН1 является серединным перпендикуляром отрез­
ка В 1 С1 . Точно так же доказывается, что прямая ВН2 - серединный пер­
пендикуляр отрезка А 1 С 1 , а СН3 - серединный перпендикуляр отрезка
А 1 В 1 . Так как серединные перпендикуляры трех сторон ЛА 1 В 1 С1 пере­
секаются в одной точке, то прямые АН1 , ВН2 и СН3 , содержащие высоты
Л АВС, пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . Точка, в которой пересекаются высоты треугольника
(точнее, прямые, содержащие высоты), называется его ортоцентром.
28S

З а д а ч а. Построить треугольник по трем медианам.
Р е ш е н и е. Построим треугольник, зная отрезки, равные его ме­
дианам.
1) А н а л и з . Предположим, что задача решена . Пусть АВС - треуголь ­
ник, медианы которого равны данным отрезкам (рис. 172) . Медианы пере­
секаются в точ.ке О. На продолжении медианыВВ 1 отложим отрезок В1В2,
равный ОВ 1 , и соединим точку В2 с вершинами А и С. В четырехугольни­
ке АОСВ2 диагонали в точке пересечения В 1 делятся пополам: АВ1 = В1С
{J
fJi
Рис. 172
с
по условию, ОВ 1 = В 1 В2 по построению. Следовательно, АОСВ 2 - парал-
2
2
лелограмм. Поэтому В2 С = АО = -
АА1. Кроме того, ОВ2 = -
ВВ1,
•
3
3
2
СО= -СС1 .
3
Таким образом, в ходе анализа мы получим Л СОВ 2 с известными сто­
ронами.
2)Построение. ВыберемпроизвольнуюточкуСипостроим
Л СОВ2 , стороны которого равны 2/3 каждой из медиан искомого тре ­
угольника. Пусть В 1 - середина стороны В2 О. На продолжении отрезка
СВ 1 отложим отрезок В 1 А, равный СВ 1 , а на продолжении отрезка В2 О -
отрезок ОВ, равный В2 О. Соединив точку В с точками А и С, получим
искомый Л АВС.
3)Доказательство.СоединимточкуАсточкамиОиВ2.Че­
тырехугольник АОСВ 2 - параллелограмм. Следовательно, АО
= В2С.
По построению ВВ 1 - медиана Л АВС, а О
-
точка пересечения его медиан.
Переход от Л СОВ 2 приводит к ЛАВС с данными медианами.
4) Иссл е до в ан и е опускаем. Очевидно, что не любые три отрезка
могут быть медианами одного и того же треугольника.
286

Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Построить касательную к данной окружности, перпендикулярную данной
прямой.
2. Доказать, что дуги окружности, заключенные между параллельными хордами,
равны.
3. Что представляет собой множество вершин прямых углов, стороны которых
проходят через две данные точки?
•
4. Доказать, что прямая, соединяющая основания двух высот остроугольного
треугольника, отсекает от него треугольник, углы которого равны углам данного
треугольника.
5. Доказать, что если основания высот треугольника соединить прямыми, то по­
лучится новый треугольник, для которого высоты первого треугольника служат
биссектрисами.
б. Провести окружность, которая касается сторон данного угла, причем одной
из них в данной точке.
7. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте, опущенной
из вершины прямого угла на гипотенузу.
8. Построить равнобедренный треугольник по основанию и радиусу вписанной
окружности .
9. Около данн ой окружности описать равнобедренный прямоугольный тре-
угольник.
1О. Построить ромб по данной стороне и радиусу вписанной окружности.
11. Вписать квадрат в данную окружность.
12. Дана окружность . Найти ее центр .
13. Доказать теорему: угол (АВС, рис. 173) , вершина которого лежит внутри
окружности, измеряется полусуммой двух дуг (АС и DE), одна из которых за­
ключена между его сторонами, а другая - меж ду продолжениями сторон.
в
А
Рис. 173
Рис. 174
14. Доказать теорему: угол (АВС, рис. 174), вершина которого лежит вне
окружности и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью
двух дуг (АС и DE) , заключенных между его сторонами.
15. Диаметр АВ и хорда АС образуют угол в 30° . Через С проведена касатель ­
ная, пересекающая продолжение АВ в точке D. Доказать, что дАСD - равнобедренный.
1б. Даны отрезок АВ и угол а. Построить множество всех точек М таких , что
LАМВ = а.
17. Концы диаметра удалены от касательной на 18 см и 12 см. Найти длину диа­
метра.
287

18. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 30 см, а средняя
линия равна 9 см. Найти длину каждой из боковых сторон трапеции.
19. Вершины вписанного четырехугольника делят последовательно окружность
на дуги, пропорциональные числам 2; 5; 7; 4. Найти величины угл о в этого четырех­
угольника.
20. Сторона треугольника равна 20 см , а противолежащий ей угол
150°.
Найти радиус описанной окружности.
РАЗДЕЛ II
21. Отрезок АВ является диаметром окружности , а хорды ВС и AD параллельны.
Доказать, что хорда CD является диаметром.
22. Доказать, что середины параллельных хорд окружности лежат на одном
диаметре.
23. Построить треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности.
24. Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей
стороне.
25. Построить окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
26. Даны окружность и точка, лежащая внутри окружности. Построить хорду
этой окружности так, чтобы данная точка была ее серединой.
27. Даны прямая а и точки А и В такие, что А Е а, В f$ а. Построить окруж­
ность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А .
28. Из данной точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу
окружности. Найти величину угла между диаметром и хордой.
29. Вершины д АВС лежат на данной окружности, причем АВ - диаметр. Дока­
зать,чтоLС>LАиLС>LВ.
30.Вершины дАВС, где АВ = 5м, ВС = 3м, СА = 5м, лежат на окружности.
Доказать, что ни одна из сторон треугольника ые является диаметром .
31. Хорды окружыости AD и ВС пересекаются, LABC = 50°, LACD = 80°. Най­
ти L CAD.
32. Найти величины углов, образованных касательной и хордой, если хорда де ­
лит окружность на две части, относящиеся как 3 : 7.
33. Окружность разделена на три части, которые относятся как 5 : 6 : 7, и через
точки деления проведены касательные . Найти величины углов полученыого треуголь­
ника.
34. Периметр описанной трапеции равен 6 м. Найти длину ее средней линии.
35. Три стороны описанного четырехугольника, взятые в последовательном по­
рядке, относятся как 3 : 4 : 5, а периметр четырехугольника равен 48 см. Найти
длины сторон этого четырехуголwика.
36. Точки А, В, С лежат на окружности . Чему равна длиыа хорды АС, если LABC =
= 30°, а диаметр окружности 10 м?
37. Две окружности имеют общую точку Ми общую касательную в этой точке.
Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой - в точке В. Доказать, что
точка М лежит на окружности с диаметром АВ.
38. Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на .одной из них . Пост ­
роить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
288
j1
1
1
!

1
ГЛАВА 12
ПОДОБИЕ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
§ 1. Пропорциональные отрезки
Каждый отрезок имеет определенную длину. Длина отрезка зависит
от выбора единицы измерения и выражается положительным рациональ­
ным или иррациональным числом.
Аксиома измерения отрезков.Припереходеотодной
единицы измерения к другой длины всех отрезков умножаются на одно
и то же число.
Отсюда следует, что отношение длин двух отрезков не зависит от выбора
единицы измерения.
В дальнейшем для краткости будем говорить об отношении двух отрез­
ков, понимая под этим число, равное отношению длин этих отрезков.
Отрезки АВ и CD называются пропорциональными отрезкам А 1 В 1
и C1 D 1 , если пропорциональны их длины :
АВ
CD
I
Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков.
Т е о р е м а. Если стороны угла с вершиной в точке О пересечены па­
раллельными прямыми АВ и МN ( рис. 175), то отрезки ОА и •ОВ
[1
Рис. 175
пропорциональны отрезкам ОМ и ON, т.е.
ОА
ОВ
ОМ ON
(1)
Доказательство. Рассмотримслучай,когдаимеетсятакойот­
резок EF, что ОМ== mEF, МА == nEF, где т и п - целые числа. Говорят,
что отрезок EF в ка.ждом из отрезков ОМ и Jl1A укладывается целое число
раз без остатка. Разделим отрезок ОМ на т равных частей, а отрезок Ж
:Ia п равных частей. Каждый из полученных отрезков будет равен EF.
Примем отрезок EF за единицу измерения. Тогда ОМ== т, Ж == п. До-
10 Г.И. Богатырев
289

пустим для определенности, что точка М -лежит _между точками О и А.
Тогда ОА=ОМ+МА =т+п.
Проведем через точки деления отрезков ОМ и МА прямые, параллель­
ные прямой АВ. По теореме Фалеса эти прямые разделят отрезок ON на
т равных отрезков, а отрезок NВ на п равных отрезков. Если t - длина
каждого из этих отрезков, то ON = mt, NВ = nt, поэтому ОВ = ON + NВ =
= (т + п) t. Таким образом,
ОА m+n
ОВ (m+n)t
m+n
ом
т
ON
mt
т
ОА
ОВ
Отсюда следует, что -- =
ОМ ON
Не для любых отрезков ОМ и МА существует такой отрезок EF, ко­
торый в каждом из отрезков ОМ и МА укладывается целое число раз
без остатка. Но и в этом случае можно доказать, что равенство (1) вы­
полняется.
С л е д с т в и е. Если стороны угла с вершиной О пересечены параллель-.
ными прямыми АВ и MN (см. рис. 175), то отрезки МА и NВ пропорцио­
нальны отрезкам ОА и ОВ, т.е.
МА NB
ОА ов
(2)
Доказательство.Допустимдляопределенности,чтоточкаМ
лежит между точками О и А. Тогда
ОМ= ОА -МА, ON = ОВ :-NB.
ом ON
(3)
Из равенства (1) следует, что -- =
Подставив сюда значения
ОА
ОВ
ОМ и ON из (3), получим
ОА-МА OB-NB
----=----
ОА
ОВ
и равенство (2) доказано.
или
МА
NB
1 --=
ОА
1-
ов'
3 ад а ч а. К трем отрезкам А1В1, А2В2 и А3В3 построить четвертый
пропорциональный, т.е. построить отрезок PQ, удовлетворяю~ций условию
А1В1
А3В3
-----.-
= ---
Р е ш е н и е. На стороне произвольного угла с вершиной О отложим
последовательно отрезки ОА и АМ, равные соответственно отрезкам
А1В1 и А2В2 , а на другой стороне - отрезок ОВ, равный отрезку А3В3
290
1.
j
!J
1
~

о
Рис. 176
(рис. 176). Затем проводим прямую АВ и строим прямую МХ, проходя­
щую через точку М и параллельную прямой АВ. Полученный отрезок ВХ
будет искомым, так как по следствию из теоремы о пропорциональных
отрезках
ОА ОВ
или
=
АМ ВХ
§ 2. Подобные треугольники
О п р е д е л е ни е. ТреугольникиАВС иА1В1С1 называются подобны­
ми, если
LA =LA1,
LB=LB1,
LC=LC1 и
АВ
ВС
СА
Если треугольники АВС и А 1 В 1 С1 подобны, то пишут 6.АВСс,.;,ДА 1 В 1 С 1 .
В подобных треугольниках углы одного треугольника соответственно
равны углам другого треугольника, а стороны одного пропорциональны
соответственным сторонам другого (т.е. сторонам, которые лежат против
соответственно равных углов) .
Из определения вытекают простейшие с в о й с т в а подобных тре­
угольников.
1. Если два треугольника равны, то они подобны.
2. Если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник
подобен первому.
3. Если первый треугольник подобен второму, а второй
-
третьему,
то первый.треугольник подобен третьему треугольнику.
Докажем сначала лемму (вспомогательную теорему) о подобных тре­
угольниках, а затем, применяя эту лемму, докажем признаки · подобия
треугольников .
Л е м м а. •Прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника
и пересекающая две другие стороны, отсекает от него треугольник, по­
добный данному.
291

Доказательство.Пус1ъАВС-данныйтреугольник,аМN
-
прямая, параллельная стороне АС (рис . 177). Докажем, что ЛМВN '-"'
'-"' ЛАВС. Углы ЛМВN соответственно равны углам ЛАВС: LB - общий,
LM = LA и LN = LC, как соответственные углы при пересечении парал­
лельных прямых MN и АС секущими .
/3
р
Рис. 177
с
Докажем, что соответственные стороны 6. MBN и Л АВС пропорцио-
нальны .
Равенство
ВМ BN
ВА ВС
следует из теоремы о пропорциональных отрезках ( § 1) .
Докажем, что
BN MN
-
=
--
вс АС
Проведем через точку N прямую NP 11 АВ. Применяя следствие из теоремы
о пропорциональных отрезках к углу АСВ и параллельным прямым NP
и АВ, получаем
РА NB
СА СВ
Так как АМNР - параллелограмм, то РА =MN, поэтому
BN MN
ВС АС
Значит,
вм
ВА
BN
вс
MN
АС
т.е . соответственные стороны ЛМВN и ЛАВС пропорциональны. Лемма
доказана .
Т е о р е м а 1 (первый признак подобия треугольников). Если два
угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
1.92

До казательство. ПустьАВСиА1В1С1 - треугольники,уко­
торых LA = LA 1, LB = LB1 и, следовательно, LC = LC1. Докажем, что
ЛАВС 00 ЛА 1В1 С1 (рис. 178).
Отложим на луче ВА от точки В отрезок ВА2, равный В1А1, и через
точку А 2 проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пере­
сечет луч ВС в некоторой точке С2. ЛА1В1С1 =6А2ВС2: А1В1 =А2В
по построению,LB=LBI по условию иLA1 =LA2, так как LA1 =LA по
условию, а LA = LA 2 , как соответственные углы при параллельных
прямых. По лемме о подобных треугольниках имеем ЛА 2.ВС2 N ЛАВС;
значит, Л АВС 00 Л А I В I С1 . Теорема доказана.
А
L----- ~c,
Рис. 178
Т е о р е м а 2 (второй признак подобия треугольников). Если две
стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум
сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны,
то такие треугольники подобны.
доказательство.ПустьАВСиА1В1С1-треугольники(см.
рис. 178), у которых
АВ
LB = LB1,
А1В1 В1С1
вс
Отложим на луче ВА от точки В отрезок ВА 2 , равный отрезку В1А 1 ,
и через точку А2 проведем прямую, параллельную прямой АС. которая
пересечет луч ВС в точке С2 .
•
По лемме о подобных треугольниках имеем ЛА 2 ВС2 (.' \) ЛАВС. Поэтому
ВА
ВС
ВА2 ВС2
(4)
Сравним это равенство с данным по условию равенством
АВ
ВС
А1В1 В1С1
(5)
Так как по построению А2В =А1В1 , то из равенств (4) и (5) следует,
что B1C'i =ВС2. Значит, А1В1 =А2В, В1С1 =ВС2, LB1 =LB, поэтому
ЛА1В1С1 =ЛА2ВС2.
293

Так как ЛАВСrоЛА2ВС2 иЛА2ВС2 =ЛА1В1С1, тоЛАВС('.)ЛА1В1С1,
что и требовалось доказать.
Т е о р е м а 3 (третий признак подобия треугольников ) . Если три
стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого
треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. ПустьАВСиА1ВIС1 - треугольники, стороны
которых пропорциональны (см. рис. 178):
АВ
ВС
АС
--=
--==
-
-
-
(6)
Сдел ав по строение , такое же, как и прежде, имеем 6. А 2 ВС2 ro ЛАВС.
Позтому
АВ
вс
АС
(7)
По построению А 2 В = А 1 В 1 • Тогда из отношений (6) и (7)- вытекает,
чтоВС2 =В1С1, А2С2 =А1С1 и,значит, ЛА2ВС2 =Л А1В1С1.
Так как ЛАВСrоЛА2ВС2 иЛА2ВС2 =ЛА1В1С1,тоЛАВС'-" ЛА1В1С1,
что и требовалось доказать .
Рассмотрим признаки подобия прямоугольных треугольников.
Из доказанных признаков подобия треугольников следует:
если в двух прямоугольных треугольниках
1) острый угол одного равен острому углу другого или
2). катеты одного пропорциональны катетам другого,
то такие треугольники подобны.
Те о рем а. Если гипотенуза и катет одного треугольника пропорцио­
нальны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники
подобны.
Предлагаем доказать эту теорему самостоятельно.
Т е о р е м а 4. В подобных треугольниках отношение двух соответ­
ственных сторон равно отношению двух соответственных высот, биссек­
трис, медиан.
Доказательство предоставим читателю.
З а д а ч а 1. Длины оснований трапеции ABCD равны а и Ь. Найти длину
отрезка с концами на боковых сторонах трапеции, если этот отрезок па­
раллелен основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей.
Р е ш е н и е. Пусть MN - отрезок, длину которого требуется найти;
ВС=а,AD=Ь (рис.179).ОбозначимМО =х,ON=у;h1иh- длины
высот, проведенных из вершины В, в треугольниках МВО и ABD соот­
ветственно .
Так как 6.MBOroЛABD и 6.0CN'-"6.ACD,тo
Ьh
294
1-1
11

1-
1
1
следовательно, х = у. Так как 6. АМО '-'"' 6. АВС, то
а
h
х
Поэтому -
=1
а
х
или -
=1
а
х
ь
аЬ
2аЬ
Решая это уравнение, получаем х = --- .
ОтсюдаМN= 2х =
а+Ь
а+Ь
3адача 2. В6.АВСточкаКделитмедиануBDвотношении1:2,
считая от вершины (рис. 180). Прямая, проведенная через точки А и К,
lJ
А
Рис. 179
Рис. 180
пересекает сторону ВС в точке L. В каком отношении точка L делит сто­
рону ВС?
Ре ш е ни е. На продолжении медианы BD отложим отрезок DD 1 ,
равный отрезку KD. Соединим точку D 1 с вершинами А и С, а точку
К - с точкой С. Четырехугольник АКСD 1 - параллелограмм; следо-
ВL
ВК
вательно, АК 11 D 1С. Поэтому 6.KBL '-'"' 6.D1BC, -- =
--
.
По усло-
ВС BD1
ВК
1
ВК1BL1
BL1
вию--=
-
• значит
--=
-
--
=-
.
Отсюда -
=-
KD
2'
'BD15'ВС5
LC4
§ 3. Теорема Пифагора
О п р е д е л е н и е. Отрезок х называется средним пропорциональным
(или средним геометрическим) между отрезками а и Ь, если для их
длин выполняется равенство а: х =х: Ь, т.е. х = .,/аь.
Т е о р е м а. Если в прямоугольном треугольнике проведена высота
из вершины пvямого угла, то
29S

высота есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые
она делит гипотенузу;
катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежа­
щим к этому катету отрезком гипотенузы.
До к аз ат ель ст в о. Рассмотрим прямоугольный ЛАВС (рис. 181).
Проведем из вершины прямого угла С высоту ·сп и обозначим ее дли­
ну через h. Требуется доказать, что h2 = с1с2, Ь2 = сс1, а2 = сс2.
Имеем три пары подобных треугольников:
ЛАDС"'ЛАСВ (уголА -обший,LD=LС);
ЛАСВ "'&CDB (уголВ- обший,LС=LD);
ЛADC "'ЛCDB (угол LА =LDCB, LADC=LBDC).
Таккак ЛADCroЛCDB, то с1 :h = h:c2, т.е. h2 = с1с2.
ТаккакЛАDС"'ЛАСВ,тос1:Ь =Ь :с,т.е.Ь2=сс1.
ТаккакЛАСВ"'ЛCDB, то с :а =а :с2,т.е.а2 =сс2.
Теорема доказана .
Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат
длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
До к аз ат ель ст в о. В прямоугольном ЛАВС проведем из верши­
ны прямого угла С высоту CD ( см. рис. 181). Требуется доказать, что
с2=а2 +ь2.
По предыдущей теореме получаем Ь 2 = сс 1 и а 2 = сс 2 . Сложив почленно
эти равенства, получим
Ь2 +а2 =сс1+сс2 =с(с1+с2)
илиЬ2+а2=с2,таккакс1 +с2 =с.
~
~
А
JJс
tJ
Рис. 181
Итак, с2 =а2 + Ь 2 , что и требовалось доказать.
Т е о р е м а (обратная теореме Пифагора). Если в треугольнике АВС
квадрат длины стороны АВ равен сумме квадратов длин двух других
сторон, то треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине С
Доказательство. ПустьАВС-данныйтреугольник,укоторо-
гоАВ2 =АС2 +ВС2.
Рассмотрим вспомогательный прямоугольный Л А 1 В 1 С1 (рис. 182),
катеты которого А 1 С1 и В I С 1 соответственно равны сторонам А С и ВС
данного ЛАВС По теореме Пифагора А1Вf =А ICt + ВICt. Отсюда сле-
296

11
r
[
r
--------------
дует, что А 1 В 1 =АВ. Поэтому ЛАВС= ЛА 1 В 1 С 1 и, значит, ЛАВС-прямо­
угольный с прямым углом при вершине С.
Согласно этой теореме треугольник со сторонами, длины которых
равны 3, 4 и 5, является прямоугольным. Действительно, 5 2 = 32 + 42 .
Прямоугdльными треугольниками являются также треугольники со сторо­
нами5,12,13,или8,15,17,или7,24,25идр.,таккаквкаждомизэтих
треугольников квадрат длины большей из сторон равен сумме квадратов
длин двух других сторон. А такие треугольники по теореме, обратной
теореме Пифагора, являются прямоугольными..
А
а
Рис. 183
3 а д а ч а 1. Доказать, что в прямоугольном ЛАВС (см. рис. 181)
аЬ
ь2
h=
С
а2 С2
Р е ш е н и е. По теореме о пропорциональных отрезках в прямоуголь-
нам треугольнике
h2 = С1С2,
Ь2=СС1, а2=СС2,
Поэтому
ь2
а2
С1=
-
'
С2
с
с
Следовательно,
ь2
h2= -·
с
а2
ь2
с
а2
и, значит,
ь2
С1
--
а2
С2
или
h
аЬ
ь2
С1
Са2С2
СС1
=
СС2
З а д а ч а 2. Построить отрезок, средний пропорциональный между
отрезками а и Ь.
Р е ш е н и е. На произвольной прямой (рис. 183) отложим отрезки
АВ = а и ВС = Ь; на отрезке АС, как на диаметре, опишем полуокруж-
297

ность; из точки В проводим до пересечения с ней перпендикуляр BD.
Этот перпендикуляр - искомый отрезок, средний пропорциональный
между отрезками АВ и ВС.
Действительно, соединив точку D с точками А и С, получим прямо­
угольный ЛАDС (LD - прямой, как вписанный угол, опирающийся на
диаметр) . В Л ADC отрезок ВD является высотой, проведенной из вершины
прямого угла, и, значит, BD2 =АВ • ВС или АВ : BD = BD: ВС.
З ад а ч а 3. Построить отрезок, длина которого равна ../7.
Решение. Возьмема=7иЬ=1(см.рис.183).Таккакh2 =аЬ,
то h =-,/аь :::: ../7; BD- искомый отрезок.
§ 4. Свойство биссектрисы треугольника.
Пропорциональность отрезков хорд и секущих
Т е о р е м а 1. Биссектриса треугольника при любой вершине делит
противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим
сторонам треугольника.
Доказательство. ПустьАВС- данныйтреугольник,BD-бис­
сектриса при вершине В (рис. 184). Требуется доказать, что
AD DC
AD АВ
--
=-
или
АВ вс
DC вс
Опустим перпендикуляры АЕ и CF на прямую BD. ЛАЕD "' Л CFD:
углы Е и F - прямые, а углы при вершине D равны, как вертикальные.
ЛАВЕ "' Л CBF: углы Е и F - прямые, а углы при вершине В равны, так
как BD - биссектриса. Из подобия треугольников AED и CFD следует
пропорция
АЕ AD
CF DC
Из подобия треугольников АВЕ и CBF следует пропорция
АЕ АВ
--=
-
-
CF ВС
Сравнивая обе пропорции, получаем
AD АВ
DC=ВС '
что и требовалось доказать.
Т е о р е м а 2. Произведения длин отрезков пересекающихся хорд
равны: если хорды АВ и CD пересекаются в точке М, то АМ • ВМ =СМ· DM
(рис. 185).
298

{}
Рис. 184
Рис. 185
До к аз ат ель ст в о. Рассмотрим треугольники AMD и ВМС и до­
кажем, что они подобны. Углы А и С равны, так как они вписанные и
опираются на одну и ту же дугу BD. Углы AMD и ВМС равны, как верти­
кальные. Из подобия треугольников AMD и ВМС следует, что
АМ DM
см вм
или АМ • ВМ = СМ· DM. Теорема доказана.
Т е орем а 3. Произведение длин отрезков секущей равно квадрату
длины отрезка касательной: если через точку М Jtроведена секущая к
окружности и касательная, причем А и В - точюJ. пересечения окружно­
сти с секущей, а С - точка касания, тоАМ •ВМ = СМ2 (рис. 186).
Доказательство.РассмотримтреугольникиМАСиМСВидо­
кажем, что они подобны. У них угол М - общий. Угол САВ, I(ак вписан­
ный, равен половине центрального угла, отвечающего дуге BNC. Угол
ВСЧ, как угол между хордой и полукасательной, измеряется половиной
н
Рис. 186
того же центрального угла (§ 2 гл. 11). Значит, углы САВ и ВСМ равны.
Из подобия треугольников МАС и МСВ получим
АМ СМ
см вм
или АМ • ВМ = СМ 2 . Теорема доказана.
299

А
А
lJЕ
в
D
Рис. 187
Рис. 188
Рис. 189
С л е д с т в и е. Произведения длин отрезков секущих, проведенных
из одной точки вне окружности, равны.
З а д а ч а 1. Биссектриса, проведенная из вершины прямого угла
треугольника, делит гипотенузу в отношении т : п. Доказать, что
высота, проведенная из той же вершины, делит гипотенузу в отноше­
ниит2:п2.
Решение. ПустьCD- высота,СЕ
-
биссектриса в прямоугольном
ЛАВС (рис. 187). По условию АЕ: ВЕ = т : п. По свойству биссектрисы
треугольника имеем, что А С : ВС = т : п. Из свойств высоты, проведенной
из вершины прямого угла, следует, что AD: BD = АС 2 : ВС 2 (см. § 3,
задача 1). Поэтому AD : BD = т 2 : п 2 , что и требовалось доказать.
З ад а ч а 2. Точка внутри окружности отстоит от ее центра на расстоя­
нии d. Хорда, проходящая через эту точку, делится в ней на отрезки длины
а и Ь. Найти радиус окружности.
Ре ш е н и е. Дано: ОМ=d, АМ =а, ВМ =Ь (рис. 188).Пусть r-иско­
мый радиус. Проведем через точку М диаметр CD. Тогда СМ= r - d, DM =
= r + d. По свойству пересекающихся хорд получаем (r - d) (r + d) = аЬ,
откудаr= JаЬ+d2.
З а д а ч а 3. Расстояние от точки А до центра окружности радиуса r рав ­
но 2r. Через точку А проведена секущая, которая пересекает окружность
в точках В и С. Найти АС, если точка В делит отрезок АС пополам.
х
Решение . Пусть АС = х; тогда АВ =.,...._ По условию АО = 2r и, значит,
.
2
АЕ = r (рис. 189). По свойству секущих, проведенных из одной точки А,
имеем
АВ · АС=АЕ· AF.
х
Поэтому -
•х =r •Зr,откудах =r ./6.
2
300

§ 5. Подобные многоуrолъники
Рассмотрим два выпуклых многоугольника с одинаковым числом
сторон, а следовательно, и вершин.
Определение. Два многоугольника называются подобными, если
углы одного многоугольника соответственно равны углам другого много­
угольника, а стороны, заключающие равные углы, пропорциональны.
Например, два квадрата всегда подобны, а два ромба подобны, если
имеют по равному острому или тупому углу.
С'
{J
11
Рис. 190
В § 2 доказано, что два треугольника подобны, если стороны одного из
них пропорциональны сторонам другого . В случае многоугольников с чис­
лом· сторон, большим трех, пропорциональности их соответственных: сторон
уже недостаточно для подобия этих многоугольников. Например , квадрат
не подобен ромбу, один из углов которого острый, хотя их стороны про­
порциональны.
Недостаточно для подобия многоугольников и равенства их соответствен­
ных углов . Например, квадрат не подобен прямоугольнику, не все стороны
которого равны.
Отношение длин соответственных сторон двух подобных многоугольни­
ков называется коэффициентом подобия этих многоугольников.
Пусть многоугольники ABCDE и A 1B 1 C 1D 1E 1 подобны (рис . 190) .
Тогда пишут ABCDE <x>A 1B 1C1D 1E 1. Из подобия следует, что
АВ
ВС
CD
DE
ЕА
----- -
--- ----- -k
А1В1 В1С1 C1D1 D1E1 Е1А1 ,
где k - коэффициент подобия. Отсюда
АВ=k •А1В1, ВС=k •В1С1, CD=k•С1D1,
DE=k •D1E1, ЕА =k •Е1А1.
(8)
Теорем а . Оmошение периметров подобных многоугольников равно
коэффициенту подобия этих многоугольников.
Доказательство. Пусть ABCDE иA1B1C1D1E1 - данные подоб­
ные многоугольники (см. рис . 190) . Сложив почленно равенства (8),
301

получим
AB+BC+ ... +EA=k(A 1B 1 +В1С1 + ... +Е1А1),
(9)
где k -коэффициент подобия. Равенство (9) означает, что Р= k •Р1 , где Ри
Р1 ,- периметры данных многоугольников. Отсюда Р: Р1 = k, что и требова­
лось доказать.
Пусть ABCDE 00 А 1 В I C1D 1E 1 . Проведем из соответствующих верпшн
А и А 1 диагонали (рис. 191). Тогда дАВС 00 дА 1В 1 С1 , так как, согласно
подобию многоугольников, АВ и ВС пропорциональны А1В 1 и В1С1,
С
С1
:т;t;:;в·
А1
f.t
{j
Е
Рис. 191
а LB = LB1 . Из подобия этих треугольников следует, что диагонали
АС и А I С1 многоугольников пропорциональны их соответственным сто ­
ронам, а LACB = LA 1 C1B 1 и, значит, LACD = LA 1C1D 1. Поэтому
дАСD 00 дА 1 C1D 1 . Аналогично доказывается, что ЛАDЕ ro дА 1 D 1Е1 .
Таким образом, проведя диагонали из двух соответствующих верпшн
подобных многоугольников, можно разложить эти многоугольники на
подобные треугольники .
3 ад а ч а. В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы две его
верпшны лежали на боковых сторонах треугольника, а две другие - на
основании треугольника.
Решение. В данном дАВС возьмем на стороне АВ произвольную
точку Ми проведем МN l АС (рис. 192). На отрезке МN построим квад­
рат МNPQ. Прямая AQ пересекает отрезок ВС в некоторой точке Q1 .
Проводя из этой точки прямые, параллельньiе сторонам квадрата MNPQ,
получаем искомый квадрат M1N 1P 1 Q1 .
в
Рис. 192
302
D
ll1
Рис. 193
1t.
~j
f
1
1l
11
1
1

г---:й,rnи,шно,ЛАМ,Q, ~ Л AMQ, по,,ому
М1 Ql AQ1
MQ=AQ;
дАР 1 Q 1 ~·дАРQ,поэтому
Р1 Q1 AQ1
PQ= AQ;
следовательно,
---=---.
MQ PQ
Задача бьmа решена методом подобия : вьmолнено подобное преобразо­
вание квадрата MNPQ в квадрат M1N 1P 1Q1; точка А - центр подобия, а
M1Q1
коэффициент подобия k = --- выбран так, чтобы вершина нового квадра-
МQ
та Q 1, соответствующая вершине Q, оказалась на стороне ВС
На рис. 193 выполнено подобное преобразование четырехугольни­
ка ABCD с коэффициентом подобия k. Центр подобия О выбран произволь­
но; любая точка Х переходит в точку Х1 того же луча ОХ так, что ОХ1 =
=k·OX.
Упражнения
РАЗдЕЛ I
1. Разделить данный отрезок в отношении 2 : 3.
2. Через точку А, медианы АМ дАВС проведены прямые, параллельные сторонам
АВ и АС, которые пересекают сторону ВС в точках В, и С,. Доказать, что А ,М - меди­
ана дА,В, С,.
3. Доказать, что прямая, соединяющая середины параллельных сторон трапеции,
проходит через точку пересечения диагоналей.
4. Доказать, что биссектриса треугольника лежит между медианой и высотой,
проведенными из той же вершины угла с неравными сторонами.
5. Доказать, что из двух хорд окружности больше та, которая ближе к центру.
6. Длины катетов прямоугольного треугольника равны · а и Ь. Найти длину бис­
сектрисы прямого угла.
7. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а один из катетов ра­
вен 10 см. Найти проекцию другого катета на гипотенузу.
8. В равнобочной трапеции боковая сторона равна 41 см, высота 40 см, а средняя
линия 45 см. Найти основания трапеции.
9. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 см, а боковая сторона 30 см.
Найти радиусы описанной и вписанной окружностей и расстояние между их центрами.
10. Отрезок AD является биссектрисой дАВС. Найти CD, если АВ = 30 м, BD = 20 м,
AD=16миLADC=LC.
•
11. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катета­
ми24ми18м,
303

12. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника
соответственно равны 2 м и 5 м. Найти катеты треугольника .
13. Найти диагональ и боковую сторону равнобочной трапеции с основания­
ми 20 см и 12 см, если центр описанной окружности лежит на большем основании
трапеции.
14. В окружности по разные стороны от центра проведены параллельные хорды,
равные 36 мм и 48 мм; расстояние между ними 42 мм. Найти радиус окружности.
15. Внутри окружности радиуса 13 см взята точка М на расстоянии 5 см от центра .
Через точку М проведена хордаАВ =25 см. Найти длину отрезков, на которые хор­
да АВ делится точкой М.
16. Сумма периметров двух подобных многоугольников равна 50 м. Их соответ-
ственные стороны относятся как 3: 7. Найти периметры этих многоугольников.
17. Построить треугопъник по двум углам и биссектрисе третьего угла.
18. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов.
19. В данный треугольник вписать ромб с данным острым углом так, чтобы две его
вершины лежали на боковых сторонах треугольника, а две другие - на основании
треугольника.
РАЗдЕЛ II
20. Биссектриса внешнего угла при вершине С ЛАВС пересекает прямую АВ в
AD АС
точке D. Доказать, что
--
= --•
BD ВС
21. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит ги,
·потенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найти длины катетов.
22. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 15 м,
а радиус вписанной в него окружности равен 6 м. Найти длины сторон треугольника.
23. В трапеции ABCD (ВС 11 AD) диагональ BD образует со стороной угол ABD,
равный углу BCD. ОпределитьдлиныАВ иАD, если ВС = 10 см, CD =15 см, BD = 20 см.
24._В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD продолжены до пересечения в точ­
ке М. Определить СМ, если АВ =1 м, CD =1,5 м и ВМ =0,8 м.
25. Высота равнобедренного треугольника равна 40 см, основание 60 см. Найти
боковые стороны и радиусы вписанной и описанной окружностей.
26. Диагонали ромба равны 48 см и 14 см. Найти его сторону - и радиус вписанной
окружности.
27. Стороны одного треугольника равны 6,3 м, 8,4 ми 10,5 м. Определить стороны
подобного ему треугольника, зная, что его периметр больше периметра данного
треугольника на 15,6 м.
28. Секущая АВ проведена через центр окружности и равна 32 см, а касательная АС
равна 24 см. Определить длину отрезка ВС.
29. В данный треугольник вписать прямоугольник, в котором стороны относятся
как т : п, если две его вершины лежат на боковых сторонах треугольника, а две дру­
гие - на основании треугольника.
30. Построить треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла между ними.
31. На продолжении боковой стороны ВС равнобедренного ЛАВС взята точка D
так, что точка С лежит между точками В и D. Отрезок AD пересекает биссектрису
угла АВС в точке М. Доказать, что АМ < MD.
304

ГЛАВА 13
РАВЕНСТВО И ПОДОБИЕ ФИГУР
§ 1. Примеры преобразования фигур
Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то
мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена из данной
преобразованием. Рассмотрим примеры.
Симметрия относительно точки.
Определение.Дветочки А иА1 называются симметричными отно­
сительно точки О, если О - середина отрезка АА 1 . Точка О называется
центром симметрии точек А и А 1 . Тогда О симметрична самой себе.
11
F
оFr
Рис. 194
Пусть F - данная фигура и О
-
некоторая точка плоскости (рис. 194).
Возьмем произвольную точку М фигуры F. Отложим на продолжении от­
резка ОМ за точку О отрезок ОМ1 , равный отрезку ОМ. Точка М1 сим­
метрична точке М относительно точки О. Построив все точки, симметрич­
ные точкам фигуры F относительно точки О, получим фигуру F 1 . Преобра­
зование фигуры F в фигуру F1 есть симметрия относительно точки О.
Определение. Точка О называется центром симметрии фигуры, если
для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О
также принадлежит этой фигуре.
Если точка О является центром симметрии фигуры F, то говорят, что
фигура F симметрична относительно точки О; при этом сама фигура F
называется центрально-симметричной.
Симметрия относительно центра центрально-симметричной фигуры
переводит эту фигуру в себя.
Фигура может иметь один или несколько центров симметрии. Например,
окружность симметрична относительно своего центра. Других центров
симметрии окружность не имеет. Параллелограмм также является
центрально-симметричной фигурой; центр симметрии параллелограмма -
точка пересечения диагоналей.
Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров симметрии.
Простейшей из таких фигур является прямая: любая точка прямой есть ее
центр симметрии. Существуют фигуры, которые не имеют ни одного центра
симметрии. К таким фигурам относится треугольник.
20.Т.И. Богатырев
305

1
Симметрия относительно прямой.
j
Оп редел ени е. Точки А и А 1 называются симметричными относитель-
•·
но некоторой прямой р, если эта прямая перпендикулярна отрезку АА 1 и 1
проходит через его середину. Прямая р называется осью симметрии
1
точек А и А 1 . Каждая точка оси симметрии симметрична самой себе.
Пусть F - данная фигура и р
-
некоторая прямая (рис . 195). Во з ьмем
пр~извольную точку М фигурыF. Опустим из точки М перпендикуляр МР
и на продолжении перпендикуляра за точку Р отложим отрезок РМ1 , рав­
ный МР. Точка М1 симметрична точке М относительно прямой р. Построив
все точки, симметричные точкам фигуры F относительно прямой р, полу­
чим фигуру F 1 . Преобразование фигуры F в фигуру F 1 есть симметрия
относительно прямой р.
Определение. Прямая р называется осью симметрии фигуры, если
для каждой точки фигуры симr.,етричная ей точка относи тельно прямой р
также принадлежит этой фигуре.
Если прямая р является осью симметрии фигуры F, то говорят, что
фигура F симметрична относительно прямой р.
Симметрия относительно оси симметрии фигуры переводит эту фигу­
ру в себя.
Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Например,
неразвернутый угол имеет только одну ось симметрии - прямую, содер­
жащую биссектрису угла. Осями симметрии отрезка являются сам отрезок
и его серединный перпендикуляр. Равнобедренный треугольник (но не
равносторонний) имеет только одну ось симметрии - прямую, которая
содержит высоту, проведенную к основанию треугольника. Прямые, на
р
Рис. 195
которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии. Квад­
рат имеет четыре оси симметрии: прямые, на которых лежат его диагона­
ли, а также прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей
квадрата параллельно его сторонам.
Существуют фигуры, которые имеют бесконечно много осей симметрии.
Так, любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью
симметрии. Существуют фигуры, которые не имеют оси симметрии. К таким
фигурам относится разносторонний треугольник.
Гомотетия.
Определение.Гомотетией с центром О и коэффициентом k > О
называется такое преобразование, при котором произвольная точка М
306

любого луча, исходящего из точки О, переходит в точку М1 того же луча,
причем ОМ1 =k • ОМ.
Пусть F - данная фигура, О
-
некоторая точка , k - заданное положи­
тельное число (рис. 196) . Возьмем произвольную точку М фигуры F .
Проведем луч ОМ и отложим на нем отрезок ОМ1 , равный k • ОМ. Получим
точку М1 новой фигуры F 1 . Преобразование фигуры F в фигуру F 1 есть
гомотетия с центром О и коэффициентом k . Фигуры F и F 1 называются
гомотетuчными.
11,
р
о
Рис. 196
Рис. 197
Центральная симметрия, осевая симметрия и гомотетия - примеры
преобразования фигур .
3адача. Даны прямаяр и две точки А и В в одной полуплоскости·с
границей р (рис. 197). На прямой р построить точку М так, чтобы сумма
длин отрезков АJИиМВ бьmа наименьшей .
Ре ш е ни е. На прямой р требуется построить точку М так, чтобы нера­
венство АМ +МВ< АХ+ ХВ выполнялось дпя любой точки Хпрямой р,
отличной от точки м.
Построим точку В1 , симметричную точке В относительно прямой р.
Отрезок АВ 1 пересечет прямую р в иско мо й точке М.
Действительно, МВ =МВ1 , ХВ =ХВ1 . Поэтому АМ +МВ =АМ+МВ1 =
=АВ1 ,АХ+ ХВ =АХ+ ХВ1 . В дАХВ1 имеем АХ+ ХВ1 >АВ1 .
§ 2. Движение. Равенство фигур
Определение. Преобразование фигуры F в фигуру F 1 называется
движением, если оно сохраняет расстояния между точками, т.е. переводит
любые две точки Ми N фигуры F в точки М1 и N1 фигуры F1 так, что
МN=M1N1.
Теорем а 1. Преобразования симметрии относительно точки или отно­
сительно прямой являются движениями.
До к аз ат ель ст в о . Рассмотрим сначала преобразование симметрии
относительно tочки (рис. 198) . Пу сть М и N - две произвольные точки
фигуры F. Преобразование симметрии относительно точки О переводит
их в точкиМ1 иN1. дМОN =дМ1ON1: углы при вершине О равны, как
307

вертикальные, а ОМ= ОМ1 , ON = ON1 по определению симметрии относи-
тельно точки О. Из равенства треугольников следует равенство сто- ·J
ронМN =M1N 1 . Значит, симметрия относительно точки О есть движение.
Рассмотрим преобразование симметрии относительно прямой (рис. 199).
Пусть Ми N - две произвольные точки фигуры F. Преобразование симмет­
рии относительно прямой р переводит их в точки М1 и N 1 . Четырехуголь­
ник MNN1M 1 есть либо прямоугольник, либо равнобочная трапеция, и,
Ь4~
н
Nr
ff
Рис. 198
р
Рис. 199
следовательно, МN = М 1N 1 . Значит, преобразование симметрии относитель­
но прямой есть движение. Теорема доказана.
Теорема2.ЕслипридвижениитриточкиА,В,С,лежащиенапря­
мой, переходят в точки А 1, В1, С1 , то эти точки также лежат на прямой.
ЕслиточкаВлежитмеждуАиС, тоточкаВ1 лежитмеждуА1иС1.
Доказательство. Пусть точкаВлежитмеждуточкамиА иС.
Если точки А 1 , В 1 , С1 не лежат на прямой, то они являются вершинами
треугольника. Поэтому А 1С1 <А 1 В 1 + В 1С1 . По определению движения
отсюда следует, что АС<АВ + ВС. Однако по свойству измерения отрез­
ков А С= АВ + В С. Мы при;1mи к противоречию. Первое утверждение тео­
ремы доказано.
Покажем теперь, что точка В 1 лежит между А 1 и С1 .
Допустим, чтоА1 лежит междуВ1 иС1. ТоrдаА1В1 +А1С1 =В1С1 и,
следовательно, АВ +АС=ВС, что противоречит равенству АВ +ВС=АС.
Значит, точка А 1 не может лежать между В 1 и С1 . Так же доказывается,
что точка С1 не может лежать между А 1 и В 1 . Поэтому точка В 1 лежит
между А 1 и С1 . Теорема доказана полностью.
Таким образом, при движении точки, лежащие на прямой, переходят
в точки, лежа1IШе на прямой, и сохраняется порядок их взаимного распо­
ложения.
Рассмотримтакжеследующиесвойствадвижений:
1) При движении прямые переходят в прямые, полупрямые - в полу-
прямые, отрезки - в отрезки .
Это следует из теоремы 2.
2) При движении сохраняются углы между полупрямыми.
Действительно, пусть АВ и АС - две полупрямые, исходя~цие из общей
точки А и не лежа1ЦИе на одной прямой. При движении эти полупрямые
перейдут в некоторые полупрямые А 1 В 1 и А 1 С1 . Так как движение сох­
раняет расстояния, то ЛАВС= ЛА 1 В 1 С1 , как треугольники, имею1ЦИе по
308

три равные стороны. Из равенства треугольников следует равенство углов
ВАС и В1А1С1 .
3) Два движения, выполненные последователыю, дают снова движение.
Пусть фигура F переводится движением в фигуру F 1 , а фигура F 1 пере­
водится движением в фигуру F 2 . Преобразование фигуры F в фигуру F 2,
полученное в результате двух движений, выполненных последовательно,
сохраняет расстояние между точками и, следовательно, является движе­
нием.
4) Преобразование, обратное движению, является также движением.
Это означает следующее. Пусть преобразование фигуры F в фигуру F 1
переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры F 1 . Пусть
произвольная точка М фигуры F при этом преобразовании переходит в
точку М1 фигуры F 1 . Преобразование фигуры F 1 в фигуру F, при котором
точка М1 переводится в точку М, называется преобразованием, обратным
данному. Движение сохраняет расстояние между точками, поэтому пере­
водит различные точки в различные. Значит, преобразование, обратное дви­
жению, также является движением.
Кроме центральной симметрии и осевой симметрии рассмотрим еще
два частных вида движений: поворот и параллельный перенос.
Пусть О - заданная точка, а а
-
величина некоторого угла.
Определение. Поворотом около точки О на угол а называется та­
кое движение, при котором каждый луч, исходящий из точки О, поворачи­
вается на угол а в одном и том же направлении (по часовой стрелке или
против часовой стрелки, рис. 200).
F
Рис. 200
Рис. 201
Центральная симметрия есть поворот на 180°. Движение , при котором
каждый луч, исходящий из точки О, остается неподвижным, также считает ­
ся поворотом около точки О (поворотом на нулевой угол).
О п р е д е л е ни е. Параллельным переносом называется такое движе­
ние, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то
же расстояние. Это значит, что если точки А и В фигуры F переходят в точ­
киА1иВ1фигурыF1, то лучи АА1иВВ1имеютоднонаправление,а
отрезки АА 1 и ВВ 1 равны (рис. 201). Движение, при котором все точки
остаются неподвижными, также считается параллельным переносом.
309

Параллельный перено с определяется заданием точки А 1 , в которую
переводится точка А данно й фигуры.
Теорема3.Длялюбых точекА иА1существуетипритомединст­
венный параллельн ый перенос, при котором точка А переходит в точку А 1 .
Доказательства этой теоремы не приводим.
Определение . Фигуры F и F 1 называются равными , если они дви­
жением переводятся одна в другую.
В главе 9 бьmи рассмотрены понятия равенства отрезков , а также углов:
отрезки называются равными, если они имеют равные длины; углы назы­
ваются равными, если они имеют одинаковую величину (или градусную
меру). В главе 10 бьmо введено , понятие равенства треугольников .
Можно доказать , что понятия равенства отрезков, углов и треуголь­
ников, введенные в главах 9 и 10, полностью согласуются с новым поня­
тием равенства фигур . Действительно, имеет место следующая теорема,
которую приведем без док азательств а.
Те о рем а 4. Равные отрезки, углы и треугольники совмещаются дви-
жением.
Свойстваравенствафигур.
1) Каждая фигура равна самой себе.
2) Если фигура F равна фигуре F 1 , то фигура F 1 равна фигуре F.
3) Если фигура F равна фигуре F 1
,
а фигура F 1 равна фигуре F 2
,
то фи­
гура F равна фигуре F 2 .
§ 3. Подобные фигуры
Определение. Преобразование фигуры F в фигуру F 1 называет­
ся преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния
между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и
то же число раз. Это значит, что если произвольные точки Ми Nфигуры F
при этом преобразовании переходят в точки М1 и N1 фигуры F 1 , то M 1N 1 =
=k •MN; число k называется коэффициентом подобия . При k = 1 преобра­
зование подобия, очевидно, является движением.
Так же, как и для движения, доказывается, что при преобразовании по­
добия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки
А 1 , В 1 , С1 , также лежащие на одной прямой. Причем, если точка В лежит
междуточкамиАиС,тоточкаВ1лежитмеждуточкамиА 1иС1.
Отметим также следующие с в о й ст в а преобразования подобия:
1) Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые­
в полупрямые, отрезки - в отрезки.
2). Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Действительно, пусть угол с вершиной С переводится преобразованием
подобия в угол с вершиной С1 (рис . 202). Возьмем на стороне а угла С
произвольную точку А, а на его стороне Ь - произвольную точку В. Пре­
образование подобия перево дит их в точки А 1 и В 1 на сторонах а 1 и Ь1
310

г
угла С1 Имеем
С1А1 =k-CA, С1В1 =k-CB, А1В1 =k-AB
где k - коэффициент подобия. дАСВ"-' дА 1 С1 В 1 , как треугольники с
тремя пропорциональными сторонами . Из подобия треугольников сле­
дует,чтоLС=LС1.
Определение . Две фигуры называются подобными, если они-пере·
водятся друг в друга преобразованием подобия.
"L, L
!, ...___ _
{]____
с,.
tJ,
о
Рис. 202
Рис. 203
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур
соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорцио­
нальны.
В главе 12 бьmо рассмотрено подобие многоугольников.
Теор е м а. Гомотетия есть преобразование подобия.
До к аз ат ель ст в о. Пусть точки М и N переходят при гомотетии
относительно точки О в точки М1 и N1 (рис. 203). дМОN "-' дМ1 ON1 :
угол О -общий, а
М10 N10
--
=-- =k
МО
NO
(k - коэффициент гомотетии).
Из подобия треугольников следует, что
M1N1
--
=k.
МN
Теорема доказана.
На рис. 204 изображены подобные треугольники АВС и А 1 В 1 С1 . Но они
не гомотетичны, так как прямые АА 1 , ВВ 1 , СС1 не проходят через одну
точку.
Рис. 204
311

Упражнения
РАЗДFЛ I.'
1. Даны отрезок АВ и точка О, не лежащая на прямой АВ. Построить фитуру,
симметричную отрезку АВ относительно точки О.
2. Сколько центров симметрии у фигуры, состоящей из двух параллельных пря­
мых? Где они расположены?
3. Доказать, что если две прямые симметричны относительно некоторой точки и
одна из них не проходит через эту точку, то прямые параллельны.
4. Даны две пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых . Постро­
ить отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке.
5. Даны прямая а и точка О, не лежащая на этой прямой. Построить фигуру, сим­
метричную прямой а относительно точки О.
6. Доказать, что если треугольник имеет ось симметрии , то он равнобедренный
и осью симметрии является серединный перпендикуляр основания.
7. Доказать, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии ,
то она имеет также центр симметрии.
8. Даны две прямые а и а 1 . Доказать, что прямую а I можно получить движением
из прямой а.
.
9. Даны точка О и две окружности. Построить отрезок так, чтобы точка О была его
серединой, а концы отрезка принадлежали данным окружностям.
10. Даны острый угол АВС и точка Р внутри этого угла . Построить на сторонах
угла точки Ми Nтак, чтобы д МNРимел наименьший периметр.
11. Построить равносторонний треугольник, у которого одна вершина задана,
а две другие вершины лежат на двух данных прямых.
12. Даны две параллельные прямые а и Ь. Доказать, что прямую Ь можно получить
параллельным переносом из прямой а.
13. Доказать, что две окружности одинакового радиуса равны.
14. Доказать, что фигура, подобная окружности, есть окружность.
15. Даны угол и внутри него точка А. Построить окружность, касающуюся сторон
угла и проходящую через точку А.
РАЗДFЛ II
16. Доказать, что перпендикуляры, проведенные из середин двух симметричных
отрезков, симметричны.
17 . Доказать, что две прямые, проходящие через точки А и А 1 , симметричные
относительно оси MN и образующие равные углы с отрезком MN, симметричны отно ­
сительно оси MN.
18. Даны точки А, В и С, не лежащие на одной прямой . Доказать, что оси симметрии
трех пар этих точек (А и В, В и С, С и А) пересекаются в одной точке.
19. Доказать, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он и~еет и третью
ось симметрии.
20. Построить оси симметрии двух пересекающихся прямых.
21. Даны две непараллельные прямые а и Ь и отрезок АВ. Построить прямые а 1 и
Ь 1 , которые получены из прямых а и Ь параллельным переносом, заданным точками
А иВ.
22. Построить треугольник, симметричный данному относительно точки пересече­
ния его медиан.
23. Построить равносторонний треугольник, вeplllliны которого лежат на трех
данных параллельных прямых.
24. Доказать, что отрезки равной длины и углы с равной градусной мерой совме­
щаются движением.
25. Доказать, что ромбы равны, если у них равны диагонали.
26. Построить ромб по данному отношению его диагоналей и данной высоте.
312

,-
ГЛАВА 14
ВЕКТОРЫ НА плоскосrи
И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Векторы. Сложение и вычитание векторов
Многие физические величины (сила, скорость, ускорение и др.) характе­
ризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величи­
ны называются векторными.
Векторную величину геометрически изображают с помощью отрезка
определенной длины и определенного ,направления.
Вектором будем называть направленный отрезок (рис. 205). Направле­
ние вектора указывается стрелкой. Точка А называется началом, а точка
81
А~ A/J =А1В1
,
,
,
'
Q
~!J
А
➔lJ А
Рис. 205
Рис. 206
В - концом. Векторы обозначаются буквами а, Ь, с, . .. , а также АВ, CD, ...
(на первом месте ставится начало вектора).
Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или
модулем вектора. Длина вектора 7i обозначается i а 1.
Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых,
называются коллинеарными.
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным
переносом. Это означает, что существует параллельный п,еренос, который
переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец
другого вектора (рис. 206).
Два вектора называются одинаково направленными (противоположно
направленными), если они коллинеарны и у равных им векторов, имеющих
общее начало, концы располагаются по одну сторону от начала (соответст­
венно по разные стороны от начала).
Равные векторы одинаково направлены и имеют равные длины. И обрат­
но, если векторы одинаково направлены и имеют равные длины, то они
равны . От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом
только один.
К векторам будем относить и нулевой вектор, начало и конец которого
совпадают. Нулевой вектор обозначается О. Его длина равна нулю. Нулевой
313

вектор считается коллинеарным любому вектору, так как он не имеет
определенного направления. Все нулевые векторы равны.
Определение. Суммой вектораАВ и вектора ВС называется вектор
АС: АС = АВ + ВС. Суммой вектора АВ и произвольного вектора PQ назы­
вается сумма вектора АВ и вектора ВС, равного PQ (рис. 207) (правило
треугольника) .
По определению для любого вектора 7i и нулевого вектора О
а +о=о+а =а.
Если 7i=7i1
,
Ь=Ь1
,
то7i+Ь=7i1 +Ь1
.
Это следует из определения суммы
векторов и равенства векторов.
~t::=:~~\c
\
А
\
\
1
р
fl.
[J
ь
с
~
А
IlА
Рис. 207
Рис. 208
Свойствасложениявекторов.
1) Сочетателыюе свойство: (а+ ь) +с= а+ (Ъ +с).
Доказательство. Отложим вектор 7i от некоторой точкиА:
а= АВ. Вектор Ь отложим от точки В, а вектор с - от точки С(рис. 208):
Ь =ВС, c=CD.
Пользуясь правилом треугольника, получим
а+Ь =АС; (a+b)+c=AC+CD=AD,
Ь+с=BD, а+(Ъ+с)=АВ+BD=AD.
Следовательно, (а+ Ь) +с= а+ (Ь +с). Свойство доказано. Поэтому мож­
но записывать без скобок:
(а+ь)+с =а +(Ъ+с)=а +ь +с.
2) Переместителыюе свойство: 7i + Ь = Ь + 7i.
До к аз ат ель ст в о , Рассмотрим сначала случай, когда векторы 7i и Ь
неколлинеарны (рис. 209). Тогда при откладьmании их от точки А (а= АВ,
Ь = AD) получим, что точки А, В и D не лежат на одной прямой. Построим
четвертую вeplllliHY С параллелограмма АВСD. Имеем а = АВ =DC,
Ь =AD =ВС.
По правилу треугольника
7i+Ь=АВ +ВС=АС, Ъ+7i=AD+DC=АС
и, следовательно, 7i + Ь = Ь + 7i.
314

Рассмотрим теперь случай коллине арных векторов ёi и Ь. Заменим век­
тор Ь суммой любых двух неколлинеарных ёi векторов Ь1 и Ь2 : Ь =Ь1 + Ь2
(рис. 21 О) . По доказанному
а+Ь1 =Ъ1 + а, а+Ъ2 =Ъ2 +а.
Тогда
G+Ь=а+(Ь1 +Ь2)=а+Ъ1 +Ъ2 =Ъ1 +12 +Ь2 =Ь1 +Ъ2+а=Ь+а.
Свойство доказано полностью.
Сложение двух неколлинеарных векторов а и Ь мо жно выполнять по
правилу параллелограмма : ве кторы а и Ь откладываются от одной точки А
(см. рис. 209) и строится параллелограмм со сторонами АВ и AD. Тогда
АС =а+Ь.
З адач а. Доказать, что Iа+ Ь 1,;;;; 1а 1+1Ь 1, причем равенство имеет
место, если а и Ь коллинеарны и направлены одинаково или хотя бы один
из векторов а и Ь равен нулю.
Решение предоставим читателю .
Вектором, противоположным вектору АВ, называется вектор ВА :
ВА = -АВ. По определению вектор, противоположный нулевому вектору,
есть нулевой вектор. Очевидно, а+ ( - а) = О.
Разностью векторов ёi и Ь (обозначается а - Ъ) называется сумма векто­
ра ёi и вектора -Ь, противоположного Ь: а - Ь = а + ( -Ь) .Имеем
Ь + (а - Ь) = а, т.е. вычитание - действие, обратное сложению .
Если векторы ёi и Ь отложены от одной точки О (рис. 211), то для на­
хождения разности ёi - Ь удобно пользоваться таким правилом: ОА - ОВ =
=ВА.
Рис. 210
6О
-
А
Cl
Рис. 211
Углом между ненулевыми векторами АВ и АС называется угол ВАС
Углом между любыми двумя векторами ёi и Ь называется угол между
равными им векторами с общим началом. Угол ме жду одинаково направ­
ленными векторами считается равным нулю.
Таким образом, если <{) - градусная мера угла между векторами ёi и Ь,
ТО 0° ,::;;,<{),;;;; 180°.
315

§ 2. Умножение вектора на число
Определение. Произведением ненулевого вектора а на действитель­
ное число х =t- О называется вектор, длина которого равна произведению
длины вектора а на модуль числа х, а направление совпадает с направле­
нием вектора а при х > О и противоположно направлению а при х < О.
Произведение вектора а на число х обозначается ха (числовой множи-
тель пишется слева) . По определению
1ха1=1х1•1а1.
Если вектор а - нулевой или число х равно нулю, то полагают
х •О =О для любого числа х,
О • а =О для любого вектора а.
С в о й ст в а умножения вектора на число.
1) Сочетательное свойство: (ху) а =х (уа) .
2) Первое распределительное свойство: ха+ уа= (х + у)а.
3) Второе распределительное свойство: ха + х Ь = х(а + li).
Нетрудные доказательства этих свойств опускаем.
Теорем а. Ненулевые векторы а и [ коллинеарны тогда и только
тогда, когда существует такое число х , что Ь =ха.
До к аз ат ель ст в о. Докажем сначала, что если существует такое
число х, что Ь = ха, то ненулевые векторы а и Ь коллинеарны. Но это
очевидно: по определению произведения вектора на число векторы а и ха
имеют либо одинаковые (если х > О), либо противоположные (если х <О)
направления и , следовательно, коллинеарны.
_
Докажем теперь обратное утверждение: если н~нулевые векторы а и Ь
коллинеарны, то существует число х такое, что Ь = х ii. По определению
А
Рис. 212
ненулевых коллинеарных векторов направления векторов а и Ь либо
совпадают, либо прот~воположны.
_
IЬI
t:сли векторы а и Ь направлены одинаково, то Ь =ха при х =
1
аI.
Если же направления векторов аи Ь противоположны, то fi = ха при
1ь1
х=---.
Теорема доказана.
1а1
316

------- -~- - --
3 ад а ч а. С помощью векторов доказать теорему: три медианы
треугольника пересекаются в одной точке, причем точка пересечения делит
каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Решение. Пусть АВС - данный треугольник, О -точка медианыАА 1
и ОА: ОА 1 = 2 (рис. 212). Возьмем произвольную точку Ми рассмотрим
векторыОА=МА -МО,А1О=МО - ·МА1.ТаккакМА1 - медианадМВС,
тоМА 1 =~(МВ+МС) . Поэтому А 10 =МО _2 _ (МВ +МС). Так 'как
2
2
ОА = 2А 1о, ТО получим
МА-МО =2МО- (МВ+МС);
1
отсюда МО = (МА +МВ +МС).
3
Если 01 точка медианы ВВ1 и 01В:01В1 =2, то МО1=
1-
--
-
=-
(МА + МВ +МС); следовательно, М0 1 = МО, и точки 0 1 и О совпа-
3
дают . Задача решена.
§ 3. Координаты вектора на JDiоскости
Вектор, длина которого при~ята_за единицу измерения длины, называют
единичным. Обозначим через i и j единичные векторы, отложенные от
точки О в положительных направлениях на осях Ох и Оу прямоугольной
системы координат (рис. 213).
у
о
"l!Jт 111 :с
Рис. 213
Единичные векторы Т и 1(1 i 1= 1j 1= 1), имеющие направления положитель­
ных координатных полуосей, называются координатыми векторами или
ортами.
Т~ орем а 1 (о разложении вектора по осям координат) . Любой век­
тор r на плоскости Оху можно представи'ГЬ в виде
r=rxi+ryj
(1)
и притом единственным образом.
317

До к аз ат ель ст в о. Рассмотрим вектор ОМ, равный r. Если вектор
-~
ОМ не коллинеарен вектору i и не коллинеарен вектору Т, то проведем
через точку М прямые, параллельные осям координат (см. рис. 213).
Векторы ОМ1 и ОМ2 коллинеарны соответственно векторам i и Т. Следо-
вательно, по теореме § 2 существуют такие числа rx и rУ' что ОМ1 = rx Т
и 01!f2 ='J'l. По правилу параллелограмма ОМ= ОМ1 + ОМ2 ; значит, r =
=rхi +ryj.
Допустим теперь, что вектор r коллинеарен одному из векторов i и /,
например i. Тогда r = rxi , а число ry в этом случае равно нулю .
И_!ак, всегда найдутся дrIЯ вектора r т а кие числа rx и ry , что r =rxi +
+r yi•
Докажем единственность представления (1).
Допустим, что
,- ;-
1-; -
r=rxz+ryJ.
Тогда
rxi + ryf=r/T + ,;J
и, следовательно,
1
о
I
о
Но это равенствовозможно толькоприrх - rх= ,rу - ry = , так как
векторы Т и 7 неколлинеарны. Поэтому <= rx, ,; = rу·
Единственность
представления (1) доказана.
Если вектор r представлен в виде r = rх i + rу!, то говорят, что вектор r
разложен по векторам i и Т. Векторыrх = rxT и ry = ryf называют состав­
ляющими вектора r по осям Ох и Оу. Коэффициенты rx и ry разложения
вектора r по единичным векторам Т и J называют координатами вектора
r в данной системе координат Оху и записывают r (rх; ry). Тогда I r 1 =
=v?;' + r;.
Из единственности разложения (1) следует, что равные векторы имеют
равные соответствуюuще координаты, и, обратно, если у векторов обе
соответствующие координаты равны, то векторы равны.
Пуgть дана точка М (х; у). Тогда
r=ом =хТ+уJ,
(2)
гдехиу- координатыточкиМ,т.е. r(x;у), 1r 1 =Jx2 +у2, Т(1; О),
!(О; 1).
Теорем а 2 . Каждая координата суммы векторов а и Ь равна сумме
соответствующих координат этих векторов; каждая координата произве­
дения вектора а на число k равна произведению соответствующей коорди­
наты этого ве ктор а на число k.
318

,..
i'
Доказательство.Пусть
7i=axi+avi, b=bxi+byi
Пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на
число, получаем
а+Ь=(ахТ +ау1) +(bJ + byf)=(ах+Ьх)Т+(ау+Ьу)Т,
k(axT + ayJ) =(kax) Т + (kay)J.
Значит, координаты вектора а+ Ь равны ах+ Ьх и ау+ Ьу, координаты
вектора ka равны kax и kay. Теорема доказана.
Те о р е м а 3. У коллинеарных векторов соответствующие координаты
пропорциональны. И обратно, если у двух векторов соответствующие
координаты пропорциональны , то векторы коллинеарны.
Доказательство. Пусть а(а 1 ;а2 ) иЬ(Ь 1 ;Ь2 ) -данные векторы.
Допустим, что векторы а и Ь коллинеарны. Из теоремы ~ 2 следует, что
существует такое число k, что один из данных коллинеарных векторов,
например Ь, равен ka: Ь = ka. По теореме 2 имеем
h1 =ka1,
Ь1
Отсюда -
=
а1
Ь2 =ka2 .
Ь2
-
-
, т.е. координать1 векторов аи Ь пропорциональны.
а2
!J
в
j
о
Рис. 214
Пусть теперь у вектор ов аи Ь координаты пропорциональны. Докажем,
что векторьт коллинеарны. Имеем
Ь1 Ь2
а1
а2
Обозначая общее значе ние этих отношений через k, получаем Ь 1 = ka 1 ,
Ь2 = ka2 . Отсюда следует, что Ь = ka. А это значит, что векторы а и Ь колли­
неарны. Теорема доказана.
3адача.ДаныточкиА(х1;у1)иВ(х2;у2). Доказать, что
АВ(х2 -х1; У2 -У1) = (х2 -х 1)Г + (у2 -У1)Т
Решение. Имеем АВ ~ов -ОА (рис.214). Так как ОА(х 1 ;у 1 ),
ОВ (х2 ;у2), то по теореме 2
АВ (х2
-
х1; У2
-
У1)
=(х2-х 1) Т+(У2-у
1
)
Т
319

Итак, чтобы найти координаты векш.ра АВ надо из координат его конца
В (х 2 ; у2 ) вычесть соответствующие координаты его начала А (х 1; у 1). При
этом
§ 4. Повороты на углы тобой веJШЧИНЪI
Поворот как вид движения определяется заданием: 1) центра О; 2) угла
поворота а (0° '( а '( 180°); 3) направления поворота.
Выберем какое-нибудь направление поворота в качестве положительного ,
а противоположное направление будем считать отрицательным. Обычно
считают положительным направление поворота против часовой стрелки.
Поворот на а градусов против часовой стрелки будем называть поворотом
на а, а поворот на а градусов по часовой стрелке - поворотом на -а. При
таком соглашении поворот полностью определяется заданием: 1) его
центра О; 2) угла поворота а (-180° '(а'( 180°).
Угол поворота теперь является направленным , его величина может быть
как положительной, так и отрицательной или нулем.
Рассматривая повороты как результат врашения, введем теперь поворо­
ты и на углы, лежащие вне пределов от -180° до 180°. Если ~ = а + 360° п
(п -целое число, -180° '( а '( 180°), то поворотом около точки О на
угол ~ называется поворот около точки О на угол а.
Например, поворот на 315° есть поворот на -45v, так как 315° = -45° +
+ 360° (рис. 215).
Градусная мера угла поворота может быть равной любому действитель­
ному числу.
fJ
Рис. 216
Рассмотрим повороты около точки О с данным лучом ОА. Для каждого
поворота лучу ОА будет соответствовать луч ОВ, положение которого
определяется углом поворота а (рис. 216). Луч ОА считается неподвижным
(начальным) лучом поворота, а луч ОВ - подвижным, совершившим
данный поворот .
Будем считать, что при повороте подвижного луча ОВ вокруг точки О от
неподвижного луча ОА образован угол а. Точку О назовем вершиной
320
•

угла а, неподвижный луч -ОА - началом отсчета угла а, подвижный луч
ОВ - подвижным лучом, задающим угол а. Если а и {3 - такие углы, что
{3 = а + 360° п (п - целое число) , то их подвижные лучи совпадают.
§ 5. Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс угла)
Определение и свойс1Ва тригонометрических функций. Рассмотрим
прямоугольную систему координат Оху. Окружность с центром в начале
координат и радиусом, равным 1, будем называть единичной окружностью
(рис. 217). Ее уравнение: х2 + у2 = 1.
k'( -1, '0)
.
!J fJ
,'!}}
_ Р(1, '0)
uo;-1J
Рис. 217
А
.х
Примем за верrшшу любого угла начало координат - точку О. Положи­
тельную полуось а_бсцисс примем за неподвижныйлуч ОА, т.е. за начало
отсчета любого угла а. Этот луч пересечет единичную окружность в точке
P(l; О). Подвижный луч ОВ пересечет единичную окружность в точке
М(х; у). ТочкаМ(х; у) получена поворотом точки P(l; О) на угол а .
Условимся в дальнейшем говорить: точка М(х; у) единичной окруж­
ности соответствует углу а.
Определения.
Синусом угла а называется число, равное ординате соответствующей
точки единичной окружности: sin а =у.
Косинусом угла а называется число, равное абсциссе соответствующей
точки единичной окружности: cos а= х.
Тангенсом угла а называется число, равное отношению синуса угла а к
sin.a
у
косинусууглаа: tgа= -- =
-
.
cos а
х
Например, sm 0° = О, cos 0° = 1, так как точка М совпадает с точкой Р,
ипоэтомуtg0° =О;sm90° = 1,cos90° = О, так как точка Мсовпадает с
точкой Q, и поэтому tg 90° не существует .
- Аналогично
находим
sin180°=О, cos180°= -
1, tg180°=О,
sin270°= -
1, cos 270° = О, tg 270° не существует.
11.Г . И. Богатырев
321

Синус и косинус являются функциями угла: для любого угла о: сущест­
вуют и притом единственные значения синуса и косинуса этого угла. Функ­
ции s:in о: и cos о: определены для любого угла, а множеством их значений
является отрезок [-1; 1], так как координаты точки М (х; у) единичной
окружности могут принимать все значения от -1 до 1. При увеличении
угла о: от 0° до 90v значения функции s:in о: увеличиваются от О до 1, а
значения функции cos о: уменьшаются от 1 до О.
Функция tg о: определена для тех углов о:, для которых cos о: =I= О. Напри­
мер, на отрезке [-180°; 180° ]· имеются два угла, для которых cos о:= О;
это углы 90° и - 90°. Следовательно, tg 90° и tg (-90°) не существуют.
Установим некоторые с в ой ст в а тригонометрических функций.
1) Дг!я любого угла о:
s:in(- о:)=
-
sin о:, cos(- о:)= cos о:,
tg(- о:)=
-
tg о: (cos о: =I= О).
Действительно, точки Ми N единичной окружности, соответствующие
углам о: и -о:, симметричны относительно оси Ох (рис. 218). Если точка М
имеет координаты х и у, то координаты точки N равных и -у. Поэтому
sin(- о:)= -у=
-
sin о:, cos(-o:) =х = cos о:,
sin(-o:)
-
sin о:
tg(-o:)=--=
--- = - tgо: (cosо:=I=О).
cos(-o:)
coso:
Первое из этих равенств означает свойство нечетности синуса, второе
свойство чеmости косинуса, а третье - свойство нечетости тангенса.
!/
Рис. 218
2) Дг!я любого угла о:
sin(o: + 360°n) =sin о:, cos(o: + 360°n) = cos о:,
где п - любое целое число.
Эти равенства следуют из совпадения подвижных лучей для углов о: и
о:+ 360° п при любом целом п. Они означают, что функции s:in о: и cos о: -
периодические с периодом 360v. Очевидно, что
tg(o: + 360°п) =tg о: (cosо: =I= О),
322

где п -любоецелое число.Оказьmается (см.§ 10), что
tg(o: + 180°n) =tg о:
при любом целом п. Поэтому функция tg о: - периодическая с периодом
180°
Вычисление коорщmат вектора; угловой коэффициент прямой. В § 3
было доказано, что каждый вектор на плоскости можно разложить по
единичным векторам i и 7 прямоугольной системы координат (рис. 219),
!/
С'
c!IJ
j
:с
оt
:r.
Рис. 219
Рис. 220
т.е. представить любой вектор с в виде
c = cxi+cyj,
где Сх и Су - координаты вектора с . Выразим координаты вектора с= ос
через его длину I с I и угол о: между лучом ОС и положительным направле­
нием оси абсцисс.
Пусть е - единичный вектор, направление которого совпадает с направ­
лением данного вектора с. Тогда с = 1 с 1 • е. Координаты вектоl'а е равн1!.!_
cos о: и sin о: (по определению синуса и косинуса), т.е.' е = cos а • Г +sin о:· j.
Значит,
с=1сIе=1с1(cosо:·Т+sinо:·Т)=1сIcosо:·Т+1сIsinо:•"[
Сравнивая с равенством с= суТ + суТ, п~>Пучаем
Сх=1С ICOSО:, Су =1С IsinО:
(3)
-
фо рмулы для вычисления координат вектора на плоскости. Рассмотрим
применение этих формул.
Пусть прямая / проходит через начало координат и не совпадает с осью
Оу (рис. 220) . Ее уравнение: у = kx. Коэффициент k называется угловым
коэффициентом этой прямой.
Пусть М (х; у) - произвольная точка прямой 1. Ее координаты х =
= 1 OMI cos а, у = 1ОМ I sin о:. Координаты точки М удовлетворяют уравне­
нию прямой /. Поэтому I OMI sin о:= k I ОМ I cos о:. Отсюда
sin о:
k=-
-
или k=tgo:.
cos о:
323

!I
+
+
о
3нсти sin«
Рис. 221
у
.Знаtш cosa
Рис. 222
х
у
о
+
Знаю.1 tg cr
Рис. 223
х
Прямые с уравнеIШями у = kx и у= kx + Ь параллельны; их угловые
коэффициенты равны. Верно и обратное : если угловые коэффициенты
двух прямых равны, то эти прямые параллельны.
Знаки тригонометрических функций. Углу а соответствует определенная
точка М(х; у) единичной окружности. Эта точка находится в координатной
четверти . Говорят, что угол а лежит в той четверти, в которой лежит соот­
ветствующая ему точка М. Например, если а - острый угол, т.е . 0° <а<
< 90°, то говорят, что угол а лежит в первой четверm.
Число sm а - это ордината соответствующей точки М (х; у). Поэтому
sm а> О, если точка расположена выше оси Ох, т.е. угол а лежит в первой
или второй четверm (рис. 221). Если эта точка лежит ниже оси Ох, то ее
ордината отрицательна, т.е. sin а< О в третьей и четвертой четверm.
Число cos а - это абсцисса соответствующей точки )\f(x; у). Поэтому
cosa>0, если точка лежит правее оси Оу, т.е. в ц ··~1~~ или четвертой
четверт (рис . 222). Если же точка лежит левее ос
:,' . во второй или
третьей четверти, то cos а< О.
sin а
По определеIШю tg а=-- . Поэтому tg а> О
cosa
аиcosаимеют
одинаковые знаки, и tg а< О, если sin а и cos а·...
,РОТИвоположные
знаки. Из рис . 221 и рис . 222 видно, что tg а> О в первои и третьей четверти
и tg а< О во второй и четвертой четверти (рис . 223).
Некоторые тригонометрические тождеств а.
1) Для любого а
sin2a+cos2a=1
(основное тригонометрическое то>1<дество).
Доказательство.ПоопределеIШю
sinа=у, cosа=х,
(4)
где х и у - абсцисса и ордината точки М единичной окружности для данного
угла а (см. рис. 217) .
324·
i~
1
1
l

Точка М принаддежит единичной окружности. Поэтому ее координаты
(х; у) удовлетворяют уравнению х2 + у 2 = 1 этой окружности. Следова­
тельно, sin 2 а:+ cos а:= 1. Тождество ( 4) доказано.
Оно устанавливает зависимость между синусом и косинусом одного и
того же угла.
Из равенства (4) можно выразить sin а: через cos а:, и наоборот:
sin а:= ±Jl - cos2 a:, cos а:= ±J1 - sin2 a:,
где знак перед корнем определяется знаком тригонометрической функции,
стоящей в левой части этих формул.
2) Для любого а
1
1 +tg2 a=--,
cos2 a
если cos а =I= О.
Доказательство.Поопределению
sin а
tg а=--
(cos а =I= О).
cos а
Применяя основное тригонометрическое тождество (4), получаем
sin2a
cos2a+sin2a
1
1+tg2a:= 1+-- =
-----
cos2 а
cos2 а
-
cos2а •
(5)
Тождество (5) доказано. Оно устанавливает зависимость между танrен-
СОМ и косинусом ОДНОГО и того же уг.ла.
3) Для любого а
sin(90° - а)= cos а, cos(90° - а:)= sin а,
sin(l80° - а:)= sin а, cos(l80u - а)=
-
cos а.
Для случая острого угла а (0° <а< 90°) доказательства этих тождеств
будут приведены в § 6.
Предоставим читателю проверить их справедливость при а = 0° и а= 90°.
Доказательства этих тождеств в общем случае будут рассмотрены в § 10.
Пр им ер 1. Доказать, что
'
1
1
l+--= --
tg2a sin2a
(sinа=I=О, cosа=I=О).
Р е ш е н и е. Действительно,
1
cos2 а
sin2а+cos'а
1
1+-- = 1+-- =
-- ---
-
tg:.i а:
sin2а
sin2 а
-
sin2 а: '
если sin а: =I= О, cos а =I= О. Доказанное тождество устанавливает зависимость
между тангенсом и синусом одного и того же угла.
325

Пример 2.Найти cosа:и tgа:, если sinа:=0,6,0° <а:< 90°.
Решение. Из тождества sin 2 а:+ cos 2 a: = 1 следует, что
coszа: =1 - sin2а: или cosа:=✓1- sin2а:.
Если 0° < а: < 90°, то cos а> О; значит, 1cosa:I = cos а:. Поэтому
✓
✓---
·
sina: 0,6
cosа:= 1-sin2a:= 1-0,36=0,8,tga:=--=
-
= О75.
cos а: 0,8
'
Пр им ер 3. Найти cos а: и tg а:, если sina: = 0,8, 90° <а:< 180°.
Решение.Мызнаем,чтоlcosа:1=у'1- sin2а:. Если90° < а: < 180°,
то cosa: < О ; значит, lcosa:I = -cosa: . Поэтому
cosa:= -J1- sin2a:= -v'l - 0,64= -0,6,
sin а:
0,8
4
tga:= -- =
=
cosa:
-0,6
3
2
о
о
Пример 4. Найти sina: и tga:, если cosa: =
-, 90 <а:< 180.
3
Решение. Мы знаем, что lsina:I = J1 - cos 2 а:. Если 90° <а:< 180°,
то sina: > О; значит, lsina:1= sina:. Поэтому
sina:"'yl -соs2а:=д = -15,
9 ,3.
sina: - ✓s
tga:=-- =
--.
cos а:
2
Пример5.Найтиsinа:иcosа:,еслиtgа:= - 2, 90°< а:<180°.
Решение. Из тождества
1
1 +tg2 a:= --
cos2 а:
следует, что
1
1
cos2 а: = --- или Icosa:1 = ✓
.
1+tg2a:
1+tg2a:
Если 90° <а:< 180°, то sina:>O, cosa: < О; следовательно, 1sina:l=sina:,
1cos а: 1= - cos а:. Поэтому
1
1
cosа:=-
-::::=== = -
-='
yl +tg2 a:
у5
2
sinа:=yl- cos2a: = ✓5·
326

§ 6. Сооmошения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника.
Значения синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45°, 60°
Рассмотрим прямоугольный Л АВС с катетами а и Ь и гипотенузой с.
Выберем прямоугольную систему координат Оху так, как показано ца
рис. 224. В этом случае числа Ь и а являются координатами вектора ОВ
(Ь - абсцисса,а
-
ордината точки В), с - длина вектора ОВ(Ь; а).
у
в
(l
:JJ
Рис. 224
Применяя формулы (3) § 5 для вычисления координат вектора, полу­
чаем
Ь=сcosLА, а=сsinLА;
следовательно,
а
Ь
sinLA =-,
cosLA = -.
с
с
Отсюда
sinLA а
tgLA= -- =-
cosLA Ь
Аналогично находим для угла В:
ь
sinLB =-;
с
Итак,
а
sinLA = -,
с
ь
cosLA = -
,
с
а
tgLA= -
ь'
а
cosLB = -,
с
ь
tgLB= -.
а
ь
sinLB = -,
с
а
cosLB = -,
с
ь
tgLВ- = -.
а
Формулы (6) можно прочитать так:
(6)
327

. Czmyc острого угла прямоуголыюго треугольника равен отношению
противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению
противолежащего катета к прилежащему катету.
Запишем формулы (6) в виде
а= csinLA,
Ь= csinLB,
Ь= с cosLA,
а= Ь tgLA,
а= ccosL В,
Ь= а tgLB.
Формулы (7) можно прочитать так:
(7)
Катет, противолежащий углу а, равен произведению гипотенузы на
sina.
Катет, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы· на cos а.
Катет, противолежащий углу а, равен произведению прилежащего
катета на tg а.
Эти правила выражают соотношения между сторонами и углами пря­
моугольного треугольника. Значение этих правил заключается в том, что
они позволяют, зная одну из сторон прямоугольного треугольника и ост­
рый угол, находить две другие стороны; зная две стороны, находить ост­
рые углы.
Для sin а, cos а и tg а составлены специальные таблицы. Эти таблицы
позволяют для данного острого угла а найти sin а, cos а и -tg а, а по данным
значениям sina, cos а и tg а найти соответствующий острый угол а. В
школе употребляются четырехзначные математические таблицы В.М. Бра­
диса.
В прямоугольном /':, АВС имеем
L-A +LВ=90°,
а2 +Ь2•=с2
(теорема Пифагора).
Решим несколько задач на вычисление элементов в прямоугольном
треугольнике по двум его известным элементам.
Задача 1.Дано:аиЬ.Найти:LA,LB,с.
а
Решение. 1) tgLA = -
(формулы 6); величину угла А находим
ь
из таблиц.
2)LB=90° - LA.
328
а
---
3) с= -.--
(формулы 6) или с= уа2 +Ь2 .
sшLA
Задача2.Дано:аис.Найти:LA,LB,Ь.

а
Решение. 1) sinLA = -
(формулы 6); величину угла А находим из
с
таблиц.
2) LB=90° - LA.
3) b=csinLBилиb=ccosLA (формулы7),илиЬ=Jс 2 -а 2 .
Задача 3.Дано:аиLВ.Найти:LА,Ь,с.
Решение.1) LA =90° - LB .
2) Ь =а tgLB (формулы 7).
а
3)с= - - (формулы7)илис=)а2 +Ь2.
cosLB
Задача 4.Дано:сиLA.Найти:LB,а,Ь.
Решение. 1) LB =90° - LA.
2) а= с sinLA (формулы 7).
3)Ь=сcosLA (формулы7)илиЬ=Jc2 - а2.
Теорема 1.Длялюбогоострогоуглаа
sin (90° - а)= cosa, cos (90° - а)= sina .
До к аз ат ель ст в о. Пусть АВС - прямоугольный треугольник с
острым углом а при вершине А ( см. рис. 224) . Тогда острый угол при
вершине В будет 90° - а.
Из формул (6) следует, что
о
Ь
о
а
sin(90 -a)=- = cosa, cos(90 -a)= -
=sina.
с
с
Теорема доказана .
Найдем значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60° .
Пусть LA =а.Тогда LB = 90° - а.
о
1
Если а= 30 , то а = -с , так как длина катета прямоугольного треуголь-
2
ника, лежащего против угла в 30°, равна половине длины гипотенузы
( § 3 гл.1 О) . По теореме Пифагора
Поэтому
"
1
0
vзO1vз
sin30 =2
,cos30 =2
,tg30=.Jз=-
3-
Если а = 45°, то LA = LB и АВС - равнобедренный прямоугольный
треугольник, а = Ь . По теореме Пифагора гипотенуза с= Ja2 + Ь2 = а)2 .
329

Поэтому
о
а
sin45 = --
а../2'
или
о
а
оа
cos45= --
tg45=-
а../2'
а
0
1V2
0
1V2
sin45=-==-
cos45= -
=
у12 2'
-/2 2'
tg45° = 1.
Если а = 60°, то по теореме 1
sin 60° = cos 30°,
cos 60° = sin 30°;
следовательно,
оvз
sin60 = -
2'
<)
1
cos60=-
2'
tg 60° = у13.
Теорем а 2.Для любого угла а (0° <а< 180°)
sin (180° - а)= sin а,
cos (180° - а)=
-
cos а.
До к аз ат ель ств о. Пусть а - острый угол (рис. 225). Тогда sina = У,
cosa = х. ЛОММ1 = ЛONN1 (равны по гипотенузе и острому углу). По­
этомуММ1 =NN1
,
ОМ1 = ON1
.
Так как точка М имеет координаты х и у,
!J
3]
111 P(t;O)
Рис. 225
то точка N будет иметь координаты - х и у. Следовательно
sin(180° - а)= у= sin а, cos(180u - а)= - х = -cos а.
В случае, когца а -тупой угол, доказательство ничем не отличается от
приведенного (соответствующие точки М и N симметричны относительно
оси Оу) . Теорема доказана.
330

--- ---- ---- --- - -- ---- ---
Например,
sin 120° = sin (180° - 60°) = sin 60° = ../3,
2
о(8060
о1
cos120=cos1О-О)=- cos60=- -
,
2
tg 120° = -../3.
§ 7. Теорема синусов и теорема 1<осинусов.
Решение треугольников
Пусть АВС - произвольный треугольник (рис. 226) .
Теорем а с ин у с о в. В любом треуголышке отношение стороны
•к
синусу противолежащего угла есть величина постоянная, равная
~
АL_ьС
ь
Рис. 226
U)
диаметру описанной окружности:
а
Ь
с
--
=--=
-- =2R.
sin а
sin {3 sin 'У
tf)
Рис. 227
О)
·Д-оказательство.
Опишем окружность около данного треуголь­
ника АВС (рис. 227) . Пусть R
-
ее радиус.
Возьмем одну из вершин треугольника, например А; через одну из дру­
гих вершин, например через В, проведем диаметр ВА 1 описанной окруж­
ности . Л А 1ВС - прямоугольный, так как вписанный угол А 1 СВ опира­
ется на полуокружность. Из этого треугольника найдем
а= 2R sina1 .
Еслиа- острыйугол,тоа =а1,таккаквписанныеуглыАиА1опи­
раются на одну и ту же дугу (см. рис . 227, а) . Значит,
sinа=sinа1.
Если а - тупой угол, то из теоремы о вписанном угле следует, что
а+а1=180°илиа1=180° - а (см. рис.227,б).Значит,
sinа1=sin(180° - а)=sinа.
331

Поэтому
а= 2R sin о:.
Если о: - прямой угол, то а = 2R (см.рис. 227, в), sin 90° = 1 и равенст­
во а= 2R sino: также справедливо.
Аналогичные равенства найдем и для углов~ и 'У· Итак,
а= 2R sin о:, Ь =2R sin~,
с=2Rsin'У·
Поэтому
а
Ь
с
--=
-
= --=2R.
sin о:
sin ~
sin 'У
Теорема синусов доказана.
Теор е м а к о с ин у с о в. Квадрат стороны любого треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения
этих сторон на косинус угла между ними:
а2=Ь2+с2- 2Ьсcoso:.
До к аз ат ель ст в о. Введем прямоугольную систему координат с
началом в точке А, как показано на рис. 228.
_
По формулам (3) § 5 найдем координаты вектора ОВ:
OB(ccoso:;c sino:);
следовательно, точка В имеет координаты (с cos о:; с sino:). Очевидно,
у
В (ccosa;csina:)
х
ОА
Ь
Рис. 228
что точка С имеет координаты (Ь; О). По формуле расстояния между
двумя точками получаем
ВС2=а2=(Ь -сcosо:)2+с2sin2о:=
= Ь2 - 2Ьсcosо:+с2cos2о:+с2sin2о:=
= Ь2 - 2Ьс cos о:+с2(sin2о:+ cos2о:).
Отсюда
а2=Ь2+с2- 2Ьсcosо:.
Теорема косинусов доказана.
332

Записавформулуа2 =Ь2 +с2 - 2Ьсcosаввиде
ьz+с2-а2
cosa= -----
2Ьс
заметим, что
1) если а2 = Ь2 + с2 , то cos а = О и а= 90°; следовательно, если квадрат
стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон,
то этот треугольник прямоугольный (теорема, обратная теореме Пифа­
гора);
2) еслиа2 <
а - большая сто
3)еслиа2>
треугольник туц
Теорем а /'.
ме квадратов е '
оcosа>ОиOv <а<90°; следовательно, если
< Ь 2 + с2 , то треугольник остроугольный;
тоcosа<Ои90°<а<180°, т.е. в этом случае
· IЙ.
а квадратов диагоналей параллелограмма равна сум-
i?<l'
А
ll
Рис. 229
До к аз ат ель ст в о. Пусть ABCD - параллелограмм (рис. 229).
Применим теорему косинусов к треугольникам ABD и АВС. Получим
BD2 =АВ2+AD2 - 2АВ •AD•cosа,
АС2 =АВ2 +ВС2 - 2АВ. вс. cos{3.
Так как {3 = 180° - а, то, складывая эти равенства и учитывая, что cos {3 =
= cos(180° - а) = - cosа,АВ=CD,ВС =AD,получаем
BD2 +АС2=АВ2 +В92+CD2 +AD2.
Теорема доказана.
Применяя теоремы синусов и косинусов,рассмотрим решение произволь­
ных треугольников. Решением треугольника называется нахождение всех
его шести элементов, т.е. трех сторон и трех углов по каким-либо трем
данным элементам.
Так же, как и для прямоугольных треугольников, рассмотрим четыре
основные задачи на решение произвольных треугольников.
3 ад а ч а 1. Даны трИ' стороны треугольника. Найти его углы.
Решение. По fеореме косинусов находим углы треугольника; их сум­
ма равна 180u . Эта задача имеет решение, если большая из сторон меньше
суммы двух других.Единственность решения следует из третьего признака
равенства треугольников.
333

З а д а ч а 2. Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий
угол и остальные две стороны.
Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий
угол вычисляется через заданные углы.
Имея сторону и все три угла, по теореме синусов находим две осталь­
ные стороны. Задача всегда имеет решение и притом единственное. Конеч­
но, сумма двух данных углов должна быть меньше 180°. Единственность
решения следует из второго признака равенства треугольников.
З а д а ч а 3. Даны две стороны, например а и Ь, и угол r, противолежа­
щий третьей стороне. Найти остальные два угла и третью сторону.
Решение. По теореме косинусов находим сторону с. Теперь, имея
три стороны, по теореме косинусов можно найти еще один угол, напри­
мер а. Тогда~= 180° - а
-
r. Задача всегда имеет решение и притом един­
ственное. Единственность решения следует из первого признака равенства
треугольников.
Зад а ч а 4. Даны две стороны, например а и Ь, и угол, противолежа­
щий одной из них, например а. Найти остальные два угла и третью сторону.
Ьsinа
Решение. По теореме синусов находим sin~ =
---.По
значеНИJQ
а
sin ~ находим отвечающие ему углы ~1 и ~2 (данному значению синуса
отвечают два угла на отрезке от 0° до 180°; это следует из формул ы
sin(180° - а) = sina). Выбираем из них один или оба, учитывая, что против
большей из сторон а и Ь лежит больший угол. Зная углы а и~. находим
уголr=180" - а
-
~. а затем сторону с по теореме синусов.
Эта задача может не иметь решения, иметь одно решение или два реше­
ния. (При исследовании рассматриваются случаи а ~ Ь и а< Ь; в случае
а< Ь результат исследования зависит от соотношения между а и Ь sina.)
Отметим, что предложенные способы решения этих задач не являются
единственными.
§ 8. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на ось
О ц редел е ни е. Скалярным произведением двух векторов называет­
ся число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между
ними.
-
-
-
Скалярное произведение векторов а и Ь _обозначается а • Ь (или а!!) .
Пусть tp - угол между векторами а и Ь . По определению а
·Ь=
=1а1•1ь 1•cos tf!.
Скалярное произведение а· а обозначается а 2 . Очевидно, а 2 = la 12 ,
таккакtp=ОиcosО=1.
С в о й с т в а скалярного произведения.
1) Переместительное свойство: а· Ь = Ь •а.
2) Сочетательное свойство относительно умножения вектора на число:
(ka) •ь =k(а•Ъ).
334

3) Распределительное свойство относительно сложения векторов:
а·(Б+с)=а•ь+а•с.
Свойство1)очевидно:а·Ь=Jа1•1Ь 1•cosip,
1_
ь·а =1ь1•1а1•cosip=1а1•1ь1•cosip=а•ь.
Для доказательства свойств 2) и 3) используем свойства проекции
вектора на ось.
Назовем осью прямую с выбранным на ней направлением и масшта­
бом. Пусть на плоскости заданы ось l с единичным вектором е и произ-
1
вольный вектор а = АВ.__
~
Рассмотрим вектор А 1 В 1 , началом которого является точкаА 1 - проек-
ция точки А на ось l, а концом - точка В1 - проекция точки В на ось l
(рис . 230).
Определение. Проекцией вектора АВ на ось l называется число,
равное А 1 В 1 (длине вектора А 1 В 1 ), если направление вектора А 1 В 1 совпа­
дает с направлением оси l, и равное -А 1 В 1 (длине вектораА 1 В 1 со знаком
минус) , если направление вектора А I В 1 противоположно направлению
осиl.
Используется обозначение пр 1 АВ (или пр1 а).
Теорема 1. Проекция вектораанаосьlравнадлиневектораа,
умноженной на косинус угла между вектором и осью :
•пр1а=1аIcosip,
где ip - угол между вектором а и единичным вектором е оси l.
оё
А1
Рис. 230
Доказательство. Если,р==О0 ,тоа=АС=А 1 В 1 (см.рис.230);
очевидно,прzа= 17i 1 = 17i Icos О. Если ,р =90°, то пр1а=О,таккакточки
А1ивl совпадаютиА1в1=О; прzа=о =1аIcos90°.
Если 0° < <.р < 90°, то вектор А 1 В1 и ось l одинаково направлены (см.
рис. 230) ; пр1 а = 1А 1В 1 1 = 1АС 1, и из прямоугольного !::, АВС получим,
чтоАС=IА1В 1 l=IABlcos,p.
335

Если 90° < ip ,;;;; 180°, то вектор А 1В 1 и ось l противоположно направ­
лены (рис. 231); пр1 а = - I A1B1 I.'
Так как cos(180° - ip) = - cos ip, то и в этом случае получим пр1 а=
= 1 ёi I cos ip . Доказательство предоставим читателю.
Следствие. Пусть вектор а задан. своими координатами (а 1 ; а 2 ) .
Тогда
ёi =а1Т+а2j,
где i и j - един.ичн.ые векторы координ.атн.ых осей Ох и Оу. По фор­
муле(3)'§5имеема1=1а Icosа:, гдеа:-уголмеждуаиУ. Следова­
rельн.о, ПРох а= а 1 . Аналогично доказывается, что про у ёi = а 2 .
в
с~---
,
1А
~)1
ое
z
Рис. 231
Таким образом, проекция вектора на координатную ось равна соот-
ветствующей координате зтого вектора.
С в ой ст в а проекции вектора на ось:
1)пр1(ёi+Ь) =пр1ёi+пр1Ь;
2) пр1(kа) =kпр1а.
Справедливость этих свойств следует из теоремы 2 § 3 о действиях
над векторами, заданными своими координатами .
Проекция вектора Ь на ось, направление которой совпадает с направле­
нием вектора а, выражается формулой пр - Ь = 1 Ь I cos ip, где ip - угол
а
между векторами а и Ь.
Поэтому скалярное произведение а и Ь:
ёi•Ь =1ёi 11Ь Icosip =1ёi Iпр-Ь.
а
Аналогично получается формула ёi • Ь IЬ I пръ ёi.
Таким образом, скалярн.ое произведен.ие двух векторов равн.о произ­
веден.ию длин.ы одн.ого из н.их и проекции второго вектора н.а н.аправле­
н.ие первого .
Применяя свойства проекции вектора на ось, получаем
(kёi)·Ъ = l blпpь(kёi) = lb l kпpьa = k(a·b),
а · (Ь+с) = lа l пр-(Ъ+с) = а(пр-Ъ+пр-с)
а
а
а
= lalпp-h+ l a l пp-c = а·Ь+а·с.
а
а
336
11
1
1

1
1;
r
Свойства 2) и 3) скалярного произведения доказаны.
Т е о р е м а 2. Скалярное произведение двух векторов равно сумме
произведений соответствующих координат этих векторов.
Пусть 7i (а1;а2) и Ь(Ь1; Ь2). Докажем, что
7i•Ь =а1Ь1+а2Ь2,
Доказательство.Таккак
a=a1 i+a2j, Ь =Ъ1 i +b2j,
то, используя свойства скалярного произведения, получаем
а·Ь = (а 1 Т+а2J) · (Ъ1Т+Ъ2J) =
- ;-2
-- ,-
--,-
- -;-2
=(а1Ь1)z + (а1Ь2+а2Ь1)z• J +(a2b2)J .
(8)
Очевидно,чтоt2=1i12 =1, У2 =1712 =1, i •j =О(векторы iи
7перпендикулярны,i·Т = 1Т 1 • 1Т 1 • cos 90° = О). Поэтому
а·Ь =а1Ь1+а2Ь2
-
формула для вычисления скалярного произведения в координатах .
Из определения скалярного произведения следует, что если векторы
перпендикулярны, то их скалярное мроизведение равно нулю. И обратно,
если скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю, то векторы
перпендикулярны.
Таким образом, для векторов а(а1 ; а2) и Ь(Ь1 ; Ь2) равенство
а1Ь1+а2Ь2=О
является условием перпендикулярности этих векторов.
Если векторы 7i и Ь - ненулевые, то
а·Ъ
cos (/! =
1а1•1ь1
гдеtp-уголмеждуаиЬ .
Пусть векторы а и Ь заданы своими координатами :
а (а 1 ; а2), ii(Ъ1; Ъ2),
Тогда
lai=vai+а~, lb1=ybf+Ъ~.
Применяя формулу (8), получаем формулу для вычисления косинуса
угла между векторами:
а1Ь1 +а2Ь2
cos tp = -------
(9)
Jaf +а~ •Jbt +Ь~
Так как 0° ,;;;; tp ,;;;; 180°, то формул а (9) определяет угол между вектора ­
ми однозначно .
337

П р и м е р 1. С помощью векторов доказать теорему косинусов.
Решение. ВЛАВСрассмотримвекторы (рис.232).Имеем7i=Ь - С:
Поэтому7i2=(Б-с)2 =Ь2-2Бс+с2илиа2=Ь2+.с2 - 2Ьс cosa.
П р и м е р 2. Найти величины углов и длины сторон треугольника
с вершинами А (О; ../3), В(2; $), с(~; v3 ).
,2
2
Р е ш е н и е. Сделаем схематичный чертеж (рис. 233). Мы знаем ( § 3),
что для вычисления координат вектора АВ надо из координат его конца В
в
А (О;VЗ)
8(2;v'J)
~С (.J/2; v.y2)
Ри~232
Рис. 233
вычесть соответствующие координаты его начала А. Поэтому АВ (2; О),
i АВ 1 =2. Аналогично ~~ходим
лс(~; -;), IAC 1 = ✓(3⁄4У+ ( ✓:У =vз.
По формуле (9) получаем
2.
АВ•АС
3
-+о
2
•(-✓:)
cosLА= -~
----
=--
.
1АВ1•IAC1
2'
следовательно, LA = 30°. Так как ВА = -АВ, то ВА (- 2;
вс(- ]_ ·
-
~)IBC1=j!_+~=1.Поэтому
2'
2'
44
ВА·ВС
(-2)·(-±)+О -(- ~)
cos LB = ------ =
-
------
-
-
--
=
IBA1•IBCI
2•1
О). Имеем
1
2'
следовательно, LB = 60°. Тогда L C = 180° -
(LA + LB) = 90°. Итак,
LA=30°, LB=60°, LC=90°, АВ=2, BC=l, АС=v'з.
П р им ер 3. Найти проекцию вектора Ь (- 2; 1) на направление
вектора а(3; - 4).
338

11
1
1
'
i
1
i
11
t
Решение. Известно, что
_
а·Ъ
праЬ =~ -
Поэтому
= 3 •(-2)+(-4)•1 =
.,;32 + 42
§ 9. Формулы сложения
-
2.
Формулами сложения называют формулы, выражающие cos (о: ± (3)
и sin (сх ± М через косинусы и синусы углов сх и (3.
Т е о р е м а. Для любых сх и (3 справедливо равенство
cos(сх-(3)=cosсхcos(3+sinсхsin(3.
( 1О)
Доказательство.ПустьточкиМехим13полученыповоротом
точки Р (1; О) на уг.[IЫ сх и (3 соответственно (рис. 234, а). Тогда векторы
ОМс, и ОМ13 имеют следующие координаты:
ОМс, (cos сх; sin сх), OM13(cos (3; sin (3) .
Пусп, <Р - угол между векторами ОМа и ОМ8 ; 0°..;; <Р.,;; 180°.
у
у
х
а)
Рис. 234
Применяя формулу (9), получаем
cosсхcos(3+sinсхsin(3
cos <Р = --:==:;=======----========== = cos сх cos (3 + sin сх sin (3.
vcos2сх +sin2сх .,/cos2(3 + sin2(3
Поворот на угол сх - (3 есть поворот около точки О на угол ,р либо на
угол -<Р (рис. 234, б).
Поэтомусх- (3=,р +360°плибосх - (3= -'{) +360°п, гдеп - некоторое
целое число. По свойству периодичности косинуса с периодом 360° имеем
cos(сх-(3)=cos(,р+360°n)=cos<Р
339

либо
cos(а-
~) = cos(-1Р+360°n)=cos(-IP)=cos1Р
(по свойству четности косинуса) .
Значит, для любых а и~ получаем cos (а - Ю = cos IP · Поэтому
cos(а-
~) =cosаcos~+sinаsin~-
Теорема доказана.
Так как а +~=а - ( -~), то иэ формулы (10) вытекает, что cos (а+~) =
= cbs (а - (-μ)) =cos а cos(-~) + sin а sin(-~), откуда в силу четности
косинуса и нечетности синуса получим равенство
cos(а+~) =.cosаcos~- sinаsin~.
(11) ,J
также справедливое для любых а и ~-
При а = 90° из формулы (10) получаем
cos (90° -
~) =cos90°cos~+sin90°sin~ =sin~
для любого ~- Отсюда в свою очередь следует справедливость для любого
~
равенства
cos~=cos(90°- (90°-
~)) =sin(90° -
~).
Используя полученllые равенства, имеем
sin (а+~) = cos (90° - (а+~)) = cos ((90° - а)
-
~)) =
=cos(90° - а)cos~+sin(90° - а)sin~'
т.е.
sin(а+~) =sinаcos~+cosаsin~-
Таккака-~=а+(-
~ ), то из формулы ( 12) получим
sin(а-
~) =sinаcos~- cosаsin~-
(12)
(13)
Формулы (12) и (13) справедливы для любых а и ~-
Таким образом, ,
получены формулы сложения (10)-(13).
'
Выведем формулы сложения для тангенса. Из определения тангенса
и формул ( 11) , ( 12) следует, что
340
sin (а+~)
sinаcos~+cosаsin~
tg (а+~) = ---- =
-------
.
cos (а+~)
cosаcos~- sinаsin~
Разделив числитель и знаменатель этой дроби на cos а cos ~' получаем
sinаcos~
cosаsin~
+
cos(Хcos~
cos(Хcos~
tg (а+~) = -~ -------
cosаcos~
sinаsin~
cos(Хcos~
cos(Хcos~
tg(Х+tg~
1- tgаtg~

Итак
tgо:+tg~
tg (о:+~) =
1-tgо:tg~
если cos о:* о : cos ~*О, cos (о:+~)* О.
Аналогично можно получить
tgо:-tg~
tg(o: -~) = ----'
1+tgо:tg~
если cos о:* О, cos ~*О, cos (о: - ~)*О.
Пр им ер 1. Вычислить cos 15°.
Решение. По формуле (10)
cos15° =cos(45° - 30°) = cos45°cos30°+sin45°sin30° =
,J2 .J3"
. /2 1 ..jб+.,/2
=--
--+--
-=----
2
2
2
2
4
Пример 2. Вычислить sin240°.
Решение. По формуле (12)
sin240° = sin(180°+60°) = sin180°cos60°+cos 180°sin60° =
1
.Jз" ,Jз
=О·-+(-1) -=
2
2
2
Пр им ер 3. Вычислить tg 135° .
Реш· е ни е. По формуле (15)
tg180° - tg45°
tg135° = tg(180° - 45°) =------=
-1.
1+tg 180°tg45°
§ 10. Формулы приведения
(14)
(15)
-Формулами приведения для синуса называют следующие шесть формул:
sin(90°+о:) = cosо:,
sin (90° - о:)
cos о:,
sin (180° + о:) = -sin о:, sin (180° - о:)
sin о:,
(16)
sin (270° + о:) = -cos о:, sin (270° - о:)
= -cosо:.
Все эти формулы выводятся с помощью формул сложения для синуса.
Например,
sin(90°+о:) = sin90°cosо:+cos90°sinо: = cosо:.
341

С помощью формул сложения для косинуса получаются шесть формул
приведения для косинуса:
cos (90° + а:) = -sin а:,
cos (180° + а:)= -cos а:, .
cos (270° +а:)= sin а:,
Например
cos (90° - а:)
=
cos (180° - а:) =
cos (270° - а:) =
sin а:,
-co s а:,
-
sin а:.
cos (180° +а:) = cos 180° cos а: - sin180° sinа: = -cosа:.
Формулы (16) и (17) справедливы для любых значений а:.
(17)
Чтобы записать любую из формул приведения ( 16) и ( 17) , применяют­
ся следующш; правила:
1) Если для приводимой функции угол равен 90° ± а: или 270° ± а:, то
синус заменяется на косинус и наоборот.
Если для приводимой функции угол равен 180° ± а:, то функция не
меняется.
2) Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет
исходная приводимая функция при условии, что а: - острый угол.
Например, напишем формулу приведения для sin (270° - а:). Согласно
первому правилу синус меняется на косинус. Если а: - острый угол, то
угол 270° - а: принадлежит третьей четверти, в которой синус отрицателен.
Поэтому по второму правилу перед косинусом нужно поставить знак
минус:
siri (270° - а:) = -cos а:.
Пример 1. Вычислить sin240° и cos240°.
Решение. sin 240° = sin (180° + 60°) = -sin 60° = -
~, cos 240° =
оо
о
1
= cos(180+60)= - cos60= -
-
.
2
Пр им ер 2. Доказать, что tg (а:+ 180°) = tg а: (cos а: i= О).
0
sin (180° + а:)
-sinа:
Решение. tg (а:+ 180 ) =
0
=-
-- = tgа:.
cos (180 + а:)
-
cos а:
Следовательно, 180° - период функции tg а:.
Используя периодичность тригонометрических функций и формулы
приведения, при составлении таблиц для sin а:, cos а: и tg а: достаточно знать
их зН'ачения лишь для углов, взятых от 0° до 45°.
Пр им е р 3. Вычислить с помощью таблиц sin 651 ° .
Peшeниe. sin651°=sin(360°+291°) = sin291° = sin(270° + 21°) =
= - cos21°~ -0,93.
342
-1
!
1
1
•

l § 11. Формулы двойного и ПОЛОВИIПIОГО углов
Из формулы
sin(а+~) == sinаcos~+cosаsin~
при ~ == а получаем
sin2а =2sinаcosа.
АналогИtП-Iо, из формулы
cos(а+~) == cosаcos~- sinаsin~
при ~ == а получаем
cos 2о: ::: cos2o: - sin2o:.
(18)
(19)
Используя ощювное тригонометрическое тождество sin2 а + cos2 а == 1,
из равенства (19) получаем следующие формулы:
cos2о:=2cos2o:- 1, cos2о:==1-2sin2o:.
(20)
Из формулы
tgа+tg~
tg (а+~) ==
1-tgаtg~
при ~ == а получаем
2tg а
tg 2о: :::
2
1-tgа
(21)
Формулы (18) - (21) называют формулами синуса, косинуса и танген­
са двойного угла.
Формулы (18) и (19) справедливы для любых а, а формула (21) -
для тех а, при которых обе части равенства имеют смысл.
Пр им ер 1. Вычислить sin 2о: и cos 2о:, если sin а == -0,8 и 180° <а<
< 270°.
Решение. Таккак180°<а<270°, то cosа<Оипоэтому
cosа=-Jl-sin2a =-yl-0,64== - 0,6.
Следовательно
sin2о: =2sinаcosа == 2 •(-0,8)•(-0,6)==0,96,
cos 2о: == cos2o: - sin2o: == 0,36 - 0,64 == -0,28.
Пример2. Вычислить tg2о:,еслиtgа=
1
2
343

Решение.tg2о: =
Из формул (20) :
cos2х=2cos2х-1, cos2х
о:
прих=
получаем
2
о:
1
4
1+cosо: =2сos2 -
,
2
о:
1- coso: = 2sin2 -
.
2
Формулы (22) можно записать так:
о:
1+cosо:
cos2 -
= ----
2
2
о:
sin2 -
2
1- cos о:
2
4
3
(22)
(23)
Формулы (23) называют формулами синуса и косинуса половинного
угла. Эти формулы иногда называют также формулами понижения степени.
о:
о:
Если задан cos о:, то по формулам (23) можно найти sin -
иcos-
.
2•
2
с точностью до знака. Знак можно определить, если известно, в какой чет­
а:
верти лежит угол -
.
2
о:
Пр им ер 3. Вычислить tg -
, если cos о:= 0,6 и 180° <а< 360°.
2
Решение. Из формул (23) следует, что
о:
1- cosо:
tg2 -
=----=
2
1+cosо:
1- 0,6
1
-- -=
1+0,6
4
о:
о:
Поусловию180°<о:<360°, поэтому90°< -<180°иtg- <О.
2
2
о: j1
1
Следовательно, tg -=
-
-
=-
-
.
·
2
4
2
344
о:
Таккако:=2 • -
, то согласно формулам (18) и (19)
2
о:
о:
sinо: =2sin- cos
-
2
2'
о:
cos о: = cos2
2
о:
sin 2
2
1
-1
1
1
1
j
11

Поэтому·
(Х
(Х
(Х
(Х
2sin - cos
-
2
2
2sin - cos
-
2
2
sin а = ------- =
--------
1
а
а
cos 2
+ sin2
2
2
COS 2
(Х
sin 2
(Х
cos 2
(Х
sin 2
(Х
2
2
2
2
cos(Х=
=
1
cos 2
(Х
+ sin2
(Х
2
2
(Х
Разделив числитель и знаменатель каждой из этих дробей на cos 2 -
,
2
получаем
(Х
2tg-
2
sinа =
1+tg2
(Х
если cos - =ft О.
2
(Х
2
(Х
1- tg2
2
cos (Х
(Х
1+tg2
2
(24)
По формулам (24) тригонометрические функции угла а рационально
(Х
выражаются через tg -, т.е. с помощью только четырех арифметических
2
действий.
Из формул (24) следует, что
tg (Х
(Х
2tg -
2
(Х
1-tg2-
2
(Х
еслиcosа*О, cos- *О.
2
sin а
Пример4. Вычислить
-----
2- Зсоsа'
(Х1
Решение.Таккакtg-=
-
,
22
sinа =
4
cos (Х
5,
3
-
.
Следовательно,
5
(Х
1
если tg -
=
22
то по формулам (24) находим
sin а
--- --= 4.
2- Зсоsа
345

§ 12. Тригонометрические преобразования
П~образование суммы и разности тригонометрических функций в
произведе1П1е : для любых а и {3
(Х+{3
sinа+sin{3 =2sin --- cos
2
(Х- {3
2
а-{3
а+{З
sinа- sin{3=2sin--- cos
---
2
2'
а+{З
а-{3
cosа+cos{3=2cos --- cos
---
2
2
а+{З
{3-а
а+{З
а-{3
cosа- cos{3=2sin--- sin---
= - 2sin---sin---
2
2
2
2
Для доказательства представим а и {3 в вице
а+{З
а-{3
(Х- {3
а=--+---
(Х+{3
{3= --
2
-
---
2
2'
и применим формулы сложения :
( а+{З а-{3 \
sina=sin-
2-+
--
2-) =
а+{З
а-{3
а+{З
= sin--cos
---
+cos--
2
2
2
sin{З = sin(a;{З - а;{З) =
2
(Х- {3
sin---.
2
а+{З
а-{3
а+{З
а-{3
= sin--cos
---
-
cos -- sin ---
2
2
2
2
Почленно складывая и вычитая эти равенства, получаем
а+{З
а-{3
sinа:+sin{3 = 2sin --- cos
---
.
2
2
(формула суммы синусов),
а-{3
а+{З
sinа- sin{3=2sin --cos
---
2
2
(формула разности синусов) .
(25)
Аналогично получаются формулы суммы косинусов и разности ко­
синусов .
346

1
l
sin За+ sin а
Пр им ер 1. Упростить выражение
cos За+ cos а
Решение.
sin За+ sin а
=
cos За+ cosa
2sin 2а cos а
2cos 2а cos а
За +а
2sin --- cos
2
За +а
2cos
cos
2
tg 2а.
П р и м е р 2. Доказать равенства
За-а
2
=
За-а
2
sin (а+ 13)
tgа+tg13= ----
cosаcos13
sin(а-13)
tgа- tg13= ----
cosаcos13
Решение .
sin а
sin 13
tgа+tg13= -- +
--
=
cos а
cos 13
sinаcos13+cosаsin13
sin (а+ 13)
=
=
cosаcos13
cosаcos13
sin а
sin 13
tgа-tg13= --- --=
cos а
cos 13
sinаcos13- cosаsin13
sin(а-13)
=
=
cosаcos13
cosаcos13
П р и м е р 3. При каких значениях а и 13 справедливо равенство
sinа+ sin13 =sin(a + 13)?
Решение.Имеем
a+l3
а-13
sinа+sin13 =2sin ---cos
2
2
a+l3
a+l3
sin (а+ 13) = 2sin -- cos
--
.
2
2
Поэтому равенство приводится к виду
a+l3 ( а-13
a+l3 )
sin -
2-- cos
-
2--cos
-
·-
2--
=О
347 •

или
о:+~
sin ---
2
о:
2sin -sin
2
~-- О,
2
т.е.
о:+~
о:~
sin --- sin-sin -
=О.
2
2
2
Отсюда получаем
о:+~
sin--=О,
о:+~= 360° • k,
2
о:
sin-= О,μ. = 360°·l,
2
.
~
sш-
=О,
~=360°•т.
2
Итак, равенство возможно в трех случаях:
о:+~=360°•k, о: =360°•/, ~ =360°•т,
где k, /, т - любые целые числа.
Иногда для преобразования в произведение вводится вспомогательный
угол.
П р и м е р 4. Преобразовать в произведение 1 - 2 sin о:.
Решение. 1 - 2sino: =2(1⁄2- sino:) =2(sin30° - sino:) =
= 4sin 3002-0: cos 30:+о: = 4sin(1s0
-~ )cos(1s0 + :)-
п р и м е р 5. Преобразовать в произведение сумму а sin о: + Ь cos о:,
где а и Ь - заданные числа.
Решение. Имеем
аsinо:+Ь cosо: =уа2+Ь2( _а__ sinо: + Ь . cos о:),
..,/а2 + ьz
..,/а2 + ь2
где хотя бы одно из чисел а и Ь не равно нулю.
Рассмотрим точку Мс коорд~,μIатами а и Ь. Она лежит на окружности
радиуса R = ..,/ а2 + Ь 2 с центром в начале координат. Отсюда ясно, что
348

i
i
L существует такой уrол '-Р, для которого
а
а
Ь
Ь
cos'-Р= -
= ~:=;==:::;;:
sin'-Р = -
= -::===-
R уа2+bz'
R Ja2 +Ь2
(а2 +ь2 *О).
Поэтому
asina+bcosa = уа 2 +b2 (sinacos'-P+cosasin'-P) =
= уа2+Ь2sin(а+'-Р).
Отсюда следует, что сумма а sin а + Ь cos а имеет наибольшее значение,
равное уа2 + Ь2 , и наименьшее значение, равное - уа2 + Ь2 •
Например, 3sinа+4cosа =у32 +42 sin(а +tp) = 5sin(а+'-Р), rде '-Р -
3
4
вспомогательный уrол, для которого cos '-Р = -
, sin'-Р=-
.
Наиболь-
5
5
шее значение суммы 3 sin а+ 4cos а равно 5, а наименьшее - 5.
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
и разность: для любых а и {З
sin(а+{З)+sin(а - {З)
sin а cos {З = ----------
2
cosаcos{З
cos (а+ {З) + cos (а -IЗ)
2
cos(а-{З)
-
cos (а+ {З)
sinаsin{З =
2
Для доказательства применим формулы сложения:
cos(а-{З) = cosаcos{З+sinаsin{З,
cos(а+{З) = cosаcos{З- sinаsin{З.
Почленно складывая и вычитая эти равенства, получаем
cos(а-{З)+cos(а+{З) =2cosаcos{З,
cos(а-{З)
-
cos (а+ {З) == 2sin а sin {З.
(26)
Отсюда получаем формулы преобразования произведений cos а cos {З и
sin а sin {З. Аналогично получается формула для sin а cos {З.
П р и м е р 6. Доказать тождество
sin5аcosЗа- sin2а=sinЗаcos5а.
349

Решение.
sin (So: +За:) + sin (So: - За:)
sin5о:cosЗа:- sin2о: = - ------- ---- -
sin 2о: =
2
sin 80: + sin 2о:
sin 80: - sin 2о:
--
--
---
-
sin 2о: = ------- =
2
2
80: - 2о:
80: + 2о:
2 sin ---- cos
2
2
=---------- ---- = sin ЗСУсоs So:.
2
Тождество доказано .
Упражнения
РАЗДЕЛ 1
1. К_акой вид имеет четырехугольник ABCD, если известно, что а) AD
--
--
б) векторы AD и ВС коллинеарны?
2. Доказать с помощью векторов теорему о средней линии треугольника .
3. Длина вектора ii (5; li)_ равна 13. Найти п.
4.Векторы ii(l; - 1) и Ь (-2; п) коллинеарны. Найтип.
--
5.Даныточки А(О ; 1), В(1; О) , C(l; 2), D(2; 1).Доказать,что AB=CD.
ВС;
6. Дан ве.ктор ii (4; 3). Найти вектор Ь (Ь 1 ; Ь 2 ), имеющий в два раза б~льшую
длину и направленный с вектором ii :
а) одинаково; б) противоположно.
7. Даны вершины треугольника А (1; 1), В (1 ; 4), С (5; 4) . Найти косинусы уг­
лов треугольника.
8, Даны векторы ii (1; О) и Ь (1; 1) . Найти такое число х, чтобы вектор а+ х Ь
был перпендикулярен вектору а.
9. Доказать с помощью векторов, что диагонали ромба перпендикулярны.
1О. Найти проекцию вектора ii (1; 1) на направление вектора Ь (4 ; - 3) .
11. Вычислить: а) cos а и tg а, если sin а,= 0,8, 0° <а,< 90°;
1
б) sinа,и tgа, если cosа,
-
-
90° < а,<180°•
3,'
'
1
в)sinа,и cosа,еслиtgа=3
, 180° <а,< 270°.
г) cosа,и tg°'• если sin°'·= - 0,6, 270°<а,<360°.
12. Найти значения синуса, косинуса и тангенса для углов 120°,
135° , 150°,
210°' 225°' 240° .
3
13.УтреугольникаАВС:АВ =15см,АС=10см.МожетлиsinLВ= -
?
.
4
14. Даны диагонали параллелограмма с и d и угол междУ ними °' · На йт и сторо­
ны параллелограмма.
15. У треугольника две стороны 20 м и 21 м, а синус угла между ними ра­
вен 0,6. Найти третью сторону .
350
.J

16. Не вычисляя величины углов треугольника, указать вид каждого из тре­
угольников (относительно углов), если его стороны равны:
а)7;8;12;б)0,3;0,4;0,5;в)8;10;12.
17. Доказать теорему: если две стороны одного треугольника соответственно
равны двум сторонам другого треугольника, а углы межцу этими сторuнами не
равны, то против большего угла лежит большая сторона.
18. В параллелограмме острый угол равен 60° . Найти стороны параллелограм ­
ма, если его периметр равен 22 см, а меньшая диагональ равна 7 см.
19. В треугольнике АВС: ВС =6см, LA =60°, LB =45° .
Найти длины сторон
АВиАС.
20. Найти все элементы прямоугольного треугольника с прямым углом С, если
известно, что а) а=6,4, Ь=50; б) Ь = 65, с = 69; в)а = 114,LA = 34°45'; г) а= 18,
5
9
LB = 84°50'; д)с = 5 - , LA = 71°48'; е)с=З-, LB=l9°52' .
19
17
21. Даны три стороны треугольника. Найти его углы, если а= 55, Ь = 21, с= 38.
22. Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий угол и остальные две
стороны, если с= 14, о,= 64°, fЗ = 48°.
23. Даны две стороны и угол, противолежашнй третьей стороне . Найти осталь­
ные два угла и третью сторону, если а= 24, с = 18, fЗ = 15°.
24. У треугольника заданы две стороны а, Ь и угол °'• противолежащий сторо-
не а. Найти остальные углы и сторону треугольника, если а = 6, Ь = 8, о, = 30°.
Вычислить . (No 25 - 40):
25. cos (-420°). 26. tg 570°. 27. sin (- 3630°). 28. sin 75° . 29 . tg 105°.
30.sin(о,+/3),если sinо,=0,6, 0° <о, <90°, cos{З=0,28,270°<{З<360°.
3
.
31, sih(60° - а), если tgо,=
4 , 180° <о,< 270°.
32.tg(а-!З),еслиtgо,=3,tg{З=2.
33. tg 1800° - sin 495° + cos 945°.
34 . Зсоs 3660° + sin (- 1560°) + cos (-450° ).
о,
о,
.
4
о
3600
35.sinти'cosт, если smo, = -s· 270 <а<
.
36.sinо,+cosо,, если sin2а=0,96.
·---
~ -1. tg ~, если cosо,=0,8, 180° <о,<360° .
2
.
4+5cos2а
38.
.
2
, еслиtgо,=3.
sm о,
39.sin105° - sin75°. 40.tg265°+tg95°.
Доказать тождества (No 41-46) :
41. sino, + sin (о,+ 120°) + sin (о,+ 240°) = О .
42.sin6a +cos6o,+3sin2a cos2o, = 1.
43. (sin о, - cos а)2
=1-sin2а.
44. cos
2
a + cos2 (120° +о,)+ cos2 (120° - о,)
sin2а-sinЗа+sin4о,
45. -------- = tg За.
cos2а-cosЗа+cos4а
46. tg2o, ~tg2/3
cos 2 acos
2
{З
sin2a - sin2f3
Преобразовать в произведение (No 47-52):
3
2
351

47.✓з-2cosС,,48.1 - sinCt. 49.1+coset+sinCt.
50. 2sin 2
et+ -./3sin2et- 1. 51.1+sinс,+cosс,+tget.
52.✓tg4et+sin4et + ✓tg4et- sin4et, если45°<с,<67,5°.
РАЗДЕЛ II
53, В параллепограмме ABCD точки М и N - середины сторон CD и AD. Вы­
разить вектор MN через векторы СВ = а и DC = Ь.
54. Доказать, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место неравенство I АС 1 <
--
--
<1АВ1+1ВС1.
55. Длина вектора Ь (т; 24) равна 25. Найти т.
56. Найти единичный вектор, коллинеарный вектору а (8; 6), одинаково с ним
направленный.
5 7. Найти координаты вектора АВ, если точки А и В имеют следующие коор-
динаты: а) А (3; 1), В(5; О); б)А(-1; 3), В(-2; 1); в)А(3; 1), В(-1; -3).
58. От точки А отложен вектор АВ =а. Найти координаты точки В, если
а)А(О; 0), ii(-2; 1); б)А(-1; 5), a(l; -3); в)А(2; 7), а(-2; -5).
59. Даны координаты вершин А, В, С параллелограмма ABCD. Найти коорди­
наты вершины D, если
а)А(2; 3), B(l; 4), С(О; ~2); б)А(-2; -4), В(3; 0), C(l; -2).
60. Даны векторы а и Ь . Найти длину вектора а + Ь и угол между вектор ами
а и а + Ь, если известно, что длины векторов а и Ь равны 1, а угол между
ними 60°.
61. Точки А (1; 2), В(2; 4), С(4; 5) и D(4; 2) являются вер шинами четырех­
угольника. Найти величину угла межцу диагоналями четырехугольника.
62. Точки А (l; 2), В-(2; 4), С ( ~ ; 4) и D (6; 2) являются вершинами тра­
пеции. Найти косинусы углов трапеции ABCD.
63. При каком значении т векторы а (3; 4) и Ь (т; 2) перпендикулярны?
64. Даны точки А (О; О), В ( -1; 1), С (О; 2), D (1; 1). Доказать, что четырех-
угольник ABCD - прямоугольник .
65. Найти проекцию вектора ii (-1; 2) на направление вектора а (6; -8).
66. Вычислить: а) sin" и tg с,, если cos с,= -0,8, 90° <с,< 180° ;,
б)sinс,и coset, если tgс,= -3,90°<с,<180°;
в) cos с, и tg et, если sin с,= -0,6, 180° <с,< 270°.
67. Найти значения синуса, косинуса и тангенса для углов 300°, 315° , 330°.
68. Найти все элементы прямоугольного треугольника с прямым углом С, если
известночтоа)а=122_ Ь = 3 _.!.. • б) а=2._
с=1·в)Ь =1012 LB=30°24'·
'
3,_
6'
5'
'
'
'
'
г)Ь=2,46, LA=34°56'; д)с=4,18, LA=71°18'; е)с=О,119, LB = 29°14' .
69. Диагонали параллелограмма имеют длины 5 см и 8 см; угол между диаго­
налями равен 77° 18'. Найти длины сторон параллелограмма.
70. Даны три стороны треугольника. Найти его углы, если а= 23, Ь = 17, с = 39.
71. Даны сторона и два угла треугольника. Найти третий угол и остальные две
стороны, если Ь = 12, а= 36°, (З = 25°.
72. Даны две стороны и угол, противолежащий третьей стороне. Найти осталь­
ные два угла и третью сторону, если а= 32, с= 23, (З = 152° .
352

73. У треугольника заданы две стороны а, Ь и угол а, противолежащий сторо­
не а. Найти остальные углы и сторону треугольника, если а= 34, Ь = 12, а, = 164°.
Вычислить (No 74 - 86):
74. cos(-360°). 75 . tg(-180°) . 76 . sin(-750°). 77.sinl5°. 78.tg75° .
3
8
79.cos(а,+(3)иcos(а,-(3),если sinа = -
5,270°<а<360°иsin(3=
17,
0°<(3<90°.
80.cos2а,·если sinа, =0,3. 81.sin2а, если sinа,
-
0,6, 180° < а, < 270°.
82.tg(45°+а,), еслиtgа=2.
С<
а,
а,
з
83. sin
2, cos
2, tg
2,если sina -
5,90°<а,<180°.
С<
1
84.sinа, и cosа, если tg
2=
2
85. sin 165° + sin 105° . 86. cos 105° + cos 75°.
Доказать тождества (No87 - 93):
87.
88.
sin а,
1- cosа,
l+cosa,
sina + tga,
1+cosа,
sin а
tg °'·
sinа,+sinЗа
89. -- ---
= tg 2а,.
cosа,+cosЗа
90. (sin а+ cos а,) 2
=·1 + sin 2а.
91.cos
4
a-sin4 a+sin2a, = ✓ 2cos(2a-45°).
cosа,+sinа,
0
92.
.
= tg(45 +а) ,
cosа-sinа,
cos22a-4cos2a +3
4
93• cos 2 2a+4cos2a-1 = tg °'·
Преобразовать в произведение (No 94-99) :
94.1+2sinа. 95.1+sinа. 96..jз+2cosа.
97.1 - cosа- sinа. 98.2cos22a+3cos4о,-3.
99.cos2а+sin4а,- cosба,.
100. Найти наибольшее и наименьшее значения суммы 5 sin а+ 12 cos а .
ГЛАВА 15
ПЛОЩАдИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Многоугольник, или простая замкнутая линия, разбивает множество
точек плоскости, не принадлежащих: многоугольнику, на две области -
внутреннюю и внешнюю. Во внешней области найдется прямая, которая
вся расположена в этой области. Во внутренней области такой прямой нет .
Точки внутренней области называются внутренними, а точки внешней
области - внешними относительно многоугольника.
1⁄412 . Г.И. Богатырев
353

Фигуру, образованную много 1тольником вместе с его внутренней обла­
стью, называют м1-югоуголыюй областью (или пополненным многоуголь­
ником).
В повседневной жизни, когда говорят о площади треугольника, четырех­
угольника или о площади любого многоугольника, имеют в виду площадь
той части плоскости, которая ограничена многоугольником. Будем посту­
пать так же, т.е. будем говорить о площади многоугольника, понимая под
этим площадь многоугольной области.
§ 1. Понятие площади; основные свойства площадей
Понятие площади аналогично понятию длины отрезка .
Если выбрана единица измерения, то каждь1й отрезок имеет длину.
Равные отрезки имеют равные длины. Если отрезок АС точкой В между
А и С разделен на два отрезка АВ и ВС, то длина отрезка АС равна сумме
длин отрезков АВ и ВС. Длина отрезка выражается положительным
числом.
Точно так же, если выбрана единица измерения (например, квадрат),
то каждый многоугольник имеет площадь.
Сформулируем условия, которые позволят площади многоугольников
выразить положительными числами. Они называются о с н о в н ы м и
свойствами площадей.
1) Если два многоуголышка равны, то их площади равны.
2) Если многоугольник составлен из неперекрывающихся многоуголь­
ников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3) Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
Поясним свойство 2). Говорят, что многоугольник F составлен из
неперекрывающихся многоугольников F 1 , F 2 , . .. , Fn, если каждая точка
многоугольника F принадлежит хотя бы одному из многоугольников
F1,F2,
...
, Fn и никакие два из этих многоугольников не имеют общих
внутренних точек.
Согласно основному свойству 3) число, выражающее площадь квадра­
та, а следовательно, и любого другого многоугольника, зависит от выбора
единицы измерения отрезков. Например, если за единицу измерения отрез­
ков принят 1 см, то за единицу измерения площадей принимают квадрат
с длиной стороны 1 см. Площадь этого квадрата обозначают 1 см 2 и в
этом случае площадь любого многоугольника выражают в квадратных
сантиметрах. Таким образом, каждый раз рядом с числом, выражающим
площадь многоугольника, указывают единицу измерения: мм 2 , см
2
, м2,
км2 и т.д.
Кроме многоугольников будем рассматривать простые фигуры. Фи­
гура называется простой, если ее можно разбить на некоторое число не­
перекрывающихся треугольников. В частности, такие фигуры, как парал­
лелограмм, трапеция, любой выпуклый многоугольник, являются просты­
ми. Площадь фигуры F обозначается S F.
354

Для простых фигур, а также более сложных фигур (например, круга)
справедливы общиесвойстваплощадей.
l) Равные фигуры имеют равные площади.
2) Если фигура F 1 составляет часть фигуры F, то S р1 3⁄4 S F.
3) Если фигура F с помощью прямой разделена на части F 1 и F 2 , то
Sp=Spl+Sp2 .
Фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими. Рав­
ные фигуры всегда равновелики. Обратное неверно: если две фигуры
имеют равные площади, то они не обязательно равны.
§ 2. Площади прямоугольника, параллелограмма,
треугольника и трапеции
Площади прямоугольника и параллелограмма. Сначала используем
свойства площадей многоугольников для вывода формулы площади .
прямоугольника.
Условимся одну из сторон параллелограмма, в частности прямоуголь­
ника, называть основанием, а перпендикуляр, проведенный к прямой,
содержащей эту сторону, из любой точки противоположной стороны, -
высотой.
Для краткости будем часто говорить "основание" и "высота", понимая
под этим их длины .
Т е о р е м а 1. Площадь прямоугольника равна произведению его
основания на высоту.
t,
а
J,г
(1
(17.
sа
lJ
с
lJ
h
h-
!;
177. h
А
а
tJ
(l
1!Е
tl)
Рис. 235
До к аз ат ель ст в о. Пусть ABCD - данный прямоугольник, а S
-
его площадь (рис. 235, а). Примем сторону АВ за основание, а AD - за
высоту и обозначим АВ =а, AD = h.
Дополним прямоугольник ABCD до квадрата AEFL, как показано на
рис. 235, б. Так как АЕ = AL = а+ h, то по основному свойству 3) площа­
дей SлEFL = (а+ h)2; квадрат AEFL составлен из четырех неперекрываю­
щихся четырехугольников: данного прямоугольника ABCD с площадью S,
равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1) площадей) и
двух квадратов с площадями а 2 и h 2 ( свойство 3)). По свойству 2) площа -
1/4-11.*
355

дей многоугольников
(a+h)2
= S+S+a
2
+h2
или
(a+h)2
= 2S+a
2
+h2
.
Отсюда получаем S = ah. Теорема доказана.
С л е д с т в и е. Площадь прямоугольного треугольника равна поло­
вине произведения длин его катетов.
Д о к аз ат ель ст в о. Пусть АВС - прямоугольный треугольник с
прямым углом С, S - его площадь , ВС = Ь, АС= а (рис. 236). Достроим
KG,j:
А
Q
С
Рис. 236
его до прямоугольника. Тогда Sвклс = S + Sлкв или S в клс = 2S,
так как треугольники АВС и АКВ равны и, следовательно, имеют равные
площади. Отсюда, применяя теорему о площади прямоугольника, получаем
1
S=-ВС•АС
2
что и утверждалось.
или
1
S=-аЬ
2'
ТеоремаПифагора.Впрямоугольномтреугольникеквадрат
длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Эта теорема была доказана в § 3 гл. 12 с помощью подобия треуголь­
ников. Пользуясь свойст вами площадей многоугольников., приведем
другое доказательство .
Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом С
(рис. 237, а). Докажем, что с
2
=а
2
+Ь2.
Ь
а
ь
А
ь~А
а
ь
с
а
в
с
а
в
а)
б)
Рис. 237
356

Достроим Л АВС до квадрата со стороной а + Ь так, как показано на
· р и с. 237, б. Площадь S этого квадрата равна (а+ Ь) 2
.
Этот квадрат состав­
лен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого
1
1
из которых равна - аЬ, и квадрата со стороной с. Поэтому S :::; 4 • -
аЬ+
2
2
+с2
= 2аЬ +с2.Такимобразом, (а +Ь)2 =2аЬ +с2,откудас
2
=а
2
+Ь2.
Теорема доказана.
Пользуясь формулой для вычисления площади квадрата, можно дать
следующую формулировку теоремы Пифагора: площадь квадрата, по­
строенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме
площадей квадратов, построенных на его катетах.
Т е о р е м а 2. Площадь параллелограмма равна произведению его
основания на высоту.
Доказательство. ПустьABCD-данныйпараллелограмм,а
S - его площадь (рис. 238). Если он не является прямоугольником, то
один из его углов, А или В, острый. Пусть, например, угол А - острый:.
Проведем высоту АЕ. Обозначим АВ = а, ВС = Ь, АЕ = h. Площадь тра­
пеции АВСЕ равна сумме площадей параллелограмма ABCD и треуголь­
ника АDЕ.
Проведем высоту BF. Тогда площадь трапеции АВСЕ равна сумме
площадей прямоугольника ABFE и треугольника BCF. Прямоугольные
треугольники ADE и BCF равны и, значит, имеют равные площади. Отсюда
следует, что площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоуголь­
ника ABFE, т.е. S =ah. Теорема доказана.
С л е д с т в и е. Площадь параллелограмма равна произведению его
смежных сторон на синус угла между ними.
До к аз ат ель ст в о . Пусть LA = LC= а. Из прямоугольного треугольни­
ка BCF (см. рис. 238) получим, что BF =ВС sin а, т . е. h= Ь sin а. Результат
Ь
{l
А
1⁄2[~]}
СF
llЕ
Рис. 238
не и~менится, если взять тупой угол В: если LB =а, то LA = 180° - а, а
sin(180° - а) =sin а. Поэтому S =аЬ sin а.
Площадь треугольника. Условимся одну из сторон треугольника назы­
вать основанием, а перпендикуляр, проведенный из противоположной
вершины к прямой, содержащей эту сторону, - высотой.
Т е о рем а 3. Площадь треугольника равна половине произведения его
основания на высоrу .
12. Г.И. Богатьrрев
357

Доказатецьство.ПустьАВС-данныйтреугольник,аS-его
площадь (рис. 239) . Достроим треугольник АВС до параллелограмма.
Площадь параллелограмма · АКВС равна сумме площадей равных треу­
гольников АВС и АВК. Поэтому площадь параш1елограмма равна удвоен­
ной площади треугольника А ВС: Sлквс = 2S = ah, так как высота па­
раллелограмма, соответствующая стороне ВС, равна высоте треугольни­
ка АВС, проведенной к ВС. Отсюда
1
S=-
ah
(1)
2,
где ВС =а, AD = fl. Теорема доказана.
ЛSJ'
с·
-
ll
tJ
Рис. 239
С лед ст в и е. Площадь треугольника равна половине произведения
двух сторон на синус угла между ними.
До к аз ат ель ст в о. Пусть в треугольнике АВС длины стороны рав­
ны а, Ь, с, а противолежащие им углы а, (3, 'У (рис. 24 0) . Примем
сторону АС за основание и проведем высоту BD. Тогда
1
1
S=-
АС•BD = -
bh.
2
2
Выразим высоту h = BD через сторону с и синус угла а. Из прямо­
угольного треугольника ABD получаем h = с siл а, если угол а -- острый
(рис.240,а); h=сsin(180° - а)= сsinа,еслиугола- тупой(рис.240,б);
~=с =сsiва, если угол а:=90° (рис.240,в). В любом·случае h=
=сsiва:.
!}
!}
!}
h
с
А
с
А
с
О)
oJ
Рис. 240
358

Следовательно.
1
S=
-
Ьс sin а:.
2
(2)
Например, если а - сторона равностороннего треугольника, то его
площадь
а2../3
S=--
.
4
Действительно, по формуле (2) при Ь =; = с. =; а, а: = 60° получаем S =
12
о а2,/з
.
о ,/3
-
аsin60=--,таккакsm60=--.
Кроме формул (1) и
2
4
2
(2), рассмотрим и другие формулы для вычисления площади треугольника.
11
А
Рис. 241
Площад ь треугольника равна произведению его полупериметра на ра­
диус вписанной окружности;
S=pr,
1
гдер= -
(а +Ь +с).
2
(3)
Доказательство.ПустьО- центр окружности, вписанной в
треугольник, r - ее радиус (рис. 241) .
Соединив центр О с вершинами А, В, С, получим треугольники АОВ,
ВОС и АОС с высотами , равными r. По свойству площадей имеем
SлАвс = Sллов +Sлвос +Sллос =
1
1
1
r
=-
cr+-ar+-br=-
(а+Ь+с) =pr,
2
2
2
2
что и утверждалось.
Площадь треугольника равна произведению всех его сторон, деленно­
му на учетверенный радиус описанной окружности:
аЬс
s=
4R
(4)
12•
359

До к аза . тел ь ст в о. Согласно формуле (2)
1
S=-Ьсsinа.
2
По теореме синусов
а
ь
с
--
=--=
--
= 2R,
sin а
sin {З
sin 'У
где R - радиус окружности, описанной околu треугольника. Из равенства
а
а
--
= 2R следует, что sin а = --.
Подставляя выражение для sin а в
sin а
2R
аЬс
формулу (2), получаем S =- - .
.
_
4R
Форм ул а Герон а. Площадь треугольника
S = у'р(р-а)(р-Ь)(р-с),
а+Ь+с
гдер=----
2
-
полуперuметр треугольника.
1
Доказательство.ИзформулыS= -
Ьс sin а находим
2
sin а
2S
Ьс
по теореме косинусов а 2
=Ь
2
+с
2
-
2Ьс cos а, откуда
ьz+с2-а2
cosа=
2Ьс
(5)
Используем основн6е тригонометрическое тождество sin
2
a+cos
2
a
1. По-
лучим
(
2s)2 + (Ь2 +с2 -а2)2 = 1.
Ьс
2Ьс
Отсюда, применяя формулу для разности квадратов, имеем
4Ь2с2-(Ь2 +с2 - а2)2
sz=
360
16
(2Ьс+Ь
2
+с
2
-
а2)(2Ьс -Ь2 - с2 +а2)
16
((Ь +с)2 -а
2
)(а2 -(Ь -с)2)
16
1
J./

а+Ь+с Ь+с-а а+Ь-с а+с-Ь
2
2
2
2
= р(р -а)(р
-
Ь)(р-с), S=,Jр(р-а)(р
-
Ь)(р-с) .
Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника по · его
трем сторонам.
Итак, для вычисления площади треугольника получены формулы
(1)-(5).
Формулы (3) и (4) можно использовать для вычисления радиусов
вписанной и описанной окружностей, если известны стороны треугольни­
ка. Тогда его площадь можно вычислить по формуле Герона, а затем найти
S
аЬс
r=
R=--.
р
4S
З а д а ч а 1. Разделить треугольник на две равновеликие части прямой,
проходящей через данную точку его стороны.
Решение. ПустьАВС-данныйтреугольники.М
-
данная точка
на его стороне АС (рис. 242) . Если М
-
середина стороны АС, то ВМ -
медиана и Sдлвм = Sдвсм· Пуст ь Мне является серединой стороны АС,
tJ
А
Рис. 242
!}
с
tlz
Р,,1.с. 243
например АМ < МС. Проведем медиану BD, соединим точки В и .М, про­
ведем DN 11 ВМ Прямая МN - искомая . Дока.жем это.
Имеем
SдмNс = Sдмоп + SпoNC ·
В трапеции BNDM треугольники MOD и BON равновелики:
Sвмоп + Sдвом = Sдмвп, SлвоN + Sдвом = SдмвN,
но Sдмвп = SдмвN, так как треугольники имеют общее основание и
равные высоты. Значит,
SдMNC = SдBON + SDONC SдBDC
1
-
SдАВС·
2
361

3адача 2. Медианытреугольникаравны 9см, 12сми15см.Найти
; площадь треугольника.
Решение. Пусть АА 1 , ВВ 1 , СС1 - медианы треугольника АВС, О
-
точка их пересечения (рис. 243). Получим шесть равновеликих треуголь-
ников:
Sдлов, Sдв 1 ос,
1
2
1
SдAOBI - АО·В1Osina =
-м - ВВ1sinа,
2
23
1
3
1
2
1
SдВОА1 = -ВО · А Osina
-вв - M 1sinа.
2
1
2313
Следовательно, Sдл ов = Sдвол и т.д.
1
1
Выполним построение, такое же, как при решении задачи в § 5 гл. 11.
Каждая из сторон !::, СОВ 2 равна 2/3 соответствующей медианы ЛАВС.
Площадь 6 СОВ 2 с д~нными сторонами можно найти по формуле Герона,
а затем найти Sдлвс = ЗSдсов 2 •
В. данном случае стороны !::, СОВ 2 равны 6 см, 8 см и 10 см. Заметим,
что 62
+8
2
= 102 и, значит, по теореме, обратной теореме Пифагора,
!::, СОВ 2 - прямоугольный с катетами 6 см и 8 см.Поэтому
1
Sдсов2 = 2
· 6 •8 =24(см2), Sдлвс =72(см2).
Площадь трапеции. Высотой трапеции назовем перпендикуляр, про­
веденный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей
другое основание.
Т е о р е м а 4. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее
оснований на высоту.
А
Рис. 244
Доказательство.ПустьABCD-даннаятрапеция,аиЬ
-
ее
основания, h - высота (рис. 244) . Проведя диагональ АС, получим два
треугольника. Примем за основание треугольника ACD отрезок AD, а за
основание треугольника АВС - отрезок ВС. Высоты этих треугольников
равны h - высоте трапеции. Поэтому
bh
ah
SдACD
SдАВС = -
2
2
362
j
1~

Тогда площадь трапеции
ah
bh а+Ь
Sлвсп "" -
+-
=--•h.
2
2
2
С л е д с т в и е. Площадь трапеции равна произведению средней линии
трапеции на высоту.
3 ад а ч а 3. Основания трапеции равны а и Ь. Найти длину отрезка,
параллельного им и делящего площадь трапеции пополам.
tJа()
#/, с4,
1 Z!:S
А
Ь/1
PlJ
Рис. 245
Ре ш е ни е. Пусть отрезок KL = х делит площадь трапеции ABCD
(ВС = а, AD = Ь) пополам (рис. 245). Проведем СМ il АВ. Обозначим:
h - высота Л CEL, Н - высота трапеции ABCD. Так как Л CEL (\.) Л CMD,
то
EL
CF
--=
или
MD
СР
х-а
Ь-а
1
h
н
По условию SквсL -Sлвсп•
2
Поэтому
а+х
1 а+Ь
h
1
·h
-
н IШИ
-
2
2
2
н
2
Значит,
х-а
1 Ь+а
-.
Ь-а
2 х+а
,Ja2 +Ь2
откуда 2 · (х
2
-а2 )=Ь
2
-а2 , т.е. х=
2
§ 3. Площадь многоугольника.
Ь+а
·--
х+а
Отношение площадей подобных многоугольников
Для вычисления площади произвольного - многоугольника разбивают
этот многоугольник на неперекрывающиеся треугольники и находят пло­
щадь каждого треугольника. Тогда сумма этих площадей будет равна пло­
щади S данного многоугольника (рис. 246) .
363

Т е о р е м а. Отношение площадей подобных многоугольников равно
квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. ПустьABCDEиА1В1C1D1E1 - данные подоб­
ные многоугольники ( § 5 гл. J. 2). Проводя диагонали из вершин А и А 1 ,
разложим эти многоугольники на подобные треугольники. Рассмотрим
подобные треугольники АВС и А 1В 1 С 1 . В подобных треугольниках от-
8=81+82+83
Рис. 246
А
Рис. 247
ношение двух соответственных высот равно отношению двух соответствен­
ных сторон (§ 2гл. 12).Поэтому
Sллвс
_/
1
-A1B1•h1
2
1
-A B•h
2
где h и h 1 - соответствующие высоты, k - коэффициент подобия. Следо­
вательно,
Sл1в;с;п1в1
SлвсDЕ
·-·Теорема доказана .
3 ад а ч а. Доказать , что площадь любого выпуклого четырехугольника
равна половине произведения его диагоналей на с инус угла ме жду ними.
Решение . Четырехугольник ABCD диагоналями АС и BD разбива­
ется на четыре треугольника (рис. 247). Пусть АС= с, BD = d. Обозначим
АО=х,ВО=у, СО=z,DO=t;тогдах+z=с, у+t=d.Имеем
1
Sллов = - xysina,
2
1
SлсоD = -
zt sin а,
2
364
1.
0
1
.
Sлвос = -
y z sш(180 -а)= - yz sша,
2
2
.
1
1
Sь.DOA = -
tx sin(l 80° - а)=
-
tx sina.
2
2
i1
J
j,

Следовательно,
SАвсп =SлАов +Sлвос +Sлсоп +SлnoA
1
или
sinа(у.(х +z)+t •(z +х))= -
2
(х+z)(У+t)sinа
2
1
SABCD = -
cdsina.
2
(6)
В частности, площадь трапеции равна половине произведения ее диаго­
налей на синус угла между ними.
Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то при а = 90°
из формулы (6) следует: площадь ромба равна половине произведения
его диагоналей.
Упражнения
РАЗДЕЛ I
1. Найти стороны прямоугольника, если его стороны относятся как 4 : 9, а площадь
равна 144 м2•
2. Паралпелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найти острый
угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.
3. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет боль-
шую площадь?
•
4. Доказать, что среди всех параллелограммов с данными диагоналями наиболь­
шую площадь имеет ромб.
5. Найти площадь ромба, если его высота равна 12 дм, а меньшая диагональ 13 дм .
6. Длиньr высот параллелограмма равны 3 см и 6 см, а периметр его равен 36 см.
Найти. площадь параллелограмма .
,
7. Найти площадь параллелограмма, если его большая диагональ 5 м, а высоты
2ми3м.
8. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой а.
9. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен r, а опи­
санной - R . Найти площадь треугольника.
10. Найти площадь равностороннего треугольника, вписанного в окружность
радиуса R.
11. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен r. Найти
площадь треугольника.
12. Доказать , что сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего тре­
угольника до его сторон постоянна.
13 . Доказать, что треугольник с двумя равными высотами является равнобедрен­
ным .
14. Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треуголь­
ника. Следует лн из этого, что площадь первого треугольника больше площади вто­
рого треугольника?
15. Найти меньшую высоту треугольника со сторонами 13 см, 14 см, 15 см .
16. Стороны треугольника равны 25 см, 24 см и 7 см. Найти радиусы вписанной
и описанной окружностей.
17. Найти площадь треугольника, основание которого равно а, а углы при основа­
нии 60° и 45°.
365

18, Найти отношение катетов прямоугольного треугольника, зная , что площадь
этого треугольника вдвое меньше площади равностороннего треугольника ; построен­
·ного на гипотенузе прямоугольного.
19. Найти площадь трапеции, у которой основания 69 см и 20 см, а боковые сторо­
ны13сми37см,
20. В трапеции основания равны 84 см и 42 см, а боковые стороны 39 см и 45 см.
Через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям проведена прямая .
Определить площади получившихся трапеций .
21. В равнобочной трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 м
,1диагональ39 м. ОпределИ!JУнлощадъ трапеции.
22. . Найти
площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 2 см и
i см, а один из углов 60°.
23. Диагонали равнобочной трапеции взаимно перпендикулярны , а ее площадь
равна S. Найти высоту трапеции .
24. Диагонали АС и BD выпуклого четырехугольника ABCD взаимно перпенди­
кулярю.1. Найти его площадь, если АС= а, BD = Ь.
25. Найти площа,~:\Ь равнобочной трапеции, зная ее диагональ l и угол °' между
этой диагональю и большим основанием.
РАЗдЕЛ II
26. Найти площадь прямоугольника, если сторона прямоугольника относится
к его диагонали как 3 : 5, и другая сторона равна 8 см.
27. Найти стороны прямоугольника, если отношение одной из его сторон к диаго­
нали равна 3/5, а площадь равна 192 см 2 •
28. Найти диагональ прямоугольника, если его щ:риметр равен. 14м, а площадь
12м2•
29.. Площадь параллелограмма равна 36 см 2 , а острый угол 45°. Одна из высот
равна 3 см. Найти вторую высоту.
30. Параллелогра._"1м и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найти отно­
шение площади прямоугольника к площади параллелограмма , если острый угол па­
раллелограмма равен 45°.
31. Какую часть площади треугольника, считая от вершины, отсекает его сред­
няя линия?
32. Доказать, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а дру­
гая - Ь, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.
33. Доказать, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного тре­
угольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.
34. Найти площадь равнобедренного треугольника, если его периметр равен 50 дм,
а основание меньше боковой стороны на 1 дм.
35. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна
313 см, а один из катетов 312 см.
36. Найти сторону ромба, если его диагонали относятся как 3 : 4, а площадь равна
24дм2•
37. Найти основания трапеции, если ее площадь равна 144 см • , а основания отно­
сятся как 4 : 5 и высота равна 16 см.
38. Найти площадь трапеции, если диагонали трапеции равны 20 ми 15 м, а высота
ее12м.
39. Найти площадь трапеции, у которой основания 16 см и 44 см, а боковые сторо­
ны17сми25см.
40. Боковые стороны равнобочной трапеции при их продолжении пересекаются под
прямым углом. Определить все стороны трапеции, если ее площадь равна 12 см 2 ,
а высота 2 см.
366
l1
11

41. Найти площадь четырехугольника, диагонали которого равные k и i образуют
угол, равный 30°.
-
-
42. Площадь четырехугольника равна S. Найти площаm, параллелограмма сторо­
нь1 которого равны и параллельны диагоналям четырехугольника.
43. Найти площадь равнобочной трапеции, если ее средняя линия а и диагонали
взаимно перпендикулярны .
ГЛАВА 16
ПРАВИЛЪНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАдЬ КРУГА
§ 1. Правильные многоугольники
Определение. Правильным многоугольником называется выпук­
лый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
В любом выпуклом п-угольнике сумма величин внутренних углов
равна 180° · (п - 2) ( § 3 гл. 1О). Поэтому величина внутреннего угла пра­
вильного многоугольника равна
180° • (п-2)
п
Т е о р е м а 1. Около любого правильного многоугольника можно опи­
сать окружность и притом только одну. В любой правильный многоуголь­
ник можно вписать окружность и притом только одну.
Рис. 248
До к аз ат ель ст в о. Пусть А и В - две соседние вершины правиль­
ного многоугольника (рис. 248) . Проведем биссектрисы углов многоуголь-
а
а
0
ника из вершин А и В. Они пересекутся, так как - +
-
<180 (а-
2
2
величина внутреннего угла многоугольника). Точку О пересечения этих
биссектрис соединим с остальными вершинами данного многоугольника,
367

i
Треугольник АОВ - равнобедренный с основанием АВ и углами при ~
а
'
основании, равными -
.
ЛАВО = ЛСВО: у них сторона ОВ - общая,
2
,.
стороны АВ и ВС равны, как стороны правильного многоугольника, а
а
.
углы при вершине В равны -
.
Из равенства треугольников следует, что
2
.
а
лове равнобедренный с углом при верIIШне С, равным -
.
Значит, со -
2
биссектриса угла С многоугольника.
Точно так же докажем, что Л COD - равнобедренный и DO - биссектри­
са угла D многqугольника, и т .д.
Таким образом, каждый треугольник, у которого одной стороной яв­
ляется сторона данного правильного многоугольника, а противолежащей
'верпmной - точка О, является равнобедренным. Все эти треугольники
имеют одинаковые боковые стороны .
Отсюда следует, что все верIIШНЫ правильного многоугольника нахо­
дятся на окружности с центром О и радиусом, равным боковым сторонам
треугольников. Эта окружность описана около данного многоугольника.
Все стороны многоугольника будут касаться окружности с центром О
и радиусом, равным высотам треугольников, проведенных из вершиньr О.
Эта окружность вписана в данный многоугольник. Описанная окружность
только одна: через вершины многоугольника А, В, С проходит только од­
на оr<ружность. Вписанная окружность только одна: ее центр равноудален
А
Рис. 249
от сторон многоугольника и, следовательно, совпадает с точ~ой О пересе­
чения б11ссектрис многоугольника, а радиус равен расстоянию от точки О
до сторон многоугольника. Теорема доказана,
Центры вписанной и описанной около правильного многоугольника
окружностей - одна и та же точка (см. рис. 248). Эта точка называется
центром правильного многоугольника.
Отрезок ОМ (рис. 249) перпендикуляра, проведенного из центра пра­
вильного многоугольника к его стороне, называется апофемой правиль­
ного многоугольника (апофема равна радиусу вписанной окружности);
368

отрезок ОА, соединяющий центр правильного многоугольника с его вер­
шиной, равен радиусу описанной окружности.
Теор ем а 2. Площадь правШlьного многоугольника равна половине
произведения его периметра на радиус вписанной окружности:
1
S=
2 Pr,
(1)
где Р - периметр многоугольника, а r - радиус вписанной в него
о
А а11
Рис. 250
окружuости; площадь правuльuого п-угольuuка равuа также
12.360°
S=-nR sш-- ,
2
п
(2)
где R - радиус описанной окружности.
До к аз ат ель ст в о. Разобьем правильный п-угольник на п треуголь­
ников, соединяя его вершины с центром вписанной окружности (см .
рис. 248) . Согласно теореме 1 эти треугольники равны . Площадь каждого
1
из них равна - апr, где ап
-
сторона правильного многоугольника
2
.
(рис. 250).
1
Площадь S многоугольника равна - апrп, но апп = Р. Следовательно,
2
J
S=-
Pr, и формула (1) доказана .
2
1
С другой стороны, Sдлов -ОА · OBsinLAOB. Но ОА = ОВ = R,
2
LAOB=
360°
п
Поэтому
12.360°
sдАов= -
Rsш-- .
2
п
369

Следовательно, шющадь S многоугольника равна
1 2.360°
S=-nR sш--,
2
п
и формула (2) доказана.
Для вычисления стороны · правильного многоугольника и радиуса впи­
санной окружности применяются формулы
180°
ап =2Rsin -- ,
п
180°
r =Rcos-- •
п
(3)
(4)
1
Для вьшода этих формул используем рис. 250. Тогда LAOM = - LAOB:
2
180°
2
360°
п
--
• Поэтому из прямоугольного треугольника АОМ по­
п
лучим
LAOM
180°
AM=AOsin--- = Rsin -- .
2
п
180°
Следовательно, АВ = 2АМ = 2R sin -- , и формула (3) доказана.
п
Из треугольника АОМ получим также
LAOM
180°
OM=AOcos --- или r=Rcos -- .
2
п
Из формул (3) и (4) можно найти радиус R описанной окружности и
радиус r вписанной окружности для правильного многоугольника со сто-
раной а и числом сторон п:
а
а
180°
а
R=
180°
r=
180°
cos--=
180°
п
2sin --
2sin --
2tg--
п
п
п
Из формулы (3) при п = 3, 4 и 5 получим выражения для сторон пра­
вильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника:
.jз
а3 =2Rsin60° =2R • -
2
-
= Rv'з,
..д .
-
а4=2Rsi1145° = 2R·
--
=R•12
2
V'
.
о
1
а6 = 2Rsш30 =2R. -
=R.
2
370
1
J
-◄
11
J

,-
§ 2. Длина окружности
Мы не станем приводить строгого определения понятия длины окруж­
ности, так как оно основано на понятии предела числовой последователь­
ности, которое изучается в 9 классе.
Из наглядных соображений естественно считать, что длина окружности
сколь угодно мало отличается от периметра вписанного в нее выпуклого
мноrо}тольника с достаточно малыми сторонами. Исходя из этого пред­
положения, докажем некоторые свойства длины окружности и получим
формулу для вычисления длины окружности.
Т е о р е м а. Длипы двух окружностей относятся как их радиусы или
диаметры.
До к аз ат ель ст в о. Пусть R 1 и R2 - радиусы двух окружностей,
а С\ и С2 - длины окружностей . Впишем в зти окружности правильные
многоугольники с достаточно больu.mм числом сторон п.
Найдем периметры Р 1 и Р 2 этих многоугольников. По формуле (3)
§ 1 имеем
180°
180°
Р1 ==2R 1 sin
•п,
Р2 =2R2sin --- • п.
·n
п
Следовательно,
Р1 R1
Р2
R2
Если п достаточно велико, то из формулы (3) следует, что сторона пра­
вильного многоугольника будет достаточно малой, и значит, по предполо­
жению, периметр Р 1 сколь угодно мало отличается от С1 , а периметр Р 2 -
Р1
R1
от С2 . Поэтому отношение -- , равное -- , сколь угодно мало отли-
Р2
-
R2
С1
чается от -- - отношения длин окружностей.
С2
R1
С1
Но--и
-
вполне определенные числа. Если они отличаются
R2
С2
сколь угодно мало, то они равны. Поэтому
С1R1D1
-
-
--
=
-
'
(5)
С2R2D2
где D1 и D 2 - диаметры окружностей. Теорема доказана.
Из равенств (5) следует, что
С1 С2
D1
D2
371

т.е. отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окруж
ности. Это отношение принято обозначать буквой 1Т (читается "пи") . Чисп r,
,
1Т - иррациональное, 1Т""" 3,1416.
Итак, длина окружности вычисляется по формуле
С= rrD = 21rR.
(6)
Число 1Т можно найти с любой наперед заданной точностью, исходя из сле­
дующего допущения: длина окружности больше периметра любого вписан­
ного в нее многоугольника и меньше периметра любого описанного около
нее многоугольника.
(}
Рассмотрим окружность диаметра D = 1. Ее длина равна rr. Обозначим
периметр вписанного в зту окружность правильного п-угольника через Рп,
а периметр описанного - через qn. Тогда по сделанному допущению
Рп<rr<qп,
(7)
Пусть ап =АВ - стоμона правильного п-угольника, вписанного в окруж­
ность радиуса R (рис. 251), Ьп = CD - сторона правильного п -угольника,
описанного около этой окружности.
Из треугольников АОМ и CON находим
ап
.
180°
АМ= -
=Rsш--,
2
п
Ьп
180°
CN= -=Rtg--,
2
п
т.е.
180°
ап = 2Rsin --,
п
ЕслиD=2R=1,то
180°
ап =sin --,
п
Отсюда следует, что
180°
Ьп=2Rtg--
п
180°
Ьп=tg--.
п
ап
180°
- =cos--
bn
п
372
(8)
'
(1
1
-

или
~= .!!!_ = yl-а~,
(9)
qn Ьп
180°
/
180°
таккакcos -- = у1- sin
2
--
= у1- а~.
п
п
Увеличивая п, можно сделать ап сколь угодно малым, а корень
у1- а~
-
сколь угодно близким к 1.
Неравенства (7) и (9) означают, что с помощью неравенств р 11 < 1Т < qn
число 1Т оценивается при достаточно большом п со сколь уг одно большой
точностью.
Например, при п = 12 получим
а12 = sin 15°,
Ь12 = tg 15°.
Следовательно,
12sin15°< 1Т< l2tg15°.
Из таблиц значений тригонометрических функций находим sin 15° и
tg 15°; тогда
3,10595 < 1r < 3,21554.
Точно так же, принимая п = 36, получили бы
3,14134 < 1r < 3,14284,
т.е. оценили бы число 1Т с довольно большой точностью.
Ь4
Рис.252
3адача.Доказать,что3<1Т<4.
Решение. В окружность диаметра D = l впишем правильный шести­
угольник и опишем около окружности квадрат (рис. 252). Тогда по фор-
1
муле(8)аб=R = - ,
Ь4 = 2R = l; следовательно, 6а6 < 1Т < 4Ь4 или
2
3< 1r< 4.
373

§ З. Дшmа дуги окружности. Радианное измерение углов
Пусть радиус окружности равен R. Найдем длину дуги окружности, от­
вечающей центральному углу в а.0 •
Развернутому углу соответствует полуокружность , а ее длина равна 7ТR.
1ТR
Следовательно, углу в один градус соответствует дуга длиной --
0,
180
а углу в сх° соответствует дуга длиной
1ТR
!= --
.
а,
180
где а - градусная мера дуги .
(10)
Кроме градусной меры применяются и другие единицы измерения у г­
лов. Часто используется радианная мера угла.
Определение. Центральный угол, опирающийся на дугу, длина
которой равна радиусу, называется углом в 1 радиан (рад).
Рассмотрим окружность радиуса R с центром в точке О (рис . 253).
По определению мера угла АОВ считается равной 1 радиану.
Из формулы ( 1О) при l = R следует, что
( 180)
0
1 рад= -;;-
Так как 1Т ~3,14, то 1 рад приближенно равен 57,3° или 57° 18'.
(ыА l=R В
Рис . 253
180
Угол в а рад имеет градусную меру
1Т
арад= ( 1:о .а)о.
.
а градусов, т .е.
Например, подставляя в формулу (11) а= 1Т, получаем
7Т рад= 180°,
(11)
т.е. развернутый угол содержит 1Т рад. Поэтому прямой угол содержит
1Т
-
рад. Обычно при обозначении меры угла слово "радиан" опускают.
2
374
1
f
1
1
j

Приведем таблицу наиболее часто встречающихся утлов в градусной и в
радианной мере.
Градусы
о
30
45
60
90
180
270
360
1Т
r,
1Т
1Т
3
2~т
Радианы
о
1Т
-1r
6
4
3
2
2
Радианная мера уrла удобна для вычисления длины дуrи окружности.
Так как угол в 1 радиан стягивает дуту, длина которой равна радиусу R,
то уrол в а радиан стягивает дуту длиной
!= aR,
(12)
rде а - радианная мера дуrи.
§ 4. Площадь круга и его частей
Строгое определение понятия площади крута основано на понятии
предела числовой последовательности. Из наглядных соображений будем
считать, что площадь крута сколь угодно мало отличается от площади впи­
санного в его окружность выпуклого многоугольника с достаточно ма­
лыми сторонами.
Пусть R - радиус крута, а С
-
длина ero окружности. Впишем в окруж­
ность правильный многоутольник с достаточно большим числом сторон п.
Площадь этого многоугольника по формуле (1) равна
1
S=- PI·
п2
,
где Р - периметр многоутольника, а r - радиус вписанной в него окруж­
ности. При возрастании числа ero сторон п периметр Р сколь угодно мало
отличается от числа С, а радиус r - от числа R. Говорят, что при возраста­
нии п периметр Р стремится к длине окружности С, а площадь S,i - к пло ­
щади круга S. Поэтому
1
1
S=-
CR=-
• 2rrR•R =rrR2
2
2
Итак, площадь круrа вычисляется по формуле
S= rrR
2
,
(13)
rде R - радиус круrа (число rr""' 3,14).
Круговым сектором называется часть крута, ограниченная дугой и дву­
мя радиусами, сое диняющими концы дуги с центром крута (рис. 254).
375

Площадь сектора, ограниченного дугой в 1°, равна
площади
360
круга. Поэтому площадь сектора, ограниченного дугой с градусной мe-
rrR
2
рой а, равна -- а.
360
Итак, площадь кругового сектора вычисляется по формуле
rrR2
S=-
а
(14)
360 '
где R - радиус круга, а а
-
градусная мера соответствующего централь­
ного угла.
Рис. 254
Рис.255
Круговым сегментом называется часть кryra. ограниченная дугой и
стягивающей ее хордой (рис. 255).
Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле
rrR2
S= --а±Sд,
(15)
360
где а - градусная мера соответствующего центрального угла, а S д -
площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов,
ограничивающих соответствующий сектор. В формуле (15) знак минус
надо брать в случае, когда а< 180° (рис. 255, а), а знак плюс в случае,
когда а> 180° (рис. 255,б) .
Формулы (14) и (15) упрощаются, если использовать радианную ме­
ру угла.
Если а - радианная мера центрального угла, то площадь кругового
сектора равна
1
S=-R2 a.
2
(16)
1
Площадь кругового сектора в rr рад (полукруга) равна - rrR 2 Поэто-
2
rrR
2
1
му площадь сектора с углом в 1 рад будет равна --: rr = -
R2
.
Сле-
2
2
довательно,
1
площадь сектора с углом в а рад равна - R
2
а. Формула
2
(16) доказана.
376
•

L
Упражнения
РАЗДЕЛ!
1. Доказап., что серединные перпендикуляры любых двух сторон правильного мно ­
гоугольника не могут быть параллельными.
2. Построиn, правильный шестиугольник, сторона которого равна данному отрезку.
3. Доказап., что сторона правильного восьмиугольника вычисляется по формуле
а 8 = R .J2 - .../2, где R - радиус описанной окружности.
4. При каких значениях п сторона правильного п-уголъника: а) больше радиуса
описанной окружности; б) равна радиусу описанной окружности; в) меньше радиуса
описанной окружности?
5. В окружносп. радиуса R вписаны и около нее описаны правильные п-угольники.
Найти отношение: а) их п~риметров; б) их площадей для п = 3, 4, 6.
6. По данной хорде а найти длину дути, если центральный угол: а) 60°; б) 90°;
в) 120°.
7. Найти радианную меру
в) 75°; г) 100°; д)_ 140°.
угла, выраженного в градусах: а) 135°; 6) 150°;
1Г
2
8. Найти градусную меру угла, выраженного в радианах: а)
9; 9)
3тг; в) 2;
г) 3; д) 1,5.
9. Найти площадь той части круга, которая расположена вне вписанного квадрата .
Радиус круга равен R.
10. Угловая величина дуги сегмента равна 120°, длина этой дуги /. Найти длину
окружности, вписанной в этот сегмент.
11. Около треугольника с данными углами е1 и 13 описан круг. Найти отношение
площади треугольника к площади круга.
12. Имеется квадрат и равновеликий ему круг. Что больше: длина окружности
или периметр квадрата?
13. В ромб вписан круг. Каждая сторона ромба точкой касания делится на отрез ­
ки, длины которых а и Ь. Найти площадь круга.
14. В круговой сектор с центральным углом 120° вписан круг. Найти радиус
вписанного круга, если радиус данного круга равен R.
15. Найти площадь круга, вписанного в равнобочную трапецию, если ее большее
основание равно а, а угол при меньшем основании равен 120°.
16. Найти площадь сегмента, если периметр его равен р, а дуга содержит 120°.
РАЗдЕЛ II
17. Дан правильный п-угольник. Построип. правильный 2п-угольник.
18. Доказаn,, что сторона правильного 12-угольника вычисляется по формуле
а 1 2 =R .J 2 - -Jз, где R - радиус описанной окружности.
19. Дань~ два круга. Построиn, круг, площадь которого равна сумме площадей
данных кругов.
20. Сторона квадрата равна а. Найти длину окружности: а) вписанной в него;
б) описанной около него.
21. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник, в который вписан
круг, а в этот круг вписан квадрат. Найти сторону этого квадрата.
22. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если сумма всех его внут ­
ренних углов равна: а) 1080°; 6) 1620°; в) 22d?
23. Окружнuсn, радиуса 2 см разогнута в дугу радиуса 5 см. Найти градусную
меру центрального угла.
24. Площадь круга, радиус которого 5,4 дм, разделена двумя концентрическими
окружностями на три части, площади которых относятся как 4 : 3 : 2. Найти радиусы
этих окружностей.
Р, Г.И . Богатырев
377

25. На сколько процентов слецует увеличить радиус крута, чтобы площадь крута
стала больше на 96 %?
26. Из крута, радиус которого 10 м, вырезан сектор с дугой в 60°. Вычислить пло­
щадь оставшейся части крута.
27. Найти площадь круга, если длина окружности равна 8 м.
28. Найти длину окружности, если площадь крута равна 18 см.
а
29. Найти площадь кругового сегмента с основанием а Jз и высотой - •
2
30, В сектор радиуса R с центральным утлом а вписан крут. Определить его радиус.
31. Найти длину окружности, вписанной в ромб, диагонали которого равны 6 м
и 8м.
ГЛАВА 17
ЗАдАЧИ
Рассмотрим примеры решения некоторых геометрических задач. Реше­
ние этих задач, различных по трудности, требует комбинированного приме­
нения основных теорем и формул геометрии на плоскости (планиметрии).
3 а д а ч а 1. Две окружности пересекаются под прямым углом (т.е.
их касательные, проведенные в одной из точек пересечения , взаимно пер­
пендикулярны). Найти длину отрезка общей касательной к этим окруж­
но~ям, если их радиусы равны R и r.
Решение.Пусть01и02 - центрыданныхокружностей,М
-
одна
из точек их пересечения, АВ - общая касательная (рис. 256) . (Построение
общей касательной к двум окружностям предоставим читателям).
А
Рис. 256
Из условия пересечения окружностей под прямым углом следует, что ,,. --
О1М102М.Поэтому0102 = ,JR2 +r
2
.
,,.- -
Допустим, что R > r . Проведем ВС 11 0 1 0 2 и рассмотрим МВС (угол
А - прямой) . По теореме Пифагора
АВ = ,J ВС2 -АС2 = ..j~R-2_+_r _2
___(_R- --,)-2 =V2Rr.
Если R = r, то АВ = 6 1 0 2 = R ../2,и результат содержится в ранее найден­
ном. Итак,АВ = ../2R,.
378

3 ад а ч а 2. дlrины сторон треугольника равны 25, 24 и 7. Определ ить
площади вписанного и описанного кругов.
Р е ш е н и е. 1) Обозначим длины сторон треугольника а, Ь и с
(рис.257).Пустьа =7,Ь =24,с =25.
2) Определим вид ЛАВС. Так как а 2
+Ь
2
=625ис2
= 625, т.е. а
2
+Ь
2
=
= с 2 , то по теореме, обратной теореме Пифагора, 6.АВС - прямоугольный .
3) Центр 0 1 окружности, описанной около треугольника, лежит в точке
пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам
с
А
Рис. 257
треугольника. ,IJ;rя прямоугольного треугольника такой точкой является
с
середина гипотенузы, т.е. R = -
= 12,5.
2
4) Центр О окружности, вписанной в треугольник, лежит в точке пере­
сечения биссектрис этого треугольника.
5) По свойству отрезков касательных, проведенных из точки вне окруж­
ности, имеемBD=BF =х, AF=АЕ =у.
6)ПоусловиюВС=а =7илиr +х=7,АС=Ь =24илиr +у=24.Скла­
дывая эти равенства, находим
2r +(x+y)=3l или 2r+AB =31, 2r+25=31,
откуда r = 3.
7) Пусть S 1 - площадь вписанного круга, S 2 - площадь описанного кру ­
га . Тогда
S1=1rr
2
= 9m (кв.ед.), S2 = 1rR
2
=
625
Ответ.S1 =91Т(кв.ед.), S2=-
1Т
4
13"
625
4
1Т (кв. ед.).
(кв . ед.).
379

З а меч ан и е. 1) Радиус R описанной окружности можно найти, ис-
аЬс
\
пользуя формулу Sдлвс =
-
, откуда
4R
аЬс
аЬс
с
R =-=
= 12,5.
4S
1
2
4•-
аЬ
2
2) Радиус r вписанной окружности можно найти из формулы S = pr, где
р - полупериметр :
s
r=- =
р
1
lаЬ
2
(а+Ь+с)
2
аЬ
7 -24
=---- ---
3.
а+Ь+с
56
З а д а ч а 3. Найти отношение радиусов вписанного и описанного кру­
гов для равнобедренного треугольн1;1ка с углом а при основании:.
D
Рис.258
Рис. 259
Решение. Пусть АВС - равнобедренный треугольник, LA = L С= а
(рис. 258). Обозначим АС= Ь. По теореме синусов
ь
--=2R
sinLB
'
где R - радиус описанного круга .
Так как угол при основании равен а, то
LB=180° - 2а, sinL.В=sin(180° - 2а) =sin2а.
Значит,
ь
R=--
2 sin 2а·
Пусть О - центр вписанного круга.
380

а
а
Тогда LOAD
,поэтому r=OD=ADtg-
2
2
• Отсюда
r
а
-
= sin2аtg-
.
R
2
Ь
а
tg-
.
2
2
Задача 4. ВтреугольникеАВСданыстороныа,Ьис.Найтиегоме­
дианы та, ть и те (рис . 259).
Решение. 1-й сп о с о 6. Для вы<ц1сления медианы ть =ВВ 1 про ­
должим ее на отрезок В 1D, равный ВВ 1 , и соединим точку D с верпшна­
ми А и С. Полуqенный четырехугольник ABCD - параллелограмм, так как
диагонали АС и BD делятся в точке пересечения пополам. Сумма квадра­
тов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон, т.е.
1
Ь2 + (2тьf =2а2 + 2с2,откудать = -
J2а2 + 2с2 - Ь2.Аналогичновы-
2
числяются та и те.
2-й спосо6. ПустьLАВ1В=а.ТогдаLВВ1С=180° - а. По теоре­
ме косинусов
ь2
ь
с2
=
+т1, -2ть
cos а,
4
2
ь2
ь
+т1,-2ть •-
cos (180° - а).
4
2
а2=
Складьmая эти равенства и учитьmая, что cos (180° - а) = -cos а, на­
ходим ть,
Рис. 260
З ад а ч а 5. В треугольнике АВС даны медианы та, ть и те. Найти
его стороны а, Ь и с (рис. 260).
Р е ш е н и е. Для вычисления стороны а продолжим отрезок АА 1 на
1
расстояние А1F = -
та и точку F соединим с вершинами В и С. Пусть О -
3
точка пересечения медиан Л АВС. Четырехугольник OBFC - параллело-
381

грамм. По свойству диагоналей параллелограмма
а2+(:тау =2(:тьУ +2(: mJ,
откуда следует, что
2
а=-
J2ть+2т~ -т~
3
Аналогично находим Ь и с.
З а д а ч а 6. Доказать, что квадрат биссектрисы треугольника равен
произведению двух прилежащих сторон треугольника без произведения
с
А
отрезков, на которые она делит противолежащую сторону (рис. 261), т . е.
/~=аЬ-а1Ь1.
Решение. Рассмотрим треугольники АСDи BCD. По теореме коси­
нусов.
bi =Ь
2
+/~
-
2Ысcosа, ai =а
2
+/~
-
2alc cos а,
LC
гдеа= --. Отсюда
следует, что
2
2Ысcosа Ь
2
+/~
-
bi
2alc cos а
т.е.
l~(b-a)=ab(b-a) - (abi-aib).
По свойству биссектрисы треугольника
а
а1
-
=-
, т.е. аЬ1 = а1Ь.
ЬЬ1
Тогда
abi - ajb
382

и равенство (*) принимает вид
l~(b-a) = аЬ(Ь-а)-а 1 Ь 1 (Ь-а)
или1~ = аЬ -а1Ь1приусловии,чтоЬ=t-а.
с
с2
ЕслиЬ=а,тоЬ1=а1= -
,1~=а
2
-
-
, что согласуется с ранее най-
2
4
деннымприа=Ь.Итак,всегда1~ = аЬ - а1Ь1.
З ад а ч а 7. Основания трапеции равны 4 ми 16 м (рис. 262). Найти
радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если
известно, что эти окружности существуют.
Р е ш е н и е. Описать окружность около трапеции можно только при
условии, что трапеция является равнобочной: АВ = CD ( см . § 4 гл. 11) .
Brrn:ca,ъ окружность в трапецию ABCD можно только при условии, что
AB+CD=BC+AD (см.§ 4гл.11).
16- 4
ПустьВС=4м,AD=16м.ТогдаАВ=CD=10м,AE=FD= --=
2
6(м),ВЕ=JАВ2-АЕ2 =у100- 36 = 8(м),BD=JBE2 +DE2=
у64+100 =2 ,J"4I(м).Таккак2r =ВЕ =8м,торадиусвписанной
окружности r = 4 м.
Найдем площадь S треугольника ABD:
1
1
S=-
AD·ВЕ = -
•16•8=64(м2).
2
2
Используем формулу для радиуса окружности, описанной около тре­
аЬс
угольника: R = -
4S
kS1
АЕ
F.О
Рис . 262
Для треугольника ABD получим
16•10 •2 ..J4I 5 .г;.,
R =----- = - v41(м).
4 •64
4
Радиус окружности, описанной около ЛАВD, и есть радиус окружнос­
ти, описанной около трапеции ABCD.
Пусть М и N - середины оснований ВС и AD . Очевидно, что центр впи­
санной окружности лежит посередине отрезка MN, а центр описанной
383

окружности находится на прямой MN. Предлагаем читателям доказать,
что центр описанной окружности лежит внутри данной трапеции .
З а д а ч а 8. В окружности радиуса 5 м проведены хорды, длина кото­
рых равна 8 м . Найти геометрическое место середин этих хорд.
Р еше ни е . Рассмотрим множество точек , которые являются середи­
нами хорд длиной 8 м в данной окружности .
Возьмем какую-нибудь хорду АВ (АВ = 8 м) с серединой в точке М
(рис. 263). По теореме Пифагора ОМ= у 25 - 16 = 3 (м). Значит, все
А
Рис. 263
/,
Рис. 264
такие точки и только они удалены от центра данной окружности на расстоя­
ние в 3 м. Искомое геометрическое место точек представляет собой окруж­
ность радиуса 3 мс центром О.
З а д а ч а 9. Дан треугольник АВС, площадь которого равна 1
(рис. 264). На медианах АК, BL и CN ЛАВС взяты соответственно точки
Р, QиR так, что
АР
BQ
CR
РК=l,QL-2'RN
5
4
Найти площадь треугольника PQR.
Решение. ПустьО- точкапересечениямедиан,ЛАВС.ТогдаSлАОв =
1
1
=Sлвос = Sллос = -
Sллвс = -
(см.задачу2 § 2гл.15).
3
3
Рассмотрим Л POQ:
2
1
1
ОР= -
АК--АК=-
АК
3
2
6'
2
OQ =-BL
3
384
1
3
-
1
BL=- BL.
3

Так как
1
SлPOQ = -
ОР- OQ- sinLPOQ,
2
1
Sллов =
2 ОА • ОВ- sinLAOB,
то
SлPoQ
SдАОВ
ОР- OQ
l_АК-l_BL
6
3
=----=------
ОА- ОВ
Слzд~вателы-:с,
1
SлPoQ ::; - Sллов-
8
Аналогично получаем, что
1
2
2
-АК- -BL
3
3
1
1
8
SлQoR ::;
12 Sлвос, SдPOR ::; - Sллос•
24
Поэтому
Зад а ч а 10. Доказать, что множество всех точекМ, для которых
IМА 2 -МВ
2
1 ::; kSлмлв,
где А и В - данные точки, k > О - постоянная, Sл мА в - щющадь треуголь­
ника МАЕ, есть две прямые .
Р е ш е н и е. Применим метод координат. Пусть АВ::; а. Выберем систе­
му координат (рис. 265)- .
Тогда А (О; О), В (а; О), М (х; у). Поэтому
МА2
::; х
2
+у2,МВ
2
=(х-а)
2
+у2;
!/
!11
О A(!J;O)
!J(o;O)
Рис. 265
385

следовательно,
МА2-МВ2 =х
2
+у2 -(х-а)2 -у
2
=2ах-а2 ,
IMA 2 -МВ
2
1=\2ах -а
2
1= а\2х - al.
Высота ЛМАВ равна модулю ординаты точки М, а основание треуголь­
ника равно а.Лоэтому
1
Sлмлв = -а\у\.
2
По условию
k
k
а\2х-а\ =-a\yl или \2x-al= - ·\у \ ,
2
2
откуда
k
2х-а=-у
2'
k
2х-а=
--у
2
-
уравнения двух прямых.
3 ад а ч а 11. Доказать, что если длины сторон треугольника образуют
арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот тре­
угольник, и точка пересечения его медиан лежат на прямой, параллельной
средней по длине стороне треугольника.
Решение. Пустьа,Ь,с-длины·сторонЛАВС,причема<Ь<с;
О - центр вписанной окружности. М - точка пересечения медиан (рис. 266).
Так как а, Ь, с образуют арифметическую прогрессию, то Ь - а = с - Ь или
а + с =2Ь. Поэтому периметр ЛАВС
3
2р=зьилир =2ь.
Для решения задачи покажем, что точки О и М находятся на равных
расстояниях от стороны АС. Имеем
S2S
001=r=-
=-
р
зь
(r - радиус вписанной окружности. S - площадь треугольника, р
-
его
[j
4
Рис. 266
386

1
полупериметр) . Находим ММ1 = -
hь (hь - высота ЛАВС), так как
3
1
MD= -
BD. Поэтому
3
3
2S 2S
.Ь ЗЬ
Следовательно , 001 = ММ1 , и прямая: ОМ параллельна стороне АС.
А
О)
Рис. 267
3 ад а ч а 12 . В данный треугольник вписать прямоугольник, имеющий
заданную диагональ, так , что две вершины прямоугольника лежат на осно­
вании треугольника, а две другие - на его боковых сторонах.
Р е ш е н и е. Допустим сначала, что АВС - прямоугольный треугольник
с прямым углом С (рис . 267, а). Тогда из верпm:ны С раствором циркуля,
равн ым д;Iине данной диагонали, строим точку D на гипотенузе АВ. Полу­
чи м прямоугольник DECF с данной диагональю CD.
Пусть h - высота, проведенная из верпm:ны С на гипотенузу. Если CD =h ,
то задача имеет единственное решение; если CD > h, то решения два;
если CD < h, то решения нет.
Пусть АВС - произвольный треугольник (рис . 267, б) . Рассмотрим вспо ­
могательный треугольник А 1 В 1 С1 с прямым углом С1 такой, что А 1 С1 =
=АС,аВ 1 С1 =ВН (ВН-высотаЛАВС) .
Впишем в треугольник А 1В 1С1 прямоугольник D1ЕI С1F I с заданной
диагональю . Тогда DEKF - искомый прямоугольник. В самом деле, . DF =
=D1F1, а из равенства
DE
D1E1
АС А1С1
следует, что DE =D1E1 , так как АС= А 1С1 . Поэтому KD =C1D1.
387

Упражнения
РАЗдЕЛ I
1. Доказать, что треугольник с двумя равными медианами является равнобедрен­
ньrм.
2. Доказать, что в любом треугольнике АВС расстояние от центра описанной окруж­
ности до стороны треугольника ВС вдвое меньше расстояния от точки пересечения
высот до вершины А.
3. Точка М лежит внутри треугольника на расстоянии х, у и z от его сто-
х
у
z
рои ВС, АС и АВ. Доказать, что -+ -+ - -= 1, где ha, hь, hс-высоты треугольни-
hаhьhc
ка, проведенные из вершин А, В и С соответственно.
4. В треугольнике АВС даны его стороны а, Ь и с. Найти: а) его высоты; б) его
биссектрисы.
5. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на
отрезки дr1иной 30 см и 40 см. Найти дr1ины катетов .
6. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит
гипотенузу на отрезки дr1иной в 5 см и 12 см. Найти дr1ин ы катетов.
7. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов
равен с, . Определить радиус вписанного круга.
8. Определить синусы острых углов прямоугольного треугольника, зная, что радиус
описанного около него круга относится к радиусу вписанного круга как 5 : 2.
9. Доказать, что в треугольнике АВС, дr1ины сторон которого АВ =4 см, ВС = 3 см
и АС= ,/5 см, медианы АК и CL взаимно перпендикулярны.
10 . В треугольнике АВС площадью 1 кв . ед. на медиане ВК взята точкам так,
1
чтоМК=
4 ВК. Прямая АМ пересекае'!' сторону ВС в точке L. Найти площадь треуголь-
ника АL С.
11 . В равнобедренном треугольнике высота, опутенная на основание, в полтора
раза меньше радиуса описанной окружности. Найти отношение основания к боковой
стороне .
12. Даны две концентрические окружности. Касательная к окружности меньшего
радиуса делит окружность большего радиуса в отношении 1 : 5. Най-ти отношение
площадей кругов, ограниченных этими окружн о стями.
13. В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны соответ­
ственно 2, 3 и 4, вписана окружность радиуса 1,2. Найти площадь этого четырехуголь­
ника.
14. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция дру­
гого катета на гипотенузу равна 16 см. Определить расстояние от центра вписанной
окружности до высоты, проведенной к гипотенузе.
15. В треугольник АВС вписан круг радиуса 4 см. Сторона АС делится точкой
касания на отрезки дr1иной 6 см и 8 см. Найти: а) дr1инь1 двух других сторон; б) дr1и ­
ну биссектрисы, проведенной из вершины угла В.
16. Около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого вдв о е больше
основания, описана окружность радиуса 1. Найти радиус окружности, вписанной в
этот треугольник, и расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.
17. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен с,. Высота, опутен­
ная на основание, больше радиуса вписанного круга на т. Определить основание
треугольника и радиус описанного круга .
18. Длины катетов прямоугольного треугольника равны З м и 6 м. Найти длину
биссектрисы прямого угла.
19. В прямоугольном треугольнике биссектриса о строго угла делит противолежа­
ший катет на отрезки плиной 4 см и 5 см. Найти площадь треугольника.
388
1
j1
1i
J

20. В равнобочной трапеции ABCD АВ = CD, основание AD = 7, LBAD = 6Cf' . На
диагонали BD распол о жена точка М так, что ВМ : MD = 3 : 5. Какую из сторон трапеции
ВС или CD пересечет продолжение отрезкаАМ?
21. Около круга радиуса r описана прямоугольная трапеция, наименьшая из сторон
3
которой равна
2, . Найти площадь трапеции.
22. Около равнобочной трапеции, основания которой 6 см и 8 см, а высота 7 см,
описан круг . Найти площадь этого круга.
23. Большее основание трапеции равно а, меньшее основание равно Ь; углы при
большем основании 30° и 45° . Найти площадь трапеции.
24. Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию с тупым уг­
лом 15 0° и средней линией, равной 40 см.
25. Найти стороны и площадь прямоугольной трапеции, если центр вписанной
окружности удален от концов ее боковой стороны на расстояние 3 см и 9 см.
26. Трапеция ABCD такова, что в нее можно вписать окружность и вокруг нее
можно описать окружность. Определить, где находится центр описанной окружности.
Найти отношение радиусов описанной и вписанной окружностей, если AD = 10, ВС = 2.
27. Точка A(l; -1) является вершиной квадрата ABCD, диагонали которого
пересекаются в точке М(5; О). Найти координаты остальных вершин квадрата.
28. На плоскости заданы точкиА(- 6; 3),В( - 7; 7), С(-3; 6) иD(-2; 2). Дока­
зать, что ABCD - ромб, и вычислить его площадь.
29. Векторы а и Ь образуют угол'{) = ~- Зная, что а l= ✓З. \Ь1=1,вычислить коси-
•
-
6-
•
нусуглас,междувекторамир=а+ьиq=а -
~.
30. Из точки А данной окружности проведены всевозможные хорды. Что пред­
ставляет собой геометрическое место их середин?
31. Доказать,
что
площадь
вписанного
четырехугольника S =
= .J(р- а)(р
-
Ь)(р- с)(р
-
d),гдеа,Ь,с,d·_
стороны четырехугольника, а. 2р -
его периметр.
32. Построить квадрат по заданной вершине и двум точкам, которые лежат на двух
сторонах или их продолжениях, не проходюцих через эту вершину.
33. Построить треугольник АВС, если даны два его угла А и В и сумма двух его
сторон а и Ь.
РАЗДЕЛ II
34. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, ее заключаю­
щих, и больше разности между этой полусуммой и половиной третьей стороны.
35. Доказать, что отношение площади треугольника АВС к площади другого
4
треугольника, стороны которого равны медианам треугольника АВС, равно
3.
36. Чему равно отношение площадей круга, вписанного в правильный треугольник,
и круга, описанного около него?
37. Высота правильного треугольника равна 6$, Найти сторону, радиусы описан­
ной и вписанной окружностей и площадь этого треугольника.
38. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если один его катет равен а
и сторона равновеликого квадрата равна Ь.
39. В прямоугольном треугольнике острые углы относятся как 1 : 2, меньший
катет равен а. Найти радиус описанной окружности.
40. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника
соответственно равны 4 см и 10 см. Найти периметр треугольника.
41. Найти длины сторон прямоугольного треугольника, если известно, что его
периметр равен 12 м, а радиус вписанной в него окружности равен 1 м.
42. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу
в отношении 3 : 4, радиус вписанного круга равен 7. Найти стороны треугольника.
389

43. Один из катетов прямоугольного тр~угольника равен 15 см, а проекция другого
катета на гипотенузу равна 16 см . Найти отношение радиусов вписанной и описанной
окружностей .
.44 . В квадрат вписана окружность, а в эту окружность вписан правильный треуголь­
ник. Найти отношение площадей квадрата , круга и треугольника.
45. Радиус дуги сектора АОВ равен R, центральный угол АОВ равен с,, В этот сек­
тор вписан правильный треугольник так, что одна из его верIJ.ШН совпадает с серединой
дуги АВ, а две другие лежат соответственно на радиуса.,"< ОА и ОВ. Найти сторону
треугольника.
46. В правильный треугольник вписана окружность радиуса r = 5..,/з м и через
центр окружности проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника.
Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между сторонами треугольника.
47. Около круга радиуса R описан равнобедренный треугольник с углом в 120°.
Определить его стороны.
48. Площадь равнобедренного треугольника равна S, а угол при вершине с,, Найти
площадь описанного около него круга.
49. Центр вписанной окружности делит высоту равнобедренного треугольника,
опушенную на основание, на отрезки 5 см и 3 см, считая от верIJ.ШНЬI . Найти стороны
треугольника.
50. В равнобедренном треугольнике основание16 см, боковая сторона 10 см. Найти:
а) радиус описанной окружности; б) радиус вписанной окружности; в) расстояние
между центрами этих окружностей; г) площадь треугольника.
51. Центр окружности лежит на большей стороне треугольника, равной 18 см.
Окружность касается остальнь~ сторон треугольника, равных 12 см и 15 см. В каком
отношении центр круга делит большую сторону треугольника?
52. В ра1шобочную трапецию, верхнее основание которой равно 1 м, вписана окруж­
ность радиусом 1 м. Найти площадь трапеции.
53. Около круга описана равнобочная трапеция, у которой средняя линия равна m.
Определить периметр трапеции и длину боковой стороны.
54_
. В равнобочную трапецию, площадь которой равна 20 см', вписана окружность
радиуса 2 см. Определить стороны трапеции.
55. Доказать, что если высота равнобочной трапеции есть среднее геометрическое
ее оснований, то в трапецию можно вписать круг.
56. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Найти радиус окружнос­
ти, если основания трапеции равны а и Ь.
57. Найти диагональ и боковую сторону равнобочной трапеции с основаниями
20 см и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем
основании.
58. В круг радиуса R вписана трапеция, у которой боковая сторона равна верхнему
основанию, а дуга, стягиваемая этим основание~1, равна с,, Найти площадь трапеции,
зная, что центр круга лежит внутри трапеции.
59. ТрапецияАВСD с основаниями ВС =1 и AD = 3 такова, что в нее можно вписать
окружность и вокруг нее можно описать окружность. Определить, где находится
центр описанной окружности, и найти также площадь описанного r<руга.
60. Одна сторона треугольника равна 52 см, а две другие относятся между собой
как 8 : 15. Угол, заключенный между ними, равен 60° . Найти эти стороны.
61. В параллелограмме острый угол равен 60°. Найти стороны параллелограмма,
если его периметр равен 22 см, а меньшая диагональ равна 7 см.
62. В треугольникеАВС АС= 13 см, АВ + ВС = 22 см, величина угла АВС равна 60°.
Найти длины сторон АВ и ВС.
35
63. Синусы двух острых углов треугольника равны - и
-
.
Радиус описанной
513
окружности равен 32,5 см. Определить стороны и площадь треугольника.
396

64. Дан треугольник, длина основания которого равна а, угол при вершине а. Най ­
ти радиус окружности, проходящей через центр вписанного в этот треугольник круга
и концi,1 основания треугольника.
65. В окружность вписан треугольник, одна из сторон котор,ого равна 2,Jз дм и
удалена от центра окружности на 1 дм . Определить угол, лежащий против этой сто­
роны.
66. Дан равнобедренный треугольник АВС, у которого АВ = ВС = 5 см, L АВС = 60°.
Построить сумму векторов АВ и ВС, найти длину вектора АВ + вс-:
_
1-
_
1-
67. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Пусть р = -АВ, q = ' - ВС . Вы раз ить
2
2
векторы CD, DE, EF и FA через векторы р и q.
68. Треугольник задан координатами своих вершин А(О; О), В(З; 1) и C(l ; 7).
Доказать, что этот треугольник - прямоугольный.
-
1Т
-
-
69. Векторы а и Ь образуют угол <Р =
3.Зная,чтоIаi=2,1Ь1=3,найти: Ь •а,
а2,ь2,1а-ь1,1(а-2ьна-4Ъ)J;праь;пр5а.
70. Даны окружность и ее хорда. Рассматриваются все треугольники, вписанные в
окружность и имеющие основанием данную хорду. В каждом треугольнике взята
точка пересечения высот. Найти геометрическое место этих точек .
71. Построить треугольник, если даны разность сторон а - Ь и два угла А и В.
ГЛАВА 18
КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАНИЯ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
ПО АРИФМЕТИКЕ, АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ
Вариант 1
1. Найти значение выражения
1
0,5 +-+ 0,1(6) + О, 125
4
48
(3,75 - 0,625) • -
125
- ---
--
-
-
-
--+--
-----
---
14
0,(3)+0,4 +-
15
12,8 • 0,25
2. Построить график функции у= 2х
2
-
х - 1 и определить, при каких
значениях х функuия принимает отрицательные значения.
з---
з--
3.Реunпьуравнение v1x +34 - v1x - 3 = 1.
4 . В равнобочной трапеции длина средней линии равна 5 м, а диагонали
взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции.
391

Вариант2
1. Найти х из пропорции
х
10,5 • 0,24 - 15,15: 7,5
9~ ~- 0 ,945: 0,9)
3
3
1--4 -:7
40
8
2. Решить систему уравнений
{
Jx - ll+ly- 51= 1,
y=5+x-l .
1
3. Р.~йти sin
4
a+cos
4
а, если известно, что sina - cosa = -
.
2
4. Даны окружность и точка, лежащая внутри окружности. Построить
хорду этой окружности так, чтобы данная точка бьmа ее серединой .
ВариаптЗ
1. Доказать, что для любых чисел а, Ь, удовлетворяющих условию а
2
+Ь
2
=
= 1, вьmолняется неравенство I а + Ь 1,,;;; )2.
2х+7 15
5х-8
2. Решить уравнение
---
+-
2
-- = ---.
x+lх-1х-1
3: Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 7 .
4. В правильный треугольник вписан круг , а в круг вписан квадрат.
Найти отношение площадей треугольника, круга и квадрата.
Вариант4
1. Упростить выражение 6 - х +уlб - 8х +х
2
,еслих>5.
2 . Решить графически систему неравенств
[х+2у >О,
х -у ,,,-_;;о,
х-4у+6>о.
3. Из пунктов А и В выехали одновременно навстречу друг другу мото­
циклист и велосипедист. Они встретились на расстоянии 4 км от В, и в мо ­
мент прибытия мотоциклиста в В велосипедист находился на расстоя ­
нии 15 км от А. Определить расстояние от А до В (скорости мотоциклиста
и велосипедиста постоянны).
2
4. Даны две стороны Ь и с треугольника и его площадь S = -Ьс. Найти
5
третью сторону а треугольника .
392

Варuант5
1. Упростить выражение
2+../3
2-../3
------+-------·
у12 +J2 +уЗ vr-- ✓2 -vГз
2. Решить систему уравнений
{
х2+ху-6=О,
у2+ху-3=О.
1
3 . Вычислить sin
4
x +cos4x,еслиsinxcosx=- -
.
2
4. Определить площадь треугольника, если две стороны соответствен­
но равны 27 см и 29 см, а медиана третьей стороны равна 26 см.
Вариант 6
1. Доказать, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делит -
сяна9.
vх=-г
2. Найти область определения функции у=----­
х2
-
бх+5
3 . Найти пятый член геометрической прогрессии (ап), если а2 - а 1 = 18,
аз-а1=42.
4. Высота треугольника равна 4 м; она делит основание на две части,
относящиеся как 1 : 8. Найти длину отрезка прямой, параллельной высоте и
делящей треугольник на две равновеликие части.
Вариант 7
1. Доказать, что если а, Ь, с
-
попарно различные числа, то при любых
значениях х выполняется равенство
(х-Ь)(х-с) (х-с)(х-а) (х-а)(х-Ь)
-
-
--
--+------+------ 1.
(а-Ь)(а - с) (Ь-с)(Ь-а) (с-а)(с-Ь)
2. Решить уравнение
х2
-
4х-6=у2х2 - 8х+12.
3. Решить неравенство Iх - 7 1 > 2.
4 . В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол при основа­
нии а. Найти длину медианы, проведенной к боковой сторо!;!е.
393

Вариант В
•
1. Смешали 30-процентный раствор соляной кислоты с 10-процентным
и получили 600 г 15-процентного раствора. Сколько граммов каждого
раствора бьmо взято?
2. Решить уравнение х
4
=6-х
2
.
3. Построить график функции у=
-
../х 2
-
6х+9.
4. В треугольнике АВС проведены медианы АК, BL, СМ. Доказать,
•1тоАК•ВС+BL •СА+СМ·АВ =О.
Вариант 9
1. Вычислить значение выражения
(2а-Ь)2 +2Ь2 - 3аЬ
4а2 - 3аЬ
7
------
.----
-----при а= 0,78, Ь = -.
2а-1 +Ь2
2+аЬ 2
25
х2+2х-8
2. Решить неравенство
2
>О.
х-2х
-3
3.Построитьграфикфункцииу= 1х - 31+12- х 1-
4. Около круга радиуса R описана равнобочная трапеция с острым
углом а при основании. Найти периметр трапеции.
Вариант 10
1. Первый рабочий обрабатывает одну деталь быстрее второго на 6 мин.
Сколько деталей обрабатывает каждый из них за 7 ч, если первый обрабаты­
вает за это время на 8 деталей больше второго?
2. Найти все значения а, при которых корни уравнения
ах 2 + 2(а + 3)х +а+ 2 =О неотрицательны.
3. Доказать тождество
sinа- sin3а+sinSa
cosa - cos3a +cos Sa
tg3a.
4.НаосиОхнайтиточку , равноудаленнуюотточек (-2; 4) и (6; 8) .
Вариант 11
1. Сумма квадратов корней уравнения х
2
-
4ах + 7а2
= О равна 2. Най­
ти а.
394
2 . Решить неравенство ../х + 5,;;;; 2х.
sin
4
a+cos
4
a-1
3. Доказать тождество -------
sin
6
a +cos
6
a-1
2
3·

4. Наmrсать уравнение окружности, проходящей через три точки: А(З;
-7)
В(8; -2),С(б; 2).
Вариант 12
1. Доказать, что дrrя любых положительных чисел а, Ь, с, d справедrrиво
неравенство .../(а+ с)(Ь + d) -;;, у'аБ + -/cd.
2. Решить систему уравнений
{2ху-х2 = 3,
х2+2у2=17.
6sinа - 7cosа+1
а
3. Вычислить -------- , если tg- = 4.
8sina:+9cosa-1
2
4. Длина основания равнобедренного треугольника 12 дм, а боковой
стороны 18 дм. К боковым сторонам треугольника проведены высоты.
Найти дrrину отрезка с концами в основаниях высот.
З95

ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ И ЗАдАНИЯМ
1
Часть1.Гл.1.12.О.13.7.17. -. 18.4.19.12.20.4000.21.х =1.22.х =1
16
В
25. 4. 26.Часnюеувеличитсяна2, остаток не изменится . 27.5. 31. 2
6
•3
2
• 5;25•3
3
•7.
1
5
32.а)13;б)14.33.а)5670;б) 3900.36.1.37. -
. 38. -<0,11;114>9•10 •12 •14.
2
118
/
4
~
2
39. 0,(27); 2,4(6). 40. 1 - ; 5 -
. 41.36
-.
42. -
. 43. 7200.44.14 -
. 45.181.
3
495
6
33
7
1
2
46.1 -
. 47.х=4. 48.х =11 -. 49.14,5 км/ч.50.4галки, 3палки.
96
3
Гл.2. 1. О. 2. - 1. 3. Равенсmо верное. 4. Равенсmо неверное. 7 . а) х;;;, О; б) х.;; О;
в)х;;;,О;г)х<О.8.а)х>О;б)х=О;в)х;;;,О;г)х<О.9.а)х=Оих=2;б)х=1
их=:... 5; в) х - любое неотрицательное число. 12.1. 13. -5 0 0 0 . 14 . Равенство верное.
15. Равенсmо неверное.
1
5х
Гл.3.1.О<- -2<1.2.7<х+у<9,2<х-у<4,10<ху<18, -<-<3.
х
3у
3. Абсолютная погрешность 0,04 (с недостатком), 0,06 (с избытком). 4. 22,2 .;; х .;;
. .;23,2. 5 . х = 8,443 ± 0,001. 6. Второе измерение точнее. 7. "'2,2%. 8. 0,1608; х =40,2 ±
± 0,2. 9. "'0,12%. 10. Верные цифры 8 и 3. 11. х =2,1 •10
3
±0,1 •103,у =3,9 •10-• ±
± 0,1 ·10-2
.
13.18,7.15.16. 16. 39. 17.44 м 3 . 18. 57 кг. 19. 358 км. 20. 55,2 ом.
2
1
3
21. 0,2 <-<0,4. 22.
-
(с недостатком), - (с избытком). 26. 28,5; 28,4; 28,6.
х
175
700
27. х= 15,12. 10
3
±О,1 •10
3
,
у=8,3 •10-
2
±0,1 •10-
2
•
29. 23,6. 30. 33,4. 31. -1,12.
33.1,89.34.1,4.35.3,639.37.Р=38,6 см; S =72 см2• 39.10а. 40.40 м.
1
1
Гл. 4. 1.
-
. 2.--
• 3. 333555 + 555ззз = 355>. 111555 + 5ззз · lllззз;lll крат-
8 16•5k
но 37. 4. Извлечь из обеих частей неравенсmа корень 100-й степени и доказать, что
1
1_
---
Ь
200• > 300а. 6. .ft,. 9. -
•.д;3>- •✓во. 12.
-
✓х<х- 1).13.1.15.-Ь. 16. -
при
3
4
а
21
аЬ>О. 17.
-
1{/6,J ;, 18.
-1. 19.а1Ь2 . 20. 6. 21. 0,12. 22. -1375.26. Да. Например,
396
1
J

(3-
.J'i) + (7 +-/2,) = 10 . 27. Да. Например, (3 -.J'i) • (3 + ../f') = 7. 28. ~; 1,7; 1,73.
1
с
а
х8
а-
..,
38. -2у'З. 44. О. 46. -. 48. -
. 49.(-)
6
. 50.xyz. 51.О. 52.6-/6.53. 1. 54.2.
ь
у'
ь
9
Гл.5.l.1,1 ми0,88м.2.70км.3.440деталей.4.На50%.5.На38,8%.6.а)
-
;
4
б) 0,5. 7. (х
-
1)(3х2+4х+3).9.(х
2
-
3х + 3) (х2 + Зх + 3). Данное выражение
записать сначала в виде (х 2 + 3) 2
-
(3х) 2
•
10.(а2+аЬ+2Ь2)•(а2 - аЬ +2Ь2).
11. (х 2 +xy-JI+y
2
)(x 2
- xy.J'i+y
2
). Выделить полный квадрат: (х 2 + у 2 ) 2
-
-
(.J'lxy) 2
• 12.3(а-Ь)(Ь
-
с) (с - а). Первые два слагаемых разложить по формуле
4$+3Д
1
х-у a2
+a.,Jz+1
суммы кубов. 13. б)
---- .
14.б)
. 15. а)--; б)
30
5 (1/3-1/2)
х+У
а2+1
1
1
в)а2+2аЬ+ЗЬ';г)4а2+2а+1,еслиа<-;
-
(4а2+2а+1),еслиа> -
.
16. 1.
2
2
ь•
ху
1
х-у
х-1
17. -- . 18.--. 19. -. 20.--.
21. ----. Разложить х
3
+х-2=(х
3
-1)+
Ь-1
х+у
а
х
х2
-
х-1
+ (х -1)=(х -1)(х2+х+2).22.1.23.а~(~а+vЪ).24.27.25.3.26.ifti_27.о.
28 . ._ /2. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на 2; представить 4 + 2'1З=
=(-JЗ+1)2, 4
-
2-jЗ =(../3 -1? . 29. 9а. 30. О. 31.1/(а -Ь)"1 . 32.1/tz: 33. О. 34. 4 .
1
35. -. 38. в) Представить 17 + 12-/2 = (3 + 2./2)2
,
17- 12.J'Г= (3 - 2v'2f. г) Об о ­
т
значить левую часть доказываемого равенства через х; показать, что х < О и х 2 = 36.
1
46.
-
4 _:__ 47.101.48. (а+с)2 - ь•; 1. 49.1. 50.2,52.51.20.52.х =10. Каждоеиз
60
подкоренных выражений представить в виде куба: 20 + 14.)2 = (2 +.J2) 3
.
20 - 14,,/2=
Г
2
== (2-v2)3• 53.51р.92к.;1ч.54.180.55.50р.56.2-%.58.На25%.59.530р.45к.
7
60. На 32%. 61. На 20•%. 62. 35 м. 63. 480 растений. 68. (х
2
+х+х)(х
3
-х2
+ 1).
х+3
Данное выражение записать сначала в виде (х' - х
2
)+(х2+х+1).69.б)
--
.
2х+1
-
.Jь-1
71.1.73.х-у.75.
-4 Jx. 77.
-=-· 79. -1 .80.4✓cJ; приа>О,Ь >О;-4,Jciьпри
•
Jab
1
1
а<о,Ь<О. 81.
-
.
82.6.83.3
-
-.jз. 84. 2Vё. 85. 1/х· v;. 87. ф. 88.1. 89. -,если
2
2
1
х2+у•
2
а>.J2; - - , если а< -/2.90..Jт
-
1.91. --- . 92.п(п
-
1). 93. -- . Зап исать
2
х2у
2
+1
2-а
а+2-)а- 1=(✓а -1+1)2,а -2✓а-="Т=(Ja- 1
-
1)2
; при 1 <а<2 разность
--./а=1- 1отрицательна. 96. а) 1; б) - 1; в) 2. 104. 2. 105. -
1,1. 107. 1. 108. 2. 110 .
1
•
А=-
. Выделить полные квадраты в выражении А. 111.l . 112. 20%.
2
3
397 ·,

Гл.6.1.а) -1; б) никакое; в) вседанныечислаявляютсярешениями; решением
уравнения является любое действительное число. 2. а) Да. Оба уравнения корней не
имеют;б)нет.3.г)Еслиа*2,тох=а+1;еслиа=2,торешенийнет;д)приь*±2
1
иЬ*О - х = --; приЬ =2иЬ =О-Ф·(решенийнет);приЬ=-2-х-любоечисло,
1
2-Ь
1
1
нох*- ;з)еслиЬ*±а,тох=--; eC.'IHЪ"',;;,тох -любое,х*- ;еслиЬ= -
а,
2
а+Ь
а
торешенийнет.5.с= -16.6.Ь =±140.7.Ь =1;с=-4.8.р =±7.9.Зх
2
-17х+16=О.
1
10. 3х
2
+17х+10=О.11.117.12.6х2-Sx +1=О.13.а=± -
_ 14.а=4. t5.х•
-
25х2 +
2
+144=О.16.а)Ь =-с;б)Ь=О,ас<О;д)3Ь2=16ас,ас>О.17.а)х =1;б).х-
2
любое,х,t. -; в)решенийнет ; г)х=4.18. а)ЕслиаЬ,t.ОиЬ*а, то х 1 =а+Ь - ,х , =
3
а+Ь
=--;б)еслиа=О,тох-любое,х*О;еС'Лиа*О,торешенийнет.19.а)х1=2,
2
х2 = 3. Положитьх
2
-5х+7=у; б)х=1.Разложить:х3+х2 - 2=(х
3
-1)+ (х2
- 1);
1
1
в)х=±2; г)х=- 2;д) х12=±-;х34=±1.Положить.:.?=у.20,а)х1=-,х2=1;
'
21'
1
2
б)х 1 =-3,х 2 =2,х 3 =3; в)х 1 =-1-, . х2 =1;г)Х:"'О,х 2 =-,х 3 =4 . 23.а)х=7;
3
3
б)х= -1; в) х = ± 5. Положить ff+tl=у; г) х = 7. ПоложитьЕ=у;д)если
3
х+2
а>О,тох1=О,х2=- а·; еслиа=О,тох
-: любое, х,,;; О; е~чи а< О, то решений нет.
4
24.а) (3;1),(1;3);б) (3;1),(4;2);в) (-2;1);г) (2;3),(3;2);д)(2;3),
х
(3; 2). 25. а) (4; 3), (-4; -3). Положить-= t; б) (5; 1), (1; 5) , (2; 3), (3; 2).
у
(
(х+у) +ху=11,
Записать систему в виде
ипuложитьх+у=и,ху=v; г) (7; 3),
ху(х+у) =30
у(у-х)
12
(-7; -3). Использовать уравнение----
-
-; д) (-2; --4); е) (8; 2). 27.
х(х-у)
28
.а) (1; 1), (-1; -1). 28. 27. 29. 3 и 12. 30. 36. 31. 50 км/ч. 32. 12 км/ч и 30 км/ч.
33. 12 км/ч и 60 км/ч. 34. 48 ч. 35. 10 км. 36. 10 дней, 15 дней. 37.100(v2 -1) %.
3
38.4ч40мини 5ч50мин.39.25чи20ч.40.3-ч.41.140м.42.25см2.43.12см,
4
16сми20см.44.4кги6кг.45.20%и60%.46.1:1.47.10м.48.34и9.49.24и
20 попаданий. 50. 75 %. 51. 99 л. Если х л - искомое количество, ар.
-
цена литра
(220 -х) а+Ьх (180 - х) Ь +ах
бензина в первой бочке, Ь р. - во второй, то
220
180
и уравнение приводится к виду 20(Ь - а)х = 1980(Ь - а), где а* Ь. 52. 180 р . Пусть
х р. - цена магнитофона, у
-
число студентов. По условию 170 ,,;; х ,,;; l 95. Уравнение
398
1
]

х
х
-- = - + 1 приводится к уравнению у• - 2у
- _2х =О, откудау= 1+~-Так
у-2 у
как 341 .;; 1 + 2.х .;; 391 и у - целое, то 1 + 2х = 361 (единственное целое число из
2
отрезка [341 ; 391], из которого извлекается корень) . 53 . а) -<х.;; 10; б) х .;; - 6;
9
в)1,;;х<3;г)решенийнет.54.а)Х<- 7,х>2;в)О<х<1:д)х<О,2,;;х.;;3;
е)х-любое,х*2;з)х>О.55.б)
-
1<х<2,2<х<3;г)х<
<-1,х;;.4:д)х<-2,
-
1<х,;;О;ж)х<-1,О<х<1.56.а)
1
1
х1=- 2,х2=4;б)х=- -;в)х,;;1;ж)х<2;и)х,;;--,х;;,5.57.а)Данноенера-
2
2
венство равносильно неравенству (а - Ьс)
2
+(Ь - ас)'+ (с- аЬ) 2 ;;,, О; б) д анное неравен-
ство равносильно нер~:венсТ2у ( ~ +~)+ ( ~ + _:) + (_: + ~) ;;,, 6; в) а+ Ь +с+ d
Ьа
сЬ
ас
4
а+Ь c+d
+--
2
2
------; использовать неравенство между средним арифметическим и средним
2
1
геометрическим двух чисел; г) записать неравенство в виде ~ + ~ ;;. 2;
ух2+1
д) сложитьочевидныенеравенстваа 3 <а
2
сиЬ3<Ь
2
с; учесть, что а 2 +Ь
2
=с2 . 58.
2
5
2
5
2
Еслиа<- тох>--·
если а> -
, то х <----; если а=-, то решений нет.
3'
2-зd
3
2-За
3
5
7
59. -<а,;; 1, а;;. 6. 60. а< -
-. По
условиюзадачиа<ОиD=49 - 16а
2
<О.61.
9
16
4
-
7<а<1.62. -
- "- а < - 1 . По условию задачи имеем систему неравенств
7
{
D=9а2 - l6a(а+1);;.О,
Х1>1,
х,>1
и заменяем равносильной системой
!
D;;. О,
(х1- 1)+(х2- 1)>О,
(х1- l)(x2 -1)>О.
Применяем затем формулы Виета. 64. а) если а* 1, то х = а - 1; если а= 1, то Ф;
1
б)еслиЬ*±3,тох = -- ;еслиЬ=3,тоФ;еслиЬ =- 3,тох -любоечисло.65.е)·Ф;
Ь-3
1
66.а) х =3; б)х1=О,х2=1,х3=2.67.а)-.68.б)х =4.70.а)Положитьх
2
+Зх = у;·
1
72
б)положитьх2+2х=у;в)х1=- ,х2=-
. Разделив
числитель и знаменатель каждой
2
2
399

4
3
дроби на х * О, получим равносильное уравнение --- -- +
-----
= 1,для
7
7
4х-8+- 4х
-
10+-
х
х
7
3~
решениякоторогоположить4х+-=у; д)х=6;ж)х=-при а;;, О.71.в) ф; r)х=
=а+7, у =-а - 10 при то.бом а. 7;. а) (1; 5),(-3, 1); в) (О;\,(% ; 1J, (2; 3); е) (3; 1),
(-3; -1), (12; -
~
-
~\, (-12; 1). 73. а) (4; 64), (64, 4). 74. а) q>:
2
+рх+1=О.
/.'
./
75. р
2
-
2q.76.p(3q-р2).77.3и15или-15и-3.78.q = - 16.79.10и5.
80.36и4.81.24.82.103.83 .5м3/ч.84.72чи90ч.85.60ги48г.86.1ч.87.5ч,10ч
и6ч.88.50км/ч.89.21 км/ч.90.24км.91.5км/чи11км/ч.92.6Окм/ч, 90км/ч
и900км.96.5.97.200кг.98.160г.99.24и21 .100.в)х>2;г)3<х<4.101.а)
2<х<;3;в)Ф;г)х-любоечн:;;:о;д)х
-
л:сссе, крсмех= - !. !~::!. r) О< у< 3;
1
г) х >-.Левую часть данного неравенствэ записать в виде •-/х 2 + 6х + 9 - ✓х'- 6х+ 9;;
2
= ✓(х+3)2 - ✓(х-3) 3
= l x +Зi-lx-31 . 103. а) -5<х<-3,х>2.Использо-
3
ватьметодинтервалов;г)1<х<2,х>3;д)х,;;-2,1<х<3.104.а)О<х<-;
3
5
1
1
2
б)х>-;в)О<х<-;r)-- <х.;;--.
2
3
3
4
1·л.7.4. О ,;;х <;4.6.х <О.7.О ,;;х,;;1.10.Функuиянеопределена.11.х =2.
г111
12,а)D(y)=l-
2
;1
2
,Е(у) =[О;2];б)D(y)=(- 00;- 3] И[1; +=),Е(у)=[О;+оо).
15. Четная . 16. Нечетная. 18. Нечетная. 19 . в) Возрастает на все й оси Ох ; положительна
•
а+Ь
при х > 1, отрицательна пр и х < 1. 20 . 2. 21 . 2 . Использовать неравенст.ю
-- ;;,
2
;;, .,JаБ, если а ;;, О, Ь ;;, О. 22. Пусть х - основание прямоугольник а . Тогда его нысота
2 -х.Площадьпрямоуrольника S=x(2 -х) . Задача состоит в отыскании наибольше­
го значения трехчлена 2х - х 2 . 29. "Нижняя" полуокружность с центром в начале
!координат и радиусом, равным 2. 32 . Окружность с центром ( -1 ; 1) и радиусом -/i
Записать данное уравнение в виде (х + 1) 2
-1+(у-1)2-1=О,или(х+1)2+
+ (у -1) 2 = 2 . 33. Прямые х = 1 их= 2, параллельные оси Оу . 40. Начало координат.
41. Парабола. у =х 2 • 42. Прямые, совпадающие с осями координат . 47, х 1 = - 7 , х2=
=-3, х3 =-1,х4 =l,x5 =3,х6 =7. 48. (6; -8); (-8; 6).49. (3; 4); (4; 3);
(-3; -4); (-4; -3) . 50 . ( -5; О); (4; -3); (4; 3).51.Еслиа=О,тодварешения;
еслиО<а < 2,точетыререшения; еслиа =2,тотрирешения; если 12 > 2, то два ре­
шения: если а< О, то решений нет. 64. -
2,;;х.;;12,или[-2;12]. 65 . х
-
любое
число, кроме х = 3 их= "с-1. 66. 1,;; х < 6, или [1;6).. 70. х,;; - 1, О ..:х,;; 1.
71. а)
D(y) = [-1;3 ,Е(_~)= 0; 2 ] ;б) D(y) = ( - 00 :+ =) . Е(у)= [l;+f"'l . Заm1сатьф ункцию
в виде у= (х + 1) + 1. 73 . Нечетная. 76. Четная . 78. б) Убывает при х < О, возрастает
прих >О; положительнаприх< - 2их>2,отрицательнапри· - 2. <х<2.79.10.
100.х =О.101.х1= -
2,х, =4.104.Еслиа"'О,тодварешею:я;есл:1О<~<3,то
четыре решения; если а = 3, то три решения; еспи а > З, то два решею~~; е(:ЛИ а< О,
то решений нет. 105. Если Ь =О, то одно решение; если О< Ь < 1, то два решения; если
Ь = 1, то бесконечное множество решений; если Ь > 1, то одно решение ; если Ь < О, то
решеНl'йнет.
400
1~
11

rл.8.3.x,=1,x 2 = 9.4.d=5.5.n=19.6.a)x=36; б)х = 7. 7.1904. 8. 690 .
9.а,• =41;S,. =432.13.Да;1,3,5,... 14.а)х, =О;х2=1;б)х=1.17.62;124;
248.18. 508. 19. 8; -4; 2; -1; ... 21. 3; -6; I2-;
-= 24 . 22 . n"'6.23.ф.24. Sn=
l(l0 · (l0n;,1).
--\
=
9·
9
-
J°25.3;7;11или12;7;2.26.8;16;32и32;lб;8.27.96.
32 32
28.12,6,3, ... 29.32. -
,-, ... 33.а)х =±2;б)х, =2,х2=10.34.6;9;12;15;
39
18;21.35.п =8.36.п>11.37.1065.38.а)х =55;б)х=1.39.а,6 =63; S,6~ 560.
40.S15 =75.41.Нет.43.а, =33,d =-4.44.d =- 10.46.q =±3.47.х, =- ✓2, х2=
= .../2.48 . 6и12.49.S5 =341.50.2; 6; 18; 54; ... или2;
-6; 18; -54; ...51.х =
i
=- 1.52.а, =3,q =3илиа1=12,q=
2.53.27;-9;3;-1или54; 18; 6; 2.54.5,
64
1
J
13; 21; 29.55.64или -.56.а, =6,q = --. 57.q=- .
3
2
5
3
оо
Часть П.Гл.9.1. АВ = 8,1 см.4.14 см, 2 см. 5.1-d . 7.108 , 72 .11 .12 см.
Гл.10, 11. 80°, 30°, 70°. 12. 4 м, 4м. 21. 2 см. 2/60°, 120°. 37.12 см. 40.1 l~ d;
14
17
d. 41.1,7 м.
Гл. 11. 17. 30 см. 18. 6 см. 19. 120°, 110°, 60°, 70°. 20. 20 см. 28. 60°. 31. 50°.
32.54°, 126°. 33.40°, 60°, 80°. 34.1,5м.35.9см,12см,15см,12см.36.5м.
аь.J[
Гл. 12. 6.
-
-
. 7.21см.8.36сми54см.9.R =25см,r=8см,d=15см;R-
а+Ь
·
радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, d - расстояние
2
-
Г,';;
-
междУ их центрами. 10. 10
3м.11.9✓5ми8v10м.12.6ми8м.13.8✓5сми
4,Jsсм.14.30мм.15.16сми9см.16.15ми35м.21.8сми15см.22.18м,24м,
30м.23.30см,40см.24.1,2м.25.50см,15см,31,25см.26.25см,6,72см.27.
10,2 м, 13,6 м, 17 м. 28.11,2 см.
Гл. 13. 2 . Бесконечное множество. На прямой, параллельной данным и равноот•
стоящей от них. 4. У к а з а н и е. Использовать преобразование симметрии относитель­
но данной точки. 7. Указ ан и е. Доказать, что точка пересечения осей симметрии
является центром симметрии. 8. Указ ан и е. Если а 1 1а 1 , то использовать централь­
ную симметрию, а если а)( а, ...:. осевую симметрию. 9. У к аз ан и е. Рассмотреть
окружность, симметричную одной из данных окружностей относительно точки О.
10. У к а з ан и е. Использовать точки Р, и Р 2 , симметричные точке Р относительно
прямых ВА и ВС. 11. Указ ан и е. Использовать поворот около данной вершины
на 60°. 15. Указ ан и е. Использовать гомотетию относительно вершины угла.
19. Указ ан и е. Сначала доказать, что если треугольник имеет ось симметрии, то
он равнобедренный. 23. У к а з ан и е. Использовать поворот на 60°.
Гл . 14, 1. а) Четырехугольник ABCD - параллелограмм; 6) четырехугольник
ABCD- параллелограммилитрапеция. 2.Указание. ПустьЕиF
-
середины
-
1-
сторон АВ и ВС ЛАВС; EF =
2АС.3.п =12,п = - 12.4.п =2.5.Указание.Если
А(х1; у,),·В(х2;у2),тоАВ(х2- х,;У2- у,).6.а)Ь(8;6);б)Ь(-8; -6).
-
1
7. cosLA =0,6, cosLB =О, cosLC=0,8.8.х = -1.10.пр1,а =
5.11. а) cosa = 0,6
4
2.,/2
-
.
1
3
_
tgа=
3; б)sin а =-
3
-
,tgа=- 2✓2;в)sinа=
-
.JТo'cos °' = - .JТо; г)соs а = 0,8, tga -
401

.Jc
2
+d2 ±2cdcosa
=-0,75.13.Неможет. 14.
2
. 17. Указание. Применитьтеоре•
му косинусов. 18. 3 см и 8 см. 19. АВ = . _/ 6+ З.)2 см, АС= 2,Jбсм. 20. а) с"" 50,4,
LA "'7°18',LB""82°42'; б) a,a,23,LB..,70°23',LA ""19°37'; в) С""200,Ь""164,
~В=55°15'; г) с ""200,Ь ""199,3,LA =5°10'; д) а""5,Ь ""1,644,LB =18°12';
е) а"" 3,319, Ь ""1,200, LA = 70° 8'. 21. а"" 135° 35', (j ""15° 30', 'У"" 28° 55'. 22. 'У =68° ,
а "" 13,57, Ь "" 11,22. 23. а "" 129° 50', у"" 35° 10', Ь ""8,09. 24. с "" 11,40, (j ""41 ° 49',
'У""108°11'илис ""2,46,(j ""138°11','У' ""11°49'. 28.Указание.75° =45° +30°;
применить формулу синуса суммы. 29. Указ ан и е. 105° = 60° + 45°; применить
3-4../З
а .Js а 2../5
формулу тангенса суммы. 30.
-
0,6 . 31.
10
. 35. sin
2=-
5
-; cos
2=- -
5
-.
36,sina+cosа=1,4илиsina+cos а= -1,4. 37.tg~= -
~-
38. О. 39. О.40. О.
2•3
47. 4sin(; +15°)sin(f-15°). 48. 2sin 2 (45° -а). 50. 2sin(2a-30°). 52.
2sin(2a-45°).Jtg4a.53 .fll/N=1⁄2a- 1⁄2b,55.m=±7.56 . (0,8; 0,6).58.В(О; 2).
59. а) D(l; - 3). 60. ,Jз; 30°. 61. 90°. 65. -
2,2.66.в) cosa= - 0,8,tgа=0,75.68.а) с"'
4
""13,1, LA ""15° 58', LB ""14° 2'; б) Ь s=-, LA ""36° 51', LB ""53° 8'; в) с "'2, а"' 1,725,
5
~
LA = 59°36'; г) с"" 3, а"" 1,72, LB = 55°4'; д) а"" 3,96, Ь ""1,34, LB = 18°42
1
;· е)
а "" 0,104, Ь "'0,058, LA = 60°46'. 70.а "'14°58', (j·"" 11°, 'У "" 154°2'. 71. 'У "" 119°,
а "' 16,69, с "" 24,83. 72. а "" 16° 20', 'У'"" 11° 40', Ь·"" 53,41. 73. с ""22,30, (j ""5° 35',
о, .Jб-.J2
0
0
0
84 36
'У""1025.77.
4
.
указание.15 =45
-
30 . 79, 85; ss· 81. 0,96.
.
а3а
1
а
.Jб
(0а)
82.
-
3. 83. sш2= ../IO' cos
2= ../IO' tg
2=3. 85. 2
.
96.4cos15 +2Х
Хcos(15° - f)·97. 2../2· sin ~ •sin(~ - 45°). 98. 8sin(30° + 2а) •sin(30° - 2а).
99. 4sin4a • sin(a+ 15°)cos(a - 15°). 100.13; -13.
Гл.15.1.8ми 18м.2.30°. 3.Квадрат.5.202,8дм2•6.36см2•14.Неследует.
Например, треугольник со сторонами 13, 13, 24 имеет площадь S1 =·60, а равносторон­
ний треугольник со стороной 12 имеет площадь S2 = 36,Jз > 60. 15 . 11, 2 см. У к а­
з ан и е. Применить формулу Герона. 16. Радиус описанной окружности R = 12,5 см,
радиус вписанной окружности r = 3 см. У к а з а н и е. Данный треугольник прямо-
.
S
За2
2.
2
угольный; найти т по формуле r = -.
17.
г,,.19.480см
. 21.540м
. 22.
р
2(3+у3)
6.jзсм2• 23. .,Js. 24. 1⁄2аЬ. 25. }12sina. 26. 48 см2• 27. 16 см и 12см. 28. 5 м. 29.
6../2.см.30.""2.34. 120дм2• 35. 39дм2• 36. 5дм. 37. 8сми10см. 38. 150м2•39.
450см2.41.1⁄4kl. 42. S. 43. а2•
Гл. 16. 1 . Указ ан и е. Середюшый перпендикуляр любой стороны правильного
многоугольника проходит через центр описанной окружности. 4. а) При п < 6; б) при
1 v'2 ./3
113
тrа 1rа
.
21rа
5
п=6;в)п>-6.5.а)
2,2
,
2 ;б)4,2,4.б.а)3
;б\у'2;в)
3 .Jз.7.б) 6 тr;
2sina•sin(j•sin(а +(j)
7
(540')
0
3
д)
9тr. 8. а) 20°; г) -;
.
9.(тr -2)•R
2
• 10.
4z. 11.
7Г
402
1i
11

тта 2
16
3р2 (4тт - 3 ../3)
15.
-
.
г,,.~
12•
4(2тт+ 3v3)
19. У к'! 3 ан и е . Использовать теорему Пифагора.
R,/2
21.
-
2
-
. 22.а)8;б)11;в)13.23. 144°. 24.4дми2,5дм. 25.Н.а40%.29.
с,
..jз
R•sin2
24
а2(i --})- 30.
--- . 31. 5 тт,.. 15,1 м.
с,
1+sinт
2 ,---с-:---с-:-,----,-
а+Ь+с
Гл.17.4. а) ha=;, . / p(p-a)(p - b)(p-c),p=
2
;б)lс=
,JаЬ(а+Ь +с)(а+Ь-с)
.
сsina•cosс,
_; ___..:,___...:__:_ _ _ __.;.
. 5.42сми56см.6.8сми15см.7.
.
.8.
а+Ь
1+smс,•cosa
.
3.
4
2
/s3
3
s1na=-
5,s1n,в =-
5
. 10.::.11.✓::- . 12. -. 13.7,2.14.1см.15.а)13сми15см· б)- 165
.)
3
4
'
2 V о;:,.
.
3
1
16.r =
8 , Р = 2 ; r -радиус вписанной окружности, р - расстояние между центрами
2mcosa
т
окружностей . 17. Основание равно
---;R=---.
18. 2.j'iм. 19. 54 см2•
tg~
4sin2 ~
2
2
9
(а2 - Ь2)(,VЗ- 1)
20. CD. 21.
2,
2
• 22.25ттсм2•23.
4
. 24. 100тт см2 • 26. Вне трапе-
R3-
2
1
ции;-; =
5 ,Jl4.27.B(4; 4),С(9; l),D(6; -4).28 .S=l5.29.cosa= -/7.36.
4.
40.48см. 41. 3м,4ми5м.
с,
Rsin-
2
2
-
43. -. 44.16: 4тт: 3,./3. 45. ----. 46. 20 м.
5
sin(30° + f)
ттS
48.
----
2
б)2
3см;в)5см;г)
1
49.10см,10сми12см.50.а)8
3 см;
sin2a •tg ~
2
48см'. 51.4 :5. 52.5м2. • 53.4m,т.54.2см,5сми8см.56.~ . 58.2R2sin'a. 59.
а+Ь
7
а
Внутри трапеции; S =
3тт.60.3см,8см.64.
а . 69. пр;;, а= 1 . 70. Окружность,
2.CDS -
2
симметричная с данной окружностью относительно данной хорды.
Гл.18.Вариант.1.1.1.3.х1=- 61,х, =30.4.25м2.Вариант2.1.х =5.2.
1
11
3
11
23
1
Х1=т,У1=-т;х, =2'У,=т·3.32·Вариант3.2.Х1 =4,х, = -13.
3. 70336. 4 . 3Jз:тr:2 . Вариант 4 . 1. 2 . 3. 20км. 4.а=)ь•+с' -{ьс или
а=)ь•+с~ +fЬс. Вариант5. 1.
-/2.2.х1=2,у1=1;х,=- 2,у, =-1. 3.
1
2
,
2
2 . 4. 70см. Вариант 6. 2 . l<x<S; x>S. 3. 170-. 4 . 3м.Вариант 7.
.
3
403

2.х1=6,х, = - 2.3.х<5,х>9.4. ~.Jtg2сх+9.Вариант8.1.1:'i0ги450г.
1
8R
2.х12 =±./2.Вариант 9. 1. -
2
.
2.х<-4, -1<х<2,х>3.4.
-.- .
Ва-
'
мех
риант 10. 1 . 28и20деталей. 2.-2,25..;;а..;;-2. 4 . (5; 0). Вариант 11. 1 .
а1=1,а, =-1. 2.х;;,1,25. 4,(х-3)2+(у+2)2
= 25. Вариант12. 2.
f ,Jз 5,,;з·) ( ..;з 5 .,/3) 85
28
(3;2),( -3; 2), \
3;-
3
-;
-
3 ;--
3
-
.з. -
44. 4.
3 дм.
СПИСОК ФОРМУЛ
1. Действия с обыкновенными дробями:
ас
ad+Ьс а
сас
ь+d
bd 'ь•d=Ьd;
асad-Ьсас
ad
Ь-d =~;Ь:d=ьс
2. Модуль (абсолютная величина) действительного числа
{
а,еслиа;;,О,
lal =
-а,еслиа<О;
laЫ=la l·IЫ; 1; 1 =
1
1
;
1
1
(bif;0);
la+bl.;;; lal + IЫ; lа-Ы..;; lal + IЫ.
3. Свойства степени с рациональным показателем:
аР•aq=ар_+q (а>О); (ap)q=apq;
(aif;0); (аЬ)Р=аРьР;
т
(Ь*О);
п=nГт
0т
а
va
(а> О);
(а* О); а0
=1(а*О).
4. Действия с корнями:
-/а2=la1; Jьт =1Ьln; JаБ =Ja·-Jь(а;;,О,Ь;;,О);
л = ~ (а;;,О, Ь>О);
- Ja 2 b = lal.Jь (Ь;;>О);
ЬуЬ
а,Jь = ./ТЬ (а ;;, О, Ь ;;, О); а,Jь = -./7i; (а"- О, Ь;;, О);
✓а=п':./1'(а;;, О);
✓а•✓Ь=~(а ;;,,
О, Ь ;;,, О);
';/а пГа
пГа = 'J abn-l
✓Ь =уЬ(а;;,О,Ь>О); уЬ
Ь
(а;;,,О, Ь>О);
404

т
( ';/а)т = $?1 (а ;,, О);
~=т✓а (а ;,, О).
Еслиа>Ь>О,✓а > ✓Ь.
Если ✓а > ✓Ь (а >О,Ь>О),тоа>Ь.
2k+ 1
2k+ 1
Га= -
'../а (k ;,, 1, k - натуральное число).
5. Пропорции:
ас
Основное свойство пропорции: если Ь = d' то ad = Ьс.
а
с
Если ь-а' ТО
ka+lb
та+ пЬ
kc+ld
те+ nd
(производная пропорция) ;
а+Ь c+d а-Ь c-d а·+ь c+d
Ь-d;Ь-d;а-Ь-c-d
Если1 =2=
ап
k1a1 +k2a2 +...+kпап
ь1
ь2
ь";;'то k1Ь1+k2b2 + ... + kпЬп
а~+а,+ ... +ап а
а
Оп
в частности: ------- =
-2. = -2.
Ь1+Ь2+...+Ьп
Ь1 Ь2
Ь"
6. Формулы сокращенного умножения:
(а+Ь) 2 =а
2
+2аЬ+Ь 2 ;
(а- Ь)2 =а
2
-
2аЬ +Ь2;
(а+Ь) 3 =аз +3а 2 Ь+3аЬ 2 +Ьз;
(а-Ь)З=аз
-
3а2Ь +3аЬ2 - ьз:
(а+Ь)(а-Ь)=а 2 -Ь
2
;
(а+Ь)(а 2 -аЬ+Ь 2 )=аз +Ьз;
(а- Ь)(а2+аЬ+Ь2)=аз - ьз;
(а-Ь+с)2
=а
2
+Ь2+с2
-
2аЬ+2ас-2Ьс;
а2 +Ь
2
= (а+Ь)
2
-
2аЬ;
а2+ь2
=(а-Ь)2+2аЬ.
7. Квадратное уравнение:
ах2 +Ьх+с=О (а*О), х1 ,2
- b±,Jl5
2а
(D=Ь2 - 4ас;,, О);
ах2
+2kx+c=O (а*О), х 1 , 2
-k ±.Jk 2 -ас
а
(k2
-
ас;;,, О);
х2 +px+q=O, х1,2 = -~
± J(~)
2
-
q (Р; -q ;;.о)-
Ь
с
ФормулыВиета: х1+х2= --, х1•х2= -.
а
а
Формулы разложения квадратного трехчлена на линейные множители:
ах 2 +Ьх+с=а(х-х 1 )(х-х 2 ) (а*О).
8. Прогрессии:
формула общего члена арифметической прогрессии:
Оп=а1+(п-l)d;
в частности:
405

формула суммы первых п членов арифметической прогресии:
2а1 +d(n - 1)
Sn=
2
•п;
формула общего члена геометрической прогрессии:
an=a1qn-l (q-4=0 , п;;.1);
формула суммы первых п членов геометрической прогрессии
q-4=1:
q-1
со знаменателем
формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
а
s= --
1
-
(q -4= 1).
1-q
9. Тригонометрические функции. Свойства тригонометрических функций:
для любого угла а
1) sin(-a) = -sina;
cos (-а) = cosa;
tg(-a) = -tga (cosa -4= О);
2) для любого целого числа п
sin(a +360 °п) = sina;
cos(a + 360° п) = cosa;
tg (а+ 360° п) = tga (cosa -4= О).
10. Некоторые тригонометрические тождества:
для любого угла а
sin 2 a + i::os 2 a = 1 (основное тригонометрическое тождество);
1
1+tg2a =---
(cosa -4= О).
cos2 a
11. Теорема синусов, теорема косинусов:
а
sina
ь
sin/3
с
sin-y
а2
=Ь
2
+с2
-
2Ьс cosa.
= 2R;
12. Свойства скалярного произведения:
а-ь=ь•а;
(ka) •ь =k(Ь.а);
а.сь +с) =аь +аё;
если a(al;a,J, Ь(Ь1;Ь,),тоаЬ =а1Ь1 +а,Ь,;
_
а1 Ь1 + а2 Ь2 = О - условие перпендикулярности векторов а и Ь;
albl +а,ь,
cos·1p = ----,-~-----
(<Р - угол между векторами а и Ь) .
~..jb~ +Ь~
13. Формулы сложения:
cos(a - /3) = cosa cos/3 + sina sin(3;
cos(a + /3) = cosa cos/3 - sina sin(3;
406

sin (а + {З) = sina соs{З + cosa sin{З;
sin (а - {З) = sina соs{З - cosa sin(З; .
tga + tg{З
tg(a + 13) = ----
(cosa*О, соs{З*О, cos(a+{З)*О);
1- tgatg{З
tga - tg{З
tg(a-{З) =
1
+ tgatg{З (cosa* О, соs{З*О, cos(a - {З) *О).
14. Формулы приведения:
для любых значений °'
sin(90° +а)= cosa;
sin(90° - а)= cosa;
sin(180° +а)= -sina; sin(180° - а)= sina;
sin(270° +а)= -cosa; sin(270° - а)=
-cosa;
cos(90° +а)= -sina;
cos(90° - а)= sina;
cos(180° +а)= -cosa ; cos(180° - а)=
-cosa;
cos(270° +а)= sina ;
cos(270° - а)=
- sina.
15. Формулы ДВОЙНОГО и половинного углов:
для любых°'
sin 2а = 2sina cosa; cos 2а = cos
2
a - sin'a;
cos2a = 2cos•a - 1; cos2a = 1 - 2sin2 a,;
2tga
tg2а=
2
для тех а, при которых сбе час-ти р2.зен=а и~,н,ют смысл .
1-tgа
16. Тригонометрические преобразования;
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение:
длялюбыхаи{З
.
.
.
а+(З
а<-{З
SШО! + SШ{З = 2sm --- cos --;
2
2
.
.
.
°'-(3
°' +(3
sma- sm(З= 2sш-
2-cos-2
-;
.
а+(З . {З-а
cosa - соs{З =2 sm--- sш
--
2
2
.
а,+(З . О<-{3
-
2 S!П --- S!П
---
•
2
2'
а,+(З
а-{З
cosa + соs{З = 2cos---cos --- .
2
2
Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму и разность:
для любых °' и (3
sin(a + {З) + sin(a - (3)
sina соs{З = ---------
2
cosa соs{З
sina sin{З
cos(a + (3) + cos(a - {З)
2
COS(O! - {З)
-
COS(O< + (3)
2
407