/
Текст
В. ЛИТЦМАН
ВЕЛИКАНЫ И КАРЛИКИ
В МИРЕ ЧИСЕЛ
ПЕРЕВОД С пятоrо
НЕМЕцкоrо ИЗДАНИЯ
л. С. т О в А Л Е В О Й
Под редакцией и. М. яrЛОМА
rocy ДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО..МА ТЕМА ТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРА ТУРЫ
МОСКВА 1959
{ATHEMATISCH-PHYSIKALISCHE BIBLI()THEK
REIHE I
Н е , а 11 s g е g е Ь е '1 ё! О '& Р r о {. D У. IУ L i е t z п, а "1l
z.
RIESEN UND ZWERGE
1 М ZAH LENREICH
vQn Dr. \\1. Lietzm:ann
rrofessc.r ап dcr Uni\'crsit3t Gottingen
Punfte t\u(las
N I t 9 .\ Ь Ь i I d U n j;C R
ЕВ
В. G. Т Е U В N Е R
VERLAGSGESELLSCHAFT.LEIPZIG
I 9 S J
оrЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода . . . . 11 . . 11 . 11 . . . 11 11 11 . . .. 4
1. О счете . . . . . . 11 11 11 11 11 . . 11 11 11 11 . 11 5
2. Числовая система 11 w . . 11 . 11 . . . . .. 1 О
3. Наr!lядное представление больших чисел с помощью мер длины
и времени, площадей и объемов . . . . . . . 11 . . . . . .. 14
4. Кое-что о вычислениях с большими чис",ами 11 . . . . . .. 21
5. Наибольшее число, которое можно записать тремя цифрами 11 26
6. О числах простых и совершенных. 11 . . .. . . . 11 33
7. Еще несколько примеров числовых великанов . . . . . 11 11 45
8. Числовые карлики . . 11 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53
9. В мире великанов и карликов также считают обыкновенными
числами 11 11 . . 11 11 . . . . .
...............
65
1.
ОТ РЕДАКТОР А ПЕРЕВОДА
Эта маленькая книжка принадлежит перу известноrо
немецкоrо популяризатора матеl\1атики Вальтера Литцма-
на. Она рассчитана на широкий Kpyr читателей и вполне
может быть рекомендована школьникам средних клас-
сов, так как для ее понимания требуется знакомство в ос-
новном лишь с элементами арифметики. Однако в конце
книrи автор переходит к более сложным вопросаlVI, с кото-
рыми интересно будет познакомиться и более подrотовлен-
ному читателю. Книrа может быть полезной также и пе-
даrоrам, которые найдут здесь обширный материал как
для классных занятий, так и для работы школьноrо мате-
матическоrо кружка.
Настоящий перевод выполнен с-пятоrо немецкоrо изда-
ния 1953 rода, заметно отличающеrося от предыдущих.
Несмотря на то, что со времени выхода этоrо издания про-
шло не так MHoro времени, возможно, что некоторые из
U u
приведенных в книrе сведении MorYT уже сеичас считаться
устаревшими. Редакция не ставила целью привести все
имеющиеся здесь данные в полное соответствие с самыми пос..
ледними достижениями науки, поскольку задача книжки
состоит лишь в том, чтобы проиллюстрировать некоторые
из тех разделов математики и естествознания, в которых
встречаются очень большие и очень маленькие числа.
Книжка снабжена небольшим ЧИСЛОl\1 примечаний редак-
тора (обозначенных звездочками в отличие от нумерованных
подстрочных сносок автора), в которых, в частности, даны
ссылки на друrую доступную читателю книrи литературу
и отмечены некоторые последние результаты, полученные
с использованием современных вычислительных Машин.
и. М. Яzлом
1. О СЧЕТЕ
Нарисуй на листке бумаrи несколько маленьких кру-
жочков примерно так, как изображено на рис. 1. Затем
предложи своему приятелю закрыть rлаза и положи перед
ним этот листок; пусть он быстро откроет rлаза и тотчас
опять закроет их. А теперь спроси у иеrо, сколько кружоч"
ков было нарисовано на бумаrе. Он почти наверняка оши..
бется если, конечно, не схитрил, но в этом мы ero подоз..
ревать не станем. «Значит приятель даже
не умеет быстро сосчитать до девяти»,
подумаешь ты, если нарисовано было имен О
но девять кружков.
Теперь повтори этот опыт. Нарисуй толь
ко четыре кружка примерно так, как пока
зано на рис. 2. В ЭТО1\f случае твой прия
тель определенно правильно укажет число
кружков. Следовательно, мы можем одно-
временно охватить rлаЗОI\f лишь сравнительно неболь ое
число предметов. Возможно, ты теперь попробуешь YCTa
новить, rде проходит rраница между числом предметов,
которые ты сам сможешь или 'не сможешь
сразу воспринять.
В этой связи можно вспомнить о следу
ющеи иrре. Один из иrрающих отворачи
вается, а ЬСтальные кладут на стол в один
ряд несколько оказзвшихся под рукой
различных предметов: перочинный нож,
ножницы, карандаш, листок бумаrи, пуrови
цу, почтовую марку и т. д. Теперь водящему
разрешается повернуться и недолrо, скажем, минуты
ДBe, рассматривать лежащие на столе преД1\fеты. Затем
он должен снова отвернуться и назвать предметы, которые
запомнил. Удивительно, как мало их окажется. И здесь
о
о о
о
00
о
о
Рис. 1.
о
о
о
о
Рис. 2.
5
встает блаrодарная задача ------ определить степень восприим-
чивости каждоrо участника иrры.
Однако совсем нетрудно при помощи специальноrо
приема увеличить число запоминаемых предметов. Если
расположить изображенные на рис. 1 девять кружков так,
как это показано на рис. 3, то твой приятель с одноrо взrля
да cYl\leeT правильно опреде ить их исло. И в приведенной
выше иrре l\10ЖНО увеличить свои шансы запомнить не толь
ко число И вид отдельных предметов, но, возможно, даже
и порядок, в KOTOpOl'v1 они лежат. За то
О О О время, пока ты осматриваешь предметы,
быстро придумай каКУI<rиибудь иcrорию,
О О О и чем более нелепую, тем лучше. Напри
мер: одноноrий н о ж иr двуноrие н о ж н и..
О О О ц ы, проrуливаяеь, встретили к а рап Д а ш.
Ножницы rоворят ножу: «Очини каран-
Рис. 3. даш, а я тем врем.енем отрежу к у с о ч е к
б у м а r и, и карандаш нам напишет
письмо. За неимением друrоrо, мы запечатаем eFO п y
r о в и Ц е й и наклеим м а р к у» И т. д. «История»,
правда, довольно rлупая, но тем леrче ее запомнить. Фокус
заключается лишь в том, чтобы придумать ее за две минуты.
Если твоЙ приятель, которому ты показал нарисован..
ные на рис. 1 кружки, захочет все же узнать, сколько их
нарисо!3ано, то он ИХ попросту сосчитает. Можно сосчи-
тать предметы и по памяти; один окажется при этом более
искусным, друrой менее. Если тебя спросят, СКOJIько
окон TBoero ДО1\1а или твоей ШКОЛЫ смотрят иа улицу, 1'0 ты,
наверно, H€ сумеешь быстро ответить, хотя и ВИДИШЬ эти
дома постоянно. Но ты сможешь мысленно представИ7Ь се-
бе эти OMa и попробовать сосчитать их окна. Или же ты
вспомнишь, сколько классов школы выходят на улицу и
сколько окон в каждом из них. В сущности, это тот же
самый прие1\1, что н в опыте с девятью кружками, располо-
)кенными на рис. 3, rде тоже достаточно представить себе
кружки и ты определишь их число: ведь расположе-
ние этих кружков тебе знакомо так же Хорошо, как, ска-
жем, расположение кружков на костяшке домино. Вопи..
санной выше иrре тебе на помощь пришло воображение
точно так же, как и при подсчете окон дома.
Посмотрим, какие еще условия необходимы, чтобы мож-
но быlоo сосчитать какие то предметы. Для этоrо, прежде
Bcero, нужно, чтобы число предметов во время счета оста-
6
валось неизменным. Ты скажешь, что это cal\rlo собо.й разу-
меется. Не совсем! Вспомни сказку о пастушонке, кото-
рый должен был ответить царю на три вопроса. Один из
них rласил: сколько капель в море? Мальчик не расте-
рялся; он воспользовался тем, что число это все время
меняется, и уклонился от прямоrо ответа: «Останови все
реки и ручьи, которые вливаются в море, и тоrда я отвечу
на твой вопрос!».
Следующее условие: считающий должен уметь считать.
И это тоже не само собой разумеется! Маленькие дети не
ум:еют считать; для Toro чтобы научиться счету, они должны
несколько подрасти. Не умеют считать и некоторые перво..
бытные народы. Есть такие народы, которые обозItачают
числа свыше четырех просто словом «MHoro». У племени
янкосов на Амазонке число 3 называется «(позттаррарорин-
коароак». «К счастью, на этом их арифметика кончается»,
сказал тот, от Koro я это узнал.
Но и взрослые культурные люди тоже не всеrда имеют
навыки к счету. Мы ведь хотим считать быстро и не заду-
мываясь. Если мы после каждоrо числа будем думать, как
называется следующее, то, значит, мы плохо считаем.
Однако, если мы будем считат.ь быстро и машинально, то
нам JleI'KO ошибиться. Заставь коrо нибудь считать: 1090,
1091., 1'092 и т. д..; часто после 1099 назовут 2000. В немец"
KQM языке источником МНОrИХ ошибок при быстром счете
является неудобная перестановка порядка единиц и десят"
ков в названиях чисел: здесь rоворят., например, «шесть
И пятьдесят,» (sechsundfunlzig) вместо «пятьдесят шесть».
Изменеиие этоrо пор ЯДК8 приветствовали бы все, кто в силу
своей профессии связав со счетом.
С друrим затруднением мы встречаемся в том случае,
коrда, наоборот, счет приходится вести слишком медленно.
Как считает уrольщик мешки, которые он один за друrим
вносит в в'о,двал? Как считает ученик ДИН, остающиеся до
начала школьных каникул? То, что в посл-еднем случае счет
ведется назад, а не вперед, существенноrо значения не имеет.
В обоих случаях трудно все время держать в памяти нужное
число. Поэтому приходится прибеrать к значкам или от..
1eTKaM. Уrольщик одну за друrой ставит черточки каждый
раз, коrда ВНОСИТ в подвал мешок; мальчик же, наоборот,
зачеркивает каждый раз черточку, коrда проходит еще один
день. Таким образом, здесь пересчитыва:ются не са 1И пред-
Iv1eTbI, а черточки.
7
Мы достаточно MHoro rоворили о счете и о том, как сле..
дует поступать в различных случаях; пора уже заняться
этим делом на практике.
Сосчитай спички в спичечной коробке! Наполни стакан
rорошинами и определи их число! Сосчитай буквы на одной
странице этой книrи! Эти три примера покажут тебе, что не
так уж леrко подсчитать точно число предметов, если оно
достаточно велико. Считать придется внимательно и для
проверки пересчитывать несколько раз.
Впрочем, в счете можно совершенствоваться если
только достаточно практиковаться в нем. Кассир в банке,
постоянно считающий денежные знаки, или почтовый слу-
жащий, отсчитывающий открытки, более искусны в счете
этих предметов, чем все друrие люди.
Не думай, однако, что всеrда можно сосчитать все пред..
меты, число которых нам хочется узнать. Можно потра..
тить лучшие rоды своей жизни на подобные подсчеты и все
же не сосчитать MHororo. Ведь если считать со скоростью
одноrо числа в секунду, то за минуту мы сможем насчитать
60 чисел, за час 3600, а за десятйчасовой «рабочий дeHЬ»
36 000. И если посвятить такой работе 50 лет, проводя
за этим остроумным занятиеl\l 300 рабочих дней в rоду, то
мы досчитали бы до 540 000 000, т. е. примерно до полумил..
лиарда. Все, что превосходит это число, а TaKoro в нашей
жизни имеется немало, не может-быть сосчитано никаким
сколь уrодно добросовестным счетчиком.
Тут нам на помощь приходят считающие машины. Мы
все знакомы, например, с rазовым и электрическим счет-
чиками. Что бы мы' стали делать, если бы нам самим при-
ходилось подсчитывать расход rаза и электричества? Но
даже. и там, rде мы моrли бы сами справиться, мы часто
привлекаем на помощь приборы, например секундомер или
шаrомер. В тех же случаях, коrда требуемая быстрота сче
та превосходит возможности человека, единственным на..
шим спасением является машина. Отсчитывающее устрой-
ство ротационной машины, например, отсчитывает в час
20 000 rазет пачками по 50 штук в каждой.
Так как не все можно подсчитать (а иноrда нам просто
не хочется тратить на это силы), то даже в тех случаях,
коrда было бы интересно знать точное количество предме..
тов, часто довольствую я приблизительной оценкой их
числа. Орrанизм человека состоит из 18 000 000 000 000 000
клеток; у слона их даже 700 000 000 000 000 000. rоворят,
8
что самка термита (белоrо муравья) в течение 10 лет откла..
дывает каждые две секунды по яйцу, что составляет
15 552 000 яиц в rод. Никто, однако, не вообразит, что
эти числа точны ясно, что они представляют собой ЛИШЬ
примерные оценки действительных чисел. Подобные оценки
для практики необычайно важны. Однако и здесь сноровка
не приходит сама!
Попробуй ка оценить какое либо большое количество
предметов. НаПРИl\lер, пусть в праздник на площади собра
лась большая толпа людей; сколько их: 200, 1000 или 5000?
Или еще: покажи компании банку с rорошинами; кто
точнее всех оценит их число, тот получит приз. Трудно
себе представить, насколько велик бывает разрыв между
оценками, которые дают различные люди (а также меж
ду всеми ЭТИl\lИ оценками и действительным числом).
Однако часто беспомощность в оценках является не..
допустимой.
Как можно упражняться в оценках? Прежде Bcero, нуж"
но заняться точным счеТОl'vl и измерением величин. При этом
мы наУЧИl'vlСЯ представлять себе, скажем, толпу в 100,
500, 1000 человек или расстояние в 100, 200, 300, 400, 500
метров. Если же случается иметь дело с предметами, не
поддающимися непосредственному подсчету, то приходится
призывать на помощь оценки. Приведем простой пример.
В одном неlVlецком rороде пришлось всем семьям, и меЮЩИl'vf
детей, выдать карточки на получение молока. [ород насчи
тывал 50 000 жителей. Для выдачи карточек были назна
чены 2 дня, по 5 часов в день. Требовалось отдельно за
ПОЛНИТЬ карточки на каждую семью; при этом нужно было
предъяВлять метрические свидетельства детей, для Toro
чтобы можно было занести их имена в специальные списки.
Однако, коrда наступили дни выдачи карточек, то, ко всеоб
щему неудовольствию, оказалось, что выдававшие карточки
лица никак не MorYT справиться с этим делом. ДОJIrое и
для l\rlноrих бесплодное ожидание! А ведь предварительный
расчет и примерная оценка моrли бы помочь делу. Если на
каJКдоrо человека тратить только по 2 минуты, то за час
можно отпустить 30 человек, а за 10 часов 300. Ясно
ПОЭТОМУ, что если посадить за эту работу только 5 человек,
то они никак lIе CI\10rYT справиться с нею.
Но здесь мы уже вышли за рамки, намеченные для этой
rлавы. Мы вычисляли, а не считали. Прежде чем вернуться
к этой теме, следует решить один вопрос, от Koтoporo
9
МЫ отклонились выше. Как овладеть большими числами,
как справиться с числовыми великанами, до которых мы
никак не можем дойти при фактическом счете?
2. ЧИСЛОВАЯ СИСТЕМА
Если требуется сосчитать большое число предметов, то
не :мешает повторить счет несколько раз. Почтальон прино..
сит вам 832 рубля; пока он их вам отсчитывает, вы следите
за счетом; затем он их еще раз пересчитывает, а вы, прежде
чеl\1 взять деньrи, вероятно, еще раз проверите их. Но
даже и после Bcero этоrо вы не были бы уверены в правиль..
ности счета, если бы он не производился особым образом.
Предположим, что почтальон принес вам эту CY!\-f1\1У руб-
ЛЯfi1И (на самом деле этоrо, конечно, не бывает). При этом
он не положит все рубли на стол беспорядочной кучей, а
сrруппирует их определенным образом, например, отсчи"
тает по 10 штук и положит отдельные десятки рублей малень..
КИ1\1И кучками, причем еще позаботится, чтобы в одном ряду
лежало по 10 таких кучек. Таким образом, получится 8 ря..
ДDB, 3 пачки и еще 2 отдельные бумажки.
При.ем, которым мы пользовались здесь, применяют
Бсеrда, коrда нужно сосчитать очень 1\.1HOrO предметов. То..
вары, поступающие в продажу в большом количестве, на'"
пример булавки, пуrовицы, перья и т. д., считают дюжи..
наl\IИ и rроссами*). Уrольщик, о котором мы rоворили выше
(стр. 7), не просто ставит черточку за черточкой; каждой
пятой он перечеркивает предыдущие четыре. Поэтому,
например, число 13 У Hero имеет следующий вид: -Н-Н+Ж JJ '1.
Также и при приближенной оценке больших чисел прибе-
rают к подобной rруппировке. Из всех способов rруппи..
ровки важнейшим является ТОТ, который связан с нашими
правилами образования чием, с их написанием и наимен<r
ваниями. Мы, как и почтальон, о котором рассказывалось
выше, объединяем десять предметов в десяток, десять де:-
сятков в сотню и т. д. Такое объединение удобно для
наrлядной иллюстрации больших чисел. Так, учитель сче..
та Буссе, живший около 1800 rода, представлял число
2326 так, как это изображено на рис. 4: шесТЬ точек в кон..
це это единицы, следующие за ними два бумажных куль-
*) [росс двенадцать ДЮЖИН.
10
ка десятки, три мешочка сотни, а два ящика, изобра-
женных прямоуrольниками, тысячи.
Насколько десятичная система облеrчает овладение
большими числами, видно по системам записи чисел, цели
ком иrнорирующим связанное с ЭТИl\1 преимущество или
не использующим ero полностью. Числа, написаНН Iе РИl\1"
скими цифрами, как MDCCLIX или ММDСССLХХIV
не прочтешь так быстро, как, например, 1888 или 1797.
оо
[J [J (J 1 V1 [7 ·
t .
; :
-'ь ,..i-iJ .7.
.
.
.
.
Рис. 4.
Если же иметь дело с очень большими числами, то да}ке
и наша простая систеl\1а их изображения не СЛИШКОl\l прак"
тична, ни в смысле чтения, ни в смысле записи. Вот ПрИl\fер
из книrи «Математически/е развлечения», вышедшей в 1636 ro
ду: «Астрономы вычислили, что длина окружности не..
беСRоrо свода равна 508781250 милям..., поверхность }ке
ero 82364023748224431 1 квадратным милям... Из этоrо
CJlсдует, что объем шара тзкоrо же радиуса равен ПрИl\fерНQ
3596299963139791266979190761957504 кубическим мил ям».
Сможешь ли ты без затруднения прочесть эти числа, в осо-
бенности последнее из них?
Как сделать запись таких больших чисел более наrляд
ной? Для этоrо rруппируют цифры по три, начиная справа.
Друrими СЛОВЗl\IИ, в нашу десятичную систему допо.пни
тельно вводят еще rруппировку по тысячам. Числа
508781 250 миль
82364 023748224431 кв. миля
3596299963 139791 266979 190761 957504 куб. мили
уже rораздо более наrлядны. Правда, для Toro чтобы чи..
тать такие числа, нужно хорошо знать их названия. Для
чисел до тысячи их знает каждый школьник, даже младших
классов. До миллиона дело тоже еще идет леrко. Следова..
тельно, мы владеем уже всеми названиями чисел до чи..
ела 999 999 999 999 включительно; словами «девятьсот девя..
носто девять тысяч девятьсот девяносто девять миллионов
11
девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто
девять». Число наверху в первом ряду 508 миллионов
781 тысяча 250.
При этом мы обошли число, которое употребляется
весьма часто: миллиард. Это широко распространенное сей
час слово, означающее тысячу миллионов, в rермании вош"
ло в употр ебление лиш ь с Х 1 Х еек-з.
Однако продолжим наш разrовор о числовой системе!
Миллион l\fИЛЛИОНОВ называют биллионом*). Второе из
выписанных выше чисел читается так: 82 тысячи 364 бил..
лиона 23 тысячи 748 миллионов 224 тысячи 431. Далее,
миллион биллионов называется триллионом, миллион трил..
лионов квадриллионом и т. д. Третье из наших чисел
начинается с 3 тысяч 596 КВ,интиллионов. Дальше прочти
ero Cal\1.
Если мы продолжим ряд названий: биллион, триллион,
квадриллион и т. д. достаточно далеко, то мы сможем не
только написать, но и прочесть любое число, как бы велико
оно ни было. Тебе кажется, что это само собой разумеется.
Однако не всеrда это было так. rреческий ученый Архимед,
замечательнейший математик древнеrо мира, написал по
ЭТО IУ вопросу очень поучительное сочинение под названием
«Исчисление песчинок», которое сохранилось до нашеrо вре..
мени .**). Он ставит целью определить количество песчинок,
вмещающихся в шар величиной во всю вселенную. Что Архи..
мед понимает под вселенной, мы уточнять не станем, как бы
важно это ни было для истории астрономии. Да АрХИ1\1ед,
в сущности, и не стремился указать точное число песчинок,
помещающихся в ero вселенной. Ему важно было показать,
что можно образовать числа большие, чем невероятно боль
*) Автор описывает принятую в rермании систему наименова
ний чисел, отличную от общепринятой в СССР, да и в ряде друrих
стран (США, Франция). У нас обычно БИЛЛИОНО 1 называют то
число, которое автор называет миллиаРДО 1 (тысяча миллионов, а
не миллиоч миллионов), соответственно этому триллионом называ
ется тысяча биллионов (не lецкий биллион), квадриллионом ----- TЫ
сяча триллионов и T д.
Мы не стали менять здесь текст автора, тем более, что вопрос о наи
менованиях чисел не иМеет большоrо значения: названия чисел свыше
биллиона употребляются крайне редко; вместо этоrо обычно ИСПО.;rIь
зуют записи больших чисел в виде произведений некоторых множителей
на степени числа 10 (см. ниже, стр. 28). Также и далее все названия
чисел понимаются в том смысле, который объяснен в тексте.
**) СМ. А р х и м е д, Исчисление песчинок (Псаммит), M. л.,
rтти, 1932.
12
шое число число песчинок во вселенной. Стоящая
перед ним задача относилась не к астрономии, а к аРИф4
Iетике!
Архимед предположил, что в объеме одноrо MaKoBoro
зернышка MorYT поместиться около 10 000 песчинок (что
с лихвой покрывает истинное значение!) и что сорок MaKO
вых зерен, положенных рядом, достиrают ширины пальца 1).
Если знать радиус вселенной, то леrко можно вычислить,
какое число песчинок может в ней поместиться. Для подоб
ных вычислений существуют формулы, которые Архимед
хорошо знал. Задача была бы сравнительно проста, если
бы существовала такая система счисления, какую мы имеем
теперь. Однако тоrда ее нужно было еще создать. Это и бы..
ло истинной целью работы Архимеда.
Проследим HeMHoro за этой работой. Наибольшим чис..
лом, для KOToporo rреки имели специальное наименование,
было 10 000. Это число они называли м и р 11 а Д о й. Чи..
ела до мириады мириад (т. е. до 10000 х 10000 === 100000000)
Архимед назвал числами первоrо порядка; числа от l\1IИ"
риады мириад до 100 000 000 х 100 000 000 ........ числами вто"
poro порядка; от этоrо числа и до 100000000 х 100000000 х
х 100 000 000 числами TpeTbero порядка и т. д. до числа
100 000 OOO ro или мириад мириадноrо порядка. Послед..
нее число единицу с 800 000 000 нулями обозначим
через Р. Числа от 1 до Р Архимед назвал числами первоrо
периода. Числа от Р до 100 000 000 р образуют первый по..
рядок BToporo периода; затем Архимед переходит ко вто"
рому порядку BToporo периода, к третьему порядку и т. д.
до 100 000 OOO-ro порядка BToporQ периода, после KOToporo
начинается третий период. Таким же образом можно обра..
зовать четвертый, пятый период и т. д. Архимед доводит Э'Iу
систему до 100000 OOO..ro, т. е. мириад мириадноrо периода,
и находит, наконец, ее последнее число: мириада мириад
единиц lVlириад мириадноrо порядка мириад мириадноrо
периода.
Изображается это число единицей с 80 000 биллионов
нулей. Это поистине числовой исполин, превосходящий вся..
кое воображение!
l) l\\He сообщили, что несколько школьников действительно терпе-
ливо сосчитали число песчинок в 1 с.м 3 песка, чтобы проверить предпо
ложение Архимеда. Они получили совершенно друrой результат. Сочи..
нение Архимеда следовало бы назвать «Исчисление пылинок», Ha
столько малы ero песчинки.
13
Если бы Архимеда не привлекало само создание число-
вой системы, ему бы вовсе не нужен был такой оrромный
числовой аппарат. Для решения ero задачи достаточно срав"
нительно небольшоrо числа. Ему не нужно забираться даже
во второй период, не rоворя уже о высших. Число песчи..
нок меньше 10 000 000 единиц BocbMoro порядка первоrо
периода.
Эти соображения Архимеда больше;чем что либо друrое,
показывают важность приемов, которые позволяют сде-
лать числовые исполины более наrлядны:ми.
3. HAr ЛЯДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ С ПОМОЩЬЮ МЕР ДЛИНЫ
u
И ВРЕМЕНИ, ПЛОЩАДЕИ И ОБЪЕМОВ
Ты, вероятно, уже встречался с числовыми исполинами,
о которых rоворил себе: «Я не Mory их себе представить!».
Ты знаешь, что в rазетах, книrах и таблицах иноrда при..
беrают к различноrо рода сравнениям, позволяющим сде..
лать большие числа более доступными пониманию. В по-
пулярных книrах по астрономии, например, rде все время
приходится иметь дело с величинами, превосходящими
наши представления, часто прибеrают к подобному наrляд-
lIОМУ изображению больших чисел.
r I I
и 1 3
I I
3 4 5
Рис. 5.
I =-
6
Чтобы лучше представить себе числа, их послеДователь-
ность, велИ\IИНУ и действия над ними, их изображают точ-
ками луча, расположенными на одинаковом расстоянии
друr от друrа (рис. 5). Этот луч называется ч и с л о в ы м
л у ч о М. Понятно, что на рисунке мы можеl\{ показать
лишь часть числовоrо луча. Представим себе этот луч с на..
несенными на нем на одинаковом расстоянии друr от друrа
числовыми отметками, неоrраниченно пр'одолженным в на..
правЛении стрелки. На нашем рисунке начальная точка лу-
ча, обозначенная числом О, расположена слева. При таком
способе изображения чисел, прежде Bcerd, надо установить
длину отрезка, служащеrо единицей измерения, Т. е. рас..
14
стояние между точками О и I числовоrо луча. Если мы при
мем за единицу измерения 1 с-м, то расстояние между на..
чальной точкой и точкой, обозначенной числом 7, соста-
вит 7 см; расстояние от О до числа 817 составит 8 .м 17 см,
до числа 233 588 2 КМ 335 М 88 см. О числах порядка мил..
лиона таким способом еще можно получить довольно чет..
кое представление. (Как велико р стояние между началь-
ной точкой и числом 1 000 000 при единице измерения
в 1 см? в 1 мм?) Числа же, доходящие до биллионов, уя<е
трудно вообразить себе с помощью числовоrо луча, так как
отрезки получаются слишком длинные. Если принять за еди..
ницу 1 мм, то дЛЯ изображения 1 миллиарда уже потре-
буется отрезок в 1000 КМ. Если составить 1 миллиард
рублей 20 копеечными монетами, положенными друr на
друrа, то, принимая толщину монеты за 1 .мм, мы получим
«столбик» высотой 5000 K, .
Друrой пример. В rермании перед последней войной
выкуривали примерно 80 миллиардов папирос в rод. Если
их положить цепочкой, то при длине одной папиросы в 6,5 см
они составят «отрезок» В 5 200 000 КМ. Километр это
(примерно) одна сорокатысячная часть земноrо экватора.
Следовательно, цепочка из папирос обовьет экватор 130 раз!
Вот еще пример изображения чисел с помощью длин.
Кто"то вычислил, что объем знаменитой пирамиды Хеопса
в Еrипте раВен 2 678 257 м 3 ; отсюда можно вывести, что ее
вес составляет 7 231 294 т. Последние цифры этоrо числа
сомнительны, первые же, по видимому, точны. Чтобы пред
ставить себе наrлядно этот rромадный вес, заметим, что
rрузоподъемность обь ноrо TOBapHoro BaroH8 равна 16 1п
(rрузоподъемность написана на каждом BaroHel). Значит,
поезд, состоящий из 50 BaroHoB, может перевезти 800 т.
Следовательно, чтобы доставить материал для постройки
пирамиды Хеопса, потребовалось бы около 9000 товарных
составов. Это поистине rрандиозное количество. Сколько же
несчастных людей должны были отдать свои силы этой
стройке!
Для наrлядноrо изображения больших чисел часто ис-
пользуется и в р е м я. Мы все хорошо знаем, что такое
секунда, минута, сутки, rод. Старые люди MorYT предста-
вить себе несколько десятилетий. Но о столетиях и тысяче-
летиях тоже можно составить себе представление, если
только связать их с определенными историческими собы..
тиями. В вопросе о продолжительности rеолоrических фор..
15
маций (известной в наСТОЯIЦее время довольно достоверно)
мы попадаем в область миллионов лет. Из приведенной здесь
таблицы, составленной палеонтолоrом Марбле (J. В. Marble),
rеолоrическая формация
Продол-
житель-
ность
Возраст
(В миллионах лет)
Четвертичный
Третичный
Меловой
Юрский
Триаэойский
Пермский
Каменноуrольный
ДевонскиЙ
Силурийский
Кембрийский
Прекембрийский
0,6
60
80
35
25
40
70
40
100
90
1360
период.
»
» ...
»
»
»
»
» ...
»
» ...
»
0,6
60
140
175
200
240
310
350
450
540
1900
видно, что от начала Третичноrо периода нас отделяют при
мерно 60 миллионов лет, от Кембрийскоrо около 540
миллионов, от начала Прекембрийскоrо 1900 миллионов
лет. Соrласно современной теории возникновения Земли
ее возраст исчисляют примерно в 5 миллиардов лет.
Чтобы дать представление об объеме эемноrо шара, при
пято указывать время, необходимое для KpyrocBeTHoro пу
тешествия. В восьмидесятые rоды прошлоrо столетия в rep
мании большой известностью пользовалась пьеса «Путе
шествие BOKpyr света в 80 дней», поставленная по одноимен..
ному роману Жюля Верна. Сейчас на такое путешествие
самолетом потребуется около 80 часов. Наше представле..
ние об охвате земноrо шара будет более точным, если исхо
дить из какоrо..либо определенноrо вида транспорта, на..
пример KypbepcKoro поезда, делающеrо 75 км, в час. Сколько
времени потребуется для KpyrocBeTHoro путешествия по эк..
ватору в курьерском поезде? Такие же путешествия можно
совершить и по вселенной. Сколько времени длил ось бы пу..
тешествие в курьерском поезде на Луну, на Солнце? Здесь
получатся уже довольно значительные числа. Луна, даже
коrда она находится на самом близком расстоянии от Зем
ли, удалена OT нас на 357 000 к.м; поездка курьерским поез
дом на Луну, следовательно, потребует около 200 дней. Пу
16
тешествие до. Солнца, удаленноrо от нас на 150 000 000 КМ,
ПРOAJlится 2 000 000 часов, а так как rод содержит мень..
ше 10 000 часов, то эта поездка займет свыше 200 лет, т. е:
она значительно превосходит продолжительность челове-
ческой жизни.
Поэт rебель в своей «Сокровищнице» воспользовался
друrим наrлядным образом: артиллерист, находясь на
Солнце, направляет орудийный снаряд как раз на тебя. Ты
в испуrе убеrаешь. Но поэт успокаивает тебя: нечеrо спе..
шить; ты имеешь еще MHoro времени, чтобы избежать CHa
ряда. Посмотрим, почеI\1У это так. Скорость cOBpeMeHHOI"O
снаряда составляет около 5000 Км, В час. Путь, который
он должен пройти, равен 150 000 000 Км'. Следовательно,
снаряду потребуется около трех с половиной лет. Однако
расстояния, подобные указанным выше, в астрономии счи..
таются совсем небольшими. Так, например, планета Неп..
тун удалена от Солнца на расстояние, в 30 раз большее,
чем Земля, а последняя открытая планета Плутон еще
дальше. Эти тридцать единиц можно ведь принять рас..
стояние от Солнца до Земли за единицу длины для измере..
иия межплаljетных расстояний читаются очень леrко,
но лишь потому, что сама единица длины столь Велика.
Если же мы захотим добраться до ближайшей неподвиж"
ной звезды, то нам предстоит пройти путь, равный примерно
206 000 радиусов земной орбиты. Это расстояние доходит
уже до биллионов километров. Чтобы не оперировать с по..
добными числовыми величинами, мы вынуждены ввести
новую единицу длины. За такую единицу принимают све..
товой rод. В одну секунду луч света проходит расстояние
в 300 000 КМ. ОТ Солнца до нас он доходит примерно за
8 минут (проверь это!). Какой путь проходит луч света за
час, за день, за rод, ты тоже сможешь подсчитать; труднее
тебе будет составить правильное представление об этих
колоссальных расстояниях. Во всяком случае, мы прихо..
дим таким образом к новой единице длины, использование
которой приводит к вполне приемлемым числам для рас..
стояний до неподвижных звезд; так, ближайшая неподвиж-
ная звезда удалена от нас (Bcerof) на 4 световых rода.
Мы подошли уже к числовым великанам, и лишь при по..
мощи искусноrо приема нам удалось создать видимость Har..
лядноrо их представления: выбирая большой масштаб, мы
как бы остались в мире небольших чисел. Существуют,
однако, такие числовые rиrанты, по отношению к которым
2 В. Литцман
17
оказывается бессильным J{ подобный прием. Так, мы не смо-
жем сладить с упомянутым во второй rлаве числом Р Архи-
меда и, тем более, с ero самым большим числом, изображае-
мым единицей с 80 000 биллионов нулей. Чтобы сделать
это колоссальное число хОтя бы HeMHoro более доступным
нашему пониманию, попытаемся изобразить наrлядно не ero
значение, а лишь место, которое оно заняло бы, если ero
записать в нашей числовой системе". Положим, что две ря
дом написанные цифры занимают 1 с.м. Какой длины будет
все число? Ты подсчитаешь, что оно составит 40 000 биллио..
нов сантиметров или 400 миллиардов километров рас.
стояние, равное примерно 3000 радиусов земной орбиты.
Теперь ты видишь, что написание этоrо числа на самом деле
натолкнется на непреодолимые трудности. Предположим,
что кто..либо cMor бы написать за минуту 100 нулей (здесь
учитываются и перерывы, во время которых пишущий отды-
хает). С начала ,нашеrо летоисчисления прошло немноrим
более. 1 миллиарда минут; за это время можно было бы
написать одну десятую часть биллиона нулей. Следователь..
но, 800 000 человек должны были бы от начала нашеrо
летоисчисления непрерывно. писать нули! Только таким
путем удалось бы действительно написать придуманное
Архимедом число.
Возьме1\1 отрезок длиной 10 с.м, квадрат со стороной
в 10 см, куб с ребром в 10 с.м и удвоим все эти длины; при
этом мы получим отрезок, в 2 раза больший исходноrо, квад..
рат в 4 и куб в 8 раз большие исходноrо. Это различие
является источником мноrочисленных ошибок в оценке
площадей и объемов.
Сколько человек MorYT поместиться на льду Боденскоrо
озера? Ты, вероятно, ответишь, что очень MHoro, возможно
целый миллион. Поместим на площади в один квадратный
метр трех человек; они cMorYT разместиться довольно удоб..
но (в толпе люди стоят rораздо теснее). ПЛощадь Боден..
cKoro озера равна 539 к.м 2 . А 1 к.м 2 == 1 000 000 .м 2 , сле..
довательно, на поле площадью 1 к.м 2 можно поместить 3 мил-
лиона человек. На льду Боденскоrо озера, значит, хватит
места больше чем для полутора миллиардов человек, т. е.
более чем для половины населения земноrо шара.
Еще чаще встречаются ошибки при оценке объемов.
Как правило, не представляют себе, что, например, увели..
чив длину, ширину и высоту обыкновенной сиrары в 2 раза,
18
МЫ получим сиrару, в 8 раз (по объему) ббльшую, курить
которую можно будет в 8 раз дольше. По доrовору rулли-
вера с лилипутами он должен был получать столько .же еды
и питья, сколько получают 1728 лилипутов. Маленькие лю..
ди определили, что ростом rулливер больше их в 12 раз,
а теперь сообрази"ка сам, откуда в этом доrоворе появилось
число 1728?
Если тебя спросят, сколько кирпичей или спичечных
коробков можно уместить в кубическом километре, то ты,
наверное, назовешь числа, rораздо меньшие действительных.
t
Вычисли ка их; для этоrо достаточно измерить ребра этих
тел, перемножить длины трех ребер и подсчитать, сколько
раз полученный таким образом объем содержится в 1 к,М,3.
Диаметр Солнца в 109 раз больше диаметра Земли. Отсюда
следует, что поверхность Солнца в 11 900 раз, а объем
даже в 1 300 000 раз больше соответственно поверхности
и объема Земли.
Мне. вспоминается интересное вычисление Леберехта
Хюнхена (rерой рассказов rенриха Зайделя). Лежа на
своем земельном участке, Хюнхен размышлял над вопро"
сом, являются ли земля под ним и воздух и эфир над ним
ero собственностью. Пользуясь теоремой, соrласно которой
площадь поперечноrо разреза пирамиды увеличивается про..
порционально квадрату ero расстояния от вершины, Хюнхен
прикидывает, что ero участок на Земле, равный 1300 .м 2 ,
на Солнце (удаленном от центра Земли на расстояние, близ-
кое к 24 000 радиусов Земли) окажется больше всей терри..
тории rермании. Эти размышления о величине cBoero уча..
стка он затем распространил и на расстояния от Земли до
неподвижных звезд; что при этом получается, можно про..
честь у Зайделя, ТЫ же вычисли это сам.
Вес тела получается, если умножить ero объем на епе..
циальный множитель, называемый удельным весом. Удель..
ный вес показывает, во сколько раз больше весит тело (или
часть ero) , чем вода, занимающая тот же объе1\1. Следова..
тельно, вес теснейшим образом связан с объемом. И здесь
очень часты rpy6bIe ошибки в оценке величин. Сколько ве-
сит пробковый шар радиусом в 1 м,? Ты вряд ли предполо-
жишь, что он весит больше чем 5 1 О к2 пробка ведь очень
леrка. Удельный вес пробки 0,24, Т. е. она в 4 раза леr-
че воды Toro же объема. Для определен я объема шара име-
4
ется простая формула: 3 тrr 3 , rде 1: радиус, а п число,
2.
19
которым мы еще займемся подробнее в дальнейшем. Здесь
мы только скажем, что оно примерно равно 3,14. Литр
'ВОДЫ весит 1 К2. Литр это то же -еам:ое, что кубический
дециметр. Один кубический метр содержит 1000 литров.
Следовательно, вес кубическоrо метра воды составляет
1000 1<:2 или 1 т. Отсюда следует, что пробковый шар весит
4
3 Тt'. 0,24 т, т. е. примерно тонну, так как тr лишь очень
немноrим больше 3. Значит, пробковый шар весит не 10 1<:2,
а в 100 раз больше.
Я предложу тебе еще несколько задач с тем, чтобы ты
их сам разобрал и увидел разницу между поверхностной
оценкой и результатом более или менее точноrо подсчета.
Можешь затем предложить эти задачи твоим товарищам,
они, наверное, тоже оконфузятся.
Как велико ребро золотоrо куба, который весит столько
же, сколько все население земноrо шара? Средний вес каж
доrо из 2,5 миллиардов людей можно принять равным од..
ному центнеру; удельный вес золота немноrим бqлее 19.
Сколько весит воздух в зале шириной 12 м, длиной 30 м и
высотой 8.м? Удельный вес воздуха 0,001293.
Увеличение площадей и объе IОВ можно использовать
для наrлядноrо изображения ,больших чисел. Мы уже ви
дели, что затруднительно использо ать отрезки для наrляд
Horo представления чисел порядка миллиарда. Иначе об
стоит дело, если привлечь для этой цели объемы. Пусть
число 1 изображается кубиком с ребром. в 1 .мм; в таком
случае столбик в 1 см высотой, состоящий из 10 таких куби..
ков, представит число 10; слой в 1 см длины и 1 см шири..
ны число 100; 10 таких слоев, образующих куб с ребром
в 1 см, будут изображать уже число 1000. Из кубических
сантиметров мо,кно построить кубический дециметр; он
будет изображать число 1 000 000. Кубический метр будет
представлять миллиард, а кубический километр (чтобы
представить себе такую величину, нужно уже вспомнить
о ropax) триллион. Пользуясь пространственными об..
разами, можно с леrкостью перейти в область еще больших
чисел, особенно, если привлечь к рассмотрению не только
обычные на Земле величины, но и астрономические. Объ-
емы Земли (сколько это будет кубических километров?),
Солнца (а это сколько?), пространства, занимаемоrо нашей
планетной системой, и т. д. MorYT служить для наrлядноrо
изображения несравненно б6льших чисел, чем триллион.
20
110 все же и здесь пока имеется предел; ero намечает тот
факт, что самые отдаленные 06ъекты звездноrо неба, 060"
зримые с помощью современных средств наблюдения, уда-
лены от нас на несколько миллионов световых лет.
4. I{ОЕ..ЧТО О ВЫЧИСЛЕНИЯХ С БОЛЬШИМИ ЧИСЛАМИ
в школе учат, что сложение есть сокращенное продолже..
ние счета. 7 +3 означает, что, начиная от 7, нужно продол..
жить счет еще на 3 шаrа, т. е. считать: 8, 9, 10. Сложение
небольших чисел нередко фактически выполняют таким
образом. Мноrие, например, будут складывать десятые
доли, указанные в задаче 1, так:
Задача 1 Задача 2
О, 1 О руб.
О , 20 »
О , 25 »
0,15 »
О , 30 »
О , 20 »
0,10 »
О , 05 »
f) , 20 »
0,15 руб.
О , 25 »
О, 95 »
О , 20 »
О , 35 »
О, 85 »
l , 20 »
О, 75 »
1 , 05 »
1 , 55 руб.
5,75 руб.
1 (эта единица образована тремя пятерками на BTOp0i\11 ме..
сте после запятой), 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, J3, 14,15.
Цифры, напечатанны жирным шрифтом, при счете произ..
носятся несколько rромче и указывают промежуточные
результаты.
Как сложение является сокращенной записью процесса
продолжения счета, так и вычитание указывает на продол..
жение обратноrо счета, т. е. счета от больших чисел к мень..
шим. Умножение же представляет собой сокращенную за..
пись сложения одинаковых слаrаемых; так, например,
в задаче 2 можно просто подсчитать количество пятерок
в самом правом столбце и заключить, что этот столбец
даст 7. 5 == 35. Наконец, деление является сокращенной
записью MHoroKpaTHoro вычитания. Четырем аРИфJ\lе..
тическим действиям можно дать и друrие определения
(ведь наши определения относятся только к целымчислам),
но я не собираюсь писать учебник арифметики.
21
Необходимо, прежде вcero, объяснить слоВО «сокраlцен-
ное». Каждому, конечно, понятно, что если бы я действи-
. тельно стал вычислять сумму 7388 + 5149, продолжая СЧет
от 7388 еще на 5149 шаrов, то это было бы довольно скучным
занятием; кроме Toro, я леrко Mor бы просчитаться. Я ДОЛ"
жен был бы быть очень внимательным, ибо, как нетрудно за
МЕТИТЬ, здесь мне пришлось бы одновременно производить
два счета. Если же имеешь дело с еще большими числами,
например, с миллионами или биллионами, то, как мы ви"
дели выше, при подобном порядке счета понадобились бы
rоды, а может быть, и такой срок был бы мал. По этому по
воду существует очаровательная история. Карлуше задали
в школе задачу: сколько раз можно вычесть из миллиона
число 3? Он в обычное время садитси за работу, однако
дело идет очень медленно. Тоrда на помощь приходит мать,
а коrда возвращается с работы отец, то начинает считать и он.
Сестры, братья, тети и дяди тоже были мобилизованы на по..
мощь и работали, пока у них от усталости не стали CMЫKaTЬ
ся rлаза, а на завтра все они руrали неразумноrо учителя,
эадающеrо маленьким детям такие задачиl
rамбурrский математик [. Шуберт вычислил, что 29 ап..
реля 1902 rода в 10 часов 40 минут истек ровно один мил..
лиард минут с начала нашеrо летоисчисления. Это может
служить хорошим примером (уже использованным нами
однажды) наrлядноrо представления числа 1 000 000 000.
Один Ю1\10ристический журнал сострил по этому поводу:
«Сколько же тысяч минут затратил почтенный ученый на
это вычисление?». Журнал, видимо, считал, что этот pe
зультат является плодом длительных и трудных подсчетов.
Однако здесь он так же заблуждался, как и упомянутое
выше м:илое семейство: для Toro чтобы получить результат,
достаточно разделить один миллиард на число минут в ro
ду и перевести остаток в месяцы и часы 1 ). То, что Шуберт
дал наrлядное представление о величине миллиарда, это..
ro насмешник из журнала не понял.
Не станем вдаваться в дальнейшие подробности отно"
сительно четырех арифметических действий над большими
числаIvIИ. Хотя они и требуют MHoro времени и большоrо
внимания, но ты не встретишь серьезных затруднений при
1) Конечно, Шуберт должен был учесть также и високосные rоды.
Впрочем, как я узнал впоследствии от В. Аренса, Шуберт написал
в журнал письмо, в котором сообщил, что потратил на вычисление
Bcero 15 минут.
22
их выполнении. На практике часто прибеrают к различным
средствам вычислений, из которых наиболее важными ЯВ-
ляются выЧ}{слительные машины, начиная от счетных па
лочек, кассовых аппаратов (применяемых в маrазинах)*)
и «малых вычислительных машин», выполняющих умноже
ние, до больших современных электронных счетных машин,
таких, как ЭНИАК и друrие **).
Нередко удается сравнительно сложные вычисления,
приводящие к большим числаМ J значительно упростить
при помощи удачной доrадки. Я хочу привести здесь хотя
бы два примера; далее нам встретятся еще и друrие. Рас..
скажем одну историю из детства великоrо математика Кар..
ла. Фридриха raycca. в юности он посещал Екатеринип"
скую школу в Брауншвейrе. Чтобы занять часть своих уче..
ников, а их было 100, и притом различноrо возраста,
учитель предложил однажды сложить все числа от 1 до 100.
Едва он успел дать это задание, как маленький raycc вы..
шел вперед и положил свою rрифельную доску на стол учи..
теля: «rOTOBOI». Учитель не знал, что и подумать шалость
ли это или лень. Однако результат был верен: маленький
математик сообразил, что 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98 и т. д. со..
ставляют в каждом случае в сумме 101; так как таких пар
будет 50, то результат равен 50.101 == 5050. "
Леrко убедиться, что так можно суммировать не только
ряд чисел, начинающийся с единицы, но и ряд, начинаю-
щийся любым друrим числом. Да и числа ряда не обяза..
тельно должны непосредственно следовать одно за друrим.
*) Кассовые аппараты, имеЮlциеся во всех маrазинах, автоматиче-
ски складывают суммы, выбиваемые на чеках.
* *) ЭНИАК (EN IAC) ----- сокращенное наименование универсальноЙ
вычислительной машины Пенсильванскоrо университета в Филадель-
фии (США) ----- одной из первых больших электронных счетных машин.
В то время, коrда подобных машин было еще не MHoro, их названия и
индивидуальные особенности (и возможности) каждой машины были хо-
рошо известны всем работающим в этоЙ области. Ниже нам еще встре-
тится электронная вычислительная машина СВАК (S\V АС), принад-
лежащая Калифорнийскому университету (США); первая советская
машина TaKoro рода сокращенно называется БЭСМ (Большая э..lектрон-
ная счетная машина Академии наук СССР); позже появились у нас
меньшие машины типа «Стрела», «Ypa.[I» и др.
Первоначальные сведения о современных электронных вычисли-
тельных машинах можно найти, например, в последнем издании «Зани-
мательной алrебры» Я. и. Пер е л ь м а н а, М., 1959. Более серьез-
ной является книжка Н. А. А р х а н r е л ь с к о r о и Б. И. 3 а й-
Ц е в а «Автоматические цифровые машины», М., 1958 (серия «Популяр-
ные лекции по математике», выл. 28).
23
Например, я стаВЛIО задачу: сложить все нечетные числа
от 1001 до 1999. Здесь имеется 250 пар чисел, сумма которых
равна 3000, поэтому искомый результат будет равен 750 000.
Этот прием ВG.еrда приводит к цели, если числа образуют
так называемый а риф м е т и ч е с к и й р я д, т. е. Ta
кой ряд, в котором каждое число больше предшествующеrо
на одну и ту же величину. (Определи, например, сумму
всех четных чисел от 1200 до 15001)
Вот еще один пример. Одному человеку предложили
определить сумму цифр всех чисел от единицы до миллиар-
да. Он рассуждал таким образом: сумма цифр числа
999 999 999 равна 81. Числа 1 и 999 999 998 в сумме также
дают 81, сумма цифр чисел 2 и 999 999 997 тоже равна
81 и т. д. Bcero l\1bI будем иметь 500 000 000 подобных пар
чисел. Следовательно, сумма цифр чисел от 1 до 999 999 999
плюс сумма цифр числа миллиард равна
500 000 000.81 + 1 ==40 500 000001.
До сих пор мы rоворили о т о ч н о м выполнении дей
ствий с большими числами. Однако в практической жизни
rораздо чаще встречаются вычисления при б л и ж е H
н ы е. Обыкновенно довольствуются приближенным ре 1о
зультатом, имеющим верными лишь первые три, четыре
или пять цифр. Иноrда при приближенных вычисле..
ниях оrраничиваются нахождением только первой верной
цифры числа или лишь определяют место, занимаемое этой
цифрой, в таких случаях rоворят об определении п o
р я Д к а величины. Приведу пример: представь себе, что
Земля по экватору опоясана веревкой. Если эту веревку
Tyro натянуть, то останется свободный конец в 10 м; Te
перь ослабим веревку настолько, чтобы концы ее сошлись.
Спрашивается: сможет ли между Землей и слабо натянутой
веревкой пролезть муха? Исходя из здравоrо смысла, ты бу..
дешь, конечно, решительно отрицать это, ведь по cpaBHe
нию с длиной экватора (составляющей, как мы уже OTMe
чал и на стр. 15, 40 000 000 м), излишек в 10.м будет столь
незначительным, что ИМ, по видимому, свободн(> можно
пренебречь.
Исследуем внимательнее этот вопрос. Пусть расстояние
Iежду экватором и слабо натянутой веревкой будет. х.
Длина окружности экватора равна 2п. R, rде R радиус
Земли, а 'П уже знакомое нам число, выражающее ОТНО"
24
шение длицы окружности к диаметру; оно равно прибли..
зительно 3,14. Радиус большеrо Kpyra, образованноrо ве..
ревкой, равен R + х, следовательно, длина ero окружно
сти равна 211'. (R + х). Отсюда следует, что разность между
длинами этих окружностей равна 211'. (R + x) 211' · R ,
то есть 2тr. х. С друrой стороны, эта разность и состав-
ляет наши 10 М. Так как 2п лишь немноrим более 6, отсюда
получаем, что х приблизительно равно 1,5 М. Видишь,
как обманула тебя способность представлять себе порядок
чисел.
Дадим эту задачу и в несколько иной форме; теперь ты,
конечно, леrче с ней справишься. Человек идет по экватору
BOKpyr Земли (практически это, конечно, также невыпол
нимо, как и задача обтянуть земной шар веревкой).
Насколько путь, пройденцый rоловой человека, больше
пути, пройденноrо ero ноrами? По существу, эта задача
совпадает с предыдущей, с той лишь разницей, что
искомая в первой задаче величина х здесь дана, а задан..
ная там величина 10 М здесь является искомой. Ясно,
что rолова человека не может описать путь, на несколько
тысяч метров больший, чем пройденное ero ноrами рас-
стояние.
В предыдущих примерах мы все же вычисляли, хотя и
приближенно. Рассмотрим теперь пример, в котором при
дется не вычислять, а соображать. Рассказывают, что Kor
да философ Кант был еще мальчиком, то однажды, во время
проrулки по лесу, ему был задан вопрос найдутся ли
в этом большом лесу два дерева с одинаковым числом ли
стьев? Аналоrично l\10ЖНО спросить, существуют ли на CBe
те два человека, имеющие одинаковое число волос на ro..
лове? Чтобы ответить на эти вопросы, вовсе не нужно счи..
тать листья на каждом дереве или волосы на rолове у каж..
доrо человека. Достаточно знать наибольшее число листьев
на дереве или наибольшее число волос на rолове человека;
при этом и в том, и в друrом случае нам достаточно знать
лишь порядок величины этих чисел. Так как число волрс
на rолове человека не превосходит 200 000, то IОЖНО быть
уверенным, что из 200 001 человека по меньшей мере двое
имеют одинаковое число волос. Уже этоrо приблизитель..
Horo подсчета достаточно, чтобы ответить на поставленный
вопрос. Попытайся теперь сам ответить на вопрос, относя
щийся К деревьям. Конечно, для этоrо ты должен знать при-
мерное число листьев на деревьях и деревьев в большом лесу.
25
5. НАИБОЛЬШЕЕ ЧИСЛО, КОТОРОЕ МОЖНО
ЗАПИСАТЬ ТРЕМЯ ЦИФРАМИ
Ты, вероятно, слышал рассказ о том, как изобретатель
шахматной иrры потребовал себе в наrраду столько пше..
ничных зерен, сколько их получится, если на первую клет"
ку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую клетку
2 зерна, на третью 4, на четвертую 8 и т. д., т. е. на
каждую клетку доски класть зерен вдвое больше, чем на
предыдущую. Это число кажется довольно скромным,
и король, к которому была обращена просьба, не подозре..
вал, о каком rромадном количестве пшеницы идет речь. На
последней клетке должно лежать число зерен, равное произ..
ведению 63 множителей, каждый из которых равен 2.
Однако записывать это число таким образом очень скучно;
Bl\1eCTO этоrо пишут сокращенно 263 (что читается: 2 в 63 й
степени). Сомножитель в данном случае 2 называют
основанием степени, а число сомножителей здесь 63
показателем степени. Все выражение 263 называется степе..
нью. Таким способом можно довольно леrко записывать
весьма большие числа. Для примера я привожу здесь таб..
лицу, содержащую первые сорок степеней числа 2. Хотя
таблица и не доведена до 63 й степени, ты теперь леrко смо"
жешь ответить на вопрос о том, скелько зерен должно бы..
ло лежать на последней клетке; для этоrо достаточно соро..
ковую степень двух (1 099 511 627 776) умножить на двад"
цать третью (8 388 608). К какому orpoMHoMY количеству
пшеницы мы при этом придем, ты увидишь, если подсчи..
таешь, сколько примерно пшеничных зерен помещается
в одном мешке, в железнодорожном BaroHe и т. Д.
Возьмем достаточно большой лист бумаrи толщиной,
скажем, в 1/10" ММ. Сложим ero пополам, затем снова попо..
лам, затем еще раз пополам и т. д. Bcero сорок раз. Какой
толщины будет теперь слой бумаrи? Как видно из таблицы,
ero толщина составит 109 951 162777,6 ММ, т. е. более
100 000 к,М.
Степени числа 2 до 2400 включительно вычислил Моль..
терер 1). Приведу здесь число 2400; оно лучше всяких слов
убедит тебя, с какими числовыми великанами приходится
иметь дело, коrда возводишь в степень число, кажущееся
1) 1. \ о 1 t е r е r, ТаЬеl1еп zur ZahIentheorie, Wels, WelsermiihJ,
1937.
26
Таблица степеней числа 2
Показатель Степень ПоказатеJIЬ
1 2 21
2 4 22
3 8 23
4 16 24
5 32 25
6 64 26
7 128 27
8 256 28
9 512 29
10 1024 30
11 2048 31
12 4096 32
13 8192 33
14 16 384 34
15 32 768 35
16 65 536 36
17 131 072 37
18 62 144 38
19 524 288 39
20 1 048 576 40
Ст пень
2097 152
4 194 3f)4
8 388 608
16777216
33 554 432
67 108864
134217728
268 435 456
536 870912
1 073741 824
2 147483648
4294 967296
8 589 934 592
1 7 1 79 869 184
34 359 738 368
68719476736
137438 953472
274877906944
549755813888
1 099511 627 776
вполне безобидным. Представь себе занимающее здесь не..
сколько строчек число написанным в одну строку:
2 582 249 878 086 908 589 655 919 172 003 011 874 329 7О5
792 829 223 512 830 659 356 540 647 622 016 841 194 629
645 353 280 137 831 435 903 171 972 747 493 376.
Быстрое возрастание степени с увеличением показателя
БыIоo использовано уже в древности для составления забав
ных задач. В Cal\i01\1 древнем из известных нам rvlатематиче..
ских руководств (которое составил AX1\1eC около 1700 rода
до нашей эры *)) находим следующую задачу: 7 человек
имеют по 7 кошек, каждая кошка"съедает по 7 мышей, каж-
дая мышь съедает 7 колосьев ЯЧl\lеня, из каждоrо колоса
вырастает 7 мер зерна. Сколько всех мер зерна? Ответ
можно написать в форме степени: 75; вычислить это число
Нетрудно.
*) Речь идет о так называемом «папирусе Ринда», хранящемся
в Бj?итанском музее в Лондоне и являющемся замечательным памятни-
ком еrипетской математики. [Писец Ахмес (переписавщий этот папирус
6КОЛО 1700 rода до нашей эры), по-видимому, не был ero составителем;
ориrинал, с Koтoporo переписывал Ахмес, восходит, надо думать, к еще
большей древности.]
27
Чтобы указать порядок величины, чаще Bcero исполь..
зуют степени числа 10. Так, например, масса Земли равна
приблизительно 6.1027 2, а масса Солнца 2.1033 с.
Массу нашей rалактики (Млечноrо Пути) принимают рав-
ной примерно 1010 масс Солнца. Предполarают, что подоб-
ных rалактик имеется около 1012. Повторяю: все эти числа
приближенные. Если принять число протонов (т. е. самых
маленьких материальных частиц). в одном rpaMMe массы
равным 6.1023, то общее число протонов во вселенной
составит:
6.1023.2.1038.101°.1012.
Если вспомнить определение понятия «степень», то мы
поймем, что общее число сомножителей 10 здесь равно
23+33+10+12 === 78, а если вместо 6.2 == 12 написать
еще десятку, в этом весьма проблематичном приближен-
ном вычислении мы не будем мелочны, то мы при»-ем
к числу протонов, равному 1 079.
Удивительно, что Архимед в своих вычислениях (стр. 12
И след.) пришел к 1'акому же числу песчинок, а именно:
10000000.1 0000000008== 10'. (109)8== 107 .1072== 10'9.
Как мы подсчитывали степени в последней строчке, ты, ве..
роятно, сумеешь объяснить сам.
Приведу еще интересную историю, которая покажет,
сколь осторожным нужно быть в своих выводах, а кроме
Toro, продемонстрирует значение понятия степени в' при-
менении к живым существам. Каждый человек имеет 2 ро-
дителей, 4 прародителей, 8 прапрародителей и т. д. -Если
вернуться на 40 поколений назад, т. е. примерно на 1200 лет,
то окажется, что у каждоrо человека было 240 или, соrлас-
но нашей таблице, 1 099 511 627 776 предков. Следователь
но, не верно, что в то время, т. е. примерно в эпоху Карла
Великоrо, жило меньше людей, чем сейчас; напротив Toro,
выходит, что на каждоrо cOBpeMeHHoro человека приходится
свыше биллиона живших в те времена людей. Значит, Tor
да было в биллион раз больше людей, чем теперь. Так ли это?
Ты, конечно, сразу доrадаешься, в чем тут дело.
Можно также заменить предков потомками. Существуют
rрибки, бактерии, которые при блаrоприятных условиях
подрастают так быстро, что уже через два часа делятся на
две части. Каждая из этих частей размножается таким же
28
образом. Следовательно, из одноrо rрибка в течение 24 ча..
сов образуется уже 212 rрибка, а через двое суток 224.
Число rрибков растет с колоссальной быстротой. Имея под
рукой приведенную на стр. 27 таблицу, совсем нетрудно
вычислить, сколько потребуется времени для Toro, чтобы
число бактерий оказалось настолько большим, что, несмот..
ря на их микроскопические размеры, они моrли бы по
крыть равномерным слоем всю Землю.
Растение курослеп трижды в rод дает по 15 000 семян;
следовательно, от одноrо растения моrло бы в rод произой
ти более 15 0003 == 3375 миллиардов растений. Сельдь OT
кладывает 30 000 икринок, карп свыше миллиона, тре..
ска от 4 до 6 миллионов, солитер около 42 миллионов,
аскарида приблизительно 64 миллиона. Какие же по
сравнению с ними ленивые существа зайцы!
Даже при медленном размножении какоrо либо вида
животных определенная территория моrла бы быть в cpaB
нительно короткое время буквально наводнена им, если
бы борьба за существование между видами не ставила пре
дела этому распространению. Если бы это препятствие на
KaKoe TO время исчезло, мы наблюдали бы неслыханное
размножение животных. Ты, конечно, слыхал об опусто..
шениях, которые производят тучи саранчи, затемняющие
при полете солнце, и массы rусениц, сплошным ковром
покрывающие orpoMHbIe пространства. rибельное распро..
странение эпидемии также объясняется колоссальным раз..
множением определенных видов бактерий.
Возможно, ты уже встречался с задачей, которая на
первый взr.пяд не имеет ничеrо общеrо с понятием степени:
в какую сумму обратилась бы одна копейка, отданная на
проценты в начале нашей эры? Если бы эта копейка была
внесена в одну из современных сбереrательных касс, то на
нее бы не начисляли процентов они начисляются только
на рубли. Но предположим, что за копейку платят процен..
ты, скажем, 5% в rод. Тоrда положенная сумма ежеrодно
5
возрастала бы на 100 коп., И, значит, за 1950 лет она увели..
5
чится на 100 коп. Х 1950 или на 97,50 коп. На большую
сумму вкладчик (или, вернее, ero наследники) не MO)i(eT
притязать, если речь идет о так называемых простых про..
центах. Друrое дело, коrда проценты сложные, т. е. коrда
процентные деньrи за каждый rод присоединяются к основ..
29
НОМУ капиталу; тоrда уже на следующий rод и на них на..
числяются проценты. Так делают, например, в сбереrа-
тельных кассах. Ты, наверное, возразишь: «Ну что ж, если
даже и так, то сложные проценты вряд ли дадут HaMHoro
больше денеr, чем простые». Посмотрим! В конце nepBoro
rода мы будем иметь 1 коп. + 0,05 коп.== 1,05 коп. Проценты
за второй rод составят 1,05 коп. х 0,05, так что к концу вто"
poro rода наша копейка превратится в 1,05 коп. +1,05 коп. х
х 0,05, или 1,05 (1 + 0,05) коп., или 1,052 коп. Следователь"
но, к началу TpeTbero rода наш капитал будет составлять
1,052 коп. К концу же этоrо rода капитал вместе с про..
центными деньrами превратится в 1,053 коп., К концу
четвертоrо rода в 1,054 КОП., а к концу 1950 rода в
1,051950 коп.
Теперь ты видишь, что мы здесь И1\1еем дело с задачей
на возведение в степень. При решении таких задач обычно
употребляют лоrарифмы. Но здесь мы не будем uользовать"
ся эти:м удобным методом, так как в нескольких словах
изложить ero сущность невозможно. ПОЭТОl\t!у прибеrнем
друrому способу, который даст нам возможность прибли..
женно вычислить результат. Нетрудно убедиться, что
1,0514 уже больше 2. Следовательно, отданная на проценты
копейка удваивается Менее, чем за 14 лет. Для определен..
ности предположим, что она удвоится ровно через 14 лет.
Значит, через 28 лет копейка превратится уже в 4 копейки,
через 3 х 14, или 42 rода, в 8 коп. Но частное от деления
1950 на 14 равно 139 (а остаток равен 4). Следовательно,
одна копейка за 1950 лет превратится в более чем в
2139 копеек. Эта сумма неимоверно превосходит ту, в которую
превращается копейка, отданная на простые проценты. Де..
сять миллиардов рублей, т. е. 1 биллион копеек, состав..
ляют, как видно из таблицы на стр. 27, приблизительно
240 копеек. Наша сумма, однако, в 2 9З раз больше; точнее,
она выражается числом, состоящим из 47 цифр. Значит,
речь идет о сумме, которая HaMHoro превосходит все денеж..
ные запасы .земноrо шара. Попытайся ка представить эту
CYMl\fY в более наrлядной форме.
Наши вычисления, конечно, беспочвенны. В нулевом
rоду не существовало копеек! Не было и сбереrательных
касс; кроме Toro, в более близкое к нам время были инфля"
ции И денежные реформы. Но это не иrрает для нас роли.
Нам важно было показать, что даже в том случае, коrда ос..
нование степени лишь немноrим более единицы, степень
30
с возрастанием ее показателя увеличивается до колоссаль-
ных размеров.
После Bcero сказаннorо ты вряд ли станешь утверж-
дать, что наибольшее числ-о, которое можно написать тремя
цифрами, есть 999 (как может показаться на первый взrляд).
По всей вероятности, ты теперь ответишь, что число равно
999. Тремя девятками можно записать и число 999, но ты,
конечно, понимаешь, что 999 rораздо больше, чем 999.
Однако и этим qTBeToM нельзя удовлетвориться. Число
99 безусловно больше 99 и может быть точно вычислено;
это число равно 387 4.20 489. Отсюда ясно,. что если ВОЗ8Ы"
сить 9 в 9 9 -ю степень, то получится число, написанное также
тремя цифрами, но значительно большее 999. Это число при..
нято записыватЬ, так: 999. Точнее была бы запись 9(99),
чтобы не смешивать ero с числом (99)9. Последнее означает
ПРQизведение 9 множителей, каждый из которых в свою
очередь состоит из 9 множителей, равных девяти. Следо..
вательно, это число есть произведение, содержащее толь-
ко 9 х 9 или 81 множитель, каждый из которых равен 9.
Но такое число, кон чно, меньше даже, чем 999; оно содер"
жит «только» 78 цифр.
Я приведу здесь еще некоторые сведения о числе 999 1).
Это число имеет 369 693 100 цифр, т. е. около одной трети
миллиарда цифр; начинается оно следующими цифрами:
428 124 773 175 747 048 036 987 115 930 563 521 339 055
482 241 443 514 174 753; последние ero цифры 24 178 799
359 681 422 627 177 289. Какие цифры стоят в ПРОlVIежутке
между выписанными неизвестно. Если бы это число напе-
чатать более или менее четко на полоске бумаrи, то эта по..
лоска оказалась бы длиной 1200 1800 Км'. Если же напе..
чатать это число в книrе 'так, чтобы на каждой странице
имелось 14000 цифр, то из такой книrи можно было бы со..
ставить 33 тома по 800 страниц в каждом. .
В одной изданной в 1874 rоду книrе под названием «Бы..
тие боrа» (автор книrи Крёниr) рассматривается ряд
2 3 44
чисел: 2 , 33, 44 . О последнем из этих чисел автор rоворит:
«ПредстаВJ.Jте себе отрезок такой длины, что световому лу-
чу понадобился бы квинтиллион лет, чтобы пройти этот путь.
1) Сами результаты и объяснение, как они были j10лучены приве-
дены в статье х. Вейsс (Chr. Weiss), «Ни», Tallet 9(99) og Endecifrene i
Potenser of 9, Matematisk Tidsskrift, сер. А, 1941 r., стр. 63 и след.
31
Затем представьте себе шар с диаметром, равным этому
отрезку, наполненный типоrрафской краской. Всей этой
краски не хватило бы, чтобы четко напечатать это число
даже самыми мелкими цифрами, какие только существуют».
х. Маурер исследовал эти числа с точки зрения теории
чисел. Обозначив для простоты число xxf& через 3х и введя
затем общее обозначение nX==X(n tx) (rде Х и n целые по
ложительные числа), он показал, как мqжно найти послед
ние цифры этих числовых великаНОIk Так, например, 29
(т. е. 99) оканчивается на 89, 39 на 289, 49 на 5289, 59
на 45 289 и т. Д., наконец, 109 на 9 392 745 289. Таким
образом, последние п цифр числа n9 повторяются во всех
последующих числах n+19, п+29, ..., И т. д. Аналоrичными
свойствами обладает и любой друrой ряд l х ==х, 2 х , 3 Х , ...,
И т. д., rде х целое.
После этоrо KopoTKoro путешествия в мир rиrантов n х
вернемся к нашему исходному пункту............ К степеням числа 2.
11зобретатель шахматной иrры просил 'у царя не столько зе
рен, сколько их будет лежать на последней клетке шахматной
доски, а все зерна, лежащие на всех, 64 клетках. Следова..
тельно, для определения числа зерен нельзя довольство
ваться только лишь вычислением 263; необходимо найти
все степени числа 2, до 263 включиr.ельно, и подсчитать сум..
МУ этих чисел. Это очень длительная работа. Посмотрим,
не может ли нам эдесь помочь какой либо удачный прием,
вроде Toro, который применил маленький raycc, коrда он
имел дело с арифметическим рядом чисел? Оказывается, MO
жет. Нетрудно подметить, что 1 + 2==22 1, 1 + 2+ 4==23 1,
1+2+4+8==24 1. Исходя из этоrо, мы полаrаем, ЧТО
1+2+'4+.. .+263==264 1.
Для доказательства допустим, что наше предположение
выполняется для суммы степеней двойки, кончающейся
2 n --- 1
, т. е. что
1 +2+3 . . . +2n 1 ==2 п 1.
В таком случае оно будет справедливо и для суммы, следую..
щей за этой суммой степеней. Действительно, для Toro чтобы
образовать такую сумму, надо к левой части последнеrо ра..
венства только прибавить 2 n ; тоrда справа получим (2n 1) +
+2n , т. е. 2.2n 1 или 2n+l 1. Этим наше предполо..
жение доказано для любоrо значения п; так как оно Bep
32
110 при n==4, то отсюда следует справедливость ero и пр"
n==5, а поэтому и при n==6 и т. д., какое бы значение n
мы ни взяли. Такой метод доказательства математики назы..
вают м е т о Д о м п о л н о й (или м а т е м а т и ч е..
с к о й) и. н Д у к Ц и и *).
6. О ЧИСЛАХ ПРОСТЫХ И СОВЕРШЕННЫХ
Одни числа, как, например, 6==2.3 или 18==2.32,
можно разложить на множители, друrие, как 5 или 11,
не разлаrаются (при этом мы, конечно, не принимаем во
внимание, что всякое число может быть представлено в виде
произведения 1 на caMoro себя). Такие числа, как 2, 3, 5, 7,
11,13 и т. д., которые нельзя разложить на множители, на..
зывают про с т ы м и числами, остальные составными.
Выписывая одно за друrим все простые числа, мы заме..
тим, что в ряду натуральных чисел они встречаются все реже
и реже; друrими словами, в промежутке от 1 до 100 про..
стых чисел больше,чем в промежутке от 101 до 200, и т. д.
Приведенная н же (стр. 37) таблица подтверждает это.
Естественно возникает вопрос: существует ли rраница, да..
лее которой простые числа более не встречаются, т. е. cy
ществует ли последнее, самое большое простое число? Еще
rреческий математик Евклид доказал, что последнеrо про..
cToro числа нет. Действительно, предположим, что самое
последнее простое число существует, и обозначим ero че-
рез р. Образуем произведение Р р всех простых чисел 2, 3,
5 и т. д. ДО Р включительно. Так как р, по видимому, уже
довольно большое число, то тем более это относится к чи..
слу Р р; однако нам, к счастью, нет необходимости ПОДСЧИ"
тывать ero. Прибавим теперь к полученному произведению
р р еще 1. Мы утверждаем, что число Р р +1 не делится ни
на одно из существующих простых чисел от 2 до Р включи
тельно. В самом деле, леrко убедиться, что при делении
числа Р р"+1 на каждое из этих простых чисел получится
остаток 1. Если, например, разделить это число на 2, то,
так как произведение Р р всех простых чисел нацело де..
JIИТСЯ на 2, а прибавленная к этому произведению единица
не делится на 2, то в остатке получится 1. Тот же результат
получается и пр и делении Р p+l на 3, на 5 и т. Д., наконец,
*) Про этот метод можно прочитать в книжке: и. С. с о м и н с к и d,
Метод математической индукции, М., 1959 (серия «Популярные лекции
по математике», вып. З).
3 В. Литцман
аз
1-Iа р. Итак, Hal\t ПРИХОДИТСЯ признать, что это вновь обра-
зованное число либо само является простым (и, конечно,
большим, че f р), либо разлаrается на l\fножители, каждый
из которых является простым числ, orvI большим, чем р.
И в том, и в друrОl\f случае м:ы приходим к простым числам,
превосходящиrvI р. Таким образом, наше предположеl ие
о том, что р есть наибольшее простое число, оказывается
ложным: наибольшеrо простоrо числа вообще не сущест
вует, т. е. число простых чисел «бесконечно велико».
Не все вопросы, возникающие в связи с ПрОСТЫl\1И чис..
лами, разрешаются так леrко. Напротив, существует немало
вопросов, ответ на которые до сих пор еще не получен. Нам
известны пары простых чисел, отличающиеся друr от друrа
на 2: 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31 и т. д. Анrлийский математик
rлэшер (Glaisher) непосредствеННЫl\f подсчетом установил,
что l\fея(ду 1 и 100000 имеется 1125 таких пар; между
1 000 000 и 1 100 000 только 725, а между 8 000 000 и
8 100 000 Bcero лишь 518. Словом, таких пар становится
все меньше и меньше 1). Перестают ли коrда либо они встре"
чаться вовсе, друrими словами, есть ли последняя, наиболь..
тая из таких пар, или число их бесконечно? Ответ на этот
вопрос до сих пор неизвестен.
Один из читавших эти строки в предыдущем издании
книrи написал мне, что, по ero rvfнению, ответить на послед
ний вопрос очень леrко. Все сказанное выше о числе
р р+l можно с небольшими изменениями перенести и на
число Р p 1. Таким образом, оба эти числа не делятся
на меньшие простые числа 2, 3, 5 и т. д. ДО р, т. е. являются
простыми. Вот мы И получили пару простых чисел искомоrо
вида! А так как ряд простых чисел р бесконечен, то беско
нечен и ряд таких чисел, как Рр+l и Pp l; поэтому и
число таких пар простых чисел бесконечно велико. Чита..
тель сможет самостоятельно обнару)кить ошибку в этом
рассуждении.
Пары простых чисел, отличающихся на 2, называют
б л и з н е Ц а м и. Определение близнецов можно еще обоб
щить; при этом 1\1bI придем к числам, о которых известно
еще меньше, чем о близнецах. Назовеl\1 2q ч и с л а м и
такие два простых числа, разность между которыми равна
2q; если q== 1, м ы приходим К случаIО близнецов. Неизвест
1) Таблицу пар близнецов, не превосходящих 300 000, опубликовал
Тице (Н. Tietze) в Sitzungsberichten der Bayerischen Akademie der Wis-
senschaften, Math. natur\v. Klasse, 1947, стр. 57 и далее
34
но, для каждо['о ли q Иl\Iеется хотя бы одна такая пара;
неизвестно также, будет ли количество 2q чисел бесконеч-
ным хоть при каком нибудь q.
Можно ли найти два последовательных простых числа,
промежуток между которыми превосходит любое число,
например 100, 1000 й т. д.? Чтобы убедиться в этом, обра..
эуем, скажем, произведение простых чисел.
РI0l===2.3.5.7.. . . .101.
Тоrда из 100 следующих друr за друrом чисел РI01 +2,
Р 101 +3, р 101 +4, ..., р 101 +101 ни одмо не является простым.
Если заменить в этом рассуждении первое превосходя
щее 100 простое число 101 числом 1009 первым простым
числом, большим 1000, то мы придем к ряду из 1000
чисел
РI009+ 2 , РI009+ 3 '...' РI009+ 1ОО1
(rде Р 1009 === 2 · 3. 5. 7 · ... · 1009), каждое из которых на..
верное можно разложить на множители. Читателю, конеч
но, понятно, что так же можно доказать существование
в ряду простых чисел промежутков л ю б о й длины.
Раньше полаrали, что для Toro, чтобы раскрыть тайны
простых чисел, надо отыскать их как можно больше. Так
появились таблицы, содержащие все известные простые
числа, а также разложения больших чисел на простые мно"
жители. Естественно, что при составлении подобных таб..
лиц стремились сделать их не слишком объемистыми, по..
этому в них не включали числа, которые имеют леrко рас..
познаваемые делители, вроде 2, 3, 5 и т. д. Кроме Toro,
в этих таблицах выписывались только наименьшие дели..
тели больших составных чисел. Разделив составное число
на этот наименьший делитель, мы получим новое число,
отыскав которое в таблице, мы можем удостовериться,
является ли оно простым или разлаrается на множители
дальше *).
Уже к началу XIX столетия существовали такие табли..
цы, простирающиеся до 3 000 000 (таблицы Буркхарта).
*) Подобные таблицы, позволяющие разложить на простые мно-
жители любое число, не превосходящее 108 000, приложены, например,
к старой книrе: д. r р а в е, Элементарный курс теории чисел, Киев,
1913; предполаrается, что они будут воспроизведены в новой книrе:
А. А. Б у х ш т а б, Курс теории чисел, подrотовляемой к печати Уч-
педrИЗ0М.
35
По инициативе [аусса rамбурrский вычислитель Захария
Дазе составил таблицы для чисел от 6 000 000 до 8 000 000;
впоследствии они были доведены Розенберrом до 9 000 000
и опубликованы им. Уже упоминавшийся выше анrличанин
rлэшер заполнил промежуток между 3 000 000 и 6 000 000.
в 1909 rоду появилась таблица, доходящая до 10 миллио..
нов; В 1914 rоДУ вышла продолженная еще HeMHoro далее
таблица простых чисел Лемера, в котор.ой, В частности, бы..
ли исправлены ошибки всех ранее опубликованных таб..
лиц. В архивах Венской Академии наук хранится рукопись
Кулика, 4212 страниц которой составляют 8 томов; содер"
жащаяся в рукописи та'блица простых чисел и разложений
на множители доведена до 100 000 000 (впрочем, второй том
этоrо сочинения, кажется, утерян). Правда, Лемер, к ото..
рый сличил результаты Кулика, относящиеся к 10 MY мил..
лиону, со своей таблицей, нашел зде ь у Кулика 226 ошибок;
он считал поэтому, что работа Кулика может иметь значе..
иие для дальнейших вычислений лишь как первый опыт.
А
9
7
5"
J
1
.
. .. .
. .
. . . .
. .
. . . .
. .
. .
.
.
1 3 5 7 f} 11 /3 /5 /7 !f1 ZI 23 л
Рис. 6.
Было бы очень важно найти такое выражение А, за-
висящее от п (или, как rоворят математики, Ф у н к Ц и ю
А(п)), которое указывало бы число простых чисел, не пре..
восходящих п. Над этой «проблемой простых чисел» билось
MHoro замечательных математиков, так и не решив ее до
конца. Пока известны лишь приближенные выражения
для функции А(п). Непосредственный подсчет показывает,
что процентное отношение числа простых чисел к числу
всех натуральных чисел убывает с возрастанием n. На-
чальные 8начения «теоретико"числовой» функции А (п),
88
U D
имеющем смысл лишь для целых значении n, показаны на
рис. 6. Убывание отношения числа простых чисел к числу
всех целых можно, соrласно Лешмайеру, непосредственно
усмотреть из следующей таблицы, левый столбец которой
растет rораздо быстрее правоrо. При этом в таблице, как
и на рис. 6, 1 принимается за простое число.
n
А (n)
10
100
1 000
10000
100 000
1 000 000
1 О 000 000
100 000 000
1 000 000 000
5
26
169
1 230
9593
78 499
664 580
О 761 456
50847479
в некоторых случаях приходится иметь дело с числа
ми, которые далеко превосходят пределы упомянутых выше
таблиц и о которых важно знать, являются ли они про..
стыми или составными. В rеометрии большую роль иrрают
п
числа вида 22 +1. Если n здесь равно нулю, то мы получим
3 (ибо считают,ЧТО 20== 1); если вместо n подставить 1, то
получим 5; при n==2 имеем 17; при п==3 уже 257, а при
n==4 даже 65 537, как следует из таблицы, приведенной
на стр. 27. raycc доказал, что правильный мноrоуrольник,
число сторон KOToporo выражается простым числом вида
2 2n +1, может быть построен с помощью циркуля и линей
ки. Он был первым, кто доказал возможность построения
с помощью циркуля и линейки правильноrо 17 уrольника.
Построением 257 уrольника занимался математик Ришело
(1832 rод); позднее Майвальдом было указано более простое
построение правильноrо 514 уrольника. Ставший впоследст"
вии директором реальной rимназии repMec, ученик Ри..
тело, занимался даже задачей построения 65 537 уrольни"
ка. Свои рассуждения относительно построения 17..уrоль-
ника raycc сумел уместить на rрифельной доске, которую
подарил своему товарищу по университету Фаркашу Бо,пьяи;
тот сохранил ее до старости, как самое дороrое воспомина-
37
иие. Сочинение Ришело занимает уже 80 страниц. Вычис..
лени я же [ермеса, над которыми он работалlО лет, за пол..
v u
няют довольно вместительныи чемодан, которыи хранится
в атематическом институте rеттинrенскоrо университета.
Впрочем, эти работы не имеют большоrо значения, посколь"
ку еще [аусс исследовал вопрос о построении правильных
мноrоуrольников в самом общем виде.. Результаты, к KOTO
рым он пришел, таковы: правильный m уrольник может
быть в т о м и т о л ь к о в т о м с л у ч а е построен цир
кулем и линейкой, если т пред(}тавляет собой произведе..
ние числа 2 в любой степени и (различных) простых чисел
F n вида 2 2n +1. Это заключение справедливо и тоrда,
коrда число т нечетно, т. е. показатель степени числа
2 равен о.
Теперь возникает новый, очень интересный вопрос:
все ли числа вида F n являются простым и или нет? Заме..
чательный французский математик, юрист Ферма, ответил
на этот вопрос утвердительно. Однако Лендри, который
в 1867 rодУ исследовал, как разлаrаются на множители все
числа вида 2 n +1 и 2n 1, rде n не превосходит 64 (при этом
он перешел далеко за пределы упомянутых выше таблиц),
показал на примерах, что Ферма ошибся. Так, например,
число F 5 ===2 32 +1 делится на 641 *). Наибольшее простое
число, н'айденное Лендри, есть
261 1 ===2 305843009213693951.
Зам:еТИl\1, между прочим, что самым трудным числом, с KO
торым Лендри пришлось иметь дело было 258 +1. Это число
содержало множитель 57 646 075 230 342 349, который НУЖ"
НО было исследовать дальше. Вначале Лендри предполаrал,
что это число простое, но затем выяснилось, что оно
является ироизведением двух девятизначных чисел. Этот
пример дает нам некоторое представление о том, с какими
трудностями приходится сталкиваться при разложении
больших чисел на простые множители 1).
*) Впервые это показал еще в 1--732 rоду знаменитый математик Лео-
нард Эйлер, швейцарец по национальности, большую часть своей жи-
зни живший и работавший в Петербурrе.
1) К. Фре н ц е л ь (Franzel) обратил мое внимание на следующие
ф:>рмулы:
28+ 1==(11+21). (21+33),
210+ 1 ==(32+42). (42+52)
З8
n
Вернемся, однако, обратно к числам вида 22 +1. После
Toro как предположение Ферма было onpOBeprHYTO, воз..
ник вопрос: имеется ли в ряду таких чисел бесконе ное
множество простых или их' число конечно? Если верно пос..
леднее предположение, то какое же из простых чисел, вы..
ражаемых формулой 2 2n +1 t является наибольшим? Отве..
ты на эти вопросы не получены до сих пор. Приха..
дится довольствоваться исслеДованием каждоrо числа
в отдельности.
При n == 5 получается, как уже было сказано выше, сос..
тавное число:
4 294967 297 == 641 · 6 700417.
Число, получающееся при n == 6, также является составным;
ero наименьший делитель равен 274 177:
F 6==274 177. 67 280421 31 0721,
rде второй сомножитель также является простым ЧИСЛОl\f.
Р'1 И P8 тоже не чростые числа; Р, содержит множитель
37.216+1, Pl1 не простое число, F 12 содержит множите..
ли 7. 214 +1, 397. 216 +1 и 7.139. 216 +1. Р 18 имеет множи"
тель 13.220+1, F zз делится на 5.225+1, P36 Ha 5. 2!9+1,
F38 Ha 3.241+1, F7з на 5.275+1. Это, вероятно, наи..
большее число, которое коrда либо разлаrали на множи"
тели. Если ero, как заметил Кармихаэль, напечатать
в ряде томов по 400 страниц в каждом, то общее число
томов оказалось бы столь большим, что на каждоrо жи..
теля земноrо шара пришлось по библиотеке в 2 мил..
лиона томов. Само собой разумеется, что этот число-
вой великан, да и ero довольно большие делители были опре..
делены не обычным путем возведением двойки в нужную
и вообще
[(2 n _____ 1)Z+22n]. [2 2n +(2 n +l)Z]==
::=(2211 .......: 2 n + 1+ 1 +22n). (22n+22п+2п+ 1+ 1)==
== (2 2n + 1 _____ 2 п + 1+ 1). (2 2n + 1+2 п + 1+ 1)==
==(22n+l+l)2 22n+2==
==24n+2+22п+2+1 22n+2==
==2 4п + 2 + 1.
Польэуясь этим, Лендри MOr бы разложить число 258+.1 на множители
совсем леrко.
39
степень 273 и последующим делением числа Р7з===2273 +1
на последовательные простые числа, начиная с 2 *).
Одно исполинское число исследовал несколько лет тому
назад с помощью непосредственных вычислений ученик
одной из берлинских rимназий. На основании чисто Teope
тических рассуждений можно доказать, что число 2364 1
делится на 10932 (это обстоятельство. находится в тесной
связи с одной весьма важной проблемой теории чисел). Упо..
1\IЯНУТЫЙ ученик произвел все вычисления до конца речь
здесь шла о делении 110 значноrо числа, причем в частном
получалось 104 значное число, и убедился, что этот ре..
зультат действительно имеет место. Если бы этот ученик
воспользовался таблицей Мольтерера, о которой rоворится
на стр. 26, он Mor бы оrраничиться в своих вычислениях
лишь этим сложным делением.
Число 6 обладает замечательным свойством: cYM1\1a всех
ero делителей равна самому числу. Действительно,
6== 1 +2+3.
rоворя здесь о всех делителях какоrо либо числа, мы
включаем в их число и 1, но исключаем само число, иначе
указанное свойство никак не моrло бы иметь места. Ближай
шее к 6 число, обладающее тем же свойством, есть 28:
28== 1 +2+4+7 + 14.
Подобные числа называют с о в ерш е н н ы м и числами.
В древности были известны еще два совершенных числа,
следующих за 28, 496 и 8128. (Проверь, так ли это!).
Следующее совершенное число 33 550 336 впервые было BЫ
числено в одной мюнхенской рукописи, относящейся к
1461 rоду. Затем, в ХУI столетии были найдены три даль..
нейших совершенных числа: 8 589 869 056, 137, 438 691 328
и 2 305 843 008 139 952 128. Лишь в конце XIX столетия два
*) Все указанные здесь результаты были получены довольно дaB
но еще в то время, коrда отсутствовали столь совершенные средства
вычислений, как современные электронные счетные машины. В 1956 rоду
американский математик Сельфридж (J. L. Selfridge) применил для
решения вопроса о природе чисел F N электронную вычислительную Ma
шину Калифорнийскоrо университета СВАК. С помощью этой машины
он обнаружил, что числа F з9 , Fss, F вз , Е 117 , Е125' Е 144 , Р 150 , Е 207 , Р226'
Е 2 !8' Е268' Е284' F 316 И Е 452 составные. Таким образом наибольшим из
известных на сеrодняшний день составных чисел TaKoro вида является
4'2
число F 45z ==2 2 ;) +1, которое состоит не менее чем из 10135 цифр. Один
из ero делителей равен 27. 2455+ 1 и состоит из 139 цифр.
40
математика (Зеельrоф и Первушин) присоединили к най..
деuным ранее девятое совершенное число. Вот этот число..
вои великан:
2658455991 569831 744654 692615953842 176.
Совершенные числа, как доказал еще Евклид (около 300
лет до нашей эры), получаются от перемножения чисел
2n Jи 2n 1, е с л и т о л ь к о 2n l п р о с т о е. Да-
вайте убедимся в этом. Прежде Bcero, следует установить,
какие делители имеет число N ==2n 1 (2 n 1). Простое
число 2 п l для сокращения обозначим через р. Тоrда
мы имеем две rруппы делителей:
1, 2, 22,. . ., 2 n 1
(1)
(2)
и
2 2 2 2 n 2
р, р, р, . . . , р
(напоминае 1, что число 2п 1 р мы условились не учитывать!);
все эти делители следует сложить. Но соrласно формуле,
выведенной на стр. 32,
1 +2+22+. . . +Zn 1==2п 1
и
р+2р+22р+. . '. +2n 2p==p (1 +2+22+. . . +2n 2)==
==p(2n 1 1).
Отсюда видно, что сумма двух рядов делителей дает:
2 п 1 + p'(2n 1 1)==2n 1 + (2 n 1) (2n 1 1)==
== 2 n 1 (2 n 1) N ,
что и доказывает утверждение Евклида.
Теперь все зависит от Toro, какие из чисел вида 2n 1,
т. е. так называемых ч и с е л М е р с е н н а *), являются
простыми. При исследовании этоrо вопроса можно оrрани-
читься теми случаями, коrда n число простое. Ведь
если n, к примеру, равно произведению р. q, rде р простое
число, а q множитель, больщий единицы, то 2 Р . q 1 ==
===(2P)q lq делится на 2 Р 1 и, значит, не явля тся прос-
тым числом. С друrой стороны, одноrо требования'о том,
чтобы n было простым числом, оказывается недост&точно.
Так, например, 211 l ==23.89. Лукас составил список чи..
*) м е р с е н н (Mersenne) французский математик XVII века,
занимавшийся вопросом о совершенных числах.
41
сел Мерсенна 2P l (rде р простое), простирающийся,
от р== 11 до р==251, и указал для каждоrо из этих чисел ero
наименьшие делители d. Следующая таблица воспроизво-
дит этот список:
р== 1 1 23 29 37 41 43
d== 23 47 233 223 13 367 431
р== 59 73 79 83 97 113
d== 179951 439 2687 167 11 447 3391
р== 179 191 211 223 233 239
d== 359 383 15 193 18287 1 399 479
47 53
2 351 6 361
131 151
263 18 121
251
503
Не вошедшие в эту таблицу простые числа р, большие 11,
приведены во второй таблице, rде буква «с» под ПрОСТЫl\f чис..
лом означает, что число Мерсенна 2P 1 является составным,
буква «п» что оно является простым, а буква «н» что ре-
зультат неизвестен:
р== 13
п
р== 107
п
р== 193
н
17 19 31 61 67 71 89 10r 103
ппп 11 с с п с с
109 127 137 139 149 157 163 173 181
с п н н н н с с с
197 199 227 229 241 257
с н н н н н
Cal\1bIl\1 БОЛЬШИl\f простым числом вида 2 Р 1, ФиrурируlCЩИМ
в этой таблице, является число 2127 1. (Хочу еще раз под
черкнуть, что общее число простых чисел бесконечно в€:..
лико.) Поэтому совершенные числ получаются по нашей
формуле при
р =:;: 1, 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127.
Укажу здесь еще одну любопытную деталь. Долrое вре-
мя предполаrали, что число 267 I простое. Однако OKa
залось, что
267 1 == 193 707 721 · 761 838257 287,
rде оба l\1ножителя, стоящие справа, простые числа. При
р==71 число вида 2P 1 имеет множитель 228 479, при р==
== 163 множитель 150287, при р== 173 множитель 730753,
при р === 181 множитель 43 441, при р== 197 !vlножитель
7487. Известны также множители чисел 2P I, rде р==317,
337 и даже 5011.
42
Так как 289 1, 2107 1 и 2127 1 простые числа, то мы
можем получить три следующих совершенных числа. Вот
эти числа, которые вычислил Мольтерер *):
191 651 942608236107294 793378084303638 130997331 548
169216,
.131 164036458569648337239753460458722910223472 318
386943 117783 728 128
и
14474 011 154664 524 427946 373 126 085 988 481 573677 491
474853889 066 354 349 131 199 152 128.
Все перечисленные совершенные числа четные; они
оканчиваются либо на 6, либо на 28. Конечно ли или беско-
нечно число таких совершенных чисел неизвестно. Эй-
лер доказал, что не существует иных законов образования
четных совершенных чисел, кроме Toro, который был ука-
зан Евклидом.
Любое четное совершенное число, за исключением 6,
можно, как доказал Хэт (R. v. Heat'h), представить в Биде
п l
суммы 2 2 полных кубов (приче I кубов нечетных чисел);
так, например,
28 13+33, 496== 13+33+53+ 78,
8128 == 13 + 3 З +5' + 73 +93 + 11 а + 133 158.
*) Данные Литцмана (и приведенная на предыдущей странице таб
личка) относятся к «доэлектронному» периоду развития теории чисел,
коrда математики не обладали еще таким мощным средством вычисле
ний, как современные электронные вычислительные машины (ср. со
сноской на стр. 40). Незадолrо до появления немецкоrо ориrинала
этой книrи летом 1952 rода, американский математик Робинсон с по
мощью упоминавшейся выше электронной машины СВАК, показал, что
следующими за 2127 1 простыми числами Мерсенна являются числа
2Ul 1 и 2607_____1; все числа между 2127_____1 и 2$21.....1 ----- составные f
Затем с помощью той же машины было обнаружено, что число
21279_____1 является простым; отвечающее этому числу Мерсенна совер.
шенное число записывается 770 цифрами. Следующие простые числа
Мерсенна, найденные с помощью машины СВАК, таковы: 22203.....1 11
22281 1. Наконец, в 1957 rода шведский математик Ризель с помощью эле-
ктронной счетной машины БЕСК (BESK, Стокrольм) установил простоту
числа 28217 1. это число состоит из 969 цифр и является, по видимому,
самым большим из известных в настоящее время простых Ч'Исе.П; соот.
ветствующее совершенное число 23216(23217.....1} содержит окодо 2000 цифр.
43
Чтобы доказать это в общем виде, воспользуемся Форму-
лаl\fИ *)
8з== 13+23+33+... +k 3 == k 2 ( +l)2 I
82==Р+22+32+.. .+k'== k(k+1)6(2k+l) ,
81==-1+2+з+...+k k( :l) .
Отсюда получаем:
k
S==13+33+5a .. .+(2k 1)3== (2, 1)3==
r=== 1
k
::::: (8,8 ------12'2+6' 1)==8S з 12S 2 + 6S 1 k.
r== 1
Следовательно,
S==2k 2 (k+ 1)2 2k. (k+ 1) (2k+ 1)+3k (k t 1) k==
2k4+4k3+2k2 4k 3 6k2 2k+3k 2 +3k k==
==2k 4 k 2 ==k 2 (2k 2 1).
п l
Если здесь положить k===2 2 , то получим
S==2n 1 (2 n 1).
Но такой вид имеет любое четное совершенное число.
Более сложен вопрос о том, не сущест уют ли еще и не..
четные совершенные числа. До сих пор не известно ни одноrо
TaKoro числа; однако у нас нет уверенности в том, что
таких чисел не существует. Этот вопрос исследовал, напри
мер, Канольд (Н. J. Kanold) 1). Во всяком случае, твердо
установлено, что если нечетные совершенные числа и
'имеются, то они чрезвычайно велики; ни одно из них не
может быть, наПРИl\1ер, меньше 1036.
Противоположностью простым числам, «бедным делите
ля ли» (они делятся только на 1 и caMoro себя), являются
«боrатые де.питеЛЯ1\1И» числа. Ими часто пользуются как
единицами измерения. Такое применение находят, напри
*) Их можно доказать, например, с помощью метода математической
индукции (ер. выше, стр. 33).
1) Ср. Bericht uber die Mathematiker Tagung in Tilbingen уот
23. bis 27. September 1946. Laupp, Tilbingen, стр. 84 и с.пед. [Один из
первых результатов в этом направлении принадлежит советскому ма-
тематику и. с. rрадштейну, в то время студенту Одесскоrо универси-
тета. см. и. с. r 'р а Д ш т е й н, О нечетных совершенных числах,
Математический сборник 32, 1925, стр. 476 510. Пр им. ред.]
44
мер, 12 дюжина, 144 rpocc; МО)КНО вспоrvlНИТЬ таКЖе
день с ero 24 часами, 1440 минутами и 86 400 секундами;
полный уrол, содержащий 360 rрадусов, 21 600 минут,
1 896 000 секунд.
Существует формула, позволяющая определить число
делителей любоrо числа:
N == рт . qn . ,О . . .
(rде р, q, " ... простые числа).
Эта формула такова:
TN==(m+l)(n+l)(o+l)... 1
(здесь, как и выше, 1 влючается в число делителей числа N,
но зато исключается из допустимых значений caMoro
числа N). Таким образом, мы, например, получаем:
ДЛ я 12 == 22 · 3 Т 12 == (2 + 1) (1 + 1 ) 1 == 5;
дл я 24 == 21 . 3 Т 2 '" == (3 + 1 ) ( 1 + 1 ) 1 == 7 ;
для 60==22.3.5 Т 60 ;::::(2+1)(1+1)(1+1) 1==11;
дл я 144 == 2'" · 32 Т 1'" '" == ( 4 + 1) (2 + 1 ) 1 == 14.
Приведенное выше число 86400==27.33.52 имеет 95
делителей, число 1 896 000==27. 34. 53 имеет 159 делите..
лей. Таблицу таких чисел Т Nсоставил Маурер. Так, напри-
мер, число 21 621 600 имеет 575 делителей. Мерсенн уста..
новил 1), что наименьшее число, имеющее миллион дели..
телей, есть
N == (1 267 650600228 229 401 496 703205 376)66.
· (847 288 609 443)4.
Это число записывается 2028 цифрами.
Первое из стоящих в скобках чисел имеет 100 делителей.
С уВеличением числа одновременно увеличивается и число
ero делителей, однако простые числа, встречающиеся сколь
уrодно далеко, не позволяют числам Т N расти очень
быстро.
7. ЕЩЕ НЕСКОЛЬКО ПРИМЕРОВ
ЧИСЛОВЫХ ВЕЛИКАНОВ
Прежде Bcero, возьмем какие..либо два предмета, или
понятия, например точку (.) и тире ( ). Сколькими спо-
собами можно и х расположить в последовательность друr
1) Соrласно математическому бюллетеню Буэнос Айреса в Cogi-
taeta physico matematica, Париж, 1644. На вопрос в Вolletino di Ma
tematica (4-я серия, Т. 11, стр. 28), было ли доказано это утверждение,
до сих пор, насколько мне известно, ответ не получен
45
за друrом? Вы, конечно, сразу ответите, что таких способов
два, а именно: · или .. Возможных расположений трех
предметов будет уже больше. Если взять нож, вилку и
ложку, то их можно расположить в последовательность
шестью различными способами:
нож вилка ----- ложка,
вилка нож ложка,
ложка нож вилка,
нож ложка ----- вилка,
вилка ложка ----- нож,
ложка вилка нож;
друrих вариантов здесь, очевидно, не существует. Присое..
динив сюда еще и четвертый предмет, например карандаш,
мы в каждом из этих шести расположений трех предметов
сможем поместить карандаш на четырех различных местах:
перед ножом, перед вилкой, перед ложкой и позади всех
трех предметов. Следовательно, каждое из шести располо
жений приводит к четырем новым, т. е. четыре предмета
мо)кно расположить уже 6.4 различными способами. Число
6, показывающее число возможных расположений трех
предметов, также можно изобразить в виде произведения
двух множителей 2. 3; при этом число расположений четы-
рех предметов запишется как 2. 3. 4. Если к четырем пред-
метам присоединить пятый, то число возможных расположе-
ний выразится уже произведением 2.3.4.5 и т. д. Для
произведения ряда последовательных . целых чисел, начи
нающихся с 1, введен сокращен.
ный знак ! (читается: факто-
риал). Например, 3! ==6, 4! ==24,
5! == 120, 6! == 720, 7! == 5040 и т, д.
Вы видите, как быстро возрастает
число п! (ЭН факториал) с poc
том n.
Р Существует иrра (ее часто
ис. 7.
называют «иrра В пятнадцать»),
которая была изобретена одним американцем в 1878 rоду
и одно время пользовалась очень большой популярностью.
Для этой иrры нужно иметь квадрат, разделенный на 16
равных квадратиков, и 15 пронумерованных шашек, имею-
щих одинаковый размер с маленькими квадратиками. Шаш..
ки расположены произвольным образом, однако так, что
крайняя справа клетка нижнеrо ряда остается свободной.
Задача состоит в том, чтобы, передвиrая шашки по доске,
перевести их из любоrо друrоrо в «основное» расположение,
изображенное на рис. 7. При этом изменять расположение
46
шашек можно только, передвиrая одну из соседних с пус-
тым местом шашку на ЭТО пустое место. Сколько в этой иrре
может быть разных исходных положений? На этот вопрос
нетрудно ответить, если воспользоваться нашим новым сим..
волом: 15! Это составляет 1 307 674 368 000 различных слу..
чаев, т. е. заметно больше биллиона случаев. Если же еще
отбросить требование, соrласно которому свободной долж..
на оставаться именно нижняя клетка справа, то исходных
расположений костей будет 16! Это число в шестнадцать
раз больше выписанноrо выше и равно 20 922 789 888 000.
Один из читателей этой книжечки предложил исполь..
зовать факториал для получения еще .большеrо числа, ко..
торое можно записать тремя цифрами, чем то, о котором
rоворилось в rлаве 5. Здесь мы можем выбирать между
[999]! 9!,Э1 9 \ или даже [9!9191]1 Однако это значило бы зайти
слишком далеко в нашей иrре с колоссальными числами!
Чтобы продемонстрировать на конкретном примере
быстроту роста числа п! при возрастании n, приведу здесь
значение 100!, вычисленное Мольтерером *):
93326215443944 152681699238 856 266 700490715 968 264
381 621 468592963895217 599993229915608941 463 976 156
518286253697920827223758251185210916864 000 000 000
000 000 000 000 000.
Может быть, ты сообразишь, почему у этоrо числа в кон-
це стоит ровно 24 нуля?
Следующий пример снова приведет нас к уже знакомыl'.1
вычислениям. Тебе, наверное, знакома иrра в кеrли. Девять
кеrлеи расставляются на площадке так, как показано на
рис. 8. Расставленные KaK TO на площадке кеrли образуют
<<фиrуру», задача состоит в том, чтобы шарами, которые иr-
рающий катит по направлению к кеrлям, сбить все входя"
щие в «фиrуру» кеrли, не задев при этом остальные. «Фиrу
ры» MorYT быть разными; так,.'например, на рис. 9, пока..
зана «фиrура», которая называется «веревочкой» (черные
*) Можно доказать, что для каждоrо п число п! больше ( ; ) n,
Т. е. п! растет быстрее, чем ( ) n. При этом такая оценка роста п! Яlf-
пяется довольно точной, ибо (по крайней мере при п>6) пl < ( ) n.
См., например, Д. о. ш к л я р с к и й и др., Избранные задачи к
теоремы элементарной математики, ч. 1, М., 1959, задача 148.
47
кружки означают входящие в «фиrуру» кеrли). Названия
отдел ных «фиrур». если таковые вообще существуют, ме-
няются. Коrда требуется сбить все кеrли, то rоворят о «де-
вятке»; если же надо оставить кеrлю в центре, сбив все
остальные, то мы имеем друrую «фиrуру», выбить которую
rораздо труднее, чем «девятку». Очевидно, что Bcero имеется
девять rрупп «фиrур». К первой rруппе относятся «фиrуры»,
содержащие только одну кеrлю, ко второй rруппе две
кеrли и т. д. Ясно, что в первую rруппу входят девять
различных «фиrур» сколько же их насчитывает вторая
о
о о
о о о
о о
о
.
о о
о . о
о о
.
Рис. 8.
Рис. 9.
rруппа? Возьмем одну кеrлю и поставим ее на любое место.
Тоrда для второй кеrли остается 8 свободных мест, что дает
нам 8 «фиrур». А так как для первой кеrли можно выбирать
любое из девяти мест, то можно решить, что общее число
«фиrур» второй rруппы равно 8. 9. Однако этот вывод слиш-
ком поспешен. Дело в том, что в оБR.азованных таким обра-
зом 8. 9 «фиrурах» каждая повторяется дважды. «Фиrуру»,
показанную на рис. 10, можно получить, поставив сперва
правую, а затем левую кеrлю; но l\10ЖНО сделать и наоборот:
поставить сначала левую, а потом правую
кеrлю; точно так же дело обстоит' в каждом
из 72 случаев. Следовательно, имеется Bcero
лишь 72 : 2==36 различных «фиrур», относя
щихся ко второй rруппе.
Рассмотрим теперь «фиrуры», образован
ные тремя кеrлями. Будем образовывать их
из «фиrур», содержащих по две кеrли. Pac
смотрим какую-либо из таких «фиrур», при
этом останется 7 свободных мест, и на каждое из них мож"
но поставить третью кеrлю. Следовательно, всех «фиrур»
третьей rруппы будет 36. 7. Но и здесь нужно проследить,
не встречаются ли среди этих 36.7 «фиrур» одинаковые.
И действительно, так оно и есть. Рассмотрим, например)
«веревочку» на рис. 9. Ее можно образовать присоедине-
нием третьей кеrли из трех различных «фиrур» второй
о
о о
. о .
о о
о
Рис. 10.
f8
r.руппЫ. Именно. две первые кеrли моrли занимать либо
оба передние места, либо оба задние, либо, наконец, одна
переднее, а друrая заднее. Поэтому полученное выше
число 36.7 нужно еще разделить на 3. Так же придется
рассуждать и дальше, коrда мы перейдем от «фиrур» Tpe
тьей rруппы к «фиrурам» четвертой rруппы. Снова сначала
fvlbI получим в 6 раз большее число «фиrур», так как четвер-
тую кеrлю 10ЖНО поставить на любое из шести свободных
мест. Однако каждая образованная таким образом «фиrура»
четвертой rруппы rvl0жет получиться из четырех различных
«фиrур» третьей rруппы; поэтому результат нужно разде-
лить на 4. Переходя к «фиrурам» пятой rруппы, следует
умножить число «фиrур» четвертой rруппы на 5, но одновре"
менно и разделить на 5 и Т. д. В следующей таблице при..
водятся подсчеты числа различных «фиrур»:
1..1 исл о фиrур u rруппы 9 ==9
первои
u 9 8 =-= 36
» » второи » 1 2
u 9.8.7 s=: 84
» » третьеи » 1 .2.3
u 9.8.7 6 == 126
» » четвертои » 1 2.3.4
u 9.8.7.6 5 == 126
» » пятои » 1.2 3.4.5
шестой » 9.8 7.6.5.4 ==84
» » 1.2.3.4 5.6
u 9.8.7.6.5.4.3 ==36
» » седьмои » 1.2.3.4.5.6.7
» » восьмоЙ » 9 8 7.6 5 4.3.2 ==9
1.2.3 4 5 6.7.8
в итоrе это составит 510 «фиrур». Прибавив сюда еще «фи..
rypy», образованную всеми девятью кеrлями, и «пустую фи
rypy» (коrда сбиты все кеrли), получим 512 «фиrур». Это
число равно как раз 29. Случайное ли это совпадение?
Из нашей таблички можно сделать еще некоторые за1\1е"
чательные выводы. Во всяком случа , число «фиrур» оказа-
лось HaMHoro больше, чем можно было предположить зара..
нее. Если бы в той же иrре участвовали 10 кеrлей и наши
рассужJ(ения были верны, то число возможных «фиrур» бы..
ло бы равно 1024 (т. е. 210), при 12 кеrлях 4096 (т. е.
212), и т. д.
Можно было бы привести еще целый ряд подобных за..
дач. Мноrие из них связаны с различноrо рода иrрами, на..
пример, задача об определении возможноrо числа различных
49
п'артий в какой-либо каРТОЧ\iОЙ иrре, хотя бы в иrре в «пья..
НИЦу»411 К подобноrо рода задачам относится и задача НЗ
совсем уже друrой области, а именно, определение числа ме.-
лодий, какие можно образовать из семи звуков октавы.
Во всех этих задачах получаются orpoMHbIe числа. Особен-
НО велики они в последней задаче, rде следует еще учесть
возможность использования не одной, а 'ряда последователь-
ных октав.
Курт Лассвитц MHoro лет тому назад рассказал историю,
которая связана с очень поучительным подсчетом. Приведем
u U
здесь лишь задачу, о которои идет речь в этои истории, И
окончательный результат, опуская выIисления,, которые ты
сможешь восстановить самостоятельно. Курт Лассвитц ro-
ворил о замечательном книrохранилище универсальной
библиотеке, в которой имелись бы все книrи вообще, не
только написанные, но и те, которым еще только предстоит
быть написаННЫl\1И. В каждой книrе должно быть 500 стра-
ниц, на каждой странице 40 строчек в каждой строчке 50
букв. Понятно, что для Toro, чтоБыI напечатать все книrи,
достаточно иметь обычный шрифт с осоБЫl\1И литерами для
знаков препинания: ,;: и т. д., И еще некоторыми друrими
специальными литерами, например для цифр или матема-
тических символов. Более ста литер наборщику во всяком
случае не понадобится. Теперь достаточно перепробовать
только все возможные расположения всех этих различных
литер, и тоrда наряду со всякоrо рода чушью и бессмысли-
цей будет напечатано в этих книrах и все разумное *).
Число томов такой «универсальной библиотеки» оказы..
вается равным «только» 102 000 000. Представим себе, что эти
книrи, каждая толщиной в 2 см, поставлены рядом друr
с друrом в этом orpoMHoM книrохранилище и что МИl'.fо
них скользит луч света со скоростью 300 000 км В секунду.
С!<олько «световых лет» понадобится лучу на это путешест-
вие? Лассвитц произвел этот подсчет. Число лет изобра-
жается 1 с 1 999 982 нулями, ero почти также трудно
себе представить, как и количество томов.
*) Разумеется, эта «универсальная библиотека» в силу оrраничен-
Horo объема томов, никак не может вместить всю совокупность доступ
ных человеку знаний (этоrо не сможет достиrнуть никакая библиотека.
ибо как бы колоссален ни был ее объем, он все таки всеrда остается KO
печным). Так, например, никакая библиотека не сможет исчерпать Ha
тих знаний о числе 7t, разложение KOToporo в десятичную дробь может
быть продолжено н е о r р а н и ч е н н о далеко (ср. ниже, стр. 62
И след.).
50
Вернемся, однако, к математике. В предыдущем разделе
мы rоворили о разложимости чисел на множители. Но их
можно разлзrать и на слаrаемые. Число 4 равно 3+1, или
2 +2 или 2 +1 +1, или 1 +1 +1 +1. Следовательно, это
число можно представить четырьмя различными способами
в виде суммы целых чисел. Обозначим число, которое мы хо-
тим представить в виде суммы нескольких слаrаемых, через
п; а число способов, которыми можно представить это число
в виде суммы целых слаrаемых (включая сюда и представле-
ние n==п) , через р (п)l). Тоrда р (1) == 1, р (2) ==2, Р (3) ==3,
Р (4)==5, Р (5)==7 и т. д. Далее, например, р (22)== 1002,
р (33)== 10143, р(46)== 105 558, р(61)== 1 121 505 и т. д. Со-
rласно таблице, составленной Мак MaroHoM, имеем:
р (100)== 190569292,
Р (200) == 3972 999 029 388.
Для приближенноrо вычисления р (п) можно воспользова-
ться формулой, которая, правда, передает значение р {п)
не совсем точно, но с очень хорошей степенью точности; для
небольших же n она дает даже истинные значения р (п).
Пользуясь этой формулой, Леl\1ер установил, что прибли-
зительно
р (599)==435350207 840 317 348270000,
р(721)==161 061755750279477635534762.
А вот еще несколько числовых великанов, которые появ-
ляются в таких задачах, rде никакой математик не ожидает
с ними встретиться. Под Д и о Ф а н т о в ы м и у р а в н е-
н и я м и ПОНИ1\1аются такие уравнения, в которых число
неизвестных больше общеrо числа уравнений (уравнение
может быть и только одно); при этом ищутся лишь такие
решения уравнений, которые выражаются Ц е л ы м и чис..
лами. Самым извеСТНЫl\1 примером подобноrо уравнения
является «уравнение Пифаrора»: X 2 +y2==Z2, имеющее бес..
конечное Iножество целочисленных решений, например:
х==3, у==4, z==5 или х==5, у== 12, z== 13. Ферма поставил за..
дачу о нахождении решений «уравнений Пифаrора», удовлет-
воряющих еще двум дополнительным условиям, сумма
х+у и число z должны быть квадратами целых чисел; дру.
rими словами, требуется отыскать такие прямоуrольные
1) Я следую здесь статье Н. о. Kloosterman, Partities, Euclides 21,
1945/46 r!t стр. 67 И след.
51
треуrОJIЬНИКИ, все стороны которых выражаются целыми
числами, причем rипотенуза и сумма катетов являются
даже квадратами целых чисел *). Наименьшими числами,
удовлетворяющими этому уравнению, будут, как он YKa
зывает,
х== 1 061 652293520,
у==4 565486027761,
z==4 687 298 61 0289.
Ближайшее по величине решение, а решений у этой
задачи бесконечно MHoro, содержит уже значительно боль..
ше цифр.
Наименьшие целые числа, являющиеся решением до"
вольно безобидноrо с виду диофантова уравнения x2 109y==
== 1, суть 1)
х== 158 070671 986249 и у== 15140 424455100.
Эйлер поставил задачу о решении в целых числах системы
уравнений
x+y+z u, xy+xz+zy==v 2 , ху, z==w 3 ,
т. е.,ИНЫМИ словами, об отыскании кубических уравнений
х з UX2+V2X w З ==О
(rде и, v, w целые числа), имеющих целые корни. Наи
меньшее решение этой системы имеет вид
х== 1 633780814400,
у==252782198228,
z==3474 741 085973.
Архимед составил следующую «задачу О коровах»:
обозначим через Б число белых быков, через Ч черных,
через П пестрых и через Р рыжих; через б число бе
лых коров, ч черных, п ......:.... пестрых и p рыжих, и пусть
5 9 13
Б == [; ч + Р , Ч == 20 П + Р , П == 42 Б + Р,
7 9 11 13
б== 12 (Ч tЧ), Ч== 20 (П +п), n== зо (Р+р), р== 42 (Б+б).
*) в этой задаче требуется найти решения системы диофантовых
уравнений: X 2 +y2==Z2, z==t 2 , х+у==u 2 . Относительно ее решения СМ.
В. С е р п и н с к и Й, Пифаrоровы треуrольники, 12, Учпедrиз,
1959; в этой интересной книrе читатель может найти и друrие примеры
числовых великанов.
1) Ср. Н. D 6 r r i е, Quadratische GIеiсhuпgеп, 0ldenbourg, Miinc-
hen, 1943, стр. 358.
52
Кроме Toro, пусть Б +Ч является квадратом(т. е. Б +Ч ==п ,
а П +Р так называемым «треуrольным числом», Т. е.
имеет вид т ( +1) . Если не учитывать этих дополнитель-
ных условий, то нетрудно получить, что (х произволь..
ный целочисленный множитель)
Б == 2 · 3 · 7 · 53 · 4657 · х == 1 О 366 482 х,
Ч==2.3 2 .89.4657.х 7460514x,
П ==22. 5. 79.4657 · х ::=: 7 358 060 х,
р ==3 4 .11.4657.х ==4 149387 х,
б == 23 · 3 · 5 · 7 · 23 · 373 · х == 7 206 360 х,
ч==2. 32. 17 .15991 · х ==4893246 х,
п==2 2 .3.5.7 .11.761.х ==3 515820х,
р==з3 2 .13.46489. х ==5439213 х .
Наименьшее решение, учитывающее дополнительные усло-
вия, приводит К очень большим числам. Так, например, Б
представляется числом, имеющим 206 545 цифр; это число
начинается цифрами 1598.. .1).
8. ЧИСЛОВЫЕ КАРЛИКИ
До сих пор мы оставались в пределах ряда натуральных
чисел 1, 2, 3, ..., из которых наименьшее единица. Если
считать числом также и нуль, то он еще меньше единицы.
Нуль это самое меньшее число, потому что ведь не MO
жет же существовать что то меньщее, чем «ничеrо», так
думают люди, незнакомые с математикой. Математик же ro
ворит этим людям: можно, однако, иметь долrи, а TepMO
метр может показывать те:мпературу и ниже нуля. Но мы
не будем здесь касаться отрицательных чисел, которые
имеет в виду математик; к ним мы обратимся позже в дру-
rих целях.
К ЧИСЛОВЫ 1 карликам мы сможем п ийти лишь тоrда,
коrда введем в Kpyr нашеrо рассмотрения, кроме натураль
ных чисел, еще и дроби. Вопрос о числовых карликах, в сущ
ности, уже был исчерпан нашим разбором числовых вели
В u 1
канов. едь если число n числовои великан, то
n
1) По этому поводу см. А. А m t h о т, Das РтоЫеmа bovinum
des Archimedes, Zeitschr. f. Math. и. Phys. Nll 25 (1880), Hist. lit Abt.,
стр. 153 И дальше; Euc1ides, N220 (1943), стр. 58, Н. D б r r i е, Triumph
der Mathematik, 3. АиП., Breslau, 1940, стр. 1 и дальше.
53
itисловой карлик; так, большому числу 1 000 000 соответ-
1
ствует «обратное» ему малое число 1 000 000 . в самом
деле, при неизменном числителе чем больше будет знаме-
натель дроби, тем меньше ее значение и тем больше приб-
лижается она к нулю.
Давайте поищеl\1 BOKpyr нас подобные числовые кар..
лики. В свое время для наrлядноrо изображения больших,
хотя и не чрезмерно больших, чисел мы пользовались Bpe
менем и расстоянием. Теперь познакомимся с малыми про-
межутками времени и мальп\{и расстояниями; попытаемся
создать себе о них наrлядное представление.
Секунда достаточно малая единица времени. В кино
отдельные кадры быстро сменяются один друrим. Первый
кадр, изображающий определенную картину, проектирует..
ся на экран; затем он сразу заменяется вторым кадром и т. д.
В обычных фИЛЫ\1ах в секунду сменяется от 16 до 24 таких
кадров. Почему же, несмотря на это, rлядя на экран, мы
ВИДИl\1 непрерывно происходящее движение? Причина кроет..
ся в том, что впечатление, которое производит какая"либо
картина на наш rлаз, не является мrновенным оно сохра-
1
няется на определенное вреl\IЯ, примерно на 10 секунды.
Доказательством этоrо может служить тот факт, что при
быстром вращении перед нашими rлазами раскаленноrо
тела, скажем уrолька, мы видим не движущуюся точку, а
оrненный Kpyr. Если закрепить один конец вязальной спи
цы, а друrой отвести в сторону и затем отпустить, то МЫ ви
дим не отдельные положения свободноrо конца спицы, а oд
ну блестящую полосу.
Эти опыты показывают, что наш rлаз не в состоянии раз
1
дельно воспринимать явления, длящиеся менее 10 се-
кунды 1). Вот еще один поучительный пример. До появле-
ния моментальной фотоrрафии все представляли себе поло-
жение на скачущей лошади неправильно. На всех карти-
нах старых художников ноrи лошадей изображены в таком
пt>ложении, в каком они в действительности никоrда не бы-
вают, а именно: передние ноrи вынесены вперед, а заДНие
отведены назад. Лишь с тех пор, как фотоrрафия раскрыла
нам rлаза, художники тоже стали правильно видеть. Мно-
1) Существуют животные, rлаза которых способны воспринимать
явления, длящиеся значительно менее 0,1 секунды.
54
rие фокусы, в том числе и карточные, основываются исклю-
чительно на быстроте движений. ПОЭТОl\IУ понятно, ЧТО
при наблюдении явлений, происходящих в малые отрезки
времени, rлаз приходится заменять фотоrрафической пла-
стинкой.
Во всех тех случаях, коrда мы имеем дело с движением,
измерение времени связано с измерение 1 расстояний. Для
измерения малых величин наименьшую из общеупотре-
бительных единиц длины 1 мм делят на 1000 частей
и называют одну такую часть 1 J.1 (читается: один микрон).
\икрон В свою очередь делится на 1000 mJ.1 (миллимикра-
нов). .i\'\иллимикрон, разумеется, уже чрезвычайно fалая
единица длины. В МИЛЛИl\1етре содержится столько же мил-
лими.кронов, сколько В километре содержится миллимет-
ров. Миллиметр составляет миллионную часть километра,
3, значит, миллимикрон составляет такую же долю мил-
лиметра. За метр первоначально была принята одна сора..
камиллионная часть земноrо меридиана. Теперь же MeTpO 1
называют расстояние между двумя штрихами на плати..
но-иридиевом стержне (эталоне метра), хранящемся в Меж..
дуна родном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа. Это
1
расстояние оказалось не совсем точно равным 40 000000
длины меридиана. Считается, что точность, с которой мож-
но измерить длину эталона l\leTpa, достиrает 200 тр..
Недавно было решено определить метр, исходя из длины
волны определенных световых лучей; точность здесь дости-
raeT 20 mv... Если обозначить через Ас длину волны красной
линии спектра кадмия, а через Ak длину волны желто-зе-
леной линии спектра криптона, то
1 .м == 1 555 164, 13 Ас
1 М=== 1 769 557,93A k 8
Каковы же величины Ас и Ak?
Возникает вопрос: имеют ли какое-либо практическое
значение столь малые единицы длины? В самый сильный
микроскоп невозможно обнаружить объект размером в 1 мил..
ЛИ IИКрОН В микроскоп можно увидеть лишь предметы,
поперечник которых не менее 200 mJ1. Появление ультра..
микроскопа, изобретенноrо на рубеже прошлоro и нынеш-
Hero столетий, означало значительный шаr вперед в этом
отношении. Еще лучшие результаты дает применение элект-
и
55
pOHHoro микроскопа и, особенно, появившеrося совсем
недавно электронноrо микроскопа проектора.
При цветных съемках по методу, предложенному фир-
мой Аrфа (Agfa), кинопленку покрывают тремя различными
светочувствительными слоями толщиной от 4 до 5 Jl..
Здесь требуется точность в 1 .
В настоящее время механическим молотом удается рас-
плющить кусок золота в чрезвычаЙНQ тонкую пластинку.
Так, один кубический миллиметр (1 MAt 3 ) расплющивается
в пластинку, поверхность которой равна примерно одному
квадратному дециметру (1 дм 2 ). Обозначиrvl толщину Ta
Koro листочка через х; тоrда если х выразится в миллимет
рах, то 1 ММ 3 ==Х .10 000 мм 2 , так как 1 дм,2== 10 000 мм 2 .
1
Отсюда получаем, что толщина пластинки равна 10 000 мм
или 100 тJ.1.
Еще тоньше бывают некоторые масляные пленки, кото-
рые получаются, если капнуть жидким маслом на воду.
Масло тотчас же расплывается по поверхности воды, и слой
ero становится все более тонким. Если известно количество
масла на поверхности воды и площадь масляноrо пятна,
то леrко вычислить толщину слоя. При этом наблюдается
следующее явление: по мере Toro как масляный слой CTaHO
вится все тоньше И тоньше, он начинает разрываться на от..
дельные части; это происходит тоrда; коrда толщина плен
ки достиrает примерно 100 т . Но среди отдельных, раз
личимых rлазом пленок имеются значительно более TOH
кие, толщина которых доходит до 20 mJ.1 и меньше. При
последующем уменьшении толщины масляной пленки cy
щественно меняются и ее физические свойства, особенно,
коrда толщина пленки доходит до 1 т . Эти изменения
лучше Bcero объяснить, исходя из предположения о зер-
нистой структуре масла. При этом тонкий слой уже не
имеет свойств однородной жидкости; скорее он имеет свой-
ства вещества, состоящеrо из отдельных, не связанных друr
с друrом зерен.
Уже давно ученые интересовались вопросом о том, можно
ли материю бесконечно делить на все меньшие и меньшие
доли. Различные факты привели к мысли, что это не так,
что материя, как твердая, так и жидкая и rазообразная,
состоит из мельчайших «неделимых» частичек молекул
и aTOl\10B. Величину этих частичек можно определить раз-
личными способами; при этом получаются значения
56
1
порядка 2 mJl. Опыты с масляными пленками, описанные
Еыше, подтверждают это заключение. В 1912 rоду Лауэ
проложил путь в rvlИР этих мельчайших частиц; с помощью
рентrеновских лучей удалось получить картину расположе
ния атомов в кристаллах, которой можно воспользоваться
для ИЗl\1ерений и вычислений. Открытие Лауэ, а также и
дальнейшие исследования, привели к созданию HOBoro боль..
шоrо раздела физики, изучающеrо строение атомов, в тайны
КОТОрЫХ современная наука далеко проникла.
Замечу еще, что с помощью электронноrо микроскопа
удалось сфотоrрафировать отдельные молекулы, напри..
мер вирус «табачной мозаики», и тем самым получить о них
наrлядное представление. Электронный микроскоп проек"
тор позволяет различить четыре бензольных кольца в моле..
куле rалоцианина меди, напоминающей по форме четырех..
листный клевер.
Чтобы получить представление о величине подобных
мельчайших частиц микромира, нам надо будет позна
комиться с самыrvlИ малыми единицами веса. Единицы веса
тесно связаны с единицами объема, а именно: вес одноrо
кубическоrо дециметра (одноrо литра) воды при определен
ных, тщательно oroBopeHHbIX условиях и есть 1 Ке. В свою
очередь 1 Ке=== 1000 с, а 1 с равен 1000 миллиrраммам (Мс).
Более мелкие весовые единицы физики обычно изобра..
жают степенями с отрицательными показателями. Напри..
1 10 n 1 10 3
мер, lOfl == , В частности, 1000 == ·
Потребность человеческоrо а.рrанизма в витаминах в Be
совом выражении определяется следующими числами: че
ловеку требуется в день от 2 до 3 .мс Витамина А, от 1 до 2 .ме
витаминов Bl и В 2 , от 50 до 60.мс витамина С и около 10 3.мe
витамина о. Однако существуют вещества, потребность
орrанизма в которых выражается еще меньшими числами.
Так, биотин, иrрающий СУilI ественную роль в процессе дe
лени я клеток, обнаружен в некоторых микроорrанизмах
в количестве, составляющем одну четырехсотбиллионную
от общеrо веса клетки. 2,5 т cyxoro желтка утиных яиц
содержат 1,1 .мс этоrо вещества здесь отношение количе
ства биотина ко всему весу равно 1 : 2,3 миллиарда. Аук"
сии, вещество, обнаруженное в ростках овса и стимулирую..
щее ero рост, обнаружен в растворе, в котором 1 2 вещества
приходится на миллион литров воды. Существует одно
57
вещество кр аситель Safranfarbstoff, неоБХОДимьtй морским
водорослям для процесса размножения; потребность в этом
красителе настолько мала, что одной капли раствора,
в котором на 250 миллиардов литров воДЫ (т. е. на массу
воды, которая может образовать большое озеро) приходится
1 О с вещества, l\10}KeT хватить на тысячи клеток водорослеЙ 1).
Встречаясь со столь l\fалыми, однако эффективными коли..
чествами вещества, мы приближаеrvlС}I к величинам, близ..
ким к молекулярным.
Число Лошмидта 6,022.1023 указывает количество мо-
лекул в одном моле (т. е. в 18 ё*)) воды. Если бы удалось по-
метить все Iолекулы двух столовых ложек воды, вылить
эту БОДУ В мировой океан и хорошенько перемешать все
1370 кубических километров воды, чтобы молекулы распре..
делились равномерно, то, зачерпнув затем из K3Koro то
места :мировоrо океана один литр БОДЫ, мы обнаружили бы
в нем ПРИl\1ерно 440 меченых fvl0лекул.
Диаметр молекулы водорода равен приблизительно
0,4 mJl. Если собрать воедино все молекулы, содержащиеся
в одном кубическом сантиметре этоrо rаза, то их объем 9ка..
жется rораздо lVlеньше одноrо кубическоrо сантиметра, так
как расстояния l\fежду отдельными 10лекулами весьма значи-
тельны. А что получится, если расположить все эти моле у-
лы в одну линию, скажем, нанизать их, как бусы, на одну
нитку? Длина этой нитки была бы близка к 11 миллионам
километров. Такой цепочкой Iолекул можно было бы поч..
ти триста раз обхватить земной шар. Попробуем теперь
расположить все эти молекулы на плоскости. Возьмем до..
ску шириной В 0,5 м; какой длиньt она должна быть, чтобы
на ней уместились все молекулы? Выложим столько рядов,
сколько раз по 0,5 .м содержится в 11 миллионах километ-
ров. Получим 22 миллиарда. Каждый из этих 22 миллиардов
рядов имеет ширину в 0,4 тJi, ведь такова ширина oд
ной молекулы. Следовательно, длина ДОСКИ будет равна
0,4 mJl.22 000 000 000, что составит 8,8 М. Значит, моле
кулы можно уместить на доске, по размерам подобной той,
из каких состоит пол довольно обширной залы. Впрочем,
для этоrо было бы достаточно и большоrо стола.
1) Все эти данные з.аимствованы из книrи о. V/ е s t р h а 1, Th.
W i е 1 а n d und Н. Н u е Ь s с h m а n n, 1 еЬелsreglеr, Sozietatsver-
lag, Fra'lkfurt а. М.
*) 1 моль вещества, молекулярный вес Koтoporo равен т, содержит
т z вещества.
58
у рок, который можно извлечь из этоrо мысленноrо эк-
сперимента, учитывается в несколько измененном виде
природой. Вот пример этоrо: решающее значение для дыха-
ния и кровообращения имеет поверхность леrочных пу..
зырьков, красных кровяных телец и кровеносных сосудов,
в особенности капилляров. При дыхании человек исыоль-
зует почти 100 м 2 поверхности леrких, приблизительно
130 -м 2 поверхности красных кровяных телец и около 80 м 2
поверхности капилляров.
Атом не является однородной частицей; это скорее си-
стема, образованная атомным ядром, BOKpyr KOToporo вра-
щаются электроны. Если радиус атома водорода имеет
величину порядка 10 8 см, то радиус aToMHoro ядра
равен лишь 10 13 см, а радиус электрона приблизительно
3.10---13 см. Денк дал этому следующее «наrлядное»
пояснение: радиус видимой вселенной равен приблизи-
телъно 3. 1028 см. Сколько электронов можно уместить ря-
дом друr с друrом в одну линию поперек всей вселенной?
Простой подсчет дает число 1041. Если расположить эти
электроны в виде квадрата, то сторона квадрата будет
близка к 100 К-М, длина же ребра куба, СП"ТIОШЬ заполнен
Horo этими электронами, составит Bcero лишь около 30 СМ.
В то время как колесо довольно быстро едущеrо авто-
мобиля делает в секунду приблизительно 10 оборотов, про
пеллер самолета 25, rирокомпас около 300, а под..
шипники В таком компасе примерно 1000 оборотов, элект
рон совершает BOKpyr атома водорода за одну секунду OKO"ТIO
7 · 1 О 15 оборотов.
Вот еще одно следствие этоrо своеобразноrо строения
3TOl\fa: кубический метр свинца весит 11,34 т. Однако
если бы отсутствовали межатомные пустоты, то данный сви-
нец занимал бы весьма небольшой объе l Bcero лишь
около одноrо кубическоrо МИЛЛИ Iетра. И в ЭТО I кубиче..
ском миллиметре вещества был бы сконцентрирован вес
в 11,34 т. Какие перспективы открылись бы технике,
если бы люди нашли возможность получать aTOl\lbI в ЧИС10М
виде *)!
*) Современная техника не имеет возможвост.ей получать тела,
«сплошь» заполненные атомами; однако возможно, ЧТО вне нашей пла-
неты они и существуют. Известно, что плотность вещества, из Koтoporo
состоят звезды определенно.ro типа (так называемые «бeJIые карлики»),
колоссальв&: ОБа может в сотни тысяч раз превосходить плотность
ВОДЫ (спичечный коробок этоrо вещ-ества уравновесит ndлный BaroH
вместимостью в 50 т). В самое ПОCJJеднее время появились сообщения об
59
При измерении уrлов rрадус подразделяют на 50 минут,
минуту на 60 секунд. Так, например, в полнолуние по
перечник луны виден с Земли под уrлом примерно в 30 ми
нут. У астрономов существует специальная «астрономиче
екая» единица длины 1 парсек. Так называют расстояние,
с KOToporo диаметр земной орбиты виден под уrлом в 1 ce
кунду; это расстояние составляет 3,26 CBeTOBoro rсда
(ер. стр. 17). Известны звездные скопления, удаленные от
нас на 70 000 парсек и на еще большие расстояния. Из этих
u б 1
скоплении земная ор ита видна под уrлом зрения в 70 000
секунды или даже менее Toro. Приведу еще пример прак"
тическоrо измерения уrлов. При определении силы земноrо
притяжения Этвеш пользовался такими точными приборами,
которые позволяли учитывать столь незначительное измене
356
ние направления силы тяжести, как отклонение на 200000000
секунды. Это уrол, под которым мы увидели бы на по
1
верхности Луны маленькую монетку диаl\1етром 3" см.
Мы убедились, как далеко заводят нас в мир крошечных
промежутков времени, ничтожных расстояний, уrлов и lViacc
современные научные теории и эксперименты. Вернемся,
однако, в мир «чистых» чисел, не связанных ни с какими
измерениями.
В матеrvlатике малые числа иrрают особую роль там, rде
приходится иметь дело с величинами, которые в нашеЙ
десятичной системе счисления невозможно выразить точно,
и потому приходится заменять их приближенными значе
ниями. Простой пример п{)яснит, Что мы имеем в виду. При
обращении обыкновенной дроби {- в десятичную получает
ся так называемая бесконечная десятичная дробь 0,3333...,
которую невозможно записать до конца. На каком бы знаке
мы ни оборвали данную дробь. всеrда допустим некоторую
ошибку. Однако эту ошибку можно сделать меньше любоrо
наперед заданноrо числа, как бы мало оно ни было. Можно
оборвать дробь на таком знаке, чтобы ошибка была меньше
0,0001, меньше 0,0000001 и т. д. Для этоrо лишь нужно
открытии звезд (так называемые «нейтронные звезды»), плотность которых
в миллионы и большее число раз превосходит плотность «белых кар-
ликов» (!). Если эти сообщения подтвердятся, то из них будет следовать
существование во вселенной материи, в которой межатомные пустоты
почти полностью отсутствуют.
60
нашу бесконечную десятичную дробь продолжить доста..
точно далеко: в первом случае до 0,3333, а во втором
до 0,3333333.
В нашем примере, rде в десятичную дробь обращалось
1
число 3' мы получили периодическую дробь с очень корот-
ким пеРИОДОI\1. Этот период состоит Bcero из одноrо зннка.
Нетрудно понять, что период дроби 1/ р, rде р простое
число, не равное 2 и 5, не может иметь более p 1 знаков.
Действительно, ведь если реально выполнять деление,
то в качестве остатков у нас MorYT встретиться ЛИlllЬ p l
различных чисел (от 1 до p I); поэтому не позже, чем на
p M шаrе, мы придем к остатку, который уже встречался
раньше. С появлением TaKoro остатка все дальнейшее бу
дет повторяться в той же последовательности. Однако, как
1 1
видно на примере з==0,3333 или п==0,090909..., Ha
личие точно p 1 знаков в периоде дроби .1/ р совершенно не
обязательно, их может быть и значительно меньше. При
обращении в десятичную дробь числа ; мы получаем в пе
риоде Bcero лишь один знак вместо двух; при обращении
1
числа П лишь два знака вместо 10.
Периоды «полной длины» (т. е. периоды из p l цифр)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
имеют дроби """7 ' 17 ' 19 ' 23 ' 29 ' 47 ' 59 ' 61 ' 97 ' 10g и т. д.
При этом справа от запятой получится значительное число
цифр, прежде чем они повторятся в той же последователь
1
ности. ВозьмеМ t .к примеру, дробь 109 . Ее вид
0,009 174 311 926 605 504 587 155 963 302 752 293 577 981 651
376 146 788 990825 688 073 394 495412 844 036 697 247 706 422
018 348 623 853 211 . . .
Здесь второй период начинается лишь со l09 ro знака.
Теория чисел раскрывает нам удивительные закономер
насти в строении таких периодов. Если, например, обра
2 3 108
тить обыкновенные дроби 109 ' 109 ' ... , 109 в десятичные,
то в каждом случае мы получим те же цифры и в той же
u u
последовательности, что и раньше, но с тои лишь разницеи,
что теперь период будет начинаться с друrой цифры.
Так, например, дробь 1 9 имеет период, начинающийся с
61
018 348 623 853 211, это последние 15 цифр периода
1
дроби 109 . Обычно эту закономерность демонстрируют
1
на примере обращения 7 в десятичную дробь; получает--
ся 0,142 857... Задача ставится следующим образом:
число 142 857 требуется умножить на 2, на 3 и т. д.
Любитель числовых великанов может применить эту
1
процедуру и к периоду дроби 109 .
Обратимся теперь к уже знакомому нам числу, с которым
мы встречались в этой книжечке, коrда объясняли, как
вычисляется длина окружности (стр. 19). Буква тt есть сок..
ращенное обозначение числа, на которое надо умножить
диаметр крута, чтобы получить длину окружности. Это
число имеет очень интересную историю *). Если взять но--
вый пятак и определить 1r опытным путем, I то мы получим
значение, HeMHoro большее 3. На практике часто пользуют..
ся значением 3+ или, переходя к десятичной дроби, 3,14.
Но и это значение не вполне точно. Архимед, заслуrи кото--
poro в вычислении числа тt очень велики, показал, что п
10 10
заключено между 3 70 и 3 71 · С течением времени научилисъ
вычислять это число с большей точностью. Первые
цифры числа 1t таковы: 3,141 592 653-... Для запоминания
их придумано MHoro стишков немецких, французских,
анrлийских и друrих, довольно далеких от всякой поэзии,
но зато таких, что число букв каждоrо слова дает соответ-
ствующую цифру числа 1t **).
Число тr раньше часто называли л удол ьфовым числом, по
имени жившеrо на рубеже XV и XVI столетий математи..
ка Лудольфа ван Койлена, который пеРВhIМ вычислил боль..
шое число первых знаков п: сначала 20, затем 32 и, наконец,
35. Bera, таблицы лоrарифмов KOToporo широко известны,
вычислил 140 знаков числа тr; замечательный вычислитель
Захария Дазе 200 десятичных знаков, Резерфорд (1833)
440, профессор Рихтер из Эльбинrа (1853) 500 и, нако-
*) СМ. Ф. Р у д и О, О квадратуре Kpyra, M. л., ОНТИ, 1936.
* *) в русской дореволюционной литературе имелся «стих»;
Кто и шутя и скоро пожелает(ъ)
3 1 415 9
'Пи узнать, число уж(ъ) 3 нает(ъ).
2 6 5 3 6
62
нец, анrличанин Шенкс (1873) 707 знаков. Но ero по-
стиrла неудвча. Долrое время никто не проверял получен-
Horo ИМ результата, упоминание о котором, в силу ero ре-
кордноrо характера, проникЛD даже в школьные учебники.
Лишь в 1 948rоду Ферrюcон и Уренч 1 ),пользуясь раз.ТIИЧНЫМИ
формулами 2), ВНОВЬ принялись, независимо друr от друrз,
за вычисление числа тr и получили 808 знаков. При ЭТОМ они
установили, что у Шенкса при вычислении 528 ro знака
допущена ошибка и все дальнейшие полученные им цифры
не верны. Вот найденное ими значение числа тr:
тr 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971
69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899
86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647
09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502
84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196
44288 }0975 66593 34461 28475 64823 37867 83165
27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482
13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817
48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360
01133 05305 4882046652 13841469519415116094
33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179
3105.1 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724
89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430
86021.'39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277
05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132
00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091
73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537
10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960
86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113
49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859
50244 594(55}
1) Ср. IJ1termediaire des Recherches Mathematiques 4. N2 15, (июль
1948).
2) Для математиков замечу, что Ферrюсон использовал известную
формулу
1t 1 1
==4. arc{g arctg
4 5 239 1
в то время как У ренч исходил из тoro, что
111
т==З.аrсtg 4 + arctg 20 + arctg 1935 .
63
Это число дает ПОВОД к различноrо рода исследованиям.
Так, например, можно установить ч а с т о т ы, с которыми
повторяются в полученном значении числа тt отдельные
цифры. Если ни одна цифра не имеет преимущества перед
друrой, то среди 800 знаков каждая из них должна BCTpe
чаться около 80 раз. Коrда было проверено, так ли обстоит
дело для числа, полученноrо Шенксом, то оказалось, что
цифра 7 нарушает эту закономерность: как указывалось
в сообщении rофмана о числе Шенкса, среди 707 знаков эта
цифра встречается Bcero 53 раза BlVleCTO 70. Было MHoro
споров о том, является ли причиной этоrо строение числа тr
или же мы обязаны этим «случаю» И при вычислении тr с
большей точностью подобное явление уже не будет иметь
места. Однако выяснилось, что отклонение от общей зако"
номерности произошло блаrодаря сделанной ошибке; если
рассмотреть полученное в наши дни значение числа тt,
то можно убедиться, что цифра 7 повторяется в нем приб..
лизительно столько же раз, как и всякая иная 1). Дру-
rие «вероятностные» (или «частотные») пр'Ьблемы, связан..
ные с числом тr, читатель леrко сможет указать самостоя..
тельно.
Восцользуемся числом тr, чтобы выяснить величину оши..
бок, допускаемых при замене какоrо либо числа ero приб..
лижеННЫI\1 значением. Если мы возьмем для тr приближенное
значение с четырьмя знаками после запятой, т. е. примем
тr=---=3,1416, то допущенная при этом ошибка не будет пре
восходить 0,001. Значит, если бы можно было точно измерить
диаметр D Kpyra, то, приняв за приближенное значение тт
число 3,1416, а длину окружности соответственно равной
1
3,1416 D, мы сделали бы ошибку, меньшую 10000 длины
диаl'-.1етра. Например, если диаметр равен 100 м, то длина
1
окружности будет вычислена с точностью до 10 000 от 100 м,
т. е. до 1 СМ. Ясно, что это уже довольно большая точность,
которая далеко превосходит достиrаемую, например, в COB
ременной архитектуре.
Однако, продолжим. Возьмем тr с 26 цифрами после за
пятой. В этом случае ошибка не будет превосходить одной
стоквадриллионной. Представим себе Kpyr с радиусом в 50
1) Это подтверждается и первыми 2040 знаками (!) числа 7t, вычис
ленными недавно на электронной счетной машине ЭНИАК за 96 часов.
64
биллионов километров: это есть расстояние, равное пяти
световым rодам; оно несколько больше расстояния до бли-
жайшей неподвижной звезды. Точность, с которой мы l\fожем
вычислить длину этой rиrантской окружности, взяв тt
с 26 знаками, составляет одну стоквадриллионную часть
диаметра, paBHoro ста биллионаl\1 километров. Это зна...
чит, что ошибка не превзойдет одной биллионной части
километра или, что то же самое, одноrо миллиrvlикрона.
Сравните эту исполинскую окружность, простирающую
ся до неподвижных звезд, с маленькой ошибкой, ИI\1ею-
щей порядок величины молекулы! А ведь rv1bI взяли тr
только с 26 десятичными знаками, а не с 808, выписан..
ными выше!
Наряду с числом тr математиков очень занимает число e
основание системы натуральных лоrарифмов. Эйлер полу...
чил для е значение е==2,718 281 828 459 04... В конце XIX
века было вычислено 346 десятичных знаков числа е; счет..
ная машина ЭНИАК за 36 часов вычислила 2016 знаков этоrо
числа *). .
Заслуживает внимания также число i ' (rде i мнимая
7r
единица). Оно действительно (!) и имеет значение е 2 * *).
в 1921 rоду это число бь ло вычислено с 55 знаками. Пер..
вые цифры ero таковы: i ' :ж:О,207 879 57 ...
9. В МИРЕ ВЕЛИКАНОВ И КАРЛИКОВ
ТАКЖЕ СЧИТАЮТ ОБЫКНОВЕННЫМИ ЧИСЛАМИ
Вообрази себе страну великанов. Средний рост жителей
этой страны дости, raeт скажем, 10 м (дети, конечно, будут
ниже). Ты думаешь, эти люди в своей стране чувствуют себя
великанами? Или вообрааи страну карликов, рост которых
не превосходит 10 см. Ты полаrаешь, что подобный «маль.
чик С пальчик» считает себя в своей стране карликом? Это,
безусловно, не так. Но если бы ты, как некоrда rулливеРt
приехал к ним! Великаны, завидев тебя, воскликнули бы:
«Какой карлик!» А посети ты карликов, они сказали бы:
«Какой великан !»
*) 2500 первых цифр (!) десятичноrо разложения ЧИС.,1а е приведены,
например, в 3 M издании «Задачника по алrебре» В. А. К р е ч м а р а
(Физматrиз, 1959). Первые 16 знаков е очень леrко запомнить:
е == 2,7 18 28 18 28 45 90 45 ...
**) СМ., например, Р. о. к у 3 Ъ М И Н иД. К. Ф а Д Д е е в. «Ариф-
метика и алrебра комплексных чисел», л., 1939.
65
Понятно, конечно, что все зависит от выбора единицы
измерения. Ты исходишь из cBoero роста, великаны из
своих 10,М, а карлики из своих 10 СМ. Однако продол-
)} им наши фантастические мысли. Вообрази, что электроны,
вр-ащающиеся 'BoKpyr aToMHoro ядра, обитаемы: на них,
как мы на Земле, живут маленькие человечки, которые так
же, как и мы, занимаются математикой. Расстояния и про..
межутки времени, с нашей точки зр ния, выражающиеся
числовыми карликами, им будут казаться оrромными чис-
ловыми великанами. Вот обратный пример. Представь себе,
что Земля, планеты, Солнце и звезды это электроны и ато"
мы, из которых построены 'некие исполинские существа.
Что для этих сверхлюдей наши числовые великаны, часто
недоступные даже воображению?
Все, что здесь сказано, относится к числам, выражающим
длины, площаДIJ, объемы, промежутки времени, а также и
веса, скорости и все остальное, связанное с перечисленными
величинами. Система единиц человека, размером с молеку-
лу, отлична от нашей; совсем друrая система единиц
будет у «сверхчеловека». Но все вычисления этих
«людей» будут сходны с нашими. У них не будет какой то
особой «карликовой» или «великаньей» таблицы умноже-
ния она будет иметь в точности тот же вид, что и
у нас. Их повседневные расчеты будут совершенно такими
же, как и наши.
Расстояния сами по себе не отвечают никаким опреде"
ленным числам. Их «величины», т. е. числовые значения,
всецело зависят от выбранной единицы измерения. Понят-
но, конечно, что так же обстоит д o с интервалами време-
ни, весами, скоростями и т. п.
Мы пришли к концу нашеrо странствования по обширной
стране чисел, простирающейся от нуля (О) до бесконечности
(00). В отличие от школьной математики и повседневных рас-
четов мы стремились держаться поближе к поrраничныIM об-
ластям этом страны и все же rраниц ее не достиrли. Мы
часто думали о «бесконечности», rоворя о числах, по сравне-
нию с которыми «конечные» числа, например те, к которым
пришел в свое время Архимед, являются числовыми кар-
ликами. Бесконечное великолепие красок, бесконечное МНО-
rообразие событий, бесконечная rлубина чувств и мыслей
окружают человека повсюду. Так мы часто rоворим. И все
же! Число всех мыслей, приходивших коrда либо кому..
нибудь в rолову, конечно. Ибо на каждую мысль требуется
66
D
определенное время, и, следовательно, каждыи человек за
свою жизнь может продумать лишь конечное число мыслей.
А так как число людей, живших коrда либо на Земле, ко..
нечно; то конеч.но и число всех возникавших у них мыслей.
Так же обстоит дело с rлубиной чувств, впечатлеНИЯ1\1И,
красками, звуками.
Одним из величайших достижений математики является
то, что она преодолела «конечность» окружения человека и
перенесла понятие «бесконечноrо» из области туманных
преДlтавлений в мир точной науки.
Вальтер Латцман
Великаны и карлик и
в мире чисел
Редактор и. В. Морозова
Техн. редактор Е. А. Ермакова
Корректор С. А. МозzалевскаR.
Сдано в набор 9jIX 1959 r. Подписано к пе.
чати 19jXI 1959 r. Бумаrа 84Х1О8/з:а. Физ. печ.
д. 2,125. УСЛОВН. печ. JI. 3,47. Уч.-изд. JI.3,68.
Тираж 50 000 9КЭ. T-1IО52. Цена книrи 1 р. IU к.
Заказ 3544.
rосударственное издат ство
Физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Обраацоваи типоrрафия
имени А. А. Жаанова
hiOCKoBCKoro rородскоrо Совнархоза.
hiocKBa, Ж-54, Валовая, 28.