Автор: Посталовский И.З.
Теги: теория чисел методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе математика
ISBN: 966-7487-36-9
Год: 2000
Текст
Из серии
"Педагогическая технология XXI века"
из.По«адавСКИВ
для автомат"
Из серии «Педагогическая технология XXI века»
ИЗ. ПОСТАЛОВСКИЙ
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
для автоматизации навыка
устного счета
Выпуск 9
Одесса - 2000
ББК 74.262
П63
УДК 511.1
Пособие предлагает в качестве дополнения к учебнику комплекс тре-
нажеров - тренировочных таблиц, призванных помочь выработать у уча-
щихся прочные навыки устного счета. Расчитано для работы с учащимися
начальных классов.
Печатается по решению Ученого совета совместной российско-ук-
раинской научно-исследовательской лаборатории «Педагогические тех-
нологии XXI века» (Москва-Одесса).
Посталовский, И.З.
П 63 Тренировочные таблицы для автоматизации навыка устного
счета/сер. Педагогическая технология XXI века. Вып. 9. -
Одесса: Друк, 2000. - 52 с.
1602030000
2000
ISBN 966-7487-36-9
ББК 74.262
УДК 511.1
Этот выпуск, как и предшествующие
выпуски серии «Педагогическая техноло-
гия XXI века», посвящается тем, кто борет-
ся за полное равноправие русского языка с
украинским, кто выступает против проник-
новения в школу украинского национализ-
ма и великорусского шовинизма.
© И.З. Посталовский, 2000 г.
© О. А. Бочарникова, 2000 г.
(компьютерный набор, верстка)
Книга печатается на средства, собранные учителями России и Украины.
Предисловие
Автоматизация устного счета у учащихся начальных классов является, по-
жалуй, одним из важнейших условий успешного усвоения ими в дальнейшем всего
комплекса основ точных наук в средних и старших классах.
Но уже сегодня такая автоматизация избавит наших детей от огромных непро-
дуктивных перегрузок, возникающих при операциях устного счета. При наличии отра-
ботанных автоматизированных навыков увеличиваются элементы творческого под-
хода к решению задач. Математика при этом имеет намного больше шансов стать
любимым учебным предметом. Между тем, выработка автоматизированных навы-
ков устного счета на базе существующих учебников практически невозможна. Это
касается не только примитивных «безконцепционных» учебников по математике
Богдановича. Прямо скажем, ни один учебник не в состоянии дать достаточное коли-
чество задач, необходимых для выработки навыка. Если попытаться это сделать,
учебник разбухнет так, что пользоваться им станет попросту невозможно.
Сегодня положение таково, что учитель, получив учебник, или сам вынужден
дополнять его (что крайне нерационально) или успевает выработать у своих уча-
щихся только умение, полунавык. Именно в этом и заключается одна из основных
причин кризиса преподавания математики в школе, и не только в начальной.
Выход из этого положения подсказывает сама жизнь. Любой учебник должен
дополняться набором разнообразных тренажеров. Они дают очень большое коли-
чество дополнительных заданий. Обучение при этом частично индивидуализиру-
ется. Возможность надежного и быстрого самоконтроля вырабатывает у детей
уверенность в правильности своих действий, снимает страх перед возможными
ошибками. А некоторые тренажеры идут дальше - они приучают детей к поисковой
деятельности по определению наиболее оптимального варианта решения задачи.
Соревновательно-игровая форма работы становится реальностью. Да и работа
самого учителя становится более интересной и творческой.
Уже несколько лет в совместной российско-украинской Лаборатории «Педаго-
гические технологии XXI века» проходило сравнительное изучение эффективности
двух типов индивидуальных тренажеров для автоматизации навыков устного счета.
Речь идет о тренажерах с закрепленным в планшете вращающимся диском и трена-
жерах в виде таблиц с прилагаемым к ним подвижными элементами-шаблонами.
Первый тип тренажеров оказался более дорогостоящим и трудным для мас-
сового изготовления в условиях нашей школы. Количество упражнений, которые
они могут предложить, оказалось относительно ограниченным. Перестраивать на
новые условия работы такой тренажер значительно сложнее, чем тренажеры вто-
рого типа. Тренировочные таблицы с подвижным элементом, наоборот, легко до-
полнить новыми исходными данными. По количеству упражнений эти тренажеры
превосходят планшетно-дисковые, не говоря об их несопоставимой дешевизне.
Но главное их преимущество - они эффективны.
Все эти обстоятельства и побудили нас обратить особое внимание на внедре-
ние табличных тренажеров в школьную практику, особенно при выработке навыка
основных математических действий в начальных классах.
Нижеприведенные табличные тренажеры апробировались на протяжении
многих лет. Это позволило накопить большой опыт работы с ними.
Какие из предложенных ниже тренажеров следует применить у себя на уроке,
решает сам учитель. Да и виды упражнений могут учителем меняться. Все будет
зависеть от уровня класса и целей. Главное - результат.
Все замечания к данному пособию просим направлять по адресу:
г. Одесса, переулок Нахимова, 3
Институт усовершенствования учителей, кафедра психологии и педагогики
3
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА № 1 (а + b =)
Сложение в уме двух двузначных чисел
Таблица имеет ключ и подвижный элемент с окошком. Оно вырезает-
ся так, чтобы при наложении элемента на таблицу в нем помещались по
вертикали две пары чисел таблицы на середину элемента наносится знак
«+». Таблицу см. на стр. 6.
а ь С d е / S а
42 23 14 22 13 41
38 47 13 46 12 37 80
31 18 12 17 15 30 69
24m 36 |р 1ЭЙШ*** 48 37 44 60 54 40
12 12 52 11 51 17 44
14 24 28 23 27 13 и 26
А
Упражнение 2.
Упражнение 1.
Сперва отрабатывается сложение двух чисел
по вертикали. Сложение проводится только в уме.
При необходимости учащийся может провести про-
верку правильности сложения. Для этого надо про-
следить, на какое число ключа указывает стрелоч-
ка на элементе, идущая от окошка.
Рекомендуется устанавливать определенное
время для подсчета чисел одного столбца (или по-
ловины такого столбца). Это время определяется в
зависимости от подготовленности класса. Следу-
ет постепенно сокращать время подсчета, доводя
действия сложения до автоматизма.
Обучающий дает перед подсчетом задание - к полученной сумме каждой
пары чисел прибавить, к примеру, 5 (или 6...), и назвать вслух новую сумму.
Упражнение 3.
Работа проводиться в парах. Один из учащихся передвигает элемент
с окошечком, проводит подсчет и называет полученную сумму вслух. Его
а ь с d е / g а Ь С d е f g
42 23 14 22 13 41
38 13 46 i 37 80 70 27 68 25 78
31 Вй 30 69 65 25 63 27 67
17 -- 16 48 29 27 29 29 46
20 19 37 42 32 42 30 35
24 35 19 34 21 23 44 66 36 64 37 42
36 42 29 41 28 35 60 77 48 75 49 58
18 46 39 45 38 17 54 88 68 86 66 52
А к А А ы ч А А
партнер проверяет правильность подсчета, не сверяя с ключом.
Упражнение 4.
Шаблон переворачивается на дру-
гую сторону и окошко накладывается уже
не на колонку, а на строчку основной таб-
лицы. Производится подсчет появивших-
ся в окошке 2 чисел. Если подсчет произ-
водится правильно, эту работу можно пе-
ренести на таблицу-ключ, которая теперь
используется как основная таблица. Следует учесть - числа здесь большие.
Упражнение 5.
Учитель называет два числа и учащийся должен их сложить в уме.
Сумма называется вслух. Время для подсчета постепенно уменьшается.
4
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА № 2 (а - b =)
Вычитание в уме двух двузначных чисел
Таблица состоит из основной части и ключа (см. стр. 7). Подвижный
элемент имеет окошко со знаком минус под вырезом (см. рис. шаблона к
таблице № 1 на стр. 43). Упражнения аналогичны тем, которые
предлагались при работе с таблицей № 1.
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА № 3 (а+b + с =)
Сложение в уме 3 чисел
Специальная тренировочная таблица для сложения в уме 3 чисел име-
ет, как и предшествующие 2 таблицы, ключ для проверки (см. стр. 8).
Подвижный элемент-шаблон имеет окошко, в котором одновремен-
но может появится по вертикали 3 числа таблицы. Справа нанесено два
знака «плюс». Упражнения такие же, как и при работе с предшествующи-
ми таблицами. Подвижный элемент-шаблон см. на стр. 43.
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА № 4 (а + b - с =)
Сложение и вычитание в уме 3 чисел
На странице 9 дается таблица
для тренировок. Справа приводит-
ся ее схема с элементом-шаблоном,
в окошке которого появляются спер-
ва по вертикали, а затем по гори-
зонтали 3 числа. С ними необходи-
мо последовательно провести сло-
жение и вычитание. Упражнения
могут быть такими же, как при ра-
боте с предшествующими таблица-
ми. Шаблон см. на стр. 43.
5
Тренировочная таблица № 1
Сложение в уме 2 чисел
а b с d е у g а b с d е у g
42 23 14 22 13 41
38 47 13 46 12 37 80 70 27 68 25 78
31 18 12 17 15 30 69 65 25 63 27 67
17 11 15 12 14 16 48 29 27 29 29 46
20 31 17 30 16 19 37 42 32 42 30 35
24 35 19 34 21 23 44 66 36 64 37 42
36 42 29 41 28 35 60 77 48 75 49 58
18 46 39 45 38 17 54 88 68 86 66 52
22 19 49 18 48 21 40 65 88 63 86 38
12 12 52 11 51 17 34 31 101 29 99 38
14 24 28 23 27 13 26 36 80 34 78 30
19 27 38 26 37 18 33 51 66 49 64 31
40 28 48 27 47 39 59 55 86 53 84 57
30 44 50 43 49 29 70 72 98 70 96 68
32 52 23 51 22 31 62 96 73 94 71 60
42 47 28 46 28 41 74 99 51 97 50 72
41 41 12 40 11 40 83 88 40 86 39 81
13 39 33 38 32 12 54 80 45 78 43 52
21 51 43 50 42 20 34 90 76 88 74 32
25 40 53 39 52 24 46 91 96 89 94 44
6
Тренировочная таблица № 2 ба-У Вычитание в уме 2 чисел
а b с d е у а b с d е у
67 88 99 130 167 195
60 81 93 116 160 187 7 7 6 14 7 8
58 71 87 109 152 179 2 10 6 7 8 8
50 69 83 107 148 161 8 2 4 2 4 18
48 59 76 101 137 158 2 10 7 6 11 3
41 57 69 97 122 145 7 2 7 4 15 13
32 48 63 91 113 136 9 9 6 6 9 9
29 41 52 82 92 127 3 7 11 9 21 9
25 37 49 73 87 112 4 4 3 9 5 15
22 32 37 63 81 98 3 5 12 10 6 14
20 27 31 52 76 63 2 5 6 11 5 35
19 25 29 45 61 56 1 2 2 7 15 7
17 21 27 40 52 51 2 4 2 5 9 5
12 19 21 36 40 49 5 2 6 4 2
10 15 19 31 32 32 2 4 2 5 8 17
7 13 15 29 24 21 3 2 4 2 8 11
5 12 13 12 21 17 2 1 2 17 3 4
3 11 11 10 16 14 2 1 2 2 5 3
2 9 6 7 12 12 1 2 5 3 4 2
1 4 2 2 9 7 1 5 4 5 3 5
7
Тренировочная таблица № 3
Сложение в уме 3 чисел
а b с d е у* а b с d е у
6 9 11 17 23 13
17 13 4 6 6 11
8 21 9 5 8 7 31 43 24 28 37 31
13 7 12 8 7 19 38 41 25 19 21 37
4 8 17 21 13 31 25 36 38 34 28 57
9 12 6 19 17 15 26 27 35 48 37 65
11 16 4 13 21 10 24 36 27 53 51 56
2 4 21 6 24 12 22 32 31 38 62 37
7 9 19 2 19 4 20 29 44 21 64 26
19 17 21 18 15 9 28 30 61 26 58 25
21 18 3 20 14 5 47 44 43 40 48 18
25 3 7 23 30 12 65 38 41 61 59 26
11 9 9 5 35 16 57 30 19 48 79 33
9 5 20 9 8 15 45 17 36 37 73 43
22 6 8 7 7 30 42 20 37 21 50 61
3 12 7 11 31 21 34 23 35 27 46 66
17 11 4 14 32 20 42 29 19 32 70 71
16 14 9 15 24 41 36 37 20 40 87 82
3 13 14 11 11 22 36 38 27 40 67 83
9 10 15 12 17 6 28 37 38 38 52 69
5 15 10 6 18 8 17 38 39 29 46 36
12 11 7 11 9 10 26 36 32 29 44 24
8
Тренировочная таблица № 4
Сложение и вычитание в уме 3 чисел С Д
а b с d е f а b с d е f
17 13 24 31 43 19
11 9 3 8 12 19
14 3 19 29 40 8 14 19 8 10 15 30
20 11 14 4 38 21 5 1 8 33 14 6
6 12 26 15 22 9 28 2 7 18 56 20
15 17 13 15 40 10 11 6 27 4 20 20
11 8 15 7 50 12 10 21 24 23 12 7
21 13 10 12 60 14 5 12 18 10 30 8
16 20 21 6 40 16 16 1 4 13 70 10
7 23 14 11 35 7 30 10 17 7 65 23
9 18 25 4 55 13 14 25 10 13 20 10
6 27 18 13 45 18 10 14 21 2 45 12
8 21 11 8 30 25 7 24 32 9 70 6
11 9 17 12 25 20 3 39 12 9 50 23
17 15 9 17 30 10 2 15 19 3 25 35
21 12 12 27 10 16 7 12 14 2 45 14
23 4 13 34 20 15 15 23 8 10 20 11
16 11 13 8 15 21 27 5 12 53 15 10
9 2 11 21 15 6 30 13 15 21 20 30
7 10 19 13 10 17 18 3 5 16 20 10
8 7 21 7 21 12 8 5 9 27 4 11
13 14 6 19 18 9 2 13 34 1 13 20
9
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Д ЛЯ УМНОЖЕНИЯ В УМЕ ЧИСЕЛ НА 5
К таблицам прилагается элемент-шаблон с вырезанным окошком
шириной в одну клетку. Справа от выреза на шаблон наносится «х 5 =»
(см. стр. 45).
Сперва отрабатывается умение умножать в уме однозначные числа.
Они приводятся ниже в специальной таблице однозначных чисел. Умножение
этих чисел на 5 с помощью шаблона необходимо проводить до тех пор, пока
умножение одного числа на 5 не будет занимать больше 1 секунды и
впоследствии - 0,5 секунды. Подсчитать это время совсем не сложно, если за
100 секунд подсчета подсчитать еще количество чисел, которые были за это
время умножены. К примеру за 100 секунд было перемножено 20 чисел.
Следовательно на одно число приходится 5 секунд. Норма в этом случае
далеко не достигнута и тренировку умножения следует продолжить.
Таблица 5-1
8 5 3 4 7 6 2 4 8 9 7 9 3 7
7 5 8 6 8 3 4 7 5 6 8 5 9 7
9 6 3 2 4 5 8 7 9 6 3 8 7 3
5 8 9 5 3 9 6 5 8 9 3 9 7 8
Тренировку нужно продолжить на числах таблицы 5-2. Числа здесь
объединены в группы 6-60, 7-70, 8-80 и т.д. Если умножение единиц на 5
проходит точно и быстро, легко перейти к умножению 5 на десятки (4x5=20;
40x5=200 и т.д.) Иногда рекомендуется переходить на умножение целых
столбиков таблицы с десятками.
Таблица 5-2
6 60 8 80 7 70 2 20 3 30 7 70 6 60
8 80 2 20 8 80 6 60 5 50 8 80 4 40
5 50 4 40 9 90 4 40 7 70 9 90 7 70
3 30 5 50 5 50 7 70 3 30 4 40 9 90
7 70 9 90 3 30 5 50 8 80 3 30 6 60
9 90 8 80 6 60 9 90 6 60 5 50 4 40
10
Следующим шагом в автоматизации навыка умножения на 5 будет
работа с таблицей 5-3.
Таблица 5-3
7 70 77 4 40 44 5 50 55 2 20 22 3 30 33
9 90 99 6 60 66 7 70 77 4 40 44 5 50 55
3 30 33 3 30 33 4 40 44 6 60 66 7 70 77
5 50 55 7 70 77 8 80 88 7 70 77 8 80 88
6 60 66 9 90 99 7 70 77 8 80 88 9 90 99
Опыт показывает, что работе с этой таблицей следует уде- 15 =
лить особое внимание. Если при этом встречаются трудности, 20 =
рекомендуется потренироваться сначала на нижеследующей таб- 25 =
лице. Она состоит из 4 столбиков чисел и небольшой линейки к 30 =
ней (см. рисунки ниже и справа). 35 =
Работа с тренажером Il II II 338
50 + 75 + 325 + 350 + 575 + 625 + 850 + 875 +
проста. К каждому числу таб- 55 =
лицы последовательно при- 60 =
125 + 375 + 650 + 925 + ставляются числа линейки. 65 =
150 + 425 + 675 + 950 + Задача учащегося - суммиро- 70 =
175 + 450 + 725 + 975 + вание числа в уме. Особенно 75 =
225 + 475 + 750 + 1025 + следует обратить внимание на 80 =
250 + 525 + 775 + 1050 + сложение чисел таблицы с чис- 85 — 90 -
лами линейки больше 50.
275 + 550 + 825 + 1075 + Например 450+55 (60,65,70...) 95 =
После работы с предыдущими таблицами умножения на 5 можно пе-
реходить к основной таблице с ключом.
Подвижный сектор длиной в 10 строчек таблицы (всего же в табли-
це 11 строчек) и шириной в 2 столбика можно вырезать из плотной бума-
ги или картона. Верхний край сектора подводиться под умножаемое чис-
ло таблицы, а нижний край покажет в таблице ключа результат умноже-
ния.
11
ОСНОВНАЯ ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА
для умножения на 5
7 9 6 8 11 14 13 12 15 16 17 20 19 18 14
18 7 6 9 8 11 14 12 13 17 20 16 15 19 17
21 31 41 51 61 71 81 91 21 31 41 51 61 71 81
32 42 22 52 72 62 82 92 22 42 32 52 62 72 82
43 23 53 33 63 93 83 73 23 43 33 53 63 93 83
24 44 34 54 64 94 74 84 34 64 84 54 24 44 94
55 35 45 65 25 75 95 85 55 35 25 65 75 95 45
16 26 96 86 76 66 56 46 36 26 96 86 76 66 56
17 27 37 47 97 87 77 67 57 47 37 57 67 77 87
78 68 88 98 58 48 38 28 78 88 98 48 38 28 18
19 29 39 49 59 69 79 89 99 19 29 39 49 59 69
35 45 30 40 55 70 65 60 75 80 85 100 95 90 70
90 35 30 45 40 55 70 60 65 85 100 80 75 95 85
105 155 205 255 305 355 405 455 105 155 205 255 305 355 405
160 210 НО 260 360 310 410 460 ПО 210 160 260 310 360 410
215 115 265 165 315 465 415 365 115 215 165 265 315 465 415
120 220 170 270 320 470 370 420 170 320 420 270 120 220 470
275 175 225 325 125 375 475 425 275 175 125 325 375 475 225
80 130 480 430 380 330 280 230 180 130 480 430 380 330 280
85 135 185 235 485 435 385 335 285 235 185 285 335 385 435
390 340 440 490 290 240 190 140 390 440 490 240 190 140 90
95 145 195 245 295 345 395 445 495 95 145 195 245 295 345
12
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА № 6
Д ЛЯ УМНОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ НА 11
Учащимся следует сперва объяснить алгоритм умножения любого
двузначного числа на 11. Алгоритм имеет 3 варианта:
а) если сумма количества десятков и количества единиц будет
составлять число до 10, то она, эта сумма ставится между первым и вторым
числом.
Примеры: 53x11 =?; 5+3=8; 583
36x11; 3+6=9; 396
Ь) если сумма первого и второго числа равна 10, то количество
десятков увеличивается на единицу, а между числами вставляется 0.
Примеры: 37x11=?; 3+7=10; 407
28x11=?; 2+8=10; 308
с) в случае, если сумма количества десятков и количества единиц
больше 10 (к примеру, 13) количество десятков увеличивается на единицу,
а между числами десятков и единиц вставляется оставшееся число (в нашем
случае 3)
Примеры: 49x11=?; 4+9=13; 539
68x11=?; 6+8=14; 748
Для отработки каждого варианта алгоритма предлагается таблица
чисел. Все 3 таблицы объединены в одну. Отрабатывается каждый из
вариантов алгоритма. В заключении учитель задает вслух двузначное
число, предварительно не предупреждая какой вариант алгоритма следует
применить для умножения на 11.
13
Тренировочная таблица № 6
Умножение в уме двузначного числа на 11
17 27 13 21 31 36 15 18 17 32 22 23 41 44
34 31 35 39 42 41 43 44 45 71 72 34 35 36
51 53 54 81 21 22 23 24 27 25 26 41 49 42
44 45 71 72 51 54 52 53 61 63 62 31 33 32
41 43 44 72 71 54 53 52 56 36 44 52 61 63
19 28 37 46 55 64 73 82 91 19 28 37 46 55
64 73 82 91 19 37 46 28 64 55 73 28 55 37
55 37 46 82 91 46 55 73 64 55 28 37 19 28
46 55 91 82 64 37 28 19 73 82 46 91 73 46
37 28 64 73 91 46 19 37 46 91 73 55 64 28
29 38 47 46 45 74 92 39 75 47 56 76 93 57
94 77 56 84 78 93 95 48 83 79 77 96 94 47
93 85 97 57 84 98 93 47 56 99 88 83 39 85
89 29 38 47 56 65 74 83 92 29 38 47 65 74
94 88 48 67 49 59 84 75 48 94 59 68 78 88
93 84 49 95 59 74 39 88 95 78 69 49 94 79
88 39 74 59 85 66 78 74 49 75 67 48 74 39
14
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА
типа «увеличить на...», «уменьшить на...»,
«увеличить в ... раза», «уменьшить в ... раза»
Известно, что учащиеся, привыкшие к традиционным командам «сло-
жить», «вычесть», умножить» и «делить», испытывают затруднения, если
команды видоизменяются на «увеличить на...», «уменьшить на...», увели-
чить в... раза», «уменьшить в... раза». Это ощущается, когда дети перехо-
дят от решения примеров к решению бытовых конкретно-жизненных за-
дач. Именно поэтому отработка действий с этими командами является до-
вольно актуальной. Для тренировок приводится специальная таблица (см.
стр 17) и набор подвижных элементов-шаблонов к ней.
®
-3 =
-4 =
-5 =
-6 =
-7 =
-8 =
®
х2 =
хЗ =
х4 =
х5 =
х 11 =
15
Работа с шаблонами 1 и 2 довольно проста. Левая сторона каждого
шаблона со знаком действия и числами последовательно подставляется к
числам таблицы и производится быстрый подсчет. Результат произносится
вслух. При этом может быть два варианта работы - одно число шаблона
последовательно подставляется к числам столбца или к одному числу
шаблона поочередно подставляются все числа столбца. Учитель опреде-
ляет сам, какой вид тренировки предпочтителен для данного ученика или
данного класса.
При делении числа на 3 следует сперва определить его делимость.
Шаблон 3.
Ширина шаблона должна соответство-
вать ширине 4-х столбиков. Он вырезается из
плотной бумаги или картона. На сторону А на-
носятся надписи - «увеличить на», а ниже
«уменьшить на». Под надписями стрелки. На
стороне В шаблона даны надписи «увеличить
в 2 раза», «увеличить в 10 раз», «увеличить в 3
раза», «уменьшить в 2 раза».
При работе со стороной А левый срез шаб-
лона с надписью приставляется к одному из чи-
сел столбика, к примеру 32. Стрелка шаблона
указывает на 30. Над стрелкой надпись «уве-
личить на». Учащийся произносит «32 увели-
чить на 30». Одновременно он производит под-
счет.
Если надпись над стрелкой «уменьшить
на», учащийся читает «32 уменьшить на 30» и
производит подсчет. При работе со стороной
«В» шаблон с надписью «увеличить в 2 раза»
приставляется, например, к числу 12. Произ-
водится подсчет (12x2=24). Надпись шаблона
«уменьшить в 2 раза» приставляется только к
четным числам. В этом случае производится де-
ление числа на 2. Результат произносится
вслух.
увеличить в 2 раза
увеличить в 10 раз
увеличить в 3 раза
уменьшить в 2 раза
16
ТАБЛИЦА
«УВЕЛИЧИТЬ-УМЕНЬШИТЬ»
17 19 12 15 11 26 16 9 12 6 4 4 7
12 21 13 7 10 9 19 11 3 6 7 16 9
22 30 71 28 31 19 29 60 21 12 14 13 21
32 44 55 67 69 30 35 45 58 51 21 25 30
22 16 25 35 44 15 14 19 29 42 14 9 12
45 12 19 13 15 32 15 12 9 7 29 9 8
18 28 31 34 38 13 20 25 31 29 9 19 18
23 29 42 31 46 21 22 22 17 41 20 20 20
39 69 17 85 30 15 38 12 70 20 11 17 27
38 41 44 52 61 28 20 37 49 51 17 12 16
19 19 24 33 45 12 15 21 23 41 10 11 12
27 39 42 35 18 15 28 31 15 8 9 21 25
29 37 19 20 26 19 30 12 9 16 18 19 24
44 38 50 60 38 40 18 35 51 30 21 15 15
61 18 18 62 65 51 8 16 60 45 32 6 6
25 23 33 53 82 13 14 23 51 71 9 3 3
71 82 93 84 75 60 70 81 74 72 40 65 66
42 36 23 25 59 31 30 12 17 39 21 25 26
29 30 26 33 52 25 16 23 22 50 19 14 И
53 23 13 21 31 44 17 11 9 22 31 11 15
17
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ
«Что нужно сделать с данным числом, чтобы получить последующее»
Тренаж может проходить по столбцам и по строчкам. В столбцах будут
применяться умножение или деление, а по строчкам - сложение или вычитание.
Примеры:
Что нужно сделать с числом 33, чтобы получить 11?
33 нужно разделить на 3.
Что нужно сделать с 11 чтобы получить следующее за ним число 121?
11 следует умножить на 11.
Что необходимо сделать с числом 33, чтобы получить 20?
От 33 следует вычесть 13.
При работе с таблицей следует избегать для комментария действий мно-
гословия. Называются лишь необходимые действия.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
33 20 39 54 144 63 225 144 165 121 7 20 182
н 60 3 18 12 7 5 12 330 11 84 5 13
121 360 26 3 2 63 55 48 30 121 7 55 39
11 36 13 72 196 126 11 6 3 242 21 165 78
132 3 130 18 14 63 55 42 33 484 63 11 156
66 9 390 6 42 21 165 126 99 44 189 121 32
132 81 10 72 21 7 15 3 11 4 3 242 16
33 162 70 12 7 77 3 99 209 28 18 22 8
3 3 35 4 3 154 33 11 19 7 198 88 320
27 51 5 28 81 11 99 132 57 21 99 44 5
81 17 75 7 162 154 3 264 114 63 11 11 64
3 170 100 70 27 77 72 66 228 9 ПО 66 32
48 85 50 35 9 7 18 11 3 27 330 132 128
2 5 2 105 81 700 6 ПО 76 54 33 11 256
84 15 68 21 9 70 180 11 38 3 165 88 84
21 225 17 7 99 280 45 187 19 18 55 8 42
7 9 51 77 11 180 9 11 190 198 5 24 176
49 81 17 154 165 14 36 220 380 11 35 96 152
98 243 34 2 15 42 2 ПО 38 44 105 32 42
2 27 102 98 5 21 122 5 19 22 315 8 6
72 9 51 7 125 63 61 35 57 11 63 88 2
18
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ
Таблица имеет 2 части - незаполненную (А)
и заполненную (В). Из таблицы изъяты множимые
и множители 2,5,10,11. Тренировка по ним про-
водится отдельно по специальным алгоритмам. В
обеих частях таблицы выделена отдельной груп-
па умножения чисел от 3 до 9. Вертикальный стол-
бик множимых начинается с 15, а горизонтальная
строка множителей с 3. Заполненная часть табли-
цы (В) используется в основном в качестве клю-
ча. К таблице прилагается подвижной сектор-
столбец с нанесенным на его левой части рисун-
ком (заштрихованная клеточка) и стрелкой (см.
схему). Ширина шаблона должна соответство-
вать ширине части А таблицы.
Тренировка начинается с части А - (3-9).
Схема шаблона
(шаблон см. на стр. 45)
Упражнение 1.
Клетка на шаблоне совмещается с клеткой таблицы. По координа-
там прикрытой клетки определяются множимое и множитель. Производит-
ся подсчет. Его правильность проверяется по стрелке, которая указывает
в таблице В на призведение.
Упражнение 2.
Тренировка производится без шаблона. Учащийся ставит палец на
одну из клеток части А, определяет координаты клетки и проводит под-
счет. К примеру, 7x13. Проверка проводится просто - взгляд скользит по
строчке от клетки вправо до пересечения со столбиком множителя 13. На
месте пересечения стоит ответ - произведение (в нашем случае 91).
Упражнение 3.
По произведению и множителю определяется множимое. Тренировка
происходит по части «В» таблицы. Находим клетку с числом 104. Оно
стоит в столбике с множителем 13. Для определения множимого достаточ-
но взглядом проследить пересечение строки с вертикальной строкой мно-
жимых. Там стоит число 8. Это означает, что 8x13=104.
Основной тренаж проводится по таблице А.
19
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ
3 4 5 6 7 8 9 12 13 14 15 3 4 5 6 7 8 9 12 13 14 15
15 45 60 75 90 105 120 135 180 195 210 225
14 42 56 70 84 98 112 126 168 182 196 210
13 39 52 65 78 91 104 117 156 169 182 195
12 36 48 60 72 84 96 108 144 156 168 180
Ц l<i fiSi 36 45 й 108 117 126 135
:• • '/ = . : to 4* w . . •*** 56 64 72 96 104 112 120
k :'.k:.rk . < ’ > ? * ' — 21 й’-кда S&? Of fwt й.'а7<7^ Ж» SsS й^Ж7 42 84 72 91 78 98 84 105 90
..u&a,; 15 :v v, 25 sasss^a wa>; ^N--47 (*) • ji; I j J;: J f " 45 60 65 70 75
* : Ж; ’ЧсЛ? 12 16 ssfe ?n < ,? 2» ege И® 48 52 56 60
iOS SIM ж z, % iirgCi '71^4 А 15 'as® 27 36 39 42 45
ТАБЛИЦА-ЗАДАЧНИК
Основная таблица-задачник
a 6 в г д e 'll/* •IrV 3 и к л м н о
1 17+ 8+ 11- 6- (8:4)- 2+ (40:10)- 8+ 10- (10:5)- 5+ 6+ 3- 2=
2 3+ 6+ 12- (6x2)+ 4- 8+ (8x3)+ 3- 16+ 20- 19- 3+ 17+ (12:3)=
3 7- (3x2)+ 14- 10+ (8:4)- 6+ 21+ 2- 14+ (20:2)+ 4- 7- 3+ (8:2)=
4 9+ 17+ (9:3)- (11x2)+ 13- 4+ (16:2)+ 4- 9+ 17- 12- (8:4)+ 9+ (18:3)=
5 16+ 9- (30:5)- 17+ (5x6)- 8+ 17+ (45:3)+ (2x3)- (8:4)- (15:5)+ 5- 20+ (4x2)=
6 30- 17- (20:4)+ (4x3)+ 15- 12+ 21- 15- (7x2)+ (4:2)- 7- (6:3)+ 8+ (15:3)=
7 21- 7- (16:4)+ (4x4)- 9+ 5+ (21:3)- 10+ 9- (48:2)+ 5+ 3+ (6:3)+ 8=
8 18+ 4+ 8- 12- 3- 2+ (8x2)- (16:2)- 15- 2+ (11x5)- 40- (7x2)+ 4=
9 100- 90+ 12- (2x8)+ 24+ 8- (5x2)+ 17- 8+ 12- (27:9)- 30- 9+ 8=
10 12+ 16+ 7- 9+ (21:7)- 4+ (18:2)- 8+ 4+ 11+ 3 9- (55:5)+ 6=
ключ
к основной таблице-задачнику
б в г д е т//> <aFV 3 и к л м н о
1 25 36 30 28 26 30 22 32 30 25 31 34 32
2 9 21 9 13 5 29 32 16 36 17 14 31 35
3 1 15 5 7 1 22 24 10 20 24 17 14 18
4 26 29 7 20 16 24 28 19 36 24 22 31 37
5 25 19 2 32 24 41 56 62 60 55 60 40 48
6 13 8 20 35 23 44 29 15 17 10 8 26 21
7 14 10 26 17 22 29 19 28 4 9 12 14 22
8 22 30 18 15 13 29 21 6 4 59 19 5 9
9 10 22 6 30 38 28 45 37 49 46 16 7 15
10 28 35 26 29 25 34 26 30 41 44 35 24 30
КЛЮЧ
к подвижному сектору-задачнику
(сектор см. на стр. 49)
21
23
35
41
14
43
16
21
16
23
28
22
ТРЕНИРОВОЧНАЯ ТАБЛИЦА-ЗАДАЧНИК
Таблица-задачник не только предлагает большое количество вариантов
задач для решения, но и позволяет варьировать их в отношении сложности.
Тренажер состоит из 2 частей - основной таблицы с набором заданий (см.
стр. 21) и подвижного сектора также с задачами разной величины и сложности
(см. стр. 49).
Основная таблица снабжена координатной сеткой, а отдельные части
сектора имеют условные обозначения. Это позволяет учителю более точно и
быстро давать целеуказания для решения той или иной задачи.
К примеру, учитель указал задачу с координатами 6«в» таблицы и строку
сектора с обозначением Д. Учащийся находит в таблице клетку с координатами
6«в». В ней стоят числа «(20:4)+». К этой клетке приставляется строка сектора с
обозначением Д. Задача для решения будет состоять из заданий «а» «б» «в»
таблицы с продолжением на строке сектора со знаком Д.
Если учитель хочет усложнить задание, он дает больше клеток на основной
таблице и большую строку на секторе. И наоборот - для облегчения задачи
учитель дает задание с меньшим количеством клеток основной таблицы и малую
строку на секторе. Варьирование сложности задания может проводиться также
перекрытием части строк при работе только с таблицей без сектора. К примеру,
учитель дает задание решить упражнение на 8 строке начиная с буквы «к» до
конца, или на 9 строке от буквы «а» до «д» и т.д.
Виды упражнений:
1. Работа только с заданиями на секторе.
2. Работа только на таблице с частью строки или с полной строкой.
При этом можно давать целеуказания на перекрытие первой части
строки, ее второй части или решение заданий в определенном
учителем отрезке средних клеток. Например, решается задача на 8
строке - от клетки «д» от «к» включительно.
3. Решение задачи на части строки таблицы с продолжением на
определенной строке сектора.
Пользование ключом.
Ключ дается отдельно для таблицы и отдельно для сектора.
Если было задание решить упражнение на 6 строке от начала до буквы
«и» включительно, ответ должен быть 15. Если же задание состояло из 2 частей
- 6 «и» таблицы и строки сектора со знаком □, то ответ будет состоять из суммы
2 данных - 15 и 35, т.е. 50.
Решение задач на секторе следует начинать с верхних и нижних строк, как
наиболее простых.
Следует учесть важный результат указанной выше тренировочной работы
с таблицей и сектором - тренируется оперативная память, способность
удерживать в уме промежуточные результаты и умение варьировать ими.
23
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Д ЕЛИМОСТИ
Тренировочная таблица для выработки умения определять делимость
Таблица имеет подвижный сектор-линейку (см. стр. 47), с помощью
которой можно проверить правильность определения делимости чисел
первых трех строчек.
Сектор со стрелкой ставится под определенным числом. Стрелка при
этом укажет на клетку с делителями данного числа. Делители определяются
до 10. При необходимости ключ к остальным строкам таблицы могут
закончить сами учащиеся. Следует учесть - ширина сектора равна ширине
одной клетки таблицы, а ее длина - семи клеткам столбика. На сектор
нанесена стрелка.
В дополнение к вышеуказанной таблице можно рекомендовать еще
одну. Работа с ней более сложная. Она требует уже наличия отработанного
умения быстро определять делимость чисел на 3,6 и 9.
Ставится задача - определить сколько чисел, приведенных в таблице
делятся на 3, на 6 и на 9. Приводится ключ с построчным результатом.
1 36 123 35 18 93 453 711 126 51 39 54 64 81 234 66
2 231 78 96 183 72 84 531 246 831 156 94 423 825 93 72
3 72 333 819 91 456 711 246 74 156 78 927 77 765 84 183
4 183 318 17 41 72 78 423 444 381 462 85 84 441 43 531
5 825 972 246 456 381 28 39 96 318 183 423 72 462 852 621
• 711 819 78 393 72 621 423 183 633 27 765 852 37 333 96
делятся на 3:
в 1 строке 13
во 2 строке 14
в 3 строке 12
в 4 строке 11
в 5 строке 14
в 6 строке 14
делятся на 6:
6
7
6
6
8
4
делятся на 9:
7
4
6
5
3
8
24
Тренировочная таблица для выработки умения определять делимость
45 81 27 583 126 42 39 SI ‘6 ‘S‘£ rn OS rn O'
30 63 81 33 18 36 320 2,3,5, 6,10 3,7, 9 fO O'
09 36 252 933 49 162 240 0I‘9*S 6‘9 |‘£‘г 2,3, 6
90 120 148 63 St 360 162 2,9, 5,10 9‘S ‘6 ‘£‘г
81 66 72 100 120 42 3,5, 15 3,9, И,
72 54 132 24 682 144 9 ‘с ‘г 6 ‘£ ‘Z 2,3, 6,
32 46 10 396 93 99 54 8 ‘г гГ in
42 1000 466 36 225 06 98 2,3,1 6,7 1П €4
39 100 372 154 252 781 162 —Г CO 4 01 ‘s ‘г 9 ‘£‘Z
36 30 224 42 52 44 252 6‘9 ‘£ t 01 ‘9 СП 00 ГЧ 'O
22 72 116 81 781 72 48 9 ‘£‘Z 2,4, 8
45 00 49 115 82 453 55 3, 5, 9 rn O'
33 124 72 124 80 78 34 CO Z, 6‘9
21 08 Т1 132 63 64 36 tn СЧ in СП O\
15 93 24 84 297 187 38 co rn co so
12 18 21 93 144 126 231 2,3, 4,6 2,3, 6,9 СП Г"
25
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ИНТЕНСИФИКАЦИИ ТРЕНИРОВОК
СО СЧЕТНОЙ ЛИНЕЙКОЙ
Счетные линейки показали себя на практике хорошим средством ин-
тенсификации устного счета. Они описаны в 3 выпуске серии «Педагоги-
ческая технология XXI века», опубликованном еще в 1997 году. Предла-
гаемые ниже специальные таблицы и линейка к ним еще более интенсифи-
цируют тренировку устного счета. У учащихся появляется возможность в
любой момент проверить результативность своей тренировки и в случае
необходимости ввести в нее коррективы. Таблицы приводятся ниже (на
стр. 26-29), линейка дана на стр. 47. Сверху вниз на линейке наносятся
буквы а, Ь, с, d. Рядом с ними в вырезе появляются соответствующие циф-
ровые значения - у каждой буквы. Ниже приводятся буквенные формы 10
разных задач, каждая из которых состоит из четырех букв с разными зна-
ками математических действий.
9 18 24 15 16 10 27
1 3 2 3 2 5 3
4 6 9 7 4 2 6
3 2 1 4 3 2 8
17 29 36 29 25 19 44
11 25 34 21 19 15 28
3 13 16 7 11 И 16
15 23 32 23 21 9 38
7 11 14 9 13 3 18
9 50 40 42 31 50 83
10 58 56 48 33 50 79
2 46 38 34 25 46 67
16 14 22 16 15 6 23
10 10 20 8 9 2 7
26
Работа с линейкой
Линейка накладывается на столбик с числами так, чтобы в верхнем вырезе
линейки рядом с буквами появлялись их числовые значения. Остальные числа
столбика перекрываются линейкой. Задача учащихся - в уме подставлять в зада-
чах значения букв и производить указанные в каждой из них действия.
Результат действия можно записать карандашом рядом со знаком равен-
ства. Для проверки правильности действий линейка отодвигается влево и появ-
ляется число - результат. Карандашная запись стирается. Возможен вариант,
когда проверка проводится после решения учащимися целого ряда задач, на-
пример 1,2, 3,4.
Всего приводится 30 цифровых столбиков. После тренировки на таблице
можно переходить к работе с той же линейкой в тетради. В этом случае, линейка
накладывается на чистый лист бумаги и учащиеся записывают только те значения
букв, которые им диктует учитель. Решения проводятся устно. Результаты запи-
сываются рядом со знаками равенства. Желательно фиксировать время выполне-
ния задач и сокращать его постепенно. Учитель должен учесть - при решении 9 и 10
задач число буквы «а» должно делиться на число буквы «Ь» без остатка.
18 24 24 8 9 21 27
3 2 3 4 3 3 3
4 8 9 2 3 5 6
7 3 2 1 2 8 8
32 37 38 15 17 37 44
18 31 36 14 13 21 28
10 15 16 9 7 11 16
26 33 32 7 11 31 38
18 17 14 3 5 21 18
57 43 65 31 26 66 83
51 53 79 33 28 60 79
43 37 61 29 22 46 67
17 33 19 5 8 6 23
3 17 15 3 4 2 7
27
N)
QO
20 12 18 20 15 22 9 16
5 6 9 10 5 2 3 4
4 4 4 5 4 9 5 7
6 2 3 2 4 7 7 2
35 24 34 37 28 40 24 29
23 20 28 33 15 26 10 25
15 12 20 23 12 8 - 11
25 12 16 17 18 36 18 21
17 4 8 7 2 18 8 7
102 70 161 197 75 42 29 59
98 74 163 203 75 46 25 69
90 66 155 193 67 28 15 55
14 12 9 9 11 27 15 13
2 4 3 5 3 13 1 9
NJ
40
30 6 8 12 14 20 30 8
3 3 4 3 2 2 2 2
8 2 3 4 7 6 4 3
7 5 2 6 3 5 7 2
48 16 27 25 26 33 43 15
34 7 13 13 20 23 29 11
18 2 7 5 6 11 21 5
42 10 9 19 22 7 17 11
26 6 3 11 8 17 31 1
89 21 31 38 24 39 63 15
91 15 33 34 32 41 57 17
75 11 27 26 18 29 49 11
25 9 7 14 17 21 26 9
11 3 3 2 21 11 12 5
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С «X»
Задача типа а + х — Ь.
Для работы с таблицей изготавливается шаблон Его ширина должна
соответствовать ширине 3 столбиков таблицы. Вырезаются 2 окошка Каждое
из них имеет ширину одного столбика. Между
окошками на шаблон наносится запись «+ X =»
(см. рисунок).
При наложении шаблона на строчку в окош-
ках появляются числа значения букв «а» и «Ь». Учи-
тель должен объяснить принцип решения таких за-
дач (х = b - а). После решения одной задачи шаблон
передвигается и в окошках появляются новые чис-
ла-условия задачи. Проверка не предусмотрена.
Задача типа а—х =Ь.
Принцип изготовления подвижного шаблона остается таким же, как и в
таблице вида а+х=Ь. Только меняется запись «-Х=». Этот шаблон накладывает-
ся на специальную таблицу также, как описано выше. Принцип решения х=а - Ь.
Схема шаблона
(шаблон см. на стр. 51)
Задача типа х-а—Ь.
Подвижный шаблон для работы со специальной таблицей для решения
задач этого типа изготавливается несколько иначе, чем предшествующие, опи-
санные выше. Второе окошко вырезается вместе с первым, но оно должно быть
примерно на 1/3 уже первого. При наложении на таблицу в первом окошке
появляется число со знаком равенства, а во вто-
ром - только число. Его знак равенства прикрыва-
ется шаблоном. Принцип решения задачи этого
типа х=а+Ь. Решение задач этого типа как и пред-
шествующие доводится до полного автоматизма.
После этого полезно снова вернуться к работе над
задачами типа а + х = Ьиа-х=Ь.
Задача типа х: а—Ь.
Схема шаблона
(шаблон см. на стр. 51)
Подвижный шаблон для таблиц этого типа задач изготавливается также
как и в задаче х-а=Ь. Разница лишь в знаке действия - после X стоит знак деле-
ния. Принцип решения задач этого типа х = а х b
После отработки задач с Xразного типа закрепление желательно провес-
ти на специальной таблице, где типы задач смешаны.
30
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
Д ЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С «X»
125 200 120 170 110 120 105 102 99 72 87 65 75 54 63 42 58 39 37 28 16 17
31
II
«
и
Ох II II Ох сП II сП II оо II мп сП II о II О гч II ч—4 Tf II мп II ОХ СП II СЧ II ОО II ГЧ II мп II о сП II О II МП II оо II тГ II ГЧ II X© О ох II СП МП II СП СП II оо МП II оо II мп 5 § II ОХ СП II МП Ti- ll гч МП II СП II ГЧ II СП гч II о II гч СП II оо х© II МП ГЧ II гч д д 200=150=105=150=30= 7= 29= 60=12= 39= 25= 95= 40= 4=17= 37= 20= 2= 53=13=19= 9
•А II « Ох * *< II о II МП II X© II II СП II мп II II гч II оо МП II гч II Ох сП II гч II мп СП II МП II мп ГЧ II Ti- ll Ох II Ох II СП II X© II СП мп II мп гч II Ti- ll X© 11 сП II II гч II гч II тГ II X© II ГЧ 11 Ti- ll О сП II сП II МП II СП II Ох II ГЧ II оо II о д Д оо II МП II X© II о II гч II гч II о оо II Tt й II СИ II Ох II ГЧ II оо II гч II х© СП II Tf II О СП II СП II СП II ГЧ II о гч II МП
Таблица с
задачами
разного типа
32
a b c d e
17+x=30 18+x=28 35-x=18 23+x=33 45-x=31
21-x=13 x:4=10 10+x=50 x-23=33 x-6=56
10+x=31 x-15=35 x: 3=15 x:9=9 19+x=40
x-9=20 12+x= 23+x=40 25+x=29 x:8=10
x: 6=10 21-x=12 19-x=12 x-17=17 32-x=21
55+x=62 x: 2=25 x: 5=50 33-x=18 5+x=17
20-x=15 18+x=35 10-x=6 x: 3=20 x-15=30
x: 9=10 x+20=31 19+x=29 8+x=20 x: 4=20
23+x=44 100-x=50 x-9=99 x-12=38 19+x=50
17-x=10 21+x=28 24-x=7 47-x=39 x: 4=10
x-12=32 x-12=32 13+x=17 x-18=10 16-x=9
12+x=100 x:9=9 x: 5=10 39+x=70 x: 6=10
x:3=30 37+x= x-18=39 x: 6=15 51+x=60
x-12=40 x: 7=11 ll+x=21 18-x=3 x-6=66
22+x=100 28-x=18 x: 4=40 26+x=70 50-x=25
x:5=10 45+x= 100-x=30 x-12=59 23+x=45
x:7=12 20-x=12 65+x=72 x: 5=20 x:2=15
44+x=144 x: 8=10 x: 20=5 18+x=48 x-60=60
20-x=12 35+x= x-5=50 x:6=15 62-x=32
x-6=36 37+x=40 10+x=39 x: 2=30 20-x=10
33
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ ВЫЧИТАНИЯ
Навык вычитания в уме чисел до 10 и более является очень важным
элементом вычислительных действий. Отсутствие такого навыка резко
снижает результативность этих действий из-за увеличения времени под-
счета и высокой ошибочности.
Для выработки быстрого и точного навыка вычитания в уме совре-
менная дидактика к сожалению еще не разработала надежных алгорит-
мов. Однако для этих целей можно предложить оправдавшуюся на прак-
тике схему тренировки, при которой сложные действия сводятся к про-
стым, легко усвояемым детьми.
Ниже приводятся примеры действий и некоторые комментарии к ним.
Вычитание 9.
Из 67 следует вычесть 9.
Действия: Из 67 вычитаем 10. 67 - 10=57
К разности прибавим 1.57+1=58
Вычитание 8.
Пример: из 42 вычесть 8.
Из уменьшаемого вычитаем 10.42 - 10=32
К разности 32 прибавляем 2. 32+2=34.
Если количество единиц в уменьшаемом равно 8 или 9, следует из
количества единиц уменьшаемого вычесть 8, а количество десятков оста-
ется прежним. Пример: из 59 вычесть 8. 59 - 8=51.
Вычитание 7.
Из уменьшаемого числа вычитаем 10 и к полученной разности при-
бавляем 3. Пример: из 72 вычесть 7.
Порядок действий: 72 - 10=62
62+3=65
Опять таки, если количество единиц в уменьшаемом равно 7,8 или 9,
следует из этих единиц вычесть 7, а количество десятков остается пре-
жним. Пример: 89 - 7=82.
Аналогично тренируется вычитание из двузначного числа 6,5,4. К та-
кому же методу вычисления можно прибегнуть, если из числа следует вычесть
11,12,13 и т.д. Однако действия видоизменяются только в одном пункте.
Примеры: 87-11; 87-12; 87-13;
87 - 10=77; 87 - 10=77; 87 - 10=77;
77- 1=76. 77-2=75. 77-3=74.
34
Порядок тренировки.
Сперва отрабатывается таблица с вычитанием 9. Берется первое чис-
ло строки. Остальные числа строки перекрываются. Из этого числа следу-
ет в уме в соответствии с предложенным выше алгоритмом вычесть 9.
Проверка правильности вычитания производится по числу, стоящему ря-
дом, его следует приоткрыть. Полученная разность с свою очередь стано-
вится уменьшаемым и из него вычитается 9. Рядом стоящее с ним число
будет разностью... Так отрабатываются числа всех строк данной табли-
цы. После этого идет тренировка по таблице с вычитанием 8, 7,6,5,4.
В заключении учитель предлагает тренировку по таблице со смешан-
ными вычитаемыми.
В левой части этой таблицы в столбик помещены первые уменьшае-
мые сверху по горизонтали даны вычитаемые со знаками «Минус» (-8, -7,
-4, -9, -5, -3, -6, 4, -3). Из чисел столбика с уменьшаемым следует пос-
ледовательно вычитать числа верхней горизонтальной строки. При рабо-
те таблица перекрывается кроме уменьшаемых и вычитаемых. Следует
последовательно учесть - после каждого вычитания рядом стоящая раз-
ность становится уменьшаемым и из него следует вычесть число с мину-
сом, стоящее над ним в строке вычитаемых.
ТАБЛИЦА ТРЕНИРОВКИ ВЫЧИТАНИЯ 9
70 61 52 43 34 25 16 7
82 73 64 55 46 37 28 19 10
89 80 71 62 53 44 35 26 17 8
92 83 74 65 56 47 38 29 20 11
68 59 50 41 32 23 14 5
65 56 47 38 29 20 11 2
75 66 57 48 39 30 21 12 3
90 81 72 63 54 45 36 27 18 9
100 91 82 73 64 55 46 37 28 19
35
ТАБЛИЦА ТРЕНИРОВКИ ВЫЧИТАНИЯ 8
ТАБЛИЦА ТРЕНИРОВКИ ВЫЧИТАНИЯ 6
69 61 53 45 37 29 21 13 5
73 65 57 49 41 33 25 17 9
99 91 83 75 67 59 51 43 35 27
78 70 62 54 46 38 30 22 14 6
59 51 43 35 27 19 11 3
90 82 74 66 58 50 42 34 26 18
54 46 38 30 22 14 6
88 80 72 64 56 48 40 32 24 16
69 61 53 45 37 29 21 13 5
42 36 30 24 18 12 6
58 52 46 40 34 28 22 16 10 4
61 55 49 43 37 31 25 19 13 7
69 63 57 51 45 39 33 27 21 15
48 42 36 30 24 18 12 6
71 65 59 53 47 41 35 29 23 17
52 46 40 34 28 22 16 10 4
75 69 63 57 51 45 39 33 27 21
55 49 43 37 31 25 19 13 7
ТАБЛИЦА ТРЕНИРОВКИ ВЫЧИТАНИЯ 7
58 51 44 37 30 23 16 9 2
67 60 53 46 39 32 25 18 11
48 41 34 27 20 13 6
70 63 56 49 42 35 28 21 14
58 51 44 37 30 23 16 9 2
73 66 59 52 45 38 31 24 17
84 77 70 63 56 49 42 35 28
61 54 47 40 33 26 19 12 5
45 38 31 24 17 10 3
ТАБЛИЦА ТРЕНИРОВКИ ВЫЧИТАНИЯ 5
42 37 32 27 22 17 12 7 2
58 53 48 43 38 33 28 23 18
93 88 83 78 73 68 63 58 53
37 32 27 22 17 12 7
69 64 59 54 49 44 39 34 29
49 44 39 34 29 24 19 14 9
82 77 72 67 62 57 52 47 42
102 97 92 87 82 77 72 67 62
36
37
ТАБЛИЦА ТРЕНИРОВКИ ВЫЧИТАНИЯ 4
65 61 57 53 49 45 41 37 33 29 25 21 17
44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4
72 68 64 60 56 52 48 44 40 36 32 28 24
54 50 46 42 38 34 30 26 22 18 14 10 6
81 77 73 69 65 61 57 53 49 45 41 37 33
50 46 42 38 34 30 26 22 18 14 10 6
59 55 51 47 43 39 35 31 27 23 19 15 11 7
98 94 90 86 82 78 74 70 66 62 58 54 50 46
39 35 31 27 23 19 15 11 7 3
СМЕШАННАЯ ТАБЛИЦА ВЫЧИТАНИЯ
-8 -7 -4 -9 -5 -3 -6 -7 -4 -3
60 52 45 41 32 27 24 18 11 7 4
67 59 52 48 39 34 31 25 18 14 11
70 62 55 51 42 37 34 28 21 17 14
56 48 41 37 28 23 20 14 7 3 -
82 74 67 63 54 49 46 40 33 29 26
52 44 37 33 24 19 16 10 3 - -
88 80 73 69 60 55 52 46 39 35 32
100 92 85 81 72 67 64 58 51 47 44
38
«БУКСИР-БОЛЬШОЙ»
+2 -2
+3 -3
+4 -4
+5 -5
+6 -6
+7 -7
+8 -8
+9 -9
+ 10 -10
+ 11 -11
+ 12 -12
+ 13 -13
+ 14 -14
+ 15 -15
+ 16 -16
+ 17 -17
+ 18 -18
+ 19 -19
Буксир большой служит для
интенсификации сложения и вычи-
тания в уме не только малых, но и
больших чисел. Этот буксир отли-
чается тем, что в нем отсутствуют
математические действия умноже-
ния и деления, а предлагаемые чис-
ла для подсчета выходят за преде-
лы двух десятков. Числа даются
парными - одно число с «+», а ря-
дом тоже число с «-».
Верхняя горизонтальная груп-
па чисел (1-+9) не имеет знаков и
служит для указания на первое чис-
ло предлагаемой задачи. Все ос-
тальные группы чисел даются со зна-
ками действий.
+20 -20
+21 -21
+22 -22
+23 -23
+24 -24
+25 -25
+26 -26
+27 -27
+28 -28
+29 -29
Пример тренировки.
Учитель указывает на число 7
верхнего горизонтального ряда, а за-
тем указывает на +8. Учащийся про-
изводит в уме сложение этих чисел.
Учитель указывает на число +17.
Учащийся должен первую сумму (15)
сложить с числом 17... Затем учитель
дает целеуказание на -20 и т.д.
Темп подсчета задается учите-
лем. Он должен примерно соответ-
ствовать счетным возможностям
ученика и иногда превышать их.
Особое внимание следует уделить
задачам типа
6+ 11-11 + 13 - 13 + 9 - 9 т.д.
+30 -30
+40 -40
+50 -50
+60 -60
+70 -70
+80 -80
+90 -90
+ 100 -100
Тренажер дан только схематически. Для пользования его следует увеличить.
39
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
ТИПА «ЗНАКОИСКАТЕЛЬ»
Таблицы предназначены для тренировок по автоматизации вычисли-
тельных навыков на основе подбора возможных вариантов арифметичес-
ких действий с задаваемыми числами.
Задаваемые числа находятся на верхней части вычислительного че-
тырехугольника. С правой стороны этого четырехугольника по вертика-
ли находятся 8 чисел, которые показывают результаты различных матема-
тических действий с числами верхней части.
В четырехугольнике напротив каждого числа-результата находятся
три математических знака. Они показывают какие действия необходимо
провести с задаваемыми числами, чтобы получить данный результат.
Всего имеется 20 четырехугольников с разными задаваемыми числа-
ми и результатами.
Работа со счетным четырехугольником довольно проста - он перекры-
вается, видны только задаваемые числа и результаты. На основе заданных
чисел и одного из чисел-результатов следует методом перебора вариантов
определить, какие действия необходимо провести с этими задаваемыми чис-
лами, чтобы получить данный результат.
Счетные четырехугольники пронумерованы.
9 6 3 7
11 6 4 8
+ - + 11 С2) + — 5 (з) + 5
• + + 90 - + + 13 + + - 13
• - + 22 + + - 11 - + - 1
- + - 3 • — — 44 • — — 54
- + • 40 О 2 - • + 28
- • + 21 - + • 42 — + • 72
• — — 12 • + - 50 + - + 21
+ + + 19 + • - 38 • + - 62
40
7 2 2 9 5 4 12 3 20 7 3 2
Z) + + • 99 ® + + - 18 ® + 22
+ • - 9 9 + + - 28
• — — 3 • + — 29 - + • 32
- + • 63 • — + 11 - + - 14
• + - 7 + + • 69 37
- • + 19 + + + 24 + • + 83
+ + + 20 • + + 35 + + • 60
37 - + - 10 — + + 18
15 8 4 5 8 2 3 6 12 3 4 5
7) - • + 33 (?) + • — 24 ® • + - 35
ч / 23 + • + 36 + • - 55
• — — 81 + - • 42 31
- + + 16 + - + 13 + - • 55
+ 14 54 + + - 14
— + — 6 12 — + + 18
+ - + 24 18 — • + 41
15 + + + 19 + + + 24
+ - 8
10 3 2 3 6 3 5 8 5 2 6 4
S) 11 ® + + + 22 (п) + - +| 5
• — — 25 + — + 12 + • — 38
• — + 31 • — — 3 56
57 • + - 15 + • + 46
+ • - 23 • - + 21 72
+ • + 63 - + + 16 - + + 13
+ + - 12 + • + 53 • + — 12
+ - • 33 23 + + + 17
41
13
16
19
11 3 8 2 20 6 4 9 18 12 10 6
+ - + 8 ® + - + 31 @ + — — 14
- + - 14 - + - 9 + - + 26
- + + 18 _ _ _ 1 - + + 22
+ + - 20 + + + 39 - + - 10
• — + 27 + + - 21 54
• + - 39 47 - • + 66
62 - • + 65 + + - 34
- • + 66 - + + 27 - + • 96
7 4 3 6 17 2 4 2 3 6 7 2
+ + + 20 (g) • — — 28 @ + - • 4
+ + - 8 • + - 36 + + - 14
+ 2 • - + 32 • + - 23
- + + 12 + + • 52 • — — 9
3 + - • 30 + • - 61
+ • - 27 + + - 21 + - + 4
- • + 15 _ _ _ 9 • + + 27
• — — 19 - + + 21 + + • 32
13 2 4 6 12 4 3 5
+ + - 13 @ + + - 14
+ 5 • + - 46
• + + 36 • + + 56
• + - 24 — — • 25
• — — 16 19
+ 13 + 10
+ + + 25 + 8
+ - • 66 + + + 24
42
•НЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Подвижный элемент
тренировочной таблицы №1
(к стр. 6)
Подвижный элемент
тренировочной таблицы №2
(к стр. 7)
Подвижный элемент
Подвижный элемент
43
7 4 3 6
20
18
20
27
39
62
66
9 18 12 10
— + 31 (js) + -
+ - 9 + -
— — 1 - +
+ + 39 - +
4- - 21 — •
• — 47 —— •
• + 65 + +
+ + 27 - +
2 3 6 7 2
— — 28 (g) + —
i
Подвижный элемент
тренировочной таблицы для
умножения в уме чисел на 5
(к стр. 10-11)
Подвижный шаблон тренировочной таблицы умножения
(к стр. 20)
45
Подвижный сектор тренировочной таблицы для выработки
умения определять делимость.
(к стр. 25)
а
b
с
d
1 a+Z>+c+J=
2 a+b+c-d=
3 a+b-c-d~
4 a-b+c+d=
5 a-b-c+d—
6 a*b-c+d—
7 a^h+c-d—
8 axb-c-d—
9 a:b+c+d=
10 a:h+c-d-
Счетная линейка таблиц для
интенсификации тренировок
(к стр. 26-29)
47
(9:3) + 17 - 3 + 4 =
8+ (3x5)-4-8 +12 =
11 + 4 + (49 :7) + 19 + 4 - 10 =
22 + 8 -(44:11) + (2 х 7)-9- (12 : 3) + 14 =
7 + (9 х 2) - 15 + 6 + (9 : 3) - 5 + (6 х 2) - 12 =
13 + 23 - (10 : 5) - 2 + (14 : 2) + 15 + 9 - 14 - (18 : 3) =
5 + (2 х 3) + 14 - (36: 6) + 5 - (4 х 2) + 6 - (18 х 3) =
7-4 + (9: 3) -(5 х 3)-6 + (12:3) + 8 =
(18:3)+ 9 +(30: 2)-6+ 9-(21:3)=
19 + 15-(2 х 11) + 11 - 10 = ®
23 + 2-(40:5) + 12 = @
Подвижной сектор тренировочной таблицы-задачника
(к стр. 21)
Подвижный элемент тренировочной таблицы для
умножения чисел на 5
(к стр. 12)
49
X -
Подвижные шаблоны для решения задач с X
(к стр. 31-33)
II
и
।
51
Посталовский Израил Зинделевич
ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ
для автоматизации навыка
устного счета
Компьютерный набор и верстка Бочарникова О. А.
Издательство “Друк”
Сдано в набор 15.05.2000. Подписано к печати 29 05.2000.
Физ. печ. л. 3,00. Услов. печ. л. 2,76.
Формат 60*84] д 6. Бумага офсетная. Гарнитура Times.
Печать офсетная. Тираж 5000 экз.
г
i - Делп МОСТЕ
37598246237539294687482659 10 12 40 36 24 18 60 84 36 30 48 72 16 24 20 36 40 12 18 48 60 30 24 72 36 84 12 9 45 69 75 15 87 48 96 90 21 81 54 81 27 93 63 69 39 81 99 42 80 57 33 99
- + чхэоиика'р’
I lOBcpxnocib и объем шара и его частей
Задачник
S = 4nR
I 4
V=-yRS=-ynR
Примеры:
«О при R = 6 ► S = 4nR’ = 452
> V = = 904.3
r»npuS = 2(.l >R=\/f=\/M
I FGH = болыиои к-pyi
I to R = R ui.ipa
RS
► V = = 268
2 Теорема Архимеда
S ui.ipa = yS, описанного цилиндра
V = -у V, - опне.шиою цилиндра
Задачник
Сложение и вычитание в уме
(2,3,4)
Найти числа ? а. 2,4,6,8 до 100 Ь. 3,5,7,9 до 100 с. 100,98,96 до 2 d. 99,97^5 до 3
2 3 4 5 31 80 6 55 84 41 87 16 97 100 32 24 51 82 30 65 15 54 46 71 40 7 94 33 98 17 48 61 29 63 45 53 69 14 83 70 86 93 96 69 39 99 9 60 20 44 77 42 79 23 72 13 56 34 18 95 8 59 88 19 25 28 81 21 76 27 74 35 66 92 57 12 68 50 47 38 10 90 62 52 43 78 75 22 73 85 36 67 49 58 11 91 37 26 89
Ф Найти числа а. 3,6 9,12 до 9^ Ь. 2,5,8, И до 9g с. 100,97,94 до 3 Д 2 d. 4,8,12,16 до 100 ( е. 100,96,92 до 4
Zl F9 98 ZL PZ 08 09 9F SI ZT OF 98 02 FZ 91 ZL 9F 08 98 F9 09 ST FZ 98 OF ZT
66 88 ZS OS ZF 66 T9 68 69 89 86 LZ T9 FS T9 TZ 06 96 9F £9 ST 69 9F 6
БУКСИР «КОРНЕВОЙ»
V(>4 V49 V36 V25 V16 V9 V4
V81
V100
3V8
V27
3V64
4Vl6 3Vl25 V144 V169 V225
V9 V4 3 2
V4 V9 V25 V36 V49 V81
3V8
3V14
3V27
3V64
V225 V144 V121 V16
3V8 V4 V9 3V27
БУКСИР «СТЕПЕНЬ»
Серия издается совместной украинско-российской
научно-исследовательской лабораторией
“Проблемы педагогической технологии XXI века”
В серию вошли:
Выпуски 1-2 (1994 г.)
Обучение чтению от начального до динамического
Рекомендовано Министерством образования Украины
Выпуск 3 (1997 г.)
Автоматизация навыков устного счета
Выпуск 4 (1997 г.)
Тренировка образного мышления
Выпуск 5 (1998 г.)
Век XXI - практика воспитания
Выпуск 6 (1998 г.)
Предвосхищение при обучении чтению и письму
Рекомендовано Министерством образования Украины
Выпуск 7 (1999 г.)
Тренировка интенсивного слушания
Выпуск 8 (2000 г.)
Автоматизация навыка алгебраических преобразований
Выпуск 9 (2000 г.)
Тренировочные таблицы для автоматизации
навыка устного счета