.f i
В.В.ПЕТРОВ
ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ СУММ
НЕЗАВИСИМЫХ
СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН

ТВ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
мс
В.В.ПЕТРОВ
ПРЕДЕЛЬНЫЕ
ТЕОРЕМЫ
ДЛЯ СУММ
НЕЗАВИСИМЫХ
СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1987

ББК 22.17
ПЗО
УДК 519.224
Р Е Д Л К Ц И О Н II А Я КОЛЛЕГИЯ:
А. Н. КОЛМОГОРОВ (главный редактор), А. А. БОРОВКОВ,
Б. В. ГЫЕДЕНКО, И. А. ИБРАГИМОВ,
10. В. ПРОХОРОВ (заместитель главного редактора),
10. А. РОЗАНОВ, С. X. СИРАЖД1Ш0В, А. В. СКОРОХОД,
В. А. СТАТУЛЯВИЧУС, А. Н. ШИРЯЕВ,
А. В. ПРОХОРОВ (ответственный секретарь)
Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых
случайных величин.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.—
320 с— (Теория вероятностей и математическая статистика.
Выпуск 39.)
Изложен ряд классических и новейших результатов теории
суммирования независимых случайных величин — одной из
наиболее важных и интенсивно разрабатываемых областей теории
вероятностей. Особое внимание уделено теоремам о сходимости к
безгранично делимым распределениям, центральной предельной
теореме и ее уточнениям, законам больших чисел и закону
повторного логарифма. Наряду с предельными теоремами приведено
много вероятностных неравенств для сумм произвольного числа
независимых случайных величин.
Рассчитана на научных работников, студентов и аспирантов,
занимающихся теорией вероятностей и ее применениями.
Библиогр. 435 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук В. М. Круглое
1702060000-042 издательство «Наука».
11 053(02)-87 ^ Главная редакция
физико-математической литературы,
1987

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Распределения вероятностей и характеристические
функции 7
§ 1. Случайные величины и распределения вероятностей 7
§ 2. Моменты и другие численные характеристики
случайных величин 12
§ 3. Характеристические функции 18
§ 4. Формулы обращения 24
§ 5. Сходимость последовательностей распределений и
характеристических функций 26
§ 6. Дополнения 33
Глава II. Безгранично делимые распределения .... 40
§ 1. Определение и простейшие свойства безгранично
делимых распределений 40
§ 2. Каноническое представление безгранично делимой
характеристической функции 41
§ 3. Одно вспомогательное предложение 48
§ 4. Дополнения 52
Глава III. Некоторые неравенства для распределений сумм
независимых случайных величин 56
§ 1. Функции концентрации 56
§ 2. Неравенства для функции концентрации суммы
независимых случайных величин 64
§ 3. Неравенства для распределения максимума сумм
независимых случайных величин 77
§ 4. Экспоненциальные оценки для распределений сумм
независимых случайных величин 81
§ 5. Неравенства для моментов сумм независимых
случайных величин 85
§ 6. Дополнения 89
Глава IV. Теоремы о сходимости к безгранично делимым
распределениям и центральная предельная
теорема 102
§ 1. Безгранично делимые распределения — предельные
для распределений сумм независимых случайных
величин 102
§ 2. Условия сходимости к заданному безгранично
делимому распределению 114
§ 3. Предельные распределения класса L и устойчивые
распределения 118
§ 4. Центральная предельная теорема 128
§ 5. Дополнения 144
I*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Оценки в центральной предельной теореме . . . 149
§ 1. Оценка близости функций ограниченной вариации по
близости их преобразований Фурье — Стилтьеса 149
§ 2. Неравенства Эссеена и Берри — Эссеена .... 154
§ 3. Обобщения неравенства Эссеена 159
§ 4. Верхние и нижние оценки, имеющие одинаковый
порядок 107
§ 5. Неравномерные оценки 173
§ 6. Формальное построение асимптотических разложений
в центральной предельной теореме 179
§ 7. Асимптотические разложения в центральной
предельной теореме для сумм независимых одинаково
распределенных случайных величин 183
§ 8. Дополнения 188
Глава VI. Законы больших чисел 206
§ 1. Слабый закон больших чисел 206
§ 2. Сходимость рядов независимых случайных величин 213
§ 3. Усиленный закон больших чисел 220
§ 4. Оценки порядка роста сумм Sn в терминах суммы
моментов , . 233
§ 5. Дополнения 239
Глава VII. Закон повторного логарифма 253
§ 1. Теорема Колмогорова 253
§ 2. Теорема Хартмана — Винтнера 263
§ 3. Обобщенный закон повторного логарифма . . . 266
§ 4. Дополнения 271
Библиографические примечания 280
Список литературы 287
Список обозначений 310
Именной указатель 311
Предметный указатель 315

ПРЕДИСЛОВИЕ
В 1972 г. вышла из печати моя книга «Суммы
независимых случайных величин». Прошедшее с тех пор
время было периодом интенсивного развития ряда
направлений теории суммирования независимых случайных
величин. Желание отразить в некоторой степени
достигнутый прогресс привело к появлению предлагаемой
работы.
Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга
содержит много материала, еще не вошедшего в
отечественную и зарубежную книжную литературу. В
частности, приведен ряд недавно полученных вероятностных
неравенств для сумм произвольного числа независимых
случайных величин и теорем об усиленном законе
больших чисел и законе повторного логарифма. Значительное
внимание уделено оценкам в центральной предельной
теореме. Чтобы не увеличивать объем книги, в нее не
включены имевшиеся в «Суммах независимых случайных
величин» главы о локальных предельных теоремах и
вероятностях больших уклонений, а также часть материала,
относящегося к асимптотическим разложениям в
центральной предельной теореме. Воздержаться от включения
этих разделов заставила громоздкость формулировок и
доказательств большинства новых результатов,
связанных с вероятностями больших уклонений и
асимптотическими разложениями, и то обстоятельство, что
продвижение в области локальных предельных теорем за
последние 15 лет было небольшим.
При написании книги имелись в виду интересы как
студентов и аспирантов, изучающих теорию
суммирования независимых случайных величин, так и специалистов
по теории вероятностей и ее применениям.
Основной текст, рассчитанный на начинающих
изучать предельные теоремы теории вероятностей, может
быть использован и для составления соответствующего
курса лекций. В то же время наличие дополнений (к
каждой главе), в которых приведены формулировки многих

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
результатов, опубликованных в недавней журнальной
литературе, делает книгу полезной для специалистов в
области теории вероятностей.
Для чтения книги достаточно знакомства с основами
теории вероятностей. Сводка необходимых сведений
приведена в главе I.
Приношу глубокую благодарность А. И. Мартикайне-
пу, С. М. Ананьевскому, В. М. Круглову и В. Б.
Невзорову за многочисленные замечания, способствовавшие
улучшению текста.
Я искренне признателен Ю. В. Прохорову,
побудившему меня подготовить эту книгу, за неизменное
внимание и поддержку.
В. В. Петров

Г л а в а I
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Эта глава содержит сводку ряда основных понятий
и теорем теории вероятностей, которые используются в
последующих главах. Доказательства большинства
утверждений опущены; их можно найти, например, в
учебниках А. А. Боровкова '[18], Б. В. Гнеденко [27} и
А. Н. Ширяева [194], а также в книгах Лоэва [84], Фел-
лера [183] и Лукача [85]. Некоторые более специальные
факты приведены с доказательствами.
§ 1. Случайные величины и распределения вероятностей
Пусть Q — некоторое непустое множество элемептов.
Эти элементы будем называть точками, или
элементарными событиями, и будем обозначать их буквой со с
индексами или без них. Множество Q называется
пространством элементарных событий (или достоверным
событием) .
Пусть 9( — некоторое непустое множество
подмножеств пространства элементарных событий Q,
обладающее следующими свойствами: 1) если А ^9t, то Й\4^Я;
2) если Аи А2, ...— конечная или бесконечная
последовательность множеств, принадлежащих 9t, то и Ап g 9t»
п
Множество §t называется а-алееброй событий, или боре-
левским полем событий, а его элементы — событиями.
Если St есть а-алгебра событий, то, как легко видеть,
Q ^ 91; далее, пустое множество 0 (называемое
невозможным событием) и пересечение конечного или
счетного множества событий, принадлежащих 91, также
принадлежат 91.
Определенная для любого события А ^ 9t
неотрицательная счетно-аддитивная функция Р(А),
нормированная условием P(Q) = 1, называется вероятностной
мерой. Значепие Р(Л) называется вероятностью события А.
Тройка (Q, 9t, Р) называется вероятностным
пространством.

8
ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Любая действительная функция Х = Х(со),
определенная на й, отображает пространство элементарных
событий Q в действительную прямую К?. Пусть В —
некоторое множество точек действительной прямой. Положим
Х-1 (В) = (со: X(со)^В). Множество Х-1(В) является
подмножеством пространства элементарных событий Q и
называется прообразом множества В. Если Х~*(В)^%
для любого борелевского множества1) В точек
действительной прямой, то функцию Х(со) будем называть
измеримой.
Действительная конечная измеримая функция
X(cd)(cd^Q) называется случайной величиной.
Определенная для любого борелевского множества В точек
действительной прямой функция Р*(#) = Р({со: Z(co)^5})
называется вероятностной функцией случайной
величины X. В дальнейшем мы будем часто
использовать более короткое обозначение V(X^B) вместо
Р({со: Х(со)е£}).
Пусть (Q, 2t, Р) — вероятностное пространство, на
котором задана случайная величина X. Случайная
величина X порождает новое вероятностное пространство
(О?, 33, Pjc), где Э есть а-алгебра борелевских множеств
на действительной прямой О?.
Рассмотрим вероятность Р(Х^В) в случае, когда В
есть интервал (—°°, #), т. е. множество точек у
действительной прямой, удовлетворяющих неравенству у<х.
Положим F(x) = V(X<x). Функция F(x) определена
для любого действительного х\ она называется функцией
распределения (ф. р.) случайной величины X.
Ф. p. F(x) обладает следующими свойствами: 1) F(x)
не убывает и непрерывна слева, 2) lim F (х) = О,
3) lim F (х) = 1. Верно и обратное: любая функция
F(x), удовлетворяющая этим трем условиям, является
функцией распределения некоторой случайной величины,
определенной на некотором вероятностном пространстве.
Распределением вероятностей случайной величины
X, или распределением случайной величины X, мы будем
называть как вероятностную функцию РХ(В), так и ф. р.
F(x) этой величины.
*) Класс борелевских множеств на действительной прямой
определяется как наименьшая а-алгебра множеств, содержащая
все интервалы.

§ 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
9
Распределение случайной величины X называется
дискретным, если существует конечное или счетное
множество В точек действительной прямой такое, что
Р(ХeEjg)=l. Если X — случайная величина с
дискретным распределением и Р(Х = х)>0, то число х
называется возможным значением случайной величины X.
Случайная величина X имеет решетчатое распределение,
если с вероятностью 1 она принимает значения вида
a + kh (k = 0, ±1, ±2,...), где а и h > 0 — фиксированные
числа. Число h называется шагом распределения. Если
ни при каких av и ht> h значения, принимаемые
случайной величиной X с вероятностью 1, не могут быть
записаны в виде ai + khi (k = 0, ±1, ±2, ...), то шаг
h называется максимальным.
Распределение случайной величины X называется
непрерывным, если Р(Х^В) = 0 для любого конечного или
счетного множества В точек действительной прямой.
Распределение случайной величины X называется
абсолютно непрерывным, если Р(Х^В) = 0 для любого бо-
релевского множества В нулевой лебеговой меры.
Распределение случайной величины X называется
сингулярным, если оно непрерывно и если существует борелевское
множество В пулевой лебеговой меры такое, что
Р(ХеВ)=1, . ^ '
Для того чтобы распределение случайной величины X
было дискретным, необходимо и достаточно, чтобы ее
ф. p. F(x) была чисто разрывной. Для того чтобы
распределение случайной величины X являлось
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы ее ф. р. была
непрерывной всюду. Распределение F абсолютно
непрерывно тогда и только тогда, когда
х
F(x)~ j p(t)dt
для любого х, где р (х) — интегрируемая на
действительной прямой неотрицательная функция, называемая
плотностью распределения. (Под интегралом понимается
интеграл Лебега.) Мы будем говорить о плотности
распределения только в том случае, когда это
распределение абсолютно непрерывно.
Согласно теореме о разложении, принадлежащей
Лебегу, любая ф. p. F{x) единственным образом предста-

10
ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
вима в виде суммы
F(x) = ciFi(x)+ c2F2(x)+ c3F3(x), (1.1)
где ск>0 (& = 1, 2, 3), Ci + ca + ce = lf a Ft{x), F2(x),
F3 (х) — дискретная, абсолютно непрерывная и
сингулярная ф. р. соответственно.
Точка х называется точкой роста ф. p. F(x), если
F(x + е) — F{x — е)>0 для любого 8 > 0. Множество всех
точек роста распределения F будем называть спектром
распределения F.
Особенно важную роль играют три дискретные
распределения— вырожденное, биномиальное и пуассонов-
ское, и одно абсолютно непрерывное распределение —
нормальное распределение. Случайная величина X имеет
вырожденное распределение, если существует такое с,
что Р(Х = с)=1. Ф. p. F(x) этой случайной величины
такова, что F (х) = 0 для х < с и F (х) = 1 для х > с.
Пусть п — целое положительное число, 0</?<1.
Случайная величина X имеет биномиальное распределение
с параметрами (я, р), если Р (X = ?п) = С™рт (1 — р)п~~т
для т = 0, 1, ..., п.
Пусть X — положительное число, а и ЬФО —
действительные числа. Случайная величина X имеет
распределение Пуассона с параметрами (а, й, X), если
Т>(Х = а+Ът) = -^-^
для любого целого неотрицательного т. Это
определение несколько шире обычного определения, в котором
а = 0и 6 = 1.
Пусть aeR, о>0. Случайная величина X имеет
нормальное распределение с параметрами (а, о), или
нормальное [а, о) распределение, если она имеет
плотность распределения
"Ю-;у5Гвхр1—2?-)-
Нормальную (0, 1) функцию распределения мы будем
называть стандартной нормальной функцией
распределения и всюду в дальнейшем будем обозначать через Ф(х).
Таким образом,
X

§ 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
11
Если Xi = X1(o)), ..., Xn = Xn(o))—случайные
величины, определенные на одном и том же вероятностном
пространстве (Q, Я, Р), то вектор Х = (ХЬ ..., Хп)
называется случайным вектором, или n-мерной случайной
величиной. Областью значений случайного вектора X
является тг-мерное евклидово пространство Кп. Для любого
борелевского множества В пространства Кп определена
вероятность
Р(ХеВ) = Р({со: (Х^со), ..., Хп[о)))еВ))-,
называемая вероятностной функцией случайного вектора
X. В частности, для любых действительных значений
хи ..., хп определена функция
F (х±, ..., хп) = Р ( П {со: Xk (со) < xk) J ,
которая называется функцией распределения случайного
вектора Х = (Хи ..., Хп).
Пусть (й, Я, Р)—-вероятностное пространство и пусть
,4ft ев Я (к = 1, ..., п). События Аи ..., Ап называются
взаимно независимыми, если
р(,0л)=пр("Ч)
для любого целого числа &(2<&<га) и любых целых
ii, ..., ih, удовлетворяющих условию 1 < h < ... < ik < п.
Пусть Х1? ..., Хп — случайные величины,
определенные на одном и том же вероятностном пространстве
(Q, Я, Р). Эти случайные величины называются взаимно
независимыми, или, короче, независимыми, если взаимно
независимы события {со: Xft(a>)<=Bft} (& = 1, ..., п) для
любых борелевских множеств Ви ..., Вп на
действительной прямой. Случайные величины Хи ..., Хп независимы
тогда и только тогда, когда
п
для любых действительных хи ..., хп. Здесь F(xu ...
..., xn) = V(Xx<xu ..., Хп<хп) и FA(x) = P(Xft<^).
!) Последнюю) вероятность обычно записывают в виде

12 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Независимость случайных величии Хь ..., Хп, имеющих
дискретные распределения с множествами возможных
значений [х™], ..., (4п)) (А = 1, 2, ...) соответственно,
равносильна выполнению равенств
р (х, = $;,..., хп = <>) = п р (** = <>)
для любых целых /Ci, ..., /сп.
Если случайные величины Xj и Х2 независимы и
имеют ф. p. F{(x) и F2(x), то сумма Xi + X2 имеет ф. р.
оо
F(*) = j F1(x-y)dF2(y). (1.2)
— с»
Написанный интеграл называется сверткой, или
композицией, распределений F{ и F2 и обозначается через
/\ * ^2. Можно рассматривать также свертку функций
ограниченной вариации F{ и F2 на 0?, которые не
обязательно являются функциями распределения. В этом
случае мы по-прежнему определяем свертку F = Fi * F2
равенством (1.2). Через F*n будет обозначаться гс-кратная
свертка функции ограниченной вариации F{x).
Последовательность случайных величин Х1? Х2, ...,
определенных на одном и том же вероятностном
пространстве, называется последовательностью независимых
случайных величин, если случайные величины Хи ..., Хп
взаимно независимы при любом п. Для любой
последовательности ф. p. Fu F2, ... существуют вероятностное
пространство (Q, 9t, Р) и определенная на нем
последовательность независимых случайных величин Хи Х2, ...
такая, что для любого п ф. р. случайной величины Хп
есть Fn.
§ 2. Моменты и другие численные характеристики
случайных величин
Пусть (Q, SI, Р) — вероятностное пространство, X =
= Х(со) (со ^ Q)— случайная величина. Поскольку веро-
HTiiQCTiioe пространство есть измеримое пространство с
мерой, можно ввести понятие интеграла. Если ] | X | йР <
< оо, то говорят, что существует математическое
ожидание случайной величины X, обозначают его через ЕХ и

§ 2. МОМЕНТЫ И ДРУГИЕ ЧИСЛЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 13
определяют равенством
ЕХ = \xdP.
Q
Имеет место равенство
оо
EX = \xdF (х),
•—оо
в правой части которого стоит интеграл Стилтьеса.
Здесь F (х) — ф. р. случайной величины X.
Пусть случайная величина X имеет ф. p. F(x) и
пусть g(х) — борелевская функцияl). Если выполнено
одно из двух условий 1) существует математическое
оо
ожидание Eg(X), 2) J | g (х) \ dF (х) < оо,то выполнено
— оо
и другое, и кроме того, имеет место равенство
оо^
Е*(*)= J g(*)dF(x).
— оо
Пусть к — положительное число. Математическое
ожидание случайной величины Xft, если оно существует,
называется начальным моментом порядка к случайной
величины X и будет обозначаться через ak. Таким
образом,
оо
aft = EZft = J x4F{x),
— оо
где F(x)— ф. р. случайной величины X. Если начальный
момент ah существует, то конечен абсолютный
начальный момент порядка к, который обозначается через pft
и определяется равенством
оо
рй = Е|Х|"= | \x\*dF(x).
— оо
Если момент ah существует для данного /с, то, очевидно,
существуют также моменты ат и fim для любого поло-
') Действительная функция g(x), определенная на К,
называется борелевской, если {х: g(x) < а} есть борелевское
множество для любого aeR,

14 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
жительного т^к. Центральный момент и абсолютный
центральный момент порядка к определяются
соответственно равенствами
н-
E(X-EX)h = j (х-аг)ЫР(х)
vk = E\X-EX\k== j \x-a1\^dF(x).
Абсолютный центральный момент второго порядка v2
называется дисперсией. Дисперсию случайной величины
X мы будем обозначать также через DX.
Если Хи ..., Хп — независимые случайные
величины, обладающие математическими ожиданиями, то
Е (X*... Хп) =EXt... ЕХп. Если Хи ..., Хп — попарно
независимые случайные величины, обладающие
дисперсиями, то J)(Xi + ...+Xn) = DXl + ...+J)Xn.
Если X— неотрицательная случайная величина, у
которой существует математическое ожидание, то
Р(Х> t)^EX/t для любого £>0. Отсюда следует, что
для любой случайной величины X, обладающей моментом
второго порядка, и для любого е > 0 имеют место
неравенства
Р(\Х\>г)<е-*ЕХ\
Р(\Х-ЕХ\>г)^г-2ЪХ
(неравенства Чебышева).
1 1
Если X и Y — случайные величины, г > 1, 1—- =
= 1, то
Е1ХУ1 <(E\X\r)i/r{E\Y\')i/9 (2.2)
(неравенство Гёлъдера).
Если г> I, то
(E\X+Y\r)i/r^(E\X\r)i/r + (E\Y\r)i/r (2.3)
(неравенство Минковского).
Следствием неравенства Гёльдера является
неравенство Коши — Буняковского
E\XY\ <(ЕХ2)1/2(Е72)1/2. (2.4)
Пусть / — конечный или бесконечный открытый
интервал на действительной прямой R. Пусть g(x) — дей-

§ 2. МОМЕНТЫ II ДРУГИЕ ЧИСЛЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 15
ствительная функция, непрерывная и выпуклая на /.
Пусть, далее, X — случайная величина, принимающая с
вероятностью 1 значения из интервала /. Если
существуют математические ожидания ЕХ и Eg-(X), то
g(EX)^Eg(X) (2.5)
(неравенство Йенсена).
Для доказательства (2.5) заметим, что в силу
выпуклости функции g(x) для любого у <^1 существует число с,
для которого g(x)^ g(y)+ с(х — у) при всех х<^1.
Полагая здесь х = Х, у = ЕХ и переходя в полученном
неравенстве к математическим ожиданиям, приходим к
неравенству (2.5). □
Следующая теорема содержит еще одно неравенство
Чебышева.
Теорема 1. Пусть (а, Ъ) — конечный или
бесконечный интервал на 0? (возможно, совпадающий с К).
Пусть и(х) и v(x)—o6e невозрастающие или обе
неубывающие функции, заданные на (а, Ъ). Пусть, далее, X —
случайная величина, принимающая с вероятностью 1
значения из (а, Ъ). Тогда
Ей (X) Ev (X) < Е (и (X) v (X)), (2,6)
если написанные математические ожидания существуют.
Доказательство. Для любых х, у^(а, Ъ)
справедливо неравенство (и(х)— и (у)) (v(x)— v(y))^ 0.
Следовательно, для любых случайных величин Xt и Х2 со
значениями из (а, Ъ) имеем
^[{u{Xl)-u(Xi)){v{Xl)-v{Xi))]>0,
или
Eii(Xi)v(Xi)-Eu(X2)v(Xi)~-Eu(Xi)v(X2) +
+ Eu(X2)v(X2)>0
(предполагается, что все написанные математические
ожидания существуют). Пусть Х{ и Х2 — переставляемые
случайные величины, т. е. такие, что случайный вектор
(Хи Х2) имеет то же распределение, что и (Х2, Х{).
Тогда
Eu(Xl)v(Xi)-2Eu(Xl)v(X2) + Eu(Xi)v(Xi)>0
и
Eu(Xl)v(Xl)>Eu(Xl)v(X2).

1G
ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть теперь Х{ и Х2 — независимые случайные
величины, имеющие то же распределение, что и X. Мы
приходим к неравенству Eu(X)v(X)> Eu(X)Ev(X). □
Если и(х) не возрастает, a v{x) не убывает, то в
неравенстве (2.6) знак < следует заменить знаком ^.
В справедливости этого замечания легко убедиться, внеся
необходимые изменения в доказательство теоремы.
Если у случайной величины X существует момент ак
порядка к, то Pmm^§kh и vU™^vl/k для любого
положительного т^к. Отсюда следует, что [3/[Зт < (3/+т и ViVm <
<Vi+m для любых I 11 т. Написанные неравенства
вытекают из следующего предложения.
Теорема 2. Если X — случайная величина, pr =
= ЕШГ и 0<r<s, то
Pr1/r<71/r-1/sp]/s,. (2.7)
где ч = Р(Х¥=0].
В случае ч<1, т. е. Р(Х = 0)>0, неравенство (2.7)
сильнее неравенства Ляпунова Р* ^ Р* • Знак
равенства в (2.7) достигается для случайной величины X,
имеющей два значения 0 и 1, которым соответствуют
вероятности 1 — р и /?, где 0 < р < 1.
Неравенство (2.7) достаточно доказать для *у > 0, так
как в случае 4 = 0, т. е. Р(Х = 0)=1, оно очевидно.
Нетрудно показать, что функция In рг является выпуклой
функцией г. Действительно, заменяя в неравенстве Ко-
r-t r+ t
ши — Буияковского (2.4) I на \Х\2 п Y на|Х| 2 х
где 0 < t < г, получим
ЕШ'^(ЕШ'--'ЕШг+')1/2,
или
1 1
In |3Г < — In ftr-t + — In Pr+f.
Поэтому функция \ъ($г/ч) ПРИ Ч>0 также выпукла.
Кривая у = ln(pr/Y), где г^О, проходит на плоскости
(г, г/) через точку (0, 0). Следовательно, наклон
— In (РГ/у) прямой, проходящей через точки (0,0) и
(г, 1п(Рг/т)), есть неубывающая функция г. Таким
образом, (Рг/^)1/г является неубывающей функцией
аргумента г. Отсюда следует (2.7). Е
В свою очередь, из (2.7) следует, что $1$т<Ч$цт для
любых / и т.

§ 2. МОМЕНТЫ И ДРУГИЕ ЧИСЛЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 17
Определим производящую функцию моментов M(t)
случайной величины X равенством M(t) = Eetx.
Написанное математическое ожидание всегда существует для
t = 0, но не всегда существует в невырожденном
интервале. Если производящая функция моментов существует
в области \t\ <а, то в этой области имеем
M(t) = l+ Ца^'
Если существует такая постоянная С, что Р(|Х|<С) =
= 1, то производящая функция моментов случайной
величины X существует для любого ^еК.
Если производящая функция моментов случайной
величины существует в некотором певырожденном
интервале с центром в нуле, то говорят, что случайная
величина удовлетворяет условию Крамера.
Если существует такая неотрицательная постоянная
Ь2, что производящая функция моментов случайной
величины X удовлетворяет условию М(t)< ехр {ЬЧ2/2} для
любого t G К, то случайная величина X называется
субгауссовской.
Поскольку моменты существуют не всегда,
представляют интерес другие численные характеристики
случайных величин, свободные от этого недостатка. Пусть X —
случайная величина, 0<#<1. Квантилъю порядка q
случайной величины X называется любое число ид,
удовлетворяющее неравенствам
F(X<Kq)>q, P(X>Kq)>l-q.
Справедливо следующее утверждение: либо случайная
величина имеет единственную квантиль заданного
порядка д, либо множество всех квантилей порядка q этой
случайной величины совпадает с некоторым замкнутым
интервалом действительной прямой К. Случайная
величина имеет единственную квантиль произвольного
порядка q (0<#<1), если функция распределения этой
случайной величины строго возрастает на К.
Квантиль порядка 1/2 называется медианой.
Таким образом, медиана случайной величины X — это
любое число яг, для которого Р (X > ш) > 1/2 и Р (X <
^т)>1/2.
Лемма 1. Пусть X—случайная величина, д, а и
Ъ — действительные числа, причем 0<д<1. Если
Р(Х <а)> q, то любая квантиль кя случайной величины
2 В. В. Петров

18
ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
X удовлетворяет условию кя<а. Если P(X>b)> q, то
любая квантиль Ki-q удовлетворяет условию *Ci_g ^ Ъ.
Если Р(Х^а)> q, то существует квантиль Kq случайной
величины X, удовлетворяющая условию Kq ^ а. Если
Р(Х> b)> д, то существует квантиль Xi_g,
удовлетворяющая уСЛОвиЮ Xj-g > Ъ.
Доказательство. Докажем первое из четырех
сформулированных предложений. Предположим, что
Р(Х^а)>д. Если при этом существует квантиль кя> а,
то для нее P(X>Kq)> I — q и Р(Х> а)> I — д, что
противоречит предположению. Второе предложение
доказывается аналогично.
Пусть теперь P(X^a)>q. Тогда Р(Х>а)<1-д.
Пусть Kq — наименьшая из квантилей >сд. Имеем
Р(Х>х?)>1-?>Р(Х>а).
Отсюда следует, что либо хд^ а, либо Р (а < X < кд)= 0.
В последнем случае любое число из интервала {а, кд)
является квантилыо порядка q случайной величины X,
так что Хд не будет наименьшей из квантилей этого
порядка. Следовательно, Hq^a.
Четвертое предложение доказывается апалогичпо. Е
§ 3. Характеристические функции
Характеристическая функция (х. ф.) случайной
величины X определяется равенством f(t)^Eeitx для любого
^elR. Если X имеет ф. p. F(x), то
со
/(*)=. j e"xdF{x).
—-оо
Непосредственно из определения вытекают следующие
свойства х. ф.: /(0)= 1; l/(f)l^l для любого t g R;
/(f) равпомерно непрерывна на К. Далее, /(—t)=*f(t),
где /(f) есть функция, комплексно сопряженная с f(t).
Если /(f) —х. ф. случайной величины X, a g(f) —х. ф.
случайной величины Г = аХ+й, где а и Ь — постоянные,
то git^e^f(at).
Если у случайной величины X существует момент
ссА = ЕХ* некоторого целого порядка й>1, то х. ф. /(f)
этой случайной величины дифференцируема к раз и,
кроме того, /(w,)(0) = imaTO Для т<к.

§ 3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 19
Если случайные величины Хи ..., Хп независимы и
имеют х. ф. А(0, •••, /n(Oi то х- Ф- суммы Xi + ... + Xn
есть fi(t) ...fn(t).
С помощью формулы Тейлора легко доказать
следующее утверждение. Если случайная величина X с х. ф.
f(t) имеет момент ah = EXh некоторого целого порядка
к>1, то1)
/(*) = !+ 2^(«)v + °(Nft) (*-*0).
v=i v-
Случайная величина X и ее распределение
называются симметричными, если функции распределения
величин X и — X тождественны. Если X — симметричная
случайная величина и /(£) —ее х. ф., то f(t) = Eettx=*
= Ee~itx ==/(— t) = f(t). Таким образом, х. ф.
симметричной случайной величины действительна.
Пусть X — случайная величина с х. ф. f(t). Введем
симметризованную случайную величину X = X — Г, где
Y — случайная величина, независимая от X и имеющая
то же распределение, что и X. Случайная величина X
имеет неотрицательную х. ф. f(t)f(—t)= \f(t) I2.
Приведем несколько примеров х. ф. Если случайная
величина X имеет дискретное распределение со
значениями хи х2, ..., которым соответствуют вероятности
Ри Рг, ..., ТО
f(t) = Eeitx =2рпЛ
п
В частности, если X имеет единственное значение с, то
f{t) = eitc4 так что \f(t)\*si. X. ф. биномиального
распределения с параметрами (п, р) равна (реи + 1 — р)п. Для
х. ф. распределения Пуассона с параметрами (а, Ь, X)
получаем следующее выражение:
/(0 = exp{ia* + X(efM-l)}. (3.1)
X. ф. нормального распределения с параметрами
(а, о) имеет вид f(t) = exp liat ^- оЧ2\.
[) Запись u(t) = o(u(t)) при t-*a, где функция v(t)
предполагается положительной в некоторой окрестности точки t = я,
означает, что и(г)А'(0-*° при *->а. Запись u(t) =0(v(t)) при
£->a означает, что отношение u(t)/v(t) ограничено при всех t,
достаточно близких к а.
2*

20
ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Наряду с моментами важную роль играют другие
числовые характеристики случайной величины —
кумулянты. Если случайная величина X с х. ф. f(t) имеет
момент ак некоторого целого порядка к, то кумулянт
(семиинвариант) порядка к определяется равенством
1
^■/м
t-=o
Здесь и далее In означает главное значение логарифма,
так что In /(0) = 0. Из этого определения следует, что
существование момента ак влечет за собой существование
кумулянтов любого порядка, не превосходящего к, и что
Y1 = o&i, ?2 = а2"-" ai> Тз = Е (X — ai)3, если написанные
моменты существуют.
X. ф. суммы независимых случайных величин равна
произведению х. ф. слагаемых. Поэтому кумулянт
порядка к суммы независимых случайных величин равен
сумме кумулянтов порядка к этих величин, если
последние кумулянты существуют. Если /(£) —х. ф.
распределения, у которого существует момент ah некоторого
целого порядка к, то
ln/(*)=S^-(«)v + °(Nfc) (3.2)
при t->0.
Для нормального распределения с произвольными
параметрами кумулянты всех порядков, начиная с третьего,
равны нулю.
Если *(h — кумулянт порядка к случайной величины X,
a y'k— кумулянт того же порядка случайной величины
Xе — аХ+ ft, где а и 5 — постоянные, то Yi = аУг + ^ и
Y/i = ahVk> Для любого к > 2.
Из формального тождества
l+S^Ov=exp{f!bL(«)v}
можпо получить следующую формулу, позволяющую
выразить кумулянт Yft произвольного порядка к через
начальные моменты аи ..., ah рассматриваемого
распределения:
г* = *« 2 (-!)'*->*-1)!Ц^(£) . (3.3)

§ 3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
21
Здесь гк = тц +... + mh, а суммирование производится
по всем целым неотрицательным решениям уравнения
nii + 2т2 + ... + kmk = к.
Если распределение F(x) абсолютно непрерывно, то
из теоремы Римана — Лебега следует, что
соответствующая х. ф. f(t) удовлетворяет условию Hm /(0 = 0. Если
в представлении F(x) с помощью равенства (1.1)
абсолютно непрерывная компонента отлична от нуля, то
Hm sup |/(0| < 1 (последнее условие обычно называют
|Л-»оо
условием (С) Крамера).
Можно дать следующую характеризацию решетчатости
распределения в терминах характеристической функции
этого распределения.
Лемма 2. Распределение с х. ф. f(t) является
решетчатым тогда и только тогда, когда существует такое
tQ^0, что 1/(¾) 1=1.
Доказательство. Пусть f(t)—x. ф. решетчатого
распределения с возможными значениями вида a + kh,
k е Z, где h > 0 и а — фиксированные числа, и
вероятностями этих значений рк. Тогда
оо
/(*)= 2 exp {it (а + Щ}р
h=—oo
Отсюда следует, что
/(* + ¥*]
|/(0| Для любого
£^К и любого m^Z- Полагая здесь £ = 0 и т = 1,
получим /l-^-J =1. Попутно мы доказали, что если
f(t)—x. ф. решетчатого распределения с шагом fc, то
1/(01 есть периодическая функция с периодом 2nlh.
Пусть теперь существует такое ^=^0, что |/(£0)1 = 1.
Тогда /(*<>) = е'"а, ГДе а^К- ч Обозначив ф. р., соответ-
оо
ствующую х. ф. /(0, через F{x), получим j eilv*~x(LdF'(#) =
— 00
00
г*
= 1, или J cos (tQx — a) dF (х) = 1. Отсюда вытекает, что
— оо
множество всех точек роста ф. p. F(x) состоит из точек хк,
для которых t0xh — а = 2пк, т. е. xh = \- —,
° °
«gZ. Таким образом, рассматриваемое распределение
является решетчатым с шагом 2я/к01. п

2Z ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
С помощью результатов, установленных в ходе
доказательства леммы 2, легко убедиться в справедливости
следующего предложения.
Лемма 3. Пусть f(t) — x. ф. решетчатого
распределения с шагом h. Для того чтобы шаг h был
максимальным, необходимо и достаточно выполнение
следующих условий-.
1) |/(2я/А)|«1,
2) \f(t) I < 1 в интервале 0<t< 2n/h.
Из леммы 3 следует, что если f(t) — x. ф.
решетчатого распределения с максимальным шагом /г, то для
любого 8 >0 существует такое число с>0, что 1/(01^
< е~с в области 8 <; 11 | <! -^ 8.
Лемма 4. Для любой х. ф. f(t) и любого t е В?
имеет место неравенство
1-1/(2^12 ^4(1 -1/(^)12).
Доказательство. Пусть G (х) — произвольная
ф. р. и g(t)— соответствующая ей х, ф. Тогда
оо
Re(l— g(t))= j (1 — cos tx) dG (x),
— oo
где Re означает действительную часть. Ясно, что
1 — cos tx = 2 sin2 -у ;> ~т- (1 — cos 2tx).
Поэтому для любого t
Re(l-g(2*))<4Re(l-g(0). (3.4)
(Это неравенство представляет самостоятельный
интерес.) Остается положить здесь g(t)= 1/(0 I2- п
Теорема 3. Пусть f(t) — х. ф., b и с<1 —
положительные постоянные. Если \f(t) |<с для \t\ ^ й, то
для \t\ < Ъ.
Доказательство. Из леммы 4 следует, что
l-l/(2n0!2<4n(l- 1/(012)
для любого п. Для t = 0 доказываемое неравенство
очевидно. Пусть t¥=Q, \t\ <b. Выберем п так, чтобы 2'пЬ <

§ 3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 23
^\t\<2~n+ib. Тогда 1/(24)1 <с и 1 Ч / (О I2 > ^=r^ai
или
|/«|<1-^(2.а
Отметим одно следствие теоремы 3. Если х. ф. f(l)
удовлетворяет условию (С) Крамера, т. е. если
lim sup | / (t) | < 1, то для любого 8 > 0 существует поло-
Jf|-»oo
жительное число с<1 такое, что 1/(£)1<с для \t\>e.
Для доказательства сформулированного предложения
заметим, что в силу условия (С) Крамера существуют
положительные постоянные с0 < 1 и Ъ такие, что \f(t)\ ^
< с0 для UI ^ Ь. Следовательно, по теореме 3 имеем
1 — с2 1-е2
1/(0 К* г-°'2<1 г262
|/WI 8¾2 8Ь2
в области 8 ^ \t\ < Ъ для любого 8 >0. Остается поло-
f 1 — с2 )
жить с = тах|с0, 1 7Т^Ь\- П
Теорема 4. Пусть f(t) — x. ф. невырожденного
распределения. Тогда существуют такие положительные
постоянные 6 и е, что \f(t) I < 1 — г? для \t\ < б.
Доказательство. Пусть случайная величина X
имеет ф. p. F(x) и х. ф. f(t). Симметризованная
случайная величина X имеет ф. p. F(x) и х. ф. \f(t) |2. Поэтому
оо
1-|/W|2= j (I —costx)dP(x).
— оо
11
Воспользуемся неравенством 1 — cosx^ -хт х2 при \х\ ^ 1.
Тогда получим
1-|/(<>1а>2г*а J ^?W
для любого £¥=0. По предположению X имеет
невырожденное распределение. Поэтому X имеет невырожденное
распределение, и существует такое б > 0, что
) x2dF (х) > 0. Обозначив последний интеграл буквой с,
U|<l/6

24 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
получим для Ul ^ б неравенство
1-1/(01а>ж*2 J **<&(*) = ■%<**•
|я|<1/5
Отсюда следует утверждение теоремы. □
§ 4. Формулы обращения
Теорема 5. Пусть F(x)-cf). p., f(t)—
соответствующая ей х. ф. Если Xi и хг — точки непрерывности
функции F(x), то
т
F{х2) - F(tJ = ±hm J е %t*'-tet %tXl f (t)dt. (4.1)
Из этой теоремы легко получить следующую теорему
единственности.
Теорема 6. Две функции распределения, которым
соответствует одна и та же характеристическая
функция, тождественны.
Отметим одно простое следствие теоремы 6. Для того
чтобы случайная величина X была симметричной,
необходимо и достаточно, чтобы ее х. ф. f(t) была
действительной. Необходимость доказана в § 3. Достаточпость
вытекает из равенств
/(t) = /(7) = /(-0 = Ее-"*,
справедливых для действительной х. ф. f(t) и любого
t е 0?. Доказанная тождественность х. ф. случайных
величии X и —X обеспечивает тождествеппость ф. р. этих
величин. П
Теорема 7. Если х. ф. f(t) абсолютно
интегрируема на R, то соответствующая ей ф. p. F(x) имеет
всюду непрерывную производную Pi^ — j—Ffa) и,
кроме того,
<х>
р№ = Ш I *-"*№)& (4-2)
для любого х е О?.
Доказательства теорем 5—7 содержатся, например,
в учебниках А. А. Боровкова [18] и Б. В. Гнеденко [27].

§ 4. ФОРМУЛЫ ОБРАЩЕНИЯ 25
Приведем еще формулу обращения для решетчатого
распределения, аналогичную формуле (4.2).
Теорема 8. Пусть случайная величина X имеет
решетчатое распределение с возможными значениями
вида a + kh, AgZ. Пусть ph = P(X = а +kh). Тогда
Р* = 5Г I e-u(a+hh)f(t)dt (4.3)
\t\<n/h
для любого целого к, где f(t) — х. ф. случайной
величины X.
Доказательство. Мы имеем
оо
f(t)e-iia= 2 eitmhpm.
m—— оо
Пусть к — произвольное целое число. Умножим обе части
последнего равенства на e~lihh и проинтегрируем по
интервалу Ul <n/h. Тогда получим (4.3). П
Теорема 9. Пусть Р{(х) и F2(x) — функции
ограниченной вариации на действительной прямой,
оо
J \x\\dFk(x)\<oo (ft =1,2).
— оо
Положим
оо
R (х) = F1 (х) - F2 (х), г (t) == j' ev*dR (х).
Пусть
r(t)
dt < оо,
R (-00) = 0, R (+ oo)==0, J
— 00
Тогда
оо
— 00
для любого x.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
оо
1{х)= j e—r(t)dt.

26 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Очевидно,
Поскольку И — eu\<\t\ для любого действительного t
оо
и J | х — и 11 dR (и) | < оо, можно изменить порядок

интегрирования, и мы получим
т
-оо '-Т
' (х) = lim f М -—g *"* Ц) dtldR (и) =
= 2 Hm J К»^Мх-») A dR {иу
"^°° — OO VQ J
Интеграл
Г /гГ
т /rr\ Г sin Ы 7, Г sin г/ ,
О О
ограничен при всех Г. Далее, lim Д(Г) равен я/2 или
Т-»оо
—я/2 соответственно тому, будет ли h > 0 или /г < 0.
Совершая допустимый переход к пределу под знаком
интеграла, получим / (х) = я (R (х — 0) + R (х + 0)). П
§ 5. Сходимость последовательностей распределений
и характеристических функций
Пусть F(%), Fi(x), F2(%), ...— ограниченные пеубы-
вающие функции. Последовательность {Fn(x)} слабо
сходится к F(x), если Fn(x)-+ F(x) в любой точке
непрерывности функции F{x). Для слабой сходимости
последовательности {Fn(x)} к F(x) будем использовать
обозначение Fn~*F. Если Fn-*F и Fn(—°°)->-F(—«>),
Fn(+°°)->-F(+<х>), то будем говорить, что Fn(x)
вполне сходится к F(x), и писать Fn ^F.
В дальнейшем нам понадобится следующий вариант
теоремы Хелли.
Теорема 10. Пусть функция g(х) непрерывна и
ограничена на действительной прямой. Пусть F(x), Fi(x)1

§ 5. СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
27
F2(x), ...— ограниченные неубывающие функции, FnzX.F.
Тогда
оо оо
J g(x)dFn(x)^ j g(x)dF(x).
— оо —оо
Нетрудно доказать следующее предложение.
Лемма 5. Если последовательность х. ф. ifn{t)}
сходится к х. ф. f(t) при любом t, то эта сходимость
равномерна относительно t в любом конечном интервале.
Непосредственным следствием теоремы 10 и леммы 5
является
Теорема И. Пусть F(x), F^x), F2(x), ...—
функции распределения, /(£), /i(£), /2(^), ...—
соответствующие им характеристические функции. Если Fn -*■ F, то
fn(t)~+- f(t) равномерно относительно t в любом конечном
интервале.
Важную роль играет приводимая ниже обратная
предельная теорема для х. ф.
Теорема 12. Пусть {fn(t)} — последовательность
х. ф., {Fn(x)} — соответствующая ей последовательность
ф. р. Если fn(t)-+f(t) для любого t и если функция f(t)
непрерывна в точке £ = 0, то существует ф. p. F(x) та-
оо
пая, что Fn-+F. При этом f(t)= J eitxdF (х).
— 00
Следующая элементарная теорема часто оказывается
полезной.
Теорема 13. Если последовательность ф. p. {Fn(x))
сходится к непрерывной ф. p. F(x), то эта сходимость
равномерна относительно х(—°°<х<о°).
Доказательство. Пусть г — произвольное
положительное число. В силу непрерывности функции F(x)
существуют точки |1? ..., |те, удовлетворяющие условиям
F(|1)<e/2, F(lh+i)-F(lk)<E/2 (Л —1Э ..., 1И-1), 1-
— jP1 (1т) < в/2. Далее, существует такое число тг0, что
при n>nQ имеют место неравенства \Fn(i,h) — F(ik) I <
<е/2 (& = 1, ..., m). Если lh<x<lh+i (Л = 1, ...
..., m — 1), то при п > п0 получим
Fn(x)-F{x)<Fn(%K+i)-F(lk+i) + F(lh+1)-F(%h)<s
и
F„(x)-F(x)>Fn(lh)- F(tk+i)>- е.
Если х < |i, то
Fn(x)-F(x)^Fn(ti)-F(ii) + F(%l)<b

28 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Fn(x)-F(x)> -F(x)> -Р(Ы> -г/2
при п > п0. Аналогично рассматривается случай, когда
х&*\т. Таким образом, \Fn(x) — F(x)\ < г для п>п{) и
всех жеК.П
Теорема 14. Если последовательность ф. p. {Fn(x)}
слабо сходится к ф. p. F(x) и если
оо
lim sup J | x \pdFn (x) < oo
— oo
для некоторого p>0, то
oo
lira § (l + \x\4)\Fn(x) — F(x)\'dx = 0
— ЭО
для любых qX) и г, удовлетворяющих условию рг>
>1 + д.
Доказательство. Положим
С = Mm sup J \x\PdFn(x).
По теореме 10 имеем для любого положительного N
N N
f \x\PdF(x)^limsup J \x\p dFn(x)^C.
-TV -2V
Поэтому
oo N
f |я|р^(я) = lim f \x\*>dF(x)^C.
Если x < —1, то
I a; |p F (ar) = I a: |p J dF(y)< J \v\*dF (y)^C.
— OO — OO
Если же x> 1, то
OO oo
a* (1 — *») = a* Jdffo) < f yvdF(y) < C.
Последние оцепки для Ы>1 останутся верными, если
в них заменить F на /^, С на С+1 и считать я доста-

§ 5. СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
29
точно большим. Отсюда находим, что \Fn(x) — F(x) I <
^С0Ы"Р для Ы>1 и всех достаточно больших п, где
С0 = С+ 1. Поэтому
(1 + \x\q) \Fn (х) - F(х) Ir ^ G(х)
для любого }^0 и всех достаточно больших п, где
G(x)=2 при Ы <1 и G (д:) — CJ (1 + | ж |«) | д; |-рг при
\х\ > 1. Если д^О и pr—q>l, то функция £(#)
абсолютно интегрируема на К?. Последовательность {Fn(x)}
сходится к /'(я) всюду, за исключением конечного или
счетного множества точек жеК. Совершая допустимый
переход к пределу под знаком интеграла, получим
оо
lim { (i + \x\9)\Fn(х) — F(х) \r dx =
— эо
оо
= J hm{(l + \x\i)\Fn(x) — F(x)\r}dx = 0. □
Если F, Fu F2, ...— ф. р. и если
оо
j \Fn(x)-F{x)\rdx^0
_оо
для некоторого г>0, то последовательность {Fn(x)}
слабо сходится к F(x). Докажем это предложение. Пусть,
напротив, существует точка непрерывности у функции F
такая, что Fn(y) не сходится к F{y). Тогда существуют
положительное число е и последовательность п^еМ,
для которых \Рщ(у) — F(y)\>e при всех к. Поскольку
у — точка непрерывности функции F, существуют г/i и
г/2, удовлетворяющие условиям yi<y<y2 и ^(г/*) —
~F(y) I <е/2 (£ = 1, 2). Функции /^(я) не убывают,
поэтому для любого к справедливо неравенство | FUh (х) —-
— F (х)\> г/2 либо для всех хе[у, у2), либо для всех
х<Е={Уи У\ Следовательно,
оо
j | Fnh (х) - F (х) \г dx > min {у - ylt уг - у) (е/2)'> 0,
— ОО
вопреки условию доказываемого предложения. □

30 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Лемма 6. Пусть X и 7— произвольные случайные
величины. Тогда
P(X<u~v)-P(Y>v)^V(X+Y<u)^
<P(X<u + v) + P(Y<-v) (5.1)
для любых и, уеК,
Доказательство. Имеем
{X + Y < и} с {X < и + v] U {7 < -v).
Отсюда следует, что
P{X+Y<u)<P(X<u + v) + P(Y<-v).
Далее,
{X<u-v}<={X+Y<u}[){Y> v),
V{X<u-v)<P(X+Y<u) + P{Y>v). П
Заметим, что неравенство (5.1) останется верным,
если его левую часть заменить разностью Р(Х<и — v) —
-P(Y>v).
Из леммы 6 следует, что
P(X<x-e)-P(\Y\>e)<P{X+Y<x)<
<Р(Х<я + е) + Р(|7|>е) (5.2)
для любого х и любого е > 0, каковы бы ни были
случайные величины X и 7, определенные на одном и том
же вероятностном пространстве.
Лемма 7. Пусть X и 7—произвольные случайные
величины, F(x) и Н(х)—ф. р. случайных величин X и
X+Y соответственно, Т(х)—произвольная функция на
О?. Тогда
\H(x)-T(x)\<K + L + P{\Y\>e) (5.3)
для любого жеК и любого е > 0, где
К = тах{\Р(х + е)-Т{х + е)\, \F(x - е)- Т(х- г) |>,
Ь = тъх{\Т(х + ъ)-Т(х)\, \Т(х-е)-Т(х)\].
Доказательство. В силу (5.2) имеем
H(x)-T(x)<F{x + e)-T(x) + V(\Y\>e).
Поэтому
H(x)-T(x)<K + L + P(\Y\>e).
Аналогично
H(x)-T(x)>-K-L--P(\Y\>6). □

§ 5. СХОДИМОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
31
Из неравенства (5.3) следует, что
\H(x)-T(x)\^mv\F(y)-T(y)\ + L + T>(\Y\>z).
(5.4)
Лемма 8. Пусть X и Y — произвольные случайные
величины, F(x) и Н(х)—ф. р. случайных величин X и
X+Y соответственно, Ф(х)—стандартная нормальная
ф. р. Если
sup | F(х) - Ф (х) |<М,
х
ТО
sup| Н(х) - Ф(*)|<М + Р(| Y\ > в) + -?=
для любого г > 0.
Эта лемма вытекает из леммы 7 при Т(х)^Ф(х),
поскольку при этом выборе функции Т(х) справедливо
неравенство Ь^г/У2п для любого х.
Пусть У, Yu Y2, ...— последовательность случайных
величин, определенных на одном и том же вероятностном
пространстве (Q, §1, Р). Будем говорить, что
последовательность {YJ сходится по вероятности к случайной ве-
р
личине У, и писать Yn-*-Y, если Р(1 Уп — Y\ > е)-> 0
для любого фиксированного г > 0.
Теорема 15. Пусть {Хп} и {Yn} — последователь-
ности случайных величин, определенных на одном и том
же вероятностном пространстве. Если Р(Хп<х) слабо
р
сходится к ф. p. F(x) и если Yn-+-0, то P(Xn+Yn<x)
слабо сходится к F (х).
Доказательство. Пусть х — произвольная
точка непрерывности функции F(x). В силу (5.2) имеем
P(Xn<^-8)-F(^)-P(|7n|>8)<P(Xn+yn<x)-
-F(x)<P(Xn<x + z)-F(x) + P(\Yn\>z)
для любого 8 > 0. Отсюда следует утверждение
теоремы. □
Теорема 16. Пусть {ап} и {Ьп} —
последовательности постоянных, причем ап > 0. Пусть
последовательность ф. p. {Fn(x)} слабо сходится к невырожденной
ф. p. F(x). Тогда справедливы следующие утверждения:
(А) Если Fn (апх + bn) -> G (х), где G (х) —
невырожденная ф. р., то G(x) = F (ах + Ь), ап-+ а и Ъп~* Ъ. В
частности, если Fn(anx + bn)-+ F(x), то ап -*- 1 и Ьп -> 0.

32 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
(Б) Если ап -> а и Ьп -> Ь, то Fn(anx + bn)-> F(ах + Ъ).
Доказательство. Докажем сначала
утверждение (А). Пусть fn(t), f(t) и g(t) означают х. ф.
распределений Fn(x)4 F(x) и G(x) соответственно. Тогда /п (£)"*"
-> f(t) и ехр{—itbn/an}fn(t/an)-+ g(t). Последовательность
{ап} содержит подпоследовательность {аП'} такую, что
аП'-+ а. Если а = + °°, то для любого t имеем
\g(t)\ = lim |/„< (^«01 = |/(0)|=1,
т. е. g(t)—x. ф. вырожденного распределения, что
противоречит сделанным предположениям. Если а = 0, то,
полагая gn(f) = expJ— **^ /п( ~Л получим | / (t) | =
= lim | /n> (J) | = lim | gn. (an>t) | = | g (0) | = 1 для любого *
вопреки предположению о невырожденности
распределения F(x). Итак, 0 < а < °°. Для всех достаточно
малых £ функции g(t) и /(£/а) отличны от нуля, поэтому
при п' -*■ оо
„., Ч"£)'-Ш
"(£) ''(4)'
1 .,Ьп'1 I <у) " К'/ , gffl , П
так что
Следовательно, G(x) = F(ax + Ь). Предположим, что
существует подпоследовательность {ап*}
последовательности {aj, удовлетворяющая условию ап»-±а0фа.
Тогда Ь„ - Ь0 и ехр {- » А) (т) = ех? {" " £} > (£)'
Поэтому l/(f)l = l/(cf) I для любого £ и некоторого
положительного с < 1. Отсюда
1/(0 I = 1/И) I = |/(Л) I = ... = lim |/(ся0 I = 1
для любого t, что противоречит условию
невырожденности распределения F(x). Таким образом, ап-+а и,
следовательно, Ъп -> Ь.

§ 6. ДОПОЛНЕНИЯ 33
Докажем утверждение (Б). Пусть 8 > 0 и х таковы,
что функция F(x) непрерывна в точках ах + b, ах +
+ Ъ — е и ах + Ъ + 8. В силу соотношения апх + Ъп ->
-*■ ах + Ъ имеем ах + Ъ — е ^ апх + bn<ax+ Ь + г для
достаточно больших п, поэтому
Fn{ах + Ъ - е) < Fn(апх + Ь„) < F„(ах + Ь + е)
и
F(_а# + Ь — е) < Km inf Fn (апх + bn) <
< limsupFn(an# + bn)< F(ax + b + e).
Число б может быть выбрано произвольно малый, и мы
приходим к соотношению Fn(anx+ bn)-+F(ax + &). О
§ 6. Дополнения
1. Пусть случайная величина X имеет дискретное
распределение и математическое ожидание а. Положим Va = E|X — а\\
2
Тогда vfe<;—vft+1 для любого целого к ^ 1, где с — длина
наименьшего интервала между двумя последовательными
возможными значениями X (Мизес [370J).
2. Пусть X и У — независимые случайные величины, имеющие
одинаковое невырожденное распределение. Пусть EX = О,
Pi = Е|ДГ|, о^ЕХ2, р3 = Е|Х|3< оо. Тогда2P3'+2pJ<E| X-
-У|3<2Р3 + ЗР1аа-р;<2Рз + 2а3| 2р3+ -§ р3 < Е | X + У |3<
< 2Р3 + Зрха2 — Р3 < 2рз -f- 2а3. Все постоянные в этих
неравенствах оптимальны (Эссеен [262]). Дейли [245] получил некоторые
усиления этих неравенств, а также верхние границы подобного
вида для Е|Х± У|3 в случае, когда X и У — независимые
неодинаково распределенные случайные величины.
3. Пусть X и У — независимые одинаково распределенные
случайные величины, ЕХ = 0, р ^ 1. Тогда справедливы неравенства
Лр[Е|Х|р + Е|У|р] ^Е|Х + У|р<^£р[Е|Х|р + Е|У|р]
со следующими оптимальными значениями постоянных: Лр = 1 для
/?^3, Ар = 2р~2 для 1^/?<2 и Яр = 2Р-2 для р ^ 2. Если
2 ^ Р <; 3, то A = inf Г (ж), где
0<х<1
Г(х) === 2^-1 (х + xP-i) +' (1 — х)р/[({ + Х)(1 + хР-])].
Если 1 ^ р <^ 2, то /? = sup Г (х) (Кокс и Кемперман [237]).
4. Пусть Хь ..., Хп — случайные величины, E|Xj|p < оо
п
(/ = 1, ..., п) для некоторого /? > 2. Пусть /?п = 2 ЕХЗ > О,
3 В. В. Петров

34 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
^р п = ^пр'2 2 *Ч ^з \Р (ДР°оь Ляпунова порядка р). Справед-
либо следующее усиление неравенства Lv п ^ п1~р/2:
I п N1-P/2
(В. В. Петров [145]).
В пи. 5—15 использованы следующие обозначения: F(х) есть
ф. р., /(/) —соответствующая х. ф., п— целое положительное чис-
оо
ло, pft= (' \x\kdF(x).
— СЮ
5. Если 2п > р > 0, то
оо оо
_ ( -1)n21-P f -2П + Р-- ^ ' ' ^» '2
^2п—р
^Ж о'
-1^ Г f{yt)Ale't2dt
J dZ2n
(Сюй [316]).
6. Если /с > 0 не есть четное число, к = m + б, где яг — целое,
О < б ^ 1, и если [3ft < оо, то
т
Pfe = -lr(l + 6)sin^ lim f Re (/^(0-/^(0))^1-^.
Если /(/) дифференцируема /n + 1 раз, то
т
$k - -- А Г (б) sin ^Z lim Г Re /(m+1) (0 *~6^
Г->оо e
(Браун [222]).
7. Если 0 < к < 2, то f^ < со тогда и только тогда, когда
ОС
f (1 —Re/(0) IM"*""1 rf^< оо.
Имеет место равенство
оо
РА - ск \ (1 - Re / (0) Гh~Xdt (0<к< 2),
о
где

§ 6. ДОПОЛНЕНИЯ 35
ПрИ к Ф 1, с{ = 2/я. Если 2т < А; < 2т + 2, где га — целое
положительное число, и если (3¾ < оо, то
Pfe = £ J ( 1 - Re / (о + £ /<«Я (0) _|!L J г»-**,
о \ ^=1
где
bft=j 1-соз._2(-1И-£
2j
(2;)I у
(см., например, Кавата [327, с. 429—431]).
/ со \
8. Если / (0 е Lp (IR) { т. е. I | / (t) \р dt < оо I для
некоторого р из области 1 ^ р ^ 2, то соответствующая ф. p. F(х) абсо-
лютно непрерывна и плотность распределения р {х) = t~F (х)
удовлетворяет условию р (х) е Lr (К) для любого г из области
1 ^ г < D __ j • Если р > 2, то существует х. ф. / (f) е £р (К)
такая, что F(z) сингулярна (см., например, Кавата [327, с. 437—438]).
9. Пусть 0 < а < 1. Для того чтобы
1—F(x)+ P(h-x) = 0(х~а)
при гс->+оо, необходимо и достаточно выполнение условия
f(t) <= Lip а (т. е. /(f) удовлетворяет условию Липшица с
показателем а). Для того чтобы
1 — F(x) +F(—x) = 0(1/х)
при х-+-{- оо? необходимо, чтобы
f(t + h)+f(t-h)-2f(t) =0(h)
при /i -> 0 равномерно относительно t, и достаточно, чтобы
последнее соотношение имело место при t = 0. Последнее предложение
останется верным, если в нем всюду заменить О на о (Боас [215]).
оо
10. Пусть 1 < а < 2. Условие \ \ х \а~1 dF (х) < оо равносиль-
— оо
но сходимости интеграла
Ь + 1
Г (t-b)-a \f{t)-f(h)\dt (6.1)
для любого ЬеК. Это утверждение останется верным для а = 1,
если заменить |^|а_1 на max {0, In |#|}, и для а = 2, если
3*

36 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
заменить интеграл (6.1) интегралом
1
JV2 | / (b + t) + / (b - t) - 2/ (b) | dt
о
(Боас [215]).
И. Пусть к— нечетное положительное число. Для
существования производной /<ft) (0) необходимо и достаточно, чтобы
lim хк (1 — F (х) -\- F (— я)) был равен 0 и чтобы существо-
ЭС->+оо
а
вал предел lim I xkdF (х) — lk. Если эти условия выпол-
а-> + оо v
— а
нены, то /(ft>(°) = *fch (Питмеп [379]).
12. Если к — нечетное положительное число, то можно
построить такую х. ф. f(t), что /(ft) (0) существует, но f{k)(tn) не
существует для некоторой числовой последовательности tn ->- 0
(Волфи [427]).
13. Если 0 < а < 2, то условие
1 — F(x) +F(-x) =о(х~«) (х-^ + оо) (6.2)
равносильно условию
l-Re/(0>-o(*«) (*-*<)+)■
Это утверждение останется верным, если в нем всюду заменить о
на О. Если а = 2я + Р, где гс — целое положительное число и
0 < Р < 2, то (6.2) равносильно условию
Re/(2n)(0) -Re /<2n>(0 =о(^) (t*+0+)
(Бинмоур и Стрэттон [213]),
14. Пусть 0 < а < 1. Если F(х) е Lip а, то
г
y-Jl/(*)|2^= 0") (^-> + ос). (6.3)
-Г
ОС
Если выполнено условие (6.3), то F (х) eLip -^-. Если
оо
f i06"11/(01 ^<°°. то F(x)*=Lipa (Макабе [359]).
1
15. Для любого х существует предел
т
lim 4r f '"*'*/О <*',
-Т
равный F(x + 0) — F(x — 0) (см., например, книгу Крамера [72J).
16. Пусть f(t) — х. ф. дискретного распределения с
возможными значениями хи х2, ... и вероятностями этих значений ри />2> ...

§ 6. ДОПОЛНЕНИЯ 37
Тогда существует предел
г
lim ^ Г ]f(t)\2dt,
-т
равный ^p2h (Леви [349]; см. также [72]).
k
17. Пусть /(О —х. ф. случайной величины с конечной
дисперсией. Тогда
| х+с
[ /n(«)tf<l = 0("~1/a)
X -
sup
X
для любого с > 0 (Холл [287]).
18. Для любой х. ф. f(t), любого (еКи любого п е Ncnpa-
ведливы неравенства
1 —Re/(и*) < w(l — (Re/(*))*) < w2(l —Re/(*)),
l-|/(n0l<«(l-|/(0lnX»2(l-|/(0l)
(Хиткоут и Питмен [297]).
19. Пусть 0 ^ а < 1, 0 < Ф ^ 5, и пусть х. ф. /(0
удовлетворяет условию |/(0l ^^ в области В ^t ^ В -\-ib. Тогда
(B + atYKB+» (\-a)t2
\fW<\BTT) <l
(B+ tr
в области 0 < t < Ъ. В этом предложении можно заменить \f(t) |
на Re/(0 (Хиткоут и Питмен [297]).
20. Пусть /(0 — непрерывная неотрицательная четная
функция, выпуклая в области t > 0 и удовлетворяющая условиям
/(0) = 1 и lim /(0 = 0. Тогда /(0 есть х. ф. (Пойа [381];
f-> сю
см. также книги Феллера [183] и Лукача [85]).
21. Если /(0—х. ф. неотрицательной случайной величины,
то /(0 ф0 в любом интервале (Смит [402]).
22. Пусть /(0 —х. ф., F(x) —соответствующая ф. р. Тогда
Im / (0 = - 1 -i (Re / (t + и) — Re / (t — и)} dn.
я J и
о
Если выполнено дополнительное условие F(-{-0) =0, то
= 1?!
Re / (0 = — | — {Im / (t + и) — Im / (* — и)} г*и
(Лауэ [345]).
23. Пусть F(x) —ф. р. случайной величины с математическим
ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной единице, и пусть

38 ГЛ. I. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Ф(х) —стандартная нормальная ф. р. Тогда
sup | F (х) — Ф (х) |< 0,5416
X
(Бхаттачария и Ранга Рао [21, с. 115]).
24. Пусть X и Y — произвольные случайные величины, F(x)
и Н(х)—ф. р. случайных величин X и X + У соответственно.
Пусть существуют такие положительные постоянные М и а, что
\F(x) — Ф(х)\ ^М(1+ М)~а
для любого х е К. Тогда
\Н(х) — Ф{х)\ ^C(l + \х\)-*(М + е + е-«Е|У|а)
для любого х е К и любого положительного е < 1/2, где С —
постоянная, зависящая только от а (Маеджима [353]).
25. Пусть F[(x), F2(x), ... — ф. р., тождественно равные нулю
для х ^ 0, и пусть f[(t), /2(0» ••• —соответствующие х. ф. Если
fn(t)-+f(t) в каждой точке некоторого интервала \t\ < а и f(t)
непрерывна в точке t = 0, то существует ф. p. F(x) такая, что
Fn(x) слабо сходится к F(x). Утверждение останется верным,
если условие Fn(x) = 0 для х ^ 0 заменить более слабым условием
Fn(x) ^ Ье~сМ для х ^ жо, где Ь > 0, с > 0 и х0 — некоторые
постоянные, не зависящие от п (Зигмунд [435]).
26. Если ф. p. F(x) определяется своими моментами
единственным образом и если {Fn(x)} —последовательность ф. р., у которых
моменты любого целого положительного порядка сходятся к
соответствующим моментам ф. p. F(z), то Fn(x) слабо сходится к F(x)
(Фреше и Шохат [275]; см. также [84] и [384]).
27. Пусть F и G— две ф. р. Метрика Леей L(F, G)
определяется как нижняя грань множества значений h, для которых
F(x — h)—h<^ G(x) <^F(x+h) +h
при всех х^ К. Для слабой сходимости распределений Fn к
распределению! F необходимо и достаточно, чтобы L(Fn, F)-+0 (см.,
например, [28] и [352]).
28. Пусть F и G — ф. р. Равномерная метрика p(F, G) (или
метрика Колмогорова) определена равенством
p(F, G) = sup|F(*)-G(*)|.
X
Имеет место неравенство L(F, G) ^ p(F, G). Если ф. p. G(x)
абсолютно непрерывна, то
p{F,G)<(l + sup\G'{x)\\L(F,G).
29. Пусть Pi (В) и Р2 (В) — вероятностные функции, F[(x) и
^2(х) — соответствующие им ф. р., т. е. Fk(x) = Рл((—оо, х))
(к = 1, 2). Положим
Руаг(^.Р8)=™Р|Р1<*)-Р8<В>|.
где Ф — множество всех борелевских множеств действительной

§ 6. ДОПОЛНЕНИЯ 39
прямой К. Тогда
Pvar(*V Pi)=jy^(F1(x)-Ft(x)).
Если ф. p. F[(x) и F2(x) абсолютно непрерывны и р\(х), р2(х) —
соответствующие им плотности распределения, то
Ртаг (*!• Р2) = 4 J \Pi(*)-Pt(*)\**.
— ОО
Полагая (в соответствии с обозначениями п. 28) p(Pi, Рг) =
= p(Fi, F2), имеем очевидное неравенство p(Pi, Р2) ^ pvar(Pi, Р2).
Если распределения Р, Рь Р2, ... таковы, что pvar(Pn, Р)-*0,
то говорят, что Рп сходится по вариации к Р.
Метрика Леей — Прохорова л (Pi, Р2) определяется равенством
д(Рь Р2) =М<е>0: VX{B) < Р2(Д«) + е,
V2{B) < Pi (5е) + е для любого В е= Щ,
где В* есть е-окрестность множества В, определяемая равенством
Ве = [х е= R: inf | а; — у | < е),
I уев /
& — множество всех замкнутых множеств пространства К. Для
слабой сходимости распределений Рп к распределению Р
необходимо и достаточно, чтобы л(Рп, Р)->0. (Различные виды
сходимости распределений рассмотрены, например, в книгах Биллингсли
[15] и Лукача [352] и статьях А. Н. Колмогорова [68], Ю. В.
Прохорова [151], В. М. Золотарева [57].)
30. Пусть р(х), р[(х), р2(х), ... —плотности распределений,
Рп(х) ->р(х) для всех х ge К за исключением множества
значений х нулевой лебеговой меры. Тогда
sup
рп (х) dx — | р (х) dx
■о,
где S3 — множество всех борелевских множеств действительной
прямой (Шеффе [400]).
31. Пусть F{x), Fi(x), F2(x), ... - ф. p., /1(0, МО, МО, •••
... —соответствующие им х. ф. Если fn(t) -^/(0 равномерно
относительно t на К, то Fn(x) -*F(x) равномерно относительно х на
К (Дайсон [249]).
32. Положим
2Г J
II «Г И = Ит 4f \e(t)Vdt
Тч>+СХ>
-Г
для тех функций g, для которых этот предел существует. Пусть
F(x), Fi(x), F2(x), ... —ф. p., /(0, /i(0, /2(0, ...—
соответствующие им х. ф. Следующие условия равносильны: 1) Fn(x) ~>F(x)
равномерно относительно х на IK; 2) fn(t)->f(t) для любого
(g(R и ||/п —/Н->0 (Эйзенберг и Ган Шиксин [250]). Отсюда
следует результат из п. 31. Обращение этого результата не имеет
места.

Глава II
БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 1. Определение и простейшие свойства безгранично
делимых распределений
Ф. p. F(x) и соответствующая ей х. ф. f(t)
называются безгранично делимыми, если для любого целого
положительного п существует такая х. ф. fn{t), что
/(*)=(/-(<))". (1.1)
Иначе говоря, распределение F безгранично делимо,
если для любого целого положительного п существует
такая ф. p. Fn, что F = Fnn, где Fnn означает
га-кратную свертку функции Fn.
Приведем несколько важных примеров безгранично
делимых распределений.
Нормальное распределение с произвольными
параметрами (а, о) безгранично делимо. Действительно, х. ф.
этого распределения имеет вид / (t) = exp liat —^ а^21»
так что равенство (1.1) выполнено при любом п и
in (t) == exp \i — t — -х- q2^2 Ь последняя функция является
характеристической функцией нормального
распределения с параметрами (а/п, о/Уп). Распределение Пуассона
с параметрами (а, Ь, X) имеет х. ф., указанную
равенством^ (3.1) главы I. Очевидно, что при любом п
выполнено равенство (1.1), где fn(t)—x. ф. распределения
Пуассона с параметрами (а/п, &, Х/п). Вырожденное
распределение с единственной точкой роста а имеет х. ф.
f(t)=eiat и очевидным образом является безгранично
делимым.
Теорема 1. Пусть f(t)— безгранично делимая
х. ф. Тогда f(t)^= 0 для любого t.
Доказательство. Имеем /(t) = /п(ОпРи любом п,
где fn(t)— х. ф. В силу непрерывности х. ф. и равенства
/(0)=1 существует а >0 такое, что f(t)¥=0 при UI < а.
В той же области Ul<a имеем fn(t)^0. Пусть 8 —

§ 2. КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 41
произвольное положительное число. Если U| ^ а, то
> 1 — е при всех до-
|/»(0l = l/W|1/n = |exp{4ln/(*))
статочно больших п.
В силу леммы 4 главы I получаем
1- 1/п(2*)12 <4(1- 1/п(012)
для любого £. Следовательно, при всех достаточно
больших п и \t\ ^ а имеем
1 - 1/,(20 I < 1 - |/п(20 I2 < 4(1 - \fn(t) 12К
^4(2е-е2)<8е.
Таким образом, /п(0^0 в области |£| ^ 2а при
достаточно больших п. Поэтому f(t)¥=0 в той же области
\t\<2a. Мы показали, что неравенство f(t)=^0 при
\t\ ^а влечет за собой это же неравенство при Ul ^2а.
Отсюда следует, что f(t)¥= 0 для любого t. □
Теорема 2. Пусть f(t) и g(t)— безгранично
делимые х. ф. Тогда f(t)g(t) есть безгранично делимая х. ф.
Доказательство. Для любого п существуют
такие х. ф. /» (I) и gn (t), что / (t) = fn (t) и g (t) = gl (t).
Поэтому f(t)g(t)=*(fn(t)gn(t))n, причем fn(t)gn(t) есть
x. ф. □
Теорема 3. Пусть {fm){t)\ m=l, 2, . ..} —
последовательность безгранично делимых х. ф., сходящаяся
к некоторой х. ф. f(t). Тогда f(t) безгранично делима.
Доказательство. Имеет место равенство
l{m) (t) = {fn] (t))n для любых т и п, где /nm) (t) есть
х. ф. В силу одного из условий теоремы получаем
W\t) = (fm)(t))1/n-+(f(t))1/n при т-ос для любого п.
Предельная функция непрерывна в точке t = 0. По
теореме 12 главы I она является х. ф. Поэтому f(t) =
== ((/(0 ) 1/n)n ~~ безгранично делимая х. ф. □
§ 2. Каноническое представление безгранично делимой
характеристической функции
Пусть у — действительная постоянная, G(x)—
заданная на R неубывающая ограниченная функция.
Положим
ОС
ф (t) = iyt + j (е«* - 1 - ^) ^ dG (*). (2.1)
~-oo
В точке x = 0 значение подынтегральной функции

42 ГЛ. II. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
определим по непрерывности как
Заметим, что значения функции G(x) в точках
разрыва не влияют на значение интеграла в правой части
равенства (2.1). Будем считать для определенности, что
функция G(x) непрерывна слева.
Лемма 1. Функция ei(t) есть безгранично делимая
х. ф.
Доказательство. Для любого положительного
числа е < 1 имеем
е
где
I [eitx-{-тт?)^аС{х)=limj£Tnh! (2,2)
Tnk = (е«Ь - 1 - ^) '-^ [G (Xh+1) - G (Xk)U
8 == Xq "^ X\ "^ . . . "^ Xn === 1/8, Xfr ^ ^¾ ^ %k+l
("ft-O, 1, ..., n-1)
и предел берется при условии max (xk+1—xk)-*0. Каждое
k
слагаемое Tnk можно записать в виде Иа^ + ^пк \ег nk— l),
где
*~f~^fcr/4/ \ nt \л г. + ~ hnklk
Таким образом, e nk является x. ф. распределения Пу-
n-l
ассона. Предел произведения Ц eTnk в силу (2.2) есть
непрерывная функция. По теореме 12 главы I функция
является х. ф. некоторого распределения. Теорема 3
позволяет утверждать, что это распределение безгранично
делимо.

§ 2. КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 43
Переходя к пределу при е \ О, мы получим то же
утверждение для е +, где
Определим функцию 7_ как правую часть равенства
(2.3) с заменой области интегрирования х>0 на
область х < О, а функцию / — как правую часть (2.3) с
заменой области интегрирования на действительную
прямую R. Очевидно,
/ = /+ + /___i2[C!(+0)_G(-0)].
Рассуждения, аналогичные проведенным для е +,
приводят к заключению о том, чтое ~~ есть безгранично
делимая х. ф. Функция ехр |— -i [G( + 0) — G (— 0)] |
является х. ф. нормального распределения, которое
безгранично делимо. Из теоремы 2 следует, что е1 —
безгранично делимая х. ф. Остается заметить, что е*(<) в
силу (2.1) есть произведение е1 и х. ф. вырожденного
распределения еп', т. е. произведение двух безгранично
делимых х. ф. □
Сопоставим функциям G(x) и ty(t) функции
А(*)- J(l-iiM)L+J^Q,) (2.4)
и
1
X(t) = yp(t)-± §{^(t + h) + ^{t-h))dh. (2.5)
о
Мы имеем
Mi) =1(^-1-^)1+^^(,)-
— оо \ I
ОО / 1 .
- jjj(«.« со,/b-i-^),ftji±i\je(*)-

44 ГЛ. П. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
следовательно,
оо
X(t)= j eiixdA(x). (2.6)
— сю
Как легко убедиться, при всех х
0<Cl<(l-^)i±£<c, (2.7)
Отсюда вытекает, что функция А(х) не убывает и
ограничена. Принимая во внимание (2.6), заключаем, что
с точностью до постоянного множителя k(t) есть х. ф.
Будем считать во всем дальнейшем, что
функция G(x) удовлетворяет дополнительному условию
G(,-oo) = 0.
Лемма 2. Имеет место взаимно однозначное
соответствие между функциями if), определяемыми
равенством (2.1), и парами (^, G), где *у — действительная
постоянная, G — неубывающая ограниченная функция,
G(-oo) = 0.
Доказательство. В силу (2.1) любая пара
(у, G) однозначно определяет функцию if. Любая
функция i|)(£) однозначно определяет функцию X(t),
которая является х. ф. с точностью до постоянного
множителя. Из (2.6) и теоремы 5 главы I следует, что
k(t) однозначно определяет функцию А(х). В свою
очередь, А(х) однозначно определяет функцию
х
■ ед= Г у2ЦМ . (2.8)
ic(i + ;/2)(i-s-iM)
Далее, if и G в совокупности однозначно определяют
постоянную Y- п
Пользуясь леммой 2, будем употреблять запись
tf=(Y, G).
Лемма 3. Пусть
сю
ф„ (t) = iynt + j (е«* - 1 - ^) i±f! dG„ (x), (2.9)
— сю
где Yn — действительная постоянная,
Gn(x)—неубывающая ограниченная функция, Gn(— оо) = 0 (п = 1, 2, .. .).
Яс/ш Тп-^Т ?' Gn-=tG, то tM*)-**(*)= (Т. G)* ^с,/ш
^n(0"^ ^(0» г<^е ^{t)— функция, непрерывная в точке

§ 2. КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
45
t = 0, то существуют действительная постоянная f и
неубывающая ограниченная функция G(x) такие, что
f»-M, Gnz£G и!> = (чг, G).
Доказательство. Первое утверждение леммы
следует из теоремы 10 главы I. Докажем второе
утверждение. Непрерывная в точке £ = 0 функция е*{п
является пределом последовательности безгранично делимых
х. ф. В силу теоремы 12 главы I и теоремы 3 эта
функция есть безгранично делимая х. ф. Из теоремы 1
следует, что e*{t) Ф 0 для любого t. Поэтому функция ^(t)
конечна и ^n{t)~+ ^(t) равномерно относительно t в
любом конечном интервале. Следовательно,
С У* (* + h)+'tyJt — h)
о
где X(t) определено равенством (2.5). Сопоставим
функциям K(t) и Kn(t) функции А(х) и Ап(х) с помощью
равенства (2.6). Двум последним функциям сопоставим
функции G(x) и Gn(x) с помощью равенства (2.8).
Используя непрерывность функции K(t) и теорему 12
главы I, получим Л» -*- Л. Поскольку Хп(0)-+ Х(0) и
оо оо
К(0)= f dAn(x), Л(0)= f dA(z),
имеем Лп(--оо)-> Л(—оо) И- Лп(+ «>)-* Л(+ оо). Итак;
ДП=>Л. Из (2.7), (2.8) и теоремы 10 главы I следует,
что Gn^£G. В силу той же теоремы
сю ....
ш -> * (о - J (*«* -1 - ^) 4^dG (*>*
— оо
для любого t. Поэтому существует предел lim уп = \.
Согласно первому утверждению леммы ¢=(4, G). □ „
Теорема 4. Для того чтобы функция }(t) была
безгранично делимой х. ф., необходимо и достаточно,
чтобы она допускала представление
/(0 = ехр \iyt+ J (e«*-l-^y-^dG(x)\, (2.10)
* —сю '

46 ГЛ. II. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
где ^ — действительная постоянная,
G(x)—неубывающая ограниченная функция, а подынтегральная
функция при х = 0 равна —t2/2.
Доказательство. В силу леммы 1 достаточно
доказать, что произвольная безгранично делимая х. ф.
f(t) может быть записана в виде (2.10). Согласно
теореме 1 f(t)¥=0 для любого t. Рассмотрим In/(f), где In
означает главное значение логарифма. Мы имеем f(t) =
==/п(0 для любого п, где fn(t)—x. ф. Поэтому
Inf (t)= nln fn(t)= nln[l+(fn(t)- l)] = lim[n(fn(t)- I)].
Обозначив через Fn(x) ф. р., соответствующую х. ф. fn(t),
находим, что
]п/(0 =
оо . оо
= lira j п (е»х - 1) dFn (х) = lira it j* -^-2 dFn (х) +
— ОО * —ОО
оо
I
п ( е«* - 1 - j^-2) dFn (х)} = lim я|>п (t)
для .любого t, где г|)п(0 определяется равенством (2.9)
при
оо л;
Yn=w —^—2dFn{x), Gn(x) = n -^-—2dFn{y).
J l-\- x J 1 + у
— оо
В силу леммы 3 из соотношения tyn(t)~* In f(t) и
непрерывности In f(t) в точке t = 0 следует, что
существуют действительная постоянная у и неубывающая
ограниченная функция G(x), для которых уп -*- у,
Gn=tG и In/(О = (Т, G). п
Равенство (2.10) называется формулой Леви —
Хинчина. Из леммы 2 и теоремы 4 вытекает, что при
условии G(— оо)=0 представление безгранично делимой
х. ф. f(t) равенством (2.10) единственно: равенство (2.10)
однозначно определяет постоянную у и функцию G (х)
по Функции f(t).
Приведем выражения для постоянной у и функции
G(x) в формуле Леви —Хинчина для нескольких важных
безгранично делимых распределений. Напомним, что мы
условились считать функцию G (х) непрерывной слева и
удовлетворяющей условию G (— оо) = Q.

§ 2. КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 47
Для нормального распределения с параметрами
(а, а) имеем у = а, G(x)=0, если я < 0, и G(x)=o\
если х > 0. Для распределения Пуассона с параметрами
(а, Ь, %) находим, что у = а -\ 5, G(#) = 0, если
v 1 + 6
62Х
а: < Ь, и G(#) = g» еслп ^ > &• Для вырожденного
1 +Ь
распределения с точкой роста а имеем у = а и G(#) = 0.
Формулу (2.10) можно записать в ином виде.
Положим
a* = G(+0)-G(-0),
■ * 2
J L±^LdG{y), если х<0,
loo У (2Л1)
L(s)
fi±U-dG(y), если а: > 0.
Функция L(#), определенная на всей действительной
прямой за исключением нуля, не убывает на (— оо? 0)
и (0, + °о) и удовлетворяет условиям
lim L(x) = 0, lim L(x) = 0.
Функция L(x) непрерывна в тех и только тех точках
своей области определения, в которых непрерывна G(x).
Для любого конечного б > 0 имеем \ x2dL (#) < оо.
0<|х-|<6
Наоборот, при фиксированном значении у любая
неотрицательная постоянная о2 и любая функция L(x),
удовлетворяющая указанным условиям, в совокупности
однозначно определяют по формулам (2.11) и (2.10)
безгранично делимую х. ф. Таким образом, мы пришли
к следующему предложению.
Теорема 5. Для того чтобы функция f(t) была
безгранично делимой х. ф., необходимо и достаточно,
чтобы она допускала представление
f(t) = exV\iyt^°^f+ Г (^-1-А)й(1)|,
I |*|>о V i-r* J J
(2.12)
где у — действительная постоянная, о2 —
неотрицательная постоянная, функция L(x) не убывает на каждом

48 ГЛ. II. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
из интервалов (— °о, 0) и (0, + оо) и удовлетворяет ус*
лови ям
lira L(x) = lim L (#) = 0,
J x2dL (x) < оо <9ля любого конечного б > 0.
0<lx|<6
Равенство (2.12) называется формулой Леей.
Представление безгранично делимой х. ф. равенством (2.12)
единственно.
Из теоремы 4 и того факта, что существование
дисперсии случайной величины с х. ф. f(t) равносильно
существованию производной второго порядка /" (0),
можно получить следующий результат.
Теорема 6. Для того чтобы функция f(t) была
х. ф. безгранично делимого распределения с конечной
дисперсией, необходимо и достаточно, чтобы она
допускала представление
{оо .
ш + Г *ltx - * - itx dK (^)1 (2.13)
где а — действительная постоянная, К(х)— неубывающая
ограниченная функция, а подынтегральная функция при
х = 0 равна —£72.
Равенство (2.13) называется формулой Колмогорова.
Функции G(x), L(x) и К(х), встречающиеся в формулах
(2.10), (2.12) и (2.13), будем называть в дальнейшем
спектральными функциями Леей ~~ Хинчина, Леей и
Колмогорова соответственно.
§ 3. Одно вспомогательное предложение
Докажем одну лемму, которая понадобится нам в
главе III при выводе оценок для функции концентрации.
В свою очередь, с помощью этих оценок там же будут
получены необходимые и достаточные условия
непрерывности безгранично делимой функции распределения.
Пусть Lk(x)— спектральная функция Леви для
безгранично делимой х. ф. fh(t) (k== 1, ..., п).
Лемма 4. Пусть о\, ..., оп— неотрицательные
постоянные, б — положительная постоянная. Для любых
положительных Ки . . ., Х„, каждое из которых не пре-

§ 3. ОДНО ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ 49
восходит Я, имеет место неравенство
\ ехр —б2 \Цг+ J ^1^ соз tx)dLk(x) Л<
< Лб"1/2 № [aj + J x4Lk (x) + X» j dLfc и]] ,
(3.1)
где Л — абсолютная положительная постоянная.
Доказательство. При \х\ ^ 1 имеем 1 — cos#^
11
^24^2, ОтсюДа следует, что при \t\ ^ 1/Х
J (1 — cos tx) dLh (x) =
l*l>o
«= J (1 — cos ta) dLA (#) + J (1 — cos tx)dLk(x)^
>^t2 j a2dLfc (x) + j (1 - cos te) dLfc (x).
0<lx\<%h \x\>lk
Обозначим левую часть неравенства (3.1) через / и
положим
7а= } хЧЩх), а*= 2(oJ + T»),
0<\x\<Kh k^1
Ph= J dLk (x).
Тогда
/< J exp{-l[fiov}x
Пехр(-6 f (1- cos tx)dLh(x)\dt. (3.2)
1*1 <i A
n
X '
Положим
P*
h=0
B=2 P*' a" = | (* = 0,1, ...,«).
В. В. Петров

50 ГЛ. II. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Таким образом,
в = б 2 К +
k==1 I 0<\х\<кк \х\^Кк
x2dLk (х) + Х2к j dLk (х)
. (3.3)
Не ограничивая общности, можем считать, что ak > 0
для всех к. Применяя к правой части (3.2) неравенство
Гёльдера, получим
/<( J ехр{-^£фЛа°Х
ХД f ехРГ"Й f (1-cos tx)dMk(x)\dt) ,
fc=i\Uiii/x I ^-oo J J
где Mk(x) есть ф. p. такая, что
dMk (x)
( 1
— dLk(x), если \x\^Xk,
Ph
0, если | #| <C ^.
Очевидно,
I0 = J exp {- g 5*2} df < j exp { - M Bt*} dt < ^g.
|i|<iA
Оценим теперь интеграл
Ik = Г exp j — -2 f (1 — cos tx) dMk (x)\ dt.
IM<iA l ^Л-оо J
Воспользуемся неравенством Йенсена (неравенство (2.5)
главы I), в котором положим g(x) = e~x. Тогда получим
ехр|— * Г (1 —cos tx)]dMh(x)
<
<
СХЭ
jexp{-
Б
(1 — COS £#)
)dMh(x).
Поэтому
J ( f exp{--f(l-coste)]dAdA/fc(^.

§ 3. ОДНО ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ 51
Покажем, что
f exp{-fa(l-cos^))*<^= (3.4)
при \х\ > К- Тем самым будет установлено, что Ik < A/IB
и I < А/1 В. В свою очередь, из последнего неравенства
и (3.3) вытекает (3.1).
Обозначим левую часть неравенства (3.4) через Jh.
Если К < \х\ ^п%, то при UI < 1/1 имеем \tx\ < я. Вос-
sinu 2 ii^^/o
пользовавшись неравенством —jj-^z- ПРИ ' ^' ^ jt/Z,
получим
1 — cos tx = 2 sin2 тг ^ -о £2^2 ^ —о ^2^
^ я я
UlA
Если же Ы > яХ, то достаточно рассмотреть случай,
когда х > яХ. В этом случае
^к=~х ехР I 2^ ~ cosu)idu^i
<т(Ы+1) I exp{-4(l-cos,)W,<
<|- J exp|-^(l-cosM)JjM
\и\<л
в силу 2я-периодичности подынтегральной функции.
Здесь [а] означает наибольшее целое число, не превосхо-
дящее а. Если \и\ ^ 1, то 1 — cosz/^ -^-и2. Поэтому
exp[-^(l-cosM))dM< ] ехР (-^4^ <^%-
Iuki 1 * J |U|<i l ЗХ J yz?
Из неравенства 1 — cos г/ > -^- при 1 < \и\ ^я следует,

52 ГЛ. II. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ЧТО
ехр ( 0 (1 — cos и)\ du < 2л ехр | = 1 ^ —т=-
Таким образом, Jk < А/У В, если \х\ > %к. п
§ 4. Дополнения
Пусть /^(^) —ф. p., SF— ее спектр, т. е. множество всех точек
роста F(x). Положим lF = inf SF, uF\=z sup SF.
1. Невырожденное безгранично делимое распределение имеет
неограниченный спектр (Чаттерджи и Пакшираян [227]).
2. Пусть F(x) —безгранично делимая ф. р. с х. ф. f(t),
представленной формулой Леви (2.12).
Для конечности lF необходимо и достаточно, чтобы а2 = О,
1
L(x) = О при з;<0и \ xdL (х) < со. Для конечности uF необ-
+о
ходимо и достаточно, чтобы а2 = 0, L(x)=0 при х > 0 и
-о
\ xdL (х) < оо (Бакстер и Шапиро [202]).
оо
Если lF > —оо, то lp = Y — 1 —^-s d£ v-1)- Еслп м™ < +00»
+0 ^
~0
то гг„г= y— —^-dL (д:) (Такер [419] и Эссеен [259]).
J \ + х2
— оо
3. Пусть W — множество неотрицательных функций w(x),
заданных на К и удовлетворяющих одному из следующих двух
условий:
а) w(x + у) <$; B(w(x) + w(i/)) для любых х, у е К;
б) и; (я + ?/) ^ Bw(x)w(у) для любых х, у е К.
Здесь 5^1 — некоторая постоянная. Пусть F(x) — безгранично
делимая ф. р., которой соответствует спектральная функция Леви
L(x), и пусть w(x) е W. Условие
равносильно условию
w (х) dF (х) < оо
\ w (х) dh (х) < со
|х|>1
(В. М. Круглов [74]).
4. Пусть р > 0, F(x) — безгранично делимая ф. р. со
спектральной функцией Леви — Хинчина G(x). Условие 1 — F(x) =
z=zO(x~p) при s->+oo равносильно условию G(+oo) — G(x) =^=
= 0(д:-р) при я-*--}"00- Условие F(—я) =^0(х^т>) при х-)-+оо

§ '4. - ДОПОЛНЕНИЯ 5 3
равносильно условию! G(—х) =0(х~р) при х->+оо. Каждое из
этих двух предложений останется верным, если в нем всюду
заменить О на о (Волфи [425]). (Грюбель [279] получил обобщение
этих результатов, заменив функцию х~р произвольной
непрерывной убывающей функцией и (х): К+-*■ К+, которая удовлетворяет
условию и (х) -> 0 при х -*■ + оо и некоторому дополнительному
условию), исключающему возможность слишком быстрого
убывания.)
5. Если F(x) — невырожденная безгранично делимая ф. р.,
отличная от нормальной, то существует такая положительная
постоянная с, что
1 — F(x) + F(—x) ^ е~сх lQs *
для всех достаточно больших х (Стойтель [408]).
6. Пусть F(x) —безгранично делимая ф. р. с х. ф. f(t),
представленной формулой Леви (2.12). Равносильны следующие три
условия:
.' a) lim {— х~2 In F (— х)} > 0,
б) lim {—(xlnx)-1lnF(—x)} = oo,
в) L(x) = 0 для любого х < 0.
Кроме того, равносильны условия
г) lim {-— х~^2 In F (— х)} = оо и
д) L(x) =0 для любого х<0и а2 = 0.
Эти предложения останутся верными, если в нпх заменить
F(—x) на Т(х) =l—F(x)+F(—x) и Цх) на L(x) + \L(—x) \
(Окубо [376]).
7. Пусть F(x) —безгранично делимая ф. р. с х. ф. f(t),
представленной формулой Леви (2.12). Тогда
1) если а2 = 0 и L(x) = 0 для любого х < 0, то
lim inf {- х-г-(1\п F (— х)} > ка lim inf х~1~а \ L (х) \~а
II
lim inf {— x-i-«ln F (- x)} < /га lim inf x'1^ \ L (x) \~a,
где 1 < a < oo, a ka и /½ — положительные постоянные, не
зависящие от F(x) и L(x);
2) если выполнено дополнительное условие существования
предела lim о: [L(x)|, то
Lim inf {- х~х~а In F (- *)} = ка lim x"1"" | L (х) |~а;
х->0 +
3) если L(x) = 0 для любого х < 0, то
lim {-rMnF(-i)} = ri-v
4) lim {—(x\tix)-11tiF(—x)} =
х->-{-оо
= (-inf[{*.<0: L(*)>0}U{0}jr';

54 ГЛ. II. БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
5) если L(x) > О для любого х <. О, то
lim inf {— х-1 (In х)~а In F (— х)} =
= са lim inf {х-1 (- In L (— я))1""0},
где 0 < <z < 1, са — положительная постоянная, не зависящая от
F(x) и L(x) (Окубо [376]).
8. Безгранично делимая ф. p. F(x) дискретна тогда и только
тогда, когда соответствующая ей спектральная функция Леви —
оо
Хинчина G(x) является ступенчатой функцией и \ — < оо1)
J х2,
— оо
(Блум и Розенблатт [214]).
9. Пусть F(x)—безгранично делимая ф.р., L(x) —
соответствующая ей спектральная функция Леви, L\(x), L2(x) и L5(x) —
соответственно абсолютно непрерывная, сингулярная и дискретная
компоненты функции L(x). Пусть Fk(x) — безгранично делимая
ф. р., порожденная спектральной функцией Леви Ьк{х) (к = 1, 2, 3).
Для того чтобы F(x) была абсолютно непрерывной, достаточно
выполнение одного из следующих пяти условий:
1) j <Иг(х)=со;
\х\>0
2) о* > О,
3) F2(x) абсолютно непрерывна,
4) F?,(x) абсолютно непрерывна,
5) F5(x) сингулярна, F2(x) непрерывна, но не абсолютно
непрерывна, и свертка F2(x) * F3(x) абсолютно непрерывна.
Для абсолютной непрерывности F(x) необходимо выполнение хотя
бы одного из этих условий (Такер [420]).
10. Пусть ро, pi, р2, ... —распределение вероятностей на
множестве целых неотрицательных чисел, р0 ф 0, р\ ф 0. Если
последовательность {pnl\pn-\\ п = 1, 2, ...} не убывает, то
распределение безгранично делимо (Уоди и Катти [421]).
11. Если распределение абсолютно непрерывно и безгранично
делимо, то оно имеет плотность, множество нулей которой либо
имеет лебегову меру 0, либо совпадает с точностью до множества
лебеговой меры 0 с некоторым бесконечным интервалом (Хадсон
и Такер [319]).
12. Пусть F(x) — безгранично делимая ф. р., Ф(х) —
стандартная нормальная ф. р. Справедливы следующие три предложения,
каждое из которых обобщает предыдущие:
1) если F(x) =Ф(х) для любого х < 0, то F(z) === Ф(я)
(Россберг [394]);
!) Необходимые и достаточные условия непрерывности
безгранично делимой ф. p. F(x) содержатся в теореме 2 главы III;
ОО
С dG(x)
они сводятся к равенству \ —-- = 00.

§ 4. ДОПОЛНЕНИЯ
55
F \х)
2) если ф-т^г-> 1 при я->—-оо, то F(x)==(b(x) (Ридель
[387]);
3) если существуют такие числовые последовательности {х„}
И {(/„}> ЧТО Хп->— ОО, !/„-)- — оо, F(X„) 5= Ф(Х„)(1 + 0(1)) И
при гс->оо для любого с > О, то F(a;)==0(a;) (Россберг и Зи-
гель [397]).
13. Пусть х. ф. f(t) безгранично делимого распределения F(x)
аналитически продолжима в верхнюю (нижнюю) полуплоскость
комплексного переменного z = t + is. Если безгранично делимая
ф. p. G(x) совпадает с F(x) на полупрямой (—оо, а) (на
полупрямой (а, оо)), то либо F(x) =Л) (соответственно F(x) = 1) на
некоторой полупрямой, либо F(x) =G(^) (И. А. Ибрагимов [61]).

Глава 111
НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
§ 1. Функции концентрации
Функция концентрации Q(X; X) случайной величины X
определяется равенством
Q(X; X) = supP(.*<X<.r + ?i)
X
для любого X ^ 0. Очевидно, что Q{X; X) —
неубывающая функция от Я, удовлетворяющая неравенствам
0 < Q (X; X) ^ 1 для любого X ^ 0.
Докажем несколько предложений о функции
концентрации, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Лемма 1. Если X и Y—независимые случайные
величины, то Q(X+Y; X)<min{Q(X; X), Q(Y; X)} для
любого X ^ 0.
Доказательство. Пусть Fv(х) означает ф. р.
случайной величины U. Полагая Z = X + У, получаем
оо
Fz (х+Х)- Fz (х) = j" (Fx (х + Х- у)- Fx(x - y))dFY(y)
— ОО
И
ПО
Q(Z; X)^Q(X; X) j dFY (у) = Q(X; X).
— оо
Аналогично Q{Z; Х)^ Q{Y; X). □
Лемма 2. Для любых неотрицательных а и X
имеет место неравенство Q(X; аХ)< ([а] + 1)Q(X; X), где
[а] — наибольшее целое число, не превосходящее а.
Это утверждение очевидно.
Лемма 3. Пусть X—случайная величина с х. ф.
f(t) и функцией концентрации Q{X; X). Пусть h(t) —
действительная абсолютно интегрируемая на R х. ф.,
р{х) — соответствующая ей плотность распределения.
Для любых Х^ 0, & > 0 и (3 ^ Х/Ъ справедливо неравен-

§ 1. ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ
57
ство
где
С^ХаЬ 1 1/(0МР0|Л,
2пс
— оо
с= rain р{х).
0<х<Ъ/2
(1.1)
(1.2)
Доказательство. Заметим прежде всего, что в
силу теоремы 7 главы I плотность распределения р(х)
всюду непрерывна. Условие действительности функции
h(t) влечет за собой симметричность распределения с этой
х. ф. и равенство р(—х) = р(х) для любого же О?.
Пусть F(x)— ф. .р. случайной величины X. Применяя
формулу обращения для плотности распределения,
получим
j Р (а (х - у)) dF (х) = Л. j e*»h (-£-) J e-^dF(x)\du
— OO —oo '—oo t
для любых a > 0 и yelR. Учитывая равенство /(—£) =
= /(£), справедливое для любой х. ф. f(t) и любого
Jeff?, находим
dt.
Если 0 < яХ ^ Ь, то
rain р (ах) ^ min /? (х) = min р (ж) = с
XX ь ь ь
~Y<X<2
в силу (1.2) и четности функции р{х). Полагая
А
2 ^--^ г . 2
/ = |жеА?: у - -%- < я< у + -|" f.
имеем
j p(a(x — y))dF(x)^cV(X<=I)
■оо
оо
Л.

q 8 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Вследствие произвольности параметра ч получаем
неравенство
оо
— ос
для любых положительных а и Я, удовлетворяющих
условию аК6, В неравенстве (1.3) положим р = 1/а.
Тогда мы придем к неравенству (1.1) для р ^Х/b. П
Приведем несколько следствий из леммы 3.
Лемма 4. Пусть X — случайная величина с х. ф.
f(t) и функцией концентрации Q(X; X). Пусть h(t) —
действительная х. ф., удовлетворяющая условию h(t) =
= 0 для \t\ >■ 1. Пусть р(х)~— соответствующая ей
плотность распределения. Если X > 0, а > 0 и Ъ > 0, то
а
C(X;X)<JL £|/(*)Л(Р*)1<», (1.4)
— а
где
Р = тах(1/а, Х/Ъ), (1.5)
а постоянная б определена равенством (1.2).
Доказательство. По лемме 3 имеем
<2(Х;Я)<2^- I 1/(*ЖР*)|л
uiii/p
для р ^ Х/Ь. Пусть а > 0. Если — > —, то положим
1 X
Р = 1/а. Тогда получим (1.4). Если же—^"Т"» то
полагаем [J = Х/Ъ. Мы имеем при этом а ^ 1/(1 и
а
j |/(*)Л(Р*)|л<Л/(*)Л(Р*)|л.
Таким образом, и в рассматриваемом случае
справедливо неравенство (1.4) с постоянной [J, определяемой
равенством (1.5). □
При получении других следствий леммы 3 нам
понадобится следующее легко устанавливаемое предложение.
Лемма 5. Функция
I ч 1 — COS X /л п\
Р0(Х) = ~ (1.6)
im[-L)
dt
(1.3)

§ 1. ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ
является плотностью распределения, имеющего х. ф.
|1 —И при |*|<1,
О при |*|>1.
h0(t)
59
(1.7)
Положим в лемме 4 h(t)=h0(t), р(х) = pQ{x) =
ж3
и 6 = 1. Из равенства sin 2 = ж ^- cos 8а:
де 181^1, вытекает,
>Щг при |*|<-J-. (1.8)
1 sin'5 (я/2)
*я (ж/2)2 Г 6
для любого же К, где |8| ^ 1, вытекает, что
96
1 / 95 \2
Поэтому с = min Ро(х)^~ \Ш~) * и из (1.4) получаем
0^2f-^ 1/2 \ /
а
^(Xa)<(g-)2max(^,^-) J|/(i)|(i_lil)di (1.9)
— а
для любых РО и а>0. В свою очередь, из (1.9)
вытекает следующее предложение.
Лемма 6. Если Q(X; к) ~ функция концентрации
случайной величины X, имеющей х. ф. /(£), то
<?№Х)<(|-)2таХ(Я, l/a) j \f(t)\dt (1.10)
— а
для любых X > 0 и а > 0.
Если мы положим
h(t)
0 при |£|>1,
2(1-|ф3 при -i-<|t|<l,
1-6*2 + 6|£|3 при |f«y,
то р(х) = ^- ^Ы| ([28], § 39). Выбирая Ь = 2 и поль-
й;п; (ж/4)
зуясь равенством (1.2) и неравенством (1.8), находим
с= min р(х)^£— [од-] . В силу неравенств (1.4) и (1.9)
имеем
а
C(X;b)<4(|!-)4max(-?i-,JL) j |/(0|Л (1.11)

GO ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
для любых К > О и а > 0. Если аХ > 2, то правая часть
неравенства (1.11) меньше, чем правая часть (1.10),
которая равна y^-j ^J \f(t)\dt.
Из леммы 4 вытекает более простое по сравнению с
(1.4) неравенство
а
Q <*А) < ш тах (т- т ) JI '<*> I *• <1Л2>
— а
где с определено равенством (1.2).
Отметим одно следствие леммы 6, соответствующее
значению А, = 0. Если X — произвольная случайная
величина с х. ф. /(£), то
а
supР(X = *)<(Ц-)Vi j |/(0| Л (1.13)
— а
для любого а > 0.
В дальнейшем нам понадобится оценка снизу для
функции концентрации.
Лемма 7. Пусть X — случайная величина с х. ф.
j(t) и функцией концентрации Q(X; К). Тогда
а
e^^sdrbajiwi** (1Л4)
—а
для любых неотрицательных % и а.
Доказательство. Рассмотрим случайную
величину X = X — У, где Y — случайная величина,
независимая от X и имеющая то же распределение, что и X.
Пусть U — случайная величина, независимая от X и
имеющая х. ф. й0(т—', где а >0 и h0(t)— функция,
определенная равенством (1.7). Случайная величина V = X +
+ U обладает непрерывным распределением с х. ф.
1/(014(47). Из леммы 1 следует, что Q(V\ k)^Q(X; I).
В силу теоремы 5 главы I имеем
^1^=0--j-Ii'mK'-1?)^*-

§ 1. ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ
61
Воспользовавшись неравенством (1.8), получим
а
— а
По лемме 2 имеем Q ( F; ^-) <! ( ^т- + 1J Q (V\ X) для
любого X > 0. Поэтому
а
— а
для любых положительных X и а. В случае, когда Я = 0
или а = 0, неравенство (1.14) выполнено очевидным
образом. □
Покажем теперь, что ценой введения одного
дополнительного условия можно заменить 1/(012 в
неравенстве (1.14) на 1/(01 и тем самым сблизить верхнюю и
нижнюю границы для функции концентрации,
доставляемые неравенствами (1.10) и (1.14).
Лемма 8. Пусть X — случайная величина с
неотрицательной х. ф. f(t). Тогда
а
<№*)>2^fWf/(^ (1Л5)
— а
для любых неотрицательных X и а.
Доказательство леммы 8 мало отличается от
доказательства леммы 7. Вместо случайной величины V = X +
+ U следует рассмотреть случайную величину V = X + С/,
которая имеет непрерывное распределение и х. ф.
f(t)h0 '^-). Остальные рассуждения не изменяются. □
Без введения дополнительных условий получить
аналог леммы 8 нельзя. Более точно, в неравенстве
а
Q(X-A)>4^rj\f(t)\4t, (1.16)
— а
где Ci — некоторая положительная постоянная, нельзя
заменить 1/(012 на 1/(01 ни ПРИ какой положительной
постоянной Ci, не вводя дополнительных предположений.
Для доказательства сформулированного утверждения
рассмотрим случайную величину X, имеющую равномер-

62 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
ное распределение на интервале (—1, 1). Мы имеем
Q(X; Х)=Х/2 при 0 < X < 2, f(t) = ^. Если бы
неравенство (1.16) имело место с заменой 1/(012 на 1/(01
при некоторой постоянной Си то, полагая a = 1А, мы
получили бы
-А->^ j \Ща (1.17)
|(|<1Д
СХ)
при 0 ^ X ^ 2. Как известно, \ | sin t | — = оо. Поэтому,
о
деля обе части неравенства (1.17) на 1 и переходя к
пределу при X \ 0, приходим к противоречию. □
Мы показали, что оценка для функции
концентрации, доставляемая леммой 7, в известном смысле не-
улучшаема. Докажем аналогичное утверждение
относительно леммы 6. Именно, покажем, что в неравенстве
а
Q(X;X)^C2max(X,l/a) $\f(t)\dt, (1.18)
— а
где С2 — некоторая положительная постоянная, нельзя
заменить 1/(01 на 1/(012 ни ПРИ какой положительной
постоянной С2, не вводя дополнительных предположений.
Рассмотрим случайную величину X, имеющую
плотность
распределения р(х) такую, что ] p2(x)dx<o° и
— СХ)
Пт р(х) = оо (этим условиям удовлетворяет, например,
3
плотность распределения р (х) — -^ аг~1/4 при 0 < х < 1,
р(х)==0 при х^0 и х>1). Для этой случайной
величины имеем
к
±-Q(X;X)^-j-§p (х) dx-^oo (1.19)
о
сх»
при К -*- 0. Как известно, из условия J р2 (х) dx < оо
— СХ)
СХ)
следует, что \ |/(0|2^£<оо. Если бы неравенство

§ 1. ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ 63
(1.18) оставалось верным при замене 1/(01 на \f(t)\2
для некоторой постоянной С2, то мы имели бы
C(X;X)<CaA, f |/(*)12Л.
|*|<1А
Деля на А, и переходя к пределу при А, \ 0, мы
получили бы
lim sup -т- Q (X; К) < оо,
что противоречит соотношению (1.19). □
Применим доказанные леммы к выводу неравенств
для функции концентрации безгранично делимого
распределения.
Теорема 1. Пусть случайная величина X имеет
безгранично делимую х. ф. f(t), представленную равен-
ством (2.12) главы II (т. е. формулой Леей). Тогда
существуют такие абсолютные положительные
постоянные Ai и А 2, что
A1min 1-Д[(т2+ f x4L(x)) exp — 4 f dL(a)]<
L \ 0<\x\<k / J I \x\>l )
< Q(X; X) < A2K(o2 + f x4L(x) + X2 f dL{x)\~l/2
\ 0<\x\<h \x\ph J
(1.20)
для любого X > 0.
Доказательство. Мы имеем
1/(01== exp j— ^- f (1-cos tx)dL(x)\.
Из леммы 6 следует, что
Q(X;X)^ASX j exp [—2^!— j (1— cos ^)dL(a;)J Л.
|<К1Д l |x|>o J
Применяя лемму 4 главы II при тг=1, мы немедленно
получаем требуемую верхнюю оценку для Q(X; X).
Для оценки функции концентрации снизу
используем лемму 7 при a = 1/Х. Тогда придем к неравенству
Q (X; Я) > А^Х j exp (- (А2 - 2 ( (1 - cos tx)dL{x)]dt.

t)4 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Полагая
fc = a2 + j x4L(x),
0<\Х\<К
находим, что
<?(Х;Х)>Л^ехр(-4 f dL{x)\ f е~ш dt.
I \xfek J \t\kllX
Если Я < У ft, то
|t|<iM к о к
Если же Я > УЬ, то
\t\41/k
Отсюда следует нижняя оценка в (1.20). П
С помощью теоремы 1 легко обнаружить, что
безгранично делимая ф. р. имеет хотя бы одну точку разрыва
в том и только том случае, когда одновременно
выполнены условия о2 = 0 и ] dL(x)<.oo. Таким образом,
Й>о
имеет место
Теорема 2. Для того чтобы безгранично делимая
функция распределения была непрерывной, необходимо
и достаточно выполнение одного из условий о2 > 0 и
) dL(x) = оо. Постоянная о2 и функция L(x) здесь те
М>о
же, что и в формуле Леей для соответствующей
характеристической функции.
§ 2. Неравенства для функции концентрации суммы
независимых случайных величин
Пусть случайная величина X имеет функцию
распределения F(x). Для любого X > 0 положим
D(X;X) = k-2 J x4F{x)+ j dF(x). (2.1)
Заметим, что D(X; X) = Emin(l, X2/Xz). Отсюда
следует, что функция Т>(Х; X) не возрастает на полупрямой

§ 2. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ СУММЫ 65
X > 0. Имеет место неравенство
D(X; X) ^1 для любого X > 0. (2.2)
Пусть, далее, D(X; 0)=Р(Х =^=0). Очевидно, что
D(Z; Х)=0 для некоторого >i^0 тогда и только тогда,
когда Р (X = 0) = 1. Если и ^ Я, то
D(X;X)^u-* J aj2dF(a) + j dF(aj).
Таким образом,
Б(Х-Д)>^-2 J aj2dF(oj) для и>Я,. (2.3)
|al<u
Если X — случайная величина, то, как и ранее, X
будет означать соответствующую ей симметризованную
случайную величину.
Теорема 3. Пусть Х{, ..., Хп — независимые слу-
п
чайные величины, Sn = 2 ^п- Пусть Хи ..., Хп — поло-
жительные числа, Хк^Х (/с = 1, ..., п). Тогда
существует абсолютная положительная постоянная А такая, что
( П ^ 4-1/2
Q {Sn\ Ц< АХ 2 Я»Б (X,; Я,) . (2.4)
\ /1=1 /
Доказательство. Пусть Vk(х) и vk(t)
означают соответственно ф. p. pi х. ф. случайной величины Xk,
Применим лемму 6 к сумме Sn. Полагая в неравенстве
(1.10) а= 1/Х, получим
Q(Sn;X)^A1X \ J{\vh{t)\dt.
Из неравенства 1 + х < ех для х е В? вытекает, что
1^(0 I2 < ехр {— (1 —■ \vk(t)\2)}. Учитывая равенство
1-K(0I2= )(l-costx)dVh(x),
— оо
где Vk(x)—ф, р. симметрпзованной случайной величины
Xk, получим
QiSn-ЛХ
^АгХ j ех$1-^^ § (l-costx)dVk(x)\dt. (2.5)
5 В. В. Петров

66 ГЛ. ИТ. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Функция Lk(x), определенная равенствами Lh(x) =
= 1^(^)-1 для х>0 и Lk(x) = Vh{x) для х < О,
является спектральной функцией Леви. Мы можем
применить лемму 4 главы II к интегралу в правой части
(2.5). Тогда мы придем к неравенству
Q (Sn; Я)< ЛК J2 ( f x-dVh (х) +1\ f dVh (x))\ ^. □
Заметим, что для любой случайной величины X и
любого X > 0 справедливы неравенства
№D(X;K)= \ x4F{x) + X2 \ dF (л) >
|л|'<>. \Л».
X2
=^ 4
J dF(x) + A2 j dF(x)>^-pf|X|>A
■^|*1<л |x|>?-
(2.6)
В силу определения функции концентрации и леммы 1
имеем
p(|Z|>4)>!-^№ Л)>1-№Д). (2.7)
Из (2.6) и (2.7) следует, что
V(X;X)^±(l-Q(X;X)). (2.8)
Из теоремы 3 и неравенств (2.6) и (2.8) вытекает
следующий результат.
Теорема 4. Пусть Хи . . ., Xv — независимые слу-
п
чайные величины, Sn = 2j Xk. Для любых положителъ-
ных чисел >wi, . . ., Кп, каждое из которых не превосходит
К, имеем
|-1/2
Q(Sn;X)^AX^Xl(l-Q(Xk;XI<))} \ (2.10)
(2.9)
Напомним, что буквой А с индексом или без него
обозначены абсолютные положительные постоянные, не
всегда одни и те же в различных местах.

§ 2. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ СУММЫ 67
Приведем еще несколько следствий теоремы 3.
Полагая в (2.4) %h = К для всех к, получим неравенство
Q(Sn;k)^A^D(Xk-k)^ . (2.11)
Если независимые случайные величины Хи . . ., Хп
имеют одинаковое невырожденное распределение, то
D(^i; К)> О для любого Х> 0 и
Q(Sn;X)^±(D(li;X))-lfa; (2.12)
отсюда с учетом неравенства (2.8) получаем
Q(Sn;X)^^=(i-Q(Xl;K))-1,a (2.13)
у п
для любого % ^ 0. В общем случае неодинаковых
распределений из (2.11) и (2.3) следует, что
Q(SnA)<A sup-i22 x4Vh(x)\ . (2.14)
Из леммы 6 тем же способом, что и при выводе (2.5),
можно получить неравенство
Q (Sn; Jt)< ± J exp - ± 2 J (1 ~ cos '*) ^ И ^>
если 0 < ак ^ 1. Отсюда и из очевидных оценок
со
[ (1 — cos tx)dVk (я)> [ (1—cos ta)dFft (я)>
-°° |*1<1/1М
где
Ф,(0= f *w,(*),
|3C|<1/U|
вытекает, что
Q (Sn] X) < ± | exp I - ii ** 2 Ф* (0 <« (2.15)
при условии 0 < а% ^ 1.
Неравенство (2.10) устанавливает связь между
функцией концентрации суммы независимых случайных
5*

68 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
величин и функциями концентрации слагаемых. Это
неравенство можно существенно усилить.
Теорема 5. Пусть Хи . .., Хп — независимые
случайные величины, 0<Xk^X (к = 1, ..., п). Тогда
Q (Sn; I) < А% {Д %\Ъ (Xh ■ %h) Q-2 (Х„; Ц \ (2.16)
Для доказательства этой теоремы нам понадобятся
две леммы.
Лемма 9. Если независимые случайные величины
Хи .. ., Хп имеют одинаковое невырожденное
распределение, то
Q (5„; К) < ф= Q {Хх; К) (D (X,- А))"1/2 (2.17)
для любого X > 0.
Доказательство. Если Q(X{; Х)> 1/2, то (2.17)
следует из (2.12). Поэтому мы можем ограничиться
рассмотрением случая Q{X; Х)< 1/2. Кроме того, мы будем
считать, что п ^ 2, поскольку для п = 1 неравенство
(2.17) непосредственно вытекает из (2.2).
Пусть а — произвольное действительное число, / =
= [а, а + X], и пусть сегмент / = [&, Ъ + I], где I ^ Я,
обладает тем свойством, что Р(Х{^ /)^1/2, но
P(Xi^/1)<l/2 для любого сегмента Л, длина которого
меньше /. Введем событие 5, состоящее в том, что Xi е /,
и противоположное ему событие Л. Имеем Р(В)^ 1/2 и
оо
Р ($п е/)= (Р^ + ге/) dFn_x (х),
— оо
где Fn-i(x) = V(Sn-i<x). Далее,
Р (Sn <= 7) = f Р ([Хх + ig/10B) dF„-! (х) +
+ J Р (\Х1 + ж е= I] П Я) d^n_x (ж) <
— fX)
оо
< J Р ([X, + а, == /| П Я) d^.-i (х) +
— оо
оо
+ f Р(\Х1 + ^е/]|В)Р(5)dFn_, (¢).

§ 2. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ СУММЫ 69
Воспользуемся соотношениями
P([I1 + iG/]n5) = P([Z1 + х ев I]0[Xi^J])^Q(Xi; I)
при х се I — J = {у — z: у ев 7, z ев Л и
Р([Х1 + л:еЕ/]П5) = 0
при хШI — J. Тогда получим
P(5nG/)<^(I^)P(5n_1G/-/) +
оо
+ i j Ра^ + х ^7)15)^^(^).
—ОО
Имеют место неравенства
Р(5п_,е/-/)<()(5п_г;2/)<
<
4? (5П_Х; j) < ^ ((в - 1) (l - Q [Хг; ^)))^-,
последнее неравенство следует из (2.13). Принимая во
внимание, что Q(Xt; 1/2) < 1/2, получаем Р(5„-,е
^I-J)^An~i/2 и
оо
+ | j P(5„_i +же7)ЙР(Х]<ж|5)<
— оо
<Лп-1/2^(Х1;Л) + 19(5п_1;Л).
Учитывая произвольность числа а в определении
области 7, приходим к неравенствам
Q (Sn; К) < An~"2Q (Xl5 Л) + | 9 (5n-i; Л) <
< AQ (¾ ^) Iя"172 + S1 2~* (и - к)"112].
\ ft=0 J
Имеем
П-1 [«/2]
2 2-ft (п - А:)"172 = 2 2~к (п - &Г]/2 +
п-1 [п/2]
+ S 2-ft (и - А;)-1/2 < re-^2 1/2 2 2~ft +
й=[«/2] + 1 ft-0
+ if 2~k^An-l!\
k=[n/2] + l

70 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Поэтому Q(Sn- X)<An~i/2Q(Xi; X). В силу (2.2) отсюда
следует (2.17). □
Лемма 10. Пусть X — случайная величина с х. ф.
f(t) и функцией концентрации Q(X; X). Тогда
а
j | / (*) \р dt < jQ (X; К) (pD (X; К))'1'2 (2.18)
для любых а > 0, р>2иО<Х< 1/а.
Д о к а з а т е л ьств о. Для тг^ЯМ имеем
Л/(*)Г*< j \f(t)\2ndt
UKiA
J \f(t)\2dt^QKsn]x)
n
в силу леммы 7. Здесь 5П = 2 ^» а случайные величи-
пы Х1? ..., 'Ап независимы и имеют то же распределение,
что и X. По лемме 9
а
Г | /{t) f « dt^-^=Q(X; X) (D (X; %))~"\
— a r
Таким образом, неравенство (2.18) доказано для любого
четного р. Если же 2п < р < 2п + 2 при каком-либо
гае IN, то ввиду неравенства \f(t)\ ^ 1 имеем
а а
\f(t)fdt^^\f(t)\2ndt^^-Q(X;X) (pD (X; %))-"\ □
— а —а
Перейдем теперь к завершению доказательства
теоремы 5. Положим
для Л = 1, ..., п. Очевидно,
п
2 j = 1. (2.20)

§ 2. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ СУММЫ 71
Докажем сначала теорему при дополнительном
предположении о том, что pk > 2 для к = 1, ..., п. Пусть fh(t) —
х. ф. случайной величины Xk. По лемме 6 имеем
п
Q(Sn;K)^AK ) IL\fh(t)\dt
\t\<ifik=1
для любого Я > 0. По неравенству Гёльдера
| П1/П01Л- J П(|Ы*)|Т,*Л<
|*|<iAft=1 UNiAft=1
<П( f l/««)l'**)"™<nf f 1Л«)Р*Г\
h=1\\t\<l/K I ft=1\IM<lAA /
поскольку K^k для любого /с. В силу леммы 10 имеем
П( j \h(t)\Pkdt) <
<AJI C7 VPA (¾ ^) (pkD (¾ ^f1'^'
ft=i
Отсюда и из (2.19) получаем
4^ *MWT1/(,Pk) _
9(5„;Л)<^П 2
k=l
IA£i Q'4x;>h)
vph
Ml
**5D(2^)
-1/2
£i ^№;^)>
в силу (2.20). Таким образом, при сделанном нами
дополнительном предположении неравенство (2.16)
доказано.
Осталось рассмотреть случай, когда pk < 2 при
некотором к из множества {1, ..., п). Вследствие (2.20)
неравенство ph < 2 не может быть выполнено для двух или
более индексов к. В рассматриваемом случае имеем при
4 Q (**; &) < т Q Phi ь) <г Q (**; ь*).

72 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Последнее неравенство вытекает из неравенства
2L
Q(X; L)^. у()(Х; X), которое выполнено в силу
леммы 2 для любой случайной величины ]Х и 0 < X ^ L.
Принимая во внимание (2.2), (2.19) и условие pk<2,
заключаем, что
Q (Sn; X) < 2XQ (Xk; lh) {Х\В (Xk; A,))"1'2 =
Займемся теперь более просто формулируемыми
следствиями теоремы 5.
Теорема 6. Если Хи ..., Хп — независимые
случайные величины, 0 <Xk<X (к = 1, ..., п), то
Q(Sn; X) < АХ {2 X2k(l-Q(Xh; Xk))Q~2 (Xk; Ц ^.
(2.21)
Неравенство (2.21) вытекает из (2.16) и (2.8).
Теорема 7. Если выполнены условия теоремы 6, то
Q (Sn, X) < А% max Q (Xh; Kh) \jjl){\-Q (*,-; h))) ' \
1 < h < n I j— 1 J
(2.22)
Это неравенство следует непосредственно из (2.21).
Оценки (2.21) и (2.22) представляют собой
существенные усиления неравенства (2.10). Можно показать, что
утверждения теорем 5—7 останутся верными, если в этих
теоремах условие 0 < Xk < X (к = 1, ..., п) заменить
условием 0 < Xk < 2Х (к = 1, ..., п).
В случае, когда Хк = X, из написанных неравенств
вытекает, что
( п ^| —1/2
Q(SH;k)^A^(i-Q(Xh;X))Q-2(Xk;X)^ (2.23)
И
Q (Sn; %) < A max Q (Xh; К) {£ (1 - Q (Хц I))) * (2.24)
для любого X > 0.

§ 2. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ СУММЫ 73
Если независимые случайные величины Хи ..., Хп
имеют одинаковое невырожденное распределение, то в
силу (2.16) и (2.23) справедливы неравенства
Q(Sn; Л)< -^<?(Xi; k){D$i; Я)Г1/а (2.25)
у п
И
Q(Sn; 1)^-^= Q(Xi; k)(l-Q(Xi; %))-"* (2.2G)
у П
для любого X > 0.
До сих пор мы занимались выводом таких верхних
оценок для функции концентрации суммы п независимых
случайных величин, которые имеют место для
произвольного значения п и для произвольных распределений
слагаемых. Более простыми средствами можно получить
оценки асимптотического характера для Q(Sn; К) при
тех или иных дополнительных предположениях о
распределениях рассматриваемых случайных величин.
Теорема 8. Пусть {Хп; п = 1, 2, ...} —
последовательность независимых случайных величин, имеющих
одинаковое распределение. Если ЕХг = оо2 то
Q(Sn;X) = o[^Jj (2.27)
для любого фиксированного X ^ 0.
Доказательство. Пусть V(х) означает ф. р. сим-
метризоваппой случайной величины Х{. Функция
<р(*)= j x2dV(x)
i*ui/m
не возрастает па полупрямой t > 0 и является четной
функцией. Как легко видеть, ЕХ\ < оо тогда и только
тогда, когда lim ср (t) <С оо. У нас ЕХ\ = оо2 поэтому
lim ср(£) = оо.
Пусть X — произвольное фиксированное
положительное число. Пусть число а таково, что 0 < аХ < 1 и
ф(а)>0. (Существование такого а обеспечивается
невырожденностью распределения случайной величины Х{.)
Из неравенства (2.15) для рассматриваемого частного
случая одинаковых распределений находим, что для

74 Г\Л. IIL НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
любого положительного е < а имеют место оценки
8
Q (Sn; Я) < ^ j ехр {- g nf 2ф (е)} Л +
— 8
+ ^Jexp{-gni2<j>(a)}^<
8
< Сх («Ф (е)Г1/2 + Сал~1/Я j ехр {- Ц а2} Л*,
где Ct и С2 — постоянные, не зависящие от п и 8.
Положим здесь е = rri,k. Поскольку lim ф(Аг_1/4) = оо, оцен-
П-»оо
ка (2.27) доказана для любого фиксированного X > 0.
Функция концентрации не убывает, поэтому (2.27)
имеет место и для X = 0. п
Вернемся теперь к общему случаю не обязательно
одинаковых распределений и рассмотрим
последовательность независимых случайных величин {Хп\ п = 1, 2, ...}
€ х. ф. {vn(t)}.
Будем говорить, что последовательность {Хп}
удовлетворяет условию (А), если существуют постоянная 6>0
// функция -ф (/?)-> +оо такие, что
тг/ш п^ N и некоторых постоянных К и N.
Условие (А) выполнено при г|)(7г)=Утг для любой
последовательности независимых случайных величин с
одинаковым невырожденным распределением.
Действительно, если v(t)— х. ф. случайной величины, имеющей
невырожденное распределение, то в силу теоремы 4
главы I существуют такие положительные постоянные 6
и 8, что
И*)|<е-е'2 при |f|<6. (2.28)
Поэтому
оо
\t\<6 \t\<6 V -no
для всех п.

§ 2. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ ФУНКЦИИ КОНЦЕНТРАЦИИ СУММЫ 75
Укажем еще одно более общее условие, достаточное
для выполнения условия (А). Пусть последовательность
х. ф. {vn(t)} содержит подпоследовательность [Vnm{t);
т = 1, 2, ...} такую, что
(А) существуют х. ф. невырожденного распределения
v (t) и постоянная у > 0, для которых | vUm (t) | ^ | v (t) |
при \t\ <Y (m-1, 2, ...);
(Б) если \i(n) есть число членов
подпоследовательности {Vnm{t)} среди Vi(t), ..., vn(t), то limfi(/z)= оо.
Тогда выполнено условие (А) при ty(n) = У\i(п).
Для доказательства этого утверждения заметим, что
для х. ф. v(t) из условия (А) существуют
положительные постоянные 6 и е, для которых имеет место (2.28).
Полагая S0==min(S, у), получаем в силу (А) и (Б)
f ПЫ*)1*< f ИоГ(п)^<
l*M0*=1 1*1<б0
J г г\х (п)
Если lim inf—— >> 0, то условие (А) выполнено для
г|)(/г)= У п.
Теорема 9. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин, удовлетворяющая условию
п
(А), и пусть Sn = 2 Xh- Тогда
<?(^а)<сШ (2.29)
для всех X ^ 0 и всех достаточно больших п. Здесь С —
постоянная, не зависящая от X и п.
Доказательство. Обозначим х. ф. случайной
величины Xh через vh(t). Применим лемму 6 к сумме Sn.
Тогда получим
(?(5п;Я)<(|)2шах(я,1) j U\vk(t)\dt. (2.30)
Отсюда и из условия (А) следует, что
<?($.;*) <(g)"max (х^)^ (2.31)

76 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
для п> N. Написанные неравенства выполнены для
любого К>0. Из (2.31) вытекает (2.29). □
Представляет интерес случай, когда X зависит от п.
Из теоремы 9 следует, что при выполнении условия (А)
справедлива оценка
Q(Sn; Х„) = 0((Х„+1)/ф(и))" (и-* оо)
для любых Хп^О. В частности, если Хп = о(^(п)), то
Q(Sn; Х„)-+0; если Л„ = 0(1), то Q(Sn; Кп)=0(Щ(п)).
Обратимся теперь к случаю ty(n)= У п.
Теорема 10. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин, удовлетворяющая условию
(А) с г|)(/г)= У/г. Тогда справедливы следующие
утверждения:
(I) если К*=0(пр), 0</?<1/2, то Q{Sn; Хп) =
= 0(тг*-1/2); __
(II) если Хп = о {Tin), то Q{Sn; Хп)~> 0; __
(III) если А,я = 0(1), то Q(S_n; Хя)= 0(1/У/г);
(IV) supV(Sn = x) = 0(l/Vn).
X
Как уже было отмечено, условия теоремы 10
выполнены в том случае, когда рассматриваемые случайные
величины имеют одинаковое невырожденное
распределение. Для этого случая из (2.30) и (2.28) вытекает
следующее просто формулируемое предложение.
Теорема 11. Пусть {Хп}— последовательность
независимых случайных величин, имеющих одинаковое
невырожденное распределение. Тогда
Q(Sn;X)^ck±± (2.32)
у п
для всех Х^ 0 и п. Здесь С — постоянная, не зависящая
от X и п.
В неравенстве (2.32) можно положить
C=(|/max(l, ±)}/ib,
где S и е — положительные постоянные из условия
(2.28), которому удовлетворяет х. ф. v(t) случайной
величины Xi.

§ 3. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМУМА 77
§ 3. Неравенства для распределения максимума сумм
независимых случайных величин
Пусть Хи ..., Хп — независимые случайные всличи-
п
ны, Sn= 2 Х{, 0 < q < 1, и пусть uq{X) означает
Кванго 1
тиль порядка q случайной величины X (см. § 2 главы I).
Теорема 12. Для любого q из интервала 0<д<1
и любого х е (R имеет место неравенство
VI max {5л-хд(5л-5я)»а;\<-1р(5п>Ж). (3.1)
Доказательство. Положим
5* = max {Sz — xg (5Z — £п)} (ft = 1, ..., n),
Kkft
Dk = [S„-i < ж, Sk - xq (Sh - Sn) > x] (ft = 2, .. ., /г),
Я* = [Sn - Sk - K±_q (Sn -Sh)^0] (ft = 1, ..., /7).
Имеем [Sn^x\ = (J Z)fe и
P(5„>a:)= ip(Dft), (3.2)
fe = l
так как V(DkDj) = 0 для ft ¥=j. Далее,
V{Eh)>q (k = l,...,n). (3.3)
Как легко видеть, если LY — случайная величина и
кд(Х)—какая-нибудь квантиль порядка q этой
случайной величины, то —y,q(X) есть квантиль порядка 1 —g
случайной величины —X. Действительно, в силу
определения квантили щ(Х) имеем Р(Х < Kq(X) )> g, Р(Х>
>xq(X))>l — q, или Р(—X>-xe(X))>g, Р(-'Х<
<-ха(Х))^1-д.
Взяв в определении события £^ квантиль Xi-^S^—
п
— Sk) равной —7iq(Sk—Sn), получим U DkEkcz[Sn^ х].
Следовательно,
V(Sn>x)^P[ U DhEh
/i=i

78 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
в силу независимости событий Dk и Ek. Принимая во
внимание (3.2) и (3.3), заключаем, что
п
k=i
По определению, медиана тХ случайной величины X
есть к1/2(Х). При (/ = 1/2 из теоремы 12 вытекает
следующее неравенство Леви:
Р ( max {Sk - т (Sk - Sn)} > х) < 2Р (Sn > х) (3.4)
для любого х ^ 0?. Применяя это неравенство к
случайным величинам —Хи ..., —ХП1 придем к неравенству
Pfmax \Sk-m(Sk-Sn)\^x)^2P(\Sn\^x) (3.5)
\Kk^n }
для любого ^g[R. Если независимые случайные
величины Хи ..., 'Хп удовлетворяют дополнительному условию
симметричности, то из (3.4) и (3.5) следует, что
Р ( max Sk > аЛ < 2Р (5П > х) (3.6)
Pfmax \Sh\^x)^2P(\Sn\^x) (3,7)
для любого жеК.
Теорема 13. Если
P(SH-Sh>-C)>q (¾ = 1 тг — 1) (3.8)
для некоторых постоянных С > 0 и q > 0, то
Pfmax Д^аЛ^-Р^^я —С) (3.9)
для любого isK.
Эта теорема вытекает из леммы 1 главы I и
следующего предложения.
Лемма 11. Если существуют такая неотрицательная
постоянная С и такой набор квантилей Kq(Si—Sn),...
..., Kq(Sn-L — Sn) заданного порядка q (0<д<1), что
Kq(Sh-Sn)<C для ft = l, ..., /г-1, (3.10)
го справедливо неравенство (3.9) Зля любого жеК.
Доказательство. В силу условия (3.10) имеем
Г max 5¾ > я + С] с Г max {Sh — xg (Sk — £п)} > я]

§ 3. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМУМ \ 79
для любого igK. Поэтому вероятность первого из двух
написанных событий не больше вероятности второго
события. Применяя неравенство (3.1) и заменяя после
этого х + С на х, приходим к (3.9). □
До сих пор мы не делали никаких предположений о
существовании моментов рассматриваемых случайных
величии. Сформулируем некоторые следствия полученных
результатов при дополнительных предположениях мо-
ментного характера.
Теорема 14. Пусть п>2, EXk - 0, ЕХ£<оо для
п
к = 2, ..., п. Положим Ьп= 2 ЕА'ь. Тогда для любого
h=-2
положительного q <. 1 и любого х^ R имеет место
неравенство
Отметим, что в этой теореме отсутствуют какие-либо
предположения о моментах случайной величины Хь При
q = 1/2 из теоремы 14 следует, что в случае выполнения
условий этой теоремы справедливо неравенство
Pf max Sft>aA<2P(Sn>3— /2¾ (3.12)
\Kh<n J
для любого x<= R. В свою очередь, из (3.12) вытекает
следующее неравенство Колмогорова:
P(max Sh>*\<2Pfsn>a-f2 2 EX\]\ (3.13)
для любого ^еК (ото неравенство имеет место для
независимых случайных величин Хи ..., Хп, каждая из
которых обладает конечной дисперсией; при этом
предполагается, что EXk = О для к = 1, ..., п). Неравенство
(3.12) является усилением неравенства (3.13), ибо Ъп ^
Перейдем теперь к доказательству теоремы 14. Если
п
К fc ^ „ _ ,1, то Е (Sn - Sky = 2 ЕХ?< fcn, и в силу
неравенства Чебышева

80 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Следовательно,
p(s™-^>-(A-J/2)>g (А=1, .... л-1).
Используя теорему 13, приходим к неравенству (3.11). П
Теорема 15. Пусть ЕХк = 0, ЕХ*<оо (Л=1, ...
..., п) л пусть 0 < <?п ^ с„_1 ^ ... ^ сь Тогда
I m п \
Р { max cft | 5ft \ > аЛ < 4 US, 2 EX* + 2 clEXl
U«fc<n ) x \ h=1 ,i=m+1 J
(3.14)
для любого x > 0 i£ любого целого положительного m < ft.
Доказательство. 1 [оложим
n-l
Легко проверить, что
m п
Er = cS.2EX2+ 2 clEXl (3.15)
Положим еще Bm = (cm I Sm \ ^ x} и
{m<r
Очевидно,
J5fe = / max rr \Sr\< .г, ¢,, | SA | > ж) (к = га + 1, . . ., n).
P ( max ch | 5ft | > x) = 2 P (Д ). (3.16)
Если X — случайная величина, определенная на
вероятностном пространстве (£2, St, Р), и если Z? ^ 51, P(Z?)>
> 0, то положим /(ля любого х
*■(*!*)= рщР«*<*}П Я)
И
оо
ЩХ\В) - J а?^(д;|В).
Имеет место неравенство ЕУ^ 2 Р(^й)Е(У | J5ft).
Если / > /с, то в силу независимости случайных величин
Хи .... Хп имеем E(X<Sh\ Bk)=E{Xj\ B'k)E{Sh\ Вк) = 0 и,

§ 4. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 81
следовательно,
E(S)\Bk)^E(Sl\Bh)^xVcl
Далее, для к>т
Е (Y | В„) = 21 (с) - с?+1) Е (5? | 5,) + С»Е (S* \ В}) >
Z—т
> if (с? - <*н) Е (5! | 5Й) + &Е (Si | #ft) >
с;
>тЕ(с'-^) + с»=£
/?. W=ft
n
Поэтому EY^x" 2 p(#a)- Отсюда и из (3.15) и (3.16)
вытекает (3.14). П
Следствием неравенства (3.14), называемого
неравенством Хайека — Реньи, является неравенство
Колмогорова
п
Р ( max | Sk | > а\ < -i У ЕХ*> (3-17)
справедливое для любого а; > 0 и для независимых
случайных величин X,, ..., !Х"П с конечными дисперсиями и
математическими ожиданиями, равными нулю.
§ 4. Экспоненциальные оценки для распределений
сумм независимых случайных величин
Рассмотрим независимые случайные величипы Xh ...
п
..., Хп и положим S = 2j Xk.
k=i
Теорема 16. Пусть существуют положительные по-
стоянные gi, ..., gn и Т такие, что
EetXh^khti (ft-1,..., п) (4.1)
П
для 0 < i ^ Т. Положим G = 2 Sk> Тогда
k=i
Р(5>ж)<Гх2/2С3 если O^x^GT, (4.2)
Р (S > х) < е"Гх/2, еш а: > GT. (4.3)
6 В. В. Петров

82 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Доказательство. Пусть 0 < t ^ Т. Рассмотрим
неотрицательную случайную величину ets. Для любого х
имеем
р (S > х) = Р (ets > eix) ^ e-txEets.
В силу независимости случайных величин Хь ..., Хп и
условия (4.1) получаем
Eeia=U^tXh<eGiV\
Поэтому
Р (5> х) < exp l^f - tx) (4.4)
для любого х и 0 < t ^ Т. Для фиксированного х
полоса2
жим / (t) = -л £^, п будем минимизировать е/(/).
Если ж = 0, то утверждение теоремы очевидно. Пусть
О < х ^ GT. Уравнение /'(£)= О имеет единственное
решение t = x/G, являющееся точкой минимума функции
f(t). Это решение удовлетворяет условию 0 < t ^ Т.
Следовательно, в (4.4) можно положить t = x/G. Тогда
получим (4.2).
Пусть теперь x>GT. В этом случае f'(t)=Gt — x^
^0, так что функция f(t) не возрастает. Полагая в (4.4)
t = Т, находим, что
Р (5 > х) < exp \^f - Тх} < ехр {- Щ.
Утверждение (4.3) доказано. □
Нетрудно получить левосторонний аналог теоремы 16.
Если для некоторых положительных постоянных gu ...
..., gn и Т выполнено условие (4.1) при —T^t^Q, то
Р (S < - а)< е~х2,2°, если 0< х<GT, (4.5)
Р (S < -а:) < е~г*/2, ес/ш а: > 6Г. (4.6)
Этот результат следует из теоремы 16. Действительно,
если случайные величины ]Хи ..., Хп удовлетворяют
условию (4.1) при — T<t^0, то случайные величины
—Хи ..., —Хп удовлетворяют условию (4.1) при 0^£^
^ Т. Поэтому верны неравенства (4.2) и (4.3) с заменой
S на —S, что равносильно (4.5) и (4.6).
Объединяя эти результаты, приходим к следующему
предложению.

§ 4. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ 83
Теорема 17. Пусть выполнено условие (4.1) при
\t\ < Т и некоторых положительных постоянных gu ...
..., gn и Т. Тогда справедливы утверждения (4.2), (4.3),
(4.5) и (4.6).
Выясним вероятностный смысл условий этой теоремы.
Лемма 12. Пусть X — случайная величина.
Следующие утверждения равносильны:
(I) Существует такая положительная постоянная Н,
что
Eetx < оо при \t\<H.
(II) Существует такая положительная постоянная
а, что
Ееа}х] < оо.
(III) Существуют такие положительные постоянные
Ъ и с, что
Р(|Х| > х)^ Ье~сх при всех х > 0.
Если EX = 0, то каждое из этих утверждений
равносильно утверждению
(IV) Существуют такие положительные постоянные
g и Т, что
EeiX^eqt2 при \t\^T.
Доказательство. Из неравенства etx ^ eltxl
следует, что если выполнено (II), то Eetx < оо при \t\ < а,
т. е. имеет место (I). Так же легко установить, что из
(I) вытекает (II).
Если выполнено (II), то
Р(|Х| > х) = Р(еаШ > еах)^ e~axEealxl
для любого х > 0, так что (III) тоже выполнено.
Покажем теперь, что из (III) следует (II). Пусть V(x) —
ф. р. случайной величины X. При 0 < а < с имеем
оо
Ееа\Х\ = j еа\Айу {х) =
— ОО
О / X \ оо / оо \
= | e-axd j dV (и) + J enxd - J dV (и) <
-оо \-oo / О V X J
О оо
< 2 + ab j eic-a)xdx + ab\ e-(c~a)xdx < oo.
— оо 0
6*

84 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Итак, равносильность утверждений (I), (II) и (III)
установлена.
Пусть EX = 0. Если выполнено (I), то
1пЕ^ = ~*2 + o(t*)
при / -> 0, где о2 = ЕХ2. Какова бы ни была постоянная
£ > -77 а2» поэтому выполнены неравенства In Eelx ^ g£2 и
Ее ^ eq для всех достаточно малых £, т. е. имеет
место (IV). Ясно, что из (IV) вытекает (I). О
Представление о точности оценок, доставляемых
теоремами 16 и 17, дает следующий пример. Пусть Хк (к =
= 1, ..., п) имеет нормальное (0, ok) распределение.
Тогда
ln!fc'X*-4oif, Ее^-е'4'*,
и условие (4.1) выполнено при gfc = (тл и любом Т > 0.
п
В этом случае G = 2 aL и в силу теоремы 16 имеем
Р (S ^ ж) ^ е"* 2 J для любого х> 0. Множитель 1/2 в
показателе нельзя заменить большей постоянной, так как
для рассматриваемых случайных величин
оо
xIYg
при х -+■ +°°.
Теорема 18. Пусть EXk = 0, а* = ЕХ£<оо (й=И, ...
п
. .., п), В = 2 °k- Пусть существует такая
положительных
пая постоянная Н, что
lEXrk^tf™-2 (А=1, ...,») (4.7)
для есеа; целых тп^2. Тогда
Р (5 > ж)< е_х2/4В, если 0<ж<5/Я,
Р (5 > ж) < e-*/ur, еош ж > Я/ff,
Р (5 < - ж)< е~х2/4В, если 0<ж<5/Я,
Р (S < —ж) sS в"*'"', если а; 3» В/Н.

§ 5. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МОМЕНТОВ СУММ 85
Доказательство. Рассмотрим формальное
равенство
Ее h=l + t-oi + LEX3k+ ... (ft =-1,..., л).
Вследствие (4.7) ряд в правой части мажорируется рядом
l + ^o2k(l + H\t\ + H4*+ ...).
Если UI ^ 1/(2#), то сумма последнего ряда не
превосходит
Таким образом, выполнено условие (4.1) при UI ^
п
< 1/(2#) и gk = 2о\. Следовательно, G = 2 gk = 25.
k=i
Применяя теорему 17 при Г = 1/(2#), мы получим
утверждения теоремы 18. □
Заметим, что теорема 17 представляет собой не
только более общий, но и более точный результат по
сравнению с теоремой 18.
§ 5. Неравенства для моментов сумм
независимых случайных величин
Хотя результаты этого параграфа относятся к суммам
п
Sn = 2 Хъ независимых случайных величин, мы начнем
ft=i
с приведения двух неравенств для моментов сумм
произвольных (не обязательно независимых) случайных
величин Qfi, ..., Хп. Если 0 < р < 1, то
E|Sn|p<2E|Xfe|p. (5.1)
fc=l
Если р > 1, то
п
Е|5„|р<лр"12Е|Хл|р. (5.2)
ft=i
(Мы не делаем предположение о том, что E|Xjp<oo
для всех ft, так как в случае нарушения этого условия
написанные неравенства очевидны.)

ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Неравенства (5.1) и (5.2) следуют из элементарных
неравенств
п
п
2 ак
ft=l
р п
<2ЫР
^=1
(0<р<1) и
п
2 %
/i-=i
р
<
^ ?гр 2 I а/г |Р (Р > 1)' справедливых для любого п е
ft=l
gNa любых %, ..., anelR, после замены ак на Xfe п
интегрирования.
При дополнительных предположениях о
рассматриваемых случайных величинах неравенство (5.2) можно
существенно усилить.
В дальнейшем предполагаем, что Хи ..., Хп —
независимые случайные величины.
Теорема 19. Пусть EXk = 0 (к = 1, ..., /г), р > 2.
^,»= 2Е|Хй|р, 5и= 2EXJ.
fc=l /t=l
Тогда
E\Sn\p^c(p)(Mp,n + Bpn/2), (5.3)
где с(р)-~ положительная постоянная, зависящая
только от р.
Доказательство этой теоремы опирается на
следующую лемму.
Л е м м а 13. Пусть уи ..., уп — положительные числа,
у = max yk, Y = {уг, ..., уп}, Vk (х) = P(Xk< х),
ц(-оо; У)= | j ^Fft(x),
Д(-оо; Y) = 2 J aWft(a).
Тогда
n
ft=i
fx /д-ц(-ео; У) , Д(-оо; У)^„^ *у ,,,\}
Зля любого х > 0.

§ 5. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ МОМЕНТОВ СУММ
Доказательство. Положим для /с = 1, ..., п
_\Xh, если Xh<yk, Д
Zft-l0, ecjmXh>yh, Ln~hh-
Очевидно, для любого х еК имеем
[Sn >х\<= [Тп > х] U [Sn Ф Тп\.
Следовательно,
P(Sn>x)^P(Tn>x)+P(Sn^Tn).
Далее, Р (rn>^)<e_raEe ' для любого h > О, поэтому
Р (Sn >х)< e-bxEehTn + 2 Р №>Ы- (5-4)
Нетрудно установить, что функция (ех—1 — х)х~2 не
убывает на К; следовательно, тем же свойством
обладает и функция (ehx — 1 — hx)x~2 при fc > 0. Поэтому
Vk
— с»
Vk Ук
< 1 + h j adF* (*) + j (/* - 1 - fc*) d7ft (a) <
— oo —oo
Vk Vh
< 1 + Л J a;iFft (ж) + (/^ - 1 - hyh) yl2 J *Wft (ж).
— oo —oo
Воспользовавшись неравенствами yk^y для Л = 1, ..., n,
получим
E^ < 1 + Л J xdVk (x) + (^v - 1 - %) ,г/~2 j aW* (ж).
Случайные величины Z1? ..., Zn независимы, поскольку
независимы |Х\, ..., Хп. Следовательно,
е he —
п
= e~**nEe *<ехр{ —Ла + Ац(—oo; У) +
ft=i
+ (^-1-^)^5^00.^).

88 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Положим здесь h = — In ( р, ху . v, + 1 . Тогда
у \В(— со, >) у
B{-oo-YY
\B(-oo;Y) ^ V
/
<ГЛхе/Гп<
<
еХр( * - [Л(-Г;Л -^-°°>y) + ^1inf «* + Л).
1 \у [ у2 г/ У J \#(— оо; Г) у]
Отсюда и из (5.4) следует утверждение леммы. □
Заметим, что для вероятности Р (Sn ^ —х), где х > О,
имеет место аналогичная оценка сверху, которая
получается при замене P(Xh>yk) на P(Xh^ —yk), ji( —°°; 7)
на — tl (_ у; оо) = — S J *d7A (.г) и В (- оо; У) на
B(-Y; оо)= 2 j ,rW,H.
Перейдем к завершению доказательства теоремы 19.
В силу условия EXh = 0 (¾ = 1, ..., тг) имеем
ji(—°o; 7)^0. Из определений величин В( — оо; 7) и Вп
следует, что В(—со; Y)^Bn. В силу леммы 13 и
замечания к пей при yk = у (к = 1, ..., п) получим
P(|S»I>*)< 2 ?№!>») +
+ 2exp{-£-|]r,(^ + l)} (5.5)
для любых х > 0 и г/ > 0. Положим здесь у = я/г, где
г > р/2. Умножим обе части неравенства (5.5) па pxv~l
и проинтегрируем по области 0 < х < оо. Используя
легко проверяемое равенство
оо
Е | X \р = р JP Р| ^)^-¾¾
о
справедливое для любой случайной величины X с

§ 6. ДОПОЛНЕНИЯ 89
Е \Х\Р < «г, получим
оо
Е|Sn\р<гр Д Е| Xк\р + 2per jа*"1 {щ + 1) V
~~ о
Последний интеграл равен ~гр/25^/2В (у> r —~f) (см-' на~
пример, [29, с. 309, формула И]), где В (а, р) =
1
= j ха~г (1 — xf~1dx. Таким образом, для любого г> р/2
о
имеет место неравенство
Е | Sn f < rpMp,n + prp'VB ({,r-{) ВЦ\ (5.6)
Отсюда следует (5.3). □
Теорема 20. Пусть lXh .. ., Хп — независимые
случайные величины, EXk = 0 (к = 1, ..., тг), р > 2. Тогда
E\Sn\p^C(p)n'~1iiE\Xh\^ (5.7)
где С(р)—положительная постоянная, зависящая
только от р.
Доказательство. Если Y — произвольная
случайная величина и 0 < г < s, то (Е |7|r)1/r <(Е |7|s)1/s.
Применим это неравенство к случайной 'величине У, име-
п
ющей ф. р. ~ ^ ^(ж)> гДе ^ь(я)—Ф- Р- случайной ве-
личины Xk. Тогда получим (Вп/п)1/2 ^ (Л/Р| п/тг)1/р для
р > 2, или #n ^ пр/2~1МРуП. Отсюда и из (5.3)
следует (5.7). □
§ 6. Дополнения
Если Х\, ..., Хп — случайные величины, то мы полагаем
Sn - 2 *А. Q (¾ Ь) = Slip Р (* < *п < * + >-)'
fc=l х
1. Пусть Zi, ..., Хп — независимые одинаково распределенные
случайные величины, E[Xi|r < оо для некоторого положительного

90 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
г ^ 2. Тогда
Q(Sn; K)>K(r)K(K+(nvr(a)y»)-1
для любого X ^ 0, где vr(a) =E|Zi — a\r, а — произвольное число
и К(г)—положительная постоянная, зависящая только от г (Эс-
сеен [261]).
2. Пусть Х\, ..., Хп — независимые случайные величины с
общей невырожденной ф. p. F(x). Следующие утверждения
равносильны:
1) ЕХ2<оо;
2) существуют положительные постоянные К\(к, F) и К2(Х, F),
зависящие только от X и F, такие, что
К\{К F)n-x/2^Q{Sn\ X) ^К2(Х, F)n~W
для любых п ^ 1 и X ^ 0 (Эссеен [261]).
Наряду с функцией концентрации Q(X\ X), введенной Леви,
были предложены другие функции концентрации.
Пусть X — случайная величина с ф. p. F(x). Функция
концентрации Каваты С(Х; X) определена равенством
СХ
С {X; Х) = — Г (F (х + X) - F (х))2 dx
для любого X ;> 0. Функции концентрации Кунисавы Л¥\(Х\ X) и
Л¥2{Х\ X) определены равенствами
СХ
Ч^ (X; X) = Г -=
*2
А dF (х)
х* + Х2
— сю
И
(X»
т,(1Д)= f /2 2 <*Л*)
2 J х2 + Я2
— (X»
для лкюого X ^ 0, где /"(я)—ф. р. симметризованной случайной
величины X.
3. Пусть X — случайная величина с х. ф. /(/). Тогда
со / . Xt \2
/ s
sm ■
т
С(Х; W=^- J (¾^) 1/(01¾
lim<7(X; А,)-= lim — Г | / (0 |2^
K^O T^ + oo T J
0
(Кавата [326], [327]).

§ 6. ДОПОЛНЕНИЯ 91
4. Пусть f(t) — х. ф. случайной величины X. Если О^а < 1,
то условие
±-§\f(t)\2dt = 0(T-a) при Т-+оо
(6.1)
равносильно условию
С (X; X) = 0(Ха) при Я,->0. (6.2)
Если выполнено условие (6.1) для а = 1, то выполнено условие
(6.2) для а = 1. Если выполнено условие (6.2) для а = 1, то
1
при Т -> оо
(Кавата [327]).
5. Имеют место неравенства
-^. Q2 (х; -|.) < С (X; &)<<?(*;
Я)
для любого Я > 0 (Кавата [326], [327]).
6. Если X > 0, то С (X; Я) > —^— (>2 (X; аХ) для любого
а е (0, 1] (С. М. Ананьевский [3]).
7. Пусть X —случайная величина с х. ф. f(t). Тогда
о
(X»
^2 (X; Х) = X^e~KiRef(t)
О
(Кунисава [343]).
Пусть ^ — множество неотрицательных четных функций р(х),
интегрируемых на К, не возрастающих на 1R , , непрерывных в
нуле и удовлетворяющих условию р (0) = 1. Положим р (t) =
оо
=■= 1 ег1х р (х) dx. Пусть ^+ — множество тех функций из клас-
— оо
ca ^, которые удовлетворяют дополнительному условию p(t) ^0
для всех feR. Пусть, далее, X > О, X —случайная величина
с ф. p. F(x). Кунисава [343] ввел обобщенную функцию
концентрации К0(Х\ р, X) с помощью равенства
ОО
Ко(Х;р, Jt) = j р (-£.)<#(*), (6.3)
— СХЭ
где F(x)—ф. р. симметризованной случайной величины X,

92 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
а р(х) ^!?+. Более широкий класс функций концентрации введен
С. М. Ананьевским [4] с помощью! равенства
оо
К (X; р, X) = sup^ J р (JL \ dF (х - а) (6.4)
для любой функции р (х) е & и любого Я > 0.
8. Если р(х) е ^+, то
оо
Если /?(ж) = (1 + ж2)-1, то
^о№ />, Я) =*К(Х\ р, Я) = ^(Х; Я).
Если /? (ж) = 1 — | ж | для | х | ^ 1 и р (х) = 0 для | а: | > 1, то
^о(1; р, X) =К(Х; р, X) =С(Х; X).
Если р(х) = 1 для \х\ ^1/2 и р(ж) .= 0 для \х\ > 1/2, то
ВДр, Х)и0(Х; Я)
(Кунисава [343] и С. М. Ананьевский [4]).
9. Пусть р (х) е ^. Обобщенная функция концентрации
К(Х; р, X) обладает следующими свойствами:
1) 0 < К(Х\ р, X) ^ 1;
2) если 0 < ^i < Яг, то
К(Х; р, Я,) <^К(Х; р, Я2);
3) Пт К{Х\ р, Х) = 1;
h-»oo
4) если 1и У — независимые случайные величины, то
K{X+Y- р, Х)^шт{К(Х; р, Я), K(Y; р, Я)};
5) существует положительная постоянная С(р), зависящая
только от функции р(х), такая, что
К(Х; p,X)^C(p)Q(X; X)
для любого X > 0 (С. М. Ананьевский [4]; ранее Кунисава [343]
установил, что этими свойствами обладает функция концентрации
К0(Х; р, Я), где р(х) е=&+).
В пп. 10—25 и 29—40 мы рассматриваем независимые случай-
п
ные величины Хи ..., Хп и полагаем £n = 2 ^/t*
k=i
10. Пусть 0 < Xk ^ Я (А* =* 1, ..., п), р (х) <=&>+ и функция
К(Х\ /?, X) определена равенством (6.4). Пусть р(х)^1—\х\г
для | д: | ^ 1 и некоторого положительного г ^ 2. Пусть, далее,

§ 6. ДОПОЛНЕНИЙ 93
inf p(t) >0. Тогда
\t\<i
-1/2
#(¾ P> Ь)<С(Р)Ъ,Г% b2h(\-K(Xk- p, Kk))2/r(K(Xh-PtK))-2i
для любых n^sl и X > 0, где £(/?) —положительная постоянная,
зависящая только от функции р(х) (С. М. Ананьевский [4]).
11. Пусть \Хк\ ^с, EXfe^O (fr = l, ..., /г). Положим Вп -=
п
= 2 EZ'- Тогда
л=1
Р (£п ^ #) < ехр | — 2^~ arc sinh тго
для любого яе К (Ю. В. Прохоров [153]).
12. Пусть ah ^Xk^bk (к» 1, ..., /г). Тогда
Р (Sn — ESn > пх) < ехр |
2(^-¾)2
7i=i
для любого .г > 0 (Хёфдинг [315])..
13. Пусть Xk<^b, EXft«0 (/с = 1, ..., и). Тогда
Р(Яп>л*)
<
<
2 \1?1
О
ь2
!) (*-т)
в интервале 0 < .г < ft. Здесь а2 — — ^ ЕХ2 (Хёфдинг [315] п
Беипет [205]).
14. Пусть /? > 2, р =-,р/(р + 2), а = 1 — р. Пусть У =
= {#ь • • •, г/п} — произвольный набор положительных чисел,
у ^ max {*//, ..., уп}, Vk{x) =,F(Xk < х),
п *Ъ
^(р;о,у)-2 *pdvk(x),
В (-оо; У) =- 2 | *2dFfc(*).
ft=l-oo

0,4 tVt III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Если ЕХн = 0 (к = 1, ..., п), то
+ ехр | max
.p_Lin[i + j£^_i
у ^ Л(р;0, У)/ 2е-°2?(-оо; У)
<
< 2 Р (*fc > УА) + (fryV-VA (р; О, У) + 1)-Р*/» +
+ ехр|- «!f! ) (6.5)
1 2ЛВ(-оо; У) J
для любого х > О (Д. X. Фук и С. В. Нагаев [184]).
15. Пусть EXfc = 0, Е|Ха|р < оо (к = 1 ге) для некото-
77 77
рого /?^>2. Положим ^--2 EXk> Mpn~r^i E\Xh\V- ТогДа
/1=1 ' Й = 1
Р(5я>х)<
< (l + *-j Мр>п^-Р + ехр {- 2 (р + 2)-2,- V/?-1} (6.6)
для любого я > О (Д. X. Фук и С. В. Нагаев [184]).
16. Неравенства (6.5) и (6.6) остаются справедливыми при
замене Р (Sn ^ х) на Р ( max Sh ^ х\ для любого я > 0. Эта
\1<к<п }
же замена допустима в утверждении леммы 13, если заменить
в нем м-(—оо; У) нулем (А. А. Боровков [17]).
17. Пусть EXk = 0, E|Xfe|p < оо (к = 1, ..., п) для некоторого
р^ 2. Положим Vk(x) = F(Xk<x), Yk = IJ1 (Zk) - Ф"1 (Zft),
где Z/t имеют равномерное на (0, 1) распределение, Фь (х) —
нормальная ф. р. с параметрами (0,(ЕХ^)1//2), g_I(^) означает
функцию, обратную функции g(x). Пусть, далее,
lh (р) = Е | V^ (Zft) - Ф^1 (¾ |", Ln (p) = 2 'ft <*>
(как показано в [195], справедливо неравенство lk(p) ^vfe(p), где
оо
vk (р) ■= р Г \х \v~~* | Vh (х) — Фк (х) | dx). Тогда для любого поло-
— оо
жителыюго а < 1 и любого х >» 0 имеем
Р ( max Sk > х УЮ <
I a*x*Bn \ Ln (p)
< 2 И - Ф (d - «) *)) + «P j- <-! Т7(2Г1 + '2 аРхРВГ"' (°'7)

§ 6. ДОПОЛНЕНИЯ 95
где Ф (х) — стандартная нормальная ф. р., сх и с2 — положитель-
п
ные постоянные, зависящие только от р, Вп = 2 EXj^ (А. А. Бо-
h=i
ровков [17]; оценка, мало отличающаяся от (6.7), была получена
Ш. С. Эбралидзе [195] для Y(Sn ^ хЦВп)).
18. Пусть EXfe = 0, E|Xfc|3< оо (к = 1, ..., п). Тогда
Р(5я>хУ^)<1-ф(^) + в-~Ч^-3/8| vA
(3)
для любого х > 0, где с ^ 3-Ю"4, с0 ^ 150, а Вп и Vft(p) —те же,
что и в п. 17 (Ш. С. Эбралидзе [195]).
19. Пусть Fh(x) =F(Sh< х), F(xu ..., хп) =T(Sl < хи ...
..., Sn < .2½). Для любых Х\, ..., in имеет место неравенство
ft=l
(Роббинс [389]).
20. Пусть Хь ..., Xn— независимые симметричные случайные
величины и Yi, ..., Yn — независимые случайные величины с
безгранично делимыми х. ф.
8ц
(*)=ехр If (eitu-i)dVk(u)\ (*=1, ..., и)
где 7л(ц) = P(Xft < и). Тогда
для любого £ > 0. Если, кроме того, случайные величины Хь ...
..., Хп распределены одинаково, то
"(i/H^HI,
Yk^2x]-JLe-nV
для любого х > 0, где Г = In 2 — 1/2 = 0,1931... (Ю. В
Прохоров [152]).
21. Пусть Zn= max IX, — mX, I, где mX — медиана слу-
чайной величины X. Тогда
p(|S„-mSn|>-£-)>-*-P(Zn>*)
для любого х > О (Б. А. Рогозин [162]).
22. Пусть ЕХ^>0, Ее ft<« (¾ = 1, ...,«) Д™
0 ^ ^ ^ Г и некоторых положительных постоянных g\, ..., gn, Т.

96 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
Тогда
рГтах ^>x4<fe_x2/(2G)- если 0<*<G7\
\i<k<n ) [е-тх/2г если X>GT.
п
Здесь £=- 2] вь. (В* R ПетРов t13°] *)•
/1=1
23. Пусть Хь ..., Хп — независимые симметричные случайные
величины, 0:^:спг<:сп-1^ ... ^ ci, g(x) — выпуклая на Ы
неотрицательная функция,
Gn= 2! (ek-eh+i)e(sk) + erJ!(sn)-
Тогда
Р f max ckg (Sk) > х) < 2Р (G„ > *)
для любого х > О (Бикел [212]).
24. Пусть р > 0, тип — целые положительные числа, т < п.
Если /; ^ 2, то cn ^ cn_i ^ ... ^ ci — произвольные
положительные числа; если же р > 2, то полагаем с& = 1//с для любого к.
Положим р — шах|0, -~ — If- Если случайные величины Х\, ...
..., Хп независимы и симметричны, то
Р ( max сь I 5,. I ^ 2дА <
{т
S Е [| ХА |Р/(| хА jp-P + (*/ст)"-Р)] +
fc-=l
+ I E[|^|V(|^r'4(^ft)^)]}
k=,m+l )
для любого а: > 0, где С(р) —положительная постоянная,
зависящая только от р (Модёруди [371]).
25. Пусть Х\, ..., Хп— независимые случайные величины,
E|Zfe|P < оо (к = 2, ..., п) для некоторого положительного р <: 2
и пусть в случае, когда 1 <. р ^ 2, выполнено дополнительное
условие EZfe = 0 (/с = 2, ..., п). Тогда для любого
положительного q < 1 и любого х е 1Й имеет место неравенство
1 / ( L п \llv\
Р (Ж» 4* > *) < 7 р (^ > * - (Т=7 2 ЕI ** I" J ) •
где L = 1, если 0 < /? ^ 1 или р = 2, и £ == 2, если 1 < /? < 2
(В. В. Петров [137]).
*) ,6 [130] предполагалось, что EXu = 0 для всех к, однако
приведенное там доказательство позволяет заменить это ограпиченрге
более слабым условием EXh ^ 0 (&=.!,..., п).

§ 6. ДОПОЛНЕНИЯ
97
26. Пусть X и У — независимые случайные величины, g(x)—
определенная на R неотрицательная четная функция, строго
возрастающая в 1R+ и удовлетворяющая условию g(x)-+oo при
£~>оо. Пусть Eg(Y) < оо. Тогда для любого положительного
д<1 и любого хеК имеет место неравенство
Р (max (X, X + У) > х) <
7 \
X + Y^x-
"(£?))•
где #-1 означает функцию, обратную к функции g. В частности,
если X и У независимы и р = Е| У|р < оо для некоторого р > 0, то
P(max(X, Х + У)>*)<-ур (х + У > х - (у^ j )
для любого zeK и любого положительного q < 1 (В. В
Петров [137]).
27. Пусть Х\, ..., Хп— случайные величины (не обязательно
независимые). Тогда
р G™<„>Sk' ^2х)< 2 (Д El/r t'х" |P/(Iх" lP "ь жР)])
для любого х > 0, где г = 1, если 0 < р <: 1, и г — р, если о > 1
(Шиналь [414]).
28. Пусть Х\, ..., Хп — случайные величины, т и гс — целые
положительные числа, т < тг. Пусть 0 < сп <^ сп-\ ^ ... ^ с\.
Тогда
+
Р ( max с;? 1 S,А > Зх\ <
\т4к<п /м ftl ;
{w г // / \
+ i E1"[|^l"/(|-VI|4-f^)P)
для любого х > 0, где г = 1, если 0 < р ^ I, и г — р, если р > 1.
Если случайные величины Xi, ..., Хп независимы и
симметричны, то
Р ( max ch I Sh I > Ъх\ < 2 V E
ft=l L
4/14 + -J
для любого x > 0 (Шиналь [414]).
В пп. 29—40 мы рассматриваем независимые случайные
величины Xi, ..., Хп.
7 в. в. Петров

98 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
29. Пусть EXfe = 0, E|Xfe|p < оо (к = 1, ..., п) для некоторого
р ^ 1. Тогда
# (/>) Е
Р/2
L \й—1
<Е|5„|Р<С0>)Е
2*2
Л=1
где 2?(/?) it С(/?)—положительные постоянные, зависящие только
от р. Если 1 ^ р ^ 2, то /i(p) ^ Ль С(/;) ^ Л2, где А\ и Л2 —
абсолютные положительные постоянные.
При тех же условиях справедливо неравенство
Е( max |5ft|)P<C(p)E|5n|P,
где c(p)—положительная постоянная, зависящая только от р.
(Марцинксвич и Зигмунд [363], [365]; см. также [362] и [327]).
30. Пусть EXk = 0, Е|Хл|р < оо (к = 1, ..., п) для
некоторого /?, 1 ^ р ^ 2. Тогда
ei^ip<(2-t)2ei?*ip-
/1=1
Положим
13,52 . Я77
Я (Р) = —^ Г (р) sin Л£.
w; (2,6я)р KFJ 2
Если D(/;) < 1, то
Е|5п|Р<(1-Д(р)Г12 E|*,|p
/i=i
(Бар и Эссеен [199]).
31. При выполнении условий теоремы 20 неравенство (5.7)
имеет место с постоянной С(р), определяемой, равенством
С (р) - -j Р (р - 1) max (1, 2^3)(l + ~pK^Kw)\
где га — целое число, удовлетворяющее условию 2т <^. р < 2га + 2,
™ 2ТП-1
^2т "= 2 (г— 1)! (ДхаРмадхикари и Йогдео [246]).
г=1
32. Пусть ЕХь = 0, E|Xft|P < сх> (к = 1, ..., тг) для
некоторого /?> 2. Положим
Тогда \__11_1Г_..*:' I
Е|5п|Р^2"Ршах\Мр§п, В*/'<
(Розенталь [392J, [393]).

§ 6. ДОПОЛНЕНИЯ 99
33. Пусть E|X/i|p < оо (к = 1, ..., п) для некоторого р > 1.
Тогда
171 ' 71 \ TJ
2EI**|P. (2E|Xft
ft = l \ft=l
(Розенталь [392]).
34. Пусть G — множество неотрицательных четных функций
g(x), определенных на U и таких, что g(l) = 1, g(x) и x/g(x) не
убывают на IR+. Пусть Xi, ..., Хп — независимые одинаково
распределенные случайные величины, EXi = О, Е^ = 1, ElXJ"1^ (Хх)<
< оо для некоторого целого т^2и некоторой функции g(x) е
е= G. Тогда
([W/2] _ )
Е | **&(**) < ^ И I 2 "VE | Х± f-^-Dg {Xi) + n™l*g (Уп)\
В частности, имеют место неравенства
ES2n g(Sn) < ЬпЩв (XJ + 6«g (1/й),
1
Е
у»5*
2+6 ^ 2г+6 - 1 + (2г+б + 1) ra-6/'2E | X, \2+&
если 0^ 6^1 (В. В. Сазонов [173]; там же получены оценки
сверху для E\Sn\mg{Sn) без предположения об одинаковой
распределенности случайных величин Х\, ..., Хп).
35. Пусть Хь Хг, ... —последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин, 0 < EXj < оо. Пусть
М(х)—неубывающая функция, определенная на IR + , такая, что
М(0) > 0, х/М(х) не убывает в области х ^ х0 при некотором ж0.
Пусть г—целое неотрицательное число, ц, = EXj. Если
Е|Х,|''Л/(|Х,!) < оо, то
E\Sn\'M(\Sn\) со (и[1)'ЛГ(|1|х)
при п-+оо. В частности,
EM(|Xi|) < оо =^ЕЛ/(|5П|) co¥(»}i).
Если же ц. = оо и El/(|Xi|) < оо, то EM(\Sn\) = 0(п) при п-+оо
(Смит [403]).
36. Пусть Е|Хь|р < оо (к = 1, ..., п). Положим
\fc=i |x|<?/ / к^л\А>у
11 kn (p) = inf Лп (z/, p), где Ffe(x) — ф. p. симметризованной слу-
y>o
чайной величины Xh. Если 1 ^ /? < 2 и EX^ = 0 для всех /t, то
ci(p)K(p) ^E\Sn\p^c2{p)Kn(p).
Если 0 < р < 1 и каждая случайная величина Хь имеет нуль
своей медианой, то с(р)Хп(р) < Е|5п|р < 2hn(p). Здесь ci(/?),

100 ГЛ. III. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ
с2{р) и с(р) —- положительные постоянные, зависящие только от р
(Э. Манставичюс [87J).
37. Пусть ЕХк = 0 (к = 1, ..., п), g(x) — определенная на R
неотрицательная выпуклая функция, удовлетворяющая условиям
g(x+y)^.K(g(x) + g (у)) для любых х, у ев R (6.8)
и
g (— х) ~ g (х) для любого х е IR, (6.9)
где X —постоянная. Тогда Е max #(£,,)< 4ЛГЕ# (.9п). Если слу-
чайные величины Хь ..., Хп симметричны, то Е max g (Sk) ^
^2Eg(^n); при этом условия (6.8) и (6/9) излишни (Бикел
[212]).
38. Пусть Xi, ..., Хп — независимые симметричные случайные
величины, обладающие моментами порядка 2р, где р — целое
положительное число. Пусть G (х) — 2 Р (Хр, < х)- Тогда при фик
оо
сированных значениях |i2r = \ x2rdG (х) (г — 1, ..., р) имеем
sup Е£^р = Е22р, где Z — случайная величина с безгранично
Xk,n
делимой х. ф.
/(*) = ехр| (' (eitx - 1) dG (х)
(Ю. В. Прохоров [156]).
39. Пусть Р(|Х*| < 1) =1 (& = 1, ..., п). Если P(|Sn| ^ а) <
^ 1/(8е), то E|5n|w^Cw(a +1)т для любого целого
положительного га, где Ст — постоянная, зависящая только от га (А. В.
Скороход [177]).
40. Пусть Xi, ..., Хп — независимые случайные величины,
имеющие общую' невырожденную ф. p. V(x), и пусть E|Xj|^ < оо
для некоторого положительного р ^ 2. Положим z;(:r) =
= х~~2 I up (I X I ^ 7/) <iw для .г > 0, н пусть у(п) — решение урав-
о
нения v(y) = 1/и (это решение существует и единственно для
всех п ^ N и некоторого Дт). Положим далее
Кр(п)---у*(п) + п j |x|Pd7(x),
J.x| ^iy(n)
jxa =-- n \ xdV (x), если 0< p < 1,
|*l<2/(n)
[in = wEXi, если 1 ^ p ^ 2.
Тогда E|5„— mSn\p < X^1£n — u,n|p ^ K{K2Xv(n) для всех

§ 6. ДОПОЛНЕНИЯ
101
л ^ N, где
__ [4, если 0 < р < 1, (2р/2, если 0 < р < 1,
1""l2p+1l 1<Р<2, 2~122р, если1<р<2.
Отсюда следует, что
1) в случае 0 < р < 1 существует постоянная с >_0,
зависящая только от р и такая, что сХр(п) ^ Е|ЯП|Р ^ 2р/2Хг(п) при
; 2) в случае 0 < р ■.
\х\<у
^ 2 существует постоянная С, зависящая только от р и такая, что
I mSn ~
', где Хр (и) = Хр (и) +1 п I J xdV (х)\
уществует постоянная С, зависящая т
п-Рп \<С\у (,г) + ( п \ \х? dV (x)YV\ при п > TV (Холл
[285]).
41. Пусть Xi, ..., Zn — случайные величины (условие
независимости не предполагается выполненным), Мп= max I ЯП.
Пусть неотрицательная функция g(i, j) удовлетворяет
какому-нибудь из условий
g(i, /) +^(/ + 1, к) <^g(i, к) (1<^<С/ < к^п)
или
#(*, /)/^(1, тг) ^ (j — i+l)/n (!<«</</г).
: j ^. п и некоторых по-
Если Е 2 Х/г < grV ^ у) для ! ^
I h=i I
стоянных v > 0 и «у > 1, то ЕМ^< C^v(l, п), где С — некоторая
постоянная, зависящая только от v и ]. Если
ft=i I /
для любого £ >» 0, любых г и /, удовлетворяющих неравенствам
1 ^ г ^ / ^ п, и некоторых постоянных v >» 0 и у > 1, то
для любого х >» 0, где
# = 2т{1 + [2-^^+1) -2-^^+^-^-1}
(Лонгнекер и Серфлинг [351]).

Глава IV
ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
К БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМ
И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
§ 1. Безгранично делимые распределения — предельные
для распределений сумм независимых случайных величин
Пусть
^11» ^121 • • ч Хщ,
-^- 21» -^-22» • • ч ^2fe2'
&пЪ Хп2, • • ч Х-пкп,
— последовательность серии независимых в каждой
серии случайных величин и пусть кп ->- °о при п-+ °о.
Рассмотрим задачу отыскания всех предельных
распределений для сумм
2 xnk (l.i)
ь=1
при п -> оо. Без каких-либо дополнительных
предположений эта задача имеет очевидное решение. Именно, любая
ф. p. F(x) может быть предельной для распределений
сумм вида (1.1). Действительно, если случайная
величина Xni имеет ф. p. F(x) при любом п, a Xnk = 0 для всех
п и к > 1, то ф. р. суммы (1.1) совпадает с F(x) для
любого п.
Естественно ввести ограничение, при котором роль
каждого слагаемого в сумме (1.1) будет исчезающе
малой при п ->- оо. Такое ограничение будет исключать
ситуации, подобные только что рассмотренной схеме
суммирования с заведомо неравноправными слагаемыми.
В качестве подобного ограничения введем следующее
условие, называемое условием бесконечной малости:
max Р(|Хп/г|>е)->0 (1.2)
для любого фиксированного г > 0.

§ 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СУММ ЮЗ
Обозначим через Fnk(x), fnh{t) и mXnk ф. р., х. ф. и
медиану случайной величины lXnk.
Лемма 1. Если выполнено условие бесконечной
малости, то 1)
m ах | mXnk \ ->- О, max j \x\r dFnk (х) ->- О
k h \х\<%
для любых конечных положительных гиг.
Доказательство. Любая медиана случайной
величины X принадлежит любому интервалу /, для
которого Р(Хе/)> 1/2. Пусть е — произвольное
положительное число. Из (1.2) следует, что minP (| Xnh\ <8)-> 1,
k
поэтому min Р (| Xnk | < е) > 1/2 для достаточно больших п.
h
Таким образом, max\mXnk\<:& для достаточно больших
k
п. Далее,
max \ | х |r dFnh (х) ^ 8r + тг max J dFnh(x).
k \X\<T k |X|>8
Правая часть этого неравенства может быть сделана
сколь угодно малой за счет выбора достаточно малого 8
при всех достаточно больших п в силу (1.2). П
Лемма 2. Следующие условия равносильны:
(А) условие бесконечной малости,
оо
2
(Б) max f —Z—dFnk(z)-+0,
h J 1 + s
(В) max|/nfe(£) — l|-^0 равномерно относительно I
k
в любом конечном интервале.
Доказательство. Функция (1 + х2)/х2 убывает в
области х > 0, поэтому
max dFnh(x)^ ^- max х dFnk(x)
ь . *L £ h i i- * +x
|x|>8 |a:|>8
для любого e > 0. Следовательно, из (Б) вытекает (А).
1) Здесь и в далтлтейшем мы пишем max вместо max , 2
вместо ^ •

104 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ о сходимости
Далее, при \t\ ^ Ъ и любом Ъ < °о имеем
шах | fnk (t) — l\^i max
J (e»*-l)dFnh{x)
\X\<8
+
+ max 2 max dFnh(x).
Поэтому из (А) следует (В). Остается показать, что из
(В) вытекает (А).
Интегрированием по частям легко убедиться в том, что
оо оо
!тх?"^(ж)==1е~'(1~Кв/('))Л
— оо ' О
для любой ф. p. F(x) и соответствующей ей х. ф. f(t).
Отсюда получаем для любых положительных Тик
оо
•dFnh(x)^^e't\fnk(t)-i\dt^i
J 1 + х-
— СО yj
Т оо
< j max | fnk (t) — 11 dt + 2 j e~fdt.
О k T
Если выполнено условие (В), то правая часть этого
неравенства может быть сделана при достаточно больших
п сколь угодно малой за счет выбора Т. Итак, из (В)
следует (Б). □
В дальнейшем т будет означать произвольное
фиксированное положительное число, так что 0 < т < оо.
Каждой ф. p. F (с индексами или без них) сопоставим число
а = j xdF (х)
\х\<х
и функции
со
F (х) = F(x + а), /(t) = f eitxdF (х).
— оо
Очевидно, \а\ < т.
Лемма 3. Если последовательность {Xriki
удовлетворяет условию бесконечной малости, то
max|/nft(0-l|->0
k
равномерно относительно t в любом конечном интервале.

§ 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СУММ ДО5
Доказательство. Из леммы 1 следует, что
max|an/l|<max ] | х \ dFnh (х) ->■ О,
h k \х\<Х
поэтому для случайных величин Xnk = Xnk — ank имеем
maxP(|Xnft|>8)<maxP(|Xnfe| + |an/l|>8)<
h h
<maxP/r|XfA|>4W0
(\Xnh\>-
в силу условия бесконечной малости величин Хпк. Итак,
величины Хпк также удовлетворяют условию бесконечной
малости. Остается сослаться на лемму 2. П
Лемма 4. Пусть выполнено условие бесконечной
малости для последовательности {Xnki. Тогда In fvh(t)
конечен в области \t\^b при любом конечном Ъ > 0 и всех
достаточно больших п и, кроме того,
infnk(t) = fnk(t)~i + enk(fnh(t)-i)\
где |6nft| < 1. Аналогичное утвероюдение верно с заменой
fnk(t) на fnk(t).
Эта лемма следует из леммы 2 и равенства
1н(1 + а) = а~-~- + о(|а2|) (а->0),
в силу которого |1п(1 + а)—а| ^ |а|2 для достаточно
малых J а\. Возможность замены в утверждении леммы
fnk на fnk обеспечивается леммой 3.
Лемма 5. При любом действительном х и любом
целом положительном к имеем
гх V (**) , а *к
е
2 ^ +»4. <">
где 191 ^11).
Доказательство. Из равенства
je«d/ = -L(e'*_l)
О
вытекает, что \eix — II < \х\. Положим 8 = 0(ж)=»
= х~х (eix — 1) для х Ф 0 и 8(0) = /. Тогда получим
]) Мы полагаем 0°= 1.

100
ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
егх = j _j_ q^ где |0|^1. Для /с == 1 лемма доказана.
Предположим, что (1.3) выполнено для данного /с, и
покажем, что (1.3) верно с заменой к на к + 1. Мы имеем
п V v-o / \ v=o /
поэтому
(**)v
(*+!)!'
Отсюда следует (1.3) с заменой к на /с + 1. П
В следующих двух леммах F(x)—произвольная ф. р.
Лемма 6. Для любого конечного положительного Ъ
существует положительное число с1 = с1(а, &, т) такое,
что
с1 max | / (t) — 1 К
\t\<b
1 +х'
dF(x). (1.4)
Доказательство. Применяя лемму 5 при k = 2,
получим
гаах | /(£) — 11 = max
1М<ь |/|<ь
j (eit{x-a)-l)dF(x)\
- оо
< 2 j dF(x) + b\ j (ж- a) dF(x) I +
|x|^T I |.X|<T I
+ "X J (« — ^)2 rfF И < (2 + I a I &) J dF (x) +
\х\<т |х|>т
+ -y- j (*-a)2AF».
ixi<x
При этом мы использовали определение числа а.
Принимая во внимание неравенство \а\ < т и тот факт, что
функция (х—а)~2 не возрастает в области х ^ т,
находим, что
тах|7(*) — 1|<
\t\<b
2 + \а\Ь
(х- |al)a
1+\ {1 + (т + |а|)2}
(x — af
1 + (х — а)2
dF(x).

§ i. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СУММ Ю7
Неравенство (1.4) доказано. При этом можно положить
Лемма 7. Пусть О < Ъ < оо? и пусть m — медиана
случайной величины с ф. p. F(x). Если |яг|<т, то
существует положительное число с2 = с2(т, &, т) такое,
что
JlT?"^(a;)<C2J(1_l/(0|2)(
Если /(0^0 при O^t^b, то здесь можно заменить
1- 1/(012 на 2lln|/(0ll.
Доказательство. Пусть F(x)—ф. р. симметри-
зованной величины X = X — У, где X и Y —
независимые случайные величины с одной и той же х. ф. f(t).
Случайная величина X имеет х. ф.
оо
|/(£)|2 = j costxdF{x).
— оо
Из неравенств (2.7) главы II следует, что
ы(1-^)^>«<Ч>о.
Поэтому
Ъ оо / b \
J (1 — |/(0 I2) rf* = j j(l — costx)dt \dF(x) =
0 —oo \o /
OO (X»
= b J (l—^)^(-)>^W J -J^TjdFix). (1.6)
— oo —oo
Положим Fm(x) = F(X — m<x), qm{t) = P(IX — m\ >
>t), q(t)=P(\X\ >t) для t>0. Имеем
P (X > t) > P (X — m > *, У — m < 0) --=
= P (X - i» > ¢) P (У — m < 0)> 1 P (X — m > *).
и аналогично P (X ^ — i)^^P(I — m ^ — 0? так что
qm(t)<2q(t) для любого J ^ 0. Далее,
qm(t)= I- Fn(t)+ Fm{-t),

108 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О сходимости
если —t есть точка непрерывности Fm. Отсюда находим
с помощью интегрирования по частям
сю сю сю
х dFm (х) =* — х dqm (х) = qm (х) й-
J 1 -\- X <J 1 -f- X J ,1
•' <
—*> о о *
сю сю
<2fgW-^- = 2 \ -J.dF{x). (1.7)
J 1 + X J 1 4- *
0 —со '
Ясно, что
сю сю
( *2 ., dF(х) = Г (д-а)2 ^/д,)^
J 1 + х2 V ' J 14-(х-a)2 W^
— СЮ — СО
\х\<т |xj>t
Воспользовавшись легко проверяемым неравенством
(х — а)2 ^ (х — m)2 + 2(т — а) (х — а), получаем
J (x — a)2dF(x)^ f (я — тгс)а dF (я)+
|*|'<т |xj<t
+ 2 (т + I m |) I j (x-a)dF (x) I <
< f (a—7rc)2dF(*) + 2|a|(T + |m|) J dF(s).
|а/<т Ixj^t
Таким образом,
J 1 + *2 v '^
— СЮ
< J Or-m)W(.z) + {l + 2t(t + |w|)} J dF(x)
в силу неравенства \a\ < т. Имеют место оценки
f (x — m)2dF(x)^
i-vi<T ,
<{1 + (т+И|)2} I <я-т)" dF(a;)<
UKx1 + ^-W)
:{1 + (т + |ш|)2} f -^^m(.r),
^ 1 -j- x

8 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СУММ ЮЭ
со
(T-|m|)2 J l + i2
N ' —CO
Следовательно,
CO oo
J 1 + ж J 1 + a;
— oo —oo
где
c=ckx)-(i + (т+i4)2>{i + 11(T2:(;^';U}- (t.8)
Учитывая (1.6) и (1.7), получаем отсюда первое
утверждение леммы. При этом можно положить
^ = Щьу ^
Второе утверждение леммы вытекает из элементарного
неравенства 1 + х ^ ех для любого igS?, из которого
при х = 1/(0 I2 — 1 получаем
1- l/(0l2<-lnl/(0l2 = 2llnl/(0ll. п
Лемма 8. Пусть 0 < & < °°. /?с./ш
последовательность {Xnk} удовлетворяет условию бесконечной малости,
то существуют положительные числа с% = с# (Ь, т) w,
с* = с*(&, т) такие, что
со Ь
с* max | /„, (¢) ~ 1 К j -fL-d^^Xc* J | In | fnh (t) | |Л
— со 0
для ece# /с и всех достаточно больших п.
Доказательство. В силу леммы 1 имеем
a<nh |
j xdFnk(z)\<^ j* | я | d^nA (я)-> 0
|х|<т I |х|<т
равномерно относительно к (1^к^кп), так что
UnJ < т/2 при достаточно больших /г. Применяя лемму 6
к распределению Fnh, мы можем взять в Качестве по-

HO
ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
стоянной с% постоянную, которая получается из (1.5)
при \а\ = т/2.
Далее, из условия бесконечной малости и леммы 1
следует, что \mXnh\ <t/2 для любого т>0 при
достаточно больших п. Воспользуемся теперь леммой 7 для
распределения Fnk. Если заменить в (1.8) и (1.9) \т\
на т/2, то получим верхнюю оценку для с2, которая
зависит только от Ъ и т. О
Лемма 9. Пусть выполнено условие (1.2). Если
П| /па(0 |~Ч /(О I ^я любого t е К, где f(t) — х. ф., то
к
существует такая положительная постоянная с, чгя
оо
-Г-а^(а:)<с (1.10)
при всех достаточно больших п.
Доказательство. Пусть Ъ — положительное
число такое, что 1/(0' >0 при \t\ < Ъ. В силу леммы 4
в области Ul<ft определены и конечны функции
In fnk(I) для достаточно больших п. Имаем
ПI/«*(*) Is-4/(018. (1.Н)
h
причем 1/(0 I2 есть х. ф. Согласно лемме 5 главы I
соотношения (1.11) и 2 In | fnk(t) |->ln| f(t) | имеют место
и
равномерно относительно t в области Ul ^ Ь. По лемме 8
находим, что
ъ
21
dFnk (х) < - с* J 2 Ь | /га да.
1 + я
о
Правая часть этого неравенства имеет конечный предел,
равный
ь
-с* j In |/(/)| dt. п
о
Лемма 10. Пусть выполнено условие (1.2). Если
существует такая положительная постоянная с, что
имеет место неравенство (1.10) при всех достаточно
больших п, то
2{]"7пИ0 - Cfnk(t) -1)}+о (1.12)
для любого t.

§ 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СУММ Ш
Доказательство. Пусть t — произвольное
фиксированное действительное число. В силу лемм 3 и 4
имеем
max|/nfe(0-l|->0
и
и, кроме того,
in/„*(*) = /»*(*)- 1 + 0(7п*(0- I)2
при достаточно больших п. Принимая во внимание
лемму 8 и условие (1.10), получаем неравенства
2\и(о-11<у-2 f г!-*^(*><-f
при достаточно больших п. Следовательно,
\2{lnJnk(t)-(Tnk(t)-l)}\^
< 2 I Л* (*) - 112 < "f max ffnk (t) - 11.
h c* ъ
Отсюда вытекает соотношение (1.12). □
Доказанные леммы позволяют получить следующий
фундаментальный результат.
Теорема 1. Множество функций распределения,
предельных (в смысле слабой сходимости) для распре-
kn
селении сумм ^ %^ независимых случайных величин,
удовлетворяющих условию бесконечной малости (1.2),
совпадает с множеством безгранично делимых функций
распределения.
Доказательство. Покажем сначала, что любое
безгранично делимое распределение является
предельным для распределений сумм вида (1.1). Пусть F(x) —
произвольная безгранично делимая ф. p., f(t) —
соответствующая ей х. ф. Мы имеем /(0 = /п(*)» гДе fn{t) —
х. ф. Положим fnk(t) = fn(t) для к = 1, . . ., 7г, так что
п
/(£) = limJJ[ fnk{t)» Последовательность функций рас-
п
лределения сумм 2 Xnk независимых случайных вели-
k=i
чин Хпк с х. ф. fnk(t) слабо сходится к F(х).
Последовательность {Хпк} удовлетворяет условию бесконечной

112 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
малости, ибо (/(£) )i/n -* 1 равномерно относптельно t в
любом конечном интервале, и мы можем воспользоваться
леммой 2.
Рассмотрим последовательность серий независимых
в каждой серии случайных величин {Xnh; k = i, ..., кп\
п = 1Ч 2, . . .}, удоилетворяющую условию бесконечной
малости. Пусть P(^Xnh < ,z\->F (,г) в любой точке
непрерывности ф. p. F(x). Покажем, что F(x) безгранично
делима.
В силу теоремы 11 главы I имеем
оо
П/«*(')-*/(')= J eilxdF(x). (1.13)
«■ — оо
Согласно леммам 9 и 10 для любого I выполнено
соотношение (1.12). Далее,
ОО
Ink (/) = j ei,xdFnh (х + вй)=е""%(().
Поэтому
In7»ft (0 - (Ink (0 -1) = in /nA (0 -
— t/ff,lft + / (eilx - l) dFnft (ж) I = In /„ft (/) - itanh -
oo oo
— oo —oo
Следовательно,
2(in /„ft (/) - (/„ft (0 -1)} = in П hu (t) -1™W, (1-14)
/i
где
1½ (/) - П'п/ + J (eltx - 1 - 7¾ *-±£dGn (.r),
"nh + J l~f?rf^nft^l
T 11 H-»

§ 1. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ СУММ ЦЗ
По лемме 9 имеем Gn(+«>)^ с < °° при всех
достаточно больших п, так что Gn(x) является неубывающей
ограниченной функцией. Поэтому в силу теоремы 4
главы II е есть безгранично делимая х. ф. Из
(1.12)-(1.14) следует, что
e*n('U/(0 (1.15)
для любого t. Согласно теореме 3 главы II, х. ф. f(t)
безгранично делима. П
Могут встретиться случаи, когда сходимость
распределений сумм (1.1) бесконечно малых независимых
слагаемых не имеет места, однако существует такая
последовательность постоянных {Ьп; п = 1, 2, . . .}, что
распределения сумм
2^-6« (1.16)
сходятся к некоторому предельному распределению.
X. ф. случайной величины (1.16), равная ехр{— ibnt}X
хП /n/(W' лишь множителем ехр {—ibj} отличается
от х. ф. суммы (1.1), так что модули обеих х. ф.
совпадают. Если функция ^n(i) является логарифмом
безгранично делимой х. ф., то функция —ibnt + ^n(t) обладает
этим же свойством. Проследив доказательство теоремы 1,
легко убедиться с помощью сделанных замечаний в
справедливости следующего предложения.
Теорема 2. Множество распределений,
являющихся предельными для распределений сумм вида (1.16), где
Хпк — независимые случайные величины,
удовлетворяющие условию бесконечной малости, и Ьп — постоянные,
совпадает с множеством безгранично делимых
распределений.
Наряду с условием бесконечной малости (1.2) можно
рассматривать обобщающее его условие существования
такой последовательности постоянных {lnh; /с = 1, ..., кп;
п = 1, 2, ...}, что
max Р(|Хп*-/яЛ|>е)-*0 (1.17)
l~<h<hn
для любого фиксированного е > 0. Это условие
называется условием предельного постоянства.
8 В. В. Петров

114
ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
Иначе говоря, случайные величины Хпк предельно
постоянны, если существуют такие постоянные lnh, что
величины Xnk — lnk бесконечно малы.
Если случайные величины Хпк удовлетворяют
условию (1.17), то Ink = mXnh + о(I) равномерно
относительно к. Действительно, из (1.17) следует, что
rain P(\Xnk—lnk\<£)>-T
для любого е > 0 и достаточно больших п. В силу
определения медианы имеем \mXnk—lnh\ < е для всех к и
достаточно больших п.
Отсюда следует, что если условие (1.17) выполнено
для какой-нибудь последовательности постоянных {/nft},
то оно выполнено и при замене lnk на тХпк.
Очевидно, что в теоремах 1 и 2 мы можем заменить
условие бесконечной малости рассматриваемых
случайных величин условием предельного постоянства этих
величин.
§ 2. Условия сходимости
к заданному безгранично делимому распределению
Как показано в § 1, любые безгранично делимые
распределения и притом только эти распределения,
могут быть предельными для распределений сумм
независимых случайных величин, удовлетворяющих
условию бесконечной малости или условию предельного
постоянства. Небольшие дополнительные рассуждения
позволяют получить необходимые и достаточные условия
сходимости распределений таких сумм к заданному
безгранично делимому распределению.
Теорема 3. Пусть F(x)— безгранично делимая
функция распределения с характеристической функцией
/(О7 представленной равенством (2.10) главы II. Пусть
\Xnk] к = 1, . . ., кп; п = 1, 2, .. .}
— последовательность серий независимых в каждой
серии случайных величин, удовлетворяющая условию
бесконечной малости. Положим Fnk (х) = Р (Xnh < х).
Для того чтобы функции распреде лени я сумм £j л п^
слабо сходились к F(x), необходимо и достаточно выпол-

§ 2. УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ К РАСПРЕДЕЛЕНИЮ Ц5
пение условий *)
Gn^G, Тп-+у, (2.1)
где
£»(*) = 2 Ir+V^"^' (2-2)
т„ = 2 «>* + J гт?^ {х)\' (2-3)
ft = l I —оо '
«nft = J * d^nft (*)> Kk И = ^nft (* + Япл), (2-4)
|x|<x
т — произвольное положительное число.
Доказательство. Пусть Р [2 ^"nft < х) -*- ^ (х)
в любой точке непрерывности функции F(x). Тогда,
как было показано в ходе доказательства теоремы 1,
имеет место соотношение (1.15). Поэтому tyn{t) -+
-+■ In f(t) = i|)(0- В силу леммы 3 главы II имеем
GnztG и Yn -*" Т* Необходимость доказана.
Предположим теперь, что выполнены
соотношения (2.1). Тогда г|)гг —^ г|^ = (у, G) вследствие той же
леммы 3 главы II. Так как Gn^tG, то
V
оо
С я2 _
о dFnk{x)-+G(+ оо) <оо.
J 1 + re
Используя лемму 10 и (1.14), заключаем, что
ь П U (0 - фп (о -* о, П /пл (0 -> **(0 = / (0
ft /i
для любого £. Отсюда следует слабая сходимость
распределений сумм ^jXnk к распределению F(x) с х. ф.
Теорему 3 нетрудно обобщить следующим образом.
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3
и пусть {bj — последовательность постоянных. Для того
чтобы распределения сумм 2j X-nk — ^п слабо сходились
/i-1
1) Напомним, что запись Gn^tG означает, что Gn вполне
сходится к G (см. § 5 главы I).
8*

116 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
к F(x), необходимо и достаточно выполнение условий
2 \7^—*dF^(y + ank)zZG(x) (2.5)
и
2 Wk + 1 ГТТ dFnb (x + anh) — bn ->- у, (2.6)
где
Япл = J xdFnk(x), (2.7)
т — произвольная положительная постоянная.
Из теоремы 4 вытекает
Теорема 5. Пусть {Xnh} — последовательность
серий независимых в каждой серии случайных величин,
удовлетворяющая условию бесконечной малости. Для
существования последовательности постоянных {Ьп}
такой, что распределения сумм 2j Xnk — bn слабо сходятся
k
к предельному распределению, необходимо и достаточно
выполнение условия (2.5), где G(x) —неубывающая
ограниченная функция.
Если распределения сумм 2 %nk — bn слабо схо-
h
дятся к предельному распределению, то
hn ( Г )
где у — произвольная действительная постоянная.
Изменения, которые вносит в полученные
результаты замена условия бесконечной малости условием
предельного постоянства, очевидны. При этом в
теоремах 3, 4 и 5 нужно заменить Fnk(x) на Fnk(x + mnk),
где mnk — медиана случайной величины Xnk, и, кроме
того, в теореме 3 следует заменить сумму 2 Xnk суммой
и
^j{Xnk — mnh). Ввиду того, что замена условия бесконеч-
h
ной малости более общим условием предельного
постоянства не связана с какими-либо существенными
затруднениями, но приводит к некоторому усложнению
формулировок, в дальнейшем будем рассматривать последователь-

§ 2. УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ К РАСПРЕДЕЛЕНИЮ Ц7
ности серий независимых случайных величин,
удовлетворяющие условию бесконечной малости.
Найденные необходимые и достаточные условия
сходимости распределений сумм независимых слагаемых к
предельному распределению допускают иную
формулировку. Приведем лишь один результат, примыкающий к
теореме 4. Его доказательство можно найти, например, в
[133]; в дальнейшем тексте он не будет использован. Для
конечной цели этой главы — получения различных форм
центральной предельной теоремы — нам будет достаточно
иметь в распоряжении уже доказанную теорему 3.
Попутно будет получено более короткое по сравнению с
[133] доказательство центральной предельной теоремы.
Теорема 6. Пусть F(х) — безгранично делимая
ф. р. с х. ф. f{t), имеющей представление Леей
{равенство (2.12) главы II). Пусть {Xnk} — последовательность
серий независимых в каждой серии случайных величин,
удовлетворяющая условию бесконечной малости, и пусть
[bj — последовательность постоянных. Положим Fnh(x) =
= Р (Xnk < х). Для слабой сходимости распределений
сумм 2jXnk — Ъп к распределению F(x) необходимо и до-
и
статочно выполнение следующих условий:
(А) 2 Fnk ix) -*■ L (х) при х<.0>
k
2 {Pnk И — 1) -> L (x) при x>0
и
в любой точке непрерывности функции L(x);
(Б) limlimsup2| z2dFnh(x)—( xdFnk(x)Y\=
£-*° n->°° k \\х\<в \\X\<B j J
= limliminf2;( f x*dFnh(x)-[ f xdFnk (x)Y\ = o\
8-^0 П->оо h |,xf<8 ^<8 J |
(B) 2 f xdF«k(x)-bn-+y+ f T^dL(x)-
— f x dL(x)
ь J ^ 1 + aT
n \х\<т о<И<т
\x\>% 1 + ^
для произвольного фиксированного т > 0 такого, что
точки ±т являются точками непрерывности функции L(x).
Не представляет труда сформулировать условия (А) —
(В) в терминах спектральной функции Леви — Хинчиыа.

118 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О сходимости
§ 3. Предельные распределения класса L
и устойчивые распределения
Рассмотрим последовательность независимых
случайных величин {Хп; п = 1, 2, . ..} и последовательность
положительных постоянных (ап; п = 1, 2, ...}. Будем
предполагать, что выполнено условие
max Р (| Хк \^гап)-*0 для любого фиксированного е > 0.
(3.1)
Очевидно, мы имеем дело с частным случаем
рассмотренной ранее схемы последовательности серий
независимых в каждой серии случайных величин,
удовлетворяющей условию бесконечной малости (1.2). Чтобы
убедиться в этом, достаточно положить Xnk = Xk/an (к = 1, . . ., п;
га = 1,2, ...)•
Классом L называется множество функций
распределения, которые являются предельными для
распределений сумм
п
п h=1
где {XJ — последовательность независимых случайных
величин, удовлетворяющая условию (3.1), {ап} и {Ъп} —
последовательности постоянных, ап > 0.
Из результатов § 1 следует, что класс L образует
некоторое подмножество множества безгранично делимых
распределений. Для того чтобы получить характериза-
цию распределений класса L, докажем сначала
несколько вспомогательных предложений.
Лемма 11. Пусть распределения сумм (3.2)
независимых случайных величин, удовлетворяющих условию
бесконечной малости (3.1), слабо сходятся к
невырожденному распределению F(x). Тогда ап -> оо и n+1 -»■ 1.
ап
Доказательство. X. ф. случайной величины (3.2)
имеет вид
/„(o=e-ib"<iWf),
k~l \ ап I
где vk(t)— х. ф. случайной величины Xk. Имеем

§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КЛАССА L ЦП
/»(*)-*/(')= j e«*dF(x).
Если условие ап -+■ °° не выполнено, то
последовательность {ап} содержит ограниченную
подпоследовательность, которая, в свою очередь, содержит
подпоследовательность {anm}i сходящуюся к конечному пределу а
при т ->■ оо. Пусть t — произвольное фиксированное
число. Положим tm = dnmt. Тогда tm -> at при m -> °°.
В силу (3.1) и леммы 2 имеем max
k
t
Поэтому I vk (t) I
1 при m -^ оо для
любого &. Отсюда следует, что \vh(t)\ = i и 1/(/)1=1,
т. е. F (х) — вырожденное распределение, вопреки
условию леммы. Итак, ап ->■ оо.
В силу условия (3.1) и теоремы 15 главы I распре-
п
1 V1
деление суммы а^~ ^n+i сходится к Fix). Обо-
значим через Fn(x) ф. р. суммы (3.2). Тогда
Р - 2 Xh — bn±i <х) = Fn (anx + pn),
V an+i ftSl ;
где an = n+1-, |3n = ^11 bn+i — Ьп. Вследствие теоре-
an an
a , 1
мы 16 главы I имеем —-—>-l. a
an
Лемма 12. Ф. p. F(x) с x. ф. f(t) принадлежит
классу L тогда и только тогда, когда для любого
положительного а<1 существует х. ф. fa{t), такая, что
f(t) = f(at)fa(t). (3.3)
Доказательство. Покажем, что если выполнено
условие (3.3), то f{t)¥=0 для любого t. Действительтто,
если бы было, например, f(2a) = О и f{t)¥=0 при О ^ t <
<2a, то /a(2a)=0 и
1 = 1- \fa(2a) I2 < 4(1 - \fa(a) I2) (3.4)
в силу леммы 4 главы I. С другой стороны, из
непрерывности функции f(t) следует, что fa{a) = jj^\-+-t

120 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
при а -> 1, так что (3.4) пе может иметь место при а,
достаточно близких к единице.
Предположим, что условие (3.3) выполнено. Пусть
Хи . . ., Хп — независимые случайные величины такие,
что Xk имеет х. ф.
X. ф. случайной величины —\Xk равна JJ vh[ — 1=/(0-
Функция f(t) непрерывна, поэтому maxbJ— —1 ->0
и max Р (| Xh | ^ гп) ->- 0 для любого е > 0. Таким обра-
h
зом, F(x) принадлежит L. Достаточность доказана.
Пусть {Хп} — последовательность независимых
случайных величин, {ап} и {Ьп} — последовательности
постоянных (причем ап > 0) такие, что распределения
п
сумм —2d^h — ^п слабо сходятся к F(x) и выполнено
условие (3.1)—условие бесконечной малости случайных
величин Хк/ап (к = 1, ..., п). Можно считать, что
F (х)— невырожденная ф. р., так как для вырожденного
распределения равенство (3.3) выполнено очевидным
образом с вырожденной х. ф. fa(t).
Обозначив через vk(t) х. ф. Xk, имеем gn(t)~* J(t),
п
где ^п (0 = б"1Ья* П Щт-\ При этом f(t)¥=0 по тео-
/1=1 V ап I
реме 1 главы II. В силу леммы 11 получаем ап -> ос,
71+1 ->- 1. Поэтому для любого положительного а<1
ап
существует последовательность целых чисел {mj такая,
что тп ^оо^ п — /тг^ -> оо и -— >- ос. Запишем gn (t)
следующим образом: #Л0 = £"} (0 £n2) (Oi гДе
g™ (0 » ехр {- iafiw„*} П у* -?-— «
' fc=mn+l Vn/

§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КЛАССА L 121
Учитывая соотношение gn(t)-+ f(t) и свойства
последовательности {тп), находим, что gn (t)-+f(at). Поэтому
х- Ф- g{n {t) сходится к непрерывной функции fa(t) =
= f(t)/f(at). В силу теоремы 12 главы I функция fa(t)
является характеристической. О
Из доказательства леммы 12 вытекает, что х. ф. jrl(t)
в разложении (3.3) для х. ф. распределения класса L
является безгранично делимой, ибо /а (t) есть предел
последовательности х. ф. сумм независимых случайных
величин, удовлетворяющих условию бесконечной
малости.
Поскольку распределения класса L безгранично
делимы, естественно поставить вопрос о характеризации
х. ф. этих распределений с помощью свойств
спектральной функции Леви L(x) в формуле Леви (равенство
(2.12) главы II).
Теорема 7. Для того чтобы безгранично делимая
ф. p. F(x) принадлежала классу L, необходимо и
достаточно, чтобы соответствующая ей спектральная
функция Леви L(x) в любой точке х¥=0 была непрерывна,
имела левую и правую производные и чтобы функция
xL'(х) была невозрастающей (здесь V (х) означает либо
левую, либо правую производную).
Доказательство. Пусть J(t)—х. ф.
распределения F(x), принадлежащего классу L, и пусть 0< а< 1.
Мы имеем
г 2 2 2 Г* \
/(a*) = expJiYai —-l£Lf-+ (ешх_1 E^W^)!
1 2 ii*A i+x) j
I |*l>0 ^ 'J
Легко видеть, что
Г I Ни ita2u \ ,Г ( и\
|х|>о \ '
v*dL (и)
=lta{i~a2) j>„ a+»;)7i+«v)= itCv
Поэтому
И>о

122 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ о сходимости
где у± = усе + сг, и мы получаем
\1(е,,"-1-^Мад-^))[
Согласно замечанию к лемме 12 функция f(t)/f(at)
является безгранично делимой х. ф. В силу теоремы 5
главы II функция L(u)—L(u/a) не убывает на
полупрямых и > 0 и и < 0. Следовательно, для любых щ и и2,
удовлетворяющих условиям их < и2, и{и2 > 0, имеем
iK) - Lfe) <L(«2) -^(-^-). (3.5)
Наоборот, из неравенства (3.5) для любых щ и и2 (и{ <
< и2, и1и2>0) и любого а (0<а<1) вытекает, что
функция L(u) — L(u/a) не убывает, и поэтому fa(t) =
= f(t)/f(at) есть х. ф. Таким образом, условие (3.5)
необходимо и достаточно для того, чтобы распределение
F(х) со спектральной функцией Леви L(x)
принадлежало классу L.
Положим
ос
/ (х) = — J* dL (и) = L (е?х) (— оо < х < оо).
ех
Пусть выполнено условие (3.5). Полагая в нем ul = ex~h,
и2 = ех, h > 0, a = e~h, получим неравенство
I{x-h)-I(x)<I{x)-I(x + h),
или
I {*) >\ (Ц* + Щ + I (х - К)).
Таким образом, функция 1(х) выпукла (сверху) на
действительной прямой. Следовательно, 1(х) непрерывна и
имеет при любом х левую и правую производные,
которые не возрастают на действительной прямой. (См.,
например, [185], стр. 114.) Поскольку Г (х) = e*L' (ех),
функция uL'(и) не возрастает на положительной
полупрямой и > 0. Рассматривая функцию
—ех
7i(^)= j dL(u) = L(—ex) (— оо<ж<оо),
— оо
fit)
/(at)
= exp

§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КЛАССА L 123
с помощью таких же рассуждений придем к
заключению, что функция uL' (и) не возрастает в области и < 0.
Если, наоборот, функция L(x) имеет при любом хФО
левую и правую производные и функция хЬ' (х) не
возрастает, то для любого положительного а < 1 имеем
— L I — \^uL (и), если и > 0,
— Z/ [ —) ^ ub' (и), если и < 0.
Если щ < и2, UiU2 > 0, то
и1 и1
^ L' (и) du = L (и2) — L (г/х),
ui
и условие (3.5) выполнено. П
В силу теоремы 7 распределение Пуассона с
произвольными параметрами (а, &, X) не принадлежат
классу L, поскольку спектральная функция Леви для этого
распределения имеет точку разрыва Ъ Ф 0. Для
нормального и вырожденного распределений L(x)^0, поэтому
они принадлежат классу L.
Если интересоваться предельными распределениями
сумм вида (3.2) при дополнительном предположении
о том, что случайные величины Хи Х2, ... имеют
одинаковые распределения, то можно обнаружить, что
множество таких предельных распределений образует весьма
узкое подмножество множества безгранично делимых
распределений и совпадает с множеством устойчивых
распределений.
Ф. p. F(x) и соответствующая ей х. ф. f(t)
называются устойчивыми, если для любых положительных aY и а2
существуют действительные числа а > 0 и Ъ такие, что
/(^)/(^)=^7(^). (3.6)
Легко видеть, что распределение F(x) устойчиво тогда
и только тогда, когда для любых а{ > 0, а2 > 0, Ь{ и Ъ2
существуют действительные числа а > 0 и Ъ такие, что
F (atx +bt)*F (а2х + b2) = F(ax + Ъ).

124 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
Полагая в (3.6) at = и, a = aja и o&i = aja, получим
/ (и) = ехр (— -^1 / (au)f (aiU) = / (сш) /а (г/),
где /а(и) = expj— l-^\f(axu) есть х. ф. Поэтому любое
устойчивое распределение принадлежит классу L.
Теорема 8. Множество распределений,
предельных для распределений сумм (3.2) независимых
одинаково распределенных случайных величин, совпадает
с множеством устойчивых распределений.
Доказательство. Пусть F{х)—~ устойчивая ф. р.
и /(£)— соответствующая ей х. ф. Рассмотрим
последовательность независимых случайных величин {Хп},
имеющих одинаковое распределение F(x). Тогда сумма
п
Sn = 2 %k при любом п имеет х. ф. /n (t) = ег п / (ant),
sn
а нормированная сумма Ъп имеет х. ф. f(t) и, еле-
ап
довательно, ф. p. F{x).
Предположим теперь, что ф. p. F(x) является
предельной для распределений сумм (3.2) независимых
одинаково распределенных случайных величин, где ап > О
и Ъп — постоянные. Можем считать, что F (х) —
невырожденная ф. р., так как вырожденное распределение,
очевидно, устойчиво. Пусть g(t)—x. ф. случайной
величины Х{. Тогда
•f{t) (3.7)
для любого t.
Покажем, что случайные величины Xk/an (к = 1, ...
. . ., п) удовлетворяют условию бесконечной малости, т.е.
X р
- —> 0. Последнее условие равносильно тому, что
а
gl—)-^^ Для любого t. Пусть S>0 таково, что j(t)¥=0
при Ul ^ S. Тогда из (3.7) следует, что expj
tb„t ,
X
X^rf—]->1 при Ul ^ 6. В силу неравенства (3.4)
главы I получаем
!-Н.,(£)0(1-Н.,ф).

§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КЛАССА L 125
Отсюда вытекает, 4ToReg-( — ]->-1 в области Ul ^ 26,
и, следовательно, g ( —)->1 для любого t.
а
По лемме И имеем ап -> °° и — > 1. Пусть d и
ап
с2 — произвольные положительные числа, d4 и d2 —
произвольные действительные числа. Существует такая по-
а„
с+
следовательность целых чисел {тп}, что —-~^ — - По-
ап С2
лож им
осп = апсг, |3П = — (anbn + ^mnbmn + and1 + Omnd2).
Тогда
"4Ф*-к-*-)+
п \
(3.8)
(п+тп \ п+тп
"Ч ^Tf-i / а" ft=i
Функции распределения первого и второго слагаемых
в левой части (3.8) сходятся соответственно к F(c{x + d{)
и F(c2x + d2) вследствие теоремы 16 главы I.
Поэтому ф. р. правой части (3.8) имеет предел, равный
F(схх + d{)* F(c2x + d2). С другой стороны, в силу той же
теоремы ф. р. правой части (3.8) может сходиться лишь
к ф. р. вида F(ах + Ь), так что
F(Clx + dt) * F{с2х + d2)= F{ах + b).
Следовательно, ф. p. F(х) устойчива. П
Теорема 9. Для того чтобы безгранично делимая
х. ф. f(t) была устойчивой, необходимо и достаточно,
чтобы соответствующие ей спектральная функция Леей
L(x) и неотрицательная постоянная о2 в формуле Леей
удовлетворяли одному из следующих двух условий:
(А) ЗД-0;
(Б) о2 = О, L (х) = —*- при х < О,
1*1
L(x) = 1 при я > О,
где 0 < а < 2, сх> О, с2 > О, с, + с2 > 0.

126
ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
Теорема 10. Для того чтобы х. ф. f(t) была
устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы она допускала
представление
/(0 = exp{/Y*-c|*la(l +ф-щю (*,«))}, (3.9)
где с, a, р w у- постоянные (у — действительная
постоянная, с > 0, 0 < а ^ 2, — 1 ^ [} ^ 1) гг
(, па , .
со (*, a) = j 2
— In | £ |, ее./ш а = 1.
При этом в случае а < 2 постоянная а та же, что и
в теореме 9.
Доказательство теорем 9 и 10 можно найти,
например, в книгах Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [28] и
И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [62].
Значению с = 0 соответствует вырожденное
распределение, значению а = 2 — нормальное распределение.
Из теоремы 10 следует, что если f(t)—x. ф.
невырожденного устойчивого распределения F(x), то \f(t) \ =
= ехр{—c\t\a} (0<a^2), и, следовательно, ф. p. F(x)
обладает всюду непрерывной производной (и даже
производными любого порядка).
Пусть {Хп} — последовательность независимых
случайных величин, имеющих одинаковую ф. p. V(x). Если
существуют такие последовательности постоянных {ап}
и {Ъп}, где ап > 0, что распределения сумм
Zn^-^-^Xb-bn (3.10)
k=l
слабо сходятся к некоторой ф. p. G(x), то говорят, что
V(x) притягивается к G(x). Множество всех ф. р.,
притягивающихся к G(x), называется областью притяжения
распределения G(x). Из теоремы 8 вытекает, что лишь
устойчивые распределения имеют области притяжения.
Теорема 11. Для того чтобы ф. p. V(x)
принадлежала области притяжения нормального распределения,
необходимо и достаточно выполнение условия
\ dV(x) = o(-^ J x4V{x)\ (z->+oo).
\x\^z \ Z \x\<z J

§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КЛАССА L 127
Постоянную а в представлении (3.9) х. ф.
устойчивого распределения будем называть характеристическим
показателем устойчивого распределения.
Теорема 12. Для того чтобы ф. p. V(x)
принадлежала области притяжения устойчивого распределения
с характеристическим показателем а < 2, необходимо
и достаточно выполнения следующих условий:
с + о (1)
V (х) = М | ■£ |) п1и %~~> °° >
I % I
1 — V(x) = h (х) при х -> + оо,
где h(x)— медленно меняющаяся функция1). Здесь d
и с2 — те же постоянные, что и в теореме 9.
Доказательство теорем 11 и 12 можно найти в
упомянутых ранее книгах [28] и [62].
Формулировки некоторых результатов, содержащихся
в дополнениях к главе 7, связаны с понятиями области
нормального притяжения и области частичного
притяжения устойчивого распределения. Приведем
соответствующие определения.
Говорят, что ф. p. V(x) принадлежит области
нормального притяжения устойчивого распределения F(x)
с характеристическим показателем а (0<а^2), если
существуют такая последовательность постоянных {Ьп} и
такое число с > 0, что распределения сумм (3.10), где
Xi, . .., Хп — независимые случайные величины с общей
1
ф. p. V(x), слабо сходятся к F(х) при ап = спа.
Для того чтобы ф. p. V(x) принадлежала области
нормального притяжения нормального распределения, не-
оо
обходимо и достаточно, чтобы J x2dV(x)<Coo. Для того
— оо
чтобы ф. р. V(х) принадлежала области нормального
притяжения устойчивого распределения с
характеристическим показателем а (0 < а < 2) при заданных посто-
1) Определенная в области х > 0 положительная функция
h (сх)
h (х) называется медленно меняющейся, если ^ / v -> 1 при
x_^_j_oo для любого с > 0. Обзор свойств медленно меняющихся
функций и более общего класса регулярно меняющихся функций
можно найти в [62], [176] и [183].

128 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ о сходимости
янных с, Ci и с2, необходимо и достаточно, чтобы
слса+о(\)
У(дЛ = _± — при я-*—оо,
I х \а
с9са+о(1)
i — V(x) = —— при ж~>+оо.
ха
Здесь постоянные с{ и с2 — те же, что и в теоремах
9 и 12.
По определению, распределение V(x) принадлежат
области частичного притяжения устойчивого
распределения F(x), если существуют такие последовательности
постоянных {ап}, {Ьп} (ап > 0) и последовательность целых
положительных чисел {%}, что nk-* <х> при к ->■ °° и
распределения сумм Znfe, где Zn определено равенством
(3.10), слабо сходятся к F(x).
Для того чтобы ф. p. V{x) принадлежала области
частичного притяжения нормального распределения,
необходимо и достаточно, чтобы
lim
mil f dV(x)\\ [ x4V(x)\ = 0.
+ °° \H>z / Z \х\<г j
§ 4. Центральная предельная теорема
В § 2 были исследованы условия сходимости
распределений сумм независимых случайных величин,
удовлетворяющих условию бесконечной малости, к заданному
предельному распределению, которое необходимо
является безгранично делимым. Нас будет интересовать теперь
случай нормального предельного распределения.
В представлении х. ф." нормального распределения с
параметрами (а, а) формулой Леви — Хинчина
(равенство (2.10) главы II) имеем у = а,
(0, если x^ZO.
v ' (а2, если х>0. '
Поэтому из теоремы 3 вытекает следующее предложение.
Пусть {Xnh} — последовательность серий независимых
случайных величин, удовлетворяющая условию
бесконечной малости (1.2), и пусть Fnk(x)— ф. р. случайной
величины Xnh. Определим G(x), Gn(x), fn, ank и Fnh(x)
равенствами (4.1), (2.2), (2.3) и (2.4) соответственно, где

§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 129
т — произвольное положительное число. Для слабой
сходимости распределений сумм 2-^п& к нормальному рас-
h
пределению с параметрами (а, а) необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись условия
GnztG (4.2)
И
Тп -> а. (4.3)
С помощью этого результата докажем следующую
теорему.
Теорема 13. Пусть {Хпк; к = 1, ..., кп; п = 1, 2, ...}
— последовательность серий независимых в каждой серии
случайных величин, Fnh{x)—ф. p. Xnh. Для того чтобы
выполнялось условие бесконечной малости (1.2) и имела
место слабая сходимость распределений сумм ^j Xnh «
и
нормальному (а, а) распределению, необходимо и
достаточно, чтобы для любого фиксированного г > 0
выполнялись условия
2P(|Zrift|>e)^0, (4.4)
h
2{ J z4Fnh(x)-( I xdFnh(x))\-+e\ (4.5)
k \\x\<e \l*|<e I J
2 J adFnftta)-^. (4.6)
ft |ac|<e
Доказательство. Докажем сначала
достаточность условий (4.4) — (4.6) для нормальной сходимости.
Пусть выполнены условия (4.4) — (4.6). Тогда
max Р (| Xnh | >е)< 2 Р (| Xnk | >е)->О
h и
для любого е>0 в силу (4.4), т. е. выполнено условие
бесконечной малости. Вследствие сформулированного в
начале этого параграфа предложения, вытекающего из
теоремы 3, достаточность будет доказана, если мы
докажем соотношения (4.2) и (4.3).
Приступим к доказательству (4.2). Предварительно
докажем, что
2 \ x2dFnk(x)-^o2 для любого е >> 0S (4.7)
k |xj<8
9 R. В. Петров

130 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
Введем в рассмотрение суммы
^ = 21 f x4Fnk(x)- j (х-апк)ЫРпк(х)\(Щ
h [\х\<£ |х|<е J
И
^2=2( ( (x-a1lh)*dFnk(x)-
h ||xi<e
- \ x4Fnk{x)+( \ xdFnk(x)Y\ (4.9)
M<e \|xi<e j J
Покажем, что
Г,-0, Г2-0 (л-*«,). (4.10)
Имеем
z\ = 2| J (*-Ма^п*(*)-
k l|*-awft|<e
— J {x — anhfdFnk(x)\>
|X|<8 J
Область (xeR: | x — ank \ < e} можно представить как
объединение непересекающихся множеств {х: \х — ank\ <
< 8, \х\ < е} и {х: \х — ank\ < е, \х\ > г). Аналогичным
образом можно представить область {х: \х\ < е}.
Разбивая каждый из двух интегралов под знаком суммы на
сумму двух интегралов по соответствующим областям,
получим
^=2( J {x-anhfdFnh{x)-
k i|*-an/i|<e
\х\>в
— J (x — ank)2 dFnk(x)I.
|X|<8 J
|x-anfe|>8
Постоянные anfe определены первым из равенств (2.4).
Имеем
max | ank \ < max ) | x \ dFnk (x) -> 0
Ь k \x\<x
по лемме 1, так как условие бесконечной малости
выполнено. Поэтому
{х\ | х — апк | < е, | х | > е} cz {^: е < | х | < 2е},
{т: | ж | < е, | я — flnft | > £} cz {ж: -|- < | ж | < е

§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 131
для всех к и всех достаточно больших п. Отсюда следует,
что
7\|<2 \ (x-ank)4Fnk(x)
k
-^|х|<8
<9e^P(l^nft|>^-)^0
для любого е > 0 в силу (4.4). Далее,
2*8 = 2 (— 2йпй | xdFnh (х) + alk f rfFnS (.г) +
k I |X|<8 1.т|<8
\N<e / J M\ l*l<e /
— ^ft + «nfe j dFnh{x)\.
|x|<e
Будем считать для определенности, что е < т, где т
число из определения ank. Тогда
ТА =
Sjf j «dFnh(a:)y-4ft f dFnk(x)\
< t2 2 J dFnh (x) + max a\k 2 P (| Xnh | > e) -+ 0
в силу (4.4). Случай e > т рассматривается таким же
образом. Соотношения (4.10) доказаны. Отметим, что мы
получили (4.10) как следствие условия (4.4); при этом
(4.5) и (4.6) для доказательства (4.10) не были
использованы. Из (4.10) и (4.5) следует (4.7).
Положим
Л. И = 2 f -^—л<1Рп1,(х) (4.11)
|x|<e
и покажем, что
/«(ej-^o2 для любого е > 0. (4.12)
Пусть 0 < е < е. Тогда
(l+e*)-i2 J x4Fnk(x)^Tn(s)^^ j x*dFnk(x)
k |X|<8 k |X|'<8
9*

132 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
Отсюда с учетом (4.7) получим
(l+_82)-1a2^liminf/n(8)<limsup7n(8)^a2.
Переходя здесь к пределу при е_\ О, находим, что
lim /д(е)= а2.
Докажем теперь соотношение
У \ -JL-dFnbix)-*!) для любого е> 0.(4.13)
Последняя сумма не больше суммы
2 \ dFnh(x) = %P{\Xnk-ank\^E).
к |Х|'>8 k
Для любого е > 0 и всех достаточно больших п имеем
max I anfe < -г-, поэтому
^Pd^ft-a^l^eX^Pfl^l^T)^0'
ft ft \ /
и (4.13) доказано.
Из (4.11), (4.12), (4.13) и (4.1) следует (4.2). Для
завершения доказательства достаточности нам остается
доказать (4.3). Соотношение (4.3) является очевидным
следствием условия (4.6). определения (2.3) и
соотношения
оо
2 f-TT-i\dFnk{x)-+0. (4.14)
** J 1 + х2
Итак, достаточность будет доказана, если мы
докажем (4.14).
Левую часть (4.14) можно записать в виде L{ — L2 +
+ £з, где
Lx = 2 J xdFnh И» L2 = 2 j 7T~^ dFnk (x),
k \x\<x h \x\<x "*" Ж
h .:1 A + x
ft |xj>Ti + '
Покажем, что 1^ -> 0, L2 -> 0 и L3 -*- 0; отсюда будет
следовать (4.14). Воспользуемся уже доказанным соотно-

§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 133
шением (4.2). В силу (4.2) и теоремы 10 главы I имеем
L2= j xdGn(x)-+ \ xdG(x) = 0
\х\<х \х\<х
(при этом мы приняли во внимание определения
функций Gn(x) и G(x), даваемые равенствами (2.2) и (4.1)
соответственно). Далее,
L3= j тМЛ*)-* J ±dG(x) = 0
в силу тех же соображений. Мы имеем
^1 = 2 1 xdFnh (х + ank) =2 j (х~- ank) dFnk (,r) =
ft l*l<t ft |*-яя&|<т
= 2( j + J |(*-a„ft)dF„fc(a).
ft ]|*-anftl<T |эе-аг1Л|<т [
* |X|<T |.X|^>T '
Поэтому
A |l«j<x |эсГ<т |X|>T
\x-ank\^T \x~ank\<x
Следовательно, в силу (4.4) и соотношения max | а^ |-v0.
< 2 ] (^ — flnft) d^wft («) + 2 J I я — а>пъ\ dFnk(x) +
I fe |X|<T I k |X|<T
[x-an/?|>T
+ 2 J \x~~ar>k\dFnk(x)^ 2«пь j dFnk(x)\ +
k |х|>т . I fc |xi>t I
\x-anh\<x
Достаточность доказана.
Перейдем к доказательству необходимости. Нам
нужно доказать, что условие бесконечной малости (1.2) и
соотношение
'(?«-<')-^Е.(
х (/-о)2
е 2° d* (4.15)

134 ГЛ. TV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
влекут за собой соотношения (4.4)-(4.6). В силу
сформулированного в начале параграфа следствия теоремы 3
из (1.2) и (4.15) вытекают (4.2) и (4.3). Учитывая (2.2)
и (4.1), находим, что
2 Г7~2 dFnk (*) =
ъ V 1 + #
/ оо 8 —8
= 2 Ц - J + j xr?dfi*(^°2-°2 = °-
& *— OO — OO —CO
Функция x2/ (1 + x2) пе убывает в области x > 0, поэтому
J 1 4- х 1 + e *J
И
2 I fl^nfc (#) ->■ 0 Для любого f > 0. ^4.16)
Легко видеть, что {х: \ х \ ^ е} с= I ж: | # -— Дтж | ^ 7Г | Для
любых е > 0 и й и всех достаточно больших п.
Следовательно,
2Р(|^|>е)<2Р(|ХяЛ-а|||1|>-1) =
^ 8
в силу (4.16). Соотношение (4.4) доказано.
При доказательстве достаточности мы отметили, что
из (4.4) вытекает (4.10). Поэтому (4.5) будет доказано,
если мы докажем (4.7). Из (4.2) следует, что
1п(г)-+о2 для любого е > 0, (4:-17)
где величина /п(е) определена равенством (4.11).
Обозначим сумму интегралов из (4.7) через /п(е) и
рассмотрим разность /п(е)—/и(е). Имеем
0</п(е)-/я(е) =
-2 1 ГТ7^-Н-2{ I + J \т$?а^^
к
~\~~ х" ~** I j ii I 1 I X
|xl<e~ k l|x|<c 8<|x|<e'

§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 135
где 0 < е < е. Следовательно,
0</п(е)-/п(е)<
fe \х\ < в + * fe |х| > е
Как уже было показано, (4.4) влечет за собой
соотношение 2 ) dFnk (х) -> 0 для любого 8 > 0. Переходя
h |Х|>£
к пределу при п -> °о? получаем
0 < liminf(/n(8)-/n(e))<limsup(/n(8)-/n(e)) <_eV.
После предельного перехода при е I 0 находим, что
0<liminf(/n(e)-/n(e))<limsup(/n(e)-/n(e)) < 0.
Учитывая (4.17), заключаем, что справедливо
соотношение (4.7), из которого следует (4.5).
Для завершения доказательства теоремы остается
доказать (4.6). В силу (4.3) и (2.3) соотношение (4.6)
будет доказано, если мы покажем, что
2 f-i
ь .14-
\ + х
dFnk(x)->0.
Последнее соотношение, как было установлено в ходе
доказательства достаточности, является следствием (4.2)
и уже доказанного нами соотношения (4.4). □
Теорема 13 является общей формой центральной
предельной теоремы для сумм независимых случайных
величин. Следуя установившейся терминологии, мы будем
называть центральной предельной теоремой любое
утверждение о том, что при некоторых условиях функция
распределения суммы неограниченно растущего числа
случайных величин сходится к нормальной функции
распределения.
Приведем иную формулировку теоремы 13.
Теорема 14. Пусть {Xnk} — последовательность
серий независимых в каждой серии случайных величин,
Fnk(x) — Ф-Р- Xnk- Для того чтобы выполнялось условие
бесконечной малости (1.2) и имела место слабая
сходимость распределений сумм 2 Xnk к нормал1 ному (а, о)
h
распределению, необходимо и достаточно, чтобы для
любого фиксированного е > 0 и некоторого т > 0 выполни-

136 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ о сходимости
лисъ условия
2P(|Xnft|>e)-vO,
k
2 J x4Fnk (x) — J xdFnh (x)
k I |х|<т v \x\ <т I
2 J ^^n/i (ж) ->■ a.
fe |x|<t
Доказательство. Очевидно, нам достаточно
убедиться в том, что в случае выполнения трех последних
соотношений для любого е > 0 и некоторого т > 0 будут
выполнены условия (4.5) и (4.6) для любого 8 > 0.
Пусть 0 < е < т. Полагая
Дп(т) = 2| f x2dFnk(x)-( f zdFnk{x))\,
k \\х'\<т \\x\<x I J
получим
I Rn (t) - Rn (e) |< 2 J ^¾^ (*) +
h e<\x\<x
+ 2т 2 I ,f я^п* (ж) I < Зт2 2 ,f dF7lft (x) -> 0,
ft I e^:|ocJ<T I k e^|x|<x
так как 2 P(\Xrih\^e)-^0. Меняя местами e и т, мы
к
получим такой же результат и в случае, когда 0< т<е.
Аналогично
2 I xdFnh (х) — 2 ) xdFnk (х)
k \Х\<Х h \х'\<Е
<2 f \x\dFnh(x)^0.
k miii(t,8)^|jc|<max(x,e)
Отсюда следуют соотношения (4.5) и (4.6) для любого
8>0. □
Полученные результаты позволяют сформулировать
следующее предложение.
Теорема 15. Пусть {Xnk}—последовательность
серий независимых в каждой серии случайных величин,
Fnk(x) —ф. p. Xnh. Для того чтобы выполнялось условие
бесконечной малости (1.2) и существовала такая
последовательность постоянных {bj, что распределения сумм
^Xnk— bn слабо сходятся к нормальному (0,1) распре-

§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 137
делению, необходимо и достаточно выполнение условий
2 Р (| Xnk | ^ е) ->- 0 (9ля любого г > О
Si J *№*(*)-( { xdFnk(x))*\-*l
/: 1|х|<т \И<т I \
для некоторого т > 0. Если последние условия
выполнены, то можно положить
&n==2 j xdFnk(x) + o(l),
h \х\<Н
где Н — произвольное положительное число.
Теорема 15 останется верной, если в ней заменить
слова «для некоторого т > 0» словами «для любого т >
> 0». Заметим, что теорема 15 будет использована при
доказательстве лишь одной теоремы — теоремы 18.
Покажем, что условие ZjP {\Хпк\^г)-^0, неодно-
k
кратно встречавшееся в формулировках теорем,
равносильно условию
Р(тах|ХяьОе)->0.
Положим pnk = P(lXnJ > г). Мы имеем
Р (max | Xnk | > £) = 1 — Р (max | Xnk |< е) =
V и \ и
= i -П р (I ^|<в) = 1-П(1-ы.
k h
Наше утверждение немедленно следует из неравенств
1 — ехр (— 2 Pnftl < 1 — П (1 — Рпь) < 2 Pnk.
{ h ) h k
Из полученных общих теорем весьма просто
выводятся классические результаты Линдеберга, Бернштейна и
Феллера, относящиеся к центральной предельной
теореме для накопленных сумм независимых случайных
величин. Положим
х
— оо
Теорема 16. Пусть {Хп; п = 1, 2, ...}
—последовательность независимых случайных величин, Vn(x) —

138 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О сходимости
ф. р. Хп и пусть {ап} — последовательность
положительных постоянных. Для того чтобы
max Р (| Хк | ^ еап) ->- 0 для любого фиксированного г > О
(4.18)
sup
ir'^iXh<x)-0(x)
п k=l
■О, (4.19)
необходимо и достаточно выполнение условий
2 dVk(x)~^0 для любого фиксированного г > О,
(4.20)
42( f *Wft(*)-( J ^FftwYj^l (4.21)
an k-Л \\x{<an \\x\<an J J
U
42 f xdVh(x)^0. (4.22)
Эта теорема является непосредственным следствием
теорем 13 и 14 при ^nfe = — Xh и Fnk(x)= Vk(xan) (к =
n
= 1, ..., тг)« Соотношение (4.19) равносильно слабой
1 п
сходимости распределений сумм — 2 %k к стандартной
fln k=l
нормальной функции распределения Ф(х) в силу
непрерывности Ф(х) и теоремы 13 главы I. □
В соответствии с теоремой 13 условия (4.21) и (4.22)
в теореме 16 можно заменить условиями
4-2(j *w* м - ( f *dV* (*) Y)"^i (4-23)
И
n л
^2 J *<*П (*)-><> (4.24)
для любого фиксированного 8 > 0.

§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
139
Теорема 17. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин, {aj —
последовательность положительных постоянных. Если выполнены ус-
ловия
^2
ап /1=-1 |
п
x"dVh (х) -> U
\ xdVk (х)
\х\<ап
и условие (4.20), то имеет место соотношение (4.19).
Здесь Vh(x) — ф. р. Хк.
Зта теорема немедленно следует из теоремы 16.
Теорема 18. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин, Vn(x) —ф. р. Хп. Для
существования последовательности постоянных {Ьп} и по-
следовательности положительных постоянных {ап} таких,
что
sup
р 7-2*ft"~6?l<;
Ф(х)
k=i
-0 (4.25)
и выполнено условие (4.18), необходимо и достаточно,
чтобы существовала такая последовательность
постоянных {сп}, что сп ->■ + °°,
2 J dVh(x)-+0
■5г±{ J
x2dVh {x) — l j xdVk (x)
\l*l<cn
(4.26)
(4.27)
В случае существования последовательности {cj с
указанными свойствами, в (4.25) можно положить
4=2( ) x4Vh{x) — ( f xdVh(x)Y\ (4.28)
ft=l \\x\<cn \|*|<си ) J
bn=irl£i f xWh{x). (4.29)

140
ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
Доказательство. Предположим, что существуют
последовательности постоянных {ап} и {bj такие, что
ап > 0 и выполнены условия (4.18) и (4.25). В силу
леммы 11 имеем ап -> °° и an+i/an -> 1. По теореме 16 и
замечанию к ней выполнены условия (4.20) и (4.23).
Покажем, что тогда существует последовательность
положительных чисел {гп} такая, что еп -*■ 0, гпап -> оо?
2Р(|Х,|>е,ап)->0 и
k=i
42( J MVk(x)-( j xdVh(x)
Для доказательства этого утверждения, в свою очередь,
достаточно показать, что из соотношения хп(е)-+х для
любого фиксированного 8 > 0 следует существование
такой последовательности {еп}, что гп ->■ 0 и #n(en) -> я.
Подстановка */n(e) = Un(e) —#1 сводит доказательство
последнего утверждения к рассмотрению случая, когда
х = 0 и #„(e)X). Положим гЛ (е) = тах^ (е), так что
s,;(c)t0. Очевидно, существует возрастающая
последовательность целых чисел {пт} такая, что za(2~m)^ 2~т при
п>пт (т = 1, 2, ...)• Положим en = 21_т, если wm_i ^
^п< пт. Тогда
max zn (en) < z„m_1 (en) < zrim_1 (г1"™) < 2x"m -> 0
nm_1<n<nm
при иг ->■ оо. Сделанное утверждение доказано. Полагая
теперь с„ = е„ап, так что сп -*- °°, приходим к
соотношениям (4.26) и (4.27).
Перейдем к доказательству достаточности. Пусть
существует неограниченно возрастающая
последовательность постоянных {сп}, удовлетворяющая условиям (4.26)
и (4.27). Определим постоянные ап равенством (4.28).
В силу (4.27) имеем сп = о(ап). Поэтому для любого
фиксированного е > 0 справедливо неравенство
2 J dVh(x)>£ j dVk(x)
при всех достаточно больших п. Учитывая (4.26), нахо

§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
141
ДИМ, что
S J dVh(x)-+0
для любого фиксированного е > 0. Далее,
xdVk (x)
<2e*2 J <ZFft(*)-0,
4i£
j adFft (ж)
M<cn
j ж^7/{ (ж)
с„«/ж|<еа„
<
<
•*n fe=l
dFA (ж) -v 0.
Поэтому
1*1 ->zn
^-2( j *w*<*)-( J
™ ft=1 (|x|<ean V|x|<£a„
^^(Ж) -*1.
Полагая в теореме 15 Xnk = — Xk(k = 1, .. ., n\ n =
= 1, 2, ...), придем к требуемым утверждениям. П
Теорема 19. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин, хотя бы одна из которых
имеет невырожденное распределение. Пусть Хп имеет
конечную дисперсию о2п(п = 1, 2, ...). Положим
Vn(x)=P(Xn<x), <*n = EXn,
Для того чтобы
max а*
sup | Fn (я)-Ф (Я) |--^ 0,
(4.30)
(4.31)

142 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ о сходимости
необходимо и достаточно выполнение следующего
условия {условия Линд еб ер га):
7г2 (x-akydVk{x)-+Q (4.32)
для любого фиксированного е > 0.
Доказательство. Будем предполагать, что ап =
— 0 для всех п. Если теорема будет доказана для этого
частного случая, то в случае произвольных
математических ожиданий введение случайных величин Yn =
= Хп — ап (п= J, 2, . . .), обладающих свойствами ЕУП =
== 0 и DYn = a/t, приведет нас к сформулированному
общему результату.
Предположим, что выполнены условия (4.30) и (4.31).
Тогда имеют место (4.18) и (4.19) при ап = У#п, так
как по неравенству Чебышева
max P(|Aft|>e VBn)^ max -^-
iax P(|Zft|>8 ]/#„)< max
В силу теоремы 16 и замечания к пей имеем
П
ЯГ
^ 2 f J од(*)-| ( ^dvh(х)У\■
П k=1 1|а:/<е1/вГ V |х|<вТ/5Г / J
1<еУвп \\х\<еУвп
x4Vi
1 v
^1 }\*\>*]/вп \и<еу.
\(х) + ( j zdVh(x)\*\~+0
\\х\<г]/в^ ))
для любого фиксированного е > 0. Таким образом,
условие Линдеберга выполнено.
Докажем достаточность условия Линдеберга для
соотношении (4.30) и (4.31). Положим
п г*
л»(в) = тг2 I ^Vh(x).
П й=1 II ~х/1Г
М^еуВп
Будем называть Лп(е) дробью Линдеберга. Если 1 < к < п,

§ 4. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
143
ТО
о£ =
j _ x4Vk (х) + J _ x4Vk (х) < z*Bn +
\х\<г~\/вп \х\>г]/вп
Поэтому
+ 2 \ _ x4Vk (х).
к~г \х\ >-?~\/вп
в
max а^<82 + Лп(в).
п 1^к<п
Для всех достаточно больших п правая часть этого
неравенства может быть сделана произвольно малой за
счет выбора достаточно малого е в силу условия Линде-
берга. Итак, (4.30) доказано. Далее,
п п п
2 J dVh (х) < -^- 2 J *?dVh (х) =
\*\<]/вп
^2 \ x*dVh(x) =
<1/вп
jM5»-2 J a?dVh(x)\=l-An(l)-*l,
П \ k=1 И^У"% J
\ xd,Vk (х)
\*\<УЩ1
= _J_V
vx к
j xdVh (х)
\х\^увп
<
^.
п
^2 f x2dVh(x) = An(l)->0.
\х\>увп
Следовательно, выполнены условия теоремы 17 при ап =
= У5П, и мы приходим к соотношению (4.31). П
Условие Линдеберга выполнено, если
рассматриваемые случайные величины имеют одинаковое
распределение с конечной дисперсией.

144
ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ
Легко видеть, что (4.30) влечет за собой условие
Вп -> оо. В силу теоремы 19 отсюда следует, что если
выполнено условие Линдеберга, то В
Нетрудно показать также, что достаточным для
выполнения условия Линдеберга является условие
п
-Л-21Е\Хк--ЕХк\3+0-+0
для некоторого 6 >0 (условие Ляпунова). Само условие
Линдеберга можно записать в несколько иной форме;
именно, оно равносильно условию, которое получается
при замене в левой части (4.32) области интегрирования
\х — ak\ ^ гУВп областью \х — ak\ > el/Bk.
§ 5. Дополнения
1. Пусть {Хп} — последовательность независимых случайных
величии, {аг,}—последовательность положительных чисел. Пусть
п
распределения нормированных сумм — V Хк слабо сходятся
к некоторому невырожденному распределению. Тогда
последовательность {ап} либо сходится к конечному пределу, либо почти
монотонно стремится к + оо в том смысле, что существует
числовая последовательность {Ьп} такая, что bn ^ fln, Ьп/яп-^1 и Ъп f оо
(Сюй [317]).
2. Любая невырожденная безгранично делимая ф. р.,
принадлежащая классу L, абсолютно непрерывна (В. М. Золотарев [50];
Фиш и Варадараян [274]).
В пн. 3 и 4 рассматривается последовательность независимых
случайных величин {Хп}, имеющих общую ф. p. F(x), и
используются следующие обозначения: Fn (х) =Р ( ^ ^^< х ], @~—
множество всех ф. р., 2D — множество всех безгранично делимых
ф. p., р (F, G) = sup | F (х) — G (х) | для любых ф. p. F(x) и G(x),
х
p(Fn, £>)- inf p(Fn,D),yp(n)= sup p(Fn,@)-
3. Какова бы ни была ф. p. F(x), существует
последовательность безгранично делимых ф. p. {Gn(x)} такая, что p(Fn, Gn) ->-0;
таким образом, 'ф(п) -> 0 (Ю. В. Прохоров [150]).
4. Для любого «sN и любой ф. p. F существует такое
безгранично делимое распределение В, что p(Fn, В) ^.Ап~2/3. Для
любого п е N существует такое распределение Fn е #"", что
р (FJJ, <£>) ^ AQn~2/3. Здесь А и А0 — абсолютные положительные
постоянные. Таким образом, существуют такие абсолютные по-

§ 5. ДОПОЛНЕНИЯ 145
ложительные постоянные Л{ и Л2, что
Ат-2'3^Ц(п) <Л2/г~2/3.
для всех п (Т. В. Арак [5], [6]).
5. Пусть е > 0 и распределения Fi^$~ (г = 1, .. ., «)
таковы, что при некоторых рг- справедливы неравенства L ^., Яр.) < е,
где L(F, G) —расстояние Леви между ф. p. F и G, ^ —
вырожденное распределение, сосредоточенное в точке аеК. Тогда
существует такое безгранично делимое распределение D, что
L(Fi* ... *F„, D) ^i4e(|lne| + 1),
где A — абсолютная положительная постоянная (А. Ю. Зайцев;
см. А. Ю. Зайцев и Т. В. Арак [46]).
6. Для любого ее (0,1] существуют п е N и
распределение F такие, что L(F, Е0) ^ е и
L(F*n, 0) ^ А08([1пе| +1),
где А — абсолютная положительная постоянная (Т. В. Арак;
см. А. 10. Зайцев и Т. В. Арак [46]).
Из результатов пп. 5 и 6 вытекает следующее предложение.
Если положить
Q (е) = {<? ge вГ: L {G, Еа) <^ 8 при некотором а <= к}.
cp(e) = sup sup L (Ft * ... */? Ю\,
то
A,e(|Jne| + 1) ^грИ ^Л2е(|1п8| +1),
где А{ и Л2-—абсолютные положительные постоянные (Т В. Арак
и А. Ю. Зайцев [7]).
7. Последовательность случайных величин {Yn} называется
стохастически компактной, если каждая ее подпоследовательность
содержит другую подпоследовательность, распределения членов
которой слабо сходятся к некоторому невырожденному
распределению.
Пусть {Хп} — последовательность независимых одинаково рас-
п
пределенпых случайных величин, F (х) — р (X < я), Sn —~ ^ Xft.
1 Г 2
Положим А' (х) о" 1 У dF (у),
х J
\у\<х
II = \F: limsup v' *' ; <оо',
I *-> oo ^ К (x) )
Справедливо следующее утверждение: F ^ 11 тогда и только тогда,
когда существуют числовые последовательности {ап} и {/;п}
такие, что ап > 0 и последовательность {(Sn — bn)/an}
стохастически компактна (Феллер [272]). Другие критерии стохастической
компактности можно найти в статье Маллера [361]. Пруитт [383|
дал характеризацию класса предельных распределений для
подпоследовательностей стохастически компактной последовательности
Ю в. В. Петров

14Г) ГЛ. TV. ТЕОРЕМЫ о сходимосттт
нормированных сумм независимых одинаково распределенных
случайных величин.
В нн. 8 и 9 мы рассматриваем последовательность сумм
независимых случайных величин Sn = ХпХ + Хп2 + ... с конечным или
бесконечным числом слагаемых и предполагаем, что
ехяЛ-о, ^й-ех;„<оо, 2<-1;
h
Fn(x) и Fnh(x) означают ф. р. случайных величин Sn и Xnk соот-
/ х
гетственпо, Фпк (ж) = Ф ——
8. Для слабой сходимости Fn(x) к Ф(х) необходимо и
достаточно выполнение следующих условий: 1) sup L (Fnk, Onft)->■(),
где L есть метрика Леви; 2) для любого фиксированного 8 > О
2 [ xad(Fnh(x)-Onh{x))^0
(В. М. Золотарев [54] )1).
9. Для слабой сходимости Fn(x) к Ф(х) необходимо и
достаточно выполнения условия
2 j i*iKnh(*)-«w*)|<**-o
для любого фиксированного е > О (В. И. Ротарь [170]).
К). Пусть {Хп}—последовательность независимых случайных
величин с математическими ожиданиями, равными нулю, и
конечными дисперсиями. Пусть р > 2,
п п
*»=2Е**' Zn = 7r2^, Fn(x)=V{Zn<z).
h=l V П k=l
_V n
Условие В2 У] E I Xk \p -> 0 достаточно для выполнения соот-
ношений
оо
s.ip | Fn (x) - Ф (x) I -> 0 и E | Z„ |p -> j | * |p ^Ф (x).
— OO
Это же условие необходимо для выполнения указанных
соотношений, если имеет место (4.30) (С. Н. Бернштейн [8]; см. также
[10, с. 358]).
*) В работе В. М. Золотарева [433] в терминах функций
Fnk(x) и связанных с ними характеристик приведены необходимые
и достаточные условия слабой сходимости Fn(x+bn) к
произвольной ф. p. G(x) без предположений о бесконечной малости
слагаемых и конечности дисперсий.

§ 5. ДОПОЛНЕНИЯ 147
И. Пусть {Хп}—последовательность независимых случайных
величии, {ап} — последовательность положительных постоянных,
Vn(x) = V{Xn < х). Пусть выполнены условия (4.23) и
-V2 \ \z\pdvk(x)-.o
для некоторого целого неотрицательного р и любого 8 > 0. Тогда
распределение случайной величины
" fc=l V |*|<о„ J
слабо сходится к нормальному распределению! Ф(х) и, если р > 0,
моменты величины Zn вплоть до порядка /; сходятся к
соответствующим моментам распределения Ф(х) (Заремба [431]).
12. Пусть {Хпи}—последовательность (не обязательно
конечных) серий независимых в каждой серии случайных величин,
X — случайная величина с ф. p. F(x), Fnk(x) и mnk — ф. р. и
медиана случайной величины Хпн соответственно. Пусть ряд
Хп = 2j Xnk сходится с вероятностью 1 для каждого и и вы-
к
полнено условие
L(Fn, F)->0, (5.1)
где Fn(x) =V(Xn < х). Пусть, далее, существуют математические
ожидания Еф(Х), Щ(Хпь) и Еф(Хп) для всех пики некоторой
функции ф(ж), определенной и непрерывной на К и
удовлетворяющей условиям inf ф (х) > 0, Ц)(х+ у) ^(р(х)ц)(у) для лю-
бых х, у ее IR. Положим Fnk(x) —Fnk(x+ mnk). Для того чтобы
Еф(Хп)-^ЕФ(Х), (5.2)
необходимо и достаточно выполнение условия
lim sup У\ \ ф (л) dJnk (х) == 0.
г^°° п л |*|>Г
В случае, когда F(x)~0(x), ЕХпн = 0, а*л = EZ^ < с» для
всех и и А: и выполнено условие 2anfe = ^> соотношения (5.1)
k
и (5.2) равносильны совокупности условий
auVL(Fnh,Onh)-*0 .
h
И
2 1 фм^м-ф,* (*))<**-► о
для любого 6 > 0, где Фп]{ (х) = Ф ( ——1 (В. М. Круглов [342]),
10*

148 ГЛ. IV. ТЕОРЕМЫ о сходимости
13. Пусть ХПк, X и Хп — те же случайные величины, что и в
п. 12, пусть Е\Хпк\р < °о для всех п и к и некоторого р > 0.
Пусть г > 1/р. Для того чтобы
<х>
j | /•„ (х) - F (х) |r d* -М), Е | *„ |Р -> Е | X |Р,
— ОО
необходимо и достаточно выполнение условии (5.1) и
lim sup 2 f \*\р dFHh (х) = 0
г^°° п *i*iir
(В. М. Круглов [342]). В работе В. М. Круглова [79] получены
условия, необходимые и достаточные для соотношения
ОО
]' ср (Fn (х) - F (х)) q (х) dx -v 0,
где (р(х) и q(x)—определенные на R непрерывные функции,
удовлетворяющие условиям весьма общего характера.
14. Пусть {Хп} — последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин, Fn (х)=Р —/.1^- Ъп<. х у
\ а* ft=i /
Если существуют такие числовые последовательности {ап} и {Ьп},
что ап > 0 и ^n(z)->~Ф(#) для всех £ ^ 0, то /^(я)-> Ф(я) для
всех хеК (Россберг и Зигель [396]).
15. Пусть {Xnk', к = 1, ..., кп\ и = 1, 2,
...}—последовательность серий независимых в каждой серии случайных величин,
ЕХпк = 0, EX^k < оо для всех пик, ^ EX2nk = 1, Fn (я:) =
k
= Р 2 ^nfc~~ &н< х ]• Пусть ijeK, #2e=R, ж ^ ж. Для
\fe=i '
того чтобы последовательность {Fn(x)} слабо сходилась к
нормальному распределению и выполнялось условие бесконечной
малости (условие (1.2)), необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие (4.4) для любого 8 > 0 и последовательности {Fn(x{)}
и {Fn(x2)} сходились к пределам, отличным от 0 и 1 (Йесиак и
Россберг [322]).
16. Пусть {Хп} — последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин, Fn{x)^V\ 7 Xh—Ъп-<х ,
ап > U. Положим F(x) = lim sup Fn(x), £(x) = lim inlFn(x). Если
r -(X) v J^ л
lim fT. , . — lim Tfrrr = U
то Fv(r) -* Ф('0 Для любого /е R (Ридсль [388])

Глава V
ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ
ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
§ 1. Оценка близости функций ограниченной вариации
но близости их преобразований Фурье — Стилтьеса
Результаты этого параграфа, представляющие
самостоятельный интерес, будут играть важную роль в
главе V.
Теорема 1. Пусть F(x) — неубывающая
ограниченная функция, G(x) — функция ограниченной вариации
на [R, F{~oo)= G(—00). Пусть
сю сю
/ (t) = J eitKdF (х), g (t) = J eitxdG (x),
— jo — 00
T — произвольное положительное число. Тогда для лю-
оого числа о^>-у- имеет место неравенство
т
sap|F(s)-g(*)|<6 П fW-'W \(l-±±L)dt +
+ brSup 1" \G(x + y)-G(x)\dyr (1.1)
где c(b)—положительная постоянная, зависящая
только от Ъ.
В неравенстве (1.1) можно положить с{Ъ) равным
корню уравнения
с(Ь)/4
sin2 и 7 л , 1
— ^т + ж-
о
Доказательство. Пусть Т > 0 и а > 0.
Используя лемму 5 главы III, легко убедиться в том, что
функция
, ч Т 1 — cos (Тх — а)
р (х) = г?

150 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
является плотностью распределения, имеющего х. ф.
}1{1)А{{-Щеиа,т'если т<г'
1 0, если |*| > Т.
Очевидно, что
Тх — а \ 2
sm
рМ = 17
2л I Гя —а / ^ 2л
для всех х, а ж Т.
Положим
2а/Т
7 = V («) = J Р (*) ^
о
так что
а/2
У
о
Функция F(,x) не убывает, поэтому
X + 2CL/T
2 С sin2 и j ,. оч
= — —^-Аг. (1.2)
х+2а/Г
= G (ж) + — (G(u) — G (х)) р (u — x)du +
У v
X
х+2а/Т
+ ± j (F(u)-G(u))p(u-x)du^
X
2<i/T
<С^) + 2Йу1 1^^ + ^)-^(^)1^ +
о
х+2а/Т
+ у J (FM-GM)p(.-.)
им.
' у J * x
X
Положим
го го
Fx (х) = f F (x - z) p (z) dz, Fa (x) = j' F (x + z) p (z) dz.

§ 1. ОЦЕНКА БЛИЗОСТИ ФУНКЦИЙ 151
Определим функции Gi(x) и G2{x) аналогичными
равенствами с заменой F на G. Мы имеем
оо оо
Fx (х) = ] F (и) р(х — и) du, F2 (х) = J F (г/) р(и — х) du
— оо —оо
и
оо
$ eitxdFh(x) = f(t)h(t) (/v=1,2),
где hi(t)= h(t), h2(t)=h(—t). Аналогичные равенства
справедливы для функций Gi(x) и G2(#). Учитывая,
что h(t) = 0 при Ы > Г, получаем по формуле
обращения
т
а С* p—itx __ р—г/2/
** (*) - ** (у)=-^- j _,;— at) h (t) dt
-T
И
T
/I f p-itx __ -My
Gh(x)-Gll(y)=^- J _,.; g(t)hh{t)t
любых x и у (к
Gh(x) непрерывны1).
\dt
— it ^ x ' - x '
-T
для любых x и у (/с=1, 2), так как функции Ffe(^) и
Мы можем считать, что
т
ГI / (о - * (о
dt<.oo, ибо
-т
в противном случае неравенство (1.1) очевидно. Тогда
по теореме Римана — Лебега имеем
т
lim \f{t)-z{t)hh(t)e-itydt = 0.
у-*-оо JT lt
Из равенства F( — 00)= G(—°°) вытекает, что Fft(—°°) =
= Gk(—00) для A = 1 и А = 2. При z/-> —оо получаем
т
*"* И - G/, (х) = -^ j' /(ti_I".f0) hh (t) e~itxdt (к = 1, 2).
-Г
}) Первое из написанных равенств следует почти
непосредственно из теоремы 5 главы I, поскольку F(x) и Fk(x)
—неубывающие ограниченные функции. Функции G(x) и Gk(x) имеют
ограниченную вариацию, поэтому Gk(x) можно представить как раз-
'ность двух неубывающих ограниченных функций, и остается
применить формулу обращения к каждой из этих функций.

152 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Ввиду того, что \h(t) |< 1 для всех t, находим отсюда
J (F (и) — G (и)) р(х — и) du
<
<
_L Jl/fflT^>l(i_lilU
-т
j (F (и) — G (и)) p(u-x) du
<
^-J_ \f(t)-g(t)
4 2я J I t
-T
для всех x.
Положим A = sup \F (x) — G(x)\. Имеем
(.-41)
dt
x+2a/T
<
] (F (u) — G (u)) p(u — x) du\
OO
j (F(u) — G(u))p(u — x)du\
— OO
+ Д j /)(^-ж)& + Д J \p{u — x)du^
— oo Х+2П/Т
-T \ о /
+
Следовательно,
аа/т
F(x)-G(x)^^jj \G(x + y)-G(x)\dy +
0
+^(1^^1(1-^+^-

§ 1. ОЦЕНКА БЛИЗОСТИ ФУНКЦИЙ 153
Оценим теперь F(x) — G(x) снизу. Таким же образом
находим, что
х
F (¢) > — f F(u)p(x — и) du =
х-2а/Т
X
= G(x) + ± j (G(u)-G(x))p(x-u)du +
x—2a/T
X -
+ J- j* (F(u) — G (u)) p(x — u)du^
x-2a/T
0
■G^~Wy 1 \G(x + y)-G(x)\dy-
-2a J T
><
-T
T3
для любого x e К. Из полученных оценок вытекает
неравенство
|у|<2а/Г
+^JP^#-^<+VA-
-т
Из (1.2) следует, что 0<у<1 для любого а>0 и
lira у(а) = 1. Поэтому за счет выбора достаточно боль-
шого а мы можем обеспечить выполнение условия ч >
> 1/2. Тогда получим
д< * (\Ht)-gW\(l ltl)dt I
А^ 2я (2v-l) J | * \V Т )at +
-т
+ 2я(27-1)5"Р I |G(* + ff)-6(a:)|^.
1у|<2«/Г
2я
Пусть Ь> "2^ данное число. Определим число -у с
помощью равенства 2я(2у — 1)6 = 1, так что -у <С Y< !•

154 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Тогда в полученном для А неравенстве можно взять
в качестве а решение уравнения 2у(а) — 1 = ^-, или
а/2
sin2 и ■, л , 1
Отсюда следуют сделанные утверждения. П
Если выполнены условия теоремы 1 и функция G(x)
удовлетворяет следующему условию Липшица: \G(x) —
— G(y) I ^ К\х — у\а для всех хну, где К и а —
некоторые положительные постоянные, то второе слагаемое в
правой части неравенства (1.1) можно заменить на
2ЪК{с(Ъ)У+а(\ + а)-1Т-*.
Приведем еще одно непосредственное следствие
теоремы 1.
Теорема 2. Пусть F(x) —неубывающая
ограниченная функция, G(x) —дифференцируемая функция
ограниченной вариации на 0?, f(t) и g(t)
—соответствующие им преобразования Фурье — Стилтъеса, F( — oo) =
= G( — °o), Т — произвольное положительное число.
Пусть sup | G' (х) | ^ С. Тогда для любого числа Ъ > т—
имеет место неравенство
т
sup | F (х) - G (х) |< Ъ j I !Ж^Ш \dt + r (Ъ) ±% (1.3)
* -т
где г(Ъ) — положительная постоянная, зависящая толь-
ко от Ь.
Формулировка теоремы 2 становится более простой,
если F(х) и G (х) — функции распределения.
В неравенстве (1.3) можно положить r(b)= bc2(b),
где с(Ъ) — постоянная из теоремы 1.
§ 2. Неравенства Эссеена и Берри — Эссеена
Рассмотрим задачу оценки отклонения распределения
суммы независимых случайных величин от нормального
распределения. При этом мы будем всюду исключать из
рассмотрения неинтересный случай, когда все слагаемые
имеют вырожденное распределение.

§ 2. НЕРАВЕНСТВА ЯССЕЕНА И БЁРРЙ — ЭССЕЕНЛ 155
Лемма 1. Пусть Хи . . ., Хп — независимые
случайные величины, EXj = 0, E|Xj|3<<oo (у = 1, ..., п).
п и
Положим of = ЕХ|, Вп = 2 aj, £„ - 5~3/2 2 Е | Xj |3.
Пусть fn(t) —х.ф. случайной величины Вп1'2 2 %j-
3=1
Тогда
\fn(t)-e-^\^l6Ln\t\"e-^ (2.1)
для |f|^—-.
Величина Ln, фигурирующая в формулировке леммы,
называется дробью Ляпунова.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай,
когда 111 ^-9-^п1/3. В этом случае 8LnUI3^l, и нам
достаточно показать, что
|/п(0|2<е-я'2/з. (2-2)
поскольку при условии (2.2) выполнено неравенство
I In (t) - е-М* I < 1 U (t) I + c-'2/2 < 2e-M*.
Пусть^ Vj (t) = Еег ' j (y = 1, . . ., n). Случайная
величина Xj = Xj — Yj, где Yj не зависит от Xj и имеет
то же распределение, обладает дисперсией 2а| и х. ф.
\vj(t)\2. Далее,
Е\Х^ < 4(Е|Х,-|3 + E|FJ|3)=8E|XJ|3f
сю оо
\vj(t)\*= j е"х^(ж)= J (l + Их-Ц- + 8 £р) (*У; (а)
— оо — оо
по лемме 5 главы IV, где ГДж) — ф. р. Х,- и |6| < 1.
Учитывая условие EX, = 0 и неравенство
tV
оо
получаем
<-1|г|3Е|^|з<4|Ч3Е|ХЛ3,
|^(*)12=1-^2 + 4в11'13Е|^18.

15Г) ГЛ. V. ОЦЕНКИ Я ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
где |9J < 1. В силу неравенства 1 + х^ех для любого
жеК имеем
<ехр(-<т^2 + ^-|г|3Е|Х;|з
Поэтому в области 111 ^ т~г~ справедлива оценка
"(тк
<
<ехр|-г2 + '4^иЙ<ехр{-4Я
и неравенство (2.2) доказано.
Пусть теперь 111< ^- и | £ | < — L~1/3. Для / = 1, ..,
., п имеем
7tl"<7^(E|Jfi|,)'"<L!'"m<^
i>i
/*»
1 —rjt
где
[
|Г,|'<2(^'+2(^Е|ХЛ.)а<^Е|Х,р.
так что \rj\ < 1/6 и
~2*2 \ 2
.*Г
Из разложения функции ln(l + z) в степенной ряд
нетрудно получить соотношение ln(l + z)= z + 9z2, где
191 < 1, если \z\<Z-тт. Поэтому
In Vj
оЪ2
IB,
m
^- + 9^2E|^I3,
Справедливо неравенство \ez — ll =^ \z\eh] для любого
комплексного z, которое также легко получить разложе-
2 3
in/„(о = -1- + еЦМв, |е|<1.

§ 2. НЕРАВЕНСТВА ОССЕЕНА И БЕРГИ - ЭССЕЕИА 157
нием функции ег в степенной ряд. Отсюда и из нера-
венства Ьп|И3<"§"' в СИЛУ которого exp {-у- Ln\ < 2,
находим, что
<-^ I * I3exp (- -£ + 411 И3) < Ln\t |3е-'2/2-
Отсюда следует (2.1). П
Напомним, что мы условились обозначать буквами
/1, Л1? Л2, ... абсолютные положительные постоянные
и что Ф(х) означает нормальную (0, 1) функцию
распределения.
Теорема 3. Пусть Хи . . ., Хп — независимые
случайные величины, EXj = 0, Е|Х,-|3<оо (/ = 1, ..., га).
Ln = B-*/2 2Е|Х,-|з.
Тогда
3=1
snp | Fn (ж) - Ф (Ж) | < 4Ln. (2.3)
Доказательство. Функции Fn(x) и Ф(#)
удовлетворяют условиям теоремы 2. При этом sup | Ф' (х) \ =
х
_ 1
~~ 1/2я " Полагая Ъ = 1,/я иГ = l/(4Ln), находим в
силу (1.3), что
л г \f (t) — e-~t2^2 I
sup I Fn (x) - Ф (x) |< ± ) pLL. Л + 4lLn.
Здесь fn(l) — x. ф., соответствующая ф. p. Fn(x).
Используя лемму 1, получим отсюда неравенство (2.3). □
Неравенство (2.3) будем называть неравенством Эс-
сеена.
В частном случае одинаковых распределений
теорема 3 сводится к следующему предложению.
Теорема 4. Пусть Хи . . ., Хп — независимые
случайные величины, имеющие одинаковое распределение.

158 гл. v. оценки в Нейтральной предельной теореме
Пусть ЕХ, = 0, EXi^a2 >0, Е | Хг |3 < оо, р = Е | Хг |3/а3.
Тогда
sup
п
1 v
'^fc'X' -*м
,<А± (2.4)
У/г
Неравенство (2.4) называется неравенством Берри —
Эссеена.
Сделанное в теоремах 3 и 4 предположение о том,
что EXj = 0 для всех /, не ограничивает общности. Если
это условие не выполнено, то случайные величины Y3 =
= Xj — EXj (/ = 1, ..., п) будут иметь математические
ожидания, равные нулю, и к ним уже можно применить
доказанные теоремы.
Порядок оценок (2.3) и (2.4) нельзя улучшить, не
вводя дополнительных предположений о
распределениях рассматриваемых случайных величин. Это
утверждение вытекает из теорем об асимптотических
разложениях Fn(x), приводимых далее. Однако его можно
доказать элементарными средствами.
Рассмотрим последовательность независимых
случайных величин {Хп}, каждая из которых имеет лишь два
значения —1 и +1, принимаемых с вероятностями,
равными 1/2. Имеем EX, = О, ЕХ\ = 1 и ElXJ^l.
Используя формулу Стирлинга, легко установить, что
¥\ £ Xj = 0 \ = С™' /-у J со "— (предполагаем, что п
четно). Таким образом, функция
п
2
в точке х = 0 имеет скачок, равный Z. (1 + о (1)).
у2пп
Отсюда следует, что в окрестности точки х = 0
функцию Fn(x) нельзя аппроксимировать никакой иепрерыв-
\
пой функцией с точностью, превышающейгт= (1 +°(1))«
у2лп
Из приведенного рассуждения вытекает, что
абсолютная постоянная А в неравенстве (2.4) не меньше,
чем 1/У2л. Это же утверждение верно и для
постоянной А из неравенства (2.3).

§ 3. ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ЭССЕЕНА 159
§ 3. Обобщения неравенства Эссеена
Пусть G — множество функций g{x), определенных
для всех действительных х и удовлетворяющих
следующим условиям: a) g(x) —неотрицательная, четная
функция, которая не убывает и положительна в области х>
>0; б) функция x/g(x) не убывает в области х>0.
Теорема 5. Пусть Хи . .., Хп — независимые
случайные величины, EXj = О, E(X)g (Xj)) < оо для / =
= 1, .,., йи некоторой функции g(x)^G. Положим
О? = ЕХ§, Вп = 2 <& ^п (X) = Р (Sn1/2 2 X; < а) .
i=i V j=i /
Тогда
п
8иР1^(Д)-Ф(Д)|< Д 2Е(Х'*№>)- (З-1)
Доказательство. Рассмотрим усеченные
случайные величины
__ f Xj, если I Xj | < ]/rSn,
i=={o, если \Xj\^VK,
где / = 1, . .., п. Положим
а} = EXh of = EX? - (ЕХ>,
5„= 2 of, ^и = Р№<4
Учитывая, что EXj = 0, получим
0<о?-а? =
J" x4Vj{x)+( j а^^(ж)У<
г(^")|х|>1/5й ПК5»)
(3.2)
— 1
для 7 = 1, . •., п. Если Вп ^.-^- Вп, то отсюда следует, что
п
1< Д lE(Xjg (*,)),
и (3.1) имеет место с Л = 8/3. Поэтому в дальнейшем
можем считать, что Вп>-гВп.

160 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Положим
п п
%п = -TT=r 2i XJ, \Уп = —7= 2d Х3>
У пп j=i V ип j=l
п
Zn = ,_. 2d \%з — аэ)-
У Вп 3=1
Событие Zn < х влечет за собой событие
(Yn<x)[)(\Xi\ >УТп)[}...[}(\Хп\>У~Цп),
а событие Yn < х влечет за собой событие
(Zn<x)U(\Xl\ > v2£)u...u(ixj >1Тп).
Поэтому sup \Fn(x)-V(Yn<x)\^%Y>{\Xi\^ V Вп).
X j = l
Следовательно, для любого х
где
7\ = sup
|^„(.г)-Ф(.г)| <7\+ 7^ + 7,,
*V*„-2 "j
ф
j=i
/:
в..
sup
( */д„-2 s
Ф - j=1
/
д„
Ф(ж)
^3 = 2 P(|^|>/5„).
j=l
В силу теоремы 3 имеем

§ 3. ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ЭССЕЕНА
161
Далее,
Е|Х;-^|3<4(Е|Х;|з + |^|3)<8Е|^|3 =
.SVK
= 8 j_^j*2S (*)<&}(*)
^
HVFn)
E(X)g(Xj)).
— 1
Отсюда и из неравенства Вп> —г-Вп получаем
Тг
впеО/вп)^
2E(X?g(X,.)).
Легко убедиться в справедливости следующих
элементарных неравенств:
j__l (3.3)
,^=-, если ()</,< 1,
sup | Ф (рх) — Ф (я) К
8иР|Ф(* + д)-Ф(*)|<-^1.
(3.4)
Из них вытекает, что
1
Т,<.
_ 1/£п_1 + _1
в„
2¾
Далее,
i/£-i=
I xdVj (х)
\x]>YWn
вп-вп
Увп(Увп + Увп)
Увпе(Увп)
=гЕ{Х*я(Х})),
<
Вп8 (Увп)£х
2е№№))
в силу (3.2). Таким образом,
y,<
B»*(V*n)£i
2е(%№))-
11 В. В. Петров

162 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Из неравенства Чебышева следует, что
п
т*<п,(\/тг\2Е(х*е(х^-
BnS{VBn) 1=1
Из оценок, полученных для Ти Т2 и Т3, вытекает
неравенство (3.1). П
Если 0 < б < 1, то функция g(x)=\x\6 принадлежит
множеству G. Поэтому из теоремы 5 следует теорема 3,
а также приводимое ниже более общее по сравнению с
теоремой 3 предложение.
Теорема 6. Пусть Хи . .., Хп — независимые
случайные величины, ЕХ, = 0, E|Zj|2+6<oo для некоторого
положительного 6^1 (/ = 1, . . ., п). Тогда
sup | Fn (х) - Ф (х) | < -^ | Е | X; Г6. (3.5)
3=1
Здесь Вп и Fn(x) определены так же, как в теореме 5.
Сформулируем еще одно следствие теоремы 5.
Теорема 7. Пусть Хи ..., Хп — независимые
случайные величины, EXj = 0, EXj < оо (/' = 1, . . ., тг).
Положим
V} (х) = Р (Х} < х), Вп = 2 EXf,
f»w = p(^l/3|^<4
П rt
An = F"2 } a?dV}(x),
П /¾
Тогда
sup | Fn (x) - Ф (x) |< Л (Л„ + гп). (3.6)
ас
Доказательство. Функция
I | #|» если | х\ <
g { \ VB», если 1 х | > /Я„

§ 3. ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ЭССЕЕНА ЮЗ
принадлежит классу G, введенному в начале § 3.
Применяя теорему 5, получим из (3.1) неравенство (3.6). П
Пусть е — произвольное положительное число.
Положим
п п
Л„(е) = -!-2 J _*W,(*),
П r»
Me) = -4i2 ) J*\*dVi(x),
n 3=1 \x\<eYBn
так что ЛП(1) = Л„, ln{l)=ln- Если е < 1, то Л„<Лп(е) и
П л П Г*
■ш 2 J i«iwj и < f„ 2 J _ *wj (*).
поэтому Z„«S Z„(e)+A„(e). Если же e > 1, то Z„<^„(e) и
eF"2( _ 1 _*W,(*) +
J о:2^и1</п(е) + Лп(8).
Л.. =
+
Следовательно, Лп + ln < 2Лп(е)+ 21п(г) для любого е>
> 0. Отсюда и из (3.6) вытекает, что
sup | Fn (х) - Ф (х) |< А (Лп (е) + к (е)) (3.7)
для любого 8 > 0.
Из определения Zn(e) находим
п Л*
Ме)<^"2 J _Жа^(«)<8.
П J=1 \x\<eVBn
Поэтому из (3.7) получаем неравенство
sup | Fn (х) -Ф(1)|<4(е + Л„ (в)) (3.8)
X
для любого е > 0. В свою очередь, отсюда следует, что
если Лп(е)-^0 для любого фиксированного г > 0, то
Fn {х) ->• Ф (а;) (теорема Линдеберга).
И*

164 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Из теоремы 7 вытекает также теорема 6, поскольку
3=1
для любого положительного 6 ^ 1.
В теоремах 5—7 отсутствовало предположение о
существовании у рассматриваемых случайных величин
моментов третьего порядка, однако предполагалось, что
существуют дисперсии. Можно получить обобщение
неравенства Эссеена без каких бы то ни было
предположений о существовании моментов.
Пусть Хи . .., Хп — случайные величины с ф. р.
V{(x), .. ., Vn(x). (Мы не делаем предположения о
независимости случайных величин Хи .. ., Хп.) Пусть
ti, ..., tn — положительные числа. Рассмотрим усеченные
случайные величины
' Xj, если | Xj | < tj,
О, если \Xj\^tj,
X,
где /=1, . . ., п. Положим
Mn = 2EZj==2 f xdVj(x), iVn = E(2 Xj-Mn) ,
3=1
3=1
sup
iwM
EX}) <х]—Ф(х)
3=1
Теорема 8. Для любых а > 0 и ЬеК имеет
место неравенство
sup
p(4-2*i-6<'
3=1
\аЪ— Мп I
< Ап + Гп + '^J1' +
Ф(х)
1
~\/2nNn 1~\/2пе
N„
max
Ю-
Доказательство. Событие 2 Xj < х влечет за
3=1
собой событие
(|xj<j) U (l*i|>*i) U ... U {\Xn\>tn),

§ 3. ОБОБЩЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ЭССЕЕНА 165
п
а событие 2 %j < х влечет за собой событие
3=1
2 Х)<х) и (|-у1|>*1) и ... и (|хя|>*я).
Поэтому для любого х е R справедливо неравенство
|р(|^<^-р(|^<^)
Положим
п
^п = г-?= 2d № ~~ EXi)> ^п = — ^ Хз — Ь.
Имеем
|Р(ЯЯ<*)-Ф(я)|<
<2 Р(|х,.|>^)=гп.
3-=1
Р(2«<^)-Р 7^i"*<
j=i
+
р 4-2*i-b<* -ф(/» + ?)
;=i
+
+
+ | Ф (ре + д) - Ф (рх) | + | Ф (ра) - Ф (х) |
для любых действительных р, q я х. Положим р = a/lNn
q^(ab-Mn)/lNn. Тогда
р(т|^-6<г)-ф^ + «)
-|Р(Уп<ра; + д)-Ф(ра! + д)|<Лп
для любого ж <= [R. Поэтому
sup | Р (Zn < х) - Ф (я) |< А„ + Г„ + Г х + Г2,
где
7*! = sup | Ф (ж + д) - Ф (ж) |,
X
Т2 = sup | Ф (рх) - ф (х) |.

160 ГЛ. V. ОЦЕНКИ Р. ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Из неравенств (3.3) и (3.4) следует, что
\аЪ-Мп\
Тг<
Т9<
Y2nNn '
гЫтк-1)' есл" a>VW"
Очевидно,
{ _f~*n _ < 1
при я > УУУ„. Если же а < l/Nn, то
2 U2 "
^n ^ Nn~«2 <
Таким образом,
Т < 1
2 }7 2яе
1-Tmax 1,F .
а \ \ пп1
П
В теореме 8 отсутствуют предположения о
независимости или каком-либо типе зависимости случайных
величин Хи . . ., Хп и о существовании каких-либо
моментов этих величин. Условие 0 < t2 < °о (/ = 1, . .., п)
обеспечивает существование моментов любого порядка
усеченных случайных величин Хи . .., Хп. При
дополнительном предположении независимости исходных
случайных величин оказываются независимыми и усеченные
случайные величины, поэтому для оценки Ап можно
применить, например, теоремы 3 и 5. В силу теоремы 3
имеем
An < AN~*/2 S Е | Xj - ВД8, (3.9)
если случайные величины Хи . . ., Хп независимы.
Нетрудно показать, что неравенство, которое получается из
неравенства теоремы 8 заменой Ап на правую часть (3.9),
является обобщением оценок (2.3), (3.1) и (3.5). Из
него можно получить также ряд других оценок.

§ 4. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ОЦЕНКИ
167
§ 4. Верхние и нижние оценки, имеющие
одинаковый порядок
Рассмотрим последовательность независимых
случайных величин {XJ с общей ф. p. V(x), х. ф. v(t) и
конечной дисперсией а2 > 0. Без ограничения общности
можно считать, что ЕХ{ = 0. Введем обозначения
ф„-4- f «WW + ^I f x»dV(x)\
Ix^a/?! I \x\<oVn
+ ~ f ^ww.
|x|<av'n
Теорема 9. Если ElZj3 = ооц limsup| y(f)| < 1, mo
tf|-*°o
+
sup | Fn (x) — Ф (x) | Ж i|)n.
(4.1)
Теорема 10. ЕЪш Z4 имеет решетчатое
распределение, то
1
sup | Fn (x) - Ф (x) | X Я|5П + tt=.
(4.2)
Перейдем к доказательству теорем 9 и 10. Положим
An = sup | Fn (х) - Ф (х) |, /п (0 = ^п (-4т=Ь
Tn = min{nlli,^-Xli).
Лемма 2. Имеют место соотношения
n(v{^k)_1+&)-<tt+v0{^ (4-3)
равномерно относительно (eR w
ln{t)-e~^ =
.2
-г2/з
равномерно относительно t в интервале \t\ <Тп.

168 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Доказательство. Используя условия ЕХ4 = О,
ЕХг = а2 и лемму 5 главы IV, получим
ra(yfck)-1+^) =
J \ о у п 2а п /
= 9l j ^-dV(x) +
\x\yoVn
+ 1 .№+в-жг) <*"«»-<«■+ "><><♦■>.
где l8jl^l. Соотношение (4.3) доказано. Для
доказательства (4.4) заметим, что
K^HI-H^'-'-.-^Oh^T
при \t\ < Улг, и поэтому
-"("to?)-1)^)
равномерно относительно t в интервале UI < Удг. В силу
(4.3) имеем
= e-iV2
exp \n\v
о у n
n v
• + £) + "(4-)}
равномерно относительно / в интервале \t\<Tn. □
Для доказательства верхней оценки для_ Ап. в
теореме 10 применим теорему 2 при Г = 8аУтг, где 8 > 0,

§ 4, ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ОЦЕНКИ 169
и p(x)ssFn(x), G(x)=0(x). В силу леммы 2 имеем
1\Ш-е-^\Л±-г0{^+±-\ (4.5)
-тГ1
о t
Из соотношения v(t) = 1 « h о (t2) при t -> 0 следует,
2.2
ЧТО
|у( 01^1 т~ ^e~°2t '* при Ul ^ е и достаточно
4
малом_ е > 0. Следовательно, | /п (0 | <^ е l '4 при \t\ <
<гоУп и
еоУп
f i/nWiT = °(^ + 4)- (4-6)
^п
Очевидно,
J ^-0(^+-1-). (4.7)
1*1>*п
В силу этих оценок и теоремы 2 имеем An = 0(yjpn + 1/Утг).
Для доказательства верхней оценки в теореме 9
применим теорему 2 при Т = гг и ранее сделанном выборе
функций ^(я) и G(x). В силу условия limsup|i;(J)| < 1
|*|-*оо
и следствия из теоремы 3 главы I получим
п V^n/o V-n/o
eoY n 8 e
Из (4.5)-(4.7) и теоремы 2 находим, что An = О ( \рп +
1 \
+ — I. Справедливо равенство lim тгг^ = оо? вытекающее
из условия Е|Х!|3 = оо. Отсюда следует верхняя оценка
из теоремы 9.
Осталось доказать нижние оценки в теоремах 9 и 10.
Пусть А (х) и a(t)—ограниченные функции,
удовлетворяющие условиям
сю со
f \A(x)\dx<oo, a(t)= [ eitxA(x)dx.

170 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Из равенства
оо
/»(0 - е-'2/з = - it j* «?«* (Fn (х) - Ф (¢)) dx
заключаем, что функции
В (х) = Fn (х) - Ф (х), b(t) = -± (/„ (t) - е-'2/2)
представляют собой пару преобразований Фурье.
Функции А(х), #(£)» В(х) и Ь(0 принадлежат пространству
£2 (К). Применяя формулу Парсеваля, получим
сю сю
J (F„ (х) - Ф (х)) W)dx = -± J (/„ (t) - e-^Y-^-dt.
Поэтому
Ап>(2я J |4(я)|<Ы J (fn(t)-e-*l*)^p-dt
I (4-8)
Предположим, что | a (t) | < (| t\ + £2) g~^/2 для любого
^gK. Разбивая область интегрирования в интеграле
в правой части (4.8) точками ±ГП, получим по лемме 2
сх>
— сю
--J^K-k)-«+£)*+o(*+4)-
|/|<тп \ к ' I
оо
-»;.¥^АИ^=.)-«-£)*+"(*!+4-)-
=/(a(f)) + 0(^ + 4)' (4.9)
где
сю оо 2 o/v

§ 4. ВЕРХНИЕ И НИЖНИЕ ОЦЕНКИ 171
Положим ax(t) = te-^2. Тогда
00 °° if х
i К (0) = т I Iе"'2 (^ _ 1 + £j d^F (ж) =
— оо —оо
00 / х2 \
= n^j ^-1 + ^- U(*).
— (X)
Воспользуемся легко проверяемыми неравенствами
е~х — 1 + я > -1 ¢-1/4^2 при 0 < ж < 1/4 и е-* — 1 + х >
> ~ e~~lU * ПРИ ^>!/4- Имеем | / (аг (*)) | >^£ e-i/* (Лп +
+ £л,4), где
Лп = -j aW (ж), Ln>/1 = а~\ 2~ zW (ж).
\x\^oVn \x\«jVn
Из (4.8), (4.9) и равенств
ОО
оо оо
-оо ^ О
следует, что
An > JZ^(An + Lni4) - | Pn|, K=0 (Vn + 4"). (4.10)
641/2
Положим #2 (0 = ^е~ • Справедливы равенства
7(a2(0) = -f J J te~ ^а/п_1 + А£_1ш7И =
— (X) —оо
оо х2
= тг Vn —^-7=- е 4а'п dV (х) =
J 2а Уп
= п V* f J
. 2с7"\Лг
б? 4a2n dV (x) +
+
\x\<(jVn
J \2o Уп 8a V'3 + 64a V'2) ^ (^j

172 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Отсюда и из неравенств
Уп
о
xdV (х)
\x\<.aYn
= У"
j xdV(x)
\x\^oVn
<лп,
Q-bn 2
\x\<oV
находим, что
J \x\bdV(x)^o-^n-1 J x4V(x)^LnA
\x\<oVn
11(«2 (*)) I > Vn (4~ I Lnfl \-A„- Ьпл ).
Принимая во внимание (4.8), (4.9) и равенства
со
4
\Аг(х)\йх =
1/2л
получим
где fin = О (г|)п + 1/тг). Отсюда и из (4.10) вытекает, что
Д»^сф„-|?»1. (4.И)
Здесь с>0, 4n = 0(i/n). Учитывая условие Е|Х1|3 = оо1
в силу которого lira m|)n = °°, заключаем, что An ^ с^п
для всех достаточно больших п, где Ci > 0. Нижняя
оценка в теореме 9 доказана.
Пусть теперь случайная величина Х{ имеет
решетчатое распределение с возможными значениями вида a + kh,
где &<=Z, h>0 и a — фиксированные числа. Положим
a3(i) = eXp{-.f(* + ^a/»)2}.
Из равенств
left
expi
— сю г
оо
J Из (ж) | dr = 1, /„ (* - Ц- о Vn) = e-««i«»/*/n (*),

§ 5. НЕРАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ
оценки (4.8) и леммы 2 следует, что
173
Лп>
1
2л
1 1
- 2л
J oo
M(/n(0-e-'V0exp{-j(< ■
I —oo
2jt 1/—\2\dt
\tAYn\<Tn
=
+
+ 0K + w) =
1
" 2л
J fn(t)e-^[t-^oVn) 'dt
\t\<Tn
+4^+^)-
Поэтому Ап>тт= -f o(i|>n).
Пользуясь неравенством
(4.11), приходим к нижней оценке в теореме 10. П
Функция tyn, фигурирующая в теоремах 9 и 10,
может быть записана в виде г|>п = ЛП+ \Ьп> 3| + Ln>4. Можно
построить функции распределения У(#) такие, что
любое из трех слагаемых в последней сумме при п -*■ <*>
будет преобладающим по отношению к сумме двух
остальных слагаемых.
§ 5. Неравномерные оценки
Рассмотрим функции распределения F^x) и F2(x)
и положим А =« sup | Fx (х) — F2 (х) |. Если у рассматри-
X
ваемых распределений существуют моменты порядка
р > 0, то в силу неравенства Чебышева имеем
1 - Fk (х) < $k/xv, если х > 0,
^л(я)<Мя1р, если ^<0,
где 7 „
Рь = J \x\pdFk(x) (Л = 1, 2).
— OO
Положим р = тах-(р4, [}2). Тогда
для х Ф 0 и
|Ff(a:)-Fa(aj)|<p/Ulp
для всех действительных ж.
Из последнего неравенства и определения А следует,
ЧТ° (1 d- Ыр)в1^(я)- ,Ря(я) lr+s <(!+ £)*ДГ

174 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
для любых неотрицательных г и s и для любых х.
Таким образом,
i'.w-™i<te£r" <*■•>
для любых неотрицательных г и s (r+s>0) и для
любых х. Оценка (5.1), учитывающая зависимость разности
Fl(x) — F2(x) от х, при больших значениях х является
более предпочтительной по сравнению с равномерной
по х оценкой \Fi(x)— F2(x) I < А, с помощью которой
она была получена.
Рассмотрим теперь более подробно случай, когда одно
из двух распределений — нормальное.
Пусть F(x)— произвольная ф. р., Ф (х) — нормальная
(0,1) ф. р. Положим
A = sup|/?» —Ф(ж)|.
х
Через Мр обозначим множество ф. р., обладающих
конечным абсолютным моментом порядка_р>0.
Теорема И. Пусть 0< А ^ 1/УТ и F(x)^Mp. Тогда
существует постоянная Ср, зависящая только от /?, такая,
что
|/Ч*)-Ф(*)|< \^р (5.2)
для всех х. Здесь
Кр ■■
f \x\pdF(x)- f \x\pdO(x)
Доказательство. Пусть а ^ 1 таково, что точки
±а являются точками непрерывности функции F(х).
Тогда
а а а
\\x\pdF(x) = §\x\pd(F(x)-(S(x))+ §\x\pdO(x) =
—а — а —а
= ар (F (а) - Ф (а)) - ар (F (- а) - Ф (- а)) -
а
- р j я*"1 (F (х) - Ф (a:)) dx +
о
О а
+ р §\x\p~1(F(x) — 0(x))dx + §\x\pd$>(x).

§ 5. НЕРАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ 175
Следовательно,
а а
ij\x\pdF(x)^-AapA + \\х\рс1Ф(х)
— а —а
И
J \x\pdF(x)<^lp + AapA + j \x\pdO(x).
\x\^a \x\^a
Для любых ф. p. Vi(x) и V2(x), у которых а к —a
суть точки непрерывности, имеем
j \У Г ^i Ы > *Р (1 - Г1 (*)) > xV {V2 (х) - V, (х))
\V\>a
при х^ а и.
I uip^iM>MpaM*)-^(*))
при ж ^ —а. Поэтому
< f |^OQ/) + Xp + 4apA
\У\>а
при .2: ^ а. Далее,
хр(Р(х)-Ф(х))^ J ||/|РйФЫ
ll/l^a
при х^а. Такие же неравенства с заменой хр на Ыр
имеют место в области х ^ —а. Следовательно,
\x\*\F(x)-<b(x)\^ \ \у\рс1Ф(у) + Хр + 4арА
при \х\^а. Полученное неравенство выполнено
очевидным образом при \х\ ^ а. Поэтому
(1 + \х\*)\Р(х)-Ф(х)\^ j \у\раФ(у) + К + 5<*рА
\v\>a
(5.3)
для любого а^1 и всех х. (Мы можем теперь снять
требование непрерывности функции F(x) в точках ±а.)

176 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Легко обнаружить, что
f уре~У2Ыу со ар_1е-а2/2
а
при а -+■ +оо. Поэтому функция
оо
1Р (а) = а1-*^*'* J уре~УуЧу
а
ограничена при достаточно больших а. Принимая во
внимание непрерывность 1Р(а) в области а^1, мы
заключаем, что эта функция ограничена в области а^1.
Положим Кр = sup 1Р (а). Тогда
оо
j |y|pdO(y)=/|J>e-»,^<
\У\>а а
< Кр yfla'-h-**'* < #р ]/| Л-2/^
/ j \1/2 __
Положим а=121Пд-1 . Поскольку 0<Д<1/Уе,
имеем а^ 1. Из (5.3) находим, что
(1 + | xp\)\F(x) - Ф (х) | < СРА (in i)P/2 + Хр
для всех ж, где Ср = 2Р 2 ( 5 + Kv у — 1. п
При /? = 2 теорема И сводится к следующему
предложению.
Теорема 12. Пусть ф.р. F(х) такова, что
оо
j aW(a:) = 1,
— ОО
Если 0 < Л < ~ = 0,60653 ..,, то
У*
1 + X
для всех х.
В теореме 12 можно положить А=2\Ъ + 21/ — Г("^~))»
так что Л < 16,5. v—.^

§ 5. НЕРАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ 177
В теоремах 11 и 12 мы можем взять в качестве F(x)
ф. р. нормированной суммы независимых случайных
величин, если эти величины имеют моменты
соответствующего порядка. Ограничимся приведением следствия
теоремы 12 для такого выбора F(х).
Теорема 13. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин с математическими
ожиданиями, равными нулю, и конечными дисперсиями.
Положим
п I п
з=1 \ У Вп з=1
An = suip\Fn(x) — Ф{х)\.
х
Если 0< Ап< 1/Уе при п>п0 и некотором п0, то
1
ЛАп1пд-
|Fn(s)-ci>(s)|< 2П
1 + х
для всех х и п^ щ.
Рассмотрим теперь суммы независимых одинаково
распределенных случайных величин. В книге [133]
можно найти доказательство следующей теоремы.
Теорема 14. Пусть Хи ..., Хп — независимые
одинаково распределенные случайные величины, JZX{ = О,
ЕХг = о2 > 0, E|XJft < оо для некоторого целого к>3.
Положим
V(x) = T>(X1<x), Fn (х) = Р( -4=2^- < х), Р=Щ-3.
Тогда
lil^a/ri(i+|x|)
V+*»-*4+ ■»!)»■» I l'l*+1^Go}
M<a/n<l+|*l)
для всех x. Здесь С (k)—положительная постоянная,
зависящая только от к.
12
В. В. Петров

178 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Отметим, что в этой теореме, как и в теоремах 3—8,
и есть произвольное целое положительное число.
Приведем два следствия теоремы 14, имеющие
значительно более простую формулировку.
Теорема 15. Пусть Хи ..., Хп — независимые
одинаково распределенные случайные величины, ЕХХ = О,
ЕХ? = а2>0, E|Z1|r<oo для некоторого г>3. Тогда
для всех х, где С (г)—положительная постоянная,
зависящая только от г.
Эта теорема вытекает из теоремы 14, в которой
следует положить k = [г], и неравенств
j \y\hdV(y)^Zh-r j \y\rdV(y)
\V\>Z \y\^z
II
j" \y\k+idV(y)^zh+1-r j lyfdViy),
\y\<z \y\<z
где z > 0.
В свою очередь, из теоремы 15 следует
Теорема 16. Пусть Х{, ..., Хп — независимые
одинаково распределенные случайные величины, ЕХ4 = 0,
EZ21 = o2>0, E|Z1|3<oo. Тогда
ЛЕ\ХЛ I3
| Fn(x) - Ф(х) | < 3 ,.' 1] з
для всех х. Здесь Fn(x) определено так же, как в
теореме 14.
Из неравномерных оценок разности Рп(х) — Ф(х)
легко получить предложения, относящиеся к так
называемой глобальной форме центральной предельной
теоремы. Например, из теоремы 13 следует, что если
{Хп} — последовательность случайных величин,
удовлетворяющая условиям теоремы 13 и условию Д„ -*- 0, то
j \Fn(x)-O>(x)\pdx-+0
— сю
для любого /?>1/2. Более общий результат содержится
в теореме 14 главы I.

§ 6. ФОРМАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ 179
Пусть F(x) и G(x) — две ф. p., rp(F, G) —расстояние
между ними в метрическом пространстве Lp (p^l), т. е.
rp(F,G) = [ J \F(x)-G(x)\vdx
\-оо
Из теоремы 16 вытекает, что при выполнении условий
этой теоремы справедливо неравенство rp (Fn, Ф) ^
^AE\Xi I3
§ 6. Формальное построение
асимптотических разложений
в центральной предельной теореме
Пусть {Кп\ п = 1, 2, ...} — последовательность
независимых случайных величин, имеющих моменты любого
порядка, причем ЕХП = 0 для всех п. Положим Вп =
п
= £ E-Xj. Как обычно, исключаем из рассмотрения слу-
3=1
чай, когда все Хп имеют вырожденные распределения.
Таким образом, Вп > О для всех достаточно больших /г,
и мы будем рассматривать лишь такие значения п.
Пусть yvn означает кумулянт порядка v случайной
величины Хп, vn(t) — х. ф. этой величины, /п(£)—х. ф. нор-
п
мированной суммы Zn = В~ 2л Xj- Напишем формаль-
3=1
ное разложение логарифма х.ф. Vj(t) в степенной ряд:
V=2
Отсюда получаем следующее формальное равенство:
где
%vn = ^—^Г 2 Yvj. (6Л)
12*
а/р

180 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Заметим, ЧТО Гу2п = 1. Поэтому
Определим функцию Pvn(^) как коэффициент при zv
в формальном разложении функции
«p{|^r",+v}
в ряд по степеням z. Таким образом,
{оо \ оо
2 (ЩГ и'+V = 1 + 2 Р- (и) zv (6.2)
ОО
^(0-^ + 2^^/:
nv/2
v=i и
Сопоставим полученному разложению х. ф. /п(0
разложение соответствующей ф. p. Fn(x) в ряд по
степеням у^
Рп(х) = Ф(х) + 2Ц^ (6.3)
v=i п
такое, что
оо
j e«*dQvn (a) = Pvri (it) е-'2/^. (6.4)
—оо
Найдем теперь явные формулы для функций P„n(it)
и Qvn{x), не заботясь о сходимости рядов, в которых
эти функции фигурируют. Нам понадобится следующее
элементарное предложение.
Лемма 3. Пусть функции у = у{х) и z = z(y) имеют
производные порядка v ^ 1. Тогда
dxv лт dys \у=у(х) m=i Kml \ml dxm J
где суммирование производится по всем целым
неотрицательным, решениям, (fc,, fr2, ..., &v) уравнения
ft1 + 2fe2+... + v/fv = v, (6.5)
а ^ = ftj + /с2 + ... + ky.

§ 6. ФОРМАЛЬНОЕ ПОСТРОЕНИЕ 181
Это утверждение (содержащееся, например, в книгах
[30, с. 77], и [29, с. 33]) можно получить по индукции.
Отметим попутно, что из леммы 3 при y(t) = f{t) и
z(y) = lny вытекает равенство (3.3) главы I,
связывающее кумулянты и моменты случайной величины с
х.ф. №.
Полагая в лемме z = еу, приходим к следующему
утверждению: если функция У = у{х) имеет
производную порядка v > 1, то
dx
:~.»2n^(i^)"", т
где суммирование производится по всем целым
неотрицательным решениям уравнения (6.5).
оо
Если у (х) = 2 asxs, то отсюда находим
s=i I |х^о т—1 т
Следовательно,
PVn(lt) = 2.Ц5Л (m + 2)l ) • <6"7>
где суммирование производится по всем целым
неотрицательным решениям уравнения (6.5).
Из (6.7) следует, что P^n(lt) есть полином степени 3v
относительно it с коэффициентами, зависящими от
кумулянтов случайных величин Хи ..., Хп порядка не
выше v + 2.
Из равенства
оо
f €»ЧФ (Ж) = <?-'2/2
— ОО
следует, что
оо
f e«*dO(r) (ж) = (- it)Ter*%l* (г = 0, 1, ...).
— оо
Поэтому (6.3) будет выполнено, если мы определим
Qvn(z) как Psn{it) с заменой каждой степени (it)r на
(— 1)г—Ф {х) (г = 0, 1, ,..). Тогда мы придем
dxr

Нт(х) = (-1)те^^е-**1*.
[т/2]
182 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
к равенству
о»w-2(-«Г*Д^(1¾) ^5*м.(«-в»
где суммирование производится по всем решениям
уравнения (6.5) в целых неотрицательных числах, a s =
= /Cj Т~ /^2 i . . . ~t~ rC\.
Равенство (6.8) можно записать в несколько ином
виде. Введем в рассмотрение полином Чебышева — Эр-
мита степени т\
Имеет место равенство
Нт (х) = т\ Zj ■—
fe=o Ь\(т — 2к)\2к
для любого целого т > 0.
Для любого wgN имеем
Поэтому
(6.9)
где суммирование производится по всем целым
неотрицательным решениям уравнения (6.5), a s определено
равенством s = kt + к2 + ... + кх.
Таким образом, Qvn (я) = Af3V-i,n (х) е~х '2, где
^3v-i,n(^)—полином степени 3v — 1 относительно х с
коэффициентами, зависящими только от кумулянтов
случайных величии Хи ..., Хп до порядка v + 2
включительно.
Полагая ос^- = Е-Х/ и пользуясь равенствами (6.1)
и (6.9), а также равенством (3.3) главы I, находим, что,
в частности,
Л/п бУ2я п £х "'

§ 7. РАЗЛОЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ 183
<кМ _ _ 1 е-*»/я Li _ 10а;з + 15а.) (725,^)-1 X
'* ~}/2л; [
X [2¾)2 + (^-3^)(24^)-1^ (а^-3а2^)|.
Рассмотрим теперь частный случай, когда величины
Хи Х2, ... имеют одинаковое распределение с
положительной дисперсией а2 и математическим ожиданием,
равным нулю. В этом случае величина tan, определенная
равенством (6.1), не зависит от щ и мы будем
обозначать ее через ta. Таким образом,
ta = Tv/a\ (6.10)
где Yv — кумулянт порядка v случайной величины Хх.
Для рассматриваемого частного случая одинаковых
распределений формулы (6.7) и (6.9) примут вид
и
(6.(2)
В каждом из написанных равенств суммирование в
правой части производится по всем целым неотрицательным
решениям (ки к2, ..., kv) уравнения к{ + 2к2+ ... +vkv =
= v, а число s определено равенством s = к{ + к2 + ...
. . . + ftv.
§ 7. Асимптотические разложения
в центральной предельной теореме
для сумм независимых одинаково распределенных
случайных величин
Рассмотрим последовательность независимых
случайных величин {Хп; п = 1, 2, ...}, имеющих одинаковую
ф. p. V(x). Пусть ЕХ, = 0, ЪХ\ = а2 > 0. Положим

184 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Теорема 17. Если EIXJ* < оо для некоторого целого
к ^ 3, то для всех х и п справедливо неравенство
k~2 Qv (х)
^»(*)-Ф(*)-2
V=l
< с (к) (a-ft/i-(ft-a)/a (1 + | я |)-* j | г/ \4V (у) +
+ Q-h-ln-(h-i)l2 (l + \x |)-ft-l J | у |*+Wfo) +
lt/l«j/n(i+|*|)
+ (sup | u(t)\ + l)V(HD/> (1 + | я I)-*"1]. (7.1)
Здесь 6 =
\m^6
a2
2тг/
12EIX I3 u c№)—положительная постоянная,
зависящая только от к. Функции Qv(x) определены в § 6
(см. (6.12)).
Если выполнено условие lim sup | и (t) | < 1, то
|*|->оо
sup | v (t) | < 1 для любого б > 0, так что множитель
m>6
(sup | v(t) I + 1/2тг\п убывает быстрее, чем п~р при лю-
\\Ц^б )
бом /? >0.
Доказательство теоремы 17 можно найти, например,
в книге [133]. Простыми следствиями этой теоремы
являются приводимые ниже предложения.
Теорема 18. Пусть lim sup| v (t) | < 1 и Е\Х,\Г <
\t\-* оо
< оо для некоторого г &* 3. Тогда существует
положительная функция г (и) такая, что Нт е(и) = 0 и
Fn(x)-0(x)- 2 V
»V/2
e (Vn (1 + |* 1))
re(r-2)/2 (1 _|_ | д. |}r _
Теорема 19. Если limsup|i?(OI<l и E|X1|*<oo
Kl-,00
для некоторого целого k>3, то
0 + 1*1)"
V = l л
О (ft-(fc-2)/2)
равномерно относительно же!?,

§ 7. РАЗЛОЖЕНИЯ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ 185
Теорема 20. Если выполнены условия теоремы 19, то
ft—2
Fn (х) = Ф (х) + 2 ^ + о (»-<*-»>/*)
V=l П
равномерно относительно ^eR.
Доказательство теоремы 17 опирается на следующую
лемму, представляющую самостоятельный интерес.
Лемма 3. Пусть F (х) — неубывающая функция,
G(x)—дифференцируемая функция, имеющая
ограниченную вариацию на К, F(—«>) = G(—оо)? р(+оо) =
= G (+«>), /(£) и #(£)—соответствующие этим функциям
преобразования Фурье — Стилтьеса. Пусть
со
J \xlf\d(F(x)-G(x))\<oo
— со
и \G'(х) I ^К(1 + \х\)~* для некоторого целого s^2 и
всех жеК, где К—постоянная. Тогда
\F{x)-G(x)\^
<c(s)(l + \x\)->\]jf(t)-g(t)\ff{ +
-т J
для любых Х€Е R и Г > 1. Здесь
со
6S (*) = j e*'*d {*s (F (г) - G (x))},
— CO
с (s) —положительная постоянная, зависящая только от s.
Доказательство леммы 3 содержится, например, в
книге [133]. С помощью аналога этой леммы для случая,
когда функции F(x) и G(x) имеют разрывы, можно
получить теоремы об асимптотическом разложении
функции распределения суммы независимых случайных
величин, обладающих одинаковым решетчатым
распределением. Из-за недостатка места мы не будем приводить
ни эти теоремы, ни результаты, связанные с асимптоти-

186 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
ческими разложениями в центральной предельной
теореме для сумм независимых неодинаково распределенных
случайных величин, отсылая читателя к книге автора
[133]. Некоторое представление о методах доказательства
подобных результатов дает доказательство следующей
теоремы, которая не содержится в теоремах 17—20.
Теорема 21. Пусть {Хп} — последовательность
независимых случайных величин, имеющих одинаковое
нерешетчатое распределение, и пусть EXt = 0, ЕХг = а2 > 0,
E|XJ3<cx>. Тогда
равномерно относительно х^ R. Здесь а3 = ЕХ?, а
функция Fn(x) определена ранее.
Доказательство. Применим теорему 2, полагая
в ней Ь = 1/л, F(x) = Fn(x), G(x)= **/ (1-*2)Х
_ 6а ]/2пп
X е~*2/2 + Ф(х) и Т = КУп, где #—постоянная.
Нетрудно проверить, что
g(t)= J e»4G (х) = e-V* (l + £Й=).
— oo
Тогда получим
suP|Fn(^)-GH|<i- J |/n(o-?(0||jj + ^,
\t\<KVn
где fn(t)— x. ф., соответствующая ф. p. Fn(x), а
постоянная С такова, что sup | G' (х) | ^ С.
х
Пусть е — произвольное положительное число.
Выберем произвольную до сих пор постоянную К удовлетво-
АС
ряющей условию -^- < е и положим
/= j 1/п(*)-г(*)1|Т1-
|/|<К1л?"
Теорема будет доказана, если мы покажем, что I <

§ 7. РАЗЛОЖЕНИЯ И ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ 187
для всех достаточно больших п. Имеем / = h + 72, где
Л = j \fn{t)-g{t)\±
\t\<6oVn
h=* J l/«(*)-*(oijTj.
во/я<|(|<К/л
б — малое ^положительное число. Полагая В = {t: боУга <
<Ш<К1п),
7™-1|/-(')1П7' ^-Jl'WIfrr
получаем ^2^^2 + ^2 • В силу равенства fn(t) =
= vn{-^n=\ где p(0=-Eeitxi, имеем /<» = ]' | ф) |« ^.
По одному из условий теоремы v(t) есть х. ф.
нерешетчатого распределения, поэтому по лемме 2 главы I
существует такое число Ъ > О, что |у(£)|^е~ь в области
б< UI <К/о. Следовательно, 1½ ^Се~Ъп, где С—
постоянная. Из определения g(t) вытекает, что l£ = o(n~v)
для любого р > 0.
Для завершения доказательства остается показать,
что h < г/1/п для всех достаточно больших п. Положим
(А2
L(t) = In v (t) + -у- для достаточно малых t. Справед-
2
ливы равенства
o2t2
L(0- °
v{t) = e 2
7i= г е^\гШ-1-Щ,
1 J 6о31/л
\t\<6oYn
6о*Уп
dt
ГП-
Пользуясь разложением функции еи в степенной ряд,
легко установить, что функция ех — 1 — у = (ех~у — 1) е?/ +
+ ev — 1 — у для любых действительных или
комплексных #, г/ удовлетворяет неравенству
к*-1-2/|<(|х-г/| + 4-|2/|2)^,

«■У I at
+ 72oe» 1 И I
188 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
где г = тах(Ы, \у\). Поэтому
1 ^ J I I \о Уп) 6а3 Уп |
\t\<6oYn
Из определения функции L(t) следует, что L(t) = o(tz)
а
и L(£) = -^- (it)3 + о (| f |3) при t-+0. Отсюда
заключаем, что |L(*)|<-^ и |L(0--y-(«)sl<eoUI8
для любой положительной постоянной е0, если Ul ^ 6 и
б достаточно мало. Таким образом, для достаточно
малого 6 имеем
оо 2
х^ J la3 У« +72oenflM^V«
— СЮ
для всех достаточно больших п, если постоянную е0
выбрать достаточно малой. П
§ 8. Дополнения
1. Пусть F(x) —неубывающая ограниченная функция, G(x) —
функция ограниченной вариации на К, F(—°°) = G(—оо),
^(+оо) = G(+oo). Пусть /7 (ж) — плотность распределения.
Н{х) —соответствующая ей ф. р. Положим
Д = sup \F (x) — G(x)\,
X
Ан =■■ sup | (F (x) — G (x)) *H(x)\,
X
p
, B(x, $) = 2^ p(x~y)dy-i.
0
Если p > 0, igRh5(^P)>0,to
f P 1
Л ^ В (x, P) ЛЯ + S11P 1 G (м + у) — G (и) J p (x — ^) tf Л.
^ 0 '
Отсюда вытекает следующее предложение, в котором /(*), g(t)
и Л(*) означают преобразования Фурье — Стилтьеса функций F(x),
G(x) и II(х) соответственно: для любого Т > 0 и любых х е К
и Р > 0» удовлетворяющих условию В(х, [}) > 0, справедливо не-

§ 8. ДОПОЛНЕНИЯ
189
равенство
•2лВ
(*, Р) J
(/(*)-*(*)) ft [-1.
dt ,
*^tJI4x+t)~~G(m)
р(х — у) dy
dt
(В. И. Паулаускас [123]).
В пп. 2—6 F(x) и G(x) означают ф. p., f(t) и g(t)
—соответствующие х. ф.
2. Если F(x) и G(x)—($. р. целочисленных случайных
величин, то
sup | F (x) - G (x) \ С _ J |
—я
(И. П. Цареградский [190]).
3. Если \f(t) — g(t)\ ^.C\t\ для любого t e К, где С —
постоянная, то
F(s -- д) -- 2С/я <^ G(s) ^ F (х + а) + 2С/а
для любых х е К ий>0 (Боман [216]).
4. Для любых ф. p. F(.r) и G(.r) справедливо неравенство
ю ,2
sup \F (х) - б (х) | > _1_
ж 2У2я
I
(/(*)-*(*))* 2^
(В. К. Мацкявичюс [101]).
5. Для любого Т > 1, 3 имеет место неравенство
1
d£
In Т
L(F,G)^-±-\\f(t)-g(t)\ ^L + 2e ,
о
где L — метрика Леви (В. М. Золотарев [55]).
6. Пусть h(t) —х. ф. произвольного распределения,
сосредоточенного на интервале (—1/2, 1/2), ty(x) —действительная функция,
определенная в области х > 0 и удовлетворяющая условию
0 < г|)(.г) ^ ty(y) для любых х и у таких, что 0 < у ^ я, и,
кроме того, условию ty(xy) ^ ^(х)^(у) для любых 1/>0и0<1<1.
Положим б = sup i|> (0 | / (t) —g (t) |. Тогда L(F, G) ^ е + Сбф (е)
*:>о
с»
для любого е > 0, где С = — I !—Lil d£. Отсюда следует при
я J J\|? (0
о
ф(я) = х~а, а > 0, что L (F, G)< (1 + — ] (Ся6)1/(1+а) Для
любого а > 0 (В. М. Золотарев [55]).

190 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
В пп. 7—10 мы рассматриваем независимые случайные
величины Х\, ..., Хп с математическими ожиданиями, равными нулю,
и конечными дисперсиями. При этом используем следующие
обозначения:
п
Vj{x)^V{X.<x), af=EXj (/ = 1, ..., и), Яп= 2°J-
j=i
7. Для любого а: е К справедливо неравенство
__з_ п (1+1*1)"]/^
Ап(о:)<Л/?Г| 2 (l + |x|)-3 Д] j J м2^(м)^
^1 0 |w|>v
(А. Бикялис [11]).
8. Если E|Xj|2+fl < оо для / = 1, ..., п и некоторого
положительного 6^1, то
-1—2. п
Ап (х) ^АВп 2 (1 + \х | Г*-6 ^ Е 1 X. |2+б
j=i
для любого rceR (А. Бикялис [И]).
9. Если ЕХ|# (Х^) < оо для / = 1, ..., п и некоторой
функции g ^ G, где G — тот же класс функций, что и в теореме 5, то
для любого х е К справедливо неравенство
An(^)<^^1(i+ui)-2(^((i + ui) /^2^(¾
3=1
(В. В. Петров [142J).
10. Справедливо неравенство
sup An (х) < ЛБП 2 ) 2 j *3<^ (ж)
1Г=1|к|<"1/5^
+ sup _* 2 f *2^j(*)[
0<z~<yBn 3=l\x\>z j
(Л. В. Розовский [163]; этот результат является усилением одной
теоремы Эссеена [261]).
11. Пусть {Хп}—последовательность независимых случайных
величин с общей ф. p. V(x) и х. ф. v(t). Пусть существуют такие
последовательности постоянных {ап} и {Ьп}, что
/,»(ж)^р(-7-2^-ь»<ж )-*ф(*)-

§ 8. ДОПОЛНЕНИЯ 191
Положим
rn= inf sup \ Fn (х) — Ф (х) |.
Для того чтобы гп = 0(п~6/2), где 0 < б < 1, необходимо и доста-
оо
точно выполнение условий \ rc2rfF (х) < оо и
— оо
(* z2dF (л) — О (z-6) при z -> оо. (8.1)
Для того чтобы rn = 0(n~[/2), необходимо и достаточно
выполнение условия (8.1) с 6 = 1 и условия
Z
\x3dV(x) =0(l)(z->oo). (8.2)
—z
(И. А. Ибрагимов [59]).
12. Пусть {Хп}, {ап}, {6П}, {гп} — последовательности,
удовлетворяющие условиям п. 11. Для того чтобы rn = 0(п~6/2), где
их
О < б ^ 1, необходимо и достаточно, чтобы х. ф. v (t) = Ее 1
допускала представление
v (t) = exp Hat — £JL (l + О (\t \6))] при t -> 0.
Здесь a = EXi и a2 = E(Xi —а)2 (И. А. Ибрагимов [59]).
В пп. 13—24 мы рассматриваем последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин {Хп},
удовлетворяющую условиям EXi = 0, ЕХ^ = 1, и полагаем
V(x) = V(Xl<x), Fn(*) = pf_L2Xi<*)'
К (*) = | Fn (*) - ф (*) |. К = sup д« (*)•
х
13. Пусть б — неотрицательная постоянная. Неравенство
1_
sup(l + |x|2+6) An(z)<Crc 2
—^-min(l,6)
имеет место для всех п е N и некоторой положительной посто*
янной С, зависящей только от б и F, тогда и только тогда, когда
выполнено условие (8.1), а в случае 6 = 1 — и дополнительное
условие (8.2) (Михель [367]; для случая 0 < б < 1 этот результат
был ранее получен А. Бикялисом [12]).
14. Пусть {пг\ i = 1, 2, ...}—последовательность целых поло-
ni+i
жительных чисел такая, что п\ <Z щ + \ для всех i и lim = С,

192 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
где С — постоянная, и пусть 0 < б ^ 1. Для того чтобы имело
место соотношение
Ч = °(-Гл/")-
необходимо и достаточно выполнение условия (8.1), а в случае
6 = 1 —также и условия (8.2) (Лесли [347]).
15. Положим
Тогда ряд
о2п= \ x2dV(x)-f \ xdV(x)V.
\x\<Yn \\X\<Y~1l I
(8.3)
У J_ sup I P * V xj < x
сходится (Фридмен, Кац и Купменс [276]).
V 1
Ф (х) |
16. Ряд >±it
П=1
сходится тогда и только тогда, когда
EX2 In (1 + | Х± |) < оо. Если 0 < б < 1, то сходимость ряда
У п~нб/2Ап равносильна условию E|Xi|2+6<oo (Хейди
п=1
[300]).
17. Если 0 < о < 1, то сходимость ряда
оо
У w-1+6/2sup(l+*2)An(z)
-™ X
п=1
равносильна условию E|Xi|2+6 < с» (Маеджима [354]).
18. Пусть {Сп} — последовательность положительных
постоянных, о\ определено равенством (8.3), В^~по2п,
к (сп)= sup ip( .2 xj < хСп\ -фм1.
Vn (Сп) = ^(1^1^ Уп)+ АпВ-3 J | х |3 dV (х) +
\x\<Vn
\ xdV (х)
| \х\<Уп
+
ВпУ2п
21/2яе
В2
J-J <п
max i,—
(в силу теоремы 8 справедливо неравенство 6п{Сп) ^ Vn(Cn) для
лкюого п и некоторой абсолютной положительной постоянной А).
Соотношение ёп(Сп) -»-0 равносильно соотношению Vn(Cn)-+tt
(Хейди [306]; в этой работе содержится обобщение
сформулированного результата на случай, когда не предполагается
существование каких-либо моментов у случайной величины Х\).

§ 8. ДОПОЛНЕНИЯ 193
19. Положим G(x) =V(\Xi\ < х). Если EIXJ2+6 < оо для
некоторого неотрицательного 5^1, то
Ап(х) ^Лсп(б)(1+ М2+в)-1
для любого х е К, где
Yn оо
сп (б) - п~1/2 j я3 dG (х) + гГЬ'2 \ x2+6dG (х),
о Yn
А — абсолютная положительная постоянная (Хейди [307]).
20. Пусть для некоторого а ^ 2 функции h{(x) = ха(1 — 7(я))
и /&2(:с) = xaV(—x) медленно меняются при х->+оо. Положим
К (х) = | г/2 dF (у). Если а = 2, то
1/(8)/2) < lim inf (/ЦУя))-^ < lim sup (K(f^))-lAn <c я/2.
Если 2 < a < 3, то
Т/лТ (^Ц-М / 23/2Г (а) | sin ™| )< lim inf {n [l - V (Vn)+
+ V (_Уд)]}-1 An < lim sup{rc [1 - V (Yn) + V (-Vn)]}-1 An <
a J
<Г [-^-J 22 * I (Г(а) lsinna|)
(Холл [281]).
21. Положим
(оо Ч/р
j | Fn (x) -ф(х)\р<1х\ для 1 < p < oo,
ДП,ос = АП = 8иРКпМ-фИ|'
Пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:
1) z3P(|Xi| ^ х) ->оо при £->-оо;
2) E|Xi|3< оо и EXj^O;
3) Xi имеет решетчатое распределение и Е|Х!|3< оо;
(X»
4) limsup| Eei/Xi | < 1 и Е | Хг \г < оо, ЪХ\ф \ хЧФ (х)
КН00
для некоторого целого г ^ 3.
Тогда существуют такие абсолютные положительные
постоянные А[ и А 2, что
Л, < lim inf -^- < lim sup-r^ < Л
1 A77,P' А77,р' ^
для любых p и //, удовлетворяющих условиям р ф р\ 1 ^ р ^ ОО,
1 ^^'^ °°.
13 в. В. Петров

194 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Если выполнено условие 1), то Ап, Р X tn при п -> оо, где
^ = ЕХ12/(|Х1|>У„-) +
+ гГ1'2 | Щ1 (| Хг | < Уп) | + п^ЕХ}/ ( | Хг | < ТА), (8.4)
/(#)—индикатор события В. Если выполнено условие 2) или 3),
г-2
то An р X я-7'. Если выполнено условие 4), то Ап р ^ п 2 (Хей-
ди и Наката [310]).
оо
22. Положим к = 3 f я2 | F (ж) — Ф (х) \ dx,
ко= \ max(l, 3z2) | V(x)~ Ф (х) \dx,
— ОО
ОО
vq = Г max(l, \x\3)\d(V~0)\.
— оо
Для лююого п е DM справедливы неравенства
Дп<4шах(и, K^+Tj^ri, Дп<Лшах(х0, %^J^1/2,
_i
An<Avon 2
(В. М. Золотарев ,[434]).
23. Для любого п е ЯМ имеет место неравенство
Ап<Лдг 2 f max(l, 1 я |3) | F (а) — Ф (ж) | da:
— оо
(В. В. Сазонов [398]).
24. Пусть EX*g (Хх) < оо для некоторой четной функции g(x),
положительной в области х > 0 и неубывающей вместе с функцией
x/g(;x) в этой области, причем g(l) =1. Положим
оо
X = f max (1, U|g (ж)) | V (х) — Ф (ж) | dx.
— оо
Тогда
Ад< ,-.,-, шах (я°Ч Я),
л $ (У л )
где ап определены равенствами а0 = 0, ai = 1/2 и a^ —
= i(1 + V2(^)]-i) для л^2- (Если ^(^) = 1^1* т0 an==
— (2П — 1)2~п). Кроме того, для любых п е ЯМ и £ е 1R справед-

§ 8. ДОПОЛНЕНИЯ 195
ливо неравенство '
^|l (х) < Л {g (У^) + g(x У« ) ^)-1 max (к*п, О,
где дп определены равенствами 6\, = 0, б, = 1/2 и бп —
=JLmax( l,^-Z-A + 6\ 2^-i ) Для /г>2 (В. В. Ульянов [180]).
Заметим, что в случае V(x) ==Ф(х) имеет место равенство
Ап = 0; при этом и правые части оценок из пп. 22—24 равны нулю
в отличие от оценки Берри — Эссеена. Другие результаты этого
типа можно найти в работах С. В. Нагаева и В. И. Ротаря /[113],
В. В. Сазонова ,[398], [399], В. И. Ротаря [171], [172], В. И. Пау-
лаускаса [121], J124], В. В. Ульянова [181].
В пп. 25 и 26 рассматривается последовательность
независимых случайных величин {Хп}, имеющих одинаковое распределение,
удовлетворяющее условиям ЕХ\ = 0, ЕХ^ = о2 > 0, Е I Хг |3^- р3<
( vi N
< оо. Полагаем р = Р3/а3, Fn (х) = Р —1_ > X. < х I.
25. Существует предел lira ~\/п sup 1 Fп (х) — Ф (х) I, не прево-
з + УТо
сходящий 7—- р. Равенство имеет место, если Х{ — аХ, где
6 \/2п
\ \
а ф 0, а X принимает значения — -тг (4 — ~l/l0) и -тг (У 10 ~~ 2)
с вероятностями -^ ("l/lO — 2) и -^ U — Ум)
только в этом случае (Эссееп [257]).
26. Имеет место неравенство
соответственно, и
lim sup inf ~[/п sup
Рп(х)~-Ф[Х~
<
У2п
Равенство достигается, если Х\ имеет значения —1 и 1 с
вероятностью 1/2 каждое (Б. А. Рогозин [159]).
27. Пусть {Хп} — последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин, {ап} и {Ьп}—числовые
последовательности, ап f оо. Положим
Fn(*)=nj-YXj-bn<*\ *n(x)~\Fn(x)-0(x)\,
\l/V
An-supAn(o:), А,п>р=[ \ A%{x)dx
Следующие условия равносильны:
1) EX\ < «»;
13*

196 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
2) существуют последовательности {ап} и {Ьп} такие, что
°° Л
Лп-+0и V-!?<oo;
-*■* п
п=1
3) существуют последовательности {ап} и {6П} такие, что
оо
ДпМ~>-()и ^Ч — < для любого х е К, где С — по-
ложительная постоянная;
4) существуют последовательности {яп} и {6П} такие, что
оо
Ап. р -> 0 и 2 ^п,р/п < °° Для некоторого /? из области 1 ^ /? ^ 2
(для любого /> из этой области). (В. А. Егоров [41]; импликация
2) =»- 1) была одновременно получена Хейди [306]; ранее Фридмен,
Кац и Купменс [270] доказали, что 1) =>- 2); для случая /? = 1
Хейди [305] установил, что 4) =>- 1).)
28. Пусть {Хп} — последовательность независимых случайных
величин с общей ф. p. V(x), {ап} и {Ьп} —числовые
последовательности, ап > 0, Fn (х) = Р J ± ^ X. - Ьп < а: ),
АК' M = sup|^n(x)-0(x)|> Д= inf Л(ап, bnj,
х ап,Ъп
ii/i^^ i?/i<x
Пусть e (я) — положительная функция, определенная в области
х > 0 и удовлетворяющая условиям е(х)-+0 при я-^оо, £бе(.г)
не убывает при некотором положительном б < 1/2 в области
х > х0. Для того чтобы Ап = 0(е(п)) при п-+оо, необходимо и
достаточно, чтобы
х R(x) = 0\z(-f—)) при х->оо.
В частности, Ап-^0 тогда и только тогда, когда R(x) = o{x~2D(x))
при ж->оо (см. теорему И главы IV). (JI. В. Розовский [167];
в этой же работе содержатся обобщения результатов И. А.
Ибрагимова и В. А. Егорова из пп. И и 27.)
29. Пусть Хи ..., Хп — независимые случайные величины,
п
EXj= 0, EXJ --= о? < оо (у =■ 1, .. ., л), 2 aJ = *• Положим
3=1
/ оо \1/р
j | /-„ (х) - Ф (х) \pdx\ , 1<р<оо,
А«,р
А,1,со = 81р|^пИ-Ф(х)

§ 8. ДОПОЛНЕНИЯ 197
3=1
п
2ЕХ?/(|^.|<1)
j-1
Тогда существует абсолютная положительная постоянная Л такая,
что для 1 ^ р ^ оо справедливо неравенство
п
Если 8,г > 0 и ^ ^^?^ (I ^j I ^ £г?) ^ —■ * т0 существует абсо-
лютиая постоянная /1 такая, что
(Хейди и Наката [310]; неравенство (8.5) для р = оо принадлежит
Холлу и Барбуру [293]. Более сложно формулируемые результаты
этого типа были ранее получены Л. В. Розовским [166], [167]).
В пп. 30—45 мы рассматриваем последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин {Хп} такую,
что EXi = 0, EXj = 1, и полагаем
Fn (х) = Р ( * У Х} < х ), Д„ - sup | Fn (х) - Ф (.г) |.
\Уп £- J
Величину i|)n определим с помощью равенства (8.4).
30. Справедливо соотношение
\*+^^„+^
(Л. В. Осипов .[117], Л. В. Розовский [166], [167] и Холл [283]).
31. Множество S называется множеством, определяющим
порядок сходимости 1/]/д, если для любого распределения случайной
величины Xi имеет место соотношение
™psK»(«)-*W| + ^*» + ^.
Если 0 < а < ]/3 и а Ф 1, то пара (—а, а) является множеством,
определяющим порядок сходимости Щп. Если выполнено одно из
условий а = 0, а = 1, а = УЗ или а ^ 2,1242, то пара (—ос, а) не
является множеством, определяющим порядок сходимости Щп
(Холл [290J).

198 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
32. Пусть а ^ 0. Положим Sn = 2 Xj,
j^-i
Ап (а; с, d) - sup (l + \x \a) I P (Sn < ex + d) - Ф (x) I,
A (a) -- inf Л (a; r, d),
c>o,d
6nl (a) = n sup *aP (| Zx | >Vn) +
+ n-*>'*\ EX*/ (\X1\< Уд )]+ n-iEX}/ (| Xx | < Уд ),
a* = EXjZ-Q ^ | < Уй), vn =- EX/ (| ^ | < У»).
Пусть p —- maxf 0, -^ — 1 J, 6n(«) = фп для 0 ^ а < 2, где \fn опре-
делепо равенством (8.4), и бп(сс) =6ni(a) для а > 2. Тогда
An (а; апУ^ rcvn) = 0(6ni(a) + л-''»(In тг)Р)
при w-> оо для любого а^Ои, кроме того,
liminf {Ащ(а) + л"1/2 (In.тг)Р}/бш(а) > 0.
Далее, для любого a ^ 0 имеем
An(a; У^ГО) + yi-^fln тг)Р X бп(а) + п~^2{Ы п)\
(При этом отношение оо/оо считается равным единице.) Если X,
имеет решетчатое распределение или удовлетворяет условию (С)
Крамера lim sup|Ee 1|<1,то во всех сделанных утвержде-
ИНоо
пиях постоянную' [J можно заменить нулем (Холл [289]).
33. Пусть jjLi == 0, Jjl2=1 и пусть \х3, щ, ... —
последовательность произвольно выбранных чисел. Пусть Qv(x) (v = 1, 2, ...) —
функции, определенные (6.12) с заменой кумулянтов ^з, • •., Tv+2
числами u,3, ..., [iv+2- Построим последовательность чисел {[Jn}, где
Рп определяется по ри, ..., \лп таким же образом, как моменты
определяются по кумулянтам, т. е. Рх = \iv Р2=Н>9 + р^, • • •
Положим V(x) =V(Xi < х), v (t) ^-Ее l. Для того чтобы
k—2
Fn (*) = Ф (x) + 2 ^ + о (»-(fe-2)/2) (8.6)
V=l д
равномерно относительно x e К для некоторого целого /г ^ 3,
тгеобходимо (а для распределений, удовлетворяющих условию (С)
Крамера lim sup | v (t) | < 1, и достаточно), чтобы выполнялись
следующие условия:
1) E|-yi|fe-1<oo, ЕХ^-=Рте (m=l, ..., Л-1),
2) Г \x\k~ldV(x) ~- о (1-\ при £-> + оо,
|X|>Z

§ 8. ДОПОЛНЕНИЯ 199
3) lim f xhdV (x) = pft.
Справедливо также следующее предложение: для соотношения
(8.6) необходимо (а для распределений, удовлетворяющих условию
(С) Крамера, и достаточно), чтобы
i;(0 = охр -^ + j?i|j%v + o(mfe) при t-+0
[ V=3 ' J
(И. А. Ибрагимов [60]).
34. Пусть Е| Хг |3< оо,"а3 = ЕХ*, р > 1. Положим
(оо у IV
j |FnW-0(x)|^ .
-оо
Если случайная величина Zi имеет нерешетчатое распределение, то
д =л Ы + olJ-
где
\i/p
[1-х8 |Рв-Р**/я to | .
(оо
—-оо
Если сс3 = 0 и Zi имеет решетчатое распределение с максимальным
шагом к, то
(Эссееп [258]).
35. Пусть Х\ имеет нерешетчатое распределение, E|Zi|3< оо.
Тогда
(1+1 *1)3
а (1 — х2) е~х2/2 I / а
6 "]/2зхд
равномерно относительно х е К, где сс3 = ЕХ^ (А. Бикялис [11]).
36. Пусть lim sup | Ее1'*1 |<1, Е|Х1|^<оои EIX^1 = оо
|*1->оо ^ ^
для некоторого целого & ^ 2. Определим величины yv и @v(#)
формальными равенствами уг — "fv — EX ^ и

200 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
где Yv — кумулянт порядка v случайной величины Х\. Пусть
(0, если <?v (х) = 0,
11 в противном случае,
х h-L
Фп* -п
i Ш dV{x)+
+
I {vnTdV{x)\+ I Ш*+1^(4
\x\pVn
\x\<Vn
если к нечетное,
%k = n\ J (^YdV(x)
~]/n
\x\^Yn
T7r I ( h+i +
Ш,+,(>
?hi + J xh+ldV (*)
\х\<Уп
+
+
I Шк+2^(4
если /с четное. Тогда 1)
\х\<Уп
sup
fe-2
Fn (х) - ф (*) _ 2
PvW
nV/2
:t
n/t
«A",
(Л. В. Осипов [118]).
37 Пусть y (0 = Ee"^1, lim sup | у (£) | < 1. Для целых не-
|f|-»oo
отрицательных v и l положим
<") /л —
<П0
-'ЧШ—£)Ш)-)'
uvl
Если E|Zi|3<oo, то для любого целого s^2 справедливо
соотношение
Fn (х) = Ф (х) + 2 W (*) + ° (п~*'2)
0<V + f<S
fe-2
1) При А: = 2 следует опустить слагаемое 2 *

§ 8. ДОПОЛНЕНИЯ 201
равномерно относительно х е К, где коэффициенты affl
определяются равенством
{со 7П\
m-2 ' J
v+Z>0
(Л. В. Осипов [118]).
38. Пусть JjLi = 0, p,2i=l и пусть м-3, М-4, •••
—последовательность произвольно выбранных чисел. С помощью
последовательности {\хп} определим последовательность функций {Qv(x)} и
числовую последовательность {рп} так же, как в п. 33. Пусть к —
целое число, к ^ 2. Если 0 < б < 1, то для соотношения
k-2
S ,-ifM+6)/2sup'
^ X
П=1
Fn(x,-0(x,-2«tg!>
, ^/2
< оо (8.7)
необходимо (а для распределений, удовлетворяющих условию (С)
Крамера jimsuplEe2 ] |<1, и достаточно), чтобы
EIX^^+^oo, $т = ЕХ™ (m = l, ..., к). (8.8)
Если выполнены условия (8.8) для четного к ^ 2 и б = 0, то для
выполнения соотношения (8.7) при 6 = 0 необходимо (а для
случая к = 2 или для распределений, удовлетворяющих условию (С)
Крамера, и достаточно), чтобы ElA^JMn (1 + \Х{\) < оо (Хейди и
Лесли [309]. Обобщение этого результата, а также теоремы Хейди
из п. 16 на случай весовых функций более общего вида, чем
степенная функция, фигурирующая в ряде из (8.7), содержится в
работе Б. А. Лифшица [83]).
39. Пусть к — целое число, к ^ 2, и пусть gv(x) (v = 1, ...
..., к — 2) — функции ограниченной вариации на К ,
удовлетворяющие при любом нечетном v хотя бы одному из следующих
условий: 1) существует число rv Ф 0 такое, что gv(rv) = gv(—rv);
2) имеет место соотношение lim inf xv+2 | gv (х) I = 0; имеет место
соотношение lim inf
-j(*v(*) + *v(-*)J
— 0. Для того чтобы
k-2 , ч / Ь-2
^<*)=ф(*>+2Ч£г+ч»
V=l
-— -г~ и \ и
равномерно относительно геК, необходимо (а для
распределений, удовлетворяющих условию (С) Крамера, и достаточно), чтобы
выполнялись следующие условия:
Z
1) Е^!^-1 < оо, существует конечный предел lim I xhdV(x),
Z-^-j- оо J
где F(*)eP (Хх < х)\
2) \ \х |fe~W (х) = о (A. ] при z -> + оо;

202 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
3) gv(x)==Qv(x) для v = l, ..., /,:-2, где Qv(x) — функции,
определенные равенством (6.12).
(Л. В. Розовский [165]. Другие результаты этого типа,
представляющие собой обобщения или аналоги теоремы И. А. Ибрагимова из
п. 33, содержатся в работах Л. В. Розовского [164], Хиппа и Ми-
хеля [312], Михсля [369].)
40. Пусть Е|Х| |г < оо для некоторого г > 3,
Ьп(*) = \Рп(х)-Ф(х)- 2 ^Г
| v=i п
где Qv(x)—функции, определенные равенством (6.12). Положим
V(x) = F(XX < х), v{i) = Ee г. Пусть V(x) принадлежит
некоторому семейству & такому, что
f \x\rdV(x) -*0 при &->оо
sup
Уе^ \х\>Ъ
и существуют положительные постоянные а и с < 1, для которых
sup sup | v (t) | ^c. Тогда
Уе^> |/|>a
оо / г—2\
j |хГ-1Дп(.г)^-о(д 2 J.
sup | х \r~~JAn {х) dx = о [п 2 /. (8.9)
Уе^
В случае, когда семейство & состоит из одного элемента V,
условия, определяющие это семейство, равносильны условию E|Xi|r <
< оо и условию (С) Крамера (Д. М. Чибисов [192]. Для случая
г = 3 соотношение (8.9) было получено А. Бикялисом и Г. Ясюна-
сом [14] в предположении, что EIZ^3 < оо и Х\ имеет
нерешетчатое распределение. Уточнение результата Д. М. Чибисова
получено в работе Л. В. Розовского [168], в которой рассмотрена
интегральная метрика более общего вида и изучен случай неодинаково
распределенных независимых слагаемых).
41. Пусть Е|Х!|Г < оо для некоторого целого г ^ 3.
Следующие утверждения равносильны:
1) ЪХ\ = j хкйФ (х) (1 <с к < г - 1);
— оо
оо
2) j' xhd(Fn(x)-<t)(x))--0(n-(r-2^2) (1 <£ А: < г - 1);
— оо
оо
3) j eiixd(Fn(x) — (I>(x)) = 0(n-<r-2)/2) (*e=lR);
—оо
оо
4) j f(* + V)d(Fn{x)-(b(x)) = 0(n-<r-2V*)
— оо
для люГ)ой функции / е Cpt (К) равномерно относительно у е №;

§ 8. ДОПОЛНЕНИЯ
203
5) f f(x)d(Fn(x)-q>(x)) = 0(n-(r-*№)
—-оо
для любой /ебд(К). Здесь
СГВ(Щ = {/(*)еСв(К): f(b)(a.)e56^ (К)> 1<^&<г},
£# W —класс определенных на К ограниченных равномерно
непрерывных функций (Бутцер и Хап [224]. В работах Бутцера и
Хана [223] и А. И. Даугавета [31], [32] получены оценки интегра-
оо
лов вида \ / (х) d (Fn (х) ~ F (ж)) для неограниченных функций /
— ос
из различных классов, где Fri(x)^V\ — 7 %■ < х , {Xп} —
последовательность независимых неодинаково распределенных
случайных величин, F (х) ~ ф. р., предельная для Fn(x). При этом в
двух последних работах изучен случай F (х) =Ф(я); в [223]
рассмотрен, в частности, случай устойчивого предельного
распределения F).
п
42. Пусть Zn= J—Sx., Р« = E|^ils- Если $k< 00 для
Уп jS
некоторого целого Л; ^ 3, то
~ А-2 ~
EZkn= хк<1Ф (х) + 2 »"V/2 A?VW-
— 00 v х —оо
Если (Зг < оо для некоторого г >» 2, то для любого положительного
X ^. г справедливо соотношение
~ [г/2]-1 ~
E|Zn^= \ \х\ЫФ(х)+ 2 ^~V ) \x\KdQ2v(x) + Rn,
-00 v=* -00
где
Г г—2 Я.+1 Я.+1]
|лп|<С\Р2г" 2 +Pr"2^ 2 J. если2<г<3,
|Лл|<С1Р?л 2 +Pr r n 2 ), если 3<г<4,
Г _Izi 3(Х+1) М-1 З(М-г) _^Ьг]
|ЛП|<СЬ»»" 2 +Pr ' »~ 2 +Pr г »~ 2 ), ослиг^4.
Здесь Qv(x) —те же функции, что и в § б, С — положительная
постоянная, зависящая только от г (Бар [198]).

204 ГЛ. V. ОЦЕНКИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ
Сохраняя предположения, сделанные перед и. 30, будем
пользоваться в пп. 43 и 44 дополнительными обозначениями:
п оо
-I х —оо
43. Пусть Е|Х, \р < сх> для некоторого р > 2. Тогда
|E|Zn|p-xp| ^C/i"b
для любого и е DM, где Ъ -= — min (1, р — 2), С — положительная
постоянная (Бар [198]; другое доказательство приведено в работе
Михеля [366]).
44. Пусть E|Xi|?J < оо для некоторого положительного р < 4,
р Ф 2. Положим g = min (1, (р + 1)/2),
бп (р) ^1еХ4/ (| Хх | < Уп) + ЕХ*/(| Хх | > Уд ), если 0<^ <2,
6п(р)_1е^/(|х1|<УЛ +
+ п1-^/2Е | Хх |Р/ (| Х11 > Ул ), если 2 < р < 4.
Иш sup |E|Z„|p - xP|/{6n(p) + we} < оо
liminf {|E|Zn|P-Xp| + /i"«}/6n(p) >0.
Одним из следствий этого результата является равносильность ус-
ловий Е|Х,|2+2'<оо и %гГ1+*\Е\гп\р — кр\<оо, гДе °<
П=1
<р<2, 0<t<q (Холл [287]).
45. Пусть Ее 2 <; оо для \h\ < /i0 и некоторого й0 > 0.
Тогда существуют положительные постоянные Т, *у и raQ е N
такие, что
__1
| ^пх to) ~ ф_1 to) I < ^ 2 (1 + (ф_1 to))2)
для и > п0 и значений г/, удовлетворяющих условию
—У1 1/з _^1 i/з
(yn^y^-h 2П <^<1-(7^1/6У2^)-^ 2"1 .
Здесь Fn и Ф"1 означают функции, обратные к функциям Fn и Ф
(М. В. Хатунцева [186]). Обобщение и усиление этого результата
получено В. М. Бондарко [16].
46. Пусть {Хп} — последовательность независимых случайных
величин с общей ф. р., принадлежащей области притяжения нор-
Тогда
и

§ 8. ДОПОЛНЕНИЯ 205
мального закона,
^n^ll Ху G(x) = EXll{\X1\<x),
3=1
а(х) = sup {a: a~2xG(a) Г^ 1}, сп = а(п),
И» = EV (\Х1\< сп), Ф (х) = ^= е-**'* ,
К = "Р (| *i I > еп) + пе-*ЕХ*1 (\Х1\< сп) +
+ пс-*\ЕХ*1{\Х1\<еп)\,
Ln (х)= пЕ {Ф (х - Xjcn) -> Ф (х)} + «ф (х) ц„/Сп -1 Ф' (х),
£»п (с, d)"- sup | Р (Sn < ex + d) ~ Ф (x) |.
Тогда
и
lim inf f inf Dn(c, d) + ^-\/6n>Q
I c>0, d " ''
sup I P (5„ < enx + ,щп) - Ф (x) - Ln (x) | - О (б?, + f ;. (8.10)
x \ ?г/
Если распределение случайной величины Zi является
нерешетчатым, то правая часть (8.10) может быть заменена суммой О (б^) +
+ °(1/сп). Далее, sup I Ln (х) I ^ АЬп для любого п. Кроме того,
X
справедливо неравенство lira inf fsup I Ln (x) П / 6n > 0 (Холл [289].
Развитие подхода к исследованию скорости сходимости в
центральной предельной теореме, связанного с Ln(x), содержится в
работах Холла [288] и [292]).

Глава VI
ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
§ 1. Слабый закон больших чисел
Рассмотрим последовательность случайных величин
{Хп; п = 1, 2, ...}. По определению эта
последовательность сходится по вероятности к случайной величине X,
если Р(IХп — XI ^ е) -> О для любого фиксированного
8 > 0. В этом случае будем пользоваться записью
Хп —> X.
Последовательность {Хп} называется устойчивой, если
существует такая последовательность постоянных ibn},
что Хп — Ъп —> 0. Если выполнено последнее
соотношение, то Р(|ХП — Ъп\ < е)> 1/2 для любого е>0 и всех
достаточно больших п. Отсюда и из определения
медианы тпХ случайной величины X следует, что \шХп — Ъп\ <
< е для всех достаточно больших п. Таким образом, если
последовательность {Хп) устойчива, то
Р(\Хп-тХп\^г)^Р(\Хп-Ьп\ + \Ьп-тХп\^г)^
<p(|JTn--bn|>-|-)->0
для любого 8 > 0, так что Хп — тХп —> 0.
Пусть {Xnk; ft=l, ..., fcn; п = 1, 2, ...} —
последовательность серий независимых в каждой серии
случайных величин. По определению последовательность серий
{Хпк} удовлетворяет слабому закону больших чисел, если
последовательность | 2 Xnk\ и = 1, 2, . .. | устойчива.
Иначе говоря, последовательность серий {XnJ
удовлетворяет слабому закону больших чисел тогда и только
тогда, когда существует последовательность постоянных
{bj такая, что распределение суммы 2jXnk — Ьп слабо
к
сходится к вырожденному распределению
«О, если х^О.
4 ' (1, если х > 0.

§ 1. СЛАБЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 207
Это распределение безгранично делимо; в формуле Ле-
ви —Хннчина (равенство (2.10) главы II) ему
соответствует спектральная функция Леви — Хипчина G(x)^0
и у = 0. Условия слабой сходимости распределений сумм
независимых слагаемых к заданному безгранично
делимому распределению содержатся в главе IV. Из
результатов этой главы нетрудно получить условия
применимости слабого закона больших чисел к
последовательности {Xnh}.
Лемма 1. Если последовательность {Хпк}
удовлетворяет слабому закону больших чисел, то величины Xnh
предельно постоянны.
Доказательство. Пусть fnk(t)— х.ф. Xnh. Тогда
е~г1п* 2| jnk (£)->1 дЛЯ любого t, так как х. ф. вырожден-
h
пого распределения D(x) тождественно равна единице.
Поэтому П I Inn (t) | ->■ 1 и min ] fnh (t) |2 ->■ 1.
h ( h
Функция \fnh{t)\2 есть x. ф. разности двух
независимых одинаково распределенных величин Xnk и Fnfe,
поэтому
maxP(|Xnft-F„ft|>e)->0 (1.1)
k
для любого е > 0. Пусть {ank} — числовая последователь-
ность такая, что Р (Xnk < anh) <^ ^Р (Xnk ^ «т»/*)- Тогда
для любого е > 0 имеем
Р (Xnk — Ynk > 8) > Р (Xnk — a„ft > е, Ynh — ank < 0) >
>4r(l-Fnk(ank + 8)),
где Fr,b(x)— ф. p. Xnfe. Аналогично
P (X*ft - Fn, < - 8) > -i- ^„ft (^, - 8 + 0).
Поэтому
P(lXfA--ank|>e)<2P(|Xnfc-ynk|>e)-^0
в силу (1.1) равномерно относительно /с. Таким образом,
выполнено условие предельного постоянства величин Хпк
(условие (1.17) главы IV). □
Как было отмечено в конце § 1 главы IV, при
выполнении условия предельного постоянства для величии
Xnh случайные величины Xnk — mXnk удовлетворяют
условию бесконечной малости. Это замечание вместе

208 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
с леммой 1 позволяет получить следующий результат,
вытекающий из теоремы 14 главы IV при а = 0 и о = 0.
Лемма 2. Пусть Fnk(x)— ф. p. Xnk, mnk=- пгХпк. Для
того чтобы последовательность {XnJ удовлетворяла
слабому закону больших чисел, необходимо и достаточно
выполнение условий
2 j dFnk(x + mnh)-+0 (1.2)
для любого фиксированного г > 0 и
2 | j aWnfc (х + тгс^) -/ ) ж dFnk(x + тли) ^ j -*■ 0.
(1.3)
С помощью леммы 2 можно доказать следующую
теорему.
Теорема 1. Для того чтобы последовательность
{XnJ удовлетворяла слабому закону больших чисел,
необходимо и достаточно выполнение условий
2 f dFnk(x + mnk)->0 (1.4)
U
2 f x4Fnk(x + mnh)^0. (1.5)
k |х|<1
Доказательство. Покажем сначала, что из (1.2)
и (1.3) вытекает условие (1.5) (условие (1.4), очевидно,
выполнено). Обозначим через / тот из интервалов
( — 1, 0) и (0, 1), для которого \ хdFllk (х + rnnh) имеет
i
наибольшее по абсолютной величине значение. (/ может
зависеть от п и к.) Имеем
2( ] xdFnk(x+mnh)\ <2j| j zdFnk(x+ mnk)\ <
h \\x\<l ) k \ i )
<2 J x4Fnh (x + mnk) \ dFnk (x + m^) <
k i i
< 2 J z2 dFnh (x+ mnh) j dFnk (x + mnh). ^
k \x\<l 'i
Из определения медианы следует, что dFnk (х + mnh) ^-^-.
i

§ 1. СЛАБЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 209
Поэтому
h \\х\<1 J k \х\<1
< S ( J aWn* (* + rnvh) — [ \ х dFnll (х + mnk)
21
И<1 ) J
Таким образом, из (1.3) вытекает (1.5).
Покажем теперь, что из (1.5) и (1.4) следует
выполнение условий (1.2) и (1.3). В силу неравенств
0< J x2dFnk(x +mnk) — ( j xdFnh{x+mnh)\ <
|ж|<1 \|х|<1 )
< \ x2dFvh (x+ mvh)
И<1
из (1.5) вытекает (1.3). Если имеют место (1.5) и (1.4),
то, очевидно, справедливо соотношение (1.2) для любого
г> 1. Если же 0 < е < 1, то
2 J dFnk(x + mnk) = %\ j + П<
h \х\^>& k (e<|xL<i |x|>ij
<42 J x* dFr>h{* +mnh) + 2 J dFnh {x + mnh) -*■ 0
h 8^|X|<1 k |X|>1
вследствие (1.4) и (1.5). П
Лемма 3. Пусть X — случайная величина, Ъ —
положительное число,
[X, если \Х\ < Ъ,
Z==(0, если |Х|>Ь.
Тогда
Е^ + ^Р{1Х\>Ь)<Е1^^ + Р(\Х\>Ь).
Доказательство. Пусть F(х) — ф. р. X. Тогда
Е-
X2
J-x +b \xUx+b
± j x*dF(x) + j dF(x),
X2 + b2 J x' + b* " ""' ' J x* +
ft* _
|x|<b |a|^t>
14 В. В. Петров

210 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Используя лемму 3, мы можем придать теореме 1 иную
формулировку.
Теорема 2. Для того чтобы последовательность
{Xnh} удовлетворяла слабому закону больших чисел,
необходимо и достаточно выполнение условия
ос
2 f -7^-s uFvk{x + m„„) -* 0. (1.6)
ь J {4-х
я —со
Действительно, условия (1.4) и (1.5)
равносильны (1.6).
Отметим еще одно следствие общих теорем главы IV
(именно, теорем 13 и 14 при а = 0 и а = 0).
Теорема 3. Для того чтобы ^Х^^О и после-
и
довательность {Xnh} удовлетворяла условию бесконечной
малости, необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0
и некоторого т > 0 выполнялись условия
2 j dFnh(x)-+0, (1.7)
Sj f Л/П,И-/ f xdFnk(x)\2\-+0, (1.8)
* (И<т \N<t / J
2 f xdFnk(x)-+0. (1.9)
fe |x|<t
В этом утверждении можно заменить слова «для
любого е > 0 и некоторого т > 0» словами «для любых
е>0 и т> 0».
Рассмотрим теперь последовательность независимых
случайных величин {Хп; п = {, 2, . . .}. Пусть Vn(x) =
= Р(Хп< х) и {aJ — последовательность положительных
чисел такая, что ап t °°. Введем последовательность серий
{Xnh; ft = l, ..., п; n = i, 2, ...}, полагая Xnk = Xk/an. Из
теоремы 2 вытекает
Теорема 4. Для того чтобы существовала последо-
п
вательность постоянных {bj такая, что — ^Хк — Ъп —> 0,
необходимо и достаточно выполнение условия
п °°

§ 1. СЛАБЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 211
Докажем следующий результат.
Теорема 5. Для того чтобы
п
-L^x.Jlo, (1.Ю)
п k=l
необходимо и достаточно выполнение условий
2 f dvk(x)-+o, (l.ii)
''=1 \х\>ап
V
-V2( I *2dVh(x)-( f xdVh(x)Y\->0, (1.12)
^-2 J -rdVh(x)->0. (1.13)
Доказательство. Покажем сначала, что усло-
гия (1.11)-(1.13) достаточны для (1.10). Положим
Хпп = Xh/an (к = 1, ..., п) и
Ая*~1 0, если |Х1Л|>1.
Мы имеем Fnh (х) = Р (Znft < ж) = Fb (апх). Очевидно,
левая часть (1.12) совпадает с левой частью (1.8) при т = 1
п
и равна 2j DXnfc. Для любого б > 0 имеем
1
п
2j ^п/г — <2j ЕХпй
ft=l
/ ь
в силу неравенства Чебышева и (1.12). Таким образом,
^Хпк— 2EXn/i^0. Принимая во внимание (1.13), по-
лучим 2^nfe—> 0. Далее,
h
\ ft h J к к
в силу (1.11). Поэтому 2Хп/{-2^пД0, и> следова-
/i /г
тельно, S ^ft -^ 0. Последнее соотношение
равносильно (1.10).
Для завершения доказательства теоремы осталось
показать, что если выполнено (1.10), то случайные ве-
14*

212 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
личины Xnk = Хк/ап удовлетворяют условию бесконечной
малости. После этого достаточно сослаться на теорему 3.
п
Пусть выполнено условие (1.10). Положим Sn = J^Xj.
3=1
-^- YI Я П 1 ^Ti 1 Р г\
Имеем — == —> 0, ибо последовательность
ап ап ап-\ ап
положительных чисел {aj не убывает. Пусть е и 6 —
произвольные положительные числа. Вновь используя
предположение о неубывании последовательности {ап}, получаем
P(\Xh\>ean)^F(\Xk\>eah)<8, если N^k^n и
число N достаточно велико. Если же 1 ^ к < N, то Xh/an -*- 0
в силу условия ап t °°, и, следовательно, max Р (| Xh | ^
^ ея„) < б для всех достаточно больших п. Итак,
max Р (\Xh | ^ еап) < б для всех достаточно больших п,
т. е. выполнено условие бесконечной малости. П
Теорема 6. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин, имеющих общую ф. p. V(x).
п
Для того чтобы — ^ Хк —> 0, необходимо и достаточно
выполнение условий
/iP(IXil ^>г)+0 (1.14)
г/
f я</7(я)-*0. (1.15)
|*|<л
Доказательство. Покажем, что из (1.14)
вытекает соотношение
-i- f жа dF (д:)-> 0. (!.1fi)
\x\<zn
Действительно,
f ж2 dF (а:) = S j" *2 dF (x) ^
|Х|<Д 771=1 7П—K|x|<m
n
< 2 maP (m — 1 < I Xx |< m)<
m—1
м m
m=l /-=1
=- 2 5 ZP (Z - 1 < | Xx | < n)< 2 2 ZP (| Xx | > / - 1).

§ 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ НЕЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН 213
Заметим, что если {хп} — числовая последовательность,
п
1 V
хп -* О, то —2^Хк~~>' * Поэтому из полученных неравенств
k=i
и (1.14) вытекает (1.16). Из (1.14)-(1.16) следуют
соотношения (1.11)-(1.13) при ап = п и Vh(x)^V(x).
Остается сослаться на теорему 5. П
Доказанная теорема и неравенство
¥{\Хг\^п)^ J \x\dV(x)
\х\^п
приводят к следующему предложению.
Теорема 7. Если {XJ — последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин
и если существует математическое ожидание "ЕХи то
п
§ 2. Сходимость рядов
независимых случайных величин
Рассмотрим последовательность множеств Ып; п =
= 1, 2, ...}, каждое из которых состоит из элементов
некоторого непустого множества Q. Верхний и нижний
пределы последовательности {Ап} обозначают через
limsup^4n и liminfi4n соответственно и определяют
равенствами
limsup^n= П [] 4 liminfi4n = U fl Aka
n=l k=n n—1 fe=n
Ясно, что limsup^n есть множество тех точек
пространства Q, которые принадлежат бесконечно многим Ап,
a liminf^n есть множество точек пространства Q,
принадлежащих всем Ап, за исключением любого конечного
числа множеств Ап. Очевидно, Km inf An<=.\im sup An.
Если множества liminfi4n и limsup^n совпадают, то
полагаем lim^4rt = lim inf An = lim sup An. Множество A =
= limAn называется пределом последовательности
множеств {AJ.
Пусть (Q, 5t, Р) —вероятностное пространство, 4neSl
(/г = 1, 2, ...). Вместо limsup^n иногда будем писать Ап
б. ч. и говорить: события Ап появляются бесконечное
число раз (или бесконечно часто).

214 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Лемма 4 (лемма Бореля — Кантелли). Если
оо оо
2 Р(Л„)<оо, roP(limsup4»)-=0. Ясли 2 Р(4„) = оо
п=1 п—\
и {Ап} есть последовательность попарно независимых
событий, то P(lim sup An)= 1.
В традиционной форме второй части леммы Бореля —
Кантелли условие попарной независимости событий Ап
заменяется более ограничительным предположением о
том, что события Ai, ..., Ап взаимно независимы при
любом п.
Первая часть леммы 4 следует из соотношений
/ оо со \ /оо \ оо
P(limsup^„) = P{ П U А <Р( [J Ah <2Р(Л)^0,
сю
поскольку ряд 2 Р {Ап) сходится. Следовательно,
Р (lim sup Ап) = 0. Доказательство второй части
использует следующее предложение.
оо
Лемма 5. Пусть 2 Р №п) =^ оо и
lim inf 2 2 Р (4ЙЛ/) f 2 Р(А)) 2< 1- (2.1)
Гогда Р (lira sup Ап) = 1.
Доказательство. Пусть /п = /(^4п) означает
индикатор события Ап. Имеем Е1п = Т*{Ап) и
<D I 2 h
>4-2p(A))<- - '
fe=l
2 *(40
по неравенству Чебышева. В силу равенства ЕД/г =
= Р(АкА{) получаем
/ п \ п 7* / п \2
d 2 Д = 2 2р(Л^)- 2р(А) •
Ил написанных соотношений и условия (2.1) следует, что
liraiufP
2 /ft - 2 р(А)
>4-2р(^)Ь°-
ft=i

§ 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ НЕЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН 215
( п п Л
Положим Вп = \У h < 4" 2Р (л*) • Тогда lim inf Р (Вп) =
= 0. Следовательно, существует строго возрастающая
последовательность целых положительных чисел {nj, удов-
сю
летворятощая условию 2j Р (^п )<<*>. Согласно уже
доказанной первой части леммы Бореля — Кантелли с ве-
пт пт
роятностью 1 имеем У* ^ > ~ ^ Р(^/0 Для всех m за
исключением конечного набора. В силу одного из условий
оо
леммы ряд 2 Р(^п) расходится, поэтому с вероятностью
т?=1
оо
1 расходится ряд 2 ^- Отсюда следует утверждение
k=i
леммы 5. П
Вторая часть леммы Бореля — Кантелли является
следствием леммы 5 и равенства
i 2 р (4А) = (S P(4,)V + |р(Л)(1-р(Л)),
справедливого для попарно независимых событий Ль ...
..., Ап. Условие попарной независимости во второй части
леммы 4 можно заменить условием Р(AkAj) ^ P(Ak)P(Ai)
для к Ф /, поскольку эта замена приводит к замене знака
= в предыдущем равенстве знаком ^.
Пусть X, Хи Х2, ...— последовательность случайных
величии, определенных на вероятностном пространстве
(Я, St, Р). Последовательность {Хп} сходится к X почти
наверное (п. н.), если Хп(ы) -> Х(ы) всюду, за
исключением множества точек со ^ й пулевой Р-меры. В этом
случае будем писать Хп -> X п. н.
Лемма 6. Соотношение Хп-+X п.н. равносильно
любому из следующих утверждений:
(A) ?(\Хп-Х\>г 6.4.)=0 для любого е > 0;
(Б) Р( [| {\Хт — Х|>е})->-0 для любого г > 0;
\т~п I
(B) Р (sup | Хт — X | > е\ -> 0 для любого е > 0.
Доказательство. Хп ->- X п. н. тогда и только
тогда, когда для всех точек о пространства Q за ксклго-

216 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
чением множества нулевой Р-меры и для любого 8 > О
имеет место неравенство |Хп(со) — Х(ау) I < 8 при п>
(оо оо \
U П {| Xn+k — X | < е} = 1 для лю-
бого 8 > 0. Последнее равенство равносильно тому, что
(оо оо \
Л U {\Хп+к-Х\^г} =0,
п=1 /г=0 /
или
P(limsup{|X„-X| >г}) = 0
для любого 8 > 0. Таким образом, соотношение Хп -*- X
п. п. равносильно (Л).
Последов ательность множеств i^n — U {|Zm-Z|>8}
такова, что Е^Ег^ ... Поэтому Р (Еп)■
n яД
7г=1 У
Отсюда следует равносильность (А) и (Б).
Равносильность (Б) и (В) очевидна. □
Лемма 7. Пусть {XJ — последовательность незави-
оо
симых случайных величин. Если 2jDXn<oo, то ряд
оо
2 {Хп — ЕХп) сходится п. н.
71=1
оо
Доказательство. Положим Sn = 2¾.
Достать l
точно доказать лемму для случая, когда ЕХп = О при
всех п. Пусть 8 — произвольное положительное число.
Имеем
Р( Slip |^-5n|>28\<P/(snp|5/f-^|>8) U
U /sup I Sn - Sm | > el\ < 2P (sup | Sn - Sm | > e) <
<2P( U {\S„-Sm\>e}) =
\ n—m J
= 2 lim pf U {\Sn-Sm\>z}) =
= 2 lim P С max | Sn — Sm | > e\.
Для оценки последней вероятности применим неравенство

§ 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ НЕЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН 217
Колмогорова (неравенство (3.17) главы III). Тогда
получим
при т ->■ оо в силу условия сходимости ряда 2 DXfe.
Далее,
Р (lira sup Sn — lira inf Sn > 2e)< P ( sup | Sk — Sn | > e \
для любого т. После предельного перехода при т -> о©
приходим к равенству P(lim sup5n — lim inf Sn > 2e) = 0,
или P (lira sup *Sn — lira inf Sn < 2e) = 1 для любого 8 > 0.
Отсюда следует, что lira sup Sn = lim inf Sn с вероятностью
1, т. е. существует предел UmSn почти наверное. Этот
предел конечен, так как из полученных ранее оценок при
т = 0 и Х0 = 0 вытекает неравенство
P(sup|S„|>2e\<42DXft
для любого 8 > 0 и равенства
PfsuplSnl-Coo) = lim Р ("sup | 5„ К 2s^ = 1. □
Если X—случайная величина и с — положительная
постоянная, то полагаем
JX, если |Х|<с,
~~ (0, если | Х\ ^ с.
Теорема 8 (теорема о трех рядах). Пусть {Хп; п =
= 1, 2, ...} — последовательность независимых случайных
оо
величин. Для сходимости ряда 2 ^п п- и- необходимо,
71=1
оо оо
чтобы для любого с>0 сходились ряды ZjEX^, 2 DX^ и
оо
2Р(|Хп|^с), и достаточно, чтобы эти ряды сходи-
п=1
лисъ для некоторого с > 0.
Доказательство. Докажем сначала достаточность.
Из сходимости ряда 2 Р (| Хп | ^ с) для некоторого с > 0
следует, что Хп = Хсп для всех достаточно больших п с

218 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
вероятностью 1 в силу леммы Бореля — Кантелли. Таким
образом, нам достаточно убедиться в том, что ряд У Хсп
сходится п. н. Из условия 2 DX^, <оо и леммы 7
вытекает сходимость ряда 2 (Дп — ЕХ^) п. н. Принимая во
внимание сходимость ряда 2 ЕХСП, приходим к
требуемому заключению.
Докажем теперь необходимость. Если ряд 21 Хп
сходится п. н., то Хп ->- 0 п. н., и поэтому Хп = Хсп для
любого с > 0 и всех достаточно больших п. По лемме 4 имеем
2 Р (| Хп | ^ с) << оо. Введем последовательность симметри-
зованных случайных величин Zn = Хсп — Ycn, где Хсп и
Fn — независимые случайные величины с одинаковым
распределением. Имеем |Zj^2c, EZn = О, DZn = 2Т>Хсп.
Пусть fn(t)—x. ф. случайной величины Zn. Ряды 2 Хсп
п
и 2^п сходятся п. н., поэтому Ц fh(t)-*f(t), где /(£) —
оо
х. ф. симметричной случайной величины S=2j%n- Для
/1;gN и 0 ^ tc ^ 1/2 получаем
оо
<l_^EZ?(l-f^-...)<l-9EZt
n / 2 \
Если £ > 0 достаточно мало, то Jj (1 — -g-EZ*) ^ у/ (£) > О
для всех достаточно больших п. Отсюда следует
сходимость ряда ^EZ^. Следовательно, yjDXcn<oo. В силу
леммы 7 ряд 2(Дп — ЕХ^) сходится п. н. Ряд^Хп
также сходится п. н., поэтому сходится ряд 2ЕХ^. □
С помощью теоремы 8 докажем следующий результат.
Теорема 9. Пусть {gn(x); п = 1, 2, ...}
—последовательность четных функций, положительных и
неубывающих в области х > 0. Пусть {Хп; п = 1, 2, ...} —
последовательность независимых случайных величин.
Предположим^ что для каждого п выполнено хотя, бы одно из
следующих условий:
а) хЫп{х) ие убывает в области х > 0,

§ 2. СХОДИМОСТЬ РЯДОВ НЕЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН 210
б) x/gn(x) и gn(x)/x2 не возрастают в области х>0
щ кроме того, ЕХп = О,
в) gn(x)/x2 не возрастает в области х > 0, и, кроме
того, Хп имеет симметричное распределение.
Пусть, далее, {ап} — последовательность
положительных чисел. Если
оо
то ряд S ^п/Лп сходится п. н.
п=1
Доказательство. Пусть Fn (ж) = Р (Хп < ж),
(Хп, если |^п|<С^п>
У =
71 (0, если | Хп| ^ап.
В силу теоремы 8 нам достаточно убедиться в сходимости
указанных в ней трех рядов для последовательности
случайных величин {XJaJ и с = 1, т. е. в сходимости рядов
2р(|**|>*п),2е^ и 2е(^)2- Имеем
D/IY ,. ч^ Г еп(х) Egn(Хп)
\х\>ап
так как фупкции gn(x) не убывают. Поэтому из (2.2)
следует, что
2Р(|Хп|>а„)<оо. (2.3)
Предположим, что функция gn{%) удовлетворяет
условию а). Тогда в области \х\ < ап имеем
£_2< 4W ^£п>)
Если же га таково, что выполнено условие б), то в той же
области справедливо неравенство x2/gn (х) <^ align (ап)-
Последнее утверждение верно и при выполнении
условия в). Таким образом, в области 1x1 < ап имеет
место неравенство х2/а2п ^ gn (x)/gn (ап) при всех п.

220 гл. VT. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Следовательно,
EY2n= j aWn(*)<
\х\<ап
\х\<ап
Учитывая (2.2), получаем
Далее,
2е[Ь, <00.
(2.4)
[EFJ
I
xdVп (х)
\х\<ап
<
п К)
Е^77 {Хп),
если выполнено условие а). В случае выполнения условия
б) имеем
|ЕГ„
J" xdVn(x)\^ J \x\dVn(x)
<
|x|>n„
\x\^ari
aih I .w^,h<^e^№)).
: en {%)
\x\>on
Если же выполнспо условие в), то ЕУП = 0. Итак,
Е^
(2.5)
Как уже было отмечено, из (2.3)-(2.5) вытекает
утверждение теоремы. □
§ 3. Усиленный закон больших чисел
Начнем с доказательства нескольких простых
следствий теоремы 9, отложив рассмотрение более общих
ситуаций на дальнейшее. Понадобятся следующие две
леммы.
Лемма 8. Пусть {Ьп} и {хJ — числовые последова-
п
телъности, ап= 2 bk f оо, хп -> х, Ы < °°. Тогда
п
~УКхк^х.
h=l

§ 3. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 22!
Доказательство. Пусть е — произвольное
положительное число. Справедливо неравенство \хп — х\ < г
для п> п0 и некоторого nQ. Поэтому
п
1
а*Л=1 | ""7I fc<n
для п>Пз. Переходя здесь к пределу при w^°o и учи-
71
1 V?
тывая условие ап t оо? находим, что —• Л Ь/?#& — #->- 0. Q
Лемма 9 (лемма Кроиекера). #сл^ an t °° и />яд
оо 7?
\ #п сходите г, то— У^ ahxh—^0.
Доказательство. Положим
Имеем
5 — 2j %ni #1 — 'J? 57?+1 — Zj xhi
П=1 Й=1
a<, = 0, bh = ak — ak-i.
n
dn = 2 ^
7?=1
7171 77
- У «ft^A = — У a/, (sft+1 — .¾) = sn+1 — — У bhsh ->- 0,
a« ft=l an ft=1 an h=1
71
так как sv+i ->5и -a 6¾^ -^ s в силу леммы 8. П
Теорема 10. Пусть {Xn}, (gn(^)} и {ад} —
последовательности^ удовлетворяющие условиям теоремы 9 и до-
77
полнителъному условию ап t «>. Положим Sn = 2 ^j* #с«/ш,
71 /~v
имеет место (2.2), го ^0 тг. 7/.
Эта теорема является непосредственным следствием
теоремы 9 и леммы 9.
В теореме 10 возьмем gn{x)~ g{x) для всех л.
Отметим несколько важных следствий, соответствующих
случаю g(x)=* \х\р, где 0 < р < 2.
Теорема 11. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин, ап t оо. /?с/ш выполнено

222
ГЛ. VI. ЗАКОНЫ Г.ОЛЫПИХ ЧИСЕЛ
условие
V ЕI х« Is
21-9L<- (з.<)
для некоторого положительного /? ^ 1, то Sn/an->0 п. н.
Теорема 12. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин с математическими
ожиданиями, равными нулю. Если ап t °о и выполнено условие
(3.1) для некоторого р, 1^/?^2, то Sn/an-+0 п. н.
В свою очередь, из теоремы 12 вытекает
°° DX
Теорема 13. Если au t °° и £—Г<°°> то
п - 1 av
(Sn-ESn)/an-+ 0 п. н.
Покажем, что в случае, когда 2d —<Г = °°' УтвеРжДе-
а2
П—1 ?7
ште теоремы 13 может не иметь места. Сформулируем
сначала одно полезное предложение.
Л е м м а 10. Пусть {Хп} — последовательность попарно
независимых случайных величин, {а,) —
последовательность положительных чисел. Если
SJan->0 п. н. (3.2)
и
то
an-i/an = 0{l), (3.3)
2 Р(|А%,|>а?,)<оо. (3.4)
71 — 1
Доказательство. Из (3.2) и (3.3) получаем
^ = ^-^.^-^0 п. н. (3.5)
Если бы ряд 2 Р (I ^т?\ ^#?0 расходился, то Р(|ХП| >
>я,г б. 4.)==1 в силу леммы Бореля — Кантелли, и (3.5)
не имело бы места. П
Пусть ап t °°, (on) — последовательность неотрицатель-
ОО су
пых чисел, удовлетворяющая условию Л — = оо. Рас-

§ 3. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 223
смотрим последовательность независимых случайных
величин {XJ такую, что Р {Ха=ап) = ~Р (Хп = —ап) =o2n/2al,
Р (Хп = 0) = 1 — Оп/йп для тех п, для которых ol, <! а\, и
Р (Хп =- ап) = Р (Хп = -ап) = 1/2
для остальных п. Тогда ЕХп = 0 для всех п, DXn = а^»
если ofL^.an, и ВХа = ап в противном случае. Поэтому
7, —^ =.оо. Предположим, что —-*0 п. н. Тогда в си-
лу леммы 10 имеет место (3.4), вопреки расходимости
ряда 2Р(|^я|^Яп)-
Лемма 11. Пусть {Хп} — последовательность
независимых случайных величин, {ап} — последовательность
положительных чисел, ап t °°. Положим
jXn, если \Xn\<Zan,
JO, если \Хп\^ап.
Если
то
X2
2Етм^<0°' (3-6)
п=1 ап-ГАп
Доказательство. Из леммы 3 следует, что
условие (3.6) равносильно совокупности условий (3.4) и
оо
24> j x4Vn(x)<oc, (3.7)
n==l fln |x|<an
где Vn(x)—ф. p. Xn. Из (3.7) и леммы 7 находим,
что ряд 2u—(Zn — EZn) сходится п. н., и поэтому
п
1 V?
— 2d №ь —EZft) -> 0 ц. ц. Условие (3.4) означает,
что 2 Р (^п =#= Zn) < оо. По лемме Бореля — Каител-
ли имеем Р (Х„ ¥= Zn б. ч.) = 0. Следовательно,
п
f2(^ft-EZft)-^0 п. н. □

224 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Теорема 14. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин, {ап} — последовательность
положительных чисел, ап t °°. Пусть выполнено условие
п
(3.7). Для того чтобы — ^ Хк-^0 п. н., необходимо и
достаточно выполнение условий (3.4) и
-7-2 f ^^W^O, (3.8)
где 7ь(ж) — дб. /?. X,.
Доказательство. Необходимость условия (3.4)
следует из леммы 10, необходимость условия (3.8) —из
теоремы 5 и того факта, что сходимость почти наверное
влечет за собой сходимость по вероятности. В силу
леммы 11 условия (3.4), (3.7) и
Т-У f xdVk(x)^0 (3.9)
^=1 \x\<ak
обеспечивают выполнение соотношения SJan ->■ 0 п. н.
Достаточность будет доказана, если мы покажем, что при
выполнении условий (3.4) и (3.8) будет выполнено и
условие (3.9). Для доказательства этого утверждения
рассмотрим сумму
п
Тт,п = — 2 ] Х dVb №
и покажем, что 7\ „ -+ 0, и тем самым (3.8) =** (3.9).
Зафиксируем N и для п> N положим Un = 7\ п — TN+i> п. Пусть
е — произвольное положительное число. Имеет место
неравенство \TN+lin/ ^ 2 Р(|-Х"ь| ^ah) <е в силу (3.4),
k>N
если Ат достаточно велико. Соотношение Un ->■ 0,
завершающее наше доказательство, следует из того, что
• п
-i- | \x\dVh(x) = ^-^, \ \x\dVk(x)^
|x|<a?J -/--1 ах г ^ lcc|<rtj
<7-2aiP(ai-i<lXH<«i)

§ 3. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 225
для любого к по лемме Кронекера, поскольку
00
2 Р (#j-i ^ | X | < aj) = 1 для любой случайной величины
0=1
X (полагаем а0 = 0). П
Докажем теперь несколько теорем для сумм Sn —
п
= 2 ^ь одинаково распределенных случайных величин.
fe=i
Теорема 15. Пусть {XJ — последовательность
независимых случайных величин с общей функцией распре-
деления V(x), {ап} — последовательность положительных
чисел, удовлетворяющая условиям ап\ «? и
оо
Si/o| = oW). (зло)
ft=n
Для выполнения соотношения
Sn/an-+Q п. н. (3.11)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
оо
2P(|Xi|>a„)<oo (3.12)
П=1
— f xdV(x)-+0. (3.13)
|x|<an
Доказательство. Необходимость условия (3.12)
следует из леммы 10, необходимость (3.13) —из
теоремы 5. Для доказательства достаточности убедимся в том,
что условия (3.10) и (3.12) обеспечивают выполнение
условия (3.7). Полагая а0 = 0, имеем
' <*k)
ОО 00 П
24- ) *2^(*)<22fl'p(a"-i<izi
п=1 ап \х\<ап "=1 ^="1
оо оо
= 2«'p(^-i<lzil<^)2 4<
k=l n=k ап
оо оо
<C2*P(aft_1<|X1|<afc) = C2P(l^1l>e*)-
h=l k=0
Последний ряд сходится вследствие (3.12). Принимая во
внимание условие (3.13) и пользуясь теоремой 14,
приходим к (3.11). П
15 в. В. Петров

226 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Условие (3.10) выполнено для классической
нормирующей последовательности ап = п и в более общем случае,
когда limini—г>2. Введем в рассмотрение более силь-
<
ное по сравнению с (3.10) условие
ОО
2l/ak = 0(»/o„). (3.14)
Следующая теорема применима не только к
последовательностям независимых случайных величин.
Теорема 16. Пусть {Хп} — последовательность
одинаково распределенных случайных величин, {ап} —
последовательность положительных чисел, удовлетворяющая
условиям ап t оо и (3.14). Тогда условие (3.12) является
достаточным для (3.11), а при дополнительном условии
попарной независимости случайных величин Хи Х2, ...—
и необходимым для (3.11).
Доказательство. Докажем сначала достаточность.
Если выполнены условия (3.12) и (3.14), то, полагая
V(x) = P(X1<x) и а0 = 0, имеем
оо оо п
2-i- f \x\dV(x)^Jt^^iahP(ah-l^X1\<ah) =
" П |х|<а„ "i п *-i
оо оо
= 2 akP (^-1 < I ^1 I < flft) 2 ~ ^
k=l n=k п
оо оо
<С2 fePK_1<|Z1|<a,) = C2P(|Z1|>a,_1)<oo.
Следовательно, сходятся ряды
оо
2| Е\Хп\Г(\Хп\<ап)
и
оо
^4тЕ(\Хп\1(\Хп\<ап)Г.
п=1 ап
По лемме 7 ряд 2~п I Хп' 1(\Хп\< ап) сходится п. н.
Используя лемму Кронекера, получаем
п
-Г %\Xk\I(\Xk\<ak)-*0n.*. (3.15)

§ 3. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН ЁОЛЫПИХ ЧИСЕЛ 227
В силу (3.12) и леммы Бореля — Кантелли ряд 21 (\Хп\ ^
^ ап) сходится п. н., и поэтому 2j~ I ^п \1 (I Хп I ^ а>п) < оо
п. н. Отсюда и из (3.15) следует (3.11). Таким образом,
условия (3.12) и (3.14) достаточны для (3.11).
Необходимость (3.12) для (3.11) в случае попарной
независимости рассматриваемых величин вытекает из
леммы 10; при этом условие (3.14) не используется. П
Условие (3.14) выполнено для последовательности aR=*
— nv, где р>1. Для последовательности ап = п, не
удовлетворяющей условию (3.14), но удовлетворяющей (3.10),
импликация (3.12)=^(3.11) без предположения о
независимости может не иметь места, как показывает пример
последовательности случайных величин {Хп} таких, что
Xn = Xt для п>1 и 0<Е|Х1| <оо.
Лемма 12. Пусть X — случайная величина. Тогда
5 Р(|Х|>п)<Е|Х|<1+ 2Р(|Х|>*)-
П=1 п=1
Доказательство. Полагая V(z)=* Т?(Х <х),
имеем
ОО оо
2P(|X|>n)=2 2 P(m<|X|<m + i) =
П—1 П=1 771=71
оо
= 2"»p(i»<|X|<i» + i)<
< 2 J |s|dF(*) = E|X|.
Далее,
оо
E|^K 2 (m + l)P(m<|Z|<m + l) =
m=o
= i+ SP(l^il>»). d
Теорема 17. Пусть {XJ — последовательность
попарно независимых одинаково распределенных случайных
величин. Для того чтобы существовала такая постоянная
Ь, что
^-+Ъ п. к., (3.16)
15*

228
ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
необходимо и достаточно условие
E|Xj<oo. (3.17)
Если это условие выполнено, то (3.16) имеет место с
Доказательство. Пусть выполнено условие
(3.16). Используя лемму 10 при ап — п, получим
2 Р (| ^1 — Ь | ^ п)<С оо. По лемме 12 отсюда следует
(3.17). Необходимость доказана.
Докажем теперь достаточность. Пусть выполнено
условие (3.17). Для любой случайной величины X положим
Х+ = Х1(Х>0), Х- = -Х/(Х^0), так что Х+ > 0, X" >
^ 0, Х = Х+ — X". Каждая из последовательностей {Х£}
и {Хп } есть последовательность попарно независимых
случайных величин, имеющих конечные абсолютные моменты
первого порядка в силу (3.17). Если теорема будет
доказана для этих последовательностей, то она будет доказана
и для исходной последовательности {Хп}. Поэтому без
ограничения общности мы можем рассматривать только
тот случай, когда Хп > 0.
п
Положим Yn = Хп1(Хп < п) для п е М и Тп = 2 Yk-
k=i
Пусть [J > 1 и кп = [рп]. Применяя неравенство Чебышева
и пользуясь предположением о попарной независимости
рассматриваемых случайных величин, получим
ОО оо
2Р(|П„-еппI>вК)<в-« 2 Ьп2пткп =
n=i v ' п п] ' 71=1
ОО ^П (XI
= в-» 2 *п" 2 ОУт < Се-а 2 »-»Dyn
n=i m=i n=i
для любого 8 > 0. Вследствие равенства
n-i &+1
где F(#)—ф. p. Zi, имеем
оо оо fe+1
2P(|ykn-E2'fcn|>8fcB)<C18-«2t4rj ) *W(*)<
n=l fe=0 ft
< Ci»-» 2 я dV (x) =C1e-2EX1 < oo
fc=0 tf

§ 3. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 229
для любого е > 0. В силу леммы Бореля — Кантелли
справедливо соотношение кй1 (Tkn — Е7\п)-^0 п. н. Далее,
п
ЕХг = lim j х dV (х) = lira EYn= lira к^ЕТ^.
о
Поэтому кй Tkn-^EX1 п. н. Из определения 7П и леммы
12 следует, что
оо оо
2 Р(ХпфУп)= 2 Р(Х„>«)<ЕХ1<оо.
п=1 п=1
Поэтому Р(ХпФ Yn б. ч.) = 0 и й^^-^ЕХ! п. н.
Сумма Sn является неубывающей функцией п, так что из
последнего соотношения вытекают неравенства
yEX1<liminf^<limsup^<pEZ1 п. н.
для любого р>1. Отсюда находим, что — ->ЕХХ п.н. П
Возвратимся к суммам Sn неодинаково распределенных
независимых случайных величин и к произвольным
нормирующим последовательностям ап. До сих пор мы
интересовались условиями, при которых SJan ->0 п. н. или
(Sn — ESn)/an -> 0 п. н. (в случае существования
математических ожиданий). Рассмотрим теперь более общие
задачи.
Пусть {7П}— последовательность случайных величин.
Будем говорить, что эта последовательность усиленно
устойчива, если существует такая последовательность
постоянных {&J, что
7П - Ъп -+ 0 п. н. (3.18)
Если выполнено соотношение (3.18) и последовательность
[Ъп] такова, что Ъп— &п"->0, то, очевидно, Yn— &п->0п. н.
Покажем, что следствиями (3.18) являются
соотношения
bn = mYn + o{l) (3.19)
и
7n-m7n->0 п. н., (3.20)
где mYn — любая медиана случайной величины 7П.
Действительно, из (3.18) вытекает, что Р(|7П — Ъп\ < е)-*-1
для любого 8 > 0, и, следовательно, Р(|7Л —bj <е)>1/2

230 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
для п>п0. Поэтому любая медиана mYn удовлетворяет
неравенству \mYn — Ъп\ < е для любого е>0 к п>п0.
Таким образом, имеет место (3.19). Из (3.18) и (3.19)
следует (3.20).
Рассмотрим последовательность случайных величин
п
{Хп} и положим Sn = 2 Xj. Пусть {aj — не содержащая
нулей последовательность действительных чисел. Будем
говорить, что последовательность {Хп} удовлетворяет
усиленному закону больших чисел с последовательностью
нормирующих постоянных {ап}, если последовательность
{SJan} усиленно устойчива.
При исследовании условий применимости усиленного
закона больших чисел в силу ранее сделанных замечаний
можно ограничиться изучением условий, при которых
m\ — ~>0 п. н.
an \an I
Нам понадобятся еще три леммы.
Лемма 13. Пусть {Ап} и {BJ (л=*1, ..., N; N<
^ оо)—две последовательности событий. Предположим,
что__ для _любого п^2 независимы события1) Вп и
АпАп-i...Ai и что независимы Bi и Ait Если Р(ВП)^
> б > 0 для всех п, то
Р[ U ЛЯЯП)>6Р( U Ап).
\П=1 / \п=1 /
Доказат ельство. Очевидно,
U АпВп = (А.В,) U (А^[А2В2) U (Aj3l ЩЛ,Я3) [} ... zd
=> (AiBi) U (AiA2B2) U (лТ^з^з) U • • •
Поэтому
Р (j^ АпВп ) > Р (Аг) Р (Вг) + Р {АгА2) Р (В2) +
+ Р(А1А2А3)Р(В3) + ...>6pQmJ. а
Если 7 — случайная величина, то У, как всегда,
означает симметризованную случайную величину.
1) А означает событие, противоположное событию А.

§ 3. УСИЛЕННЫЙ ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ 231
Лемма 14. Пусть {Yn} — последовательность
случайных величин, {bj — числовая последовательность. Для
любого г > 0 и любого к ^ 1 справедливы следующие
неравенства (называемые неравенствами симметризации):
Р (sup (Yn - mYn) > в) < 2Р (supTn > &\ (3.21)
U>ft ) \n^h I
P (sup I Yn - mYn\ >e\ < 2P(sup| Уп| >e)<
< 4P fsup I Fn - bn | > e/2V (3.22)
\n^k J
Доказательство. Рассмотрим последовательность
случайных величин {Zn} такую, что для любого п
величины Zn и Yn одинаково распределены, а величины Zn и
(Yu ..., Yn) независимы. Положим
An = {Yn~mYn^8), Bn = {Zn-mZn^Q}, Сп = {?п>8)
для произвольного б > 0. Медиана mZn соответствует
равной ей медиане mYn. Далее, АпВп<^Сп. В силу леммы 13
и неравенства P(Z?n)^l/2 получаем
Pf U Л«)<2р( U Л„ДЯ)<2Р( U Сп\
\n=k 1 \n=h I \n=k I
Отсюда следует (3.21). Заменяя в (3.21) Yn на — Yn,
приходим к первому из неравенств (3.22). Остается заметить,
что
Р (sup | Yn | > е) = Р (sup | Yn - bn-iZn-bn) |> e\ <
< P (sup | Yn — bn | > e/2^ + P (sup | Zn - bn | > e/2) =
= 2P(sup|rn-bn|>e/2\. a
Лемма 15. Пусть {Yn} — последовательность
случайных величин, {bn} — числовая последовательность. Если
Yn — bn-+0 п. н., то ¥п-*0 п. н. и bn — mYn-+0. Если
Тп -*■ 0 п. н., то Yn — Ьп -*- 0 п. н. для любой числовой
последовательности {Ьп}, удовлетворяющей условию
bn — mYn-+0.
Эта лемма вытекает из лемм б и 14.
Пусть ian) — не содержащая нулей последовательность
действительных чисел. Зафиксируем выбранное
произвольным образом число с>1. Обозначим через in наибольший
индекс, для которого |агп|^сп» если таких индексов

232
ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
конечное множество; в противном случае положим in = 0.
Положим еще а0 — 0 и S0 = 0.
Теорема 18. Для того чтобы последовательность
независимых случайных величин {Хп} удовлетворяла
усиленному закону больших чисел с последовательностью
нормирующих постоянных {aj, необходимо и достаточно
выполнение следующих условий:
(А) \ап\ ->■ °о или все Хп вырождены;
оо
(Б) Д Р (| Sin - S^ - m (Sin - Sin_x) | > «*) < oo
для любого e > 0.
Доказательство. Начнем с доказательства
необходимости. Если последовательность {Хп} удовлетворяет
усиленному закону больших чисел с последовательностью
нормирующих постоянных {ап}, то Sn/an -*- 0 п. н. в силу
леммы 15. Предположим, что соотношение \ап\ ->■ °° не
имеет места. Тогда существует бесконечная
последовательность {кп} такая, что sup |а&п|<<оо. Для нее справедливо
соотношение Skn ->• 0 п. н. Следовательно, п. н. сходится
ряд 2 Un, где Un = Хкп_г + ... + Хъп (полагаем к{= 0),
и сумма этого ряда равна нулю. Поэтому для любого п^
^1 ряд 2 Uk сходится п. н. него сумма равна —С/Пп. н.
Последний ряди— Un являются независимыми случайными
величинами, и их равенство влечет за собой
вырожденность распределений этих величин. Итак, все величины
Un оказались вырожденными. Отсюда следует, что все Хп
вырождены. Условие (А) доказано. Принимая во
внимание неравенство | ain\ ^ сп, получимSin/cn->- О п. н. и
\Sin—Sin-i)lcn-^Q п- н- Последовательное применение
лемм 15 и 4 приводит к (Б).
Докажем достаточность. Случай, когда все Хп имеют
вырожденные распределения, тривиален. Пусть
выполнены условия (Б) и \ап\ -> оо. Используя лемму 14 и
неравенстве Леви (неравенство (3.7) главы III), находим, что
оо
2Р/ max \Sj-Sin\^ecA <оо (3.23)
n=l \in<j<in+1 )
для любого e > 0 в силу (Б). Положим
Гл = с-* max l^-^J.

§ 4. ОЦЕНКИ ПОРЯДКА РОСТА СУММ
233
Из (3.23), леммы Бореля — Кантелли и леммы 6 следует
соотношение Тп -> 0 п. н., которое с помощью леммы 8
позволяет заключить, что с~п 2 ckTh-*0 п.н. Поэтому
c~nSin-^ 0 п. н. Если ik< п^ ik+l, то \ап\ > ск и
при к ->- оо. Таким образом, SJan -> О п. н. В силу
леммы 15 отсюда следует, что исходная последовательность
{XJ удовлетворяет усиленному закону больших чисел с
нормирующей последовательностью {ап}. П
§ 4. Оценки порядка роста сумм Sn в терминах
суммы моментов
В этом параграфе будем рассматривать
последовательность независимых случайных величин {Хп; тг=1, 2,...}
п
и полагать Sn = 2 ^j- Ранее мы занимались отысканием
3=1
условий, при которых Sn=zo(an) п. н. для заданной
числовой последовательности {ап}, удовлетворяющей условию
ап -*■ °°. Значительный интерес представляет вопрос об
отыскании «истинного» порядка роста сумм Sn. В
следующей главе будут исследованы условия, при которых спра-
1 • п л
ведливы соотношения типа lim sup = 1 п. н., где
сп
сп -*- °°. Однако уже в этой главе мы получим с помощью
более простых средств оптимальные в некотором смысле
оценки порядка роста сумм Sn в терминах суммы
моментов слагаемых Хи ..., Хп.
ВБедем некоторые дополнительные обозначения.
Множество функций ур(х) таких, что каждая ty(x)
положительна и не убывает в области х > х0 при некотором х0
и ряд /]"~йГГТ сх°дится {расходится), будет
обозначаться х¥с (соответственно 4¾1).
]) Здесь и в дальнейшем 2/(^) означает суммирование по
всем целым положительным п, для которых значения f(n)
определены и неотрицательны. В определениях множеств ^¥с и Wd
значение х0 не предполагается одним и тем же для различных
функций 1|).

234 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Теорема 19. Пусть g (х) — четная непрерывная
функция, положительная и строго возрастающая в
области х>0, причем g(x)-+°o при х-*°°. Пусть выполнено
какое-нибудь из следующих двух условий:
(A) x/g(x) не убывает в области х>0;
(Б) x/g(x) и g(x)/x2 не возрастают в области х>0.
Пусть, далее,
Eg(Xn)<oo (л-i, 2, ...) (4.1)
Мп-+оо, (4.2)
где
Мп=%Е§(Хк). (4.3)
А=1
Кроме того, в случае выполнения условия (Б)
предположим, что
EXn = 0 (n = 1, 2,...)- (4.4)
Тогда
Sn = o (g-1 (МпЪ (Мп))) п.н. (4.5)
для любой функции ^(х)^Л¥с. Здесь g"1 означает
функцию, обратную к g.
Доказательство этой теоремы опирается на теорему 9
и следующее элементарное предложение о рядах.
Лемма 16. Пусть {ап} — последовательность неотри-
п
цательных чисел, Ап = 2 ak% Ап->-оо. Тогда ряд
*У* л *ь?л ч сходится для любой г|>е "*FC.
Доказательство. Пусть п0 таково, что Ап >0
1
и я|) (Ап ) > 0. Ряд ^ пур(п) сходится, поэтому сходится
интеграл
оо
j С dx
~~ J х^{х)'
Апо
По теореме о среднем значении имеем
= \Ап — ^n-i) сп
dx
\
xty(x)
П-1

§ 4. ОЦЕНКИ ПОРЯДКА РОСТА СУММ
235
при п > тг01 где
' < сп < ■
Учитывая равенства 4n — 4n-i = ап и
то "
- 2. Ь
dx
JC\|5 (Ж) '
приходим к утверждению ле1кмы. П
Перейдем теперь к завершению доказательства
теоремы 19. Пусть ур(х)^х¥с. Условия теоремы обеспечивают
существование положительной обратной функции g~l(x)
в области х>0. Положим ап = g~l(Mn^(Mn)).
Имеем ап f °°. Из (4.2) и леммы 16 следует, что
\Мп*(Мп)
В силу равенства g(an) = Мпчр(Мп) и теоремы 9 ряд
2 —- сходится п. н. Отсюда находим по лемме 9, что
ап
-On. н. □
g-i(Mn4(Mn))
Если вместо г|) е ipc возьмем медленнее растущую
функцию г|) s "ЧР*^ то соотношение (4.5) может не
выполняться, как показывает следующая
Теорема 20. Пусть g(x)— четная непрерывная
функция, положительная и строго возрастающая в
области х>0, причем g(0) = 0, g(x)-+o° при ж-*-«>. Для
любой функции \p(x)^Wd существует последовательность
независимых симметричных ограниченных случайных
величин {Хп}ч удовлетворяющая условию (4.2), но не
удовлетворяющая условию (4.5).
Доказательство. Рассмотрим последовательность
независимых случайных величин {Хп} такую, что Хп при
п>щ принимает значения ^~*(п1$(п)) с вероятностью
1/(2т|)(тг)) каждое и значение, равное нулю, с
вероятностью 1 — 1/(пур(п)), а при п < щ — значения ±g~i(l)
с вероятностями, равными 1/2. Здесь г|) ^ Ч^, а число щ
таково, что ^ii|)(ni)> 1,

236 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
Легко проверить, что ЕХп = 0 и Eg(Xn)=l для всех
п. В силу (4.3) поэтому имеем
Мп = п. (4.6)
Таким образом, условия (4.1), (4.2) и (4.4) выполнены.
Далее,
2 p(ixn|-rx(«фи»- 2^о. (4-7)
Ряд в правой части (4.7) расжодится в силу
предположения о том, что if> е \Pd. Поэтому из леммы 10 и равенства
(4.6) следует, что соотношение (4.5) не имеет места. □
Значительно проще формулируются следствия теорем
19 и 20, соответствующие случаю g(x)= \х\р, где 0<
<р<2.
Теорема 21. Пусть
Е\Хп\р<оо (4.8)
для всех п и некоторого положительного р < 2. Пусть
Мп= 2 E|Xfe|p->oo. (4.9)
ft=i
Тогда в случае 0 < /? < 1 справедливо соотношение
Sn = o((Mnyp(Mn))i/p) п. н. (4.10)
для любой функции ty(z)^We, а в случае 1</?<2 это
же утверждение справедливо при дополнительном
условии (4.4).
Теорема 22. Для любой функции ty(=Wd и любого
положительного числа р существует последовательность
независимых симметричных ограниченных случайных
величин {XJ, удовлетворяющая условию (4.9), но не
удовлетворяющая условию (4.10).
Рассмотрим теперь последовательность независимых
случайных величин {Хп} с конечными дисперсиями.
Положим
Жп = -ЕХ1- (ЕХ„)2, Вп = 2 DXft.
k=l
Для этого случая из теорем 21 и 22 вытекают следующие
предложения.

§ 4. ОЦЕНКИ ПОРЯДКА РОСТА СУММ
237
Теорема 23. Пусть Вп -*■ °°. Тогда
Sn-ESn = o(yBnty(Bn)) п. н. (4.11)
для любой функции чр е Wc.
Теорема 24. Для любой функции -феЧ^
существует последовательность независимых случайных величин
{Хп} с математическими ожиданиями, равными нулю, и
п
конечными дисперсиями такая, что Вп = 2 DXfe ->- оо
k=i
и соотношение (4.11) не выполнено.
Из теоремы 23 следует, что для суммы Sn
независимых случайных величин с конечными дисперсиями и
неограниченно возрастающей дисперсией суммы Вп = DSn
имеют место следующие оценки порядка роста, каждая
из которых является более сильной, чем предыдущие: при
любом 8 > О
Sn-ESn = o(By*+B) п. п.,
Sn- ESn = o(Bll* (In5п)1/2+Е) п. н.,
Sn-ESn = о (В1?2 (In Вп)1/2 (1п\пВп)1/2+е) п. н.,
и т. д. В силу теоремы 24 в этих оценках нельзя заменить
8 нулем, не вводя дополнительных предположений.
Полученные результаты можно применить к
исследованию условий применимости усиленного закона больших
чисел с простейшей нормировкой, а именно в форме
±(Sn-ESn)-+0 п. н. (4.12)
Из неравенства Чебышева следует, что условие Маркова
Вп = о(п>) (4.13)
является достаточным для применимости слабого закона
больших чисел, именно для сходимости — (Sn — ESn)
к нулю по вероятности. С помощью теоремы 23 можно
указать усиление условия (4.13), обеспечивающее
применимость усиленного закона больших чисел.
Теорема 25. Если
Вп = 0(п2/<Ь(п)) (4.14)
для некоторой функции -ф^Ч^, то имеет место
соотношение (4.12). С другой стороны, для любой функции i])^ 4^
такой, что n/ty(n) не убывает в области п>п0 при

238 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
некотором тг0, существует последовательность независимых
симметричных случайных величин {Хп} с конечными
дисперсиями, для которой (4.14) выполнено, но (4.12) не
имеет места.
Доказательство. Докажем сначала первое
утверждение теоремы. Итак, пусть выполнено условие (4.14)
для некоторой функции \|) ^ Wc. Заметим, что любая
функция \|)£?с удовлетворяет условию \|)(?г)->°°.
Можем считать, что Вп -> °°, так как в противном
случае ряд ^DXn сходится, тем более сходится ряд
2DIn/n2, и по теореме 13 немедленно получаем
требуемое.
Для любой функции / е Wc имеем Sn — ESn =
= o(yBnf(Bn)) п. н. в силу теоремы 23. Поэтому из
(4.14) следует, что
Sn-ESn = o(nVf(Bn)/ty(n)) п. н.
Вновь учитывая (4.14) и тот факт, что функции класса
Wc не убывают, получим
Sn-ESn = o(nyf(n2)/ty(n)) п. н. (4.15)
для любой /^ Тс.
Выберем теперь / так, чтобы отношение f(n2)/^(n)
было ограниченным при всех достаточно больших п. Для
этого положим /(rc2) = i|)(rc), а при значениях п, не
равных квадратам натуральных чисел, доопределим f(x)
таким образом, чтобы f(x) не убывала. Покажем, что ряд
\ ~77Т сходится. Тем самым будет установлено, что
Ряд V п*(п\ м°жно записать в виде
Ясно, что
21 2d nf (п)
h k2<n<(h+l)2
< 2к + 1
jLd nf{n) ^ k2f(k2)'
h2^n<(k+l)2
Принимая во внимание сходимость ряда т!~~1БТТ и Ра~
венство ty(n)=tf(n2), заключаем отсюда, что ряд ^гсТТгёГ
сходится.

§ 5. ДОПОЛНЕНИЯ 239
При указанном выборе функции / из (4.15) вытекает
(4.12).
Перейдем к доказательству второго утверждения
теоремы. Пусть г^еЧ^, п/^(п) не убывает. Рассмотрим
последовательность независимых случайных величин {Хп)
такую, что при п > щ величина Хп имеет значения 0, п и
—щ принимаемые с вероятностями 1 ^Т~Т* 2 ^(п) и
2 . ,п) соответственно. Номер щ выберем
удовлетворяющим условию nity(nl)> 1. Пусть при n^rii величина Хп
имеет значения 1 и — 1, каждому из которых
соответствует вероятность 1/2. При всех п имеем ЕХп = 0. Далее,
DJn = l (п^ щ),
DXn = nfty(n) (п>щ).
Поэтому Вп = 0(п2/^(п)).
Вследствие расходимости ряда 2~~гИ~1 полУчаем
Р(\Хп\=п б. ч.)==1. (4.16)
Если бы для рассматриваемой последовательности
случайных величин имело место соотношение (4.12), то
Р (-—-->■ О) = 1, и поэтому Р (-—-""^ ) = 1? что
противоречит равенству (4.16). D
Приведем следствие теоремы 25. Условие Вп =
= 0(п2/(lnn)i+6) для некоторого 6>0 достаточно, чтобы
выполнялось соотношение (4.12). Если же выполнено
условие Вп = 0(п2Лпп) или даже более сильное условие
ЫпЫЫп ]lT0 соотношение (4.12) может не
выполняться.
§ 5. Дополнения
Рассматривая последовательность случайных величин {Хп},
п
всюду полагаем Sn = ^j X.. В пп. 1—5 и 8—18 мы рассматриваем
3=1
последовательность независимых случайных величин {Хп} и не
предполагаем, что эти величины одинаково распределены. В пп. 19—
22 отсутствует предположение о взаимной независимости. В п. 19
оно не заменяется каким-либо более слабым условим.
1. Пусть ЕХп = 0 для п е DM и ess sup |Xn| = 0(rc/lnln n).
Для того чтобы Sn/n-^0 п. н., необходимо и достаточно

240 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
оо
выполнение условия 2 ехР {— 8А#&} < °° Для любого е > 0, где
k=i
Hk = ?r2h 2 DXj (Ю- В- Прохоров [154]).
2. Пусть функция f(n) удовлетворяет условиям /(тг)/тг->0 и
1
— / (п) In In п -> оо. Существуют последовательности независимых
симметричных случайных величин {Хп} и {Yn} такие, что Хп =
= 0(f(n)), Yn = 0(f(n)), ЕХР = ЕУР для целых положитель-
ных р ^ 4 и всех тг, — ^ Х;. -> 0 п. н., однако соотношение
п 3=1
— \ Yj-+0 п. ы. не имеет места (Ю. В. Прохоров [154]).
3. Для любого г е N существуют последовательности
независимых случайных величин {Хп} и {7П} такие, что ЕХ? = ЕУ£ <
<оо(1^^^г), {Хп} удовлетворяет, a {Yn} не удовлетворяет
усиленному закону больших чисел с последовательностью
нормирующих постоянных ап = п (С. В. Нагаев [111]).
оо
4. Если ЕХп = 0 для гае^и ^ п~г~1Е | Хп |2Г < оо для
П=1
некоторого г^ 1, то Sn/n-*0 п. н. (Ю. В. Прохоров [149]).
5. Пусть Vn(x) — ф. р. Хп, Zk -т случайная величина, имеющая
безгранично делимое распределение с х> ф.
h (t) = ехр
( 2^- + 1 °°
lj=2^ + l -оо
Если 2 р (Zk ^ 8) < °° для Л1°б°го е > 0» то существует чис-
*=°
ловая последовательность {Ьп} такая, что -jj- — Ъп ->- 0 п. н.
(Ю. В. Прохоров [152]).
6. Если {Хп} — последовательность случайных величин и
liminf Е|ХП| < оо, то существуют подпоследовательность [^-пЛ
N
и случайная величина X такие, что Е|Х| < оо и— ^ X -* X
k=i
п. и. при N ->■ оо (Комлош [340]. Иное доказательство этого
предложения содержится в книге Холла и Хейди [294]).
7. Пусть {Хп} — последовательность случайных величин,
liminf E|Zn|p < оо для некоторого положительного р < 2.
(А) Если 0 < р < 1, то существует подпоследовательность
N
\Х**\ такая, что N~lfv ^ %п -+- 0 п. н. при 7V-^oo.

§ 5. ДОПОЛНЕНИЯ 241
(Б) Если 1 ^ р < 2, то существуют подпоследовательность
\Хп \ и случайная величина X такие, что Е\Х\р < оо и
N
N-i/P 2 Хп ->Х п. н. при iV->oo (Чаттерджи [226] и В. Ф. Га-
h=i h
пошкин [26]).
8. Пусть ап f °°> и пусть существуют подпоследовательность
|ап } и постоянные с\ > 1 и с2 такие, что сх ^ а /а < с2
для всех достаточно больших к. Положим «о ~ А =
1 1
= f£ —- «SL V Соотношение — (Sn — mSA-+ 0 п. н. равно-
сильно любому из следующих утверждений:
1) Tk ~ тТк -> 0 п. н. при к Н- оо,
оо
2) 2 р (| ти — mTk \>е)<°° Для любого е > О
h=l
(Ю. В. Прохоров [149] для случая ап = п и Лоэв [84J).
9. Пусть {Хп} — последовательность независимых
симметричных случайных величин, Vn(x) = V(Xn < я),
/Я(Л, e) = J *H*Fn(z),
|xj<ne
/?n(e) —решение уравнения
2п+1
^п №. £) ^ 2 "Ж //l №' 8)//а №' 8) = ^"^
если sup Чгп (А, е) ^ е2п+1 (в этом случае решение существует и
h
единственно); в противном случае полагаем Ап(е) = оо. Для того
чтобы SJn-^O п. н., необходимо и достаточно выполнение усло-
оо
вий 2] р {Хп > пг) < °° И
2 ехр{-еАп(8)2п+1}<оо
п=1
для любого 8 > О (С. В. Нагаев [111]).
10. Пусть {ап} — не содержащая нулей последовательность
действительных чисел, {Хп} — последовательность независимых
симметричных случайных величин, Vn(x) = V(Xn < х). Пусть с > 1 —
фиксированное ЧИСЛО, 1п — наибольший индекс, для которого
выполнено неравенство \а^ I ^ сп, если таких индексов конечное
множество; в противном случае полагаем in = 0. Для того чтобы
последовательность {Хп} удовлетворяла усиленному закону
больших чисел с последовательностью нормирующих постоянных {««},
16 в. В. Петров

242 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ чисел
необходимо, чтобы для любого г ,^ 2 и достаточно, чтобы для
некоторого г ^ 2 выполнялись следующие условия:
(A) \ап\ -> о° или все Хп вырождены;
(Б) 2 2 P(|ZA|^ecn)<00 Для любого 8 > 0;
(B) для любого 8 > 0 существует последовательность
положительных постоянных {hn} (возможно, зависящих от 8), для
которой
оо *П+1
2 ехр {- reV"} Ц J *nXdVk (*)<«>.
Если an f °°, то условие (Б) можно заменить условием
во
2 ** (I "^п | ^ ean) < °° Для лк*бого 8 > 0 (А. И.
Мартикайнен [92]).
11. Последовательность независимых случайных величин {Хп}
удовлетворяет усиленному закону больших чисел с произвольной
не содержащей нулей последовательностью нормирующих
постоянных {ап} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет
усиленному закону больших чисел с последовательностью» нормирующих
постоянных сп = inf I ak I (А. И. Мартикайнен [92]). Поэтому
предположение о неубывании последовательности нормирующих
постоянных не уменьшает общности при исследовании условий
применимости усиленного закона больших чисел к
последовательностям независимых случайных величин.
12. Пусть {Хп} — последовательность независимых случайных
величин, ап f <». Положим Vn(x) = V(Xn < х),
<£(*)= J y2dVn(y)-( j ydVn(y)\\ Вт(х)= % оЦх).
Пусть с > 1, in — наибольший индекс, для которого ai ^ сп,
/n = {A g N: 1п_г < к < tn}, Ф(х) — стандартная нормальная ф. р.
Пусть пгХп *=« 0 для всех щ
2«;3 J i*i8dFn(*)<oo
n=ml \х\<Ьап
для некоторого б > 0. Для того чтобы последовательность {Хп}
удовлетворяла усиленному закону больших чисел с
последовательностью нормирующих постоянных {ап}, необходимо и достаточно
выполнение условий
оо
и 2*(|*„|>Ю<<».
п—1
оо
2) 2 ф (— ^nlBx (Ьсп)\ < оо для любого 8 > 0
(А. И. Мартикайнен [96]).

§ 5. ДОПОЛНЕНИЯ 243
13. Пусть ап ->■ оо. Для выполнения соотношения
Sn — mSn Sn — mSn
oo < lim inf <! lim sup < oo п. н. (5.1)
необходимо и достаточно, чтобы для некоторого е > 0
выполнялось условие (Б) теоремы 18 (А. И. Мартикайнен [92]. Другие
критерии для соотношения (5.1) содержатся в [92] и в работе
В. М. Круглова [77]).
" 1 /I Sn Sn I \
14. Если > ~ Р I -^- — т -^- > 81 < оо для любого 8 > О,
n=l
Sn оп
то ~~zr — тп—-->0 п. н. (обратное неверно). Если |Х„| < п для
°° 1
всех пи \* ~Р (I Sn — Е£п I > тг8)<оо для любого е > 0, то
п=1
1
— (Sn — ESn) -> 0 п. н. (Баум и Кац [200]).
15. Если ^ ~п" р (| ^п | ^ w8) < °° Для любого е > 0, то
п=1
Е In (1 + \Хп\) < оо для и е N. Если t > 1 и
с»
п=1
для любого 8 > 0, то Е|Хп|*~1<о° для rceIN (Баум и Кац
[200]).
16. Пусть *■> 0. Условие 2 п*р (| ^п| ^ те8) < °° Для
сильно уело
оо ,
2 °'р !
лю-
71=1
бого 8 > 0 равносильно условию
SUP —т— > 8 I < оо
П=1
для любого 8 > 0 (Баум и Кац [200]).
17. Пусть существуют положительные постоянные р < 1, 8 и С
такие, что P(Sn^ пг) ^Срп для всех достаточно больших п. Если
выполнено условие
SJn + OW,
то Ее J < оо для /eN и 0<f< отЬ-т. В этом
предложении нельзя опустить условие (*) (В. В. Петров и И. В.
Широкова [146]).
18. Пусть ап t °°> cLn+\la>n = #(1). Пусть и(х) — положительная
функция такая, что u(x)x~i\o при х\<х> и некотором^ ^ 0, и кроме
16*

244 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ чисел
1 Г и to)
того- 1гщ) -г
• dy — О (1) при х-у оо. Тогда равносильны
соотношения F(\Sn\^ £ап) =0(и(ап)) для любого 8>0 и
/ \Sk\ \
Р sup ^ 8 = О (и (а )) для любого е > О (Л. В. Розов-
\fe>n ah J "
ский [169]),
19. Пусть {Хп} — последовательность случайных величин, и
пусть Е | Хп |р < °° для некоторого положительного р ^ 1 и
п
п <= DM. Положим Мп= 2 ElXh\P' Если мп-+
оо, ТО и-п —
= o((Mnty(Mn))1/p) п. н. для любой функции фЕ^с, где класс
Тс определен в § 4 (В. В. Петров [134]).
20. Пусть {Хп} — последовательность неотрицательных
случайных величин, удовлетворяющая условиям sup ЕХп < оо,
■Г < °° (5.2)
2^
П=1
и ЕХпХщ ^ EXnEXw для пфт. Тогда
7(^-Е^)-0п.н. (5.3)
(Этемади [264]).
21. Пусть {Хп} — последовательность попарно независимых
случайных величин, удовлетворяющая условиям (5.2) и
k=i
Тогда имеет место соотношение (5.3). В этом предложении нельзя
опустить условие (5.4) (Чёргё, Тандори и Тотик [244]).
22. Пусть {Хп} — последовательность ортогональных случайных
величин (это означает, что Е-Х"^ < оо для всех п и ЕХпХт = 0
п
для пфт). Положим Вп = 2 E-X"jj. Если Вп->-оо, то S п=
k=i
= о(уВп^)(Вп) In п) п. н. для любой функции я|) ge Тс. С другой
стороны, для любой функции -ф ge Td существует
последовательность ортогональных случайных величин {Хп} такая, что Вп ->• оо и
\Sn\
lim sup , #- , =- = оо п. н.
(В. В. Петров [139]). Определение классов Тс и Td дано в § 4.
В пи. 23—53 мы рассматриваем последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин {Хп} и
полагаем V(x) » V(Xi < х).

§ 5. ДОПОЛНЕНИЯ 245
оо
23. Пусть ап f оо, 2 a~s = О (гса~3). Положим
Пусть 0 < # < 1 < г/, 6 > 0. Положим, далее, ]п(х, у) равным
числу тех к е IN, для которых хап ^ ал ^ z/а™. Для того чтобы
последовательность {Хп} удовлетворяла усиленному закону
больших чисел с последовательностью нормирующих постоянных {ап},
оо
необходимо и достаточно выполнение условий 2 ^ (\-^i\-^ ап)<-
п=1
< оо п
2 хЬпг)ф (_ 8а»/(7«(ж-у) °2 (ба«))1/2) < °° (5-5)
п=1
для любого 8 > 0. Если выполнено дополнительное условие
sup a2n/an<oo, то предложение остается верным при замене (5.5)
условием ^ — Ф (— ъап/(по2 ($ап))г^2) < °° Для любого 8 > 0
n=i
(А. И. Мартикайнен [96]).
24. Для существования последовательности положительных
постоянных {ап} такой, что
,. . , Sn — mSn ,. Sn — mSn
— оо < lim inf < lim sup < оо п. н.,
необходимо и достаточно, чтобы V(x) принадлежала области
частичного притяжения нормального распределения. (Необходимость
доказана Б. А. Рогозиным [162] и Хейди [304], достаточность —
Кестеном [330].) Для существования последовательности
положительных постоянных {ап} такой, что
— оо < lim inf < lim sup < оо п. н.,
ап ап
необходимо и достаточно, чтобы V(x) принадлежала области
частичного притяжения либо нормального, либо вырожденного не в
нуле распределения (А. И. Мартикайнен [94]).
Sn — mSn
25. Пусть б > 0, с > 1. Для того чтобы lim sup = 0
п. н., необходимо и достаточно выполнение следующих трех
условий:
(A) f*dV(a:)<oo; (Б) тгР(Х, < —тг) -*0,

246 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
(В) 2 exp{~8C>[cn](y, б)}
< оо для любого 8 > О,
где vn(db б) —наименьшее решение неравенств
б<1>п<бл, Г \x\dV(x)^a
-6п
(А. И. Мартикайнен [95]. Там же найдены условия, необходимые
и достаточные для соотношения lim sup (Sn— mSn)/an = a п. н.,
где а — постоянная, ап f оо).
26. Если ЕХ+ = оои оеК, то равносильны следующие
утверждения:
1) lim sup Sn > — оо п. н.;
2) lim sup б'пМ > — оо п. н.;
3) lim sup SJn = +оо п. н.;
4) lim sup Sn i= +oo п. н.;
1
5) 2тр(^>^)=°°
П=1
(Кестен [329]).
27. Если ЕХ+ = ЕХ~ = + оо, то справедливо одно из
следующих трех утверждений:
1) lim SJn = +оо п. н.;
2) lim SJn = —оо п. н.;
3) lim inf Sn/n = —оо и lim sup SJn = +oo п. н.
(Кестен [329]. Другое доказательство содержится в работе Тенни
[415]. Эриксон [254] нашел необходимые и достаточные условия
для каждого из указанных трех утверждений).
28. Достаточным для утверждения 3) из п. 27 является
следующее условие: SJn сходится к нулю по вероятности, но не с
вероятностью! 1 (Кац [325]).
29. Пусть E|Xi| = оо, {ап} — произвольная последовательность
постоянных. Тогда либо lim sup | SJan | = оо п. н., либо
lim inf \SJan\ = 0 п. н. (Чоу и Роббинс [232]).
30. Если t ^ 1, то совокупность условий E|Xi|f < оо и EXi =
= Ъ равносильна условию
(\Sn I ^
I — Ъ ^ 81 < оо для любого 8 > 0
(5.6)
(Кац [323]. Для £ = 2 этот результат был получен Эрдёшем [251].
Ранее Сюй и Роббинс [318] показали, что из условий ЕХ^ < оо
и EXi = Ъ вытекает (5.6) при t = 2. Для t =» 1 сформулированный
результат получен Спицером [404]).
31. Пусть t ^ 0. Для того чтобы
Р(|£п| > яе) = о(п~1) для любого 8 > 0, (5.7)
необходимо и достаточно выполнение условий Р ([ -X"i | ^ п) =

§ 5. ДОПОЛНЕНИЯ 247
= о(п-*~1) и f xdV(x) = o(l). Если *>0, то (5J) равно-
lx\<n
сильно тому, что
Р (sup -£ | Sk | ^ 8 J = о (п~г) для любого 8 > 0.
Из сформулированного критерия для (5.7) следует, что условия
Е.3ч =0иЕ|Х1|г<оо для некоторого г ^ 1 достаточны для
оценки (5.7) с заменой —t на 1 — г (Баум и Кац [200]).
32. Если EXj = 0 и ЕХ\ = а2 < оо, то
lim е2 ^ Р (I Sn I ^ не) = а2
е->0+ n==i
(Хейди [308]).
33. Если at > 1 и а > 1/2, то равносильны следующие условия:
(A) Е|Х,|« < оо и (в случае *^ 1) EXi = 0;
оо
(Б) 2 и0"*""2 р (| 5п | > ^8) < °° Для любого е > 0;
п=1
оо
(B) 2 "at"2P (SUP ^~a I ^ I > е W оо для любого е > 0.
n=i U>n /
Если 0 < t < 2, то равносильны следующие условия:
(Г) E|Xi|4n (1+ |Xi|) < оо и (в случае *>1) ЕХ1==0;
(Д) 2 "^ГР(1^гг|>те1/*8)<00 ДЛЯ люб0Г0 е>0;
п=1
(Е) У ~ Р (sup А:"1^ \Sh\>e)<oo Для любого 8 > 0
^¾ П \h>n '
(Баум и Кац [200]).
34. Пусть * > 1 и EXi = 0. Следующие условия равносильны:
оо
1) jVdF(*)<oo;
о
оо
2) ^ ^""2Р(»5'п>'г8)<оо для любого 8>0;
п=1
n=l l*>» J
< оо для любого 8 > 0
(Н. Н. Амосова [1]. Другие, результаты об оценках скорости
сходимости в односторонних законах больших чисел можно найти в
статьях Чоу и Лай [230] и Н. Н. Амосовой [2]).

248 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
35. Пусть EXi = 0. Если (^2иа> 1/2, то
2 nat~2V (max \ Sk \ > па\ < ^ \Е \Хг\1 + (ЕХ\) ш~^
at-1
1 + ^ *а'~2Р (| *п | > О > *2 \Е \Х^ + (EXJ)2«-1
n=l
где сь и с2 — положительные постоянные, зависящие только от
t и а (Чоу и Лай [230], [231]).
36. Равносильны следующие условия:
(А) существуют положительные постоянные р < 1, 8 и С
такие, что P(Sn ^ п&) ^ Срп для всех достаточно больших п\
tx
(Б) существует число Т > 0 такое, что Ее * <; оо для
0< £< Г
(В. В. Петров и И. В. Широкова [146]).
37. Пусть г,^ 0, L(.r) —неотрицательная неубывающая
непрерывная медленно меняющаяся функция, 0 < t < 2v
(А) Для того чтобы
Р (| sn | > ^8) = ° ггм ) Для лю^ого е >0, (5.8)
необходимо и достаточно выполнение условий
р 0*.1>-^)-(7^)
И
\ ^7Й = о(/11/и). (5.9)
Если г > Q, то (5.8) равносильно тому, что
Р (sup ft-"' 1SA | > б) = о (-^) Для любого 8 > 0.
(Б) для того чтобы
оо
2 и1""^ (тг) Р (| Sn / > и^'в) < оо для любого 8 > 0, (5.10)
П=1
необходимо и достаточно выполнение условий (5.9) и
оо
2 nrL{n)V(\X1\^n1't)<oo.
Если г > 0, то (5.10) равносильно тому, что
оо
У. tf-xL (тг) Р (sup к~11г I 5 J ^ еW оо для любого е>0
(Хейди и Рохатги [311]).

§ 5. ДОПОЛНЕНИЯ 249
38. Пусть Х\ имеет лишь целые неотрицательные значения,
ЕХ\ < оо. Пусть a = EXh т ge DM. Если а < 1//тг, то
оо
П=1
оо
Если а,^ 1/m, то 2j — V I Sn^z —\ = оо. Если а > 1/иг. то
n=i
оо
2^р(5»<^)=-ь(1-б«')'
П=1
где бт — единственный на [0, 1) корень уравнения P(s)=s1/rn,
a P(s) — производящая функция случайной величины Хх (В. Б.
Невзоров [114]).
39. Пусть EX, = 0. Условие E|Xi|* < оо, где 1 ^ t < 2,
равносильно тому, что для любой последовательности действительных
чисел {апк-, к — 1, ..., п\ п = 1; 2, ...} такой, что
п
limsup 2 anh< °°» (5Л1)
_JL n
имеет место соотношение п х 2anfe^fe-^0 п- н- Условие
Ее * х < оо для любого h ge R равносильно тому, что для
любой числовой последовательности {аПА}, удовлетворяющей (5.11),
п
справедливо соотношение ^ ank^k ""*" ® п# н- (Ч°У и *^аи
k=i
[229]).
40. Пусть х. ф. u(t) случайной величины Х\ удовлетворяет
условию) limsupl у (t)l < 1. Для любой функции if» е ^Fc имеет
|*|->оо __
место соотношение НтаУт|)(и) |£п| = °° п. н. Если EXi = 0 и
ЕХ^<оо, то liminf fwi|5(w)|^n| =0 п. н. для любой функции
ф е= Wd (В. В. Петров [140], [141]). Здесь Тс и?<г-те же классы
функций, что и в § 4. Сформулированные результаты являются
усилением некоторых теорем Чжуна и Эрдёша [235].
41. Пусть \В\ -—число элементов конечного множества В. Под
правилом ( ) будем понимать последовательность {(п)}
конечных множеств попарно различных натуральных чисел,
удовлетворяющую условию \(п)\ = п для п ^ 1. Правило, удовлетворяющее
условию {т, п <= тф п) =» {(т) г\ (п) = 0), обозначим < >;
правило, удовлетворяющее условию! (п) = {1, 2, ..., п} для
любого «gIM, обозначим ( )0. Множество всех правил ( )
обозначим Т. Последовательность {£(п)}, где sB = 2 Xft Для любого
ев

250 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
множества В натуральных чисел, называется
последовательностью управляемых сумм, соответствующей правилу ( ).
(Понятие управляемых сумм является обобщением понятия накоплен-
п
ных сумм Sn= 2¾ имеет мест0 Равенств0 sn ===S(n)0)•
Если ( ) е Г и an f оо, то
Далее, равносильны следующие условия:
1
(А) — £(п) ->■ 0 п. н. для любого правила ( )Gf;
(Б) EXJ < оо, EX, = 0
(Баум, Кац и Стрэттон [201]).
42. Равносильны следующие условия:
1) lim sup «S^nj/rc ^ 0 п. н. для любого правила ( ),
оо
2) 2 р (sn ^ пе) < °° Для любого 8 > 0.
П=1
Если EXi = 0, то каждое из этих условий равносильно условию
x4V{x) < оо (в# в. Петров [136]).
о
I п I
43. Пусть ( )еГ, ап = U (к) . Для того чтобы последо-
I h~i |
вательность {S^n)/an} сходилась п. н. к некоторому конечному
пределу, необходимо и достаточно, чтобы E|Xi| < оо и существовал
предел UmnEXi/an. Если эти условия выполнены, то Ит£(П)/яп =
= Km nEXJcin п. н. (А, И. Мартикайнен [88]).
44. Последовательность {Вп} конечных множеств натуральных
I п \
чисел назовем правилом, если (J Въ ->• оо. Положим
U=i I
I п
Ьп = U Bh . Пусть Ьх > 0, limsup bn+i/bn < оо. Тогда равно-
сильны следующие условия:
1) Е\Х,\ <оо;
2) lim sup SB/bn < ЕХ+ п. н., lim inf SB fbn > — EX~ п. h.;
3) lim sup I SB \/bn < со п. н.;
OO
^ 2 ^ (l^a I ^ c^n) < °° Для некоторого (для любого)
n=l
с>0,где % = \Bn\VBk
(А. И. Мартикайнен [88]. В работе [89] получены оценки
порядка роста сумм SB , соответствующих правилу {Вп}, при условии
ElXnl^ < оо для п е N и некоторого положительного /? ^ 1; этот
результат обобщает теорему из п. 19).

§ 5. ДОПОЛНЕНИЯ 25J
tx
45. Пусть R (t) = Ее г < со для \t| < Ъ и некоторого
Ь > 0. Положим / (х) = sup (tx — In Л (*)), S0 = 0, Я = [с In тг].
t
Тогда для любого с >> 0 справедливо соотношение
1
max -тг (Sj+к — SA -> а (с) п. н.,
где а (с) определено равенством 1(а(с)) = 1/с (Эрдёш и Реньи
[253]. Различные обобщения содержатся в работах Чёргё [243] и
Бука [217], [218], [219], рассмотревшего обобщенные средние вида
(K$(k))-l/2(Sn+K — Sn), где ф(а:)-»-оо при ж->оо быстрее, чем
In я, а также случай неодинаково распределенных слагаемых.)
46. Пусть 1<г<2, EXi = 0, ЕХ* = 1, Е*' х < оо для
111 < Ъ и некоторого 6 > 0. Положим
Мг (п, К) = max К-1" (Sj+K - S}).
Тогда
fr[n\{2%-*lnn)*~r\)
Afr К L^ ln ^ U -> Я п. н.
для любого Я > 0 (Бук [217]).
t X
47. Пусть Ее 2 = оо д ля любого £ > 0. Положим
Z,= [с In га]. Тогда
1
limsup max -р- (S4 , * — £,Л == оо п. н.
для любого с > 0 (Штайнебах [406]).
48. Пусть У (я) — ф. р. такая, что
оо оо
J xdV (х) = 0, j x2dV (х) = 1 (5.12)
I etxdV (х) < оо для \ 11 < Ъ и некоторого ft > 0. (5.13)
— оо
Тогда можно построить последовательность независимых
случайных величин {Хп}, имеющих общую ф. р. У(х),л
последовательность независимых случайных величин {7П}, имеющих
стандартное нормальное распределение, такие, что суммы
*»=* 2*» Тп= %Yh (5.14)
/г=1 А=1
удовлетворяют соотношению
Sn — Tn = 0 (1ц тг) п. н. (5.15)
(Комлош, Майор и Тушнади [341]).

252 ГЛ. VI. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
49. Пусть V(x)—ф. р., удовлетворяющая условиям (5.12) и
00
I | х ]Г dV (х) < оо для некоторого г > 3. Тогда справедливо
— оо
утверждение теоремы из п. 48 с заменой (5.15) соотношением
Sn — Тп = о(п1/г) п- н- (Комлош, Майор и Тушнади [341]. Этот
результат является усилением одной теоремы Штрассена [413].
Обобщения и усиления сформулированного результата и других
теорем работы [341] получены А. И. Саханенко [174], [175],
рассмотревшего суммы независимых неодинаково распределенных
случайных величин.)
50. Пусть V(x) — ф. р., удовлетворяющая условиям (5.12).
Тогда справедливо утверждение теоремы из п. 48 с заменой (5.15)
соотношением Sn — Тп = о((п In In п)ъ) п. н. (Штрассен [411].
Другое доказательство получено Майором [357].)
51. Пусть f(n) —произвольная положительная функция такая,
что f(n) -> оо. Тогда существует ф. p. V(x), удовлетворяющая
условиям (5.12) и обладающая следующим свойством: для любой пары
последовательностей независимых случайных величин {Хп} и {Yn}
с функциями распределения V(x) и Ф(х) соответственно
справедливо соотношение
lim sup / (ri) J—- !LL = оо п. h.
{пЫЫп)1'2
(Майор ,[357]). Здесь Sn и Тп определены равенствами (5.14).
52. Пусть V(x)~ ф. р., удовлетворяющая условиям (5.12) и
оо
\ x2g (| х \) dV (х) < со, где функция g(x) такова, что x/g(x) и
— оо
g(x)/xe не убывают в области х > 0 при некотором е > 0. Тогда
справедливо утверждение теоремы из п. 48 с заменой соотношения
(5.15) соотношением
lim sup \S">~T">\ ^ с п. н., (5.16)
h (п)
где С — некоторая постоянная, h(x)—функция, обратная к
функции x2g(x). В частности, из (5.16-) следует, что при выполнении
оо
условия \ | х f dV (х)<со, где 2 < г <^г 3, имеет место соотноше-
— оо
ние Sn — Tn = o(nl/r) п. н. (Майор [356]).
53. Пусть ф. p. V(x) удовлетворяет условиям (5.12). Положим
0*= Г ЛУМ-/ j xdV(x)V,
|x|<2n/2 \|^|<2n/2 /
если 2П ^ к < 2n+1. Тогда можно построить последовательность
независимых случайных величин {Хп} с общей ф. p. V(x) и
последовательность независимых нормально распределенных случайных
величин {Yn} такие, что EYk = О, EYk = °\ Для всех ^ и
Sn — Tn = 0(Уп) п. н. (Майор [358]).

Глава VII
ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
Пусть {Хп; тг = 1, 2, ...}—последовательность незави-
п
симых случайных величин, Sn = У1 Xk, {Ъп; тг =
k=i
= 1, 2, ...} — числовая последовательность. Будем
говорить, что эта числовая последовательность принадлежит
нижнему классу, если P(Sn>bn б. ч.)=1, или верхнему
классу, если P(Sn>bn б. ч.) = 0. Будем исследовать
условия, при которых имеют место соотношения типа
limsup —sg; 1 п. н.
или
т Sn л
limsup— = In. н.,
где ап -> оо. Последнее равенство равносильно тому, что
для любого S>0 последовательность {(1 —S)an}
принадлежит нижнему классу, а последовательность {(1 + 6) ап) —
верхнему классу.
§ 1. Теорема Колмогорова
В этом параграфе всюду будем рассматривать
последовательность независимых случайных величин {Хп} с
математическими ожиданиями, равными нулю, и конечными
п
дисперсиями. Положим о„ = ЕХ„, Вп = 2 °1- Сформули-
руем следующий фундаментальный результат,
принадлежащий А. Н. Колмогорову.
Теорема 1. Пусть Вп-+°°. Пусть существует
последовательность положительных постоянных {Мп} такая, что
Ь1пЯя
\ХЯ\<МЯ п. н. (1.2)

254 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
Тогда
limsup гго = 1 п. и. (1.3)
Очевидно, если последовательность {Хп) удовлетворяет
условиям этой теоремы, то и последовательность {—ХЛ ^
обладает тем же свойством. Отсюда вытекает, что при
выполнении условий теоремы 1 имеет место равенство
liminf ^ т 1п. н., (1.4)
и, следовательно,
lim sup Щ—т = 1 п. н. (1.5)
Доказательству теоремы 1 предпошлем несколько
лемм.
Не ограничивая общности, можем считать, что
последовательность Шп} не убывает. Положим qn (х) = Р (Sn >
>х).
Лемма 1. Если О < хМп < Вп, то
Если хМп > Д„, то
гпИ<ехр|—щ-J. (1.7)
Доказательство. Пусть £>0 и tM»^l. Тогда в
силу неравенств 2Оп для любого к>2,
которые следуют из условия (1.2), имеем
ft=2
<
1 + 4^+1-^ + 7^+ •••)<
1 + -j-<£ (l + у Mn) <exp {4^(1 + TMn)l
Ee<Sn<exp{45«(l + 4-^ )}•

§ i. ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА 255
Следовательно,
дпИ<^ЕЛ<ехр{-^+45п(1 + уМп)}.
Полагая здесь t = х/Вп в случае хМп <Вп и £ *=* 1/Мп в
случае хМп>Вп, приходим к неравенствам (1.6) и (1.7)
соответственно. П
Лемма 2. Еслих>Ох -«—>- О и ^—^оо, го для
■"п п
любого фиксированного [i> 0 и всех достаточно больших п
имеет место неравенство
g„(*)>exp 1--^-(1 + 11)1 (1-8)
Доказательство. Для любого х ^ 0 имеем 1 +
+ х > exii~x). Если 0 < Шп < 1, то
Ее'Хп > 1 + 4 <* (1 - т Мп - i м' ~~ • • ■) ^
> 1 + 4°n (l —yMn)> exp{4aan (l —|- Мп - 4а*)}>
>ехр{-£о£(1-Шп)},
Ee'Sn>exp [^Bn(l-tMn)}.
Положим t = _ ^ , где б — малое положительное
число, выбором которого распорядимся позднее. Тогда
Шп ->■ 0, и для любого фиксированного а > 0 имеет место
неравенство
Ee'Sn>exp{^*2(l-~a)} (1.9)
для всех достаточно больших п. Далее,
оо оо
EeSn = - J etydqn(у) = t f e%(y)dy = t^ Ihl (1.10)
где /t, ..., I, — интегралы от функции eivgn(y) no
интервалам (-«о, 0), (0, ¢(1-6)5,,), (t(l-8)Bn, t{l + 6)Bu),

256 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
(t(l + 8)Вп, 8tBn) и (8tBn, оо) соответственно. Очевидно,
о
*/!<* J* eivdy = 1.
— 00
Если уМп ^ Дг, то #п(*/) ^ е п <! е~2^ для достаточно
больших тг по лемме 1. В области 8^^г/^^ имеем
в силу этой же леммы дп(у)^е~У *Bn^.e~2ty. Поэтому
сю
г/5<г f e~ivdy<l.
StBn
Принимая во внимание (1.9), получаем отсюда
4
tI1 + tIb<2<±EeSn (1.11)
для достаточно больших п.
Для оценки интегралов /2 и /4 используем неравенство
(1.6) и условие -д ^0. Тогда получим
?n(y)<eXpJ-^-(l-P)j
для любого фиксированного {$ > 0 и достаточно больших
п. Таким образом, при больших п имеет место оценка
*/2 + */4<* \e*iy)dy,
D
где
ш = *у--£-п(1-$
и
/) = (0, *(1-6)Я„)и'(*(1 + 6)Я„, 8*Я„).
Функция г|)(?/) имеет максимум в тоткеу = j^ZTj'
лежащей в интервале (£(1 —6)ДП, £(1 + 6)5п), если [1 выбрать
достаточно малым. Следовательно,
sup ф(у) = тах(ф(*(1-6)Я„), ф(^(1+ б)В„)).
Далее,
г1)(^(1±б)5п)^^(1-б2 + Р(1±б)2)<^(1--^),

§ i. ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА 257
б2
если Р < «"• Поэтому
' 2 (1 + б)2
tl2 + tIA < 8t*Bnexp {^ (l - -f)
x2
Замечая, что t2Bn = 7? >-oo, находим для доста-
(1-6)2¾
точно больших п
32*25п<ехр{^62)
и
tl2 + Ц^±е^^(1-^-)}к^Ее1\ (1Л2)
вследствие (1.9).
Функция qn(y) не возрастает. Учитывая равенство
х~(1 — b)tBn, получим
th ^ 28t2Bn exp U2Bn (1 + б) }qn (х).
В силу (1.10)-(1.12) имеем tI3">-jEe п. Принимая
во внимание (1.9), заключаем, что
Чп (х) > ^- ехр {- 1Ь (1 + а + 26) j >
>Ч- 2Дп(16)Л1+ст+2б+^)}
для достаточно больших п, если б < 1/2.
Пусть (1 — произвольное положительное число.
Выберем положительные числа б и а так, чтобы выполнялось
условие
1 + а + 26 + -^-) (1 - б)"2 < 1 + и,
Тогда для достаточно больших п будет иметь место
неравенство (1.8). О
Положим х(п) = (25nlnln5n)1/2 для достаточно
больших п.
Лемма 3. Если выполнены условия теоремы 1, то
для любых полооюителъных постоянных b и \i и всех до-
17 в. В. Петров

258 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
статочно больших п имеют место неравенства
(In 5n)-(1+(i)b2 < Р (Sn> ЪХ (и)) < (In Вп)-(1-»)ь\ (1.13)
Доказательство. Правое неравенство следует из
хМп х*
леммы 1 при х = Ь%(п). При этом -^ >-0 и -^ >-оо,
так что применимы неравенство (1.6) и лемма 2. Из
леммы 2 вытекает левое неравенство в (1.13). П
Докажем, что для любого е > 0 последовательность
{(1 + г)х(п)} принадлежит верхнему классу, т. е. что
P(iSn>(l + e)x(n) б. ч.) = 0. (1.14)
В силу условий Вп -*- °° и (1.1) имеем
Вп а2
^n + l ^n-fl
°(blnfin+1)"
1—5^ = 1 + 0,. ' U.I.
Для любого т > 0 существует неубывающая
последовательность целых чисел {пк) такая, что пк -> <*> при
к -+ оо и
^„^^(I + t)*^^ (ft=l, 2, ...). (1.15)
При этом мы полагаем Ва = 0. Отсюда получаем
Вщ~°щ ^,(\ + x)h
для всех к. Следовательно,
Я„лсо(1 + т)* (1.16)
и
Bnh - B„h_= Bnk (l - ^5=1 ) со 5,,, ^ (1.17)
При /с ->■ сю.
Положим £^ = max 5/г и покажем, что
n<nk
SP(4>(l + Y)x(nft))<~ (1.18)
& *
для любого 7>0. Применяя неравенство (3.13) главы III,

§ 1. ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА 259
получаем
Р (Snh >(1 + y) X (»*)) < 2Р (Snh >(1 + У) % Ы -
- УЖк) < 2Р (S„h >(1 + Tl) % (nh))
для любого положительного Yi < y и достаточно больших
к. В силу леммы 3 и неравенств (1.15) имеем
P(S„fc>(l + Yi)X(raft))<
< (Ш 5„й)-(1^)(1+Г1)2 < [к In (1 + x)f (1^)(1+Vl>2
для любых положительных (i и Yi и достаточно
больших к. Выбрав jli столь малым, что (1 — \i) (1 + y,)2 > 1,
видим, что полученные оценки приводят к (1.18).
Далее, для любого е > 0 имеем
Р(5л>(1+е)х(/г)б. ч.)<
<Р/ [max 5n>(l + e)x(wft-i)6. ч.\<
<Р(5Пл>(1 + е)х(/|Л-1)б.ч.).
Из соотношения (1.16) вытекает, что %{nh)/%(nk-i)<
< У1 + 2т для достаточно больших к. Таким образом,
Р (5„ >(1 + е) X (/г) б. ч.) < Р (5„ft >-^г Х (я*) б. ч. ]<
<Р
^^(^yJitW6-
если т достаточно мало. В силу (1.18) и леммы Бореля—
Кантелли отсюда следует (1.14).
Заменяя Sn на —Sn, имеем
P(-Sn>(l + e)x(n) б.ч.) = 0,
и, следовательно,
P(|Sj>(l + e)x(n) б.ч.) = 0 (1.19)
для любого 8 > 0.
Для того чтобы завершить доказательство теоремы 1,
достаточно показать, что
Р(5„>(1-е)х(л) б.ч.)=1 (1.20)
для любого е > 0. Положим
ф Ы = [2 (Bnh - В^) In In {ВЧ - ВПк_^'\
17*

260 ГЛ. VTT. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
Из (1.16) находим, что
In {Впк - Впк_г) < In Bnh < 2к In (1 + т)
для достаточно больших к. Далее, i|)(%)/%(%-i) ~ Ут
в силу (1.17).
Если А и В — произвольные события, то
Р(Л ПЯ) = Р(4)-Р(Л ПЯ)>Р(4)-Р(Л).
Поэтому для любого положительного у < 1 имеем
Р(Яй-5П/(_1>(1-т)г|;Ы)>
> Р ^5„ft > (l - Xj ,j, („fc)J n pn^, < -f- я|> (Bft)]) >
>P(5'„ft>(l--|-)x(nk))-P(5'nft>4-Y^.X(n*-i))>
> (In яПк)-<1+^-*/»я - (In В„ы)-^
в силу леммы 3. При достаточно больших к и т
последняя разность больше, чем
С\ £-( 1+ |Lt)(l—V/2)2 _ /t-V2T/l0l ^J? ^.-(1+H)(l-Y/2)2
Здесь С — положительная постоянная, не зависящая от к.
Если мы выберем \i столь малым, что (1 + fi)( 1 тМ <С
< 1, то
2р(*Ч- 5Пл_1 >(1 - У)*Ы) = «>■
Еще раз применяя лемму Бореля — Кантелли,
получим
Р (S„h - 5)ifc_1 >(1 - у) ф Ы б. ч.) = 1 (1.21)
для любого положительного у < 1. Далее,
(1-ТЖи*)--2х(п*-1)<*>
~[(1 - Т)^1/2(1 + т)-1/2 - 2(1 + т)~1/2]ХЫ
при &->°°. Пусть £2 — пространство элементарных
событий, на котором определены случайные величины из
последовательности {XJ. Из (1.19) следует, что |Sn(co)l^
<2%(тг) для 72>rto(to) и всех со^Й, за исключением то-

§ 1. ТЕОРЕМА КОЛМОГОРОВА
261
чек, принадлежащих множеству нулевой вероятностной
меры. Если е — произвольное положительное число, то мы
можем выбрать положительные числа у и т таким
образом, что
(1 - YhV2(l + ^)"1/2 ~ 2(1 + т)-1/2 > 1 - 8.
Принимая во внимание (1.21), получим тогда
Р(^>(1-8)ХЫ6. Ч.)>
> Р (Snh >(1 - у) я|) К) - 2Х К_х) б. ч.) >
> Р (5Wft - Sn^ >(1 - у) я|) (/г,) б. ч.) = 1.
Отсюда следует (1.20). □
Доказанный результат является неулучшаемым в
некотором смысле. Именно, если в условии (1.1) заменить
о на (9, то заключение теоремы 1 может не выполняться.
Приведенное доказательство теоремы 1 позволяет с
помощью небольших дополнительных рассуждений
вывести следующее предложение о связи между оценкой
остаточного члена в центральной предельной теореме для
последовательности независимых случайных величин и
применимостью закона повторного логарифма к этой
последовательности, т. е. выполнением соотношения (1.3).
Пусть {Хп} — последовательность независимых
случайных величин такая, что ЕХп = 0, ol, = Е^п < °° для
всех п. Положим
п п
k=i k=i
A„ = sup | P (Sn < x УЖ) - Ф (x) i,
где Ф (#), как обычно, означает стандартную
нормальную ф. р.
Теорема 2. Если выполнены условия
Д»->°°, (1.22)
%^-*1 (1.23)
U
Ап = 0((ЫВп)-{-6) для некоторого б > 0, (1.24)
то имеет место соотношение (1.3).
Доказательство. Положим %(rc) = (2#nlnlni?n)1/2
для достаточно больших п. Теорема будет доказана, если

262 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
мы докажем равенства (1.14) и (1.20) для любого
8>0.
В силу асимптотической эквивалентности 1 — Ф (х) со
е~х2'2 при х -> +°о имеем
х ~]/2п
1 - Ф (Ь (2 In In Вп)1/2) = *-±^
25 (я In In £n)1/2(lntfn)b
для любой постоянной Ъ > 0. Из (1.24) следует, что
оо
Р (Sn > 6-/ (и)) = -J= Г в-'2<'*Л + С ((In Лп)"1"6).
У2я J
(2 In In Вп)1'2
Поэтому для любых положительных постоянных с и Ъ <
< VI + б справедливы неравенства
(In Я„)-<1+с)''а < Р (5Д > Ъг (/г)) < (In Z?n)-?'2 (1.25)
при всех достаточно больших п.
Мы можем теперь воспользоваться рассуждениями,
приведенными в доказательстве равенств (1.14) и (1.20).
При доказательстве (1.18) следует положить \i = 0 и
выбрать положительное число yt < у удовлетворяющим
условию Yi (Ti + 2) < б, где б — постоянная из условия
(1.24). Все остальные рассуждения остаются прежними. □
Нетрудно убедиться в том, что теорема 2 сохраняет
силу, если условие (1.24) заменить более слабым условием
An = 0((lnSri)-1(lnln5n)-1-6)
для некоторого б > 0. Однако в этой теореме нельзя
заменить положительное число б в условии (1.24) нулем.
Приведем одно следствие теоремы 2.
Теорема 3. Если последовательность {XJ
удовлетворяет условиям
liminf-jp>0 (1.26)
lirasilpA^EA'|ln|X,||lf6<oo (1.27)
для некоторого б > 0, то выполнено соотношение (1.3).

§ 2. ТЕОРЕМА ХАРТМАНА — ВИНТНЕРА 263
Доказательство. Для дроби Линдеберга
Ап(е)= В-1 2 J _x*dVk(x),
h~l \х\>еувп
где Vk(x)— ф. р. случайной величины Xk, имеем оценку
к-г\х\^вувп V V Г/У
n
<5-х (in (e 1/^))-^2 e(x£| In | Xfc||1+e)<
^CilnieVs:))-1-6
для достаточно больших п. Таким образом, Лп(е)->0 для
любого фиксированного е >0 вследствие (1.26). В силу
теоремы 19 главы IV отсюда вытекает соотношение
(1.23). Если выполнено условие (1.27), то, очевидно, оно
будет выполнено и при замене в нем |lnlXjl1+6 на
g(Xk)==(ln(3+ \Xk\))i+\ Функция g(x) удовлетворяет
всем условиям теоремы 5 главы V. Согласно этой
теореме имеет место оценка (1.24) для положительного б,
удовлетворяющего условию (1.27). Остается сослаться на
теорему 2. □
Можно указать условия, достаточные для выполнения
условий теоремы 2 и не требующие существования
моментов порядка выше второго, в отличие от теоремы 3. Из
неравенства (3.8) главы V следует, что для выполнения
(1.24) достаточно, чтобы
ЛЛт(1п5п)-1-б) = 0((1п5п)-1-6) (1.28)
для некоторых положительных у и б. Здесь Л„(е) — дробь
Линдеберга. Таким образом, если выполнены условия
Вп -> °о и (1.28), то последовательность независимых
случайных величин {Хп} удовлетворяет закону повторного
логарифма.
§ 2. Теорема Хартмана — Винтнера
Приведем теорему Хартмана — Винтнера в
формулировке Штрассена.
Теорема 4. Пусть {XJ — последовательность
независимых одинаково распределенных случайных ве-
п
личин, ЕХХ = О, a2 = EXl <С оо. Положим Sn = 2 %ki

264 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
ап = У2тг In In п. Тогда
lim sup SJcin = о п. п., (2.1)
liminf SJan = — о п.н. (2.2)
и каждая точка замкнутого интервала [—а, а] является
предельной (в смысле сходимости почти наверное) для
последовательности {SJan}.
Доказательство. Положим LLn = In In п для п >
^ 3, LLn = 1 для /г = 1 и п = 2. Для того чтобы
введенная ранее числовая последовательность {ап} была
определена при всех п и положительна, положим ап = У2пЬЬп
для и е IN.
Лемма 4. Пусть {Хп)—последовательность
независимых одинаково распределенных случайных величин,
ЕХ|<оо. Тогда существует последовательность
положительных чисел {хп} такая, что тп \ О, Tn{n/LLn)i/2, t °о ^
^0 п. к., (2.3)
где Un = 2 Zft, Z, = XhI (| Xft | > xk (k/LLkf2).
Для доказательства леммы достаточно показать, что
сходится ряд 2 Е | Zn \/ап, поскольку отсюда следует
и. н. сходимость ряда zjZn/an и в силу леммы Кроне-
кера соотношение (2.3).
Из условия EXi <С оо вытекает существование
заданной на 1R четной неотрицательной неубывающей в
области хХ) функции f(x) такой, что f(x)-*~ °° при х-+ °° и
ЕХ1/(Хг) < оо. Можно считать также, что
/(^1/3)(^)17% 0, /(n)<i»i/».
Положим т„ = 1//(га1/3), Ьп = т;„(п/ЬЬп)и2. Имеем
оо оо оо
^ Е | Zn \/ап = S «й1 2 Е | Х„ | / (Ь,„< | *„ | < Ьт+1) <
U=l At=l 7/1—Л
оо оо
< 2 «n1 2 Ьт-цР (*>т < I *i | < bm+l) =
оо 7П
= 2 Ьт+1? (Ьп. < I *i К ьт+1) 2 0Гп\

§ 2. ТЕОРЕМА XAPTMAHA — ВИНТНЕРА 265
Ш
Справедливы неравенства 2 ап ^ сЪт1%
для любого т. Поэтому
оо оо 2
r?-l w ra=l т
вследствие того, что b2m/xm ^b2nf(m1^) и EXlf (Xг)<,оо. □
Если о = 0, то все утверждения теоремы очевидны.
Будем считать в дальнейшем, что о > 0.
Пусть {тп} — числовая последовательность из леммы 4.
Положим
Х'п = Хп1(\Хп\< %n(n/LLn)1/2), Yn = Х'п-ЕХ'п,
п п п
Zn = хп — xn, sn ===== 2j xh, тп = 2j 5 й, c/n = ^
^fife—l h=l h=l
Используя равенство EX^ = — EZn и результаты,
установленные при доказательстве леммы 4, находим, что
п—1 п п--\ п
Следовательно,
п
±\ES'n\<±^\EX'k\-+0 (2.4)
по лемме Кронекера.
п
Далее, EY2n-+o2 и — ЛЕУ^->о2. Применяя теоре-
му 1 к последовательности {Уп}, получим
lim sup — = о п. н., lim inf —2. = — а п. н. (2.5)
ап ап
Из (2.4) и леммы 4 следует, что
lim supi-^ ^-L< lira snpJ—^- + lim sup +-^-==0 п. н.
an an an
Отсюда и из (2.5) вытекают равенства (2.1) и (2.2).
Покажем, что
^-^0п.н. (2.G)

266 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
Имеем
SH-\-l ^П_ = X7L + 1 rr /_J 1
ап+1 ап ап+1 \.ап-Ы аг
В силу условия EXi<oo и леммы 12 главы VI сходится
ряд 2 Р (XJ > л), поэтому 2 р (I ^п | > ва„) < оо для
любого 8 > 0. Следовательно, Хп/ап ->■ 0 п. н. по лемме
Бореля — Кантелли.
Введя функцию а (х) = ~У2х In In х для х ^ 3 и
пользуясь соотношениями а'(#)<*> ((In In л:)/(2л:))1/2 при #->
-^ оо и
п+1
1 1 1 Г , , ч , 1 /lnlnrc\1/2
= 1 а (х) ах со —- —-— =
п п
= (2W)-3/2(ln]n«)-1/2,
можем утверждать, что 5^(— )->0л. н. по уси-
V ап an+i J
ленному закону больших чисел. Отсюда и из (2.7)
следует (2.6).
Для завершения доказательства теорвхмы 4 осталось
убедиться в том, что каждая точка множества [—а, а]
является предельной для последовательности {Sn/an}. Это
утверждение вытекает из (2.1), (2.2), (2.6) и
следующего легко доказываемого элементарного предложения:
если {хп} — числовая последовательность,
удовлетворяющая условию хп — ^п_!-> 0, то множество предельных
точек последовательности {хп} совпадает с множеством
[liminf^n, limsup^n]. □
Из доказанной теоремы 4 следует, что множество то-
чек, предельных для последовательности {Sri/V2ra In In п),
совпадает п. и. с множеством [—а, а].
§ 3. Обобщенный закон повторного логарифма
Пусть {Хп\ п = 1, 2, ...} — последовательность
независимых случайных величин, {ап; тг=1, 2, . . .} —
неубывающая последовательность положительных чисел, удов-
п
летворяющая условию ап -»- оо. Положим Sn = 2j Xk для
/?^1, #0 = 0, а0 = 0. Введем в рассмотрение следующее
условие: для любого 6 >0 существует X > 0 такое, что
(2.7)

§ 3. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА 267
для всех неотрицательных j ^п и всех достаточно
больших п имеет место неравенство
Р(5„-й>-6а„)>А,.
Назовем это условие условием (В).
Для фиксированного числа с > 1 и любого целого
тг^О определим число in = in{c) как наибольшее целое,
для которого ain^Lcn.
Теорема 5. Пусть выполнено условие (В). Тогда
соотношение
g
limsup—— <М п. н. (3.1)
ап
равносильно любому из следующих двух условий:
(Д1) для любого е>0 и любой неубывающей
последовательности целых положительных чисел кп ->- °о
оо
2P(5fen-5ft„_1>(l + e)aftn)<oo; (3.2)
(Ei) для любого е > 0, любого целого г^1 и любого
сю
S Р (Sin- Sin_T>(1 + в) с») < оо. (3.3)
п=г
По поводу условия (В) заметим, что оно выполнено
как для последовательности симметричных случайных
величин {Хп}, так и для случая, когда Sn/an-+0.
Для доказательства теоремы 5 нам понадобится
следующая лемма, в которой (Лп; гг == 1, 2, . . .} и Ш„; п =
= 1, 2, . . .} — две последовательности событий на одном
и том же вероятностном пространстве.
Лемма 5. Пусть существует положительная
постоянная а< 1 такая, что Р(Вп)>а для всех п. Пусть для
любого п независимы следующие пары событий: Ап и Вп,
Ап и BnAn-iBn-u Ап и BnAn-iBn.-iAn-2Bn-2, . . . Если
оо
2 Р(Л?1) = оо, тоР{АпВп б. ч.)>а.
71=1
Доказательство. Пусть, напротив, Р(АпВпб.ч.)<
< а. Тогда существуют б > 0 и wgM такие, что из
условия k> m вытекает неравенство
Р ( "и" АпВп) < a - б. (3.4)

268 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА 1 '
Воспользуемся представлением
оо
U Т>п = Dm U DmDm+i U DmDm+1Dm+2 [J ...
п=т
для Dn = AnBn. Получим
Р( U ЛДя)=Р(Лт)Р(Дте) + Р(Лт + 0Р(Дт+1ЛД^) +
+ Р (^т+г) Р (-5т+2Ап+1^т + 1 АтВт) + . . .
В силу равенства Р(АВ) = Р(А) — Р(АВ), справедливого
для любых событий А и В, имеем
Р( U АпВп) =
\п=т J
= Р (Ап) Р (Вт) + Р (Ат+1) {Р (Вт+1) - Р (Вт+1АтВт)} +
Г) (АтВт U Лт+15т+1))} + ...
Из условия Р(Д,)>а и неравенства (3.4) следует, что
Р( 0 Л,#,.)>2 Р(Ап)(а-р(вп(] "и АНВЛ)^
> 2 Р(Лп)(о-(а-6)).
Таким образом, предположение о невыполнении
утверждения леммы привело к заведомо неверному результату,
поскольку ряд 2 Р (^п) расходится. □
Продолжим доказательство теоремы 5. Предположим,
что справедливо неравенство (3.1). Тогда
P(Sn>(l + e)an б. ч.) = 0 (3.5)
для любого е > 0. Для любой неубывающей
последовательности целых положительных чисел кп -> °° и любого
е > 0 положим
An = {Skn-Skn_1>(l + 2e)ahn}, *nH5*n-i>-м*п).
Имеем Р(АпВп б. ч.)< P(Sn >(1 + г)ап б. ч.) = 0 в силу
(3.5). Поэтому по лемме 5 ряд 2jP(Ап) сходится, так
что выполнено условие (ДО. Итак, (3.1) =^ (ДО.
Если выполнено условие (ДО, то, полагая kn = irnhj
для / = 0, 1, . . ., г—1, приходим к заключению о
выполнении условия (Ei). Для завершения доказательства тео-

§ 3. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА 269
ремы 5 осталось показать, что ^)=^(3.1). Положим
П = . max (Sr-Sinh+i). (3.6)
lmh+i<r ^ * mk + j +ra
Для любого n e N справедливо неравенство
n
max Si<2 Ть+ max ^. (3*7)
Покажем, что
lirasup—^~<1 п. h. (3.8)
В силу условия (В) для любого 6>0 существует
постоянная X > 0 такая, что
для imk+j < r ^ W+j+m и всех достаточно больших к.
Поэтому из (3.6) и теоремы 13 главы III следует, что
Р(Г/г>(1 + е)с™ь+'+™)<
для любого е > 0 и всех достаточно больших /с. Учитывая
условие (Ei), получаем
оо
2 Р (Гп >(1 + е) c^+i+^i) < оо.
Следовательно, Р(ГП >(1 + e)cmn+j+m б. ч.) = 0 для любого
е > 0. Отсюда вытекает (3.8).
Лемма 6. Пусть {Ъп} и {хп) — числовые последова-
п
телъности, lim sup £п < х, 2 bk\ оо. Тогда
k=i
iim sup , , — ^ х.
Это предложение является односторонним аналогом
леммы 8 главы VI и доказывается тем же способом.
Справедливо неравенство
\ cmk+j <^ cmn+j .
k=l

270 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
Принимая во внимание (3.7), (3.8) и лемму 6, получим
ст
limsupc-^mn+^+m-1) max Si<-^ п. н.
гтп+] + т-1<т>^ггпп+з+т с L
Поэтому
S S •
lim sup —^С max lim sup max — ^
n 0<j^rn-i imn+j+m—l<i<imn+j+m г
^- П. H.
Пусть e — произвольное положительное число.
Выберем число с > 1 так, чтобы выполнялось неравенство с <
< У1 + е. Далее, выберем число т е IN столь большим,
чтобы —г—< Vl + е. Тогда lim sup —< 1 + е п. п.
Ст — 1 ап
Ввиду произвольности е>0 отсюда следует (3.1). □
Теорема 6. Пусть выполнено условие (В). Тогда
соотношение
Sn
lim sup—==1 я. н. (3.9)
ап
равносильно любому из следующих двух условий:
(Д2) для любого е > 0 и любой неубывающей
последовательности целых положительных чисел кп -> °°
имеет место (3.2); для любого е > 0 существует такая
неубывающая последовательность целых положительных чисел
кп -* °°, что
оо
2 Р (Skn - Sfc >(i - 8) ahn) = ex.; (3.10)
n=2
(E2) для любого e > 0, любого целого r^l и любого
с > 1 имеет место (3.3); для любого е > 0 существуют
такие с> 1 и целое г > 1, чго
оо
SP(^n-5{n_r>(l-8)Cn) = 0O. (3.11)
n—г
Доказательство. С учетом теоремы 5 для
доказательства импликации (3.9)=^(Е2) достаточно доказать
следующее утверждение: если имеет место равенство
(3.9), то для любого положительного е<1 существуют
такие с>1 и целое г>1, что выполнено условие (3.11).
Предположим, что (3.9) выполнено и существует такое

§ 4. ДОПОЛНЕНИЯ
271
число £ое(0, 1), что для любых с> 1 и целого г> 1
оказывается выполненным условие Q(c, е0)<00, где
оо
<? (с, е) = 2 Р (51в - 5in_r > (1 - е) с").
71~Г
Применим теорему 5 к последовательности независимых
случайных величин {Хп} и числовой последовательности
{(1 — e0)aj. Учитывая неравенство (1 + е) (1 — е0)> 1 — е0
для любого е > 0, получим
HmsupSn/((l — г0)ап)< 1 п. н.
Отсюда следует неравенство lim sup SJan < 1 п. н.,
которое противоречит условию (3.9). Таким образом, (3.9) =>
=* (Е2).
Легко показать, что (Е2) => (Д2). Предположение о том,
что (Е2) выполнено, а (Д2) не выполнено, приводит к
противоречию. Для завершения доказательства теоремы 6
остается показать, что (Д2) =>-(3.9). В силу теоремы 5
имеем (Д2)=^ (Ei)=>- (3.1). Пусть т — произвольное число,
удовлетворяющее условию т>1. Вследствие (Д2)
существуют число 8^(0, 1) и последовательность чисел кп\ °°,
для которых выполнено неравенство (1 —е)т>1 и
условие (3.10). Применяя теорему 5 к последовательности
случайных величин {Хп} и числовой последовательности
{ап/т}, заключаем, что lim sup iSJan > 1 п. н. Ввиду
произвольности числа т > 1 отсюда следует, что lim sup SJan >
> 1 п. н. Принимая во внимание уже доказанное
соотношение (3.1), получаем (3.9). □
§ 4. Дополнения
В пп. 1—23 рассматриваем последовательность независимых
одинаково распределенных случайных величин {Хп} и полагаем
71
sn = Zi xk.
1. Если EX^ = оо, TO
lim sup , - — оо п. н.
V^ln In п
(Штрассен [412]). Более простые доказательства этого
предложения найдены Хейди [301], Феллером [271], Стейгером и Зарем-
бой [405].
2. Пусть /(/г) — произвольная функция, удовлетворяющая
условию f(n) -*- оо. Тогда существует последовательность независи-

272 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
мых одинаково распределенных случайных величин {Хп} такая,
что ЕХ{ = О, ЕХ* - оо и
lim =г = 0 п. н.
/ (п) уп In In п
(Беркеш [210]).
3. Если
hmSUPV2^u^ = ln-H-
то EA'j = 0 и ЕХ^ == 1 (А. И. Мартикайнен [93] и Розальский
[390]).
4. Пусть V(x) = P(Xi < х), G(x) - Р(|Х,| > s),
£(*)== я"2 J yW(jf)
|j/|<ac
и пусть числовая последовательность {ап} удовлетворяет условиям
P(Sn ^ ап) ^ е и Р(5П ^ ап) ^ 8 для некоторого е > 0. Для
существования неубывающей числовой последовательности {рп}
такой, что
0 < lim sup —jT < оо и.н.,
необходимо и достаточно выполнения условия
Jim inf L-J L. -=: 0
X^oo G (X) + /С (Ж)
(Пруитт [382]).
5. Если E (X+\2< оо, то существует такая нормирующая
последовательность {рп}, что
lim sup g = 1 п. н
(Пруитт [382]).
6. Пусть Х\ имеет симметричное распределение, ап f оо. Пусть
для любого с >» 1 существует конечный предел lim я, n, /a. п_1у
(I) Для того чтобы lim sup Sn/an ^ 1 п. п., необходимо и
достаточно существование такой постоянной р >» 0, что
оо
SpOV]>(1'+e)V])<0° (4Л)
71—1
для любого с из итттортала 1 < с< 1 +р и для любого е >> 0.
(II) Для того чтобы, lim swpSn/an = 1 п. п., необходимо и
достаточно существование такой постоянной р > 0, что для любого
с из интервала 1 < с < 1 + р и любого 8 >» 0 выполнены условия

§ 4. ДОПОЛНЕНИЯ 273
(4.1) и
оо
2 p(V']>{1-e)Vi)^°°
(В. В. Петров [135]).
7. Пусть V(x) = P(Xi < х). Пусть {ап} — неубывающая
числовая последовательность, для которой сходится ряд ^ Р (1 Х^ I ^
^ яп), и пусть lim inf 7?n/«n > 0, где 2^ = 2nV (an) In In w. Тогда
hm sup—б = 1 п. н.,
где ап — п \ xdV (х) (Маллер [360]).
|xj<an
8. Существуют последовательность независимых случайных
величин {Хп} с одинаковым симметричным распределением и
числовая последовательность {ап} такие, что ЕХ^=оо, ап f оо и
lim sup Sn/an = 1 п. н. (Фридмен; см. Штрассен [412]).
9. Если {Хп} — последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин, то не существует неубывающей
последовательности положительных чисел {ап}, удовлетворяющей
ОО
условиям 2 ak2 ^ Cna7i2 Для всех п п
к ^п
Jim sup| Sn — mSn \/an ■= 1 п. н.
(Б. Л. Рогозин [162]).
10. Пусть ф. p. V(x) = P(Xj < х) принадлежит области
притяжения устойчивого закона с показателем осе (0, 2), а ф 1. Если
а е (1, 2), то предположим, что EZi = 0. Пусть, далее, ¥{Х{^ х) =
= o(P(Xi < —х)) при х ->■ оо. Тогда существует такая числовая
последовательность ап f оо, что lim inf £nA*n = —оо п. н.,
lim sup Sn/an = 1 п. н. для а е (1, 2) и lim sup,Sn/an е (—°°, 0] п. н.
для ccge (0, 1) (Т. Микош [105]).
11. Пусть Х\ ^ 0 п. н. и Р^^гя) = L(x), где L
(а:)—медленно меняющаяся функция. Пусть ап f оо, cn — nL(an). Если
Jim inf Cn < оо, то lim inf Sn/an = 0 п. н. Далее, lim sup SJan =
= 0 п. н. тогда и только тогда, когда сходится ряд^ Р {^х ^ anV
Если сп -> оо и сходится ряд 2 ™-lcn+i ехР {"" (1 ~" 8) сп} Для
некоторого е > 0, то Sn/an ->ооп. п. (Т. Микош [105]).
12. Пусть Ее*'*1 = е'^, где 0 < y < 2. Тогда
Hmsuprc-'/TlSnl1/1"111* = е1/? п. н.
(Човер [228]).
13. Пусть Е | Х{ |б < оо для некоторого б > 0 и EXY = 0, если
при этом б ^ 1. Положим б0 = sup{6: E|Zi|6<oo}, е = min(60, 2).
гГогда
lim sup n-Ve\Sn\l/[*n == 1 n. h.
18 в. в. Петров

274 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
Если Х[,^0 п. п., то здесь можно заменить limsupna lim (Т. Ми-
кош [1041).
И. Пусть ф. p. V(x) = P(A'i < х) принадлежит области
нормального притяжения устойчивого закона с показателем а < 2
и пусть ЕХ{ = 0, если а > 1. Тогда для любой числовой
последовательности сп -> оо и любого целого к ^ 0 имеет место
соотношение
lirasup(lnoWlnlW ... 1^/2)-^1^(^^^2^ = 1 п. н.,
где 1п0 п = п, 1щ+1 п = In (1щ п) (Т. Микош [104]).
15. Пусть EXi = 0, ЕХ2 = 1, Л/n = max I Sk I. Тогда
lim inf -,/,.,,=• = ТТ^ п. н.
T/n/ln In л У8
(Джейн и Пруитт [320]).
16. Если ЕХ2 = оо, то
[/тг/т In и
где Мп определено так же, как в п. 15 (Чаки [241]).
17. Пусть EXj == 0, ЕХ2 == 1, /(ж) —действительная функция,
г
интегрируемая по Риману на (0, 1), F (х) = \ f (t) dt для те
iC
<= (0, 1). Тогда
/1 у/2
limsnp(2^1nln^)-1/2 2/(-) Sh = 1 f^2(;r)Ja;J п. н.
В частности, полагая /(.г) = яа, где а > —1, имеем
lim sup (2п2а+3 In In л)~ 1/2 2 ^0¾ = (а + -^-] (« + 2) J п. н.
(Штрассен [411]).
18. Пусть EXi = 0, ЕХ2= 1. Тогда
п
limsimrc-3/2(2rclnlnrc)-1/2 2 |^ И3"172 п- н-.
п
lim sup rc~2 (2/г In In гс)"1 ^ sl
A--=1
(Штрассен [411]).
3-4

§ 4. ДОПОЛНЕНИЯ 275
19. Пусть ЕХ!=0, ЕА"2 = 1, О <С & ^ 1, ch = I(Sk >
> &(2Ип1п/;)1/2). Тогда
lim sup — 2 ch = j — exP | — 4 ( T2 — 1 J } n- n-
(Штрассен f411"|).
hX*
20. Пусть EX! = 0, EX\ = i, Ее * * < oo для |й] < Л0 и
некоторого h0 > 0. Пусть ф (х) — заданная на положительной
полупрямой положительная функция с непрерывной производной такая,
ф' (х) х
что х~1/2Ц)(х) не убывает, ггттт-> 1 при у -> оо и —-И, ц)(х)<хб
для всех х и некоторого б < 3/5. Тогда
~ -ф2(*) ,
Р (£т > ф (т) для некоторого т^ п\оэ \ q/ (ж) е ^х ,.—■
при п ->- оо (Штрассен [413]).
21. Пусть /(я) и <р(#)—строго возрастающие функции на
(1, оо), удовлетворяющие условиям f(x)/q2(x) f, f(x)lqp(x) \ в
области я ^ яо при некотором х0. Пусть ЕХ\ = 0, ЕХ^ = 1,
оо
л=2^т-)р(15»|>"^ф(и)).
П=1
/7(х) = "|/хф(^). Если
Е(//-»(|Х1|)/(Я-»(|Х1|)1п|Х1|)) <оо,
где Я-1 означает функцию, обратную к Я, то условие R < оо
равносильно условию
~ н2(*>
J Уж II (х)
h—n
(М. У. Гафуров [277]).
22. Пусть а2(х) и /и(#, у) определены так же, как в п. 23 § 5
оо
главы VI .Пусть б > 0, а, |3 е (R, у = min(a, {*), an f °°, 2 а&3 =
— О (тга~3). Для того чтобы
— р < lim inf ^ lim sup < а п. н.
ап ап
необходимо и достаточно выполнение условий
оо
(A) 2p(|Xil>en)<°° и
П=1
18*

276 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
(B) ряд из условия (5.5) главы VI сходится для любых е > f
и 0 < х < 1 < у.
Для того чтобы
Sn—mSn Sn — mSn
— Р = lim inf < lim sup = а п. н.,
an an
необходимо и достаточно выполнение условий (А), (В) и
(C) для любого е < у существуют такие постоянные х и //,
что 0 <я < 1 < г/ и ряд из условия (В) расходится (А. И.
Мартикайнен [96]).
23. Пусть 931 — класс таких числовых последовательностей {an},
что ап/Уп f оо и для некоторой последовательности независимых
одинаково распределенных случайных величин {Хп} справедливы
соотношения
Sn — mSn Sn — mSn
~ оо < lim inf < lim sup < оо п. и.
an an
Пусть S92— класс таких числовых последовательностей {яп}, что
сю
апЦп f оо и условие 2 ^ (\%11 ^ ап) ^ °° равносильно тому, что
последовательность независимых одинаково распределенных
случайных величин {Хп} удовлетворяет усиленному закону больших
чисел с последовательностью нормирующих постоянных {ап}. Для
того чтобы {ап} е 33i, необходимо и достаточно, чтобы
lim inf а\ (п In In п)"1 > О
и не выполнялось условие
оо
(Д) Е«^ = оК2>
Для того чтобы {ап} е 932, необходимо и достаточно
выполнение (Д). (А. И. Мартикайнен [96]). Отсюда следует, что условие
(3.10) теоремы 15 главы VI нельзя ослабить.
В пп. 24—35 мы рассматриваем последовательность
независимых не обязательно одинаково распределенных случайных
величии {Хп} и полагаем Vn(x) = Р(ХП < х). В пп. 24—32
предполагаем, что ЕХп = 0и ЕХ^ < оо для любого п е ИМ, и используем обо-
п
значение Вп = ^ ЕХ£.
fe=i
24. Существует последовательность независимых случайных
величин {Хп}, удовлетворяющая центральной предельной теореме,
но не удовлетворяющая закону повторного логарифма, т. е.
соотношению (1.3). Примером такой последовательности является
последовательность, построенная Марцинкевичем и Зигмундом [364]
для других целей.
25. Существует последовательность независимых случайных
величии {Лг?1} с математическими ожиданиями, равными нулю, и
конечными дисперсиями такая, что EX^^l,
sup | Р (Sn < х YTn) - Ф (*) | = О ((In Bn)-i),

§ 4. ДОПОЛНЕНИЯ 277
но не удовлетворяющая закону повторного логарифма (В. Л.
Егоров [351).
26. Существует последовательность независимых случайных
величин {Хп}, удовлетворяющая закону повторного логарифма и
условию Вп/п -> С, где С — положительная постоянная, по не
удовлетворяющая центральной предельной теореме (В.А.Егоров [351).
27. Пусть Вп ->- оо, и пусть существует такая
последовательность положительных постоянных {Мп}, что |ХП| ^ Мп и. н. и
Мп -= О (#*/2 (1п 1п Нп)~1/2)- Тогда существует постоянная L ^ О,
для которой
\Sn\ т
limsup— —- ттг- = L п. н.
(2BnlnlnBnf*
(В. А. Егоров [35]).
28. Пусть #п-> оо и B~1/2tnXn-+0 п. н., где tn = (2 In In ВпУ'К
Положим
Вп (х) = В"1 2 Е (Хр ( | Xfe | < х YK ^)),
Н_ — lim inf Нп (х), Н+ = lim sup Нп (х).
Тогда
#_<limsup а —<Я+ п. н.,
причем //„ и Н+ не зависят от я (Томкипс [4181).
29. Пусть \Хп\ <Zcn^Bn п. н. для «eN, где сп — постоянные.
Положим
v = lim sup сп (2 In In Вп)1/2.
Если v -< оо, то
гт СО
О < lim sup 77Г-<1+ 7 ——— п. н.
(Томкипс [4161).
30. Пусть существует случайная величина X с конечной
дисперсией такая, что
п
к=1
для всех достаточно больших п и х, и пусть lim inf Вп/п > 0.
Тогда последовательность {Хп} удовлетворяет соотттоитеттито (1.3)
(В. А. Егоров [381).
31. Пусть Вп -> °°, Hm sup /?n+i/Вп < оо и сходится ряд
^(2Вп\п\п Вп^~р^2 Е \Хп\р для некоторого /? из области 2<
</? ^ 3. Тогда имеет место соотношение (1.3) (Витман [4241).

278 ГЛ. VII. ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
:. Положим Ьп(х)= J y2dVn{y), vn = (BnHnlnBn)W
32,
ап = (2Bn\nln Вп)1/2. Пусть Вп^оо. Если
п
2 Lh (evn) = о (£п) для любого е > 0, (4.2)
то lim sup Sjcin >1 п. н. Если ess sup Xn = о(уп) п выполнено
условие (4.2), то lim sup Snlan = 1 п. и. (А. И. Мартикайиен [971).
33. Пусть {ап}, {Ьп} и {сп} — последовательности
положительных постоянных такие, что ап < cn, cn f оо и существует предел
lim bjcn = у. Положим Yn = Xn/(|Xn| < ап). Если
1 п
lim sup— У (УА-ЕГЛ) = 1 п. н.
nft=i
и
~ Г 2
2 у^» <*><-•
ТО
lim sup -7- \Ч Xfe — 1 xdVk № I = V п- н-
/t=iy |x|<cft у
(В. В. Петров [3771).
34. Пусть ап\ос, Sv/an —> 0 и Хп ^ епЯп и. н. для /г е N, где
е„ -> 0. Тогда соотношение lim sup Sn/an ^1 п. п. равносильно
условию
(A) для любого е > 0, любого с > 1 и любого целого г ^ 1
существует такая последовательность положительных чисел {hn}y
что
|, r(l + e)c»AB д Е/Л<00>
где /П) г — множество всех Ле DM, удовлетворяющих неравенствам
гл_г < Л ^ гп, гп — наибольший индекс, для которого а. ^ сп.
'•п
Соотношение lim sup Snjan = 1 п. п. равносильно выполнению
условий (Л) и
(B) для любого 8 > 0 существуют с > 1 и целое г ^ 1, для
которых
2 inr е-"-*"* П Е* *-ос
П=ГЛ>0
(А. И. Мартикайиен [91]).
П=ГЛ>0 Л^7П|Г

§ 4. ДОПОЛНЕНИЯ 279
35. Пусть выполнены условия теоремы Колмогорова
(теорема 1). Тогда
max ISkI
lim inf „у ,, ~ —7= n- H-
Увп/ыывп У 8
(А. И. Мартикайнен [981).
36. Пусть {Yn} — последовательность случайных величин (не
обязательно независимых). Пусть {ап} — последовательность
положительных чисел такая, что дп-^оо, an+i/an-+~ 1 и выполнено
следующее условие: для любого е> О имеет место неравенство an+s^
^Яп(1 — е) для всех s>l и всех достаточно больших п. Пусть,
далее, для любого х из некоторого интервала 1 < х < 1+ р
существует положительная постоянная С такая, что
/ \ С
Р max У,> ад ) < . .
для некоторой функции ф е Ч'с и всех достаточно больших и, где
Чхс — тот же класс функций, что и в § 4 главы VI. Тогда
у« ,
hm sup — < 1 п. н.
ап
(В. В. Петров [1431).
37. Пусть {Хп} — последовательность /тг-ортогональных
случайных величин (это означает, что ЕХ2п < оо для любого пеП и
EXkXj = 0 при \к — /] > т\ здесь т — целое неотрицательное
число). Пусть ЕХп = О для любого п. Положим
*n-2*;> Bn-VSl an^(2BnlnlnBnf\
3=1
Пусть Вп -> оо, EX2jBn -v О, и пусть для любого Ъ > 1
существуют такие положительные постоянные С и б, что
р ( mav С "^> hn \ <^ Г /1г» П \ —1~6
( max ^ft> ЪаЛ < С (In Бп)"
для всех достаточно больших п. Тогда
Sn
lim sup-— < 1 п. н.
ап
(В. В. Петров [144]).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Глава I
Излагаемый в § 1 способ введения основных понятий теории
вероятностей принадлежит А. Н. Колмогорову [67].
Теорема 1 представляет собой формулировку в вероятностных
терминах одного результата П. Л. Чебышева (см., например, [191,
с. 128—1311). Приведенное в § 2 доказательство этой теоремы
предложено Киттгмеиом [334]. Теорема 2 получена В. В. Петровым
[138].
Характеристические функции систематически применялись в
теории вероятностей; А. М. Ляпуновым в его работах 1900—1901 гг.
(см., например, [86]), хотя ими эпизодически пользовались и
ранее. Основные теоремы о характеристических функциях, в том
числе теоремы 5, 6, И и 12, были получены Леви [349]. Лемма 2
принадлежит Винтнеру [423], теоремы 3 и 9 — Крамеру [72],
теорема 4 — Хёфдингу [314] и Розену [391]. Приведенное в § 3
доказательство теоремы 4 сообщено автору Я. Энгером (Упсала).
Теорема 13 получена Пойа [380]. Теорема 14 представляет
собой обобщение одного результата Лаубе [344], относящегося к
случаю q = 0. Лемма 8 получена В. В. Петровым [126]. Теорема 16
принадлежит А. Я. Хинчину (см., например, [188,]).
В книгах Годуипа [278], Карлина и Стаддеиа [64] и статьях
Сэвиджа [179] и С. В. Нагаева [375] можно п^йти обзоры
неравенств чебышевского типа. Многочисленные неравенства для
абсолютных моментов случайных величин содержатся в статье Би-
сека [204]. В работе Волфи [428] имеются представления для
абсолютных моментов произвольного порядка случайной величины
в терминах производных дробного порядка соответствующей х. ф.
Характеристическим функциям посвящены книги Лукача [85],
Рамачандрапа [158] и обширные разделы книг Лоэва [84],
10. В. Линийка и И. В. Островского [82] и др.
Глава II
Систематическое исследование безгранично делимых
распределений содержится в книгах Леви [350] и А. Я. Хиичииа [188]. До
появления этих книг понятие безгранично делимого
распределения и отдельные важные результаты, связанные с ним,
встречались в работах де Финетти, затем — А. Н. Колмогорова и Леви.
Лемма 4 принадлежит Эссеену [260].
Имеются обзоры исследований свойств безгранично делимых
распределений, написанные Фишем [273] и Стойтелем [407], [409].
Глава III
§§ 1, 2. Функция концентрации Q(X; X) была введена Леви.
Оценки убывания функции концентрации суммы независимых
случайных величин при увеличении числа слагаемых впервые были

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
281
получены Лови и Дёблиным [350], [247], [2481. Впоследствии
такими оценками занимались А. Н. Колмогоров [691» [70], [339],
Б. А. Рогозин [160], [161], Эссееы [260], Кестен [328], Л. П.
Постникова и А. А. Юдин [148], А. Л. Мирошников и Б. А. Рогозин
[1061, [Ю7] и др.
Леммы 3 и 4 получены А. И. Даугаветом и В. В. Петровым
[33], [34]. Лемма 6 представляет собой модификацию одного
результата Эссеена [260], которую можно найти в статье В. В.
Петрова [1321. В работе Эссеепа [260] содержится лемма 7 и
доказательство теоремы 1, полученной Лекамом [346]. Теорема 2
найдена Дёблиным [247] и Хартманом и Винтнером [2961. Теоремы 3
и 8 и неравенства (2.9), (2.14) и (2.15) принадлежат Эссееиу [2601.
Неравенство (2.10) является обобщением неравенства А. Н.
Колмогорова, найденным Б. А. Рогозиным [161]. Теоремы 5—6 и
леммы 9—10 получены А. Л. Мирошниковым и Б. А. Рогозиным [1061,
[107]; из этих результатов следуют неравенства Колмогорова —
Рогозина и Кестена (2.22). Теоремы 9—11 доказаны В. В. Петровым
[132]. Теорема 10 обобщает некоторые результаты Чжупа и
Эрдёгаа [236], Розепа [391] и Хейди [299], С помощью
примеров, приведенных в [391], легко показать, что оценки
функции концентрации, доставляемые теоремой 10, не могут быть
улучшены.
Функциям концентрации посвящена книга Хенгартнера и
Теодореску [187].
§ 3. Теоремы 12—14 и лемма И получены В. В. Петровым [1371,
теорема 15 — Хайеком и Репьи [280]. В последней работе применен
метод, предложенный А. Н. Колмогоровым [3381 Для
доказательства его неравенства (3.17). В статье Хейди [302] содержится
обобщение неравенства Хайека — Репьи без предположений о
существовании моментов у рассматриваемых случайных величин.
§ 4. Теорема 18 приведена в книге С. Н. Бернштейна [9],
теоремы 16 и 17 — в статье В. В. Петрова [130]. Односторонние
аналоги неравенств Колмогорова и Бернштейна получены В. М.
Золотаревым [51].
§ 5. Лемма 13 принадлежит С. В. Нагаеву и Д. X. Фуку [184].
Теорема 19 впервые получена Розенталем [392], [393] (без явного
выражения для постоянной в оценке). Теорема 20 является
следствием одного неравенства Марциикевича — Зигмунда (§ 6, и. 29).
В § 5 приведено доказательство теорем 19 и 20, предложенное
С. 13. Нагаевым и И. Ф. Пинелисом [112]. Из неравенства В. В.
Сазонова [173], а также из [112] можно получить неравенство (5.3)
с постоянной с(р), имеющей меньшие значения при больших р.
Точная верхняя граница для Е|5П|* в случае симметрично
распределенных слагаемых и четного р найдена И. Ф. Пинелисом и
С. А. Утевым [147].
Неравенства для вероятностей ¥(Мп^х) и моментов EM*J,
k
, а Х1ч ..., Хп — произвольные случайные
где Мп -- max
Kh<n
3=1 I
величины, получены Биллингсли [15, § 12], Серфлингом [401],
Серфлингом и Лонгнекером [351], Морицем [372], [373], Морицем,
Серфлингом и Стаутом [374]. В большинстве результатов этих
работ отсутствующее там предположение о независимости не
заменяется предположением о каком-либо типе зависимости
рассматриваемых случайных величин,

282
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Глава IV
В эту главу входят результаты, образовавшие ядро теории
суммирования независимых случайных величии. Содержание
§§ 1—4 перекрывается книгой Б. В. Гнедеико и А. Н.
Колмогорова [28]. При проведении доказательств ряда предложений мы
следуем Лоэву [84]. Одна из основных теорем главы — теорема 1 —
принадлежит А. Я. Хипчипу [333]. Изложенные в § 2 условия
сходимости распределений сумм независимых слагаемых к
заданному безгранично делимому распределению найдены Б. В.
Гнедеико. Большинство результатов § 3 получено Леви и А. Я. Хин-
чиным. Теоремы 16 и 17 принадлежат Феллеру [266].
Достаточность в теоремах 18 и 19 была установлена С. Н. Берпштейпом и
Линдебергом соответственно, а необходимость — Феллером.
Подробная история вопроса содержится в книгах Б. В. Гнедеико и
A. Н. Колмогорова [28] и А. Я. Хинчина [1881.
Скорость сближения распределений сумм независимых
случайных величин с классом безгранично делимых распределений
исследована в работах А. Н. Колмогорова [69], [70], Ю. В.
Прохорова [155], И. П. Цареградского [190J, Л. Д. Мешалкипа [103], Ле-
кама [346], И. А. Ибрагимова и Э. Л. Пресмана [63], Т. В. Арака
[5], [6], [46], А. Ю. Зайцева [44], [45], [46]. Обзор исследований
в этой области и новые результаты можно найти в монографии
Т. В. Арака и А. Ю. Зайцева [7].
Теория суммирования независимых случайных величин
без предположения о бесконечной малости слагаемых развита
в работах В. М. Золотарева [54], [433], 10. Ю. Мачиса [102],
B. М. Круглова [76], В. И. Ротаря [170], [171], [172], Бергст-
рёма [209].
Аналитическим свойствам устойчивых распределений
посвящены книга В. М. Золотарева [58] и одна из глав книги И. А.
Ибрагимова и Ю. В. Линийка [62]. Аналитические свойства
распределений класса L изучались В. М. Золотаревым [50] и Волфи [426].
A. А. Зингером [47], [48] найдена характеризация класса
распределений, предельных для распределений нормированных сумм
независимых случайных величин, среди распределений которых
имеется не более г различных распределений или типов
распределений.
B. М. Круглов [75] получил характеризацию класса
распределений, предельных для распределений нормированных сумм Z =
1 "А
— — ^ Xj~ &мгД° {Хп} —последовательность независимых оди-
к -~
3=1
паково распределенных случайных величин, а строго
возрастающая последовательность целых положительных чисел {пк} удовлет-
воряет условию lim —-— = г, 1 ^ г < оо.
Цикл работ Россберга, Йесиака и Зигеля (см., например, [394],
[395], [396]) связан с отысканием условий, при которых слабая
сходимость распределений сумм независимых случайных величин
на всей действительной прямой вытекает из сходимости этих
распределений на существенно более бедных подмножествах
действительной прямой.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
283
В книгах Араухо и Жине [197] и В. М. Круглова [80] можно
найти условия сходимости распределений сумм независимых
случайных величин со значениями в банаховом пространстве к
предельному (в частности, нормальному) распределению.
Глава V
Вполне естественной представляется точка зрения, согласно
которой всякая предельная теорема должна сопровождаться
оценкой скорости сходимости. Впервые оценки скорости сходимости
были получены в центральной предельной теореме для сумм
независимых случайных величин А. М. Ляпуновым [86].
Теорема 1 представляет собой обобщение теоремы 2,
принадлежащей Эссеену [256]. В частном случае, когда F(x) и G(x)
являются функциями распределения, результат, близкий к теореме 1,
был получен А. С. Файнлейбом [182]. Неравенства типа
неравенства (1.1) часто называют неравенствами сглаживания. Другие
неравенства сглаживания содержатся в работах В. М. Золотарева
[52], [432], В. И. Паулаускаса [123], А. Бикялиса [13], В. В.
Сазонова [399], Бхаттачария и Ранга Рао [21].
Теорема 3 принадлежит Эссеену [256]. Теорема 4 получена
одновременно Берри [211] и Эссееном [255]. Другие доказательства
неравенства Берри — Эссеена можно найти в работах Н. Г. Гам-
крелидзе [24], В. В. Сазонова [399], Су-Тоиг Хо и Чэня [313].
Теорема 5 представляет собой обобщение одного результата
Каца [324], найденное В. В. Петровым [128]; в [324] был
рассмотрен случай одинаково распределенных слагаемых. Оценка (3.5)
была получена А. М. Ляпуновым [86] без утверждения о том, что
фигурирующая в ней постоянная является абсолютной. Теорема 7
с помощью иного метода доказана Л. В. Осиповым [115], теорема
8 получена Л. В. Осиповым и В. В. Петровым [120] при
дополнительном предположении о независимости рассматриваемых
случайных величин, которое оказалось излишним. Хейди [306]
обнаружил оптимальное асимптотическое поведение оценки,
доставляемой теоремой 8 (см. § 8, п. 18). Уточнение теоремы 8 получено
Лесли [348]. Результаты, близкие к теореме 8, были доказаны
позднее Феллером [270].
Вычислением абсолютных постоянных в неравенствах Эссеена
и Берри — Эссеена занимались Берри [211],, Эссеен [256], Бергстрём
[206], В. М. Золотарев [53] и другие. Ban Бик [203] показал, что
оба неравенства справедливы при А = 0,7975. Следуя методике,
предложенной В. М. Золотаревым и усовершенствованной ван Би-
ком, и существенно используя вычисления на ЭВМ, И. С. Шигатюв
[193] получил для неравенств (2.3) и (2.4) значения А = 0,7915 и
А = 0,7655 соответственно.
Теоремы 9 и 10 принадлежат Л. В. Осипову [117]. В работе
[118] им же получены смыкающиеся верхние и нижние оценки
остаточного члена в асимптотическом разложении в центральной
предельной теореме. Результаты и методы Л. В. Осипова были в
дальнейшем использованы и развиты Л. В. Розовским [164], [166],
Холлом [283], [288], Хейди и Наката [310].
Теорема И принадлежит С. Ф. Колодяжному [71],
теорема 13 —Эссеену [256], теоремы 14 и 15 — Л. В. Осипову [116],
теорема 16 — С. В. Нагаеву [110]. Михель [368] показал, что
неравенство из теоремы 16 имеет место при A = А0 -f- 8(1 -f- е), где

284
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Л о — абсолютная постоянная в неравенстве Берри — Оссеена.
Обобщения теоремы 16 на случай неодинаково распределенных
слагаемых найдены А. Бикялисом [И] и В. В. Петровым [142].
Асимптотические разложения рассмотренного в § б типа были
введены II. Л. Небытовым и позднее изучались Эджвортом,
Крамером, Эссееном и другими авторами (см., например, [28], [72],
[238], [255]). Формулы (0.9) и (6.12) для членов этих разложений
получены В. В. Петровым [127].
Теоремы 17—19 и лемма 3 принадлежат Л. В. Осипову [116],
[119], теоремы 20 и 21 — Эссеену [256].
Асимптотическим разложениям в центральной предельной
теореме уделено много места в монографиях Б. В. Гнеденко и
A. Н. Колмогорова [28], И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [62],
B. В. Петрова [133]. Много более новых результатов об оценках
скорости распределений сумм независимых случайных величии
к нормальному распределению, включающих асимптотические
разложения, содержится в книге Холла [288]. Во всех
перечисленных книгах наряду с интегральными предельными теоремами,
относящимися к функциям распределения сумм независимых
слагаемых, рассмотрены также и локальные предельные теоремы (для
плотностей распределения сумм и для решетчатых распределений).
В [28] и [62] исследованы оценки в предельных теоремах для сумм
независимых одинаково распределенных случайных величин, в
[133] и [288] изучен также случай неодинаково распределенных
слагаемых.
Книги Бхаттачария и Ранга Рао [21] и В. В. Сазонова [399]
посвящены оценкам в центральной предельной теореме для сумм
независимых случайных величин, принимающих значения в
конечномерном евклидовом пространстве или гильбертовом
пространстве. В отличие от [21], где используется метод
характеристических функций, изложение в [399] основано преимущественно па
методе композиции, разработанном Бергстрёмом, В. В. Сазоновым
и другими.
Наряду с оценками в центральной предельной теореме
большое внимание в литературе было уделено оценкам в предельных
теоремах для сумм независимых случайных величин в случае,
когда предельное распределение отлично от нормального. Для
схемы последовательности серий независимых в каждой серии
случайных величин оценки скорости сходимости к безгранично
делимым распределениям получены Буниясомбутом и Шапиро [220]
и Хериом [298]. Для последовательности независимых одинаково
распределенных случайных величин быстрота сходимости
нормированных сумм к предельному устойчивому закону исследована
Бергстрёмом [208], В. М. Золотаревым [49], Крамером [239], [240],
А. А. Миталаускасом [108], [109], В. А. Статулявичусом [109],
[178], В. И. Паулаускасом [125], В. А. Егоровым [42], Кристофом
[73], [233], Бутцером и Ханом [223], Холлом [284], [286] и другими.
Глава VI
Необходимые и достаточные условия применимости слабого
закона больших чисел были получены А. Н. Колмогоровым [336] для
специальной последовательности нормирующих постоянных ап = п
и Феллером [267] для произвольной последовательности ап\ в этих
работах рассматривалась схема последовательности независимых

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
285
случайных величин. Общие теоремы для схемы
последовательности серий получены Б. В. Гнеденко и содержатся в книге Б. В. Гне-
денко и А. Н. Колмогорова [28]. Теорема 7 доказана А. Я. Хин-
чиным [332].
Приведенная в § 2 формулировка второй части леммы Боре-
ля — Кантелли принадлежит Эрдёшу и Реньи [252]; в этой же
работе содержится лемма 5 с заменой в условии (2.1) знака ^
знаком = . При доказательстве этих лемм мы следуем книге
Репьи [385].
Теорема 8 принадлежит А. Н. Колмогорову [67]. Теорема 9
представляет собой обобщение одного результата Чжуна [234].
А. Н. Колмогоров [338], [67] получил теорему 13 для случая
ап = п ш теорему 17 для последовательности независимых
случайных величин. Лемма И доказана Хейди [303], теоремы 15 и 16 —
А. И. Мартикайненом и В. В. Петровым [100]. Приводимое в § 3
доказательство теоремы 17 предложено Этемади [263].
Теорема 18 получена А. И. Мартикайненом [92]; она
представляет собой обобщение (на случай не обязательно монотонной
последовательности нормирующих постоянных) результатов
А. И. Мартикайнена и В. В. Петрова [99] и Н. А. Володина и
С. В. Нагаева [23]. Необходимые и достаточные условия
применимости усиленного закона больших чисел с немонотонной
последовательностью нормирующих постоянных получены также В. В. Бул-
дыгиным [19].
Теоремы 19—25 доказаны В. В. Петровым [131]. Обобщения
этих теорем содержатся в статье В. А. Егорова [39].
В ряде работ были исследованы условия сходимости почти
п
наверное взвешенных сумм вида—- Л^ whXk,r%e {Хп} — после-
довательность независимых одинаково распределенных случайных
величин, {wn} — последовательность положительных постоянных,
п
Wп = У\ wh, а также оценки скорости сходимости в законах боль-
k=i
ших чисел для этих взвешенных сумм (Джемисоп, Ори и Пруитт
[321], Хейди [303], Чоу и Лай [229], Стаут [410], Райт, Платт и
Робортсон [430], И. В. Хрущева [189], Этемади [265] и др.).
О. И. Клесов [65], [66] исследовал скорость сходимости к
нулю почти наверное остатка ряда из независимых случайных
величин.
Законам больших чисел для последовательностей
независимых случайных величин уделено много места в книгах Ревеса
[386], Стаута [410], Чёргё и Ревеса [242].
Глава VII
Первые теоремы о законе повторного логарифма появились в
связи с исследованиями в области теории чисел. А. Я. Хинчин
[331] показал, что закону повторного логарифма удовлетворяет
последовательность независимых случайных величин, имеющих
одинаковое распределение с двумя значениями. Сведения о ранних
исследованиях в области закона повторного логарифма
содержатся в статье Феллера [268].

286
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
Теорема 1 принадлежит А. Н. Колмогорову [337]. Марцинке-
вич и Зигмунд [364] построили последовательность независимых
случайных величин, имеющих неодинаковые симметричные
распределения с двумя значениями, для которой Z?n->-oo, Хп—
= <9((/Уп/1п{п£п)1/2), но limsup1S'n/(2^nlnln5n)1/2< 1 п. н. В
работах Уэйсс [422] и В. А. Егорова [40] построены
последовательности независимых случайных величин, для которых имеют
место первые два из этих соотношений и lim sup Sn/(2Bn In In #n)1/2 >
> 1 п. н.
Теоремы 2 и 3 получены В. В. Петровым [129]. В. А. Егоров
[35] показал, что в условиях теоремы 2 нельзя заменить
положительное число <8 нулем. В работах В. А. Егорова [36], [37]
получены достаточные для закона повторного логарифма условия
типа условия Лиидеберга.
Теорема 4 представляет собой принадлежащую Штрассену
[411] формулировку теоремы Хартмана — Винтнера [295]. В [295]
получены достаточные условия применимости закона повторного
логарифма к последовательности неодинаково распределенных
независимых случайных величин, которые в частном случае
одинаковых распределений сводятся к условию конечности дисперсии
Другие доказательства теоремы Хартмана — Винтнера были
найдены Штрассеном [411], Хейди [305], Чёргё и Ревесом [242] и де
Акоста [196]. Приведенные в §§ 2 и 3 доказательства теорем 4—6
предложены А. И. Мартикайненом.
Теоремы 5 и 6 получены (более сложным методом) А. И.
Мартикайненом и В. В. Петровым [99], лемма 5 — Баумом, Кацем и
Стрэттоном [201]. Результаты, аналогичные теоремам 5 и 6, были
впоследствии установлены Томкипсом [417] в несколько иных
терминах. А. И. Мартикайнеп [90] доказал обобщения этих теорем
на случай не обязательно монотонной последовательности
нормирующих постоянных. В указанных работах отсутствуют
какие-либо предположения о существовании моментов рассматриваемых
случайных величии.
Необходимые и достаточные условия применимости закона
повторного логарифма к последовательности независимых случайных
величии без предположений о существовании моментов найдены
A. И. Мартикайненом [91], достаточные условия — Классом и
Томкипсом [335], эти условия выражены в терминах распределений
слагаемых, а не их сумм.
В. А. Егоров [43] изучил связь между ослабленными
вариантами закона больших чисел для квадратов случайных величин и
закона повторного логарифма для исходных величин. Критерии
для различных нормировок в законе повторного логарифма для
последовательности независимых случайных величин с конечными
дисперсиями исследованы Феллером [268] и А. В. Булинским [20].
B. М. Круглов [81] исследовал условия, при которых
последовательность независимых случайных величин, зависящих от двух
параметров, удовлетворяет закону повторного логарифма
равномерно относительно параметров.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. А м о с о в а Н. Н. О скорости сходимости в одностороннем
законе больших чисел/Литов. мат. сб.— 1976.— Т. 16, № 3.—
С. 5-12.
2. Амосова Н. Н. О вероятностях односторонних уклонений
сумм независимых случайных величин //Мат. заметки.— 1978.—
Т. 24, № 1.- С. 123-131.
3. А п а и ь е в с к и й С. М. О функциях концентрации/Вести.
ЛГУ.- 1978.— № 13.- С. 7-13.
4. А и а и ь е в с к и и С. М. Обобщенные функции концентрации/
Вести. ЛГУ.-1982.—№ 19.-С. 5-11.
5. А р а к Т. В. О скорости сходимости в равномерной
предельной теореме Колмогорова/Теория вероятностей и ее
применения.- 1981.— Т. 26, № 2.— С. 225—245; № 3.- С. 449-463.
6. А р а к Т. В. Уточнение нижней оценки для скорости
сходимости в равномерной предельной теореме Колмогорова/Теория
вероятностей и ее применения.—1982.—Т. 27, № 4.—С. 767—
772.
7. А р а к Т. В., Зайцев А. Ю. Равномерные предельные
теоремы для сумм независимых случайных величин/Тр. Мат. ин-
та им. В. А. Стеклова АН СССР.— 1986.— Т. 174.
8. Б е р н ш т е и и С. Н. Несколько замечаний по поводу
предельной теоремы Ляпунова/Докл. АН СССР.—1939.—Т. 24,
№ 1.-С. 3-7.
9. Берпштейн С. Н. Теория вероятностей.— 4-е изд.— М.—
Л.: Гостехиздат, 1946.
10. Б е р н ш т е й и С. Н. Собрание сочинений, т. 4.— М.: Наука,
1964.
11. Б и к я л и с А. Оценки остаточного члена в центральной
предельной теореме/Литов. мат. сб.—1966.—Т. 6, № 3.—С. 323—
346.
12. Б и к я л и с А. О точности аппроксимации распределений сумм
независимых одинаково распределенных случайных величин
нормальным распределением/Литов. мат. сб.— 1971.— Т. 11,
№ 2.- С. 237-240.
13. Б и к я л и с А. Предельные теоремы для сумм независимых
случайных величин/Литов. мат. сб.—1972.—Т. 12, № 4.—
С. 5-14.
14. Б и к я л и с А., Я с ю н а с Г. О предельных теоремах в
метрике пространства L\ и /i/Литов. мат. сб.—1967.—Т. 7,
№ 2.-С. 195—218.
15. Б и л л и н г с л и П. Сходимость вероятностных мер.— М.:
Наука, 1977.
16. Б о н д а р к о В. М. Оценки в центральной предельной
теореме для квантилей/Теория вероятностей и математическая
статистика,— 1979.—№ 20.- С, 21—21

288 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
17. Боровков А. А. Замечания о неравенствах для сумм
независимых случайных величин/Теория вероятностей и ее
применения.—1972.—Т. 17, № 3.—С. 588—590.
18. Боровков А. А. Теория вероятностей.— М.: Наука, 1976.
19. Б у л д ы г и н В. В. Усиленный закон больших чисел и
сходимость к пулю гауссовских последовательностей/Теория
вероятностей и математическая статистика.— 1978.— № 19.— С. 33—
41.
20. Б у л и и с к и ii А. В. Замечание о нормировке в законе
повторного лога рифма/Теория вероятностей и ее применения.—
1977.—Т. 22, № 2.—С. 407—409.
21. Б х а т т а ч а р и я Р. II., Ранга Р а о Р. Аппроксимация
нормальным распределением и асимптотические разложения.— М.:
Наука, 1982.
22. Введенская Е. Р. О существовании точных верхних
последовательностей/Теория вероятностей и ее применения.—
1984.— Т. 29, № 2.— С. 385—387.
23. Володин Н. А., II а г а е в С. В. Замечание к усиленному
закону больших чисел /Теория вероятностей и ее
применения.—1977.—Т. 22, № 4.—С. 829—831.
24. Г а м к р е л и д з е Н. Г. Об одном методе доказательства
центральной предельной теоремы/Теория вероятностей и ее
применения.— 1980.—Т. 25, № 3.—С. 610—625.
25. Гамкрелидзе П. Г. О «сглаживании» вероятностен при
сложении независимых целочисленных вели чин/Теория
вероятностей и ее применения.—1981.—Т. 26, № 4.—С. 835—841.
26. Галош кип В. Ф. Сходимость и предельные теоремы для
подпоследовательностей случайных величин/Теория
вероятностей и ее применения.—1972.—Т. 17, № 3.—С. 401—423.
27. Г и е д е и к о Б. В. Курс теории вероятностей.— 4-е изд.— М.:
Наука, 1965.
28. Г н е д е п к о Б. В., К о л м о г о р о в А. Н. Предельные
распределения для сумм независимых случайных величин.— М.—
Л.: Гостехиздат, 1949.
29. Градштейп И. С, Р ы ж и к И. М. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений.— 4-е изд.— М.: Физматгиз, 1963.
30. Гурса Э. Курс математического анализа, т. 1, ч. 1.— М.— Л.:
Гостехиздат, 1933.
31. Даугаве т А. И. Об асимптотических разложениях
некоторых числовых характеристик сумм независимых случайных
величин/Вести. ЛГУ.—1980.—№ 1.—С. 16—22.
32. Д а у г а в е т А. И. О скорости сходимости некоторых
числовых характеристик распределений в центральной предельной
теореме/Вести. ЛГУ.—1980.—№ 13.—С. 12—18.
33. Д а у г а в е т А. И., Петров В. В. Обобщение неравенства
Эссееиа для функции концентрации/Зап. науч. семинаров
ЛОМИ О-- 1985.- Т. 142.— С. 55-58.
34. Даугавет А. И., Петров В. В. Об оценке функции
концентрации/Кольца и модули. Предельные теоремы теории
вероятностей.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1986.- С. 164-169.
35. Е г о р о в В. А. О законе повторного логарифма/Теория
вероятностей и ее применения.— 1969.— Т. 14, № 4.—С. 722—729.
*) ЛОМИ — Ленинградское отделение Математического
института им. В. А. Стеклова АН СССР.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
289
36. Егоров В. А. Об усиленном законе больших чисел и законе
повторного логарифма для последовательности независимых
случайных величии/Теория вероятностей и ее применения.—
1970.—Т. 15, № 3.—С. 520—527.
37. Егоров В. А. Некоторые достаточные условия для закона
повторного логарифма/Теория вероятностей и
математическая статистика.— 1970.— N 3.— С. 62—68.
38. Е г о р о в В. А. Обобщение теоремы Хартмаиа — Винтпера о
законе повторного логарифма/Вести. ЛГУ.— 1971.—№ 7.—
С. 22—28.
39. Егор о в В. А. Несколько теорем об усиленном законе
больших чисел и законе повторного логарифма/Теория
вероятностей и ее применения.— 1972.— Т. 17, № 1.— С. 84—
98.
40. Егоров В. А. К теореме Колмогорова о законе повторного
логарифма/Вести. ЛГУ.—1972.—№ 13.—С. 140—142.
41. Е г о р о в В. А. О скорости сходимости к нормальному
закону, эквивалентной существованию второго момента/Теория
вероятностей и ее применения.—1973.—Т. 18, № 1.— С. 180—
185.
42. Егоров В. А. О скорости сходимости к устойчивому
закону/Теория вероятностей и ее применения.—1980.—Т. 25,
№ 1.— С. 183—190.
43. Е г о р о в В. А. О связи между законом больших чисел для
квадратов и законом повторного логарифма/Зап. науч.
семинаров ЛОМИ.— 1982.—Т. 119.—С. 87—92.
44. Зайцев А. Ю. Некоторые свойства TV-кратных сверток
распределений/Теория вероятностей и ее применения.— 1981.—
Т. 26, № 1.— С. 152—156.
45. Зайцев А. 10. О точности аппроксимации распределений
сумм независимых случайных величин, отличных от нуля с
малой вероятностью, с помощью сопровождающих законов/
Теория вероятностей и ее применения.— 1983.— Т. 28, № 4.—
С. 625—636.
46. Зайцев А. Ю., Арак Т. В. О скорости сходимости во
второй равномерной предельной теореме Колмогорова/Теория
вероятностей и ее применения.—1983.—Т. 28, № 2.—С. 333—
353.
47. 3 и п г е р А. А. Об одном классе пределытых распределений
для нормированных сумм независимых случайных величин/
Теория вероятностей и ее применения.— 1965.— Т. 10, № 4.—
С. 672-692.
48. Зингер А. А. Предельные законы для нарастающих сумм
независимых случайных величин, имеющих распределения
ограниченного числа типов /Теория вероятностей и ее
применения.- 1971.— Т. 16, № 4.— С. 614—637.
49. 3 о л о т а р е в В. М. Аналог асимптотического разложения Эд-
жворта — Крамера для случая сближения с устойчивыми
законами распределения/Тр. VI Всесоюзн. совещания по теории
вероятностей и мат. статистике.— Вильнюс: Гос. изд-во полит,
и науч. лит. ЛитССР.— 1962.— С. 49—50.
50. 3 о л о т а р е в В. М. Аналитическое строение безгранично
делимых законов класса L/Литов. мат. сб.—1963.—Т. 3, № 1.—
С. 123—140.
51. Золотарев В. М. Односторонняя трактовка и уточнения
19 В. В. Петров

290
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
некоторых неравенств чебышевского типа/Литов. мат. сб.—
1965.— Т. 5, № 2.— С. 233—250.
52. 3 о л о т а р е в В. М. О близости распределений двух сумм
независимых случайных величин/Теория вероятностей и ее
применения.— 1965.— Т. 10, № 3.— С. 519—526.
53. 3 о л о т а р е в В. М. Некоторые неравенства теории
вероятностей и их применение к уточнению теоремы А. М. Ляпунова/
Докл. АН СССР.- 1967.- Т. 177, № 3.- С. 501-504.
54. 3 о л о т а р е в В. М. Обобщение теоремы Линдеберга — Фел-
лера/Теория вероятностей и ее применения.— 1967.— Т. 12,
№ 4.— С. 666—677.
55. 3 о л о т а р е в В. М. Оценка различия распределений в
метрике Леви/Тр. Мат. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР —
1971.—Т. 112.—С. 224—231.
56. 3 о л о т а р е в В. М. О свойствах и связях некоторых типов
метрик/Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1979 —Т. 87.—С. 18—
35.
57. Золотарев В. М. Вероятностные метрики/Теория
вероятностей и ее применения.— 1983.— Т. 28, № 2.— С. 264—
287.
58. Золотарев В. М. Одномерные устойчивые распределения.—
М.: Наука, 1983.
59. Ибрагимов И. А. О точности аппроксимации функций
распределения сумм независимых величин нормальным
распределением/Теория вероятностей и ее применения.—1966.-—
Т.. И, №4.—С. 632—655.
60. Ибрагимов И. А. Об асимптотических разложениях Чебы-
шева — Крамера/Теория вероятностей и ее применения.—
1967.—Т. 12, № 3.—С. 506-519.
61. И б р а г и м о в И. А. Об определении безгранично делимой
функции распределения по ее значениям на
полупрямой/Теория вероятностей и ее применения.—1977.— Т. 22, № 2.—
С. 393—399.
62. И б р а г и м о в И. А., Л и н н и к Ю. В. Независимые и
стационарно связанные величины.— М.: Наука, 1965.
63. И б р а г и м о в И. А., Пресман Э. Л. О скорости
сближения распределений сумм независимых случайных величин с
сопровождающими законами/Теория вероятностей и ее
применения.— 1973.— Т. 18, № 4.— С. 753—765.
64. К а р л и н С, С т а д д е н В. Чебышевские системы и их
применение в анализе и статистике.— М.: Наука, 1976.
65. К л е с о в О. И. О скорости сходимости рядов независимых
случайных величин/Укр. мат. журн.— 1983.— Т. 35, № 3.—
С. 309—314.
66. К л е с о в О. И. Скорость сходимости некоторых случайных
рядов/Теория вероятностей и математическая статистика.—
1984.—№ 30.—С. 81—92.
67. К о л м о г о р о в А. Н. Основные понятия теории
вероятностей.— М.— Л.: ОНТИ, 1936; М.: Наука, 1974.
68. Колмогоров А. Н. Некоторые работы последних лет в
области предельных теорем теории вероятностей/Вестн. МГУ.—
1953.— № 10.— С. 29—38.
69. К о л м о г о р о в А. Н. Две равномерные предельные теоремы
для сумм независимых слагаемых/Теория вероятностей и ее
применения.— 1956.— Т. 1, № 4.— С. 426—436.
70. К о л м о г о р о в А. Н. О приближении распределений сумм

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
291
независимых слагаемых неограниченно делимыми
распределениями/Тр. Москов. мат. общ.— 1963.— Т. 12.— С. 437—
451.
71. К о л о д я ж н ы й С. Ф. Обобщение одной теоремы Эссеена/
Вестн. ЛГУ.— 1968.— № 13.— С. 28—33.
72. К р а м е р Г. Случайные величины и распределения
вероятностей.— М.: Гос. изд-во иностр. лит., 1947.
73. К р и с т о ф Г. Асимптотические разложения в случае
устойчивого предельного закона, I, И/Литов. мат. сб.— 1981.— Т. 21,
№ 2.— С. 87—100; 1982.— Т. 22, № 2.— С. 69—79.
74. К р у г л о в В. М. Замечание к теории безгранично делимых
законов/Теория вероятностей и ее применения.—1970.— Т. 15,
№ 2.— С. 330—336.
75. К р у г л о в В. М. Об одном расширении класса
устойчивых распределений/Теория вероятностей и ее применения.—
1972.— Т. 17, № 4.— С. 723—732.
76. К р у г л о в В.. М. Предельные теоремы для сумм
независимых случайных величин со значениями в гильбертовом
пространстве/Теория вероятностей и ее применения.— 1972 —Т. 17,
№ 2.— С. 209—227.
77. К р у г л о в В. М. Поведение сумм независимых случайных
величин/Теория вероятностей и ее применения.— 1974.— Т. 19,
№ 2.— С. 387—392.
78. К р у г л о в В. М. О безгранично делимых распределениях в
гильбертовом пространстве/Мат. заметки.—1974.—Т. 16,
№ 4.— С. 585—594.
79. Круг лов В. М. Глобальные предельные теоремы /Зап.
науч. семинаров ЛОМИ.— 1976 — Т. 61.— С. 84—101.
80. К р у г л о в В. М. Дополнительные главы теории
вероятностей.— М.: Высшая школа, 1984.
81. К р у г л о в В. М. Параметрический закон повторного
логарифма/Теория вероятностей и ее применения.—1987.—Т. 32.
№ 1.
82. Л и н н и к Ю. В., Островский И. В. Разложения
случайных величин и векторов.— М.: Наука, 1972.
83. Л и ф ш и ц Б. А. О точности аппроксимации в центральной
предельной теореме/Теория вероятностей и ее применения.—
1976.—Т. 21, № 1.- С. 107-122.
84. Л о э в М. Теория вероятностей.— М.: ИЛ, 1962.
85. Лукач Э. Характеристические функции.—М.: Наука, 1979.
86. Ляпунов А. М. Собрание сочинений. Т. 1.—М.: Изд-во АН
СССР, 1954.
87. Манставичюс Э. Неравенства для момента порядка /?,
0 < р < 2, суммы независимых случайных величин/Литов.
мат. сб.— 1982.— Т. 22, № 1.— С. 112-116.
88. Мартикайнен А. И. Об усиленном законе больших чисел
для управляемых сумм/Вестн. ЛГУ.—1977.—№ 1.—С. 56—65.
89. М а р т и к а й н е н А. И. Порядок роста управляемых сумм/
Вестн. ЛГУ.— 1977.— № 7.— С. 57—62.
90. М а р т и к а й н е н А. И. Три теоремы о верхнем пределе сумм
независимых случайных величин/Вестн. ЛГУ.—1979.—№ 1.—
С. 45—51.
91. Мартикайнен А. И. Экспоненциальный критерий для
закона повторного логарифма/Зап. научн. семинаров ЛОМИ.—
1979.— Т. 85 — С. 158—168.
92. Мартикайнен А. И. О необходимых и достаточных усло-
19*

292 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
виях для усиленного закона больших чисел/Теория
вероятностей и ее применения.— 1979.— Т. 24, № 4.— С. 814—821.
93. Мартикайнен А. И. Обращение закона повторного
логарифма для случайного блуждания/Теория вероятностей и ее
применения.—1980.—Т. 25, № 2.—С. 364—366.
94. Мартикайнен А. И. Критерий сильной относительной
устойчивости случайного блуждания па прямой/Мат. заметки.—
1980.— Т. 28, № 4.- С. 619—622.
95. М а р т и к а й йен А. И. Односторонние варианты сильных
предельных теорем/Теория вероятностей и ее применения.—
1983.—Т. 28, № 1.—С. 45—61.
96. Мартикайнен А. И. Критерии сильной сходимости
нормированных сумм независимых случайных величин и их
приложения/Теория вероятностей и ее применения.— 1984.—
Т. 29, № 3.— С. 502—516.
97. М а р т и к а й и е и А. И. Об одностороннем законе повторного
логарифма/Теория вероятностей и ее применения.—1985.—
Т. 30, № 4.— С. 694—705.
98. Мартикайнен А. И. О законе Чжуна для разнораспреде-
ленных независимых слагаемых/Теория вероятностей и ее
применения.—1986.—Т. 31, № 3.—С. 566—568.
99. М а р т и к а и п е н А. И., Петров В. В. О необходимых и
достаточных условиях для закона повторного логарифма
/Теория вероятностей и ее применения.—1977.— Т. 22, № 1.—
С. 18—26; № 2.— С. 442.
100. Мартикайнен А. И., Петров В. В. Об одной теореме
Феллера/Теория вероятностей и ее применения.— 1980.—Т. 25,
№ 1.—С. 194—197.
101. М а ц к я в и ч ю с В. К. О нижней оценке скорости
сходимости в центральной предельной теореме/Теория вероятностей
и ее применения.— 1983.— Т. 28, № 3.— С. 565—569.
102. М а ч и с 10. Ю. Предельные теоремы в неклассической
постановке/Теория вероятностей и ее применения.—1971.—Т. 16,
№ 1.—С. 172—180.
103. Мешалкин Л. Д. О приближении распределений сумм
неограниченно делимыми законами/Теория вероятностей и ее
применения.— 1961.— Т. 6, № 3.— С. 257—275.
104. М и к о ш Т. О законе повторного логарифма для независимых
случайных величин вне области частичного притяжения
нормального закона/Вести. ЛГУ.—1984.—№ 13.—С. 35—39.
105. Ми кош Т. Две теоремы о законе повторного логарифма при
несуществовании дисперсии/Вести. ЛГУ.—1985.—№ 1.—
С. 110—112.
106. Миро ш н и к о в А. Л., Рогозин "Б. А. Неравенства для
функции концентрации/Теория вероятностей и ее
применения.—1980.—Т. 25, № 1.—С. 178-182.
107. М и р о ш и и к о в А. Л., Рогозин Б. А. Замечания к одному
неравенству для функции концентрации суммы независимых
величии/Теория вероятностей и ее применения.— 1982.—Т. 27,
№ 4.— С. 787—789.
108. М и т а л а у с к а с А. Одна теорема о скорости сходимости к
устойчивому закопу/Литов. мат. сб.—1972.—Т. 12, № 1.—
С. 199—206.
109. Миталаускас А., Статулявичус В. Асимптотическое
разложение в случае устойчивого аппроксимирующего
закона/ Литов. мат. сб.— 1976.—Т. 16, № 4.—С. 149-165.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
293
110. Нагаев СВ. Некоторые предельные теоремы для больших
уклонений//Теория вероятностей и ее применения.— 1965.—
Т. 10, № 2.— С. 231—254.
111. Нагаев С. В. О необходимых и достаточных условиях для
усиленного закона больших чисел/Теория вероятностей и ее
применения.— 1972.— Т. 17, № 4.— С. 609-618.
112. Нагаев С. В., П и н е л и с И. Ф. Некоторые неравенства для
распределений сумм независимых случайных величин/Теория
вероятностей и ее применения.— 1977.— Т. 22, № 2.— С. 254—
263.
113. Нагаев С. В., Ротарь В. И. Об усилении оценок типа
Ляпунова/Теория вероятностей и ее применения.—1973.—Т. 18,
№ 1.-С. 109—121; 1976.-Т. 21, № 1.-С. 226.
114. Невзоров В. Б. Два тождества для сумм решетчатых
случайных величин/Теория вероятностей и ее применения.—
1987.— Т. 32, № 1.
115. Осипов Л. В. Уточнение теоремы Линдеберга/Теория
вероятностей и ее применения. — I960.— Т. 11, № 2.—С. 339—
342.
116. Осипов Л. В. Лсилггттотические разложения в центральной
предельной теореме/Вести. ЛГУ—1967.—№ 19.—С. 45—62.
117. Осипов Л. В. О точности приближения распределения
суммы независимых случайных величин к нормальному распре-
делению/Докл. АН СССР.- 1968.— Т. 178, № 5.- С. 1013-1016.
118. Осипов Л. В. Об асимптотических разложениях для
распределений сумм независимых случайных величин/Теория
вероятностей и ее применения.—1971.—Т. 16, № 2.—С. 328—338.
119. О с и п о в Л. В. Об асимптотических разложениях функции
распределения суммы случайных величин с неравномерными
оценками остаточного члена/Вести. ЛГУ.—1972.—№ 1.—
С. 51-59.
120. Осипов Л. В., Петров В. В. Об оценке остаточного
члена в центральной предельной теореме /Теория вероятностей и
ее применения.— 1967.— Т. 12, № 2.— С. 322—329.
121. Паулаускас В. И. Об одном усилении теоремы
Ляпунова/Литов. мат. сб.— 1969.— Т. 9, № 2.— С. 323—328.
122. Паулаускас В. И. Одна теорема о скорости сходимости в
центральной предельной теореме /Литов. мат. сб.—1971.—
Т. И, № 1.— G. 173—179.
123. Паулаускас В. И. О неравенстве сглаживания/Литов.
мат. сб.— 1971.— Т. И, № 4.— С. 861-866.
124. Паулаускас В. И. Оценка скорости сходимости в
центральной предельной теореме для разнораспределенных слага-
емых/Литов. мат. сб.— 1972.—Т. 12, № 4.—С. 183—194.
125. Паулаускас В. И. Оценка остаточного члена в
предельной теореме для случая устойчивого предельного
закона/Литов. мат. сб.— 1974.— Т. 14, № 1 — С. 165-188.
126. Петров В. В. О центральной предельной теореме для 7?г-за-
висимых величии/Тр. Всесоюз. совещания по теории
вероятностей и матем. статистике.— Ереван: Изд-во АН АрмССР.
1960.-С. 38-44.
127. Петров В. В. О некоторых полиномах, встречающихся в
теории вероятностей/Вести. ЛГУ.—1962.—№ 19.—С. 150—153.
128. Петров В. В. Одна оценка отклонения распределения
суммы независимых случайных величин от нормального закона/
Докл. АН СССР.- 1965.- Т. 160, № 5.- С. 1013-1015.

294
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
129. Петров В.В. О связи между оценкой остаточного члена
в центральной предельной теореме и законом повторного
логарифма/Теория вероятностей и ее применения.—1966.—Т. 11,
№ 3.- С. 514—518.
130. Петров В. В. Обобщение и уточнение неравенств Бернштей-
на/Вестн. ЛГУ.—1967.—№ 19.—С. 63—68.
131. Петров В. В. Об усиленном законе больших чисел/Теория
вероятностей и ее применения.— 1969.— Т. 14, № 2.— С. 193—
202.
132. Петров В. В. Об оценке функции концентрации суммы
независимых случайных величин /Теория вероятностей и ее
применения.— 1970.— Т. 15, № 4 — С. 718—721.
133. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин.—М.:
Наука, 1972.
134. П е т р о в В. В. О порядке роста сумм зависимых случайных
величин/Теория вероятностей и ее применения.—1973.—Т. 18,
№ 2.- С. 358-361.
135. Петров В. В. Некоторые теоремы типа закона повторного
логарифма/Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1974.—Т. 41.—
С. 129-132.
136. Петров В. В. Односторонний усиленный закон больших
чисел для управляемых сумм/Вестн. ЛГУ.— 1974.— №7.—«
С. 55-59.
137. Петров В. В. Обобщение одного неравенства Леви/Теория
вероятностей и ее применения.— 1975.— Т. 20, № 1.— С. 140—
144.
138. Петров В. В. Одно неравенство для моментов случайной
величины/Теория вероятностей и ее применения.—1975.—Т. 20,
№ 2.- С. 402-403.
139. Петров В. В. Об усиленном законе больших чисел для
последовательности ортогональных случайных величин/Вестн.
ЛГУ.- 1975.- № 7.- С. 52-57.
140. Петров В. В. О нижнем пределе модуля сумм
независимых случайных величин/Вестн. ЛГУ.—1978.—№ 7.—С. 49—
54.
141. Петров В. В. Замечание о нижнем пределе модуля сумм
независимых случайных величин/Литов. мат. сб.— 1978.—•
Т. 18, № 4.—С. 115—119.
142. Петров В. В. Одна предельная теорема для сумм
независимых неодинаково распределенных случайных величин/Зап.
науч. семинаров ЛОМИ.— 1979.— Т. 85.— С. 188—192.
143. Петров В. В. О законе повторного логарифма для
последовательностей зависимых случайных величин/Зап. научн.
семинаров ЛОМИ.—1980.—Т. 97.—С. 186—194.
144. Петров В. В. Последовательности m-ортогональных случай-,
ных величин/Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1982.—Т. 119.—
С. 198-202.
145. Петров В. В. Некоторые неравенства для моментов/Изв. АН
УзССР. Физ.-мат. н.— 1982 — № 5.— С. 31—34.
146. Петров В. В., Широкова И. В. Об экспоненциальной
скорости сходимости в законе больших чисел/Вестн. ЛГУ.—
1973.- № 7.- С. 155-157.
147. П и н е л и с И. Ф., У т е в С. А. Оценки моментов сумм
независимых случайных величин/Теория вероятностей и ее
применения.— 1984.— Т. 29, № 3.— С. 554—557.
148. Постникова Л. П., Юдин А. А. Усиленная форма не-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
295
равенства для функции концентрации/Теория вероятностей
и ее применения.— 1978 — Т. 23, № 2.— С. 376—379.
149. Прохоров Ю. В. Об усиленном законе больших чисел/Изв.
АН СССР. Мат.— 1950.— Т. 14, № 6.— С. 523-536.
150. Прохоров Ю. В. О суммах одинаково распределенных
случайных величин/Докл. АН СССР.—1955.—Т. 105, № 4.—
С. 645-647.
151. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и
предельные теоремы теории вероятностей/Теория вероятностей
и ее применения.— 1956.— Т. 1, № 2.— С. 177—238.
152. Прохоров Ю. В. Усиленная устойчивость сумм и
неограниченно делимые распределения/Теория вероятностей и ее
применения.— 1958 — Т. 3, № 2.— С. 153—165.
153. Прохоров Ю. В. Одна экстремальная задача теории
вероятностей/Теория вероятностей и ее применения.— 1959.— Т. 4,
№ 2.-С. 211-214.
154. Прохоров Ю. В. Несколько замечаний к усиленному
закону больших чисел/Теория вероятностей и ее применения.—
1959.- Т. 4, № 2.— С. 215-220.
155. Прохоров Ю. В. О равномерной предельной теореме
Колмогорова/Теория вероятностей и ее применения.— 1960.—■
Т. 5, № 1.-С. 103-113.
156. Прохоров Ю. В. Экстремальные задачи в предельных
теоремах/Тр. VI Всесоюз. совещания по теории вероятностей и
матем. статистике.— Вильнюс: Гос. изд-во полит, и науч. лит.
ЛитССР.— 1962.— С. 77—84.
157. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей.
Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные
процессы.— 2-е изд.— М.: Наука, 1973.
158. Рамачандран Б. Теория характеристических функций.—
М.: Наука, 1975.
159. Рогозин Б. А. Одно замечание к работе Эссеена/Теория
вероятностей и ее применения.— I960.— Т. 5, № 1.— С. 125—
127.
160. Рогозин Б. А. Об одной оценке функций концентрации/
Теория вероятностей и ее применения.-» 1961.— Т. 6, № 1.—
С. 103-105.
161. Рогозин Б. А. Об увеличении рассеивания сумм
независимых случайных величин/Теория вероятностей и ее
применения.—1961.—Т. 6, № 1.—С. 106—110.
162. Рогозин Б. А. К вопросу о существовании точных
верхних последовательностей/Теория вероятностей и ее
применения.- 1968.- Т. 13, № 4.— С. 701-706.
163. Розовский Л. В. О скорости сходимости в теореме Линде-
берга —Феллера/Вестн. ЛГУ.—1974 —№ 1.—С. 70—75.
164. Розовский Л. В. Асимптотические разложения в
центральной предельной теореме/Теория вероятностей и ее
применения.- 1975.- Т. 20, № 4.- С. 810-820.
165. Розовский Л. В. О свойствах асимптотических
разложений/Мат. заметки.—1977.—Т. 22, № 6.—С. 907—914.
166. Розовский Л. В. О нижней оценке остаточного члена в
центральной предельной теореме/Мат. заметки.— 1978.—Т. 24,
№ 3.—С. 411—418.
167. Розовский Л. В. О точности оценки остаточного члена в
центральной предельной теореме/Теория вероятностей и ее
применения.— 1978.— Т. 23, № 4.— С. 744—761.

296 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
168. Розовский Л. В. О скорости сходимости к нормальному
закону в интегральной метрике/Мат. заметки.—1980.—Т. 27,
№ 2.—С. 307—316.
169. Розовский Л. В. О соотношении скорости сходимости в
слабом и усиленном законе больших чисел/Литов. мат. сб.,—
1981.—Т. 21, № 1.—С. 155—167.
170. Ротарь В. И. К обобщению теоремы Линдеберга — Фелле-
ра//Мат. заметки.- 1975.-Т. 18, № 1.-С. 129—135.
171. Ротарь В. И. О неклассических оценках точности
аппроксимации в центральной предельной теореме/Мат. заметки.—
1978.-Т. 23, № 1.-С. 143-153.
172. Ротарь 13. И. О суммировании независимых слагаемых в
иеклассической ситуации/Успехи мат. наук.— 1982.— Т. 37,
№ 6.—С. 137-156.
173. Сазонов В. В. К оценке моментов сумм независимых
случайных величин/Теория вероятностей и ее применения.—
1974.—Т. 19, № 2.—С. 383—386.
174. С а х а и е и к о А. И. Скорость сходимости в принципе
инвариантности для разиораспределенных величин с
экспоненциальными моментами /Предельные теоремы для сумм
случайных величин. Тр. ип-та математики Сиб. отд. АН СССР.—
1984.— Т. 3.— С. 4—49.
175. С а х а [[ е 1! к о А. И. Оценки в принципе инвариантности/
Предельные теоремы теории вероятностей. Тр. ии-та
математики Сиб. отд. АН СССР.- 1985.- Т. 5.— С. 27—44.
176. Сойота Е. Правильно меняющиеся функции.— М.: Наука,
1985.
177. Скороход А. В. Случайные процессы с независимыми
приращениями.— М.: Наука, 1964.
178. Статулявичус В. А. О предельных теоремах в случае
устойчивого предельного закопа/Литов. мат. сб.—1967.— Т. 7,
№ 2.—С. 321—328.
179. Сэвидж 11. Р. Вероятностные неравенства чебышевского
типа/Математика. Сборник переводов.—1962.—Т. 6, № 4.—
С. 71-95.
180. Ульянов В. В. Неравномерная оценка скорости сходимости
в центральной предельной теореме в Л/Теория вероятностей
п ее применения.— 1976.— Т. 21, № 2.— С. 280—292.
181. Ульянов В. В. К уточнению оценок скорости сходимости
• в центральной предельной теореме/Теория вероятностей и ее
применения.— 1978.— Т. 23, № 3.— С. 684—687.
182. Ф а й и л е й б А. С. Обобщение неравенства Эссеена и его
применение в вероятностной теории чисел/Изв. АН СССР.
Мат.— 1968.—Т. 32, № 4.—С. 859—879.
183. Ф е л л е р В. Введение в теорию вероятностей и ее
приложения, т. 2.— М.: Мир, 1984.
184. Фук Д. X., Нагаев С. В. Вероятностные неравенства для
сумм независимых случайных величин/Теория вероятностей
и ее применения.—1971.—Т. 16, № 4.—С. 660—675; 1976.—
Т. 21, № 4.—С. 896.
185. Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е., Полна Г.
Неравенства.—М.: ИЛ, 1948.
186. X а т у н ц е в а М. В. Оценки в центральной предельной
теореме для квантилей /Теория вероятностей и ее применения.—
1974.— Т. 19, № 3.— С. 626—632.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
297
187. Хенгартнер В., Теодореску Р. Функции
концентрации.—М.: Наука, 1980.
188. Хинчин А. Я. Предельные законы для сумм независимых
случайных величин.— М.— Л.: ОНТИ, 1938.
189. Хрущева И. В. О скорости сходимости в законах
больших чисел для взвешенных сумм независимых одинаково
распределенных случайных величин/Теория вероятностей
и математическая статистика.— 1977.— № 17.— С. 141 —
153.
190. Цареградский И. П. О равномерном приближении
биномиального распределения неограниченно делимыми
законами/Теория вероятностей и ее применения.—1958.—Т. 3,
№ 4.- С. 470-474.
191. Ч е б ы ш е в П. Л. Полное собрание сочинений, т. 3.— М.: Изд-
во АН СССР, 1948.
192. Чибисов Д. М. Об асимптотическом разложении Чебынте-
ва — Крамера в интегральной метрике/Литов. мат. сб.—
1977.—Т. 17, № 3.—С. 87—103.
193. Ш и г а н о в И. С. Об уточнении верхней оценки константы в
остаточном члене центральной предельной
теоремы//Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды семинара.—
1982.—С. 109—115.
194. Ширяев А. Н. Вероятность.—М.: Наука, 1980.
195. Эбралидзе Ш. С. Неравенства для вероятностей больших
уклонений в терминах псевдомомеитов/Теория вероятностей
и ее применения.— 1971.—Т. 16, № 4.— С. 760—765.
196. de Acosta A. A new proof of the Hartman — Wintner law of
the iterated logarithm/Ann. Prohab —1983 —V. 11, N 2 —
P. 270-276.
197. Araujo A., Gine E. The central limit theorem for real and
Banach valued random variables.—N. Y.: Wiley, 1980.
198. von Bahr B. On the convergence of moments in the central
limit theorem//Ann. Math. Statist.™ 1965.—V. 36, N 3—P. 808—
818.
199. von Bahr В., Esseen C.-G. Inequalities for the г th
absolute moment of a sum of random variables, 1 ^ r ^ 2/Ann.
Math. Statist.— 1965.—V. 36, N 1.- P. 299—303.
200. В a u m L. E., К a t z M. Convergence rates in the law of
large numbers/Trans. Amer. Math. Soc—1965.—V. 120, N 1.—
P. 108—123.
201. Baum L. E., Katz M., Stratton II. H. Strong laws for
ruled sums//Ann. Math. Statist.—1971.—V. 42, N2.—P.-625—
629.
202. Baxter G., Shapiro J. M. On bounded infinitely divisible
random variables//Sankhya.—I960 —V. A. 22, N 3—4.—P. 253—
260.
203. van Beck P. An approximation of Fourier methods to the
problem of sharpening the Berry — Esseen inequalily/Z. Wahr-
schemlichkeilstheorie verw. Geb — 1972 — Bd. 23, N 3— S. 187—
196.
204. Beesack P. R. Inequalities for absolute moments of a
distribution: from Laplace to von Mises/J. Math. Anal. Appl.— 1984.—
V. 98, N 2.- P. 435-457.
205. Bennett G. Probability inequalities for the sum of
independent random variables/J. Amer. Statist. Assoc—1962.—V. 57,
N 297.- P. 33-45.

298
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
206. Bergstrom Н. On the central limit theorem in the case of
not equally distributed random variables/Skand. Aktuarietid-
skrift — 1949 — V. 32, N 1.- P. 37—62.
207. Bergstrom H. On asymptotic expansions of probability func-
tions/Skand. Aktuarietidskrift.—1951 —V. 34, N 1 —P. 1—33.
208. Bergstrom H. On distribution functions with a limiting
stable distribution function/Arkiv Mat— 1953 — V. 2, N 5.-
P. 463-474.
209. Bergstrom H. The limit problem for sums of independent
random variables which are not uniformly asymptotically
negligible/Trans. 6th Prague Gonf. on Information Theory,
Statistical Decisions Functions, Random Processes, Prague.—1973.—
P. 123—135.
210. Berkes LA remark to the law of the iterated logarithm/St u-
dia Sci. Math. Hungar.— 1972 — V. 7, N 1—2 — P. 189—197.
211. Berry A. G. The accuracy of the Gaussian approximation to
the sum of independent variates/Trans. Amer. Math. Soc—
1941.— V. 49, N 1.- P. 122—136.
212. Bickel P. J. A Hajek — Renyi extension of Levy's inequality
and some applications/Acta Math. Acad. Sci. Hungar.— 1970.—
V. 21, N 1—2.— P. 199—206.
213. Binmore K. G., Stratton H. H. A note on characteristic
functions/Ann. Math. Statist—1969 —V. 40, N 1 — P. 303—
307.
214. Blum J. R., Rosenblatt M. On the structure of infinitely
divisible distributions/Pacific J. Math —1959 —V. 9, N 1.-
P. 1—8.
215. Boas R. P. Lipschitz behavior and integrability of
characteristic functions/Ann. Math. Statist.— 1967 — V. 38, N 1 — P. 32—
36.
216. В о h m a n H. Approximate Fourier analysis of distribution
functions/Arkiv Mat.- 1961.- V. 4, N 2-3.- P. 99-157.
217. Book S. A. An extension of the Erdos — Renyi new law of
large numbers/Proc. Amer. Math. Soc—1975.—V. 48, N 2.-
P. 438-446.
218. Book S. A. A version of the Erdos — Renyi law of large
numbers for independent random variables/Bull. Inst. Math. Acad.
Sinica.- 1975.- V. 3, N 2.- P. 199-211.
219. Book S. A. Large deviation probabilities and the Erdos
—Renyi law of large numbers/Canad. J. Statist — 1976 —V. 4, N 2.-
P. 185-209.
220. Boonyasombut V., Shapiro J. M. The accuracy of
infinitely divisible approximation to sums of independent variables
with application to stable laws/ Ann. Math. Statist.—1970.—
V. 41, N 1.- P. 237—250.
221. Brown В. M. Characteristic functions, moments, and the
central limit theorem/Ann. Math. Statist —1970 —V. 41, N 2.-
P. 658-664.
222. Brown В. M. Formulae for absolute moments/J. Austral. Math.
Soc— 1972 — V. 13, N 1.- P. 104—106.
223. В u t z e r P. L., H a h n L. General theorems on rates of
convergence in distribution of random variables, I, II/J. Multivar.
Anal.— 1978 — V. 8, N 2.- P. 181—201, 202—221.
224. Butzer P. L., H a h n L. On the connection between the rates
of norm and weak convergence in the central limit theorem/
Math. Nachr.— 1979 — Bd. 91 — S. 245—251.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
299
225. В u t z е г P. L., Н a h n LM W е s t р h а 1 U. On the rate of
approximation in the central limit theorem/J. Approxim. Theory.—
1975.- V. 13, N 3.- P. 327—340.
226. Chatter j ее S. D. A general strong law/Inventiones Math.—
1970.- V. 9, N 3.- P. 235-245.
227. Chatterjee S. D., P a k sh ir a j an R. P. On the unboun-
dedness of infinitely divisible laws/Sankhya.—1957.—V. 17,
N 4.- P. 349-350.
228. Chover J. A law of the iterated logarithm for stable sum-
mands/Proc. Amer. Math. Soc— 1966.—V. 17, N 2— P. 441—443.
229. Chow Y. S., Lai T. L. Limiting behavior of weighted sums
of independent random variables/Ann. Probab.—1973.—V. 1,
N 5.- P. 810—824.
230. Chow Y. S., Lai T. L. Some one-sided theorems on the tail
distribution of sample sums with applications to the last time
and largest excess of boundary crossings/Trans. Amer. Math.
Soc— 1975 — V. 208.— P. 51—72.
231. Chow Y. S., L a i T. L. Paley-type inequalities and
convergence rates related to the law of large numbers and extended
renewal theory/ Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.— 1978.—
Bd. 45, N 1.- S. 1-19.
232. Chow Y. S., Bobbins H. On sums of independent random
variables with infinite moments and "fair" games/Proc. Nat.
Acad. Sci. U. S. A.— 1961.— V. 47, N 3.- P. 330—335.
233. Christoph G. t)ber notwendige und hinreichende Bedingun-
gen fur Konvergenzgeschwindigkeitsaussagen im Falle einer sta-
bilen Grenzverteilungen/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw.
Geb.—1980.-Bd. 54, N 1.-S. 29-40.
234. Chung K. L. Note on some strong laws of large numbers/
Amer. J. Math — 1947.— V. 69, N 1.- P. 189-192.
235. Chung K. L., E r d б s P. On the lower limit of sums of
independent random variables/Ann. Math.— 1947.— V. 48, N 4.—
P. 1003-1013.
236. Chung K. L., Erdos P. Probability limit theorems assuming
only the first moment/Mem. Amer. Math. Soc.—1951.—N 6.—
P. 1-19.
237. Cox D. C, Kemper man J. H. B. Sharp bounds on the
absolute moments of a sum of two i. i. d. random variables/Ann.
Probab.—1983.—V. 11, N 3.-P. 765—771.
238. Cramer H. On the composition of elementary errors/Skand.
Aktuarietidskrift—1928 —V. 11 —P. 13—74, 141—180.
239. Cramer H. On the appoximation to a stable probability
distribution/Studies in math, analysis and related topics.—
Stanford: Univ. Press, 1962 — P. 70—76.
240. Cramer H. On asymptotic expansions for sums of
independent random variables with a limiting stable distribution/San-
khya.- 1963.- V. A 25, N 1.- P. 1.3—24.
241. С s a k i E. On the lower limits of maxima and minima of
Wiener process and partial sums/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie
verw. Geb.— 1978. Bd. 43, N 3 — S. 205—221.
242. Csorgo M., Revesz P. Strong approximations in probability
and statistics.—Budapest: Akademiai Kiado, 1981.
243. Csorgo S. Erdos —Benyi laws/Ann. Statist.—1979.—V. 7,
N 4— P. 772—787.
244. С s б r g б S., T a n d о r i К., T о t i k V. On the strong law of

300
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
large numbers for pairwise independent random variables/Acta
Math. Hungar.—1983.—V. 42, N 3—4.—P. 319—330.
245. Daley D. J. Tighter bounds for the absolute third moments/
Scand. J. Statist.— 1977 — V. 4, N 4.- P. 183—184.
216. Dharm a dhikari S. W., Jogdeo K. Bounds on moments
of certain random variables/Ann. Math. Statist— 1969.- V. 40,
N 4.- P. 1506-1508.
247. Doeblin W. Sur les sommes d'un grand nombres des
variables aleatoires independantes/Bull. soc. math. France.— 1939.—
V. 53.— P. 23—32, 35—64.
248. Doeblin W., Levy P. Sur les sommes de variables
aleatoires independantes a dispersion bornees inferieurement.— C. R.
Acad. Sci. Paris.— 1936.— V. 202.— P. 2027—2029.
249. Dyson F. J. Fourier transforms of distribution functions/Ca-
nad. J. Math.- 1953.- V. 5, N 4 — P. 554-558.
250. E i s e n b e r g В., Gan Shixin. Uniform convergence of
distribution functions/Proc Amer. Math. Soc— 1983.— V. 88,
N 1.- P. 145-146.
251. Erdos P. On a theorem of Hsu and Robbins/Ann. Math.
Statist. 1949.—V. 20, N 2.-P. 286—291; 1950 — V. 21, N 1 —P. 138.
252. Erdos P., Ren у i A. On Cantor's series with convergent
^S ^-//Ann. Univ. Sci. Budapest, Sect. Math.—1959 —V. 2.-
P. 93—109.
253. E r d о s P., Renyi A. On a new law of large numbers/J.
Analyse Math.-1970.-V. 23.-P. 103—111.
254. Ё rick son К. B. The strong law of large numbers when the
mean is undefined/Trans. Amer. Math. Soc—1973.—V. 185.—
P. 371-381.
255. Esse en C.-G. On the Liapounoff limit of error in the theory
of probability/Arkiv Mat., Astr. och Fysik.—1942 —V. 28 A,
N 2.-P. 1—19.
256. E s s e e n C.-G. Fourier analysis of distribution functions. A
mathematical study of the Laplace — Gaussian law/Acta Math.—
1945.-V. 77 —P. 1-125.
257. E s s e e n C.-G. A moment inequality with an application to the
central limit theorem/Skand. Aktuarietidskrift.—1956.—V. 39,
N 3-4.- P. 160-170.
258. Esse en C.-G. On the mean central limit theorem/Trans. Roy.
Tnst. Technol. Stockholm.— 1958.— N. 121.— P. 1—31.
259. Esse en C.-G. On infinitely divisible one-sided distributions/
Math. Scand.—1965.—V. 17, N 1.-P. 65—76.
260. Esse e n C.-G. On the concentration function of a sum of
independent random variables/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw,
Gob— 1968.- Bd. 9, N 4.- P. 290-308.
261. Ess con C.-G. On the remainder term in the central limit
theorem/Arkiv Mat.— 1968 —V. 8, N 1 —P. 7—15.
262. Esse en C.-G. Bounds for the absolute third moments/Scand.
J. Statist.— 1975.— V. 2, N 3.- P. 149-152.
263. E t e m a d i N. An elementary proof of the strong law of large
numbers/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.— 1981.—
Bd. 55, N 1 — S. 119—122.
264. Etemadi N. On the laws of large numbers for nonnegative
random variables/J. Multivar. Anal.—1983.— V. 13, N 1.—
P. 187—193.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
301
265. Etemadi N. Stability of sums of weighted nonnegative
random variables/J. Multivar. Anal-1983.-V. 13, N 2.-P. 361—
365.
266. Feller W. t)ber den zentralen Grenzwertsatz der Wahrschein-
lichkeitsrechnung, I, II/Math. Z.— 1935.— Bd. 40.—S. 521-559;
Bd. 42.—S. 301—312.
267. Feller W. Ober das Gesetz der grossen Zahlen/Acta Scient.
Math., Szeged.-1937.-V. 8, N 4.-P. 191-201.
268. Feller W. The general form of the so-called law of the
iterated logarithm//Trans. Amer. Math. Soc—1943.-V. 54, N 3 —
P. 373-402.
269. Feller W. A limit theorem for random variables with
infinite moments//Amer. J. Math.—1946.—V. 68, N 2.-P. 257—262.
270. Feller W. On the Berry — Esseen theorem/Z. Wahrscheinlich-
keitstheorie verw. Geb.— 1968.- Bd. 10, N 3.-S. 261-268.
271. Feller W. An extension of the law of the iterated logarithm
to variables without variance,/,!. Math. Mech.—1968.— V. 18,
N 4.- P. 343—355.
272. Feller W. On regular variation and local limit theorems/Proc
5th Berkeley Symp. on Math. Statist, and Probab.—V. 2,
part 1.- Berkeley and Los Angeles: Univ. Calif. Press, 1967.—
P. 373-388.
273. F i s z M. Infinitely divisible distributions: recent results and
applications//Ann. Math. Statist—1962 —V. 33, N 1—P. 68—84.
274. Fisz M., Var a d a r a j a n V. S. A condition for absolute
continuity of infinitely divisible distribution function //Z. Wabrsche-
inlichkeitstheorie verw. Gob.—1963 —Bd. 1, N 4.-S. 335—339.
275. Freeh et M., S hob at J. A proof of the generalized second
limit theorem in the theory of probability/Trans. Amer. Math.
Soc— 1931.- V. 33, N 2.- P. 533—543.
276. Friedman N., Katz M., Ко op mans L. H. Convergence
rates for the central limit theorem/Proc Nat. Acad. Sci. U. S.
A.— 1966.— V. 56, N 4.- P. 1062—1065.
277. G a f u г о v M. U. On the estimate of the rate of convergence in
the law of iterated logarithm/Lect. Notes in Math.—1983.—
V. 1021.-P. 137—144.
278. Godwin H. J. Inequalities on distribution
functions.—London: Griffin, 1964.
279. Grub el R. Uber unbegrenzt teilbare Verteilungen/Arch. Math.
1983.— Bd. 41.— S. 80-88.
280. Hajek J., Renyi A. Generalization of an inequality of Kol-
mogorov/Acta Math. Acad. Sci. Hungar.—1955.—V. 6, N 3—4.—
P. 281-283.
281. Hall P. On the rate of convergence in the central limit
theorem for distributions with regularly varying tails//Z. Wahrsche-
inliclikeitstheorie verw. Geb —1979 —Bd. 49, N 1.—S. 1—11.
282. Hall P. On tbe limiting behaviour of the mode and median of
a sum of independent random variables/Ann. Probab.— 1980.—
V. 8, N 3.- P. 419-430.
283. Hall P. Characterizing the rate of convergence in the central
limit theorem// Ann. Probab.—1980.—V. 8, N 6.-P. 1037—1048.
284. Hall P. On the rate of convergence to a stable law/J.
London Math. Soc—1981 —V. 23, N 1.-P. 179—192.
285. Hall P. Order of magnitude of moments of sums of random
variables/J. London Math. Soc—1981.—V. 24, N 3.-P. 562—
568.

302
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
286. Hall P. Two-sided bounds on the rate of convergence to a
stable law/Z. Wahrscheilichkeitstheorie verw. Geb.—1981.—
Bd. 57, N 3.- S. 349-364.
287. Hall P. Bounds on the rate of convergence of moments in the
central limit theorem/Ann. Probab., 1982.— V. 10, N 4— P. 1004—
1018.
288. Hall P. Rates of convergence in the central limit theorem/
Research Notes in Math., N. 62, Boston, London and
Melbourne: Pitman Advanced Publishing Program, 1982.
289. Hall P. Two-sided bounds for nonuniform rates of convergence
in the central limit theorem/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw.
Geb.— 1983 — Bd. 65, N 1.- S. 61—72.
290. Hall P. Sets which determine the rate of convergence in the
central limit theorem/Ann. Probab.—1983.—V. 11, N 2.-
P. 355-361.
291. Hall P. Chi squared approximations to the distribution of a
sum of independent random variables/Ann. Probab.—1983.—
V. 11, N 4 —P. 1028-1036.
292. Hall P. A leading term approach to asymptotic expansions in
the central limit theorem/Proc. London Math. Soc—1984.—
V. 49, N 3 — P. 423-444.
293. Hall P., В a r b о u r A. D. Reversing the Berry — Esseen inequ-
ality/Proc. Amer. Math. Soc—1984— V. 90, N 1.- P. 107—
110.
294. Hall P., H e у d e С. С Martingale limit theory and its
applications.—N. Y.: Academic Press, 1980.
295. Hartman P., Wintner A. On the law of the iterated loga-
rithm/Amer. J. Math.— 1941 — V. 63, N 1.- P. 169—176.
296. Hartman P., WintnerA. On the infinitesimal generators
of integral convolutions/Amer. J. Math.— 1942.— V. 64, N 2.—
P. 273-298.
297. Heathcote С R., Pitman J. W. An inequality for charac^-
teristic functions /Bull. Austral. Math. Soc—1972 —V. 6, N 1.-
P. 1-9.
298. Hern T. A. Error estimates for the weak convergence to
certain infinitely divisible laws/Ann. Math. Statist.—1972.—V. 43,
N 5.- P. 1592-1602.
299. H e у d e С. С Some results on small-deviation probability
convergence rates for sums of independent random variables/Ca-
nad. J. Math.- 1966.- V. 18, N 3.- P. 656—665.
300. H e у d e С. С On the influence of moments on the rate of
convergence to the normal distribution/Z.
Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.— 1967.— Bd. 8, N 1.- S. 12—18.
301. H e у d e С. C. On the converse to the iterated logarithm law/
J. Appl. Probab.— 1968.— V. 5, N 1.- P. 210—215.
302. Heyde С. С An extension of the Hajek — Renyi inequality for
the case without moment condition/J. Appl. Probab.— 1968.—
V. 5, N 2.- P. 481-483; 1971.—V. 8, N 2.- P. 430.
303. Heyde С. С. On almost sure convergence for sums of
independent random variables/Sankhya — 1968.—V. A 30, N 4-
P. 353-358.
304. Heyde CCA note concerning behaviour of iterated logarithm
type/Proc Amer. Math. Soc—1969.—V. 23, N 1.-P. 85—90.
305. Heyde С С Some properties of metrics in a study on
convergence to normality/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.—
1969.-Bd. 11, N 3.-S. 181-192.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
303
306. Н е у d е С. С. On the uniform metric in the context of
convergence to normality/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.—
1973.— Bd. 25, N 2 — S. 83—95.
307. H e у d e С. G. A nonuniform bound on convergence to
normality/Ann. Probab.—1975 —V. 3, N 5 —P. 903-907.
308. H e у d e G. С A supplement to the strong law of large
numbers/J. Appl. Probab.—1975.—V. 12, N 1.-P. 173—175.
309. H e у d e C. C, L e s 1 i e J. R. On the influence of moments on
approximation by portion of a Ghebyshev series in the central
limit convergence //Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.—
1972.— Bd. 21, N 4.- S. 255-268.
310. H e у d e G. G, N a k a t a T. On the asymptotic equivalence of
Lp metrics for convergence to normality/Z.
Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb — 1984 — Bd. 68, N 1.- S. 97—106.
311. H e у d e G. G, R о h a t g i V. K. A pair of complementary
theorems on convergence rates in the law of large numbers/
Proc. Gamb. Phil. Soc— 1967.— V. 63, N 1 — S. 73-82.
312. Hipp G, Michel R. A characterization of Ghebyshev —
Cramer expansions/Manuscripta Math.—1976.—V. 19, N 3.—
p 275 282.
313. Ho Soo-Tong, Chen L. H. Y. An Lp bound for the
remainder in a combinatorial central limit theorem/Ann.
Probab.— 1978.— V. 6, N 2.- P. 231—249.
314. Hoeffding W. On sequences of sums of independent random
vectors/Proc. 4th Berkeley Symp. on Math. Statist, and Probab.—
Berkeley and Los Angeles: Univ. Calif. Press.— 1961.— V. 2.—
P. 213—226.
315. Hoeffding W. Probability inequalities for sums of bounded
random variables/J. Amer. Statist. Assoc— 1963.— V. 58, N 301—
P. 13-30.
316. Hsu P. L. Absolute moments and characteristic function/J.
Chinese Math. Soc— 1951— V. 1, N 3.- P. 259—280.
317. Hsu P. L. A lemma on the coefficient of reduction of a sum of
independent variates/Sci. Record, Peking.—1951—V. 4, N 3.—
P. 197—200.
318. Hsu P. L, Robbins H. Complete convergence and the law
of large numbers/Proc Nat. Acad. Sci. U. S. A —1947 —V. 33,
N 2.- P. 25—31
319. Hudson W. N., Tucker H. G. On admissible translates of
infinitely divisible distributions/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie
verw. Geb.—1975 — Bd. 32, N 1-2.-S. 65—72.
320. Jain N. G, P r u i 11 W. E. The other law of the iterated
logarithm/Ann. Probab —1975 —V. 3, N 6.- P. 1046—1049.
321 Jamison В., Orey S., PruittW. Convergence of
weighted averages of independent random variables/Z.
Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb — 1965 — Bd. 4, N 1— S. 40—44.
322. Jesiak В., Rossberg H.-J. New versions of the Lindeberg —
Feller theorem/ Теория вероятностей и ее применения.—
1981- Т. 26, № 4.— С. 858-862.
323. Katz М. The probability in the tail of a distribution/Ann.
Math. Statist.— 1963 — V. 34, N 1— P. 312—318.
324. Katz M. Note on the Berry-Esseen theorem/Ann. Math.
Statist— 1963 — V. 34, N 3 —P. 1107—1108.
325. Katz M. A note on the weak law of large numbers/Ann. Math.
Statist.- 1968.- V. 39, N 4 — P. 1348—1349.

304
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
326. К a w a t а Т. The function of mean concentration of a chance
variable//Duke Math. J.-1941.-V. 8, N 4.-P. 666-677.
327. К a w a t a T. Fourier analysis in probability theory.— New York
and London: Academic Press, 1972.
328. К e s t e n H. A sharper form of the Doeblin — Levy — Kolmogo-
rov — Rogozin inequality for concentration function/Math.
Scand.-1969.-V. 25, N 1.-P. 133-144.
329. К о s t e n H. The limit points of a normalized random walk/Ann.
Math. Statist.— 1970— V. 41, N 4.-P. 1173—1205.
330. К e s t e n H. Sums of independent random variables — without
moment conditions/Ann. Math. Statist—1972.—V. 43, N 3.-
P. 701-732.
331. Khintchine A. Ober einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrech-
nung/Fund. Math — 1924.— V. 6.- P. 9—20.
332. Khintchine A. Sur la loi des grands nombres/C. R. Acad.
Sci. Paris.— 1929.— V. 188, N 7.- P. 477—479.
333. Khintchine A. Zur Theorie der unbeschranktteilbaren Ver-
teilungsgesetze/Мат. сб.— 1937 — Т. 2, № 1.-С. 79—119.
334. Kingman J. F. G. Uses of exchangeability/Ann. Probab.—
1978 — V. 6, N 2.- P. 183—197.
335. К1 a s s M. .Т., T о m k i n s R. J. On the limiting behavior of
normed sums of independent random variables/Z. Wahrschein^
lichkeitstheorie verw. Geb — 1984.— Bd. 68, N 1.-S. 107—
120.
336. Kolmogoroff A. Ober die Summen durch den Zufall bestim-
mler unabhiingiger Gr5ssen/Math. Ann.— 1928.— Bd. 99.—
S. 309-319; 1929.- Bd. 102- S. 484-488.
337. Kolmogoroff A. Uber das Gesetz des iterierten Logarithm
mus/Math. Ann.—1929 —Bd. 101.—S. 126—135.
338. Kolmogoroff A. Sur la loi forte des grands nombres/C. R.
Acad. Sci. Paris.— 1930.— V. 191, N 20.— P. 910—912.
339. Kolmogorov A. Sur les proprietes des fonctions de
concentration de M. P. Levy/Ann. Inst. Henri Poincare — 1958.—V. 16,
N 1.— P. 27-34.
340. Ко ml 6 s J. A generalization of a problem of Steinhaus/Acta
Math. Acad. Sci. Hungar- 1967.- V. 18, N 1-2.- P. 217-229.
341. К о m 1 6 s J., MajorP., Tusnady G. An approximation of
partial sums of independent RV's, and the sample DF, I, II/
Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.—1975.-Bd. 32, N 1—
2.-S. 111-131; Bd. 34, N 1.—S. 33-58.
342. Kruglov V. M. Convergence of numeric characteristics of
sums of independent random variables and global theorems/
Lect. Notes in Math.— 1973.— V. 330.— P. 255-286.
343. К u n i s a w a K. On an analytical method in the theory of
independent random variables/Ann. Inst. Statist. Math.— 1949.—
V. 1.- P. 1-77.
344. Laube G. Weak convergence and convergence in the mean
of distribution functions/Melrika — 1973 —V. 20, N 2.-P. ЮЗ-
ЮЗ.
345. L a u e G. Characteristic functions of nonnegative random
variables: the connection between Re f and Im f/Trans. 9th
Prague Conf. on Information Theory, Statistical Decision Functions,
Random Processes — 1983 — V. В.— P. 49—56.
346. LeCam L. On the distribution of sums of independent
random variables.— Bernoulli, Bayes, Laplace (anniversary volu-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
305
me), ed. by J. Neyman and L. LeCam. Berlin — Heidelberg —
New York: Springer — Verlag, 1965.— P. 179—202.
347. Leslie J. Generalization and application of some results of
Ibragimov on convergence to normality/Ann. Probab.— 1975.—
V. 3, N 5.- P. 897-902.
348. Leslie J. R. A refinement of the Osipov — Petrov bound for
central limit convergence//Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw.
Geb.- 1976.- Bd. 35, N 3.- S. 231-235.
349. Levy P. Calcul des probabilites.— Paris: Gautier — Villars, 1925.
350. Levy P. Theorie de l'addition des variables aleatoires.—
Paris: Gautier — Villars, 1937.
351. Longnecker M., S e r f 1 i n g R. J. General moment and
probability inequalities for the maximum partial sum/Acta Math.
Acad. Sci. Hungar.- 1977 - V. 30, N 1-2.-P. 129-133.
352. L u k а с s E. Stochastic convergence.— N. Y.: Academic Press,
1975.
353. M a e j i m a M. A non-uniform estimate in the central limit
theorem for m-dependent random variables/Keio Engineering
Reports.— 1978.— V. 31, N 2 — P. 15—20.
354. Maejima M. Some Lp versions for the central limit theorem/
Ann. Probab.— 1978 — V. 6, N 2.- P. 341—344.
355. Maejima M. A note on the nonuniform rate of convergence to
normality//Yokohama Math. J — 1980 — V. 28, N 1—2.— P. 97—
106.
356. Major P. The approximation of partial sums of independent
RV's'/Z. Wahrschoinlichkeitslheorie verw. Geb —1976 —Bd. 35,
N 3.- S. 213-220.
357. Major P. Approximation of partial sums of i. i. d. r. v. s when
the summands have only two moments//Z.
Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.— 1976 — Bd. 35, N 3.- S. 221—229.
358. Major P. An improvement of Strassen's invariance
principle/Ann. Probab.— 1979.- V. 7, N 1.-P. 55-61.
359. Makabe H. A remark on the smoothness of the distribution
functionI/Yokohama Math. J —I960 —V. 8, N 1.—P. 59—68.
360. Mailer R. A. On the law of the iterated logarithm in the
infinite variance case/J. Austral. Math. Soc—1980.—V. A 30,
N 1.- P. 5—14.
361. Mailer R. A. Some properties of stochastic compactness/J.
Austral. Math. Soc— 1981.—V. A 30.— P. 264—277.
362. Marcinkiewicz J. Collected papers.— Warszawa. Panstw.
wyd. nauk., 1964.
363. Marcinkiewicz J., Zygmund A. Sur les fonction inde-
pendantes//Fund. Math.- 1937.— V. 29.- P. 60-90.
364. Marcinkiewicz J., Zygmund A. Remarque sur la loi
du logarithme itere/Fund. Math —1937 —V. 29.—P. 215—222.
365. M a г с i n k i e w i с z J., Zygmund A. Quelques theoremes
sur les fonctions independantes/Studia Math.—1938.—V. 7.-^
P. 104-120.
366. Michel R. Nonuniform centra] limit bounds with applications
to probabilities of deviations/Ann. Probab.—1976.—V. 4. N 1.-
P. 102—106.
367. Michel R. On the accuracy of nonuniform Gaussian
approximation to the distribution functions of sums of independent and
identically distributed random variables/Z.
Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.- 1976 - Bd. 35, N 4.- S. 337-347.
20 в. В. Петров

306
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
368. Michel R. On the constant in the non-uniform version of the
Berry — Esseen theorem/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw.
Geb. 1981.—Bd. 55, N 1.-S. 109--117.
369. Michel R. On the influence of moments in monuniform
expansions of Ghebyshev — Cramer type/Statistics and Decisions —
1983 — V. 1, N 2.- P. 205—215.
370. von Mises R. An inequality for the moments of a
discontinuous distribution/Skand. Aktuarietidskrift.— 1939.— V. 22,
N 1.- P. 32-36.
371. Mogyorodi J. Some inequalities for the maximum of
partial sums of random variables/Math, Nachr.—1975.—Bd. 70.—
S. 71-85.
372. M 6 r i с z F. Probability inequalities of exponential type and
laws of the iterated logarithm/Acta Sci. Math., Szeged.— 1976.—
V. 38, N 3-4.- P. 325—341.
373. M 6 r i с z F. Exponential estimates for the maximum of partial
sums/Acta Math. Acad. Sci. Hungar.—1979 —V. 33, N 1—2.—
P. 159-167.
374. M 6 r i с z F. A., S e r f 1 i n g R. I, Stout W. F. Moment and
probability bounds with quasi — superadditive structure for the
maximum partial sum/Ann. Probab.—1982.— V. 10, N 4.-
P. 1032—1040.
375. N a g a e v S. V. Large deviations of sums of independent
random variables/Ann. Probab — 1979 — V. 7, N 5 — P. 745—789.
376. О h k u b о H. On the asymptotic tail behavior of infinitely
divisible distributions/Yokohama Math. J —1979 —V. 27, N 2 —
P. 77—89.
377. P e t г о v V. V. On the law of the iterated logarithm without
assumptions about the existence of moments/Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A — 1968 — V. 59, N 4.- P. 1068—1072.
378. Petrov V. V. Sums of independent random
variables.—Berlin — Heidelberg — New York: Springer — Verlag, 1975.
379. Pitman E. J. G. On the derivatives of a characteristic
function at the origin/Ann. Math. Statist—1956 — V. 27, N 4.-
P. 1156-1160.
380. P 6 1 у a G. Ober den zentralen Grenzwertsatz der Wahrschein-
lichkeitsrechnung und das Momentproblem/Math. Z.—1920.—
Bd. 8, N 1—2 — S. 171—180.
381. Poly a G. Remarks on characteristic functions/Proc.
Berkeley Symp. on Math. Statist, and Probab.— Berkeley and Los
Angeles: Univ. Calif. Press, 1949.—P. 115—123.
382. P r u i 11 W. E. General one-sided laws of the iterated logarithm
Ann. Probab.— 1981.- V. 9, N 1.- P. 1-48.
383. P r u i 11 W. E. The class of limit laws for stochastically
compact normed sums/Ann. Probab — 1983 — V. 11, N 4.- P. 962—
969.
384. Rao K. S., Kendall D. G. On the generalized second limit-
theorem in the calculus of probabilities/Biometrika.— 1950.—
V. 37, N 3—4 — P. 224—230.
385. Renyi A. Probability theory.—Budapest: Academiai Kiado,
1970.
386. R ё v ё s z P. The laws of large numbers.— Budapest: Academiai
Kiado, 1967.
387. R i e d e 1 M. On the one-sided tails of infinitely divisible
distributions/Math. Nachr.—1976.—Bd. 70 —S. 155—163.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
307
388. Riedel М. A new version of the central limit theorem/
Теория вероятностей и ее применения.— 1977.— Т. 22, № 1.—
С. 187-188.
389. Robbins Н. A remark on the joint distribution of cumulative
sums//Ann. Math. Statist.— 1954 — V. 25, N 3.- P. 614-616.
390. R о s a 1 s k у A. On the converse to the iterated logarithm law/
Sankhya.- 1980.- V. A 42, N 1-2.- P. 103-108.
391. Rosen B. On the asymptotic distribution of sums of
independent identically distributed random variables/Arkiv Mat.—
1961.- V. 4, N 4.- P. 323-332.
392. Rosenthal H. P. On the subspaces of Z> (p > 2) spanned by
sequences of independent random variables/Israel J. Math.—
1970.— V. 8, N 3 — P. 273-303.
393. Rosenthal H. P. On the span in L? of sequences of
independent random variables/Proc. 6th Berkeley Symp. on Math.
Statist, and Probab.— Berkeley and Los Angeles: Univ. Calif.
Press.— 1972.— V. 2.- P. 149—167.
394. Rossberg H.-J. On a problem of Kolmogorov concerning the
normal distribution/Теория вероятностей и ее применения.—
1974.- Т. 19, № 4.— С. 824-828.
395. Rossberg H.-J., J е s i а к В., S i e g e 1 G. Analytic methods
in probability theory.— Berlin: Akademie — Verlag, 1985.
396. Rossberg H.-J., Si e gel G. Continuation of convergence in
the central limit theorem/Теория вероятностей и ее
применения.— 1975.— Т. 20, № 4.— С. 885—887.
397. Rossberg H.-J., S i е g е 1 G. One-sided characterization of
the normal distribution in the set of infinitely divisible
distributions/Теория вероятностей и ее применения.—1981.—Т. 26,
№ 2.-С. 400-407.
398. Sazonov V. V. A new general estimate of the rate of
convergence in the central limit theorem in #ft/Proc. Nat. Acad. Sci.
U. S. A.-1974.-V. 71, N 1.-P. 118-121.
399. Sazonov V. V. Normal approximation — some recent
advances — Lect. Notes in Math — V. 879. 1981.
400. Scheffe H. A useful convergence theorem for probability
distributions/Ann. Math. Statist— 1947 — V. 18, N 3.-P. 434—
438.
401. Serfling R. J. Moment inequalities for the maximum partial
sum/Ann. Math. Statist.—1970 —V. 41, N 4 —P. 1227—1234.
402. Smith W. L. A note on the characteristic functions which
vanish identically in an interval/Proc. Camb. Phil. Soc.— 1962.—
V. 58, N 2.- P. 430—432.
403. Smith W. L. Some results using general moment functions/
J. Austral Math. Soc— 1969.— V. 10, N 3—4 — P. 429—441.
404. Spitzer F. A combinatorial lemma and its application to
probability theory/Trans. Amer. Math. Soc— 1956 — V. 82, N 2.-
P. 323-339.
405. Steiger W. L., Zaremba S. K. The inverse of the
Hartman — Wintner theorem/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie
verw. Geb.— 1972.— Bd. 22, N 3.- S. 193—194.
406. Steinbach J. On a necessary condition for the Erdos.— Re-
nyi law of large numbers /Proc. Amer. Math. Soc—1978.—V. 68.
N 1.-P. 97-100.
407. S t e u t e 1 F. W. Some recent results in infinite divisibility/
Stoch. Processes and their Appl — 1973 — V. 1, N 2. P. 125—143.
20*

308
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
408. S t е u t е I F. W. On the tail of infinitely divisible distributi-
ons/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.— 1974.— Bd. 28,
N 4.- S. 273—276.
409. Steutel F. W. Infinite divisibility in theory and practice//
Scand. J. Statist.- 1979.- V. 6, N. 2.- P. 57-62.
410. Stout W. F. Almost sure convergence.— New York: Academic
Press, 1974.
411. S trass en V. An in variance principle for the law of the
iterated logarithm //Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.—
1964.- Bd. 3, N 3.- S. 211-226.
412. Strassen V. A converse to the law of the iterated logarithm/
Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.— 1966.— Bd. 4, N 4.—
S. 265—268.
413. Strassen V. Almost sure behavior of sums of independent
random variables and martingales/Proc. 6th Berkeley Symp. on
Math. Statist, and Probab.— Berkeley and Los Angeles: Univ.
Calif. Press.— 1967 — V. 2.- P. 315—343.
414. Szynal D. An extension of the Hajek — Renyi inequality for
one maximum of partial sums/Ann. Statist.— 1973.— V. 1, N 4.—
P. 740-744.
415. Tanny D. A new proof of Kesten's theorem on the growth of
the sum of independent and identically distributed random
variables/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.— 1977.— Bd. 39,
N 3.- P. 231—234.
416. Tomkins R. J. On the law of the iterated logarithm/Ann.
Probab —1978.—V. 6, N 1.—P. 162—168.
417. Tomkins R. J. Limit theorems without moment hypotheses
for sums of independent random variables/Ann. Probab.—
1980.— V. 8, N 2.- P. 314—324.
418. Tomkins R. J. Lindeberg functions and the law of the
iterated logarithm //Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.—
1983.- Bd. 65, N 1.- S. 135-143.
419. Tucker H. G. Best one-sided bounds for infinitely divisible
random variables/Sankhya—1961 —V. A 23, N 4 —P. 387—
396.
420. Tucker H. G. On a necessary and sufficient condition that
an infinitely divisible distribution be absolutely continuous//
Trans. Amer. Math. Soc—1965.—V. 118, N 6.-P. 316—330.
421. Warde W. D., Katti S. K. Infinite divisibility of discrete
distributions//Ann. Math. Statist — 1971 — V. 42, N 3.-P. 1088—
1090.
422. Weiss M. On the law of the iterated logarithm/J. Math.
Mech.- 1959.- V. 8, N 1.- P. 121-132.
423. Winlner A. The Fourier transforms of probability
distributions.— Baltimore, 1947.
424. Wittmann R. A general law of iterated logarithm//Z.
Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb — 1985 — Bd. 68, N 4.- S. 521 —
543.
425. Wolfe S. J. On moments of infinitely divisible distribution
functions//Ann. Math. Statist.—1971.—V. 42, N 6.—P. 2036—
2043.
426. Wolfe S. J. On the continuity properties of L functions/
Ann. Math. Statist.- 1971.- V. 42, N 6.- P. 2064-2073.
427. Wolfe S. J. On derivatives-of characteristic functions/Ann.
Probab — 1975 — V. 3, N 4 — P. 737—738.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
309
428. Wolfe S. J. On moments of probability distribution functi-
ons//Lect. Notes in Math.-1975.—V. 457.-P. 306-316.
429. W о у с z у n s k i W. A. Strong laws of large numbers in
certain linear spaces/Ann. Inst. Fourier.—1974.—V. 24, N 2.-
p 205 223.
430. Wright F. Т., Piatt R. D., Robertson T. A strong law
for weighted averages of independent identically distributed
random variables with arbitrarily heavy tails/Ann. Probab.— 1977.—
V. 5, N 4.- P. 586-590.
431. Zaremba S. K. Note on the central limit theorem/Math. Z.—
1958.— Bd. 69, N 3 — S. 295—298.
432. Z о 1 о t a r e v V. M. A sharpening of the inequality of Berry —
Esseen/Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb.—1967.—
Bd. 8, N 4.- S. 332-342.^
433. Zolotarev V. M. Theoremes limites generaux pour les som-
mes de variables aleatoires independantes/C. R. Acad. Sci.—
1970 — V. 270, N 14.— P. A899-A902.
434. Zolotarev V. M. Exactness of an approximation in the
central limit theorem// Lect. Notes in Math.— 1973 — V. 330 — P. 531—
543.
435. Zygmund A. A remark on characteristic functions/Proc.
2nd Berkeley Symp. on Math. Statist, and Probab.— Berkeley
and Los Angeles: Univ. Calif. Press.—1951.—P. 369—372.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Нумерация теорем и формул в каждой главе самостоятельная.
Отсутствие указаний на номер главы при ссылках означает, что
имеется в виду теорема или формула данной главы.
□ означает конец доказательства,
ф. р.— функцию распределения,
х. ф.— характеристическую функцию,
п. н.— почти наверное.
К—множество всех действительных чисел.
К+ — множество всех неотрицательных чисел.
Z — множество всех целых чисел.
141 — множество всех целых положительных чисел.
1(B) —индикатор множества В.
в, 01, 02, ... — величины, модуль которых не превосходит
единицу.
Если не оговорено противное, А, А\, А2у ... означают
абсолютные положительные постоянные, С, с, Си ci, ...— положительные
постоянные.
Пределы всюду указаны при п ->• со, если не оговорено
противное.
ап ап
dn X Ьп означает, чтоО < lim inf — ^ lim sup -г- < с©.
bn °п
а>п со Ъп означает, что -г—■->-1.
°п
sup/(я) означает sup"/ (х).
х xeR
X ^2
ф (Х) = -4= Г е ~*dh
~]/2п J

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Акоста (de Acosta А.) 286, 297
Амосова Н. Н. 247, 287
Ананьевский С. М. 91, 92, 93,
287
Арак Т. В. 145, 282, 287, 289
Араухо (Araujo А.) 283, 297
Бакстер (Baxter G.) 52, 297
Бар (von Bahr В.) 98, 203, 204,
297
Барбур (Barbour A. D.) 197, 302
Баум (Baum L. Е.) 243, 247,
250, 286, 297
Беннет (Bennett G.) 93, 297
Бергстрём (Bergstrom Н.) 282,
283, 284, 298
Беркеш (Berkes I.) 272, 298
Бернштейн С. Н. 137, 146, 281,
282, 287
Берри (Berry А. С.) 154, 158,
283, 284, 298
Бик (van Веек Р.) 283, 297
Бикел (Bickel Р.) 96, 100, 298
Бикялис А. 190, 191, 199, 202,
283, 284, 287
Биллингсли (Billingsley Р.) 39,
281, 287
Бинмоур (Binmore К. G.) 36,
298
Бисек (Beesack P. R.) 280, 297
Блум (Blum J. R.) 54, 298
Боас (Boas R. P.) 35, 36, 298
Боман (Bohman H.) 189, 298
Бондарко В. M. 204, 287
Боровков А. А. 7, 24, 94, 288
Браун (Brown В. М.) 34, 298
Бук (Book S. А.) 251, 298
Булдыгин В. В. 285, 288
Булинский А. В. 286, 288
Буниясомбут (Boonyasombut V.)
284, 298
Бутцер (Butzer P. L.) 203, 284,
298
Бхаттачария (Bhattacharya
R. N.) 38, 283, 284, 288
Варадараян (Varadarajan V. SJ
144, 301
Введенская Е. Р. 288
Вестфаль (Westphal U.) 203,
299
Винтнер (Wintner А.) 263, 280,
281, 286, 302, 308
Витман (Wittmann R.) 277, 308
Войчинский (Woyczynski W. А.)
309
Володин Н. А. 285, 288
Волфи (Wolfe S. J.) 36, 53, 280,
282, 308, 309
Гамкрелидзе Н. Г. 283, 288
Ган Шиксин (Gan Shixin) 39,
300
Гапошкин В. Ф. 241, 288
Гафуров М. У. 275, 301
Гнеденко Б. В. 7, 24, 126, 282,
284, 285, 288
Годуин (Godwin Н. J.) 280, 301
Градштейн И. С. 89, 181, 288
Грюбель (Grubel R.) 53, 301
Гурса (Goursat Е.) 181, 288
Дайсон (Dyson F. J.) 39, 300
Даугавет А. И. 230, 281, 288
Дейли (Daley D. J.) 33, 300
Дёблин (Doeblin W.) 280, 281,
300
Джейн (Jain N. С.) 274, 303
Джемисон (Jamison В.) 285, 303
Дхармадхикари (Dharmadhika-
ri S. W.) 98, 300
Егоров В. А. 196, 277, 284, 285,
286, 288, 289

312
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Жине (Gine Е.) 283, 297
Купменс (Koopmans L. Н.) 192,
196, 301
Зайцев А. Ю. 145, 282, 287, 289
Заремба (Zaremba S. К.) 147,
271 307 309
Зител'ь (Siegel G.) 55, 148, 282,
307
Зигмунд (Zygmund А.) 38, 98,
276, 281, 285, 305, 309
Зингер А. А. 282, 289
Золотарев В. М. 39, 144, 146,
189, 194, 281, 282, 283, 284,
289, 290, 309
Ибрагимов И. А. 55, 126, 127,
191, 196, 199, 202, 282, 284, 290
Иесиак (Jesiak В.) 148, 282, 303,
307
Йогдео (Jogdeo К.) 98, 300
Кавата (Kawata Т.) 35, 90, 91,
98, 304
Карлин (Karlin S.) 280, 290
Катти (KaLLi S. К.) 54, 308
Кац (Kalz М.) 192, 196, 243,
246, 247, 250, 286, 297, 301,
303
Кемпермап (Kemperman J. Н. В.)
33 299
Кендалл (Kendall D. G.) 38, 306
Кестен (Kesten Н.) 245, 246, 281,
304
Кингмен (Kingman J. F. С.) 280,
304
'Класс (Klass М. J.) 286, 304
Клесов О. И. 285, 290
Кокс (Сох D. С.) 33, 299
Колмогоров А. Н. 38, 39, 48, 79,
81, 126, 127, 253, 279, 280, 281,
282, 284, 285 288, 290, 304
Колодяжиый С. Ф. 283, 291
Комлош (Komlos .Т.) 240, 25J,
252, 304
Крамер (Cramer II.) 17, 21, 23,
36, 37, 198, 199, 201, 202 280,
284, 291, 299
Кристоф (Chrisloph G.) 284, 291,
299
Круглов В. М. 52, 147, 148, 243,
282, 283, 286, 291, 304
Куписава (Kiinisawa К.) 90, 91
92, 304
Лай (Lai Т. L.) 247, 248, 249,
285 299
Лаубе (Laube G.) 280, 304
Лауэ (Laue G.) 37, 304
Леви (Levy Р.) 37, 38, 39, 46,
48, 52, 53, 54, 63, 64, 66, 78, 90,
117, 121, 122, 123, 125, 128, 145,
146, 189, 207, 232, 280, 282, 300,
305
Лекам (LeCam L.) 282, 304
Лесли (Leslie J. R.) 192, 201,
283, 303, 305
Липдеберг (Lindeberg J. W.) 137,
142, 143, 144, 163, 263, 282, 286
Лииник 10, В. 126, 127, 280, 282,
284, 290, 291
Литтлвуд (Littlewood J. E.) 122,
296
Лифшиц Б. A. 201, 291
Лонгнекер (Longnecker M.) 101,
281, 305
Лоэв (Loeve М.) 7, 241, 280, 282,
291
Лукач (Lukacs Е.) 7, 37, 39, 280,
291 305
Ляпунов А. М. 16, 34, 144, 155,
280i, 283, 291
Маеджима (Maejima М.) 38,
192, 305
Майор (Major Р.) 251, 252, 304,
305
Макабе (Makabe Н.) 36, 305
Маллер (Mailer К А.) 145, 273,
305
Маиставичюс Э. 100, 291
Мартикайпен А. И. 242, 243,
245, 246, 250, 272, 276, 278,
279, 285, 286, 291, 292
Марцинкевич (Marcinkiewicz J.)
98-, 276, 281, 285, 305
Мацкявичюс В. К. 189, 292
ЗМачис 10. Ю. 282, 292
Мешалкин Л. Д. 282, 292
Мизес (von Mises R.) 33, 306
Микош (Mikosch Т.) 273, 274,
292
Мирошников А. Л. 281, 292
Миталаускас А. 284, 292

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
313
Мпхель (Michel R.) 191, 202,
204, 283, 303, 305, 306
Модёруди (Mogyorodi J.) 96, 306
Мориц (Moricz F.) 281, 306
Нагаев С. В. 94, 195, 240, 241,
280, 281, 283, 285, 288, 293, 296,
306
Наката (Nakala Т.) 194, 197,
283, 303
Невзоров В. Б. 240, 293
Окубо (Ohkubo Н.) 53, 54, 306
Ори (Огеу S.) 285, 303
Осипов Л. В. 197, 200, 201, 283,
284, 293
Островский И. В. 280, 291
Иакшираян (Pakshirajan R. Р.)
52, 299
Паулаускас В. И. 189, 195, 283,
284, 293
Петров В. В. 34, 96, 97, 190, 243,
244, 248, 249, 250, 273, 278, 279,
280, 281, 283, 284, 285, 286, 288,
292, 293, 294, 306
Плиелис И. Ф. 281, 293, 294
Питмен (Pitman Е. J. G.) 36,
306
Питмеп (Pitman J. W.) 37, 302
Платт (Piatt R. D.) 285, 309
Попа (Polya G.) 37, 122, 280,
296, 306
Постникова Л. П. 281, 294
Ирссман Э. Л. 282, 290
Прохоров Ю. В. 39, 93, 95, 100,
144, 240, 241, 282, 295
Пруитт (Pruitt W. Е.) 145, 272,
274, 285, 303, 306
Райт (Wright F. Т.) 285, 309
Рамачапдраи (Ramachandran В.)
280, 295
Ранга Pao (Ranga Rao R.) 38,
283, 284, 288
Pao (Rao К. S.) 38, 306
Ревес (Revesz P.) 285, 286, 299,
306
Реньи (Renyi A.) 81, 251, 281,
285, 300, 301, 306
Ридель (Riedel M.) 55, 148, 306
Роббинс (Robbins H.) 95, 246,
299, 303, 307
Робертсои (Robertson T.) 285,
309
Рогозин Б. A. 95, 195, 245, 273,
281, 292, 295
Розальский (Rosalsky A.) 272,
307
Розанов 10. A. 295
Розен (Rosen B.) 280, 281, 307
Розенблатт (Rosenblatt M.) 54,
298
Розенталь (Rosenthal H. P.) 98,
99, 281, 307
Розовский Л. В. 190, 196, 197,
202, 244, 283, 295, 296
Россберг (Rossberg H.-J.) 54, 55,
148, 282, 303, 307
Ротарь В. И. 146, 195, 282, 293,
296
Рохатги (Rohatgi V. К.) 248, 303
Рыжик И. М. 89, 181, 288
Сазонов В. В. 99, 194, 195, 281,
283, 284, 296, 307
Саханенко А. И. 252, 296
Сенета (Seneta Е.) 127, 296
Серфлипг (Serfling R. J.) 101,
281, 305, 306, 307
Скороход А. В. 100, 296
Смит (Smith W. L.) 37, 99, 307
Спицер (Spitzer F.) 246. 307
Стадден (Studden W.) 280, 290
Статулявичус В. А. 284, 292, 296
Стаут (Stout W. F.) 281, 285,
306, 308
Стейгер (Steiger W. L.) 271, 307
Стойтель (Steulel F. W.) 53, 280,
307, 308
Стрэттон (Stratton Н. Н.) 36,
250, 286, 297, 298
Сэвидж (Savage I. R.) 280, 296
Сюй (Hsu P. L.) 34, 144, 246,
303
Такер (Tucker Н. G.) 52, 54,
303, 308
Тандори (Tandori К.) 244, 299
Тепни (Tanny D.) 246, 308
Теодореску (Theodorescu R.)
281, 297
Томкинс (Tomkins R. J.) 277,
286, 304, 308

314
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Тотик (Totik V.) 244, 299
Тушнади (Tusnady G.) 251, 252,
304
Ульянов В. В. 195, 296
Уоди (Warde W. D.) 54, 308
Утев С. А. 281, 294
Уэйсс (Weiss М.) 286, 308
Файнлейб А. С. 283, 296
Феллер (Feller W.) 7, 37, 127,
137, 145, 271, 282, 283, 284, 285,
286, 296, 301
Финетти (de Finetti В.) 280
Фиш (Fisz М.) 144, 280, 301
Фреше (Frechet М.) 38, 301
Фридмен (Freedman D. А.) 273
Фридмен (Friedman N.) 192, 196,
301
Фук Д. X. 94, 281, 296
Хадсон (Hudson W. N.) 54, 303
Хайек (Hajek J.) 81* 281, 301
Хан (Hahn L.) 203, 284, 298, 299
Харди (Hardy G. H.) 122, 296
Хартмаи (Hartman P.) 263, 281,
286, 302
Хатунцева M. В. 204, 296
Хейди (Heyde С. С.) 192, 193,
194, 196, 197, 201, 240, 245, 247,
248, 271, 281, 283, 285, 286, 302,
303
Хенгартнер (Hengartner W.)
281 297
Херн' (Hern Т. А.) 284, 302
Хёфдинг (Hoeffding W.) 93, 280,
303
Хинчин А. Я. 46, 48, 52, 54, 117,
128, 207, 280, 282, 285, 297, 304
Хипп (Hipp С.) 202, 303
Хиткоут (Heathcote С. R.) 37, 302
Хо (Но Soo-Tong) 283, 303
Холл (Hall Р.) 37, 101, 193, 197,
198, 204, 205, 240, 283, 284, 301,
302
Хрущева И. В. 285, 297
Чаки (Csaki Е.) 274, 299
Чаттерджи (Chatterjee S. D.)
52, 241, 299
Чебышев П. Л. 14, 15, 162, 211,
214, 237, 280, 284, 297
Чёргё (Gsorgo М.) 285, 286, 299
Чёргё (Gsorgo S.) 244, 251, 299
Чжун (Chung К. L.) 249, 281,
285 299
Чибисов Д. М. 202, 297
Човер (Chover J.) 273, 299
Чоу (Chow Y. S.) 246, 247, 248,
249 285 299
Чэнь' (Chen L. H. Y.) 283, 303
Шапиро (Shapiro J. M.) 52, 284,
297 298
Шеффе (Scheffe H.) 39, 307
Шиганов И. С. 283, 297
Шиналь (Szynal D.) 97, 308
Широкова (Хрущева) И. В. 243,
248, 294
Ширяев А. Н. 7, 297
Шохат (Shohat J.) 38, 301
Штайнебах (Steinebach J.) 251,
307
Штрассен (Strassen V.) 263, 271,
273, 274, 275, 286, 308
Эбралидзе Ш. С. 95, 297
Эджворт (Edgeworth Fj. Y.) 284
Эйзеыберг (Eisenberg В.) 39, 300
Энгер (Enger J.) 280
Эрдёш (Erdos P.) 246, 249, 251,
281, 285, 299, 300
Эриксон (Erickson К. В.) 246,
300
Эссеен (Esseen C.-G.) 33, 52, 90,
98, 154, 157, 158, 159, 164, 190,
195, 199, 280, 281, 283, 284, 297,
300
Этемади (Etemadi N.) 244, 285,
300, 301
Юдин A. A. 281, 294
Цареградский И. П. 189, 282, 297 Ясюнас Г. 202, 287

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Берри — Эссеена неравенство
158
Бесконечной малости условие
102
Бореля — Кантелли лемма 214
Вероятностная мера 7
— функция 8, 11
Вероятностное пространство 7
Верхний класс 253
Гёльдера неравенство 14
Дисперсия 14
Закон больших чисел слабый
206
усиленный 230
— повторного логарифма 253,
261
обобщенный 266
Йенсена неравенство 15
Квантиль 17
Колмогорова неравенства 79, 81
— спектральная функция 48
— теорема о законе
повторного логарифма 253
о трех рядах 217
— формула 48
Композиция распределений 12
Коши — Буняковского
неравенство 14
Крамера условие 17
(С) 21
Кронекера лемма 221
Кумулянт 20
Лебега теорема о разложении 9
Леви неравенство 78
— спектральная функция 48
— формула 48
Леви — Хинчина спектральная
функция 48
формула 46
Линдеберга дробь 142
— условие 142
Ляпунова дробь 34, 155
— неравенство 16
— условие 144
Маркова условие 237
Математическое ожидание 12
Медиана 17
Метрика Колмогорова 38
— Леви 38
— Леви — Прохорова 39
— равномерная 38
Минковского неравенство 14
Момент абсолютный начальный
13
центральный 14
— начальный 13
— центральный 14
Независимые случайные
величины И

316
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Независимые события И
Неравенства Колмогорова 79, 81
— симметризации 231
— Чебышева 14, 15
Неравенство Берри — Эссеена
158
— Гёльдера 14
— Йепсеиа 15
— Коши — Буняковского 14
— Леви 78
— Ляпунова 10
— Миико некого 14
— Хайека — Репьи 81
— Эссеена 157
Нижний класс 253
Распределение случайной вели
чипы абсолютно """■
ное 9'
безгранично
40
непрерыв-
делимое
— биномиальное 10
— вырожденное 10
— дискретное 9
— непрерывное 9
— нормальное 10
— Пуассона 10
— решетчатое 9
— симметричное 19
— сингулярное 9
— устойчивое 123
Область притяжения 126
— нормального притяжения
127
— частичного притяжения 128
Обращения формулы 24, 25
Переставляемые случайные
величины 15
Плотность распределения 9
Полипомы Чебышева — Эрмита
182
Последовательность
независимых случайных величин 12
— ортогональных случайных
величин 244
— т-ортогональных случайных
величин 279
— случайных величин
стохастически компактная 145
— усиленно устойчивая
229
— — — устойчивая 206
Предельного постоянства
условие 113
Предельные распределения
класса L 118
Производящая функция
моментов 17
Пространство элементарных
событий 7
Распределение случайной
величины 8
Свертка распределений 12
Семиинвариант 20
Симметризации неравенства 231
Случайная величина 8, И
— — симметризованиая 19
— — симметричная 19
Случайный вектор 11
События 7
— независимые И
Спектр распределения 10
Спектральная функция Леви —
Хипчина 48
Стандартная нормальная
функция распределения 10
Сходимость по вариации 39
— по вероятности 31
— почти наверное 215
— распределений полная 26
слабая 26
Точка роста 10
Управляемые суммы 250
Функция концентрации Каваты
90
Кунисавы 90
Леви 56, 90
— медленно меняющаяся 127
— распределения 8, 11
— характеристическая 18

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
317
Хайека — Реньи неравенство 81
Характеристический показатель
устойчивого распределения
127
Хартмана — Винтиера теорема
263
Чебышева неравенства 14, 15
Чебышева — Эрмита полиномы
182
Шаг распределения 9
максимальный 9
Центральная предельная
теорема 135 Эссеена неравенство 157

Валентин Владимирович Петров
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММ
НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Серия: «Теория вероятностей и математическая статистика»
выпуск 39
Редакторы А. П. Баева, И. Е. Морозова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор В. Я. Кондакова
Корректоры Г. С. Родионова, Н. Д. Храпко
ИБ № 12861
Сдано в набор 09.06.86. Подписано к печати 14.01.87. Формат 84X108/32.
Бумага тип. № 1. Гарнитура обыкновенная новая. Печать высокая. Усл.
печ. л. 16,8. Усл. кр.-отт. 16,8. Уч.-изд. л. 19,85. Тираж 3200 экз. Заказ
№ 244. Цена 3 р. 30 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 Новосибирск 77, Станиславского, 25

Серия «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
В ы п. 1. Е. Б. Дынкин. Основания теории марковских процессов.
В ы п. 2. Е. Б. Дынкин. Марковские процессы.
В ы п. 3. Ю. А. Розанов. Стационарные случайные процессы.
В ы п. 4. А. В. Скороход. Случайные процессы с независимыми
приращениями.
В ы п. 5. И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник. Независимые и
стационарно связанные величины.
Вып. 6. И. И. Гихман, А. В. Скороход. Введение в теорию
случайных процессов.
В ы п. 7. Ю. В. Линник. Статистические задачи с мешающими
параметрами.
В ы п. 8. Е. Б. Дынкин, А. А. Юшкевич. Теоремы и задачи о
процессах Маркова.
В ы п. 9. И. А. Ибрагимов, Ю. А. Розанов. Гауссовские случайные
процессы.
Вып. 10. И. И. Гихман, А. В. Скороход. Теория случайных
процессов, т. I.
Вып. 11. С. М. Ермаков. Метод Монте-Карло и смежные вопросы.
В ы п. 12. Б. А. Севастьянов. Ветвящиеся процессы.
Вып. 13. А. А. Боровков. Вероятностные процессы в теории
массового обслуживания.
В ы п. 14 А. М. Каган, Ю. В. Линник, С. Р. Рао. Характеризацион-
ные задачи математической статистики.
В ы п. 15. Ю. В. Линник, И. В. Островский. Разложения случайных
величин и векторов.
В ы п. 16. В. В. Петров. Суммы независимых случайных величин.
В ы п. 17. М. Б. Невельсон, Р. 3. Хасьминский. Стохастическая
аппроксимация и рекуррентное оценивание.
(В ы п. 18. Н. Н. Ченцов. Статистические решающие правила.
Вып. 19. И. И. Гихман, А. В. Скороход. Теория случайных
процессов, т. П.
В ы п. 20. Р. Ш. Липцер, А. Н. Ширяев. Статистика случайных
процессов.
В ы п. 21. А. Н. Колмогоров. Основные понятия теории
вероятностей, изд. 2-е.
В ы п. 22. Ю. А. Розанов. Теория обновляющих процессов.
В ы п. 23. И. И. Гихман, А. В. Скороход. Теория случайных
процессов, т. III.
В ы п. 24. Ю. К. Беляев. Вероятностные методы выборочного
контроля.
В ы п. 25. С. М. Ермаков. Метод Монте-Карло и смежные вопросы,
изд. 2-е.
Вып. 26. В. Ф. Колчин, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков.
Случайные размещения.

В ы п. 27. А. Н. Ширяев. Статистический последовательный анализ.
Оптимальные правила остановки, изд. 2-е.
В ы п. 28. Н. В. Крылов. Управляемые процессы диффузионного
типа.
В ы и. 29. И. А. Ибрагимов, Р. 3. Хасьминский. Асимптотическая
теория оценивания.
В ы п. 30. А. А. Боровков. Асимптотические методы в теории
массового обслуживания.
Вып. 31. Ю. А. Розанов. Марковские случайные поля.
В ы п. 32. А. В. Скороход. Стохастические уравнения для
сложных систем.
В ы п. 33. В. М. Золотарев. Одномерные устойчивые распределения.
В ы п. 34. В. Ф. Колчин. Случайные отображения.
В ы п. 35. А. В. Скороход. Случайные процессы с
независимыми приращениями.
Вып. 36. А. Д. Вентцель. Предельные теоремы о больших
уклонениях для марковских случайных процессов.
В ы п. 37. В. М. Золотарев. Современная теория суммирования
независимых случайных величии.
В ы п. 38. Р. III. Лиицер, А. Н. Ширяев. Теория мартингалов.
Выи. 39. В. В. Петров. Предельные теоремы для сумм
независимых * случайных величии.