Цена 2 p. 25 к., ПереПл. 1 р. 25

МАТЕМАТИКА В МОНОГРАФИЯХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
акад. С. Н. БЕРНШТЕЙНА, акад. И. М. ВИНОГРАДОВА,
проф. А. Н. КОЛМОГОРОВА, проф. Л. А. ЛЮСТЕРНИКА,
проф. А. И. ПЛЕСНЕРА, проф. В. А. ТАРТАКОВСКОГО,
проф. Н. Г. ЧЕБОТАРЕВА
СЕРИЯ ОБЗОРОВ
КНИГА V
А. Я. X И н ч И н
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ ДЛЯ СУММ
НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
ОБЪЕД И!Н ЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НКТП СССР

А. Я. ХИНЧИН
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ
ДЛЯ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ
СЛУЧАЙНЫХ 'ВЕЛИЧИН
Р ЗД АКЦИЯ ТЕХШШО-ТЕОРЕТИЧЕСКОН ЛИТЕР \TVPM
МОСКВА 1938 ЛЕНИНГРАД

Т 26-5-4
ТКК № 134.
К ЧИТАТЕЛЮ
Издательство просит прислать Ваши замечания
и отзывы об этой книге, по адресу: Москва,
Третьяковский проезд, д. 1. Редакция технико¬
теоретической литературы ОНТИ.
Редактор Д. А. Райков.
Корректор Л. А. Муйжель.
Техн. редактор Е. С. Весник.
Сдано в производство 13/XI 1937 г. Подписано к печати 13/Ш 1938 г. Формат
62Х941/16. Тираж 3000. Печ. л. 73/4. Уч. авт. л. 6,5. Печ. зн. в бум. л. 97 000.
Изд. JVg 71. Уч. № 4745. Заказ № 858. Уполном. Главлита № Б 28024 (1184).
Киевская типография ГОНТИ, Крещатик, 42.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая монография возникла из специального курса, чи¬
танного автором осенью 1936 г. в Институте математики Мос¬
ковского государственного университета.
Автор считает своим долгом выразить благодарность профес¬
сору П. Леви (Париж) за сообщение полученных им результатов
до их опубликования в печати.
Саратов, 8 апреля 1937 г.
А. Хитин.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование асимптотического поведения сумм безгранично
возрастающего числа взаимно независимых случайных величин
исторически представляло собою на всем протяжении двух по¬
следних столетий одну из центральных задач теории вероятностей.
Однако вплоть до самых последних лет все усилия исследова¬
телей концентрировались лишь на одном участке этой задачи —
участке, который в свете наших сегодняшних знаний представ¬
ляется нам хотя и имеющим очень большое значение, но все же
занимающим место частной проблемы. После того как Моавром
в 1773 г. было открыто предложение, которое обычно называют
предельной теоремой Лапласа и которое устанавливает, что
и условиях схемы Бернулли нормированные суммы независимых
случайных величин в пределе подчиняются закону Гаусса, —
Лаплас неоднократно высказывал предположение, что это же
явление должно иметь место и при значительно более общих
условиях; в частности, им делались попытки на этом пути обос-
новать роль, играемую законом Гаусса в теории ошибок. Однако
методов для строгого решения поставленной таким образом
задачи в то время еще не имелось. Такие методы были созданы
позднее Чебышевым и его школой, и лишь в 1901 г. Ляпунову
впервые удалось доказать „предельную теорему“ в условиях
общего характера. С тех пор эта теорема передоказывалась
много раз различными методами.
Таким образом вплоть до самых последних лет единствен¬
ной предельной задачей в рассматриваемой нами области была
задача об изыскании наиболее общих условий, при которых
нормированные суммы данной последовательности случайных
величин в пределе подчиняются закону Гаусса. Первым, кто

G
ВВЕДЕНИЕ
поставил в достаточно общей форме вопрос о возможности
существования других предельных законов, был П. Леви. В своем
известном курсе теории вероятностей, изданном в 1925 г., иссле¬
дуя поведение сумм взаимно независимых и одинаково распре¬
деленных случайных величин, он поставил задачу отыскания
всех предельных законов для этого случая и полностью решил
ее. Для общего случая, т. е. когда слагаемые распределены гю
различным законам, только 1936 г. принес решение основных
возникающих здесь задач. В том же 1936 г. удалось найти
и полное решение задачи о тех условиях, при которых предель¬
ный закон оказывается законом Гаусса, а вместе с тем и выяс¬
нить с полной идейной отчетливостью причины и предпосылки
той действительно исключительной роли, которая принадлежит
этому закону в изучаемой области.
Этим новейшим исследованиям и посвящена настоящая книга.
Так как большая часть доказательств проведена методом так
называемых характеристических функций, то автор счел необ¬
ходимым посвятить первую главу изложению важнейших свойств
этих функций; это было тем более желательно, что кроме клас¬
сических свойств характеристических функций, доказательство
которых читатель мог бы найти в некоторых курсах теории
вероятностей, для дальнейшего изложения оказались нужными
и некоторые свойства этих функций, опубликованные до сих
пор только в журнальной литературе или вовсе неопублико¬
ванные. При этом доказательства приводятся только для этих
более специальных свойств; для свойств же, которые могут
считаться давно известными, мы даем лишь формулировки,
отсылая для доказательств к специальной литературе.
Так как исследования показали, что во всей изучаемой про¬
блематике основную роль играет класс так называемых безгра¬
нично делимых законов распределения, и так как основные
свойства этих законов, хорошо известные специалистам, не
вошли еще в общую литературу, то нам пришлось посвятить
вторую главу изложению важнейших теорем, касающихся этих
законов. Таким образом первые две главы носят вводный ха¬
рактер; вместе с тем изложенные в них результаты позволяют
очень значительно сократить рассуждения трех последних глав,
составляющих собой основное содержание книги.
Материал трех последних глав распределен так: третья глава
посвящена общей задаче отыскания совокупности предельных
законов для сумм независимых случайных величин; в четвертой
главе специально изучается роль закона Гаусса; наконец, в пятой
главе исследуется случай, когда все слагаемые распределены
одинаково.
Чтобы не нарушать систематичности изложения, мы выде¬
лили все литературные и исторические указания в особое при¬
ложение в конце книги.

ГЛАВА I
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Определение и классические результаты
1. Обозначения. В дальнейшем мы будем обозначать че¬
рез Р(Л) вероятность события А и через Рс(Л) — вероятность
события А при условии наступления события С. Буквы, напе¬
чатанные жирным шрифтом, означают случайные величины. Ех
или Е(х) означает математическое ожидание случайной вели¬
чины х; ЕсХ или Ес(х) означает математическое ожидание ве¬
личины х при условии наступления события С.
Если z — комплексное число, тог означает число, комплексно
сопряженное с zy a dtz или 31 (г) — вещественную часть 2, и
или *$(г)— мнимую часть г. Отсутствующий верхний (нижний)
предел интеграла всегда означает +оо(—оо). Область значений
параметров, в которой равномерно имеет место некоторое
предельное соотношение, мы будем указывать в квадратных
скобках вслед за этим соотношением; так например, запись
/»(*. У) -»<Р« (у) (■* -»о) [п > 0, а < у ■< Ь\
означает, что функция fn(x, у) при л;—>0 стремится к функции
<?п(у) равномерно для всех п> 0 и для всех у промежутка
а < у < Ь.
2. Законы распределения. Если х — случайная вели¬
чина, то функция
F (х) = Р (х < х)
называется законом распределения или функцией распределения
величины х; говорят, что величина х распределена по закону
F\x) или что она подчиняется этому закону. Всякий закон рас¬
пределения есть неубывающая, непрерывная слева функция,
удовлетворяющая соотношениям
lim /7(x) = 0, lim F(a:) = 1;
.V—>    ОО	Л—> "f оо
обратно, всякая неубывающая и непрерывная слева функция,
удовлетворяющая этим условиям, может быть рассматриваема
как закон распределения некоторой случайной величины.
В подавляющем большинстве вероятностных исследований
значения, принимаемые функцией F(x) в точках разрыва, не
играют существенной роли; поэтому мы во всем дальнейшем
будем называть законом распределения неличины х любую не¬
убывающую функцию, совпадающую с функцией F(x) во всех

8
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
точках непрерывности этой последней. В соответствии с этим
равенство двух законов распределения мы всегда будем пони¬
мать как совпадение их во всех точках непрерывности. Таким
образом случайная величина может иметь, вообще говоря, бес¬
численное множество законов распределения, между которыми
мы, однако, не будем делать никакого различия; в частности,
говоря об однозначном определении того или другого закона,
мы будем всегда иметь в виду однозначное определение его
во всех точках непрерывности. Подобным же образом соотно¬
шение
Fn(x)-*F(x) (п-* со),
где Fn(x) и F(x) — функции распределения, всегда понимается
TaKj что функция Fn(x) при я—» со стремится к функции F(x)
во всех точках непрерывности этой последней.
Если х—случайная величина, подчиняющаяся закону F(x),
то случайная величина —х распределена по „сопряженному-
закону 1 - /*■(-— х), а случайная величина ах + b, где а>0, а
Ь—любое вещественное число, —по закону f{f—-~'). Закон рас¬
пределения /Ц-х) называется симметричным, если тождественно
(т. е. во всех точках непрерывности)
F{x)=\-F(--x).
Если х, и х2 — две взаимно независимые случайные величины,
подчиняющиеся соответственно законам Fx (л) и Fa (я), то сумма
Xj + Xa распределена по закону
F(x)=J/=i (х — и) dF2 (и) =fF2(x — и) dFx (и),
что мы будем короче записывать так:
F(x)=Fi (х) -X- Fa (х) = F2 (х) -> - Fx {X);
при этом закон F (х) называют композицией законов Fx (*) и
F2(x), а эти последние — его компонентами. Композиция зако¬
нов распределения коммутативна и ассоциативна; это, в част¬
ности, позволяет говорить о композиции любого конечного
числа законов распределения.
Если закон распределения F(х) величины х и (вообще говоря.,
комплексная) функция v(x) таковы, что интеграл
f\v(x)\dF(x)
имеет смысл, то (вообще говоря, комплексное) число
Ег>(х) = Jv (х) dF(x)
называют математическим ожиданием случайной величины гмх);
в частности, интеграл
Ех = J xdF{x),

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
о
если он абсолютно сходится, есть математическое ожидание
величины х.
Мы предполагаем, что читателю известны основные свойства
законов распределения и математических ожиданий.
3.	Несобственные законы. Вещественное число а на¬
зывается точкой роста функции распределения /Длс), если при
любом s > О
Закон распределения, имеющий только одну точку роста о,
соответствует случайной величине, единственным возможным зна¬
чением которой является а; такую величину лишь в обобщенном
смысле можно назвать случайной; поэтому законы распределения
с одной единственной точкой роста мы будем называть несобствен-
ними, законами; напротив, всякий закон, имеющий по меньшей
мере две точки роста, мы будем называть собственным.
Закон распределения е(л;) величины х, единственным воз-
можным значением которой является нуль, определяется так:
Очевидно, что совокупность всех несобственных законов содер¬
жится в выражении г(х— а), где алюбое вещественное число.
Для любого закона F (х) и любого вещественного а имеет
место соотношение
вещественной переменной t называется характеристической
функцией случайной величины х или соответствующего ей закона
распределения F{x). Так как написанный интеграл во всех слу¬
чаях абсолютно сходится, то каждая случайная величина (каж¬
дый закон распределения) имеет характеристическую функцию,
определенную для всех вещественных значений t.
Перечислим прежде всего ряд общих свойств характеристи¬
ческих функций, непосредственно вытекающих из определяю¬
щей формулы (1).
F (а + е) — F (а — г) > 0.
F (х) -д- 6 (х — a) = F(x — а),
в частности,
Ш/(°)в1; i/wi■>1 (-<*> <*< + *>)-
! 2| f(t) есть непрерывная функция.

10
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
| 4| Если случайной величине х соответствует характери¬
стическая функция f(t), то случайной величине ах-\-Ь, где а
и Ь —любые вещественные числа, соответствует характери¬
стическая функция }{at)eibt. В частности, величине —х соот¬
ветствует в силу | 31 характеристическая функция f(t).
I 5 j Симметричному закону распределения Е{х) соответ¬
ствует вещественная и притом четная характеристическая
функция
f(t) = j cos txclF(x).
| 61 Если fft) ( 1 < i < n) — характеристические функции, a
П
с n) — неотрицательные числа, для которых = 1,
/1
П
т0 Ъ\Ш) также есть характеристическая функция.
i Л
5.	Три основные теоремы. Широкое применение ха¬
рактеристических функций в теории вероятностей основывается
главным образом на следующих трех теоремах, которые мы
приводим здесь без доказательства1).
| 71 Т е о р е м а единственности. Всякий закон распре¬
деления F(x) однозначно определяется заданием соответствую¬
щей ему характеристической функции fit); при этом имеет
место „формула обращения“
с
2)	F (х) - F (0) = ■ 1. lim Г 1_ ;; fit) dt.
С—J	11
—с
j 8 j Т е о р е м а у м ножения. Пусть хг, х2,..., хп — взаимно
независимые случайные величины, характеристические функции
которых суть соответственноf^t), /3тогда вели-
п
чина^х,. имеет характеристическую функцию
/(*) =/i (0/а (*)•••/*(*)•
i 91 Предельная теорема. Если последовательность за -
конов распределения Fn(x) (лг = 1, 2,...) стремится при я->ос
к предельному закону Е(л), то последовательность fn(t) соот¬
ветствующих характеристических функций равномерно в лю¬
бом конечном интервале переменной t стремится к характе¬
ристической функции f{t) закона F(х). Обратно, если последо¬
вательность характеристических функций fn (t) равномерно
в любом конечном интервале стремится при п-^оэ к некоторой
х) Литературные указания см. в конце книги.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
11
функции f(t), то эта последняя есть характеристическая функ¬
ция некоторого закона распределения F(x), причем
РЛ*)->Р(х) {п-^оо).
Приведенные нами теоремы показывают, что характеристи¬
ческие функции обладают существенными преимуществами перед
другими принятыми в более старых исследованиях величинами,
характеризующими законы распределения (моментами, адъюнкта¬
ми Лапласа и т. п.). Прежде всего, характеристическую функцию
имеет каждый закон распределения. Далее, каждый закон
определяется своей характеристической функцией однознач¬
но (теорема единственности), причем это соответствие сохра¬
няется в пределе (предельная теорема). Наконец, сложению
взаимно независимых случайных величин (и, следовательно,
композиции их законов распределения) соответствует простое
перемножение их характеристических функций (теорема умно¬
жения). Именно это последнее обстоятельство заставляет обра¬
щаться к характеристическим функциям в исследованиях, свя¬
занных с суммированием взаимно независимых случайных величин,
ибо сами законы распределения компонируются при этом слож¬
ным и малоудобным образом, в особенности при наличии боль¬
шого числа слагаемых.
6.	Следствия из основных теорем. Мы должны
теперь отметить несколько важных для всего 1 дальнейшего
следствий из только что приведенных теорем.
Прежде всего, из теорем |4| и j 81 очевидно непосредствен¬
но следует, что
|10| если f(t) есть характеристическая функция закона
F(xj, то |/(£)|2 есть характеристическая функция закона
F*{x) = F{x)*[\-F{-x)\,
которому подчиняется разность двух взаимно независимых
случайных величин, распределенных по закону F(x).
Далее, пользуясь теоремой единственности, легко устано¬
вить следующее обращение теоремы |5|:
|11| Вещественной характеристической функции всегда соот¬
ветствует симметричный закон распределения.
В самом деле, если f(t) есть вещественная характеристи¬
ческая функция случайной величины х, то в силу теоремы | 4 |
случайная величина —х имеет характеристическую функцию
f{t)=f(t)\ в силу теоремы единственности поэтому величины х
и — х распределены одинаково, т. е.
F(x) = l-F{-x),
где F(x)— закон распределения величины х; но это и означает,
что закон F(x)—симметричный.

12
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
7.	Характеристические функции важнейш и \
распределений. Мы приведем теперь таблицу характери¬
стических функций для важнейших законов распределения. Чи¬
тателю, незнакомому с этой таблицей, мы рекомендуем соста¬
вить ее самостоятельно.
1) Несобственные распределения. Закону г(х — а) соответ¬
ствует характеристическая функция еш. В частности, харак¬
теристическая функция закона г (л:) тождественно равна еди¬
нице.
2) Распределения с конечным и счетным числом возможных
значений. Если случайная величина х может принимать только
значения aiy а2У... (в конечном или счетном числе), причем ве¬
роятности этих значений соответственно равны р1У	то
характеристическая функция величины х имеет вид
4) Закон Пуассона. Это — частный случай распределения со
счетным числом возможных значений. Пусть случайная вели¬
чина х может принимать лишь значения вида foc + P, где аир —
неизменные вещественные числа, a k = 0, 1, 2,..., и пусть
где X — постоянное положительное число. Такой закон распре¬
деления называется законом Пуассона. Как мы увидим дальше,
законы Пуассона будут, наряду с законами Гаусса, играть ос¬
новную роль в нашем изложении. Характеристическая функция
закона Пуассона имеет вид
k
3) Закон Г аусса
имеет характеристическую функцию
е 3
Р(х=Аа + р) = <Г^,
5) Закон Коши
F(x)= Ifjftp —Jrerctg*.

БОЛЕЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
!3
имеет характеристическую функцию
q — a\t\ + ibt в
6) Показательный закон распределения
{l— (х > 0),
где X. — любое постоянное положительное число, имеет харак¬
теристическую функцию
'• (Ч-it) \
Х*-И2	'	у.— if
7) Равномерное распределение в конечном интервале. Закон
распределения
0 (*<-/),
F(x)=
27 {x + l) (—/<*</),
1	(1<х),
где /— любое положительное число, имеет характеристическую
функцию
sin It
§ 2. Более новые результаты
8.	Две элементарные теоремы. Предложения, кото¬
рые будут рассмотрены в настоящем параграфе, не принадле¬
жат уже к числу вошедших в учебные руководства; поэтому
мы даем их с полными доказательствами. Прежде всего дока¬
жем две важные леммы элементарного характера.
! 12| Если f(t) — характеристическая функция и если суще¬
ствует такое положительное число а, что
то
f{t) 1 = 1 (|*|	а),
№ = e,at,
где а — вещественная постоянная (т. е. f(t) есть характеристи¬
ческая функция несобственного закона).
Доказательство. Если закон распределения F(x), кото¬
рому соответствует характеристическая функция f(t), — соб¬
ственный, то он имеет по меньшей мере две точки роста; пусть
и а2 (аг < а2) — такие точки. Обозначим через т положитель¬
ное число, удовлетворяющее неравенствам
2п
т .... а и т <	;

14	ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ	ФУНКЦИИ
так как !/(т)! = 1, то
где X—некоторое вещественное число; отсюда
1=<г'7(т) = fei(zx-l)dF(x)t
и, следовательно, сравнивая вещественные части,
j { 1 — cos (тл: — X)} dF (х) = 0;
так как подинтегральная функция неотрицательна, то она должна
в силу этого соотношения обращаться в нуль в каждой точке
роста функции F(х); в частности, мы должны иметь
cos (та£. — >ч)= 1	(/=1,	2),
откуда
щ = \ + (i = 1, 2; kv k% — целые);
но это дает
т (а2 — aj = 2т; (fe3 —	> 2тс,
что противоречит выбору числа т.
jl3| Если fit) — вещественная характеристическая функция,
то для любого t
1 —/(20	4{1 -fit)}-
Доказательство. Пусть F(x) — закон распределения,
имеющий f{t) своей характеристической функцией; тогда в
силу вещественности fit),
1 —fi%t) = f(l — cos2tx)dFix) = 2 j sin 2txdFix) =
= 2j (1 + cos tx) (1 — cos tx) dF{x) '
< 4 f(l — cos tx) dF(x) = 4 {1	.
9.	Главный аргумент характеристической функ¬
ции. Пусть f{t) — характеристическая функция, не обращаю¬
щаяся в нуль в интервале \ t\~Ca. Тогда, полагая
(3)	f(t)	=	\f(t)\eiw«\
мы можем считать функцию wit) непрерывной в интервале
|£| <а; примем в дополнение к этому ^(0) = 0; однозначно опре¬
деленный этими условиями в интервале \t\<a аргумент w(t)
характеристической функции f{t) мы будем называть ее глав¬
ным аргументом. Таким образом каждая характеристическая
функция имеет главный аргумент, однозначно определенный
в любом интервале \t\ С а, в котором эта функция отлична от

БОЛЕЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
нуля. В дальнейшем, когда будет итти речь о главных аргу¬
ментах тех или иных характеристических функций, мы без вся¬
кого специального упоминания будем подразумевать, что все
высказывания относятся к любому интервалу |£|<а, в кото¬
ром все рассматриваемые функции отличны от нуля. Точно
так же, представляя данную характеристическую функцию в ви¬
де (3), мы всегда будем понимать под w(t) ее главный аргумент
(и, следовательно, предполагать, что рассматриваются лишь зна¬
чения ty принадлежащие некоторому интервалу \t\Ka, в кото¬
ром данная функция отлична от нуля).
Отметим, чтобы не возвращаться к их доказательству впо¬
следствии, следующие элементарные свойства главного аргумента.
j 14| Главный аргумент произведения нескольких характери¬
стических функций равен сумме главных аргументов сомножи¬
телей.
Доказательство. Пусть характеристическая функция/^) =
= \f(t) | elk0{t) есть произведение п характеристических функций
fk{t) = \fk{t)\elWkyt) (1 < k < п). Тогда мы, очевидно, должны иметь
(4)	w(t) j^wk(t) = 2rJ(t)y
ki
где l(t) — целое число; так как w (0) = wk (0) = 0 (1<&<я), то
/(0) = 0;а так как левая часть равенства (4) непрерывна, то
l(t), будучи целым числом, должно быть тождественно равно
нулю, ч. и тр. д.
115| Если последовательность характеристических функций
/п(0 = l/n if)! elWn('t) (п= 1, 2,...) равномерно сходится к харак¬
теристической функции f{t) — \f{t)\elw^t) в интервале
в котором f(t)d\z 0, то
wn it) ->w(t) (л -> со) [\t\< а]х).
Доказательство. Из условий теоремы очевидно следует,
что
(5)	да	(t) — wH (t) = 2т: ln (t) + sn (t),
где ln(t) — целое число, a
en(t)-> 0 (n > oo) [\t\<a\.
При достаточно большом n левая часть равенства (5) непрерывна,
а правая сколь угодно мало отличается при |£|<а от целого
кратного 2т:; значит, ln(t) должно при достаточно большом п со¬
хранять постоянное значение для 111 < а; но 1п (0) может, очевидно,
*) Эта запись означает (см. стр. 7), что стремление к пределу имеет место
Равномерно в интервале

1(5
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
при достаточно большом п быть только нулем; поэтому при
достаточно большом п
w(t) — wn(t) = sn(t)->0 (л->со) [|*|«ej,
ч.	и тр. д.
10.	Бесконечно малые случайные величины. Слу¬
чайная величина хп, зависящая от параметра л, называется бес¬
конечно малой при п—> оо, если ее закон распределения Fn(x) при
п—* оэ стремится к закону s(л:), или, что то же, если для лю¬
бого е>0
Нш Р(|х„|>е) = 0.
/2-> СО
Если fn(t) есть характеристическая функция случайной вели¬
чины х„, то из этого определения мы в качестве частного слу¬
чая предельной теоремы ]_9J находим:
jl6] Для того чтобы случайная величина х„ была при п—> оо
бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы при п —> оо
для любого Т> 0 имело место соотношение
/„(*}-» 1 [| t\<T).
Очевидным следствием теорем |15| и |16| является, далее, сле¬
дующее предложение:
|17| Главный аргумент характеристической функции беско¬
нечно малой случайной величины стремится к нулю равномерно
в любом конечном интервале.
Более общий случай поведения величин хп мы имеем, когда
величины эти при п—> оо с подавляющей вероятностью прибли¬
жаются к некоторым числам ап, т. е. когда существует такая
последовательность вещественных чисел аи а2, ..., ап, ...,что
величина хЛ — ап бесконечно мала при л—> оо. Для этого случая
также нетрудно установить критерий в терминах характеристи¬
ческих функций.
118| Для существования последовательности вещественных
чисел ап, для которых случайная величина хп— ап бесконечно
мала при п—> оо, необходимо и достаточно существование та¬
кого положительного числа а, что
(6)	IAWH1 {п—> оо) [\t\Ca].
(При этом fn{t) попрежнему означает характеристическую функ¬
цию величины хп.)
Доказательство. Необходимость условия очевидна, ибо
в силу теоремы jl6j из бесконечной малости величины хп — ап вы¬
текает, что соотношение

БОЛЕЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ	17
а следовательно, и соотношение |/п(£)|—>1 при п—>оо имеет
место равномерно в любом конечном интервале переменной t.
Для доказательства достаточности условия (6) заметим прежде
всего, что из него следует
(7)	!/«(*)	1а“*	1	(Л-» со) [|*|<Л].
Но в силу теоремы |10| \f{t)\2 есть (вещественная) характе¬
ристическая функция; применяя к ней теорему |13|, мы убеж¬
даемся, что соотношение (7) должно иметь место равномерно
в интервале |£|<2а; а повторяя это рассуждение, мы прихо¬
дим к выводу, что соотношение (7) (а следовательно, и соотно¬
шение (6)) выполняется равномерно в любом конечном интер¬
вале.
Пусть теперь хп и уп — две взаимно независимые случайные
величины, каждая из которых имеет fn(t) своей характеристи¬
ческой функцией; тогда разности хп— уп соответствует харак¬
теристическая функция \f(t) |2, а потому в силу теоремы |16|
эта разность бесконечно мала при п—> оо. Выберем (что всегда
возможно) число ап так, чтобы выполнялись неравенства
Р(У«>а„)>Т’ р(У»<а«) >т;
тогда при любом s>0
р (х„ — Уп > в) = р {(хи — а») - (У, — а„) > S} >
> Р(х„ —а„>е, у„<аи)>Тр(Хп_ап>е);
так как левая часть по доказанному стремится к нулю при
п—»оо, ТО
Р(хм — ап > е)-»0 (п—> оо);
подобным же образом легко убедиться, что
Р(х„ —ап< —г)^0 (л-»со),
откуда и следует, что случайная величина хп—ан бесконечно
мала при п—> со; этим теорема |18| доказана.
Пусть теперь случайная величина хп имеет характеристи¬
ческую функцию
fn(t) = \m\eiWn(t\
и пусть эта функция при п—> оо удовлетворяет условию (6);
тогда величина хп — ан имеет характеристическую функцию
fn{t)e-‘*nt=\fn{t)\ei[Wn(t)-*nt ■
причем, очевидно, wn(t) — ant есть ее главный аргумент; если
при этом (что возможно в силу теоремы |18|) числа ап выбраны
2. Хинчин

18	ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ	ФУНКЦИИ
так, что случайная величина х„— ая бесконечно мала при
п-^со, то в силу'теоремы (17| при любом Т> О
Wn(t)~	(л-»оо)	[j*|<7].
Таким образом,
|19| если модули некоторой последовательности характери¬
стических функций равномерно в некотором интервале |£|<а
стремятся к единице, то главные аргументы этих функций
равномерно в любом конечном интервале бесконечно мало от¬
личаются от некоторых линейных функций.
Это предложение можно в известном смысле рассматривать
как обобщение теоремы |12|, утверждающей, что в случае когда
модуль характеристической функции в некотором интервале
|	< а равен единице, главный аргумент ее есть линейная
функция.
С помощью этой теоремы можно, далее, существенно уси¬
лить теорему |16|, а именно доказать, что
|20| если существует такое положительное число а, что
характеристическая функция величины хн при п—>сс стре¬
мится к единице равномерно в интервале |£|<а, то вели¬
чина хм бесконечно мала при п—>оэ.
В самом деле, в условиях теоремы
(/„(ОН1 (я-»») [/!<«];
обозначая поэтому через wn(t) главный аргумент функции fn(t)
и через ап — надлежащим образом выбранное вещественное
число, мы будем иметь в силу теоремы |19] при любом 7">0
(8)	w„(t)	—	tan-+	0	(п —» со) [|*| <7];
но из соотношения
/„(0 = 1 /„(0|^°-1	(п->со)	[|*|<в]
в силу теоремы |15| следует, что
wH(t)->0 (л-»схэ) [|*|<а];
поэтому соотношение (8) дает
*а„—>0 (л—» со) [|*|<а],
и, следовательно,
а„->0 (ге-> со);
а так как при п—>со величина х„— бесконечно мала, то и
величина х„ должна быть бесконечно малой.
Однако в направлении теоремы 119] можно доказать значи¬
тельно дальше идущее утверждение. Для бесконечно малой

БОЛЕЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ	Ш
разности wn(t) — а,/, как мы теперь убедимся, можно, принад¬
лежащем выборе чисел ап, установить и некоторый определен¬
ный порядок ее малости, зависящий только от того, на¬
сколько быстро функция \fn(t)\ стремится к единице. Эта связь,
являющаяся предложением значительно более глубоким, чем
теорема |19|, понадобится нам в дальнейшем при изучении сумм
случайных величин.
|21| Пусть модули некоторой последовательности fn(t) ха¬
рактеристических функций удовлетворяют условию (6); тогда,
сколь бы мало ни было е>0, при любом Т>0 и достаточно
большом п будет иметь место неравенство
+	[\t\<	Т],
где wn{t)— главный аргумент функции fn(t).
Доказательство. В силу теоремы |19| существуют такие
вещественные числа ап, что при любом Г>0
*М*) —0 (я-> со) l\t\ < 7];
а так как
wAt) — twn{\) = {wn(t) — tan} — t {w„(l) - a„},
то отсюда следует, что
(9)	Wn(t)-twn{	l)-»0	(л^оо)	[\t\<T\-
поэтому, полагая
wrn(t) = wn{t) — twn(\),
=	(t)\	eiw"(t\
мы будем иметь
/ДО-» 1	{п->	со)	[|f|	<	а};
в силу теоремы |20| отсюда следует, что соответствующий за¬
кон распределения
(10)	/^(*)	= FJ* +®п(1))->г(л:) (ft => со).
Пусть теперь дано произвольно малое положительное чис¬
ло а, которое мы точнее определим впоследствии; предполагая
пока только a < 1, мы можем, очевидно, определить число он > 0
так, чтобы имели место неравенства
(11)	/ dF*n(л)> a2,	/	dF*a(x)<*\
1*1 >	1*1	>	оп
Тогда из соотношения (10), очевидно, следует, что 8«—>0 при
л—> со; мы можем поэтому предположить с самого начала л
столь большим, что, во-первых,
(12)	Sn<°»

20
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
и, во-вторых,
(13)	/	dK(x)<\ а2.
|л; > 2тс—оп
Тогда в силу (11) и (13)
1 ~ I /» (1)1 = 1 ~fn (1) =/0 — cosх) dF* (х) >
> j	(1 — cos х) dF*n (х) >
Ъп < I х I < ^ — Ьп
> (1 - cos 5 J |	/ dF* (х) — f	dF* (x) \ >
I i x; >sn	|	.v; > 2--5n	1
>
причем здесь и в дальнейшем мы под сь сг, с3, ... будем под¬
разумевать положительные числа, зависящие самое большее
от Т. В силу (12) отсюда следует, что
8;-84; < .<= -J о -|/n(‘)lI.
а потому
(14)	8*<с,а/1-|/п(1)|.
Полагая в дальнейшем для краткости
1-1 А(*)1=М*)
и пользуясь неравенством Шварца и вторым из неравенств (11),
мы находим
( j smtxdF*(x) Г< J dF‘n(x) J sinHxdFl(x)^
\ I X I > Од	J	x	I	>	I	X	I	>	Oft
<a2 J (l+cos£x)(l— cos tx) dF*n {x) <
I ■' I > 8»
< 2a2J (1 — cos tx) dF*n (x) =
= 2a2 {1 — | fn(<)| cos w*n{t)} <
.< 2a2 { (f) +1 — cos w*n (t)}
<2a2{A„(^ + l^;2W} =
(15)	=a2{2	(*)+«'?(*)}•

БОЛЕЕ НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
21
В частности, при t= 1 мы находим
f sin х dF*n (х) < a V2'in (1);
* 1 > %
а так как
то и
(16)
/ sin xdF*n(x) = |/„(1)| sin w*n(\) = О,
I sin xdF*n(x) ajA2A„(l).
I * I <
Соотношение (9) может быть записано в виде
w*n(f)—>0	(я-»	оо)	[|£|<Г];
поэтому неравенство (15) показывает, что при достаточно боль¬
шом п и 1t1 -4 Т
<
(17)
<2 f sin txdFn{x) +2a |ге>я(01 + 2а/2Д„(£);
|.v|<6„
но так как при t\] ' T
| sin tx^-t sin л: | < c31 x |s,
то в силу неравенств (16) и (14) при i^|<7’
I / sin tx dFn Ос) I < j 11 f sin x dF*n (x) -j- c38® <
I V | < 5n	1	•	I	л	|	<	8n
< 7а/2Д 7(!) +с3с3ч /д„ (1) =
= с,а/Дя(1);
поэтому, предполагая а<~, мы заключаем из неравенства (17),
что
откуда
тI w* (t) | С 2a/2Д„(f)+2ctz/д„(1) (\t\<T),
|«»;(^|<С5а{/дЛ1) + /Д^} (|*|<l7);
выбирая, наконец, a < — , мы видим, что теорема |21| доказана.
Чтобы дать в этой главе хотя бы одну иллюстрацию при¬
ложений ^установленных нами свойств характеристических функ¬
ций, докажем одну элементарную теорему о суммах независи¬
мых случайных величин, которая нам понадобится в даль¬
нейшем.

22
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
|22| Пусть s,, sa,..., s*,... — последовательность случайных
величин, причем sk = Xci + х*2+ ... +х*„л (л*—»оо при 6—> оэ),
где xki (1 <; i : nk)— независимые между собою случайные ве¬
личины, подчиненные одному и тому же закону распределения
Fk (х). Если тогда закон распределения Фк (х) величины sk стре¬
мится при к—> со к некоторому предельному закону Ф(х), то
величины хш бесконечно малы при к—> оо.
Доказательство. Обозначая соответственно через
/,(0=1/,(01^(°.	%(t) = \b(t)\eiu,*{t> и «p(*) = l<p(*)|e'“(0
характеристические функции законов Fk(x), Ф^О*;) и Ф(х), мы,
очевидно, имеем для любого k
ъ(*) =
и, далее, для любого Г>0
%(*)->*(*) {к-* со) [;/	71,
откуда в силу теорем 14! и |15|
шк (*) = nkwk (*) -» ш (О (Л -> оо),
равномерно в любом интервале \ t\ -с а, в котором <р (£) ф 0.
Отсюда при к—
(18)	wk	(t)	= -Д--- -»0	[ | t\ < а]';
с другой стороны, при /г—>со
Ы0!НЛ(*)Г*->Ы01 [|*|<а],
и, следовательно,
(19)	\fk(t) |->1 [\t\Ca\.
Из (18) и (19; следует, что при »со
1	[Ul<-a],
а это в силу теоремы |20| показывает, что величины xki беско¬
нечно малы, ч. и тр. д.

ГЛАВА II
БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 3. Определение и основные свойства
Как показали исследования последних лет, в теории сумми¬
рования взаимно независимых случайных величин основную роль
играет один класс законов распределения, который и для це¬
лого ряда других важнейших задач теории вероятностей имеет
фундаментальное значение. Поэтому, прежде чем перейти к
систематическому изложению теории суммирования независи¬
мых случайных величин, мы должны подробно изучить основ¬
ные свойства этого класса законов.
Условимся называть закон распределения Ф(х) безгранично
делимым, если, каково бы ни было натуральное число п, слу¬
чайная величина х, распределенная по закону Ф(х), может быть
представлена как сумма п взаимно независимых и одинаково
распределенных случайных величин. Очевидно, что это опреде¬
ление равносильно следующему: характеристическая функция
безгранично делимого закона при любом натуральном п есть
п-я степень некоторой другой характеристической функции.
Докажем прежде всего следующее важное свойство безгра¬
нично^ делимых законов:
|23j Характеристическая функция y(t) безгранично дели¬
мого закона нигде не обращается в нуль.
Доказательство. По определению безгранично делимых
законов мы имеем при любом натуральном п
(20)	<f(0	=	{'p„wr>
где 4)n(t) — некоторая характеристическая функция. В силу тео¬
ремы |22| случайная величина хп, которой соответствует харак¬
теристическая функция <рп (£),[бесконечно мала при п —> оо; поэтому
в силу теоремы |16| при любом Г>0
¥п(0_>1	(я-»оо)	[\t\<T\,
и, следовательно, при любом t и достаточно большом п
?»(0 Ф о,
откуда в силу (20) <р(£)ф0, ч. и тр. д.
Полагая
¥(0=1? (01 ег“(0, <?„ (0 = | <fn (t) | ei<u« *>,

24
БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
мы можем в силу только что доказанной теоремы считать о>(£)
и	главными	аргументами соответствующих функций при
всех значениях t\ при этом в силу теоремы |14|
таким образом,
|24| если. <р (t) = | <f (t) | есть характеристическая функ¬
ция безгранично делимого закона, то единственная характе¬
ристическая функция fn(t), удовлетворяющая соотношению
{¥»(*) Г = <Р(*Ь
есть
JL . ш(/>
Чп(Ъ = \ч№\яе~.
В ^дальнейшем под	где <р(0 — характеристическая
функция безгранично делимого закона, а X— любое веществен¬
ное число, мы всегда будем понимать выражение	е1Ш^\
|25| Если y(t) — характеристическая функция безгранично
делимого закона, то {<р(£)}х есть характеристическая функ
ция при любом X > 0.
В самом деле, для X == -i-, где п — любое натуральное чи¬
сло, это непосредственно следует из теоремы |24|; отсюда, по
теореме умножения, наше утверждение справедливо для лю¬
бого рационального Х>0; наконец, в силу непрерывности функ¬
ции <р(£), при иррациональном X функция {<р (£)}* может быть рав¬
номерно в любом конечном интервале аппроксимирована функ¬
циями {<р(0Г с рациональными X', откуда в силу предельной
теоремы теории характеристических функций и вытекает спра¬
ведливость нашего утверждения в общем случае.
Для характеристики совокупности безгранично делимых за¬
конов имеет интерес следующая теорема, показывающая основ¬
ную роль, которую во всей теории этих законов играет закон
Пуассона.
|26| Совокупность безгранично делимых законов совпадает с
совокупностью законов, предельных для конечных композиций
законов Пуассона.
Иначе говоря, для того чтобы закон распределения Ф(л:)
был безгранично делимым, необходимо и достаточно суще¬
ствование такой последовательности законов распределения
ф(т>(д;) (/71= 1, 2, ...), чтобы Ф<т)(х) —»Ф(х) при т у оо и что¬
бы каждый из законов Ф<т) (л:) был композицией конечного числа
законов Пуассона.
Доказательство. 1. Пусть Ф(ш)(л:) (т= 1, 2, ...) — ком¬
позиция конечного числа законов Пуассона; соответственная

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА	25
характеристическая функция очевидно может быть представ¬
лена в виде
Nm
2Л	О
<р(т) (*) = е	,
где >.£—положительные, a ak — любые вещественные числа.
Пусть Ф<т)(х) —>Ф(я) при т—*<х> и пусть (р(*) — характеристи¬
ческая функция закона Ф(х); тогда, очевидно, при любом Т> О
<р (*) = lim <p(m) (*) [ 111 < T].
m-> oo
Положим теперь
S? f 'k /	14
&T (' *-'>
Vi -= t?
где и —любое натуральное число; очевидно, что для любого
Г>0
_1
(21)	lim	\^m)(t)\	=	\<f(t)\n	[|*|<Л,
oo
и, следовательно,
1
lim |^m)(0l2= {IfWlV [\t\<T];
m-> oo
но | *?>(*) I* в силу теоремы |10| при всяком m есть характери¬
стическая функция; поэтому на основании предельной теоремы
1
и {\ч(£)\2}П есть характеристическая функция; а так как число п
произвольно, то \y(t)\z есть характеристическая функция без¬
гранично делимого закона; поэтому в силу теоремы ]23| у (t)
нигде не обращается в нуль.
Полагая теперь
Ч(п\ t) = | <? <Г> (*) I е^%>,	*(m)	(*)-	I	<p(m)	(t)	|eto(e,)(<’,
4(t) = \y{t)\eim(t\
Mti в силу теорем |14| и 1151 можем утверждать, чтоприт—с^
(22)	ш(т> (0 = W„m) (*) -* ш (*) [ | * | < Т].
Из соотношений (21) и (22) следует:
•	—	i
in)(t)=\^\t)\ev>n °^\4(t)\ne п (да-»оо) [|*|<Т];

'-(>	БЕЗГРАНИЧНО	ДЕЛИМЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
з силу предельной теоремы правая часть этого соотношения
есть некоторая характеристическая функция; обозначим ее че¬
рез <5>п (/)■, тогда
{¥»(*)}“ = ?(*) (л-1,2,...),
откуда и следует, что закон распределения Ф(л')— безгранично
делимый.
2. Пусть теперь, наоборот, известно, что
?(*) = |?(*)|ем<>
есть характеристическая функция некоторого безгранично де¬
лимого закона; в силу теоремы |24|
1 i
где п любое натуральное число, также есть характеристиче¬
ская функция некоторого закона распределения Фп(я); таким
образом
(23)	*„(*)=	/	Г'Л	й№н	(х).
Полагая для любого t
ig т (0 = >g I <р (() I +	(0.
мы, очевидно, будем иметь при любом Г>0
Ит я {?„(*) — 1} = lg?(*) ПЛ < Л -
П—> оо
откуда
Cf (^) = \lmen(-nW~v< [|Г<Л,
Я-> оо
л. следовательно, при любом £>0 и достаточно большом п
(24)	|Сг	(|(| :: 7).
С другой стороны, равенство (23) дает
е
з потому при данных п и Т и достаточно большом m
m’- --fe

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
27
Сопоставляя это с неравенством (24), мы получаем
где положено 1к == Фп	—	Ф„(—\>0. Так как вычитаемое
в левой части последнего неравенства, очевидно, есть произве¬
дение конечного числа характеристических функций законов
Пуассона, а е может быть выбрано сколь угодно малым, то и
второе утверждение теоремы |2б[ доказано.
Из этой теоремы легко заключить, что
|27| закон, распределения, предельный для последовательно¬
сти безгранично делимых законов, также есть закон безгра¬
нично делимый.
В самом деле, для характеристической функции y(t) такого
закона при любом Т > 0 имеет место соотношение
где yn{t) {п= 1, 2, ... ) — характеристическая функция некото¬
рого безгранично делимого закона; в силу теоремы J26J суще¬
ствует поэтому для каждого п такая конечная композиция зако¬
нов Пуассона, характеристическая функция fn(t) которой удо¬
влетворяет неравенству
в силу теоремы |26| u(t) есть поэтому характеристическая
функция некоторого безгранично делимого закона, ч. и тр. д.
Заметим, наконец, что свойство безграничной делимости,
которое в силу теоремы |27| инвариантно относительно пре¬
дельного перехода, очевидно, является инвариантным также и
по отношению к композиции законов распределения (из y{t)=*
= ('in (О Г и <И0 = {(О Г следует <р (t) Ф (*) = {<р„ (*) Ф„ (t)}");
таким образом
)28j композиция любого числа безгранично делимых законов
есть также закон безгранично делимый.
§ 4. Каноническое представление безгранично делимых
законов распределения
|Щ Для того чтобы функция «(t) была характеристической
функцией некоторого безгранично делимого закона распределе~
(25)
<Р* (0-»*(*)	(п-^со)	[|*|	<	Г]
(26)
но из (25) и (26) следует
fn V) i (t) (n -> со) [ 11\ < T\;

28	БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ния, необходимо и достаточно, чтобы, логарифм ее мог быть
представлен в виде
(27)	\g f (£)=ф+/ ( ейа -1 - -ffy ^ d0 (») >
где y — вещественная постоянная, a G(n) — неубывающая огра¬
ниченная функция.
Это предложение имеет для теории безгранично делимых
законов еще большее значение, чем теорема |261. ; оно объеди-
няет все безгранично делимые законы в одной простой форхмуле,
где элементами произвола служат вещественный параметр 7 и
ограниченная неубывающая функция G(u), и тем самым делает
совокупность этих законов легко обозримой и доступной все¬
стороннему изучению.
Доказательство. 1. Пусть известно, что <&(t) есть ха¬
рактеристическая функция некоторого безгранично делимого
1
закона распределения, так что ?„(£)= {?(£)}л ПРИ любом п> 0
также есть характеристическая функция некоторого закона
распределения Фп(х); если п — число целое, то Фл(*) есть закон
распределения каждого из тех п взаимно независимых слага¬
емых, сумма которых имеет своей характеристической функ¬
цией ср (£).
Как мы уже видели при доказательстве теоремы |26|,
lg<p(£) = Итя{<рп(*) — 1} = lim f(eUx— 1)пйФп{х).
П->оо	п—J
Полагая
и
п/гТх* йФп <х) =
о
мы можем записать это соотношение в виде
(28)	lg	f	(t)	=	lim	IJt),
оо
где
Ш = / (е‘7" — ^)~^dGn(u)\
при этом соотношение (28) имеет место равномерно в любом
конечном интервале переменной t.
Очевидно, что функция Gn(u)— ограниченная и неубыва¬
ющая. Положим
J dGn(и), Вп= J dGH(u),
I и I < 1	I	и	I	>	1
сп = Ап + Вп = J dGn (и).

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
29
Очевидно,
f(l-costu)l-±^dGn(u),
откуда, в частности,
(29)	-ШШ> /
1 — cos и
(l + u*)dGn(u)>cAn,
где с — положительная абсолютная постоянная. С другой сто¬
роны, для любого t
Но при я—» оо )RIn(t) равномерно в интервале 0<^<2 стре¬
мится к конечному пределу lg|<p(£)|; следовательно, полные
вариации Сп функций Gn(u) ограничены в своей совокупности;
а так как по определению Gn(0) = 0 (п = 1, 2,...), то и са¬
ми неубывающие функции Gn (и) ограничены в своей совокуп¬
ности.
Но известно, что из всякой последовательности равномерно
ограниченных неубывающих функций можно выбрать сходя¬
щуюся подпоследовательность. Пусть последовательность Gnk (и)
(nt < п2 < ...) сходится кГ функции G(u) (очевидно также огра¬
ниченной и неубывающей) во всех точках непрерывности этой
последней. Положим
(сходимость интеграла вытекает из определения функций
Gn(u)). Из соотношения (28) тогда следует, что
Так как подинтегральная функция ограничена, непрерывна и не
зависит от к, а функция Gnk (и) при 6—>оо стремится к неубы-
— dtln(t)> j (1 — costu)dGn{u)1
1 и | > 1
откуда
(30)
fm /„ (t) dt > 2Bn- J ^ dGn (a) > Bn.
0
Из соотношений (29) и (30) вытекает
о
(31) lg <р (t) = lim [ it'[k + f(e'
&~>эо (	J	\
jtu 	 J
1 + Uz

.30	БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
вающей и ограниченной функции G(u)f то последний интеграл
при	имеет	своим	пределом интеграл
тЩ т(“) ’>•
А в таком случае соотношение (31) показывает, что и '[к долж¬
но при к —>оо стремиться к некоторому пределу f; поэтому мы
в пределе получаем
=	- 1 -	dO (и),
где y—вещественная постоянная, a G(u) — неубывающая огра¬
ниченная функция; но это и есть формула (27).
2.	Покажем теперь, что, обратно, всякая функция <р (t)9 ло¬
гарифм которой может быть представлен в виде (27), есть ха¬
рактеристическая функция некоторого безгранично делимого
закона.
Пусть е < 1—произвольное положительное число. Так как
интеграл
1
С
по самому определению интеграла Стильтьеса равномерно
в любом конечном интервале	является	пределом сумм,
члены которых имеют вид
l(eitu — 1) — ity. (1>Q, и> 0, {> >0)
и, следовательно, представляют собой логарифмы характери¬
стических функций законов Пуассона, то по теореме |26| этот
интеграл есть логарифм характеристической функции некото¬
рого безгранично делимого закона; согласно теореме |27|, то же
самое справедливо и для интеграла
(32)
и > О
являющегося (равномерно для |£|<7') пределом предыдущего
интеграла при е—»0; подобным же образом мы убеждаемся,
что и интеграл
(33)	/(	- 1 -	^	dG (и)
	и	<	О
*) Строго говоря, для обоснования этого предельного перехода надо еще
установить, что при а~> оо
fdG„k{u)- 0
\и\ > а
равномерно относительно k\ читатель легко убедится в этом, установив для
написанного интеграла неравенство, аналогичное тому, с помощью которого
мы выше убедились в равномерной ограниченности величин В .

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
31
изображает логарифм характеристической функции некоторого
безгранично делимого закона; но правая часть формулы (27)
отличается от суммы интегралов (32) и (33) лишь выраже¬
нием вида
(где g*=G(4-0) — G(—0)), являющегося логарифмом характе¬
ристической функции некоторого закона Гаусса; так как законы
Гаусса, очевидно, безгранично делимы, то закон, характеристи¬
ческой функцией которого служит <р(£), является композицией
трех безгранично делимых законов и, следовательно, сам безгра¬
нично делим в силу теоремы |28|.
Этим доказано и второе утверждение теоремы [29j. Заме¬
тим еще, что в этом доказательстве ссылки на теоремы ]26| ,
|27| и |28| не являются существенными; в самом деле, проведенное
рассуждение и без этих ссылок во всяком случае показывает, что
правая часть формулы (27) всегда представляет собой логарифм не¬
которой характеристической функции; но отсюда непосредственно
следует, что закон, соответствующий этой характеристической
функции, — безгранично делимый; в самом деле, ~-\g <?(£), где
л -любое натуральное число, очевидно, изображается форму¬
лой того же вида (27) и, следовательно, также является лога¬
рифмом некоторой характеристической функции.
Убедимся теперь, что представление безгранично делимых
законов с помощью формулы (27) является однозначным.
|30| Представление (27) для характеристической функции
любого безгранично делимого закона является однозначным
в том смысле, что 1) постоянная определяется однозначно и
2)	функция G(u) определяется с точностью до произвольной
аддитивной постоянной среди всех функций с ограниченным
изменением на (--оо, + со) (причем две такие функции считаются
совпадающими, если они имеют совпадающие значения во всех
своих точках непрерывности).
В самом деле, пусть функция <р(£) удовлетворяет соотно¬
шению (27)., где G(u) на этот раз — любая функция с ограни¬
ченным изменением на (—оо, +°о). Полагая
нр
= J lg(p(a)da ~-21g<p(f),
мы находим из соотношения (27) элементарным вычислением
Д (t) = - 2 f eitu (l - dO (»),

32	БЕЗГРАНИЧНО	ДЕЛИМЫЕ	ЗАКОНЫ	РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
откуда, полагая
а
(34)
/(и) = 2 j[\ —	dQ{v)
о
имеем
(35)
= feitu dl (и).
Очевидно, что 1{и) — неубывающая функция с ограниченным
изменением, а потому формула обращения (2) (§ 1) справедлива.
Применяя эту формулу, мы находим
Это показывает, что для данной функции <р (t), представленной
в виде (27), функция 1(и) определяется однозначно. Но так как
т. е. разность G{u2) — G{ux) в случае ихи3>0 является одно¬
значно определенной.
Пусть теперь тождественно
где Gx(u) и G2(u) — функции с ограниченным изменением; тогда
в силу только что доказанного разность G2(u) — Gx(u) посто¬
янна при и > 0 и при и < 0; поэтому мы получаем тождественно
откуда = v2 и Gt ( + 0) — Gx(— 0) = G2(+ 0) — G2(— 0). Послед¬
нее равенство в сопоставлении с предыдущим результатом по¬
казывает, что разность G2(u)—Gx(u) постоянна всюду, чем
теорема ;30| и доказана.
Представление логарифма характеристической функции без¬
гранично делимого закона с помощью формулы (27) мы в даль-
1(“> = - к I '~ir~ л & dt
с
—с
выражение 1 — обращается в нуль только при *> = 0, то
из соотношения (34) при ихи2> 0 вытекает
ib* - ? {G, (+ 0) - G, ( - 0)} = tftt -1 {02 (+0) - G2 (-0)},

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
33
нейшем будем называть каноническим представлением этого
безгранично делимого закона. В силу доказанной нами един¬
ственности этого представления, каждому безгранично делимому
закону распределения Ф (л:) ставится во взаимно однозначное
соответствие некоторая ограниченная неубывающая функция
G(u); однако связь между этими функциями установлена нами
через посредство характеристический функции	и	потому
вероятностное значение функции G(u) представляется неясным.
Между тем на самом деле функция G{u) имеет для изучения
свойств данного безгранично делимого закона Ф(х) прямое и
важное значение, которое нам предстоит теперь выяснить.
Обозначим, как прежде, через Фп(л;) закон распределения,
которому соответствует характеристическая функция yn{t) =
1
= {4> (£)}", и положим, как в доказательстве теоремы |29|,
и
nj\TJ* ^ф«(-*) = °«(“) (« = 1,2,...)-
О
Мы видели, что функции Gn(u) ограничены в своей совокуп*
ности; это дало нам возможное^ выбрать из последовательно-
сти Gn (и) сходящуюся подпоследовательность G„k (и) (&= 1,2,..
предельную функцию которой мы и обозначили через G(u).
Теперь мы можем утверждать точнее, что
{36)	Urn	G,M) = G{u),
П-> оо
т. е. что вся последовательность Gn(u) сходится к функции
G(u).
В самом деле, если бы это было не так, то из последова¬
тельности Gn(u), очевидно, можно было бы выбрать подпоследова¬
тельность, сходящуюся к некоторой функции Gt (и), отличной
от G(u); но тогда мы получили бы, очевидно, для lgf(f) кано¬
ническое представление, в котором на месте G(u) стояла бы
функция Gt{u)y что в силу равенства G1(0)=G(0) = 0 и дока¬
занной нами единственности канонического представления явля¬
ется невозможным. Таким образом соотношение (36) доказано,
и мы имеем
и
(37)	G(u)	= lim п
П-Уоо J 1 ~ Л
О
Эта формула уже непосредственно связывает функцию 0(«)
с законами распределения Ф„(л:); сейчас мы выведем из нее одно
важное для теории безгранично делимых законов следствие.
|31| Полежим
—Л
С> <*) =f'rd0 («)• с»<*) = /	dG ;
Хинчин

34	ВЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
тогда при постоянном х>0 и при п—>со
1_Фn{X)„9igLt фп(_л)^Ь^.
Доказательство. Формула (36) дает при 0 <а<Ь и
п—> со
ъ	ь
я[Ф„(6)-Ф„(а)]=	dGn(u)->	J	l±f	dG(u),
а	а
откуда при лс>0 и п—юэ
я [1-Фп (*)]->/ Lt^dG(u)=C1(x) *).
X
Этим доказано первое из утверждаемых соотношений; второе
доказывается совершенно аналогичным образом.
Как мы видели ранее (при доказательстве теоремы |23|) слу¬
чайная величина, распределенная по закону Ф^С*;), бесконечно
мала при /г—>со; теорема |31| дает нам по этому вопросу го¬
раздо более точную информацию. В самом деле, утверждение,
что Фп(л;) является при п-~>со законом распределения беско¬
нечно малой величины, равносильно тому, что для любого л:>0
величины Фп(—х) и 1—Фп(х) стремятся к нулю при п—>сс;
теорема |31| показывает, что величины эти убывают (в общем
случае) асимптотически пропорционально пГ1; коэфициентами
пропорциональности служат величины С2(л:) и С2(х), убывающие
с возрастанием х; эти две функции связаны простыми соотно¬
шениями с функцией G(u), и в этих соотношениях находит
себе наиболее простое выражение та роль, которую функция
G(u) играет для данного безгранично делимого закона Ф(л;).
Отметим еще, что порядок убывания величин Фп(—х) и
1—Фп(^) ПРИ п—>°° и достаточно большом л;, очевидно, стано¬
вится быстрее, чем порядок убывания гГ1, если функция G (а)
постоянна влево и вправо от некоторого конечного интер¬
вала.
Примеры. 1. Закон Гаусса с характеристической функ¬
цией
<р (t) =
имеет функцию G(u), постоянную в области оО и в области
и< 0, причем
G (+ 0) — G (— 0) = 2g;
в самом деле, эта функция приводит (как мы уже неоднократно
замечали) к данному закону Гаусса; в силу же единственности
*) См. сноску Э на стр. 32.

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ	35
канонического представления другие функции G(u) приводить
к тому же закону не могут.
2. Подобным же образом легко убедиться, что закону Пуас¬
сона с характеристической функцией
ф(*) =
соответствует функция G(ti), единственной точкой роста кото¬
рой является а. Таким образом совокупность законов Гаусса и
Пуассона образует собой класс тех безгранично делимых за¬
конов, для которых функция G(u) имеет только одну точку
роста а; мы получаем закон Гаусса при ос = С;и закон Пуассона
при афО.
3. Пусть C(s) = C(3 + i£)—известная функция Римана, опре¬
деляемая при а > 1 рядом
оо
C(s) = 2 /Г*;
П— 1
покажем, что при любом постоянном а > 1 функция
С (а + it)
С Iff)
есть характеристическая функция некоторого безгранично де¬
лимого закона.
Известно, что при а > 1
igcw-Sp-5,
р, т
где т пробегает все натуральные, а р — все простые числа;
поэтому
(38)	lg«p(0 = £ р-т'(р-ш-\) = 2 р-т°(е-ш'*"-1),
р,т	р,т
откуда
?<о=П Г"'г
ру т
каждый множитель этого произведения есть характеристиче-
ская функция некоторого закона Пуассона, вследствие чего
<р (t) по теореме |26| есть характеристическая функция безгра¬
нично делимого закона; впрочем, это вытекает и из того, что
формула (38) представляет собою частный случай формулы (27);
мы предоставляем читателю определить соответствующую функ¬
цию О {и).

36	БЕЗГРАНИЧНО	ДЕЛИМЫЕ	ЗАКОНЫ	РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
4* Функция
'PW = 7i^1V (0 < а < 1)
1 — а е
есть характеристическая функция безгранично делимого закона.
Доказательство этого и определение функции О (и), а также
исследование соответствующего закона распределения мы пре¬
доставляем читателю.
С дальнейшими примерами мы встретимся в главе V.

ГЛАВА III
СУММЫ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
§ 5. Общая задача
Самая общая постановка задачи о природе законов распре¬
деления, которые могут служить предельными для сумм вза¬
имно независимых случайных величин, очевидно, может быть
формулирована следующим образом:
Пусть s„ s2,..., sft,... — случайные величины, подчиняю¬
щиеся соответственно законам Ft (х), F2 (х),..Fk (х),...; пусть
sk (6=1, 2,...) может быть представлено в виде
s* =	+*»	+	•••	+
где слагаемые правой части — взаимно независимые случайные
величины, причем nk~*оо при >оо; пусть, наконец, Fk(x) при
ft—>oo стремится к предельному закону распределения F(x);
требуется установить природу этого предельного закона F(x),
т. е. найти характеристический признак для тех законов
распределения F(x), которые могут выступать в только что
описанной роли.
Легко видеть, однако, что, будучи поставленной в такой
степени общности, задача становится банальной и не представ¬
ляет никакого интереса; любой закон распределения F(я) три¬
виальным образом может служить предельным в описанном нами
смысле; в самом деле, достаточно подчинить для этой цели
величину xkl (&= 1, 2,...) закону F(x), а каждую из величин
xki (k = 1, 2, ...; i > 1) —закону г(х).
Чтобы получить осмысленную постановку задачи, отвечаю¬
щую запросам теории вероятностей, нам необходимо учесть,
что по самому смыслу изучаемого нами круга проблем специ¬
фическая природа предельного закона F(x) должна опреде¬
ляться тем, что закон этот может служить предельным для
сумм возрастающего числа независимых случай¬
ных величин. Для введенных нами величин s* определяющим
должно быть поэтому то, что они являются именно такими
суммами; этот факт должен доминировать над природой того
или другого индивидуального слагаемого, входящего в s*.
Необходимо совершенно отчетливо уяснить себе смысл этого
требования; оно отнюдь не должно означать, что природа сла¬
гаемых xki должна быть безразличной для характера предель¬
ного закона F(x)\ так узко понимаемое, это требование лиши¬
ло бы проблему необходимой степени общности; разумеется,

38
СУММЫ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
меняя законы распределения всех или хотя бы только боль¬
шого числа слагаемых, входящих в s*,, мы должны иметь воз¬
можность в широких пределах варьировать закон распределе¬
ния самой величины s*, а значит, и предельный закон распреде¬
ления F(x). Но мы естественно требуем, чтобы, меняя в изве¬
стных достаточно широких пределах закон распределения
только одного из слагаемых суммы s,„ мы меняли бы тем
самым закон распределения этой суммы настолько незначитель¬
ным образом, чтобы это на предельном законе F (х) не отрази¬
лось; ибо в противном случае природа этого закона F(x), суще¬
ственным образом завися от закона распределения упомянутого
слагаемого, могла бы, как показывает приведенный выше при¬
мер, быть совершенно произвольной и никак не обусловли¬
ваться тем фактом, что величины sfe являются суммами без¬
гранично возрастающего числа взаимно независимых слагаемых.
Мы можем теперь формулировать наше требование уже в
совершенно точных терминах: слагаемые xki должны при >оо
быть бесконечно малы равномерно относительно i (1 < i < nk).
Действительно, очевидно, что при этом условии и только при
этом условии любая замена закона распределения любого инди¬
видуального слагаемого величины s* будет лишь бесконечно
мало влиять на закон распределения этой последней и потому
не окажет никакого влияния на предельный закон F(x). Поэто¬
му иногда это требование выражают также, говоря, что слага¬
емые xki должны быть индивидуально пренебрегаемыми в пре¬
деле.
Таким образом перед нами стоит задача: найти класс всех
законов распределения F(x), предельных для законов Fk (х), ко¬
торым подчиняются суммы sk, при условии, что слагаемые
хА.; (1 < / < пк) равномерно бесконечно малы при k—*<x>.
Мы покажем, что этот класс совпадает с совокупностью
всех безгранично делимых законов, определенных и исследован¬
ных нами в главе II.
Прежде всего ясно, что каждый безгранично делимый закон
Ф (л) принадлежит изучаемому нами классу; в самом деле, мы
можем подчинить величину sk (k = l, 2, ...) непосредственно за¬
кону Ф(а:) и считать ее суммой k взаимно независимых и оди¬
наково распределенных слагаемых xki (1	^	k), которые беско¬
нечно малы в силу теоремы |22| (или теоремы |31|).
Доказательство обратного предложения значительно сложнее.
Обозначим через Fkr{x) закон распределения величины xkr
(1 <3	и	через fkr(t) — соответствующую характеристиче¬
скую функцию. Характеристические функции законов Fk{x) и
F(x) будем обозначать соответственно через fk{t) и f(t). Мы
предполагаем слагаемые xkr (1 <г<яй) равномерно бесконечно
малыми при »оо; поэтому в силу теоремы |_16| при &->оо и
любом Т > О
(39)	fkr(t)-*	1	\Kr<nk,	т<Т];

ОБЩАЯ ЗАДАЧА	39
наконец, мы, очевидно, имеем при к—><х>
(40)	П	f*(*)	=fk(t)-*f(t) 11Л < Л •
f~~l
Требуется доказать, что fit) есть характеристическая функция
безгранично делимого закона.
Заметим прежде всего, что в силу (39) мы будем иметь при
достаточно большом k
Лг(*)*0 (1<г<я*, \l\ -Т),
а следовательно, и
А(Л = ПАЛЛФ0 (\t\ п
Г- 1
Поэтому, полагая
АЛО - If,At)\eiWh'X\ hit) = |/*(f)|«"*W,
мы мон^ем считать функции wkr(t) и wk(t) главными аргумен¬
тами соответствующих характеристических функций при 111< Т.
Введем теперь в рассмотрение вспомогательные функции
где положено
wkr= w*r(t) — twkril) (1 г < л*);
в силу теоремы |17| мы имеем при >оо
wkrit)^ О	U|<T],
вследствие чего, очевидно, и
(41)	®*.(0-»0	[1«г«га*,	| t\<T)
при /г —>оо; поэтому из (39) вытекает, что и
/*(*)-» 1 ik-^co) [1 <г<пк, |Н<Л;
таким образом случайная величина xkr — wkr( 1), имеющая, оче¬
видно, /£ (t) своей характеристической функцией, при »оо
бесконечно мала, и для ее закона распределения мы имеем со¬
отношение
(42)	/7йГ(л:)	=	/:;Дл:	+	^(1))-^б(х)	(k-юо) [1<г<дА].
В соответствии с общим соглашением, принятым нами в гла¬
ве I, мы в дальнейшем под АЛ0> ЛОТ А* гДе *—любое
вещественное число и |£|<Г, будем всегда подразумевать со¬
ответственно выражения
\hr it)	|	fk	{t)	j>•	I/* (t) f ^ (0.

40	СУММЫ	ПРОИЗВОЛЬНО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
Положим теперь для любого X (0 < X < 1) и для \t\ < Т
fZXt) =	W,	(0 +0-4} = ЛЮЩЮ,
Г-1
где *)
4W = П {мft (*) 11_>+о-ч [/*, (0 ] }.
Г— 1
Вводя обозначения
1-/;ло=^ло, 1-1лло1 = д,ло
мы, очевидно, будем иметь при k—>oo
/£(*) = {! -Д*л0}*'•!>-
= 1 + о{д,Л0} + о{|<Л0!} [1 <?/•<«*, ЛКП
откуда
(43)	|ф,Л012=	0{Д*Л*)} + 0 {«£(*)} [Кг «я* ККГ]
при k—> ОО.
Применяя формулу бинома, мы для каждого множителя про¬
изведения	(£) легко находим при k—» оо
(44)	х [/;ло ГЧо -О у;г К)Г=
= l+K(lf-^^r(t)+0{\^r(t)\} [1 <г<пк, \t\< Т\.
Допустим сначала, что все рассматриваемые характеристи¬
ческие функции вещественны и неотрицательны. В этом случае,
очевидно, просто
w*kr(t) = wkr(t) = wk(t) Е О,
fl (t) Е fkr (t), к (t) = 1 -U (t) = bkr (t) > 0,
и соотношение (44) дает при достаточно большом k
Л/г
2 ф»т(0
(К|<Г
полагая
КО = max ;bkr (t),
1 < г <
пк
]) wk (1) ==y^iwkv 0) В СИЛУ теоремы |14|.

ОБЩАЯ ЗАДАЧА	4Г
мы будем поэтому иметь
nk
^ Флг (О
l.;nw(^)<e	'=>	(|Л<Л;
НО
ig U (0 = ig {1 — Ьг (0} < - Ф*, (*),
откуда
bM<-'zfkAt) (1 </■<«*, U|< 7V
и, следовательно,
п*
-*<*(0 V ig/*,«о
1<п£>(*)«?	~	= [/ЮГМ0 (UK7-).
Отсюда по определению функции f^(t)
(45)	0	<	Я>	(t) —fh (t) = f\(t) { П W (t) - 1} <
^ЛЙШ^ОГ1**0-!} =	(U	I - Г).
Так как при &—»oo в силу (39)
''hr U)~>0 [1 < г < UI < T ],
TO и
(лЮ-*о fU|<T],
а потому неравенства (45) дают
да-Л(*)->0 (А-^оо) [UK Л;
но, с другой стороны, в силу (40)
(*-»«,) [|л<Л;
следовательно, и
№(t)-*f4t) (А->со) [|Л<Л;
а так как	при	любом	к	есть	характеристическая функция
(ибо каждый из составляющих ее множителей есть характери¬
стическая функция по теореме |6|), то в силу предельной тео¬
ремы [9J и /х(0 есть характеристическая функция; а так как
для любого натурального п
1
то f(t) есть характеристическая функция безгранично делимого
закона; таким образом для случая вещественных неотрицатель¬
ных характеристических функций наше утверждение доказано.
Перейдем теперь к общему случаю. Заменяя функции fkr(t)yfk (t),
fit) соответственно функциями \fkr(t)\2,	\fk(t)\2,	|/(^)|2> мы,

42	СУММЫ	ПРОИЗВОЛЬНО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ	ВЕЛИЧИН
очевидно, будем иметь дело с только что рассмотренным част¬
ным случаем; мы можем поэтому утверждать, что \f(t)\2 есть
характеристическая функция безгранично делимого закона. На
основании теоремы |23| отсюда следует, что f(t) нигде не обра¬
щается в нуль. Поэтому в выражении
мы можем под w(t) понимать главный аргумент функции f(t)
при всех значениях t; полагая
мы будем поэтому иметь при любом вещественном ).
(46)	(k^cv)	[К|<Г].
Вернемся теперь к оценке (43). Применяя теорему |21|, мы
находим
=	[1	<г<nk, IKKП;
поэтому соотношение (44) после логарифмирования и суммиро¬
вания по г (1	дает
т— 1
L
= Л	+ 2ls 1ЛгО)1 I I
1 г~1	г.Л	[	)
= 0{|ig|/*(OI + iglA(i)||} [\t\<n
Так как f(t)= lim А К) нигде не обращается в нуль, то отсюда
k ->оо
следует, что	при	k—>co	стремится	к нулю равномерно
в интервале |£|<Г; следовательно,
LЛХ) (О ~Л (0 = Л (0 { П£> (*) - 1} -»0 [ К | -С Т];
в силу (46) отсюда следует
(*->«>) [|*|<т],
а это соотношение буквально тем же путем, как в рассмотрен¬
ном ранее частном случае, приводит нас к выводу, что f(t) есть
характеристическая функция безгранично делимого закона. Та¬
ким образом теорема полностью доказана; мы формулируем ее
следующим образом:
 	nk
(321 Пусть случайная величина sk=^xkr есть сумма взаим-
Т— 1
но независимых случайных, величин xkri которые при k—* со бес¬

ЗАКОНЫ КЛАССА L
43
конечно мали равномерно относительно г (1 < г < nk). Если
тогда закон распределения величини sk при k—> оо стремится
к некоторому предельному закону, то этот последний безгра¬
нично делим; обратно, всякий безгранично делимый закон явля¬
ется предельным в указанном смысле.
§ 6. Законы класса L
Общая постановка задачи, рассмотренная нами в последнем
параграфе, принадлежит самому последнему времени; в класси¬
ческих исследованиях рассматривался почти исключительно част¬
ный случай этой задачи, соответствующий так называемым
„нормированным суммам" независимых случайных величин не¬
которой данной последовательности; впрочем, и для этой более
частной задачи, к рассмотрению которой мы сейчас перейдем,
полное решение было найдено лишь в самое последнее время.
Пусть дана последовательность
(47)	х„	х2,...,	хп>...
взаимно независимых случайных величин; положим
п
sn = 'SXft (й = 1> 2,...);
1
одной из классических задач теории вероятностей является
исследование тех условий, при которых существуют такие две
последовательности чисел Ап, Вп (п= 1,2,...), что закон рас¬
пределения „нормированной суммы“
(48)	J>--А.
при п—> оо стремится к некоторому предельному закону; при
этом Ап—любые вещественные, а Вп—любые положительные
числа. Равным образом ставится вопрос (который здесь нас
будет интересовать в первую очередь) о природе этого пре¬
дельного закона.
Если положить
(49)	х„*=~-(га = 1,2,...; 1<£<га),
п
ТО
S	п
g	S	^nk >
п	k=l
отсюда видно, что эта новая задача действительно является
частным случаем задачи, рассмотренной нами в предыдущем
параграфе; как и там, и по тем же самым основаниям, для при¬
дания этой задаче разумного смысла необходимо ввести пред¬

44
СУММЫ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
положение, что отдельные слагаемые нормированных сумм
равномерно бесконечно малы при я—»оо; таким образом основ¬
ной вопрос, связанный с описанным положением вещей, может
быть формулирован следующим образом: условимся говорить,
что закон распределения F(x) принадлежит классу L, если
существует такая последовательность взаимно независимых слу¬
чайных величин (47), что при надлежаще выбранных веществен¬
ных Ап и положительных Вп закон распределения величины (48)
стремится к F(х) при оо, причем величины (49) бесконечно
малы равномерно относительно k (1 <&<я); требуется найти
все законы класса L.
Из предшествующего ясно, что всякий закон класса L дол¬
жен быть безгранично делимым; обратное, однако, неверно,
так что класс L образует собой некоторую собственную часть
совокупности всех безгранично делимых законов. Уже в клас¬
сических исследованиях для получения закона Пуассона как
некоторого предельного „закона редких событий" приходилось,
как известно, пользоваться схемами, выходящими за пределы
общей схемы настоящего параграфа (но укладывающимися в еще
более общую схему § 5); и это не было случайностью, так как
мы скоро увидим, что закон Пуассона не принадлежит классу L
и, следовательно, не может быть получен как предельный закон
для нормированных сумм какой-либо последовательности неза¬
висимых случайных величин.
Поставленная нами задача отыскания всех законов класса L,
очевидно, заключает в себе известную неопределенность, так-
как характеристический признак принадлежности данного за¬
кона ^(лс) классу L может быть выражен в различных терминах.
В дальнейшем мы укажем два таких характеристических при¬
знака совершенно различной природы, каждый из которых имеет
весьма существенный интерес. Первый признак, который мы
дадим в настоящем параграфе, представляет собой критерий,
элементарно формулирующийся в терминах самого закона F(x).
Характер второго признака, который будет установлен в § 7,
совсем иной; так как всякий закон класса L безгранично делим,
то логарифм характеристической функции такого закона может
быть представлен в виде (27), где G(u)— ограниченная неубы¬
вающая функция; наш второй признак имеет целью дать то
характеристическое условие, которому должна удовлетворять
функция G(u)f чтобы закон, определяемый формулой (27), при¬
надлежал классу L; другими словами, этим признаком законы
класса L характеризуются с точки зрения их канонического
представления.
133[ Для того чтобы закон распределения F (х) принадле¬
жал классу Ly необходимо и достаточно, чтобы для любого
oi (0 < а < 1) этот закон мог быть представлен в виде компо¬
зиции закона fC^) и некоторого другого закона.

ЗАКОНЫ КЛАССА L	45
Доказательство. 1. Обозначим через f(t) характеристи¬
ческую функцию закона F(х); тогда закону	соответствует
характеристическая функция f(at), и доказываемый признак рав¬
носилен утверждению, что при любом а (0<а<1)
где yjt) — также характеристическая функция*
Пусть это условие выполнено; тогда прежде всего легко убе¬
диться в том, что f(t) нигде не обращается в нуль; в самом
деле, если бы например мы имели /(2а) = О, /(£)ф0 (0 < t < 2а),
то в силу теоремы |13| было бы
(50)	1	= 1-|?в(2а)|*-с4{1-|<рв(в)|*}
при любом а (0 < а < 1); но так как функция f(t) непрерывна
и /(а) ф 0, то при а—»1
?>) =
вследствие чего неравенство (50) при достаточно близком к еди¬
нице а приводит к противоречию.
Пусть теперь п — любое натуральное число; согласно нашему
допущению,
 1&й	 =	ср	(fa)
k
есть характеристическая функция при любом &>1; обозначим
через xk случайную величину, имеющую срk__x{kt) своей характе-
~
ристической функцией, и будем считать величины хк с различ¬
ными индексами взаимно независимыми; тогда величина
42 х*
"j£j
будет иметь характеристическую функцию
.. .	»	f[—t)
Пь~&)-П-ЯА-т
•?(—*)
k=r 1 к	k=-l
г. е. будет распределена по закону F(х); при этом отдельное
слагаемое имеет характеристическую функцию
(kA /(40

46	СУММЫ	ПРОИЗВОЛЬНО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ	ВЕЛИЧИН
гак как функция f(t) непрерывна и, как мы показали, нигде
не обращается в нуль, то, очевидно, при я—» оо и при любом Т > О
таким образом слагаемые ~ равномерно бесконечно малы при
п—»оо, и, следовательно, закон F(л) принадлежит классу L.
2.	Пусть теперь, обратно, дано, что закон F{x) принадлежит
классу L. Это значит, что существует последовательность вза¬
имно независимых случайных величин (47), для которой законы
распределения величин (48) при надлежаще выбранных Ап и Вп
имеют своим пределом закон F(x), причем величины (49) рав¬
номерно бесконечно малы.
а)	Покажем прежде всего, что, если закон F(x) — собствен¬
ный, то необходимо
В самом деле, если бы существовала такая последовательность
индексов я, < я2<... < пк <..., что ВПк оставалось бы ограни¬
ченным при k—*co, то, полагая для любого вещественного t
мы имели бы для характеристической функции <рr(t) величины х,.
по теореме |18| (в силу предположения, что величины (49) бес-
и, следовательно, закон F(x) по теореме |12: был бы несоб¬
ственным.
б)	Покажем теперь, что если закон F(x) — собственный, то
В самом деле, если бы это соотношение не имело места, то,
очевидно, существовала бы последовательность индексов пг <
< яг < ...< пк<..., для которой
k
B1t—> оо (п-^ оо).
конечно малы)
т. е.
¥,(*)!= 1	(—	со	<£<4-00,	Г	=	1,2,...);
отсюда мы заключили бы, что и
1 (п оо ).
Вт. ,

ЗАКОНЫ КЛАССА L
41
Положим
Л«) = е-“-П»,(А
так что для любого Т>0
(51)	Ш-*№ (я^оо) [|*|<7];
если 3 > 1, то из соотношения
■ А*+‘(<)! = П | *' («—; В^тт)| • I I “
|52)	“	*1' | ?"*+' (чтг) I ’
где последний множитель, очевидно, при к—> оо равномерно
в интервале \t\^T стремится к единице, мы в пределе при
к—>со получаем в силу (51)
1/(01= |/(у)| (Щ »Т),
где в случае р = + оэ правая часть означает |/(0)| = 1; если же
,3 < + со, то повторение того же рассуждения дает
i/MI = ./(!) - |/(£) | - • • • = lim |/(f) j- i«0>l " 1-
Если бы мы имели р <1, то к тому же самому заключению мы
пришли бы, полагая в соотношении (52)
V,_,
В 11
Пк !_1
и переходя затем к пределу при k—>00 и фиксированном Г;
таким образом во всех случаях мы приходим к выводу, что
\f(t) \ El, а это означает, как мы уже заметили, что закон
F(x)-несобственный.
в)	Пусть теперь а —любое число, заключенное между 0 и 1;
так как для несобственных законов доказываемый признак имеет
место тривиальным образом, то мы можем предположить закон
F{x) собственным. В силу доказанного в пунктах а) и б) мы
можем поэтому поставить в соответствие каждому индексу п
такой другой индекс m — tn(n, а), что, полагая
(53)	=	а	+	еп,
Dn+m
мы будем иметь sn —>0 при л—> со.

48	СУММЫ	ПРОИЗВОЛЬНО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
Полагая теперь
пт	/	/	\
fn<mV) = e~itAn'-m П?, — =
г 1	V	П	т'
П	/	D	\	П-гТП	,	\
-е-^-П bU-s^-) П ъ(тг-) =
r=1	V	»	°П 1ш]г=пЛ1	\Lin	m l
п\(*М=
\	m /	, ^	\	\ m )
7 г п ; 1	'	7
-Мът‘)-и.Ю’
\ ^п±тп ]
МЫ ВИДИМ, ЧТО
WW	^ J‘(A„-An m) n+m i t \
ПМ»;.
при любых пит есть характеристическая функция. Заставляя п
безгранично	возрастать,	причем,	разумеется, соответственным
образом меняется	и	/га,	и	замечая,	что функция f(t) непрерывна
и (как характеристическая функция безгранично делимого за¬
кона) всюду отлична от нуля, мы в силу (51) и (53) находим
иП'КП.
В силу предельной теоремы |9| отсюда следует, что у^у есть
характеристическая функция, чем теорема |33| доказана пол¬
ностью.
Примечание. Для дальнейшего нам важно заметить, что,
если закон F(x) принадлежит классу L, то ущ при всяком а
(О < а < 1) есть характеристическая функция безгранично де¬
лимого закона. В самом деле, мы можем очевидно написать
функцию уп т it) в виде
~ т
\ п+т /
г—л-j-1	'	'
—it -
е п т
множители произведения в правой части при п—> ос равномерно
в области |£|<Г, п + 1 -<• г < п + т стремятся к единице,
a 'lntJn{t) равномерно для |£|<7" стремится к у~ ; поэтому
При п—* со

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ КЛАССА L 49
откуда
--—>0	(п—» оо),
т	v	п
так как при этом т—> оо в силу соотношений
Вп > 1,  >*<1.
^л+1	’ &п+т
Но в таком случае соотношение
, ч	п+т	,	Ап+т . '!п\
-11 Л. N'fcrK	"+‘e''"i
показывает, что функция является пределом характеристи¬
ческих функций сумм взаимно независимых и равномерно бес¬
конечно малых случайных величин и, следовательно, в силу
теоремы |32| представляет собой характеристическую функцию
безгранично делимого закона.
§ 7. Каноническое представление законов класса L
Каждый закон класса L, будучи безгранично делимым, имеет
характеристическую функцию f(t), логарифм которой согласно
теореме |29|	может	быть представлен в	виде
(27)	1	gf(t) =	f (eita - 1 - yfy	b^-2 dG (и),
где y — вещественная постоянная, a G(u) - неубывающая ограни¬
ченная функция. Обратно, всякое выражение вида (27) пред¬
ставляет собой логарифм характеристической функции некото¬
рого безгранично делимого закона. Поэтому встает вопрос
о том, какими свойствами должна обладать функция G {и) для
того, чтобы закон, определяемый формулой (27), принадлежал
классу L (очевидно, что значение постоянной 7 в этом вопросе
никакой роли не играет).
Мы имеем теперь возможность исчерпывающим образом отве¬
тить на этот вопрос и тем самым объединить все законы
класса L в одной легко обозримой формуле, подобно тому как
в § 4 мы сделали это для совокупности всех безгранично дели-
мых законов.
|34| Для того чтоЬы закон распределения, определяемый
формулой (27), принадлежал классу L, необходимо и доста¬
точно, чтобы функция G(u) в каждой точке ифО имела пра¬
вую и левую производные и чтобы функция
1±£<Г(и)
i Хкичпн

50	СУММЫ	ПРОИЗВОЛЬНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
была невозрастающей при и>0 и при и< 0 (при этом G' (и)
означает любую из двух производных функции д(и), не обяза¬
тельно одну и ту же в различных точках).
Доказательство. 1. Пусть f(t) есть характеристическая
функция любого закона F(x) класса L и пусть а—любое число,
заключенное между 0 и 1. Заменяя в формуле (27) t на at, мы
находим
lg/ (at) = v{at + f (У““-1	dG	(и).
Производя под интегралом замену переменного m = v, пола¬
гая о-1 = Х и замечая, что
/(
itv	itv	\	1	+	,	v
1 +	1	+	v*) №	i^)	—
=lt Чг^/iT^ dG №) = lt’<’
где ^—вещественная постоянная, зависящая от а, мы находим
lg/(«*)-#(a*-f) + / (^-1 -
сопоставляя же это с формулой (27), мы получаем
*ш- иI"+ J\e""~1 - ттУ (Чг-“О «,) -
где 7*—вещественная постоянная и где положено
V
H(v) = G (v) -J	<*0	(Хг).
О
В силу сказанного в примечании в конце предыдущего па¬
раграфа ущ есть характеристическая функция некоторого
безгранично делимого закона; так как H(v)—функция с ограни¬
ченным изменением, то полученная нами формула в силу тео¬
ремы |30| дает очевидно каноническое представление этого
закона; отсюда следует, что функция Н(v) должна быть неубы¬
вающей; поэтому при v1<'V2> ^1^2>0 мы должны иметь
p-±pdHH0>о

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ КЛАССА L
51
или, что то же,
(54)	j it~dG (kv) < j	dG (v).
vi	Ji
Очевидно, что и обратно, если функция G(u) при любом X >1
и любых vlt v2{v1 < v2, vyv2 > 0) удовлетворяет неравенству (54),
то функция H{v) — неубывающая1); следовательно,	есть
характеристическая функция (безгранично делимого закона),
а потому в силу теоремы 133| закон F(x) принадлежит классу L.
Таким образом выполнение неравенства (54) при любом X > 1
и любых г%, гог (и, < v2, vtv2 > 0) есть необходимое и достаточ¬
ное условие принадлежности закона F(x) классу L.
2.	Пусть это условие выполнено. Положим
еУ
J —г- dG(v) = М (у)	( со < у < + со).
1
Пусть а < b, h > 0; тогда в силу неравенства (54), полагая
еь~а — \, мы будем иметь
b-rh	a\h
м (ь у h)-M (b) = j dG (e-v) = / -^;l dG (1ег) =
b	a
ea'h	ea+h
- I
ea	'
(55)	= M (a + h) — M (a).
Таким образом приращение функции М(у) на интервале
данной длины не может возрастать, когда этот интервал пере¬
двигается слева направо. Так как функция М(у), будучи неубы¬
вающей, диференцируема почти всюду, то отсюда следует, что
она должна в каждой точке быть непрерывной и иметь конеч¬
ные производные числа Дини; но более того, мы покажем сей¬
час, что она в каждой точке имеет конечные правую и левую
производные2). С этой целью очевидно достаточно убедиться^
2) Из неравенства (54) это следует только для г>^0; но по определению
функции H(v)
Н(+ о) -н(- 0)={ G (+ 0)- G(-0)} (i — Т) >0.
2) Это непосредственно следует из общей теории выпуклых функций; мы
приводим доказательство полностью, полагая, что эта теория может быть не¬
известной читателю.
•I*

52	СУММЫ	ПРОИЗВОЛЬНО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ	ВЕЛИЧИН
что отношение
Mjy + h)-M(y)
h
изменяется монотонно, когда h монотонно стремится к нулю.
Пусть 0<hl<h2 и пусть п —любое натуральное число; поло-
жим ~ = 8 и определим натуральное число т условиями
то < h2 < (т +1)5, так что т>пу если п достаточно велико;
из доказанного нами свойства приращений функции М(у) на
интервалах равной длины очевидно вытекает, что
откуда
или
М (у + то) — М(у + nb) М(у + /z5) — М (у)
т — п	п	9
М (у + то) — М (у -)- по)
!?-{М(у + пЩ — М(у)} — \М{у + пЬ) — М{у)}
М{у + тЪ) — УИ(у)< — \М (у + пЪ) — М(у)}
и, следовательно,
М (у + то) — М (у) М (у + по) — М (у) в
то	^	/гб	’
при п—>ао это дает в пределе в силу непрерывности функ¬
ции М (у)
М(у+ h2)-M(y) M(y + ht)-M(y)
h2	^	hx	9
M(y + h) — M(y)
т. с. отношение — - - h — при уменьшении положитель¬
ного h никогда не убывает; так как мы видели, что безгра¬
нично возрастать оно при этом не может, то оно необходимо
стремится к конечному пределу, т. е. функция М(у) имеет
правую производную; подобным же образом доказывается и су¬
ществование левой производной; из основного свойства функ¬
ции М(у), выражаемого неравенством (55), очевидно вытекает,
что функция М'(у) — невозрастающая; при этом под М'(у) мы
понимаем любую из двух производных, не обязательно одну
и ту же в различных точках.
Посмотрим теперь, что дают найденные свойства функции
М(у) для нашей исходной функции G(u). Мы имеем
М (у + /г) - М (у) = / X~^dG (и) =
е*
I + е20Ч-°")
р2(у-: Ml)
{G(ey,'h) — G(ey)}!

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ КЛАССА L 53
где 0 -bg 6 < 1; отсюда
M(y + h) — Al(y) _ 1 + е2(у+0л) G ( ey+h) — G ( еу) .
ен—\	~	еу+т	еу+,г-еУ	’
при h> О и h—>0 левая часть имеет пределом М'(у) (правую
производную); в правой части первый множитель имеет пре-
\ + е"У	„
делом —1	;	следовательно,	и	второй множитель стремится
еу	,*
к определенному пределу, т. е. существует правая производ¬
ная &(еУ), причем
М'(у)=1-±^0'(еУ);
совершенно аналогичным путем можно очевидно показать, что
тем же самым соотношением связаны и левые производные
обеих функций. Из доказанных нами свойств функции М (у)
поэтому вытекает, что
1 I Р'1У
1+JL 0'(еу)
есть неубывающая функция от у; а это равносильно тому, что
1 -f- ii“ / ч
G(«)
(где G\u)— любая из двух производных, не обязательно одна
и та же в различных точках) есть невозрастающая функция
от и при и> 0.
Чтобы рассмотреть поведение этой функции при и < 0, проще
всего перейти от функции f(t) к сопряженной функции /(£) =
= /(—£), что, как легко видеть, равносильно переходу от функ¬
ции G(u) к функции
G (и) = — G (— и).
Так как очевидно вместе с f(t) также и f(t) есть характери¬
стическая функция некоторого закона класса /,, то при и> 0
функция
1±if!o'(«) = r±^G' (-«)
должна быть невозрастающей; но это равносильно тому, что
функция	G'{u)	— невозрастающая при и < 0.
3.	Пусть теперь, обратно, известно, что функция 1	— G\u)
не возрастает при а> 0 и при а< 0; тогда функция G'(u)

54	СУММЫ	ПРОИЗВОЛЬНО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ	ВЕЛИЧИН
ограничена в любом интервале (vu v2) (vi<v2l vxv2>0)t и, сле¬
довательно, при любом Х> 1
У ■-■ftp» - dG(kv) = У —G'(lv)dv с
Vi	Vx
< o'<?)** =
vl	Vi
таким образом неравенство (54) при этом выполняется для
любого X > 1 и для любых vt и <v2 (vx < v2y vxv2 > 0); а из этого,
как мы видели выше, вытекает, что f{t) есть характеристиче¬
ская функция закона, принадлежащего классу L. Таким образом
теорема |34| доказана полностью.
Простейшим и вместе с тем важнейшим примером безгра¬
нично делимого закона, не принадлежащего классу является
закон Пуассона; в самом деле, такому закону, как мы видели
в конце §4, соответствует разрывная функция G(a), с раз¬
рывом в точке &Ф0. В силу теоремы |34; он не может поэтому
принадлежать классу Z,.

ГЛАВА IV
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
§ 8. Введение. Вспомогательные теоремы
Как было уже отмечено в общем введении, все результаты,
изложенные нами в предыдущей главе, были получены лишь
в самое последнее время; классическая теория вероятностей
(если не считать элементарных исследований о законе Пуас¬
сона) интересовалась в сущности лишь одним предельным за¬
коном: законом Гаусса. Такая односторонность исторически
легко понятна: она целиком обусловлена действительно доми¬
нирующей ролью закона Гаусса как в теории, так и в прило¬
жениях. Как предельный закон для сумм независимых слу¬
чайных величин, закон Гаусса, несмотря на то, что в этой
роли он далеко не является единственным, действительно
носит некий универсальный характер, существенно отличающий
его от всех других предельных законов. Дело в том, что для
получения в пределе любого другого предельного закона нам
всегда приходится требовать от слагаемых, кроме общего для
всех случаев условия равномерной бесконечной малости, еще
некоторых специфических черт, благодаря которым мы в пре¬
деле получаем для нормированных сумм именно данный закон
распределения, а не какой-нибудь другой; можно сказать, что
некоторые основные черты предельного закона в известной
мере и в известном смысле должны быть заложены уже в за¬
конах распределения самих слагаемых. Для закона Гаусса дело
обстоит иначе: здесь решающим оказывается уже требование
достаточно сильной степени пренебрегаемости отдельных сла¬
гаемых; каковы бы ни были законы распределения этих слага¬
емых, если только индивидуальная роль их в сумме в доста¬
точной степени ограничена, мы неизменно получаем в пределе
закон Гаусса1). Если к этому добавить, что те ограничения
общего характера, о которых здесь идет речь, почти неизменно
выполняются во всех практических задачах, то мы должны
притти к выводу, что исключительный интерес, уделявшийся
классической теорией вероятностей предельному закону Гаусса,
должен быть признан вполне оправданным как теоретически,
так и практически.
1) Более точную формулировку и доказательство этого утверждения чита¬
тель найдет в § 11.

56
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
История проблемы такова. В восемнадцатом и начале девят¬
надцатого столетия предельный закон Гаусса был обоснован
Моавром и Лапласом для схемы Бернулли. Лаплас, несомненно,
имел уверенность, что предельному закону Гаусса подчиняются
и более общие схемы, и живо интересовался этим вопросом,
не имея, однако, средств для соответствующих доказательств.
В середине девятнадцатого столетия проблема во всей широте
и общности была поставлена Чебышевым; им же был в основ¬
ном создан первый метод для ее решения — так называемый
метод моментов; но решающих результатов в этом направлении
Чебышеву получить не удалось. Лишь в начале нашего столетия
Ляпуновым впервые был обоснован предельный закон Гаусса
в весьма широких предположениях; примененный им метод
был в сущности методом характеристических функций, не по¬
лучившим, однако, еще в то время своего полного развития,
вследствие чего доказательство было очень громоздким. Вскоре
после этого Маркову удалось получить тот же результат ме¬
тодом моментов. С тех пор мы имеем целый ряд новых дока¬
зательств теоремы Ляпунова, однако методологический интерес
среди них представляют лишь немногие; здесь необходимо от¬
метить прежде всего совершенно новое по методу доказатель¬
ство Линдеберга (1922), позволившее одновременно расширить
предпосылки теоремы до границ, которые, как мы увидим в § 10,
в известном смысле могут быть названы естественными; далее —
доказательство П. Леви (1925), основанное на современной тео¬
рии характеристических функций и проводящееся в условиях
Линдеберга; наконец, доказательство А. Н. Колмогорова, осно¬
ванное на идеях И. Г. Петровского (1932), проводящееся также
в условиях Линдеберга и особенно удобное для целого ряда
обобщений.
Однако естественный вопрос о необходимых и достаточных
условиях, при которых мы приходим к предельному закону
Гаусса, и в этой области был решен лишь в самое последнее
время (1936). В следующих параграфах мы займемся изложе¬
нием этого решения. Здесь же мы должны будем предвари¬
тельно рассмотреть некоторые свойства закона Гаусса, которые,
несмотря на их основоположное значение, не нашли себе еще
места в общих руководствах, так как были открыты лишь в не¬
давнее время.
мы в дальнейшем под именем законов Гаусса будем понимать
все законы вида
Полагая

ВВЕДЕНИЕ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
57
где а — любое вещественное, а а — любое положительное число.
Уже давно было известно, что композиция двух законов Гаусса
всегда снова дает некоторый закон Гаусса; однако лишь сов¬
сем недавно удалось доказать обратное предложение, в силу
которого, если композиция двух собственных законов есть
закон Гаусса, каждая компонента также является законом Га¬
усса. Это предложение позволяет упростить доказательство
целого ряда фактов, относящихся к предельной роли закона
Гаусса; поэтому мы приведем здесь его доказательство. При
этом мы можем очевидно предполагать, что композицией дан¬
ных законов служит закон G(x)> так как общий случай приво¬
дится к этому частному случаю посредством линейного преоб¬
разования независимого переменного.
|35| Если композиция двух собственных законов распреде¬
ления Fl(x) и Е2{х) есть G(x), то каждый из этих законов
есть закон Гаусса.
Доказательство. Характеристическая функция закона
G(x) есть, как мы знаем,
g(f) = К Т;
это—целая функция, при любом комплексном t выражающаяся,
как легко непосредственно проверить, интегралом
g(t) = fe»xdG(x);
в частности, полагая t = iv, где v — вещественное число, мы
находим в силу симметрии закона G(x)
Vх
g(iv) = еТ = j e~vxdG(:с) = j evxdG(x) = E{evx),
где x означает случайную величину, распределенную по закону
G(x). Обозначая через xt и х2 взаимно независимые случайные
величины, подчиненные соответственно законам F±(x) и F2 (х),
и принимая во внимание, что для двух положительных
и независимых случайных величин х, у всегда Е(ху) = Е(х)Е(у),
причем из конечности левой части следует конечность обоих
множителей правой части, мы будем очевидно иметь
(56)	Е	(е*х0	Е	(е*х0	=	Е	{evx) = г2,
где интегралы
Jevx dFi [х) и J evx dF2 (х)
конечны при любом вещественном v. Отсюда очевидно следует,
что интегралы
/, (t) = /eitx dF, (*) и /, (f) = J eitx dF% (л),

58
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
при вещественном t соответственно представляющие собой
характеристические функции законов Ft(x) и F2(x), абсолютно
сходятся при любом комплексном t и представляют собой це¬
лые функции от t.
Так как закон F2(х) по предположению собственный, то
существует вещественное число а, для которого
О < F2 (а) < 1 ;
но при v > О
Е (evx*) > f evx dFs (x) > eva [1 — F2 (a)},
a
a при v < 0
a
E (evx*) > j evx dF2 (x) > eva F2 (a);
следовательно, для любого вещественного v
E(evx*)>c0e~rM у
где с0 и v—положительные постоянные; поэтому соотношение
(56) дает
£’а
(57)
Но очевидно мы имеем, полагая t=u + iv, где и и v веще¬
ственны,
1Л(*)1</ e-*dFt(x) = Е(е-™>)-,
поэтому неравенство (57) показывает, что порядок роста целой
функции fx(t) не превосходит двух; а так как эта функция
в силу очевидного соотношения
не имеет нулей, то на основании известной теоремы Адамара
/, (t) = eat' -bt+c,
где а, b и с — постоянные. Для их определения заметим, что
из условия /, (0) = 1 следует, что можно считать с ■=■ 0; далее,
из условия /, (—f) = fi(t) (для вещественных t) и равенства
с — 0 вытекает
(а — а) t2+{b + b) t = 0,
откуда а = a, b = —b, т. е. а — число вещественное (и в силу
неравенства |/t(£)|<;i, имеющего место для вещественных t,—
очевидно отрицательное), а Ъ — чисто мнимое; полагая а = —X,
b = (U, находим поэтому окончательно
Л (t) =

ВВЕДЕНИЕ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ	59
откуда и следует, что Fr(x) есть закон Гаусса; очевидно, что
то же справедливо и для F2(x).
В дальнейшем нам понадобится одно следствие только что
доказанной теоремы. Пусть
F .(•*), F2(x),	Fп(х), ...
—последовательность законов распределения; обозначим через
F„{x) закон 1—Fn(—х) и через К(х) (п = 1, 2,...) — компо¬
зицию Fn (х) -X- Fn (х), очевидно представляющую собой симмет¬
ричный закон распределения; этому закону подчиняется раз¬
ность двух случайных величин, каждая из которых распреде-
лена по закону F„(x).
|36| Если F„(x) при п —> со стремится к G(x), то суще¬
ствует такая последовательность вещественных чисел а% (п =
= 1, 2, ...), что
Fn(x + a.n)-*G(xV~2)	(я-»°о).
Доказательство. Мы примем в качестве а„ медиану
закона Fn(x), т. е. число, для которого при любом з>0
Л, («* + •)> у»	—*)<у»
и покажем, что последовательность ап (п = 1, 2, ...) удовлетво¬
ряет требованию теоремы. Положим
ф«(*) = Fn (х + ап), Ф„(дс) = 1 — Фп(— х) (п = 1,2,...);
очевидно, что
*Л*Н-*Лх) = К{х) («=1,2,...)
и при любом 8 > О
(58)	Ф„(-з)<Т	(л	=	1,2,...).
Мы должны показать, что
Фп(а)^0(а/2) («->«,).
Допустим, что это соотношение не имеет места; тогда су¬
ществуют такое положительное число X, такая последователь¬
ность вещественных чисел xk (6 = 1, 2, ...) и такая последо¬
вательность возрастающих индексов nk (6 = 1, 2, ...), что
(59)	\<f>nk{xk)-G(xkS2)\>\	(6=1,2,...).
Последовательность Ф„й (дс) (6=1, 2, ...), как всякая последо¬
вательность законов распределения, содержит в себе некоторую
сходящуюся подпоследовательность; не ограничивая общности

60
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
рассуждения мы можем поэтому предположить, что сама после¬
довательность ФПк (х) сходится при k—>co к некоторой пре¬
дельной функции Ф(л:); очевидно, что эта предельная функция —
неубывающая и удовлетворяет неравенствам 0 < Ф (я) <5 1; чтобы
показать, что Ф(л:) есть закон распределения, остается поэтому
только убедиться, что Ф(л:)—>0 при х —* — со и Ф(д:)-»1 при
х-> + оо. Пусть 8>0 сколь угодно мало и пусть S — столь
большое число, что
0(5) > 1-3;
так как при »оо F'„k ($) —> G (5), то при достаточно большом k
(60)	F„k (;) > 1 — 3.
Пусть теперь х, и х2— две взаимно независимые случайные
величины, каждая из которых подчиняется закону Ф„ (я); тогда
в силу (58)
1 - Kk$)> P(*i — х2>^ + 1) > Р(х1>? + 2)Р(х2< 1)>
> ( 1 -<*ч (1+ 3)}	(1) > j {1 -Ф„А (5 + 3)},
и, следовательно, в силу (60)
1-Ф.Д5 + 3) <28
для всех достаточно больших k\ при £—>оо это дает в пре¬
деле
1 _Ф(£ + 4)<2а,
откуда Ф(л;)—>1 при л;—>+оо, так как о произвольно мало. По¬
добным же образом легко показать, что Ф(х)—»0 при х—>—со,
так что Ф(х) действительно есть некоторый закон распреде¬
ления.
Из соотношения
Ф„6(Л)^Ф(Х)	(£-»оо)
очевидно следует, что
Ф„,(*)^Ф(.*)= 1-Ф(-*) (А->оо),
и, следовательно,
F*nk (х) Ф* (Х) = Ф (х) * Ф (Л) (fc-Э со).
Таким образом Ф*(л) = G(a:); в силу теоремы |35( мы за¬
ключаем отсюда, что Ф(л) есть закон Гаусса; при этом из (58)

ВВЕДЕНИЕ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ	61
следует, что Ф(0) = у; с другой стороны, Ф(л) и Ф(л:) имеют
одинаковые дисперсии'), сумма которых в силу соотношения
Ф(а)*Ф(х)= G(x)
равна единице. Таким образом Ф(л:) есть закон Гаусса с цент¬
ром 0 и дисперсией т. е.
Ф (х) = G (х /2),
что очевидно противоречит соотношению (59) и тем самым
доказывает теорему.
Чтобы в дальнейшем не прерывать изложения, мы закончим
настоящий вводный параграф доказательством двух элементар¬
ных лемм. Пусть F(x)— произвольный закон распределения;
положим, как обычно,
F(x) = 1 — F(— х), F* (я) = F(x) * F(x),
и, далее, для любого х > О
X (а) = F(— х) 4-! — F(x),
I* (a) = F*(— x) + l— F* (x).
|37j Для любых x > 0 и а > О
у* (2х + а) < 2у (•*:).
Доказательство. Пусть х и у — взаимно независимые
случайные величины, распределенные по закону F(x); тогда
у*(2х + а) < Р{|х — у | > 2х + а} = 2Р{х — у > 2х + а}<
< 2 { Р (х > х + -J) + Р (у < — л — -J)) < 2* (а) ,
ч. и тр. д.
|38| Если закон F (х) имеет нуль своей медианой, то для
любых х > 0 и а > О
/.*(•*)> JY. (•* + «)•
1) Дисперсией закона Гаусса бг	J	служит	величина	а2

62
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
Доказательство. В обозначениях доказательства леммы
i37| мы имеем
X* (*) > Р (х —у > * + 0 + Р (х — у С —х -- 0 >
>р(х>х + а, у <0+ Р(х<— л — а, у>— 0 >
. -Р(х > * + а) /7(|) + Р(х < -л- а){1 -Ff-0} >
> у Р (| X | > х -J- а) > Т •/ (х-1- а),
ч. и тр. д.
§ 9. Характеристический признак
Пусть х1? х2, ..xft, .. . —последовательность взаимно неза¬
висимых случайных величин; обозначим через Fk(x) закон рас¬
пределения величины xk, через fk(t) — ее характеристическую
п
\гл ,
функцию и положим s„ = ^]xft. Положим далее, для k = 1, 2, ...
fc=i
Fk{x)=\ — Fk(—jc),
Fl(X) = Fl(x) + Fk(x),
и для л > О
Z.k (х) = Fk (- х) +1 — Fk (X),
(x) = F*(—x) + l —F* (x).
Пусть 8 — любое положительное число; как бы велико ни бы-
п
ло n,^yk{x)—>0 при д: —>со, и, значит, для всех достаточно
k—i
больших д:
S7ftW<3;
/г-1
обозначим через Сн=С}1(о) нижнюю грань чисел х, удовлетво¬
ряющих этому неравенству.
Условимся для краткости называть центрированным всякий
закон распределения, имеющий нуль своей медианой.
[39| Допустим, что все законы Fk{x) (&=1, 2,...) центриро¬
ваны. Тогда для того чтобы при надлежаще выбранных Вп> О,
Ап закон распределения величины
Sn 	 Д
ва “
стремился при п—>со к закону G(x), и вместе с тем вели¬
чины
ъ. _
В„ п

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК
63
при п—>оо были бесконечно малы равномерно относительно k
(1 : k к я), необходимо и достаточно, чтобы при любом 6>0
Предварительные замечания. 1. По тем же основа¬
ниям, что и в главе III, мы ограничиваемся рассмотрением
случая, когда слагаемые пренебрегаемы в пределе (т. е. равно¬
мерно бесконечно малы).
2. Требование, чтобы все законы были центрированы, вве¬
денное лишь для более удобной формулировки признака, не
может, разумеется, вызвать никаких затруднений при его при¬
менении, ибо центрирование достигается простым переносом
начала координат; поэтому, ввиду произвольности вычитаемых АпУ
величины, которые после центрирования дают в пределе закон
Гаусса, дают его и до центрирования, и обратно.
Доказательство. 1. Допустим, что условие (61) выполнено.
Тогда, очевидно, существует такая последовательность индексов
пх < п2 < ... < пг <..., что
(61)
п А=1 1*1 < с~
п
/ x2dFk(x)>r (n>nr;r= 1,2,...).
Полагая
мы будем иметь, во-первых, для любого а>0
п
п
V (Гп + а) — ^ X* {Сп (у) + д } < у (пг < п С пг1)
1
и следовательно,
п
(62)
и, во-вторых.
п
п

64
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
откуда
п
(63)	Пт	У J x-dFk(x)= + со.
vn
Применяя лемму 137|, мы из соотношения (62) находим
П
(64)	lim	У -/*(2Гп + а) = 0 [а > 0].
п —>-оо
fe-1
Замечая теперь, что для любого а> О
/ x2dFk(x)=— f х'г d/j, (х),
| х 1 < а	0<*<я
/ x*dF*k{x) = - j x*dy*(x),
\х 1 < а	0<*< а
и применяя лемму |38|, мы будем иметь
(2Г+^Ц	J x*dFk(x) =
п	k=l	.V |< 2Гп г «-/
п
1	V	г
(2Г +а)2 Lw	J	(■*) =
п	£=1 0<C.x<.2lnJra
П 2ГП -f a
= -V	+	J	ItllWdX
k~- 1	П	'	k-1 0
я	П	2T„	a
> Vi	.	i
— ^ ll (2ГП + a) +^ 1 f 2x-/k(x + d)dx =
n 2ГЯ -j- 2
^ ^ (2ГП + a) + 2 ^2p-	V	jT 2 (y cl) f\k (3;) dy;
H	k~ 1
замечая, что первая сумма правой части при п—>со в си/
отношения (64) равномерно относительно a > 0 стремится к
и что а > 0 произвольно мало, мы при п—>оз находим
IV со-
кул .-- )

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК
65
' Л—I [.V | < 2Гп
П
Ь 1 0<^<2ГП
1
8Г!
£ 4Г*ь(2Гм)-2 f fdlk{y)
fc=l	/г=1	0<^<2Г;г
+ 0(1) >
>
—sF2S J У2аУ-^У)+°(1) =
" Ь= 1 О <j-<2r„
П
8^2 / ^*^*СУ) + о(1)>
" Л=1 Ц/|<2Г„
п
>
8Г„
у л*^(*) + о(1).
" ft=l | .t | < r„
На основании соотношения (63) мы отсюда заключаем, что
(65)
п
у* X*dF;(x)-+co (П-*со).
I * I < 2Г„
Соотношения (64) и (65) в точности аналогичны соотноше¬
ниям (62) и (63); в них только законы распределения Fk(x) за¬
менены законами F^(x) и числа Гп—числами 2ГЛ. Это обстоя¬
тельство позволит нам при доказательстве достаточности нашего
признака ограничиться рассмотрением симметричных законов
чем это доказательство значительно упрощается.
2.	Положим
п
В1 = У J x%dn(x)>
“ 1 лг | < 2Г„
соотношение (65) может быть тогда кратко записано в виде
(66)	Г„	=	о (Вп)	(Я-»оо).
Перейдем теперь к характеристическим функциям; так как
закону /^(я) соответствует характеристическая функция |Л(^)|2,
то в силу (64) и (66) при /г—»оо и любом постоянном Г>0

66
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
<
\Х I
/ (l — cos	(•*)	+	2	f	dFl(x)
< 2V„	'	”	'	!	*	I	>	2Г„
(67)
<
4РГ2	/»
2- -p"5 У dFt(x) + 2	Xl (2Г., + ») -> 0
a*->0
| дг | < sr„
[1<£<л, J^I -C Z].
Это показывает, что при л—»со случайные величины, подчи¬
няющиеся законам F£(xBn), бесконечно малы равномерно отно¬
сительно k [1 < k < л], и, следовательно, при любом е > О
7ИгВ»)"^° (я-* °о) [1<£«л];
в силу леммы |38| и
Xk (еВп)	0 («	00) [1 « k ^ л],
X
т. е. величины при п~> оо бесконечно малы равномерно от-
71
носительно & [1<;&</г], и
(68)	fk j -»1 (л -4 оо) [1 < k < л, | £ | < 7].
Далее, при |£|^Г и л—» оо
9
-г [У f (l-cos	(л)
|й=1|д:|<2Гл	'	п/
=2 ш„ 2д(2Г-+а)+|2Т;£ I
Л—1 i Л- I < 2Г„
+0{£Ё /
Л *=1 |*|<2Г,	1
Первый член правой части при я —> со стремится к нулю в силу
(64); второй член равен нулю согласно определению вели-

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК
G7
чины Вп\ наконец, последний член также бесконечно мал, рав¬
номерно в интервале |^| <3 7'; в самом деле, в силу (66)
П	П
£	/	x*dF*k(x) С 4Г^ J x*dF;(x)=AriBl = o{B*)-,
h= 1 !Л|<2ГЛ	fe=l	и,<2Гл
таким образом мы находим
lim
оо
IjKOh-M 1т<л.
Но в силу (67) при достаточно большом ti, 1 < к. < п и | t\<T
1Л(£)1>0;
поэтому
1,1-МШ
откуда
1*т У »к1/*(ж-)Г“—? 1\*\<т\.
л->сс Lm	\	п	/
Ь=3	1	4	1
или, что то же,
(69)
lim П
Л
(Oh1
Отсюда теорема |36| в сопоставлении с предельной теоре¬
мой 19 j теории характеристических функций позволяет за¬
ключить, что при надлежащем выборе вещественных чисел
Ап (п= 1, 2, ...) мы должны иметь
(70)	Итг,мфл(т)=^	0Л<Л;
л^°°	*_-1	\Вп/
но выражение, стоящее под знаком предела, есть очевидно
характеристическая функция величины

68	ПРОБЛЕМА	ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
закон распределения которой стремится таким образом при
п—>оо кб(л/2); значит, закон распределения величины
/2 (i-A.)
имеет своим пределом G(x).
Наконец, соотношение (70) дает при я—» да
П
ttAn='E Ig/ft(i)+°(1) М**'
откуда в силу (68)
Ап = 0(п) (tl —» оо);
а так как мы уже видели, что величины — бесконечно малы
при /г—>оо, то тем же свойством равномерно относительно
X	^
k (1 <&<;/i) должны обладать и величины —	  (а	следова-
п
тельно, и произведения этих величин на / 2). Этим полностью
доказана достаточность признака.
3.	Доказательство необходимости нашего признака основы¬
вается на следующей лемме, которую мы, имея в виду даль¬
нейшие приложения, сразу докажем в более общей схеме § 5.
[40| Пусть в условиях теоремы |32| все величины xkr распре¬
делены симметрично у а законы распределения величин sk стре¬
мятся к закону Гаусса G (л:). Тогда при любом г > 0
Я*
2 P(|xJ > е)-^0 (£->оо).
г=1
Доказательство. Допустим, что утверждение неверно;
тогда существует такое положительное число а, что для сколь
угодно больших k имеет место неравенство
nk
(П)	^P(|xftr|>6)>a.
Г=1
Обозначим через N натуральное число, зависящее только от a
и г, которое в дальнейшем будет определено точнее. В силу
предположенной предельной пренебрегаемое™ величин хкг мы
можем выбрать k столь большим, что
(72)	Р(|х*г|>е)<^г (1<г<я*).

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК
69
Пусть kt — наименьшее число, для которого
ft,
У P(|xftr|>e)>^-,
Т = 1
к2 — наименьшее число, для которого
Л Р(|Х*Г|>£)>2^,
г=А,+1
и г. д. Обозначим через Gs совокупность чисел
К-i +К-1 + 2’ • • • > ks	k0	=0).
По определению чисел ks мы, очевидно, имеем в силу неравен¬
ства (72)
(73)	^	P(|x*r|>e)<-£ (1 <s<N),
rcGs
откуда, в частности,
kN
(74)	£ P(|xJ>e)<a,
r=l
и, значит, вследствие (71) kN<nk.
Пусть теперь hv h2, hN будут N различных между со¬
бой чисел ряда 1, 2, ..., kN. Обозначим через Ahub hN собы¬
тие, состоящее в выполнении следующих трех неравенств:
0)
*khj >»
{j= 1, 2,
AO;
(II)
1 X*r 1 < 2
(1 ^ r kN,
/* ф , ^2>
nk
(III)
2
r= 1
\kr > 0.
г ф hlt	Лдг
Для вероятностей этих неравенств, в силу симметрии вели
чин xkr, мы имеем следующие очевидные оценки: .
P(I)=ill Р(|ХАА |>е),
л 7-1
kN
Р(И)= П {1-P(|xj >•)}>
Г=1
V> —»

70	ПРОБЛЕМА	ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
> П (1 —Р (!**/• | > ®)Ь
г— 1
Р(Ш)>|.
В силу симметрии и взаимной независимости величин xkrf нера¬
венства (I), (И) и (III) очевидно взаимно независимы. Поэтому
РМм ч)-Р0)Р(П)Р(Ш)>
kN	N
>^r+-i ПИ - Р(I I > е)} П Р( I I > $)-
г-1	у-1
С другой стороны, если имеет место одно из событий Ahi
то очевидно
s* > Afe;
а так как два события Ah^h^ ^ с различными комбинациями
индексов очевидно несовместимы между собой, то
P(s,»№)>	2	P(^,iA
где суммирование распространяется на всевозможные сочетания
различных между собой индексов hb /г2,. .hN из ряда 1,2,..., kN
Тем более, значит, мы должны иметь
h.cG
у-1, 2/. . /, TV
t	/V
^г-гП{1-Р(1**г1>0} П 2P(|X«J>*)-
“ r. 1	7=lftjC°j
Но в силу определения чисел kj
2 Р ( I XWy I > *) >
/г- с G.
j J
а так как
1 — P(|xJ >8) > e“2P (; *&•
то мы получаем в силу (74)
kN
P(|X/T!>3>
П {1 -P(|xJ>e)} >e r=:1 >e
Г= 1
и следовательно,
(75)	P^*>^)>	^<Г2*(^у\

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК
71
Но в силу предпосылок леммы левая часть этого неравен¬
ства при >оо имеет своим пределом величину
Ns
выбирая N > г~\ мы поэтому при достаточно большом Сбудем
иметь
но при данных е и а мы всегда можем выбрать N столь боль¬
шим, чтобы это неравенство не выполнялось; получаемое таким
образом противоречие очевидно и доказывает лемму |40|.
4.	Если мы теперь вернемся к специальным условиям дока¬
зываемой теоремы |39| и допустим сверх того, что все за¬
коны Fk{x) симметричны, то в случае, когда закон распределе-
§
ния величины ~ стремится при п—>оэ к закону G(x)> мы в
силу только что доказанной леммы можем очевидно утверждать,
что при любом s > О
k=i
Пусть nq(q = 1,2,...) есть наименьшее натуральное число, удо¬
влетворяющее тому условию, что при п> п
мы при ti —> оо, очевидно, будем иметь еп—>0 и, определяя ин¬
декс q из соотношений nq^n<n
откуда в силу неравенства (75)
или
у W < (N + 1) lg 2 + N lg (2ДГ) + N1 g ~ + 2а;
п
Цх*(«Д)-»0	(п-*	со).
полагая
С,
п
я
< п < пд+1),
(76)
k=l	4

72	ПРОБЛЕМА	ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
Обозначим через Нп (п > 1) событие, состоящее в том, что
(!<£<»),
и через Ни—противоположное событие. В силу соотношения (76)
Р Ш < S X* (£>А.) = о(1) (л со).
k=l
Применяя неравенство Чебышева, мы находим поэтому
Р (I sn I > Вп) Р (Нп) + Р(НЯ) Р„ (| sn I > Вп) <
П k=J
П
ОТ)
п k=l
Но при Л —* оо
Е|х ,<s в (х1) — {1+ о(1)}	/ x*dFk(x) [К^л]1);
к п п	|*|	< гпвп
с другой стороны, в силу наших предпосылок Р (|s„| > Вп) имеет
при л—» оо своим пределом абсолютную постоянную
'1 = 20(— 1) > 0;
поэтому неравенство (77) дает
П
к—1 ,х\ < £П Вп
откуда
(78)	(впвп)*	I	/	X*dFk(x)->	оо	(л-»оо).
n n k= 1 iJfKs^
Полагая елАя=Гп (п= 1, 2, ...), мы можем переписать соотно-
шения (76) и (78) в виде
*) Эта оценка вытекает из того известного обстоятельства, что если слу¬
чайная величина х распределена по закону F(x)t то при условии | х > < а ее
законом распределения будет
О	х < — а
FJ*-FS-ay 1х]<а>
I- (х) =
F(a)-F(-a)
1	x	>	a.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПРИЗНАК
73
(79)	£х*(г«)-»0
*=1
п
(80)	/ x2dFk{x)—* со (п—> со).
nk=1 \х\<тп
5.	До сих пор мы в дополнение к условиям теоремы |39|
предполагали все законы Fk(x) симметричными; теперь мы от¬
кажемся от этого ограничения и будем только, в согласии с
предпосылками нашей теоремы, считать эти законы центриро¬
ванными.
Пусть Хп (п= 1, 2, ...) — взаимно независимые случайные
величины,	подчиняющиеся	соответственно	симметричным	за-
п
конам F*n(x), и пусть ^ х*; если закон распределения ве-
А=1
§
личины g——Ап стремится к G(x), то очевидно закон распреде-
п
*	t
S	( X \
ления	величины	—	стремится	к	G I -pr= 1,	и,	следовательно,
Вп	\ У J
*
s
закон распределения величины -g—7= — к G(x)\ с другой сто-
п V ^
Хь А
роны, вместе с величинами —		 очевидно и величины
R	п
Dn
ПрИ yi—» оо бесконечно малы равномерно относительно k
Впу 2
(1<&Ся); поэтому полученный нами результат, выражаемый
соотношениями (79) и (80), позволяет утверждать существова¬
ние таких положительных чисел Дп (я = 1, 2, ...), что
(81)	2хЦД*)-»0	(п->	со),
k=\
п
(82)	— ^ J x2dF*k(x)—> со (п—>оо).
п k-Л \х\ <дл
Отсюда, применяя лемму |38) (что возможно, так как законы
Fk{х) по предположению центрированы), мы прежде всего на¬
ходим, что при п —> оо
(83)	Sfc(An+*)«2 S Й(д«)^0 [а > 0].
к=1	к=1

74
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
Далее,
п
/ x'dF^>
П ft= 1	|А':	<	Д„
Л	л
£	/	ЙЛ(А)-
я й=1 ’А-: <гл„	й=ц*	>д„
Л	Л
= ill /	—4Д™ 2х*(Д“+*):
л fc=l |дт| < 2\п	k=l
применяя соотношение (83), а затем лемму |37|, мы находим от¬
сюда
п	п
iX J х* dFk(x)> -	f	X2d-/J;(x)+ 0{1)>
nk=t |.Vi<An	rtfe=l	0<л-<2Дл
n	11	2ДЛ
Ik (у д») +' i ^ / 2a- xft (x) dx + o(l) ;>
«ыо
n 2Д„
+ J 2*)£(2*+ *)</■* =
' я k \ 0
л 4Дл ^ *
= 0(1) + iS / 2(« —a)X*(«W«-
n k 1 a
Так как первое слагаемое правой части от введенного нами
произвольного положительного числа а не зависит, то, пере¬
ходя к пределу при а—>0, мы получаем
л	л	4Дл
iH /	У 2«xJ(«)rfu>
п “l !*| <	*	ft=l	0
л	л
><,(1)+8Ы16Л"'/-:(5Л")“8д‘Е /	=
п к ■■■--■ 1	«	ft=l	0<л	< 4Д„
л
-«ХЧ+^Е	/	а’ЛЭД
84‘	^	й	v	/	^
л fe=l |а|<4Дя
Л
/ A*if;w+o(i).
"*=1 |А<д„

СЛУЧАИ ЛИНДЕБЕРГА	75
В силу соотношения (82) это дает
П
(84)	/	^dFk(x)-*°° (Я-»оо).
1 |дг|<й„
6.	Пусть, наконец, задано произвольное д > 0, и числа
С,, = Сп(о) определены, как в условиях доказываемой теоремы.
Тогда для любого а>0
2x*(Cn-a)>S,
k=i
а потому соотношение (83) показывает, что при достаточно
большом п и любом а>0
— а < Д„ + 2,
п, следовательно, С„ < Дл. Но в таком случае
п	п
^2 /	/	x'dF.W-
^ й- 1 ’.v|<С„	я*=1|л-1<Сп
п	п
«ft--! |л-|<4;!	nft=lCn<iy<4n
n	n
> У j X2 dFk (x) - У Hm Xft (c« + *) >
П Л-: l -Т|<Д/г	k i 7 >0
n
> iS /
" fc=l |.(|<4„
В силу соотношения (84) отсюда следует
11
Ит	I	x2dFk(x)=+co.
*+°°	,ycC;;
Этим доказана необходимость нашего признака и тем самым
завершено доказательство теоремы |39|.
§ 10. Случай Линдеберга
Результаты, изложенные нами в двух последних параграфах,
получены лишь в самое последнее время; но необходимо отме¬
тить, что и та общая постановка проблемы, которая приводит
к изложенному в § 9 признаку, возникла лишь в последние

7(5
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
годы; в классических исследованиях задача ставилась значи¬
тельно более узко. В схеме Бернулли и других простей¬
ших схемах, для которых удавалось установить, что нормиро¬
ванные суммы — Ап в пределе распределяются по закону
Вп
Гаусса, нормирующим делителем Вп всегда служило среднее
квадратическое уклонение суммы sn; именно это положение
вещей, которое с точки зрения развитой нами общей теории
представляется лишь частным случаем, рассматривалось как
нормальное, и для его реализации изыскивались возможно бо¬
лее широкие условия общего характера. Такова была в сущ¬
ности постановка вопроса у Чебышева; такова же была она у
Маркова, Ляпунова и всех дальнейших исследователей, вплоть
до самого последнего времени. Наиболее широкие условия ре¬
ализации описанного положения вещей были указаны Линде-
бергом (1922); а в недавнее время было установлено, что эти
условия являются вместе с тем и необходимыми и, следователь¬
но, не могут быть еще более расширены. Изложению этих ре¬
зультатов будет посвящен настоящий параграф.
Сохраняя все обозначения предшествующих параграфов, мы
будем теперь предполагать, что все случайные величины xk
имеют конечные моменты второго порядка
b\ = fx*dFk{x) (6=1, 2, ...).
В целях сокращения записи мы допустим, что Ехл = 0(&=1,2,...),
так что bk есть среднее квадратическое уклонение величины
xk; тогда среднее квадратическое уклонение Вп суммы s„ опре¬
деляется формулой
£* = E(s*) = j±bl
fc--i
Пусть т — любое положительное число; положим
Г«*М = 1Г* S (1<£<га)
" 1*1 > -в,i
и будем называть условием Линдеберга требование, чтобы при
любом т > 0 имело место соотношение
(L)	Пт	^/-пй(т) = 0.
о°
|41| Если математические ожидания величин \к (6=1,2,...)
равны нулю, а их моменты второго порядка конечны, то усло¬
вие Линдеберга необходимо и достаточно для того, чтобы, за-
§
кон распределения величины стремился при п —» оо к закону

СЛУЧАЙ ЛИНДЕБЕРГА
77
Гаусса G(x) и чтобы вместе с тем величины —^ были веско-
вп
нечно малы равномерно относительно k (1 k < ri).
Доказательство. 1. Пусть условие Линдеберга выпол¬
нено. Заметим прежде всего, что так как
bl = f х2 dFk (я) +	/ ^Fft(*)<^{T2 + rn*(T)},
\ху-вп
и так как соотношение (L) имеет место при сколь угодно ма¬
лом т>0, то при П—>со
(85)	bk	=	o{Bn)	[1 < As < я];
отсюда в свою очередь следует, что Вп—> оо при п—» с», если
исключить тривиальный случай, когда все xk распределены по
закону е(л) (и когда условие Линдеберга теряет смысл, ибо
Вп = 0).
Мы должны доказать, что
где Т —любое положительное число. Заметим с этою целью,
что
ЛШ_1+/ (е'е"~ i|ftw=
X
(86)	=1+	f	{е'	в"	—	\)dFk{x)	f	xdFk{x) —
U| > тBn	"	W	<	-вп
\x\<~Bn	|	x\<~Bn
Для отдельных членов правой части этого равенства мы,
предполагая \t \ < Т и т< * , находим следующие оценки:
itx
J {ев*-\ )dFk(x)
\А > -вп
<2 J dFk (л:) <
\х\ > -,вп
ъЬ j x2dFk(x) = 2-^ ;
W > -вп

78
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
it
j xdFk(x) = ~ f xdFk{x)
1*1 <Г-Вп
n \x'\ >
~B2
n IjtJ > xBn
f x*dFk(x)
2 В
I
u2
t* bk
n i.vj < -вп
x2 dFk (x)=— ~ Jp + 2 rnk CO •»
f -K+M)dF‘ix)
l*i< -Bn
_ cT3
bI
J \xfdFk(x)<
V; <-B„
cT3'
в;
rf*
*dFk(x) = cTH-±,
где с — абсолютная постоянная. Внося эти оценки в равенство
(86), мы находим при п—» оо
(87)
лШ-,-?4+оЬ^+^}|!*	*
В силу соотношений (L) и (85) это прежде всего показы¬
вает, что при п -> оо
(88)
Отсюда мы заключаем, во-первых, что величины —■ при я—» со
бесконечно малы равномерно относительно k (1 <• к < п), во-
вторых, что при достаточно большом п мы можем логарифми¬
ровать соотношение (87), что дает
lg4i;J—+0{т 1+ ^>+|}|<|<л
и, следовательно,

СЛУЧАЙ ЛИНДЕБЕРГА
79
где положено = шах —Так как т может быть выбрано
К Л < п Вп
сколь угодно малым, то в силу соотношений (L), (87) и (85) мы
находим отсюда
(89)
Hm Ylg[91 < Tl
Л-*со	\Вп J
Л-1
Ч. И Тр. Д.
2. Пусть теперь, обратно, дано, что имеют место соотноше¬
ния (88) и (89); покажем, что в этом случае необходимо выпол¬
няется условие Линдеберга.
Заметим прежде всего, что
п	п	itx
а=1 ‘	1	k-Л	1	1
Л=1
п
IS
k=l
itx
dFk(x)\
з так как для любого вещественного а
11 — еы + га | < | ,
ТО При п ~ со
2 !1 (zcr)IS	h /	1)	РКЛ
*=1 1	л	Л-1	п
и, следовательно, в	силу	(89) при	/г—»	оо
Л1
+ 0
21
Л-1
11(1 <71-

so
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
Для вещественной части оцениваемой суммы в правой части
это дает
п
<90)	2/0	-	с08	lf)dFk{x)	=	|	+	о(1) (я-*ос)
k = l
Пусть теперь даны произвольные положительные числа £
и т; положим
t2 = — •
так как
т
2	/	(l-cos^)rfnW<22	/	*Fk(x)
k=l I A' I > ~ Bn
n
2 f x*dFk (x)<4,
A=1 I * I >тВл	ft=1	I	Л-1 > -s„
n
< 2
то из (90) следует
п
2 / 0 ~cosirr)dFи(х) > ■§■—:|+0(i);
ft - 1|.Г|<тЯ„
но, с другой стороны,
п
2 у 0 — c°s<
*=1 I Jf \<-Вп
"k-l	'	fc=l	)
так что
П
1-2г^Н)>1-4г + о(1)=1-е + о(1);
Л=1
отсюда при достаточно большом п
2е;
ft-l
а так как s может быть выбрано произвольно малым, то при
любом т > 0
п
lim 2Г"ЛТ) = 0,
k=1
•ч. и тр. д.

ОСОБАЯ РОЛЬ ЗАКОНА ГАУССА
81
§11. Особая роль закона Гаусса
В § 8 мы уже отмечали, что закону Гаусса как предельному
закону для сумм независимых случайных величин свойственна
совершенно особая роль, выделяющая его в этом отношении
среди всех безгранично делимых законов: к закону Гаусса мы
приходим во всех случаях, когда предельная пренебрегаемость
составляющих исследуемые суммы слагаемых достигает доста¬
точно сильной степени, совершенно независимо от специальных
свойств законов распределения этих слагаемых. В настоящем
параграфе мы дадим точную формулировку и доказательство
этого утверждения.
Чтобы подчеркнуть принципиальную общность этой особой
роли закона Гаусса, мы проведем весь анализ в наиболее общей
схеме, с которой мы имели дело в § 5. Пусть
пк
Sk^^kr (£=1,2,...)
г=1
— последовательность сумм взаимно независимых случайных
величин xkr, при k—>co бесконечно малых равномерно относи¬
тельно г (1	пусть	закон	распределения	величины	sk
стремится при к-* со к некоторому собственному предельному
закону F(x). В силу теоремы |32| в роли такого предельного за¬
кона F (х) может выступать любой безгранично делимый закон
распределения.
Бесконечная малость (или, что то же, предельная пренебре¬
гаемость) слагаемых xkr в общем случае находит себе выражение
в том, что вероятность неравенства \xkr\<s при любом по¬
стоянном s>0 и при k—>co стремится к единице, равномерно
относительно г (1 < г </г/г). Допустим теперь, что не только
эта вероятность, но и вероятность того, что все |хЛг| (1 <г</гл)
меньше чем г, стремится к единице при к —> со; другими сло¬
вами, что вероятность выполнения хотя бы одьгого из об¬
ратных неравенств | xkr | > г (1 < г < nk) стремится к нулю при
к—* оо; мы убедимся, что в этом случае предельным законом
F(х) может служить только закон Гаусса; так как указанное
условие очевидно представляет собой лишь несколько усилен¬
ное требование предельной пренебрегаемости величин xkr и не
содержит никаких специальных предпосылок о природе законов
распределения этих величин, то упомянутый результат действи¬
тельно характеризует закон Гаусса, как в известном смысле
универсальный предельный закон для сумм независимых слу¬
чайных величин и оправдывает то исключительное место, кото¬
рое отводилось этому закону в классических исследованиях.
Мы увидим, наконец, что выставленное нами условие является
вместе с тем и необходимым для того, чтобы предельный
закон F(x) был законом Гаусса.
Полагая для краткости
P(|X,r|>c) = Z/{;.(s),
6. Хинчин

82
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
мы можем очевидно выразить сформулированное только что
требование соотношением
nk
(91)	lim f]{l—=
A—>00
T—\
где под s следует подразумевать любое постоянное положи¬
тельное число. В силу очевидных неравенств
Пк
*/Лг(0
т=1
соотношение (91) равносильно соотношению
nk
(92)	S^rW-^0	(ft-^co).
r= 1
j42| 5 условиях теоремы |32| требование, чтобы соотношение
(92) имело место при любом г > 0, является достаточным и
необходимым условием для того, чтобы собственный предель¬
ный закон F(x), о котором идет речь в теореме |32|, был за¬
коном Г аусса.
Доказательство. 1. Пусть соотношение (92) имеет место
при любом s > 0; тогда, очевидно, существует такая последова¬
тельность положительных чисел гк (£ = 1, 2,...), что
(93)	гк	—» 0,	V] 'Ur (sk) (к °°)-
г 1
Пусть Fkr{x) и Fk(x) означают соответственно законы распре¬
деления величин xkr к sk, a fkr(f), fk(t) и f(t) соответственно
представляют собой характеристические функции законов Fkг{х)Т
Fk(x) и F(x), так что при любом Г>0
''94)	2igA,(0	=	igAW->ig/(9	(*->«>)	\~f	:	т\
г — 1
(так как закон /Дд;) в силу теоремы |32| — безгранично делимый,
то /(£) нигде не обращается в нуль, и логарифмическая форма
соотношений (94) не может вызвать сомнений).
Полагая
1-1 fkr(t)? = %r(t) (k>\,	1<	г< nk),
мы очевидно имеем в силу предположенной предельной пре¬
небрегаемое™ величины хкг
■gl/fa-ЮГ-»0	(/г-*	со)	[1	<;	г	<	пк,	|f|«Tb

ОСОБАЯ РОЛЬ ЗАКОНА ГАУССА	83
а следовательно,
'Rl/ftrWI*
=	=--igl/*rWr-	+
+o{iig|Ar(^H}-0 11 г -пк, \t\<T],
и, значит, в силу (94)
!g \f{t) I2 = 2 >g I tkr (*) I2 + 0 0) =
r=l
= — ^l’br(o +° oj+a {hg \fk (t) i2l}=
r 1
nb
(95)	=-SX(*)	+	0(l)	[\t\<T\-
r- 1
С другой стороны, полагая, как обычно,
F*kr (*) = Fkr (х) -X {1 — Fkr{ — х)},
F* (X) = F(x) -X- { 1 — F{— х)},
Ум (х)	=	Flr (— х)	+	1	— Fir (х),
мы в силу условия (92)	и леммы	|37|	очевидно будем иметь
nk
5] Xfer (Збл)0	(&—> оо).
г - 1
Поэтому в соотношении
"и	п* .
S (0 = J f 1 — C0S dFkr (х) =
Г 1	Г= 1
г
(96)	=	£ J (1 — cos tx)dFlr(x) +
Г 1 X |<4sft
пк
+ £ J (1 — cos tx) dFlr (х)
r=l I л' I >4ek
nk
последняя сумма, очевидно не превышающая 2^x^(3eJ, стре-
Г ::= 1
мится к нулю при k—>со; с другой стороны, так как при \х\<
' 4sft, 1t1 < Т
; л	,	t-x1
1 — cos tx	9—
< 167*8*

84
ПРОБЛЕМА ЛАПЛАСА-ЧЕБЫШЕВА
ТО
nk
^ f (1 — cos tx)dFlr{x) =
г- 1 I * I < 4sfc
nk
= ^ (l + ^.)V j x*dFl(x),
r - -1 i * | <
где
■nk = -%(t), hft|<16 T4\,
иi следовательно, Г)А—»0	[|£i<rj	при	k—юо.	Таким образом,
полагая
«*
X J x*dFt{x) = $k (A = 1,2,...),
r=l | ^ | <
мы из соотношения (96) находим
«ft
PftO+^ + Oa)	[If.,	71;
r-1
а в силу соотношения (95) это дает при k—^o?
igimi2=- j pft(i+^)+o(D oc< я
Это показывает, что (3/е стремится при /г —> оо к некоторому ко¬
нечному пределу Р, и что
.Ig|/C)|2 = -P 21'
Так как F*(x), но предположению, -собственный закон, то
Р > О, и полученное равенство показывает, что F* (л:) есть закон
Гаусса; но в таком случае по теореме |35| и F(х) есть закон
Гаусса, ч. и тр. д.
2. Пусть теперь, обратно, известно, что F(x) есть закон
Гаусса; очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда F(x)=
= G(x). Если все величины xkr распределены симметрично, то
справедливость соотношения (92) вытекает из леммы |40|. В об-
щем случае, замечая, что F* (х) = G	>	мы прежде всего
заключаем из леммы |40|, что

ОСОБАЯ РОЛЬ ЗАКОНА ГАУССА
85
при любом г >0. Но из доказательства леммы |38| явствует, что если
медиана закона F(x) по модулю меньше ~у то (х) > у у. (х + а).
Так как, по предположению, величины х*г равномерно беско¬
нечно малы, то и их медианы равномерно бесконечно малы. А
тогда из сделанного только что замечания в силу доказанного
соотношения следует, что и
nk
(ft—»со)
г 1
при любом £>0. Таким образом и второе утверждение тео¬
ремы |42| доказано.
Сделаем еще следующее замечание. Хотя теорема |42| са¬
мым простым и убедительным образом показывает исключи¬
тельную роль закона Гаусса в занимающем нас круге проблем
и поэтому имеет большое принципиальное значение, тем не
менее даваемое ею необходимое и достаточное условие отнюдь
не может заменить собой того характеристического признака,
который мы установили в § 9, так как в теореме |42| суще¬
ствование предельного закона предполагается заранее известным
и устанавливается условие, при соблюдении которого этот
закон должен быть законом Гаусса; в задаче же § 9 ищется
признак, гарантирующий существование (при надле¬
жащей нормировке сумм) предельного закона Гаусса.

ГЛАВА V
СУММЫ ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
§ 12. Устойчивые законы распределения
Типы законов распределения. Условимся говорить,
что законы распределения F(x) и Ф (х) принадлежат, одному
типу или однотипны,, если существуют такие вещественные
числа а > 0 и Ъ, что
Ф(л:) = /:'(ал + &);
так как это соотношение равносильно соотношению
'М = ф(7'-7).
то свойство однотипности взаимно; очевидно, далее, что это
свойство транзитивно, так что совокупность всех законов рас¬
пределения может быть разбита на типы, внутри каждого из
которых любые два закона однотипны. Легко видеть, что все
несобственные законы образуют один тип, который мы будем
в дальнейшем называть несобственным типом \ все другие типы
называются собственными и содержат только собственные за¬
коны. Примером собственного типа может служить совокуп¬
ность всех законов Гаусса, которую мы в дальнейшем будем
обозначать через О.
В теории предельных законов для сумм независимых слу¬
чайных величин понятие типа играет основную роль в силу
следующих соображений. Если, в наших обычных обозначениях,
Su
закон распределения случайной величины 	 Ап стремится
Вп
при я—> оо к некоторому предельному закону F(x) , то закон
распределения величины
s А + Ь
 п	п_
аВ	а
п
будет иметь своим пределом F(ax + b); при этом а — любое по¬
ложительное и b —любое вещественное число. Это показывает,
что если суммы случайных величин данной последовательности
при некоторой определенной нормировке в пределе подчиняются
закону	то с помощью надлежащей нормировки мы можем
заставить их подчиняться в пределе любому закону, однотипному
с F{x). Другими словами, вместе с законом F(x) и весь тип, к ко¬
торому он принадлежит, может рассматриваться как предельный

УСТОЙЧИВЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
87
для нормированных сумм данной последовательности случайных
величин. Обратно, все собственные законы, предельные для
надлежаще нормированных сумм данной последовательности
случайных величин, образуют (в случае их существования) один
единственный тип. Это утверждение является частным случаем
общей теоремы, к доказательству которой мы сейчас перей¬
дем.
Условимся говорить, что последовательность типов Тх, Т2,...,
Тп,... сходится к типу Т, если существует последовательность
законов распределения Fx (х), F2(x),..., Fn(x),..., принадлежащих
соответственно типам Г,, Г2,..., Тп,..., сходящаяся при п-^сс
к некоторому закону F(x) типа Т.
|43| Всякая последовательность типов cxodunten к несоб¬
ственному типу; ни одна последовательность типов не может
сходиться более нем к одному собственному типу.
Доказательство. 1. Пусть Т{9 Т2,..., ТПУ...У — любая по¬
следовательность типов, и Fn(x) — любой закон типа Тп (п= 1,
2,...). Пусть число ап так велико, что
Fnifln) — Fn(-an)> 1 — 7i (« = 1,2,...).
Полагая тогда
lt,n(x) = Fn{tianx) («=1, 2,...),
мы очевидно будем иметь
Ф,ЛХ) = Рп(ПапХ) -ЩЛ
Ч. И тр. Д.
2. Пусть Fn(x)-*F(x) и Fn(апх + Ьп)-»• Ф(х) (п -» оо), причем
законы F(x) и Ф(х) — собственные; требуется доказать, что
Ф (x) = F(ax + b),
где а> 0 и b — надлежаще выбранные вещественные числа.
Прежде всего мы можем выбрать такую последовательность
индексов пх< п2 <... < nk < ..., чтобы существовали пределы
lim а = а, Нш Ъ =Ь (0 < а < + со, — оо < b < + оо);
->со 'z	fc->oo *
чтобы не усложнять обозначений, мы можем поэтому (очевидно,
не ограничивая общности рассуждений) допустить, что уже
lim ап = a, lim Ьп = Ь.
п-^оо	П—>со

88	СУММЫ	ОДИНАКОВО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
Докажем, что а< + оо. В самом деле, пусть а=+со; обо¬
значим через и верхнюю грань чисел х, для которых
lim (апх + Ъп)< + со;
оо
тогда очевидно, что для v < и
lim {anv +bn) = — со,
П —СО
и потому1)
Ф (т») = О,
а для v> и
lim (anv + 6„) = + =*=,
п Со
и потому
Ф (®) = 1;
в зависимости от того, будет ли и = — со, и = + оо или — СО <
<«< + со, мы поэтому получаем: либо тождественно Ф(т^)=1,
либо тождественно Ф(^) = 0, либо Ф(^)=1 для v>u иФ(/у) = 0
для v<Cuy т. е. Ф<» есть несобственный закон. Так как все
три случая исключены, то а< + оо.
Отсюда прежде всего следует, что и b должно быть конеч¬
ным числом; в самом деле, если бы, например, мы имели	b= -f со,
то для всех л; было бы
lim (апх + Ьп) =+00,
п —> со
а отсюда следовало бы, что тождественно Ф(л;)=1.
Наконец, легко убедиться, что а>0; в самом	деле,	при
а = 0 мы имели бы для любого а
lim (апх + bn) = b;
П-> со
отсюда, при любом е>0 и достаточно большом п,
Fn (Ь — г)< F„ (апх + bn) < Fn (b + г),
и значит, если s выбрано так, что функция F(x) непрерывна
в точках b — е и bе, для любого х
*) В самом деле: пусть F(y)<^e и FC*) непрерывна при х=у. тогда, так
как при достаточно большом п
anv + Ъп <
и, значит, в пределе
Ф(*0<^(У) < е,
откуда Ф (v) = 0, ибо г > 0 произвольно мало.

УСТОЙЧИВЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
89
а так как Ф(а) можно надлежащим выбором х сделать как
угодно малым или, наоборот, как угодно близким к единице, то
F(b— г) = 0 и /7(& + в) = 1, т. е. закон F (х)— несобственный.
Пусть теперь точка х выбрана так, что функция F (л:) непре¬
рывна в точке у = ах+by а функция Ф (лс)—в точке х; тогда1)
Ф (л:) = lim Fn (апх + bn) = F (ах + Ь).
/2—>СО
Этим теорема |43| доказана, так как мы считаем два закона рас¬
пределения совпадающими, если они совпадают во всех точках
непрерывности.
В дальнейшем мы будем называть данную последователь¬
ность типов сходящейся, если она имеет собственный пре¬
дельный тип; очевидно, что теорема |43| оправдывает эту тер¬
минологию. Мы будем обозначать через Т (х) тип, которому
принадлежит закон распределения случайной величины х. С по¬
мощью введенных нами обозначений запись некоторых часто
встречающихся утверждений может быть сделана очень крат¬
кой; так, например, тот факт, что закон распределения надле¬
жащим образом нормированных сумм sn некоторой последова¬
тельности случайных величин при /г—> оз стремится к закону
Гаусса, может быть записан в виде простого соотношения
T(sn)~*G (я—»оо).
Устойчивые типы и устойчивые законы. Усло¬
вимся называть данный тип Т устойчивым, если композиция
любых двух законов типа Т снова есть закон типа Т. Закон,
принадлежащий устойчивому типу, мы будем называть устой¬
чивым законом. Примерами устойчивых типов могут служить
несобственный тип и тип G законов Гаусса. Чтобы получить
пример не устойчивого типа, рассмотрим закон распределения
F (х) случайной величины, принимающей значения 0 и 1 и ни¬
каких других; очевидно, что каждый закон, однотипный с F(x),
будет иметь, подобно самому закону F(x), только две точки
роста; между тем закон F(x)^{-F(x) очевидно имеет три точки
роста 0, 1 и 2 и, следовательно не может принадлежать тому же
типу. Другим важным примером не устойчивого закона явля¬
ется закон Пуассона, характеристическая функция которого,
как мы знаем, имеет вид
f(t)=e' (elt-1) (X > 0);
1)	В самом деле пусть уг < у <у2, F(уг) > F(у) — г, F(y2)<F(y)-\- г, и фун¬
кция F непрерывна в точках уг и _у2; при достаточно большом п уг< апх +
-г6„ < Уи потому
Fn (л) < Fn<anx + ьп) < W;
так как при п —* со I-'n (yL) -> F(y1) и Fп (у2)—i> F(v2)> а ? произвольно мало, то
Fn (а"х + bn) —» F(у) = F(ах + Ь).

90
СУММЫ ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
очевидно, что общий вид характеристической функции для за¬
конов, однотипных с данным, будет
/(a0^fA,= ^(eW-Vw (а> 0,	*^0);
произведение двух функций этого вида (с различными а и Ь) не
может, как легко видеть, вообще говоря, быть представлено
в том же виде, и, следовательно, композиция двух законов рас¬
сматриваемого типа уже не будет, вообще говоря, законом
того же типа.
В настоящей главе мы будем заниматься изучением предель¬
ных законов для нормированных сумм взаимно независимых
случайных величин, подчиняющихся одному и тому же закону
распределения. Для этой теории понятие устойчивого типа и
устойчивого закона имеет основное значение, как это вытекает
из следующей теоремы:
[44; Устойчивость типа Т есть необходимое и достаточ¬
ное условие для существования закона распределения F (х),
обладающего тем свойством, что при п—>оэ
(97)	T(sn)^T,
где sn есть сумма п взаимно независимых случайных величин,
распределенных по закону F (х).
Иначе говоря, предельными законами для нормированных
сумм взаимно независимых и одинаково распределенных случай¬
ных величин могут служить все устойчивые законы и только
они.
Доказательство. 1. Пусть Т—любой устойчивый тип,
и F (л)— любой закон типа Т; если sn есть сумма п взаимно не¬
зависимых случайных величин, подчиняющихся закону F (х), то
по самому определению устойчивых типов закон,которому под¬
чиняется sn, должен принадлежать типу Т, т. е. 77s„) = Т
(я = 1, 2,...), откуда непосредственно вытекает соотноше¬
ние (97).
2. Пусть теперь, обратно, при надлежащем выборе веще¬
ственных чисел Вп у> 0, Ап закон распределения величины
(98) Sf-An
П
стремится при я—> оо к некоторому предельному закону Ф(дс);
покажем, что этот закон необходимо является устойчивым.
Если х есть случайная величина, подчиненная закону F(x),to
на основании теоремы \22\ (§ 2) мы можем утверждать, что слу¬
чайная величина

УСТОЙЧИВЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
01
бесконечно мала при /г—> оо. Установив это, мы можем при¬
менять к нашей схеме все выводы §§ 6 и 7 главы III (и в ча¬
стности, утверждать, что Ф (л:) есть закон класса L). Так, при
доказательстве теоремы |33| мы видели, что
5П—»оо,	-	—> 1	(/г —> оэ);
и
эти же соотношения будут, таким образом, иметь место и
в нашем случае; очевидно, они имеют своим следствием, что
для любого е>0 и для любого достаточно большого числа В
найдется такой индекс пу что
В<Вп<В{\ +е).
Пусть теперь а1 и а2 — два произвольных положительных
числа; в силу только что сделанного замечания, при достаточно
большом г>0 найдутся такие индексы /гит, что
£<**< £(! + «)’ я7 <В'п < £ С + г).
Замечая, что
Sm -f-я = Sn + (S/ц-ш — S J =
= Вп ^ - Лп) + Вт	-	Лш) + Апвп+Атвт,
и, следовательно, при надлежаще выбранных 0,, 92 (0 <	<1,
0< 02 < 1),
(1 + V) (£ •- л.) + п + М) (5”'	- Ж) =
— ДГ (s/z-fm АпВп АтВщ),
мы находим при любых вещественных blf Ь2
I Sn л	и	\	^	“1“	1 / +	Л	и	\ ^
—+ 1 -в.	л”
= &n, т Sn | щ “Ь &п, т >
где ап,т> 0 и Ьп, т — не зависящие от случая вещественные
числа.
Обозначая через ФЛ(*) закон распределения величины (98),
мы видим, что два слагаемых левой части последнего равенства
подчиняются соответственно законам
фДгТв^ + а,) и ф«(г+«;-* + ь*)>

92
СУММЫ ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
так как эти слагаемые взаимно независимы, то, обозначая за¬
кон распределения их суммы через Ип, т(х)у мы имеем
ф. (пп5*+М * ф. (пй? х+ь') ~
Будем теперь безгранично уменьшать число г и одновремен¬
но безгранично увеличивать число г, а следовательно и числа п
и т, оставляя при этом неизменными числа ai9 а2, Ь19 Ь2. Легко
видеть, что компоненты левой части последнего равенства бу¬
дут при этом иметь своими пределами соответственно законы
Ф(а1х + Ь1) и Ф(а2х+Ь2)г). Отсюда следует, что и их компо¬
зиция, т. е. Н„,т(х)9 должна при этом стремиться к некото¬
рому предельному закону Н(х), причем
(100)	Ф {ахх + bx) X- Ф (а2х + b2) = Н (х).
Если тип Г, которому принадлежит закон Ф(х),— несобствен¬
ный; то в силу соотношения (100) закон Н (х) — также несоб¬
ственный и, следовательно, принадлежит типу Т; если же этот
тип собственный, то так как закон Нп, т{х) принадлежит типу
Т($п {-т)у то закон Н(х) принадлежит типу Т по теореме |43[ (не¬
собственным он в этом Случае быть не может в силу соотно¬
шения (100)). Таким образом закон Н(х) во всех случаях при¬
надлежит типу Г, т. е. может быть представлен в виде Ф (ах-т-Ь).
А так как числа ai > 0, а2 > 0, Ь{9 Ь2 произвольны, то соотно¬
шение (100) доказывает устойчивость закона Ф(х), а тем самым
и теорему |44|.
г) В самом деле, пусть функция Ф (х) непрерывна в точках ахх + Ьг и
- ^ -- х + ьг\ так как Фл(л:)—* Ф (;с) (п —> оо) в любой точке непрерывности
функции Ф(л:), то, как бы мало ни было Ь>0, при достаточно малом г (доста¬
точно большом п) и х > 0 имеем
Ф(а1х + Ь1) — о<ф(~^-гл:+ b^j-у < ф„ (-щЬ * + fri) <
^ фп (l	Л	+	*J)	^	Ф^°1Х + bl>) < Ф ^1ЛГ +	^ 5’
а при х < 0
Ф (а,х + bt) — 5 < Фл(й!Х + &2)<Фл (t л- + Ь1) <
^ фл(тХгт •* + ь^)<ф (т+7 + bl) + X < ф (aiX + bl) + в’
и аналогично для другой компоненты; еще проще мы приходим к тому же вы¬
воду, рассматривая характеристические функции.

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ 93
Таким образом класс законов, предельных для нормирован¬
ных сумм взаимно независимых и одинаково распределенных
случайных величин, в точности совпадает с классом устойчивых
законов (отсюда, в частности, следует, что все устойчивые зако¬
ны безгранично делимы и более того — принадлежат классу L).
Поэтому мы обращаемся теперь к отысканию совокупности
всех устойчивых законов.
§ 13. Каноническое представление устойчивых законов
распределения
Так как всякий устойчивый закон принадлежит классу L, то,
обозначая через y(t) характеристическую функцию такого зако¬
на, мы согласно теореме \Щ должны иметь
lg ? (О = i'it + / (У'"- 1 -г!У dG (“)’
где v — вещественная постоянная, a G(u) неубывающая огра¬
ниченная функция, при любом иф0 имеющая правую производ-
1 I Ц
ную G'{u), причем функция ——G'(u) должна быть невозра¬
стающей в каждой из двух областей и<0 и и > 0. Полагая
поэтому
G' (и) = А, (и)	(и > 0),
Цф G'(и) =/1,(и)	{и < 0),
мы будем иметь
(101) lg?(0 = Ht—gP +J(e'“l- 1 — ГтУ du +
о
при	этом	очевидно ^>0, а функции	и ^г(й)	определены
соответственно	в	областях и> 0 и ц<0 и удовлетворяют	сле¬
дующим условиям:
1°. hx(u) > 0 и не возрастает; h2(u)< 0 и не возрастает.
2°. Интегралы
о
//г, («) du и у ц-~—2 кг (и) du
О
конечны и неотрицательны.
Полагая

94	СУММЫ	ОДИНАКОВО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ	ВЕЛИЧИН
мы будем иметь при любом а > О
Ix(at)=
'° V
(“Э
L(at)= I I е““ — 1	--	-^—da	=
= Г (еш -1 - -Ail du 4-
J \	’	+	“2	/	"
о
+ й /  h (~)da =
o' d+«2)(l+^) ‘Ы
(102)	=	Г	{ei:a	~	1	-	da	+	it	(a),
0
где (а) есть величина последнего, сходящегося в силу условия
2° интеграла. Аналогично, обозначая через I2(t) второй интеграл
формулы (101), мы находим
о	/г
(103)	4 (at) = J (V7"— 1 — j-^i j —~—du + it 4 (a).
Так какср(^) есть по предположению характеристическая функ¬
ция устойчивого закона, то для любых аг > 0, а2 > 0 должны
существовать такое a > 0 и такое вещественное число Г, что
>g <Р КО + >g <Р КО = lg Ю + *г0
поэтому основная формула (101) в силу соотношений (102) и:
1103) дает

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ 95
где С — вещественная постоянная^ в силу теоремы однозначности
канонического представления (|30|) мы заключаем отсюда, что
С = 0 и
(104)	g (а* + а\ — а1) = 0,
(105)	*,(i)+4,(i)	.*,(£),
<'«>	+
Воспользуемся сначала соотношениями (105) и (106) для опреде¬
ления вида функций А, (я) и /г2(и). Полагая а2 =1, мы бу¬
дем иметь некоторое определенное значение для параметра а,
которое мы обозначим через -^; тогда соотношение (105) дает
2 Ах(я) = /г, (Ли),
а повторением этого соотношения мы получаем
(107)	hl(A'lu) =2nh1(u) (я= 1,2,...).
Но из соотношения (105) мы с помощью индукции легко нахо¬
дим, что подобное ему соотношение имеет место и для трех
слагаемых, откуда, в частности,
3/г, (я) = /г, (Ви),
где В — некоторое положительное число; повторением этого
соотношения мы получаем
(108)	/*1 {Вти) = Ът А,.(гг) (яг = 1,2,...).
Так как функция ht (гг)— невозрастающая, то (отвлекаясь от
тривиального случая А, (я) = 0) мы можем утверждать, что А < 1
и В< 1. Далее, легко видеть, что отношение иррациональ¬
но; в самом деле, из
lg А т
lgВ ~ It
следует Ап — В"г, а потому, в силу соотношений (107) и (108),
2П = 3"', что при целых яфО, /я невозможно.
Пусть теперь \ > 0 задано произвольно; как бы мало ни было
г > 0, мы можем найти такие целые числа я > 0, яг, что

96	СУММЫ ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
в этом случае соотношения (107) и (108) дают
1ц()е1и) = 2п h{
откуда
2"
г«) = -7й/г1(и)-
Если А2 {и) > 0 и функция hx непрерывна в точке 1и, то от¬
сюда очевидно следует
hi(\u)	2tl
очевидно, что \х от и не зависит, так как пит (которые в этом
предельном переходе мы рассматриваем как функции от г) не
2П
зависят от щ поэтому lim —ш существует, если /гх(и) > 0 хотя бы
г -> 0 3
для одного значения и, и в этом случае соотношение
(110)	fix('ku) = \xhx{u)
имеет место для всех значений и, при которых функция /г{ не¬
прерывна в точке 1и.
Неравенство (109) показывает, что
(111)	lgX = lim(п 1 gA — т lgВ),
s ->0
в то время как по определению числа ^
(112)	lg	\х =	lim (п lg 2 — т lg 3);
£ ->0
но при в-эО число п безгранично возрастает; поэтому соотно¬
шения (111) и (112), в частности, показывают, что
= I?-. = Пт — •
lg В	lg 3 ,‘™ п ’
полагая
i£2=j£3=_	>0
lg A lg В
мы будем иметь в силу (111) и (112)
lg !J- = — alg)., р = 7“'х;
поэтому соотношение (ПО) дает
h,(\u) = Г" h^u),

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ 97
и, следовательно (полагая и=1),
л.м-х-М 1)
в любой точке непрерывности >. функции А„ а значит, и всюду
в силу монотонности функции А,; полагая А1(1) = с1>0, мы
имеем для любого и > О
ЛДц) = CiU~” (а >0, с, > 0).
Так как при этом в силу условия 2° должен быть сходящимся
интеграл
hMdu = cJ£^du,
о	о
то в случае ^>0 мы должны иметь а <2; таким образом
окончательно^ мы получаем
(113)	{и) = с^иг* (0 < а < 2,	^>0).
Совершенно аналогичным образом, исходя из соотношения
^ 106), мы получаем для функции h2{ii) выражение
(114)	Л2(и)= — с2|ир (0 < а < 2,	с2>	0),
причем значения параметра а в формулах (113) и (114) должны
быть одинаковы, так как а зависит только от Д, которое одно
и то же в обоих случаях.
Наконец, соотношение (104) при aA = a2 = l дает
g(2~ ж)=0>
откуда либо g*=0, либо	но	в	последнем случае
rt =* —	-	9
lg л ’
что, как мы видели, возможно лишь при с1 = с2 = 0, и, следова¬
тельно, Л, (и) = h2 {и) е 0.
Резюмируя полученные результаты, мы видим, таким образом,
что либо
(115)	lg	<р	(t)	=	Н	—gt2 (g > 0),
что дает закон Гаусса, либо
(116)	lg	?	(f)	=	ty	+	c,f	(V"'-	1	-	^)	^
О
(с, > 0, с2 > 0, 0 < а < 2).
7 Хинчин

98	СУММЫ	ОДИНАКОВО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ	ВЕЛИЧИН
Так как элементарная проверка легко показывает, что формулы
(115) и (116) при всех указанных значениях гРараметров действи¬
тельно дают устойчивые законы, то этими формулами вопрос
о каноническом представлении устойчивых законов полностью
решается; однако интегралы формулы (116) могут быть выра¬
жены в элементарных функциях, что значительно упрощает
исследование соответствующих законов; эти простые выражения
мы теперь получим.
I случай: 0 < а < 1.
В этом случае очевидно формула (116) может быть пред¬
ставлена в виде
о
(117)	lgcp(t) = ift+Cl J1 )-*L + Csy(eitu- 1)^C ,
0
где Y — новая вещественная постоянная.
Пусть t> 0; тогда, применяя теорему Коши об интеграле по-
замкнутому контуру1), мы легко находим
ос i
J(е"“— 1)-С f 1)
ООО
_ г fj(<■-'-	(»),
О
где
L (а)1)^<0.
О
Так как второй интеграл формулы (117), как легко видеть,
представляет собой число, комплексно сопряженное с первым,
то при £>0 мы находим
lg f (0 =	(а)	{	(c2 + c,)cos -|а + i(c2— cjsin^-а],
или, замечая, что L (а) < 0,	cos-^-a>0,	и	полагая
— L( а) (сг + с,) cos а = с,
имеем
lg?(0 = eY-cf{l+pi!tgia} (о О, IPK1);
J) Беря в качестве контура интеграции круговой квадрант, ограниченный
положительной стороной вещественной оси, положительной стороной мнимой
оси и окружностью радиуса R, и затем безгранично увеличивая R.

КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УСТОЙЧИВЫХ ЗАКОНОВ 99
при £ < 0 мы находим
lg(f(£) = lg(p(;£!)= -ii\t\ c|£le{l-p/tg|-a};
таким образом для любого t
(118)	ig	9	(£)	=	ii't — с J t f {l + j3i T- tg J я},
где 0 < я < 1,	с> 0,	j р |	' 1,	Y	ЗЕ О-
II с л у ч а й:	1 < a < 2.
В этом случае мы,	как	легко	видеть, можем, меняя постоян¬
ную т, заменить под интегралами формулы (116) выражения,
стоящие в скобках, более простым выражением
ei!a 1 - itu.
При t >0 мы находим, снова применяя теорему Коши1),
yV“- 1 -Ни) -Д-f у(е«-
О	О
со/	ТС	.
= fj\eiv- 1 - lv)	= Г" f f (е~-l + z)^ = e~ Г" f М (я),
о	О
где положено
М(я) = j\e~z— 1 + z)	> 0.
0
Отсюда буквально так же, как в первом случае, мы приходим
в точности к той же формуле (118), с той же областью изме¬
нения параметров с и 3, и с 1 < a < 2 (то обстоятельство,
что УИ(а)>0, тогда как прежде мы имели 1(а)<0, компенси¬
руется очевидно тем, что в настоящем случае cosy<z<0, тог¬
да как прежде было cosya>0).
Ill случай: a= 1.
В этом случае ни одно из упрощений, примененных нами
з предшествующих случаях, уже невозможно. Пользуясь из¬
вестной формулой
О
2)	Беря тот же контур интеграции, что и в первом случае.
7+

100	СУММЫ	ОДИНАКОВО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ	ВЕЛИЧИН
мы находим при £>0
/ (**■-«- ттг)# -ттг) w -
О	0	0
(£>0) £ £
(£>0) 6* £
(е>0) s	(»>0)	з
=	^lg^+^Г,
где
г"Д^-7(гЬч)л-
о
так как второй интеграл формулы (116) является, как мы уже
заметили, числом, комплексно сопряженным с первым, то при
t> 0
lg tp (t) = щЧ — (сг + С2) t — (сх — с8) lg *;
а так как lg<p(—^) = lg ср (^), то для любого t
lg ¥.(*) = h't — («\ + c2) — \t\-{cl- c%) it lg 111,
или, полагая (ci + c2)^r = c, Cy~p = P>
(l+4?9lTlgl9} «Ш0, С > 0, |P|<1).
Сопоставляя полученные результаты, мы видим, что сово¬
купность всех устойчивых законов дается формулами
(119)	lg <Р {t) = i^t—c\t p j 1 + ip	,
(120)	ig?(*) = /Tf_c|f||i+ipJ..i_ig|f| j,
где
T ,;0,	|p|<l,	c>0,	0	<	а	Д	2,	аф1
(случай a = 2 в формуле (119) дает очевидно закон Гаусса, для
которого поэтому нет надобности писать отдельную формулу).

ОБЛАСТЬ ПРИТЯЖЕНИЯ ТИПА G
101
С помощью этих формул очень легко усмотреть основные
свойства устойчивых законов. Ограничимся здесь только не¬
сколькими замечаниями.
1°. Все устойчивые законы, за исключением несобственных,
непрерывны и имеют непрерывные производные всех порядков;
это следует из того, что, формально диференцируя формулу
обращения (2) (§ 1), мы находим
(121)	F(n\x) = ^- f t"-1 e-Uxf{t) dt	(n= 1, 2, ...);
но для всякого собственного устойчивого закона в силу формул
(119) и (120)
|/(*)| = e-cM7 (£> о, а > 0),
вследствие чего интеграл в правой части равенства (121) при
любом п сходится равномерно относительно х; таким образом
производная F{n) (х) существует и выражается формулой (121).
2°. Из всех устойчивых законов только законы Гаусса и
несобственные имеют конечные моменты второго порядка. При
1 < а < 2 мы имеем конечные моменты первого порядка, а при
а < 1 и этих моментов не существует. Доказательство всех
этих утверждений мы предоставляем читателю.
3°. Формула (120) при 0 = 0 дает
т. е. закон Коши, который является, таким образом, устойчивым
законом; это обстоятельство было известно уже самому Коши.
§ 14. Область притяжения типа G
Пусть Xj, х2, ... , хп, ...—последовательность взаимно не¬
зависимых случайных величин, распределенных по одному и
п
тому же закону F(x); положим sn = ^x^; если
/г-1
T(Sn)->T (п-> оо),
то мы будем говорить, что закон F(x) принадлежит области
притяжения типа Г. Согласно теореме |44|, областью притя¬
жения может обладать только устойчивый тип;обратно, всякий
устойчивый тип согласно той же теореме имеет область при¬
тяжения, которой принадлежат по меньшей мере все законы
этого типа.
Очевидно, что одной из основных задач теории устойчивых
законов должно явиться точное определение области притя¬
жения каждого устойчивого типа; однако до настоящего вре¬
мени эту задачу удалось решить только для одного типа О

102	СУММЫ	ОДИНАКОВО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
законов Гаусса1), занимающего в этом отношении среди устойчи¬
вых типов совершенно особое место. Это решение, с легкостью
вытекающее из результатов предшествующей главы, мы теперь
и приведем.
|45| Пусть F{x)— произвольный центрированный закон рас¬
пределения; положим для X > 0
■/(x)=l-F(x) + F(-x), Н(х)^~ J u4F{u).
I и К -V
Тогда условие
(122)	iW-,0	(,-*„)
необходимо и достаточно для того, чтобы закон F(x) принад¬
лежал области притяжения типа G.
Доказательство. Согласно теореме |39| необходимый и
достаточный признак принадлежности закона F{x) области при¬
тяжения типа G может быть выражен так: пусть для данного
о>0 и для данного натурального числа п число Сп = Сп(Ь) опре¬
делено так, что при любом а > 0
«/. (сп+*) <	«у. (С—а) >8;
тогда мы должны иметь
(123)	пН{Сп)->оэ	(п-> оо).
Допустим теперь, что условие (122) выполнено. Если при
п—>оо число Сп остается ограниченным, то И {С,) ограничено
снизу и условие (123) автоматически выполняется; если же
Сп—>оэ (п—> со), то в силу условия (122) мы, сколь бы мало
ни было г > 0, при достаточно большом п будем иметь
а так как
И(-2 ) = с1 f *'dF(x)<^ f x2dF(x)=W(Cj,
i * I < Cn
x ^ V
TO
здесь 3>0 произвольно мало; следовательно, условие (123)
выполнено, а значит, закон F(x) принадлежит области притяже¬
ния типа G.
А) Не считая, конечно, тривиального случая несобственного типа.

ОБЛАСТЬ ПРИТЯЖЕНИЯ ТИПА G
т
Пусть теперь, обратно, известно, что закон F(x) принадлежит
области притяжения типа G и, следовательно, имеет место со¬
отношение (123)1). Если бы при данном о>0 число Сп(Ъ) с воз¬
растанием п оставалось ограниченным, то это означало бы, что
У.(х) = ® ПРИ достаточно большом х, и условие (122) выполня¬
лось бы тривиальным образом; поэтому мы можем допустить,
что См—> оо при /I—>оо; но тогда для всякого достаточно боль¬
шого х найдется такой индекс п = п(х), что
сп <а х -'й Си-fi,
откуда, в частности,
(124)	пуЛх)<Ъ;
но в таком случае неравенство
Г и2 dF(u) =
n+1 J
\и | < а-
=	J	и2dF(и) >
•v<i«l<Cnjl
>Я(С„ ,г)- J dF(u) > Н(Сп+0 — 7.(х)
| U ■ > X
в силу условия (123) дает
(125) пН(х)> (Я+ 1) Н(Сп{\) — о-^со (п » со);
наконец, так как при х-^>со очевидно и п—> оо, соотношения
(124)	и (125) дают
7ЩГ°
т. е. условие (122); этим теорема |45| доказана.
Полученный нами признак содержит в себе, в частности,
классический результат, согласно которому все собственные
законы с конечными моментами второго порядка принадлежат
области притяжения типа О. В самом деле, для такого закона
л:27(л)< j u2dF(u)—>0	(х—>со),
\и\>х
в то время как
Г u2dF{u)
I Ч ! < -V
я
и I < л
dF(u)
1) Предельная пренебрегаемость слагаемых нормированных сумм вытекает
из принятого допущения в силу теоремы [221.

104	СУММЫ	ОДИНАКОВО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ	ВЕЛИЧИН
имеет при х -э оо положительный предел. Поэтому для такого
закона
 >0 (х
Н(х> J u*dF(u)
I В К *
Если данный закон центрирован, то принадлежность его области
притяжения типа G вытекает поэтому из теоремы |45[; в про¬
тивном же случае мы заменяем данный закон /^я^Гзаконом
F{x — a), где а —медиана закона F(x); закон F(x — а) — цент¬
рированный, собственный и имеет конечный момент второго
порядка; поэтому он согласно доказанному принадлежит обла¬
сти притяжения типа G, а следовательно, то же самое имеет
место и для закона ^(л:).
§ 15. Области частичного притяжения
В настоящем параграфе мы ознакомимся с примерами таких
собственных законов, которые не принадлежат области притя¬
жения никакого собственного типа. Если каждая из взаимно
независимых случайных величин, составляющих сумму sn, под¬
чиняется такому закону F(x), то закон распределения величины
3 — 1п_ л
п Г,
Вп
не может, следовательно, ни при каком выборе чисел Вп > 0,
Ап стремиться при п—* со к собственному предельному закону.
Однако при этом возможно, что существует такая последо¬
вательность индексов пх < п2 <... < nk < ..., для которой закон
распределения величины sWfe стремится при k—> оо к некото¬
рому собственному закону Ф(л:) типа Т\ в этом случае мы бу¬
дем говорить, что закон F(x) принадлежит области частич¬
ного притяжения типа Т. Подобно тому как в начале настоя¬
щей главы мы поставили и решили задачу о совокупности всех
типов, обладающих областями притяжения, мы теперь займем¬
ся вопросом о совокупности всех типов, имеющих области ча¬
стичного притяжения.
Из самого определения безгранично делимых законов сле¬
дует, что вместе с данным законом и все однотипные с ним
законы являются безгранично делимыми; мы можем поэтому
говорить о безгранично делимых типах, разумея под этим
типы, все законы которых безгранично делимы. Легко видеть,
что всякий тип, имеющий область частичного притяжения,
должен быть безгранично делимым. В самом деле, если зако¬
ны распределения величин з стремятся при k—>со к предель-
 	^	А
ному закону Ф (х), то в силу теоремы |22| слагаемые — 	—
—	Впк	пк

ОБЛАСТИ ЧАСТИЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ
105
(1 < г	составляющие	сумму а , равномерно бесконечно
малы при k—>co; поэтому в силу теоремы \32\ закон Ф(*) дол¬
жен быть безгранично делимым.
Мы покажем теперь, что, и обратно, — всякий безгранично
делимый тип имеет область частичного притяжения. Таким
образом имеет место следующая теорема, полностью разре¬
шающая поставленный выше вопрос:
|46| Для того чтобы данный тип Т имел область частич¬
ного притяжения, необходимо и достаточно, чтобы он был
безгранично делимым.
Предварительное замечание. Из этой теоремы не¬
посредственно следует существование законов, не принадле¬
жащих области притяжения никакого собственного типа. В са¬
мом деле, пусть тип Т—безгранично делимый, но не устойчи¬
вый. В силу теоремы |46| существует такой закон Fix), [что,
обозначая через sn сумму п взаимно независимых случайных
величин, подчиняющихся закону F(x), мы будем иметь
(*“>«>).
где n1<ni< ... <пк< ... — некоторая надлежащим образом
выбранная последовательность индексов. Если бы закон F (х)
принадлежал области притяжения какого-либо собственного
типа Т*, то этот тип в силу теоремы |44| должен был бы быть
устойчивым, так что Т* ф Т. Но, с другой стороны, из соотно¬
шения
Т(s„) —» Т* («-» оо)
следует
т («„*) т* (&^со);
таким образом последовательность типов	(&=»1, 2,...)
имела бы два различных собственных предельных типа, что
противоречит теореме |43|.
Доказательство теоремы |46|. Пусть Ф(л) — любой соб¬
ственный безгранично делимый закон распределения, <р(£) — его
характеристическая функция и
Ig'PW = f ( eitu— 1	V-+	11 ~ dG{a)
J \	1	+	Пг) K2
— ее каноническое представление. Если исключить из рассмо¬
трения случай, когда Ф(л:) есть закон Гаусса и доказываемая
теорема становится тривиальной, то функция G(u) должна иметь
точку роста щ, отличную от нуля. Выберем число а > 0 так,
чтобы а~1<|и0|<а, обозначим через Ак (k= 1, 2,...) область
изменения переменной «, характеризуемую неравенствами

106	СУММЫ	ОДИНАКОВО	РАСПРЕДЕЛЕННЫХ	ВЕЛИЧИН
и ПОЛОЖИМ
С = /4г^<3(и) (* = 1,2,...);
очевидно, мы имеем
о < г4 < г2 < ... < тк < ...
Положим, далее,
=/ ' и “* dG (“)• Вь = /О + «2)(«).
А*
СА = /«(1+и*)(/0(и) (* = 1, 2,...),
= lim ( G (s) — G (— г)}.
6 —>*■ 0
(s>0)
Введем в рассмотрение последовательность положительных
чисел А1? Л2,..., Ak,..., определяемых соотношениями
(126)	Vj	= 1, Aft = -i- у Аг Br (к> 1),
*+т h
и последовательность натуральных чисел
<7, < q2 < ... < qn < ... ,
возрастающих столь быстро, что
со
О27)	lim	qn V И.о.
п—>оэ	Lm Qh
k=n-\-l
_ j_ _ п—1 i_ з
(128)	lim	да	2	А„	2 У qk ГЛА 2 | С* | = 0;
П->оо
k—1
положим еще
(*=1,2,...).
Мы переходим теперь к определению закона, принадлежа¬
щего области частичного притяжения типа Т, представляемого
данным законом Ф(х). Положим
X* (0 = /(«"“ - 1) ^ dG {и) (к = 1, 2,...).
А*
Так как это есть очевидно выражение вида (27), то в силу
теоремы |29| е7^ есть характеристическая функция некоторого

ОБЛАСТИ ЧАСТИЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ	107
(безгранично делимого) закона распределения. А так как ряд
в силу условия (127) сходится, то и
СО Т|
£ Л и О?*)
ft 1Чк
fit) = е
есть характеристическая функция некоторого закона распреде¬
ления F(x).
Полагая
LaJ
1$-*-
k=n-\l
мы очевидно будем иметь при п —> оэ равномерно относительно
t [— оо < £ < + оз]
п—1
<■»> Ь/Ц) - 2 ,7 -/.(£*) + i У-At) + ою-
k=l
Но при tl—>oо и любом ->0
_и_л ViL^t
К П~1 Kfr
К=1
+ о0?) ['<к,ь
где положено
л—1	«—1	о I j я—1	1.	Д
_у^, С7Л_, - у - уд; I с, |.
k=l	k--1	fe=l
Внося это в соотношение (129), мы находим

108	СУММЫ ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
откуда, пользуясь соотношениями (126), (127) и (128),
q* lg 1Ш=и qjL^r ~{g+i)^+y-’1 {t)+0 {д’ю+
+о(я~1*	1	—gj +
+ f(e““-l)'-±^dG(u) + o(l) [|*|« т].
Полагая
_ Чп Уп-1 v . Г (и)
{п~	^ + J и ’
д/г
мы находим
?Jg/(-0 —	И*—gf +
-j- J (^:_1__|1.^Ц_«!^(и) + 0(1) [КИт]
дя
и, следовательно,
is {?-Ig/ (i)_i4= ii<+Д*""-1 ~	^ла (и)~
= lg Т (0 [|<|<т];
но это соотношение показывает, что закон распределения ве¬
личины
SqJL
"р	Т п»
г/г
где s(/ есть сумма взаимно независимых случайных вели¬
чин, подчиняющихся закону F(x), стремится при п—>сок закону
Ф(х) и что, следовательно, закон F(x) принадлежит области
частичного притяжения типа Г; этим теорема |46j доказана.
Как было уже замечено выше, теорема )46[ доказывает су¬
ществование законов, не принадлежащих области притяжения
ни одного собственного типа; однако построенный нами закон
F(a') принадлежит некоторой области частичного притяже¬
ния (собственного типа Т); поэтому встает вопрос о существо¬
вании законов, не принадлежащих области частичного притя¬
жения никакого собственного типа. Этот вопрос, как мы
сейчас покажем, также решается положительно.

ОБЛАСТИ ЧАСТИЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ	10&
Обозначим через Н(х) закон распределения, определяемый
условиями
О	(х	С	е),
Н(х) =
пусть х,, х2,..., х,„...— взаимно независимые случайные вели¬
чины, каждая из которых распределена по закону Н(х); поло-
П
жим sn= 2 xk. Пусть а и X—любые положительные числа; тогда,
k=i
с одной стороны,
(130) Р (sn > aet n) > 1 — Р (х* < аёпу 1 < k < п) =
= 1 — f 1 — Xn+IgT) '-^1— е '■	(я-»00).
и, с другой стороны,
(131)	Р (s„ < ае,п) > Р (xfe < ^ёп, 1 < k < л) =
1
= (\—т—, , 1	j—У->6 ' (я—»оо).
\ \n+\ga — \gn)	у
Покажем теперь, что, какова бы ни была последовательность
индексов я, < я„ <... < пк < . . ., закон распределения вели¬
чины
Sn
(132)	тг-	—	Аа
ни при каком выборе чисел Вк> 0, Ак не может стремиться
при k-^co ни к какому собственному закону, т. е. что закон
Н(х) не принадлежит области частичного притяжения никакого
собственного типа.
Допустим, что при надлежащем выборе чисел пк, Ак, Вк за¬
кон распределения величины (132) при k-^co стремится к соб¬
ственному закону Ф(а); рассмотрим тогда последовательность
чисел	(k	=	1,	2,...) и будем различать два случая:
1)	—»-j-oo при k^co. В этом случае, как бы велико ни
было число а, при достаточно большом k мы будем иметь
Вк>еп\
и, следовательно, в силу (131) при любом г>0 и достаточно
большом k

110	СУММЫ ОДИНАКОВО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ВЕЛИЧИН
отсюда при достаточно большом k
р(~л*< ^-А^< — Аь+ £)> e~~>1-v-
Так как при этом а может быть выбрано сколь угодно боль¬
шим, а £ — сколь угодно малым, то предельный закон Ф (л:) не
может быть собственным, т. е. мы приходим к противоречию.
2)
не стремится к оо при &—»оэ. В этом случае мы оче¬
видно можем из последовательности индексов nk выбрать такую
подпоследовательность, для которой это отношение стремится
к конечному пределу а1). Поэтому, не ограничивая общности
рассуждения, мы можем допустить, что
lim	=	а	>	0.
fc-НЭО nk
Таким образом при достаточно большом k
<Bk< е{'
и, следовательно, в силу (130) и (131) при ,8>^>0 и достаточ¬
но большом k
р Q; > *"*) >р (ч >	>
> j _ е *т?+2 = и> 0
>(^<^)>Р(Н<<.('^Ь)
>
а потому и
(133)
>е 1 = v > 0,
Ъпь
ft) > ".
P[^—Ak<e^-A^>v.
Пусть А столь велико, что
1 — Ф ( А) <иу Ф (— А) < v;
Ч В силу теоремы \22\_ В к—» со при k-*oof так что lg^>0 при доста¬
точно большом k.

ОБЛАСТИ ЧАСТИЧНОГО ПРИТЯЖЕНИЯ	11	i
пусть, кроме того, функция Ф(я) непрерывна при х=А и
х = — А; тогда в силу неравенств (133) мы при достаточно
большом k должны были бы иметь
е>п* — Ак<А, е^-Ак>—Л,
и, следовательно,
enk — e'<nk <2A,
что невозможно, так как левая часть вследствие условия
3>ч>0 безгранично возрастает при &-^оо; таким образом и
во втором случае мы приходим к противоречию, что и дока-
зывает наше утверждение.

ЛИТЕРАТУРНО-ИСТОРИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
К § 1
Идея метода характеристических функций принадлежит Коши.
В отдельных случаях характеристическими функциями пользо¬
вались в своих исследованиях Пуанкаре, Ляпунов и другие
авторы. Однако систематическое применение метода характе¬
ристических функций, а также и первое общее доказательство
основных теорем	|8|	и |9| принадлежит П. Леви [10]1).
Более подробное изложение этих теорем читатель может найти
v В. И. Гливенко [4] , где им посвящена особая глава.
К § 2
Теорема jl2j, будучи почти очевидной, неоднократно была
использована разными авторами; трудно указать, кем она была
формулирована впервые. Формулировка леммы |13| принадлежит
Д. А. Райкову, см. [7]. Элементарные леммы |14|, Jl5| и Jl7| ,
повидимому, публикуются впервые. То же самое относится
к теоремам |18| —122|, из которых, впрочем, только теорема \21\
может претендовать на роль существенно нового предложения,
все же остальные с теми или иными модификациями уже
были использованы разными авторами.
К § 3
Понятие безгранично делимого закона распределения принад¬
лежит Московской школе и впервые, насколько нам известно,
встречается в неопубликованной диссертации Г.М. Бавли. В печати
систематическое исследование безгранично делимых законов под
этим названием проведено в недавно вышедшей книге П. Леви
[14], хотя отдельные важные касающиеся этих законов резуль¬
таты имеются в более ранних работах Финетти, А. Н. Колмо¬
горова и того же П. Леви. Однако теоремы j23| и |24|, пови¬
димому, впервые опубликованы лишь в недавней работе
автора [6]. Теорему |25| можно встретить уже в 1929 г. у Фи¬
нетти [3]. Теорема |26|, повидимому, публикуется впервые.
1) Числа в прямых скобках относятся к перечню литературы, помещенному
в конце книги.

ЛИТЕРАТУРНО-ИСТОРИЧЕСКИЕ ПРИМЕЧАНИЯ
113
К § 4
Теорема |29| принадлежит П. Леви [11]; каноническое пред¬
ставление для безгранично делимых законов с конечными дис¬
персиями было ранее найдено А. Н. Колмогоровым [9]; доказа¬
тельство, приведенное в тексте, принадлежит автору [8]; по
методу оно примыкает к только что указанной работе А. Н. Кол¬
могорова и существенно отличается от доказательства П. Леви.
Теорема |30| также принадлежит П. Леви [11], хотя соответ¬
ствующие"формулы обращения найдены автором [8]. Тео¬
рема [31] принадлежит автору, но впервые опубликована в книге
П. Леви [14].
К § 5
Постановка общей задачи принадлежит А. Н. Колмогорову*
Решение для случая законов с конечными дисперсиями дано
Г. М. Бавли *), а для общего случая — автором [6].
К §§ 6 и 7
Теоремы |33| и |34| принадлежат П. Леви [13]. Более под¬
робное изложение см. у него же [14].
К § 8
История проблемы изложена в тексте. Теорема |35! принад¬
лежит Крамеру [1] (в форме гипотезы неоднократно высказы¬
валась ранее П. Леви). Теорема |36| есть частный случай более
общей теоремы, доказанной П. Леви [14].
К § 9
Теорема |39j принадлежит Феллеру [2]; даваемое в тексте
доказательство, однако, существенно отлично, особенно в своей
второй части, от доказательства Феллера. В частности, лемма
)40{ публикуется впервые.
К § Ю
Достаточность условия Линдеберга установлена Линдебер-
гом [15] в 1922 г.; необходимость же его доказана Феллером [2]
лишь недавно.
г) G. М. В awl у, Uber einige Verallgemeinerungen der Grenzwertsatze der
Wahrscheinlichkeitsrechnung (Мат. Сб. 1 (43), № б, 917—929, 1936).
& Хитты

[ 14	ЛИТЕРАТУРНО-ИСТОРИЧЕСКИЕ ПР ИМЕЧАНИЯ
К § 11
Теорема |42* является частным случаем несколько более об¬
щего предложения П. Леви [14]; впрочем, нам не удалось найти
доказательства этого предложения на основе наброска, указы¬
ваемого Леви.
К § 12
Понятие типа законов распределения принадлежит П. Леви
[10], [14]; понятие сходящейся последовательности типов и тео¬
рема |43| впервые опубликованы в статье автора „Uber Klassen-
konvergenz von Verteilungsgesetzen“, Известия Научно-исследова¬
тельского института математики и механики при Томском
государственном университете им. В. В. Куйбышева, т. I (1937),
стр. 258—262. Понятие устойчивости типов и законов и тео¬
рема |44| принадлежат П. Леви [10], [12]; данное им доказа¬
тельство, однако, на наш взгляд не является полным.
К § 13
Формула (119) найдена П. Леви [10], [12]; формула (120) од¬
новременно и независимо друг от друга найдена П. Леви [14]
и автором.
К § 14
Теорема |45j одновременно и независимо друг от друга най¬
дена П. Леви [12], Феллером [2] и автором [5].
К § 15
Теорема |46| принадлежит автору [6]; приводимое в тексте
доказательство публикуется впервые.

ЛИТЕРАТУРА
[1] Н. Сг а ш ё г, Ueber eine Eigenschaft der normalen Verteilungsfdnktion (Math.
Zeitschr. 41, 405—414, 1936).
[2] W. Feller, Ueber den zentralen Grenzwertsatz; der Wahrscheinlichkeits-
rechnung (Math. Zeitschr. 40, 521—529, 1935 .
[3J B. de Finetti, Sulle funzioni a incremento aleatorio (Rend. d. r. Accad. d-
Lincei (6) 10, 163—168, 1929).
[4j В. И. Гливенко, Интеграл Стильтьеса, ОНТИ 1936.
[5] A. Khintchine, Sul dominio di attrazione della legge di Gauss (Giorn. d.
istituto ital. d. attuari 6. 378—393, 1935).
[6] A. Khintchine, Zur Theorie der unbeschrankt teilbaren Verteilungsgesetze
(Мат. Сб. 2, (44), № 1, 79—119, 1937).
[7] А. Я. Хинчин, Об арифметике законов распределения (Бюллетени МГУ
(А) 1, вып. 1, 1937).
[8J А. Я. Хинчин, Новый вывод одной формулы П. Леви (Бюллетени МГУ •
(А) 1, вып. I, 1937).
[9] A. Kolmogoroff, Sulla forma generate di un processo stocastico omogeneo
(Atti d. r. Accad. d. Lincei (6) 15, 805-808, 866-869, 1932).
(10] P. Levy, Calcul des probabilites, Paris, Gauthier-Villars, 1925.
(11] P. Levy, Sur les integrates dont les elements sont* des variables aleatoires
independantes (Ann. d. R. Scuola Norm, dl Pisa II 3. 337—366, 1934).
[12J P. Levy, Proprietes asymptotiques des sommes de variables aleatoires
ind6pendantes ou enchain6es (Journal de Math. 14, 347—402, 1935).
[13] P. Levy, Determination generate des lois limites (C. R. Acad. Sci. Paris 203,
№ 16. 698—700, 1936).
[14] P. Ldvy, Ttteorie de Faddition des variables aleatoires, Paris, Gauthier-
Villars, 1937.
[15] J. W. Linde berg, Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der
Wahrscheinlichkeitsrechnung (Math. Zeitschr. 15, 211—225, 1922).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие	  5
Введение	    5
Глава I Характеристические функции
§ 1. Определение и классические результаты	....	7
§ 2. Более новые результаты	 13
Глава II Безгранично делимые законы распределения
§ 3. Определение и основные свойства 	 23
§ 4. Каноническое представление безгранично делимых законов рас¬
пределения 	 27
Глава III Суммы произвольно распределенных величин
§ 5. Общая задача	 37
§ 6. Законы класса L	 43
§ 7. Каноническое представление законов	класса	L 	 49
Глава IV Проблема Лапласа-Чебышева
^ 8.	Введение. Вспомогательные теоремы	55
^ 9.	Характеристический признак	 62
^ 10.	Случай Линдеберга	 75
§ 11.	Особая роль закона Гаусса	 81
Г л а в а V Суммы одинаково распределенных величин
^ 12.	Устойчивые законы распределения	 80
^ 13.	Каноническое представление устойчивых законов распределения 93
^ 14.	Область притяжения типа G	101
^ 15.	Области частичного притяжения	104
Литературно-исторические примечания	112
Литература	•	115