АКАДЕМИЯ НАУК ГРУЗИНСКОЙ ССР
ИНСТИТУТ КИБЕРНЕТИКИ
В. Е. ЖУКОВИН
НЕЧЕТКИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ
МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
ТБИЛИСИ
«МЕЦНИЕРЕБА?
1988

32.81
519.816
Ж 863
УДК 519.6
В монографии выделен и формально описан класс не-
нечетких многокритериальных задач принятия решений. Задачи
описываются векторным нечетким отношением предпочтения.
Для этих задач введено множество Парето, определена эф-
эффективность процедур выбора. Изучены на Парето-эффектиз-
ность различные свертки векторного нечеткого отношения
предпочтения. Специально рассмотрены нечеткие многокри-
многокритериальные задачи принятия решений с неполной информа-
информацией, когда отношения предпочтения несвязны, или заданы
интервальные оценки на парах решений. Для них сформиро-
сформирована система вложенных одно в другое Парето-эффектив ых
•структур, соответствующих разным уровням неполнотч ин-
информации.
Редактор: докт. техн. наук А. X. Гиоргадзе
Рецензенты: член-кор. АН ГССР М. Е. Салуквадзе
канд. физ.-мат. наук Т. Г. Га^ечиладзе
6-88 ©l Издательство «Мецниереба*, 1988
ISBN 5-520-00006-9

1. ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая монография является естественным продол-
продолжением двух предыдущих: «Модели и процедуры принятия ре-
решений» [14] и «Многокритериальные модели принятия решений
с неопределенностью» [15], вышедших в этом же издательстве
в 1981 ив 1983 году соответственно. Часть результатов по нечет-
нечетким задачам принятия решений уже представлена в них в очень
кратком изложении. Мы используем их в данной монографии по
мере надобности, желая дать читателю по возможности полное
представление об очень важном и интересном для научных ис-
ледований классе задач • принятия решений. Таким образом»
мы и в этой монографии продолжаем тему принятия решений.
В настоящее время в науке наблюдается повышенный ин-
интерес к изучению нечетких многокритериальных задач приня-
принятия решений. В многочисленных научных публикациях по при-
принятию решений как зарубежом, так и в СССР, сочетание тер-
терминов «многокритериальный» и «нечеткий» встречается очень
часто. Однако, большинство авторов, сформулировав с самого на-
начала задачу принятия решений как нечеткую и многокритери-
многокритериальную, уже на первом шаге исследования используют какую*
либо свертку и далее изучают скалярную нечеткую задачу при-
принятия решений. Свертки обычно вводятся интуитивно, на ос-
основе здравого смысла, в зависимости от конкретной задачи и
предметной области. Оценить их эффективность не представля-
представляется возможным, поскольку для нечетких задач принятия ре-
решений пока не существует общепризнанного аналога множества
Парето. Конечно, работа в этом направлении ведется интенсив-
интенсивная, особенно в последнее время. Интересна, например, в этом
плане публикация Кузьмина [31]. Изучая пространство бинарных
нечетких отношений предпочтения, он определил множество Па-
Парето в этом пространстве. Исследуется эта задача и в публика-
публикациях Орловского [42, 62]. Занимает она не последнее Mectoir
в теории выбора, успешно разрабатываемой Айзерманом [1] и
его многочисленными учениками. Можно привести также ра-
работы А. Борисова [4], Шапиро [50], зарубежных авторов: Яг°р
[68, 69, 70], Такеда, Нишида [66], Зиммерман [74], Баклей [54]
и многие другие. Большое внимание этой проблеме уделяют и
грузинские ученые, например, Вачнадзе, Метревели, Маркоза-
швили [6, 5], Жуковин [14, 15, 75]. Известна нам и работа Бон-
Бондаревой, связанная с этим аспектом теории принятия решений,
Э

•правда, из переписки. К тому времени, когда выйдет эта моно-
монография, по-видимому, она тоже будет уже опубликована. Все
это говорит о том, что исследования в области нечетких много-
многокритериальных задач принятия решений находятся в центре
внимания специалистов по принятию решений. Это, если можно
так сказать, «горячая точка».
В данной монографии мы за основу взяли современную те-
теорию многокритериальных задач принятия решений, в теорети-
теоретическом плане достаточно полно и хорошо разработанную. Это
позволило разработать более или менее обоснованную, логичес-
логически непротиворечивую модель принятия решений при наличии век-
тарного нечеткого отношения предпочтения, включающую в се-
себя Парето-доминирование, множество Парето, понятия эффектив-
эффективных решений, сверток, решающих правил. Мы получили возмож-
возможность также исследовать на эффективность наиболее распростра-
распространенные свертки векторного нечеткого отношения предпочтения, а
также введенные нами, например, лексикографическое отноше-
отношение предпочтения. Таким образом, сформирована основа теории
нечетких многокритериальных задач принятия решений. Имен-
Именно, теории, поскольку в монографии представлены теоретичес-
теоретические исследования в этой области. Из-за небольшого ее объема мы
не включили в нее описаний соответствующих диалоговых
процедур принятия решений и прикладных задач. Правда, все
результаты и их доказательства в большей или в меньшей сте-
степени конструктивны, и любой заинтересованный пользователь
может легко построить соответствующие алгоритмы для своих
конкретных задач, в своей конкретной предметной области. Осо-
Особенно это касается математического обеспечения очень попу-
популярных сейчас экспертных систем. Опять же из-за небольшого
объема монографии в ней фактически нет обзора существующих
публикаций по нечетким многокритериальным задачам приня-
принятия решений, хотя таких публикаций существует много, и их
обзор был бы нужен и полезен. Первая попытка в этом направ-
направлении сделана в работе [41], в ней же представлена и неплохая
библиография, включающая как зарубежные, так и отечествен-
отечественные источники. Цель предлагаемой небольшой монографии ин-
иная — в ней изложены результаты исследований в области не-
нечетких многокритериальных задач принятия решений, проводи-
проводимых в лаборатории «Теории принятия решений» Института ки-
кибернетики АН ГССР под руководством автора. JB монографии
использованы материалы диссертационных работ Н. А.
Лактионовой и Э. С. Корелоюа, а также результаты, полу-
полученные Н. А. Оганесян и С. И. Хелашвили. Результаты других
авторов использовались по мере их необходимости в основном
тексте, естественно, с соответствующими ссылками. На протя-
протяжении всего текста мы применяли одни и те же обозначения,
за небольшим исключением, когда в формулах появлялись наг-
4

ромождения индексов, и мы пытались упростить записи, сделать
их более наглядными для читателя.
Список вопросов и задач, «связанных с нечеткими многокри-
многокритериальными задачами принятия решений, значительно шире iex,
которые представлены в данной .монографии. Это естественно.
Мы, в основном, исследовали возможность выявления и фор-
формального представления Парето-эффективных структур для раз-
различных типов нечетких многокритериальных задач принятия ре-
решений, установления общности этих типов задач, их глубокую
взаимосвязь с традиционными (четкими) многокритериальными
задачами принятия решений. Используя для формального опи-
описания вышеназванных задач принятия решений нечеткие век-
векторные отношения предпочтения в разных вариантах, мы изучи-
изучили на Парето-эффективность различные свертки векторных не-
нечетких отношений предпочтения. В практических задачах не-
нередко встречаются ситуации выбора решений при неполной
информации. Они могут возникать и при нечетком описании за-
задач принятия решений. Формально неполнота информации вы-
выражается в наличии несвязных нечетких отношений предпоч-
предпочтения или интервальных оценок на парах решений. Нами рас-
рассмотрен класс нечетких многокритериальных задач принятия
решений с неполной информацией в вышеприведенном смысле.
Для этого класса задач сформирована структура вложеннных
одно в другое множеств Парето. В пределе, при получении пол-
полной информации, модели этого класса задач переходят в обыч-
обычные нечеткие многокритериальные модели принятия решений.
Все множества Парето, сформированные и исследованные в этой
монографии, по существу являются четкими подмножествами
множества конкурсных решений. Но сделана попытка преаста-
вить в явном виде и нечеткие множества Парето. Это связано
прежде всего с работой Орловского [42]. На протяжении всей
монографии предполагалось, что функции принадлежности ис-
исходных нечетких отношений предпочтения заданы, что их можно
сформировать, используя одну из многочисленных методик их
расчета. Обзор таких методик предложен, например, в коллеч-
тирной работе [41], где он выделен в специальную главу. Но,
если говорить честно, то именно проблема выявления и форми-
формирования функций принадлежности для нечетких отношений
предпочтения на основе исходных данных является «уз^им мес-
местом» на пути широкого использования нечетких задач принятия
решений на практике. Несмотря на многочисленные публикации
по этой проблеме, она до сих пор остается нерешенной до конца.
Практически все методы выявления и формирования функ-
функций принадлежности исходных нечетких отношений предпоч-
предпочтения гори всем их разноо-браз'ии явно .или неявно .используют
частотные оценки, которые, как известно, характеризуют вероят-
вероятности событий. Обычно, не проверяют и не доказывают, что
сформированные функции принадлежности подчиняются алгеб-
5

ре нечетких множеств или отношений, введенных Заде [71, 72J.
Причем последнее мы считаем наиболее важным и трудным. К
сожалению, в этом плане и мы не можем предложить ничс/о
нового, хотя некоторые соображения есть. Таким образом, мо-
модели, структуры, процедуры принятия решений, представленные в
монографии, могут быть использованы после того, как ситуация
принятия решений сформирована, то есть заданы множество
конкурсных решений и векторное нечеткое отношение предпоч-
предпочтения. Мы работаем с конечным множеством конкурсных ре-
решений, считая, что большинство практических задач выбора
удовлетворяют этому условию. Предложенный подход для пред-
представления и исследования нечетких многокритериальных задач
принятия решений мы не абсолютизируем: ни в том плане, что
больше ничего другого нельзя предложить, ни в том плане, что
он охватывает весь спектр вопросов, связанных с данной проб-
проблематикой. Наоборот, это только первая попытка выделить в
современной теории принятия решений новую область, новый
класс задач принятия решений, интересных как в научном плане,
так и в прикладном. Это попытка обратить внимание заинте-
заинтересованных людей (и ученых, и пользователей) на тот факт,
что возникнув на стыке многокритериальности и нечеткости,
область эта уже занимает свое самостоятельное место в науке
о принятии решений. Она достаточно автономна, но в тоже
время взаимосвязана с другими классами задач принятия реше-
решений. Это попытка заинтересовать соответствующих специалис-
специалистов в проведении комплексных, целенаправленных, основопола-
основополагающих исследований в этой области — она уже созрела для
этого. Ведь в настоящее время эти исследования разрозненны и
случайны, изучаются отдельные задачи, рассматриваются от-
отдельные аспекты, часто не очень важные. Если вспомнить, ка-
какой качественный и количественный скачок произошел за пос-
последние двадцать • двадцать пять лет в исследованиях по мно-
многокритериальным задачам принятия решений, то при благопри-
благоприятных обстоятельствах мы можем ожидать такого же прогресса
и в области нечетких многокритериальных задач принятия ре-
решений.
2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ ПРЕДПОЧТЕНИЯ (НОП): НЕКОТОРЫЕ
СВОЙСТВА, ВАЖНЫЕ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИИ
Так получилось, что любая научная или практическая ра-
работа, использующая нечеткие категории, обычно начинается с
изложения основных идей, понятий и результатов теории нечет-
нечетких множеств [71]. Учитывая тот факт, что за последнее время
в этой области у нас опубликованы капитальные монографии,
такие как Кофмана [33], Орловского [42] авторского коллек-
коллектива [41], Кузьмина [31], Борисова* [4] и другие, мы решил»
6

нарушить эту традицию. Считая, что читатель знаком с этими
работами, мы приведем только те понятия, свойства, результа-
результаты из теории нечетких множеств, которые представляют* инте-
интерес для описания и исследования задач принятия решений.
Так получилось исторически, что универсальным математи-
математическим инструментом для описания и изучения задач принятия
решений, наиболее -естественно и адекватно описывающим их,
стали бинарные отношения. Для подтверждения этого можно
привести вышеназванные монографии, а также работы Березов-
Березовского [79], Ларичева [37], Подиновского [43] и много других —
советских и зарубежных. Более того, именно современная теория
принятия решений стала изучать новые нетрадиционные классы
бинарных отношений и их свойства. Иллюстрацией этого может
стать сборник под названием «Нетрадиционные отношения пред-
предпочтения для принятия решений», издаваемый в 1988 году Ин-
Институтом системных исследований в Варшаве, в котором будут
представлены статьи многих известных специалистов по приня-
принятию решений. Это, конечно,- не означает, что другие спосо-
способы описания задач принятия решений неприемлемы» например,
«критериальное пространство» [43], функции выбора [1,49] и дру-
другое. Нечеткие многокритериальные задачи принятия решений не
являются исключением в этом смысле. Поэтому мы начнем с
описания нечетких отношений предпочтения. Исходное множество
конкурсных решений обозначим через А', а множество всех упо-
упорядоченных пар решений через Е=ХхХ. Тогда нечеткое отно-
отношение предпочтения задается парой Я=[?, ji(x, у)]. Не нарушая
общности, будем считать X конечным, и 0<(i(x, #)<1. Числб
(i(x, у) является степенью принадлежности пары решений (х, у)
некоторому четкому подмножество R s ?, которое есть обычное
бинарное отношение предпочтения по Фишберну [49]. Обычно
значок R приписывается в качестве индекса степени принадлеж-
принадлежности в виде !**(*> у)- Но мы для простоты изложения будем
опускать его, когда это не приведет к недоразумению. Каждому
нечеткому отношению предпочтения можно сопоставить следую-
следующие нечеткие отношения предпочтения: обратное— Р*1, равноцен-
равноценности (толлерантности)—Ре и строгое—Ps (асимметричное), с соот-
соответствующими функциями принадлежности:
и
s/- .л_1 д(х' ^)==И(^ y)—V-(y> x), если Д(х,
К Ю { 0, если Д(х,

Отношение равноценности рефлексивно, то есть р'(х, л:) = 1,
если оно непусто. Отношение строгого предпочтения асимметрич-
асимметрично, то есть, если \ls(x, у)>0, то Vs(у> лг)=О. Обратное отно-
отношение обладает теми же свойствами, что и исходное (двойствен-
(двойственность). Это нетрудно доказать. Некоторые авторы интерпрети-
интерпретируют функцию принадлежности (Хд(л:, у) как степень, силу пред-
предпочтения решения х решению у по /?. Мы думаем, что в этом
нет криминала. Наоборот, такая содержательная интерпретация
формального построения помогает в некоторых рассуждениях.
Для задач принятия решений очень важны следующие поня-
понятия, впервые введенные Орловским [42, 62]: ,
а) |1^(х) = 1—тах^(|/, х). B)
Это функция принадлежности решения х подмножеству ре-
решений, недоминируемых ни одним у ? X, включая само х.
б) X^^Crt-W^W-l). C)
Это множество четко недоминируемых решений в X. В об-
общем случае оно может оказаться и пустым. Очевидно, что
Xund(\l) является четким подмножеством в X.
Определение 2.1. Если для некоторой пары решений
(х, #NЕ имеет место условие ps(x, y)=ps(y, дг)=О, то назовем
их равноценными.
Следующее утверждение покажет, что мы не случайно назы-
называем их равноценными.
Утверждение 2.1. Чтобы (х> у)?Ре, необходимо и дос-
достаточно выполнения условия fts(jc, y)=ps(y, x)=0.
Доказательство. Пусть (х* у)?Ре- Тогда этой паре ре-
решении соответствует значение функции принадлежности \ье(х> у).
Причем из определения этой функции следует pf(x, y)=pe(y, х).
Откуда сразу получается условие ps (x, #)=ns(#, x)=0. Теперь
обратное рассуждение. Если для некоторой пары решений (х> у)?Е
выполняется условие jis(*> У)=Р8(У> *)=0, то это означает, что
|i(x, y)=(t((/, x). Следовательно, (х, у)^Ре, поскольку в этом
случае ре(х> (/)=|i(*, у), что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь некоторые свойства введенного ранее
множества четко недоминируемых решений. Следующие два опре-
определения сформулированы по аналогии с многокритериальным за-
задачами принятия решений.
S

Определение 2.2. Решение х?Х назовем максимальным
в X в соответствии с НОП Р, если не существует такого y?Xf
включая само х, для которого выполнялось бы условие (у, х) 6 Ps>
что соответствует t*s(t/, x)>0.
Определение 2.3. Множество всех максимальных элемен-
элементов в X по отношению Р назовем множеством Парето» и обозна-
обозначим через Хп(Р)-
Отметим, что это множество эффективных решений. Любой
выбор мы дожны осуществлять из этого множества, если хотим,
чтобы процедура, правило, принцип выбора были эффективными.
Множество Хп(Р) фактически являе1ся ядром отношения пред-
предпочтения Р в общепринятом смысле. И если мы его называем
множеством Парето, то это только дань многокритериальным за-
задачам принятия решений. Кроме того, нам кажется, что под та-
таким названием очевиднее становится смысл Хп(Р)-
Утверждение 2.2 Xu»D(v)=Xn(P).
Доказательство. Пусть x?Xv*D([x). 3io означает, что
p*D(x)~l в соответствии с формулой C) и, следовательно»
Hs {Уу *)=0 для всех у? X, включая само х. Таким образом, не
существует у?Х, для которого выполнялось бы условие
\is(y, x)>Q. В соответствии с определениями 2.2 и 2.3 это озна-
означает, что х?Хп(Р)- Обратное рассуждение проводится аналогич-
аналогичным образом. Пусть х ? Хп (Р)- Это означает, что не существует
у?Х, включая само х> для которого выполнялось бы условие
|А5(|Л *)> 0. Следовательно, j*s (y*x)=Q для всех у?Х, p"D(x)=l
и х? XUND(\i)9 что и требовалось доказать.
Следует отдать должное научной интуиции С. Орловского—
фактически он впервые ввел множество Парето для нечетких за-
задач принятия решений, правда, для случая одного НОП.
Таким образом, задача принятия решений описывается парой
(X, Я;, причем для оценки конкретного правила выбора на эффек-
эффективность используется XUND(\i)> которое по существу является
множеством Парето.
Следует отметить, что понятие множества Парето впервые
было сформулировано для многокритериальных задач принятия
решений, когда сравнение двух решений осуществляется на осно-
основе векторного критерия, или, что тоже самое, на основе многих
отношений предпочтения. Но в последнее время это понятие ис*
пользуется и для одного отношения предпочтения [14, 15]. Выше
9

был изложен именно такой случай, для одного нечеткого отно-
отношения предпочтения.
Чтобы изучить еще некоторые полезные для задач принятия
решений свойства XUND(p), нам понадобятся дополнительные све-
сведения.
Определение 2.4. Некоторое подмножество XosX на-
назовем внешне устойчивым, если для любого у?Х/Х0 найдется
такое х?Х0, что будет иметь место условие ns(x, y)>0, то есть
Определение 2.5. Нечеткое отношение предпочтения Р
транзитивно, если выполняется условие
ps(x,y)=max min[fis(*, z), ps{z, у)), z + x,
Известно, что транзитивность для НОП не определяется од-
однозначно. Более того, предложенные многими авторами определе-
определения подвергаются сомнению и справедливой критике. Поэгому
следует более подробно изложить нашу позицию по этому вопро-
вопросу. Данное определение мы ввели под влиянием работ Орловско-
Орловского [42] и Батыршина [2]. При этом были учтены следующие сооб-
соображения. Прежде всего это то, что формула максиминной транзи-
транзитивности в предельном случае эквивалентна обычной транзитивности
четкого отношения предпочтения. «Равенство» вместо общеприня-
общепринятою «не меньше» мы использовали по следующему соображению.
Если для всех г?Х, гфх,гф(/, окажется, что либо |is(*, г>=0,
либо \ls(x, у), либо оба вместе, то разумно предположить, что и
ps(x, #)»0. Во-вторых, в отношениях предпочтения за транзи-
транзитивность обычно ответственна строгая часть отношения предпоч-
предпочтения, то есть Р$. Это надо понимать так, что можно разбить
исходное множество X на классы эквивалентности и на них ввес-
ввести строгое отношение предпочтения, которое совпадает с Р6. Уч-
Учтено также, что при помощи ц5 (дс, у) можно описать и равноцен-
равноценность решений (утверждение 2.1). И в третьих, данное определе-
определение прошло апробацию на материале данной монографии. Конеч-
Конечно, все сказанное не означает, что это определение идеально и
вопрос о транзитивности в теории нечетких множеств снят. Это
просто рабочее определение, которое, скорее всего, тоже подверг-
подвергнется критике. Но определенные, достоинства у него есть.
10

В работе {41] Батыршиным приведено несколько определе-
определений транзитивности нечетких отношений предпочтения. Некото-
Некоторые из них, которые мы тоже используем в данной монографии,
представлены ниже:
1. Слабая транзитивность:
|i*(x, г)>0, {**(*, е/)>О-*ц*(л:, у)>0. D)
2. Сильная транзитивность:
Р*(х, г)>0, ^(г. y)>Q-+yfi(x, у)>тах[^(х9 г)9
VsАг, у)]. E)
3. Квазисерийность:
t*.s(x, s)>0, |1«(г, у)>0^^(х, e/)=max[^(x, г),
И5(г, </)]• . (б)
4. Линейная транзитивность:
ц*(х, г)>0, ^(г, */)=0-*^(х,#)=|1*(л:, г)+^(г, у). G)
5. Обычная транзитивность:
И*, 0)>min[|i(xf г)» М*> У)]- (8)
Все эти определения транзитивности в какой-то мере взаи-
могзязаялы с олрэдэпениэм 2.5. Мы нэ будем подробно исследо-
исследовать эту взаимосвязь, хотя это и интересный вопрос. Некоторые
аспекты ее будут выявляться в процессе доказательств некоторых
утверждений.
Утверждение 2.3. Если X конечно, а Р транзитивно в
смысле определения 2.5, то соответствующее XUND (ц) Ф Q и
внешне устойчиво.
Доказательство. Из определения 2.5 следует следую-
следующее условие: если |ts(x, г)>0и (ts(z, y)>0 хотя бы для од-
одного г 6 Я, то и |*s(#, У)>0. То есть слабая транзитивность
имеет место. Вэзьмем произвольное решение х?Х. Если не най-
найдется такого решения у ? X, для которого выполняется |is(i/, x)>0f
то x?XUND(p) и, следовательно, Хиыо(^)ф0. Рассмотрим дру-
другую возможность, когда нашлось решение у?Х, для которого
имеет место its(#, *)>0. Следовательно, 1*5(х, #)=0. Для ре-
решения у тоже имеется две возможности. Мы сразу перейдем ко
второй, поскольку первая ясна—она снова приводит нас к непус-
непустому множеству четко недоминируемых решений. Пусть нашлось
11

решение г?Х, для которого выполняется |ts(z, y)z> 0. Отсюда
следуют следующие неравенства \is(y, г)=0, ц5(г, х)>0 и
jis(;c, г)=0. Таким образом, решения выстраиваются в цепочку по
предпочтению, причем одно решение не может появиться в цепоч-
цепочке дважды, поскольку нарушится условие транзитивности (опре-
(определение 2.5). Цепочек может быть несколько, они могут разветв-
разветвляться. При этом каждое конкурсное решение будет элементом
хотя бы одной цепочки, с учетом вырожденного случая, когда це-
цепочка состоит из одного элемента. Из-за конечности X число ре-
решений в каждой цепочке конечно, то есть каждая цепочка обры-
обрывается. Это означает, что для последних элементов в цепочке
нельзя найти решений в X, доминирующих их по Ps, то есть
они являются максимальным решениями по отношению Р в смыс-
смысле определения 2.2 и Хш(ц)Ф0. Вторая часть утверждения
тоже справедлива. Каждое решение y€X/XUND(\L) входит хотя
бы в одну из цепочек, которая заканчивается максимальным эле-
элементом, скажем, х?Х. Из-за транзитивности Р сразу получаем
неравенство p.s (x, у)>0. Таким образом, Xund(\l) внешне устой-
устойчиво согласно определению 2.4, что и требовалось доказать.
Утверждение 2.4. Решения в XUNO{y) равноценны в
смысле определения 2.1.
Доказательство. Рассмотрим пару решений х,у ? XUND(p).
Это означает, что v.s(z, дс)=*О для всех г?Х, в том числе, и для
решения (/. То есть ps(y> x)~0. Проведя аналогичное рассужде-
рассуждение, получим ц5(г, i/)=0 для всех г?Х, в том числе, и для ре-
решения х. То есть fis(x, */)»0. А это и есть условие равноцен-
равноценности решений х и у в смысле определения 2.1, что и требова-
требовалось доказать.
Пусть имеется два различных нечетких отношений предпоч-
предпочтения Рг и Р,2. Индексы означают, что им соответствуют раз-
различные подмножества пар решений: RX^E и R2^E. Для каж-
каждого из этих НОП можно определить множество четко недоми-
недоминируемых решений: Хиыо{1х1) и XйND (ц2), где ^(д:, у)—функция
принадлежности отношения Pv а ц2(л:, #)—функция принадлеж-
принадлежности отношения Рг Возникает вопрос, как взаимосвязаны их
множества четко недоминируемых решений? Следующее утверж-
утверждение дает ответ на него.
Утверждение 2.5. Заданы два НОП Рг и Р2. Пусть вы-
выполняется включение Pl^Pi- Тогда имеет место
12

Доказательство. Рассмотрим два четких подмножества:
Аг=Х/Х*»">(ъ) и At=X/X*""><tb). Пусть x?Av Тогда найдет-
«ся такое решение у?Х, для которого выполняется |ii(|/, х)>0.
Условие PI ^ Р* на языке теории нечетких множеств означает
выполнение следующего неравенства: fii (х, у) < pi (*, у) для всех
пар решений (х. у) ? ?• Поэтому имеет место неравенство
V&(y* x)>0. Следовательно, х$Ат Поскольку решение х было
выбрано произвольно, то Аг ? Аг Из определения этих подмно-
подмножеств следует X(/A'°(n1)sX|/iVi>(|i1)t что и требовалось доказать.
Основным объектом исследования в датой монографии явля-
являются нечеткие многокритериальные модели принятия решений.
Причем одной из задач, которую нам предстоит решить, это оп-
определение множества Парето для данного класса задач принятия
решений. К сожалению, формулы B), C) не могут быть исполь-
использованы для этой цели. Необходим другой подход. Поэтому сей-
сейчас мы изложим результаты, которые дальше понадобятся нам
непосредственно для, определения множества Парето в нечетких
многокритериальных задачах принятия решений.
Определение 2.6. Два отношения предпочтения: чет-
четкое—R и нечеткое—Р согласованны, если выполняется следующее
условие:
(х, */N#s«—1*5(*> У)>0,
(х, y)tRs*~+vS(x, y)«0.
Утверждение 2.6. Следующее равенство имеет место для
согласованных отношений предпочтения (четкого—R и нечетко-
нечеткого— Р):
Доказательство. Пусть x?Xn(R). Это означает, что
не существует такого решения у?Х, для которого выполнялось
бы условие ((/, x)?Rs. Таким образом, имеет место (у, x)?Rs
для всех у?Х, включая само х. На основе определения 2.6
имеем, {Is(уу лг)=О для всех у?Х и, следовательно, цЛГ/)(х)=1, а
x?XUND(\x). Пусть теперь хЦХи1*°(р>). Это означает, что
yLND(x)=l и (is(уу х)=0 для всех у?Х. Снова используя опреде-
определение 2.6, получаем (у, х) ? Rs для всех у 6 X. Следовательно,
не существует в X решения, для которого выполнялось бы
{уу х) 6 /?s> а х 6 Хп (R), что и требовалось доказать.
13

По аналогии с определением 2.6 можно определить согласо-
согласованность двух четких отношений предпочтения или двух нечет-
нечетких отношений предпочтения. Причем и для этих случаев будет
справедливым утверждение 2.6.
Определение 2.7. Введем некоторое четкое отношение
предпочтения:
где
Оно соответствует нечеткому отношению предпочтения Р,
функцию принадлежности которого мы использовали в определе-
определении. Величина Д(*, у) является скалярной функцией, определен-
определенной на ?. Она—кососимметричная функция, то есть имеет место
д(х, #)=—А (уу х). Содержательно эта функция представляет со-
собой один из вариантов степени превосходства решения х над ре-
решением у, рассмотренной нами в работе [15], обладает многими
хорошими свойствами, которые будут полезны и в данном кон-
контексте. В теории нечетких множеств Д{дг, у) не имеет никакого
смысла само по себе. Однако она связана с (is(x, у) формулой
A). Если известна величина Д(*, у), то очень нетрудно опреде-
определить |is (х, у). Между тем бывает удобным при доказательстве
некоторых результатов использовать именно степень превосходст-
превосходства Д(лг, у) и лишь в самом конце переходить к $ts(*, у), чтобы
окончательный результат имел смысл в рамках теории нечетких
множеств. Этим обусловлено введение в расчеты величины
Д(*. УУ
Для введенного четкого отношения F можно сформировать
[15] следующие отношения: F, Fef Fs, а также множество Па-
рето Хп (Z7). Подробно эти отношения не расписываем—это нет-
нетрудно сделать самому читателю.
Утверждение 2.7. Отношение предпочтения F согласо-
согласовано с НОП Р в смысле определения 2.6 и на основе утвержде-
утверждения 2.6 имеет место Xa(F)=XUND(\i).
Доказательство этого утверждения не представляется
трудным и поэтому здесь не приводится.
Нетрудно также показать, что F транзитивно, если Р тран-
зитивно в смысле определения 2.5 и наоборот.
Рассмотрим теперь еще один аспект, касающийся множества
четко недоминируемых решений—он связан с /-уровневыми не-
14

четкими моделями принятия решений. Надо отметить, что этот
вопрос изучался Орловским [42], но несколько в ином плане. На
основе степени превосходства Д(л:, у) введем некоторое четкое
/—>ровневое отношение предпочтения:
где 0</<1, а все остальные обозначения сохранены. Это нес-
несвязное, асимметричное (строгое) отношение предпочтения при
/ =1= 0 и связное, нестрогое при /=0. Очевидно, что F@)=F, за-
заданное определением 2.7. Формула (9) задает целый набор отно-
отношений предпочтения, вложенных одно в другое в следующем
смысле:
F@)-F(l1)-F(I2)^F(l), A0)
где 0 < 1Х < 12 < 1. Каждому из этих отношений предпочтения
соответствуют свои множества Парето, которые мы обозначим
через ХпA)- В общем случае эти отношения предпочтения могут
быть нетранзитивными: все, или какая-то часть из них. Поэто-
Поэтому в общем случае некоторые множества Парето могут оказаться
пустыми. Известно, что эти множества Парето вложены друг
в друга в обратном порядке [15]:
Хп @) s Xn (li) s Хп (/2) S Хп A). A1)
Введем также следующие множества r-недоминируемых ре-
решений:
где 0<г<1. Очевидно, что XND(l)**Xu»D(p).
Утверждение 2.8. XND(r)=Xn(l), если г=1—/.
Доказательство. Пусть /^ 0. Пусть также х € Хп (/). Это
означает, что не существует решения у ?Х> для которого выпол-
выполнялось бы (у, x)?F(t). Отметим, что в этом случае F(t) строгое
отношение предпочтения. Следовательно, имеет место неравенство
А (Уу х)<1 для всех у 6 X, включая само х. Используя его, по-
получаем неравенство max jas (у, х) < / и неравенство \?.ND (х) > 1 —*
— /=г. Пусть теперь x?XSD(r). Это означает pND(x)^r и, сле-
следовательно, max(Is(у, х)<1—г=/. Отсюда непосредственно сле-
€*
дует А (у, х)<1 для всех у?Х. Таким образом, не существует
такого решения у 6 X, для которого выполнялось бы (у, x)?F (/)•
А это означает, что x?Xu(t). Поскольку х было выбрано произ-
произвольно, то Xn(l)=X*D(r), что и требовалось доказать.
15

Аналогичный результат для /=0 и г=1 был доказан рань-
раньше (утверждение 2.7).
Утверждение 2.9. Если *4>г2, то XND{rl)^XND(r2).
Доказательство. На основе утверждения 2.8 имеет
место X^(r1)=Xn(/i) и Х^(г2)=Хп(/2), где lt = l—rx и /2=1—
—г2 и, следовательно, I2>lv В этом случае Xn(ll)sXn(l2), a
это означает XND (гг) s XNO (г2), что и требовалось доказать.
Этот результат важен для задач выбора.
Как мы уже отмечали выше, в общем случае множество
четко недоминируемых решений XUND(y.) может оказаться пус-
пустым—не из чего делать выбор. Это класс задач принятия реше-
решений с пустым множеством Парето, впервые рассмотренный авто-
автором в работах A5, 76, 78). С такими задачами мы можем встре-
встретиться в реальности, на практике, а не только в теоретических
исследованиях. Как осуществлять выбор в такой ситуации? В расс-
рассмотренной задаче надо понижать порог (уровень) доминирования
до тех пор, пока одно из множеств г-недоминируемых решений
окажется непустым. В определенном смысле оно «ближе» других
к множеству четко недоминируемых решений (множеству Парето).
Таким образом, в общем случае для произвольного нечеткого от-
отношения предпочтения в качестве множества Парето надо брать
следующее множество r-недоминируемых решений:
XND(r% где r*=maxr
0<г<1
при дополнительном условии XND (г)Ф0.
При этом всегда имеет место XND (г*) Ф 0 и XND(r*)=Xv»D (|i),
если последнее непусто, то есть выполняется условие эффектив-
эффективности выбора для задач принятия решений с пустым множеством
Парето [78].
Рассмотрим еще один аспект задач принятия решений при
наличии одного нечеткого отношения предпочтения. Как мы убе-
убедились в них важную роль играет степень превосходства:
А(*, у)«ц(*, У)-*(У>х). A2)
Определение 2.8. Нечеткое отношение предпочтения Р с
функцией принадлежности |1(лг, у) назовем потенциальным, если
его можно представить в виде;
A(*,i/)=<P(*)--<P(j/)> A3)
16

где ф (х) является некоторой скалярной функцией, определенной
на X. Функцию ф (л:) назовем «потенциалом».
Введем некоторое условие, которое для конкретного нечет-
нечеткого отношения предпочтения может выполняться, или не выпол-
выполняться. Это следующее условие:
Ц (х, #)={* (х, *)+|i (г, у)—— % A4)
для всех ху у у z ? X. Аналогичное условие для вероятностей пред-
предпочтения было введено нами в работе [77J. Это условие метри-
метрической транзитивности НОП.
Утверждение 2.10. Если для некоторого нечеткого от-
отношения предпочтения Р с функцией принадлежности ji (х, у) выпо-
выполняется условие A4), то оно является потенциальным в смысле
определения 2.8.
Доказательство. Условие A4) вместе с формулой A3)
дают нам следующее свойство степени превосходства Д(ж, #)=
=Д(лг, г)+Д(г, у) для всех троек хУ у, z?X. После чего, при-
применяя несложные преобразования, получим:
\_\?
г)+Д (г,
t, г)-
где Х(г)>0 и V Х(г) = 1. Если коэффициенты X(z) не могут
быть заданы из-за отсутствия дополнительной информации, то
можно считать их всех равными — , если в X находится п ре-
п
шений. Доказательство закончено.
Потенциальные нечеткие отношения предпочтения играют
важную роль в задаче представления произвольных нечетких от-
отношений предпочтения транзитивными нечеткими отношениями»
наиболее близкими к ним в определенном смысле. Дело в том,
что условие A4) гарантирует транзитивность нечеткого отноше-
отношения предпочтения в смысле определения 2.5. И соответствующее
транзитивное приближение произвольного нечеткого отношения
предпочтения ишут в классе потенциальных нечетких-отношешш_
2. в. Е. Жуковин

предпочтения. Более подробно с этими вопросами можно познако-
познакомиться в работах [38,80].
Все рассмотренные свойства нечетких отношений предпочте-
предпочтения понадобятся нам при изучении нечетких многокритериальных
задач принятия решений, к чему мы сейчас и переходим.
3. НЕЧЕТКИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
В этом разделе мы представляем сравнительно новый класс
задач принятия релений, полученный путем объединения идей не-
нечеткости и многокритериальности. Нам понадобятся некоторые
определения, понятия, результаты из современной теории много-
многокритериальных задач принятия решений, которые мы и приводим
ниже.
В своей классической формулировке многокритериальные за-
задачи принятия решений описываются парой (X, /С), где X—по-
прежнему множество конкурсных решений, а К (х) —векторный
критерий эффективности, он представляет собой набор скалярных
функций, именуемых частными критериями эффективности [43]:
*W-<ffi(*). /С2 (*),.-., Кт(х)).
Именно поэтому эти задачи принятия решений называются
многокритериальными. Не нарушая общности, будем ститать, что
все частные критерии эффективности являются критериями типа
«выигрыш».
Естественным путем вводится Парето-доминирование и на
основе его множество Парето X ?. Последнее используется для
оценки различных процедур выбора на эффективность, в том
числе, и различных сверток векторного критерия, например, ли-
линейной:
т
где
ff
т
Л^ Х|Х^>0:
18.

Коэффициенты Л/ при этом интерпретируются как «важность»,
«сила» частных критериев эффективности.
Для нас интерес представляет другая, более общая формули-
формулировка этой задачи, а именно: (X, /?), где R={RV /?2, • , Rm}-
Назовем его векторным отношением предпочтения (ВОП). Каж-
Каждая компонента его есть обычное отношение предпочтения: ifysf,
/=s 1, т. В общем случае это могут быть произвольные бинарные
отношения, пока никаких ограничений на их свойства не накла-
накладываем. Очевидно, что частные критерии эффективности (компо-
(компоненты векторного критерия эффективности) нетрудно представить
соответствующими отношениями предпочтения:
A5)
Поскольку Kf(x)—скалярное функции, определенные на Х9
то Rj являются линейными (связными) квази-порядками.
Парего-доминирование вводится следующим образом:
т
= П Rj* Ему соответствуют отношения предпочтения R^1,
1
R'k> Rx> a также Хп(/?л')ааХ^ (исходное, основное множество
Парето). Множество Х*Ф0 и внешне устойчиво, если X ко-
конечно, a Rft транзитивно. Отношение Парето-доминирования
R% транзитивно, если все /?/ транзитивны. Если все Rf связны,
то Rf( может оказаться и несвязным отношением. Поиск прием-
приемлемого по Саймону компромиссного решения надо вести в Х%, ес-
если хотим, чтобы соответствующая процедура выбора была эффек-
эффективной.
Но в общем случае может оказаться, что ^—0у либо
Я^=Х, если Rk=0 (случай нечувствительного набора крите-
критериев, или отношений предпочтения). Выбор и в этом случае надо
делать, хотя неясно, как выбирать. Кроме того, даже если Х§
непусто, оно может содержать необозримо много решений. Хо-
Хотелось бы, основываясь на каких-либо принципах, выделить из
Х!? некоторое его подмножество, содержащее небольшое число
решений, и уже окончательный выбор компромиссного решения
29

осуществить в нем. Для этого вводят и изучают различные свер-
свертки векторного отношения в следующем виде:
Это условная запись, она означает, что существует некоторая
процедура (последовательность действий, преобразований и дру-
другое), которая, используя ВОП /?, формирует обычное отношение
предпочтения R. Некоторые авторы требуют, чтобы при этом вы-
т
ПОЛНЯЛОСЬ /?cf| Rj.
Следует отметить, что «сверткой» называют как саму про-
процедуру П, так и ее конечный результат *ДГ Вообще говоря, лю-
любые правила, процедуры, методы выбора это свертки в вышеприведен-
вышеприведенном аспекте, разве что в некоторых процедурах R не выделено в
явном виде, выделяется только его ядро Хп(р), поскольку прак-
практически именно оно представляет интерес для эффективного вы-
выбора. Учитывая все вышесказанное, определим эффективность
сверток.
Определение 3.1. Некоторая свертка R векторного от-
отношения предпочтения R зффективна, если Xn(R)*0 и Xn(R)^
, когда Х*
Например, приведенная выше линейная свертка векторного
критерия эффективности является эффективной для всех резрешен-
ных значений Х?Л. Даже больше, она эффективна, если выпол^
няется только условие Х^О, /=1, т. Нормировку на единицу
мы включили как дополнительное условие, которое будет необхо-
необходимо нам дальше, при изучении нечетких многокритериальных за-
задач принятия решений, к изложению которых мы переходим.
Нечеткость в многокритериальные модели принятия решений
разные авторы включают по-разному. Например, берут линей-
линейную свертку и «размывают» коэффициенты важности X/ [51J. Пос-
После этого формируют и обосновывают алгоритмы выбора для этой:
новой ситуации. По-видимому для каких-то реальных задач та-
такой подход оправдан—информацию для расчета коэффициентов X/
обычно получают путем опроса экспертов и она носит нечеткий ха-
характер, как многие суждения и оценки людей, пусть даже компетен-
компетентных. «Размывают» частные критерии эффективности и затем приме-
применяют известный метод Беллмана, Заде [73], который фактически
20

является не чем иным, как широко распространенный максиминной
сверткой. Используются и другие, часто очень остроумные свертки,
оправданные той предметной областью, для которой модель соз-
создается. Однако, при этом нет общности подходов, нет целенап-
целенаправленности—многокритериа л ьность исчезает уже на первом шаге
исследования, в момент использования конкретной свертки, и да-
далее изучается скалярная задача принятия решений. Все это усу-
усугубляется тем, что нет возможности оценить эффективность вве-
введенных сверток, кроме чисто эмпирических путей. При этом часто
сам исследователь выступает в роли оценщика. Учитывая тот
факт, что теория многокритериальных задач принятия решений в
настоящее время достаточно полно и хорошо разработана, мы
взяли ее за основу при разработке нечетких многокритериальных
моделей принятия решений, сохранив до конца их многокрите-
многокритериальную структуру и определив место и роль конкретных свер-
сверток при выборе. Получилась достаточно стройная, обоснованная
и общая модель. Но мы не думаем, что она является конечной и
идеальной, у нее тоже обнаружатся свои недостатки, но есть и
определенные достоинства* Нечеткие многокритериальные задачи
принятия решений—это практически новая область исследований
в современной теории принятия решений. Понадобится еще много
времени и работы, чтобы довести ее до совершенства. Область
интересная, важная, как в научном плане, так и в прикладном.
Нечеткая многокритериальная задача принятия решений
представляется парой (Х> Р;, где P={Pi Р& .., Рт) и Я?=
= [?, уц(х9у)]9 /=1, т. Назовем Р векторным нечетким от-
отношением предпочтения (ВНОП). Его компонентами являются
обычные (одномерные или скалярные) отношения предпоч-
предпочтения, рассмотренные в предыдущем разделе. В первую оче-
очередь мы хотели бы определить аналог множества Парето для
этой задачи и изучить его свойства. Здравый смысл подсказы-
подсказывает, и некоторые авторы так и делают, надо ввести аналог Па-
рето-доминирования в виде \lp(x, #) = min [|Ai(x, y)> \x%(x, у), ..,
|*т(*> У)] и Далее выделить множество четко недоминируемых
решений по формуле C). Возможно, такой подход правомерен.
Некоторые аспекты его были рассмотрены и нами в работе [14].
Но с другой стороны, с позиции многокритериальных задач при-
принятия решений рР(х, у) является просто одной из многочислен-
многочисленных сверток ВНОП. Поэтому мы избрали другой подход для оп-
определения множества четко недоминируемых решений по всему
21

вектору Р, которое мы обозначим через X%ND. Вспомним, что
каждому нечеткому отношению предпочтения Pj можно сопоста-
сопоставить четкое отношение предпочтения F,, согласованное с ним в
смысле определения 2.6. Тогда на основе Р мы можем сформиро-
сформировать некоторое четкое векторное отношение предпочтения в виде:
F={FV F%,..., Fm). A7)
Для этого векторного отношения предпочтения обычным об-
т
разом определяются: Парето-доминирование FP= fl Fj, Fp\ Fep>
F?, а также соответствующее множество Парето Х„ (Fp).
Определение 3.2. В качестве множества четко недоми-
недоминируемых решений но всему векторному отношению предпочтения*
Р будем брать Xn(FP), то есть XupNt>=Xn(Fp).
Таким образом, множеству четко недоминируемых решений
по отношению Р, введенному этим определением, предназначено
выполнять функции множества Парето в нечетких многокрите-
многокритериальных задачах принятия решений, представленных в виде
(X, Р). По существу оно им и является. Называя его множест*
вом четко недоминируемых решений, мы просто следуем термину
Орловского [62], который в настоящее время принят в среде уче-
ученых, занимающихся нечеткими задачами принятия решений.
Определение 3.3. Правило, процедура, метод выбора
эффективны, если выделенные при помощи их решения X* нахо-
находятся в XUPND, то есть X*sX^, когда Х^Ф0.
Изучим теперь основные свойства введенного определением
3.2 множества четко недоминируемых решении по ВНОП Р. В об-
шем случае оно может оказаться и пустым. Надо выявить усло-
условия, когда X%NO непусто, а также внешне устойчиво.
Утверждение 3.1. Если каждая компонента Р/, /=1, т,
векторного нечеткого отношения предпочтения Р транзитивна в
смысле определения 2.5, то X%ND*t0 и внешне устойчиво.
Доказательство. Если Pj транзитивно в смысле опреде-
определения 2.5, то и соответствующее ему и согласованное с ним чет-
четкое отношение F/ (определение 2.7) также транзитивно в обычном
смысле. Посколку все Fj транзитивны, то транзитивно и соот-
соответствующее Парето-доминирование />. Последнее гарантирует
непустоту и внешнюю устойчивость множества Хп (/>), а, следо-
следовательно, и совпадающего с ним X%NDY что к требовалось до-
доказать.
22

3.1. «Размытые» критерии эффективности
Аналогичный подход можно использовать и для случая «раз-
«размытых» критериев эффективности. Сн отличается от предыдущего
тем, что с самого начала задаются не нечеткие отношения пред-
предпочтения, а нечеткие подмножества в X по терминологии Кофма-
на [33]. То есть задается набор функций принадлежности, опре-
определенных непосредственно на X, а не на парах решений1;
<М*)> 14(*)-... t*m(*)}- A8)
Прежде, чем определять множество Парето для данной форму-
формулировки задачи выбора, поясним некоторые неформальные моменты.
Для этого рассмотрим произвольный частный критерий эффектив-
эффективности Kj(x). Пусть он будет типа «выигрыш», то есть ЛПР заин-
заинтересовано в его максимизации. Выделим в X следующее подмно-
подмножество решений:
А';=М max/(, (*)=#/}, A9)
?Х
Мы можем ввести некоторое нечеткое подмножество Mf=
=*[Х, jij(*)], связанное с ним, где ^(х)—функция принадлежности
решения х?Х подмножеству X]. Естественно, предположить вы-
. полнение следующего условия:
^Щ±>., B0)
A/—A/ dj
которое отражает согласованность нечеткого подмножества Mj с
частным критерием эффективности Kj(x). При этом Kt=minKj(x)9
х? X
и тогда dj—диапазон шкалы /-того частного критерия эффектив-
эффективности (d^>0). Очевидно, что имеет место также следующее ра-
равенство:
Х;={х|тахц/(л:)}. B1)
Формулы A9), B0) и B1) представляют процедуру «размы-
«размывания» критериев эффективности в задачах принятия решений.
Ясно, что в этом случае, чем больше значение функции принад-
принадлежности hj(x), тем предпочтительнее решение лс. Этот принцип
распространяют на все задачи принятия решения такого типа.
Таким образом, мы имеем следующую ситуацию выбора (X, М)>
где М={Мг, Л12,..., Мт), a MJf /=1, m, — обычные нечеткие
подмножества в X. Они соответствуют т целям, которые ЛПР
23

хотелось бы достичь одновременно, если у него такая возмож-
возможность имеется. Если в распоряжении ЛПР имеется такое решение
(средство), которое позволяет достичь все т целей, то это идеаль-
идеальный вариант. И само решение называем идеальным (утопическим
[46]). Обычно в реальных ситуациях таких идеальных решений в
X нет, и выбирают некоторое приемлемое компромиссное решение.
Для оценки последнего на эффективность и определяется мно-
множество Парето, соответствующее конкретной задаче принятия ре-
решений. В рассматриваемой задаче поступаем следующим образом.
Вводим четкое отношение предпочтения по формуле
Тогда формуле A8) соответствует векторное отношение предпоч-
предпочтения:
Определяем для этого отношения Парето-доминирование
т
В^= П #/> отношения предпочтения В-1, В^ ??, а также соот-
соответствующее множество Парето Хп({а). Теперь любую процедуру
выбора можно проверить на эффективность в смысле определения
3.3. Например, нетрудно показать, что известная процедура выбора
Беллмана, Заде [73] эффективна.
«Размывание» критериев эффективности можно осуществить и
другим, более естественным в аспекте задач принятия решений,
путем. Сформируем некоторое нечеткое отношение предпочтения,
соответствующее /-тому частному критерию эффективности:
B2)
где а и р—постоянные числа. Потребуем выполнения условия
pj(x, х)=»— Это условие часто встречается в теории нечетких
множеств. Тогда получим: Р- — и y.j(x, у)+^(у, х) = 1. Мож-
но сделать и наоборот—потребовать выполнения последнего ра-
равенства. Тогда получим: pj(xf *)=_ и р=—. Коэффициент
а определим из следующего условия: a-dy+—=1, где d^—по-
прежнему диапазон шкалы /-того частного критерия эффектив-
24

ности. Содержательно ьто означает, что дгля максимально разке
сенных на шкале критерия решений степень предпочтения наи-
наибольшая. Из этого условия получаем, а= Таким образом,
формулу B2) можно записать в следующем окончательном виде
(при сделанных допущениях):
Последнее неравенство нетрудно проверить непосредственно.
Введенному нечеткому отношению предпочтения на основе фор-
формулы C) соответствует множество четко недоминируемых реше-
решений XVNDfa).
Утверждение 3.2. Xu«D(\ij)=X}.
Доказательство. Введенному нечеткому отношению
предпочтения (i/(x, у) соответствует строгое нечеткое отношение
предпочтения в соответствии с формулой A):
^ B4,
0, если
Пусть x?Xund(\lj). Sto означает, что р}(у, х)»0 для Есех
у?Х, включая само решение х. Следовательно, К$ (у)—К$ (х) ^ О
для всех у?Х и х?Х] на основе формулы A9). Обратное рас-
рассуждение аналогично. Пусть х?Х). Это означает, что Kj (x) >
^Kj(y) для всех у?Х, включая само решение х. Следователь-
Следовательно, ц?(#, х)=0 для всех у?Х и х?Хи*">{&). Поскольку реше-
решение х было выбрано произвольно, то XUND(pj)**X*i, что и тре-:
бовалось доказать.
Каждый критерий зффективности при помощи формулы A5)
может быть представлен соответствующим отношением предпоч-
предпочтения Rjy причем Xn(Rj)^Xmr Оно также согласованно с введен-
введенным нечетким отношением предпочтения \jLj(xf у) в смысле опре-
определения 2.6. Так что доказать утверждение 3.2 можно было бы
и этим путем, используя утверждение 2.5.
Введенное нечеткое отношение предпочтения является потен-
потенциальным в смысле определения 2.8, поскольку оно удовлетво-
удовлетворяет условию A4). Это можно проверить непосредственно, ис-
25

иъльзуя формулу B3). При этом потенциал <p(x) совпадает с
функцией принадлежности нечеткого множества pj(x), определен-
определенной формулой B0). Действительно, имеем:
dj dt di
то есть q> (*)—!*?(*)• Следует повторить, что отношение согласо-
согласованности, введенное определением 2.6, можно ввести аналогичным
образом и для двух четких отношэний предпочтения, и для двух
нечетких отношений предпочтения, а не только для смешанной
пары отношений, как это сделано в определении 2.6. При этом
остается справедливым утверждение 2.5. Это нетрудно показать.
Отношение согласованности двух отношений предпочтения
является эквивалентностью, что непосредственно следует из оп-
определения 2.6. Таким образом, для рассматриваемой нами задачи
выбора с «размыванием» критериев эффективности мы получили
для одного частного критерия три согласованных отношения пред-
предпочтения: Rj, Pj и 5j, каждому из которых соответствует свое
множество Парето: Xj9 Xuh'D(pj) и Xn(|i/)« На основе утвержде-
утверждения 2.5 имеет место следующее равенство:
Следовательно, в аспекте выделения множества эффективных
решений (множества Парето) эти три представления задачи при-
принятия решений равноценны. Данный вывод справедлив и для за-
задачи принятия решений по многим критериям эффективности,
что мы покажем ниже.
Для многокритериальной задачи принятия решений тоже
можно рассмотреть три взаимосвязанных представления: (X, /О,
(X, Р) и (X, М). Обозначения прежние: К—векторный критерий
эффективности: Р—векторное нечеткое отношение предпочтения с
компонентами Я/, определенными формулой B3); М—набор нечет-
нечетких подмножеств в X функциями принадлежности, определенны-
мы формулой B0).
Как уже было отмечено раньше, для каждого из этих пред-
представлений существует свое Парето-доминирование: RK, />, 5Й,
26

а также соответствующие множества Парето:
и Хп(р).
Утверждение 3.3. X*=XVND
Доказательство. Рассматриваемые отношения Парето-
доминирования: RKy Fp и ?й, согласованы в смысле определения
2.6. Это легко проверить их попарным сравнением. На основе
утверждения 2.5 получим желаемое равенство:
что и требовалось доказать.
Этот результат важен по двум причинам. Во-первых, он в
определенной степени обосновывает предложенный в разделе 3
подход по определению множестра Пдрето для нечетких много-
многокритериальных задач принятия решений, проводя аналогию их с
многокритериальными задачами принятия решений. Последние в
данное время достаточно хорошо и полно исследованы. Во-вто-
Во-вторых, он подтверждает некоторую общность, единообразие выше-
вышеупомянутых представлений зааачи принятия решений, а также
путей сравнения и эффективного выбора решений для них.
Интересная дискуссия по этому поводу возниклз на V меж-
межреспубликанском семинаре по исследованию операций и системно-
системному анализу (ORSA—5), проходившему в 1985 году в городе Ку-
Кутаиси Грузинской ССР. Надо заметить, что традиционно пробле-
проблематика этого семинара целиком посвящена различным аспектам
многокритериальных задач принятия4 решений. Выступая на дис-
дискуссии, доктор физико-математических наук О. Н. Бондарева
(ЛГУ) предложила для обсуждения очень интересный и острый
вопрос, который прозвучал несколько парадоксально: «Есть ли
нечеткость в нечеткости?» Между тем в этом вопросе содержит-
содержится серьезная проблема. Дело в том, что в задачах принятия ре-
решений в нечеткой формулировке основная информация для срав-
сравнения решений содержится в соответствующих функциях принад-
принадлежности. Выделяя множество Парето, мы фактически эту ин-
информацию не используем. В алгоритмах сравнения решений по
предпочтению используются отношения типа «больше», «меньше» или
«равно» и совершенно не используются «на сколько» или «во сколь-
сколько». В результате выделенное множество Парето является вполне
четким подмножеством в X. Нечеткость как бы исчезает. Между
27

тем, если быть последовательным, то множество Парето следо-
следовало бы определить в форме нечеткого подмножества, да и инфор-
информацию, содержащуюся в соответствующих функциях принадлеж-
принадлежности, следовало бы использовать в полной мере. Все сказанное
относится не только к определению множества Парето, но и к
другим аспектам и задачам теории нечетких множеств в целом.
Проблема, безусловно, важная: как сохранить нечеткость в не-
нечеткости? Над ней еще предстоит подумать и поработать. Ниже
мы изложим несколько соображений по этому вопросу, надеясь,
что читатель не воспримет их как аргументы против вышеприве-
вышеприведенной проблемы.
Прежде всего мы снова вернемся к частным критериям эф-
эффективности Kj(x). Вообще говоря, отношения типа «на сколько
больше (меньше)» или «во сколько раз больше (меньше)» для них
более осмысленны, чем для функций принадлежности, поскольку
для последних такие сравнения условны, а критерии всегда задают-
задаются конкретной шкалой (отношений, разностей и др.). Таким образом,,
критерии эффективности тоже содержат значительно больше ин-
информации о решениях, чем используется при выделении множест-
множества Парето, когда сравнение решений осуществляется при помощи
отношений типа «больше (меньше)», или «равно». Задание на
множестве конкурсных решений X Парето-доминирования и вы-
выделение множества Парето, которое играет сущестренную роль в
задачах принятия решений, просто наводит на А' некоторую
структуру. Дополнительная информация о кри;ериях эффектив-
эффективности используется при формировании различных сверток вектор-
векторного критериия и разработке процедур выбора. При этом наведенная
на X структура контролирует эффективность сверток и процедур.
Аналогичная ситуация имеет место и для нечетких многокрите-
многокритериальных задач принятия решений.
Естественным является желание определить множество Паре-
то в виде некоюрого нечеткого подмножества в соответствии с
основной идеей теории нечетких множеств. Как оказалось первый
шаг в этом направлении уже сделан Орловским [42, 62], правда,
для случая одного нечеткого отношения предпочтения.
Пусть имеется задача принятия решений в виде (X, Р , где
Р=[?, {л (лг, у)]. ВЕедем термин «нечеткое множество Парето
28

{НАШ)» с соответствующим обозначением ХН(Р). Тогда имеет
место следующее равенство:
X*(PLX,fi»»(*)], B5)
где \i.ND(x) определено формулой B). Имеет смысл повторить
здесь, что \lnd(x) является функцией принадлежности решения х
множеству решений, недоминируемых строго ни одним у^х.
включая само х. Конечно, в упомянутых работах все это из-
изложено не в такой явной форме, но это не меняет сути дела.
При этом решениям x?XUND(\i) соответствует наибольшее зна-
значение функции принадлежности \lnd(x) = 1. Этот факт позволяет
нам выяснить место и роль четкого множества Парето (множест-
(множества четко недоминируемых решений) XUND(p) в нечеткой задаче
принятия решений. Оно является предельным случаем нечеткого
множества Парето ХН(Р), или, если быть более точным, ХН(Р)
есть расширение XUND (jx) и вкючает- его в себя, точно также,
как понятие нечеткого множества является расширением по-
понятия обычного множества. В данный момент мы не знаем, как
будет введено нечеткое множество Парето для нечетких много-
многокритериальных задач принятия решений, но один момент ясен;
оно должно быть расширением Х%"°и включать его в себя в
качестве предельного случая.
Еще одним аспектом этой же проблемы является действие,
поведение. Существует высказывание: «Знание эффективно, если
оно является основой для действия». Без преувеличения можно
сказать, что это основной принцип в проблематике принятия ре-
решений. С одной стороны, имеется информация, знание; с другой
стороны—действие, поведение. Процесс принятия решений являет-
является' тем «мостиком», который связывает информацию с поведением.
Если при получении и переработке информации, включая выбор
приемлемого компромиссного решения, мы правомочны использо-
использовать нечеткие категории, суждения и даже выводы, то, по наше-
нашему представлению, действие по самой своей сущности не может
быть нечетким. То есть, начиная действовать, человек все же
должен выбрать одно конкурсное решение для дальнейшей реа-
реализации. Во всех работах по практическому использованию не-
нечетких представлений, категорий, алгоритмов, методов обычно вы-
выбирают то решение, для которого значение соответствующей
функции принадлежности достигает наибольшего значения—счи-
значения—считают, что» оно лучше остальных. И тут на первый план снова
выходит четкое множество Парето (множество четко недомини-
29

руемых решений) X%ND. Получается, что нечеткое множества
Парето представляет только теоретический интерес, а для прак-
практики достаточно четкого множества Парето. Это справедливо,
если Х™Ф0.
Если же имеет место X%ND=0, что вполне возможно для
некоторых практических задач, тогда основным инструментом для
оценки эффективности выбора становится именно нечеткое мно-
множество Парето ХИ(Р)> на основе которого вводятся рассмотрен-
рассмотренные нами раньше множества r-недоминируемых решений.
Еще одним существенным источником четкости в моделях
принятия решений при нечеткой исходной информации является
ЭВМ, которая пока, к сожалению, не работает с нечеткими кате-
категориями. Все нечеткие модели принятия решений при реализации
на ЭВМ описываются вполне четкими алгоритмами—вынужденная
необходимость. И этот момент тоже необходимо учитывать.
3.2. Взаимосвязь многокритериального и нечеткого
представлений задачи принятия решений
Интуитивно ясно, что нечеткое представление задачи при-
принятия решений должно быть шире многокритериального предс-
представления и включать его в себя. Учитывая это, мы сформулируем
принцип согласованности этих двух представлений. Для того,
чтобы их можно было бы сравнивать друг с другом, они долж-
должны быть определены для одного и того же множества конкурс-
конкурсных решений X. Таким образом мы имеем два представления зада-
задачи принятия решений: (X, R) и (X, Р). Первое—многокрите-
Первое—многокритериальное, R—векторное отношение предпочтения. Второе—нечет-
Второе—нечеткое, Р—векторное нечеткое отношение предпочтения. Число ком-
компонент в R и в Р не обязательно должно совпадать, может быть
различным. Каждому из этих представлений соответствует свое
Парето-доминирование RK и />, а также множества парета
* и X
Определение 3.4. Два представления задачи принятия
решений: многокритериальное и нечеткое, являются согласованны-
согласованными (не противоречат друг другу), если выполняется условие
Оба отношения RK и Fp четкие, поэтому включение имеет
смысл. Для согласованных представлений задачи принятия реше-
решений в смысле определения 3.4 выполняется X^gxjj. Этот ре-~
30

зультат доказан в работе [17]. Он важен в том аспекте, что поз-
позволяет «сузить» исходное множество Парето введением согласо-
согласованного с исходной многокритериальной задачей принятия реше-
решений нечеткого представления (описания) этой же задачи. Это при-
приходится делать, когда исходное множество Парето Х^ содержит
необозримо много для ЛПР решений.
4. ЭФФЕКТИВНЫЕ СВЕРТКИ ВЕКТОРНЫХ НЕЧЕТКИХ
ОТНОШЕНИЙ ПРЕДПОЧТЕНИЯ
Снова рассмотрим нечеткую многокритериальную задачу
принятия решений (X, Р). Начиная поиск приемлемого компро-
компромиссного решения, прежде всего выделяем множество четко не-
недоминируемых решений XUPND. В данном разделе будем считать,
что оно непусто. В соответствии с изложенными раньше прин-
принципами выбор компромиссного решения должен осуществляться
из этого множества. В общем случае X*f>NU может содержать до-
довольно много решений. ЛПР может оказаться не в состоянии
всех их обозреть, сравнить между ссбой и выбрать удовлетво-
удовлетворяющее его решение.. Тогда возникает необходимость в разра-
разработке процедур принятия решений (процедур выбора). Такая
необходимость возникает и в случае, когда X%NDневозможно вы-
выделить технически, то есть оно существует, непусто, но матема-
математические средства не позволяют выделить его в явном виде.
Процедур выбора можно создать (сформировать) очень много.
Каждая из них может иметь свои достоинства и недостатки. Не
вдаваясь в детали, мы все процедуры выбора делим на два клас-
класса: эффективные и неэффективные, причем первый класс для нас,
естественно, более интересен. Для всех эффективных процедур
выбора есть одна общая, характерная для них черта: все они в
той или иной степени «сужают» исходное множество Парето
X%ND. Более точно, они выделяют в исходном множестве Парето
некоторое подмножество, из которого ЛПР должно сделать окон-
окончательный выбор. В многокритериальных задачах принятия ре-
решений существует обширный класс процедур выбора, основан-
основанных на скаляризации векторного критерия эффективности. В них
обычно используется некоторый обобщенный критерий [43], ко-
который по существу является сверткой векторного критерия эф-
эффективности. В математическом плане обобщенный критерий
представляет собой скалярную функцию, определенную на крите-
31

риальном пространстве (на области значений частных критериев
эффективности). Компромиссное решение предлагается выбирать
из множества решений, для которых обобщенный критерий дос-
достигает оптимума. Мы уже знаем, что это множество есть не что
иное, как множество Парето отношения, соответствующего это-
этому обобщенному критерию на основе формулы A5). Поскольку
в данном разделе мы намерены рассмотреть аналогичные задачи
для нечетких многокритериальных моделей принятия решений, то
будем использовать в дальнейшем термин «свертка векторного
нечеткого отношения предпочтения», который уточним ниже.
Некоторые краткие сведения о свертках ВОП мы уже приводи-
приводили выше. Сейчас мы этот вопрос рассмотрим более подробно.
Определение 4.1. Некоторое нечеткое отношение пред-
предпочтения Р~= [?, "ji (x, у)] с функцией принадлежности ]Г(х,у)=*
e/Il*i(*» УЬ 1h(x* У)> ••» t*m(*> У)] назовем сверткой векторного
нечеткого отношения предпочтения Р.
Следует подчеркнуть, что ?(*, у) должна удовлетворять
треббваниям, предъявляемым к функции принадлежности, в част-
частное ги, 0<|Г(х, j/)<l. Ясно, что каждой свертке ВНОП соот-
соответствует свое множество четко недоминируемых решений XUND{Jx)
в соответствии с формулой C).
Приведем примеры некоторых сверток ВНОП:
1. Линейная свертка
т
У)> B6)
где Х?Л ъ ^©ответствии с формулой (¦).
Этой свертке соответствует множество четко недоминируе-
недоминируемых решений XUND (?L; a).
2. Vz(x> 0)=maxji?(x, у). B7)
Этой свертке соответствует множество четко недоминируе-
недоминируемых решений XUND
•3. tofay)=minj2(xf у)

Этой свертке соответствует множество четко недоминируе-
недоминируемых решений XUNO(pv).
Линейная свертка ВНОП впервые была рассмотрена Орловс-
Орловским в работе [42]. А две другие"свертки введены Заде [71J для
операций объединения и пересечения нечетких подмножеств.
Определение 4.2. Свертка "Я векторного нечеткого
отношения предпочтения Р, заданная определением 4.1,. эффек-
эффективна, если выполняется условие: XUND (]I) г X%ND, когда*
Это определение фактически задает решающее правило (пра-
(правило выбора) при использовании конкретной свертки ВНОП.
При этом гарантируется Парето-эффективность выбранного ре-
решения. Число решений в XUND (?) можем оказаться значительно
меньшим, чем число решений s X%N9, что облегчает окончатель-
окончательный выбор для ЛПР.
Использование той или иной свертки ВНОП в некоторой,
нечеткой многокритериальной задаче принятия решений {Х> Р)
всегда связано с привлечением дополнительной информации, либо
некоторых более или менее обоснованных принципов, а иногда и
того и другого вместе. При этом из X%ND вычеркиваются (отбра-
(отбрасываются) решения, не удовлетворяющие дополнительной инфор-
мации и сформулированным принципам. То есть в XUND$) оста-
остаются решения, наиболее предпочтительные в свете, новой инфор-
информации. Если выделение исходного множества эффективных реше-
решений это формально обоснованная процедура, некоторый осново-
основополагающий принцип в теории принятия решений, то использова-
использование сверток того или иного вида связано со многими текущими
(а не постоянными) факторами, например, такими, как проблем-
проблемная область, количество и качество дополнительной информации,»
используемой ЛПР, его психологическое состояние и даже лич-
личные мотивы, наличие времени и другие. Поэтому ЛПР, прежде
чем сделать окончательный выбор, может использовать различ-
различные свертки ВНОП. Единственное требование, которое ЛПР'
должен соблюдать, это чтобы используемые им свертки были1
эффективными в смысле определения 4.2. Правда, есть вариант,
когда ЛПР может использовать практически любые свертки*
ВНОП, в том числе и неэффективные. Это в том случае, если с
самого начала удается выделить XupNDw дальше ЛПР работает на
этом множестве. Но. как показывает опыт, эффективные свертки
3. в. Е. Жуковик 2$

и в этом случае более приемлемы. Поэтому информация о том,
что какая-либо конкретная свертка ВНОП эффективна, всегда
«полезна.
Утверждение 4.1. Линейная свертка векторного нечет-
нечеткого отношения предпочтения, представленная формулой B6),
эффективна в смысле определения 4.2 для всех разрешенных
значений X 6 Л.
Доказательство. Линейная свертка ВНОП есть не-
нечеткое отношение предпочтения с функцией принадлежности
V>t(x, у). На основании определения 2.7 и утверждения 2.7 ему
соответствует четкое отношение предпочтения:
т
(х, у) V X; [\bj(x, у)—& (у, х)] > 0 , B9)
где Х?Л. Этому отношению предпочтения соответствует мно-
множество Парето Xn(FL)=^XUND{^L; X). Простой проверкой можно
убедиться, что имеет место следующее условие Ff> s F?, откуда
сразу следует, что Xn(FL)sXn(Fp). Если вспомнить определе-
определения 2.7 и 3.2, а также утверждение 2.7, то получим XVND^o *)—
sX^wr). Следовательно, линейная свертка ВНОП эффективна в
смысле определения 4.2, что и требовалось доказать.
Утверждение 4.2. Свертка ВНОП, представленная фор-
формулой B8), эффективна, если имеет место равенство м(х, у) +
+!*/(#> *) = 1 для всех /»1, т.
Доказательств о. Пусть х?XUND(\iv). На основании
формул A), B) и C) имеет место для всех у? X следующее не-
неравенство: min|ij(#, х) ^ min jt. (а:, у). Пусть для некоторого
фиксированного у € X справедливо равенство minjjj (У> х) =*
=tJt/0((/, дс). Тогда, из-за выполнения условия |л;(х, у) Wj(y> x)«=l
для всех /—1, т, получим щш(х9 у) <maxц/ (х, у). Поскольку
справедливо неравенство jiy (t/, х) < min щ (дс, l/)^|A/f(^i !/)> то
/l,m
Для выбранного у?Х. Если Д/о (г/, х)=0, то
y)=rV'i(y> ^)во" Аля всех /el» ^ и, следовательно,
34

<*> y)iF%- Если Д/0(*Л *)<0, то (у, x)?F$. Поскольку у бы-
было взято произвольно, то не существует такого решения у?Х,
включая само х, для которого выполнялось бы (у, х) ? F$. На
основании определения 3.2 получаем x?X%ND9 что и требова-
требовалось доказать.
Доказательство проведено Н. А. Лактионовой. Идея, ис-
использованная ею в доказательстве, позволяет нам несколько рас-
расширить класс векторных нечетких отношений предпочтения, для
которых свертка, представленная формулой B8), эффективна.
У т в е р ж л е я и е 4.3. Если для каждого х € XUND {y.v) вы-
выполняется условие min ^ (у, х) < min pj (xt у) для всех решений
/»1, m / = l,m
у?Х9 то свертка 'pyfa у), представленная формулой B8), эф-
эффективна.
Доказательство- Если x?XUHD(?v)f то для всех у?Х>
включая само х, вообще говоря, должно выполняться усло-
условие rninjt,^, x)<minji (дс, у). Причем равенство имеет место
/axl,m /=l,"m
для тех решений у, которые равноценны х по всему Р, то есть
(У'» x)?FeP. Для них справедливы равенства ji/(x, y)=*v>i(y, x)
для всех /=1, т, и они нг могут строго доминировать, расс-
рассматриваемое решение х. Для всех остальных решений в соот-
соответствии с условием утверждения имеет место строгое неравен-
неравенство. Если так, то для любого решения у из этого подмножест-
подмножества существует по крайней мере одна компонента ВНОП Р> для
которой имеет место строгое неравенство Д/(#, х)<0. В част-
частности, это будет компонента |i/ (у. x)=min(*i((/, x). На основе
/=l,m
всего вышесказанного можно сделать следующее заключение: для
рассматриваемого решения х не существует такого решения у,
включая само х, для которого имеет место (у. x)?F$ и, следо-
следовательно, x?XupN°. Поскольку решение х мы выбрали произ-
произвольно из множества XVNDJ^v)y то можно сделать вывод, что
XйND (\iv) г XUPWD, что и требовалось доказать.
Чтобы не повторяться, без доказательств приведем еще два
утверждения, касающихся свертки, представленной формулой
B7). Это доказательства аналогичны предыдущим.
35

Утверждение 4.3. Свертка ВНОП, представленная фор-
формулой B7), эффективна, если выполняется условие м(х, у)+
+М#> x)**l для всех j*sTTrnl
Утверждение 4.5. Если для каждого x^XVNDJ»z) вы-
выполняется условие max цу (у, х) < maxy.j (х> у) для всех решений
/1 /1
/=1, т
/
кроме тех у, для которых имеет место (х, y)^Fep, та
свертка [az(x, у), представленная формулой B7), эффективна.
Если вновь воспользоваться формулами B) и B5), то для
рассмотренных сверток ВНОП можно ввести соответствующие
нечеткие множества Парето:
2. XHJPJ-[X,tf°(x)); C0)
3. Хя(Рг)-[*, №(хI
В теории многокритериальных задач принятия решений из-
вестей один важный результат о достижимости решений в исход-
исходном множестве Парето X*. Этот результат опубликован в ра-
работе [29] и изЕестен в СССР как лемма Карлина. Содержание его
заключается в том, что при помощи линейной свертки векторно-
векторного критерия эффективности, варьируя значения коэффициентов
Х^Л, ЛПР имеет возможность выбирать из X* любое решение.
Тгким образом, линейная свертка и основанная на ней процеду-
процедура выбора обладают еще одним хорошим свойством, помимо эф-
эффективности. Аналогичный результат имеет место и для нечетких
многокритериальных задач принятия решений. Для того, чтобы
выявить содержание этой леммы, а также проиллюстрировать ос-
основную идею доказательства, мы рассмотрим случай, когда
имеется два нечетких отношения предпочтения Рх и Р2 с соот-
соответствующими функциями принадлежности щС*, У) и |i2(x, у).
Утверждение 4.5. (Лемма Карлина). Для произ-
произвольного решения х0 ? Х^всегда найдется такое значение Х° е Д>
что будет иметь место х0 ? XUA'D(pL; X°)> если выполняется нера-
неравенство Ofbi^ax Ь2> смысл которого будет ясен из доказатель-
доказательства.
Доказательство. Рассматриваем два НОП: Рх и Р%.
Пусть х0 6 Х$*">. По определению,. Д (#,. xj ={Дг (у, xjh Д2 {уч х^\%
36

у 6 Ху образует некоторое конечное число точек в двумерном прост-
пространстве. Это множество не имеет общих внутренних точек с по-
положительным ортантом этого множества. Надо выявить условие,
когда выпуклая оболочка этого множества являясь выпуклой ком-
комбинацией точек Л (уу хо)у у?Х, также не будет иметь общих внут-
внутренних точек с положительным ортантом двумерного пространст-
пространства. Для этого поступим следующим образом. Выделим в X два под-
подмножества решений: А = {у\Д, (у9 лго)<О, д2(у, х0) ^ 0} и
В^{у\Ьх(у, ло)>О, Д2(#, *0)<0}. Первому подмножеству ре-
решений соответствуют точки из второго октанта двумерного прос-
пространства, второму подмножеству—из четвертого. Выберем два
решения: уг^А и у2?В с соответствующими точками а(аг, аг) и
где
Эти точки удовлетворяют следующим условиям:
#> x0) и а2>Д2(#, х0) для у6/4;
у, *о) и Ь2*САг(у, х0) для уеВ.
То есть мы выбрали решения из подмножеств А и В, которым
соответствуют крайние справа и сверху точки соответствующих
подмножеств точек в двумерном пространстве. Может оказаться,
что эти точки единственны. Но может их быть и несколько в каж-
каждом подмножестве. Пока остановимся на первом случае. Прове-
Проведем через точки а и 6 в двумерном пространстве прямую и най-
найдем точку пересечения ее с ординатой: с ( 0; -Li—L2 ]• Пос-
\ Ьг—ах '
кольку Ьг—ах>09 то потребуем выполнения условия: a2-&i^#i Ъ%.
Оно гарантирует, что выпуклая оболочка точек Д (t/, х0), у 6 Хг
не будет иметь общих внутренних точек с положительным ор-
ортантом пространства. Если эти точки не единственны, то надо*
найти точки с для всех пар точек (по одной для А и для В), выде-
выделить наибольшую ординату и для нее написать вышеприведенное*
условие. Теперь на основе теоремы о существовании разделяю-
разделяющей плоскости для двух выпуклых множеств, не имеющих общих,
внутренних точек, можно утверждать, что существует такой век-
вектор d(dl9 d2) в двумерном пространстве, каждая компонента ко-

торого неотрицательна и хотя бы одна положительна, что имеет
место неравенство:
2
хо)<0.
/1
Введем нормированные коэффициенты:
+
Знаменатель положителен, числитель неотрицателен. Хотя
«бы один из этих коэффициентов отличен от нуля, в сумме дают
•единицу. Следовательно, Х°?Л, где X°={XJ, X?}. Вышеприведен-
Вышеприведенное неравенство перепишется в виде:
Они выполняются для всех у?Х, а это и есть условие то-
то, что x0?XUND(p.L; X), что и требовалось доказать.
К сожалению, выявленное условие трудно использовать в
практических задачах—оно неконструктивно, особенно, для т-
мерного пространства, включает в себя перебор пар решений.
Поэтому мы ищем другое, более приемлемое условие выполнения
леммы Карлина, при наличии конечного множества конкурсных
решений X.
5. ЛЕКСИКОГРАФИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ ПРИ
НАЛИЧИИ ВЕКТОРНОГО НЕЧЕТКОГО ОТНОШЕНИЯ
ПРЕДПОЧТЕНИЯ
Представим еще одну, несколько отличную от ранее рас-
рассмотренных, модель принятия решений, которая называется лек-
лексикографической в соответствии с основным принципом выбора,
используемым в ней. Принцип этот используется про упорядоче-
упорядочении чисел в позиционной записи и лексического материала в сло-
словарях. В многокритериальных задачах принятия решений лекси-
лексикографическая модель выбора разработана довольно хорошо и
полно, благодаря работам В. Подиновского [44]. В нечетких
многокритериальных задачах принятия решений эта модель не
рассматривалась. Впервые опубликована автором в работе [15].
38

Рассмотрим задачу принятия решений в виде (X, Р , где
P={PV Р2,..., Рт)—векторное нечеткое отношение предпочтения.
Его компоненты Ру, /=1, /я, являются обычными (одномерными,
скалярными) нечеткими отношениями, предпочтения с функциями
принадлежности y,j(x, у). Будем считать, что эти компоненты
лексикографически упорядочены, причем чем больше значение
индекса (номера) /, тем «важнее» (предпочтительнее) соответству-
соответствующее НОП. Последнее положение общности схемы не нарушает,
поскольку всегда можно сначала упорядочить НОП по «важнос-
«важности», а затем перенумеровать их с конца к началу. Прежде всего
следует определить нечеткое лексикографическое отношение
предпочтения. Определение это должно основываться на тради-
традиционной (классической) лексикографической схеме выбора и быть
ее расширением. Для начала определим строгую часть этого от-
отношения предпочтения.
Определение 6.1. Нечеткое строгое лексикографическое
отношение предпочтения Р^ , с функцией принадлежности
jij^x(a:, у), определено на множестве конкурсных решений Х> ес-
если выполняется одно из следующих условий:
1. p^ix, y)>0, или
2. njfo у) -ц* ((/, х)=0 и {!*_,(*, */)> 0, или C1)
т 1*? (*» У) в Р^ \У> х)**°> k=2> m> и jif (x, у) > 0.
При этом |i?x(*, #) =* р*_/+1 (*, У), где /—номер строч-
строчки (условия), на которой закончилось сравнение решения х с
решением у.
Несколько пояснений к данному определению. Сравнивает-
Сравнивается пара конкурсных решений (х, у)?Е. Сравнение идет по само-
самому «важному» НОП—m-тому (/=т). Если на этом шаге решения
х и у оказались равноценными, то для сравнения используется
следующее по «важности» НОП. И так далее, пока не выпол-
выполнится одно из приведенных условий. Сравнение прекращается
как только условие строгой предпочтительности решения х реше-
решению у выполнится в первый раз. При этом оставшиеся НОП
39

в сравнении решений больше не используются. Результат полу-
получается в виде (ху #)€^feX, с соответствующим значением)
функции принадлежности ftjfx(*> У)*
Для некоторой конкретной пары решений (х, у)?Е может
оказаться, что |*^(*> У)=*$ь(У> *)=0 для всех fc=l, m.
Определение 5.2. Если в лексикографической модели вы-
выбора при сравнении пары решений (х> у)?Е окажется, что
Рь(*> У)**Р%(У> *)=° Для всех к=лГт, то решения х и у
считаем лексикографически равноценными.
Объединяя определения 5.1 и 5.2, можно окончательно
ввести нечеткое лексикографическое отношение предпочтения в
виде Р(ех. Строгая часть его задается определением 5.1 в виде
Лех' а соответствУюи1ее отношение равноценности—определением
5.2 в виде /^ех, с функцией принадлежности у.\^{х> y)=m\n\Xj(x9y)*
/* 1, m
Последнее равенство интуитивного характера. Возможно, что
его можно задать и другим способом, например, Р\ех(х>У)~
«PiC*» У)- Для нас важно то, что это не влияет на основную
лексикографическую структуру предпочтений, наведенную на X
отношением РЫх.
Таким образом, если компоненты векторного нечеткого от-
отношения предпочтения лексикографически упорядочены, то его
можно заменить одним скалярным нечетким отношением предпоч-
предпочтения, а именно, нечетким лексикографическим отношением пред-
предпочтения. Для последнего по формуле C) можно определить
множество четко недоминируемых решений (множество Парето) в
виде A'^^diie»)- Однако, чтобы задать нечеткое лексикографи-
лексикографическое отношение предпочтения в виде некоторой таблицы, фак-
фактически надо, используя определения 5.1 и 5.2, сравнить между
собой все пары решений (х, у)?Е. Для практических задач это
не самый лучший способ, особенно если X содержит много кон-
конкурсных решений. Поэтому обычно вводят свертки ВНОП, в
какой-то степени описывающие лексикографическую структуру
предпочтений на X. При этом, если X конечно, то наиболее
приемлемой для этой цели оказывается линейная свертка ВНОП,
рассмотренная в предыдущем разделе. Точнее говоря, некото-
40

рый специальный вид линейной свертки, с функцией принадлеж-
принадлежности, представленной ниже:
т
Ч(х, х). C2)
Лексикографические коэффициенты Xlex подобраны специаль-
специальным образом. Существуют специальные методы расчета этих
коэффициентов, например, в работах [14,44]. Их нетрудно расп-
распространить на нечеткие задачи принятия решений. Именно эти
коэффициенты позволяют описать структуру лексикографических
предпочтений на множестве конкурсных решений X. Если ввести
обозначение Х|ех = {Х11ех, Xj*x, ...\ Х^х}, то выполняется усло-
условие Х1сч?Л ПрИ любом методе расчета* лексикографических коэф-
коэффициентов, ибо они всегда неотрицательны, а нормировать на
единицу их нетрудно. Рассматривать конкретные методы рас-
расчета этих коэффициентов мы не будем. Для линейной свертки,
заданной формулой C2), всегда можно по формуле C) опреде-
определить множество четко недоминируемых решений в виде XUND(^P).
Имеет место очень важный результат, аналогичный результату
для классической лексикографической модели:
Утверждение 5.1. XйND(iilex)=XUND(|А/>).
Доказательство. Вспомним, что выполняется следую-
щее равенство:
7"^/ \ — / ^(Ху У)щ если ^(х*
\ 0, если Д(#,
где введено следующее обозначение:
т
У)—Уч(Ч> х)\.
)-У х}е
/1
Пусть x?XUND(ynex). Это означает, что для всех у?Х вы-
выполняется равенство |*^х (у, х) = 0, или, что тоже самое,
l*f (x$ l/)^0- Рассмотрим сначала те у, для которых выполня-
выполняется равенство. Одновременное выполнение равенств ptf (x, ?/)=0
и fi?(l/, х)=0 влечет |i*(jc, у)**у?(у9 х)=0 для всех /-ЛТт-
41

В результате получим (if>(x, у)=у>р(у> х)=*0. Рассмотрим теперь
те (/, для которых выполняется строгое неравенство. Это гово-
говорит о том, что начиная с j=m первая отличная от 0 функция
принадлежности положительна, то есть для некоторого /=/
имеет место ji*(x, у)>0. При этом она обязательно есть. Лексико-
Лексикографические коэффициенты Xlex, /=1, т, построены таким об-
образом, что обязательно будет выполняться "J4 (х, у) > 0, и,
следовательно, (tpd/, x)=0. Таким образом, мы получили, что
равенство ~рР ((/, х) ¦» О для всех у 6 Х> а это означает
x?XUND(\bp). Проведем теперь обратное рассуждение. Пусть
х ? XUND (|А/>). Это значит, что имеет место равенство Рр(у, х)=0,
или, что тоже самое, ~р% (x, #)>0 для всех у?Х. Рассмотрим
сначала те решения t/, для которых справедливо равенство, то
есть одновременно выполняются [*/>(*, у)=0 Hftf>(t/, x)=0. Это
влечет Д(х, #)«0. Коэффициенты XJex, /=1, m, подобраны та-
таким образом, что выполнится fij(x, #)—ц, (у, jc)«O для всех
/ = 1, т. Следовательно, получим ^ех (х, у) = ji^ (i/, x) = 0.
Рассмотрим теперь те у, для которых имеет место строгое нера-
неравенство. Получаем Д(лг, t/)>0. Значит в этом случае имеются
отличные от 0 члены. При этом первая ненулевая компонента, ска-
скажем, /=/, начиная от /=га в обратном порядке, обязательно
положительна. Это опять из-за свойств лексикографических коэф-
коэффициентов Xlex, /»1, т. То есть имеем (ijSex(*, #)>0 и, сле-
следовательно, V>iex(y> *)=0. Мы получили, что Р*ех(у> х)=0для
всех у?Х. Это означает, что x?XUNO(\).\ex). Поскольку х было
выбрано произвольно, то XUND (fjtIex)=Xc/iVD (AЯ), что и требова-
требовалось доказать.
Изучим вопрос транзитивности лексикографического отно-
отношения предпочтения.
Утверждение 5.2. Если все компоненты векторного отно-
отношения предпочтения Pj, /=1, m, транзигивны, то и лексикогра-
лексикографическое отношение предпочтения Р)ех, заданное определениями
5.1 и 5.2, транзитивно в смысле условия квазисерийности.
42

Доказательство. Рассмотрим наиболее общий случай-
Пусть ц?(х, у)>0 и ц,*(#, z)>0, где / и i—номера условий,
когда окончилось сравнение пар решений (х, у) и (у, г). При
этом не имеет значения, какой индекс больше. Если /> *\ то
(Is. (t/, *)=0; если /<t\ то j*?(x, t/)=0. Если использовать уело-
вие квазисерийной транзитивности в первом случае—для Pj, a
во втором случае—для Pv то получим либо (^(*, г)>0, либо
|а*(х, г)>0 соответственно. А это означает, что (х, z)€fW
когда (х, у)?Р\ех и(е/, 2)бЛех> что и требовалось доказать.
Нетрудно также показать, что и линейная свертка PL, за-
заданная формулой B6), транзитивна как в смысле определения
2.5, так и в смысле условия квазисерийности, если все компо-
компоненты ВНОП Pv /s»l, m, транзитивны в том же смысле, в част-
частности, транзитивна лексикографическая свертка, заданная форму-
формулой C2).
Выделим в X некоторые специальные подмножества.
е (*)- {y\tf (х, у) - ц/ (у, х)=0; I =ТГ^},
или, что тоже самое,
х)=°)' C3>
Это множество решений, лексикографически равноценных
решению х в смысле определения 5.2. Возможно, неразличимых
с х при данном уровне информации (ведь информация неполная).
Утверждение 5.3. В XйND(р!ех) находятся только лек-
лексикографически равноценные решения в смысле определения 5.2,
если Р,ех транзитивно в смысле условия квазисерийности.
Доказательство. Фактически достаточно доказать, чга
для произвольного х 6 XUND (}tlex) справедливы следующие два мо-
ментаМ. Если yeXu»Dfaex)9 то у?е(х). 2. Если y^XUNO{^QX)y
то */Т*(*)- Начнем с первого. Очевидно, что в этом случае
имеет место |4jexB,^)=0 для всех г 6 X, в частности, р]ех(*, #)=0.
С другой стороны, имеет место равенство ^5ех (г, х) = 0, для
всех г?Х, в частности, f^ex(#, *)=0. В соответствии с форму-
формулой C3) это означает, что у?е(х). Рассмотрим теперь второй
43

•момент. Очевидно, что равенство (**ех (е/, х) = 0 по-прежнему
справедливо. Это означает, что fifx(*> #)>0. Поскольку Piex
транзитивно, то XUND (цКх) ф 0 и внешне устойчиво. Следова-
Следовательно, найдется в нем такое решение г, для которого справед-
справедливо f*fexfo У)>0. Причем f*jsex(*, г) «О, это уже доказано.
Условие квазисерийной транзитивности дает ji* (х, у)>0. Это
означает, что у?е(х), что и требовалось доказать.
6. НЕЧЕТКИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
Данный раздел написан по материалам диссертационной ра-
работы Н. А. Лактионовой. Задача принятия решений по-прежне-
по-прежнему представляется в виде (X, Р), где Р—векторное нечеткое от-
отношение предпочтения с компонентами Pj, /=1, т. Все обозна-
обозначения, которые были введены в предыдущих разделах, сохране-
сохранены. Поэтому мы не будем пояснять их повторно. Кроме того,
все полученные ранее результаты, определения, заключения, ка-
сающиеся нечетких многокритериальных задач принятия решений,
справедливы и для этого случая. Ниже мы поясним этот момент
¦ более подробно. Просто в предыдущих разделах мы не заостря-
заостряли внимания на одном свойстве нечетких отношений предпочте-
предпочтения: его связности. Между тем это свойство играет не послед-
последнюю роль в задачах принятия решений. Говоря о неполной ин-
информации, в данном разделе мы имеем ввиду тот факт, что не
все пары решений сравнимы между собой. То есть хотя бы
некоторые компоненты ВНОП ногут оказаться несвязными. Сле-
Следуя Кофману [33], мы считаем, что пара конкурсных решений
{ху у)?Е несравнима по отношению к некоторому нечеткому от-
отношению предпочтения Рп если выполняется следующее условие:
М*> У)«Ю(У> *)«<>. <34)
Тогда неполнота информации для исходной задачи принятия ре-
. шений по отношению к НОП Р% выражается в выполнении усло-
условия C4) для всех пар конкурсных решений из некоторого непус-
непустого подмножества ?/S?. Если ?/=0 для всех /«=1, т, то
информация полная. Для пары несравнимых решений в смысле
« формулы C4) всегда выполняется условие |л!(дг, У) — р$:(У> х)=0>
44

что совпадает с определением 2.1 равноценности пары конкурс-
конкурсных решений. Таким образом, по отношению к строгому нечет-
нечеткому отношению предпочтения равноценные решения и несравни-
несравнимые решения неразличимы. Поскольку при формировании струк-
структуры предпочтений на X и при выделении соответствующих, мно-
множеств Парето основную роль играют строгие отношения пред-
предпочтения, то наличие несвязных компонент в исходной задаче
принятия решений не нарушает выводов и результатов, представ-
представленных в предыдущих разделах. На что же влияет несвязность
компонент ВНОП (неполнота информации)? Пары конкурсных
решений (дс, y)?Ej являются равноценными (точнее неразличи-
неразличимыми, несравнимыми) и по четкому отношению F$% соответствую-
соответствующему Pj. Поэтому с увеличением числа несравнимых конкурсных
решений (с расширением множеств Ej) происходит быстрое и не-
нежелательное расширение множества Xu(FP)=X^AD, вплоть до
исходного множества конкурсных решений X. Уменьшается зна-
значимость множества четко недоминируемых решений для процедур
выбора: в нем могут оказаться решения, которые не следует ре-
рекомендовать для выбора без дополнительного оценивания. Такой
случай для нас ненов — мы уже знаем, что надо вводить эффек-
эффективные свертки ВНОП в смысле определения 4.2, которые выде-
выделяют для выбора некоторые подмножества в XUPND, если послед-
последнее непусто, а мы имеем дело именно с таким случаем. Чтобы
сформировать свертку, необходима дополнительная информация.
Оказывается, что даже при неполной информации ее можно по-
получить, исследуя общую структуру задачи принятия решений.
Предлагаемый нами в данном разделе подход, основанный на
использовании нижних и Еерхних оценок, позволяет «сузить»
множество X°pND для нечетких многокритериальных задач приня-
принятия решений с неполной информацией. Основные идеи и неко-
некоторые результаты такого подхода для многокритериальных задач
принятия решений при наличии несвязных отношений предпочтем
ния был опубликован нами в работе [15J.
Введем следующие новые обозначения:
/-{1, 2, 3,.. , т); J(jc, *M/€/lw<*. *)-1»1<У. *)=°)> W
К(х, y)=\J(x, у)\—число НОП, по которым решения хну
несравнимы в аысле формулы C4), а также Л(х, 1/)—^ V
У)
45

*/)
ХбЛ- Очевидно, что Л(л;, у)—некоторое число из интервала
ДО; 1], причем, если У(дс, #)=0, то Л(х, #)»0.
На основе степеней превосходства Д/(*, у) определим для
•пары решений (д:, у)?Е нижнюю степень превосходства в виде:
rnin &j(x} у), если «/(дс, у)ф1,
A У) C6)
—1, если J(x, i/)=/.
Определим также верхнюю степень превосходства для этой
пары решений аналогичным образом:
Imax Д>(х, у), если J(xy у)Ф/,
/€/<*. У) C7)
1, если J(x, y)=J.
Основная идея ясна: при формировании процедуры выбора
мы хотели бы использовать предположения о том, как могли бы
(быть оценены несравнимые пары конкурсных решений, если их
«сравнение между собой состоялось бы. Рассматриваем два край-
крайних варианта: наименее благоприятный и наиболее благоприятный
для решений х. Каждый вариант, в свою очередь, состоит из
двух случаев: J(x, у)ф1У имеется некоторая дополнительная ин-
информация о сравнении решений х и у; J (х, |/)=/, дополнитель-
дополнительной информации не имеется. Во всех четырех случаях в качестве
значений для степени превосходства Д(х, у) берутся крайние
значения с учетом имеющейся информации.
На парах конкурсных решений (х, у)?Е определим следу-
следующие скалярные функции:
*i(*> УНА(*> У)±(х* У), C8)
/Ч Лх, у)
Т(*> #)=У ХГДИ*> У)+А(х, У)-Д"(х, У)- C9)
lVi*> У)
Эти функции есть ни что иное как нижняя и верхняя сте-
степени превосходства решения х над решением у, соответствую-
соответствующие линейной свертке ВНОП, с учетом вышеприведенных пред-
предположений. Они обладают следующими свойствами:
* x)t qT(x, t/)><p(*» у),
"" D0)
^ У) при У(х, t/)=0,
4G

Используя формулу A), можно ввести нижнее и верхнее
•строгое отношение предпочтения, соответствующее линейной
свертке в смысле формул C8), C9). Их функции принадлежности
определяются следующим образом: .
0, если ф(л:, */)<0.
(х, */), если <jT(x, |/)>0,
0, если ф(х, (/)<0.
По сравнению с формулой A) в левой части равенств прос-
просто введены новые обозначения, чтобы избежать е записи боль-
большого числа индексов. По существу же ф$(х, */)=|4 (х> у)—ниж-
у)—нижняя и верхняя черточки опущены. На основе формул D1), D2),
B) и C) можно определить для этого случая следующие функ-
функции принадлежности и множества четко недоминируемых реше-
решений (содержание ях прежнее):
\>ыо(х) и V:ND(x)y
_ . D3)
Используя ранее приведенные результаты, приведем некото-
некоторые свойства введенных в данном разделе функций принадлеж-
принадлежности и множеств четко недоминируемых решений:
I- fix, y)>f(x9 у).
2. Если J(х, у)=0, io^s(xt y) = (ps(x, y)=fl(x, у).
3. F"w>(i?)s X$ND, JCUND ({Tj s Xup™.
_ _D4)
4. Если J(x, y)=0, то X ^
5.
6.
Все эти утверждения (свойства) нетрудно доказать.
Если раньше решение х оценивалось одним числом \p.ND(x)—
степенью недоминирования решения х ни одним у?Х, то теперь
оно оценивается интервалом. [j?-VD(x), ?*D(x)]. Таким образом,
47

возникает задача об упорядочении интервалов. Вообще говоря,
сравнение интервалов на предмет предпочтения можно определить
разным образом. Не вдаваясь в подробности, для сформулированной
в этом разделе задачи мы используем следующее отношение пред-
предпочтения:
D5>
где /^0. Основная идея сравнения двух интервалов формули-
формулируется следующим образом: если интервал \&ND(x)> fiiV?)(*)] на-
находится на числовой оси правее интервала [y*ND(y)> \*>ND(y)] на рас-
расстоянии не меньше, чем /, то (х, у) ? R (/)•
Это простое, естественное правило сравнения интервалов»
Оно нас вполне удовлетворяет, поэтому мы не пытались анали-
анализировать другие правила сравнения, хотя, наверное можно было
бы использсвать и их. Изучим отношение предпочтения, задан-
заданное формулой D5).
Утверждение 6.1. Отнсшение предпочтения #(/), задан-
заданное формулой D5), при любом разрешенном значении /^0 яв-
является несвязным, строгим порядком.
Доказательство. Надо показать, что при любом раз-
разрешенном значении / ^ 0 отношение предпочтения Р (/) обладает
свойствами: несвязность, асимметричность, транзитивность. Преж-
Прежде всего остановимся на несвязности. Ясно, что среди сравни-
сравниваемых решений могут оказаться такие, например, хну, для
которых интерЕглы, соответствующие им, находятся на числовой
оси ближе друг к другу, чем /, или даже пересекаются. Длины
интервалов при этом не играют роли. Это означает, что*
(х> 40ТЛ@ и» естественно, (у, x)~R(l). Следовательно, реше-
решения х и у окажутся несравнимыми по отношению предпочтения
/?(/). Таким образом, несвязность имеет место. Рассмотрим те-
теперь асимметричность. Если (х, y)?R(l) и 1ф0> то имеет место
следующее неравенство: [1^? (у) ^V;ND(y) < }р*с(х) < |iAT(x)• Сле-
Следовательно, неверно неравенство (аЛ?) (у) ^ \iND (x) и, тем более,,
неверно неравенство ^й(у)—^'о(х) >/, поскольку / положи-
положительное число. Это означает, что (у, x)~R(l).
Если /=0, то \bND(yXfiiND(x). Но это совсем не говорит
о равноценности решений х и у даже при равенстве, ибо интер-
интервал, соответствующий решению х, все равно целиком находится
48

на числовой оси правее интервала, соответствующего решению
у. Поэтому и в этом случае следует отдать предпочтение реше-
решению х перед решением */, и {у, x)~$R(l), если (х, y)?R(l).
Таким образом и асимметричность имеет место. Рассмотрим
теперь транзитивность. Пусть выполняется условие (х, у) ? R(l) и
{у> г) 6#@- Тогда для /^0 имеет место следующее неравенст-
неравенство: |Г* о (г) ^ ^(г)<ц"%) <рлю (у) < jp*D (Х) ^nd (^ причем
расстояние между уР°(г) и^°(у), а также между yS*D(y) и
ji^C*), не меньше, чем /. Следовательно, |TVD(x)— pND(z)>l и
{*, г) ?/?(/). Если *=0» то аналогичным образом можно показать,
что \HND(x)— pND(z)>l, и в том случае тоже (х, г) ^ #(/)• То
€сть и транзитивность имеет место. Таким образом, R(t) являет-
является несвязным строгим порядком для любых / > 0, что и требо-
требовалось доказать.
Отношению предпочтения /?(/) соответствует множество Па-
рето Хп (/)• На основе утверждения 2.3 можем сделать вывод,
что в этом конкретном случае Хц (/) ф 0 и внешне устойчиво
в смысле определения 2.4 для всех разрешенных значений />0.
Причем имеет место условие: Хц @) s Хп Aг) s Xn (/t), если
Ю</1</2. Таким образом, наиболее приемлемым для процедур
выбора является Хп@), на основе имеющейся информации и сде-
сделанных допущений. Открытым пока остался вопрос об эффек-
эффективности сверток /?(/). Но дело в том, что для случая интер-
интервальных оценок, которые в данном разделе появились из-за не-
несравнимости некоторых решений, само множество Парето по
ВНОП и понятие эффективных свэрток определяются несколько
иным способом.
Таким образом, задачу принятия решений при наличии нес-
несвязных отношений предпочтения мы свели к задаче принятия ре-
решений с интервальными оценками. Теперь мы более подробно
изучим последнюю.
7. НЕЧЕТКИЕ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ОЦЕНКАМИ НА ПАРАХ
РЕШЕНИЙ
Рассмотрим вариант нечеткой многокритериальной задачи
принятия решений, когда для сравнения пары конкурсных реше-
решений используется не число (значение функции принадлежности
4. В. Е. Жуковин 49

отношения), а интервал значений этой функции. В практических:
задачах это не такой уж редкий случай. Таким образом,, сравне-
сравнение пары конкурсных решений (х, у)?Е по нечеткому отноше-
отношению предпочтения Ру дало нам оценку в виде интервала
[М*> У)> М*» У)Ь /=Ь >я. Соответствующие степени превос-
превосходства вводятся естественным путем:
, у).
Им соответствуют значения функций принадлежности:
Уц(х> У) и ]Ty(jc, */), рассчитанные по формуле A), а также
|л^° (x)=f^ (х) и \bfD (x) =. |i/ (дс), рассчитанные по формуле B).
Причем имеют место неравенства: "jiy (*» #)>?у(х, у) и М*) ^
>^(л:). Если длины интервалов равны нулю, то есть yj(x> y) =
={Г^(х, ^), для всех /-1, т и для всех пар конкурсных реше-
решений (ху у) 6 Е, то имеем рассмотренную ранее нечеткую много-
многокритериальную модель принятия решений с точечными оценками-
Введем некоторое четкое отношение предпочтения, соот-
соответствующее НОП Pjy следующим образом:
)). D7).
Для сравнения интервалов мы использовали тот же прин-
принцип, что и в предыдущем разделе. Это асимметричное (строгое),
несвязное отношение предпочтения. Оно обеспечивает выполне-
выполнение неравенства \*.s.(x, у)^\ь$. (у у х), то есть именно в этом слу-
случае мы считаем, что решение х строго предпочтительнее реше-
решения у. Проведем некоторые сравнения, которые связаны непос-
непосредственно с формулой D7). Если \? (х, у) > 0, то ?s. (х, у) >0,
Одновременно имеет место ]й (у, х) = 0 и, следовательно,
j^(t/, x)«0. Нижняя степень превосходства А>(х, у) как бы
несколько выделена этими неравенствами. Если убедиться, что
50

, (/)=—Д^((/, х), то формулу D7) можно записать s следу-
следующем виде:
Ф/=<(*> У)\Ь${х, у)>0). D8)
Если \ij(x9 y)=Pj(x, у) для всех" пар решений (х, у)?Е, то.
<t>j=Fj9 где последнее задано определением 2.7. Можно ввести
и отношение равноценности: решения х и у равноценны, если
соответствующие им интервалы совпадают. Но, как мы уже от-
отмечали выше, для строгого отношения предпочтения, каким яв-
является Ф,, равноценные и несравнимые пары решений неразличи-
неразличимы, и структуру на X формирует строгая компонента отноше-
отношения предпочтения, то есть в данном случае—отношение Ф^. Ког-
Когда решения х и у несравнимы? Естественно, что тогда, когда
одновременно выполняется (х9 y)~?&i и (У> *)T*fy» а это озна"
чает: интервалы, соответствующие решениям х и у> пересекают-
пересекаются, или, в частном случае, совпадают. Введем отношение пред-
предпочтения на основе вышесказанного:
Оно симметрично, рефлексивно. Объединим его с отношением Ф/,
и получим некоторое связное, нестрогое отношение предпочтения,
соответстующее НОП Pj-R)=*Ot[}Qj. В дальнейшем мы будем ис-
использовать именно это отношение предпочтения, учитывая, что /?;=
=Ф^=^, когда jy (дг, у) =Р)(х, у) для всех (#, у) ?Е. Рассмотрим
теперь векторное нечеткое отношение предпочтения Р в целом.
т
Введем Парето-доминирование и множество Парето: #п= П R$ и
7~
Определение 7.1. В качестве множества четко недоми-
недоминируемых решений в нечеткой многокритериальной задаче при-
принятия решений (Х> Р) с интервальными оценками на парах ре-
решений берем множество Парето Хп-
Это определение по существу является расширением опре-
определения 3.2, поскольку Xn=X%N0, если» jij,(*> i/)=Fi (*> У) Для«
всех /=1, т и для всех (х, у)?Е> то есть при переходе к модели
принятия решений с точечными оценками на парах решений, рас-
рассмотренной в разделе 3. Это неудивительно—мы к этому и стре-
стремились.
Утверждение 7.1. Х^дХп.
Доказательство. Вспомним, что согласно определению *
3.2 XupND=*Xu(Fp), где Fp—соответствующее.* Парето-доминиро-
5Ь

зание. Его строгая часть Fsp. Пусть (л:, y)?R*n. Это означает,
что интервал, соответствующий решению х, находится на число-
числовой оси правее интервала, соответствующего решению t/. В этом
-«случае, получая дополнительную информацию и переходя к то-
точечным оценкам на паре решений (х9 у)?Е, независимо от ус-
лювий, от способов перехода, получим (х, y)?F%. Поскольку
решения были выбраны произвольно, то RLsF*. Обратное
включение, вообще говоря, не выполняется. На основе соответст-
соответствующего утверждения [15] получаем Xn(FP)sX\b или, что то-
тоже самое, X^D?^n- Утверждение доказано.
Таким образом, имея неполную информацию, что выражает-
выражается в наличии ненулевых интервалов хотя бы для некоторых пар
.конкурсных решений в отношении хотя бы некоторых НОП Ph
мы выделяем исходное множество Парето Хп> которое соответст-
соответствует уровню нашей информированности об исходной задаче при-
принятия решений. Оно контролирует эффективность процедур вы-
выбора. Дальнейшая работа состоит в том, чтобы «сузить» это ис-
исходное множество Парето, то есть выделить в нем некоторое
подмножество, содержащее по возможности меньше конкурсных
решений. Очевидно, что эта работа связана с получением допол-
дополнительной информации, Сама техника получения этой информа-
информации в данный момент нас не интересует. Нам важен результат—
как дополнительная информация изменяет структуру предпочтений
на X, в частности, как меняется множество Парего. Каким бы
путем мы не добывали дополнительную информацию, в каком бы
виде мы ее не использовали, конечный эффект ее влияния на ис-
исходную задачу принятия решений будет выражаеться, вообще го-
говоря, в увеличении, или в уменьшении длин интервалов, пред-
представленных в начальной задаче принятия решений. Ниже мы пос-
постараемся показать, что только уменьшение этих интервалов поз-
позволяет «сузить» множество Парето, то есть только та дополни-
дополнительная информация значима, которая уменьшает длины интерва-
интервалов (интервальных оценок). Для этого рассмотрим два варианта
одной и той же нечеткой многокритериальной задачи принятия
решений. Когда мы говорим об одной и той же задаче выбора,
то понимаем под этим тот факт, что оба варианта определены на
одном и том же множестве конкурсных решений X. Когда же
мы говорим о разных вариантах задачи, то подразумеваем раз-
.52

ные уровни информированности, что выражается в наличии раз-
разных наборов интервальных оценок, соответствующих парам кон-
конкурсных решений. Более подробно: для первого варианта задачи
имеем набор интервальных оценок [aj(x, у), 3j(x, у)], /=1, /п,
(х9 у) 6 Е; для второго варианта задачи имеем набор интерваль-
интервальных оценок [Цх, у), ?/(*, у)], / = 1, т, (х, у)?Е. В общем случае
некоторые из них могут иметь нулевую длину. Буквами а и Ь
обозначены значения соответствующих функций принадлежности.
Новые обозначения введены только для того, чтобы избежать
лишних индексов в формулах. Этим вариантам задачи принятия
решений соответствуют свои множества Парето Х^ и Х^.
Утверждение 7.2. Если имеет место следующее условие:
у), aj(x, у)]
для гсех /¦*], т и для ессх (х, */)??, то Л^^Л^.
Доказательство. Приведенное в утверждений условие
можно переписать в следующем виде: aj (x, у) ^ bj (x, y)K$t(x. y)^
<Ф(^» У) Для всех /—1, т и для всех (х, у)?Е. Пусть-
(*> У)€Кп(а)- Нетрудно проверить, что приведенное неравенство
при этом гарантирует выполнение (дс, #)€#п(^)- Поскольку пара
решений была выбрана произвольно, то имеет место Л^(а)е/?^F)
и, следовательно, Х^. ? XL, что и требовалось доказать.
Уменьшение длин интервалов можно осуществить одним из
следующих способов:
1. Непосредственным уточнением значений соответствующих
функций принадлежности, используя дополнительные данные.
2. Введением свертки ВНОП, задающей интервальные оцен-
оценки на парах конкурсных решений.
3. Введением свертки ВНОП, задающей точечные оценки на
парах конкурсных решений.
В первом случае эффективность процедур выбора, использу-
использующих дополнительную информацию, контролируется утвержде-
утверждением 7.2. Третий случай достаточно подробно рассмотрен в раз-
разделе 4, где изучались эффективные свертки ВНОП. Результаты,
полученные там, с небольшими уточнениями справедливы к
здесь. А вот второй случай рассмотрим несколько подробно. Для1
53.

этого вернемся к материалу предыдущего раздела. Мы уже
•знаем, что несвязность хотя бы некоторых компонент векторного
нечеткого отношения предпочтения приводит к интервальным оцен-
оценкам на парах конкурсных решений. Напомним, также, что в преды-
предыдущем разделе мы использовали вариант линейной свертки ВНОП.
Введем следующие четкие /-уровневые отношения предпочтения2
тде /^0. Эти отношения пргдпочтения асимметричны при /#0
^строгие) и рефлексивны при /=0 (нестрогие). При этом учтен
тот факт, что пара решений (х, х) всегда сравнима по отноше-
отношению к любому НОП Pf. для нее <р(х, #)=ф(*> *)—0. Каждому
такому отношению предпочтения соответствует множество Паре-
то Xn[R<p(l)]- Вообще говоря, эгу же идею мы могли бы ис-
использовать для любой свзртки ВНЭП с интерзальными оценками
на парах конкурсных решений. Сделаем это. Пусть задана некото-
некоторая свертка ВНОП, определяющая для каждой пары решений
{х9 у)?Е некоторый интервал значений соответствующей сверт-
свертке функции принадлежности, а именно, [ji(jt, у), (Г(л% у)]. На-
Напомним, что свертка это обычное нечеткое отношение предпочте-
предпочтения в смысле определения 4.1, с функцией принадлежности в
данном случае ц(х, у). Тогда мы можем ввести нижнюю и верх-
верхнюю степени превосходства Д (л\ у) и Д"(*, у), а также в соот-
соответствии с формулой D7) отношение пргдпочтения Rs (l) со своим
множеством Парето Хп[/?д(/)]- Естественно, надо выделить и
исходное множесто Парето А'п-
Определение 7.2. Свертка ВНОП с интервальными оцен-
оценками на парах решений эффективна, если имеет место Xn[R&(t)]s
sXn, когда Xn^Q.
Использование отношения пргдпочтения /?д(/) обусловлено
необходимостью сравнивать интервалы значений функции принад-
принадлежности свертки. Принцип сравнения интервалоз тот же, что и
ранее используемый.
Утверждение 7.3. Линейная свертка ВНОП с интер-
интервальными оценками на парах решений, заданная формулой C8;
39), эффективна в смысле определения 7.2, если /«О.
Доказательство. Прежде всего надо выделить исход-
исходное множество Парето Хп для нечеткой многокритериальной
54

задачи принятия решений с несвязными компонентами ВНОП.
Для этого снова надо вернуться к материалу предыдущего раз-
раздела. Надо определить отношения Ф/, соответствующие компо-
компонентам ВНОП Я/. Прежде всего сформируем нижние и верхние
степени превосходства:
у) если /Т«/(*, У)*
У)> */(*> Й»А(х, у), если
При этом использованы формулы C6) и C7) из предыду-
предыдущего раздела.
Используя формулу D6), сформируем отношения предпочте-
предпочтения Ф/ в соответствии с формулой D7), либо с формулой D8).
Причем выполняется условие Фу»/7/ для j~?J(x> у) и пары ре-
решений (дс, у)?Е. После того, как эти отношения сформирова-
сформированы, выделяем множество Парето Хп, как это было описано вы-
выше. Пусть теперь (лг, y)?R^. Это означает, что для всех
j = l, m имеет место (х, */)€#/ и хотя бы для одного, скажем,
J—/0, выполняется (х, у) 6 Rs., или, что тоже самое, (л:, у) ? Ф/о.
.
Следовательно, Д/(*, у) >0 для всех /=1, щ и хотя бы для од-
одного /ss/0 выполняется строгое неравенство ±jo(x> #)>0. Это,
в свою очередь, влечет <р(дс, у)—у(у> х) >0, то есть (х, у) ? /?ф@).
Напомним, что последнее отношение предпочтения является стро-
строгим. Поскольку пара решений была выбрана произвольно, то
справедливо включение RL s #ф @). На основе соответствующе-
соответствующего утверждения [15] получаем Хп [#Ф@)] г Хп, что и требовалось
доказать.
Отметим также, что рассмотренная линейная свертка ВНОП
с ингервальными оценками на парах решений остается эффектив-
эффективной по мере поступления дополнительной информации. Когда
Хп*=Х%ыо (полная информация), она становится обыкновенной
линейной сверткой ВНОП, заданной формулой B6), оставаясь
эффективной в смысле утверждения 4.1. Таким образом, пред-
представленная в данном разделе нечеткая многокритериальная модель
принятия решений является расширением соответствующей моде-
модели, представленной в разделе 3. Мы к этому и стремились.
55

Пока остался только открытым вопрос о множестве четко
недоминируемых решений для НОП с интервальными оценками
на парах решений. Рассмотрим некоторое нечеткое отношение
предпочтения с функцией принадлежности ц(х, у). Пусть для
каждой пары решений (х, у)?Е задается интервальная оценка в
виде fo,(x, у), {Г(лгэ у)]. В предыдущем разделе, используя фор-
формулу D5), мы определили отношение предпочтения /?(/) в соот-
соответствии с формулами D1), D2) и D3) и соответствующее ему
множество Парето Лп(/). Причем особо выделили множество-
#п@). Сейчас мы вернемся к его изучению, используя результа-
результаты, полученные в данном разделе. Дело в том, что именно это
множество Парето является расширением множества четко недо-
недоминируемых решений Xund(\l). Ниже мы покажем это.
Утверждение 7.4. XuhD(\p) sXn(O). Если имеется пол-
полная информация, то есть fi(x, г/) = jjl (jc, j/)={i(x, у) для Есех
пар (х, у)?Е, то XUM>faf=Xn(O).
Доказательство. Пусть Хико{р)Ф^. В соответствии с
формулой C) оно является множеством Парето отношения пред-
предпочтения D={(x, у)\р(х)—ц(*/)^0}, где ц(х) определяется фор-
формулой B). Очевидно, что ji(x)g [\±(х), ~^(х)] и {л (у) 6 [? (у) >
jT(у)). Таким образом, если (*, t/N^@), то (х, y)?D$. Откуда
сразу следует, что XUND (|a) s Хц @). Если^х, #)—]1 (л:, f/)=
вР» (*> 1/)' то J^ (х) =1^ (х)^ W- При этом /? @)«Ds и, следо-
следовательно, Xn@)=XUND(\i)f что и требовалось доказать.
Но это еще не все. Надо установить взаимосвязь между R@}
и Я<р@) и между их множествами Парето. Для случая одного
НОП отношение предпочтения /?ф @) представляется в виде*
E1)
Утверждение 7.5. Хп@)^Хи [/?Ф@)], если выполняет^
ся Д(х, |/)=Д(х, 2)+Д(г, i() для всех троек решений (условие
метрической транзитивности).
Доказательство. Пустьх6Хп@). Это означает, что не
существует у?Х, для которого выполнялось бы (#, хN#@).
Следовательно, для всех у?Х имеет место следующее неравен-
неравенство: M*)^MjO* То есть интервал [pt(l/), ]a((/)J на числовой
сси находится правее интервала Ц1 (х), ?(х)]. Отсюда следует
56

тпах [ь* (z, x) ^ max us (г, у), или, что тоже самое, тахА(г,
*?Х *с*~ г^Х
^ тахД(г, у). Если выполняется условие метрической транзи-
г$Х~
тивности, то получим Л(х, */)>0 для всех у?Х. Это
•означает, что не существует у ? X, для которого выполнялось бы
условие (уу хN/?ф@). Следовательно, х?Хп[Яу(Щ. Поскольку
jc было выбрано произвольно, то имеет место Хп @) г ^п[/?Ф@)],
что и требовалось доказать.
Таким образом, мы рассмотрели класс нечетких многокри-
многокритериальных задач принятия решений с неполной информацией.
Неполнота информации формально описывается либо несвязными
нечеткими отношениями предпочтения, либо интервальными оцен-
оценками на парах решений вместо обычно используемых точечных
•оценок. Для этого класса задач принятия решений мы сформиро-
сформировали и изучили модель сравнения и выбора, которая является
расширением нечетких многокритериальных моделей принятия
решений при наличии точечных оценок (полной информации), пред-
представленной в разделе 3. Полученная структура вложенных одна
в другую моделей принятия решений очень удобна и предназна-
предназначена для диалоговых процедур принятия решений. Задача при-
принятия решений с интервальными оценками, например, специфич-
специфична для проектирования систем (конкурс проектов), когда в на-
начальной стадии задаются грубые (неточные) оценки будущей сис-
системы по характеризующим ее параметрам. А дальше в процессе
прохождения проектов эти оценки постепенно уточняются. Собст-
Собственно говоря, с одной такой задачи и была разработана струк-
структура вложенных моделей принятия решений, предложенная выше.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Наверное, это естественно, что теория нечетких многокрите-
многокритериальных задач принятия решений разрабатывается как расшире-
расширение обычных (четких) многокритериальных задач принятия реше-
решений и по аналогии с ними. В основу предложенного в данной
монографии подхода положена аналогия между соответствующими
этим классам задач принятия решений степенями превосходства:
Aj(*> У)=КЛХ)—КЛУ) и Л/ (*, */)=М*> У)—м(У> *)• Из-
Известно, что именно через них определяются соответствующие от-
отношения предпочтения, четкие и нечеткие, а также Парето-до-
минирование и, следовательно, множество Парето (множество
57

четко недоминируемых решений). Но существует еще одна воз-
возможность для введения Парето-доминирования и множества Па-
рето в нечетких многокритериальных задачах принятия решений.
Она тоже основана на аналогии, встречается в нескольких пуб-
публикациях, но практически полностью не исследована. Мы хотели,
бы обратить внимание специалистов в области принятия решений
и на эту возможность. Отношение Парето-доминирования в
обычных многокритериальных задачах принятия решений форму-
формулируется как пересечение компонент векторного отношения пред-
предпочтения. Ядро этого отношения и является исходным (основ-
(основным) множеством Парето X*. По-видимому, тоже самое можно»
сделать и в случае нечетких многокритериальных задач принятия*
решений. А именно, отношение Парето-доминирования ввести'
как пересечение компонент векторного нечеткого отношения»
предпочтения в виде рР(х, #)=min|i/(x, у). Тогда ядро этого
/-l.m
отношения можно взять в качестве множества Парето (множест-
(множества четко недоминируемых решений) для данного класса задач
принятия решений. Как мы уже говорили выше, работы в этом
направлении есть* Мы не будем их критически анализировать,
просто приведем некоторые результаты и еыводы, полученные
разными авторами. Начнем с работы Орловского [42]. Прежде все-
всего им установлена полная аналогия свертки &Р(х, у) свертке F(x)=
= minX//^(.v), где л?Л и fj(x) есть частные компоненты вектор-
/•ТТж
ного критерия эффективности. Последняя известна как свертка
Гермейера в многокритериальных задачах принятия решений.
Введя эту свертку, автор тут же отвергает ее на основании то-
того, что она «...вообще говоря, не рефлексивна, то есть не явля-
является отношением предпочтения... Поэтому она неудобна при*
необходимости учета различий в относительной важности задан-
заданных отношений». Это действительно так. После чего рассматри-
рассматривается линейная свертка векторного нечеткого отношения пред-
предпочтения |tL (х, (/). На основе формулы C) выделяются соответст-
соответствующие множества четко недоминируемых решений (множества
Парето) в виде Х^Ы и XUN?iHh Доказано, что XUN'D(ZL) ?
S XVNN ((ля), но не охватывает все эффективные решения из пос-
последнего множества Парею. В общем случае, это естественное
заключение (смотри лемму Карлина). Однако, доказывается, что*
58

для любого решения х ? Xv ND (jap) имеет место p?D(x)>0. Пос-
Последнее вычисляется по формуле B). Это позволяет сузить класс
рациональных решений, которые должны участвовать в конкур-
конкурсе. То есть выбор надо осуществлять из этого класса решений-
Причем последнее заключение, по нашему мнению, не совсем
обоснованно.
Другая работа в этом же направлении—это работа Бондаре-
Бондаревой, которая в данный момент не опубликована. Нам известно о
ней из переписки. Мы надеемся> что к моменту выхода монографии
эта работа будет уже опубликована, и читатель сможет прочесть
ее полностью. Пусть на множестве конкунсных решений X зада-
задана некоторая функция выбора c(Xf), где XfgX. Нам понадо-
понадобится две аксиомы: 1) аксиома наследования с (X') ^с(Х)(] X',
где X' г X; обозначим ее через (Н); 2) аксиома согласия
c(X'\jX")=ic(X'){)c(X"), обозначим ее-через (С). Определим от-
отношение R следующим образом: (х, y)?R, если у~?с{х, у).
Непустота выбора не требуется, а для непустого выбора это оп-
определение совпадает с традиционным. Через cR(X) обозначим
ядро отношения R. Доказан следующий результат: Cr(X) удов-
удовлетворяет аксиомам (Н) и (С), и наоборот, если функция выбора
с{Хг) удовлетворяет этим аксиомам, то c(X)=cR(X). Для диск-
дискретного случая результат доказан Айзерманом, для непрерывно-
непрерывного случая—Бондаревой. Этот результат переносится на нечеткий
случай: Аксиома (Н): \хс(Х') (х) = min [jic(X) (x), \ьХ' (*)]» если,
Х'сХ. Если же сами множества нечеткие, то имеем ji^ (x) ^
< |iX (х). Аксиома (С), fir(r иХ1 (х) > min [fic(;f) (x), {tc(;r) (*)],.
где X', X" 9= X. Если же сами множества нечеткие, то имеем
ЙЛ'(*)^|*х(*) и Рх" (*) < ^Х" (*)• В результате получаем (вывод
в письме не пригеден): nC(X)(x)=ini Pcix, у< (х)> чт0 Уже говорит
у?Х
о бинарности выбора. Будем считать, что степень доминируемое-
ти у в паре {х, у} равна степени его непринадлежности выбору
с{х, у), то есть pR(x, y)=\— р{с(х^ у)>(х)9 или рс{^ у>(х)=\^
—*я(У> *)- Остюда получаем формулу (ic(X)(A:)=l—sup^(y, x),
у*Х
которая определяет нам аналог ядра. Это тоже самое, что и у
Орловского, только надо брать не ^(х, у), а просто pR(x, у).
И далее замечание, что «.. ^(а:, у) вообще странная вещь, ко-
59

-торая получена абсолютно незаконно: почему мы можем вычи-
вычитать {**(*> У) и \bR(y, х) и что в таких случаях делать в двух-
двухэлементном множестве?» Приводится пример в обоснование этого
замечания. Рассмотрим теперь случай многокритериального выбо-
выбора, когда задано векторное отношение предпочтения R &¦
—{Rv Я2> . , Rm}- В этом случае строгий паретовский оптимум
т
т
замечания в виде cR{X), где /?= f| Rj- Тогда по аналогии для не-
/-1
четких задач принятия решений можем определить pR(x9 (/)=
eminji^ (.v, (/), откуда функция принадлежности строгого паре-
/=s 1, т
товского оптимума получается в виде: [ар(*) = 1—sup
1
И дальше замечание: «Если есть аксиомы, которые определяют
ядро в четком случае, то эти же аксиомы должны определять
его и в нечетком. Кстати, все это переносится и на тот случай,
когда сами множества нечеткие». Вот такая интересная работа.
Не бесспорная, но интересная.
Следует отметить также, что свертка рР(х, у) изучалась и
автором в работе [14], вышедшей в этом же издательстве в
1981 году. В ней выявлялись условия представимости нечетких
отношений предпочтения потенциальными функциями, то есть
М*» У)—М#> *)вМ*)—14 (У)* ^ далее для этого класса задач
изучались два случая: совместимые нечеткие отношения предпоч-
предпочтения и несовместимые нечеткие отношения предпочтения (много-
(многокритериальный вариант задачи принятия решений). Причем мно-
множество четко недоминируемых решений определялось по форму-
формуле C), то есть с использованием psR(x, у). В дальнейшем мы
уже не возвращались к этому подходу, и теперь уже не вспом-
вспомнить почему. Правда, результат о представимости нечетких от-
отношений предпочтения потенциальными функциями получил при-
применение совсем недавно, в задачах аппроксимации произвольных
нечетких отношений предпочтения транзитивными нечеткими от-
отношениями предпочтения, разрабатываемых Шахновым, Макеевым
и другими.
Если вспомнить еще работу Кузмина [31] по выделению
множества Парето в пространстве бинарных нечетких отношений
предпочтения, то материала для размышлений, обсуждений, ана-
анализа и сравнения больше» чем достаточно. Мы специально изло-
60

жили в заключении все эти работы, чтобы показать, что подход
к нечетким многокритериальным задачам принятия решений,
предложенный в монографии, не является единственно возможным.
Существуют и другие подходы, другие точки зрения. На первый:
взгляд они несовместимы. Но совсем не исключено, что при бо-
более полном и глубоком анализе эти подходы окажутся взаимо-
взаимосвязанными.
Рассмотрим еще некоторые вопросы, которые, по нашему
мнению, имеют отношение к теме заключения монографии в том
смысле, как она представлена выше. Займемся более подробным
анализом строгого нечеткого отношения предпочтения. Обычные
(четкие) строгие отношения предпочтения существуют и, по-ви-
по-видимому, никаких особых сомнений не вызывают. Более того, в
задачах сравнения и выбора именно строгие отношения предпоч-
предпочтения играют основную роль. Мы их обозначаем через Rs, при-
причем значок 5 просто означает, что данное отношение предпочте-
предпочтения обладает свойством асимметричности, а< именно, если
(*> У) 6 Rs> то (у, x)~Rs. Если мы имеем дело с произвольным
отношением предпочтения R, то его строгую часть можно выде-
выделить следующим образом: RS^R/R'l9. где R~l—отношение, об-
обратное #. Если есть четкое строгое отношение предпочтения,
то должно быть и нечеткое строгое отношение предпочтения,
причем оно, как и четкое, должно обладать^ свойством асиммет-
асимметричности. Другое дело, как; определить асимметричность
для нечеткого отношения предпочтения. Введем обозначение
Ps«[?, {Is (х, у)], где значок S означает наличие свойства «асим-
«асимметричность», но пока неясно, как это выражается формально.
Рассмотрим различные возможные варианты:
1. Если [л5(х9 t/)>0, то |г$(у, х)«0.
2. Если \is(x, у)>а, то (is(#, х)<а, где 0<а<1.
В частности, может быть а=— Если же* а=0, то получим:
первый вариант.
3. р*(х, у)>**{у, х).
Словом, функция принадлежности нечеткого строгого отно-
отношения предпочтения должна характеризоваться каким-либо
свойством асимметричности. Из трех рассмотренных выше свойств
наиболее приемлемым, наиболее обоснованным и наиболее приз-
признанным исследователями является первое свойство. Хотя, навер-
наверное, интересно изучить и два других свойства, особенно второе.
61*

¦Формальное представление асимметричности в виде первого свой-
свойства наиболее соответствует определению асимметричности для
четких отношений предпочтения. Это очевидно и не требует до-
дополнительных пояснений. Оно и используется во всех работах
для определения нечеткого строгого отношения предпочтения.
Причем (ху y)?Ps справедливо, еслиц$(*> у)>0. И только если
(Is (х, (/)«0, то (лс, y)~?Ps. Для произвольного четкого отноше-
отношения предпочтения выделение строгой его части было приведено
выше, в виде разности исходного отношения и обратного ему.
Если быть последовательным и дальше следовать аналогии, то и
для нечетких отношений предпочтения следует применять опера-
операцию разности соответствующих нечетких отношений предпочте-
предпочтения: исходного и обратного ему. Тогда для вычисления \>.s(x, у)
мы получим формулу A). Причем операции разности в том виде,
в каком она используется в этой формуле, была введена Заде
[71]. Но пусть мы по какой-либо причине не признаем опера-
операцию разности. Это не дает нам права игнорировать существова-
существование нечетких строгих отношений предпочтения. Поэтому попро-
попробуем их определить несколько по-другому. Используем следую-
следующую формулу разности двух множеств: Л/В^ЛПв» где /j—
дополнение множества /?. Тогда будем иметь |if(x, у) »
= min[n,(x, у), 1—\ь(у, х)]. При этом 1—pt (r/, х) есть функция
^принадлежности отношения Я17! Самое интересное, что никто не
.возражает против представления дополнения нечеткого отноше-
отношения в виде 1—|i(#, #), хотя это ни что иное, как частный слу-
случай разности, а именно, \*>Е(х, У)—\а(у>х) при условии рЕ(#,*/)>
^ц(*, у)- Это естественно, поскольку ?=?/5.
Утверждение 8.1. Если |х(дс, у) обладает первым свойс-
свойством асимметричности, то ps(x, y)=*[xf (л:, у)=\ь(х, у).
Доказательство проводится простой подстановкой с ис-
использованием первого свойства асимметричности.
Утверждение 8.2. Если (а(дс, */)+{*(#» *) —1» то ^s(^, #)=»
«=2|х(х, у)—1 и iif(x, y)=\k(x, у), причем оно удовлетворяет
второму свойству асимметричности при а= —
Доказательство п роводится соответствующей поде та нов-
кой и проверкой условия асимметричности.
Если же (x(jc, у) не подходит под вышеприведенные утверж-
утверждения, то, вообще говоря, |is(*, у) и fii(*, у) не сотадаюг. Че-

рез Р\ обозначим нечеткое строгое отношение предпочтения с
функцией принадлежности (if(x, у). Если выполняется утвержде-
утверждение 8.1, то (х, у)?Р1 тогда, когда ц|(х, t/)>0. Если же выпол-
выполняется утверждение 8.2, то (х, у)?Р\ тогда, когда pi(x, у) >
>Р1(У> *)• Можно, конечно, найти какие-то частные условия
согласования этих двух представлений нечеткого строгого отноше-
отношения предпочтения. Но в общем случае они не соглас.ваны. Поэ-
Поэтому имеет смысл определить множество четко недоминируемых
решений (множество Парето), используя Р\. Для этою мы снова
воспользуемся формулой C) и получим следующее выражение:
l—max min[fi(t/, х), 1—ji(*> y)]9
E2)
"Неясным только остается следующий момент. Являясь по
существу строгим, отношение Pi в общем случае не обладает
•свойством асимметрии. Возможно, оно обладает какой-то спе-
специальной асимметрией, которая не лежит на поверхности, не за-
заметна с первого взгляда. Неясны в общем случае и взаимосвязи
между Р$ и РЪ а также между XUND(\x) и XffND(p). To, что фор-
формулы E2) справедливы и для строгих (асимметричных) нечетких
отношений предпочтения, сомневаться не приходится, поскольку,
¦если дчя функции выбора с{х, у) потребовать непустоту выбора
<а это не влияет на конечные выводы), то отношгниз #, рас-
рассмотренное Бондаревой, будет асимметричным, то есть строгим.
Утверждение b.Z.X™DW)— XUND(v)-
Доказательство. Всегда выполняется PssP. В тер-
терминах нечетких отношений предпочтения это означает jis (x, у) ^
< ^ (*> У) для всех (х, у) € ?. Выполнение данного неравен-
неравенства можно непосредственно проверить по формуле A). Пусть
x?XUND(]/b). Это означает, что Рс(Х)(*)=**- Следовательно, имеет
место \i(y. x)=0 для всех у?Х. включая само х. На основе
вышеприведенного неравенста получим, что ns(f/> x)=*0 для всех
у?Х, включая само х. Следовательно, \ь"о(х)=1 и х 6 XUND fti6).
Поскольку обратное рассуждение неверно, а х было выбрано
произвольно, то Хш(|1)дХда(ц$), что и требовалось до-
доказать
Это утверждение устанавливает взаимосвязь между множест-
множествами четко недоминируемых решений для одного нечеткого отно-
63

шения предпочтения, предложенными Орловским и Бондаревой.
Из доказательству утверждения 8.3 видно, что Р должно быть
нерефлексивным. То есть fi(*, x)=0 для всех х?Х. Если же
выполняется условие \х(у, х)=0 для всех уфх, а Р рефлексив-
рефлексивно, то есть ji(*, x)>0 для всех х?Х, то наилучшими решения-
решениями будут те, для которых fi(x, x) имеет наименьшее значение.
Если же вспомнить, что во всех публикациях рефлексивность оп-
определяется как ц(дг, х)=1 для всех х?Х, то получим нес-
несколько парадоксальный результат: iiC(X)(*)=0 Для всех х ^Х и
XVND(p)—Qt Таким образом, и для #, в нечетком варианте—
для |i(x, у), надо предположить наличие некоторой асимметрии,
хотя бы в том смысле, что оно нерефлексивно. Кстати, это сле-
следует непосредственно из определения R. Вернемся теперь к от-
отношению предпочтения Pf. Ясно, что и на его основе можно
сформировать все те формальные структуры, которые представле-
представлены в данной монографии. Часть результатов может быть непос-
непосредственно переформулировано для этого отношения предпочте-
предпочтения. Неясно, что брать в этом случае за степень превосходства
решения х над решением у. Но, скорее всего, это следующее
выражение: Д1^, t/)=jif(A:, у)—ц!(#, х). Поскольку при выделе-
выделении Парето-эффективных структур нам не нужно значение этой
разности, а только соотношения типа «больше» или «меньше», та
будем считать его приемлемым для нас.
Определение 8. 1. К={(х, */)|Д1(*> У)>0)-
Этому четкому отношению предпочтения соответствуют от-
отношения: V1, Vе и Vs, а также X:i(V).
Утверждение 8.4. F=F.
Доказательство. Мы должны показать, что Д1^» у)=
«Д(х, у), то есть tf(x, t/)=|ii(t/, *)=!*(*» У)—\*>(У> *)• Напом-
Напомним, что отношение предпочтения F было введено в разделе 2.
Рассмотрим разность 1—ji(jc, у)—p,(t/, x)=d(x, у). Если d(x, t/»0r
то получаем: 1— ^(д:, у)>р(у, х) и 1—|i(y, *)>{*(*> У)- А это>-
в свою очередь, означает, что \х{(х, у)^(х, у) и |xf (t/, дс)=.
=М#» ^)> и тогда Д1^, #)=Д(х, if). Пусть теперь d(^, y)<0.
Это означает, что 1—fi(#, .v)<{i(x, ^/) и 1— \ь(х, у)<\*.(у> х).
Следовательно, nf(x, y)=l— |х (г/, х) и р|(#, х)=1— ц(х, |/). При
этом имеет место равенство jif(x, у)—\ь\{у, *)—|i(x, r/)—ft(i/, *),.
то есть Д1^, (/)^Д(а:, у). Получили V=F, что и требовалось
доказать.
64

Утверждение 8.5. XYND{p)
Доказательство. Пусть оба множества четко недоми-
недоминируемых решений непусты. Пусть также имеет место х ? Х?ыо(щ).
Это означает, что \ьР°(х)я*1. Что, в свою очередь, дает
t*i(l/» *)=0 Для всех у?Х, включая само х. Следовательно,
А1 (Уу *)<0 Для всех у?Х, включая х, и Д((/, *)<0, у?Х,
на основе утверждения 8.4. Полученное неравенство означает,
что не существует у ? X, включая само х, для которого выполня-
выполнялось бы условие (у, х) ? F*. Таким образом, имеет место х ? Xn(F).
В разделе 2 было показано, что Xn(F)=XUND(p). Поскольку х
было выбрано произвольным образом, то X?NDfa) s Хи"°(р),
что и требовалось доказать.
Это несколько утверждений позволили нам установить взаи-
взаимосвязь между fis(*, у) и fif(x, у). Кроме того, утверждение 8.4
приводит нас к следующему заключению. Если быть последова-
последовательным и, используя fi?(x, y)y формировать нечеткую многокри-
многокритериальную модель принятия решений на основе Д}(х, у),
j= I, m, так как, мы это сделали для ц* (х, у) и Д/ (х, (/),
j sI, m, то она просто совпадает с моделью, представленной в
в разделе 3 монографии. Отметим, что при введении степени пре-
превосходства Д!(х. у) и, особенно, в определении 8.1 использова-
использовано третье свойство асимметричности.
Таким образом, мы, по возможности, представили в заклю-
заключении различные точки зрения на нечеткие многокритериальные
задачи принятия решений. Существуют, конечно, и другие работы
в этой области, формально непохожие на рассмотренные выше,
но при более внимательном рассмотрении и в них используются
эти же идеи. Это можно сказать и о зарубежных работах.
Как мы уже говорили, в монографии представлены только
теоретические исследования в области нечетких многокритериаль-
многокритериальных задач принятия решений. Это связано с небольшим объемом
монографии. За ее рамками остались многие интересные вопросы.
Это вопросы формирования диалоговых процедур принятия реше-
решений, использующих при полученыи и обработке информации не-
нечеткие категории; это вопросы построения функций принадлеж-
принадлежности соответствующих нечетких отношений предпочтения (теоре-
(теоретический и практический аспекты); это вопросы использования рас-
рассмотренных моделей и структур в различных прикладных зада-
задачах с различными предметными областями, например, в эксперт-
5. В. Е. Жуковик 65

ных системах различного назначения и другие. По всем этим
направлениям работа ведется в лаборатории «Теории принятия
решений» Института кибернетики АН ГССР под руководством
автора.
Тот большой интерес, который проявляют к нечетким мно-
многокритериальным задачам принятия решений ученые и практики,
как в СССР, так и зарубежом, позволяет надеяться на прогресс в
этой области уже в ближайшей будущем. Мы будем считать свою
задачу выполненной, если монография послужит стимулом к комп-
комплексным и целенаправленным исследованиям и разработкам в этом
новом научном направлении современной теории принятия реше-
решений—нечетких многокритериальных задачах принятия решений.
ЛИТЕРАТУРА
1. А й з е р м а н М. А., 3 а в а л и ш и и Н. В., Пятницкий Е. С. Гло-
Глобальные функции множеств в теории выбора альтернатив (ч. 1 и II).—
Автоматика и телемеханика. 1977, № 5.
2. Батыршин И 3. О транзитивности размытых упорядочений. —
Исследование операций и аналитическое проектирование в технике. — Ка-
Казань, КАИ, 1972, вып. 2.
3. Бондарева О. Н. Развитие теоретико-игровых методов оптимиза-
оптимизации в кооперативных играх и их применение к многокритериальной опти-
оптимизации.—В кн.: Современное состояние теории исследования операций.—
М.: Наука, 1979.
4. Б ор'И сов А. Н., Алексеев А. В и др. Модели принятия решений
на основе лингвистической переменной. — Рига, Зинатне, 1982.
5. Вачнадзе Р. Г., Маркозашвили Н .И. К принятию реше-
решений в размытой среде. — Сообщения АН ГССР, 1974, т. 74, № 1.
6 Вачнадзе Р. Г, Метре вел и Д Г Применение концепции нечет-
нечетких решений в многокритериальных задачах с конусным упорядочением —
В кн.: Методы принятия решений в условиях неопределенности. — Рига,
РПИ, 1980.
7. Вилкас Э Й., Майминас Е. 3 Решения, теория, информация,
моделирование. — М.: Радио и связь, 1981.
8 Власов А. Г., X а й н и ш С В. Дескриптивный подход при моде-
моделировании поведения человека в процессе решения задачи распределения
ресурсов. — МНИИПУ, препринт, М: 1980.
9. Г а ф т М. Г., П о д и н о в с к.и й В. В. О построении решающих пра-
правил в задачах принятия решений. — Автоматика и телемеханика, 1981, № 6
10. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций.—
М: Сов. радио, 1971.
11. Дэвид Г. Метод парных сравнений — М * Статистика, 1978
66

12. Еж ко в а И. В., Поспелов Д. А, Принятие решений при не*
четких основаниях. — Иэв. АН СССР, Техн. киб., 1977, JSfe 6, 1978, JSfe 2.
13. Жаке-Лагрез Э Применение размытых отношений при оценке
предпочтительности .распределенных величин.— В кн: Статистические мо-
модели и многокритериальные задачи принятия решений. — М.: Статистика.
14. Жуковин В Е. Модели и процедуры принятия решений. — Тби-
Тбилиси, Мещшереба, 1981.
15. Жуковин В. Е Многокритериальные модели принятия решений
с неопределенностью. — Тбилиси, Мецниереба, 1983.
16. Жуковин В. Е. и др. Об одном подходе к задачам принятия ре-
решений с позиции теории нечетких множеств. — В кн.: Методы принятия
решений в условиях неопределенности — Рига. 1980
17. Жуковин В Е. О взаимосвязи многокритериального и нечеткого
представлений задачи принятия решений. — В кн.: Математические методы
оптимизации и управления в сложных системах. — Калинин, К ГУ, 1981.
18. Жуковин В. Е, Бур штейн Ф. В., Коре лов Э. С. Принятие
решений по многим критериям эффективности и нечеткие множества. —
Труды ИК АН ГССР, т. I. —Тбилиси, 1977.
19. Жуковин В. Е. Модели принятия решений с векторным ьечетким
отношением предпочтения. — В кн: Модели выбора альтернатив в нечетко*
среде. — Рига, РПИ, 1984.
20. Ж у к о в и н В Е. Нечеткие многокритериальные задачи — В кн :
Принятие решений при многих критериях — М.: 1985.
21. Жуковин В. Е., Корелов Э. С, Оганесян Н. А Две нет-
нетрадиционные лексикографические модели принятия решений — В кн: Те-
Теоретическая кибернетика — 2. — Тбилиси, Мецниереба, 1983.
22. Жуковин В. Е., Корелов Э С, Асатиани Г. Г. Лемма Кар-
лгна для векторных нечетких отношений предпочтения. — В кн : Теорети-
Теоретическая кибернетика —- 2. — Тбилиси, Мецниереба, 1983.
23 Жуковин В. Е. Оганесян Н А., Б у р ш т е й н Ф. В Мно-
Многокритериальная модель принятия решений в нечетком представлении —
В кн.: Модели выбора альтернатив в нечеткой среде.— Рига, РПИ, 1980.
24 Жуковин В. Е.. Корелов Е. С, Жуковин Е. В Векторные
нечеткие отношения предпочтения в задачах принятия решений. — В кн:
Принятие решений в условиях многокритериальное™ и неопределенности —
М: 1983.
25. Жуковин В. Е Нечеткие многокритериальные задачи npi иптия
решений. — Изв. АН СССР, Техн. киб, № 3, 1986
23. Жуковин В. Е, Корелов Э. С, Лактионова Н А Не-
Нечеткие многокритериальные задачи принятия решений с неполной. информа-
информацией. — Изв. АН СССР, Техн. киб, Ко 2, 1987.
27. Заде Л. А. Оснозы нового подхода к анализу сложных систем и
процессов в принятии решений—В сб.: Математика сегодня. — М.: Зна-
Знание, 1974
28. Заде Л А Понятие лингвистической переменной и его примене-
применение к принятию приближенных решений. — М: Мир, 1976
29. Карлин С. Математические методы в теории игр, программирова-
программировании и экономике. — М: Мир, 1964.
67

30. К о з е л е ц к и й Ю. Психологическая теория решений — М : Прог-
Прогресс, 1979.
31 Кузьмин В Б Построение групповых решений в пространствах
четких и нечетких бинарных отношений. — М.: Наука, 1982.
32 КрасненкерА С Об адаптивном подходе к задачам принятия
решений при нескольких критериях — В кн . Вопросы оптимального прог-
программирования в производственных задачах — Воронеж, В ГУ, 1972.
33 Кофман А Введение в теорию нечетких множеств — М Радио
и связь, 1982.
34. К о р е л о в Э. С, Оганесян Н. А. Многокритериальный аспект
задачи принятия решений при нечеткой .исходной информации. — В «кн: Мо-
Модели выбора альтернатив в нечеткой среде. — Вига, РПИ, 1984
35. К о р е л о в Э. С, Оганесян Н. А. Изучение множества Па-
рето в нечетких многокритериальных задачах принятия решений. — В кн:
Принятие «решений при многих критериях. — М.: 19в5.
36 Лактионова Н. А. Об одном подходе к нечетким многокрите-
многокритериальным задачам принятия решений с несвязными компонентами. — В кн :
Принятие решений при многих критериях. — М.: 1985.
37. Ларичев О. И. Наука и искусство принятия решений. — М:
Наука. 1979.
38. М а к е е в С. П., Серов Г. П., Ш а х н о а И. Ф. Аппроксимация
•бинарных расплывчатых отношений и последовательная оптимизация на
взвешенных графах. Препринт — М.: ВЦ АН СССР, 1980.
39 Миркин Б Г. Проблема группового выбора. — М: Наука, 1974
40. Модели выбора альтернатив в нечеткой среде.— Рига, РПИ, 1984.
41. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного ин-
интеллекта. Под ред. Д. А. Поспелова. — М.: Наука, 1986.
42 Ор л овс к и й С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой ис-
исходной информации — М: Наука, 1981
43. Под'иновский В. В. Методы многокритериальной оптимиза-
оптимизации.— М.: 1971.
44 Подиновский В В Лексикографические задачи оптимизации —
М.: 1972.
45. Подйновский В. В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные ре-
решения многокритериальных задач. — М.: Наука, 1982.
45 СалуквадзеМ Е Задачи векторной оптимизации в теории \п-
равления. — Тбилиси, Мецниереба, 1973.
47 Т р у х а е в Р. И Модели принятия решений в условиях неопреде-
неопределенности — М . Наука, 1981
48 Холодков А В Задача ьекториой оптимизации с нечеткой ин-
информацией о равноценности критериев — Изв. АН УзССР, Серия техн
наук, 1979, № 5
49 ФишбернП. Теория полезности для принятия решений. — М:
Наука, 1978.
50. Ш а п и р о Д. И. О решении одного класса многокритериальных за-
задач — В кн • Многокритериальные задачи принятия решений — М: Маши-
Машиностроение, 1978.
68

51. Язенин А. В. Задача векторной оптимизации с нечеткими коэффи-
коэффициентами важности критериев. — В кн.: Математические методы оптимиза-
оптимизации м управления в сложных системах. — Калинин: КГУ, 1981.
52. Baas S. M., Kwakernaak Н. Rating and ranking of multiaspect
-alternatives using fuzzy sets.—Automatical 13, 1970, p. 47—58.
53. Blin J. M. Fuzzy Relations in Group Decision Theory.—Cybernetics,
№2, 1974, p. 17-22.
54. Bucley J. J. Fuzzy programming and the Pareto optimal set—.Fuz-
set—.Fuzzy Sets and Systems, 10 A983I, p. 56—64.
55. Efstation J. Rajkovic N. Multi-attribute decision-making using
a fuzzy heuristic approach.—Int. J. Man-Machine Studies, № 12, 1980, p. 141—
156.
56. Feng J. J. A method using fuzzy mathematics to solve vector maxi-
maximum problem.-Fuzzy Sets and Systems, 9 A983J, p. 129—136.
57. Han nan E. L. Fuzzy decision-making with multiple objectives and
-discrete membership functions— Int. J. Man-Machine Studies, № 18, 1983, p.
49-50.
58. Han nan E. L. Linear programming with multiple fuzzy goals.—Fuz-
goals.—Fuzzy Sets and Systems, 6A981K, p. 235—248.
59. J a I n R. A procedure for multiple-aspect decision-making using fuzzy
sets.—Int. J. Systems Sci.. vol. 8, №1, 1977, p. 1—7.
60. J a i n R. Decision-making in the presence of fuzzy variables. — IEEE
Trans. Systems Man Cybernetics.—vol. 6, №10, 1976," p. 698—703.
61. KasprzykJ., Yager R. R. Linguistic quantifiers and belief quali-
qualification in fuzzy multicriteria and multistage decision making. — Control and
•Cybernetics, vol 13, №3, 1984.
62. Orlovsky S. A. Decision-making with a fuzzy preference relati-
Fuzzy Sets and Systems, v. 1, 1978, p. 155—167.
63. Saaty T. L. Exploring the interface between hierarchies, multiple ob-
objectives and fuzzy sets.—Fuzzy Sets and Systems, 1, 1978, p. 57—68.
64. Sakawa M., YanoH. Interactive fuzzy decision-making for multi-
objective nonlinear programming using reference membership intervals. — Int. J.
Man-Machine Studies, 23, 1985, p. 407—421.
65. Shimura M. Fuzzy set concept in rank-ordering objects.—J. Math.
Analysis Applicat., v. 43, №3, 1973, p. 717—733.
66. Take da E., Nis hi da T. Multiple criteria decision problems with
fuzzy domination structures—Fuzzy Sets and Systems, 3A980J, p. 123—136.
67. Tong R. Fuzzy sets and multicriteria decision-making. —Human Sys-
Systems Management, 3A982L, p. 266—268.
68. Yager R. R. Multiple-objective decision-making using fuzzy sets.—
Inter. J. Man-Machine Studies, v. 9, JS&4, 1977, p. 483—494.
69. V. E- Zhukovin. A tmzy multicriaterial decision—maliug model. —
Optimization models usin^ fuzzy sets and possibiHtytheory.—T. Reigle Publishing
Company, 1988, pp- 203—215.
70. Yager R. R. Fuzzy decision making including unequal objectives—
Fuzzy Sets and Systems, 1A978J, p. 87—96. *
71. Zadeh L. A. Fuzzy Sets.-Inf. and Control, 8, 1965, p. 338—353.
72. Zadeh L- A. Fuzzy orderings.— Inf. Sci. 3, 1971, p. 177—200.
69

73. Zadeh L. A. Bellman R. E. Decision-making in a fuzzy environ*
ment.-Managem. Sci..., 17, MH, 1970, p. 141—164.
74. Zimmermann H. J. Fuzzy programming with several objective func-
functions—Fuzzy Sets and Systems, 1, 1978, p. 46—55.
75* Zhukovin V. E. The multicriteria decision-making with vector fuz-
fuzzy preference relation.—Cybernetics and System Research, №2, 1984, p. 179—
18b
76. Zhukovin V. E., Burstein F. V., Zhukovin E. V. Multicri-
terial decisionmaking model with empty Pareto set.—Systems Analysis and
Simulation.— Akademie-Verlag, Berlin, v. 1, 1985, p 182—184.
77. Zhukovin V. E., Burste in F. V., Korelov E. S. A decision
making model with vector fuzzy preference relation. — Fuzzy Sets and Systems,
22 A937), p. 71-79.
78. Жуковин В. Е., Калоев М. А. Многокритериальное шкалирова-
шкалирование качественных характеристик в системном анализе. — Сообщения АН ГССР,
т. 79, №1, 1975.
79. Жуковин В. Е. Модели и процедуры принятия решений.—В кн.*
Проблемы и методы принятия решений в организационных системах управле-
управления.—М.: ВНИИСИ, 1985, с. 35—44.
80. Березовский В, А., Борзенко В. И., Кемпнер Л. М. Би-
Бинарные отношения в многокритериальной оптимизации.—М.: Наука, 1981.
81. Макеев С. П., Серов Г. П., Чуйкин С И., Шахнов И. Ф:
Ранжирование распределенных величин на основе нечетких квазисерий.—М..
ВЦ АН СССР, 1986.

СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение 3
2. Нечеткие отношения предпочтения (НОП): Некоторые свойства,
важные для принятая решений 6
3. Нечеткие многокритериальные задачи принятия решений . . 18
3.1. «Размытые» критерии эффективности ... 23
3.2. Взаимосвязь многокритериального и нечеткого представле-
представлений задачи принятия решений 30
4. Эффективные свертки векторных нечетких отношений предпочтения 31
5. Лексикографическая модель принятия решений при наличии век-
векторного нечеткого отношения предпочтения 38
6. Нечеткие многокритериальные задачи принятия решений с непол-
неполной информацией 44
7. Нечеткие многокритериальные модели принятия решений с интер-
интервальными оценками на ларах решений . . . . . 49
Заключение 57
Литература 66