Обработка информации в навигационных комплексах - Бабич О.А.

Автор: Бабич О.А.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника оптические приборы и аппаратура техническая акустика навигация
ISBN: 5-217-0160-6
Год: 1991
Похожие
Глонасс. Принципы построения и функционирования
Измерение времени. Основы GPS
Радиоэлектронные системы: Основы построения и теория. Справочник
Энциклопедия безопасности авиации
Текст
                    и

ОЛ БЛБИЧ
ОБВСОТКк
ИНФОРЛШИИ
В НАВИГАЦИОННЫХ
КОМПЛЕКСАХ
й
Москва
■Машиностроение-
1991

УДК 629.7.0.72.1:[621.396.933+681.783.27+681.883.482*5.21.181.8]
Обработка информации в навигационных комплексах / О. А.
Бабич. - М.: Машиностроение, 1991. - 512 с. - ISBN 5-217-0160-6.
Даны алгоритмы вычисления координат летательного аппарата (ЛА)
по показаниям радиосистем ближней, дальней и спутниковой
навигации, бортовых визиров наземных ориентиров. доплеровских и инер-
циальных систем, а также стохастические модели и методы
статистической фильтрации погрешностей указанных измерителей.
Изложены принципы построения и алгоритмы функционирования
навигационных комплексов. включающих в себя несколько измерителей.
Для научных работников; будет полезна инженерам, занимающимся
вопросами навигации.
Библиогр. : 45 назв. Ил. 143. Табл. 7.
Рецензент д-р техн. наук И. А. БогуСЛОвОШй
- 2705140400-408 „ дп
Б 038(01)-91 7(НЮ
ISBN 5-217-01060-6 © Издательство "Машиностроение", 1991
2

ПРЕДИСЛОВИЕ
Навигационное оборудование современного ЛА - это сложный измери-
тельно-информащюнный комплекс, предназначенный для снабжения
экипажа и систем управления данными, необходимыми для движения аппарата
по заданному маршруту. Комплекс включает в себя измерительные
устройства (датчики) и вычислительную систему, используемую для обработки
поступающей от измерителей информации и выдачи ее в требуемой форме
внешним потребителям. При необходимости вычислительная система
обеспечивает и обратную передачу уже обработанной информации к первичным
датчикам для улучшения их работы.
В настоящее время в качестве первичных датчиков навигационных
комплексов наибольшее распространение получили инерциальные системы,
доплеровские измерители скорости, радиотехнические системы ближней,
дальней и спутниковой навигации, пеленгаторы светил и визиры
наземных ориентиров в ввде бортовых оптических или радиолокационных
станций.
Навигационная информация должна поступать от комплекса
непрерывно и в объеме, необходимом для осуществления текущего
режима полета, и, кроме того, удовлетворять предъявляемым к ней
требованиям по точности и надежности. Ни один из упомянутых выше
датчиков, взятый в отдельности, указанным требованиям не
удовлетворяет, поэтому возникает необходимость в установке на борту
нескольких навигационных датчиков, объединяемых вычислителем в общий
комплекс.
Разнообразие применяемого оборудования является причиной того,
что при разработке навигационного комплекса и создании его
алгоритмического обеспечения приходится пользоваться достижениями
различных областей науки и техники. К ним прежде всего следует
отнести: теорию фигуры Земли, теорию гироскопических устройств,
теорию радионавигации и теорию фильтрации случайных процессов. И
только системный подход позволяет в полном объеме и на одинаковом
уровне точности рассматривать вопросы, связанные как с самим
построением навигационного комплекса, так и с организацией в нем
необходимой обработки информации.
Книга состоит из шести глав.
3

В гл. 1 излагаются принципы работы первичных навигационных
датчиков и рассматриваются измеряемые ими параметры. В
краткой форме на достаточном уровне строгости выводятся основные
результаты из теории статистической фильтрации, необходимые для
навигационных приложений. Новым здесь является метод оценки параметров,
опис!ываемых детерминированными уравнениями связи. Показано, что этот
случай является наиболее типичным при построении комплексных
навигационных систем, когда число измерителей всегда является
избыточным.
В гл. 2 излагаются вопросы, относящиеся к теории фигуры Земли и
геометрии земного эллипсоида, а также описаны различные системы
координат, получившие широкое распространение в геодезии и навигации.
Все выводимые здесь соотношения являются геометрически точными, что
позволяет в дальнейшем строить алгоритмы обработки навигационной
информации, свободные от методических погрешностей.
В гл. 3 дается вывод точных алгоритмов для вычисления
геодезических координат самолета по показаниям позиционных датчиков, таких как
радиосистемы ближней, дальней и спутниковой навигации, а также
пеленгаторы наземных ориентиров и астродатчики.
Гл. 4 посвящена вопросам вычисления координат самолета и азимута
расположенной на нем гироплатформы по информации о векторе путевой
скорости самолета, которая может поступать от доплеровских
измерителей и гироскопических курсовертикалей.
Завершает главу материал по имитационной модели навигационного
комплекса. Эта модель задает алгоритм вычислений, позволяющий
имитировать текущие выходные синалы как отдельных датчиков, так и всего
комплекса в целом.
Гл. 5 содержит материал по инерциальным методам определения
навигационных параметров полета. В ней рассмотрены как алгоритмы
идеального функционирования гироинерииальных систем, так и математические
модели их погрешностей, представляемые в виде систем стохастических
дифференциальных уравнений.
Гл. 6 посвящена центральной теме книги - разработке алгоритмов
для обработки информации в навигационных комплексах. В этой
главе излагается концепция объединения точных геометрических
алгоритмов вычисления геодезических координат самолета с оптимальными
алгоритмами статистической фильтрации погрешностей от первичных
датчиков., Для реализации этой концепции в рассмотрение вводятся
стохастические марковские процессы специального вида. Их
отличительной особенностью является то, что в состав своих фазовых
4

координат они включают как оцениваемые навигационные параметры
полета, так и погрешности первичных датчиков данного авиационного
комплекса.
Автор выражет глубокую благодарность проф. А.И. Богуславскому за
замечания, высказанные им при рецензировании книги, а также проф.
В.А. Боднеру. проф. Ю.А. Кочеткову. проф. М.С. Ярлыкову. В.М. Гриба-
леву. М.Д. Потапову и В.В. Серову за ряд ценных советов, сделанных
ими при чтении рукописи книги.
Автор благодарит Н. В. Волкову и О. Б. Белкина за помощь ,
оказанную ими при расчете числовых примеров.

ГЛАВА 1
НАВИГАЦИОННЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ
И МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
1.1. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
Под навигацией в широком смысле понимают проведение самолета по
заданной траектории в соответствии с предписанной временной
программой движения. Под навигацией в узком смысле понимают определение и
вычисление на борту самолета параметров его движения, знание которых
необходимо для управления самолетом при решении задачи навигации в
широком смысле. Такие параметры принято называть навигационными. К
ним прежде всего относятся географические координаты самолета, а
также скорость и ускорение самолета, его углы курса, тангажа и крена,
азимуты, расстояния до характерных точек (маяков, аэродромов, целей)
и линейное отклонение от заданной траектории следования.
В данной книге будут рассмотрены только вопросы, относящиеся к
навигации в узком смысле, где главной задачей является определение
текущих координат подвижного объекта. Размерами самого объекта в
навигации, как правило, пренебрегают и считают его материальной
точкой.
Координаты любого подвижного объекта могут быть определены двумя
способами:
а) путем прямого их вычисления при помощи геометрических
соотношений, когда исходной информацией являются дальности, азимуты или
курсовые углы до точек с известными координатами, а также высоты и
азимуты светил, наблюдаемых с объекта;
б) путем непрерывного вычисления линии движения (траектории) по
данным о векторе скорости и координатах начальной точки движения.
На первом способе основаны методы ближней и дальней
радионавигации, спутниковой навигации, а также определение местоположения
самолета по данным, получаемым от бортовых оптических или
радиолокационных станций о направлении и дальности до наземного ориентира,
координаты которого известны. Такими ориентирами могут служить мосты,
устья рек, скалы на море и т.д.
Второй способ, называемый счислением координат или более,
традиционно - счислением пути, может быть осуществлен с помощью расчета
траектории полета, проводимого на бортовой вычислительной машине по
6
/

Азимуты и дальности,
■»- отклонение от
заданной траектории
-^1 Координаты,
-*- у векторы скорости
»J и ускорения Л А
•+~ Курс, тангаж, крен
показаниям, получаемым от курсовертикали и измерителей путевой
скорости. Путевая скорость может измеряться доплеровскими
радиосистемами или инерцдальными гироскопическими системами.
В книге рассматриваются методы обработки навигационной
информации, поступающей от следующих навигационных измерителей (датчиков);
гироинерциальной системы (ГИС), доплеровского измерителя путевой
скорости (ДИС), радиосистем ближней (РСБН) и дальней (РСДН)
навигации, спутниковой радионавигационной системы (СРНС), астропеленгато-
ров (АП) и бортовой радиолокационной станции (БРЛС) или оптического
визира наземных ориентиров (ОВ).
Комплексная навигационная система строится следующим образом:
информация от отдельных датчиков (рис. 1.1) поступает в
вычислительную систему, с выхода которой после соответствующей обработки
поступает информация о координатах ЛА, его скорости и ускорения. В
некоторых случаях к выходной информации относят также значения углов
курса, тангажа и крена. х
Заметим, что в комплексных системах возможно не только
поступление информации от датчиков в вычислительную систему, но и наоборот,
от вычислителя в датчики. В этом случае можно добиться повышения
качества работы датчиков. Например, подавая информацию
(приблизительную) о дальности между самолетом и источником радиоизлучения в
соответствующий радиоприемник, можно добиться более устойчивого приема
сигналов. Приблизительное значение расстояния может быть рассчитано,
например, по показаниям систем счисления координат и известным
координатам источника радиоизлучений.
Естественно, что точность и надежность выходной навигационной
информации у комплексной системы выше, чем у каждого отдельного
навигационного датчика.
При разработке алгоритмов обработки информации возникают две
основные группы задач. Первые - это геометрические задачи вычисления
Навигационные
измерители
(датчики)
Рис. 1.1
№1
№2
• • •
• • •
№п
'
■*-
i
Вычислительная
система
1
7

текущих координат самолета по сигналам позиционных навигационных
датчиков, таких как РСБН. РСДН. БРЛС и др.. и задачи счисления по
показаниям измерителей скоростей и курсовертикалей.
Вторые - это задачи статистической фильтрации погрешностей
датчиков.
Для решения первой группы задач необходимо предварительно
рассмотреть вопросы геометрии поверхности Земли, которую будем
принимать за эллипсоид вращения, и изучить методы вычисления дальностей и
азимутов для двух точек как находящихся, так и не находящихся в зоне
прямой видимости друг друга.
Для решения второй группы задач необходимо располагать
математическими моделями погрешностей навигационных датчиков. Геометрические
задачи первой группы могут быть решены в отрыве от конкретного
технического устройства измерителей. Задачи второй группы, напротив,
могут быть решены только с учетом их конкретного устройства.
1.2. АВИАЦИОННЫЕ ДАТЧИКИ НАВИГАЦИОННОЙ ИНФОРМАЦИИ
Рассмотрим основные авиационные датчики навигационной информации
и составим перечень навигационных параметров, которые они измеряют.
1. Инерциальные гироскопические курсовертикали платформенного
или бесплатформенного типа задают на борту самолета некоторый
координатный трехгранник хуг (рис. 1.2). который определенным образом
ориентирован в пространстве. Возможна различная его ориентация.
Укажем здесь, например, на такую. Ось г направлена по геоцентрической
вертикали вверх (рис. 1.3). оси х и у лежат в горизонтальной плоско-
Рис. 1.2 Рис. 1.3
8

Север
Рнс. 1.4
Рис. 1.5
ста и повернуты относительно местного меридиана на угол А (рис. 1.4).
Курсовертикали позволяют измерить не только угол крена у и тангажа
#, но и угол гироскопического курса самолета ф . Так называется угол
(рис. 1.4) между проекцией а продольной оси самолета на плоскость ху
платформы и осью у, которую мы будем условно принимать за курсовую
черту платформы. (Здесь предполагается, что ось Н собственного
вращения курсового гироскопа совпадает с осью у).
В результате обработки показаний акселерометров а (/), а (/),
х у
а (/), оси чувствительности которых направлены по осям xyz, можно
вычислить горизонтальные составляющие W (t) и W it) вектора Wit)
х у
земной скорости ЛА, а в некоторых случаях горизонтальные
составляющие V (t) и V (/) абсолютной скорости V(t) самолета, V = -W ♦ П х Й,
где 12 - вектор угловой скорости Земли; Я - радиус-вектор ЛА.
Платформенные системы вычисляют W и W (V и V ) по показаниям а (т) и
^к х у х у х
а (т) ~ (t < т < /) акселерометров, расположенных на платформе, а
бесплатформенные - как по показаниям акселерометров, так и по
показаниям гироскопов [1], [2].
2. Доплеровскнй измеритель (ДИС) путевой скорости обеспечивает
измерение проекции W , W , W вектора W путевой скорости самолета
на оси системы х , у , z , жестко связанной с самолетом (рис. 1.5).

Первоначально этот прибор измеряет величины доплеровских частот,
которые пропорциональны относительным скоростям самолета вдоль трех
или четырех радиолучей, направленных с самолета на Землю. При
известных углах установки излучающих антенны на самолете по этим
скоростям вычисляются составляющие W ,, W ,, W f.
XI у\ 2\
3. Радиосистема ближней навигации измеряет прямолинейное
расстояние s = \М М| (рис. 1.6) и азимут А от маяка на самолет.
Для измерения дальности самолетный бортовой передатчик излучает
импульсы, которые переизлучаются наземным маяком. По временному
промежутку Т между измеренным и принятым импульсом определяется
расстояние s = 0,5Г с, где с - скорость распространения радиоволн.
Измерение угла А осуществляется следующим образом. Антенна радиомаяка
имеет узкую диаграмму направленности, которую идеализированно можно
представлять себе в виде полуплоскости, проходящей через местную для
маяка вертикаль и вращающуюся вокруг этой вертикали с постоянной и
известной скоростью о>. В момент прохождения этой полуплоскостью
плоскости меридиана (в северном его направлении) другая всенаправ-
ленная антенна излучает сигнал, который принимается на самолете.
Второй сигнал принимается на борту, когда самолет попадает в
плоскость диаграммы направленности. По временному интервалу Т - между
этими двумя импульсами можно судить об азимуте А = о>Г..
4. Радиосистема дальней навигации [3, 4] обеспечивает измерение
двух разностей s и s (рис. 1.7) между дальностями s , s и s
Рис. 1.6 Рис. 1.7

12
s — s : s = s — s .
2 Г 13 3 Г
(1.1)
где s , s и $ - кратчайшие расстояния между самолетом М (рис. 1.7)
и ведущей 1, и ведомыми 2, 3 радиостанциями, каждая из которых может
находиться как в зоне прямой видимости с самолета (редко), так и за
горизонтом (почти всегда). В последнем случае (рис. 1.8) кратчайшее
расстояние включает в себя прямолинейный отрезок Ма (до линии
горизонта) и геодезическую линию ab между точкой а на поверхности
горизонта и станцией 6.
Физическим носителем информации в этой системе являются временные
задержки Т и Г прихода на самолет импульсов от ведущей и ведомых
радиостанций.
Ведущая радиостанция 1 излучает импульс, принимаемый, во-первых,
на самолете и, во-вторых, - на каждой из ведомых радиостанций,
которые по истечении времени кодовых задержек (г , г ), в свою очередь,
излучают импульсы, достигающие самолета.
При этом Т и Т будут
Т = с (s ♦ I - s ) + т :
12 *2 12 V 2'
(1.2)
13
с (s ♦ / — s ) + т .
*3: 13 Г 3
где / и / - известные расстояния между ведущей 1 и ведомыми 2,3
радиостанциями. По измеренным величинам Т и Т легко вычислить
разность s и s :
х$л, Узп, Zsn)
Рис. 1.8
Рис. 1.9
И

12
S2 " $l = С(Г12 " V " '|2'
s,3 = s3 " si = с(Г.з " гз> - <i3-
5. Среднеорбитальная спутниковая радионавигационная система
(СРНС) типа "Navstar" включает в себя 18 навигационных спутников,
которые располагаются таким образом на своих орбитах, что в каждый
момент времени в любой точке Земли наблюдается не мене 4-х
спутников. Прием сигнала от л-го навигационного спутника позволяет
определить на самолете следующие величины. Во-первых, благодаря тому, что
спутник по каналу связи сообщает постоянные параметры своей орбиты,
на самолете могут быть вычислены его координаты х . у . z
J _ г sn sn sn
Во-вторых, по принимаемому сиг-
(рис. 1.9) и скорость х . у , z
sn sn
sn
налу можно определить дальность $ (/) между самолетом и спутником и
скорость s (t) ее изменения.
Измерение навигационных параметров s (t) и s (/) осуществляется
следующим образом. Со спутника передается высокочастотный сигнал,
модулированный по фазе с помощью временной функции, форма которой
заранее известна и на спутнике, и на самолете.
В системе "Navstar" [5, 6], например, в качестве такой функции
выбрана последовательность прямоугольных импульсов положительной и
отрицательной полярности, так называемая псевдошумовая
последовательность. Закон чередования положительных и отрицательных импульсов
известен на ступнике и на приемном пункте. (Если этот закон на
приемном пункте неизвестен, то последовательность воспринимается как
шумовая, разгадать закономерность ее. т.е. дешифровать для
дальнейшего несанкционированного
использования, очень трудно.)
Принятый высокочастотный сигнал
(несущая частота имеет порядок
1200... 1600 мГц) демодулируется.
Полученная после демодуляции
псевдошумовая последовательность и
псевдошумовой сигнал такой же
формы, вырабатываемый в приемном
устройстве привязываются (рис. 1.10) к
общему времени с помощью самолетных
эталонов частоты. По временному
12
М
т»Ю\
Рис. 1.10

сдвигу т (/) между этим сигналом и сигналом, принятым со спутника,
можно определить время прохождения радиоволн от спутника к самолету и
расстояние s (t) = ст (/) между ними. Скорость Wkl(t) = s (t) изме-
Л Л /V Л
нения дальности может быть определена либо по скорости "слежения"
генерируемого на борту псевдошумового сигнала за принимаемым
сигналом, либо по доплеровскому сдвигу принимаемого радиосигнала.
Элементы орбиты спутника, которые с высокой степенью
точности можно считать постоянными в течение 1...2 ч, передаются
со спутника с интервалом 750 с всем потребителям. По элементам
орбиты и бортовому времени можно вычислить декартовы
координаты х у у , z спутника для любого наперед заданного (в том
sn sn sn J
числе и текущего) момента времени. А уже по расстояниям до трех
спутников, находящихся в известных точках пространства, можно
определить местонахождение самолета. Для исключения влияния ошибки
самолетного бортового эталона времени желательно одновременно
измерять расстояние до четырех навигационных спутников. По значениям
скорости изменения^ дальности до трех (и более) спутников может быть
вычислен вектор W земной скорости объекта. Таким образом, средне-
орбитальные спутниковые системы позволяют с очень высокой точностью
определять как координаты подвижного объекта, (погрешность [5] не
превосходит 15...20 м), так и его скорость (погрешность не
превосходит 5 см/с).
6. Бортовые пеленгаторы наземных ориентиров (БПНО)
радиолокационного или оптического типа обеспечивают измерение дальности $
(рис. 1.11) до наземного ориентира <jf, а также его азимута А и угла
места м (последние два параметра измеряются с помощью курсоверти-
кали). Если местоположение ориентира q заранее известно, то
параметры s , А , м позволяют определить местоположение самолета.
7. Астрономические пеленгаторы совместно с бортовой курсоверти-
калью обеспечивают измерение высоты Л и азимута А светила с
(рис. 1.12). Визирование двух светил обеспечивает определение
местоположения самолета на земном эллипсоиде (высота его над эллипсоидом
в этом случае определена быть не может).
Навигационные параметры, измеряемые современными бортовыми
навигационными датчиками, следующие:
13

Рис. 1.11
Рис. 1.12
а) ф , 7- * ~ углы гироскопического курса, крена и тангажа, <изме-
г
ряются с помощью инерциальных курсовертикалей (ИКВ);
б) W , W (или V , V ) - горизонтальные составляющие земной (или
абсолютной) скорости самолета, измеряются с помощью ИКВ;
в) W , W , W - проекции вектора земной скорости самолета на
связанную с самолетом систему координат, измеряются с помощью допле-
ровских систем;
г) s , А - дальность и азимут от радиомаяка на самолет,
измеряются с помощью РСБН;
д) s ' , s - разности дальностей от самолета до одной ведущей и
двух ведомых станций, измеряются с помощью РСДН;
е) $ , s - линейная дальность между самолетом и навигационным
л л
спутником и его относительная скорость; эти параметры измеряются для
одного или одновременно для нескольких спутников (максимально до
четырех-пяти);
ж) s , А , м - дальность, азимут и угол места наземного
ориентира q\ параметры измеряются с помощью радиолокационного либо
оптического бортового визира и бортовой курсовертикали;
14

з) Л , А - высота и азимут светила,
измеряются с помощью астропеленгатора
и курсовертикали. одновременно
измеряются одна или две пары этих параметров.
Перечисленные параметры введены в
рассмотрение лишь потому, что именно они
измеряются современными навигационными
датчиками. Сам вид большинства
параметров связан с принципом действия
измеряющего его датчика. Действительно, та- Рис. 1.13
кие параметры, как разности дальностей s и s , сами по себе для
навигации не интересны. Но по ним могут быть вычислены координаты
местоположения самолета, представляющие собой основную цель
навигационных измерений и вычислений.
По этой причине к первой группе навигационных параметров,
перечисленных в пп. а...з и представляющих собой параметры, измеряемые
современными датчиками, добавим вторую группу навигационных
параметров, представляющих собой координаты самолета, принятые в навигации.
К этой группе относятся:
и) Л, В, L - геодезические координаты самолета, представляющие
собой высоту Л над поверхностью земного эллипсоида, геодезическую
широту В и долготу L места (рис. 1.13);
к) х, у, z - декартовы координаты самолета в гринвичской
прямоугольной системе координат XYZ (см. рис. 1.13);
л) Л, <*>, X геоцентрические (сферические) координаты
(см. рис. 1.3) самолета, к которым относятся удаление R от центра
Земли, геоцентрическая широта *р и долгота X места;
м) Л, Ф, Л - ортодромические координаты самолета; так называются
геоцентрические сферические координаты относительно системы, полюс
которой расположен на поверхности сферы в точке Р с геоцентрической
широтой *Рр^ и долготой Х- . При этом Ф представляет собой ортодроми-
ческую широту, а Л - ортодромическую долготу.
Сделаем замечание по поводу обозначения декартовых координат
произвольной точки М (см. рис. 1.13) в гринвичской прямоугольной
системе XYZ. Далее мы часто будем использовать декартовы координаты
самолетов, радиомаяков, навигационных_спутников и различных точек на
маршруте. Проекции радиуса-вектора ОМ на оси X, Y и Z мы будем
обозначать строчными буквами х, у и z. Это не должно приводить к пута-
15

нице, так как декартовы координаты точек (самолетов, маяков и т.д.)
относительно координатного трехгранника xyz, жестко связанного с
гироплатформой (см. рис. 1.2), не находят употребления.
В дальнейшем изложении мы дадим, во-первых, точные определения
введенных выше параметров и, во-вторых, установим функциональные
зависимости между ними.
Поясним, какие зависимости здесь имеются в виду. Пусть, например,
на самолете, находящемся в точке М (см. рис. 1.6) с геодезическими
координатами (Л, В, L), проводятся точные измерения дальности s и
обратного азимута А относительно маяка РСБН, расположенного в точке
с известными координатами (Л , В , L ). В таком случае восемь
параметров Л, В, L, s , А , А , В , L должны удовлетворять двум
уравнениям связи
Ff(A, В, L s, А , Л , В , L ) = 0; п 0,
1 г г г г г (1.3)
FAh, В, L s; , А , Л , В , L) = 0.
2 Г Г Г Г Г
Определение функциональных зависимостей для всех перечисленных
навигационных датчиков и представляет одну из целей данной книги
(см. гл. 2 и 3). Зачем необходимы данные функциональные зависимости и
как их можно использовать?
Во-первых, они необходимы для вычисления текущих Координат
самолета по измерениям, осуществляемым с помощью отдельных позиционных
навигационных датчиков. Так в приведенном примере, решая систему их
двух нелинейных уравнений относительно координат В и L, можно
определить указанные координаты по измерениям Л, s и А , поступающим от
баровысотомера и приемника РСБН. Таким образом, с помощью
функциональных зависимостей можно вычислить координаты местоположения
самолета, опираясь только на показания отдельных позиционных датчиков.
Во-вторых, в тех случаях, когда навигационные измерения ведутся
одновременно несколькими бортовыми навигационными датчиками,
функциональные зависимости позволяют проводить оптимальное уравнивание
измерений, другими словами, оптимальную их статистическую фильтрацию.
1.3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ
Комплексная обработка навигационной информации обязательно
включает в себя две основные группы задач. К первой группе относятся
задачи детерминированного вида: вычисление геодезических координат
16

самолета (в разных их формах) тю показаниям бортовых позиционных
датчиков и вычисление этих же координат методами счисления пути.
Указанные задачи имеют отношение только к навигации, их можно назвать
чисто навигационными.
Ко второй группе относятся задачи стохастического вида - задачи
статистической фильтрации погрешностей навигационных датчиков при
обработке их совместных показаний. Эта группа опирается на
современную теорию оценивания случайных процессов, которая находит большое
применение и во многих других областях науки и техники, являясь
широко развитой самостоятельной областью математической статистики.
Применение методов оптимального оценивания именно для решения
навигационных задач является предметом этой книги, и эти вопросы далее
будут подробно изложены. Изложение общих методов теории фильтрации,
хорошо освещенных в современной литературе, мы дадим в данной
(вводной) главе. При этом мы не будем дублировать известные книги по
теории фильтрации, так как общетеоретический материал здесь будет
даваться, во-первых, с позиций математических моделей измерительных
приборов и иллюстрироваться примерами из навигационных измерений, а,
во-вторых, он будет изложен очень кратко, достаточно строго и в
объеме, необходимом для понимания дальнейшего материала книги.
Математической моделью измерительного прибора называются
формальные математические соотношения, которые связывают измеряемую
величину x(t) (входной сигнал прибора) с его выходным сигналом х (t) =
= x(t) ♦ Ax(t). Так как в реальных условиях погрешность прибора Ax(t)
и тем самым его выходной сигнал х (t) почти всегда являются
случайными процессами, то и модели тоже должны носить вероятностный
характер. В случаях, когда работа прибора происходит во времени
непрерывно, она может быть описана с помощью системы стохастических
дифференциальных уравнений с фазовыми координатами z(t) (вектором
состояния) и системы функциональных преобразований h(zf х) от
векторов z и х:
z{t) = ф(г. х) + G(z, t)w'(t). z(tQ) = z0,
x*(t) = h(z. x) ♦ v(t). <M)
где z(t) - л-мерный вектор-столбец состояния; x(t) - m-мерный вектор
измеряемых величин; х (t) - m-мерный вектор выходных сигналов
(измерений); ф - л-мерная, h - /п-мерная дифференцируемые функции своих
переменных «их; ю'Ш и v(t) - случайные г и /п-мерные процессы типа
17

"белый" шум. Корреляционные матрицы этих процессов будем считать
известными и равными
Mw'(t)w'r(t «■ т) = Q'(t)8(rh
Mv'(t)v(t + r) = Я(/)5(г);
M*'(t)o(t + г) = V'tf)e(r).
где 6(г) - дельта-функция. G(zt t) - матрица размером пхг.
Матрицы Q'(t)t.R(t) и V'(t) называются матрицами интенсивностей
"белых" шумов w'(t) и v(t).
Начальный вектор z(t ) в(1.4) будем рассматривать как случайный
вектор, распределенный по нормальному закону
z«o> - z0 € N<m0. P0).
Если модель (1.4) представляется в виде
z(U = A(t)z(t) + B(t)x + G(t)w'(t),
(1.5)
z(tQ) = zQ; x (t) = H{x * H2z ♦ «КО.
то она называется линейной.
Для линейного стационарного случая, когда матрицы А В, Н и Н
в (1.5) вместе с матрицами Q'. G. Л и V являются постоянными,
математическую модель прибора можно представить в виде набора
передаточных функций. Для этого проведем преобразование Лапласа для
выражений (1.5). В результате чего получим
х*(р) = [Н{ ♦ Н2(рЕ - ЛГ1В]х(р) ♦ Н2(рЕ - AflGw'(p) ♦ v(ph
где х(р) = fe^x(t)dt - преобразование (изображение) по Лапласу
О
функции x{t)\ Е - единичная матрица.
Последнее равенство можно записать в скалярном виде. т.е.
отдельно для каждого из элементов векторов х (p)t x(p), w'(p) и v(p):
m n m
k=\ i = l /=1 .
Математические конструкции (1.4). (1.5) и (1.6) на первый взгляд
кажутся искусственными. Рассмотрим примеры, которые сделают более
18

понятными их реальную сущность и пояснят возможность применения
математических моделей вида (1.4), (1.5) и (1.6) для описания
функционирования приборов.
Пример L_ Математическая модель акселерометра. Механическая схема
акселерометра представлена на рис. 1.14. Грузик, имеющий массу /П.
скользит в вязкой жидкости по стержню. При отклонении грузика от
центра стержня на расстояние 5 на него действует сила сопротивления
пружины Сд. Кроме того, на грузик действует сила сопротивления
жидкости лб. Уравнение движения грузика имеет вид
тд ♦ пд ♦ с8 = m(g- - wj + e = чпх ♦ е,
о о
(1.7)
где g- - проекция интенсивности гравитационного поля на ось 6; W. -
о о.
абсолютное ускорение корпуса акселерометра по оси 6; в — флюктуацнон-
ная сила, обусловленная воздействием жидкости на грузик из-за
вибрации, акустических явлений и других причин.
Измеряемым параметром X(t) является величина X = WL ~ 8* Для
о о
идеального акселерометра, когда отсутствуют динамические погрешности
и в = 0, величины X и 5 связаны зависимостью
С „
X = ~
т
Отсюда следует, что выходным сигналом X it) акселерометра является
величина
X = -
т
<«-а0>--
т
5 * Дх ,
г О
г г
где С , ТП — градуировочные значения для жесткости пружины С и для
массы грузика ГП, причем ТП = ТП ♦ Д/П, С = С ♦ АС; А/П и Дс —
отклонения указанных параметров от должных значений; Ах - постоянная по-
Шзщ
Лх0
777777777777777777777777
еЗЧ
/
T2pz+ZiTp+i
—^
1+ДК
Рис. 1.14
Рис. 1.15
19

грешность акселерометра, обусловленная смещением его центральной
точки на величину 6 .
Структурная схема акселерометра, представлен на рис.
метры этой схемы соответственно равны:
1.15.
Парата 1Я Лмг Я t /Я С
I • ; 2(Т « ; ft «
С С С г
/Я
1 ♦ Aft;
Aft*
Am
Ас
г
: *'(/> - -
*</)
/я
т с
Будем предполагать, что сигнал в it) представляет собой "белый"
шум с интенсивностью J. a Aft и Ах являются случайными гауссовскими
величинами:
Aft € МО. р )ш Ах € tf(0, р ).
Далее нам будет удобно ввести обозначения Aft - Z , Ах - Z .
о U 4
Из структурной схемы рис. 1.15 следует, что система
дифференциальных уравнений, описывающих работу акселерометра, имеет вид
zl
•
Z2
К
•
»
X
•22
- 0;
- 0.
"*.
1 ■
1
Т2
(1 ♦
№, *
V * V
"|1
"U * *');
(1.8)
Линейные дифференциальные уравнения (1.7) могут быть записаны в
матричной форме Z « Az * Вх ♦ Gw',
jf * _2iT 1
0 0
о о
о о
о о
в «с
(Z . Z . Z , Z ). где
Г 2 3 4
г-2
«;'(/) - *'(/); л - 4. m - I.
(1.9)
20

Сравнивая (1.8) с (1.4), получаем, что соотношения (1.8) являются
непрерывной математической моделью акселерометра в форме (1.4). Для
того чтобы эта модель носила законченный характер, необходимо
подсчитать математическое ожидание ШЛ
М (t ) и корреляционную
матрицу Р - Mlzit ) - mJl*(L) - т Г вектора z(t ).
Если предположить, что в начальный момент времени происходит
включение прибора, то 2,('Л) * 0. *9('Л> * 0 и, следовательно.
Г 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 р 0
0 0 0 р
А)
0L
(0. 0. 0. 0).
Если же предположить, что . начальный момент времени относится к
периоду установившегося режима работы прибора, то матрица
V
2
0 0
„-2 2
0 ТОО 0
(1.10)
где О « i(A^T)
шения уравнения I
в подразд. 1.4.)
-1
Заметим, что выражение (1.9) можно получить из ре-
« 0 « АР ♦ РА ♦ iGEQ , которое рассматривается
Модель (1.8) является нелинейной из-за наличия члена 2 2L в выра-
I «з
m
женин для X . Она может быть линеаризована относительно переменных
Z , Z , Z н Z , если принять ZZ - JTZ . Последнее равенство
является справедливым с точностью до значения второго порядка малости
относительно погрешности акселерометра. Действительно, величина
1 3 3
{zi ~ x)h
Ak(Z — X) представляется в виде
произведения двух сомножителей, каждый из которых является составляющей
погрешности акселерометра. Для линеаризованного случая принимается. что
(1.11)
X
где Н
1
jtz ♦ z. - Hz,
3 4
(1. 0. X, 1).
21

Соотношения (1.8) и (1.11) образуют
линейную непрерывную математическую
модель акселерометра.
Пример 2^ Математическая модель
курсового гироскопа.
Рассмотрим рис. 1.16. Систему
координат 0&£ назовем опорной. Ось f этой
системы направлена по местной вертикали, а
оси { и 17 определенным образом
ориентированы в горизонтальной плоскости
(например, ось г/ направлена на север, а ось
{ - на восток). Курсовой гироскоп с кинетическим моментом Н
предназначен для измерения курсового угла *//(/) самолета (см. рис. 1.16).
Из-за погрешностей, связанных с уходом (дрейфом), ось гироскопа Off
отклонена от направления 07] на угол a(t). Гироскоп дает на своем
выходе величину ф it) = 4>(t) ♦ a(t). Угол ait) называется углом дрейфа
1.16
гироскопа. Предположим, что угловая скорость дрейфа ait)
может рассматриваться как случайный процесс вида
CJfi(/) - С ♦ nit).
где
гауссовская случайная величина.
u>B(t)
(1.12)
закону
распределенная i
Л/(0, a); nit) — гауссовскнй стационарный процесс с нулевым
математическим ожиданием и корреляционной функцией К \т\, равной
/I1 ■
к (т). Mnitmt ♦ т) ш <Агм(г).
Л 2
Спектральная функция 5 (cj) этого процесса будет равна
/I
S (ы> = 1 К (r)e-^dr • J ol^-^dr ♦
f 2-ill+jcj)T,
♦ J о е ат =
о
Хорошо известна [ 8,
л 2
2 2
О) «■ Д
9 ] теорема
'20*11
о связи спектральных плотностей
S (о>) и S (cj) для входного Xit) и выходного у it) сигналов стационар-
■* У
ной линейной динамической системы с передаточной функцией Wip):
S icj) * \Wijo>)\ S (cj).
У х
(I.13)
22

Опираясь на нее, процесс tl(t) можно трактовать как выходной
сигнал звена с передаточной функцией W{p) * w2oAil(p ♦ JLt). на вход
которого поступает 'белый' шум T)(t) с единичной спектральной плотностью.
Последнее же означает, что стационарный процесс /!(/) удовлетворяет
стохастическому дифференциальному уравнению вида
л = -цл + V2a и. r}(t) = -/хл ♦ w, w = V2a u rj.
Если ввести формальные обозначения
x(t) = фЦ). /</) - ф*И). с = z{. п = zr ait) - zy
то выходной сигнал X it) курсового гироскопа будет связан с входным
сигналом X(t) с помощью соотношений
z\= °' VV = с € N{0' V:
'г .-ц2 .»: zit)-nit)eNi0.oh
. (1.14)
3 12 3 0 0 3
х = х + гл,
3
которые совпадают с математической моделью прибора общего вида,
заданной в форме (1.5).
Имеются измерительные приборы, которые по принципу своего
действия работают дискретно. Кроме того, в некоторых случаях у
непрерывных приборов съем показаний осуществляется в дискретные моменты
времени t<. Для таких приборов математические модели тоже должны быть
дискретными. Для нелинейных систем дискретная модель имеет вид
(1.10)
xk - h(zk, xk) * vk,
где wlt v< - многомерные дискретные "белые" шумы с корреляционными
матрицами Mw'wjJ = Q', Q, = GQ'GTt Mvaj, = R,, MGw'vi = V,.
Для линейных систем дискретная модель представляется в форме
zk= V*-i+ Bkxk-i+ Vk-
г* - Н'г ♦ И2, + „ (116)
xk - икхк * Hkzk * °k-
23

Точных общих методов перехода от непрерывных систем к дискретным
для нелинейного случая не существует. Однако по разному
интерпретируя понятие стохастического интеграла (по К. Ито или по Р. Л. Стра-
тоновичу) [7, 8], можно для достаточно малых временных интегралов
Д/ = t, - t, составить удовлетворительные дискретные аналоги. Если
стохастическое уравнение в (1.4) трактовать по К. Ито, то переход от
непрерывной системы (1.4) к дискретной (1.14) будет иметь вид
Qk = GQ'GT; °k = -Jf | v(t)dT; (1.17)
V,
vk 6 N[0, ЫЫ)*Г1Ь Ш& - Г V,) - V- Vk - GVk.
Переход от линейной непрерывной системы (1.5) к дискретной (1.16)
можно осуществить [8, 9] точно, опираясь на понятие фундаментальной
матрицы Ф(/, т). Эта матрица представляет собой решение однородного
матричного уравнения
-4г *«. г) = A(t)*(U г), Ф(г, т) = £, (1.18)
at
Линейная дискретная система, являющаяся аналогом для непрерывной
системы (1.5), будет иметь вид
h - *(V Wv. + Va-. + wk; wk - We
<k
x\ - V*+ 4k* V Bk - I *«*• т)Ш*->
wkeN(0, Qk); (i. 19)
Q* = J *<V '•)С(г)ФТ(^, r)dr; ^ € МО. fy;
24

V
At'
| R(T)dr; Mwkvk = -^- | Ф<^. r)V(r)dr. (1.19)
/
*-l
t
k-l
Пример З;. Дискретная модель акселерометра.
Один из способов вычисления фундаментальной матрицы Ф(/) для
стационарных линейных систем состоит в последовательном вычислении
всех ее столбцов путем Л-кратного решения однородной системы диффе -
ренцнальных уравнений Z - Az с начальными условиями 2(0), равными
столбцам единичной матрицы Е.
В рассматриваемом случае фундаментальная матрица
Ф(/>
*,,«> ч>12И) о о
*,,«>
0
1 0
V'> о
0 1
0 0
0
0
1.
(1.20)
где
ц » ехр( ~— ): ы « j
S < 1: ip ~ m(cosw t *
*
**>,/): vi2
sinco Л ф
1 *21
^
X sinco tf; tf « jLt(coscj / -
*C7
sinco /).
Поясним вычисление первого столбца Ф(/). Функции if it) и 10|(^)
являются в рассматриваемом случае решением *^)f f (/) » Z (/). ^01М *
= Z At) дифференциальных уравнений, вытекающих из (1.8):
Z « Z2; Z{{0) - |: ^ - - f*Z{ - 2УЧг2; ^(O) - 0.
25

Эти уравнения можно решить методом преобразования Лапласа. При этом
имеем
Г2/) ♦ 2*Г
1 2 ' Гр2 * iff * 1
Гр ♦ 2*Г ♦ 1
* </) - г (/) - L l[z{] - Z. !
(р* {Г ') . {Г '
L <р* *Г ')* ♦ а)2
е \coscjJ ♦ -= sino) /|
'г
Icoscj/
*2\{t) " Z2(t) ' L l[Z2] ' L '
T* T 2 . ,
e sina> f.
o> 1
I
r-2
(/> + *Г ')* ♦ cjJ
Другие столбцы матрицы Ф(/) вычисляются аналогичным образом. Решение
линейного уравнения Z - А? ♦ Bz ♦ Gtt>' на временном отрезке [/^ ,. /J
будет иметь вид
z(tk) ш Ф(Т mt^) ♦ / Ф(т)Вхак - т)йт ♦ а;^
(1.21)
о^ = / Ф(г)Ссу'(^ - r)rfr; Т - /fc - /,
Если измеряемый сигнал *(/) на временном отрезке [/,. /- ]
считать постоянным н равным X. « х^Ь-\ ^' то УРавиення С1.21 >
приводятся к виду (1.17)
26

zk ' *kzk-r Bkxk-r °V
n
где Ф. - Ф(Г ): В. • J Ф(т)Вйт
k n k 0
Ik
\k
0
0 J
wb e N(0. Q). Q = MwbwTb » iS Ф(т)(ЮтФт(т)4т
к * * О
а а о о
ч\\ ч\2
а а о О
ч2\ ч22
0 0 0 0
10 О О 0J
(1.22)
Элементарные вычисления по формулам (1.22) приводят к следующим
значениям элементов матриц В, и Q:
а * -
*
аГ
аГ
2аГ
1
е COS6J Г ; v * е sincj Т ;у - е cos2u) Г
1 Л 2
1 л '1
1 л
2аГ
72 - е "atfw^: 6^ = Г<1 -*2) ' 2(cof - co^1 + а^);
b2k = ^1 ~а * °У2 ~*П ~* ) <W1 ~"\V\ * а;2);
[а (е л - 1) - i(ay - а ♦ o>tyj];
" 4l*(l-S2
Я\2 * ^21 = ^11
1'2
/(cji -cj^j + <ry2)
4Г(1 - ^2)1/2
'22
2С1Г . a*2
i , Л 1 - 2g
2Г(1 - ^2)1/2
(1.23)
27

Для дискретного случая выражения для матрицы Н в (1.10) следует
принять в виде
Н (1. 0. Jr., 1). (1.24)
z к
Соотношения (1.22). (1.23). (1.24) и (1.10) полиостью определяют
дискретную математическую модель акселерометра.
Зачем нужны непрерывные и дискретные стохастические модели
приборов?
Во-первых, они нужны для исследования поведения погрешностей
приборов во времени, так как позволяют вычислить функцию распределения
погрешностей в произвольный момент времени.
Во-вторых, они нужны для построения оптимальных (или близких к
оптимальным) алгоритмов обработки показаний приборов в аналоговых
или цифровых вычислительных машинах. Представления (1.4), (1.5) и
(1.15) и (1.16) являются отправными для синтеза фильтров Калмана.
В-третьих, дискретные стохастические модели приборов нужны для
выработки (генерирования) реализаций погрешностей приборов при
имитации их работы на стационарных ЭВМ.
1.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Математические модели позволяют вычислять такие важные
характеристики погрешностей приборов, как их математические ожидания и
корреляционные функции.
Рассмотрим дискретный случайный процесс
h - V*-.+ V*-.+ «V го€ NK V- (L25)
где z, - л-мерный вектор состояния; Ф, , В, - известные числовые
матрицы размером (л х л), (л х т), и< - т-мерный входной сигнал (для
измерительных приборов (1.14) и. = jr. ); w< = G<wl - л-мерный
"белый" гауссовский шум с корреляционной матрицей Mwj*>b ~ 9ьв
Вычисляя математическое ожидание от левой и правой частей
уравнения (1.25), получим
nk - V*-i + B*V.: mV - то> <L26>
где m. = №..
28

Соотношение (1.26) является рекуррентным алгоритмом для
вычисления математического ожидания /л,.
о
Центрированный случайный процесс z- = z, - m, удовлетворяет
уравнению (1.25), если в нем входной сигнал и, и начальное условие г
считать равными нулю. С учетом этого обстоятельства получаем
рекуррентную формулу для вычисления корреляционной матрицы Р.
Рассмотрим теперь модель (1.5) и фигурирующий в нем непрерывный
случайный процесс z(t):
z(t) = Mfizit) ♦ Bu(t) ♦ G(t)w'(t). (1.28)
где G(t)w'(t) = w(t) - л-мерный непрерывный гауссовский "белый" шум
с корреляционной матрицей MG(t)w' (tWT(t * r)Gr(t * г) = G(t)Q'(t) *
x <?№t)'Q№t): Q(t) = G(t)Q'(t)Gr(t).
Математическое ожидание Mz(t) - m(t) может быть вычислено путем
решения обыкновенного дифференциального уравнения
m(t) = A(t)m(t) '♦ BitMtk m(tQ) = mQ, (1.29)
которое вытекает из (1.28) после вычисления математических ожиданий
от его левой и правой частей.
Рассмотрим разность
Pit * Л) -' P(t) = М!(/ ♦ *)?« + Л) - Mz(t)V(t) =
= M{[z(t) ♦ A(t)z(t)h ♦ n][z(t) ♦ A(t)°z(M * ц]т -
- z(t)z(t)} + 0(h)1-. z(t) = z(t) - m(t), (1.30)
t+h hh t+h
где ц = / G(T)w'(r)dT, Мццт = M / / Gw'(r )w'T (r )G(r)drdr =
/ / / ! 2 2 2 1
0(б) — символическое обозначение малых высшего порядка
относительно е. т.е. Km 0(€)/€ - 0 при € -* 0.
29

t+h t+h
t+h
= / [ / Q(t1)5(t1 - r2)dr{]dr2 = / Q(r2)dr2 = Q(t)h + 0(A).
Учитывая статистическую независимость случайных векторов ц и
z(t), из (1.30) получаем
P(t + h) - Pit) = [A(t)P(t) + P(t)Ar(t) + Q(t)]h + 0(h).
Переходя в последнем выражении к пределу при А -» 0, получаем
матричное дифференциальное уравнение для вычисления матрицы Pit):
т = A(t)P(t) + P(t)AT(t) + Q(t); Pit ) = PQ. (1.31)
Математическое ожидание Mx (t) = m (t) и корреляционная матрица
Р (t) = Mx (t)x (t) выходного сигнала х (t) в модели (1.5) могуг
быть в таком случае вычислены по формулам
т*(/) = H{x(t) + H2m(t); P*(t) = H2PT(t)HT2 ♦ R(t).
(1.32)
Пример 4. Вычисление стохастических характеристик случайного ухода
гироскопа.
Для стохастической модели курсового гироскопа (1.14) необходимо
подсчитать математические ожидания для погрешности a(t) и выходного
сигнала X (/). а также матрицу ковариаций P(t) для вектора состояния
{zv V V-
Из несмещенности случайных величин С = Z. (/ ). Л(t) « Z(t) и
10 0 2 0
а(/ ) * ^At-) и соотношений (1.29) следует, что искомые математичес-
U о U
кие ожидания имеют вид
Ма«)
MzAt) - 0: Mx (t)
«5
X(t).
Обратимся теперь к вычислению корреляционной матрицы Pit) размером
(3x3). Она удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению
(1.31), причем матрицы A, Q и Р для рассматриваемого случая оказы -
0
0 I. (1.33)
тся равными
А =
Го о о]
0 -М 0
Л 1 0.
: Q*
0
0
,0
0
л 2
0
0
0
0,
Ро-
'
0
0
3J
30

Из (1.31) и (1.33) следует, что элементы р . р . ... р снммет-
ричноА матрицы Pit) удовлетворяют следующим дифференциальным
уравнениям
Рп - 0; рх2 - -npi2; 'р13 - рп * р12. Рп - -*»Р22 ♦ го'м; ■
Р - —0 II + Р + D \ Р ■ Р ♦ Р ♦ Р * Р .
23 ^23м F21 F22 F33 43 p23 p31 ^32
С учетом начальных условий Я (1.33) для матрицы Р(/) решения
дифференциальных уравнений (1.34) имеют вид
2 2
41 Г 42 43 1 ^22
2
2 °2 -ul
- <V А>о в П -е ^); (1.35)
2 ^23 М
Л 2 Л 2
2 2,2 2 4 2 . -ji/ tx
Poo ш ао ♦ аХ * « ♦ —Г~~ (е - 1).
г33 3 1 м 2
М
Бывают задачи, когда не требуется вычислять все элементы матрицы
P(t)t а требуется вычислить дисперсию только одной, например, первой
фазовой координаты zM) вектора состояния z{t). Для нестационарных
задач в этих случаях приходится согласно формулам (1.27) и (1.31)
вычислять всю матрицу Р- или P(t). Задача может быть облегчена для
стационарного случая, когда матрицы А, В, G и Q в (1.28) постоянны.
Здесь оказывается возможным вычислить дисперсию только одной
координаты, если матрица Q интенсивностей "белого" шума Gw(t) является
диагональной, а система устойчивой.
Если в выражении (1.28) входной сигнал u(t) и начальные условия
z(t ) считать нулевыми и провести преобразование Лапласа левой и
правой частей, то изображение zАр) центрированного значения первой
фазовой координаты z (t) можно представить в виде
л
z°(p) = XWJp)w < = 1. 2. .... л,
1 /=1 u l
где W Xp) - передаточные функции от сигналов w. (i = 1. 2, ... л) к
сигналу z .
31

w
W(p) Iy » Согласно методу интегральных квадратичных оце-
I нок в форме Ю. А. Кочеткова [10] дисперсия а
Рис. 1.17 выходного сигнала у (рис. 1.17) устойчивой стащю-
т
нарной системы с передаточной функцией W(p)
= (bp ♦...♦ b )/ (ар ♦...♦ а). т < л - 1. на вход которой
поступает "белый" шум w с интенсивностью q, будет равна
2
а =
В
2а
0 а,
0 Л
0 0
-26 6 ♦
13
-V-0
••• v.
26 6 .... ;
0 4
0 0
в . ь2,
л-1 л-1
(1.36)
в.
Дп - детерминант, получающийся из детерминанта А путем замены послед-
в 2
ней строки на строку (В, В . .... В ). Подсчитывая дисперсию а .
той части выходного сигнала, которая порождена "белым" шумом w.t и
2
далее, суммируя полученные дисперсии, получим искомую дисперсию а
фазовой координаты z . Последнее возможно только тогда, если шумы w.
являются статистически независимыми.
Доказательство формулы (1.36) вытекает из следующих рассуждений.
Динамическую систему с передаточной функцией W(p) = В(р)/А(р), на
вход которой поступает "белый" шум w с интенсивностью q, можно
представить в виде
X = АХ «■ w; Xr = (х . .... х ); у = ft x
m /п—1
+ V.:
1 °
0
0
\л
1 о
1 л
1
0
0
-"l
а
л
0
1
0
2
а
л
0 ..
0 ..
1 ..
^3
а
л
о
о
о
Vi
<? =
(1.37)
32

Корреляционная матрица Р вектора X для стационарного режима
работы должна удовлетворять в силу (1.31) матричному уравнению
АР «■ РАГ = -<?.
Это уравнение эквивалентно системе из л линейных уравнении
относительно неизвестных элементов р.. матрицы Р. В более подробной
записи матричное уравнение имеет вид
Р21Р22*
^31^32'
РП\Рп2'
а а
1 1 2
"Р2,п-1Р2п
'Р3,п-\РЗп
.Р Р
rn,n-vtin
. а , а
/1-1 Л J
42
Р22
Р ... Р
43 Чл
23
*Л-1.2 *л-1.3"
ГП2
ГЛЗ
2л
гл-1,л
глл
л-1
_ JL
л J
(1.38)
-Ь
где а. = Л (аЛу - а^.
^ViV,,fl "•
Приравнивая слева и справа элементы верхних строк диагональных
матриц размером (л - 1)(л - 1), получим (л - 1) соотношений
Р ♦ Р =0:0 «"0 =0.
^21 42 ' ^22 43 '
•••'Ьь-Г'т**
Р * Р = 0: р ♦ р = 0, ,,, : р ♦ р =0.
*л1 >л-1,2 ' >л2 V-1,3 *л,л-1 >/Ы,л
Указанные соотношения эквивалентны следующим обобщенным
равенствам:
а) элементы р.., сумма индексов которых нечетна, равны 0, т.е.
р.. = 0, если i ♦ / = 2fe «■ 1;
б) элементы счетной суммой индексов удовлетворяют равенствам
Рк*21,к'{~1)рЫ,Ы'
2-993
33

которые помогают заменять недиагональные элементы диагональными.
Указаные равенства можно также записать в виде
^22 " "Лз1 Р33 " ^15 " ^24; РАА " ~Р\7 ' ^26 " ""*355
"55 = '.9 = "*28 = >37 = Лб " ТД- (,39)
Приравнивая далее слева и справа элементы нижних строк (или
правых столбцов) в равенстве (1.38), получим
ар ♦ а р * ... * а р -ар =0:
041 Г21 л-Гл1 V/I2
0Г12 Г22 л-гл2 /глЗ
ар +ар + ... ♦ а р = —^
0г1л г 2л л-глл 2а
л
Если в последней системе недиагональные элементы заменить
диагональными по формулам (1.39), то получим
а о
041
"V22 +
V22 "
-ар ' ♦
0F22
а р
V33
а р
3^33
а р
2^33
♦
—
а р
6^44
а р
6*44
а р
4F44
♦
- ...
.. а fp
л-глл
85 0;
= 0;
= 0;
2а
л
(1.40)
Система (1.40) дает возможность вычислить диагональные элементы
р , р , р , ... р матрицы Р. Учитывая далее, что
9 0 112 т m-i 041
+ (Ь2 -2Ь Ь )р + {b2 -2b Ь +
х 1 0 2^22 w2 13
♦ 2*лМРоо + - + ** ,/> > (1.41)
0 4 ^33 Л-ГЛЛ
из (1.40) и (1.41) получаем формулу (1.36).
Вычисление математических ожиданий и дисперсий для нелинейных
случаев представляет собой сложную математическую задачу. Ее решение
приводит к уравнениям Фоккера - Планка - Колмогорова [11].
34

Рассмотрим случайный процесс, описываемый системой нелинейных
уравнений вида
z(t) = Мг, и, t) «■ G(zt t)w'(t); Q'(t) = E. (1.42)
Обозначим через f(z, t; z , t ) плотность распределения
вероятностей состояния z в момент времени t при условии, что в момент
времени t процесс находился в состоянии г . При соответствующих
условиях гладкости функций ф и G можно доказать, что f(z, t\ z , t )
удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению в частных
производных параболического типа [11, 12]:
Ы . . bz. V/V 2 ... bz.bz.
1 = 1 * *,/.* » /
2 -тг- <W * -r s 1ГП7 </%,-> (L43)
с начальным условием
и* V V V = 5(z" V-
Уравнение (1.43) известно как прямое уравнение Фоккера - Планка -
Колмогорова.
Плотность распределения вероятностей f(z, /, t ) при известной
переходной функции f(z, /; z , / ) определяется из условий полной
вероятности
f(z, /, /0) = //(z, /; zQ, /0)/(zo, /QWz0. (1.44)
-об
По плотности f(z, /) могут быть определены математическое
ожидание т (t) и корреляционная матрица Р (t).
1.5. СВОЙСТВА УСЛОВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть имеются две векторные случайные величины Гит? порядка пит
соответственно. Пусть далее у нюс имеется совместная плотность
распределения вероятностей Л. (z, у) , где z и у - аргументы функции
2
Здесь и далее рассматриваются только случайные величины, имеющие
плотность распределения.
35

плотности, представляющие собой векторы той же размерности, что и
f и ту. Условной плотностью распределения Г , (z) случайной
величины Г при условии, что реализация случайного вектора ту равна у(ту = у)
будет функция
Wz> = V* y)/f4y) = V*'у>/ ; Vz* y)dy- (L45>
Формула (1.45) вытекает из следующих рассуждений.
Рассмотрим события i4 = {z<f<z + dz}, В = {у < q < у + dy] ит
пересечение AB={z<S<z + dz}{\{y<ri<y + dy). Вероятности
Р(А), Р(В) и Р(АВ) этих событий с точностью до малых первого порядка
относительно dz и dy будут соответственно равны fjz)dz, f (y)dyt
ft (z, y)dzdy. По определению условной вероятности имеем Р(А/В) =
= Р(АВ)/Р(В) = L (zt y)dzdy/f (y)dy. Устремляя в последнем равенстве
dy к нулю, получим
Р(А/В) « P{z < f <z ♦ dz/n - у} ■- /v <a\ y)f\y)dz.
Из изложенного и вытекает формула (1.45).
Условным математическим ожиданием М[Г/ту = у] случайного вектора f
при условии, что ту = у, называются первые моменты от условной
плотности распределения Л. (z):
оо
Mi/v = M[i/r> = y] = ; zWz)dz* {lM)
-оо
оо
где z = (z , z , ... z ), J[*]<fe представляет собой сокращенное
-оо
оо оо
обозначение л-кратного интеграла / ... S[m]dz ...dz .
-оо -оо
Обратим внимание на то, что условное математическое ожидание,
определенное нами соотношением (1.46), является функцией от
переменной у, т.е. от реализации случайной величины ту. До реализации
случайной величины ту его можно рассматривать также как функцию от самой
случайной величины ту.
Заметим, что из (1.45) и (1.46) вытекает известная формула для
условных математических ожиданий
36

AL = М МЦ/nl (1.47)
которая получается из следующей цепочки равенств:
. у) '
Af, ■ i !zft (z, y)dzdy = Sf(y)
* (y)(z) n (y)71
= / Щ/tj = y]f(y)dy = М№Ы\.
(у) n n
ft(z, y) ■
i z —& dz
W V*
Вторые центральные моменты от функции h, (z) условной плотности
распределения образуют корреляционную матрицу Р^. условного
распределения
?кы - т - мг/ч)(г - мг/ч)% - у] -
оо
= Hz - Mi/r)(z - Aff/)Tff/UW*. (1.48)
—ОО
Рассмотрим теперь следующую задачу. По реализации случайного
вектора ту нужно построить оценки {".(ту), / = 1,л для элементов неизве-
л
стного для наблюдателя случайного вектора f. При этом оценки Г.(ту),
представляющие собой функции от аргумента ту, должны удовлетворять
условию минимума дисперсии для погрешности оценивания
л
At[f. - $.(v)f = min, i = 1, 2 л. (1.49)
it л
Минимум в последнем соотношении берется по всевозможным видам
функций f .(tj). Докажем, что функцией, на которой реализуется минимум
в (1.49), будет условное математическое ожидание
л
f/t?) = M[!/vl '*= 1. 2, ..., л. (1.50)
Доказательство следует из цепочки равенств
ЛИГ, - f/n)]2 - МЛ1[(Г. - ?//*] = Af4AV,, - AfW4 ♦
37

где Dy , - дисперсия условного распределения Л., (г), положительная
у*? Y*?
и не зависящая от выбора функции f .(tj) величина.
Выражение (1.51) достигает своего минимума при f. = AL . .
Соотношение (1.50) тем самым доказано.
Л Л
Объединяя оценки f., i = 1,л в л-мерный вектор f, мы получим
вектор оценок Г(т7> наименьших дисперсий
л
Л
Итак, оценка f(Tj), оптимальная в смысле наименьшей дисперсии,
совпадает с условным математическим ожиданием.
В дальнейшем изложении для краткости записей мы не будем вводить
разные обозначения для случайных величин t, tj и аргументов г, у их
плотностей, применяя для этого только одну букву (z либо у), т.е.
вместо fAz) и f (у) будем писать f(z) и f(y). Рассмотрим теперь
задачу на определение условной гауссовской плотности вероятностей,
которая состоит в следующем. Пусть задан нормальный случайный вектор
(z , у ) , состоящий из двух векторов z и у, размерности которых
равны лит соответственно. Математические ожидания т и т этих
векторов, а также их корреляционные матрицы р , р и р считаются
известными. Таким образом, вектор (z . у ) распределен по закону
[у]*" Ьг-1- I ~*"И- (152)
-V Ы J КГ
У* У У
В (1.52) будем дополнительно считать, что detP * 0. т.е. случайный
вектор у является невырожденным.
Нужно найти условную плотность вероятностей f(z/y). Искомая
плотность могла бы быть подсчитана по формуле (1.45). из которой
следует, что условная плотность вероятностей гауссовских величин снова
будет гауссовской. Однако непосредственные вычисления по формуле
38

(1.45) являются громоздкими. Нам легче будет отыскать условное
математическое ожидание M[z/y] и условную корреляционную матрицу P[z/y]t
которые полностью задают искомую условную плотность вероятностей как
плотность гауссовского типа.
Для решения поставленной задачи введем вектор а = г - Лу, а
матрицу Л подберем так, чтобы векторы а и у были некоррелированными:
Маут = M[z - Ау]ут = Р - АР = О, (1.53)
где z = z - m ; у = у - m ; а = а - m = z - Ay - центрированные
значения векторов г, у и а.
Из (1.53) получаем, что
Л = Р Я"1.
гу У У
В силу независимости случайных величин а и у (независимость для
гауссовских величин вытекает из их некоррелированности) получаем
равенство условного и априорного математических ожиданий
М[а/у] = М[а). (1.54)
Учитывая, что
М[а] = M[z - Ay] = m - Am ;
M[a/y] = M[(z - Ay)/у] - M[z/y] - Ay,
окончательно получаем выражение для условного математического
ожидания
M[z/y] = m * А[у - m ] = m + P P~l(y - m ). (1.55)
Вычислим теперь корреляционную матрицу Р . условного нормального
распределения. Рассмотрим случайный вектор
а - М[а/у] = z - Ау - M[(z - Л</)/у] = z - Af[z/y].
В этом случае корреляционная матрица (Р )/у условного нормального
распределения может быть представлена в виде
Pz/y = M{[Z " М{г/УШ* - М(г/у))т/у} =
- М{[а - М(а/у)][а - М(а/у)]т/у}.
39

В силу независимости случайных векторов а и у в последнем
выражении от условных математических ожиданий можно перейти к априорным.
Тогда получим
Р, = М[а - Ма)[а - Ма]т = M[z - Ay][z - Ау]т =
= Р -ЛЯ -Р ЛТ + АР ЛТ = Р -Р Р~ХР . (1.56)
zz yz zy yy zz zy yy yz
Итак, поставленная задача определения M[z/y] и P[z/y] нами
решена.
Отметим одно важное обстоятельство, связанное с условным гаус-
совским распределением. Оно заключается в статистической
независимости между случайной погрешностью z = z-z = z - M[z/y] оценивания
и вектором наблюдения у. Указанная независимость вытекает из
следующих соотношений:
Mz = M[z - z) = M[z - m - P P~\y - m )] = 0;
1 J l z zy yy9 yl
Mzyr = M[z - M(z/y)]yr = M[z -mz- P^JiV - (157)
-m )](y-m f = P -P P~{P = 0.
(Г У *У *y УУ УУ
Свойство статистической независимости погрешностей z
оптимального оценивания и вектора измерений у будет использовано в
дальнейшем. Сейчас же подчеркнем еще и тот факт, что независимость z
сохраняется по отношению к любой линейной комбинации, составленной из
элементов вектора у. Другими словами, вектор z ортогонален линейному
подпространству, натянутому на элементы вектора у.
1.6. ДИСКРЕТНЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА
1.6.1. ОСНОВНОЙ АЛГОРИТМ
Рассмотрим дискретную линейную динамическую систему [42]:
а) zk= V*-. * B*Vi+ wk- zo€ N{\ poh
б) yk = Hkzk * vk; wk € N(0, Qk); (1.58)
vk € N(0. Rk); Mwkvk = Vk.
40

По результатам у , у t ... у, измерений, проводимых в дискретные
моменты времени / , / , ... /,, необходимо определить оценки z,
наименьшей дисперсии. Для этого по известным уже измерениям Y. =
= {у , ... у Л необходимо определить условное математическое
ожидание z, = M[zJYA> которое и принимается за оптимальную оценку век-
гора z,. Огггимальность ее следует из результатов предыдущего
подраздела. Предполагается, что матрицу Ф., В., //. в соотношениях (1.58) и
корреляционные матрицы Q,, R. и V, являются известными.
Кроме условного математического ожидания г. требуется определить
корреляционную матрицу Р *. = Р, условного нормального распределе-
k k
ния f(zk/Yk).
При решении поставленной задачи предположим, что к моменту
времени /, оценка z, = M[z, /K-_ ] и корреляционная матрица Р. =
= Р дг уже вычислены на предыдущем шаге и нам известны. Из
этого предположения с учетом (1.58) следует, что априорные для
момента времени t. (т.е. не учитывающие результат у. последних
измерений) значения математических ожиданий и корреляционных матриц для
случайных векторов z. и у, будут равны:
"iVW= жшк-\= фЛ-1+ V*-i:
*k-i ~~ Vi " **-is (L59)
V*.i= Ml(v~*-'+ ^^+ **)Т/Кы1 =
41

♦ "л♦ VT/W ■ ршА+ Ъ
Из (1.59) на основании общего выражения (1.55) для условного
математического ожидания получаем формулу для оценки z,:
;* ■ "'W,' * V/k,1"4"М(!,Л,)1 "
■ V/h * B*V, * <ртЛ' WW-Л • "Л * пм
• К"1 ♦ **ГЧ - "А;*-, * B*v,» -
где /С задается соотношением
Формулу для вычисления матрицы Р. получим из (1.59) на основании
выражения (1.56) для апостериорной корреляционной матрицы
р*=Ч/у*-." VvA^W^,=
- я*лм - (я*/*-Л+ WW."!* "Л* VK+

Объединяя вместе формулы (1.60). (1.61) и (1.62). получим
известный алгоритм Калмана для рекуррентного (от шага к шагу) оптимального
оценивания вектора состояния:
3) Zk - V*-i + **Vl + Щ ~ "Л'ы +
+ BkUk-l* Ч> = V
б) Pk/k-X - Vk-Л * <V
в> * = *k,k-&* WW."! * Ч* Чк *
+ W"10 - (РЛ+ vkWk * V': (163)
r) pk - pk/k-i - *k/k-A+ ^ЩршЛ*
+ V*+ vlHl* «/Ч**/*-. * Ч -
- {pk/k-A+ ™т ■ рк/ы - «<"Л/*-Л*
+ 4k**\Hl*h)KT--*-KHk)pk/UE-
- KHk)T - (Е - KHk)VkKT - KVTk(E - KHkf * KRkKT.
В заключение остановимся на проведении первой итераиии фильтра
Калмана. Предполагаем, что вектор состояния z(t ) = г в момент
времени t распределен по нормальному закону с известными параметрами
Возможны два случая при проведении первого измерения. Один, когда
первое измерение у поступает в момент времени t t и другой, когда
Равенство К = (РЖ + V)(HtVL ♦ Rj и (1.63, в) эквивалентно
R k k k k
равенству РуНу ♦ У у = КНА/- ♦ KRy • которое легко проверяется прямой
подстановкой.
43

первое измерение у поступает в момент времени / . В первом случае
алгоритм фильтра Калмана работает в полном соответствии с формулами
(1.63) при начальных условиях
*Л = /л и PAt ) = РЛ.
О 0 0 0 0
Во втором случае первая (нулевая) итерация должна проводиться по
формулам, отличным от (1.63). Действительно, нетрудно убедиться, что
оценка z(t ) и матрица P(t ) апостериорного (после поступления у =
= Hz ♦ и ) распределения должны вычисляться на основании (1.55) и
(1.56) по формулам
(1.64)
Р(/А) = РА - РЛНГЛНЛРЛНТЛ ♦ R) 1НР.
0 0 00000 0 00
Дальнейшие итерации проводятся в полном соответствии с
алгоритмом (1.63).
На практике встречаются случаи, когда число m измерений
(элементов) вектора у- = {у , .... у } может изменяться от шага к шагу.
Такое явление часто имеет место в навигационных системах, когда
какой-либо датчик то включается в работу, то выключается. Например,
включается и выключается из-за крена самолета доплеровский
измеритель, включается и выключается РСБН, когда один маяк скрывается за
горизонт и нужно переходить на другой.
Число примеров прерывной работы навигационных датчиков можно
продолжить, рассматривая работу астродатчиков, спутниковых
навигационных систем и др.
Рассмотрим, каким образом уравнения фильтра Калмана могут быть
приспособлены под прерывистый вид работы датчиков. Если не принимать
никаких мер, то при изменении размерности вектора у. от шага к шагу
будут автоматически изменяться и размерности матриц //,, V, и R..
Изменение же форматов представления этих матриц является очень
неудобным для программирования.
Поэтому для удобства программирования фильтра Калмана в этом
случае можно рекомендовать следующий прием. Матрицы Н<, V, и Я, заме-
44

няются модифицированными матрицами flv, V? и к?, а вектор у. -
вектором у.. Матрицы #7, V7 и /?7 и вектор у, имеют постоянные
размерности, равные их максимально возможным значениям, когда все датчики
считаются включенными в работу. При этом в момент выключения *-го
прибора и далее, когда он является выключенным, в этих максимальных
матрицах предусматриваются следующие изменения:
а) в матрице Н< *-ю строку нужно заменить на нулевую;
б) в матрице V- 1-й столбец нужно заменить на нулевой;
в) в матрице R, все элементы i-й строки и 1-го столбца нужно за-
k
менять на нулевые, а диагональный элемент и - на единицу ( г.. = 1);
k Ц
г) в векторе у, i-й элемент заменить нулем (у. = 0).
Видоизмененные (модифицированные) таким образом матрицы обозначим Wv, Vv,
«г-с
Фильтр (1.63) при этом приобретает вид
а) ;* ■ v*-. ♦ B*v, * «X - «>л-|+ B*v.>i- <L65)
Соотношения б, в, г аналогичны (1.63, б, в, г) при условии замены
А/,, V,, R, на //V, VV, fu на каждом итеративном шаге.
Заметим» что фильтр (1.65) может какой-то промежуток времени
работать в условиях, когда никаких измерений не поступает вообще. При
этом фильтр будет работать в режиме "прогноза" или в режиме "памяти".
1.6.2. СВОЙСТВА ФИЛЬТРА КАЛМАНА
В этом подразделе мы остановимся на двух свойствах алгоритма Кал-
мана, которые часто используются в прикладных задачах. Во-первых,
покажем, что случайные векторы
'*-'*-"*<Vbi + B*Vi>- (,66)
входящие в основную формулу фильтрации (1.63, а), статистически
независимы между собой, т.е.
Шк = 0; Ml^. = 0, у * 0. (1.67)
45

Во-вторых, проведем доказательство того факта, что квадратичная
форма
является случайной величиной, распределенной по закону нхи-квадратн
с т степенями свободы, где т - размер вектора наблюдений у,. равный
размеру вектора L.
Переходим к доказательству первого свойства (1.67) фильтра Кал-
мана. - ~
Рассмотрим вектор z, ошибки фильтрации z, = z, - z,.
Вычитая из (1.58. а) соотношение (1.63. а), получим
zk= ф*Vi * •* - *(VA-i * "Л+ V =
= (£ - КНк)(Фкг^{ ♦ wk) - #foft. (1.69)
Величина Mz для обоих случаев начальных наблюдений (1.63, а) и
(1.64). как следует из этих соотношений, равна 0. т.е. Mz = 0.
В таком случае из (1.69) вытекает, что Mz. = 0 для I = 1, ... к.
Вектор /, можно представить в виде
'*= "*vY.+ "л ♦ v <170)
Из (1.70), в частности, вытекает, что математические ожидания от
векторов /, тоже равны нулю
ML = 0. (1.71)
k
В подразд. 1.5 было доказано (см. (1.57)), что ошибки z,
оценивания в гауссовском случае независимы от результатов измерений у_,
у , ... у, . Вектор /, (1.70) тоже независим от векторов у , у , ...
у, . Но векторы / , / , .... /- представляют собой линейные
комбинации от векторов измерений у , у , ... у, . [Это следует из
(1.66) и (1.63, а)]. В таком случае вектор L будет статистически
независим (ортогонален) от векторов /, / , / , .... L :
46

МЦ* = 0, если / * О.
Таким образом, статистическая независимость (1.67) векторов (1.66)
является доказанной.
Перейдем теперь к рассмотрению второго свойства (1.68) фильтра
Калмана. Предпошлем ему доказательство следующего факта: для любого
m-мерного центрированного нормального вектора х € Л/(0, Р)
квадратичная форма х Р х распределена по закону х с т степенями свободы
jrTPHjr€X^ (1.72)
Действительно, симметричная матрица Р всегда [15] представима в
виде Р = QTAQ, где Q - ортогональная матрица (QT = Q ); Л -
диагональная матрица, элементы X., i = 1 т которой равны
собственным числам матрицы Р (мы их здесь для простоты будем считать все
различными).
Введем в рассмотрение случайный вектор у = Qx. Этот вектор будет
распределен по нормальному закону у € #(0, QPQ = Л). Тогда имеем
хР х = xT(QTAQ) х = xTQTA lQx = уТА у = 2 у Л.. (1.73)
i = l l l
Учитывая, что у. € N(0, X.), будем иметь квадратичную форму
х Р х, распределенную по закону х с m степенями свободы.
Перейдем теперь к доказательству свойства (1.68).
Рассмотрим величину корреляционной матрицы Р, /у условного
распределения вектора /, при условии, что наблюдатель располагает
измерениями {у , у jr. } = К, . Из (1.70) следует, что эта
матрица равна
к к-\
• "Л/*~Л+ «k * 4k* vl"l- (,-74>
Соотношения (1.72) и (1.74) доказывают свойство (1.68).
47

1.7. НЕПРЕРЫВНЫЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР КАЛМАНА - БЬЮСИ
Рассмотрим непрерывную стохастическую систему [43]
z(t) = A(t)z(t) + B(t)u(t) + with
y(t) = H(t)z(t) + v(t), (1.75)
где z(t) - /п-мерный вектор состояния; u(t) - г-мерный вектор
управления. y(t) - m-мерный вектор наблюдения, A(t). B(t) и H(t) -
известные матрицы размером пхп. пхг и тхп. Случайные процессы w(t) и
v(t) являются непрерывными процессами "белого" шума с
корреляционными матрицами
Mw(t)wT(t{) = Q(№t-t{);
Mv(t)v(t{) = ««)««-/,); (1.76)
Mw(t)v(t{) = V(№t-t{).
Предполагается, что матрица R(t) является невырожденной. Пусть на
временном отрезке [/ . /] наблюдаются векторы и(т), у(т), t< т < t.
о * о
По измерениям и(т) и у(т) требуется найти оценку z(t) неизвестного
вектора z(t), обеспечивающую, как и в дискретном случае, наименьшую
дисперсию ошибки оценивания для каждого элемента вектора z(t).
Поставленную задачу решим следующим образом. Сначала сделаем пе^
реход от непрерывной системы (1.75) к дискретной вида (1.58). Для
полученной дискретной системы решим поставленную задачу с помощью
алгоритма (1.63). Далее сделаем обратный переход от дискретного
времени к непрерывному, устремляя промежуток дискретности Д/ к нулю.
Интегрируя первое уравнение (1.75) на временном интервале [tt t ♦
♦ Д/]. а также записывая во втором уравнении функцию v(t) в виде
v(t ♦ At) * -+j- | иШт, (1.77)
t
получим
z(t * Ы) = z(t) + A(tWz(t) * B(tWu(t) *
hut
♦ J -Krkfr * 0Ш); (1 ?8)
48

t+ы
y(t * At) = H(t * At)z(t * At) + -—- | v(r)dr.
t
Напомним здесь, что дисперсия D случайного процесса ij(0 =
Ыг)</г, где e(t) - "белый" шум с корреляционной матрицей
О
S(tx)b(t2 -t{), равна:
t
D-[
17 J
S(t{)dt{
Имея это в виду, нетрудно установить, что с точностью до малых
ОШ) высшего порядка относительно At выражения (1.78) задают
дискретную стохастическую систему вида (1.58), параметры которой
соответственно равны:
tk = t + At; t^ = U Фк = [£ ♦ A(t)At];
Bk = B(t)At; Qk = Q(t)At; Hk = H(t * At); (1.80)
Для рассматриваемого случая соотношения дискретного фильтра Кал-
мана (1.63), если в них сохранять только члены нулевого и первого
порядка малости относительно At, принимают вид
Pk/k-l = P{t) * ттм * РМАМЫ * QVW * <>Шк
К = /ПОД/+ ОШ); К' = [P(t)HT(t) * V(t)]R~l(t); (1.81)
z(t + At) = z(t) + A(t)Atz(t) * B(t)Atu(t) *
+ K'At[y(t * At) - H(t + At)z(t)\ ♦ 0Ш);
Pit * At) = Pit) * A(t)P(t)At * P(t)AT(t)At + \
♦ Q(t)At - K'RK'TAt. (1.82)
Переходя в последних соотношениях к пределу при At -* 0, получим:
49

а) z(t) = A(t)z(t) ♦ B(t)u(t) ♦ K[y(t) -
- //«)*«)]. z(0) = mQ;
б) К = [P(t)HT(t) *V(t)]R'1; (1.83)
в) Pit) = Л«Р«) ♦ Р(/)ЛТ(« * Q(t) -
- /(*(/)/(*, P(0) = PQ.
(В уравнениях (1.83) опущен штрих у матрицы /С.)
Непрерывный алгоритм оценивания (1.83) принято называть фильтром
Калмана - Бьюси, а матричное дифференциальное уравнение в (1.83),
задающее матрицу P(t), называют матричным дифференциальным
уравнением Риккати.
Если имеют место периодические включения и выключения датчиков в
процессе их работы, то размерность вектора y(t) будет переменной. Во
многих случаях удобно сохранять размерности вектора y(t) и матриц Н,
V и R формально постоянными. Для этого в момент V выключения /-го
датчика в алгоритме (1.83) вектор y(t) и матрицы Н, V и R следует
заменить их модифицированными представителями у (t)t
которые были уже введены для дискретного случая (1.65).
Очень часто для стационарных систем, когда А Н, R, Q и V
постоянны, интерес представляет работа фильтра (1.83) в стационарном
режиме, когда К = const и Р = 0. Матрицу К для стационарного случая
можно определить, минуя интегрирование уравнения Риккати, с помощью
следующего приема. Подставляя (1.83, б) в (1.83, в), получают при
•
Р = 0 систему нелинейных (квадратичных) алгебраических уравнений
относительно неизвестных элементов р.., соответствующих стационарному
значению матрицы Р. Такая алгебраическая система может иметь
несколько решений. В качестве искомого значения матрицы Р выбирается такое,
которое, во-первых, обеспечивает положительную определенность
матрицы Р и, во-вторых, дает наименьший корреляционный эллипсоид.
Последнее означает, что для матрицы Р все матрицы Р. - Р должны быть
положительно определены (где Р. - все остальные положительно
определенные решения нелинейной системы уравнений).
Стационарные значения матриц К и Р можно вычислить с помощью
рекуррентного алгоритма
50

К. = (Р.{НТ + V)R l; (1.84)
АР. + PAT = -Q + KJIK]. (1.85)
В этом алгор»ггме симметричная матрица Р., а точнее говоря 0,5(л «■
♦ 1)л ее элементов, определяются из уравнения (1.85), которое
следует рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений
0,5(л ♦ 1)л порядка отноотгельно переменных F* (элементов матрицы
Р.). По вычисленной матрице Р., которой присваивается обозначение
Р , в соответствии с (1.84) вычисляется матрица /С.. Вычисления
заканчиваются, когда элементы матрицы Р. - Р. становятся
достаточно малыми. Число итераций зависит от удачного выбора начальной
матрицы Р .
Устойчивость вычислительной процедуры (1.84) и (1.85) выявляется в
процессе расчетов.
Пример 5^ Пусть наблюдается сумма двух одномерных стационарных
статистически независимых сигналов: полезного сигнала Z(t) и
помехи V{t):
y(t) = z(t) ♦ v(t), (1.86)
Известно, что оба сигнала имеют нулевые математические ожидания и
корреляционные функции Г = аб иГ - sS(f). Требуется
определить передаточную функцию W{p) оптимального стационарного фильтра
(рис. "1.18). Применяя формирующий фильтр для сигнала Z(t), получаем
непрерывную стохастическую систему вида (1.75)
• 2
Z - - JUZ ♦ W: у = Z + V; Q - 2о Ц: R - S. (1.87)
В таком случае из (1.81, а) следует
Z = - liZ + k(y - Z); W(p) * k(p + M * k). (1.88)
Неизвестную величину k определим из (1.83, б,
в). Из (1.83. б) имеем k = P/S и, следовательно,
Р * fc. Уравнение Риккати (L83, в) приобретает У ^ I u/fм Iг'
здесь вид 0 = - 2дР ♦ 2а Д - k S или 0 = - 2jxks ♦ I 1
2а м - * S. Рис. 1.18
51

Решая последнее квадратное уравнение относительно k и выбирая из
двух решений положительное (так как Р = ks У 0), получаем искомую
величину
- u ♦ Vti ♦
ft 2
2а м
1.8. НЕПРЕРЫВНЫЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ ФИЛЬТР
ДЛЯ КОРРЕЛИГОВАННЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ НАБЛЮДЕНИЙ
Рассмотрим непрерывную стохастическую систему
z = A(t)z + B(t)u + w(t); z(t) G tf(m , P );
0 ZQ ZQ
у = C(t)y + /W)z + v(t); y(t0) € Aftn . P^); (1.89)
у которой наблюдается вектор y(t), t > t .
В отличие от системы (1.75), принимаемой в фильтре Калмана -
Бьюси за исходную, в данном случае погрешности наблюдений будут уже
коррелированными во времени сигналами, дисперсии которых не будут
бесконечно большими величинами. Кроме того, система (1.89) с помощью
матрицы C(t) учитывает динамические запаздывания измерительного
прибора. Указанные обстоятельства делают систему (1.89) более
приемлемой для описания реальных процессов измерения по сравнению с (1.75).
Следуя [13], за псевдоизмерения примем величину у - C(t)y. Тогда
на основании алгоритма Калмана - Бьюси получим оптимальный фильтр
для оценивания вектора z(t) в стохастической системе (1.89):
а) ж = А2 + Ви + К[у -Су- Hz]. z(tQ) = z(/*);
б) К = (РНТ + W/T1; , (1.90)
в) Р = АР + РАТ + Q - KRKT; P(tQ) = Ptf*).
где
*(0 = ^ + р J 1\УЛ - m J. Р(0 = Р^ ~ р J*lP ^
о zo zyo уо1*о уо1 о го zyo yo yzo
Начальные условия в (1.90) представляют собой параметры нормаль-
х) распределения е
известно наблюдателю.
ного распределения вектора z(t ) при условии, что измерение y(t )
52

От предварительного дифференцирования входного сигнала в (1.90)
можно избавиться с помощью следующего приема [13]: учитывая, что Ку =
= d(Ky)/dt - Ку> уравнение (1.90, а) можно записать в виде
d(z - Ky)/dt = Az * Ви- Ку- K[Cy + Hz],
Если теперь ввести промежуточную переменную /(/) = z(t) - Ky(t) и
вычислить производную К [см. (1.90, б, в)], то уравнение оценивания
(1.90) можно записать в форме, свободной от дифференцирования
входного сигнала:
/ = (A-KH)l + Ви+ (АК-К
КС - КНК)у; Ш0)
z(tQ) - K(tQ)y(t0h
z = l + Ky;
К = (РНТ + РНТ + V)R~l - KRR~l;
Р = АР + РАТ + Q- KRKT; P(tQ) = Р(£).
К = (РНТ + V)R 1;
(1.91)
Заметим, что матрица Р в (1.91) и тем самым точность алгоритма
оценивания не зависят явно от матрицы С, характеризующей инерционность
(запаздывание) приборов. Между тем ясно, что более инерционным
приборам должна соответствовать меньшая точность оценивания. Кажущееся
противоречие устраняется тем, что матрица R зависит от величины
динамического запаздывания приборов и растет с увеличением этого
запаздывания при условии, что дисперсия флюктуационной погрешности
приборе» остается постоянной.
Пример 6^ Пусть сигнал Z(t) с известной корреляционной функцией
2 -Д(г)
О е измеряется с помощью прибора, который имеет передаточную
функцию Wip) * \/(Тр * 1) (рис. 1.19). Известно, что прибор имеет
внутренний "белый" шум V(t) с интенсивностью Г. Требуется построить
стационарный фильтр Ф(р) для оценивания сигнала Z{t) по выходному
сигналу у it) прибора.
В рассматриваемом случае имеют место соотношения
V*
*£лГ
Т
V.
(1.92)
у - -■
1
Заметим, что "белый" шум V(t)
с интенсивностью Г на основа-
Ж
р + ц
\v(t)
<р(р)
Рис. 1.19
53

нии (1.31) вызовет на выходе прибора собственную аддитивную
погрешность с дисперсией Л = О , равной
" л { V{ Г
я = и » — "zr it — "^г" я ♦ т~ :
, / т ?
у 2Г
Таким образом, величина Г может быть подсчитана по формуле Г -
= 2То , если известны постоянная времени Т прибора и дисперсия О его
собственных выходных шумов.
2
Вычислим дисперсию О погрешности (у - Z) для прибора, работающего
без фильтра Ф. когда сигнал у it) рассматривается как результат
измерения. Если сигнал Z(t) 'пропустить' через звено 1 — W(p) ■ Tp/(Tp ♦
♦ 1), то дисперсия выходного сигнала. вычисленная по формуле (1.36).
оказывается равной рТо (1 ♦ рТ) .В таком случае
2 2 plo
0=0 + —Г1 =г- .
1 V 1 ♦ рТ
Из (1.90) вытекает представление оптимального фильтра, которое в
форме преобразований Лапласа имеет вид
pz = -pz ♦ *(до + -~г у - jr z):
ф(р) =
где
V *
р * ц * -jr
iT * k l 2
= Г/(дГ * ft).
(1.94)
Передаточная функция Ф(р) определена пока с точностью до
постоянной k, которая, в свою очередь, может быть найдена из соотношений
(190, б, в):
j2 ' Т ' ' Г Г ' Г
0 = ~2дР ♦ 2а2д - г"1/*2 * 0.
Из последнего квадратного уравнения можно определить величину дис-
54

персии Р погрешности оптимального оценивания Z * Z — Z н коэффициент
усиления k - РТг
-1
V
/:
2а
- 1
Пусть прибор
предназначен
*= Р — = цТ
Г
2а
- 1
для измерения
электрического
lit). При этом известно, что а = 10 В.
Д = 0,04 с .В таком случае имеем
напряжения
-1
I В. Г - 1 с. jut - 25 с
2 „ 2 2 2
2 В с; дГ = 0.04; а * 4,85 В ; jLtT * 0.08 В ;
Р - 3.92 В ; * = 1.96; т
1 с; Г - 0.5 с; *
0.98.
Как видно из числовых данных, фильтрация повышает в данном случае
2
4,85 В . Не надо думать. что
точность измерений Р ■ 3.92 В < о
последовательный фильтр Ф(р) всегда будет улучшать точность
измерений. Улучшение имеет место лишь в случаях, когда входной сигнал Z(t)
является случайным процессом с известной корреляционной функцией.
Если фильтр Ф{р) рассчитать для одной корреляционной функции, а в
реальности будет иметь место другая, то может наступить и ухудшение
точности. По этой причине для входных сигналов произвольного вида,
когда какие-либо гипотезы о входном сигнале отсутствуют.
рекомендуется никаких последовательных фильтров не применять.
1.9. гШЛИНЕРИЬШ ФИЛЬТРЫ
Рекуррентный огггимальныи алгоритм (1.63) является оптимальным
лишь для линейных систем (1.58). Однако в случае малого отклонения
вектора z< от его оценки z, он может быть применен и для нелинейных
систем вида
h - *{zk-v k ~ !) + G{h-v k - ,)0V
yk = h(zk. *) + V
(1.95)
где ip - я-мерная нелинейная функция от п аргументов, являющихся
элементами вектора г. ; h - m-мерная нелинейная функция от л
аргументов, являющихся элементами вектора г.; а», и V.
"белые" шумы.
55

Линеаризуем функции <p(z, .. k - 1) и G(z. , Jfe - 1) около точки
(г. , k - 1), а функцию Л(г,, *) - около точки [z..,_ , Jfc] =
= Мг. , Jfe - 1), k]. В таком случае получим с точностью до малых
второго порядка
(z^, k-l)izk-l
- Vi>; C(Vr * - x)w'v
(1.96)
где -т^- и -г— - матрицы частных производных (матрицы Якоби), вы-
ОХ ОХ * л
численные в точках г. и г^и соответственно.
Уравнения (1.96) являются линейными. Они могут рассматриваться
как уравнения вида (1.58), если установить соответствие
Ъ\р
v. Вми
Ъг |(*ы,А-0' "М ' *{гк-\- k ~ 1) ~
_ ^
Ъг
(z. ,,k-l)zk-l' Qk
C(Vl. * - DQi x
x G*(z^l) Vk -* G<Vl. * - l)Vi:
/Л.
_эл_ I .
(zk/k_xk)*k/k-V
Пользуясь этими отношениями соответствия, из алгоритма Калмана (1.63)
получаем алгоритм для оценивания хь:
4
. г- ♦ ф(х, . * - 1) - . *, f
3ip
3z fc-1
+ "<**-. >
s- -4
_ ^
56

В последнем выражении линейные члены, включающие в себя матрицы
Ъу/Ъг и ЭА/Эг, взаимно сокращаются. Это явление называют релинеари-
зацией. В конечном виде имеем
zk-*{zk-vk-l) + K[yk-h(zk/k-i-k)b (197)
zk/k-\ = *{zk-\' k ~ 1K
Соотношение (1.97)» задающее алгоритм вычисления оценки z, в
нелинейном случае, будучи дополнено соотношениями (1.63,» б, в, г)^ где
Ч - №**ы- * - 1): ик: W ЭгК W): V. = Gizk-v
k - 1); Q, = G-_ Q'С-_ и V = G,Vl, представляет собой
рекуррентный алгоритм оценивания по методу Калмана для нелинейных дискретных
систем. Такой алгоритм уже не будет строго оптимальным, однако во
многих случаях этот алгоритм дает для нелинейных систем достаточно
высокую точность оценивания.
Рассмотрим теперь нелинейную непрерывную стохастическую систему
z(t) = *(z, t) + G(z, t)w'(t); (198)
y(t) = h(z, t) + u(t),
где z(t) - л-мерный вектор состояния; y(t) - m-мерный вектор
наблюдения; ty(zt t) - л-мерная и h(z, t) - m-мерная функции от переменных
z и U w' (t) и v(t) - непрерывные "белые" шумы с автокорреляционными
матрицами Q'(t)8{t) и R(t)8(r) и взаимной корреляционной матрицей
V(t)8(r).
Стохастическую систему (1.98) будем понимать в смысле К. Ито [9,
12]. Тогда ей будет соответствовать допредельная дискретная
стохастическая система вида . А.
1+ш
z(t * д/) = z(t) * фШШ * G(z,t) | w'{r)dT\
(1.99)
t+At
y(t + At) = h[z(t + At), t + At] ♦ -^- f v(T)dT.
t
Между системами (1.99) и (1.95) можно установить соответствие,
если ввести в рассмотрение равенства
57

'*-'*** tl
t: *(*£_,. k-l) =
= zit) * ФШ);
by
bz
= E*
Ъф
k-l
bz
k-l
c(VrV.)sCWhQrQ'(/W;^
Rit)
At
; V'k = V'(t).
Для дискретной системы (1.99) нелинейный фильтр (1.97) имеет вид
z(t * At) = z(t) * ф[гЦ), t]At * K{y(t *
* At) - h[zit * At), t * At]};
,т
К
Pit * At)-
ЭЛ"
k/k-l
E +
bz(t * At)
ьф
ЭЛ
R(t)
[ bz(t + At)
At
-I
bz(t)
Pit)
E *
d£
bz(t) J
(1.100)
♦ G[z(t), t]Q-Gr(z(t), t)At;
p« + *> = V pk/k-i ~ *Кн* + 4k* VA+ атУ-
Если в выражениях (1.100) осуществить переход к пределу при At -* О,
то мы получим искомый алгоритм оценивания для нелинейной
системы (1.98):
а) z(t) = ф(г,0 ♦ K(t)[y(t) - hiz,t)\; zitQ) = m^;
б) Kit) = iPHr + V)R~\t);
в) Pit) = AP + PAT + Q- KRKT; P(/Q) = PQ,
(1.101)
где А
Ъф
Ъг
H
bh
bz
Q = Giz,t)Q'it)GTiz,t); V = Giz.tWit).
В заключение заметим, что дискретный (1.97) и непрерывный (1.101)
алгоритмы нелинейной фильтрации вместе с их линейными аналогами
(1.63) и (1.83) обеспечивают вычисление оценок по критерию минимума
дисперсий у ошибок оценивания. Возможны и другие критерии
оптимизации. Один из них, находящий широкое применение, критерий максимума
апостериорной вероятности, будет рассмотрен далее в этой главе.
58

1.10. ОПТИМАЛЬНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
С УЧЕТОМ УРАВНЕНИЙ СВЯЗЕЙ
Очень часто на борту ЛА ведутся измерения таких параметров xT(t) =
= [х At), ... х (t)]t которые удовлетворяют некоторым г уравнениям
связей [14]:
FAxt х ) = 0, .... F Ах%, .... х) = 0.
11 /л г \ т
Последние уравнения можно кратко записать в векторной форме
Fix) = 0, (1.102)
т
где F (х) = [F Ах), ..., F (х)] - r-мерная векторная функция от
аргументов х , ... х .
Пример такого рода измерений был уже приведен нами в подразд. 1.2
в виде соотношений (1.3), когда связанными оказались величины Л, В,
L, s и А , т.е. параметры, которые измеряются баровысотомером (Л),
бортовой инерциальной системой (В, L) и радиосистемой ближней
навигации ($г, А).
Из данного примера следует, что совокупность х = (х , .... х ) из
ш измеряемых параметров в некоторых случаях удовлетворяет г < т
уравнениям связей (1.102). Заметим, что на основании уравнений связей по
т - г точно известным параметрам можно вычислить значения остальных г
параметров. Так в примере (1.3) по известным параметрам Л, s , A
можно вычислить геодезические координаты самолета В, L. Если
величины Л, s , А известны без погрешностей, то измерение величин В, L
другими датчиками (инерциальной системой) становится ненужным
(избыточным). В общем случае, если погрешности считать отсутствующими, то
при г уравнениях связей число избыточных параметров тоже будет
равно г.
В действительности же все реальные измерения х (t) = x(t) ♦ Ax{t)
искажены погрешностями Ax(t), и избыточные измерения используются
для повышения точности определения текущих параметров.
Перейдем теперь к математической формулировке задачи о повышении
точности за счет избыточного числа измеряемых параметров. Рассмотрим
сначала случай, когда измерения производятся во времени дискретно.
Пусть модель погрешностей приборов имеет вид
59

zk - „Сы. * - 1) ♦ С(»ы. k - l)wk; zQ € м<тл. Рл): ^^ ^
Axk = h(zk, k) + vk; x\ = xk* Axk,
где a;' € N(Of Q'), u, € N(Ot R,), Afw'i£ = VI - процессы дискретных
"белых" шумов; z, - л-мерный вектор состояния; Ах- - m-мерный вектор
погрешностей; х. - /л-мерный вектор результатов измерений, известная
величина.
В случае избыточных измерений к выражениям (1.103) добавляются
уравнения связей
F(jrj = 0. (1.104)
к
На основании соотношений (1.103) и (1.104) требуется найти вектор
оптимальных оценок z,.
Из (1.103) и (1.104) следует, что уравнения связей можно записать
в виде
0 = F(xk) = F(x*k - Axk) = F[x\ - h(zk) -
-vk]mx*k,zk,vk). (1.105)
В таком случае задача фильтрации может быть сформулирована следующим
образом. Для нелинейного стохастического дискретного процесса
zk = *<Vr * " ° + G{zk-v k " x)w'k (1Л06)
нужно найти оптимальные оценки z, при условии, что на вектор
состояния z, наложены уравнения связей
!/(**, zk, vk) = 0. (1.107)
♦
Для решения поставленной задачи линеаризуем функции (/(*,, z,, у.)
около точки (jr., z.,* , 0), где
В таком случае будем иметь
60

О - l/<4 zK vk) - V(x\. , 0) +
* "Л "'I/*-! )*СЛ
где Н.
Ьг
Kzk/k-i>°; °k
ML
bv
\(xk'zk/k-\
частных производных размером гхп и г*т соответственно.
Соотношение (1.108) можно записать в виде
h * " V{xl V*-i-0) + "Ллм= Hkzk+ C*V
(1.108)
0> - матрицы
(1.109)
Объединяя (1.106) и (1.109), получим задачу нелинейной фильтрации
zr,<Vl.*-l) + G(Vl,*-l4:
Ук = Нкгк*0к'
Vk " Ckvk' vk e N{0- V: Rlk
^k9k - V\k - VkCl'
CkRkCk'
рассмотренную в подразд. 1.9.
Решение этой задачи имеет вид (см. 1.97 и 1.63)
го = mzo; zk/k-i = *(z*-i): Qk = G{zk-x> k - 1)x
Vi
6) '*/*-. - V*4*J+ Qk' *k - it
r)Pk=(E-KHk)Pk/^(E-KHl)-(E-
~ KHk)VikKr ~ KV\k{E ~ «V + * V*' Po ' Pz0'
(1.110)
61

Заметим, что фильтр (1.110) в силу представления (1.105)
позволяет рассматривать уравнения связей (1.104) в более общем виде Fix,,
V= °-
Рассмотрим теперь обработку измерений, производимых во времени
непрерывно. Исходные соотношения в этом случае будут иметь вид
Ах = h(zj) + v(th x*(t) = x(t) ♦ Ax(th F(x.z) = 0,
где z(t) - л-мерный вектор состояния; Ax(t) - m-мерный вектор
погрешностей; х (t) - m-мерный вектор измерений, известная величина;
w'(t) и v(t) - процессы "белого" шума с корреляционными матрицами
Q'(/)5(r), R(t)S(r) и взаимной корреляционной матрицей V'(t)6(r).
Запишем уравнения связей F(x) = 0 в виде
0 = F(xtz) = F(/ - Axtz) = F[x* - h(zj) -
-otf). z]AU(x*t z, v). (1.112)
Если применить методику, изложенную в подразд. 1.9, то, переходя
сначала от непрерывного случая к дискретному, а далее - от
дискретного к непрерывному, мы получим искомый алгоритм обработки для
непрерывного случая (см. 1.101):
a) z = *(*,/) - KU(x*,z,0). z(tQ) = m^;
б) К = [P(t)Hr(t) + V{(t)]R{1;
в) Pit) = A(t)P(t) + P(t)AT(t) ♦ Q(t) - KRM)K\ Я = />
1 0 20
(1.113)
где
*» - -S-
ML
dv
z oz
X ,2,0
♦ * (1.114)
X ,2,0
/у/) = CRCT; V (t) = V(/)CT = G(zM'(t)C\
Алгоритмы обработки (1.110) и (1.113) написаны для случая
нелинейных моделей ошибок и нелинейных уравнений связей. Для случая
линейной системы у модели ошибок они естественным образом упрощаются
62

(уравнения связей, как правило, бывают нелинейными) и приобретают вид
для дискретного случая
для непрерывного случая
г = A(t)z(t) + B(t)u(t) - KU(x*. z, 0).
Подчеркнем, что исследуемые здесь алгоритмы строго оптимальны
только тогда, когда модели погрешностей и уравнения связей являются
линейными. Если они не являются таковыми, то приведенные здесь
алгоритмы следует рассматривать как субоптимальные.
1.11. ОЦЕНИВАНИЕ ПО МАКСИМУМУ АПОСТЕРИОРНОЙ
ВЕРОЯТНОСТИ
1.11.1. ДИСКРЕТНЫЙ АЛГОРИТМ ФИЛЬТРАЦИИ ПО КРИТЕРИЮ
МАКСИМУМА АПОСТЕРИОРНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ (МАВ)
Рассмотрим, следуя [9], сначала нелинейную дискретную модель вида
(1.95), которую мы запишем здесь в несколько измененной форме, более
удобной для дальнейшего изложения
а) z(k) = ф(к - 1), * - 1] «■ G[z(k - IK ft -
- 1]и£ z(0) = zQ e Щт^ P^h (1.115)
б) y(k) = h[z(k)t ft] * i> ft = 1, 2, 3, ... ftf,
где *•-(/- finite) конечный момент времени в проведении
измерений.
По результатам измерений Y(kf) = {у(1) у(к.)} для множества
значений фазовых координат Z(ftf) = {z(0)t .... z(kf)} требуется опре-
делить оценки Z(ftJ = {z(0/ftJ, z(l/ftJ, ..., z(ft-/ft.)},
доставляющие максимум для апостериорной плотности распределения вероятностей
f[Z(ft*)/K(ftJ]. При этом получение значений z(0/ftJ z(kf -
63

- l/kf) будет представлять собой процесс сглаживания, а получение
оценки z(kJkf) - процесс фильтрации.
По формуле Байеса имеем
f[Y(k)/Z(k))f[Z(k)]
f[Z(kf)/Y(kf)] = f{Y(k)) • (1Л16)
Из уравнения (1.115, б) следует, что при известном z(k) функция
f[y(k)/z(k)] представляет собой нормальную плотность, так как v. -
случайный нормальный процесс. В таком случае
kf «р{- -\-\Ук - h(z k)]TR:l[y - h(z k)]}
f[Y(k.)/Z(k.)] = П
f f кч -
2 1/2
(2ir)2ldtiRkY/2
(1.117)
По правилу умножения вероятностей Р(а f] 0) = P(a/Q)P{&)
получим, что
f[Z(kf)] = f[z(kf)/Z(kf - l)]f[z(kf -
- l)/Z(kf - 2)] ... f[z(l)/z(0)]f[z(0)]. (1.118)
Так как w'. - последовательность независимых нормальных случайных
векторов, то z(k) - это марковский процесс, и (1.118) преобразуется к
виду
kf
f[Z(k)] = П f[z(k)/z(k - l)]f(z).
1 k=l °
Поскольку f[Y(kf)\ явно от Z(kf) не зависит, то при максимизации
условной плотности (1.116) ее можно рассматривать как нормированный
множитель.
В таком случае условная плотность (1.116) может быть записана
в виде
64

+
f[Z(kf)/Y(kf)f = A expj- -у 2 \\y(k) - h[z(k)t ft]|| __{ -
kf
±-S \\z(k) -„[*<*- 1). ft- 1]|| _, -£-|И» -«J| _,
ft zo
(1.119)
где nft = С(гы. ft - DQ^C1^. ft - 1).
Нахождение величин z (ft/ft J. обеспечивающих максимум функции
(1.119), и представляет собой объединенный процесс нелинейного
сглаживания и фильтрации по критерию максимума апостериорной вероятности.
Заметим, что плотность (1.119) с точностью до постоянного множителя А
можно трактовать как плотность распределения вероятностей для всего
выборочного пространства, которое задается совокупной плотностью
распределения случайных величин w' ... w' v v,ft z(0). В
статистике такую плотность принято называть [ 15] функцией
правдоподобия. В таком случае оценки z(ft/ft.), полученные по критерию МАВ.
можно также трактовать как оценки максимального правдоподобия или
оценки по методу наименьших квадратов, когда весовые коэффициенты
подбираются надлежащим образом.
Нетрудно понять, что вычисление максимума функции (1.119) по
переменным z(0) z(kf) эквивалентно вычислению минимума функции
20
. *'
-h[z(k),k]\\ *-±- 2 |К|| (1.120)
Квадратичная форма X АХ может быть записана в виде X Ах = I IXI -.
3- 993
65

по переменным z(0) z(k.)t w' wbf при наложении на
указанные переменные уравнения связей
vkf
z(k) - <p[z(k - 1), k - 1] - G(zk[, k - \)w'k = 0.
(1.121)
Задача условной минимизации (1.120), (1.121) может быть решена
методом неопределенных множителей м(0) n(kf - 1) Лагранжа [9].
При этом методе минимизируемая функция записывается в виде
f
J - -j- \\z(0) - mj| _{ + -\- 2 \\y(k) - h[z(k). k\\\ _
PZQ ' Rk
k k
1 ' fr
2 *=l R Q'k ' *=l
- Zn'{k-l){z(k) -ф(к- 1). *- 1] -
- G[z(k -I), k- Щ)
(1.122)
Если от функции J вычислить частные производные по и>'(1)
w'{k.), д(0) м(*. - 1) и z(0) z(k.) и приравнять их нулю,
то получим следующую систему нелинейных уравнений для оценок и
множителей Лагранжа:
Напомним формальные правила дифференцирования по вектору X
скалярной функции fix). а также квадратичных и билинейных форм
Ж.
Ъх
ъ
Ъх
1L
Ж-
Ъх, Ъх
1 л
' Ъх
—- х Ах
2
Ах:
-j- F\x)AF(x)
Ъх
[FT(x)AK]
Ж.
Ъх
afT<*> mx). ±-
Ъх Л/МХ'- Ъх
АХ,
\TAF(x)]
где А = А —симметричная матрица, a F(X) = [f.(X) f (X)] .
66

а) w'(k/kf) = -QjGT[z[(k - l)/ft ], * - \]ц[(к - l)/kf]
б) z(k/kf) = ф[(к - l)/kf], k - 1]- G[z[(k -
- l)/kf], k - \]QjGT[z[k - l/kf], k - \\n[(k - l)/kf);
в)
г)
Ы
3z(0)
3/
О -* n№f) = - ф \o/kf)P^[z(0/kf) - m^];
bz(k) =°. °<*<*;-1^ M<*/y =
, Г ЭЛт[г(k/kf),k]
= * W )Ы* - 1/ty + "■ L *
' I Г Эг <*/*.)
д) -эКгг= ° "* °= *<YVM(W= м<*/~ 1/jV *
♦ ' . ' '—L- *bJte(w - *1*<*Л>- *#]).
Эг(у* ) *' ' ' ' f
(1.123)
где \(i(k/kf) =
a/[z(fe/fef).fe] a{ci2(ft/ftf).ftKI(ft*0/^1}T
Ъг(к/кА
bz[k/kf]
Заметим, что множитель Лагранжа n(kjk^, равный 0, введен в
(1.123. д) формально. Это позволяет соотношения (1.123. гид)
записать в виде
.-1,
цЩу = ф Чк/кМ
bhT[z(k/kf),k]
Мк - Ukf) ♦
-,-1.
Ьг(к/кА
Rk'{y(k) -h[z(k/kf), k]}
(1.124)
для 0 < * < *,
'Г
67

В интересах дальнейшего изложения удобно сделать следующую
замену переменных:
д(1Му = 4Tl(k/kf)\№f). (1.125)
В этом случае уравнения (1.123, б) и 41.124) можно переписать
в виде
а) z(k/kf) = ф[(к - l)/kf]. к - 1]- G[z[(k - l)/kf], k -
- l]Q'kGr[z[(k - l)/k{], k - \\ф~1[(к - l)/kf]\[(k - l)/ft J;
б) \№ji = *"'[(* - l)/kf]\[(k - l)/kf] * (1.126)
a/T[*(ft/ft,),ft]
♦ s l Rb{y(k) - h[z(k/kX ft]}, X(ft/ftf) = 0,
dz(k/kf) * f r f
Решая тем или иным способом систему нелинейных алгебраических
уравнений (1.126), мы получим искомые оценки z(ft/ft.), ft = 0 ft. и
вместе с ними множители Лагранжа X(ft/ft.), ft = 0 ft. - 1. Данная
система имеет порядок 2/ift. «■ л = л(2*. «■ 1) и представляет собой в
практических случаях чрезвычайно сложную вычислительную задачу.
Заметим, что проведение следующего измерения, когда финитное
(последнее) время ft. наблюдения увеличивается на единицу, заставляет
заново (!) решать систему уравнений (1.126), увеличившуюся на 2л
уравнений.
Во многих случаях интерес представляет только задача фильтрации,
когда оцениваются величины z(kjkf). По этой причине возникает
задача рекуррентного перехода от оценки 2 (ft ~ 1/ft - 1) на предыдущем
шаге к оценке z (ft/ft) в текущий момент времени (здесь под буквой ft
понимается последнее (текущее) время ft = ft.).
Указанная задача может быть решена методом инвариантного
погружения.
Сущность метода инвариантного погружения состоит здесь в
следующем. Пусть решена задача (1.126) для шага ft., и мы получили реше-
68

ния z(kjkf) и \(kJk~) = 0. Одновременно мы получили и решения
z[(kf - l)/kf] и \[(k. - \)/кЛ = с * 0. Предположим, что мы решили
бы задачу, считая шаг kf - 1 последним, но величину \[(kf - l)/(kf -
- 1)J взяли равной не нулю, а величине с. Тогда для моментов времени
k < k. - 1 мы получили бы оценки, совпадающие с оценками z(k/kf),
k < kf - 1. Другими словами, решение системы (1.123), соответствующее
конечному измерению в момент к. - 1 с начальным условием Х[(*. - 1)/
(k. - 1)] = с, можно рассматривать как "левый хвост" для решения,
соответствующего конечному измерению в момент к. и начальному
условию \(kJk.) = 0.
Дадим определение расширенного решения r(c, k.) для системы
(1.126). Так мы будем называть решение z(kJkf) при условии, что
\(kjkf) принята равной постоянной с * 0, причем с здесь и далее
рассматривается уже как произвольная величина. В обозначении r(ct kf)
подчеркивается зависимость решения от величины с и номера шага kr
Естественно, что r(0, fcJ = z(kft kf).
Из уравнения (1.126, а) следует, что расширенное решение от шага
к. - 1 к шагу k. удовлетворяет соотношению
г(с ♦ Дс, kf) = <p[r(ct kf - 1), kf - 1] - G[r(c. kf - 1),
kf - l]QkjGr]r(c, kf - 1), kf - l\fl[(kf - l)/kf]c. (1.127)
Из уравнения (1.126, б), в свою очередь, вытекает, что величины
Х<уу = с ♦ Ьс и \[(kf - l)/ft ] = X[(*f - l)/(ftj - 1)] = с
удовлетворяют соотношению
с * Дс = ^[(ft. - \)/kj[c *
ЭАт[г(с * Ас, Ы, *.]
* Эг(с + Ac, if) ' *^<V ~
- h[r(c * Ac, kf), kf]}. (1.128)
69

В дальнейших выкладках мы /L заменим на к, считая k последним
шагом.
Соотношения (1.127) и (1.128) можно записать в обобщенном виде:
а) г(с + bc.k) = f[r(ct k - 1). с. * - 1];
б) с «■ Дс = &r(c, k - 1). с - 1].
(1.129)
Заметим, что при написании соотношения (1.129, б), которое
следует из (1.128). в формуле (1.128) величину г(с «■ Дс, k) нужно
предварительно выразить через величины r(c, k - 1). с и к - 1 с помощью
формулы (1.127). или, что то же самое, с помощью формулы (1.129. а).
Рассмотрим теперь представление
г(с «■ Act k) = г(с, * - 1) «■
brie. к-\)
Ъс
Дс
Ъг(с. k-\) f а Э г(с, fe-1) . f
Э(*-1) ! * b(k-l) с ^1
Ъг
где -тгг и
Л
Эс " Э(*-1) с b(k-\)
Из (1.129. б) следует, что
Дс = &r{c.' k - 1), с, k - 1] - с
1*l 1.
L Эс J
(1.130)
матрицы размерности пхп.
(1.131)
В таком случае из (1.129)...(1.131) вытекает уравнение дискретного
инвариантного погружения
Эг(с, k-l)
Ь(к-1)
Эг(с. k-l) Ь г(с, k-l)
* d(k-i) с
Ъс
*Шс k - 1). с, k - 1] - с) =
= f[r(c, k - 1). с, k - 1] - r(c, k
1).
(1.132)
Решение этого уравнения будем искать в следующем приближенном
виде [9]:
r(c, k - 1) = z(k - 1) - P(k - l)c, (1.133)
где z (k) = z(k/k), a P(k - 1) - неизвестная пока симметричная
матрица размером пхп.
Учитывая, что
Эг(с, k-l)
d(k-l)
= r(c, k) - r(c, k - 1).
70

из (1.132) и (1.133) получаем
*<*) - Ж№(* - 1) - Ж* - DC с. * - 1] =
= flz(ft - 1) - P(k - \)c, c, ft - 1]. (1.134)
Соотношение (1.134) верно при любых достаточно малых с. Будем
считать, что его левую и правую части можно разложить в степенные ряды
по переменной с. Если приравнять друг другу свободные члены этих
разложений, а также коэффициенты при первых степенях с, то получим
z(k) - P(k)£z(k - 1), 0. ft - 1] = f[z(k - 1). 0, * - 1]; (1.135)
P(k) "f^ Шк - 1) - Р(к - 1)с, с. к - 1]}^ =
= - -fj- ИЫк - 1) - P(k - 1)с, с, к- 1]}^. (1.136)
Если в (1.127) и (1.128) с принять равной 0, а г(0, ft. - 1) при-
J
нять в силу (1.133) равной z(k - 1), то с учетом (1.129) будем иметь
г(Ьс, kf) = *>[Г(0, kf - 1), kf - 1];
f[z(k - 1). 0, * - 1] = rfz(ft - 1). * - 1] - z[k/(k - I)];
rfz'fft - 1) 0 * - 11 = МЧгИО. *-!), ft-l], ft} (1.137)
дач* и. и. * ij ^[r(0 Л1) k {]
x Я~'ц - ЛМг(0, к-1), к -1]. k}} =
- э*ти*/(*-'>ь *i л-'( _ Л[;[Ш _ 01i k])m
bz[k/(k-\)]
В таком случае уравнение (1.135) для оценок имеет вид
;<*> = zwk - о + Pik) ttT['W-i>Mi x
Эг[ft/(ft-l)]
х/Г'(у - h{z[k/(k - D], ft}). (1.138)
71

Заметим, что уравнение для оценок (1.138) по форме совпало с
уравнением (1.97), полученным ранее из условия минимума для дисперсии
оценивания.
Рассмотрим теперь уравнение (1.136) для матрицы P(k). Для этого
нам нужно вычислить входящие в него производные. На основании
(1.129), (1.133) и (1.127) имеем
-fj- {f[z(k - 1) - P(k - 1)с, с, ft - 1]}^ =
= -fj- Mr(c k - 1), ft' - I] - G[r(c, ft - 1). ft -
- ЩО\г(с, ft - 1). ft - l]^_,[(ft - O/ftM^ =
= -|^- {*[z(k - 1) - P(k - l)c. ft - 1] - G[z(k - 1) -
- P(ft - \)c, ft - l]QjGT[z(k - 1) - P(k - l)c, ft - (1.139)
- IjT'Kft - l)/ft]c} 5_ ay[»(ft-l),ft-ll x
^ az(ft-i)
x P(k - 1) - G[z(ft - D.ft - l]QjGT[z(k - D.ft -
- i] *ГИ*-■>■*-'! 4 _ P[m _ 1)]x
az(ft-i)
' 3^[z(ft-l),fe-l1
bz(k - i)
5
В силу С = 0 имеет место цепочка равенства X[(ft, — \)]/kf = с =
0; M[(ft. - l)/ft.] = 0: W'(k./kf) » 0;
3/{z[<ft, - 1 )/*.].*,]
*[(ft. - D/ft.] = : L l L- .
' ' 3z[(ft--l)/ft.]
72

где P[k/(k - 1>] = *[««Г1>.*-'1 P(k _ „ ^\z{k-X).k-X\ +
dz(k-i) dz(k-i)
♦ G[z(k - 1). k - l]QjGr[z(k -I), k- 1].
Перейдем теперь к вычислению производной bg/Ъс, входящей в
(1.136). На основании (1.128). (1.129, б). (1.127) и (1.133) получим
-^ Шк - 1) - P(k - 1к, с, к - 1]}^ = -^ {ф~1[(к -
dhTW[z(k-l)- P(k-\)c,k-l]- GQjG7* l[(k-\/k]c,k}
- \)/k\c * S s z : x
3M:(H)- P(k-l)c,k-l]- GQjGT4> l[(k-l/k]c}
n.-l
* Rk№k) - Цф(к - 1) - P(k - l)c, k-l]-
- GQjGYhik - №]c, k}}}^,
где G = G[z(k - 1) - P(k - l)c. k - 1].
Продолжая вычисления, окончательно получаем путем изменения
порядка дифференцирования по с и по z
Ьс шс=0
„-1
Р '[k/(k - 1)] -
bz[k/(k-\)\
э/,т[>/(*-,)1,*1 R-jm _ h[;[k/ik _
bz[k/(k-D]
}p[k/<k - 1)] ^H*-»),*-.]
Из (1.136), (1.139) и (1.140) следует
(1.140)
гъ-1
P(k) = \Р l[k/(k - 1)]
3z[*/(*-!)]
bhJ\z\k/{k-\)U\ R-i{y{k) _h['z[k/{k _ l)]k)
L bz[k/(k-\)\
(1.141)
73

Читатель может самостоятельно убедиться в том, что матрица -г— х
Н—а R 1у ~ Л(г)]г. входящая в выражение (1.141), всегда
является симметричной (для этого рекомендуется сначала рассмотреть
пример для случая, когда у = h (z , z ) «■ у и у= М*Г V * V'
Вместе с указанной матрицей, как это следует из (1.140), будет
симметрична и матрица P(k).
Вычисление матрицу P(k) по формуле (1.141) требует обращения трех
матриц, вычислительные трудности могут быть уменьшены с помощью
следующего приема.
Определим матрицу Н, с помощью соотношения
И\Ч\
bz[k/(k-\)\
bhr\z\k/(k-\)],k]
л X
dz[k/(k-D]
*RklW) - h[z[k/(k - l)],k]}
(1.142)
Тогда, опираясь на известную [9] лемму об обращении матрицы
(Р~1 * HrR~lH)~l = Р - PHT(HPHr * R)4HP, (1.143)
из (1.141) и (1.142) получим формулу для рекуррентного вычисления
матрицы P(k):
P(k) = P[k/(k - 1)1 - P[k/(k - \)\Н^НкР[к/(к -
- l)]HTk * R]~lHkP[k/(k - 1)]. (1.144)
Для нелинейной стохастической дискретной системы вида (1.115)
получаем окончательно следующую сводку формул для алгоритма
нелинейной фильтрации, оптимального по критерию МАВ:
a)zkszk/(k-i)*Klyk-h{zk/(k-iYk)]'
rflez*/(A~i)=*(z*-i'*-1):
б)Р*/он>-фЛ-1ф1 + <Ь- (1145)
74

1 \k-\tk-[)
B) % w* ~ I s
3z*/(*-l)
Сравним два нелинейных фильтра (1.97) и (1.145), предназначенных
для оценивания фазовых координат у одинаковых стохастических систем
(1.95) и (1.115), но (суб) оптимальных по разным критериям. При этом
фильтр (1.97) обеспечивает получение оценок z,, имеющих минимальные
дисперсии для своих погрешностей, а фильтр (1.145) - получение
оценок z,, доставляющих максимум для апостериорной плотности
распределения.
Из сравнения видно, что они отличаются только способом
вычисления матрицы Н.. Заметим, что для случая, когда функция Л линейна
относительно z (а объект при этом может быть и нелинейным), оба
фильтра совпадают друг с другом.
Пример 7. Пусть из точки О излучается радиосигнал с длиной волны X
начальной фазой if . Тогда в подвижной т
ки О на расстояние $(/). этот сигнал будет равен
6
Напомним читателю уравнение синусоиды, 'бегущей' вдоль оси X со
скоростью С. Оно имеет вид y(t) = Asm
27Г , ,v
т— (X - d) ♦ tf
75

y(t) ш Ask\{2*\ l[s(t) -Ct] * vQ} + V. <p0 - 0, (1.146)
где V — ~белый~ шум интенсивности г'.
Предположим, что на точке м имеются точные часы, измеряющие
текущее время /, радиоприемник, воспринимающий сигнал у it) (1.146). а
также навигационное устройство (типа счисления пути), с помощью
которого можно определить расстояние Sit). Предположим, что указанное
расстояние S(t) определяется (в течение времени проведения
наблюдений) с постоянной погрешностью &S, так что S it) « S(t) ♦ As.
По дискретным наблюдениям У(*у) ж Уи п su m su * &S требуется
*
оптимальным образом оценить расстояние S- - S, — &S,.
Поставленная задача может быть сформулирована на языке нелинейной
фильтрации, если ввести обозначение As - z. В таком случае уравнение
состояния и уравнение наблюдения приобретают вид
Vz^:Zo€/V(0-ffo):ao<X:
_j ф (1147)
у, « Asu\[2n\ (s, - z, - d,)] * v.; v. € N(O.r).
Решим задачу оценивания Z, « As двумя методами: с помощью
алгоритма (1.97) по критерию минимума апостериорной дисперсии (МАД) и с
помощью алгоритма (1.145) по критерию МАВ.
Для первого алгоритма имеем соотношения. вытекающие из (1.97) и
(1.147)
. и Ък I *
Ф " ,: Zkl(k-\) ' Zk-V "k " Ъг z.„. 14 '
• R/(ft-l)
• - 2яХ Aos[2lt\ is. - z. - (i.)\ -
• - 2irX Аххф.; ф. - 2irX (S. - Z. - d.);
p2 ^2 (I.148)
Pk/(k-l) * Pk-\- Pk " Pk-\ ~~ ~2 : P0 ' V
Pk-l"k * Г
V Vl-V/X'^-
Te

28
20
12 V
4-
-4
-12
-20
МАВ
16 W 80 112 Kb 176 206
i
"I Г
МАД МАВ
272 A
I
Рис. 1.20
На рис. 1.20 сплошными линиями приведены две симметричные кривые
для величин +ЗгР, и кривая для погрешности &, « Z, - As, вычисленных
по методу МАД при следующих значениях параметров: X = 300 м; О *
|2
-20 м: А - 1; Г
■ If Г
» 10 м; $ - 10000 м - (300 м/с*/,); As.
2 8
= 0,25 А ; 0.25 - отношение шум-сигнал; С - 3*10 м/с; сМ « 0.3 м.
Для второго алгоритма (оптимального по критерию МАВ) имеем
соотношения, вытекающие из (1.145) н (1.14?)
^ t А Л „,2-1 -1 Э
Ъг
-1
k-\
х [- 2jtX АхяфЛу, - Авкф,)];
А/^2 - (2irX~!)2[Aan^(^ - А*ц^) * А2ом2ф^:
(1.149)
pk' Vi
P .a2:
0 0
zk ' Vl - №~Ч - ***>' "* - ^"W*.
77

На рис. 1.20 пунктирными линиями приведены
±зкр/ и
погрешности 5s,
= Z. — As, вычисленные по критерию МАВ для тех же условий, что и в
предыдущем случае.
В рамках данного примера остановимся на имитации отказов
(неправильных показаний) у датчиков и на их влиянии на процессы фильтрации.
На рис. 1.20 приведен характерный момент времени £'= /,, k = 241. на-
Ф *
чиная с которого прибор.
измеряющий дальность S, , дает в своих
показаниях дополнительную постоянную погрешность, равную +70 м. Как видно
из рис. 1.20. обе оценки (МАД и МАВ) получают с этого момента. если
не принять никаких мер. большие и неустранимые в дальнейшем
погрешности. Рассмотрим возможность обнаружения у данной пары приборов отказа
(разладки) без установления факта — какой именно прибор отказал.
Ранее мы доказали. что квадратичная форма (1.68) распределена по
2
закону Y с ТП степенями свободы. Для рассмотренного примера это озна-
ТП
чает, что статистика (функция от измерений)
h-ti
€Х,
(1.150)
А
16
/4
12
10
8
6
4
2
•
I
"
ш
J
I
и
lilmiinM
III
60
2W
а)
к
Рис.
lijfi
60
Ш
1.21
,! "!
б)
78

a)
ffi
60
2W
Рис. 1.22
S)
распределена no закону X, c одной степенью свободы. Интервал, в
который реализация JUL попадает с вероятностью 99.8 %. для этого
распределения имеет вид [1б]
0.157-Ю"5 < Д. < 10.8.
к
(1.151)
Выполнение неравенств (1.151) свидетельствует об исправной работе
обоих датчиков: радиоприемника, измеряющего у<, и системы счисления.
измеряющей S, .
На рис. 1.21. а и б приведены графики изменения JLI, для случаев МАД
(а) и МАВ (б) фильтрации. В момент времени V 9 который соответствует
шагу k = 241. значение As,, как уже говорилось ранее, было скачком
изменено дополнительно на +70 м и стало равным 90 м. что имитирует
сбой (неисправность) в работе системы счисления. Заметим, что
статистика JLL Для обоих видов фильтрации впервые превысила значение 10.8
через 63 шага после сбоя в момент / .
На рис. 1.22, а и б приведены графики изменения JLL для случая.
когда в тот же момент времени V дисперсия Г, при генерировании
последовательности V,, где
к
79

vk'^k€k-€k*N{0i)-rk
была увеличена скачком в десять раз. Такое изменение может
имитировать либо внезапную расстройку в работе приемного устройства, либо
попадание приемного устройства в зону повышенных помех. В этом случае
Д, для обоих видов фильтрации превысила значение 10,8 уже через
три шага.
Таким образом, совместная обработка сигналов от двух приборов
позволяет, во-первых, повысить точность проводимых измерений, во-вторых,
сигнализировать о неисправной работе одного из датчиков. что может
быть использовано для повышения надежности комплексной системы.
1.11.2. НЕПРЕРЫВНЫЙ АЛГОРИТМ ФИЛЬТРАЦИИ
ПО КРИТЕРИЮ МАВ
Алгоритм фильтрации в непрерывном времени, оптимальный по
критерию МАВ, может быть получен из дискретного алгоритма (1.145) путем
устремления шага дискретизации к нулю. Указанная процедура будет
аналогична проделанной нами в подразд. 1.9, когда был осуществлен
переход от дискретного нелинейного алгоритма (1.97) к непрерывному
нелинейному алгоритму (1.101).
Ниже без вывода приведем формулы для непрерывного алгоритма,
оптимального по критерию МАВ:
а) стохастическая модель для вектора состояния z(t) и вектора
наблюдения y(t) совпадает с принятой ранее моделью (1.98)
z(t) = ФШ) ♦ G(ztt)w'(t); yd) = h(zj) ♦ v(th
z(t) € N(mP); Mw'(t)w'T(t ♦ r) = Q'(№t); (1.152)
0 ZQ ZQ
Mv(t)v(t + t) = R(t)8(r); Mm'((M * r) = 0;
б) собственно алгоритм фильтрации
z(t) = ф(гЛ) ♦ P(t)HTR~l[y(t) - AU.fl]. (1.153)
где
ЪгЦ)
в) алгоритм вычисления матрицы P(t)

Pit) = AP + PAT + Q + Р(Лг- {HJ(z№ {[y(t) - h(zJ)]})P,
bz
(1.154)
где
A = b^J) ; Q = G(ztt)Q'(t)GT(ztt).
bz
В заключение материала по теории нелинейной фильтрации отметим
следующее. Для случайного процесса z(t) в нелинейной стохастической
системе вида (1.98) или (1.152) наиболее полной характеристикой
является условная плотность вероятностей f[ztt/y(r)t t < т < t] -
= f[zt t/Y(t)]. Советским ученым Р.Л. Стратоновичем в 1959 г. [7]
было выведено уравнение для указанной условной плотности f[zJ/Y(t)].
Это уравнение является как бы расширением уравнения Фоккера -
Планка - Колмогорова (1.43) на случай, когда о случайном процессе z(t)
поступает информация в виде измерений у(т), t < т < /.
Уравнение Стратоновича при (?'(/) = Е имеет вид
bf(zj) _ J Э . w 1 Э2
* = l i t>\M t i
*%**/ ♦ ffe/)to«) - аио./]}тх
х R l(t){h[z(t).t] -h[z(t).(\]. (1.155)
где
h[z(t)tt] =Mz(t).№z.t/Y(t)]dz ± MJz(t),t]}.
Уравнение (1.155) следует решать при начальном условии f(ztt ) =
= fn(z)> где f (z\ - априорная плотность вероятностей для начального
значения вектора состояния.
С помощью уравнения Стратоновича (1.155) могут быть выведены все
непрерывные алгоритмы оценивания как линейного вида (1.90), так и
нелинейного (1.101) и (1.153), полученные ранее. Такой подход (от
общего к частному) развивается во многих работах [17], [18]. /
Однако мы предпочли иной стиль изложения (от частного к общему),
полагая его более доступным и доходчивым, в особенности в условиях,
когда необходимо выводить алгоритмы фильтрации как для непрерывного,
так и для дискретного времени.
81

ГЛАВА 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ГРАВИТАЦИОННЫЕ
СООТНОШЕНИЯ В НАВИГАЦИОННЫХ РАСЧЕТАХ
2.1. ФИГУРА ЗЕМЛИ И ОСНОВНЫЕ НАВИГАЦИОННЫЕ
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
Рассмотрим основные геометрические соотношения, справедливые для
всевозможных точек, которые расположены либо на поверхности Земли,
либо в околоземном пространстве.
Главное внимание при изучении этих соотношений обратим на две
группы вопросов. Одна группа посвящена изучению положения каждой
отдельно взятой точки относительно Земли, а точнее говоря,
относительно систем координат, связанных с Землей строго определенным образом.
При этом, конечно, мы будем рассматривать системы координат, которые
нашли широкое применение в геодезии и навигации. Основных вопросов
здесь два. Их можно сформулировать так. Как математически задать
положение точки в пространстве относительно Земли? Как связать между
собой координаты одной и той же точки в разных координатных системах?
Для того чтобы ответить на эти вопросы, необходимо изучить фигуру
Земли и рассмотреть основные системы координат, заодно пояснив,
почему и в каких практических задачах эти системы сейчас применяются.
Другая группа вопросов связана с изучением расположения точек
околоземного пространства относительно друг друга. Каково кратчайшее
расстояние между двумя точками, когда они находятся в зоне взаимной
видимости или скрыты друг от друга линией горизонта? Каков азимут и
угол места одной точки из другой в обоих случаях видимости? Другими
словами, какова длина и первоначальное направление воображаемой нити,
натянутой между этими точками и никогда не пересекающей поверхности
Земли?
2.1.1. ФИГУРА ЗЕМЛИ
В геодезии и навигации рассматривается как реальная фигура Земли,
так и определенные ее идеализированные представления. Одной из
таких идеализации является фигура, называемая геоидом. Так называется
уровенная поверхность, которая в океанах совпадает с невозмущенной
поверхностью воды, а в зоне суши мысленно продолжается от
океанической зоны таким образом, чтобы направления отвесных линий были
ортогональны к ней в любой ее точке.
82

о
При таком определении геоида найти его поверхность можно только
экспериментально, определив линии отвеса во всех точках
околоповерхностной зоны Земли или зная распределение масс в теле Земли.
Теоретически фигуру идеализированной Земли можно рассматривать как
установившуюся форму вращающейся капли жидкости, плотность слоев
которой удовлетворяет определенным гипотезам. Доказано, что однородная
по плотности капля при относительно малых угловых скоростях имеет
форму эллипсоида вращения [19]
2 2 2
х У z t
2 2.2*
а а о
В случае неоднородной плотности форма будет незначительно
отличаться от эллипсоида вращения. Такую форму принято называть
сфероидом [19].
Нормаль к поверхности геоида по определению всюду совпадает с
направлением отвеса или с направлением вектора ^ удельной силы jra-
жести, которая представляет собой^ сумму удельной гравитационной g и
удельной центробежной сил - £2 х(£2 x R) (рис. 2.1)
^ = g - Й х(Й х Д),
где 12 = 15.04107 градус/ч = 7.292116-10 1/с - угловая скорость
Земли.
Для математического решения многочисленных геометрических задач,
возникающих в геодезии и навигации и связанных с определением коор-
83
я*(я*Я)
Поверхность
реальной Земли
Геоид
Общий земной
эллипсоид
Рис. 2.1

динат точек на земной поверхности и около нее, требуется задание
какой-либо опорной (исходной, базовой) поверхности. Поверхность
геоида для этой цели неприемлема из-за трудности задания ее в
пространстве в виде аналитических соотношений и сложности ее формы. По
этой причине за исходную поверхность принимают поверхность некоторого
эллипсоида вращения. Такой эллипсоид называется общим земным
эллипсоидом. Он полностью может быть определен условиями, которым должен
удовлетворять:
1) центр эллипсоида и плоскость его экватора должны совпадать с
центром масс Земли и плоскостью ее экватора;
2) сумма квадратов отклонений поверхности эллипсоида от
поверхности геоида (считая по нормалям к эллипсоиду) должна быть
минимальной.
В отдельных странах в качестве опорных принимаются эллипсоиды,
выведенные по результатам геодезических работ, охватывающих
территорию только данной страны. Такие "национальные" эллипсоиды называются
референц-эллипсоидами, они могут рассматриваться как подходящие
только для какой-то части поверхности Земли. Заметим, что оси
симметрии таких эллипсоидов могут не совпадать с осью вращения Земли, а
только быть ей параллельными.
Точно также и экваторы этих эллипсоидов могут не совпадать с
экватором Земли, а только быть ему параллельными.
Референц-эллипсоид определяется размерами своих полуосей а и в, а
также своим положением относительно тела Земли. Для задания его
положения требуется совместить одну из точек на его поверхности с
реальным пунктом на Земле. Кроме того, необходимо выбрать еще одну точку
на эллипсоиде, поставить ей в соответствие пункт на Земле и
определить азимут вторых точек из первых, одинаковый как для выбранных
точек на эллипсоиде, так и для пунктов на Земле.
Для решения задачи о привязке референц-эллипсоида к телу Земли
нам потребуется сначала дать несколько определений понятий,
связанных с точкой М (см. рис. 2.1). Даваемые ниже определения для разных
видов вертикалей, проходящих через точку М, и для разных видов
координат, порождаемых этими вертикалями, имеют большое самостоятельное
значение и используются практически во всех задачах геодезии и
навигации, а не только в указанной выше задаче привязки эллипсоида.
Линию МО (см. рис. 2.1) называют геоцентрической вертикалью в
точке М, линию МО', являющуюся нормалью к поверхности эллипсоида,
называют геодезической вертикалью. Обе эти вертикали являются
абстрактными геометрическими понятиями и не могут быть определены с помощью
84

физических измерений,
проводимых только в точке М. Линию
МО", направленную по вектору
g (см. рис. 2.1) называют
линией отвеса или истинной
вертикалью. Эта вертикаль
может бьпЪ определена из
наблюдений за положением
(или колебаниями) Маятника в
точке М.
Угол MOS называют геоцент-
Р \
Рис. 2.2
рической широтой у точки М, а угол MO'S между нормалью МО' к рефе-
ренц-эллипсоиду в точке М и плоскостью экватора OS - геодезической
широтой В этой точки. С помощью каких-либо физических измерений,
проводимых только в точке М, определить величины у и В, как и вертикали
МО и МО', невозможно. Физически можно определить (рис. 2.2) угол
Р'ММ' = 90 - ^ между линией MP' и линией отвеса ММ', направленной
по вектору $. Направление MP' (его называют "Осью мира")
определяется в точке М с помощью астрономических наблюдений. Точка Р' (так
называемый "Полюс мира") представляет собой для наблюдателя в точке М
единственную неподвижную точку на небесной сфере, не участвующую в
относительном вращательном движении. Она располагается вблизи
Полярной звезды. Вектор g определяется с помощью маятниковых приборов.
Угол у (см. рис. 2.1, 2.2) называют астрономической широтой точки М.
Астрономическая широта *р отличается от геодезической широты В
из-за явления, которые называют уклонением отвесных линий от
нормалей к поверхности референц-эллипсоида. Оно происходит из-за наличия
на Земле гор, впадин, рудных залеганий и других причин, связанных с
реальным рельефом Земли и неравномерном распределении масс в ее теле.
Уклонение отвесных линий происходит не только в меридиональной
плоскости, но и ортогонально к ней, как это показано на рис. 2.3. На
этом рисунке прямая линия М'МС направлена вдоль вектора ^, линия
МО' представляет собой нормаль к референц-эллипсоиду, а углы £ и tj
являются уклонениями в меридиональной плоскости и плоскости ей
ортогональной.
Астрономической долготой X точки М (рис. 2.3) называют
двухгранный угол между плоскостью РОХ Гринвичского меридиана и плоскостью
85

Рис. 2.3
Р' МС, которая задается осью мира MP' и
линией отвеса М'МС. Угол X можно
определить еще следующим образом. Будем
считать вектор СМ свободным, поместим
точку С в центр О Земли и спроектируем
этот вектор на плоскость экватора.
Угол между полученной проекцией и осью
ОХ будет равен X .
Задание положения референц-
эллипсоида относительно реальной Земли
осуществляется следующим образом . В качестве исходного пункта
выбирается конкретная точка М на местности и направление из данной
точки на другую фиксированную точку. Для выбранной точки и указанного
направления астрономическими методами определяются астрономические
координаты у , X и азимут выбранного направления а . При этом
астрономической широтой точки М (см. рис. 2.3, мысленно заменив в
нем точки М иМ' на М и ЛГ) называют угол у = 90 - L Р'МД =
~ Af 0"S, где Af Af' - местная отвесная линия, Р' М - линия,
параллельная оси вращения РО. Астрономической долготой X этой точки называют
двугранный угол между плоскостью РОХ гринвичского меридиана и
плоскостью Р'М ЛГ. Из гравиметрических измерений определяют
отклонения £ и т? местной отвесной линии М С от нормали МО' к выбранному
референц-эллипсоиду (см. рис. 2.3). Отклонения берутся в плоскости
меридиана (£ ) и ортогонально (п) к ней. Устанавливают также
высоту А этой точки относительно поверхности референц-эллипсоида. После
этого выбранной точке и направлению на местности приписывают геодези-
При первом чтении задание положения референц-эллипсоида можно
опустить. Оно становится ясным только после усвоения дальнейших
материалов второй главы.
86

ческие координаты В , L и азимут А относительно референц-эллипсои-
8
да по следующим формулам :
'•О = Х0 - V*»' (2.1)
V°o " ".Mr
Заметим, что принятие референц-эллипсоида, т.е. его размеров и
ориентировки в теле Земли, задает определенную систему геодезических
координат.
В СССР в качестве референц-эллипсоида принят (1946 г.) эллипсоид
Ф. Н. Красовского с параметрами а = 6378245 м, Ь = 6356863 м -
полуоси; е = (а - Ь )/а = 0,0066934 - квадрат эксцентриситета; а =
^. = 1_^Г7 =
1:298,3 - сжатие;
В0 = *0 " *0 = 59046'18'71" - °*16":
*•« = *!!- ^secB = 30°19'38,55" ♦ 3,54";
0 0 0 0
AQ = a*- Tj0tgB0 = 121°40'3б,13" + 2,66" -
на пункт Бугры;
В качестве исходного пункта, по которому ориентирован эллипсоид,
принят центр Круглого зала Пулковской обсерватории.
Эллипсоид Красовского, выведенный по большим астрономо-геодези-
ческим сетям, охватывающим СССР, США, Индию, близко представляет всю
Землю.
В 1967 г. в США был введен новый референц-эллипсоид с использова-
формулы (2.1) вытекают из материала, изложенного далее в под-
разд. 4.
87

нием всех старых и большого объема новых астрономо-гравиметрических
измерений, проведенных в различных районах Земли. Он принят в
мировой практике под названием [19] международного эллипсоида 1967 г.
Его размеры таковы:
а = 6378160 м. а = 1:298. 247.
Направление нормалей (см. рис. 2.2. 2.3) к эллипсоиду, как мы
установили, отличается от направления отвесных линий, нормальных к
геоиду, однако углы между обоими направлениями относительно невилики.
Среднее з*!ачение уклонений отвесных линий от нормалей к эллипсоиду
составляет [23] величину 3"...4". В некоторых (редких) районах
Земли эти уклонения могут достигать десятков угловых секунд,
например, на Западном Кавказе они доходят до 27", а в окрестности
Байкала - до 40".
В большинстве навигационных задач современной авиации уклонением
отвесных линий можно пренебречь и считать, что маятник ориентируется
по нормали к эллипсоиду. В отдельных задачах их все же следует
учитывать. Такой учет имеет смысл лишь в тех случаях, когда погрешности
бортовых датчиков вертикали меньше или соизмеримы с величиной
уклонений.
2.1.2. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК.
ЛЕЖАЩИХ НА ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПСОИДА
Рассмотрим точку М (рис. 2.4), лежащую на поверхности земного
эллипсоида. Проведем через нее нормаль NM к эллипсоиду, или, другими
словами, проведем через точку М местную геодезическую вертикаль. Угол
В между геодезической вертикалью и плоскостью экватора (см. рис. 2.4)
называется геодезической широтой точки М, а двугранный угол L между
плоскостью нулевого (гринвичского) меридиана и плоскостью местного
меридиана - геодезической долготой.
Для уточнения введенного ранее понятия астрономических координат
у , X точки М проведем сначала следующие рассуждения. Мысленно
поместим Землю в центр сферы бесконечного радиуса, на внутренней
поверхности которой расположены видимые с Земли звезды. Такую сферу
называют небесной. Ось вращения Земли пересечет эту сферу (рис. 2.5)
в некоторой точке, которая называется Полюсом мира Р' (она
расположена на небесной сфере рядом с Полярной звездой).
Точно также и всякая другая прямая линия, проведенная от любой
точки Земли (от центральной точки небесной сферы) до бесконечности,
88

Рис. 2.4 Рис. 2.5
будет давать на небесной сфере какую-то точку, след. Например,
геодезическая вертикаль NM (см. рис. 2.4). продолженная до бесконечности,
даст след М (см. рис. 2.5) на небесной сфере. Тогда дуга Р'М,
взятая на небесной сфере, будет равна 90 - В. Эту дугу
называют полярным геодезическим расстоянием точки М. Заметим, что в силу
бесконечности радиуса небесной сферы все параллельные линии,
исходящие из Земли, на небесной сфере будут "упираться" в одну и ту же
точку, т.е. давать одинаковый след. (Происходит это от того, что
угол зрения следов от двух параллельных линий стремится к нулю при
R -* оо). Астрономическая широта у места определяется на небесной
сфере как угол, дополнительный к дуге между Полюсом мира Р'и следом
ЛГ (см. рис. 2.5) местной истинной вертикали СММ' (см. рис. 2.3),
т.е. следом нормали к уровенной поверхности. Астрономическая долгота
X определяется как двугранный угол между небесным следом Р'Х
нулевого меридиана (см. рис. 2.5) на небесной сфере и меридианом следа
ЛГ истинной вертикали. Астрономические координаты у , X любой точки
Земли могут быть сравнительно легко определены из астрономических
наблюдений, проводимых из данной точки с учетом направления местной
линии отвеса. Определение геодезических координат В, L точек на
Земле представляет собой сложную задачу, связанную с
картографированием местности методами триангуляции и другими методами геодезии.
Объясняется эта сложность тем. что направление геодезической
вертикали в каждой точке носит абстрактный, а не физический характер.
Из рис. 2.3 и 2.5. ясно, что разность *р - В между астрономичес-
89

кой и геодезической широтами равна составляющей £ отклонения линии
отвеса от геодезической вертикали в плоскости меридиана
*«-*■«•
Разность X - L между астрономической и геодезической долготами
будет равна
Хд - L = ri(cas*pa) ,
где Tj отклонение отвеса от геодезической вертикали в плоскости
первого вертикала, т.е. в плоскости, проходящей через геодезическую
вертикаль NM (см. рис. 2.4) и перпендикулярной плоскости меридиана.
Если разностью между геодезическими и астрономическими
координатами пренебрегают, то их [19J иногда называют географическими
координатами. Понятие географических координат поэтому носит некоторую
неопределенность.
Угол \р (см. рис. 2.4) между геоцентрической вертикалью ОМ и
плоскостью экватора называется геоцентрической широтой точки М, угол
X между плоскостями нулевого меридиана и меридиана точки М называется
геоцентрической долготой (она совпадает с геодезической долготой L).
Рассмотрим связь между геоцентрической \р и геодезической В
широтами для точек, лежащих на поверхности земного эллипсоида (рис. 2.6,
а). Сечение эллипсоида плоскостью LOY представляет собой меридианный
эллипс, уравнение которого имеет вид
2 2
-V ♦ -т -1- (22)
а Ь
Как известно, значение производной dz/dy в точке ЛГ (см. рис. 2.6, а)
с координатами yt z равняется тангенсу угла между касательной к
кривой z(y) в этой точке и осью аргументов Y
-^- = -tg(90° - В) = -<tgB.
Дифференцируя (2.2) по у, будем иметь
-f---4f-4^- <2-з>
* а а
Сравнивая два последних соотношения, получаем
2
tgB = -^r- tgw tg* = -j- . (2.4)
Г У
90

Рис. 2.6
Формула (2.4) задает точную зависимость между В и у для точек,
находящихся на поверхности эллипсоида. Рассмотрим также и
приближенную зависимость между ви<р. Представим для этого *р в виде *р = В - д,
где м - малая величина. Малость ее следует из малости эксцентрисите-
2
та е . Раскладывая функцию tgy = tg(B - м) в ряд Тейлора
относительно В и подставляя далее результат разложения в (2.4), получим
1 Ь2
tg<p = tgB — м ♦ 0(м) = — tgB,
cos В а
где O(jLt) ^- обозначение малой величины высшего порядка от м;
ШпО(м)/м = 0 при м -> 0.
Из полученного выражения следует приближенная формула
М * 0,5e2sin2B * 0,5e2sinV. м * В - <?. (2.5)
2
Как видно из (2.5), наибольшей разницы 0,5е = 11,5' величины В и *р
достигают при широте, приблизительно равной 45 .
Заметим, что угол между геодезической вертикалью М'О' и
геоцентрической вертикалью М'О (см. рис. 2.6, а) как раз равняется углу д.
Таким образом, геодезическая вертикаль смещена в плоскости меридиана
относительно геоцентрической на угол д.
Рассмотрим теперь декартовы координаты х, у, z точек, лежащих на
поверхности эллипсоида. Для этого введем прямоугольную систему коор-
Погрешность этой формулы, как это будет видно из табл. 2.1. не
превышает 3''.
91

динат XYZ (см. рис. 2.4. 2.6. б). Ось Z направим по оси вращения
Земли, ось X - по линии пересечения нулевого (гринвичского)
меридиана с плоскостью экватора, а ось К - ортогонально осям Z и X.
Координаты z. у точки М' (см. рис. 2.6. а), лежащей на
меридианном эллипсе в плоскости YOL, связаны в силу (2.4) зависимостью
z-^igBy.
а
Подставляя значение z в уравнение (2.2) эллипса и разрешая
полученное равенство относительно у. полуздм
у = acosB ; z - 4" igBy = (;-e2)asinB . (2.6)
i/ 2 . 2D a i/ 2 . 2D
rl - * sin В r 1 - £ sin В
Мы рассмотрели случаи, когда поверхностная точка ЛГ лежит в
плоскости OEY (см. рис. 2.6. а). Пусть теперь (см. рис. 2.6. б) она
лежит в произвольной меридиональной плоскости, повернутой
относительно нулевого меридиана на угол долготы L. Для этого случая будем иметь
х = a£(B)cosBtosL; у = a£(B)cosBsinL;
z = а(1 - e2)№sinB; № = (1 - Ain2Bfl/2. (2.7)
Заметим, что расстояние R от центра Земли до точки ЛГ на поверхности
эллипсоида будет равно
R = (х2 * у2 ♦ z2)l/2 = a[cos2B ♦ (1 - s2)2x
х sin2B],/2(l - Ain2Bf1/2 = a(l -
- 0.5e2sin2B).«■ o(<?2) = a(l - 0,5e2sm\) + о(Л (2.8)
2.1.3. КООРДИНАТЫ ТОЧЕК. РАСПОЛОЖЕННЫХ
В ОКОЛОЗЕМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Из рис. 2.6. б следует, что координаты точки М. вознесенной над
эллипсоидом на высоту Л = ММ\ в соответствии с (2.7) будут равны
х = a£(B)cosBcosL «■ hcosBcosL = (of «■ /t)cosBcosL;
у = a£(B)cosBsinL ♦ AcosBsinL = (a£ «■ A)cosBsinL; (2.9)
z = a(l - *2)£(B)sinB * /rsinB = [a£(l - e2) * /i]sinB.
92

Совокупность параметров В, L, Л полностью задает (см. рис. 2.6, б)
положение точки М в пространстве. По этой причине эти параметры
называют геодезическими координатами выбранной точки. Формулы (2.9),
позволяют по известным геодезическим координатам В, L и А вычислить
прямоугольные координаты х, у, z.
Часто возникают задачи, когда, наоборот, по заданным
прямоугольным координатам дг, у, z требуется определить В, L, А. К сожалению,
явно выразить В, L и Л через дг, у и z с помощью (2.9) не удается.
Поэтому мы рассмотрим рекуррентный вычислительный алгоритм, позволяющий
решить задачу перехода от прямоугольных координат к геодезическим:
(х. у, г) -* (В, L, Л).
Из (2.9) следует очевидное соотношение для вычисления долготы L:
L = Arcig(y/x)[-nt тг].
Дадим пояснения к последней записи. Символом Arctg(y/x) мы здесь и
далее будем обозначать круговое значение арктангенса, причем в
квадратных скобках будем обозначать принимаемый диапазон изменения угла.
Символом же arctg будем обозначать обратную тригонометрическую
функцию в смысле ее главного значения, когда величина угла лежит в
диапазоне [^ir/2, jt/2].
Если ввести обозначения s = signy, s = sigiu, то значение L
может быть вычислено по формуле
\*9\*
L = Arcig(y/x)[ir, п] = arctg % Ц[ _ . ^ ♦
*-f-V,-,i)*'f*a-l«,l)(l "V- (2Л0>
Заметим, что в некоторых случаях (в основном для вычисления
всевозможных азимутов и курсовых углов) вычисляемое значение угла А
лежит в диапазоне [0,2*г] и отсчитывается от линии у по часовой
стрелке. В этом случае следует применять формулу
А = Arctg(x/y)[0,2n) = arctg y+(| _ . .) ♦
♦-f- « -», - V«> - "Г « - 1«,|)<» *'«,)• <2Л1)
В справедливости приведенных выше двух форм вычисления круговых
арктангенсов читатель может убедиться самостоятельно, рассматривая
их значения во всевозможных квадрантах.
93

Из (2.9) следуют очевидные соотношения
= Ух * у =
т = Кг ♦ у = <<* ♦ A)cosB;
А = [(AcosB)2 ♦ (AsinB)2]l/2 =
= {</п - afcosB)2 ♦[«-(!- <?2)afeinB]2},/2; (2.12)
sinB z(a% ♦ A)
m[a(l -e2)t + A]
*В = cosB - _,_,. .f
Эти соотношения позволяют получить следующий итеративный алгоритм
вычисления А и В:
/о 2 —1
т- Ух ♦ у ; В = <р = arctgzm ; ifc =
= 1, 2, ...; *ы = (1 -в281П2ВыГ1/2:
Л^ = {(т - o£(bl)cosBbl)2 ♦ [г - (1 - (2.13)
*(оЕы * А^)
В = arctg — .
* т[а(\ -е\_{ ♦ Afc]
Остановка вычислении производится, когда значения |Л- - Л, | и
а|В, - В. | становятся меньше наперед заданных допусков ДА и аДВ .
Пример 1± Пусть геодезические координаты точки, находящейся над
Северным морем, равны В = 55 = 0.9599311. L - 0. Л - 12 000 м.
Требуется определить ее прямоугольные координаты.
На основании формул (2.9) имеем X « 3673537 м;(/ * 0;Z - 5211305 м.
Пусть теперь. наоборот. даны три указанные прямоугольные координаты
X. у, Z точки. Требуется с помощью итеративного алгоритма (2.13)
определить ее геодезические координаты В. L, А.
Значения допусков ДА и аДВ выберем равными 0.1 м. Тогда расчеты.
проведенные в соответствии с (2.13), дают следующие результаты.
Нулевая итерация: L = Arctg(y/jt)[-7r,jr] - 0; В - 0.9567780; Л - 0 м;
Q * 6390475 — радиус кривизны меридианалыюго сечения для В ■ 55 и
А » 12000 м. вычисленный по формуле (2.22); величина Q будет исполь-
94

зована далее для перевода угловых мер ДВ в линейные QAB; Л — Л -
» -12000 м; Q(B - В) = -20149.00 м.
Первая итерация:/* = 23435.88 м; Л - Л » 11435.88 м: В » 0.9599254;
Q(B -В) = -35.99 м.
Вторая итерация: Л - 12000.05 м; Л - Л = 0.05 м; В = 0.9599311;
Q(B - В) = 0.17-ю"3 м.
Третья итерация: Л = 12000.00 м; |Л - Л| < 10~3 м; В = 0.9599311;
Q\B3 -B\< Ю и.
Из примера видно, что итеративный алгоритм (2.13) вычисления
геодезических координат обеспечивает высокую точность. Заметим. что
процесс вычислений не остановился в этом примере на второй итерации
потому, что разности Л — Л и В — В превосходили заданные допуски.
Заметим далее, что в данном примере мы сначала решили прямую
задачу: (В. L, Л) —► (X, у, Z). Прямая задача может быть решена точно.
При решении же обратной задачи, которая носит итеративный характер,
точные значения В. L и А нам были уже заранее известны. Это дало
возможность определять погрешности вычислений Л. — Л и Q{B. — В) на
каждом итеративном шаге. Далее в примерах этот прием вычисления
погрешностей мы будем использовать многократно при исследовании точности
итеративных вычислений.
Кроме геодезических В. Lt h и прямоугольных х, у, z координат
употребляются также геоцентрические координаты <р, X, R точки М (см.
рис. 2.6).
Связь этих координат с прямоугольными задается простыми
соотношениями ^
/22
х = /?cos^cosX; ip = arctgz/vx «■ у ;
у = Лсо&^шХ; X = Arctg(y/jr)[-7r,7r]; 42.14)
/2 2 2
z = Asiity; R = Vx + у «■ z .
Соотношения (2.9), (2.12) и (2.14) позволяют осуществлять точные
взаимные пересчеты геодезических, прямоугольных и геоцентрических
координат относительно друг друга по следующей схеме:
95

(В, L, h) -^M (x, у. z) ъ—t (v, X, R).
Т2.13) {2iA)
Ранее мы получили зависимость (2.4) между широтами В и ip для точек,
расположенных на поверхности эллипсоида, когда А = 0. Рассмотрим
теперь эту зависимость при условии, что Л > 0. Из (2.9) имеем
t„ _ г (1 -е )£ + h/a . в . ..
**-—=7- JlThfa *B- (215)
Ух2 ♦ у2
Формула (2.15) является точной. Для высот полета, когда член h/a не
2 2 2
превосходит значения е (А < ае = 42,5 км) и величины е и h/a можно
рассматривать как малые одного порядка, формула (2.15) может быть
упрощена без существенного снижения точности. Сохраняя в ней малые
первого и нулевого порядка относительно указанных малых величин,
получим
igip = tg(B - м) = [(1 - е2) ♦ о(е\ h/a)]igB;
tgB - cos2Bm = tgB - e2tgB «■ о; (2.16)
В - i => м = 0,5*2sin2B «■ 0 = 0,5e2sin2^ «■ о.
2
Таким образом, при h < е а = 42,5 км можно считать, что угол м
между геодезической и геоцентрической вертикалями является функцией
только широты места и от высоты h не зависит.
Если учесть приближенные соотношения (2.8) и (2.16), то можно
получить приближенные простые формулы для взаимного преобразования
геоцентрических <р, X, R и геодезических В, L, А координат точки М:
В -у * 0,5*2sin2B * 0,5*2sin2^;
Z,-X*0; (2.17)
ft - А » а(1 - 0,5Ain2B) * a{\ - 0,5AinV
Погрешности вычислений по приближенным формулам (2.17) приведены в
т^бл. 2.1. Здесь в числителе даны (в метрах) значения (*р - *p)R> где
у - геоцентрическая широта, вычисленная по приближенной формуле
(2.17); if - геоцентрическая широта, вычисленная по точной
формуле (2.15);
R = /х2 + у2 + z = (of «■ A)2cos2B «■ [ag(l - е) ♦ A]2sin2B -
96

Таблица 2.1
в •
О,
0
5
АЛ '
Л, км
10
м
15
20
25
15
30
45
60
75
4.78 -3.59 -11.96 -20.32 -28.69 -37.06
-в,78 -8.77 -в,76 -в,75 -в,75 -в.74
30.91 16.42 L92 -12.57 -27.06 -41.55
-24.62 -24.60 -24.58 -24.56 -24.54 -24.52
71.48 54.75 38.01 21.28 4.55 -12.19
-26.95 -26.93 -26.90 -26.87 -26.84 -26.91
92.98 78.49 64.00 49.51 35.02 20.53
-6.85 -6.83 -6.81 -6.79 -6.77 -6.74
66.85 58.49 50.12 41.75 33.39 25.02
22.18 22.18 22.19 22.20 22.21 22.21
точное значение геоцентрического расстояния. В знаменателе (в метрах)
приведены значения AR = R - Л, где R - геоцентрическое расстояние,
вычисленное по приближенной формуле (2.17).
2.1.4. РАДИУСЫ КРИВИЗНЫ ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА
Рассмотрим радиусы Q и G кривизны двух линий, лежащих на
эллипсоиде и пересекающихся в точке ЛГ (см. рис. 2.6, б) пересечения
меридианного эллипса и кривой, получающейся от сечения эллипсоида
плоскостью первого вертикала, которая проходит через нормаль к
эллипсоиду и ортогональна плоскости меридиана. Кривизны этих линий,
взятые в точке ЛГ, называются главными нормальными кривизнами
эллипсоида.
Кривизна k = Q меридианного эллипса по определению k = dB/ds,
т.е. отношению приращения угла поворота касательной М'Т
/ 2 2
(см. рис. 2.6, а) к дифференциалу дуги ds = Vdy «■ dz = dy/sinB. Из
сказанного ясно, что k может быть представлена в виде k =
= sinBdB/dy.
4 - 993 97

2 —2 —1
Дифференцируя tgB = a b zy , вычислим производную dB/dy
1 JB
COS D
-4*в
a J
a2
~ 62
1
1
dV)
<*y '
i
jr
2
2
a
= *2
2 2n
1-е sin В
sinBcosB
У
-cigB-
(2.18)
Из (2.6) и (2.18) следует, что радиус кривизны Q =
нального сечения будет равен
IM
a(lV)
(1-е sin О)
a(l - *V.
меридио-
(2.19)
Кривизна k параллели, проходящей через точку ЛГ (рис. 2.6, а), есте-
2 _1
ственно, будет равна k = у , где у вычисляется по формуле (2.6). В
таком случае искомая кривизна k = С по теореме Менье [20] будет
равна кривизне k , умноженной на косинус угла между нормалью к
параллели и нормалью к поверхности
* = * cosB.
3 2
Из последнего выражения получаем
п = J—= ! = У = £
ft cosB
sB
/.2 . 2R>l/2
(1-е sin о)
of.
(2.20)
В табл. 2.2. приведены значения радиусов кривизны Q и С для разных
широт В.
В силу полученного соотношения (2.20)
G = y/cosB, у = CcosB. (2.21)
Из рис. 2.6, а следует, что G = |М'ЛГ|. Таким образом, центр W
кривизны (т.е. начало радиуса кривизны первого вертикала) лежит на
пересечении оси вращения Земли и геодезической вертикали. Это
замечательное свойство радиуса кривизны первого вертикала будет нами
использовано в дальнейшем.
98

Таблица 2.2
В. градус G, м Q. м
О 6378 245 6335 553
15 6379 675 6339 826
30 6383 588 6351 488
45 6388 945 6367 491
60 6394 315 6383 561
75 6398 255 6395 368
90 6399 699 6399 699
Учтем теперь при вычислении радиусов кривизны высоту полета над
эллипсоидом. Для этого рассмотрим поверхность, эквидистантную
эллипсоиду в том смысле, что каждая ее точка М (см. рис. 2.6) удалена от
поверхности эллипсоида на |ЛГЛ1| = Л. Для этой поверхности радиусы
кривизны Q и G будут равны
Q = а(1 - <?V «■ Л; G = & «■ Л. (2.22)
Из рис. 2.6, а и соотношении (2.9) и (2.22) вытекают формулы для
вычисления длин отрезков О'М, N0' и N0, которые понадобятся в
дальнейшем:
ОМ = z/sinB = аШ - е) * Л;
NO0 = NM- ОМ = G - ОМ = ofc2. (2.23)
NO = /VO'sinB = ofAinB.
2.1.5. ОРТОДРОМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
В навигации, как и в геодезии, большое распространение получили
геодезическая (В. L. Л), геоцентрическая (<р. X. R) и прямоугольная
(х. yt z) системы координат. Кроме этих систем в навигации широко
применяются так называемые ортодромические системы координат. Они
бывают двух типов: геоцентрического и геодезического, причем первые
получили более широкое распространение. По этой причине сначала
остановимся на них.
Ортодромической системой координат геоцентрического типа [21] (или
просто ортодромической системой координат) называется
геоцентрическая система, у которой полюсом Р (рис. 2.7) является произвольная
99

точка с геоцентрическими
координатами ^ . Х^ (будем считать
ро ро
для определенности, что полюс
ортодромическои системы всегда
лежит в Северном полушарии,
т.е. ^ > 0). Большой круг aV
ро
(см. рис. 2.7) в этой системе
называется ортодромическим
экватором или более просто -
ортодромией. Точка V этого круга,
имеющая наибольшую
геоцентрическую широту, называется вертексом
ортодромии. Положение текущей
точки М (см. рис. 2.7) задается
в ортодромическои системе следующими координатами: ортодромическои
широтой Ф, ортодромическои долготой Л и расстоянием R до центра
Земли. Ортодромическои широтой Ф[-тг/2, к/2] точки М называется угол
между радиусом-вектором R = ОМ этой точки и плоскостью ортодромического
экватора. Долгота ЛНг,*г] отсчитьшается по ортодромическому экватору
от точки а (см. рис. 2.7) пересечения ортодромического и
географического экваторов до ортодромического меридиана точки М.
Для определенности из двух точек (см. рис. 2.7) пересечения
ортодромического и географического экваторов за точку отсчета а
принимается та из них, которая лежит восточнее (а не западнее!) полюса Р
ортодромии. Эту точку принято называть восходящим узлом ортодромии.
Нетрудно понять, что координаты <fy, Ay вертекса ортодромии связаны
с координатами у
, X полюса ортодромии соотношениями
2
кро У ро
(2.24)
Для того чтобы величина \у лежала в диапазоне Hr.ir], последняя
формула может быть уточнена
V = xpo"signV + (I",signV,),r-
Аналогичным образом получаем, что долгота X точки а и долгота X
полюса ортодромии удовлетворяют условию
100

['
♦ тг/2, если -ir < X л < jt/2;
Xfl = | "" ж * (2.25)
\ - 3*г/2, если —-< X ~ < jr.
ро 2 рО
Рассмотрим теперь задачу вычисления геоцентрических координат <р,
X, Л по ортодромическим Ф, Л, R. Введем для этого дополнительную
прямоугольную систему координат X Y Z (как это показано на
рис. 2.7). Прямоугольные координаты х , ц, 2 точки Af в системе
*0*0Z0 будуг раВИЫ
х = ЛсозФссбЛ, у = ЛсозФэшЛ, z = /ЫпФ. (2.26)
Прямоугольные гринвичские координаты xt yt z и далее геоцентрические
координаты у, X, Л вычисляются на основании (см. рис. 2.7) очевидных
соотношений
х = x^cosX^ ~ wcos</> sinX^ «■ z sinv> sinX •
О 0 90 0 0 0 0 0
у = *osinXo ♦ yQcobpocosko - zosiiV0cosX0; (2.27)
*o ^0 о ^o
где X = X - угол между осями X и X (долгота точки а); у = -г- -
"" ^Ы) ~ Л/ "" ^Р073 точки вертекса;
* = *;* = arctg Z ; X = Arctg(y/jr)Hr,*r]. (2.28)
1/2 2
гX ♦ У
Соотношения (2.26)...(2.28) решают задачу вычисления \р% X, R по Ф, Л,
Л. Обратная задача (<р, X, Л) -> (Ф, Л, Л), как нетрудно видеть из
рис. 2.7, решается следующим образом:
х = Rco&icosX; у = Rcc&psirik; z = Asiity;
xQ = xcosXQ * ysinXo;
Уо = -xcos<posinXo «■ ycosv0cosK0 «■ 2siivo;
z = jrsiity sinX - {/sin^ cosX «■ zco&p; (2.29)
z
R = Я; Ф = arctg —==r ; Л = Arctg^/jr^H.jrJ.
1/2 2
101

Заметим, что решенные выше прямая и обратная задачи вида
(Ф. Л. R) 1 г—f (R, >р, X)
(V V
позволяют решить и задачу пересчета координат Ф , Л , R точки М,
относящихся к ортодромической системе с полюсом Л.Л^,. \^i)» B
координаты Ф , Л , Л, относящиеся уже к другой ортодромической
системе координат с полюсом P^J^P^^ \й9^ ^хема Решения этой задачи
имеет вид
В авиационной навигации большой круг (экватор) ортодромической
системы чаще всего задается геоцентрическими координатами у , X и
ip , X двух точек, лежащих на этом круге. При этом возникает задача
вычисления координат *р , X полюса Р ортодромической системы, у
которой этот круг является экватором, по известным координатам *р , X
и *«• *«•
2 2 _
Орты гиг радиусов-векторов Л и R точек М и М можно
представить в виде
*> v i9p v (2.31)
х = со&р cosX ; и = со&р sinX , z = siiw> ,
где /, /,_k - орты системы XVZ. _ _
Вектор г , являющийся векторным произведением векторов гиг,
направлен по линии ОР (см. рис. 2.7),
V = "V2 + V.:^ = V2-Vi- (232)
Отсюда получаем искомые угловые координаты (*р , X ) полюса Р
ортодромической системы
102

»
arctg
l*
ш
£
■\:
po >
если z__ > 0,
JX>
(2.33)
-I, если г
V>= An*
<o,
Hr.w].
В формалах (2.33) учтено, что полюс ортодромии Р может лежать
только в Северном полушарии. С какой целью в навигационной практике
используются ортодромические координаты? В основном они нужны для
проводки самолетов по так называемым частооргодромическим маршрутам.
На рис. 2.8 приведен пример такого маршрута. Здесь ab, be и at
представляют собой дуги больших кругов, проходящих через указанные пары
точек. Заметим, что дуга, соединяющая две точки указанным образом,
как мы знаем, называется ортодромией, а движение по ней из одной
точки в другую ортодромическим. Ортодромия на эллипсоиде не является
линией наименьшего расстояния между точками, однако близка к ней.
В силу указанной близости ортодромии к линии кратчайшего
расстояния (геодезической линии) и относительной простоты ее задания в
пространстве ортодромическое движение между двумя точками маршрута
нашло очень широкое применение в авиации. По частноортодромическому
маршруту, схематически изображенному на рис. 2.8, самолет движется
следующим образом. Из исходного пункта а маршрута (ИПМ) он попадает
в конечный пункт d маршрута (КПМ), перемещаясь по частным
ортодромиям ab
Г
be и с d и виражным кривым b b
c.v
которые служат
для сопряжения отдельных ортодромических участков маршрута.
Расстояния d_ = \b b\ и d00 = \ctc\ называются (см. рис.
2.8) ли-
~21 «Т» " "32 ПС1
нейными упреждениями разворота (ЛУР). Эти величины, как видно из
рис. 2.8, могут быть прближенно (для плоскости) подсчитаны по
формулам
d. . f = r.tg0,5|a. . I,
где
(см.
г.
I
рис.
= W./iglgy.) - радиус правильного виража;
2.8) между последовательными ортодромиями.
ам-1
- угол
103

Частноортодромический маршрут полностью задается кординатами (*р ,
X ) исходного пункта маршрута, координатами (<р., \.)i = 1, .... л - 1
промежуточных пунктов маршрута, координатами (*р , X ) конечного
пункта, а также радиусами сопрягающих разворотов.
Для того, чтобы провести самолет по частноортодромическому
маршруту в режиме автоматического или ручного пилотирования, необходимо в
каждый текущий момент времени располагать на борту значением 5.(0
бокового отклонения (см. рис. 2.8) самолета от i-й ("текущей")
ортодромии и горизонтальной дальностью D.(t) до ближайшего (/-го)
промежуточного или конечного пунктов маршрута. Эти параметры легко
вычисляются, если известны ортодромические (Ф., Л.) координаты
самолета, относящиеся к ортодромической системе, построенной на текущей
ортодромии как на экваторе:
-л.(/)|2 + ф*</)],/2.
Система управления самолетом функционирует таким образом, чтобы
боковое отклонение 5.(0 в каждый момент времени стремилось к нулю:
5. -* 0. Как правило, этого добиваются [22] с помощью надлежащего
отклонения элеронов при уходе самолета в сторону от ортодромии.
Принцип управления состоит здесь, как мы видим, в "обнулении" сигнала
5.(0 = Л(0Ф.(0, поступающего на вход системы управления от
навигационного вычислителя ортодромических координат.
При таком принципе управления до точки Ь. (см. рис. 2.8) в систему
управления для обнуления подается сигнал 5 отклонения от первой
ортодромии, а начиная с момента прохождения Ь подается сигнал 8
отклонения от второй ортодромии. Далее подается сигнал 8 , и этот
о
процесс продолжается, пока самолет автоматически не прилетит в
конечный пункт маршрута.
104

Nord
East
2.1.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ
ОРТОДРОМИЧЕСКОГО МАРШРУТА
Обеспечение прохождения самолета по частноортодромическому
маршруту требует не только расчета самих частноортодромических
координат Ф.(0, Л.(/) самолета, но также ряда других дополнительных
параметров. К ним относятся: а) начальный а и конечный а азимуты
частной ортодромии (рис. 2.9); б) углы а. . (см. рис. 2.8, 2.10) между
последовательными (пересекающимися) ортодромиями, в) угловые
расстояния /. . между парами заданных точек (рис. 2.9, 2.10).
Определение начального и конечного азимутов ортодромии. Пусть
частная ортодромия задается (см. рис. 2.9) парой точек М и М на
сфере. Нумерация точек выбирается так, чтобы движение происходило из
первой М точки во вторую М . Геоцентрические координаты *р , X и <р ,
X начальной и конечной точек ортодромии считаются известными.
Требуется определить (см. рис.
2.9) начальный а и конечный
н
а азимуты ортодромии.
Начальный азимут а [0,2эт]
представляет собой двугранный
угол, отсчитываемый от
плоскости РМ О исходного меридиана
по часовой стрелке к плоскости
105
Рис. 2.10

ОМ М ортодромии. Ясно, что искомый угол а между этими плоскостями
12 и
равен углу между нормалями к ним; опираясь на этот факт, мы и
определим угол а .
Нормаль л01 к плоскости ОМ^М^ ортодромии представляет собой век-
21
торное произведение
Заметим, что при выбранном порядке умножения векторов нормаль л
всегда будет направлена вправо по отношению к направлению движения из
точки М в точку М .
По определению векторного произведения двух единичных векторов
ОМ , v = 1,2:
v
ОМ = ix + jy + kz ;
V V V V
х = cos* cosX ; у = cos*p sinX ; z = siity
имеем
21
/
2 "2 2
X. Уг Z{
Ш- + /Vl21 + Ы
X
Si
Z
21'
1 *i
где i\ /, k - орты системы координат XYZ;
Л21 = Vl " "l V ^1 = " Vl + W Л21
(2.34)
^, " хгУ<
2*1
Г2
С точкой Af. свяжем (см. рис. 2.9) два единичных вектора n%wm и л. .
1 IE Is
Первый из них ортогонален плоскости РМ О исходного меридиана и
направлен на восток, второй направлен по касательной к меридиану и
направлен на юг:
х
"IE = *1Е + Ке + Ке: «U
is
♦ kn* ; л^ = -einXf, rr*ir% = cosX; л^ = 0;
is' IE
Г IE
IE
л* = siiv cosX: /r = siitysinX • n. = -cos^ .
15 1 1 IS 1 1 IS I
106

В таком случае искомый угол а начального азимута ортодромии бу-
н
дет равен , v
а = Arctg , lS 2\ [0,2тг].
Запишем последнее выражение более подробно. Главное значение
обратного тангенса в нем следует вычислять в соответствии с
формулой (2.11) |$ |ж
Arctg f [0.2*] - Arctg ^ j ♦ -f-<2 -
s{ = signy; s2 = sign*.
В таком случае все выражение для а в более подробной записи
приобретает ввд
хх у у z
л. л +л. п*+п. л
Z
А , IS 21 15 21 IS 21 Гл 0 , /rt осч
а = Arctg [0,2*]. (2.35)
н ^xxyyzz1 J
лл^лл f +n\jr. +л, л,
2Е 21 IE 21 IE 21
Для вычисления конечного азимута а ортодромии следует
использовать формулу (2.35), заменив в ней только векторы л и л ,
вычисленные в точке ЛГ, на аналогичные векторы лл и л . вычисленные в
1 v 2s 2E
точке М . В таком случае имеем
хх у у z z
лл n«SK гг+пл nt
а *~ 2S 21 2S 21 2S 21 /п ocv
а = Arctg , (2.36)
к ^ х х у у z z
2Е 21 2Е 21 2Е 21
где
лл^ = -sinX^; /rL = cosX • ллг, = 0;
2Е 2 2Е 2 2Е
лл = siityAcosX • /г = sin^ sinX • п = -чхк^л.
2S ^2 2 2S ^2 2 2S "^2
Вычисление угла а. . Нг.тг] между двумя смежными ортодромиями
(см. рис. 2.8 и 2.10) может быть осуществлено по формулам:
107

a . - a . f, если la . - a . . I < ir;
Hi Ki-1 I Hi Ki-11
a. . = la . - a . f - 2jt, если (a . - a . .) > тг; (2.37)
i,i-l | hi Ki-1 Hi Ki-1
.a . - a . t + 2trt если (a . - a . f) < -*.
L Hi Ki-1 Hi Ki-1
Рассмотрим теперь вычисление углового расстояния /91[0,jt] между
двумя точками М и М , заданными своими геоцентрическими координатами
«V х.и V V
Из изложенного выше вытекает следующий алгоритм вычисления:
г * ОМ = ix + jy «■ kz , v = 1,2;
j, Р ^ ^ У
jr = cos^ cosX ; у = со&/> slnX , z = siity ;
I = arctg _'_2 [O.ir].
(г,.г2)
В более подробном виде формула для I имеет вид
2 2 2 1/2
м-К»,»,-»/,) *0гЛ-у,) «Uj»,-*,»,)] : (238)
* ■ V, * »Л * W <и" "* »ll!fe *
♦ "Y (1 ~ sign*).
Формулы (2.35) и (2.38) для вычисления начального азимута а = а"
ортодромии и углового расстояния / между двумя точками М (^ , X ) и
МЛ\р * X ), задающими эту ортодромию, могут быть записаны в
достаточно кратком и удобном для вычислении виде. Если в (2.35) и (2.38)
провести подстановку входящих в них переменных, то нетрудно получить
следующие компактные выражения для вычисления а = а" и/ •
н 21 21
Ь{ = cas*2sin(X2 -\{);
Ь2 = cos^sinp - sin^cos^cos^ - \{); (2.39)
63 = siiVjSin^ «■ cos<p1cos^2cos(X2 - \{);
а" = arctgb/b10.2*]. I = arctg^ ♦ bbbJO.w].
21 в Г 2l ' J 21 ° 1 2 3
108

Пример. Самолет должен
выполнить полет (рис. 2.11)
по частноортодромическому
маршруту: ИПМ — Москва (В =
» 56°. L - 37°. ЛЛ - 10 км).
0
ППМ1 - Минск (В » 53.5°.
L » 28°. Л » 12 км) ППМ2 -
Рига (В - 57°. L = 24°.
12 км).
Л = 12 км). КНМ - Калининград (В - 54.5 . L
о о
Требуется подсчитать основные параметры этого маршрута.
Геоцентрические координаты (<£., X.. R.), / » 0.1. 2, 3 указанных
маршрутных точек, рассчитанные по формуле (2.9. 2.14), будут равны
о
V
V
= 55.821669 ;
= 55.316177°:
\>
Х.
■V
-w
«0
*1
= 6373588 м
= 6376469 м
tf = 56.824329 ; \ = L. R - 6375243 м:
^2 2-2 2
tf * 54.318230°; X - L,; Л - 6376113 м;
^3 3 3 3
Координаты полюсов частных ортодромий, вычисленные в соответствии
с соотношениями (2.33). будут равны
01 о Л01
V = 31.406794 ; X
ро ро
-117.046680 ;
if » 18.194919°; X12 - 144.182045°;
*ро ро
12
ро
23
22.225065
V23
ро
-104.681425
Начальный азимут а (см. рис. 2.11) первой ортодромии, углы а и
а между частными ортодромиями и конечный а азимут последней
ортодромии , подсчитанные по формулам (2.35). (2.37). здесь оказываются
равными
а » 248.067141°. ft - 87.760547°;
н 21
а - 401.478707°. а = 220.426912°.
32 к
109

Угловые расстояния / , / , / . определенные по формуле (2.38),
ь данном примере равны
/ « 0.100917 рад - 5.782101°,
/ « 0.073094 рад « 4.188005°,
/ - 0.058897 рад « 3.374549°.
В некоторых случаях возникает необходимость в вычислении угла
а [-я/2, п/2] (см. рис. 2.7) между меридианами ортодромической и
географической (геоцентрической) систем координат. Угол а считается
положительным, если точка Р лежит западнее точки М. Двугранный угол
а может быть подсчитан как угол между нормалями л и л к плоскостям
РОМ и РОМ соответственно. Учитывая, что
лЛ = О? бМ = i(y z - yz ) ♦ j(xz - х z) ♦ k(x и - xy );
0 0 9pO * pO pO pO pOT **"'*
po
x = cos^cosX; у = cos^sinX; z = sifty; n = -isinX ♦ /cosX;
n = isinX ♦ /cosX
получаем формулу для вычисления а :
а'0 = arctg
1У"1
К"* (2.40)
а' если -я/2 < Л < я/2;
если -я < Л < - —- или — < Л < я.
2 2
2.1.7. ОРТОДРОМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ТИПА
Ортодромическая система координат геодезического типа задается
геоцентрической широтой у' и долготой X' своего полюса Р
(рис. 2.12, a). Opmif, определяющий направление ОР на полюс е =
= icosip' cosX' ♦ /cos^' sinX' ♦ £sin<p' = ie + je ♦ te , в
^/ю po ' po po po pox ' poy poz
дальнейшем будем считать свободным вектором, начало которого можно
переносить в любую точку пространства.
110

Аналогично и орт е , задающий направление на узел а ортодромичес-
кий системы координат (см. рис. 2.12, а)
е = fcosX' ♦ /sinX' + fe'O,
а а ' а
тоже будем считать свободным вектором.
Ортодромической широтой Ф' геодезического типа для точки М
(см. рис. 2.12, а) называется угол, дополнительный к углу 90 - Ф'
между местной геодезической вертикалью о'М и свободным ортом е , а
ортодромической долготой Л геодезического типа называется двугранный
угол между плоскостью а'О'Р' и плоскостью МО'Р' Другими словами,
долготу Л можно определить еще и так. Если образовать векторный
трехгранник (с единым центром) из свободных векторов е и е и местной
вертикали О'М, то угол при ребре е будет долготой Л'.
ро
Необходимость в ортодромических координатах Ф\ Л' геодезического
типа возникает в тех случаях, когда на самолете в качестве основной
испол!:Зуется геодезическая или близкая к ней истинная вертикаль.
Заметим, что для произвольной точки М ее ортодромические
координаты Ф', Л' геодезического типа численно отличаются от
ортодромических координат Ф, Л геоцентрического типа.
Из определения величин Ф' и Л' вытекает, что они совместно с
геодезическими координатами В и L могут трактоваться как угловые
координаты центрального типа, если за центр координат выбирать подвижную
точку О'. В таком случае с помощью формального применения алгоритмов
111

(2.28 и 2.29) при отношениях эквивалентности ^ *-* В, X *-* L, Ф «—►
Ф\ Л <-+ Л\ R - 1 можно осуществлять вычисления вида
(В. L) * . у * (Ф\ Л'). (2.41)
Интересно ответить на вопрос, какую линию на поверхности
эллипсоида представляет из себя линия Ф' = 0? Из (2.29) для
рассматриваемого случая имеем цепочку равенств (^ -* В, X -*> L, R = 1);
Ф' =0; г^ = 0; cosBcosLsin^'sinX' - cosBsinLsiity'cosX' ♦
0 4)0 ч) 0
♦ sinBcos^' = cosBsiity'sin(X' - L) ♦ sinBcosp' = 0,
где *Q = ^ = 90° - ^. XQ = Xfl = A^ - 90°.
Из последнего равенства следует, что уравнение В = B(L) ортодро-
мического экватора Ф' = 0 имеет вид
igB = tg*p^cas(\y - L).
Заменяя в нем igB = (a /b )tg^, получим
А2
1g*sJY tgY**(Xy - L) = tg*T'cos(Xy - L), (2.42)
ГДС 2 2
^ = arctg[(67a)tg^].
Уравнение (2.42) задает на поверхности эллипсоида некоторую линию,
но уже в геоцентрических координатах \р = ^(Х), X = L. Покажем, что
эта линия представляет собой сечение эллипсоида плоскостью, которая
проходит через центр О и имеет своей точкой вертекса точку V" с
координатами \ру , ХЛ. Можно сказать, что эта плоскость представляет
собой (рис. 2.12, б) ортодромический экватор oAf, координаты полюса
которого равны
\р" = 90° - <л/, X' = X' ± 180°.
Для доказательства возьмем (см. рис. 2.12, б) произвольную точку
M(*pt X), лежащую на этом экваторе, и покажем, что для нее выполняется
условие (2.42).
Из сферического треугольника аМЬ по теореме синусов имеем
sin^J sin(X—X') cos(X—ХЛ)
sin<iy'' siaA sini4
112

Из сферического треугольника аРМ имеем
cos<p
cos<p,'
\x\aP
sin(180 -A)
>\пА
Подставляя значение sia4 из второго уравнения в первое, получим
sirup
sirup''
♦ -^*т- cos(X - X').
COSlA
(2.43)
Последнее соотношение совпадает с (2.42). Это доказывает, что
точки, удовлетворяющие условию (2.42), лежат на ортодромии, у
которой координаты вертекса V" равны <рЛ\ X'
Ответим теперь на следующий вопрос. Пусть даны две точки М (<р ,
*.) и Л1 (<д , XJ. Требуется найти координаты (</ , X' ) для полюса
1 222 ро ро
такой ортодромической системы геодезического типа, чтобы ортодромия
Ф' = 0 проходила через эти две точки.
Из изложенного вытекает, что сначала нужно стандартным способом
по формулам (2.33) определить координаты <р , X для полюса
ортодромии геоцентрического типа. Нетрудно понять, что они будут
совпадать (см. рис. 2.12, б) с введенными выше значениями (<р", X"). В
ро ро
таком случае искомые величины </ и X' могут быть вычислены с по-
J ро ро J
мошью соотношений
*ро Ypo *V V ро *V
= arctg
U
2 tg*V
= B17; </ = 90 - B17; X' = X . (2.44)
V *po V po po
Таким образом, если на борту самолета располагают координатами Ф'
иЛ' (анеФиЛ), то для проведения самолета по ортодромии между
двумя любыми точками М и М требуется только увеличить
геоцентрическую широту вертекса с величины у}
а
гТ
определенной по формулам
(2.33), до величины «рЛ = By = arctg
закону Ф' = 0.
*&*,
и далее двигаться по
ИЗ

Укажем теперь на другой, более короткий (тоже строгий), способ
вычисления координат (<р' , X' ) полюса ортодромической системы
геодезического типа, у которой ортодромия Ф' = 0 проходит через две
заданные точки М (В , L ) и М (В , L ). Он может быть выведен из
следующих рассуждений.
Выше мы получили две ортодромии cN" и aV. По ортодромии aV"
происходит реальное движение (Ф' =0), а ортодромия aV носит
вспомогательный характер, она нужна лишь для того, чтобы вычислить
параметры (у' , X' ). Указанные ортодромии обладают одним замечательным
свойством, которое заключается в следующем. Если произвольной точке М
на первой ортодромии (см. рис. 2.12, б) поставить в соответствие на
второй ортодромии точку АГ, имеющую ту же долготу L = X, то
геоцентрическая широта <р точки АГ будет равна геодезической долготе точки М:
<р(АГ) = ВШ).
Это свойство вытекает из следующих соотношений. Для точки АГ
(см. рис. 2.12, б) по аналогии с (2.43) можно вывести
tg^(AT) = tgvy;os(X - Ху).
2 2
Подставляя в последнее равенство tg<p' = ——- tg<fy = —-~ tg<fy' полу-
b b
чаем, что
2 2
tg^(M') = -^ tg^'cos(X " ^) = "V tgr^(Af) = igB(M).
b b
Из выведенного свойства вытекает способ вычисления координат (</ ,
X' ) полюса Р для ортодромических координат геодезического типа по
двум точкам М (В , L ) и М (В , L ), лежащим на ортодромии Ф' = 0.
Он состоит в следующем. Формально принимая геодезические широты В и
В за геоцентрические, по формулам (2.33) произвести вычисления
величин у и X' :
ро ро
[(В,. /.,). (В2. L2)] <*^ <^. XV,).
114

2.1.8. ОРТОПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ТИПА
Ортодромическую систему координат геодезического типа
(см. рис. 2.12, а), у которой полюс Р находится на экваторе в точке
(ip = О, X = X' - 90 ), принято называть ортополярной системой
координат. Ее положение относительно Земли полностью задается
значением долготы X полюса или значением долготы X' восходящего узла
ро a J
(рис. 2.13). Положение произвольной точки М относительно
рассматриваемой системы определяется тройкой числа (Ф\ Л', А),
представляющих собой ортополярную широту и долготу, а также высоту А точки М
над земным эллипсоидом. Заметим, что на рис. 2.13 (в отличие от
рис. 2.12, а) свободные векторы е не перенесены в точку N, а не
в точку О', что не меняет существа дела, но несколько облегчает
выкладки.
Для нахождения уравнений, аналогичных (2.9), которые должны
задавать связь между прямоугольными (дг, у, г) и ортодромическими
координатами (Ф\ Л', А) точки М, понадобится предварительно решить одну
вспомогательную задачу, имеющую и определенное самостоятельное
значение. Она состоит в вычислении значений £ и Л по известным
координатам X, у, И 2.
Из соотношений (2.12) с учетом третьего равенства в (2.9),
которое можно записать в виде
sinB = 2[of(l -Л* Af1,
вытекает цепочка формул
/2 2
т = Ух ♦ у = (а£ ♦
= <о£* h)/l -sin2B;
А = т{\ - z2[cb(\
.,-2,-1/2 с.
♦ Л] } ' - а£;
{ = {1 - А2[аШ
* tfV*.
A)cosB
2,
- е )
- е )
Два последних соотношения
представляют собой систему нелинейных
уравнений относительно неизвестных
Рис. 2.13
115

Л и {. Эта система может быть сколь угодно точно решена методом
последовательных приближений с помощью следующего итеративного
процесса:
lk = {1 - А2[<*ы<1 - е2) ♦ ЛЛ]"У,/2.
Таким образом задачу типа
Or, у, г) -+ (Л. \) (2.45)
будем считать решенной.
Из сказанного выше и рис. 2.13 вытекает искомый алгоритм вида
U, yt z) -* (Ф\ Л', А). (2.46)
Он представляется как последовательность приводимых ниже вычислений
Or, yt z) -+ (А, *); ON = aZehinB = <*А[аШ - г2) * Af1;
z =
• z + ON
- acosX'; x'
^ a 0
Ф'
Второй
(Ф',
= Arctg
искомый
, Л', А)
4 = z';Zo
= JtsinX' -
a
= xcosX' ♦ j/sin';
а а
__!__
0 У0
алгоритм
-* (x, yt z).
; Л' = Arctg
_1
/
*o
Нг.я].
(2.47)
обратный алгоритму (2.46), как это вытекает из проведенных
рассуждений, представляется как последовательность следующих вычислений
sinB = sinA'a^' (из сферического треугольника Р'М'6' на рис. 2.13):
* = (1 - Ain2BfI/2; NM = G = а£ ♦ Л; ON = afAinB;
х = G(sii^'sinX' ♦ созФ'собЛ'собХ');
а а
у = G(-siito'cosX' ♦ a^'cosA'sinX');
а а
z = Gcos<P'sinA' - CW.
Угол а между географическим WPM' (см. рис. 2.13) и ортополярным
NP'M' меридианами подсчитываете по формулам (2.40), если центры
116

прямоугольных координат X'Y' Z' и XJ'Z' поместить в точку N и
принять справедливыми для них следующие равенства: х = sinX\ у =
= - cgsX', z = 0, v = В, X = L.
а ро *
2.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ И АЗИМУТОВ
НАВИГАЦИОННЫХ ТОЧЕК
При вычислении расстояний и азимутов имеют место два случая. Один,
когда требуется рассчитать расстояние или азимут между самолетом и
точкой, находящейся в зоне прямой видимости, и другой - когда точка
скрыта за горизонтом. Первый случай представляет интерес для таких
навигационных систем, как радиосистемы ближней навигации, бортовая
радиолокационная станция, бортовой оптический визир-дальномер и сред-
неорбитальная спутниковая навигационная система (типа Navstar [5]).
У этих систем навигационные точки: радиомаяк, наземный ориентир,
навигационный спутник - находятся в зоне прямой видимости.
Второй случай представляет интерес для радиосистем дальней
навигации, когда наземные длинноволновые радиостанции могут находиться на
расстоянии нескольких тысяч километров от самолета и быть скрытыми
за горизонтом.
Здесь мы отдельно рассмотрим оба случая.
2.2.1. СЛУЧАЙ ПРЯМОЙ ВИДИМОСТИ
Предположим, что точки М и М (рис, 2.14) с координатами (В , L ,
А ) и (В, L , L ) находятся на расстоянии прямой видимости друг от
друга. Тогда линейное расстояние s между ними может быть вычислено
по формуле
*21 = ^*, - *2>2 * (yi ~у/ * {zi ~ V2 (2<48)
где (х , у , г) и (х , у , z ) - прямоугольные координаты точек М
1 1 I Л> Л* Л) \
и М , вычисляемые по формулам (2.9).
Таким же образом через прямоугольную систему координат (2.14)
вычисляется s и для случая, когда известны геоцентрические
координаты (<р , X , R ) и (<р , X , R ) этих точек.
117

Рис. 2.14
Рассмотрим вычисление азимута А и угла места д точки М ,
видимой из точки А! (см. рис. 2.14). С точкой А! свяжем координатный
трехгранник 1 JJ~* построенный следующим образом. Его ось / нал-
1 л О О
равлена по геодезической вертикали вверх, ось / касается меридиана
и направлена на Север, а ось / касается линии широт и направлена на
Восток. Заметим, что такой трехгранник называется репером
геодезической системы координат.
Из рис. 2.14 следует, что орты JJJ~ могут быть следующим
образом спроектированы на оси системы координат XYZ:
J = -tsinl ♦ /cos/, ;
/ = 4sinB cosL - /sinB sinL ♦ AcosB ;
/ = icosB cosL * /cosB sinl ♦ fcinB ;
где /, /, * - орты системы XYZ.
(2.49)
Проектируя далее вектор ММ = i(x - х ) ♦ j(y - у ) * k(z - z )
\ Z> Z> x Z> x Z> x
на оси / , /и / , получим искомые выражения
\l = ** JMM
2 I 2
[0,2я];
"21
arctg
J -ММ
3 1 2
[U1-m1m2)2*(j2-m1m/]1/2
(2.50)
118

1{'MXM2 = ^nL{(x2 -x{) ♦ cosL{(y2 -y{);
♦ cosBJ(z2 - z{);
J3M\M2 = cosB,cosL1<x2 - V * cosBlsinLl% " У\] *
♦ sinB (z - Zj).
Нетрудно понять, что обратный азимут А может быть подсчитан по
формуле (2.50), если индексы 1 и 2 поменять местами
Л = Arctg
^\nL2{x-x2).co*L2(yx4,2)
12
0 < А9Л < 2*.
12
^inB2cosL2(x1-X2)^inB2sinL2(»1-y2).cosB2(zi-z2) '
(2.51)
2.2,2. УРАВНЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ
НА СФЕРЕ И ЭЛЛИПСОИДЕ
Далее мы рассмотрим задачу вычисления взаимных азимутов А и А
и линейного расстояния s , измеряемого по поверхности между двумя
точками М (В , L , А = 0) и М (В t L , А = 0), расположенными на
till л» J» JL л
эллипсоиде. Эту задачу принято называть главной обратной
геодезической задачей. Для ее решения нам придется предварительно
познакомиться с материалом, относящимся к теории геодезических линий на
эллипсоиде и сфере. Известно [20], что кратчайшее расстояние между
двумя точками на поверхности
достигается именно на
геодезических линиях.
Пусть задана (рис. _2.15)
некоторая поверхность М =
= М(и, v) = Lx(ut v) ♦ jy(u,
v) ♦ kz(ut v) в виде векторной
функции от двух параметров и и
и, где I, /, k - орты
выбранной декартовой системы
координат XYZ. Линия М(и = var,
v = const), лежащая на поверх-
Рис. 2.15
119

ности. носит название линии и, а линия М(и = const, v = var) -
линии v.
Для примера рассмотрим векторные уравнения сферы и эллипсоида.
Уравнение сферы Л1(</\ X. /?) имеет вид
А%. X, /?) = iRco&pcosk ♦ jRco&psirik ♦ fcfoiity, (2.52)
роль параметра а здесь играет долгота X, а роль параметра v -
широта у. Линиями \(и) являются параллели, а линиями <p(v) - меридианы.
Из соотношений (2.7) получаем уравнение эллипсоида
— 2 2 —1/2
Af(B. L) = а(1 - е sin В) [fcosBcosL ♦ jcosBsinL ♦
* *(1 - *2)sinB]. (2.53)
Между параметрами u. v и В, L здесь имеют место следующие
соответствия
и «—► L. t; «—► В.
С каждой точкой поверхности M(ut v) (рис. 2.15) можно связать
векторный трехгранник JJ0K* который назовем репером поверхности.
Вектор / является ортом вектора М = ЭМ/Эа. а вектор / - ортом
вектора Af = ЪМ/bv:
/ = — М . / = 4" М . с = |М I, / = |М I. (2.54)
Будем далее предполагать, что линии и и v образуют ортогональную
координатную сетку М ФМ =0, или / ± J . Вектор / определим как
векторное произведение / = /,*/,,. Векторы / и / являются каса-
тельными к поверхности, а вектор / ортогонален ей.
«5
Рассмотрим произвольную линию M[n(s), v(s)]t лежащую на
поверхности. Под независимой переменной s будем понимать длину линии, т.е.
\dM\ = ds. Естественно, что касательная г = dM/ds к этой линии будет
лежать в плоскости, которая является касательной к поверхности. В
таком случае можем записать
г = / cosa ♦ / sina.
где a - угол между вектором г и вектором / . Продифференцировав г по
s, получим [20] dr/ds = kv, где k - кривизна линии, а v - ее главная
нормаль:
120

dr - dJ\ dJ2 da
1~ ' b» = 3— cosa ♦ -i— sina ♦ (-/.sina ♦ / cosa)-?— . (2.55)
d$ ds ds 12 ds
Так как приращения d/ и d/ единичных векторов / и / всегда
ортогональны самим векторам / и / , то имеем
dJ = со2/ ♦ со3/ , d/ = со1/ ♦ со3/ . (2.56)
1 12 13' 2 2 1 23 V '
2 1
Заметим, что со = -co . Последнее следует из дифференцирования
равенства / •/ = 0:
dJ 7 ♦ / d/ = (со2/ ♦ со3/ )/ ♦ (со1/ ♦ со3/ )/ = со2 ♦ со' = 0.
12 12 V 1 2 1 з' 2 2 1 2 3 1 1 2
Подставляя (2.56) в (2.55), получим
dr , / f . , ч1 da 1
—— = ki> = (-/sina ♦ / cosa) -т— ♦ —j—
ds 1 2 [ ds ds
3 3
со cosa+co sina
* / — -j—- = (-/sina ♦ /cosa)* ♦ /Jk . (2.57)
3 ds l 2 ; зл
Проекция k вектора кривизны kv на нормаль / носит название
нормальной кривизны поверхности в направлении, задаваемом углом а.
(Величина k зависит не от выбранной линии, а от свойств самой
поверхности [20].)
Проекция k этого вектора на касательную плоскость носит название
геодезической кривизны линии. Заметим, что вектор - /sina ♦ / cosa,
фигурирующий в (2.57), ортогонален орту касательной г = /cosa ♦
+ /sina. Ясно, что геодезическая кривизна линии будет равна нулю,
если нормаль v линии будет совпадать с нормалью / поверхности. Кри-
вая, лежащая на поверхности, которая в каждой точке имеет k = 0,
называется геодезической линией.
Рассмотрим дифференциальное уравнение геодезической линии. Из ее
определения следует
. da 1 л du 1 dv l /r> соч
k = -т— ♦ —:— = 0, -т— = — cosa, --г- = -г- sina. (2.58)
g ds ds ds с ds f
121

Последние два уравнения в (2.58) вытекают из сравнения друг с
другом соотношений
dM = Mdu + Mdu = cJ du ♦ fjdv и dM = Jtcosads * Jsinads,
u_ v _ 1 '2 1 2
причем с = \M | и / = \M |.
U 2
В соотношениях (2.58) мы пока не определили величину коэффициента о> .
2 —1 -
Из (2.56) следует, что о> = JJU.. Учитывая далее, что J - f М ;
/, = сНМ ; dJt = dc~ *M * c'ldM ,
получаем
J = c"1/"1^ dM = с~1Г1Ш M du + MM do).
1 V U V UU V UU
MM --J- 4-(Af)2 = -f-|^- = /-f-.
v uu 2 du v 2 bu bu
Определим M M . Продифференцировав по u равенство MM = 0,
получим
мм = -M м = - -J- 4— (An2 = -*-|£- .
t; ш и uv 2 bv и bv
Окончательно имеем
2 1 b[_ , 1 3c -
cj = r1- (to j — du.
\ с bu f bv
С учетом сказанного получаем следующие общие дифференциальные
уравнения для геодезической линии на произвольной
поверхности M(ut v):
ba 1 be du 1 bf do in i * if> i
(2.59)
du -l <fo .-l .
-7- = с cosa; —7— = / sina.
ds ds '
Соотношения (2.59) также могут быть записаны в виде
da 1 Г Эс Э/ . 1
du -1 * г.. (260)
-3— = с cosa; —7— = f sina.
ds ds '
122

В соответствий с уравнениями (2.52) и (2.54) для сферы имеем
М = М = R(-isu\ipcos\ - js\n<psirik ♦ bcosy);
Af = Л! = R(-icoSifisinK ♦ jco&pco&k);
f - \%\ - Л с - |MX| - *«**>.
В таком случае уравнения (2.60) геодезических линий на сфере
имеют вид
da _ 1 . dip sina dk cosa
ds = " Л W008*- d$ ^ • <fc flcos*> "
В отличие от дифференциальной геометрии в геодезии и навигации
угол а принято отсчитывать не от вектора / , а от вектора /
(направления на Север) по часовой стрелке. С учетом этого замечания
уравнения геодезических линий на сфере приобретают вид
da . , dp dk sina /Л/М\
—г— = smatgip; -^- = cosa; -т— = , (2.61)
da da da cos<p
где da = tfe/fl; a - угол между ортом / (направлением на Север) и
касательной к кривой. Он отсчитывается по часовой стрелке и
изменяется в пределах [0, я].
Можно строго доказать, что решениями дифференциальных уравнений
(2.61) являются линии, получающиеся от сечения сферы плоскостями,
проходящими через ее центр. Такие линии, как мы знаем, принято
называть большими кругами на сфере. Итак, на сфере геодезической линией
является линия большого круга. Кратчайшее расстояние между двумя
точками здесь имеет дуга большого круга, проходящая через эти точки.
Дифференциальные уравнения геодезических линий на эллипсоиде, как
это следует из (2.53) и (2.60), будут иметь вид
dA sin A . 0 dB cosA dL sin A tCk CCk,
If = —q- tgB: 1Г = ~Q~~ ; ЧГ - -G^B ■ (262)
где Q и G - радиусы кривизны (2.19) и (2.20); A - угол между ортом
/ (направленным на Север) и касательной к геодезической линии, т.е.
азимут геодезической линии.
Интересно сравнить разницу в длине пути для случаев, когда
движение между двумя точками, расположенными на эллипсоиде, осуществляется
по геодезической и по ортодромнческой линиям. Такое сравнение покажет
нам, насколько же ортодромия 'проигрывает' геодезической линии?
123

Рис. 2.16
Для этого осуществим
следующие геометрические
построения. Возьмем какую -
либо точку МЛВЛ, L , А *
7 О О О О
* 0), лежащую на поверх -
ности эллипсоида, и
проведем из нее геодезическую
линию с начальным азимутом А . Для этого мы должны решить систему
дифференциальных уравнений (2.62) с начальными условиями А , В , L .
На полученном решении A(s), B(S), L(S) зафиксируем точку М [В{$),
s
L(S), Л * О], выбрав значение S равным некоторому наперед заданному
значению (например 100 км, 200 км и т.д.). Через начальную точку М н
точку М проведем ортодромию (рис. 2.16, а). Это означает, что на
поверхности эллипсоида мы возьмем линию, которая получается, если его
рассечь плоскостью ОМ М . Сечение эллипсоида плоскостью, проходящей
через центр, вновь представляет собой эллипс (рис. 2.16, б) с большой
полуосью а н малой — С:
2 2, 22,1/2
С « (a cos \plj * Ь ski <рЛ) ; ifiy = aKCtg
T**v
где tfy « "— — if — широта вертекса выбранной ортодромии или,
другими словами, угол наклона плоскости ОМ М ортодромии к земному
экватору;
свободный параметр в параметрических уравнениях Z
Ыпру.
У ' аса$фу меридианного (см. рис. 2.6, а) эллипса; tgiA, * z/y
(b/a)\gipy.
Длина s' дуги ММ ортодромического эллипса аМ М (рис. 2.16, б),
т.е. искомая длина дуги ортодромии от точки М к точке М , может быть
определена по формуле (2.64), которая вытекает из цепочки очевидных
равенств: £ = ocosk, r\ = csinu - параметрические уравнения эллипса
(рис. 2.16, б), где и - параметр, связанный с центральным углом Л
соотношением
\g\ = r\l\ = (c/a)tgu.
124

"о ■ Аи*1т *ло| и us - An*lT *\J- (263)
Из определения дифференциала дуги [20] имеем
Л# = [(«)2 * (Л?)211/2 = (a2sin2ii ♦ c2cos?u)l/2du =
/t 2.2 vl/2, 2 t 2 2V/ 2
= c(l ♦ с sin a) an; € = (a - с )/c ;
, , /t 12.2 14.4
as = c(l ♦ — с sin u - — e sin « ♦
2 о
1 6.6 v .
♦ —— e-sin u + ...)au.
Заменяя в последнем равенстве степени синусов через косинусы
кратных углов
sin II = — (1 - cos2n), sin ii = — (- cos2u) =
1
= —- (3 - 4cos2u ♦ cos4n),
о
получим для трех первых членов ряда
$
ds' = с(А * А ооб2и ♦ A casAu)du; s' = / ds = (2.64)
"о
= c\A^us-uJ + 0,5/i2(sin2«s -
(2.64)
- sin2u ) + 0,25i4 (sin4u - sin4u )];
4.1234. 12
V!*tc -irei V"Te *
1 4 - 14
♦ 6 • A = — € .
16 ' 3 64
Формула (2.64) вычисления s' является приближенной.
Оценим величину погрешностей, возникающих при вычислении $' по
этой формуле. Ряд (2.64) является знакочередующимся. При его
вычислении в (2.64) мы учли только три первых его члена. Четвертый член
А , отброшенный в (2.64), равен
и
А= с f —— е sin бш/ы.
4 16
"о
125

Погрешность As' вычислении, как это известно для
знакочередующегося ряда, здесь будет лежать в диапазоне
6 6
2 а2-Ь2
где е = —-— .
max Л
Таким образом, погрешность вычислении по формуле (2.64) не
превышает 1.9 см на тысячу километров.
S
А
В
L
As
АА
s
S
А
КМ
рад
о
рад
о
рад
о
м
рад
км
рад
о
1-ю3
0.79161
45.356
0.11137
6.381
0.11132
6.378
0
0.139-Ю"4
ючо3
1.57178
90.056
2М03
0.81055
46.441
0.22131
12.680
0.22542
12.915
0
0.558* Ю"4
п чо3
1.72689
98.944
змо3
0.84313
48.308
0.32825
18.807
0.34519
19.778
0
0.126Ч0"3
12-Ю3
1.8713
107.218
4Ч03
0.89086
51.043
0.43040
24.660
0.47377
27.144
0
0.227-10~3
13М03
1.99766
114.457
126

Величины Л и Л в (2.63) представляют с одной стороны ортодроми-
ческие долготы точек М и М , а с другой - угловые расстояния
(см. рис. 2.16. б) между точкой а и точками М и М . которые могут
быть вычислены по формуле (2.39).
В табл. 2.3 представлены результаты вычислений, где As = $' - s
для случая, когда В = О, L = О, А = 45 . Значение АА = а - А.
фигурирующее в табл. 2.3. представляет собой разность между
начальным азимутом а ортодромии ММ и начальным азимутом А
геодезической линии. Угол а подсчитывается по формулам (2.39).
Таблица 2.3
5-Ю3
0.95575
54.760
0.52558
30.114
0.61447
35.207
0.18211
0.361Ч0"3
14Ч03
2.10277
120.48
6-ю3
1.04000
59.588
0.61109
35.013
0.77065
44.155
0.51923
0.530*10~3
15М03
2.18677
125.293
3
7-10
1.14539
65.626
0.68367
39.171
0.94499
54.143
1.16846
0.739*!0~3
16М03
2.25143
128.997
8-Ю3
1.27198
72.879
0.73956
42.373
1.11384
65.227
2.30059
0.994-10~3
3
17-10
2.29896
131.72
9-Ю3
1.41656
81.165
0.77499
44.404
1.56846
77.263
4.1411
0,130-10~2
18-Ю3
2.33136
133.577
127

S км 1Ч03 2Ч03 ЗЧО3 4-103
В
L
As
рад
0
рад
0
м
0,78708
45,096
1.56846
89.866
6,98456
0.77469
44.387
1.78836
102.466
10.8785
0.73898
42.340
1.99826
114.492
17.03902
0.68286
39.125
2.19146
125.561
25.8940
АЛ рад 0,16840 2 0,21440 2 0.27040 2 0,34240
Данные, приведенные в табл. 2.3, показывают, что разница As в
длинах геодезической линии и ортодромии является небольшой. Так,
например, для расстояния s = 8000 км эта разница составляет As =
= 2.3 м, а для s = 18 000 км - As = 229 м.
Эти результаты означают, что двигаться экономно из одного пункта в
другой можно и по ортодромии, а не обязательно по геодезической
линии, так как "проигрыш" в пути представляет собой здесь мизерную
величину.
Кроме того, из этих же результатов следует, что вычисление
расстояния между двумя точками целесообразно заменить вычислением длины
ортодромии для случаев, когда допустимая погрешность не превышает Ast
задаваемой табл. 2.3. Например, если расстояние между двумя точками
не превышает 5000 км, а допустимая погрешность равна 0,2 м, то в
соответствии с данными табл. 2.3 расчет геодезического расстояния
между двумя точками может быть заменен расчетом длины ортодромии
между ними по изложенной выше методике.
Результаты вычислений, приведенные в табл. 2.3, позволяют
качественно и количественно исследовать геометрию геодезической линии на
эллипсоиде. Изобразим условно вычисленную геодезическую линию
ММ (0 < $ < 18 000 км) в виде прямой линии (рис. 2.17, а). На
геодезической линии возьмем точки М„ отстоящие друг от друга и от
начальной точки М на 1000 км. При вычислениях через каждую точку М. и на-
128

Продолжение табл. 2.3
5Ч03
0.61009
34.956
2.36556
135.537
38.6457
6-ю3
0.52444
30.048
2.52215
144.473
57.3641
7-Ю3
0.42916
24.589
2.66206
152.525
86.0786
8-Ю3
0.32694
18.732
2.79050
159.884
134.0447
9-Ю3
0,21994
12,602
2,91018
166,742
228,6913
0.435*10 2 0.561*10 2
0.745*10 2 0.104*10 2 0.161*10 2
чальную точку М мы провели ортодромию. Зафиксируем (см. рис. 2.17,а)
начальную точку М и конечную точку М, ортодромии.
Естественно, что в точке М. боковое откло^юние z = ММ.< (см.
рис. 2.17, а) выбранной ортодромии ММ. от геодезической линии ММ
0,1V *
8 Ю 12 1<г 16 18. S-W~j,km
0,5\
25
50
100
150
\
V
\
1
J
5)
N
"1
М:
Ъ
S
~S* m 'jf/
'
. j
\ААк
а)
1 1
1
1
Рис. 2.17
5-993
129

будет функцией двух переменных / и fe, причем i < fe, z = z.,, г-, = 0.
Из прямоугольного сферического (!) треугольника М М.,М. (угол
М M.JA. - прямой) по теореме синусов следует
sin[(Af kM. )/a] %\п[(ММ.)/а]
k t si n90
Учитывая, что имеют место приближенные равенства
sin[(M..Af.)/a * (М.Ж)/а = г.хГХ. МЖ * s..
1 ik i ik t ik 0 i t
из теоремы синусов получаем выражение для z •
г.. = asin(Ai4. - AA)sin(a $.).
ife * * i
Вычисления, проведенные по последней формуле, представлены на
рис. 2.17, б в виде графиков. Из них следует, что для точек,
удаленных друг от друга не более, чем на 2000 км, максимальное боковое
отклонение ортодромии от геодезической линии не превышает 30 м, а для
расстояний, достигающих 8000 км, максимальное боковое отклонение уже
составляет 2900 м.
Заметим, что линии z($) бокового отклонения ортодромии от
геодезической линии вычерчены на рис. 2.17, а в двух масштабах. Крупный
масштаб (до 3 км) применен для линий с расстояниями s < 8000 км, а
мелкий масштаб (до 150 км) - для линий с расстояниями 8000 км < s <
< 18 000 км.
2.2.3. ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЛИНИЙ НА ЭЛЛИПСОИДЕ И СФЕРЕ
Для вычисления кратчайшего расстояния между двумя точками,
расположенными на эллипсоиде, а также для определения азимута одной точки
из другой необходимо через них провести геодезическую линию. Сделать
это непросто. Геометрически эту задачу можно решать методом
"пристрелки", т.е. из первой точки (В , L , А = 0) "выпускать"
геодезические линии с такими начальными азимутами А , чтобы они все ближе и
ближе подходили ко второй точке.
С точки зрения системы дифференциальных уравнений (2.62),
задающих геодезические линии на эллипсоиде, задача нахождения
геодезической линии, проходящей через две заданные точки, представляет собой
краевую задачу, когда на левом и правом концах системы (2.62) заданы
130

фазовые координаты В и L, а фазовые координаты А и s (к уравнениям
2.62 можно добавить очевидное уравнение s = 1; при s(0) = 0) являются
неизвестными ни на одном из концов (кроме начального значения
s(0) = 0).
Существуют различные методы решения краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений.
В геодезии и навигации указанная задача решается методом
установления специального конформного взаимно однозначного соответствия
между геодезическими линиями на эллипсоиде и геодезическими линиями
на сфере [23].
Рассмотрим сущность этого отображения.
Между геодезическими линиями на эллипсоиде и на сфере можно уста-
носить взаимно однозначное соответствие следующим образом. Одну
точку с координатами (В = 0, I, А = 0) возьмем на экваторе
эллипсоида. Другую точку с координатами (<р = 0, X = L , R) возьмем на
экваторе сферы произвольного радиуса /?. Решая системы
дифференциальных уравнений (2.61) и (2.62), проведем из этих точек геодезические
линии с начальными азимутами А = а . При этом за независимую
переменную можно принять, например, угловую меру а (2.61) дуги на сфере,
а переменную s в (2.62) рассматривать как фиксированную, но
неизвестную функцию от а, т.е. s = s(o).
Построенные таким образом геодезические линии мы и поставим во
взаимно однозначное соответствие друг другу.
Из уравнений (2.61), (2.62) для обеих геодезических линий
вытекают следующие дифференциальные уравнения
ds _ Gsi natgy? dA
da sini4tgB da
dL sInAcosip ds _ sirup dA
d\ GcosBsina do sinB da
dip _ ^ cosa da _ Q igA tgB da
dB cosA ds G tga tg<p dA
Выберем такое соответствие s = s(a), чтобы dAlda = 1 и тем самым
a = А (конформность).
Свойство конформности преобразования (свойство "одинаковости"
углов) здесь понимается в том смысле, что обе геодезические линии в
точках соответствия а и s(a) имеют одинаковые азимуты a = A.
131
(2.65)

Тогда дифференциальные уравнения (2.65) приобретают вид
а; <fe tgB ' °' dk sinB '
в) _d£ q_ _tgB_ _ 1-е2 tgB (266)
dB " C »«* i-Ai„2B lw
Система дифференциальных уравнений (2.66) имеет своеобразие. Ее
третье уравнение (2.66. в) замкнуто относительно переменных у и В в
том смысле, что другие переменные s. a. L. X в него не входят.
Дифференциальное уравнение (2.66. б) имеет частное решение
* = arctg(l/l -*2tgB) = arctgf-^ tgBL (2.67)
удовлетворяющее начальному условию ^ = 0 при В = 0.
Доказательство, что (2.67) является решением дифференциального
уравнения (2.66. в), следует из прямой подстановки (2.67) в (2.66, в)
dip V\-*2
i*(i-£ )tg В
, 2 . 2D tg<£
1-е sin В *^
1
2R
COS D
.^2
2 2n
1-е sin В
1
/7
Широту ift вычисляемую по формуле (2.67). в геодезии принято называть
приведенной широтой и обозначать буквой и, чему мы и последуем
далее. Итак.
[А - ArB). tg« = ^ 2— Ь
и = arctg(Kl - е tgB). tga = VI - е tgB = — tgB. (2.68)
Для справки (далее этот факт мы использовать не будем) заметим, что
приведенная широта и имеет [23] определенный геометрический смысл.
Если земной эллипсоид вписать (рис. 2.18) в шар радиуса R = а, то
приведенная широта и точки М получается параллельным (относительно
оси г) переносом точки М в точку ЛГ на шаре и измерением
геоцентрической широты точки М'.
Из соотношений (2.68) вытекают два равенства
V 1-е sinB . п s'inu /л ~лч
sum = — - и sinB = — ^ . (2.69)
J 2 . 2D J 2 Т
V\-e sin B V\-e cos и
132

Эти равенства легко получить, если
(2.68) представить в виде
. 2
sin U
f . 2
1—sin U
/t 2, sin В
= (1 - е ) —
l-sin В
и разрешить его либо относительно
sina, либо относительно sinB.
Уравнения (2.66, а) и (2.66, б)
с учетом введенного обозначения
\р = и и зависимостей tgu/tgB =
.•с
а)
в и (2.69) приобретают вид
ds
da
= C^ = _^W
/.2 . 2„>l/2
{1-е sin о;
«rl - e cos и = art - e (1
— /"
- sin и) = 6K1 *
e . 2
рлп и;
1-е
б)
rtL
в) и = arctg(
i/ 2 2
VI - e cos a;
(2.70)
/\ - e?tgB).
Дифференциальные уравнения (2.70, a, б) вместе с алгебраическим
уравнением (2.70, в) задают искомое конформное соответствие
геодезических линий на эллипсоиде и на сфере.
2.2.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Перейдем теперь к приближенному интегрированию (решению)
дифференциальных уравнений (2.70, а, б).
Рассмотрим первое уравнение
ds
da
= 6(1 ♦
1-е
. 2 Л/2
sin и)
(2.71)
Задача интегрирования уравнения (2.71) состоит в вычислении s при
условии, что текущая точка С (рис. 2.19) перемещается на сфере по
кратчайшей дуге mm большого круга из положения т (и , X ) в поло-
133

жение тЛи , X ). Речь идет о вычислении криволинейного интеграла
(2.71) по линии mm
I Ь[1
тлтл
1 2
е . 2 , v,l/2.
— sin u(o)\ da.
(2.72)
Прежде чем непосредственно вычислять интеграл (2.72), будет
удобно рассмотреть сначала основные координатные характеристики
сферической дуги mm, т.е. кривой, по которой ведется интегрирование.
Для этой дуги по формулам (2.39) могут быть вычислены ее
начальный азимут а и угловое расстояние / = а = а .
Кроме того, по формулам (2.33) могут быть рассчитаны координаты
(<р , X ) полюса ортодромии, построенной на дуге mm, а по
формулам (2.29) - вычислены ортодромические долготы Л и Л точек т и т
(ортодромические широты этих точек равны нулю).
Итак, по входным параметрам и , X , и , X могут быть проведены
вычисления (рис. 2.20) следующих выходных параметров: а , а ,
*m\^V^ \m^ ). "Л и Л . Союкупность формул, по которым ведутся
эти вычисления, имеет приводимый ниже вид. Назовем эту совокупность
вычислительным блоком № 1 (см. рис. 2.20):
Рис.2. 19
«!-*
А,—
l/2—^
Л2-^
блок№1
Рис. 2.
—*" °*2/
-^ff2f
1 /1
—*► Ар0 (Аа
+th'
20
-Ло
134

а) b = cosh sin(X2 - X{);
b = cosu sinu - sinu cosu cos(X - X );
b = sinu sinu + cosu cosu cos(X - X );
о \ Z> 1 Z> Z> 1
a21 = Arctg-^- [0.2я]; /f, = ^ = Arctgl^T^/^
б) x = cosu cosX ; jr = cosu cosX ;
y{ = cosu^inXj; y2 = cosu2sinX2;
z = sinu ; z = sinu ;
\\,ecmzp0>0,
l-l, если z^ < 0;
xpo:
s
z
I—I РРЛИ ^
po
X^ = Arctg ^ [-тг.я]; X = X =
po s *_л a o
z/x)
x«n * я/2- ее™ L * "Г"-
pO p0 2
Л - Зя/2, если Х^ > -f- ;
l pO pO 2
в) дг01 = xlcosX0 + tflsinXo:
и =5 -x со&р sinX ♦ u costf cosX ♦ z sin<p ;
y01 1^0 0 y1^^0 0 14)
x = ^cosX^ ♦ &,sinX •
02 2 0 *2 0
Улл = ~*,*costf sinX„ ♦ u cos</> cosX„ ♦ z sin<p :
*02 2^4) 0 y2^4) 0 2 0
A = Arctg— [-»,*];
01
Л2 = Arctg-^- [-*.*].
02

w
z
^/•k
a'
3
1
\^tf7^
4-
5
6)
Рис. 2.21
Вычисление криволинейного интеграла (2.72) включает в себя
переход к определенному интегралу и, естественно, вычисление нижнего и
верхнего его пределов. В нахождении указанных пределов для
определенного интеграла имеются некоторые особенности. Продемонстрируем их
на частном примере (рис. 2.21, а), когда Л = 160 , Л = -170 , а =
= а = 30 . Расположение точек т , т и а (восходящего узла) такого
вида, который изображен на рис. 2.21, а будет иметь место, если
линия mm лежит во втором и четвертом квадрантах (рис. 2.21, б).
Напомним, что по определению точка а всегда лежит восточнее полюса
ортодромии Р .
Нетрудно понять, что пределы интегрирования в рассматриваемом
примере должны быть взяты равными [Л , Л ♦ а ] = [160 , 190 ]. Как
мы видим, пределы не совпадают автоматически с числами Л и Л .
Поэтому требуются определенные рассуждения для их выбора.
Перейдем к определению пределов интегрирования в общем случае.
Если нижний предел обозначить буквой Л , то верхний предел будет
РЗВеН Л0 + V Si > 0>
Естественно, что нижний предел Л всегда будет совпадать с одним
из чисел Л или Л . Рассмотрим алгоритм выбора Л из пары
чисел (Л , Л ).
Значение a > 0 (уже известное ранее из формулы 2.73, а) может
еще раз быть вычислено по другой формуле:
136

6) в)
Рис. 2.22
21
|Aj -Л2|, если \А{ -Л2| < я,
2я - lAj -Л2|, если \А{ -Aj > я.
(2.74)
Из (2.74), в частности, следует, что величина о'
21
а ш связана с
21
числами Л и Л одной из четырех зависимостей:
а)Л2"Л, -ff2.=°:
б) Л.
A2-ff21
0;
в)Л2-Л2 + а21-2я = 0:
г)Л1-Л2 + а21-2я = 0.
Случаи а, б, в, г могут бьпъ проиллюстрированы с помощью рис. 2.22.
Нетрудно понять, что в случаях а и г значение Л следует выбрать
равным Л , Л = Л , а в случаях б и в - равным Л , Л = Л . При
таком подходе Л может быть вычислена (выбрана) с помощью формулы
0 <АгЛ2^21)(Л2-Лга21-2я).(Л2-Лга21)(ЛгЛ2.а2Г2я)
(2.75)
В формуле (2.75) коэффициенты при Л и Л равны либо 0, либо 1 в
зависимости от выполнения условий а, б, в или г. Заметим, что
дополнительное вычисление а по формуле (2.74) потребовалось для того,
чтобы указанные коэффициенты строго (!) равнялись либо 0, либо 1.
Добавляя к соотношениям (2.73, а, б, в) еще две формулы (2.74) и
(2.75), получим полный вычислительный блок № 1 (см. рис. 2.20).
137

Из сферического треугольника РаС (см. рис. 2.19), где С - текущая
точка кривой т т , по теореме косинусов следует
cosPC = cgsoPcosoC ♦ sinaPsinoCcos^ .
о о
Если учесть, что PC = 90 -ut аР = 90 , аС = Л, dA - da, то получим
sina = co&/> sinA. (2.76)
2 2 2—12
Введем обозначение * = е (1 - е ) cos \р , тогда
дифференциально
ное уравнение (2.71) будет представлено в виде
ds .,, -2 . 2AVl/2 -Г *2 . 2А kA . 4Д 1
—тт" = W1 ♦ * sin Л) * Ь\\ * —— sin Л - —— sin Л ♦ ....
a A i 2 8 J
Учитывая равенства
• 2Л 1 1 ОЛ . 4А 3 1 ОЛ 1 ЛА
sin Л = —- - —- cos2A; sin Л = — - — cos2A + — cos4A,
2 2 8 2 8
окончательно получаем
ds = b(A - Bcos2A - 2Ccos4A)dA, (2.77)
ГД6 ь2 , , ь2 ь* ь4
Л = 1 ♦ -т— -тт-*;В = 4- --7Г-.С- *
4 64 4 16 ' 128 '
Интегрирование (2.77) по dA в пределах [Л , Л ♦ а ] дает
'*i"*Ki --f-Isin2<A0 + ff21)-sin2Aol-
--f [sin4(A0 + a2l)-sin4A0]|.
С учетом тождества sina - sin/J = 2sm—-c- cos—-f— из последнего
выражения получаем искомую зависимость s = s (a t <Р^. Л ), т.е.
S21 = Ь[Аа2\ " Bsina2Icos(2A0 * а2\] ~ Csin2a21 x
х cos(4AQ ♦ 2a2J)]. (2.78)
Обратимся теперь к интегрированию второго уравнения (2.70, б). Из
(2.61) следует dk/do = sina/cosu. Из прямоугольного сферического
треугольника PCV (см. рис. 2.19), в сюю очередь, имеем (a = LPCV)
138

sing _ 1
sintf л cosH
po
В таком случае dX = -~— do. Разложим правую часть уравнения
COS U
(2.70, б) в ряд
dL = 1 - -т— cos u - —-— cos и - ... dX =
2 4 ^ s in«p
g 2 е 4 |__>о -
—— cos и ♦ --— cos u -^— da =
2 8 I 2
cos И
2 .
= dX - —^- 1 ♦ -J— - -J— sin и da.
Заменяя sina по формуле (2.76) и учитывая, что da = dA, получим
dk = dL + siity (a ♦ /3 cos2A)dA,
ГДС 2 .2
f. г2 *,z 2 1 2
1 *; '" ^ (2.79)
e 2
fl = cos ф .
Интефирование (2.79) в пределах [A , A ♦ a ] дает
X - \ = L - L ♦ siity fa a ♦ flsifKr x cos(2A„ ♦ a)],
у 0 J> 0 *p0l 1 21 4 21 0 21J
где X , L - пара, которая совпадает либо с парой XL, либо с парой
X , L в зависимости от того, с чем совпадает Л - с А или с Л ;
X , L - пара, противоположная паре А , L .
Последнее соотношение может быть записано в виде более удобном для
расчетов
К - *. = Ln - Lt ♦ Jisifty Ла,аЛ, ♦ tf.sincr x cos(2A„ + аЛ1)1,
2 12 1^ *р(Г 1 21 1 21 0 21 J
(2.80)
где
■р
♦1. *ш \Л0 - AJ - \AQ - At\ > 0.
«« 1Ло-Л2|-|Л-Л,1<0-
p. ewm |/vQ - /\2| - |/\ - /\( | \ и.
139

Заметим, что первое условие |Л - Л j - |Л - Л | > 0
эквивалентно условию Л = Л , а второе |Л - Л | - |Л - Л | < О условию
О 2
Проанализируем полученные результаты интегрирования трех
дифференциальных уравнений (2.66), которые задают конформное взаимно
однозначное соответствие между геодезическими линиями на сфере и на
эллипсоиде.
Итак, после интегрирования мы получили уже три алгебраических (а
не дифференциальных!) соотношения, которые связывают параметры обеих
геодезических линий. Эти соотношения, записанные вместе, имеют вид
a)u1(2) = arctg:(|/lT7tgBl(2));
б) $2. = *2,<V V Ло): (281)
•> *» - \ - W'(W V
Для решения каких задач можно использовать соотношения (2.81)?
Во-первых, с их помощью может быть решена задача, которая носит
для геодезии и навигации лишь вспомогательный характер (мы
используем ее далее для исследования точности решения главной обратной
геодезической задачи).
Указанная вспомогательная задача состоит в следующем. Пусть дана
дуга т , т на сфере, иначе говоря, пусть заданы координаты (и, X )
и (и \ ) точек т и т . Тогда по формулам (2.73 а, б, в, 2,74, 2.75)
могут быть рассчитаны сферические параметры а , а , у , X , Л
этой дуги.
Далее по формулам (2.81, а, в) могут быть вычислены координаты
(В , L{ = Xj), (B2, L2 = X2 - f(a2{t <р 9 Л)) начала и конца
геодезической линии, расположенной на эллипсоиде и соответствующей линии
mm на сфере. По формуле (2.78) может быть рассчитана длина этой
геодезической линии, а для ее начального азимута вычислений не
требуется, так как выполняется равенство А = а . Итак, нами решена
задача вида [т (и , \{). ^2("2» Х2>] * [M{(B{L{); M^B^)], когда
для любой дуги на сфере могут быть определены крайние точки отрезка
геодезической линии, отвечающего (соответствующего) этой дуге.
140

Во-вторых, с помощью (2.81) может быть решена задача, которую
принято называть главной обратной геодезической задачей: по
координатам начала (В , L ) и конца (В , L ) геодезической линии определить
ее длину s и начальный азимут А . Решение этой задачи будет
рассмотрено далее.
2.2.5. РЕШЕНИЕ ГЛАВНОЙ ОБРАТНОЙ
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ МЕТОДОМ БЕССЕЛЯ
Для решения главной обратной геодезической задачи необходимо
сначала решить промежуточную задачу отображения геодезической линии,
заданной на эллипсоиде, в соответствующую ей геодезическую линию на
сфере, т.е. задачу, обратную решенной выше вспомогательной задачи.
Для этого по известным (заданным) точкам начала М (В , L ) и конца
М (В , L ) отрезка геодезической линии на эллипсоиде нужно найти
точки начала т (и , X ) и конца т (и , X ) отрезка геодезической
линии на сфере.
Покажем, что с помощью соотношений (2.81) можно определить начало
/л (и , X ) и конец т (и , X ) отрезка геодезической линии на сфере,
если известны начало М (В , L ) и конец М (В , L ) отвечающего ему
отрезка геодезической линии на эллипсоиде.
Обе координат
дующим образом:
Обе координаты и и X точки т и широту и точки т найдем еле-
al/o^arctg(l^7tgBWoJ, X =^°.
в1(2) -«-■**" ^ *"\(2)" "l—i
Долгота X второй точки может бьп
(2.81, в) или, что все равно, из уравнения (2.80).
Долгота X второй точки может быть вычислена из уравнения
10
Первой точке /П в принципе может быть приписана любая долгота (в
том числе и наиболее естественная X ). Это происходит потому, что от
смещения геодезических линий вдоль параллелей (от поворота сферы) все
геометрические параметры геодезической линии остаются неизменными.
141

Соотношение (2.80) при уже известных и , X и и можно
рассматривать как нелинейное уравнение относительно единственного
неизвестного X . Действительно, величины а , а , /3 , X при фиксированных
и X и и являются функциями только X . Решив нелинейное уравнение
(2.80) относительно X , мы и найдем положение точки т .
Уравнение (2.80) можно решить методом последовательных приближений
(методом итераций).
Первая итерация. После вычисления приведенных широт и и и и =
/ 2 о
= arctg(rl - е tgB.)i = 1,2 положим X = L и для точек m (и , X ) и
/п (и , X ) с помощью вычислительного блока № 1 (см. рис. 2.20)
найдем величины а , а , <л , X . ЛЛ.
21 21 *р0 /Ю 0
Далее в соответствии с (2.79) и (2.80) вычислим новое значение X :
Г 2 2 ^ 4
1 е е 2 2 0 е 2
а. = Т~ * "Г"" - ТТ~ cos ^ к » 0. = ~ТГ cos ^J
1*2 8 16 р0 ■ 1 16 *р0
ХЛ = L ♦ jisinv? [а а ♦ 0isinanicos(2X/t ♦ аЛ|)].
2 2 р(Г 1 21 1 21 0 21 J
Последующие итерации. Они полностью повторяют первую.
Разница состоит только в том, что за начальное значение X в них
принимается значение X , полученное на предыдущей итерации X =
- L2 ♦ Д<'>.
После фиксированного числа итераций (обычно не более трех)
вычисления X останавливаются. Далее с помощью вычислительного блока № 1
определяются значения a , а , \р , X , Л .
По формуле (2.78) вычисляется искомая длина s , а искомый азимут
А в силу конформности отображений оказывается равным А = a .
В тех случаях, когда кроме прямого азимута А требуется
определить и обратный А , к проделанным вычислениям необходимо добавить,
как это вытекает из (2.39), следующие вычисления
142

bA - щихыЧ\х - X2): b5 = nytai, -
- sina2cos«1cos(X| - X2); An = aJ2 ■ Arctg-^— [0,2ir].
5
Пример.
Вспомогательная задана. Даны две точки на сфере с координатами
U « 43°33' 12.846"; U « 69°11 '38. 152" ;
X « 132°02'38.837"; X « 32°40'26,345".
Заметим, что 1'' соответствует линейное расстояние. приблизительно
равное 31 м, таким образом, точность задания координат здесь
порядка 3 см.
Требуется определить две точки на эллипсоиде, соответствующие двум
точкам, заданным на сфере.
На основании вычислительного блока № 1 имеем
a - 333°57'38.932" = 5.8287157854 рад;
О » 0.9245587573 рад;
<р « 0.3237736025 рад;
ро
^ - -2.083054312518 рад;
ро
Л - 2.3279476448 рад;
АЛ - Л:
0 2
Л - 1.403388887463 рад;
a » 63°35'39.337" = 1.1099292271 рад.
По формуле (2.68) вычисляем
В « 43°38'58.748'\ В - 69°15'27,84б" .
На основании (2.80) при L = X получаем
L « X « 132°02'38.837". L * 32°43'49.473" .
Основная задана. Требуется решить обратную геодезическую задачу
для точек
132°02'38.837").
32°43'49.473").
143
М (В « 43°38'58.748";
МАВ - 69°15'27.84б";
Л
L2

Вторая итерация:
К ш *1 s 32°40'26,333"; а =
2 2 21
« 333°57'38,935 "(5,8287157970); Да « 0.003'; а .
« 0.9245587760; tf - 0.3237735945; Х_ «
*ро ро
- -2.0830543214; Лл - 1.4033888716; Х^ - 32°40'26,345";
0 2
а * 63°35'39.327" 1.1099291792; Да « -0.010"; ДЕ2 «
« 0.799Ч0""5 м * 0; As2 - 0.715-nf6 s 0; ДА -
« 0.69-ю"12 » 0.
Третья итерация:
К ' *1 ~ 32°40'26,345"; а «
2 2 21
- 333°57'38.932"(5.8287157854); Да - 0; а -
« 0.9245587573; tf = 0.3237736025; Х_ «
ро ро
- -2.0830543125; Лл = 1.4033888874; Х^ = 32°40'26.345" ;
0 2
а « 63°35'39.337" - 1.1099292271; Да * 0.
Окончание итеративных расчетов.
По формуле (2.78) искомое расстояние S между точками М и М
равно
$ « 5 892558.05 м.
Прямой А и обратный А азимуты в силу конформности
соответственно равны Л = а, - 333 57'38,932" и Л ж а,Л » 63 35'39,337".
^ 21 21 12 12
Итак, точность первой итерации составляет: по расстоянию ±0.132 м.
а по углам ±2 .46". Точность второй итерации является почти
абсолютной, а третья итерация в подавляющем большинстве практических случаев
является уже излишней.
Заметим, что точность вычисления S как функции О при удержании в
разложениях (2.77) и (2.78) трех членов имеет порядок 1.9 см на каж-
145

/
дые 1000 км расстояния. Если мы хотим повысить точность вычисления,
то необходимо удержать в (2.77) и (2.78) при разложении в ряд четыре
члена вместо трех. Рассмотрим новую задачу.
Определить расстояние S ~t а также прямой А и обратный А
азимуты для двух Af и Af точек, расположенных на поверхности земного
эллипсоида. Для этого необходимо геодезические координаты точек
принять равными
В, - 49°00'00.009"; Вл « 58°20'52.798" ;
1 2
L « 134°40' 15.608"; L « 54°04' 15.596" .
Расчеты, сделанные по изложенной ранее методике, дают результаты
S « 5095541.141 м (5095541.2 ± 0.2 м); А «
« 313°37'35.093"(313°37'35.094" ± 0.005"); А «
« 64°45'20.923"(64°45'20.921" ± 0.005").
Выше в скобках даны для сравнения значения S , А и А и их
допустимые погрешности, приведенные в книге [23] для такой же задачи.
Сравнение результатов обоих расчетов показывает, что они совпадают
в пределах точности., допускаемой в указанной книге [23].
2.2.6. УЧЕТ ВЫСОТЫ ПОЛЕТА
ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ДАЛЬНОСТИ
Рассмотрим задачу вычисления азимутов А и А , а также
кратчайшего расстояния s между двумя точками М (В , L , А ) и М (В' , L ,
• I 1111 л» л» Ж»
0), находящимися вне прямой видимости друг друга (рис. 2.24), когда
первая точка поднята над эллипсоидом на высоту А > 0, а вторая
расположена на его поверхности А = 0. Этот случай имеет место при
приеме на самолете сигналов от одного из маяков РСДН, если считать, что
маяк расположен на местности, имеющей нулевую высоту.
Кратчайшая линия между Af и Af состоит из двух частей: прямой А!
и М и геодезической линии Af Af , причем прямая Af Af, является каса-
г г 2 г 1
тельной к геодезической в точке Af.
г
146

Рис. 2.24
Рис. 2.25
Прямая часть ММ линии ММ М (см. рис. 2.24) стыкуется с
криволинейной частью в точке М (В t L , 0). Эта точка лежит на линии
г г г
горизонта, видимого из точки М .
Точное решение поставленной задачи может быть получено методом
"склеивания" геодезической линии ММи прямой ММ. Отыскание точки
г 2 1 г
М составляет при этом основную часть задачи.
Из точки М , принадлежащей эллипсоиду, восстановим нормаль п(М )
к его поверхности. Вектор ММ будет ортогонален нормали п(М ). Учи-
1 г г
тывая, что ММ = М -М., условие ортогональности ММ и п(М ) можно
1 г г 1 1 г г
записать в виде
(М -М)-п(М) = 0.
г 1 г
(2.82)
Соотношение (2.82) представляет собой уравнение линии горизонта
в векторной форме. Оно задает семейство прямых, представляющих собой
всевозможные касательные, проведенные из точки М к эллипсоиду,
причем точки М и являются точками касания этих прямых, т.е. образуют
г
искомую линию горизонта.
От векторного уравнения (2.82) линии горизонта можно перейти к
скалярному, если учесть, что [см. (2.9)]
М (В , /, 0) = аЦ [icosB cos/ ♦ /cosB x
ггг г гг г
х sin/ + k(l - е )sinB l;
г г
(2.83)
147

* = (1 - Ain2B )",/2: / = L - L; I/ I < -J- ;
г г г г 1 ■ г1 2
М{(В{. О, h{) = ix{ * kz{; t{ = (1 - Ain^f1/2; (2.83)
^ = (оС1 * A^cosB^ zf = [ofjd - е2) * /i^sina^
л(М ) = icosB cos/ * /cosB sin/ * AsinB .
г г г г г г
В соотношениях (2.83) i, /, k представляют собой орты
прямоугольной системы координат X t Y , Z (рис. 2.25). Подставляя (2.83) в
(2.82), получим уравнение линии горизонта в скалярной форме:
ЫГ1 - *,cosB cos/ - 2 sinB = 0. (2.84)
Г 1 Г Г I Г
Выражение (2.84) задает в неявном виде F (В , /) линию горизонта,
наблюдаемого из точки М . В явной форме выражение (2.84)
приобретает вид
a* -zsinB
/ = arccos
г
г 1 г
jtcosB
1 г
Здесь уместно отметить следующее обстоятельство. Способ
вычисления дальности $ и азимутов А и А между двумя точками М (В ,
л»\ Z> \ \Z> 11
L , А ) и М (В , L , 0) существенно зависит от того, находятся ли
11 Л» £ф Л»
они в зоне прямой видимости друг друга или нет. Решить зтот вопрос
можно с помощью предлагаемого ниже критерия.
Из рис. 2.24 нетрудно понять, что для двух точек (векторов) А! и
М скалярное произведение (А! - М )п(М ) будет меньше нуля, если
точка М находится в зоне прямой видимости для наблюдателя из точки
А! . Оно будет положительным, если М находится вне зоны прямой
видимости и будет равно нулю, если М лежит на линии горизонта, видимого
из М . Отсюда и вытекает следующий критерий:
fl(B) -cosBcas(L -L)-—-sinB =
2 2 a 2 2 I a 2
148

j> 0 вне зоны,
= ]= 0 на границе зоны, (2.85)
[< 0 внутри зоны.
В дальнейшем нам понадобится решение следующей вспомогательной
задачи. На линии горизонта (2.84), наблюдаемого из точки М (В , L ,
А ), найти такую точку М (В , L ), чтобы она была видна из точки М
1 г г г 1
под заданным углом азимута А .
Учитывая, что в системе координат X Y Z (см. рис. 2.25)
относительные долготы точек ЛГ и М соответственно равны I = 0 и / =
1 г 1 г
= L - L , из соотношения (2.50) получаем
tgA г '
rl -*\пВАх -x)+cosB(z -z)
1 г 1 1 г 1
Последнее выражение может быть записано в эквивалентном виде
(х - x)tgA lsinBi ♦ (у .- у.) - (г - z)igA tcosBt = 0.
г 1 г 1 1 г 1 г 1 г! 1
(2.86)
Искомая точка М (В , /) лежит на поверхности эллипсоида Л = 0,
г г г г
поэтому в силу (2.7) ее прямоугольные координаты представляются
в виде
х = с£(В )cosB cos/; у = с£(В )cosB sin/;
г гггг ггг
z = <&(В )(1 - *2)sinB .
г г г
В таком случае соотношение (2.86) может быть приведено к
следующей форме
<&(В )М cosBcgs/ ■♦ cosB sin/ ♦ AM - <?2)sinB ] = A^
rl г гг2 г 3
(2.87)
где
Ах = tg^sinB^ A2 = AgAr{cosB{; А, = х{А{ ♦ у{ ♦ гД.
Если уравнения (2.84) и (2.87) рассматривать как систему двух
нелинейных уравнений
149

чЬ l ♦ xcosBcos/ ♦ z.sinB = 0; * = *(B );
г 1 г г 1 г г г
<&(В )М cosBcos/ * cosBsin/ * 4 (1 - (2.88)
г 1 г г г г 2
- /)sinBrJ - А3 = 0
с неизвестными В и /, то ее решение (В , /) и будет представлять
г г г г
собой координаты (В , /) искомой точки М .
г г г
Систему (2.88), записанную в общем виде
FAB. I) =0; Fo(B, /) =0, (2.89)
1 г г 2 г г
можно решить методом последовательных приближений Ньютона, который
состоит в следующем. Пусть имеется приближенное решение (В , Г),
г г
отличающееся от точного (В , L ) на величины неизвестных погрешностей
<ДВ°. Л
Г Г
В° = В ♦ ДВ°; /° = / ♦ ДЛ
Г Г Г Г Г Г
Если значения В = В - АВ и / = Г - Д/ подставить в (2.89)
г г г г г г
в виде Л Л Л
F - (В° - ДВ°. /° - дЛ - 0.
1 Г Г Г Г
F = <В°-ДВ0. /°-дЛ = 0
2 г г г г
и линеаризовать выражения около точки (В , г), то получим
п г г
3F (В ./ ) 3F
00 Г О/ Г 1 Г Г
dF ' 3F ' (29())
_*- дВ° ♦ _*- д/> = FAB0, ft.
до г ot г 2 г г
г г
Решив последние линейные уравнения, определим (приближенно в силу
линеаризации) значение АВ и и внесем соответствующие поправки в
первоначальное приближенное решение
В1 =В°-АВ°;11 =/°-дЛ
г г г г г г
150

Принимая далее значения В , / за новое (более точное) приближение к
решению В , /, можно тем же способом найти к нему новые поправки
1 1 г г
АВ , Д/ . Продолжая этот процесс либо до наперед заданного числа
г г
итераций, либо до тех пор, пока поправки АВ и Д/ не будут превы-
г г
шать некоторых заранее фиксированных (допустимых) значений, получим
приближенное решение, точность которого является заранее
гарантированной.
В рассматриваемом случае частные производные bF /ЬВ , bF /3/ ,
3F/3B , 3F/3/ будут равны
2 г 2 г
а,, = bF/ЪВ = с£ e2sinB cosB - дг sinB cos/ ♦ z cosB ;
11 lr г rrlrrlr
а = 3F/3/ = -jrcosB sin/;
12 1 г 1 г г
fl«i = 9F0/3B = o^VsinBcosB McosBcos/ ♦ (2.91)
21 2г г ггггг
2
♦ cosB sin/ ♦ All - г )sinB ) ♦ ak (-i4sinB cos/ -
г г 2 г г 1 г г
- sinB sin/ ♦ АЛ\ - e2)cosB );
г г 2 г
а Л = 3F,,/ 3/ = а£ (-v4.cosB sin/ ♦ cosB cos/.
22 2 г г 1 г г г г
Итак, соотношения (2.88...2.91) решают задачу вычисления координат
В, / точки горизонта, которая видна из заданной точки MlBtt L,t
г г 111
А.) под заданным углом азимута А (рис. 2.26). Заодно по формуле
1 rl
(2.51) здесь может быть найден и обратный азимут А для точек М и
Af. По обратному азимуту А может быть определен конечный азимут
г 1г
А = А ±180 для отрезка ММ . Вычислительную процедуру,
позволяющую по координатам (В, 1, Л ) точки М и первоначальному
направлению А , находить координаты (В , L) точки М , лежащей на линии
rl г 1 г
горизонта в этом направлении, и конечный А азимут линии ММ,
назовем вычислительным блоком № 2 (рис. 2.27).
Сущность решения поставленной задачи нахождения кратчайшей линии
151

в, -*
Ari^-
Блок N'Z
Рис. 2.27
-+ВГ
-+Lr
-+A*
между точками Af и Af (см. рис. 2.24) сводится к следующему.
Предварительно (из решения сферической задачи вида 2.39) выбирается
начальное А , значение угла А ш:
rl rl
arctg(
vC7i
tgB{h «2 = arctg(
|Г
е'Щ); b{
cos«2sin(X2 -*,):
(2.92)
cosusinu - sinu cosu cos(X - X );
\ J, 1 л> Z> 1
/ « ArctgV" [0,2я].
rl
При решении сферической задачи (2.92) высотой А (см. рис. 2.24)
точки А! мы пренебрегли, а переход от геодезических широт В и В к
приведенным широтам и и и мы сделали для того, чтобы точнее под-
считать угол А а.
rl
Далее проводятся вычисления (см. рис. 2.27) по второму блоку, где
по известным Bf, Lit Af, А ш определяются значения В , L и А . Для
1 1 1 г 1 г г к
точек АГ(В , L ) и ЛГ(ВЛ, LJ решается обратная геодезическая задача
ггг 222
(см. подразд. 2.3.5), где определяется начальный азимут А
геодезической линии Af АГ. Для искомой линии М,М ЛГ в точке Af должно выпол-
г 2 1 г 2 г
няться условие: конечный азимут А прямой линии Af Af (см. рис. 2.26)
должен равняться начальному азимуту А геодезической линии Af AT. По
этой причине определение искомой линии Af Af Af можно считать закон-
152

ченным, если разница в углах А и А не будет превосходить заранее
выбранного допуска е
\\ - \\ < «• <293>
Если же окажется, что А > Л ♦ е, то начальный угол Л , в вычисли-
к 2г г1
тельном блоке № 2 нужно уменьшить. В противном случае, когде А <
< А - с, угол Л нужно увеличить, при этом окончательное значение
угла А можно найти с помощью итеративного процесса, заключающегося
в последовательном половинном делении вида
/ = 0.5M"f ♦ jF*). (2.94)
где Анз - наименьший избыточный угол, полученный в предыдущих
итерациях; А - наибольший недостаточный угол, полученный в предыдущих
итерациях.
После определения окончательного значения угла А (и тем самым
после определения точки М (В , L )) вычисление искомой длины $л и
г г г 21
азимутов А и А сводится к следующему. Длина s вычисляется как
сумма длин прямой линии ММ и геодезической линии М М . Искомый
начальный азимут А совпадает с углом А , вычисляемым с помощью
изложенного выше итеративного алгоритма, а обратный азимут А
совпадает с обратным азимутом А геодезической линии М М .
Заметим, что предложенный выше алгоритм сколь угодно точного
определения кратчайшего расстояния между двумя точками, одна из
которых М поднята на высоту А (см. подразд. 2.24), а другая
располагается на эллипсоиде, с вычислительной точки зрения является
достаточно сложным. Этот алгоритм можно рассматривать как эталонный
для оценивания погрешностей приближенных алгоритмов. К изучению
одного из таких приближенных алгоритмов мы сейчас перейдем.
Рассмотрим нормальное сечение земного эллипсоида (см. рис. 2.24)
плоскостью, проходящей в точке М через местную вертикаль N М под
153

углом А к меридиану MP. Радиус кривизны R этого сечения в точке
М' будет равен [20]
sin A
21
21
2 А
cos А
21
с(м;>
Q(Mj)
-1
Предположим, что от точки ЛГ до точки М , лежащей на линии
горизонта (см. рис. 2.24), радиус кривизны эллипсоида можно считать
постоянным и равным R . Подсчитаем с учетом этого предположения
разницу
As = s[MM ] - s[M'M ],
1 г 1 г
где s[M.M ] - длина прямолинейного отрезка MM ; s[M\M ] - длина дуги
1 г 1 г 1 г
ММ' "окружности" радиусом R . Из рис. 2.28 следует
WW - [(Л21 ♦ Л,)2 - ^],/2 - C»Al* h2/2-.
д = arctg
21
[А> 1
l«fl J
|21
1/2
Окончательно получаем следующее приближенное выражение для As:
***<2htR2l ♦A^)l/2-*21arctg
21
21
1/2
11
(2.95)
Величину (2.95) можно рассматривать как поправку на расстояние
11 г 13 15
Учитывая разложение arctgjf « X — —~ X ♦ —- X —
о О
As можно записать в виде 8s
Гн.
f- ^а. • W
х А
1
1 R
21
если величина h /R достаточно малая.
поправку
г /г
154

U2(N) >Мг
Mr
J,W
Рис. 2.28
Рис. 2.29
между точками М и М (см. рис. 2.24), учитывающую высоту Л
точки М .
Ранее мы предполагали, что точка М расположена на поверхности
эллипсоида. На самом деле точка М (как правило, в ней располагается
радиостанция РСДН) может быть вознесена на относительно небольшую
высоту Л рельефа в этой точке. Поправка As на высоту А точки М
при этом вычисляется с помощью формулы, аналогичной (2.95).
Пример.
Для оценивания точности вычислений по изложенному методу проведем
следующие построения.
Сначала зададимся двумя точками М {В , L , 0) и Af (В . L , 0), ле-
г г г 2 2 2
жащнмн на поверхности эллипсоида и проведем через них геодезическую
линию. Методами, изложенными в подразд. 2.3.5, вычислим длину S и
2г
начальный азимут А (см. рис. 2.24 и 2.26) этой геодезической линии.
2г
В
М
проведем орт
касательная
геодезической линии
(см. рис. 2.24 и 2.29)]. Из рис. 2.29 и соотношений (2.49) следует
Г
-/ sinA
1 2г
V"4*= V
V
hk-
где /, /, k — орты системы координат XYZ,
у, - CO&L smB со&Ал * smL sin^^ ;
1 г г 2г г 2г
7Л ж smL sinB сс«Лл — cosL sin^^ ; ул
'2 г г 2г г 2г '3
-xosB сс«>4л .
г 2г
155

St , км 100 200 300
lr
Исходные
данные
Поправка
V»
*2\"
As, м
56°22'40.351"
37 38'05.870"
782.09
796171.97
8.15
56°Ю'55.426"
39°12'34.677"
3127.85
896171.97
65.21
55°51'59.835"
40°45'57.718"
7035.59
996.171.97
219.95
Погрет- Д$ . м -0.7М0~~ -0,1Ч0~" -0.5Ч0~"3
ности ДЛ (рад) 0.45-ю""7 0.181-ю"6 0.411'Ю"6
ДЛ (рад) ЧМЧО"® -0.31 Ч0~7 -0.101-Ю"*6
Координаты X , у , 2 точки М выберем равными
X ' X * У S ; U ш и ♦ У X ; Z - Z + 7 S ,
1 г М 1г У1 *г Т2 1г 1 г 73 1г
где S — наперед выбранное расстояние от горизонта до точки М .
1г 1
По прямоугольным координатам X , у , Z точки М вычислим
(см. 2.12) ее геодезические координаты (В , L . Л).
Линия ММ М по построению является кратчайшей между точками Af н
М . Ее длина S является известной н равной
21 1г 2г
Начальный азимут А « А этой линии равен начальному азимуту
прямой линии ММ, вычисленному в точке
1 г
м.
А2\ ' \\ Ж Arc*^/,er)/("/2er) [°'2яЬ
где / и / соответствуют (2.49).
Таким образом, линии МММ, у которой известны ее длина, начальный
1 г 2
А н конечный А азимуты, является кратчайшей для точек Af н М и
156

Таблица 2.4
500
1000
2000
3000
55 28'44.8П'
43°48'59.193'
19.524.69
1196171.97
53 57*41.724'
51°00'29.0П'
77750.24
1696171.97
49 58 53.788
63°12'22.638'
305634.31
2696171.97
45 23'10.560'
72°32'36.903'
669207.8
3696171.97
1016.01
8041.95
61726.31
195329.42
0.02
0.1173Ч0~
-0.441М0~
-0.51
0.5126Ч0~
-0.3158*ю"
10.60
0.240440"
-0.21521М0"
56.22
0.59607*1о"
-0.62454Ч0"
может быть использована как эталон для проверки методов вычисления
азимутов и расстояний.
Зададимся конкретными значениями:
Вл * 57°1Г38.152"; В « 56°33'12.846" ;
2 г
L » 24°40'26.345"; L * 36°02'38.837".
2 г
Для указанных величин параметры геодезической линии ММ оказы-
2 г
ваются равными S
2г
696171.97 м. А
91 05'14.190". Задаваясь далее $
1г
Л - 280 37 08.050 . А Л -
2г г2
100. 200. 300. 500. 1000.
2000 и 3000 км. вычислим соответствующие величины В , L , h
(см. первые три строки табл. 2.4). В четвертой строке таблицы
приведены полные расстояния S между точками М и М . Далее приводится
поправка As, вычисленная по формуле (2.95).
В последних трех строках таблицы приведены погрешности Д$ . АА
и А^4|0 вычисления расстояния и азимутов по приближенной методике.
когда расстояния и азимуты рассчитываются в предположении, что точки
ЛГ и М находятся на поверхности эллипсоида, но к вычисленному рас-
157

стоянию добавляется поправка As, учитывающая высоту Л по
формуле (2.81).
Из приведенных в табл. 2.4 результатов вычислений следует. что
предлагаемая приближенная методика практически безупречно работает до
высот полета, не превышающих 77,75 ~ 78 км. Далее ошибки начинают
возрастать, и для высот полета 305,6 км и 669,2 км ошибки по
расстоянию составляют уже 10,6 м и 56,2 и соответственно.
2.3. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
Во многих задачах навигации возникает необходимость в вычислении
вектора g гравитационного поля Земли в заданной точке М околоземного
пространства. При этом координаты точки Af в зависимости от решаемой
задачи могут быть заданы в прямоугольной (х, у, z), геоцентрической
(^, X, R)_ или геодезической (В, L, А) системах координат, а проекции
вектора g обычно требуется вычислить на оси заранее выбранного,
удобного для данной задачи координатного трехгранника. В качестве
таких трехгранников чаще всего выбираются тройки единичных ортов
трех рассмотренных ниже типов.
Во-первых, для этого может быть выбрана основная прямоугольная
координатная система XYZ (рис. 2.30). Задача построения
гравитационного поля при таком выборе систем координат будет решена, если будут
найдены зависимости
gX = 8Х(х* У* г); 8Y = gY<<Xt y' z): gZ = g7^X* У> z)'
(2.96)
Заметим, что представления вида (2.96) используются в алгоритмах
бесплатформенных инерциальных систем, а также в алгоритмах инерии-
альных систем с неподвижными в мировом пространстве платформами.
Во-вторых, в качестве проекционного трехгранника применяется так
называемый репер MJ J J (см.
рис. 2.30) геоцентрической системы
координат. Центр этого репера
совпадает с точкой М, ось / направлена
по местной геоцентрической вертикали
R = ОМ, а оси / и / - по
касательной к линиям равных широт (^ =
=const) и долгот (X = const),
проходящих через точку М.
Рис. 2.30
158

Рассмотрим проекции g = g*J и j = g*J вектора g на оси / и
J геоцентрического репера. В данном случае, учитывая, что g = О,
для построения гравитационного поля нам будет необходимо найти
функциональные зависимости вида
h 9g2{*V R) H83Sg3{*V Rl (2*97)
Представления вектора g в форме (2.97) используются в основном
в алгоритмах инерииальных систем с платформами, которые работают в
геоцентрической системе координат. _
И. в-третьих, можно рассмотреть проекции вектора g на оси репера
MJ J J (см. рис. 2.30) геодезической системы координат, у которого
ось / = А направлена по геодезической вертикали (нормали к эллип-
сойду), а оси J и J являются касательными к линиям широты (В =
= const) и долготы (L = const), которые проходят через точку Af.
Здесь для построения гравитационного поля будет необходимо
определить проекции g = #•/ и £д, = gJ = ge„ {e„ = / - горизонтальный
орт. направленный на север) как функции от широты В и высоты А точки
М над эллипсоидом:
8п = gn(B. A); gN = gN(B. A); g£ = 0. (2.98)
Задача данного подраздела состоит в нахождении функций вида
(2.96). (2.97) и (2.98). Перейдем к ее решению.
2.3.1. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ЗЕМЛИ
На основании закона тяготения Ньютона единичная масса,
расположенная в точке М (рис. 2.31), _притягивается к массе т с силой
F = iF ♦ jF * kF = -fm——- = - -*— (ix * jy * kz)t
x ' у z 3 3 Jfr
—11 2—2
где f = 6,673240 Н*м *кг - гравитационная постоянная
всемирного тяготения; r = ix + jy + kz- радиус-вектор точки М,
восстановленный из точки расположения массы т (см. рис. 2.31).
Силовая функция для центрального поля, образованного массой /п,
ЩМ) = U(x. у. г) = /-**- = / Ш
Т Уг 2~~2
Ух +у +z
159

Рис. 2.31
При этом, естественно, в соответствии с определением силовой
функции частные производные U , U , U от нее по переменным xt yt z будут
х у z
равны проекциям F , F , F силы F на оси координат х, у, z:
Л у £
х
т
*> F
U =
-f
m
z.
F
x ~x ' 3 "• ' у у ' 3 *' ~ z z '3
Силовую функцию U гравитационного поля Земли можно рассматривать
как предел суперпозиции центральных полей, порожденных (рис. 2.32)
элементарными массами dm = y(xt yt z)dxdydzt где у - массовая
плотность Земли в точке с координатами х, yt z. При таком подходе
функцию U можно задать с помощью трехмерного интеграла
U = U -Щ- , (2.99)
Р
где
р = К - р; R = ЙГ ♦ JY * kZ; р = ix ♦ /у ♦ far; р' = |р' |.
Интеграл в (2.99) нужно брать по всей фигуре Земли. Вычисление
интеграла U проведем здесь не для "реальной" Земли, а для некоторой ее
идеализации. Далее будем предполагать, что:
а) форма Земли очень близка к форме эллипсоида вращения с
полуосями а и Ь\
б) внутренние эллипсоидальные слои Земли, имеющие полуоси ka и
kbt О < к < 1, имеют в каждой своей точке одинаковую массовую
плотность 7» значение которой не предполагается известной (гипотеза
Клеро).
Принятие этих гипотез эквивалентно постулированию следующих
предположений:
1) центр масс Земли совпадает с ее геометрическим центром;
2) оси системы координат xyz (см. рис. 2.32) являются главными
160

осями инерции, т.е. центробежные моменты инерции относительно этих
осей равны нулю;
3) моменты инерции А и В относительно осей хну равны между собой
в силу вращательной симметрии фигуры Земли: А = В;
4) в силу малого сжатия фигуры Земли, величина д' = —
может
та
рассматриваться как малая того же порядка, что и квадрат экцентриси-
тета е
2 а2
а -Ь
В данном случае С - момент инерции относительно
оси Z (см. рис. 2.30); т - масса Земли.
Для вычисления интеграла (2.99) предварительно рассмотрим
некоторые очевидные соотношения
(р')2 = (Л - p)(R - р) = Я2 ♦ р2 - 2Ярс(хц) =
cos* ■ (Rpf'wt * fl • zZ):
У =*-'[l->f- cos*. -£.
Раскладывая функцию 1/р' в ряд по биному Ньютона, получим
2
1/р' = R ""
-1
1 ♦ -4- cos0 ♦ P (2cos ^ - 1) ♦ ...
* 2/г2 *
(2.100)
Заметим, что в (2.100) члены, стоящие при степенях р/Л, в теории
потенциала называются сферическими функциями* Относительно этих
функций доказано, что они могут быть представлены как результат
подстановки cos# в известные многочлены Лежандра:
1; /; 0,5(3^ - 1); 2М? -0,6/); ...
12
Многочлены Лежандра PAt) могут быть подсчитаны по формуле
рк«)
2kk\
6-993
161

Степенной ряд (2.100) сходится при p/R < 1 и может быть записан
в виде ,
оо к
1/р' = R~l 2 -V РЛаяф),
*=0
«* *
где Р. - многочлен Лежандра fe-й степени.
Заметим, что по условию сходимости разложением (2.100) можно
пользоваться лишь в случаях, когда R > р, т.е. когда точка М лежит
вне фигуры Земли или на ее поверхности.
Подставляя (2.100) в (2.99), получим
ft /2
U = -jj- fdm t -1— /pcos^An ♦ —L— /p x
* . * (2.101)
OO R
x(3cos2^ - \)dm ♦ f{ X —|— P,(co&/W3.
*=3 /Г
Первый интеграл в (2.101) равен -g— (здесь т - масса Земли). Второй
К -1
интеграл равен 0, так как подынтегральная функция pcos# = Л (дгХ ♦
♦ yY *zZ) приводит здесь к интегралам вида fxdm, fydm, fzdm, которые
равны 0 в силу того, что по предположению центр масс Земли совпадает
с ее геометрическим центром.
Рассмотрим теперь третий интеграл
/ = /p2(3cos2* - \)dm = /
—— (хХ ♦ yY ♦ zZ) - р
Л2
dm,
2 2 2 2
где р = х ♦ у * z .
Интегралы вида /xj/rfm называют центробежными моментами инерции. В
силу того, что координатные оси xyz (см. рис. 2.32) в нашем
расположении совпадают с главными осями инерции, то интегралы этого вида
равны 0.
По этой причине имеем
/3 = -jy- ![Ъ(х2Х2 ♦ y2Y2 ♦ z2Z2) - p2R2]dm =
13
Можно показать. что интегралы в (2.101) для нечетных к равны
нулю.
162

\- [Х2!(2х2 - у2 - z2)dm ♦ Y2f(2y2 - х - z2)dm ♦
♦ Г1Ы - ж - y)dm\
[XZ(B * С -2A) *
+ Y2{C * A-2B) * Z2(A + В - 2C)],
2 2 2 2 2 2
где А = S(y ♦ z )dm; В = f(x * z )dm\ С = /(дг ♦ у )dm - главные
моменты инерции земного эллипсоида. В силу равенства А = В имеем
/ = -V (/г2 - 3z2xc - А) =
= (1 - 3sin2v>)(C - A).
1 -3-
(С-А)
0)храняя в разложении (2.100) только три первых члена, получим
приближенное выражение для силовой функций
и = "о- т * —V <* - 3sin2v>)(C - Л).
(2.102)
С учетом (2.102) выражения для проекций g и g вектора g на оси
/ и / геоцентрического репера будут равны
£>
= _L 1/ , _ з f(C-A)
х д'а R sin2ifi;
w-
з f(C-A)
sin2y> = —— fm x
(2.103)
(1 - 3sin2v>)
-^ - — fmn a R (1 - 3sin y>);
(C - A)/{ma).
Полученные выражения (2.103) для проекций g и g имеют тот недоста-
ток, что включают в себя величину массы Земли т и разность С - А
моментов инерции. Величины fmt С - А невозможно подсчитать прямо, не
зная распределения масс в теле Земли. Для того чтобы обойти эту
трудность и представить выражения для g и gв более удобном для
163

вычислений виде, рассмотрим далее выражения для g и g_ на поверх-
JL О
ности Земли.
2.3.2. СИЛА ТЯЖЕСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ
ЗЕМНОГО ЭЛЛИПСОИДА
Для точек на поверхности земного эллипсоида, когда с точностью до
2
малых второго порядка относительно е выполняется равенство (2.8)
R = а{\ -0,5Ain%).
из (2.108) имеем
3 fm , . л
а
*з = -
[1 + Т^' + p-^MJsin2^].
(2.104)
Заметим, что в формулах (2.104) сохранены лишь малые до первого
порядка включительно относительно величин д' и е . Далее все выкладки
в этом подразделе будем продолжать на таком же уровне точности.
Для поверхностных точек справедливо (см. 2.17) выражение В - у =
2 —
= 0,5е sin2^. В таком случае в этих точках проекции g н g^ вектора g
на нормаль к эллипсоиду и на касательную к нему будут равны
(рис. 2.33):
gn = *2SiflM * fjC°SM * g3l
Si
N
£2cosa - £3sinM * g2 - £3M
sin2<i
3 , e
2M 2
2 1
(2.105)
Учитывая, что проекции удельной цент-
Рис. 2.33
робежной силы и = -Пх(Дх/{)нал-ив
соответственно равны
N
164

2 2 2
и = Rft cos^cosB « /&2 cos v?;
л
«^ = - /to cos^sinB * 0,5Л12 sin2<^
мы можем вычислить проекции у и ^ вектора g = g + и ускорения
свободного падения для точек на поверхности эллипсоида
т fm Г 3 , Г 2 9 ,1 . 2 1
«n = --V гтм Т - —mj»*]*
* а(1 - 0tbe2sin2ip)n2cos2ip; (2.106)
т fm . о f 3 , е 1
а L
- 0,5а(1 - 0,5e2sin2<p)n2sin2*.
Обозначим величину ускорения свободного падения на экваторе (при
этом у = 0, R = а) буквой g . Экспериментально (с помощью
гравиметрических измерений) установлено, что ее значение равно g' =
2 е
= 978,0318 см/с . Из первого уравнения (2.106) при \р = 0 имеем
т т fm |, 3 , | _2
-g = g = ~^r 1 * ~г" м I - on .
5л 5е 2 I 2^1
а * '
В таком случае
(2.107)
m тГ 3 1
- ^l1 -тм +4
2
2
где <7 = -22— = 0,00346775.
Заметим, что величина <7 полностью определяется из
экспериментальных наблюдений. Величина £2 - из наблюдений за движением
небесной сферы, а величина а (и вместе с ней Ь) - из так называемых
градусных измерений, проводимых на различных широтах. Градусным
измерением в геодезии называют длину дуги меридиана, начало и конец
которой имеют разницу широт, равную одному градусу.
Подставив fm/a в виде (2.107) в (2.106) и сохраняя при этом
только члены нулевого и первого порядка малости относительно величин
165

e , д' и q, мы получим новые выражения для ускорения свободного
падения в поверхностных точках земного эллипсоида:
gn = -g*Al + ^sin <р); 0 = (е ♦ q - — д');
п е 1 (2.108)
8ц = 0,5^(-Зм' * е - qhirtfy.
Из определения земного эллипсоида как поверхности, ортогональной век-
Т0РУ 8 • имеем #д. = 0. Это означает, что имеют место равенства
-Зм' ♦ е2 -q = 0 (2.109)
или
С -А = -у- (г2 -<7)"ю2. (2.110)
Величина g на поверхности земного эллипсоида может быть
экспериментально определена при различных значениях у (на разных широтах).
Из таких экспериментов методом наименьших квадратов могут быть
вычислены на основании соотношения (2.108) неизвестные постоянные -g
и /3. В 1971 г. на ассамблее Международного союза геофизики и
геодезии в Москве значения этих величин были приняты равными
/ = 978,0318 см/с2, 0 = 0,0053024.
Учитывая, что в соответствии с (2.109)
A' = у- (e2 -q), (2.111)
из второй формулы (2.108) получаем
*s_r «-"!"• (2П2)
Формула (2.112) носит название (формулы Клеро.
И-
Если учесть члены второго порядка малости, а также дополнительные
сведения о внутреннем строении Земли, то зависимость (2. 108) можно
уточнить. На упомянутой ассамблее она была принята равной
g = -978,0318(1 ♦ 0.0053024sin2<p - 0,0000059sin22</>).
166

т 2
Подведем итоги проведенных рассуждений. Величины g , q = (£l /g'
с? к
и /3 могут быть определены опытным путем. В настоящее время они
являются точно определенными и стандартизированными. Тогда по фор-
2
мулам (2.112), (2.111) и (2.107) могут быть далее вычислены е
2 2
(эксцентриситет), д' = (С - А)/(та ) и (fm)/a . (Эти_ величины входят
в выражения (2.104) для проекций g и g вектора g гравитационного
ПОЛЯ.)
2.3.3. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
(ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ)
2
Подставляя в выражения (2.104) для g и g величины (С-А) и fm/a
в виде (2.110) и (2.107), получим
Ц = 0.5gTg(e2 - q)\-j- j sln2v>;
«, = -*l(-V ) 1 - 0.5e2 ♦ 1.5g ♦ 0.5(e2 - ^)x (2.113)
s3 *el
x(l-3sin2v)(-|-] .
Формулы (2.113) являются основными для вычисления вектора g. В них
т 2
входят постоянные величины g , e и (/, значения которых утверждены
ГОСТом.
Соотношения (2.113) вслед за соотношением (2.102), из которого они
следуют, являются приближенными. При выводе (2.102) использовались
только первые три члена из бесконечного ряда (2.101) и, кроме того,
все выкладки велись с точностью до величин первого порядка малости
2
относительно переменных е , q и д .
Считается [24], что погрешности вычислений вектора g по формулам
(2.113) по отношению к идеальным вычислениям не превосходят
±0,02 см/с2 = ±2-10~5 g.
Выражения (2.113) имеют точность первого порядка малости относи-
2
тельно величин е и q. Они могут быть упрощены без снижения порядка
167

точности для случаев, когда высота Л столь мала, что величина Л/а
2
имеет тот же порядок, что и число е , т.е. для случаев, когда Л <
< е а = 42,5 км.
В этом случае в соответствии с (2.17) с точностью до указанных
2 2
малых величин первого порядка имеем R = а(1 - 0,5г sin *) + Л и,
следовательно,
|2
(тГ
2 2
1 ♦ е sin ^ - 2h/a.
Подставляя последнее выражение в (2.113) и сохраняя только малые
величины нулевого и первого порядка относительно е , q и Л/а, получим
89 = -О» 5/ (е - <7)sin2^;
тГ Л 2 21 (2114)
*з = ~*г * * q " 2~<Г * 0,5(3gr " * )sin *
Соотношения (2.113) и (2.114) задают гравитационное поле в
искомом (2.97) виде для геоцентрической системы координат.
Учитывая простые зависимости
sin* = -|- ; Sin2* = 2R~2z/x2 ♦ У2; R = /х2 ♦ Y2 ♦ Z2;
sinX = Y/(X2 ♦ У2)1/2; cosX = Х/(Х2 ♦ У2)1/2;
fy = %COSiP ~ ^2sin*)cosX; (2.115)
fy = (£3cos</> - ^2sinv?)sinX; gz = ^sin* ♦ ^cos*.
от формы (2.113) легко перейти к форме (2.115) вычисления вектора g в
прямоугольной системе координат.
Точный расчет проекций g и g„ вектора g на оси геодезического
репера с центром в точке (В, L, Л) может быть проведен по следующей
вычислительной схеме:
(В. L, А) <L!i U. „. ,) <ЫШ <„. х. Л, <^> ^ ^
H = B-v; (2.116)
% = 'а008'1 " V"4*' *и = ^2sinM + ^3COSM"
168

2
Для малых высот полета, когда А < ое , из (2.116) можно получить
простые конечные выражения для вычисления проекций g^ и g .
Сохраняя в вычислительном алгоритме (2.116) только члены нулевого
и первого порядка малости относительно малых величин е , q и Л/а,
получим с учетом (2.17) и (2.114) следующие соотношения:
М = 0,5e2sin2B; * = В - м;
g2 = -0,bgTe(e2 - <7)sin2*>; (2.117)
1 *?" 2~v *0,5(3q" *2)sin2* •
T
*3 " ~*e
Из последних соотношений и вытекают искомые формулы для вычисления
л g при малых высотах
Гд, - g2 - Sf - 0.5ф
Ski и S фи малых высотах полета
Ski = £» - &М = 0,5/gsin2B = 0,5<*2 sin2B;
2 2 (2П8)
sn = г2м ♦ г3 = ~g£x * q ~ ^1а + 0,5(3<7"е )sin B^
Соотношения (2.113)... (2.117) полностью решают поставленную в
начале этого пункта задачу вычисления проекций вектора g
интенсивности гравитационного поля, взятых относительно различных
(употребляющихся в навигации) координатных трехгранников. Это означает, что
нами полностью изучено регулярное (не учитывающее аномалий)
гравитационное поле нашей планеты.
Обратимся теперь к вычислению проекций вектора g ускорения
свободного падения.
Вычисление проекций вектора
^ = g - П(П *R) = g ♦ й; и = 42(П *R)
на оси любой системы координат не составляет затруднений, если вектор
g уже является известным. Учитывая, что для геоцентрической системы
координат проекции и и и вектора и на орты / и / равны
2 2
и = 42 Rcosysiny = -0,5£2 /?sin2^>; (<? nq,
и = 12 /?cas <^,
из (2.113) получаем выражения для ускорения свободного падения g в
геоцентрической системе координат
169

$•*•*№-'Ли
♦ a2R
sin2y>;
8,
x(l - 3sin
1 - 0.5e2 ♦ l,5q ♦ 0,5(e2 - фх
(2.120)
2 2
♦ П flcos v».
Для случая геодезического трехгранника /,/./, (см. рис. 2.28) из
1 * о
соотношения (2.21) и рис. 2.6 следуют выражения
ик1 = и = - 122CcosBsinB = -0,5ft2Gsin2B;
9 9
u = и = ft Ccos В.
Л 3
(2.121)
Для высот полета А < 42,5 км из (2.121) и (2.118) получаем
выражения для ускорения свободного падения
*NmgN*uN'
х(5<7 - е )sin В
Л т т
6л 5л л 6е
= -gT(l - 2h/a ♦ /3sin2
е
1 -
В).
2— ♦ 0.5 х
а
(2.122)
Соотношения (2.120) и (2.122) позволяют вычислить проекции
вектора g ускорения свободного падения на оси геоцентрического и
геодезического реперов. При этом в первом случае высота полета является
неограниченной, а во втором требуется, чтобы она не превышала
42,5 км. Если исходить из (2.119) и (2.121) и полученных ранее
формул для вычисления проекций вектора гравитации g, то не составляет
труда вычислить проекции вектора ^ на оси всех рассмотренных ранее
трехгранников и для случая произвольной высоты полета.
170

ГЛАВА 3
ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ САМОЛЕТА
ПО ПОКАЗАНИЯМ ПОЗИЦИОННЫХ ДАТЧИКОВ
3.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ САМОЛЕТА
ПО ПОКАЗАНИЯМ РСБН
Вопросы вычисления координат самолета по показаниям отдельных
позиционных навигационных датчиков представляет собой
самостоятельный интерес. Это объясняется следующими причинами.
Во-первых, в комплексных навигационных системах возможны
аварийные режимы, связанные с отказами бортовых инерциальных систем, когда
координаты самолета приходится определять непосредственно по
сигналам какого-либо позиционного датчика, минуя обычный процесс
коррекции (исправления) погрешностей инерциальной системы.
Во-вторых, вычисление координат самолета по показаниям позиционных
датчиков всегда носит итеративный характер последовательного
уточнения координат, принимаемых за начальное приближение. В качестве
первого (исходного) приближения обычно берутся значения, имеющие
место на выходе инерциальной (или всей комплексной) системы.
К позиционным навигационным датчикам относят такие навигационные
устройства, по сигналам которых можно вычислить координаты объекта
путем решения геометрических соотношений, носящих вид системы
нелинейных алгебраических уравнений.
С этой точки зрения позиционными датчиками можно назвать:
радиотехническую систему ближней навигации;
радиотехническую систему дальней навигации;
спутниковую радионавигационную систему;
радиотехнические и оптические дальномеры-визиры (ДВ) наземных
ориентиров;
астрономические пеленгаторы светил, устанавливаемые на
горизонтальной гироплатформе.
3.1.1. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ
Радиосистема ближней навигации позволяет в зоне прямой видимости
маяка измерять два навигационных параметра: прямолинейное расстояние
s (/) между самолетом и радиомаяком и обратный азимут A (t) (азимут
171

от маяка на самолет, см. рис. 1.6). Значения $ (/) и А (/),
измеряемые с помощью РСНБ, не позволяют однозначно определить положение
самолета в трехмерном пространстве. Поэтому мы будем предполагать,
что на борту самолета с величинами $ (/) и A (t) известна и высота
h(t) его полета над эллипсоидом. Измерение этого параметра
обеспечивается с помощью барометрического высотомера.
Задача, подлежащая решению на борту, состоит в том, чтобы по
известным измерениям $ (/), А (/) и h(t) и по заранее заданным
координатам (В , L , А ) местоположения маяка вычислить текущие
геодезические координаты ВЦ), Щ) самолета. Сформулированную
задачу вычисления координат В и L будем называть обратной задачей в
противоположность задаче вычисления показаний s и А прибора по
известным геодезическим координатам (В, L, Л) самолета и (В , L , Л )
маяка. Последнюю задачу будем называть прямой. В соответствии с
(2.48) и (2.50) прямая задача решается с помощью следующей
вычислительной процедуры:
(В, L, A) ^i (х, у. г);
(В . L , А ) ^i (х , у , г);
а) sr = [Or - xf)2 * (у - yr)2 ♦ (z - zr)2],/2;
б) Ar = ArcigSg/s^O; 2я]; (3.1)
sN = Чх - xr)sinBrco&Lr - (у - yr)sinBr х
х sin/. ♦ (z - z )cosB ;
r r r
s~ « 4x - x )sinL ♦ (y - u )cosL .
Процедура (3.1) включает в себя вычисления только явных функций,
поэтому является точной, что дает возможность применять прямой
алгоритм вида (В, L, А, В , L , А ) -* ($ , А ) для определения
погрешностей (ЛВ, Д/) обратного алгоритма ($ , А , А, В , L , Л ) -* (В,
L), носящего уже итеративный и в силу этого приближенный характер.
Подчеркнем, что прямой алгоритм имеет не только вспомогательное,
172

но и самостоятельное значение. Так, он может быть использован для
вычисления выходных сигналов РСБН, необходимых для улучшения
первичной обработки сигналов в приемнике РСБН (за счет внешней для РСБН
информации, см. гл. 6). Кроме того, он может быть использован при
моделировании функционирования РСБН в полете с целью имитации ее
показаний.
Обратимся теперь к основной задаче, решаемой на борту. Эту задачу
мы назвали обратной, она состоит в вычислении координат В, L
самолета по известным значениям s , А , Л, В , L , Л .
При ее решении уравнения (3.1, а) и (3.1, б) нужно рассматривать
как совместную нелинейную систему
[(х - хг)* * (у - у/ ♦ (г - z.)2]l/2 - $г = 0;
sinA $*, - со&А s~ = 0
(3.2)
относительно двух неизвестных В и L.
Действительно, подставляя в (3.2) вместо х% у и г их выражения
(2.9) через В, L и Л, мы получим систему из двух уравнений с
неизвестными В и L.
Если к системе уравнений (3.2) дописать уравнение (2.12) AU, у,
г) = А, то объединенную систему из трех уравнений можно
рассматривать как новую систему относительно трех неизвестных х, у, г. Такой
трактовки мы будем придерживаться далее.
Будем предполагать, что первоначальные значения В и L искомых
величин В и L нам известны приближенно, а значение высоты Л - точно.
В таком случае по формулам (2.9) мы можем вычислить прямоугольные
координаты (х , у , z ), соответствующие геодезическим координатам
<*o'VA)- -
Ясно, что точные (но неизвестные нам) значения величин дг, у, г
связаны со значениями х , у , z соотношениями
дг = х0-Дх0; у = у0-Ду0; г = г0-Дг0. (3.3)
где Ах , Ау , Аг - погрешности нулевого (первоначального)
приближения.
Если величины xt yt z ъ форме (3.3) подставить в уравнения (3.2) и
провести линеаризацию левых частей этих уравнений, то мы получим
систему линейных уравнений относительно неизвестных Ах_, Ау_, Ах :
173

х-х ул-у z-z
v О Г А у0 9Г А О Г А
а) Дг ♦ Аул * Дг = 5л - s ;
0 0 0
б) (-sinL coSi4 ♦ sinB cos/, siil4 )Дг ♦ (cosL собЛ ♦
r r rrro rr
♦ sinB sinl siaA )Ды ♦ (-sinA casB )Дг =
г г г *0 г г О
= "Ч'Ео - ^г^о: (34)
в) cosB casZ-Ддг ♦ cosB^sinl Ди ♦ sinB^Ar =
ооо оо *о оо
«*£Гм£
«V^V * 1*о " (1 "
-e2)af0sinB0]2},/2-A.
где
$0 = [(х0-хг)2 + Ч-^2 + (го-гг)2',/2:
s£o = А " *r)sinLr + Ч " "г)cosLr; (35)
*М> = А " *r>sinBrcosLf " % ~ Уг] х
х sinB sinl ♦ (гл - z )cosB .
г г о г г
Поясним уравнение (3.4, б). Оно следует из соотношений sp = s- -
- A^f70» «д. = s*. - ДЯд, и линеаризации второго уравнения в (3.2)
около точки (х , у , z ).
Уравнение (3.4, в) вытекает из линеаризации уравнения h(xt у, Л) =
= Л. Высоты Л и А двух близких точек МЛх , у , z ) и М(дг, у, z)
(рис. 3.1) связаны с точностью до малых первого порядка
(включительно) соотношением А = Л ♦ (icosB cosL ♦ jcosB sinL ♦ ifesinB ) x
x(tAx «► /Ay «► kAz ), где fcosB cosL ♦ /cosB sinl ♦ ^^л ~~ "Ф"
маль к эллипсоиду в точке М . С учетом (2.12) из последней формулы и
следует уравнение (3.4, в).
Заметим, что коэффициенты при неизвестных Ах и Ау в уравнении
(3.4, в) могут быть заменены в соответствии с формулами (2.3) на
174

эквивалентные
им
cosB^cosZ-
о о
= х (of
0 0
выражения
♦ /.Г'.
-1
cosB0sinI0 = = уо(<*0 ♦ А)
При таком представлении
долгота L не входит явно в
уравнения (3.4) и алгоритм может
быть работоспособен и в зонах
географических полюсов земли,
где долгота L теряет свой
смысл.
Решая систему уравнений (3.4) относительно неизвестных Ах , Ау,
Azt мы получим поправки к исходным значениям х. у z . За новые
приближенные значения прямоугольных координат могут быть приняты
величины х{ = xQ - AxQt yx
h"^ZX
z - Az .
0 0
Для проведения следующей итерации необходимо (см. 3.4, в)
вычислить широту В , соответствующую точке с координатами (х , и, г).
По этой причине после определения (х , у , z ) вычисляются долгота L
и широта В с помощью приводимого ниже итеративного процесса,
который вытекает из (2.13)
L
1
Arctg(jf Л )[-*,*!;
**-. -(1
в
I*
arctg
2 . 2D ,1/2 .
,MVi> '*:
1. 2, 3;
(3.6)
m
1/2 2
Повторяя процесс уточнения прямоугольных координат по алгоритму
(3.4) либо фиксированное число итераций, либо до тех пор, пока по-
2 2 2
правка Ах. ♦ Ау. ♦ Az. (i - номер итерации) не станет меньше наперед
заданного значения, в конечном итоге получим прямоугольные х, у, z и
геодезические В, L координаты самолета с заранее гарантированной
точностью вычислений.
175

Алгоритм (3.4...3.6) вычисления геодезических координат имеет свои
достоинства и недостатки. К основному достоинству его следует отнести
то, что он одинаково хорошо работает во всех точках местоположения
летательного аппарата, в том числе и в районах Северного и
Южного полюсов, где координата L теряет смысл. Это его свойство
объясняется тем, что итеративные вычисления точки местоположения самолета
происходят в прямоугольной системе координат.
К недостаткам алгоритма следует отнести не прямое вычисление
геодезических координат В и L, а косвенное, осуществляемое через
промежуточное вычисление прямоугольных координат х, у. z, что удлиняет
расчеты.
Рассмотрим теперь другой алгоритм, который позволяет
непосредственно вычислять значения В и L по показаниям РСБН и баровысотомера,
не обращаясь к промежуточному вычислению прямоугольных координат.
Этот алгоритм вблизи полюсов будет иметь недостатки в работе
(например, большое число потребных итераций), но во всех остальных районах
он может обеспечивать любую заранее заданную точность вычислений. В
сравнении с предыдущим алгоритмом он является более экономным.
Из геометрии земного эллипсоида (см. рис. 2.30) нетрудно получить,
что вариации (Ах, Ay, Az) перемещения точки в прямоугольной системе
координат связаны с вариациями (ДВ, AL, АЛ) в геодезической системе
координат соотношениями
Ах = -QsinBcosLAB - GcosBsinLAL + cosBcosLAA;
Ay = -OsinBsinLAB ♦ CcosBcosLAL ♦ cosBsinLAA; (3.7)
Az = QscosBAB ♦ sinBAA.
Соотношения (3.7) вытекают из того, что величины QAB, GcosBAL и АЛ
представляют собой смещения на север / , на восток / и вверх /
соответственно. Проектируя (см. рис. 2.30) их на оси системы
координат XYZ, мы получим выражения (3.7).
Выражения (3.4, а) и (3.4, б) можно преобразовать к виду
аДВЛ ♦ <r ALA = Ь;
11 0 12 0 1 (
а АВ ♦ a AL = Ь ; ^,5;
21 0 22 0 2'
если в них подставить Ах , Ау и Az , соответственно равными
Ах = -О silicas/. АВЛ - </cosB sinLAZ, •
0 Ч) 0 0 0 0 0 0 0
176

^0 0 000 0 0 00
Л* = QcosB ДВЛ.
0 0 0 0
Последние выражения следуют из (3.7). если учесть, что в
рассматриваемом случае ДЛ = 0.
При указанной подстановке будем иметь
ап я—Г-to"**0081*—Г-*
о о
z-z
х (5 SOlBsinl ♦ (Э(ХКВА;
Ч) О О S О О
W уоЛ
a, = - Gxa&BsinL^ ♦ GcosBco&L-,
2 S„ О О О S„ О О О
о о
ял, = -Д Q^s"15/,00^/, - М О^"1^5*11^ * М Ял°°ьВ: (3.9)
21 X 0 0 0 у О О О Z О О
22 ДГ О О О у О О О
д = (-sinL cos;4 ♦ sinB cosL sia4 );
ji = cos/, C0Si4 ♦ sinB sinl sia4 ;
у r r r r r
ji = -siitA cosB ;
z r r
b. = s^ - s ; A = coSi4 s_ - siaA s4. .
1 0 г 2 г £о г No
Вычислив поправки ДВ "и AL из соотношения (3.8). получим новое
(уточненное) приближение
Описанный итеративный процесс можно повторить столько раз.
сколько требуется для достижения заданной точности.
Пример. Прямая задача. Пусть радиомаяк установлен в точке
М с координатами В * 50°25' ; СШ - 0,8799368; L - 30°25'; ВД «
» 0,5308710; Л * 175 м. Пусть текущие координаты самолета равны В *
« 50°18' - 0.8779006; L - 29°55' - 0,5221443; Л « 5000 м.
Требуется вычислить показания S и А бортовой аппаратуры РСБН. На
177

Таблица 3.1
1-й номер
итерации
\ 0
1
2
3
Вычисления
ритму
AN., м
-7421.60
HI.75
-о.зв-кГ4
-0.88* 10""10
по алго-
(3.4)
Д£.. м
1
-9507.40
-113.49
-о.п-ю""3
-0.23Ч0"9
Вычисления
ритму
AN., м
i
-7421.60
-743.80
-7.59
-3
140
по алго-
(3.8)
Д£г м
-9507.40
-482.02
-7.63
-0.6*10~3
основании формул (3.1) имеем $ * 38 км 195.33 м; А * 250 09' 14.
092" « 4.366009.
Обратная задача. Даны показания $ * 38 км 195.33 м. А «
« 250 09 14.092 РСБН (подчеркнем, что заданные здесь значения S и
А совпадают с вычисленными в прямой задаче).
Координаты маяка РСБН — прежние. Требуется с помощью разработанных
алгоритмов вычислить геодезические координаты В и L самолета (обратим
внимание на то. что эти координаты нам уже точно известны из прямой
задачи, так что они могут быть использованы для контроля точности
вычислений).
Для решения задачи итеративными способами в обоих случаях за
начальное приближение возьмем В
50 14' « 0.8767371 и L« 29 47'
- 0.5198172. Начальные погрешности ДАТ - 0ДВл и Д£л - GcosBAL в та-
■^ ооо о
ком случае оказываются равными AN - —7421.60 м. Д£ * -9507.40 м.
Задача определения координат (В, L) решалась двумя методами: с
помощью алгоритма (3.4) и с помощью алгоритма (3.8). Погрешности
178

AW. = Q(B. - В) и A£. = GcosB(L. - L) для первых трех итерации i =
= 1, 2, 3 данных методов сведены в табл. 3.1.
Число итерации, потребных для достижения заданной точности
вычислений, зависит от точности исходных данных В , L . Из табл. 3.1
следует, что необходимо провести две или три итерации, если погрешности
АВ , AL исходного положения В , L составляют несколько километров
(в примере - 7,4 км,- 9,5 км). Если погрешности исходных данных не
превышают сотен метров, то достаточно проведение одной или двух
итераций.
Контроль за точностью вычислений и автоматический подбор числа
итераций можно осуществлять, анализируя величину поправок (АВ., AL.),
вычисляемых на каждой итерации.
3.1.2. УРАВНЕНИЯ СВЯЗЕЙ И АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Координаты самолета и показания РСБН связаны функциональными
зависимостями (3.2), которые принято называть уравнениями связей.
Уравнения связей и матрица Н частных производных по входящим в них
переменных используются в алгоритмах комплексной обработки
информации. Кроме того, с помощью уравнений связей и матрицы Н можно
вычислить вероятностные характеристики для погрешностей в определении
координат самолета, если известны соответствующие вероятностные
характеристики случайных погрешностей As и АЛ РСБН.
Выше мы рассмотрели алгоритмы вычисления координат самолета по
показаниям двух позиционных датчиков: РСБН и баровысотомера. Такой
состав датчиков является одним из вариантов минимально возможного
состава датчиков для решения задачи о вычислении всех трех
пространственных координат самолета. В дальнейших главах будут рассмотрены
принципиально иные алгоритмы, предназначенные для определения
координат самолета по показаниям уже избыточного числа датчиков, как
правило, для одновременной обработки показаний позиционного датчика
и системы счисления пути. Такие алгоритмы решают не только задачу
вычисления навигационных координат, но и задачу фильтрации
(уменьшения влияния) погрешностей первичных датчиков информации на
вычисляемые координаты. Текущие значения вычисленных таким образом координат
здесь можно рассматривать как выходные сигналы комплексной
(датчиков несколько и число их избыточно) системы навигации.
179

Выходные сигналы комплексной измерительной системы,
осуществляющей вычисление координат вместе с фильтрацией погрешностей, принято
также называть оценками (наилучшими приближениями) навигационных
координат самолета, истинные значения которых остаются неизвестными.
Остановимся на уравнениях связи между параметрами s и А ,
измеряемыми РСБН, и координатами самолета, которые измеряются инерциаль-
ной системой (или какой-нибудь другой системой счисления пути) и
баровькотомером.
Координаты самолета могут быть заданы в различных эквивалентных
формах: прямоугольной (xt yt z), геодезической (В, L, Л),
геоцентрической (*р, Л, Л), ортодромической (Ф, Л, R) и других.
Рассмотрим сначала случай, когда координаты самолета измеряются в
прямоугольной системе.
Предположим» что координаты U, у, z), а также дальность s ,
азимут А измеряются соответствующими приборами точно, т.е. без
погрешностей. В этом случае результаты подстановки значений х, у, z, s ,
А в левые части обоих уравнений (3.2) должны тождественно равняться
нулю. Таким образом, совокупность из пяти параметров х, yt z, $ , А
не может состоять из произвольных чисел. Эти числа должны
удовлетворять двум уравнениям (3.2), которые с этой точки зрения удобно
называть уравнениями связей.
В тех случаях, когда измерения х , у , z , $ и А искажены
погрешностями
х = х ♦ Ах; у = у ♦ Ау; г = г ♦ Аг;
$* = $ * As; А* = А * АА. (311)
г г г г г г
результаты подстановки полученных значений в (3.2) уже не будут
равны нулю. Результаты у и у подстановки измерений в уравнения связей
(3.2), которые мы запишем здесь в общем виде (1.3)
W* . Ф Ф Ф Ф .Ф ,Ф.
у{ = F{(x , у , z , $r, Ar, h );
г / * ♦ ♦ ♦ л* *Л (3.12)
V2S F2l* * V * * * V ^г. А ),
180

принято называть невязками измерений. Заметим, что для
рассматриваемого случая невязка у представляет собой разницу между расстоянием
* ф ф f_¥_
вычисленным по показаниям х , у , z ИНС и баровьюотомера, и
расстоянием s , измеренным с помощью РСБН: у = $ - s .
Невязка у представляет собой разницу
ул = coSi4 s_ - siiL4 sA. .
*2 r Eo r No
В теории оптимальной обработки сигналов, кроме самих уравнений
связи, часто бывает необходима также матрица Якоби Н , составленная
из частных производных от правых частей этих уравнений по входящим в
них переменным. В рассматриваемом случае эта матрица будет иметь вид
н = (h(x'y'z)':h ) =
f, F< F<
\х \у \z
F F F
2X 2y 2Z
IS
2S
\A
2Л
(3.13)
r
Из соотношений (3.2) с учетом (3.4) и (3.7) нетрудно установить,
что частные производные в (3.13) будут равны
All=/Vsr(*
Ai3 = /V$rI(*
АЛ| = F = sifb4
21 2х г
Ллл = F„ = siaA
22 2у Г
23 2Z Г
-Vs
-v=
3stf
Эх
э$л,
эу
Эг
".2 = FXy = Sr{y- УГ);
Г Г
asp
- C0Si4 -т— ;
г Эх
- cos А -г— ;
г Ъу
Ъ$р
- со&А — ;
г Эг
= 0;
(3.14)
24 2s 25 2Л
C0Si4 sA, ♦ sifii4 sr.
181

В (3.13) матрица Якоби Н снабжена индексом "г"
начальной
буквой слова "радио". Это должно обозначать, что данная матрица
относится к уравнениям связи показаний радиосистемы РСБН с показаниями дг.
у, z системы счисления пути. В свою очередь, матрица Н в (3.13)
разбита на два блока Л и Л . Верхний индекс первого блока
показывает в какой форме взяты координаты системы счисления пути. Из
приведенных вычислений ясно, что
-1 О
(3.15)
п
о
coSi4 s^.+sin^ sr,
Рассмотрим теперь вычисление матрицы Якоби для случаев, когда
выходные координаты инерциальной системы вычисляются в виде
геодезических (В, L. А) или геоцентрических (<р, Л, R) координат. Другими
словами, рассмотрим, как можно определить производные (/ =1,2)
FiB* FiV RW ¥щ> FK FiK
(3.16)
Прежде чем ответить на этот вопрос напомним, что существует связь
между между векторами (Ах, Ду, Az) и (ABt Д£, ДА), которая задается
соотношениями (3.7).
Соотношения (3.7) можно записать в матричном виде
Ах\ ДБ M?sinBcosL '. -GcosBsinL '. cosBcosLl
Ау\ = С \AL\; С = MJsinBsinL : CcosBcosL ! cosBsinL|.(3.17)
Д* ДА QcosB 0 : sinB
Заметим далее, что рассматривая (3.17) как систему линейных
уравнений относительно неизвестных ABt AL и ДА, можно найти и обратную
зависимость:
а) ДВ = Q [-sinBcosL^ - sinBsinLAy + cosBAz]\
б) AL = (GcosB) (sinLAx * cosLAy);
в) ДА = cosBcosLl ♦ cosBsinLAy ♦ sinBAz;
(3.18)
AB
AL
ДА
v-1
= С
-l
Ax
Az
где С ' составляется из коэффициентов при Дх, Ау и Az в (3.18).
182

Аналогично рассуждая, можно получить, что соответствующие связи
между приращениями (Ах, Ду, Az) прямоугольных координат и
приращениями (Д^, АХ, АЛ) геоцентрических координат будут иметь вид
Ах = -/?sinv>cosAA<£ - /fcos^sinXAX * costpcosKAR;
Ay = -^sin<psinXA^ + fico&icosXAX ♦ costpsinkAR;
Az = /fco&iAi ♦ siityA/?; (3.19)
\Ax
Ay
Az
= C2
Д(^
AX
AR\
Aip = R (-siivcosXAx - siltysinXAy + cosspAz);
AX = (ftcosy;) (-sinXAjr + cosXAy);
A/? = cos^cosXA* + cos^sinXAy + siftyAz;
Ar
Aip
AX
AR
*-l
Ay
Az
(3.20)
где элементы матриц С и С
составляются из коэффициентов в (3.19)
и (3.20).
Вернемся теперь к вычислению частных производных F.„
(i = 1.2).
FiL'
Fih
Из соотношений
dF.
t
дВ
dF.
i
ы
dF.
i
dF.
i
dx
dF.
t
dx
bFi
dx
ъв
dx
ы
dx
dF.
i_
ьу
dF.
l_
dy
bFl
dh
dx dh
вытекает, что матрица ft
dy
B,L,h
by
IF
dy
~W
dy
~dh~
hB,L,h _
dF.
i
dz
dF.
i
+
dz
dF.
1
dz
ъв
dz
1Г
dz
dz dh
\FlB' F\V F\h\
[F2B* F2V FZh\
(3.21)
183

связана с матрицей Л соотношением
hBUi = hxyzc
Г\ П 1
где матрица С задается формулой (3.17).
Аналогично рассуждая, можно получить, что матрица А частных
производных от левых частей уравнений связи (3.2) по переменным ^, X,
R будет связана с матрицей Л *j (3.14) зависимостью
A** = hX*Cr (3.22)
где С - матрица, задаваемая соотношениями (3.19).
Итак, мы нашли уравнения связей (3.2) показаний s , А
радиосистемы ближней навигации с показаниями инерцдальной системы (или системы
счисления пути). Последние показания могут быть при этом заданы в
прямоугольной, геодезической или геоцентрической форме.
Кроме того, мы вычислили матрицы Н частных производных (3.13.
3.14. 3.21. 3.22) от левых частей уравнений связей по всем входящим в
них переменным для трех видов представления координат на выходе
инерциальной системы.
Уравнения связей и матрицы частных производных от них были
рассмотрены в интересах дальнейшего изложения материалов по
стохастической фильтрации в навигационных комплексах. Между тем матрицы
Якоби также могут быть использованы для анализа точности
вычислений координат при условии, что измерения имеют погрешности.
Пусть результаты s . А и А измерений, осуществляемых приборами,
имеют инструментальные погрешности As , АА и Ah:
s =$ ♦ As . А = А * АА , h =Л + ДЛ.
г г г г г г
Предположим, что измерительные погрешности As . АА и АЛ
распределены по нормальному закону N{m, P). Требуется найти математическое
ожидание т и корреляционную матрицу Р для вектора (ABQ, ALcosBG)
выходных погрешностей в определении координат самолета.
Из соотношений (3.13) и (3.18) следует, что векторы
184

(Ax. Ay. Ar),(Asf, ДЛ., ДЛ) и (ABQ, ALoosBG)
связаны соотношениями
A{Ax, Ay, Azf = B(As A4f. ДЛ)Т;
(ABQ, ALoosBG)7 = C(Ax, Ay, Az)r,
где
A =
В =
C =
л"
Л2,
[cosBcosL
f"*M Лб
Л4 Лб
[0 0
Л,2
"и
cosBsinZ.
о'
0
1,
»
*и
*а
sinfi
(3.23)
-sinBcosL -sinBsinL cosB
-sinL cosL 0
В таком случае искомые характеристики т и Р могут быть вычислены из
соотношении
т = CA~lBmt P
СА 1ВР(СА !В)Т.
Величина Д среднего квадратического линейного отклонения А =
M[(ABQ) * (ALcosBG) ] в данном случае будет равна
*2 2 2 4 п
А = т * т ♦ trr .
11 22 1
(3.24)
Для случая симметричных погрешностей, когда т = 0, имеем
А2 = trP..
3.1.3. МЕТОД ИЗМЕРЕНИЯ ДАЛЬНОСТЕЙ
Рассмотрим здесь два варианта измерений. Первый - когда на
самолете измеряются дальности s.t i = 1, 2, 3 до трех ориентирных точек
М. (В., L., Л.), которые находятся в зоне его прямой видимости.
Второй - когда измеряются дальности до двух ориентирных точек и
барометрическая высота А. По проведенным измерениям требуется определить
185

геодезические координаты самолета. В первом случае - В, L. Л. во
втором случае - только В и L.
Поставленную задачу определения (В. L. Л) по трем дальностям s..
как и ранее, будем решать методом итераций. За исходную точку
итерационного процесса возьмем точку М (В . L , Л ). Из (3.4. а) и (3.18)
следует, что искомые поправки (АВ . AL , АЛ ) могут быть найдены из
следующих соотношений
хл -х.
О i
/О
у0 *1 А 0 1 А
Дг ♦ Аул ♦ Агл =
О $.л *0 $.л О
s/o
*0
s.„ - $., I = 1. 2. 3.
(3.25)
где х . у , z - прямоугольные координаты точки Af (В . L . Л ); х.,
у., г. - прямоугольные координаты точек M.(B.t L., A.); s. -
расстояния между точкой М и точками М., вычисленные по формуле (3.1.а):
(5 ДВЛ = -sinB^cosL Дхл - sinB sinl Аы ♦ cosB^Az •
0 0 000 0 0 90 00
GAcosB AL
0 0 0
0 0 0 *0
(3.26)
A/i = cosB cosL Ax ♦ cosB sinL Ди ♦ sinB^Az :
0 0 0 0 0 0 *0 0 0
V,
AB ; L
0' 1
L - AL- h = h - ДЛл.
0 0 10 0
Итеративный процесс может быть продолжен и далее до достижения
заданной точности.
Если соотношения (3.25) и (3.26) записать в матричном виде, то
получим выражения
' * " " |Дх|
[д*
АУ
[д?
-1
= п
*1
^2
н
.
ОДВ
CcosBA/.
ДА
QAB
CcosBAL
ДА
д$ч
= С
ю
АУ
Дг
= С
-1
ю
1
^2
(3.27)
где матрицы я и С составлены из коэффициентов уравнений (3.25)
и (3.26).
186

Предположим, что погрешности As. дальномеров являются
независимыми случайными величинами вида
As. = si.; Ь. е N(0. а2).
i rt i
В таком случае корреляционная матрица Р вектора (QAB, GcosBAL,
АЛ) погрешностей в определении точки положения самолета будет равна
2 10
$|
0
0
0
S9
0
0
0
s
1т>т
(3.28)
У
Матрицы С и я, а также расстояния $., входящие в выражение (3.28),
зависят от взаимного расположения ориентирных точек и самолета.
Вычисляя численные значения элементов матрицы Р~ для различных
положений, можно провести анализ точности данного метода.
При решении второй задачи из аналогичных рассуждений легко
получить, что итеративный алгоритм для вычисления искомых поправок ДВ и
AL в этом случае будет иметь вид
*Л-*« У*-У- **-*•
0 I А у0 *t А 0 I А
Ддгл ♦ АуА * А* =
S.„ 0 $.Л *0 s.„ 0
*о ю ю
cosB^cosL Ах ♦ cosB sinl Аы ♦ sinB^Ar = 0;
000 0 0 *0 00
(?ЛДВЛ = -sinB^cosL Ax - sinB sinL Ды ♦ cosB^Az •
0 0 0 0 0 0 0 y0 0 0
0 0 0 0 0 0 90
(3.29)
(3.30)
(3.31)
Уравнение (3.30) вытекает из условия ортогональности вектора
ошибок (Д*п. Ау , Дг ) к нормали эллипсоида в точке М(В L ). Если
погрешность АЛ баровысотомера равна нулю, то указанные векторы будут
взаимно ортогональны. Если же погрешность АЛ * 0, то скалярное
произведение (3.30) будет равно АЛ.
С учетом последнего замечания вектор случайных погрешностей (ABQ,
ALcosBG), обусловленный случайными погрешностями As , As и АЛ, буд*5""
иметь корреляционную матрицу Р :
187

сУ1
0
а .
.VI
0
0
0
2
о „
$2
0
0
0
а
«*""'>*•
(3.32)
В (3.32) я является матрицей (3x3) системы линейных уравнений
(3.29), (3.30); а С - матрицей с размером (2x3) линейных
выражений (3.31).
Пример 1± Пусть опорные точки (рис. 3.2) имеют координаты:
В « 56°00'00.000"; L « 38°; А - 200 м;
ВЛ « 58°; L « 38°; h « 250 м;
2 2 2
В„ - 59°; L, - 41°; Л„ « 300 м.
3 у 3 3
Прямая задача: координаты самолета В ш 57 , L •
Рассчитать расстояния до опорных точек.
В соответствии с (3.1) искомые расстояния
равными
39 . А
здесь
15 000 м.
оказываются
S - 128251.7 м: S
127485.5 м; S - 164489.8 м.
Обратная Задана: по заданным S , S и S требуется определить
координаты В. L, А самолета. Расчеты показывают, что при первоначальных
отклонениях Д/V - Q(BQ - В) - 1860 м; A£Q « GcosB(L0 - L) = 1015 м;
А — А * 100 м после первой итерации (3.25. 3.26) эти отклонения
соответственно равны ДАТ * —7,1 м; Д£ * 7,3 м; ДА - -20,8 м. После
—о _3
второй итерации имеем AN - 0,3*10 м; Д£ * -0,3*10 м; ДА =
л» *> л»
- -0,15-Ю" м.
Пример 2^ В рамках предыдущего примера требуется на основании
формулы (3.28) вычислить средние
квадратичные значения погрешностей О
.•г.
|£Г н о. - ^Г
22 Л 33
N ~ " 11 • "Е
в зависимости от высоты
Рис. 3.2
полета самолета. На табл. 3.2
представлены соответствующие результаты расчетов
при О - 10Н « 10~"2 %.
188

Таблица 3.2
h н
0 . м
л
°Е- "
Vм
Пример
L
5000
11.8
16.4
198.9
В рамках
10 000
11.1
17.0
111.4
первого
15 000
10.9
17,3
77.8
20 000
10.9
17.6
61.1
примера вычислить средние
25 000
11.0
17.9
49.2
квадратичные
значения погрешностей О*, и Ор для случая, когда измеряются два
расстояния S и $ и высота А. Значение а погрешностей дальномеров
принять 10 %. а, = 10 м.
/I
Ответ: на основании формулы (3.32) имеем
aN- *fr ,0-38":°£- •С" ,9',9м-
3.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ САМОЛЕТА
ПО ПОКАЗАНИЯМ РСДН
3.2.1. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ
Бортовой приемник РСДН позволяет измерить (1.2) временные задержки
Г,2 И V
r,2 = c"V'I2-V + v
Т = С (S + / -s ) ♦ т ;
13 х3 13 1 3
прихода на самолет сигналов от ведущей 1 (см. рис. 1.7) и двух
ведомых 2 и 3 радиостанций. По измеренным величинам Т иГ вычисляются
I л 10
разности s и s дальностей
s=s-sts=s-s. (3.33)
12 2 V 13 3 Г
Выражения (3.33) можно непосредственно использовать для решения
прямой задачи, т.е. для вычисления показании s (Т ) и s (T ) при-
\JL\JL I о I о
емника РСДН по известным геодезическим координатам (В, L, Л)
самолета и геодезическим координатам (В., L., А.) трех радиостанций.
Решение этой задачи является необходимым при комплексной первичной
189

обработке сигналов в приемнике РСДН, а также при моделировании
Сподыгрыше") показаний РСДН, имеющих место на движущемся самолете.
При этом вычисление расстояний $., / = 1, 2, 3 как функций от
геодезических координат самолета и радиостанций проводится по методике,
изложенной в подразд. 2.2.1, 2.2.5 и 2.2.6.
Вычисление координат (В, L) самолета по измерениям s и $ ,
осуществляемым приемником РСДН, и барометрической высоте Л назовем
обратной задачей. Ее можно решить, если соотношения (3.33)
рассматривать как систему нелинейных уравнений относительно неизвестных В и L:
s2(B, L) -s{(B, L) = sj2;
$3(B. L) -s{(Bt L) = sJ3; (334)
При решении этой системы будем предполагать, что первоначальное
приближение (В , L ) для неизвестных (В, L) является заданным.
При этом величины В , L связаны с неизвестными В и L
соотношениями
B = B0-ABQ;L
к - ^
о о
(3.35)
Подставляя (3.35) в (3.34) и проводя линеаризацию полученных
выражений около точки В , L , получим систему линейных уравнений
относительно АВЛ и AL
О О
(а$2
ЭВ
f3S3
ЭВ
Э., 1
эв
Э$) 1
эв
ДВ0-
ДВ0 +
[Э$2
Э/.
[э$з
э/.
э$1 i
dL
а», 1
dL
л» 0
AL = s - s ;
0 12 12'
AL = s - S ;
0 13 13
(3.36)
Производные в (3.36) вычисляются в точке (В , t ), a s и s соот-
U U 1 л» 1 о
ветственно равны
0 0 0
$ = s - s
12 2 1
W V " VV V'
5° = s° - s° = s (В . L ) - s (В , L ),
13 3 1 3 0 О' ГО' О1'
(3.37)
190

В выражения (3.36) входят расстояния s.(B , L ), / = 1. 2. 3
между точкой Af (В , L Л) предполагаемого местоположения самолета и
точками M.(B.t L.t h) расположения радиостанций. Эти расстояния
могут быть вычислены с помошью итеративных алгоритмов, разработанных в
подразд. 2.2.1. 2.2.5 и 2.2.6. Способ вычисления расстояний s.
зависит от того, находятся ли точки М. и М в зоне прямой видимости или
нет. Критерий нахождения точек в соответствующих зонах был выведен
ранее (2.85). Алгоритм (2.48) вычисления дальности для случая прямой
видимости является точным, а алгоритм (см. подразд. 2.2.5, 2.2.6)
для случая, когда точки скрыты друг от друга горизонтом носит уже
приближенный, итеративный характер. Число итераций в последнем
алгоритме зависит от требуемой точности вычислений. В большинстве
практических задач, когда вычислительная погрешность, не превосходящая
1 м, считается допустимой, достаточно одной итерации. Это следует из
числовых примеров, рассмотренных в подразд. 2.2.5 и 2.2.6.
Алгоритмы вычисления дальности функционируют таким образом, что
одновременно с дальностями s. вычисляются также и азимуты А. от
самолета на радиостанции. Точность вычисления азимута А. является
высокой даже после первой итерации. Из указанных числовых примеров
следует, что погрешность АА. после первой итерации не превышает
Kf6 рад, \АА.\ < 10~* рад.
Рассмотрим сначала методику решения линейных уравнений (3.36)
для случая, когда для наблюдателя на самолете все три станции скрыты
за горизонтом. При этом предположении вычислим производные bsJbB и
bsjbt, фигурирующие в (3.36). Из рис. 3.3 нетрудно понять, что
изменения As. расстояния s. = ММ. при
перемещении точки М к северу на
величину QAB и к востоку на величину GcosBAL
будет равно
As. = -QABcasA. - GcosBALsinA..
it t
Отсюда следует, что искомые производные
будут равны
Рис. 3.3
191

bsJbB = -Qax>A.t bsJbL = -CcosBsxnA.. (3.38)
Подставляя значения указанных производных в (3.36), получим
(cos;4 - со&А )Q АВ * (sinA - sin4 )G cosB x
Af 0
AL = s - s :
°о " о'' о о <3-39)
(coSi4 - со&А )Q АВ ♦ (sinA - sinA )G cosB x
Af 0
AL = s - s
0 13 13
Напомним, что величины A., Q и G , входящие в (3.39),
вычисляются в точке (В , L ).
Решая систему (3.39), вычислим АВ и AL , а также первые
приближенные значения
В, = В - ДВ : L = LA - Д/,Л
1 0 0 1 0 0
для искомых величин В и L. Если точность вычислений после первой
итерации не удовлетворяет поставленным требованиям, то итеративный
процесс вычисления поправок АВ. и AL. можно продолжать и далее.
Исследуем теперь детерминант системы линейных уравнений (3.39)
det = QGcosB[(coSi4 - coSi4 )(s\nA - sinA ) -
- (cos;4 - cos;4)(sirb4 - sinA )].
1 «j 1 JL
С учетом тождеств
/3-a . a+fi
cosa - cosj3 = 2sin -*-— sin —-*- ;
2 2
a-0 a+j3
sma - stn0 = 2sin —-*- cos —-?—
^22
выражение для детерминанта может быть приведено к виду
det = 4QCcosBsin 2 sin 3g sin 3g 2 . (3.40)
Из (3.40) следует, что в случаях, когда имеет место одно из
равенств В = ± я/2, Л = А , Л = Д. либо Л = Л , детерминант
равен нулю и решение системы (3.39) не существует. Рассмотрим это
явление с геометрической точки зрения. На рис. 3.4 в точке А
расположена ведущая станция 1, а в точках В и С - ведомые станции 2 и 3.
192

На этом рисунке прямые линии АВ, ВС и
С А схематически изображают собой
геодезические линии на эллипсоиде, а
линии А4\ АА'\ .... СС" - их
геодезические продолжения. Детерминант
обращается в нуль и решение не
существует именно на этих геодезических
продолжениях, где выполняется одно из
равенств А{ = А^ А{ = А^> А^ = А^.
Поэтому линии АХ, ..., СС' являются
геометрическими местами точек, на
которых определение координат самолета
по показаниям РСДН является
невозможным. В зоне (окрестности) этих линий
малейшему изменению параметра Г и
Рис. 3.4
Т соответствует значительное изменение координат самолета или, дру-
1 о
гими словами, значительным изменениям координат самолета
соответствует практически ненаблюдаемое изменение показаний Г и Т приемника
РСДН. Для определения координат самолета в окрестностях указанных
линий необходимо изменить на другую ту ведомую радиостанцию, которая
лежит на одной линии с ведущей, если смотреть с самолета.
Как известно, для любой точки гиперболы выполняется условие, со-
ставлящее в том, что разность расстояний от этой точки до двух
фиксированных точек (полюсов) является величиной постоянной. На
рис. 3.4 изображены два семейства гипербол, порожденных двумя парами
i4B(l,2) и АС( 1,3) .станций. На каждой пунктирной гиперболе разность
расстоянии $
(или
величиной
12
постоянной.
s для другого
1 о
Вместе
с s
12
"сплошного" семейства) остается
остается на ней постоянным и
параметр Г , который может быть принят за "номер" гиперболы.
Существуют карты, с помощью которых можно по пересечению гипербол с
"номерами" Т и Г определить свое местоположение. Этот способ
1 /> 1 о
требует ручного труда штурмана, он связан с большими погрешностями и
в настоящее время находит все меньшее применение.
Из рис. 3.4 следует, что у нелинейной системы уравнений (3.34)
существует два решения, представляющие собой две точки пересечения
пары гипербол. Одно решение при этом является правильным, а другое -
7 - 993 193

ложным. Для исключения ложного решения нужно использовать либо
показания других навигационных приборов, находящихся на борту, либо
привлекать к измерениям еще одну ведомую станцию (третью), если она
имеется.
Рассмотрим теперь общий случай вычисления координат самолета по
гкжазаниям sio и sii пРиемника РСДН, когда каждая станция может как
находиться, так и не находиться в зоне прямой видимости с самолета.
Вычисление разностей расстояний $ , $ (3.37). а также производных
bsJbB = s.~, bsJbL = $... входящих в основную систему (3.36) для
определения поправок АВ и AL . необходимо вести здесь уже по разным
алгоритмам в зависимости от типа видимости 1-й станции с самолета. С
учетом сказанного расчетная схема для нахождения s. и производных
$.д и $.. приобретает вид. изображенный на рис. 3.5. Случай а на
рис. 3.5 соответствует отсутствию прямой видимости, случай в - ее
наличию. В случае а расчет $. ведется по формулам подразд. 2.2.5 и
2.2.6, а вычисление производных s.~ и S.. по формулам (3.38). В
случае в расчет s. ведется по формуле (2.48). а расчет производных s.~ и
$., - по формулам (3.42).
Из соотношений (3.4, а) и (3.7) вытекает выражение для приращения
As. для случая прямой видимости
As. = а{{АВ ♦ al2{AL ♦ а^ДЛ. (3.41)
где
i X~Xi Wl
а = QsinBcosL QsinBsinL ♦
I i
z-z
♦ — QcosB;
s.
i
x-x. u-y.
а = GcosBsinI ♦ GcosBcosL;
21 s. s.
t i
x-x. u-y. z-z.
it t t
a, t = cosBcosL ♦ cosBsinL ♦ sinB.
31 S. S. $.
t i i
194

Из (3.41), в свою очередь,
следует, что искомые
производные s.p s.L и $^
для случая прямой
видимости будут равны
t
1В 11 tL
(S0yL0
WTf,
,h)
^)
Коитерий
видимости
(2.85)
a
b
Подразд,
2.2. Si 2.2.6
(3.38)
{2MB)
(ЗЛ2)
-*-$;
SiB
"*" S/L
^, 5:
1 -» °j
Vsa4(342)
Рис. 3.5
Вычисления координат В и L самолета по показаниям $ и s
13
РСДН
проводятся в произвольном случае видимости станции по изложенному
выше итеративному алгоритму. При этом вычисление коэффициентов и правых
частей уравнений (3.36) ведется по вычислительной схеме, изображенной
на рис. 3.5.
Пример.
Прямая задана. Заданы координаты трех радиостанций: ведущей (В =
= 53 20'33.000"; L
(В - 62°03'15.0001'
« 53°0l'08.000". L
34 42' 15,000"; Л - 0;) н двух ведомых
L - 34 22'10.000"; h
2 2
25°10'10.000"; h - 0).
0). (В3 -
Известно, что
координаты самолета соответственно равны В
о , ,, ,
- 30 03 10.000 Л * 8000 м. Требуется определить показания
приемника РСДН в форме S
S — $ . $
2 Г 13
56 05 25.000
еде^
а также вычислить
А указанных радиостанций от местоположения самолета.
12 ~2 "Г "13 "3 Г
азимуты А , Л
Применяя методы вычисления расстояний и азимутов. изложенные в
подразд. 2.2.5 и 2.2.6. получим для рассматриваемого случая
Stiy - 280 518.7 м; $tf% « 37219.2 м;
12 13
At « 133°39'40"; Ал = 18°36'05"; А - 224%5'П".
1 2 3
Критерий (2.85) показывает. что все станции находятся вне зоны
прямой видимости с самолета.
Обратная задача. Заданы координаты трех радиостанций (те же. что и
в прямой задаче). высота полета самолета Л * 8000 м и показания РСДН.
равные SiA - 280518.7 м и S
12 ' 13
дезические координаты В и L самолета
37219,2 м. Требуется определить гео-
195

Предположим, что за начальную приближенную точку по каким-то
причинам мы выбрали точку с координатами
ВЛ « 56°10'04.000"; L « 29°50' 10.000" ; Л - 8000 м.
0 0
Для выбранной точки (В , L , Л) далее вычисляем соответствующие ей
0 0-0-0 -0
значения $ , $ , А , А и А , которые оказываются здесь равными
IZ 1 «5 1 л> о
S° « 261063.8 м; S° « 18430,2 м;
-0 о , ,, .0 о , ,, -0 о ,
У* - 133 05 28 ; Ал « 19 40 40 : Л . 222 3811.
1 2 3
По этим значениям находим коэффициенты линейной системы уравнений
(3.39) и решаем ее относительно неизвестных Ав и AL . В результате
этих расчетов получаем искомые координаты В. L первого приближения
В « В - ДВЛ « 56°05'23.924";
1 0 0
L « L - AL « 30°03'22.235".
1 0 0
Точность первого приближения здесь оказывается равной
А*!, « Q(Bt - В) « -33,27 м; Asl « GcosB(Lt - L) « 211,55 м. .
NX L \
Повторяя все те же расчеты, но уже для исходной точки с
координатами (В . L , Л) первого приближения, мы получим координаты В , L
второго приближения. Расчеты показали, что они практически совладают
с точными значениями координат В, L. Погрешности второго приближения
здесь сказались равными
Д*?/ я <3<Bo - В> - -О.7-10""3 м.
/V 2
дЛ, « GcosB(L - L) - o.oi м « 1 см.
3.2.2. УРАВНЕНИЯ СВЯЗЕЙ И АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ
В этом пункте мы исследуем функциональные связи между показаниями
s и $ бортового приемника РСДН и координатами самолета, которые
1 л» 1 о
могут быть заданы в геодезической (В, L, Л), прямоугольной (х. у. г)
или геоцентрической (^, X, R) форме. Кроме того, мы проанализируем
погрешности в определении координат самолета, рассматривая эти
погрешности как случайные величины.
196

Уравнения связей вытекают из соотношений (3.34) и представляются
в виде (1.3)
S2-$2-S«2
0; s - $ - s = 0.
' 3 1 13
(3.43)
Расстояния $ , $ и $_ в (3.43) как функции либо (В, L, Л), либо
(х, у, г)% либо (<р, X, R) вычисляются с помощью методов, изложенных
в подразд. 2.2.1, 2.2.5 и 2.2.6 с учетом вычислительной схемы,
изображенной на рис. 3.5.
Матрица Н. частных производных от левых частей уравнений (3.43)
может быть легко вычислена с учетом равенств
Э/\
ds
*♦!
Э$.
ЪВ ~ "k\ '
Ы = Hk2 =
bFk
dh = Л*з =
bFk
=— = -1
ав
3s. ,
bL
ds. .
dh
ЪВ
dsx
dL
dh '
k = 1,2;
(3.44)
ds
!*♦!
Все производные, фигурирующие в (3.44) были вычислены нами ранее
для обоих случаев видимости станций с самолета, кроме производной
bsjbh для случая, когда 1-я радиостанция находится вне пределов
прямой видимости. Из формулы (2.95) следует, чта для относительно
малых высот полета (когда Л/а - малое число, порядка е ) частная
производная bsjbh от дальности s. по высоте Л будет равна
bsj bh = т/Щ,
ч
где #с. - радиус кривизны земного эллипсоида в точке местоположения
самолета в направлении на / радиостанцию
-1
<■
sin A.
2А.
cos (
197

Выражения (3.44) задают матрицу Якоби для уравнений связей (3.43)
относительно переменных В, L, Л, s , s . Рассуждая так же, как в
подразд. 3.1.2, можно с помощью матриц С (3.17) и С (3.19)
вычислить матрицы Якоби и для составов переменных вида х% yt zt $ , $ и
1 л I О
* Х' * V $«3-
Вычисление частных производных (3.44) позволяет найти
математическое ожидание т и корреляционную матрицу Р вектора выходных
погрешностей (ABQ, ALcosBG) при условии, что вектор (As , As,~» ДЛ)
погрешностей первичных измерений распределен по нормальному закону с
известными параметрами N(mt P).
Из соотношений (3.43) и (3.44) вытекают равенства
ft., АВ ♦ h.AL
■W + *1Ы' * - IA
Эти равенства с учетом (3.38) и (3.42) можно легко записать в
матричном виде
ABQ
ALcosBG
= С
Ah
А =
Cf'/t
11
21
(GcosB) !Л
(CcosB)-,A
12
21
C =
1 О -Л
Lo l
13
23
В таком случае искомые величины т и Р , а также квадрат линейного
2 2 2
уклонения Д = M[(ABQ) * (Lco&BG) ] будут равны
т{ = A lGm, Р{ = (A lG)P(A lC)\
А2 2 2 . _
Д -«п*«|2*1гР1.
(3.45)
3.3. СРЕДНЕОРБИТАЛЬНЫЕ СПУТНИКОВЫЕ
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ НАВИГАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
Среднеорбитальными спутниковыми радиотехническими навигационными
системами (СРНС) в настоящее время принято называть системы, которые
используют спутники, движущиеся на высотах порядка 20 000 км. К таким
198

системам относится, например, глобальная навигационная система
NAVSTAR (Navigation Satellite providing Time and Range) [5]. [6].
[25], [14]. разработанная в США.
В состав этой системы при полном ее развертывании входят 18
навигационных спутников. Орбитальная группировка образуется путем
равномерной расстановки по экватору шести плоскостей орбит (через 60 ). в
каждой из которых находится по три спутника, также равномерно (через
120 ) расставленных на орбите. Угол наклонения орбит i = 63 . Такая
группировка обеспечивает наблюдение из каждой точки Земли в любой
момент времени не менее четырех навигационных спутников.
Номинальный период обращения спутника составляет Т = 11,9661 час,
что соответствует значению большой полуоси а = 26560.123 км.
Номинальный эксцентриситет е < 0.006 (в пределе до 0.015). Сигналы
передаются на несущих частотах f = 1575.42 и f = 1227,6 МГц.
3.3.1. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКОВ
В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ГРАВИТАЦИОННЫХ СИЛ
Для функционирования СРНС очень важным является умение рассчитать
координаты и вектор скорости спутника для любого наперед заданного
момента времени. Поэтому мы рассмотрим здесь основные законы
движения спутников и вопросы, связанные с расчетом их положений и
скоростей. Сначала мы остановимся на случае движения в центральном
гравитационном (ньютоновском) поле.
На спутник с массой m в таком поле действует гравитационная сила
— — 3 14 3 2
mg = -/пдг/г , где д = fM = 3,986008*10 м/с - гравитационная
постоянная Земли, г - радиус-вектор спутника из центра поля.
В этом случае векторное уравнение движения спутника имеет вид
г = V/r3. . (3.46)
Задавшись начальными значениями r(t ) и r(t ), можно численно
решить дифференциальные уравнения (3.46) и получить соответствующую
траекторию движения. Однако такой путь определения траектории
является вычислительно громоздким и во многих отношениях неудобным.
Оказывается, что траекторию спутника можно находить путем простого
вычисления некоторой последовательности функций. Рассмотрим этот
способ вычисления траектории (орбиты).
Из (3.46) следует, что
7x7 = С или гхУ = С. С - const. (3.47)
199

Действительно, дифференцируя (3.47), получим
-- -* • - 3 15
г*г ♦ г*г = r*{-iir/r ) = 0 .
Выражение (3.47) называют первым векторным интегралом площадей^
Оно, в частности, утверждает, что момент количества движения r*mV
спутника при движении его в центральном поле является постоянным
вектором, равным тС. Другими словами, можно еще сказать, что площадь,
"заметаемая" вектором г в единицу времени, при движении спутника
остается постоянной [26].
Из (3.47), кроме того, следует, что вектор r(t) при всех /
ортогонален вектору С и, следовательно, траектория спутника является
плоской линией, которая лежит в плоскости, проходящей через центр
тяготения.
Известно [6], [26], что траектория (орбита) спутника представляет
собой эллипс, в одном из фокусов которого находится центр тяготения.
Положение спутника относительно Земли может быть задано с помощью
шести постоянных и одного переменного элементов орбиты (рис.3.6).
К постоянным элементам относятся (рис. 3.6): £2 . - долгота
восходящего узла А орбиты; i - угол наклонения орбиты; а, Ь - длины
полуосей эллипса; о> - аргумент (угол) перигея; /~ - время прохождения
спутником точки В перигея.
Переменный параметр d(t) (рис. 3.6), который называют истинной
аномалией спутника, задает его угловое положение на эллипсе. Иногда
в рассмотрение вводят угол и = со ♦ #, который называют фазой
спутника или аргументом широты.
Уравнение эллипса в полярных координатах [20], [26] имеет вид
l+£COSJ>
. 0 < е < 1, (3.48)
где р = b а = а{\ - е ), е = (а - b )/a .
На основании (3.48) по элементам орбиты 12-, /, е% р, со и # могут
ть вычислены координаты (х ,
вичской системе координат XYZ:
быть вычислены координаты (х , у , z ) спутника в прямоугольной грин-
15„
Напомним, что векторное произведение вектора CL на себя равно
нулю: аха =о.
200

x = r(cosacosi2 - sinucos&inft);
s 1 l
и = r(cosi/siitf2 ♦ sinucosicosSl);
$ 1 1
z = rsinusin/;
(3.49)
n * n - - s . s = s « ) * a(/ - n,
1 A rp гр гр О О
где ft - угловая скорость Земли; S - угол между направлением на
точку весеннего равноденствия у и плоскостью гринвичского меридиана,
этот угол принято называть звездным гринвичским временем (см. под-
раз д. 3.5.1).
Рассмотрим теперь закон изменения истинной аномалии #(/) во
времени. Из интеграла площадей (3.47) вытекает скалярное равенство
-j- r-Vsin(rV) = -J-
rvtf =
r» = const.
Это равенство можно трактовать как постоянство скорости
изменения площади, ометаемой вектором г. В таком случае для произвольного
положения спутника на орбите (0 < # < 2тг), а также для точек перигея
(t> = 0) и апогея (# = я) имеют место равенства
2*
о о
пгУтг
nab
nab
const,
(3.50)
2 2 2 Г 2
где -nab - площадь Эллипса; л - средняя угловая скорость спутника за
весь период Т его обращения; г , V , г , V - ветшчины, относящиеся
к перигею (индекс и0") и апогею (индекс V).
У центрального поля тяготения имеет место силовая функция V =
Перигей
босходя-
щийузел
Рис. 3.6
"°C*Ot
}сг?ь экватора
201

= цт/г> из ее существования вытекает [26] первый интеграл сохранения
энергии
J*L - JHL . con*.
2 Г
В таком случае для точек апогея и перигея имеет место равенство
<-<-2»[т7-Т-1 (351)
v О я '
На основании (3.50) и (3.51) с учетом равенств г = р/(1 + е) и
г = р/(1 - г) имеем систему из двух уравнений относительно неизвест-
я
ных V и V :
О я
Vj-Vj-W4: (3.52)
Vn(l - е) = V О ♦ <?).
О Я
Из (3.52) могут быть определены величины V и V , которые здесь
оказываются равными
V = (1 ♦ е)УщГ*. V = (1 - *)fy/T*. (3.53)
о я
В таком случае из (3.50) и (3.53) следуют равенства
г V г^
Ь = -^- = Нр 3(1 * *cost»2; *«) = Л0; (3.54)
г ^
"* " W " ■ ^ - ^ <355)
а
Если решение t>(/, / ) нелинейного дифференциального уравнения
(3.54) с начальным условием Щ\ является известным, то вычисление
координат х (/), у (/), z (t) спутника по формулам (3.49) уже не
составляет труда.
Рассмотрим выражения для вычисления радиальной V и
тангенциальной V скоростей спутника (см. рис. 3.6).
Из (3.48) и (3.54) следует
V = г = fyp^esinu, V = г* = УщГ*(\ * еах&). (3.56)
202

3.3.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИСТИННОЙ АНОМАЛИИ
НАВИГАЦИОННОГО СПУТНИКА
В основе алгоритмов вычисления координат х (t), у (/), г (/) и
скоростей ПО и V (/) лежит решение нелинейного дифференциального
уравнения (3.54) для истинной аномалии #(/) спутника
*
l4"*(l +
ecGSi» ; *(/Q) = i>0.
(3.57)
Достойно удивления и восхищения, что способ точного вычисления
истинной аномалии #(/), т.е. точное (а не приближенное!) решение
нелинейного уравнения (3.57), было получено более трех веков тому
назад выдающимся немецким астрономом Иоганном Кеплером (1571-1640 гг.).
Истинная аномалия #(/) в современных курсах теоретической механики
[26] обычно находится не из уравнений (3.57), а исходя из
геометрических рассуждений. Мы последуем этой методике.
Пусть N (рис. 3.7) - точка (спутник) на эллиптической орбите, а
N' - соответствующая ей точка описанного круга. Угол N'OB = Е
называют эксцентрической аномалией спутника.
Эллиптическую траекторию можно рассматривать как проекцию
описанного круга, который нужно повернуть вокруг большой полуоси на угол,
косинус которого равен Ь/а. В таком случае имеет место равенство
ЛГ// _а_
NH ' Ь *
Рассмотрим площадь сектора &т%рц.
SBFN = SBFNM
-1
где F - фокус эллипса, OF = f =
Из построения
/а
2 |2
а - Ь = ае.
имеем соотношения для площадей
SBFN* * Sce*TON'B " SON'F =
1 2 1
=-— Еа - -— /asin£ =
2 2
(£ - esinf);
ab
JBFN
(E - esinE).
Рис. 3.7
203

В соответствии _с законом площадей, когда площади, опифваемые
радиусом-вектором г, пропорциональны времени, находим
о nab ,. . у nab ,. . v
SBFN ' — (t~ V = "T" (t ~ V-
t~ - момент времени прохождения точки В перигея; величину tj(t - tR),
имеющую размерность угла, называют средней аномалией спутника и
обозначают буквой М:
М = л(/ - /д). л = 2тг/Г.
Из последних соотношений и получаем знаменитое уравнение Кеплера
Е - *sin£ = М; М = n(t- tBh л = Км/а . (3.58)
Величину М = n(t - tJ) называют средней аномалией спутника, а л =
- средней угловой скоростью его движения.
Для завершения задачи остается установить зависимость между & и £.
Проектируя векторы ОАГ и F# на оси ОВ и ОС (см. рис. 3.7) получим
«x*E = f*rcos*; _ _ (3.59)
asin£ = ЯЛГ = fflVob ! = rstariob !.
2 —1
С учетом равенств f = eat p = а(1 - е ). г = р(1 ♦ icosA) из (3.59)
следуют выражения
cosf-tf
cos* =
suit* = —• =—
l-£cosc
(3.60)
Формулы (3.60) определяют угол # в диапазоне [0,2тг]:
*= ** iS- I0'2ffI-
вычисляемый в соответствии с формулой (2.11).
Ранее мы рассмотрели движение спутника в центральном
гравитационном поле без воздействия на него каких-либо активных сил. В реальных
условиях спутник движется в гравитационном поле вида (2.113) (ни
самом деле еще более сложном) и при наличии таких активных сил. как
аэродинамические, давления света, тяги двигателей и других. Поэтому
в общем случае уравнение движения спутника имеет вид
204

-I -/3-7
г Ф -мг/г ♦ f ,
где 7\- ускорение от возмущающей силы, которое вместе с ускорением
центрального поля дает фактическое ускорение спутника.
Если ускорение f не равно нулю, то орбита спутника будет
отличаться от эллиптической. Однако, если ускорение f мало, или действие
его кратковременно, то для описания движения спутника применяют
параметры:! 12 М), *"(/), a(t)t b(t)t cj(t)t tA(t), которые называют Tie-
перь оскчлируюшими параметрами. Оскулирующие параметры - это
параметры эллиптической орбиты, определенные при условии, что начиная с
момента /^прекращается действие возмущающей силы f. Оскулируюшие
параметры орбиты изменяются с течением времени /. В системе "Navstar"
эти изменения учитываются для каждого параметра в виде аддитивных
добавок, имеющих вид линейной комбинации С sin2u + С cas2u двойной
частоты от аргумента широты и (на самом же деле, как мы увидим ниже,
не от и, а от ветшчины Ф, близкой к и).
3.3.3. НАВИГАЦИОННОЕ СООБЩЕНИЕ СПУТНИКА
И ВЫЧИСЛЕНИЕ ЕГО КООРДИНАТ И СКОРОСТЕЙ
Навигационное сообщение спутника передается в виде повторяющихся
кадров [5], [о]. Каждый кадр длится 30 с и содержит 1500 бит
информационных да^шых. Мы не будем подробно описывать размещение
информации в кадр£, отослав читателя к указанной выше литературе, а
остановимся на существе этого сообщения. Сообщение предназначено для
того, чтобы д^ любого момента времени /, лежащего в диапазоне от
текущего времени до одного часа вперед, можно было вычислить пдямо-
угольные координаты х (/), у (/), г (/) и скорости х (/), у (t)t
\ S S S о S
г (/) спутника.
Основная час^ь данных одного навигационного сообщения,
передаваемого с л-го спутника, представляет собой оскулируюшие параметры его
орбитального движения. Эти параметры относятся к наперед заданному
моменту времени If , являющемуся примерно серединой часового отрезка
времени, на котором необходимо выполнить прогноз координат и
скоростей спутника. \
На указанный в сообщении момент времени / сообщаются шесть кеп-
леровских параметров орбиты: средняя аномалия М , корень квадратный
205

из большой полуоси
fa.
долгота 12 восходящего узла относи
перигея о>
V
оси
•гумент
а также несколько констант, входящих в поправки /к оску-
X (см. рис. 3.6), наклонение орбиты i , эксцентриситет е ,
лирующим элементам орбиты. На борту потребителя навигационной
информации по данным навигационного сообщения производится вычисление
прямоугольных х (/), у (/), z (/) координат спутника и его (скоростей
х (/), у (/), z (t). Вид поправок к оскулируюшим па|
«> S «>
орбиты,
принятых в системе "Navstar", становится ясным из приводимого ниже
алгоритма вычисления координат: д, 12 - известные постоянные; а
= (fa)2 - большая полуось орбиты спутника; л расчетная
средняя угловая скорость движения спутника; t. = t - t \- время от
момента / ; л
л ♦ Дл - скорректированная средняя
гловая
скорость; М, = М ♦ л/. - средняя аномалия;
£. - е sin£. = AT - уравнение Кеплера;
cos£,-£
. я о
0 k
0 k
COSl>,
sin*. = f r
I? 1-е cose.
истинная аномалия;
Ф., = i>, ♦ o> - неисправленный аргумент широты; /
Ьи. = С 5ш2Ф], ♦ С соб2Ф. - поправка аргумента широты;
fir. = С 5ш2Ф. ♦ С со^Ф, - поправка радиуса; \
К to К IС К
81. = С. 5ш2Ф. ♦ С. со^Ф. - поправка угла наклонения;
и, = Ф, ♦ 5 . - исправленный аргумент широты;
2
г = а(1 - О/О + е cosd) * fir. - исправленный радиус;
f. = i ♦ И. - исправленный угол наклонения;
(3.61)
206

х'ь = rbcosub; У'ь = rbs*nub " местоположение в орбитальной пло-
\ * *
скостис Я . = 12 ♦ (12 - - £2)/. - долгота восходящего узла; 12 * -
скорость прецессии восходящего узла, передается в навигационном
сообщении в виде отдельного параметра; 12 - угловая скорость Земли;
xsk \ К06*1* - y'k^m
ysk \xksin°ik + V^.W <362)
zsk "Vi8"*
Из приведенного алгоритма следует, что передача восьми постоянных
Дл, С АС , С , С , С. , С. , 12 - обеспечивает учет изменчивости
us \ ис r$ г с ts tc A J
оскулирующих элементов орбиты.
В навигационном сообщении передаются также кооэффициенты а, а ,
а для поправки спутниковых часов по формуле
/ = 'd/ian-a,<'-' )-aJt-t )2,
$V О 1 ос 2 ос
где t у - время спутниковых часов.
Алгоритм 1 вычисления координат х (/), у (/), z (/) может быть до-
\ «> «> S
1 • • •
полнен алгоритмом вычисления скоростей х (/), у (/), z (t) спутника.
\ •> о •>
Из (3.56) следует, что
р = а(1 - К
Vrk - V»p \eQ*nOk;
'uk
}/Л^
в COS1».).
О к
Далее из рис. 3.6 получаем
\
Xsk = VXsk
*sk
'rk г.
- У^ЫшуиО^ ♦ еоКдОовОДд);
"s*
vYsk vtk г
sk
У^Ши^ь - cosukcosikcosaik);
'sk
Zs« г* г
sk
+ V08"*5™*'
(3.63)
207

Погрешности вычисления координат и скоростей по приведенным ; выше
алгоритмам не превышают [5, 6] нескольких метров и нескольких
метров в секунду на временных интервалах \t - t | < 0,5г.
3.3.4. СИГНАЛ СИСТЕМЫ ~ NAVSTAR"
И ИЗМЕРЕНИЕ НАВИГАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ
Бортевое оборудование спутника и потребителя предназначено для
измерения двух первичных навигационных параметров: расстояния s
между спутником и самолетом, а также скорости $ изменения этого
расстояния. О расстоянии $ судят по времени j>aenpocTpaHeHra радиосигнала от
спутника до приемника, а о величине s судят либо по изменению
сигнала s во времени, либо на ^основании доплеровского эффекта./ Далее по
измеренным параметрам $ и s, а также на основании данных ц координа-
и приборе
вычисления
тах и скорости спутника могут быть в специальном сч<
вычислены координаты и скорость потребителя. Способ их
зависит от числа спутников (от одного до четырех), з4 которыми
установлена связь. Эти способы будут рассмотрены ниже. Здесь же мы
остановим свое внимание на методах измерения первичных
параметров S И S.
На каждом спутнике устанавливаются сверхточные часы' (генераторы
стандартной частоты), которые вырабатывают синусоидальный сигнал с
частотой f = 10,23 МГц. Точность выдерживания фазы этого сигнала
применяемыми здесь водородными или цезиевыми стандартами частоты
m-13 <J-14
составляет за год относительное значение, равное 10 ...1^
Сигналы со спутников передаются на двух несущих /частотах / =
= 154 f = 1575,42 и / = 120 f = 1227,6 МГц. По канЖлу / , который
считается основным, одновременно передаются два описьгоаемых ниже
навигационных сигнала, так называемые Р- и С-сигнаЛы . Сигнал Р
предназначен для обеспечения наивысшей точности измерений, сигнал С -
для пониженной точности. По второму каналу / передается только
Р-сигнал. Передача и прием Р-сигнала по двум каналам обеспечивает
возможность учета ионосферной рефракции, что и дает высокую точность
i fi
Р - precision (точный), С - dear acquisition (легко
захватываемый или легко обнаруживаемый).
208

f
У
• • •
m,
...
mr
. •.
Л
г-»-| f I 2 ]• • •] mf U • •\mrU • •] n
^
Рис. 3.8
Рис. 3.9
в канале! Р. Р-сигнал предназначен только для тех потребителей,
которые имеют санкцию на его использование. С-сигнал является
открытым для fecex потребителей и в силу отмеченных особенностей
обеспечивает более низкую точность измерений.
Оба указанных сигнала представляют собой детерминированные
последовательности, состоящие из двух символов (+1 и -1).
Детерминированность здесь понимается в том смысле, что последовательность
известна и на передающем и на приемном концах линии.
Последовательность (исигнала вырабатывается открытой и известной всем
потребителям, а последовательность Р-сигнала известна только тем
потребителям, которые имеют санкцию на его использование. Если
потребитель не знает закона чередования символов в последовательности, то
он воспринимает ее как случайный сигнал. По этой причине такие
(детерминированною!) . последовательности иногда называют
псевдослучайными или псевдошумовыми кодами.
каждого символа (+1 или -1) в последовательности
строго выдерживается с помощью бортовых стандартов частоты. Псевдо-
^*
шумовой код Р-сигнала вырабатывается со скоростью 10,23*10 бит/с, а
код С-сигнала - со скоростью 1,023*10 бит/с.
Детерминированные последовательности можно генерировать различными
способами. Простейший из них основан на применении кольцевого
бегущего регистра (рис. 3.8), когда содержимое последней (л-ячейки)
переписывается на каждом такте в первую ячейку регистра. При таком
методе генерирования код будет повторяться ровно через л тактов. Период
повторяемости (его еще называют базой последовательности) может быть
существенно увеличен с помощью следующего приема. На начальную
ячейку регистра (рис. 3.9) здесь подается результат суммирования по
модулю два одноразрядных числа, находящихся в т ...т ячейках (г <
< л). (При таком суммировании число -1 следует принимать за
логический нуль).
17_
Такое суммирование далее обозначается символом ©.
209

Если на приемном конце известно как начальное состояние регистра,
так и номера ячеек т ...т . участвующих в образовании цепи Обратной
связи, то в этом случае на приемном конце можно построить тккую же
последовательность, что и на передающем. Это дает возможность
измерить в точке нахождения приемника временной сдвиг между переданной и
я неиз-
Зется как
засекре-
лежащим
принятой последовательностями. Если указанные данные
вестными. то передаваемая последовательность воспри
случайная и не может быть использована для измерений,
чивания Р-кода номера ячеек т ...т сообщаются только
потребителям.
Здесь мы не будем подробно описывать методику образовав Р- и С-
последовательностей в системе "Navstar". Мы заметим только, что они
генерируются на приемном и передающем концах линии с помощью
изложенного метода кольцевания регистров. Подробности их / образования
читатель может найти в [5], [6].
Интересно отметить, что база Я-сигнала, генерируемо^ с помощью
двух 24-разрядных кольцевых регистров, составляет 2,36-Ю символов
(267 сут), а база С-сигнала. генерируемого двумя десйтиразрядными
регистрами, составляет 1 мс. Последовательность типа Р каждую неделю
начинается заново, задолго до исчерпывания всей ее/ очень
большой базы. I
Обе последовательности ХР (t) и XG (/). формирующие Р и С- сигна-
п п
лы, для каждого л-го спутника имеют свои индивидуальности,
создаваемые для различения спутников. Суммирование (по модулю два)
выходных сигналов двух кольцевых регистров в обоих случаях осуществляется
по закону
XPn(t) = P{V)®P2n(t) = P{(t)®P2(t ♦ NT);
XGit) = Glt)®Glt) = Glt)®GM ♦ Af Г).
Л 1 2Л 1 2 Л
(3.64)
где P{(t). G{(t), P2(t), G2(t)
выходные сигналы кольцевых
регистров, одинаковые для всех спутников; N . М - числа, определяющие
сдвиги для данного л-ого спутника. Т - длительность импульса.
Навигационное сообщение л-го спутника формируется в виде
последовательности D (t) с информационной производительностью 50 бит/с.
Навигационное сообщение дает все сведения об спекулирующих параметрах
210

орбиты данного л-го спутника, которые необходимы для прогнозирования
его кобрдинат и скоростей. Эти данные относятся к опорному времени
t . Кррме того, в навигационном сообщении передаются данные о коор-
динатах\всех других спутников. Эти данные относятся к более старому
времени.! Данные о других спутниках называются альманахом. Альманах в
каждом сообщении передается не весь, а только его часть. Весь же он
передаете^ за 25 сообщений. Его данные необходимы для выбора новых
спутников! при проведении дальнейших измерений, когда часть спутников
уходит за (горизонт.
После Ах генерирования коды ХР (/) и XG (/) суммируются по модулю
два с последовательностью D (/) и используются далее для (фазовой
модуляции сигналов спутника.
При этом фаза изменяется на 0 или 180 в одном случае, либо на
±90 в другом. Ясно, что изменение фазы на 180 в обоих случаях
приводит только к изменению знака излучаемого колебательного сигнала.
Поэтому сигналы у (/) и у (/) от л-го навигационного спутника,
передаваемые на частотах / и f , можно записать в следующем виде:
у Jt) = A UPJt)®D (t)]cos(G>t ♦ ф) *
СП р Л Л I 1Л
♦^^©^«Ц*.^*^).^-^: (365)
где А , А , В - амплитуды колебаний, соответствующих Р- и С-
системам; [ХР (t) * D (t)] - знак (♦ или -), обусловленный фазовой
модуляцией; ф , ф - небольшие фазовые шумы, образуемые за счет
осцилляции и ухода частоты водородного или цезиевого стандарта на л-м
спутнике.
Сигналы (3.65) должны быть приняты приемным бортовым устройством,
на выходе которого необходимо получить значения измеряемых
параметров D , s и s . В описаниях системы "Navstar" [5, 6] приводятся
конкретные схемы приема сигналов (3.65) и вычисления на этой основе
значения D , s и s . Мы же здесь остановимся только на
принципиальной стороне приема таких сигналов, как (3.65). Для этой цели сигналы
(3.65) представим в упрощенном виде
211

y(t) = AgU)D(t)cos(u{t ♦ ф).
(3.66)
где git) - функция, принимающая на временных отрезках значения, рав-
ЛМ J
ные ±1: g{t') = 2 gJJt'k N " целая часть числа Г/Г; gJ= 1 или
*=0
- 1 - последовательность, соответствующая кодам ХР (t)
л
'*«
•> ■ ft
если Г е [kT, (к * \)Т],
если /' е [kT, (k ♦ 1)Г];
(3.67)
D(/) - функция, принимающая на временных отрезках Гп / постоянные
значения, равные ±1, которые соответствуют навигационному
сообщению D (/). /
Псевдослучайная последовательность g, является известной на пе-
редающем и приемном концах. Она подбирается из соображений
кодирования, но таким образом, чтобы иметь характеристики диафетного
белого шума: \
к *^— -Л к
Л->оо
*Л = °-
(3.68)
Последовательность g, формируется с производительностью Р и С-
кодов, при этом значение ее периода дискретности Т в (3.67) соответ-
—7 в
ственно равно 0,98*10 с либо 0,98*10 с.
Последовательность D , как и порождаемая ею
функция D(t)t заранее неизвестна на приемном
конце. Последовательность D формируется
значительно медленнее, чем последовательность л,
со скоростью 50 бит/с, т.е. периодом
дискретности Гд = 0,02 с. Таким образом, за одну сме-
ну знака у сообщения D(t) происходит 20,46*10
или 2,046*10 смен знака у функции g(t)
(для Р и С- кодов соответственно). Это число
столь велико, что в большинстве случаев оце-
Рнс. 3.10 нивание сигнала D(t) и сигнала g(t) можно
212

рассматривать с точки зрения динамики как малосвязанные друг с другом
процессу.
Итак, к приемнику в момент времени t поступает сигнал (рис. 3.10)
z(t) = y(t -т) = Ag(t- r)D(t - T)ax>(G>{t - cj{t * ф), (3.69)
где г = sc is- |Af'Af| - расстояние между спутником ЛГ в момент
2 AM 4 2ffC
излучения /-ги премником М в момент приема /; со = -г ; с -
1 Л1
скорость распространения света; X - длина волны излучаемого со спут-
i л. 1в
ника сигнала; - со г ♦ ф - фаза сигнала в точке приема
Сигнал (3.69) с учетом сказанного может быть записан в виде
z(t) = y(t - г) = Ag(t - r)D(t - t)cos(cj / * в);
1 (3.70)
г = sc ; в = -2irX S ♦ ф; в = -2А s ♦ ^.
Из сигнала z(/) требуется выделить телеграфное сообщение D, а также
найти навигационные параметры $ и s либо эквивалентные им величины
г и 0, связанные с $ и $ соотношениями (3.70). Задача определения D,
т и в может быть решена с помощью устройства со структурной схемой,
изображенной на рис. 3.11. Эта схема включает в себя блок а для
5
определения D и два контура слежения: за фазой в и за временем
задержки г. Блок и оба контура взаимодействуют друг с другом через
перекрестные связи.
Исполнительным элементом в контуре слежения за фазой в является
генератор с управляемой частотой (УГ). На # его вход подается сигнал,
пропорциональный скорости изменения фазы в . а с выхода снимается
гармоническое колебание, фаза которого является интегралом от
входного сигнала.
13„ -
Проведенные здесь выкладки вытекают из уравнения бегущей
л <~ Ct-X
косинусоиды у * Лсо5(27Г~-т ♦ ^Л). которая перемещается вдоль оси X
А О
со скоростью С. 1
19
Индеек в виде знака ' ' над буквой означает оценку для параметра,
обозначаемого этой буквой.
213

z(t)
ft
пЧВ>
у, it)
г
',<р> \-~ф-
Sin (cUit+B)
\Иг
-®
<сч4
sin
kf-
g(t-x)
®-Ч—' I—'
Л-Л п i-Ц ят ,—,
/(+/ \к \к-1\ PC h* V7 he— К^И
-iw-r)
Рис. 3.11
Исполнительным элементом в контуре слежения за задержкой служит
устройство ^ управляемой задержки, которое сдвигает сигнал g(t)t
поступающий от генератора тактовых импульсов (ГТИ), на время
задержки г. Генератор выдает последовательность импульсов g(t)t
совпадающую с последовательностью g{t) в (3.66), что возможно лишь, если
прием является санкционированным.
Если учесть элементарные равенства
[cas(oy ♦ <p{)sm(b>{t ♦ v>2)lc = — sin(^ - *p{);
[cas(cy ♦ <р{)со&(ы^ * <р2)]^ = — cos((^2 - v{),
(3.71)
то работа схемы (см. рис. 3.11) может быть объяснена достаточно
просто. Операции вида (3.71) выполняются в перемножителях д и д .
В перемножителе д происходит демодуляция входного сигнала с
помощью псевдослучайной последовательности g(t - r)D{t - т):
yx(t) = z(t)g(t - r)D(t -т) = Agit - r)x
x gtf -*)D{t - r)D(t - r)cos(ay + в) * Ax»(g> / ♦ 0).
В перемножителе д (фазовом детекторе) вырабатывается сигнал рассог-
ласования е = O,5i4sin(0
214
в) » к(в - в) слежения за фазой. В пере-

множителе д осуществляется синхронное детектирование сигнала z(t) и
выделение огибающей g(t - r)D(t - г). Перемножители д и д' регистр
сдвига PC, сумматор 2 и сглаживающий фильтр F (р) составляют схему
для выработки рассогласования в контуре слежения за задержкой. Эту
схему в радиотехнике принято называть дискриминатором.
Характеристика дискриминатора е = е(г - т) зависит от автокорретшионных свойств
(3.68) псевдослучайной последовательности, я, (3.67). Приблизительный
ее вид изображен на рис. 3.12.
Сигнал D(t - т) оценивается с помощью перемножителя де, осуще-
5
ствляющего операцию
g{t - r)D(t - r)g{t - г) = D(i - г) * D(t - г).
Далее полученный сигнал D(t - т) используется в перемножителях д и
6
д' для демодуляции (в д ) и для модуляции (в д') соответствующих
о о о
сигналов.
Отметим теперь здесь еще одно важное обстоятельство. В тех
случаях, когда на борту самолета кроме приемника спутниковой системы
имеется еще и система счисления пути, то возможно существенное
улучшение в приеме навигационного радиосигнала. Для этого надо по
показаниям системы счисления рассчитать значение s = Af'M (см. рис. 3.10)
расстояния между самолетом и спутником и значение $ скорости
изменения этого расстояния. Из этих величин по формулам (3.70) далее могут
быть вычислены параметры тЦ) и 0(г). Введение этих параметров в
соответствующие контуры слежения (см. рис. 3.11) в виде сигналов в =
= в * Ав и г = г ♦ Дг существенно повышает все показатели для ка-
чества приема (Ав и Дг - ошибки навигационной системы счисления),
с с
Покажем это на примере для контура фазы в.
Предположим, что передаточная функщ
инерционного звена с постоянной времени а
Предположим, что передаточная функция F (р) имеет простейший вид
1
р№ --фг'а1 = 1с'к1- °'67 с"'-
215

Рис. 3.12
r-x
£^о^_
в
[■■ . А
м в
JLI ]
Рис. 3.13
Структурная схема следящего контура при этом принимает вид
(рис. 3.13). Из нее нетрудно установить, что выходной сигнал 6(t)
связан с входными сигналами 0(/), А0(/) и Ад (/) соотношением
с
в = 1-в ♦
1
Ав ♦
(а р+1)р
а^ ♦p+fcj a{p +p+k{
Ав ,
с
в котором фигурируют, конечно, не сами временные сигналы, а их
изображения по Лапласу.
Из выражения для в следует, что полезный входной сигнал в
"проходит" на выход следящей системы без динамических искажений,
высокочастотная помеха Ав сглаживается относительно низкочастотным
колебательным звеном, а медленно изменяющаяся помеха рАО = Ад "прохо-
с с
дит" через колебательно-форсирующее звено, сильно при этом ослабля-
• —J
ясь, и становится на выходе равной достаточно малой величине Ав k. .
с 1
При исчезновении сигнала (или при наличии интенсивных помех) ключ
К в схеме (см. рис. 3.13) размыкается и система переходит в режим
памяти. Этот режим позволяет без поиска (без настройки) входить в
р!абочий режим при новом приеме полезного радиосигнала.
3.3.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ САМОЛЕТА
Рассмотрим методику вычисления прямоугольных координат x(t)t y(t)t
z(t) самолета по измерениям s , л = 1, 2, 3, 4, осуществляемым с
помощью четырехканального самолетного приемника
$ (t) = ст = с(т * Ат * Ат) = s ♦ As ♦ As;
л л л л л л
л = 1, 2, 3, 4: s = ст , As = сАт , As = сДг,
л л л л
(3.72)
216

где г (/) - истинное время распространения сигнала от л-го спутника
до самолета; Дг - суммарная погрешность л-го канала в измерении
времени распространения сигнала, обусловленная всевозможными
причинами, кроме погрешности Дг бортовых самолетных часов; Дг -
погрешность бортовых самолетных часов, относящаяся ко всем каналам.
Заметим, что величину s * As = s принято иногда называть
псевдодальностью, таким образом, здесь рассматривается задача вычисления
прямоугольных координат самолета по четырем псевдодальностям,
возмущенным дополнительными погрешностями As , л = 1, 2, 3, 4.
Время г (/) прохождения сигнала от л-го спутника, находящегося в
точке ЛГ (см. рис. 3.10), до самолета, находящегося в точке Af,
$
связано с координатами спутника и самолета соотношением
crjt) = sit) = \r(t - т) - R(t)l (3.73)
л л ■ л л ■
где г (Г- г ) = belt - т) + jy(t - т) ♦ kzlt - т) - вектор
п sn п sn п sn п
положения л-го спутника в момент излучения сигнала; R(t) = ix(t) ♦
♦ Jy(t) * kz(t) - вектор положения самолета в момент / приема
сигнала.
Соотношения (3.73), взятые для четырех спутников, могут быть
записаны в скалярном ввде. Если предположить, что шумовые погрешности
Дг в каналах отсутствуют (их значения [5] не превосходят 3 м), то
указанная скалярная запись имеет вид
ф ф
г = г -Дг;$ =$ - As ;
л л л л л
[xjt - г* * Ат) - x(t)f * [yjt - г* * Дг) -y(t)]2 ♦
sn n л л
л = 1, 2, 3, 4.
Система из четырех нелинейных уравнений (3.74) включает в себя
четыре неизвестных *(/), y(t), z(t) и As = сДг, которые необходимо
найти, считая, что измерения s = сг , л = 1, 2, 3, 4 являются из-
л л
вестными.
217

Вычтем из первых трех уравнений системы (3.74) четвертое
уравнение. В этом случае будем иметь
Ыхзп - V + ЗД*«. - »*> + *<*«, ~ У =
ш U* " 1Г/ " \ + С + Ш{*п - <> " 1?/ " <375)
" 1^ I2 + <s! - *!><*! + «! - 2Д$) = Ь . л = 1. 2. 3.
1 4 ■ 4 Л 4 Л Л
Сложим теперь все четыре уравнения, входящие в (3.74), тогда
получим квадратное (относительно As) уравнение вида
2
As ♦ рД$ ♦ q = О,
где р = - — (Sj ♦ s2 ♦ $3 * s4);
4 л=1 Л Л Л
£</. Г*. Дг) = [xj/ - Г* ♦ AT) - X(t)f *
dfl Л S#l fl
имеющее решение (из двух здесь приводится только то> которое
отвечает смыслу задачи)
As = -р/2 - Пр/2)2 - q. (3.76)
Соотношения (3.75) и (3.76), объединенные вместе, можно
рассматривать как систему нелинейных уравнений, эквивалентную исходной
системе (3.74).
Система (3.75), (3.76) допускает следующее итеративное решение.
Пусть вначале очередной итерации As = сАт известна с определенной
точностью (при первой итерации As можно принять равной 0). Тогда
система (3.75) из трех линейных уравнений позволяет получить решение
U, yt z). Для вновь вычисленных U, yt z) подсчитывается
соответствующее им значение q и далее новое значение As = сДг. Далее
процесс повторяется.
В тех случаях, когда погрешность Ат самолетных бортовых часов
218

относительно невелика (или достаточно точно известна, например, в
результате предыдущего итеративного процесса), нелинейную систему
(3.75, 3.76) можно решить в конечном виде. Такая возможность
возникает, если погрешность Ат столь мала, что путь Д/, проходимый
спутником за время Аг, пренебрежимо мал в рамках заданной точности.
Действительно, пусть погрешность Ат удовлетворяет условию jcArl <
< 10 км. В таком случае перемещение А1 спутника при скорости V =
-1 s
= 6 км/с составит А1 < V Ат = V 40 км*с = 0,2 м.
s s
Если перемещениями навигационных спутников за время Ат
пренебрегать, то х (t - г ♦ Аг), у (t - т * Ат), z (t - т * Ат) можно
sn л sn л sn n
считать постоянными и не зависящими от Аг. Если же указанные
параметры считать постоянными, то система нелинейных уравнений (3.75,
3.76) допускает конечное решение.
Уравнения (3.75) можно записать в виде
а х + а и + a z = b * с As, л = 1, 2, 3,
л! п2* лЗ л л
где
а = х - х : а л = у - у ; а „ = г - г ;
Л1 Stl $4 Л2 9Sn 9S4 ЛЗ Sn 54
b = 0.5N7 I2 - IF I2 - s*2 ♦ s*2]; с = s* - $*. (3.77)
Л ч Л1 I 41 Л 4 J Л Л 4
Уравнения (3.77) имеют решение вида
х = х ♦ d As; у = и ♦ d As; z = гл * d As; (3.78)
0 X * *0 у 0 Z
где
*л = ДНА'; jl = АНА'; гл = Д^Д';
0 х 90 у 0 z
решение системы (3.77) по методу Крамера при правой части (Ь , Ь ,
b ) ; d , d , d - решение той же системы (3.77) при правой части
(v v с/-
Подставим теперь значения х% yt z в виде (3.78) в уравнения (3.74)
и сложим их.
В таком случае мы получим квадратное уравнение относительно As.
Оно будет иметь вид
219

2 [Or - хл - d As)2 * (у - ул - d As)2 +
, sn О x "sn "О и
я-1 4
♦ (z - 2 - d As)2] = 2 [s*2 - 2Ass* ♦ дД
sn о z J /я я J
который сводится к стандартной форме
2
АД.* + 6Д$ ♦ с = 0,
ж у г
Ь = -0,5 S [s - d (ж - жл) - </ (у - в ) -d(z - z)];
, п х sn о y'sn "о г sn о*
я=1 *
с = 0.25 2 [s*2 - (ж - дг>* - (и - у)2 - <* - *Д
/Я вЯ О $Я О SH О
Я=1
Полученное квадратное уравнение имеет корень
ш4нг-т
^..^..jgnl-^-IK |-^-| --r. (3.79)
Соотношения (3.78) и (3.79) определяют искомое решение в
конечном виде.
3.3.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ САМОЛЕТА
Будем предполагать, что вычисление координат x(t), y(t)t z(t) и
поправки Ат на борту самолета уже проведено в соответствии с
алгоритмом, изложенным выше.
По четырем измерениям (см. 3.70) псевдоскоростей сближения s =
я
= s + As> я = 1, 2, 3, 4 самолета с навигационными спутниками
требуется вычислить составляющие Vy, Vy, V~ вектора V(t) абсолютной
скорости самолета на оси XYZ прямоугольной (см. рис. 3.6) системы
координат, а также найти погрешность As = сАт скорости дрейфа
самолетных часов.
Величина s представляет собой проекцию относительной скорости
220

между самолетом и л-м спутником V (t - т ) - V(t)t на направление
"самолет-спутник" в момент излучения. Это направление (см. рис. 3.10)
задается единичным вектором е
eit) = s~l[7(t - т ) - R(t)].
л л л л
Отсюда вытекает соотношение
irff) = lit) = Г</) - As = *JV(t - r) - V(/)]. (3.80)
л л л л л л
Если в полученном соотношении абсолютную скорость V(t) самолета
представить в виде суммы путевой (земной) W и переносной
скоростей £2 х R
V(t) = Wit) * Й х R(t).
то будем иметь
ln(t) = s*W - As = ^[fy/ - гя) - Wit) ~ П х Д(/)] =
= s~l(t){[7n(t - rn) - Ш][^л(/ - тп) - f (/)] -
- г (Й x «)}. (3.81)
л
Переходя от векторного соотношения (3.80) к скалярным, получим
+1г*л(' " V " z{t)][VZsn{t " V " VZ]' " = *' 2> 3* 4' (382)
В соотношениях (3.82) значения s = s - сДг, *(/), у(/). г(/).
л л
/ -" г . Vv (t - г ). Vv (/ - г ). VT tf - г ) являются известными
л Азл л rsn л Lsn л
из предыдущих вычислений. Если (3.82) рассматривать как систему
линейных уравнений относительно неизвестных V», Vy, V- и As. то ее
решение и обеспечит нахождение указанных переменных.
_ В тех случаях, когда требуется вычислить вектор земной скорости
W(Wy, Wy, W7) самолета, необходимо использовать соотношения (3.81).
Записывая их в скалярном виде, получим для четырех спутников систему
линейных уравнений относительно неизвестных Wy, Wy, W-, As:
221

M^-V-^HV^tf-V-^]* (3.83)
♦ to (/ - r )(/(/) ~ В tf - r)x(t); n = 1, 2, 3, 4.
3.3.7. УРАВНЕНИЯ СВЯЗЕЙ И АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Рассмотрим уравнения связей для координат х, у, z самолета,
погрешности Ат = с As бортовых самолетных часов и четырех
псевдодальностей s = s * As. Указанные восемь величин х, у, z, As, s ,
л л 1
1? , s , s связаны четырьмя уравнениями, вытекающими из (3.73),
а О 4
+ [* « - * с"1) - *1* - £ - Д^)2 = 0: (3.84)
1 5Л Л Л
л = 1, 2, 3, 4.
Частные производные от уравнении связи (3.84) F (дг, у, z, As,
s ) = 0 имеют вид
л
3F 3F
-г-*" = -2U - ж): -^г- = -2(и -
Эдг sn by usn
3F
-If): -зГ- - -2(^ - г);
3F .
Л = -2s - 2(x_ - х)хс - 2(i/ - (3.85)
3s n sn sn *sn
л
- y)y с - 2(z - z)zc * -2s :
* *sn sn sn n
bF
—*- = 2s
dAs n
Последнее приближенное равенство имеет место из-за того, что ско-
ти (х , у , z ) спутника намного меньше скорости света.
sn sn sn
Соотношения (3.82) и (3.83) можно рассматривать как уравнения
222

• • •
связей для скоростных параметров УЖ), Vy(Wy)t VjWj)> s , s , s ,
s и позиционных параметров xt у, z. Частные производные для
уравнений связей (3.82) или (3.83) могут быть подсчитаны читателем
самостоятельно.
Обратимся теперь к анализу погрешностей в определении координат
самолета. Пусть имеют место погрешности As (см. 3.72) во всех
четырех каналах системы. Естественно, что эти погрешности приведут к
образованию погрешностей Ах, Ay, Az в определении положения самолета
и погрешности 8Дт в определении ухода Ат бортовых самолетных часов.
Из уравнений (3.74), а также из уравнений связей (3.84) и (3.85)
следует, что эти погрешности (здесь сЬАт = 8As) будут связаны между
собой линейными уравнениями
(х^ - х)Ах * (у^ - у)Ау * (г^ - z)Az -
- s Ш = -* As ; л = 1, 2, 3, 4. (3.86)
л л л
Уравнения (3.86) после деления их на s с учетом (3.78) могут
быть записаны также в виде
е„ Ах * е„ Ay ♦ e~ Az - 8As = -As • л = 1, 2, 3, 4,
ЛП in £П П
eXn* eYn' eZn
спутник".
Вычитая из первых трех уравнений четвертое, получим систему из
трех уравнений
{еХп ~ еХ4)Ах + {eYn ~ eY4)Ay +
+ (eZn ~ eZA)LZ ' ^4 - ^ (3'87)
я = 1. 2, 3.
Если теперь ввести в рассмотрение матрицу М (3x3), элементами
которой являются коэффициенты линейной системы (3.87), то
корреляционная матрица Р вектора (Ах, Ay, Az) будет равна
Г2 1 11
\М ,т = а Р . (3.88)
2 м-1
а М
1 2 1
11 1 2J
2 .
где а - дисперсия одинаково распределенных независимых случайных
величин As , я = 1, 2, 3, 4.
л
223

2 2 2 2
Математическое ожидание Д = М[Ах * Ay * Az ] квадрата
линейного уклонения здесь будет равно
Д2 = А^: Д = o[irP{]{/2 = т м = (\гР{){/2. (3.89)
1/2
Таким образом, [trP ] как бы является коэффициентом пропорцио-
нальности между ошибкой измерения дальности и ошибкой в определении
положения самолета, т.е. геометрическим фактором.
1/2
Величина д = (trP ) может характеризовать выбранное созвездие
видимых навигационных спутников. Чем меньше величина /i, тем меньше
при прочих равных условиях будут и погрешности в навигационных
определениях. Таким образом, выбор четырех спутников из всех возможных
вариантов связан с вычислением величины д для каждой возможной
"четверки". Кроме того, величина д является характеристикой точности
проводимых в данный момент навигационных определений.
Пример. На самолете, который находится в точке М (В = 57 , L -
= 37 , Л = 20 000 м), установлена связь с четырьмя навигационными
спутниками.
Из навигационных передач этих спутников известно, что:
большая а и малая Ь полуоси у всех четырех орбит совпадают и равны
а = 6 = 26 560 123 м, при этом орбиты представляют собой окружности с
эксцентриситетом в = 0;
углы наклонов орбит являются одинаковыми и равными / = 63 ;
аргумент CJ перигея для всех орбит, являющихся круговыми, для
определенности принимается равными нулю, GJ = 0;
долготы восходящих узлов и аргументы широты четырех спутников
соответственно равны
Пл * 0°; Ut » i># * 10°; £1°л * 0; и * Л = 55°;
А 11 4 2 2
П3Л = 120°; и » t> * 55°; £l\ * 240°; ил - 0 * 55°.
А 3 3 А 4 4
Для момента времени /, которое примем совпадающим с моментом /
ос
когда / * t — t * 0, требуется вычислить величину геометрического
к ос
фактора Д (3.89), отвечающего взаимному расположению самолета и
четырех спутников на указанный момент времени. Кроме того, будем считать,
что S * 0.
гр
Прямоугольные координаты (X, у, Z) самолета, вычисляемые по фор-
224

мулам (3.49),в данном случае оказываются равными X * 2 789 586, 16 м,
у * 2 102 103.95 м. Z - 5 342 767,01 м.
Прямоугольные координаты (X U Z ) спутников подсчитываются
sn sn sn
г 2
по формулам (3.49). Далее на основании формулы S - Цх — X) ♦
2 2 1/2
♦ (У ~~ У) + Z — z) ] находятся расстояния между самолетом
и четырьмя навигационными спутниками, значения которых здесь
соответственно равны S * 23 399 556.34 м; S * 20 310 616.55 м; S =
1 <& о
* 24 389 603.56 м; S « 24 699 097.68 м.
4
Полученные данные позволяют по формулам (3.87) подсчитать элементы
матрицы М и далее по формулам (3.88) и (3.89) вычислить искомую
величину Д. которая оказывается здесь равной Д - 2.55.
Последнее означает. что среднеквадратическая ошибка линейного
уклонения самолета будет в 2.55 раза превышать среднеквадратическую
ошибку О флюктуационных шумов в измерении дальности.
3.4. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ И КУРСА САМОЛЕТА
ПО ПОКАЗАНИЯМ БОРТОВОГО ВИЗИРА
НАЗЕМНЫХ ОРИЕНТИРОВ
3.4.1. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ
Бортовой визир наземных ориентиров можно представить себе либо в
виде бортовой радиолокационной станции, либо в виде любого
оптического, телевизионного или лазерного устройства, которое позволяет
измерить с самолета расстояние s до наземного ориентира q (рис. 3.14),
а также курсовой угол и и угол места д этого ориентира. В роли
навигационных ориентиров могут выступать мосты, устья рек, острова и
скалы на море, а также любые различимые наземные объекты, координаты
которых известны. Заметим, что для измерения угловых параметров и и
М , кроме собственно визира, необходимо еще располагать на борту
гироскопической курсовертикалью. С помощью курсовертикали
обеспечивается задание (реализация) координатного трехгранника /,/JL (см.
рис. 3.14), у которого ось / направлена по геодезической вертикали,
а горизонтальные оси / и / на восток и север соответственно.
8-993 225

Итак, бортовой визир совместно
с бортовой курсовертикалью
обеспечивают измерение либо всех трех,
либо части из следующих
навигационных параметров: дальности до
ориентира s , азимута А
ф ♦ и
ориентира и угла места /х этого
ориентира.
Рассмотрим сначала решение прямой задачи, когда по известным
координатам (В, L, Л) самолета и известным координатам (В , L , Л )
ориентира требуется определить показания s , А ид бортового
визира.
В соответствии с (2.48) и (2.50) прямая задача решается с помощью
следующей вычислительной процедуры:
(В, L А)
(х, у, ж); (В. L , Л )
Я Я Я
(* . у, z)\
Я Я Я
a) s = [Or
Я 1 Я
*>2 +
<У„
У) * bq - г) ] ;
б) А = ArdgSg/s^Oe*];
(3.90)
ф.
где skI = Ах - x)sinBcosL
/V <7
(у - u)sinBsinL * (г - z)cosB;
Я Я
sF = Ч* - *)sinL ♦ (у - y)cosL;
с q q
s = (х - *)cosBcosL * (у - y)cos£sinL * (г - z)sinB.
Соотношения (3.90) полностью решают поставленную прямую задачу.
Необходимость в ее решении на борту возникает при первичной
обработке сигналов визира, которая сводится в основном к управлению
визиром в пространстве и к управлению (пробирующими сигналами его
дальномера. Эта же прямая задача решается и при наземном имитационном
моделировании работы визира. Использование прямой задачи при
первичной обработке и имитации является в какой-то степени традиционной
для всех приборов. Укажем здесь на еще одно важное применение прямой
задачи, характерное именно для визира, - использование ее при
коррекции гироплатформы в азимуте.
226

Если координаты самолета известны (от какого-то другого
навигационного* датчика) и известны координаты ориентира, а визир измеряет
курсовой угол и , то из решения прямой задачи можно вычислить азимут
А ориентира q и далее определить курс самолета
ф = А - и .
Я Я
Такой способ определения курса может быть очень точным (это
зависит от точности определения координат самолета и точности
визирования ориентира). Он может быть применен, например, при выставке в
воздухе курсовой линии гироскопической платформы самолета.
Рассмотрим теперь обратную задачу, когда по измеренным s , А и
д и по известным координатам (В , L , А ) требуется вычислить
геодезические (В, L, А) или прямоугольные (дг, у, г) координаты самолета.
Будем предполагать, что начальное приближение (В, L , А ) или (дг ,
у , z ) нам известно.
Для решения обратной задачи удобнее перейти от уравнений связей в
форме (3.90) к эквивалентным уравнениям связи, записанным в другом
виде. Вектор Mq (см. рис. 3.14) имеет проекции (s„, spt s ) в
системе координат /•/ / . В системе координат XYZ (см., например,
1 Z о
рис. 3.1) этот же вектор будет иметь координаты (х - дг, у - у, z -
- г). По указанной причине будут иметь место соотношения
skI = s cosm cosA , sP = s cosm siib4 , s = s sin/* ;
N q "q q> E q *q q n q *q
x - x - s^smBcosL - SjStnL ♦ s cosBcosL = 0; (3.91)
у - у - s^inBsini ♦ sjcosL * s cosBsinL = 0;
z - z * s.jcosB ♦ s sinB = 0.
q N n
Зависимости (3.91) являются уравнениями связей для шести величин:
трех измерений (s , А , д ) и трех выходных координат (дг, у, z) или
(В, L, Л).
Если как и ранее в подобных случаях предположить, что
X = x0-Ax0,y = y0-Ay0;z = z0-
- ДгЛ; В = Вл - АВ-, L = L- AL-, h = h - ДЛП,
0 0 0 0 0 0 0
227

подставить указанные значения в (3.91) и провести линеаризацию, то
мы получим (приводим выражение только для первого уравнения)
о q Лг 0 о t о л о о
О AT 0 0 л О О О
* (s^jsinBQsinl - s£cosi0 " s c^o^oH-^J = °- (3.92)
Подставляя в (3.92) значения Ах , Ду и Дг в соответствии с
(3.17), получаем систему линейных уравнений относительно
A^aQa. ^а^аС08^ и A*a:
0 0 0 0 0 О
а.(ДВ О ) ♦ a.(ALGcosB) * а.0ДАЛ = 6;; (3.93)
И 0 0 12 0 0 0 13 0 i
i = 1. 2, 3,
где
аи = sinB0cost0 * cosL0Q-l(SffosB0 * ^sinB^;
а12 = sinL0 - (G0cosB0)'l{s^inBosmL0 -
- s£osLQ - s^cosBosmL0h
д = -4X)sBcosL : 6f - ж ♦ s.,sinB cosL *
13 0 0 1 q Лг о 0
♦ ScSinL - s cosZTcosi - x:
t О П 0 0 0
ал. = sinB sinL ♦ <J 51п£(54|ссбВл ♦ s sinBJ;
21 oooo N о л о
-22 -. -.-.>-v-.--.
аЛЛ = -cosL^ ♦ (G^cosB^) (s*sinB ca&L„ ♦
♦ ScSinL - s cosB cosL); а „ * -cosB sinL :
fc 0 л 0 0 23 0 0
2 *<? AT 0 0 fi^O Л 0 0 - *0
31 0 0 AT О Л О 32
a o = -siniT, ft * z - 5.,со8ВЛ - s sinB,, - гл.
33 0 3 q Af 0 л О О
Оютношения (3.93) позволяют определить следующее приближение
228

ДВ , L
О* 1
L - ALn, Л, = Aft - ДЛ.
О 0 10 О
»■■■#
Далее итеративный процесс при необходимости в увеличении точности
вычислений может быть продолжен.
3.4.2. УРАВНЕНИЕ СВЯЗЕЙ И АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ
При решении задач по совместной обработке информации возникает
необходимость в знании матрицы Якоби //, состоящей из частных
производных от уравнений связей. Матрица Н Якоби для уравнений связей
(3.91) может быть легко вычислена путем прямого дифференцирования
указанных уравнений. Сделав непосредственные расчеты, нетрудно
убедиться в том, что матрицу Н размером (3x6) можно представить в
следующем (блочном) виде:
(3.94)
Н = (Н{, Н2); Н{ = {Л.у}, i = 1, 2, 3, / = 1, 2, 3;
Н0 = {A..}, i = 1. 2, 3, у = 4, 5, 6,
где матрица Н задается своими элементами
hlx = bf/ЪВ = a.{Q;
Л.Л = bfjbl = a. GcosB;
Л.0 = Э//ЭЛ = а. :
13 Ч 13
а. , а. , а. - коэффициенты линейной системы уравнений (3.93);
матрица Н частных производных по s , А и а представляется в виде
произведения Н = NS двух матриц N и S
N =
(3.95)
S =
-sinBcosL
-sinBsinL
cosB
cosm cosA
Я Я
cosm siaA
Я Я
si%
-sinL
cosL
о :
-5 С05Д S
Я Я
cosBcc
cosflsi
>sL
nL
sinB
Я
s cosm coSi4 !
Я Я Я -
0
•
j
s sin/* cosi4 '
Я Я Я
-5 sin/z SHb4
Я Я Я
s cos/x
<7 <7
229

Из соотношений (3.94, 3.95) вытекает, в частности, связь между
погрешностями вычислений и погрешностями измерений
ABQ
\ALGcosB\
АЛ
= -A {NS
As
Я
АА s
Я Я
I Ад s л
1 Я Я'
(3.96)
где А = а.. - матрица размером (3x3), составленная из коэффициентов
(3.93); N - матрица (3.95); S - матрица, получаемая из матрицы S
(3.95), если в последней значение s положить во втором и третьем
столбце равным 1 (т.е. исключить s из написания).
Векторное равенство (3.96) позволяет вычислить корреляционную
матрицу Р погрешностей (ABQ, ALGcosB, ДА), если известна
корреляционная матрица Р погрешностей (As , ДА s , Ад s ). Если, например,
Я Я Я Я Я
предположить, что погрешности As , ДА , Ад являются случайными
2 2 2 D
независимыми величинами с дисперсиями а , о - , а , то матрица Р
будет равна
Рх = A~lNS&ag{o* , о2 A aVlM^AfS)7. (3.97)
1 \ sq Aq q ixq Q 1
2
Квадрат Д линейного уклонения в горизонтальной плоскости будет здесь
равен сумме двух первых диагональных элементов матрицы Р..
В качестве уравнений связей могут быть использованы не только
уравнения (3.91), но и эквивалентные им уравнения (3.90). Интересно,
что второе и третье уравнения в (3.90) могут быть использованы как
уравнения связей и в тех случаях, когда дальность s не измеряется,
а измеряются только углы А и д . По этой причине представляет
практический интерес также и вычисление частных производных для
уравнений (3.90), которые мы перепишем здесь уже в виде:
а) sq - [<* - х)2 * (yq - у)2 * (zq - z)2]l/2 = 0;
6) siiL4 mskt
q W
cosA 9sc
Я Е
0;
(3.98)
230

в) l/s2N + s\ sin^ - cosm^ = 0,
где 5д» sFws находят по формулам (3.90).
Вычисление частных производных в уравнениях (3.98) /.(В, L, Л,
s , А , м ) по входящим в них переменным наталкивается на определен-
я я я
ную трудность. Она состоит в том, что в уравнения (3.98) наряду с
переменными В, Lt h через s„, s~ и s в явном виде входят также
зависимые от них переменные дг, у, z. Однако на основании приводимых
ниже соображений вычисление указанных производных может быть
достаточно легко осуществлено.
Действительно линейные части приращений левых частей уравнений
(3.98) могут быть представлены в виде:
а) As - s~ [(дг - х )Ах ♦ (у - у )Ау * (г - z )Az];
б) sinA Д$д, - cosA AsF * (s*jcq&A ♦ s-sinA )AA ;
-1 (3 99)
в) sr (SnAsn ♦ ^£)sinM<7 - A*,ca^ +
/2 2
* (scosu ♦ ssin/* )Дд . s = Ks^ * sP;
r q n q q r N t
r) Ask, = [4* - x)cosBcosL - (y - u)cosBsinL -
N q Я
- (z - z)sinB]AB * [(дг - x)sinBsinL - (j/ -
<7 Я Я
- y)sinBcosL] AL ♦ sinBcosLAx ♦ sinBsinLAj/ - cosBAz;
д) Asr = [4* - x)cosL - (y - y)sinL]AL * (3.100)
t я Я
* sinLAx - cosLAy;
е) As = [-(x - x)sinBcosL - (y - y)sinBsinI ♦
n я Я
* (z - z)cosB]AB * Hx - x)cosBsinL * (j/ -
<7 <7 <7
- r/)cosBcosL]AL - cosBcosLAx - cosBsinLAj/ - sinBAz.
В выражения (3.100) входят как приращения Ах, Ay, Az, так и
приращения АВ, AL и ДА. В зависимости от того, хотим ли мы вычислить
частные производные по х, у, z или по В, L, h в этих выражениях на
основании (3.17) или (3.18) могут быть сохранены либо только Ах, Ау и
Az, либо только АВ, AL и АЛ.
231

Соотношения (3.99) и (3.100) дают возможность подсчитать искомые
производные. Мы здесь не будем выписывать для них громоздкие
выражения и предоставим читателю право при необходимости вычислить их
самостоятельно.
3.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ И КУРСА САМОЛЕТА
ПО ПОКАЗАНИЯМ БОРТОВЫХ АСГРОПЕЛЕНГАТОГОВ
3.5.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
АВИАЦИОННОЙ АСТРОНОМИИ
Земля является спутником Солнца и движется вокруг него по орбите
(рис. 3.15), которая лежит в плоскости, именуемой плоскостью
эклиптики. Ось собственного вращения 12 Земли ^наклонена к ней под
углом 66 33'. Плоскость, ортогональная вектору 12 и проходящая через
центр Земли, называется экватором.
В момент времени, когда вектор 12 ортогонален линии "Земля-Солнце"
(положения 1 и 3 на рис. 3.15), на Земле имеет место равноденствие.
При этом одновременно освещены лучами Солнца оба ее полюса. В эти
сутки (21 марта и 23 сентября каждого года) день во всех точках Земли
имеет равную продолжительность и составляет половину от них.
Линия 7 (см- рис. 3.15), соединяющая две точки равноденственного
положения Земли, называется линией равноденствия, за положительное
направление на ней берется направление от Земли, находящейся в
положении весеннего равноденствия, на Солнце.
Мировые звезды очень удалены от Земли, до ближайшей к нам звезды
а-Центавра расстояние равно примерно трем световым годам. По этой
у 3,23 сентября
tip* 1
Srp = 90° T
Перигелий
147117000 км \£Я
уХ7,2/ марта
Srp = lB0°
Рис. 3.15
232

Круг склонения
светила С
Уи
Недесньш
экватор
Рис. 3.16
причине видимое взаимное
положение звезд является одинаковым
из всех точек околосолнечного
пространства. Это означает, что
для наблюдателя, находящегося
на Земле, звезды можно считать
бесконечно удаленными. Учитывая
их бесконечную удаленность
возможно ввести понятие небесной
сферы. Центр этой сферы по
желанию можно помещать в любую
точку околосолнечного
пространства (обычно его помещают либо
в центр Земли, либо в глаз
наблюдателя), а ее радиус можно считать произвольной (в том числе
бесконечно большой) величиной. На внутренней стороне сферы (рис. 3.16)
расположены светила С, причем все они, кроме Солнца и планет,
являются неподвижными относительно друг друга. На небесной сфере можно
отметить следующие характерные точки и круги. Во-первых, Полюс Р
мира. Эта точка получается как пересечение оси вращения Земли с
небесной сферой. Напомним, что все параллельные линии, исходящие из
околосолнечного пространства, "упираются" как бы в одну и ту же точку
на небесной сфере в силу бесконечности ее радиуса. Точнее говоря,
угловое расстояние между их следами при наблюдении с Земли равно
нулю.
Линия, соединяющая Полюс мира с центром небесной сферы, называется
Осью мира. Плоскость, проходящая через центр небесной сферы и
ортогональная Оси ОР мира, называется небесным экватором. Пересечение линии
равноденствия с небесной сферой называется точками (см. рис. 3.16)
весеннего у и осеннего равноденствий. Нетрудно понять, что точку у
весеннего равноденствия, расположенную на небесной сфере, можно
трактовать как одно из двух пересечений следов (кругов) небесного
экватора и эклиптики.
Заметим, что в точке у небесной сферы в день весеннего
равноденствия (21 марта) будет помещаться "бродячее" (как и планеты)
светило - Солнце. В этот день Солнце переходит из южного полушария
небесной сферы в северное.
С небесной сферой свяжем (см. рис. 3.16) прямоугольную инерцдаль-
ную систему координат (X , Y , Z ). Эта система не вращается в
233

мировом пространстве, поэтому она и может быть названа инерцдальной .
Положение каждого светила С в этой системе может быть задано (см.
рис. 3.16) с помощью двух углов а и 6. Угол а принято называть прямым
восхождением светила, а угол 6 - склонением светила, а и 6 являются
практически постоянными для каждого светила (кроме Солнца и планет) в
течение длительных эпох. Их небольшие колебания ±0,3' в течение года
связаны с нутационными движениями земли.
Остановимся теперь на понятии времени в навигационной астрономии.
Поместим центр небесной сферы в центр Земли (рис. 3.17). Системы
координат X , Y , Z и XYZ, вращаются друг относительно друга с
угловой скоростью Земли. Угол ХОХ> равный двугранному углу между
гринвичским (нулевым) меридианом ZOX и кругом склонения Z ОХ точки
весны, называется звездным гринвичским временем S , 0 < S < 2я.
Другими словами, гринвичское звездное время S можно определить
гр
еще и как время S Д2, прошедшее после кульминации точки весны у над
гр
точками нулевого меридиана (рис. 3.18).
Звездными сутками называется время одного оборота Т = 2л12
системы XYZ вокруг оси Z . Солнечными сутками называется время Г между
двумя кульминациями Солнца в одной и той же точке Земли. В силу
годового движения Земли относительно Солнца солнечные сутки (рис. 3.19) в
среднем длиннее звездных примерно на 360 /365 = 0,968 * 4 мин.
Гражданское время исчисляется в солнечных сутках. Солнечные сутки в
Гринвиче начинаются в момент нижней (невидимой) кульминации Солнца на
нулевом меридиане. Гражданское время в каждом часовом поясе (15 по
долготе) совпадает с солнечным временем срединного меридиана пояса и
отличается от гринвичского времени на целое число часов.
Часовым углом / светила С относительно точки М называется (см.
рис. 3.17, 3.18) двугранный угол между плоскостью меридиана точки М и
В строгом смысле она не является ннерциальной, так как ее центр
движется не равномерно и не прямолинейно. Тем не менее ускорениями,
которые возникают в этом годовом движении Земли вокруг Солнца в ряде
практических задач можно пренебречь. Только для таких задач эта
система координат и может считаться ннерциальной.
234

Земной
эллипсоид
Рис. 3.17
Рис. 3.18
кругом склонения светила С, который отсчитывается по часовой стрелке
от первой плоскости ко второй. О < / < 2я. Имеют место очевидные
соотношения (см. рис. 3.17. 3.18)
t = L-(a-S ) * 2fer. * = -1, 0.1 (3.101)
гр
или
/ = / ♦ L * 2fer. / = S - а - часовой угол светила относи-
гр гр гр
тельно финвичского меридиана.
Точная зависимость S = S (Г ) финвичского звездого времени от
гр гр гр
финвичского гражданского времени задается в виде таблиц, которые
помешаются в специальных астрономических справочниках (ежегодниках).
Эта зависимость получается из анализа движения земли по эллиптической
орбите (см. рис. 3.15) вокруг Солнца.
В тех случаях, когда допускается
определение величины S с низкой точностью (от-
гр
сутствие таблиц под рукой), можно
рекомендовать следующий прием. Если считать годовую
орбиту Земли (см. рис. 3.15) круговой, то
четырем характерным положениям можно припи-
Сопщв
сать указанные на этом рисунке значения S .
гр
В промежуточных точках орбиты величину
S можно определить так. Пусть, например.
Рис. 3.19
235

требуется определить S 1 апреля (1.IV) в полночь Г = 0 и в 5 ч
гр гр
Г = 5 ч.
гр
Учитывая, что солнечные сутки (см. рис. 3.19) в среднем длиннее
звездных на 360 /365 (365 - число дней в году), имеем
S (0 ч, 1.IV) = S (0 ч 21.Ш) ♦ (1.IV - 21.Ш)(360°/365) =
гр гр
= 180° ♦ 11 -0,986° = 190.83°(188°49,3').
S (5 ч, 1.IV) = S (0 ч 1.IV) ♦ 360°(1 ♦ ^г-)- -г§- =
гр гр 365 24
= 190,8° * 75,2° = 266,0°(264°01,6').
В скобках, стоящих после вычислений, записаны точные значения
S , взятые из астрономического ежегодника за 1987 г. Как видим,
точность приближенных расчетов лежит в пределах ±2,0 .
3.5.2. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ
С помощью астропеленгатора и бортовой курсовертикали можно
осуществить измерение (см. рис. 1.12) двух астронавигационных
параметров: А - высоты светила и А - азимута светила. Высотой Л
светила С называется угол между линией "наблюдатель-светило" и
плоскостью местного горизонта (см. рис. 3.17, 3.20). Азимутом А
светила называется угол между направлением местного меридиана и
горизонтальной проекцией линии "наблюдатель-светило".
Рассмотрим сначала решение прямой задачи.
Пусть нам известны геодезические координаты
(В, L) самолета и время (S ); требуется вы-
гр
числить высоту Л и азимут А светила с
экваториальными координатами (а, 5). _
Введем в рассмотрение единичный вектор г,
направленный из центра Земли на звезду (см.
рис. 3.17). Тогда пересечение этого вектора
(см. рис. 3.17) с поверхностью земного
эллипсоида называется географическим местом
Рис. 3.20 светила (ГМС).
236

Заметим, что в силу бесконечной удаленности светила ему будет
коллинеарен вектор, направленный по линии (см. рис. 3.17) "глаз
наблюдателя (самолет М)-светилои. Проекции г«, #у, г~, на оси XYZ
будут равны
г = *гх * //у * krr (3.102)
rv = cos5cos(a - S ), rv = cosSsin(a - S ), r~ = sinS.
A rp / rp L
В таком случае, проекции вектора г на оси J\JJ~ репера (2.49) с
центром в точке М могут быть представлены соотношениями
гк1 = г = г/л = - cosScos(a ~ S )sin£cosL -
N22 rp
- cos5sin(a - S ) sinBsinL + sinScosB = sinScosB -
rp
- cos5sinBcos(S - a + L); (3.103)
rp
rc = r= r/ = - cosfisin(S - a + L)i
t \ \ rp
r = r-J = sinSsinB ♦ cos5cosBcos(S - a ♦ L);
/13 rp
S -a = / .
rp rp
Из последних уравнений вытекают искомые выражения для высоты и
азимута светила:
а) Ал = arctg(r IVг* * т\ ) = arctg — П ;
а п N ь /—г^
п
б) Аа = Arctgirg/rrf [0, 2тг]. (3.104)
Соотношения (3.104) полностью решают прямую задачу, т.е. задачу
вычисления показаний (Л , А ) приборов по известным координатам (В,
L) самолета, времени S и координатам (а, 8) светила,
гр
Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть два пеленгатора визируют
два светила с экваториальными координатами (а , 8 ) и (а , 8 ). Тем
самым с помощью указанных пеленгаторов осуществляется измерение двух
высот (Л , Л ) и двух курсовых углов i
координаты самолета (В, L) и его курс ф.
высот (Л , Л ) и двух курсовых углов и и и . Требуется определить
237

Второе уравнение в (3.104) может быть записано в эквивалентном
виде
Л = arcsin(r /1). sin Л = г (3.105)
а п an
или
sin/t - sinfisinB - cos6cosBcos(S - а ♦ L) = 0.
а гр
Уравнение (3.105) широко известно в навигационной практике под
названием "уравнение высоты светила".
Решая систему из двух уравнений высот светил
sin/i . - sinSsinB - cos8.cosBcos(S - а. * L) = 0. (3.106)
CU l I rp J
* i = 1. 2
относительно двух неизвестных В и L, мы получим искомые значения
координат самолета. Зная же значения В и L» по формуле (3.104. б) можно
вычислить азимут одной или двух звезд и определить курс самолета
0 = 4-u=j4-u. (3.107)
¥ а\ 1 а2 2 W.IWI,
Система уравнений (3.106) может быть решена итерационными
методами. Если иметь значения (В, L ) нулевого приближения, то.
вводя зависимости В = В - ДВ , L = L - AL и подставив их в
(3.106). мы получим после линеаризации систему из двух линейных
уравнений относительно ДВ и AL :
а.,ДВл * a. AL = 6.. i = 1. 2, (3.108)
Jl 0 *2 0 I
где
a.f = 5т5.созВЛ - cosSsinB cos(S - a. ♦ L);
t\ i 0 i 0 rp i 0
а.Л = - cos5.cosB sin(S - a. ♦ L );
x2 i 0 rp i 0
6. = - sin/i . ♦ sittfjsinB,, + cgsSjcosB cos(S - a. ♦ LJ.
i at i о i 0 rp i 0
После решения системы (3.108) получаем значения первого
приближения
В=ВЛ- АВЛ. L = L - AL .
10 0 10 0
При необходимости итеративный процесс может быть продолжен и
далее.
238

3.5.3. УРАВНЕНИЯ СВЯЗЕЙ И АНАЛИЗ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Перепишем уравнения связей (3.104) в эквивалентном виде
>inA )/rl + Л
sinA Vr kJ ♦ гг - cosA г = 0,
а N Е an
или
sinA rkr - coSi4 rc =s 0
a N a E
MB, L h. An )-0.
1 fl a (3.109)
/t». L. Ла. ^ - 0.
Уравнения (3.109) связывают следующие навигационные параметры: В,
L, Л и А . Частные производные от левых частей этих уравнений по
указанным переменным будут равны
brJbB = rNB = - (sin&inB * cos&osBcos/);
/ = S - a * L; brJbL = #\.. = cos&infisin/;
brJbB = ГрД = 0; brJbL = Гр. = - cosScos/;
Ъг /ЪВ = г n = sinScosB - cosSsinBcos/;
л по
Ъг /3L = г f = - cosScosBsin/; Э//ЭВ = sinA (г?, * г*)"1/2х
л л! 'I а N Е
Х VtfB + r£W " «Ч'пВ1
2 2-1/2
V/M. = sinA^ * rE) (rffNL * Va) - cosA^;
bfx/bAQ = 0; 3f2/3B = sin^B;
bf/bL = siaA rA7, - C0Si4 rrf;
2 a NL a EL
2 a '2 a aN aE
Проанализируем теперь точность при определении координат (В, L)
самолета методом (3.106), основанном на измерении высот Л . и ^
а\ а2
двух светил. Пусть высоты измеряются с погрешностями АА и АА ,
которые обусловлены как ошибками гироплатформы, так и ошибками
пеленгаторов. Будем считать, что погрешности (АА , A)i )
239

распределены по двумерному нормальному закону N(0, РА с известной
корреляционной матрицей /\.
Линейные погрешности ABQ и ALCcosB определения координат самолета
связаны с погрешностями АЛ и АЛ измерений высот, как это следует
из линеаризации выражений (3.106), линейными уравнениями
(sinfi^osB - cosSsinflcos/.)ABQ - QG~{cos8sint.(ALcosBG) =
= QcosA Ah ., i = 1, 2. (3.111)
^ at at
В таком случае корреляционная матрица Р погрешностей ABQ и ALGcosB
может быть представлена в виде
р = (?2Л,-1[созЛа1 0 jpjcos*,, 0 ](ЛГУ, (3.112)
0 cosh л 0 cosA
а2 а2
где Л^ = <л.>, I, / = 1, 2 матрица, составленная из коэффициентов
2
системы линейных уравнений (3.111). Математическое ожидание А
2 2 2
квадрата линейного уклонения А = Af[(ABQ) + (ALCcosB) ], будет равно
следу матрицу
А2 = trP. (3.113)
Величина А в (3.113) может служить критерием для выбора надлежащих
звезд на маршруте. Наилучшей паре звезд соответствует минимальное
значение величины А.
Пример. Прямая задача. Определить высоту Л и азимут А светила
о о
а-Кассиопеи (а * 9 48,2'; б = 56 25,0'), если наблюдатель находится
о
близ города Симферополя в точке с координатами (В » 45 00', L *
- 33 00'). Время наблюдения 1977 г., 26 октября, Г = 1 ч ночи.
Моек
Учитывая, что Москва лежит во втором часовом поясе, а ее
гражданское время зимой смещено на час, а летом на два часа вперед, получаем
гражданское время в Гринвиче
Г * Г - 3 ч = 22 ч, 25 октября,
гр Моек
По астрономическому ежегоднику для полученного Т определяем
гр
S * 4°10,3' = 4,171666°,
гр
240

далее по формулам (3.104) находим
Л . = 69°27'39,647",
а\
А # * 313°32'55,881".
а\
Пусть теперь наблюдателю необходимо к звезде а-Кассиопеи подобрать
вторую звезду для проведения в указанное выше время астрономических
наблюдений, если ему известно, что он находится в районе города
Симферополя, но точных координат своего местоположения он не знает.
Существует множество точек на Земле, из которых светило С в данный
момент времени видно с одинаковой высотой Л . Из рис. 3.17 нетрудно
понять, что это будут все точки М такие, что вектор О'М (местная
вертикаль) будет составлять с вектором Г визирования одинаковый угол,
равный 90 — Л .
Геометрическое место таких точек на поверхности Земного эллипсоида
будет близко к окружности. центр которой находится в ГМС (см.
рис. 3.17). а ее точки удалены от него приблизительно на расстояние
а(7г/2 — Л ). Такую окружность иногда называют "кругом равных высот".
Геометрический метод высот двух светил (3.106) можно трактовать
как пересечение (рис. 3.21) двух кругов равных высот в точке. из
которой производится визирование светил. Из такого рассмотрения
следует, что у нелинейной системы (3.106) имеется два решения, из
которых только одно соответствует действительной точке местоположения
объекта.
Заметим, что рис. 3,21 геометрически соответствует числовым данным
рассматриваемого примера. Наибольшая точность определения [Д « mill,
(3.113)] будет иметь место при пересечении кругов равных высот под
углами, близкими к 90 . Исходя из
этого положения можно понять, что
ГМС второго визируемого светила
должна лежать примерно на
ортодромии, которая проходит через точку
и ортогональна линии СМ. К
таким звездам (для рассматриваемого
случая) относятся или а-Персея
(а =* 50°40.7', б * 49°46,3') или
0-Овна (а = 28° 11.5'. 5 -
20°41,8'). На рис. 3.21 ГМС этих
Рис. 3.21
241

светил помечены точками С и С . Окончательное решение о выборе вто-
JL о
рой звезды можно сделать на основании критерия (3.113). В данном
примере свой выбор остановим на звезде а-Персея. Расчет по формулам
(3.104) дает для этой звезды следующие значения азимута и высоты:
А Л - 57°ЗГ26,922' и Л * 79°42'07.834".
Обратная задача. Задано: время визирования S * 4 10,3' (оно сов-
гр
падает со временем прямой задачи) двух светил С и С : а-Кассиопеи и
а-Персея. Известны их высоты Л и Л в этот момент времени (они
совпадают с высотами прямой задачи). Требуется определить координаты
В, L наблюдателя, если предполагаемые координаты его местонахождения
принимаются равными В * 46 , L ■ 32 .
Решая систему (3.108) получаем в результате первой итерации
В « 44°54'45.074". L - 32°58'12.244".
9721.90 м и 2360.10 м соответственно.
Вторая итерация дает В * 44°59'58,395"; L * 32°59'58,972" с
Таким образом. погрешности &BQ и ALGco&B составляют здесь
21.90 м и 2360.10 м соответственно.
Вторая итерация дает В * 44 59'58,395"; L
погрешностями ABQ = 49,56 м и ALGcosB » 22,50 м.
Третья итерация имеет погрешности ABQ = 0.14*10 м. ALGcosB «
* 0.710-3 м.
В рамках данного числового примера рассмотрим теперь вопрос о
вычислении средней квадратической погрешности А (3.113). Для этого
предположим. что бортовая гироплатформа не является точно
горизонтальной и имеет случайные (малые) углы наклона /} и у в направлениях
на север и на восток и. кроме того» пеленгаторы имеют случайные
погрешности / и / . В таком случае погрешности АЛ и A/t будут
иметь вид
АЛ . » /3coSi4. + ушА. ♦ /., | - 1, 2.
01 I'll
Если далее предположить, что случайные величины /} и у независимы и
распределены по закону Л/(0, а), а случайные величины / и f - тоже
независимы и распределены по закону N{0, О ), то матрица Р, будет
иметь элементы
242

Pu ~ P22 - М(ДЛа1)2 . АКДА^)2 = а2 ♦ а2.
PI2 - P2l = о, (cos^cos^ ♦ яп^ап^). (3.114)
Для числовых значений <? -3', а » 0,5 величина А. вычисленная по
1 А
формулам (3.112).. . (3.114), оказывается в рассматриваемом случае
равной А = 7986.75 м.
243

Г л а в а 4
ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ САМОЛЕТА
МЕТОДАМИ СЧИСЛЕНИЯ ПУТИ
4.1. РЕПЕРЫ НАВИГАЦИОННЫХ КООРДИНАТНЫХ СИСТЕМ
В теории навигации задачу вычисления текущих координат
движущегося объекта по известным координатам точки его старта и непрерывной
информации о высоте полета и величине и направлении его
горизонтальной скорости принято называть задачей счисления пути. Системы
навигации, обеспечивающие определение координат путем решения этой задачи,
называют системами счисления пути. Они по принципу своего действия
должны включать в себя измерители вертикали и направления (курсовер-
тикали), измерители вектора путевой скорости и высоты полета.
В современных системах счисления пути вертикаль и курс на ЛА
определяются с помощью гиростабилизированных платформ. Измерение
вектора путевой скорости в связанной с самолетом системе координат
обеспечивается различными способами.
Определение геодезических координат ЛА методом счисления
представляет собой сложную вычислительную задачу, решение которой требует
предварительного рассмотрения ряда геометрических вопросов. По этой
причине, прежде чем изучать возможные технические реализации,
рассмотрим геометрические основы систем счисления пути.
В соответствии с выбранной системой координат - геоцентрической
(\р% X, /?), геодезической (В, L А) или ортодромической (Ф, Л, R) - на
поверхность фигуры Земли можно нанести координатную сетку, состоящую
из взаимно-ортогональных линий широт и меридианов. В таком случае для
каждой системы координат во всякой точке М (как лежащей на
поверхности эллипсоида, так и находящейся вне этой поверхности) можно задать
координатный трехгранник JJJ%* Этот трехгранник называют репером
I <6 О
[20] и строят его следующим образом. Орт / направляют из точки М по
касательной к линии широт, орт / - по касательной к меридиану, а орт
/ = /,х/0 ~ ортогонально к двум первым ортам и вверх. На рис. 4.1
представлены реперы для геоцентрической, геодезической и
ортодромической систем координат. Заметим, что орты J и J лежат в
горизонтальной плоскости, а орт / направлен по местной вертикали, при этом
244

вертикаль и горизонтальная плоскость в геоцентрических системах
понимается в "геоцентрическом смысле", а в геодезической системе в
"геодезическом" смысле. _
Если точка М движется с мгновенной земной скоростью W = (У, W ,
1 JL
W ), то координаты этой точки изменяются, а соответствующий этой
о
точке репер вращается в пространстве. Рассмотрим законы движения
реперов для трех указанных выше систем координат.
Геоцентрическая система координат. Пусть точка М (рис. 4.1, а)
движется с мгновенной земной скоростью W = (W , W , W ), где W , W и
1 Z о \ Z
W - проекции. вектора W на оси / , / , / геоцентрического репера. В
о 1 Z о
таком случае имеют место очевидные соотношения
W. W.
Ч> = —I- ; X « р ' ; Л - Г.. (4.1)
К К cosy 3
Соотношения (4.1) задают закон движения^ центральной точки М
репера. Рассмотрим теперь угловую скорость cj репера J JJ~
относительно Земли. Из рис. 4.1, а ясно, что это движение репера можно
представить как сложное, состоящие из переносного и относительного
движений. За переносное движение можно принять вращение плоскости OPS
вокруг оси OZ со скоростью X, а за относительное - поворот линии ОМ в
плоскости OPS относительно точки О со скоростью у. В таком случае
проекции (со , cj , со ) угловой скорости и на оси JJJ<> будут равны
1 JL о 1 Z «$
Wj = - ? = - W2/R, w2 = Xcosv» = IF,//?.
а>3 = Xsirty = W{igv/R
(4.2)
245

Угловая скорость о> = (о> , о> , о> ) геоцентрического репера в
мировом (инерциальном) пространстве с учетом угловой скорости £2 Земли
£2 = 0; £2 = Шээд £2 = 12siny> (4.3)
\ JL «5
будет равна
cj = ы*П=-№Я=-У R ,
al l 1 2 2
Ч-* = w« * "« я - W\*~! * ficosv? = (Г, * tox&p)R~l = ГЛ_1,(4.4)
02 2 2 1 1 I
"аз = "з + пз = *7г*л ! + ^{П{р = (W"i + ^cos^)^"! = Vjfl" W
где V = W * £2хД - абсолютная скорость точки М, равная сумме земной
(относительной) скорости W и периферической линейной скорости SlxR
из-за вращения Земли.
Периферическая скорость в точке М направлена на восток (по оси / )
и численно равна RQco&p.
Соотношения (4.1)... (4.4) полностью определяют движение
геоцентрического репера, причем уравнения (4.1) описывают движение
его центра, а уравнения (4.2), (4.3) и (4.4) описывают его
вращательное движение. Далее наша задача будет состоять в выводе аналогичных
соотношений для геодезического и ортодромического реперов. Однако
прежде чем переходить к указанным реперам,
рассмотрим еще раз вывод величины о> - относитель-
о
ной угловой скорости геоцентрического репера
вокруг оси / . Вывод проведем исходя из угла
о
схождения меридианов.
Предположим, что человек движется по линии
широты на восток со скоростьью W и его левое
плечо все время повернуто точно на север. С
какой скоростью в таком случае он вращается вокруг
своей вертикальной оси / ? Если на этот вопрос
о
ответить с помощью формул (4.2), то эта скорость
будет равна cj = W AgyR
о I
-1
Докажем еще раз этот
Рис. 4.2
факт более наглядными средствами.
Из рис. 4.2 следует, что длина дуги ММ' равна
|AfAf' | = Rco&pdk, а длина касательных MP'и М'Р'
246

соответственно равна \М'Р\ = \М'Р' | = = Ridgy. В таком случае
элементарный угол da поворота геоцентрического репера вокруг оси / будет
о
равен da = \ММ' \/\Р'М\ = siitydX. Отсюда следует, что
da/dt = и = sin^X = Г А&рИ~1.
О 1
Доказательстю завершено. Мы его проделали вторично, чтобы
показать, что вращение cj возникает из-за схождения меридианов; для
о
других координатных сеток, у которых орты / (см. рис. 4.2) остаются
все время параллельными друг другу, такое вращение будет
отсутствовать (cj = 0).
о
Геодезическая система координат. Напомним, что радиусы кривизны у
поверхности. эквидистантно удаленной от поверхности земного
эллипсоида на высоту Л. равны Q и G (см. рис. 2.6). причем величина G
радиуса кривизны первого вертикала равна длине отрезка NM (см.
рис. 2.6а и 4.1. б). В рассматриваемом случае (см. рис. 4.1, б)
получаем следующие уравнения для геодезических координат (В, L, Л)
вершины М репера.
В = WO'{; L = WMGcosB)"1. A = V. (4.5)
2 1 о
Заметим, что скорости W , W , W , входящие в (4.5). направлены здесь
1 Z о
уже по осям геодезического, а не геоцентрического репера, как это
было в (4.1).
Законы вращения геодезического репера / , / . / (см. рис. 4.1. б)
1 JL о
найдем как и раньше из представления его движения как сложного,
состоящего из двух движений: переносного (вращение со скоростью L
вокруг оси NOP) и относительного (вращение в плоскости OSP вокруг
точки N со скоростью В). Из такого представления получаем
со1 = - В = - ITQ"1! cj2 = LcosB = WG~l;
cj = LsinB = WG'hgB. (4.6)
о I
Абсолютная угловая скорость cj = (cj .. to , cj ) репера в данном
случае будет равна
247

«eI-«I*ni.-.rfQ-,-V2Q-,!
и = cj + П = ГС'1 + OcosB = (У + CXfcosBW"1 = V G~l;
(££ ^ * 1 1 1
w = ai ♦ В = W.G_1tgB * QsinB = Vfi"!tgB. (4.7)
Ортодромическая система координат. Рассматриваемый случай
изображен на рис. 4.1, в. Здесь ХУ-Я* представляет собой ортодроми-
ческую прямоугольную систему координат (сравните с рис. 2.7). Кроме
того здесь представлены: V - точка вертекса ортодромии; Р - полюс
ортодромии; Р - Северный полюс Земли. Угол POV равен 90 - $„, это
следует из рис. 2.7; \ру - геоцентрическая широта точки вертекса.
В данном случае имеем следующие уравнения для координат (Ф, Л, R)
вершины репера:
Ф = WR'{; Л = ИМЯсозФ)"1; R = У (4.8)
* 1 о
Проекции (ы , со , со ) вектора со относительной скорости репера
I л> О
будут равны
w = - ф = W R'1; cj2 = ЛссяФ = W R'1; (4.9)
со = ЛэтФ = W R" tgф.
о I
Вычисление проекций (12 , £2 , £2 ) вектора £2 угловой скорости Земли
1 л> О
в данном случае несколько более сложно, чем в двух предыдущих. _Для их
вычисления сначала нужно провести проектирование вектора 12 (см.
рис. 4.1, в) на оси прямоугольной системы XYZ и далее
спроектировать их на оси J JJ%- При таком подходе будем иметь
ло ro v zo к
£2 = Г2,, cosA = S2sin<fyCOsA;
О
£2 = £2_ собФ - Sly sinAsin<t> = ^(а^^схбФ - 81П(р^51пЛ51ПФ);(4.10)
12 = £2_ бшФ ♦ Sly бшЛсобФ = &(азд£1пФ ♦ sin<fysinAsii^).
248

Абсолютные угловые скорости (о> ' о> . cj ) в данном случае будут
равны
«erwi*ni---V:lswei-wf*0.-V"ls
wo3-w3*u3BVl|e**n3- (411)
4.2. АЛГОРИТМЫ СЧИСЛЕНИЯ
ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
4.2.1. АЛГОРИТ СЧИСЛЕНИЯ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ
ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ <р. X. Л
Предположим, что на борту летящего самолета имеется
гироскопическая курсовертикаль. которая обеспечивает (материализует) на борту
систему координат Ь$ (рис. 4.3, а). Предположим, далее, что
платформа управляется таким образом (как это делается мы узнаем в
следующей главе), что ее оси £. tj, f направлены относительно Земли
(рис. 4.3. б) следующим образом. Оси £ и tj ортогональны местной
геоцентрической вертикали ОМ, а ось f направлена по этой вертикали. В
общем случае ось tj может быть развернута в горизонтальной плоскости
относительно местного направления на север (относительно орта /
геоцентрического репера) на произвольный угол А (рис. 4.3. б, в).
Введенную в рассмотрение курсовертикаль уместно назвать курсоверти-
калью геометрического типа.
На рис. 4.3, а введены две совпадающие системы координат xyz и
№
249
J2l™

£т?$\ Это сделано затем, что система xyz в дальнейшем изложении всегда
будет жестко связана с платформой, а система Ь$ будет
рассматриваться как надлежащее (заданное) положение этой платформы. Если
угловые погрешности в положении платформы отсутствуют, то обе системы
совпадают. Здесь рассматриваем случай такой идеальной работы.
Положение платформы в азимуте задается курсовым гироскопом ГЗ
(рис. 4.3, а). (Здесь и далее мы для определенности будем считать,
что его ось собственного вращения направлена по оси у, являющейся
курсовой чертой платформы.) Если нужно повернуть платформу
относительно оси z(f). то к горизонтальной оси х этого гироскопа
прикладывается соответствующий момент М , который вызывает вращение платформы
относительно оси z(f) с абсолютной скоростью
cj . = Н'1М , (4.12)
Q& X
где Н - кинетический момент гироскопа.
У большинства гировертикалей курсовой гироскоп работает в одном из
двух режимов. Первый режим характеризуется тем, что к курсовому
гироскопу не прикладывается никаких горизонтальных моментов М = 0.
(Здесь мы будем пока считать, что вредные возмущающие моменты
отсутствуют, рассматривая как бы идеальную картину.) Курсовой гироскоп,
работающий в этом режиме, называют свободным в азимуте, понимая здесь
свободу как свободу от различных моментов.
Абсолютная угловая скорость свободного в азимуте трехгранника %г£
относительно оси f будет
со . = 0. • (4.13)
Соотношение (4.13) задает основное свойство свободной в азимуте
курсовертикали: абсолютная вертикальная угловая скорость о> *. равна 0.
Второй возможный режим характеризуется тем, что к курсовому
гироскопу (рис. 4.3, а) прикладывают момент М такой величины, что
гироскоп прецессирует (поворачивается) относительно оси z(f) с
абсолютной угловой скоростью
cj с. = H'lM = ft = Osiity, (4.14)
численно равной проекции угловой скорости 12 Земли на ось f = /
о
(на местную геоцентрическую вертикаль ОМ рис. 4.3, б). Ги-
250

* 21
роскоп, который работает в этом режиме, называют гирополукомпасом .
Рассмотрим, с какой относительной угловой скоростью cj гирополу-
компас (а вместе с ним и вся платформа) поворачивается вокруг
вертикальной оси t = / . Из соотношения
о
о)у = со . - П0 = 0 (4.15)
S ОТ 3
получаем, что относительная вертикальная угловая скорость в режиме
ГПК равна 0. Соотношение (4.15) задает основное свойство платформы,
работающей в режиме ГПК: ее абсолютная вертикальная угловая скорость
ы и = ft = ftsiity.
Переходим теперь к задаче счисления координат (у, Л, R) самолета.
Пусть на борту известен вектор W земной скорости летательного
аппарата в виде проекций W , W , W на связанную с самолетом
систему координат х у z (рис. 4.4), у которой ось х направлена по
продольной оси самолета, ось z - по правому крылу, а ось у -
ортогонально к плоскости крыльев.
В таком случае проекции W * , W , W *. вектора W на оси дг, у*
z (£, ту, ?) платформы могут быть вычислены по формулам
W />v = W .cos^sin^ ♦ W Л- cosTsin^sin^ ♦ suitcqs^ ) ♦
*u) ДГ1 г yi г г
♦ W (sin7sini>sin^ ♦ соьусозф );
W = W costfcostf/ + W (- cosTsintfcos^ - sinTsin^ ) +
* W . (siirointfcos^ - cosTSin^ );
z\ г г
W с. = W sintf * W costcos^ - W sin7Cos#. (4.16)
где #, 7, ф - углы тангажа, крена и гироскопического курса
г
самолета. Эти углы измеряются с помощью самой курсовертикали, как
21
На платформах, ортогональных геодезической вертикали, курсовой
гироскоп называется гирополукомпасом, если CJ «. = ftsinB.
251

соответствующие углы поворота
рам относительно друг друга и
корпуса основания.
Далее будем считать, что в
счетном устройстве на
основании формул (4.16) производится
вычисление проекций W„ W , W^
вектора путевой скорости на
оси $, tj, ? платформы.
Сформулируем теперь задачу
счисления геоцентрических
координат (^, X, R). Она состоит
в следующем.
Дано: а) величины текущих
значений путевых скоростей WJi), W (t) вдоль горизонтальных осей
платформы;
б) координаты у , X точки начала счисления и угол А начального
положения платформы в азимуте;
в) текущее значение R(t) удаления самолета от центра Земли;
г) тип движения платформы в азимуте (в данном случае будем
считать, что платформа работает в гирополукомпасном режиме, т.е.
со с. = ttsiity).
Требуется найти алгоритм вычисления текущих значений координат
yd), \(t) и азимутального угла A(t) платформы.
Рассмотрим взаимное расположение систем /./«А и %т$ (см.
1 Z о
рис. 4.3, в). Оси J и f у них совпадают, а оси / , / и £, rj развер-
О 1 £
нуты на угол А[0, 2я], который будем считать положительным, если
поворот от tj к / происходит против часовой стрелки. Ясно, что
относительная угловая скорость A(t) между системами координат J.JJ~
1 Z «э
и Ы будет равна разности их абсолютных угловых скоростей вокруг оси
/ (или, что все равно, оси f):
А = и^ - и^ = (W{igspR{ ♦ nsiiv) - nsiiv = WfeipR'1. (4.17)
На основании (см. рис. 4.3, в), формул (4.1) и (4.17) искомый
алгоритм счисления выглядит следующим образом:
252

W\; = Wn = - WjsinA * W cosA;
/V 2 ? 1J
Wc = W= WjcosA + W sinA;
* = WNRl(th v(t0) = *Q; (4.18)
-1
X = W£[/W)cos*] ; X(/Q) = XQ;
A = WEtg<pRl(th A(tQ) = 4Q.
Входными сигналами в алгоритм являются Wy(t)> W (/), R(t)t \p , X
К t? 0 0
и Л , а выходными - <p(t)> \(t)t A(t). Обратим здесь внимание на
следующий вопрос: как бы изменился алгоритм (4.18), если бы платформа
была по типу свободной в азимуте, когда w . = 0? Нетрудно понять, что
в этом случае в алгоритме изменится только уравнение для А. Как это
следует из (4.17), указанное уравнение будет иметь вид
А = cj^ - и^ = WfevR1 * Qsmp = VJgvR1.
В цифровой вычислитель, осуществляющий счисление координат,
входные данные поступают в дискретные моменты времени t, с периодом
дискретности i = /.-/, . Естественно, при этом и сами
вычисления должны проводиться в дискретной форме. Одним из возможных
дискретных аналогов для алгоритма счисления (4.18) является
следующий дискретный алгоритм:
WEk--WikCO&Ak-rWrlk^Ak-r
*k"*k.i* WRklZT *rfW (4Л9)
{WEk-l*WEk)At
k-l к
253

Входные сигналы Wy<, W , умножаются в первых двух строках
алгоритма (4.19) на sinA, и cosA, (а не на АЛ) по той причине,
что значение А, в этот момент вычислений неизвестно.
Любой дискретный аналог непрерывного точного алгоритма имеет
вычислительные погрешности. Точность и приемлемость дискретного
алгоритма обычно проверяется цифровым моделированием.
Остановится еще на одном варианте алгоритма определения
геоцентрических координат. При инерциальных методах определения скорости
полета часто производится измерение абсолютных скоростей Vy, V , а не
путевых Wy, W . Из изложенного вытекает, что в этом случае для
свободной в азимуте платформы имеет место алгоритм
Уд, = - VySinA ♦ V со&А; VE = VyCosA * V sinA;
(4.20)
Остановимся теперь на недостатках алгоритмов счисления
геоцентрических координат (4.18) и (4.20). Во-первых, при у = ±я/2 правые
части двух последних дифференциальных уравнений в обоих алгоритмах
терпят разрыв. Это означает, что алгоритмы не являются
работоспособными в районах обоих географических полюсов, т.е. не являются
всеширотными.
Во-вторых, с самого начала мы предположим, что на борту
реализована (материализована) курсовертикаль геоцентрического типа (ее
платформа ортогональна к геоцентрической вертикали). Реализовать такую
платформу трудно, так как физические датчики геоцетрической вертикали
отсутствуют, да и ценность такой вертикали невысокая в силу того, что
ествественное понятие "верх-низ" связано с истинной и близкой к ней
геодезической вертикалью.
В этой же связи нужно отметить еще одно важное обстоятельство.
Алгоритмы счисления (4.18) и (4.20) являются точными, если их входная
информация в виде значений скоростей W* и W (или Vy, V ) поступает
от курсовертикали геоцентрического типа. Если же входная информация
поступает с курсовертикали другого типа, например, геодезической, то
геоцентрические алгоритмы перестают быть точными. В этом случае их
нужно рассматривать как приближенные.
254

4.2.2. АЛГОРИТМ СЧИСЛЕНИЯ
ОРТОДРОМИЧЕСКИХ КООРДИНАТ Ф, Л, R
Будем считать, что на борту имеются измеритель вектора (W . W .
Ч/ ) земной скорости, геоцентрическая курсовертикаль. реализующая
координатный трехгранник Ь$> и данные о расстоянии R(t) до центра
Земли.
Будем считать здесь данными координаты ч> . X полюса ортодроми-
ческой системы, в которой предполагается вести счисление координат Ф
и Л, а также начальные координаты ФЮ. Л(/ ) и угол A(t)
азимутального положения платформы.
При рассмотрении материалов данного подраздела платформу будем
считать для определенности свободной в азимуте, когда gj *. = 0.
(Случай работы платформы в гирополукомпасном режиме, когда со.. = П в
AS 3
идейном плане мало отличается от рассматриваемого, и читатель далее
может проанализировать этот режим самостоятельно таким же образом,
как это было сделано в предыдущем подразделе.)
Относительная угловая скорость А между ортодромическим репером
/ / / (см. рис. 4.1. ей рис. 4.5) и трехгранником &£ в рассматри-
ваемом случае будет равна
Л = cj - gj .. = cj= WVt%R'ligQ + П*.
а3 of o3 £o ь 3
где А - угол между плоскостью ортодромического меридиана и осью tj.
Из сказанного вытекает алгоритм счисления ортодромических
координат
WNq = - WfinA * W cosA;
W- = WtcosA + W sinA;
A = WEo[R(t)cos<P]{t A(tQ) =Л0;
A = WEo^R4t) + n3;Mt0) = A0, \

hkNo
Рис. 4.5
Рис. 4.6
где ft = ft(cos<pySin<t> * sin<fysinAcos<I>) = ftsiity. Вычисление ft может
проводиться по одной из указанных формул, причем вычисление по
формуле ft = ftsifty. в отличие от первой формулы, требует пересчета
о
ортодромических координат (Ф. Л. R) в геоцентрические (у\ Л, R).
Такой пересчет должен проводиться в реальном времени.
Как используются алгоритмы (4.21) при полете по частноортодроми-
ческому маршруту вида (см. рис. 2.8)? От точки а до точки Ь (или ее
близкой окрестности) происходит счисление в первой ортодромическбй
системе координат, которая задается точками а и Ь на ее экваторе. При
этом стабилизация самолета на частной ортодромии ab происходит по
сигналу бокового отклонения, равному /?Ф. В точке Ь ортодромические
координаты (Ф , Л ) пересчитываются в геоцентрические координаты (^.
Л) по формулам (2.28). а затем - в ортодромические координаты (Ф ,
Л ) второй ортодромии по вычислительной схеме (2.30). Полученные в
результате таких вычислений координаты Ф . Л служат начальными
условиями Ф9Ю. Л (/ ) для алгоритма счисления (4.21). Рассмотрим
теперь вопрос вычисления начального условия A (t ) для второй
ортодромии. (Индексы / при Ф.. Л., А. означают номер ортодромии, в данном
случае 1 = 2.)
Для определения A (t ) решим промежуточную задачу, которая состоит
нужнсг-рждении угла а (рис. 4.6. а) между географическим РМ и

ортодромическим Р М меридианами в произвольной точке М (в данном
случае точка М совпадает с точкой Ь (см. рис. 2.8) перехода на новую
ортодромию). Угол а [-тг/2; я/2] отсчитывается против часовой стрелки,
начиная от географического меридиана РМ. Эта задача уже была решена
ранее [см. (2.40)]. Здесь мы решим ее в другой форме.
На рис. 4.6, а дуга еМ = 90 по построению, а размеры остальных
дуг и углов проставлены на рисунке.
Из сферического треугольника MP P по теореме синусов имеем
о
si na созЛ .о
—■ = ; sina со&р = Вл = cosAsiity...
sin<fy cosy? 4 V
Далее из треугольников еРМ и еРР~ по теореме косинусов получаем
coseP = costpcosa = В = аяФсо&л, - зшФ5т<ру51пЛ.
о
Из последних соотношений вытекает формула для вычисления a
а° = arctgB /В . (4.22)
4 5
В таком случае азимут А платформы относительно второй ортодроми-
ческой системы будет равен (см. рис. 4.6, б)
Итак, при переходе с одной ортодромии на последующую отодромию
необходимо вычислить углы а и а между географическим меридианом и
меридианами старой и новой ортодромических систем.
Рассмотрим теперь случай, когда по осям платформы измеряются
абсолютные скорости V* и V . Здесь возможны два алгоритма, первый из
них не требует одновременного пересчета ортодромических координат (Ф,
Л, R) в географические (Ф, Л, а , /?), а второй требует.
Соотношения (4.10) для проекций 12 , 12 , 12 позволяют вычислить
I Z о
проекции U и (/ периферийной скорости Земли на оси / и /
ортодромического репера
U = Up = /Я2 = /Й2(соб</>уС05Ф - 51П(Ру501Л5тФ);
U = t/д, = - /Й2 = - RSlsirnpyCosA.
9 - 993 257

Присоединяя к ним очевидные соотношения, получим полный алгоритм
счисления
Угл = Vfccos,4 + V siaA - U- (4.23)
СО f tj 2
Ф . R'lWNo; A = (ЛсовФ)" V£o; A = *"!tgW£ ♦ Пу
О
Алгоритм, требующий пересчета вида (Ф, Л, R) -* (^, X, а , /?), как
это следует из изложенного и рис. 4.6, б, имеет вид алгоритма (4.21)
с предшествующим расчете»! величин W* и W с помощью соотношений
^ = V. - /fcfcos^cosM - a°);
Г = V - /K2cos*sinM - а°). (4.24)
Алгоритмы счисления ортодромических координат имеют недостаток,
свойственный всем геоцентрическим алгоритмам - они требуют для своей
точной реализации курсовертикали геоцентрического типа. А такая
вертикаль трудно реализуется (ее, например, трудно выставить на старте)
и не дает в полете прямой информации об истинной вертикали (или
близкой к ней геодезической вертикали). Работа же описанных
ортодромических алгоритмов с платформами другого типа приводит к погрешностям.
4.3. АЛГОРИТМЫ СЧИСЛЕНИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
4.3.1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Рассмотрим алгоритмы, которые работают с более естественной
курсовертикалью - курсовертикалью геодезического типа. Введем в
рассмотрение систему координат Му* (рис. 4.7). Ее центр М
расположен на объекте, движущемся на высоте Л. Ось f направим вверх
по геодезической вертикали. Расположение осей £ и tj задается в
горизонтальной плоскости с помощью курсового гироскопа. Будем
предполагать, что путевые скорости WM) и W it) нам известны.
Возникает задача счисления пути: зная WM), W it), высоту hit) и
координаты Bit), Lit ), Ait ) исходной точки счисления, определить
текущие значения Bit) и Lit) геодезических координат объекта. Здесь
мы решим эту задачу, полагая, что азимутальный гироскоп работа-
258

Рис. 4.7
(4.26)
ет в режиме ГПК, когда
W. = П0 = OsinB.(4.25)
as 3
Заметим, что при этом
угловая скорость со. системы
£т£ относительно Земли
будет равна 0, т.е.
со. = coaf - «3 = 0.
Алгоритм счисления с
учетом сказанного [см.
аналогичный вывод для (4.18)]
будет иметь вид
WNS- W^inA + W cosA;
Wc = WyCQ&A * W sinA:
'B-Q-*WNiBU0)-B0;
L= (GcosB)V£; L(tQ) =LQ;
A = LsinB = G lWEtgB; A(tQ) = AQ.
где Q и G определяются формулами (2.22).
Рассмотрим величины со* и со проекций угловой скорости со репера £т£
на оси £ и tj. Эти скорости будут совпадать с проекциями относительных
угловых скоростей со и со системы координат JJJ~ на оси £ и tj (см.
\ Z 1 Z о
рис. 4.1, б).
Из рис. 4.1, б и рис. 4.7 и соотношений (4.6) имеем
со. = со со&4 - со sirb4 = - Q W^osA - G~ W-sinA;
со = со cos^ * со sifL4 = - С? WrfinA * G' WpCosA.
Подставляя в последние выражения величины W„ и Wp из (4.26),
П0Лучим -11 12 12
со^ = WfinAcasMQ l -G l) -W (Q~'cas 4 * G~lsinA)i
со = - W sinAcosMQ1 - G~l) * ^(Q^sin2^ * G^cos2^);
coo = 0.
3
(4.27)
259

Абсолютные угловые скорости w., и , со*, системы координат £т£
будут равны:
со с. = cjc. - £2cosBsifL4;
о) = cj + ncosBcoSi4; (4.28)
aq rj
cj с. = £2sinB.
c&
Заметим, что знание значений ы., cj , ы. (4.28) необходимо для
с% ац <t
управления платформой, реализующей опорную геодезическую систему
координат Ы- Так, например, в инерцдальных системах (см. гл. 5),
платформы которых ориентируются по системе координат £т£,
корректирующие моменты гироскопов пропорциональны указанным скоростям
Mt = Н~1о) ., Мл = Н~{и , Af = //_1cj .. (4.29)
1 о£ 2 ш? 3 at
Алгоритм счисления (4.26), а также формулы (4.27) и (4.28) для
вычисления угловых скоростей опорной системы координат %г£ являются
точными. Однако данному алгоритму свойственен следующий недостаток. В
полярных районах, где значение широты В близко к ±я/2, он становится
вычислительно неустойчивым. По этой причине для навигационных систем,
которые могут применяться и в полярных районах, используют алгоритмы,
свободные от указанного недостатка. К изучению таких алгоритмов
перейдем в следующем подразделе.
В заключение этого подраздела для угловых скоростей ох. и со (см.
4.27) рассмотрим приближенные выражения, которые находят применение
на практике. Для получения этих приближенных выражений сохраним в
(4.27) лищь члены нулевого и первого порядка малости относительно
величин е и Л/а.
Приближенные выражения для Q и С имеют вид
Q = И1,"1 ,;. + Л я °[1 ♦ *2U.5sin2B - 1) ♦ J- ]; (4.30)
a(l-
(i-*2s
(I-A
A
,in2B)3/2
a
i 2»>1/2
in а)
2 .
G " " 0 , /0 ♦ A * ф ♦ -f- sin В ♦ — ).
о о i /о 2 a
Рассмотрим далее с учетом (4.30) приближенные выражения для трех
функций от Q и G, фигурирующих в (4.28),
260

I_ _ i_ C-Q g2cos2g
Q G = QG s a
2 2 2
cos Л sin A cos i4 ri 27l и . 2D IV Л
[1 - **(l,5sin В - 1) - — ] ♦
Q G a l a
2- 2 л .
sin Л Г1 e . 2D Л ,
*-r-П- —«в-г]-
= — [1 * Л- 0,5sin2B ♦ cos2A:os2B) - -J;
2 2
sin Л cos >4 I ri , 2/ лг . 2D .2- 2D\ A ,
—[1 ♦ г (- 0,5sin В ♦ sin i4cos B) - —J.
В таком случае искомые приближенные выражения для угловых
скоростей cjy, и и av (см. 4.27) будут иметь вид
w, = Я- [1 ♦ *V 0,5sin2B ♦ cos2>lcos2B) - —] ♦
к а а
♦ УД5Л~'$1п2Дооб*в;
IF
cj = —£- [1 ♦ *V 0,5sin2B ♦ sin2Ax>s2B) - —] -
- W 0,5eV lsbOAcos2B; (4.32)
V
4.3.2. ВСЕШИРОТНЫЯ АЛГОРИТМ СЧИСЛЕНИЯ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
Рассмотрим предварительно одно кинематическое соотношение,
известное в литературе как система дифференциальных уравнений Пуассона.
Пусть имеются две системы координат с общим центром О. Одна из них
неподвижна OXYZ,j* другая 0%г$ пусть вращается относительно первой с
угловой скоростью cj. _
В системе координат XYZ зафиксируем неподвижный вектор г = (X, У,
Z). Проекции ($, г?, t) этого вектора на оси £, tj, f будут равны
261

[Г
V
U J
= U(t)
' X]
Y
.Z J
(4.33)
где U(t) - переменная матрица направляющих косинусов (ортогональная
матрица перехода от системы XYZ к системе Ь£). _
Продифференцируем (4.33). Тогда получим скорость конца вектора г
относительно системы £т£
(4.34)
С другой стороны, скорость конца вектора г относительно системы
координат Ы будет равна -cjxt
[Г
п
U.
= U(t)
' X]
Y
.Z1
ч
Lf J
= -CJXT = -
= TlU(t)
X
Y
LZ
I.
CJ*
CJ
r
CJ.
-CJV CJ
0 -<j.
-CJ CJV
(4.35)
где
П =
0 -cof
cjf 0
CJ
1
-co
0
(4.36)
Сравнивая (4.34) с (4.35), получаем уравнение Пуассона
U(t) = - iH/tf). U(to) = UQ.
(4.37)
Мы получили следующий результат. Если известен вектор (со*, cj , cjJ
вращения подвижной системы координат fejf относительно неподвижной XYZ
(и тем самым матрица П), а также известно начальное значение U
матрицу направляющих косинусов, то путем интегрирования уравнений
Пуассона (4.37) матрица U(t) может бьпъ вычислена и для любого
текущего момента времени /.
262

Из рис. 4.7 и соотношений J2.41, а) можно получить следующие
представления для ортов £ , я , t системы Ь$:
$ = J cosA - / siib4 = i(sinLco&A * sinBcosLsind) *
♦ j(cosLcosA * sinBsinLsiiii4) - AcosBsinyl;
rj = J sinA ♦ J cosA = /(-sinLsioA - sinBcos£co&j4) +
+ /(co&LsioA - sinBsinLcoSi4) ♦ hco&Bco&A;
(4.38)
t = / = ico&LcosB + jsinLcasB + AsinB,
о
где i, у, Л - орты осей X, У, Z.
Из (4.38) и (4.33) следует, что ортогональная матрица
направляющих косинусов преобразования (4.33)
$
п
Г
=
ии
"2.
[«31
и и
12 13
и и
22 23
и и
32 33J
X
Y
Z
для системы Ь£, когда f направлен по геодезической вертикали, будет
равна:
U
-sinLcoSi4 ♦ sin£cosLsin>4 '. cosLcosA ♦ sin8sinLsifL4 !
-sinLsioA - sinJ5cosLcoSi4 '. cosLsinA - sin£sinLcoSi4 '.
I cosLcosB : sinLcosB
-cosBsioA
cosBa>Si4
sinB
(4.39)
Заметим, что по элементам матрицы U могут быть определены В9 L и А
(которые в алгоритме (4.26) находились путем решения дифференциальных
уравнений!):
263

и
В = arctg 32 Ьг/2. я/2];
Уг 2~"
га *и
13 23
и
L = Arctg —— Нг, я]; (4.40)
a3i
Лз
А = Arctg -!±- [0, 2тг].
23
В дальнейшем для реализации всеширотного алгоритма понадобится еще
и представление угловых скоростей ы, и w (4.27) как функций от
элементов а., матрицу I/ (4.39).
Имеет место цепочка элементарных равенств
cj. = W^mAcosAcos2B[cos'2B(Ql - G'1)] -
- W l(Q~l - G^cos^Bcos^cos2^ ♦ G~l);
V
y-2 f 2 . 2D f 2 2 2 £2-l
33 33 2c.2
2„2 o2 2„2
* £ 1-5 (1-^ )
2 3
8(u) = cos-fyQ"1 -<?"') = -Щ =
[аГ< 1-е )♦*]<«<♦*)
cjf = 0.
Соотношения (4.41), (4.29), (4.37) и (4.40) задают всеширотный
алгоритм счисления геодезических координат В, L, А, блочная схема
которого имеет следующий вид:
264

Блок Ml.
Вычисление значения 5(a), cjfef cj и cj> по формулам (4.41).
Зо s 17 i
Блок № 2.
О) и = (Л)у
ftcosBsifL4 = и*. ♦ Пи#„,
? 13
cj = о> ♦ QcosBcoSi4 = о> + Я«ЛЛ,
ы .. = cj„ + ttsinB = Пы .
ОТ \ 33
Блсж № 3.
Решение уравнения Пуассона
U = - П1/«)
П
О -(*)>. G)
GJ,
ч
-со*
«v ■ ".■
(4.42)
Блок № 4.
В = Arctg
33
■/"I Г
L = Arctg
32
И31
А = Arctg
13
23
13 23
Этот алгоритм является всеширотным, так как правые части
дифференциальных уравнений в блоке № 3 не имеют разрывов и для них
сохраняются условия теоремы существования и единственности решений во всей
области земных широт В и долгот L.
На практике находят применение алгоритмы типа (4.42) с
приближенными способами вычисления (4.32) угловых скоростей с^, и , иу. На
описании одного из таких алгоритмов мы сейчас остановимся.
Функции (4.32) с учетом значений элементов матриц (4.39) можно
записать в виде блока № 1.
Блок ML
W
ув a utu.
Г 13 23
Ч, = "Г- I»+ <2<-°'4s+ й?з> ~Т 1+ VV43V (443)
wf = 0.
265

Остальные вычислительные блоки алгоритма для приближенного случая
будут иметь следующий вид:
Блок № 2 (см. 4.28) и (4.39)
о) v = cjc. + Пй,,, со = со + Юи » cj ». = Пи . (4.44)
of £ 13 aq tj 23 of 33
Блок № 3 (см. 4.37)
и.Л = ~ <*> и • a. tf ) = cosL со5ЛЛ ♦ sinfl sinL sinA:
12 r/ 32 12 0 0 0 0 0 0
«Л« = <*>m- u(t) = cosL siib4rt - sinBsinL cosA:
22 К 32 22 0 0 0 0 0 0
32 tj 12 Г22 32 0 0 0
и = - со a • и, JO = - cosB sinA; (4.45)
13 tj 33 13 0 0 0
ил^ = <*>*#•• a«o<0 = cosBcoSi4:
23 К 33 23 0 0 0
и = cj я - cjj/; ио,ЛО = sinB •
r? 13 Г,
33 tj 13 Г23 33 0
и = и и - и и .
31 12 23 22 13
В блоке. № 3 не обязательно решать все девять дифференциальных
уравнений U = - П1/, так как в ортогональной матрице U имеются
известные связи между элементами и, кроме того, не все элементы матрицы U
необходимы для построения алгоритма.
Блок № 4 (4.40)
В = "** о Зз ,/о • *< = Arct? "Г*- И- »1. <4-46>
(а *а ) 31
v 13 23'
"а13
А = Arctg -£- [0, 2тг].
23
Заметим, что всеширотный алгоритм счисления геодезических
координат требует интефирования системы дифференциальных уравнений
шестого порядка (4.45), в то время как алгоритм (4.26) - только
третьего порядка.
Порядок системы (4.45) может быть уменьшен до третьего, так как
элементы (а , и , и ) второго и (и , и , и ) третьего столбцов
\JL JLJL Ол> IO л О о«5
266

ортогональной матрицы U удовлетворяют трем уравнениям, вытекающим из
ортогональности этой матрицы,
2 2 2 t 2 2 2-
12 22 32 ' 13 23 33 '
И.ЛИ.„ * ИЛЛИЛ^ * K0ftH00 = 0. (4.47)
12 13 22 23 32 33
С целью уменьшения порядка можно, например, решать только
подсистему из первых трех уравнений в (4.45), определяя таким образом
элементы второго столбца, а элементы третьего столбца вычислять на
основании нелинейных уравнений (4.47).
Однако при таком способе, во-первых, теряется свойство всеширот-
ности. Например, значениям и = 0, и = 0, и = 1 на основании
1Z ZZ oZ
(4.39) отвечает неопределенное решение (В = 0, L = 90 , А -
произвольное число) и точка (В = 0, L = 90 ) в данном случае будет
являться особой. И, во-вторых, из-за необходимости решать нелинейные
уравнения (4.47) вычислительный выигрыш от перехода на системы более
низкого порядка может быть сведен на нет.
В силу указанных обстоятельств алгоритм (4.45) несмотря на
повышенный порядок системы дифференциальных уравнений с вычислительной
точки зрения может рассматриваться как вполне приемлемый. Заметим,
что ниже будет выведен алгоритм счисления, обладающий свойством все-
широтности и требующий решения системы дифференциальных уравнений
наименьшего порядка (оказывается четвертого). Теория этого алгоритма
основывается на использовании метода конечных поворотов твердого тела
с применением параметров Родрига-Гамильтона [1].
4.3.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТНООРТОДРОМИЧЕСКИХ
КООРДИНАТ
Знание матрицы U (4.39) позволяет вычислить ортодромические
геодезические координаты Ф' и Л' (подразд. 2.1.7) самолета
относительно любой (частной) ортодромической системы координат, которая
задается долготой X' = X' восходящего узла и широтой *р' = ^Л = By
вертекса V (см. рис. 2.12, а).
Действительно, прямоугольные системы координат XYZ и ^п^п^п
связаны соотношением (2.27):
267

X
Y
Z
cosX' -cost'sinX' sink'sinX'
sinX' cos^'sinX' -siity'cosX'
о о о ч) о
si4
co4
0 J
Если матрицу в последнем выражении обозначить V , то на основании
(4.33) и этого выражения получим
U(t)U
\х°
П>
KJ
= УФ
*о
ч
[ZoJ
V(t)
[v.]
1 </J
U(t)U
Отсюда по аналогии с (4.39) следует, что искомые ортодромические
координаты будут равны
*
Ф' = arctg
Л' = Arctg
зз
К&Г
[-тг/2, я/2];
13 23
*
32
»3.
V
Arctg
13
9
[-*, ж];
[0, 2тг].
(4.48)
23
Вычисление частноортодромических координат Ф'(/), Л'(Й и A'At)
внутри всеширотного алгоритма счисления позволяет существенно
облегчить как задание траекторий, так и движение по ним самолета. Это
обстоятельство играет особую роль в приполярных районах, где
прокладка траектории в терминах геодезического курса фЦ) или широты ВЦ) и
долготы Щ) является неприемлемой из-за их быстрого изменения, а
прокладка траектории в терминах ортодромических координат, наоборот,
является очень удобной.
4.3.4. АЛГОРИТМ СЧИСЛЕНИЯ ОРТОДРОМИЧЕСКИХ
КООРДИНАТ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ТИПА
Ортодромические координаты Ф', Л' геодезического типа были введены
нами в под разд. 2.1.7. Рассматриваемый ниже алгоритм счисления
координат Ф' и Л' применяется как аналог или замена для всеширотного
268

Рис.
и Л'
4.8
для организации
алгоритма счисления, изложенного в
предыдущем подразделе. В
рассматриваемом случае полюс Р ортодро-
4.8) выбирается в точке,
удаленной от предстоящего
маршрута полета, чтобы исключить
возможность приближения к ней
самолета. При этом счисляемые
координаты Ц>' и Л' часто выступают как
бы в роли вспомогательных
(промежуточных) переменных. Выходными же
сигналами данного алгоритма по-
прежнему являются геодезические
координаты В и L. Это не мешает
при необходимости использовать координаты Ф'
движения по "главной" ортодромии Ф' = 0.
Платформа курсовертикали управляется здесь таким образом, чтобы ее
оси { и ri (см. рис. 4.8) все время были ортогональны местной
вертикали О'М, а ось tj лежала бы в плоскости О'Р'М, которую можно
назвать ортодромическим меридианом. Такой способ управления
платформой дает возможность непосредственно вычислить только
координаты самолета относительно одной (общей для всего полета)
ортодромической системы и исключает возможность счисления частноорто-
дромических координат, ибо последнее потребовало бы мгновенных
поворотов платформы в азимуте при смене ортодромии.
Угол а = -А между осью tj и географическим меридианом РМт (см.
рис. 4.8) вычисляется по формуле (4.22) при условии замены Л -* Л',
Ф -* Ф\ Фу -> *у.
Рассмотрим угловые скорости координатного трехгранника Ь$. На
основании (4.32) и (4.9) имеем:
W
а) gj{ = - -^— [1 * e2(-0,5sin2B ♦ cos2aQcos2B) - Л/a] -
-Vrl:0.SeV1sinaiAO08SB;
* w 0
б) cj = -£— [1 ♦ e2(-0,5sin2B - sin2aQcos2B) - Л/a] ♦
♦ W 0,5*V 1sin2acas2B = Л'сюФ';
v о
(4.49)
269

в) cjy = Л'эшФ' = cj tg<P',
f V
cj с. = cj. + ftcosBsina • cj = cj ♦ QcosBcosa : (4.49)
at t
Из изложенного вытекает алгоритм вычисления координат Ф' и Д' (см.
рис. 4.8):
ф'
Л'
=
=
-П;
Ф'(/0) = Ф-
. А * 14 \ _
С0 5Ф 0
Ло
(4.50)
Формулы (4.49, о, б), (4.50) совместно с формулой (4.22) для
вычисления а и формулами (2.41) пересчета (В, L) -* (Ф\ Л')
составляют полный алгоритм счисления. На вход этого алгоритма поступают
сигналы путевой скорости W* и W , а на выходе имеют место величины
Ф', Л', a , В и L Кроме того, по формулам (4.49, в) могут быть
вычислены и угловые скорости w ., cj и cj *., потребные для управления
гироплатформой.
4.4. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД СЧИСЛЕНИЯ КООРДИНАТ
Остановимся на одном способе отображения земного эллипсоида на
сферу, который находит применение в навигационной практике. Он, в
частности, может быть использован для реализации приближенного
алгоритма счисления, а также для упрощенного расчета расстояний и
азимутов между двумя точками, расположенными на эллипсоиде. Способ
изображения эллипсоида на сфере, который будет рассмотрен, связан с именем
В. В. Коврайского.
Рассматриваемый далее метод позволяет с наименьшими погрешностями
реализовать алгоритм счисления геоцентрического типа, использующий
информацию от гироплатформы геодезического типа.
Заметим, что ценность и применимость приближенных алгоритмов
постоянно снижается вместе с развитием бортовой вычислительной техники.
Тем не менее, по-видимому, всегда будут существовать случаи, когда
применение приближенных методов является оправданным.
Здесь мы не будем рассматривать общих методов изображения
эллипсоида на сферу, отослав читателя к специальной картографической литера-
270

[27]. Заметим, что выше мы уже рассмотрели одно взаимно
однозначное отображение (2.81) эллипсоида на сферу, позволяющее точно
решать задачу вычисления расстояний и азимутов между точками.
Отображение (2.81) задается тремя функциями связи. Во-первых, связью между
рй и на сфере и широтой В на эллипсоиде и = и(В), во-вторых,
функцией связи между длинами s = s(a) и, в-третьих, функцией связи
X = X(L) между долготами.
В общем же случае можно рассмотреть отображение вида
V =Ufi); X = X(L); R = const. (4.51)
Предъявляя к отображению (4.51) определенные требования, можно
отыскать такие функции y(B)t \(L) и постоянную величину R, что они
будут наилучшим образом отвечать этим требованиям.
По своему существу функция ч> = <р(В) должна быть нечетной ^(-В) =
= -лр(В) и удовлетворять условию у( — ) = — . В таком случае разло-
жение функции <р(В) в ряд Фурье должно иметь вид
2 4
Ч> = у>(В) = В - qe sin2B ♦ q e sin4£ + ...
В дальнейшем будем считать, что преобразование задается функцией
вида
у = В - qe sin2B
и полностью характеризуется постоянной величиной q.
Преобразование X = \(L) будем считать тождественным
X = L,
а постоянную величину R будем отыскивать в виде
R = а(1 - iJ).
Рассмотрим теперь масштабы /л и л по меридиану и широте
—&-•••«-• *»
2
Подставляя в них выражения для R, Q, G, dip = (1 - 2qe cos2B)dB,
d\ = dL, мы получим
m = (l-^2)(l-2qe2cos2B)dB .
(l-e2)(!-Ain2B)"3/2dB
271

2 2 2
_ (l+flg -qe cos2B)(l-/ig )co*BdL
U-Ain2B)~l/2cosBrfL
При вычислении л было учтено, что
со&р = cosB ♦ sinB(B - у) ♦ ... - cosB ♦ sinB?* sin2B =
2 2
= cosB(l + qe - qe cos2B).
Если в выражениях (4.53) для тип сохранить только члены, порядок
2
малости которых не превышает е включительно, то получим
|
т = 1 * е2[0,25 - д * (0.75 - 2?)cos2B];
л = 1 * е2[-0,25 - м * ? * (0.25 - <7)cos2B]. (4.54)
Потребуем от искомого преобразования, чтобы оно было равнопроме-
жуточным по меридианам, т.е. чтобы т было постоянной величиной. Тогда
из (4.54) получим, что q = 0.375. При этом выражения (4.54) для
масштабов принимают вид
2
т = 1 * е (0,25 - д)= const; .. ссч
9 (4.55)
л = 1 * е1 (0.125 - д - 0,125cos2B).
Масштаб <7 - в произвольном направлении А выражается величиной
qA = /rW * R*cos2<pdk2 / VtfdB2 * (GcosB)2dL2 =
= [m2(QdB)2 * л2(Са»ВЛ)211/2[(0с/В)2 * (Gcosfttf,)2]"l/2 =
= (m2cos2>* * n2sin2A){/2t (4.56)
где
QdB .
cos A =
sinA =
[(?dB?+(GcosB)2dL2]{/2
GcosBdL
[Q*dB2+(GcosB)2dL2]l/2
2
Из (4.55) и (4.56) следует, что с точностью до малых порядка е
масштаб q - в рассматриваемом случае будет равен
272

q\ = (m2cos4 * Ain2V/2 * 1 ♦ e2[(0,25 - m)cos24 ♦
* (0,125 - м - 0,125cos2B)sin24] = 1 * *2[(0,125 - д) *
* 0Л25са>2Л - 0,125cos2Bsiiwi]. (4.^7)
Нетрудно убедиться в том, что функция 0,125 (cos Л - cos2£sin A)
для всевозможных значений А и В достигает своих экстремальных
значении ±0,125. Для того чтобы экстремальные искажения \q. - 1| в
(4.57) были наименьшими, значение м должно быть выбрано равным 0,125.
Итак] отображение, равнопромежуточных по меридианам и имеющее
наименьшие экстремальные искажения длин qл - 1 на всей поверхности,
характеризуется параметрами:
q = 0,375. д = 0,125, т = 1 ♦ 0,125е2. я = 1 - 0,125e2cos2B.
(4.58)
2 -3
При этом экстремальные искажения длин равны 0,125'е = 0,825'10 ,
а угловые искажения, как это доказывается в [27], не превосходят
bjcostp (угловых минут).
Принятым значениям параметров q = 0,375 и д = 0,125 соответствует
отображение вада
4>k = В - е qsin2B = В - 8,6'sin2B;
«ft = а(1 - »е2) = 6372900 м;
\ = Lft. (4.59)
индекс k - начальная буква от Коврайского.
На основании соотношений (4.52), (4.58) и (4.59) может быть
реализован следующий приближенный алгоритм счисления геодезических
координат В и L:
1 ni> m 1F/ 1 ,000825 w/
*k - -RfT ^В - T^T WN - -R-Th WN'
*kV = BV " *Vin2B(/0):
X* = (Rk+h)cowk nGcosBL = (Rk+hHowk WE =
1-O,000825cos2y>.
= 7F7iT\—Г-5- wr XA> = L(/n):
(K<+n)cosy* t k 0 0
B* = ^k + ^Фй^ь = ^ь * 8,6'sin2^,; L, = X,. (4.60)
273

4.5. ВСЕШИЮТНЫЙ АЛГОРИТМ СЧИСЛЕНИЯ,
ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ ПАРАМЕТРЫ ЮДРИГА-ГАМИЛЬТОНА
4.5.1. КОНЕЧНЫЕ ПОВОРОТЫ И ПАРАМЕТРЫ
РОДРИГА-ГАМИЛЬТОНА
В подразд. 4.3.2 мы рассмотрели всеширотный алгоритм счисления,
основанный на решении системы дифференциальных уравнении шуассона
(4.45) шестого порядка. Далее мы покажем, что минимальный \ порядок
системы, подлежащей решению во всеширотной задаче, равен /четырем.
Таким образом, порядок системы дифференциальных уравнений мфкет быть
снижен. Этого можно добиться за счет использования так
кинематических параметров Родрига-Гамильтона [1]. Они позвол5рот
получить систему дифференциальных уравнений четвертого порядка! которая
полностью обеспечивает нахождение текущих значений для геодезических
координат B(t)t L(t) и азимута A(t) платформы во всех точках
околоземного пространства.
Перейдем к определению параметров Родрига-Гамильтона. По своему
существу они связаны с теорией конечных поворотов твердого тела,
которую мы сейчас и рассмотрим. Пусть система координат %г£
получается из неподвижной системы XYZ (рис. 4.9)_путем конечного поворота
последней на угол <р вокруг некоторой оси #, направляющие косинусы
которой относительно системы XYZ соответственно равны /, т и л.
Найдем матрицу направляющих косинусов U [см. (4.33)] для этого случая,
т.е. выразим ее элементы и., в виде функций от у>, /, m и л. Следуя
[1], временно обозначим элементы и , и и и из первой строки мат-
рииы U буквами а, Ь и с. При таком обозначении из (4.33) будем иметь
* = аХ * bY * cZ. (4.61)
Найдем а, Ь и с, которые удовлетворяют
очевидному равенству
(4.62)
2,2 2-
а ♦ Ь * с = 1.
Рис. 4.9
Поставленная задача будет решена,
если найдем еще два уравнения, связывающие
а, Ь и с. Второе уравнение вытекает из
следующих рассуждений. Углы между осью &
и осями £ и X. tj и У, а также f и Z
являются попарно одинаковыми, так как они
при вращении твердого тела вокруг оси #
274

не изменяются. В такомслучае скалярное произведение векторов i> и {
будет\ равно # •£ = # X или
la\ mb + пс = /, (4.63)
Т?0 zzO -=0
где &\ i , tj , ? , X , Y , Z - единичные орты, расположенные на
осях 1>,1 $, ту, f, X, У и Z.
Третье уравнение для неизвестных а, Ь и с вытекает из следующих
соображении. Рассмотрим плоскость &К (см. рис. 4.9), в которой лежат
векторы j# и Х> и плоскость tf£, в которой лежат векторы д и $. Угол
между этими плоскостями будет равен у>. Этот угол может быть заменен
углом между векторами h и kt ортогональными плоскостям tM и #£
соответственно.
Согласно свойствам скалярного произведения имеем
hk = hka&p = Л Jfc„ * /rJL, * Л-*-. (4.64)
Векторы А и Ъ представляются в виде векторных произведений Л =
(4.65)
где X , Y , Z - единичные орты соответствующих осей. Из векторных
произведений полунаем
Ххй,
Л =
„о
* = i xfl:
Х° У° Z°
1 0 0
/ т п
„о _о
, * =
Х° Y° Z°
а Ь с
1 т п
hy = 0; hy = — /l; Л~ = /л;
k„ = Ьп - тс\ ky = - an + lc\ k- = am - lb.
(4.66)
Модули Л и k векторных произведений (4.65) одинаковы и равны
синусу тоже равных углов X = arccos/ между осями X и д и между осями
£ и #. Отсюда вытекает, что
/Л = sin2X = 1 - cos2X = 1 - Z2. (4.67)
Из соотношений (4.64), (4.66), (4.67) следует третье (недостающее)
уравнение
(1 - ?)<жр = - КтЬ * пс) * (л2 ♦ ш2)а. (4.68)
Учитывая равенство
mft ♦ пс = /(1 - а),
275

/
вытекающее из (4.63), а также элементарное равенство /
т * п = 1 - Г, /
из (4.68) получаем искомое выражение для величины а
а = f^l -cos*) ♦ cos*. M4.69)
Для определения величины Ь подставим в (4.62) а и с, вз|атые из
выражений (4.69) и (4.63). При этом мы получим квадратное уравнение
для неизвестной 6, имеющее вид
Ь - 2Ыгп(1 - со&р) + im (1 - costp) - л sin у = 0.
Это уравнение имеет два корня
Ь = йл(1 - cos^) * nsiity, b = tm(\ - cosy) - nsiap.
1 *
Если рассмотреть конкретные случаи вращений (например, когда / =
= m = 0, л = 1, ф = 90 ), то можно убедиться, что корень Ь должен
бьпъ отброшен. В таком случае получаем искомые значения для Ь и с
Ь = 1т(\ - со&р) * nsiity;
с = 1п(\ - cos^) - msin^.
Аналогичным образом могут быть найдены элементы второй и третьей
строк матрицы U (4.33). Для рассматриваемого случая конечного
вращения матрица U принимает вид
1/ =
2
(l-cos^>)/ +cos^ : (l-£OSip)ml+nsir\ip '. (l-cos^)n/-/nsiny>
(l-cos^)/m-nsiity : (l-cos(p)m +co&p ! (l-cosv>)mn+f siny>
(l-cos^)/n+msitty ! (l-€os^)mn-/siity '. (1-со5<р)л +cos<p
(4.70)
Если, наоборот, матрица U является известной, то по ее элементам,
как это следует из (4.70), могут бьпъ определены параметры у>, /, т и
п конечного поворота. Они оказываются, как нетрудно убедиться,
равными
22
Повороты с параметрами [<£, /, /П, п] и [-<£, ~А ~01t ~~л]. когда
-тг < -^ < 0, совпадают друг с другом.
276

U 41 U 41 U -U
, 23 32 31 13 12 21 tAnt.
I = -г-: ; т - -— ; л - -— . (4.71)
2sin^ 2siny> 2sin^
Соотношения (4.71) позволяют трактовать любое ортогональное
преобразование координат в трехмерном пространстве как конечный поворот с
параметрами (4.71).
Каждому конечному повороту с параметрами у, /, /л, л можно
поставить в соответствие четыре числа
'о = °* f~ : р\ = Ш а" :
р2 = msin J- ; p3 = /»sin *- , (4.72)
связанные друг с другом соотношением
V V V >з - L (473)
Эти числа и называются параметрами Родрига-Гамильтона. В [1]
доказывается, что их можно трактовать как коэффициенты кватерниона
р-гиперкомплексного числа -
с одной действительной и тремя мнимыми единицами /, /\ k.
Произведения мнимых единиц при этом подчиняются правилам
t = / = к = - 1; jk = i; kj = - i; fa* = /;
ik = - /; i/ = Jfe, /i = - Jfe. (4.74)
Два конечных поворота, проводимых последовательно, можно
трактовать как новый конечный поворот. При этом кватернион р результирую-
* 1 2
щего поворота будет равен произведению кватернионов р и р первого и
второго соответственно
1 2
Р = Р Р •
Этот факт доказывается в [1].
Рассмотрим теперь выражения для параметров р , р , р и р
и ■ х о
Родрига-Тамильтона через элементы матрицы направляющих косинусов V.
Из (4.71) и (4.72) имеем
Р1 = СОв* £" = Г (С°^ + ° " Г ("|| + "22 + «ЗЗ* + Г = (475)
277

= *£Г>0;
"о = ¥ро
Vl = Г (U23 - "32): Vl = Г ("31 " "|3):
V3 4 * 12 2Г
(4.75)
Далее нам понадобится представление матрицы U (4.70), выраженное
через параметры р, р, р и р . Из очевидных равенств
U 1 а «5
(1 ■ - cos*)/2 = 2sin2 J- Г* = 2р*; cos* = 2cos2 J- - 1 = 2p2 - 1
получаем
и = 2р2 ♦ 2p2 - 1.
11 ^o ^l
Аналогичным образом могут быть вычислены и остальные элементы и..
матрицу U (4.70). При этом матрица U получает представление
2p\*2^-i : 2(,Л ♦ рЛ) : 2<,Л - р0р2)
и =
(4.76)
4.5.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ РОДРИГА-ГАМИЛЬТОНА
Подвижная система $tj? вращается с угловой скоростью и относительно
неподвижной системы XYZ. Требуется найти дифференциальные уравнения
для pJi), P.(t)> pJt) и pji), аналогичные уравнениям Пуассона
U 1 JL О
(4.37) или (4.45) для элементов u..(t) переменной матрицы
направляющих косинусов U(t).
Приступим к нахождению уравнения для р . Из (4.75) имеем
2d р = — (и + и * и ).
ЧТО 4 Ml 22 33;
Выражая и , а и а с помощью уравнений Пуассона (4.37), полу-
1 1 JLJL ££
чим соотношения
278

11 Г21 tj 31' 22 Г12 Г32'
и = cj и - им : (4.77)
33 ту 13 Г23* '
8о о = - о)Ли -и ) - и (и -и ) - иЛи -и ).
Vo Г 23 32' ту 31 13' Г 12 2Г
Из (4.71) и (4.72) следуют равенства
и -и = 4cos ^- sin ^- / = 4р р :
23 32 2 2 W
31 13 ЧГ2 12 21 'ЧГЗ
Подставляя их в (4.77), получим искомое уравнение для р
Аналогичным образом, дифференцируя, остальные три соотношения в
(4.75), мы получим выражения для р , р и р . В целом искомая система
дифференциальных уравнений для параметров Родрига-Гамильтона будет
иметь вид
Ч = % " <Yi Г Vt " W VV = 'оо:
2Р, = су0 ♦ 0Р{ * ufr - суз; Р|«0) - р10;
2Р2 = "Л " "Vl + % + <W W = >20:
2рз - «f, ♦ су, - оу>2 * 0рз; p3tf0) - р30.
Система уравнений (4.78) имеет первый интеграл в виде
2 2 2 2-
который вытекает из (4.73). Он может быть использован для контроля
правильности численного решения у системы (4.78). Кроме того, он
может быть использован и для повышения точности численного
интегрирования дифференциальных уравнений (4.78).
Точность здесь может быть повышена путем нормирования кватерниона
К Pv Р? рз):
279
(4.78)

p; = —
I
pi
и0 ¥\ F2 и3
: — n i о q
, l - U, 1. Z, 3.
Для автоматического осуществления нормировки в правую часть
первого уравнения системы (4.78) нужно добавить величину
-г ,222 2,-1/2,
ut i 2 2 2 2,-1/2,
e - *[1 - <p0 * P1 * P2 * p3) ]•
Ясно, что в остальные уравнения нужно добавить -ер . -ер и -ер
соответственно. При введении указанных членов в правые части выполне-
2 2 2 2
ние равенства р ♦ р ♦ р ♦ р = 1 при численном интегрировании
U 1 <£ О
поддерживается автоматически.
В силу сказанного уравнения (4.78) рекомендуется записывать в виде
1
р = (р0, рх. р2> р3)>
(4.79)
Г =
-е -иу -и
и,
CJ
CJ
со
г
-<*)%.
О)
f
-е
-со
г
-О)
-е
ut 1 2 2 2 2ч-1/2,
где е = k[l - (ро + Pj + Р2 + Р3) 1-
Значение коэффициента k подбирается на основании численных
экспериментов.
4.5.3. СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ РОДРИГА-ГАМИЛЬТОНА
С НАВИГАЦИОННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Для использования параметров Родрига-Гамильтона в решении
навигационных задач необходимо связать неподвижный XYZ и подвижный Ы
трехгранники, введенные ранее как абстрактные объекты для
теоретических построений, с конкретными трехгранниками, употребляемыми в
навигации.
280

За неподвижную (базовую) систему координат выберем прямоугольную
систему координат XYZ (см. рис. 4.7), а за подвижную - трехгранник
%г$, являющийся опорным для инерциального гироблока.
Указанные системы координат были разобраны ранее в подразд. 4.3.2.
Они связаны матрицей I/, которая задается соотношением (4.39).
Сравнивая элементы и , и , и , и , и в выражениях (4.39) и
\о ZS «5«5 о* о!
(4.76), получим
-cosBsin>4 = 2(р1рз - р0Р2);
cosBcoSi4 = 2(/>2/>3 + р0р{);
sinB = 2p2Q + 2pl-l; (4.80)
sinZ, cosB = 2(р2р3 - pQpx);
cosLcosB = 2(ptp3 + pQp2).
Из (4.80) следуют формулы
2 2
В = arctg
«г, ,2 , v2,l/2
arctg
L - *** pp\PP ^ ** <4-81>
*Г 3 ЧГ 2
Формулы (4.81) являются аналогом формул (4.40), они связывают
навигационные параметры полета В, L, А с параметрами Родрига-Гамиль-
ТОНа V V "2- "з-
281

Решение обратной задачи, т.е. вычисление р_, р , р и р по
известным значениям В, L, Л может быть осуществлено с помощью
соотношений
L В А . L . В . А
РЛ = со5 — cos — cos — ♦ sin — sin — sin — ;
Ч) 2 2 2 2 2 2
(4.82)
L В . A . L . В А
Pt = - cos - cos — sin-* sin -sin-cos-;
. В L A . L В . А
A=-sin — cos — cos — -sin — cos — sin — ;
r2 2 2 2 2 2 2
. L В А . В L . A
pn = sin — cos — cos — + sin — cos — sin — ,
^3 2 2 2 2 2 2
которые вытекают из перемножения кватернионов / = cos — + ftsin — ,
В .. В А .. А п^^
q = cos — - jstn — и г = cos — - isin — так, что р = (lOq)Or.
Кватернион / соответствует конечному повороту на угол L (см. рис.
4.7), кватернион q - на угол В и кватернион г-на угол А. Вместе три
указанных поворота дают переход от системы XYZ к системе $т£ (см.
рис. 4.7), если считать их центры О и М совмещенными в одной точке.
4.5.4. ВСЕШИРОТНЫЯ АЛГОРИТМ СЧИСЛЕНИЯ
ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ,
ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ ПАРАМЕТРЫ РОДРИГА-ГАМИЛЬТОНА
На основании изложенной выше теории для параметров Родрига-
Гамильтона и их связей с навигационными параметрами полета, а также
на основании аналогий с теорией всеширотного алгоритма, изложенного в
подразд. 4.3.2, получаем следующий алгоритм для счисления
геодезических координат ВЦ), Щ) по входным сигналам Wt и W .
Блок № 1. Вычисление относительных угловых скоростей опорного
трехгранника:
- вычисляются по формулам (4.41). (4.83)
282

Блок № 2. Решение дифференциальных уравнений для параметров
Родрига-Тамильтона (4.79) и вычисление матрицы U (4.76):
fa
-€
w{
GO
п
COv
■***
-€
"П
GO
-GO -CO,.
GO,. -CO
S V
-€ CO*.
-COc. -€
Ли
(4.84)
Начальные условия PQU0)> Р^> ^V' *УУ для *4'84*
подсчитываются с помощью формул (4.82) по известным значениям В , L
Матрица f/ (необходимые ее элементы) вычисляется по известным р,
р , р , р на основании соотношений (4.76).
Блок Л* д. Вычисление абсолютных угловых скоростей опорного
трехгранника:
со^ = а>£ - ncasBsifb4 = со^ * 2n(pJp3 ~ pQp2);
со = со + ncosBcoSi4 = со + 2П(р2Р3 ♦ р^);
о^ = nsinB = Sl(2p2Q * 2р* - 1).
(4.85)
Блок № 4. Вычисление текущих геодезических координат B(t) и Щ)
самолета и угла A(t) азимута платформы по формулам (4.81).
Заметим, что выведенный всеширотный алгоритм (4.83)... (4.85)
счисления геодезических координат, использующий параметры Родрига-
Гамильтона. требует интегрирования системы дифференциальных уравнений
четвертого порядка. Если учесть, что алгоритм счисления геодезических
координат (4.26). вырождающийся на полюсах, требует интегрирования
системы дифференциальных уравнений третьего порядка, а алгоритм
Пуассона (4.43)...(4.45) - шестого, то можно прийти к выводу о
вычислительной экономичности полученного алгоритма.
283

4.6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА
КАК МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
4.6.1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КООРДИНАТНОГО
ТРЕХГРАННИКА
Самолет во многих задачах навигации можно представлять как
материальную точку, которая движется с известной земной скоростью
4
Рис. 4.10 Рис. 4.11
W(t) и с известным путевым углом (азимутом) D(t) (рис. 4.10) на
заданной высоте h(t).
Функции времени W(t), D(t) и h{t) удобно при этом задавать как
решения системы дифференциальных уравнений вида
W(t) - ut: W(tQ) = WQ; D(t) = u2(t); D(tQ) = DQ;
hit) = «3; h(tQ) = Л0. (4.86)
Если функции и At), и At) и и At) положить равными нулю, то мы
получим полет с постоянной скоростью W, постоянным путевым углом D и
на постоянной высоте Л. Если же их задавать, например, в виде
кусочно-постоянных функций времени (рис. 4.11), то можно получать
достаточно сложные движения с разворотами, разгонами, торможениями и
маневрами по высоте.
Учитывая, что W^(t) = WcosD и Wp = WsinD по формулам (4.26) при
известных начальных условиях В, L , Л можно легко определить
искомую траекторию B(t), L(t), hit).
284

Однако вычисление траектории по
формулам (4.86) и (4.26). будучи
очень простым по форме, имеет
существенные недостатки. Во-первых, в
районе полюсов, когда cosB -* 0 и
D -* оо, такие вычисления невозможны.
Во-вторых, наряду с текущими
координатами Bit), L(t), h(t) самолета
(рис. 4.12) во многих модельных
задачах необходимо вычислять также
проекции WM). W_(/), WM) земной
WM), WJt), WM)
W(t) или проекции
Vy(t),
V «).
V
Vy(t)
Рнс.
абсолютной
4.12
V(t) скорости на
орты координатного трехгранника £т£, моделирующего идеальную бортовую
курсовертикаль. Существуют задачи, в которых также необходимо вычис-
wy{t),
Vth
wAt) вектора абсолютного ускорения w(t)
ление проекции
точки М.
По этой причине под моделированием движения самолета как
материальной точки мы будем понимать здесь более широкую задачу
моделирования всеширотного движения координатного трехгранника А!** (см. рис.
4.12). При таком подходе законы движения центра М трехгранника будут
описывать движение самолета как материальной точки, а законы вращения
трехгранника описывать движение курсовертикали заданного типа (как
правило, либо свободной в азимуте, либо работающей в режиме ГПК).
Кроме того, в процессе моделирования движения трехгранника &£
поставим перед собой задачу вычисления проекций скоростей (Wy, W ,
Wy), (Vy,
гранника.
Теперь мы можем более подробно сформулировать задачу
моделирования. На выходе искомой модели должны быть следующие величины:
(В, L, Л; дг, у, г) - текущие геодезические и прямоугольные
координаты самолета; (Ф., Л., R) - ортодромические координаты самолета
V , VJ и абсолютных ускорений (w„ w , wj центра М трех-
7 '7
относительно /-й ортодромической системы
парой фиксированных точек М. ,(В, ., L
координат, которая задается
, , А ) и М(В L Л),
где
7-Г-7-Г
расположенных на ее экваторе, в задачах, где моделируется движение
самолета по частноортодромическому маршруту или близкому к нему;
ортодромические координаты вычисляются по формулам (2.29), причем /-я
285

система ортодромических координат заменяется на (/ ♦ 1)-ю сразу после
прохождения /-го участка маршрута; А - угол, определяющий (см.
рис. 4.12) положение системы Ь$ в горизонтальной плоскости; (а^, о> ,
cjJ и (со с, со , о> у) - относительные и абсолютные угловые скорости
S ак aq oS
трехгранника Ь£\
(Wy, W , WJ и (Vy, V , VJ - проекции земной и абсолютной
скоростей точки М; («;fc, и; , wy) - проекции абсолютного ускорения w точки
Af; a,. = Wy - gk, a = w - g * а> = wy - gy - проекции кажущегося
ускорения.
Входными сигналами в модель примем пока величины и и и (4.86), а
I «5
относительно сигнала и дадим некоторые пояснения. Ранее мы его
забраковали на том основании, что в приполярных районах он становится
бесконечно большим: и = D -* оо. Заметим, что указанное стремление к
бесконечности объясняется не маневрированием самолета, а быстрым
вращением геодезического репера относительно вертикальной оси,
которое имеет место в приполярных районах.
По этой причине все азимуты и путевые углы желательно определять
при моделировании относительно трехгранника £т£, угловые скорости
которого ни в одной точке Земли не приближаются к бесконечности, хотя
при этом и теряются наглядные представления, которые имеются у этих
углов, когда их отсчитывают от местного меридиана. На рис. 4.10 угол
D представляет собой гироскопический путевой угол (гироскопический в
г
том смысле, что отсчитывается от оси ту, которую мы условно считаем
курсовой чертой гироплатформы).
Из сказанного вытекает, что "управлять" нужно гироскопическим
путевым углом D самолета, причем
г
D = ил. (4.87)
г 2
При этом возникает естественный вопрос: как выбирать функцию и ,
чтобы самолет (точка Af) проследовал по заранее заданному маршруту. На
этот вопрос мы ответим далее, а сейчас дадим полный перечень формул
для алгоритма, имитирующего полет самолета как движение материальной
точки:
a) W(t) = ц- bit) = ao; hit) = « : (4.88)
1 г 2 3
286

6) Wt = WsinD ; W = WcosD ; Wy = Л = U-,
< г TJ г $ 3
,. /t 2 2 v-1/2 .
* = О - e u33) ; S =
2.3
ae k
[о|3(!-<?2)+Л](а|+Л)
(4.89)
■OS' -««*«>"'--r
Ы135(^13 + V-"-) + ^(<* + Л) ' "* = 0:
w =
в) П = -
И»,) ■ 1/,,
0 -cjv cj
cj.. 0 Ыу
~cj со,. О
, l/(/) = - W(t) - уравнение Пуассона,
(4.90)
A = Arctg (- «13/«23)[0, 2тг]; В = arctg ("33/^3 ♦ ^3 ):
L = Arctg u32/u3{ Нг, я];
г) вычисление прямоугольных координат (х, у, г) самолета по
формулам (2.9):
х = (а£ ♦ Л)а31; у = (of ♦ Л)^: z = [а£(1 - в ) ♦ h]u^t
д) вычисление ортодромических координат (Ф., Л., R) относительной
ий частной ортодромии по формулам (2.29);
е) w с = со,. - ttcosfisinA = о)у ♦ fttf.„;
a£ £ {13
cj = cj + 12cosBcoSi4 = cj + &ил^\
(4.91)
со*. = ftsinB = Ш (режим ГПК) или 0 (свободный в азимуте режим);
ж) Vy = W> * GVcosBcosA = W* + (с£ ♦ *)Ои23;
V = IT ♦ GficosBsiiL4 = V, - (of * й)Пи. •
V V К 13
(4.92)
287

з) w = V = cj xV;
a
£ 1 г 2 г
2v3
W = atcosD - a WsinD ; £ = eXuui (4.93)
17 1 г 2 г 33 33
^ = W^ * (<* + «3)Ш23 * (<* ♦ Л)12«23 * %Vf - Ы<Д;
", = *, ~ (°* + И3)Ш13 " {* + Л)ПЫ13 " "<Л + <W
£ 3 af 17 arj {'
и) a^ = w^ - ^ = a>? - g^jSinA;
(4.94)
a =
V
5 w -
4
■ v
"V
*r
= ay
V
* grfx&A
Л'
где #д, и g подсчитываются по формулам (2.116) либо (2.118).
4.6.2. УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЕМ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Решим задачу вычисления (синтеза) управления и . заставляющего
двигаться материальную точку А! (самолет) по заранее заданной линии
пути (или достаточно близко от нее).
Прежде чем обратиться к непосредственному решению данной задачи,
рассмотрим возможные траектории для движения из одного пункта в
другой по поверхности эллипсоида, которые характеризуются какими-то
особенностями, такими как постоянство некоторых углов, минимальность
расстояний и т.д.
Пусть координатный трехгранник Ы моделирует работу гироплатформы
в режиме ГПК, когда со*. = 0 и А = G igBWp. По какой линии пути будет
двигаться материальная точка, если путевой угол D при этом движении
г
все время остается постоянным?
Из рис. 4.10 и соотношений (4.26) следует, что при таком движении
имеют место равенства
В = WoosDQ'1; I = ITsinD(GcosB)"1; А = WsinDlgBG'1, (4.95)
где D = А ♦ D ; D = А.
г
288

Сравнивая (4.95) с уравнениями (2.62) геодезической линии на
эллипсоиде, когда ds = Wdt, получаем, что в этом случае движение
будет происходить по геодезической линии, исходящей из точки (В, L )
в направлении D= А ♦ D .
Пусть из точки М(В, L Л; х% у, г) необходимо переместиться в
заданную точку А! (В, L, А; х, у, г) (рис. 4.12). Рассмотрим
возможные траектории, которые ведут из первой точки во вторую. При
этом мы сосредоточим внимание на путевом угле этих траекторий, считая
что должное управление и по высоте А осуществляется автоматически.
«5
Во-первых, рассмотрим кратчайшую линию, соединяющую эти две
точки. Возможны два случая: когда точки видны одна из другой и когда
не видны. В обоих случаях (см. подразд. 2.2.1, 2.2.5 и 2.2.6) можно
вычислить азимут А второй точки относительно первой. При этом,
двигаясь с путевым углом D (см. рис. 4.10), равным заданному D =
г г.з
= А - Л попадаем по кратчайшему пути из первой точки во вторую.
Заметим, что на участках, где линия пути прилегает к земному
эллипсоиду (или эквидистантна ему), движение, как мы установили, будет
осуществляться со строго постоянным путевым углом D. На всех других
участках кратчайшей траектории угол D тоже можно считать практически
постоянным с высокой степенью точности, т.е. считать, что D =
- «,, . 0. Dtf0> = Л <у - MtQ).
Осуществлять такое движение как на практике, так и при
моделировании бывает трудно из-за сложности вычисления азимута A (t )
геодезической линии.
Во-вторых, в качестве приемлемой траектории, ведущей из первой
точки во вторую, рассмотрим ортодромию, соединяющую эти две точки.
Для движения по такой траектории следует через две указанные точки М
и А! и центр Земли (см. рис. 4.12) провести плоскость ортодромичес-
кого экватора ОММ , построить ортодромическую систему координат (см.
подразд. 2.1.5) и двигаться таким образом, чтобы ортодромическая
широта Ф все время равнялась нулю. В этом случае мы попадаем из точки
Af в точку М по ортодромии. Мы уже выяснили, что длина ортодромии во
Ю-993 289

многих задачах движения практически не отличается от длины
геодезической (кратчайшей) линии, а сами эти линии проходят очень близко
друг от друга.
Из точки М в точку М можно также попасть по некоторой кривой,
которая называется нормальным сечением эллипсоида и очень близко
располагается рядом с геодезической линией и ортодромией, причем на
расстояниях, не превосходящих 2000 км, ее часто отождествляют с
геодезической линией. Получается она пересечением плоскости NMM с
поверхностью эллипсоида (см. рис. 4.12).
Вычислим заданный гироскопический путевой угол D (или, что то
г.з
же самое, азимут этой линии) в текущей точке М относительно системы
&£, как угол между горизонтальной проекцией касательной к линии ММ
з
и осью А! (см. рис. 4.12). Спроектируем для этого отрезок прямой ММ
на оси $, tj, f и получим
3
к
1 3 J
= и
X -X
3
ф\
z -z
L з )
где U - матрица направляющих косинусов (см. 4.33, 4.39, 4.90),
связывающая систему координат XYZ с системой координат Ь$\ ($ , tj ,
3 3
f ) - проекция отрезка ММ на оси Ь$\ (х , у , г ) - прямоугольные
координаты точки М .
Нетрудно понять, что искомый азимут можно вычислить по формуле
D = Arctg —— [0, 2тг]. (4.97)
г.з 17
з
Если двигаться таким образом, чтобы гироскопический путевой угол
D все время был равен углу D , вычисленному по формуле (4.97), то
мы будем двигаться по линии нормального сечения, т.е. в большинстве
случаев, когда расстояние не превышает 2000 км, практически по
геодезической линии.
Перейдем теперь к изучению другого случая движения, когда в
начальной точке положения самолета задан еще и начальный вектор его
скорости. Действительно, все рассуждения, которые мы провели выше,
290

исходили из того, что самолет с самого начала движется по заданной
линии, т.е. путевой угол самолета в начальный момент времени равен
азимуту этой линии.
Теперь же рассмотрим различные движения самолета из точки М в
точку А! (см. рис. 4.12. 4.13) при условии, что в начальный момеет
времени вектор W путевой скорости не совпадает с направлением ММ .
Возможны случаи, когда над заданной точкой А! разрешается пролетать с
путевым углом, отличающимся от азимута линии ММ в точке М (кривая
1 на рис. 4.13). Возможны также и случаи, когда движение к точке А!
(кривая 2 на рис. 4.13) должно обязательно быть таким, чтобы конечная
его часть совпадала с ортодромией А!А!.
Имеется множество кривых, отвечающих как первому, так и второму
требованию, и можно говорить об оптимальности каждой из них в рамках
какого-либо критерия. Учитывая, что вопросы управления выходят за
рамки данной книги, здесь рассмотрим самые простые решения для
получения траекторий 1 и 2 видов (см. рис. 4.13). После сделанных
замечаний перейдем к решению поставленной задачи о выборе управления
При движении из точки А! в точку М по кривой вида 1 (см.
рис. 4.13) можно предложить следующее простое управление:
Ь = а' = -£г- = - —?г— u [ssinO,5/D - D ) ♦ 1 - s2]. (4.98)
1 » г г.з
W
W
где л - боковая перегрузка; л = tg7 - максимально допустимая бо-
' /Л /Л
ковая перегрузка, равная
генсу максимального крена;
т
тан-
s = sign[cos0.5(D
D )].
г.з
(4.99)
Рис. 4.13
Рис. 4.14
291

Зависимость и от рассогласования (D - D ) при д = 1 приведена
в виде графика на рис. 4.14. Управление (4.98) имеет на первый взгляд
достаточно искусственный вид и поэтому нуждается в пояснении.
Уравнение D W = gtgy = gn описывает правильный вираж самолета.
г
Казалось бы боковую перегрузку л можно было бы сформировать по более
простому, чем в (4.98), например, линейному закону п = k(D - D ).
г г.з
Однако в этом случае при больших рассогласованиях (D - D )
г г.з
получились бы излишне большие перефузки. Для их ограничения вместо
линейной функции в диапазоне ±180 введена функция синуса половинного
угла. Кроме того, возможны и значения углов рассогласования,
лежащие вне пределов ±180 , в диапазонах [-360 , -180 ] и [180 , 360 ].
Так, например, если D = 20 , a D = 359 , то рассогласование
г.з г
о
D - D = 339 . При этом ясно, что значение управления должно быть
г г.з
здесь таким же, каково оно при рассогласовании, равном -21 .
Аналогично можно рассмотреть случай, когда D = 359 , a D = 20 и (D -
"- D ) = -339 . Необходимые "переключения" в управлении и' (4.98)
осуществляет функция s (4.99). При этом развороты самолета в нужную
сторону всегда происходят с доворотами, не превосходящими 180 .
Поясним теперь величину д , входящую в формулу (4.98). Пусть
самолет приближается к точке М и вектор его путевой скорости направ-
3
лен в эту точку с небольшим отклонением. В этом случае значение (D -
- D ) начинает очень быстро расти, сигнал и' при этом становится
неоправданно большим, а самолет может начать резко маневрировать по
курсу. Для того чтобы избежать это нежелательное явление, вводится
величина
П, если |Л - Л | > с,
Mj = ||Л - \\/с, если |Л - Л | < с, (4.100)
где Л, Л - ортодромические долготы самолета и точки М (для системы,
построенной на точках М и М ); [Л - Л | - величина, близкая к
угловому геоцентрическому расстоянию между самолетом и точкой М ; с -
з
заранее заданная величина.
292

Если в (4.100) с положить равной нулю, то и будет тождественно
равна единице и влияние этого сомножителя в (4.98) исчезнет. Значение
с можно подобрать при численном моделировании.
При близком расположении точек М и М и при больших начальных
рассогласованиях а = D - D (см. рис. 4.12) управление вида (4.98)
может и не обеспечить попадание самолета в точку М . Действительно,
разворот при управлении (4.98) происходит с переменным радиусом кри-
2 -1
визны г = W (gn) , где л - боковая перегрузка. Средний радиус
кривизны г при развороте на угол а можно подсчитать по приближенной
Ф0РМУЛС ,2, v-1 ~,2, v-1
Г = W'(& ) * * 41Г<Л »)
ср ср ПГ
так как л на основании (4.98) приблизительно равно л а/4. Отсюда
ср т
следует, что расстояние s между точками Ми М следует выбирать при
моделировании больше, чем
При необходимости после разворота далее двигаться по ортодромии
(кривая 2 на рис. 4.13) к управлению и' (4.98) нужно аддитивно
добавить управление if' равное
U2 = M2 W *2*Signfsln(A3 " A)J'
с
где
моЧл _. l; w. (4.10D
1. если |Ф| < d, d > 0
А2 " 1 0, если |Ф| > d\
d - наперед заданная при моделировании величина; k - коэффициент
усиления, о выборе которого расскажем далее.
Величина /х вводится для того, чтобы "притяжение** самолета к
заданной ортодромии (см. рис. 4.13, кривая 2) начиналось после
завершения основной части разворота, когда самолет приблизится к
ортодромии на угловое расстояние, меньшее d.
Функция sign в (4.101) вводится для того, чтобы самолет
разворачивался в сторону ортодромии при появлении отклонения Ф (рис. 4.15).
Поясним это на двух примерах. Если самолет летит в заданную точку
293

М (Л > Л), то при положительном от-
3 3
клонении Ф > 0 значение tf' должно быть
тоже положительным (sign > 0), так как
разворот в рассматриваемом случае
должен происходить в сторону ортодромии
по часовой стрелке (если смотреть
сверху по местной вертикали ОМ). Если
же самолет летит в противоположную
сторону (см. рис. 4.15), т.е. в точку
Рнс. 4.15 М' = (Л < Л), то функция if должна
быть отрицательной (sign < 0), так как разворот при Ф > 0 будет
происходить против часовой стрелки.
Поясним теперь, зачем под знаком sign в (4.101) стоит еще и
функция синуса. Если значение (Л - Л) лежит в диапазоне [480 , 180 ],
то функция sin ничего не добавляет в формуле (4.101). Возможны,
однако, случаи, когда значение (Л - Л) лежит в диапазонах [-360 , -180 ]
о о 3 *
и [180 , 360 ]..Они возникают при полетах в районе точки а' (см. рис.
4.15), противоположной точке а восходящего узла ортодромии. Например,
при Л = -170° и Л = 170° имеем Л - Л = 340 , а при Л = 170° и
Л = 470° имеем Л - Л = 340°.
3
Читатель может убедиться самостоятельно, что функция
sign [sin(A - Л)] обеспечивает необходимые переключения, заставля-
3
ющие самолет во всех случаях производить разворот в сторону
ортодромии, если он находится в стороне от нее.
4.6.3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости движения самолета
(материальной точки М') по траектории вида 2 (см. рис. 4.13) при
управлении (4.98) и (4.101). Ведь в случае неустойчивого движения
может оказаться, что точка М' начнет либо колебаться около
ортодромии, либо с течением времени удаляться от нее. Здесь же рассмотрим и
вопрос о выборе коэффициента усиления k в (4.101).
Ранее мы установили, что ось Oq (ось курсового гироскопа в режиме
ГПК) составляет с геодезической линией постоянный угол. Следователь-
294

но. с ортодромической линией (см. рис. 4.12 и 4.16). весьма близкой к
геодезической, она будет составлять практически тот же угол. По этой
причине при исследовании устойчивости движения будем считать, что ось
М параллельна линии ММ (см. рис. 4.13). В этом случае из рис. 4.16
в предположении, что W = const, а углы D и D являются малыми
величинами, вытекают следующие соотношения:
z = /М> - боковое отклонение; / = /?(Л - Л);
WsinD
-WD; D = - z/W; D = arctg f- * f-
Г Г Г.З 11
(4.102)
z = - WD = - Wua = - W(< * <C).
г 2 2 2
Для начального участка полета по ортодромии, когда /х = 1, / > КС
и |ф| < df уравнение (4.102) приобретает с учетом управлений (4.98) и
(4.101) следующий вид:
&*
т
г ♦ g(
т
)г = 0.
(4.103)
2W * 5Х 2/ R
А для завершающего участка ортодромии, когда д = (Л - Л)/С
,-1
= KRC) и |ф| < d, уравнение (4.102) записывается в форме
gn I
2RCW
* * g\
т
2RC
0.
(4.104)
Дифференциальные уравнения (4.103) и (4.104) являются
нестационарными, так как расстояние / (см. рис. 4.16) уменьшается по линейному
закону со скоростью -Wco&D * -W. Ясно, что в обоих случаях движение
является устойчивым, так как оба уравнения описьшают устойчивые
колебания.
А
j
в-
Cfc
j 1
М
'«
п
/ = /?/л,-л)
-- м3
1 *
Рис. 4.16
Рис. 4.17
295

Обратимся теперь к выбору постоянных величин 4, / = RC и л ,
входящих в (4.103) и (4.104). Положим
*' 2
2 №
* =—f- ; / =-т^— • (4.105)
2 ^2 /п *2'
Тогда уравнения (4.103) и (4.104) при / = / приобретают
одинаковый вид
gn
z + -^-- * ♦ -*Т~°* = °: <4Л06>
а = -|^ + ^-. (4.107)
Постоянная времени Г и коэффициент затухания £ колебательного
звена (4.106) равны
Т = — ; * = — . (4.108)
)/g7 *£
Из последнего соотношения следует а = л ij(16£) . Выберем $ = 0,5,
л =1, тогда получим а = 2,5 м/с . Полагая в (4.107) слагаемые
Л!.
равными, будем иметь
К К*
2 2 лг _ а_
R "2 " 2 '
6 2 2 2
Откуда получаем Л' = 8' 10 м /с , It = а = 2,5 м/с .
Постоянная времени Г и расстояние / при W = 300 м/с
соответственно равны Г = 60 с, / = 36 км, а при W = 700 м/с - Г = 140 с,
/ = 200 км.
m
Итак, мы рассмотрели вопрос о построении управления и при
движении самолета из одной точки М в другую М (см. рис. 4.13).
Рассмотрим теперь задачу построения управления и для маршрута,
состоящего из отдельных частноортодромических отрезков. Пример такого
маршрута приведен на рис. 4.17. Здесь самолет должен плавно перейти с
первой ортодромии на вторую, затем, пройдя над точкой 2, устремиться
296

(не обязательно по ортодромии) к точке 3 и. не дойдя до нее. плавно
вписаться в четвертую ортодромию. Далее он должен пройти над точкой 4
и прибыть в точку 5 по частной ортодромии.
При полете из точки О в точку а (см. рис. 4.17) управление и
1 JL
строится на основании соотношений (4.98). (4.101) и (4.105). причем в
качестве заданной точки М выступает точка 1. Когда самолет достигнет
траверза точки а и пройдет его. то будет выполняться неравенство
AAjfcignlsintAj - Л0)] < ЛУР = d{Q = г tg0.5|a1Q| =
= 4^Vlaiol)Itg0'5laiol' (4Л09)
где
Л - Л. если |Л - Л| < я.
дл1 =
Л - Л - 2я. если Л - Л > я,
Л - Л * 2я\ если Л - Л < -я*.
В момент выполнения неравенства (4.109) нужно в формулы для
управления (4.98). (4.101) и (4.105) вместо точки М поставить точку
2 (рис. 4.17).
Прохождение точки 2 будет отмечено выполнением неравенства
AA2fcign[sin(A - Л{)] < 0. (4.110)
После выполнения этого неравенства в формулы управления нужно
вместо М поставить точку 3 и двигаться с управлением вида и = и*.
Построение управления и для последующих отрезков частноортодроми-
ческого маршрута проводится аналогично изложенному.
Сигналом перехода к следующей Л!. точке маршрута в качестве
заданной точки М в формулах (4.98). (4.101) и (4.109) является
выполнение неравенства
AAJ&gn[sin(A. - Лч>] < 0 или rf.+ 1 . (4.111)
Ноль в правой части (4.111) берется для тех случаев, когда самолет
должен пройти над /-й точкой, а rf. . - линейное упреждение при
переходе с /-й на (/ + 1)-ю ортодромию берется для случаев плавного
перехода.
297

/ ^tr-^^
о1*~~~т
h W
\W/m,/i Л
[/К! ^?|ч^/г
700
150
100
50
Azy
*>-
—
100 JOO 500 700 900 s, км
_j i i i i i
15 150
1050 s, км
Рис. 4.18
5,8 16,9 28,0 39,1 50,21,мин
Рис. 4.19
Пример. Исследование точности при счислении геодезических
координат методом Коврайского иа основе моделирования движения самолета
как материальной точки.
С помощью соотношений (4.88)... (4.94). (4.98) и (4.101)
имитировалось движение самолета по маршруту (S * 1052 км):
0) Рига (BQ « 57°40'; LQ « 24°05');
1) Таллинн (В - 59°20'; L - 24°45');
2) Ленинград (В - 59°55'; L « 30°20');
Z Z
3) Псков (В„ - 57°45'; L * 28°20');
3 3
4) Рига (ВА
<Vl4
V'
представленному на рис. 4.18. На этом же рисунке представлены и
законы изменения высоты h(S) и скорости Wis) на данном маршруте.
Моделирование велось с шагом h = 10 с. На основании соотношений
WN « - WfinA * W cosA; W£ = WfasA * W sinA
вычислялись точные
w
N
из (4.89. 4.90) значениям W„. W ,
и Wp. Указанные значения скоростей принимались входными
величинами для алгоритма (4.60). На рис. 4.19 представлена кривая
погрешностей Д (/) алгоритма (4.60):
AAt) - UQABk)2 ♦ (GcosBALk)2]l/2,
298

где ДВ- * В, — В, AL, - L. — L — погрешности алгоритма в вычислении
широты и долготы. Для определенности при моделировании начальные
погрешности AipAt ) и ДАЛ/) принимались равными 30 и 0 м
соответственно.
На том же рис. 4.18 представлена кривая погрешностей &0(t) для
упрощенного алгоритма счисления на сфере Коврайского, который имеет
вид
\ * [{QABkl)2 + (OccsBALkl)2)l/2; AB^ - B, - B; Д^ = L, - L
4.7. МОДЕЛИГОВАНИЕ РАЮТЫ НАВИГАЦИОННЫХ ДАТЧИКОВ
НА ЗАДАННОМ МАРШРУТЕ ПОЛЕТА
Во многих прикладных задачах возникает необходимость в
имитационном моделировании показаний бортовых навигационных датчиков,
установленных на самолете, для которого проводится моделирование полета по
некоторому заданному маршруту. При этом возможны два случая: во-
первых, когда требуется вычислить ("подыграть") точные (не
возмущенные погрешностями) показания, во-вторых, когда эти показания должны
быть получены в виде аддитивной смеси точного значения и ошибки.
В гл. 2 были подробно изложены алгоритмы, позволяющие вычислять
выходные сигналы у радиотехнических систем ближней, дальней и
спутниковой навигации, а также выходные сигналы у бортовых визиров
наземных ориентиров и астропеленгаторов при условии, что текущие
координаты самолета B(t), L(t) и Л(/), астрономическое время S (/) и коор-
гр
динаты соответствующих радиостанций, спутников или небесных светил
являются известными.
Напомним, что при моделировании движения самолета по заданному
маршруту его текущие координаты B(t)> Щ) и h(t) вычисляются с
помощью алгоритма (4.90), а идеальные показания его бортевых
датчиков - с помощью следующих алгоритмов: s и А для РСБН вычисляются
с помощью соотношений (3.1); s At) и s At) для РСДН - с помощью
I л> 1 О
соотношений (3.33); s.(t) и s.(t), i = 1, 2, ^3", 4 для спутниковой
299

навигационной системы - с помощью соотношений (3.73) и (3.80); Л и
а
А для бортового астропеленгатора - с помощью соотношений (3.104).
Рассмотрим теперь вопросы моделирования идеальных показаний ДИС и
ИНС. ДИС как измеритель вектора путевой скорости работает всегда
совместно с курсовертикалью, идеальное положение которой в
пространстве задается с помощью опорного трехгранника {tjf. В таком
случае значения вектора земной скорости W(Wt, W , WJ в проекциях на
указанные оси могут быть взяты из алгоритма (4.89) имитации движения.
Значения W>, W , Wy могут трактоваться либо как идеальные показания
ДИС и ИКВ, либо как идеальные показания ИНС, работающей с алгоритмом
вычисления путевых скоростей. Кроме того, из алгоритма (4.92) при
необходимости для имитации работы ИНС могут быть взяты значения V.,
V , Vf, абсолютных скоростей полета и из алгоритма (4.94) - значения
cty, a , а. кажущихся ускорений.
Вопросы моделирования стохастических погрешностей датчиков тесно
связаны с математическими моделями этих погрешностей и будут изложены
ниже. Здесь мы будем только полагать, что при необходимости
погрешность каждого прибора может быть выработана ("подыграна") как
некоторая функция времени. Например, показания РСБН по дальности и
азимуту, возмущенные погрешностями, можно вычислять по формулам
s*(t) = sr(t) * Asr(t) и A*(t) = Ar(t) * AAr(t).
Для каких целей нужно моделировать идеальную и реальную работу
бортовых датчиков навигационной информации? В основном для анализа
выбранных алгоритмов обработки. Примером такого анализа, в частности,
может служить исследование двух приближенных алгоритмов счисления на
сфере Коврайского, проведенное в предыдущем подразделе. Так как здесь
исследовались методические погрешности данного алгоритма, то
проводилось моделирование идеальных показаний W^(t) и WJlt).
Для анализа фильтрационных свойств у алгоритмов совместной
обработки, которые будут рассмотрены в гл. 6, необходимо применять
моделирование реальных показаний приборов, т.е. показаний, уже
возмущенных шумами.
300

Г л а в а 5
ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
НАВИГАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЕТА
5.1. УРАВНЕНИЯ АКСЕЛЕРОМЕТРОВ
Инерцдальными навигационными системами (ИНС) называются
устройства, которые определяют вектор земной W(t) или абсолютной V(t)
скорости с помощью вычислений, проводимых над сигналами
акселерометров, при условии, что ориентация осей акселерометров в пространстве
является известной в каждый текущий момент времени. Выполнение этого
условия обеспечивается либо путем установки акселерометров на
управляемые гироплатформы, либо путем вычисления их ориентации по сигналам
двух- или трехстепенных гироскопов, если акселерометры и указанные
гироскопы установлены по отдельности на корпусе самолета. ИНС первого
типа называются платформенными, а второго - бесплатформенными [1, 2,
24, 28, 45].
По полученному таким образом вектору путевой или абсолютной
скорости можно, используя алгоритмы счисления пути, определить
координаты местоположения объекта в выбранной (ортодромической, геодезической
и т.д.) системе координат. Кроме скорости и координат местоположения
эти нацигационные системы измеряют углы крена, тангажа и курса ЛА.
5.1.1. УРАВНЕНИЕ ИДЕАЛЬНОГО АКСЕЛЕРОМЕТРА
Акселерометром называется^ устройство для измерения так
называемого кажущегося ускорения a(t), которое представляет собой разность
между абсолютным ускорением w(t) и удельной гравитационной силой g
а = w - g. (5.1)
Отдельный акселерометр измеряет проекцию вектора а на свою ось
чувствительности. Три акселерометра измеряют все три составляющие
вектора а.
Механическая схема акселерометра
представлена на рис. 5.1. Грузик, имею-
№ШШ
щий массу /п, скользит в вязкой жидкости
по стержню. При отклонении грузика от
-„г,?,,,,,/,,,/,,,,,,,,,,,,,,,,,},,,,, центра стержня на расстояние б на него
Рис. 5.1 действует сила пружины - сб. Кроме
301

того, на него действует сила сопротивления жидкости - лб. Пусть
основание, на_котором установлен акселерометр, движется с абсолютным
ускорением w(t) и вращается с абсолютной угловой скоростью и . Более
точно эту фразу следует понимать так: ускорение w(t) точкис стержня
(см. рис. 5.1), в которой находится центр грузика, равно w(t), а
акселерометр вместе с основанием вращается со скоростью о (/).
В таком случае уравнение движения грузика имеет вид
с с с с
m(w * w * w ) = 2F. = - п8 - с8 * mge, (5.2)
пер отн кор . I о
8 8
где индекс 5 означает проекцию на ось 5; w = w - переносное (для
8 "^ 5
грузика) ускорение, равное ускорению w точки с основания; w = 5 ,
— — — R — ОТН
w = 2cj xV ; w = 0,так как w ортогонально относительной
кор CL оти кор ■ кор
скорости 5, направленной по оси 8.
Уравнение (5.2) может быть записано в виде
т8 * п8 + с8 = /п(#с - «О + в = - та- * в, (5.3)
0 0 о
где в - флюктуащюнная сила, воздействующая на грузик из-за вибрации
корпуса и жидкости, акустических явлений и других причин.
Заметим, что на движение грузика (в силу w = 0) не влияет
кор
угловая скорость со акселерометра.
Для идеального акселерометра, когда отсутствуют динамические
погрешности (т/с -* 0, л/с -* 0), а инструментальные погрешности
e(t) = 0, величины перемещения 8 (см. рис. 5.1) и кажущегося
ускорения а. связаны зависимостью
о
сб//л = - ас. (5.4)
За „— *_ „J -—»—„, без^ер— акселер.
метра принимают величину
с с
* г с г т /t Am Ac v
о /п с/по т с 8
г г г г
= ас + AJfeflL, Д* = Д/п//п - Ас/с , (5.5)
0 0 Г Г
где т , с - номинальные (градуировочные) значения массы грузика и
302

жесткости пружины т = т ♦ Д/п, с = с ♦ Дг; А* - погрешность
масштабного коэффициента.
При т = т и с = с из (5.5) имеем
Г
8 8 8 *8
Если рядом установлены три акселерометра со взаимно
ортогональными осями чувствительности, то можно считать, что в идеальном случае
они измеряют векторную величину а кажущегося ускорения
а = w - g. (5.6)
5.1.2. УРАВНЕНИЯ АКСЕЛЕРОМЕТРОВ.
УСТАНОВЛЕННЫХ НА ПЛАТФОРМЕ
Пусть на некоторой платформе, вращающейся относительно инерци-
ального пространства с абсолютной угловой скоростью о , установлены
три акселерометра, которые мы будем полагать в этом пункте идеальными
(не имеющими погрешностей). Кроме того, будем полагать, что их оси
чувствительности являются взаимно ортогональными. Здесь и далее мы
будем считать, что акселерометры установлены в одной точке
пространства, иными_словами, будем пренебрегать размерами акселерометров.
Вектор a(t) показании этих акселерометров не будет зависеть от
угловой скорости cj (/) платформы и будет равен
a(t) = w(t) - gtf), (5.7)
где w(t) - асболютное ускорение точки объекта, в которой установлены
акселерометры; gfj) - вектор интенсивности гравитационного поля в
этой точке.
Абоьгаотное ускорение w(t) есть производная от вектора абсолютной
скорости V(t)t взятая относительно абсолютного (инерциального)
пространства
w(t) = -jg- V(t), (5.8)
где d/dt - символ абсолютной производной.
Свяжем с платформой и акселерометрами такую систему координат
OxxjZy оси которой проходят через оси чувствительности акселерометров
(рис. 5.2).
303

Рис. 5.2
По теореме о связи абсолютной
производной с производной от того же вектора
относительно подвижной системы координат
имеем
w(t) =
dV
dt
dV A -n D
at a
(5.9)
где
dt
символ производной от вектора относительно системы
координат xyz; cj - угловая скорость системы xyz (угловая скорость
платформы).
Соотношение (5.9) в скалярной форме принимает вид
П 1/ П
tti = V +со V -со V ;
х х ay z az у
W ' V - cj" V * cj" V.;
у у ах z az x
(5.10)
w = V * cjn V - cjn V ,
z z ax у ay x
где V • V , V - проекции вектора абсолютной скорости V на подвижные
оси координат х9 у и z\ cj , cj , cj - проекции вектора абсолютной
угловой скорости платформы на оси координат х, у и г.
В таком случае показания акселерометров на основании соотношений
(5.7) и (5.10) будут равны:
а = w - g = V +cj V-cjV - g ;
а = w - g - V - (J1 У ♦ cjn V - g ;
а = ю; - g = у +cjnV - cjn V - g .
z z *z z ax у ay x *z
(5.11)
Соотношения (5.11) будем называть первой формой уравнений для
тройки акселерометров, установленных на вращающейся платформе.
Обратим здесь внимание на одно обстоятельство. Интегралы от
показаний a (t)t a (/) и а (/) акселерометров не будут равны в общем
х у z
случае абсолютным скоростям V (t), V (t) и V (t). Это следует из
Л у Л,
(5.11). Для того чтобы с помощью интегрирования получить значения
указанных абсолютных скоростей, к показаниям акселерометров
304

необходимо добавить дополнительные члены в соответствии с формулами
(5.11): ,
V (0 = V Ю + \ [а (г) - и" (t)V (г) ♦ «" (t)V (r) ♦
х Ю J'j; ay г az у
♦ gr(T)]dr;
t
V° = W + I [Vr) + ">)Vz(r) - "az{T)Vx{T) +
'o
♦ gu(r)]dr; (5.12)
Vz(0 = W + 1 Iaz(r) " uax{T)Vy{T) + и^(г)Уг) +
'o
♦ g(r)\dT.
Рассмотрим вторую форму уравнений для представления показаний
акселерометров, установленных на платформе, когда в уравнения в явном
виде входят проекции (W . W , W ) вектора W путевой скорости, а не
проекции (V . V . V ) вектора V абсолютной скорости (см. 5.11).
Возьмем абсолютные производные от левой и правой частей выражения
V = W ♦ П*Я, (5.13)
где Л - радиус-вектор точки М; £2х# - линейная периферическая
скорость, обусловленная вращением Земли. В результате
дифференцирования J5.13) получим
dV - dW =■ dR dW - l7 ,. f/l,
«""•■TT^ir'TT*^ (514)
В последнем соотношении абсолютную производную —tz— представим
в виде
dW dW ^ -п ~, /к lc.v
-лгшчт-*<*г19-' (5Л5)
связанной с платформой.
где —7^— - символ производной от вектора в системе координат xyzt
305

Подставляя (5.13) и (5.15) в (5.14), получим
w = -Щ— * unxW * QxW * 12х(йх£). (5.16)
at a _
Если в последнем соотношении абсолютную угловую скорость с*>
платформы представить как сумму относительной с*>п и переносной Я
скоростей
ып = ып ♦ П. (5.17)
а
то (5.16) приводятся к форме
dW
w = -4т— ♦ "ПхУ ♦ 20х1Г ♦ Пк(Пхй). (5.18)
a t
В таком случае показание а тройки акселерометров можно записать в
виде
* = * " * = ~^Г~ + ""^ + ^^ ~ ^' (5Л9)
где ^ = g - 12x(12xfl) - ускорение свободного падения.
Переходя от векторной формы (5.19) к скалярной, получим искомые
выражения для показаний акселерометров через путевые скорости
а = W * (J* ♦ 2£2 )W - (J1 ♦ 2£2 )У - /;
дг дг у у z z z у ъх
a =W - (cj" ♦ 2£2 )У ♦ (cj" ♦ 2*2 )У - /; (5.20)
у ух х z z z х sy
a =w * (J1 * 212 )W - (cj" ♦ 212 )W - /.
z z дг дг у у у x *z
Охугношения (5.20) называются уравнениями акселерометров во второй
форме.
Для того чтобы в результате интегрирования получить значения (W ,
W , W ) проекций путевой скорости, к показаниям акселерометров а , а
и а необходимо добавшъ дополнительные члены в соответствии с
Z
формулами (5.20):
t
W (t) = W (t) ♦ f [a (t) - (J1 ♦ 212 )W ♦
ДГ ДГ 0 J l ДГ J/ У Z
<o
306

♦ (J* * 212 )W ♦ gT]dr;
z z у sx*
t
■ V> ■ Vo) +1 [Vr) + К+ »Л -
- (cj" ♦ 212 )У ♦ /jdr; (5.21)
Z Z X *J/J
VJt) . »ж(у ♦ } [<yr> - Ц ♦ *y»f .
* S • «V»* * **•
5.2. ГИРСХТАБИЛИЗИГОВАННЫЕ ПЛАТФОРМЫ
Принципиально возможны две схемы для реализации инерциальных
систем навигации. В первом случае акселерометры устанавливаются на гиро-
стабилизированные платформы, во втором - непосредственно на корпусе
движущегося объекта отдельно от гироскопического блока. В настоящее
время наибольшее распространение получили инерциальные системы
навигации с гиростабилизированными платформами, меньшее -
бесплатформенные системы, однако последние продолжают успешно развиваться и по
ряду параметров начинают конкурировать с платформенными.
5.2.1. ГИРОСТАБИЛИЗИРОВАННЫЕ ПЛАТФОРМЫ
СИЛОВОГО ТИПА
Одноосный гиростабилизатор [1, 29], который также иногда называют
силовой гирорамой, изображен на рис. 5.3. Задача этого устройства
состоит в стабилизации внешней рамы относительно оси £. Это означает,
что всевозможные возмущающие внешние моменты My не должны приводить
к повороту гирорамы относительно оси £. Если же необходимо повернуть
гирораму относительно оси £, осуществляя контроль за этим поворотом,
то он должен проводиться за счет сигнала управления в виде
корректирующего (управляющего) момента М., направленного по оси у.
Механическая схема гирорамы полностью совпадает с механической
307

Рис. 5.3
схемой трехстепенного
гироскопа с внешним карданным
подвесом.
Рассмотрим принцип
действия одноосного гиростаби-
лизатора на уровне
прецессионной теории гироскопа
без учета масс карданных
колец. (Такое рассмотрение
является приближенным, так
как у стабилизатора масса
кольца вместе с грузами всегда бывает достаточно большой.) Гироскоп
стабилизатора (рис. 5.3) имеет две степени свободы относительно
платформы (рамы) и три степени свободы вместе с рамой относительно
основания. При приложении момента My к оси гирорамы гироскоп, имеющий
здесь три степени свободы, начнет прецессировать (вращаться) вокруг
оси у, ортогональной оси стабилизации. Таким образом, гироскоп не
дает раме повернуться вокруг оси £ и выполняет роль стабилизатора ее
положения относительно этой оси. Без принятия дополнительных мер
гироскоп с течением времени поворачивался бы под действием момента
My до тех пор, пока его ось либо не совпала бы с осью £, либо не
дошла до механического упора и гироскоп не потерял бы степени
свободы. Утрата степени свободы приводит гироскоп к потере стабилизирующих
(прецессионных) свойств и повороту рамы вокруг оси £ (выбиванию
рамы).
Для предотвращения указанного явления гирорама снабжена
дополнительными устройствами: датчиком угла (ДУ) (см. рис. 5.3) поворота
кожуха гироскопа относительно оси у и двигателем Д разгрузки от
внешнего возмущающего момента My. Сразу после наложения момента My
гироскоп начнет прецессировать, а с датчика угла начнет поступать
сигнал на двигатель Д, который будет развивать момент М = k0
разгрузки, противоположный по знаку моменту My. При достижении
равенства М = - My гироскоп остановится, а рама будет полностью
разгружена от внешнего возмущающего момента My. Как видим,
приложение возмущающих моментов My к раме приводит не к повороту
рамы вокруг оси £, а к повороту гироскопа относительно рамы. (Впро-
308

чем, если обратиться к более точной теории, чем прецессионная, и
учесть массу рамы, то можно получить, что определенные очень малые
движения вокруг оси £ рама все же будет совершать.)
Итак, приложение моментов вокруг оси £ не приводит к поворотам
рамы вокруг этой оси. Если же такой поворот необходим, то он
осуществляется с помощью датчика момента (ДМ) (см. рис. 5.3),
расположенного на оси кожуха. Этот датчик развивает момент ЛГ,
который принято называть моментом коррекции. Под действием момента М,
гироскоп прецеесирует вокруг оси х и поворачивает тем самым вокруг
оси £ раму с расположенными на ней грузами с абсолютной угловой
скоростью со и = M/(Hcos0).
Итак, в пределах прецессионной (приближенной) теории можно
считать, что поворот одноосной гирорамы (см. рис. 5.3) может быть
осуществлен только за счет момента М< и при этом платформа будет
поворачиваться вокруг оси £ со скоростью
°><* = MJH' (522)
если угол 0 = 0.
Точная (нутационная) теория одноосных гиростабилизаторов изложена
в [1, 29].
Трехосные гиростабилизированные платформы, кинематические схемы
которых представлены на рис. 5.4 и 5.5, состоят из трех одноосных
гироскопических стабилизаторов. Если ввести систему координат xyz,
жестко связанную с платформой таким образом, как это показано на
рис. 5.4, то гироскоп Г2 обеспечивает стабилизацию относительно оси
ж, гироскоп П - относительно оси у и курсовой гироскоп ГЗ -
относительно оси г. На рис. 5.4 подробно показаны все элементы
гиростабилизаторов: гироскопы П, Г2, ГЗ, датчики углов ДУ1, ДУ2,
ДУЗ поворотов гироскопов, усилители У1, У2, УЗ, двигатели разгрузки
Д1, Д2, ДЗ и датчики моментов ДМ1, ДМ2, ДМЗ. Работа одноосных
стабилизаторов осуществляется здесь в соответствии с принципом их
действия, изложенным выше. Принципиально новым элементом в трехосном
стабилизаторе является преобразователь координат (ПК), на работе
которого мы остановимся. Он необходим потому, что у трехосного
гиростабилизатора (см. рис. 5.4) двигатели разгрузки Д1 и Д2
поворачиваются (вместе с корпусом самолета) относительно гироскопов
П и Г2. Если у одноосного гиростабилизатора один и тот же двигатель
Д (см. рис. 5.3) всегда разгружает один и тот же ("свой") гироскоп,
309

Рис. 5.4
Рис. 5.5
Рис. 5.6
то у трехосного гиростабилизатора два подвижных двигателя Д1 и Д2
разгружают в совместной работе два гироскопа.
Задача разгрузки будет выполнена, если проекции (рис. 5.6) М и М
* у
моментов М и М будут (в соответствии с теорией одноосных
стабилизаторов) равны
м = и . м = и.
х ^2 у ^1
(5.23)
310

Входными сигналами для синусно-косинусного преобразователя
координат являются углы /J . /J поворотов гироскопов П и Г2 (см.
рис. 5.4 и 5.6) относительно платформы, а выходными - моменты М и
М , которые связаны с входными сигналами зависимостями
мх - щ{тг ♦ /у***г>. {52А)
Подставляя (5.24) в выражения для проекций М и М :
л у
М = Msirwp - Afcos^ ; А! = Мсо$ф ♦ Msin^ .
х 1 г 2 i- у l^r 2 г
получим требуемые значения моментов (5.23). Этим и доказывается
необходимость в преобразователе координат (5.24).
Трехосная платформа будет поворачиваться в мировом пространстве с
абсолютными угловыми скоростями cj.cj.cj. если к гироскопам П,
Г2 и ГЗ (рис. 5.4) будут приложены моменты М , Ми М
МЛ Mt М ' 2 3
п 2 п 1 п 3 /с o-v
Ч«, ' "7J— » Ч».- = "7/— • Ч™ = ~Т/— • I5-25'
ах п ау п az п
где Я - величина кинетического момента у гироскопов платформы.
5.2.2. ГИРОСТАБИЛИЗИРОВАННЫЕ ПЛАТФОРМЫ
ИНДИКАТОРНОГО ТИПА
Принцип действия платформ такого типа заключается в том. что они
в процессе функционирования "следят" за положением задающих
гироскопов, которые относительно платформы имеют здесь три (а не две. как
ранее) степени свободы. При появлении рассогласования в положениях
осей гироскопов с осями платформы исполнительные двигатели
поворачивают платформу до тех пор, пока соответствующие оси не станут
параллельными друг другу и рассогласования исчезнут. В качестве задающих
гироскопов используются гироскопы как с внешними, так и с внутренними
карданными подвесами (последние гироскопы также называются гиро-
флексами).
На рис. 5.7 изображена платформа индикаторного типа с гироскопами
во внешних карданных подвесах. Платформа П вместе с установленными на
ней акселерометрами ориентируется по осям гироскопов П и Г2 с
помошью трех следящих систем.
311

По курсу платформа "следит" за осью внешней рамки гироскопа П с
помощью следящей системы, включающей в себя датчик ДУЗ угла
рассогласования, усилитель УЗ и исполнительный двигатель М,. Ось внешней
рамки гироскопа Г2 "следит" за осью внешней рамки гироскопа П с
помощью следящей системы, включающей в себя датчики углов ДУЗ и ДУ4,
усилитель У4 и датчик момента ДМ4. Заметим, что в соответствии со
схемой (рис. 5.7) сигнал на входе усилителя У4:
(* - * .) ♦ <* в - * ) ♦ 90° = 90° ♦ (ф - ф ).
п г1 г2 п г2 г1
где ф , ф , ф - азимуты платформы первого и второго гироскопов
п г! г2
соответственно. Таким образом, сигнал на входе У4 будет равен углу
отклонения внешних рамок гироскопов П и Г2 от ортогонального
положения, и данная следящая система будет обеспечивать
ортогональность плоскостей внешних рамок гироскопов.
Две следящие системы или, лучше сказать, одна двумерная следящая
система, включающая в себя датчики ДУ1 и ДУ2 углов рассогласования,
усилители У1 и У2, преобразователь координат ПК (см. рис. 4.20) и
исполнительные двигатели Д. и Д , обеспечивают параллельность
плоскости платформы осям вращения гироскопов П и Г2.
312

Представленная на рис. 5.7 инерциальная вертикаль является невы-
биваемой, так как она снабжена следящей рамой СР. Интересно отметить,
что для постоянства коэффициента усиления в цепи управления следящей
рамой коэффициент усилителя У5 обратно пропорционален costf.
Управление инерциальной платформой (см. рис. 5.7) в азимуте
осуществляется в рассматриваемом случае от гироскопа П. Если на его
горизонтальную ось не накладывать никаких моментов (о = 0), то он и
вместе с ним вся платформа станут свободными в азимуте. Накладывая же
на эту ось момент МЗ должного значения, можно заставить платформу
вращаться в азимуте по любому требуемому закону.
Управление положением платформы относительно горизонта здесь
осуществляется путем наложения моментов на оси гироскопов П и Г2 с
помощью датчиков моментов ДМ1 и ДМ2.
Рассмотрим теперь гироплатформы, использующие гироскопы нового
типа, которые принято называть гирофлексами, или гироскопами с
внутренним карданным подвесом (ГВК), или динамически настраиваемыми
гироскопами (ДНГ).
Гирофлекс (рис. 5.8) представляет собой гироскоп с внутренним
карданным подвесом. Собственно гироскопом (телом с одной неподвижной
точкой) здесь является внешнее кольцо 1, которое имеет три степени
свободы. Если пренебрегать массой внутреннего кольца 2, то уравнения
гирофлекса и законы его движения полностью совпадают с уравнениями и
законами движения обычного трехстепенного гироскопа. Однако из-за
того, что внутреннее кольцо, которое имеет только две степени
свободы, вращается вместе с внешним кольцом с очень большой скоростью
и поэтому имеет большой момент количества движения, возникает сложное
взаимодействие внешнего и внутреннего колец.
В литературе [30, 31] по теории гирофлексов доказано, что внешнее
кольцо при угловых движениях основания сохраняет направление вектора
Н неподвижным в мировом пространстве, если подвесы 3 выполнены в виде
упругих торсионов. При этом коэффициенты £ и £ упругости ЪМ/Ъа
1 JL
торсионов должны удовлетворять условию идеальной настройки
Е{ *£2 = П2(А{ + В{-С{), (5.26)
где А , В и С - моменты инерции внутреннего кольца.
В настоящее время большое распространение нашли гирофлексы с двумя
внутренними кольцами (рис. 5.9). Гирофлекс с одним кольцом (см.
рис. 5.8) не имеет полной симметрии. Действительно, при вращении
313

Рис. 5.8 Рис. 5.9
внешнего кольца относительно торсионов вращается только это кольцо, а
при вращении внутреннего кольца относительно торсионов вращаются оба
кольца сразу. Этого недостатка лишена конструкция, изображенная на
рис. 5.9. Условия динамической настройки здесь остаются прежними,
только под моментами инерции и коэффициентами упругости надо понимать
соответствующие суммы для обоих внутренних колец.
Способы измерения углов и наложения моментов на ротор гирофлекса
показаны на рис. 5.9. Если ротор поворачивать на угол а, то зазоры
между ротором и статором датчика угла ДУ становятся неравными. Это
дает возможность измерить угол а. Если нужно наложить момент
относительно оси ВВ, то в статоре датчика момента ДМ создается
соответствующее магнитное поле.
Аналогичные устройства необходимо разместить на гирофлексе для
измерения углов и наложения моментов относительно ортогональной оси.
Эти устройства на рис. 5.9 не показаны.
На рис. 5.10 изображена платформа индикаторного типа с гироскопами
на внутренних карданных подвесах (гирофлексах). Платформа П
ориентируется по осям гирофлексов 1Г и 2Г. Ориентация ее в азимуте
осуществляется по сигналам от датчика 1ДУ угла гирофлекса 1Г, который
здесь играет роль курсового гироскопа. Эти сигналы усиливаются и
далее поступают на двигатель ЗДС, который поворачивает платформу
вокруг вертикальной оси до тех пор, пока рассогласование между
курсовым гироскопом и осью у платформы не будет устранено.
Ориентация платформы по горизонту осуществляется по углам отклоне-
314

Рис. 5.10
ния осей х и у платформы от соответствующих осей гирофлекса 2Г.
Указанные углы снимаются с датчиков 1ДУ и 2ДУ гирофлекса 2Г и через
преобразователь координат ПК и усилители поступают на двигатели 1ДС и
2ДС, которые поворачивают платформу относительно горизонтальных осей
до тех пор, пока ее плоскость не станет ортогональной оси вращения
гирофлекса 2Г.
Специальная следящая система удерживает ось курсового гирофлекса
1Г таким образом, что она все враля остается в положении,
параллельном плоскости платформы. В эту следящую систему входят: датчик угла
2ДУ гироскопа 1Г, усилитель У и датчик момента 2ДМ.
Управление положением гирофлекса в инерциальном пространстве (и
положением следящей за ними платформы) осуществляется за счет
М гирофлексы
датчиков моментов. Под действием моментов М , М ,
прецессируют со скоростями со = М ///, со = Af ///, cj = М /Н.
Выбирая должным образом значения управляющих моментов М , М и М ,
можно привести платформу в любое заданное положение.
Платформа (см. рис. 5.10) имеет следящую раму, которая управляется
двигателем 4ДС. Это обеспечивает невыбиваемость платформы при всех
движениях самолета.
315

5.3. ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ
ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПЛАТФОРМЕННЫХ ИНС
На рис. 5.11 изображена схема функционирования, общая для всех
платформенных инерциальных систем. Дадим к ней необходимые пояснения.
Платформа ИНС предназначена для того, чтобы материализовать
опорный трехгранник Ь$. Положение этого трехгранника и законы
движения его в пространстве являются основополагающими для каждого
типа ИНС. Они могут быть заданы сначала в виде словесного описания, а
далее оформлены с помощью математических соотношений. Например, у ИНС
со свободной в азимуте геодезической платформой ось f должна быть
направлена по геодезической вертикали, а ось ту после соответствующей
выставки на старте (например, на Север или по горизонтальной проекции
продольной оси самолета) должна далее не вращаться в мировом
пространстве относительно оси f, т.е. w . = 0. Если погрешности в
положении платформы отсутствуют, то система координат xyz, жестко
связанная с платформой (рис. 5.12), будет тождественно совпадать с
опорной системой координат %г£. Из схемы (см. рис. 5.11) сразу
становится ясным принцип действия ИНС. По показаниям а , а
горизонтальных акселерометров на основании формул (5.21), (5.12) могут быть
вычислены либо путевые W , W , либо абсолютные V , V скорости
горизонтального движения самолета. Далее с помощью любого подходящего
алгоритма счисления на основании известных скоростей и высоты h могут
быть вычислены координаты самолета. По известшм же координатам и
скоростям движения в вычислительном блоке № 3 могут быть найдены
потребные (номинальные) угловые скорости gj" = cj «,, cj = и , cj =
r J r ax c£ ay ctq az
Начальная
выставка "}
(Mf*wSxH
Мг- Щу Н
М3=шЦг Н
Гироплатфарма
с
акселерометрами
4>г V" Г
а*
блок ЛИ
Алгоритм
вычисления
скоростей
{5.12Ц5.21)
7Г
us&.Way
Wx,Vx
Wy.Vy
Mi
м2
1
блок N9Z
Алгоритм
счисления
координат
В<
>1 *Л Ае\
блок N*3
Вычисление
угловых скоростей
(4.27), (4.28)
и моментов (4.29)
Рис. 5.11
316

о) 5)
Рис. 5.12
= со*. вращения платформы. Вырабатывая моменты М = со //. М = со Я,
М = со" // и подавая их на гироскопы платформы, мы заставим ее
двигаться с должными угловыми скоростями. Отсюда следует, что
платформа будет в любой текущий момент времени занимать надлежащее
положение, когда хуг о £т£, если и в начальный момент времени (на
старте) она занимала надлежащее положение.
Система (см. рис. 5.11) в целом будет определять следующие
навигационные параметры: углы гироскопического курса ф . крена у и
тангажа д (с помощью гироплатформы). горизонтальные скорости W . W
** У
(или V . V ). а также координаты В. L и курс ф = ф ♦ Л летательного
х у г
аппарата (с помощью вычислительных блоков № 1 и 2).
При исследовании функционирования ИНС. которое задается схемой
(см. рис. 5.11). возникает ряд вопросов. Во-первых, как будет вести
себя схема, если начальные условия по положению платформы, а также по
координатам ВЦ_), Ш-)> A(t ) введены в схему с погрешностями? Этот
вопрос относится к изучению устойчивости системы (см. рис. 5.11),
которая по принципу действия является замкнутой. Во-вторых, как будет
реагировать система на внешние для нее возмущения в виде дрейфов
гироскопов и акселерометров? И, в-третьих, как будет вести себя
система в тех случаях, когда точные алгоритмы в блоках 1. 2 и 3
(см. рис. 5.11) будут заменены на приближенные? На поставленные
вопросы можно ответить, если составить математическую модель ИНС.
Однако прежде, чем заниматься вопросами возмущенного движения
ИНС. рассмотрим алгоритмы идеального функционирования для основных
типов ИНС.
317

5.3.1. ИНС ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ТИПА
СО СВОБОДНОЙ В АЗИМУТЕ ПЛАТФОРМОЙ
В соответствии с общей схемой (см. рис. 5.11) алгоритмы идеального
функционирования для ИНС рассматриваемого типа будут иметь следующие
вычислительные блоки.
23
Блок № 1. Вычисление скоростей :
a) W = а - (J1 * 2П )W * (J* ♦ 2П )W ; W Ю = W:
хх у у z z z у x 0 jtO
6)W = a * (J1 * 2П )W - (cf * 2П )W ; W (t) = W:
У У x x z z z x у 0 yO
b)W = a - (cj" ♦ 2П )W * (cjn * 2П )W * g = Л; (5.27)
z z x x у у у x sn
WzV " *W
r)^ = -£ =П -<2ft/a) + /fein2B];
д) cj" * 2П = ft = QsinB.
z z z
Формулы (5.27, а, б, в, г) вытекают из соотношений (5.20) и
(2.122). Формула (5.27, д) имеет место в силу равенства cj + 12 =
= 12 с. = 0. Заметим, что величина W может быть вычислена по одной из
<£ z
приведенных в (5.27, в) формул, т.е. либо путем интегрирования
М = а - (соп + 212 )W * (cj" * 212 )W * g , либо дифференцированием
Z X X у у у X *п ч-г-к- к-
величины Л(/), которая может поступать от СРНС или баровысотомера.
Обратим здесь внимание на тот факт, что вычисление скорости W по
формуле W = д не требует внешних для ИНС измерителей (СРНС,
баровысотомера). Однако вычисления по этой формуле оказываются
неустойчивыми. Действительно, из соотношений (5.27, в, г) следует
дифференциальное уравнение для определения погрешности АЛ:
23„
При рассмотрении идеального функционирования трехгранники Xyz и
£тт$* отождествляются в предположении, что платформа материализует без
погрешностей опорный трехгранник £тт$\
318

a
ДА' = -|{f- ДА = 2 -*- AA = 2*>2ДЛ;
2 т -1 -1 ОГкЛ
v = g a ; v = 800 с
Это уравнение имеет неустойчивые решения. Для начальных условий
) = 0 получаем
ДЛ(/) * 0 и Д1Р (/ ) = 0 получаем
ДЛ(/) = 0,5ДА(/0)
* е
AW (t) = Ah(t)
z
hit) = 0.5Ю.i
рДЛ(/0)
l<4 И/<) -l4 Pit-tjl
- e
Таким образом, вертикальный канал ИНС, определяющий скорость W и
высоту Л только по показаниям вертикального акселерометра, в принципе
является неустойчивым (расходится). Однако здесь нужно обратить
внимание на следующее обстоятельство. Из полученных зависимостей
Ah(t) и W (/) следует, что в течение / - / < 9,5 мин, когда
z о
£х
2 p(t - t ) < 1, погрешность AA практически не изменяется, а
погрешность AW остается малой. Поэтому на объектах, время действия которых
не превышает 9,5 мин, можно не обращать внимания на указанную
неустойчивость в работе.
Вертикальный канал можно сделать устойчивым лишь при условии, что
на борту имеется внешняя для ИНС информация об А или Л. По этой
причине вопросы обработки информации в вертикальном канале для
авиационных систем не могут быть решены без комплексного подхода и будут
рассмотрены в гл. 6, посвященной комплексной обработке информации. В
рамках настоящей главы будем считать, что значения W (V ) и А
известны помимо измерений ИНС;
Блок № 2. Алгоритм счисления:
319

Wu = - W sinA + W cosA;
N x у
Wc = W cosA + W sinA;
Ex у
B = Q'lWN; B(t0) = BQ; (5.28)
I = (GcosB)'lWN; L(t0) = LQ;
A = G~ lW£\gB ♦ifcinB; Л(/ ) = AQ.
Блок № З. Вычисление моментов для управления платформой:
A/ F
ы = ь)у - cj,coSi4 - cj sind = - —7: coSi4 —7.— sinA =
x к 1 2 Q G
= W sinActx>A(Q~l - G"1) - W (Q'lcos2A + G'lsin2A);
** У
hi F
cjn = cj = cosine * gjcosA = - —7: sinA * -7; co&4 =
у tj 1 2 Q G
= - W smAcosA(Q~l - G'{) * W (Q^sin2^ * G'lcos2A);
У **
cj" = cj„ = -OsinB. £2 = - £2cos£siil4; 12 = Qco&Bco&A; £2 = ftsinB;
z % xn у z
cj = a). = cj ♦ £2 , cj = cj = cj ♦ £2 ; cj = cj *. = 0;
ax a£ дг x ay . ац у у az at
Mf = //cjn ; Al0 = //cjn ; Af = //cjn « 0. (5.29)
1 ax 2 ay 3 az
ИНС рассматриваемого типа в силу точности алгоритмов, применяемых
в ее вычислительных блоках, не будет иметь каких-либо методических
погрешностей. Однако ей присущ принципиальный недостаток - она не
может работать в приполярных районах, где L и А стремятся к ±оо.
5.3.2. ИНС ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ТИПА
С ВСЕШИРОТНЫМИ АЛГОРИТМАМИ СЧИСЛЕНИЯ
Будем считать, что ИНС рассматриваемого типа используют
геодезическую платформу, работающую в азимуте в режиме ГПК. при котором со*.
и cj*. соответственно равны cj . = £2sinB и cj*. = 0.
320

В таком случае на основании соотношений (5.20), (4.41), (4.45) и
(4.46) алгоритм функционирования примет следующий ввд.
Блок № 1. Вычисление скоростей:
W = а - (со" ♦ 212 )W * 2П W ; W Ю = W:
х х у у z z у х о JtO
W = а * (соп * 2П )W -2£lW :W (t) = W : (5.30)
у у х х z z х9 у о' уо9
v.» ■ »«•
Блок № 2. Счисление координат по алгоритмам (4.41, 4.45, 4.46):
* « 0 - «2«зз)1/2; G = ^3(1 -e2)+h;G = d + h;
со" = o>t = - ы S(W «„ ♦ Г и) - W G"1;
ДГ i 23 Ж 13 у 23 у
и = и = «„W «„ ♦ Г и ) ♦ W G
у 17 13 ДГ 13 у 23 ДГ
1
со
п =
"Г
0
п
СО
Z
п
-со
У
0;
п п
-со со
* У
Л П
0 -со
X
со 0
X
(5.31)
U = - ДО; l/tf0) = l/M0. B0, LQ); (4.45)
>4 = Arctg (--^-)[0. 2тг];
23
В = arclg
зз
1/2 2"
arctg
33
13 23
У 2 + 2
а31 Ы32
L = Arctg
32
И, я]. (4.45)
31
11 - 993
321

Блок № 3. Вычисление управляющих моментов:
П = Па : £2 = Пи- £1 = Пи-
X 13 у 23 Z 33
п - - п ^ гл п
cj = ы. = со ♦ i2 ; cj
ах с£ х х ау
cj = cj ». = i2 ;
az at г
cj = cj + 12 ;
»? J/ J/
(5.32)
Л1 = tfcj" , Alft = Hcf , Al = Wcj" .
1 ax 2 aj/ 3 az
Заметим, что для рассматриваемого случая всеширотной ИНС вместо
алгоритмов счисления (5.31), основанных на иоюльзовании матрицы
направляющих косинусов U, можно применить более экономные алгоритмы
счисления, основанные на использовании параметров Родрига-Тамильтона.
Как это следует из формул (4.83...4.85), блоки № 2 (5.31) и № 3
(5.32) могут быть заменены соответственно на новые блоки № 2 и № 3.
Новый блок № 2. Счисление координат:
CJ
CJ
ыг
CJ
cj = Ои = О
- вычисляются по формулам (4.41),
'TV *V = р{во> V Vs f = К pv pr >зк
(5.33)
Г =
-€ -CJc. ~CJ -CJ*.
CJy -€ (л) у -CJ
CJ
-Wf -e Ы|
Ы,. CJ
-CJ.. -€
U = U - по формулам (4.76),
Btf)
Lit)
A(t) J
[• - вычисляются по формулам (4.81).
322

Новый блок № 3. Вычисление управляющих моменте»:
"о* = "о* = "$ + Шр\РЪ
V2):
"« = "^ = fi(2>« + 2>' " 1):
(5.34)
of
3
//о/1 , Af = //cj" .
— з az
5.3.3. ИНС ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ТИПА СО СЧИСЛЕНИЕМ
ОРТОДРОМИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
Пусть надлежащее положение платформы рассматриваемого типа ИНС
задается с помощью опорного трехгранника {т£, который в текущей точке
М ориентируется следующим образом. Ось f направлена вверх по
геодезической вертикали (рис. 2.12, а и 5.13), ось г\ лежит в плоскости орто-
дромического меридиана О'Р'М, а ось $ ортогональна к осям f и tj.
Будем далее считать, что бортовая машина непрерывно осуществляет
пересчеты ортодромических координат Ф' и Л' геодезического типа в
геодезические координаты (В, L, а ):
(Ф\ Л')
<*■ ty
тт* (В, L. а )
8)
(5.35)
Рис. 5.13
323

по формулам (2.29) и (2.40). если в них формально предполагать
соответствие
ф' +-+ ф; д' «_> д. в «_> у. i «_> х, у' «-* фу\
У *-* X .
а а
В таком случае вычислительные блоки № 1. 2 и 3 данной ИНС будут
иметь следующий вид:
а) блок № /. Вычисление скоростей:
W = а - (о)" * 2£2 )У + (о>П * 2П )У ; У « ) = W-
х х у у г г г у х 0 *0
W =а + (<S +2SIW - (а;11 * 2П )W ; IT « ) = W Л;
у ух х z z z x у 0 I/O
V «a - (a>n * 212 )W * (a/1 + 2П )W * / = Л*;
г г дг х у у у х *п
Z 0 20
б) бло/с Л8> 2. Счисление координат. С учетом поворота системы NL
(см. рис. 5.13. б) на угол а относительно местного меридиана MN
имеем «уу |уг
п % ^Е .
дг $ £;() Jv 0 Q 0 о О
2
it/ f C°S fl0 sin a I w/ . f I 11
n WE WN .
у rj AT 0 l 0 G 0 Q 0
2 2
* cos a sin a v ^ ^
36)
Л'
п
=
=
О)
п
со$Ф'
, А'«0) =
а>„ = A'sin<t>' - cj 1
V
1КФ';
в) блок № 3. Вычисление моментов для управления платформой. На
основании (4.10) имеем
324

а я а - OsiltyyCOsA'; a■ П ■ П(со^Лсо5Ф' - sin<^anA'sin<I>');
П = П = n(co&PySin<P' + silVySinA'cos<l>');
n n -. n n a _
az d az z \ ax 2 ay 3 az
Данная ИНС осуществляет одновременное счисление геодезических (В,
L, А), где Л измеряется высотомером, и геодезических ортодромических
(Ф\ Л') координат.
Алгоритм счисления у рассматриваемой ИНС будет иметь четыре особые
точки» совпадающие с географическими и оргодромическими полюсами. В
них становится неопределенным значение угла а между местным
географическим и местным ортодромическим меридианами. Таким образом,
свойством всеширотности эта система не обладает. Методических
погрешностей данная ИНС не имеет в силу идеальности вычислительных процедур
в блоках № 1, 2 и 3.
5.3.4. ИНИЦИАЛЬНАЯ КУРСОВЕРТИКАЛЬ
В разобранных выше схемах ИНС во всех трех их вычислительных
блоках (см. рис. 5.11) использовались точные алгоритмы. При
отсутствии инструментальных погрешностей это обеспечивало абсолютное
соответствие работы ИНС с предписанным (номинальным) режимом, при
котором оси хуг платформы (см. рис. 5.12) совпадают с трехгранником
£т£, являющимся опорным для данной ИНС, а вычисляемые в ИНС скорости
и координаты совпадают с действительными их значениями.
Точные алгоритмы являются достаточно сложными, и для их реализации
необходимо применять цифровые вычислительные машины. При этом машины
включаются в замкнутый контур управления гироплатформой и выход их из
строя приводит к ее завалу. По этой причине наряду с ИНС, имеющими
алгоритмически точную цифровую систему управления, находят также
применение ИНС с упрощенной системой управления, которая выполняется
на достаточно простых и надежных аналоговых элементах. Такие системы
принято называть инерциальными курсовертикалями (ИКВ). В силу
приблизительности применяемых упрощенных алгоритмов управления платформа
ИКВ уже не будет строго ортогональной ни геодезической, ни
геоцентрической вертикали, а скорости, вычисляемые на основании ее
выходных сигналов, тоже не будут точно совпадать с их настоящими
325

значениями даже при
отсутствии каких-либо
инструментальных
погрешностей. ИКВ могут
применяться как
самостоятельные устройства, в этом
случае они играют роль
датчика курса, крена и
тангажа среднего класса
точности. Однако
точность измерений, осуществляемых с помощью ИКВ, может быть существенно
повышена за счет дальнейшей цифровой обработки с учетом следующего
обстоятельства. Методические погрешности ИКВ носят детерминированный
характер, по этой причине они могут быть вычислены в БЦВМ и
скомпенсированы. При таком подходе БЦВМ не входят в контуры управления
платформой и включается по отношению к ней последовательно. Последний
способ точной обработки информации от ИКВ будет рассмотрен в под-
разд. 5.4.4.
Пример ИКВ со свободной в азимуте гироплатформой приведен на
рис. 5.14. Алгоритмы ее работы, вытекающие из структурной схемы,
являются очень простыми и, расписанные по основным вычислительным
блокам (см. рис. 5.11) общей схемы инерциальных систем, имеют вид:
Блок № I. Вычисление скоростей:
/
v>
JtO
ь
<rWr или VJO
Kv
хо'
f*(t) = V * [ аШт или V*(t) = a , V*JtJ = V
У jfv J У У
У У О
уо'
г
(5.37)
Блок № 2. Вычисление координат:
Здесь может быть применен любой алгоритм счисления координат,
использующий в виде входных сигналов абсолютные скорости V и V (см.
«* у
например алгоритмы 4.20 или 4.23).
Блок № 3. Вычисление управляющих моментов:
326

V* V*
Mt = H* -jj1— ; M0 = H* ~— , (5.38)
1 *0 2 *0
где V Л1 = cj , V Лл = cj - вычисленные значения угловых скоростей
у о ах х о ay J
для управления платформой; R = const - постоянная величина, не
зависящая ни от координат места, ни от реальной высоты полета.
В формулах (5.37) и (5.38) величины скоростей V , V и кинетичес-
* х У
кого момента Н имеют индекс '"*". Этот индекс является символом
реальных измерений либо градуированных значений неизмеряемых
параметров, отличающихся от истинных значений на величины погрешностей
AV., AV иД//
V* = Vt * AVt; V* = V * AV ; Н* = Я * АН.
Далее мы проанализируем величину методических погрешностей AV*(/) и
ДУ (/), возникающих у таких платформ, и рассмотрим законы их
изменения во времени.
Из алгоритмов работы ИКВ (5.37) и (5.38), а также из рис. 5.14,
следует, что для1 ее функционирования не требуется вычисления текущих
координат самолета. По этой причине платформу ИКВ вместе с блоками
№ 1 и № 3 можно рассматривать как отдельное самостоятельное
гироскопическое устройство, обеспечивающее измерение гироскопического курса,
крена, тангажа и скоростей V и V самолета.
5.4. ЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ПОГРЕШНОСТЕЙ ИНС
Выше была изложена теория идеального функционирования ИНС в
предположении, что инструментальные погрешности элементов (например,
дрейфы гироскопов и акселерометров) отсутствуют, а в начальный момент
времени гироплатформа выставлена в должное положение и все начальные
значения скоростей, координат и азимутов введены в вычислительную
систему абсолютно точно. Кроме того, во многих случаях мы
предполагали, что алгоритмы функционирования являются идеальными, не имеющими
каких-либо упрощений или несоответствий.
В реальных условиях работы эти предположения не выполняются.
327

Акселерометры имеют инструментальные погрешности а (/), а (/),
a (/), гироскопы - угловые скорости дрейфа со (/), cj (/), cj (/), а
различные начальные значения и параметры вводятся в счетную часть ИНС
с погрешностями. Указанные входные погрешности вызывают появление
выходных погрешностей ИНС, таких как несовпадение осей гироплатформы
xyz с осями Ь$ опорного трехгранника, а также погрешности в выходных
значениях скоростей и координат самолета.
Общая для всех ИНС схема функционирования, изображенная на
рис. 5.11, позволяет получить и достаточно общую методику для
составления системы дифференциальных уравнений, описывающей динамику
погрешностей ИНС. В данном подразделе ограничимся получением
уравнений, линейных относительно этих погрешностей. Это значит, что сами
погрешности будем считать малыми величинами. Кроме того, малыми мы
2
будем считать еще и величины е и Л/а. При выводе уравнений малыми
второго и более высоких порядков будем пренебрегать.
5.4.1. ОБЩАЯ ЛИНЕЙНАЯ СХЕМА
ОБРАЗОВАНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИНС
Общая схема образования погрешностей инерциальных систем вытекает
из общей схемы (см. рис. 5.11) их функционирования. Если для каждого
из четырех элементов, входящих в эту схему (т.е. для гироплатформы
и трех вычислительных блоков), составить уравнения погрешностей и
далее объединить их вместе, то получим искомую систему
дифференциальных уравнений, которая и будет описывать динамику погрешностей ИНС.
Заметим, что в силу того, что
законы движения гироплатформы и
алгоритмические блоки № 1, № 2 и № 3 (см. рис.
5.11) для каждого вида инерциальных
систем являются отличными, то и
уравнения погрешностей для каждого вида
ИНС не будут совпадать друг с другом.
В данном подразделе рассмотрим
некоторые общие методы, которые можно
применять для вывода искомых систем
уравнений.
Уравнения погрешностей для
гироплатформы. Трехгранник xyz, жестко
Рнс. 5.15 связанный с платформой, в силу ошибок
328

отклоняется от номинального его положения £т£ на малые углы а, 0 и у
(рис. 5.15), при этом угол а является ошибкой углового положения
платформы в азимуте, а углы 0 и у - ошибками углового положения
платформы относительно горизонта. Углы 0 и у считаются положительными, если
оси платформы х и у "задирают свой нос" над плоскостью горизонта.
Матрица £dJ направляющих косинусов между трехгранниками xyz и Ы
с учетом малости углов а, 0 и у будет равна
AU
ш
м
Г
V
If J
; AU =
м
0 а у '
-а 0 /3
-7 "
* <
3 J
,
1 ay'
-a 1 0
L-r-0 1 J
-
= E + Ai/ ;
M
(5.39)
В соотношениях (5.39) систему координат Ь$ нужно рассматривать
как опорную, относительно которой движется система координат xyz.
Относительно инерциальной системы координат X Y Z (см. рис. 4.7)
и и и
системы координат %г$ и xyz будут вращаться с угловыми скоростями
(со с, со , coj и (со , cj , CJ ) соответственно. Пусть матрицы U и
а£ ац с& ах ay az J r и
U задают положения системы координат %г£ и xyz относительно системы
координат X Y Z :
и и и
(5.40)
\%'
п
U J
= 1/
и
Г* 1
и
Y
И
Z
L и J
»
г дг '
У
. z ^
= */*
и
\х 1
и
у
и
1 и J
В таком случае матрицы V и V будут удовлетворять "своим"
уравнениям Пуассона (4.37):
a) U = - П I/ , U Ю = «У ■
и и и и 0 нО
6)u =- nV. и ю = i/n.
и н и и 0 иО
(5.41)
24
Нижний индекс
циальная~, а индекс
'и' здесь означает начальную букву от слова ~инер-
символизирует реальность движения платформы.
329

где
п =
и
0 -со v со
af аг\
о) у 0 -со ,
of d
-<о со 0
: П
Он II
-со со
az ay
со
az
0 -со"
ас
1-<о w О
ау ах
Матрицы U , U и At/ связаны зависимостью
ИИ М
и* = mj и.
и ми
Подставляя (5.42) в (5.41, б), получим
MJU + AU (- П U ) = - (П + ДП)Д1/ U .
П
П + ДП
и
(5.42)
Д1/ = ДУ П - П £JJ - ДП(Е + ДУ ) = ДУ П -ПДУ -ДП,(5.43)
мминм м мним
где ДП(/)
П </) - П (/).
И И
Подставляя в (5.43) выражение для матрицы А(/ в виде (5.39),
получим три дифференциальных уравнения относительно а, 0 и у.
Конкретный вид этих уравнений зависит от матрицы П (/). т.е. от вида
платформы рассматриваемой ИНС.
Уравнения погрешностей для линейных скоростей.
Зная матрицу LV = Е ♦ At/ , можно далее вычислить а . а и а
' n м х у z
показаний акселерометров, установленных на платформе, а также их
погрешности Да*., Да и Да.
*
= (£ ♦ Д1/ )
[У
я
h J
+
r a ]
ъХ
L ъ2 )
(5.44)
f Да*
Да
Да*
1 Г J
«•>
= Д1/
м
Л
lafJ
+
г я 1
вДГ
вУ
L bz J
330

По значениям &ayt Аа , Да. и (Да> , Да> , Да> ), вычисляемым ниже,
К V s а* 4У в*
а также на основании конкретных алгоритмов, которые применяются в
вычислительном блоке № 1 (см, рис. 5.11), составляются искомые
дифференциальные уравнения для погрешностей AWy и AW (либо для AVy и
AV ). Составление этих уравнений производится обычным методом
линеаризации указанных алгоритмов около опорной (номинальной)
траектории.
Уравнения погрешностей для координат и угловых скоростей.
Уравнения для погрешностей ДВ, ALn AA координат В, L и азимута А
а также для погрешностей Ас/ , Ас/ , Ас/ в командах на вращение
ах ay az
платформы составляются путем линеаризации принятого в блоке № 2
алгоритма счисления и алгоритма вычисления моментов для управления,
принятого в блоке № 3 (см. рис. 5.11), с одновременным учетом здесь
дрейфов гироскопов.
5.4.2. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИНС
ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ТИПА
Рассмотрим здесь погрешности ИНС геодезического типа со свободной
в азимуте платформой, идеальное функшюнирование которой было описано
в подразд. 5.3.1. В процессе реального функционирования ИНС величины
Wy, W , В, А и Я, требуемые для вычисления управляющих моментов М ,
М и М = 0 по формулам (5.29), бывают известны с погрешностями:
W*t = W + AWt; W* = W + AW ; В* = В + ДВ;
А* = А + ДА Я* = Н + ДЯ. (5.45)
По этой причине вычисленные моменты
цВЫЧ „* П.ВЫЧ 1Ж „* П.ВЫЧ .- „* П.ВЫЧ
М. = л со ; AI = п со ; М = п со
1 ас 2 ш/ 3 аг
будут отличаться от номинальных их значений М , М и М . Кроме того,
на гироскопы платформы будут накладываться в силу трения, дебалансов
и т.д. еще и вредные моменты М , М и М . В целом, к гироскопам
платформы будут приложены моменты
331

м* = лГ4 ♦ м = я*о>пвыч ♦ м =
1 1 в1 ах »1
= М ♦ ДЯ«. + ЯДыТ + М +0;
1 Of Of в!
= М0 ♦ Д/fw ♦ ЯДы'ыч + М ♦ 0;
2 OJJ «J в2
м* = htr ♦ м ш я*оЛвыч ♦ м -
3 3 »3 0Z вЗ
= М0 ♦ Д//со .. + ЯДб)В"4 * М ♦ О,
3 of as »з
где 0 - символ малых величин jBbiaijero порядка.
Под действием моментов М , Ми М платформа начнет вращаться в
1 А о
мировом пространстве со скоростями
1 ^ АН А А выч
♦ -jj со> ♦ Дсо ^ ♦ cj ,;
п
со =
ас
п
со =
п
со -
4
я
я
-1.
Я Я w<* ""a* w.f
^^ ♦ -2^- ы ♦ Д«выч ♦ ы Л; (5.47)
Я Н wan an в2*
3 АН д выч
♦ Т» СО 4. ♦ ДСО . ♦ СО .
аг Н Н Н w<& at вЗ*
где со . = МЛ" , / s I, 2, 3 - дрейфы гироскопов платформы.
Учитывая, что в соответствии с (5.29) имеют место равенства М Н" =
-1 -1
= со о, М Н = со и М Н = со^ из последних соотношений получаем
А п п А выч
Дсо = со - со и s Аи у ♦ х.со *. ♦ со .;
ах ах <& ai л1 оЦ в!
А п п д выч
Дсо = со - со = Ас* ♦ х.<*> * <*> л; /с ^ov
ay ay aq ац л\ aq *2 (5.48)
а П П А ВЫЧ
Дсо с со - cj*. = Дсо у. ♦ х.<*>> + со л;
az ог at at л1 of вЗ
со. = 0,
of
332

где х, s АН/Иг - погрешность из-за отклонения угловой скорости у
роторов гироскопов от номинальной, мы будем считать ее одинаковой для
всех гироскопов.
выч выч выч
Чтобы найти выражения для Acj у , Acj , Дсо ^ , входящих в (5.48),
необходимо провести линеаризацию уравнений (5.29) относительно малых
величин AWy, AW , е и ДА/а. Заметим, что для получения приводимых
ниже искомых линеаризованных выражений для Аы. и Acj практически
удобно воспользоваться первыми двумя соотношениями в (4.32). В
результате их линеаризации, получаем
Acjfc = До," = *- * -Д- -^- ;
\ х а а а
AWt Wt Ah
Acj = Ac/ = * *- -^- ; (5.49)
г\ ц а а а
Acj„ = Дсоп - - ncosBAB;
i z
до = Aft = (2sinBsifb4AB - ОсобВсозЛАЛ;
Acj ♦ Aft ;
до =
А ВЫЧ
Acj у
а ВЫЧ
Acj у
at
ДП =
* Acj*
« Acj*.
-VsinBcosAAl
OcosBAB;
♦ AX2..
- АПУ
А ВЫЧ
Acj
or?
= 0.
(5.50)
(5.51)
25 A,
Если дополнительно учесть нестабильность Ак. коэффициента
усиления k. моментного датчика 1-го гироскопа, то величина X, может
рассматриваться как относительная расстройка коэффициента усиления
системы 'момеитный датчик — гироскоп" со * М /Н * Н CJ Н - Н (1 ♦
Д*. f AU А*. выч
♦ —г JCJ п - (1 ♦ ~т:— + —г )со . Если учитывать указанную
к выч п к выч
нестабильность, то Х,>» X, • Х,> должны быть взяты разными в
различных каналах.
333

Перейдем теперь к выводу уравнений для угловых погрешностей а, /3 и
у платформы методом, изложенным в подразд. 5.4.1. В рассматриваемом
случае матрицы П иАП равны:
П
О -со ,. со
as aq
"af ° ■***
-со со .. О
. aq <£
; ДП
О -Дсо Асо Л
02
Дсо О
аг
-Дсо
п
ах
-Дсо Дсо О
ау ах
(5.52)
где со ,., со и со *. задаются соотношениями (5.29), а Дсо , Дсо" ,
a? ar\ of ах ау
Дсо11 - соотношениями (5.48).
аг
Из уравнения (5.43) вытекают искомые дифференциальные уравнения
для угловых погрешностей а, 0 и у платформы, записанные в матричном
виде,
0 а у '
« 0 0
7-00
=
lay'
-a l 0
-Г -0 1
п -
и
-П
н
'lay
-a l 0
-Г -& 1
- ДП.
(5.53)
Переходя от матричного выражения (5.53) к скалярным, получим
a = 7со с. ♦ 0со ♦ со" = - у(а~ V ♦ I2cosBsiib4) + &(а' lW> ♦
' of aq az ' <q i
+ ftcosBcosd) ♦ со •,
b3
0 = -au - 7co . ♦ Acf = - a(a" Vfc ♦ flcosBcosA) - a' AW *
* aq ' of ax { т?
+ HsinBsinylAB - S2cosBcosAk4 - xAa V * ncosBsiib4) + (5.54)
-2 l v
+ AhW a + cobI;
у = -<к*>> + Aw* - Дс*>" = a(a' W ♦ £2cosBsiib4) - a" ДУ* +
+ ftsinBcoSv4AB + QcosBsinAAA - xA<* Wy + ftcosBco&A) +
+ AhWJX2 - cor2.
Приступим теперь к выводу уравнений для погрешностей
AWk = W* -Wk*AW =W* -W .
% X % V У V
334

Проекции а , а , а вектора а кажущегося ускорения будут
удовлетворять равенству
1 а 7
-а 1 0
~Ч -0 1
'^1
Z ) . . , „ _
* * *
В таком случае реальные показания а , а и а акселерометров будут
равны
* * *
а=а+а,а=а+а,а=а+а.
ххвхуувуггъг
При этом погрешности в измерении кажущихся ускорений
представляются соотношениями
Да„ = а - а. = аа + уау + а ;
Да = а - а
Л У V
-п+ *v+ v
(5.55)
Да,. = а^ - а. = -yat - /За_ + а
В/
г -* *г и- ч
Величины а.., а и а. как это следует из (5.27), когда Ь$ ♦ *j/z
задаются выражениями
afc = Wfc + (ы + 2П )«V - П№ .
* £ ч ч £ £ ч
а = W - (wfc ♦ 2QJV.. + ЦЖ.
ч ч < к £ £ ?
а. = Г. + (wt ♦ 2nt)r - (о ♦ 212 )Wt - g.
f £ ? * Ч Ч Ч«п
(5.56)
Из линеаризации уравнений (5.56) получаем искомые дифференциальные
уравнения
AW. = Да - (До> ♦ 2ДП )^ - (ы + 2J2 )Д^. + ДЦ.У + П^ДГ =
* К Ч Ч £ Ч Ч f £ Ч S Ч
= аа *ycL- AWm' Vf ♦ AW QsinB + ДВ(У OcosB + 2nWjsinBcosA) +
+ AA2SicosBsinAW^ - AWSWm' ' + 2ncosBcoSi4) + AhWJVja2 ♦ a :
AW = До + (Ды. + 2tfUV». ♦ (ыу * 2П.)ДГ. - SlAW* - АПМ* =
= -аа* * 0л. - AWStsinB + AW a Vf ♦ AB(-WgleosB ♦
335

+ WJbsinBsinA) - AAZteosBcosAWf - AWJW a1 + 2£2casBsiiL4) +
♦ AhW a2Wy + a . (5.57)
Проводя далее линеаризацию уравнений счисления (5.28), получаем
дифференциальные уравнения для ДВ, AL и ДЛ:
QAB = - AWfinA + AW cosy* - WgAA - a V^;
GcosBAL = ДУлхяЛ + Д1Г sin4 + W^ - a'lWgAh + W^gBAB;
W
AA = a~ ^ОДУдоА + AW siil4 + ФцАА) - —|—tgBAh +
+ a~V^oos~2BAB. (5.58)
Совокупность из восьми дифференциальных уравнений (5.54), (5.57) и
(bSS) с фазовыми координатами a, 0, yt AWk> AW , ДВ, AL и ДА предс-
тавляют собой искомую линейную модель погрешностей ИНС
рассматриваемого типа. Входными сигналами в систему являются: инструментальные
погрешности гироскопов (со , со , со ) и акселерометров (а , а ,
В1 В* Во ЪХ Ъу
а ), а также погрешности ДА^ и ДА внешних измерительных устройств в
вертикальном канале. Начальные условия a , /3 , у f AWtf.t AW.t ДВ ,
0 0 0 (0 17О 0
AL и АА зависят от способов начальной выставки инерциальной
системы, а также от погрешностей при вводе координат для точки старта
самолета.
Заметим далее, что в уравнения математической модели ИНС входят
функции ВЦ). Ш. h(t)t A(t)t Wt(t)t W (/). at(t). a (t) и a^(t).
Во-первых, это означает, что погрешности ИНС зависят от траектории
полета, а, во-вторых, что моделирование ИНС должно вестись
параллельно с моделированием движения самолета как материальной точки. При
этом функции времени и являются выходными сигналами модели
(4.88)...(4.94) движения самолета.
5.4.3. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИНС С ВСЕШИРОТНЫМ
АЛГОРИТМОМ СЧИСЛЕНИЯ
Здесь мы рассмотрим погрешности ИНС, алгоритмы идеального
функционирования которой представляются зависимостями (5.30)... (5.32).
Заметим, что данная ИНС отличается от рассмотренной выше только
336

двумя обстоятельствами. Во-первых, ее гироплатформа работает в режиме
ГПК (со .. = HsinB, сое. = 0), а не является свободной в азимуте. И,
во-вторых, у нее применен другой алгоритм счисления - всеширотный
(подразд. 5.3.2), вместо невсеширотного (5.28).
Нетрудно понять, что методика вывода уравнений для фазовых
координат а, 0, 7» AW^ и Д1^ в данном случае принципиально не отличается
от предыдущей. Используя ее, мы получаем соответствующие
дифференциальные уравнения, предоставив читателю самостоятельно сделать их
подробный вывод:
а * *** + *»* + Чг = **'Ч, + Ш13> +
♦ 0(а\ * Ш23) ♦ Ш33 * х,ПД«зз + ы.з:
♦ aq of ах i 23 ' 33
f A/» I
- a AW *—^ =^-+ ПДи ♦ v (-el + Ш ) + а> :
% а а 13 ХГ % 13' вГ
7 = -«^ ♦ frj - Аи^ = -€иГ\ ♦ Ои|а) ♦ №а33 -
- a' W? - a" V^AA - ЯДа23 - х,(а" V{ + J2«23) * ы^; (5.59)
AWt = Да. - (Дсо ♦ 2ДП )^ - (ы + 2fi )Д^ + 2ДЦ.Г +
♦ 2AW П^ = аа * 7<»f - (a'W. - a'VjAA + 2ПД«23)ЮГ. -
- (a'V. ♦ 2nu„jAWh * 2SlAuV ♦ 2nuAW * a ;
£ 23 f 33 ij 33 ij вдг
ДГ = Да + (До). ♦ 2Ant)W> * (wt ♦ 2SL)AWy - 2£l9AWk -
- 2AflL.V» = -чха. + 0af + (-a"W + a"V ДА + 2QAii HP. +
+ (-aXW * 2Siu,jAWy - TSlAuWy - 20uAWt * a .
rj 13 s 33 t 33 i в{/
Обратим здесь внимание читателя на то, что в уравнения (5.59) кроме
фазовых координат а, 0, у, AWy и AW входят лишь ы„ и Да... Другими
словами - в них уже не входят величины А, В, L, ДА ДВ, AL,
"запрещенные" во всеширотиом алгоритме (так как они теряют смысл у
полюсов).
337

Путем вариации уравнений Пуассона (4.45) получаем систему
дифференциальных уравнений для Ди..:
Ди = -Ды и - со Ди-, AutAL) = Ди :
12 7} 32 Т7 32 12 0 12
Ди Л = Дом/ ♦ со^Ди : Ди (О = Ди:
22 $32 К 32 23 0 22
Диоп = Дсон+соДнп- Дсол/ - <*)уйилл, (5.60)
32 г? 12 ту 12 Г22 *22
Д« (/ ) = Да° ;
32х (Г 32'
Ди = -Дсо I/ - со Ди : Д«,0(/л) = Ди :
13 ту 33 TJ 33 13 0 13
Ди = Дсол/ ♦ со^Ди : AultJ = Дилл;
23 ГЗЗ * 33 22 0 23
Ди^ = Дсо и „ ♦ со Ди,„ - Дсол/ - со^Дил„;
33 г? 13 т? 13 * 23 * 23
Дио tf ) = Диоо;
33 0 33
Д^. = А" и + «,лД«Лп "" ^««w.o ~ ИллД".о» (5.61)
31 12 23 12 23 22 13 22 13
где в соответствии с (4.43)
Дсо„ = Дсо" = - alAW ♦ a'2W ДА;
Дсо = Дсо" = a"W. - a~V*AA; (5.62)
ЧУ к <
Дсо,. = Дсо = 0.
Дифференциальные уравнения (5.59) и (5.60), объединенные вместе,
составляют единую систему 11 порядка, замкнутую относительно
переменных а, 0, у, AWp AW , Ди{2% Ди^ Ди^ Ди{3> Ди^ Ди^. Величина
Ди подсчитывается на основании алгебраического соотношения (5.61).
о 1
Выражения (5.59), (5.60), (5.61) полностью задают линейную модель для
погрешностей ИНС всеширотного типа).
Указанная модель имеет недостаток, который заключается в том, что
она не дает ясного ответа на вопрос о значении погрешности в
определении местоположения самолета. По этой причине рассмотрим задачу, как
338

по известным значениям Ди..
рассчитать линейное отклонение А
вычисленного положения самолета от
истинного.
Покажем, что отклонения Ду и А
самолета вдоль осей £ и tj (рис.
5.16) гироплатформы будут
выражаться зависимостями
До = а(Аи и * Аи и +
* ч 31 11 32 12
♦ Аи и ):
33 13'* Рис. 5.16
Д = а(Ди и ♦ Аиилл * Аии). (5.63)
TJ 31 21 32 22 33 23
Матрица U задает положение подвижной системы координат £т£ (см.
рис. 5.16) по отношению к неподвижной XYZ (см. 4.33). Пусть матрица V
вычислена с погрешностями V = V ♦ AU. Тогда трехгранник £rjf (см.
рис. 5.16) повернется на дополнительные углы а , 0 и 7, (аналогичные
углам а, 0 и 7 на рис. 5.15). Для того чтобы теперь уже повернутые
оси i и ту по-прежнему касались в некоторой точке эллипсоида,
необходимо его центр переместить на соответствующие линейные расстояния
(см. рис. 5.15 и 5.16)
А{ = "«"Г \ = -*!
(5.64)
Матрицу U = U * MJ можно также записать в мультипликативной форме
1Г
MJU,
м
где
AU =
м
1
-<1
в171
-7,-^,1
- представляет собой матрицу дополнительных
малых поворотов.
С учетом ортогональности матрицы Ut когда Ulf = Е, имеем
U* = I/ ♦ ли = AV U; AU = £ ♦ AUU\ . (5.65)
м м
339

Вычисляя с помощью (5.65) первые два элемента третьей строки в
матрице Ш , получим выражения
-? = to и + to и + to и
М 31 11 32 12 33 13*
-Я * tot%Mni ♦ Дяолапл ♦ tou. (5.66)
1 31 21 32 22 33 23
Соотношения (5.64) и (5.66) доказывают (5.63).
В таком случае квадрат линейного отклонения
2 2 2 2*2/2 2v 2/2 2,
Д = Д' + Д = a [to llC9 ♦ О + Д«о« ",Л + О +
{ iy l 31 11 21 32 12 22
2 2 2
♦ to (и ♦ и ) + 9Лм Да (а « +uu) +
33v 13 23' 31 32 х 11 12 21 227
♦ 2to-tto-Au.Mttk ♦ или^) * 2to^toAututt% + и i/ )]. (5.67)
31 33 11 13 21 23 32 33 12 13 22 23 J
2
Величину Д в (5.67) можно рассматривать как квадратичную форму от
вектора (to r to , to ) с матрицей D
«51 «S* «5*5
2 2
'а +« ! а а + а а . и и * и и
11 21 : 11 12 2122 : II 13 21 23
I 2 2
11 12 21 22 . 12 22 12 13 22 23
2 2
аа +uu '. и и * и и '.и ♦ а
1113 21 23 ! 12 13 22 23. 13 23
Заметим» что в силу известной теоремы [8] о математическом
ожидании от квадратичной формы нормального вектора , квадрат кругового
2
рассеяния МД в данном случае будет равен
МД2 * tr[DP]. (5.68)
где Р предполагается известной корреляциюнной матрицей случайного
вектора (to t to t to ). Методика вычисления матрицы Р для погреш-
«51 «5* о«5
ностей ИНС будет изложена ниже (см. подразд. 3.6.2).
26 тЛ
Математическое ожидание от квадратичной формы X UX случайного
вектора X € N{m. P) равно M^Dx - mDm * VrDP.
340

5.4.4. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ВСЕШИРОТНОЙ ИНС
(ВАРИАНТ С ПАРАМЕТРАМИ РОДРИГАНГАМИЛЬТОНА)
Модель погрешностей для варианта алгоритма, использующего
параметры РодригаТамильтона, будет по выходам точно совпадать с изложенной
выше моделью (5.59)...(5.62) погрешностей всеширотной ИНС. Новая
форма модели, соответствующая второму варианту алгоритмов, должна
включать в себя в виде фазовых координат следующие параметры:
а, /?, 7. дюгд^, др0, дрг др2. ар3.
Переход от модели (5.59)...(5.62) к модели, включающей указанные
фазовые параметры, легко осуществить с помощью следующих действий:
замены величин и и величинами р , р , р, р по формулам
1 I оо U I 2 3
(4.76);
замены величин Да Ди величинами Ар , Ар. Ар , Ар по
11 оо U 1 ж, о
формулам, являющимся вариациями для (4.76);
добавления к дифференциальным уравнениям (5.59) дифференциальных
уравнений для Ар , Ар , Ар и Ар , которые вытекают из линеаризации
и i z <i
уравнений (4.78) и являются аналогом для уравнений (5.60) и (5.61).
В результате указанных действий получим линейную модель
погрешностей для всеширотной ИНС, использующей в своем алгоритме параметры
Родрига-Гамильтона. Она имеет вид
а = у[-а'ХШ^ ♦ 2П(р{р3 - р^)] + Ла'\ * 2Я(/у>3 * pQp{)] ♦
+ 4Я(р0Др0 ♦ рзАрз) + Х{П(2р20 + 2р*3 - 1) ♦ ы^;
Ь - - а{а\ ♦ 2П(рЛ ♦ pQp{)] - уП(2р\ + 2р\-\)-
- а'д»^ ♦ а"2ГДл ♦ 2а(Ар{рз + pfa - Ду>2 - pQAp2) +
у « <-л'\ * 2fi(PjP3 - р0р2)] ♦ 0П(2р2о ♦ 2р\ - 1) -
- a'lAWi ♦ a'2W£h - 2П(Д/у>3 * р2Арз ♦ ApQp{ + pQAp{) -
- Х,[а"\ * 2П(/у>3 ♦ р0р{)] + ыв2; (5.69)
341

AW у = aa + 7л - [a lAW> - a'2WM * Kl(Apfo + p^Ap^ +
+ ^Wi + Vi^f " [a\ + ^Л + Vi>lArr +
+ SSIW [рлАрл ♦ рМЛ ♦ Щ2р1 + 2/>* - l\AW ♦ a ;
*7 0 0 ^3 r3J l 4) ^3 J ij *X
AW = -aa„ + 0a. ♦ [-a1 AW + a"V ДЛ + 4П(Дря + p,Ap, -
17 « S »? 1? 13 13
- 2$2<2p* ♦ 2p* - 1)Д^ - 8П^(р0Др0 + рзДрз) + a^; (5.69)
*Ч * "Vl " V* _ "^3 " *Vi " '^2 " *№
2^1 = Ы*Ч + "**"* " W„AP3 + ^0 + Aw^2 " ^i/V
*Чs Vo" "t^i+ "Л+ Vo" AaVi+ **№
2Ap3 = WfAp0 ♦ «Д», - u^p2 * t*>fQ ♦ Доу»! - До,^2,
где Дсог, До> , Дсо,. определяются по формулам (5.62). Фазовые координаты
Др , Др , Др и Др , входящие в систему (5.69), в силу (4.73)
U 1 £ о
удовлетворяют (с точностью до малых высших порядков) линейному
уравнению
Vo + V'i + Vi+ hLh = a
Линейные отклонения А. и А , а также квадрат линейного отклонения
2 2
Д и его математическое ожвдание ML для рассматриваемого случая
можно подсчитать по формулам (5.63) и (5.67), если входящие в них
величины «..
Ч
тями (4.76).
величины «.. и Ди.. заменить на р. и Др. в соответствии с зависимос-
5.4.5. ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПОГРЕШНОСТЕЙ
ИНЕРЦИАЛЬНОЙ КУРСОВЕРТИКАЛИ
Идеальная курсовертикаль ИКВ со свободной в азимуте платформой
(со*. « 0) должна реализовывать на борту самолета опорный трехгранник
342

£i7t. у которого ось J" направлена по местной геодезической вертикали,
а оси £ и J" располагаются в горизонтальной плоскости (см. рис. 5.16).
При выводе уравнений погрешностей для ИКВ мы по-прежнему будем
следовать методике, примененной в подразд. 5.4.2. В соответствии с
ней для вывода уравнений, описывающих динамику углов а. /3, 7» мы
сначала должны получить выражения для
А выч д выч А выч
*** • *V *"* •
2 -1
линеаризованные относительно AV„ AV . е и Aha .
Опорный трехгранник £т£ вращается в абсолютном пространстве с
угловыми скоростями
V
о)^ = - -3— [1 + *2(-0,5sin2B ♦ cos2Axk2B) - alh] ♦
а? а
♦ V.0,5e2a"Isin2Acos2B;
(5.70)
о = —^— [1 ♦ e2(-0.5sin2B + sin2A:os2B) - a'lh] -
CtQ CL
- V 0t5e2a lsin2Acos2В; со. = 0.
V as
Соотношения (5.70) выводятся полностью аналогично соотношениям
(4.32), только при этом нужно исходить не из путевых скоростей W* и
W . а из абсолютных - Vy и V . Равенства (5.70). как и (4.32), не
являются точными. Они представляют собой линеаризацию точных соотно-
шении относительно малых величин е и ft/a.
Из уравнений (5.38) и (5.70) в результате их линеаризации получаем
a* l Л J of a a vx2 хз' a x5*
V л AVy V, V
aq l К J an.
{ R i an a a yx2 V a x5*
Aa>™4 = 0, (5.71)
343

где
«О ■ ° + ^ AV{ = \ - *V А\ - Vy - V *2 - а iAR0 ~ Л):
X. = e2(-0,5sin2B ♦ cos2A;os2B);
2 2 2 2 2 2
X = е (-0,5sin В + sin A:os В); хс = 0,5е sin2>lcos В.
4 5
Далее на основании (5.48), (5.53), (5.70) и (5.71) для
рассматриваемого случая ИКВ имеем -, -,
л = 7<*>-> + flw + Д^П = ~ 7 —
' of о»7 о? ' а
0
*
а = -аа> + До = - а
а; а» а
AV
а
V
+ ы
-(-х, ♦ х„ ♦ х,) -
Ч
Л
*5 + ы.1!
(5.72)
V AVt Vt
у = -аса «. - Дсо = а —■— - ♦ (-Y, ♦ х« * X J
' а£ ау а а а Л1 л2 л4
V
а
Y — СО .
х5 в2
Перейдем теперь к вьюоду уравнений для погрешностей AV* и AV .
Из первой формы уравнений (5.11) акселерометров следует:
VVVrV
где в рассматриваемом случае w . = 0, а в соответствии с (2.118)
Далее имеем
(5.73)
a J
1 а 7
-а 1 0
[-у -fill
V
а
lafJ
+
' & 1
BJC
. a J
ЪХ
344

vvVVt-V'VVrV*
Из последнего получаем выражение для AVy = V - V*.:
-VeVVf"V + v (5-74)
Из аналогичных рассуждений получим выражение для ДV :
AV = - со .У - £ + /3(V. - д. ♦ со .У - со VJ -
- a(V. ♦ со V - &) * а (5.75)
Если ИКВ рассматривать только как прибор для измерения углового
положения самолета и его абсолютной скорости, то дифференциальные
уравнения (5.72), (5.74) и (5.75) полностью задают искомую модель
образования погрешностей ИКВ.
Рассмотрим теперь вопросы счисления геодезических координат
самолета. Обратим здесь внимание на то, что многие члены в правых
частях системы уравнений (5.72), (5.74), (5.75) являются либо
известными заранее точно (например, &., g , х*» X,» xJ* либо известными
К *? 3 4 5
приближенно из каких-либо сторонних или предварительных данных.
Например, величина х« является известной, если измеряется высота Л
над эллипсоидом, а величины некоторых составляющих дрейфов у
акселерометров и гироскопов могут быть оценены на старте в процессе
подготовки ИКВ к полету. Указанное обстоятельство позволяет вычислить
А А А А А
оценки a, /J, 7» ДУ> и AV для погрешностей а, /3, 7. ДУ> и ДУ (с
< V к Л
определенной точностью) путем решения системы (5.72), (5.74) и (5.75)
с известными правыми частями и скомпенсировать погрешности ИКВ. При
таком подходе можно реализовать совместный алгоритм счисления и
компенсации погрешностей.
Будем считать, что такой алгоритм счисления применяется в
рассматриваемой системе и имеет следующий вид:
1) интегрирование показаний горизонтальных акселерометров
V* = a; V*(t) = V* ; V* = а; /«) = V* ; (5.76)
X X X О ХО у у у 0 уО
345

2) вычисление исправленных значений углов и скоростей
А А А А
V, = V* - AVt; Vn = V* - AV:
к х к tj у ц
а = - yd V * fid Vt ♦ cj ; a(t ) = a ;
1) \ вЗ О О
A AA A AAA A AA
0 = - aa" V{ - «."'д^ ♦ a V4-X( ♦ x2 * X3> - a V{X]
+
5
+ « Г 'V = V (577)
AAA A AAAA A A
у = ad V - a" lAVk ♦ d V^ ♦ x2 ♦ X<) - a" V^ ♦
AA AAAA A A A
AVy = ya ♦ со V,. - &. ♦ aa + a , ДУЛО = AVy-t
AA AAAA A A A
AV = fia - иJ/r -g -aa + a , AV Ю = AV^.
ц г (&К ц x ву ту 0 170
A A A
Поправки a, 0 и у используются для уточнения углов курса, тангажа и
крена, измеряемых с помощью платформы ИКВ;
3) собственно алгоритм счисления
В = Q'l(-VftaA * V cosA); B«Q) = BQ;
I = (GcosB)~[(VfOsA + V sinA) - П; L(tQ) = LQ; (5.78)
A = G" V.cos>4 ♦ V sinyl)tgB; AdJ = AQ.
Алгоритм, задаваемый соотношениями (5.76)...(5.78), можно назвать
"алгоритмом счисления геодезических координат с коррекцией углов и
скоростей". Действительно, в подблоке б) (5.77) вычисляются поправки
А А А А А
а, 0, у и AV„ AV к показаниям платформы ИКВ по курсу, положению
вертикали и скоростям. Необходимость в этих поправках возникает из-за
неучета эллиптичности земли и переменности высоты полета Л в формулах
(5.38) управления платформой ИКВ. Платформа ИКВ (как измеритель) с
предложенным алгоритмом поправок не будет иметь методических
погрешностей на выходе.
346

Vhkb
t1f,M2
1 Гбцвм"
L_.
Платформа ИКВ\
и первые
интеграторы
fixttty^z
I/* V/*
VrA
Rq Rq
Jl
Алгоритм
коррекции
скоростей
и углов (5.77)
л л
Ml
Рис. 5.17
Алгоритм
счисления
координат
(5.78)
вХА
"1Ц.У*,,
ЛМ
л •$ л
В целом такая система может рассматриваться как инерциальная с
последовательно включенной БЦВМ. Последовательное включение здесь
понимается в том смысле, что никаких сигналов от БЦВМ на гироплат-
форму обратно не поступает (рис. 5.17) и гироблок функционирует
независимо от БЦВМ.
Индекс н "м в формулах (5.77) означает "оценку", т.е. тот факт, что
соответствующее значение либо вычислено по выходным величинам, либо
известно заранее по каким-либо данным. Например. х3 = е (-0»5sin В +
+ cos2i4cos2B). где А и В - выходные величины алгоритма (5.78); х2 =
= a (AR - Л), тде Л - высота полета, измеренная с помощью баровы-
сотомера.
Если известны (оценены на старте или другими способами) дрейфы
гироскопов со #, со . со . то они тоже могут быть учтены в алгоретме
г в1 в2 вЗ
компенсации (5.77). Если же какие-либа оценки для дрейфов являются
неизвестными, то величины w,, со . с5 _ должны быть просто взяты.
в1 в2 во
равными нулю (т.е. в общем случае равными их математическим
ожиданиям).
Интересно отметить, что алгоритм счисления координат с
одновременной коррекцией углов и скоростей представляет собой для БЦВМ.
работающей последовательно с ИКВ, систему диффереюдиальных уравнений
восьмого порядка, т.е. такого же как, например, и для всеширотного
алгоритма счисления (5.31)... (5.32) геодезических координат. Из
сказанного можно сделать вывод, что методические погрешности
устраняются алгоритмом (5.77) полностью, а инструментальные (наприм^
дрейфы со , со , со ) только частично, в той мере, насколько точно
В1 В<6 Во
они являются известными априори.
347

В результате погрешности ИКВ, работающей с алгоритмом коррекции
(5.77), будут создаваться только неучтенными дрейфами с*> , со и со
гироскопов и неучтенными дрейфами акселерометров а , а и а .
Линейная модель выходных погрешностей ИКВ в этом режиме работы, как
следует из (5.72), (5.74), (5.75) и (5.78), будет иметь вид
б) 0 = - aa'lV^ - а'д^ ♦ с^; №Q) = fy
в) * = ™\ "a"'AV <V *(V * V
r) AV{ = aV^ ♦ yg ♦ a^, AV^tJ = AV^,
д) AVn '-aV. + fig+a : AVJtJ = AV .; (5.79)
е) ДВ = «f't-Al'sin;! + AV cos4 - V^); AB(tQ) = AB0>-
ж) AL - (acosBy^AVJXsA ♦ AV sin>* + УцАА) *
+ V^nB(aco&2B)'lAB; AL(tQ) - Д£0;
ДЛ - a'ligB(AV^cosA + AV sta/l + V^) ♦ (ао»*В)'1У^В:
5.4.6. АНАЛИЗ ДИНАМИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИНС
Полученные выше линейные модели для погрешностей ИНС различного
типа представляют собой системы линейных нестационарных
дифференциальных уравнений. Нестационарность их заключается в том, что
коэффициенты перед фазовыми координатами являются функциями скоростей
полета W^it), W (/), W^) (либо V^ V . Vf, l^. V£), координат В(/),
L(t) летательного аппарата и угла A(t)t которые, в свою очередь,
являются функциями времени. Отсюда, в частности, следует, что
динамические свойства образования погрешностей ИНС существенно зависят от
траектории движения летательного аппарата. Общие методы исследования
устойчивости трудно приложимы к таким сложным системам
дифференциальных уравнений, какими являются модели погрешностей ИНС, поэтому
348

исследования обычно сводятся к численному решению этих систем для
различных траекторий полета.
Однако одна модель погрешностей в отличие от других дает
возможность достаточно легко и наглядно исследовать динамику ИНС. Такой
моделью является модель (5.79) для погрешностей ИНС со свободной в
азимуте гироплатформой типа ИКВ.
Действительно, пять ее первых уравнений могут быть существенно
упрощены, а уравнения б...д преобразованы от нестационарного к
стационарному виду, если провести замену переменных
AVt * AVt, ♦ V а; AV * ДV , - Vjol. (5.80)
Погрешности ДУ., и AV ,, формально введенные выше, представляют
собой разницу между измеренными скоростями V , V и скоростями V», и
л у £
V , (рис. 5.15) объекта, направленными по горизонтальным проекциям ('
и 77' осей х и у платформы:
A*V = V*x " У? * V* " (lV30ea + V** * ^ " Vf "
- V a = ДУ. - V а;
В результате замены переменных (5.80) в уравнениях (5.79) получаем
эквивалентную систему уравнений
а) a * -a"V.) ♦ alVt,fi ♦ a> ; a(/J * 0;
17 < вЗ 0
б) 0 *-«"'aV^, ♦ыи: ^0)М0;
B>;--«-Wr ♦ «й: 7tfe) - V
д) ДУп, - 03 ♦ Vr«j * «^ AVn,(/0) ■ AVn,0; (5.81)
е) ДВ = a'j-AVwSilvl ♦ AV ,cosX - V£(a + ДА)]; AB(/Q) = ABQ;
ж) AL= (aoo&B)'l[AV>,co&A * AV tsinA * V^a + AA)] *
* (a»s2B)"V£staBAB; AL(tQ) * ALQ;
349

з) АА = a ltgB[AVy,oosA + AV ,sinA * VN(AA * а)] +
♦ {aoa&2B)'lV^B; AA(tQ) = AAQ. (5.81)
В уравнениях (5.81) принято, что V а « gt V*. « g. Исследуем
устойчивость инерциальной курсовертикали. Для этого нужно рассмотреть
однородную систему дифференциальных уравнений, вытекающую из (5.81),
если все входные сигналы со ,, со л, со „, а и а положить равными
в! в2 вЗ в* ъу
нулю. Заметим, что первые пять уравнений в (5.81) не зависят от
последних трех, поэтому они могут быть проанализированы отдельно.
Запишем однородную систему из первых пяти уравнений в удобном для
решения порядке:
а) & = -a'lAV ,; AV , = #3;
б)**-*"'*^: Д^, =£У; (5.82)
в) а = -aXV ,7 + alAVp(l.
Как видно из (5.82), эти уравнения разделяются на три подсистемы.
Подсистемы "а" и "6м являются независимыми и решаются самостоятельно.
Для ненулевых начальных условий решение системы (5.82) имеет вид
№ - 0ocos*(/ - /0) - AV^0(agyU2^w(t - /0);
y(t) = 70ох*(/ - /Q) - AVVo(agYl,2sin»(t - tQ);
AV^U) = 70(ag)l,2sin»(t - tQ) ♦ Д^,осо^(/ - tQ);
AV^t) = /30(ag)1/2siiu;(/ - tQ) * ДУ^соМ* - /Q); (5.83)
a(t) = aQ ♦ (ag)'l%0Vv - тД,)**/ - tQ) *
♦ (4)-|/2(AVr Д. - ^QVV)U - cos,(t - /0)],
где v носит название частоты М. Шулера. Период колебания
2ir Vag = 84,56 мин тоже называется его именем.
v
350

Величина rag = 7,898 кг/с называется первой космической
скоростью. Выражение для a(t) в (5.83) получено в предположении, что
У*, и V , являются постоянными величинами.
Таким образом, гироинерциальная вертикаль при неправильном
введении начальных данных совершает незатухающие колебания с частотой
М. Шулера. Следовательно, как динамическая система она находится на
границе устойчивости (является устойчивой, но не асимптотически
устойчивой). Этот же вывод по устойчивости инерциальной курсоверти-
кали следует из того, что характеристический многочлен А(р) для
системы (5.82) имеет вид
А(р) = р(р2 ♦ v2)(p2 ♦ v2).
У него имеется пять корней и все они расположены на мнимой оси
/>, = 0; р2 = РА = ш; р4 = р5 = -Ь>.
Свойство совершать колебания с периодом Шулера относится ко всем
видам инерциальных систем. Это объясняется тем. что многие члены в
правых частях уравнений погрешностей этих систем либо совпадают, либо
очень близки друг другу. Однако определенное своеобразие собственных
движений имеется у каждого вида ИНС, потому что указанные правые
части для различных систем уравнений имеют свои характерные отличия.
5.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИНС
Для исследования поведения ИНС в больших диапазонах ошибок и
возмущений нужно разработать полную (нелинейную) модель функционирования
ИНС, которая и будет изложена ниже. Интересно отметить, что эта
модель позволяет в общем виде получить погрешности ИНС, не прибегая,
как это требуется в случае линейных моделей, к кропотливым
аналитическим вычислениям частных производных и других необходимых
выражений. В ней приходится использовать в прямом виде только алгоритмы
идеального функционирования ИНС. Таким образом, предлагаемая ниже
нелинейная модель ИНС носит некоторый характер всеобщности по отношению
к типам ИНС.
Перейдем к изложению нелинейной модели. По своей сущности она
обязательно должна работать совместно с моделью полета самолета
(4.88)...(4.94). представляемого в виде материальной точки. От модели
полета (рис. 5.18) используются следующие величины: матрица U,
351

U*(t0)
Модель
полета
(l.83)...(4.94)
1
4>an>ui
U^Srf
B,LtA,h
fcft.*W,
Вычисление
UH, U*t AUMt
Gx» ay, ai
Рис. 5.18
ввх^ву^вг
координаты (В, L9 Л), азимут платформы А время S , кажущиеся
гр
ускорения о., а , al и земные скорости W„ W , W... В качестве
опорного трехгранника Ы при этом в модели полета (4.88)...(4.94)
обязательно должен быть выбран опорный трехгранник исследуемой ИНС.
Алгоритм нелинейной модели (рис. 5.18) начинается с вычисления
матриц U и U , связывающих опорный трехгранник Ь£ и трехгранник
платформы xyz с системой X Y Z (см. рис. 4.7, 5.16). Из равенств
(4.33), (5.40) и рис. 4.7 вытекают следующие соотношения:
а)
f * 1
U J
= и
\ X]
У
Z .
= и
и
* 1
и
у
и
1 и )
U =UM;
М
б)
cosS sinS
гр
-siaS cosS
гр
гр
0
гр
Г х
ц
I z \
-.*
= и
и
* 1
и
у
и
1 и J
t/ = 4lV, I/*« ) = t/ n;
и и и и 0 иО
(5.84)
352

со
*
[ =
и
0
п
со
az
п
-со
1 ау
-со
az
0
п
со
ах
<*У
п
-со
W
0
(5.84)
В таком случае матрицы U и U могут быть вычислены по формулам
(5.84, а) и (5.84, б). Далее на их основании вычисляется матрица
* т
Д1/ = U U , связывающая трехгранники xyz и Ы:
мни
X '
у
Z -
= At/
м
1 •
Г)
. f.
= i/V
и и
'5"
п
. f -
, ДУ
м
= i/V.
и и
При известной матрице AU могут быть определены показания а , а ,
а акселерометров платформы
f я
дг
*
я
•7
♦
1 а }
= Д(/
м
а$
а
*?
л>
I t J
+
r ^
ВДГ
я
Btf
я
L ъг J
* * *
Полученные величины а (/), а (/) и a (t) имитируют показания
х у z
реальных акселерометров и далее поступают (см. рис. 5.18) на вход
алгоритма исследуемой ИНС. На выходе этого алгоритма имеют место
1Г/* IT/* »* Г* А* ВЫЧ
скорости Wд, и Wp, координаты В , L , А и угловые скорости со
сов , со , предназначенные для управления гироплатформой. Указанные
выходные сигналы имитируют аналогичные выходные сигналы реальной ИНС.
Угловые скорости со , со , со платформы вычисляются в данном
алгоритме на основании схемы (см. рис. 5.18), где величина х,
учитывает нестабильность кинетических моментов гироскопов и
коэффициентов усиления моментных датчиков. На основании со" , со" и со" по
ox ay az
формулам (5.84, б) вычисляется матрица V .
Погрешности AW^t AWpt ДВ, AL и АА ИНС получаются здесь как
12 - 993
353

разности между выходными сигналами ИНС (см. рис. 5.18) и их точными
значениями, полученными внутри алгоритмов (4.88...4.94), которые
моделируют полет самолета.
Поясним теперь только особенности вычисления погрешностей ИНС как
датчика углов. Поскольку матрица At/ задает (см. рис. 5.15) положение
м
трехгранника xyz по отношению к опорному £т£, то углы а, /3 и у (уже
не являющиеся обязательно малыми) могут быть вычислены из соотношений
At/
м
cos7COsa+sin7sinj3sina :cos7sina-cosasin7sin£ !sin7cos0
-<:os/3sina !cos/3cosa !sin/3
-sin7cosa+sin0cos7sina .'^inasiivy-sinflcosTCOsa Icostcos/}
-to
21
Arctg
fi = Arctg ■ И, тг];
to l "'
22
Attn.
23
71 j
/to2 +to2
13 33
to
13 r
t;.— N-
»].
7 = Arctg
""33
где to.. - элементы матрицы At/ .
l\ M
Еще раз подчеркнем, что рассмотренная выше точная методика
моделирования не требует предварительного сложного вывода линейных моделей
для конкретных ИНС, что является ее немаловажным преимущестюм по
сравнению с методами, использующими линеаризованные модели. Она
использует лишь конкретные алгоритмы бортового вычислителя ИНС и тем
самым может быть непосредственно (без предварительного теоретического
исследования) применена для моделирования всевозможных ИНС.
5.6. СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНС
Для линейных моделей достаточно провести сложение невозмущенных
значений параметров (например, широты B(t)) с соответсггеукшими
погрешностями (АВ(/)), чтобы получить имитационную величину (В\ = B(t) +
354

♦ ДВ(/)) на выходе инерциальной системы. В случае же нелинейной
(точной) модели (см. рис. 5.18) с самого начала моделируются именно
выходные имитационные сигналы и только уж потом вычисляются сами
погрешности.
Однако использовать для количественных исследований как линейные
[см. (подразд. 5.4.1), (5.79)], так и нелинейные модели (см.
рис. 5.18) нельзя до тех пор, пока все возмущающие сигналы, такие как
дрейфы гироскопов со (/), со л(/), со _(/), погрешности акселерометров
в 1 в2 во
а (/), а (/), a (t) и другие сигналы y-W» ДЛ(/), входящие в эти
ьх ву ъг i
модели, не определены либо как детерминированные функции времени,
либо как реализации случайных процессов. Поэтому сначала остановимся
на моделях погрешностей для элементов гироскопических систем.
5.6.1. МОДЕЛИ ДРЕЙФОВ ГИРОСКОПОВ И АКСЕЛЕРОМЕТРОВ
Известно [1], что гироскоп, к которому не приложено внешних
моментов, сохраняет положение своего вектора количества движения
неподвижным в инерциальном пространстве. Такой гироскоп принято
называть идеальным. К реальным же гироскопам всегда прикладываются
некоторые неконтролируемые, возмущающие, моменты М , которые
заставляют вектор момента количества движения двигаться в
инерциальном пространстве. В рамках прецессионной теории ось вращения ротора
совпадает с вектором момента количества движения, поэтому вращение
собственной оси гироскопа при этом будет совершаться со скоростью
со = М Н , где Н = J& - кинетический момент гироскопа. Угловую
скорость со принято называть скоростью дрейфа гироскопа.
в
Скорость дрейфа двухстепенного или одной из осей трехстепенного
гироскопа описывается соотношением [4]:
со = С * (С* CtT T)a * (С ♦ С- Т)а ♦ (С * Ст Т)а +
в 0 1 iT X 2 2Т у 3 ЗГ Z
+ С,аа +Сшаа +Саа + СЛВ * С В *
12 х у 13 х z 23 у z 41 х 42 у
* САЪВг * ujt). (5.85)
где а , а , а - проекции кажущегося ускорения на оси координат х, у,
z гироскопа; Г - отклонение температуры гироскопа от ее номинального
355

значения; В , В , В - составляющие окружающего магнитного поля;
х у z
со (/) - дополнительный дрейф, обусловленный вибрациями.
Величину С называют систематическим дрейфом. Он вызывается
гибкими проводниками, обратными реакциями чувствительных элементов и
другими причинами. Систематический дрейф незначительно изменяется от
запуска к запуску прибора. Величины систематического дрейфа
механических гироскопов измеряются градусами в час. Систематический дрейф
обычно в значительной степени компенсируется в процессе наземного
запуска инерциальной системы.
Вектором дебаланса 5 называют смещение центра масс гироскопа от
центра его подвеса. Обычно этот вектор представляют в виде двух
составляющих
8 = /(в + 8ТГ) + /(8 ♦ 8ТГ) + Ш ♦ 8ТГ),
х х ' у у z z
где (8 , 8 , 8 ) - постоянное смещение; (8ТГ, 8ТГ, 8ТГ) - "тепловое"
х у z х у z
смещение, обусловленное тепловыми деформациями прибора; Г -
отклонение температуры прибора от номинального значения.
Тепловое смещение равно нулю при выходе прибора на номинальный
температурный режим работы, когда Т = 0.
Дрейф из-за дебаланса возникает под действием момента инерционно-
гравитационной силы F = ma = m(g - w)
AL * 8x(-ma) = т^бхл, (5.86)
о
- - - - -1- ,
где а - вектор кажущегося ускорения a = w-gin = g а = (п , п ,
,т Х У
п ) - вектор перегрузки.
Этот дрейф представлен в (5.85) членами, линейно зависящими от
ускорений. Коэффициенты С , С , С имеют размерность /(ч-g).
Интересно отметить, что дебаланс, равный всего лишь одному
микрометру, заставляет дрейфовать гироскоп с кинетическим моментом Н =
6 2
= 2*10 гсм /с и массой 250 г при единичной перегрузке с угловой
скоростью со = SmgH = 2,5 /ч.
Анизоэластичный дрейф (он представлен в соотношении (5.85)
квадратичными членами от ускорений) возникает, если коэффициенты
356

эластичности Е , Е и Я конструкции гироскопа в трех взаимно
перпендикулярных направлениях не равны друг другу.
При движении основания гироскопа с кажущимися ускорениями а , а ,
а появляются смещения центра ротора
8 = -£ /яа ; 8 =-£ша;6 - ЧЕ та .
ех х х еу у у ez z z
Подставляя 5,6 и 5 в (5.86), получим моменты, вызывающие ани-
ех еу ez
зоэластичный дрейф:
М = т (Е - Е )а а ; М = т (Е - £ )а а ;
ех у z у z еу z x x z
М = т2(Е -Е)аа . (5.87)
ez х у у х
Анизоэластичный дрейф может достигать очень больших значений, если
гироузел находится в состоянии линейных вибраций с перегрузками
п = N sincj/, п = N sinai, п = N sinarf, (5.88)
хх У У z z
где со - частота.
Заметим, что при вибрационных колебаниях вида (5.88), которые
происходят вдоль линии с направлением N t N и N , фазы колебаний по
отдельным осям совпадают и поэтому их можно считать в (5.88) равными
нулю.
В этом случае, как это следует из (5.87) и (5.88), у анизоэластич-
ных моментов возникают постоянные составляющие
М = 0,5mY(E -E)N N;
ех * у z у z
М = 0,5*пУ (Е -E)N N ;
еу s z х х z
М = 0,5тУ (Е -E)N N .
ez ъ х у у х
Рассчитаем средние значения анизоэластичных моментов, если
вибрационные линейные перефузки представляют собой периодические
несинусоидальные функции вида
п = N q(t)t п = N q(t)t п = N q(t),
х дг у у z г
где q(t) - периодическая функция времени с периодом Г.
357

В этом случае функция q(t) раскладывается в рад Фурье и для каждой
гармоники подсчитывается средний анизоэластичный момент. Суммируя их,
можно подсчитать общий Опираясь на известное в теории радов
Фурье равенство Парсеваля, можно получить выражения для проекций
постоянной составляющей анизоэлаетичного момента:
М = (£ - Е )mgN N ; М = (£ - Е )rngN N ;
ex у z * у z еу z х ъ х z
М = (£ - Е )tngN N . (5.89)
ez х у * у х
где N , N 9 N - среднеквадратические значения перегрузок по соответ-
Т
—2 -1 Г 2
ствуюшим осям N = Г л (r)d(r); T - период повторяемости.
О
Уход со (t) в (5.85) обусловлен анизоэластичными вибрационными
моментами (5.89).
Все указанные в (5.85) коэффициенты носят случайный характер. На
множестве однотипных гироскопов их можно рассматривать как нормальные
случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями.
В QUA для типовых навигационных систем обычно принимаются в расчет
следующие предельные значения (За) коэффициентов [4]: С = За =
= 0,1 /ч со стабильностью в течение нескольких недель 0,02 /ч;
значение С приведено здесь с учетом компенсации постоянного момента
в результате выставки системы на старте; С = С = С = За =
1 Z о 1
- 0,5 /(ч*#) со стабильностью в течение того же срока не хуже
0Л7(ч-£):
С1Г = С2Т = СЗТ = ^2 = °'01в/<чтвС):
С.2 ш С13 ' С14 = ^3 = 0'1О/(4^2): <590>
С41 " СА2 - С43 = \ - И»°/<я-Тл):
линейность х. = и + ~Т— = За масштабного коэффициента
гироскопа не хуже 0,05 %.
В подразд. 1.3 была исследована динамическая модель механического
358

акселерометра. Заметим, что постоянная времени Т современных акселе-
-3 -3
рометров составляет от Iе 10 до 5*10 с. В задачах, когда
исследуются большие погрешности ИНС (сотни и более метров) на больших
отрезках времени (десятки и более минут), динамическими погрешностями
акселерометров можно пренебречь и считать, что они работают как
усилительные звенья (т.е. в установившемся режиме). В таких случаях
для акселерометра (включая восстанавливающую и усилительную
электронику), работающего в установившемся режиме, может быть записана
следующая типовая [4] модель погрешности:
а = D + # + Да ♦ kat ♦ kat ♦ kat + Jfe a * kta * kTt (5.91)
в Oil 21 31 12 2 13 34
где fl - составляющая кажущегося ускорения вдоль оси
чувствительности; а , а - перекрестные составляющие; D - зона нечувствитель-
ности; Н - гистерезис; Да - систематическая погрешность (смещение
нуля) акселерометра; k - линейное отклонение масштабного
коэффициента акселерометра; k , k - нелинейные коэффициенты; k , k -
Z о \Jt 1*5
коэффициенты перекрестной чувствительности; k - линейный
температурный коэффициент для небольших отклонений от номинальной
температуры.
Ниже приводятся [4] параметры (За), характеризующие работу
типового акселерометра, рассчитанного на измерение максимальных
ускорений до 10g:
D = 10"5# Н = 10"4#
-3 -4
Дд = Зо^ = 5*10 g со стабильностью 240 #
0 аО * *
k = За = 0,1 % = 10" по всей шкале;
к2 = Ъ°а2 = 10" W: (5.92)
*3 = 3ffa3 = 210"5^3.-
*„• *,з " °'<*%:
*< " ^ " Ю Vе-
Формулы (5.85) и (5.91) позволяют имитировать погрешности гироскопов
и акселерометров, входящих в математические модели ИНС. Входные для
359

формул (5.85) и (5.91) сигналы а , а , а при этом берутся с выхода
Л у £
модели движения (4.88...4.94) самолета как материальной точки.
Во многих задачах (см. подразд. 1.3) дрейфы со (/) гироскопов
в
удобно представлять в виде реализаций стационарных случайных
процессов с корреляционной функцией К (г) вида
2 2 ЛИ
К (г) = о\ * а е г . (5.93)
г гО г1
Параметры а , о ид корреляционной функции (5.93) можно
получить из следующего численного эксперимента. Путем совместного
применения алгоритмов (4.88)...(4.94) и (5.85) вычисляются реализации
со (/), со (/), со (t) для различных интересных в рамках данной
в1 в2 Во
задачи маршрутов полета. Коэффициенты С, входящие в (5.85), при этом
разыгрываются как случайные нормальные числа
С. = о*.; е. е N(0, 1)
i tit
. 2
с известными значениями их дисперсии а..
Для каждой реализации подсчитывается ее среднее по времени
значение со . На основании средних значений вычисляются по множеству
реализаций а , а на основании центрированных со (/) значений дрейфов
а . и м . Как правило, в результате таких подсчетов а Л, а . ид
г1 г гО г! г
принимают значения, приблизительно равные:
За = 1,1...1,4С^, За f = 1,1...1.8С*1, д"1 = 15...45 мин,
гО 0 г! 1 г
где Cv, Cv _ предельные значения для этих коэффициентов в (5.90).
Разброс а _, а , и д по отношению к Cv и С\ объясняется тем, что
*^ гО г1 г 0 1
дрейфы гироскопов увеличиваются не только с ростом С** и (Г\ но и с
ростом перегрузок на маршруте. Для маневренных маршрутов а и а
гО г1
принимают большие значения, а д , которую можно трактовать как
г
временной радиус корреляции, уменьшается.
Аналогичным образом, в виде стационарных случайных процессов с
корреляционной функцией
360

Kir) = a = a e (5.94)
a ao ai
могут быть описаны и погрешности акселерометров а (/), а (/),
a (/). Параметры а , а и д также могут быть определены методами
численного эксперимента. При этом значения a , а и м оказываются
приблизительно равными:
За = 1,1...1,ЗДа"; За = 1.1... 1,2*' п g;
аО 0 а\ 1 ср
д = 5...10 мин,
а
где Да , * - максимальные значения для случайных коэффициентов
(5.92), п - средняя горизонтальная перегрузка на маршруте.
ср -1
В силу относительной малости коэффициента временной корреляции д
по сравнению с периодом Шулера (84 мин) в некоторых случаях шумы
акселерометров описывают "белым" шумом непрерывного либо дискретного
вида. При этом интенсивность g для "белого" непрерывного шума
берется равной 2а д , а дисперсия g для дискретного "белого" шума
2
соответственно равна g = a .
Из (5.93) следует, что дрейф гироскопа со (/) как случайный процесс
может быть описан с помощью следующей системы стохастических
уравнений:
z. = 0; zlt) =zin; z G N(0. а );
(5.95)
Z2 = Л*2 + ^гЛ Wl W = V *20 € Wa arlK
где w - "белый" шум единичной интенсивности.
Пример. Считая, что для обработки сигналов от ИКВ применен
алгоритм (5.77), (5.78) счисления координат с коррекцией углов и
скоростей, с помощью уравнений (5.81) требуется провести
моделирование погрешностей ИКВ в полете.
361

На основании (5.85). . . (5.90) некоррелированные дрейфы гироскопов
louiei
М-
со,, о> , СО л можно записать в форме следующих соотношений:
в 1 в2 вЗ
♦ f!at,) ♦ oE[[CL.a , ♦ 0. 5£2#2a*2»» МНф * ф )]:
4 < 3 5 £ 1? в вг
♦ fV,) ♦ (гЕ^Га^а , ♦ О.б/лРсоЛ» sin2(^ ♦ ^ )]; (5.96)
4 f 3 5 с п в вг
/-/-
Wb3(/> " %^0 * °1(£?^ * ^V* * ^О е " {^А *
* с а ,) * oJEaq ,ol ♦ 0.5# sin2# cas(# ♦ # )].
4 ту 3 5 17 S ввг
где Г — отклонения температуры гироскопа от номинальной в начальный
момент времени Т .
1 1 w&
Поясним величины, входящие в (5.96). Здесь £ , £ £7 —
U 1 о
независимые случайные величины, распределенные по закону Л/(0.1); a ,
сг , a , a — среднеквадратические значения (5.90) постоянного,
1 Z о
линейного, теплового и аиизоэластичного дрейфа гироскопов. В (5.96)
принято, что отклонение температуры Г гироскопа от номинального
значения стремится к нулю в процессе разогрева по экспоненциальному
закону с постоянной времени Г .
п
Анизоэластичный дрейф, обусловленный вибрационными перегрузками со
среднеквадратическими значениями
N - Afeim» , N » cost» ш(ф + ф );
Z в X ввг
N * Afcostf cos(^ + ф ), ф « ф - А, (5.97)
у в в г г
362

WfM/c
600
WO
200
W= 660м/с
И Разгон, торможение 1
I с ускорением*0,5м/с*\
1 1 ' '
W=2Mm/c
Рис. 5.19
1 2 3 Ь 5 6 7 t,4
Рис. 5.20
задается в (5.96) с помощью трех параметров: среднеквадратической
амплитуды N и двух углов д и ф , определяющих направление вибрацион-
в в
ных колебаний относительно корпуса самолета. Выражения (5.97)
вытекают из рис. 5.19. Заметим, что д н ф представляют собою случайные
в в
величины, распределенные по равномерным законам
0 € /ад-яг, тг], ф £ Я[0. 2тг].
Решая совместно соотношения (4.88)... (4.94), (5.81), (5.91) и
(5.96), получим погрешности а. /J, у. AV„ , AV ,, QAB, GcosBAL и АА
как функции времени i.
Моделирование погрешностей ИНС по изложенной выше методике
проводилось для маршрута: ИПМ Мурманск (В- 68 , L - 33 ), ППМ1
(В - 72°. L - 30°), ППМ2 (В » 56°, L - -20°), ППМЗ (В - 30°.
L » -70°). ППМ4 (В, - 24°. L - -3.15°). КПМ Гавана (В - 23°. L -
3 4 4 5 5
- -32 ).
Предполагалось. что скорость на маршруте изменяется по закону.
изображенному на рис. 5.20. причем ускорения на разгоне и торможении
2
берутся равными ±0.5 м/с . Время полета оказалось равным 8 ч 20 мин.
Вычисления проводились при следующих значениях параметров (5.90).
(5.92) для погрешностей акселерометров и гироскопов:
О « 0.033°/ч » 0.16'Ю"6 1/с;
О - 0,25°/(ч'£) * 12-Ю"5 1/(с'£);
oj* ш 0,05°/(ч'£) = 0.24-10"6 [1/<с£)1; Т « 15 мин:
2 0 ° п

0,033°/(ч g) • O.I6IO"6 [l/cg2)]: N
N - N
У *
1;
0.17-10
0.017 %;
Ол- 0.33-10 g: Оа{
а^^-О.ЗЗ-.oV.
Среднеквадратические
принимались следующими:
- 0; О
0.3310
02
0,3340'V1;
погрешностей
начальной
а0
"АЛ.
»
а * 1' - 0.340
70
-3
*д^
-3
3' - 0.9-10 ; (Ю
дв.
^^0 AL0
1 м/с;
- о.47Ч0"4а
выставки
300 м.
0 0
Все нормальные случайные числа N (0.1) в численном эксперименте
брались из подпрограммы "датчик случайных нормальных чисел".
Результаты моделирования представлены на рис. 5.21. Из них видно.
что погрешности по углам /3(f) и
р?Т> Угл-мин
0,s.
^y^Wb
1
по скоростям AVt,(t),
имеют явно выраженный
Рис. 5.21
y(t) и
AV At)
V
колебательный характер с
периодом Шулера. Кроме того, из
результатов численного
эксперимента также следует. что средние
значения этих колебаний смещены
относительно нуля, а погрешности
QAB(t), GctxBAL(t) и AA(t)
имеют тенденцию к увеличению
пропорционально времени полета.
5.6.2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ИНС
Все линейные модели для
погрешностей ИНС, выведенные в
подразд. 5.4, могут быть
дополнены стохастическими
дифференциальными уравнениями вида (5.95),
которые описывают дрейфы
отдельных гироскопов и акселерометров.
364

Такие расширенные системы дифференциальных уравнений могут быть далее
записаны в стандартной для линейных стохастических систем форме:
z(t) = A(t)z(t) * Bu(t) ♦ with z(t0) e N(m0p0h
Mw(t * r)w(r) = Q(t)d(r)t (5.98)
которая и называется стохастической моделью ИНС.
Рассмотрим составление стохастической модели вида (5.98) на
примере инерциальной курсовертикали, погрешности которой описываются
уравнениями (5.81). При составлении модели погрешности акселерометров а
и а будем считать независимыми "белыми" шумами w. и w с интенсив-
В^ 2-12
ностями q = 2а д , где а и д величины, фигурирующие в формуле
(5.94).
Дрейфы со . со л и со л опишем каждый в отдельности с помощью
в1 в2 вЗ
соотношений (5.95). В таком случае можно ввести 14-мерный вектор
состояния z(t) = (zt = a, zo = 0, z = 7. * = AVt, , г = AV ,, * =
1 J о 4 £ О I} О
= ДВ, z7 = AL, zfi = АЛ, z9, zlo, zn> z|2§ z^ z^), в котором
первые восемь фазовых координат а, 0 АД описывают собственно
состояние ИНС, а последние шесть - описывают состояния гироскопов
платформы по трем ее осям. При этом фазовые координаты z и z описывают
постоянную составляющую (г ) и флюктуащюнную составляющую (г ) для
«J 1U
дрейфа со первого гироскопа в выражении (5.95). Аналогично (ztt,
Bl 11
z ) и (z , z ) описывают соответствующие составляющие для уходов
\1> 1*5 14
со и со второго и третьего (курсового) гироскопов.
В* Во
На основании сказанного из (5.81) и (5.95) вытекает следующая
стохастическая система:
а) гх - a V^ - a V^ ♦ ,|3 ♦ z^ xfa) = V
b)*3 = ^"4 + Z1I+Z12'Z3(V = 230:
Д) К * *2 + V*13 + Z14) + «V W = V
(5.99)
365

e) *6 = *1{-*Е z\ " Z4SinA + 'б0084 " VE V' *6(V = zeo:
ж) z = (acosB)" [V» z + z cos/1 + z siib4 + V„ z ]
♦
2„v-l
MooosB) V£ stab,. z7(/Q) = z7Q;
з) zQ = a" igBiVjj zt + z^co&A ♦ zcsiib4 + VkI z) +
о /V 1 4 5 /V о
И) Z9 = °' VV = V
к) *ю = Лжю + "".o1 2io(V = 2io. o: (599)
л)21.=0'211('о) = 2... o:
M) 212 = "Vl2 + «V 212<V = 212. 0=
H) 213 = °' ZM = Z!3. 0;
o) z = -it z + w t z (t ) = z
' 14 r 14 14' 14V 14. 0
Соотношения (5.99) и представляют собой искомую линейную
стохастическую модель ИКВ, задаваемую в стандартной форме (5.98). При этом
матрица А для этой формы легко может быть написана на основании
(5.99). Читателю предлагается это сделать самостоятельно. Матрица В
(и весь сигнал В ) в данном случае является нулевым. Это вытекает из
того, что методические погрешности в рассматриваемом случае
отсутствуют, так как они были скомпенсированы ранее с помощью алгоритма
коррекции (5.77). У матрицы Q только пять ее элементе» являются
отличными от нуля, они соответственно равны
«44 = «55 = -J—' «10. 10 = «12. 12 = «14. .4 = \i^ <5Л00)
. а
где о и д - величины, входящие в корреляционную функцию (5.94), а
а . и м - величины, входящие в (5.93).
г1 г
Для полного задания стохастической системы вида (5.98) для
ИКВ осталось определить ковариационную матрицу Р для векто-
366

выставки инициальной системы. Режимы выставки в данной книге не
рассматриваются, и в первом приближении матрицу Р можно считать
диагональной со следующими значениями диагональных элементов:
>п =
^66 "
2
о ; р =
а0 F22
аДВ0: Р77
2
= о : D
До> * 40. 10
Р = <
р33
2
= /?12.
2
|: ^88
12 "
V ри
2
= аДА>:
^14. 14
-Чь
Р99 "
2
i
2
= °AV0:
''l 1.11 ~
>
'и.
13 ."
(5.101)
2 2
где °л,л и аАги представляют собой дисперсии в погрешностях
определен Aaij
ления постоянной и флюктуационной составляющих дрейфов (5.95)
гироскопов в результате выставки инерциальной системы.
Заметим, что стохастическая модель (5.99...5.101) позволяет решить
очень важную задачу, заключающуюся в вычислении ковариационной
матрицы Pit) для погрешностей ИНС, возникающих в полете по известному
(заданному) маршруту. Эти вычисления проводятся на основании формулы
(1.31). В данном случае, когда порядок л системы (5.99) равен 14,
2
система диффере*щиальных уравнений (1.31) имеет 0,5(л + л) = 105-й
порядок.
Кроме того, вместе с ее решением необходимо также проводить
вычисления и по алгоритму (4.88)...(4.94), с помощью которого для
выбранного маршрута подсчитываются величины V^,, V ,, Vpt Vw, А В,
входящие в элементы матрицы А. Учитывая, что алгоритм (4.88)...(4.94)
включает в себя решение системы дифференциальных уравнений 12-го
порядка, можно сделать вывод о том, что вычисление матрицы P(t) по
формулам (1.31) представляет собой очень громоздкую задачу в плане
вычисления. Далее мы вернемся к вычислению матрицы P(t)t но сначала
рассмотрим дискретную стохастическую модель ИКВ. Заметим, что
дискретные модели для инерциальных систем находят применение во многих
задачах, связанных с обработкой информации от инерциальных гироплат-
форм.
Для каждого типа ИНС ее дискретная стохастическая модель, как и
непрерывная, будет иметь свои отличительные особенности. В данной
книге ограничимся выводом дискретной модели только для ИКВ. При этом
методика, примененная для получения дискретной модели ИКВ, может быть
распространена и на другие типы ИНС.

Для перехода от непрерывной модели ИНС (5.98), (5.99) к дискретной
модели вида
VVft-i^V^'o^o'V (5Л02)
где
zk= {ае <V V AVvk> AVv<k> *** "-к *V zw zxw
zue znk% z\2k% z\4k)t
необходимо проинтефировать линейную систему дифференциальных
уравнений (5.98), (5.99) на временном интервале [/- , /,]. При этом
точное решение этой системы, записанное в интегральной форме, имеет
вид
'ft 'ft 'ft
Zk = *ft-l + I A{r)z{r)dT * f B(r)u(r)dr + f w{r)dr. <5-103>
'ft-l 'ft-l 'ft-l
Проинтегрировать в "квадратурах" такую сложную систему как (5.99),
т.е. записать ее решение в элементарных функциях, не удается. По этой
причине проведем решение интегрального уравнения (5.103) приближенно,
с учетом своеобразия погреилюстей инерциальных систем.
Если временной промежуток Г = /- - /, много меньше, чем период
Шулера (84,6 мин) либо время корреляции д = (30...60 мин) дрейфа
гироскопа, то изменение вектора фазовых координат z, - z, на этом
промежутке является незначительным. Предположим, что Г не превосходит
1,5 мин. В таком случае вектор г(т) в первом интеграле в (5.103)
можно считать постоянным и равным z(t) = z(t, - 1) = z, . Второй
интеграл в (5.103) может быть вычислен точно. Третий интеграл
■V I
ft
w(r)dr (5.104)
представляет собой дискретный "белый" шум с корреляционной
368

матрицей Q. = Q(r)d(r)t где Q(r) - интенсивность непрерывного
"белого" шума 1ю(т),
В таком случае соотношение (5.103) может быть записано в следующем
приближенном виде:
Zk =
Е*
| АШт
zk-rBkuk-i*wks
lk-l
'*
Ф, = Е ♦ [ АШт.
t
(5.105)
(5.106)
Из последнего следует, что фундаментальная матрица Ф, для любого
типа инерциальной системы с достаточной точностью может быть
подсчитана по формуле (5.106). Рассмотрим теперь вычисление фундаментальной
матрицы Ф- для ИКВ, непрерывная стохастическая система для которой
задается соотношениями (5.99).
Для вычисления первой строки искомой матрицы Ф, приведем
приближенное интефирование первого уравнения в (5.99), считая, что фазовые
координаты на отрезке интегрирования изменяются незначительно и могут
быть равны их значениям на левом конце интервала. В таком случае
будем иметь
/,
*lftB *l.ft-l +
'■' J'г
Шт
'г.кл
'*-!
а1 \Чп.Шт
*3.*-.+7W.+7W.
(5.107)
lk-l
369

Подсчитаем в последнем выражении выходящие в него интегралы. При
этом примем во внимание, что фазовые координаты z , г z
представляют собой погрешности, т.е. могут рассматриваться как
величины первого порядка малости. В таком случае вычисление интеграла
в (5.107) можно вести с точностью до величин первого порядка малости.
С учетом сказанного имеем
v К«*- I(V«'\a)i" k
(г)*
'*-! '*•! '*-!
'*
■ J
(VF co&A - Уд, s\nA)dr.
Заметим далее, что коэффициенты непрерывной системы (5.99) включают в
себя как величины, изменяющиеся значительно на интервале
дискретности, так и изменяющиеся очень мало. К первым (обусловленным
виражами самолета) относятся проекции скоростей V*,tf). V ,(0. Vp(t)>
Vw(/), VAt). К величинам, которые на интервале дискретности медленно
меняются во времени почти по линейному закону, относятся координаты
B(t), L(t) и угол A(t). Можно считать, что они являются постоянными
на интервале дискретности и равными их средним значениям:
Ш) . XT(Lk{ ♦ Lk) = Lk;te [tki, tk]; (5.108)
С учетом последнего замечания вычисление интеграла J может быть
продолжено:
'* '*
J{ = cosAk I (WE ♦ аПсо&В)<1т - siiu^ J VN dr =
370

= cos^acosB^tf.^ - Lk ) * ОТ] - sin^afB^ - Bft_ J). (5.109)
Аналогичным образом имеем
'*
IV*!
'*.,
'*
-I
<*.,
= sinAocosBJ(L, - ^ ,) ♦ ЙП + cosAka^Bk ~ Bk ?'
В таком случае из (5.107). (5.108) и (5.109) следует, что элементы
первой строки матрицы Ф,, не равные нулю, будут
„1>3 - - sinA^B^ - Lkl) ♦ аГ\ - cosAk(Bk - Bkl);
*1.13 = Г:*..14 = Г
Применяя указанный метод и для других уравнений стохастической
системы (5.99). получим остальные ненулевые элементы матрицы Ф,.
Ниже даны их значения по строкам:
*2.2 = 1: *2.5 = ^"'7': *2.9 = Т; »!,1в = Ь *3.3 = ,;
*3.4 = -*ХТ' НМ = Т' *3.« = Т" "4.3 = 8h *4.4 = 1:
Vl3 = ^4.14 = %.3: ^5.2 = g '' ^5.5 = '' ^5.13 = ^5.14 = "^Х.Г
V>6 , = -<х*ВкЩ ~ ^.,)■♦ ЯТ]; v6 4 = -a"'rsiluft; (5.110)
\5Sfl"'H:V6=l!V8 = Vi:
*7.l = """'ЧЛ " В*-1): *7.4 = ПвявВ^-'ооеЛ^
371

*7.5 = naccsB^1^; Ьл = tgS^ - Lkx) ♦ ar\:
*7.7-1:*7.в"*7.1:
V 1 - ^7. Г V< = ^T.*1 *8.5 " ***7Л1 (5ЛЮ)
*8.6 - ~'tya* - Lk_t) ♦ «1: *8>8 = 1 ♦ Vl: V, = 1:
*I0.10 = e Sl-Mrr: Vll = I: ^12.12 = *10.10:
*13.I3 " : *14.M " ^10.10*
Ненулевые элементы матрицы Q в (5.105) будут равны
^44 " ^55 " д : ^10.10 " ^12.12 " ^14.14 "
-2дГ
= а2 II -е г ) * 2о2аТ. (5.111)
Г1 Г1 Г
Представление модели ИНС в форме (1.25) или (5.105) позволяет
вычислить корреляционную матрицу /\ для погрешностей ИНС по формуле
(1.27).
На рис. 5.22 приведены графики для утроенных среднеквадратических
значенийЗфдй = 3(?Vp , 3GcosBa . = 3G-cosBfy погрешностейQAB
и GcosBAL инерцнальной системы в определении координат летательного
аппарата на маршруте, описанном в примере разд. 5.6.1.
При подсчете матрицы Р- среднеквадратические а и а значения
постоянной и флкжтуаиионнои составляющих дрейфа гироскопа принимались
Равными: а_л = а 1 = 0,05 /ч, радиус корреляции /х - 1 ч. а
ги г! г
параметры "белого" шума, описывающего шумы акселерометров,
соответственно - a = 0.4*10 gt д =15 мин.
Погрешность Д^, в измерении курса фЦ) = ф (t) ♦ A(t) самолета -
372

3Q6B,3Gco$B 6L? km ;36^угл.мин
8 t,4
Аф. = a, + ДА,. В таком случае среднеквадратическое значение
a, (/,) погрешности Аф< может быть подсчитано по формуле
а. = о ♦ р + 2d .
фи 41 ИЪ8 М8
к
Зависимость За. (/,) для рассматриваемого маршрута приведена на
рис. 5.22.
Из графиков, изображенных на рис. 5.22, можно сделать вывод о том,
что справедлива следующая приближенная формула для подсчета средне-
квадратических величин а., a~, о»Вад. погрешностей в определении
курса и координат местоположения самолета:
V> = W> - «BW'alW - *r0(' - V- (5-112>
Для рассмотренного примера при / = 8 ч на основании формулы
(5.112) имеем
За, = 3-0,05 °/ч-8ч'60 = 72';
Ф
2Qa
ДВ
SCcosBa^ . Затдд - ЗасскВа^ =
= 3-6,37-103км0,05 7ч-8ч (57,3)"! = 133 км.
Если сравнить эти значения с расчетными (см. кривые рис. 5.22,
когда За, = 95', 3QaдД = 130 км. 3GcosBo . = 150 км), то совпадение
точных значений с приближенными можно считать достаточно хорошими для
предварительных инженерных расчетов.
373

5.7. БЕСПЛАТФОРМЕННЫЕ ИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
5.7.1. ПРИНЦИПЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БИНС
В бесплатформенных инерцдальных системах навигации блоки
акселерометров и гироскопов разделены. В этих системах акселерометры
устанавливают непосредственно ка самолете. Их задача - измерять вектор а =
= w - g кажущегося ускорения. Задача гироскопического блока -
реализовать на борту инерциальную систему отсчета. Эта задача решается с
помощью свободных гироскопов (1-й вариант построения) либо -
гироскопических измерителей угловой скорости (2-й вариант построения).
Поясним принцип работы бесплатформенных систем для случая, когда
гироблок включает в себя свободные гироскопы. Они могут быть в общем
случае ориентированы в инерциальном пространстве произвольным
образом. Но для определенности будем считать, что один из них
направлен по Оси мира, а другой - в точку у весеннего равноденствия
(рис. 5.23, а). В таком случае эти гироскопы реализуют на борту
систему координат X Y 1 (см. рис. 5.23, б), которая не вращается в
инерциальном пространстве. Проектируя вектор a(t)t измеряемый блоком
акселерометров, на оси X , Y , 1 получим величины av (/), cl, (t) и
и_ и и ли г и
a- (t) проекций вектора a(t) на указанные оси. Величины а„ (/),
Оу (t) и а7 (t) могут бьрть записаны в виде
aY(t)
ли
X -
и
«А:
хю
и О
х-,х а л
нО и О
иО'
Оу (t) = Y -gv;
f И И f И
Y Ю = У .; У Ю = Y -,
и 0 иО и 0 иО
a7(t) = Z -g7
(5.113)
Рис. 5.23
2 (U = Z-. Z Ю = 1
и 0 нО и 0 иО
где X , Y , Z - координаты
НИИ
местоположения самолета
относительно инерииальной системы
координат X Y Z ; gY , gv ,
НИИ ЛН /И
374

g7 - проекции вектора g интенсивности гравитационного поля на оси
X , Y, Z.
НИИ
Заметим, что декартовы координаты X Y 1 (см. рис. 5.23) связаны с
геоцентрическими координатами (/?, <р> X) простыми соотношениями
R = Л2 * Y2 + Z2 ; <р = arctg и ; (5.114)
ним ■
,^Г„2
Г
у ИИ
X = arctg -тг— N. 7г] - S ,
Л ГО
и
где S - гринвичское звездное время.
гр
На основании известных координат Л, <р, X и X , У , Z по формулам
НИИ _
(2.113) и (2.115) можно вычислить проекции g„ , gy , g_ вектора g
*Хи = (^3C0Sv? " «2Sta*)C0Sfo + Srp):
£v = (gjoastp - £0siity)sin(X ♦ S ): (5.115)
/И о Z Гр
Вертикальный канал инерциальнш систем является неустойчивым.
Поэтому здесь мы будем считать, что имеется внешняя по отношению к
ИНС информация о значении радиуса R и вычисление векторов g и g ь
It О
формулах (2.113) осуществляется на основании этих данных о Я.
Построение вертикального канала для ИНС с учетом внешней информации будет
рассмотрено в гл. 6.
Из соотношений (5.113), (5.114) и (5.115) вытекает схема алгоритма
(рис. 5.24) для вычислений текущих координат <pt X, Л, производимых в
бесплатформенных инерциальных системах.
Иногда бывает необходимо вычислять не только текущие значения
геоцентрических координат (<pt X, Я), но й текущие значения
геодезических координат (В, L, Л). В этих случаях по формулам (2.10) и
(2.12) (с учетом угла S в формуле 2.1Q) могут быть вычислены
гр
соответствующие геодезические координаты. Далее будем считать, что
при функционировании БИНС координаты (В, L, Л) являются известными
вместе с координатами (^, X, Л).
375

блок

акселерометров
Блок
\гирас капов
<*хи
alt)
Вычисление
проекций
пЧ 1—
а™ |>(9\—
—1 1 )
\ Qzh
(*, p>Y) I вариант
П вариант
L.
1
0у*
f'МО
*и
1 rw . L».
W 1
Yn I ho 1 р <: \\
—] ?УИ. р— i'r*A»Ki:>rp) |
-с: "" _ _ л-1
Вычисление
(5.114)
R
1Г
Л^
7и Рис. 5.24
Рис. 5.25
Алгоритм (см. рис. 5.24) работы бесплатформенной системы будет
полным, если мы рассмотрим работу вычислительного блока,
проектирующего вектор a(t) на оси X , У , 1 инерцдальной системы координат.
Рассмотрим сначала алгоритм проектирования для случая свободных
гироскопов. Пусть гироблок, покоящийся в угловом движении
относительно инерцдального пространства, помещен в карданный подвес со
следящей рамой (рис. 5.25). С гироблоком связана система X Y Z
ими
инерцдальных координат. С самолетом свяжем систему координат х у z
так, как это изображено на рис. 5.25. От системы координат X Y 1
НИИ
тремя поворотами на углы ajH) (рис. 5.26) можно перейти к системе
х у z . Углы а, /3 и у представляют собой реальные углы поворота
соответствующих осей подвеса: a - угол поворота гироблока
относительно внутренней рамки; /3 - угол поворота внешней рамки
относительно следящей рамки; у - угол поворота следящей рамки
относительно корпуса самолета. Указанные углы измеряются датчиками углов
(рис. 5.25).
376

Переход от системы х у z к системе
X Y Z задается матрицей V направляющих
НИИ
косинусов (см. рис. 5.26):
[ х
и
у
и
1 и J
= V
Х{
ух
. гх \
»»
II
>21
1>
31
12
>22
32
13
>23
Я
33
Рис. 5.26
COSaCOS/3
sinacos/3
—sin^
s i nas i 117+cosas in^cos7
-4:osas i 117+sinas i n0cos7
COS^COS7
s i nacos7-4:osas i n/3s i П7
-cosacos7-sinas i n/3si П7
-cos/3sin7
(5.116)
Матрицу V можно определить и для случая, когда блок не
располагается в карданном подвесе. Например, у свободных гироскопов с
электростатическим или электромагнитным подвесом возможно снятие
сигналов углового положения с помощью оптических неконтактных устройств.
При этом угловое положение (матрица V) определяется в вычислительном
устройстве по информации о мелькании специальных узоров, нанесенных
на роторы гироскопов.
На рис. 5.27 изображены два шаровых гироскопа с узорчатыми
поверхностями. Будем считать, что ось вращения первого гироскопа П
направлена на Оси мира, т.е. по оси 1 (см. рис. 5.23, а), а ось вращения
второго гироскопа Г2 направлена в точку весеннего равноденствия 7.
т.е. по оси X .
и
На корпусе каждого гироскопа устанавливаются (см. рис. 5.27) по
три объектива, воспринимающих в точках их расположения бег узоров
вращающегося ротора. При такой конструкции объективы оказываются
жестко связанными с самолетом и при угловых движениях перемешаются
относительно поверхностей роторов обоих гироскопов. Будем считать,
377

что оптические оси объективов параллельны строительным осям самолета
х , у иг, Обработка оптической информации в специальном
вычислителе позволяет определять текущее значение угла между осью каждого
объектива и осью вращения ротора. Из сказанного следует, что гироскоп
Г2 (см. рис. 5.27) дает возможность измерять углы (косинусы углов)
между осью X (см. рис. 5.23, а, 5.26) и строительными осями х t у и
z самолета.
Таким образом, гироскоп Г2 дает элементы $ХМ), #,„(')» ^,оМ
11 \& 1о
первой строки матрицы V(t) (5.116), а гироскоп П, направленный по
оси Z , дает элементы &~М), #~0W» ^о*М третьей строки матрицы
V(t). Учитывая известные свойства ортогональных матриц, три элемента
второй строки матрицы V(t) могут быть точно вычислены по элементам
первой и третьей строк. Таким образом, два шаровых гироскопа, опоры
которых установлены непосредственно (без карданных подвесов) на
корпусе самолета, дают возможность непрерывно измерять матрицу V(t)
(5.116).
Заметим далее, что для вычисления всех девяти элементов матрицы
V(t) необходимо и достаточно измерять только четыре угла между осями
вращения гироскопов и оптическими осями объективов, так что число
объективов может быть уменьшено до двух у каждого гироскопа. Подробно
этот случай в данной книге не рассматривается.
При изложенном способе реализации (см. рис. 5.27) инерииальная
система первого типа становится в прямом смысле бесплатформенной.
378

Пусть акселерометры жестко установлены вдоль осей х , у , z
самолета и измеряют проекции а , а , а кажущегося ускорения. Тогда
искомые величины aY t cl, t а7 могут быть подсчитаны по формулам
Ди Г и lm
Хн 11 дг1 12 у\ 13 zl
а., = Ф а + Ф а + Ф а :
Ти 21 JC1 22 yl 23 г\%
Zh 31 ДГ1 32 у\ 33 Z1
(5.117)
Соотношения (5.116) и (5.117) задают алгоритм работы блока
вычисления проекций а„ , о, , а- для случая свободных гироскопов.
Выставка бесплатформенной системы со свободными гироскопами сводится
либо к реальной выставке этих гироскопов вдоль Оси мира и линии
равноденствия, либо к учету положения свободных гироскопов в момент
старта по отношению к этим линиям.
Рассмотрим теперь алгоритм вычисления проекций для второго
варианта бесплатформенных систем, когда блок измерителей абсолютных
угловых скоростей самолета выдает данные о проекциях со (/), со (/),
а -
со At) вектора * со (/) на оси х,, у, и z , жестко связанные с
zl a 111
аппаратом.
В этом случае матрица V(t) направляющих косинусов может быть
вычислена с помощью формулы Пуассона. В под раз д. 4.3.2 мы вывели
соотношение (4.37) для матрицы направляющих косинусов, которая
преобразует неподвижную систему координат в подвижную (см. 4.33). В
рассматриваемом случае матрица V(t)t наоборот, преобразует подвижную
систему координат х у z в неподвижную X Y 1 . По этой причине для
нее будет справедливо соотношение (4.37), если в нем слева и справа
провести операцию транспонирования:
V(t) = - V№ra(t) = V№Jt). V(tQ) = VQ;
П (/)
a
а а л
-co , со ,
z\ y\
CO
z\
0
-co
x\
a a
-co f со . О
y\ x\
(5.118>
379

Из изложенного видно, что алгоритм определения проекций а„ , а, ,
н и
а~ во втором варианте бесплатформенных систем сводится к решению
девяти дифференциальных уравнений (5.118):
v
а а
21 22 z\ 23 у\
а а
22 23 х\ 21 z\
а а
v = v со - v <а) :
23 21 01 22 JT1
а а
v.ju . - it со 4
11 12 zl 13 i/l
а а
31 32 zl 33 у\
у = (| (о -Ц (о ; Ц ={| (о -О (J ; (5.119)
а а
32 33 JTl 31 Z\
а а
и = у со — v со
13 11 tfl 12 JC1
а а
33 31 (/1 32 ДГ1
и вычислениям по формулам (5.117). Задание начальных условий в
(5.119) представляет собой выставку бесплатформенной инерциальной
системы с измерителями угловой скорости.
Сделаем несколько замечаний о вычислении (5.119) матрицы
направляющих косинусов V(t). Для ее получения необязательно решать всю
систему дифференциальных уравнений девятого порядка (5.119). Можно
ограничиться решением подсистемы шестого порядка для второго и третьего
столбцов матрицы V(t)t а элементы первого столбца находить исходя из
свойств ортогональной матрицы. Таким образом мы уже поступали,
например, в алгоритме (4.45). Однако вычислительный выигрыш от
использования такого приема оказывается небольшим, так как правые части системы
(5.119) простые, а вычисление элементов первого столбца по элементам
других столбцов требует тоже определенных вычислительных затрат.
Для вычисления матрицы V(t) вместо уравнений Пуассона (5.119)
можно применить параметры Родрига-Гамильтона. При этом по известному
(входному) вектору [со (/), со (/), со (/)] на основании (4.78) могут
быть найдены величшш р, р , р и р . Эта процедура требует решения
U 1 Z о
системы дифференциальных уравнений только четвертого порядка. Далее с
помощью формул (4.76) могут быть определены все девять элементов
матрицы V(t). Последний способ с вычислительной точки зрения является
наиболее экономичным. Однако по указанным выше причинам выигрыш здесь
380

тоже является небольшим. Поэтому в дальнейшем изложении при решении
задач о нахождении матрицы направляющих косинусов по известному
вектору о> (/) мы будем использовать уравнения Пуассона, а читатель
может их легко заменять на указанную процедуру с использованием
параметров Родрига-Гамильтона.
Бесплатформенные системы по отношению к системам с платформой
имеют свои достоинства и недостатки. К достоинствам этих систем
относится возможность использовать в них криогенные,
электростатические, а также лазерные гироскопы и астрономические телескопические
системы. К недостаткам следует отнести тяжелые условия работы
акселерометров, а для систем второго варианта также потребность в БЦВМ,
которая могла бы с высокой точностью и большим быстродействием решать
систему дифференциальных уравнений вида (5.119).
5.7.2. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ КУРСА.
КРЕНА И ТАНГАЖА
Измерение углов курса ^, тангажа # и крена у у платформенных ИНС
осуществляется с помощью датчиков углов, размещенных на
соответствующих осях платформы (см. рис. 5.4, 5.7 и 5.10). У бесплатформенных
ИНС, когда известны лишь текущие значения матрицы V(t) и координат
ВЦ) и Ш), указанные углы могут быть только вычислены, а не
измерены непосредственно.
Репер J JJ~ (см. рис. 4.7) геодезической системы координат связан
с ортами X Y Z прямоугольной системы с помощью соотношений
hi
г*
l/. J
= N
Г ЛГ I
и
и
iz J
-*in(L+S )
гр
: cos (L+S )
rp
: о
N = I -4:os(L+S )sinB : -sin(L+S )sinB : cosB
rp • rp
cos(L+S )cosB : sin(L+S )cosB .' sinB
rp rp
Связь между трехгранниками /./0А- и х у z (x у г
l 4 о ill 111
(5.120)
трехгранник,
381

жестко связанный с самолетом, см. рис. 4.4, 5.27) задается, в свою
очередь, с помощью соотношений
1
I/
1
1
costein^ I sin7COs^-sin^cos7Sin#
cos&x>s^ ! -sin7Sin^-cos7sini?cos^
sintf .' cos7COSi>
(5.121)
cos7Cos^+sin^sin7sin^
-sin^cos7+cos0s i nTS i n^
-siivycostf
где ф, #, 7 - углы курса, тангажа и крена самолета.
По определению матрицы V имеем
х.
LZ
l z
В таком случае из (5.120) и (5.121) получаем, что V = N С и.
следовательно,
C = NV. (5.122)
Вычисляя матрицу С = <С> по формуле (5.122). далее мы на
основании (5.121) можем вычислить искомые значения углов
ф = Arctg -^— [0, 2я];
21
t» = arclg
arctg
31
32 33
[ir/2, jt/2];
(5.123)
33
[-ir. ж].
32
Заметим, что вычисление матрицы N (5.120) позволяет определить
проекции Уд., Vp, V- вектора абсолютной скорости V самолета
(5.124)
Г*1
г»
lV
= N
ЛИ
vv
/И
IV- J
Zh
382

и проекции W^t Wp, W- и его земной скорости
W
N
VNf WE
VE - GflcosB, Wz = Vz
на оси геодезического репера.
Добавление к основной вычислительной схеме БИНС (см. рис. 5.24)
алгоритмов (5.120), (5.122)...(5.124) позволяет определять с помощью
БИНС углы курса, крена и тангажа, а также горизонтальные составляющие
скорости самолета.
5.7.3. АЛГОРИТМ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БИНС
Выше был изложен алгоритм функционирования БИНС, позволяющий
определить текущие значения геодезических координат самолета, его
путевых скоростей, а также углов ф, # и у положения в пространстве.
Рассмотрим теперь другой алгоритм, решающий ту же задачу. С
вычислительной точки зрения предлагаемый ниже алгоритм эквивалентен уже
изложенному, так как входные и выходные сигналы обоих алгоритмов в
случае их идеального функционирования совпадают. Однако предлагаемый
далее алгоритм обладает определенными преимуществами, которые будут
изложены ниже.. Рассмотрим его работу по отдельным вычислительным
блокам, входящим в его состав.
Блок № 1. Определение матрицы V по формуле (5.118).
Блок № 2. Совпадает с блоком № 2 (5.31) алгоритма в подразд.
5.3.2. В нем вычисляются угловые скорости со.., со , со*, геодезического
опорного трехгранника £т£ (см. рис. 4.7), движущегося в азимуте в
режиме ГПК, а также матрица U перехода от системы XYZ к системе Ы и
геодезические координаты В, L самолета вместе с углом А. Заметим, что
в данном блоке Wy9 W и Wy считаются известными.
Блок № 3. Вычисление матрицы D, связывающей координатные
трехгранники Ы и х у z :
D = UMVt
U
= D
1
(5.125)
где Ut V - матрицы, определенные в блоках № 1 и № 2,
cosS siaS 0
гр гр
М = I -siaS cosS 0
гр гр
0 0 1
383

Формула (5.125) следует из цепочки равенств
[* 1
п
U J
= и
\ X]
У
VZ \
= им
\х 1
и
Y
и
Z .
= UMV
\xl]
V,
1
. Z, \
hi
п
lv
= D
\axl]
ayi\
Ч. J
Блок № 4. Вычисление проекций cl . а . а. кажущегося ускорения а:
(5.126)
/мок Л& 5. Совпадает с блоком № 1 (5.30) алгоритма под-
раз д. 5.3.2. В этом блоке вычисляются горизонтальные W» и W земные
скорости самолета и его вертикальная скорость W^. Кроме
самостоятельного значения этих параметров полета они также необходимы для
функционирования блока № 2 данного алгоритма.
Блок № 6. Вычисление "гироскопического" (относительно оси rj)
ф и географического ф курсов самолета, а также его углов крена у и
г
тангажа i>.
Из (5.125) по аналогии с формулами (5.123) следует, что
Фг = Arctg ~
11
21
[0. 2тг]; ф = ф + А;
г
# = arctg
31
32 33
И/2, тг/2];
(5.127)
у = Arctg -5 Нг, я].
32
Достоинством данного алгоритма по отношению к алгоритму,
изложенному в подразд. 5.7.1 и 5.7.2. является то. что в нем
подобно платформенным ИНС явно выделены и разделены друг с
другом горизонтальные (устойчивые) каналы и вертикальный
(неустойчивый) канал, что позволяет вести обработку информации в этих
каналах раздельно. Это обстоятельство является очень важным, так
384

как вертикальный канал с принципиальных позиций может работать
только в комплексе с другими датчиками вертикальной
информации (баровысотомером, СРНС, вариометром и т.д.), а горизонтальные
каналы БИНС могут работать как в автономном, так и комплексном
режимах.
Кроме того, данный алгоритм позволяет измерять угол
гироскопического курса в режиме ГПК - очень важный параметр для управления
самолетом на ортодромических и других кратчайших маршрутах (см. подразд.
4.5.2).
5.7.4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ
ПОГРЕШНОСТЕЙ БИНС
Линейная математическая модель погрешностей для любой ИНС, в
том числе и для БИНС, должна связывать инструментальные погрешности
ее элементов, т.е. дрейфы гироскопов и акселерометров, с
погрешностями выходных сигналов системы. Для случая БИНС должна быть
установлена связь между дрейфами со , со , со гироскопов и
в в в „
погрешностями а , а на акселерометров, с одной стороны, и
погрешностями а, /3, у, AW„ AW , ABt AL, АА - с другой. Здесь а,
/3 и 7 представляют собой по-прежнему погрешности в
пространственном положении (см. рис. 5.15, 5.16) идеального (опорного)
трехгранника £т£, a AWy, AW , AS, AL и АА - погрешности по
скоростям и координатам самолета.
Приступим к выводу модели погрешностей БИНС для случая, когда
идеальное ее функционирование осуществляется в соответствии с
алгоритмом подразд. 5.7.3. Как и для платформенных систем, вывод
линеаризованной модели для погрешностей удобно проводить раздельно по
разным вычислительным блокам данного алгоритма.
Блок № /. Если измерители угловых скоростей, установленные
непосредственно на объекте, имеют погрешности со , со и со , то
матрица П в (5.118) будет вычислена с погрешностями ДП , т.е. П =
= П ♦ ДП . Это приводит к тому, что и матрица V также будет
вычисляться с погрешностями AV . При этом инерциальный трехгранник
XYZ (см. рис. 5.16, 5.23) будет моделироваться неправильно и
получит смещенное положение
и - 993 385

н
И
lz*J
= AV
M
Г ЛГ I
и
у
и
LZ J
и
Рис. 5.28
AV
(5.128)
Если ввести три малых элементарных
поворота (рис. 5.28) на углы а , 0 , 7 .
то матрица АV может быть представлена в
виде
(5.129)
а -7
и и
1 &■
и
-& 1
и J
<v <v
= Е + AV , AVT =
м м
„
-AV
м
Определение матрицы AV , как это видно из (5.129), сводится к
нахождению выражений для углов а , /3 И).
иин
Итак, в результате дрейфов гироскопов инерииальный трехгранник
X Y Z как бы "поворачивается" (ведь все "повороты" в БИНС
представляют собой лишь соответствующие вычислительные действия) на
элементарные углы а , /J , 7 и приходит в положение X Y Z . При этом имеют
НИИ НИИ
место следующие соотношения:
X
и
Y*
И
\х1
Г1
I Z, л
»
X
и
Y
и
Lz J
= V
х\
yi
L г. J
(5.130)
где матрицы V (t) и V(/) удовлетворяют уравнениям Пуассона (5.118)
V* = VV. V = Й1 . (5.131)
а а
Из уравнений (5.130) и (5.131) вытекают равенства
386

и
\Y*
И
и
= vV
\X 1
и
у
и
.z J
и
. ду = у V. V* = ДУ V:
м м
ду = уV + VV; VT = - VTVVT = - П VT;
(5.132)
ДУ = V*nV - V*n VT = УДП V\
м a a a
Из уравнения (5.132) для AV и соотношений (5.129) получаем следующие
искомые выражения для a /3 у :
НИИ
и V 13 22 12 23 вх1 V 11 23 13 21 в(/1
12 21 11 22 bZI
0 = (УЛоУоЛ - ^o^J^ . + ^,^о - ^о^о . )<*> . + (5.133)
и 23 32 22 33 вх1 21 33 23 31 в 1/1
+ (v v - v v )co ;
* 22 31 21 32' вгГ
у = (v v - v v )cj * (v v - v v )cj +
7и V 12 33 13 32 вх1 V 13 31 1133 Btfl
11 32 12 31 bZI
Используя понятия алгебраических дополнений для элементов v.. матрицу
V, соотношения (5.133) можно записать в матричной форме
&
-rV
в(/1
со
1 В2Г1 J
= -v
ьХ\
B(/l
1 bz! J
(5.134)
Выражение (5.134) можно также получить из следующих существе»"!
более кратких рассуждений. Система х у z вращается относительно
4с $ *
системы X Y Z со скоростью со , а относительно системы X Y Z - со
и_и и_ а ± ими
скоростью со ♦ со Это значит, что система X Y Z вращается относи-
а в. нии
387

тельно системы X Y 1 со скоростью со . Проектируя с помощью матрицы V
вектор (со ., со ,, со ) на оси XY Z (см. рис. 5.26) и учитывая
r bjcI ъу\ bzI иии к J
малость величин со ,, со .со ,, а , /3 И), получим (5.134).
BJtl в 1/1 в2Г1 и и и
Линеаризация блока ^ 2 в алгоритме подразд. 5.7.3 приводит к
соотношениям, которые полностью совпадают с выражениями для
погрешностей AWt, AW , Аи А« , Аи в (5.59)...(5.62) и которые мы
здесь повторим в их окончательном для данного случая виде
AWt = до + -ул. - (a" Wfc - aVfcAA + 2SlAu)Wy -
К V f * ' < 23 f
- (a" Vfc + 2nu)AW> * 2ПАиШ + 2Ш „ДГ + a t;
Z 23 £ 33 1J 33 1} Ц
ДУГ = -до. + % + (-а1 ДУГ + a"V ДЛ ♦ BMjtJIT. +
t? i £ V 4 13 f
+ (a lW + 2nu,jAWh - 2£lu„AWk - 2£lAuWy * a
13
f
33 {
33 {
(5.135)
B17
ВТ?
bS J
= D
x\
yl
zl
Ди = —Дсо и — со Ли
12 tj 32 7} 32
Дялл = Ао)М^л ♦ со^Ди ;
22 * 32 { 32
Ди = Дсо I/ + со Ди - Дсо^лл - со,
32 Т7 12 7} 12 JT 22
Дн = -Дсо и^ - со Аи*
13 т? 33 т? 33
Ди = Дсо,лоо ♦ со^Ди ;
23 * 33 f 33
^
22*
(5.136)
Дилл = Дсо а, + со Аи.„ - Дсо^ло
33 т? 13 г? 13 Г 23
- со
Аи = An и +i/ Аи — Аи и
31 12 23 12 23 22 13
'Лз:
22 13*
-1 -2
где Дсо. = -а Д№ + а АР ДЛ; Дсо
< Я V *?
1
-2,
-и AW> -а ДЛ; Дсо. = 0.
Для завершения построения модели осталось написать выражения для
388

углов а, /3, 7 через углы а , /3 , у . Углы а, /3, 7 входят в уравнения
(5.135) и задают рассогласование между трехгранником xyz и опорным
трехгранником £т£ (см. рис. 5.15).
В соответствии с выражением (5.125) имеем
= U MAV
f
i
V
[ i
= l/M
X
и
Y
и
Z
l и J
»
X
У
z
*. -
= V M
и
..*
и
.Z*J
I/ MAV MTU'
M
4 14
n : I У =
M \z\
1
-a
-7
a
1
*
4
r
= Q
*]
»?
f J
Q = U*MAV AfV.
M
(5.137)
Из (5.137) следуют искомые выражения для a, 0 и -у в виде равенств
a = V
V У = «13*
где «7- _ элементы матрицы Q (5.137).
Указанный способ вывода является относительно громоздким из-за
необходимости перемножать пять матриц для вычисления матрицы Q в
(5.137).
Вывод выражений для а, 0 и у может быть упрощен, если использовать
представление [2] о трех малых поворотах (см. рис. 5.15) на углы а, /3
и 7 вокруг координатных осей как о векторе поворота \&-г}у + {а.
При таком подходе дополнительный поворот j^3, -g% а) складывается
из поворота (/3 , у , a ) опорной системы X , Y , Z и дополнительного
НИИ НИИ
поворота (/3 , -7 , о ), обусловленного ошибками Ди.. в вычислении
матрицы U перехода от системы xyz к системе Ь£:
(5.138)
[ &
-у
а
= им
К
\
а
L и J
+
Ч]
7|
.alJ
389

где 7, и 0 вычисляются по формулам (5.66), а
а, = Ди, ы , ♦ Аи.ил + Ди ы ,
1 11 21 12 22 13 23
как произведение первой строки матрицу At/ на второй столбец матрицу
if в формуле (5.65).
Соотношения (5.134), (5.135), (5.136) и (5.138) составляют полную
линейную модель для погрешностей БИНС. Фазовые координаты этой модели
соответственно равны а , /3 , у , AWy, AW , Аий. Ди . Диол, Дл,„,
ини < 17 12 22 32 13
Да , Ди . Кроме перечисленных выше фазовых координат к выходным
координатам можно добавить также и величины а, /3, 7» вычисляемые по
формуле (5.138).
При необходимости найти линейное отклонение А вычисленной точки
местоположения от истинной точки нахождения самолета следует
воспользоваться соотношениями (5.67), (5.68).
Заметим, что математическое моделирование как погрешностей БИНС,
так и ее функционирования в целом представляет собой гораздо более
сложную задачу, чем такое же моделирование для платформенных систем.
Это связано с необходимостью моделирования движения самолета, который
должен рассматриваться уже не как материальная точка, а как жесткое
или даже аэроупругое тело. При этом в новой модели должны
дополнительно к модели (4.88)...(4.94) подсчитываться еще и величины угловых
скоростей о) ,(/), cj (/), со ,(/) самолета, а также матрица V(t),
х\ у\ z\
задающая взаимное расположение самолетного трехгранника х у z и
инерциального трехгранника X Y Z . Это требует использования
пространственной аэродинамической модели самолета.
390

Г л а в а 6
СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
ОТ НЕСКОЛЬКИХ НАВИГАЦИОННЫХ ДАТЧИКОВ
6.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЗАДАЧИ
КОМПЛЕКСНОЙ ОБРАБОТКИ
Параметры летящего самолета должны определяться с заданной
степенью точности и надежности во всех точках зоны полетов (по возможности
глобально) и непрерывно во времени. Немаловажными показателями
качества навигационных систем являются также их стоимость, масса,
потребляемая энергия в нормальных и аварийных условиях и т.д.
Удовлетворить всем указанным требованиям, установив на самолете
один навигационный датчик, в настоящее время не удается. Например,
инерциальная система, удовлетворяя многим требованиям, не отвечает
условиям точности, а в некоторых случаях и надежности. Многие
радионавигационные системы не полностью удовлетворяют требованиям
надежности при работе в условиях радиопомех. Не все радиосистемы отвечают
требованиям глобальности и непрерывности выдачи навигационной
информации. Так, радиосистема ближней навигации работает только в зоне
прямой видимости, что ограничивает радиус ее действия и приводит к
появлению "мертвых" зон при полете на малых высотах. Для систем
дальней радионавигации также имеются целевые регионы, которые не доступны
для сигналов ни одной из цепочек станций.
Как правило, всем требованиям удается удовлетворить только путем
постановки на борт нескольких датчиков навигационной информации,
которые с помощью вычислительных устройств объединяются в единую
(комплексную) навигационную систему. Задачи, которые должно решать комп-
лексирование отдельных навигационных датчиков, следующие: повышение
точности определения навигационных параметров методами статистической
фильтрации; повышение надежности измерений за счет обмена информацией
и сравнения показаний отдельных навигационных датчиков; расширение
географических зон работы навигационного комплекса; обеспечение
непрерывности поступления точной навигационной информации во времени.
Комплексная измерительная система всегда обладает качествами,
превосходящими качество каждого входящего в нее датчика информации. В
некоторых же случаях она приобретает даже качества, которые принципиально
не могут быть достигнуты каждым датчиком в отдельности. Например,
система может обеспечивать измерения практически без динамических за-
391

V
L—x
1 ^ flDUPMHUK »
Уа
Приемник —к- Алгоритм
РСбН первичной
-*{— обработки
я*,яу,аа
Г:
А/,,А/,
Платформа
ИНС
fl*'»fly. tf
W<Pr
М,,Нг*мз
баро-
высотомер
Совместный
алгоритм фильтрации}
счисления скоростей,
координат и вычисления\
управляющих моментов
/ s'
*г
*5
Л Л
Кг,"у
АЛА
B,L,h
» ^Г» ^Р
Вычисление
А А Л А
А А Л Л
Рис. 6.1
паздываний, в то время как отдельные датчики принципиально такие
запаздывания имеют. Комплексная система может обеспечивать устойчивое
измерение параметров, тогда как отдельные датчики таким свойством не
обладают.
При комплексировании радиотехнических навигационных датчиков с
нерадиотехническими условно принято [25, 32] подразделять обработку
информации на первичную и вторичную. Под первичной обработкой вообще в
радиотехнике понимают поиск, обнаружение, селекцию и преобразование
входных сигналов с целью определения либо сообщения, либо (что
свойственно радионавигационным датчикам) таких параметров принимаемого
сигнала, которые связаны с координатами или скоростью самолета. Под
первичной комплексной обработкой понимают специальную первичную
обработку входного сигнала, при которой дополнительно используются
сигналы от нерадиотехнических датчиков.
Вторичной комплексной обработкой информации принято называть
различные вычислительные действия над выходными сигналами датчиков,
каждый из которых работает самостоятельно, как правило, без введения
в него дополнительных сигналов от других источников информации.
На рис. 6.1 для пояснения понятий первичной и вторичной обработки
приведена возможная схема комплексной обработки информации от гиро-
инерциальной платформы, приемника РСБН и баровьюотомера.
Первоначальными входными сигналами в данную схему являются
радиосигналы у (f) и у At), посылаемые от дальномерного и ази-
S Л
мутального передатчиков наземного маяка, а также кажущиеся ускорения
а (t)t а (/), a (t) и барометрическая высота h(t).
392

Если ключ К- разомкнут, то в РСБН осуществляется первичная
обработка информации в обычном (а не комплексном) режиме. Если же ключ К
замкнут, то в приемник РСБН дополнительно поступает информация об
А А Л А
оценках дальности s (/), азимута A At) и их производных s (/), A (/),
которые достаточно близки к истинным (не известным нам) значениям
этих величин. Указанная дополнительная информация существенно
облегчает прием сигналов у (t) и уМ), который может осуществляться в
условиях шумов и радиопомех.
В соответствии с принятой классификацией гироплатформа ИНС как
датчик может работать как в некомплексном режиме первичной обработки
информации (замкнут ключ К ), так и в комплексном режиме (замкнут
ключ К ).
Подчеркнем теперь следующее. Основная цель любого способа
комплексирования состоит в достижении наивысших (при данном составе
датчиков и вычислительных средств) показателей по точности и
надежности определения навигационных параметров полета. Если не
вводить ограничений на вычислительные затраты, то у систем с
комплексной первичной обработкой информации эти показатели всегда
лучше, чем у систем с вторичной обработкой. Другим немаловажным
достоинством систем с первичной комплексной обработкой является
максимальное облегчение работы для радиотехнических датчиков в
условиях шумов, помех и периодических замираний радиосигналов, а
также в условиях сильного маневрирования самолета. Указанное свойство
существенно повышает надежность навигационного комплекса.
Заметим, далее, что от всех видов комплексной обработки необходимо
требовать высокой эффективности для оценивания вектора состояния
погрешностей у ИНС в периоды работы радиотехнических датчиков. Цель
такого оценивания заключается в возможности максимальной компенсации
погрешностей ИНС методом прогноза в периоды, когда все позиционные
датчики (корректоры для ИНС) выключаются из работы.
Первичная комплексная обработка информации, выигрывая по своим
потенциальным возможностям у вторичной, во-первых, требует, как
правило, для своей реализации существенно больших вычислительных
затрат и, во-вторых, не всегда осуществима по техническим причинам.
Действительно, имеют место случаи, когда в какой-либо
радиотехнический датчик невозможно ввести информацию, полученную от других
источников. По этой причине первичная обработка сигналов в радио-
393

технических датчиках в принципе должна предусматривать два режима:
некомплексной и комплексной обработки.
В примере (рис. 6.1) возможны длительные периоды, когда в РСБН от
автономной навигационной системы поступает информация о величинах s ,
AAA
s , А , А . При этом, конечно, первичная обработка входных сигналов
должна вестись в комплексном режиме. Безусловно, возможны также
случаи, когда таких сигналов в РСБН по тем или иным причинам не
поступает. Тогда первичная обработка сигналов должна вестись в режиме
обычной (некомплексной) обработки.
Вторичная комплексная обработка информации не может быть полностью
вытеснена первичной комплексной обработкой, так как всегда будут
существовать случаи, когда с технической точки зрения является
целесообразным, чтобы работа того или иного датчика проводилась
самостоятельно (без использования внешней для него информации).
Сделаем несколько предварительных замечаний по той части этой
главы, которая будет посвящена вопросам оптимизации при комплексной
первичной обработке сигналов. Здесь будут развиты до некоторой
степени новые подходы, которые можно свести к следующему. Комплексная
первичная обработка сигнала, принимаемого одним из датчиков системы,
должна основываться на всей информации, поступающей в навигационный
комплекс от других датчиков и накопленной комплексом к данному
моменту времени. Кроме того, в процессе первичной комплексной
обработки, оптимизирующей прием данного сигнала, должна одновременно
решаться и главная задача навигационного комплекса - оценивание с
наивысшей точностью координат и скоростей самолета, а также
проведение оптимальной коррекции погрешностей ИНС, призванной
обеспечивать высокую точность навигации в периоды, когда
неинерциальные датчики по тем или иным причинам не выдают информацию.
Алгоритмы первичной обработки всегда непосредственно связаны с
конкретной формой принимаемых сигналов, поэтому применение
развиваемых далее методов ко всем основным видам радиотехнических
навигационных датчиков привело бы к существенному увеличению объема
книги и несколько переориентировало бы ее содержание и задачи. По
этой причине в данной главе первичная оптимальная обработка сигналов
рассматривается только применительно к сигналам РСБН и СРНС в отличие
от вторичной офаботки, которая рассматривается практически для всех
видов навигационных датчиков. Автор надеется, что читатель при
необходимости может самостоятельно применить развиваемую здесь
394

методику комплексной первичной обработки и для других
радиотехнических (или оптических) навигационных датчиков.
Комплексная система измерения вертикальных параметров полета:
высоты Л и вертикальной скорости W - является очень важной и
обязательно входит в любой навигационный комплекс как составная
часть. В то же время эта система является относительно простой и
поэтому позволяет наглядно увидеть, каким образом и какими средствами
достигается положение, когда комплексная система начинает существенно
превосходить по своим качествам любой входящий в нее датчик.
6.2. ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
ВЫСОТЫ И ВЕРТИКАЛЬНОЙ СКОРОСТИ САМОЛЕТА
Рассмотрим способы определения высоты ft полета и вертикальной
скорости W = Л(/), основанные на совместной обработке показаний
ft (/) барометрического высотомера и показаний a (t) вертикального
акселерометра, установленного на гироплатформе. Определение высоты и
вертикальной скорости по показаниям одного лишь вертикального
акселерометра представляет собой неустойчивый вычислительный процесс, т.е.
является невозможным на относительно длительных (>10 мин) отрезках
времени.
Непосредственное же определение высоты по прямым показаниям
высотомера, а также определение вертикальной скорости путем
дифференцирования этих показаний тоже во многих случаях является неприемлемым
из-за больших погрешностей баровьюотомера, которые возникают из-за
запаздывания давления в проводке статического давления при
маневрировании самолета в вертикальной плоскости. Определение вертикальной
скорости W (t) путем дифференцирования показаний ft (/) высотомера
так же сопряжено с большими ошибками как из-за указанного
запаздывания, так и из-за высокочастотных (вибрационных) погрешностей
баровысотомера. Таким образом, ни вертикальный акселерометр, ни
барометрический высотомер, взятые в отдельности, не могут
удовлетворительно решить поставленной задачи.
Заметим также, что непосредственное измерение величины № с
помощью вариометров не обеспечивает необходимой точности, а измерение
ее с помощью доплеровского измерителя невозможно при больших углах
тангажа и крена.
395

Для получения алгоритма совместной обработки сигналов a (t) и
* z
Л (/) от акселерометра и баровысотомера необходимо располагать
математическими моделями этих приборов. Подчеркнем, что необходимость в
таких моделях неизбежно возникает при построении всех без исключения
комплексных систем, так как без них нельзя провести ни синтеза, ни
анализа алгоритмов обработки. Именно поэтому в последнее время столь
сильно возрос интерес к математическим моделям датчиков.
Чем точнее модели описывают реальные процессы функционирования
датчиков, тем более эффективно будет работать алгоритм совместной
обработки, в основу которого положены эти модели. Таким образом, от
достоверности и полноты математических моделей зависит точность и
надежность функционирования комплексных измерительных систем.
В данном случае примем следующую модель функционирования
баровысотомера:
Л*(/) = al[-h* ♦ Л ♦ Ah{ ♦ vft)]; h*(tQ) = aJ, (6.1)
где Л - высота полета; Л - выходная величина, показание
баровысотомера; ДА - медленно изменяющаяся погрешность, вызванная в основном
отклонением давления на высоте Л от его стандартного значения:
vAh) - "белый" шум с интенсивностью г., он приводит (см.
подразд. 1.34) к флюктуационной ошибке ДА. с дисперсией а,. =
= 0,5г,а ; а - постоянная времени баровысотомера, обусловленная тем,
что проводка статического давления и корпус датчика имеют конечный
объем, который не может заполняться воздухом мгновенно.
Величина а может быть [37] подсчитана по формуле
а = 'У* , (6.2)
где д - динамическая вязкость воздуха; / - длина трубопровода; к =
= с /с = 1,4 - показатель адиабаты; p(h) - статическое давление на
р v
высоте A; rf, v - диаметр и объем трубопроводов соответственно.
Далее мы будем считать, что постоянная времени а, вычисленная по
формуле (6.2), нам известна. Заметим, что она зависит от высоты
полета и для современных баровысотомеров составляет от 0,5 с у
поверхности земли до 12 с на высоте 30 км.
Если пренебречь динамическими запаздываниями вертикального
акселерометра, то модель его функционирования можно представить в виде
396

a = a + to + Ш), (6.3)
z z z
a (t) - выходной сигнал акселерометра; а - кажущееся ускорение;
Да - медленно изменяющаяся погрешность акселерометра; £(/) -
высокочастотная погрешность, корреляционная функция которой имеет вид
2 Л.М
о е ; далее будем считать ее "белым" шумом с интенсивностью L =
°о 2 -1
= Va '
Для упрощения синтеза алгоритма временно будем считать, что
медленно изменяющиеся погрешности ДА и Да отсутствуют. Далее мы
1 А
проанализируем влияние этого пренебрежения на качество работы
алгоритма.
В силу (5.27, в, г) имеем
Z Z Z в
Г = - I/ - (о/1 ♦ 212 )W * (со" + 2n)W]. (6.4)
5 1вл дг х у у у дг
Рассмотренные выше сигналы связаны следующими соотношениями:
Ш) = WJth h(tQ) = Л0;
W(t) = w =a-g'=w*-StW(t) = W ., (6.5)
в в Z в в вО
где величину w = a - g' можно рассматривать как скорректированное
измерение акселерометра. Далее величину g\ которая задается формулой
(6.4), будем рассматривать как известную. Заметим, что приближенная
формула g* = g', не учитывающая двух последних членов в (6.4), а
также зависимости g (5.27, г) от высоты полета ft и широты В, имеет
погрешность порядка 0,01g, если Л < 20 км и W < 600 м/с. Эту
погрешность можно отнести для грубых систем к постоянной погрешности
акселерометра.
Соотношения
h(t) = W (/); hit) = Л: IT tf) = w* - *; IF tf ) = V .;
в 0 0 в в вО вО
aft* ♦ Л* = Л + »А(/) (6.6)
397

представляет стохастическую систему второго порядка вида (1.89). В
таком случае фильтр Калмана-Бьюси (1.90, а) для системы (6.6) имеет
вид
hit) = W (t) + klah* * Л* - Л); h(t) = ft •
в 1 0 0
W (/) = w*(t) + * (ah* ♦ ft* - A); W Ю = W n. (6.7)
в в 2 в 0 вО
Значения оптимальных коэффициентов k At) и kit) в (6.7) можно
вычислить с помощью уравнений (1.90. б, в). Однако в данном случае
будем искать уже установившиеся значения коэффициентов k и k .
Полагая k и k постоянными и пока неизвестными величинами, из (6.7)
27
получим методом преобразования Лапласа
ip+kt )wm+pklap+\ )ft*
W = !—2—± .
» 2 i. j.
w*+(pk +k )(ap+\)h*
h = B 2[ . (6.8)
P +*!p**2
Заметим, что уравнения (6.8) обладают интересным свойством. Если
считать, что погрешности Ah , vAt), Да и £ отсутствуют, то при
нулевых начальных условиях имеют место равенства
w* = pW = p2h; (ар + 1)А* = Л. (6.9)
Подставляя последние величины в (6.8), получим тождества
W = W и Л = Л,
в в
которые означают, что фильтры вида (6.7) полностью устраняют
динамические запаздывания при оценивании вертикальной скорости и высоты.
27
В уравнениях (6.8) и далее для простоты не будем по - разному
обозначать функции и их изображения по Лапласу. В (6.8) опущены члены
с начальными условиями, так как рассматривается стационарный режим
р
398

Погрешности фильтрации ДА = Л - А и ДW = W - W в соответствии с
в
выражениями (6.1), (6.3) и (6.8) будут удовлетворять равенствам (ДА
и Аа считаем равными нулю)
AW = f LJL- ;
P ♦*,/>♦*,
Ырк:ЬЛ
ДА - .
P **,P**2
2 2
Дисперсии ад™, и ад - погрешностей AW и АЛ, вычисленные по формуле
в
(1.36), оказывается в данном случае следующими:
2 1 Гг ■ 1 *1 ] . *2
в L 1 2 1
"L - r[-iji^-% * (*i *-^-)г*' • <610>
где L и Г- - интенсивности "белых" шумов £ и 0«.
Найдем значения £ и t , при которых обе дисперсии в (6.10) одно-
28
временно достигают своего минимума .
Для этого нужно продифференцировать (6.10) частным образом по k и
k и приравнять нулю полученные производные. Выполнив эту операцию,
получим (
*2 = |/VV *i= ^*7• (6П )
Соотношения (6.7 или 6.8) и (6.11) полностью задают оптимальный
алгоритм оценивания W и Л по показаниям w и Л .
в в
28
Одновременность достижения вытекает из свойств фильтра Калмана-
Бьюси.
399

Рассмотрим числовой пример. Пусть а., = 1 м, а = 1 с, а =
= 0,1 м/с , ц = 50 с .В таком случае из (6.11) будем иметь
rft = 2obi = 2м2с: L = 2a2jiQl = 0,4- Ю"3 м2/с2;
k = 1.41 Ю"2 1/с2; * = 1,67-10"' 1/с.
На основании формул (6.10) для принятых величин имеем
crAlF/ = 0,069 м/с; аА, = 0,58 м.
Aw ДА
в
Как видно из полученных результатов, комплексная система измерения
вертикальной скорости и высоты обладает высокими показателями
точности.
Рассмотрим теперь одно интересное обстоятельство. Пусть реальное
значение ошибки о.. = 1 м, а расчетчик в силу неточного знания этого
параметра принял его равным а, - = 0,5 м. В таком случае коэффициенты,
вычисленные им на основании (6.11), окажутся равными
** = 2,83-Ю"2 1/с2, ** = 2,37-10"1 1/с.
Среднеквадратические ошибки такого (уже не оптимального) фильтра в
соответствии с (6.10) будут равны
аА1Г/ = 0,072 м/с; аА- = 0,62 м.
Aw AA
в
Как видно из этого примера, неточное знание параметров модели
привело к ухудшению качества фильтрации. Однако это ухудшение не
является значительным. Опыт показывает, что фильтры работают во
многих случаях удовлетворительно, если параметры модели известны с
точностью 60...70 %.
Выше мы пренебрегли медленно изменяющимися погрешностями АЛ и Да
высотомера и вертикального акселерометра. Рассмотрим теперь, как эти
погрешности влияют на точность оценивания вертикальной скорости W и
высоты Л. Из (6.8) следует, что в установившемся режиме имеют место
соотношения
AW =kk~XAa + Ahlth Ah = k'lAa + АЛ.
в 1 2 z 1 2 г 1
400

Проанализируем значение этих ошибок. Если |Да | < 5*10 g =
-2 2 -1 -1
= 5*10 м/с . то составляющие ошибок kk Да и * Да не превосхо-
\ 2 z 2 z
дят 0,6 м/с и 3.5 м соответственно. Погрешности ДЛ (/) и Ah(t) прямо
входят в ошибки ДВР и ДЛ и являются неустранимыми.
Составляющие ошибок AW и ДЛ, порождаемые медленно изменяющейся
погрешностью Да акселерометра, являются значительными. Однако они
могут быть уменьшены, если в вектор состояния включить величину Да и
синтезировать фильтр Калмана, аналогичный фильтру (6.7), но уже
третьего порядка. При таком подходе система оценивания станет
астатичной по отношению к Да .
z
В случае учета медленно изменяющейся составляющей погрешности
акселерометра уравнения, аналогичные уравнениям (6.4). приобретают
вид
Ш) = W (/); h(t ) = *•
в 0 0
W (t) = а* - g' - Да - { = w* - Да - k W Ю = W л: (6.12)
в Z Z ъ Z вОвО
Да =0, Да Ю = Да .
2 Z 0 20
ah + Л = Л + vAt).
Уравнениям (6.12) будет соответствовать фильтр Калмана уже
третьего порядка
Л = W * klah* * Л* -Л); h(t) = Л •,
в 1 0 0
W = w* - Да * klah* * Л* - Л); W U) = W Л; (6.13)
в Z 2 в 0 вО
Да = - k (ah* + Л* - Л).
Z «5
В уравнениях (6.13) перед коэффициентом усиления k поставлен знак
"минус" для того, чтобы сам коэффициент был положительным k > 0.
«5
Из (6.13) для установившегося режима работы фильтра имеем
401

2*2 *
(p +ktp)w + (* p +kp)(ap+\)h
w = L * £ 5 .
pw*+(k p +k p+k )(ap+\)h*
" - B l ; (6.14)
Да
p3+k{p2+k2p+k^
k w*-k p (ap+i)h*
о В о
Z 3 - 2 - -
Из передаточных функций (6.14) с учетом (6.9) следует, что
оценивание вертикальной скорости и высоты здесь происходит, как и ранее,
без динамических запаздываний. Кроме того, оба фильтра в (6.14)
являются астатическими по отношению к медленно изменяющейся погрешности
Да акселерометра.
Для стационарных фильтров второго порядка (6.8) методом
интегральных квадратичных оценок мы подсчитали дисперсии (6.10) для
погрешностей оценивания. Аналогичным образом могут быть найдены дисперсии
для погрешностей на выходе фильтров (6.14). Эти дисперсии следующие:
2 1
°AW " 2
в
2 1
аДЛ~2 "
2 1
аДд =2
z
<*2-*?><У(*2+*3)ГА
li (*Г2 V*iVr/i
1 2 3
1 3{ 2 3 A
1 2 3
Из-за идеализированного представления погрешности Да в (6.12)
2 2 2
дисперсии ад^ , ад- и а достигают своего минимума при k -*> 0, что
в г
приводит к большому времени регулирования / (большому времени выхода
на стационарный режим). По этой причине величину k можно выбрать из
допустимого времени / . Если t взять равным 100 с, то к =
Р р з
402

-4 3
= 10 1/c . При таком подходе (не являющемся строго оптимальным)
2 2 2
дисперсии ад„, , ад- и а будут достигать своих минимумов уже при
в Z
различных значениях к , А и к .
12 3 2
Если, например, минимизировать дисперсию о^., то значения А и А
в рамках разобранного выше числового примера, когда k = 10 1/с ,
2 -1
о. • = 1 м, а = 1 с, о =0,1 м/с , д = 50 с , оказываются равными
hf a a
k{ = 0,169 1/с; *2 = 1,46-Ю"2 1/с2.
При этом среднеквадратические ошибки оценивания принимают значения
аА1Т/ = 0,082 м/с; аки = 0,61 м; а = 0,22-Ю-3 м/с2.
ДУу Ал а
в z
Заметим, что приведенные выше значения для флкжтуащюнных
составляющих погрешностей в случае фильтра третьего порядка несколько
превышают значения аналогичных погрешностей для фильтра второго порядка.
Однако выходные погрешности AW и ДЛ, обусловленные медленными
погрешностями Да , в последнем случае существенно меньше, так как по
отношению к сигналу Аа фильтр 3-го порядка является астатическим.
Из разобранных числовых примеров следует, что погрешность AW в
в
измерении вертикальной скорости является величиной достаточно малой и
для многих навигационных задач ею можно пренебречь. Погрешность ДА у
комплексной системы измерения вертикальных параметров может быть
описана с помощью стохастического дифференциального уравнения
ДЛ = - дйДА ♦ У2а2^к wh, (6.15)
где w< - "белый" шум единичной интенсивности; а, - среднеквадрати-
ческое отклонение, которое зависит от высоты Л и может быть
аппроксимировано зависимостью
°h = аЛо + "V
Для современных барометрических систем измерения высоты Л < 20 км
могут быть приняты [37, 38] следующие значения параметров:
о^ = 4 - 5 м. аЛ1 = U...1.5)10"2, м^' =' 15...20 с.
403

6.3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ ИНС
Для объединения алгоритмов фильтрации и счисления в единый
вычислительный процесс оказывается удобным модели ИНС представлять в
специальных формах, которые имеют вид системы стохастических диффе-
29
ренциальных уравнений , включающие в себя в виде фазовых координат не
только погрешности ИНС (часть из них), но и непосредственно
геодезические координаты, а для некоторых типов ИНС и линейные
скорости ЛА.
Конкретный вид указанных представлений (с включением или
невключением скоростей ЛА в состав фазовых координат) зависит от типа
гироплатформы, используемой в данной ИНС. В рассматриваемом отношении
все ИНС можно подразделить на два класса. Первый класс включает в
себя свободные в азимуте платформы типа ИКВ, когда платформа
управляется по сигналам только своих собственных акселерометров и
представляет собой как бы автономный прибор, работающий
самостоятельно без каких-либо сигналов извне (от БЦВМ или других
приборов). Для гироплатформ этого класса не требуется вводить
скорости в состав фазовых координат.
Второй класс включает в себя гироплатформы, управляемые по
сигналам от БЦВМ и других приборов, причем управляющие сигналы
представляют собой функции от скоростей и координат ЛА.
Для этих гироплатформ в состав фазовых координат их моделей нужно
включать кроме координат еще и скорости ЛА.
Приведем указанные специальные формы для моделей основных типов
ИНС, причем выведем их здесь в некотором смысле формально. Это
означает, что справедливость их не будет доказываться (она вытекает из
справедливости соотношений, из которых они следуют), а выбор именно
такого представления до конца будет понятен только ниже, когда будут
рассмотрены алгоритмы комплексирования с другими навигационными
датчиками.
Для инерциальной системы типа ИКВ (относящейся к первому из
указанных классов) на основании соотношений (5.72), (5.75) и (5.78)
может быть записана модель следующего вида (она эквивалентна указан-
Указанные уравнения будут стохастическими за счет представлений
ошибок акселерометров в виде 'белых' шумов, а ошибок гироскопов — в
виде выходных сигналов фильтров, на входы которых поступают 'белые'
шумы.
404

ным соотношениям с точностью до малых второго порядка относительно
погрешностей):
1) а = - a'Vy + a Vj + ы ; a«fl) = 0;
2)Ь-а-'д^ ♦«1|чу*У'о!
5) ДУ , = & + V*u + a * и • AV ЛО = AV ,n; (6.16)
Ц ^ X вЗ b# 5 tj 0 ij 0
6) В = Q'l[-(V* - AV., - V*a)sinA + (V* - AV. ♦ V*a)cosA];
x к у у rj x
bv - К'
7)1= (GcosB)'l[(V* - AVt. - V*a)casA ♦ (V* - AV . +
1 x i у у tj'
♦ V*a)silb4] - $2; L(tQ) = L*Q;
8) A = G" tgB[(V - AVk. - V a)cosA * (V - AV . ♦
♦ V*a)siaA]; A(tQ) = >*J;
9) Ah = -мЛДЛ + 1^а^мл в>л; ДЛ«0) = ДА0.
Дадим некоторые пояснения к выводу соотношений (6.16). Уравнения
(6.16, 1...5) непосредственно следуют из (5.72) и (5.75). Уравнения
(6.16, 6...8) вытекают из точного алгоритма счисления
W
В = -^— = (-V^nA ♦ V^cosA); B(tQ) = BQ;
W
L = r E p = (GcosBrV.совЛ ♦ V slib4) - £2; ЦП = L-,
О с oso s Т7 0 0
A = G'ligBVe = G'ligB(VtcosA + V sinA); A(L) = An,
с с tj 0 0
405

если в него вместо истинных значений Уу и V подставить их представ-
ления через V , V и погрешности ДУ^, ДУ (5.80):
Vt = V* - ДУ; - V*a, V = V* - ДУ , ♦ V*a.
К х К У V У V х
Сигналы V (t) и V (/), входящие в стохастическую модель (6.16),
■* У
должны рассматриваться как известные функции времени, снимаемые с
выходов интеграторов ИКВ.
В уравнения 2... 5 системы (6.16) входят также методические
(детерминированные) погрешности и -.и, которые в соответствии с
2 5
(5.72), (5.74) и (5.75) оказываются равными:
U2 = °"ЧЧ + Х2 + Х3> " а'\Х5; "З = e'V*l + Х2 + V "
Методические погрешности (см. подразд. 5.4.4) связаны с
несовершенством алгоритмов, применяемых для управления платформой ИКВ.
Другие платформы, рассматриваемые в этой книге, методических
погрешностей не имеют.
Для ИНС геодезического типа со свободной в азимуте платформой,
функционирование которой описано в подразд. 5.3.1, а погрешности
изучены в подразд. 5.4.2, специальная форма представления ее
динамической модели будет включать в состав своих фазовых координат как
координаты (В, L, А), так и скорости (W , W ) ЛА. Из соотношений
(5.54), (5.55), (5.27) и (5.28) имеем
1) a = 0(a~ lWu ♦ S2cosBcos>l) - у(а~ V ♦ £2cosBsiiL4) ♦
♦ св3, а<у = 0;
2) & = -a(a'lWt * flcosBcos^) - a'l(W - W ) + ftsinBsinytfB - В) -
- S2cosBcos>1(>1 - А) - хЛа V ♦ ficosBsin>l) ♦ AhW a2 ♦ со ,,
1 ту Ц в!
Wfl)M0; (6.17)
3) у = а(а" V + OcosBsin/l) - a'X{Wy - Wy) * QsinBcosA(B - В) *
406

I О
+ fitcosBsiiL4(i4 - A) - x.(a W* ♦ £2cosBcoSi4) ♦ AhWja +
+ со . y(t ) = у :
Ч у x *z el/ * £ Iff Г f
*W = ^«n: (6Л7)
17 0 tjO
7) Z. = (GcosB)" V£. L(tQ) = LQ;
8) Л = C"VptgB ♦ nsinB. A(t ) = A;
С 0 0
9) ДА = -MftAA ♦ По^^ . ДЛ«0) - ДА0.
Заметим, что фигурирующие в алгоритме (6.17) величины со*., со , со..,
12.., 12 и 12.. задаются с помощью формул (5.29). Кроме того, погрешности
AW„ AW , АВ и АА в (6.17) представлены в виде
AWt = Wt-Wt, AW =W - W . ДВ = В - В, АА = Л - Л (6.18)
5 € € г? г? г?
где Н^, IF . В и Л - истинные значения соответствующих параметров; W„
W . В и Л - те их значения, которые были приняты при вычислении
моментов коррекции М , М и М по формулам (5.29).
* * * * 3
Сигналы а (0, а (/) и а (/). входящие в модель (6.17).
рассматриваются как известные функции времени, которые имеют место на выходах
акселерометров.
Для ИНС геодезического типа с всеширотным пуассоновским алгоритмом
счисления из соотношений (5.59), (5.30) и (5.31) вытекает следующая
система дифференциальных уравнений:
407

1) a - уЫ\ * Ш13) ♦ &(а\ ♦ Ш23) ♦ Цз - «33) +
+ Х1Ш33 + ".3: а(/0) = 0:
2) 0 = -a(aXWt * Ш) - уШ„ - a'X(W - W ) *
€ 23 33 17 17
♦ a\*h * Ц3 - В|3) * Х{Ы\ ♦ Ш13) + «ш1; /3(/0) = ^
3) у = 4i(-a" V +««,)+ /К2ы„ - а" Vt - VJ ♦
17 13 oot s s
♦ a2Wfh " Цз " а23> " *.(а"Ч + Ш23> + <V *V = V
4) w^ -«•-««; -^ -^ - («ч ♦ 2«Л ♦ аугч.
5) ^ = а* ♦ шГ - &а - а ♦ (со. ♦ 20Ж - ОДУ»;
(6.19)
6) 0 = -
0
О)
t 0
I/; I/tfe) - I/Mj. Bq*. Lo*);
Л = Arctg [ - -^- ] [0, 2тг]; В = arctg —
23 УГ7
и
2 2
13 23
= arctg
33
, 2 2
31 32
, L * Arctg
32
U
N. *];
31
7) ДА = -дйДЛ ♦ к2а^мл wft, &h(tQ) = AAQ.
В формулах (6.19), как ранее в (6.17), погрешности AW„ AW , Да и
Ди заменены разностями между оценками этих величин и их истинными
хЗ
значениями:
408

< { К 17 17 17 13 13 13
23 23 23
Соотношения (6.16). (6.17) и (6.19) могут быть расширены и
доведены до вида стохастических дифференциальных уравнений за счет
представления инструментальных дрейфов со (/), со (/), со (/)
гироскопов в виде стационарных случайных процессов с корреляционной
функцией вида (5.93).
Для всеширотной ИНС. в которой используются алгоритмы счисления с
параметрами Родрига-Гамильтона, из соотношений (5.30). (5.33). (5.34)
и (5.69) вытекает следующая специальная форма ее динамической модели:
1) a = у[-а' V^ ♦ 2П(Р[рз - р^)] * 0[а V{ * 212^ - pQp{)] *
+ **>0(>0 " V + 'з('з " 'з)] + *l"(2'0 * 2Р1 " ° + "вЗ:
2) 0 = -а[а"!^ * 212(р2рз * р^)] - тЯ(2р* * 2р* - 1) -
- а"1^ - WJ ♦ a" Va/i * 2П[рз(р{ - Р|) ♦ р^ - р3) -
" Р2(Р0 - V - V'2 - Р2)] + Х1[_а" *, + ^Л " Vl)] + Ы.1;
*V = V
3) у = -ala'V ♦ 20(^^3 - р^)] ♦ №(2р* * 2р* - 1) - (6.20)
- «f'tt^ - W£ ♦ a'V^M - 2П[р3(р2 - pj * р^ - р3) ♦
+ 'Л " 'о> + V'l " VI " Х1[а"Ч + n(V3 + Vl)] + <V
4)^=а*-%-^-^-<%+2пл+2п^:
W = V
Vo> = V
409

А - ** РР+РР [°' 2*1:
2 2
W°'5
В = аГС* (» 2 ■ /», 2 2./2 = (620)
(р +л ) (о +р )
L = Arctg 2 3 ° ' И. тг].
р р +р р
Оютношения (6.20) взаимно эквивалентны с соотношениями (6.19) в том
смысле, что выходные сигналы обеих моделей (а, |3, у, Wyt W t А, В, L)
тождественно совпадают, если совпадают их входные сигналы (х , со ,
* * * 1 в1
ы л, cj . а , а , а , а , а ). Однако модель (6.20) имеет меньший
в2 в3 дг у z вх ъу
порядок совокупной системы дифференциальных уравнений, чем модель
(6.19). Это объясняется тем, что уравнения (6.20, 6) для параметров
Родрига-Гамильтона имеют четвертый порядок, а уравнения Пуассона
(6.19, 6) - как минимум шестой. В силу указанного достоинства модели
(6.20) ее применение в алгоритмах обработки информации является более
предпочтительным.
Использование модели ИКВ (6.16) в алгоритмах фильтрации в силу
состава ее фазовых координат позволяет непосредственно оценить
30
погрешности платформы a(t)> /J(/), y(t)t AVAt) и AV (t) , а также
координаты B(t)t L(t)> A(t) самолета (а не погрешности АВ, AL и АЛ!).
Из-за своеобразия платформы ИКВ (см. рис. 5.17), которая физически не
может корректироваться по сигналам извне, поправки a(t)t /3(/), yd),
AVM) и AV (t) к показаниям платформы в виде углов тангажа, крена,
* ™ * *
курса и скоростей V (t) и V (t) могут быть реализбваны только
* у
30
К выходным сигналам платформы типа ИКВ необходимо также относить
и сигналы V и V на выходах интеграторов.
410

аналитически, в ШВМ. Оценки VAt) и V (t) для скоростей VAt) и
V (t) в данном случае будут представляться в виде
VAt) = V*(t) - AVM); V (t) = V*(t) - AV (/). (6.21)
К X К Г} у 7}
Использование же моделей (6.17), (6.19) и (6.20) в алгоритмах
фильтрации позволяет оценить угловые ошибки платформы a(t)t fi(t) и
y(t) и непосредственно оценить скорости WAt), W (t) и координаты
ВЦ), Ш) и A(t). У ИНС с моделями вида (6.17), (6.19) и (6.20)
возможна физическая коррекция платформы за счет более правильного
вычисления моментов М (/), М At) и МAt) по формулам (5.29), (5.32)
или (5.34) на основании скорректированных данных о величинах WAt),
W (t), WAt). B(t), Lit) и Ait).
Учет погрешностей a(t)t fi(t) и y(t) в угловом положении платформы,
как и в предыдущем случае, можно проводить в аналитической форме,
хотя здесь возможна и коррекция положения самой платформы.
6.4. СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
ОТ ИНС И ДИС
6.4.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИС
Рассмотрим здесь модель трехлучевого ДИС (например, ДИСС-7 [25]),
схема которого изображена на рис. 1.5 и 6.2. Проекциями (W , W , W )
1 Z о
вектора W земной скорости самолета на центральные оси лучей будут
W=-W cosrcosfl - W sine + W .sinTcosfl;
1 x\ y\ z\
Wn = W cosrcosfl - W sinfl * W .sinTcosfl; (6.22)
2 x\ y\ z\
Wn = W cosrcosfl - W sinfl - W .sinTcosfl,
3 x\ y\ z\
где в и Г - углы установки антенн ДИС на самолете (рис. 6.2); в -
угол между осями лучей и плоскостью х z ; Г - углы между осью О »•
проекциями лучей на плоскость х z ; W , W- , W - проекции вектора
411

W на оси системы координат х у z , жестко связанные с самолетом.
Доплеровский сдвиг частоты со - в каждом из трех каналов будет
соответственно равен
2W{ 2W2 2WZ
"d\ = 2ir -Г" : wa = ъ -T~ ; w* = ъ "Г" • (623)
где X - длина волны излучаемого сигнала.
У типовых доплеровских РЛС [4] сантиметрового диапазона
доплеровский сдвиг со, имеет значение порядка 2я (11... 16) Гц на 1 км/ч.
Из (6.22) и (6.23) следует
W = 1 1
\
8я
X
8>г
X
8ir
"ЛГЧ/.
cosrcosfl
d3 dl
sin0
со .л-со.
(/2 (/3
s inPcosd
JTl 2со$Гсо$0
V , = - о ■ л = - -Г ^^— : (6.24)
W = L_2
Z\ 2sinrcosd
Формулы (6.24) получены в предположении, что лучи (см. рис. 6.2)
представляют собой линии. На самом же деле каждый луч (рис. 1.5)
представляет собой конус с раскрывом 3...6 . А это приводит к тому,
что в отраженном сигнале будет целый спектр доплеровских сдвигов
частот, фуппирующихся около частот со, , со-, со, , представленных
формулами (6.23). Если дополнительно учесть, что отражающая среда
(поверхность Земли в виде гальки, листьев или волнистая поверхность
воды) состоит из множества случайно расположенных рассеивающих
центров, то мы получим, что суммарный сигнал будет иметь составляющие
не только разных частот, но и разных амплитуд и фаз.
Типовой вид доплеровского спектра представлен на рис. 6.3. Заме-
31
Соотношения (6.23) следуют из уравнения 'бегущей' синусоиды Z =
- i4skil27rX (X - Cl) ♦ ip], если положить X = X ♦ Wt.
Коэффициент 2 появляется в силу 'зеркального' эффекта, так как
передатчик и приемник установлены на одном и том же объекте.
412

л
Рис. 6.2
тим, что его ширина Ды. является относительно большой. Ширину Ды.
можно довольно точно оценить с помощью следующих простых соотношений:
4nW л AnW
Oi
d X
СО -
COS7, ДС*> - в -
tg 7Д7.
энгуДу.
(6.25)
где 7 - угол между вектором W и осью луча данной антенны; Д7 -
половина угла конусности луча. При у = 70 и Д7 = 3 имеем Дсо. /со. =
= 14 %.
Из-за указанной большой ширины спектра мгновенная центральная
частота доплеровского сигнала подвержена случайным флкжтуациям вокруг
среднего значения. Поэтому для определения скорости требуется
определенный период времени для сглаживания. Это входит в
противоречие с необходимостью измерять возможные быстрые изменения в
скорости ЛА. Указанное противоречие может быть разрешено лишь путем
комплексирования ДИС и ИНС Рассмотрим принципиальную схему обычной
(некомплексной) обработки сигнала доплеровской РЛС.
Схема одного канала доплеровской РЛС, работающей в режиме
непрерывного излучения, представлена на рис. 6.4.
На выходе усилителя низкой частоты (НЧ) имеет место сигнал, спектр
которого был представлен на рис. 6.3. Для определения центра этого
спектра используется устройство слежения за частотой. В него входит
измеритель разности частот (частотный дискриминатор), который
вырабатывает сигнал разности между частотами у выходного сигнала НЧ и
413

Передающая
антенна
Приемная
антенна
Рис. 6.4
Генератор
непрерывных.
колебаний

Смеситель
Усилитель
НЧ
W;
Устройство слежения за частотой
Измеритель
разности частот U»J
(дискриминатор)

Интегратор
Ц^п
Следящий
генератор
Измеренная
доплеровская частота
у выходного сигнала следящего генератора. Этот сигнал через
интегратор подается на вход управляемого следящего генератора.
Постоянная времени Т\ контура в целях сглаживания выбирается
относительно большой и составляет величину 0,25-1 с.
На рис. 6.4 пунктиром показан сигнал W. равный проекции земной
скорости IF на ось 1-й антенны, который может быть введен из ИНС в
контур слежения за частотой. При введении этого сигнала
осуществляется комплексная первичная обработка информации, поступающей от ИНС и
ДИС.
Структурная схема 1-го канала, соответствующая комплексному режиму
первичной обработки, представлена на рис. 6.5. Здесь сигнал (со, ♦
♦ Дсо,) поступает на схему с выхода усилителя НЧ (см. рис. 6.4),
причем Дсо,(/) является высокочастотным флюктуацдонным сигналом.
Сигнал со, + Дсо получается по данным от ИНС. Этот сигнал представляет
собой по значению доплеровскую частоту
*>' + Дсо1 = 4тгХ~ V* = 4тгХ~ V. ♦ AWX
d n t it
(6.26)
со и 7 .
которые имеют
вычисленную по показаниям W , W , W , ф
место на выходах ИНС и комплексной системы измерения вертикальной
скорости W . Значение W. = W. * AW. в (6.26) вычисляется с помощью
соотношений (4.16) и (6.22), причем выражения (4.16) считаются
разрешенными относительно переменных W , W , W . В формуле (6.26)
414

От усилителя НЧ
Рис. 6.5
Or
f4i
п ИНС ]
|X|iV;
Ujt\
величина AW.(t) представляет собой суммарную погрешность ИНС и
вертикального измерительного канала в определении проекции земной скорост
W на ось i-ro луча. В силу известных динамических свойств ИНС (см.
подразд. 5.4.6) величину AW.(t) (и вместе с ней величину До> (/) =
-1 ' п
= 4яХ AWM)) можно рассматривать как изменяющуюся очень медленно.
Из структурной схемы (см. рис. 6.5) вытекает, что выходной сигнал
W. /-го канала (точнее его изображение по Лапласу) представляется в
виде _ Т^
W. = — (со, ♦ -р^г До> - ♦ -z Да> ) =
i 47г d Т <♦!) d Г-р*1 п
. d]F . Tjp
= W. * T l , -7— Дсо* + / , AW.t T' = j- . (6.27)
Из (6.27) следует, что полезный сигнал (в данном случае скорость W.
проходит через фильтр без каких-либо динамических искажений,
высокочастотная помеха Ш) ХДсо, сглаживается инерционным фильтром
\/{Т J) + 1), а низкочастотная помеха AW. проходит через
дифференцирующее звено, имея при этом сильное ослабление.
Таким образом, комплексная система первичной обработки информации
(см. рис. 6.5) существенно улучшает качество измерения путевой
скорости. Приведенная система не является оптимальной. Для построения
оптимальной системы требуются достаточно точные математические модели
погрешностей Аи.Ц) и Дсо (/). В данном случае не будем рассматривать
оптимальный режим первичной комплексной обработки информации от ДИС и
ИНС, так как он не находит какого-либо применения на практике.
Заметим здесь, что первичная обработка вида (рис. 6.5) существенно
улучшает измерение земной скорости W на борту самолета., Во-первых,
введение сигнала от ИНС в контур слежения за Чистотой улучшает фильт-
415

рующие свойства этого контура в период, когда от ДИС поступает
сигнал. А, во-вторых, достаточно точное определение путевой скорости
может быть продолжено на борту и в те периоды времени, когда ДИС
отключается, если эти отключения длятся не более 5...6 мин. (ДИС
отключается часто из-за превышения углами крена и тангажа предельных для ДИС
значений 12... 15 , когда часть лучей имеет очень малые наклоны к
земле, либо вообще "упирается в небо".) В период, когда ключ К замкнут
(ДИС работает), в точке а схемы (см. рис. 6.5) имеет место сигнал
т ! t (ДоЛ - Аи) * - До/, (6.28)
Т«р+1 а п п
который и компенсирует погрешность ИНС в периоды «5 мин), когда ключ
К размыкается.
Коррекция ИНС по скорости вида (см. рис. 6.5) становится
неудовлетворительной при длительных отключениях (>5 мин) ДИС.
Перейдем к рассмотрению модели погрешностей для ДИС, работающего
без внешних для него источников информации.
Из (6.25) следует, что при отклонении центра луча на угол Ay от
номинального установочного положения возникает относительная
погрешность е, = Дсо, /.и). = tgyAy . При точности направления оси в 1 мин и
7 = 70 имеем е« = 0,08 %. В погрешность с . будут входить любые
погрешности направления антенны: установочные, связанные с
деформациями ЛА и обтекателя антенны в полете, связанные с температурными
деформациями и т.д. Кроме того, имеется погрешность измерения частоты
(систематическая погрешность устройства слежения). Она связана с
несбалансированностью дискриминатора в кольце слежения. Типовое
значение (1а) этой погрешности [4] соответствует 0,100 км/ч измерении
путевой скорости. Существуют и другие погрешности в работе ДИС [4],
мы не будем здесь подробно ца них останавлиЬаться, а приведем лишь
суммарную погрешность AW,.{t) для одного из каналов ДИС. Ясно, что
эта погрешность будет иметь составляющую, которая не зависит от
скорости W., и составляющую, которая пропорциональна этой скорос-
32 ,
Далее индекс и (начальную букву слова dopier) при написании
погрешностей доплеровской системы для простоты опустим, так что далее
AW,. = AW..
416

ти. В таком случае случайные процессы AW.it) можно представить в виде
AWdi(t) = C\t + [C2i + 4t)WV l = *' % 3' (629)
где С ., С . - независимые случайные величины,
CueN(o,odlhC2ieNio,od2h
£.(/) - независимые стационарные процессы с корреляционными функци-
Т
ями а - е , которые можно считать белыми шумами с интенсив-
2
ностью / - = 2а- Г,. Так как для движущегося самолета имеют место
очевидные соотношения W * (W й, W ) nW * W, то согласно (6.29)
с учетом (6.22) будем иметь
AW. = Cj. + [С2. ♦ {.(/)]lT«)cosrcosfl.
Если коэффициент cosrcosfl отнести к величинам среднеквадратических
отклонений о. и о« , в (6.29), то последнее выражение приводится к
форме
AW. = С,. * [С2. ♦ Z.(t)]W(t). (6.30)
В таком случае погрешности AW ,, ДАР , и AW , в соответствии с (6.24)
х\ у\ z\
можно записать в виде
a) AWx{
б) A*f,
в) AWz{
AW2-AW{
2 с озГ с os0
ДУГ *ДУ.
О 1
2 si n 0
ДУ-ДГ,
2 3
2 s inrcosd
С -С
12 11
2cosrcos0
С +С
13 11
2sin0
С -С
. 12 13
2sinrcos0
22 *2 21 1
2co$rcos0
23 *3 21 Ч
2sin0
с +t -с -z
22 * 2 23^3
2sinrcosd
With
- With
Wit).
(6.31)
Соотношения (6.31) представляют собой математическую модель
погрешностей ДИС, работающего в режиме некомплексной первичной
обработки принимаемых им сигналов. В некоторых специальных задачах
14 - 993 417

появляется необходимость учета динамических запаздываний, которые
возникают в кольце слежения (см. рис. 6.5). В этих случаях сигналы
W t + AW t,W + AW ,, W ♦ AW_t в каждом из каналов должны при
моделировании дополнительно пропускаться через инерционные звенья с
передаточной функцией 1/(Г -р +1).
Математическая модель (6.31) совместно с (4.89) и (4.16) может
использоваться для имитации погрешностей ДИС в полете. Кроме того,
она необходима для разработки алгоритмов вторичной обработки
информации, поступающей от ИНС и ДИС. В задачах синтеза алгоритмов
обработки модель (6.31) целесообразно упростить, а возникающие из-за
такого упрощения дополнительные погрешности могут быть
проанализированы методом стохастического моделирования с привлечением полных
моделей вида (6.31).
о
Во многих случаях, когда угол Г близок к 45 , знаменатели в
выражениях (6.31, айв) практически совпадают друг с другом, а сами
эти выражения принимают единообразный характер. Если величины
cosrcosfl ~. sinTcosfl учесть в значениях дисперсий чисел С. и шумов
{„то указанные соотношения приобретают следующий вид:
AW = С -С + (С -С +£-£ )W(t):
wx\ 12 11 l 22 21 *2 V"^'*
AW = С -С + (С -С +*-* )W(t). (6.32)
Z\ 12 13 22 23 *2 V ;
В [4] на основании изучения характеристик доплеровских РЛС 1970-х
годов дается следующее выражение для среднего квадрата (1а)
погрешностей AW и AW в продольном и боковом каналах:
°AW = °>185 ™/ц + 0,11 % W. (6.33)
На основании (6.33) для крейсерских и больших скоростей полета в
соотношениях (6.32) можно сохранить только члены, пропорциональные W:
AWZl - (С22 " С23 + \ ~ Ут (634)
Величины среднеквадратических отклонений о. и о. для чисел С ,
С и С и случайных процессов { , { и £ при условии равных
вкладов можно принять в соответствии с (6.33) и (6.34) равными
418

°d2 = adz = (0Л1 %) ™ = О»78*10"3- (б-35)
Из (4.16) для небольших углов тангажа и крена # и у следуют
зависимости
ДУ = AW sin^ ♦ ДУ ,cos0 ;
д: дг1 г zl г
AW = ДУ fcos^ - AW fcos^ ,
у jrl г zlг
где Д№ и AW - погрешности ДИС, отнесенные к осям х и у гиро-
* У
платформы.
В таком случае имеем
Wx - W[iC22 - C21)sin*r ♦ (С22 - C23)cos0r] ♦ vgl(A;
AWy--W[(C22-C2l)^r-(C22-C23)^r]*vd2(tl (6.36)
где l°d№* °d9^ ~ двУмеРный "белый" шум с матрицей интенсив-
ностей R,,
а
Rd . %/
l+0,5sin2^ : 0,5costy
0,5costy : l+0,5sin^
(6.37)
Соотношения (6.36) и (6.37) задают математическую модель
погрешностей ДИС, удобную для синтеза алгоритмов обработки.
6.4.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
ОТ ИКВ И ДИС
Рассмотрим здесь синтез алгоритмов для оптимальной вторичной
обработки информации, поступающей от ИНС и ДИС. Напомним, что термин
"вторичная обработка" понимается здесь в том смысле, что каждый
датчик работает самостоятельно, а их выходные сигналы обрабатываются
совместно (комплексирование по выходам). Конкретный вид каждого
такого алгоритма зависит от типов ИНС и ДИС. Здесь мы рассмотрим
комплексирование ИНС типа ИКВ с трехлучевым ДИС. Модель погрешностей
ИКВ возьмем в форме (6.16).
Девять дифференциальных уравнений, входящих в (6.16), могут быть
дополнены шестыо дифференциальными уравнениями, задающими дрейфы
419

гироскопов, и тремя дифференциальными уравнениями, задающими модель
погрешностей ДИС. Указанные дополнительные уравнения можно записать в
следующей форме:
а) модель дрейфов гироскопов (см. 5.95)
= -\izx ♦ V2o u »fi: zff(/
Ш * =-M2r ♦ K2a д a; .; z At) e N(0t о );
11 г 11 rl r 11 11 0 rl
"в. =2|0 + 2|1:
12> *12 = * ZM € m ffH>):
13) z.. - -*z. ♦ |4c2,m »,,: г„« ) € N(0, о Л; (6.38)
13 г 13 rl г 13 13 0 rl
О) = Z + Z :
в2 12 13'
14) i =0; z.AU еЫ(0. о);
И И 0 г0
15) z = -tizit. ♦ |4о2,м w: г. МЛ € МО. а Л;
15 г 15 rl г 15 15 0 rl
со = z ♦ z :
вЗ 14 15*
б) модель ДИС (см. 6.36, 6.37)
,6) Ь2Х - °: СМ € ^ "«ft*1
17) Си = 0; С2МЛ € /V<0. ай); (6.39)
Ш) *23 = * СМ € Ш °d2h
AWX - Г[(С22 " С21ШК + (С22 " ^«Ч1 * "rfl('):
™у - ^С22 " С2.)С°Ч " (С22 " SW * '*«■
Соотношения (6.16), (6.38) и (6.39) задают систему стохастических
дифференциальных уравнений 18-го порядка с вектором фазовых координат
Z{M) = (a. &, у. AVp. AV^,. В, L. A. Ah. z{Q. z{{, z^,
213' ZW Z\b' C2V C22' C23> '
420

которая может быть записана в общем виде
18 18 X у 18
(6.40)
Эта система описьюает процесс совместного функционирования ИНС и
ДИС - двух объединяемых датчиков информации.
На измеряемые датчиками параметры движения - Vt,, V ,, Wt, tW,tB
и А - наложены два уравнения связей (см. рис. 6.15, 6.6)
Vt< - W^ " OGcosBcosM - а) = 0;
к <
V , - W , - I2GcosBsinM - а) = 0,
(6.41)
которые имеют место в силу избыточности применения двух датчиков для
измерения одного и того же вектора скорости (№«.,, W ,). При этом
вектор земной скорости \Vy, - S2GcosBcos(i4 -а), V , - SlGcosBsm(A -
- а)] измеряется с помощью ИКВ и системы счисления, а тождественно
равный ему вектор (W*,, W ,) с помощью ДИС.
Уравнения (6.41) запишем в форме (1.112). В данном случае будем
иметь
U = V* - AVk, - W* + AW - OCcosBcosM - а) = V* - AVt, -
- W* * W*[(C - C)sin* * (C - С )cos*1 ♦
Г
22
21'
22
23'
+ v. At) - nGcosBcosU - a) = 0;
t/ = V* - AV , - W* * У*[(СЛО -
2 у т?' у l* 22
- C2J Wr - (С22 - C23)sin^] ♦
+ vd2(t) - OGcosBsinU - a) = 0. (6.42)
* *
где (V , V ) - выходные сигналы с гиро-
х У * *
платформы ИНС; (W , № )-выходные сигналы
ДИС (точнее говоря, выходные сигналы ДИС,
спроектированные на оси х и у гироплат-
формы по формулам (4.16).
Рис. 6.6
421

В таком случае, на основании (1.113) получаем алгоритм оптимальной
совместной обработки выходных сигналов ИКВ и ДИСС:
* * х
Лв-^вЛ"!-*
и.
и.
2 J
Ф(г,в. v*. v*) -
18 X у
-Kit)
V*-AVt. -W**W* [ (С„ „ -С,) sin* +
X V X 1 22 21 *г
А А А А А
+ (С22~°2 3 )С° S*r I-QGcosBcos(^»)
V*-AV ,-yW*[(C -Col)cos* -
У tj у l 22 21 г
-(C22-C23)sin*r]-£2GcosBsinM-a) J
(6.43)
Z(t ) € /V(m7 . P(0)).
18 0 Z18
где матрица Kit) коэффициентов усиления имеет размерность 18x2. Она
вычисляется на основании соотношений (1.113, б и в). Матрицы,
входящие в эти соотношения
*»-й*-
18
. ; Hit)
218
SU
ы
18
х ,Z18.0
С(/) =
W
* ■Z18-°
легко получаются из непосредственного дифференцирования выражений
(6.40) и (6.42) и могут быть вычислены читателем самостоятельно.
Итак, алгоритм фильтрации (6.43) позволяет оптимальным образом по
информации, поступающей от ИНС и ДИС, оценивать:
а) координаты (В, L, Л) местоположения самолета;
б) географический курс ф самолета,
ф = ф + А - а;
г
422

Выкл
Вкл
Выкл
Вкл
Рис. 6.7
в) путевые скорости самолета
А А А
Wt. =W = V*-AVfc,-
-nGcosBcosU - a);
A A A A A A
W , = W = V* - AV . - nGcosBsinU - a);
Ч У У V
г) составляющие погрешностей ИНС и ДИС, которые входят в вектор
состояния Z At) (6.40).
Рассмотрим работу алгоритма (6.43), если работа ДИС носит во
времени дискретный характер (рис. 6.7), т.е. на некоторых участках
маршрута ДИС работает и дает информацию. Так бывает, например, когда
самолет летит часть маршрута с углами крена или тангажа,
превосходящими значения, допустимые для работы ДИС.
На временных отрезках [0, / ] и [/ , / J (рис. 6.7), когда ДИС не
1 Л О
дает информации, матрица К в алгоритме (6.43) должна быть принята
нулевой. На отрезках [/ , / ] и [/ , t ] она должна вычисляться в
соответствии с полным алгоритмом (1.113, б, в). Такой режим работы
фильтра будет обеспечивать оптимальные оценивания в условиях
прерывистого поступления информации, при этом на отрезке [t , t ]
фильтр будет работать в режиме оптимального прогноза (см. 1.65).
6.4.3. УПРОЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
ОТ ИКВ И ДИС
Полученный нами алгоритм обработки, включающий в себя расчеты по
формулам (113, б, в), является в вычислительном отношении очень
громоздким. Действительно, для его функционирования необходимо
интегрировать две системы дифференциальных уравнений: 18-го порядка
(6.43) и 171-го порядка (1.113, б, в). На практике обычно прибегают к
упрощению алгоритмов, если для своей реализации они требуют БЦВМ с
завышенными характеристиками по быстродействию и памяти.
Рассмотрим, как можно упростить полученный нами алгоритм, в
предположении, что постоянные составляющие z , z , z дрейфов
гироскопов (являющиеся доминирующими по отношению к другим
составляющим) оценены во время процесса наземной выставки, а точность
423

измерения путевой скорости с помощью ДИС существенно выше точности
измерения скоростей с помощью ИНС. В этом случае фазовыми
координатами z , z , z , С , С и С можно пренебречь, а величины г ,
11 1о 14 Z1 .£x Zo 1U
Г12 Н *М
10 в1 12 b2 14 b3
Дальнейшее упрощение алгоритма может состоять в том, что элементы
матрицы К подсчитываются заранее и вводятся в ПЗУ машины как функции
от времени / - /', прошедшего после последнего включения ДИС в
работу. При этом можно сохранить только те элементы матрицы К»
которые существенно отличаются от 0. Естественно, такой подход будет
приближенным, так как матрица К через матрицу А = Ъф/bZ зависит от
траектории полета. (Матрица А зависит от В, А, V , V .) А это
обстоятельство в данном случае игнорируется.
Упрощенный алгоритм, вытекающий из полного алгоритма при сделанных
предположениях, имеет вид:
AVx ~V*x~ AlV " К " CncosBcos^ - a>»
AV - V* - AV , - W* - <K2cosBsinM - a);
У У П)' у
1) а = -c~lV*yy * a'Vxfi * ыв3; a(tQ) = 0;
3) 7 = -a"!AVr * о>в2 * u3 * ftjAl^; 7('0> ■ 7Q; (6.44)
A A A A A A A
4) AV., = £y - V*w , ♦ a + «. + *„ДУ : AVt,(0 " дУ-«:
£ У вЗ вДГ 4 2 Ж {'0 JfO
Л Л А А Л А А
5) AV , = gfi ♦ V*« * а * и* kaAV ; AV ,(t) = AV ■,
t\ * X вЗ el/ 5 2 ^ 1} 0 I/O
A A A AA A AA
6) В = qW! - AVt,)sinM - a) + (V* - AV ,)cos(A - a)];
BV - Bo:
424

7) L = (GcosBJ'V* - AV>,)cos(A - a) * (V*
и
AV ,Ш(А - а)]П L(tn) = L-,
1) U U
(6.44)
8) A = G ltgB[W*x - AVp )cos(A - a) ♦ (/ -
- AV ,)sin(A - a)]; A(U = An,
7} U U
k (r), kAt) - заданные функции времени т = t - t't V - момент
начала работы ДИС.
Проанализируем работу упрощенного алгоритма обработки сигналов от
ГИС и ДИС. Для этого необходимо вычислить корреляционную матрицу для
фазовых координат нестационарной системы дифференциальных уравнении
(6.44). Аналогичные вычисления мы уже проводили в подразд. 5.6.2 при
исследовании точности гироинерциальных систем. Для проведения этих
вычислений необходимо задаться маршрутом полета и использовать
стохастические модели ГИС и ДИС. Отсюда видно, что определение
корреляционной матрицы для нестационарной системы (6.44) представляет
собой сложную вычислительную задачу.
По этой причине мы проведем здесь лишь упрощенные исследования
2...5 уравнений системы (6.44). При этом мы получим характеристики
для погрешностей определения абсолютных и путевых скоростей полета в
процессе фильтрации.
Для дальнейшего нам понадобится преобразовать выражения для AV и
AV , входящие в (6.44). На основании (5.80), (6.41) и (6.36) имеем
AVx - -AVt + f|W ♦ Vdl(t);
AVy - -AV^ ♦ f2(t) ♦ vd2(t).
где
f{ - AVr - w*[(c22 -с„шфг ^(c22 -c23w] ♦
+ GftcosBcosU - a) - G£lcosBcos(A - a);
f2 - AV^, - W*[(C22 - С21)а*фг - (C22 - С23Шфг] +
+ [GOcosBsinM - a) - GS2cosBsinM - a)]. (6.45)
425

f At) и f At) - медленно изменяющиеся функции, зависящие от
погрешностей ИНС и ДИС, а также от неправильного вычисления составляющих от
периферической скорости С12 в результате вращения Земли. В данном
исследовании мы будем приближенно считать функции f At) и f At)
постоянными величинами. Функции v.At) и v.At) представляют собой
высокочастотные погрешности ДИС (см. 6.36).
Заметим, что четыре уравнения (2...4) системы (6.44) при таком
подходе распадаются на две независимые, одинаковые по своей структуре
системы. Проанализируем одну из них, опустив в ней члены со , и ,
АЛА В1 2
V *со . а им, которые мы считаем известными точно:
х вЗ в(/ 5 г
ду„, - * * у-ду,. ♦ /, - vd2(m, -д^«0) - о.
Переходя в этой системе к передаточным функциям, получим (k и k
считаем постоянными)
Г = 1/1^*^, * > а"1. (6.46)
Если постоянную времени Т колебательного звена выбрать порядка
60... 100 с, то флюктуационная составляющая погрешностей ДИС
практически "не пройдет" на выход фильтра. В установившемся процессе
фильтрации, как это следует из (6.46), будем иметь
AV4. - fr (6.47)
В таком случае оценка W , путевой скорости W
W , = V* - AV , - GflcosBsinM - a).
V У V
426

С учетом (6.45) она будет равна:
А Л А А А Л А
W , = V* - L - GflcosBsinM - а) = W , * LW , ., (6.48)
г} у 2 г} t7 a
где AW , . - медленно изменяющаяся погрешность ДИС, входящая в виде
слагаемого в (6.45).
Таким образом, погрешности в определении путевых скоростей при
упрощенном способе обработки показаний от ГИС и ДИС будут
приблизительно равны "медленным" погрешностям ДИС.
Сделаем здесь одно замечание, которое является достаточно общим
для всех алгоритмов вторичной обработки информации, поступающей от
радиотехнических систем и ИНС. В упрощенном алгоритме обработки
(6.44) процесс фильтрации задается двумя коэффициентами k Лт) и
k (г). Эти коэффициенты являются только функцией времени т - t - V
и не зависят от траектории полета. Другими словами, эти коэффициенты
могут быть заранее вычислены и элементарным образом введены в
алгоритм. Однако упрощенный алгоритм, как мы убедились, не дает
возможности оценить и учесть медленные погрешности ДИС.
В то же время алгоритм (6.43) позволяет оценивать случайные числа
С , С и С й тем самым дает возможность оценить и учесть и
Z1 ZZ оо
"медленные" погрешности ДИС. В силу зависимости выражений (6.36) и
(6.37) от ф нельзя заранее подсчитывать матрицу коэффициентов
усиления. Через функцию ф эта матрица будет зависеть от траектории и
г
должна подсчитываться в полете. Для этого требуется решать в реальном
времени дифференциальные уравнения Риккати 171-го порядка.
Оценивание (и значит компенсация) медленных погрешностей ДИС,
которые в пространстве как бы "связаны" с корпусом самолета
(антеннами), на фоне медленных погрешностей ИНС, "связанных" с
гироплатформой, в принципе возможно лишь тогда, когда угол ф
г
изменяется во времени (самолет маневрирует по курсу). При этом, чем
больше изменяется ф , тем точнее происходит фильтрация всех
скоростных погрешностей в комплексной системе "ИНС-ДИС". Таким образом,
зависимость качества фильтрации от учета (или неучета) переменности
параметра ф (t) является принципиальной. Учет же изменчивости ф (t) в
полете требует реализации на борту полного алгоритма Калмана-Бьюси с
427

решением уравнения Риккати. Подобная ситуация оказывается характерной
и для других радиотехнических датчиков.
У многих из них (например, РСБН, РСДН и других) погрешности
зависят от таких параметров полета, как удаление от радиомаяка, разность
удалений от маяков, азимут на станцию и т.д. Оценивание таких
погрешностей является принципиально возможным с помощью линейных или
нелинейных фильтров, однако оно требует полной реализации фильтра,
включая и решение на борту уравнения Риккати в реальном времени.
Последнее требование проистекает из зависимости матриц //, R или А от
траектории полета и из невозможности заранее (до полета) подсчитать
значения для коэффициентов усиления К, входящих в фильтр вида (6.43).
6.4.4. ОПТИМАЛЬНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
ОТ ИНС И ДИС
Рассмотрим теперь комплексирование ДИС и ИНС, у которых платформа
управляется по сигналам М , Ми М , вырабатываемым в общем счетном
устройстве. Схема таких платформ изображена на рис. 5.11, а также на
рис. 6.1, когда ключ К замкнут, а К разомкнут. В качестве ИНС
указанного вида выберем ИНС геодезического типа с всеширотным
пуассоновским алгоритмом счисления (подразд. 5.3.2), которая находит
в настоящее время широкое применение.
Модель погрешностей данной ИНС возьмем в форме (6.19). Она так же,
как это было сделано в подразд. 6.4.2 для случая ИКВ, может быть
дополнена уравнениями (6.38), описывающими стохастические процессы
дрейфов с*> , со , ы гироскопов, и уравнениями (6.39), задающими
модель погрешностей трехлучевой ДИС, до полной стохастической модели
всех датчиков системы. В данном случае вектор %9М) состояния будет
включать в себя следующие фазовые координаты:
*2| « («. А Ъ Гр Wrf u{2, V v и13. V V АЛ, ^
*13' *14' *16' V V Z18* C2f C22' C23) '
где z ...z - фазовые составляющие для дрейфов гироскопов, которые
13 1о
в модели (6.38) фигурировали под номерами z 1A...zie. Сдвиг в
10 15
нумерации этих членов объясняется лишь увеличением числа фазовых
428

координат в модели (6.19) по сравнению с моделью (6.16) на три
единицы (вместо В, L, А здесь включены и , и , и , и , и и
1* ** ох 1о Zo
и ). Система уравнений с вектором фазовых координат Z (/) вида
ОО Л 1
(6.49) задается выражениями (6.19), (6.38) и (6.39). Она может быть
записана в общем виде
* * * —
21 21 дг у г 21
(6.50)
Уравнения связей для рассматриваемого случая, когда и ИНС и ДИС
одновременно измеряют составляющие W„ W земной скорости W летатель-
33 * V
ного аппарата, имеют вид
wt w&
0,W -W. = 0.
(6.51)
Запись этих уравнений в форме (1.112) приводит к выражениям
+ (С22 - С23)С°Ч] + %{t) - °:
U«SV - ^ + Wa = V " ^ + ^1<С00 - C0,)cos* ♦ '
2 rj dy dy rj dy <r 22 2Г^г
+ (C22 " C23)S41 + "*«> " °-
Оптимальный алгоритм для совместной обработки информации от ИНС и
ДИС совпадает с оптимальным алгоритмом для оценивания вектора
состояния Z (6.49) и в силу (1.113) имеет вид
* * *
21 w 21 х у z
U.
t/
^(Znf, a , а , а ) -
21 х у z
-К
W^<tx+W>C22^2l^
(6.52)
W-Vo-
Далее индексом '(/' отмечены величины, относящиеся к ДИС.
429

где матрица усиления К подсчитывается в соответствии с алгоритмом
(1.113; б, В).
Реализация алгоритма (6.52), как и алгоритма (6.43), требует
чрезвычайных вычислительных затрат: нужно решать в реальном времени
две еще большие системы дифференциальных уравнений, 21-го и 231-го
порядков.
Упрощенный алгоритм обработки сигналов от всеширотной
геодезической ИНС и трехлучевого ДИС (который не "спасает" от "медленных"
погрешностей ДИС) может быть выведен по аналогии с алгоритмом (6.44).
Этот алгоритм имеет вид
1) а = уЫ V^ * Ш{3) * &(а Vj + Я«23) * х^з +
* t a(t) = 0.
вЗ О
Л А А А А А А АЛ
2) /3 = -a{aXWt ♦ Ш) - уШ„ + a*W ДА ♦ х.Н*" V ♦ Пи,) +
♦ со , + KAW*-W ), /3(М = 0ft;
в1 1 ау ту о о
АА А А А А А А А
3) -у = -о(-а V ♦ Яы ) + /312ы + a WyAh - х,(а Vt + Пи ) ♦
A AAA AAA
+ v„+ чКх - щ- w ■ v
5) W = а* ♦ аа* - 0а* - а * (со. + ШЖУ -
11 У X Z ву £ £ f
- 2nJPt ♦ KAW*. - W ), W (M = W-,
f £ 2 dy r} tj 0 tjO'
(6.53)
{/ = -
Л
wf
Л
шг
0
*
П
uu
*?
Л
"П
0
I/; f/(/n) = U(An, Bn, L);
о о о о
430

A = Arctg [ !——] [0, 2тг];
"23
и и
В = arctg 33 = arctg 33 ; (6.53)
13 23 31 32
"32
L = Arctg — [-тг, я].
"31
AAA
В формулах (6.53) начальные условия для оценок 0 , 7Л» У**. V-.
В , L и Л зависят от способа начальнш выставки ИНС. В данной книге
рассматриваться не будут. Кроме этого, укажем здесь на то, что в
алгоритме (6.53) явно не приведены формулы для вычисления со*, со , со*.,
12„, 12 и £2V. Они, естественно, совпадают с формулами (5.31) и (5.32),
входящими в применяемый в данном случае алгоритм счисления.
Итак, в (6.52) и (6.53) рассмотрено комплексирование ДИС с ИНС,
у которой применяется всеширотныи алгоритм счисления пуассоновского
типа. Аналогичным образом можно рассмотреть комплексирование ДИС с
ИНС, у которой в алгоритме счисления используются параметры Родрига-
Гамильтона. Модель погрешностей для такой ИНС была нами получена
ранее (6.20).
Вектор состояния Z для комплексной системы с такой ИНС будет
включать в себя девятнадцать фазовых координат:
Z19W = <«. /3. г. Wr Wn. р0. /у рг р3. АЛ. ,п.
Z ,2 , Z , Z , Z , С , С , С ),
12* 13* 14* 15' 16* 21' 22* 237'
где * . z - по-прежнему фазовые составляющие дрейфов гиро-
11 16
скопов.
Таким образом, размерность вектора состояния в этом случае
431

уменьшается на две единицы, что облегчает построение как оптимального
фильтра вида (6.52), так и субоптимального фильтра вида (6.53).
Составление соответствующих алгоритмов полностью аналогично
проделанному в (6.52) и (6.53).
6.5. СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
ОТ ИНЕРЦИАЛЬНО-ДОПЛЕГОВСКИХ СИСТЕМ
И РАДИОСИСТЕМ БЛИЖНЕЙ НАВИГАЦИИ
6.5.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РСБН
Радиосистемы ближней навигации (РСБН-бс, РСБН-7с, VOR/DME,
TACAN) включают в себя два канала: дальномерный и угломерный.
Дальномерный канал работает в диапазоне частот 960... 1215 МГц по
импульсному временному методу, когда непосредственно измеряется время
Т между излучением запросного и приходом ответного импульса. При
этом дальность s между самолетом и наземным радиомаяком, на котором
установлен ответчик, вычисляется по формуле
s = 0,5с(Г - М, (6.54)
Г S3
где / - временная задержка в цепях ответчика.
Формат у (t) сигнала [25] ответчика приведен на рис. 6.8, на
котором введены следующие обозначения: /, - момент излучения /fe-ro
запросного импульса; г, - кодовый (различный для каждого ответчика)
интервал;
г -
и
длительность им-
уЛ
1
t„
4
1
J
*
ъ
\. i
1 i
it
\
L
I
Рис. 6.8
пульса.
Азимутальный канал тоже работает
по принципу измерения временного
промежутка между импульсами. В
состав этого канала входят два
наземных передатчика, работающие на
одной и той же частоте, в диапазоне
873,6...935,2 МГц. Один из
передатчиков генерирует непрерывные
колебания, излучаемые вращающейся ан-
432

PM
Ул
t
2t
; 1
Ъ ^А
1 ** уЩ\
Т* ^
1И ^
S)
Рис. 6.9
тенной, которая имеет двухлепестковую диаграмму направленности
(рис.6.9, а). Азимутальная антенна вращается с постоянной скоростью
со, равной 100 об/мин, что соответствует f = 1,66 Гц.
вр
Другой передатчик работает в импульсном режиме и имеет
ненаправленную антенну. Устройство формирования его импульсов связано с
приводом вращения антенны. Оно обеспечивает измерение всеми
самолетными станциями момента /д. (рис. 6.9, б) прохождения антенной
северного направления. Азимутальный сигнал у At) на входе самолетного
приемного устройства имеет форму сдвоенного колоколообразного
импульса (рис. 6.9, б) с острым минимумом, по которому определяется
момент Т д прохода оси симметрии антенны через место нахождения
самолета. Азимут самолета А определяется по формуле
А = со7\. (6.55)
Далее мы рассмотрим оптимальную обработку сигналов для двух
случаев. Во-первых, когда РСБН работает в режиме приема сигналов без
использования внешней для нее информации (ключ К на схеме рис. 6.1
«з
находится в разомкнутом состоянии). И, во-вторых, когда прием
сигналов осуществляется РСБН с использованием такой информации (ключ
1С замкнут).
Модель погрешностей РСБН для случая ее самостоятельного
функционирования может быть принята [4] в следующем виде:
Asr(t)
% + Sr{t)Cs + W>s
AAr(t) = AAQ * tAV),
(6.56)
433

где AsQ € МО. а^); С$ € N(0, а^), AAQ € МО. а^) - случайные
попарно независимые величины, { (/) и % At) - случайные стационарные
s , л!т1 2 ЛМ
процессы с корреляционными функциями Оу е и а*.-е
Среднеквадратические значения а , а , а - , а у и cl. для
современных РСБН типа "TACAN" могут быть приняты равными [4]
следующим значениям:
aso = ,OOM:asi=0'1%:% = 0'1°:
6.5.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ВТОРИЧНАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
ОТ ИКВ. ДИС И РСБН
Будем считать, что ИКВ и ДИС уже объединены в общую инерциально-
доплеровскую систему счисления с помощью оптимального алгоритма
(6.43). Кроме того, будем считать, что комплексный канал измерения
вертикальной скорости W = W - V и высоты ft входит в состав ИКВ.
Наша задача состоит в том, чтобы включить РСБН в качество нового
датчика в эту систему. Указанная задача по-прежнему может быть решена
методами нелинейной фильтрации.
С этой целью объединенная стохастическая модель ИКВ и ДИС (которая
задается соотношениями (6.16), (6.38) и (6.39)) должна быть дополнена
стохастической моделью РСБН, которая может быть записана в следующем
виде:
Модель РСБН
19) AsQ = 0; А$0 е МО, о^);
20) С =0; CeN(0, a); (6.57)
s s si
21) АА0 = 0; AAQ € N(0. о^);
2 -1
£ (/) и iM) - непрерывные "белые" шумы с интенсивностями 2а«. и и
о 2 -1
2оу м. соответственно.
Уравнения связей для ИКВ и РСБН имеют вид (3.2)
434

[Or - xf ♦ (у - yr)2 + (z - zr)2]l/2 -sr = 0;
sin A skl - coSi4 sr = 0,
r N r E
(6.58)
где (xt yt z) - прямоугольные координаты самолета, являющиеся
известными функциями (2.9) от его геодезических координат (В, L Л);
SM и SF ~ известные ^см- 2.0 функции от В, L и Л.
Уравнения связей (6.58) могут быть записаны в форме (1.112), при
этом они получают вид
[s - As -
1 г 0
- trC9 - & </>] - 0;
* *
Uя = sin(i4 - АЛ - ZA)sk1 - cos(A - АД - Z*)sP = 0.
4 г о А N г 0 А Е
(6.59)
Уравнения связей (6.59) дополняют уравнения связей (6.42).
Если соотношения (6.16), (6.38) и (6.39) объединить с
соотношениями (6.57) в единую стохастическую систему Zt
21
с вектором фазовых координат 21-го порядка Zt
21
lM*ftl, V , V ) * wnt
21 X у 21
(а, /3, 7. AVr
AV ,, В, L, Л ДЛ, z , г , z , г , г , г , С , С .С . As ,
V ' '■ ' ' 10' И 12* 13* 14* 15' 2Г 22 23 О
С , АА) , то на основании (1.113) можно записать искомый алгоритм
so
для совместной обработки сигналов от ГИС, ДИС и РСБН
ZnM) = Wft, V. V) - K(Ut, V. V. UУ = *<Zei. V . V) -
21
21
21
-К
V*-AVt,-W*+W*[(Cn0-С0Jsin* ♦
JC £ Af l 22 21 г
+ (СЛЛ-СЛ Jcos^f ]-£2GcosBcosM-<z)
2 2 2 3 г
V*-AV ,-W*+^*[(Coo-C )cos* -
У V У 22 21 г
-(Слл-£ Js i ni// ]-ftGcosBsinM-<i)
22 23 rJ
# * #
sin(>4 -AA) s kI-cos(A -AA„)s~
г o' N r 0' E
(6.60)
435

22.«0)=Z2,.0'
где К - матрица коэффициентов усиления размером (21x4). Она
вычисляется на основании соотношений (1.113, б, в). Матрицы, входящие
в эти соотношения,
A(t)
С(/) =
дф
Ы
21
Hit) =
ъи
ы
21
21
х\1
21.0
(6.61)
21.0
SAAn
легко получаются из непосредственного дифференцирования указанных в
(6.61) функций с учетом соотношений (3.21).
Заметим, что фильтр (6.60) в принципе позволяет достаточно точно
оценивать (а следовательно, и с высокой точностью компенсировать) не
только медленно изменяющиеся ошибки ИКВ и высокочастотные
погрешности радиодатчиков, но и. что очень важно, медленно
изменяющиеся погрешности самих радиодатчиков, которые задаются случайными
постоянными величинами С . С . С для ДИС (см. 6.39) и величинами
Ast С и АЛ для РСБН (см. 6.57).
Причины хорошей наблюдаемости
медленных погрешностей ДИС.
обусловленных постоянными С , С ,
С , были уже обсуждены ранее. Эти
причины связаны с переменностью
гироскопического курса ф (t) в
полете. Причиной хорошей наблюдаемости
медленных погрешностей sAA и As =
= As + s С (рис. 6.10) у РСБН яв-
0 г $ к J
ляется то. что эти погрешности в
процессе полета поворачиваются
относительно медленных погрешностей
QAB = AN и GcosBAL — АЕ системы
счисления, которые постоянно
направлены на Север и Восток. Кроме
Рис. 6.10
436

того, величина s . входящая в произведение s С , тоже изменяется в
t Г S
процессе полета, что способствует лучшей наблюдаемости медленных
переменных.
Однако фильтр (6.60), имея указанные достоинства, требует очень
больших вычислительных затрат для своей реализации. Вместе с
относящимися к нему уравнениями Риккати требуется решать в реальном
масштабе времени систему дифференциальных уравнений 252-го порядка.
Далее будет рассмотрен способ обработки навигационной информации,
который позволяет существенно уменьшить требования к БЦВМ за счет
перехода от непрерывных фильтров к дискретно-непрерывным с достаточно
длительным (20...60 с) периодом дискретности.
6.5.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНАЯ
ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ ОТ ИКВ.
ДИС И РСБН
Рассмотрим экономный (по вычислительным затратам) способ обработки
информации от ИКВ (с включением в нее высотного канала), ДИС и
РСБН. Этот способ отличается тем, что счисление координат
осуществляется в нем непрерывно, а фильтрация и коррекция погрешностей ИНС -
дискретно. Такой подход позволяет, с одной стороны, получать
навигационную информацию в непрерывном виде, а с другой - достаточно
эффективно проводить фильтрацию даже медленных погрешностей
радиотехнических датчиков при сравнительно невысоких вычислительных
затратах.
В предлагаемом способе обработки мы будем в качестве основной
использовать непрерывную модель, составленную из соотношений (6.16),
(6.38), (6.39) и (6.57). Ее можно записать в объединенном виде
Z(0-^.V;vJ)*i2|;Ztfe)-Ze;
Z(t) = z2{(t) = (а, /3, Ъ ДУГ Д^,, В, L, А ДЛ, z{Qt (6.62)
z , z , z , z , z , С , С , С , As , С , ДА )т.
11' 12' 13' 14' 15' 21' 22' 23' О' S' (Г
Далее будем предполагать, что информация от ИКВ в виде сигналов
[V (/), V (/)] поступает непрерывно, а информация от ДИС и РСБН в
" # * * * *
виде сигналов [W (/.), W (/,), W (/,)] и [$ (/,), А (/,)] поступает
х к у к z к г k г k J
дискретно в моменты времени t. с шагом дискретности Т = t. - t. .
437

Подчеркнем здесь, что дискретный съем сигналов от ДИС и РСБН
объясняется нашим стремлением к упрощению алгоритмов фильтрации, а не
принципом действия указанных датчиков.
Для уяснения существа предлагаемого дискретно-непрерывного способа
обработки информации будем сначала исходить из того, что всякие
необходимые вычисления на БЦВМ производятся мгновенно, без задержек.
Пусть в момент времени /, мы располагаем оценкой Z(t< It. ).
Тогда, решая в реальном времени систему дифференциальных уравнений
(6.62) в виде
Щ) = *(Z, V* A Z(L ) = Z(L It ) (6.63)
х у k-\ k-\ k-\
с начальными условиями, равными Z(t, ,//..)• мы будем получать
^ к~ 1 к~ 1
текущую оценку Z(t/t< ) на интервале дискретности [/, , /J.
Вектор Zdlt, ), /, < / < /, содержит выходные сигналы
AAA
B(t/t, ), L(t/tb ), A(t/t, ,), принимаемые за выходные сигналы всей
К' 1 К~ 1 К" 1 А
комплексной системы. Кроме того, он содержит поправки a(t/t, ),
AAA A ft~ §
№ftk_x)> У^к-\^ AV^*V' AV '^k-J к выходным сигналам
платформы ИКВ, а также оценки Z (///, ,) 2ut,(t/t, J для
составляющих погрешностей ДИС и ГИС.
В момент времени t, поступают измерения W (/,), № (/,) от ДИС и
измерения s (/,), Л (/,) от РСБН. По этим измерениям, зная, кроме
того, вектор ZttJtb Л на о0"083™11 соотношений (1.110), (6.62),
(6.42) и (6.59) мы получим искомую оценку Z(/,//,), которая будет
иметь вид
UT(tk) = [Ufa). Ufa), Ufa), Ufa)]. (6.64)
В соответствии с (6.42), (6.59) и (1.110, а) имеем
438

w = vX>-avvw-<(v +
+
w <V «VA.' "WW»,+ 'WW"
-а(/Л.,)]:
W = ^(V-AVVW-<('*) +
+
-а(/Д j)]; (6.65)
-Ч«л.1)1;£«л..)-
Матрица /С коэффициентов усилений в фильтре (6.64) вычисляется на
основании соотношений (1.110, б, в, г). При этом матрицу Ф., Q,
определяются в данном случае с помошью формул (5.110) и (5.111).
Рассмотрим теперь работу дискретно-непрерывного метода обработки
навигационной информации с учетом того, что БЦВМ ведет вычисления не
мгновенно. Пусть временная диаграмма работы машины представлена на
рис. 6.11. Предположим, что в момент времени /, + т на основании
предыдущих вычислений становится известной оценка Щ. + г //, )
вектора (6.62) фазовых координат Z(/. + г ). В таком случае
система дифференциальных уравнений (21-го порядка)
Z(t) = ДОЮ, V*tf), V*(«], t> tk{ * r2, (6.66)
439

t
t*-,
-*1
S «... • r
1 г
-^ ^-
**—^н
Рис. 6.11
задаваемая уравнениями (6.63),
может решаться начиная с
момента /, в ♦ т с начальными
£-1 2
(6.67)
ч., •
* VV
'V
!>•
" %
1
Выходной сигнал Z(t) системы (6.63) с начальными условиями (6.67)
можно считать за выходной сигнал комплексной навигационной системы на
временном отрезке [/, ♦ г , /, ♦ т ]. Действительно, в состав
вектора Z(t) непосредственно входят B(t) и Ш) - оценки текущих
координат самолета. Выходные сигналы по углам курса, крена и тангажа,
а также выходные сигналы по скорости получаются в виде разностей
прямых сигналов от ИКВ и оценок погрешностей этих сигналов. Указанные
оценки погрешностей входят в состав элементов вектора Z(t).
На временном отрезке [/, + г , /J в параллель с
интегрированием системы дифференциальных уравнений (6.66) ведется расчет матрицы
/\ по формуле (1.110, г).
Пусть теперь в момент времени /, (рис. 6.11) с помощью ДИС,
* * #
РСБН и системы измерения высоты ведется измерение х, = (W ,, W ,,
* * * т я хк ук
s ь* ^ Ь* ty и вводятся в этот момент времени в вычислительную
машину. Пусть далее до момента времени Л ♦ г (см. рис. 6.11)
продолжается интегрирование дифференциальных уравнений (6.66) и,
кроме того, последовательно производятся следующие вычисления:
а) матриц Ф, = Ф(/,, /, t) и Q, на основании соотношений (5.110) и
(5.111);
б) матрицы
Pk/k-\
в) матрицу (1.108) Н,
•Л-А'Ъ
bz
V
Zk/k-V °
(6.68)
где U - вектор,
задаваемый соотношениями (6.65); Z
Ш-\
Z2A-,
"W
440

^L.tfi/L л) - решение системы (6.66) в момент времени /,
21 к к-\ к-
+ Т
t. при начальных условиях (6
.67);
г) матрицы R .
п - Г D Гт. Г - а^
K\k " LkKFk' Lk ' bz
. 0 0
Rdk j° °
0 0 al 0
0 0 0a
'MJ
\»
= J *rf(r)<fr. Rd(r) см. (6.37);
/
'ft-1
д) матрицы К (1.110, в) и оценки Z
*/*
Ww-V.-K^W-
(6.69)
где элементы вектора U вычисляются по формулам (6.65).
Итак, к моменту времени /, ♦ г в результате приведенных выше
вычислений получается оценка Z(/,//,), относящаяся ко времени,
сдвинутому на г назад. По этой причине на временном отрезке [/, «■
♦ г . /, «■ г ] необходимо провести дополнительные вычисления,
позволяющие от Z(tjt.) перейти к Z(t, * г</ф и таким образом получить
оценку Z(t, «■ г //,) именно в момент времени /, «■ г . к которому она
и относится.
В момент времени /,. являющимся прошедшим для момента времени /« «■
+ г . нужно вектор фазовых координат Z(t) в уравнениях (6.66) принять
I А
равным Z(tJtb)t или, другими словами, добавить к текущему решению
А А К К
Z(/,) = Z(tjt< ) величину, равную
mtk) = hW -mk/tk_x).
441

Величину 6Z(/«) можно рассматривать как поправку на k-м шагу
коррекции. Однако время введения указанной поправки уже прошло. Нам
теперь нужно ввести поправку в момент времени /, ♦ г (см.
рис. 6.11). Уравнения (6.66) с условием (6.67) продолжают
интегрироваться на временном отрезке [/, «■ г , t< * т ] и нужно к текущему
а к 1 К Z
решению Z(/, * г //, ) добавить величину,
8Z(tk ♦ г2) = Ф«к + тг tk№tk). (6.70)
где Ф(/« «■ г, /,) - фундаментальная матрица для линеаризованной
системы (6.66), она может быть рассчитана по формулам (5.111) с
заменой в них /, на (/, * тл) и tu . на /«.
k k 2 к-\ к
Отсюда следует окончательная формула
Vvv = Vvw*5Zvv- <6-7i)
Исходя из Z(/« * TJK Л а также непрерывных измерений V (г),
К"" 1 л К ~ 1 X
* *
V (г), /« < г < /, поступающих от ИКВ, и дискретных измерений W ,,
* * *
W «, s ,, Л -, поступающих от радиодатчиков, мы получили Z(/, ♦
* r</V* Таким образом, мы полностью описали алгоритм счисления и
фильтрации для fc-ro шага.
К выводу формул (6.70) и (6.71) можно дать следующее пояснение.
Рассмотрим две одинаковые системы уравнений вида (6.66) с разными
начальными условиями, относящимися к моменту времени /,,
Будем считать разницу 5Z(/,) = Z (Л) - Z (Л) = Z(/,//,) -
- Z(tjt, ) малой величиной. Рассмотрим поведение указанной разницу
&Z(t) = Z (/) - Z (/), / > /, во времени (нас интересует время / -
442

Имеем
aw = z{-z2 = *«r v^. v*> - wz| - sz, /, vj) =
6Z(/);
Zj = Z(t/tk)
mt) = ф«, V5Z(V' fiZ('* + V = ф('* * V '*>fiZ(V-
Последние выкладки вместе с формулами (5.111) доказывают (6.70) и
(6.71).
Соотношения (6.67)...(6.71) задают дискретно-непрерывный алгоритм
счисления и фильтрации.
Сколь сильно точность фильтрации зависит от периода (см.
рис. 6.11) и много ли проигрывает по точности дискретно-непрерывный
алгоритм (6.69) непрерывному алгоритму (6.60)?
Достаточно точно ответить на эти вопросы можно лишь с помощью
численного моделирования работы обоих фильтров на различных
маршрутах. Однако даже приблизительный анализ процесса наблюдения медленных
погрешностей (sAA , As) РСБН на фоне медленных погрешностей (0АВ,
GcosBAL) ИНС (см. рис. 6.10) показывает, что период дискретности Т не
должен выбираться очень малым. Действительно, удовлетворительное
оценивание медленных погрешностей возможно лишь тогда, когда в
процессе движения система векторов (sAA , As) повернется хотя бы на
о
угол 15...20 . На это требуется время, зависящее от траектории
(далеко или близко от маяка пролетает самолет) и скорости. За время
пролета над маяком (см. рис. 6.10) должно быть сделано не менее
10... 15 итераций Калмановской фильтрации. Исходя из этих рассуждений
можно рекомендовать выбирать Т в диапазоне 20...40 с. Как видим,
значение Т является достаточно большим, что позволяет существенно
снизить требования к быстродействию БЦВМ в случае применения
дискретно-непрерывного метода обработки навигационной информации.
В процессе своего функционирования радиотехнические датчики ДИС и
РСБН (в отличие от ИНС, работающей постоянно) могут включаться в
работу и выключаться из нее в силу принципов их действия (при
накренениях самолета, при периодической потере видимости малка ГСои
во время маловысотного полета и т.д.). Естественно, при выключениях
матрица К и вектор U должны изменяться. Указанные изменения будут
" Ы
443

осуществляться автоматически, если вычисление оценки Z(tJtA в
(6.69) понимать в модифицированном смысле (1.65), когда матрицы //«,
/С, и у, = U, изменяются (модифицируются) по правилам, изложенным в
подразд. 1.6.1.
6.5.4. ЗАЩИТА КОМПЛЕКСНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ
ОТ НЕПРАВИЛЬНЫХ ПОКАЗАНИЙ ДАТЧИКОВ
Каждый навигационный датчик либо в силу технических отказов, либо
в силу неправильной настройки или ошибочного введения в него
предварительных данных может, начиная с какого-то момента времени, давать
неправильные показания.
Такие показания с помощью специальных алгоритмов должны быть как
можно скорее квалифицированы как неправильные с целью запрещения их
ввода в комплексную систему, а экипажу самолета должна быть дана
сигнализация о выходе из строя данного прибора.
Указанную группу вопросов, связанную с зашитой от сбойной работы
датчиков, рассмотрим на примере комплексной системы, состоящей из
ИКВ, ДИС и РСБН, работающей в режиме непрерывно дискретной обработки
информации.
Ранее мы доказали (1.68, 1.109), что статистика /*,, задающаяся
к
соотношениями
*k'4wfvkA*vV£- <6-72)
распределена по закону х с т степенями свободы, если все датчики
исправны. При этом число т равно размерности вектора наблюдений у,
(или UJ.
k
Прибор следует считать исправным, если его реальное
функционирование соответствует принятой для него математической модели
нормальной работы. Например,-ИКВ исправна, если ее реальное
функционирование отвечает модели (5.99)... (5.101). Аналогично, ДИС считается
исправным, если его функционирование отвечает модели (6.36), (6.37).
444

Если угловую скорость cj it) дрейфа одного из гироскопов,
установленных на платформе ИКВ, начиная с какого-то момента времени t
нельзя рассматривать как возможную реализацию случайного процесса
(5.95) с принятыми значениями параметров cj , cj . и /* , то такое
гО г1 г
явление нужно рассматривать как отказ гироскопа (и всей ИКВ), который
начал проявляться с момента времени / .
Рассмотрим вероятность события А.:
P(Ak) = P[ak < ak < bk] = P = 1 - q, (6.73)
где а, и b, - заранее выбранные (/-процентные пороги для случайного
числа д..
к
Заметим здесь, что зависимость чисел а, и Ь, от шага Т появляется
только потому, что в разные моменты времени /, в работе может
участвовать и разное число датчиков. Если участвуют все датчики (ИКВ,
ДИС и РСДН), то число m уравнений связи будет равно 4 и случайное
число м, будет распределено по закону ихи-квадрат с четырьмя
степенями свободы". Если же в работе будут только два прибора: (ИКВ
и ДИС) или (ИКВ и РСБН), то m будет равно 2. И, наконец, если будет
работать только одна ИКВ, то m = 0 и факт отказов приборов установить
в этом случае не удастся вовсе.
Выполнение события А является сигналом об исправной работе всей
совокупности датчиков. В таком случае величина q является
вероятностью ложной тревоги на *-м шаге.
Допустимая величина q может быть получена из допустимой величины
для интенсивности X ложных тревог:
Я = \Tt
где Г - период дискретности работы фильтра Калмана в алгоритме (см.
рис. 6.11). Например, для X , равной одной ложной тревоге на 500 ч
работы, и Г = 30 с q = 1,66- Ю"5.
-5
Для q = 1,66-10 пороги [а, Ь] для различных чисел m [16] имеют
следующие значения (табл. 6.1):
445

Таблица 6.1
q= 1.66-10"6
т
а
Ь
1
0
19
2
0
23
3
0
26
4
0.01
28
5
0.03
31
6
0.1
33
7
0.15
35
8
0.3
37
9
0.4
39
10
0.5
41
Критерий неисправной работы вида
»k ё [а^ bk] (6.74)
является очень чувствительным. Расчеты показывают, что увеличение
скачком скорости W, (t ), измеряемой ДИС, на 10 м/с приводят к скачку
в значении д, на 300...400 (что значительно превосходит верхний
предел, равный 28>.
Увеличение скачком скорости дрейфа курсового гироскопа до 10 /мин
приводит к скачку в значении д. до 10 000...20 000.
С помощью критерия (6.74) можно зафиксировать не только факт
отказа одного (неизвестно какого) датчика, но и определить отказавший
датчик. Действительно, пусть до момента /. = / д., у < k,
ВЫЧИСЛЯЛИ 1 /
емая по формулам (6.72), удовлетворяла условию (6.73) исправной
работы. Пусть далее в момент /, величина д. стала удовлетворять
условию (6.74), сигнализирующему об отказе.
Для определения отказавшего прибора проведем на k-м шаге итерацию
(6.69) повторно несколько раз. Проведение таких повторных итераций и
представляет собой алгоритм поиска отказавшего прибора. Сначала
проведем итерацию (6.69), считая, что отключен ДИС, потом будем
считать, что отключена РСБН. И для обоих случаев заново подсчитаем
д, и сравним ее с границами при т = 2 (см. табл. 6.1).
Для построения алгоритма поиска отказавшего навигационного датчика
или группы отказавших навигационных датчиков введем в рассмотрение
вектор е. Число его элементов пусть будет равно числу навигационных
датчиков, не считая ИНС. Например, в рассматриваемой навигационной
системе, состоящей из ИНС, ДИС и РСБН, число элементов будет равно 2,
и вектор е представляется в виде е = (е., е )т.
446

Сигналом тревоги (сигналом об отказе одного или большего числа
датчиков) является выполнение условия (6.74). После этого повторяются
вычисления по алгоритму (6.69), при которых последовательно
выключаются (игнорируются) выходные сигналы сначала ДИС, а потом
РСБН. При этих выключениях значение е, берется равным 1, если при
выключенном ДИС выполняется условие неисправной работы (6.75). Оно
берется равным 0, если выполняется условие исправной работы (6.73).
Аналогично поступают с числом е при выключении показаний РСБН.
При таких действиях возможны следующие значения вектора е:
е = (1,1) - отказ ИНС и, может быть, других датчиков системы; ,
е = (0,1) - отказ ДИС; .„ _.
е = (1,0) - отказ РСБН;
. е = (0,0) - маловероятное событие при условии общей тревоги
(6.74).
Критерий "хи-квадрат" определения отказавшего навигационного
датчика обладает рядом достоинств: высокой чувствительностью;
возможностью определять не только технически неисправные приборы (что можно
осуществить и методами встроенного контроля), но и вообще приборы с
неправильными показаниями.
Поясним последнее свойство. Пусть собственные координаты (В , L ,
Л ) некоторого радиомаяка по ошибке были внесены в программу
полета неправильно. Этот факт приведет к большим невязкам V и V в
3 4
уравнениях связи (6.69) при переходе на этот маяк. Тут же величина д,
окажется очень большой и будет зафиксирован факт отказа РСБН (точнее
говоря, факт невозможности использования его показаний).
Кроме уже указанных достоинств у предложенного критерия нужно
отметить еще одно положительное свойство. Для своей реализации он
требует знания только лишь гипотезы (модели) исправной работы прибора
и не требует альтернативных гипотез (сбойных моделей работы прибора),
которых на практике оказьвается необыкновенно много, что затрудняет
их использование.
447

6.5.5. УПРОЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
ОТ ИКВ, ДИС И РСБН
Упрощенный алгоритм обработки сигналов от ИКВ, ДИС и РСБН вытекает
из тех же соображений, что и упрощенный алгоритм, изложенный в
подразд. 6.4.3. При таком подходе отпадает необходимость в проведении
на борту самолета интегрирования уравнений Риккати в реальном
времени, а матрица коэффициентов усиления k может быть подсчитана
заранее (при конструировании) и введена в программу в виде набора
функций времени /-/'., где /'. - момент включения /-го прибора в
работу. При этом в самых простых случаях возможна аппроксимация
некоторых коэффициентов в матрице К с помощью постоянных величин.
В предлагаемом далее алгоритме большую роль будут играть разности
* А *
В Ц) - ВЦ) и L it) - Lit), на которых мы сначала и остановимся.
* * 34
Величины В it) и L it) представляют собой геодезические координаты
самолета, вычисленные по текущим показаниям s it), A it) и hit),
которые имеют место на выходах РСБН и системы измерения высоты hit)
* * * *
самолета. Вычисления вида is , А , А) -» (В , L ) осуществляются на
г г Р Р
основании либо соотношений (3.4...3.6), либо соотношений (3.8, 3.9).
Мы уже знаем (подразд. 3.1.1), что вычисление геодезических
координат самолета на основании указанных соотношений требует задания
первоначальных значений В и L . В качестве этих величин естественно
выбрать координаты Bit) и Lit), имеющие место на выходе комплексной
навигационной системы. При этом будем иметь
BQ = Bit) и LQ = Lit).
Тогда вычисление разностей В - В и L - L превращается в
вычисление величин АВ и AL по формулам (3.8).
Для дальнейшего изложения нам понадобится вектор, который
34„ .... ^
Индекс р — первая буква в слове position . Этим индексом далее
будем обозначать координаты самолета, вычисленные по показаниям
позиционных датчиков.
448

* *
соединяет точку (В , L ) местоположения, задаваемую РСБН, с точкой
(В, L) местоположения, задаваемой текущими оценками. Проекции Ах и Ау
этого вектора на оси х(£) и у(т?) платформы будут равны
Ах = -Ч?(В* - ВШ(А - а) + CcosB(L* - L)cos(A - a);
. / / . * * (6.76)
Ay = Q(B* - B)cosM - а) + GcosB(L - L)sinM - а).
Приведем теперь упрощенный алгоритм для обработки сигналов от ИКВ,
ДИС и РСБН:
а) AV , AV - подсчитываются по формулам (6.44);
х у
б) Ад:, Ду - подсчитываются по формулам (6.76);
1) а = 4X~Vy + aVfl + u 0, a(t) = 0;
у' х вЗ о
2) 0 « ^"«ду ♦ ыш1 * «2 ♦ ^ ♦ *3Ду. i«0) = iy
3) г - чгЦ, * «rf * «"3 * k^Vx ♦ *здж> ;«0) = v
4) AVr - ^ - ^в3 ♦ «"4 ♦ алх ♦ *А ♦ *Л. AVr«0) = Д^:
5) AV = # ♦ /ы + и ♦ а ♦ *ДУ ♦ * Д . AV ,«.) = AV.;
1} Хъ3 5*у2у4уг}0 I/O
6) В = Q'W* - AVt,)sin(A - а) ♦ (V* - AV ,)cosM - а)] ♦
* *5^ " *>' Ч> = *0: (677)
AAA A AA А АА
7) L = (GcosB)~'[(V* - AV*,)cosM - а) ♦ (V* - ДУ ,)sin(4 - а)] -
* . У V
- а ♦ *5u* - Z). Ztf0> - £0;
8) А = G~'tgB[(V* - AVt,)cos(A - а) ♦ (V* - AV ,Ып(А - а)],
X К У V
ч>=к
Поясним фильтрирующие свойства ^алгоритма (6.77).
15 - 993 449

Соотношения 6 и 7 могут быть записаны в форме
A W » I A A A
в = -^- + Ms - в), вю = в :
л 5 Р 0 0
Ч- (6.78)
L = . ^ . * ft (L* - L). ЦП = L.
GcosB 5 ' ° °
А А А А А А
Если в (6.78) учесть, что В = В + ДВ; L = L * AL; У„ = WN + Д»\,;
Г- = W- + Д№с; В* = В * АВ ; L* = L * AL ; h = h + Ah, тоэти соот-
Ь t t р р р р р р
ношения принимают вид
ДВ ♦ kAB -f* kAB ;
5 1 5 р
AL * kAL = I * kAL , (6.79)
5 2 5 p
где АВ и AL - погрешности радиосистемы в определении координат
самолета,
*WN WN Ah
r\ " Q Q Q :
aw-, W-, A; r^sinB
f = E - E Ah E AB
'2 GcosB GcosB G n 20
Ocos о
С помощью преобразования Лапласа из линейных дифференциальных
уравнений (6.79) получим
Г 1
АВ = -=г f ♦ -=г АВ ;
Г +1 Ч Г +1 р'
Р Р И
"^"iVVtV^V (680)
Р Р
где Г = k - постоянная времени инерционного звена, которую выбирают
5
равной 15...40 с.
450

Проанализируем соотношения (6.80). Из них следует, что установив-
А А
шиеся значения QAB и GcosBAL для погрешностей, обусловленных
возмущениями f и f , будут равны
QAB = QTf{ = T(AWN - Wffl^Ah);
GcosBAL = T(AW£ - W^G'lAh + W£tgBAB). (6.81)
Если \AW\ < 4 м/с; |W| < 700 м/с; Aha'1 < Ю"4 = 0,01 %; tgBAB <
< 10 , то указанные погрешности при Г = 40 с не превосходят 180 м.
Таким образом, алгоритм (6.77) при включенных позиционных средствах
радиокорреляции довольно эффективно борется со скоростными
возмущениями f и f . Из (6.80) следует, что высокочастотные составляющие
погрешностей АВ и AL практически "не пройдут" на выход фильтра,
представляющего собой инерционное звено с большой постоянной времени.
Напротив, медленно изменяющиеся составляющие погрешностей АВ и AL
почти полностью войдут в ошибки АВ и AL определения положения
летательного аппарата.
При выключениях РСБ№ коэффициенты k t k и k в фильтре (6.77)
«3 4 и
становятся равными нулю, а при включении - их постоянным номинальным
значениям. При выключении ДИС коэффициенты k и k становятся равными
нулю, а после включения ДИС в работу представляют собой заданные
функции от времени / - /', где /' - момент последнего включения.
6.5.6. КОМПЛЕКСНАЯ НАВИГАЦИОННАЯ СИСТЕМА
С ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРВИЧНОЙ ОБРАБОТКОЙ СИГНАЛОВ ОТ РСБН
Рассмотрим оптимальную обработку сигналов от ИКВ, ДИС и РСБН
смешанного вида, когда для ИКВ и ДИС проводится оптимальная вторичная
обработка информации, а для РСБН - оптимальная первичная обработка.
Схема взаимодействия датчиков с общей вычислительной машиной
представлена для рассматриваемого случая на рис. 6.12.
Особенности, а также достоинства и недостатки такой схемы
обработки будут обсуждены ниже.
Сигнал (рис. 6.7) на входе приемника в дальномерном канале может
быть описан [4, 25] с помощью соотношения
451

y(t) = hit) ♦ v(t) = ЛАЩ
*S S S S '
exp
[
2r
-<<-'*-<з-
- с \(t))2] * exp[ - -L-tf - /ft - /з - fft - с" 'fctf))2]}
X COS
[^-'*-'з^Ч«»**«КЮ-
(6.82)
где Л (/) - амплитуда импульсов; cj = X 2nc - несущая частота; X -
длина волны; ф - случайная фаза; г - длительность импульса; / и
о Н о
г, - временная задержка в целях ответчика и кодовый интервал; /, =
= / + kT - момент излучения запросного импульса; Г - период следо-
"белый" шум с интенсивностью г ;
вания запросных сигналов; v (t)
Т = 2СЛ ♦ /.
s г з
Случайный процесс ф (/), описьвающий блуждание фазы ф , может быть
о S
задан с помошью стохастических дифференциальных уравнений вида [25]
♦ V2o2n n
Acj = -/* Ас*) + V2o"м 17 (/);
S CJ S CJ CJ CJ
^ = Дсо ♦ Vi, пЖ
s s ф ф
S
(6.83)
где случайный процесс Ды (/) блуждания частоты принят в виде
- . -2 -mcjItI „ w
марковского процесса с корреляционной функцией а е ■ ■, а случайный
процесс блуждания фазы - как сумма интеграла от этого и винеровского
процессов с интенсивностью L , Т7 (/) и тт.(О - независимые процессы
"белого" шума с единичными интенсивностями.
Сигнал (см. рис. 6.9) на входе приемника в
икв \ Ч о I азимутальном канале может быть описан с помошью
соотношения [25]
ЛИ
/>C£tf
Ул(« = Лл(/) ♦ ид«) = AA(t)exp
Рис.6. 12
2Г
452

x[t + tx-tN- Mr(/)]2
x cos -*E£— U-tN- c'lsr(t)) * *A(t)\ +
+ >y/)exp J - -=j-[/ - ', - 'aT Mr(/)1 f X
x cos -£[£— </ - ^ - c"!sr(«) * 4>A(t) + я * i^(/), (6.84)
где A (/) - азимут самолета; A - и.ы - = X . 2пс - амплитуда и несущая
частота азимутального сигнала соответственно; г . - длительность
импульса у азимутального сигнала; / = 0,564 г - - параметр,
определяемый формой диафрагмы направленности азимутальной антенны наземного
радиомаяка; Ь = (2яг) Г = cj - коэффициент пропорциональности; Г -
период вращения антенны; ф М) - случайная фаза, которая описывается
стохастическими уравнениями, идентичными (6.83), но с параметрами д.,
-1
°А и 'л4: VA® ~ И^елый" "^ с интенсивностью г.; Г - = cj Л .
Для разработки алгоритма фильтрации необходимо составить вектор
состояния Z00(t)> в который в виде его фазовых координат должны войти
фазовые координаты ИНС (6.16, 6.38), ДИС (6.39), а также переменные
Acj , ф и Acj -, ^-, описывающие флюктуации фаз ф и фА (6.83) в
дальномерном и азимутальном каналах РСБН.
В таком случае вектор Z (t) будет иметь вид
Z22(t) - [a. ft ъ Wr AVn,. В. L, А, ДА. z{Q, ,„. «,,. z^.
«14- V C2.' C22' C23' *V '• ^ */• (685)
Вектор £««(*)» имеющий 22-й порядок, будет удовлетворять системе
дифференциальных уравнений вида
Z*Jt) = Шлл> V*, V*) * о> , (6.86)
22 22 Jt у 22
453

составленной из стохастических систем (6.16), (6.38), (6.39) и
(6.83).
Для проведения фильтрации используем в данном случае смешанный
алгоритм, который вытекает из нелинейных алгоритмов (1.101) и
(1.113), оптимальных по критерию минимума апостериорной дисперсии.
Здесь необходимо пояснить понятие смешанного алгоритма. Мы имеем
дело со случаем, когда часть измерений подчиняется уравнению связей
F(x) = 0 (в данном случае это уравнение (6.41) для ИКВ и ДИС), а
другая часть измерений (это сигналы у и уА (6.82) и (6.84) на входах
s /\
в бортовые приемники РСБН) является многомерной нелинейной функцией
от фазовых координат, наблюдаемой на фоне "белых" шумов
у = h(z, t) * v Mv(t)v(t * г) = R(t)S(r).
У У У У
В таком случае алгоритмы (1.101) и (1.113)
смешанный единый алгоритм вида
\ А
z = ф(г, t) ♦ (К{. К2)
' -U(x*, 2, 0) •
у - h(z, t)
•
(6.87)
объединяются в
(6.88)
где матрица К
(К , К ), состоящая из двух блоков, вычисляется по
формулам (1.101, б, в) и (1.113, б, в). При этих вычислениях матрицы
Н, R и V имеют следующий (тоже блочный) вид:
Н.
Н
W»
CRfr
0
, н
о
ьи
Ъг
; Нл
ЭЛ
; C(t)
X , 2, 0
ъи
Ъг
Эу
(6.89)
V = (V{ I Vy), где V, = VpC; Rp и Vp
X , 2, 0
- в данном случае являются
матрицами, которые в формулах (1.113) обозначены R и V = GV'
соответственно.
Исходя из (6.86) и (6.88) получаем искомый алгоритм для обработки
информации от ИКВ, ДИС и РСБН, которая осуществляется по схеме
(рис. 6.12)
v» - *(К* vx' vl] -
454

-к.
V* - AVt, -W* ♦ W*[(Can -С)sin* ♦
X $ X ' 22 21 г
A A AAA
♦ (С л - Сло ) costf/ 1 - QGcosBcosA
* 22 23 r J
V* - ДУ , - W* + W*[(C00 -C01)cosJ/ -
у 17 у 1 22 21 г
- (Слл - С ) sintf/ ] - nCcosBsifb4
22 23 г J
+ кл
у - h (s . ф )
■s s r s
yA-hAs. A. #J
1 W ■ z22.o-
(6.90)
где Л (s , ^ ) и hAs , Л , ^-) - значения функций А и Л., входящих
S Г S А Г Г A S A
в (6.82) и (6.84). При этом s и А представляют собой функции s =
АААААААА AAA A
= s (В, L, А) и А = Л (В, L, Л) от переменных В, L, Л = Л - АЛ,
Г Г Г а
которые являются элементами вектора состояния Z'At).
Рассмотрим теперь методику вычисления матриц К и К , входящих в
алгоритм оценивания (6.90). С учетом блочного представления матриц в
(6.89), когда V = 0 и V = 0, из (1.101, б, в) и (1.113, б, в)
* у
вытекают формулы для К. и К„
PH^CRpC1)'1; K2 = PH'X:-,
2 У
Я = ЛР ♦ РЛТ ♦ Q - /^(C/yf)*! - K2RyKTr
(6.91)
Матрица коэффициентов усиления К , относящаяся к обработке
информации от ДИС, была нами уже рассмотрена ранее при изучении алгоритма
(6.43). Поэтому рассмотрим теперь только особенности в вычислении
матриц Н2 и К2 = PHT2Ry .
В матрицу Н размером (2x22) в виде ее элементов
Л*> «L tm, »L I» tm tm tm
. /»» ". „, Л. Л, Л, ЛЛ, Л_ ., Л_ „, Л л, Л лл
1,6 1,7 1,9 1.20 2.6 2,7 2.9 2.22
455

войдут частные производные вида
ЭЛ,
dh.
dh
1.6 "
2
1.20
2
2.6
2
ЭВ
ЭЛ
s
s
ЭЛ,
А
ЭВ
ЭЛ.
Л
1,7
ы
dh
1.9
ЭЛ
ЭЛ,
-И);
2.7
91
2.9
ЭЛ
(-1);
2.22 Э\|/.
(6.92)
Указанные выше производные, в свою очередь, представляются как
произведения
ЭЛ
ЭЛ
9s
ЭЛ
ЭЛ
9s
S
ЪВ
dh
s
dh
dh.
А
91
dh.
А
+ !
s
ds
г
dh
s
ds
r
dh.
A
ds
r
dA
r
r
96
9s
r
dh '
ds
r
dL
s
' 91
dh.
A
ЭВ
dh.
dA
r
s
ds
r
dh.
A
ds
r
dA
r
dL '
r
dL
ds
r
dB '
9Л.
A
dh
dh
dA
t
ЭЛ,
dA
r
dB
ds
ds
dh
dA
dh
(6.93)
Заметим, что в подразд. 3.1.2 рассмотрены способы вычисления
производных 9s /ЭВ, 9s /dL и 9s /ЭЛ. Эти производные совпадают с
выражениями F д, F . и F . в (3.21). Кроме того, они могут быть
подсчитаны и самостоятельно на основании выражений (3.1) и (3.17).
Выражения для производных dA /ЭВ, dA /dL и dA /ЭЛ вытекают из
указанных соотношений (3.1) и (3.17) и могут быть представлены в
форме
dA
г
dB
dA
г
dL
dA
г
ЭЛ
dA
г
dx
dA
r
dy
dA
f
dz
456

где
ЪА л
3s,
3s
Ъх
SN SE Ъх
N
i 2 2,-1
(sN*sE) x
x (-sinl s,. + «cSinB cosi );
r N t r r
ЪАг 2 2-1
— = (s„ + sS co&L s., + ScSinB sinl );
Ъу N E r N t r r
(6.94)
ЪА
hz
2 2-1
(s„ * sJ (-s-cosB ); С - задается выражением (3.17).
Производные ЭЛ /3s , ЭЛ /Э^ , bhjbs , bhJbA и ЬкА/ЪфА следуют
S Г S S /л Г /\ Г А. /К
из непосредственного дифференцирования выражений для Л (s , ^ ) и
hAs t A t ф ), входящих в (6.82) и (6.84). Если ввести обозначения
/\ г г г
P-t-tk-t3-C2sr;prP-rk;
y = t + tl-tN-bAr.yl=y-2t-,
S = t-tN-c\
то указанные производные могут быть записаны в виде
(6.95)
ЭЛ
г
X COS
+ ехр
ЭЛ
Л/Я f-
Т С
н
рехр(- -*f-) ♦ PlexP ( - —1-)
2r 2r
(-f- , • #J • 4,»
47Г
exp
t-fH
2r
(--^Kir--^
9s
x sin I
2r
-^(0
27ГС
exp [ - -SJ—J ♦ exp [
2r
н
2r2 J
(6.96)
457

эл
Ы>,
2т. A
- AA(t) exp (^
3/r
3s
ЭЛ
ЭД
ЭЛ
tyt
- AA(t)
*Уг
2T
{-
nb
2irc
-5 «• фA * 7г|;
-)sin(
л
27Г 1
2
(6.96)
♦ T,exp
( - —l-] cos (
2r л
2nc
*V
4
Соотношения (6.91)...(6.96) полностью задают алгоритм вычисления
матрицу /( коэффициентов усиления, которая входит в алгоритм
оценивания (6.90). При этом нужно помнить, что все производные,
задаваемые формулами (6.92)...(6.96), вычисляются при тех значениях их аргу-
А А А
ментов, которые соответствуют текущим оценкам B(t), L(t) и h(t).
Например, величины s и А , фигурирующие в (6.90). вычисляются как
А А Г А Г
функции от B(t)t Щ) и h(t) на основании формул (3.1).
Совокупность формул (6.90)...(6.96) задает алгоритм оптимальной
обработки сигналов в комплексной системе, которая работает по схеме.
изображенной на рис. 6.12. Полученный алгоритм может быть упрощен [9,
25] способами, которые традиционно применяются при обработке радио-
2 2
технических сигналов, когда функции вида cos (и t + ф ); sin (cj / «■
♦ ф ) и cos(cj / ♦ ф )sin(cj t ♦ ф ) заменяются их средними значениями,
т.е. 0,5 и 0 соответственно (cj - частота несущей).
Устройство, обеспечивающее решение формул (6.90)...(6.96),
представляет собой вычислитель, который осуществляет оптимальное комплек-
сирование ИКВ и ДИС (по выходам) и РСБН (по входам). Он играет роль
458

в дальномерном канале и вида
нелинейного фильтра с 8-ю входными сигналами: V , V , А и ф от ИКВ;
х у г
* * * *
W и W от ДИС и I/ и у - от РСБН. (Если учесть, что сигналы W и W
х у *s *A J х у
вычисляются по Wt, W-, W-, поступающими от ДИС, и по #, у и ф -от
12 3 г
ИКВ, то число входов можно считать равным 11.)
В состав такого вычислителя должна входить цифровая
вычислительная машина, а также устройства, типичные для первичной обработки
радиотехнических сигналов, как устройство для формирования
видеоимпульсов (УФВ), подстраиваемый по фазе генератор колебаний (ПГ) и блок
формирования селекторных импульсов (БФС), которые должны управляться
от цифровой части вычислителя. Укажем, что УФВ формирует сигналы вида
А 2
ехР(- ff-)*exp (- —^-]|
н и
ехр I - —*—I и ехр I - —-—|в азимутальном канале. Подстраива-
2тА 2ТА
емый генератор вырабатывает колебания на несущих частотах с должными
фазами, а БФС вырабатывает сигналы, являющиеся производными от
сигналов УФВ, т.е. сигналы видов
Р ехр ( - -=*-] ; 7 ехр ( - -^-] ;
2Тн 2ТА
А2 Ч
Р,ехр[- ——j: Y «ф [ - —J.
2Тн 2тА
Сигналы на выходах УФВ, ПГ и БФС, приведенные выше, входят в
элементы матрицу Н (см. 6.96), матрицы К , а также в сигналы h (s ,
ф$) и Лл(^г, Аг, ФА) (см. 6.90).
Синтезированный вычислитель выполняет множество важных операций,
которые и приводят к объединению трех первоначально разрозненных
датчиков (ИКВ, ДИС и РСБН) в единый навигационный комплекс. В
частности, он выполняет следующие основные операции:
459

1) производит счисление и оптимальное оценивание геодезических
координат (В, L, Л) самолета и азимута А гироплатформы (6, 7, 8 и 9-я
фазовые координаты в векторе Z (см. 6.85));
2) оптимальным образом корректирует угловую информацию, снимаемую
с гироплатформы, за счет оценивания и коррекции углов а, /3 и у (1, 2
и 3-я фазовые координаты в векторе Z);
3) оптимальным образом корректирует информацию о скорости,
снимаемую с гироплатформы, за счет оценивания и коррекции
погрешностей AVy, и ДV , (4 и 5-я фазовые координаты в Z );
4) оптимальным образом оценивает 15-мерный вектор состояния ИКВ
(первые 15 координат в векторе Z ), что позволяет довести до
минимума скорость нарастания погрешностей ИКВ в период отключения ее.
корректоров (ДИС и РСБН);
5) оптимальным образом осуществляет прием сигналов в обоих каналах
РСБН, учитывая всю дополнительную для каждого канала РСБН информацию,
которая поступает в него как от других датчиков (ИКВ, ДИС), так и от
другого канала самой РСБН;
6) если алгоритм (6.90) оптимального оценивания и счисления
дополнен алгоритмом (1.66) и (1.68) вычисления /*, то такой
расширенный алгоритм позволяет отключать прибор с неправильными
показаниями, что существенно повышает надежность функционирования
всего навигационного комплекса.
Синтезированное устройство оптимальной обработки сигналов ИКВ и
ДИС (по выходам) и РСБН (по входам) по качеству фильтрации безусловно
превосходит изложенные в подразд. 6.5.2, 6.5.3 и 6.5.4 оптимальные и
субоптимальные устройства для обработки только выходных сигналов этих
же датчиков. Однако оно требует для своей реализации и существенно
более сложных вычислительных средств.
460

6.6. СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
ОТ ИНЕРЦИАЛЬНО-ДОПЛЕГОВСКИХ СИСТЕМ
И РАДИОСИСТЕМ ДАЛЬНЕЙ НАВИГАЦИИ
6.6.1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РСДН
Рассмотрим здесь математическую модель для выходных сигналов
РСДН в предположении, что при приеме радиосигналов эта система
функционирует как самостоятельное устройство без использования
внешней для нее информации. При таком подходе можно считать, что на
выходах бортового приемоиндикатора будут иметь место временные
задержки Т и Г (1.2), равные
1Z 1 «5
12 С С 2 2 42 2 С 2
S S I
т* = —— - —— + г; + ь + t : г; = —^— + г, (6.97)
13 С С 3 3 13 3 С 3
3 1 13
где s , s , s - линейные расстояния (см. рис. 1.7) между самолетом и
1 л О
каждой из трех наземных станций; / , I - известные расстояния
ж л 1 «3
между ведущей (1) и двумя ведомыми (2, 3) станциями; с , с , с , с ,
1 х «з 1х
с - скорости распространения радиоволн на участках (см. рис. 1.7)
1 О
1М, 2М, ЗМ, 12 и 13; г' т' - суммарные временные кодовые задержки,
которые мы будем считать постоянными и известными величинами, так как
постоянства г' и г' при погодных изменениях скоростей распространения
с и с можно добиться путем соответственных изменений г и г на
1 л 10 Z О
ведомых станциях; b и b - независимые величины, распределенные по
закону N(0, a ); £|о(0, S.qW "" стационарные случайные процессы с
в 12 1о ■ ■
корреляционными функциями а. = е , которые далее будем считать
2 -1
"белыми" шумами с интенсивностью г. = 2а-/*, , са« = 100...200 м.
Случайные величины / и / , а также случайные процессы £|О(0 и
1Z 1*5 \ Z
£ (/) описывают инструментальные погрешности приемного устройства.
461

Из-за погодных условии и характера подстилающей поверхности
реальные скорости распространения с , с , с радиоволн отличаются от
принятого номинального значения с = с на
ном
Ас. = с* - С; v. = Ас Ус*, / = 1, 2, 3, (6.98)
где коэффициенты v. называются [4] коэффициентами рефракции над
данным рельефом местности (для морской поверхности v = 0,00034, если
8 2
за с принимается скорость света в вакууме с = 2,997925*10 м/см ).
Из (1.2), (6.97) и (6.98) вытекают соотношения
s =c(/ -r') = s + As :
12 12 2J 12 12'
♦ * *
s = с (Г -r') = $ +As,
13 V 13 З7 13 13*
(6.99)
где
As = v s -ps + b + £ ;
12 2 2 1 I 2 ^12*
As = v s - v s +6 +£ .
13 3 3 113 M3
(6.100)
Величины b , 6 t L и L в (6.100) измеряются уже в единицах
длины, а не в единицах времени.
Постоянные погрешности b и b приемника относительно невелики по
Z о
сравнению с другими погрешностями, входящими в (6.100), поэтому во
многих случаях ими можно пренебречь.
Коэффициенты v , v и v рефракции зависят от характера подстила-
1 Z о
ющей поверхности, а также от погоды на линиях "самолет-станция" и
поэтому изменяются при движении самолета. Их можно рассматривать как
случайные процессы. При этом естественно предположить, что
коэффициент корреляции между процессами v и v равен cos0,57 , а между v и
v равен cos0,5> (см. рис. 1.7). Действительно, если, например, у =
«5 «з *>
= 0, то сигналы первой и второй станций распространяются часть пути
над одной и той же поверхностью и коэффициент корреляции в этом
случае будет равен cosO = 1. Если же у = 180 , то эти сигналы
распространяются над различными поверхностями, лежащими по обе
462

стороны от самолета, коэффициент корреляции в таком случае будет
равен cos90 = 0.
Исходя из сказанного трехмерный случайный процесс (*> , v , i> )
1 Z о
можно задать с помощью следующих стохастических соотношений:
r. = -<ir.+ V2a2a w .; а = WL'1; i = 1, 2;
* VI V V ГI V V
V\ = Г1: ^2 = rlcos0'5^2 + r2Sin0,572: (6.101)
*>з = ricos0,573 * r2sin0,573,
где w ., i = 1, 2 - независимые процессы "белого" шума с единичной
интенсивностью; а = 0,02...0,03 %\ L - радиус пространственной
корреляции для коэффициента рефракции из-за изменения характера
подстилающей поверхности; L = 300...400 км.
Соотношения (6.100) и (6.101) задают модель погрешностей РСДН, а
вместе с соотношением (6.99) они задают и полную модель
функционирования РСДН (по выходам).
6.6.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ВТОРИЧНАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
ОТ ИКВ. ДИС И РСДН
Алгоритм для оптимальной вторичной обработки информации от ИКВ,
ДИС и РСДН будем строить исходя из соображений, которые были
использованы в подразд. 6.5.2 при построении аналогичного алгоритма
для случая, когда в качестве позиционного датчика использовалась
РСБН.
Объединенную стохастическую модель функционирования ИКВ, ДИС и
РСДН получим, если так же, как и в подразд. 5.5.2, дополним
стохастические модели для ИКВ и ДИС - соотношения (6.16), (6.38) и (6.39) -
моделью (6.100), (6.101) для РСДН. При таком объединении обший вектор
Z At) фазовых координат будет иметь вид
Z2(j(t) - (а, Л у, ДУГ AV4„ В, L, A, Ah, z{Q. z{{. ,,,.
V V V C2V C22' C23' rV VT- (6102)
Вектор Z At), введенный в (6.102), будет удовлетворять системе
дифференциальных уравнений
463

Z = ф(г . V*. V*) + ю; (О,
20 yv 20 х у 20
(6.103)
которая составляется из уравнений (6.16), (6.38), (6.39) и (6.101).
Уравнения связей U , V для параметров, измеряемых с помощью ИКВ и
ДИС, были получены ранее (6.42). Рассмотрим теперь уравнения связей
для параметров, измеряемых с помощью ИКВ и РСДН. Искомые уравнения
связей для указанных параметров s , s , В, L и А в соответствии с
IZ 1 «5
(3.34, 3.43) представляются в виде соотношений
s2(B,L,h)-Sl(B,L,h)-sl2 = 0; (6Ю4)
s3(B. L. Л) -$1(В, L. A) -s13 = 0.
Уравнения связей (6.104) с учетом равенств (6.99) и (6.100) могут
быть записаны в форме (1.112), при этом они приобретают вид
(см. 6.59)
U_ = sAB, L, h* -Ah) - sAB, L, A* - Ah) - s* ♦
и Z 1 \Z
* v2s2(B, L, h* -Ah) - v{sAB, L, h* - Ah) * b^ * Ь{2 = 0;
VB = sAB, L, ft* - ДЛ) - sAB, L, ft* - ДЛ) - s* *
6 3 1 13
♦ v3s3(B, L, ft* -Ah) - v{sAB, L, h* - Ah) + b^ * t{3 = 0.
(6.105)
Из (6.103), (6.43) и (6.105) в соответствии с общим видом фильтра
(1.113) вытекает алгоритм обработки для рассматриваемого состава
датчиков (ИКВ, ДИС, РСДН). Он имеет вид
Z = Ш , V*. V*) - К
20 ^ 20* X у 1
и.
U.
-к„
s2(B, L, А) - sAB, L, Л) -sJ2 +
A AAA A AAA
♦ v2s2(B, L, ft) - »lsAB, L, ft)
s3(B, L, ft) -sAB, L, A) -s*3 +
+ »3s3(B, L, A) - v{sAB, L, A)
(6.106)
464

Z20(V = Z20. 0'
где Л = ft - ДЛ.
"l = ri: "2 = r,cos0'5T2 * r2sin()'5l'2:
A A A A A
*>3 = r{cosQ,5y3 ♦ r2sin0,573.
В (6.106) b и 6 , входящими в (6.97) и (6.105), мы пренебрегли.
Матрица К (к ! k ) коэффициентов усиления имеет размер 20x4 и
1 • «5
может быть разбита на два блока. Она вычисляется на основании
соотношений (1.113, б ив). Матрицы, входящие в эти соотношения,
A(t) =
Ьф
Ы
20
; Hit) =
dU
Ы
20
20
20
ьи
bv
Х • Z20.0
получаются из непосредственного дифференцирования указанных в них
функции с учетом вычислений частных производных, приведенных в
подразд. 3.2.2. С методической точки зрения алгоритмы для дискретно-
непрерывной обработки сигналов от ИКВ, ДИС и РСДН будут полностью
аналогичны алгоритмам, рассмотренным в п. 6.5.3 для случая, когда
вместо РСДН использовалась РСБН. Поэтому дискретно-непрерывная
обработка сигналов от ИКВ, ДИС и РСДН рассматриваться здесь отдельно
не будет.
Можно рассмотреть случай, когда фильтрация осуществляется
одновременно от всех датчиков, которые в данный момент времени находятся
в рабочем режиме и в состоянии выдавать информацию. Например, можно
рассмотреть алгоритм, обеспечивающий одновременную обработку
показаний от ИКВ, ДИС, РСБН и РСДН. Из изложенного выше ясно, что он
будет иметь вид
Z25 = *(Z25'VH>-«I
[V, ]
1
ц]
-к»
2
\и..]
3
luj
-*1
3
^>
5
kJ
465

При этом блочная матрица коэффициентов усиления К = (К '. К ! К )
должна быть определена на основании соотношений (1.113, бив). На
практике для экономии вычислительных затрат ограничиваются включением
в алгоритм фильтрации только одного (наиболее точного из работающих)
позиционного корректора, т.е. в данном случае либо РСБН, либо РСДН.
Для определенности здесь и далее мы будем сохранять нумерацию
матриц /С , К0> /( и элементов вектора U за отдельными приборами, т.е.
будем считать, что (К , V, U ) - относятся к ДИС, (К , V , V ) -
1 1 Z х О 4
к РСБН и (К,, Uc, UJ - к РСДН.
3 5 6
Обработка сигналов от ИКВ, ДИС и РСДН по упрощенным алгоритмам,
изложенным в подразд. 6.5.5, тоже не будет иметь каких-либо
существенных отличий. Единственное отличие, которое здесь будет иметь
место, состоит в том, что вычисление "позиционных" координат (В , L )
самолета ведется по выходным сигналам s и s РСДН в соответствии с
алгоритмами, приведенными в подразд. 3.2.1.
6.6.3. УПРОЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ ОТ ИНС. ДИС
И РАДИОТЕХНИЧЕСКОГО ПОЗИЦИОННОГО ДАТЧИКА
Рассмотрим алгоритмы совместной обработки сигналов от ДИС,
позиционного датчика и от ИНС, но уже другого типа, например ИНС со
всеширотным пуассоновским алгоритмом счисления , которая была описана
в подразд. 5.3.2. В подразд. 6.4.4 были рассмотрены алгоритмы
совместной обработки сигналов от ИНС этого типа и ДИС. Продолжим
изучение этой комплексной системы при условии присоединения к ней
позиционного радиотехнического датчика и обработки информации в
рамках упрощенных алгоритмов. Под упрощенными алгоритмами обработки
здесь, как и прежде (см. подразд. 6.4.3 и 6.5.5), будем понимать
такие алгоритмы, которые игнорируют и поэтому не позволяют оценить и
скомпенсировать медленные погрешности радиотехнических датчиков. Все
упрощенные (в указанном смысле) алгоритмы обработки навигационной
информации обладают следующей особенностью: по сигналам
радиотехнического позиционного датчика сначала вычисляются геодезические
"позиционные" координаты самолета (В , L ), а только потом уже эти
координаты входят в алгоритм комплексирования и рассматриваются в нем
466

как выходные сигналы указанного позиционного датчика. При таком
подходе наличие медленных погрешностей у радиотехнического датчика
полностью игнорируется, и составляющие этих погрешностей намеренно
не вводятся в общий вектор состояния стохастической системы.
С точки зрения упрощенных алгоритмов не имеет существенного
значения какой именно радиотехнический позиционный датчик
подсоединяется к системе: РСБН, РСДН, "Navstar" или пеленгатор наземных
ориентиров. При изменении типа датчика изменяется только способ
вычисления "позиционных" координат (В , L ) самолета по известным
Р Р
выходным сигналам подсоединяемого позиционного датчика.
Из (6.53), (6.76) по аналогии с (6.77) вытекает упрощенный
алгоритм обработки для рассматриваемой системы. Этот алгоритм имеет
вид:
* *
а) вычисление геодезических координат (В , L ) по показаниям
Р Р
позиционного радиотехнического датчика;
б) вычисление (6.76) линейных рассогласований А и А вдоль осей х
х у
* *
и у между выходными (В, L) и "позиционными" (В , L ) координатами:
А = -^(В* - B)sin(i4 - а) + CcosB(L* - L)cosM - a);
х р р
А = Q(B* - B)cos(A - а) + CcosB(L* - L)s\n(A - а);
У Р Р
в) вычисление рассогласований (AW , AW ) между земными скоростями,
-* у
измеренными ИНС и ДИС (см. рис. 5.15 и 6.6):
А А А А А А АААА
AW =W*. -Wk-W a- WyT, AW =W*. -W * Wka - WJ;
x dx % tj Г у dy г) % Г
г) собственно алгоритм фильтрации и счисления
1) а = у(-а' V ♦ Яи13) ♦ P(a'lWt * Ш^) * х,П"3з +
♦ ы , аЮ = 0;
вЗ 0
2) & = -*{a'lWt * Пи) - уПи„ * a'2W Ah + xA~a'lW *
? 23 Зо 17 I T7
13 в1 1 у 3 у г 0 ^0
467

A A A A AA AAA A
3) у = -a(-a W * fi«13) ♦ №«33 ♦ a WM - x,(a W* *
* Пи) * u „ + kAW * kA , y(t) = >; (6.107)
23 b2 1 ДГ 3 X ' 0 '0
A AAA A AA AA
4) Wy = a* - aa* - ya* - a - (u + 2П )W„ * 2ClyW *
5) Г = a* ♦ aa* - 0a* - a * (a>t * 2nt)Wy - 2П.Ж. +
♦ knAW * kA ,W Ю = W-,
2 у 4 у t? 0 rfl
6) V =
-sinL cos/4+sinB cosL sinA '. cosL cosAtsinfi sinL sinA
P P P■ P P P
A A . A A
-sinL siib4-sinB cosL cos^ ! cosL siib4-sinB sinL cosyi
P P P P P P
:*•••* : :;**;>
cosL cosB sinL cosB
P P P P
-cosB sin4
P
cosB cosA
P
...... .... .
sinB
P
7) U = ЧП + kbWpT - E)]Ut U(t0) = U(AQ. Bo, LQ),
П =
S T7
CJ
A
0 -u*
\
, *'' = 20...40 c;
5
A = Arctg
13
23
[0, 2тг]; В = arctg
33
V "32+W32
468

= arctg
/
33
2 2
и +u
31 32
; L = Arctg
32
31
[-*. *]•
Поясним теперь наличие корректирующего члена k (UU - £) в
5 р
матричном дифференциальном уравнении (6.107. 7). Для того, чтобы
трехгранник xyz (задаваемый матрицей U(t)) стремился к опорному
трехграннику %rfc (задаваемому матрицей V ), необходимо к вычисленным
р
угловым скоростям cjy, cj , cjy добавить корректирующие сигналы k /3,
Ку> ka, пропорциональные углам рассогласования а. /3 и у между
5 5 ~ ~ ~
указанными трехгранниками. Углы а, /3 и у геометрически задаются
аналогично углам а. /3 и у на рис. 5.15. если только за опорную
систему принять трехгранник XYZ, а трехгранники xyz и £т£ определить
как преобразования
Г х ч
У
[ z <
А
= и
\ X]
Y
lz J
*
Г* 1
17
U J
= t/*
/>|
Г X 1
Y
lz J
Принимая во внимание соотношения (5.39) и учитывая, что в
рассматриваемом случае имеют место равенства
X
У
I Z J
= М/
П * * «Я/ -£) =
5 р
-(cJc.-* а)
17 о
o)y-k a
S 5
17 5
VV
-с^
легко понять, что алгоритм (6.107. 7) обеспечивает указанную
коррекцию.
469

6.7. ОСОБЕННОСТИ КОРРЕКЦИИ
ВСЕШИЮТНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
ПО СИГНАЛАМ ПОЗИЦИОННЫХ ДАТЧИКОВ
6.7.1. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ КООРДИНАТАМИ
И МАТРИЦЕЙ НАПРАВЛЯЮЩИХ КОСИНУСОВ
Алгоритм (6.107) при применении в приполярных районах имеет
недостаток, который состоит в том, что для вычисления Д , Д и матрицу V
требуется в соответствии с формулами (6.107, б, г 6) предварительное
* *
вычисление координат В , L и азимута А платформы. Между тем,
вычисление именно этих параметров становится в указанных районах
неустойчивым, а вместе с этим и весь алгоритм (6.107) теряет свойство
всеширотности.
Для сохранения этого свойства необходимо уметь определять Д и Д ,
* х У
а также матрицу V , не прибегая в приполярных районах к промежуточ-
" * *
ному вычислению геодезических координат В , L и азимута А.
Поставленная задача будет решена, если мы научимся находить Д , Д и
* х У
элементы матрицу V непосредственно по прямоугольным координатам (х,
у> г) самолета и азимута платформы, определенному не относительно
геодезической сетки меридианов и параллелей, а относительно другой
сетки, не имеющей особенностей на географическом полюсе.
В гл. 3 мы отмечали, что по первичным показаниям позиционных
датчиков во многих случаях можно непосредственно вычислять
прямоугольные координаты самолета (х, у, z). При этом подчеркивалось, что
такие вычисления являются устойчивыми при местонахождении самолета
над всеми точками земного шара, в том числе и над полюсами. Были
получены и конкретные алгоритмы для вычисления прямоугольных
координат. К ним, например, относятся (3.2), (3.25), (3.74) и другие.
Далее нам понадобятся формулы для вычисления прямоугольных координат
(х, у, г) по элементам матрицы V и известной высоте /z. А также
обратные формулы для вычисления матрицы V по известным величинам (х,
у, г) и азимуту платформы А.
Из (2.9) и (4.39) с учетом равенства и = sinB сразу получаем
искомые прямые формулы
470

**[flU-«24)",/2*A]«31:
у = [a(l - Лз3)"1/2 ♦ Л]ы32; (6.108)
z = [а(1 - e243)",/2(l - е2) ♦ Л]и33.
Рассмотрим теперь выражение матрицы V (4.39) через прямоугольные
координаты (х, у, z) и азимут А. Решение этой задачи начнем с
нахождения Л и £ (2.7). Из (2.45) имеем
Or, у, г) - (Л. *).
Если теперь считать, что £ и А являются известными, то для
элементов матрицы V на основании (2.9), (6.108) и (4.39) легко могут
быть получены их явные выражения через х, у, z, Л, £ и А:
V х * у ; г = сЦ * Л; г = а£(1 - г ) + Л;
m .- - .-,
и = m (-i/C0Si4 «■ г zjtsiib4);
ы = -m (ysioA «■ г zjrcoSi4);
и31 = r'1jr; (6.109)
ы = m~ UcoSi4 + г" zysinA);
и = m (xsinA - r zycosA);
-1
(ГЛ = г, у;
32 1 *
и. = -w. sia4; ji = /nr cosA; tr„ = ГЛ z.
13 1 23 1 33 2
Заметим, что элементы и , и и w третьей строки матрицы U не
требуют для своего вычисления (6.109) знания геодезического азимута А
платформы.
Укажем теперь на то, что матрица V может быть вычислена не только
на основании (4.39) геодезических (В, L А) или на основании (6.109)
прямоугольных (jt, yt z, А) координат самолета и геодезического
азимута платформы, но и на основании ортополярных координат и
ортополярного азимута (Ф\ Л', А'), введенных в подразд. 2.1.8.
471

Возможность вычисления матрицы U по ортополярным координатам
является особенно ценной для районов географических полюсов, где
геодезические параметры L и А вырождаются, а ортополярные Ф', Л', А
такого вырождения не имеют. Алгоритм вычисления U по Ф', Л' и А'
вытекает из следующих рассуждений.
Если матрица V{t) (см. подразд. 4.3.3) является связывающей для
трехгранника &£ и трехгранника ортополярной системы X , L Z (см.
рис. 2.13), то становится справедливой следующая цепочка формул:
V(t)
= vwTo
Г X
Y
[z.
= U(t)
■ x)
Y
.z J
U(t) = VWT0,
(6.110)
V
cosX' 0 sinX'
a a
sink' 0 -cosX'
a a
0
1
0
V(t)
-sinA'coSi4' + sii^'cosA'siod'
0 0
-sinA'siod' - sif^'cosA'coSi4'
0 0
собЛ'собФ'
COSA'COSi4' + Sil^'sinA'silL4'
о о
cosA'sinyi' - sii^'sinA'coSi4'
о о
sinA'cos<I>'
-созФ'бшЛ'
о
собФ' coSi4'
этФ'
о
азимут платформы (оси rj) относительно ортополярного
где А'0
меридиана.
Заметим, что приведенная выше замена элементов матрицы V на
параметры Ф', Л', А' полностью аналогична (4.39) и не требует поэтому
специального вывода.
472

Если матрица U(t) или. точнее говоря, ее оценка U(t) известна на
борту, то по формулам (4.40) и (4.48) можно одновременно вычислять
как тройку величин (В. L. Л), так и тройку (Ф\ Л'. А') либо любую из
них по отдельности. Ясно, что проводя вычисления в (6.110) в обратном
порядке, по известным Ф', Л' и А' можно вычислить матрицу I/. считая
Л' известной.
а
Рассмотрим теперь способ, обеспечивающий всеширотность вычисления
*
матрицу U в алгоритме (6.107) по показаниям позиционного датчика и
известной оценке азимута платформы. Будем исходить из того, что из
алгоритма счисления известная матрица [/(/). а также выходные сигналы
* * *
х (/). у (/). z (/) позиционного датчика, заданные в форме
прямоугольных координат самолета.
Матрица V может быть вычислена по формуле (6.107. г 6), если
самолет находится на достаточном удалении от полюсов |В| < В'.
(Значение В' может лежать в диапазоне 75...85 , точное ее значение должно
подбираться на основе моделирования.) Если самолет находится в
приполярных районах, когда В' < |В| < 90 , то вычисление матрицу U можно
осуществить следующим образом. Сначала в соответствии с (6.110)
надлежит вычислить оценку А' ортополярного азимута платформы:
V(t) = U(t)U0; A'Q(t) = Arctg -^- ,
*23
Далее по формулам (2.46) нужно вычислить ортополярные координаты
* * *
(Ф' , Л' ), соответствующие значениям прямоугольных координат [х ,
*^ * Р * * #*
у , z ). По известным Ф' , Л' и A'At) в соответствии с (6. ИР может
Р Р Р* Р 0 ^
быть вычислена матрица V (/) и далее искомая матрица V (/):
U*p(t) = V*p(t)UT0. (6.111)
473

6.7.2. УПРОЩЕННЫЙ ВСЕШИРОТНЫЙ АЛГОРИТМ
ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ ОТ ИНС, ДИС И ПОЗИЦИОННОГО ДАТЧИКА
Для того чтобы алгоритм (6.107) приобрел свойство всеширотности, в
нем необходимо провести доработку пунктов а, б и г 6. Она должна
состоять в том, чтобы в указанных пунктах в прямом виде не употребля-
_* .*
лись: во-первых, координаты В , L самолета, подсчитанные по сигналам
позиционного датчика и, во-вторых, геодезический азимут А платформы.
При этом употребление указанных параметров должно быть в обязательном
порядке исключено в приполярных районах, а в остальных районах может
быть оставлено. В последнем случае возможно употребление алгоритма
(6.107) в неизменном виде.
Требуемая доработка будет осуществлена, если пункты а, б и г 6, в
алгоритме (6.107) будут реализованы в приполярных районах В" < |В| <
< 90 в следующем виде:
а) вычисление прямоугольных координат (х , у , z ) по показаниям
позиционного датчика и вычисление (6.108) прямоугольных координат (х,
у, г) по элементам матрицы V и высоте Л;
б) вычисление линейных рассогласований Д и Д вида (6.76) по осям
х и у платформы;
с учетом (4.33) имеем
(6.112)
f
н
А
V
д>
1 Г J
«
= и
А 1
X - X \
Р
*
У* " У \
р
*
z - z
Р \
с точностью до малых второго порядка
при этом Д = А. и А = Д
* * У
относительно погрешностей; (х - х), (у - у), (z - z), a, j3 и у г;
6) вычисление матрицы V по формулам (6.111) в приполярных
районах.
Рассмотрим теперь всеширотный алгоритм обработки информации от
ИНС, ДИС и позиционного датчика для случая, когда в алгоритме
счисления и управления ИНС используются параметры Род рига-Гамильтона. Он
вытекает из (6.20) и имеет вид
474

а) вычисления прямоугольных координат (х , у , z ) по показаниям
позиционного датчика и вычисление (6.108) прямоугольных координат (х,
А А А А
у, г) по элементам матрицу U и высоте Л;
б) вычисление линейных рассогласований (Д , Д ) по формулам
(6.112);
в) вычисление скоростных рассогласований (AW , AW ) по формулам
(6.107, в);
г) собственно алгоритм фильтрации и счисления, вытекающий из
(6.20):
АА А АА АА А А АА АА
1) а = y[-a'lW ♦ 2П(Р{рз - р^)] ♦ 0[а" V{ ♦ Wpfo ♦ PQP{)\ ♦
+ V«2PJ * 2^ - 1) ♦ "в3> а</0> - V
А АА АА АА АА А
2) 0 = -*[а" V{ ♦ 212(р2рз ♦ /у»,)] - TO(2pJ ♦ 2/)* - 1) ♦
♦ a2Wfh ♦ Х,[-«"V^ ♦ ЙКр^ - pQp2)] ♦ ыв1 ♦
+ k,AW * kA , 0(М = в;
1 J/ 3 у 0 0
AAA AAAA АА А
3) у = -а[а" V^ * 2П(р,р3 - />0/>2)] ♦ №(2pJ ♦ 2р* - 1) ♦ (6.113)
♦ «-у - ^ь,-'^ ♦ п<;,;3 * ;0;,)] ♦ «й ♦
+ *Л + *зА,' Ч> = V
4) Wy = а - аа - уа* - а* - (со ♦ 2П )№„ ♦
А* А Х У Z *Х Ч л Ч f
f t| 2 X 4 X £ 0 £0
5) V = а* ♦ аа* - /За* - а* * (ь>у * 2П.Ж. -
17 у х *х ъу Ь $ $
- 2£lyWt + k AW * k A , W U) = V ;
Г i 2 у 4 у' 17 0 TjO'
6) вычисление матрицу V по формулам (6.107, г 6) или (6.111)
(вычисление для приполярных районов) и далее вычисление матрицу П +
475

♦ k (UU - E) и образование из ее элементов матрицы Г в соответствии
с формулами (6.107, г 7) и (4.79);
7) вычисление параметров Родрига-Гамильтона и определение
геодезических координат:
А = Arctg "/ Л* [0, 2тг],
В = arctg
2 2
w0-6
, 2 2V /2, 2 2V /2
2 3 0 1
L = Arctg -т-7—— Нг; я];
8) вычисление матрицы (/ по формулам (4.76), а для приполярных
районов дополнительные вычисления азимута А' по V и ортополярных
координат (Ф' , Л' ) по (х , у , z ) на основании формул (6.111).
Р Р Р Р Р
6.8. СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
ОТ ИНС И СРНС
6.8.1. АЛГОРИТМЫ КОРРЕКЦИИ ИНС
ПО СИГНАЛАМ ОТ СРНС
Рассмотрим коррекцию ИНС со всеширотным кватернионным алгоритмом
счисления (см. подразд. 5.3.2) от глобальной спутниковой
радиотехнической системы типа "Navstar". В этом пункте мы будем предполагать,
что обработка информации в бортовом приемнике СРНС ведется в
автономном (некомплексном) режиме, т.е. ИНС "не помогает" СРНС в приеме
сигналов. (Случай комплексной первичной обработки сигналов СРНС с
использованием показании ИНС будет рассмотрен далее.)
476

Заметим, что медленные погрешности СРНС в определении скоростей и
координат самолета представляют собой достаточно малые величины, так
как даже суммарные погрешности [5] этой системы по измерениям
скорости не превышают единиц [см/с], а по измерениям дальностей - 3 м. По
этим причинам применение способов обработки, позволяющих оценить и
скомпенсировать медленные погрешности радиотехнических датчиков,
здесь не будет оправданным. В этих условиях, когда координаты и
скорости самолета с высочайшей точностью могут быть определены одной
СРНС. возникает вопрос о целях коррекции ИНС от СРНС.
Таких целей здесь две. Во-первых, в те периоды времени, когда
осуществляется прием сигналов от СРНС. желательно проводить коррекцию
угловой информации, снимаемой с платформы ИНС, за счет оценивания
величин а, /3. у и А. И. во-вторых, в каждый текущий момент времени
необходимо оценивать с наибольшей точностью весь вектор фазовых
координат в (6.20) для того, чтобы после возможного внезапного отключения
СРНС погрешности ИНС за счет их компенсации (после оценивания)
возрастали далее с наименьшей скоростью.
Для указанных целей наиболе^ подходящим является алгоритм (6.113).
При этом величины координат х , у , z , которые в него входят,
непосредственно снимаются с вычислителя СРНС, а величины AW и AW при
* *
отсутствии сигналов W , . W* от ДИС должны вычисляться следующим
образом.
В подразд. 3.3.6 были рассмотрены методы вычисления для СРНС
вектора W земной скорости самолета в проекциях W„t Wyt W~ на оси системы
координат XYZ (см. рис. 3.6). Из определения U как матрицу перехода
от системы XYZ к системе %г£ (4.33) вытекают соотношения
\w*
\w*
\w*
= V(t)
W* ]
wx
w*
wz \
(6.114)
где Wy, Wy, W7 - текущие значения скоростей на выходах СРНС.
В таком случае с учетом малости величин AWy, AW . a. 0 и у
получаем
477

AW * AWt = W*k - Wt; AW * AW = W* - W . (6.115)
* < < < У г? Т7 Т7
Алгоритм (6.113), в котором пункт в) заменен соотношениями (6.114)
и (6.115), полностью решает задачу коррекции всеширотной ИНС от СРНС.
Рассмотренная комплексная система является глобальной, как и два
входящих в нее навигационных датчика.
6.8.2. ПЕРВИЧНАЯ КОМПЛЕКСНАЯ ОБРАБОТКА
ИНФОРМАЦИИ ОТ ИНС И СРНС
В под разд. 3.3.4 была рассмотрена первичная обработка сигналов от
навигационных спутников как для случаев автономного, так и
комплексного режимов. При этом вопросы оптимизации первичной обработки не
рассматривались, а комплексирование проводилось только для приема
сигналов от СРНС. Последнее означает, что вопросы взаимной коррекции
ИКВ и СРНС были при этом оставлены в стороне.
Запишем сигналы у (/) (3.65), поступающие от четырех
навигационных спутников, в виде
*»[«,« - тп) ♦ фы] ♦ AjJ - rn)Dn(t - гл)х (6 П6)
*sin[u (* - т ) ♦ ф. 1 ♦ о At) = h(B, L h, t) * v(t),
1 л 1л л ел n
n = 1, 2, 3, 4,
где r = s с , s = s (B9 L9 ft) - расстояние между самолетом в
момент приема и л-ным спутником в момент излучения t - т ; g (t)X
%Dn(t) = [XPn(t) © Dn(t)]. gm(t)Dn(t) = [XGn(t) © Dn(t)] -
псевдошумовые коды; v (t) - "белый" шум в л-ом канале.
С целью компенсации [5, 6] рефракционных погрешностей, возникающих
в ионосфере, от каждого спутника производится излучение (3.65)
второго навигационного сигнала у (t) на несущей частоте f •
рп 2
V^V^^V^H^V
478

= Bj(t)D(t)cos(G>t ♦ ф ), л = 1. 2. 3. 4. (6.117)
/гря л 2 2П
где В - амплитуда сигнала; ф - фазовый шум.
Не останавливаясь на вопросах компенсации ионосферной рефракции и
поэтому не рассматривая сигналы у (/) (6.117). будем считать, что
принимаются только сигналы у (/) (6.116), но ионосферная погрешность
в них отсутствует. Это означает, что расстояние s в формуле (6.116)
нужно вычислять по прямолинейной, а не по криволинейной траектории.
(Криволинейность траектории радиосигнала в ионосфере и обусловливает
указанную выше погрешность.)
Модель погрешностей ИНС возьмем в форме (6.17) и дополним ее
уравнениями (6.38). описывающими стохастические процессы дрейфов cj .
и . cj гироскопов, а также уравнением, описывающим дрейф Ат (см.
3.72) самолетных бортовых часов,
Ат = 0; Ат е N(0, а ). (6.118)
т
В таком случае вектор Z (/) фазовых координат системы будет иметь
16
вид
Zie</> = (а, &, у. W^ Wn. В, L. А, ДЛ, ,„. г,,. ,„.
г,3. zH, z15> Дг)т (6.119)
и удовлетворять системе дифференциальных уравнений
z<* = *<^,fi. <**• а*> а*> + «... 2tAL) = Zlc Л. (6.120)
16 16 Jt у Z 16 16 0 16,0
составленной из уравнений (6.17), (6.38) и (6.118).
Стохастические дифференциальные уравнения (6.120) вместе с
уравнениями наблюдения (6.116) задают систему вида (1.98), являющуюся
исходной для составления алгоритма фильтрации (1.101). Однако уравнения
наблюдения (6.116) имеют особенность по отношению к уравнениям
наблюдения в (1.98), которая заключается в том, что правые части в (6.16)
включают в себя неизвестные величины D (t - т ). л = 1, 2, 3, 4. Эти
л л
величины, являющиеся телеграфным сообщением спутника, принимают
только два значения (+1 или -1) на отрезках времени с относительно длин-
479

ным периодом 74. = 0,02 с, в который укладывается 204 600 периодов
Р-кода и 20460 периодов С-кода.
По этой причине прием каждого из четырех сигналов у (t) (6.116) в
начале каждого периода Г~ нужно осуществлять исходя из двух гипотез:
/^ = {Dn = 1} и tf{ = {Dn = -1}. Принятие той или другой гипотезы за
истинную дает возможность автоматически давать оценку D , если пола-
А А Л -
гать D = 1 или D = -1 в зависимости от принятой гипотезы //" или
//" . Указанный выбор гипотез //" и //" можно осуществлять либо с помо-
2
шью применения критерия х (1.68) в каждом канале, либо - отношения
правдоподобия при бинарных гипотезах, описанного в [9].
Процедура выбора гипотезы должна заново начинаться в начале
каждого периода Г~ кода D (/). Учитывая отмеченную относительную
длительность периода Г~ для сигналов (6.116), мы рассмотрим процессы
оценивания элементов вектора Z.At) (6.119) отдельно от процессов оценива-
16 А А
ния сообщений D (t). Безусловно, процессы оценивания D (/) и Z (/)
являются связанными и исследование их взаимного влияния друг на друга
представляет собой большой интерес (в особенности для начала каждого
периода Г-J. Однако это исследование имеет самостоятельное значение,
выходящее за рамки данной книги. По этой причине мы далее рассмотрим
процессы фильтрации стохастических сигналов (6.116), полагая, что
оценивание D уже проведено, т.е. мы рассмотрим работу оптимального
фильтра, предназначенного для оценивания элементов вектора Z.lt)
16
(6.119) после принятия гипотез о знаках (±1) четырех величин D . Если
А Л
теперь величины D считать заданными, то на основании алгоритма
(1.101), оптимального по критерию МАД, будем иметь
16 ^ 16* х9 у% zf хуГ V *3' V •
w - К*.* (б121)
yn(t) - y*Jt) - Afaif - Ar - rn(k I h)\ba*[»{ -
480

- ы.Дг - cor (В, L, Л)] - As (t* - Дт - т (В, L, h)]D x
1 1 я (гсп п п
xsin[cy* .-ыАт—ыт(В, L, л)], (6.121)
*
где л = 1, 2, 3, 4; D = +1, -1; / = / + Дг - время по самолетным
л
часам.
При выводе соотношений (6.121) мы пренебрегли фазовыми шумами
Матрица коэффициентов усиления К в (6.121) вычисляется на
основании соотношений (1.101, б, в)
К = PHTR~l; Р = АР * РАТ + Q- KRK\ A =
9Z.6
Н- ЪН
ы
z.6
- , (6.122)
1.
16
где h = (Л Л , Л , Л )т - задается формулами (6.116).
CI C2 Со С А
Матрицу А и //, входящие в (6.122^, вычисляются непосредственным
фференцированием функций tf/(Z
задаваемых соотношениями (6.116).
дифференцированием функций \p(Z , а , а , а ) и функций Л (Z /),
ЭАсл
Рассмотрим особенности в вычислении частных производных —Гр— ,
ЭА дЛ ЭА да
СП СП СП ы /а 100Ч
——, , —гт— и -тт , входящих в матрицу Н (6.122).
Найдем сначала производную ЭЛ /Ы = Ъу (t - т )/Ы от функции
СП СП П ^J
Л (В, L, Л, /), которая задается соотношением (6.116). Функции g и
сп рп
g , входящие в (6.116), представляют собой кусочно-постоянные
функции времени, которые принимают одно из двух значений ±1 на отрезках
т = 98 не для Р-кода и 10 т = 980 не для с-кода. При этом в одну
посылку Р-кода в сигнале у (/) (см. (3.65) или (6.116))
укладывается 154 полуколебаний несущей частоты, а в одну посылку С-кода -
1540 полуколебаний несущей частоты (рис. 6.13).
При вычислении производной Ъу (t - т )Ы будем исходить из того,
что моменты времени, при которых происходит перемена знака у функций
16 - 993 481

y*w.
Рис. 6.13
g и g , точно совпадают с моментами прохождения функций cos и sin
в (6.116) через их нулевые значения (см. рис. 6.13). Такое
предположение обеспечивает непрерывность функций g и g и равнозначно
пренебрежению фазовым шумом ф (t) в (6.116), который является весьма
незначительным, так как обусловлен дрейфом очень точного спутникового
бортового стандарта частоты.
Заметим далее, что моменты времени (см. рис. 6.13), при которых
происходит перемена знака у функций g и у , сравнительно редки,
примерно через 154 или 1540 полуколебаний несущей частоты. По этой
причине моменты времени, в которые может не выполняться сделанное
предположение, будут тоже весьма редкими и не окажут существенного
влияния на процесс фильтрации в целом.
В таком случае искомая производная будет равна
сп *сп п
= " An"*8jt - r)D(t - T)sin[G>(t - т) +
р \ рп п п 1 л
Э/ Ы
♦ \pt ] * A gj £ (t -т )D (t - t)cos[gj (/ - т ) + Ж ]
4nJ с \6сп п п 1 1 п Чл1
(6.123)
Учитывая соотношения (6.116), (6.123), имеем
эл
СП
ЪВ
Ъп
СП
Ъп
dh
СП
эл
СП -1
-" ы *
эл
СП -1
-" ы "
эл
СП 1 1
9s
Л
ЪВ
ds
п
эл :
\
эл
СП
Ы
Ъп , 3s
СП -1 Л
Ы 1 Ъ1
(6. И
ЭДг
482
Э/

Частные производные bs /ЭВ, ds /Ы и bs /bh легко могут быть
л л л
получены из сравнений подразд. 3.1.2 и 3.3.7. На их основании имеем
систему очевидных равенств
s = [Or
л l sn
-*)2-
К-у
bs x -x ds
п sn п
Ъх s ' Ъу
п *
\ bs /ЬВ
1 "
3s /3L
л
3s /bh
1 л J
= С\
bs /дх
л
Э5л/Э«/
3s /3z
1 Л J
>2 + (z -z)2]1'5
ел
*$Л *
S
л
»
*
as
л
Эг
z -z
sn
S
п
(6. И
где матрица С задается формулами (3.17).
Соотношения (6.123)...(6.125) полностью определяют все необходимые
частные производные для вычисления элементов матрицы Н в (6.115) и
тем самым для вычисления матрицу К в фильтре (6.121).
В целях большей ясности изложения мы выбрали для комплексирования
ИНС (6.17) не с всеширотным алгоритмом счисления. Таким образом,
рассмотренная выше комплексная система не будет обладать свойством
глобальности. Однако, пользуясь теми же методами, можно разработать
алгоритм оптимальной первичной обработки и для случая объединения СРНС
с всеширотной ИНС, взяв для нее в этом случае модель в форме (6.20).
У новой системы вектор состояния Z (/), аналогичный вектору
(6.119), будем иметь 17 фазовых координат
Z.7«>
(а. А у, Wr W. PQ, рх. р2. р3. А". *„. *„.
z , z , z , z , Дт).
13' 14' 15' 16* '
(6.126)
Алгоритм фильтрации для комплексной глобальной системы будет
подобен алгоритму (6.121) с тем только существенным отличием, что
величина задержки г должна быть выражена в нем как функция от фазовых кс -
ординат р, р , р , р , АЛ. Для этого т нужно выразить сначала как
U 1 Z о П
функцию от прямоугольных координат jt, у, z, а далее величины х, у, z
в соответствии с (6.108) и (4.76) - как функции от р , р, р. р и
U 1 £ «5
483

Л. Частные производные вида ЭЛ /Эр.. I = 0...3. необходимые для
ЭЛ
составления матрицы Н = —rz , могут быть вычислены в виде
17
громоздких, однако просто получаемых выражении через производные
вида
ЭЛ /Эх. ЭЛ /Эу. ЭЛ /Ъх и дх/bp...bz/bp.
СП СП СП О 3
Заметим далее, что комплексная первичная обработка информации (не
полностью оптимальная) может быть реализована для глобальной
комплексной системы путем объединения алгоритма (6.113). (6.114). (6.115)
со схемой приемника "Navstar". изображенной на рис. З.П.
Действительно, задержка г и производная от фазы в , которые по
схеме (см. рис. 3.11) являются внешними сигналами для приемника и
могут быть подсчитаны по формулам (3.70) с учетом величин x(t)t y(t)t
А А А Л А А
z(t). Ar(t)> WM), W (/). Wy(t) и матрицу U(t)t имеющих место на
выходе алгоритма (6.113). Переобозначим с целью различения каналов г
и 0 на г ив для каждого из каналов соответственно.
* л л
В соответствии с формулами (3.73) и (3.74) имеем
г = т = c'Xs (t) = c'l\[x (t* - At - т ) - x(t)f * [y (/* -
* л л l sn n J l*sn
a a1i/2
- At - тп) - y(t)f * [zjt* -At - т J - z(t)f\ . (6.127)
Соотношение (6.127) имеет ту особенность, что величина г входит и
л
в левую, и в правую его части одновременно. Поэтому его следует
решать как итеративное по т , уравнение (аналог подобного итеративного
процесса был применен при решении задачи 2.45).
На основании (3.70) и (3.83) получаем оценку и для в = в :
s„'k/
л I sn
в = в = -2jtX,s = -2ir\'ls'li[x (Г - At - т ) - ж]х
* я 1л 1 л l sn п '
484

х [VVs/ - д; - ;я> - гу1 ♦ 1гу - д; - у. *
«i^/ - д; - ;п) - *zl ♦ <*/ - д; - ;уу -
°к
**-*-'*/]
(6.128)
В (6.128) W7% Wy и W7 - проекции вектора W на оси прямоугольной
системы координат XYZ (см. рис. 3.6). На основании известных Wv W и
№., а также матрицы У(/) (4.33) имеем
[V
*v
UZJ
= l>
Г W 1
-
W 1
Введение величин т = г ив = 0 , л = 1...4 в каналы приемника
СРНС (см. рис. 3.11) решает задачу комплексной субоптимальной
первичной обработки информации в глобальной комплексной навигационной
системе, которая включает в себя приемник СРНС и всеширотную ИНС.
6.9. СОВМЕСТНАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
ОТ ИНЕРЦИАЛЬНО-ДОПЛЕРОВСКОЙ СИСТЕМЫ
И БОРТОВОГО ВИЗИРА НАЗЕМНЫХ ОРИЕНТИРОВ
6.9.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ВИЗИРА
В роли визиров, т.е. приборов, измеряющих (см. рис. 3.14)
дальность s и два направляющих угла и и jx до наземного ориентира qt в
настоящее время используются различные устройства, представляющие
собой бортовые оптические или радиолокационные станции, которые могут
работать в различных диапазонах волн. Эти станции как по принципу
действия, так и степени автоматизации могут сильно отличаться друг от
485

друга. Одни, например, могут работать в полуавтоматическом режиме,
когда используется работа штурмана с экраном обзорного локатора [4],
а другие - в автоматическом режиме, когда ручные операции либо не
требуются вовсе, либо требуются эпизодически, например только для
выбора ориентира и первоначального направления на него визирного
устройства [39].
Здесь мы не будем рассматривать вопросы, относящиеся собственно к
локационным станциям, что является абсолютно необходимым при создании
алгоритмов для комплексной первичной обработки их сигналов. Такая
обработка в каждом случае представляет собой сложную научно-техническую
задачу, тесно связанную с конкретным типом станции. По этой причине
мы ограничимся далее только вопросами вторичной обработки сигналов от
визирных устройств. Для этого достаточно ввести в рассмотрение
обобщенную модель их погрешностей As , Аи и Д/* , которую мы будем
представлять в виде
As* = As ♦ s(t)C + s№lt);
Я oq q q q q
Аи = Аи Л + i (/); Ддв = Дм ♦ £ (/),
q qO uq *q *?0 jxq
(6.129)
где As„ e N(0. ал ; С e N(0t a ); Аи л e N(0t о J, Ац л € Л/(0,
Oq Oq q Oq qO uqo ^qo
a ) - случайные попарно независимые величины; £ (t), £ (t) и
£ (t) - случайные стационарные попарно независимые процессы с корре-
. 2 q* ! 2 q* > 2 q* !
ляционными функциями а е , a e и а е ^
Предлагаемый подход позволяет осуществлять только вторичную
обработку сигналов от бортового визира. При этом остаются в стороне
интересные вопросы обнаружения и селекции ориентиров, а также устойчивого
наведения визира на ориентир при движении самолета.
6.9.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ВТОРИЧНАЯ ОБРАБОТКА
ИНФОРМАЦИИ ОТ ИКВ. ДИС И ВИЗИРА
Будем считать, что ИКВ и ДИС уже объединены в общую инерциально-
доплеровскую систему счисления с помошью оптимального алгоритма
(6.43). По-прежнему также будем считать, что комплексный канал
измерения вертикальной скорости W и высоты h входит в состав ИКВ. С
целью включения визира в комплексную систему нам необходимо продолжить
486

формализацию математической модели (6.129) его погрешностей, которую
можно представить в следующем виде:
модель визира
19) As = 0, Asn e N(0, а );
Oq oq Oq
20) С = 0, С е N(0, а );
Я Я Щ
21) %> = °' %) в N{0> %0):
ffl) %> = °' Mq0 e N{°> %0>S
(6.130)
tjt). lit) и Г tf)
sq uq nq
непрерывные "белые" шумы с интенсивностями
0 2 -1 0 2 -1 0 2 -1
2а v , 2а v и 2а v .
Уравнения связей для ИКВ и визира имеют вид (3.91). Для того чтобы
их записать в форме (1.112), необходимо учесть, что суммарные
погрешности АД и Дд складываются из угловых погрешностей (АД, а, /3, 7)
курсовертикали и угловых погрешностей Аи и Ад самого визира. На
основании рис. 3.14, 5.15 и 6.14 можно получить следующие
соотношения:
* *
А = ф* и =А + ф-а + и; А =Л + ^+и;
Я Я г q q г q
Л = Л + АЛ; АА = Д* - Л =
Я Я Я
= АА * а + Аиъ; (6.131)
Я
Ад = -0cos(tf/ «■ и ) -
Я г я
- 7Sin(^ ♦ и) ♦ дд*
где а, /3, у - угловые
погрешности гироплатформы; Л и АД -
азимут платформы и ошибка в его
вычислении, ф и ф -
географический и гироскопический курсы
самолета.
Рис. 6.14
487

В таком случае уравнения связей (3.91), записанные в форме
(1.112), приобретают вид
а) s = s
Я Я
А = А + ф
Я г
q q г <7 rf qo ixq
te -s С - s £ ;
Off ? ? <7 *7
- a + u - Ди - { ;
<7 qo uq
6) s
TV
s cos/* C0Si4 ; sc = s cos/* siaA ; s = s sin/* ;
q *q q E q *q q n q *q
в) U = x - x - sk1 sinBcosL - sc sinl + s cosBcosL = 0;
7 q N En
(6.132)
U= у -У
$д, sinBsinL + s^cosL + s cosBsinl = 0;
U = z - z ♦ SjjcosB ♦ s sinB. t: О
Если теперь ввести вектор состояния
Z22W - (a. /3, г. AVr AV4,. В, L. Л ДЛ, z(0> г,,, ^ ^
г , z , С , С , С , As , С , Аи , Дя )т,
14* 15' 21' 22* 23* О?* q% </0' *qo' '
(6.133)
то он будет удовлетворять стохастической системе дифференциальных
уравнений
* * _
(6.134)
z22(t)
1 22 Jt r/J 22 22 0 22,0
которая составляется из уравнений (6.16), (6.38), (6.39) и (6.130).
В таком случае в соответствии с общим видом фильтра (1.113) из
соотношений (6.52) и (6.134) вытекает алгоритм обработки для
рассматриваемого состава датчиков (ИКВ, ДИС, визир).
Он представляется в виде соотношений
1 22 X у1
[V.
It/.
и
[/
I/
9 J
(6.135)
где U , U и U - результаты подстановки величин s , А ид в правые
части выражений (6.132). При этом в соответствии с (1.112 и 1.113, а)
они имеют вид

qf qf oq q q
A A A A
б) Л = Л + \p - a + u - Ды •,
gf г q qo
A A A A
в> Мл = д! ♦ /3cos(^ * и ) * 7sin(tf/ ♦ и ) _ д„
q q г <j г (jf <70
Матрицы /Ct и К в алгоритме (6.135) подсчитьюаются в соответствии с
1 4
выражениями (1.113, б, в).
В тех случаях, когда в состав визира не входит дальномерное
устройство, коррекцию инерииально-доплеровской системы можно провести,
основываясь на уравнениях связей (3.98, б, в). Новый алгоритм
обработки будет аналогичен алгоритму (6.135). Его отличия будут состоять
в том, что вектор состояния Z не будет включать в себя элемленты As
и С , характеризующие погрешности дальномера, а два уравнения связей
(3.98, б, в), записанные в форме (1.112), приобретают вид
А А А А А А А
sk, = Ах - x)sinBcosL - (у - y)smBs\nL * (z - z)cosB;
N q q q
A A A A
$c = 4x - Jt)sinl «• (w - y)cosL;
A ^ A A A ^
s = Or - jr)cosBcosL + (y - u)cosBsinI + (z - z)sinB;
аЛ q a q q
V' = siaA skr - coSi4 sc;
7 q N q t
8 N t q q q
Матрица /С' для этого случая имеет на один (последний) столбец
4
меньше, чем матрица К. в (6.135). Вычисление матрицу К. в процессе
4 4
полета ведется в соответствии с выражениями (1.113, б, в).
Необходимые для (1.113, б, в) частные производные могут быть здесь
подсчитаны на основании (3.99) и (3.100).
Остановимся на других способах обработки информации, поступающей
от ИКВ, ДИС и визира наземных ориентиров. Дискретно-непрерывный
способ не будет здесь с методической точки зрения отличаться от случая,
когда в качестве позиционного корректора использовалась РСБН (см.
подразд. 6.5.3), поэтому отдельно останавливаться на этом вопросе
нецелесообразно.
489

Рассмотрим алгоритмы упрощенной обработки сигналов от инерциальной
системы, ДИС и визира наземных - ориентиров. В этом случае геодезичес-
._* .* ,*. * * *
кие (В , L , ft ) или прямоугольные координаты (х , у , z ), входящие
Р Р Р Р Р Р
в алгоритмы (6.77), (6.107) и (6.113), должны вычисляться на
основании значений $,/* и А = А + ф + ы , поступающих от ИНС и визира.
Я Я Я г q ^
В этом смысле визир как позиционный корректор мало отличается от
других позиционных датчиков. Однако в отличие от них он обладает и
дополнительными качествами, позволяющими осуществлять не только
коррекцию горизонтальных каналов, но и проводить непосредственную коррекцию
азимутального канала.
К азимутальным погрешностям ИНС относятся две составляющие:
угловой дрейф а курсовой черты г?'(у) (см. рис. 6.14) и погрешность АА в
вычислении азимута А платформы. Таким образом, коррекция ИНС в
азимуте заключается в оценивании и учете величин а и ДА которые входят в
виде отдельных фазовых координат в модель погрешностей ИНС (5.79).
Реальное положение платформы в азимуте, задаваемое (см. рис. 6.14)
углом г}' MN = А - а, может быть непосредственно определено в
соответствии с формулой (6.131)
Д -а = А -ф -и = А -и, (6.136)
Я г q q г
где а = ф + и - азимут ориентира q (см. рис. 6.14) относительно
курсовой черты ri'(y) платформы, А = А (В, L, ft; В , L , ft ) -
геодезический азимут ориентира, подсчитываемый (3.90) по известным
координатам самолета и ориентира.
Предположим, что значения А (V) и u (t) (6.136) в момент времени
/' известны точно. В таком случае коррекция ИНС в азимуте должна была
бы свестить к следующему. В момент времени /' оценка A(t') должна
скачком принять значение A(t) = А (V) - и (/'), a a(t') = 0.
5 г
Из-за ошибок в оценке (В, L, ft) положения самолета, а также ошибок
в измерении азимута и величины А и и ъ (6.136) будут известны с
погрешностями. Из этого ясно, что нужно затратить какое-то время на
простейшую фильтрацию, осуществляемую, например, по принципу
инерционного звена с постоянной времени к . При таком подходе алго-
6
490

ритм (6.77) для случая обработки информации от ИКВ, ДИС и визира
наземных ориентиров приобретает вид
а) AV , AV - подсчитываются по формулам (6.44);
б) Д , Д - подсчитываются по формулам (6.76);
A AAA A
1) а = 4x'Vy + alV*0 ♦ w - ka;
у' X вЗ 6
2) ... 7) - совпадают с (6.77); (6.137)
AAA A A A A
8) А = G' igB[(V* - AVt,)cos(A - а) * (V* - AV JsinU - а)] ♦
х i у г)
А А
+ *М -и -А),
6 q г
где Ап = Л (В, L, Л; Вл, L , А ).
Я Я Я Я Я
В (6.137) коэффициенты к отличны от нуля только в периоды введе-
6
ния информации от визира в комплексную систему. Значение к
выбирается в результате числового моделирования, оно зависит от статических
характеристик шумов визира.
Коррекция от визира в (6.137) должна запрещаться (k = 0) при
6
больших значениях угла места д (см. рис. 3.14) и при малых
дальностях (в этих случаях она может быть неустойчивой).
Если визир применяется для коррекции в алгоритме вида (6.107), то
в нем должны измениться пункты г, 1 и г,6. А именно, в уравнении г,1
*
должен добавиться член -kji, а при вычислении матрицы V в г,6 угол А
должен быть заменен на А - и .
Я г
6.10. АСПЮИНЕРЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
6.10.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОГРЕШНОСТЕЙ
АСТРОПЕЛЕНГАТОРОВ
Под погрешностью пеленгатора понимается угол между его оптической
осью и направлением на светило. Эта погрешность может быть
обусловлена многими причинами, но основных из них две - это рефракция лучей в
атмосфере (рис. 6.15) и угловые оптические искажения, вносимые астро-
окном (рис. 6.16).
Рефракция АЛ световых лучей в атмосфере происходит из-за искрив-
491

ления их траекторий в среде с
переменной плотностью (см.
рис. 6.15). Среднее значение
рефракции, которое при А = 0
составляет около 35'. быстро
уменьшается с ростом высоты А светила
и для высот, больших 5... 10 .
хорошо аппроксимируется
эмпирической зависимостью
PL
Рис. 6.15
ДА =
Р
—=— ctg A = йт. .
рТ * а Ар
где р и Г - давление и температура воздуха в точке М. р и Т
(6.138)

значения тех же параметров по стандартной атмосфере.
Зависимость (6.138) можно рассматривать как математическое
ожидание для случайной величины АА .
Величина АА изменяется в процессе полета, при этом ее можно
аппроксимировать случайным процессом, у которого в соответствии с
(6.138) математическое ожидание равно т, , а корреляционная функция
2 ЛИ Р
имеет вид а, е .В таком случае процесс ДА (/) может быть описан
стохастическим дифференциальным уравнением
ДА = - М (ДА
Р Ар р
.А
т. ) * V 2а, м, w, ,
hp hp^hp hp
*w * *<v V-
(6.139)
где д, = WL. . L. - масштаб изменения оптических свойств атмосферы;
w, - "белый" шум единичной интенсивности.
Рефракция световых лучей в атмосфере происходит в основном в
вертикальной плоскости и входит в погрешность измерения высоты А
светила. Погрешность в измерении азимута А светила из-за рефракции
гораздо меньше, чем погрешность в измерении высоты, и мы далее ее
учитывать не будем.
492

Рис. 6.16
Рассмотрим теперь погрешности vAt) и v At) пеленгаторов,
вызванные деформациями астроокна. Чтобы выяснить основные геометрические
факторы, влияющие на эту погрешность, обратимся к рис. 6.16, на
котором показаны виды в плоскостях астроокна и вертикала светила С.
Вертикалом называется плоскость, которая проходит через местную
вертикаль и линию наблюдатель-светило. Положение точки 1 пересечения
оптической оси телескопа с поверхностью астроокна определяется
радиусом-вектором р, ориентированным относительно продольной оси х
самолета под углом и\ который отличается от угла курса и светила при
ненулевых значениях крена у и тангажа #. Ограничимся сначала случаем
движения самолета по траекториям с нулевыми углами крена у и_малыми
углами тангажа #, когда и' * ы, а модуль |р| = р вектора р будет
равен
p = fctg(Aa-c), (6.140)
где е = дсо&и - угол наклона астроокна в плоскости вертикала
(малая величина); и - курсовой угол светила; / - расстояние от
оси вращения телескопа до поверхности астроокна. Так как взаимосвязь
погрешностей рефракции vAt) и v At) для точек 1 и 2 астроокна
определяется расстоянием |Ар| = |р — /> | между ними, то
корреляционные функции для оптических искажений vAt) и v At) можно
аппроксимировать функцией вида
493

где ji = -|р|£ ; L - масштаб корреляции.
Процессы vAt) и *> .(/) будем считать независимыми.
Из
|р| = К р * р ы .
а также в силу производной от (6.140) при е * 0
Р = ^— (hn -«> = -' —1 <Лл - е)
Эй а . 2, а
а sin л
а
вытекает равенство
|р| = —1- /(Л -с)2 ♦ u2sin2A cos2h . (6.142)
sin Л
а
Для получения выражении для Лии необходимо продифференцировать
соотношения (3.104). При этом мы будем иметь
/ 2 2^
Л = г ^ га/ * гг ~ 2n(coSi4 rkJ * sinA г J;
а п N Е а N а Е ia iAQ.
2 2-1- • (6Л43)
ив-**(г^*г£) {rErN'rErNh
где
г = (sinfcosB - cos5sinBcos/)Q~ W^ - cosScosBsin/[ft +
+ (WyGcosB)].
/ = S - a ♦ L;
rp
Гд, = -(sin&inB + cos5cosBcos/)Q~ W„ +
+ cos5sinBsin/[ft + (WJGcosB)];
?E = -<:os5cos/[fl ♦ (WgfGcasB)].
494

Процессу с корреляционной функцией (6.141) соответствуют
стохастические дифференциальные уравнения
i-i,-l
^ - ~WaV *
р* = -\p\LXv. + V2a2 \р\
(6.144)
w
* А - -\p\L v л+ V 2о \p\L~ ** А>
А ■ ■ a A val l a vA
где |р| подсчитываете по формулам (6.142) и (6.143).
Укажем теперь на общий способ вычисления |р|. справедливый для
произвольных движений самолета. Предположим, что на борту известна
матрица D (5.125). связывающая системы координат х у z и fy$t или
матрица С (5.121). связанная с матрицей D^ соотношением С = D при ф =
= ф . В таком случае единичный вектор г (см. рис. 3.17, 6.16) будет
иметь проекции г
xV
г . г на оси самолета, соответственно равные
jrl
4М
DT(/)
где Ту = cos/i sin(i4 - а), г = cosA cosM - а), л. = sinA . Углы А
к а г г? а г fa г
и а показаны на рис. 6.17.
Косинус угла /* (см. рис. 6.16) между вектором г и осью у самолета
будет при этом равен cos/* = г . а расстояние /' от точки 0 до точки
-1
1 (см. рис. 6.16) соответственно равно /' = l/cosjx = lr . Из изло-
женного вытекает, что скорость |р| движения точки 1 по поверхности
астроокна может быть подсчитана по следующей цепочке формул: V =
= -4'и хг, где cj - абсолютная угловая скорость самолета;
V =1г-\иаг
х\ yV y\ г\
у\ zr
i/ i "I/ в Я \
Й = < * v>//2
495

Вектор (со , cj , cj ) измеряется
с помощью скоростных гироскопов,
установленных на корпусе самолета.
Заметим, что временная модель
(6.144) не отражает факта
однозначной зависимости v. и v . от координат
точки 1 астроокна. Для построенной
модели величины v. и v. не будут
совпадать, например, с самими собой
при возвращении телескопа в
положение, когда его оптическая ось снова
попадет в точку 1 (рис. 6.16). Однако построенная нами модель вполне
пригодна для проведения стохастической фильтрации.
На основании изложенного можно принять, что суммарные погрешности
АЛ (/) и Au(t) астропеленгатора в измерении высоты А и курсового
угла и светила представляются в виде
Аи
Рис
ДЛ = АЛл ♦ vu * £,;
а р п п
>А + *А
(6.145)
где mt) и iA(t)
независимые "белые" шумы, обусловленные
высокочастотными погрешностями в дистанционных передачах, вибрациями и
другими причинами. Интенсивности этих шумов будем считать равными
Ъзу1ку , где а у - среднеквадратическое значение этих шумов,
временной радиус корреляции.
а а
1
6.10.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ВТОРИЧНАЯ ОБРАБОТКА
ИНФОРМАЦИИ ОТ ИНС И АСТРОПЕЛЕНГАТОРОВ
Рассмотрим случай обработки информации от двух пеленгаторов
светил, ДИС и ИНС всеширотного типа (см. подразд. 5.3.2). Такое
сочетание навигационных приборов обеспечивает глобальную навигацию и
представляет собой большой интерес для самолетовождения в высоких широтах
и дальних полетах над океанами. Поэтому далее мы сосредоточим
внимание на всеширотных методах астрокоррекции, единообразных для всех
земных регионов. Последнее означает, что по первоначальным измерениям
астропеленгаторов необходимо непосредственно вычислять либо элементы
496

и., матрицу U (4.33), либо элементы р , р , р t p кватерниона р
11 U 1 Z о
(4.75), минуя промежуточные вычисления геодезических координат
(В, L, Л).
Под непосредстветыми астроизмерениями будем понимать измерения
высот А , А двух светил, а также курсовых углов и , и или
азимутов этих светил (рис. 6.17).
А = ф + и,, Л = ^ + ы
г1 г 1 г2 г 2
относительно курсовой черты 17' (у) платформы ИНС. Далее для
определенности в качестве ИНС, работающей в комплексе с астродатчиками,
выберем ИНС с пуассоновским алгоритмом счисления (5.30), (5.31).
Модель функционирования такой системы описывается соотношениями
(6.19). ИНС этого вида требует решения системы дифференциальных
уравнений (4.45), порядок которой превышает на 2 порядок кватернионной
системы счисления (4.78). Несмотря на это, мы выбираем здесь ИНС с
пуассоновским, а не кватернионным алгоритмом счисления (5.33), так
как в этом случае выводимые далее соотношения имеют более простой и
компактный вид. Кроме того, основываясь на соотношениях (4.75) и
(4.76), всегда можно перейти от пуассоновского алгоритма к кватерни-
онному.
В подразд. 6.4.4 мы уже разобрали вопросы оптимальной вторичной
обработки информации от ИНС всеширотного типа и ДИС. При этом вектор
состояния задавался элементами, представленными в (6.49), а сам
алгоритм совместной обработки имел вид (6.52). Для введения в
рассматриваемый навигационный комплекс двух астропеленгаторов необходимо
расширить вектор состояния (6.49). В него требуется ввести погрешности
ДА , v. , v. первого и АА , *>, , v - второго астропеленгаторов.
Указанные погрешности описываются стохастическими дифференциальными
уравнениями (6.139) и (6.144).
Вектор состояния Z'At), имеющий 27-й порядок, в таком случае
будет включать в себя следующие элементы:
Zlt) = (а, 0, у, Wt, W , а|0, аоо, <i , и. <i , и . ДА;
27 { 17 12 22 23 13 23 33
*13* V 215' 216' V Z18' CfV С22' С23' *V V
»AV *V V 'А/' (6146)
497

Он будет удовлетворять системе стохастических дифференциальных
уравнений
*27 " «V \ V Ъ + "'Г W = Vo' (6147)
которая составляется из уравнений (6.19), (6.38), (6.39), (6.139) и
(6.144).
Будем предполагать, что пеленгаторы светил либо располагаются на
самой инерииальной платформе, либо на ее "повторителе", т.е. на
платформе, которая по трем каналам "следит" за платформой ИНС. При этом
обеспечивается измерение следующих параметров: высот светил Л и А
и их гироскопических азимутов А и А .
Из рис. 6.17 следует, что для азимутов светил имеют место
равенства
А . = А + ф + и. -а = А + А.-а, / = 1, 2, (6.148)
си г t п
где ф «■ и. = А . - угол между курсовым направлением /-го телескопа и
курсовой чертой т?' (у) платформы, значение этого угла измеряется
непосредственно.
Обратим далее внимание на то, что при измерении высоты Л светила
имеют место погрешности, обусловленные не только неточностями
пеленгатора, но и отклонением платформы от горизонтального положения. Если
учесть, что в направлении оси rj (см. рис. 6.17 и 5.15) платформа
имеет наклон, равный углу /3, а в направлении оси £ - наклон, равный углу
7, то на основании (6.145) погрешность в измерении высоты Л . иго
светила может быть представлена в виде
А . - А . = -0сс»Л . - TsiaA . ♦ ДА . ♦
ш ш п п pi
*Ptu**h* i=1'2- (6149)
Углы наклона (I и у считаются положительными, если оси х и у платформы
подняты над плоскостью горизонта (см. рис. 5.15).
Перейдем теперь к исследованию уравнений связей между
навигационными параметрами самолета и величинами, измеряемыми с помошью астро-
блока, т.е. с помошью астропеленгаторов, установленных на гироплат-
форме или ее повторителе. При выводе уравнений (3.109) мы исходили из
того, что астроблоком измеряются А . и А ., / = 1, 2 (см. рис. 1.12),
498

при этом были установлены связи между этими величинами и
геодезическими координатами В, L самолета. Для глобальных всеширотных систем
(когда координатами В, L, А пользоваться нельзя) за измерения астро-
блока нужно считать значения А . и А . (см. рис. 6.17). Величины А .
J 01 rl V 01
и А . определены для всех точек околоземного пространства, в то время
п
как величины А ., опирающиеся на понятие местного меридиана,
вырождаются на полюсах.
Для глобальных астроинерииальных систем необходимо установить
связи между (Л ,, А •> Л . A J, с одной стороны, и элементами и., мат-
J a\ rl а2 г2 ц
рицы U (4.33) или элементами р, р , р , р кватерниона р (4.75), с
другой. Так как мы рассматриваем здесь ИНС с пуассоновским алгоритмом
счисления (5.30, 5.31), то мы должны установить связи между Л , А ,
Л ,Л и матрицей U.
Из соотношения (3.102), а также рис. 3.17 и 6.17 следует, что

текции векторов г. - "самолет-светило С;" на оси X, V\ Z и £, 17, f
соответственно равны rv. = cgs5jcos/ .,
rW
= -cosSjcost
sinfi., / . = s - а., где a. - прямое восхождение;
* rpt rp * * r
/v.. = cosA sin(i4 . - a), r . = cosA cos(i4 . - a),
ft an ty an
ry. = sinA .,
it oi
rpt Z*
(6.150)
где a - азимутальная погрешность платформы.
В силу (4.33) проекции г„., Гу„ г~. и г.., г ., /\., / = 1, 2,
юятые для двух наблюдаемых светил, связаны между собой соотношениями
W
г ■
1 ГЦ J
= и
rXi\
rYi\
/Zi\
1, 2.
(6.151)
Равенства (6.151) и представляют собой искомые уравнения связей между
астроизмерениями (Л ., А .) и элементами матрицы U.
Однако все три уравнения (юятые по строкам) в (6.151) не являются
функционально независимыми. Это следует как из свойств ортогональной
499

2 2 2
матрицы, так и из равенств г*. «■ г . «■ /v. =
2 2 2,
Xi Yi Zi
Из (6.151) вытекают два функционально независимых уравнений связи
(аналогичных уравнениям 3.104). Эти уравнения имеют вид
a) tg(A . - а) = rjr , или sinM . - a)(ut rv. ♦ utrv. ♦
r* f 17 г* 11 At 12 /i
+ VzP " С05(Л/
a)Vxi + Vb + Vz? = 0:
(6.152)
6) sin/i .-«,/„.- «„Л,-
ffl 31 Jfr 32 ft
33 Zi
Уравнения связей (6.152) для обоих астропеленгаторов можно
представить в форме (1.112), если величины Л и А ., которые в них
входят, представить на основании (6.145), (6.148) и (6.149) в виде
(6.153)
Чг
А . = \р. «• и. - vА. - £,., i = 1, 2;
п i i At At
Л . = А . + ]3coSi4 . + TSiftA . - АЛ . - v<.
<и <и ri n pi hi
Тогда в соответствии с общим видом фильтра (1.113) из (6.147),
(6.52), (6.152) и (6.153) вытекает алгоритм обработки для
рассматриваемого здесь состава датчиков (ИНС, ДИС и двух астропленгаторов):
Z27 = *(Z27' £ V ^ ~ * I
и.
I/
-к.
V
10
I/
11
к.
и
12
I/
13 J
(6.154)
где ^in> ^и' ^ю и ^11 ~~ результаты подстановки оценочных значений
10 11 12 1о л
параметров в уравнения связей (6.152, 6.153). При этом величины U и
А А А Ю
U относятся к первому астропеленгатору, a U и U - ко второму.
Аналогично и матрицы коэффициентов усилений /С и /С размером 27x2 от-
5 6
носятся к первому и второму астропеленгаторам соответственно.
Приведем выражения для U и U :
Ul0 = sin(*. ♦ их
"V(4,iirXi*"l/Kl*"i3rZi)-
500

- COS4 + U* - a - W*l + U22rYl + Vz.):
A AAA A \0. 1DD/
Vn - sin(h*al * 0cosArl ♦ „**, - Ahpl - uh{) -
AAA
"Vjti "VY.-Vzr
Аналогичны выражения и для I/ и I/ , относящиеся уже ко второму
астропеленгатору.
Выражения для подсчета матриц Кс и /С вытекают из (1.113, б, в).
5 о
Они могут быть получены путем прямых вычислений матриц Л, Я, С, /? ,
V на основании ф и I/, известных (6.147, 6.152) для рассматриваемого
случая.
Отметим, что алгоритм (6.155) обработки информации будет работать
и при визировании звезды только одним астропеленгатором. В этом
случае матрица /Сс или /С_, относящаяся к неработающему пеленгатору, бе-
5 6
рется равной нулевой. При этом будет происходить компенсация только
для составляющих ошибок ИНС, ортогональных к линии положения h =
= const, т.е. к линии равных высот для наблюдаемого светила. Эта
линия в процессе полета поворачивается как относительно местного
меридиана, так и относительно платформы. Указанный эффект будет приводить
к оцениванию и компенсации погрешностей ИНС в обоих ее горизонтальных
каналах. Однако процесс оценивания здесь будет более длительным и
менее точным, чем в случае одновременного применения двух астропелен-
гаторов.
В принципе можно рассматривать систему с одним астропеленгатором,
который через определенные промежутки времени перебрасывается с одной
звезды на другую. Качество такой астроинерииальной системы будет
приближаться к качеству системы с двумя астропеленгаторами.
Для астроинерциальных систем как с одним, так и с двумя
пеленгаторами на основании соотношений, полученных в подразд. 6.10.1 и 6.10.2,
может быть построен алгоритм дискретно-непрерывной обработки
информации. Он не будет с методической точки зрения отличаться от случая,
изложенного в подразд. 6.5.3. При реализации этого метода информация
от ИНС вводится в БЦВМ непрерывно, а информация от ДИС (если он
включен) и астропеленгаторов вводится в дискретные моменты времени с
шагом Г, составляющим Т = 20...40 с.
501

6.10.3. КОНЕЧНЫЙ ВСЕШИРОТНЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ
КООРДИНАТ И КУРСА САМОЛЕТА ПО АСТРОИЗМЕРЕНИЯМ
Рассмотрим способ определения матрицу U (4.33) по астроизмерениям.
Будем предполагать, что на курсовертикали, заданной трехгранником Ь$
(см. рис. 4.7), установлены два телескопа, с помощью которых
производятся астроизмерения (Л ., А .), i = 1, 2. Звездное время s
предложи Н гр
латается известными, а координаты (В, L) точки М и азимут А платформы
являются заранее неизвестными.
Использование матрицу U, определяемой с помощью астроизмерений,
позволяет разрешить целый ряд трудностей, связанных с всеширотным
(глобальным) применением астроинерцдальных систем. Объясняется это
тем, что сама матрица U не вырождается ни в одной точке околоземного
пространства и обеспечивает решение двух следующих важных задач. Во-
первых, по ее элементам в соответствии с формулами (4.40), (4.48)
могут быть вычислены либо геодезические (В, L), либо ортодромические
(Ф\ Л') координаты самолета, а также азимуты А и А' платформы (ее
курсовой черты 17) относительно этих координат сеток. Во-первых,
матрица U, вычисленная по астроизмерениям, может выступать в роли
матрицу U в алгоритме (6.107) для всеширотного случая его применения.
Итак, рассмотрим задачу вычисления девяти элементов и< матрицу V
по известным значениям Л ., А .,/.,/= 1, 2. Для ее решения необ-
ходимо составить девять уравнений относительно неизвестных и, , kt
п = 1, 2, 3.
Соотношения (6.151) задают шесть искомых уравнений. Для получения
недостающих трех уравнений воспользуемся свойствами ортогональности
матрицу U. Для этого введем вектор р, ортогональный векторам г иг:
р= Т*Т2. (6.156)
Вектор р имеет проекции р„, ру, Р7 и р.., р , р*. на оси систем
координат XYZ и Ь£, соответственно равные
РХ = rY\rZ2 " rY2rZ\; PY = ~fX[rZ2 + rX2rZ\; PZ = rX\rY2 "
" rX2rYV h = Vft " VtiS РП = "Vft + VfIs (615?)
4 {1 172 £217!
502

к
к
К J
= и
рх\
Ру
.pz\
Указанные проекции в силу ортогональности матрицу V связаны между
собой равенством, аналогичным (6.151):
(6.158)
Соотношения (6.151) и (6.158) составляют искомую систему из девяти
уравнений, необходимую для нахождения элементов <«£> матрицы U. Как
видно, полученная система алгебраических уравнений является линейной
относительно и, .
kn
Из изложенного вытекает, что искомый алгоритм вычисления матрицы V
(и вместе с ней величин В, L, А) по астроизмерениям имеет вид:
а) вычисление (6.150), (6.157) по астроизмерениям Л ., А ., / .,
/ = 1, 2 значений проекций (rv., /ч,., г-.), (г.,., г ., /v.), i = 1,
г л* г i Z( \i r\i fi
2; (p^, 9T Pz) и (p^, p , pf);
б) решение (6.151), (6.158) в виде системы линейных уравнений
относительно неизвестных и
kn
Аи = Ь,
(6.159)
где
Л =
гхх
0
0
ГХ2
0
0
рх
0
0
гп
0
0
rY2
0
0
Ру
0
0
rzx
0
0
rZ2
0
0
pz
0
0
0
rXx
0
0
ГХ2
0
0
px
0
0
rYx
0
0
ГУ2
0
0
PY
0
0
rZx
0
0
rZ2
0
0
pz
0
0
0
rxx
0
0
ГХ2
0
0
px
0
0
ГУ1
0
0
rY2
0
0
Py
0
0
rz.
0
0
rZ2
0
0
pz
503

"=("irV"i3'VVVVV"33);
*T = V V rn* V V V pr V pr):
в) вычисление значений В, L, А тю формулам (4.40) и вычисление
курса ф самолета по формуле ф = ф + А.
6.10.4. УПРОЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
ОТ ИНС. ДИС И АСТРОПЕЛЕНГАТОРОВ
Рассматриваемый алгоритм можно реализовать для астроинерциальных
систем, имеющих два пеленгатора. В целом этот алгоритм будет
эквивалентен алгоритму (6.107). Его отличия от (6.107) будут состоять в
следующем. Во-первых, матрица направляющих косинусов U , вычисляемая
в алгоритме (6.107) в соответствии с пунктом г, 6), здесь должна
вычисляться на основании астрономических данных h ., А . по формулам
(6.159). Во-вторых, корректирующие сигналы kAyt k„Axt kAAx, kAy,
3 3 4 4
формируемые в (6.107) по линейным отклонениям Ах и Ау и входящие в
правые части уравнений 2...4, должны быть заменены на другие сигналы,
пропорциональные углам а, /3, у рассогласования между поворотами, за-
даваемыми матрицами V и U соответственно.
Из (5.39) и (5.42) следует, что указанные углы будут отвечать
уравнениям
1 а у
^а 1 /3
-7 —/3 1 J
= UU*\ (6.160)
Соотношение (6.160) вытекает из (5.39) и (5.42) на том основании,
что при проведении астрокоррекции матрица V , вычисленная по астроиз-
мерениям, принимается как бы за более точную и более близкую к
матрице U, чем матрица U, вычисленная на основании интегрирования.
Если алгоритм (6.107) частично изменить на основании формул
(6.159) и (6.160), а также в правые части уравнений 1...5 ввести но-
504

вые члены kat kfi, ky, ky, кв (вместо членов 0, k Ay, kAx, k'Ax,
63344 334
k Az), то мы получим искомый упрощенный (по отношению к полному кал-
4
мановскому 6.154) алгоритм для обработки сигналов от ИНС, ДИС и двух
астропеленгаторов.
Подчеркнем, что полученный алгоритм (6.107), (6.159), (6.160) в
отличие от исходного алгоритма (6.107) будет всеширотным, а
соответствующая ему комплексная астроинерииальная система (с возможной доп-
леровской коррекцией) будет глобальной.
Значения коэффициентов kt...k, входящих в алгоритм (6.107),
1 о
(6.159), (6.160) астроинерциальной системы, находятся на основании
численного эксперимента.
Алгоритм (6.107) с изменениями (6.159) и (6.160) и будет
представлять собой упрощенный алгоритм обработки сигналов от ИНС, ДИС и
астропеленгаторов. Алгоритм этого типа не способен "бороться" с
позиционными медленными погрешностями астропеленгаторов, например, такими,
как погрешности рефракции АЛ и АЛ (6.139) и погрешности от
деформаций астроокна v. , v. и v. , v - (6.144). Эти погрешности
"пройдут" на выход комплексной системы и приведут к соответствующим
погрешностям в определении координат В, L самолета и его курса
ф = ^- (А * Л -и -и). (6.161)
2 а\ а2 1 2
Погрешности ДВ и AL в определении координат могут быть подсчитаны по
формулам (3.112) и (3.113), а погрешность Д^ приближенно оценена по
формуле
Д* = 0,5(ДЛа1 *АЛ - рм ♦ ,А). (6.162)
К~2 Т
rN * rF '
2 - 2
АА . = cos A . rkJ.(Arc. rk1. - ArA7. rc) * ABsinAXgh. -
at cu Ni Ei Ni Ni Ei i* i
- AbcosScos B(costcosA + sinBsin/siib4), / = S = -a + L.
rp
505

6.11. КОРРЕКЦИЯ ИКВ ПО ДАННЫМ О ВЫСОТЕ
РЕЛЬЕФА МЕСТНОСТИ
6.11.1. ПРИНЦИП КОРРЕКЦИИ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
ПО ДАННЫМ О РЕЛЬЕФЕ МЕСТНОСТИ
Будем считать, что на самолете (рис. 6.18) имеется радиовысотомер,
который измеряет высоту А самолета над поверхностью Земли, и система
измерения высоты А самолета над эллипсоидом. Система, рассмотренная в
подразд. 6.2, строится на базе вертикального канала ИНС,
объединенного с баровькотомером, либо на вертикальном канале спутниковой
радионавигационной системы.
Будем считать, что на самолете известна высота г рельефа как
функция геодезических координат В и L, т.е.
г = r(B. L). (6.163)
Тогда имеет место уравнение связи (см. рис. 6.18)
A-A -r(B, L) = 0, (6.164)
которое и положено в основу данного способа коррекции ИНС.
Прежде чем обратиться к строгому описанию алгоритмов, рассмотрим
принципиальную сторону коррекции ИНС по данным о высоте рельефа в
текущей точке, находящейся под самолетом. Для рассмотрения существа
дела пока будем считать, что величина г = А - А измеряется без ошибок.
Далее будем считать, что коррекция ИНС осуществляется дискретно в
точках маршрута, которым соответствуют высоты рельефа, кратные 50 м,
т.е. в точках, где г = 0,50, 100 м и т.д. На рис. 6.19 такие точки
отмечены буквами А В, С, D и £ соответственно. Выдвинем еще одну
поясняющую гипотезу. Будем считать, что погрешности ИНС изменяются
столь медленно, что на отрезках АВ, ВС и др. их можно считать
постоянными.
Пусть в своем реальном движении самолет перемещается по линии
OABCDE. Пусть в исходной точке О на выходе его бортовой ИНС имеют
место координаты, соответствующие положению самолета в точке О'. Это
означает, что погрешность ИНС равна вектору ОО'. При попадании
самолета в точку А становится известно, что г = 150 м. Здесь можно
рассуждать так: если г = 150 м, то самолет находится в одной из точек на
линии равных высот рельефа г = 150 м. Естественно считать, что в
точке а, ближайшей к точке А\ так как точка А' - это показания ИНС в
506

момент, когда самолет находится в точке А. Следовательно, за
положение самолета теперь нужно считать точку а. При этом погрешность 1
(00' = АА') ИНС до коррекции переходит в погрешность 2 (Аа) после
коррекции.
Тот же процесс продолжается в точке В, когда погрешность 2
переходит в погрешность 3, и далее в точках С, D и £. Конечная погрешность
6(£е) гораздо меньше начальной погрешности 1 = 00' = АА'.
В изложенном процессе последовательной коррекции ИНС на каждом
шаге описывается составляющая погрешности, ортогональная линии
положения (т.е. линии равных высот рельефа) в точке местонахождения
самолета. Так как во время полета встречаются линии с разными направлениями
(как на рис. 6.19), то и коррекция осуществляется в среднем по разным
направлениям.
Успешное осуществление коррекции ИНС принципиально возможно лишь
при условии, что значение начальной погрешности не является чрезмерно
большой. На рис. 6.19 приведен случай, когда при большой начальной
погрешности (положение 3) коррекция по описанному алгоритму не только
не приводит к уточнению выходных сигналов ИНС, а, наоборот, приводит
к хаотическому их изменению. (Процесс хаотического поведения поправок
при больших начальных отклонениях можно проследить самостоятельно с
помошью рис. 6.19.) Из проведенных построений вытекает, что начальная
погрешность ИНС не должна превосходить половины минимального
расстояния между линиями равных высот рельефа. Чем более изрезан рельеф, тем
меньшим должно быть начальное отклонение ИНС. Более изрезанному
рельефу (при условии правильности процесса коррекции) соответствует
большая точность в окончательном определении координат самолета.
507

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
L. ИШЛИНСКИЙ А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация.
М.: Наука, 1976. 670 с.
2ll Бромберг П. В. Теория инерциальных систем навигации. М. : Наука,
1979, 294 с.
3^ Радионавигационные системы летательных аппаратов /П. С.
Давыдов, Г. В. Кащеев, В. В. Криницын и др. М.: Транспорт, 1980. 448 с.
4^ Самолетные навигационные системы /Кантон М., Фрайд У. и др.
Пер. с англ. ; Под ред. В. Ю. Поляка. М. : Военное издательство МО
СССР, 1973. 462 с.
5. Мищенко И. Н., Волынкин А. И., Волосов П. С., Григорьев М. И.
Глобальная навигационная система "Navstar" //Зарубежная
радиоэлектроника. 1980. Jfe 8. С. 52-*3.
Ui. Сетевые спутниковые радионавигационные системы /В. С. Шебша-
евич, П. П. Дмитриев, Н. В. Иванцевич и др. ; Под ред. П. П. Дмитриева
и В. С. Шебшаевича. М. : Радио и связь, 1982. 272 с.
7^ СтраТРНОВИЧ Р. Л. Условные марковские процессы и их применение
к теории оптимального управления. М.: Изд. МГУ, 1966. 319 с.
8^ Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. М. : Мир,
1973. 311 с.
:L СеЙДЖ Э. П., Мелса Дж. Л. Теория оценивания и ее применение в
связи и управлении /Пер. с англ. ; Под ред. Б. Р. Левина. М. : Связь,
1976. 495 с.
10. Белоцерковский С. М., КочетковЮ. А., Красовский А. А.,
Новицкий В. В. Введение в аэроавтоупругость. М. : Наука, 1980. 384 с.
11. Гнеденко Б, В. Курс теории вероятностей. М. : Наука, 1969.
400 с.
12. Хазен Э. М. Методы оптимальных статических решений и задачи
оптимального управления. М.: Сов. радио, 1968. 254 с.
13. БраЙСОН А., Хо Юши. Прикладная теория оптимального управления.
М.: Мир, 1972. 544 с.
14. Бабич О. А. Объединенный оптимальный алгоритм фильтрации и
счисления навигационных координат //Проблемы надежности летательных
аппаратов. М. : Машиностроение, 1985. С. 71-82.
15. ЛИННИК Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математиков
статической теории обработки наблюдений. М.: ГИФМЛ, 1962. 349 с.
16. Болыиев Л. Н, СМИРНОВ Н. В. Таблицы математической статистики.
М.: Наука. 1965. 464 с.
508

17. ЯРЛЫКОВ М, С. Применение марковской теории нелинейной
фильтрации в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1980. 358 с.
18. ТИХОНОВ В;. HL^ Кульман Н. 1С. Нелинейная фильтрация и
квазикогерентный прием сигналов. М. : Сов. радио, 1975. 704 с.
19. ГРУШИНСКИЙ Н. П. Теория фигуры Земли. М. : Наука, 1976. 512 с.
20. ФИННИКОВ С, П^ Дифференциальная геометрия. М. : Изд. МГУ, 1961.
158 с.
21. Молоканов Г. Ф. Точность н надежность навигации летательных
аппаратов. М. : Машиностроение, 1967. 215 с.
22. КраСРВСКИИ А. А. Системы автоматического управления полетом и
их аналитическое конструирование. М. : Наука, 1973. 558 с.
23. Закатов П. С_ Курс высшей геодезии. М. : Недра, 1976. 511 с.
24. Андреев В. Д. Теория ниерциалыюй навигации. Автономные
системы. М.: Наука, 1966. 579 с.
25. ЯРЛЫКОВ М. С. Статистическая теория радионавигации. М. : Радио
и связь. 1985. 344 с.
26. БереЗКИН Е. Н. Лекции по теоретической механике. Ч. 1. М. :
МГУ. 1967. 314 с.
27. Демин В. М. Теория н практика применения карт в авиации. М. :
Машиностроение, 1969. 203 с.
28. КЛИМОВ Д. М. Инерциальная навигация на море. М.: Наука, 1984.
116 с.
29. Ишлинский А. Ю., Борзов R И^ Степаненко Н. П. Лекции по
теории гироскопов. М.: Изд. МГУ, 1983. 245 с.
30. БРОЗГУЛЬ Л. И., СМИРНОВ Е. Л. Вибрационные гироскопы. М. :
Машиностроение. 1970. 215 с.
31. НОВИКОВ Л. 3., Шаталов М. Ю. Механика динамически
настраиваемых гироскопов. М.: Наука, 1985. 245 с.
32. СОСНОВСКИИ А. А., ХаЙМОВИЧ И. А. Навигационная радионавигация.
М.: Транспорт. 1980. 255 с.
33. Богуславский И. А. Методы навигации и управления по неполной
статистической информации. М. : Машиностроение, 1970. 256 с.
34. Андреев В. Д. Теория ннерцналыюй навигации. Корректируемые
системы. М.: Наука. 1967. 677 с.
35. Парусников Н. А., Морозов В^М.. Борзов 1^ R Задача коррекции
в ннерцналыюй навигации. М.: Изд. МГУ, 1982. 176 с.
36. Челпанов И. Б. Оптимальная обработка сигналов в навигационных
системах. М.: Наука. 1967. 392 с.
37. БоДНер В^ А^ Приборы первичной обработки информации. М. :
Машиностроение. 1981. 344 с.
509

38. БраслаВСКИЙ Д. А. Приборы и датчики Л А. М. : Машиностроение,
1973. 391 с.
39. Кондратенков Г^ С^ Потехин В^ А^ Реутов А. П.,
Феоктистов Ю. А. Радиолокационные станции обзора Земли. М.: Радио и связь,
1983. 272 с.
40. Белоглазов И. Н., Джанджгава Г^ И^ Чигин I\_ FL Основы
навигации по геофизическим полям. М. : Наука, 1985. 328 с.
41. КУЗОВКОВ Н. Т., Салычев О. С. Инерциальная навигация и
оптимальная фильтрация. М. : Машиностроение, 1982. 216 с.
42. Kalman ^ L A new approach to linear filtering and prediction
problems //Trans. ASME, J. Basic Engineering. 1960. Vol. 82 D.
March. P. 34-45.
43. Kalman R^ E^. Bucy FL S^ New restto mi tear filter** and
prediction theory //Trans. ASME, J. Basic Engineering. 1961. Vol. 83
D. March. P. 95-108.
44. Milliken R, JL^ Loller C. JL Principle of operation of NAVSTAR
and systen characteristics //Navigation (USA). 1978. Vol 25. N. 2.
P. 95-106.
45. Draper С S^ Wrigley W., Hovorka JL Inertial guidance.
Oxford: Pergamon Press. 1960. P. 254.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1 • Навигационные измерения и методы статистической
фильтрации 6
1.1. Методы определения координат летательного аппарата 6
1.2. Авиационные датчики навигационной информации 8
1.3. Математические модели измерительных приборов 16
1.4. Вычисление характеристик случайных процессов 28
1.5. Свойства условных распределений вероятностей 35
1.6. Дискретный фильтр Калмана 40
1.7. Непрерывный оптимальный фильтр Калмана-Бьюси 48
1.8. Непрерывный оптимальный фильтр для коррелированных погреш -
ностей наблюдений 52
1.9. Нелинейные фильтры 55
1.10. Оптимальная обработка сигналов с учетом уравнений связей 59
1.11. Оценивание по максимуму апостериорной вероятности 63
510

Глава 2. Геометрические и гравитационные соотношения в
навигационных расчетах 82
2.1. Фнгура Земли н основные навигационные системы координат .... 82
2.2. Вычисление расстояний и азимутов навигационных точек 117
2.3. Гравитационное поле Земли 158
Глава 3. Вычисление координат самолета по показаниям позиционных
датчиков 171
3.1. Вычисление координат самолета по показаниям РСБН 171
3.2. Вычисление координат самолета по показаниям РСДН 189
3.3. Среднеорбнтальные спутниковые радиотехнические навигационные
системы 198
3.4. Вычисление координат и курса самолета по показаниям
бортового визира наземных ориентиров 225
3.5. Вычисление координат и курса самолета по показаниям бортовых
астропеленгаторов 232
Глава 4. Вычисление координат самолета методами счисления пути244
4.1. Реперы навигационных координатных систем 244
4.2. Алгоритмы счисления геоцентрических координат 249
4.3. Алгоритмы счисления геодезических координат 258
4.4. Приближенный метод счисления координат 270
4.5. Всеширотный алгоритм счисления, использующий параметры Род-
рига-Тамильтона 274
4.6. Моделирование движения самолета как материальной точки 284
4.7. Моделирование работы навигационных датчиков на заданном
маршруте полета 299
Глава 5. Инерциальные методы определения навигационных параметров
полета 301
5.1. Уравнения акселерометров 301
5.2. Гнростабилизнрованные платформы 307
5.3. Принципы построения и алгоритмы функционирования
платформенных ИНС 316
5.4. Линейные математические модели погрешностей ИНС 327
5.5. Нелинейные математические модели ИНС 351
5.6. Стохастическое моделирование ИНС 354
5.7. Бесплатформенные инерциальные системы 374
Глава 6. Совместная обработка информации от нескольких
навигационных датчиков 391
6.1. Основные понятия и задачи комплексной обработки 391
511

6.2. Оптимальное оценивание высоты и вертикальной скорости
самолета 395|
6.3. Специальные формы для моделей ИНС 4041
6.4. Совместная обработка сигналов от ИНС и ДИС 411]
6.5. Совместная обработка сигналов от инерциально-доплеровских
систем и радиосистем ближней навигации 431
6.6. Совместная обработка сигналов от инерциально-доплеровских
систем и радиосистем дальней навигации 46!
6.7. Особенности коррекции всеширотных навигационных систем
счисления по сигналам позиционных датчиков 470
6.8. Совместная обработка сигналов от ИНС и СРНС 476
6.9. Совместная обработка сигналов от ннерциально-доплеровской
системы и бортового визира наземных ориентиров 485
6.10. Астроннерциальные системы 491
6.11. Коррекция ИКВ по данным о высоте рельефа местности 506
Список литературы 508
Научное издание
Бабич Олег Александрович
ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ В НАВИГАЦИОННЫХ КОМПЛЕКСАХ
Редактор Е. В. Сербиновская
Переплет художника В, А, Галкшш
Художественный редактор В. В. Лебедев
Технический редактор Г. Г. Семенова
Корректоры Л. И. Сажана, С. Ю. Агафонова
ИБ № 6305
Сдано в набор 28.07.89. Подписано в печать 30. 12.90.
Формат 60x88 1/16. Бумага офсетная № 2. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 31,16. Усл. кр.-отт. 31,16. Уч.-изд.л. 27,33.
Тираж 2000 экз. Заказ №993. Цена 5 р. 80 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство 'Машиностроение',
107076, Москва, Стромынский пер. , 4
Отпечатано в московской типографии №8
Государственного комитета СССР по печати,
101898, Москва, Хохловский пер., 7, с оригинала - макета,
изготовленного в издательстве 'Машиностроение' на персональных ЭВМ
по программе 'Астра-Н', разработанной НИИЦЭВТ