/
Автор: Шенли Ф.Р.
Теги: инженерия строительные конструкции материаловедение строительная механика инженерные сооружения инженерное дело
Год: 1948
Текст
Ф.Р.ШЕНЛИ
ОСНОВЫ
СИЛОВОГО РАСЧЕТА
КОНСТРУКЦИЙ
ОБОРОИГИЗ - 1 Q
4 Я
™* О
^'^Ш
Щ' ¦¦ ¦': V?" ¦':;' ^•':' ¦
Стр.
Строка
7 | 1 снизу
28
42
49
133
5 сверху
1 .
6 снизу
3 ,
0 сверху
1 сверху
и в табл. 4
155 J 15 сверху
205
227
323
336
370
383
фиг. 240
1 снизу
б сверху
фиг. 369 (a) j
13 и 14
сверху
Ф. Р. ШЕНЛИ
основы
пап
амеченные опечатки
Напечатано
Следует читать
от осей X — х
Pad
500 кг(мм*
табл. 2.1
табл. 2-.'j
табл. 2-3
, - ^™-р
л 0,866 д
28 кгс.м
по осяч х — х
Pnd
500 кг;м"-
табл. 1
таб;!. 3
табл. 3
_
0,500
0.8GG Р
28 кг-см
Повернуть на 180°
чтобы он закручивался
-еж
фн/дм?
Ус
чтобы он
не закручивался
/г ,11-
По чьей
вине
Ф. Р. Ш е II л и, О;нопы гилоного расчета гоиструкцнй.
авт.
авг.
тин,
ред.
авг.
корр.
авт.
тех р.
а о г,
тип.
[СД.
атуг,
авт,
Зли. 030/1151.
Ф. Р. ШЕНЛИ
основы
СИЛОВОГО РАСЧЕТА
КОНСТРУКЦИЙ
Перевод
П. М. ГЕХТА и Е. И. САВКОВА
Пол редакцией
проф. доктора техн. наук
А. М. Черемухина
ГОСУДАРСТВЕННОЕ И 3 Д А 1 ЕЛЬСТВО
ОБОРОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
МОСКВА 1948
Назначение книги — познакомить малоподготовленного читателя с тем,
как распределяются силы по основным элементам конструкций, подвер-
подверженных внешней нагрузке. Конструкцию автор р!ассматривает как соору-
сооружение, предназначенное для «передачи силы» и построенное из конкрет-
конкретных материалов с определенными механическими свойствами.
Автор знакомит читателя с элементарными положениями статики, ма-
материаловедения, сопротивления материалов и строительной механики. Эти
сведения изложены просто и понятно и могут быть использованы в прак-
практической работе рядовым конструктором.
Рассматривая вопрос о действии внешних сил, автор подробно описы-
описывает практические методы подсчета сложения и разложения сил, определе-
определения опорных реакций и подсчета перерезывающих сил и изгибающих мо-
моментов. Дано ясное представление о поведении материала под нагрузкой,
приведены основные характеристики и сравнительные данные наиболее
часто применяемых материалов.
Разбирается передача сил в осевом направлении и в поперечном. После
этого автор логично переходит к разбору ферменных конструкций и далее к
работе балки с поясами, воспринимающими изгибающий момент, и со стен-
стенкой, воспринимающей поперечные силы. В элементарной форме излагается
общая теория изгиба балок, косой изгиб, кривые брусья и практические
способы определения деформаций.
Рассматривается совместное действие различных видов нагрузки и
дается методика определения сложных напряжений. Приводятся необходи-
необходимые элементарные сведения о характере работы и расчете узловых соеди-
соединений.
Книга рассчитана на малоподготовленного читателя, окончившего
среднюю школу, однако по характеру изложения, по ряду оригинально сде-
сделанных выводов и по собранному материалу она, несомненно, представ-
представляет интерес и для авиационных инженеров-конструкторов, преподавателей
и студентов.
Редактор М. С. Румянцева.
А-01836.
Уч.-изд. л. 5,3
Формат 60x92ViE«
Подп. в печать 18/V 19-18 г.
Тип. зн. в. печ. л. 43000.
Цена в пер. 20 р.
Печ. л. 263,'4-
Тираж 3000.
Зак. 930/1151.
Типография Обороигиза.
ОТ РЕДАКТОРА
В предисловии автора достаточно подробно изложена цель,
поставленная им при создании этой книги, а также отмечены
особенности в изложении материала.
Здесь мы приведем соображения, по которым нам представ-
представляется целесообразным издание этой книги на русском языке,
несмотря на то, что за последние 15—20 лет у нас появилось
много работ, дающих значительно более полное освещение от-
отдельных вопросов прочности конструкций, чем это сделано в
книге Шенли. К таким работам относятся монографии, спра-
справочники и руководства, рассчитанные на подготовленных ин-
инженеров-специалистов или опытных техников, и учебники по
курсам строительной механики и расчета на прочность.
Однако помимо трудов, рассчитанных на читателя, знако-
знакомого с основами механики, математического анализа, материа-
материаловедения и сопротивления материалов, иногда встречается
необходимость в работах, рассчитанных на читателя, не овла-
овладевшего основами общетехнических дисциплин и не имеющего
навыков в их применении.
В предлагаемой книге, рассчитанной на малоподготовлен-
малоподготовленного читателя, автор приводит все минимально необходимые
сведения из механики, материаловедения, сопротивления ма-
материалов, строительной механики, связывая их с решением
конкретных задач. Вывод всех необходимых формул автор
проводит несколько иначе, чем обычно принято, основываясь
главным образом на геометрических приемах и обращая осо-
особое внимание на объяснение физической картины явлений.
Излагаемую теорию автор иллюстрирует достаточным ко-
количеством хорошо подобранных примеров, и читатель, внима-
внимательно прочитавший книгу, безусловно может войти в курс
решения ряда практических инженерных задач и приобрести не-
некоторое знакомство с тем, как пользоваться материалами спра-
справочников.
Эти особенности построения и изложения книги Шенли де-
делают ее несомненно полезной для советского читателя.
Весь материал и задачи подобраны в соответствии с прак-
практическими потребностями конструктора и расчетчика по само-
самолетостроению, но, несмотря на это, книга может представить
интерес и для лиц, работающих в смежных отраслях.
Книга имеет некоторые недостатки, которые могут быть
подвергнуты справедливой критике со стороны читателя. Не-
Некоторые аналогии, приведенные автором, как, например, срав-
сравнение течения сил по конструкции с течением жидкости, нельзя
считать особенно удачными. Раздел пространственных ферм
дан более сжато, чем следовало бы. В разделе о статически
неопределимых системах автор ограничился лишь общим объ-
объяснением их основных особенностей, привел несколько реше-
кий для частных случаев, указал способы довольно грубых
приближенных решений и дал лишь понятие об общей мето-
методике решения, ссылаясь на ограниченный объем книги.
Но отмеченные недостатки и некоторая элементарность из-
ложения не снижают качества материала, приведенного в кни-
книге и преподнесенного в достаточном соответствии с современ-
современным уровнем знаний.
При переводе книги мы сохранили характер изложения
автора, ограничившись лишь некоторыми отмеченными в тексте
примечаниями, перевели все меры в метрические, в соответ-
соответствии с чем пришлось перерешить все задачи.
В конце книги мы дали краткую библиографию отечествен-
отечественной литературы, которая будет полезна читателю, желающему
приобрести более глубокие знания в области строительной
механики самолета.
А. Черемухин
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Большинство материала, приведенного в этой книге, не яв-
является новым, однако порядок и методика изложения отлича-
отличаются от обычно принятых и поэтому требуют некоторых объ-
объяснений.
Автор считал целесообразным начать изложение с элемен-
элементарной механик]! и дать все сведения, необходимые для того,
чтобы читатель мог сознательно подойти к расчету конструк-
конструкций.
Однако вопроса о причинах возникновения внешних сил
автор не затрагивал, и все внешние силы считаются заданными
и известными.
Особое внимание з этой книге уделено изложению инженер-
инженерных методов численного суммирования сил и моментов по эле-
элементам, с которыми приходится иметь дело в расчетной прак-
практике.
Расположение материала определилось непосредственным
развитием анализа конструкций как сооружений, осуще-
осуществляющих перенос сил, причем особенное внимание
автор старался обратить на физическую картину этого явле-
явления. По этой же причине и общие сведения о механических
свойствах материалов преподнесены, так, чтобы при вычисле-
вычислениях можно было непосредственно применять диаграммы, свя-
связывающие напряжение материалов с деформацией. Автор ста-
старался также показать, что передачу всякой силы на конечное
расстояние .можно осуществить при помощи осевых сил или
напряжений. Эта трактовка привела к несколько новой ието-
Дике вывода классических уравнений нормальных и касатель-
касательных напряжений.
Вопросам, которые автор считает, на основании своего опы-
опыта, особенно важными, как, например, изгиб, распределение по-
потока касательных сил, особенности работы трапецевидной бал-
кн и сложные напряжения, он уделил главное внимание.
Точно так же достаточно подробно изложено все необхо-
необходимое для создания отчетливого представления о равновесии
^ст а также и о системах, статически неопределимых,
рассмотрении продольного изгиба в простой форме при-
о
ведены основы наиболее современных теорий и необходимые
кривые, дающие ясное представление об этом важном явлении.
Для того чтобы сделать книгу доступной для более широкого
круга читателей, автор старался обойтись без применения
высшей математики. Для осуществления этого автору пришлось
несколько no-назому подойти к выводу ряда формул, но, од-
однако, все предлагаемые им методы в полной мере соответствуют
тому, что требуется в инженерной практике, где в большинстве
случаез интегрирование можно заменить суммированием. В не-
некоторых случаях, тле приведены интегральные обозначения, да-
дано попутно и их объяснение.
Большинство фигур приведено в значительно уменьшенном
масштабе в целях уменьшения объема книги. В инженерной
практике все графические построения необходимо делать в боль-
большем масштабе. Это надо иметь в виду при выполнении эскизов
и диаграмм, необходимых для решения предложенных задач.
Автор надеется, что эта книга будет полезна для развития
ясного понимания основных положений, объясняющих, как ра-
работают конструкции, и для ознакомления с современными ме-
методами расчета авиационных конструкций.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
площадь.
-коэфициент, учитывающий закрепление стойки
диаметр.
модуль упругости для осевой нагрузки
удлинение.
допускаемое напряжение,
напряжение.
ОСТИ (ИЛИ Ж—) касатель
F
С
D-
Е-
А/-
доп
G-
G-
Д Т— приращение потока касательных сил
« — высота балки.
/
X
L-
М-
п —
р
Р —
§
Т-
R-
Г ~
Q-
8 —
Я~
Г5-™" Моммт »>«Р™ относительно осей
полярный момент инерции.
длина.
момент от силы или сил
для редуцированного
сила,
давление.
момент от пло
поток касательных сил
трубы или оболочки,
сдвигающая сила,
толщина.
распределенная погонная нагрузка
расстояния от осей х-х v~-v г *
у-
w
о, (альфа)-
В (бета)
Л(дельта)
0 (тета)
\х (МЮ)
Р (ро)
I (сигма)
расстояние от нейтральной оси поперечного се-
сечения.
- модуль сечения при изгибе.
¦величина угла.
- величина угла.
-знак, обозначающий изменение или приращение
величины. ,
-угол наклона, вызванный изгибом (девиация),
угол, вызванный кручением (крутка),
-отношение Пуассона.
- радиус инерции.
-знак, обозначающий суммирование.
ГЛАВА 1
МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ
1.1. Внешние нагрузки. Расчет всякой конструкции начи-
начинается с определения внешних нагрузок1, т. е. с определения
тех сил, которые должна воспринимать конструкция. Это охва-
охватывает не только определение величины нагрузок, но также и
определение точек их приложения или распределение по кон-
конструкции. Методика определения внешних нагрузок зависит от
характера конструкции и ее назначения. Например, при опре-
определении внешней нагрузки на самолет рассматривают условия
полета на различных скоростях и маневрах, при которых воз-
возникают определенные силы, действующие на крылья и органы
управления самолетом. В мостовых конструкциях принимает-
принимается во внимание максимальная нагрузка, которая может быть
при эксплоатации, а также и возможный Динамический харак-
характер ее приложения. Плотины рассчитывают на давление, оказы-
оказываемое водой. В электрических машинах доминирующими ока-
оказываются магнитные силы; в быстро вращающихся частях ма-
машин главную роль играют центробежные силы; в системе уп-
управления (самоле^ч) принимаются во внимание максималь-
максимальные силы, которые могут быть приложены руками или ногами
летчика.
В большинстве случаев методы определения внешних на-
нагрузок для разных сооружений достаточно разработаны в соот-
соответствующих областях инженерной техники. Для определения
внешних нагрузок на самолет существуют специально создан-
созданные для этой цели, военные или гражданские нормы, где эти
нагрузки достаточно детализированы на основании аэродина-
аэродинамических расчетов, летных испытаний и испытаний в аэродина-
аэродинамических трубах.
Для проектирования сооружений имеются также специаль-
специально узаконенные положения. Для электрических машин нагруз-
Под термином „нагрузка" обыкновенно принято понимать силы, при-
приложенные извне к конструкции, тогда как термин „силы" употребляется
как более общий, который можно отнести как к внешней, так и внутрен-
, силе. (В нашей практике внутренние силы чаще принято называть
Усилиями. Прим. ред.).
ки подсчитываются достаточно точно при помощи соответст-
соответствующих теоретических методов и результатов экспериментов.
Ввиду большого разнообразия в природе внешних нагру-
нагрузок, которые приходится принимать во внимание, детальное
рассмотрение этого вопроса выходит за пределы этой книги.
В дальнейшем мы предполагаем, что величина и расположение
внешних сил известны или, во всяком случае, могут быть опре-
определены, и будем рассматривать только то, как они восприни-
воспринимаются элементами конструкции.
1. 2. Внутренние силы. Определение напряжений в кон-
конструкции (или расчет конструкций) имеет целью выяснить,
как распределяются силы и напряжения по различным ее эле-
элементам. Если основные формы конструкции обусловлены ско-
скорее теми функциями, которые от нее требуются, чем прочно-
прочностью, то расчетчик в большинстве случаев не *может оказать
значительного влияния на распределение в ней материала.
-Круг его обязанностей в этом случае замыкается скорее в оп-
определении внутренних сил и напряжений, возникающих в кон-
конструкции под влиянием внешних нагрузок.
Если обнаруженные расчетом напряжения (оказываются
слишком высокими, то, понятно, для того, чтобы обеспечить
прочность, приходится либо утолщать сечения, либо ставить
'материал с более высокими механическими свойствами. Хотя
в данном случае расчет и является очень важным Для обеспе-
обеспечения безопасности, однако при проектировании конструкций
такого типа он имеет лишь вспомогательное значение. 'Можно
привести несколько примеров из инженерной практики, пояс-
поясняющих сказанное. Например, форма коленчатого еала авто-
автомобильного мотора определяется прежде всего назначением,
которое он имеет как часть мотора. (Инженер-расчетчик ни-
никогда в жизни не выбрал бы деталь с таким сложным распо-
расположением материала для передачи крутящего момента!). Од-
Однако и в этом случае можно применить расчет, чтобы опреде-
определить необходимые размеры конструктивных элементов, обес-
обеспечивающие необходимую прочность. С другой стороны, в та-
таком случае, как, например, проектирование моста, инженер-
расчетчик имеет полную возможность расположить материал
так, чтобы он работал наивыгоднейшим образом. Этот тип
инженерных задач можно характеризовать как задачи, свя-
связанные с переносом силы. При этом должна быть создана та-
такая конструкция, которая будет способна переносить силы на
заданное расстояние без чрезмерных деформаций самой кон-
конструкции.
При решении многих конструктивных задач приходится
иметь в виду тот и другой способы подхода к их решению. На-
Например, форма крыла самолета в значительной мере опреде-
определяется аэродинамическими соображениями. Несмотря на это,
•проектировщик имеет сравнительно широкие возможности для
Ю
того, чтобы, не выходя из указанных габаритов, распределить
материал по конструкции так, чтобы она, будучи способна
нести необходимые нагрузки, ib to же время оказалась наибо-
наиболее легкой. В действительности для самолета .вопросы веса
настолько важны, что иногда в угоду рационально созданной
конструкции приходится поступаться некоторыми вопросами,
связанными с аэродинамикой, комфортом и простотой конст-
конструкции.
Подводя итоги сказанному выше по поводу расчета, мож
но наметить как бы два пути решения инженерных задач:
а) определение напряжений в осуществленной конструк-
конструкции под влиянием известных внешних сил (проверочный ра-
расчет);
б) проектирование конструкции, удовлетворяющей специ-
специфическому назначению передавать известные силы на опреде-
определенные расстояния (расчет при проектировании).
Несмотря на то, что и в том, и в другом случае основные
принципы расчета остаются одинаковыми, применение их в
этих двух случаях имеет существенные различия. Обычно пи-
пишут больше о методах проведения проверочных расчетов, од-
однако ib этой книге уделено больше внимания проектировочному
расчету, при выполнении которого обращается главное внима-
внимание на течение сил в конструкции, что часто интересно и по-
полезно для конструктора.
При проектировании аэроплана особенно важно, чтобы с
самого начала были выбраны правильные конструктивные
формы, обеспечивающие более рациональное распределение
внутренних сил.
1. 3. Механические ? свойства (прочность) материалов.
Независимо от того, делается проверочный или проектиро-
проектировочный расчет, конструктор обычно стремится иметь ответ на
'один или несколько (из следующих -вопросов, характеризую-
характеризующих поведение конструкции:
а) величина деформации конструкции при различных ве-
величинах расчетной нагрузки;
б) -величина нагрузки, при которой начинают появляться
остающиеся деформации;
в) максимальная нагрузка, которую способна выдержать
конструкция, или так называемая разрушающая нагрузка;
г) величина нагрузки, при которой наступает потеря устой-
устойчивости в некоторых элементах (особенный интерес это имеет
в авиационных конструкциях).
В зависимости от характера рассматриваемой конструкции
некоторые из этих пунктов приобретают особо важное значе-
значение или наоборот, вовсе не представляют интереса. Обычно
прежде всего представляет интерес определение величины
Разрушающей нагрузки (п. «в»). Однако, если выступают на
и
первый план вопросы жесткости, то прочность может и не
оказаться решающим фактором.
В тяжелом машиностроении потеря устойчивости отдель-
отдельными элементами обычно вовсе не имеет места, однако в аэро-
планных конструкциях она играет большую рать ввиду того,
что в этих конструкциях применяются элементы с относитель-
относительно малой жесткостью и тонкие листовые 'материалы.
В некоторых специальных случаях бывает весьма желатель-
желательно, а иногда и необходимо, знать:
а) влияние повторных напряжений;
б) сопротивляемость динамическим нагрузкам;
в) влияние высоких и низких температур;
г) влияние длительных больших нагрузок.
Поведение 'Материала, подверженного различным условиям
нагружения, изучается в курсе сопротивления материалов. Сю-
Сюда входит изучение механических свойств самих материалов и
методика определений напряжений.
Изложение вопросов механических свойств материалов ав-
автор считает целесообразным отложить, пока не будут усвоены
основные принципы передачи сил элементами конструкции.
Следует отметить, что инженеру-конструктору из механических
свойств материалов в первую очередь необходимо знать соот-
соотношения между напряжением и деформацией, так как это ха-
характеризует поведение материала под нагрузкой. Диаграммы
напряжения по деформации дают полное представление об
этом и являются для инженера-конструктора одной из наибо-
наиболее важных характеристик.
1. 4. Запас прочности. Термин «запас прочности» можно
трактовать различно. Часто максимально возможную эксплоа-
тационную нагрузку множат на соответствующий коэфициент
безопасности, и полученная таким образом расчетная нагрузка
служит для сравнения с ней прочности конструкции. Так обыч-
обычно принято поступать в самолетостроении. В других областях
инженерной практики более принято делить временное сопро-
сопротивление материалов на коэфициент безопасности и опериро-
еать с полученными таким образом допускаемыми или дейст-
действующими напряжениями. Запас прочности сверх необходимой,
имеющейся >в конструкции, иногда называют избытком проч-
прочности.
Инженер-конструктор должен хорошо знать терминологию,
принятую в области, в которой он работает, так как иначе могут
быть досадные ошибки в толковании таких терминов, как за-
запас прочности, допускаемые напряжения и избытрк прочности.
Чтобы избежать недоразумений, расчет и проектирование
автор излагает исходя из действительного поведения конструк-
конструкции под нагрузкой, так как в дальнейшем всегда можно сраз-
12
нить этот способ расчета с результатами расчетов при любом
понимании коэфициента безопасности и действующих напря-
напряжений. Другими словами, в этой книге мы избегаем примене-
применения фиктивных допускаемых напряжений, полученных путем
более или менее произвольного снижения напряжений, соот-
соответствующих пределам текучести или временному сопротивле-
сопротивлению, как это иногда делается.
Г Л Л В А 2
силы и моменты
2. 1. Обозначение сил. Хотя силу видеть нельзя, а можно
видеть лишь ее действие, принято обозначать силы при помощи
векторов или «стрелок». Этот способ может представить из-
известные затруднения, когда силы действуют в пространстве (в
О
Масштаб -.1см = 100Кг
1
,/
Фиг. 1. Изображение силы посредством вектора.
трех измерениях), так как в распоряжении имеется лишь пло-
плоская (двухразмерная) бумага. Поэтому более целесообразно
сначала рассмотреть силы, действующие на плоскости — для
плоских систем и уже после перейти к системам пространст-
пространственным. Для каждой системы необходимо установить оси коор-
координат, а также 'выбрать единицы измерений для длин, величин
п направлений сил. Эти величины можно выбрать произвольно.
В этой книге за единицы измерений для длин приняты санти-
сантиметры (или метры), а для сил— килограммы (или тонны).
На фиг. 1 изображена сила, лежащая в плоскости черте-
чертежа. Точка приложения силы А определяется координатами
этой точки zA и хА (здесь z и х направлены соответственно
вертикально и горизонтально).
14
Можно было бы применить и любые другие системы обоз-
обозначений1.
Необходимо установить положительное и
отрицательное направления осей координат
и не менять их на протяжении всей данной
задачи.
Так, на фиг. 1 расстояния, измеренные от начала координат
по положительным направлениям осей Z и X, считаются по-
положительными. Измерения в противоположном направлении-
будут, естественно, отрицательными.
Направление силы показано нелосредст»венно при по-
помощи ее вектора со стрелкой. Желательно вектор силы распо-
располагать так, чтобы его начало совпадало с точкой приложения
силы (а стрелка была (Вне точки). Однако это необходимо соб-
соблюдать строго лишь в случае графического сложения сил ^(см.
§ 2. 5). Противоположное расположение векторов сил принято-
при обозначении сжимающих сил, действующих на стойку, или
нагрузок на балки.
На фиг. 1 величина силы в 500 кг представлена длиною век-
вектора в 5 см, что соответствует масштабу сил, при котором 1 см
чертежа условно равен 100 кг.
2. 2. Компоненты. Несмотря на то, что обозначение силы
вектором дает сразу и величину и направление силы, иногда
такое обозначение оказывает-
оказывается неудобным. Величину силы
можно обозначить при помо-
помощи числа, положим, Р=500 кг.
Направление силы может быть
задано углом между нею и
направлением одной из при-
принятых осей координат (угол
а на фиг. 1), но можно за-
задать силу и при помощи раз-
разложения ее на так называе-
называемые компоненты. Это изо-
изображено на фиг. 2, на которой
сила Р представлена
иг. 2. Изображение силы при по-
помощи компонентов.
в виде
компонентов: Pz и Р
Эти компоненты представляют
как бы то действие, которое заданная сила оказывает соответ-
соответственно по осям г и х.
ось
бых
В
л спосо6 обозначений не является общепринятым. Часто приме-
УКВЫ ° индексами* Индексы могут обозначать как точку, так и-
условия нагРУжения и; т. п. Рекомендуется придерживаться лю-
посто„янных обозначений на протяжении каждой отдельной задачи.
фШ0И пРактике не установилось какого-либо определенного набора
вопросов' постоянного Для всех частей аэроплана. Но при рассмотрении
какой u«*PiaC4eTa' ?вязанных> например, с крылом, следует придерживаться-
"иоудь одной постоянной системы обозначений.
15,
О
На фиг. 2 действие силы P=5G0 кг, изображенной на фиг 1,
эквивалентно одновременному приложению сил Р =250 кг и
Р =332 кг.
Легко определить компоненты силы или, наоборот, опре-
определить силу по заданным компонентам можно либо графи-
графически, либо аналитически. Компоненты всегда являются проек-
проекциями вектора силы на некоторые новые линии (прямые), по
которым они действуют (на фиг. 2 за такие линии выбраны
прямые, параллельные осям г и х). Если оси, по которым
взяты компоненты, образуют между собой прямой угол, то
компоненты силы можно легко найти при помощи умножения
¦заданной силы на косинусы углов, которые она образует с на-
направлением выбранных компонентов. Таким образом на фиг. 2
величина компонентов выражена следующими формулами:
Р=Р. cos а. [
B.1)
Часто удобнее иметь дело только с одним углом. Это легко
сделать, вспомнив соотношение между синусом и косинусом,
что даст выражения:
Я=Р.since, |
или иначе
BЛа)
Р=Р.sin3.
\
Подобные обозначения постоянно применяются в расчетах
на прочность. За исключением немногих специальных случаев,
эти тригонометрические соотношения охватывают, пожалуй,
все случаи, которые приходится применять в большинстве ра-
расчетов из тригонометрии.
2. 3. Правила знаков. При обозначении сил числовым
способом (вместо векториального) оказывается необходимым
ввести некоторые правила для определения направлений сил.
Для этой цели обычно применяют обозначения, подобные тому,
как это было намечено для расстояний. Положительными ( + )
считаются силы, идущие в те же стороны, куда идут положи-
положительные оси выбранных координат. Силы обратных направле-
направлений считаются отрицательными (—).
Если, например, за положительные направления осей х и
z (фиг. 2) приняты направления, отмеченные на ник стрел-
стрелками, компоненты Рх и Pz будут тоже положительными. На
фиг. 3 один компонент (Рх) положителен, а другой (пг) отри-
отрицателен. На фиг. 4 точка приложения силы расположена в
области отрицательных координат, но оба компонента имеют
положительные направления.
16
Нетрудно понять, что хотя в процессе расчета действие
каждого компонента рассматривается отдельно, но окончатель-
окончательный результат действия силы на конструкцию будет получен
лишь тогда, когда действия отдельных компонентов будут про-
просуммированы. Отступления от этого необходимого правила
могут привести к большим ошибкам и неверным заключениям.
Z
А
О
¦X
Фиг. 3. Сила с одним отрица-
отрицательным компонентом.
t
-Z
Фиг. 4. Положительные компоненты,
точка приложения которых имеет
отрицательные коордш^ты.
2. 4. Расположение сил в пространстве. В случае, когда
приходится иметь дело с силами, расположенными в простран-
пространстве, ©се предыдущие способы определения сил остаются при-
применимыми, но усложняются вследствие того, что прибавляется
Фиг. 5. Определение силы в пространс
(трехразмерная система).
тве
являРТДр/пОаСЬ ко°Рдинат- Это изображено на фиг. 5, которая
являеТСЯ перспективным рисунком, и размеры по оси У отло-
отложены уже не в том масштабе, как по осям X и Z.
иСЬ Т°ЧКа А опРеДеляется тремя координатами: X Y и 7
нентами силы Р являются силы Pr, Pv и Р
н
ф- Р- Шенли.
я силы Pr, Pv и Р дл,
ЯСНОСТИ пеРспе^ивного (трехсменного) 'рисунка
ы силы можно представить как грани прямоугольно-
17
го параллелепипеда, как изображено на фиг. 5, причем равно-
равнодействующая является его диагональю. При определении ком-
понентов силы на плоскости при помощи косинусов углы, опт
ределяющие наклон силы, измеряют между самой силой и осью
рассматриваемого компонента. (В пространственных системах
непосредственное измерение углов между силой и компонен-
компонентом весьма затруднительно, но косинусы этих углов определя-
определяются как отношения соответствующих длин. В данном случае
их принято называть направляющ и ми косинуса м и»
Этот способ будет изложен ниже.)
2
¦*• X
О
Фиг. 6. Две силы, приложенные
в одной точке.
О
Фиг. 7. Графическое (векторное)
сложение двух сил.
2. 5. Графическое сложение сил. Пусть мы имеем две си-
силы различных .величин я направлений, действующие одновре-
одновременно на одну и ту же точку (фиг. 6); требуется найти их рав-
равнодействующую. Силы можно сложить графически при помо-
помощи «сложения» векторов, изображающих эти силы и вычерчен-
вычерченных в соответствующем масштабе (фиг. 7). При графическом
Фиг. 8. Неправильный способ
сложения векторов.
Фиг. 9. Сложение векторов
по способу параллелограма.
сложении сил необходимо начало последующей силы совме-
совмещать с концом предыдущей, тогда равнодействующая окажет-
окажется вектором, идущим от начала первой силы к концу послед-
последней. На фиг. 7 результирующая сила PR изображена пункти-
poiM. При таком способе сложения сил необходимо придержи-
ваться указанной последовательности. Нарушение этой после-
последовательности, приводящее к ошибке, изображено на фиг. 8.
На фиг. 9 показан обычный способ сложения сил при помо-
помощи параллелограма, стороны которого параллельны заданным-
силам, а диагональ оказывается равнодействующей. Легко ви-
видеть, что этот обычный способ сложения сил при помощи па-
18
раллелограма дает тот же самый результат, что и изложенный
только что способ сложения сил по треугольнику (например
фиг. 7). Сложение сил при помощи параллелограма дает более
ясную физическую картину замены двух сил одной равнодей-
равнодействующей (фиг. 9), тогда как способ сложения по треугольни-
треугольнику позволяет быстрее решить тот же вопрос и приходится про-
проводить меньше линий.
(Ь)
Фиг. Ю. Графическое сложение четырех сил.
Графическое сложение нескольких сил, действующих на
одну и ту же точку, можно легко сделать по способу, изло-
изложенному выше, с той разницей, что вместо треугольника сил
получается многоугольник сил, составленный из последова-
последовательно сложенных сил, в котором замыкающая сторона ока-
оказывается равнодействующей Pr , идущей от начала первой
слагающей к концу последней.
Рассматривая фиг. Ю, нетрудно убедиться, что порядок
сложения сил не влияет на результат, если соблюдено правило
совмещения начала последующей силы с кондом предыдущей.
Действительное расположение сил показано на фиг. 10,а, ко-
которое называется полем сил. На фиг. 10,6 представлено
сложение векторов, изображающих эти силы, называемое
планом сил, или силовым многоугольником, в
котором, как указано выше, замыкаю-
щая сторона показывает величину и на-
правление равнодействующей силы РR.
Если в результате сложения сил
многоугольник замыкается, т. е. конец
последней силы совпадает с началом
первой, то очевидно, что равнодей-
равнодействующая оказывается равной нулю.
ото свойство- силового многоугольника
позволяет применять его для провер-
проверки системы сил, которые должны находиться в равнове-
равновесии.
Если несколько сил приложено к разным точкам (А, В, С —
Фиг. И), но их направления пересекаются в общей точке О,
'о их действие на систему будет таким же, как если бы они
2* 19
фиг> и Конкурентные
силы.
\2
p.*
!
A»-'
\
4
\ '
были приложены в "/очке О. Равнодействующая также будет
проходить через ту же точку. Такие силы принято называть
конкурентными1.
Силы, не действующие на одну и ту же точку (или направ-
направления, которые не пересекаются в одной точке), также можно
сложить графически для получения равнодействующей по ве-
величине и направлению. Однако для определения точки прило-
приложения равнодействующей потребуется дополнительное построе-
построение, о котором будет сказано ниже.
Графическое вычитание силы лучше
всего заменить графическим прикладыва ¦
нием той силы, которую нужно вычесть,
изменив ее направление на обратное. Это
по существу аналогично алгебраическому
сложению, в котором знак слагаемого
(+ или —) показывает, увеличивает или
уменьшает данное слагаемое общую вели-
величину.
2. 6. Точка приложения равнодействую-
равнодействующей (графический метод). Как было ска-
сказано выше, если каждая из слагающих сил
проходит через одну общую точку, то и
равнодействующая их проходит через ту
же точку. В этом случае для определения
положения равнодействующей достаточно
проделать графическое сложение, как ука-
указано в § 2. 5. Если же линии действия сил
не пересекаются в одной точке, для опре-
определения точки приложения приходится де-
делать дополнительное построение.
На плане сил можно найти точку при-
приложения при помощи сложения двух сил.
действующих одновременно. На фиг. 12 показано, как это де-
г:лстся. Результирующая дзух любых сил (например, Рг и Р,)
проходит через точку их пересечения (точка А). Таким обра-
образом эти лве силы можно заменить одной, проходящей через
точку их пересечения. На фиг. 12 сила Рг перенесена вдоль
линии ее действия в точку А и к пей приложена также сила Р«,
в результате чего получена равнодействующая Рг, 2. Подобное
построение можно повторить для прикладывания последующих
сил (например, Р3), пока все они не будут сложены. Таким
образом определяется равнодействующая Рх, 2, п не только по
величине и направлению, }\о и по положению. Этот простой
и понятный способ определения положения равнодействующей
может, однако, оказаться практически неудобным, если точки
1 В нашей расчетной практике этот термин не имеет широкого приме-
применения.
Фиг. 12. Графиче-
Графический способ нахожде-
нахождения положения равно-
равнодействующей силы.
пересечения складываемых сил располагаются далеко друг от
.друга. Если же складываемые евды параллельны, то он просто
оказывается неприменимы:!, так как точки пересечения уходит
в бесконечность.
Положение равнодействующей двух параллельных сил мох:-
но получить графически, заменив данные параллельные силы
эквивалентной системой двух пересекающихся сил. Это можно
сделать, приложив графически к данным силам разные и про-
противоположные силы, лежащие на одной прямой. Очевидно, что
приложение этих двух новых сил не повлияет на положение
равнодействующей, как это видно на фиг. 13.
/ \
СУ
Фиг. 13. Равнодействующая параллель-
параллельных сил.
Силы Ро представим действующими на точки А и В по од-
одной прямой, но в противоположных направлениях. Тогда рав-
равнодействующие сил, действующие на точки А и В, пересекутся
в точке С, через которую пройдет общая результирующая. Ве-
Величину ее и направление можно определить непосредственно
графическим сложением сил Рх и Р3. Обычно это делают при
помощи силового многоугольника (как изложено в § 2. 5), ко-
который в данном случае обращается в прямую линию (фиг. 13,Ь).
Приложение двух сил Ро аналогично приложению к правой и
левой частям алгебраического равенства двух равных величин,
отчего равенство, как известно, не нарушается. При графиче-
графическом сложении, однако, нужно, чтобы прикладываемые силы
были не только равны и противоположны, но, кроме того, ле-
лежали на одной прямой. В противном случае будет приложена
пара сил, которая, понятно, изменит и равнодействующую
системы (см. § 2. 13).
Такое построение можно сделать при помощи только ли-
линий действия сил, а не обязательно на действительных точках
их приложения. На фиг. 14,а линия X—X есть произвольная
прямая, пересекающая направления сил Рг ,и Р3, из точках пере-
пересечения которой с этими направлениями (М и N) и приложены
Равные и противоположные силы Ро. Линии действия (направ-
(направления) равнодействующих Р/ и Р/ найдены при помощи сило-
Г
-фямой
X—X (фиг. 14,с).
'\
Р,
x~JS.
\
К
,-?o
/Г, I
Л
(а)
(Ь)
J Г- "^ ••'.
У f ?
/
/'
(с)
\
\
I/
Фиг. 14. Веревочный многоугольник и его отдельные
элементы,
На силовых треугольниках силы Р2 и Л> сложена- г
последовательности. На фиг. 14,d эти два треугольн
щены, чтобы дать окончательный очень простой силовой много-
многоугольник, который является силовым многоугольником для за-
заданных сил Рг, Р2 и двух противоположных сил Ро.
На практике всех указанных промежуточных построении
обычно не делают, что приводит к построению, изображенному
фиг. 15, из которого видно, что этот способ 'можно применять
для случая непараллельных сил. Сначала построен силовой
многоугольник для сил Рг и Р.,
как указано на фиг. 15,-ъ. Затем
произвольно выбрана точка О,
которая как бы представляет
результат приложения силы Р,
к силе Рх и «вычитание» той жо
силы из силы Р2. Затем точка О
соединена с концами силового
многоугольника. Прямая X—X,
параллельная силам Ро много-
многоугольника сил, проведена в по-
ле сил до пересечения с направ-
направлением сил Рг и Р, и предстаз-
ляет линию действия сил Р,..
Через точки пересечения М и N
проведены прямые, параллельные
крайним лучам силового многоугольника, проходящим через
течку О. Их пересечение определяет точку С. Равнодействую-
Равнодействующая сила Рп, уже найденная в силовом многоугольнике, про-
проходит через эту точку. Треугольник MNC на фиг. 15 принято
называть веревочным многоугольником.
р.
ч \
N
Фиг. 15. Определение равнодей-
равнодействующей непараллельныхеил спо-
способом веревочного многоуголь-
многоугольника.
(а)
Термин «веревочный многоугольник» принят на том осно-
основании, что прямые, из которых он составлен, образуют ту фи-
фигуру, какую приняла бы расположенная между точками
М, N, С веревка (или нить) под действием заданной системы
сил (на фиг. 15 силы Ри Р2 и Ро нужно было бы повернуть ®
обратную сторону для того, чтобы все стороны веревочного
многоугольника были растянуты).
Точка О на фиг. 15,Ь называется полюсом, а прямые,
проходящие через нее, лучами.
2. 7. Обозначения по правилу Бау1. Прежде чем перейти
к изложению построения силового многоугольника для многих
сил, целесообразно ознако-
ознакомиться с обозначением его эле-
элементов по способу Бау. Этот
способ обыкновенно приме-
применяется при графическом реше-
решении ферм. Он позволяет избе-
избежать простановки стрелок на
силовом многоугольнике и Фиг. ig. Обозначение по способу
устанавливает связь между Бау.
обозначением сил на поле сил
й соответствующих им векторов на силовом многоугольнике.
Способ Бау опирается на два основных правила:
а) На силовом многоугольнике каждый вектор обозначает-
обозначается двумя заглавными буквами, поставленными у его концов.
Направление вектора определяется последовательностью букв
в алфавитном порядке.
б) Последовательность приложения сил на плане сил отме-
отмечается малыми буквами также в алфавитном порядке.
Так, на фиг. 16,а малые буквы расставлены между силами
в порядке обхода по часовой стрелке. На силовом многоуголь-
многоугольнике (фиг. 16,Ь) или з плане сил направление сил отмечено со-
соответственной последовательностью заглавных букв. Для соб-
соблюдения этой последовательности необходимо, чтобы обозна-
обозначения сил на поле сил были сделаны также в алфавитном по-
порядке. Например, сила, действующая между а и Ь, обозначена
вектором АВ как сила, действующая в направлении от А к В.
Чтобы избежать ошибок, буквенные обозначения на плане
сил можно ставить по обоим краям вектора силы, как изобра-
изображено для силы АВ на фиг. 16,а.
2. 8. Равнодействующая нескольких сил (веревочный и
силовой многоугольники). Веревочный многоугольник можно
применять и в случае многих сил при помощи приложения не-
нескольких групп равных и противоположных сил, необходимых
Для вычерчивания силового многоугольника.
У нас более принято произносить «Боок Прим. ред.
23
Так на <frir 17 силовой многоугольник построен для сил
AR ВС CdVhx равнодействующей AD. Из произвольной точ-
kVo пооведены, как указано, лучи. Из произвольной точки на-
линии действия силы АВ проведена прямая Ьо параллельная
-мне ОБ до пересечения с направлением силы Ьс. Прямая со
проведена из этой точки параллельно вектору СО до пересече-
пересечения с направлением силы cd. Прямые ао и йо проведены п*р*л-
чельно векторам АО и DO и точка их пересечения есть точка,
ч-рез которую проходит равнодействующая.
о | d
Линии v. S
веревзчноги мно-^ч/
гсьгольникАJv
Is
г
Фиг. 17. Версгочный многоугольник для многих сил.
Физический смысл указанных операций можно объяснить,
рассматривая каждый треугольник, образованный лучами, как
результат приложения двух равных и противоположных сил
к двум смежным силам, как это было рассмотрено выше. В ре-
результате построения силового многоугольника заданная систе-
'ма сил как бы заменяется двумя эквивалентными силами (АО
к DO), направления которых позволяют найти точку, через ко-
которую проходит равнодействующая. Промежуточные лучи со-
соответствуют приложению ряда равных и противоположных
сил, а полученный на поле сил веревочный многоугольник имеет
то же значение, что и выше.
Следует отметить, что система всех сил, нанесенная на пла-
плане сил (фиг. 17), неуравновешена, так как здесь мы искали
равнодействующую сил, а не уравновешивающую (реакцию).
Для того чтобы найти уравновешивающую, надо лишь изме-
изменить направление равнодействующей на обратное, иначе гово-
говоря, по силовому 'многоугольнику вместо вектора AD нужно
взять вектор DA, вследствие чего и на поле сил получим силу,
обратную равнодействующей (см. гл. IV, в которой изложены
дальнейшие сведения по определению реакций).
2. 9. Аналитический способ сложения сил. Силы, которые
действуют вдоль одной и той же оси или параллельно друг
другу, (можно сложить алгебраически. Для более общего слу-
случая, изображенного на фиг. 18 (непараллельные силы), необ-
необходимо силы разложить так, чтобы их компоненты оказались
параллельными. Эти последние, будучи сложенными, дадут
компоненты результирующей силы (любые системы координат
пригодны для этой операции, но, попятно, надо алгебраически
складывать лишь компоненты, параллельные друг Другу).
Фиг. 18. Аналитическое
сложение двух сил.
Фиг. 19. Равнодействующая сил,
показанных на фиг. 18.
_На фиг. 18 показано, как сложить силы Рх и Р2. Это удобно
делать в табличной форме.
Сила
Компонент но оси А': Компонент по оси Z
Р,
+210
+ 450
+400
-190
Сумма
-660
+ 210
• Результирующая PR задается здесь в виде компонентов
^«== + 660 и Рг=-]-210, как показано на фиг. 19. В случае
прямоугольных координат1 истинную величину равнодейст-
равнодействующей аналитически легко определить при помощи известной
формулы
По фиг. 19
р
г
/ D-
P2
394.
Направление равнодействующей можно определить по ве-
ине ее компонентов. Так, например, угол равнодействую-
Декартозы координаты, оси которых взаимно перпендикулярны.
24
шей по отношению к оси X можно получить по одной из сле-
следующих формул:
А.=?1?=0>318,
Рх 660
tga
ИЛИ
пли
Р
Р
660
94
sinx
откуда а = 17°40\
Фиг. 18 и 19 приведены только для объяснения способа ана-
аналитического сложения, которое можно выполнить, не приме-
применяя графики.
При расположении сил в пространстве (трехосные коорди-
координаты) 1.можно применить тот же самый способ, который будет
несколько осложнен необходимостью введения третьего компо-
компонента (в данном случае компонент по осп У). Уравнение 2. 2
теперь принимает вид:
п~ — -/"РмГрЦ-"^.. B. 2а)
Предположим, что силы, данные в предыдущем примере,
имели еще компоненты по оси У. Вся операция по определе-
определению равнодействующей от предыдущей отличалась бы лишь
-тем, что появился бы третий компонент.
Сила
Компонент Компонент
по оси X по оси Z
Компонент
по оси У
г 600
P
R
.916.
*
Графическое изображение такого сложения можно лре
как результат трех сил, действующих н* одну и ту ж
ж*»».
направляющих косинусов
Рг
Р" >
1 R
JL И
R
РГ
ъ
I
90'
в
Фиг. 20. Момент силы.
Для случая сил, расположенных © пространстве, наиболее
удобно пользоваться аналитическим методом, тогда как для
сил, лежащих в одной плоскости, быстрее и нагляднее пользо-
пользоваться графическим приемом (однако существуют способы
для графического определения сил и в случае пространствен-
пространственных задач). Как и в случае графического сложения, аналити-
аналитически 1могут быть сложены также и силы, не действующие на
-одну и ту же точку, однако для определения точки, через ко-
которую пройдет равнодействующая, этот способ ответа дать не
может. Как найти эту точку аналитически будет указано
дальше.
2. 10. Моменты. Несмотря на то, что в теории конструк-
конструкций постоянно употребляется термин «момент» (изгибающий
момент, крутящий момент, эпюра мо-
моментов и т. п.), надо ясно представ-
представлять, что при рассмотрении конструк-
конструкции термин «момент» практически
нельзя рассматривать независимо от
сил. Эффект действия силы по отно-
отношению к некоторой точке простран-
пространства принято обозначать символом,
имеющим особое количественное зна-
значение. Если рассматриваемая точка не
лежит на линии действия силы, то
такая сила всегда будет иметь тен-
тенденцию вызывать некоторое вращение вокруг этой точки.
Величина этого ©ращения будет прямо пропорциональна вели-
величине силы (обозначенной Р) и расстоянию, которое определяет
величину 'вращающего эффекта. На фиг. 20 изображена сила
Р, действующая на расстояние d от точки А. Тенденция враще-
вращения вокруг точки Л будет, следовательно, пропорциональна
силе Р и плечу d и ее можно характеризовать величиной про-
произведения Pd. Эта особая единица измерения (сила, умножен-
умноженная на расстояние) применяется для измерения вращательного
эффекта или момента, вызываемого силой. Точнее говоря,
можно было бы различать термины «вращающий момент»,
«изгибающий момент», которые определяли бы характер дей-
действия силы. В расчетной практике часто можно ограничиться
лишь общим понятием «момент силы».
Плечо, определяющее момент силы, есть перпендикуляр,
'Опущенный из точки, относительно которой измеряется мо-
момент, на линию действия силы (фиг. 20). Такое определение
сплеча будет всегда безошибочным, где бы ни была приложена
сила. На фиг. 20 было бы неверна принять за плечо расстояние
^ежду точками Л и Б, хотя сила и была бы приложена непос-
непосредственно к точке В.
Можно определить момент от силы и другим способом, раз-
жив силу на два компонента, один из которых направить
27
по линии соединяющей точки А и В, а другой направить по
нормали к прямой ЛВ (фиг. 21). Компонент К, идущий по
прямой АВ, очевидно, не даст момента относительно точки Л
нРмомент заданной силы Р относительно точки Л будет равен
произведению Pud. , _..АиЯ
Рассматривая полученное выражение момента Рпа, з*меча
ем что оно представляет произведение двух величин различ-
различных измерений: силы и расстояния. Очевидно, что мо-
момент юн же самой величины можно получить путем р*злич-
ных комбинаций силы и расстояний. Например, каждая из
двух ^ изображенных на фиг. 22, дает относительно точки
А момеи одинаковой величины, так как сила Р2 -вдвое меньше
силы Ри но действует на вдвое большем расстоянии [й^-гйгу
Фиг. 21. Определение момента
по компонентам.
Фиг. 22. Эквивалентные
моменты.
Для измерения величины момента в механике установлены
особые единицы измерения, содержащие одновременно раз-
размерность силы и расстояния. В расчетной практике за едини-
единицу измерения момента принимают в большинстве случаев ли-
либо к и л о г р а м iM о с а н т и м е т р, либо килограммо-
килограммометр.
2. 11. Вектор момента. Часто бывает удобно или необхо-
необходимо изображать момент графически при помощи вектора,
длина которого равна в некотором масштабе величине .момен-
.момента, а направление совпадает с осью, относительно которой ом
действует. Знак момента, показывающий в какую сторону он
вызывает вращение, отмечается обыкновенно стрелкой. Для
связи ме:кду направлением стрелки и направлением вращении
удобно пользоваться правилом «правой» или «левой руки»
(если большой палец направить по стрелке, то направление-
пальцев совпадает с направлением вращения). Так, например,
если принять правило «левей руки», то направление момента
по часовой стрелке следовало бы обозначить вектором, перпен-
перпендикулярным к циферблату часов и направленным к зрителю,
смотрящему на эти часы. Если принять правило «правой ру-
руки», то направление вектора, изображающего вращение в ту
же сторону по часозой стрелке, было бы обратным. Длл того
чтобы не спутать вектор силы с вектором момента, на послед-
последнем часто ставят две стрелки, как изображено на фиг. 23.
Кривая стрелка, изображенная на этой фигуре для того, чтобы
объяснить принятое правило «левой руки», в расчетной прак-
практике обыкновенно не употребляется.
Когда ось момента перпендикулярна плоскости чертежа,
изобразить момент вектором невозможно, так как последний
обращается >в точку. В этом случае момент можно изобразить
кривой стрелкой, как показано на фиг. 24, которая укажет его
направление, а величину можно отметить численно.
кгем
Фиг. 24. Момент на плоскости.
Фиг. 23. Вектор момента.
и
Вращающие моменты часто представляют себе как стрем-
стремление к вращению в какой-то плоскости. Плоскость вра-
вращения определяется при помощи оси вращения, к ко-
которой она перпендикулярна. Вообще для изображения эффек-
эффекта вращающих моментов можно пользоваться как той, так и
другой системой обозначения. Однако система обозначения
при помощи плоскости неудобна ни для графического ни для
аналитического решения, тогда как обозначение при помощи
оси значительно удобнее.
2. 12. Сложение векторов моментов. Основное преимуще-
преимущество применения векторов момента осевого типа заключается в
том, что с ним можно действо-
действовать так же, как и с некто-
ром силы. Так, например, эф-
эффект двух отдельных враще-
вращений можно сложить векторно t
и получить один результирую-
результирующий эффект. Все правила, дан-
данные выше для сложения, вы-
вычитания и "других аналитиче-
аналитических действий с силами и век-
векторами сил, можно применять
и для вектороз моментов, с
тем лишь исключением, что векторы моментов мож-
можно складывать графически независимо от их
точки приложения (это потому, что точка приложения
оказывает никакого влияния на результирующий момент,
это объяснено ниже).
Например, допустим, что на фиг. 25 в точке А существуют
вращающих момента относительно различных осей.
Длины 1векторов Мг и М2 сделать поопорциональнымч
29
Фиг. 25. Сложение векторов
моментов.
не
28
этим вращающим моментам, то окончательный эффект будет
показан результирующим вектором /W# , который быт получен
сложением векторов Мг и М2 графически. Новая ось вращения
будет также показана направлением Mr.
2. 13. Пары сил. Вращающие моменты часто изображают
посредством пары сил. Особенность пары сил состоит в том,
что применение двух параллельных противоположно направ-
направленных сил совершенно исключает непосредственное
действие сил, оставляя только вращающее действие. Так, из
Фиг. '26. Пара сил.
Фиг. 27. Одна слагающая
пары.
фиг. 26 равные силы, действующие во взаимно противополож-
противоположных направлениях и отстоящие друг от друга на расстоянии L,
представляют чистый вращающий момент Р1. Применение
только одной силы, как это показано на фиг. 27, дает вра-
вращающий 'момент (относительно точки Л) точно такой же вели-
величины, но в этом случае необходимо учитывать и непосред-
непосредственное действие силы Р.
Это можно пояснить на простом примере, показанном на
фиг. 28, где изображен обычный штурвал самолета. Нз
фиг. 28,а вращающий момент,
создаваемый пилотом, равен
РгО (где D — диаметр штурва-
штурвала). Заметьте, что в вертикаль-
вертикальной стойке непосредственно ни-
никакой силы не возникает. На
фиг. 28,b момент относительно
оси штурвала равен P.2R
(где R — радиус) и, следова-
следовательно, имеет ту же величину,
что и на фиг. 28,а (так как
Р2 = 2Р1 и D = 2R). Однако на
фиг. 28,Ь вертикальная стойка
должна воспринять или «передать» непосредственно всю си-
силу P2t как это указано реакцией Pi? (реакция момента .не*
показана).
2, 14. Эффект систем сил. Поскольку инженера-конструк-
инженера-конструктора обычно больше интересует действие сил, чем сами силы,,
то полезно знать, при каких условиях различные системы сил;
30
Фиг. 28. Сравнение момент одной
и той же величины, полученного
от пары и от одной силы.
оказывают одинаковое действие. Пренебрегая условиями «мест-
«местного характера в точке приложения, идожно установить сле-
следующие общие положения:
а) Силы одинаковой величины и одного и того же направле-
направления будут оказывать одинаковое действие, если они будут при-
приложены где-то по одной и той же линии действия.
Это показано на фиг. 29. Общее действие на тело будет одним
Фиг. 29. Эквивалентность сил.
Фиг. 30. Эквивалентные системы
сил.
и тем же как на фиг. 29,а, так и на фиг. 29,Ь. Поэтому в
счете на прочность можно перемещать силу из одной точки в
другую, не меняя ее действия, при условии, если такое переме-
перемещение происходит вдоль линии действия силы.
б) Общее действие силы отно-
относительно некоторой точки, которая
не лежит на линии действия силы,
может быть представлено^ самой си-
силой плюс момент, равный вращаю-
вращающему действию силы относительно
Данной точки. На фиг. 30 .показаны
Две системы сил, которые оказы-
оказывают одно и то же общее действие
на тело.
в) Моменты (пары сил) будут
оказывать одно и то же общее дей-
действие, независимо ОТ ТОТО, где ОНИ фнг. 31. Эквивалентные момен-
прнложены. Это значит, что пару
сил можно переносить в любую
Точ
ты (пары сил).
при условии, что величина момента и направление era
не меняются. Это показано и а фиг. 31, где моменты пред-.
ставлены в виде пар. Как на фиг. 31,а, так и на фиг. 31,Ъ
3!
тенденция к вращению будет одной и той же, хотя условия на-
¦гружения самих балок (местные условия) и будут различными.
На первый взгляд, адожет быть, трудно представить себе,
что пара сил дает один и тот же эффект, независимо от то-
того, где она приложена. Это можно еще пояснить на примере,
показанном на фиг. 32. Здесь действие на штурвал как на
фиг. 32,а, так и на фиг. 32,Ь одно и то же, хотя вращающий
момент на фиг. 32,Ь непосред-
непосредственно к колесу и не приложен.
Примечание. Вышеизложен-
Вышеизложенные положения применимы к неиз-
неизменяемым системам или к кон-
конструкциям, а не к изменяемым,
которые называются механизмами.
Очевидно, что вращающий момент
при передаче можно менять по ве-
величине посредством применения
шкивов, шестерен и других меха-
механических приспособлений.
Положения, на основании ко-
которых устанавливается эквива-
эквивалентность систем сил, имеют
большое значение при вычисле-
вычислении реакций или при расчете
определенной части конструкции,
позволяя не делать полного рас-
Фиг. 32. Эквивалентные моменты
на рулевом колесе.
чета всей конструкции. Эти положения также часто применя-
применяются и при проведении испытаний конструкций, так как они
позволяют пользоваться простым случаем нагружения вместо
сложного.
2. 15. Силы, действующие не в одной и той же точке
(неконкурентные). Пользуясь вышеупомянутыми приемами,
можно определить воздействие (или «чистое действие» силы)
на данный участок любой системы сил, при условии, конечно,
что величина, направление и положение сил известны (поло-
(положение можно задавать только линией действия, т. е.
при определении «чистого действия» необязательно знать точ-
точку приложения). Операция заключается просто в сложении
всех сил (графически или аналитически) и затем в сложении
вращающих моментов сил относительно рассматриваемой точ-
точки. Окончательный результат будет содержать одну резуль-
результирующую силу и один результирующий м о
ч е н т, действующие в точке, относительно которой произво-
производится суммирование, или же он может быть выражен в форме
компонентов этих результирующих.
Если все силы действуют в одной и той же плоскости, то*
расчет получается довольно простым. При аналитическом ме-
методе определяют и складывают компоненты сил по двум 'выб-
'выбранным осям, как это описано в § 9. Обычно удобнее опреде-
определять вращающие моменты этих компонентов, чем момент са-
32
мих сил, так как каждый компонент перпендикулярен к одной
из выбранных осей.
Например, допустим, что желательно знать для точки О
эффект действия сил приложенных к точкам А, В, С и D на
зндков
i 1 единица =2 см. =W hz.
Фиг. 33. Система сил относительно точки О.
фиг. 33. Составляют таблицу, как это показано ниже, пользу-
пользуясь системой единиц кгем.
Таблица 1
Суммирование сил, действующих не в одной точке
Точка
А
В
с
D
Координаты
X i Z
8
22
18
-12
18
10
-6
12
Р
¦jo ,U
35,6
40,0
28,2
Силы
Px
4-35
-f40
-20
+ 77
Pz
I o
—28
0
—20
-33
Моменты
Pxz
4-630
4-220
-2^!0
—240
4-370
Pzx
-120
+616
0
-240
H-256
P;
Я^=+77.
pR = 1^G7р+^=33)|=83,8 л-г.
Жо=+370 + 256=+626 кгсл*.
(Эти значения показаны на фиг. 34.)
Сравнивая табл. 1 с таблицей в § 2. 9, можно видеть, что
Дополнительные колонки введены для определения моментов
компонентов сил относительно точки О. В две колонки вписы-
3 ф- Р. Шенли. 33
z
Mo,
-626 кг см
Еают значения плеч от этих компонентов, которые равны коор-
координатам точек, в которых компоненты действуют. Все моменты
от компонентов складывают алгебраически для определения
результирующего момента в точке О (алгебраическое сложе-
сложение допустимо, потому что векторы моментов параллельны, по-
поскольку все силы находятся б одной плоскости).
При этом необходимо устано-
установить определенное правило знаков
для вращающих моментов и быть
уверенным, что каждое значение
момента, вошедшее в таблицу,,
имеет соответствующий знак. В слу-
чае плоскостной задачи, как, напри-
меР' показанной на фиг. 33, это
можно делать без установления
Фиг. 34. Результирующая сил, правила знаков, а пользоваться не-
непредставленных на фиг. зо. ПОСредСТвен:но чертежом. Если при-
принять за положительные моменты
вращающие по часовой стрелке (показано кривой стрелкой) ,
момент силы Р rz относительно точки О будет отрицательным.
Поэтому значенье для Р2х для точки а показано в таблице
отрицательным.
2. 16. Общая система. Можно установить систему знаков
так, чтобы алгебраическое произведение сил и расстояний ав-
автоматически давало соответствующие знаки для моментов,
делая таким образом излишним определение знака момента
зрительным путем. Такая1 система показана на фиг. 35. При
этой системе положительные значения как для силы, так и Для
расстояния дадут положительные значения Для вращающего
'момента. Поэтому все случаи здесь охватываются автомати-
автоматически правильным соблюдением зна-
знаков -при перемножении сил и расстоя-
расстояний.
Однако в общем случае не всегда
удобно придерживаться такой систе-
системы координат. Например, в самолето- -х
строении силы считают направленны-
направленными кверху, как изображено на фиг. 33,
Изменить это правильное изображе-
изображение только лишь для того, чтобы по-
получить соответствие между знаками ^
сил, расстояний и моментов, было бы Фиг* Зо' Система знаков-
довольно неудобно. Однако можно лю-
любиться известной автоматичности в знаках при помощи следую-
следующей схемы.
Принимаем, согласно фиг. 33, положительные значения для
силы по оси г и ее плеча х. Это дает силу, действующую кверху*
34
а плечо момента, расположенное направо от точки О, и мо-
моей ент, действующий против часовой стрелки.
Тогда момент Р.х будет отрицательным (в соответствии с
правилом моментов, представленным на фиг. 33). Для того
чтобы это учесть при расчетах в табличной форме, достаточно
в последней колонке табл. 1 перед выражением Р.х поставить
знак минус. Тогда при заполнении таблицы, знак момента бу-
будет автоматически определяться как алгебраическое произве-
произведение сил и плеч с учетом их знаков. Например, для точки D
ПОЛУЧИЛИ бы
p
12)
¦240
Момент, полученный от положительной силы х и положи-
положительного плеча z, будет при этом положительным, т. е. соответ-
соответствовать принятому правилу знаков; поэтому в колонке для
выражения h'zx знака менять не нужно.
Таким образом, если таблица составлена в соответствии с
этими указаниями, то нет необходимости следить по чертежу
за расположением сил для того, чтобы приписать моментам
правильные знаки. Однако все же желательно во избежание
ошибок, составив таблицу, проверить для нескольких комбина-
комбинаций сил и плеч, соответствует ли принятое в таблице оправило
знаков фактическому направлению моментов. Такой общий
алгебраический метод обращения со знаками не только удо-
удобен, но бывает иногда и совершенно необходим, если вся зада-
задача о силах решается аналитически. В этом случае задачи мож-
можно решать в общем виде для положительных сил и расстояний,
и любой частный случай получится путем подстановки значе-
значения величин с их знаками.
2. 17. Положение равнодействующей силы. В предыдущею
примере (фиг. 33 и 34) в результате суммирования всех сил
была получена равнодействующая, проходящая через точку О,
и вращающий ;момент, равный 626 кгсм относительно этой точ-
точки. Данную систему можно представить в виде одной равно-
равнодействующей, расположенной так, что она даст тот же эффект.
Это можно сделать, перемещая равнодействующую от точки О
параллельна самой себе до тех пор, пока момент ее относитель-
относительно этой точки не станет равным результирующему моменту
системы, представленной на фиг. 33. Необходимое расстояние,
на которое надо отодвинуть эту равнодействующую, получает-
получается как результат деления моментов на результирующую силу.
м
р
R
626
83,8
7,48 СМ.
Положение результирующей силы легко кайти графически,
•роводя касательную к окружности радиуса rf, как показано
35
V'
.-я rhur % Вектор равнодействующей должен быть направлен
по Еательной^окружности, так чтобы направление момен-
момента вызываемого им относительно точки О, было то же самое.
что и направление момента Mr , который мы заменили.
Фиг. 36. Способ определения положения
равнодействующей силы.
Положение интересующей нас равнодействующей можно
определить и аналитически непосредственно при помощи двух
ее компонентов Рх и Pz (табл. 2.1). Допустим, что резуль-
результирующая сила приложена в некоторой неизвестной нам точке
с координатами х% и z%. Полный момент, вызываемый этой
равнодействующей, будет
M=-{P2xR) + {PxzR). B.3)
(Заметьте, что в этом уравнении перед выражением Pzx по-
поставлен знак минус, как это было объяснено в § 2.16.) Ве-
Величины xr и z% мы должны определить таким образом, чтобы
момент равнодействующей силы относительно точки О рав-
равнялся моменту от всей системы сил, т. е. величине 626 кгсм,
подсчитанной в табл. 2.1. Подставляя в уравнение B.3) ука-
указанную величину момента и величину компонентов Pz и Рх
(из табл. 2.1), получаем:
+ 626= — (-
Хя=19,0
Это уравнение определяет линию (а не точку), вдоль кото-
которой должна быть направлена равнодействующая. Это вполне
понятно, так как действие силы относительно любой точки_ не
зависит от перемещения силы вдоль линии ее действия. Для
того чтобы определить положение этой линии, необходимо под-
подставить а написанное уравнение соответствующее значение х%
или Zr. Приравнивая последовательно каждую из этик вели-
величин нулю, мы найдем отрезки по осям координат, определяю-
определяющие эту прямую; Х0=19,0, ZO=8,15, как изображено на
фиг, 36.
36
2. 18. Последовательное суммирование. В расчете
струкций часто- бывает необходимо подсчитать сумму всех сил,
действующих с какой-нибудь одной стороны (слева или спра-
справа) относительно ряда точек. Допустим, например, что на кон-
консольную балку действует система сил, изображенная на
фиг. 37. Относительно каждой точки, находящейся на оси бал-
балки, нас интересует лишь сумма всех сил, действующих слева
от этой точки.
Обычно такое суммирование производится следующим об-
образом. Сначала нужно выбрать ось конструкции. В большин-
большинстве случаев это сделать нетрудно,
но иногда положение истинной оси
конструкции сразу определить не
удается. Тогда можно выбрать ка-
кую-кибудь подходящую ось, и уже
в дальнейшем, если это потребует-
потребуется, результаты подсчета отнести к
другому уточненному положению
оси. Ось, вдоль которой суммирует-
суммируется нагрузка, можно назвать осью
нагрузки. На фиг. 37 за ось
выбрана линия, проходящая через Фиг. 37. Балка под нагрузкой.
центр тяжести сечения балки.
Дальше надо установить направление положительных сил и
моментов по отношению к выбранной оси. Это изображено на
фиг. 37 (всегда следует делать подобные рисунки с принятым
обозначением величин во избежание ошибок). Затем надо на-
наметить точки по оси нагрузки, для которых следует произвести
суммирование сил. Обычно наиболее целесообразно выбрать
точки, в которых приложены сосредоточенные силы. Иногда
бывает удобнее разбить балку на некоторое число равных уча-
участков.
В данном случае будем суммировать силы в точках, где
приложены сосредоточенные силы, и вычисления расположим
в табличной форме. В табл. 2 показано, как это выглядит для
примера, изображенного на фиг. 37.
Весь подсчет, в сущности говоря, представляет как бы пов-
повторение того, с чем мы уже встречались в § 2. 15, когда нахо-
находили результирующую ряда сил. Разница лишь в том, что для
примера, изображенного на фиг. 37, нам требуется для каж-
каждой из намеченных точек находить сумму лишь тех сил, которые
Действуют с левой стороны от этой точки.
Так, !В табл. 2 колонка C) представляет последовательное
суммирование сил, а колонка E) — последовательное сумми-
суммирование моментов от них.
Табл. 2 удобна для практической работы и расположение
всех необходимых вычислений предостерегает от ошибок. В
колонке A) расстояния от сечения до сечения помещены меж-
37
кие.
Таблица _
Подсчет сил и моменто*
Сечения
расстояние J с
междУ сила
сечениями
(см) '
в каждом
сечении
= -B)
прира-
приращение
момента
М
Л'>
суммарный
момент
в сечении
Операции, которые нужно проделать в каждой колонке,
следует указать при помощи букв .или цифр. Это уменьшает
опасность того, что вычислитель, производя арифметические
действия, ошибочно попадет не в ту колонку. В конструктор-
конструкторских бюро часто практикуется ведение вычислений в стандарт
ной табличной форме, что позволяет использовать для вычи-
вычислительных: операций малоквалифицированный персонал.
Для этой же цели полезно заштриховать те участки табли-
таблицы, в которых не должно быть цифр, как, например, эта сде-
сделано в колонке A).
Фиг, 38 иллюстрирует то, что сделано в табл. 2. Необходи-
Необходимые арифметические вычисления помещены здесь около тек
сечений, к которым О'ни относятся. Нанесенные на этой фигуре
эпюры показывают изменения подсчитываемых величин. За-
Заметьте, что приращение момента (AM), прибавляемое в каждом
сечении, численно равно площади соответствующей эпюры на-
нагрузки. Это весьма важное соотношение придется неоднократ-
неоднократно иметь IB виду при определении изгибающих моментов для
балок. На фиг. 38 видно, что эпюра моментов изображается
ломаной линией, вершины которой соответствуют точкам при-
приложения сосредоточенных нагрузок.
Единственным направлением, по которому приходилось для
фиг. 38 подсчитывать плечи сил, были расстояния, направлен-
направленные по оси X. Это позволило ограничиться при подсчете момен-
моментов лишь двумя колонками D) и E), так как ни по оси Z, ни
¦до осп У расстояний измерять не надо.
700
400
150
300
7 2
(<—2О0->-<
3 4 5
30^ —v^c— 200 М-<~ 200 -з
-550 -250
+300 / + 70Q
1-350 х 20\ -550 х 30 -250 х 20+450 х ?.0\
\^~2000\ =-16 500 ' = -5000 =+9000
SAM
- 3000
-3000 -г/500 -24 500
zlAJ'90 -Z1292 .-^-yt/Qo
-?9 500 -24 500 -35 500
1 ! -о Li
М Л'г см
- Ю 0G0 ф
-20 0О0
Фиг. 38. Суммирование сил и моментов.
В более общем случае могут потребоваться дополнитель-
дополнительные колонки. Например, на фиг! 39 изображен более сложный
^учай нагружения консольной балки, где необходимо учесть
компоненты сил по оси X на расстояниях (плечах) по оси Z.
Табл. 3 содержит >все необходимые добавления. Обратим
ьнрщание, что силы Я,., однажды перенесенные на ось нагруз-
нагрузки, в дальнейшем лишь передвигаются от сечения к сечению, не
Давая возрастания момента, за исключением того, которое поя-
00
н
со
о i
?0
О
ь
а:
О)
о
Е
к
и
0}
m
о
a
га
U
СО"
со
И
у\
о
о
о
о
ю
ее
о
о
>\
С-Э
О
н
о
¦->
га
U
о
о
СП
/ч
о
о
го
о -
S
о
О
о
о
о
с
о
м
а) 3
с: cr
о s
О
си
a s
О
CD
О
i I
О 2 3*
со 0>
вилось вследствие наличия плеча г. Эти дополнительные мо-
моменты подсчитаны в колонке G) и, очевидно, должны быть
алгебраически сложены со значениями окончательных момен-
моментов в сечениях, приведенными в колонке (9).
Наконец, могут быть случаи, когда приходится учитывать
компоненты сил в пространстве по всем трем осям. Как изоб-
изображено на фиг. 40, силы по направлению г, действующие на
расстояние у от оси нагрузки, будут вызывать момент относи-
относительно последней. Учет этих сил и моментов вызовет появле-
появление б таблице новых соответствующих колонок. Точно так же
Фиг. 39. Балка под нагрузкой.
Ось нлгрузни
Фиг. 40. Общий случал.
силы, параллельные оси X и действующие на расстоянии у от-
относительно оси нагрузки, вызовут моменты относительно оси Z
и также потребуют появления дополнительных колонок ,в таб-
таблице.
Подсчет действия сил в направлении У (подобно силе Pv
на фиг. 40) затруднений вызвать не может.
2. 19. Распределенная нагрузка. До сих пор мы занима-
занимались рассмотрением сосредоточенных сил, каждая из которых
была приложена в определенной точке. В инженерных соору-
сооружениях часто приходится иметь дело с нагрузкой, которая рас-
распределяется непрерывно по длине или по поверхности соору-
сооружения. Нагрузка, распределенная по длине, обыкновенно на-
называется погонной нагрузкой и измеряется в кило-
килограммах на сантиметр (или в тоннах на метр). Нагрузка, рас-
распределенная по поверхности и представляющая как бы давле-
давление на нее, называется удельной нагрузкой или удельным
Давлением и измеряется в килограммах на 1 кв. сантиметр
(или в тоннах на 1 кв. метр).
Обычный способ расчета ,в этом случае заключается в томг
сначала от удельной нагрузки переходят к погонной, а по
заменяют рядом сосредоточенных сил, обращение с
к°торым нами уже рассмотрено выше. Чтобы перейти от удель-
н<>й нагрузки к погонной, необходимо ее помножить на шири-
КУ нагруженного участка. Если, например, крыло аэроплана
испытывает воздушную нагрузку (снизу вверх), равную
40
500
!илг, то погонная нагрузка (в килограммах на метр)
ожением указанной выше удельной нагрузки на
xLy) крыла. Если давление на крыло имезт
^Гменную велич/ну по раз-маху, то для получения погонной
ягоузки в каждом намеченном сечении умножают удельное
давление, действующее в данном сечении, на ^ветствуюлд^к,
хорду На фиг. 41 показано как это делается. На фигуре на
внесен7'ряд сучений, для которых подсчитаны величины pb (дав-
(давление X хорда), которые нанесены на график и обведены
¦кривой.
2000 -jЭквивалентные сссредояо-
д ченные силы
Фиг. 41. Превращение давлений в сосредоточенные силы.
Для того чтобы получить эквивалентные сосредоточенные
-нагрузки, обычно значение погонной нагрузки для каждого се-
сечения принимают постоянным на участке двух смежных по-
полурасстояний между сечениями. Подобные эквивалентные со-
сосредоточенные нагрузки изображены на фиг. 41. Пунктирная
линия показывает, чему соответствует это упрощение. Неточ-
Неточность, вносимая вследствие этого ib расчет, тем меньше, чем
больше взято сечений. В дальнейшем суммировать силы и мо-
моменты можно, как описано выше.
Вместо того, чтобы представить, как это только что сдела-
сделано, погонную нагрузку ступенчатой линией, можно заменить ее
¦42
Фиг. 42. Применение способа
трапеций.
рядом прямых линий, как показано па фаг. 42. Очевидно, что
в этом случае площадь, ограниченная этой кривой, будет со-
состоять -из ряда трапеций. Площадь каждой трапеции пропор-
пропорциональна нагрузке данного участка крыла, точка приложения
которой проходит через центр тяжести трапеции. Таким обра-
образом можно заменить погонную нагрузку фиг. 42 рядом сосре-
сосредоточенных сил, приложенных в центрах тяжести соответст-
соответствующих трапеций. Этот способ дает несколько более точные
результаты, чем предыдущие. Однако, если сечения выбраны
на достаточно малом расстоя-
расстоянии друг от друга, вполне до-
достаточную точность дает и спо-
способ ступенчатой линии.
Таким образом, эквива-
эквивалентные сосредоточенные на«
грузки, действующие на кры-
крыло, можно получить перемно-
перемножением участка площади кры-
крыла между смежными сечения-
сечениями на среднюю величину дав-
давления на этот участок (такой
способ обычно и употребляет-
употребляется на практике).
Во всех вычислениях, кото-
которые лри этом приходится де-
делать, надо следить за постоянством в размерности принимае-
принимаемых величин. Так, например, давление на крыло самолета
обычно принято измерять в килограммах на 1 кв. метр, тогда
как весь расчет ка прочность обычна ведется в измерениях ки-
килограмм — сантиметр. Поэтому рекомендуется давление с са-
самого начала выразить в килограммах на 1 кв. сантиметр. Если
это сделано, то и хорду надо брать в сантиметрах. Понятно,
что было 'бы ошибочно множить давления, выраженные в кило-
килограммах ка кв. сантиметр, на хорду, выраженную в метрах.
2. 20. Интегрирование. Изложенный выше процесс замены
¦сплошной нагрузки рядом сосредоточенных сил, сум:мирование
-их вдоль о-си и, наконец, последовательное суммирование мо-
моментов от этих сил часто называют интегрирование м.
Строго говоря, этим термином принято называть, математиче-
математическое действие, которое по существу эквивалентно указанному
выше, с той лишь разницей, что число взятых сечений беско-
бесконечно велико, а расстояние между ними бесконечно мало; Само
'Собой разумеется, что это действие исключает все ошибки, воз-
возникавшие вследствие замены действительной кривой при по-
помощи ломаной линии. Но для того чтобы можно было при-
применить интегрирование, необходимо, чтобы кривая нагрузки
''Могла быть выражена в функции размаха. Кроме того, урав-
уравнение, выражающее эту зависимость, не должно быть сложным
в такой степени, чтобы чрезмерно затруднить или сделать вов-
вовсе невозможным интегрирование.
Во 'Многих случаях инженерной практики найти простые,
удобные для интегрирования аналитические выражения для
кривых не удается.
Так, например, в случае расчета крыла величина погонной
нагрузки зависит от хорды, которая изменяется по размаху не
линейно; кроме того, распределение давлении вдоль размаха
изменяется обыкновенно
I-
т-вует и ряд сосредото-
нагрузок, что также чрез-
деи
настолько прихотливо, что выразитз
это-г закО'Н математически чрезвы-
чрезвычайно трудно. В добавление к ска-
сказанному следует иметь в виду, что
кроме распределенной нагрузки на
крыло
ченных
вычайно осложняет процесс ин-
интегрирования. Таким образом ока-
оказывается, что практически интегри-
интегрирование в чистом виде удается
применять сравнительно редко и
что гораздо чаще в инженерной-
практике приходится пользоваться
изложенным выше способом сум-
суммирования.
Для (обозначения действия ин-
интегрирования существует опреде-
определенный знак.
Часто знак j в учебниках и
справочниках применяется для
обозначения суммирования по эле-
элементам, хотя правильнее в этом
случае применять греческую букву
сигма {?-). Инженер должен -хо-
-хорошо понимать сущность процесса
интегрирования, а также и то, что действие, изображенное зна-
знаком интеграла, может быть приближенно выполнено без приме-
применения интегрального исчисления в буквальном смысле этого
слова. На фиг. 43 показано, как при помощи интеграла обозна-
обозначается, например, суммирование погонной нагрузки.
Если q обозначает величину погонной нагрузки в сечение
на расстоянии х от конца крыла, то величину всей нагрузки
Фиг; 43. Интегрирование.
р
находящейся на участке
ни ем:
п ,
Р.
можно пред
qdx.
та
выраже
На фиг 43 это действие изображено графически. Сумми-
Суммирование произведено от сечения О до сечения п, как это указа-
указал при помощи маленьких оукв при знаке интеграла и пои
помощи индекса п при букве Р. Символ dx указывает длину,
;по которой производится суммирование, а величина, которая
таким образом находится, есть не что иное как площадь, огра-
ограниченная кривой и выраженная как произведение двух пере-
переменных величин (q и х). Значения соответствующих площадей
по сечениям изображены на фиг. 43 кривой Р по абсциссе х.
(Каждая ордината этой кривой дает полную величину нагрузки,
приходящейся на рассматриваемое сечение (килограммы, де-
деленные на метры, умноженные на метры, дают килограммы).
Если полученную кривую Р (выражающую перерезывающую
¦силу) проинтегрировать, как указано, формулой B,5), то по-
получим значение изгибающих моментов;
M=\Pdx.
B.5)
Результат этого интегрирования ^представлен на фиг. 43
третьей кривой, каждая ордината которой представляет .вели-
.величину текущего изгибающего момента в килограммометрах.
Уравнение B. 5) в более общем виде можно написать сле-
следующим образом:
М= {[qdxdx,
B.6)
Написанное выражение обозначает
сразу действие двойно-
двойного интегрирования, т. е. то же самое, что выше было обозначе-
обозначено формулами B. 4) и B. 5).
Операцию интегрирования можно продолжать и дальше
Для получения прогибов 1. Важно хорошо понять значение зна-
знака интеграла и научиться его применять для решения отдель-
отдельных задач.
Величину площади, ограниченной кривой, можно замерить
Щя помощи планиметра. Применение этого инструмента пре-
превращает интегрирование в чисто механическую операцию.
Приближенно определить площадь кривой можно легко непо-
непосредственным подсчетом квадратиков, если кривая нанесена на
миллиметровке. И тот и другой способы дают достаточную
точность для всех инженерных расчетов (не следует только за-
забывать, что для получения правильной величины площадь, из-
измеренная непосредственно по чертежу, должна быть умноже-
умножена на произведение масштабов).
2. 21. Поворот осей. При расчете кривых элементов нагруз-
нагрузки часто подсчитывают относительно прямых осей
этом будет сказано ниже.
44
нагрузки.
45
Посче этого обычно приходится пересчитывать эти величины,
относя их к другим осям, как указано на фиг. 44.
Поступательный перенос осей (без вращения) можно вы-
полнить пользуясь вышеприведенными указаниями и правила-
правилами (т е моменты и силы переносят непосредственна без изме-
изменений) Если же новые оси образуют некоторый угол по отно-
отношению к старым, то необходимо силы и моменты разложить на
компоненты относительно новых осей. ^
В счучае такого взаимного расположения осей, как изоб-
изображено на фиг. 44, интересующие нас соотношения выражают-
выражаются следующими формулами:
= cos
r sin a,
B.7)
Sin a~
-П
где я— угол, на который повернута система осей,
т и п—новые оси.
Эти же уравнения пригодны и для векторов моментов. Если
система осей координат повернута относительно какой-нибудь
одной из трех, то силы и векторы моментов относительно этой
оси остаются теми же. Так, если на фиг. 44 поворот осей сде-
сделан относительно оси у, то ни си-
силы по оси у\ ни моменты относи-
относительно оси у от этого не меняются.
Можно было бы написать ряд
формул и указать правила для пе-
пересчета сил и моментов в самом об-
общем случае переноса и поворота
осей координат. Однако лучше, по-
поняв на простом примере, как это
делается, написать соответствующее
уравнение для представившегося
конкретного случая. Надо нарисо-
нарисовать эскиз, на котором по каждой
из исходных (старых) осей отло-
отложить по произвольному положительному вектору. Каждый из
этих векторов надо спроектировать на новые оси и определить
знак полученных компонентов. Следует заметить, что умноже-
умножение на косинус всегда соответствует компоненту по той оси, до
которой замерен угол поворота. Так, например, на фиг. 44, ком-
компонент силы Р2 по оси т получается умножением на cos а,
где а и есть угол между осями Z и т. Другой компонент си-
силы Р2 (по- оси л) всегда получается умножением на синус это-
этого же угла.
46
Фиг. -И. Поворот осей.
ЗАДАЧИ
2. 1. Определить графически и аналитически компоненты
силы Р по осям X—X и У—У (фиг. 45).
2. 2. Пользуясь фиг. 45, принять значение силы Р равным
10 000 кг и угол равным 50°. Отрезки ха и уа положить
равными нулю. Выбрав подходящий масштаб и нарисовав век-
векторную картину, определить графически компоненты по осям
X и У. Определить эти же компоненты аналитически, пользуясь
уравнениями B. 1). Повторить то же по уравнениям B1 а)
и B1Ь).
2. 3. Сила, равная 1000 кг и проходящая через начало ко-
координат, поворачивается от оси X к оси Z в пределах >тла х
от 0 до 90°. Подсчитать значение компонентов по осям X и Z
через интервалы по 10°. Вычисления расположить в таблице.
Для полученных значений компонентов построить кривые из-
изменения их по углам.
?2 *4 300 *г
р = 2500 кг
Рл = 2$00 *г
Фиг. 45.
Фиг. 46.
2. 4. Определить: а) графически и б) аналитически равно-
равнодействующую (положение, направление и величину) системы
компланарных сил, изображенную ниже на фиг. 46.
2. 5. Начертить в подходящем масштабе на расстоянии
30 см друг от друга две параллельные силы величиной соответ-
соответственно 50 и 75 кг. Найти положение равнодействующей п
изобразить ее вектором (воспользоваться графическим 'мето-
'методом прибавления двух равных и противоположных сил).
7—юооо
ю см
Фиг. 47.
6. Найти: а) графически и б) аналитически результирую-
нагрузку, действующую на балку, нагруженную системой'
изображенной на" фиг. 47.
4Т
/
2. 7. Найти величину компонентов по осям X, У и Z внеш-
внешней нагрузки, приложенной в точке О и вызывающей в стерж-
стержне А сжатие, равное 5000 кг, а ;в стержне В растяжение, рав-
равное 6500 кг (фиг. 481.
2. 8. Изобразить графически неконкурентные (не пересе-
пересекающиеся в одной точке) силы различной величины, действую-
действующие в плоскости чертежа (подобно изображенным на фиг 48).
Найти положение и величину равнодействующей при помощи
веревочного многоугольника (обозначения делать по правилу
Бау). При помощи такого же построения определить, кроме то-
того, и равнодействующие любых двух смежных сил.
\<
вид спереди
50см ->-Ц 30 см
вид сбоку
Фиг. 48.
2. 9. Изменив на фиг. 38 величины сил и расстояния между
-ними, произвести суммирование сил и моментов подобно тому,
как это сделано в табл. 2.
2. 10. Доказать, что момент в случаях «Ь» и «а» относи-
относительно оси штурвала, изображенного на фиг. 32, имеет одина-
одинаковую величину (вычесть момент от одной силы из момента от
другой). Затем для случая «а» увеличить правую силу вдвое и
.определить, на сколько процентов возрастет суммарный мо-
момент относительно оси колеса.
2. 11. Пользуясь фиг. 33, переделать ее, изменив величины
сил и расстояния. Подсчитать результирующую силу и ее мо-
момент относительно начала координат, пользуясь формой
табл. 2. 1, Определить положение равнодействующей по спо-
способу, изображенному на фиг. 36. Проверить графическим спо-
способом силового и веревочного многоугольников.
ВВ00кв/м
Сечение 0 f\^ Сечение $$
щ симметрии.
Сеч.5}0 Сеч.5,0 СечД5
Фиг. 49.
Сеч.%5
2. 12. Изменив в табл. 2. 3 величины компонентов сил (что
практически приходится делать, учитывая различные случаи
внешнего нагружения), суммировать силы
48
и моменты. Начер-
Начертить диаграмму ib масштабе с новыми силами. Определить гра-
графически величину и положение равнодействующей. Опреде-
Определить графически компоненты результирующей силы и сравнить
их с полученными выше. Замерить плечо полученной равно-
равнодействующей до центра сечения 5 (табл. 2.3, колонка 1) и
проверить величину момента.
2.13. Найти величину секушей силы по сечениям 5,0, 6,0,
6,5 и 7,5 лонжерона крыла под влиянием нагрузки, изображен-
изображенной на чертеже.
2. 14. Начертить план самолетного крыла произвольных
размеров и формы (но не прямоугольной) подобно изображен-
изображенному на фиг. 41. Принять, что нагрузка на крыло вызвана рав-
равномерно распределенным давлением, направленным снизу
-вверх и равным 1000 кг на 1 ж2. Проделав все вычисления, по-
показанные на фиг, 41, произвести последовательное суммиро-
суммирование сил и моментов от конца до корневой части крыла (как
показано на фиг. 38).
, 2. 15. Найти силы и моменты, отнесенные к точке О оси
крыла, вызванные внешними нагрузками на колесо.
Ось Х(нормАльно h черте&у)
'= 11250 кг
вид спереди вид сбаку
Фиг. 50.
2. 16. Вертикальная мачта высотой в 20 ж расчалена че-
четырьмя тросами. Точки крепления тросов на поверхности зем-
земли находятся по углам квадрата со стороною в 10 м, в центре
которого находится основание мачты. Какую нагрузку испыты-
'Ваоп~стеРжень мачты, если каждый из тросов натянут с силой
й 300 кг?
2* 17- Принять, что ib предыдущей задаче B. 16) усилие,
Действующее на один из тросов, упало до нуля, а в каждом из
4>ех остальных осталось равным 300 кг. Найти результирую-
результирующую вертикальную и боковую нагрузку, которую дают остав-
щиеся три троса на их верхнюю точку крепления к мачте.
4 *• Р. Шенли. 49
9 18 Оси X и У являются конструктивными осями для са
^летного крыла тогда как оси Р и 0 совпадают с направле
нием по^ъем'ной силы и силы сопротивления. Принять, что дл,
рассматриваемого случая нагружения вся воздушная нагруз
Фиг. 51.
ка на крыло задана компонентами Р, равным 10»000 кг
и 0, равным 2000 кг. Найти компоненты от этой нагрузки.по
конструктивным осям, пользуясь уравнением B. 7). Пров,
рить графически.
ГЛАВА 3
ПЕРЕДАЧА СИЛ
3. 1. Оси, связанные с конструкцией. Вопрос о передаче
сил был кратко рассмотрен в главе 1. В главе 2 описаны мето-
методы, при помощи которых силы и 'моменты можно складывать,
группировать и раскладывать на компоненты относительно
любой выбранной системы' осей, удобной для расчета конст-
конструкции. Ниже мы рассмотрим эти силы и моменты относи-
относительно специально выбранных осей конструкции с тем, чтобы
выяснить, как они действуют на конструкцию.
Определить соответствующую ось конструкции иногда
можно безошибочно сразу (как, например, для круглой трубы),
иногда же определение оси может представлять одну из за-
задач расчета на прочность (как, например, для коробчатой бал-
балки неправильной формы). К рассмотрению сложных конструк-
конструкций нельзя приступить, пока не будут разобраны основные
принципы передачи сил. Поэтому пока изложение данного во-
вопроса будет ограничено простыми случаями.
Простейшей осью является прямая линия между точкой
приложения силы и точкой, к которой сила передается. Такого
рода оси применяют в конструкциях с шарнирными соедине-
соединениями, где элементы могут быть схематически представлены
прямыми линиями, соединяющими центры шарниров (как на-
например, в шарнирных фермах). При определении напряжений
в самих элементах конструкции приходится обычно выбирать
такую ось, относительно которой могут быть подсчитаны гео-
геометрические характеристики поперечного сечения. Для сим-
симметричного сечения, как, например, для прутка, труб или ба-
балок прямоугольного сечения, обычно используют ось симмет-
симметрии самого элемента конструкции.
После того как ось выбрана, силы и моменты, действующие
на конструкцию, можно группировать относительно нее и обоз-
обозначать общепринятыми в строительной механике терминами
(перерезывающие, изгибающие, крутящие, срезающие и т. п.).
3. 2. Осевые и поперечные силы. Допустим, что сила Р
приложена в точке 1 и должна быть передана в точку 2, как
показано на фиг. 52 (предполагается, что обе точки лежат в
¦>' 51
i
плоскости чертежа). Первое, что следует сделать, рассматри-
рассматривая способы передачи сил,— это установить два основные ти-
типа, к которым можно привести все существующие силы. Как
показано на фиг. 52, это делается путем разложения прило-
приложенной силы Р на два компонента: один вдоль оси пере-
передачи, другой — перпендикулярно к ней. Силы этих двух
типов называются соответственно осевыми и попереч-
н ы м и и будут обозначаться S и Q. Буква 0 обычно употреб-
употребляется для обозначения перерезывающих сил, что,
строго говоря, представляет особый случай передачи попереч-
_ 1
Фиг. 52. Осевые и поперечные
(перерезывающие) силы.
Фиг. 53. Силы растяжения
и сжатия.
ных сил. Однако ввиду того* что термин «перерезывающие» яв-
является общепринятым, он будет применяться наряду с терми-
термином «поперечные», когда вопрос будет касаться передачи си-
силы вдоль оси, перпендикулярной к линии ее действия.
Эти два типа сил можно рассматривать отдельно, а затем
результаты действия их отдельных вдмпонентов складывать
для получения окончательного ответа,
3. 3. Осевые силы. Как ясно из самого названия, осевые
силы (S) направлены всегда вдоль оси переда-
передачи. В свою очередь, в зависимости от того, куда направлена
сила—от точки или к точке, в которую она передается, мож-
можно различать два вида осевых усилий, которые ;могут вызы-
вызывать такие силы: один из них называется растяжением,
другой сжатием. 'Условно принято растяжение обозначать
положительным знаком ( + ), а сжатие отрицатель-
отрицательным знаком (¦—). Характерными обозначениями, применяемы-
применяемыми для этих сил, являются / раст и Рсж. На фиг. 53 показаны оба
вида передачи сил между точками 1 я 2. При желании харак-
характер передачи сил может быть указан знаками плюс или минус
на оси передачи, как это показано на фигуре.
Особенно .важно отметить, что эта система обозначения сил
tie зависит от абсолютного направления силы в пространстве,
т. е. не связана с какой-либо определенной системой1 координат,
а показывает непосредственно, как действует сила на данный
элемент конструкции. Положительные осевые силы (рас-
(растягивающие) всегда будут стремиться разорвать элемент конст-
конструкции на две части; отрицательные осевые силы (сжи-
(сжимающие) будут стремиться сблизить концы сжатого элемента.
Применение двух различных систем обозначения сил1, при-
причем как для одной, так и для другой приходится пользоваться
знаками плюс и минус, неизбежно приводит иногда к путанице.
Было бы значительно удобнее, если бы, например, можно бы-
было ввести новый знак, который применялся бы только для раз-
различия сил по их действию на конструкцию. Так, например,
можно бы предложить обычные знаки обвести кружками;
<±) и © и условиться, что при таком обозначении знаки отно-
относятся к растягивающим и сжимающим силам, а не
к силам, которые положительны или отрицательны относитель-
относительно какой-то пространственной условности (которой является
любая система координат). Однако ввиду трудности введения
новых обозначений, еще не встречавшихся в существующих
учебниках, мы на этом не настаиваем. Инженер-конструктор
должен привыкнуть к уже существующим системам обозначе-
обозначений и уметь распознавать смысл знаков, принятых в каждом
отдельном случае.
3. 4. Поперечные (перерезывающие) силы. Возвращаясь
к фиг. 53, можно сказать, что осевой компонент S обозначен по
характеру действия силы, т. е. как растягивающий
или сжимающий. Установить какую-нибудь одну, подобную это-
этому, логическую условность для
обозначения направления попе- _^.^_
речного (перерезывающего) ком-
компонента 0 оказывается, однако,
невозможно, и это является од-
одной из наиболее частых причин,
вызывающих путаницу и ошиб-
ошибки в расчете конструкций. Лег-
Легко представить картину растя-
жения и сжатия, если рассма-
рассматривать действие силы на кон-
конструкцию. При испытаниях рас-
растяжение и сжатие легко обна-
обнаружить непосредственным заме-
замером деформации конструкции
иод нагрузкой. В случае же
поперечных (перерезывающих)
сил такого различия, по суще-
существу, между положительным или отрицательным действием нет
и приходится вводить какое-то дополнительное условие для
обозначения положительного или отрицательного направления.
1 Одна система обозначений связывает силы с осями координат, а Дру-
Другая с элементами конструкции.
53
Ось
Фиг. 54. Условие знаков
при сдвиге.
52
Для этого самое простое — наметить условно положитель-
положительное направление сдвига при помощи рисунка, например, как на
фиг. 54. Это оказывается равносильно тому, что положитель-
положительное значение приписывается как бы вращающему дейст-
действию поперечных сил, приложенных с каждой стороны данного
поперечного сечения. Выбранные направления должны быть
согласованы с условиями знаков для изгибающего -мо-
-момента, о чем будет сказано ниже, и вопрос о том, начертить
ли векторы сил, как показано на фиг. 54, или в обратном нап-
направлении, будет решаться в зависимости от знаков, принятых
для изгибающих моментов.
Вопрос о том, каким образом правило знаков для попереч-
поперечных сил отличается от общего пространственного (т. е. связан-
связанного с некоторыми осями координат) условия знаков, «можно
объяснить следующим образом. При пространственном условии
знаков сила, направленная -вверх, всегда будет положительна
(предполагая, конечно, что она так была обозначена), тогда как
при условии знаков для поперечных* сил последняя будет или
положительна или отрицательна, в зависимости от того, дей-
действует она слева или справа от рассматриваемого сечения. За
исключением некоторых специальных задач о балках, строгое
соблюдение правила знаков для секущих сил не является необ-
необходимым, и надо лишь понять, что такие правила существуют,
и знать, как они отличаются от обычного пространственного
способа обозначения положительного и отрицательного направ-
направления силы.
3. 5. Выводы по обозначению сил. Таким образом до сих
пор силы или их компоненты обозначались двумя различными
способами. Мы предлагаем называть их пространственным и
конструктивным способами.
В случае пространственного способа (гл. 2) си-
силы расположены в пространстве, где точно определяются^ их
величина и направление. Это делается при помощи какой-то
системы условных прямых (обычно прямоугольной системы
координат) и определенного соответствующего условия зна-
знаков.
По конструктивному признаку характер силы оп-
определяется относительно оси передачи и действия на элементы
конструкции. Этот способ, в свою очередь, приводит к делению
сил еще на две группы: осевые силы, когда они передаются
вдоль своей оси, и поперечные, когда О'ни передаются в
направлении, перпендикулярном к своей собственной оси. По-
Последние часто называются перерезывающими силами.
Осевые силы подразделяются по характеру действия на
два типа: растягивающие ( + ) и сжимающие (—).
Поперечные силы не подразделяют таким образом,
но иногда в специальных задачах по расчету балок пользуются
условно установленным правилом знаков.
Самое важное — это понять, что существует два различных
способа обозначений, и нужно усвоить, когда какой применять.
:В аналитических расчетах (например, при расчете пространст-
пространственных ферм) «конструктивный» и «пространственный» спосо-
способы можно применять одновременно, поэтому очень важно «меть
ясное представление о каждом. Схематически тот и другой спо-
способы показаны на фиг. 55.
п
Конструктивный 7 способ
Р(сила)
S (оседая)
О (поперечная
перерезыдающая)
~раст
{растяги
башщая)
"он
(сжимающая) (Постоянные условия
онако'в не установлены)
„Пространственный "способ
(горизонтальная) (вертикальна/?) (горизонтальная)
На плоскости
В пространстве
Фиг. 55. Способы классификации сил.
3. 6. Примеры передачи сил. Простой пример основных
случаев передачи силы показан на фиг. 56, где изображены
обычные качели. Очевидно, что сила Р должна быть восприня-
воспринята в конечном счете землей и делится она поровну между обеи-
обеими сторонами сооружения. Рассматривая любую половину со-
сооружения и начиная с приложенной силы Р, увидим следую-
следующие типы передач силы :в этой*конструкции: тип попереч-
Пои передачи (сидение), осевое растяжение (ве-
(веревки), поперечный тип (перекладина) и осевое сжа-
сжатие (стойки).
54
55
На фиг. 56 дано простое «двухстороннее» деление прило-
приложенной силы. Вследствие симметрии никаких специальных под-
подсчетов для нахождения распределения силы между обеими
сторонами сооружения не требуется.
Другой, несколько отлич-
отличный от предыдущего, пример
показан на фиг. 57, где пред-
представлена консольная балка, к
которой сила Р приложена под
углом. Решение этой задачи
начинается с разложения си-
силы Р на ее осевой и попереч-
поперечный (компоненты: Яряст и QfH, .
- 3. 7. Передача момента. В
главе 2 было показано, что од-
шм^шштшт
Фиг. 56. Пример передачи
силы.
Фиг. 57. Консольная балка под
действием осевой и попереч-
поперечной нагрузки.
но из действий силы, приложенной на каком-то расстоянии
от рассматриваемого элемента конструкции, .можно предста-
представить (вращающим моментом М. Было также показано,
как такие моменты обозначать при помощи векторов, указы-
указывающих их .величину и ось вращения. Способы и характер пе-
передачи подобных моментов при помощи конструкций могут
быть различными -и рассматриваются в следующих пара-
параграфах.
3. 8. Кручение. Подобно тому, как это было сделано для
сил, передачу моментов можно рассматривать также или отно-
относительно оси момента или оси конструкции, вдоль которой мо-
момент передается. Передача момента вдоль своей собст-
собственной оси называется кручением (такие вращающие
моменты можно (встретить под названиями: крутящий мо-
момент, скручивающий момент, момент круче-
кручения, Жкр и пр.). При кручении ось вращающего момента сов-
совпадает с осью элемента конструкции, вдоль которого момент
передается. Поэтому кручение в известной степени аналогич-
аналогично передаче осевой силы. Однако, вместо деформации укороче-
укорочения или удлинения элемента, здесь имеет место закручивание
56
вращение элемента относительно его оси, как показано на
фиг. 58.
Передача крутящих (моментов является очень простым и
часто встречающимся видом работы конструкций. Обычная ша-
шарообразная ручка у двери представляет собой элементарный
пример передачи кручения. В механике передача .мощности
при помощи валов, работающих на кручение, является типич-
типичным примером этого вида нагружения конструкции. Кручение
может также возникать как побочное явление при каком-ни-
каком-нибудь .другом виде передачи
сил из-за эксцентричности на-
нагружения.
Никакого установленного
условия знаков для направле-
направления крутящих моментов отно-
относительно их действия на
конструкцию не суще-
существует, да в этом и нет необ-
необходимости. Обычно простран-
пространственные условия знаков, опи-
описанные в главе 2, оказывают-
оказываются достаточно удобными (фиг. 58 указывает, что здесь приня-
принято правило «левой рук и»).
3. 9. Изгиб. Если вращающий момент передается в на-
направлении, перпендикулярном к своей оси ©ращения, то ок
называется изгибающим моментом. Это название
объясняется тем, что действие такого момента вызывает «из-
«изгиб» элемента, к которому момент приложен, т. е. последний
вызывает искривление оси элемента
по отношению к первоначальному ее
§|§| виду. Изгибающие моменты в извест-
: ной степени аналогичны поперечным
Фиг. 58. Крутящий момент
или момент кручения.
М
изг
М
изг
Боковой, вид
вид сверху 111§ силам. Пример изгиба показан на
фиг. 59. Вид сверху ясно указывает,
что момент передается по линии, пер-
перпендикулярной к своей собственной
оси. На боковом виде показано утри-
утрированно изогнутое положение (для
вектора момента принято правила
Фиг. 59. Изгибающий момент, «правой рукк»).
Изгиб почти всегда является ре-
результатом действия поперечных сил. В обычном рычаге изги-
изгибающий момент косвенно используется для увеличения эффек-
эффекта приложенной силы. Однако обычно изгибающий момент не
выполняет никаких полезных функций, даже несмотря на го,
что он часто оказывается самым тяжелым типом нагружения
для конструкции. В крыле самолета, например, на восприятие
изгибающих моментов приходится самая большая доля веса
о/
конструкции, и все же полезная передача сил проис-
происходит посредством поперечных (перерезывающих) сил.
Изгибающие 'моменты можно условиться называть положи-
положительными или отрицательными в зависимости от их действия
на конструкцию. Так, если низ балки считать положительным,
то изгибающий момент будет считаться положительным, когда
нижняя часть балки растянута. Это условие знаков показано
на фиг. 59. Такая система обозначения окажется полезной з
более сложных задачах изгиба.
Фиг. 60. Изгибающий момент от поперечной силы.
3. 10. Совместное действие изгиба и поперечной силы
Дереза). На фиг. 60 показан изгибающий момент, возникающий
при передаче поперечной силы. На фиг. 60,а показано дейст-
действительное состояние нагружения, состоящее из одной только
поперечной силы, действующей на конце балки. На фиг. 60,Ь
и с показаны эквивалентные состояния в точках 2 и 3. Это —
прямое приложение способов, описанных в § 2. 18, где был*;
эписано последовательное сложение сил. Фиг. 60,Ь и с иллю-
иллюстрируют обычный прием в расчете конструкций, заключаю-
заключающийся в том, что в рассматриваемой точке [мысленно делается
разрез и к месту разреза прикладывается сумма всех сил и мо-
моментов, действующих на эту точку от отрезанной части. Спо-
Способ разрезов является удобным приемом для определения дей-
действительного состояния нагружения в любой точке. Он также
будет применяться позже при определении реакций и внутрен-
внутренних сил.
На фиг. 60 особой строительной оси не показано, так как
ясно, что ось балки является вполне удовлетворительной осью
для расчета.
53
На фиг. 60,</ дана эпюра изгибающих моментов по разма-
размаху балки. Поскольку этот момент вызывается одной силой Р и
прямо пропорционален расстоянию х, то «кривая момента»
представляет собой в этом случае прямую линию.
Действительная поперечная сила в любом разрезанном се-
сечении равна приложенной силе Р для случая, приведенного на
фигуре. Эта действительная, или «чиста я» попереч-
поперечная сила обычно называется перерезывающей силой.
В дальнейшем будет показано, что для определения чистой
перерезывающей силы и изгибающего момента для элемента
конструкции можно пользоваться не-
непосредственно способами сум1мирова-
ния, описанными ib главе 2. Если ось
нагрузки случайно окажется ис-
искомой осью конструкции для данного
элемента, то действие осевых и попе-
поперечных сил и чистых моментов можно
рассматривать как растяжение
или сжатие, срез, изгиб или
кручение в зависимости от каждо-
каждого данного случая. Иногда бывает не-
необходимо перенести чистые силы
и моменты на другую конструктивную
ось, как это описано в § 2. 21.
3. 11. Совместное действие среза,
изгиба и кручения. На фиг. 61 показан
очень часто встречающийся случай на-
нагружения, как, например, в обычном
кривошипе. Здесь сила Р приложена в
точке А и передается в точку 5, а за-
затем ib точку С. В точке А нет ни изгиба,
ни кручения, так как точка лежит на
линии действия силы. Между точками
А и В изгибающий 'момент возрастает
с увеличением расстояния у, достигая
максимума в точке В. Элемент АВ по-
поэтому подвержен совместному дей-
действию среза и изгиба. Вращающий мо-
момент в точке В имеет ту же ось, что и
элемент ВС; следовательно, он пред-
представляет собой крутящий момент
Для этого элемента. Значение крутя-
крутящего (момента не изменяется между
точками Б и С (моменты или пары могут передаваться без
всякого изменения их действия, см. § 2. 14). Все эти состояния
доказаны на фиг. 61. *
Помимо кручения, действующего на элемент СВ, имеется
также перерезывающая сила Р, которая должна быть переда-
59
Изгиб
Ру
}
ill!
hi; i
i|;
!]h
]\i ;,; ; Г]
iihil i
Up учение
Фиг. 61. Совместные
нагружения.
м.
м
Фиг. 62. Совместное нагруже
нис в разрезанном сечении.
р
ТСрез)
с
'
*
I
Совместное deucmsus oc
клой сип и изгиба
-л"?
Фиг. 63. Примеры передачи сил.
•на «поперек» своей оси, т. е. по пролету х. Следовательно, соз-
создается изгибающий момент, равный Рх и являющийся макси-
максимальным в точке С. Поэтому элемент ВС подвержен одновре-
одновременно срезу Р, кручению ру и изгибу Рх.
Состояние нагружения в любом сечении элемента ВС могло
бы быть представлено при помощи векторов в пространстве, как
показано на фиг. 62. Заметьте, что векторы с двойными стрел-
стрелками, применяющиеся .для указания вращающих моментов,
должны быть направлены в соответствии с состояниями на-
нагружения (здесь применено правило правой руки).
3. 12. Выводы по передаче сил. На фиг. 63 приведено мно-
много примеров, которые (могут служить общей сводкой типов пе-
передачи сил. Основным содержанием этой главы является клас-
классификация сил и моментов относительно конструктивных осей
A0
Фиг. 64. Большая испытательная машина.
Мощность: 450 т на растяжение и 1500 т на сжатие.
к введение «конструктивного» условия знаков нагружения (не
зависящего от пространственного условий знаков). В расчетах
применяются как конструктивное, так и пространственное пра-
правило знаков, и поэтому важно знать различие 1между ними.
61
L
f f
ЗАДАЧИ
3. 1. Чему равна осевая нагрузка в точке Л от нагрузок на
блоки, указанных на чертеже?
[fA
РастягиВающие нагрузки на тросы
д = 500мг , С = WOkz, Л=-Зоонг
Фиг. 65.
^ 3. 2. Определить осевую и поперечную силы, а также изги-
изгибающий и крутящий оиоменты, действующие в точке А.
. 66.
3. 3. Рычаг АО установлен на конце консольного вала
перпендикулярно к его оси. Вал имеет опору на расстоянии
w см от точки О. Трос У испытывает постоянную растягиваю-
растягивающую нагрузку в 500 кг, как показано на фиг. 67. Найти гра-
Фиг. 67.
500 Иг
фически крутящий и изгибающий моменты на консольном ва-
валу >в месте опоры, когда рычаг находится в положениях
Л, В и С.
3. 4. Определить осевые и поперечные нагрузки и изгибаю-
изгибающие моменты в точках Л, В, С, D и ?, которые расположены на
равных расстояниях друг от друга вдоль оси полукольца (про-
гибами пренебречь, а точку ? принять шарнирно закреплен-
закрепленной).
62
7соо кг
Фиг. 68.
3. 5. В задаче 3. 4. предположить, что нагрузка в 1000 кг
действует горизонтально и вправо, и подсчитать те же вели-
величины.
3. 6. В задаче 3. 4 предположить, что нагрузка в точке А
имеет компонент, направленный вниз, в 500 кг и горизонталь-
горизонтальный компонент в 900 кг (действующий вправо). Пользуясь ре-
результатами из задач 3. 4 и 3. 5, подсчитать осевые и попереч-
поперечные нагрузки и изгибающие моменты в указанных точках. Про-
Проверить нагрузки при помощи уравнения B. 7), § 2. 21.
3. 7. В задаче 3. 4 предположить, что нагрузка в 1000 кг
действует нормально к плоскости элемента (плоскости черте-
чертежа). Подсчитать изгибающие и крутящие моменты в указан-
указанных точках.
Примечание. Задачи с 3.4 по 3.7 иллюстрируют общепринятый
порядок расчета элемента конструкции для единичных нагрузок, в на-
нашем случае 1000 кг, действующих раздельно, по трем упомянутым
осям. Результаты можно затем использовать для любой комбинации
нагрузок или компонентов по этим осям.
3. 8. На фиг. 61 принять любые значения для х, у и Р и оп-
определить нагруженное состояние в точке С (поперечную на-
нагрузку, крутящий ,и изгибающий (моменты). Подсчеты повто-
повторить с дополнительной нагрузкой Р, действующей в точке Л в
плоскости конструкции и направленной в сторону от стены.
63
(В этом примере необходимо .включить и осевую силу. Необхо-
Необходимо также найти максимальный изгибающий момент сложе-
сложением векторов.)
3. 9. Начертить эскиз, аналогичный приведенному на
фиг. 69, в соответствующем !масштабе и замерить расстояния
а, Ъ и с (с должно быть в пределах между 100 и 150 см). Вк-
брать значения для Р (в пределах между 500 и 800 кг) и зна-
значение для М (в пределах между 3200 и 3900 кгсм). Найти со-
состояние нагружеиия в наклонной стойке в точках D, Е и F
(осевую силу, поперечную силу, изгибающий и крутящий мо-
моменты)
ш,
L
о
Фиг. 69.
3. 10. В примере, использованном для задачи 3. 9, предпо-
предположить, что вектор момента действует нормально к плоскости
изогнутой стойки в точке F и что он направлен от читателя.
•Пользуясь той же вертикальной нагрузкой, перерешить задачу.
3. 11. Задаться какой-нибудь величиной Р и найти макси-
максимальный изгибающий момент для изогнутой стойки, пренебре-
пренебрегая деформациями. Задаться значением для М и определить
направление и значение максимального крутящего момента.
Фиг. 70.
3. 12. В задаче 3. 11 предположить, что сила Р и момент
М приложены одновременно. Найти максимальный изгибающий
момент в сечении В—В. Показать его направление при помощи
вектора, изображенного на виде поперечного сечения в точ-
точке В (пользоваться правилом правой руки.)
3. 13. Допустим, что трубы, показанные на фигуре, сварены
вместе в точке Л и что концы В и С закреплены таким образом,
что трубы могут сопротивляться только кручению (это можно
было бы сделать применением двойных универсальных шарни-
шарниров в точках В и С). Найти крутящий момент в каждой труба
В
М А
9 » --
Фиг. 71.
3, 14. В задаче 3. 13 предположить, что трубы могут со-
сопротивляться только изгибу (что [можно было бы сделать при-
применением в точках В и С болтовых соединений «без трения»).
Найти изгибающий момент в каждой трубе. (Указание. Век-
Векторы изгибающего .момента в точке А должны быть перпенди-
перпендикулярны к осям труб.)
Примечание. Задачи 3.13 и 3.14 предполагают два упрощающих
допущения, которые могли бьГ быть сделаны, если бы трубы были
жестко закреплены в своих опорах В я С. Это могло бы быть, если бы
трубы были приварены. Истинный ответ будет где-то в пределах между
результатами, полученными для двух простых случаев. Полное решение
потребовало бы знаний о конструкциях с «лишними» закреплениями,
чего здесь пока иельзя сделать.
Ф- Р. Шенли.
ГЛАВА 4
РАВНОВЕСИЕ И РЕАКЦИИ
4. 1. Передача силы по одному пути. Все разобранные до
сих пор примеры по передаче сил конструкцией представляли
собой тип передачи силы по одному пути. Для простоты рас-
рассматриваемые элементы конструкции были одним концом пол-
полностью закреплены, как бы заделаны в стену (см. фиг. 37).
Балки, закрепленные таким образом, обычно называются кон-
консольными балками. Действие нагрузки на любую точку
оси таких балок можно получить непосредственным суммиро-
суммированием всех сил и моментов, действующих извне на эту точ-
точку. Состояние нагружения в точке опоры получается таким же
способам -и представляет собой сумму всех сил и моментов,
действующих на рассматриваемую конструкцию.
Консольные балки всегда имеют свободный конец, за пре-
пределами которого нет ни сил, ни изгибающих моментов. Это
позволяет начинать суммирование сил и моментов от нуля.
Следующая их особенность заключается в том, что состояние
нагружения в точке опоры не оказывает никакого влияния на
перерезывающую силу и изгибающий момент вне этой точки
(за исключением местных 'Влияний, ограниченных площадью
вблизи точки опоры).
4. 2. Передача силы по двум путям. Следующий обычный
тип передачи силы, который встречается в проектируемых кон-
конструкциях, можно было бы на-
назвать передачей силы по двум пу-
путям. В качестве простого примера
может служить обычный пешеход-
пешеходный мост (фиг. 72). Сила Р, дей-
действующая в точке А, должна пе-
передаваться на точки В и С. Оче-
Очевидно, что часть силы пойдет по
одному направлению, а часть — по
другому. Если сила окажется при-
Фиг. 72. Передача силы
по двум направлениям.
жженной не посередине между точками В и С, то сразу не-
неясно, на какие части она делится между опорами. До тех пор,
пока распределение силы между этими двумя опорами не уста-
установлено, нельзя рассчитать такую конструкцию. Способ, при
помощи которого можно найти, ,как в таких случаях «делится»
сила, состоит в определении р е а к ц и и, что в свою очередь
требует применения з|ак(онов статического равно-
равновесия.
Перед тем как рассмотреть вопрос о реакциях, следует от-
отметить также, что на фиг. 72 изгибающий (момент в точке А
не может быть равен нулю. Следовательно, начать суммирова-
суммирование моментов в этой точке от нуля нельзя. Однако, если точки
опор не способны воспринимать изгибающий момент, т. е. пред-
представляют собой шарнирные или катковые опоры, то сразу ясно,
что изгибающие 1моменты на каждом конце (точки В и С) р ав-
ны нулю. Это указывает, что суммирование сил и моментов
следует начинать от точек опор. Процесс можно представить
себе как обратную картину передачи сил, т. е. начать от сил,
приложенных в точках В и С, и подойти с ними к точке А, где
они уравновешиваются с силой Р.
4. 3. Гидравлическая аналогия. Физическую картину ха-
кого процесса можно объяснить путем гидравлической анало-
аналогии. На фиг. 73 показана труба переменного поперечного сече-
сечения, через которую протекает жидкость. Если расход жид-
жидкости (например, число литров в минуту) известен, то скорость
I
¦
Фиг. 73. Гидравлическая ана-
аналогия применительно к пере-
передаче силы по одному направ
лению.
Фиг. 74. Гидравлическая ана-
аналогия применительно к пере-
передаче силы по двум направле-
направлениям.
¦в любой точке может быть определена делением расхода на
плошадь поперечного сечения. Нет необходимости%в определе-
определении расхода на выходе, поскольку очевидно, что он такой же,
ь^ак .и на входе. Эта картина соответствует передаче силы п®
одному направлению. На фиг. 74 представлена аналогия для
передачи силы по двум направлениям. Знание одного расхода
5* 67
(а) ГидрлвлическАЯ
АНАЛогия.
Не применяется
Qt на входе недостаточно для определения условий те-
течения в отдельных местах трубы.
Для того чтобы можно было это сделать, необходимо знать
значения расходов Q, и Q,. Очевидно, что если одна из двух
последних величин определена, то другая может быть найде-
найдена вычитанием из ?>,.
4. 4. Реакции. В любой конструкции точки опоры можно
представить как приложенные к конструкции внешние силы.
Такие силы называются реакциями. После того как реакции
определены, их можно рассматривать так же, как и заданные
внешние силы. В общем случае реакциями называются те
силы, которые возникают в точках опоры или закрепления,
когда конструкция подвергается нагружению. Реакции урав-
уравновешивают приложенные внешние силы, и их действие всегда
противоположно действию внешних сил.
4. 5. Свободное тело. В этом параграфе рассматривается
один из важнейших приемов, применяемый при расчете конст-
конструкций. Любую конструкцию (или
часть ее) можно представить освобож-
освобожденной от опор, а сопротивления опор
заменить теми силами, которые в них
возникали.
Полученную систему, не связанную
более с материальными опорами, можно
рассматривать как свободное тело и
применять к нему основные законы ме-
механика.
Для того чтобы лучше понять дей-
действие опорных реакций, обратимся опять
к гидравлической аналогии, приведенной в § 4, 3, где истече-
истечение жидкости через трубу сравнивалось с передачей силы че-
через конструкцию. На фиг. 73 и 74 показано, что поток жидко-
жидкости Q выходит из трубы втом же направлении, в каком он
it входит, что, конечно, соответствует действительности для по-
потока. Однако, когда дело касается определения реакций, нам
надо показать не те силы, которые «выходят из конструкции»
и действуют на точки опор, а те реакции, которые оказывают
сопротивление силам, действующим со стороны конструкции на
эти точки.
Это есть не что иное, как приложение третьего закона Нью-
дона, который гласит, что каждое действие испытывает рав-
равное по величине и противоположное по направлению противо-
противодействие. Можно было бы, конечно, пользоваться гидравличе-
гидравлической аналогией и изобразить силы, как показано на фиг, 75,а,
вместо сил, показанных на фиг. 75,Ь. Но это не дало бы нам
возможности ввести понятие статического равновесия, которое
является одним из наиболее полезных приемов в расчете кон-
конструкций.
/ Ъ) Метод реакции
Применяется^
при расчете^
Фиг. 75, Метод выделе
ння свободной системы
Как указано выше, конструкция (или часть конструкции),
изолированная в пространстве и уравновешенная путем прило-
приложения реакций как внешних сил, может быть уподоблена
свободному телу. Физически под этим подразумевается, что
конструкция мысленно отсоединена от своих опор (или от дру-
другой примыкающей конструкции) и что опоры заменены силами,
которые они создают. Если бы это действительно так было
сделано, тело находилось бы в пространстве в состоянии без-
безразличного равновесия и на основании законов механики мог-
могло бы либо стоять неподвижно, либо перемещаться с любой
постоянной заранее сообщенной ему скоростью. Но поскольку
мы знаем, что оно не движется (относительно опорных точек),
следует, что приложенные реакции должны удовлетворять фи-
физическим законам статического равновесия. Таким
образом при помощи применения простых законов классиче-
классической механики можно определить реакции как силы, которые
надо приложить в точках отсоединения для того, чтобы пре-
препятствовать движению тела относительно этих точек.
4. 6. Уравнения равновесия. Первый закон Ньютона гла-
гласит, что если свободное тело должно оставаться в покое, т о не
должно быть ни одной неуравновешенной внеш-
внешней силы, действующей на это тело. В действительности
может быть много внешних сил, но сумма всех этих сил долж-
должна равняться нулю, т. е. силы должны уравновешивать друг
друга. То же самое можно сказать и относительно вращающих
моментов. Если имеется какой-нибудь неуравновешенный вра-
вращающий момент, то свободная конструкция не останется в пс-
кое, а будет вращаться.
Эти два положения могут быть выражены математически
уравнениями:
Аля сил
для моментов
ЕМ:
0.
D.1)
D.2)
Если все внешние силы действуют по одной и той же ли-
линии или линии их действия параллельны, то можно непосредст-
непосредственно пользоваться уравнением D. 1). Если же силы непарал-
непараллельны, то необходимо для каждой принятой оси координат
написать свое уравнение, так как алгебраически можно скла-
складывать только силы, действующие параллельно одной и гой же
оси (§ 2. 9). Если, например, приняты оси X, У и Z, то уравне-
уравнения равновесия для сил будут:
Уравнения равновесия для сил
SP,
vp
I
= 0, [
= 0.1
D.3)
69
Такие же уравнения можно составить и для вращающих
моментов, отмечая здесь индексом ту ось, относительно кото-
которой происходит вращение. Тогда уравнения D. 3) примут
вид:
Уравнения равновесия для моментов
Ш=0. I
D.4)
Некоторые из уравнений D. 3) и D. 4) могут удовлетво-
удовлетворяться автоматически, и тогда нет нужды пользоваться ими.
Например, если все силы действуют по одной и той же оси, то
следует пользоваться только одним уравнением системы
D. 3), и никакого вращающего момента относительно любой
точки этой линии нет. Если суммарная равнодействующая та-
такой системы сил равна нулю, то система не может иметь ника-
никаких вращающих моментов относительно любой точки. Отсюда
следует, что все три уравнения моментов удовлетворяются
автоматически и использовать их нет необходимости.
Если все силы находятся в одной плоскости (например, в
плоскости X—У), то вращающие моменты будут действовать
только в этой плоскости относительно осей, перпендикуляр-
перпендикулярных к ней (оси Z). Следовательно, в этом случае необходимо
пользоваться только одним уравнением равновесия для мо-
моментов. Пользуясь этими положениями, можно составить сле-
следующий ряд уравнений равновесия \
4. 7. Частные случаи уравнений равновесия
а) В с е с и л ы действуют по одной линии:
В случае четырех сил, например, имеем
D. 1)
б) Все силы действуют в одной плоскости
и проходят через одну и ту же точку (конкурет-
ные, компланарные силы):
; \
D.5)
1 В главе 2 плоскость X—Z применялась для плоскостных задач.
Здесь для той же цели принята плоскость X—Y. Это сделано для того,
чтобы читатель привык к пользованию различными системами обозначений.
70
Для примера, показанного на фиг. 76,Ь, имеем
1 у
2 у
Так как линии действия всех сил пересекаются в одной об-
общей точке и равнодействующая их равна нулю, они не соз-
создают никакого момента относительно любой точки и уравнение
удовлетворяется автоматически.
Фиг. 76. а—сходящиеся (конкурентные) силы в равновесии,
Ь— та же система в компонентах.
в) Силы действуют в любом направлении, но
проходят через одну общую точку (конкурент-
(конкурентные силы).
В этом случае имеем то же, что в случае «6»t с добавле-
добавлением третьего компонента:
ЕР.=0.
D.6)
г) Все силы действуют в одной плоскости
параллельно друг другу:
D.7)
Для примера, показанного на фиг. 77, имеем:
или
3 -yt~P3. v
71
д) В с е силы действуют в одной плоскости:
^=0
ZPy=O или
ЕР.=О
у
0
О или { ?Рг=0
= 0 I I/W =0.
D.8)
Для примера, приведенного на фиг. 78, имеем:
р -L-P. р Q
у = Р2 г:> = 0,
Примечание. В вышеприведенном примере можно предполо-
предположить, что силы Ра и Р;! представляют собой компоненты одной силы.
Силы Р/( и Рь также представляют одну силу.
I
1
Уг
У
Фиг. 77. Параллельные силы
в равновесии.
Фиг. 78. Компланарные силы
в равновесии.
е) Силы действуют з любом н а п р а в л е н я-и и
приложены в любой точке, т. е.' имеют компоненты
по всем трем осям и моменты относительно этих же осей.
ЕР,
0
Силы ЕРу=0
ЕЖ,-0
Моменты ?Afy =
Общий случай [уравиен-ня
D.3) и D.4)
Этот общий случай охватывает все вышеприведенные част-
частные случаи, которые получались путем исключения тех урав-
уравнений, которые явно удовлетворялись поставленными условия-
условиями задачи. Если есть какие-нибудь сомнения, то всегда можно
пользоваться этими общими уравнениями, поскольку пользова-
72
IP.
?
t
ние «лишними» уравнениями никакой сшибки не дает, так как
они просто обратятся в тождества.
4. 8. Определение реакций (осевые нагрузки). Только что
приведенные уравнения равновесия можно использовать для
определения реакций. Сначала необходимо «отсоединить»-
конструкцию (или рассчитываемую деталь) в точках опоры,
мысленно заменяя закрепления неизвестными силами (или мо-
моментами), которые создаются этими
закреплениями и действуют на кон-
конструкцию. Теперь конструкцию
можно рассматривать как свобод-
свободное тело, и можно написать урав-
уравнения равновесия. В уравнения
должны быть включены все извест-
известные внешние силы и 'моменты. Ре-
Реакции тогда можно рассматривать
как неизвестные величины, относи-
относительно которых и должны быть ре-
решены уравнения.
Простейшим уравнением равно-
равновесия является, конечно, уравнение
ряда сил, действующих т> одной линии (п. «а», § 4. 7). Физи-
Физический смысл такой системы можно объяснить, если вообра-
вообразить закрепленную в верхнем конце нить, на которой навешен
ряд различных грузов (фиг. 79,а). Задача состоит в том, что-
чтобы найти нагрузку, действующую в точке закрепления нити.
Очевидно, эта нагрузка равна сумме грузов. Чтобы решить,
это методом уравновешивания, уравнение надо написать так;
[ЕР—01 Р -LP -J-P -!-Р Рп=0
L # w I * 1 i 2 i J i * 4 *< w'
Pi
(Ь)
(с)
Фиг. 79. Реакция осевых сил.
или
= 100 + 40 + 80 + 50=270
Очень важно отметить, каким образом здесь были приме-
лены правила знаков. При приведении системы к свободному
телу на фиг. 79,Ъ реакция HR была показана действующей в.
направлении, противоположном направлению приложенных
сил. Следовательно, если приложенные силы рассматриваются
как положительные, то в уравнении равновесия реакцил, изоб-
изображенной как показано на фиг. 79, необходимо придать отри-
отрицательный знак. Такое предопределение направления реакции в
простых случаях вполне приемлемо, если им правильно поль-
пользоваться. Однако в более сложных случаях может произойти
путаница.
В обшем случае, когда систему представляют как свобод-
свободное тело и пишут уравнения равновесия, лучше принимать все-
73.
реакции положительными. Тогда при решении уравнений алгеб-
алгебраический знак реакции укажет на tee действительное направ-
направление. Если действовать таким образом, то задача нагружен-
нагруженной нити была бы представлена, как показано на фиг. 79,с,
а уравнения имели бы вид
[Е/>=0
0,
100—40—80—50
270
Знак отрицания показывает, что реакция Pr на самом деле
действует в отрицательном направлении, т. е. противоположно
тому направлению, которое показано на фиг. 79,с и которое
произвольно было принято при составлении уравнений.
Самым важным правилом, которое следует извлечь из этих
элементарных примеров, является правила соблюдения
согласованности между принятыми условиями. Неиз-
Неизвестные реакции можно принять действующими в любом на-
направлении— либо в положительном, либо в отрицательном, ет>
алгебраическое решение укажет, было ли принятое допущение
правильным или нет (правильным, если знак получается поло-
положительным). В этом случае знак, получающийся при решении
уравнений равновесия, н<е будет иметь никакого отношения к
условиям знаков, установленным для известных сил. Поэтому
очень важно, чтобы схема свободного тела и уравнения были
согл асов аны в отношен и и зн а ков.
В качестве примера допустим, что была принята схема,
изображенная на фиг. 79,Ь (показывающая, что реакция дей-
действует в направлении, противоположном известным силам).
Допустим также, что уравнения, как это показано, были реше-
решены правильно. Ответ для PR получается положительным. Бы-
Было бы, очевидно, неправильно понимать, что сила Р* положи-
положительна по направлению и поэтому должна быть направлена
вниз.
Главное, что всегда необходимо иметь в виду, это то, что
знаки, получающиеся при решении уравнений равновесия, ука-
указывают, были ли начальные допущения приня-
приняты правильными или нет. Совпадение направления
полученных реакций с положительным и отрицательным на-
направлением осей координат будет лишь в том случае,
если при написании уравнений равновесия знаки реакций, вне-
внесенные в уравнения, также соответствовали знакам осей коор-
координат, принятым для всех прочих сил.
Можно привести другой элементарный пример, когда труд-
трудно заранее определить направление равнодействующей. Допу-
Допустим, что к неподвижной опоре (например, к столбу) прикреп-
прикреплен трос и что в противоположные стороны от этой опоры при-
74
ложено несколько известных сил (фиг. 80). С первого взгляда
невозможно предсказать направление реакции в опоре. Поэ-
Поэтому лучше всего « не пытаться это делать, а предположить,
что реакция действует в положительном направлении (т. е. как
показано, влево). Если опору заменить ее реакцией на трос, то
уравнение равновесия будет;
P,
100—75 + 304-110
35.
Отрицательный знак указывает, что предположение в от-
отношении направления реакции было неправильным. Следова-
Следовательно, реактивная сила з действительности направлена проти-
противоположно тому, как показано на фиг. 80.
Опорный
столд
30
Фиг. 80.
Этот простой пример также показывает, что конструкция
может быть «разрезана» (или изолирована) в любой удобной
точке, с тем чтобы получить необходимую силу. Например,
если требуется рассчитать крепление левой части троса, то
трос разрезают в месте этого крепления, и реакцию находят
так же, как на фиг. 79. Реакцию для правой части троса также
находят отдельно. Сумма этих двух реакций, очевидно, даст
тот же ответ, который получился, когда отрезали как бы саму
опору от столба.
4. 9. Действие и противодействие. Пока дело касается
элементарных примероз, следует рассмотреть связь между
действием и противодействием. Согласно третьему закону
Ньютона, единственное различие между этими двумя вели-
величинами заключается в знаке или направлении дей-
действия — они всегда равны между собой и противоположно
направлены. Единственный вопрос, который может вызвать
затруднения при расчете конструкции, заключается в том, что-
чтобы знать, какая сила на какую деталь конструкции действует.
Когда реакция получается путем решения уравнений равнове-
равновесия, то эта сила (или момент) должна всегда рассматривать-
рассматриваться действующей на свободное тело, т. е. на элемент конструк-
конструкции, на который действуют известные внешние нагрузки (вве-
(введенные в уравнения). И обратно, действие этой конструк-
конструкции на точку или точки, к которым она прикреплена, т. е. опор-
75
ные давления, всегда равны реакциям, но направлены В'
обратную сторону.
Например, на фиг. 80 реакция в 35 кг, действующая вправо
(на что указывает отрицательный знак в решении), представ-
представляет собой силу действия опоры на трос. Для того чтобы по-
получить силу, действующую на опору, знак реакции меняют на
обратный, т. е. отрицательный знак становится положитель-
положительным, указывая на то, что сила действует на опору влево.
Фиг. 81. Определение реакции.
На первый взгляд может показаться, что составление урав-
уравнений равновесия для определения реакций является слишко.м*
сложным и что простое суммирование сил дало бы тот же от-
ответ быстрее. Это было бы верно в простом случае передачи
силы по одному направлению, который мы рассматривали до
сих пор. Однако, как уже отмечалось выше, необходимость в
определении реакции становится неизбежной, когда сила пе-
передается более чем по одному направлению. Простое сумми-
суммирование тогда делать нельзя, необходимо пользоваться урав-
уравнениями равновесия для определения реакций, которые в свою
очередь, показывают, как силы распределяются между различ-
различными точками и направлениями. Простые примеры передачи
сил по одному направлению приводились для того, чтобы по-
помочь создать ясную картину поставленной задачи, прежде чем
приступить к рассмотрению более общих случаев.
4. 10. Реакция сил, лежащих в одной плоскости и прохо-
проходящих через одну общую точку. Допустим, что задача видо-
видоизменена: тросы тянут столб в различных направлениях. • Для
тога чтобы найти реакцию столба, следует пользоваться урав-
уравнениями равновесия п. «б» § 4. 7. Сначала необходимо полу-
получить компоненты сил по двум взаимно перпендикулярным осям
(эти оси можно провести как угодно). Необходимо найти как
величину, так и направление реакции. Последнее оп-
определится направлениями и величиной полученных компонен-
компонентов. Эти неизвестные компоненты изображены на фиг. 81,а
76
действующими б принятом положительном направлении силы
Допустим, что значения приложенных сил следующие:
Р
3.v
10;
15;
10.
р.
-У
P,
10;
5;
¦15.
10—5—ЛЪ
R
35;
= 0,
¦ Для того чтобы представить конструкцию как свободное те-
тело в равновесии, можно начертить фиг. 81 ,Ь. Направление
реакции легко получается графически, если нанести ее ком-
компоненты параллельно принятым осям в направлениях, соот-
соответствующих знакам, полученньш при решении.
4. 11. Реакция сил, действующих в любом направлении и
проходящих через общую точку. Уравнения равновесия для
этого типа передачи сил даны в § 4. 7 [уравнения D. 6)]. Об-
Обращаясь к предыдущему примеру (фиг. 81), вообразим, что
кроме сил, действующих параллельно земле, имеется другая
сила, которая дейстзует перпендикулярно к земле, т. е. вниз
или вверх. Допустим, например, что на фиг. 81,а показан столб
ери виде сверху и что одновременно с другими силами дейст-
действует сила в 30 кг, направленная вверх. Реакция теперь будет
иметь компонент в вертикальном направлении, который можно
обозначить как /-у?:. К уравнениям § 4. 10 необходимо доба-
добавить еще одно уравнение с тем, чтобы отразить направление
Z. Если для нагрузок, перпендикулярных к земле, принять по-
положительное направление вверх, а также допустить, что реак-
реакция имеет положительный компонент по оси Z, то третье урав-
уравнение равновесия будет;
р
/?г
зо.
Это указывает, конечно, на то, что реакция равна и прямо-
противоположна приложенной нагрузке. Но поскольку это
только компонент суммарной реакции, то значение последней
Должно быть получено из уравнения:
P
R
77
Порядок решения не зависит от числа сил, действующих
з вертикальном направлении. Если бы приложенные нагрузки
не были ни параллельны, ни перпендикулярны к земле, то не-
необходимо было бы разложить их на компоненты в направле-
направлениях X, У и Z. Обращаясь с этими компонентами как с само-
самостоятельными нагрузками, мы име-
имели бы порядок решения таким же,
как описано выше.
4. 12. Реакции сил, лежащих в
одной плоскости и действующих па-
параллельно одной линии. Это условие
у3=во выражается п. «г» § 4. 7. Для то-
того чтобы приложить его к приме-
примеру со столбом, необходимо доба-
добавить Другой элемент, как указано
на фиг. 82. Теперь можно пользо-
пользоваться уравнениями D. 7). Эта
уравнения показывают, что столб
должен иметь не только реактив-
Фиг. 82. Рычаг, нагруженный
параллельными силами
(реакции на столб не показаны), ную силу Pr, но также и реак-
реактивный вращающий mi о м е н т
Mr .
Уравнения примут вид:
100+50 —
+ Р
/?
0,
120 кг,
100-80+50-60—30-40+Л*я=0,
8000+3000 —1200 + Л*я=0,
Mr =—9800 кгсм.
Эти значения представляют собой реакции, действующие на
свободное тело, которое в действительности является плечом ры-
рычага для передачи сил на столб. Действие их на столб будет, ко-
конечно, прямопротивоположно, т. е.
Я= + 120 кг,
Ж= + 9800 кгсм.
По фиг. 82 при помощи принятого условия знаков легко оп-
определить направления, с которыми эти силы и моменты действуют
на столб, хотя непосредственно в точке их приложения они и
не показаны.
4. 13. Реакция сил (не параллельных друг другу), лежа-
лежащих в одной плоскости. На фиг. 83 силы Plf P2 и Р3 сначала
необходимо разложить на компоненты по соответствующим
осям, как это показано на фиг. 83,Ь. На фигуре также указаны
78
принятые условия знаков. Теперь необходимо написать три
уравнения равновесия, а именно (см. уравнения 4. 8):
ЕР =0
Е7И =0.
Решение этих уравнений даст реакции на плечо рычага в
точке его закрепления. Равнодействующая сила получится век-
векторным сложением двух компонентов равнодействующей Prx и
pRy. Силы, действующие на столб, будут, понятно, обратны па
Фиг. 83. Рычаг, нагруженный непараллельными силами
(реакции ие показаны).
знаку и равнодействующая их будет действовать в противопо-
противоположном направлении.
Следует отметить, что на фиг. 82 и 83 не показаны реакции,
поэтому рассматриваемые на них элементы конструкции не на-
находятся в равновесии.
4. 14, Реакции сил, действующих в любом направлении.
Допустим, что на фиг. 83 имеются также силы или их ком-
компоненты, действующие нормально к плоскости чертежа и при-
приложенные к нагруженньш точкам. Эти компоненты обозна-
обозначаются через Р2. Теперь необходимо воспользоваться общими
уравнениями равновесия (§ 4. 7) и принять определенное ус-
условие знаков для моментных осей, как это показано на фи-
фигуре.
Следует отметить, что ни одна из приложенных сил не
создает никакого 1момента относительно оси У, откуда следует,
что уравнение равновесия моментов относительно этой оси
адожно было бы опустить. Однако надежней всегда писать в с е
уравнения равновесия, так как любые ненужные уравнения
при решении выпадут.
79-
4. 15. Зависимость между реакциями и равнодействую-
равнодействующими. На этих простых примерах можно было показать, что
способы определения реакций и равнодействующих в основном
индентичны, так как реакция на самом деле является ни чем
иным, как прямой противоположностью равнодействующей. Сле-
Следовательно, общими правилами и способами, изложенными для
равнодействующих в главе 2, можно пользоваться и при опре-
определении реакций.
В расчетах имеют дело чаще с реакциями, чем с равнодей-
равнодействующими, главным образом потому, что это делает более
удобным применение уравнений равновесия. При пользовании
этими уравнениями оказывается возможным применять алге-
алгебраические методы и правила знаков, что весьма удобно в бо-
более сложных примерах.
4. 16. Реакция в случае передачи сил по двум направле-
направлениям. Как отмечалось выше, основной смысл подсчета реак-
реакции заключается в том, чтобы опре-
определить, каким образом осуществляет-
осуществляется передача сил по нескольким на-
направлениям. В простой балке, как;
например, показанной на фиг. 84, име-
имеются два пути, по которым могут про-
проходить силы, так как балка оперта в
точках / и 2. Поскольку невозможно
сразу сказать, какая доля каждой си-
силы придется на каждую опору, необ-
необходимо реакции в этих опорах при-
принять сначала неизвестными и для
определения их решить уравнения
равновесия.
Соответственно этому на фиг. 84
нарисованы два силовых вектора #,
и R, (показанные пунктирными линиями, чтобы указать, что их
величины неизвестны). Линии действия (но не направление)
этих векторов определяются характером опоры. Так, если балка
лежит на двух катках без трения, то ясно, что реакции долж-
должны быть н о р м а л ь н ы к балке, т. е. никакого компонента
вдоль самой балки быть не может. Поэтому правильно принять
реакции вертикальными.
Направление (вверх или вниз) можно было бы здесь
•определить непосредственно <из фигуры, но это в общем случае
сделать не всегда возможно. Поэтому лучше пользоваться об-
общим правилом, т. е. принять реакции положительными, а
алгебраическое решение покажет, было ли это допущение при-
принято правильным или нет (на фиг. 84 принятое положительное
направление случайно совпадает с очевидным направлением
реакций).
Фиг. 84. Простая балка
на двух опорах.
80
Поскольку все силы и реакции параллельны оси У, то урав-
уравнения равновесия для сил приводятся к виду:
[ЕР„=0] Я, —100 —140+Я2=0
или
?„=240.
D.9)
Это решение дает только сумму реакций. Поэтому необ-
необходимо применить уравнение равновесия для моментов (это
можно было бы заметить, обратившись к § 4. 7). Поскольку
свободное тело находится в равновесии, то момент внешних сил
относительно любой точки должен равняться нулю; отсюда сле-
следует, что нет никакой разницы в том, какая точка будет выбра-
выбрана лри суммировании моментов. Обычно удобно выбирать точ-
точку на линии действия одной из реакций, так как при этом дан-
данная реакция исключается из уравнения моментов.
Если выбрать точку 1, то уравнение равновесия для -момен-
-моментов будет
[ЕМ=0] A00-10)+ A40-40) — (/?,-70)=0,
1000 + 56С0—70/?,=0,
6600
70
94,3.
Другую реакцию можно было бы найти, если взять моменты
относительно R\>, но проще подставить вышенаписанное значе-
значение для R.2 в уравнение {4. 9), что дает:
Д1=240
94,3,
/?1 = 145,7.
Можно пользоваться обоими способами, давая два неза-
независимых подсчета для Ru что должно служить проверкой. Та-
Такой вид проверки является чрезвычайно полезным при расче-
расчетах конструкций и его следует применять всегда, когда это
возможно.
4. 17. Применение фиктивной! опоры. Физическую картину
может быть легче было бы представить при следующих рас-
рассуждениях. Допустим, что балка закреплена только на одном
конце, как это показано на фиг. 85,а. Уравнения равновесия
тогда будут:
[ЯР=0] /?i — ЮО—140=0,
У?! = 240;
= —6600,
6 Ф. Р. Шенли.
81
В действительности в точке / не может быть реактивного мо-
момента, но может быть вертикальная сила в точке 2. Поэтому
фиктивный момент М# должен быть приложен в виде пары
сил, действующих в точках / и 2 на плече момента в 70 см.
Значение каждой из сил, составляющих эту пару, будет
p
6600
70
70
94,3.
100
140
(о)
U5.7
Фиг.
85. Применение фиктивно
закрепленной концевой опоры.
Поскольку подсчитанное значение Mr получилось отрица-
отрицательным, то реактивная пара должна действовать з направле-
направлении против часовой стрелки (на-
(направление по часовой стрелке на
фиг. 85.а принято положитель-
положительным). Теперь пара за-меняет век-
вектор момента/И^, как это показа-
показано на фиг. 85,Ь, и окончательная
реакция в точке 1 получается ал-
алгебраическим сложением. В ре-
результате реакции получаем, ко-
конечно, такие же, как и предыду-
предыдущим способом.
На самом деле, вычислитель-
вычислительные операции в точности одина-
одинаковы в обоих способах. Физиче-
Физическое понимание действия дары
сил является очень полезным и расчетчик должен пытаться
представить себе реакции именно таким образом. Ниже будут
даны примеры, чтобы показать как это понятие можно с успе-
успехом применять для упрощения задачи.
4. 18. Простая балка, нагруженная непараллельными, си-
силами. В качестве примера действия на конструкцию непарал-
непараллельных сил рассмотрим ве-
велосипед, удерживаемый не-
неподвижно на наклонной по-
поверхности при помощи тор-
дюза на заднем колесе. Вме-
Вместо числового значения сил
будем пользоваться буквен-
буквенным обозначением. Решение
поэтому будет общим, и им
можно пользоваться для
любого аналогичного чис-
числового примера путем под-
становки значений сил и
расстояний.
Сначала выбираем оси и соответствующее условие знаков,
как показано на фиг, 86.
Фиг.
Реакции на велосипед.
г
П р и м е ч а и и е. Индексы V и D обозначающие вертикальное
направление и направление сопротивления, приняты нарочно для того,
чтобы показать, что пользоваться можно любой системой обозначений,
если ее придерживаться на протяжении всей задачи.
Затем исследуют точки опор (реакции) с тем, чтобы посмот-
посмотреть, может ли направление какой-нибудь из реакций быть
определено заранее. Поскольку тормоз находится только на
заднем колесе, то очевидно, что реакция на переднем колесе
должна быть нормальна к поверхности земли.
Направление реакции заднего колеса нельзя определить
заранее, так как эта реакция содержит как силу торможения,
так и вертикальную силу. Эта неизвестная реакция должна
быть разложена на два компонента, направления которых из-
известны, а величины необходимо определить. Эти компоненты
обозначены через R. и R.:.
Нагрузка, действующая на велосипед (его собственный вес
плюс вес велосипедиста), принята сконцентрированной в цен-
центре тяжести данной системы, координаты которого являются
размерами а и Ь. Эта нагрузка должна быть разложена на
компоненты, действующие параллельно принятым осям. Эти
компоненты будут
р
1)
P sin <-»,
где 6 — угол наклона поверхности земли.
Теперь можно написать уравнения равновесия (§ 4. 7):
[ЕРГ=О] /?!-{-/?2—Pcos0 = O.
=0) /?3—Psin6=0.
= 0J /?хг—аРcose—*Psin 0 = 0.
П р и м е -I a и и е. .Моменты берутся относительно точки касания
заднего колеса. Это исключает из уравнения две реакции.
Второе уравнение сразу дает реакцию /?3 = Psin 6. Третье
уравнение можно решить относительно Rx:
a cos H -J- b sin В
D.10)
Из первого уравнения получается R» после подстановки
значения R{.
R2 = Pcos Q—Ri\
P
cos в
a cos 0 4-й ^'n в
D.11)
С помощью уравнений D. 10) и D. 11) можно получить от-
ответ для любого конкретного случая просто путем подстановки
6* 83
числовых значений. Например, если бы велосипед находился
на горизонтальной поверхности, то в было бы равно нулю и
уравнения D. 10) и D. М) приняли бы вид:
D.10а)
D.11а)
а
а
с
Р
Ь
так как cos 6 = 1, sin 6 = 0 и а=с—Ъ.
Если бы тормоз был только на переднем колесе, то тормоз-
тормозной компонент #з (фиг. 86) действовал бы целиком на перед-
переднее колесо. Тогда возникает вопрос; «А что, если оба колеса
будут заторможены»? Очевидно, что ответ может занимать
какое-то промежуточное положение между двумя уже рассмот-
рассмотренными случаями, в зависимости от степени заторможения
каждого колеса. Задача поэтому стала неопределимо й,
если пользоваться только законами статического равновесия,
ибо в данном случае для решения необходимы дополнительные
условия, при помощи которых можно найти распределение сил
торможения между задним и передним колесами. Очень важ-
важно научиться отличать такие статически неопредели-
неопределимые конструкции. Это более подробно описано в главе 5. В
дальнейших изложениях необходимо иметь в виду, что рас-
рассматриваются только статически определимые кон-
конструкции, за исключением специально оговоренных случаев.
4. 19. Реакции в случае распределенных нагрузок. Когда
внешние нагрузки даются в виде нескольких сосредоточенных
сил, то пользоваться уравнениями равновесия при подсчете,
реакций относительно просто. Однако в случае распределен-
распределенных нагрузок трудно решать задачу таким же образом. Для
упрощения задачи можно воспользоваться несколько иным
подходом к решению. В § 2. 18 было показано, как распреде-
распределенные нагрузки можно суммировать по произвольным осям,
получая :в любой точке результирующие силы и моменты. Этот
способ можно применить для замены внешних нагрузок экви-
эквивалентными результирующими, которыми легче пользоваться
в уравнениях равновесия.
Прекрасным примером применения этого способа мажет
служить крыло самолета с подкосом, показанное на фиг. 87.
Внешние нагрузки можно изобразить в виде эпюры погон-
погонных нагрузок q в плоскости чертежа. Следуя способу, изло-
изложенному в § 2. 19, эти погонные нагрузки можно привести (при
помощи суммирования или интегрирования), к эпюре вертикаль-
вертикальных сил Рг> которая опять интегрируется для получения эпю-
1ры моментов. Эти операции показаны на фиг. 87 в виде малень-
маленьких рисунков справа.
84
Сначала допускаем, что диагонального «несущего» подкоса
не существует. На фиг. 87,а показан предполагаемый разрез
по подкосу. На фиг. 87,Ь показаны полученные таким образом
фиктивные результирующие в точке У. Поскольку в данном
случае нас интересуют реакции, исходные нагрузки можно
заменить их эквивалентными результирующими, делая
таким образом решение задачи значительно более легким.
пзгоннАя идгрузНА q
Рдзрез
(о)
Фиктивные
езультирующие
V,,.
(Ь)
->»
Принятые
реакции
Фиг. 87. Вычисление реакций для крыла самолета.
Уравнения равновесия:
-^2: Rz\ 4~ Rti + Pz\ = 0
SP,: Rxl + Rx2 + 0 - 0
SAfyI: M±+Ra-b = 0
Соотношение из условий наклона подкоса:
RХ2 == "-' #z2»
ь_ горизонт, проекция подкоса
вертикальн. проекция подкоса
Порядок решения:
1. Решить уравнение (с) относительно R22.
2. Подставить Rz2 в уравнение (а) и найти Rz}.
3. Подставить Rz2 в уравнение (d) и найти RX2-
4. Подставить R^> в уравнение (Ь) и найти Rxi.
Сложить компоненты R2 н получить равнодействующую:
(а)
(Ь)
(с)
(d)
Ro=
+
85
г
Если соединение и точке 1 осуществлено в виде шарнирно-
шарнирного узла, то вычисленный момент не .может быть воспринят з
этой точке. Единственным элементом, который удерживает
балку от вращения вверх, является подкос, который должен
воспрепятствовать такому вращению вследствие возникающе-
возникающего в нем растяжения, действующего на балку как сила в точке 2.
Гак как направление несущего подкоса известно, то его
можно заменить реакцией /?,, величину которой надо вы-
вычислить.
По общему методу определения реакции необходимо ком-
компоненты неизвестных реакций в точках 1 и 2 принять поло-
положительными, как показано на фиг. 87,с (фиг. Ь и с пока-
показаны отдельно для ясности; но для того чтобы привести сво-
свободное тело к равновесию они должны быть совмещены). За-
Затем надо написать уравнения равновесия, объединяя фиктив-
фиктивные приложенные нагрузка на фиг. 87,Ь с принятыми реакциями
на фиг. 87,с. (Этот процесс является математической операци-
операцией наложения этих двух фигур.) Поскольку значения Рг и Мх
уже известны, то из уравнения ;можно найти неизвестные реак-
реакции, как показано на флг. 87.
Следует отметить, что результаты также зависят от н а-
правления несущего подкоса. Это представлено математи-
математически при помощи уравнения (d), которое показывает зависи-
зависимость между двумя компонентами силы, действующей по- несу-
несущему подкосу. Знаки, получающиеся при решении уравнений,
укажут, в какую сторону реакции действуют на балку. В дан-
ком примере окажется, что все знаки реакций RzU Rr2 и Rx2
получаются отрицательными, указывая на то, что направления,
принятые для сил на фиг. 87,6*, были неправильными.
Существует много возможных вариантов в самом способе
решения, но примененный здесь способ является наиболее ха-
характерный. Можно было бы принять, что в несущем подкосе
действует растяжение, а векторы R,-: и R:2 нарисовать
в направлениях, противоположных показанным на фигуре. Ре-
Решение тогда указывало бы. что допущение относительно рас-
растяжения -было принято правильным.
4. 20. Более простое решение. Часто бывает, что можно
сократить вычисления путем применения способа пары
сил, изложенного в § 2. 13. В предыдущем примере можно
было видеть, что реакцией от вертикальной результирующей
Pzl будет равная и противоположная ей сила, действующая -в
точке /, а момент Л/, -можно 'было заменить эквивалентной па-
парой. Поскольку эта пара должна действовать между двумя
точками опоры и так как одна из сил должна действовать
по направлению несущего подкоса, то очевидно, что появится
реактивная пара, как показано на фиг. 88. Неизвестна только
величина реакции R>, которую очень легко можно найти, поделив
¦момент на плечо пары. Это расстояние d есть перпендикуляр,
86
м,
Т
I
Фиг. 88. Вычисление реакции
по несущему подкосу.
опущенный из точки 1 на линию действия /?а, как показано на
фигуре. Окончательная результирующая в точке / получится
сложением двух векторов, действующих в этой точке. Осе-
Осевые и поперечные силы, приложенные в точке 2, мож-
можно получить как компоненты R>.
Такой способ решения с мо-
моментами имеет большое значение
при расчетах конструкций, так
как он явно сокращает матема-
математические Действия и дает лучшее
физическое представление. Он
особенно удобен, когда необхо-
необходимо найти силу только в разре-
разрезанном элементе. Но им необхо-
необходимо пользоваться с осторожно-
осторожностью, так как он не обладает той
автоматичностью, которая свой-
свойственна классическому методу и поэтому возможны ошибки в
знаках.
Лучше .всего для решения приведенного здесь примера бы-
было бы проделать его сначала общим методом, а затем прове-
проверить результаты путем вычисления реакции в точке 2 спосо-
способом моментов.
4. 21. Распределенные нагрузки. Вышеописанные способы
позволяют определить реакции, но они не дают еще возмож-
возможности построить эпюру между точками опор. Можно было бы,
конечно, приложив вычисленные реакции к свободному телу и
уравновесив сто, затем начать все 'Вычисления сначала, чтобы
получить силы и дюменты на пролете методом численного ин-
интегрирования. Однако можно сделать проще, так как эпюры
уже построены для случая, когда в точке 2 никакой реакции
нет. Поэтому достаточно произвести дополнительно интегри-
интегрирование только для реакций в точке 2, построить соответст-
соответствующие эпюры и сложить их с полученными выше. Ход такого
расчета понятен из фиг. 89, на которой показаны расположен-
расположенные рядом кривые, полученные после раздельных интегриро-
интегрирований, а внизу даны окончательные эпюры, полученные сло-
сложением предыдущих кривых.
При пользовании способом наложения, очевидно, необходи-
необходимо, чтобы правила знаков были одинаковыми. Во избежание
путаницы построенные кривые должны также строго соответ-
соответствовать этим .правилам знаков, как это показано на фиг. 89.
Однако удобно знаки эпюр от реакций переменить на обрат-
обратные и нанести эти эпюры на эпюры для внешних сил. Оконча-
Окончательные значения тогда получатся непосредственным замером
разностей между кривыми. Это указано на фигурах пунктир-
пунктирными линиями. В связи с операциями, показанными на фиг. 89,
интересны следующие выводы:
a) Осевой (л) компонент реакции от несущего подкоса не-
непосредственно никак не влияет на кривые перерезывающих сил
или моментов. (Вторичные эффекты рассматриваются в
главе 19.)
b) Окончательная вертикальная сила (перерезывающая) в
точке / должна быть равна вычисленному значению вертикаль-
вертикальной реакции в этой точке.
НЛ1Р3'ЗкА
Реакция
нлгрузки #
Поперечные
(перерезыва-
(перерезывающие) р
сипы
г>^
^<Ц
Окончлтельные
перерезы вАмщие
силы
моменты
Фнг. 89. Вычисление окончательных сил и моментов.
с) Окончательный момент в точке / должен оказаться рав-
равным нулю.
(Последние два пункта представляют прекрасную провер-
проверку при решении.)
Примечание. Поскольку известно, что окончательный момент
в точке / должен быть равен нулю (из-за шарнирности узла) и что мо-
момент в точке 2 от реакции* созданной несущим подкосом, также равен
нулю, то кривая окончательных моментов может быть получена и сразу
путем проведения пунктирной линии, как показано на фиг. 89.
4. 22. Графические методы определения реакций. В главе
2 описаны различные методы графического определения рав-
равнодействующей нескольких сил. Реакция, конечно, равна по ве-
величине и противоположна по направлению равнодействующей
и дается замыкающей линией векторной диаграммы (или сило-
силового многоугольника). Если пользоваться обозначением по спо-
способу Бау (§ 2, 7), то направление и величина реакции опре-
определяется непосредственно по силовому многоугольнику (см.
§ 2. 8). При помощи веревочного многоуголь-
многоугольника равнодействующую системы сил можно поместить на
диаграмме, а момент этой
равнодействующей относитель-
относительно любой точки .можно легко
определить замером» плеча до
этой , равнодействующей. Та-
Таким способом можно найти
реакции при передаче сил по
одному направлению.
Применением веревочного
¦многоугольника можно также
пользоваться для нахождения
реакций при передаче сил по
двум направлениям. Силовой
Фиг. 90. Графическое определение
реакций.
многоугольник строится обыч-
обычным способом: выбирается по-
полюс, а лучи проводятся,
как описано в § 2. 8 и показано на фиг. 90. Вместо того, чтобы
два внешних луча ОА и OD использовать для определения точ-
точки приложения равнодействующей, ими пользуются для опре-
определения замыкающей для веревочного многоугольника. Это де-
делается путем продолжения веревочного многоугольника до пе-
пересечения с линиями действия неизвестных реакций. На фиг. 90
линии оа и od проведены указанным образом и определяют
положение замыкающей ое (две пунктирные линии проведе-
проведены, чтобы показать построение для одной равнодействующей
или реакции, но они в данном случае не нужны). Линия ое со-
соответствует в силовом многоугольнике лучу О?, который
можно сейчас провести параллельно ое. Точка Е определяет
реакции DE и ЕЛ.
Применение веревочного многоугольника можно распро-
распространить и на случай, когда известны направление только од-
одной из реакций и точка приложения другой.
На фиг. 91 показан такой случай, в котором направление Rt
известно заранее, а Для R2 известна только точка приложения.
Многоугольник для известных сил строят обычным образом,
проводя лучи ОА, ОВ и т. д. Направление линии АЕ можно
провести сразу, но Д л и н у ее определить сразу нельзя. Она
определится, когда последний луч будет проведен параллельно
замыкающей веревочного многоугольника. Так как плечо мо-
мента реакции Rt относительно точки приложения другой реак-
реакции должно быть сохранено, то веревочный многоугольник
нельзя начинать строить из любой произвольной точки, а он
должен проходить через точку приложения R.. Отсюда следует,
что построение необходимо начать из точки, и линию ос/ необхо-
необходимо провести параллельно OD, ос параллельно ОС и т. д. За-
Замыкающая ое дает направление для силового вектора ОЕ в си-
силовом многоугольнике и таким образом определяет точку Е и
Фиг. 91. Графический метод
(общий случай).
векторы DE и ЕЛ. Пунктирные линии в силовом многоугольнике
являются линиями, найденными во время решения задачи. В
справочниках и учебниках по строительной механике можно
найти много полезных приложений веревочного многоугольника
при определении реакций ,н кривых изгибающих моментов.
4. 23. Формулы и кривые в справочниках. Вышеописанные
примеры приведены главным образом для того, чтобы дат?
Фиг. 92. Статическое испытание отсека фюзеляжа самолета
в натуральную величину. Различные комбинации попереч-
поперечной нагрузки, изгиба и кручения прикладывались посред-
посредством гидравлических силовозбудитслей, часть из которых
можно видеть на фотографии.
90
ясное представление о существующих способах решения подоб-
подобных задач. Можно, конечно, выбрав ряд типовых схем балок с
различными нагрузками, найти для них реакции, перере-
перерезывающие си л ы и изгибающие 'момент ы, вы-
выраженные в зависимости от интенсивности нагрузки и размеров
балок. Если характер распределения нагрузок простой (равно-
(равномерная нагрузка, треугольная нагрузка и т. п.), то все вычисле-
вычисления .могут быть выполнены аналитически.
Такие готовые формулы, для многих простых типов балок и
нагрузок выведены и могут быть очень полезны для инженеров-
коЕ1Структоров, Их можно найти почти в любом учебнике строи-
строительной механики или техническом справочнике, и ими можно
пользоваться в обычных расчетах. Большая часть характерных
типов нагрузок приведена в приложении 3.
ЗАДАЧИ
4. 1. Часть балки, лежащую справа от сечения Л—А на-
начертить в уравновешенном состоянии, показав все силы и мо-
моменты, действующие в сечении (реакции показать как внешние
силы).
225 кг
t
нг
л* —
250
.АГ-*
16 м
Фиг. 93.
4. 2. Найти вертикальные реакш-ш, приходящиеся на каж
дое колесо от приложенных посадочных нагрузок,
Фиг. 94.
91
4. 3. Радиомачта должна воспринять воздушную нагрузку,
распределенную по закону треугольника, как показано на фи-
фигуре. Найти силы, приходящиеся на шарниры А и 5, которые
крепят мачту к основной конструкции.
"Г
О'-
Поверхность Т--
А В
Фиг. 95.
4. 4, Нарисовать в равновесии часть балки, лежащую слева
от сечения В—В, указав в нем перерезывающую силу и -момент
(сечение В—В взять на расстоянии 20 см от левого конца).
2Scm —¦>!
Фиг. 96.'
4. 5. На фигуре показана система двойного управления для
легкого самолета. Считая рукоятку задней ручки закрепленной,
подсчитать чему равен крутящий момент в трубе С от прило-
приложенной боковой силы в 20 кг, на переднюю рукоятку.
,-f. «?.
•:// см
Фиг. 97.
4. 6. Нарисовать несколько сходящихся векторов сил, как
показано на фиг. 81, но различных по -величине и направлениям.
Найти аналитически величину и направление реакции. Прове-
Проверить графически.
4. 7. К силам, о которых говорится в задаче 4. 6, добавить
Другую, действующую нормально к плоскости чертежа (по
92
оси Z). Подсчитать реакцию аналитическим способом. Прове-
Проверить ее значение графически, сложив реакцию новой силы с
реакцией, полученной в задаче 4, 6 (плоскость, в которой это
сложение происходит, будет на самом деле нормальна к пло-
плоскости чертежа, но векторы следует рисовать в плоскости чер-
чертежа.
4. 8. Изменить значения сил, показанных на фиг. 82, и найти
реакции. Проверить при помощи уравнений равновесия, поль-
пользуясь точкой приложения силы Pj как исходной точкой.
4. 9. Начертить консольную балку, нагруженную тремя по-
поперечными силами, различными по величине. Написать значе-
значения для сил и проставить размеры. Вычислить реакции (силу и
изгибающий момент) в закрепленном конце и построить для
балки эпюры перерезывающих сил и -моментов. Затем предполо-
предположить, что заделка заменена двумя опорами простой балки и оп-
определить реактивную пару, эквивалентную моменту заделки.
Показать, как это отражается на эпюрах перерезывающих сил
и моментов.
4. 10. Составить уравнения D. 10) и D. 11) для велосипеда
(ф'иг. 86), при заторможенном только переднем колесе.
4. П. Составить задачу наподобие показанной на фиг. 91
и получить реакции графически. Проверить путем подсчета из-
изгибающего момента и перерезывающей силы на правом конце,
предположив, что балка консольная и в этом конце заделана.
Затем заменить заделку шарниром и приложить необходимую
пару для возмещения реактивного момента. Найти правую
реакцию графическим сложением.
4. 12. Начертить в (масштабе лонжерон крыла самолета с
подкосом, как показано на фиг. 87. Начертить эпюру погонных
нагрузок q (аналогичную показанной на фигуре), имеющей у
корневого сечения крыла значение в 16 кг/см. Построить эпюры
перерезывающих сил и изгибающих моментов, приняв крыло
заделанным в корневом сечении, а несущий подкос разрезан-
разрезанным. Определить реакции и построить эпюры окончательных пе-
перерезывающих сил и изгибающих (Моментов для действитель-
действительного состояния. Определить осевую силу >в балке между точка-
точками / и 2.
Г Л А В А 5
УСТОЙЧИВОСТЬ, ОПОРНЫЕ ЗАКРЕПЛЕНИЯ
И ЛИШНИЕ СВЯЗИ
5. 1. Статически неопределимые конструкции. В примере
с велосипедом (§ 4. 18) было дано понятие об одном из весьма
важных вопросов расчета, а именно, о различии между стати-
статически определи м ы >м и и статически неопреде-
неопределимыми конструкциями. Для конструкций первото типа реак-
реакции можно определить, если рассматривать их как свободное
тело и решить уравнения статического равновесия, откуда и бе-
берется выражение «статически определимые». Статически неоп-
неопределимые конструкции (называемые также конструкциями с
лишними связями) нельзя решить пользуясь лишь уравнениями
статики.
Необходимо рассматривать другие факторы, влияющие на
работу, как, например, прогибы. Поэтому рассмотрение стати-
статически неопределимых конструкций удобнее отложить, пока не
будет изложен необходимый для этого дополнительный мате-
материал.
Однако даже при элементарном знакомстве с расчетом не-
необходимо научиться отличать статически неопределимые конст-
конструкции от статически определимых. В противном случае .можно
потратить впустую много времени, пытаясь решить невозмож-
невозможную задачу. Полезно также знать, как можно получить п р и-
ближенные решения, допустив некоторые упрощения, кото-
которые приводят неопределимую конструкцию к определи-мой.
В примере с велосипедам показаны две упрощенные стати-
статически определимые схемы: одна, при которой заторможено лишь
заднее колесо, и другая, где заторможено лишь переднее. Оче-
Очевидно, что все действительные комбинации распределения на-
нагрузок для случая, когда заторможены оба колеса, будут нахо-
находиться в пределах, охватываемых этими двумя упрощенными
«крайними» схемами. Такой метод перекрывающих допущений
или метод «вилки» часто применяется в инженерной практике
при приближенных расчетах.
Он состоит в том, чтобы привести задачу к статически опре-
определимой путем введения одного или больше упрощающих допу-
94
тдешщ. Получив решение, допущения можно изменить и полу-
получить другое решение. Другие подобные примеры будут даны
ниже, здесь же (можно отметить, что таким путем простые урав-
уравнения статического равновесия часто можно применять для при-
приближенного решения статически неопределимых задач.
5. 2. Лишние 'элементы. Статически неопределимую кон-
конструкцию можно еще иначе определить как конструкцию, имею-
имеющую элементов (или связей) больше, чем это необходимо для
обеспечения передачи силы. Так, например, чтобы воспрепятст-
воспрепятствовать движению, достаточно было затормозить только одно
колесо велосипеда; применение обоих тормозов создало одно
лишнее закрепление и сделало невозможным решение задачи
при помощи простых законов равновесия. Выражаясь матема-
математически, в статически неопределимой конструкции реакций
(связей) в закреплениях больше, чем может быть найдено из
уравнений равновесия.
Другим простым примером может служить обычный стол.
Трехногий стол имеет как раз достаточное количество по-
жек для того, чтобы конструкция могла быть в равновесии. До-
Добавление четвертой ножки должно поэтому сделать задачу ста-
статически неопределимой. Это на самом деле так, ибо нагрузка на
каждую ножку теперь будет зависеть не только от законов рав-
равновесия, но также и от длины ножек, состояния пола или от то-
того и другого. Если бы мы захотели найти расчетную нагрузку на
каждую ножку стола «способом вилки» или способом перекры-
перекрывающих допущений, Тс' надо было* бы для каждой ножки найти
усилия, предполагая последовательно, что каждая из трех
остальных не касается пола и, следовательно, не нагружена.
Таким обр а зол! для каждой ножки >мы получили бы три раз-
различные, но возможные величины усилия. Рассчитав каждую
ножку на максимальное из полученных усилий, мы, несомненно,.
обеспечили бы прочность конструкции. Но если стол касается
пола всеми четырьмя ножками, то действительные усилия бу-
будут меньше тех, которые мы получили, и будут лежать между
максимальным и минимальным значениями, полученными «спо-
«способом вилки», который и называется так потому, что как бы
захватывает в «вилку» область величин, в пределах кото-рой на-
находится ее истинное значение.
Минимальное количество элементов, необходимое для пере-
передачи силы, будет зависеть от типа конструкции и от размерности
пространства, -рассматриваемого при этом. Например, передача
силы осевым растяжением требует только «одномерного' прост-
пространства», и, следовательно, достаточно только одного элемента.
В некоторых типах самолетов иногда для передачи осевой си-
силы применяются, двойные расчалки, идущие рядолт. Обычно при-
принято при определении расчетного усилия в каждой расчалке
пользоваться (методом перекрывающих допущений, так как точ-
точное его значение будет зависеть от предварительной затяжки
95
Статически
определимы»
Фиг. 98. Типы плоских конст-
конструкции.
(например, каждую ленту 'можно было бы спроектировать таким
образом, чтобы она воспринимала 60% от суммарной нагрузки
вместо 50%).
При «двухмерном пространстве» (на плоскости) требуется
минимум два элемента или один элемент с одной заделкой. Так,
на фиг. 98.а показаны два эле-
элемента А п В, а на фиг. 98,Ь по-
показан один элемент, заделан-
заделанный на одном конце. Обе эти
задачм статически определимы.
Но если бы один из элементов
фиг. 98,а был так же заделан на
юдном конце, как это показано
на фиг. 98,с, или если бы был
I р Щ Г^^^ 1Ш -добавлен третий элемент, как
*г *,/,. тг -<>_//,* показано на фиг> 98,d, то зада-
задача стала бы статически неопре-
неопределимой.
Рассмотренный выше пример
со столом относится к случаю в
трехмерном пространстве. Шта-
Штатив также представляет собой
прекрасный пример простейшей пространственной системы, ши-
широко применяемой в конструкции. Если на фиг, 98,d третий эле-
элемент не будет лежать в плоскости двух других, то конструкция
опять станет статически определимой, даже если нагрузка
останется в плоскости первоначальных двух элементов. Это бу-
будет ясно из дальнейшего.
5. 3. Устойчивость. Прежде чем продолжить вопрос об
определении реакций, целесообразно кратко рассмотреть зада-
задачу об устойчивости системы. В современной конструкторской
практике — это один из наиболее важных вопросов, но он так-
также имеет приложение и в вопросе о реакциях и статически не-
неопределимых конструкциях.
Если требуется поддержать какой-нибудь груз шарнирно-
опертым вертикальным столбом, работающим на сжатие, как
на фиг. 99,а, то согласно вышеизложенным правилам, этого од-
одного элемента должно быть достаточно для передачи силы. Но
каждому ясно, что практически так осуществить конструк-
конструкцию нельзя, а надо бы вбить этот столб в землю (как на
фиг. 99,Ь) или пристроить дополнительные элементы (как на
фиг. 98,с). На первый взгляд от таких добавлений конструкция
должна стать статически неопределимой, но в действительности
ее можно рассматривать как статически определимую.
Дело заключается в том, что мы не можем отойти от дейст-
действительности, т. е. от того, что мы живем в трехмерном прост-
пространстве и не можем нагружать конструкцию в идеальных усло-
условиях. На фиг. 99;а малейшая эксцентричность нагрузки или на-
клон стойки создала бы компонент силы в другом направлении,
а воспринять его было бы нечем. Поэтому оды должны приспо-
приспособить конструкцию для воспринятия этих очень маленьких
отклонений от идеального нагружения, а это значит, что все
действительные конструкции должны иметь достаточное
количество стержней или закреплений, учитывающее нагруже-
Устойчивая
УстоичизАЯ
(Ь) (с)
Фиг. 99. Примеры устойчивой и неустойчивой системы.
мне в трехмерном пространстве. Если приложенная сила тео-
теоретически не требует этих дополнительных стержней (или за-
закреплений), то при суждении о статической определимости ими
можно пренебречь, даже если они н необходимы с практиче-
практической точки зрения.
В качестве другого примера можно опять привести велоси-
велосипед (см. § 4. 18). Как показано на фиг. 86, задача статически
определима, если рассматривается
двухмерное пространство. На самом
деле, если бы велосипед стоял спо-
спокойно, то- О'И стремился бы опроки-
нуться вбок и потребовал бы дополни-
дополнительного элемента или закрепления
для того, чтобы его сделать устой-
ч и в ы м в третьем направлении. Точ-
Точно так же, если бы он находился на
горизонтальной поверхности, то за-
закрепление при помощи тормоза теоре-
тическп было бы лишним. Однако
включение тормоза не сделало бы за-
задачу статически неопределимой, а с
практической точки зрения оно обес-
обеспечивало бы воспринятые любого не- Фиг. 100. Элемент, работаю-
значительнО'Го отклонения поверхности щий на растяжение,
от горизонта.
Кажущимся исключением из вышесказанного является про-
простой элемент, работающий на растяжение. Если бы груз на
фиг. 99 был подвешен на тросе, как показано на фиг. 100, то
7 Ф. Р. Шен.
ш.
97
не нужно было бы добавлять поперечных опор или закреплении.
Это объясняется тем, что элемент, работающий на растяже-
растяжение, самоустойчиз. В самом деле, если бы какая-нибудь причи-
причина заставила груз переместиться вбок, как показано1 пунктирны-
пунктирными линиями, то компонент силы, действующий нормально к тро-
тросу, вернул бы груз опять в прежнее положение. Однако, по су-
существу, это не есть исключение, так как добавление достаточно-
достаточного количества элементов для того, чтобы удержать груз от кача-
качания, не изменило бы нагрузку на трос и задача осталась бы
статически определимой. Без этих элементов груз мог бы на-
находиться в движении и такая система должна была бы быть от-
отнесена к разделу im e x а н и з м о в (как характерный пример-
такого простейшего механизма можно привести маятник).
5. 4. Механизмы. Выше было показано, что статически
определимая система (или конструкция) должна иметь мини-
минимальное, но достаточное количество элементов или зак-
закреплений для того, чтобы О'На была неизменяемой. Если н е т
достаточного количества элементов, то и конструкции как.
неизменяемого целого не существует (за исключением элемен-
элементов, работающих на растяжение, как отмечено выше). В отли-
отличие от неизменяемой системы такое сопряжение элементов на-
называется механизмом. С точки зрения статической передачи
сил механизм непригоден, так как он не будет передавать силу,
а начнет перемещаться как только- последняя будет при-
приложена.
Хотя механизм, очевидно, не имеет практического приме-
применения как способ статической передачи сил, но здесь :мы упоми-
упоминаем о еем именно потому, что необходимо научиться отличать
механизм от неизменяемой системы и не допустить, чтобы он
случайно лапал в конструкции. Вполне возможно, что предла-
предлагаемая для расчета недостаточно продуманная конструкция ока-
окажется при внимательном анализе вовсе не конструкцией, а ме-
механизмом и, следовательно, неспособной выполнять свое назна-
назначение. На практике бывали такие случаи, когда это обнаружи-
обнаруживалось лишь тогда, когда «конструкция» была построена я,
понятно, причиняла очень большие неприятности для конструк-
конструктора. Важно, чтобы инженер-конструктор и расчетчик могли об-
обнаружить механизм, с тем чтобы не тратить времени на расчет
его как конструкции и знали, что нужно сделать, чтобы обра-
ратить его в неизменяемую систему.
Одно и то же сооружение может являться конструкцией
Для одного типа нагружения и механизмом — для другого
типа. Так, на фиг. 98,а два стержня образуют необходимую кон-
конструкцию для воспринятая сил, действующих в плоскости этих
стержней. Но если бы крепления к стене были осуществлены
при помощи шаровых узлов, то конструкция не могла бы пе-
передавать нагрузку, действующую нормально к своей пло-
плоскости. Для таких нагрузок она была бы поэтому механизмом
98
применяется иногда в
Болтовой
шцрнир
У/'i НАткц
'слесо {pi
ШАСНЦр
(таксе устройство в действительности
подъемных кранах и кронштейнах).
5. 5. Опорные закрепления. Ранее было показано, что
направление и характер реакций будут зависеть от условий за-
закрепления или опор в рассматриваемых точках. Это настолько
важно, что здесь будут рассмотрены некоторые дополнитель-
дополнительные типы опорных закреплений.
Простейшим типом опоры является, конечно, каток. Такие
опоры были приняты на фиг. 86 и 91, поскольку они упрощали
задачу, заставляя реакцию действовать нормально к поверхно-
поверхности соприкосновения. Каток без тре-
трения поэтому может считаться идеаль-
идеальным видом опоры, которая не способ-
способна передавать mi о м ент и которая
может передавать силу только по
одной линии действия. (В некоторых
конструкциях катки именно и приме-
применяются для того, чтобы создать в точ-
лости такие условия.)
Болтовой шарнир является
более общим видом закрепления, осу-
осуществляемым на практике посредст-
посредством болтов, заклепок, осей и пр. Обыч-
Обычно принято, что шарнир не может пе-
передавать вращающего' момента отно-
относительно своей собственной оси, но
что он может передавать силу в любом
направлении в плоскости, нормаль-
нормальной к своей оси. Комбинация шарнира
« катка представляет колесо (или
ролик). Если предположить, что тре-
трения нет, то сила, действующая на шар-
шарнир, будет направлена по перпендику- нений.
ляру к о-порной поверхности, восстановленному из точки кясг-
ния колеса с опорной поверхностью.
Болтовые шарниры могут быть смонтированы таким обра-
образом, что они будут передавать моменты относительно оси, hod-
мальной к оси шарнира, при помощи пары или ее эквивалента.
Так, шарнир может быть использован для передачи крученмя,
не вызывая изгиба в какой-нибудь одной плоскости. Для того
что-бы совершенно исключить изгиб, можно соединить два шар-
шарнира под прямыми углами, образуя таким образом универ-
универсальный шарнир (или шарнир Гука). Этот тип соедине-
соединения широко применяется в машиностроении (см. фиг. 101).
Шаровой шарнир (фиг. 101) может передавать силу
в любом направлении, но неспособен передавать момента от-
относительно какой-бы то ни было оси.
Ulf.,
Фиг. 101. Различные типы
опор и шарнирных соеди-
Для специальных целей могут применяться раличные дру-
другие типы соединений, как, например, шпонка (передает кру-
кручение и иногда изгиб, но никаких осевых сил), разного рода
¦втулки (передают изгиб, но не кручение или осевую силу,
как, например, в самолетном амортизаторе), резьбовые сое-
соединения (могут передавать осевые силы и изгиб, но не круче-
кручение, если пренебрегать трением),
5. 6. Упрощающие допущения для закреплений. В действи-
действительной практике очень трудно найти конструкцию, которая
не была бы, хотя бы в незначительной степени, статически
неопределимой. Теоретически невоз-
невозможно, например, рассматривать бол-
болтовой шарнир без трения, в особенно-
особенности, если он выполнен в виде плотного
болта или заклепки. Сварные со-
соединения, конечно, способны переда-
передавать как кручение и изгиб, так и осе-
осевые силы. Но если каждый из этих
Фиг. 102. Балка с шарнир- факторов учитывать, то расчет стал
ными опорами. бы практически почти невозможен.
Наиболее важным оказывается уметь
отличить те закрепления, кото-
которые можно рассматривать как вторичные, и исключить их
из задачи. Однако это не следует делать вслепую, и иногда
может оказаться необходимым исследовать такие закрепления
более тщательно, так как в некоторых случаях они могут иметь
относительно большое значение.
Хотя специальных правил по этому вопросу установить и
нельзя, но по здравому смыслу обычно можно сказать, каки
Н
¦ '' , ¦, //• '• . /У ¦ .¦/
упрощения можно сделать в каждом отдельном
случае. Не-
Нениже, с тем
сколько таких типичных упрощений рассмотрим
чтобы показать подход к этому вопросу.
Одним из наиболее общепринятых допущений является за-
замена плоского шарнира каткой, поддерживающим балку. Кро-
Кроме специальных случаев, балки обычно крепятся болтами, за-
заклепками или сваркой. Даже один болтовой шарнир на каж-
каждом конце балки (как на фиг. 102) теоретически делает ее
статически неопределимой, так как каждый шарнир способен
воспринимать «боковые» нагрузки, т. е. нагрузки вдоль оси бал-
балки. Так как балка под действием вертикальной нагрузки Р из-
изгибается, то она стремится оба опорных шарнира сблизить, как
показано на фиг. 102,Ь. Если балка очень гибкая, но хорошо
сопротивляется растяжению (как, например, лента или трос),
то ее деформация может увеличиваться До тех пор, пока боль-
большую часть нагрузки о*ча не станет ©оспринидгать растяжением
©место изгиба. Однако, если балка достаточно высокая по срав-
сравнению с ее длиной и «жесткая» на изгиб, то величина проги-
прогиба будет настолько незначительна, что не вызовет заметных
100
растягивающих нагрузок. Следовательно, можно допустить,
что одна из опор заменена катком, и задача становится стати-
статически определимой. Если одно из отверстий будет значительно
больше, чем скажем, сам болт, То практически получится кре-
крепление, эквивалентное катковой опоре.
Туго натянутый канат представляет собой обрат-
обратный случай (другую «крайность»), когда изгибной жесткостью
такой «балки» можно пренебречь. Висячий мост и его
расчет также основан на этом принципие. В случае плоских
пластин состояния могут меняться от одной «крайности» до
другой, в зависимости от размеров пластины. Толстые пласти-
пластины можно рассматривать как балки (изгиб), тогда как очень
тонкие пластины ведут себя как висячий мост (растяжение).
Промежуточные состояния характеризуются наличием как из-
изгиба, так и растяжения.
При рассмотрении ф е р м ниже будет видно, что расчет
значительно упрощается при допущении, что все стержни фер-
фермы имеют шарнирные узлы, даже если они и соединя-
соединяются по концам косынками или сваркой. Это упрощение иног-
иногда бывает необходимо видоизменить с тем, чтобы учесть из-
изгибающие моменты, появляющиеся на концах стержней. Од-
h-ако допущения о том, что стержни в узлах соединены шарни-
шарнирами, обычно^ делаются сначала, после чего можно пользовать-
пользоваться более точным методом, учитывающим условия концевой
заделки.
Из этих примеров можно вздеть, что основным принципом,
которого следует придерживаться при упрощении условий за-
закрепления, является принцип сравнения. В случае балки,
шарнирно закрепленной по концам, сравнение проводилось
между двумя крайними случаями возможной работы балки,
т. е. или только на изгиб, или на чистое растяжение (работа
висячего моста). Какое допущение является более подходя-
подходящим, обычно определяется по здравому смыслу.
Этим методом 'можно воспользоваться, например, чтобы
получить приближенное решение для случая, представленного
на фиг. 98,с. Сначала надо предположить, что оба стержня А и
В закреплены шарнирно. Затем можно принять, что стержень
В работает самостоятельно, как консольная балка. Обычно
первое допущение является более близким к истинным усло-
условиям, поэтому и приближенный расчет лучше сделать именно
так, применяя соответствующие методы статики.
5. 7. Выводы. Вопрос о лишних связях и опорных закреп-
закреплениях изложен здесь для того, чтобы дать некоторое понятие
о точности методов расчета конструкций. Инженер должен
усвоить, что очень многое зависит от умения сделать правиль-
правильные допущения и от здравого смысла, и что эти совершенно не-
необходимые качества следует начать развивать в себе как мож-
можно скорее. Много, на первый взгляд сложных, задач можно
101
решить быстро и достаточно точно при помощи простых прие-
приемов, основанных на правильно сделанных упрощениях. С дру-
другой стороны, можно потратить много времени, пользуясь стро-
строгими методами для того, чтобы учесть незначительное влия-
влияние лишних связей и вторичных элементов опорных закрепле-
закреплений. Наконец, ясное представление о закреплениях и их влия-
влиянии необходимо при применении современных приближенных
методов расчета, с которыми приходится иметь дело инжене-
;>у-;:онструктору.
ЗАДАЧИ
5. 1. Ферма с шарнирными узлами нагружена, как показа-
го на фиг. 103.
а) Является ли данная конструкция статически определимой
пли 'неопределимой?
б) Разрушится ли ферма при удалении стержня AF?
в) Разрушится ли ферма, если удалить только стержень DF?
о
g Напесо
Фиг. 103.
5. 2. Показанная на фиг. 104 конструкция представляем
схему а]мортизатора самолета. Можно считать, что цилиндр
способен воспринимать осевую нагрузку благодаря внутренне-
внутреннему давлению.
а) Является ли конструкция статически определимой при
действии вертикальной нагрузки ^v ?
¦б) Является ли она статически определимой для горизон-
горизонтальной СИЛЫ ^D ?
в) Предположите, что поршень может свободно переме-
перемещаться в цилиндре и что введен дополнительный стержень ЛВ;
Является ли в этом случае конструкция статически неопредели-
неопределимой? (Примечание. Стержень АВ не показан.)
5. 3. На фиг. 105 показан вид сверху на квадратный стол,
имеющий только три ножки (Л, В, С). Установить, является
ли конструкция статически неопределимой, ста-
статически определимой или механизмом для из-
изложенных ниже условий, и определить, какая часть груза 'вос-
'воспринимается ножкой С в каждом случае. (Весом самого стола
пренебречь.)
¦а) Груз находится точно в центре О.
б) Груз находится прямо над 'ножкой В.
в) Груз находится з точке D (на середине расстояния меж-
между О и С).
г) Груз находится в точке В,
Г-Х'1-;
&'¦¦;¦
.V
/О;
>: 1
\
A°
\D
p.
Фиг. 10!.
—li
c4
Фиг. 1С5.
5. 4. В показанной на фиг. 106 конструкции любой из эле-
элементов кольца можно удалить, не нарушая несущей способ-
способности. Элемент ADC обладает значительно большей жестко-
Фиг. 106.
стью, чем элемент ЛВС. Является ли конструкция статически
определимой? 'Можно ли было бы рассчитать ее ;методами ста-
статики, если бы оба элемента имели одни и те же размеры и
жесткость?
103
5. 5. В задаче 5. 4 предположить, что каждый из кривых
элементов имеет одну и ту же жесткость и что дополнительно
введен прямой стержень АС. Является ли конструкция стати-
статически неопределимой? То же определить в случае удаления од-
одного криволинейного элемента, т. е. когда останется один пря-
прямой и один кривой стержень.
Фиг. 107
5. 6. Является ли конструкция статически определимой при
показанной на фиг. 107 схеме нагружения? (Влиянием проги-
прогибов пренебречь.)
Фиг. 108.
5. 7. Трубы сварены между собой в точке А и полностью
заделаны в точках В и С. Сколько раз конструкция статически
неопределима, если она нагружена, как показано на фиг. 108?
5. 8. В задаче 5. 7 предположить, что узел С заменен шаро-
шаровым шарниром. Является ли конструкция статически неопре-
неопределимой, определимой или механизмом? Нарисовать эпюру
нагружения для стержня АВ.
5. 9, Предположить, что конструкция, рассмотренная в
задаче 5. 7, имеет в точке В шарнир Гука, в точке С — шаро-
шаровой шарнир. Что произойдет при показанной схеме нагружения?
4
Фиг. 109.
5. 10. Стержень АВ (фиг. 109) может свободно скользить в
опоре В, но может воспринимать изгиб. Является ли конструк-
конструкция статически определимой?
ГЛАВА 6
ПОВЕДЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ПОД НАГРУЗКОЙ
(Физические свойства)
6. 1. Напряжение растяжения. Исследование поведения
материала при растяжении является для инженера-конструк-
инженера-конструктора одним из основных способов для получения сведений о
его свойствах. Эти сведения обычно получают путем растяже-
растяжения образца и измерения приложенных сил и полученного уд-
удлинения. В технической литературе имеется много данных об
испытании на растяжение, о диаграммах напряжения и дефор-
деформации и о других подобных вопросах, и последующее изложе-
изложение будет представлять собой лишь краткий обзор материала,
необходимого для дальнейшего понимания основ конструиро-
конструирования.
Чтобы получить возможность сравнивать различные мате-
материалы, инженеры установили понятия напряжение и от-
относительное удлинение.
Напряжение может быть определено как единич-
единичная сила или сила на единицу площади попе-
поперечного сечения. Оно получается делением осевой (рас-
(растягивающей) силы на площадь поперечного сечения, нор-
нормального (перпендикулярного) к силе, как приведено в
следующем уравнении:
Нормальное напряжение
F
F.1
где
Р-
F-
¦напряженпе,
-сила,
площадь поперечного сечения.
Так как сила обычно измеряется в килограммах, а пло-
площадь в квадратных сантиметрах, то напряжение обычно изме-
измеряется в килограммах на квадратный санти-
метр или сокращенно т кг/см2.
105-
г,-..
Например, если растянутый стержень на фиг. 110 имеет
площадь поперечного сечения 6 смг и подвергается действию
усилия в 18 000 кг, то нормальное напряжение будет
Р 18 ооо
F
3000 кг/см2.
Измеряется
СуШеиие
У"
Измеряемля
длим
площади
uk)
Следующие замечания относительно напряжений растяже-
растяжения и испытаний на растяжение надо хорошо усвоить.
а) Поперечное сечение, для которого определяется величи-
величина F, должно быть нормаль ко (перпендикулярно) к направ-
направлению осевой силы (см. фиг. ПО).
б) Распределение силы по
поперечному сечению прини-
принимается равномерны м, т. е.
уравнение F. I) дает сред-
среднее напряжение.
в) Площадь F обычно изме-
измеряется перед нагружением;
сужение во время нагружения
не учитывается.
г) Д л и н а стержня не вхо-
входит в расчет.
6. 2. Разрушающее напряжение
растяжения. В большинстве ис-
испытаний на растяжение образец
доводится до разрушения. При
целении максимальной
приложенной при разрушении
силы Р на первоначаль-
первоначальную площадь поперечного сечения F получается напряжение,
которое и служит мерой прочности материала, подвергавшегося
растяжению. Это максимальное напряжение часто называют
прочностью при растяжении, но более точно называть его раз-
разрушающим напряжением при растяжении (или
временным сопротивлением разрыву). Прочность
при растяжении может быть неправильно понята как прочность
всего стержня в килограммах.
Разрушающее! напряжение растяжения
используется непосредственно при определении необходимых
размеров растянутого стержня. Оно является также наиболее
существенным указателем общей прочностной характеристи-
характеристики материала. Однако новейшие конструкторские расчеты тре-
требуют более обширного знания свойств материала и поэтому
необходимо установить другие критерии, которые также могут
быть получены при испытании ка растяжение. Большинство их
связано с диаграммой напряжения-деформации,
которая является крайне важной в конструкторской работе.
НО. Образец под нагрузкой
на растяжение.
6. 3. Удлинение. Под действием растягивающей нагрузки
стержень будет вытягиваться или удлиняться. Так как величина
абсолютного удлинения, естественно, зависит от длины стержня,
необходимо установить способ измерения удлинения, не зави-
Фиг. 111. Испытание на растяжение образца из древесины.
Обратить внимание на тензометры—приборы для измерения
удлинения. Провода, идущие к тензометру, работающему по прин-
принципу изменения электросопротивления, прикреплены к образцу.
чтящий от длины. Обычно подсчитывают относительное
удлинение (или вытяжку), определяемое как удлине-
\нм&> приходящееся на единицу длины стержня.
сОсевое относительное удлинение
F.2)
где Д/
-изменение длины (абсолютное удлинение1),
длина, на которой отмерено
107
Например, если стержень, приведенный на фиг. ПО. на 20 см
глины между точками измерения удлиняется на 0,02 см, то от-
относительное удлинение будет
А/ 0,02
20
¦ 0,001.
Ниже помещено несколько замечаний, касающихся относи-
относительного удлинения.
а) Относительное удлинение является безразмерной величи-
величиной, так как получается от деления величин одинаковой размер-
размерности; оно (выражается в дробных долях или в процентах.
1ла с так1 и а я об/га сть
Предел текучести
:? 1000
Удлинение при рАзрушении
0,0$
J L.
I
0,10
0,15
удлинение
0,25
Фиг. 112. Диаграмма напряжения-удлинения при растяжении
алюминиевого сплава повышенного качества.
б) Хотя общее влияние длины и устранено введением безраз-
безразмерных величин удлинения, однако местные деформации
около места разрушения часто делают необходимым знать, на ка-
какой длине были произведены измерения удлинения. Эта длина
называется «измеряемой длиной».
Для единообразия при сравнении материалов установлены
стандартные измеряемые длины /=5rf или l=Wd (для круг-
круглых образцов), /=11,3 1 Ри /=5,65 ] F (для плоских об-
образцов).
Однако иногда применяются и другие измеряемые длины.
6. 4. Диаграмма напряжения-удлинения. Если при испыта-
испытании на растяжение произведены одновременно отсчеты напря-
напряжения и удлинения, то соотношение между этими двумя вели-
величинами можно изобразить графически.
Такое построение называется диаграммой н а п р я ж е-
н и я-у д л и н е н и я (или диаграммой растяжения). Типовая
диаграмма представлена на фиг. 112 (напряжения обычно на-
108
носятся по вертикали). Следует заметить, что диаграмма имеет
две очень ясно выраженные и важные части. Первая часть — это
участок, в котором напряжение очень быстро растет при удли-
удлинении. Этот участок обычно относится к упругой области и
характеризуется достаточным постоянством отношения между
напряжением и удлинением, т. е. прямой линией. Положе-
Положение, указывающее, что большинство крепких материалов дает
нонструкциоишя
"йрем настал сталь '''
¦136S
ив 00
3000
1 г Т~ 1
. Конструкционная , !
,' кремнистая сталь \
О 0,08 0,16 0.2М 0,32
. Относительное удлинение на длине
20 см
Фиг. 113.Типовые полные кривые
напряжений-удлинений для раз-
разных металлов.
чистый Апюминии.
G" 0,032 О/Ж 0,006 0,003 0,010
Относительное удлинение на длине
20 см
Фиг. 114. Типовые кривые напря-
напряжений-удлинений для металлов,
указанных на фиг. ИЗ.
постоянное отношение между нагрузкой и деформацией, впер-
впервые было установлено Гуком и обычно называется законом
Гука. Наибольший интерес для инженера-конструктора пред-
представляет собой упругая область, потому что только в этой об-
области конструкция может быть нагружена и разгружена без ос-
остаточной деформации.
Остальной участок диаграммы относится к пластиче-
пластической или не упругой области. На этом участке материал по-
получает значительное удлинение без соответствующего увеличе-
увеличения напряжения. Пропорциональность между напряжением и
удлинением не наблюдается в этой области, т. е. диаграмма от-
отклоняется от прямой линии. Пластическая область представля-
представляет большой интерес при расчете технологических операций, свя-
связанных с изменением формы металла (гибка, протяжка, штам-
штамповка и т. д.), но она также важна и для инженера-конструкто-
инженера-конструктора, имеющего дело с элементами, в которых напряжения превы-
превышают предел пропорциональности, или если расчет 1ведется на
109
разрушающие нагрузки. Диаграммы напряжений-удлинений дл»
разных материалов приведены на фиг. ИЗ и 114.
б. 5. Модуль упругости. Наиболее важной характеристи-
характеристикой материала в упругой области является отношение меж-
между напряжением и относительным удлинением. Оно называется
модулем упругости A-го рода) и выражается уравнением:
Модуль упругости
F.3)
Е называется также модулем Юнга, по имени ученого, кото-
которому приписывают его определение. Модуль упругости характе-
характеризует не столько упругость в ее обычном смысле, сколько ж е-
ст кость. Такой эластичный (упругий) материал, как резина*
имеет очень низкую величину Е по- сравнению со сталью. В дей-
действительности Е является мерой сопротивляемости [ма-
[материала деформированию. Под словам «упругий» под-
подразумевается, что деформация не оказывается о с т а т о ч~
н о и.
Высокие величины Е являются, очевидно, желательными с
конструкторской точки зрения, так как уменьшают деформации'
материала под нагрузкой.
Так как а имеет размерность напряжения (кг/см3) и
е—-безразмерная величина, то величина Е также имеет раз-
размерность напряжения. Интересное замечание :можно сделать,.
если предположить, что стержень растянут до двойной пер-
первоначальной длины. Тогда величина е была бы равна 1,0 и Я
был бы равен напряжению, необходимому для получения тако-
такого удлинения. Таким образом Е можно рассматривать как на-
напряжение, которое потребовалось бы для увеличения длины ма-
материала вдвое, если бы это было в пределах упругости.
В действительности ни один металл не отвечает этому ус-
условию, так как пластическая область начинается при сравни-
сравнительно низкой величине относительного удлинения, обычно
.меньше одного процента, и образец, разрывается при относи-
относительном удлинении, редко превышающем 20%. Однако таким
путем можно легко объяснить очень высокие величины напря-
напряжения, представляемые Е (около 2 100 000 кг/см2 для стали,.
720 000 кг/см2 для алюминиевого сплава).
При помощи модуля упругости, зная напряжение, легко под-
подсчитать удлинение. Допустим, что стержень длиной 150 см ис-
испытывает напряжение 1400 кг/см2. На сколько он вытянется?'
Если стержень стальной, то мы можем воспользоваться вели-
величиной 2 100 000 кг/см2 для Е. Если напряжение стержня было*
бы 2 100 000 кг/см2, то (фиктивное) упругое удлинение было бы
равно начальной длине, т. е. 150 см. Так как в действительности»
НО
имеется напряжение в 1400 кг/слг, то действительное удлинен
кие будет:
1400 1Г.А п ,
— —-1о0=0,1 см.
2 100 000
В более общем выражении уравнения для деформации е
пределах у п р у г о¦ с т и будут:
А/=г/. F. 4а)
Заменяя з из уравнения F.3), получим
Подставляя'з из
ения
l=- --¦-/.
I:
6. 1, будем иметь
Pi
FE
. 41))
F.4с)
Эти уравнения представляют собой просто разные
одного и того же уравнения и математически выражают поня-
понятие, приведенное выше. Если хорошо усвоены соотношения .меж-
.между напряжением, относительным удлинением
и модулем упругости, то нет необходимости помнить,
отдельные виды приведенных формул, хотя формула F. 4с) на-
настолько проста, что ее легко запомнить.
6. 6. Предел пропорциональности (предел упругости).
Важно знать, при какой величине напряжения или относитель-
относительного удлинения материал переходит в пластическую область,
т. е. в какой точке диаграмма
напряжения-удлинения начи-
начинает отклоняться от прямой ли-
линии. Строго говоря, определить
эту точку точно'— задача труд-
трудная, так как многое зависит от
чувствительности измеритель-
измерительного инструмента.
С инженерной точки зрения
знать точное положение точки
начала отклонения, если она
существует1, не является осо-
особенно важным. Инженер-кон-
Инженер-конструктор не очень заинтересо-
заинтересован поэтому в точной величине
предела пропорцио-
пропорциональности, хотя очень хорошо иметь отчетливое представ-»
ление о виде кривой части. Предел пропорциональности пока-*
1 Для некоторых материалов оказывается, что настоящей строго упру-
упругой области не существует, так как диаграмма напряжений-деформаций1
имеет легкую кривизну от самого начала.
111
Относительно!? удлинение
Фиг. 115. Диаграмма напряжения
деформации (неполная) для алю-
алюминиевого сплава.
ociH на фиг. 115. Эту точку иногда относят к пределу упру-
упругости, который, короче говоря, обозначает максимальное на-
напряжение, выдерживаемое .материалом без остаточных дефор*
маций. Можно заметить, что эти два термина являются почти
синонимами с инженерной точки зрения.
6. 7. Условный предел текучести. В некоторых типах ста-
стали имеется определенное напряжение, при котором материал
начинает резко течь, т. е. отклоняться от прямой линии диа-
диаграммы напряжения-удлинения (см. фиг. 114). Но в боль-
большинстве .материалов это отклонение настолько плавно, что пре-
предел пропорциональности не имеет практического значения как
техническая величина. Учитывая это, установили произвольную
величину напряжения текучести путем выбора некоторой стан*
дартной величины отклонения кривой от прямой линии. Обыч-
Обычной величиной, применяемой в инженерной работе, является от-
относительное удлинение 0,002 (или 0,2%). Это устанавливает оп-
определенную точку на криволинейной части диаграммы напряже-
напряжения-деформации (см. фиг. 115). Определенное таким образом
напряжение называется условным пределом теку-
текучести1. Оно определяется на диаграмме по точке пересечения
кривой материала и прямой линии, параллельной прямолиней-
прямолинейной части диаграммы и проходящей на оси абсцисс через удли-
удлинение 0,002.
По фиг. 115 может показаться, что при этом значительный
участок пластической области как бы переносится в упругую
область. Однако фиг. 115 вводит в заблуждение, так как мас-
масштаб для удлинений сильно увеличен. Чтобы дать действитель-
действительную картину работы материала, необходимо показать всю кри-
кривую до разрушения, как на фиг. 112. В этом случае видно*, что
отклонение условного предела текучести от прямолинейного
участка диаграммы весьма незначительно.
6. 8. Остаточная деформация. Большинство материалов
.дает остаточную деформацию при нагружении выше предела
пропорциональности. Участок диаграммы, соответствующий
разгрузке, обычно располагается параллельно первоначальному
прямому участку. Например, если материал, представленный на
фиг. 115, был бы растянут до условного предела текучести, то
кривая разгрузки до нулевого напряжения была бы прямой,
расположенной очень близко к пунктирной линии. Таким обра-
образом правильно считать условным пределом текучести такое на-
напряжение, при котором получается остаточная относительная
деформация 0,002.
Зто положение для остаточных деформаций сохраняется и
после многих нагружении, как показано на фиг. 116. На ней
изображена диаграмма напряжения деформации для образца,
1 Термин «предел текучести» (точка) должен быть сохранен для мате-
материалов с резким началом текучести.
112
который был несколько раз нагружен и разгружен с увеличе-
увеличением напряжений при каждой последующей нагрузке.
Надо заметить, что металл, растянутый однажды до оста-
остаточной деформации, т. е. до напряжения за пределом пропор-
пропорциональности, имеет новую диаграмму напряжения-деформа-
напряжения-деформации. И новый предел пропорциональности, и условный предел
прежде, и изгиб диаграммы
Фиг.
Удлинение
116. Результат последова-
последовательных нагружении.
текучести становятся выше, чем
становится более острым. Это
очень важно иметь в виду при
работе с материалами, подвер-
подвергавшимися холодной обработке.
На фиг. 116 каждое следую-
следующее нагруженке дает новую диа-
диаграмму напряжения-деформации.
6. 9. Удлинение. Фиг. 112 по-
показывает, что значит предель-
предельное удлинение: это просто
полное удлинение при
разрушении. Для инженера удли-
удлинение важно, так как оно являет-
является мерой величины деформации,
которую материал аюжет выдер-
выдержать до разрушения. Оно играет
также важную роль в способности материала поглощать энер-
энергию, так как площадь, ограниченная диаграммой напряжения-
удлинения, является мерой энергии, необходимой для того, что-
чтобы произвести разрушение.
Следует помнить, что удлинение должно быть измерено на
определенной длине и затем разделено на эту длину для полу-
получения относительного удлинения.
Величина относительного удлинения зависит от взятой дли-
длины, так как распределение удлинения за условным пределом
текучести может быть неодинаковым по длине стержня. На-
Например, некоторый металл может дать относительное удлине-
удлинение 12%, измеренное на длине 50 мм. Если бы измерение бы-
было сделано на длине в 6 мм в участке разрушения, удлинение
могло бы быть 30%. Это обстоятельство объясняется тесной
связью удлинения с сужением (шейкой), которое получается
перед разрушением и измеряется уменьшением пло-
площади (показано на фиг. 110).
6. 10. Касательный модуль и секущий модуль. В современ-
современной теории расчета (особенно в применении к самолетам) часто
пользуются касательным модулем упругости. В некоторых слу-
случаях применяется и секущий модуль. Эти две модификации
классического модуля упругости относятся к пластической
области и показаны на фиг. 117. Модуль упругости характери-
характеризуется наклоном прямолинейного участка диаграммы. Каса-
Касательный ^юдуль Et получен проведением касательной к диа-
Ф. Р. Шенли.
113
грамме в рассматриваемой точке. Это дает местную или мгно-
мгновенную скорость изменения напряжения в зависимости от де-
деформации.
Секущий модуль Es показан прямой линией, пересекающей
диаграмму от начала координат через рассматриваемую точку.
Этот (модуль намеряет отношение между напряжением и дейст-
действительным удлинением. Математически оба модуля выражают-
выражаются следующими уравнениями:
E.
Е.
F.5а)
F.5b)
б.
Надо заметить, что Е, Е} и /:,. все будут равны при зна-
значениях напряжения ниже предела пропорциональности. Каса-
Касательный и секущий модули могут истолковываться как распро-
распространение модуля Е в пластическую об-
область; два разных вида (модулей получа-
получаются вследствие разных приемов их опре-
определения. Очевидно, что величины Es
и Et будут изменяться с напряжением,
причем обе будут уменьшаться по мера
увеличения напряжения за пределом про-
пропорциональности. Задаваясь последова-
последовательно величинами напряжения (или
удлинения) на данной диаграмме напря-
напряжения-удлинения и определяя модуль н
каждой точке, можно получить цифры,
по которым могут быть построены кри-
кривые касательного и секущего модулей з
зависимости от напряжения.
6. 11. Поперечное сужение. Для полноты общей техниче-
технической оценки работы материалов нужна еще одна физическая
характеристика. Когда образец растянут, он дает поперечное
сужение, даже образование шейки. Наоборот, когда материал
сжат, он расширяется поперек. Отношение между поперечной и
осевой деформациями, остающееся постоянным для данного ма-
материала, выражается так назьшаемым пуассоновым отноше-
отношением, обычно обозначаемым буквой %i (греческая буква «ми»).
Если s взято для обозначения деформации в направлении на-
нагрузки и если $х обозначает деформацию под прямым углом к
направлению нагрузки, то пуаосоново отношение дается урав-
уравнением:
Пуассоново отношение
Удлинение 8
Фиг. 117. Касательный и
секущий модули.
Ц:
F.6)
Следует напомнить, что растяжение вызывает сужение и на-
наоборот. Величина ^ может поэтому рассматриваться, как отри-
отрицательная, но обычно она дается, как положительная. Большин-
Большинство металлов имеет приблизительно одинаковую величину и.
(около 0,30). Некоторые 'материалы, такие как пробка, имеют
очень низкое значение (действительно, пробка широко приме-
применяется для закупоривания, потому что она может быть сжата
без заметного поперечного утолщения).
Пуассоново отношение применяется только з пределах упру-
упругости; в пластической области отношение поперечной де-
деформации к осевой получается выше.
6. 12. Предел утомляемости. Это важное физическое свой-
свойство материала относится к влиянию повторных напря-
напряжений и указывает максимальное допустимое в этих усло-
условиях напряжение. Другие уже описанные свойства относятся
преимущественно к статическим условиям или к сравни-
сравнительно 'малым скоростям нагружения. Если конструкция под-
подвергается вибрационным нагрузкам или ударам, то необходимо
принимать в расчет значительно пониженные напряжения. Это
очень важная область конструкторского анализа, выходяшад,
однако, за пределы данной книги.
6. 13. Напряжение сжатия. Большая часть того, что изло-
изложено о напряжении растяжения и об удлинении может быть
применено и к напряжениям сжатия. Основное уравнение для
напряжений сжатия то же самое: o=P:F. В результате испы-
испытаний материалов на сжатие получены аналогичные диаграм-
диаграммы напряжени я-д еформаци и1. Модуль упругости Е
примерно равен модулю упругости при растяжении. Для метал-
металлов диаграмма напряжения-деформации имеет также прямой
участок, изгиб в пластической области, величину предела
пропорциональности и условного предела те-
текучести те же, что и для растяжения (некоторые отличия
связаны скорее с влиянием холодной обработки, чем с основны-
основными различиями в поведении металла при растягивающей и
сжимающей нагрузке).
Наиболее важное различие между растянутыми и сжатыми
стержнями заключается в характере разрушения. При растя-
растяжении материал сперва течет, а в конце концов разру-
разрушается, что сопровождается отрывом одной части от дру-
другой. При испытании на сжатие характер разрушения зависит
от пропорций образца. Длинный тонкий пруток, например, бу-
будет выгибаться (терять устойчивость) прежде чем напряже-
напряжение превысит предел пропорциональности. В ко-
коротких и толстых стержнях напряжения могут значительно
превысить условный предел текучести прежде чем
1 Вследствие трудности испытания тонкого (листового) материала на
сжатие большинство испытаний материалов производилось на растяжение.
8* 115
начнется их разрушение. Очень короткие стержни, которые не
могут вести себя как стойки, не имеют ясно выраженного на-
напряжения разрушения, так как материал стремится распол-
расползаться или сплющиваться по мере увеличения нагрузки. В сла-
слабых материалах, таких, как древесина или бетон, разрушение
при сжатии происходит часто вследствие сдвига, возникающе-
возникающего при сжатии. Сжатый стержень может также разрушиться и
ОтносительнАя
деформА
(УСАОкА)
/ Потеря
устойчивости)
итносительнАя
деформАцця
нет
напряжение
Жпия
Фиг. 118. Диаграмма напряжения-деформации
при растяжении и сжатии.
от местной потери устойчивости. Такие разрушения обычно на-
наблюдаются в деталях, имеющих тонкие стенки, которые выпу-
выпучиваются, и приводят к разрушению при меньших нагрузках,
чем было бы при отсутствии этого явления. Разрушения от
сжатия будут более подробно изложены в последующей глг.ве.
Здесь необходимо лишь отметить, что возможны разрушения
различного типа и что поэтому при сжатии нельзя назначить
единую величину допустимого напряжения, зависящего толь-
только от материала.
Рассматривая напряжения сжатия как отрицательные и на-
нанося их ниже горизонтальной оси, можно показать на одной
диаграмме полный диапазон напряжений. Такая диаграмма
приведена на фиг. 118. Надо заметить, что упругая область
для растяжения и сжатия дает одну прямую линию (одинако-
(одинаковой величины ?).
Пунктирная линия, нанесенная на диаграмме фиг. 118, в
области сжатия показывает возможный эффект потери устой-
устойчивости.
116
А
Эти напряжения могут получиться весьма различными по
величине, так как зависят от размеров детали. При растя-
растяжении такого ограничения, как мы видели, не существует,
так как выгибание или потеря устойчивости при растяжении
невозможна.
6. 14. Напряжение смятия. В болтовых и заклепочных
соединениях необходимо учитывать напряжения смятия.
Фиг. 119 показывает, как болт
или заклепка могут деформировать
отверстие. Во избежание этого ме-
местное давление должно быть ниже
определенных величин, которые и
называются д о п у с т и м ы м и н а-
пряжениями смят и я. Это
напряжение в сущности представ-
представляет собой сред н ю ю интенсив-
интенсивность нагружения на проекции
площади стержня, нормальную к
направлению нагрузки. Так, на g
фиг. 119 площадь смятия равна
произведению диаметра заклепки Фиг. 119. Разрушение смятием,
на толщину листа (одного листа).
Напряжение смятия подсчитывается по формуле:
Перед
Напряжение смятия
Р
см
F.7)
где Р—нагрузка на заклепку;
F—проекция площади, нормальная к линии действия на-
нагрузки.
Допустимое напряжение смятия обычно не менее разру-
разрушающего напряжения на растяжение и часто бывает значи-
значительно выше последнего. Так как напряжение смятия не вы-
вызывает в сущности настоящего разрушения, а скорее создает
сложную комбинацию текучести, выпучивания и т. д., то допу-
допустимое напряжение смятия не является характеристикой проч-
прочности одного лишь материала, а зависит в известной степени
и от толщины листа, диаметра заклепки или болта и других
величин, характеризующих форму конструкции.
В древесине допустимое напряжение смятия в значитель-
значительной мере зависит от угла наклона между направлением нагруз-
нагрузки и направлением волокон.
6. 15. Напряжение среза. Физика разрушения материала
под нагрузкой в сущности достаточно сложна, но можно отме-
отметить два основных вида разрушения: разрыв и сдвиг.
Каждый 'материал сопротивляется как разрыву, так и сдвигу.
117
Действительная природа внутреннего разрушения здесь не
может быть рассмотрена подробно, но надо заметить, что раз-
разрушающее напряжение сдвига (среза) является важным меха-
механическим свойством, которое характеризует способность мате-
материала сопротивляться внутреннему скольжению.
Типичный пример работы
материала на срез представ-
представляет заклепка пли болт, изо-
изображенные на фиг. 120. В этом
случае стержень заклепки на-
Фпг. 120. Разрушение заклепки
срезом.
гружается перпендикулярно *'
его оси (см. главу 3), а рабо-
рабочая площадь представляет со-
собой поперечное сечение, параллельное направлению на-
гружения вместо нормального (как было при растяжении или
сжатии). Фиг. 120,Ь показывает как заклепка разрушается сре-
срезом под действием силы Р, Если площадь поперечного сечения
заклепки F, то среднее напряжение среза находим по сле-
следующей основной формуле:
Среднее напряжение среза
F !
F.8)
где 1 —среднее напряжение среза,
Ps—усилие, параллельное рассматриваемому поперечному
сечению,
F—площадь рассматриваемого поперечного сечения.
Величины разрушающего напряжения среза
получают при испытании материалов в условиях, близких к
указанным на фиг. 120. Эти напряжения бывают около полови-
половины величины разрушающего напряжения растяжения, но это
отношение для различных материалов непостоянно (разру-
(разрушающее напряжение растяжения для типового алюминиевого
сплава 4000 кг! см2, а разрушающее напряжение среза
2200 кг!см2) \
Следует особо отметить, что при чистом разрушении на
срез понятие «длина» отсутствует. Например, на фиг. 120 дли-
длина могла бы представлять собой расстояние между двумя пла-
пластинами, которые в действительности соприкасаются друг с
другом и режут материал. Если бы пластинки были раздвину-
раздвинуты на некоторое расстояние, так что сила Р должна была бы
1 Распределение напряжения среза для этого типа нагружения в дей-
действительности неравномерно, поэтому действительное разрушающее напря-
напряжение среза несколько выше, чем средняя величина, получаемая при таких
испытаниях.
передаваться через определенное расстояние, то появились бы
другие виды напряжения и разрушение не было бы чистым
срезом.
Поскольку длина в явлении среза не участвуем не может
быть и диаграммы напряжения-удлинения для чи-
чистого среза, подобно тому как это имело 'место для осе-
осевой нагрузки. Для подсчета деформации при поперечном на-
гружении или при кручении часто употребляется, однако, м о-
д у л ь жесткости G, иначе — модуль сдвига или модуль
2-го рода. Позже укажем, что этот модуль имеет лишь кос-
косвенное отношение к явлению сдвига и фактически полностью
зависит от модуля упругости Е и пуассонова отношения и, т.е.
от двух основных характеристик жесткости при осевом на-
гружении. Основываясь на этом можно было бы построить
диаграмму напряжения деформации и для сдвига,
но она не будет независимой характеристикой -материала.
Для инженерных расчетов прочности достаточно знать раз-
разрушающее напряжение сдвига для данного материала. Оно
применимо только тогда, когда разрушение происходит от
сдвига между двумя плоскостями при нулевом расстоя-
расстоянии между ними. Типовые величины разрушающего напря-
напряжения сдвига (или среза) даны в приложении 2 (см. главу 10).
6. 16. Влияние температуры. Температура влияет как ни
прочность, так и на деформацию материала. Очевидно, что
способность материала нести нагрузку исчезает полностью при
температуре плавления; поэтому естественно пред-
предположить, что должна быть промежуточная область, в которой
крепость становится ниже с повышением температуры. Кон-
Конструкционные материалы выбираются так, чтобы на них нор-
нормальные колебания температуры влияли возможно мало
(большинство из них имеет высокую температуру плавления).
Практически можно считать, что нормальные характеристики
прочности материалов удовлетворяют условиям большей части
области их применения. Если конструкция должна работать при
высоких температурах, материал, предназначаемый для этой
цели, должен быть подвергнут специальным исследованиям.
Сочетание высокой температуры и постоянной нагрузки мо-
может вызывать течение материала, называемое крипом. Это
нужно иметь в виду в конструировании. Например, некоторые
пластики могут казаться подходящими для конструкции,
но если их характеристики крипа низкие, то конструкция
может получить остаточную деформацию в теплую погоду.
Изменение температуры вызывает изменение размеров;
увеличение температуры вызывает расширение, а умень-
уменьшение — усадку. Это изменение можно измерять в единицах
деформации (в сантиметрах на сантиметр). Относительная
деформация, вызываемая изменением температуры на один
градус, называется коэфидиентом расширения. Приво-
118
119
дим следующие типовые величины коэфицнентов линейного
расширения:
Сталь 12 • 10~ь (в сантиметрах на 1 см на 1-С)
Сплав алюминия . . . 22 • 10~~9 „ „ 1 „ „ 1 „ }
Сплав магния . . . . 29 • 10~6 . ., 1 „ „ 1 ., )
6. 17. Напряжения, вызванные стеснением (или ограни-
ограничением) деформаций. Для того чтобы образовалась осевая
деформация 'материала, обычно требуется приложить соответ-
соответствующее напряжение. Но существуют условия, при которых
деформация образуется без фактически приложенного напря-
напряжения в направлении деформации. Одно из них представляет
собой поперечное сужение, определяемое пуассоновым отно-
отношением (§ 6. 11). Другое представляет собой тепловое
влияние, определяемое к о э ф и ц и е и т о м расширения.
Пуассоново отношение действует в двух направлениях (нормаль-
(нормально к направлению растяжения), а тепловое влияние действует
во всех трех направлениях, т. е. имеется объемное изме-
изменение.
Если по какой-либо причине таким деформациям не дали
произойти, то вследствие этого появятся напряжения, соответ-
соответствующие величине деформации, которой не дали возможности
появиться. Физическая причина этого явления будет ясна, если
сначала предположить, что тело, например от нагревания, рас-
расширяется свободно, а затем приложить напряжения, необходи-
необходимые для того, чтобы привести тело обратно к тем размерам, в
которых оно удерживается. Ниже изложены два наиболее об-
общих случая.
6. 18. Стеснение края. Если длинный плоский лист нагру-
нагружен на растяжение в одном направлении, то он будет стре-
стремиться сузиться в ширине. Допустим, что перед нагруженнем
лист жестко зажат по краям каким-либо способом, который не
помешает растягивающей нагрузке, но который будет препят-
препятствовать появлению сужения. Деформация, вызванная растя-
растяжением, может быть подсчитана, и по умножении на пуассо-
ново отношение даст поперечное сужение. Если теперь послед-
последнее полностью устранено, то это потребует поперечного напря-
напряжения соответствующего поперечной деформации. В пределах
упругости оно определяется умножением на Е.
Так как Е входило и при определении нормального напря-
напряжения, то оно сокращается, и поперечное напряжение можно
определить непосредственно умножением нормального напря-
напряжения на пуассоново отношение. При этом, однако, надо иметь
в виду, что пуассоново отношение не относится к напряжению
непосредственно, но является мерой влияния удлинения.
6. 19. Тепловое влияние. Те же общие принципы можно
применить и для определения напряжений, вызванных измене-
120
ниями температуры. Если тело жестко удерживается так, что
ни один из его размеров не :может измениться, то изменение
температуры вызовет соответствующее изменение напряжения.
Как и при поперечном стеснении, напряжения возникают от ог-
ограничения деформаци и. Для определения этих напряжений
лучше сначала подсчитать температурные деформации, а затем
перейти от них к напряжениям, пользуясь либо модулем упру-
упругости Е, либо диаграммой напряжения-деформации, если дефор-
деформации заходят в пластическую область.
Например, допустим, что пруток алюминиевого сплава же-
жестко зажат на каждом конце так, что его длина не может
изменяться. Согласие § 6. 16, коэфициент расширения около
22-Ю на градус Цельсия. Так как Е равно приблизи-
приблизительно 720 000 кг/см' для алюминиевого сплава, то изменение
напряжения на один градус Цельсия будет ^e = 22-10~tP
,¦; 720 000=15,8 кг/см2 на 16С.
Поэтому изменение температуры на 10° могло бы вызвать
напряжение 158 кг/см2.
Вышеприведенный способ можно выразить следующими
формулами:
изменение деформации
изменение длины
изменение напряжения (жестко стесненное)
±а=Е(±г)=ЕК(М)9
где А обозначает изменение величины,
К—коэфициент расширения,
изменение температуры.
F.9а)
F.9Ь)
F.9с)
Надо отметить, что величина температурных напряжений
не зависит от длины элемента и что формула также не дает
полной деформации или напряжения в элементе, а лишь из-
изменение их, соответствующее рассматриваемому изменению'
температуры. Что>бы получить действительное напряжение при
данной температуре, необходимо знать, при какой температу-
температуре было нулевое напряжение (обычно это температура, при
которой деталь была установлена).
Свойство [материалов изменять размеры при изменении
температуры используется при операциях сборки деталей и
имеет также много других практических применений.
121
6. 20. Непостоянство механических свойств материалов.
Инженер-конструктор должен пользоваться допустимыми на-
напряжениями, соответствующими взятому материалу.
Если бы от инженера потребовалось установить поведение
одного экземпляра конструкции под нагрузкой, он мог бы
попытаться получить образец непосредственно примененного
для нее материала и произвести испытания для определения
его свойств. В действительности, однако, мы имеем дело не с
одним экземпляром конструкции, но с целой серией их. Кроме
того, некоторые конструкции могут иметь детали, изготовлен-
изготовленные из разных партий материала, каждая из которых может
слегка отличаться от других по качеству. Для обеспечения не-
30
23 -
25 -
22
'по тех н awe с- ?
Нам
услоааям
j u
9 *
РлзрушАЮщее
Жени я
расгпя-
Фиг. 121. Кривая распределения частоты
(алюминиевый сплав).
которого контроля в этом отношении устанавливаются тех-
технические условия для всех конструкционных !материа-
лов, имеющих широкое применение. Эти технические условия
обычно требуют от поставщика материала гарантии, чтобы та-
такие свойства, как, например, разрушающее напряжение растя-
растяжения, были не ниже какой-то определенной величины.
Гарантируемый минимум, установленный техническими усло-
условиями, обычно выбирают так, чтобы большая часть изготовляе-
изготовляемого заводом материала была принята. Поэтому фнктиче-
с к и е свойства материала бывают обычно несколько выше,
чем свойства по техническим условиям и могут
отличаться от образца к образцу. Это можно показать графи-
графически посредством так называемой диаграммы распреде-
распределения частоты (или вариационной кривой), подобно изо-
изображенной на фиг. 121.
Такая диаграмма показывает вероятность попадания в кон-
конструкцию материала, имеющего определенную прочность. Диа-
122
-*
Т5к
грамма построена по цифрам, полученным путем испытаний
большого количества образцов в течение значительного перио-
периода времени. По оси ординат в процентах отложено количество
образцов, давшее прочность, указанную на оси абсцисс.
Фиг. 121 построена на основании действительных испытаний
алюминиевого сплава. Надо заметить, что величина разрушаю-
разрушающего напряжения по техническим условиям
приблизительно на 13'% ниже наиболее ве-
вероятной фактической величины.
Интересно отметить, что действительные
величины модуля упругости Е дают очень не-
небольшие колебания для данного материала. В
прочных материалах Е, поводимому, связано
главным образом с плотностью. Поэтому
легкие металлы имеют относительно низкие
величины Е по сравнению с тяжелыми. Дей-
Действительное отношение между Е и плотностью
в сущности постоянно для разных материалов
(сталь, алюминиевый сплав, магний и т. д.).
Условный предел текучести яв-
является свойством, на котором, по-видимому,
наиболее сильно отражаются отклонения в
производственных процессах и в термической
обработке. Это также приведено на фиг. 116,
где указано влияние холодной обработки (про-
(протяжки) на условный предел текучести.
6.21. Сводка характеристик прочности. В
заключение этой главы приводим основные ве-
величины, характеризующие поведение материа-
материала под нагрузкой:
Модуль упругости Е.
Разрушающее напряжение растяжения zb.
Условный предел текучести <т,усл.
Предел пропорциональности (упруго-
(упругости) Су
Удлинение s.
Касательный модуль Et.
Секущий модуль Es.
Пуассоново отношение и.
Предел усталости aw.
Допустимое напряжение смятия асм> д,л:.
Допустимое напряжение среза -доп.
Коэфициент расширения.
Типовые величины наиболее важных свойств, упомянутых вы-
выше, даны в приложеЕши 2.
Фиг. 122. Испыта-
Испытание на растяжение
сваренной трубы.
Заметьте влияние
поперечного суже-
сужения в месте разру-
разрушения.
123
ЗАДАЧИ
6. 1. Стальной пруток в 25 см растянут с напряжением в
3500 кг!см2. Считая Е^2Л'1О1'' кг/слг, найти увеличение дли-
длины, вызванное этим напряжением.
6. 2. Квадратный пруток длиной 30 см и сечением 0,75Х
X0J5 см удлиняется на 0,0533 см при растягивающей
нагрузке в 720 кг. Из какого материала он может быть сделан?
6. 3. Стальной пруток диаметрам 1 см и длиной 20 см растя-
растянут так, что в нем возникло напряжение в 3500 кг/см2 при тем-
температуре 18° С.
а) Какова новая длина прутка?
б) Если температуру прутка поднять до 30° С, а новую дли-
длину удерживать постоялкой, какое напряжение растяжения бу-
будет в прутке?
6. 4. Пренебрегая прогибом прутка АВ, определить, где
должна быть приложена нагрузка Р, чтобы АВ оставалось го-
горизонтальным.
зо см
*3
IS
К
§*
K-x -*Лч горазонтАЛьнып.
9=5500 HZ I прутам
Фиг. 123.
6. 5. Нанести на миллиметровку диаграмму напряжения-
деформации, которая удовлетворяла бы следующим условиям:
а) ?=720 000 кг/см2;
б) условный предел текучести (при относительном удлине-
удлинении 0,002) равен 1600 кг/см2;
в) разрушающее напряжение 2560 кг/см2;
г) разрушающее удлинение 15% (пользоваться фиг. 112 для
ориентировки).
6. 6. Пользуясь диаграммой задачи 6. 5, найти напряжение,
требующееся для получения остаточной деформации в 5%.
6. 7. Нанести новую диаграмму напряжения-деформации
лля материала после вытяжки по задаче 6. 6.
6. 8. Пользуясь диаграммой напряжения-деформации из за-
задачи 6. 5, взять 10 точек в пластической области и определить
касательные .модули в каждой точке. Нанести эти величины в
124
виде кривой касательного модуля в зависимости от напряже-
напряжения.
6. 9. Взять величину G между 8000 и 1200 кг. Считая,
что тросы DA и АВ должны обеспечить запас прочности 5 от-
относительно разрушения найти запас прочности относительно те-
текучести. Выбрать материал из приложения 2 и определить пло-
площадь поперечного сечения, необходимую для каждого троса.
Фиг. 124.
Фиг. 125.
6. 10. В задаче 6. 9 считать, что стержень АС является за-
защемленной в одном конце балкой (консолью) и что трос DAB
проходит через ролик ,в А. Найти размеры троса АВ для тех
же условий расположения. Найти также изгибающий момент,
секущую силу и осевое усилие в защемленном конце С.
6. 11. В задаче 6. 10 подсчитать вертикальное перемеще-
перемещение груза, пренебрегая прогибом балки АС.
6. 12. Взять величину Р-= 10000 кг и определить площади
поперечного сечения, необходимые для стальных стержней АВ и
АС, так, чтобы напряжение в каждом стержне под нагрузкой
было 3200 кг/см2. Считая, что это напряжение не превосходит
предела пропорциональности, найти полное удлинение каждого
стержня. Пользуясь этими удлинениями, найти перемещение
точки А, определяя новую точку пересечения увеличенных длин
''Стержней. Вследствие незначительности деформаций дуги мож-
можно заменить касательными.
6. 13, Для сборки тяги из алюминиевого сплава сделано со-
солидное стальное приспособление. Полагать, что тяга жестко
присоединена болтами к приспособлению в двух точках, находя-
находящихся на расстоянии 9 м при температуре 30° С и что позже
температура падает до —5° С. Найти напряжение е тяге, пре-
пренебрегая влиянием нагружения тягой приспособления.
(Ь)
ГЛАВА 7
ЭЛЕМЕНТЫ, НАГРУЖЕННЫЕ ВДОЛЬ ОСИ
7. 1. Растянутые элементы. В конструкциях растянутые
элементы имеют большое применение, так как передача силы
растяжением оказывается самым выгодным способом передачи
силы. Наиболее важной особенностью растянутого элемента яв-
является его устойчивость. На фиг. 126 показано выпрям-
выпрямляющее действие такой нагрузки. Фиг. 126,а изображает эле-
элемент конструкции (такой, как, напри-
например, пружина) перед приложением
растягивающей нагрузки. Если он до-
достаточно гибок, то под нагрузкой он
выпрямится, вследствие того что все
изгибающие моменты, вызванные экс-
эксцентриситетом е, имеют такое направ-
направление, что их действие уменьшает экс-
эксцентриситеты. Это простое и обычное
явление и объясняет широко распро-
распространенное применение канатов, про-
проволоки, тросов и тяг ;для передачи
растягивающих усилий. В противопо-
противоположность этому сжатые элементы
склонны быть неустойчивыми;
при их расчете необходимо принимать
во внимание действие моментов и во
избежание выгибания для сжатого
стержня необходимо брать всегда
больше материала (по толщине), чем для растянутого.
7. 2. Расчет прямого растянутого элемента. Расчет пря-
прямого растянутого элемента (тяга, трос и т. п.) очень прост
(это, конечно, не касается концевых соединений, которые обыч-
обычно относятся к расчету стыков). Площадь поперечного сечения,
необходимая для передачи силы Р, определяется из уравнения
F. 1) следующим образом:
F— Р п л\
1 _ у У* • 1)
Фиг. 126. Элемент, рабо-
работающий на растяжение.
'ДОП
оп
допустимое напряжение
Термин «допустимое напряжение» требует дальнейшего
пояснения. Если мы рассматриваем его как разрушающее
напряжение растяжения и воспользуемся им для.
уравнения 126, мы получим элемент, который разрушится, когда
нагрузка будет приблизительно равна Р (в действительности
всегда имеется некоторое колебание в свойствах материала,
так что трудно предсказать разрушающую нагрузку с абсолют-
абсолютной точностью). Если же мы хотим получить элемент, который
не будет давать заметной текучести под нагрузкой Р, мы дол-
должны поставить в уравнение 7. 1 условный предел текучести при
растяжении -Л-,Ч!-
Допустим, например, что требуется передать растягиваю-
растягивающую силу в 80 000 кг при помощи стальной тяги. Сначала надо
выбрать тип стали и определить ее прочностные свойства. До-
Допустим, что взята закаленная сталь ЗОХГСА. Для нее имеем:
a v, = 8 500 кг.'см2.
Если Р рассматривается как разрушающая нагрузка, то необ-
необходимая площадь поперечного сечения будет
/7 = = 7,3 см~.
11 000
Если тяга должна держать нагрузку в 80 000 кг без замет-
нон текучести, мы должны взять условный предел текучести
для определения необходимой площади:
() 4 с si1-
8 500
Допустим, что та же сила в 80 000 кг должна воспринимать-
восприниматься элементам из алюминиевого сплава, для которого напряже-
напряжения таковы:
^=4200 кгсм\
сгсv... = 2800 кг'см*.
Необходимая площадь поперечного сечения будет:
1) при расчете на разрушение
80 000
4 200
= 19 СМ2;
2) при расчете на предел текучести
р 80 000 оп
г= =29 см-.
2 800
126
127
7. 3. Кривые растянутые элементы. При некоторых опре-
определенных условиях кривой элемент можно испытывать на чи-
чистое растяжение. Как пример можно привести кольцо, находя-
находящееся под действием радиаль-
радиальных нагрузок, направленных во
внешнюю сторону (фиг. 127). В
условиях работы такого кольца
оказыв!ается оболочка круглых
цилиндрических сосудов, 'нагру-
'нагруженных виутреншш давлением,
если рассматривать ее участок
на некоторой небольшой длине,
(положим, равной 1 см), как
показано на фиг. 127,5. Растя-
Растягивающее усилие в такой по-
полоске можно дегко подсчитать,
если разрезать это кольцо на
две половины, как показано.
Полная сила в данном на-
направлении, вызванная равномер-
равномерным давлением, действующим на
данную площадь, равна jпроиз-
jпроизведению давления >н,а npioe к-
ц и ю площади на плоскость,
нормальную к линии действия
силы.
На фиг. 127 плоскость проекции показана пунктиром и имеет
¦площадь, равную D (так как длина принята равной единице).
Тогда полная сила равняется pD, где р — давление на единицу
поверхности. Так как она действует на обе стороны, то нагруз-
нагрузка полосы будет равна половине этой величины:
Фиг. 127. Растяжение кольца,
ER.
2
=pR,
G.2)
где Р
D
нагрузка на единицу ширины,
¦диаметр,
R—радиус,
р—внутреннее давление.
Напряжение растяжения теперь .можно подсчитать при по-
помощи элементарного уравнения напряжения (в котором пло-
площадь равна 8):
где о
окружное напряжение растяжения или напряжение
растяжения в ободе,
толщина в исследуемой точке.
128
Формула окружного (или «цепного») напряжения или форму-
формула растяжения кольца выведена в предположении, что
напряжения распределяются равномерно по всему сечению по-
полоски. Это будет достаточно соответствовать действительности,
если толщина полоски мала по сравнению с радиусом. Если
стенка толстая, а радиус мал и если требуется большая точ-
точность, то надо применить более совершенные методы расчета и
более сложные формулы.
Формула растяжения кольца мо-
может быть также применена и для
частей окружности (или дуги), если
толщина S относительно мала по
сравнению с длиной дуги. Обосно-
Обоснование этого представлено на
фиг. 128, которая дает в преувели-
преувеличенном виде сравнение между усло-
условиями работы и деформациями пол-
полного кольца и для части его дуги,
закрепленной концами. Сплошной
линией изображено состояние дона-
гружения, а пунктирной — после
него.
Нетрудно заметить, что дефор-
деформированный вид участка дуги в це-
целом кольце (фиг. 128,0) и закреп-
закрепленной по концам (фиг. 128,Ь) не-
неодинаков. В первом случае вследствие деформации растяжения
радиус увеличился, а во втором уменьшился. Однако практи-
практически изменение радиуса обычно бывает очень мало, и можно
считать, что радиус кривизны не изменился. Следовательно, не
будет и заметного влияния изгиба, связанного с изменением
радиуса, если толщина дуги невелика.
Если же толщина полосы велика, то часть нагрузки от дав-
давления будет воспринята изгибом полосы, действующей как
балка.
7. 4. Нити (тросы). Предыдущий пример растяжения
кольца является частным случаем более общего класса кон-
конструкций, в которых элемент, передающий нагрузку, не можег
сопротивляться изгибу (тонкая струна, трос, цепь и т. п.). Такие
конструктивные элементы могут быть названы общим терми-
термином «нить» (или трос), которая является элементом, способ-
способным передавать только осевую силу (эта сила должна, конечно,
быть растяжение м, так как отсутствие сопротивляемости
изгибу делает невозможной для элемента передачу сжатия).
При заданной системе приложенных нагрузок нить автома-
автоматически принимает конфигурацию, которая позволяет ей нести
только растягивающие усилия. Различные схемы такого нагру-
жения приведены на фиг. 129. При тонкой оболочке, нагружен
9 Ф. Р. Шенли.
Фиг. 128. Дуга окружности.
''A
Рлвномерное рлЗилльное
(ccl
нАгруЖни
(Внутренне^ каление}
S-const
ной равномерным внутренним давлением, поперечное сечение
стремится стать круглым. Нить, нагруженная постоянной погон-
погонной нагрузкой, примет форму
параболы (фиг. 129,Ь).
Трос, несущий только свой
собственный вес, примет фор-
форму цепной линии (фиг.
129,с). Система сосредоточен-
сосредоточенных грузов, приложенных к
веревке, заставит ее принять
форму .многоугольника,
часто называемого веревоч-
веревочным м н о» г о у г о л ь н и~
ко м (фиг. 129,с/). Подвес-
Подвесной мост представляет вы-
выдающийся пример практиче-
практического применения цепной ли-
линии. Из фиг. 129 можно ви-
видеть, что при сравнительно по-
пологих кривых (большое отно-
отношение радиуса к пролету) ус-
условия нагружения для фиг.
129 д,Ь к с будут меньше отли-
отличаться друг от друга по мере
уменьшения кривизны, и тео-
теория растяжения кольца может
быть применена для получения
приблизительного ответа и в
этом случае. Если провисание
велико, то парабола даст
удовлетворительное приближе-
приближение к цепной линии (фиг.
129,с).
К некоторым из подобных
условий нагружения можно
приблизиться, заменив действи-
действительную нагрузку рядом со-
сосредоточенных сил, выбирая
подходящее число точек нагру-
нагружения вдоль троса. Затем за-
задачу можно решить графи-
графически способами, описанными
в разделах 2.8 и 4.22. Как ука-
указано на фиг. 129Д система со-
сосредоточенных сил заставит
РАВНОмерно
тпределешя
НАзрузН
от собственного
еесА
s= const
Веревочный
многоугольна к
Id)
Сосредоточенные
грузы
Фиг. 129. Примеры конструкций
из гибких элементов (тросы).
трос принять конфигурацию веревочного многоугольника. При
решении такой задачи замыкающая линия, соединяющая две
опоры, может не получиться под правильным углом. Это можно.
130
исправить путем перемещения ординат многоугольника, изме-
измеряя их от надлежащей основной линии. Если берется опреде-
определенная длина троса, то графическое решение требует метода
последовательных приближений.
Аналитические .решения разработаны для параболической
кривой и для цепной линии. Подробный расчет подвесных мо-
мостов рассматривается в специальных курсах.
7. 5. Тонкие оболочки. Шаровая оболочка, находящаяся
под внутренним давлением, имеет принципиальное сходство с
кольцом. Если сферу радиуса R разрезать на две половины, то
полная нагрузка от давления будет p-rrR2. Она действует на
окружность длиной 2тг#. Поэтому нагрузка на единицу длины
будет
р— PlB- G 4\
Это только половина величины, полученной для цилиндра.
Следует заметить, что каждый квадратик, вырезанный из по-
поверхности сферической оболочки, одинаково нагружен на ра-
растяжение в двух взаимно перпендикулярных направлениях.
Замечания, сделанные для дуг, будут относиться также к
частям сферы. Такого рода конструктивные элементы часто
применяются как стенки в сосудах, подвергаемых давлению.
Нагрузка на единицу длины окружности цилиндриче-
цилиндрической оболочки под внутренним давлением может быть полу-
получена тем же общим способом. Надо найти половину величины
нагрузки по окружности (растяжение кольца), т. е.
G.5)
4
Следовало бы заметить, что все формулы, выведенные для
растяжения, теоретически применимы и для сжатия. Таким
образом 'возможно применять их для подсчета напряжений
сжатия в сферической оболочке, подвергнутой внешнему
давлению. Однако в этом случае требования устойчивости де-
делают необходимым применение относительно более толстых
стенок и поэтому формулы являются менее точными, чем для
внутреннего давления (напряжения растяжения).
7. 6. Центр тяжести площади. Основная формула нормаль-
нормального напряжения а=-^г-дает среднее значение напря-
напряжения по поперечному сечению стержня. Если в действитель-
действительности напряжение нигде по сечению не превосходит этой «вели-
«величины, оно, понятно, должно быть равномерным по всему
сечению. Это, в свою очередь, влечет за собой и равномер-
равномерную деформацию. Такое основное предположение, что
плоские поперечные сечения остаются пло-
9:-: 131
Фиг. 130. Плоские "попе-
"поперечные сечения.
скими и параллельными' во в ремя нагруже-
н и я, обычно принимается в теории растяжения. Это является
физической основой для формулы осевого напряжения, и ясное
понимание ее поможет ;в дальнейшем, когда аналогичные допу-
допущения будут применяться для изгиба. Оно также поможет по-
понять задачи с применением различных материалов.
Фиг. 130 показывает растягиваемый
стержень и дает преувеличенную карти-
картину вытяжки на единицу длины A см).
Пунктирные линии указывают новое по-
положение плоскости поперечного сечения.
Удлинение е определяется расстоянием'
¦между двумя плоскостями (до и после
нагружения). Очевидно, что плоскость
поперечного сечения должна остаться
плоской и параллельной первоначально-
первоначальному (ненапряженному) положению, ина-
иначе е не будет равномерно. Если s не-
неравномерно, то напряжение а, будучи
пропорционально s, будет меняться по
поперечному сечению и основная фор-
формула не будет применима.
Наоборот, если нормальное напря-
напряжение равномерно, оно будет иметь
некоторую равнодействующую, которая действует на центр
тяжести поперечного сечения. Способы определения центров
тяжести сечения молено найти в технических справочниках, но
основной способ представляет то же, что и определение равно-
равнодействующей параллельных сил.
Так как он часто применяется, '
рассмотрим его подробно. i
Площадь разбивают на ряд
небольших элементов, как пока-
показано на фиг. 131, -и расстояния
центров тяжести этих элементов
от Двух осей координат записы-
записывают в таблицу. Подсчитывают
момент каждого элемента отно-
относительно каждой оси, затем мо-
моменты суммируют и делят на
полную площадь сечения, как по-
показано в табл. 4. Полученные
расстояния определяют центр
тяжести, как показано на фиг.
131 (надо заметить, что на каж-
каждой площади считается дей-
действующим равномерное напряжение, и площади можно рас-
рассматривать как силы).
132
Фиг. 131. Центр тяжести площади,
Величина -Fx (или -Fv ) называется статическим
моментом площади. Ее значение будет равно нулю для
любой оси, проходящей через центр тяжести площади. Это в
сущности и представляет собой способ определения центра тя-
тяжести.
Таблица 4
Центр тяжести площади
1
0
х-
¦ >
и т. д.
Сумма
1
1
\
vp
IF,:
F = IF
F
З'о
F
/ „
/ „ „
Так как при равномерно распределенном нормальном напря-
напряжении равнодействующая будет находиться в центре тяжести
поперечного сечения, следует, что внешняя
сила должна быть приложена так, чтобы она
действовала по линии, проходящей через центр
тяжести. Иначе нормальное напряжение не бу- .=
дет равномерно. Это важно при расчете конце- i
вых фитингов, в особенности для сжатия. Сле- |
дует заметить, что центр тяжести не всегда ле- j
жит внутри контура поперечного сечения (для *
примера см. фиг. 131).
7.7. Комбинация различных материалов. Если
два элемента или больше из разных материалов
должны работать вместе при осевой нагрузке, та
легко найти распределение силы между ними,
применяя допущение о параллельности
деформаций поперечного сечения.
Если (деформация равномерна, напряже-
напряжение (в пределах упругости) будет пропорцио-
пропорциональна модулю упругости Е для материалов.
Так, на фиг. 132 напряжение в стальной части
будет приблизительно в три раза больше, чем в
части из алюминиевого сплава (Е=приблизи-
(Е=приблизительно 2 100 000 кг/см2 для стали и 700 000 кг/см2
для алюминиевого сплава). Поэтому, если еди-
единица площади алюминиевого стержня воспри-
воспринимает некоторую силу, единица площади фиг> 132. Состав-
стального стержня воспримет силу в три раза ной элемент.
133
I
большую и по своей эффективности оказывается, таким образом,
как бы эквивалентна 3 единицам площади алюминиевого
стержня.
Э|-ф фективная (приведенная) площадь составного
стержня представляет собой сумму всех площадей после умно-
умножения их элементов на соответствующий коэфициент
эффективности (редукционный коэфициент). В данном
случае для алюминия он равен единице, для стали — трем. Это
преобразует составную конструкцию в воображаемую равно-
равноценную ей из однородного материала (в данном случае, из
алюминиевого сплава). Напряжение в преобразован-
преобразованном сечении теперь получается по обычной формуле (a =P:F),
где F —-эффективная (приведенная) или редуцированная
площадь. Действительное напряжение >в каждой части получают
затем умножением этого напряжения на коэфициент
эффективности (редукционный коэфициент).
Центр сопротивления не будет уже геометриче-
геометрическим центром тяжести площади поперечного сечения, но будет
центром тяжести преобразованного сечения. Он легко
определяется обычным спосо-
способом! после преобразования ,пло-
шадеii элементов, как указано
выше. Положение каждого
элемента площади, однако,
не должно быть изменено.
Центр сопротивления
можно бы сравнить с цент-
центром т я ж е с т и сечения
конструкции, если считать
каждую часть по весу пропор-
пропорциональной ^модулю упруго-
упругости. Составные конструкции
должны нагружаться по цент-
центру сопротивления, если нор-
нормальное напряжение в каждой
части желательно иметь рав-
равномерным. Это указано на
фиг. 132.
От носит ель мая (ил и
деформация
Фиг. 133. Совмещенные кривые
нагрузки-деформации.
7. 8. Кривые нагрузки-деформации. Более общий способ
решения задач, касающихся относительных деформаций, за-
заключается iB рассмотрении кривых ;н а г р у з о к-д е ф о р ;м а-
ц и й. Так как нагрузка равна напряжению, умноженному на
площадь, то диаграмма напряжений -и относительных деформа-
деформаций может быть превращена в диаграмму нагрузок и от-
относительных дефор;маций путем умножения ее_на
площадь поперечного сечения элемента. Если разные элементы
работают вместе, т. е. вынуждены иметь одинаковую деформа-
134
цию, то составную диаграмму нагрузок и относительных де-
деформаций легко получить путем совмещения диаграмм
различных элементов, как указано на фиг. 133.
Этот способ не только учитывает разные площади и вели-
величины Е, но дает также истинную картину в пластической
области. Он показывает также, какой элемент разрушится !В
первую очередь (если известна полная диаграм;ма на-
напряжения и относительной деформации). При любой данной
полной нагрузке нагрузку на каждый элемент 1можно найти
непосредственно по диаграмме, как указано. Если одновремен-
одновременно нанесена и диаграмма напряжений относительных деформа-
деформаций, то напряжение 'можно определить таким же способом или
нагрузку на элемент можно разделить на площадь его попе-
поперечного сечения.
7. 9. Местные условия. Если нормальные напряжения не
распределены равномерно по поперечному сечению, то основ-
основное допущение, что смежные
плоскости поперечных сечений | Р
остаются параллельными, не бу-
будет верным вблизи точки прило-
приложения нагрузки. Определение
Действительного распределения
напряжений касается уже тео-
теории упругости и часто
представляет собой сложную ма-
математическую задачу.
Например, если сосредото-
сосредоточенная нагрузка приложена на
конце стержня, как указано на фиг. 134, то теоретическое рас-
распределение напряжения в трех разных поперечных сечениях
будет иметь вид, показанный на фиг. 134,а, Ьяс. Можно
видеть, что распределение напряжений становится уже доста-
достаточно равномерным на расстоянии от конца, равном ширине
стержня.
Согласно работам С е н-В е н а н а, можно считать, что по-
поперечные сечения стержня остаются плоскими даже при со-
сосредоточенном нагружении, на расстояниях от точки приложе-
приложения нагрузки не меньших, чем ширина стержня (максималь-
(максимальная ширина, по которой распределена нагрузка). При несколь-
несколько другой формулировке местные влияния сосредоточенных
нагрузок могут считаться исчезнувшими на расстоянии, при-
приблизительно равном ширине, на которой эти влияния имеют
место.
Один из практических выводов, который следует сделать из
принципа Сен-Венана, заключается в том, что в элементах кон-
конструкций силы должны быть приложены сообразно с теми пу-
путями, по которым они стремятся распространиться по конструх-
1027
Фиг. 134. Местные влияния.
135
дни. Иначе элемент будет перенапряжен вблизи точки прило-
приложения нагрузки и, следовательно, не может быть настолько
эффективен, как в сечениях, достаточно удаленных от этой точ-
точки. Область приложения концентрированной нагрузки долж-
должна быть прочнее (тяжелее), чем большая часть стержня (в
самолетных расчетах для этой цели обычно пользуются коэфи-
циентами для соединений, учитывающими возможность местных
перенапряжений).
В инженерной работе часто не требуется применения точ-
точного теоретического расчета распределения местного напря-
напряжения, так как обычно конструкционные материалы имеют до-
достаточно большую пластическую область, чтобы допустить зна-
значительное выравнивание напряжений, прежде чем произойдет
действительное разрушение. Однако для хрупких материалов
или при повторных нагрузках или при ударе устранение мест-
местных перенапряжений имеет существенное значение.
7. 10. Концентрация напряжения. Описанные выше мест-
местные влияния относятся также и к тому случаю, когда размеры
имеют местное изменение сечения, как, например, стержень
с выточкой или пластина с от-
отверстием.
Резкое изменение поперечно-
поперечного сечения вызовет концентра-
концентрацию (увеличение) напряжений
в месте изменения. Хотя эти
увеличения напряжения и носят
чисто местный характер, однако
они являются потенциальными
источниками разрушения. При
повторяющихся или переменных
напряжениях возможно образо-
образование трещины и последующее ее
расширение до тех пор, пока не
произойдет полного разрушения
mill
ттттт
Фиг. 135. Концентрация
напряжения.
Резкое изменение сечения часто бывает причиной скачка
напряжений.
Фиг 135 показывает характер концентрации напряжений
около отверстия и при резком изменении поперечного сечения.
В бесконечно широкой пластинке круглое отверстие увеличи-
увеличивает в данном месте напряжение до трехкратной величины его
среднего значения. Если отверстие расположено близко к краю
пластинки то коэфициент концентрации напря-
напряжения '(максимальное местное напряжение, деленное на
среднее напряжение) становится даже больше. Фиг. 135,5 по-
показывает увеличение местного напряжения в месте запила.
Коэфициент концентрации напряжения можно снизить путем
увеличения радиуса в месте запила. Трещина, расположенная
136
поперек направления растягивающего напряжения, представ-
представляет со-бой причину крайне сильного скачка напряжений; сле-
следовательно, раз образовалась небольшая трещина, она навер-
наверное быстро увеличится при повторном напряжении (засверли-
вание отверстия в концах появившейся трещины можно рас-
рассматривать как средство замены большого скачка напряжения
!малым).
Подробно излагать вопрос о концентрации напряжения
здесь неуместно. Предыдущий -материал был приведен, чтобы
показать ограничения в применении обычных формул для
среднего напряжения и чтобы подчеркнуть опасность рез-
резких изменений в поперечном сечении.
Фиг. 136. Фотоснимок образца балки на двух опорах с центрально
приложенной нагрузкой при световом методе исследования упругих
напряжений.
Исследование упругих напряжений фотоэластическим -ме-
-методом является мощным экспериментальным средством опре-
определения местных напряжений в моделях действительных де-
деталей.
Пример распределения напряжений, полученных этим ме-
методом, указан на фиг. 136.
ЗАДАЧИ
7. 1. Труба из алюминиевого сплава, обработанная терми-
термически, размерами d=25 мм и 8=1,3 мм, растягивается вдоль оси
нагрузкой 4000 кг. Потечет ли эта труба? Разрушится ли она?
(Пользоваться приложением 2.)
7. 2. Какого диаметра требуется пруток из высокопрочно-
высокопрочного алюминиевого сплава, чтобы нести нагрузку в 6500 кг пе-
перед разрушением? (Пользоваться приложением 2.)
7. 3. Для указанного на фиг. 137 составного элемента,
пользуясь приложением 2, найти:
а) где должна быть приложена сила Р, чтобы получить
равномерное нормальное напряжение растяжения в каждой
части?
137
b) какой материал разрушится первым?
c) какая нагрузка вызовет разрушение элемента?
1
- Стрдь-л
езый сплав паи сплав
По а-А
Фиг. 137
7. 4. Цилиндрический бак, показанный на фиг. 138, подвер-
подвергается внутреннему давлению 12 кг/см2.
a) Каково окружное напряжение растяжения?
b) Каково продольное напряжение растяжения?
ПО А-А
Фиг. 138.
7. 5. Нанести в соответствующем масштабе серию в де-
десять параллельных, равных и на одинаковом расстоянии рас-
расположенных сил, как указано на фиг. 129. Построить сравни-
сравнительно пологий веревочный многоугольник (высотой прибли-
приблизительно в одну десятую пролета), представляющий собой трос,
несущий эти силы. Подсчитать несколько точек параболы, про-
проходящей через наиболее низко лежащую* точку многоугольни-
многоугольника (кривые должны совпасть). Провести дугу окружности че-
через эту точку, чтобы увидеть степень приближения, которую
это дает.
7. 6. Повторить задачу 7. 5, пользуясь более «глубоким»
многоугольником (высота приблизительно в половину про-
пролета).
138
7. 7. Сферический стальной бак диаметром 30 см будет
подвергаться рабочему давлению в 80 кг/см2. В целях безопас-
безопасности желательно, чтобы напряжение в оболочке при давлении
ке превосходило одной трети напряжения текучести материа-
материала. Выбрать данные -из приложения 2 и определить минималь-
минимальную толщину стенки, которая может быть взята.
7. 8. На фиг. 139 представлено сечение подвергающегося
давлению днища круглого сечения. Днище сферического очер-
Фиг. 139.
тания толщиной 8 — 0,12 см. Найти напряжение растяжения
при внутреннем давлении 1 Kef см-. Также определить растя-
растягивающее усилие на сантиметр окружности оболочки фюзе-
фюзеляжа и подсчитать напряжение растяжения для листа толщи-
толщиной 0,08 см.
Примечание. Соответствующая формула для радиуса кривизны
дуги круга
где а—стрелка (сегмента),
b—половина хорды (или пролета).
7. 9. Взять трос, натянутый на пролете в 100 м с провиса-
провисанием 18 м посередине. Безопасная нагрузка для натяжения
троса принята 13 500 кг. Найти соответствующую расчетную
величину равномерно распределенной нагрузки (фиг. 129).
в кг/я, считая что формула окружного натяжения достаточно
точна.
Примечание. Погонный вес троса должен быть вычтен из пре-
предыдущего ответа для определения чистой нагрузки, которую трос
будет держать.
7. 10. Считать, что распределенная нагрузка, найденная
для задачи 7. 9 сосредоточена в одну силу посередине пролета
и что трос укорочен настолько, что провисание его в этой точ-
точке остается 18 м. Пренебрегая весом троса найти нагрузку,
растягивающую трос, и сравнить ее с нагрузкой задачи 7.9 (со-
(сосредоточенное нагружение будет более тяжелым).
139
7. 11. Взять два концентрически нагруженных элемента
по 25 см длины каждый, состоящих:
элемент А из стальной трубы 50X48 лш,
элемент В из трубы алюминиевого сплава 25X22 мм.
Нанести <в однод* масштабе и на одной диаграмме прибли-
приблизительные диаграммы напряжений — относительных деформа-
деформаций для этих двух материалов. Перевести их в кривые нагру-
нагрузок и деформаций и нанести составную кривую нагрузок и
деформаций для двух труб, нагруженных одновременно. На
этом материале показать распределение нагрузки в некоторой
точке в пластической области (за пределом текучести). Данные
д,ля труб взять из приложения 1 (табл. 2).
ГЛАВА 8
ПОПЕРЕЧНЫЕ СИЛЫ
S. \. Основная задача. До сих пор мы рассматривали
вопрос о передаче осевых сил, и элементы конструкции рабо-
работали только на растяжение или сжатие. Передача сил
в направлении, перпендикулярном к их линии дейст-
действия (обозначенных как поперечные силы),
представляет собой более сложную задачу. Эта
задача оказывается одной из основных задач
почти всех расчетов на прочность, потому что
простой случай осевой нагрузки, встречается
очень редко. Почти в каждой задаче по расчету
конструкции встречаются в той или иной форме
поперечные силы.
Очень простой пример, показывающий дей-
действие поперечных сил, можно^ найти в железно-
железнодорожном деле. Допустим, что надо привести в
движение железнодорожный вагон, стоящий на
пути, расположенном параллельно основному со-
составу или парозозу. Это можно сделать, как по-
показало на фиг. 140, прл помощи стержня (стой-
(стойки), который вставляется диагонально между
двумя вагонами. Паровоз передает свою силу
аксиально через цепь вагонов, а затем она
передается вбок («поперечло») диагональным
элементом на смежный путь. Важно отметить,
что эта передача силы вбок для самого стержня
является осевой.
Это замечание является существенным для
ясного понимания передачи сил при помощи
шарнирных элементов, воспринимающих только
осевые нагрузки.
Другая особенность, которую можно заме-
заметить в фиг. 140, заключается в том, что передать
силу вбок (перерезывающим образом) невозможно без того,
чтобы она хоть на некотором участке все же передавалась
вдоль своей собственной оси действия. Вообразите, что вы пы-
Фиг. 140.
Пример переда-
передачи поперечной
силы.
141
A
90
I
В
С
Фиг. 141. Возникновение
треугольного элемента.
таетесь сдвинуть вагон при помощи стержня, вставленного
1очно поперек железнодорожных путей (перпендикуляр-
(перпендикулярно вагонам). Если концы такого стержня шарнирно прикрепить
к вагонам, ничего не произойдет до тех пор, пока он не изме-
изменит свой угол (против .прямого), после чего в нем возникнет
растягивающая сила, которая и потянет вагон на другом пути.
Выражаясь более научно, элемент, предназначенный для пере-
передачи силы под углом (вбок), должен иметь компонент
в н а п р а в л е и и и с и л ы.
Задачу можно представить графи-
ур чески, как показано на фиг. 141. Си-
Силу Р нужно передать из точки А в
точку В по- линии, идущей под углом
в 90° к направлению силы (в точке В
показана сила реакции, но не реак-
реактивный момент). Если теперь поме-
поместить элемент прямо вдоль линии АВ
н если мы предположим, что он мо-
может передавать только осевую силу,
то очевидно, что передать силу невоз-
невозможно. Но если имеется некоторое
расстояние по направлению1 силы, скажем от А до С, то эле-
элемент, работающий на растяжение, мож-
можно направить но линии СВ. Такой эле-
элемент имеет компонент по направлению
силы Р и любая осевая сила в элементе
будет также иметь такой компонент.
8. 2. Простейший треугольник. Тре-
Треугольник АСВ (фиг. 141) является при-
примером основного элемента всех фермен-
ферменных конструкций. Всякая передача попе-
поперечной силы (сдвиг, кручение и т. п.)
требует расположения элементов кон-
конструкции в виде каких-то треугольников.
Для конструкции, состоящей из ряда
шарнирно соединенных стержней, т. е.
для фермы, это ясно из простых геомет-
геометрических соображений. Но по суще-
существу даже в таких конструктивных эле-
элементах, как балка со стенкой, передаю-
передающая поперечную нагрузку, работа стен-
стенки эквивалентна как бы-, работе ряда
плоских треугольников, разбитой на ко-
которые ее можно себе представить. На
фиг. 142 показаны три различных устрой-
устройства для передачи силы Р на стенку.
На фиг. 142,а передача ее осуществляется растянутым элемен-
элементом АВ, тогда как сжатый элемент СВ воспринимает только
(а)
Фиг. 142. Типы треуголь-
треугольников.
142
конструкции
} на которое
жя сил а
(а) Простейший
треугольник
i
(Ь) Ферм а со
и рАскссАма
горизонтальный компонент растягивающей силы, действующей
по АВ.
На фиг. 142,Ь поперечная сила воспринимается сжатием
элемента СВ. Элемент АВ теперь служит только для воспри-
воспринятая (растяжением) горизонтального компонента сжимающей
силы, действующей по СВ.
Заметьте, что в каждом из этих примеров шарнирный эле-
элемент, который непосредственно как
бы не воспринимает передаваемой
нагрузки, так как он к ней перпен-
перпендикулярен, испытывает, однако, от-
относительно большие осевые усилия.
Эти как бы «бесполезные» или «па-
«паразитные» силы указывают на воз-
возникновение больших изгибающих
моментов, связанных с передачей
силы в поперечном направлении.
На фиг. 142,с каждый эле-
элемент передает часть силы Р, при-
причем величины этих частей зависят
от наклона элементов по отношению
к силе. На фиг. 142,с, как и на фиг.
142,а и ft, равновесие в узле В пс
горизонтали сохраняется вследствие
уравновешивания горизонтальных
компонентов от обоих элементов.
8. 3. Образование фермы. На
практике поперечные силы часто
приходится передавать на большие
расстояния. Обычно также имеет
место и определенный предел для
высоты конструкции, как показано
на фиг. 143 (это верно и для само-
самолетных крыльев). Конструкция мог-
могла бы быть выполнена в виде про-
простейшего треугольника, как показа-
показано на фиг. 143,#. Но это потребо-
потребовало бы очень длинных п тонких
элементов, один из которых должен
воспринимать сжимающую силу.
Очевидно, что такой длинный сжатый элемент не сможет быть
достаточно выгодным вследствие малой жесткости на продоль-
продольный изгиб. Кроме того, в элементах будут создаваться очень
большие осевые силы ввиду малого угла между ними. Всякая
попытка увеличить угол ограничена малой высотой, находящей-
находящейся в распоряжении конструктора. Наиболее же выгодный угол
для диагонального элемента близок к 45°. Поэтому лучше вме-
вместо одного треугольника невыгодной формы создать конструк-
(С) Фер
г /
r Id
/
/
) Ферм a l
7
/
/
?
/
* рАСУ АЛ к AMU
Р
%
(е) Ферм а с перекре -
стными "*-"
Р
Фиг. 143. Типы ферм.
дию из ряда отдельных более выгодных треугольников, пока-
показанную на фиг. 143,Ь и называемую обычно раскоской фермой
или фермой со стойками и раскосами. Такая ферма представ-
представляет собой просто ряд треугольников, одни из элементов кото-
которых идут вертикально, а другие наклонно1.
Вертикальные элементы фермы можно сделать более эффек-
эффективными, если их наклонить, используя их в таком виде для пе-
передачи силы в любом направлении. Это приводит к ферме с зиг-
зигзагообразным расположением раскосов, показанной на
¦фиг. 143,с.
Если сила, которую необходимо передать, действует всегда
в одном направлении (как, например, сила веса), то диагональ-
диагональные элементы раскосной фермы наиболее целесообразно распо-
расположить так, чтобы они были растянуты. Это приводит к тому,
что вертикальные элементы будут сжаты. Преимущество такого
случая, когда более короткие элементы сжаты (вместо длин-
длинных), вполне очевидно. В этом случае для диагоналей можно
было бы применить простейшие элементы, работающие только
на растяжение, как, например, проволока, лента или трос. Та-
Такой тип конструкции показан на рисунке 143Д где осевые
пунктиры указывают на растянутые элементы, т. е. элементы,
которые неспособны воспринимать сжатие.
Если есть какая-нибудь вероятность того, что при работе
данной конструкции сила Р может изменить свое направление,
то< конструкция, -показанная на фиг. 143Д становится механиз-
механизмом вследствие неспособности диагональных расчалок воспри-
воспринимать сжимающие силы. При таких условиях необходимо ли-
либо применять диагональные элементы, которые могут рабо-
работать на сжатие, либо поставить кроме прямых также -и обрат-
обратные расчалки, которые будут воспринимать силы, приложенные
в обратном направлении. Последний вид фермы показан на
фиг. 143,е. В самолетных конструкциях он называется фермой с
расчалками и часто применялся раньше для фюзеляжей само-
.летов и для ферм крыльев.
Тип фермы с расчалками можно представить как две различ-
различные фермы, наложенные друг на друга и имеющие общие гори-
горизонтальные и вертикальные элементы. Когда внешняя сила ме-
меняет свое направление, начинают работать противоположно на-
направленные расчалки (называющиеся обратными расчалками),
а «прямые» расчалки становятся неработающими. При расчете
такого типа конструкции рассматриваются только те диагональ-
диагональные элементы, которые подвержены действию растягивающих
сил. (Иногда, однако, при более точных расчетах делают по-
поправку, учитывающую силы предварительной затяжки, но
1 В раскосной ферме, показанной на фиг. 143/' с нисходящими раско-
раскосами, диагональные элементы сжаты. В такой же ферме с восходящими
раскосами они при данной нагрузке были бы растянуты. В авиационных
конструкциях обычно имеет место знакопеременная нагрузка.
.144
W
обычно этими силами можно пренебречь. Их влияние исчезает
как только обратные рясчалки ослабевают.)
На фиг. 144 показана раскосная ферма с зигзагообразным
расположением раскосов, к которой добавлены вертикальные
элементы а (фиг. 144i. Эти элементы не представляются необ-
необходимыми и не нагружаются, пока
рассматривается передача только
силы Р,. Поэтому при расчете ими
можно' пренебречь. Благодаря
сходству этой фермы с простой рас-
раскосной фермой их можно спутать,
но работает данная ферма в основ-
основном как ферма с зигзагообразным
расположением раскосов. Верти-
Вертикальные стержни обычно добав-
добавляют для уменьшения свободной
длины юризонтальных (поясных) элементов, или для передачи
на конструкцию местных сил (как показано силой Р,).
8. 4. Двухопорные фермы. Все до сих пор рассмотренные
фермы были построены из треугольников. Другая характерная
особенность состоит в том, что поперечная сила передавалась
только в одном направлении, т. е. был только один
путь, по которому могла итти сила. Другой тип задач встречает-
встречается тогда, когда сила может передаваться больше, чем в одном
Фиг. 144. Видоизмененная
раскосная ферма.
Фиг. 145. Передача по двум
направлениям.
Фиг. 146. Двойной треугольник
(висячие стропила).
направлении. На фиг. 145 показан простой пример, который мо-
может быть назван «задачей моста». Здесь показан симмет-
симметричный случай. Вполне очевидно, что в случае симметричной
конструкции половина нагрузки пойдет налево, а половина —
направо. При проектировании такой конструкции можно приме-
применить двойной треугольник, как показано на фиг. 146. Верти-
Вертикальный элемент А передает силу Р на два диагональных (ра-
(растянутых) элемента Я, каждый из которых передает по полови-
половине силы на опорные точки. Характерная черта фермы этого
типа, называемой шпренгельной балкой с одной стойкой (вися-
(висячие стропила), состоит в том, что горизонтальные компоненты
этих двух диагональных элементов уравновешивают друг Друга
в вершине треугольника (в середине). На других концах диаго-
Ю Ф. Р. Шенли.
145
кальных элементов эти компоненты воспринимаются горизон-
горизонтальным элементом с, работающим на сжатие.
8. 5. Подвесная конструкция. Более простой вариант тако-
такого способа передачи сил можно получить при помощи устрой-
устройства, в котором горизонтальные компоненты диагональных сил
воспринимаются опорными точками (и, следовательно, пере-
передаются на основание или на конструкцию, к которой эти точки
крепятся), I
Как -показано на фиг. 147, это простейший -возможный спо-
способ передачи поперечной силы. Основные принципы такой пере-
передачи уже рассмотрены (§ 7. 4). Большая эффективность такой
Фиг. 147. Подвесная ферма.
Фиг. 148. Двойной треугольник
(сжатые диагонали).
конструкции (т. е. хорошее использование материала и малый
вес) получается вследствие минимального количества элемен-
элементов, применения элементов, работающих на растяжение
для передачи силы и использования опорных точек вместо эле-
элемента, работающего на сжатие, как было показана на фиг, 146.
Целесообразностью такой конструкции объясняется приме-
применение подвесных мостов с очень большими пролетами. Конструк-
Конструкция подвесного моста в сущности основана на том же принци-
принципе, который показан на фиг. 147, и разница лишь >в том, что вме-
вместо одной силы приложен целый ряд сил по всему пролету, как
это было объяснено в § 7. 4.
Если бы фиг. 146 перевернуть, то диагональные элементы
работали бы на сжатие, а вертикальный элемент—-на растяже-
растяжение. Такой >вид конструкции (фиг. 148) менее эффективен, но
часто более удобен, чем конструкция, показанная на фиг. 146,
и ее применение можно видеть в малых 'мостах вдоль сельских
дорог, а также и >в качестве наиболее обычной стропильной
фермы для маленьких домов.
8. 6. Стропильная ферма. Сочетанием двух и больше двой-
двойных треугольников можно получить и другие различные виды
ферм. Одной из наиболее распространенных является ферма
типа Полонсо, показанная на фиг. 149. Внимательное рассмот-
рассмотрение этой фермы покажет, что сила Р передается сжатым эле-
элементом А, как и на фиг. 148, тогда как силы Рг воспринимаются
двумя фермами типа висячих стропил (шпренгельных балок),
наложенными 'на первую ферму, как указано на фиг. 146. Эту
мысль можно развить и дальше, как это показано на фиг. 150
146
(сложная ферма типа Полонсо). Эффективность ферм этого ти-
типа объясняется минимумом сжатых элементов (показанных
жирными линиями на фиг. 149) и их малой длиной. Это, меж-
между прочим, и есть основной принцип проектирования легковес-
легковесных конструкций, который гласит, что- сжатые элементы
должны быть доведены до м и н и -м у -м а как по
к о л и ч е с т в у, т а к и п о длине. Отсюда следует, что не-
необходимо стараться применять как можно больше элементов,
работающих на растяжение.
8. 7. Выводы по фермам.
Вышеприведенные примеры по-
показывают, как можно, соединяя
различным* образом элементы,
нагружедныё осевыми '^усилия-
'^усилиями, образовать 'конструкцию,
способную передавать силы по-
Р'
Фиг. 149. Стропильная ферма
(типа „Финк" или .Полонсо").
Фиг. 150. Сложная ферма
типа „Полонсо".
перечным способом, г. е. в направлении, перпендику-
перпендикулярном к линии действия силы. Расчет ферм основан на прин-
принципах, изложенных в главе 2. Однако, прежде чем рассмотреть
это подробно, рассмотрим другие способы передачи попереч-
поперечных сил.
8. 8. Стенки, работающие на срез (или на сдвиг). Диаго-
Диагональные расчалки на фиг. 143,е можно заменить сплошной стен-
стенкой. Такая стенка может работать как ряд диагональных элемен-
л
9
\ У-
Фиг. 151. Балка со сплошной
стенкой.
Сечение
Фиг. 152. Стенка с зиговкой.
тов (работа такой стенки будет описана в главе 10). Типичная
балка со стенкой показана на фиг. 151. Вертикальные стойки
применяются для предохранения стенки от потери устойчивости
или для воспринятая сил, возникающих после потери устойчи-
Ю* 147
вости
Проектирование таких балок основано на принципах,
«менении зиговок, как показано на фиг. 152.
заменяют отдельные вертикальные стойки.
Если зиговки поместить довольно близко друг к другу, то
лист становится гофрированным (фиг. 153). Такие
Ш Отверсти.
УУЛ
Сечение
Фиг. 133. Гофрированная
стенка.
и
Фиг. 154. Облегчающие или
смотровые отверстия.
«стенки» довольно хорошо работают при нагрузках средней ве-
величины, но требуют особого внимания при проектировании сое-
соединений стенки с поясами.
В авиации часто применяется стенка с о б л е г ч а ю щ и м и
отверстиями (фиг. 154). На самом деле применение отвер-
отверстий делает стенку менее прочной по сравнению со сплошной
стенкой того же веса. Выражение «облегчающее отверстие» яв-
является правильным только тогда, когда отверстия применяются
для удаления излишнего материала в стенке, которая настоль-
настолько мало нагружена, что даже при практически мини-
минимальной толщине материала она обладает излишней прочно-
прочностью. Однако в действительности в большинстве случаев от-
отверстия делаются для того, чтобы обеспечить доступ при сборке
или осмотре конструкции. В этих случаях отверстия следует на-
называть смотровыми отверстиями или отверстиями для доступа.
Расчет стенки с отверстиями доволь-
довольно сложен; обычно для определения
прочности таких стенок прибегают к
Отверстия
Фиг. 155.
Стенка с вырезами.
- - ^ -.- -
непосредственным испытаниям.
Конструктивную схему балки со
стенкой, имеющей отверстия, можно
уподобить ферме с расчалками, если
придать этим отверстиям соответ-
соответствующие форму и расположение, как
показано на фиг. 155. Здесь стенка
вырезается так, чтобы остались диа-
диагональные полоски, которые работают так же, как расчалки.
Такой тип стенки относительно прост для расчета и хорошо
работает в мало нагруженных конструкциях.
В авиации широко применяются стенки, изготовленные по-
посредством штамповки из одного листа одной или несколь-
несколькими штамповочными операциями.
148
Простейшей стенкой является просто плоски й лист без
вертикальных стоек или зиговок. Лист работает и как диаго-
диагональные элементы (воспринимая к растяжение и сжатие), и как
-вертикальные стойки. Такой тип конструкции можно применять
и в том случае, если интенсивность нагрузки значительна; од-
однако стенка должна быть в этом случае относительно толстой по
сравнению с ее высотой. Такая стенка отличается тем, что она,
работая на срез, не теряет устойчивости и не требует никакого
дополнительного1 подкрепления для воспринятая поперечных (пе-
(перерезывающих) нагрузок.
При проектировании стенок-балок из тонкого листового ме-
металла применяются и другие формы, но основные конструктив-
конструктивные схемы их не отличаются существенно от описанных
выше.
ЗАДАЧИ
8. 1. Доказать, что наивыгоднейшим углом для диагонально-
диагонального элемента фермы (как на фиг. 143,5) является угол в 45а,
предполагая, что допускаемое напряжение в диагонали не зави-
зависит от длины элемента.
Ход решения. Написать уравнения для длины диагонально-
диагонального элемента и для силы по этому элементу в функции угла. При-
Принять, что вес элемента прямо пропорционален своей длине и по-
поперечному сечению.
8. 2. Приняв допускаемые напряжения во всех элементах
постоянными, подсчитать относительные веса элементов, воспри-
воспринимающих перерезывающие силы (раскосов и стоек), Для ферм
типов, показанных на фиг. 143,Ь и су с раскосами под углом 45°
(например, какое процентное увеличение веса раскосов и стоек
дает переход от фермы, показанной на фиг. 143,с, к ферме, по-
показанной на фиг. 143.,Ь).
\
\ /
Фиг. 156.
Фиг. 157.
8. 3. Спроектировать ферму, которая, будет воспринимать
нагрузки, показанные на фиг. 156, приняв на одном конце кат-
ковую опору.
8. 4. Спроектировать консольную ферму для показанных
нагрузок, выгодно расположив диагональные элементы (сообра-
(соображениями эффективности поясных элементов пренебречь).
Г Л А В А 9
РАСЧЕТ ФЕРМ
9. 1. Условия работы узла, В главе 8 было показано, что
основным элементом фермы является треугольник. Расчет лю-
любой фермы основан на исследовании работы стержней треуголь-
треугольника под действием нагрузки. Нагруз-
Нагрузка в отдельных стержнях, в свою оче-
очередь, зависит от условий работы уз-
узлов. Поэтому необходимо исследовать
физическую картину поведения узла,
с тем чтобы получить ясное представ-
представление о расчете ферм.
На фиг. 158 два стержня треуголь-
треугольника а показаны отдельно на фиг.
158,5 и с. В этом положении они, оче-
очевидно, попадают в класс механиз-
механизмов (см. § 5. 4) и не способны со-
сопротивляться приложенной силе Р.
Будучи закреплены на концах шарнир-
но, они под действием силы будут
описывать при своем движении дуги.
Эти дуги совпадут в одной точке С
и будут расходиться вне этой точки,
как показано на фиг. 158,а.
Если теперь в точке С создать
шарнир и опять приложить силу Р,
то стержни будут стремиться разой-
разойтись, как и раньше, но этому поме-
помешает наличие шарнира. Более точно
можно сказать, что шарнир, работая как узел, требует, чтобы
концы обоих стержней перемещались по одному и тому же пу-
пути. Это может быть только в том случае, если один или оба
стержня изменятся подлине. Именно это явление и вы-
вызывает осевые усилия з стержнях.
Например, если бы стержень АС был резиновый, то враще-
вращение ВС под действием силы Р просто растягивало бы стержень
АС, и в нем возникала бы очень маленькая осевая сила. У строй-
Фиг. 158. Элементы фермы.
150
ство поэтому не годилось бы для передачи больших сил, так как
оно не сохраняло бы своей формы, а вращалось относительно
точки В. В действительной конструкции будет иметь место
только незначительное изменение длины стержней, и точка С
поэтому отклонится только на небольшую величину (истинное
отклонение может быть найдено путем определения длин
стержней под действием нагрузки и проведения новых дуг для
нахождения точки их пересечения, как будет показано ниже).
Если представить, что оба стержня шарнирно прикреплены
к стене в одной и той же точке, то их свободные концы
будут описывать одну и ту же дугу, и постановка шарнира не
будет иметь никакого эффекта. Такое устройство, очевидно, не-
D
'/У//.
У///
Фиг. 159. Изогнутый стержень.
Фиг. 160: Один стержень
не нагружается.
способно сопротивляться силе, которая стремилась бы вращать
стержни относительно их общей точки крепления. Оно могло
бы сопротивляться только растягивающей силе и, следователь-
следовательно, в отношении поперечных сил было бы механизмом.
Теперь ясно, что возникновение сил в стержнях треуголь-
треугольника или фермы зависит от того, каким образом стержни вы-
вынуждены менять свою длину под действием прило-
приложенных нагрузок. Это в свою очередь зависит, главным обра-
образом, от расположения точек, относительно которых вращают-
вращаются противоположные концы стержней. Для того чтобы пока-
показать, что направление стержня у узла не является глав-
главным фактором, определяющим его усилие, приведена фиг. 159.
Поверхностное рассмотрение узла С могло бы привести к оши-
ошибочному определению усилий, основанному на направлении
стержня между D и С. Однако на самом деле точка С будет
стремиться вращаться относительно точки А. Поэтому и ра-
расчет необходимо начать так, как если бы стержень был пря-
прямой. Это даст правильное значение усилия в стержне ВС.
Прямая линия АС иногда называется фиктивным стерж-
стержнем (расчет кривого стержня ADC представляет более слож-
сложную задачу, которая будет рассмотрена ниже).
На фиг. 160 дан еще один пример. Здесь сила Р при-
приложена вдоль оси стержня ВС. Так как линия действия си-
силы проходит через точку крепления В, то никакой тенденции к
151
вращению стержня ВС не будет. Следовательно, он будет вос-
воспринимать всю силу Р без помощи стержня АС (сравни
с § 5. 3).
Вопрос может возникнуть относительно влияния удлинения
стержня ВС. Точка С под действием нагрузки будет стремить-
стремиться двигаться наружу, так как стержень ВС должен слегка
удлиниться. Можно было бы предположить, что стержень АС
удлинился бы подобным же образом. Однако на самом деле
это изменение положения точки С совершается гораздо легче
очень незначительным вращением стержней АС и ВС без
всякого удлинения стержня АС и, следовательно, без
всякой нагрузки в нем. Это вращение обычно настолько мало,
что им пренебрегают, т. е. п р и н и м а е г с я, что на п е р-
'Роначальную геометрию ф е р 'М ы деист в и тель-
тельное искажение стержней не влияет. Однако это
основное допущение следует иметь в виду, так как иногда в
случае ферм с очень большими деформациями оно может выз-
вызвать заметные ошибки.
9. 2. Расчет узлов. Для того чтобы найти распределение
сил между двумя или более стержнями, пересекающимися в
одном общем узле, стержни можно
заменить усилиями, с которыми они
действуют на узел (в действитель-
действительности на шарнир или болт, который
образует соединение). Обычно зна-
значение усилия в одном из стержней
известно, а необходимо определить
усилия в других. Направление
усилий в неизвестных стержнях
устанавливается их расположением,
или, как уже отмечалось, положе-
Фиг. 161. Условия работы узла, ннем точек, относительно которых
они могут вращаться. Типовой узел
показан на фиг. 161. Усилие в стержне С известно, а усилия
в стержнях А и В необходимо определить. Если предположить,
чго стеожни А и В прямые и шарнирно закреплены на противо-
противоположных концах, то о-ни могут передавать только о-севые уси-
усилия. Поэтому линии действия усилии Рл и Рп должны прохо-
проходить по1 осям стержней А и В.
Теперь можно применить законы статического равновесия,
как эта изложено в главе 4. Очевидно, что шарнир, соединяю-
соединяющий все три стержня, находится в состоянии равновесия, по-
поскольку вся нагруженная ферма и в целом и в отдельных ча-
частях находится в состоянии покоя. Следовательно, окончатель-
окончательный эффект всех сил, действующих на шарнир, должен быть
равен нулю (это должно быть при любом направлении).
Если окончательное действие трех сил равно нулю, то век-
векторная диаграмма должна замкнуться. Задача о расчете узла,
?с( известно)
152
состоящего из трех стержней, может быть поэтому сформули-
сформулирована следующим образом. Если даны одна из сил, дейст-
действующих на узел (включая и ее направление), и линии дейст-
действия двух других усилий, найти величину этих двух неизвест-
неизвестных усилий таким образом, чтобы геометрическая сумма всех
трех равнялась нулю.
9. 3. Графическое решение. Графическое решение легко
получается построением векторной диаграммы следующим об-
образом (показан) на фиг. 162).
(о)
w
Фиг. 162. Графический расчет узла.
Id)
Сначала должен быть начерчен узел в масштабе, как пока-
показано на фиг. 162,а, где даются линии действия известной силы
и двух неизвестных сил. Эти линии обычно являются осями
трех стержней, пересекающимися в узле. Далее начинается
построение векторной диаграммы с того, что выбирается соот-
соответствующий масштаб сил и откладывается вектор для извест-
известной силы Рг параллельно своей линии действия и в соответ-
соответствующем направлении. Это показано на фиг. 162,Ь.
Далее через один ко^нец вектора проводится линия парал-
параллельно одному из стержней (линии А А). Через другой коней
вектора Рг проводится линия параллельно другому стержню
(линия вв). Пересечение этих двух линий дает треугольник,
который представляет собой искомую замкнутую векторную
диаграмму. Стрелки, указывающие направление сил, устанав-
устанавливают теперь в соответствии с правилами сложения векторов
(§ 2. 5), поскольку складываются три силы для получения век-
векторной суммы, равной нулю. При желании силы можно пока-
показать действующими на шарнир, как на фиг. 162,г. Это помога-
помогает при определении характера нагрузки в каждом стержне.
Так как эти силы (фиг. 162,с) представляют собой действие
стержней на узел, а ие наоборот, то указанные направления со-
соответствуют растяжению в стержне А и сжатию в стержне В.
Заметьте, что тот же результат получился бы, если линия
ВВ была бы проведена через верхний конец вектора РГу а ли-
линия АА — через нижний (фиг. 162,d). Необходимо только пом-
помнить, что стрелки примыкающих друг к Другу векторов разме-
53
щаются в разных концах (в замкнутой диаграмме стрелки ни-
никогда не должны быть вместе).
Вышеприведенный пример представляет основной прием,
применяемый при графическо;м расчете ферм. Более общие ме-
методы расчета будут даны ниже. Самое важное пока — полу-
получить ясное представление о физической картине работы узла н
о значении графических способов определения усилий.
9. 4, Аналитический метод. Узел можно рассчитать анали-
аналитически, пользуясь компонентами сил и уравнениями равнове-
равновесия. Так 1как векторы нельзя складывать и вычитать алгебраи-
алгебраически, если они не лежат на одной и той же линии или не па-
параллельны, то силы (как известные, так и неизвестные) необ-
необходимо разложить нз компоненты,
которые .можно складывать и вычи-
вычитать непосредственно. В случае
плоских ферм (двухразмерных) не-
необходимо установить две произ-
произвольные исходные оси. Эти оси для
облегчения расчетов выбираются
перпендикулярными друг к Другу.
Все силы, действующие на узел
(шарнир) по каждой оси алгебраи-
алгебраически-складываются и приравнива-
приравниваются нулю. Если имеются две не-
неизвестные силы, то получаются два
уравнения с двумя неизвестными,
которые могут быть решены.
При алгебраическом решении
необходимо вначале сделать какое-
то допущение относительно знаков неизвестных усилий в
стержнях. Наиболее удобным является такое допущение, когда
все неизвестные усилия принимаются растягивающими, как
показано на фиг. 163, и в соответствии с «конструктивным»
условием знаков считаются положительными (§ 3. 3). Тогда,
если получается отрицательный знак из решения уравнений,
мы знаем, что направление усилия должно быть изменено на
обратное, т. е. стержень сжат (сравни с § 4. 8).
Так как неизвестные усилия должны оставаться в буквен-
буквенном обозначении до тех пор, пока уравнения равновесия не
будут решены, то эти буквы w необходимо помножить на коэ-
фициенты, которые дадут их компоненты по осям. Для этой це-
цели пользуются направляющими косинусами стержней
(§ 2. 4). Направляющие косинусы стержня можно представить
как компоненты единичной растягивающей си-,
лы, с которой стержень действует на узел. Таким образом на-
направляющие косинусы стержня А 'можно было бы найти, если
для принятого растягивающего усилия РА провести вектор
длиной, равной единице, и замерить его компоненты по осям
154
Фиг. 163. Аналитический
метод.
Л* и У (на фиг. 163 направляющий косинус стержня В по оси
У был бы отрицателен согласно принятым условиям знаков
для усилий.)
Для узла, изображенного на фиг. 163, данные можно свести
в таблицу следующим образом.
Стержень
или усилие
Ра
Ра
Р»
Направляющий
косинус по осп X
0,0
-0,836
—0,500
Направляющий
косинус по оси }'
— 1,000
+0,500
-0,866
Уравнения равновесия теперь будут:
№] (О-Я,.)—0,866 рд_ у
[Щ] —1,000 Я,.-f 0,500 Pj—0,866 Я/;=0.
0,577/V
(а)
(Ь)
Из уравнения (а)
р = М*> р =
А 0,866 jl
Подставляя это выражение в уравнение (Ь), получим:
—Я,.—0,288 Рл—0,866 Я7,=0,
Яд=—0,866 Рс (сжатие),
Я, = —0,577-(—0,866Яг) = +0,500ЯЛ (растяжение).
9. 5. Решение способом моментов. Существует еще один
способ определения усилий в элементах треугольника, заклю-
заключающийся в том, что берут мо-
моменты относительно одного из
шарниров или узлов (этот метод
был описан в § 4. 20). Допустим,
что один из стержней заменен
усилием, которое он передает, и
что это усилие действует на об-
общий узел. Оставшийся стержень
должен попрежнему находиться
в равновесии; следовательно, ни-
никакой тенденции к вращению от-
относительно какой бы то ни было
точки быть у него не должно.
Рассматривая, например, фиг.
164, можно сказать, что вращаю-
вращающему моменту силы Р, относи-
относительно точки О должен как раз
противодействовать момент уси-
усилия Рп относительно той же точки (осевое усилие в стержне А
никакого вращающего момента относительно точки О, конечно,
дать не -может.)
155
Фиг. 164. Решение способом
моментов.
Выражая это математически, имеем:
п 1 ' Р -1
Е/И=0| иа'Ч1 : l r lr
Решая, получим:
о
Заметьте, что решение дает отрицательное значение для Л;.
Это потому, что ^в было принято на фиг. 164 растягиваю-
растягивающим усилием. Отрицательный знак указывает, что на самом де-
деле это будет сжимающее усилие п что оно действует в направ-
направлении, обратном тому, которое показано на фигуре.
Для того чтобы получить этим методом усилие РА, можно
взять моменты относительно нижней шарнирной точки или
же Рл можно получить векторным сложением Рг и Рв, так
чтобы получить замкнутую диаграмму. Для проверки можно
пользоваться обоими методами.
9. 6. Выводы по расчету узлов ферм. Кратко изложенный
выше материал о расчете узлов сводится к трем основным спо-
способам определения осевых усилий з плоских ферменных соору-
сооружениях. Каждый способ будет более подробно описан ниже,
здесь же необходимо усвоить следующие выводы:
а) Основным элементом плоской фермы является тре-
треугольник или два пересекающихся стержня. .
6} Для того чтобы можно было определить направление
усилий, действующих на узел, необходимо концы стержней при-
принять ш а р н и р н ы м и.
в) Узел должен находиться в с т а т и ч с с к о м р а в и о в е-
с и и.
г) Графически й метод решения основан на построении
замкнутой диаграммы, в которой одна сила полностью известна
(и по величине и по направлению), а для двух других известны
только линии их действия.
д) Аналитический метод требует, чтобы все усилия
были разложены на компоненты по произвольно выбранным
осям, после чего составляются и решаются уравнения равно-
равновесия по каждой оси.
е) В аналитическом методе лучше всего все неизвестные
усилия принять растягивающими. Тогда знак, полу-
чаюшийся при решении, указывает действительное направле-
направление усилия.
ж) При решении способом моментов надо написать
уравнение равновесия для вращающего момента относительно
одного из узлов, исключая при этом одно осевое усилие и опре-
определяя другое из решения уравнения.
9. 7. Расчет ферм. Поскольку плоская ферма состоит из
ряда треугольников, имеющих общие узлы, то для определения
156
усилий во всех стержнях можно пользоваться вышеизложенны-
вышеизложенными методами. Расчет начинается от свободного конца фермы с
узла, который имеет только два неизвестных усилия.
При правильном выборе следующих друг за другом узлов
йгожно обычно пройти через все стержни. Однако, если имеется
передача сил по двум направлениям, то необходимо сначала оп-
определить реакции в точках опоры (§ 4. 2).
Для плоских ферм графический метод обычно быстрее при-
приводит к цели, чем аналитический, п если пользоваться подхо-
подходящими по величине масштабами, то результаты получаются до-
достаточно точными для инженерных целей.
(о) (Ь)
Фиг. 105. Удаление лишних стержней.
Следует отметить, что в фермах могут быть стержни, не
имеющие существенного значения для ее работы. Из примера,
показанного на фиг. 165,а, видно, что прежде чем начать рас-
расчет, ферму можно упростить, как на фиг. 165,Ь. Такие вспомо-
вспомогательные дополнительные стержни не делают ферму статически
неопределимой, как это могло бы показаться на первый взгляд.
Они как бы разбивают ферму на более мелкие треугольники, бу-
будучи проведены из вершины треугольника к какой-ни-
какой-нибудь точке его основания. Если такой стержень выбро-
выбросить, то это не нарушает ни треугольной структуры фермы, ни
величины усилий в ее элементах. Для того чтобы это проверить,
надо попробовать удалить любой из д р у гих стержней, примы-
примыкающих к рассматриваемому стержню. Если ни один из этих
стержней нельзя удалить без нарушения геометрической неиз-
неизменяемости фермы, то ферма не является статически неопреде-
неопределимой.
В отличие от этого лишний стержень, изображенный на
фиг. 166,а, делает ферму уже статически неопределимой. Как
показано на фиг. 166,Ь и с, любой из дзух стержней можно уда-
удалить, не приведя ферму к механизму. Поэтому ферма, пред-
представленная на фиг. 166,а, статически неопределима, и ни од-
одним из приведенных до сих пор методов рассчитать указанные
стержни невозможно. Однако любую из простейших ферм
Ь или с, полученных путем выбрасывания стержня, принятого
157
за лишний, можно легко рассчитать. Это даст большие уси-
усилия в лишних стержнях и в тех стержнях, к которым они
примыкают, чем это бывает в статически неопределимой систе-
системе. Таким способом иногда пользуются для упрощенных ра-
расчетов.
9. 8. Графический расчет ферм (диаграмма Кремоны).
Применение системы обозначения Бау, уже опи-
описанной в § 2. 7, значительно упрощает решение ферм. Различ-
Различные узлы можно решить при помощи одной диаграммы, ана-
аналогичной диаграмме, применявшейся при построении вере-
веревочного многоугольника. В §2. 8 силовой мно-
многоугольник строили произвольно, и из него определяли
Фнг. 166. Статически неопределимая ферма.
линии действия на поле- сил. В случае фермы оси стержней
(или фиктивных стержней) определяют поле сил, а задача
заключается в том, чтобы найти для стержней фермы силовой
многоугольник.
Даже в случае передачи силы конструкцией по одному на-
направлению лучше всего сначала определить реакции, поль-
пользуясь одним из методов, данных в главе 4. Эти реакции за-
затем рассматриваются как приложенные силы, и силовой" мно-
многоугольник для этих и известных сил должен замкнуться. По-
Поэтому силовой многоугольник для стержней фермы (внутрен-
(внутренних усилий) должен также замкнуться, что служит провер-
проверкой правильности построения.
На фиг. 167 показан графический расчет, простой фермы.
Реакция Rt была найдена способом моментов. R2 была найде-
найдена из векторной диаграммы (пунктирная линия АС). Сначала
была определена на силовом многоугольнике то-чка D путем
проведения одной линии через точку В параллельно bd и дру-
другой линии через точку А параллельно ad. Так как точка D дол-
должна лежать на обеих этих линиях, то их пересечение опреде-
определяет ее положение. Длины AD и BDy помноженные на мас-
масштаб сил, дают усилия в стержнях ad и bd. Порядок построе-
построения по такому же. способу следующих точек векторной диа-
диаграммы соответствует последовательному выбору узло;в, в ко-
которых встречаются только два еще не определенных усилия.
В данном случае это будут точки Е, F, G, Н и последняя С.
Направление усилий определяется обходом по часовой стрел-
158
ке узла на схеме фермы и соблюдением той же последователь-
последовательности букв на силовом многоугольнике. Так, например, усилие
в стержне gf окажется сжимающим, так как оно действует по
направлению к узлу согласно вышеуказанному пра-
правилу.
1000 И2
Масшгпа5 юоо кг
-2740
в злмыкАнци диаграммы
Фиг. 167. Графический расчет фермы.
Ошетим, что так получится вне зависимости от того, ко-
который из двух узлов, примыкающих к стержню gf, ;мы будем
рассматривать. Действительно, если бы мы обошли нижний
узел по часовой стрелке, то нашли бы последовательность
букв rgieb, соблюдая которую определили бы по векторной
диаграмме, что усилие GF направлено к узлу, что для стержня
соответствует сжатию.
При обходе верхнего узла (также по часовой стрелке) по-
последовательность букв была бы hafghy что дало бы для уси-
усилия направление FG, т. е. опять к узлу и, следовательно, так-
также сжатие по стержню. В этом и заключается одно из преи-
преимуществ обозначений по способу Бау.
Линия НС была проведена последней от точки Я парал-
параллельно ch до пересечения с линией ВС, параллельной стержню
be, и должна бы попасть в точку С угла, определенную на диа-
rpacviMe из условия равновесия всей системы.
159
Треугольник ABC получен так: ЛВ — известная внешняя
нагрузка, ВС— реакция нижнего опорного узла, известная по
направлению и определенная выше по величине.
Однако на чертеже эти две точки С не совпали и дали так
называемую «невязку». Происходит это от неизбежного на-
накопления погрешностей при графических построениях. Невяз-
Невязка такой величины, как на чертеже, никакого практического
значения не имеет и является в то же время как бы характе-
характеристикой правильности сделанных построений.
Для получения очень большой точности диаграммы необ-
необходимо чертить в относительно большом масштабе, а так-
также необходимо заботиться о соблюдении параллельности
между линиями сил и соответствующими им линиями па схеме
фермы.
9. 9. Другие методы. Способом моментов относительно
одного из узлов (описанным в § 9. 5) можно пользоваться и
для определения усилий в раз-
личных стержня фермы. Необ-
ходимо только разрезать ферму
таким образом, чтобы «разрез»
прошел через один узел и один
стержень. Тогда можно напи-
написать уравнение для момента
всех сил, действующих на сво-
свободное тело, относительно узла,
через который проходит разрез.
Усилие в разрезанном стержне
будет тогда являться единствен-
единственным неизвестным в уравнении
и поэтому сразу может быть
определено. Этот метод удобен,
200 х зо
1юо
Фиг. 168. Решение способом
моментов.
когда не требуется рассчитывать ферму полностью, а нужно
определить усилие в каком-нибудь одном стержне. Пример по-
показан на фиг. 168.
Если разрез провели больше чем по одному стержню, то
для получения усилий в разрезанных стержнях одного урав-
уравнения равновесия недостаточно. Необходимо написать и ре-
решить дополнительные уравнения равновесия для горизонталь-
горизонтальных или вертикальных сил или для тех и других. В этих слу-
случаях обычно говорят о разрезе фермы.
Этот способ особенно .полезен при определении усилий в
диагональных стержнях ферм с параллельными поясами, как,
например, показанных на фиг. 169. Так как пояса не имеют
вертикальных (по оси У) компонентов, то нет необходимости
г ключ а ть их в уравнение равновесия для вертикальных сил.
Решение уравнения дает вертикальный компонент в диа-
диагональном стержне; полное усилие тогда определяется графи-
графически или аналитически (на фиг. 169 Р= i,2pv).
160
Сечение
9. 10. Пространственные фермы. Хотя настоящая книга
и ограничена в значительной степени рассмотрением пло-
плоских задач, но расчет пространственных (трехраз-
мерных) ферм настолько часто встречается, что мы его изла-
излагаем, хотя и кратко. Основные принципы расчета по существу
такие же, как и в случае плоских задач. Если следовать ана-
аналитическому способу, то каждый узел .можно рассчитать путем
составления трех уравнений равновесия ©место двух.
Направляющие коси-
косинусы для рассчитываемых
стержней должны, конечно,
быть известны или подсчита-
подсчитаны по имеющимся размерам.
Неизвестные усилия следует f
принимать растягиваю-
растягивающими. Знак при решении
укажет, является это допуще-
допущение правильным или нет.
Для пространственных ферм
можно также применять и
графические методы
путем разложения простран-
пространственной задачи на ряд пло-
р/
Сечение \
300 200 100
Ру-300- 200-100-0
у
1,2*600*720
Фиг. 169. Решение методом
сечений.
и определения для раз-
различных частей конструкции проекции с истинными размерами,
расчета их как плоских ферм и последующим суммированием
результатов. Этот способ иногда бывает более удобным и ско-
скорее приводит к цели, чем аналитический способ. Для иллю-
иллюстрации будут даны -примеры того и другого.
9. 11. Носовое шасси самолета (аналитический метод).
На фиг. 170 показана носовое шасси тяжелого самолета. При
проектировании такого шасси обычно рассматривают различ-
различные случаи нагружения, один из которых выбран для данного
примера. В этом боковом случае нагружения принимается, что
результирующая нагрузка, действующая на ступицу колеса,
Таблица 5
Стер-
Стержень
АВ
АС
AD
X
20
120
120
У
100
120
120
z
0
40
40
400
14 400
14 400
У2
10 000
14 400
14 400
0
1600
1600
и
10 400
30 400
30 400
L
102
174,4
174,4
X
L
0,196
0,688
0,688
У
L
0,932
0,688
0,688
z
L
0
0,2295
0,2295
11 Ф. Р. Шенли.
161
состоит из двух компонентов: вертикального компонента
(Кя = Н-7000 кг) и бокового компонента (?н~—10 000 кг).
Условия знаков, которыми следует пользоваться для прило-
приложенных нагрузок, показаны на фиг. 170.
Нагрузки, приложенные в точке Н, передаются в точку А
целиком амортизационной стойкой НВ. Конструкцию поэтому
можно представить как сделанную из двух отдельных агрега-
агрегатов: балки, опертой в двух точках (А и В), и треножни-
к a (ABCD). Соответственно этому и будет сделан расчет.
Сначала подсчитывают направляющие косинусы
и длины стержней треножника, как указано в табл. 5.
Ось симметрии
Боковой вид
(слевл)
Фиг. 170. Носовое шасси самолета.
Вид спереди
Дальше амортизационную стойку рассчитывают, как бал-
балку, с тем чтобы найти реакции в точках Л и В. Расчет на боко-
боковую нагрузку показан на фиг. 171,а. Реакцию в точке А опре-
определяют по уравнению .моментов относительно точки В:
Az
Az
100
где индекс А обозначает точку Ау индекс Z указывает, что
нагрузка боковая.
Примечание. Истинные длины при этом равны 102 и 204 см,
но отношение получается такое же при пользовании только вер-
вертикальными компонентами.
Значение 20 000 кг есть нагрузка, действующая на балку
НВ у треножника, на который она опирается. Следовательно,
если эта нагрузка прикладывается к треножнику, то направ-
162
ление ее должно быть обратным, т. е. она должна иметь от-
отрицательный знак (как 'Можно видеть из фиг 171а)
Прежде чем произвести такую же операцию для'вида сбо-
сбоку (фиг. 171,Ь), силу 7000 кг, приложенную в точке Н паскла-
дывают на осевой и поперечный компоненты при
помощи направляющих косинусов из табл. 5. Так как осевой
компонент в 6870 кг (сжатие) передается непосредственно че-
D
6870кг
В
7/У/
-10000'кг П1
\
\
ZOOQQtcz
т 111^ }в^н
j|
(а) Вид спереди
7000
=1370к г
(Ь) Боковой дид
Фиг. 171. Расчет амортизационной стойки.
рез амортизационную стойку ,в точку В, то его можно не рас-
рассматривать при последующем расчете треножника. Его необ-
необходимо, однако, прибавить к нагрузкам, определенным для
стержня АВ1.
С поперечным компонентом 1370 кг теперь поступают так
же, как и с боковым, для определения реакции в точке А:
1370-204
R
¦А У
102
^2740 кг.
Примечание. Здесь были введены истинные длины. Такой же
результат получился бы при пользовании значениями 100 и 200 см.
1 Здесь рассматривается элемент НВ как одна балка. В действительной
конструкции она состоит из цилиндра АВ и скользящего в нем штока НА.
В этом последнем случае сила сжатия 6870 кг будет только на участке
штока, а на участке цилиндра передается на опору В через масло и воз-
воздух, не вызывая сжатия в теле самого цилиндра. Прим. ред.
11*
163
зационной стоикет^-—и--т^о"точки В. Силу
таком направлении при вращ треножник, и, сле-
ХКь^ эта -a%y^T обратно направлена и приложена
в точке А при расчете треножника.
D ?C OD
(а) вид cnepedw (b) 6 оно вой вид
Фиг, 172. Нагрузки на треножник.
На фиг. 172 показаны нагрузки, на которые должен быть
рассчитан треножник. Заметьте, что нагрузки изображены в
обратном направлении по сравнению с фиг. 171. Прежде чем
написать уравнения равновесия, нормальную силу в точке А
раскладывают на ;вертикальный и горизонтальный компонен-
компоненты, пользуясь направляющими косинусами для стержня АВ
(как бы повернутыми на 90°, так как сила перпендикулярна к
стержню).
р =0,196- 2740=537.
*j
Pv= —0,982 • 2740=—2690.
Теперь можно написать уравнения равновесия для точки А.
Для определения знаков в уравнениях неизвестные силы при-
принимаются растягивающими, т. е. все они направлены от точ-
точки А. Тогда соответствующий знак определяется согласно уже
установленным правилам знаков. Буквы, применяющиеся для
обозначения стержней, используются также для обозначения
усилий в этих стержнях.
[ЕРу=0] Q,982AS+O,688AC+O,688AD + 537=0. (а)
[ЕР, = 0] 0,196A5+0,688AC+0,688AD—2690=0. (b)
[ЕРг=0] 0+0,2295AC—0,2295AD—20000=0. (с)
Вычитание уравнения (Ь) из уравнения (а) дает
3227
= —4110.
0,786
(Отрицательный знак показывает, что это сжимающая сила.)
164
Умножение уравнения (с) на
0,688
= 3,0) дает:
0,2295
0,688ЛС—0,688Л?—60 000=0.
Сложение его с уравнением (Ь) дает
О,196Л5+1,376ЛС+О—62 690=0.
Подставляя значение для АВ и решая, получаем:
62 690 4- 805
(d)
АС
1,376
= +46 100 (растяжение).
Подставляя этот результат в уравнение (с), имеем:
0+10 600—0,2295AD—20000=0,
лп —20 000 ч- 10 600 „шла/ ч
Аи= = —41 000 (сжатие).
0,2295 ]
Таким образом силы, полученные из расчета треножни-
к а, будут:
АВ=— 4110 (сжатие),
100 (растяжение),
AD=-~41000 (сжатие).
Суммарную силу в стержне АВ находят путем прибавления
осевой силы, полученной из расчета амортизационной стойки:
А? = —4110-6870= —10980 (сжатие).
Следует отметить, что этот стержень передает изгибающие
моменты и перерезывающие силы в двух плоскостях, а также
и только-что определенную осевую силу. Методы расчета для
таких случаев нагружения даются в последующих главах.
Вышеприведенный способ расчета конструкции шасси яв-
является только одним из многих возможных вариантов. Ниже
будет описан и применен для проверки способ, использующий
векторные диаграммы.
9. 12. Носовое шасси самолета (графический метод). На
фиг. 173 показан графический расчет треножника с силами, ко-
которые были приложены в точке А в предыдущем расчете ана-
аналитическим методом. На фиг. 173,а показана боковая сила
20 000 кг, а на фиг. 173,Ъ — нормальная сила 2740 кг. Пользу-
Пользуясь для построения осями стержней, усилия в АВ и АК нахо-
находят построением замкнутой векторной диаграммы, одна сторо-
сторона которой представляет собой силу 2740 кг. Усилие в АВ ска-
сказывается равным 4110 кг, действуя к узлу; следовательно, стер-
стержень АВ сжат (это значение сходится со значением, получен-
полученным аналитически в предыдущем параграфе).
165
^Усилие 4900 кг действует в воображаемом стержне АК. Это
усичие представляет собой силу, с которой оба V-образно рас-
расположенные стержни АС и АО действуют на узел, а .поэтому
при расчете узла оно должно иметь обратное направление при
рассмотрении его как силы, приложенной к узлу на фиг. П6,с,
который является совмещенным или истинным видом стержней.
(а) Вид спереди
Фиг. 173. Графическим рзсчет треножника шасси.
На этом виде проводится также боковая сила 20 000 кг в мас-
масштабе. Векторную сумму находят, как показано на фигуре, и
раскладывают на два компонента по стержням АС и AD, поль-
пользуясь осями этих стержней как базой для векторной диаграм-
диаграммы. Усилие 41 000 кг (снятое в масштабе с диаграммы) дейст-
действует к узлу, указывая на то, что стержень AD сжат. Усилие
-в стержне АС, очевидно, растягивающее, так как оно действует
от узла. Эти два усилия очень близко сходятся со значениями,
найденными аналитическим методом.
Хотя графические способы расчетов, вообще говоря, и менее точны, чем
аналитические, однако уметь владеть ими необходимо и для инженера-рас-
инженера-расчетчика и, главным образом, для инженера-конструктора.
Во-первых, они дают (и развивают) гораздо более ясное геометрическое
представление о нагружении элементоз пространственных конструкций, нау-
научающих видеть, как приблизительно потекут силы по конструкции.
166
Во-вторых, они позволяют несравненно быстрее, чем любым другим спо-
способом, определить хотя бы порядок усилий, без чего невозможно даже
предварительное проектирование. Прим. ред.
ЗАДАЧИ
9. 1. Начертить ферму типа, показанного на фиг. 165Д за-
задавшись произвольными размерами. Выбрать значения для на-
нагрузок Ри Р, и Р3. Пользоваться системой обозначения Бау.
а) Для получения усилий в стержнях решить каждый узел
аналитически.
б) Рассчитать ферму графически.
в) Найти усилие в нижнем левом стержне способом момен-
моментов.
Все три решения должны сойтись.
9. 2. Пользуясь фиг. 143Д принять, что диагонали направ-
направлены под углом 45° и что в каждом узле нижнего пояса дейст-
действует сила 100 кг.
а) Подсчитать усилия в диагональных и вертикальных
стержнях (пользоваться методом сечений).
б) Построить векторную диаграмму для фермы.
в) Проверить усилия в стержнях нижнего пояса в любых
двух местах способам моментов.
9. 3. Начертить фиг. 166Д в большем масштабе и прило-
приложить в нижнем концевом узле действующую вверх вертикаль-
вертикальную силу 'В 1000 кг. Рассчитать графически для двух случаев,
показанных на фиг. 166,Ь и с, 'и показать, на какие стержни
влияет статическая неопределимость.
9. 4, Расширить задачу 9. 3, произвольно приняв один из
лишних стержней действующим с известной силой, равной по-
половине значения, определенного в первом решении (силы от
этого стержня приложить к узлам крепления его как внешние
силы).
9. 5. Начертить стропильную ферму, как показано на
фиг. 149, проставив произвольно размеры. Принять любые
значения для показанных нагрузок и рассчитать ферму (приняв
на одном конце катковую опору). Проверить усилие в нижнем
^горизонтальном стержне способом моментов.
9. 6. Найти усилия в стержнях в приведенной ниже конст-
конструкции, решив каждый узел аналитически:
а) Проставить размеры и начертить в масштабе.
б) Обозначить буквами каждый узел и указать принятое по-
положительное направление для сил.
в) Отметить стержни, в которых не возникает усилий при
указанном нагружении.'
г) Решить уравнения равновесия для каждого узла, начиная
с точки приложения силы.
167
д) Проверить усилие в задней диагонали верхней фермы ме-
методом сечений.
Примечание. Если бы сила 1000 кг была приложена в верхней
точке то верхняя ферма прямо и восприняла бы ее, не нагружая стерж-
стержни боковых ферм. Если бы в нижней ферме были добавлены диагональ-
диагональные стержни, то конструкция стала бы статически неопределимой, если
оставить переднюю диагональ.
h- H
Фиг. 174.
Фиг. 175.
9. 7. Для конструкции, приведенной в задаче 9. 6, принять,
что сила 1000 кг действует ,в указанной точке вертикально, и
определить усилия в стержнях.
9 8 Начертить в масштабе треножник, аналогичный пока-
показанному на фиг. 175, и замерить указанные размеры. Устано-
Установить положительные пространственные оси координат и найти
усилие в каждом стержне для каждого из следующих случаев
нагружения в точке О:
а) 1000 кг, действующие горизонтально вправо (фиг. 175,а);
б) 1000 кг, действующие прямо вверх;
в) 1000 кг, действующие прямо назад (вправо на фиг.
168
9. 9. Проверить усилия в ОА и ОС графически для случая
нагружения 9. 8д в задаче 9. 8 (начертить истинный вид тре-
треугольника О АС).
9. 10. Начертить пару стержней, как показано на фиг. 158,а,.
в подходящем для чертежа масштабе (приняв длину ВС око-
около 60 см).
Принять силу Р равной 1000 кг.
Подобрать размеры труб такими, чтобы напряжение, воз-
возникающее в каждой трубе, было около 1500 кг/см2. Вычислить
суммарную осевую деформацию каждой трубы (для стали).
Первоначальное
положение
ВС
Веформиродо иное
положение
Фиг. 176.
9. 11. Пользуясь данными задачи 9. 10, найти величину и на-
направление перемещения точки С под действием принятой силы.
Заметьте, что это может быть проделано графически путем
проведения новых дуг относительно точек А и В, пользуясь из-
измененными длинами. Попытка сделать это покажет, что дефор-
деформации слишком малы для того, чтобы можно было ими поль-
пользоваться в начерченном масштабе конструкции. Поэтому поло-
положение в точке С должно быть перечерчено в значительно боль-
большем масштабе. В этом построении дуги можно рассматривать
как прямые линии, начерченные перпендикулярно к первона-
первоначальным осям стержней, как указано на фиг. 176.
Следовательно, деформации в диагональных связях равны
между собой и противоположны по знаку. Если обе диагональ-
диагональные связи изготовить из одного и того же материала -и одних и
тех же размеров, т. е. если их кривые нагрузки по деформации
идентичны, то в них будут возникать равные усилия от дейст-
действия силы Р, при условии, что диагональная связь, работаю-
ГЛАВА 10
СТЕНКИ, РАБОТАЮЩИЕ НА СДВИГ
4
10. 1. Рамка. На фиг. 143,0 была показана ферма с расчал-
расчалками. Основной особенностью этой конструкции было примене-
применение двух перекрещивающихся диагональных связей, одна из ко-
которых считалась неработающей. Развитие теории сдвига для
стенок и сплошных сечений можно начать с этой простой кон-
конструкции, приняв обе диагонали
работающими.
На фиг. 177 показан элемент
такой фермы, который может
быть 'назван рамкой. При
рассмотрении чистого сдвига
вводят следующие важные до-
допущения.
а) Все стержни рамки в
углах соединены шарнирно (мо-
(могут свободно вращаться).
б) Краевые стержни при-
принимаются абсолютно жестки-
м и (не имеют никакого измене-
изменения в длине и никакого изгиба).
¦в) Противоположные краевые
стержни параллельны, т. е.
рамка прямоугольная.
В дальнейшем принимаем,
что рамка к в а д, р а гг н а я, но
это не является необходимым.
На фиг. 178 показано деформированное положение рамки
под действием силы Р (очень преувеличено). Диагональная
связь, работающая на растяжение, должна претер-
претерпевать увеличение в длине AL. Диагональная связь, рабо-
работающая на сжатие, претерпевает такое же уменьшение
длины.
Если возникающие в этом случае деформации предполо-
предположить, малыми, то можно доказать, что оба изменения равны.
170
Фиг.
177. Рамка, работающая
на сдвиг.
Р
Фиг. 178. Деформация рамки.
Фиг. 179. Угол рамки
(увеличено).
щая на сжатие, не теряет устойчивости (как это имело
бы (место, если она была бы сделана из проволоки или троса).
Полная сила в одной диагональной связи, работающей само-
самостоятельно (для квадратной рамки), очевидно, будет
диаг
Р
Р
sin 45(
0,70?
A0.1)
Для перекрещивающихся диагоналей, которые
одинаково эффективны, хотя бы из условий симметрии можно
заключить, что сила в каждой из них равна половине этого
значения1:
Р =4-
диаг -i-
Р
2 sin 45°
. A0.2)
10. 2. Деформация рамки. Зависимость между, деформа-
деформацией рамки и деформацией диагональной связи можно легко
установить, рассмотрев условия работы угла рамки. На
фиг. 179 это показано в увеличенном виде. Линии пунктир-точка
1 Эти уравнения показывают различные формы выражения этой зави-
зависимости.
171
являются дугами с центрами на противоположных концах
стержней А и D (так как предполагается, что стержень А не
претерпевает никакого изменения ;в длине, то для него .прове-
.проведена только одна дуга). Если деформации очень малы, как это
имеет места в обычных конструкциях, то эти дуги можно рас-
рассматривать как прямые линии, проведенные перпендику-
перпендикулярно к их соответствующим стержням. При этом допущении
маленький черный треугольник становится подобным треуголь-
треугольнику, представленному одной полови-
половиной рамки (так как его стороны пер-
перпендикулярны соответственным сторо-
сторонам рамки). Следовательно, для
квадратной рамки имеет место
следующая зависимость:
d=M 1^2=1,41 Д?. A0.3)
Этим же методом можно восполь-
воспользоваться для нахождения зависимо-
зависимостей и для прямоугольной рам-
рамки. На фиг. 180 видно, что маленький
черный треугольник подобен треуголь-
треугольнику рамки, откуда получаются следующие зависимости;
Фиг. 180. Прямоугольная
рамка.
d
В
1
В
sin
d
sin
(Ю.4)
A0.4a)
Таким же образом можно обобщить и уравнения A0. 1) и
A0. 2), выразив силы в диагональных связях как функцию
их углов:
для одной работающей диагонали
диаг'
sin
A0.5)
для двух одинаково работающих диагоналей
Р
Р =
дйаг
2 sin
A0.6)
Эти простые зависимости достаточны для расчета любой
прямоугольной фермы с диагональными связями. Они полезны
и для понимания работы рамки с тонкой стенкой, как, например,
показано на фиг. 202. Они также дадут возможность опреде-
определять деформации сдвига, но они не учитывают деформации
в других элементах рамки, которые до сих пор принимались
172
жесткими. (Ниже будет показано, что деформации сдвига обыч-
обычно относительно ;малы, по сравнению с деформациями краевых
элементов.)
10. 3. Максимальная деформация. На фиг. 181 показана
еще одна наклонная связь, установленная на рамке под неко-
Фиг. 181. Изменение угла диагональной связи.
торьим углом, отличным от 45°. Так как рамка предполагается
жесткой, то эта связь удлинится на расстояние ALl5 как пока-
показано на фигуре, если рамка деформируется на величину d0.
G.S
0.4
0.3
in /3
sin /3 cos
0.2
OJ
О
/
/
/
/
/
\
\
\
1.0
0.S
0,6
0.4
0.2
10 45 60
р {б градусах)
75
90
Фиг. 182. Изменение деформации в зависимости от угла.
Можно доказать, что для некоторой данной величины d0
сдвига рамки максимальная относительная деформация
{—;—) будет при угле связи р = 45°. Очевидно, деформация
173
будет равна нулю при Й-0 или 90°.
мация изменяется пропорционально
В этих пределах дефор
cos S = / — sin 2
sin 3
Растяжение
о
\
Характер этого изменения показан на фиг. 182. Этой кривой
можно также пользоваться "для иллюстрации зависимости между
относительной деформацией г при лю-
любом угле ji я максимальной деформа-
деформацией в0 ПРИ 45О.
В полярных координатах результи-
результирующая кривая представляет собой
лемнискату. Такая кривая пока-
показана на фиг. 183, где векторы ука-
указывают величину осевой деформации.
Эти зависимости имеют место и для
прямоугольной рамки, когда
угол ° меньше 45°. Однако они не-
неприменимы для случая с одной диа-
диагональной связью, так как уменьше-
уменьшение угла !? потребует увеличение си-
силы, которую воспринимает диагональ.
несколькими диагоналями. Можно также
10. 4. Случай с
доказать, что любой элемент, помещенный под углом 45°, бу-
будет испытывать такую же от-
относительную деформацию, как
и основная диагональ. Это
очевидно из фиг. 184, на ко-
которой нетрудно заметить, что
d
отношение — остается по-
постоянным. Основные положе-
положения, рассмотренные до сих
можно сформулировать
Фиг. 183. Относительная де-
деформация при различных
углах.
следующим образом.
а) Максимальная дефор-
деформация возникает под углом
45°.
б) Относительная дефор-
деформация одинакова для любого
элемента, расположенного под
этим углом, т. е. для всех
параллельных элементов.
ib) Одно семейство элементов будет испытывать растяжение,
тогда как другое семейство (перпендикулярное к первому) бу-
будет испытывать сжатие.
184.
Параллельные диагональ-
диагональные связи.
X д
0 а '
х sin
а
¦sin
cos
cos
L
'¦о
а
х
sin fS • cos 3. Прим. ред.
174
любой
может
Р
г) Элементы, расположенные под углами, отличными от 45°,
претерпевают деформации, пропорциональные функции sinC-X
Xcos.-, где 3 — угол, который элемент образует с одной иэ сто-
сторон рамки.
д) Элементы, параллельные сторонам рамки, не претерпе-
претерпевают никакой деформации (следует из п. «д» и «е»).
е) Вышеприведенные правила действительны для
прямоугольной рамки при условии, что рамка
иметь перемещение только как
шарнирный параллелограм.
10. 5. Работа плоского листа
на сдвиг. Теперь можно предпо-
предположить, что к рамке в плоско-
плоскости осей ее элементов прикреп-
прикреплен плоский лист, заменяющий
диагональные связи, применяв-
применявшиеся для фермы. Этот лист
можно мысленно разрезать на
полосни, что будет соответство-
соответствовать вышеразобранному случаю.
Единственное отличие состоит в
том, что каждый элемент листа
работает в обоих направ-
направлениях, т. е. один и тот же
эле м ент обр а зу ет ч а сть растя -
гавающейся и сжимающейся
диагональной связи, как пока-
показано на фиг. 185.
Если полоска, работающая на сжатие, не потеряет устой-
устойчивости, то появится сжимающее напряжение, соответствующее
деформации сжатия. Поскольку деформации растяжения и
сжатия равны, то элемент будет испытывать равные напря-
напряжения растяжения и сжатия,,
действующие под углом 90° друг
к другу, как показано на фиг. 186.
Такое состояние называется ч и-
сты>м сдвигом и характери-
характеризует работу стенки, восприни-
воспринимающей сдвиг, описанный в
§ 8. 8.
Если же лист стенки настолько
тонок, что практически не оказы-
оказывает никакого сопротивления сжа-
сжатию, то и характер ее работы будет другой. Деформации сжа-
сжатия будут вызывать потерю устойчивости или выпу-
выпучивание, как показано на фиг. 187, вместо того, чтобы вы-
вызывать напряжение. Если предположить, что напряжение сжа-
сжатия равно нулю, то нагруженное состояние элемента будет, как
Фиг. 185. Плоская пластина как
стенка, работающая на сдвиг.
Растяжение
'рост
Сжатие
Фиг. 186. Осевые напряжения
в элементе при чистом сдвиге.
175
показано на фиг. 188. Этот идеализированный тип стенки, ра-
работающей на сдвиг, принято называть стенкой с диагональным
полем растяжения. Такая схема довольно близко под-
подходит для некоторых видов конструкции со стенками из тонкого
.листового материала.
р
раст
6-0
Фиг. 187. Стенка, работающая
на сдвиг, с полем растяжения.
Фиг. 188. Элемент поля
растяжения.
10. 6. Касательное напряжение. Касательные напряжения,
действующие в элементе при чистом сдвиге, можно отчетливо
себе представить, сделав вертикальный разрез элемента, как
изображено на фиг. 189, где обе половинки показаны от-
отдельно1.
'раст
Л
R R
6,
Фиг. 189. Касательное напря-
напряжение в элементе.
Фиг. 190, Векторные диаграммы.
Если принять, что элемент имеет ширину, равную единице,
т. е. 1 см на каждую сторону, и толщину, равную единице, то
показанные напряжения можно рассматривать как силы2. На-
1 «Полустрелками» часто пользуются для обозначения касательных нап-
напряжений или сил, как показано на фиг. 189.
2 Напряжения нельзя складывать графически, так как площадь, на кото-
которую они действуют, меняется с изменением угла действия. Прежде чем
приступить к графическому сложению, всегда необходимо напряжения
превратить в силу умножением на соответствующую площадь.
176
о
*
чертив векторные диаграммы, как сделано на фиг 190 увидим
что никакого неуравновешенною бокового компонента ко-
который бы вызвал какое-нибудь осевое напряжение, нет ' (что
согласуется с вышеизложенньш). Реакция R равна /2а~ или
1/ О гг ГЛх " г г раст
К^сж- ина действует по вертикальной грани разрезанного
элемента, который имеет длину, равную У 2. Касательное
напряжение поэтому дается уравнением
раст
откуда чистый сдвиг
раст'
еж*
(Ю.7)
Уравнение A0. 7) представляет большой .интерес так как
оно дает зависимость между касательным напряжением и диа-
диагональными осевыми напряжениями для случая чистого
Неприбыльно
Правильно
I
(с)
(Ь)
Фиг. 191. Элемент при чистом сдвиге.
сдвига. Следует иметь в виду, что касательное напряжение
всегда замеряется в сечении, повернутом на 45° от сечения в
котором действуют максимальные осевые напряжения
Допустим, что из стенки, работающей на сдвиг " вырезан
квадратный элемент так, что его стороны параллельны рамке,
т. е. параллельны направлению поперечной силы Такой эле-
элемент показан на фиг. 191. Так как осевых спряжений ,в поло-
поломках, параллельных сторонам рамки, нет, то никаких напряже-
¦нии, действующих перпендикулярно к сторонам элемента, не-
оудет. По граням элемента будут действовать касательные на-
непГЛ™*' КаК ЭТ° Установлено на фиг. 189. Однако было бы
неправильно показать касательные напряжения только на
вертикальных гранях, так как это указывало бы на наличие не-
nSe3f ШеНН°Й ПарЫ СИЛ (Ш- *иг- 191'ь>- Необходимо вос-
воспрепятствовать этому вращающему моменту касательными на-
12
12 Ф. Р.
Шенли.
oacrn
пряжениями по другим двум свободным граням, как показана
на фиг. 191,с.
Что эти напряжения существуют, можно было бы доказать
независимо, разрезав элемент на фиг. 189 вместо вертикальной
горизонтальной плоскостью.
В необходимости касательных на-
напряжений по всем сторонам можно
убедиться другим способом, показав
диагональные осевые напряжения,
действующие на квадратный элемент,
как это сделано на фиг. 192. Заметь-
Заметьте, что в каждой точке имеются два
равных вектора (растягивающий и
сжимающий), что погашает их ком-
компоненты, перпендикулярные к пло-
плоскости разреза. Равнодействующая
каждых двух таких векторов дей-
действует параллельно плоскости разреза
и может быть представлена уже ра-
ранее 'Показанным вектором касатель-
касательного напряжения. (Заметьте, что фиг. 192 служит только для
иллюстрации. Векторы напряжения складывать графи-
графически нельзя без превращения сначала в силы.)
10. 7. Величина касательного напряжения. Так как каждая
параллельная полоска в стенке, работающей на сдвиг, претер-
претерпевает одну и ту же деформацию (§ 10. 4), то из этого сле-
следует, что распределение осевого напряжения по какому-нибудь
диагональному сечению постоянно. Отсюда вытекает, что рас-
распределение касательного напряжения по вертикальному или
горизонтальному разрезу должно быть также постоянным. Это
позволяет применять уравнение для среднего касательного на-
напряжения (§ 6. 15):
Касательное напряжение
Фиг. 192. Диагональные
осевые напряжения, дей-
действующие на квадратны й
элемент.
Р
Р
F<
A0.8)
где /%—площадь среза,
h—высота,
о—толщина.
Заметьте, что площадь представляет собой площадь попе-
поперечного сечения, параллельного (а не перпендикулярно-
перпендикулярного) линии действия силы.
Величина напряжений диагонального растяжения и сжатия
также будет определяться вышенаписанным уравнением, по-
поскольку для случая чистого сдвига все эти напряжения равны
(между собой [уравнение A0. 7)].
178
10. 8. Поток касательных усилий. Часто бывает более
удобно иметь дело с погонной касательной нагрузкой, которая
обычно называется потоком касательных усилий. Это дается
уравнением:
Поток касательных усилий
Г' (Ю.9)
где h—высота или ширина в направлении нагрузки.
Это дает значение касательной нагрузки на каждый санти-
сантиметр вырезанного сечения, как показано на фиг 200 Ка-
Касательное напряжение, очевидно, получится из уравнения-
Касательное напряжение
'=~, A0.10)
где о—толщина стенки.
10. 9. Осевые деформации при чистом сдвиге. При чистом
сдвиге элемент будет деформироваться как указано пунктирны-
пунктирными линиями на фиг. 193, где а и b показывают два равноценных
'б,
'рас OI
Фиг. 193. Деформации при чистом сдвиге.
способа для иллюстрации случая сдвига. Важно понять, что вся
деформация (в области упругих деформаций) вызывается осе-
осевыми напряжениями. Это трудно видеть, если случай сдвига
показан, как на фиг. 193,Ь, но фиг. 193,а делает это вполне
ясным.
В § 6. 5 было показано, что относительная осевая деформа-
деформация s в области упругих деформаций равна --. Однако при
чистом сдвиге сжимающее напряжение, действующее перпен-
перпендикулярно к растягивающему напряжению, вызывает дополни-
дополнительное растягивание, измеряемое отношением (коэфициентом)
12* 179
Пуассона ^ (см. § 6. 11). Поэтому полная относительная де-
деформация состоит из двух частей:
-паст
с. —
Е
¦ и
Так как о
аСТ
при чистом сдвиге
осж>
то осевая относительная деформация
A0.12)
где индекс L указывает, что деформация замеряется в направ-
направлении осевого напряжения (растяжения или сжатия).
Так как а
также написать в виде
(р
раст т при чистом сдвиге, то уравнение можно
Е
A0.13)
Уравнение A0. 12) показывает, что наличие сжимающего на-
напряжения, перпендикулярного к растягивающему напряжению
и равного ему по величине, вызывает уменьшение действитель-
действительного значения Е, что можно видеть, если написать уравнение
A0. 12) в виде
lL —
Е
1-i-
где — можно рассматривать как эффективный модуль
0-М*)
упругости для такого состояния нагружения. Если, например,
[а взять равным 0,30, то эффективное значение Е будет——-
или 0J7E.
10. 10. Поперечные деформации при чистом сдвиге. Необ-
Необходимо иметь iB виду, что стенка, работающая на сдвиг, служит
как способ передачи силы поперечным образом, т. е. перпенди-
перпендикулярно к линии ее действия. Интерес может представить от-
отношение между смещением в направлении силы и перпенди-
перпендикулярным расстоянию, на которое сила передается. При
осевом нагружении относительная деформация е была найде-
найдена путем деления "полной деформации на осевое расстояние,
¦на которое сила передавалась. При чистом сдвиге будем поль-
пользоваться тем же правилам, за исключением того, что величины,
аналогичные упомянутым, измеряются в направлениях, перпен-
перпендикулярных Друг к другу, как показано на фиг. 194.
Относительный сд:в-иг выражается уравнением:
A0.14)
N
180
Из фиг. 194 очевидно, что эта величина есть тангенс угла
Л <р. Следовательно, относительный сдвиг есть не просто отноше-
• яие (как для осевой деформации), а мера углового смещения.
$¦. На самом деле, для малых углов, которые обычно -встречаются
Ф на практике, сдвиг можно с очень большой точностью рассмат-
;'¦ ривать просто как величину угла в радианах. Это можно вы-
;* разить уравнениями:
или ввиду малой величины угла можно принять
Т=? (в радианах)
или
A0.15)
Т
57,3
в градусах.
10. 11. Модуль сдвига. При вычислении деформаций сдви-
сдвига (особенно при кручении) удобно иметь дело непосредственно
с касательным напряжением и относительным сдвигом, поль-
пользуясь эффективным модулем упругости, который дает отноше-
N
Фиг. 194. Замер деформации
сдвига.
Фиг. 195. Деформация единично-
единичного элемента при чистом сдвиге.
ние между ними. Этот модуль часто называется модулей!
сдвига или модулем упругости 2-го рода и обычно
обозначается буквой G. Значение его можно найти, рассмотрев
единичный элемент на фиг. 195, который показан искаженным
под действием чистого сдвига.
Из уравнения A0.3) при стороне квадрата равной 1
181
Подставив для zL из уравнения A0. 13)
Следовательно,
Е
A0.16)
Модуль сдвига определяется как отношение касательного
напряжения к относительному сдвигу
A0.17)
или
2A
Модуль сдвига
G
Е
A0. IS)
Вышеприведенные основные формулы сдвига были выведе-
выведены для квадратного элемента; применение их для пря-
прямоугольной рамки 1МОгло бы вызвать сомнение. Но прямо-
прямоугольник можно рассматривать
составленным из ряда квадра-
тов, как показано на фиг. 196.
Если касательное напряжение
остается постоянным, то смеще-
смещения квадратов равмы и суммар-
суммарное смещение будет пропорцио-
пропорционально расстоянию N. Уже отме-
отмечалось (§ 10. 3), что максималь-
максимальная осевая деформация возник-
возникнет при 45° как для .прямоуголь-
.прямоугольной панели, так и для квадрат-
квадратной панели, так что формулами
¦можно пользоваться для панели
любой длины (при условии, что все допущения, сделанные от-
относительно жесткости рамки, выполняются).
10. 12. Значение G. Уравнение A0. 18) показывает, что G
¦вовсе не является независимым механическим свойством или
характеристикой материала, а что оно зависит целиком от зна-
значений Е -и V-. Если и взять равным 0,30, то
Фиг. 196. Деформация прямо-
прямоугольной стенки.
'Е
2A +0,30)
A0.19)
Это есть приближенная зависимость, которая справедлива
для большинства 'металлов. Метод вывода модуля сдвига G так-
также показывает, что деформации, которые дает сдвиг, в дейст-
действительности вызываются осевыми напряжениями, а не сами-
самими касательными напряжениями. Как отмечалось в § 6. 15, ка-
касательные напряжения не могут вызвать деформации скольже-
скольжения до тех пор, пока не наступит пластическая область. Наобо-
Наоборот, только что выведенные зависимости между G, Е и и дей-
действительны только ,в области упругих дефор-
деформаций.
1
1
t
i
182
(Ы Поперечная
(о 1 Осевая (перерезывающая)
Фиг. 197. Относительные деформации под действием
одной и той же нагрузки.
Зависимость :между G и Е указывает, что элемент материа-
материала оказывает значительно большее сопротивление о-севой де-
деформации, чем деформации сдвига (поперечной). Это отно-
отношение дано выражением 2 A + <л) или около 2,6 для большин-
большинства -материалов. На фиг. 197 значение ^сдп тогда было бы в
2,6 раза больше значения для doce]i> если бы в каждом случае
рассматривались один и тот же элемент и одна и та же сила.
Заметьте, что если и было бы равно нулю, осевая передача в
точности была бы вдвое эффективнее поперечной. Эффект
бокового сжатия просто ухудшает условия для поперечного на-
гружения.
10. 13. Стенка с полем растяжения. В § 10. 5 было пока-
показано, что если лист теряет устойчивость или выпучивается при
очень незначительных нагрузках, то с небольшой погрешностью
можно принять, что сжимающих напряжений вообще в этом
случае не существует (это эквивалентно параллельному рас-
расположению диагональных связей, работающих на растяжение).
Хотя расчет тонкостенной балки (с полем растяжения) и выхо-
выходит за пределы сообщенных до сих лор сведений, все же инте-
интересно рассмотреть, что происходит с основными формулами
сдвига.
- Так как уже было показано, что для перекрещивающихся
диагональных связей сжимающаяся диагональ воспринимает
183
половину нагрузки, то можно сделать заключение, что отсутст-
отсутствие поля сжатия потребует, чтобы яапржения в растянутых
диагоналях стали вдвое больше. Это и на самом деле так, и
уравнение A0. 7) принимает вид:
Стенка с полем растяжения
еж
-о'.' i
A0.20)
Касательное напряжение т подсчитывают здесь так же, как для
стенки, работающей на сдвиг, пользуясь уравнением A0. 3)
или уравнением A0. 10).
Осевая относительная деформация определилась бы, как
в § 10. 9, за исключением того, что в уравнение A0. 12) i сле-
следовало бы заменить на 2 т, а у, следовало бы считать равным
нулю, что дает вместо уравнения A0. 13)
2-z
Е
A0.21)
Если этим уравнением воспользоваться при выводе .модуля
сдвига (§ 10. 11), то значение G будет
0=
к
A0.22)
Это указывает, что сопротивление деформации еще больше
уменьшается, благодаря тому, что сопротивление материала
диагональному сжатию не используется. Если выше, пренебре-
пренебрегая отношением Пуассона, мы видели, что при переходе от осе-
зой нагрузки к поперечной жесткость уменьшается вдвое,
то в случае, если и поле диагонального сжатия в работе не уча-
участвует, жесткость еще уменьшается вдвое. В действительности
соотношение между стенкой с полем растяжения и стенкой, ра-
* „ о,25
ботающеи на сдвиг, представляет величину порядка ^-^ * или
около 0>65 1В1место 0,50. Другими словами, жесткость балки с
весьма тонкой стенкой (с полем растяжения) равна приблизи-
приблизительно 65% жесткости балки, работающей на сдвиг, или, об-
обратно, деформации были бы приблизительно на 50% больше.
10. 14. Вычисление деформации. Деформация плоской
пластинки или стенки в случае чистого сдвига может быть
вычислена следующим образом:
а) Подсчитать касательное напряжение.
б) Разделить на G, чтобы получить относительный сдвиг.
в) (Умножить на длину, на которую передается сила, для
получения деформации.
184
Пример. Предположим, что к рамке на фиг. 198 прикреплен лист толщи-
толщиной 5 мм и приложена нагрузка в 5000 кг, как показано на фиг. 198. При-
Примем модуль сдвига для материала равным 270 000 кг/см2 (что соответствует.-
дуралюминовым сплавам). Тогда
5000
25 . 0,5
400 кг/см2,
П
d=№= 50 • 0,00148=0,074 см.
Если бы лист рассматривался как стенка с полем растяже-
растяжения (что здесь было бы неправильным) \ то следовало бы=
пользоваться значением G, равным — , или приблизительно-
175 000 кг/см2.
1
W/,
У/У/
500
Р-5000 кг
Фиг. 198. Пример стенки, работающей на сдвиг.
10. 15. Прочность стенок, работающих на сдвиг. Стенка.
работающая на с д в и г, не разрушилась бы от поте-
потери устойчивости, так как после этого она продолжала бы
работать на диагональное растяжение; единственным возмож-
возможным видом разрушения были бы разрыв или срез. По-
Поскольку до потери устойчивости максимальные растягивающие
и касательные напряжения в стенке равны и так как для боль-
большинства материалов временное сопротивление на разрыв зна-
значительно выше предельного касательного напряжения, то в ре-
результате имело бы место разрушение от среза (при этом мы не-
нерассматриваем возможности разрушения стенки у краев вслед-
вследствие ослабления заклепочными отверстиями и пр.). Это могло-
бы быть на любой из площадок максимального касательного
напряжения (вертикальной или горизонтальной) (см.
фиг. 199,а).
Для стенки с полем растяжения растягивающее напряжение
вдвое выше касательного напряжения; следовательно, разру-
1 Так г.ак лист достаточно толстый и при таких напряжениях устойчи-
устойчивости не потеряет. Прим. ред.
185
шение обычно наступает от разрыва при угле, равном прибли-
приблизительно 45° (фиг. 199,й).
Положим, что для стенки, показанной на фиг. 198, допу-
допускаемое касательное напряжение равно 2000 кг/см2, а допу-
-скаемое растягивающее напряжение 3500 кг]см2. Тогда стенка,
(г*\о„пП ~ '/у/*'* (Ъ)Разрушение от диогональ-
(а! Разрушение от среза g^| ИНОго раштения
Фиг. 199. Разрушения стенки, работающей на сдвиг.
работающая на сдвиг, была бы хороша
мальной нагрузки
для макси
кг.
В случае стенки с полем растяжения максимальная нагруз-
ка была бы
'раст. доп
25-0,5-3500 = 21 900 кг.
10. 16. Назначение рамки. Все предыдущие выводы осно-
йсь на допущении, что стенка, работающая на сдвиг, при-
прикреплена к абсолютно жесткой рамке. Силы, действующие на
рамку от стенки, представляют особый интерес, так как они 1вы-
зывают в поясах осевые силы, .которые и воспринимают изги-
изгибающий момент от передачи силы Q. Кроме того, силы, с кото-
рьши стенка действует на рамку, необходимо знать и для ра-
расчета их взаимного крепления.
На фиг. 200 отдельно показаны силы, действующие на рам-
рамку и на стенку. Векторы представляют погонную касательную
нагрузку или поток касательных усилий, действую-
действующий соответственно на стенку -и рамку. Они, конечно, равны и
противоположны по направлению. Важно отметить, что поток
касательных усилий постоянен по всем сторонам
прямоугольной стенки, которая передает постоянную перерезы-
ьающую силу. В этом не трудно убедиться, если вспомнить, что
каждый единичный квадратик имеет по всем своим сторонам
один и тот же поток касательных усилий.
186
На фиг. 200 показано также действие, оказываемое потоком
касательных усилий на горизонтальные или краевые стерж-
стержни рамки. Это действие вызывает увеличение * осевой силы в
краевых стержнях. Для показанного случая эта сила является
сжимающей в верхнем стержне и растягивающей в нижнем.
(п) Одна стенка
Фиг. 200. Нагрузки на рамку.
Значение осевой силы, получающейся таким образом, дает-
дается уравнением:
/7
х
A0.1:3)
{обозначения см. на фиг. 200).
Эта простая формула могла бы быть выведена путем подсче-
подсчета момента силы 0 и деления на высоту для получения экви-
эквивалентной пары сил. Вывод при по-
М0Щ.И потока касательных усилий
имеет то преимущество, что показы-
показывает, как создаются эти так называе-
называемые «поясные» силы (при изгибе
балки).
Условия работы для тонкой стенки
после потери устойчивости с полем
растяжения незначительно отличаются
от того, что рассмотрено выше. Од-
Однако, если пояса рамки непараллель-
непараллельны, а идут под некоторым углом (бал-
(балка суживается), то условия работы
стенки становятся уже другими. Эти
разновидности конструкции будут рас-
рассмотрены ниже.
ЗАДАЧИ
10. I. Квадратный лист со сторо-
стороной в 25 см выдерживает напряжение
чистого сдзыга 640 кг/см2. Приняв,
Фиг. 201. Разрушение от
сжатия пластичного ма-
материала. Заметьте Относи-
Относительное перемещение по
плоскостям сдвига под 45°.
187
Фиг. 202. Разрушение от разрыва стенки под действием
сдвигающей нагрузки. Заметьте волны приблизительно
под углом 45°.
18;'
?=100 000 кг/см2, и = 0,30, найти увеличение длины диагонали.
Проверить путем вычисления G, вывести из этого деформацию
сдвига и превратить в деформацию диагонали, пользуясь урав-
уравнением A0. 3).
10. 2. На фиг. 198 значения величин принять следующими:
/V между 75 и 100 см; h между 30 я 45 см\ Р 'между 6000
и 10 000 кг.
Предположить ? = 700 000 кг/см2, р. = 0,30. Вычислить:
а) Поток касательных усилий.
б) Толщину листа, для которой касательное напряжение бу-
будет 700 кг/см2.
в) Смешение d для стенки, работающей на сдвиг.
Смещение d для тонкой стенки с полем чистого растяжения.
г) Осевые реакции, показанные на фиг. 200, полученные сум-
суммированием потока касательных усилии (проверить способом
* моментов).
10. 3. Стальная пластика воспринимает напряжение чисто-
чистого сдвига 1400 кг/см2.
а) Чему равно значение максимальной осевой относительной
деформации? (Принять ?=2 100 000 кг/см2 и у,=0,30.)
б) Чему равна относительная осевая деформация при угле
22,5° от направления нулевой деформации?
10. 4. Перерезывающую силу в 2000 кг необходимо пере-
передать при располагаемой высоте стенки в 30 см. Пользуясь 'вре-
'временным сопротивлением на разрыв 3520 кг/см2, определить тол-
толщину стенки, необходимую для того, чтобы обеспечить коэфи-
циент безопасности 2,0 (считать, что стенка работает как тон-
тонкая стенка с полем растяжения).
10. 5. Принять, что стенка из алюминиевого сплава в зада-
задаче 10. 4 имеет длину 120 см, и [вычислить:
а) Угловую деформацию в градусах (только от сдвига).
б) Общую деформацию (только от сдвига).
10. 6. Стенка, работающая на сдвиг, длиной 125 см сме-
смещается на 0,5 см только от сдвига. Чему равен относительный
сдвиг?
а) Если G = 270 000 кг/см2, то чему равно касательное на-
напряжение? (Считать стенку сопротивляющейся сдвигу без по-
потери устойчивости.)
б) Принять, что стенка работает с полем чистого растяже-
растяжения и что материал ее алюминиевый сплав (?=700 000 кг/см2).
Чему равно касательное напряжение?
10. 7. ВыбратЬ значения для Р я q следующими: Р между
12 000 и 16 000 кг, q между 25 и 30 кг/см.
Найти толщину, которую должна иметь стенка, работающая
на сдвиг, приняв максимальное допускаемое касательное на-
189
пряжение равным 500 кг!см2. Начертить кривую потребной тол-
толщины в зависимости от длины балки. Предположить, что кон-
конструкция позволяет только один стык обшивки в середине бал-
балки и найти необходимую толщину для обоих листов с точностью
до 0,08 см.
Примечание. Для решения построить эпюру перерезывающих
сил, по которой и определить сдвигающее усилие по стенке в 4—5 се-
сечениях. Расчета стоек не делать.
- 1-111,
1
. 1
¦
\
ЮОс
м
300см.
Фиг. 203.
10. 8. Допустим, что кроме сосредоточенных нагрузок, по-
показанных на фиг. 204, действует равномерно распределенная
нагрузка q вниз по всей балке. Значение для q выбрать между
20 и 25 кг/см. Считать поток касательных усилий равномер-
равномерным. Начертить кривую, показывающую изменение в толщине
стенки при условии, что допускаемое касательное напряжение
равно 700 кг/ом2. Для каждого отсека выбрать одну толщину с
точностью до 0,02 см. Указать на эскизе направление, в кото-
котором образовывались бы морщины, если бы стенка потеряла
устойчивость (расчетом вертикальных стоек и поясов пренебречь).
Балку считать закрепленной консолью по левому краю.
2000кг 2000кг
L
2000 кг 2000 Иг
?5см
f Г
*\*—100см -+r
Фиг. 204.
10. 9. Однолонжеронное крыло легкого самолета (консольно-
(консольного типа) имеет общую площадь 18 м2 и высоту 50 см по оси
самолета. Действительная средняя нагрузка на крыло (воз-
(воздушное давление без веса крыла) равна 70 кг/м2. Допустим,
что вся перерезывающая нагрузка передается стенкой одного
лонжерона и уравновешивается реакцией в центральном сече-
сечении по оси самолета. Найти поток касательных усилий по стен-
стенке в этом месте для случая нагружения, при котором действй-
190
тельная нагрузка на крыло умножается на коэфициент-перг-
грузки 6,0. Какая толщина стенки потребовалась бы в этом
месте, если допускаемое касательное напряжение будет
770 кг/см2?
10. 10. Предположив, что ;в каждом случае можно было бы
пользоваться одним и тем же временным сопротивлением на
разрыв, определить, какая из конструкций воспринимающего
сдвиг элемента квадратной рамки будет более легкой: а) с од-
одной диагональной связью, работающей «а растяжение, или
б) с тонкой стенкой, работающей только на растяжение.
Считать, что одна связь, работающая на растяжение, не мо-
может воспринимать сжатие и что рамка должна быть способной
воспринимать перерезывающую силу в любом направлении.
Как это влияет на конструкцию и на вес?
10. 11. Пользуясь фиг. 200, предположить, что стенка не
может сопротивляться деформациям сжатия и поэтому работает
как стенка с полем растяжения. Доказать, что если макси-
максимальные растягивающие напряжения действуют под углом 45°,
то на пояса рамки действуют направленные внутрь распреде-
распределенные нопмальные силы, имеющие значение, равное потоку
касательных усилий.
Примечание. Принять толщину стенки равной единице и рас-
рассматривать диагональную полоску шириной, равной 1. Превратить напря-
напряжение в силу перед нахождением компонента, нормального к рамке.
10. 12. Из соотношения, выведенного в задаче 10. 11, до-
доказать, что вертикальные элементы рамки притягиваются друг
к Другу (полем растяжения) с суммарной боковой силой, рав-
равной Р. Следовательно, они вызывают в каждом горизонтальном
Р
элементе рамки сжимающие усилия, равные -у . Показать так-
также, что горизонтальные элементы рамки притягиваются друг к
Рх
другу с силой, равной -^- , где х — расстояние между стой-
стойками.
Примечание. Предыдущие три задачи представляют как бы вве-
введение к расчету элементарных тонкостенных балок. Дополнительные све-
сведения о расчете подкрепляющих элементов (стоек) и узлов можно най-
найти в учебниках по расчету авиационных конструкций.
Выше рассмотрены два «крайних» случая;
1. Стенка не теряет устойчивости.
2. Стенка полностью теряет устойчивость и совсем неспособна вос-
воспринимать напряжения сжатия.
Кроме того пояса приняты абсолютно жесткими.
На практике встречаются промежуточные случаи, которые тре-
:¦ буют более сложной методики расчета.
близка к форме стенки, как это показано на фиг. 207. Ее мож-
можно рассматривать как векторную диаграмму, и результирующая
будет равна замыкающей линии, длина которой Л. Поскольку
принятый масштаб равен Т кг/см, то результирующая перере-
перерезывающая сила дается уравнением.
ГЛАВА И
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕНКИ, РАБОТАЮЩИЕ
НА СДВИГ
11. 1. Криволинейный поток касательных усилий. Выше
•было показано, что перерезывающую силу можно передавать
яри помощи плоской пластинки или стенки и что поток каса-
касательных усилий Т в сечении стенки равен силе, деленной на вы-
высоту стенки (уравнение 10. 9). Такой поток касательных усилий
можно наглядно представить как ряд единичных сил, действую-
действующих по прямой линии (фиг. 205). По определению результи-
результирующая Q постоянного прямолинейного потока касатель-
касательных усилий на высоте h равна
Теперь допустим, что стенка криволинейна и чю поток
.постоянных касательных усилий следует кривизне ее попереч-
Фиг. 205. Поток касательных
усилий (прямолинейный).
Фиг. 206. Криволинейная стенка,
работающая на сдвиг.
ного сечения, как показано на фиг. 206. Результирую-
Результирующую такого потока касательных усилий можно найти, предста-
представив поток как ряд последовательных прямолинейных векторов
сил единичной длины и величины Т. Если длины рассматривать
очень короткими, то полученная ломаная линия будет очень
192
**
Результирующая криволинейного потока
касательных усилий
A1.1)
где Т— поток касательных усилий вдоль кривой линии,
h—длина замыкающей.
Мы получили такое же уравнение, как и для прямолинейно
го потока, что очень удобно, когда имеют дело с криволинейны
ми стенками, работающими на сдвиг. Можно сделать следую
щие общие выводы:
Q
i
¦2Шкг ^Н (
г5 | h'-SOO
Фиг. 207. Результирующая криво-
криволинейного потока касательных
усилий.
Фиг. 208. Носок крыла
самолета.
а) Результирующая постоянного потока касательных уси-
усилий вдоль криволинейного участка имеет такую же величину,
-как >и результирующая такого же потока касательных усилий,
действующих по прямой линии между двумя концевыми точка-
точками этого участка.
б) Поток касательных усилий для криволинейной
стенки, передающей перерезьшающую нагрузку, получается та-
такой же, как и для .плоской стенки, мысленно проведенной
!между двумя концевыми точками кривой (если допустить, что
поток касательных усилий как по криволинейной, так и по пло-
плоской стенке остается постоянным).
Поэтому при определении касательного напряжения в кри-
криволинейной стенке нет необходимости учитывать истинный кон-
контур стенки, при условии, что поток касательных усилий можно
принять постоянным. Например, допустим, что носок крыла
самолета (фиг. 208) должен воспринять суммарную перерезы-
13 Ф. Р. Шенлн.
193
вяющую силу в 2500 кг. Тогда поток касательных усилий в
стенке определится из уравнения A1. 1)
Q
2500
50
= оО кг см.
1
Если бы стенка была толщиной 2,5 мм, то касательное напряже-
напряжение было бы
0,25
=200 кг!см\
Другой характерный пример может представить гофриро-
гофрированная стенка, работающая на сдвиг, показанная на фиг. 209,
где касательное напряжение было бы
т
Q
500
Л-Й
12,5-0,1
400 кг! см2.
Q-500 кг
Фиг. 209. Гофрированная стенка, работающая
на сдвиг.
Важно отметить, что уравнение для касательного напряже-
напряжения в гофрированной стенке, работающей на сдвиг, не есть
обычное уравнение, представляющее нагрузку, деленную на
действительную площадь поперечного сечения. На са-
самом деле, введенная здесь площадь есть площадь фиктивной
плоской стенки такой же толщины. Это указывает на то, что
плоская стенка более выгодна, чем гофрированная. (На самом
деле криволинейная стенка из тонкого материала обычно имеет
более высокое допускаемое напряжение, не вызывающее
потери устойчивости, поэтому часто и применяют в конструкци-
конструкциях гофр.)
11. 2. Момент потока касательных усилий. Фиг. 207 пока-
показывает, что криволинейный поток касательных усилий может
быть представлен результирующей перерезывающей силой и
моментом. Или, иначе, положение результирующей перере-
перерезывающей силы в действительности не находится на замыкаю-
замыкающей, а смещено от нее. Это можно было сказать, уже по виду
фиг. 207, где видно, что векторы касательных усилий имеют мо-
ментные плечи относительно любой точки на замыкающей.
Для определения действительного положения результи-
результирующей перерезывающей силы необходимо знать вращающий
момент потока касательных усилий относительно некоторой
194
mp-kq
удобной точки. Чтобы вывести простое правило, которое дает
ответ на этот вопрос, начнем с одной силы, как показано на
фиг. 210,а. Момент этой силы относительно точки О равен пря-
прямоугольной площади, представленной произведением Pd. (Если
эта площадь есть действительная площадь в квадратных сан-
сантиметрах, то она должна быть помножена на масштаб для
вектора силы; точно так же, если чертеж выполнен не в нату-
натуральную величину, то пло-
площадь должна быть приве-
приведена к натуральным разме-
размерам путем опять-таки умно- р
жения на квадрат масшта- (а)
ба чертежа.) Фиг. 210,Ь
показывает, что прямо-
прямоугольную площадь можно
заменить треугольной, если
ее затем помножить на 2, (Ь)
чтобы получить вращающий
момент.
Фиг. 210,с показывает,
что это правило сохраняет-
сохраняется независимо от положе-
положения или направления силы,
так как площадь треуголь-
треугольника равна — Pd, будь то
прямоугольный треугольник
или косоугольный..Это важ-
важное правило можно сфор-
сформулировать следующим об-
образом.
Момент силы относи-
относительно точки равен удвоен-
удвоенной площади треугольника,
имеющего основанием силу, а вершиной точку момента, умно-
умноженной на масштаб силы.
Наконец, фиг. 210,d показывает, что момент последова-
последовательного ряда векторов сил, начерченных в одном и том же
масштабе, пропорционален удвоенной площади, образованной
векторной диаграммой1. Это просто сводится к сложению тре-
треугольников для различных векторов. Так как постоянный по-
поток касательных усилий Т можно рассматривать как ряд векто-
векторов сил, начерченных в масштабе Т, то это правило можно при-
применить для определения результирующего момента.
Фиг. 210. Момент сил.
1 Заметьте, что на фкг. 210, d векторная
угольник представляют одно и то же.
13*
;игграмма и силовой много-
195
Допустим, например, что необходимо определить момент
постоянного потока касательных усилий в носке крыла самоле-
самолета относительно некоторой зыбранной точки (фиг. 211). Про-
Проводят линии ОВ и ОС и измеряют или вычисляют заштрихо-
заштрихованную площадь. Если бы действительная площадь оказалась
равной 4800 смг, а поток касательных усилий имел значение
20 кг/см, то момент был бы
M=2TF=2-20-4800=192000 кгсм.
Фиг. 211. Момент
потока касательных
усилий.
Заметьте, что если бы чертеж был сделан в масштабе 1 :4
и замеренная площадь имела 300 см2, то ее надо было бы
помножить на 16.
Вышеуказанные правила можно выразить при помощи из-
известной формулы Брэдта:
Момент потока касательных усилий
M=2-T-F,
(П.2)
F-
где М—момент относительно точки в плоскости поперечного
сечения,
Т—постоянный поток касательных усилий между двумя
точками на поперечном сечении,
¦действительная площадь поперечного сечения, со-
состоящая из треугольника, образованного тремя точ-
точками, плюс площадь, ограниченная контуром, по
которому действует поток касательных усилий.
Уравнением (П. 2) можно также пользоваться для пере-
переменного потока касательных усилий, разделив стенку, рабо-
работающую на сдвиг, на сешенты, по каждому из которых лоток
касательных усилий принимается постоянным. В этом случае
необходимо определять площадь для каждого сегмента и под-
подставлять в уравнение A1. 2). Полный момент получается, ко-
конечно, суммированием.
11, 3. Положение результирующей перерезывающей силы.
Теперь очевидно, что хотя величина и направление результи-
результирующей перерезывающей силы в криволинейной стенке мож-
можно определить при помощи замыкающей, но положение ее не
196
будет на самой этой линии. Для того чтобы определить дейст-
действительное положение, необходимо найти момент потока каса-
касательных усилий. Если это сделать относительно любой точки
на замыкающей, то результирующий момент будет равен
удвоенной площади между стенкой и линией (заметьте, что
!В этом случае для образования замкнутой площади требуется
только одна линия).
На фиг. 212 показаны подобные слу-
случаи для типовой криволинейной стенки.
Действительное плечо момента резуль-
результирующей сдвигающей силы, определяю-
определяющее точку, часто называемую цен-
центром сдвига, получается из уравне-
уравнения
__м_
2-T-F
Q
T-h
Центр сдвига х=
2-F
h
A1.3)
Q
Фиг. 212. Положение ре-
результирующей перерезы-
перерезывающей силы
(центр сдвига).
Из фиг. 212 можно видеть, что вы-
F
ражение — представляет среднюю вы-
высоту Ъ прямоугольника, имеющего осно-
основание h и площадь F. Таким образом
положение результирующей сдвигающей
силы можно подсчитать совершенно точ-
точно при помощи этого простого правила.
Теперь очевидно, что результирую-
результирующая будет лежать за 'Пределами самой
стенки. Это может показаться неправ-
неправдоподобным, но это действительно так
и оказывает важное влияние на поведе-
поведение криволинейных оболочных конструкций.
11. 4. Одна криволинейная стенка. В главе 10 при рас-
рассмотрении плоской стенки, работающей на сдвиг, применялась
двухпоясная балка. Если эту балку сделать с криволинейной
стенкой, то она будет способна передавать перерезывающую
силу, но только если сила будет приложена в ц е н т р е сдви-
сдвигай параллельна плоскости, проведенной по двум поясам,
как показано на фиг. 213. Если она будет приложена по ка-
какой-нибудь другой линии действия, то это будет эквивалентно
•внецентренному нагруженшо балки с плоской стенкой. Это
показано на фиг. 214. Любоа из этих Двух нагружений будет
вызывать неуравновешенный вращающий момент, которому
балка одна, сопротивляться не способна.
Определение центра сдвига вышеизложенным спосот
бам справедливо лри постоянстве потока касательных усилий,
что имеет место только в тонкостепной двухпоясной балке.
197
Для толстостенных балок (как, например, швеллер) положе-
положение центра сдвига будет зависеть от изменения потока каса- '
тельных усилий по полкам и стенкам. Это будет рассмотрено
ниже.
Q
Фиг. 213. Правильный вид кагру-
жения, балки с криволинейной
стеикой.
Фиг. 214. Эффект нагружения
в плоскости поясов.
11. 5. Поток касательных усилий и поток осевых усилий.
Следует отметить, что при рассмотрении потока касательных
усилий в криволинейных стенках силы сдвига изображались
так же, как изображаются осевые силы. Однако существует
важное отличие, которое необходимо иметь в виду. Перерезы-
Перерезывающие силы, показанные в плоскости чертежа, в действи-
действительности 'дередаются нормаль-
н о к этой плоскости, тогда как
осевые силы, показанные таким же
образом, передаются и восприни-
воспринимаются в самой плоскости.
11.6. Диагональные напряже-
напряжения. Соображения, приведенные в
§ 7. 4, могли бы заставить заду-
задуматься над тем, не потребуют ли
диагональные силы растяжения и
сжатия в криволинейной стенке,
работающей на сдвиг, дополни-
дополнительных реакций, нормальных к
листу. Однако в действительности
эти два поля при чистом сдвиге равны и противоположны, как
это объяснено в главе 10 и показано на фиг. 215, и стремление
сжимающих сил изогнуть лист наружу в точности погашается
стремлением растягивающих сил втягивать лист внутрь. Это
явление как раз и позволяет передавать силы при чистом сдвиге
«по кривой», не вызывая нормальных (радиальных) реакций.
Как и б случае плоской пластинки, диагональные сжимаю-
сжимающие напряжения могут вызвать потерю устойчивости лри оп-
198
Фиг. 215. Диагональные на-
напряжения в криволинейной
стенке, работающей на
сдвиг.
ределенных условиях. Вообще криволинейная пластинка име-
имеет более высокое критическое напряжение, чем плоская пла-
пластинка такой же толщины и таких же размеров. После наступ-
наступления потери устойчивости преобладать будет поле растяже-
растяжения, и равновесие будет нарушено; поле растяжения будет
втягивать лист внутрь по диагонали, стремясь выпрямить
стенку.
Вычисление критического напряжения выпучивания для
криволинейных пластинок при сдвиге выходит за рамки на-
настоящей книги.
ЗАДАЧИ
11. 1. Прямоугольная гофрированная стенка, работающая
на сдвиг, имеет длину 20 см по прямолинейной стороне и 10 см
поперек гофра. Суммарная перерезывающая сила, которую не-
необходимо передать вдоль короткого размера, равна 2000 кг и
эта нагрузка равномерно распределена по длине стенки.
Если толщина стенки равна 0,1 см, то чему равно касательное
напряжение, действующее в поперечном сечении, перпендику-
перпендикулярном к волнам гофра?
\
2000 кг
\)
Фиг. 216.
11. 2. Начертить криволинейную стенку, как показано на
Фиг. 213, с любой удобной высотой и радиусом. Предполо-
Предположить, что необходимо передать перерезывающую силу
0=2500 кг.
а) Вычислить поток касательных усилий.
б) Найти соответствующую точку приложения нагрузки
(размер )
199
11. 3. Пользуясь фиг. 208, принять, что стенка имеет вы-
высоту Л, равную 45 см, и что площадь поперечного-сечения са-
самой -стенки равна 18 см2. Если стенка имеет толщину 0,25 см,
то какое касательное напряжение вызывает перерезывающая
нагрузка в 3600 кг, приложенная так, что создает постоянный
поток касательных усилий?
11. 4. Начертить криволинейную стенку, работающую на
сдвиг, .представляющую носок крыла самолета, как на
фиг. 208.
а) Определить площадь контура и положение результирую-
результирующей постоянного потока касательных усилий.
б) Какой неуравновешенный крутящий момент возник бы
от приложения перерезывающей силы в 2000 кг в плоскости
поясов, т. е. к свободным краям стенки?
11. 5. Допустим, что крутящий момент Л/кр^100 000 кгсм
приложен к показанной на фиг. 217 оболочечной конструкции
и что этот момент воспринимается постоянным потоком каса-
62,5 см
Фиг. 217.
тельных усилий в криволинейных стенках (пунктирные линии
представляют вырезанный материал). Чему равно значение
потока касательных усилий?
Фиг. 218.
11. 6. На фиг. 218 показано определение момента потока
касательных усилий относительно точки О. Объяснить, поче-
200
му нет необходимости в проведении линии ОС. Что необходи-
необходимо сделать с площадями OAD и BCD—складывать или вычи-
вычитать? (Объяснить, следуя порядку, указанному в тексте на
фиг. 210, начав составлять элементы площади от точки А и
обращая внимание на знак момента.)
11. 7. Начертить в масштабе криволинейную стенку и оп-
определить положение результирующего потока касательных
усилий, как показано на фиг. 212. Проверить это путем на-
нахождения (Момента криволинейного потока касательных уси-
усилий относительно любой точки на линии действия результирую-
результирующей, пользуясь построением, показанным в задаче 11. 6.
11. 8. Допустим, что пояса балки с криволинейной стен-
стенкой приближаются Друг к другу, как показано на фиг. 219, та-
Фиг. 219.
ким образом, что стенка образует полный круг. Найти значе-
значение результирующей потока касательных усилий и его 'момен-
'момента относительно центра круга ib буквенных выражениях Г иг
(небольшим зазором, который в действительности может
иметь место между поясами, пренебречь).
Фиг. 220.
11. 9. Найти аналитически положение результирующей по-
постоянного потока касательных усилий для показанных на фи-
фигуре случаев, выражая х через данные размеры в буквенном-
виде.
201
Примечания к задачам. В приведенных примерах надо иметь в
виду, что все сказанное здесь о силовом потоке справедливо, если балка
с одной стороны «заделана», имеет достаточно большую длину (не мень-
меньше, чем 3—5 Н, где Я —высота сечения) и нагружена на свободном конце
силой или силами, которые, вообще говоря, вызывают изгиб балки. Все
изложенное относится к распределению касательных сил в таких балках
от изгиба силой, направленной параллельно плоскости, проведенной через
пояса.
В задаче 11.8 поток сил, указанный на фиг. 219, от изгиба силой возник-
возникнуть не может, так как его равнодействующая равна нулю. Такой поток
может возникнуть лишь от приложения непосредственно к контуру крутя-
крутящего момента. Вообще свободный открытый контур, как указывалось выше,
кручения воспринимать практически не может. В этой задаче контур надо
считать также с одного конца заделанным, а сдвигу частей оболочки по раз-
разрезу препятствуют поясные элементы, свяаанные с закреплением. Прим. ред.
ГЛАВА 12
КРУЧЕНИЕ
12. 1. Тонкостенные оболочки. Тонкостенную оболочку при
кручении можно рассматривать как криволинейную стенку,
работающую на сдвиг, в которой свободные края соединены,
что образует замкнутый контур. Если толщина стенки оболочки
мала по сравнению с ограниченным поперечным сечением, то
касательное напряжение по толщине
листа может быть принято постоян-
постоянным. Тогда поток касательных усилий
можно принять расположенным по
средней линии листа.
Если, дальше, предположить, что
поток касательных усилий постоянен
по контуру, то будут верны следую-
следующие положения:
а) Результирующая сила для по-
постоянного потока касательных усилий
по любому замкнутому контуру будет
равна нулю (потому что векторная
диаграмма замыкается).
б) Результирующий момент будет равен удвоенной площади
контура, помноженной на поток касательных усилий [это сле-
следует из уравнения A1. 2) для криволинейной стенки].
Второе утверждение математически выражается уравне-
уравнением:
Фиг. 221. Момент замкну-
замкнутого потока касательных
усилий.
Момент потока касательных усилий
A2.1)
где М
Т
F-
¦крутящий момент,
-постоянный поток касательных усилий по контуру
сечения,
¦площадь, ограниченная средней линией оболочки
(фиг. 221).
203
Поскольку чаще всего требуется найти поток касательных
усилий, вызываемый данным крутящим моментом, то уравне-
уравнение обычно встречается в таком виде:
Кручение оболочки
2F
A2.2)
Это уравнение называется уравнением кручения оболочки;
его можно рассматривать как основное уравнение для кручения
тонкостенных оболочек и труб. Это уравнение можно встретить
под различными названиями, как, например, формула м е м-
бранной аналогии, уравнение Бас со и форму-
формула Бредта. Оно достаточно элементарно и может быть вы-
выведено без помощи сложных теорий, разработанных для опре-
определения напряжений кручения. Единственным допущением,
сделанным при выводе, является допущение о постоянстве
потока касательных усилий. Точность результатов'
зависит целиком от того, насколько близко это допущение под-
подходит к свойствам действительной конструкции. Если оболочка
тонкая (практически у от 0,1 и !меньше), то формула вполне
пригодна.
Деление уравнения A2. 2) на 8 дает формулу для касатель-
касательного напряжения:
Касательное напряжение кручения
(оболочки)
A2.3)
Значение напряжения в любой точке контура поперечного
сечения будет определяться путем подстановки в формулу тол-
толщины S в этой точке, поскольку Т принято постоянным.
12. 2. Напряжения в цилиндрических оболочках; (трубы).
Поток касательных усилий в тонкостенной круглой цилиндриче-
цилиндрической оболочке легко выводится из уравнения A2. 2) путем под-
подстановки тгг* вместо F.
7*— мк?
лг
2F
A2.4)
L
ь
2т, Г- .5
A2.5)
^Например, труба, представленная на фиг. 222, имеет сред-
средний радиус (до средней линии оболочки) 250 мм и подвержена
204
крутящему моменту в 110 000 кгсм. Поток касательных усилии
находим из уравнения A2. 4):
110 000
2-г2
2 • 252
28 кгсм.
Касательное напряжение находим путем деления на тол-
толщину:
B8
0,2
140 кгсм2.
Если толщина стенки трубы меняется по окружности, то
напряжение в любой точке получаем делением потока касатель-
касательных усилий Т на толщину в рассматриваемой точке. Так, если
8= 2,0 мм
Фиг. 222. Кручение тонкостенной трубы.
бы часть трубы на фиг. 222 была изготовлена из листа тол-
толщиной 0,5 мм, то напряжение было бы для этой части.
т
28
0,05
560 кг см2.
Уравнение A2. 5) показывает, что максимальный крутящий
момент, который может быть воспринят тонкостенной цилин-
цилиндрической оболочкой, равняется 2тгг23 т. Если допускаемое на-
напряжение z принимается постоянным, то прочность пропорцио-
пропорциональна выражению 2тгг28. Площ,адь поперечного сечения стенки
оболочки дается величиной 2тгг8. Отсюда коэфициент удельной
прочности для постоянного допускаемого напряжения будет
прочность на кручение 2~г%Ъ
площадь сечения
Это показывает, что трубы больших диаметров в основном
€олее эффективны в воспринятой кручения. Однако допускае-
допускаемое напряжение1 стремится уменьшаться с увеличением отно-
г
шеаия
,что в значительной степени погашает это влияние.
1 Из-за потери устойчивости.
205
Следует также отметить, что прочность определяется наи-
наименьшей толщиной стенки, если толщина меняется. Поэтому
наиболее эффективной конструкцией для работы на кручение
является конструкция спостоянной толщиной стенки.
Для данных толщины стенки 3 и площади контура F ;мини-
мальный вес будет тогда, когда развернутая длина поперечного
сечения будет минимальной. Поскольку круг имеет минимальное
отношение периметра к площади контура, то он представляет
наиболее выгодную форму для воспринятия кручения
= v? = °-565Ь
Фиг. 223. Сравнение труб квадратного и круглого
сечения с равновеликими площадями, ограничен-
ограниченными контуром.
Сравним, например, трубу квадратного сечения с круглой
трубой, которые имеют одинаковые площади контура, как пока-
показано на фиг. 223. Ради\х круга будет т= -—= = 0,565Ь. При од-
ном 'и том же крутящем моменте в каждой из этих труб будет
возникать один и тот же поток касательных усилий. Если они бу-
будут иметь одинаковую толщину стенки, то квадратная труба
будет тяжелее во столько раз, во сколько ее периметр длиннее
периметра круга.
4h _4Ь V*z _ 2 q
круглой 2пг 2кЬ лГ~
12. 3. Деформация кручения цилиндрической оболочки.
В § 10. 10 было показано, что деформация сдвига плоской пла-
пластинки измеряется углом Ф, представляющим собой деформа-
квадратной
Фиг. 224. Деформация кручения (оболочки).
цию, деленную на расстояние, на которое передается перерезы-
перерезывающая сила. На фиг. 224 этот угол показан для цилиндриче-
206
ской оболочки. Значение его находится из уравнений A0. 15) и-
A0. 14):
* = «:Г' A2-6)
L U
где Ф измеряется в радианах.
При подсчете деформаций кручения удобнее пользоваться
углом закручивания, обозначенным на фиг. 224 через 8.
Этот угол равен — (в радианах).
Пользуясь уравнением деформации сдвига для определения-
d, получим угол закручивания на единицу длины, равным
выражению:
Относительный угол закручивания цилиндрической
оболочки
A2.7)
где 0 измеряется в радианах,
х—касательное напряжение,
G—модуль сдвига (§ 10. 11),
г—радиус оболочки.
Заметьте, что это уравнение по своей структуре подобно*
уравнению относительной осевой деформации е= — (урав-
нение 6. 3).
Полный угол закручивания на длине L дается уравнением
вг =
¦z.JL
G-r
A2.8)
Если 0 будет меняться по длине L, то полный угол закру-
чиования получится суммированием или интегрированием (пло-
(площадь, ограниченная кривой зависимости 0 от L).
Интересно выразить уравнение A2. 7) через крутящий imo-
мент. Это можно сделать путем подстановки вместо т его вы-
выражения из уравнения A2. 3), получая
е
м,
м
кр
G-2Fb.r
A2.9)
Уравнение показывает, что крутильная жесткость
тонкостенной цилиндрической оболочки .пропорциональна тол-
толщине стенки и кубу радиуса, т. е. что крутящий 'момент, необ-
необходимый для закручивания единицы длины на единицу угла,
равен 2тгг38О. Площадь поперечного сечения стенки дается вы-
207
ражением 2?rrS. Для оболочек одинакового материала G посто-
постоянно; отсюда коэфициент относительной жесткости
для такой конструкции будео4
крутильная жесткость
2-гЗЙ
площадь материала
r\
Эта зависимость указывает на то большое значение, которое
имеет применение труб или оболочек больших диаметров там,
где требуется большая крутильная жесткость, как это бывает
в самолетах. В фюзеляже самолета, например, максимальная
крутильная жесткость получается путем размещения материала
конструкции как можно ближе к поверхности.
12. 4. Деформация кручения нецилиндрической оболочки.
Точный вывод общего уравнения для
деформации кручения выходит за пре-
пределы объема настоящей книги, однако
можно, пользуясь а налогией с р асе мо-
тренным выше, дать ясную картину по-
поставленной задачи и попытаться ре-
решить ее простым способом. Рассмотрим
любое произвольное поперечное сече-
сечение, как например, показанное на
фиг. 225. Если бы удалось найти экви-
эквивалентное цилиндрическое сече-
сечение, которое имело бы ту же жесткость
на кручение, то его радиусом г можно
пользоваться в уравнении деформации
для цилиндрической оболочки.
Значение эффективного радиуса можно определить
¦из уравнения
Фиг. 225. Эквивалентные
поперечные сечення
(оболочки).
** , гта
2F
S
A2.10)
где F—площадь, ограниченная контуром,
S—развернутая длина (периметр) поперечного сечения.
Для переменного поперечного сечения касательное напряже-
напряжение будет меняться обратно пропорционально толщине стенки.
Поэтому необходимо пользоваться эффективным напря-
напряжением ^. Это получается как интеграл или суммирование
напряжения по контуру поперечного сечения (средняя высота
-площади, полученной путем построения кривой зависимости на-
напряжения от развернутой длины по контуру сечения).
Обозначая «эффективные» значения соответствующих вели-
величин с чертой, основное уравнение для Деформации кручения
203
любой оболочки, имеющей постоянный поток
касательных усилий, можно написать так:
Относительный угол закручивания
G-r
A2.11)
где в — угол закручивания (в радианах) на единицу длины
х — эффективное касательное напряжение (среднее по
_ контуру сечение),
г—эффективный радиус [уравнение A2.10)].
Уравнение A2.11) обычно встречается в следующем виде:
e=__jM«p_ Г dS
A2.12)
Можно показать, что это уравнение идентично уравнению
9/г
—
A2.11), если подставить вместо г выражение
и выра-
зить т через
^
уравнение A2.3)]. Значение интеграла
можно представить себе как площадь, ограниченную кривой
зависимости ^ от S. Для постоянной толщины урав-
уравнение A2.12) принимает вид
0=—
A2.13)
12. 5. Искажение поперечного сечения. Как отмечалось
в § 12. 1, точность изложенной теории кручения оболочек цели-
целиком зависит от того, насколько близок действительный поток
касательных усилий к принятому постоянному значению по кон-
контуру поперечного сечения. Если толщина стенки мала по срав-
сравнению с радиусом (или ему эквивалентным размером), то р а-
диальное изменение потока касательных усилий пренебре-
пренебрежимо мало. Для толстых оболочек или сплошных сечений это
неверно, и необходимо пользоваться специальными методами
расчета.
Другой тип ошибок при пользовании приведенными выше
формулами вызывается иногда явлениями заделки попереч-
поперечного сечения. Это можно показать, предположив, что оболочка,
подверженная кручению, разрезана по образующей и выпрям-
выпрямлена с сохранением искаженной формы (материала .стенки. Если
толщина стенки будет переменной, то и касательное напряжение
будет меняться. Это 'вызывает изменение в относительном сдви-
сдвиге. Результат мог бы выглядеть, как показано на фиг. 226, на
которой представлена цилиндрическая оболочка с пере-
переменной толщиной стенки. Если предположить, что оболочка со-
14
Ф. Р. Шенли
209
ставлена из трех отдельных листов различной толщины, то де-
деформация сдвига каждого из них будет различная, как показано
на фиг. 226,Ъ. Так как свободные края в действительной замкну-
замкнутой оболочке должны быть опять соединены вместе, то необхо-
необходимо повернуть чертеж, как показано на фиг. 226,с, так чтобы
прямая В—В была нормальна к оси оболочки. Если этот иска-
искаженный лист свернуть опять в трубу, то очевидно, что края бу-
(Ь) В1 (с)
Фиг. 226. Искажение поперечного сечения.
дут искривлены, т. е. они не будут лежать в первоначаль-
первоначальной плоскости. Степень искажения указана отклонением от пря-
прямой линии В—В, которая представляет собой неискаженное по-
поперечное сечение.
Если оболочка будет иметь нецилиндрическое поперечное се-
сечение, то даже при постоянном касательном напряжении будет
некоторое искажение поперечного сечения.
Можно видеть, что для сохранения постоянства потока каса-
касательных усилий поперечное сечение должно иметь возможность
свободно искажаться, за исключением лишь того слу-
случая, когда деформированная форма листа соответствует форме
неискаженной, но закрученной оболочки. Такой специальный
случай имеет место в цилиндрической оболочке с постоянной тол-
толщиной стенки. '
Если один из концов оболочки жестко прикрепить к плоской
поверхности, то это поперечное сечение будет вынуждено остать-
210
ся плоским. Тенденция к искривлению будет вызывать осевые
напряжения, характер которых можно определить ранее опи-
описанным методом развертки поверхности. Та-м, где это имеет
место, распределение потока касательных усилий по контуру по-
поперечного сечения не остается больше постоянным. Практически
эффект заделки обычно невелик и ограничивается, главным
образом, местным влиянием вблизи плоскости заделки. Необхо-
Необходимо только знать, что такой эффект существует, и ясно пред-
представлять себе условия, при которых он может оказаться суще-
существенным \
(о) (Ь)
Фиг. 227. Кручение сплошного вала.
12. 6. Сплошной круглый вал. Общее решение задачи кру-
кручения для любых форм поперечного сечения является одной
из основных задач теории упругости, и по этому вопросу имеется
большая литература 2. Это объясняется тем, что точное решение
задачи, за исключением нескольких простых форм сечений, ста-
становится очень сложным математически.
Наиболее распространенной формой, применяющейся для
передачи кручения, является круглый вал или труба. Для этих
поперечных сечений задача имеет простое решение. Поскольку
тонкостенная труба нами уже рассмотрена, можно воспользо-
воспользоваться полученными результатами и при выводе уравнений для
¦сплошного вала.
Для сплошного вала, как, например, показано на фиг. 227,а,
будем полагать, что все точки поворачиваются на один и тот
же угол в, т. е. радиальные линии, проведенные на поперечном
сечении, остаются и при закручивании прямыми. Следовательно,
Для любого элемента трубы, как, например, показанного на
фиг. 227,Ь, значение d будет прямо пропорционально радиусу, т. е.
1 Корневое сечение крыла самолета требует иногда специальной провер-
проверки, так как вследствие симметрии в нагрузке и деформациях оно остается
нлоским и оказывает тот же эффект, что и заделка.
2 Общее решение было впервые получено Сен-Венаном.
14*
211
Фиг. 224 и уравнение A2. 6) показывают, что касательное
напряжение пропорционально отношению -^ (в области упру-
упругих деформаций). Из этого следует, что напряжение прямо про-
пропорционально г и, следовательно, изменение касательного на-
напряжения от центрального до наружного волокна будет ли-
линейно.
Фиг. 228. Подсчет крутящего момента.
Суммарный момент сопротивления сечения внешнему крутя-
крутящему моменту можно представить как сумму моментов каждой
единицы площади сечения относительно центра вращения. Мо-
Момент сопротивления будем подсчитывать, полагая сначала, что
касательное напряжение равняется радиусу (сравните § 13. б
об изгибе). Обратимся к фиг. 228 и положим, что
t=r. ' A2.14)
Тогда силы, возникающие на каждом элементе, будут:
к т. д.
'Моменты получатся умножением на радиусы:
и т. д. . f
212
Суммарный момент сопротивления всего сечения будет ра-
еен сумме .всех этих элементарных моментов для всего попереч-
поперечного сечения i
MQ=ZFr\ A2.15)
где MQ—момент сопротивления, соответствующиидопущению,
что т=г.
Величина, полученная таким образом, называется поляр-
полярным моментом инерции (или вторичным момен-
моментом площади) и будет обозначаться через 1р. Уравнение
A2. 15) может поэтому быть написано в виде
М0=1р. A2. 16)
Для любого другого крутящего момента напряжения изме-
м м
нятся в отношении —— или ¦ и, следовательно, приня-
приняло V
тые напряжения [уравнение A2.14)] должны быть помноже-
помножены на это отношение, что дает:
Кручение в круглых сечениях
A2.17)
где z—касательное напряжение, вызываемое крутящим
моментом Мкр,
г—радиус, измеряемый от осизакручивания (ось вала),
/р=1/7г2—полярный момент инерции поперечного сечения.
Полярный момент инерции аналогичен моменту инерции, при-
применяющемуся при вычислении изгибных напряжений (см.
главу 13). При расчете на изгиб ось, относительно которой бе-
берутся вторичные моменты площади (моменты инерции), лежит
в плоскости самого поперечного сечения, тогда как при
кручении ось вращения нормальна к ней. Вследствие этого
полярный момент инерции больше, чем момент инерции отно-
относительно любой оси в плоскости поперечного сечения. На самом
Деле он равен сумме моментов инерции относительно любых
Двух взаимно перпендикулярных осей.
Полярный момент инерции
р,.: A2.18)
Для поперечного сечения с двумя осями симметрии (как
например, круглое сечение) 4=/г Поэтому
где 4
момент инерции (или вторичный момент) площади
относительно любой оси, проходящей через центр
тяжести.
213
Для сплошного круглого вала значение полярного момента
инерции будет
1 '*, A2.19)
р
где г0—¦ радиус вала.
Максимальное касательное напряжение возникает в наруж-
наружном волокне и равно
max
кр
A2.20)
Или, так как площадь поперечного сечения = ~r-j( то
max
A2.21)
12. 7. Толстостенные трубы. Уравнение A2. 17) примени-
применимо также к толстостенн ы м труба м, для которых по-
полярный момент инерции дается формулой
—г*), A2.22)
где R—наружный радиус,
г—внутренний радиус.
Для тонкостенных круглых сечений, как например, рассмо-
рассмотренных в § 12. ] до § 12. 3, полярный момент инерции равен
p
где F—площадь поперечного сечения стенки оболочки,
/*—радиус до средней линии стенки оболочки,
о—толщина стенки оболочки.
Подставив это значение в уравнение A2.17), получим
/,
2-гп-о
Это подтверждает уравнение A2. 5), которое было выведено
в предположении постоянного потока касательных усилий. Мож-
Можно видеть, что для круглых сечений уравнение A2. 17) пред-
представляет собой более общую формулу, так как им также мож-
можно пользоваться для труб с очень тонкими стенками. Уравне-
Уравнение для оболочки, однако, применимо к любой форме попереч-
поперечного сечения, для которой поток касательных усилий можно
принять постоянным па средней линии, и поэтому является, в
этом отношении, более общим, чем уравнение A2. 5) или
уравнение A2. 17).
* Вывод формулы делается при помощи высшей математики.
214
12. 8. Некруглые сплошные валы. Применение полярного
момента инерции в уравнении A2. 17) подразумевает, что сила
сопротивления в каждом элементе действует нормально к ра-
радиусу. Если бы это положение применить :с некруглому попереч-
поперечному сечению, то оказалось бы, что существуют перерезываю-
перерезывающие силы, которые имеют компоненты, нормальные к свободной
наружной поверхности, как показано на фиг. 229. Ясно, что это
кевоз!можно, и задача поэтому усложняется граничным услови-
условием, требующим, чтобы касательные напряжения в наружных во-
волокнах были параллельны поверхности \
Горизон-
'тали
Фиг. 229, Сплошное сечение.
Мембрана
Фиг. 230. Прямоугольный вал
при кручении (мембранная
аналогия).
Хотя решение задачи о кручении для некруглых поперечных
сечений выходит за пределы настоящей книги, все же интересно
знать, как меняются напряжения в такого рода сечениях. Чтобы
показать это, можно было 'бы рассмотреть сечение, построенное
из нескольких концентрических труб или оболочек, каждая из
которых воспринимает один и тот же поток касатель-
касательных у с и л и й. Если линии, определяющие эти трубы, могли
бы быть найдены, то было бы просто вычислить суммарный мо-
момент сопротивления для данного потока касательных усилий. Из
этой зависимости и известной толщины стенок труб можно было
бы определить касательное напряжение >в любой точке.
12. 9. Мембранная аналогия. Положение этих линий по-
постоянного потока касательных усилий можно наглядно пред-
представить себе при помощи мембранной аналогии.
Прандтль показал, что уравнение для деформации мембраны под
действием равномерно распределенной нормальной нагрузки в
основном такое же, как и уравнение, выведенное Сен-Венаном
для задачи кручения. Допустим, что тонкая мембрана натянута
по отверстию, имеющему форму рассматриваемого поперечного
сечения, и нагружена равномерной нагрузкой, как показано на
фиг. 230. Путем проведения плоскостей через деформированную
1 Будут, конечно, и касательные напряжения, действующие нормально
к тем напряжениям, которые появляются в разрезанном сеченин, но они пер-
перпендикулярны к плоскости чертежа и гне могут быть показаны на одном и
том же виде.
213
•.мембрану параллельно плоскости поперечного сечения и на оди-
одинаковом расстоянии друг от друга получаются горизонтали.
Можно показать, что полученные таким образом горизонтали
определяют трубы, которые все имеют один и тот же по-
гок касательных усилий. Так как касательное напря-
т
жение равно —, то напряжение пропорционально наклону
мембраны.
Горизонтали, полученные таким образом, определяют также
направление максимальных касательных напряжений, но
не являются линиями постоянного касательного напряжения (за
исключением случая круглых сечений). Для любой данной трубы
касательное напряжение будет максимальным там, где толщина
(расстояние между горизонталями) минимальная. Если трубы
будут расположены близко друг к другу, т. е. будут тонкостен-
тонкостенные, то касательное напряжение можно принять постоянным от
одной горизонтали до другой.
Из фиг. 230 видно, что трубы становятся более узкими по
мере приближения к краям поперечного сечения. В соответствии
с линейным законом распределения касательного напряжения,
найденным для круглого сечения, толщина труб имеет тенден-
тенденцию к изменению обратно пропорционально расстоянию от цен-
центра закручивания. Этот центр, конечно, находится там, где ка-
касательное напряжение равно нулю, что определяется точкой ну-
нулевого наклона (максимального прогиба) ;мембраны.
Так как момент для любой тонкостенной трубы равен потоку
касательных усилий, умноженному на двойную площадь контура,
то суммарный момент сопротивления сплошного сечения пропор-
пропорционален двойному объему, представленному прогибом мембра-
мембраны (каждая полоска на фиг. 230 представляет собой произведе-
произведение Т на площадь, ограниченную соответствующей горизонталью).
Мембранная аналогия
¦наиболее полезна в тех слу-
случаях, когда необходимо бывает
ясно представить себе влияние
различных видоизменений в фор-
форме поперечного сечения. Напри-
Например, выступ на круглом валу не
будет сильно напряжен при кру-
кручении, так как мембрана над
этим выступом оставалась бы
относительно плоской (фиг. 231).
Впадина или прорезь имела бы тенденцию оказывать противо-
противоположный эффект, вызывая высокие местные касательные на-
напряжения, как показано на фиг. 231Д
Из фиг. 230 можно заметить, что около центра горизонтали
стремятся образовать эллиптическую форму и что по мере при-
приближения к наружному контуру поперечного сечения они прини-
216
тал
Фиг. 231. Местные напряжения
при кручении.
мают форму, все ближе соответствующую внешней форме сече-
сечения. Так как трубы должны быть непрерывными по поперечному
сечению, то горизонтали в более узких участках должны будут
располагаться ближе друг к другу. Это значит, что максималь-
максимальное касательное напряжение будет возникать в (местах наи-
наименьших размеров,
12. 10. Специальные случаи. Хотя решение задачи круче-
кручения и разработано для -многих различных поперечных сечений,
здесь оно будет дано лишь для нескольких более употребитель-
употребительных сечений. В табл. 6 даны формулы для касательного на-
напряжения и угла закручивания в форме, удобной для инженер-
инженерной практики.
Интересно отметить, что для длинных тонких прямоугольни-
прямоугольников постоянная в уравнении для касательного напряжения
[уравнение (f)] приближается к значению1 3. Этим уравнением
можно пользоваться для подсчета касательного напряжения в
•открытых сечениях, как, например, показанных в
табл. 6. Если отношение ширины к толщине будет большим,
то форма поперечного сечения будет оказывать небольшое влия-
влияние и на напряжение, и на крутильную жесткость. Это под-
подтверждает тот факт, что труба, разрезанная параллельно оси,
очень неэффективна при воспринятая крутящих моментов \
Крутильную жесткость сплошного сечения можно подсчитать
достаточно точно, исходя из предположения, что сечение являет-
является эллиптическим, имеющим ту же площадь (согласно Сен-Ве-
нану). Для составных сечений, составленных из нескольких боль-
больших частей, соединенных между собой относительно тонкими
стенками, крутильную жесткость можно подсчитать, рассматри-
рассматривая части работающими отдельно, с одним и тем же углом за-
закручивания.
12. 11. Искажение поперечного сечения. Как и в теории
оболочек, предполагается, что поперечные сечения могут свобод-
свободно искажаться. Для коротких брусьев с поперечным сечением
неправильной формы (как, например, двутавровые балки)
елияние концевого закрепления может быть настолько' велико,
что совершенно меняет поведение сечения. Это относится также
к коротким вырезам. Поэтому в таких случаях классической
теорией кручения необходимо пользоваться с осторожностью.
12. 12. Пластическая область. Так как передача момента
в действительности совершается при возникновении диаго-
диагональных осевых напряжений, то можно видеть, что вы-
1 Необходимо помнить, что все изложенное верно, если поперечные се-
сечения могут свободно искажаться. Если же по концам разрезной трубы
предотвратить возможность искажения, то она будет способна воспринять
значительно больший крутящий момент и будет много жестче. Однако эта
задача значительно сложнее. Здесь кроме касательных возникают изгибные
н осевые напряжения, и определение их выходит за пределы материала на-
настоящей книги.
217
Таблица 6
Кручение сплошных сечений
-шах
е -=
F-D fsD-
BMt
(радианов на единицу длины)
-ШКР 16AfKP
Fb
r.ab*
(максимальное значение);
16М*
кр
Fa
т.а-b '
(радианов на единицу длины).
¦max-
Н ^г
F-b
Fb-G
]кр
ah'1
(для значений /\, см. фиг. 332)
Fb
кр
Fb-G
я т. д.
218
(а)
(Ь)
(с)
(d)
(е)
(О
(ff)
(ь:
сокие значения касательного напряжения могут вызвать осевые
¦напряжения, превосходящие предел пропорциональности. Это
вызо-вет понижение Е <и, следовательно, понижение эффектив-
эффективного модуля сдвига G [так как это зависит от F, см. уравнение
A0. 18)]. Дальнейшие увеличения деформации сдвига за этой
точкой не будут больше вызывать пропорционального увеличе-
увеличения касательного напряжения. Будет появляться пластическая
область, которая увеличивается в размерах по мере увеличения
приложенного крутящего момента. В этой области касательное
напряжение непропорционально деформации сдвига. В предель-
предельном случае все поперечное сечение может оказаться в пласти-
пластической области.
7
А
4
3
1 ' j
к2/
/
/
О 0.1 0.2 0.3 O.d о.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
b/a
Фиг. 232. Значения коэфициентов для формул кручения
прямоугольных сечений (см. табл. 6).
Если произвольно принять, что касательные напряжения по-
постоянны по всему поперечному сечению, то наклон мембраны
1в мембранной аналогии) должен был бы быть постоянньш.
Над аи показал, что аналогию такого состояния можно
представить экспериментально, заменив мембрану кучкой
песка, в которой сила тяжести, действующая на песок, заме-
заменяет принятое нормальное давление на мембрану. Угол краев
кучки, соответствующий состоянию ее равновесия, будучи по-
постоянным, дает постоянное касательное напряжение по всему
поперечному сечению.
Надаи пошел дальше и объединил аналогии с мембраной и с
песочной кучей, с тем чтобы экспериментально определить рас-
распределение напряжения в пластической области.
219
Фиг. 233. Осевые напряжения
при кручении.
12. 13. Осевые напряжения при кручении. Хотя при выводе
уравнений для кручения обычно пользуются касательными на-
напряжениями, необходимо все же отметить, что для передачи лю-
любого вида нагрузки на какое-то конечное расстояние требуются
осевые силы (см. главу 8). При кручении эти силы принимают
форму напряжений диагонального растяжения и сжатия, кото-
которые располагаются по спиралям вокруг элемента приблизитель-
приблизительно под углом 45°, как по-
i казано на фиг. 233.
Это поможет объяснить,
почему касательные напря-
* жеиия от кручения низки
в выступающих частях или
острых внешних углах (как
на валу квадратного сече-
сечения). Диагональные осевые
напряжения стремятся на
своем спиральном пути
пройти сквозь элемент по
кратчайшему пути (т. е.
выступ окажется ненагру-
женным).
Наоборот, резкая впадина или внутренний угол, перерезывая
поток напряжений, будут неизбежно увеличивать эти осевые на-
напряжения IB одном месте, вызывая в таких местах и повышенные
касательные напряжения.
Как отмечалось в § 11. 6, равенство полей диагонального
растяжения и сжатия приводит к точному равновесию между
возникающими внутренними и внешними радиальными силами \
Однако в тонких оболочках поле сжатия может вызвать выпу-
выпучивание, после чего оболочка или полностью разрушится или
будет продолжать воспринимать кручение диагональным полем
растяжения. Для воспринятая радиальных и продольных компо-
компонентов поля растяжения потребовались бы тогда специальные
подкрепляющие элементы,
12. 14. Разрушение при кручении. Разрушения от кручения
могут происходить несколькими различными путями. Очевидно,
возможно разрушение от чистого сдвига, и по этой при-
причине максимальное расчетное касательное напряжение не долж-
должно быть выше разрушающего напряжения при сдвиге.
Однако вследствие пластичности материала принятое при
расчете сплошных валов допущение о линейном распределении
напряжений к моменту разрушения вала уже не соответствует
действительности. Поэтому, если бы мы нашли путем непосред-
1 В геодезической конструкции применяются отдельные элементы, распо-
расположенные гелнкоидально по линиям, показанным на фнг. 233. Такие конструк-
конструкции не без успеха применяют в авиации для крыльев н фюзеляжей с матер-
матерчатой обшивкой.
220
ственного испытания крутящий момент, разрушающий вал, сде-
сделанный из пластичного материала, и, пользуясь вышеприведен-
вышеприведенными формулами, подсчитали бы напряжения, при которых он
разрушился, то последние получились бы значительно выше, чем
коэфициент крепости 'материала на срез при равномерном рас-
распределении напряжений (сравните § 15. 5 о пластичном изгибе).
Эта «фиктивная» величина коэфициента крепости, применимая
для расчета на кручение сплошных валов, для толстостенных
труб оказалась бы, однако, слишком высокой.
1
icrnu
%
%
1
0.5
|0.7
%Q.b
%0.5
С
4
2 \0 20 30 АО 5(
D ( Наружный диаметр]
• si
толщина
/
¦Я;
Фиг. 234. Приближенные значения коэфициента крепости
на крученне для металлических труб.
Для тонкостенных труб или оболочек наиболее вероятным ти-
типом разрушения является потеря устойчивости.
Критическая нагрузка может быть выражена как касательное
напряжение (хотя оно в действительности вызывается диаго-
диагональным сжатием), и она зависит в значительной степени от от-
отношения -~ (для труб более удобно пользоваться отношением
—). Важным также является расположение подкрепляющих
злементов или перегородок. Хотя подробное рассмотрение вопро-
вопроса о допускаемых напряжениях выходит за пределы настоящей
книги, все же фиг. 234 приведена здесь для того, чтобы показать
приближенно, как прочность на кручение зависит от отношения- .
В некоторых случаях разрушение может также вызываться
напряжениями диагонального растяжения. Однако это мо-
221
жет быть верно только тогда, когда стенки трубы очень толсты
(или в случае сплошного сечения) и когда материал хрупкий,
т. е. слабее на растяжение, чем на сдвиг. Такие условия работы
могут иногда получаться при ударе или при разрушении под дей-
действием повторных нагрузок (усталость материала).
Для элементов, подверженных быстро повторяющимся или
знакопеременным скручивающим усилиям значительной вели-
величины, в качестве допускаемого напряжения необходимо пользо-
пользоваться пределом усталости при сдвиге. Этот предел
обычно довольно низок по сравнению с предельным касательным
напряжением.
J
Фиг. 235. Образец квадратного сечения после испытания на кручение.
Обратите внимание на разрушение от сдвига по средней плоскости.
Для предела усталости на кручение вала из алюминиевого
сплава Д16Т значение 630 кг/см1 при статическом разру-
разрушающем касательном напряжении, равном 2700 кг/см2.
Расчетным критерием иногда является отсутствиеоста-
точной деформации. Наиболее общим примером этого
является спиральная пружина, которая главным образом рабо-
работает на кручение. Во избежание остаточной деформации допу-
допускаемое касательное напряжение не должно превышать предела
пропорциональности при кручении. Этот последний обычно на-
находится между 60 и 80% от предела пропорциональности при
изгибе. Высота предела пропорциональности зависит целиком
от характера материала, и некоторые материалы совершенно
не подходят для пружин из-за их низкого предела пропор-
пропорциональности.
ЗАДАЧИ
12. 1. Проверить уравнение кручения оболочек для прямо-
прямоугольника путем подсчета момента потока касательных усилий
относительно любой удобной точки. (Пользуйтесь буквенным
обозначением.)
12. 2. Приняв одно и то же допускаемое касательное напря-
напряжение и пользуясь уравнением кручения оболочек, подсчитать
222
относительный вес (площадь поперечного сечения) круглой и
квадратной оболочек одинаковой прочности на кручение для сле-
следующих случаев:
а) сторона квадрата равна диаметру трубы,
б) диагональ квадрата равна диаметру трубы.
Примечание. Обычно допускаемое касательное
дет выше для круглой оболочки, чем для квадратной.
напряжение бу-
12. 3. Пусть а и Ъ представляют две стороны прямоугольного
поперечного сечения. Путем изменения отношения -у- показать,.
что квадратное поперечное сечение дает максимальную прочность
-на кручение для данного количества материала, принимая тол-
толщину и допускаемое напряжение постоянным.
Примечание. Пользуйтесь уравнением кручения оболочек и
начертите кривую зависимости некоторой величины, пропорциональной
а
весу, от отношения -у-. (Задачу можно решить также непосредственно
при помощи дифференциального исчисления.)
12. 4. Тонкостенная оболочка имеет средний радиус 40 см
и передает крутящий момент в 200 000 кгем. Вычислить поток,
касательных усилий. 'Какая требуется толщина стенки, если до-
допускаемое касательное напряжение равно 300 кг/емт?
12. 5. Тонкостенная оболочка эллиптического поперечного
сечения имеет максимальный и минимальный размеры 50 и
25 см. Допускаемое касательное напряжение равно 770 кг/см\
а толщина стенки — 0,1 см. Чему равен допускаемый крутящий
момент?
12. 6. Если круглая оболочка из задачи 12. 4 имеет длину
6 ж, то какая получается суммарная крутка (в градусах) (при-
(принять С = 250 000 кг/елг)?
12. 7. Вычислить угол закручивания для эллиптической обо-
оболочки из задачи 12. 5 под действием крутящего момента, равно-
равного 2/з от допускаемого момента. Принять длину оболочки 9 м
(принять G = 250 000 кг/см2), см. приложение 1.
12. 8. Круглая оболочка с радиусом в 50 см изготовлена из
трех сегментов равной ширины, но которые имеют следующие
толщины: 0,05; 0,1 и 0,2 см. Принять, что приложен крутящий
момент в 500 000 кгем и G-250 000 кг/см*.
а) Вычислить касательное напряжение в каждом сегменте.
б) Определить максимальное искажение, т. е. смещение дей-
действительного поперечного сечения от какой-нибудь плоскости
(обратитесь к фиг. 226),
12. 9. Круглый вал должен передать крутящий момент в
10 000 кгем. Желательно обеспечить коэфициент безопасно-
безопасности 2,0.
а) Найти диаметры, необходимые для различных материалов,
приведенных в приложении 2.
223
б) Сравнить относительные площади и веса.
в) Начертить поперечные сечения в масштабе.
12. 10. В задаче 12. 9 предположить, что .вал должен быть
изготовлен из толстостенной трубы, имеющей внутренний диа-
диаметр 2,5 см.
а) Найти наружные диаметры, потребные для различных ма-
материалов.
б) Сравнить относительные площади и веса с таковыми из
задачи 12. 9.
в) Начертить поперечные сечения в (масштабе.
Примечание. В случае необходимости можно при решении поль-
пользоваться методом последовательных приближений.
12. 11. Решить задачу 12. 9 для вала сплошного квадратного
сечения.
12. 12. Сплошной овал имеет прямоугольное поперечное се-
сечение 1 см на 4 см. Предположить, что он передает крутящий
момент в 1000 кгсм на расстояние 10 м. Найти максимальное
касательное напряжение на валу и подсчитать его суммарную
крутку для:
а) специальной стали,
б) алюминиевого сплава,
в) магниевого сплава [G брать по формуле A0. 19)].
12. 13. Пользуясь фиг. 234, подсчитать предельную прочность
на кручение трубы, имеющей наружный диаметр 5 см и тол-
толщину стенки 0,2 см для материалов, приведенных в приложении 2.
12. 14. Штурвал управления диаметром 40 см должен вос-
воспринять пару сил, равных 40 кг каждая и приложенных на про-
противоположных сторонах. Найти размеры трубы из алюминиево-
алюминиевого сплава, необходимые для передачи этого крутящего момента
с коэфициентом безопасности 2,0.
Порядок решения. Получить приближенную толщину,
необходимую по формуле, тонкой оболочки для следующих
¦средних диаметров трубы: 3,7; 4 и 4,3 см, приняв предельное ка-
касательное напряжение равным 0,5 временного сопротивления на
разрыв. Выбрать самую легкую трубу, -имеющую значение —
меньше 50, и определить толщину стенки точнее, пользуясь
фиг. 234 и формулой для толстостенной трубы.
ГЛАВА 13
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
13. 1. Чистый
изгиб.
Изгиб
1
(а)
(Ь)
почти всегда возникает при
передаче поперечных или срезающих сил. Однако тео-
теорию удобнее изложить сначала чистый из.
для чистого изгиба без сочетания
его со срезом. Как отмечено в
главе 3, чистый изгиб вызывает-
вызывается передачей момента или пары.
Термин «балка» применяется
как общее наименование для кон-
конструкции, передающей изгибаю-
изгибающий момент (другие наименова-
наименования: «брус», «ферма» и т. д.).
Одна из возможных схем,
дающих чистый изгиб, приведена
на фиг. 236 (этот вид симмет-
симметричной нагрузки часто приме-
применяется при испытании материа-
материалов на изгиб). На фиг. 236,Ь по-
показана ферма, передающая такие
усилия, на фиг. 236,с — пара сил, представляющая собой изги-
изгибающий момент, который передается непосредственно на пояса.
При рассмотрении действия чистого
изгиба удобно пользоваться аналогией
с фермой, разделяя конструкцию на
ряд элементов. Если это сделано пу-
путем добавления только вертикальных
элементов (стоек), конструкция будет
р вести себя, как указано на фиг. 237.
Деформация вдоль поясов вызовет на-
р клон вертикальных элементов, но из-
изгиба фермы не произойдет1.
13. 2. Ферма при чистом изгибе.
На фиг. 238 представлена одна па-
Фиг. 236. Иллюстрация чистого
изгиба.
1 Бе
—\i ¦*
Фиг. 237. Эффект верти-
вертикальных стержней.
1 Небольшим влиянием наклона стоек -на нарушение параллельности поя-
поясов здесь пренебрегаем.
15 ф. р. шенлн
221
нель прямоугольной фермы с раскосом, которая передает изги-
изгибающий момент, вызванный чистой парой. Термин «пояс» бу-
будет применяться для обозначения элементов, передающих осе-
осевые усилия пары. Здесь, в отличие от того, как было сделано
в главе 10, мы предполагаем, что раскос бесконечно жесткий,
а пояса упругие.
Для чистой пары это допущение справедливо, так как нет
срезающей силы, которая вызвала бы усилие в диагонали. Так-
Также нет вертикальной силы, вызы-
вызывающей нагружение вертикальных
стержней. Отсюда следует, что
деформации будут только в гори-
горизонтальных поясных стержнях. Эти
деформации и их влияние на изме-
изменение контура всей панели приве-
приведено на фиг. 238 для наглядности
в значительно' преувеличенном
виде.
13.3. Деформация фермы при
изгибе. Подобно тому, как было
сделано для сдвига фермы в гла-
главе 10, можно показать, что сжатие и растяжение двух поясов
вызовут также перекос панели и деформацию, подобную де-
деформации сдвига, обозначенную d на фиг. 238. Отношение меж-
между деформациями будет
A3.1)
РАС1Г,
Фиг. 238. Деформация фермы
при изгибе.
[Сравнить уравнение A0. 4а) для сдвига фермы. 1
Фиг. 238 показывает, что один из поясов укорачивается, в то
время как другой удлиняется. Это заставляет вертикальный стер-
стержень наклониться на угол а. Этот угол, который измеряется по
отношению к другому вертикальному стержню, будет зависеть от
высоты рамы и от относительных деформаций поясов. Если по-
последние имеют одинаковые размеры и жесткость, то они де-
деформируются одинаково и вертикальный стержень повернется
около середины своей высоты. Угол а дается уравнением *
(Л: 2)'
где а выражено в радианах.
Это изменение угла является наиболее важным в деформации
изгиба балок, так как оно заставляет каждую последующую па-
панель поворачиваться на новый угол. Таким образом изгиб вызы-
вызывает деформации двумя путями: первый — непосредственной де-
1 Вследствие незначительности углов вполне допустимо применение это-
этого упрощенного выражения.
226
6езнлгРузНи
(о)
Только изгиб
Только перерезывАющля
СОЛА
(с)
формацией самой панели и второй — поворотом Другой панели,
к ней присоединенной. Это показано на фиг. 239,Ь в сильно пре-
преувеличенном виде.
Это обстоятельство объясняет происхождение кривизны,
которая обнаруживается в элементах, подвергнутых изгибу. Та-
Такая кривизна вызывается иными соотношениями, чем при сдви-
сдвиге, и здесь полную деформацию
балки еельзя найти просто сумми-
суммированием отдельных деформаций
панелей, как это было при сдвиге.
Фиг. 239,с показывает для срав-
сравнения тип деформации, вызванный
деформацией только раскосов.
Вертикальные стержни (стойки)
остаются параллельными даже если
един раскос деформировался боль-
больше, чем другой (это изображено
в виде большей деформации для
раскоса 2, нежели для двух дру-
других).
В действительности полные де-
деформации ферм содержат дефор-
деформации изгиба и сдвига и могут
быть определены при помощи спе-
специальных приемов, которые здесь
мы рассматривать не будем. Изложенные простые положения,
однако, достаточны как основания для изложения способа под-
подсчета деформаций ферм.
13. 4. Усилия в поясах. В ферме с параллельными поясами
очень просто подсчитать осевые усилия, которые возникают в
поясах при воздействии изгибающего момента, или пары (см.
главу 9). Для этого достаточно разделить изгибающий -момент
на расстояние между центрами тяжести поясов.
Положения, изложенные для фер-
фермы, можно также применить и для
балки, состоящей из двух солидных
поясов, соединенных вместо стоек и
раскосов стенкою хотя бы и настолько
тонкой, что она способна восприни-
воспринимать только усилия сдвига (см. гл. 10).
Если пояса параллельны и их попе-
поперечное сечение достаточно велико по
сравнению со стенкой, то задачу мож-
можно разделить на две части. Можно считать, что пояса воспри-
воспринимают весь изгибающий момент, в то время как стенка вос-
воспримет всю срезающую (поперечную) силу. Балка такого типа
приведена на фиг. 240. Высота балки h берется как расстояние
между центрами тяжести поперечного сечения поясов.
Фиг. 23^. Прогибы фермы.
Фиг. 240. Тонкостенная
балка.
\Л
Силы по поясам получаются из уравнения
Р
а
h
или
Р,
h
при одной силе Р.
A3.3)
A3.3а)
Погонные силы сдвига и напряжение среза в стенке
приведены в уравнениях A0, 9) и A0. 10) § 10. 8,
Этот вид расчета применяется для тонкостенных конструк-
конструкций. Важно отметить, однако, что сделаны следующие допу-
допущения:
а) пояса передают весь изгибающий момент в виде двух
осевых сил;
б) стенка передает всю поперечную (срезающую) силу;
в) пояса параллельны.
Допущение «а» пренебрегает тем обстоятельством, что стен-
стенка, прикрепленная к поясам, должна удлиняться и сжиматься
вместе с ними. Если стенка тонка по сравнению с поясами, то
величина осевого усилия, передающаяся прилегающим материа-
материалом стенки, соответственно мала и без серьезной погрешности
ее можно не принимать ©о внимание. Если стенка сравнительно
толстая, то она будет передавать часть изгибающего момента,
работая как сплошная балка. Приближенный способ поправки
для этой цели заключается в замене стенки двумя эквивалент-
эквивалентными поясами, площадь сечения которых должна быть добав-
добавлена к действительным поясам. Для этой цели следует добавлять
одну шестую всей стенки к каждому поясу. Это основано
на теории изгиба сплошных сечений (изложено ниже).
Если пояса сами высоки, то они могут воспринять значитель-
значительную долю сдвигающей силы. Тогда уравнение A0. 9) неприме-
неприменимо, и правило определения высоты h потребует изменения.
Пояса должны быть параллельны, иначе часть поперечной
силы будет воспринята теми вертикальными компонентами, ко-
которые дадут осевые силы непараллельных -поясов. Расчет балки
с непараллельными поясами будет изложен позже.
13. 5. Примеры типа балок с поясами. Изложенный способ
расчета, при котором площади по.яоов считаются как бы сосре-
сосредоточенными, может быть применен для многих различных ти-
типов балок и особенно полезен при предварительном расчете
конструкции. Несколько примеров приведены на фиг. 241. Наи-
Наиболее важным является установление центра тяжести сечения
пояса, так как центр тяжести определяет точку приложения си-
силы от пары. В предварительной работе это можно обычно сде-
сделать с достаточной точностью и «на-глаз».
В клепаной балке (фиг. 241,а) часть стенки может быть вклю-
включена как материал пояса. Фиг. 241,b показывает сечение труб-
'228
чатого фюзеляжа. Следует заметить, что боковые элементы фер-
фермы (стойки и раскосы) в сечение не включены; они указаны пунк-
пунктиром. Схема фиг. 241,с представляет более сложный тип кон-
конструкции, часто применяемой для крыльев самолета, в которых
имеются две или более стенок.
II
II
i!
Jr3
Jr3 Jr3
u
(b) Трубилтля ИоРоЬчАтого {С)ИорббчАГПАЯ бАЛкА излиСто-
типА 6алИа 8ого мет алла
( фтеляж сАмалещ] (нрыло САМолегпА)
Фиг. 241. Балки поясного типа.
13. 6. Теория изгиба. Изложение общей теории балки мож-
можно начать с допущения, что простая балка с двумя параллель-
параллельными поясами усложняется добавлением дополнительных поя-
поясов, как показано на фиг. 242. Два промежуточных элемента
будут иметь некоторое значение в сопротивлении изгибающему
моменту, но их эффективность явно не будет такой большой, как
у внешних элементов. Для определения степени их эффективно-
эффективности необходимо сделать некоторое предположение относительно
деформации элементов под нагрузкой. Допущение, сделанное
для этой цели, является основой теории изгиба и поэтому долж-
должно быть полностью понято.
В главе 7 было установлено, что основное допущение в тео-
теории осевой нагрузки заключалось в том, что плоские
поперечные сечения принимались плоскими и п а-
раллельными я в течение нагружения. (Это предполагает,
что при нагружении существует относительное перемещение со-
соседних поперечных сечений.) В теории изгиба допускают также,
что плоские поперечные сечения остаются пло-
плоскими и во время нагруже-
нагружения, но, понятно, не остаются
параллельными. Для чисто-
чистого изгиба можно допустить,
что поперечные сечения п о-
•ворачиваются около не-
некоторой оси, так, что, несмот-
несмотря на наличие сжатия и рас-
растяжения в крайних волокнах,
общей для всего сечения осевой силы не возникает.
Таким образом, о<ба вертикальные края балки, представлен-
представленной на фиг. 242, останутся прямыми, но непараллельными и бу-
229
Фнг. 242. Многопоясная балка.
дут поворачиваться около оси, перпендикулярной к плоскости
чертежа. Такое условие близко подходит к большинству дей-
действительных случаев, так как наличие стенки препятствует поя-
поясам работать независимо1. Представим, что из изогнутой балки
взят участок длиной 2 см, как представлено на фиг. 243 (де-
(деформации сильно преувеличены). Деформации каждого пояса
на единицу длины A см) показаны величинами ег, е, и т. д. Они
представляют собой относительное удлинение или усадку, по-
поскольку за исходную величину взята единица длины (относи-
(относительное удлинение или усадка равна деформации на единицу
длины). Если эти относительные величины известны, то можно
определить напряжение в каждом поясе, пользуясь
диаграммой напряжений —д е ф о р м а ц и й для данного
материала. Затем площадь каждого пояса можно умножить на
соответствующее напряжение, чтобы яайти действующее по его
оси усилие, после чего, умножив эти усилия на их расстояния от
оси вращения, получим момент сопротивления всей балки изгибу.
Такой способ пригоден, если требуется найти изгибающий
момент по заданным напряжениям, но он не подходит, если на-
надо найти напряжения, соответствующие данному изгибающему
моменту. Можно получить общее решение, которое применимо
почти ко всем типам балок. Такое уравнение известно как урав-
уравнение изгиба. Оно будет здесь получено элементарным спо-
способом, чтобы раскрыть физический смысл формулы.
Для упрощения задачи допускаем, что деформации
остаются в пределах упругости, так что отношение
между напряжением и относительной деформацией постоянно и
равно модулю упругости Е\ это значит, что напряжение
пропорционально деформации. Поскольку было уже
отмечено, что при этом деформация пропорциональна расстоя-
расстоянию от оси поворота, следует, что напряжение тоже пропорцио-
пропорционально этому расстоянию, т. е. что распределение напряжений
линейно. Это может быть выражено математически уравнением
Су,
A3.4)
где С — постоянная величина.
Так как величина С неизвестна, предполагаем ее первона-
первоначально равной 1,0 и подсчитываем момент, с которым сечение
сопротивляется изгибу. По полученному результату можно опре-
определить напряжения и для другого момента умножением на от-
отношение моментов. Первоначальное допущение заключается,
1 Гипотеза плоских поперечных сечений (принцип Сен-Венаиа) может
повести к значительным погрешностям, когда поясные элементы значительно
удалены друг от друга и соединены относительно слабыми элементами или
когда вопрос относится к точкам с местной нагрузкой, где происходит иска-
искажение сечений. Однако к этим тонкостям расчета приходится прибегать лишь
ь особых случаях, и принцип Сен-Венаиа можно считать применимым к изги-
изгибу так же, как и к осевому иагружению.
таким образом, в том, что напряжения приравниваются расстоя-
расстоянию от оси поворота
у, и т. д.
A3.5)
Умножением напряжения на площадь получаем нагрузки на
пояса
¦ .!' I
A3.6)
J
Подобным же образом 'момент каждой нагрузки на пояс
получается умножением на плечо
М =Р у —F v2
и т. д.
f
A3.7)
Таким образом полный изгибающий момент определяется
суммой этих величин
M0 = LFy*, A3.8)
. где Мь представляет собой момент, соответствующий допу-
допущению, что а = у.
Величина ZFy2 представляет собой момент инерции
поперечного сечения, обычно обозначаемый буквой/. Уравне-
Уравнение 13.8 можно поэтому написать:
мл =
A3.9)
Теперь можно видеть, что если берется изгибающий момент
М, напряжения должны быть умножены на отношения М : Мо
или M'.L Таким образом уравнение A3. 5) должно быть умно-
умножено на этот множитель, который в сущности и представляет со-
собой величину взамен С в формуле A3. 4).
Формула изгиба
My
A3.10)
где з — нормальное напряжение, вызванное изгибающим мо-
моментом /И,
у—расстояние от оси поворота,
/=S/7j'2 —момент инерции поперечного сечения относительно
оси поворота.
Это уравнение, часто называемое формулой изгиба,
является одной из стандартных формул, применяемых в кон-
130
231
структорской работе, и имеет такую же степень важности, как
и уравнение для нормального напряжения e=P:F. Эти два
уравнения охватывают два из трех основных условий нагруже-
ния, на которые распадаются почти все задачи о напряжениях
(осевое нагружение, изгиб м кручение).
Очень важно хорошо понять физическое значение уравнения
изгиба (для этого изложение вывода и было сделано в такой
элементарной форме). В частности, инженер должен учитывать
ограничения в точности, которые были внесены допущениями,
сделанными при выводе.
Таблица 7
Вычисление момента инерции
(к фиг. 243)
е
Номер
пояса
с.Ф
у
см
Ff-
поворот*
А3
Ф;;г. 243. Участок изогнутой
балки.
1
2
3
4
Сумма
20
15
15
20
70
10
5
5
10
F = 70 см2
2000
375
375
2000
4750
/ = 4750 см*
13. 7. Момент инерции. Величину / в уравнении A3. 10)
обычно называют моментом инерции, но это наименование не
показательно в применении к теории изгиба. Более подходящее
наименование — это «второй момент площади» или «момент
второй степени от площади». В главе 7 было показано, что для
чистой осевой нагрузки (равномерное нормальное напряжение)
равнодействующая должна проходить через центр тяжести
площади, положение которого определялось подсчетом ста-
статического [момента (или первого момента) площади ^Fy. Пер-
Первый момент площади, таким образом, связывается с
нормальным напряжением, в то время как второй
момент площади / связывается с напряжением
изгиба.
Поскольку наименование «момент инерции» прочно устано-
установилось, оно и будет употребляться при дальнейшем изложении
теории изгиба, однако полезно помнить и о наименовании «вто-
«второй момент площади», так как оно более соответствует логике
выводов.
Одной из необходимых операций при определении напряже-
напряжений изгиба является подсчет момента .инерции поперечного се-
сечения. В табл. 7 показано, как это делается .применительно к
простому случаю, приведенному на фиг. 243. Величины площадей
232
ось
линия
поясов выбраны так, что симметрия поперечного сечения позво-
позволяет определить сразу положение его оси поворота при изгибе.
Единицы измерения момента инерции выражаются сантимет-
сантиметрами в четвертой степени, так как квадратные сантиметры пло-
площади элементов умножены на квадрат их расстояний от оси.
В этом примере площадь стенки не учитывалась.
13. 8. Нейтральная ось (нейтральная плоскость). До сих
пор предполагалось, что изгиб происходит вокруг известной оси
поворота. Однако уравнение A3. 10) можно применить для
любой оси поворота, хотя понятно, что существует только
одна ось, которая соответствует чистому изгибу в данной пло-
плоскости. Так, если какой-либо элемент конструкции вынужден
изгибаться вокруг' определен-
определенной оси, то момент инерции
по отношению к этой оси мо-
может быть вычислен и исполь-
использован непосредственно в
уравнении A3.10). Однако,
если сделано так, то вычис-
вычисленные внутреннее усилия бу-
будут иметь осевой компонент
(ВДОЛЬ оси), указывающий, Фиг. 244. Обозначения, применяемые
что принятые условия не со- ПРИ .изгибе,
ответствуют чистому изгибу.
В случае чистого изгиба внутренние силы не должны иметь,
осевого компонента, так как определение такого изгиба преду-
предусматривает, что внешние усилия представляют собой пару или
ее эквивалент. Для определения напряжений при одних изгибаю-
изгибающих моментах необходимо поэтому выбрать такую ось поворо-
поворота, которая удовлетворяла бы этому требованию. Такая ось на-
зьивается нейтральной осью. На этом основании ней-
нейтральная ось может быть определена как ось нулевого-
напряжения при чистом изгибе1.
Если рассматриваются несколько поперечных сечений балки,
нейтральные оси сечений образуют плоскость, которую можно-
назвать нейтральной плоскостью. Если балка неодинакового се-
сечения по длине или если ось приложенного изгибающего момента
меняется, эта поверхность может покривиться. След от плоско-
плоскости на боковой стороне балки иногда называют нейтраль-
нейтральной линией (см. фиг. 244).
При .выводе формулы изгиба было показано, что осевая сила
в каждом поясе пропорциональна его площади и расстоянию от
1 Термин «нейтральная ось» применяется иногда для оси нулевого напря-
напряжения и при комбинированной нагрузке, т. е. осевой я от изгиба.
Если термин применен так, то он утрачивает свое прямое отношение к гео-
геометрическим свойствам поперечного сечения. Автор предлагает для более
общих условий комбинированного нагружения (см. главу 19) применять тер-
термин «ось нулевого напряжения» или «плоскость нулевого напряжения».
233
оси поворота [уравнение A3. 6I. Из фиг. 242 видно также, что
усилия в поясах на противоположных сторонах от оси поворота
имеют различное направление. С одной стороны от нее пояса
все растянуты, а с другой сжаты. Это может быть обозначено
математически знаком у буквы у, указывающим, какая сторона
от оси поворота рассматривается. Рассматриваем фиг. 243 и до-
допускаем, что напряжение равно расстоянию у.
I
[¦ положительные величины наверху
| отрицательные величины внизу
3V 1 TJir2 У?>
Эта величина, которую можно обозначить через S, называет-
называется первым моментом площади или статическим моментом попе-
поперечного сечения. Она будет равняться нулю, если >ЗР равна
нулю. Отсюда ось поворота должна быть расположена
так, чтобы удовлетворялось уравнение
5=1/>=0, A3.11)
где S—статический момент или первый момент пло-
площади.
Это уравнение аналогично уравнению для определения оси,
проходящей через центр тяжести площади или центр
тяжести сечения (ом. § 7. 6). Таким образом можно за-
заключить, что при чистом изгибе ось поворота
(нейтральная ось) проходит через центр тяжести
алощади поперечного сечения1.
Это не является допущением или рабочей гипотезой, а пред-
представляет собой физический факт. Если по концам балки прило-
приложены чистые изгибающие моменты, изгиб действительно прои-
произойдет вокруг нейтральной оси, проходящей через центр тяже-
тяжести площади сечения. Изгиб вокруг любой другой оси потребует
дополнительного приложения осевой силы, что в данном случае
не будет согласовываться с принятыми условиями внешних на-
нагрузок.
13. 9. Общий способ определения нейтральной оси и мо-
момента инерции. Если сечение несимметрично и положение
нейтральной оси неизвестно, то момент инерции находят одним
из следующих способов.
а) Определяют положение оси, проходящей через центр тя-
тяжести площади, и относительно этой оси подсчитывают / (вто-
(второй момент площади).
1 Это положение вытекает из допущений, упомянутых в § 13. 6 при вы-
выводе формулы изгиба.
234
б) Первый и второй моменты площади определяют по отно-
отношению к некоторой удобной для вычислений оси, а затем резуль-
результаты пересчитывают по отношению к нейтральной оси.
Способ «а» изложен .в §§ 7. 6 и 13. 8. Хотя он и легче для по-
понимания, но менее удобен, чем способ «б», широко применяе-
применяемый в обычных расчетах. Хотя способ и изложен в курсах меха-
механики, мы все же остановимся на нем для того, чтобы объяснить
тот физический смысл, который он представляет.
На фиг. 245 все расстояния у .взяты от произвольной линии
ХХ7 удобной для вычислений. Затем производят вычисления, как
указано в табл. 8.
Таблица 8
Вычисление центра тяжести
(к фиг. 245)
Номер
пояса
F
СМ1
У
см
Fy
Fv'
I
2
3
4
Сумма
' 3,0
2,0
3;5
4,0
12,5
5
30
20
14
5
90 ;
40 >
4!» !
20 :
199 |
5Л. = 199 /v =
2700
800
686
100
4286
Фиг, 245. Общий способ.
Величина 199, полученная для статического момента Sx ука-
указывает, что выбранная ось не удовлетворяет требованию
S~IFy=0. Действительно, если допустить, что <з=у, то эту
величину можно рассматривать как результирующую осевых сил,
которая получилась бы, если бы заставить балку изгибаться
около этой произвольно выбранной оси.
Величину 4286, полученную для 1Х, можно также рассматри-
рассматривать как момент внутренних сил, сопротивляющихся изгибу
около принятой оси при предположении р—у.
Положение нейтральной оси, проходящей через центр тяже-
тяжести сечения, найдем из уравнения
Л = -э-=—/-• A3-12)
В приведенном примере
199
12,5
15,9 см.
Это определяет положение точки, в которой может быть
приложено осевое усилие, не вызывающее внутреннего изги-
235
'д.;
бающего момента, или, иначе говоря, ось, изгиб около которой
не ;вызовет осевого усилия.
Физическое значение этих величин указано на фиг. 246.
Из фиг. 246, b можно видеть, что изгиб около принятой оси
воспринимается моментом 1Х и осевой силой S. Для получения
чистого изгиба осевая сила должна быть устранена, что можно
сделать, приложив к центру тяжести силу—S.r4 действующую
в обратном направлении. Так как эта сила приложена по ней-
нейтральной оси, ее плечо равно у0 и ее момент относительно
X
.. г-Центр
врАшенця
Фиг. 246, Физическое значение статического момента.
ч
принятой оси равен $ху0. Из уравнения A3.12) $х~ Fyb ._
таким образом момент, который дает сила $'х, равен Fy\. Окон-
Окончательный момент относительно нейтральной оси получается
таким образом равным
Формула переноса
и
A3.13)
Это есть не что иное, как известная формула перен о-
е а для момента инерции, но здесь она имеет особый физиче-
физический смысл, который позволяет легче понять ее построение.
Применительно к величинам таблицы 8
12,5 A5,9K=1126 см\
Окончательное положение указано на фиг. 246,с.
13. 10. Балка сплошного сечения. Предыдущий анализ был
основан на предположении, что изгиб воспринимается опреде-
определенным числом поясов или элементов, способных сопротивлять-
сопротивляться осевым силам. Поперечное сечение балки часто бывает
сплошным, как, например, в брусе или в швеллере. Изложен-
Изложенным выше способом можно воспользоваться и в данном случае,
23S
если сечение сплошной балки разрезать на ряд элементов, ко-
которые затем рассматривать как отдельные пояса.
Так, на фиг. 247,а балка может быть разделена на узкие
горизонтальные полоски и форма табл. 7 вполне пригодна
для .подсчета момента инерции относительно горизонтальной
оси, проходящей через центр тяжести. Для формы, показанной
на фиг. 247,Ь, применяется
общий способ, причем
удобно взять произвольную
ось х — х и таблицу, по-
подобную табл. 8.
Применение при подсче-
подсчете таких полосок или пояс-
поясных элементов вносит не-
небольшую погрешность, за-
зависящую от числа сделан-
сделанных делений. По мере уве-
увеличения числа элементов и
уменьшения их размера
погрешность приближается к нулю. Физический смысл этого
простой; при подсчете / таким способом пренебрегается сопро-
сопротивлением изгиба каждого индивидуального элемента и учиты-
учитывается только его осевое сопротивление. Если элемент взят
достаточно* тонким, его сопротивление становится ничтожным.
Другой способ объяснить это показан на фиг. 248. Точное
соблюдение линейного распределения напряжений требует пе-
переменного напряжения в каждом элементе, как указано на
фиг. 248,а. Применение же нескольких полос вводит ступенча-
ступенчатое распределение напряжений, как указано в фиг. 248,Ь.
(а} (Ь)
Фиг. 247. Балки сплошного сечения.
ШШШщ
(а) Точно (Ь) П
Фиг. 248. Физическое значение способа полос.
13. П. Метод интегрирования. Для математически просто-
простого очертания (прямоугольник, круг и т. п.) величину / и поло-
положение нейтральной оси можно точно вычислить интегриро-
интегрированием, т. е. математической операцией, которая равносиль-
равносильна суммированию бесконечно малых элементов. В приложе-
приложении I приведен ряд формул, выведенных таким способам для
типовых сечений. Много их можно найти также в различных
справочниках и руководствах.
237
.<¦„¦
Момент инерции поперечного сечения можно вычислить, раз-
разделив его на простые части, для которых центр тяжести и мо-
момент инерции можно легко определить. Моменты инерции всех
частей складываются (что позволяет учесть сопротивление из-
изгибу каждой части самостоятельно) и применяется формула
переноса для вычисления осевого действия каждой части
около желаемой оси.
и.о.
ГО
Г
7,5
(а) (Ь)
Фиг. 249. Эквивалентные (равноценные) сечения.
Фиг. 249 показывает, как такой расчет может быть проде-
проделан для двутавровой балки. Действительное поперечное сече-
сечение фиг. 249,а сначала изменяется, как изображено на
фиг. 249,Ь, так, чтобы оно состояло только из прямоугольников..
Таблица 9 показывает способ подсчета.
Таблица 9
Подсчет /
Номер
элемента
1
2
3
Сумма
F
см9-
4,5
4,5
4,5
13.5
/-21,4
у
см
4,05
0
4,05
+ 147,6-
U
/о
СМА
0,135
21,109
0,135
21,379
Ю см К
Fy
LM
73
0
73
147
2
t
,6
Ясное понимание этих приемов поможет определить необхо-
необходимую степень точности подсчета момента инерции. Например,
при подсчете моментов инерции сложных кессонных конструк-
конструкций, состоящих из листового материала и профилей, их можно
разбивать на большое число малых и несколько больших эле-
элементов. Если при этом расстояния брать до центра тяжести
238
каждого элемента, то в определении нейтральной оси погреш-
погрешности не будет.. Собственные моменты инерции малых эле-
элементов ничтожны по сравнению с моментом инерции всей кон-
конструкции и их 'Можно не учитывать, но собственные моменты
инерции крупных элементов иногда следует и -включить в ра-
расчет. Приложение 1 содержит таблицу, которой *можно пользо-
пользоваться при подсчете момента инерции различных элементов.
13. 12. Модуль сопротивления. 'Максимальное нормальное
напряжение, вызываемое изгибом, получается в точке попе-
поперечного сечения, наиболее удаленной от нейтральной оси, т. а.
при наибольшей величине у. Если через yv-K: обозначить мак-
максимальную величину у, то уравнение изгиба может быть на-
написано
Му макс
о , = : . A3. 14)
макс
Из этого уравнения видно, что для данного изгибающего момен-
момента напряжения обратно пропорциональны величине — , ко-
V,.
а кс
тор а я поэтому может рассматриваться как мера прочности при
изгибе. Эта величина называется модулем сопротивления или=
моментом сопротивления. Она обычно обозначается буквой W,
так
—l—, A3.15)
откуда
м а кс
м
W
A3.16)
13. 13. Эффективность при изгибе. Модуль сопротивления
имеет такое же значение для изгиба, как и площадь попереч-
поперечного сечения для осевой нагрузки. Он является мерой кон-
конструктивной эффективности сечения при изгибе и.
(с) (Ь) (с)
Фиг. 250. Сечения одинаковой площади.
дает возможность сравнивать поперечные сечения различной1
формы. Это сравнение показывает, что наилучшее распределе-
распределение имеющегося в распоряжении материала будет такое, кото-
которое дает наибольшую величину модуля сопротивления.
На фиг. 250 приведены различные очертания, которые имеют
одинаковую площадь сечения (следовательно, одинаковый вес),
но обладают совершенно различными величинами W. Очевидно,
что наиболее эффективным очертанием является такое, в кото-
котором материал сосредоточен возможно дальше от нейтральной
оси, как, например, в обыкновенной двутавровой балке.
Фиг. 250,с показывает тип поперечного сечения, которого сле-
следует по 'возможности избегать. Здесь выступающие края дают
большую величину Л-зкс без соответствующего увеличения /.
Из приведенных на той же фигуре значений W видно, что вы-
выгоднее применять Полые трубы и оболочки, чем сплошные брус-
бруски, если преобладают изгибающие нагрузки. В самолетных кон-
конструкциях поэтому широко и дрименяются коробчатые сечения
различных очертаний.
13. 14. Неуравновешенные сечения. Если поперечное сече-
сечение несимметрично относительно нейтральной оси, величина
.Умакс не будет одинаковой на обеих сторонах. Поэтому напря-
напряжения на стороне с малой величиной уыакс будут ниже, чем
на другой стороне. Это иногда бывает выгодно, так как допу-
допустимые напряжения на растяжение и сжатие обычно неодина-
неодинаковы. В крыльях самолета, например, обычно ib верхней части
конструкции крыла помещают материала больше, чем в ниж-
нижней, потому что максимальный изгибающий момент, образуе-
образуемый воздушными силами, действующими .вверх, вызывает на-
напряжения сжатия в верхней части. Так как допустимые напря-
напряжения сжатия для конструкции обшивки обычно (вследствие
потери устойчивости) ниже допустимых напряжений растяже-
растяжения, очевидно и следует помещать больше материала в сжатой
области. Наоборот, добавление материала в нижнюю растяну-
растянутую часть хотя и увеличивает /, но не понижает заметно на-
напряжения сжатия, так как вызывает увеличение j/MaKc Для сжа"
той части балки.
Такое же заключение можно сделать, рассматривая двухпо-
ясную балку с поясами различных площадей.
ЗАДАЧИ
13. 1. Труба должна иметь разрушающий изгибающий мо-
1мент 6000 кгсм. Наибольшая длина трубы для испытания
150 см. Дать эскиз нагружения, при котором средняя треть
трубы (по длине) будет иметь чистый изгиб, и определить ве-
величины нагрузок и реакции.
Примечание. Практически труба должна быть усилена в точках
приложения нагрузок во избежание местного разрушения.
13. 2. Два пояса квадратной фермы так же, как показано
на фиг. 238, сделаны из стальных труб, каждая длиной 90 см
и площадью поперечного сечения 3,75 еж2. Действует пара сил,
причем сила Р равна 20 000 кг. Найти:
а) смещение d\
б) угловое смещение а (градусы).
'240
13. 3. Три фермы конструкции, описанной в задаче 13. 2,
соединены одна с другой так, что образуют ферму, как показано
на фиг. 239; та же пара сил действует на все три фермы. Найти:
а) полное смещение свободного конца;
б) угловое смещение свободного конца.
13.г 4. Параллельными поясами фермы, имеющей высоту
30 см, должен быть воспринят изгибающий 'момент 100 000 кгсм.
Допускаемое напряжение 5000 кг/см2 на растянутом поясе и
3500 кг/см2 на ежатам поясе. Определить необходимые площа-
площади поперечного сечения поясов.
13. 5. По фиг. 241,Ь принимаем, что /?= 100 см, что попе-
поперечное сечение относится к фюзеляжу и расположено на 3,6 м
¦впереди хвостового оперения. На оперение действует вниз на-
нагрузка 400 кг (другой нагрузки нет).
а) Найти усилия по поясам (лонжеронам).
б) Определить площадь поперечного сечения для каждого
лонжерона с обеспечением запаса прочности 1,5 при разрушаю-
разрушающем напряжении на растяжение 4500 кг/см2 и на сжатие
2500 кг/см2.
13. 6. Вычислить изгибающий момент, который может дер-
держать прямоугольное поперечное сечение шириной 1 см и вы-
высотой 5 см, полагая, что нормальные напряжения равны рас-
расстоянию от нейтральной оси (<?макс =±2,5), Воспользоваться
следующими приближениями и сравнить ответы:
а) Разделить на пять элементов 1 см X 1 см, считать напря-
напряжение распределенным равномерно в каждом элементе и рав-
равным расстоянию до центра элемента.
б) Сделать то же самое для 10 элементов по 0,5 см высоты.
ib) Проверить по форидуле момента инерции.
13. 7. Начертить неправильное, несимметричное сплошное
сечение любого размера (приблизительно 4X10 см). Разделить
на элементы приблизительно по I см1 и составить таблицу (по-
(подобно таблице 8); найти площади, статические моменты и
моменты инерции относительно двух .взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных осей (не проходящих через центр тяжести).
Примечание. При вычерчивании сечения на миллиметровой бума-
бумаге площади неровного очертания можно определить подсчетом квадра-
квадратиков.
13. 8. Найти центр тяжести сечения из задачи 13. 7 и опре-
определить ^моменты инерции относительно осей, проходящих через
центр тяжести, пользуясь такой же табличной записью. Прове-
Проверить, пользуясь формулой переноса.
Примечай и е. Надо подсчитать величины S для проверки поло-
положения центра тяжести.
13. 9. Начертить прямоугольное поперечное сечение любых
размеров. Максимальное нормальное напряжение (при изгибе)
16 Ф. Р. Шенли.
241
считать 600 кг/см'2. Найти (момент сопротивления изгибу балки
взятых размеров относительно каждой оси симметрии.
13. 10. При том же максимальном напряжении, как в за-
задаче 13. 9, найти момент сопротивления изгибу около узкой
стороны сечения балки (©место центра). Какое общее осевое
усилие при этом будет вызвано?
13. П.. Подсчитать максимальное нормальное напряжение
в Ъ-см трубе толщиной 0,2 см при действии изгибающего мо-
момента 20 000 кгсм (подсчитать F, / и W).
Фиг. 251. Приспособление для испытания на постоянный
изгибающий момент в средней части. Лучше применять
роликовые опоры.
13. 12. Начертить поперечное сечение круглой оболочки
подобно показанной на фиг. 250Д беря любые величины диа-
диаметра и толщины стенки. Превратить в эквивалентное сплошное
сечение той же высоты и отметить сходство с двутавровой
балкой.
ГЛАВА 14
КОСОЙ ИЗГИБ
14. 1. Главные оси. Выше было показано, что изгиб около
некоторой оси, не проходящей через центр тяжести поперечного
сечения, требует добавления осевой силы к моменту чисто-
чистого изгиба. Поэтому при рассмотрении чистого изгиба всегда
необходимо пользоваться нейтральной осью.
Теперь можно показать,
что если сечение не имеет
одинакового сопротивления из- • * х
гибу (т. е, постоянного момен-
момента инерции) около всех
осей, проходящих через центр
тяжести, то могут быть толь-
только два положения, для ко-
которых ось позорота сечения и
ось действующего изгибающе-
изгибающего момента совпадут. Эти две
оси называются главными
осям и. Они взаимно пер-
перпендикулярны и являются ося-
осями наибольшего и наимень-
наименьшего моментов инерции. Ме-
Методы определения этих осей
приведены в руководствах по
механике, но необходимо по-
понять их физический смысл
применительно к изгибу балок.
На фиг. 252 показано для примера поперечное сечение лон-
лонжеронов фюзеляжа. Элементы, работающие на срезающую
силу, т. е. раскосы и стойки, не показаны. Допустим, что усло-
условия нагружения создают изгибающий момент относительно
оси X—X, проходящей через центр тяжести сечения. Другая
ось Y—Y проводится перпендикулярно первой. На первый
взгляд может показаться, что момент Мх может быть воспри-
Фиг. 252. Косой изгиб.
16*
243
нят элементами 1 и 3, усилия по которым получатся, если раз-
разделить М:г на Л=(У1 + у2), т. е.
р.
П
A4.1)
Однако, подсчитав момент этих же усилий относительно
оси Y—У
=Ргх +Р,хь, (Н.2)
увидим, что он получается не равным нулю, хотя внешняя на-
нагрузка,'вызывающая момент относительно этой оси, явно отсут-
отсутствует. Это показывает, что в таком способе что-то неправиль-
неправильно, так как при изгибающем моменте только относительно
Х—Х момент сопротивления внутренних сил оказался нэ
только равен внешнему момен-
моменту, но имеет и дополнительный
компонент значительной вели-
величины относительно оси Y — Y.
Физически это невозможно, так
как ось Y — Y перпендикулярна
оси X — л, поэтому никакого
г.
компонента
M
от момента
Фнг. 253. Элементы при косом
изгибе.
не может быть. Дальше будет
ясно, что погрешность вызвана
допущением, что балка будет
поворачиваться или изгибаться
около той же оси, относительно
которой приложен и внешний
момент.
Для получения правильного
решения необходимо определить
оси, яля которых внутренний момент изгиба балки будет со-
согласован с внешним моментом. Такие оси называются глав-
главными, как было отмечено выше. Условие, которое должно быть
удовлетворено, заключается в следующем. Осевые усилия, по-
получаемые при повороте поперечного сечения относительно глав-
главной оси, должны дать нулевой изгибающий 'момент относитель-
относительно другой оси, расположенной под прямым углом к ней. Это
представлено на фиг. 253, где приведены две оси и несколько
элементов площади. Допустим теперь, что момент М приложен
относительно оси X—А', так что верхняя часть балки растянута.
Так как интересны не действительные величины напряжений, з
только условие нулевого момента относительно оси У— У, то
можно допустить, как в § 13. 6, что напряжение р а в и о
расстоянию от оси поворота.
Для изображенных четырех элементов это дает величины
напряжений и усилий, приводимые в табл. 10.
244
Подсчет центробежного момента
Таблица 10
Напряжения
zi = J~ У i
Ъ = - У 2
са = —у3
С4 = — У 4
Pi
Pi
P-.s
Pi
Усилия
= +*Л
= +y2F»
= — З'з^з
= — УА^4
м2
м.
м4
Моменты
= р, (_ Xl) = _ PlXiyi
Р / у Ч — I Р *• ,,
— ¦* 2 \ ~Г Л2) — " " wу2
= Р3(+*з)=-/?ЛУа
¦_, я4 (_ Л-4) ^ _ FiXy
Момент всех этих усилий относительно оси У—У должен
быть равен нулю. Момент каждого усилия относительно оси
У—У получаем умножением его на соответствующее плечо X,
что дает величины, приведенные в третьем столбце табл. 10.
Приравняв сумму этих моментов нулю, получаем
=0. A4.3)
Эта величина называется центробежным моментом и обо-
начается символом 1йу, как в следующем уравнении:
Центробежный момент
A4.4)
Главная ось может быть поэтому определена как ось, про-
проходящая через центр тяжести и имеющая нулевой
центробежный момент. По характеру действий в
табл. 10 можно видеть, что если центробежный момент равен
нулю для одной оси, то он равен нулю и для оси, перпендику-
перпендикулярной к ней.
Из фиг. 253 и табл. 10 видно, что всегда бывают два проти-
противоположных по диагоналям квадранта, в которых величины Fxy
положительны, и два других квадранта, где они отрицательны.
Следовательно, если сечение симметрично относительно двух
осей, центробежные моменты относительно этих же осей равны
нулю. Отсюда видно также, что оси с и м м е т р и и я в л я-
ю т с я главными осями инерции. На фиг. 254 показано
несколько сечений, в которых положительные квадранты за-
заштрихованы. В каждом сечении положительные и отрицатель-
отрицательные квадранты погашаются.
Полезно также знать, что если сечение имеет равные мо-
моменты инерции относительно двух главных осей, то у такого
сечения величина момента инерции оказывается постоянной от-
относительно любых осей, проведенных через центр тяжести,
*• е. центробежны й м омент относительно любых осей
245
равен нулю. Это относится к кругу, квадрату, восьмиугольнику
и другим очертаниям с двумя парами осей симметрии. При
таких очертаниях любую ось, проходящую че-
через центр тяжести, можно использовать для
определения напряжений изгиба.
ч
\
Фиг. 254. Симметричные сечения.
Для сечений, не имеющих двух осей симметрии, моменты
инерции относительно двух главных осей будут разными, при-
причем один оказывается максимальным, а другой минимальным
из всех возможных. Это относится к не-
некоторым сечениям, приведенным на
фиг. 254.
Если сечение не имеет ни одной оси
симметрии, то направление главной оси
определить на-глаз невозможно. При-
Приходится подсчитывать [х9 1у и 1ху для
двух осей, принятых по соображениям
удобства, и с помощью этих величин
определить положение главных осей
и главные моменты инерции (подсчет 1ху
можно легко включить в таблицы, при-
применяемые для 1Х и 1у).
Для определения моментов инерции относительно некото-
некоторых осей х' и у', повернутых по отношению к данным осям х
и у на угол в (фиг. 255), можно найти значения моментов
инерции, зная 1х9 1у и I1V для первоначальных осей, по сле-
следующим формулам:
х
Фиг. 255. Поворот осей.
\
A4.5)
.?*• Угол в , при котором 1Х* и [у достигают максимума или ми-
. нимума, определяет положение главных осей и может
быть найден из уравнения
1«2в=т^т;- A4-6)
Если эту величину для в подставить в уравнения A4. 5), то и
будут получены главные :моменты инерции; иначе можно прямо
пользоваться следующим уравнением:
(Н.7)
Вывод предыдущих уравнений не приведен, так как этот спо-
ооб редко бывает нужен в обычной работе. Задачи косого из-
изгиба можно решать без нахождения главных осей или главных
моментов инерции, как изложено ниже. Важно, однако, уметь
заметить, когда может быть косой изгиб, и поэтому ясное по-
понимание свойств главных осей весьма существенно.
14. 2. Косой изгиб. Предположим, что главные оси для
данного поперечного сечения известны и что ось внешнего изги-
изгибающего момента не совпадает ни с одной ,из них. Поступать
надо IB этом случае следующим образом:
а) Разложить действующий изгибающий момент на ком-
компоненты по двум главным осям.
б) Подсчитать для интересующей нас точки напряжения
-относительно каждой из осей.
в) Сложить алгебраически напряжения, чтобы получить
действительное напряжение.
246
Фиг. 256. Изгиб крыла самолета.
На фиг. 256 изображена кессонная балка самолетного кры-
J?a, которая является типичным примером конструкции, под-
подвергаемой косому изгибу. Если момент действует в указанной
«а фигуре плоскости, он должен быть разложен на два компо-
компонента по главным осям X—X и Y—У. Напряжения -в какой-
247
либо точке теперь определяются от каждого компонента и за-
затем складываются алгебраически. Необходимо следить, чтобы
здесь не ошибиться в знаках напряжений.
14. 3. Эффективный изгибающий момент. В примере, приве-
приведенном в нача;ле изложения вопроса о косом изгибе (§14.1),
было обнаружено, что если за ось изгиба или ось поворо-
поворота сечений принять ось действующего момента, то тем самым
будет введен дополнительный компонент изгиба под углом 90°.
Чтобы получить правильное решение, в этом случае необходимо
+ /И „ Ймат
\\W\Y\ \\\Ш'У м
Ли\Л\\\у
Фиг. 257. Общий случай косого изгиба.
сделать некоторые поправки, при которых действие этого ис-
искусственно введенного момента было бы учтено и увязано с
условиями общего равновесия. Такие способы существуют, но
они, однако, несколько сложны для понимания. Поэтому ниже
приводим более удобный способ с достаточно простыми форму-
формулами. ¦ « ;
Рассмотрим фиг. 257, где оси X—X и У—У не являются глав-
главными осями. Изгибающие моменты Мх и Му приложены к по-
показанному поперечному сечению. Положительные моменты ука-
указаны с учетом правила правой руки. Таким образом положи-
положительные величины Мх вызовут растяжение ( + ) в поло-
положительном квадранте (положительные X и У), но положитель-
положительные величины Му вызовут сжатие (—) в этом квадранте.
Это должно быть принято во внимание в последней стадии
расчета, когда напряжения, вызываемые обоими моментами,
суммируются.
При рассмотрении только момента Мх допускаем, что он
вызывает изгиб относительно оси X—X (хотя известно, что
248
это допущение несправедливо). Напряжение и усилие в эле-
элементе А тогда будет:
№У\
(а)
'л-
(Ь)
Усилие Р{ вызывает растяжение элемента Fl9 и суммиро-
суммирование моментов усилий по всем элементам сечения отно-
относительно оси X—X должно дать Мг.
Эти усилия, как мы видели выше, дают также момент и
относительно оси Y—-К. Момент от усилия Рг iотносительно
этой оси получается отрицательным соответственно условию,
принятому для положительных величин Му (см. фиг. 257):
Подстановка из уравнения (Ь) дает:
(с)
Сумма величин ^МиХ по всему сечению даст значение не-
неуравновешенного момента ±MV относительно оси У—У. Тако-
Такого внешнего момента в действительности не существует; следо-
следовательно, он должен уравновеситься внутри балки, стремясь
«вызвать поворот относительно оси У—У и вызывая изгибные
напряжения соответственно теории балки. Иначе величина это-
этого момента может быть выражена
ДА!
'д-
X / У
(d)
если вспомнить, что ItFxy
'.г if
Это есть искусственно введенный момент вследствие допу-
допущения поворота сечений относительно оси, не являющейся-
главной осью (сравнить с § 13. 9, в котором осевая си-
сила введена вследствие допущения поворота относительно оси,
не проходящей через центр тяжести сечения).
Чтобы устранить этот неуравновешенный момент, необходи-
необходимо приложить некоторый фиктивный момент, действующий r
обратном направлении. В результате сечение будет рассматри-
рассматриваться под действием момента Mv ц предполагаемого момен-
момента
,
величина которого будет
- Мл
ху
(е)
249
Это не является, однако, окончательным ответом, так как при-
приложение момента 4Л/У вызовет в свою очередь момент отно-
относительно оси X—X, Хотя и возможно подойти к правильному
ответу путем последовательного приближения, но окончатель-
окончательный ответ можно получить и непосредственно путем решения
двух уравнений. В нижеследующем выводе принято, что при-
приложены внешние моменты Мх и Му. Задача заключается в на-
нахождении эффективных величин для них так, чтобы они могли
быть непосредственно внесены в формулу изгиба, независимо
ют того, относительно главных или неглавных осей они дей-
действуют.
Принимаем обозначения:
М—приложенный изгибающий момент,
М'—эффективный изгибающий момент,
±М—поправочный момент относительно одной оси, введен-
введенный вследствие изгиба относительно другой оси,
1ху—центробежный момент.
Индексы л: и у при величинах М и / указывают оси, отно-
относительно которых они взяты.
Из уравнения (е)
Аналогично можно написать:
ЛАГ
Принимая обозначения:
и,— i >
1 с
получим:
М
Обозначая
и заменяя
можно написать:
250
Повторив аналогичный вывод для оси У—Y, получаем сле-
следующие уравнения для эффективного изгибающего
iM ом е н т а:
Эффективные изгибающие моменты
** \-UxUy ,
— II II '
A4.8)
где
I,
A4.9)
Эти факторы и определяют влияние несимметрии на изги-
изгибающие моменты и их называют факторами несимме-
несимметричности. Если центробежный момент равен нулю, то U
становится равным нулю и уравнения A4. 8) показывают, что
эффективные моменты равны приложенным моментам.
Это согласуется с предыдущими определениями, касающимися
главных осей, так как в этом случае изгибающий момент соот-
соответствует изгибу относительно главных осей.
Следует заметить, что косой изгиб относительно только
одной оси (например, Мхт^О, а Му^ 0) вызывает необходимость
подсчитать эффективные изгибающие моменты также относи-
относительно обеих осей, как это ясно 1видно по формулам A4. 8).
14. 4. Напряжение при косом изгибе. Для определения
¦напряжений при косом изгибе надо эффективные изгибающие
моменты, определенные из уравнений A4. 8), подставить в
обычную формулу изгиба, а моменты инерции взять относи-
относительно тех же осей, относительно которых подсчитаны момен-
моменты, т. е.
а..
Мху
1X
M'vx
Полное напряжение в какой-либо точке можно получить алге-
алгебраическим суммированием напряжений, вызванных двумя из-
изгибающими моментами:
Напряжение при косом изгибе
Мху
A4.10)
251
Как выше указано, принято, что положительные моменты, при-
приложенные относительно двух перпендикулярных осей, вызы-
вызывают напряжения разных знаков в положительном квадранте.
Это отмечено знаком минус в формуле A4. 10). Если бы при-
принять, что положительные моменты вызывают один и тот
ж е знак напряжения в положительном квадранте, то знак в
формуле был бы плюс. Принятые здесь условия согласуются с
подсчетом центробежного момента 1лу.
Этот способ решения особенно удобен при расчете сечений,
подобных указанному на фиг. 256 и не имеющих осей симмет-
симметрии. При этом все вычисления делаются относительно одних и
тех же осей, что значительно сокращает работу.
—Y Ось нулевого
напряжения
(нейтральная оса)
Тонка
'максимального
напряжения
Фиг. 258. Нейтральная ось при косом изгибе.
14. 5. Ось нулевого напряжения (нейтральная ось). Соог
ношение между X и У, которое определяет положение оси ну-
нулевого напряжения, можно получить из уравнения A4. 10), по-
полагая в нем с—0, что дает:
Мху М'х
h ly
откуда положение нейтральной оси
у М 1Г
X М ' I
A4.11)
Примечание. Когда изгибающие моменты берутся относительно
главных осей, знаки ' («прим») опускаются.
Это уравнение определяет ось (проходящую через центр
тяжести сечения), относительно которой действительно проис-
происходит поворот поперечного сечения. Она является нейтральной
осью для косого изгиба (см. § 13. 8).
Зная положение этой оси, можно сразу определить точку
максимального напряжения в поперечном сечении. Если рас-
252
пределение напряжений относительно обеих осей было принято
линейным, то и распределение их от оси нулевого напряжения
также будет линейным и наиболее удаленная от
этой оси точка будет и наиболее напряженной.
Балки, которые имеют значительно 'меньшее сопротивление
изгибу относительно одной оси, чем относительно другой (пер-
(перпендикулярной к первой), очень чувствительны к положению
оси.! изгибающего момента. [Это обозначено отношением -—-
У
в уравнении A4. 11).]
Фиг. 258 дает простой пример. Допустим, что балка попе-
поперечного сечения 5X10 см подвергается изгибу моментом под
углом 45° к оси. Тогда
Мх
5-103
12
12
417 см*,
ЬК-
12
= 104 см*,
12
417
104
4.
Подставляя эти величины в уравнение A4.11), получим
X
Линия, соответствующая этому отношению, приведена на
фиг. 258. Очевидно, что она не должна совпадать с осью при-
приложенного момента. Точка наибольшего напряжения также
указана на чертеже.
14. 6. Общие выводы по формулам изгиба. При выводе
формул, употребляемых при расчете на изгиб, удобно начинать
с простейших и затем постепенно развивать их.
Так, в первую очередь было показано, что момент инерции
надо вычислять относительно оси, проходящей через центр
тяжести. Затем было показано, что можно момент инерции
вычислить относительно любой другой параллельной оси, при-
применяя формулу переноса для поправки на вводимую при этом
осевую силу. Затем после того, как было показано, что
изложенная теория относится только к главным осям,
уравнения были обобщены, чтобы охватить и случай косого из-
изгиба. Для этого были даны формулы так называемых эффек-
эффективных изгибающих моментов, выведенных с помощью рас-
рассмотрения явления изгиба при несимметричном сечении.
253
Так как общий способ охватывает все эти задачи, то он
наиболее часто и применяется в расчетной практике, где по-
поперечные сечения в большинстве случаев несимметричны и
конструкция рассчитывается при различных условиях нагруже-
кия. Для этого общего случая разработана простая и удобная
форма проведения всех расчетов. В приведенном примере вы-
вычисление расположено применительно к конструкции типа
оболочки.
л я
Поперечное се</оние
к
9 I0
И 15
(Г) ОбознАчеяая и оса
* ' координлт
16
(Ъ)
рлзбищки сечения
на элементы
У
! i My
fs;
!>. M у
Ось
Положительные НАПрАВ-
обсэнА.чения
(ej Положительные направ-
и знлки относительно
Фиг. 259. Анализ изгиба коробчатой балки.
Поперечное сечение такой конструкции изображено на
фиг. 259, которая показывает также условия нагружения и
каким образом конструкция может быть представлена в виде
элементов. Табл. 11 представляет собой типовую форму блан-
бланка, который обычно делается на кальке. По заполнении рас-
расчетчиком его можно скопировать для непосредственного вклю-
включения в отчет о расчете напряжений.
254
щ
¦'- 1 '
«э
, ^
о
се
на изгиб
Расчет
A5)
^"
о?
(II) @1) F)
F) ! G) (8)
с с s
« ?* Ь;
Цеитро-! Частичные
бсжиый напряжения
момент изгиба
н —
(У ^
О о
Статическим
момент относи-
относительно иентра
тяжести
Расстояние
от центра тяжести
Статический
момент относи-
относительно оси
координат
Расстояние
от оси
координат
Пло-
Площадь
эле-
элемента
г
>>
«^
оо"
о"
Г—
ОС*
г-
\'<
i
S
SJ
<я
н
и
о
-¦- ¦
—
ГО
as
Ь- s^"
— СО
а
И И
о 5'
о
255.
Неправильное
сечение
Правильное
сечение
14. 7. Плоскость наибольшего напряжения. При определе-
определении напряжений, (вызываемых изгибом балки, ее, как мы увиде-
увидели, представляют себе как бы разрезанной некоторой плоско-
плоскостью, относительно которой и рассматривают деформацию се-
сечения. Очевидно, что эту плоскость сечения надо выбрать так,
чтобы само поперечное сечение получилось м и н и мальны м.
Этому условию обычно удовлетворяет сечение, перпендику-
перпендикулярное к продольной оси балки. Здесь не следует, однако, сме-
смешивать выбор плоскости сечения с определением момента сил,
изгибающих балку в этом сечении. Так, например, для опреде-
определения момента от силы Р (фиг. 260)
можно взять или, компонент силы Pi
перпендикулярный к оси балки, т. е.
QJ и умножить его на плечо d, или
всю силу Р, умножив ее на пер-
перпендикуляр, опущенный из центра
тяжести рассматриваемого сечения
на силу, т. е. на плечо х. Очевидно,
что Qd—Px.
Хотя 'выбор минимального 'По-
'Поперечного сечения, перпендикуляр-
перпендикулярного к оси балки, обычно и дает
правильный ответ, но более общее
определение правильного выбора
плоскости поперечного сечения
можно характеризовать так: при-
приложение изгибающего момента к
сечению в этом случае не должно
вызывать введения лишних сил или крутящих моментов, т. е.
вектор изгибающего момента в этом случае должен лежать в
рассматриваемой плоскости. Все это вытекает из рассмотрен-
рассмотренных выше положений и может быть сформулировано следую-
следующим образом.
а) Выбор неправильной нейтральной оси (не проходящей
через центр тяжести) вызывает введение (не существующего
з действительности) осевого усилия, для устранения которого
делается поправка путем применения формулы переноса момен-
момента инерции.
б) Допущение, что ось поворота совпадает с осью приложен-
приложенного момента, может вызвать появление изгибающего
м о м е н т а относительно оси под углом 90°, если выбранная ось
не является главной. Поправку можно внести при помощи фор-
формул для эффективного изгибающего момента.
в) Неправильный выбор наклона плоскости поперечного се-
сечения может вызвать введение осевых сил и крутящих моментов
в плоскости поперечного сечения. Обычно бывает правильно
принимать минимальное поперечное сечение. Иногда бывает все
же удобно пользоваться поперечными сечениями, которые нахо-
256
¦Фиг. 260. Плоскость попереч-
поперечного сечения для расчета
изгиба.
{ -й; дятся под некоторым углом к плоскости 'Минимального попереч-
и ного сечения. Если этот угол невелик, то и ошибки от этого по-
получаются незначительными и практического значения они не
имеют.
14. 8. Ограничения формулы изгиба. Необходимо иметь
в виду, что при изложении приведенной выше теории изгиба при-
приняты следующие основные положения.
а) Балка предполагается прямой.
б) Пояса балки или верхние и нижние элементы предполага-
предполагаются параллельными.
¦ в) Распределение напряжений не нарушено [местными усло-
условиями, как например резкое изменение поперечного сечения или
" влияние опор у концов балки.
г) Изменение деформации по высоте поперечного сечения
балки предполагается прямолинейным, т. е. плоскость сечения
остается плоскостью и при нагружении.
д) Напряжение пропорционально деформации, т. е. материал
работает в пределах упругости.
'¦ е) Как результат допущений «г» и «д» распределение напря-
напряжений получено линейным.
ЗАДАЧИ
14. 1. По данным задачи 13. 7 подсчитать центробежный мо-
момент и положение главных осей. Подсчитать моменты инерции
относительно главных осей, составив таблицу. Проверить резуль-
результаты составлением уравнений для моментов инерции относитель-
относительно главных осей.
14. 2. Консольная балка сечением 5X10 см и длиной 120 см
несет сосредоточенную нагрузку 40 /сг, приложенную по диагона-
диагонали сечения. Подсчитать напряжения изгиба защемленного конца
балки для каждого ребра поперечного сечения.
Примечание. (Изгибающий момент взять относительно главных
осей.) Подсчитать и дать эскиз расположения нейтральной оси и точки
максимального напряжения (напряжением среза пренебречь).
;, , 14. 3. Решить задачу 14. 2, считая моменты инерции и цен-
центробежный момент отнесенными к осям, связанным с плоско-
плоскостью нагружения. [Использовать уравнения A4. 5) и A4. 6)].
Найти эффективные изгибающие моменты и подсчитать напря-
напряжения изгиба для каждого ребра поперечного сечения и прове-
проверить результаты по задаче 14. 2. Проверить расположение ней-
нейтральной оси, пользуясь уравнением A4. 11).
14. 4. Пользуясь уравнением A4. 7), показать, что сумма мо-
моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных
¦ссей равна сумме моментов инерции относительно главных осей
и, следовательно, равна сумме моментов инерции относительно
любой другой пары осей [сравнить с уравнением A2. 18)].
17
Ф. Р. Шенли.
257
14. 5. Пользуясь фиг. 259, начертить поперечное сечение в
удобном масштабе (взять ширину балки приблизительно 100 о*)
и назначить величины для отдельных площадей поясов (элемен-
(элементов). (Порядок величин от 1,5 до 5 см2, угловые элементы от 10
до 12 см2.) Измерить расстояния от принятых осей и составить
таблицу по образцу табл. 11 для определения центра тяжести
площади, моментов инерции, центробежного момента и факто-
факторов 'несимметричности Ux и Uy.
14. 6. В задаче 14. 5 принять изгибающий момент в
300 000 кгсм действующим так, чтобы верхняя поверхность была
сжата. Подсчитать напряжения изгиба в каждом отдельном поя-
поясе. Нанести линию, соответствующую нейтральной плоскости.
Примечание. Максимальное напряжение изгиба будет в точке,
наиболее удаленной от оси.
14. 7. В задаче 14. 5 взять дополнительный изгибающий мо-
мент в 10 000 кгсм, который стремится сжать переднюю (левую)
стенку кессона. Подсчитать напряжения изгиба в каждом отдель-
отдельном поясе и определить положение нейтральной плоскости.
14. 8. Взять в задаче 14. 6 дополнительную осевую нагрузку
в 8000 /сг, действующую в центре тяжести сечения перпендику-
перпендикулярно площади сечения. Найти новые напряжения в отдельных
поясах (считать осевую нагрузку сжимающей).
14. 9. Взять фиг. 260, считать, что поперечное сечение балки
прямоугольное и назначить величины следующего порядка:
высоту балки от 20 до 25 см,
ширину балки от 6,5 до 7,5 см,
Р от 300 до 400 кг,
Х=75 см,
угол с горизонталью 30°.
Найти нормальные напряжения в верхних и нижних волокнах.
14. 10. Доказать, что любая балка прямоугольного сечения
при нагружении вдоль одной диагонали будет гнуться около
другой диагонали.
Примечание. Это можно сделать, доказав, что напряжение в
одном ребре равно нулю. Написать общее уравнение для напряжения
в ребре прямоугольника, имеющего размеры а и bt пользуясь моментами
относительно главных осей.
ГЛАВА 15
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ИЗГИБА
15. 1. Нелинейное распределение напряжений. Допущение
о линейном распределении напряжений часто приводит к значи-
значительным погрешностям. Несколько типичных примеров:
а) Балки, составленные из разных материалов.
б) Тонкостенные (пустотелые) балки при частичной потере
устойчивости оболочки.
в) Изгиб за пределом пропорциональности (пластичная об-
область).
г) Кривые балки (нелинейная деформация).
д) Искривленное поперечное сечение (нелинейная деформа-
деформация).
Поскольку теория изгиба выведена на основании линейного
распределения напряжений, весьма желательно найти пути при-
применения этой теории и для особых случаев. Это может быть сде-
сделано простым приемом применения так называемых приве-
приведенных площадей.
15. 2. Приведенная площадь. Способ приведенных
площадей был уже частично изложен в разделе об осевых
.нагрузках (§ 7. 7), когда мы имели дело со> стрингерами, в се-
сечении которых встречались одновременно различные материалы.
Различная способность материалов сопротивляться одному и
тому же удлинению (характеризуемая величиной Е) учитыва-
учитывалась тем, что для расчета истинные площади умножались на ре-
. Аукционный коэфициент (или фактор эффективности), равный
отношению модулей упругости соответствующих материалов.
Этот же способ можно применить и при изгибе.
Редукционный коэфициент или фактор эф-
эффективности определяется так:
, жесткость единицы поперечного сечения
жесткость стандартной единицы
Здесь жесткость характеризует способность материала со-
сопротивляться деформированию, а стандартная единица
относится к 'материалу, который взят как основной для расчета
17* 259
(например, в составной балке из стали и алюминиевого сплава
последний можно взять как стандарт или основной материал).
Все свойства поперечного сечения можно подсчитать общим
способом, за исключением того, что каждая единица
площади поперечного сечения предваритель-
предварительно умножается на к. Это создает фиктивное сечение,
которое называется преобразованным или редуцированным сече-
сечением. Общие уравнения для приведенных сечений будут такие:
F,
ред
ZkF=ktF1-\-k^Ffi~ и т. д.
и т. д.
A5.1)
A5.2)
Величины kiF1 и т. д. могут рассматриваться как приве-
приведенные площади. Если для определения нормальных на-
напряжений при осевых нагрузках или при изгибе применять обыч-
обычные формулы и подставлять в них характеристики редуцирован-
редуцированных сечений, то для того чтобы получить в этом случае истинные
величины напряжений какого-нибудь элемента, необходимо по-
полученное напряжение умножить на редукционный коэфициент,
принятый для данного элемента 1.
Так
Р
осевая нагрузка
рсд
F
ред
A5.3)
ред -.
изгиб ¦
ред
'ре
ред
A5.4)
ред*
15. 3. Составные сечения. Если к балке из алюминиевого
сплава добавлены стальные элементы, как на фиг. 261, и если
алюминиевый сплав взят как стандарт, то величина к будет рав-
равна приблизительно 3 (отношение величин Е для этих двух мате-
материалов). При подсчете площади и момента инерции истинная
площадь стальных элементов должна быть умножена на 3. На-
1 Убедиться в правильности этого легко при помощи следующих простых
соображений: принцип применения редуцированных сечений основан на том,
чтобы, приведя все элементы при расчете к одному (стандартному) материа-
материалу, сохранить в то же время истинное усилие, возникающее в каждом
элементе. Иначе- говоря,
Отсюда
или
260
. р г, с р
— пет 'ист —^ред "• ¦гист~-'ргд 1 род-
т ист — d с д пет
'ИСТ1
•ред-
(Прим. ред.)
СГПАЛ
пряжения, подсчитанные таким образом, будут справедливы для
•элементов из алюминиевого сплава, а для остальных элементов
должны быть умножены на 3.
Очевидно, что коэфициент 3 перестает быть пригодным, если
напряжения выше предела пропорциональности, поэтому для
расчетов в пластичной области необходимы другие способы ре-
'шения.
П р е об разованное сечение не следует рас-
рассматривать как сечение действительное, из-
измененное по очертанию, так как это приведет к по-
погрешностям при подсчете моментов инерции. Схема конструкции,
представляемая редуцированным сечением,
состоит из ряда элементов, представленных
точками поперечного сечения и имеющих от-
относительную сопротивляемость, пропорцио-
пропорциональную их величине kF. Такой метод ре-
редуцирования сечений употребляется и в
других областях техники, например в рас-
расчете железобетонных балок. Среднее значе-
значение модуля упругости бетона обычно при-
нидают равным около одной пятнадцатой
модуля упругости железа. Если за стандарт
принять бетон, тогда величина к для же-
железа будет 15. При подсчете предельной
прочности считают, что напряжения растя-
растяжения воспринимаются только железной ар-
арматурой, так как весьма вероятно, что ра-
растягиваемый ' бетон треснет раньше, чем
разорвется железо. Для подсчета деформа-
деформации при эксплоатационных нагрузках, одна-
однако, будет более правильным включить в ра-
растяжение и бетон.
Точный расчет железобетонных балок требует специальных
соображений, и подробно изложен в большинстве руководств по
сопротивлению' материалов и по строительным конструкциям.
15. 4. Потеря устойчивости. В конструкциях с тонкими
оболочками, какие имеют место в самолетах, явление потери
устойчивости встречается часто. Если оболочка (обшивка) не
подкреплена продольными элементами, то как только она потеря-
потеряет устойчивость в сжатой зоне, конструкция разрушится. До тех
пор, пока напряжения в сжатой части оболочки (обшивке) бу-
будут меньше тех, при которых она теряет устойчивость, ее следует
учитывать полной площадью.
Для обшивки, подкрепленной стрингерами, возможно, что по-
потеря устойчивости участков обшивки между стрингерами не вы-
вызовет разрушения всей конструкции, так как стрингеры при этом
еще не потеряют способности сопротивляться сжатию. Один из
способов подхода к расчету в этом случае заключается в том,
261
Cm аль
Фнг. 261. Составная
балка.
ПрцведеннАя
иро8Аня
h
I
Фиг. 262. Учет потери
устойчивости..
что, не обращая внимания на потерю устойчивости, считают
работающей всю обшивку с подкреплениями. Тогда за допусти-
допустимое напряжение должно быть взято среднее напряжение,
получаемое специально для данной комбинации обшивки со
стрингерами 1. Однако и при этом вносится некоторая погреш-
погрешность, так как действительные условия работы в конструкции
'могут оказаться сложнее, чем это было принято (правда, здесь
логрешность обычно невелика).
Другой более точный способ состоит в том, чтобы исключить
из расчета сечения ту часть обшивки, которая теряет устойчи-
устойчивость (это 'подобно принятию
к=0 для бетона при растяже-
растяжении). Остальные части обшивки
считаются работающими пол-
полностью, т. е. с тем же напряже-
напряжением, что и подкрепляющий
стрингер. Ширина полоски
Листа, работающей ©месте со
стрингером, называется эффек-
эффективной или присоеди-
присоединенной шириной. На
фиг. 262 показано, как выгля-
выглядит приведенное сечение (эффек-
(эффективный материал показан сплошными линиями). Следует за-
заметить, что на растянутой стороне балки вся обшивка будет
работать эффективно. Строго теоретическое определение участ-
участка работающей обшивки достаточно сложно, но для прибли-
приближенных расчетов можно считать, что его размеры зависят
только от толщины обшивки. Так, для алюминиевого сплава
часто применяется величина 308. Например, если толщина листа
1 мм, то присоединенная (эффективная) ширина будет 1X30 =
= 30 мм. Если расстояние между стрингерами равно 150 мм,
¦а эффективно будет работать лишь участок, равный 30 мм, то
редукционный коэфициент для обшивки получится равным
30 : 150, т. е. /с=0,2.
Более точные способы расчета можно найти в новейших
руководствах.
15. 5. Пластический изгиб. В главе 13 было показано, что
принятое линейное распределение напряжений при изгибе зави-
зависит от двух допущений:
а) линейного распределения деформаций,
б) пропорциональности между напряжением и деформацией.
Первое из них удовлетворяется для прямой балки при допуще-
допущении, что плоскость поперечного сечения остает-
остается плоскость.ю. Это является -самым основным допущени-
допущением при изгибе и редко нарушается в значительной степени.
1 Это может быть получено, например, непосредственным испытанием
образцов такой конструкции на испытательных машинах. Прим. ред.
262
В пластической области может быть принято, что первое до-
допущение сохраняется и поперечные сечения остаются плоскими
при изгибе. Но очевидно, что второе допущение уже неприемле-
-t- ? ОтиосительнАя
деформдцая
М
ИАпряЖениг
Фиг. 253. Пластический нзгиб.
мо, и зависимость между деформацией и напряжением надо
брать такой, как она получается из диаграммы напряжение —
деформация для данного материала.
Фиг. 263 показывает рассматри-
рассматриваемый случай; деформации в балке
нанесены в том же масштабе, как
диаграмма напряжение — деформа-
деформация и непосредственно под ней.
Напряжения, относящиеся к
различным точкам этой линии, по-
получены из диаграммы и нанесены
taa балку. Распределение напряже-
напряжений не является линейным и прини-
принимает общий вид диаграммы напряженке—деформация (повер-
(повернутой здесь на 90°).
Можно видеть, что по мере увеличения изгиба деформации
переходят в пластическую область и искривляют все большую
часть диаграммы напряжений для балки. Различные степени
увеличения изгиба приведены на фиг. 264. Надо заметить, что
i
Фиг. 264. Постепенное увели-
увеличение пластического изгиба.
263
треугольная форма площади кривой напряжений приближается
к прямоугольной (пунктирные линии) по мере увеличения пла-
пластичного изгиба.
Если деформации крайних вологон известны или если ими
задаться, то распределение напряжений может быть нанесено,
как указано. Затем можно подсчитать изгибающий момент, вос-
воспринимаемый сечением (момент (внутренних сил), умножая каж-
каждый элемент площади на соответствующее ему напряжение и на
расстояние от оси изгиба. Применение ib данном случае такого
способа непосредственного подсчета по элементам будет проще,
чем попытка пользоваться эффективными площадями или пре-
преобразованными сечениями.
15. 6. Разрушающее напряжение при изгибе. По переходе
в пластическую область 1вид кривой распределения напряжений
меняется для каждой степени
нагружения, вследствие чего не-
невозможно дать простое матема-
математическое выражение для закона
распределения напряжений, как
это было сделано для упругого
изгиба. Поэтому теорией пласти-
пластического изгиба редео пользуют-
пользуются в расчете конструкций. Вме-
Вместо этого ори расчете на проч-
прочность часто пользуются обычны-
обычными формулами, но применяют
фиктивное разрушающее
напряжение при изгибе
для компенсации погрешности. Это фиктивное напряжение по-
получают испытанием образца на изгиб и подстановкой изгибаю-
изгибающего момента в формулу з — -у- . Полученное таким образом
напряжение значительно -выше, чем действительное максималь-
максимальное напряжение ,в балке, как указано на фиг. 265. Если бы было
езято действительное распределение напряжения, как показано
сплошной линией, отношение максимальных напряжений было
бы равно А : В.
Для балки сплошного сечения (не теряющей устойчивости) .
почти 1всегда безопасно допустить, что разрушающее напряже-
напряжение при изгибе по крайней мере равно разрушающему напряже-
напряжению при растяжении. Для тонких сечений труб и оболочек
это может не быть справедливым вследствие потери устойчи-
устойчивости.
На величину разрушающих напряжений при изгибе могут
оказьшать влияние различные факторы, однако объяснение этого
вопроса выходит за пределы книги.
Величины разрушающих напряжений при изгибе ходовых се-
сечений установлены в различных отраслях техники и могут
264
А —
Фиг. 265. Соотношение разрушаю-
разрушающих напряжений при изгибе.
быть взяты из справочников. Одна такая диаграмма напряже-
напряжений для труб помещена как образец на фиг. 266. Она взята
из стандартных диаграмм, применяемых в авиационной практике.
..5
1,3 :
1.2
1.1
1.0
0.9
0.7
I
-
- —^.^^
-
'ill
\
\^ Хролммолибденоаля стддь
Ада
] м :
оминиевый сплав
¦m
I'll
\ \ \ *
i i i t
1 Г 1 )
M ' i ' ' ' i '¦
20
30 40
D
50
Фиг. 266. Разрушающее напряжение на изгиб для труб
(D—внешний диаметр, /—толщина).
Интересно отметить, что для предельного случая пластиче-
пластического изгиба напряжение было бы постоянным на каждой сто-
стороне балки, как показано на фиг. 267. При одинаковом напря-
напряжении в крайних волокнах это распределение дает момент сопро-
сопротивления на 50% больше, чем при упругом (треугольном) рас-
м
>
5 .,
Фиг. 267. Предельный случай пластического изгиба.
пределении, если рассматривать прямоугольное поперечное се-
сечение. Это значит, что разрушающее напряжение при изгибе
прямоугольного сечения не (может быть больше, чем на 50% ог
разрушающего напряжения при растяжении. (Это отношение
может быть больше или меньше в зависимости от формы по-
поперечного сечения).
15. 7. Кривая балка. Все рассмотренные выше балки были
прямыми. Элемент балки длиною L для которого делался вывод
265
формул, рассматривался так, как изображено на фиг. 268,а.
Относительное удлинение (A Z: Z) было, таким образом, пря-
прямо пропорционально М, которое имело линейное распределение,
основанное в свою очередь на гипотезе плоских сечений.
При рассмотрении кривой балки также принимается гипо-
гипотеза плоских сечений. Однако при делении балки по длине на
I-
I
(ОС) Прямой брус
(+5
(С) Распределение
Фиг. 268. Кривой брус.
элементарные отрезки посредством плоских поперечных сечений
здесь уже невозможно получить отрезки, ограниченные парал-
параллельными линиями; iBce эти линии должны теперь выходить из
центра кривизны, как показано на фиг. 268,Ь. Вследствие этого
длина элементов с наружной ютороны больше, чем с внутренней.
При подсчете распределения относительных удлинений по
поперечному сечению изменение длины (Л?) в каждой точке
266
должно быть разделено на первоначальную длину в этой точке,
например:
~ — дг1 ]
д/.
A5.5)
Теперь можно видеть, что если поперечные сечения остаются
ллоскими при изгибе с линейным распределением At, то распре-
распределение относительной деформации не будет линейным. Относи-
Относительная деформация будет изменяться не только с расстоянием
от нейтральной оси (как в прямой балке), но также и с измене-
изменением длины элементарного отрезка L Так как эта длина прямо
пропорциональна радиусу от центра кривизны, относительная де-
деформация будет стремиться изменяться обратно пропорциональ-
пропорционально этому радиусу. Это дает тип гиперболического распределения
относительной деформации, как указано на фиг. 268,с. Если на-
напряжение пропорционально относительной деформации, то оно
будет иметь такой же характер распределения. Следовательно,
все теории балки, основанные на линейном распределении напря-
напряжений, дают погрешность при применении их к кривым балкам.
Хотя и возможно дать измененную теорию балки, пользуясь
гиперболическим распределением напряжений, но проще приме-
применить способ приведенных (эффективных) площадей,
т. е. пользоваться преобразованы ьим или редуцированным
сечением. Поскольку отклонение от линейного распределения
напряжения вызвано различной длиной в пределах отрезка, не-
необходимо учесть это путем приведения элементарных площадей.
Осевое сопротивление элементарной площади поперечного
сечения
После подстановки из уравнения A5.5) получим:
что может быть также написано в виде
Л i ¦""—— /_j
I-
Величина (Ft : U) может, очевидно, рассматриваться как
приведенная (эффективная) площадь, что де-
делает уравнение аналогичным тому, которое применялось как
основное для прямого бруса.
При подсчете характеристик сечения необходимо поэтому
разделить пло-щадь каждого элемента на длину, ему соответ-
267
ствующую. На основании фиг. 269 можно написать следующее
отношение:
1 = /2
откуда
1 Rn
h ^2
Так как величина 1 : U соответствует редукционному
коэфнциенту к, то он может быть определен так:
R
A5.6)
где Ro—радиус кривизны элемента, принятого как стандарт,
R—радиус любого рассматриваемого элемента.
Если характеристики сечения подсчитываются по отношению
к произвольной оси, то удобно выбрать за такую ось ось, соот-
соответствующую основному радиусу кривизны. Каждую элементар-
элементарную площадь можно делить на R и это равносильно допущению»
что основной (или стандартный) радиус кривизны принят за еди-
Фиг. 269. Соотношение между
радиусом н единичной длиной.
Фиг. 270, Преобразованное
сечение кривого бруса.
ницу. Так как подсчитанные напряжения должны быть помно-
помножены на к для получения действительных напряжений, то не
имеет значения, какой радиус принят за единицу (как стандарт).
Фиг. 270 показывает, как будет выглядеть преобразованное
сечение, если внутренний радиус бруса принять как стандарт
и редукционный коэфициент относить к ширине бруса.
Преобразованное таким образом сечение для расчета как бы
превращает кривую балку в эквивалентную прямую балку
как для изгиба, так и для осевого нагружения. Поэтому при чи-
чисто осевом нагружении правильно пользоваться центром тяже-
тяжести преобразованного сечения, имея в виду, конечно, что полу-
полученные нормальные напряжения будут в окончательном подсче-
подсчете умножены на редукционный коэфициент к. Если такая осе-
осевая нагрузка вызывает изменение длины без изменения кривиз-
кривизны, то из фиг. 268,Ъ ясно, что плоскость поперечных сечений при
осевом нагружении не может остаться параллельной первона-
первоначальному положению, как допускалось для прямого элемента.
Это объясняется непоследовательностью, обнаруженной при
попытке воспользоваться теорией прямого бруса без изменения
характеристики сечения.
Другие характеристики можно получить из следующих урав-
уравнений, в которых обозначения соответствуют фиг. 271 и Ro опре-
определяется, как в уравнении A5. 6):
R
ред
F.
Ro - —.
A5.7)
ред
ред
A5.8)
Интересно отметить, что в действительности при проектиро-
проектировании кривых балок наиболее целесообразное поперечное сече-
сечение и будет иметь очертание, подобное преобразованному (ре-
дуцирозанному) сечению.
Если для того, чтобы в прямой
балке при изгибе напряжения в
крайних волокнах были равны
между собой, мы должны были
взять юимметричное сечение, то
для кривой балки этому условию
будет удовлетворять сечение, пре-
преобразованное, как указано на фиг.
270, причем более широкая часть
помещается у внутреннего ребра
сечения.
Помимо указанного выше спо-
способа, удобно пользоваться приме-
применением так называемого поправочного коэфициента к напряже-
напряжениям, полученным, как для прямой балки.
Максимальное напряжение, вызванное изгибом, получается
в этом случае по формуле:
Фиг. 271
где kx
М-
с-
I
A5.9)
-поправочный коэфициент для кривой балки,
¦изгибающий момент относительно главной оси, про-
проходящей через центр тяжести,
¦максимальное расстояние от главной оси,
¦момент инерции действительного поперечного сече-
сечения (непреобразованного).
26}
На фиг. 272 показано, как поправочный коэфициент меняется
в зависимости от кривизны. С небольшой погрешностью этот
коэфициент можно применять для нормальных напряжений
и в случае совместной нагрузки кривого бруса изгибом и осе-
осевой силой.
Сечение Т
рапецеидйльное сечение
Сечение I
Внутреннее волокно Й
Сечение I Внешнее волокно 8
Сечение Т
> Трапецеидальное сечение
3 '-i 5 6 7
Отношение R' С
Фнг. 272. Поправочный коэфициент для кривых балок.
15. 8. Радиальные нагрузки кривых балок. Когда мы рас-
рассматривали растяжение кольца (обода) (глава 7) и кривой тон-
тонкой стенки (глава 11), было -видно, что передачу осевой силы по
¦изогнутому пути должны сопровождать радиальные силы или
давления. Если q представляет собой нормальную или
радиальную погонную нагрузку (фиг. 273), то сила растя-
растяжения обода, необходимая для уравновешивания, будет
A5.10)
Наоборот, если нормальное усилие передается по криволи-
криволинейному пути, оно вызовет радиальные усилия, равные/*: Rкг/см
ка этом пути. Они должны быть как-то восприняты конструкцией.
В кривой балке действия растяжения и сжатия поясов взаим-
взаимно уравновешиваются, передаваясь через стенку, как указано
270
на фиг. 273. В балке сплошного сечения площадь стенки так ве-
велика, что этими радиальными напряжениями можно пренебречь.
Но для тонкой стенки для балки коробчатого типа, где эти на-
напряжения могут оказаться значительными, приходится прибе-
он.
Фиг. 273. Радиальные усилия.
Фиг. 274. Ребра жесткости для кривых балок.
гать к особым мерам, обеспечивающим прочность балки, т. вы-
выставить подкрепительные стойки или угловые кницы. Последний
тип подкрепления особенно полезен для предупреждения короб-
коробления тонких полок двутавровых балок и тому подобных кон-
конструкций (фиг. 274). Полную радиальную нагрузку на ребро
271
жесткости можно определить умножением погонной нагрузки Q
на расстояние между ребрами (фиг. 275):
Р
r
R
A5.11)
где Ра—осевое усилие,
?—длина, поддерживаемая каждым элементом,
R — радиус кривизны элемента, находящегося под осевой
нагрузкой.
Уравнение A5. 11) можно использовать для вычисления ра-
радиальных нагрузок, вызванных деформациями изгиба, но снача-
сначала должна быть вычислена величина R (см. главу 16). При рас-
Фиг. 275. Подсчет радиальных нагрузок.
смотрении балок коробчатой конструкции подобно таким, хакиа
применяются в крыльях самолетов, эти нагрузки могут стать
критическими для нервюр или других внутренних поддерживаю-
поддерживающих частей конструкций. Эти нагрузки иногда называются «сдав-
«сдавливающими».
15. 9. Резкий излом оси балки. Сдавливающие нагрузки
могут стать очень большими, если ось балки резко меняет свое
направление, как показано на фиг. 276. Величину нормальной
нагрузки можно легко подсчитать для каждого пояса балки как
равнодействующую двух противоположных осевых сил в точке
излома. Надо заметить, что направление сдавливающей силы
может измениться на обратное, если направление изгибающего
момента станет противоположным и, таким образом, в этой
точке балки понадобится поперечный элемент, работающий на
растяжение. В балке сплошного сечения постановка таких до-
дополнительных подкрепляющих элементов не требуется, но если
изменение угла оси велико, следует все же определить попереч-
979
ное усилие. Это можно сделать, использовав способ, применен-
примененный для балки поясного типа, следуя общим 'методам, изложен-
изложенным в теории балки.
рдст
¦"^иг. 276. Эффект резкого изменения направления оси балки
(излом оси).
Типичный пример резкого излома оси балки встречается в
крыле самолета при поперечном V (фиг. 277). В этих точках тре-
требуются специальные усиленные нервюры.
Фиг. 277. Резкий излом балки крыла самолета.
15. 10. Местные условия. Допущенное линейное распреде-
распределение напряжения при изгибе может значительно нарушаться
вблизи точек, в которых приложены местные нагрузки, или в
точках, где поперечное сечение резко меняется. Такое явление
бывает, например, в конце балки, как показано на фиг. 278. Если
стык сделан посредством только двух болтов, как на фиг. 278,а,
поперечное сечение будет искажено, как на фиг. 278,Ъ (искаже-
(искажение преувеличено), и местное распределение напряжений будет
¦иметь вид, грубо изображенный на фиг. 278,с.
Однако такие отклонения напряжений от тех, которые полу-
получаются по теории изгиба, распространяются лишь на сравнитель-
сравнительно небольшой участок. Практически можно принять, что
18 Ф. Р. Шенли.
273
на расстояниях, превышающих высоту балки, влияние местной
нагрузки будет уже ничтожным. Действительная картина рас-
распределения напряжений может быть получена или аналитически
;методами теории упругости, или экспериментально посредством
применения фотоэластического метода.
С практической точки зрения важно, чтобы в конструкции
по (возможности не было больших местных напряжений. Этого
можно избежать, направив усилия так, чтобы они были воспри-
восприняты должным образом. На фиг. 278 показано, как это можно
выполнить для вышеупомяну-
вышеупомянутого случая путем применения
фитинга, который распреде-
распределяет нагрузку примерно так,
как этого требует теория бал-
балки.
Желательно также избе-
избегать и резких изменений в рас-
распределении материала вдоль
балки. Это в особенности от-
относится к большим конструк-
конструкциям, в которых имеются со-
соединения или в которых сече-
сечения резко меняются вследствие
перехода от одной толщины
листового материала к дру-
другой и т. тт.
До сих пор имелось в ви-
виду, что поперечное сечение
1
(Ь)
cfl
Фиг. 278. Местные условия
при изгибе.
балки не меняется, т. е. что
нет изменений в площади, по-
положении центра тяжести или в
моменте инерции на достаточно большом расстоянии в обе сто-
стороны от рассматриваемого сечения.
Однако если сечения балки меняются, но не резко, то вся
изложенная выше теория остается применимой. Если нельзя
избежать резких изменений, то необходимо рассмотреть их с
точки зрения концентрации напряжений и учесть
надлежащим образом получающееся увеличение напряжений.
Вырезы являются обычными в авиационных конструкциях
и представляют собой типичные примеры местного нарушения
постоянства сечений.
Во избежание значительного местного снижения крепости тре-
требуются обычно местные усиления. Изложение (методов расчета
больших .вырезов выходит за пределы этой книги, но здесь все
же уделено некоторое внимание влиянию на понижение прочно-
прочности отверстий под болты и заклепки.
Если в балке просверлено одно или несколько отверстий в
каком-либо месте, то на первый взгляд может показаться, что
274
для получения характеристик надо взять поперечное сечение,
проходящее как раз через эти отверстия.
Однако, вообще говоря, это будет неправильно, так как от-
отверстия вносят изменения лишь местного характера (за исклю-
исключением разве такого случая, когда они следуют одно за другим
и на очень близких расстояниях вдоль значительной части бал-
балки). Правильнее подсчитывать характеристики для основной кон-
v нетто р ~ ^о
Фиг. 279. Влияние отверстий.
струкции без отверстий и определять по ним напряжения по по-
поперечному сечению. Местное влияние отверстий затем следует
учитывать путем увеличения местного нормального напряжения
Ё отношении основной площади к площади живого сечения, взя-
взятого по ослабленному месту. Этот способ иллюстрирован
фиг. 279 \
15. П. Влияние сдвига на распределение нормальных
напряжений. В конструкциях типа пустотелых балок с тонкой
оболочкой, подобно тем, какие применяются в крыльях и фюзе-
фюзеляжах самолетов, приложение срезающих сил по узким сторонам
сечения стремится вызвать некоторое искажение сечения. Влия-
Влияние этого искажения на напряжения изгиба сказывается в
увеличении их вблизи линий приложения срезающих сил (по
углам) и в уменьшении их в точках, удаленных от стенок (т.е.
ближе к средним частям верхней и нижней оболочек), как ука-
указано на фиг. 280. Это явление бывает в случае, если нормаль-
нормальные усилия на элементы прикладываются не в соответствии с
теорией балки. Можно видеть, что увеличение осевых сил АР
прикладывается не равномерно к верхней и нижней панелям,
1 Кроме того, здесь же необходимо учитывать и то, что вследствие
влияния отверстия напряжения по живому сечеиию не будут распределены
равномерно, как принято в формуле сист=а0-; -, а около самого отвер-
''жив* сеч
стия могут достигать значительно большей величины. Прим. ред.
18* 275
з лишь «по углам». Поэтому получается некоторое несовпаде-
несовпадение между действительным и вычисленным распределением
напряжений (действительное показано сплошной линией на
фиг. 280, а вычисленное — пунктиром).
'Действительное
^"Вычисленное
АР
Фиг. 280. Влияние сдвига на распределение нормальных
напряжений.
Важно заметить, что это явление целиком зависит от увели-
увеличения ДР нагрузки в поясе. При чистом изгибе его не было бы,
если бы момент передавался через жесткие концевые плиты на
Фиг. 281. Образцы, испытанные на изгиб.
Отметить пластическую деформацию.
все сечение балки. Этого можно также избежать, если увели-
увеличения осевых нагрузок вверху и ;внизу балки будут восприняты
увеличением площадей угловых поясов настолько, что все до-
дополнительные нормальные напряжения не пойдут, на обшивку
(коничность балки -по ширине дает такой же эффект) \
Способы расчета распределения нормальных напряжений по
верхней и нижней панелям основываются на рассмотрении сов-
совместного действия среза и изгиба и во всяком случае выходят за
пределы этой книги.
ЗАДАЧИ
15. 1. Дв>тавровая балка из алюминиевого сплава, показан-
показанная на фиг. 282, имеет следующие характеристики:
4
21,6 см\
923 см\
а) Найти разрушающий изгибающий момент (около каждой
оси) без усиления полок, допуская разрушающее напряжение
4000 кг\см\
1 Сжатие или растяжение элементов верхней и нижней панелей обуслов-
обусловливается вовлечением их в общую работу при изгибе вследствие действия на
них касательных сил ДР, приведенных на фиг. 280, только по кромкам.
Подобные же потоки касательных сил распространяются и по верхней и ниж-
нижней панелям, уменьшаясь по мере приближения к их серединам. Иначе гово-
говоря, сжатие (или растяжение) элементов верхней (или нижней) панели может
возникнуть лишь в том случае, когда оболочка кроме нормальной нагрузки
способна сопротивляться также и сдвигу. Если бы оболочка была бесконечно
жесткой в работе на сдвиг, то указанного явления падения нормальных
напряжений к центру не было бы. Этот эффект может быть значительным
лишь в кессонных конструкциях с мощными стрингерами и тонкой обшивкой.
В современных конструкциях указанное падение напряжений к середине,
вообще говоря, невелико. Прим. ред.
276
277
б) Принимая алюминиевый сплав за основной материал, вы-
вычислить характеристики преобразованного сечения балки при
усилении стальными накладками, как указано.
Примечание. Собственными моментами инерции стальных накла-
накладок относительно их оси параллельно X — X можно пренебречь, но вели-
величина их относительно оси Y—Y должна быть, конечно, учтена.
15. 2 а). В задаче 15. 1 найти максимальное напряжение .в
стальной накладке, когда усиленная балка будет нагружена из-
изгибающим !моментом 400 000 кгсм (относительно оси X—X).
б) Какое максимальное напряжение в алюминиевом сплаве
в этом случае?
15. 3. а) Принимая разрушающее напряжение для накладки
из мягкой стали 4500 кг/см2 (сжатие) при изгибе относительно
оси У—У, вычислить изгибающий момент усиленной балки при
таком изгибе (фиг. 282).
б) Сравнить с крепостью простой балки из алюминиевого
сплава и объяснить результаты.
15. 4. Решить задачу 15. 1, допуская, что двутавровая балка
стальная, а накладки — из алюминиевого сплава. Пользоваться
напряжением 6500 кг/см2 для стали и 4000 кг/см2 для алюминие-
алюминиевого сплава.
15. 5. Решить задачу 15. 2 при данных задачи 15. 4.
15. 6. Железобетонная балка прямоугольного сечения 24 см
шириной и 60 см высотой. Четыре стальных прутка диаметром
1,5 см расположены на расстоянии 4 см от одной из коротких
сторон. Считая что модуль упругости стали в 15 раз больше бе-
бетона, найти преобразованную площадь, центр тяжести и момент
инерции (максимум), считая работающим весь бетон. Сравнить с
характеристиками неармированной балки.
15. 7. В задаче 15. 6 принять, что половина бетона не рабо-
работает на растяжение и найти изгибающий момент при напряже-
напряжении 1250 кг/см2 (растяжение) для стальных прутков.
Примечание. Считать, что напряжение сжатия изменяется ли-
линейно от нуля в середине поперечного сечеиия.
Найти 'максимальное напряжение сжатия в бетоне.
Учесть, что сила растяжения железа равна силе сжатия
бетона.
15. 8. Нанести произвольную диаграмму напряжения-удли-
напряжения-удлинения для желаемого материала и подсчитать разрушающее на-
напряжение при изгибе, допуская, что разрушение произойдет при
максимальной деформации. Допустить, что диаграмма одинако-
одинакова для растяжения и сжатия.
Примечание. Взять прямоугольное сечение, которое позволит
непосредственное использование площадок, ограниченных диаграммой
напряжения при изгибе (см. фиг. 263).
15. 9. Труба рассчитана в предположении, что разрушающее
¦напряжение при изгибе равно разрушающему напряжению при
278
растяжении. 'Какой процент избытка или недостатка крепости
зто вызовет для следующих примеров (пользоваться фиг. 266):
а) 32X30 мм стального сплава,
б) 32X30 мм алюминиевого сплава,
в) 100X97 мм стального сплава,
г) 36X32 мм стального сплава,
д) 36X32 мм алюминиевого сплава.
Примечание. Размеры относятся к наружному и внутреннему
диаметрам.
15. 10. Взять балку прямоугольного сечения 3 см шириной,
выбрать высоту между 5 и 7 см и радиус кривизны между 8 и
19 см по отношению к нижней поверхности балки. Разделить по-
поперечное сечение на полосы приблизительно 0,5 см и подсчитать
площадь, центр тяжести и момент инерции для преобразован-
преобразованного сечения, считая внутренний радиус за основной (стандарт-
(стандартный). Определить напряжение изгиба внутренних и внешних во-
волокон при изгибающем моменте 1000 кгсм. Сравнить с величи-
величинами для прямой балки и проверить правильность результатов
посредством фиг. 272.
15. 11. Радиус кривизны балки с поясами определен в 30 м
под нагрузкой. Центры тяжести поясов находятся на расстоянии
25 см друг от друга и поясные нагрузки равны 16 000 кг. Найти
осевые нагрузки в вертикальных ребрах жесткости, расположен-
расположенных на расстоянии 50 см друг от друга.
Примечание. Считать, что оба пояса имеют одинаковый радиус
кривизны.
15. 12. В балке задачи 15. 11 найти поперечную силу, вы-
вызванную резким изменением угла, как показано на фиг. 276.
Взять величины 5°, 10°, 15° и 20° и нанести результаты, чтобы
показать влияние увеличения угла.
Примечание. В $той задаче пренебречь кривизной самой балки.
279
ГЛАВА 16
ДЕФОРМАЦИИ ИЗГИБА
16. 1. Деформации при чистом изгибе. В главе 13 § 3 было
показано, что под действием пары (чистый изгиб) ферма при-
приобретает изогнутое очертание, что и характеризует главным
образом деформацию изгиба. Было установлено, что причиной
кривизны является изменение угла между соседними стойками,
вызванное деформацией каждой панели фермы.
РАст
Фиг. 283. Прогиб балки ферменного типа.
Рассмотрим несколько сопряженных панелей под действием
пары, как показано на фиг. 283, где прогибы сильно преувеличе-
преувеличены (раскосы имеются, но остаются ненагруженными). Если по-
поясные элементы имеют одинаковые размеры и длину, то они
будут деформироваться одинаково в каждой панели и стойки
получат относительные углы наклона, так что пересечение их
осей произойдет в одной точке. При таких условиях балка будет
иметь общее очертание по дуге круга с постоянным
центром и радиусом кривизны.
Если отдельные панели взяты о-чень короткими, то ломаная
линия от балки станет более плавной, и, наконец, при балке
сплошного сечения будет представлять собой дугу круга. Усло-
280
вия для такой балки под действием изгиба представлены на*
фиг. 284 (деформации сильно преувеличены).
Единица длины АВ отмеряется вдоль нейтральной оси и че-
через А и В проводятся параллельные линии перпендикулярно к
оси балки. Они представляют собой следы двух соседних пло-
плоскостей в положении до изгиба. По мере увеличения изгиба ли-
линия, проходящая через В, будет оставаться перпендикулярной
к оси балки и будет поворачиваться около нейтральной оси по*
о
(о)
Изогнутое положение
(сально преувеличено)
НенлгруЖенное положение
М=0
Фиг. 284. Прогиб балки сплошного сечения.
заштрихованной площади. Если плоские поперечные сечения
остаются плоскими, как принято в теории балки, то линия оста-.
пется прямой и заштрихованные площади будут треугольниками.
Максимальные деформации обозначены через ес (сжатие) и
ер (растяжение) и находятся на кромках балки. Если длину
;расС|Матриваемого участка взять равной единице, то эти дефор-
деформации будут относительными деформациями (деформация на
единицу длины).
16. 2. Радиус кривизны. Если линия, проходящая через В
и перпендикулярная оси балки, будет продолжена, то она пере-
пересечет подобную же линию, проходящую через Д в точке О, ко-
которая даст центр кривизны. Радиус кривизны О А может
быть теперь найден из соотношения между двумя заштрихован-
заштрихованными треугольниками и большим треугольником ОАВ. Все тря
треугольника подобны и дают:
АВ
ОЛ
1
R
Уо
A6.1)
281
.Другое соотношение можно найти из треугольника, помещен-
помещенного отдельно и дающего три одинаковых выражения для
1
R
1
У
R
R
А
A6.2а)
A6.2Ь)
A6.2с)
(значения букв см. на фиг. 284).
Эти уравнения являются частными случаями общего взаимо-
взаимоотношения:
Кривизна
A6.3)
где R—радиус кривизны, измеренный от нейтральной оси,
?—'Относительная деформация в точке у,
у — расстояние до нейтральной оси.
Это уравнение основано только на допущении, что распреде-
распределение относительных деформаций линейно (т. е. что плоскость
поперечных сечений остается плоскостью и после нагружения).
Оно не требует, однако, линейного распределения напряжения,
а следовательно, его можно использовать и в пластичной об-
области.
Уравнения A6. 2) и A6. 3) выражают величину кривизны
балки, которая характеризует степень ее изгиба и, как известно,
обратно пропорциональна радиусу. Эта величина (кривизна)
удобна тем, что в, случае, когда радиус обращается в бесконеч-
бесконечность, т. е. балка не гнется, выражение A6. 3) обращается в
нуль, а не в бесконечность, что получилось бы, если бы взять
не кривизну, а ее радиус.
16. 3. Деформации при загибе металла. Уравнение A6. 2)
можно использовать для подсчета относительных деформаций,
соответствующих данному радиусу кривизны при холодном за-
загибе. Положим, что круглый пруток 12 мм в диаметре загибает-
загибается до внутреннего радиуса 100 мм. Можно допустить, что. ней-
нейтральная ось пройдет через центр прутка и тогда усж или Ласт
будет 12:2 = 6 мм. Радиус кривизны нейтральной оси 100+6 =
= 106 мм. При подстановке в уравнение 16. 2Ь.
1
-раст
'раст
Ураст
-Ураст Ь
R ~~ 106
= 0,057.
Та же величина относительной деформации получится и для сжа-
сжатого волокна. Пользуясь диаграммой напряжений-
деформаций для материала, можно видеть, вызывает ли
эта относительная деформация только остаточную деформацию
или она превышает максимальную разрушающую относительную
деформацию, т. е. пруток согнется без повреждения материала
или появится трещина. При помощи этой же простой формулы
можно разрешить и важную для производства задачу об «упру-
«упругой отдаче» при загибе материалов.
При помощи этой же формулы можно проверить работу пло-
плоской пружины и, например, определить, вернется ли пружина
б начальное состояние после загиба до заданной кривизны, или
в ней получатся остаточные деформации. Это можно легко опре-
определить умножением относительной деформации на Е для полу-
получения напряжения и, проверкой, выходит оно за предел про-
пропорциональности (упругости) или нет.
16. 4. Минимальный радиус загиба. Для листов или прут-
прутков толщиной 3 (полагаем, что средняя плоскость является ней-
нейтральной плоскостью) уравнение A6. 3) можно написать так:
а
? -=:г
' 2R '
И наоборот, этому уравнению можно дать простое выражение
R
для определения минимальной величины -у, соответствующей
некоторой допустимой относительной деформации
'макс
A6.4а)
мин
-макс
где R—измеряется до средней плоскости,
•допустимая относительная деформация.
макс
R
Пример. Найти минимум ~~ для листового материала, имеющего отно-
относительное удлинение 10%:
R 1
6 2X0,10 =
Для листа толщиной 2 мм R будет 10 мм,
как указано на фиг. 285. На фигуре видно,
что внутренний радиус равен 10—1=9 мм.
Уравнение A6. 4а) указывает назначение отно-
относительной деформации материала при загибе.
Ясно, что крутые загибы листового материала
сделать невозможно, если материал не обла-
обладает достаточно большой пластичностью, ко-
которую и характеризует удлинение при раз-
разрушении.
5.
:282
Фиг. 285. Радиус загиба.
283
16. 5. Радиус кривизны балки поясного типа. В § 13. 4
был описан тип балки, в которой изгибающий момент воспри-
ьимался целиком двумя поясами, отстоящими на расстоянии й
друг от друга (ом. фиг. 240 и 241). Для данного изгибающею
момента М поясные силы определяются уравнением A3. 3),
которые (можно написать так:
М
Р =Р ¦¦
раст ¦* еж
h
где Рраст—сила в растянутом поясе,
Рсж—сила в сжатом поясе.
Напряжения в поясах получаются
рас:
F.
раст
раст
СЖ
В пределах упругости относительные деформации получаются
путем деления напряжения на Е:
'раст
раст
М
Е
'
Pr,-
М
"СЖ
Е
СЖ
Из уравнения A6.2с)
или после подстановки
Н
м
П
R
FM
A6.5)
pact
Из уравнения A6. 5) .-можно сделать ряд интересных выво-
выводов. Оно указывает, что величина коивизны—¦ :
н
а) прямо пропорциональна М,
б) обратно пропорциональна Е,
в) обратно пропорциональна /?2.
Таким образом жесткость балки поясного типа пропор-
пропорциональна квадрату высоты. Выражение, включающее пло-
площади, тоже интересно, так как оно показывает, что если тот или
другой пояс имеет небольшую площадь поперечного сечения, от-
относительная деформация будет высокой, независимо от площа-
площади другого пояса. Чтобы балка обладала большой жесткостью
на изгиб, желательно применять [материал, имеющий высокий
модуль упругости Е9 расставлять пояса как можно млъше друг
284
Ж
от друга и брать площади сечения поясов большими и прибли-
приблизительно одинаковыми.
16. 6. Формулы радиуса кривизны. Хотя радиус кривизны
можно определить непосредственно по подсчитанной относитель-
относительной деформации при изгибе, обычно более удобно дать форму-
формулу IB зависимости от изгибающего мо'мента и момента инерции,
Уравнение A6. 3) дает
R
Формула изгиба дает
My
i
Делением обеих частей этого уравнения на Е получаем отно-
относительную деформацию так как ?=—Ь
\
Е
My
El
Подставляя это значение в уравнение для
R
получаем ра-
д и у с кривизны:
Радиус кривизны
A6.6)
My
Она
Эта формула связана с формулой изгиба^ 1
является основной для всех расчетов деформаций при изгибе.
Величина El имеет особое значение. Она часто называется и з-
гибной жесткостью, так как является непосредственной
мерой сопротивления изгибу. Она соответствует величине EF в
уравнении деформации при осевой нагрузке. Следует отметить,
что R измеряется до нейтральной оси, как было показано в
§ 16. 2.
16. 7. Деформация изгиба. Одной из наиболее обычных
конструкторских задач является вычисление деформаций при
изгибе. Деформации изгиба в общем значительно больше, чем
деформации при осевых или срезающих усилиях, и имеют по-
поэтому большое практическое значение при расчете строений, мо-
мостов, самолетов и пр.
Если балка постоянного поперечного сечения (или постоянно-
постоянного ?/) защемлена в одном конце и находится под действием по-
постоянного изгибающего момента по всей своей длине, она будет
иметь вид дуги круга, как показано на фиг. 286. Радиус кривиз-
кривизны можно ;легко вычислить из уравнения A6. 6), а прогиб можно
285
найти непосредственным измерением или при помощи уравнения
окружности. (Следует отметить, что такое измерение делается
по отношению к нейтральной линии неизогнутой балки).
Очень часто, однако, бывает,
что изгибающий момент и вели-
величина Е1 непостоянны. Кроме того,
пользоваться уравнением окруж-
окружности неудобно, даже если оно
применимо. Поэтому уравнение ра-
радиуса кривизны в дальнейшем ви-
видоизменено так, чтобы оно было-
более удобным при расчете про-
прогибов.
16.8. Углы поворота оси балки,
Видоизменение является чисто гео-
том,.
метрическим,
что величина
основанным на
к
в сущности опре-
определяет скорость изменения:
угла (или наклона) оси балки.
В § 13.3 было отмечено, что это
изменение угла являлось главным
источником деформаций фермы.
Фиг. 239 показывает изменение уг-
угла (значительно преувеличенное)
положением стоек.
Это представлено яснее на фиг. 287, в которой наклон ней-
нейтральной линии или оси балки в точке Ъ представлен касатель*
папоШение
Фиг. 286. Прогиб балки пЪд
действием постоянного изги-
изгибающего момента.
изогнутое положение
f прруввли чено)
положение
нулевой
Фиг. 287. Отклонение оси балки при изгибе (наклон).
ной, перпендикулярной к радиусу кривизны в этой точке. Угол
дв> очевидно, представляет собой разность наклона в точках а
и by которые находятся на расстоянии Ах.
При небольших прогибах (при большом R) вполне возможно
допустить, что расстояния, измеренные вдоль кривой линии, рав-
J ны расстояниям, измеренным по первоначальной оси. Отсюда
можно считать, что угол
(в радианах). Тогда
между двумя радиусами равен
R
A6.7)
Это представляет собой изменение угла на длине 1х. Изменение
на единицу длины получаем делением на Ах, что дает
Дх
R
A6.8)
Дв
Величину -^ можно рассматривать как скорость
изменения наклона (в) по отношению к рас-
расстоянию вдоль оси X. Знак А указывает, что прираще-
приращения или элементы взяты малыми. Это выражение чисто геоме-
геометрическое и ни в какой мере не зависит от допущений в теории1
балки. Его точность зависит от того, насколько малы взятые при-
приращения для Ах. Если они приближаются к нулю, то формула-
становится более точной. При бесконечно-малом значении при-
приращения формула примет вид
A6.9)
dx
R
286
в которой левая сторона читается как «производная от в по X».
16. 9. Подсчет угла поворота оси балки. Для окружности,
имеющей постоянную величину R, скорость изменения наклона
¦может быть дана, как постоянная, уравнением A6. 8), так что-
х
полный наклон на расстоянии х будет ~R- .
Для линии, имеющей переменный радиус кривизны, наклон
можно вычислить последовательным суммированием по элемен-
элементам, подобно тому как приведено в §§ 2. 18—2. 20. Поскольку
-J7- представляет собой скорость изменения 0 по отношению
к х, действительное изменение при приращении Ах получится
умножением на Ах [см. уравнение A6. 8)]. Для ряда последо-
последовательных приращений эти величины можно вычислить и просум-
просуммировать, пользуясь средними величинами -тг Для каждого
приращения.
Изменение ( —гг ) на длине х может быть нанесено в соот-
©етствующем масштабе. Площадь, ограниченная этой кривой до*
287
7
некоторой точки х, дает величину в в этой точке, как указано
ка фиг. 288.
Разбив балку по размаху на несколько частей, можно полу-
получить ряд -величин в, которые можно затем нанести в виде кри-
кривой, дающей наклон в любой точке х {это, однако, не является
еще кривой прогибов).
16. 10. Выражение прогибов через радиус кривизны. После
того как найден угол поворота или наклон оси балки ib ряде
точек или получена кривая, указывающая его величину ib любой
точке, можно перейти к определению прогибов, перпендикуляр-
Фиг. 288. Подсчет наклона.
Фиг. 289. Прогиб балки.
яых к оси балки, установив связь между прогибами и углами
наклона. Наклон имеет физическое значение, .указанное на
фиг. 289. Величина в на какой-либо точке кривой линии пред-
представляет скорость изменения прогиба у по от-
отношению к расстоянию по оси х. Это можно также
представить как скорость, с которой кривая отходит от оси, и
выразить уравнением
0. A6.10)
Лу
^x
Это соответствует допущению, что кривая ось балки заменена
рядом прямолинейных участков на длинах Ах, как указано пунк-
пунктиром на фиг. 289.
Как я для наклона, уравнение становится тем более точным,
чем меньше берутся приращения Ах, и предельный вид уравне-
уравнения будет
= 0 [сравнить с уравнением A6. 9) j. A6. 11)
dx
Для получения полного прогиба .в какой-либо точке необхо-
необходимо вычислить величины всех приращений и затем сложить их,
как это делают при определении наклона. Здесь также расчет
можно выполнить вычислением, графически или интегрировани-
интегрированием. График дан на фиг. 290.
.28S
Если величину 9 из уравнения A6. 11) подставить в урав-
уравнение A6. 9), последнее будет
A
dx \ dx j
которое можно написать как
R
Уравнение кривизны
dx*
R
A6.12)
Левая часть читается как «вторая производная от у по х».
Уравнение указывает, что скорость изменения скоро-
скорости изменения у по х равна —-. Его можно рассматри
Фиг. 290. Подсчет прогиба.
вать как упрощенную форму точного уравнения, которое выра
жает отношение между радиусами кривизны линии и ее прямо
угольными координатами:
1 -Ь
dy\*
dx J
3/
R
A6.12a)
Однако в конструкторских расчетах применения точного урав-
уравнения не требуется, так как единственная неточность, вносимая
упрощенным уравнением A6. 12), заключается в том, что рас-
расстояния, измеренные вдоль самой линии, приняты равными рас-
19 Ф Р. Шенли.
289
стояниям, измеренным вдоль оси координат (см. фиг. 287). Не-
Неточность становится значительной только тогда, когда отиоше-
х
ние —?- становится больше -^у •
16. 11. Упругая линия. До сих пор уравнения наклона и
прогибов были даны в функции -#- • Это было сделано главным
образом для того, чтобы подчеркнуть, что их соотношения яв-
являются чисто геометрическими и что они ни в какой мере не
связаны с распределением напряжений по сечению самой балки.
Таким образом предыдущие уравнения можно использовать для
определения прогибов балки за пределом упругости,
предполагая, что соответствующие величины R как-либо най-
найдены.
В § 16. 6 было показано, что линейное распределе-
распределение напряжений дает уравнение A6. 6)
1 __ м
~R~~ El
с)ту величину можно подставить вместо -^- в уравнениях A6. 9)
и A6. 12), которые и дадут следующие важные уравнения:
Уравнение наклона
dS M
dx
El
A6.13)
Уравнение прогиба
rf2y M
El
A6. 14)
Уравнение A6. 14) часто называют уравнением упругой
линии, потому что оно применяется только в пределах упру-
упругости, так как было принято, что напряжение пропорционально
относительной деформации при выводе уравнения A6. 6). Это
уравнение является одним из основных для аналитического ре-
решения более сложных задач изгиба. Оно редко применяется не-
непосредственно в конструкторских расчетах, но важно, чтобы был
понят его физический смысл.
16. 12. Влияние длины. Изгибная жесткость EI была пред-
представлена как характеристика сопротивления балки изгибу, так
же как фактор EF представлял характеристику сопротивления
осевому деформированию. Деформации изгиба возникают вслед-
вследствие поворота сечений и появления кривизны. Это же можно
понимать и как изменение наклона элементов оси бал-
Р «
ки. Для осевых нагрузок выражение --~EF дает деформацию на
290
единицу длины или относительную деформацию в. Полное из-
Р1 г
'менение длины дается поэтому значением -^ [уравнение
F. 4с)].
Фиг. 291 дает сравнение между осевым нагружением и изги-
изгибом. Величина, которую можно сравнить с осевой относительной
деформацией, будет в данном случае "~lt>h ее можно рассма-
рассматривать как угловую относительную д е ф о р >м а-
1:
Фиг. 291. Сравнение осевой нагрузки и изгиба.
М
цию1: она равна
[уравнение A6. 6)]. Поэтому полное
изменение наклона на длине I для постоянного изгибающего мо-
момента М равно -?j-.
Та. блица 12 Таблица 13
Осевая
нагрузка
Р
F
М
Изгиб
М
I
1
R
Осевая нагрузка
Изгиб
О :=
8 =
Р_
F
EF
EF
с
У
R
м_
I
_м_
El
/ 1
R
Ml
El
Табл. 12 показывает соответствие величин при осевом и из-
'ибном нагружении.
Сравнимые уравнения приведены в табл. 13.
1 Этот термин обычно не употребляется в конструкторской литературе.
Здесь он применен глзвным образом для того, чтобы помочь сравнению.
19*
291
Хотя изменение наклона часто не представляет непосред-
непосредственного интереса, однако бывает полезно знать, как эта вели-
величина определяется для данного изгибающего момента, действую-
действующего на определенной длине. Поэтому уравнение
А9=—, A6.15)
El
где ДВ—изменение наклона на длине /,
М—изгибающий момент, принятый постоянным на длине /,
представляется все же заслуживающим внимания.
М
тис
МАИС
во
'макс 2 И
Фиг. 292. Соотношения для постоянного изгибающего
момента.
Следует заметить, что обозначение А оставлено в уравнении
A6. 15) потому, что действительный наклон в данной точке
необязательно будет дан этим уравнением. Если в равно нулю
на одном конце балки, уравнение A6. 15) даст действитель-
действительный наклон на другом. При таких условиях наклон будет изме-
изменяться линейно от нуля на одном конце до :максимума на др>
том, как показано на фиг. 292.
Уравнение A6. 15) (можно написать иначе для выражения
сопротивления угловому смещению. Если эта
величина определяется как изгибающий момент, требующийся
для единицы углового смещения (А 8 = 1), уравнение A6. 15)
будет
^^ A6.16)
Ш
292
Величина
El
l
имеет особое значение в задачах, где иссле-
исследуется относительная жесткость участков балки.
Поскольку Е обычно является постоянным для данной кон-
струкции, величина
v
дает относительное сопротивление
повороту. Она часто называется фактором жесткости.
Из § 16. 10 и фиг. 292 видно, что полный прогиб у на длине I
равен сумме (или интегралу) кривой в на этой длине или пло-
площади, ограниченной этой кривой, как указано на фиг. 292. Так
как эта площадь равна -^-©макД полный прогиб балки при по-
постоянном моменте будет:
Прогиб при постоянном моменте
1 Ml2
У=
EI
A6.17)
Это уравнение дает величину прогиба у относительно начальной
оси балки, которая проходит касательно к изогнутой оси балки
в начальной точке (на фиг. 292 левый край). Фиг. 293 является
более общей. Это важно иметь в виду, когда будем иметь дело
с балками, не имеющими нулевого наклона ни на одном из кон-
концов.
6 = 0
Ось отсчегпА
Фиг. 293. Измерение прогиба.
Из уравнения A6. 17) видно, что прогибы (для постоянного
момента) пропорциональны квадрату длины. Это есте-
естественно, так как длина дважды входит при суммировании (один
раз для наклона и один раз для прогиба).
Так как
или
как было указано, является мерой
относительного сопротивления повороту, выражение
(
является подобной же мерой относительного сопротивле-
сопротивления прогибу при постоянном изгибающем моменте.
16. 13. Концевые условия. Для большинства примеров до
сих пор были взяты консольные балки, у которых один лонец
полностью защемлен. Для таких балок наклон и прогиб у за-
293
щемленного конца 1могут считаться равными нулю и первоначаль-
первоначальная (неизогнутая) ось балки может быть взята за ось координат,
относительно которой подсчитывают прогибы.
В § 16. 8 было- отмечено, что уравнение наклона дает только
изменение наклона между двумя точками, образовавшееся под
влиянием изгибающего момента. Если ни один из концов пол-
полностью не защемлен, наклон у концов после нагружения не
\
(о)
1
L
момент
(с)
_М 1
ы
1
1
1
1
{6) наклон
(е) JlpozuS
l ' ОкончАтеланыа К
прогиб
( g) ОкончАтельмьш
на клон
Фиг. 294. Подсчет прогиба простой балки.
остается нулевым и ось, совпадающая с одним из концевых се
чений, относительно которой подсчитываются деформации, сами
повернется.
Наиболее обычный пример такого случая представляет бал
ка, свободно лежащая на двух опорах. Средняя часть балки, на
груженной, как показано на фиг. 294, изогнута постоянным из
гибающим -моментом. Прогибы 'могут быть подсчитаны, как ука
294
зано на фигуре, путем изложенных выше последовательных дей-
действий. Подсчеты начинаются так, как будто левый конец защем-
защемлен (против поворота). Это даег возможность начать с нуля
кривые наклона и прогиба, как показано на фигуре. Суммирова-
Суммирование углов поворота и кривая прогибов найдены, как указано на
фиг. 294,е. Но опорные условия таковы, что у равен нулю на
правом конце. Поэтому правый конец изогнутой оси графически
опущен поворотом всей кривой около левого конца. Кривая про-
прогибов получится тогда, как представлено на фиг. 294,/.
Процесс поворота можно заменить проведением оси X—X
через оба конца кривой прогибов и измерением вертикальных
расстояний между этой осью и осью балки. Угол, на который
балка графически повернута, указан на фиг. 294,<? как 0О. Так
как это рассуждение относится ко всей балке, поворот представ-
представляет собой постоянное изменение углов от одного конца до дру-
другого, и поэтому он показан горизонтальной линией на фиг. 294,G.
Поворот, очевидно, противоположен первоначальной кривизне
балки и поэтому угол 0О должен быть нанесен ниже основной
линии, а суммарные окончательные величины получаются как
разность между двумя кривыми. Фиг. 294,g дает окончательную
кривую в для простой балки. Практически проще нанести ли-
линию для в0 в ы ш е основной линии и рассматривать ее как но-
новую ось для отсчета наклона. Можно видеть, что это дает отри-
отрицательную величину для Н, и положительную для У;,-. Так как
величины М, Е и / взяты постоянными, то прогибы будут сим-
симметричны относительно середины; поэтому в#, Н, и в0 имеют
одинаковую величину.
Этот общий прием применим к любой простой балке на двух
опорах, независимо от характера нагружения. Надо отметить,
что 0О может быть взято равным — в радианах (может быть
измерено непосредственно с чертежа, если у и х нанесены
в одинаковом масштабе, чго, однако, практически затруд-
затруднительно").
Для поив-еденного примера окончательные части кривой про-
прогибов можно найти, рассматривая концы балки как консоли.
Здесь вычисления надо сделать так, как если бы наклон на опо-
опорах был равен нулю. После того, как определены прогибы, кри-
кривые надо повернуть на углы в, и Н^ для приведения в соот-
соответствие с действительными условиями.
Следует заметить, что поворот кривой прогибов на угол в
(в радианах) можно сделать численно, прибавляя (или вычитая)
величины прогибов, равные х®, где х — расстояние по оси от
центра поворота.
16. 14. Максимальный прогиб. На фиг. 294,/ видно, что
максимальный прогиб находится на середине длины балки. Ве-
Величину этого прогиба можно найти из уравнения A6. 17) и
фиг. 294. Обозначим через у' предполагаемые отклонения балки
295
до ее поворота и через у отклонения линии х—х. Тогда в сере
дине длины ( х—— ) будем иметь:
' l
М
1
1 Г-М
El 8
1 PM
2
El 7
1 im
У=У —Уо =
2 El
1 /Ш
4 El
Ш
У
макс
Ь El 4
1_ 12M
8 El
El
A6.18)
Знак — показывает, что окончательный прогиб направлен ни-
ниже линии отсчета х—х.
16. 15. Условные обозначения и знаки. При работе с про-
простыми случаями можно избежать строгой системы условных обо-
обозначений и знаков, так как по эскизу приложения сил или мо-
моментов обычно легко судить и о харак-
характере кривой прогибов. В общем случае,
однако, необходимо установить опреде-
определенный ряд правил, которые следует
применять при решении задач о прогибе
балок.
В связи с этим важно, чтобы суще-
существовало соответствие между обозначе-
обозначениями, т. е. чтобы положительный мо-
момент вызывал положительный наклон и
положительный прогиб. При определе-
определении положительного изгибающего мо-
момента можно применить систему обозна-
обозначения пространственного или конструк-
конструктивного типа (см. главу 3). Если взять
пространственный тип, то он должен
включать правило, указывающее, к какай части балки (к ле-
левой или к правой) оно относится. Так, на фиг. 295 за положитель-
положительный изгибающий момент принят момент, действующий против
часовой стрелки на левую часть балки от точки, для
которой определен момент. Это условие остается в силе, даже
если сечение е левой части подходит близко к концу балки.
Применяя процесс суммирования для определения прогибов,
необходимо начинать от точки, для которой известно (или пред-
предполагается), что наклон и прогиб равны нулю. Подобным же
образом мы поступали и при подсчете изгибающих моментов,
так как было необходимо начинать от точки с нулевым момен-
моменФиг. 295. Правило зна-
знаков для определения
прогиба.
296
Срез =р
««1-х)
том; Эти две начальные точки часто не совпадают. Например^
в консольной балке изгибающий момент равен нулю на одном
конце, но наклон и прогиб равны нулю на другом конце.
Если суммирование производилось численно по нанесенным
кривым и их площадям, то перенос начальных точек отсчета
может быть сделан без затруднений. Но если применять анали-
аналитические методы, надо, чтобы начальная точка была взята вез-
везде одна и та же.
При консольной балке это ;можно сделать, если, например,
выбрать защемленный конец за начальную тачку. Выражение
изгибающего момента тогда бу-
будет М = РA—х), и эту величину
надо применить и при выводе
формул для наклона и прогиба
(см. фиг. 296).
16. 16. Изгиб моментом пере-
переменной величины. Изложенная
теория изгиба [разработана для
;гг о d т о я иного изгибающего
момента. Однако большей ча-
частью моменты изменяются по
длине балки. Как простейший
пример такого изгиба можно
привести консольную балку, на-
нагруженную на свободном конце
сосредоточенной силой. Здесь из-
изменение изгибающего момента
линейно, как показано на фиг.
296.
Хотя описанные выше общие
методы суммирования остаются
в силе ддя любого изменения изгибающего момента, однако
для многих применяющихся на практике случаев решение легко
получить аналитически. В приложении 3 приведен ряд формул
для балок различных типов и условий нагружения в безразмер-
безразмерной форме.
Приведенные кривые можно использовать для любого част-
частного случая путем умножения их величин на множители, соот-
соответствующие рассматриваемой задаче. Как указано на фигурах,
числовые значения для кривых были получены при единичных
значениях основных величин (М, Р, ?, /, I и пр.).
16. 17. Балки с концевыми защемлениями. Хотя подробное
изложение статически неопределимых систем выходит за пре-
пределы данной книги, однако балки с защемленными концами
встречаются настолько часто, что о них следует кое-что сказать.
На фиг. 297,а показана балка, защемленная одним концом и
имеющая простую опору (каток) на другом конце. Это дает два
возможных способа передачи усилия, как показано на
Момент
Фиг. 296. Сосредоточенная
нагрузка.
297
г
V
фиг. 297, Ь и с, что и делает балку статически н е о п ре-
редели м о й (см. главу 5).
В § 16. 13 было показано, как расчет прогиба при изгибе
требует графического поворота около одной точки опоры для
того, чтобы удовлетворить условию нулевого прогиба на дру-
другой. На фиг. 297 имеются д в а концевых условия, которые
должны быть удовлетворены: на правом конце прогиб должен
быть нулевым, а на левом конце и прогиб и наклон должны
быть нулевыми. Эту задачу можно разрешить аналитически
при помощи дополнитель-
дополнительных уравнений, учитываю-
учитывающих упругие свойства бал-
балки. Она может быть также
разрешена путем последо-
последовательного приближения,
причем задаются некоторой
долей силы Р, воспринимае-
воспринимаемой правой опорой. Если
проба дала в результате
нулевой прогиб на правом
конце и нулевой наклон на
левом, то она правильна.
Если нет, то результаты
покажут, в каком направ-
направ(а)
(Ь)
(с)
¦77^7-*".
Фиг. 297. Статически неопределимая
балка.
лении была сделана ошиб-
ошибка, после чего можно сде-
сделать следующие приближе-
приближения. Этот способ трудоемок
и практически применяется редко, но желательно, чтобы прин-
принцип, положенный в его основу, был хорошо усвоен, так как он
представляет собой процесс самоприспособления конструкции,
который в действительности и происходит под нагрузкой. Способ
последовательных приближений является также основой для
многих других весьма важных аналитических способов,, которые
получили широкое применение.
Очевидно, что действительное распределение моментов для
балки будет занимать какое-то промежуточное значение между
значениями, получаемыми для указанных выше простейших
статически определимых схем фиг. 297,6 и с, на которые распа-
распадается данная статически неопределимая система. Поэтому,
произведя расчет отдельно для каждого из этих простейших
случаев и выбрав для расчета максимальные значения для
каждого сечения из этих случаев, иможно быть уверенным, что
он обеспечит прочность и Данной статически неопределимой
балки, но такой способ потребует от балки больших сечений,
чем это получилось бы при точном расчете. Фиг. 298 показы-
показывает балку, защемленную на обоих концах. Это дает три воз-
298
можных статически определимых типа передачи усилия, как
указано на фиг. 298,Ь, с и d.
Концевые условия данной статически неопределимой балки
таковы:
а) нулевые прогибы по концам,
б) нулевой наклон на левом конце,
в) нулевой наклон на правом конце.
Если нагрузка симметричная, то легко решить зада-
задачу, применяя к кривой наклона в тот же принцип, который был
применен к кривой прогибов при
решении задачи простой балки.
Прежде всего надо определить
кривую углов поворота (накло-
(наклонов) для простой балки, как на
фиг. 299,с. Затем кривая на-
наклона поворачивается, пока ее
концы не придут к нулевому по-
положению, как показано на фиг.
299, d. Это равносильно при-
приложению прямолинейной кривой
наклона, у которой концевые ве-
величины точно равны величинам
у простой балки, но направлены
в противоположную сторону
(пунктир-точка-тире). Конечная
кривая наклона (d) получается пу-
путем вычитания (обычный пунктир).
Ранее было показано, что постоянный изгибающий момент
м/ \
-уу j вызывает прямоли-
з
(о)
(Ь)
\
t
Фиг. 298. Балка, защемленная
по концам.
более точно—постоянная величина
нейную кривую наклона. Полная разность наклона между обои-
обоими концами балки, находящейся под действием постоянного из-
изгибающего момента, равна -^ Гуравнение A6. 15)].
На фиг. 299,с это соответствует 2?H. Моменты защемления
г\ Р[ т
можно получить из этого отношения, откуда Ь{>= --гтг . хогда
pi
момент защемления равен —- . Эта постоянная величина вы-
вычитается из величины, относящейся к простой балке (фиг. 299,Ь),
что дает окончательную кривую изгибающих моментов, пока-
показанную на фиг. 299, е. Окончательная кривая прогибов
(фиг. 299,/) получается путем интегрирования кривой наклона
(фиг. 299,d).
16. 18. Общие правила. Из приведенных примеров можно
усмотреть, что существуют некоторые общие правила, устанав-
устанавливающие связь между различными кривыми, применяемыми
при подсчетах прогибов. Наиболее важные из них следующие:
299
а) При нулевом относительном прогибе на каждом конце
суммарная площадь кривой наклона должна равняться нулю,
т. е. площади, расположенные выше нулевой линии, должны
равняться площадям ниже нее.
Прости
в
И рос тля
(d)
м
Злщемленмм
У Прогиб
Фиг. 299. Решение балки, защемленной по концам
б) При полном защемлении на каждом конце кривая накло-
наклона должна начинаться и оканчиваться на нуле.
в) Передвижение кривой наклона по вертикали соответ-
соответствует повороту всей балки на соответствующий угол.
г) Кривая наклона может быть повернута путем приложе-
приложения к балке постоянного изгибающего момента.
300
ЗАДАЧИ
16. 1. Взять балку по фиг. 283, высотой 20 см, площадью
поперечного сечения верхних поясов 6 см2 и нижних поясов
9 см1. Силы, составляющие пару, по 20 000 кг каждая. Приме-
Применяя уравнение A6. 2), найти величины -^- для балки.
а) Оба пояса из алюминиевого сплава.
б) Оба пояса стальные.
в) Верхний пояс стальной, нижний — из
сплава.
алюминиевого
Примечание. Стойки можно считать расположенными так близко
друг к другу, чтобы получилась плавная кривая.
Проверить результаты по уравнению A6. 5).
16. 2. Из квадратного стального прутка толщиной 1 см тре-
требуется согнуть обруч.
а) Если разрушающее удлинение 15'%, то какой может быть
взят минимальный внутренний радиус?
б) Подсчитать приблизительно изгибающий момент, кото-
который надо приложить при условии, что распределение напряже-
напряжения постоянно при пределе текучести в 2300 кг/см2 (как на
фиг. 267),
16. 3. Каков минимальный внутренний радиус, до которого
может быть согнут пруток из задачи 16. 2 бее остаточной дефор-
деформации? (Считать, что предел текучести и предел пропорциональ-
пропорциональности имеют одну и ту же величину.)
16. 4. Считать, что пруток из задачи 16. 2 будет использо-
использован как пружина и поэтому термически обработан до предела
пропорциональности в 8500 кг/см2.
а) Какой минимальный средний радиус кривизны (па ней-
нейтральной оси) теперь может быть получен без остаточной де-
деформации.
б) Какое максимальное удлинение будет получено при из-
изгибе до такого радиуса.
16. 5. Балка имеет два пояса из прутков алюминиевого
сплава, по 3 см2 в поперечном сечении каждый. Центры тяже-
тяжести прутков находятся на расстоянии 30 см друг от друга. При-
Приложен изгибающий момент в 80 000 кгсм. Пренебречь со<бствен-
ными моментами инерции прутков и подсчитать радиус кри-
кривизны по уравнению A6. 6). Проверить по уравнению A6. 2).
16. 6. В задаче 16. 5 взять площадь для одного пояса меж-
между 2 и 3 см2 и для другого между 3,5 и 4 см2. Найти радиус
кривизны и проверить, как в задаче 16. 5.
16. 7. Считать, что балка в задаче 16. 5 имеет длину 300 см.
Какое изменение наклона будет вызвано изгибающим момен-
моментом?
301
16. 8. Найти изменение наклона для балки, взятой в зада-
задаче 16. 6, считая ее длиной 500 см.
16. 9. Каков характер (скорость) изменения наклона (в гра-
градусах) линии, вычерченной радиусом в 625 см? Насколько да-
далеко отойдет эта линия от другой линии, касательной к ней, на
расстоянии 50 см?
16. 10. Консольная балка длиной 40 см подвергается дей-
действию такого постоянного изгибающего момента, что ее наклон
на свободном конце 3° по отношению к защемленному концу.
а) Каков радиус кривизны?
б) Каков прогиб?
16. 11. Две консольные балки одинаковой длины подвер-
подвергаются действию изгибающего момента одинаковой величины.
Одна балка из алюминиевого сплава, а Другая из термически
обработанной стали. Момент инерции бал$и из алюминиевого
сплава в два раза больше момента инерции стальной балки.
Каковы относительные прогибы свободных концов, т. е. какая
балка жестче и на сколько?
16. 12. В задаче 16. 11 взять стальную балку на 20% длин-
длиннее балки из алюминиевого сплава. Найти относительные на-
наклоны и прогибы у свободных концов.
16. 13. Деревянная консольная балка имеет длину 300 см
и сечение 5X10 см. При максимальном допустимом напряже-
напряжении в корне, равном 500 кг/см'\ найти прогиб и величину со-
сосредоточенной нагрузки на конце балки.
Считать ?=110 000 кг/см2. Пренебречь весом балки.
Решить эту задачу для двух условий:
а) нагрузка в плоскости большой оси;
б) нагрузка в плоскости малой оси.
16. 14. Решить задачу 16. 13, считая балку просто опертой
по концам и нагруженной в середине сосредоточенной на-
нагрузкой.
16. 15. Стальной пруток диаметром 2 см и длиной 5 метров
оперт по концам. Насколько он прогнется от собственного веса?
(См. приложение 2.)
16. 16. Считать, что пруток из задачи 16. 15 сделан из алю-
алюминиевого сплава с пределом текучести 3000 кг/см'2. Какова
максимальная длина прутка, опертого по концам, не вызываю-
вызывающая остаточных деформаций? (Считать, что предел текучести и
предел пропорциональности одинаковы.)
16. 17. Найти момент инерции балки из углеродистой стали,
которая должна выдерживать равномерно распределенную на-
нагрузку в 3 кг/см (включая собственный вес), чтобы прогиб не
превышал 1 см для следующих случаев:
а) консольная балка длиной 3 м,
б) просто опертая балка длиной б м,
302
в) неразрезная балка с опорами через каждые 6 м (считать
защемленной в каждой опоре).
16. 18. В задаче 14. 2 (стр. 257) подсчитать смещение сво-
свободного конца балки вдоль главных осей поперечного сечения.
Показать эскизом, что это смещение не находится в плоскости
приложенной нагрузки. Считать ?=110 000 кг/см2. Можно вос-
воспользоваться приложением 3,
Примечание. Задача показывает, что приемы расчета косого
изгиба, выведенные в главе 14, применимы также и для прогибов.
Эффективные изгибающие моменты (§ 14. 3)
можно непосредственно Применить в уравнениях прогибов для
определения компонентов прогиба вдоль осей координат, кото-
которые не являются главными осями.
16. 19. Показать, что эффективное сопротивление изгибу в
плоскости приложенного момента равно / {\ — U?Uy) [см.
уравнения A6.6) и A4.10)].
ГЛАВА 17
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И СРЕЗА
17. 1. Балка с несколькими поясами (метод расчета по эле-
элементам). В начале изучения изгиба в главе 13 было отмечено,
что изгиб почти всегда вызывается передачей поперечных (сре-
(срезающих) сил. В § 10. 16 было показано, что поток срезающих
Элемент пояса
/ \ Элемент стенки
Эпюра
моментов
Фиг. 300. Срез в многопоясной балке.
сил в балке поясного типа вызывает увеличение осевой силы в
горизонтальных поясах. Для такой балки распределение потока
срезающих сил приближенно считалось постоянным по высоте
балки.
В § 13. 6 был рассмотрен изгиб многопоясной балки,
схема которой показана на фиг. 242. В этом частном случае
балка имеет три отдельные стенки, подверженные срезу, и счи-
считать, что поток срезающих сил одинаков Для каждой из них
304
уже нельзя. Распределение его зависит от осевых нагрузок
на поясные элементы и может быть найдено при помопщ при-
применения теории изгиба для определения этих поясных усилий
Это можно видеть, рассматривая небольшой участок по дли-
длине такой балки при совместном действии среза и изгиба как
показана на фиг. 300. Здесь же показаны /участки диаграмм
перерезывающих сил и моментов, соответствующих этому от-
отрезку балки. у
Осевые усилия в поясах считаются известными или должны
быть определены для сечений А и В. Так как изгибающий мо-
момент в В больше, чем в Д осевые силы здесь также должны
быть соответственно выше. Например,' в поясе / усилие -'
будет больше, чем-г,. Так как эти силы не находятся в рав-'
Фиг. 301. Равновесие элемента Фиг. ЗОЛ Раинокесие элемента
крайнего пояса балки. внутреннею пояса.
яовесии, пояс / должен был бы сдвигаться вправо, если бы
этому не препятствовала стенка. Поэтому разность осевых
сил по концам пояса на единицу его длины и определяет сре-
срезающую нагрузку для стенки.
Это показано на фиг. 301, на которой приведены условия
равновесия для пояса /. Сила по стенке равна разности осевых
сил О \:—^A)=iK Если эта сила распределена равномерно
вдоль пояса стенки, то она может быть выражена как сило-
силовой поток Г, величина которого получается делением силы
на длину. (В действительности пояс обычно соединен со стенкой
посредством заклепок или болтов; тогда нагрузка на заклепку
пудет равна —р ,, где п—-число заклепок на длине I). Надо
заметить, что так как пояс / находится на свободном краю бал-
балки, вся неуравновешенная нагрузка может быть воспринята
только срезом стенки.
На фиг. 302 можно видеть, что срезающая нагрузка на
стенку между следующими поясами равна нагрузке в первой
стенке плюс разность между осевыми силами на единицу дли-
длины второю пояса. Поэтому
2= У 1 1 —
2 Л
I
дя9
A7.1)
20
Ф. р. Шенли.
305
где АР., представляет собой изменение осевой силы по поясу
2 на длине /.
Срезающий поток при изгибе
7\
A7.2)
где п—порядковый номер рассматриваемого участка (пояса);
Тп—поток срезающих сил (или погонное касательное уси-
усилие) по одну сторону пояса;
7i_i-—поток срезающих сил (или погонное касательное уси-
усилие) по другую сторону;
ДРН—изменение осевого усилия в /1-ом участке на длине L
Уравнение A7. 2) заслуживает большого внимания, так как
оно дает наиболее общую форму выражения силового потока.
Можно отметить следующие основные положения:
а) Так как поток срезающих сил любой стенки зависит от
потока предыдущей, необходимо знать поток по крайней iMepe
в одной стенке, чтобы можно было подсчитать его в других.
б) Если у балки есть «свободный» край, то поток срезающих
сил вдоль этого края, очевидно, должен быть равным нулю,
поэтому и расчет следует начинать с этого края.
в) Если у балки нет свободного края (как в замкнутой обо-
оболочке), то для определения потока срезающих сил в любой на-
начальной точке следует исходить из дополнительных условий, как
будет объяснено ниже.
г) При выводе уравнения A7. 2) было принято, как и ра-
ранее, что весь изгибающий момент воспринимается только осевы-
осевыми нагрузками по поясам.
17. 2. Подсчет потока срезающих сил. Уравнение A7. 2)
можно назвать формулой потока срезающих сил
от изгиба для отличия ее от формулы потока срезающих
сил от кручения [уравнение A2. 2)]. Оно применяется
главным образом при расчете коробчатых конструкций, образо-
образованных из продольных элементов, соединенных тонкой оболоч-
оболочкой, воспринимающей.срезающие силы. В этих расчетах обыч-
обычно допускают, что поясные элементы воспри-
воспринимают только осевые силы, а стенки (обо-
(оболочка) воспринимают только срезающие силы
(в тонкостенных коробчатых конструкциях, применяемых в са-
самолетах, такое допущение очень близко к истине).
Поток срезающих сил, действующий в горизонтальном на-
направлении (параллельно поясам), будет, очевидно, равен по-
потоку срезающих сил, действующих и в вертикальном направ-
направлении (перпендикулярно поясам).
306
В этом нетрудно убедиться, рассмотрев необходимые усло-
условия .равновесия небольшого квадрата, мысленно вырезанного
из любого места стенки (сравнить § 10. 16).
Зная величину потока срезающих сил, 'легко найти и каса-
касательные напряжения в стенках, применив уравнение A0. 10}
§ 10. /.
Фиг. 303. Подсчет потока срезающих сил б стенках.
Фиг. 303 представляет собой простейшую четырехпояс^у
балку. Расчет ее следующий:
*
1800 — 1500
12 кг:см,
T
1 4
300
2о '
проверка).
Следует заметить, что подсчет начат от свободного края ;<
что знак ДР изменяется при переходе от пояса Z к поясу 3
Подсчет потока к стенке 4 (которой в действительности не су-
существует) является хорошей проверкой, так как известно что
он должен получиться равным нулю у свободного края. Если
бы все стенки были толщиной 1 мм, напряжение среза было
ры соответственно 12:0,1 = 120 кг/см2 и 16:0,1 = 160 кг/см2.
В уравнении A7. 2) нет члена, выражающего непосред-
непосредственно всю срезающую силу, действующую по поперечному
сечению балки (т. е. Q). Также не встречается ее и в предыду-
предыдущем примере, однако, понятно, что в сумме поток всех срезаю-
Щих сил, действующих по сечению, должен быть, очевидно,
оавен приложенной к балке срезающей нагрузке. Почему это
так, станет ясно, если вспомнить, что уравнение A7. 2) основа-
основано на изменении осевых нагрузок на" единицу длины, а это
20*
307
последнее зависит от срезающей силы. Таким образом величи-
величина полной срезающей силы входит в этот расчет, но в неявной
форме.
Примечание. Резкое изменение изгибающего момента, вызванное
приложением пары сил, действующих в направлении поясов, представ-
представляет собой особый случай. Если пара (или несколько пар) приложена в
соответствии с распределением осевых нагрузок по поясам согласно
теории балки, то никаких срезающих сил, действующих на стенки, от
этого не возникнет. Если же пара приложена иначе, то стенки будут
участвовать в распределении пары в соответствии с теорией изгиба. Это
является задачей местного характера, выходящей за пределы даниэ;":
книги.
Из фиг. 300 видно, что разность изгибающих моментов в А
и В может быть представлена кгк произведение срезающей си-
силы на длину элемента I, как это следует из эпюр перерезываю-
перерезывающих сил и моментов. Это соответ-
г ствует одному из допущений, оде-
;_ ^_—( ланньтх при применении уравнения
• ^\ A7. 2), а именно тому, что величк-
*^~ на срезающей нагрузки предполо-
предположена постоянной по принятой в рас-
расчете длине элемента. Это равно-
равносильно проведению прямой линии
между двумя соответствующими
точками на кривой изгибающих мо-
моментов.
Для постоянной перерезываю-
перерезывающей силы это справедливо, но
при изменяющейся перерезываю-
перерезывающей силе применение указанных
формул Даст погрешность, ве-
величина которой будет зависеть от
длины принятого элемента. Сущ-
Сущность этого упрощения становится
ясной, если сравнить эпюры фиг.
304, изображенные пунктирными
линиями и сплошными. Первые соответствуют нагрузке рядом
сосредоточенных сил, на участке между которыми перерезы-
перерезывающая сила постоянна, а эпюра моментов прямолинейна. Вто-
Вторые (непрерывные линии) соответствуют распределенной на-
нагрузке, дающей постепенно нарастающую перерезывающую си-
силу и криволинейную эпюру моментов.
Из этой же фигуры видно, что поток срезающих сил, подсчи-
подсчитанных приближенно, будет в точности равен потоку и от
сплошной нагрузки для средних точек взятых промежутков 1.
При круто изменяющейся эпюре перерезывающих сил мож-
можно, таким образом, брать среднее для промежутка значение.
Расчет распределения потоков срезающих сил для коробча-
коробчатых конструкций с продольными подкрепляющими поясами
308
Фиг. 304. Приближение, вво-
вводимое при подсчете по эле-
элементам.
i
, ¦¦,''.'
U— i
(стрингерами) можно легко провести указанным способом по
элементам. Осевое усилие по каждому стрингеру находим,
у!множая его нормальное напряжение на площадь его попереч-
поперечного сечения, а для получения потока срезающих сил разность
получаемого усилия от одной точки до другой делим на рас-
расстояние между точками. Однако, как указано выше, найти нуле-
нулевую точку потока срезающих сил нельзя, если балка не имеет
свободного края или если она не имеет оси симметрии Для се-
сечения и нагрузки. Поэтому изложение общих расчетных спосо-
способов приведем ниже после дальнейшего освещения этого во-
вопроса.
17. 3. Сплошная балка. В балках сплош-
сплошного сечения (например прямоугольного, дву-
двутаврового, корытообразного и т. п.) при изги-
изгибе также возникают касательные напряжения.
Применять в этом случае изложенный выше
способ определения потоков касательных сил
для поясных балок было бы нецелесообразно
и удобнее вывести особые формулы.
Сначала покажем, как выводится класси-
классическая формула касательных напряжений при
изгибе для той же поясной балки.
Прежде всего, длина рассматриваемого
элемента принимается за единицу (например
1 см), как указано на фиг. 305. Изменение
изгибающего момента \М на этой единичной
длине получается умножением секущей силы
на единичную длину, т. е.
Теперь, если считать, что поперечное сечение одинаково на
длине элемента, изменение нормального напряжения в поясах
можно подсчитать по формуле изгиба:
Фиг. 305. Элемент,
взятый при ныво-
де уравнения пото-
потока срезающих сил
(показан неуравно-
неуравновешенным).
А
ДМ
Изменение осевой силы для любого пояса можно получить
умножением соответствующей величины .->" на площадь пояса,
например
Это уравнение дает изменение осевой силы на единицу длины
A см), следовательно, оно дает и величину потока сре-
309
зающих сил, передаваемого рассматриваемым поясом. Та-
Таким образам
Поскольку поток срезающих сил между какими-либо двумя
поясами представляет собой сумму потоков срезающих сил от
свободного края до рассматриваемой точки, он может быть зы-
ражен так:
Q
1
Т
Выражение ч" Fij представляет? собой статический мо-
момент площади (см. § 13. 8). Уравнение потока срезающих сил
поэтому можно написать следующим образом:
Уравнение потока срезающих сил
Т
QS
17.3)
где Т—поток срезающих сил (kzjcm) в горизонтальной или
вертикальной плоскости;
О—секущая сила в рассматриваемом сечении;
/—момент инерции относительно нейтральной оси балки;
S—статический момент площади части поперечного сече-
сечения между свободным краем и рассматриваемой точ-
точкой относительно нейтральной оси.
Фиг. 306 показывает, как эта формула применяется к балке
сплошного сечения. Если, например, желательно знать напря-
напряжение среза в сечении X—X, то надо подсчитать статический
момент заштрихованной части сечения. В этом расчете плечо
каждого элемента площади должно быть взято до нейтральной
оси, как указано величиной yL на фиг. 306.
Напряжение среза находим делением потока срезающих сил
на минимальную ширину или толщину, по которой он проходит.
Это можно 'Выразить уравнением:
Уравнение напряжения срезг
A7.4)
где Ь~минимальная ширина или толщина в данной точке.
На фиг, 306 показан случай, когда Ъ измеряется обычным
образом (как ширина балки), а на фиг. 307 приведены два се-
сечения, iB которых минимальная площ,адь среза не проходит пря-
прямо поперек балки (т. е. горизонтально).
310
Как правильно выбрать величину Ъ для различных сечений
ке может вызывать затруднений, если хорошо усвоить смысл
приведенной формулы. Некоторые типы балок могут иметь боль-
больше одного свободного края \ как показан*"» на фиг. 308, на ко-
\
{/_ Нейтральная
{/
\
\
\
\
—X у
I I
Фиг. 306. Поток срезающих сил в балке сплошного сечения.
торой четыре пояса связаны стенками. Рекомендуем обратить
внимание на то, что потоки срезающих сил для участков сте-
нок 1 и 2 могут быть подсчитаны независимо. Их сумма будет
действовать по участку 3.
Фиг. 307. Выбор поперечного сечения
для подсчета потока срезающих сил.
Фиг. 30S. Балка с числом
свободных краев больше
двух.
17. 4. Изменение напряжений сдвига по сечению. Для про-
простой прямоугольной балки, подобной показанной на фиг. 309,
изменение напряжения среза по высоте можно получить непо-
непосредственным суммированием (или интегрированием) кривой
нормальных напряжений, соответствующих изменению изги-
изгибающего момента, на длине балки, равной единице (гак как
¦ширина Ъ постоянна, то нет необходимости сначала умножать
нормальные напряжения на ширину, а потом делить получен-
1 Вернее, двух. Прим. ред.
311
ные силы на ту же ширину, чтобы получить напряжение среза).
Результирующая кривая будет иметь очертание параболы, как
указано, и максимальная величина будет на нейтральной оси.
"*- среди
Фиг. 309. Напряжение среза в прямоугольной балке,
находящейся под поперечной нагрузкой.
Эта величина численно равна площади, ограниченной половиной
кривой нормальных напряжений (умноженной, конечно, на соот-
соответствующий масштаб).
Из формулы изгиба
Q
h
макс
\2
Площадь одного треугольника фнг. 309 будет тогда равна
макс
Но
отсюда
1
2
макс
.макс
¦редн
h
9
3
Q
2
0
6Q
b№
J
л
2
з
.макс
'среди*
A7.5)
Этот пример показывает, что максимальное напряжение среза
(или поток) для прямоугольной балки равно трем вторым напря-
напряжения среза, полученного выше для идеальной двухпоясной
балкк >(§ 10. 7) \
,;¦<¦;.
гМ)
Подобным же способом можно показать, что максимальное
напряжение среза для круглого сечения равно четырем тре-
третям среднего напряжения среза, в то время как для тонкостен-
тонкостенной трубы в два раза больше средней величины. Сравне-
Сравнение этих величин дано на фиг. 310.
I—
i
\
i ')
\—
?&
_._... j
ёална поясного
т = 3.
** muhc 2 У
Прямоугольный брусок-
r =2i
-макс и р
Тонкостенная ойолочна
312
Фиг. 310. Напряжение среза в балках различных поперечных сечений
(для поперечной нагрузки в вертикальном направлении).
Указанные соотношения полезны для оценки максимально-
максимального напряжения среза для различных сечений, так как любое по-
поперечное сечение будет в какой-то мере соответствовать одному
из приведенных на фиг. 310. Здесь надо заметить, что если'
изять за основу напряжения стенки балки поясного типа, то<
площадь поясов не надо вводить при определении среднего на-
напряжения среза (она не была включена .и при выводе формулы,
потока срезающдх сил для балки поясного типа в главе 10).
Поскольку поток срезающих сил для балки любого типа
всегда достигает своей максимальной величины по нейтральной*
оси, важно внимательно проверить поперечное сечение, у кото-
которого имеется заметное уменьшение ширины в этой области (на-
1 То-есть для такой, у которой пояса воспринимают нормальные напря-
напряжения, а стенки только касательные.
31-:
пример фиг. 311,а). Это же относится к составным балкам,
которые соединены по нейтральной оси или вблизи ее болтами,
заклепками или другими способами (фиг. 311 ,Ь). Силу среза на
каждый элемент соединения (болт, заклепка) можно подсчи-
подсчитать, умножив поток срезающих сил на шаг между элементами
соединения (d на фиг. 311,Ь).
(a)
Фиг. 311. Балки, опасные по срезу.
Максимальный поток срезающих сил по нейтраль-
нейтральной оси прямоугольной балки будет [из уравнения A7. 5)]:
Т— 3 Т — 3Q
Как сделать такой расчет, -видно из следующего при-мера.
Две половины балки размерами 5X10 см каждая соединены
болтами с шагом 10 см. Если приложена вертикальная секушая
сила в 500 кг, горизонтальная срезающая сила на один болт
будет
3 500 _А
/о0 кг.
Р =d- T
макс
10
10
17. 5. Нескрепленные балки (рессора). Интересно также
знать, как подсчитать напряжения среза, когда две или больше
балки гнутся совместно, но не имеют соединений в плоскости
среза (так было бы для двух балок фиг. 311,6, если бы не было
болтов). Обычным примером такой кон-
конструкции может служить ;л истовая
рессора, в которой распределение на-
нагрузки зависит от относительного проги-
прогиба балок. После того как распределение
нагрузки по этим отдельным ; балкам
найдено, каждая '(балка для определе-
определения действующих в ней напряжений сре-
среза рассматривается отдельно. Так, если
поперечная нагрузка передается на три
Фиг. 312. Несоединенные
балки, работающие вме-
вместе (прогиб изображен
преувеличенным).
одинаковые балки, свободно скользящие одна по другой, каж
дую балку следует рассматривать как отдельную, несущую треть
-нагрузки.
314
Неизбежность скольжения несоединенных балок легко по-
понять, если рассмотреть показанное на фиг. 312 изогнутое их по-
положение. Напряжения изгиба и прогибы надо подсчитывать так
же, рассматривая балки как отдельные.
17. 6. Балки переменной высоты («конусные»). Вся теория
изгиба, изложенная до сих пор, была основана на рассмотре-
рассмотревши работы прямоугольного участка
(панели), что было применимо 'для
балок постоянной высоты. На фиг.
313а изображена панель балки с пе-
переменной высотой. Такие балки часто
называются конусными (или кониче-
коническими). На фиг. 313Ь показана мо-
модель балки, представляющая деревян-
деревянную рамку со стенкой из листовой ре-
резины до и после нагружения.
Переходя к рассмотрению особен-
особенностей конусных балок, мы отмечаем
следующие два основные положения:
а) Допускаем, что осевая деформация самих наклонных
поясов не влияет существенно на распределение сдвигающих
сил по сечению стенки, и принимаем пояса бесконечно жесткими,
б) Отмечаем, что осевое усилие в поясе дает слагающую,
перпендикулярную к оси балки.
Фиг. 313а. Коническая балка
(ферма).
Фиг. 313 Ь. Коническая балка перед нагружением и после.
Стенка сделана из листовой резины. Обратить внимание
.на морщины в правой части, где поток срезающих сил
больше.
Первое положение достаточно близко к действительности
для балок, которые не имеют значительной конусности. Поэтому
можно считать, что поток срезающих сил по любому поперечно-
поперечному сечению, перпендикулярному к оси балки, остается по-
постоянным.
Второе положение следует особенно иметь в виду, так как
влияние указанных составляющих на поток срезаюших сил мо-
может быть значительным. Допустим, что на пояса балки на
315
фиг. 314 в сечении разреза действуют одинаковые осевые уси-
усилия Р. Равнодействующая этих усилий приложена к точке О на
оси балки и имеет величину Pv в вертикальном направлении.
Точка О есть точка пересечения осевых линий двух поясов.
-
У/
'ШШШ3? ?
¦ЛГ-"^ Г)
а
VP,
Фиг. 314. Балка с переменной высотой.
личина Р для данного изгибающего момента равна:
Л'
A7.6)
где М—изгибающий момент,
К—плечо момента от нагрузки одного пояса, как ука-
указано на фиг. 314.
Из фиг. 314 можно видеть, что
h' = h cos a.
Л*
Отсюда
Р=
h COS a
A7.
7\
Если а мало C—5°), cos a близок к единице, и уравнение
получится такое же, как и для прямоугольной балки [уравнение
A3. 3)].
Фиг. 314 показывает, что величина Ру выражается
Р7=2Р&тя,
РТ=2
Следовательно,
Al sin с.
/] COS а
Af
h
tga.
A7. S
Уравнение A7. 8) показывает, что если изгибающий момент
велик, то вызванные им усилия в поясах имогут дать и срезаю-
срезающие нагрузки значительной величины. Действительная срезаю-
316
щая сила, передающаяся на стенку, будет алгебраической сум-
суммой из внешней секущей силы и срезающей нагрузки, возни-
возникающей от наклона поясов.
стенк
и V
или
О
степки
Q
9
м
h
tga.
A7.9)
A7.10)
Отрицательный знак взят потому, что сила, представленная вто-
вторым членом, обычно направлена в противоположную сторону
относительно приложенной секущей силы.
Можно представить такое сочетание срезающей силы и мо-
момента, при котором на стенке вовег не будет потока срезающих
сил. Действительно, если момент вызван силой Р, приложенной
в точке пересечения поясов, то в этом случае передача силы Р
в конструкции осуществится лишь осевыми силами, действую-
действующими по поясам. Представив себе такую конструкцию, как
ферму с раскосом, вместо стенки, мы легко убедились бы в том,
что усилие в раскосе в этом случае было бы равно нулю. Это
не значит, конечно, что практически (в реальных конструкциях)
такой раскос не нужен, так как в случае несовпадения силы с
точкой О он уже перестанет быть нулевым. Однако, если на-
нагрузка приложена точно в точке О, то конструкцию можно вы-
ттолнить и без раскоса \
Фиг. 315. Условие нулевой нагрузки в раскосе.
Следует также отметить, что осевая нагрузка, приложенная
? точке О вдоль оси фермы, не потребует раскоса (или стенки).
Поэтому безраскосная конусная ферма теоретически будет вос-
воспринимать нагрузку, приложенную в любом направлении в
точке О, если она находится >в плоскости фермы.
1 К этой схеме часто приближаются в конструкциях подмоторных рам
самолета. Фиг. 315 можно рассматривать как вид на такую ферму сбоку
центром тяжести мотора в точке О.
317
.#¦1
Когда приложена одна поперечная нагрузка, то удобно опр
делить секущую силу по стенке простой формулой:
О =Р-
\- стенкн
а
A7.11)
где а и Ъ измеряются, как указано на фиг. 316. Ось координат
не всегда представляет собой ось балки, как указано на
-. '¦///'///, \ кггрдинат"
Фиг. 316. Способ подсчета сре-
срезающей силы по стенке при
нагрузке одной силой.
Фиг. 317. Несимметричный
случай.
фиг. 317. Если углы невелики (не больше 3—5 градусов), мож-
можно пользоваться формулой
Q
стенки
A7.12)
где аг
Как
и я2 приняты оба как положительные,
выше отмечено,
Фиг. 318.
318
Особые случаи конических
балок.
отрицательный знак в уравнениях
A7. 10) и A7. 12) взят пото-
потому, что при изгибающем мо-
моменте, вызванном некоторой
силой, от усилий по поясам по-
получится слагающая в направ-
направлении, противоположном по от-
отношению к этой внешней силе.
Это справедливо в том случае,
когда высота балки увеличи-
увеличивается в направлении,, по ко-
которому передается срезающая
нагрузка (от силы к опорам).
Если внешняя нагрузка будет
приложена в наружную сторо-
сторону от точки пересечения, как
указано на фиг. 318,а, то нор-
нормальная слагающая от усилий
в поясах будет превышать
внешнюю нагрузку и секущая
сила по стенке (на участке с
наклоненными поясами) будет
направлена в сторону, п :р о-
тивоположную приложенной внешней нагрузке. Если схе-
схема расположения такова, как показано на фиг. 318Д секущая
сила от наклона поясов прибавляется к внешней секу-
секущей силе [отрицательные знаки в уравнениях A7. 10) и
A7.12) меняются на положительные'/
Фиг. 319. Коническая оболочка.
17. 7. Коническая оболочка. Уравнение A7. 8) можно при-
применить и для конусной круглой оболочки (усеченный конус)
h
путем замены величины —на радиус г, что дает
где г-
a
М
радиус средней линии поперечного сечения,
¦угол конусности (фиг. 319).
A7.13)
Чистая секущая сила дана в уравнении A7. 9). Максималь-
Максимальное напряжение среза можно подсчитать способами, изложен-
изложенными в § 17. 4.
Уравнения A7. 8) и A7. 13) *можно написать в более общей
форме, которую можно использовать для балок любого сече-
сечения с высотой, линейно изменяющейся по длине:
A7.14}
М
где Ру—секущая сила от наклона поясов,
М—изгибающий момент сечения,
b—расстояние до вершины (см. фиг. 318).
ЗАДАЧИ
17. 1. Пользуясь фиг. 303 как схемой, считать расстояние-
между центрами тяжести поясов 10 см, изгибающдй момент для
левого сечения 300 000 кгсм и для правого сечения 270 000 кгсм
(сечения находятся на расстоянии 25 см). Считать, что пояса 2
:и 3 имеют поперечное сечение по о ель2 каждый и для поясоз
./ и 4 задаться величиной между 7—12 см2.
а) 'Какова полная секущая сила?
б) Каков поток срезающих сил на единицу длины стенки?
в) Какова срезающая поперечная сила на единицу длины
стенки?
Примечание. Сумма срезающих нагрузок проверяется полной се-
секущей силой. Пренебречь площадью стенки при определении нагрузки
ка пояса.
17. 2. Начертить поперечное сечение, подобное показанно-
показанному на фиг. 306, применяя прямоугольные элементы.
Дать размеры и подсчитать площадь, момент инерции и ста-
статический момент (последний подсчитать для площади, распо-
расположенной выше нейтральной оси). Подсчитать максимальное
напряжение среза для секущей силы в 400 кг. Сравнить со
-средним напряжением среза по поперечному сечению (долж-
(должно быть несколько больше среднего).
17. 3. Пользуясь задачей 17. 2 как основой, подсчитать на-
напряжение среза для сечения в месте соединения пояса со стен-
стенкой также в двух других промежуточных точках. Нанести крп-
Еую, показывающую изменение напряжения среза по высоте
балки. Показать пунктирной линией среднее значение напря-
напряжения среза.
17. 4. Пруток сплошного сечения диаметром 5 см нагружен
срезающей нагрузкой в 12 000 кг. Каково наибольшее напряже-
напряжение среза? Подсчитать по уравнению A7. 4) и проверить по
фиг. 310 (см. приложение 1, табл. 1 для статического мо-
момента).
17. 5. Принять, что три балки, показанные на фиг. 312, сде-
сделаны из деревянных досок 30 см ширины и 5 см толщины и что
вся приложенная нагрузка равна 12 000 кг.
а) Пользуясь уравнением A7. 4), найти максимальное на-
напряжение ср^еза.
б) Если доски склеены, то каково максимальное напряжение
среза?
в) Каково напряжение среза в плоскостях склейки?
17. 6. Труба из алюминиевого сплава диаметром 75 мм долж-
должна выдерживать поперечную секущую силу в 6000 кг перед раз-
разрушением. Считать трубу тонкостенной и найти требуемую тол-
¦щину стенки. ;
Примечание. Пользоваться фиг. 234, 310 и приложением 2. Надо
применить способ последовательного приближения. Предположить длч
начала величину допустимого напряжения среза и проверить по получен-
полученным результатам в зависимости от Dfi
17. 7. Взять произвольные размеры по средней линии
фиг. 313а и принять Р=2000 кг.
Найти поток срезающих сил по стенке в каждом конце
'¦фермы.
320
\
17. 8. В задаче 17. 7 поместить точку приложения силы так,
чтобы поток срезающих сил у левого конца фермы был умень-
уменьшен до половины его первоначальной величины.
17. 9. Конусная тонкостенная оболочка имеет длину 125 см>
диаметр 100 см на одном конце и 50 см на другом. Приложена
поперечная секущая сила в 400 кг на малом конце и удерживает-
удерживается на другом. Найти максимальный поток срезающих сил на каж-
каждом конце и в среднем сечении.
17. 10. Подсчитать статический момент (относительно ней-
нейтральной оси) тонкостенной круглой оболочки путем разделения
поперечного сечения на (малые элементы одинаковой площади.
Использовать эту величину, чтобы показать, что максимальное
напряжение среза вдвое больше среднего.
Примечание. Задачу можно решить и по готовым формулам, но
желательно сравнить относительную точность вычислений, пользуясь
определенным числом конечных элементов. Радиус и толщину можно
взять в буквенном обозначении. Пользоваться нужно только четвертью
круга. Она должна быть разделена не менее чем на 10 частей.
17. 11. Беря моменты относительно воображаемой вершины,
показать, что уравнение A7. Г4) применимо к любому при-
принятому распределению нормальных напряжений от изгиба при
условии, что осевые силы в сечении разреза имеют линии дей-
действия, проходящие через общую вершину.
21 Ф. Р. Шенли.
ГЛАВА 18
ОДНОВРЕМЕННОЕ ДЕЙСТВИЕ СРЕЗА И КРУЧЕНИЯ
18. 1. Симметричные сечения. Поперечное сечение, нагру-
нагруженное, как указано на фиг. 320, подвергается одновременному
действию секущей силы и кручения (в добавление к некоторо-
некоторому изгибающему моменту, который
может действовать в этом сечении).
Напряжения от секущей силы Р
определяются способами, приведен-
приведенными в главе 17. Крутящий момент
равен Рх, и получающиеся напря-
напряжения среза от кручения можно
найти способами, изложенными в
главе 12. Суммарное напряжение
среза в какой-либо точке по попе-
поперечному сечению можно затем
определить алгебраическим сложе-
сложением срезающих напряжений от
этих двух видов нагружения. Мак-
Максимальное суммарное на-
напряжение ере а а получится
на стороне, ближайшей к приложенной силе.
Для условий, приведенных на фиг. 320, максимальное напря-
напряжение среза можно определить, пользуясь теорией тонкостенной
оболочки. Пусть
Р-500 кг
х~ 100 см
' = 25 ,
3=0,12 .
Фиг. 320. Поперечное сечение
трубы под нагрузкой от среза
и кручения.
= irr2=1963 см
Напряжение среза от кручения определяется уравнением
A2.3):
М,п 500-100
2.1963-0,12
= 106 кг!см}.
322
Максимальное напряжение от секущей силы определяется
уравнением A7. 4) или A7. 11):
2Р 2-500
или
F
500
те.25-0,12
=53
= 159 кг:см\
На противоположной стороне напряжение будет
т=Ю6—53 = 53 кг\см\
Наверху и внизу оболочки напряжения от секущей силы рав-
равны нулю и, следовательно, полное напряжение будет равно на-
напряжению от кручения.
'00кг
20 см
Фиг. 321. Совместное действие среза н кручения для сплошного
сечения.
Напряжение в некоторой промежуточной точке может быть
определено при помощи общей формулы для напряжений от
секущей силы [уравнение A7. 4)].
Сплошное сечение можно рассматривать подобным
же образом, но надо применить соответствующую формулу.
Алгебраическое сложение напряжений среза не всегда правиль-
правильно, но ошибка, вводимая таким образом, будет всегда в пользу
прочности, т. е. вычисленные напряжения будут получаться
больше действительных.
Например, на фиг. 321 показано прямоугольное сечение
5X10 см, на которое действует сила в 500 кг на расстоянии 20 см
от его оси. Наибольшее напряжение от секущей силы будет на
линии X—X и определится из уравнения A7. 5):
Q
bh
500
5-10
= 15 кг 1см2
21*
323
Напряжение среза от кручения определяют по табл. 6
кМ 4,07.500-20
"м
"max
10-52
= 163 kzjcm2,
кг\см\
Это сложение [максимальных напряжений правильно, так как
они действуют в одной точке и е одном направлении.
Надо заметить, что эти операции учитывают только напряже-
напряжения среза и дают поэтому полный ответ только в том случае,
когда поперечное сечение не имеет никаких действующих на него
нормальных напряжений от изгиба.
Если существуют значительные напряжения от изгиба, то
максимальные срезающие напряжения могут быть иногда боль-
больше, чем те, которые получены при учете только прямого среза и
кручения. Методы определения максимальных напряжений при
совместном действии норииальных и касательных напряжений
изложены в главе 20.
18. 2. Несимметричное замкнутое сечение (оболочка). Для
симметричного поперечного сечения было очевидно, что условия
его сложного нагр ужения
можно свести к действию сре-
срезающей нагрузки, приложен-
приложенной в плоскости симметрии и
к крутящему моменту, кото-
которые и рассматривать порознь.
Однако действительная при-
причина использования плоскости
симметрии может и не быть
сразу ясной. В симметричном
оболрчнц
Элемент пояса
Фиг. 322. Несимметричное закрытое
сечение (схематизировано).
поперечном сечении плоскость
симметрии определяет ось,
вдоль которой может быть
приложена секущая сила, не
вызывающая крутящего момента (сравнить с применением глав-
главных осей в несимметричном сечении).
Для несимметричного поперечного сечения положение та-
такой оси не может быть определено непосредственно по внеш-
внешнему виду. Способы определения его для открытого сечения с
тонкой кривой стенкой описаны выше. Было принято, что такая
балка неспособна сопротивляться кручению, и, следовательно,
секущая сила может быть приложена лишь в так называемом
центре жесткости.
Закрытое несимметричное сечение способно сопротивляться
как секущей силе, так и кручению. Такое сечение показано на
фиг. 322 и представляет конструкцию D-образной трубы, часто
применяемую в самолетах. Принято, что сечение состоит из
поясных элементов (стрингеров), которые несут только нормаль-
324
¦ные напряжения, и из элементов оболочки, которые сопротив-
сопротивляются только потоку касательных усилий. Подобный характер
работы элементов сечения достаточно соответствует тому, что
наблюдается в конструкциях из тонкого листового материала,
подкрепленного стрингерами (это же допущение может быть
принято с известным приближением и для других типов кон-
конструкций, в которых работа материала распределена более рав-
равномерно). Может казаться, что решение могло бы быть полу-
получено непосредственно из уравнения A7. 3) (х= ~- ) при опре-
определении величины статического момента S. Из главы 17 видно,
однако, что 5 вычислен от точки нулевого потока касательных
усилий (как у внешнего края балки). Так как положение этой
точки для 'несимметричного сечения заранее определить нельзя,
то уравнением A7. 3) непосредственно воспользоваться не
удастся.
Эту задачу можно разрешить разными путями, но все они
опираются на основное уравнение A7. 2) потока касательных
усилий (повторенное ниже);
Полагая, что подсчет нормальных напряжений в поясных
элементах от общего изгиба выполнен для двух смежных сече-
сечений, можно легко получить величины для приращений АР по
поясам.
Теперь очевидно, что величина потока касательных усилий
з элементах оболочки может быть определена по уравнению
A7. 2), если известен поток по какому-нибудь одному элементу
оболочки. Задача тогда решается легко путем нахождения
потока касательных усилий в любом элементе оболочки в за-
зависимости от характера нагружения. Возможно несколько спо-
способов решения этой задачи.
18. 3. Способ разрезания оболочки. Один способ заклю-
заключается в том, что мы сначала произвольно предполагаем, что
в какой-нибудь точке данного замкнутого сечения поток каса-
касательных сил равен нулю. Физически это соответствует как бы
проведению линий разреза через эту точку, что превращает
замкнутое сечение в открытое, распределение потока касатель-
касательных сил по элементам которого нами уже подробно рассмотре-
рассмотрено выше. Мы видели, что такое сечение, будучи практически не-
неспособно сопротивляться кручению, сможет полностью воспри-
воспринять нагрузку от силы 0 только в том случае, если она прило-
приложена в центре жесткости, как изображено на фиг. 323,Ь пунк-
пунктирной стрелкой О'.
Если нагружающая сила приложена не .в центре жесткости,
а в какой-то другой точке, то она дает момент, который будет
вызывать кручение сечения: на фиг. 323 это будет момент Qd
325
и для замкнутого сечения он дал бы постоянный поток каса-
т Qd
тельных сил 1 = тур .
Таким образом работу интересующей нас конструкции мы
можем рассматривать как алгебраическую сумму двух ее со-
состояний, а именно: открытого контура, работающего только на
восприятие секущей силы (У, и закрытого, воспринимающего
кручение от момента, равного Qd.
Фиг. 323. Схема оболочки с разрезом.
Очевидно, что полный поток касательных сил а такой кон-
конструкции будет равен алгебраической сумме потоков от двух
рассмотренных (выше состояний, а величина Т =~ и будет
как раз тот поток касательных сил, который будет действовать
в месте разреза.
Развивая этот способ дальше, мы легко придем к выводу,
что можно обойтись и без определения центра жесткости для
нахождения потока в <месте разреза.
О IЦЖ
Фиг. 323/. Схема оболочки с разрезом
В этом случае, определив поток для открытого сечения, надо
найти (момент, который он дает относительно любой произволь-
произвольно выбранной точки. Сделать это легко, пользуясь указаниями
§ 11. 2. Приняв этот момент как момент, с которым сечение
сопротивляется кручению, сложить его алгебраически с ядомен-
том, который дает внешняя сила относительно той же самой
точки. Полученный таким образом момент, разделенный нг пло-
326
щадь контура 2F, и дает величину потока касательных сил в
месте разреза \
18. 4. Прямой способ. Хотя способ разреза замкнутого се-
дения очень полезен для выяснения физической картины рабо-
работы, однако он не является необходимым для разрешения задачи.
Вместо того чтобы считать сначала величину потока каса-
касательных усилий в месте разреза (в данном примере в стенке)
равной нулю, можно ее неизвестную истинную величину обозна-
обозначить какой-нибудь буквой, например То.
Тогда величину потока во iBcex
прочих элементах сечения можно
^выразить как сумму, состоящую из
^той величины То и другой величи-
величины, определяемой изменением осе-
|вой нагрузки в .поясах. Затем для
^определения неизвестной величины
То момент от потоков касательных
сил по всем элементам контура
;можно приравнять моменту от
|внешней силы (подобно тому, как
(это было изложено выше). Весь
„ход расчета понятен из фиг. 324.
Дднако здесь вместо того чтобы
приравнивать внешнему моменту
реактивный поток сечения (т. е. по-
поток, который уравновешивает
(внешний крутящий момент), обыч-
обычно предпочитают находить поток
активный, т. е. показывающий, как
¦внешняя нагрузка передается на
сечение. По этой причине фиг. 324
дана в Двух частях: а показывает
внешние условия нагружения раз-
разрезанного сечения, а Ъ показывает предположительный экви-
эквивалентный активный поток касательных усилий. Условное обо-
обозначение положительного момента указано на фиг. 324,а.
(Ь)
Фиг. 324. Определение потока
касательных сил.
1 В справедливости изложенного легко убедиться при помощи следую-
следующих соображений.
Допустим, что вместо центра жесткости мы взяли бы произвольную точ-
точку О (фиг. 323').
Если момент потока сил Tq относительно центра жесткости был равен
нулю, то очевидно, что относительно точки О этот момент будет равен
—Qa, так как равнодействующая сил этого потока равна силе Q, проти-
противоположна ей и проходит через центр жесткости.
Момент внешней силы Q относительно точки О равен Q{a-\-d) (фиг. 323').
Момент, вызывающий кручение сечений, будет
т. е. тоже, что получилось и выше.
Момент от сил Tq относительно любой точки легко определить,
пользуясь указаниями § 11. 2.
327
Эле>менты поясов и оболочки обозначены соответствующими
номерами (удобно обозначать одним номером элемент пояса и
идущий за ним элемент оболочки в направлении положитель-
положительного момента).
Если теперь взять То за неизвестный поток касательных уси-
усилий, то величины для других элементов оболочки будут сле-
следующие:
т
1 У0
о»
АР,
т.
Т* t Л/Л) т»
ДР,
и т. д.
Можно 1видеть, что поток касательных усилий в любом эле-
элементе оболочки состоит из двух частей, одна из которых То —
неизвестный поток касательных усилий в элементе оболочки
№ 0, остальная часть представляет собой сумму разностей сил
в поясах (на единицу длины) до рассматриваемого пояса. Для
удобства эта сумма обозначается через ДГ и будет называться
приращением потока касательных усилий, ко-
которое может быть выражено уравнением:
A8.1)
где кТп—приращение потока касательных усилий для эле-
элемента оболочки /z,
I—длина между поперечными сечениями,
ЛР—-изменение усилия в поясах между сечениями.
Поток касательных усилий в любой точке теперь может
быть выражен так:
Т —Т
1 п 1 0
дг.
A8.2)
Приращение потока касательных усилий
AT является величиной, которая при вычислениях заменяет
статический момент S и подобна ему. Она легко вы-
вычисляется последовательным суммированием разностей усилий
по поясам. S 'можно получить из уравнения для ДТ, принимая
Го=0 (на свободном крае) и считая, что нормальное напряже-
напряжение от изгиба равно расстоянию от оси изгиба.
328
Крутящий момент потока касательных усилий в любом эле-
элементе оболочки (относительно принятой точки отсчета) дается
следующей формулой из уравнения A2. 1)
MKpn=2TaFa = 2(TQ + &Ta)Faf A8.3)
где Fn—сектор площади, соответствующий элементу п (за-
(заштрихованные площади на фиг. 324, Ь).
Величины для нескольких элементов приведены ниже:
=2 T,Fb=
2Д Г2Р2.
2 Д TSF.,
и т. д.
Складывая, получаем:
Обозначение S/^ представляет собой полную площадь кон-
контура поперечного сечения. Следовательно, величина 2T^Fn
представляет собой момент от Го, действующего по всему
контуру.
Теперь можно написать уравнение момента потока каса-
касательных усилий следующим образом:
MQ=2(T0F+?\TnFn),
A8.4)
где Мд
F
Д7\
-полный момент потока касательных усилий в элемен-
элементах оболочки;
полная площадь контура, равная
?/\
F
-приращение потока касательных усилии для данного
элемента оболочки [уравнение A8.1)];
п—площадь сектора контура, соответствующего эле-
элементу п.
В этом уравнении все величины, входящие в правую часть,
кроме Го, можно заранее подсчитать (предполагается, что на-
напряжения от изгиба и усилия в стрингерах уже определены).
Для нахождения То момент ^ приравнивается моменту
внешних сил и моментам, действующим в данном сечении (оче-
(очевидно, что моменты должны быть взяты относительно одной и
той же точки). Если Мкр представляет собой внешний крутящий
момент:
то
Т
F
A8.5)
329
Поток касательных усилий в каком-либо элементе получаем
затем из уравнения A8. 2) путем сложения (алгебраически) ве-
величины То и величины -Wrt, уже определенной для этого эле-
;мента. Уравнение A8. 2) ниже повторено, чтобы подчеркнуть
его важность как формулы, сопутствующей уравнению A8. 5):
На фиг. 324 Мкр равно Qd. В более общем случае внеш-
внешние силы будут состоять из двух компонентов и крутящего
момента, как указано на фиг. 325, где величина Мкр была бы
выражена так:
^ A8.6)
Фиг. 325. Общий случай.
Следует заметить, что за точку, относительно которой под-
считываются моменты, лучше выбрать центр тяжести приведен-
приведенного сечения, как это делается при определении напряжений от
изгиба (а не просто центр тяжести сечения). Это может значи-
значительно сократить вычислительную работу.
18. 5. Условия знаков. При проведении расчетов необходи-
необходимо установить надлежащее взаимоотношение знаков между
приращениями осевой нагрузки и потоком касательных усилий
и элементах. Фиг. 326 показывает, как это можно сделать,
употребляя обычные условные обозначения для осевых сил.
Внешняя (срезающая) сила> считается действующей вниз, когда
она вызывает растяжение в 1верхнем поясе. На фиг. 326,Ь дока-
доказаны приращения поясной нагрузки, передающейся на элемент
стенки. Показано также направление Г, требующееся для урав-
уравновешивания 'момента пояса. Если это направление потока ка-
касательных усилий совпадает с направлением, принятым как
положительное для крутящего момента, то оно должно получить
положительный знак.
330
Рассматриваемое
сечение
к
Уравнение A8. 1) показывает, что величина АР, взятая при
определении Т для данного элемента оболочки, относится к «поя-
«поясу, непосредственно предшествующему данно-
данному элементу оболочки. Следовательно, если положительное на-
направление (при обходе контура) принято (по данному элемен-
элементу) вниз, то на фиг. 326 надо
(взять верхний (растянутый)
пояс. Поскольку приращение в
поясе имеет положительное зна-
значение, то можно считать знак
поясной нагрузки и знаком по-
потока касательных усилий. Если
бы ¦положительное направление ?
обхода было принято вверх, то »ч*'
нужно было бы взять нижний
пояс, дающий отрицательную
величину для Т. Это совпадает ^
и с общим условием знаков, так V
как действительное направле-
направление Т (ВНИЗ ЯВИЛОСЬ бы В ЭТОМ:
случае отрицательным по усло-
условиям кручения.
Можно считать без дальней-
дальнейших доказательств, что указан-
указанное правило знаков для нор-
нормального напряжения (положи-
ного при растяжении, отрицательного при сжатии) дает пра-
правильные знаки и для приращений потока касательных усилий.
Важно напомнить, однако, что здесь рассматривается актив-
активная нагрузка от внешних сил на поперечное сечение, а не
реактивная от поперечного сечения, уравновешивающая внеш-
внешние силы.
18. 6. Постоянное и переменное поперечное сечение. Для
балок постоянного поперечного сечения нет необходимости счи-
считать напряжения изгиба в двух смежных сечениях. Изменение
изгибающего момента на единицу длины равно секущей силе;
следовательно, если взята длина пролета, равная единице, го
изменение нормальных напряжений в поясах на этой длине мож-
можно получить подстановкой секущей силы вместо момента в
формулу изгиба (о— ~-f-). Полученные величины должны
быть помножены на площади поясов, чтобы получить изменение
осевой силы.
Так, для любого данного пояса
Фиг. 326. Условия положительного
значения величин.
331
Если эта величина определена для каждого поясного эле-
элемента и результаты суммированы, начиная от некоторой произ-
произвольной начальной точки, то мы получим уравнение для при-
приращения потока касательных усилий:
A8.7)
Это уравнение тождественно уравнению A7. 3) для потока
касательных усилий в симметричном сечении. Оно не дает,
однако, полного ответа для несимметричного сечения, так как
не устраняет задачи определения нулевой точки потока каса-
касательных усилий. Это требует вычисления момента потока ка-
касательных усилий вокруг сечения, как выше описано. Все же
иногда! удобно применить эту формулу вместо расчета по эле-
элементам, который требует определения осевых сил по всем
поясам.
Однако следует отчетливо понять, что формула потока каса-
тельных усилии -у- -правильна только тогда, когда балка имеет
постоянное поперечное сечение. Ока может быть использована
без заметной погрешности для балок с плавным изменением по-
поперечного сечения. Если балка изменяется только по высоте, то
поправка на «конусность» может быть сделана так, как указы-
указывалось в § 17. 6, учетом части секущей силы, воспринимаемой
поясами, усилия по которым дают проекцию на нормаль к оси
балки.
При применении расчета по элементам та-
такая поправка уже не нужна, так как влияния пере-
переменной высоты учитываются при расчетах напряжений от из-
изгиба.
18. 7. Резкие изменения поперечного сечения. Если пло-
площадь поясов продольных элементов имеет резкие изменения, то
это неизбежно вызовет и резкие изменения в осевых усилиях,
(возникающих ib них при нагрузке.
Эти резкие изменения осевых усилий вызовут также и зна-
значительные приращения в потоке касательных сил в стенках
(или оболочке контура).
Если расчет касательных сил ведется по формуле -у, то
влияние резких изменений в площадях поясов скажется мало.
Если же расчет ведется «по элементам» и по изменению
осевых усилий в поясах, то «скачки» в касательных силах бу-
будут тем больше, чем меньше взято расстояние -между смежны-
смежными сечениями. Это изображено на фиг. 327, которая представ-
представляет собой пояс с резким изменением поперечного сечения. Со-
Согласно подсчетам по формуле изгиба осевые силы в сечениях А
и В будут сильно отличаться, т. е. АР будет большое.
332
Если длина элемента взята малая (как обозначено через U),
то приращение потока касательных усилии — будет боль-
большим. Если длина элемента большая (?2), приращение потока
касательных усилий окажется значительно меньшим.
Определить фактическую картину изменения напряжений в
этом случае оказывается достаточно трудно, так как осевое
усилие по поясу в действительности не изменяется так резко,
как площадь поперечного сечения. В самом деле, большой мест-
местный поток касательных усилий, образовавшийся в такой точке,
будет стремиться исказить поперечное сечение таким образом,
что !вызовет более плавное изменение осевой силы, а следова-
0 бол очка.
Фаг. 327. Эффект резкого изменения площади сечения пояса.
тельно, и пониженный поток касательных усилий. Точное реше-
решение такой задачи выходит за пределы этой книги, но можно
привести некоторые эмпирические правила, которые полезно
иметь в виду.
Первое правило говорит о том, что в конструкции
следует избегать резкого изменения попе-
поперечного сечения. Однако, если все поперечное
сечение изменяется пропорционально, то резкого изменения
в осевой силе не будет, хотя напряжения изменятся
значительно. Такие соотношения нередко встречаются, напри-
например, при изменении толщины листов в оболочечных конструк-
конструкциях.
Второе правило заключается в том, что участок длины, при-
принятый в расчетах, не следует брать слишком малым. Никаких
особых правил по этому поводу дать нельзя, но ,в общем нет
необходимости брать сечения ближе, чем это делается при под-
подсчете напряжений изгиба. При увеличении раз;мера конструк-
конструкции участок длины 1может быть соответственно увеличен \
Наконец, в исключительных случаях, когда в конструкции
нельзя избежать резкого перехода площади поперечного сече-
1 Практически расчетные сечения не берутся ближе, чем на расстоянии,
равном средней высоте сечения. Прим. ред.
333
ния, как, напри-мер, при вырезах, для расчета можно применить
способ постепенного редуцирования площадей перерезанных
элементов. В этом случае неплохие результаты дает приближен-
приближенное правило, по которому принимаемая в расчете эффектив-
эффективность какого-либо перерезанного поясного элемента падает ли-
кейно по мере приближения к вырезу (или к месту скачка). Это
показано на фиг. 328. Для конструкций из листового металла, при-
применяемых для самолетов, средний наклон — От 3 до 4 дает
и,
удовлетворительные результаты (расстояние а измеряется от
сплошного до вовлекаемого в работу перерезанного стрингера).
У////////////////////.
(-//////////////////////А
У///////////////////////////////
Эффективная \
¦площадь пояса
Фиг. 328. Приблизительное изменение нагрузки на стрингер
у выреза.
18. 8. Центр жесткости (многопоясная балка). В § 11. 13
было показано, что результирующая постоянного потока каса-
касательных усилий кривой стенки расположена вне контура, огра-
ограниченного стенкой и линией, соединяющей два поясных эле-
,мента (см. фиг. 212). Центр жесткости открытого сечения,
имеющего переменный поток касательных усилий, можно най-
найти при помощи уравнения A8. 4), которое дает момент потока
касательных усилий. В этом случае суммирование начинают со
свободного края, и величина То поэтому равна нулю, что при-
приводит к уравнению
MQ=2^TaFn, A8.8)
пли для постоянного (не уменьшающегося) сечения к уравнению
Мд = 2 j- XSaFn. A,18.9)
Поскольку центр жесткости является точкой, в которой секу-
секущая (поперечная) сила может быть приложена, не вызывая кру-
кручения, его положение должно быть таким, чтобы М^ Б уравне-
уравнениях A8. 8) и A8. 9) был равен нулю.
334
Общий тип нагрузки дан уравнением A8. 6) и фиг. 325. Эта
схема представлена на фиг. 329, как открытое сечение. Центр
жесткости определяется величинами х и г, так что момент
внешних сил точно равен моменту потоков касательных усилий,,
которые они вызывают в оболочке.
Положение х и z должно
быть определено отдельно для
двух перпендикулярных осей
(практически обычно требует-
требуется только одна величина х).
Для примера, рассматривая
только х, в уравнении A8.6)
возьмем Pz и момент этой си-
силы относительно^ точки отсче-
отсчета Pzx- Подставляя эти вели-
величины в уравнение A8. 9), по-
получим: Фиг. 329. Открытое сечение с пере-
— 2 ^, г> г- /-.г, -.лч менным потоком касательных сил.
х=— EVV A8.10)
Этим уравнением и пользуются обычно для определения
центра жесткости (или, точнее, линии через центр жесткости)
для любого открытого сечения при постоянной его величине.
Величина Sntn представляет собой половину момента пото-
потока касательных усилий в любой стенке; Fn определяется, кал
указано на фиг. 324.
а)
I
х=
2П+
Сосредоточенная Площадь поясагравно- Плаш,адьуравномерно
площадь пляса мерно распределенная распределенная по швеллеру
по полке швеллера (постоянная толщина)
Фиг. 330. Центры жесткости швеллерных балок.
Для простых поперечных сечений можно получить аналити-
аналитическое решение, если выразить поток срезающих сил как
функцию размеров сечений и интегрировать полученное выра-
выражение для нахождения момента, который он дает.
Результаты, полученные для разных сечений, показаны на
фиг. 330.
18. 9. Значение центра жесткости. Хотя обычно при под-
подсчете напряжений и нет особой необходимости пользоваться
центром жесткости, однако, знать, где он находится, очень по-
полезно при конструировании. Например, если требуется при-
335
У/////; J
ложить поперечную нагрузку к консольному швеллеру так, что-
чтобы он закручивался, то она должна быть приложена вне швел-
швеллера в центре жесткости, как указано на фиг. 331.
Если нагрузку приложить по вертикальной стенке или в
центре тяжести, то она вызовет дополнительные напряжения
от кручения, что, вообще говоря,
нежелательно. На первый взгляд
обнаруженное выше положение
центра жесткости для швеллера
кажется странным, однако в дей-
действительности это именно так, и
такой способ приложения на-
нагрузки часто применяется (на-
(например, в автомобильных ра-
рамах).
На другом примере, уже из
авиационной практики, можно
показать значение, которое имеет
положение центра жесткости.
Предположим,, что фюзеляж состоит из двух вертикальных ба-
балок поясного типа без горизонтальных элементов, замыкающих
контур кручения (фиг. 332). Тогда скручиванию сопротивляет-
сопротивляется пара из срезающих сил, направленных в противоположные
\
\
хорошо
Плохо
Фиг. 331. Способ нагружения
швеллера.
Фиг. 332, Сечение фюзеляжа по месту выреза в верхней
и нижней части.
стороны по стенкам балок. По положению центров жесткости
можно видеть, что при изогнутых стенках плечо (момента значи-
значительно больше, чем при вертикальных стенках, чем и обеспечи-
обеспечивается большее сопротивление кручению конструкций типа й
по сравнению с конструкциями типа Ь.
ЗЗо
ЗАД А Ч И
18. 1. Назначить по фиг. 320 произвольные размеры и на-
нагрузку. Найти наибольшие и наименьшие величины потока ка-
касательных усилий и напряжения среза (воспользоваться фор-
формулами для тонкой стенки).
18. 2. На фиг. 321 взять ширину балки 2,5 см и найти допу-
допустимую нагрузку при напряжении среза в 100 кг/см2.
18. 3. Начертить поперечное сечение, подобное показанному
на фиг. 325, и назначить величины площадей поясов и размеры.
Считать, что оболочка не имеет конусности. Найти поток каса-
касательных усилий в каждом элементе оболочки для следующих
условий нагруженпя
Р7=-}-2500 кг,
№
500 кг,
20 000 кгим.
18. 4. Пользуясь поперечным сечением задачи 18. 3, считать,
что вертикальная стенка удалена. В какой точке должна быть
приложена вертикальная нагрузка, чтобы она воспринималась
открытым сечением?
18. 5. Начертить поперечное сечение крыла, как показано
на фиг. 259, и назначить величины площадей поясов и размеры.
Считать, что оно представляет собой поперечное сечение конус-
конусного крыла, и начертить другое поперечное сечение, представ-
представляющее сечение на расстоянии 50 см в направлении к оси сим-
симметрии самолета. Это сечение на 10°/а выше при тех же пло-
площадях поясов. Считать изгибающий момент ^ = 800 000 кгсм
и секущую силу вверх 3000 кг в центре тяжести малого сече-
сечения. Найти (табличными способами):
а) нормальные напряжения в каждом поясном элементе для
каждого сечения;
б) поток срезающих усилий в каждом элементе оболочки
между поперечными сечениями (проверить приближенно резуль-
результаты путем сравнения полученного потока срезающих усилий
в передней и задней стенках с потоком, получаемым при допу-
допущении, что срезающая сила делится поровну между ними).
18. 6. Начертить поперечное сечение, как показано на
фиг. 330,с, приняв любые размеры. Найти центр жесткости и
наметить эскиз фитинга для надлежащей передачи срезающей
нагрузки.
18. 7. Вывести формулу, приведенную для центра жесткости
швеллера постоянной толщины (фиг. 330,с).
Примечание. Вывод может быть упрощен, если принять толщи-
толщину швеллера за единицу и считать по средним линиям поперечного сече-
сечения. Эскизом показать характер потока касательных усилий (фиг. 333).
22 Ф. Р. Шенли.
337
а) Выразить Tt в величинах (?, с и b, пользуясь уравнением
A7. 3).
б) Написать выражение для момента потока касательных
усилий относительно точки на вертикальной стенке.
в) Разделить этот момент на срезающее усилие (Q), чтобы
найти х.
18. 8. В разделе 13. 4 было показано, как можно учесть ра-
работу стенки при изгибе балки путем добавления к площадям
поясов некоторых дополнительных площадей, взятых вместо
стенки.
Доказать это путем определения площадей двух поясов,
находящихся на расстоянии h так, что их сопротивление изгибу
равно сопротивлению прямоугольного поперечного сечения вы-
высотой h.
Примечание. Считать, что пояса имеют такое же нормальное
напряжение, как и наиболее удаленные волокна стенки. Выразить пло-
площади поясов в долях площади стенки.
'¦ , i ' ГЛАВА 19
СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА
И ОСЕВОГО НАГРУЖЕНИЯ
'¦; \ 19. 1. Эксцентричное нагруженив. Определение сложного
напряжения при действии изгиба и осевого нагружения сводит-
сводится к простому алгебраическому сложению. Необходимо только
.,' условия нагружения привести к эквивалентной осевой силе,
-'действующей в центре тяжести поперечного сечения, и изги-
изгибающему моменту, действующему относительно оси, проходя-
проходящей через центр тяжести сечения.
Р
Р
V
р
Фиг. 334. Эксцентричное осевое нагружение.
/'¦¦ Так, на фиг. 334 необходимо перенести силу Р от ее точки
приложения на ось, проходящую через центр тяжести сечения
балки. Для определения напряжения изгиба должен быть взят
соответствующий изгибающий момент Pd.
19. 2. Сложные напряжения. На фиг. 335 показаны напря-
напряжения, вызванные изгибом и осевым нагружением, действую-
действующими отдельно и совместно. Уравнение сложного напряжения
Щи изгибе относительно одной и той же оси будет следующее:
Совместное действие изгиба и осезого нагружения
Р
F
My
A9.1)
339
Если изгиб происходит относительно двух осей (х и у),
то
p
a F
Общий
случай
) Myx
h
A9.2)
Для косого изгиба можно также пользоваться при-
приведенным выше уравнением при подстановке эффективных
изгибающих моментов, как показано в § 14. 3.
Фиг. 335. Сложные напряжения прн эксцентричном
нагружении.
Для составных и кривых балок нужно пользоваться'свойст-
пользоваться'свойствами преобразованного (редуцированного) сечения и суммарные
напряжения надо умножать на коэфициент эффективности (или
редукционный коэфициент), как описано в § 15. 2. Это относит-
относится как к нормальным напряжениям от осевой нагрузки, так И
к напряжениям от изгиба. j
19. 3. Ось нулевого напряжения. При действия изгиба и
осевого нагружения ось, проходящая через центр тяжести по- ;
перечного сечения, т. е. нейтральная ось для чистого-)
изгиба, уже не является осью нулевого н а п р я ж <Н
н и я. Фиг. 335 показывает, что эта точка сдвигается к KpaiO |
элемента конструкции. Если осевое нагружение является пре'
обладающим, то может и совсем не быть никакой оси нулевого
¦340
напряжения, как приведено на фиг. 336. Следовательно, ней-
нейтральную ось (или плоскость) не следует рассматривать вообще
как ось (или плоскость) нулевого напряжения, но ее надо опре-
определять для чистого изгиба, как указано в § 13. 8.
Фиг. 336. Переменное нормальное напряжение.
336
-~ - Ь
t ¦ ь
з Г ¦ '
/'¦'¦¦";
У-.'Гл
Я.
3
I
v
а
т
19. 4. Перемена знака напряжения. На фиг. 335 и
изображена осевая сила, приложенная эксцентрично по отно-
отношению к оси, проходящей через центр тяжести поперечного се-
сечения. Следует заметить, что если эксцентриситет относительно
большой, то он может вызвать нор-
нормальное напряжение даже обратного
знака, как показано на фиг. 335, где
растягивающая сила Р вызвала на-
напряжение сжатия в части сечения.
Это явление приобретает особое
значение в элементах конструкции, на-
нагруженных на сжатие и неспособных
сопротивляться растягивающим на-
напряжениям (типичным примером яв-
является кирпичная колонна). Для про-
проверки подобных конструкций следует
подсчитывать максимальные напря-
напряжения. Можно также по уравнению
A9.2) on p еделиггь уч асток площади
на поперечном сечении, в пределах
которого любая осевая сжимающая
нагрузка не вызовет напряжения рас-
растяжения в сечении. Эту площадь называют ядром сечения.
Для прямоугольного сечения эта площадь определяется по тре-
третям главных осей, как показано на фиг. 337. Форма и размеры
ядра могут быть выведены и для любого поперечного сечения.
а
з"
i
._ х
Фиг. 337. Ядро.
Фиг. 338. Кривой элемент под осевой нагрузкой.
19. 5. Кривые элементы. В § 9. 1 было показано, что при
расчете фермы начальную кривизну элемента можно не учиты-
учитывать, заменяя его фиктивным прямым элементом, проходящим
через две концевые точки. Однако для определения прочности
341
такого элемента надо действующую на него осевую силу Р
приложить, как указано на фиг. 338, и учесть возникающие
при этом изгибающие моменты Pd.
Если ось элемента конструкции не параллельна направле-
направлению силы, то силу надо разложить на два компонента — один
М = Pd
М
Фиг. 339. Общий случай кривого элемента.
вдоль оси'балки и другой перпендикулярно к ней, как показано
на фиг. 339. Затем следует определить нормальные и касатель-
касательные напряжения описанными ранее способами.
19. 6. Эксцентриситеты в соединениях. Если напряжения
достигли разрушающей величины в какой-либо точке сечения
стержня, то это обычно харак-
характеризует начало его разруше-
разрушения. Поэтому, если желатель-
желательно максимально поднять вели-
величину нагрузки, которую будет
способен выдержать стержень
(поднять несущую способность
стержня), надо стремиться к
тому, чтобы напряжения от «на-
«нагрузки были одинаковыми в
пределах всего сечения.
В элементах, нагруженных
вдоль оси (как в фермах),спо-
фермах),способ крепления элементов дол-
должен быть таким, чтобы равно-
равнодействующая осевой нагрузки
проходила через центр тя-
тяжести поперечного сечения или близко к этому центру. Это осу-
осуществляется правильной конструкцией шарнирных узловых
соединений или надлежащим расположением центральных
осевых линий элементов в узлах сварных конструкций.
342
асположение
Фиг. 340. Расположение ушков
при осевом нагружении.
Фиг. 340 показывает правильную и неправильную конструк-
конструкции ушка для растянутого элемента. Эксцентричное соедине-
соединение, очевидно, вызовет дополнительные напряжения изгиба,
которые уменьшают несущую способность элемента.
Фиг. 341 показывает надлежащий способ соединений эле-
элементов фермы, где центральные
линии всех элементов пересека-
пересекаются в одной точке.
Не всегда, однако, бывает
можно избежать эксцентричных
соединений. При расчете на
прочность в этом случае необхо-
необходимо учитывать влияние экс-
эксцентричности нагружения. В об-
обще м, одн ако, следует и з бегать
эксцентриситетов такого типа, в
особенности для сжатых эле-
элементов, по причинам, которые
будут объяснены ниже.
19. 7. Изгиб от осевой эксцентричной нагрузки. Поскольку
изгиб вызывает поперечную деформацию (прогиб), он может
ьыз'вать изменение и в эксцентриситете, как показано на
фиг. 342. При растяжении эксцентриситет будет стремиться
уменьшиться, тем самым уменьшая 'Изгибающий момент и соз-
создавая более равномерное распределение напряжения
Фиг. 341. Правильное расположе-
расположение труб в сварной конструкции.
Нулевая нагрузки
М
Растяжение
d.
(г)
Сжатие
Фиг. 342. Изгиб от осевой эксцентричной нагрузки
_ иг. 342,Ь). Чем более гибок элемент, тем больше распределе-
распределение напряжений приближается к равномерному. Как отмечено
з главе 7, это и сказывается причиной того, что растянутые
¦элементы являются наиболее эффективными в передаче сил.
Так как гибкие тросы, цепи и тяги имеют ничтожное сопротив-
сопротивление изгибу, то они, выпрямляясь под нагрузкой, обеспечи-
обеспечивают наиболее выгодное использование материала.
313
19. 8. Вторичный изгиб (стойки, колонны). При сжатии
условия нагружения резко меняются, как показано1 на
фиг. 342,с. Такие элементы называются стойками (колоннами).
Осевая нагрузка вызывает увеличение поперечной деформа-
деформации (прогиба), что в свою очередь вызывает дальнейшее уве-
увеличение изгибающего момента. Добавочный изгибающий мо-
момент, вызванный прогибом, называется вторичны и и з-
г и б о м (этот термин иногда применяется и к полному
изгибающему моменту). На фиг. 342,с можно видеть, что этот
дополнительный изгибающий момент меняется от одного кон-
конца до другого и имеет максимальную величину близко к сере-
середине.
ГА о
i\
I
Первоначальный
изгибающий момент
Прогибая
И\ ал
УЧ-У! .изгибающий
1 Вторичныт
' из?мбнюш.ий тчзнт
Фиг. 343. Балка с осевой нагрузкой.
Вывод уравнений для вторичного изгибающего момента
является сложной задачей, которую нельзя решить элементар-
элементарными -математическими приемами. Можно также видеть, что
способ суммирования действия отдельных видов нагружешш
не подойдет, так как действия эти не являются независимыми.
Физическую сущность явления, однако, можно легко понять,,
и это очень важно для усвоения теории стоек (колонн). До-
Допустим, что первоначальная кривая изгибающих моментов
известна, как показано на фиг. 343 (для эксцентричной на-
нагрузки момент будет равен осевой силе, умноженной на экс-
эксцентриситет). Кривая прогибов при первоначальном шгибе
тогда может быть получена способами, описанными в глфе 16.
Дополнительные (вторичные) изгибающие моменты по длине
будут равны Ру (где у обозначает прогиб).
Полная кривая изгибающих ;моментов теперь получает-
получается суммированием первоначального и вторичного моментов..
Если теперь снова определить кривую прогибов для получен-
полученных моментов, она покажет увеличение прогибов против пер-
первого определения, -вызывающее в свою очередь новое увели-
344
чение полного изгибающего момента. Очевидно, что эту опе-
операцию 1можно повторять до бесконечности, но- должно*
произойти одно из двух:
а) Увеличение вторичного изгибающего момента будет все
:меныие и меньше при каждом последующем расчете и, на-
наконец, станет ничтожным,
б) Увеличение вторичного момента будет все больше и
больше и, наконец, вызовет разрушение (или чрезмерную де-
деформацию).
Случай «а» называется ус т о й ч и в ы м, так как здесь
внутренние силы сопротивления стойки изгибу 'Возрастают бы-
быстрее, чем 'внешние изгибающие моменты и не дают таким об-
образом стойке изгибаться дальше определенного предела при
заданной нагрузке.
Случай «б» называется неустойчивым и указывает,
что стойка не может держать намеченную нагрузку. Возмож-
Возможно-, однако, даже в устойчивом случае достичь максимальных
напряжений, прежде чем будет достигнута устойчивость
в деформациях. Поэтому обычно расчеты на вторичный изгиб
надо производить для всех стоек. Следует заметить, что
условный предел текучести представляет собой
как бы верхний предел допустимых напряжений на сжатие в
этих случаях, так как появление текучести есть не что иное,
как уменьшение Е, что в свою очередь вызывает дальнейшее
увеличение деформации, повышение напряжений, понижение Е
и т. д., пока не наступит потеря устойчивости или разрушение.
19. 9. Стойки1. Идеальную стойку можно рассматривать
как такой воображаемый случай эксцентрично нагруженного
на сжатие элемента конструкции, в котором эксцентриситет
равен нулю. В действительности для практических конструк-
конструкций достичь эксцентриситета, равного нулю, невозможно. Очень
близко можно подойти к этому в лабораторных условиях. До-
Достаточно реально можно представлять стойку как элемент
конструкции, в котором эксцентриситет практически
близок к нулю.
Выше было установлено (§ 19. 8), что при некоторых усло-
условиях вторичные деформации не будут устойчивы, т. е,
они будут продолжать автоматически увеличиваться без уве-
увеличения внешней нагрузки до тех пор, пока стойка не разру-
разрушится или не согнется чрезмерно.
Если такого рода условия потери устойчивости налицо, то
потребуется бесконечно малый эксцентриситет, чтобы этот
процесс начался, после чего стойка будет продолжать терять
1 Подробное изложение вопросов о потере устойчивости и о разрушении
материалов выходит за пределы этой книги, но элементарные объяснения По
стойкам даны, чтобы разъяснить взаимоотношение между местной и общей
потерей устойчивости и чтобы служить введением в теорию стоек.
345,
устойчивость. Теория продольного изгиба и выпучивания вооб-
вообще основана на определении условий, при которых это может
произойти.
19. 10. Теория продольного изгиба. Точная теория про-
продольного изгиба требует более совершенных математических
методов, чем те, которые применены здесь, но можно полу-
получить довольно хорошее приближение, пользуясь и приведенной
(выше теорией балки. Это поможет понять физическое значение
<фор!мул продольного изгиба.
I
—'¦ -a-
¦ ¦¦¦>¦
ч
Фнг. 344. Изогнутая стойка.
На фиг. 344 принято, что стойка имеет очень небольшой
прогиб, максимальная величина которого dm. Изгибающий мо-
момент будет равен концевому усилию Р, умноженному на экс-
эксцентриситет d. Если бы была известна форма кривой момен-
моментов, то было бы возможно проинтегрировать ее и определить
максимальный прогиб в зависимости от максимального мо-
момента.
Если эта форма неизвестна, то для начала следует задаться
какой-нибудь кривой, подходящей к характеру деформаций
(в точных теоретических расчетах обычно принимают волну
синусоиды).
'Кривая моментов балки, нагруженной равномерной попе-
поперечной нагрузкой, имеет достаточно большое сходство с кривой
моментов, которые возникают в сжатой и изогнувшейся стойке.
Ее и можно принять как первое приближение.
346
¦а
В функции максимального изгибающего момента Л7макс
максимальный прогиб будет (согласно приложению 3—6) равен
d
m 9,6?/
A9.3)
Если теперь подставить максимальный изгибающий момент
:им
Pdm вместо Мт, то получим
Найденная таким образом величина концевой нагрузки об-
обладает тем свойством, что стойка теоретически будет
держаться в любо1М изогнутом положении, к которому она при-
приведена, т. е. будет находиться в состоянии безразличного рав-
равновесия.
Малейшее увеличение нагрузки вызовет уже неустойчи-
неустойчивость состояния стойки и поломку.
Изогнутое положение, принятое при выводе предыдущего
уравнения, не является, конечно, вполне точным. Правильный
ответ был найден Эйлером, который вывел следующее уравне-
уравнение стойки:
Формула Эйлера
A9.5)
Так как величина ?г2 равна приблизительно 9,86, то можно
(видеть, что первое приближение дало результат ниже точной
величины 1меныне чем на 3%. Математические трудности ре-
решения этой задачи заключаются в определении истинной фор-
формы кривой прогиба.
Уравнение A9. 5) дает критическую нагрузку для прямого
элемента. При любой нагрузке ниже этой величины стойка
будет возвращаться к первоначальному положению после не-
небольшого отклонения. При нагрузке выше этой величины
небольшое отклонение вызовет непрерывное увеличение про-
прогиба, указывающее на потерю устойчивости. Следовательно,
критическая нагрузка Р представляет собой (максималь-
(максимальную нагрузку на сжатие, которую может держать стойка не-
независимо от крепости материала. Единственное свойство ма-
материала, влияющее на нагрузку в этом случае, — это модуль
упругости Е (для пластической области см. § 19. 13).
19. 11. Прочность стойки и изгибная жесткость. В § 16. 12
было доказано, что сопротивление прогибу под действием из-
изгибающего момента пропорционально El: Г. Поскольку это
выражение является основой для уравнения Эйлера, то оче-
очевидно, что нагрузка на стойку при потере устойчивости прямо
347
пропорциональна ее поперечной жесткости. Следует иметь >в
виду, что потеря устойчивости не есть разрушение от большо-
большого напряжения, но она просто указывает, что утрачивается дей-
действующая поперечная жесткость. Когда это случается, стойка
сдает и начинает «садиться» (становится короче) под нагруз-
нагрузкой скорее вследствие выгибания, чем от непосредственного'
сжатия.
о
Тояки по результата?*
испытаний
О
aft
макс
(Ь)
Фиг. 345. Экспериментальный метод определения критической
нагрузки.
Эту зависимость можно использовать для того, чтобы экс-
экспериментальным путем предопределить для реальной стойки ту
критическую^ нагрузку, при которой наступит потеря устой-
устойчивости.
На фиг. 345 определена поперечная изгибная жесткость пу-
путем приложения поперечной нагрузки Q и измерения получаю-
получающегося прогиба с/. Сопротивление выгибанию выражается ее-
Q
личиною
d
Оказывается, что эта величина зависит от продольной на-
нагрузки и если сделать несколько замеров прогиба от силы Q
при разных значениях продольной силы Р (меньших критиче-
критической) и нанести их на график, то получится кривая, подобная
изображенной на фиг. 345,?. Продолжив эту кривую до оси
абсцисс, т. е. до нулевого значения изгибной жесткости, полу-
получим величину критической продольной сжимающей силы. (В
действительности экстраполяция может и не быть совершенно
прямой, как показано.) Этот способ представляет собой вари-
вариант способа Саутвелла (Southwell).
348
19. 12. Напряжение стойки. Иногда бывает желательно
жыразить критическую нагрузку для стойки в зависимости от
напряжения вместо силы. Это можно сделать путем деления
¦силы, получаемой по формуле Эйлера, на площадь поперечного
сечения, что дает
FP
Так как / и F являются функциями размеров и формы по-
поперечного сечения, они могут быть представлены выражением
/: F. Это выражение определяет сопротивляемость изгибу на
^единицу длины и на единицу площади.
I
A3
а:
во
6000
7000
6000
?-45000 HZ/см *\
О 10 20 30 40 50 60 70 ВО 90 ЮО ПО 120 130 140
Фиг. 346. Кривые Эйлера.
Оно обычно обозначается эквивалентной величиной f, где f
представляет собой радиус инерции поперечного сечения (ино-
(иногда обозначается через р). Из уравнения получается:
Радиус инерции
A9.7)
349
Подставляя эту величину в формулу Эйлера и сочетая ее
с I, получим
Формула Эйлера для напряжения
A9,8)
Выражение I : / называется гибкостью. Уравнение A9. 8}
теперь содержит только Две переменные величины Е и (?:/).
Отсюда можно построить кривую продольного из-
изгиба для всех стоек данного материала. Такие кривые при-
приведены на фиг. 346 для стали, алюминиевого и магниевого
сплавов.
19. 13. Короткие стойки. Уравнение Эйлера было им выве-
выведено для постоянной величины Е и было применимо только в
пределах упругости. В главе 6 было показано, что при напря-
напряжениях выше предела текучести величина модуля упругости
уменьшается и ее текущее значение может быть выражена
«к а с а т е л ь н ы м модуле м» (т. е. наклоном касательной
к кривой а по е).
Установлено, что хорошее приближение к действительным
условиям получается при подстановке касательного модуля в
формулу Эйлера1.
Тогда уравнение можно написать так:
Общая формула продольного изгиба
A9.9)
Кривую напряжения стойки можно построить для любого
данного материала иутем определения касательного модуля
упругости Е при разных величинах о и решения уравнения
A9. 9) для (I :/), как указано на фиг, 347.
Перед тем как была разработана теория «касательного»
модуля, был найден ряд эмпирических формул, применимых для
определения критической силы для коротких стоек. Многие из
них обычно применяются и теперь и являются более удобны-
удобными, чем основная формула. Тип применяемой формулы зависит
от того, как изменяется Et для данного материала, т. е. от
формы кривей напряжения-деформации. Фиг. 348 показывает
три типа кривых для коротких стоек совместно с типами [соот-
[соответствующих им диаграмм напряжения-деформации.
1 Точное решение этой задачи, как выведено Карманом и другими, дает
слегка отличающиеся величины, основанные на применении двойного модуля.
Для практической работы непосредственное применение касательного модуля
является, однако, вполне удовлетворительным.
Впервые идея решения этой задачи была предложена Ясинским.
350
*¦&
I
I
s
I
8
7
&
5
4
3
5
2
1 -
О
w
iW 40 SO
напряжение x ю~гкг/смг
60
6000
00Q
i
* 2 GOO
* 1000
Точни по результатам испытаний
\
Правая
насательн. модуля
Уравнение Эйлера
(Е-постоями 1
^ О 2Т 40 50 ВО 100 120 140 160 ШО 200 220 240
Гибкость j-
Фиг, 347. Построение кривых для коротких стоек.
'cl-
Кривая а срезана горизонтальной линией, что относится к
тому случаю, когда диаграмма напряжения-деформации имеет
постоянную величину в пластической области или если искус-
\L дилер
1. L
L i i
Фиг. 348. Различные кривые для коротких стоек.
ственное снижение Е вызвано местной потерей устойчиво-
устойчивости. Кривая Ъ параболического типа, обычно приме-
применяется для стали. Кривая с дает
формулу прямой л и нии, что
эчень хорошо подходит к конструк-
конструкционным алюминиевым сплавам.
19. 14. Защемление концов.
Вышеприведенные формулы про-
продольного изгиба относились к шар-
шарнирным опорам (нулевой защем-
защемляющий момент). Однако, часто
один или оба конца могут быть
либо защемлен- :ы полностью,
либо могут иметь некоторую сте-
степень защемления. Теория продоль-
продольного изгиба 'показывает, что пол-
ное защемление концов дает точки
-кулевого изгиба (точки перегиба)
на расстоянии четверти длины от
концов, как указано на фиг. 349.
Это значит, что средни^ участок
длины, равный ее половине, ведет
себя как шарнирно опертая стойка
длиной 1: 2. Для меньшей степени
защемления эффективная дли-
длина стойки будет находиться где-то
между 1: 2 и I.
Фиг. 349. Влияние концевого
защемления (показано полное
защемление, с=4).
Чтобы учесть это в формуле продольного изгиба, имеются
два способа. Наиболее обычным является введение в формулу
Эйлера для шарнирно опертой стойки коэфидиента за-
защемления с, которым и учитывается влияние защемления
концов. Для полного защемления формула A9. 9) станет:
T.-L,
Коэфициент 4 рассматривается здесь как коэфициент за-
защемления. Его величина может изменяться между 1,0 и 4.
Обозначая коэфициент через с, получим формулу следующего
вида:
Общий вид формулы Эйлера с коэфицнентом
концевого защемления
A9.11)
A9.12)
Другой способ заключается в применении э ф ф е к т и в
ной длины, но тогда коэфициент су понятно, уже не вво-
вводится. Обозначая эффективную длину через 1е, получим:
Общие уравнения продольного изгиба
(эффективная длина)
A9.13)
A9.14)
'Можно видеть, что соотношение между коэфициентом за-
защемления и эффективной длиной будет
352
или
23 Ф. Р. Шенли,
\ ч I
A9.15)
353
Фиг. 350. Разрушение части фюзеляжа. Отметить выпучивание стрин-
стрингеров, действующих как стойки между шпангоутами.
ЗАДАЧИ
19. 1. Сплошной круглый стержень диаметром 5 см нагру-
нагружен осевой растягивающей нагрузкой, приложенной на рас-
расстоянии 7,5 еж от центра. Взять любую величину силы (между
5000 и 10000 кг) и найти максимальные напряжения сжатия и
растяжения в стержне (пренебречь возможными вторичными
влияниями). НачертР1ть эскиз распределения напряжений з
сечении и положение точки нулевого напряжения.
19. 2. Применяя уравнение A9. 1), найти положение ядра
сечения для сплошного круглого поперечного сечения.
19. 3. Решить задачу 19. 2 для круглой тонкостенной тру-
трубы (пользоваться средним радиусом и пренебречь влиянием
толщины стенки).
19. 4. Представленное на чертеже
разрезанное'' кольцо имеет сплошное
круглое поперечное сечение диаметром
3 см (через 45°).
а) Найти условия нагружения на по-
поперечные сечения, отмеченные крести-
крестиками.
фИГ> 351. б) Найти максимальные нормальные
и касательные напряжения в каждом се-
сечении (пренебречь влиянием кривизны балки).
354
I
' г:
1
19. 5. Стойка длиной 3 м, с шаровыми опорами на концах,
должна иметь предельную нагрузку в 200 кг. Найти необходи-
необходимый момент инерции для:
а) древесины (?=100 000 кг/см2);
б) стали (?-=2 100 000 кг/см2);
в) алюминиевого сплава (?=700 000 кг/см2).
19. 6. Найти диаметры и поперечные сечения, необходимые
для трех случаев задачи 19. 5 для каждого случая:
а) сплошной круглый пруток,
б) тонкостенная труба, имеющая D : 3 = 30 (найти средний
диаметр и толщину).
19. 7. В задаче 19. 6 определить нормальное напряжение
и отметить, применима ли формула для длинной стойки (форму-
(формула Эйлера). Проверить результаты, пользуясь формулой н а-
пряжения для подсчета критических напряжений на стой-
стойку (потребуется подсчет радиуса инерции).
19. 8. Нанести (на миллиметровку) произвольную диаграм-
диаграмму напряжения-деформации подходящего масштаба. Найти
полную кривую стойки, как указано на фиг. 347.
19. 9. Решить задачу 19. 5, считая коэфициент защемле-
защемления, равным трем на каждом конце.
ГЛАВА 20
СЛОЖНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
о сложных напряжениях
под действием
сложной на-
рассматривалось
методами. При
что в понятие
20. 1. Разделение темы. Вопрос
можно разделить на две части:
а) определение внутренних напряжений
сложной нагрузки;
б) разрушение материалов под действием
грузки.
Часть «а» можно рассматривать как 'вопрос о внутрен-
внутренних нагрузках, и она будет кратко изложена в настоя-
настоящей главе. Часть «б» можно представить как вопрос о- допу-
допускаемых нагрузках, и поэтому здесь она рассматри-
рассматриваться не будет.
20. 2. Сложение напряжений. В главе 2
сложение сил графическим и аналитическим
работе с напряжениями необходимо помнить,
напряжение входит также и площадь поперечного
сечения. Если напряжения складывать как силы, то результа-
результаты будут неправильньши, за исключением тех случаев, когда
напряжения действуют по одной и той же оси.
Основное правило здесь очень простое. Перед сложе-
сложением следует превратить напряжения в с и-
л ы. Очевидно, что полученная таким образом результирую-
результирующая сила должна быть превращена обратно в напряжение.
Эти превращения состоят из умножения или деления на соот-
соответствующую площадь поперечного сечения. Обычно пользу-
пользуются аналитическими 1методами и уравнениями, но для того
чтобы яснее себе представить этот процесс, разберем какой-
нибудь общий случай графически, пользуясь правилами, выве-
выведенными в главе 2.
20. 3. Графический способ. Рассмотрим два любых поля
однородных нормальных напряжений, действующих в одной и
той же 'Плоскости под углом 0 {фиг. 352). Величину напряже-
напряжений можно указать векторами, как показано на фигуре, при
условии, что линии сетки будут на одинаковых расстояниях
друг от друга. Если дальше предположить, что нагруженный
лист или пластина имеет одинаковую толщину, равную едини-
356
.*,.
це измерения (например, 1 см), и что расстояние между линия-
линиями сетки ра-вно также единице, то силы, представленные век-
векторами, будут точно равны напряжениям (поскольку каждый
вектор действует на единицу площади поперечного сечения).
Фиг. 352. Сложение полей напряжения.
Будем предполагать, что эти два поля напряжений дей-
действуют одновременно, хотя они могли бы быть созданы двумя
различными типами нагруженыя. Так как напряжения теперь
представлены 'векторами сил, то последние можно склады-
Фиг. 353. Элемент под действием сложного напряжения.
вать графически. Выделим какой-нибудь элемент (заштрихо-
(заштрихованную площадь на фиг. 352) и будем его рассматривать как
свободное тело, как это показано на фиг. 353,а Затем его
можно разрезать двояко, как показано на фиг. 353,Ь и с. Силы
Рг и Р2 можно сложить графически, для того чтобы получить
реакцию ^я. Эту силу необходимо разложить на два компо-
357
цента Рп и ^> которые представляют собою нормальную
и перерезывающую силы, действующие по разрезан-
разрезанному сечению. Наконец, эти силы необходимо разделить на
площадь этого сечения, которая (в нашем случае при S=l)
равна длине линии разреза элемента.
Из этого простого случая можно сделать два вывода:
а) Рассматривая фиг. 353, видим, что длина линии разреза
не остается равной единице, почему одно только сложение
векторов и было бы неправильно.
Y
Фиг. 354. Напряжение в любом поперечном сечении.
б) В общем случае результирующее напряжение в данном
поперечном сечении будет состоять из нормального на-
напряжения и касательного напряжения.
20. 4. Напряжения в любом поперечном сечении. Элемент,
выбранный на фиг. 353, позволил вычислить напряжения толь-
только по двум линиям (диагоналям элемента). Напряжения по
любой линии можно получить, если выбрать элемент, одна сто-
сторона которого перпендикулярна к этой линии, а две другие
стороны параллельны линиям нормального напряжения. Это
показано на фиг, 354, где элемент изображен так, что сторона
с равна единице длины и перпендикулярна линии У—У, по ко-
которой необходимо определить результирующее напряжение.
Заметьте, что стороны а и b теперь уже не равны единице дли-
358
, h ны. Поэтому, прежде чем складывать графически напряжения,
' Щ их необходимо разделить на соответствующую площадь или,
^.ф что то же,— помножить на проекцию площади (длины) соот-
Щ ветствующих граней.
^ Хотя этот способ обычно и не применяется при определении
'^..сложных напряжений, однако для наглядности разберем его
| на примере.
\ ' X
I / '
Фиг. 355. Графическое сложение полей осевых напряжений.
Допустим, что однородные поля нормальных напряжений с
значениями напряжений, соответственно, в 500, и 1000 кг/см*
наложены друг на друга под углом в 30°, как показано на
фиг. 355, и что желательно знать напряжения в точке О отно-
относительно сечения X—X (которое может быть проведено под
любым углом). На линии X—X откладываем единицу дли-
длины АВ -с центром в точке О. Затем через точки А и В прово-
проводим линии, соответственно параллельные линиям действия
напряжений с t и о,. Это дает точку С и треугольный элемент
ABC.
Длины проекций отрезков ВС и АС, перпендикулярные к
действующим на них полям напряжений, оказываются равны-
равными 0,78 и 0,95. Силы, действующие на эти стороны треуголь-
треугольника, поэтому будут
^ = 500.0,78=390 кг,
Р2= 1000-0,95 = 950 кг.
Эти силы нанесены ;в масштабе на фиг. 355, Их линии дей-
действия пройдут через середины сторон элемента и пересекутся в
точке О (это следует из построения). Тогда результирующую
силу в точке О можно определить векторным сложением этих
Двух сил; она оказывается равной 1350 кг. Для равновесия ре-
359
акция должна быть направлена прямо противоположно резуль-
результирующей силе, так же как Рп, и показана на фигуре.
Поскольку PR действует не перпендикулярно к стороне АВ,
она должна быть разложена на два компонента, Рп и Ps, нор-
нормально и параллельно этой стороне. Эти значения находят из
векторной диаграммы, я они равны соответственно 1280
и 500 кг. Так как длина стороны АВ равна единице, то
эти значения представляют сразу нормальное и касательное
напряжения, т. е.
an=V280 кг см1,
т=500 кг см1.
20. 5. Аналитические методы (чистое растяжение). Хотя
осевые напряжения и можно суммировать графически только
что описанным способом, все же обычно более удобно пользо-
Фиг. 356. Простое растяжение.
ваться аналитическими методами. Для общего случая такие ме-
методы становятся довольно громоздкими, и поэтому лучше всего
рассмотреть сначала более простые случаи напряжения. Самым
элементарным случаем является, конечно, простое осевое нагру-
жение (растяжение или сжатие).
На фиг. 356 показано, что получается при разрезе по# раз-
различными углами аксиально нагруженного элемента. Пол/дгаем,
что показанный элемент имеет толщину, равную единице, и не
имеет никаких нормальных напряжений в направлении, перпен-
перпендикулярном к плоскости чертежа. На фиг. 356,а показана обыч-
обычная плоскость разреза по минимальному поперечному сечению.
Эта плоскость, конечно, представляет собой плоскость максималь-
максимального напряжения для стержня с постоянным поперечным сечени-
сечением. Осевое напряжение, полученное таким образом, будем обо-
360
значать через ?х (в действительности оно будет или растяги-
растягивающим Зраст или сжимающим, зсж.
На фиг. 356,Ь показана Другая плоскость разреза, располо-
расположенная по отношению к нормальной плоскости под углом 0-
Этот же угол 0 будет и между линией действия приложенной
растягивающей силы и новой линией действия, по которой необ-
необходимо найти нормальное напряжение. Следуя основному пра-
правилу, что при графическом сложении или разложении необходи-
необходимо пользоваться силами (а не напряжениями), суммарная
осевая сила Р раскладывается на следующие два компонента;
Я,,—компонент, нормальный к плоскости разреза,
Ps—компонент, действующий в плоскости (или параллель-
параллельно плоскости) разреза.
Эти два компонента называются соответственно нормаль-
нормальным и касательным компонентами. На фиг. 35б,с пока-
показаны соответствующие нормальное и касательное напряжения,
оп и т. Их значения можно получить путем деления сил на пло-
площадь поперечного сечения. Но площадь в плоскости разреза
больше площади, которая была принята при подсчете растяги-
растягивающего напряжения ;(фиг. 356,а). Если F будет минимальная
площадь, то площадь, отрезанная плоскостью под углом 0, бу-
будет выражаться формулой
? B0.1)
COS Й
Значения нормального и касательного компонентов будут (из
фиг. 356,Ь):
Рп = Рх cos 0,
ж 1 /1 _ ¦ ^*v
LJ L-/ С 1 "П i i д
Поделив каждую из этих сил на площадь, по которой они
распределяются, получим:
__ Р,г Л-COS^
п р " ^_ у
1 в Г
Px sin в cos в
F.
Эти уравнения можно выразить через осевое напряжение
F
(сваст или асж), которое равно
Компоненты осевого напряжения
cos
:axsin
B0, 2а)
B0. 2Ь>
361
Эти уравнения являются основными уравнениями для ком-
компонентов осевого напряжения.
Уравнения B0. 2) >можно поделить на <^. и получить отно-
отношение напряжений в диагональной плоскости к максимальному
растягивающему напряжению:
cos-в,
B0. За)
= sin 9 cos Q.
B0. 3b)
Эти отношения графически представлены на фиг. 357 в зависи-
зависимости от угла в. Можно видеть, что касательное напряжение
достигает своего максимального значения при угле в 45° и что
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
о
SSL
\
\ L
К*
Л
\
0 Г0 20 30 40 50 60 70 80 90
Фиг. 357. Изменение нормального и касательного напряжения.
это значение равно половине максимального растягивающего
напряжения. При 45° нормальное напряжение также равно по-
половине максимального растягивающего напряжения. Эти два
простых соотношения являются очень важными, особенно, к<}гда
рассматривают вопрос о поведении материалов под напряжением.
Их можно кратко резюмировать следующим образом.
При простаiM растяжении:
а) максимальное растягивающее напряжение возникает в се-
сечении, перпендикулярном к направлению растягивающей силы;
б) максимальное касательное напряжение возникает ib се-
сечении, наклоненном под углом 45° к напряжению растягивающей
силы, и равно половине ^максимального растягивающего напря-
напряжения;
в) нормальное напряжение в сечении под углом 45° также
равно половине максимального растягивающего напряжения.
Вышеприведенные соотношения сохраняются также и для
сжатия.
i *> а
i Г
Касательное
напряжение
Нормальное напряжение
Фиг. 358. Полярные диаграммы для простого растяжения.
Зависимости, показанные на фиг. 357, можно представить и в
полярных координатах, как показано на фиг. 358. На этой фигу-
фигуре интенсивность напряжения (выраженная через максимальное
растягивающее напряжение) дается длиной вектора. Направле-
Направление напряжения дается направлением вектора. Следует отме-
отметить, что при простом растяжении все напряжения, показанные
на фиг. 358, существуют <в каждой точке.
20. 6. Круг Мора. Уравнения B0. 3) можно представить
графически при помощи простого построения, известного под на-
названием круга Мора. Из тригонометрии известны следующие со-
соотношения:
14- cos 2В 1.1
cos-
9
2
sin 2 И
COS
sin в -cos Q4=
Уравнения B0.3) можно поэтому написать в виде
7JL
--+ -1- cos 29,
1
sin 20.
B0.4а)
B0. 4b)
363
На фиг. 359 эти значения нанесены по осям, перпендикуляр-
кым друг другу. Уравнение B0. 4а) удовлетворяется, если на
оси отложить значение, равное-у, и провести линию под углом
2 0, причем длину этой линии сохранять постоянной и равной
1
значению — . Это построение удовлетворяет также уравнению
B0. 4Ь). Теперь, если угол 0 изменять, то точка А будет описы-
описывать круг, образуя диаграмму, показанную на фиг. 360. Это и
есть круг Мора в безразмерном виде, так как вместо
действительных напряжений даны их отношения.
Г
с*
Г
| х «п 29
t
+ $Р
Л
Фиг. 359. Основы построения круга Мора
(в безразмерной форме).
Если все значения помножить на зЛ-, то получится обычный
вид круга Мора, как показано на фиг. 361. Эта простая диа-
диаграмма ясно показывает связь между касательным, нормальным
и (максимальным растягивающим напряжением. Для сжатия
значение зх будет отрицательно, и в этом случае уравнения
B0. 2) напишутся в виде:
2
у с. cos 29,
2
B0.5а)
B0.5b)
Соответствующий круг Мора показан на фиг. 362. Исходная точ-
точка @=0) теперь находится в точке з,;= —зх. Положительное
направление вращения при измерении 0 сохраняется. Знак ка-
касательного напряжения при 45° отрицателен, т. е. направление
его обратное тому, которое бывает при чистом растяжении.
20. 7. Знак касательного напряжения. При пользовании
аналитическими способами необходимо установить определенные
364
Фиг. 360. Круг Мора для простого растяжения
(в безразмерной форме).
Фиг. 361. Круг Мора для простого растяжения.
t
Фиг. 362. Круг Мора для сжатия,
365
условия знаков, в особенности для касательных напряжений.
Уравнения, выведенные до сих пор, основаны на схеме нагруже-
ния, представленной на фиг. 356. Для
того чтобы избежать путаницы, будем
делать два разреза, выделяя элемент
или полоску, как показано на фиг.
363. Касательное напряжение будет
считаться положительным, если оно
стремится вращать элемент в поло-
положительном направлении (здесь пока-
показано по часовой стрелке).
Знак нормального напряжения в
элементе будет зависеть от условия,
знаков для осевого напряжения, т. е.
положительный для растяжения, отри-
отрицательный для сжатия.
20. 8. Осевые напряжения по вза-
взаимно перпендикулярным направле-
направлениям. На основании общего метода,
изложенного в § 20. 3, выведем фор-
формулы для напряжений, действующих
по взаимно перпендикулярным . на-
направлениям. Поступая как предлага-
предлагалось раньше, выберем элемент таким
образом, чтобы сторона по желаемой
плоскости разреза имела длину, рав-
равную единице, как на фиг. 364,а. Тогда
Фиг. 363. Положитель- Другие две стороны будут иметь зна-
ное касательное напря- чения sin 0 и cos 9. Соответствующие
жение для круга Мора. силы показаны на фиг. 364Д Нор-
Нормальные и касательные компоненты
результирующей показаны отдельно на фиг. 364.
Р7~
366
(с)
Фиг. 364. Аналитическое сложение осевых напряжений,
действующих по взаимно перпендикулярным направлениям.
Ш
9,'
ь
Из этих фигур :можно видеть, что
Рх =a1cose,
р2 =a2sin в,
PHl = Рх COS 0 = ^ COS2 9,
р„=р. sine=з2 sin2 в,
PSi=zPx sin 0 = Cj sin в cos 9,
P.
s.,
•P2cos0
4 sin 0 cos 9,
Поскольку площадь, на которую эти силы действуют, равна
единице, они представляют уже напряжения, и так как компо-
компоненты напряжения по одной и той же оси можно складывать не-
непосредственно, то суммарные осевые напряжения
по взаимно перпендикулярным направлениям
будут
с2 sin2 0, ]
з1 cos2 0
-z = (ax—о2) sine-COS
(
B0.6)
Необходимо подшить, что при выводе этих уравнений напря-
напряжения сг и а3 были приняты чисто осевыми напряжениями, дей-
действующими по взаимно перпендикулярным направлениям. Это
значит, что по линиям осевых напряжений никаких касательных
напряжений не существовало. В уравнении для касательного на-
напряжения выражение sin 0-cos 0 достигает максимального зна-
значения, равного -tj-(Cm- Фиг- 357), откуда максимальное ка-
касательное напряжение дается уравнением
макс
=— (о,—с,).
С) % Л. ч'
B0.7)
Если oj и с2 будут равны и одного и того же знака (напри-
(например, оба растягивающие), то касательное напряжение при лю-
любом угле будет равно нулю. Это — единственное условие, при
котором касательное напряжение во всех площадках будет рав-
равно нулю. [Строго говоря, касательные напряжения все еще будут
б площадках под углом к третьему направлению, 'Перпендикуляр-
'Перпендикулярному плоскости чертежа. Для того чтобы исключить эти напря-
напряжения, необходимо было бы иметь равномерное растяжение (или
сжатие) во всех трех направлениях в пространстве].
При построении круга Мора значения ах и с2 откладывают
по одной и той же линии, так как значение для 20 становится
равным 180°, когда силы действуют под углом 90°. Типичная
диаграмма представлена на фиг. 365. Круг расположен между
значениями ох и sL>.
367
Из фиг. 365 видно, что если бы ох приближалось по значе-
значению к с 2, то круг становился бы меньше, превращаясь в конце
концов в точку, когда растягивающие напряжения, действую-
действующие под углом 90°, окажутся равными. Это, конечно, согласует-
согласуется с прежним утверждением о том, что касательное напряжение
в таких случаях равно нулю во всех площадках.
Фиг. 365. Круг Мора для случая осевых напряжений,
действующих по взаимно перпендикулярным направлениям.
На фиг. 366 показаны полярные диаграммы для нормальных
и касательных напряжений при растяжении по двум взаимно
перпендикулярным направлениям, причем одно из растягиваю-
растягивающих напряжений равно половине величины другого. Сравните с
Касательное напряжение
(удвоенный масштаб)
Нормальное напоятение
Фиг. 366. Полярная диаграмма сложных напряжений /
при двуосном поле нагружения. ¦
фиг. 358 (для простого растяжения) и обратите внимание, что
касательные напряжения уменьшаются при наличии второго по-
поля растяжения.
Для равных полей растяжения по взаимно перпендикулярным
направлениям полярная диаграмма для нормальных напряжений
368
I
•и.
.
1
Ч-
¦'Л
примет етд круга, и диаграмма касательных напряжений исчез-
исчезнет совершенно. Круг 'Мора для равных растягивающих и сжи-
сжимающих напряжений, действующих под углом 90° друг к другу,
показан на фиг. 367. Как описано в главе 10, это случай чисто-
чистого сдвига, при котором максимальные растягивающие, сжи-
сжимающие и касательные напряжения равны между собой.
20. 9. Главные напряжения. При сложении осевых напря-
напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным направле-
направлениям, было принято, что касательных напряжений по этим на-
направлениям не существует. Из фиг. 365 и 366 видно, что указан-
указанные два поля осевых напряжений представляют максимальное и
Фиг. 367. Круг Мора для чистого сдвига.
минимальное значения нормального (осевого) напряжения. Эти
значения находятся на линии нулевого касательного напряже-
напряжения. Это приводит к важному положению о том, что при любом
сложном напряженном состоянии будут два >взаимно перпенди-
перпендикулярных главных направления, по которым нормаль-
нормальные напряжения равны максимуму -и минимуму и для которых
касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения
по этим направлениям называются главными напряжениями.
Для обозначения плоскостей 'максимального и минимального на-
напряжений пользуются выражением «главные плоскости».
Из этого следует, что уравнения B0. 6) и построение круга
Мора, как описано выше, действительны только тогда, когда
осевые напряжения являются главными напряжениями
и когда ось, от которой отсчитьивается 0, представляет собой
одну из г л а в н ы х осей.
20. 10. Совместное действие осевых и касательных напря-
напряжений. В расчетах на прочность обычно всегда можно встре-
встретить комбинации осевых и касательных напряжений, для кото-
которых необходимо получить результирующие максимальные нор-
нормальные и касательные напряжения. (Примером является сов-
24 Ф. Р. Шенли.
369
местное действие осевой нагрузки и кручения.) Совместное
действие растяжения и сдвига показано на фиг. 368. Круг
Мора определяется положением точек 1 и 2, соответствую-
раст
раот.
Фиг. 368. Совместное действие осевых и касательных
напряжений.
щих граням 1 и 2 элемента. Заметьте, что касательное напряже-
напряжение на грани 2 всегда равно и противоположно напряжению на
гран» L Точки 1 и 2 дают также
напряженное состояние на двух
гранях. Так как грани 1 и 2 на-
находятся под углом 90° друг к дру-
другу, то 2 9 = 180° и точки 1 и 2 по-
/ \ этому лежат на диаметре круга.
а Этот диаметр находят, соединяя
точки прямой линией, и кр^уг про-
проводят, как показано на фиг'. 369,а.
Из фиг. 369,в можно видеть, что
радиус круга равен
макс
v
¦¦раст
Это значение поэтому представ-
представляет собой максимальное касатель-
касательное напряжение. Точно так же:
1
п макс
раст
Фиг. 369. Построение круга
Мора при совместном действии
осевых и касательных напря-
напряжений.
рраст
и макс <-,
°раст
макс»
п макс
Следовательно, можно написать уравнения для максимальные
нормального и касательного напряжений.
370
¦о
\
I
I
ш
Максимальные и минимальные напряжения
при совместном действии растяжения и
сдвига:
'макс
'раст
-мин = " Р'СТ" ±
макс-мин
B0. 8а)
B0. 8Ь)
Знак ± в уравнении B0. 8) показывает, что для получения
максимального напряжения пользуются тем знаком, который
дает более высокое значение.
Из фиг. 369,5 видно, что
tg2B =
'раст
'раст
B0. 9)
\
2 ^\
V
i
¦
-е
Из этого уравнения можно найти положение плоскости
главных напряжений. Удобное правило в этом отноше-
отношении заключается в том, что положение плоскости главных напря-
напряжений можно найти поворотом грани
элемента на угол 0. Направление
вращения определяется из круга Мо-
Мора, как направление, по которому не-
необходимо вращать точку '(представ-
'(представляющую рассматриваемую грань) для
того, чтобы вернуть ее обратно на ось
нормального напряжения. На фиг. 370
показано, каким образом надо бы это
сделать для случая,, как, например,
описанного выше. На фиг. 369,а вид-
видно, что для того чтобы точка 1 по-
попала на ось нормального напряжения,
ее необходимо перемещать в направ-
направлении по часовой стрелке. Поэтому
грань 1 на, фиг. 370 необходимо по-
повернуть на угол 0 в таком же на-
направлении. Значение 0 можно взять из фиг. 370 (которая, ко-
конечно, дает 20) или подсчитать по уравнению B0. 9). Так как
положительные значения В были установлены для углов, от-
отсчитываемых против часовой стрелки, то уравнение фB0. 9)
должно иметь отрицательный знак.
Методы и уравнения, выведенные для совместного действия
растяжения и сдвига, применимы, понятно, и к совместному
действию сжатия и сдвига.
f У
(X)
Фиг. 370. Определение
главных осей.
24*
371
20. 11. Общий случай (плоская задача напряжений). Будем
предполагать, что известные осевые напряжения действуют по
взаимно перпендикулярным направлениям и что, кроме того, в
плоскостях, нормальных к ли-
линиям осевых напряжений, дей-
действует касательное напряжение.
Такой случай показан иа фиг.
371,а. Процесс построения круга
Мора и нахождения максималь-
максимальных нормального и касательного
напряжений в основном такой
же, как и для совместного дей-
действия простого растяжения и
сдвига. Точки / и 2 располага-
располагаются, как показано на фиг. 371,в,
и диаметр яруга, таким образом,
определен. Заметьте, что по-
поскольку с2 показано растягиваю-
растягивающим, то оно откладывается в том
же направлении, что и ох. .
Из построения на фиг. 371,с
можно вывести следующие урав-
уравнения.
fb)
(с)
мат
Напряжения в случае обобщенной
плоской задачи
"макс
-f т2, B0. 10а)
Фиг. 371. Общий случай плоской
задачи напряжений.
На фиг. 371, b видно, что
'«макс—мнн
±*
макс
2т
(Го
B0. 10Ь)
B0.11)
[сравните с уравнением B0. 9)]
20. 12. Примеры сложных напряжений ("соединения). Как
пример применения рассмотренных выше приемов приведем опре-
определение напряжений в соединениях с косьим с р езоim, обыч-
обычно применяющимся при сращивании деревянных деталей и при
сварке. На фиг. 372 показаны соединения, выполненные под раз-
различными углами. Фиг. 372,а представляет собой соединение
встык, которое подвержено максимальному растягивающему на-
напряжению (принятому условно равным 100 кг./см2). На
фиг. 372,Ь показано соединение под углом 45°, при котором нор-
нормальное напряжение в плоскости соединения (стремящееся ра-
разорвать его) уменьшилось до половины значения, указанного на
372
I
фиг. 372,я. Однако появилось касательное напряжение, равное
нормальному. На фиг. 372,с и d показано дальнейшее уменьше-
уменьшение как нормального, так и касательного напряжений путем
применения более пологого скоса.
Линия соединения
(а)
0=0*
= f00 кг/см*
1
Оп=50 кг/см г
Т-50 кг/см?
(с)"
60
On =25
1=43,3 кг/см2
Фиг. 372. Соединения с косым срезом.
Если соединяющий материал (как, например, клей или при-
припой) слабее основного, соединяемого материала, то, используя
свойства косого среза, можно все же получить достаточно проч-
прочные соединения. Этим обычно пользуются в сварных соединениях,
Сварка, сносом
Сварочный, шов в замок
Фиг. 373. Сварочные швы в трубах.
так как материал сварочного шва или материал вблизи него мо-
может быть слабее основного материала. На фиг. 373 показаны
типичные :варочные швы, применяющиеся для авиационных
труб.
373
Электросварка встык оплавлением развивает прочность, рав-
равную предельной прочности детали, если она как следует выпол-
выполнена. Поэтому в таких случаях соединением с косым срезом не
пользуются. На фиг. 374 показан типичный сварочный шов встык
оплавлением, а также разрез по шву в увеличенном виде.
Оплавление снаружи
Зачищено
I
3
(а)
Оплавление внутри
(Ь) Сечение по шву
Фиг. 374. Сварка встык оплавлением.
Болты 1могут быть подвержены совместному действию рас-
растяжения и среза, как показано на фиг. 375. Для подсчета макси-
максимальных нормального и касательного напряжений можно поль-
пользоваться уравнениями B0.8), предполагая
распределение напряжения по поперечному
сечению равномерным. Разрушающую проч-
прочность болта при таких условиях нагрузки
можно приблизительно определить в пред-
предположении, что1 разрушение наступит тогда,
когда максимальное нормальное или каса-
касательное напряжение достигнет своего раз-
разрушающего значения, соответствующих
простому растяжению или срезу. I Однако
благодаря эффекту взаимодействия это не
идет в запас надежности. (В конце этой
главы будут даны некоторые замечания от-
относительно допускаемых сложных напря-
напряжений.)
20. 13. Совместное действие растяжения
и кручения. Для элементов, подверженных
совместному действию растяжения и круче-
кручения, максимальные нормальные и касатель-
касательные напряжения можно подсчитывать по
уравнениям B0.8), поскольку направления
приложенных напряжений взаимно перпен-
перпендикулярны. Такое нагруженное состояние
показано на фиг. 376. Примем значения на-
напряжений следующими:
Фиг. 375. Совместное
действие растяжения
и среза на болт.
374
араст=2000
т=1000 кг!см\
Из уравнений B0.8) имеем:
макс
10002,
:Л1акс=1416 кг!см2,
2000
а =
п макс
макс
1416,
2416 кг\см\
Из уравнений B0.9) получим:
tg 29 = *
2000
20=45°,
0=22,5°.
1,0,
Направления этих напряжений показаны на фиг. 376Д Если
отметить направление диагонального растягивающего напряже-
напряжения, соответствующего приложенному касательному напряже-
(Ь)
'мин.
Чтнс.
(с)
\ /
/ \
Фиг. 376. Совместное действие осевой нагрузки и кручения.
нию, как это показано на фиг. 376,с, то можно примерно наме-
наметить направление максимального нормального напряжения, не
пользуясь вышеописанными условиями знаков. Очевидно, макси-
максимальное растягивающее напряжение будет действовать* на той
грани, где оба растягивающих напряжения складываются.
375
20. 14. Совместное действие сжатия и кручения. Макси-
Максимальное нормальное напряжение при таких условиях нагруже-
нагружения будет сжимающим напряжением. В тонкостенных конструк-
конструкциях именно это напряжение и стремится вызвать потерю устой-
устойчивости. Для того чтобы подсчитать (максимальное сжимающее
напряжение и угол, под которым оно действует, можно восполь-
воспользоваться способами, применявшимися для совместного действия
растяжения и кручения. Так как в плоской панели обшивка стре-
стремится выпучиваться или давать волны по линиям, перпенди-
перпендикулярным к направлению максимального сжимающего на-
°раст. (+}
¦*,
Ч*
л
4—
(о)
cm
<-)
(Ь)
м
&
Фиг. 377. Нормальные напряжения в балке прямоугольного
сечения при совместном действии сдвига и изгиба.
пряжения, то линии выпучивания будут стремиться совпасть с
линиями минимального главного напряжения, которые
всегда перпендикулярны к линиям максимального нормального
напряжения (это явление часто создает ошибочное представле-
представление о том, что выпучивание вызывается полем диагонального
растяжения.) \
20. 15. Совместное действие изгиба и сдвига. Формулы
для простого изгиба, кручения и поперечного сдвига позволяют
производить подсчет нормальных и касательных напряжений от-
отдельно в любой точке по поперечному сечению. Максимальные
нормальные и касательные напряжения, возникающие при этом
в элементе конструкции, можно найти сложением полученных
выше напряжений согласно уравнению! B0. 8). Если имеется,
кроме того, и цепное растяжение (как, например, от внутреннего
давления), то надо пользоваться уравнениями B0. 10).
Балка прямоугольного поперечного сечения имеет переменное
распределение как нормального, так и касательного напряжения
(см. главы 13 и 17). Поэтому значение и направление главных
напряжений будут меняться по высоте балки. Так как касатель-
касательное напряжение в наружных волокнах равно нулю, в них будет
только нормальное напряжение, которое и будет главным напря-
напряжением. На нейтральной оси не будет вовсе нормальных напря-
напряжений, и действовать будет только напряжение касательное.
На фиг. 377 показано изменение максимальных нормальных
напряжений по поперечному сечению прямоугольной балки, под-
376
ш
серженной совместному действию сдвига и изгиба. Заметьте, что
максимальное нормальное напряжение всегда бывает в наруж-
наружных волокнах.
На фиг. 378, где представлена балка двутаврового сечения,
показано, что высокие касательные напряжения вблизи полки
вызывают местные нормальные напряжения, которые превосхо-
превосходят напряжения, подсчитанные для одного только изгиба. От-
Отсюда следует, что необходимо проверить максимальные нор-
нормальные напряжения, пользуясь уравнениями B0. 8). Наиболее
опасная область будет около соединения полки со стенкой.
<г,
i
вост.
(о) (Ъ) (с)
Фиг. 378. Сложные напряжения в двутавровой балке.
20. 16. Кривые взаимодействия. Вопрос о разрушении ма-
материалов под действием сложных напряжений достаточно сложен
и в этой книге подробно рассматриваться не будет, но общее
краткое описание способа определения разрушающих нагрузок
при помощи так называемых кривых взаимодействия, приводи-
приводимый ниже, может служить как бы введением к этому важному
вопросу.
Основной принцип состоит в том, что прочность детали под,
действием одного какого-либо вида нагружения зависит от на-
наличия других видов нагружения. Этот принцип делается более
общим, если вместо действительных нагрузок или напряжений
иметь дело с их отношениями. Например, допустим, что труба
подвержена изгибающему моменту, равному половине предель-
предельного изгибающего момента, который она может выдержать, если
имеется только изгиб. Тогда (можно определить испытаниями
(или другими способами), какое можно добавить кручение до на
ступления разрушения. Величина этого кручения может быть
выражена как часть предельного момента для простого кручения.
Поэтому отношение, упомянутое выше, будет
Я
Приложенная нагрузка или напряжение
'Предельная нагрузка или напряжение для простого нагружения'
377
В обозначениях для напряжения значения для совместного
действия изгиба и кручения были бы
R
а
изг
из г
ко
'разр
-разр
B0.12а)
B0.12Ь)
где /?нзг
Т и
отношение напряжений для изгиба,
кр отношение напряжений для кручения,
аизг—приложенное напряжение изгиба,
:раэР—предельное изгибное напряжение для простого
изгиба (разрушающее напряжение при изгибе),
:разр — соответствующие величины для кручения.
0.9
0.8
0.7
0.6
0.4
0.3
0.2
0.1
N
\
1
V
Го
\i
о- Экспериментальные
тпини
—i—\—
s
t
1
J
*
3
О
N
х°
о
О
V
\
\
\
\
\
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0,7 0.8 0.9 1.0
Фиг. 379. Кривая взаимодействия для труб при совместном
действии изгиба и кручения.
Если провести ряд испытаний какого-нибудь элемента изги-
изгибом и кручением при различных значениях /?изг, то можно по-
получить соответствующие значения Rhp при разрушении. Эти зна-
значения можно затем нанести на график в зависимости Друг от
друга и получить кривую взаимодействия, как показано на
фиг. 379. Площадь, ограниченная этой кривой, представляет без-
безопасные комбинации нагружения; сама кривая дает комбинации,
которые вызовут разрушения. Запас прочности для данного со-
состояния нагружения определяется положением точки Д пред-
представляющей состояние по отношению к кривой взаимодействия
378
<если оба нагружения увеличиваются одновременно, то опре-
определение запаса прочности должно быть сделано по диагональной
линии, проходящей через начало координат, как это показано
на фигуре).
Этот простой пример объясняет сущность метода. Дальней-
Дальнейшие подробности касаются формы кривой взаимодействия, спо-
способов ее математического выражения и уравнений для запаса
прочности. Одним из преимуществ метода является то, что почти
любая теория прочности (разрушения) под действием сложного
нагружения может быть выражена в виде кривой взаимодей-
взаимодействия достаточно просто.
О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0/ 0,8 0.9
Фиг. 380. Математические кривые взаимодействия.
Другая особенность состоит в том, что применение кривой
взаимодействия позволяет широко использовать большое коли-
количество существующих данных по разрушению при простых
состояниях нагружения, поскольку концевые точки кривой опре-
определяются этими состояниями. Поэтому она всегда дает хорошее
совпадение с действительностью, если одно нагруженное состоя-
состояние преобладает, и достаточно удовлетворительные результаты
при промежуточных условиях.
20. 17. Уравнения для кривых взаимодействия. Наиболее
удобным видом для уравнения кривой взаимодействия является
где индексы 1 и 2 представляют два простых типа нагружения,
а и Ъ являются показателями, управляющими формой кривой.
379
На фиг. 380 показаны различные кривые. Если значение
каждого показателя а и Ь равно 1,0, кривая обращается в пря-
прямую линию. Если а и b равны 2,0, кривая становится дугой
окружности. Другие комбинации дают параболы различных сте-
D-16
5
I
СрезлющАя
Фиг. 381. Кривые взаимодействия для стальных болтов
под действием среза и растяжения.
пеней. С увеличением а и Ъ кривая взаимодействия приближает-
приближается к двум предельным линиям ^=1 и /?2=1, указывающим на
полное отсутствие взаимодействия между нагруженными со-
состояниями. Когда а и Ъ меньше 1,0, кривая приближается к дру-
другим пределам ^ = 0 и fc=0, указывающим на высокую степень
380
взаимодействия (обычно включающую вторичные эффекты, как
в случае совместного действия сжатия и изгиба).
20. 18. Типовые случаи. Несколько специальных примеров
покажут применение этих кривых к некоторым практическим слу-
случаям. На фиг. 379 была дана кривая для случая сов)местного
действия изгиба и кручения труб (см. фиг. 276 и 234 о прочности
при простом нагружении).
й -
Фиг. 382. Совместное действие осевого сжатия и изгиба
для стальных труб.
На фиг. 381 показан ряд кривых, характеризующих проч-
прочность стальных болтов, подверженных совместному действию
растяжения и среза. Заметьте, что эти кривые даны <в выраже-
выражениях действительной нагрузки, вместо напряжения. Такие кривые
удобны для обычных расчетов. Конструкция, вызывающая такое
нагружение, показана на фиг. 375.
На фиг. 382 дан график для определения прочности труб при
совместном действии осевого сжатия и изгиба. При обработке
этой серии кривых не был учтен, при подсчете значения зизг,
эффект вторичного изгиба (§ 19. 8); поэтому кривые обнаружи-
обнаруживают несколько ббяыную тенденцию к вогнутости книзу (изги-
(изгибающий момент создавался поперечной нагрузкой, приклады-
прикладывавшейся iB точках на трети длины). Коэфициент В представляет
собой безразмерную форму величины -.-и получается делением
381
L f L \
действительного значения —на стандартное значение ( — U яв-
являющееся значением, при котором кривая Эйлера пересекается
с пределом текучести при продольном изгибе (последний прибли-
приблизительно равен пределу текучести при растяжении.)
На фиг. 382 не все кривые взаимодействия проходят через
1,0 для ^?ИЗг=0. Это потому, что за допускаемое сжимающее на-
напряжение было взято напряжение при пределе текуче-
текучести продольного изгиба, вместо действительного напряжения,
получающегося по формуле продольного изгиба [уравнение
A9. 12)]. Если за ссж . разр было бы принято напряжение начала
потери устойчивости при продольном изгибе и если бы при под-
подсчете аизг был включен вторичный изгиб, то семейство кривых
стремилось бы сойтись в одну прямую линию, которая дается
уравнением
¦тж
'изг
еж. разр
;разр
B0.14)
гДе °Сж—приложенное сжимающее напряжение, равное
р_
F
аизг—максимальное изгибное напряжение, включающее
вторичные эффекты,
^сж. разр—напряжение выпучивания при продольном изгибе,
аРазр—разрушающее напряжение при простом изгибе.
20. 19. Поверхности взаимодействия. Уравнение / B0. 13)
можно расширить, добавив третье нагруженное состояние, и по-
получить уравнение поверхности:
/г?+я2ч-/?3*=1,о.
B0.15)
Для случая совместного действия изгиба, сжатия к
кручения можно пользоваться следующим уравнением:
B0.16)
где Ясж=
'еж
еж. разр
, как и в уравнении B0. 14);
изг
, как и в уравнении B0. 14);
R
'разр
т
кр-
приложенное напряжение кручения
:разр разрушающее напряжение кручения
382
ЗАДАЧИ
20. 1. Болт диаметром 2 см воспринимает осевую нагрузку
GO00 кг. Найти нормальные и касательные напряжения в пло-
плоскостях, которые составляют с поперечной плоскостью следую-
следующие углы: 10°, 25°, 35°, 50°, 65°. Нанести эти напряжения на гра-
график в функции угла (для решения этой задачи пользуйтесь фор-
формулами).
20. 2. Допустим, что какой-то конструкционный материал
имеет разрушающее касательное напряжение 2500 кг/см2, но
что его временное сопротивление на разрыв неизвестно. Какое
можно ожидать максимальное временное сопротивление
на разрыв?
20. 3. При штамповке листового металла лист испытывает
максимальное растягивающее напряжение 2000 фн/дм2 в одном
направлении и сжимающее напряжение 1000 фн/дм2 в направ-
направлении, перпендикулярном к первому. Чему равно возникающее
таким образом касательное напряжение? Подсчитать по формуле
и проверить при помощи круга Мора.
20. 4. Болт диаметром 2 см подвержен растягивающей на-
нагрузке в 10 000 кг. В то же самое время он нагружен поперечной
срезающей силой в 3500 кг. Принимая распределение касатель-
касательного напряжения равномерным, найти максимальные нормальное
и касательное напряжения. Проверить при помощи круга Мора.
20. 5. Тонкостенная оболочка подвержена совместному дей-
действию чистого изгиба и кручения. Максимальное нормальное
напряжение от одного изгиба равно 2000 кг/см2, а касательное
напряжение от одного кручения равно 500 кг/см2. Чему равны
максимальные нормальное и касательное напряжения? Чему
равно максимальное касательное напряжение, в точке, лежа-
лежащей на середине расстояния от нейтральной оси до наружной
стороны оболочки?
20. 6. В задаче 20. 5 предположить, что добавлена попереч-
поперечная срезающая сила, среднее касательное напряжение от ко-
которой равно 300 кг]см2. Чему равны максимальные нормальное
и касательное напряжения на нейтральной оси?
20. 7. Начертить на одном графике серию кругов Мора, изо-
изображающих постоянное растягивающее напряжение в 1000 кг/см2
по одной главной оси и следующий ряд напряжений, приложен-
приложенных по другой оси.
Растяжение кг,'см2 0 200 400 600 800 1000
Сжатие кг/см2 0 200 400 600 800 1000
Подсчитать максимальное касательное напряжение для каж-
каждого случая и проверить на графике.
20. 8. Начертить полярную диаграмму нормальных напряже-
напряжений для случая, когда растягивающее напряжение по одной
главной оси составляет 7з напряжения по другой оси.
383
20. 9. Выбрать любой материал из приложения 2 и начертить
на одном и том же графике кривые 'взаимодействия Для сов-
совместного действия растягивающей и перерезывающей нагрузок
при следующих допущениях:
а) разрушение наступает, когда максимальное нормальное
напряжение равно временному сопротивлению на разрыв;
б) разрушение наступает, когда максимальное касательное
напряжение равно предельному напряжению на срез;
в) разрушение наступает при напряжениях, определяемых по
уравнению B0. 13), если показатели а и Ъ равны 2.
Примечание. Приложенное растягивающее напряжение отклады-
откладывать вертикально, а касательное напряжение — горизонтально. Отноше-
Отношениями не пользоваться. Кривые покажут, что уравнение B0.13) дает
правильные результаты для обоих простых нагруженных состояний.
20. 10. На фиг. 375 принять значения для диаметра болта и
.для угла установки приспособления для испытания (последний
должен быть между 31° и 39°). Найти нормальное и касательное
напряжения в плоскости скольжения для нагрузки 5000 кг.
ГЛАВА 21
СОЕДИНЕНИЯ1
21. 1. Общие соображения. Проектирование соединений
является одной из наиболее ответственных конструктивных за-
задач, так как большинство разрушений происходит именно в та-
таких местах. В самолетостроении приходится широко применять
соединения и фитинги не только для облегчения производства,
но также и для того, чтобы можно было менять толщину обшив-
обшивки в целях большей экономии в весе. Значение, которое имеет
правильное проектирование узлов, давно известно и в других
отраслях техники.
Главная задача при проектировании соединений заключается
в том, чтобы как можно больше сохранить основную прочность
соединяемых деталей. 'Мера осуществления этой задачи часто
обозначается как коэфициент полезного действия
соединения. Так, узел, имеющий к. п. д., разный 90Уо, бу-
будет обладать прочностью, составляющей 90°/о прочности слабей-
слабейшего из соединяемых элементов. При внимательном проектиро-
проектировании можно иногда достичь к. п. д. в 100%. В соединениях ли-
листового металла какими-нибудь простыми способами достичь
к. п. д., равный 100<Уо, нельзя. Подробное изучение прочности
соединений потребовало бы глубокого знакомства с вопросами
концентрации напряжения и теорий прочности. Приводимые ниже
замечания будут в значительной степени ограничиваться более
простым изложением задачи.
21. 2. Типы разрушения соединений. Обычные типы разру-
разрушения соединений показаны на фиг. 383. Определение прочности
их на срез, смятие и растяжение, основано на рас-
рассмотренных выше методах расчета. Уравнения дают максималь-
максимальные допустимые (разрушающие) нагрузки.
1 Широкое изучение вопроса о соединениях выходит за пределы настоя-
настоящей книги; в этой главе изложены лишь основные принципы, применяемые
при решении данного вопроса. : ¦
25 Ф. Р. Шепли. ?85
Срез:
Нагрузка на заклепку или болт
Р
закл
'* ср дот
B1.1)
где F—площадь поперечного сечения болта,
с —допустимое касательное напряжение материала болта
(§ 6.15).
См ятие:
Нагрузка на заклепку или болт
закл
доп,
B1.2)
где FCM—площадь проекции более тонкого листа, равная ?)•?,
(Jcm. доп—допустимое напряжение смятия для листа или болта
(брать более низкое) (§ 6. 14).
Растяжение:
Нагрузка на заклепку или болт
Р.
закл
F.
растирает. доп>
B1.3)
где Fpac7—площадь живого поперечного сечения по отвер-
отверстию болта,
. доп—-допустимое напряжение при растяжении (§ 6.2).
Примечание. Для некоторых материалов следует ввести редук-
редукционный коэфициент для учета концентрации напряжения. Для алюминие-
алюминиевых сплавов он обычно берется равным приблизительно около 90%. Для
сталей обычно никаких редукционных коэфициентов не вводится^
(а) Срез
(Ь)Смятие
(с) Разрыв {6) Вырывание
Фиг. 383. Типы разрушения соединений.
Вырывание является сложным типом разрушения, для
которого можно пользоваться следующими полуэмпирическими
правилами.
Нагрузка на заклепку или болт
'закл ^ """доп»
B1.4)
3S6
где а — перемычка, измеряемая, как показано на фиг. 384,
Примечание. В расчет вводится д0) ае или as в зависимости
от типа соединения.
о—толщина материала проушины,
тдов—допустимое касательное напряжение для материала
проушины.
Для избежания вырывания (материала при разрушении и вы-
выпучивания края листа при клепке обычно требуется, чтобы рас-
| стояние до края d (фиг. 384,с) равнялось по крайней мере двум
диаметрам заклепки. Потайные заклепки должны иметь даже
Фиг. 384. Данные для расчета на вырывание
(см. уравнение B1.4).
большие расстояния до края B72 до 3 диаметров заклепки). Как
указано на фиг. 384,с расстояние до края измеряется до оси за-
заклепки, а не до края отверстия.
21. 3. Соединения нескольких толщин. На фиг. 385,Ь и с
показаны обычные типы соединений, s которых одна заклепка
или один болт служит для соединения нескольких листов или
проушин. При ,этом суммарная прочность на срез болта увеличи-
увеличивается благодаря наличию нескольких поперечных сечений, ко
¦3L
ХУЖУ,
(а) одноервзное (Ъ) Двухсрезноё (с) Многасрезш
Свребенчатьш ¦
Фиг. 385. Типы соединений.
торые должны срезаться при разрушении болта. Так, на
фиг. 385,Ь прочность на срез заклепки удваивается. На
фиг. 385,с болт должен был бы срезаться по шести плоскостям,
если бы фитинг не разрушался каким-нибудь другим образом; по-
поэтому в уравнении B1. 1) следовало'бы правую часть помножить
на б. Этот тип соединения позволяет пользоваться болтами ма-
малых диаметров.
В случае соединения нескольких толщин обычно достаточно
прочность на смятие и на вырывание подсчитывать как сумму
25*
387
прочностей каждого листа (при нагружении, конечно, в одном
направлении). Однако, если один из листов значительно слабее
других, то надежнее распределить нагрузку пропорционально
площадям поперечного сечения листов, а затем расчет вести для
каждого листа отдельно. Соединения с эксцентриситетом
необходимо рассчитывать иначе.
21. 4. Соединения сплошным швом. В конструкциях из ли-
листового металла очень часто применяются соединения сплошным
швом, показанные на фиг. 386. Расчет таких соединений -можно
произвести путем выделения полоски, имеющей ширину, равную
шагу заклепок t. 'Можно выбрать и произвольную ширину (на-
(например, 1 см) и определить прочность на погонный сантиметр
шва (при этом может получаться дробное число заклепок на
сантиметр).
(а) Однорядный шов (Ь)Ряднзя нлелка \с) Шахматное pacnz-
Фиг. 386. Соединения сплошным
На фиг. 386,с показан образец заклепочного соединения с
шахматным расположением заклепок, часто применяюще-
применяющегося, когда главное внимание уделяется плотности шва. В этом
типе соединения ряды заклепок должны быть достаточно далеко
расположены друг от друга, с тем чтобы исключить разрушение
листа по диагональной линии, соединяющей заклепки. Вообше,
расстояние «между рядами (Ь на фиг. 386,с) должнб быть по край-
крайней (мере вдвое больше диаметра заклепки. Даже тогда шахмат-
шахматный порядок будет оказывать неблагоприятный эффект на поток
напряжения, вызывая некоторое уменьшение к. п. д. соединения.
(Благодаря этому рядный тип клепки на фиг. 386,Ь, повиди-
мому, является более эффективным, чем соединение в шахмат-
шахматном порядке, в особенности для материалов с относительно низ-
низким удлинением).
21. 5. Коэфициент полезного действия соединения. Если
найти минимальную прочность для полоски, проведенной через
соединение (как показано на фиг. 386), то к. п. д. можно легко
вычислить путем подсчета прочности полоски такой же ширины
(беря толщину более тонкого1 листа). Если разрушение должно
388
произойти от разрыва между заклепками, то выражение для
к. п. д. было бы
к. п. д. (разрыв) =
B1.5)
где t—шаг,
D—диаметр заклепки,
к—коэфициент концентрации напряжения, обычно прини-
принимаемый равным 1,0, но который иногда может быть
ниже. Для алюминиевого сплавай следует принимать
около 0,9.
Вырывание
(й) Увеличение (Ь) Увеличение {с}Дополнительные
ширины л толщины * нлкЛАдкц
Фиг. 387. Способы повышения к. п. д. соединений.
Общая идея при проектировании для осуществления высокого
к. п. д. заключается в увеличении площади поперечного сечения
той области, которая должна быть уменьшена отверстиями под
болт или заклепку. Это возможно в соединениях с одним болтом
пли заклепкой, как показано на фиг. 387.
1
) \ О О ) )
Фиг. 388. Соединение встык.
При работе с листовым металлом часто применяются наклад-
накладки, как показано на фиг. 388, где представлено соединение
встык (часто применяющееся в самолетостроении). Накладка
применяется для того, чтобы обеспечить более высокую проч-
389
кость на вырывание, смятие и разрыв. Заклепки, крепящие на-
накладку, должны быть относительно небольшими и не слишком
близко расположены друг от друга, с тем чтобы избежать пони-
понижения прочности основного листа. Для экономии в весе накладку
можно сделать фасонной, как показано на фиг. 388. Этот tk?i
соединения имеет эксцентриситет и не может быть выполнен та-
таким же эффективным, как симметричное соединение, такое, на-
например, как показано на фиг. 389.
Внешняя поверхность
Фиг. 389. Соединение с подкрепляющей накладкой.
2 i. б. Заклепочные соединения при центральном нагруже-
нии1. Если в одном соединении применяется несколько за-
заклепок, то необходимо определить распределение нагрузки меж-
между ними. Распределение будет зависеть от податливости соеди-
соединяемых элементов и заклепок. Для одного ряда заклепок, как,
Фиг. 390. Типичное разрушение соединения из листового металла,
работающего на растяжение; видны разрыв, смятие и вырыв.
например, показано на фиг. 391,а, обычно принимается, что на-
нагрузка делится поровну между заклепками. На самом деле на-
нагрузка стремится увеличиться для Двух крайних заклепок, но
жесткость материала будет мешать этому. Для того, чтобы полу-
получить более одинаковое распределение нагрузки между заклепка-
1 Приводимые соображения, применимые также для аналогичных соеди-
соединений болтами, шпилькам»* и пр.
390
-¦&
ми, соединение можно было бы выполнить, как показано на
фиг. 391 ,Ь. Принцип здесь заключается в том, что площадь попе-
поперечного сечения листа должна быть уменьшена приблизительно
пропорционально степени его силовой отдачи. В результате по-
получаются более равномерные напряжения и возможность избе-
избежать больших различий в напряжении в соседних листах. Такие
г
(а) (Ъ)
Фиг. 391. Заклепочные швы.
различия в напряжении вызывают различные величины дефор-
деформации. Этим относительно большим деформациям сопротивля-
сопротивляются соседние заклепки, в которых возникают большие нагрузки
(соединение, показанное на фиг. 391,Ь, практически невыполни-
невыполнимо для большинства соединений из листового металла, но может
применяться для фитингов).
В предшествующем рассуждении предполагалось, что на-
хрузка проходит через центр заклепочного соединения, т. е. что
нагружение симметрично. Если дальше принять, что каждая
заклепка сопротивляется деформации пропорционально своей
минимальной прочности (при срезе или смятии), то достаточно
сложить «прочности» всех заклепок, даже если они и не одина-
одинакового размера (это может оказаться и не соответствующим
действительности, если большие различия в напряжении между
соединяемыми деталями вызывают в одной или нескольких за-
заклепках значительную перегрузку).
Ы)
Фиг. 392. Заклепочное соединение с эксцентриситетом.
21. 7. Заклепочные соединения с эксцентриситетом. Фи-
Фитинги и соединения часто должны передавать вращающие мо-
моменты. Всякое эксцентричное нагружение можно разложить на
осевую нагрузку и вращающий момент, как это показано на
фиг. 392. Задача заключается в том, чтобы найти центр сопро-
сопротивления для заклепочного соединения. Этот центр можно опре-
391
делить как точку, относительно которой обе соединяемые детали
могли бы вращаться (относительно друг друга), не создавая осе-
осевой результирующей силы, т. е. сопротивление должна оказывать
пара или ее эквивалент. Задача поэтому аналогична задаче о
кручении или изгибе. Здесь можно воспользоваться изложенными
выше основными методами, если допустить, что заклепка пред-
представляет собой элемент, оказывающий сопротивление, точно так
же, как если бы это были элементы площади поперечного сече-
сечения, сопротивляющиеся изгибу или кручению.
Для упрощения задачи обычно считают, что сопротивляе-
сопротивляемость деформации пропорциональна площади поперечно-
поперечного сечения заклепки, или ее диаметру, или ее мини-
минимальной прочности на срез или смятие. Ни одно из этих
предположений, строго говоря, не является верным, но послед-
последнее дает в среднем самые лучшие результаты. Однако обычно
разрушение наступает от среза заклепки, так что при подсчете
сопротивляемости принято пользоваться площадями поперечного
сечения (если все заклепки одних и тех же размеров, то можно
пользоваться как диаметрами, так и площадями, так как резуль-
результаты получатся одинаковыми).
На фиг. 392,а показано заклепочное соединение под действи-
действием эксцентричного нагружения. Заклепки (или болты) приняты
одинаковых размеров. Благодаря симметрии центр соединения
можно указать без подсчета. Момент От эксцентриситета, оче-
очевидно, равен PU Осевая сила поровну делится между заклепка-
заклепками, как показано на фиг. 392,Ь. На фиг. 392,с показаны силы на
каждую заклепку, сопротивляющиеся вращающему .моменту. Эта
силы будут действовать нормально к радиусу, соединяющему за-
заклепку с центром сопротивления. Момент, воспринимаемый каж-
каждой заклепкой, равен нагрузке на заклепку Рт помноженной на:
ее плечо момента. В этом частном случае нагрузки и плечи мо-
момента г одинаковы для всех заклепок. Следовательно, значение
Р
т
можно найти из уравнения
Pi
4r
Полную нагрузку на каждую заклепку находят векторным
сложением, как показано на фиг. 392Д Заметьте, что в этом при-
примере самая близкая к приложенной силе заклепка испытывает
самую большую нагрузку, в то время как одна из заклепок па-
гружена в обратном направлении.
В более общем случае центр сопротивления необходимо на-
находить исходя из следующих соображений (§ 7. 6). Если при-
принять, что сопротивляемость деформации пропорциональна пло-
площади поперечного сечения заклепки, то центр сопротивления бу-
будет находиться в центре тяжести площадей заклепок. Последний
392
находится обычным способом путем умножения каждой пло-
площади на свое расстояние от некоторой основной линии, сложени-
сложением этих произведений и делением их суммы на суммарную пло-
площадь. Расстояние х0 на фиг. 393 определяется таким образом из
уравнения:
...+F7x7
-!- Я
B1.6)
Если расположение заклепок несимметрично относительно обеих-
осей, то необходимо произвести другой подсчет для оси У—У.-
Фиг. 393, Подсчет нагрузок на заклепки.
Сила, непосредственно воспринимаемая каждой заклепкой
будет:
р:
•я,
Р
B1.7)
и т. д.
Для вращения относительно центра тяжести деформация
каждой заклепки пропорциональна ее расстоянию г от центра
тяжести. Следовательно, момент, воспринимаемый каждой за-
заклепкой, будет
М
-Рг<
2~ ЕЛ* * '°
B1.8)
и т. д.,
где г_радиус от центра заклепки до центра тяжести.
393
Силы от момента, следовательно, будут
р
n EF/-2
M2
B1-9)
mri
г.,
IF r*
*- Рг,
т. д.
Окончательные силы находят графическим сложением Р'
к Рт.
Если все заклепки одинаковых размеров, т. е. если они имеют
одинаковую сопротивляемость деформации, то выражения пло-
площадей в уравнении B1. 6) вычеркиваются и получается более
простое уравнение
хо= - '- = ¦-- 7 B1.10)
где //—число заклепок.
Силы тогда будут
Р
п
(для каждой заклепки)
Р ___Л
ml
B1.11)
B1.12)
я т
21. 8. Положение центра тяжести соединения 1 (графиче-
(графический метод). Удобный метод определения положения центра
заклепочного соединения показан на фиг. 394. Если все заклепки
(или болты) одного и того же раз-
размера, то- центр тяжести можно най-
найти путем последовательного при-
прибавления каждый раз по одной за-
заклепке. Сначала любая пара за-
заклепок соединяется линией, которая
делится п о п о л а м для определе-
определения центра тяжести этих заклепок.
Этот центр теперь соединяется с
третьей заклепкой, и на одной
трети расстояния от центра отме-
¦Фиг. 394. Графическое опредс- чается точка. Эта точка теперь со-
соление положения центра закле- едкняется с четвертой заклепкой, и
почиого соединения. на расстоянии одной ч е т в е р-
т и от нее откладывается следую-
следующая точка, и так далее до тех пор, пока не будут включены
все заклепки.
Этот метод полезен для приближенных расчетов и для про-
проверки, в особенности, если расположение заклепок беспорядоч-
391
кое. Относительно точные результаты можно получить делением
линий на-глаз. Метод, конечно, можно распространить и на слу-
случаи, когда все заклепки имеют разные диаметры, учитывая отно-
относительные площади (или диаметры, или прочности).
ЗАДАЧИ
21. 1. Начертить эскиз однорядного соединения внахлестку
двух листов из алюминиевого сплава толщиной 0,8 мм с диа-
диаметром заклепок 3 мм при произвольном шаге и расстоянии до
арая. Пользоваться следующими данными:
Предельное напряжение на разрыв
для листа = 4200 кг/см2.
Предельное напряжение среза
для листа = 2900 кг/см2.
Предельное напряжение смятия
для листа и заклепок = 6000 кг/см2.
Предельное напряжение среза
для заклепок = 2500 кг/см2.
Принять понижение прочности в листе за счет концентрации
напряжения между заклепочными отверстиями равным 10%.
а) Найти прочность на погонный сантиметр для четырех воз-
возможных типов разрушения.
б) Подсчитать к. п. д. соединения.
21. 2. Для проушины, показанной на фиг. 384Д проставить
любые размеры и подсчитать ее минимальную прочность на раз-
разрыв, смятие и вырывание. Пользоваться любым материалом, при-
приведенным в приложении 2.
21. 3. Спроектировать проушину для болта диаметром 12 мм,
прочность которой будет как раз равна прочности болта на
срез. Болт принять стальным термообработанным, а проушину—
.изготовленной из алюминиевого сплава. Пользоваться свойства-
свойствами, указанными <в приложении 2. Проушина должна иметь фор-
форму, как на фиг. 384,Ь.
21. 4, Для фитинга, показанного на фиг. *392, проставить
.произвольные размеры и принять Р=1000 кг. Найти направле-
направление и величину нагрузки на каждую заклепку.
21. 5. На фитинге задачи 21. 4 добавить заклепку в центре
¦соединения. Найти нагрузку на каждую заклепку. На сколько
процентов снизится от этого изменения сила на наиболее на-
нагруженную заклепку?
ЗЭ5
21. 6. Начертить фитинг такой, как показан на фиг. 393, и
проставить размеры. Принять диаметр для болтов Л 2, 6 и 7—
6 мм, а для болтов 3, 4и5 — 8 мм. Сила Р=20 000 кг и действует
под углом 30° к вертикали. Найти нагрузку на каждый болт,
принимая ее пропорциональной площади сечения болта.
21. 7. Решить задачу 21. 6, принимая нагрузку на каждый
болт пропорциональной диаметру болта.
21. 8. Проверить положение центра соединения в задачах
21, 6 и 21. 7 методом, показанным на фиг. 394, изменив, его так,
чтобы учесть различие в размерах болтов.
F
1
Г —
Q
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
площадь.
момент инерции относительно главной оси Х—Х.
момент инерции относительно главной оси К—К.
момент инерции относительно любой оси N—N.
статический момент относительно оси N—N.
г — радиус инерции, равный
/
Таблица I
'«- Ч cos * 9
f Подсчитано Qm
но одной a mod &e оси)
( Только для тонких сте-
^Л^л г^лази.чь? трубы)
nab
4
Периметр = ж (а ¦+¦ b) &тн>
= 0,215 Rz
= 0,223$
k;r. =0,0075Я*
F= 0,785 Pz
397
Таблица -2
D
d
Ь
¦ внешний диаметр,
внутренний диаметр
толщина стенки.
Расчетные данные круглых труб
F— площадь.
/ — момент инерции.
W— момент сопротивления,
г — радиус инерции.
5X4
6X3
6X4
8X5
8X6
Юхб
10x7
ЮХ8
12X8
12X9
12X10
14хЮ
14 х И
14Х 12
15ХИ
15X12
15 X 13
16X12
16X13
16X14
18X14
18X15
18 х 16
20X16
20X17
20 X 18
22 X 18
22X19
22x20
25X21
25X22
25X23
30X25
30 X 26
30x27
30X28
35X30
35x31
35X32
35X33
40x35
40X36
0,5
Ь5
1,0
1,5
1,0
2,0
1,5
1,0
2,0
1,5
1,0
2,0
1,5
1,0
2,0
1,5
1,0
2,0
1.5
1,0
2
1>
1,0
?5
1
2
1,5
1
2,5
2,0
1,5
1,0
2,5
2,0
1,5
1,0
2,5
2
10,0
4,0
6,0
5,3
8,0
5,0
6,67
10,0
6,0
8,0
12,0
7,0
9,3
14,0
7,5
10,0
15,0
8,0
10,7
16
8
12
18
10
13,3
20
11
14,7
22
12,5
16,7
25
12
15
20
30
14
17,5
23,3
35
16
20
0,07
0,21
0,157
0,306
0,22
0,503
0,401
0,283
0,628
0,495
0,346
0,75
0,59
0,408
0,817
0,636
0,44
0,88
0,683
0,47
1,005
0,778
0,534
1,131
0,872
0,597
1,257
0,966
0,660
1,445
1,107
0,754
2,160
1,76
1,34
0,91
,55
,07
,58
,07
,95
2,39
0,0018
0,0058
0,0051
0,017
0,0137
0,043
0,037
0,029
0,082
0,07
0,053
0,140
0,17
0,087
0,177
0,157
0,108
0,22
0,182
0,133
0,327
0/267
0,194
0,464
0,375
0,270
0,635
0,510
0,365
0,963
0,768
0,544
2,059
1,73
1,37
0,959
3,39
2,83
2,22
1,55
5,20
4,33
0,0072
0,019
0,017
0,043
0,034
0,085
0,075
0,058
0,136
0,116
0,088
0,2
0,167
0,124
0,236
0,196
0,144
0,275
0,227
0,166
0,363
0,296
0,215
0,464
0,375
0,270
0,577
0,464
0,331
0,770
0,614
0,435
1,37
1,16
0,912
0,64
,94
,62
27
0,88
2,60
2,16
0,16
0,165
0,18
0,236
0,25
' 0,292'
0,305
0,320
0,361
0,375
0,390
0,43
0,445
0,461
0,465
,0,480
\),496
0,500'
0,515
0,532
0,570:
0,587
0,602'
0,640'
0,656-
0,672
0,710
0,727
0,743
0,816
0,833.
0,849
0,976
0,993.
01
03
15
17
19
20
33
1,34-
398
Продолжение
DXd
мм
40X37
40X38
45 X 40
45X41
45X42
45X43
50X45
50X46
50X47
50X48
55X50
55 X 51
55X52
55X53
60X54
60 X 55
60X56
60 X 57
60X58
65 X 59
65X61
65X62
65X63
70X62
70X64
70X66
70X67
75X67
75X69
75X71
75X72
80 X 70
80X72
80X74
80Х76
80X77
85 X 77
85 X 79
85 X 81
85X82
90X82
90X84
90X86
100 X 90
100x92
100X94
100 X 96
пох юо
110Х Ю2
ПО X 104
110 X 106
ь
мм
1,5
1,0
2,5
2
1,5
1
2,5
2
1,5
1
2,5
2
1,5
1
3
2,5
9
1~5
1,0
3
9
1,5
1
4,0
3
9
iTs
4,0
3
2
1,5
5,0
4
3
2
1,5
4
3
2
1,5
4,0
3,0
2
5
4
3
2
5
4
3
2
D
Ь
26,7
40
18
22,5
30
45
20
25
33,3
50
22
27,5
36,7
55
20
24
30
40
60
21,7
32,5
43,3
65
17,5
23,3
35
46,7
18,8
25
37,5
50
16
20
26,7
40
53,3
21,2
28,4
42,5
56,6
22,5
30
45
20
25
33,3
50
22
27,5
36,7
55
F
см?
1,81
1,23
3,34
2,70
2,05
1,38
3,73
3,02
2,29
1,54
4,12
3,33
2,52
1,70
5,37
4,52
3,66
2,76
1,85
5,84
3,96
2,99
2,01
8,29
6,32
4,27
3,23
8,92
6,79
4,59
3,46
11,8
9,55
7,26
4,90
3,70
10,2
7,73
5,22
3,94
10,8
8,20
5,53
14,9
12,1
9,14
6,16
16,5
13,3
10,1
6,79
/
см*
3,37
2,33
7,56
6,26
4,85
3,35
10,55
8,70
6,73
4,62
14,24
11,79
9,03
6,19
21,9
18,7
15,3
11,8
8,07
28,14
19,7
15,1
10.3
45,3
35,5
24,7
18,9
56,4
44,0
30,8
23,4
83,2
69,1
53,9
37,3
28,5
83,7
65,0
4^,9
34,3
100,1
77,7
53.6
169,0
139
108
74,0
228
187
144
98,9
W
см*
1,68
1,17
3,36
2,78
2,16
1,49
4,22
3,48
2,69
1,85
5,18
4,29
3,28
2,25
7,30
6,23
5,11
3,94
2,69
8,66
6,05
4,65
3517
12,95
10,1
7,06
5,41
15,0
П,7
8,15
6,24
20,8
17,3
13,5
9,32
7,13
19,7
15,3
10,6
8,07
22,3
17,3
11,9
33,8
27,8
21,5
14,8
41,4
34,1
26,3
18,0
i
см
1,36
1,38
1,51
1,52
1,54
1,56
1,68
1,70
1,71
1,73
1,86
1,88
1,89
1,91
2,02
2,03
2,05
2,07
2,09
2,20
2523
2,25
2,27
2,34
2,37
2,41
2,42
2,51
2,55
2,58
2,60
2,66
2,69
2,73
2,76
2,78
2,87
2,90
2,93
2,95
3,05
3,08
3,11
3,36
3,40
3,43
3,46
3,72
3,75
3,79
3,82
399
Продолжение
Продолжение
DXd
мм
120ХП0
220X112
120 X П4
120 X П6
130 X П8
130 X 122
130 X 124
150 X 138
150 X 142
150 X 144
а
мм
5
4
3
Г)
6
4
о
6
4
3
D
д
24
30
40
60
21,7
32,5
43,3
25
37,5
50
F
см*
18,1
14,6
11,0
7,41
23,4
15,8
12,0
27,1
18,4
13,9
см*
299
245
189
129
450
315
242
705
489
374
W
см*
49,9
40,9
31,5
21,5
69,3
48,4
37,1
94,0
65,2
50,0
i
см
4,07
4,10
4,14
4,17
4,39
4,45
4,49
5 09
5,16
5,20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
¦11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Таблица 3
Расчетные данные круглых сплошных сгчений
Расчетные данные круглых сечений
D — внешний диаметр, мм,
F — площадь сечения, см?.
I—момент инерции, см*.
W — момент сопротивления, см".
/ — радиус инерции.
D
мм
i
\ F
i
~D2
4
CM*
CM*
W
CM3
D
MM
F
^№
4
CM*
I
CM*
\. w
CM*
0,00735
0,03142
0,07069
0,1257
0,1964
0,2827
0,3849
0,5027
0,6362
0,7854
0,9503
1,131
1,327
,539
,767
2,011
2,270
2,545
2,835
3,142
3,464
3,801
0,00008
0,0004
0,00126
0,00307
0,00636
0,0118
0,0201
0,0322
0,0491
0,0719
0,1018
0,1402
0,1886
0,2485
0,3217
0,4100
0,5153
0,6397
0,7854
0,9547
1,150
0,0008
0,00265
0,00628
0,0123
0,0212
0.0,37
0,0503
0,0716
0.0Э82
0,1307
0,1696
0,2157
0,2694
0,3313
0,4021
0,4823
0,5726
0,6734
0,7854
0,9092
1,045
23
24
25
25
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
4,155
4,524
4,909
5,309
5,726
6,158
6,605
7,069
7,548
8,043
8,553
9,079
9,621
10,18
10,75
11,34
11,95
12,57
13,20
13,85
14,52
15,21
1,374
1,629
1,918
2,243
2,609
3,017
3,472
3,976
4,533
5,147
5,821
6,560
7,366
8,245
9,200
10,235
11,356
12,566
13,871
15,275
16,782
18,398
1,194
1,357
1,534
726
932
155
2,394
2,651
2,925
3,217
3,528
3,859
4,209
4,580
4,973
5,337
5,824
6,283
6,766
7,274
7,806
8,353
п
мм
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
т:?>2
р
4
см*
15,90
16,62
17,35
18,10
18,86
19,64
20,43
21,24
22,06
22,90
23,76
24,63
25,52
26,42
27,34
28,27
29,23
30,19
31,17
32.17
33,18
34,21
35,26
36,32
37,39
38,49
39,59
40,72
1
см*
20,139
21,98
23,95
26,058
28,30
30,68
33,21
35,89
38,73
41,74
44,92
48,28
51,82
55,55
59,48
63,62
67,97
72,53
77,33
82,36
87,62
93,14
98,92
104,96
111,27
117,86
124,74
131,92
W
WW
СМ*
8,946
9,556
10,193
10,857
11,550
12,278
13,023
13,804
14,616
15,459
16,334
17,241
18,181
19,155
20,16
21,21
22,28
23,40
24,55
25,74
26,96
28,23
29,53
30,87
32,25
33,67 $
35,14
36,64 |
D
ММ
73
74
75
76
77
78
79
т
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
тгО2
г?
г* -— ¦*
4
см*
41,85
43,01
44,18
45,37
46,57
47,78
49,02
50,27
51,53
52,81
54,11
55,42
56,75
58,09
59,45
60,82
62,21
63,62
65,01
66,48
67,93
69,40
70,88
72,38
73,90
75,43
76,98
78,54
/
см*
139,40
147,19
155,32
163,77
172,56
181,70
191,20
201,06
211,31
221,93
232,96
244t3S
256,24
268,51
281,22
294,37
307,99
3?2,06
336,62
351,66
367,20
383,25
399,82
416,92
434,57
452,77
471,53
490,87
W
VV
см*
38,19
39,78
41,42
43,10
44,82
46,59
48,40
50,27
52,17
54,13
56,14
58,19
60,29
62,45
64,65
66,90
69,21
71,57
73,98
76,45
78,97
81,54
84,17
86.83
89,60
92,40
95,26
98,18
26 Ф. Р. Шенди.
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица 1
Механические свойства металлов, применяемых
в самолетостроении *
Характеристика
материала
Модуль упругости,
Временное сопроти-
сопротивление на разрыв.
кг/см*
Предел текучести
iipH растяжении2, кг/см*
Предельное напря-
напряжение среза, кг/см2
Предельное напря-
напряжение смятия^, кг/см*
Предел усталости4
Удельный вес, г/см5
Малоугле-
Малоуглеродистая
сталь
(С-20,
С—25)
(нормализ.)
2 1•10s
4500
2300
2900
5400
2000
7,85
Стальной
сплав
(авиацион-
(авиационный тип)
хроман-
силь, хро-
момолиб-
деи (нор-
(нормализ.)
2, Ы06
6500
5000
4300
7800
3000
7,85
Стальной
сплав, термо-
обработанный
до 110 кг/мм2
временное
сопротивле-
сопротивление разрпву5
2,1-ЮЗ
11000
8500
7000
13500
4500
7,85
Алюминие-
Алюминиевый сплав
(высоко-
(высокопрочные
листы)
(закален-
(закаленный и со-
состаренный)
7,2.105
4600
ЗООО
3000
5500
1150
2,8
Магниевый
сплав
(высоко-
(высокопрочные
листы)
4,0-10-
2100
\
1200
1350
2500
750
1,76
1 Приводимые значения являются характерными для нескольких типо:*
материалов, но не обязательно должны в точности сходиться с техниче-
техническими условиями, которые подвергаются изменению. В действительной
практике проектирования соответствующие напряжения должны быть по-
получены для каждого применяющегося материала.
2 Напряжение при 0,002—остаточной деформации.
3 Номинальное значение, основанное на малой деформации отверстия
или болта.
4 Для полной знакопеременной нагрузки получен нэ основании испы-
испытаний на изгиб с количеством циклов не менее 10 000 000.
5 Типичная термообработка для высокопрочных стальных деталей. Поль-
Пользуются также значениями ниже и выше этой цифры.
402
Таблица
Механические свойства пород дерева, применяемых
в самолетостроении *
Характеристика материала
Модуль упругости, kzjcm2
Разрушающее напряжение при
изгибе, кг/см2
Предельное напряжение среза,
kzjcm* (параллельно волокнам)
Предельное напряжение сжатия,
кг/емг (параллельно волокнам)
Предельное напряжение сжатия,
кг}смг (перпендикулярно волокнам)
Удельный вес, г/см*
Твердые листвен-
лиственные породы
(ясень, бук,
береза, дуб)
поооо
800
80
400
100
0,70
Мягкие хвойные
породы (сосна,
ель, пихта)
110000
600
50
340
60
0,50
1 Механические свойства дерева меняются в широких пределах и зави-
зависят от содержания влаги, продолжительности нагружения и других фу-
футоров. Приведенные значения являются характерными для нескольких типов
дерева и могут применяться в приближенных расчетах. Более полные
данные можно найти в технических справочниках.
26*
403
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Безразмерные расчетные кривые для балок'
В нижеследующих таблицах приведены данные по различным типам
балок подверженных действию различных типов нагружения. Данные
приведены в безразмерной форме при единичных значениях для расстоя-
расстояний и нагрузок. Для обратного превращения в размерную форму необ-
необходимо значения, данные на кривых или в таблице, умножить на со-
соответствующие величины, указанные в группе уравнений вверху каждой
таблицы. Вторая группа уравнений просто указывает основную форму без-
безразмерных кривых.
В случае балки с определенным размахом удобно будет разделить
эту длину на 10 равных частей и пользоваться значениями, приведенны-
приведенными в нижней таблице справа.
Специально показанные условия знаков приведены для того, чтобы
получить последовательность в уравнениях и на графиках. \
Например, если бы мы захотели найти прогиб для балки длиной^ в
6 и на расстоянии 2,4 м от левого конца, то значение хо было бы--^-
=0 40 Для свободно опертой балки с равномерно распределенной на-
нагрузкой следовало бы пользоваться табл. 6. Значение у0 оказалось бы
равным, из нижнего графика или таблицы, 0,0125. Это следовало бы
подставить в уравнение для у (в верхней группе уравнении) вместе с
известными значениями нагрузки д, длины F00 см), модуля упругости
Е и момента инерции /.
М
лев,-
-г Г
Таблица 1
Расчетные кривые для балок (безразмерные)
Консольная балка — постоянный момент
+ y
О ЗНАкСЗ
О ?1
Ml2
405
Таблица 2
Расчетные кривые для балок (безразмерные)
Консольная балка с сосредоточенной нагрузкой
Ро= 1 кг.
л
+Q
-г М
т
ЗИАкОВ
-fl.i
0.4
0.6 0.3
0.5
/
1 /
/!
т/
CLO :
.... r^^
\
м
1
¦
ч
;
1
Е
¦
i
\
\
N
\
\
i i
\
г.о
0.5
1.0
0,5
0,25
,=-1
2
T
0.05 ^
0 '
о.г
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
С.г
1.0
Qo
-?.о
ко
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
во
0
0.095
0.180
0.255
0-320
D. 375
0.420
| 1 0.3 | 0.455
\ j 0.2
i
.0
0J
0
Q.48Q
0.495
0.506
Уо
0
0.0048
0.016/
0.0405
0.0693
QJ044
0.U4Q
Q.1878
0.2345;
0.2835;
о.ззгс
406
Таблица 3
Расчетные кривые для балок (безразмерные)
Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой
4
I
--Х,
+ ? +
f I
1 *--
i l
1*
-
r>
4.
ЗИАкОВ
1
е =
У ==
" 2
Uo 2
6
6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
O.w
0.7
0.3
0.9
!l.O
-?.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.
0.
Mo
500
405
320
245
180
125
080
045
020
005
0
0
0
0
0.
0
0.
0.
0.
0.
0.
Oo
0
045 1
0313
1095
1306
1458
1 560
1623
1653
1665
1667
У
0
0,0023
0.0088
0,0133
0.0304
0.0443
0.Q594
Q.Q753f:
0,0918
0.1083\
0.1250
407
Таблица 4
Расчетные кривые для балок (безразмерные)
Консольная балка с равномерно убывающей нагрузкой
чтв
-С.5
0.05
-"—Г
j
vomDI
2
rl
qvl
1
' f
4
2 з \
~% "г 2 "~ 6
Ti "Г~24
j ;t
j
a '-0.500
*Ьл 657
IЯ 1
¦0,405
0J 21 5
0.024T 0.0027
«031710.
«^036310009^;
; / ; i ' yf i\ .i f j—.-_. -J . ~. _,., ¦,—~— i
/> Л"-" ~ .4™. -' —' ./' 1 _J__ < i if* ллг f w* ; | '<.•'»¦.'¦•-¦ - *!,HJV.i. lo*«W*4 i^ UaWj'iT-*'
V'1'»** ' :i ( ¦ >- I ;' V"~ , —p— . "-, и*.Ь:4/>,-- . 1 _„ . — —_, -i- i "¦—
; о
0.04 i'7
0*0334 j
408
Таблица 5
Расчетные кривые для балок (безразмерные)
Балка на двух опорах с сосредоточенной нагрузкой в середине пролета
2'
¦02'
R
пр
+Q
М
W
х«
2
M=M0PL
-.0.25
О
?).2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.25
02 ~
0O2 =
—
^o
T
48
7
2
*07
2
4 "?
xoi
^2
4 x3
2
! OJO
-0.025
хс
0
0. 1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Go
-0.5
-0.5
+ О..5
+ 0.5
0
-0.05
во
0.С625
0,0600
-0./0| 0.0525
-GJ5
-0.20
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0
0.0400
0.0225
0
-0.0225
-0.0400
-0.0525
-0.0600
-0.0625
. ..
¦ " ¦ ¦*¦ ¦¦ —
Уо
0
0.0062
0.01 i 3
0.01 66
Q.G) 98
0.020 9
0.01 98
0.01 66 j
0,011В
0.00с?.
о 1
Таблица 6
Расчетные кривые для балок (безразмерные)
Балка на двух опорах с равномерно распределеннон нагрузкой
д *
X ТГ 1
+
+м
Прдзило зидков
0.5
J.O
C.05
0.02
Л —
кЛ= -
К.-кг ~
Н —- Н .
У ~~ У "*
A
3L
2
f
ТГ .
-0.02
0
-оло
- 0.20
/ла= —
1
в0- ^
Уо 24
2
J
—
4-
¦t-
2
,>
2
¦ ii
3
¦': 0
т
4
0.01
0.02
-0.05
0
0.1
0.2
о.з
0.4
0.5
0.6
0.7
Q.B
0.9
1.0
Qo
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
+ 0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
м0
0
-0.045
-0.080
— 0.1 05
-0.120
-0.125
-0.120
-0.105
-0.080
-0.045
0
Во
0.0416
0.0394
О.ОЗ^ЗО
0.0236
0.0124
0
-0.0124
-0.0236
-0,0330
-0.0394
-0.0416
Уо
0
0.G04 1
0.0077
0.0 106
0.0125
0.0 130
0.0125
Q.0106
Q.0077
0.004 1
0
410
Таблица 7
Расчетные кривые для балок (безразмерные)
Балка на двух опорах с равномерно убывающей нагрузкой
Прлзило знаков
Кд=-^
e=eo|f
^ЬУ^«Г|—^
Ы
в0
S
¦во
Г^
/-0.48 ~Н
х
К
X
^.
^
уа
к
1.0
Go1
Mo
©о
Yo-
= " Т + "
к2
3
„ хо хо
45 Ш
0 —
4
2
2
х0
2
""
з
_
Xq
24 ¦"
4
120
1
0.Ш0
0.00?
0
0.?
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
J.O
Qo
-0.3333
-0.2383
-OJ 533
-0.0783
-0.0133
+ O.04J7
O.0S67
OJ 21 7
0.1 467
OJ 61 7
QJ 667
Mo
0
-0.0285
-0.0480
-0.0595
-0.0640
-0.0624
-0.0560
-Q.0455
-0.0319
-0.0165
0
во
0.O222
0.0207
0.0167
0.0114
+ 0.0051
-0.QQ13
-0.0072
-0.0123
-0.07 63
- C.OJ 86
-0.0195
/o
0
0.002 J
D.004 1
0.OD55
0.0063
0.0064
0.006 ?
0.0050
о.оозУ
Q.0Q19
0
411
Таблица 8
Расчетные кривые для балок (безразмерные)
Балка с заделанными концами с сосредоточенной нагрузкой
в середине пролета,
^l «
Ln-J.O
¦or
ПрАзило знаков
R
1
Таблица 9
Расчетные кривые для балок (безразмерные)
Балкз с заделанными концами с равномерно распределенной нагрузкой
q - / хз/я
EZPn
Прлвило энаНов
R
op.
! x =
e =
У -—
x0L
„_&
2
~~2
С 1
0.5
s
4
-M
s
\
i
o:
\
"Go? j
:.L—»J L
^0q2
, i
1
j
S
t
1
1
/
0.025
0,2
0.25
0.05
0
0.6 0.3 7.0
0,25
0.010
0.005
0
O.l
0.2
0.3
.4
0.0D1
0^
0.6
QJ
0.8
1.0
x0T
GQ9= "Г
— _ ИМ _L ^
У 01- 16 12
0.5
.125
0.075
- 0.025
(-0.025
0
0.0100
0.G1 50
D.O? 50
0.5
+ 0,5
-D.075
;r0.5
-0~C75
^-0.025
0.075_
Г? ?^
0.0100
0_
- Q.QI 50~
-0.0I5D
-0.0100
0
Yo
0
0.000
o.ooia
0.00341
D.0047
0.0047
0.0034 j
Q.OOlSi
]m)QQ5J
i_L.iSL_H...JZU
..
.5
o.;
0,4
0,6
Q.t
X
i.o
0.0050
00— |j ~" V
2 3
yc=57 *™ 12 +
24
0.0025
0.0005
x0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Go
-0.5
-0.4
-0.3
-0,2
-O.I
0
4-0.1
+0.2
+0.3
+ 0.4
7.OJ+O.5
Mo
0.0833
0,0383
+ 0.0033
-0.0217
-0.0367
-0.0417
-0.0367
- 0.02 17
+0.0033
0.D383
0.0833
e0
Э
0.006
0.0D8
0^007
0.004
0
-0.004
- 0.007
- 0.008
-0.006
0
Уо
0
0.0003
0.00 U
0.00 W
0.0025
0.0026
0.0025
0.0019
0.0011
0.0003
0
412
413
ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ
Глава 2
2. 1. Рх = 2266 кг: Pv = 1056 кг.
2. 2. Рх = 6428 кг; Р, = 7660 кг.
2. 4. Рг = 9785 кг.
2. Ъ. R — 125 л'г; г =-¦= 12 ел/ от силы в 75 кг.
2. 6. Р, = 18 300 кг; 78,7 см вправо от Л; 43°17' от оси Х—Х..
2. 7. Рж = 4- 600 кг; Ру - + 1970 кг; Рг = - 3180 кг.
2.10. 50%.
2.13. Ss,o - 6300 кг; Se,5 = 1300 кг;
S6,o = 2300 кг; S7,o = 357 кг.
2.15. Рг = 11 970 кг; Мх = 325 000 кгсм; Ру = — 2970 лгг.
2.16. 1131 кг.
2.17. 849 кг вертикальная, 100 кг боковая.
2.18. Ру = 10 195 кг, Рх - 234 кг.
Глава 3
3. 1. Осевая сила в Д^ 1378 кг.
3. 2. Рд. = 0; Ру = — 12 500 кг; Р2 - + 21 650 кг.
М^. = 616 О0Э кгсм; Му = 216 000 лггсл*;
Мг= 125 000 кгсл*.
3. 3. А, Г-6290 кгсм; М = 25000 кгсм;
B, 7-9380 кгсм; М = 25 000 кгсм.
C, 7=8400 кгсм; М = 25 000 кгсм.
3. 4. Точка А : Р - 0; S = f 1000 лгг; Af = 0.
Точка В : Р = 707 кг; 5 = 707 кг; М = 14 140 кгсл*.
Точка С: Р - 1000 кг; 5 = 0; М = 20 000 кгсм.
Точка D:P = 707 кг; S= —707 лгг; Af = 14 140 кгсм..
Точка Е: Р = 0; S - 1000 кг; Af = 0.
3. 5. Точка Л :Р = 1000 кг; S = 0; Af - 0.
Точка Б : Р = 707 кг; S = — 707 кг; Af = — 5860 кгсл*.
Точка С:Р=^ 0; S = — 1000 кг; Af = — 20 000 кгслг.
Точка D:P= —707 лгг; S= -707 лгг; Af = — 34 140 кг ел.
Точка Е: Р = - 1000 лгг; S = 0; Af = 40 000 лггел*.
3. 6. Точка А : /J - 900 кг; 5 = 500 кг; М - 0.
Точка В :Р = 990 кг; S = - 283 д:г; АГ = +.1790 кгсм.
Точка С : Р - 500 кг; 5 = — 900 кг; М = — 80J0 кгс^.
Точка В : Р = — 283 кг; S = - 990 кг; Л4 = — 23 630 кгс.и.
Точка Е : Р - — 900 кг; S = — 500 кг; Af = — 36 000 лггеж.
3. 7. Точка Л-.Af = 0; Г = 0.
Точка ?:Af=14 14O кгсм; Т — 5860 лгге^.
Точка C:Af:=20 000 лггсл«; 7=20 000 кгсл«.
Точка D:M = 14 140 кгсм; Т = 34 140 лггел*.
Точка ? : Af - 0; 7 = 40 000 кгсм.
3.13. Af, = 0,645 М\ Мв - 0,430 М.
3.14. А/,. - 1,290 Af; Мв = 1,376 Л/.
Глава 4
4. 1. Сила = --148,4 кг; М == + 53800 кггл*.
4. 2. Носовое колесо =- 3200 кг. Основные колеса = 8800 кг на оба колеса,
4. 3. А = 394 кг вперед; В = 506 лгг назад.
4. 4.
= — 223
г;
4. 5. Г = 1900 кг.си.
= — 6830 кгсм.
Глава 5
5. 1. а) Элементы OD, DBt DFt FB статически определимы; остальные ста-
статически неопределимы.
б) Нет.
в) Да.
5. 2. а) Да.
б) Да.
в) Да, является.
5. 3. а) Статически определима; половина.
б) Статически определима; нуль.
в) Статически определима; три четверти.
г) Механизм; сопротивляться нагрузке не способен.
5. 4. При разных жесткостях полуколец конструкция статически неопре-
неопределима, так как при равных деформациях полуколец по диаметру
АС более жесткое (толстое) кольцо воспримет большую сил»
т. е. распределение сил зависит от деформаций. При равны*, жестко-
жесткостях сила Р вследствие симметрии поделится пополам. Симметрия
системы и нагрузки дает возможность обосновать указанное рас*
пределение сил по полукольцам.
5. 5. В обоих случаях конструкция будет статически неопределима.
5. 6. Да, так как сила Р2 передастся непосредственно на шар, а действие
остальных сил и моментов воспримется целиком заделкой.
5. 7. Четырежды B силы и 2 момента в точке Б), но влияние их будет
невелико. Указание: разрезать трубу АВ у опоры В и проследить,.
как отрезанный конец будет перемещаться при нагрузке силой Р и
моментом М. Для приближенного расчета можно считать, что все
воспринимается трубой АС.
5. 8. Будет статически неопределима.
Приближенно можно принять, что сила Р воспринимается трубой
АС, а момент М вызовет кручение и изгиб трубы АВ.
414
415
5. 9. Силу Р конструкция будет воспринимать растяжением трубы АС, а
М~ изгибом труб ЛВ и АС.
Гл а ва 6
6. 1. 0,0417 см.
6. 2. Алюминиевый сплав.
6. 3. а) 20,033 см, б) 3198 kzjcmK)
6. 4. Х- 18,2 см.
6.12. Удлинения ЛЛ и ЛС соответственно равны 0,282 и 0,222 см. Пере-
Перемещение точки Л:0,3 см по вертикали и 0,1 см вправо. Решать
графически.
6.13. 252 кг/см2.
Глава 7
7. !. а) Да, б) нет.
1. 2. Диаметр = 1,35 см.
7. 3. а) А"= 1,97 см, У = 1,095 см>Ь) Сталь, с) 21500 лг-
7 4. я) 600 «г/еде2, б) 300 *г/си2.
7. 7. о= 0,36 см.
7. 8. 312 кг/см2; 30 *г/сл/; 375 Агг/слГ-'.
7. 9. 172 лгг/л/.
7.10. 25 400 кг.
Глава 8
8. 2. 58,9%.
Г л а ва 10
10. 1. \L = 0,0295 см.
10. 3. а) 0,00173; б) 0,00121.
Ю. 4. S — 0,0757 си (min). Принимаем д = 0,08 см.
10. 5. а) 0,177е; б) 0,372 сл( при нагрузке 2000 кг.
Ю. 6. 7 = 0,004 рад. a) z = 1080 кг/см2, б) -и = 705,0 Агг/сл2-
10. 9. Г = 75,5 кг/сл; о = 0,1 еж.
10.10. Одинаковы. Две связи вдвое тяжелее стенки.
Глава П
11. 1. т= 1000 кг/см2.
,11. з. т-320 кг/см9.
II. 5. 7* = 5,5 кг/см.
IK 8. 5 = 0; Af = 2пг27.
яг па
11. 9. л) у; б) 2а; с) a; rf) —
Глава 12
12. 2. л) То же самое; Ъ) Вес квадратной трубы равен весу круглой трубы,
умноженному на У2.
г 12. 4. 7 = 19,9 яг/cw; Ь = 0,0665 cai (min).
12. 5. 151 000
12. 6. 8,23°.
12. 7. 6,5°.
416
12. 8. а) Для 0,05 г = 633 дгг/сл8; для 0,1 т = 319 кг/см2; для 0,2 ^ =159,5
кг'см2, б) 0,112 c^f.
12. 9. а) Малоуглеродистая сталь, 3,27 см; стальной сплав (авиационный
тип) 2,37 см.
Стальной сплав (термообработанный до ~8р = ПО кг!мм-)\ 2,43 см.
Алюминиевый сплав 3,23 см.
Магниевый сплав 4,21 си.
2.11. Для малоуглеродистой стали а — 3,22 см.
12.12. ттах=875 кг/си3; а) 62°; Ь) 181°; с) 326°.
12.13. Малоуглеродистая сталь 16500 кгем,
Стальной сплав 23 500 кгем.
Тсрмообработаниая сталь 40 000 кгем.
Алюминиевый сплав 16 900 кгем.
Магниевый сплав 7700 кгем.
12. 14. Труба 38x36 мм. При условии, что стенку брали не менее 1 мм.
Глава 13
13. 1. 120 кг каждая.
13. 2. а) 0,229 см, б) 0,29е.
13. 3. а) 2,06 см, б) 0,87е.
13. 4. Растянутый пояс 0,665 см2.
Сжатый пояс 0,95 см2.
13. 5. а) 720 кг каждая, б) Растянутый пояс 0,24 см2. Сжатый пояс
0,432 см2.
13. П. -, - 5750 кг см-\ F - 3,016 см2. I - 8,7 см*. ИГ = 3,48 см\
14. 2. 0 кг!см*; :z ЮЗ кг},см\
Глава 14
Глава 15
15. 1
15.
15.
13.
15.
15.
2
3
4
5
6
15.
а) М,. = 462 000 кгем, Му - 59 600 кгем. б) 1Х = 1715 см*\ lv =
— 123,6 см1-) F = 33,6 см'2: k принято = 3.
а) с ----- 5790 кг;см-; б) z — 1870 кг/см'1.
4E 300 кгем.
а) М , --- 750 000 кгем. Му ------ 95 800 кгем. б) 1Л = 3034 ел/*; 7V =
-_= 200,3 гл*; F -- 68,8 слг.
¦гал - 1090 кУсм\ сС]. = 3162 /сг/сл2.
С железом F ^ 154E ел3: _у =--28,2 с^; /^ — 500 000 см*.
Без железа /•' -¦= 1440 см2] у - 30 см. 1Х - 432 000 си*.
11^406 000 кгем. с =24,5 kzjcm1.
а) Л % избытка; G) 5 % избытка; зI2и/о нехватки; d) 19% избытка;
с) 9 " о избытк.ч.
15.
15.
ОТ
И.
12.
ф
2Ь/
нэ
5°
10°
15°
2О'?
кг ока!
1395 д
271Ю
4170
5550
. Р. Шснли.
¦ие.
я
|1
417
16. I.
16. 2.
16. 3.
16. 4.
16. 5.
16. 7.
16. 9.
16.10.
16.11.
16. 12.
16.13.
16. 14.
16. 15.
16. 16.
16. 17.
16. IS.
17. 4.
17. 5.
17. 6.
17. 9.
Гласа 16
а) 0.000385 l/см; б) 0,000132 1/с«; в) 0,000238 1 см.
а) 2,84 см. б) 575 кгсм.
456 см.
а) 124 см; б) 0,405%.
12150 см.
1,41 .
0,0915 град.;см. 2 см.
а) 765 см; б) 1,046 см.
Стальная балка имеет жесткость в 1,46 оаза большую, чем г.л:г ,,;.
ниевая.
_Уалюминня = 1 jUl^i _у стали» ^алюминия -~ 1,-1о ("*сгал:1-
a) j/—27,3 с/; Р = 139 кг;_у--54,6 си; Р = <59,5 /;г.
я) У — 6,81 си; Р = 556 кг; е) _у ---•-¦ 13,6Г» ел;. Р :--• 278 кг.
12,4 си.
14,7 ,м.
а) 1450 с.«4; з) 2410 см*; с) 432 с«4.
Полный прогиб =1,04 см.
Глава 17
1 = 814 лгг/ci^.
«) 40 Kzjc.u'1; б) 40 кг/см2, в) 35,6 кг/см-.
0,25 си* или труба 75X^0 " = 2100 iczjcu.
Т = 5,1 /сг/ctf у нагруженного конца, Т = 2,27 ,v:
и Г = 1,27 кг/см по закрепленному сечению.
Глава 18
пс среднем
18. 2. 82 л г.
Глава 19
19. 2.
19. 3.
19. 4.
Круг радиуса
Круг радиуса
4
в
90°
135°
180°
Перерсзыва-
Осевая ющая Момент
0,707 Р
0
0,707 Я
Р
0,707 Р
Р
0,707 Р
0
2,64 Р
9,00 Р
5,35 Р
IS,00P
— 1 , U."' jf
3,39 Р
¦">,89Р
6,93 Р
0Л35Г-
О, iS^ -"
0.135 Р
о
19. 5.
19. 6.
19. 7.
19. 9
418
а) 18,2 см*, б) 0,867 см4, б) 2,6 см*.
а) 4,37 си; 15 ел/3; 2,05 cw; 3,3 см2; 2,E9 сиг, 5.65 си-; в) 6,08 см:
0,203 си; 2,85 см; 0,095 ел*: 3,74 си: 0,125 см.
a) z — 13,3 кг\смг\ с = 60,6 кг/см0-; а = 35,4 я'г ci/2; я) ~ = 51,4 кг-с:.:
с 1=236 кг/си2; с= 134,0 кг/cw2;
во всех случаях применимы ф-лы длинной стойки- (формулаЭйлер;:)
. а) 6,1 слг% с) 0,288 ел/4, б) 0,87 сл^; со бссх случаях значения /
три раза меньше, чем для задачи 19. 5.
20. I.
Угол
10е
25е
35°
50е
65°
Глава 20
Нормальные напряжения
1855
1570
1282
790
342
Касательные
напряжения
326
734
896
1L2
734
20. 2. 5000 кг!смп-.
20. 3. - = 1500 кг см"-.
20. 4. а , 3540 кг/см2; с = 1945 кг/см2.
20. 5. ; ^ 2120 лгг с^2; г = 1120 кг:см* z - 707 кгсм-.
^0. 6. см;1(;с ^ 1100 кд!см%\ тмякС = 1100 кг,'смг.
27;;;
ЛИТЕРАТУРА
I. Учебники и учебные пособия
1. Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Огиз, Гостехиздат
1945 г.
2. И в а н о в Н. И., Сопротивление материалов. Огиз, Гостехиздат,
1942 г.
В книгах подробно изложены основы сопротивления материалов в объе-
объеме, необходимом для инженера-механика. Изложение ведется в предполо-
предположении, что читатель знаком с тригонометрией, теоретической механикой и
математическим анализом.
3. Абр а м ов Г. Д. и Черемухин А. М., Строительная механика,
ч. I, ОНТИ, 1937 г.
В книге изложены основы строительной механики статически опреде-
определимых плоских и пространственных стержневых и балочных систем приме-
применительно к самолетостроению В книге дано большое количество примеров
:• задач, облегчающих усвоение изложенного материала. Книга рассчитана
на читателя, знакомого с элементарной механикой и сопротивлением мате-
материалов.
4. Р а б и н о в и ч И. М., Строительная механика стержневых систем.
Стройиздат, 1946 г.
Книга подробно излагает строительную механику стержневых и балоч-
балочных статически определимых и статически неопределимых систем примени-
применительно к строительным сооружениям. В книге подробно изложены все основ-
основные теоремы строительной механики и приведены примеры их применения.
Книга рассчитана на подготовленного читателя.
5. К а н С. Н., Прочность самолета, Оборонгиз, 1946 г.
В книге приведены в самой элементарной форме краткие сведения по
внешним нагрузкам, действующим на самолет, и разобраны типовые схемы
силовых конструкций самолета. Большое внимание уделено автором объ-
объяснению физической картины работы конструкции и приведено большое
количество приемов приближенных расчетов. Книга рассчитана на мало-
малоподготовленного читателя.
6. К а и С. Н. и С в е р д л о в И. А., Расчет самолета на прочность,
Оборонгиз, 1946 г.
Книга рассчитана только на хорошо подготовленного читателя, знако-
знакомого с сопротивлением материалов, строительной механикой и аэродинами-
аэродинамикой. В книге подробно изложены методы определения внешних нагрузок н
расчета отдельных агрегатов узлов самолета.
7. Лившиц Я. Д.,Строительная механика самолета, Оборонгиз, 1946 -г.
Книга рассчитана на подготовленного читателя. В ней изложены все
основные разделы строительной механики и расчета самолета на прочность.
Книга может служить учебным пособием.
S. У м а н с к и й А. А., Сборник задач по тонкостенным конструкциям
под ред. Уманского А. А. Оборонгиз, 1941 г. Пособие для студентов втузов,
420
9. Коллектив авторов под ред. Уманского А. А. Сборник задач
по сопротивлению материалов, часть I, Оборонгпз, 1947 г.
Учебное пособие для студентов втузов.
10. То же, часть II. Оборонгиз, 1947 г.
II. Справочники
1. Справочник авиаконструктора, том III. Прочность самолета. ЦАГИ,
1939 г.
В книге собран обширный материал справочного характера по строи-
строительной механике, расчету самолета на прочность и характеристики авиа-
авиационных материалов.
Изложение методики расчета и применения формул и графиков носит
конспективный характер и рассчитано на подготовленного читателя.
2. А. А. Дубровин, С. Я. Макаров и др. Справочная книга по
расчету самолета на прочность. ОНТИ, 1937 г.
III. Монографии
1. У м а н с к и й А; А., Кручение и изгиб тонкостенных асиаконструк-
иий. Оборонгиз, 1939 г.
Книга содержит современную теорию расчета тонкостенных конструк-
конструкций. Книга рассчитана на подготовленного читателя.
2. Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни. Госстройиздат 1940 г.
Общая теория расчета. Книга рассчитана на хорошо подготовленного
читателя.
3. Б е л я е в В. Н., Расчет свободно несущих крыльев. «Техника воз-
воздушного флота», 1932 г., № 7, 8 и 9.
4. Беляев В. Н. и Юхарин В. И., Расчет моноблочного крыла на
изгиб. Труды ЦАГИ 1939 г., № 428.
5. Р о м а ш е в с к и й А. Ю., Исследование работы балочных систем с
тонкой стенкой с непараллельными поясами. Труды ЦАГИ, 1935 г. № 203.
6. Р о м а ш е в с к ий А. Ю., Исследование работы балочных систем с
тонкой стенкой с параллельными поясами. Труды ЦАГИ, 1935 г., № 206.
7. Ромашевский А. Ю., Исследование работы балок с тонкой стен-
коп с наклонными стойками после потери устойчивости стенок. Технические
заметки ЦАГИ, 1935 г., № 58.
8. С т р и г у и о в В. М., Исследование работы и метод расчета двух-
опорной балки с тонкой стенкой. Технические заметки ЦАГИ, 1935 г.,
ЛЬ 58.
9. С т р и г у н о в В. М., Теоретическое и экспериментальное исследо-
исследование тонкостенных балок. Труды ЦАГИ, 1938 г., № 349.
10. Рабинович И. М., Об устойчивости стержней в статически не-
неопределимых конструкциях. Гострансиздат, JVL—Л., 1932 г.
П.Лурье М. Л., О работе статически неопределимых ферм. Отчет
о работах 1-й Всесоюзной конференции по прочности авиаконструкций,
1931 р., вып. 1, стр. 69—72.
12. Лурье М. Л., Расчетные напряжения в авиационных трубах на
кручение. Труды ЦАГИ, 1939 г., № 407.
13. Минаев К. А., Методы подбора рациональных размеров и расчета
на устойчивость профилей закрытого типа.
"Технические заметки ЦАГИ 1937 г., № 156.
14. Минаев К. А., Теоретическое и экспериментальное исследование
работы открытых профилей на сжатие. Данные эксперимента для профилей
закрытого типа. Труды ЦАГИ 1939 г., № 393.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
От редактора
Предисловие ,
Обозначения
Глава 1
Методы расчета конструкций
1. Внешние нагрузки
2. Внутренние силы
3. Механические свойства (прочность) материалов .
4. Запас прочности
1.
о
2.
о
9*
2
2.
2.
2.
2.
2.
2.
2,
2.
2.
2.
—•.
2
2.
9
Глава 2
Силы и моменты
1. Обозначение сил
2. Компоненты
3. Правила знаков
4. Расположение сил в пространстве
5. Графическое сложение сил
6. Точка приложения равнодействующей (графический метод) . - .
7. Обозначения по правилу Бау
8. Равнодействующая нескольких сил (веревочный и силовой мно-
многоугольники)
9. Аналитический способ сложения сил
10. Моменты
11. Вектор момента
12. Сложение вектора моментов .
13. Пары сил
14. Эффект систем сил
15. Силы, действующие не в одной и той же точке (неконк'урентные)
16. Общая система
17. Положение равнодействующей силы
18. Последовательное суммирование
19. Распределенная нагрузка
20. Интегрирование .
21. Поворот осей •
Задачи ....
9
10
11
12
¦ 4-
¦ 4.
В 4-
1 4-
1 4-
¦ 4-
¦ 4.
¦ 4-
¦ 4-
1 4.
1.
2,
3.
4.
5.
6.
7.
8
9.
10.
17
18
20
23
23
25
27
28
29
30
30
32
34
35
37
41
43
45
3.
Глава 3
Передача сил
1. Оси, связанные с конструкцией 51
3. 2. Осевые и поперечные силы 51
¦3. 3. Осевые силы 52
422
3. 4. Поперечные (перерезывающие) силы 53
3. 5. Выводы по обозначению сил 54
3. 6. Примеры передачи сил 55
3. 7. Передача момента 56
3. 8. Кручение 56
3. 9. Изгиб 57
3. 10. Совместное действие изгиба и поперечной силы (среза) .... 58
3.11. Совместное действие среза, изгиба н кручения 59
3. 12. Выводы по передаче сил 61
Задачи 62
Глава 4
Равновесие и реакции
Передача силы по одному пути 66
Передача силы по двум путям 66
Гидравлическая аналогия 67
Реакции . " 68
Свободное тело 68
Уравнения равновесия 69
Частные случаи уравнений равновесия 70
Определение реакций (осевые нагрузки) 73
Действие и противодействие 75
Реакция сил, лежащих в одной плоскости и проходящих через
одну общую точку - 76
4. 11. Реакция сил, действующих в любом направлении и проходящих
через общую точку 77
4. 12. Реакции сил, лежащих в одной плоскости и действующих парал-
параллельно одной линии 78
4. 13. Реакция сил (не параллельных друг другу), лежащих в одной
плоскости 78
4.14. Реакции сил, действующих в любом направлении 79
4.15. Зависимость между реакциями и равнодействующими 80
4.16. Реакции в случае передачи сил по двум направлениям 80
4. 17. Применение фиктивной опоры . 81
4. 18. Простая балка, нагруженная непараллельными силами ..... 82
4.19. Реакции в случае распределенных нагрузок 84
4.20. Более простое решение 86
4.21. Распределенные нагрузки 87
4.22. Графические методы определения реакций 88
4.23. Формулы и кривые в справочниках 90
Задачи 91
Глава 5
Устойчивость, опорные закрепления н лишние связи
5. I. Статически неопределимые конструкции . ¦ 94
5. 2. Лишние элементы 95
5. 3. Устойчивость • 96
5. 4. Механизмы 98
5. 5. Опорные закрепления • 99
5. 6. Упрощающие допущения для закреплений 100
5.7. Выводы Ю1
Задачи . . • ... 102
423
Г л а в а 6 *
Поведение материалов под нагрузкой
(физические свойства)
б. 1. Напряжение растяжения Ю
(з. 2. Разрушающее напряжение растяжения . . . "
6. 3. Удлинение [
б. 4. Диаграмма напряжения-удлинения . . . log
6. 5. Модуль упругости ц{)
6. 6. Предел продорциональности (предел упругости) \ц
6. 7. Условный предел текучести , . . цо
6. 8. Остаточная деформация цо
б. 9. Удлинение ц^
6.10. Касательный модуль и секущий модуль из
6.11. Поперечное сужение 114
6 Л 2. Предел утомляемости И,"»
6.13. Напряжение сжатия ИЗ
6. 14. Напряжение смятия ц~
6Л5. Напряжение среза П7
6Л6. Влияние температуры П9
6.17. Напряжения, вызванные стеснением (или ограничением) деформа-
деформаций 120
6Л8. Стеснение края . . , 120
6. 19. Тепловое влияние 120
6.20. Непостоянство механических свойств материалов 12]
6. 21. Сводка характеристик прочности 1_;,$
Задачи > 2 4
Глава 7
Элементы, нагруженные вдоль осн
7. 1. Растянутые элементы 12C
7. 2. Расчет прямого растянутого элемента , 126
7. 3. Кривые растянутые элементы US
7. 4. Нити (тросы) ." 129
7. 5. Тонкие оболочки , . , 131
7. 6. Центр тяжести площади 131
7. 7. Комбинация различных материалов 133
7. 8. Кривые нагрузки-деформации 134
7. 9. Местные условия 135
7. Ю. Концентрация напряжения 136
Задачи , 137
Г л а в а 8
Поперечные силы
8. 1. Основная задача 141
8. 2. Простейший треугольник 142
8. 3. Образование фермы , 143
8. 4. Двухопорные фермы , , .-.140
8. 5. Подвесная конструкция 146
8. 6. Стропильная ферма 146
8. 7. Выводы по фермам . 147
8. 8. Стенки, работающие на срез (или на сдвиг) 147
Задачи 149
421
Глава 9
Стр.
9.
9.
9.
9.
9.
9.
9.
9.
9.'
9.
9.
Расчет ферм
1. Условия работы узла
2. Расчет узлов
3. Графическое решение
4. Аналитический метод
5. Решение способом моментов
6. Выводы по расчету узлов ферм
7. Расчет ферм
8. Графический расчет ферм (диаграмма Кремона)
У. Другие методы
10. Пространственные фермы ........ -
11. Носовое шасси самолета (аналитический метод)
12. Носовое шасси самолета (графический метод) 165
Задачи 167
Глава 10
150
152
153
154
155
156
156
158
160
161
161
1.
9
3.
6.
7.
10.
10.
10.
10. 4.
10. 5.
10.
10.
30. 8.
10. 9.
10. 10.
10.11.
10. 12.
10. 13.
10. 14.
30.15.
10. 16.
Стенки, работающие на сдвиг
Рамка 17°
178
179
179
180
181
182
183
184
185
Деформация рамки
Максимальная деформация 173
Случай с несколькими диагоналями 174
Работа плоского листа на сдвиг 175
Касательное напряжение ... . .
Величина касательного напряжении ,».,...
Поток касательных усилий •
Осевые деформации при чистом сдвиге *
Поперечные деформации при чистом сдвиге
Модуль сдвига
Значение G ..*.......<
Стенка с полем растяжения
Вычисление деформации
Прочность стенок, работающих на сдвиг
Назначение рамки 186
Задачи 187
Глава 11
Криволинейные стенкн, работающие на сдвиг
1.^.Криволинейный поток касательных усилий 192
2. Момент потока касательных усилий 194
3. Положение результирующей перерезывающей силы 196
4."Одна криволинейная стенка 197
5. Поток касательных усилий и поток осевых усилий 198
6. Диагональные напряжения , 198
Задачи ¦ 199
Глава 12
Кручение
12. 1. Тонкостенные оболочки 203
11.
11.
11.
11.
11.
П.
12. 2. Напряжения в цилиндрических оболочках (трубы) .
12! 3. Деформация кручения цилиндрической оболочки
12. 4. Деформация кручения нецилиндрической оболочки
12. 5. Искажение поперечного сечения
12. 6. Сплошной круглый вал
204
206
208
209
211
425
13.
13.
13.
13.
13.
13.
1Я.
13.
13.
13.
13.
13.
13.
13.
1.
2.
3.
4.
5.
б.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
14.
14.
14.
14.
14.
14.
14.
14.
1.
2.
3*.
4.
5.
6.
7.
8.
Стр,
12. 7. Толстостенные трубы 2Ц
1*2. 8. Некруглые сплошные валы , 215
12. 9. Мембранная аналогия 215
12. Ю. Специальные случаи 217
ГЛ 11. Искажение поперечного сечения • . . , 218
12.12. Пластическая область 218
12, 13. Осевые напряжения при кручении . 220
12.14. Разрушение при кручении , 220
Задачи ¦ . . 222
Глава 13
Прямой изгиб
Чистый изгиб • . . . . 225
Ферма при чистом изгибе 225
Деформация фермы при изгибе 226
Усилия в поясах 227
Примеры типа балок с поясами . 228
Теория изгиба ..... 229
Момент инерции ¦ . . 232
Нейтральная ось (нейтральная плоскость) 233
Общий способ определении нейтральной оси и момента инерции 234
Балка сплошного сечения ....••••••...••••.. 236
Метод интегрирования 237
Модуль сопротивления 239
Эффективность при изгибе 239
Неуравновешенные сечення ^40
Задачи 2\0
Глава 14
Косой изгиб
Главные оси . 243
Косой изгиб 247
Эффективный изгибающий момент 248
Напряжение при косом изгибе 251
Ось нулевого напряжения (нейтральная ось) 252
Общие выводы по формулам изгиба , . . . . 253
Плоскость наибольшего напряжения 255
Ограничения формулы изгиба 257
Задачи 257
Г л а в а 15
Особые случаи изгиба
15. I. Нелинейное распределение напряжений 259
15. 2. Приведенная площадь 259
15. 3. Составные сечения 260
15. 4. Потеря устойчивости 261
15. 5. Пластический изгиб 262
15. 6. Разрушающее напряжение при изгибе • 264
15. 7. Кривая балка 265
15. 8. Радиальные нагрузки кривых балок ... 270
15. 9. Резкий излом оси балки • 272
15.10. Местные условия " 273
15.11. Влияние сдвига на распределение нормальных напряжении , . 275
Задачи 277
426
Глава 16
Деформации изгиба
16. 1. Деформации при чистом изгибе , . 280
16. 2. Радиус кривизны 281
16. 3. Деформации при загибе металла 282
16. 4. Минимальный радиус загиба 283
16. 5. Радиус кривизны балки поясного типа 284-
10. ij. Формулы радиуса кривизны . > 285
16. 7. Деформации изгиба . . ....... 285
16. 8. Углы поворота оси балки - '286
16. 9. Подсчет угла поворота оси балки , 287
16. 10. Выражение прогибов через ргдиус кривизны 288
16. 11. Упругая линия , «. . - 290
16. 12. Влияние длины 290
16. 13, Концевые условия 293
16.14. Максимальный прогиб ..... 295
1E.15. Условные обозначения и знаки * 29ft
16.16. Изгиб моментом переменной величины 297
36.17. Валки с конневыми защемлениями , . 297
16. 18. Общие правила, . 299
Задачи 30 J
Глава 17
Совместное действие изгиба и среза
17. К Балка с несколькими поясами * . . * . . 504
17. 2. Подсчет потока срезающих сил ... 30?
17. 3. Сплошная балка . . . . . 30?
17. 4. Изменение напряжений сдвига по сечению 31 l
17. 5. Нескрепленные балки (рессора) 314
17. 6. Балки переменкой высоты („конусные") ... 315
17. 7. Коническая оболочка 319
Зэ да ч и . . , 319
Глава 18
Одновременное действие среза и крученкя
18. 1. Симметричные сечекия . . • . 322
18. 2. Несимметричное замкнутое сечение (оболочка) 324
18. 3. Способ разрезания оболочки 325
18. 4. Прямой способ . 327
18. 5. Условии знаков - .... 330
J8. 6. Постоянное н переменное поперечное сечение 331
18. 7. Резкие изменения поперечного сечения 332
18. 8. Центр жесткости (многопоясная балка) . 334
18. 9. Значение центра жесткости , . 335
Зада ч и ¦ 33 7
Глава 19
Совместное действие изгиба и cceEoro кагружения
19- 1. Эксцентричное иагружение ЗЗГ/
19. 2. Сложные напряжения . , . ЗШ
19. 3. Ось нулевого напряжения ... 340
19. 4. Перемена знака напряжения 341
19. 5. Кривые элементы . . 341
19. 6. Эксцентриситеты в соединениях - ... 342
10. 7. Изгиб от осевой эксцентричной нагрузки ...*...-... 343
427
\'). л. В'ОрШИ^Й ИЗГИО (СТОЙКИ, КОЛОННЫ) . . 344
19. 'X Стопки о45
!9. 10. Теория продольного изгиба . , . 34(i
19.11. Прочность стойки и пзгибная жесткость . . 347
19.1Г2. Напряжение стопки 349
]u. l:j. Короткие стойки 350
\9. 14. Заще.\:ление концов 352
З.иачи . . 354
¦л*
20.
20.
20.
20.
•) )
20.
20.
20.
20.
20.
"-О.
20.
20.
20.
21?
Г)
/.
S
9
10
П
12
13
14
!5
К)
17
i:?
1С
Глава 20
Сложные напряжения
Р.глгк? iciiiie ;емы 356
Сложение напряжений 355
Графический способ , . 356
Напряжения в любом поперечной сечении 358
Аналитические методы (чистое растяжение) . . 360
Круг Мора ........ 363
Злак касательного напряжения ¦ 364
Осевые напряжении по взаимно перпендикулярным на и равле-
нням .... 366
Главные напряжения 369
Совместное действие осевых и касательных напряжений .... 369
Общий случай (плоская задача напряжений) 372
Примеры сложных напряжений (соединения) 372
Совместное действие растяжения и кручения >ч 374
Совместное действие сжатия и кручения *\376
Совместное действие изгиба и сдвига ..... &76
Кривые взаимодействия . . . 377
Уравнения для кривых взаимодействия . . 379
Типовые случаи . . - - 381
Поверхности взаимодействия • • • - • • 382
Задачи о , ЗНЗ
Глава 21
Соединения
~L 1. Общие соображения « 385
2\. 2. Типы разрушения соединений 385
21. 3. Соединения нескольких толщин 387
21. 4. Соединение сплошным швом 38S
21. 5. Коэфицяеят полезного действия соединения 3&&
21. 6. Заклепочные соэдинеиия мри центральное нагружеяии ..... 390
21. 7. Заклепочные соединения с эксцентриситетом "*О1
21. 8. Положение центра тяжести соединеш-u (графический метод) .
Задачи - - • • -
.Приложение L Таблицы
Приложение 2. Таблицы
Приложение 3. Безразмерные расчетные кривые для балок
Ответы на задачи
Литература •
39 i
3
394
395
397
402
404
414