/
Похожие
Текст
И. А. СИМВУЛИДИ
РАСЧЕТ
ИНЖЕНЕРНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
НА УПРУГОМ
ОСНОВАНИИ
ИЗДАНИЕ 3-е,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего
и среднего специального
образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов строительных
специальностей вузов
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1973
6С1
С37
УДК 624.04(075)
Симвулиди И. А.
С37 Расчет инженерных конструкций на упругом основа-
нии. Изд. 3-е, испр. и доп. Учебное пособие для вузов.
М., «Высш, школа», 1973.
431 стр. с илл.
В настоящей книге изложен расчет конструкций на упругом основании.
В ней даны предложенные автором методы расчета балочных, перекрестных и
свайных фундаментов, плнт, рам, подземных сооружений и ограждающих
конструкций, работающих на горизонтальные нагрузки.
Для облегчения расчета в книге имеется большое количество разнообраз-
ных примеров из строительной практики и приведены вспомогательные таб-
лицы. В примерах наглядно показано влияние различных факторов на распре-
деление реактивного давления грунта на конструкцию.
В книгу также включены новейшие исследования автора по расчету конст-
рукций на упругом основании.
Предназначается для студентов, аспирантов и преподавателей строитель-
ных вузов. Книгу могут использовать инженеры и работники проектных,
организаций.
Рецензент доктор технических наук, профессор
И. К- Снитко
С 100—73
001(01)—73
С) ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА», 1973
6С1
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга предназначена для студентов и аспирантов выс-
ших учебных заведений дорожной, строительной и гидротехнической
специальностей, а также для инженеров-проектировщиков.
При ее написании использовано второе издание этой книги, которая
в 1970 г. была удостоена Золотой медали ВДНХ, а также другие ра-
боты автора, в том числе и работы, которые рассматривались на VI
и VII международных конгрессах по механике грунтов и фундаменто-
строению (Канада — 1965 г., Мексика — 1969 г.); на международном
симпозиуме в Югославии (г. Сараево — 1969 г.); на второй националь-
ной конференции по механике грунтов и фундаментостроению в Румы-
нии (г. Бухарест — 1971 г.); на пятой международной конференции
в Испании (г. Мадрид — 1972 г.), а также на многих научно-техничес-
ких конференциях и в проектных институтах страны.
Настоящее, третье, издание значительно переработано; в него
также добавлено пять новых глав: глава VI «Расчет балок переменного
поперечного сечения и шарнирно связанных балок, лежащих на уп-
ругом основании»; глава VII «Свайные ростверки (фундаменты)»;
глава VIII «Определение крена жестких ленточных фундаментов,
учет взаимного влияния близко расположенных сооружений на их
крен и расчет ограждающих конструкций на горизонтальные нагруз-
ки»; глава IX «Расчет перекрестных балок (полос) и сетчатых плит,
лежащих на упругом основании»; глава XI «Функциональные преры-
ватели».
Формулы в главах II—IV для удобства записаны через отвлечен-
ные координаты.
Кроме того, в главы II и V внесены новые расчетные формулы для
определения реактивных давлений, поперечных сил, изгибающих
моментов, углов поворота и прогибов от действия на балку произволь-
но расположенной трапецеидальной нагрузки.
Глава X почти полностью переработана, дополнена новыми расчет-
ными уравнениями и примерами.
В книгу внесены новые таблицы, значительно облегчающие
расчеты.
При окончательной подготовке книги к печати исправлены
опечатки, допущенные в предыдущем издании, а также учтены ценные
замечания и советы рецензента доктора технических наук, профессора
И- К. Снитко, которому автор выражает глубокую признательность.
Автор
ВВЕДЕНИЕ
Успешное выполнение государственного плана строительства про-
мышленных, гражданских и других сооружений требует развития инду-
стриальных методов их возведения и широкого внедрения сборных
железобетонных конструкций заводского изготовления.
‘ В настоящее время в нашей стране осуществляется грандиозная
программа индустриализации строительства. Особенно большое вни-
мание уделяется применению сборных железобетонных фундаментов,
позволяющих получать огромную экономию материальных затрат,
уменьшать объем земляных работ и общую трудоемкость возведения
фундаментов. Все это способствует значительному сокращению сроков
строительства.
За последнее время построено много механизированных заводов
по производству сборных железобетонных конструкций, которые с
каждым годом расширяются и совершенствуются, давая строителям
все большееvколичество готовых железобетонных изделий.
Проектирование и строительство современных зданий и сооруже-
ний, индустриализация строительства и снижение его стоимости во
многом зависят от правильного выявления качества грунта, выбора
конструкций и их размеров, а также от материала для изготовления
фундаментов. Фундамент как связующая часть между сооружением и
грунтом должен без перенапряжения воспринимать все нагрузки,
действующие на сооружение, и передавать их на грунт так, чтобы обес-
печить сооружению требуемую прочность, жесткость и устойчивость.
Так как размеры фундамента зависят от качества грунта, слу-
жащего основанием фундамента, то при его проектировании к грунту
необходимо предъявлять требования прочности и малой деформатив-
нбсти.
Большинство аварий в сооружениях происходит вследствие оши-
бок, допущенных при выборе и подготовке оснований, а также при
расчете и возведении фундаментов.
Фундаменты большинства инженерных сооружений, опирающиеся
на грунт, в последнее время стали рассчитывать как балки, плиты или
рамы, лежащие на упругом основании.
Проблема расчета балок, плит и рам, лежащих на упругом осно-
вании, представляет собой весьма обширный раздел современной стро-
ительной механики, теории упругости и пластичности. Эта проблема
связана с проектированием прочных, устойчивых и одновременно
легких инженерных конструкций и сооружений.
4
В настоящее время методы расчета балок, плит и рам, лежащих
на упругом основании, получили широкое применение на практике.
Рассматривая инженерные конструкции или сооружения как балки,
плиты или рамы, лежащие на упругом основании, можно расчет их
приблизить к действительной работе зданий и сооружений, т. е.учесгь
совместную работу надземной и подземной частей рассматриваемых
конструкций или сооружений и сделать их надежными, долговечными,
экономически выгодными и технически приемлемыми, так как упругие
фундаменты обладают большей способностью противостоять действию
неравномерного отпора грунта, чем жесткие.
Многие методы расчета балок, плит и рам, лежащих на упругом
основании, имея теоретическую ценность, иногда не вполне пригодны
для практического применения.
Здесь предложены методы расчета балок, плит и рам, лежащих на
упругом основании.
При выводе общих формул для расчета балок, лежащих на сплош-
ном упругом основании, использованы уравнения плоской задачи
теории упругости (плоская деформация). Грунт основания рассматри-
вается как сплошная однородная упругая среда бесконечной мощнос-
ти, характеризуемая модулем деформации и коэффициентом Пуассона.
Балка рассматривается как тонкий упругий брус, деформирующийся
только по длине.
Для получения более простого и удобного решения общих формул
поставлено условие, чтобы упругая линия прогнувшейся балки и
просевшая под ней поверхность грунта приблизительно совпадали.
Поэтому реактивное давление грунта представлено четырехчленным
степенным рядом с четырьмя неизвестными параметрами. Для опре-
деления этих параметров поставлены следующие четыре условия кон-
тактности балки с основанием:
1) равенство прогибов балки и грунта на левом конце балки;
2) равенство ординат обеих кривых в середине балки;
3) равенство площадей, образованных ординатами обеих линий
деформации;
4) равенство третьих производных обеих функций прогибов в се-
редине балки.
Эти четыре условия контактности дополнены двумя условиями
равновесия балки и двумя граничными условиями.
В результате решения восьми уравнений, составленных на основе
приведенных восьми условий, получены общие расчетные формулы
в простой замкнутой форме для любой нагрузки, расположенной на
балке.
Полученные здесь решения для балок, лежащих на упругом осно-
вании, явились основой методов расчета перекрестных балок, плит,
свайных ростверков и рам, лежащих на упругом основании, описан-
ных ниже. Эти методы применимы для решения широкого круга задач,
связанных с расчетом и проектированием как надземных, так и под-
земных инженерных конструкций и сооружений.
ГЛАВА I
РАСЧЕТ БАЛКИ, ЛЕЖАЩЕЙ
НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ,
МЕТОДОМ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
(ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ)*
Для расчета балки, лежащей на сплошном упругом основании, в
большинстве случаев пользуются дифференциальным уравнением
четвертого порядка упругой линии балки (рис. 1-1)
где EI — жесткость балки;
у — вертикальное перемещение нейтральной оси балки;
рх — распределенная реакция со стороны основания;
<|>х — заданная активная нагрузка.
• См.: Сим вул иди И. А. Расчет балок на сплошном упругом основании.
Изд-во «Советская наука», 1958.
6
Величины у и" рх являются неизвестными, и для их определения
требуется составить еще одно дополнительное уравнение, устанавли-
вающее зависимость между ними. Принятая зависимость между вели-
чинами рх ч у определяет различие в методах расчета балки, лежа-
щей на сплошном упругом основании.
Грунт основания под балкой рассматривается как сплошная одно-
родная упругая среда бесконечной мощности, характеризуемая моду-
лем деформации и коэффициентом Пуассона. При этом используется
плоская задача теории упругости (плоская деформация).
Балка рассматривается как тонкий упругий брус, деформирую-
щийся по длине, т. е. учитывается упругая деформация оси бруса.
При этом не учитываются поперечные деформации по высоте сечения
и трение между балкой и грунтом. Реакция основания на балку за-
дается в виде целой алгебраической функции третьей степени, вклю-
чающей четыре параметра:
. 2а! [ L \ . 4а. [ L \2 . 8а. [ L о.
Рх = °о4----4х-------14-----Iх------4-------- Iх-----. (1-2)
х 0 L \ 2 ) L2 \ 2 ) L3 \ 2 ) '
где L — длина балки;
dot аъ а2, аз — неизвестные параметры, величины которых зависят
от жесткости балки, ее длины, модуля деформации
упругого основания, характера нагрузки и от ее рас-
положения.
Отметим, что многочисленные экспериментальные и теоретические
исследования в области упругого основания показывают, что под фун-
даментной балкой реакция грунта распределяется не всегда равномер-
но и находится в зависимости от характера нагрузки и ее расположе-
ния, жесткости и длины балки, а также от характеристики грунта.
Например, при центрально-симметричной нагрузке чем жестче балка
и слабее грунт, тем больше по концам балки величины реактивного
давления; чем больше гибкость балки и тверже основание, тем больше
в средней части балки (под нагрузкой) реактивные давления.
Таким образом, значения реактивных давлений на балку со
стороны упругого основания можно изменять в зависимости от жест-
кости балки EI, ее длины L, модуля деформации упругого основания
Ео, величины характера и расположения нагрузки. Это дает возмож-
ность регулировать давление грунта в нужных пределах путем со-
ответствующего подбора жесткости и длины балки.
ВЫВОД ОБЩИХ ФОРМУЛ
ДЛЯ ВСЕХ ВИДОВ НАГРУЗОК
Принимая для общности решения нагрузки на балку по рис. 1-2,
получаем
____ Фх = f (z) + zr?2/ Mt + 2Г>„ (1-3)
* Здесь и во всех других формулах за начало координат принят левый
конец балки.
7
где
фх — полная нагрузка;
f(z)— произвольная, как угодно распределенная нагрузка;
М i — изгибающий момент;
Pt — сосредоточенная сила;
— мгновенный прерыватель первого порядка
— мгновенный прерыватель второго порядка;
I
1и
Г/^_ — двусторонний прерыватель;
/и1 — расстояние от левого конца балки до начала распреде-
ленной нагрузки;
lKi — расстояние от левого конца балки до конца распределен-
ной нагрузки;
/гг — расстояние от левого конца балки до точки приложения
сосредоточенного момента Л4г;
4г — расстояние от левого конца балки до точки приложения
сосредоточенной силы Р;.
Подставляя в формулу (I-I) значения рх ифх из формул (1-2) и
(1-3), получаем дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Е1^=-а0-*±
dx* ° L
_ 4аг ________LX2
L2 \ 2 J
ТУ (* - у)' + -rt" f <z> + s 4 M, + 2 4 P„
(1-4)
где El — жесткость балки.
Проинтегрируем уравнение (1-4) четыре раза:
* См. Герсеванов Н. М. Функциональные прерыватели и нх применение
в строительной механике. Сб. ВИОС, № 1, 2 ОНТИ, Госстройнздат, 1933,
1934.
8
9
Выражение (1-8) является общим уравнением упругой линии бал-
ки *.
В него входят восемь неизвестных величин: четыре параметра
а0, alt а2, а3 и четыре произвольные постоянные интегрирования
Do, Dlt D2, D3, для определения которых требуется восемь дополни-
тельных уравнений. Для составления этих уравнений используем сле-
дующие условия.
Во-первых, два условия равновесия балки:
1) = 0.
= 2 J f(z)dz-2 J f&dz + ^Pt. (1-9)
lol
Производя интегрирование левой части и обозначая правую часть
этого равенства AL, получаем первое уравнение:
Во-вторых, для составления третьего и четвертого уравнений ис-
пользуем два следующих граничных условия:
при х = 0 у"= 0;
при х = L у”= 0.
Посредством этих условий определяем О2 и D3 (произвольные пос-
тоянные), которые выражаются через неизвестные параметры. Из
первого граничного условия
D2 = — — (ЗОй! — 15п2 + 9а3). (I-15)
61
Из второго граничного условия
П3 = -^-+-^-(10а1 + За8) + Л:, (1-16)
£> О!
где
2f f(z)(L-z)dz-2
- «и/
J z)dz +
йо + ^- = 4 (1-10)
о
(1-17)
где
2f f(z)dz-2 f f(z)dz + 2P{
(i-ii)
2) 2Мс = 0.
= 2 f f(z)zdz-2 L
lol 'к/
Обозначая правую часть этого равенства L2C и интегрируя левую
часть, получаем второе уравнение:
+ = С, (1-13)
2 6 6 J 10
j f(z)zdz + 2^,i-2A<l. (М2)
где
L L
L*C = y, [ f(z)zdz— 2 f f(z)zdz + 2^3i—2'Л1г. (1-14)
ha
• Подробнее этот вопрос изложен в статье Симвулиди И. А. «Обшая фор-
мула упругой линии балки* Свойства стали (сборник). Металл у ргиздат, 1949,
№ 28.
При составлении остальных четырех уравнений исходим из усло-
вия, что во время деформации балка под нагрузкой по всей длине
находится в контакте с основанием. Но в целях получения более
простого и удобного для практического использования решения (с
достаточной гарантией точности) ограничимся следующими четырьмя
условиями контактности — прилегания балки к грунту:
1) равенство прогибов балки и грунта на левом конце балки;
2) равенство ординат обеих кривых в середине балки;
3) равенство площадей, образованных ординатами обеих линий
Деформаций;
4) равенство третьих производных обеих функций прогибов в се-
редине балки.
Деформация поверхности грунта от сплошной распределенной
нагрузки выражается формулой*
(1—Р-н) Ь
12гс£0
24а0
+ 24^! Г-—In — —1 + 8а2Г~-±-(2х—In — +
|_ L2 х L J |_ 2L3 L
L3_(2x_L)3 l-х 4 (L-x)xl
2L3 L L? J
--------
* См.Симвулиди И. А. Расчет балок на упругом основании. Изд-во
’'-светская наука*, 1958, стр. 23, формула (37).
10
U
. (Ы8)
+ as [З щ L-^L _ 6 L8 + (2x-L)- - 4
8 L L* x L3 L
где p.о— коэффициент Пуассона грунта;
Eo—модуль деформации грунта.
1. Равенство прогибов балки и грунта на
левом конце балки:
= (И9)
Воспользуемся формулами (1-8) и (1-18), по которым при х — 0
получаются следующие значения:
°х=0 = °«
Е1ух=0 = + О0. (1-20)
а 16-5! 8-6! 8-7! °
Поэтому на основании условия (1-19) имеем пятое уравнение, из
которого
П0 = --^(21а1-7а2 + За8). (1-21)
о!
2. Равенство ординат обеих кривых в се-
редине балки:
У L=v (1-22)
* = Т 2
Подставляем значение х = -~ ъ формулу (1-18):
v r_22o£in2 + _E1£------------(1 — In 2) +
* =— Trfd л£0 Зл£0
+ (I‘23)
Из формулы (1-8) при x = — после преобразования получаем
где
yx^L
2
_uUZ j____/£
EI 1 128 48L
EI
— 45og -|- ,
8 1 2L3 )j
lOlOj + 112о2 —
(1-24)
dz +
12
- — -
2 19
+ Sr0 Mt
2
2
3!
3 “I
(Ь25)
При решении конкретных практических задач необходимо учесть
следующее. Из условия (1-22) получается, что при определении вели-
чины W необходимо учитывать влияние только тех нагрузок, которые
расположены на левой половине балки, а поэтому первый член фор-
мулы (1-25) всегда равен нулю, если начало распределенной нагрузки
находится за пределами левой половины балки, т. е. Вто-
рой член формулы (1-25) также равняется нулю, если конец распре-
деленной нагрузки не захватывает левую половину балки, т. е.,
/кг>Т'
Третий член формулы (1-25) равняется нулю, если сосредоточенный
момент, действующий на балку, расположен за пределами левой поло-
вины балки, т. е. Z2i • Четвертый член формулы (1-25) также рав-
няется нулю, если сосредоточенная сила, действующая на балку, рас-
положена за пределами левой половины балки, т. е. Z3,
Подставляя в условие (1-22) значения v
X —
2
(1-23) и (1-24), получаем шестое уравнение, после преобразования
которого найдем:
-^2—(256 In 2 — a) + —!—[161а±а— 112а,а+
128а 8!а
+ 45а8а + 40 320^ — 26 880 (1 — In 2) с2 + 26 880а3] —
1
48L
L
2
И У L из формул
2
D.
— W
где a — показатель гибкости*
(1-26)
~EaL3
При расчете полос, выделенных из плит, как известно, следует
Делать поправку к обычной жесткости EI, т. е. учитывать при расчете
так называемую цилиндрическую жесткость
EI
1 — р.2 ’
где р. — коэффициент Пуассона материала выделенной полосы.
После подстановки цилиндрической жесткости в формулу (1-27)
последняя примет следующий вид:
a =
(1-27)
Здесь имеется в виду, что ширина балки равна единице.
13
1—p2 k£bL3
I-P^ ’ EI
(1-2 7а)*
Если ширину балки обозначить Ь, то величину а можно определить
по формуле
1 Tt£0fcL3
а =-----5----2--
1-И2 EI
Для балки прямоугольного поперечного сечения
(1-27в)
Из формулы (1-27а) следует, что величина показателя гибкости
находится в зависимости от значения Е, I, L, р, р0 и Ео и может из-
меняться от нуля до бесконечности.
Как видно, большие значения а при постоянном Ео соответствуют
или балкам большой длины, или балкам малой жесткости.
3. Равенство площадей, образованных
прогибами обеих линий деформаций:
F6 = Fa. (Ь28)
Для определения площади, ограниченной упругой линией балки,
воспользуемся формулой (1-8):
F6 = — Г------------+ 2 f И*) (L~2)4 dz —
EI 5! 8! J 4!
L lai
-2f f^^^-dz + ^M, + +
J 4! 3! 4!
+ D3-£- + O2-g- + + D0L ]. (1-29)
Из формулы (1-18) после интегрирования и некоторых преобразо-
ваний имеем:
-4^ = -^—
1—P-о о
L — х • L — х
-----1п-------
L L
2aiL
(L — х) х । 2L — х
Е2 п ~х
- dx
L
г
3r.£0 J
(L-x)
4 (L — х) х
~Ё3
L3 4-(2x-L)3 х L3—(2х— L)3 Jn
' П L 2L3 L
2L3
* Величину
1 —р2
----j можно без больших погрешностей принимать равной
1 Р-о
единице, что мало повлияет на конечные результаты расчета.
14
Cr3L4-(2x-^-4lnL=2L_6 L3+^~L^ _^JL\dx =
"12^0 JL Li x L3 LJ
°n^a । ct-yL2 । 2a$L2 ,j 30)
т.Ей л£0 3r£0
Приравнивая значения F6 к Рл, после преобразования получаем
седьмое уравнение:
. аз- (640 — За — 1280 In 2)-[34а — 26880 (1 — In 2)] = В,
(1-31)
где
L 1к1
+ 2 Mt {L~l*)s + ур (£~4f)4 -f- — % — WL6 '
-1 ‘ 3! 1 41 48
4. Равенство третьих производных
функций прогибов в середине балки:
/ d3y \ __/ <Pv \
\ dx3 / \ dx3 / l
2 2
(1-32)
обеих
d-33)
Воспользуемся формулами (1-8) и (1-18), из которых после трехкрат-
ного дифференцирования получаем:
(1-34)
— 2 __
-£Г02 f f(z)dz + r02 УР; 4-^4--£-(10^4-303) 4- К • (1-35)
у хи!
-
На основании условия (1-33), приравнивая правые части формул
(1-34) и (1-35), получаем восьмое уравнение:
-~т Г NL+ (10а, 4- За3) 1 = — Г—^
£/ L 120 1 37 J L
(1-36)
где N определяется следующим выражением:
^ = -1
L
-2 2 -5- 2 -Е.
£Г0 J Hz)dz-Sra j f(z)dz 4-2Г„ Pt + K • (1-37)
4iZ Ikl
15
Формула (1-37) справедлива при сохранении условия (1-33), кото-
рое заключается в том, что для всех распределенных нагрузок, начало
которых находится за пределами левой половины балки (при lat >
> , первый член формулы (1-37) равняется нулю. Второй член
формулы (1-37) также равняется нулю для распределенных нагру-
зок, правые части которых расположены за пределами левой по-
лойины балки (при Третий член формулы (1-37) равняет-
ся нулю только для тех сосредоточенных сил, которые приложены на
правой половине балки (при lsi > Если сосредоточенная сила
I 1 L\
приложена посередине балки I при lsi = —I, то значение третьего
р
члена от этой силы равно — . Условие (1-33) к четвертому члену не
относится.
Решая совместно уравнения (1-10), (1-13), (1-31) и (1-36) относи-
тельно неизвестных параметров а0, аъ а2 и а3, найдем их значения:
__ (8252 — 34а) А — 13 440Ва _
13 440 +29а
а2 _ (5188 + 63а) Л + 13 440Ва .
3 ~ 13440 + 29а
ai __ (2С — 4) (1280 — а) — 8Wa
3 ~ 2048 + а
а3 _ (2С —4) (384 +а) + 4Л'а
10 — 2048 + «
(1-38)
Из формул (1-5) и (1-6) получим формулы для поперечных сил
и изгибающих моментов:
/ _£\2
(3==Г^-(2х-£)--А-(10а1 + Заз)-/с]+^- I -2'- +
| Z 1ZU \ Lt Z1
-S4J /«^ + SrZKZp(z)dz; (1-39)
м = “5°2 + Зйз) + [т(х“ L} —W (10а*+ 3as) ~
16
(«--У
+ -----sr^M.-sri.p.tx-w-
- S r/HZ J f (z) (X - z) dz + V r,K/ [ f (z) (x - z) dz. (1-40)
lul ^kI
Полученные в этой главе формулы справедливы для любых нагру-
зок, как угодно расположенных на балке* *.
Следует иметь в виду, что в случае симметричной нагрузки члены
параметров (2С—Л) и N равняются нулю, а следовательно, равняются
нулю и параметры аг и а3. Два других параметра а0 и а2 при симметрич-
ном загружении балки в зависимости от изменения а и изменения рас-
четной схемы балки могут иметь положительные, отрицательные и
нулевые значения, что следует из формул (1-38).
Для пользования этими формулами выполняем следующее:
1. По конструктивным соображениям предварительно назначаем
размеры рассматриваемой конструкции (балки), после чего опреде-
ляем момент инерции. Тогда при заданном модуле деформации грун-
та Ео, модуле упругости балки Е и длине балки L по формуле (1-276)
находим значение гибкости а.
2. При заданной конкретной расчетной схеме по формулам (1-11),
(1-14),(1-17), (1-25), (1-32) и (1-37) находим значения вспомогательных
членов А, С, К, W, В и N.
3. Подставляя найденные значения вспомогательных членов А,
В, С, N и показателя гибкости а в формулы (1-38), получаем значения
величин параметров а0, аъ а2 и а3.
4. Подставляя значения этих параметров в формулу (1-2), полу-
чаем ординаты реактивных давлений грунта на балку в любой точке.
По данным ординатам строим эпюру р**.
5. Зная величины а0, alt а2, а3 и К по формулам (1-39) и (1-40),
найдем значения поперечных сил Q и изгибающих моментов М в любом
сечении балки. По полученным ординатам строим эпюры Q и М.
Для расчета конструкций на упругом основании необходимо
знать следующие величины: EI, Ео, р, р0 и L.
При этом размеры балки должны быть такими, чтобы во всех слу-
чаях соблюдалось условие контактности: рх^0, что всегда можно дос-
тичь при свободном назначении некоторых размеров***.
*оТак как формулы (1-38) — (1-40) получены для балки (полосы) шириной,
Равной 1 м, то при пользовании ими необходимо учесть действительную ширину
°алки (полосы) Ь.
* Если в какой-либо точке балка отстанет от грунта, т. е. нарушится’кон-
акт балки с основанием и появятся отрицательные ординаты реакций грунта,
0 Для устранения этого необходимо изменить или расчетную схему балки,
ли показатель гибкости и заново определить также параметры at, alt аг и а3,
Ри* которых не будет отставания балки от грунта.
* Если ширина и толщина балки не заданы, то ее размеры предваритель-
определяются из условия распределения реакции по линейному закону.
17
Для того чтобы левый конец балки не отставал от грунта, необхо-
димо выполнить условие
рж=0 = (а0 + а2) — (Ci + as) > О,
т. е.
(2048 + а) I (23 816 + 155а)Д + 26 880В а! — (13 440 + 29а) X
X Ц2С—А) (7680 + 7а) + 16Л/ а] > 0. (I -41)
Для того чтобы правый конец балки не отставал от грунта, также
необходимо выполнение условия
Px=l = (а« + Пг) + (Pi + °з) 0»
т. е.
ГЛАВА II
РАСЧЕТ БАЛКИ, ЛЕЖАЩЕЙ
НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ,
НАГРУЖЕННОЙ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
НАГРУЗКАМИ
(2048 + а) [(23816 + 155а)Л + 26880Ва1 + (13 440 +29а),Х
X [(20 — Л) (7680 + 7а)’+ 16Wa] > 0. (1-42)
Для того чтобы середина балки не отставала от грунта, нужно»
чтобы
р L=a0>0,
т. е.
(8252 — 34a) А — 13 440Ва> 0.
(1-43)
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ
ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ НАГРУЗОК
Пользуясь общими формулами из первой главы, выведенными для
произвольной нагрузки, получаем общие формулы для распределенных
нагрузок (рис. 11-1).
Для определения параметров а0, а1г аг и аа используем формулы
Реактивные давления рх на балку со стороны грунта определяем
По формуле (1-2).
Поперечные силы
( —\2
Q = [~T(2x~L)--i^<10°‘ + 3^>-'<] + TL- * 2, +
19
f(2)dz + yr/KJ f(z)dz.
IhI ‘kI
Изгибающие моменты
(П-1)
м = (10fll “ 5°2 + 3°з) + [“Т{х ~ L} —(10а*+ Зйз) “
( —У
+ —2Г,щр(г)(х-2)а2 +
+ 24J f(z)(x-z}dz. (П-2)
Вспомогательные члены, входящие в основные расчетные формулы:
a = y S [ Z(z)tfe-s J f(z) dz
ini ^Kl
C=~|Xf f^zdz-^l f(z)zdz
l-ai
W =
(П-3)
(П-4)
К»-— ^\f^{L-z}dz-^f(z){L-z)dz ; (П-5)
hii
L \3
— — г
2_____}_
3!
/к/
L
т
L
— —z
2____,
3!
lKi
f(^) {L~Z--^
Iki
+ — K — WL6 ;
3-
- ; (П-6)
(П-7)
.. £4
' 48
в =
L
2
р
(II-8)
20
При использовании формулы (П-6) необходимо иметь в виду, что
первый ее член сохраняется при значениях /Н1- < ; при значениях
I этот член равняется нулю. Второй член формулы сохраняется
2 1 L 1 \ L
при значениях lKi<Z—, а при значениях он равняется
нулю.
То же относится и к первым двум членам формулы (П-8).
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
ЗАГРУЖЕНИЯ БАЛКИ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
НАГРУЗКАМИ
Рассмотрим случаи загружения балки распределенными нагруз-
ками, часто встречающиеся на практике.
§ 1. Трапецеидальная нагрузка
на произвольном участке длины балки
Для данного случая (рис. П-2) имеем:
Ali = Ai> A<i = Ati
f (г) = Г^[9н + к(2-/„)],
где
В дальнейшем для удобства введем следующие обозначения:
= = ₽2i=-T и ₽3i = T*
Lt L. L> Lt
Пользуясь формулой (П-3), получаем
bL
£ J f(z)dz-^\ f(z)dz
ini IkI
2»
= — I f [?н + x(z — 4)1 dz — f [9н + Х(г — /„)] dz | =
bL J J
Uh /к >
__ (Qk ~f~ ?h) (L — ^h)
2L
ИЛИ
л=^(9к + 9н)(₽к~₽н)- (1ИО)
Из формулы (П-4)
[?«(4 + 24) + <7к (4 + 24)1.
или
с = [<7н (₽к + 2₽н) + 9к (₽н + ад (П-11)
о
По формуле (II-5)
S_f f(z)(L-z)dz-Z J f(z)(L — z)dz
hil 1к1
[<7„ + X (z — /„)] (L — z) dz — J [g-H+X (г — /„)] (L — z) dz
Ik
= - 77- {[3?H (L - 4)2 + 4L - tf] - [3qK (L - lKy +
или
+ X(L-/K)3]}>
К = -4 [3<7н (1 - ₽H)2 + XL (1 - ₽H)3] -
О
- [3?K (1 - ₽k)2 + XL (1 - ₽K)3]}.
Используя формулу (11-6), имеем
_ 0.5Z. r _
^=4 Hz) .dz_
(11.12)
22
0,5L кг \я 1 ( 0,5L
/(*) ('3!* Ф -^l^j Й.+
IkI J Z„
0.5L
, (0,5L — z)3 . t'O.sl r r ti/ < vi (0,5L — z)3 .
+ X (z — 4)] ’ , — dz — Г [9н + x (z — /„)] dz
ol у о!
*к
= {ГГ t5^. (°’5L -7н)4 + M0.5L - /H)5] -
- r00,5L [59k (0.5L - ZK)4 + X (0.5L - ZK)® ]},
или
W = "^T I r»H"° °’5 [5?H (0,5 - p„)4 + XL (0,5 - P„)5] -
p n=0 5
- Г*“ ’ [59k (0,5 - pK)4 + XL (0,5 - pK)5]} . (11-13)
По формуле (П-7)
B = Y s J W
L ZHi
+ —K—WL5
48
f(z)
4! L
L
J [?H + 4* — /«)]
Zh
«^dz +
4!
1
£3
±=^dz-
4!
- f [?« + 4z- /„)] -^L- z)i- dz + ^-K-WL^
4! 48
*K
—1— {[691I (L - /НГ + X (L - ZH)’] - [69k (L- /k)5 +
+ X(L-/K)en+-^-------W,
48L
или
в = {[69н (1 - p„r + XL (1 - рн)’] -
- 16<7k (1 - PK)5 + XL (1 - pK)*]} + -W. (11-14)
48L
По формуле (11-8)
N = — ХГ1
L 1
0.5Д 0.5L
°o’5if f(z)dz-Sr^j
ZhZ Ll
f (z) dz + K.
Y j Го’5Д + X (z - /„)] dz -r°-5L р9н + X (z - /„)] dz +
ZH ZK
23
+ К} (0,5L — Zh) — (0,5L — Zk)] + *}’
ИЛИ
<?н+<7к [Г;н°о-Б(0|5_рн)_г;к-о-5(0|5_рк)] +ку (1И5)
Для данного случая формулы (1-38) (определение параметров
«o’, <h\ а2 и а3) остаются без изменения.
Заменяя в формуле (1-2) у- величиной g, получаем формулу для
определения реактивных давлений грунта на балку:
р£ = а0 + 20! (g - 0,5) + 4ct2 (g - 0,5)2 + 8а3 (g - 0,5)3. (П-16)
Формулы для определения поперечных сил и изгибающих моментов
(П-1) и (П-2) в рассматриваемом случае принимают другой вид.
Поперечные силы:
Q = (2| - 1)--A- (10а, + За,) —£] + 2а, £ А5£ +
+ 80,2=»^ +48а,
2 3! 3 4! J
- ± {гри [2<?н а - ₽н) + xl а - ₽ну - г₽к [29к а - ₽к)+
+ XL(g-₽K)2]}. (И-17)
Изгибающие моменты:
М = <10а‘-5°2 + Зйз) + [v~ 1} ~ "БГ(10а‘ + Зйз) “
_ А] 5 + 2а, + 8а, + 48а, Р-
- Т- |Г. Р». (5 -₽„)’ + Xi (Е - ₽.Я -
О п
- г₽к [з9к а - ₽к)2+xl а - ₽к)зп.
(II-18)
Приведенные в § 1 формулы можно использовать для всех нагру-
зок, изменяющихся по закону прямой. При этом легко получить фор-
мулы и для частных случаев загружения балки равномерно-распре-
деленной, треугольной и трапецеидальной нагрузками, расположен-
ными в произвольном месте по длине балки.
24
§ 2. Равномерно распределенная нагрузка,
действующая по всей длине балки
Пользуясь формулами (1-38), для данного случая (рис. П-З) имеем
параметры:
8252 4- 29а
а0 =-------:------- Q,
° 13 440 + 29а
(II-19)
о 5188
а» = 3--------------- а.
2 13 440 + 29а
С1 = аз = О
Реактивные давления грунта на балку:
Р£ = а0 + 4й2(5 — 0,5)2.
(П-20)
Поперечные силы:
Q = -^Lg(g-l)(2g-l). (П-21)
О
Изгибающие моменты:
М = £2 £ _ 1)2. (П-22)
3
Приведем пример расчета балки,
лежащей на сплошном упругом ос-
новании, нагруженной распределен-
ной нагрузкой.
Пример II-1. На балку длиной L
и шириной Ь = 1, лежащую на уп-
ругом основании, действует равно-
мерно распределенная по всей дли-
не нагрузка интенсивностью q (рис.
Требуется построить эпюры реак-
тивных давлений грунта, попереч-
ных сил и изгибающих моментов при
а = = 0.
EI
Решение. 1. Пользуясь фор-
мулами (II-19), находим параметры
ао и а2:
«о = =0 6140а’
13440 + 29а- 13440 ’
-£2 _ 5188? = 5188? _
3 13440 + 29а “ 13440 ”
0,387g;
Рис. 11-3
25
а2 = 1,161g.
2. По формуле (П-20) находим реактивные давления грунта:
ре=0 = а0 + 4а2 (0 — 0,5)2 = а0 + а2 = (0,6140 + 1,158) q = 1,772g;
Pt-o д = с0 + 4а2 (0,1 — 0,5)2 = а0 + 0,64а2 =
= (0,614 + 0,64- 1,158) g = 1,355g;
Р£=0,2 = ао + 4с2 (0,2 — 0,5)2 = а0 + 0,36а2 =
= (0,614 + 0,36- 1,158) g= 1,031g;
Р£=0,з = ао + 4с2 (0,3 — 0,5)2 = а0 4 0,16а2 =
= (0,614 + 0,16- 1,158)д= 0,799д;
Р£=0>4 = с0 + 4о2 (0,4 — 0,5)2 = а0 + 0,04а2 =
= (0,614 + 0,04 • 1,158) д = 0,660д;
Р^о.5 = ао + 4с2 (0,5 — 0,5)2 = а0 = 0,614д.
3. По формуле (П-21) находим величины поперечных сил:
<2е=0 = - 0(0-0(2 - 0-I) = 0;
О
Q£=oj = 1'158?1'0’1- (0,1 — 1)(2 0,1 — 1) = 0,055gL;
’ 3
Q£o=0,2 = 2' 1’158<?L 0’2. (0,2 — 1) (2 - 0,2— 1) = 0,074gL;
* 3
Qt=oз = J' М58?Ь0,3_(0 3_ Q(2 . о з_ о = 0,065gL;
Q£<=0 4 = 2 • 1’1-5^L • 9’.— (0,4 — 1) (2 - 0,4 — 1) = 0,037gL;
Q£=o s = 2‘ 1.I58?L-O,5_ (0>5 _ (2 - 0,5 — 1) = 0.
4. Пользуясь формулой (П-22), находим величины изгибающих мо-
ментов в сечениях балки:
^о = -££г--°(()-1)а = О;
AI£c=Oi1 = —-|58<?£Т-(0,1)2(0,1 — О2 = 0,003gL2;
3
^6-0,2 = —158<7L!!- (0,2)2 (0,2 — I)2 = O.OlOgL2;
’ 3
Л4£=о 3 = —-158912 (0,3)2 (0,3 — I)2 = 0,017gL2;
* 3
26
Me=o,4 = 1--5q8?£2 (0,4)2(0,4 — I)2 = 0,022<7L2;
*5
4o,5 = -1^-(0,5)2(0,5 - I)2 = 0,024<7L2.
§ 3. Равномерно распределенная нагрузка
на правом конце балки
Для данного нагружения (рис. П-4) используем общие формулы,
приведенные в главе II. Тогда параметры:
а __ (8252 — 34а) (1 — р„) д — 134405а
° 13440 + 29а
аг _ (5188 + 63а) (! — Вн) <7 + 134405а
3 13440 + 29а
(П-23)
gi = (1280-а)рн(1 — рн) ? — 8/V? . 4
3 2048 + а
а3 (384 + а) 8ц (1 — Р,Р д + 4Wa
10 2048 +а
Поперечные силы:
Q = [f^(2g-!)-------±-(10а1 + Зп3) +
к. L " * 2 и
+ f (1 - ₽.,)*] + 2а, И + +
~ J 21 о!
+ 48а3 (-~°’5)i - (g-р„)} L. (П-24)
Изгибающие моменты:
м = {1F(10£Z1 “ 5а*+ 3°з) + [т(^-1)_
~~ 4? (1(4+3°з)+т - м2]g+2а‘-~~зг,5~+
+ 8а2 + 48а3 (S-~°—~<74 (£~Рн)2]L2. (П-25)
27
S!f Для определения реактивных давлений грунта на балку восполь-
зуемся формулой (II-16).
Вспомогательные члены определяются по следующим формулами
49 9
-----<7 =-------------<?•
200 200 4
W = q rJH“°'S (0,5~Р-)4- • (П-26)
2. По формулам (П-23) определяем параметры:
(8252 — 34а) (1 — Рн) ? — 13 4405а _
13 440 + 29а
В = [4 (1 - ₽н)5 - 5 (1 - ₽н)2] - W. (П-27)
N = q ^0“=° 5 (0,5 - ₽н) - 4- (I - ₽н)2]. (П-28)
Рис. П-5
Пример П-2. Балка длиной L
и шириной 6=1 нагружена равно-
мерно распределенной нагрузкой q
на правой ее части.
Требуется построить эпюры ре-
активных давлений грунта, изги-
бающих моментов и поперечных
сил, если /н = 0,3 L; а = 240
(рис. П-5.)
Решение 1. Определяем
вспомогательные члены. По фор-
муле (П-26)
(0,5 —0,3)4 _ ?
24 15 000 ’
По формуле (II-27)
в = ^(1-₽нг-
-5(1-₽н)2]-№,=
= —Д-[4(1 —0,3)Б —
480
— 5(1— 0,3)2]— W- • 1Q5 1()2 д6 15000
= 382,84 .
10s
По формуле (П-28)
N = q ГГо’5 (0,5 - ₽н) - -L (1 - РнЛ =
" J
? (0,5 —0,3) —
(8252 — 34 • 240) 0,7? + 13 440 • 240?
-------------------------------------------- = 0,6085?;
13 440 + 29 • 240
ав _ (5188 + 63а) (1 — рн) 7 + 13 4405а =
3 ~ 13 440 + 29а
13 440 382,84
(5188 + 63 - 240) 0,7? —-----—----:— - 240?
-----------------------------—--------------= 0,0915?,
13 440 + 29-240
а2 = 0,2745?;
щ ___ (1280 — а)₽н(1—рн) ? — 8Wa
3 ~ 2048 + а
9
(1280 — 240) 0,3 - 0,7 ? + 8 -• 240?
2048 + 240
а, = 0,3996?;
а3 _ (384 + ц) рн (1 — рн) ? + 4Уа
10 2048 + а
9
(384 + 240) 0,3 • 0,7 ? — 4 - • 240?
2048 + 240
= 0,1332?;
= 0,0376?;
as = 0,376?.
3. Определяем реактивные давления. Подставляя полученные зна-
чения, at, аъ а2 и а3 в формулу (П-16), находим выражение для реак-
тивных давлений:
= 0,6085? + 2 • 0,3996 (£ — 0,5) + 4 • 0,2745 (g — 0,5)2 +
+ 8 • 0,376 (§ — 0,5)3 = [0,6085? + 0,7992 (g — 0,5) +
+ 1,0980 (g — 0,5)2 + 3,0080 (g — 0,5)31 ?
Подставляя различные значения g, получаем величины реактив-
ных давлений для отдельных точек:
=0 = [0,6085 — 0,3996 + 0,2745 — 0,3760] ? = 0,1074?;
р«=о,2 = [0,6085 — 0,2398 + 0,0988 — 0,0812] ? = 0,3863 ?;
29
28
р£=0 „ = [0,6085 — 0,07992 + 0,01098 — 0,003008] q = 0,5365g;
Ре-=о,5 = 0.6085g;
РЕр=0,6 = Ю.6085 + 0,07992 + 0,01098 + 0,0030081 g = 0,7024g;
Р£=0>8 = [0,6085 + 0,2398 4- 0,0988 + 0,0812] g = 1,0283 g;
P£=1 = 10,6085 4-0,3996 4- 0,2745 4- 0,3760] g = 1,6586 q.
4. Определяем поперечные силы. Подставляем значения а0, аь
а2 и а3 в формулу (П-24):
Q = [— 0,1019 4- 0,6085g — Г₽н g (g — 0,3) 4- 0,3996 (g — 0,5)2 4-
4- 0,366 (g — 0,5)3 4- 0,752 (g — 0,5)4] qL.
Величины поперечных сил при различных значениях g равны:
Qi = о = 0;
Q£=o 2 = (— 0,1019 4- 0,1217 4- 0,035964 — 0,009882 4- 0,0060912) qL =
= 0,0519 gL;
з = (—0,1019 4-0,1825 4-0,015984 — 0,002928 4-0,001203) gL =
= 0,0949gL;
Qt=o,s — 0;
q£=o s = (—0,1019 4-0,3651—0,300 4-0,003996 4-0,000366 4-
4- 0,0000752) qL = — 0,0325 gL;
Qe=0.8 = (—0,1019 4-0,4868 — 0,500 4-0,03596 4- 0,00988 4-
4- 0,00609) qL = — 0,0632 gL;
Qe=i = 0.
5. Определяем изгибающие моменты. Формула (П-25) после под-
становки в нее найденных значений а0, аъ а2 и а3 принимает вид:
М = [0,0156 — 0,1019g 4- 0,3042g2 — Г₽н (g — 0,3)2 4-
4- 0,1332 (g — 0,5)3 4- 0,0915 (g — 0,5)4 4- 0,1504 (g — 0,5)5] gL2.
Величины изгибающих моментов при различных значениях g
равны:
М£=о = О;
Л4Е=0,2 = (0,0156 —0,1019 • 0,2 4-0,3042 • 0,04 — 0,1332 • О,З3 4-
4-0,0915 • О,З4 —0,1504 • 0,36)gL2 = 0,0045gL2;
Л4е=0,4 = (0,0156 — 0,1019 • 0,4 4-0,3042 • 0,16 — 0,1332 • 0,001 4-
30
+ 0,0915 0,0001 — 0,1504 • 0,00001) qL2 = QSHMqL2-,
Л4е=о,5 = ^0,0156 — 0,1019 • 0,505 + 0,3042 0.5052—
-0.2052 + 0,1332 • 0.0053 + 0,0915 • 0,0054 + 0,1504 • 0,0056W2=
= 0,021<7L2;
Afe=o,6 = (0,0156 — 0,1019-0,6 + 0,3042 - 0,36 — 0,045 +
+ o,1332 • 0,001 +0,0915 • 0,0001 +0,1504 • 0,00001) qL2 = 0,01912?L2;
M£=o,8 = (0,0156 — 0,1019 • 0,8 + 0,3042 • 0,64------- 0,25 +
+ 0,1332 - 0.33 + 0,0915 • 0,34 + 0,1504 -0,3BjqL2 = O.OOSl^L2;
Af£=1 = fo,O156 —0,1019 + 0,3042 —0,2450 + ^^ + ^^-)
Эпюры реактивных давлений p, поперечных сил Q и изгибающих
моментов М построены на рис. П-5.
Для облегчения пользования расчетными формулами ниже приве-
дены соответствующие таблицы. Пользуясь принципом независимости
действия сил, посредством этих таблиц можно рассчитать балку, ле-
жащую на упругом основании и нагруженную любыми силами (рас-
пределенными нагрузками, сосредоточенными силами и изгибающими
моментами).
§ 4. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛКИ,
НАГРУЖЕННОЙ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ
НАГРУЗКОЙ q, РАСПОЛОЖЕННОЙ
НА ПРАВОМ ЕЕ КОНЦЕ (РИС. 11-6)
Для составления расчетных таблиц воспользуемся формулами
(П-23) — (П-25). Подставляя значения W, В и N из формул (11-26)
~~ (П-28) в формулы (11-23), после преобразования получаем
параметры:
Рис. П-6
31
(8252 — 34а) (1 — ₽н) — 13440а
«о =
13440 + 29а
а2 =
-^roH=O'S<°-5-M4
13440 + 29а
-рн) + 13440а 1-4- (1 -Рп)Б—4 (1 — Рп)2 —
| 1 ^AJ t/U
(5188 +63а) (1
3----------------
13440 + 29а
(11*29)
X q = cq/p,
13440 + 29а
(П-30)
q =
[ ₽н(1-₽н)(1280-а)-8| Г?
а1 = | з
°’5(0,5-₽н)-4-(1-Рн)2
2048 + а
= а^;
(П-31)
а3 =
Рн(1-Рн)(384+а)+4
10------------------
7 * (0,5 —₽н) —
2048 +а
= a3q,
(П-32)
где ₽н =-у- = Р и а0, ait а2
и а3’— безразмерные величины, вклю-1
ченные в фигурные скобки.
alt а2 и а3 в формулы (П-16), (П-24) и
Подставляя значения а01
(II-25), получаем .«
реактивные давления на балку со стороны грунта:
Р = [а0 + 2^ (g - 0,5) + 4а2 (g - 0.5)2 +
+ 8И3 (g - 0,5)3] q = ~pq Т!м\
(II-33J
где
р = [о0 + 2Й1 (g - 0,5) + 4а2 (g - 0,5)2 + 8^ (g - 0.5)3].
Поперечные силы (в Г):
(П-34)
Q = Я 4- (2g - 1)-----JL- (10О1 + За3 ) + 4- (1 - ₽н)2 +
+ at (g - 0,5) + 4- а2 (1 — 0,5)3 + 2а3 (g - 0,5)4 -
О
g = —
L
а
а
и
q =
32
-r₽H(g-pH)pL = Q9L. (П-35)
Изгибающие моменты (в Т-м):
М = № “ 5“2 + + [т° “
----А- (10а, + З^з) + 4 (1 - ₽„)«!1 + 4 а - 0.5)3 +
IxU .4 о
т 4 (? - 0,5)4 + -4 а _ 0>5)5 _
О D
-±-Г^-^\д^=МдЬ\
(П-36)
Безразмерные величины Q и М, включенные в фигурные скобки
формул (П-35) и (П-36), получены для балки шириной 1 м. Для балки
шириной b необходимо правые части этих формул умножить на Ь,
тогда
Q = QqbL;
М = MqbL*.
(П-37)
(П-38)
Для р, Q и М составлены табл. П-1, П-2, П-3. Пользуясь этими
таблицами и формулами (11-33), (П-37) и (П-38), можно определить
значения величин р, Q и М для любой ширины балки.
Ординаты реактивных давлений
р по длине балки, соответствующие
фактическим значениям нагрузки
q, получаются путем умножения
значений р из табл. П-1 на q со-
гласно расчетной формуле (11-33).
Ординаты поперечных сил Q
по длине балки, соответствующие
фактическим значениям нагрузки
Я, получаются путем умножения
значений Q из табл. П-2 на qbL со-
гласно расчетной формуле (П-37).
Ординаты изгибающих моментов
по длине балки, соответствую-
щие фактическим значениям на-
гРУзки q, получаются путем ум-
значений М из табл. П-3 на
38)°ГЛаСНО Расчетн°й формуле
Для иллюстрации пользования
^ицами РассмотРим несколько
2"597
Пример П-3. Балка нагружена равномерно распределенной на-
грузкой на правой ее части (рис. П-7).
Требуется построить эпюры реактивных давлений грунта, попереч-
ных сил и изгибающих моментов, если а = 150, q — 10 Т/м2,1К= 1,4л;
b = 1 м\ L - 7 м.
Решение. Для решения задачи необходимо заранее знать
величину р:
р = ри = A = JA = o,2.
После определения р сначала построим эпюру реактивных давле-
ний р. Для этого из табл. П-1 берем данные р, соответствующие а =
== 150 и р = 0,2 для всех значений g, равных от нуля до единицы,
т. е.
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Р 0,535 0,566 0,575 0,577 0,588 0,626 0,706 0,843 1,053 1,354 1,761
Умножив значения р на q = 10 Т/м2, на основании формулы
(П-33) получаем значения величин р в сечениях от £=0 до £=1, т. е.
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1
Р 5,35 5,66 5,75 5,77 5,88 6,26 7,06 8,43 10,53 13,54 17,61
Эпюра р построена на рис. П-7.
Чтобы построить эпюру Q, необходимо из табл. II-2 взять данные Q,
соответствующие а = 150 и р = 0,2 для всех значений g от нуля до
единицы, т. е.
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0. 0 0,055 0,112 0,069 0,028 —0,012 —0,046 —0,069 —0.074 —0,055 0
Умножив значения Q на qbL — 10-1-7 = 70 Т, на основании фор-
мулы (П-37) получаем значения Q:
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 °-911.
Q 0 3,85 7,84 4,83 1,96 —0,84 —3,22 —4,83 —5,18 —3,85| 0
По полученным данным построена эпюра Q (рис. П-7).
Для построения эпюры М необходимо из табл. 11-3 взять данные MJ
соответствующие а = 150 и р — 0,2 для значения М в сечениях от
g = 0 до g = 1:
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
М 0 0,003 0,011 0,020 0,025 0,026 0,024 0,017 0,009 0,003 0
34
Умножив значения М на qbL2= 10-1-72= 490Т-Л1, на основании
формулы (П-38), получим значения М:
——"— £ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 > 1
М 0 1,47 5,39 9,80 12,25 12,74 11,76 8,33 4,41 1,47 0
Эпюра М построена на рис. П-7.
Пример П-4. Балка по концам (симметрично) нагружена равно-
мерно распределенными нагрузками (рис. П-8).
Требуется построить эпюры реактивных давлений грунта, попереч-
ных сил и изгибающих моментов, если а = 250; L = 5 м; /Н1= 0;
3,5 м; Ь — 1 м\ ZK1= 1,5 м; /и2= L = 5 м; q = 10 Им2.
Решение. По приведенным данным
Ph2 = ₽ = ^=-^-=0’7-
L о
Из табл. П-1 (а = 250 и р = 0,7) берем все значения для рг от
g = 0до£ — 1 для нагрузки, расположенной на правом конце балки.
Для получения ра эти же данные берем для нагрузки, расположенной
на левом конце балки от£ = 1,0 до g = 0, т. е. берем эти же значения
в обратном направлении и затем складываем почленно рх и рг для всех
•начений g:
£ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Fi —0,173 —0,073 —0,010 0,034 0,081 0,145 0,247 0,404 0,634 0,959 1,393
Ра 1,393 0,959 0,634 0,404 0,247 0,145 0,081 0,034 —0,010 —0,073 —0,173
р 1,220 0,886 0,624 0,438 0,328 0,290 0,328 0,438 0,624 0,886 1,220
Умножая результаты сложения на q = 10 Т1м2, получаем оконча-
тельные значения для р:
С 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
р 12,20 8,86 6,24 4,38 3,28 2,90 3,28 4,38 6,24 8,86 12.20
g аалогично по табл. П-2 и П-3 при тех же значениях а= 250 и (3—
’ » пользуясь формулами (П-37) и (П-38), получаем окончательные
ения ординат Q и М. Эпюры р, Q и Л4 построены на рис. П-8.
35
Пример П-5. Балка в средней части несимметрично нагружена
равномерно распределенной нагрузкой q* (рис. П-9).
Требуется построить эпюры р, Q и М, если а = 50; 1Я— 0,4 И
/к= 0,9 £; b = 1 м.
Решение. По условию задачи flx= fl = 0,4; р2= fl = 0,9.
Сначала строим эпюру реактивных давлений Для этого из
табл. П-1 (а = 50 и р = 0,4) берем все значения pi от g = 0 до £ == 1
для нагрузки, расположенной на участке от х = /н= 0,4 L до х = L
Рис. П-8 Рис. II-9
(до правого конца балки). Затем из той же таблицы берем все значе-
ния р2 от £ = 0 до g = 1, соответствующие а = 50 и р = 0,9 (для на-
грузки, расположенной на участке от х = 1К= 0,9 L до х = L).
* В связи с тем, что таблицы составлены для равномерно распределенной
нагрузки, расположенной на правом конце балки, то в случае, когда нагрузка
ие доходит до ее правого конца, необходимо произвести следующее. Продолжить
заданную нагрузку до правого конца балки и соответственно на правом участке,
где нет заданной нагрузки, ввести в виде компенсации фиктивную нагрузку с
обратным знаком.
Сначала рассмотрим балку, нагруженную равномерно распределенной
нагрузкой на правом конце (на участке от х=1„ до x=L), затем рассмотрим
ту же балку, нагруженную равномерно распределенной нагрузкой с обратным
знаком на правом конце (на участке от х=1к до x=L).
Найдя для каждой нагрузки значения ординат (рх; Mj) и pz, Qz, Mi
в сечениях от Е = 0 до 5= 1 и используя принцип независимости действия сн-Ч
определим безразмерные ординаты р, Q и М в сечениях от £ = 0 до £ = 1. 1
Для нахождения истинных ординат р, Q и М в сечениях от £=0 до £===1
необходимо использовать формулы (П-ЗЗ), (11-37) и (П-38).
36
Вычитая из ординат pt соответствующие ординаты р2, получаем
ординаты Р-
£ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0,104 0,191 0,244 0,284 0,331 0,404 0,525 0,712 0,988 1,369 1,880
Р2 —0,141 —0,078 —0,032 —0,004 0,022 0,049 0,088 0,150 0,240 0,368 0,545
Р 0,245 0,269 0,276 0,288 0,309 0,355 0,437 0,562 0,748 1,001 1,335
Умножая безразмерные величины р на q, согласно формуле (П-ЗЗ)
получаем:
£ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
Р 0,245? 0,269? 0,276? 0,288? 0,309? 0,355? 0,437? 0,562? 0,748? 1,001? 1,355?
По полученным данным на рис. П-9 построена эпюра р.
Пользуясь аналогично табл. П-2 и
П-З при тех же значениях а = 50,
р = 0,4 и р = 0,9, на основании фор-
мул (П-37) и (П-38), найдем оконча-
тельные значения ординат Q и М.
Эпюры Q и М построены на рис.
П-9.
Пример П-6. Балка нагружена
равномерно распределенной нагруз-
кой q (рис. П-10).
Требуется построить эпюры реак-
тивных давлений грунта, поперечных
сил и изгибающих моментов, если
а = 300; b = 1 ж; L = 6 ж;
q = 10 Т/ж2.
Решение. По приведенным
Данным
Рис. П-10
Умножая безразмерные величины р, Q, М из табл. П-1 — П-З при
значениях а = 300 и 0 = 0 на q = 10 Т/м? [согласно формуле (11-33)1,
= Ю х 1 X 6 = 60 7 [согласно формуле (П-37)], и на qbL*=
~~ Ю х 1 х 62= 360 Т-м [согласно формуле (П-38)], получаем зна-
ения ординат р, Q и М в сечениях от g — 0 до g = 1,0.
“виду симметричности расчетной схемы вычисления значений
РДинат р, Q и М достаточно производить на половине длины балки.
эпюры р, Q и М построены на рис. 11-10.
37
ы
Таблица 11-1
Равномерно распределенная нагрузка q (рис. 11-6)
Значения р; р = pq
а ₽ Е
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 1,772 1,355 1,031 0,799 0,660 0,614 0,660 0,799 1,031 1,355 1,772
0,1 1,257 0,998 0,790 0,642 0,560 0,553 0,630 0,798 1,066 1,440 1,931
0,2 0,818 0,690 0,580 0,500 0,466 0,491 0,590 0,778 1,070 1,478 2,018
0,3 0,453 0,432 0,401 0,378 0,380 0,430 0,544 0,742 1,043 1,464 2,027
0,4 0,164 0,223 0,252 0,270 0,302 0,368 0,490 0,688 0,986 1,403 1,964
0 0,5 —0,049 0,065 0,133 0,183 0,232 0,307 0,428 0,617 0,897 1,291 1,821
0,6 —0,192 —0,048 0,045 0,111 0,170 0,246 0,358 0,529 0,779 1,132 1,608
0,7 —0,255 —0,109 —0,012 0,058 0,116 0,184 0,280 0,422 0,630 0,923 1,319
0,8 —0,246 —0,123 -0,039 0,021 0,070 0,123 0,194 0,299 0,451 0,665 0,954
0,9 —0,159 —0,085 —0,035 0,002 0,031 0,061 0,101 0,158 0,241 0,357 0,515
0 1,732 1,337 1,029 0,810 0,678 0,634 0,678 0,810 1,029 1,337 1,732
0,1 1,202 0,973 0,789 0,656 0,584 0,579 0,652 0,810 1,063 1,417 1,882
0,2 0,759 0,664 0,578 0,515 0,492 0,519 0,614 0,793 1,066 1,454 1,965
0,3 0,404 0,410 0,399 0,391 0,402 0,455 0,566 0,755 1,041 1,440 1,976
0,4 0,132 0,206 0,248 0,277 0,318 0,387 0,508 0,701 0,986 1,386 1,920
25 0,5 —0,056 0,055 0,128 0,181 0,238 0,317 0,440 0,629 0,902 1,281 1,788
0,6 —0,188 —0,049 0,043 0,108 0,170 0,247 0,360 0,532 0,781 1,131 1,600
0,7 —0,244 —0,104 —0,012 0,055 0,112 0,179 0,276 0,419 0,631 0,926 1,328
0,8 —0,231 —0,116 -0,037 0,016 0,063 0,114 0,185 0,294 0,451 0,674 0,975
0,9 —0,150 —0,081 —0,033 0,000 0,026 0,055 0,094 0,154 0,241 0,363 0,530
0 1,696 1,320 1,028 0,819 0,694 0,652 0,694 0,819 1,028 1,320 1,696
0,1 1,151 0,950 0,788 0,669 0,606 0,603 0,672 0,823 1,060 1,396 1,837
0,2 0,704 0,640 0,577 0,529 0,515 0,545 0,637 0,805 1,063 1,430 1,916
0,3 0,356 0,386 0,395 0,402 0,423 0,478 0,587 0,768 1,041 1,422 1,932
0,4 0,104 0,191 0,244 0,284 0,331 0,404 0,525 0,712 0,988 1,369 1,880
50 0,5 —0,060 0,048 0,122 0,181 0,242 0,326 0,452 0,639 0,906 1,272 1,756
0,6 -0,182 -0,048 0,040 0,106 0,168 0,247 0,362 0,534 0,784 1,130 1,594
0,7 —0,234 -0,101 -0,013 0,051 0,106 0,173 0,270 0,417 0,633 0,935 1,342
0,8 —0,220 -0,109 —0,036 0,014 0,057 0,107 0,179 0,290 0,450 0,681 0,992
0,9 —0,141 -0,078 -0,032 —0,004 0,022 0,049 0,088 0,150 0,240 0,368 0,545
0 1,634 1,292 1,025 0,835 0,721 0,683 0,721 0,835 1,025 1,292 1,634
0,1 1,066 0,915 0,786 0,694 0,642 0,644 0,708 0,840 1,054 1,357 1,758
0,2 0,614 0,601 0,576 0,555 0,554 0,589 0,674 0,825 1,058 1,387 1,830
0,3 0,279 0,351 0,393 0,422 0,458 0,518 0,622 0,788 1,037 1,383 1,849
0,4 0,054 0,163 0,236 0,295 0,354 0,434 0,554 0,733 0,990 1,343 1,810
100 0,5 —0,065 0,035 0,111 0,175 0,247 0,341 0,473 0,659 0,915 1,257 1,701
0,6 -0,176 -0,051 0,035 0,102 0,167 0,249 0,367 0,540 0,789 1,129 1,580
0,7 -0,215 —0,092 —0,011 0,047 0,099 0,173 0,280 0,413 0,633 0,940 1,355
0,8 -0,194 -0,097 -0,032 0,009 0,046 0,093 0,166 0,279 0,450 0,689 1,022
0,9 —0,122 —0,064 —0,029 —0,005 0,012 0,038 0,078 0,141 0,239 0,378 0,570
0 1,584 1,269 1,023 0,848 0,743 0,708 0,743 0,848 1,023 1,269 1,584
0,1 0,990 0,880 0,786 0,713 0,675 0,679 0,737 0,857 1,050 1,326 1,694
0,2 0,535 0,566 0,575 0,577 0,588 0,626 0,706 0,843 1,053 1,354 1,761
0,3 0,219 0,320 0,389 0,438 0,486 0,551 0,652 0,808 1,035 1,354 1,784
150 0,4 0,018 0,143 0,231 0,303 0,372 0,458 0,578 0,749 0,991 1,319 1,750
0,5 —0,065 0,025 0,100 0,171 0,252 0,354 0,492 0,677 0,924 1,243 1,649
0,6 —0,166 -0,050 0,032 0,099 0,167 0,250 0,369 0,545 0,792 1,126 1,566
0,7 —0,200 —0,085 -0,011 0,041 0,091 0,157 0,257 0,411 0,634 0,949 1,372
0,8 —0,177 -0,085 —0,030 0,006 0,037 0,082 0,155 0,272 0,448 0,703 1,049
0,9 —0,112 —0,059 —0,026 —0,008 0,007 0,030 0,069 0,136 0,238 0,387 0,592
0 1,540 1,248 1,022 0,860 0,762 0,730 0,762 0,860 1,022 1,248 1,540
0,1 0,927 0,853 0,783 0,730 0,701 0,708 0,761 0,870 1,047 1,301 1,641
0,2 0,469 0,538 0,573 0,595 0,616 0,657 0,732 0,857 1,049 1,326 1,703
0,3 0,156 0,294 0,388 0,453 0,511 0,580 0,677 0,823 1,032 1,326 1,724
0,4 —0,013 0,124 0,227 0,309 0,388 0,479 0,600 0,765 0,993 1,298 1,697
200 0,5 —0,062 0,017 0,091 0,166 0,254 0,365 0,508 0,694 0,931 1,231 1,602
0,6 -0,157 —0,050 0,029 0,095 0,163 0,251 0,375 0,551 0,795 1,124 1,553
0,7 —0,186 —0,079 —0,010 0,038 0,086 0,151 0,252 0,408 0,634 0,953 1,382
СО 0,8 —0,163 —0,077 -0,028 0,003 0,030 0,073 0,146 0,265 0,448 0,711 1,071
0,9 —0,101 —0,052 —0,026 —0,011 0,001 0,022 0,061 0,129 0,238 0,396 0,613
о
Продолжение табл. 11-1
а ₽ е
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 1,502 1,231 1,020 0,869 0,779 0,749 0,779 0,869 1,020 1,231 1,502
0,1 0,870 0,829 0,783 0,745 0,725 0,734 0,783 0,883 1,043 1,277 1,594
0,2 0,411 0,512 0,573 0,610 0,642 0,684 0,754 0,870 1,045 1,302 1,653
0,3 0,109 0,272 0,386 0,465 0,533 0,604 0,699 0,735 1,030 1,304 1,675
0 4 —0,039 0,109 0,221 0,314 0,401 0,497 0,617 0,778 0,995 1,281 1,651
250 0,5 -0,059 0,010 0,080 0,161 0,256 0,375 0,524 0,709 0,940 1,220 1,559
0,6 —0,149 —0,050 0,025 0,091 0,162 0,252 0,378 0,555 0,799 1,122 1,541
0,7 —0,173 —0,073 —0,010 0,034 0,081 0 145 0,247 0,404 0,634 0,959 1,393
0,8 —0,151 —0,071 -0,025 0,000 0,025 0,065 0,137 0,260 0,447 0,719 1,091
0,9 —0,094 -0,047 —0,023 —0,013 -0,003 0,016 0,055 0,125 0,237 0,401 0,630
0 1,468 1,215 1,019 0,878 0,794 0,766 0,794 0,878 1,019 1,215 1,468
0,1 0,822 0,808 0,784 0,758 0,745 0,756 0,801 0,892 1,040 1,256 1,554
0,2 0,359 0,490 0,571 0,625 0,664 0,708 0,774 0,879 1,043 1,280 1,609
0,3 0,066 0,251 0,382 0,476 0,551 0,625 0,717 0,846 1,030 1,287 1,634
0,4 —0,062 0,095 0,216 0,318 0,412 0,513 0,634 0,792 0,998 1,265 1,610
300 0,5 —0,051 0,005 0,072 0,155 0,257 0,383 0,537 0,723 0,946 1,211 1,519
0,6 —0,142 —0,050 0,021 0,087 0,160 0,253 0,382 0,561 0,803 1,120 1,530
0,7 —0,166 -0,072 -0,010 0,032 0,077 0,141 0,243 0,402 0,637 0,964 1,402
0,8 —0,141 —0,064 -0,025 —0,001 0,020 0,058 0,130 0,253 0,447 0,726 1,109
0,9 —0,086 —0,041 -0,021 —0,014 —0,007 0,010 0,049 0,120 0,235 0,407 0,646
0 1,440 1,202 1,018 0,886 0,806 0,780 0,806 0,886 1,018 1,202 1,440
0,1 0,781 0,791 0,783 0,770 0,763 0,775 0,817 0,900 1,037 1,239 1,519
0,2 0,313 0,469 0,570 0,636 0,682 0,728 0,792 0,890 1,049 1,263 1,5/5
0,3 0,030 о; 235 0,381 0,486 0,568 0,644 0,734 0,856 1,027 1,269 1,594
0,4 —0,080 0,084 0,213 0,322 0,422 0,527 0,650 0,802 0,999 1,250 1,572
350 0,5 —0,044 0,000 0,064 0,149 0,260 0,390 0,550 0,737 0,954 1,202 1,484
0,6 —0,132 —0,048 0,019 0,084 0,157 0,253 0,385 0,564 0,805 1,118 1,520
0,7 —0,156 -0,067 -0,010 0,030 0,074 0,137 0,240 0,400 0,636 0,967 1,408
0,8 —0,135 —0,061 —0,024 -0,004 0,015 0,052 0,125 0,250 0,448 0,733 1,127
09 —0,079 —0,037 —0,019 —0,014 —0,011 0,005 0,043 0,116 0,235 0,411 0,659
1,414 1,190 1,017 0,892 0,818 0,793 0,818 0,892 1,017 1,190 \ 1,414
0,1 I 0,743 0,774 0,778 0,780 0,781 0,792 0,830 0,907 1,034 1,224 1,489
0,2 0,272 0,451 0,570 0,647 0,700 0,747 0,806 0,897 1,038 1,247 1,540
0,3 0,000 0,221 0,380 0,494 0,582 0,660 0,748 0,864 1,026 1,253 1,560
0,4 —0,097 0,072 0,208 0,323 0,429 0,539 0,663 0,813 1,002 1,240 1,541
400 0,5 -0,035 —0,003 0,056 0,143 0,257 0,396 0,559 0,715 0,930 1,195 1,500
0,6 -0,127 -0,050 0,015 0,079 0,155 0,254 0,389 0,569 0,809 1,118 1,511
0,7 —0,146 -0,062 -0,016 0,028 0,070 0,133 0,236 0,398 0,636 0,970 1,414
0,8 —0,126 -0,056 —0,022 —0,005 0,011 0,046 0,117 0,245 0,446 0,740 1,142
0,9 -0,075 -0,034 -0,017 —0,014 —0,012 0,001 0,038 0,112 0,233 0,416 0,671
0 1,392 1,180 1,016 0,898 0,828 0,804 0,828 0,898 1,016 1,180 1,392
0,1 0,711 0,762 0,783 0,791 0,794 0,807 0,842 0,913 1,031 1,210 1,461
0,2 0,238 0,437 0,571 0,658 0,714 0,763 0,818 0,904 1,035 1,231 1,510
0,3 —0,032 0,206 0,378 0,501 0,594 0,675 0,762 0,873 1,026 1,240 1,532
0,4 —0,110 0,063 0,204 0,326 0,437 0,550 0,675 0,822 1,004 1,229 1,510
450 0,5 —0,027 —0,007 0,049 0,130 0,257 0,402 0,571 0,768 0,967 1,187 1,419
0,6 —0,120 -0,050 0,012 0,077 0,153 0,255 0,391 0,573 0,812 1,116 1,500
0,7 —0,142 -0,061 -0,010 0,026 0,066 0,130 0,234 0,398 0,638 0,973 1,422
0,8 —0,118 —0,051 —0,019 —0,006 0,008 0,041 0,112 0,240 0,445 0,743 1,154
0,9 —0,069 -0,029 —0,016 -0,015 -0,015 -0,003 0,033 0,107 0,232 0,419 0,681
0 1,372 1,171 1,015 0,903 0,836 0,814 0,836 0,903 1,015 1,171 1,372
0,1 0,680 0,749 0,784 0,800 0,807 0,821 0,853 0,918 1,028 1,197 1,436
0,2 0,212 0,427 0,573 0,667 0,729 0,777 0,831 0,909 1,031 1,215 1,480
0,3 —0,056 0,196 0,377 0,508 0,605 0,688 0,773 0,880 1,025 1,228 1,514
0,4 —0,116 0,057 0,202 0,327 0,443 0,559 0,685 0,831 1,004 1,219 1,480
500 0,5 —0,019 —0,011 0,041 0,131 0,255 0,407 0,581 0,745 0,945 1,183 1,510
0,6 -0,110 —0,048 0,011 0,073 0,151 0,255 0,393 0,577 0,813 1,114 1,480
0,7 —0,134 -0,057 -0,010 0,024 0,064 0,127 0,232 0,396 0,638 0,975 1,426
0,8 —0,108 —0,044 -0,016 -0,006 0,006 0,037 0,108 0,236 0,442 0,744 1,160
0,9 —0,063 -0,026 —0,014 -0,014 -0,010 —0,006 0,030 0,104 0,230 0,422 0,687
Таблица П-2
Равномерно распределенная нагрузка q (рис. П-6)
Значения Q ; Q = Q qbL
а 3 Е
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 0 0,055 0,074 0,065 0,037 0 -0,037 -0,065 -0,074 —0,055 0
0,1 0 0,113 0,102 0,073 0,032 -0,013 -0,054 -0,083 -0,092 -0,067 0
0,2 0 0,076 0,140 0,093 0,041 -0,012 -0,059 -0,091 -0,100 -0,074 0
0,3 0 0,044 0,085 0,124 0,062 0,002 -0,050 —0,086 -0,099 -0,074 0
0,4 0 0,020 0,043 0,069 0,098 0,031 -0,026 -0,069 -0,087 -0,068 0
0 0,5 0 0,002 0,012 0,028 0,049 0,075 0,011 -0,038 -0,062 -0,054 0
0,6 0 -0,011 —0,013 —0,004 0,011 0,031 0,061 0,004 -0,031 -0,037 0
0,7 0 -0,019 -0,025 -0,022 -0,013 0,002 0,025 0,060 0,011 -0,011 0
0,8 0 -0,018 -0,025 -0,026 -0,022 -0,012 0,004 0,028 0,065 0,020 0
0,9 0 -0,011 -0,017 -0,018 -0,017 -0,013 -0,005 0,008 0,027 0,057 0
0 0 0,052 0,070 0,061 0,035 0 -0,035 -0,061 -0,070 -0,052 0
0,1 0 0,108 0,096 0,069 0,030 -0,013 -0,052 -0,079 -0,086 —0,064 0
0,2 0 0,071 0,134 0,088 0,038 -0,012 -0,056 -0,086 -0,094 -0,069 0
0,3 0 0,040 0,081 0,120 0,060 0,002 —0,048 -0,082 -0,095 -0,070 0
0,4 0 0,016 0,040 0,066 0,097 0,031 -0,025 -0,066 -0,082 -0,064 0
25 0,5 0 0,000 0,010 0,025 0,046 0,073 0,011 -0,037 -0,060 -0,052 0
0,6 0 -0,011 -0,012 —0,004 0,011 0,031 0,061 0,004 -0,030 -0,035 0
0,7 0 -0,018 -0,024 -0,021 -0,012 0,002 0,024 0,059 0,010 -0,012 0
0,8 0 -0,017 -0,023 -0,025 -0,021 -0,012 0,003 0,027 0,063 0,019 0
0,9 0 -0,011 -0,016 -0,017 -0,017 -0,013 -0,005 0,007 0,026 0,056 0
0 0 0,050 0,066 0,059 0,033 0 -0,033 -0,059 -0,066 -0,050 0
0,1 0 0,105 0,092 0,063 0,028 -0,013 -0,050 -0,075 -0,082 -0,061 0
0,2 0 0,068 0,128 0,084 0,036 —0,012 -0,054 -0,082 -0,090 -0,066 0
0,3 0 0,037 0,077 0,116 0,057 0,002 —0,045 -0,078 -0,089 -0,067 0
0,4 0 0,015 0,038 0,063 0,095 0,031 -0,023 -0,063 -0,079 -0,061 0
50 0,5 0 0,000 0,008 0,023 0,045 0,073 0,011 —0,035 -0,058 -0,050 0
0,6 0 -0,011 -0,011 —0,004 0,011 0,031 0,061 0,005 -0,030 -0,035 0
0,7 0 -0,016 -0,022 -0,020 -0,012 0,002 0,024 0,058 0,010 -0,014 0
0,8 0 -0,016 -0,023 -0,023 -0,020 -0,012 0,002 0,025 0,061 0,018 0
0,9 0 -0,011 -0,016 -0,017 -0,016 -0,013 -0,006 0,006 0,026 0,055 0
0 0 0,046 0,061 0,053 0,031 0 -0,031 -0,053 -0,061 —0,046 0
0,1 0 0,098 0,083 0,057 0,024 —0,013 -0,046 -0,069 -0,074 -0,054 0
0,2 0 0,060 0,119 0,075 0,031 —0,012 —0,049 -0,075 -0,081 -0,060 0
0,3 0 0,031 0,069 0,109 0,054 0,002 -0,042 -0,071 -0,081 -0,061 0
0,4 0 0,012 0,032 0,058 0,092 0,030 -0,021 -0,058 -0,072 —0,056 0
100 0,5 0 -0,001 0,007 0,021 0,042 0,071 0,011 -0,033 -0,055 -0,047 0
0,6 0 -0,011 -0,011 -0,005 0,010 0,030 0,060 0,005 —0,029 -0,033 0
0,7 0 —0,014 -0,020 -0,018 -0,011 0,002 0,023 0,056 0,008 —0,014 0
0,8 0 —0,014 -0,021 -0,021 -0,019 -0,012 0,001 0,023 0,059 0,014 0
0,9 0 -0,009 -0,014 —0,016 -0,015 -0,013 —0,007 0,004 0,022 0,053 0
0 0 0,042 0,056 0,049 0,028 0 -0,028 -0,049 -0,056 —0,042 0
0,1 0 0,093 0,076 0,052 0,020 -0,012 —0,042 -0,062 -0,068 —0,049 0
0,2 0 0,055 0,112 0,069 0,028 -0,012 -0,046 -0,069 -0,074 -0,055 0
0,3 0 0,028 0,063 0,104 0,050 0,002 -0,038 -0,066 -0,075 -0,056 0
0,4 0 0,009 0,028 0,053 0,090 0,029 -0,020 -0,053 -0,068 -0,053 0
150 0,5 0 -0,002 0,004 0,018 0,039 0,069 0,011 -0,030 —0,052 —0,044 0
0,6 0 —0,011 -0,011 -0,005 0,008 0,029 0,060 0,005 -0,029 -0,033 0
0,7 0 -0,014 —0,018 -0,017 —0,010 0,002 0,022 0,055 0,006 -0,014 0
0,8 0 —0,013 -0,020 —0,019 —0,018 -0,012 0,000 0,021 0,056 0,013 0
0,9 0 -0,007 -0,013 -0,013 -0,014 -0,012 -0,008 0,003 0,021 0,051 0
0 0 0,039 0,052 0,045 0,026 0 -0,026 —0,045 -0,052 -0,039 0
0,1 0 0,090 0,071 0,047 0,018 —0,012 -0,040 -0,057 -0,063 —0,046 0
0,2 0 0,050 0,107 0,065 0,026 -0,011 -0,042 -0,063 -0,069 -0,050 0
0,3 0 0,023 0,057 0,099 0,048 0,002 —0,036 -0,061 —0,069 -0,051 0
0,4 0 0,006 0,024 0,050 0,088 0,029 -0,018 -0,050 —0,062 —0,048 0
200 0,5 0 —0,002 0,003 0,016 0,037 0,068 0,011 -0,030 —0,049 -0,041 0
0,6 0 —0,010 —0,011 -0,005 0,008 0,029 0,060 0,005 -0,028 -0,033 0
0,7 0 —0,012 —0,017 —0,016 -0,010 0,002 0,022 0,054 0,005 -0,016 0
0,8 0 -0,011 -0,017 —0,018 -0,016 -0,011 0,000 0,020 0,055 0,011 0
0,9 0 -0,007 -0,011 —0,012 -0,013 -0,012 -0,009 0,002 0,019 0,051 0
Л. W
Продолжение табл. П-2
а ₽ Е
0 0,1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 1,0
0 0 0,036 0,048 0,042 0,024 0 —0,024 -0,042 —0,048 -0,036 0
0,1 0 0,085 0,066 0,042 0,015 -0,012 -0,037 -0,054 -0,058 -0,043 0
0,2 0 0,046 0,101 0,060 0,023 -0,011 -0,039 -0,058 -0,063 —0,046 0
0,3 0 0,019 0,053 0,095 0,045 0,002 -0,033 -0,057 -0,065 -0,047 0
0,4 0 0,004 0,021 0,048 0,086 0,028 -0,017 -0,048 -0,059 -0,046 0
250 0,5 0 -0,003 0,002 0,014 0,035 0,066 0,011 -0,028 -0,046 -0,039 0
0,6 0 -0,010 -0,011 -0,005 0,007 0,028 0,059 0,005 -0,027 -0,032 0
0,7 0 -0,012 -0,015 -0,015 —0,009 0,002 0,021 0,053 0,003 -0,016 0
0,8 0 -0,011 -0,015 -0,017 -0,015 -0,011 -0,001 0,018 0,053 0,011 0
0,9 0 -0,006 -0,010 -0,012 -0,013 -0,012 —0,009 0,000 0,018 0,048 0
0 0 0,034 0,045 0,039 0,023 0 -0,023 -0,039 —0,045 -0,034 0
0,1 0 0,082 0,061 0,038 0,013 -0,012 -0,035 —0,050 —0,053 —0,040 0
0,2 0 0,043 0,096 0,055 0,021 —0,011 -0,037 -0,055 —0,060 —0,043 0
0,3 0 0,017 0,049 0,092 0,043 0,002 -0,031 —0,054 —0,061 —0,045 0
0,4 0 0,002 0,018 0,044 0,084 0,027 -0,015 —0,044 —0,056 —0,044 0
300 0,5 0 —0,003 0,001 0,012 0,033 0,065 0,011 -0,026 —0,043 —0,036 0
0,6 0 —0,010 -0,011 -0,006 0,007 0,027 0,059 0,006 —0,027 —0,032 0
0,7 0 —0,011 -0,015 -0,014 -0,008 0,002 0,021 0,052 0,003 —0,017 0
0,8 0 —0,009 —0,014 —0,017 —0,014 -0,011 -0,002 0,018 0,050 0,009 0
0,9 0 —0,006 —0,009 —0,011 -0,012 -0,012 —0,010 —0,001 0,017 0,048 0
0 0 0,032 0,042 0,037 0,021 0 —0,021 —0,037 —0,042 —0,032 0
0,1 0 0,079 0,058 0,036 0,010 -0,011 —0,032 -0,046 —0,050 —0,037 0
0,2 0 0,040 0,092 0,052 0,019 -0,011 —0,035 -0,052 —0,056 -0,042 0
0,3 0 0,014 0,045 0,088 0,041 0,002 -0,029 —0,050 —0,057 —0,042 0
0,4 0 0,000 0,015 0,043 0,083 0,027 -0,014 —0,043 —0,053 —0,040 0
350 0,5 0 —0,003 0,001 0,010 0,031 0,063 0,010 -0,026 -0,041 —0,034 0
0,6 0 —0,009 —0,011 -0,006 0,007 0,027 0,059 0,006 —0,027 —0,031 0
0,7 0 —0,011 —0,015 -0,013 —0,008 0,002 0,020 0,051 0,003 -0,017 0
0,8 0 -0,009 —0,014 -0,015 -0,014 -0,011 -0,002 0,016 0,050 0,008 0
0,9 0 —0,005 —0,008 —0,009 —0,011 —0,011 —0,010 —0,001 0,016 0,047 0
0 0 0,030 0,040 0,034 0,020 0 —0,020 —0,034 —0,040 -0,030 0
0,1 0 0,076 0,054 0,034 0,010 —0,011 -0,030 —0,044 —0,046 0,034 0
0,2 0 0,036 0,088 0,049 0,017 —0,011 -0,033 -0,049 —0,052 —0,039 0
0,3 0 0,012 0,042 0,086 0,040 0,002 —0,028 —0,048 —0,054 —0,040 0
0,4 0 —0,001 0,013 0,040 0,082 0,026 —0,014 —0,040 —0,049 —0,037 0
400 0,5 0 -0,003 0,000 0,010 0,030 0,062 0,010 —0,026 —0,040 -0,033 0
0,6 0 —0,008 —0,011 —0,006 0,006 0,026 0,058 0,006 —0,026 —0,030 0
0,7 0 —0,010 —0,014 —0,013 —0,008 0,002 0,020 0,051 0,002 —0,018 0
0,8 0 —0,008 —0,013 -0,014 -0,013 -0,011 —0,003 0,015 0,049 0,006 0
0,9 0 —0,004 —0,007 —0,008 —0,010 —0,011 —0,010 —0,002 0,015 0,046 0
0 0 0,028 0,038 0,033 0,019 0 -0,019 —0,033 —0,038 —0,028 0
0,1 0 0,074 0,051 0,029 0,009 —0,011 —0,029 —0,043 -0,045 -0,032 0
0,2 0 0,035 0,085 0,047 0,017 —0,010 —0,031 —0,045 —0,049 —0,037 0
0,3 0 0,010 0,039 0,083 0,038 0,002 —0,026 —0,045 —0,051 —0,038 0
0,4 0 —0,002 0,012 0,038 0,081 0,026 —0,013 —0,038 —0,047 -0,036 0
450 0,5 0 —0,003 0,000 0,010 0,028 0,061 0,010 —0,024 —0,038 —0,030 0
0,6 0 -0,008 -0,010 —0,006 0,006 0,026 0,058 0,006 -0,025 —0,030 0
0,7 0 —0,010 -0,013 —0,012 —0,008 0,002 0,020 0,050 0,001 -0,018 0
0,8 0 —0,008 —0,011 —0,013 —0,012 —0,010 —0,003 0,014 0,047 0,006 0
0,9 0 —0,004 —0,007 —0,009 —0,010 —0,011 —0,010 —0,004 0,013 0,046 0
0 0 0,026 0,036 0,031 0,018 0 —0,018 —0,031 —0,036 —0,026 0
0,1 0 0,072 0,049 0,028 0,008 —0,011 —0,028 —0,042 —0,045 —0,032 0
0,2 0 0,031 0,083 0,045 0,015 —0,010 —0,029 —0,043 —0,047 -0,035 0
0,3 0 0,008 0,037 0,081 0,037 0,002 —0,025 —0,043 —0,049 —0,036 0
0,4 0 —0,003 0,011 0,037 0,080 0,025 —0,018 —0,037 —0,045 —0,035 0
500 0,5 0 —0,003 0,000 0,009 0,027 0,060 0,009 —0,023 -0,036 -0,028 0
0,6 0 —0,008 —0,009 —0,006 0,005 0,025 0,057 0,006 —0,025 —0,030 0
0,7 0 —0,009 —0,013 —0,012 —0,008 0,002 0,020 0,050 . 0,001 —0,019 0
0,8 0 —0,008 —0,011 -0,012 -0,011 —0,010 -0,003 0,013 0,047 0,006 0
0,9 0 —0,004 —0,007 —0,008 —0,010 —0,011 —0,010 —0,004 0,011 0,046 0
Таблица Н-З
Равномерно распределенная нагрузка q (рис. II-6)
Значения М\ М =МдЬ1?
а ₽ Е
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 0 0,003 0,010 0,017 0,022 0,024 0,022 0,017 0,010 0,003 0
0,1 0 0,006 0,017 0,026 0,030 0,031 0,028 0,021 0,013 0,004 0
0,2 0 0,005 0,015 0,026 0,033 0,034 0,031 0,023 0,014 0,004 0
0,3 0 0,002 0,008 0,019 0,028 0,031 0,029 0,022 0,013 0,005 0
0 0,4 0 0,001 0,005 0,010 0,018 0,024 0,024 0,019 0,011 0,005 0
0,5 0 0,000 0,001 0,002 0,006 0,012 0,016 0,014 0,009 0,003 0
0,6 0 0,000 —0,001 —0,002 -0,002 -0,001 0,004 0,007 0,005 0,002 0
0,7 0 0,000 —0,001 -0,005 —0,007 -0,008 —0,007 -0,003 -0,001 0,001 0
0,8 0 0,000 —0,003 —0,006 -0,009 —0,010 —0,011 -0,009 —0,004 -0,001 0
0,9 0 0,000 -0,002 -0,004 -0,005 —0,007 —0,008 -0,009 -0,007 -0,001 0
0 0 0,003 0,009 0,016 0,021 0,023 0,021 0,016 0,009 0,003 0
0,1 0 0,006 0,017 0,024 0,029 0,030 0,027 0,019 0,011 0,004 0
0,2 0 0,004 0,014 0,025 0,032 0,033 0,029 0,022 0,013 0,004 0
0,3 0 0,002 0,008 0,018 0,027 0,030 0,028 0,021 0,013 0,004 0
25 0,4 0 0,001 0,004 0,009 0,017 0,023 0,023 0,018 0,011 0,004 0
0,5 0 0,000 0,001 0,002 0,005 0,011 0,015 0,013 0,008 0,003 0
0,6 0 0,000 —0,001 -0,002 -0,002 -0,001 0,004 0,007 0,005 0,002 0
0,7 0 0,000 —0,001 —0,005 —0,007 -0,008 —0,007 —0,003 —0,001 0,001 0
0,8 0 0,000 -0,003 -0,006 —0,008 -0,009 —0,010 —0,009 —0,004 —0,001 0
0,9 0 0,000 —0,002 -0,004 —0,006 -0,007 —0,008 -0,009 -0,007 -0,002 0
0 0 0,003 0,009 0,016 0,020 0,021 0,020 0,016 0,009 0,003 0
0,1 0 0,006 0,015 0,023 0,027 0,028 0,025 0,018 0,010 0,003 0
0,2 0 0,004 0,013 0,023 0,030 0,031 0,027 0,020 0,012 0,004 0
0,3 0 0,002 0,007 0,017 0,025 0,028 0,027 0,019 0,012 0,004 0
50 0,4 0 0,001 0,004 0,009 0,016 0,022 0,022 0,018 0,011 0,004 0
0,5 0 0,000 0,000 0,002 0,005 0,011 0,015 0,013 0,008 0,003 0
0,6 0 0,000 -0,001 —0,002 —0,002 -0,001 0,004 0,007 0,005 0,002 0
/о., /о 0,000 —0,001 —0,005 —0,007 —0,007 —0,007 ' -0,003 | —0,001 \ 0,001 \ 0
0,8 0 0,000 -0,003 —0,006 -0,008 —0,009 -0,010 -0,009 -0,004 -0,001 ’ 0
0,9 0 0,000 -0,002 -0,003 -0,005 —0,007 -0,008 -0,008 —0,007 —0,002 0
0 0 0,002 0,008 0,014 0,018 0,020 0,018 0,014 0,008 0,002 0
0,1 0 0,006 0,015 0,022 0,026 0,026 0,023 0,016 0,010 0,003 0
0,2 0 0,003 0,012 0,022 0,027 0,028 0,025 0,019 0,011 0,003 0
0,3 0 0,002 0,006 0,015 0,024 0,027 0,024 0,018 0,011 0,003 0
100 0,4 0 0,001 0,003 0,007 0,015 0,021 0,021 0,016 0,010 0,003 0
0,5 0 0,000 0,000 0,001 0,005 0,010 0,014 0,013 0,008 0,002 0
0,6 0 0,000 -0,001 —0,002 -0,002 -0,001 0,004 0,007 0,005 0,002 0
0,7 0 0,000 —0,001 —0,005 -0,006 —0,007 -0,006 —0,002 0,000 0,001 0
0,8 0 0,000 —0,003 -0,005 —0,007 —0,009 -0,010 —0,008 -0,004 —0,001 0
0,9 0 0,000 —0,001 -0,003 -0,005 -0,006 —0,007 -0,007 -0,006 -0,002 0
0 0 0,002 0,007 0,013 0,017 0,018 0,017 0,013 0,007 0,002 0
0,1 0 0,005 0,014 0,020 0,024 0,024 0,021 0,015 0,009 0,003 0
0,2 0 0,003 0,011 0,020 0,025 0,026 0,024 0,017 0,009 0,003 0
0,3 0 0,001 0,005 0,014 0,022 0,024 0,022 0,016 0,010 0,003 0
150 0,4 0 0,001 0,002 0,007 0,014 0,019 0,019 0,015 0,009 0,003 0
0,5 0 0,000 0,000 0,001 0,004 0,009 0,013 0,012 0,007 0,002 0
0,6 0 0,000 -0,001 —0,002 —0,002 -0,001 0,003 0,006 0,005 0,002 0
0,7 0 0,000 —0,001 —0,005 -0,006 —0,006 -0,005 -0,002 -0,001 0,001 0
0,8 0 0,000 —0,002 -0,005 —0,006 -0,008 —0,009 —0,008 -0,004 -0,001 0
0,9 0 0,000 —0,001 —0,002 —0,004 —0,006 -0,007 —0,007 -0,006 -0,002 0
0 0 0,002 0,007 0,011 0,015 0,017 0,015 0,011 0,007 0,002 0
0,1 0 0,005 0,013 0,019 0,022 0,022 0,019 0,014 0,008 0,003 0
0,2 0 0,003 0,011 0,019 0,024 0,024 0,022 0,016 0,008 0,003 0
0,3 0 0,001 0,005 0,013 0,020 0,022 0,021 0,015 0,009 0,003 0
200 0,4 0 0,001 0,002 0,005 0,012 0,017 0,018 0,014 0,009 0,003 0
0,5 0 0,000 0,000 0,000 0,003 0,009 0,012 0,011 0,007 0,002 0
0,6 0 0,000 -0,001 —0,002 -0,002 -0,001 0,003 0,006 0,005 0,002 0
0,7 0 0,000 —0,001 —0,004 -0,005 -0,006 —0,005 -0,002 -0,001 0,001 0
0,8 0 0,000 —0,002 —0,004 —0,006 —0,007 —0,008 —0,007 —0,004 —0,001 0
0,9 0 0,000 -0,001 —0,002 —0,004 —0,005 —0,006 —0,007 -0,006 -0,002 0
0 0 0,002 0,006 0,010 0,014 0,015 0,014 0,010 0,006 0,002 0
0,1 0 0,004 0,012 0,017 0,020 0,020 0,017 0,013 0,007 0,002 0
00
Продолжение табл, П-З
а Е
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,2 0 0,002 0,010 0,017 0,022 0,022 0,019 0,015 0,008 0,003 0
0,3 0 0,001 0,004 0,012 0,018 0,020 0,019 0,015 0,009 0,003 0
250 0,4 0 0,001 0,002 0,005 0,012 0,017 0,017 0,013 0,008 0,002 0
0,5 0 0,000 0,000 0,000 0,002 0,008 0,012 0,011 0,007 0,002 0
0,6 0 0,000 —0,001 -0,002 —0,002 —0,001 0,003 0,006 0,005 0,002 0
0,7 0 0,000 -0,001 -0,004 -0,005 -0,005 —0,004 -0,002 -0,001 0,001 0
0,8 0 0,000 —0,002 —0,004 —0,005 —0,006 -0,007 -0,007 -0,004 —0,001 0
0,9 0 0,000 —0,001 —0,002 —0,004 —0,005 —0,006 —0,007 —0,006 —0,003 0
0 0 0,002 0,006 0,010 0,013 0,014 0,013 0,010 0,006 0,002 0
0,1 0 0,004 0,011 0,016 0,018 0,018 0,016 0,012 0,006 0,002 0
0,2 0 0,002 0,010 0,016 0,021 0,021 0,018 0,014 0,007 0,003 0
300 0,3 0 0,001 0,003 0,011 0,017 0,019 0,018 0,014 0,008 0,003 0
0,4 0 0,000 0,001 0,005 0,012 0,016 0,016 0,012 0,007 0,002 0
0,5 0 0,000 0,000 0,000 0,003 0,007 0,010 0,010 0,006 0,002 0
0,6 0 0,000 -0,001 -0,003 -0,003 —0,001 0,003 0,006 0,005 0,002 0
0,7 0 0,000 —0,001 —0,003 -0,004 —0,005 —0,004 -0,002 —0,001 0,001 0
0,8 0 0,000 —0,002 —0,004 -0,005 —0,006 -0,007 -0,006 —0,004 -0,001 0
0,9 0 0,000 -0,001 -0,002 -0,003 -0,004 —0,005 -0,006 -0,006 -0,003 0
0 0 0,002 0,006 0,009 0,012 0,013 0,012 0,009 0,006 0,002 0
0,1 0 0,004 0,011 0,015 0,018 0,017 0,015 0,011 0,006 0,002 0
0,2 0 0,002 0,010 0,015 0,019 0,020 0,017 0,013 0,007 0,003 0
0,3 0 -0,001 0,003 0,010 0,016 0,018 0,017 0,013 0,007 0,003 0
350 0,4 0 -0,001 0,001 0,004 0,010 0,015 0,015 0,012 0,006 0,002 0
0,5 0 -0,001 -0,001 0,000 0,003 0,007 0,010 0,010 0,006 0,002 0
0,6 0 -0,001 -0,002 -0,003 -0,003 -0,001 0,003 0,006 0,005 0,002 0
0,7 0 -0,002 -0,003 —0,004 -0,005 -0,005 -0,004 -0,002 -0,001 0,001 0
0,8 0 -0,001 -0,002 -0,004 —0,005 -0,006 -0,007 -0,006 -0,004 -0,001 0
0,9 0 0,000 —0,001 -0,002 -0,003 -0,004 -0,005 -0,006 -0,006 -0,003 0
у
0 0 0,002 0,006 0,009 0,012 0,013 0,012 0,009 0,006 0,002 0
0,1 0 0,004 0,010 0,015 0,016 0,016 0,015 0,010 0,006 0,002 0
0,2 0 0,001 0,008 0,014 0,018 0,018 0,016 0,012 0,006 0,002 0
0,3 0 —0,001 0,003 0,009 0,015 0,017 0,016 0,012 0,007 0,002 0
400 0,4 0 —0,001 0,000 0,003 0,009 0,014 0,014 0,012 0,006 0,002 0
0,5 0 —0,001 -0,001 0,000 0,003 0,007 0,010 0,009 0,006 0,002 0
0,6 0 —0,001 -0,002 —0,003 -0,003 -0,001 0,003 0,006 0,005 0,002 0
0,7 0 —0,001 -0,002 -0,003 -0,004 —0,005 -0,004 -0,002 —0,001 0,001 0
0,8 0 —0,001 -0,002 -0,003 -0,004 —0,005 -0,006 -0,006 —0,004 —0,001 0
0,9 0 0,000 -0,001 —0,002 —0,003 —0,004 —0,005 -0,006 —0,006 —0,003 0
0 0 0,002 0,006 0,009 0,011 0,012 0,011 0,009 0,006 0,002 0
0,1 0 0,004 0,010 0,014 0,016 0,015 0,014 0,010 0,006 0,002 0
0,2 0 0,001 0,008 0,014 0,017 0,017 0,015 0,012 0,006 0,002 0
0,3 0 —0,001 0,002 0,009 0,014 0,016 0,015 0,012 0,007 0,002 0
450 0,4 0 —0,001 0,000 0,002 0,008 0,014 0,014 0,012 0,006 0,002 0
0,5 0 —0,001 —0,001 0,000 0,002 0,006 0,009 0,008 0,006 0,002 0
0,6 0 —0,001 —0,002 —0,003 -0,003 -0,001 0,003 0,006 0,005 0,002 0
0,7 0 —0,001 -0,002 -0,003 —0,004 —0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0,001 0
0,8 0 —0,001 —0,002 -0,003 —0,004 —0,005 -0,006 -0,006 —0,004 —0,001 0
0,9 0 0,000 -0,001 —0,002 -0,003 -0,004 -0,005 -0,006 -0,006 —0,003 0
0 0 0,002 0,005 0,008 0,010 0,011 0,010 0,008 0,005 0,002 0
0,1 0 0,004 0,010 0,014 0,015 0,015 0,013 0,009 0,005 0,002 0
0,2 0 0,001 0,007 0,013 0,016 0,016 0,013 0,010 0,006 0,002 0
0,3 0 —0,001 0,002 0,008 0,013 0,016 0,014 0,011 0,006 0,002 0
500 0,4 0 —0,001 0,000 0,002 0,008 0,013 0,013 0,011 0,005 0,002 0
0,5 0 —0,001 -0,001 0,000 0,002 0,006 0,009 0,008 0,005 0,002 0
0,6 0 —0,001 -0,002 -0,003 -0,003 -0,001 0,003 0,006 0,004 0,002 0
0,7 0 —0,001 —0,002 -0,003 -0,003 -0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0,001 0
0,8 0 —0,001 -0,002 -0,003 -0,003 —0,004 -0,005 -0,005 -0,003 —0,001 0
0,9 0 0,000 -0,001 -0,002 -0,003 —0,004 -0,005 -0,006 —0,006 —0,003 0
ГЛАВА III
РАСЧЕТ БАЛКИ, ЛЕЖАЩЕЙ
НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ,
НАГРУЖЕННОЙ СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ
СИЛАМИ
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ
ДЕЙСТВИЯ НА БАЛНУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ
СИЛ
Пользуясь общими формулами из главы I, выведенными для произ-
вольных нагрузок, получаем общие формулы для сосредоточенных
сил (рис. Ш-1).
Рис. Ш-1
Параметры а0, alt а2 и as определяем по следующим формулам:
(8252 — 34а) — — 13 440Ва
а0 =------------------------------------;
° 13 440 + 29а
(5188 + 63а) — SPZ 4- 13 440Ва
ад __________________L_________________.
3 — 13 440 + 29а
(1280 — а) — (2 S P£ai — SPj) — 8Na
fli __ ______________L_________________________
3 — 2048 +a
(384 + a) 4- (2 XPfi3l - XPi) + 4Na
__ __________L__________________________
10 ~ 2048 + a
(III-l)
50
Реактивные давления на балку со стороны грунта определяем по
формУле (II-16).
Поперечные силы:
Q = (2| - 1)-(10at + За3) + -1- v Pi (1 _ р8.)1 +
+ 2at + 8а2 (-^=^ + 48а3 L - 2 Т^Р,. (Ш-2)
Изгибающие моменты:
м = Ыг(10а‘-5fl2 + Заз) + |т- °“
—iio" (10а‘+ 3°з) + Т s Pi (1 “ ₽»*)] +
+ 2а1 + 8 (Lz£^ + 48а <Lz£^ _
1 3! 2 41 3 5!
Вспомогательные члены*:
w = тгго’52^(°.5-рзг)3; (Ш-4)
оь
В = -4- [2 2 Pi (1 - ₽3i)4 - 2 Pi (1 - ₽»*)] - W-, (Ш-5)
4оЬ
7V = _L {iy 2p._2Pi(1 _рзг)} **. (Ш-6)
§ 1. Формулы для расчета балки длиной L
и шириной Ь = 1 м, нагруженной
посередине сосредоточенной силой Р
(рис. 111-2)
Пользуясь формулам! (11-20), (Ш-1) — (Ш-6), получаем пара-
метры: п0 Па 8252 + 71а Р ' ~ 13 440 +29а L ' 5188 — 42а Р , (Ш-7)
_____ 3 13 440 + 29а L ' al = а3 — 0. j
* Величина W равняется нулю при 1а1 > — или ₽3/ >
** Первый член равняется нулю, если все силы приложены на правой
Половине балки.
51
Реактивные давления на балку со стороны грунта:
рх= а0+4а2(| — 0,5)2. (Ш-а|
Поперечные силы:
Q = ^V-(2g2-3g+l)L + Pg-ro,5P. (Ш-91
О
Изгибающие моменты:
M = а^ _ 1)2 PL _ Го 5 pL _ 0>5) (ПЬ 1Ч
о 2
РЕ=о,2 = (°>614 + 4 • 1,158 • 0,09) -£- = 1,031 2L
Ре=о,з = (О,614 + 4 • 1,158 - 0,04) -у =0,799-у;
Ре=ол = (°>614 + 4 1,158 • 0,01) -j- = 0,660 -у;
рЕ=0 5 = (0,614 + 4 • 1,158 • 0) + = 0,614-4 .
* Lt if
05L____JP
Зт>рар
Пример III-1. В середине балки
длиной L и шириной b = 1 м, лежа-
щей на сплошном упругом основании,
приложена вертикальная сосредоточен-
ная сила Р (рис. Ш-2).
Требуется построить эпюры реактив*
ных давлений грунта, поперечных сил
и изгибающих моментов, если
а = 2^ = 0.
EI
Решение. 1. Пользуясь фор-
мулами (Ш-7), находим параметра
а0 и а2;
Эпюра реактивных давлений р построена на рис. Ш-2.
3. По формуле (II1-9) находим величины поперечных сил:
@£=0,1 = | 2- 1,106-и,(2.0,12 — 3 • 0,1 + 1) 4- 0,1 j Р = 0,155Р;
@£=0,2 = 2- 1,158-0,2 0 22 _ з . 0 2 + 1) + 0,21 Р = 0.274Р; 3 J
@£=0,3 = | 2- 1,158-0,3 0>32 _ з . о,3 4- 1) 4- 0,з] Р = 0.365Р;
@Е=0,4 = 2- 1,158-О^ (2 0 42 _ з . 0>4 4- 1) 4- 0,4] Р = 0.437Р;
@£=0,5 = 2- 1,158-0,5_ 0 52 _ з 0 5 4. 1) 4. 0,5] Р = 0,5Р.
8252 + 71а р
а0 =---------- • — =
° 13 440 + 29а L
= 0,614—;
13 440 L L
Эпюра Q построена на рис. Ш-2.
4. Пользуясь формулой (Ш-10), находим величины изгибающих
моментов:
а2 5188 —42а Р 5188 Р „ оос Р
— =-------------- • — =--------- • — = U,ооо — ;
3 13 440 + 29а L 13 440 L L
а2 = 1,158 —.
2 L
2. По формуле (Ш-8) находим реактивные давления грунта:
РЕ=о = Яо + 4а2(£ — 0,5)2 = а0 + а2 = (0,614 4~ 1,158) -у =
- 1 772 -L ;
L
Pe=o.i = (°>614 + 4 • 1,158-0,16)-у = 1,355 -у;
^£=0,1 = | Г 1,158(0,1)2 (01 _ /)2 + (0,1)21 3 2 J PL = 0.005PL;
^£=0,2 = | Г 1,158(0,2)* (0 2 _ /)2 4- (°.2)21 3 2 J PL = 0.027PL;
^£=0,3 = | J 1,158(0,3)* (0 3 _ /)2 + (0,3)» j PL = 0.060PL;
^£=0,4 — Г 1,158(0,4)* ,0 4 _ /)2 (0,4)*-] L 3 ' ’ '' 2 J \PL = 0.100PL;
^£=0,5 = Г1.1И(0.6)-(0|5_;),+ |p£ = 0,149PL.
Эпюра М построена на рис. Ш-2.
52
53
§ 2. Формулы для расчета балки длиной L
и шириной b = 1 м, нагруженной
сосредоточенной силой Р, расположенной
в произвольном месте по длине балки
(рис. 111-3)
Пользуясь общими формулами (1-38) — (1-40), получаем пара
метры:
-₽„)}£*. (Ш-13)
Вспомогательные члены:
В = —^- [2(1 -р3)4-(1-^з)- 8Г₽*=°'5(0,5-Ш- (Ш-14)
48L L
n = Т [г°3”0'5 1-0- &]•
(III-15)
р
(8252 — 34а) — — 13440 Ва
а° = 13440 + 29а ’
Р
(5188 — 63а) — + 13440 Ва
I-t
~ = 13440 + 29а ’ —
р (1П-1|
(2₽3 — 1) (1280 —а) — 8Л/а
Qi L
3 —' 2048 + а ’
. (2[33 - 1) (384 + а) 4- + 4Na
сз ___ _________________L________
10 “ 2048 + а
Для определения реактивных давлений грунта на балку испоЛЯ
зуем формулу (П-16).
Поперечные силы:
Q = _ J) (i°ai + Заз) + 21(1 _ рз)] +
+ 2a, + 8п2 (£~°’5)3 + 48a3 - Т Г₽> Р) L- (Ш-1*
Изгибающие моменты:
Пример III-2. Балка длиной L и ши-
риной b = 1 м нагружена сосредоточен-
ной силой Р, приложенной на расстоя-
нии ₽з= 0,7 от левого конца (рис. Ш-4).
Требуется построить эпюры реактив-
ных давлений грунта, поперечных сил и
изгибающих моментов, если a = 0.
Решение. 1. Пользуясь форму-
лами (Ш-14) и (Ш-15), получаем:
В = — [2(1 — 0,7)4 —
48L
_(]_ 0,7) —0] = 0,0059 —;
N = [0 —(1—0,7)]— =—0,3.
2. По формулам (Ш-11)
р
(8252 — 34a) — — 13 440 Ва
а° = 13 440 + 29a
8252-у-
= -13 44^ = °>614 ТГ •>
Рис. II1-4
Р Р
(5188 + 63a) — + 13 440 Ва 5188 —
«г Т _ L _________ р опг _Р_ .
“3“ - 13 440 + 29a 13 440 — V,OOU L ’
a2 = 1,158 — ;
2 l
Р Р
(2₽s — 1)(1280 — a) — — 8Na (2 - 0,7—1)1280 —
aY L _ Ь
~3“ — 2048 + a — 2048
ж = |дГ(10“‘-5“’ + 3о’) + [ч-<Е“1)—й-(10°1 + 3“.) +
+£ (1 - М6 +2о- -
Ь J ZI о! 41
512
2048
— = 0,250—;
L L
at = 0,75 -y-;
54
55
(2₽s-l)(384 4-a)-^- + 4Wa (2,% - 1) 384
as _ L L
10 — 2048 + a ~ ~ 2048 —
P
(2 - 0,7—1)384 —
=--------2048------= 0.0754;
a =0,75 —.
3 L
3. Подставляем полученные значения a0, а1г a2 и a3 в формулу
(П-16):
p£ =[0,614+ 1.500G—0,5)+ 4,632 (^ —0,5)2 +6,000^—0,5)3]
Реактивные давления грунта в различных точках равны:
р£=0 = 10,614 — 0,75 + 1,158 — 0,75] — = 0,272 —;
L L
Ре=о,2 = 1°’614 + !’5 (°’2 — °’5) + 4’632 (°>2 — °’5)2 + 6,000 (°,2 Ч
— 0,5)3]— = о,419—;
рЕ=04= [0,614+ 1,5 (0,4 —0,5)+ 4,632 (0,4 —0,5)2 +6,000 (0,4—
— 0,5)3] — - 0,504 —;
’ 1 L L
Р£=о.5 = 0,6144;
Р£=0.6 = [0,614 + 1,5 (0,6 — 0,5) + 4,632 (0,6 — 0,5)2 + 6,000 (0,6 —
— 0,5)3]— = 0 816—;
' L L
p^s = [0,614 + 1,5 (0,8 — 0,5) + 4,632 (0,8 — 0,5)а + 6,000(0,8 —
— 0,5)3] _Р_ = 1,643 — ;
’ L L
Pi=l = [0,614+ 1,5(1— 0,5) + 4,632(1— 0,5)2 + 6,000(1 —
— 0,5)3] — = 3,272 — .
’ J L L
Эпюра реактивных давлений грунта р показана на рис. II1-4.
4. Для построения эпюры поперечных сил Q воспользуемся фор-
мулой (Ш-12):
Q = [0,307 (2g — 1) + 0,2196 + 0,75 (g — 0,5)2 + 1,544 (Е — 0,5)3 +
+ 1,50 (g — 0,5)4] Р— Гр Р.
56
Величины поперечных сил в различных сечениях:
Qe„ = Г— 0,307 + 0,2196 + —1^1 + -Ы] р = 0;
Е=о L 4 8 16 J
Q -0.2 = 10’307 (°>4 — 0 — °-2196 + °>75 (°’2 — °’5)2 + Ь544 (°-2 —
— 0,5)3+ 1,5 (0,2 — 0,5)*] Р = 0.07257Р;
Q. „ ч = Ю,307 (2-0,5 — 1) + 0,2196] Р = 0.2190Р;
Q£=07 = [ 0,307 (2-0,7 — 1) + 0,2197 + 0,75-0,22 + 1,544-0,23 +
+ 1,5-0,24 — 0,5] Р = 0.3866Р;
Q£=l = [0,307 (2 — 1) + 0,2196 + 0,75 - 0,52 + 1,544 0,53 +
+ 1,5- 0,54 — 1] Р = 0.
Эпюра поперечных сил Q показана на рис. Ш-4.
5. Для построения эпюры изгибающих моментов М воспользуем-
ся формулой (Ш-13). Подставляя в нее значения а0, аъ а2 и а3, после
некоторых преобразований получаем
М = {0,0165 + 0,307 (£ — !)£— 0,0812 £ + 0,25 (£ — 0.5)3 +
4- 0,386 (£ — 0,5)4 + 0,3 (£ — 0,5)Б + [0,3 — Гр> (£ — 0,7)]} PL.
Величины изгибающих моментов в различных сечениях:
М, _ = [0,0165----0^ ^386 _ 0^3001^ =()
t=0 [ 8 16 32 J
МЕ=о,2 = {0,0165 — [0,307 (0,2 — 1) + 0,0812] 0,2 + 0,25 (0,2 — 0,5)3 +
+ 0,386 (0,2 — 0,5)4 + 0,300 (0,2 — 0,5)6} PL = 0,007 PL;
/ИЕ=Ол = {0,0165 + [0,307 (0,4 — 1) + 0,0812] 0,4 + 0,25 (0,4 — 0,5)3 +
+ 0,386 (0,4 — 0,5)4 + 0,300 (0,4 — 0,5)Б] PL = 0,03045 PL;
Л1Е=0 Б = {0,0165 + [— 0,307 • 0,5 + 0,2196] 0,5} PL = 0,0498 PL;
Л4е=0 7 = {0,0165 4- [— 0,307 • 0,3 + 0,02196 10,7 + 0,25 • 0,04 +
+ 0,386 • 0,008 + 0,300 • 0,00016} PL = 0,1080 РЦ
МЕ=1 = [0,0165 + 0,2196 + 0,25 (1 — 0,5)3 + 0,386 (1 — 0,5)4 +
+ 0,300(1—0,5)Б—(1—0,7)] РР = 0.
Эпюра изгибающих моментов построена на рис. Ш-4.
Пример 111-3. Железобетонная балка прямоугольного сечения,
Лежащая на кирпичной стене, находится под действием трех сосредо-
точенных сил (рис. Ш-5).
57
Требуется построить эпюры р, Q и М, если = 50, Р2 = 75
Р3 = ЗОР; L = 6 м, /31 = 1,0, /32 = 3,0, 133 = 6,0 м; b = 1 л; h = 0,7 м-
£0 = 3 • 105 Т/м2-, £ = 2,7 х 106 Т/м2.
Решение. Сначала определяем показатель^гибкости а. Для
этого вычисляем момент инерции:
j _ bh3 _ 1 0,73 _
12 — 12 —
= = 0,02858 л«4;
12
тогда
г.ЕвЬР
а =----S--=
‘ £/
_ 3,14 300000- 1 -б3 _ 2637
~ 2 700000 0,02858 “ j
Пользуясь формулой (Ш-4),
получаем
^ = -й7го,=о’5Ер1(0-5- I
~Рзг)3 = -^-1Л(0,5-₽31)3+|
оь
+ Р2(0,5-р32)3 + Р3(0,5 —
-₽зз)3] = 4-р1(°’5-^|)3=:
= 0,05144.
По формуле (Ш-5)
в = [2 I Р{ (1 - ₽3£)4 - S Pi U - М] - =
48L L J
= -1— {2 [Р t (1 — рз1)4 + Р2 (1 - р32)4 + Р3 (1 - Рзз)4! -
48L
- [Pi (1 - ₽3J) + Р2 (1 - рз2) + Ps (1 - fW]} - W = - 0,126.
По формуле (Ш-6)
N = 4r{ro₽3i=0,S S = Y {[^м=0-5
pi + rfs2=0,5 I
+ Г^=0’5 Р3] - [Л (1- м + р2 (1 - ₽32) + Р3 (1 — Рзз)]} = 1.3888.
Найденные значения а, В и N подставляем в формулы (Ш-.1)
58
(8252 — 34а) Pt — 13 440 Ba
------
0-----------------------------------------13 440 + 29a
(8252 — 34-2637) —~ (50 + 75 + 30) — 13440 (— 0,126) 2637
------------------5---------------------------------------- = 35,276;
13 440 + 29 - 2637
(5188 + 63a) — У Pt + 13 440 Ba
at __________________В _
3 13 440 + 29a
(5188 + 63 • 2637) — (50 + 75 + 30) + 13440 (— 0,126) 2637
----------------------------------------------------------= —9,4423;
13 440 + 29 • 2637
a2 = — 28,326;
(1280 — a) 4- [2 S Pt ?>si — E Pj — 8Ла
ai _______________L L_________________________
3 — 2048 + a
(1280 — 2637) [2 (50-1 + 75-3 + 30-6) —6 (50 + 75 + 30) — 8-1,3888-2637]
2048 + 2637
= —6,092;
at = — 18,276;
(384 + a) [2 S Pt ₽si - S PZ1 + 4tfa
as _ _____________L ____________________________
10 2048 + a
(384 + 2637) (— 20) + 4 • 1,3888 - 2637
---------------------------------------------- 2,7685;
2048 + 2637
-= 27,685.
Найденные значения ав, аъ аг и а3 подставляем в формулу (II-16):
Рх = 35,276
\ / г \2
— 0,5) + 4 • 28,326I 4 — 0,5)
— 8 - 27,685
рх=0 = 35,276 + 18,276 — 28,326 — 27,685 = — 2,457;
р , = 35,276 + 12,184— 12,599 — 8,202 = 26,669;
рх=2 = 35,276 + 6,092 — 3,1474—1,0253 = 37,195;
59
р , = 35,276;
гл=3 ’ ’
px=i = 35,276 — 6,092 — 3,1474 + 1,0253 = 27,072;
рх=5 = 35,276— 12,184—12,589 + 8,202 = 18,705;
рх=6 = 35,276 — 18,276 — 28,326 + 27,683 = 16,602.
Эпюра реактивных давлений грунта р на балку построена на
рис. Ш-5.
Подставляем найденные значения а0, аг, а2 и в формулу (Ш-2):
<2^ = ^211,656
— — 0,5 + 4,985 — 109,6561 —
6 / \ 6
— 226,584 (— — 0,5? + 331,776 (-|- — 0,5? + 41,666 + 37,5 —
\ 6 / \ L J
— Г. 50 —Г. ,751
Величины поперечных сил в различных сечениях:
слева
Qx=0 = — 105,828 + 84,145 — 27,414 + 28,323 + 20,736 = 0;
Qx=1 =—35,276-2 + 84,145 —3,046-4 + 1,049*8 + 0,256-16 = 13,897;
справа
Qx=1= — 36,103;
Qx=2 = — 35,276 + 84,145 — 3,046 + 1,049 + 0,256 — 50 = — 2,872;
слева
Qx=3 = 84,145 — 50 = 34,145;
справа
Qx=3 = - 40,855;
(?х=4 = 35,276 + 84,145 — 3,046— 1,049 + 0,256 — 50 — 75 = —9,418;
Qx=5 = 70,552 + 84,145 — 12,184 — 8,392 + 4,096 — 50 — 75 = 13,317;
(2х=5 = 105,828 + 84,145 — 27,414 — 28,323 + 20,736 — 50 — 75 =1
= 29,972 « 30.
Эпюра Q построена на рис. Ш-5.
Найденные значения а0, аъ а2 и а3 подставляем в формулу (Ш-3):
М = 6,284 + Г 105,828 (— — 11 х — 219,305 (— — 0,5? —
— 339,941 (—----0,5? + 398,676 (-----0,5?! + 504,87 (—1 — I
\ 6 ) \ 6 / J \6/
60
— Г/1=150 (х — 1) — r/g=3 75 (х — 3).
Величины изгибающих моментов в различных сечениях:
Мх=0 = 6,289 + 27,413 — 21,246 — 12,485 = 0;
= 6,289+ 1—17,638 • 5 + 84,1451 • 1 +8,122 — 4,197— 1,641 =
= 6,289 — 4,045 + 8,122 — 4,197— 1,641 = 4,528;
= 6,289 + 27,186 + 1,0153 — 0,2623 — 0,05127 — 50 = — 15,82;
Л4ж=3 = 6,289 + [— 17,638 • 3 + 84,1451 3 — 100 л? 0;
Мх=4 = 6,289 + [— 17,638-2 + 84,1451 4 — 1,0153 — 0,2623 +
+ 0,05127 — 150 — 75 = — 24,461;
Мх=5 = 6,289 + 1— 17,638 + 84,1451 5 — 8,122 — 4,197 + 1,641 —
— 200 — 150 = 6,289 + 332,532 — 8,122 — 4,197 + 1,641 —
— 200 — 150 = — 21,857;
Л4х=б = 6,289 + 504,87 — 27,413 — 21,246 + 12,458 —
— 250 — 225 = 0.
Эпюра М построена на рис. II1-5.
§ 3. Таблицы для расчета балки,
нагруженной сосредоточенной силой,
расположенной в произвольном месте
по длине балки (рис. 111-6)
Для составления расчетных таблиц воспользуемся формулами
(Ш-11), (Ш-14) и (Ш-15). Из этих формул после некоторого преобра-
зования для рассматриваемого случая получаем
Рис. Ш-6
_ (L — l3) _ г4 ( 2 ls
24L* 48L 0 6LS
параметры:
.3 -1
(8252 — 34а) — 13 440а
°0 =-------------------------
Р
L
13 440 -f-29 а
61
/ООЦ9 Q4 А 1ЧА4П f(1—P®)4 ’ —^3 r0,5 {O’® — ^3^
(8252 — 34a) — 13 440a — —— — Го' ------------------
13 440 + 29a
(III-16)
(L—ls)* (L-ls)
24L4_______48L
13 440 + 29a
r(l_R)4 (1— R_)
(5188 + 63a) + 13 440a — - --- —
3 . ------------------L--------------------
(5188 + 63a) + 13440a
a2 = 3------------------------
L [-_
rTl2____
0 6L8
13 440 + 29a
P_
L
P
L
- p
= a, —;
2 L
(III-17)
at = 3 •
р L 1
(2/3 — L) (1280 — а) — — 8a LT* P-P(L-ls) ТУ
2048 4-a
(2₽3- 1)(1280-а)-8а [rg-= ^’5- l-(l-₽s)] 1 р
2048 +а 1 L
(.111-18)
(2(s — L) (384 + а) + 4а а _ ю . L L LTj P-P(L-ls) 1
8 2048 + а L2
Подставляя в общие формулы (П-16), (Ш-12) и (Ш-13) полученные
значения а0, аъ а2 и аг, находим
реактивные давления:
р = {а9 + 2at(£ — 0,5) + 4а2 (? — 0,5)2 + 8as (? — 0,5)3} х
ХТ = ^Т‘ (Ш‘20'
Поперечные силы:
<2= {[-^-(2В— 1)-----^(10Н? + 3^ + (1-р)] + МЕ-0,5)2 +
+ 872 -(£^’5)S + 48а3 (е^0-^ -Гра 1} P = QP. (Ш-21
62
Изгибающие моменты:
М = (№ - 5?2 - Зп3) + Г-^- (? - 1) - -J- (10flt + З«3) +
Z*Tv L “ •*
+ (1 -p)h + 2Q-I£-0^ + + 48^ <£-0-^5-
i \ r/j । i 6 1 2 24 120
— rp>(; — ₽)} PL = MPL, (III-22)
где p, Q и M — безразмерные величины, включенные в фигурные
скобки формул (Ш-20) — (Ш-22).
Учитывая действительную ширину балки Ь, расчетные формулы
для р, Q и М при действии сосредоточенных сил примут следующий
вид:
р = р-£-, Т/м2-, (1П-23)
bL
Q = QP, Т; (Ш-24)
М =~MPL, Т-м. (Ш-25)
Для безразмерных величин р, Q, М, входящих в формулы (Ш-23)—
(Ш-25), составлены табл. Ш-1, Ш-2, Ш-3.
Пользуясь этими таблицами, можно найти значения величин р, Q,
М в любом сечении балки, нагруженной сосредоточенной силой, рас-
положенной в произвольном месте.
Чтобы получить ординаты реактивных давлений р по длине балки,
соответствующие сосредоточенной силе Р, необходимо значения р из
р
табл. Ш-1 умножить на----согласно формуле (Ш-23). Для получения
bL
ординат поперечных сил Q по длине балки,
соответствующих сосредоточенной силе Р,
необходимо значения Q из табл. Ш-2 умно-
жить на Р согласно формуле (Ш-24).
Ординаты изгибающих моментов М по
длине балки, соответствующие сосредото-
ченной силе Р, получаются путем умноже-
ния значений М из табл. Ш-3 на PL со-
гласно формуле (Ш-25).
Пример 1П-4. Балка длиной L — 5 м,
лежащая на сплошном упругом основа-
нии, нагружена вертикальной сосредото-
ченной силой Р (рис. Ш-7).
Требуется построить эпюры реактивных
Давлений грунта, поперечных сил и изги-
бающих моментов, если а =100; /3= 2 м;
b = 1 м; Р = 100 Т.
Решение. По приведенным данным
В = 0,4. Сначала построим эпюру реактив-
63
ных давлений р. Для этого из табл. Ш-1 берем данные р, соответст-
вующие а = 100 и р =0,4 для всех значений £ от нуля до единицы:
5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Р 1,697 1,571 1,411 1,237 1,060 0,895 0,755 0,653 0,605 0,623 0,723
Чтобы получить значения р, на основании формулы (Ш-23) бер^1
й Р 100
данные из таблицы и умножаем на---=------= 20:
bL 1-5
$ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Р 33,94 31,42 28,22 24,74 21,20 17,90 15,10 13,06 12,10 12,46 14,46
Эпюра р построена на рис. III-7.
Чтобы построить эпюру Q, необходимо из табл. Ш-2 взять дан-
ные Q, соответствующие а = 100 и р = 0,4 для всех значений g от
нуля до единицы:
6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
0 0,163 0,313 0,445 0,559 —0,441 —0,343 —0,261 —0,191 —0,129 —0,067 0
Данные Q из табл. Ш-2 на основании формулы (Ш-24) умножаем
на Р = 100 Т:
е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0.9 1,(
Q 0 16,30 31,30 44,50 55,90 —44,10 —34,30 —26,10 —19,10 —12,90 —6,70 0
По полученным данным на рис. Ш-7 построена эпюра Q.
Для построения эпюры М из табл. III-3 берем данные М, соответс
вующие а = 100 и р = 0,4 для всех значений | от нуля до единицы, т.
6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
М 0 0,009 0,032 0,070 0,121 0,082 0,052 0,029 0,014 0,004 0
Значения М согласно формуле (Ш-25) умножаем на PL
= 100 • 5 = 500:
64
5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
м 0 4,50 16,00 35,00 60,5 41,00 26,00 14,50 7,00 2,00 0
Эпюра М построена на рис. Ш-7.
Пример III-5. Железобетонная балка
прямоугольного сечения лежит на кирпич-
ной стене. Балка посередине нагружена со-
средоточенной силой Р = 68 Т.
Требуется построить эпюры р, QnM,
если Ео= 300 000 Т/м2-, EI = 73 828
Т-м2\ b = 1 м\ h = 0,75 м; L = 3,4 м.
Решение. По приведенным данным
в = = _LL - 0,5.
r L 3,4
Определяем показатель гибкости:
кЕ0 ы*
а =----=----=
Е/
3,14 • 300 000 • 1 3,4s _ egg
73 828
Сначала построим эпюру реактивных
давлений р. Для этого из табл. Ill-1 бе-
рем данные р, соответствующие а = 500 и = 0,5 для всех значе-
ний g от нуля до 0,5 (так как балка нагружена симметрично), т. е.
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Р —0,132 0,479 0,955 1,294 1,498 1,566
На основании формулы (Ш-23) данные из таблицы умножаем на
= —— = 20:
ЬЬ 1 . з,4
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Р —2,64 9,58 19,10 25,88 29,96 31,32
Эпюра р построена на рис. Ш-8.
Чтобы построить эпюру Q, необходимо взять из табл. Ш-2 дан-
чые Q, соответствующие а = 500 и fl = 0,5 для всех значений g от
нУля до 0,5:
3—597
65
5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Q 0 0,019 0,091 0,205 0,346 0,500
На основании формулы (Ш-24) данные из таблицы умножаем на
Р = 68 Т:
5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Q 0 1,29 6,80 13,94 23,53 34,00
Эпюра Q построена на рис. Ш-8.
Для построения эпюры М берем данные М из табл. Ш-3, соотвег4
ствующие а = 500 и р = 0,5 для всех значений Е от нуля до 0,5:
г 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
м 0 0 0,005 0,020 0,047 0,089
Значения М из таблицы умножаем на PL = 68-3,4 = 231,20 сог-
ласно формуле (Ш-25): __________________________________I
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
М 0 0 1,156 4,624 10,866 20,58 *
Рис. III-9
Эпюра М построена на рис.
Ш-8.
Пример II1-6. Железобетонная
фундаментная балка таврового
сечения, лежащая на грунте, на-
гружена посередине сосредоточен!
ной силой Р (рис. Ш-9).
| Требуется построить эпюры Р>
Q и М, если L = 5 м; /=0,0256 л4;
Е = 2-106 Т!м\ Ео= 6000 Т/м2.
р0= 0,3; Р = 40 Т.
Решение. По приведенный
данным р = 0,5.
Сначала находим показатели
гибкости
66
nE0bL3 3,14 - 6000 • 1 • 5s
a =----------or- =--------------------= 50.
£/(l—p2) 2- 10»-0,0256(1—0,09)
Для нахождения безразмерных величин р, Q и М из табл. II1-1,
Ц1-2 и Ш-З берем данные, соответствующие а = 50 и 0 = 0,5 для
всех значений g от нуля до 0,5 (так как балка нагружена симметрично):
£ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
р 1,414 1,190 1,017 0,892 0.818 0,793
Q 0 0,13 0,24 0,334 0,419 0,500
М 0 0,007 0,025 0,054 0,092 0,138
Для получения р, Q, М, на основании формул (Ш-23) — (Ш-25),
взятые из таблицы данные умножаем на следующие величины:
p_L.=p._«_ = p.8:
bL F 1-5
QP = Q - 40;
MPL = М 40 • 5 = Л4 • 200.
В результате умножения получаем значения величин р, Q и М:
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Р 11,312 9,520 8,136 7,136 6,544 6,344
О' / 0 5,20 9,60 13,36 16,76 20,00
М 0 1,40 5,00 10,80 18,40 27,60
Эпюры р, Q и М построены на рис. Ш-9.
3*
67
о
се
Сосредоточенная сила Р (рис. III-6)
_ — рР
Значения р; Ь =» р —г—
Lt
Т а б л и ц а Ш-1
а ₽ 8
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0 8 0,9 1,0
0 5,522 3,812 2,560 1,669 1,050 0,614 0,270 -0,071 —0,498 —1,102 —1,978
0,1 4,772 3,323 2,255 1,495 0,972 0,614 0,348 0,103 -0,193 -0,613 -1,228
0,2 4,017 2,828 1,948 1,321 0,894 0,614 0,426 0,277 0,114 —0,118 -0,473
0,3 3,272 2,333 1,643 1.147 0,816 0,614 0,504 0,451 0,419 0,371 0,272
0,4 2,517 1,844 1,336 0,973 0,738 0,614 0,582 0,625 0,726 0,866 1,027
0 0,5 1,772 1,355 1,031 0,799 0,660 0,614 0,660 0,799 1.031 1,355 1,772
0,6 1,027 0,866 0,726 0.625 0,582 0,614 0,738 0,973 1.336 1,844 2,517
0,7 0,272 0,371 0,419 0,451 0,504 0,614 0,816 1,147 1,643 2,333 3,272
0,8 -0,473 -0,118 0,114 0,277 0,426 0,614 0,894 1,321 1,948 2,828 4,017
0,9 -1,228 -0,613 -0,193 0,103 0,348 0,614 0,972 1,495 2,255 3,323 4,772
1,0 -1,978 -1,102 -0,498 -0,071 0,270 0,614 1,050 1,669 2,560 3,812 5,522
0 5,739 3,900 2,553 1,604 0,959 0,523 0,201 -0,100 -0,477 -1,022 -1,831
0,1 4,868 3,363 2,253 1,468 0,931 0,572 0,315 0,086 0,185 -0,575 -1,156
0,2 3,999 2,827 1,954 1,332 0,905 0,620 0,427 0,272 0,106 -0,127 -0,479
0,3 3,125 2,288 1,653 1,191 0,871 0,663 0,535 0,459 0,401 0,332 0,223
0,4 2,290 1,767 1,355 1,046 0,830 0,695 0,634 0,636 0,693 0,795 0,930
25 0,5 1,584 1,269 1,023 0,848 0,743 0,708 0,743 0,848 1,023 1,269 1,584
0,6 0,930 0,795 0,693 0,636 0,634 0,695 0,830 1,046 1,355 1,767 2,290
0,7 0,223 0,332 0,401 0,459 0,535 0,663 0.871 1,191 1,653 2,288 3,125
0,8 -0,479 -0,127 0,106 0,272 0,427 0,620 0,905 1,332 1,954 2,827 3,999
0,9 -1,156 -0,575 -0,185 0,086 0,315 0,572 0,931 1,468 2,253 3,363 4,868
1,0 -1,831 -1,022 -0,477 -0,100 0,201 0,523 0,959 1,604 2,553 3,900 5,739
и 5,948 3,981 2,547 1,544 0,876 0,440 0,138 -0,126 —0,457 —0,951 -1.708
0,1 4,956 3,399 2,252 1,444 0,895 0,534 0,285 0,072 -0,178 —0,541 -1,092
0,2 3,970 2,819 1,959 1,340 0,912 0,625 0,428 0,270 0,101 —0,129 -0,470
0,3 3,002 2,247 1,666 1,233 0,921 0,707 0,563 0,463 0,380 0,293 0,170
0,4 2,076 1,694 1,374 1,114 Q.912 0,768 0,680 0,644 ^,664 0,732 ,852
50 / 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 / 1,414 0,852 0,170 —0,470 —1,092 —1,708 1,190 0.732 0,293 -0,129 —0,541 —0,951 1 1,017 0,664 0,380 0,101 —0,178 -0,457 0,892 0,644 0,463 0,270 0,072 -0,126 0,818 0,680 0,563 0,428 0,285 0,138 0,793 0,768 0,707 0,625 0,534 0,440 0,818 0,912 0,921 0,912 0,895 0,876 0,892 1,114 1,233 1,340 1,444 1,544 \ 1 .017 1,374 1,666 1,959 2,252 2,547 1,190 1,694 2,247 2,819 3,399 3,981 1,414 2,076 3,002 3,970 4,956 5,948
0 6,303 4,117 2,530 1,437 0,728 0,297 0,034 -0,169 —0,418 —0,823 —1,491
0,1 5,115 3,463 2,252 1,399 0,831 0,468 0,233 0,047 —0,166 -0,485 —0,987
0,2 3,924 2,809 1,968 1,358 0,928 0,634 0,428 0,262 0,090 -0,135 —0,460
0,3 2,767 2,168 1,686 1,306 1,0)1 0,783 0,607 0,468 0,348 0,232 0,101
0,4 1,697 1,571 1,411 1,237 1,060 0,895 0,755 0,653 0,605 0,623 0,723
100 0,5 1,120 1,055 1,005 0,969 0,947 0,940 0,947 0,969 1,005 1,055 1,120
0,6 0,723 0,623 0,605 0,653 0,755 0,895 1,060 1,237 1,411 1,571 1,697
0,7 0,101 0,232 0,348 0,468 0,607 0,783 1,011 1,306 1,686 2,168 2,767
0,8 -0,460 -0,135 0,090 0,262 0,428 0,634 0,928 1,358 1,968 2,809 3,924
0,9 -0,987 -0,485 -0,166 0,047 0,233 0,468 0,831 1,399 2,252 3,463 5,115
1,0 -1,491 —0,823 -0,418 -0,169 0,034 0,297 0,728 1,437 2,530 4,117 6,303
0 6,618 4,235 2,516 1,345 0,603 0,177 -0,051 -0,201 —0,384 —0,721 —1,326
0,1 5,242 3,513 2,247 1,361 0,776 0,413 0,190 0,029 -0,153 —0,433 —0,894
0,2 3,880 2,798 1,978 1,374 0,943 0,642 0,427 0,254 0,080 —0,140 —0,448
0,3 2,563 2,104 1,708 1,377 1,087 0,847 0,643 0,463 0,316 0,178 0,049
0,4 1,351 1,457 1,445 1,346 1,188 1,000 0,812 0,654 0,553 0,541 0,645
150 0,5 0,875 0,942 0,995 1,032 1,055 1,062 1,055 1,032 0,995 0,942 0,875
0,6 0,645 0,541 0,553 0,654 0,812 1,000 1,188 1,346 1,445 1,457 1,351
0,7 0,049 0,178 0,316 0,463 0,643 0,847 1,087 1,377 1,708 2,104 2,563
0,8 -0,448 -0,140 0,080 0,254 0,427 0,642 0,943 1,374 1,978 2,798 3,880
0,9 -0,894 -0,433 -0,153 0,029 0,190 0,413 0,776 1,361 2,247 3,513 5,242
1,0 -1,326 -0,721 -0,384 -0,201 -0,051 0,177 0,603 1,345 2,516 4,235 6,618
0 6,890 4,334 2,500 1,261 0,495 0,075 -0,123 —0,223 —0,352 —0,632 -1,190
0,1 5,374 3,558 2,243 1,327 0,730 0,366 0,154 0,013 —0,141 -0,392 —0,838
0,2 3,845 2,793 1,988 1,388 0,956 0,648 0,424 0,246 0,068 —0,145 -0,437
0,3 2,386 2,050 1,736 1,434 1.157 0,901 0,669 0,464 0,280 0,132 0,010
0,4 1,061 1,369 1,485 1,446 1,302 1,091 0,858 0,648 0,501 0,463 0,575
200 0,5 0,666 0,846 0,987 1,087 1,147 1,167 1,147 1,087 0,987 0,846 0,066
0,6 0,575 0,463 0,501 0,648 0,858 1,091 1,302 1,446 1,485 1,369 1,061
0,7 0,010 0,132 0,280 0,464 0,669 0,901 1,157 1,434 1,736 2,050 2,386
Ф 0,8 -0,437 -0,145 0,068 0,246 0,424 0,648 0,956 1,388 1,988 2,793 3,845
tD
о
Продолжение табл. 1111
а 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1,0
0,9 —0,838 —0,392 -0,141 0,013 0 154 0,366 0,730 1,327 2,243 3,558 5,374
1,0 -1,190 —0,632 —0,352 -0,223 -0,123 0,075 0,495 1,261 2,500 4,334 6,890
о 7 128 4,419 2,483 1,189 0,399 -0,012 -0,181 -0,241 -0,321 -0,557 -1,080
0,1 0,2 0,3 0 4 5,456 3,596 2,239 1,298 0,689 0,326 0,125 0,002 -0,131 —0,356 —0,760
3 804 2,783 1,995 1,403 0,968 0,654 0,424 0,237 0,061 —0,147 —0,420
2 227 2,004 1,755 1,489 1,217 0,948 0,691 0,457 0,253 0,092 —0,019
0,778 1,287 1,518 1,537 1,401 1,168 0,895 0,637 0,456 0,403 0,540
250 0 5 0,486 0,764 0,979 1,134 1,226 1,257 1,226 1,134 0,979 0,764 0,486
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0,540 0,403 0,456 0,637 0 895 1,168 1,401 1,537 1,518 1,287 0,778
—0 019 0,092 0,253 0,457 0,691 0,948 1,217 1,489 1,755 2,004 2.227
—0 420 —0,147 0,061 0,237 0,424 0,654 0,968 1,403 1,995 2,783 3,804
—0 760 —0,356 -0,131 0,002 0,125 0,326 0,689 1,298 2,239 3,596 5,456
-1,080 —0,557 -0,321 —0,241 -0,181 -0,012 0,399 1,189 2,483 4,419 7,128
о 7 337 4,492 2,467 1,120 0,316 -0,088 -0,230 -0,252 -0,293 —0,490 -0,985
0,1 0,2 0,3 0,4 0 5 5 546 3,630 2,235 1,270 0,653 0,291 0,099 -0,008 -0,121 —0,326 —0,710
3,777 2,780 2,004 1,416 0,979 0,659 0,421 0,230 0,050 —0,152 —0,412
2,074 0,546 0,330 1,959 1,774 1,539 1,271 0,989 0,709 0,449 0,228 0,061 —0,030
1,217 1,552 1,619 1,490 1,235 0,924 0,625 0,410 0,351 0,514
300 0,692 0,973 1,174 1,295 1,335 1,295 1,174 0,973 0,692 0,330
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0’514 0,351 0,410 0,625 0,924 1,235 1,490 1,619 1,552 1,217 0,546
—0 030 0,061 0,228 0,449 0,709 0,989 1,271 1,539 1,774 1,959 2,074
—0 412 —0,152 0,050 0,230 0,421 0,659 0,979 1,416 2,004 2,780 3,777
-0,710 -0,985 —0,326 -0,121 -0,008 0,099 0,291 0,653 1,270 2,235 3,630 5,546
—0,490 -0,293 -0,252 -0,230 —0,088 0,316 1,120 2,467 4,492 7,337
о 7,534 5 621 4,561 2,451 1,061 0,241 -0,155 —0,273 -0,263 -0,267 -0,435 -0,914
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 3,658 2,230 1,246 0,620 0,260 0,078 -0,116 -0,112 —0,296 —0,661
3,742 1,946 0.327 2,771 2,011 1,427 0,988 0,663 0,418 0,223 0,043 —0,151 —0,394
L926 1,798 1,587 1,322 1,024 0,720 0,436 0,198 0,030 —0,042
1,162 ,629 1,589 1,697 1,573 1,294 0,945 0,609 0,363 0,298 0,497 0,194
350 0,194 0,968 1,210 1,355 1,403 1,355 1,210 0,968 0,629
/ 0.6 / 0,7 0,8 0,9 1,0 / 0,497 / —0,042 —0,394 -0,661 -0,914 1 0,298 0,030 -0,151 —0,296 / 0,363 0,198 0,043 —0,112 0,609 0,436 0,223 -0,016 0,945 0,720 0,418 0,078 1,294 1,024 0,663 0,260 1,573 1,322 0,988 0,620 1,697 \ 1,587 1,427 1,246 1,589 \ 4,798 2,011 2,230 \ ,\ЪЧ \ 4,926 2,771 3,658 0,2,21 4,946 3,742 , 5,621
—0,435 —0,267 —0,263 —0,273 -0,155 0,241 1,061 2,451 4,561 7,534
п 7,699 5,698 3,707 1,816 0,121 0,072 0,491 -0,040 -0,375 -0,630 —0,843 4,617 2,434 1,005 0,173 -0,214 -0,309 -0,267 —0,240 -0,383 -0,843
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 3,687 2,763 2,226 1,225 0,591 0,233 0,059 —0,023 —0,104 —0,275 —0,630
2^016 1,438 0,998 0,667 0,416 0,216 0,038 -0,151 —0,375
1,886 1,100 0,573 1 814 1,628 1,366 1,056 0,732 0,430 0,178 0,010 -0,040
1,617 1,768 1,646 1,347 0,964 0,592 0,327 0,262 0,491
400 0,963 1,241 1,408 1,464 1,408 1,241 0,963 0,573 0,072
0,262 0,327 0,592 0,964 1,347 1,646 1,768 1,617 1,100 0,121
0,010 0,178 0,430 0,732 1,056 1,366 1,628 1,814 1,886 1,816
-0,151 —0,275 -0,383 0,038 0,216 0,416 0,667 0,998 1,438 2,016 2,763 3,707
-0,104 -0,240 -0,023 -0,267 0,059 -0,309 0,233 —0,214 0,591 0,173 1,225 1,005 2,226 2,434 3,687 4,617 5,698 7,699
7,868 5,762 3,684 1,697 -0,067 -0,036 0,495 -0,033 -0,364 —0,598 —0,804 4,674 3,710 2,763 1,854 1,049 0,523 0,227 —0,008 -0,155 —0,254 -0,344 2,420 0,954 0,112 -0,266 -0,340 -0,270 -0,218 -0,344 -0,804
и 0,1 2,222 1,206 0,565 0,209 0,041 -0,028 —0,096 —0,254 -0,598
2 026 1,450 1,007 0,670 0,413 0,206 0,026 -0,155 -0,364
0,2 1 838 1,669 1,406 1,084 0,742 0,419 0,148 -0,008 -0,033
0,3 1,649 0,959 0,289 1,835 1,714 1,393 0,978 0,573 0,289 0,227 0,495
450 0,4 0,5 1,269 0,573 1,456 0,978 1,518 1,393 1,456 1,714 1,269 1,835 0,959 1,649 0,523 1,049 -0,036 -0,067
0,о 0,148 0,419 0,742 1,084 1,406 1,669 1,838 1,854 1,697
0,7 0 026 0,206 0,413 0,670 1,007 1,450 2,026 2,763 3,684
0,8 -0,096 -0,218 —0,028 0,041 0,209 0,565 1,206 2,222 3,710 5,762
0,9 1,0 —0,270 -0,340 -0,266 0,112 0,954 2,420 4,674 7,868
8,014 5,822 3,658 1,591 4,719 3,732 2,757 1,826 1,000 0,479 0,200 -0,026 —0,155 —0,236 —0,303 2,406 0,906 0,057 -0,313 —0,367 —0,272 -0,196 -0,303 —0,762
0 2,219 2,032 1,848 1,676 0,955 0,251 0,134 0,020 -0,089 -0,196 1,186 0,542 0,187 0,028 -0,032 —0,089 -0,236 -0,570
0,1 1,461 1,015 0,673 0,409 0,199 0,020 -0,155 -0,350
0,2 1,707 1,444 1,109 0,748 0,407 0,134 -0,026 —0,027
0,3 С 896 1,776 1,435 0,990 0,556 0,251 0,200 0,513
500 0,4 —0,253 1,294 1,498 1,566 1,498 1,294 0,955 0,479 -0,132
0,5 —0,132 0,513 —0,027 0,556 0,990 1,435 1,776 1,896 1,676 1,000 —0,253
0,6 0,407 0,748 1,109 1,444 1,707 1,848 1,826 1,591
0,7 0,199 0,409 0,673 1,015 1,461 2,032 2,757 3,658
0,8 0,9 1,0 “"0,350 -0,570 -0,762 —0,032 -0,272 0,028 -0,367 0,187 -0,313 0,542 0,057 1,186 0,906 2,219 2,406 3,732 4,719 5,822 8,014
Таблица Ш-2
Сосредоточенная сила Р (рис. Ш-6)
Значения Q; Q — QP
₽
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 -1 -0,538 —0,222 -0,013 0,121 0,203 0,247 0,257 0,230 0,152 0
0,1 0,400
0 -0,323 -0,138 -0,016 0,062 0,110 0,132 0,129 0,090
-0,600 0
0,2 0,339 0,577
0 -0,262 -0,152 -0,078 -0,026 0,008 0,029 0,029 0
-0,423
0,3 0 0,278 0,476 0,614 —0,290 -0,219 -0,164 -0,116 -0,072 -0,032 0
-0,386
0,4 0 0,216 0,374 0,489 0,573 -0,360 -0,301 -0,241 -0,174 —0,094 0
—0,427
0,5 0 0,155 0,274 0,365 0,437 0,500 —0,^37 -0,365 -0,274 -0,155 0
-0,500
0 0,6 0 0,094 0,174 0,241 0,301 0,360 0,427 -0,489 -0,374 -0,216 0
—0.573
0,7 0 0,032 0,072 0,116 0,164 0,219 0,290 0,386 —0,476 -0,278 0
-0,614
0,8 о —0,029 -0,029 -0,008 0,026 0,078 0,152 0,262 0,423 —0,339 0
-0,577 0,600
0,9 о —0,090 —0,129 -0,132 -0,110 -0,062 0,016 0,138 0,323 0
-0,400
1,0 0 -0,152 -0,230 -0,257 -0,247 -0,203 -0,121 0,013 0,222 0,538 1
0 -1 —0,522 —0,204 0,001 0,128 0,200 0,236 0,241 0,214 0,140 0
0,1 0 0,408 -0,314 —0 130 -0,012 0,062 0,106 0,126 0,122 0,086 0
-0,592 0,338
0,575
0,2 0 -0,262 -0,152 -0,077 -0,026 0,010 0,029 0,029 0
-0,425 0,466
0,605
0,3 0 0,270 -0,292 -0,216 -0,156 -0,107 -0,064 -0,028 0
-0,395 0,476
0,569
0,4 0,202 0,358 —0,355 0,500 -0,289 -0,226 -0,160 -0,086 0
0 -0,431 0,428
0,5 0,142 0,256 0,349 -0,428 0,431 -0,569 -0,349 -0,256 -0,142 0
0 -0,500
0,6 0 0,086 0,160 0,226 0,289 0,355 -0,476 -0,358 -0,202 0
0,7 0,028 0,064 0,107 0,156 0,216 0,292 0,395 -0,466 -0,270 0
25 0 -0,605 0,262
0,425
0,8 -0 029 -0,029 -0,010 0,026 0,077 0,152 -0,338 0
0 -0,575
0,9 -0,086 -0,122 —0,126 -0,106 -0,062 0,012 0,130 0,314 0,592 0
0 -0,408
1,0 0 —0,140 —0,214 —0,241 -0,236 -0,200 —0,128 -0,001 0,204 0,522 1
0 —1 -0,507 -0,186 0,015 0,134 0,198 0,226 0,227 0,198 0,131 0
0,1 0 0,414 -0,306 -0,125 -0,009 0,061 0,101 0,119 0,114 0,080 о
-0,586
0,2 0 0,336 0,574 -0,263 -0,152 -0,076 —0,024 0,011 0,030 0,029 о
—0,426 0,454 0
0,599
0,3 0 0,260 -0,295 —0,214 -0,151 -0,101 -0,058 -0,024
4J —0,401
0,4 0,188 0,342 0,566 -0,351 -0,280 -0,213 —0,148 -0,080
0,465
0 1 -0,434
П родолжение табл. Ш-2
а Р 5
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 1,0
0,5 0,130 0,240 0,334 0,419 0,500 -0,419 -0,334 —0,240 -0,130 0
0 -0,500
0,6 0,080 0,148 0,213 0,280 0,351 0,434 -0,465 0,401 -0,342 -0,188 о
0 -0,566 0,295 о
0,024 0,058 0,101 0,151 0,214 -0,454 -0,260
0,7 0 -0,599
-0,030 -0,011 0,024 0,076 0,152 0,263 0,426 —0,336 0
50 0,8 0 -0,029 -0,574 0,306
0,586
-0,114 -0,119 -0,101 -0,061 0,009 0,125 0
0,9 0 -0,080 -0,414
1,0 0 -0,131 -0,198 -0,227 -0,226 -0,198 -0,134 -0,015 0,186 0,507 1
0 —1 -0,485 -0,156 0,038 0,144 0,193 0,208 0,202 0,174 0,113 0
0,1 0 0,425 -0,292 -0,113 -0,004 0,060 0,094 0,109 0,102 0,071 0
-0,575
0,570
0,2 0 0,334 -0,265 -0,152 -0,075 -0,022 0,013 0,030 0,029 0
100 -0,430
0,3 0,245 0,438 0,587 -0,298 -0,209 -0,140 -0,085 -0,046 -0,017 0
0 -0,413
0,4 0,163 0,313 0,445 0,559 -0,343 -0,261 -0,191 -0,129 -0,067 0
0 -0,441
0,5 0 0,109 0,212 0,310 0,406 0,500 —0,500 -0,406 -0,310 -0,212 -0,109 0
/ 0,067 0,129 0,191 0,261 0,343 0,441 —0,445 —0,313^ —0Д63 \ 0
0,6 0 -0,559 0,298
0,085 0,140 0,209 0,413 -0,438 -0,245 о
0,7 0 0,017 0,046 -0,587 0,265 0
0,430 -0,334
0,022 0,075 0,152
0,8 0 -0,029 —0,030 -0,013 -0,570
-0,094 -0,060 0,004 0,113 0,292 0,575 0
0,9 0 -0,071 -0,102 -0,109 -0,425
1,0 0 -0,113 -0,174 -0,202 -0,208 -0,193 -0,144 -0,038 0,156 0,485 1
0 —1 —0,464 -0,131 0,058 0,152 0,189 0,194 0,180 0,153 0,100 0
0,1 0 0,434 -0,282 -0,105 0,000 0,058 0,088 0,099 0,092 0,064 0
-0,566
0,2 0 0,331 0,567 -0,266 —0,151 -0,073 -0,019 0,014 0,030 0,029 0
-0,433
0,578
0,3 0,233 0,423 -0,300 -0,204 -0,130 -0,074 -0,035 -0,011 0
0 -0,422 0,428
150 0,4 0,142 0,288 0,555 -0,335 -0,245 -0,172 -0,112 -0,058 0
0 -0,445
0,091 0,188 0,289 0,394 0,500 -0,394 -0,289 -0,188 -0,091 о
0,5 0 -0,500 0,335 о
0,445 -0,142
0,112 0,172 0,245 -0,428 -0,288
0,6 0 0,058 -0,555 0,300 0
0,422 —0,233
0,035 0,074 0,130 0,204 -0,423
0,7 0 0,011 -0,578 0,266
0,433 -0,331
-0,014 0,019 0,073 0,151 0
0,8 0 -0,029 -0,030 -0,567 0,282
0,105 0,566
-0,099 -0,088 -0,058 0,000 0
0,9 0 -0,064 -0,092 —0,434
1,0 0 -0,100 -0,153 -0,180 -0,194 -0,189 -0,152 -0,058 0,131 0,464 1
о
Продолжение табл. 111-2
а ₽ Е
0 0,1 0.2 0.3 0.4 0,5 0,6 0,7 0.8 0.9 1.0
0 -1 —0,445 —0,109 0,074 0,159 0,185 0,181 0,164 0,135 0,089 0
0,1 0 0,442 -0,272 —0,098 0,004 0,057 0,082
0,090 0,084 0,058
—0,558 0
0,2 0 0,330 0,567 —0,433 —0,266 —0,150 —0,071 —0,018 0,015 0,031 0,028 0
0,3 0 0,223 0,410 0,569 -0,431 —0,301 0,553 —0,447 —0,199 -0,121 -0,065 -0,028 —0,007 0
0,4 0 0,123 0,268 0,415 —0,327 —0,229 -0,155 -0,098 -0,051 0
0,5 0 0,076 0,168 0,272 0,384 0,500 —0,500 —0,384 —0,272 —0,168 —0,076 0
200 0,6 0 0,051 0,098 0,155 0,229 0,327 0,447 —0,553 —0,415 -0,268 —0,123 0
0,7 0 0,007 0,028 0,065 0,121 0,199 0,301 0,431 -0,569 -0,410 —0,223 0
0,8 о —0,028 —0,031 —0,015 0,018 0,071 0,150 0,266 0,433 —0,330 0
—0,567
0,558
0,9 о -0,058 —0,084 —0,090 -0,082 —0,057 —0,004 0,098 0,272 0
—0,442
1,0
0 -0,089 -0,135 —0,164 —0,181 -0,185 —0,159 —0,074 0,109 0,445 1
0 —1 -0,429 —0,090 0,088 0,164 0,181 0,170 0,148 0,120 0,079 0
0,1 0 0,449 —0,264 —0,091 0,007 0,056 0,077 0,083 0,078 0,053 0
-0,551 0,565
0,2 0 0,328 , —0,267 —0,149 —0.0G9 —0,015 0,017 0,031 0.028 / 0
1 —0,4л5 / /
\ \ /
0,3 1° 0.211 0,399 0,561 —0,439 —0,303 —0,195 -0,113 —0,055 -0,021 —о ,ооз^ 0
0,4 0 0,107 0,249 0,402 0,551 -0,320 —0,217 -0,140 —0,087 —0,045 0
250 0,5 0 0,063 —0,449 0,375 0,500 —0,500 0
0,151 0,257 -0,375 -0,257 -0,151 —0,063
0,6 0 0,045 0,087 0,140 0,217 0,320 0,449 -0,551 —0,402 —0,249 -0,107 0
0,7 0 0,003 0,021 0,055 0,113 0,195 0,303 0,439 —0,561 -0,399 -0,211 0
0,8 о —0,028 —0,031 —0,017 0,015 0,069 0,149 0,267 0,435 0
-0,565
0,9 о -0,053 -0,078 —0,083 —0,077 —0,056 -0,007 0,091 0,264 0,551 п
1,0 —0,449
0 —0,079 —0,120 —0,148 —0,170 -0,181 —0,164 -0,088 0,090 0,429 1
0 —1 -0,415 -0,075 0,101 0,169 0,177 0,159 0,135 0,109 0,071 0
0,1 0,455
0 —0,545 —0,257 —0,085 0,008 0,054 0,072 0,077 0,071 0,049 0
300 0,2 0 0,326 0,563 -0,437 —0,268 -0,149 —0,068 —0,015 0,018 0,031 0,028 0
0,3 0 0,201 0,389 0,555 —0,445 -0,304 -0,191 —0,106 —0,049 -0,015 —0,001 0
0,4 0 0,091 0,232 0,394 0,548 —0,452 -0,314 —0,206 -0,128 —0,078 —0,041 0
0,5 0 0,052 0,136 0,244 0,368 0,500 —0,500 —0,368 -0,244 —0,136 —0,052 0
0,6 0 0,041 0,078 0,128 0,206 0,314 0,452 —0,548 —0,394 —0,232 —0,091 0
0,7 0 0,001 0,015 0,049 0,106 0,191 0,304 0,445 —0,389 —0,201 0
—0,55о
Продолжение табл. III-2
а
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0.S 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,8 —0,028 —0,031 —0,018 0,015 0,068 0,149 0,268 0,437 —0,326 0
0 —0,563
0,9 -0,049 —0,071 —0,077 —0,072 —0,054 —0,008 0,085 0,257 0,545 0
0 —0,455
1,0 0 —0,071 —0,109 —0,135 —0,159 -0,177 —0,169 —0,101 0,075 0,415 1
0 —1 —0,400 —0,064 0,111 0,173 0,174 0,151 0,123 0,094 0,068 0
0,1 0 0,460 —0,540 -0,250 —0,080 0,011 0,053 0,069 0,072 0,066 0,046 0
350 0,2 0 0,325 0,562 —0,438 —0,268 -0,148 —0,067 -0,014 0,018 0,031 0,027 0
0,3 0 0,193 0,382 0,551 —0,303 —0,186 -0,099 —0,041 —0,010 0,001 о
—0,449
0,4 0 0,076 0,218 0,384 0,549 —0,451 —0,307 —0,195 -0 1’6 —0,070 —0,038 0
0,5 0,042 0,123 0,232 0,361 0,500 —0,361 —0,232 -0,123 —0,042 о
0 -0,500
0,451 —0,076
0,6 0 0,038 0,070 0,116 0,195 0,307 —0,549 —0,384 —0,218 0
0,449 -0,193
0,7 0 -0.001 0,010 0,041 0,099 0,186 0,303 -0,551 —0,382 0
0,438 -0,325
—0,031 —0,018 0,014 0,067 0,148 0.268 0
0,8 0 —0,027 —0,562
/ I 1
1 / 0,540
/ 0,9 10 —0,046 -0,066 —0,072 —0,069 -0,053 -0,011 0,080 0,250 0
—0,460
1,0 0 -0,068 —0,094 —0,123 —0,151 -0,174 -0,173 —0,111 0,064 0,400 1
0 —1 -0,391 —0,046 0,121 0,176 0,170 0,142 0,113 0,088 0,059 0
0,1 0 0,464 —0,536 —0,245 —0,076 0,013 0,052 0,065 0,068 0,061 0,042 0
0,2 0 0,323 0,559 —0,269 —0,148 —0,066 —0,012 0,019 0,031 0,027 0
—0,441
0,546 0,003
0,3 0 0,187 0,372 -0,305 —0,183 —0,093 -0,036 —0,006 0
—0,454
0,4 0 0,065 0,204 0,378 0,549 -0,451 -0,301 -0,185 —0,106 -0,062 —0,035 0
400 0,5 0 0,033 0,111 0,222 0,355 0,500 —0,500 -0,355 —0,222 -0,111 —0,033 0
0,6 0 0,035 0,062 0,106 0,185 0,301 0,451 —0,378 -0,204 -0,065 0
—0,549
0,454 —0,187
0,7 0 -0,003 0,006 0,036 0,093 0,183 0,305 —0,546 —0,372 0
0,8 0 —0,027 —0,031 —0,019 0,012 0,066 0,148 0,269 0,441 —0,323 0
—0.559
0,9 0 —0,042 —0,061 -0,068 —0,065 —0,052 —0,013 0,076 0,245 0,536 0
—0,464
1,0 0 —0,059 —0,088 —0,113 -0,142 -0,170 —0,176 —0,121 0,046 0,391 1
00
о
Продолжение табл. 2/7-2
Е
а р 0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0.7 0,8 0.9 ,С
450 •А / СП со 50( 00 0 —1 0,1 0 0,2 0 0,3 0 0,4 0 0,5 0 0,6 0 0,7 0 0,8 0 0,9 0 / ° 1 о,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -0,382 0,468 -0,532 0,322 0,178 0,054 0,026 0,034 —0,004 -0,026 -0,040 \ —0,054 —1/ —0,373 0 -°-472 —0,528 0 0,321 0 0,173 0 0,041 0 0,019 0 0,033 0 -0,005 0 -0,025 0 —0,038 0 -0,049 —0,035 —0,240 0,558 —0,442 0,364 0,192 0,101 0,056 0,004 —0,032 -0,056 1 -^°79 / —0,024 -0,235 0,558 —0,442 0,359 0,181 0,091 0,053 0,001 —0,032 -0,053 -0,072 0,127 -0,071 -0,270 0,541 -0,459 0,370 0,213 0,098 0,031 —0,020 -0,063 —0,103 1 0,136 —0,067 —0,270 0,537 -0,463 0,363 0,205 0,091 0,025 —0,020 —0,059 —0,094 0,178 0,014 -0,147 -0,305 0,549 -0,451 0,350 0,175 0,089 0,011 -0,062 —0,134 0,179 0,015 —0,147 —0,305 0,547 -0,453 0,346 0,169 0,083 0,009 -0,059 -0,127 0,166 0,051 -0,064 —0,180 —0,294 0,500 —0,500 0,294 0,180 0,064 -0,051 —0,166 0,163 0,050 —0,063 —0,176 -0,290 0,500 —0,500 0,290 0,176 0,063 —0,050 -0,163 0,134 0,062 -0,011 —0,089 -0,175 -0,350 0,451 -0,549 0,305 0,147 -0,014 —0,178 I 0,127 0,059 —0,009 -0,083 -0,169 -0,346 0,453 -0,547 0,305 0,147 —0,015 —0,179 0,103 0,063 0,020 -0,031 -0,098 -0,213 -0,370 0,459 -0,541 0,270 0,071 —0,127 0,094 0,059 0,020 -0,025 -0,091 —0,205 -0,363 0,463 —0,537 0,270 0,067 -0,136 0,079 0,056 0,032 -0,004 -0,056 -0,101 -0,192 -0,364 0,442 0,054 0,040 0,026 0,004 -0,034 -0,026 —0,054 -0,178 -0,322 0,532 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 \» 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
-0,558 0,240 0,035 0,072 0,053 0,032 -0,001 —0,053 —0,091 -0,181 -0,359 0,442
-0,468 0,382у \ 0,049 0,038 0,025 0,005 —0,033 -0,019 -0,041 —0,173 -0,321 0,528
-0,558 0,235 0,024
-0,472 0,373
00
ю
Таблица Ш-З
Сосредоточенная сила Р (рис. Ш-6)
Значения М\ М = MPL
а ₽
0 0.1 | 0,2 0,3 0.4 0.5 0.0 0,7 0.8 0,9 1.0
0 0 —0,076 —0,112 —0,123 -0,117 -0,100 —0,077 —0,052 —0,027 -0,008 0
0,1 0 0,022 —0,024 —0,046 —0,053 —0,050 —0,042 —0,030 —0,017 -0,005 0
0,2 0 0,018 0,065 0,031 0,011 -0,001 —0,006 -0,007 -0,005 —0,001 0
0,3 0 0,014 0,053 0,106 0,074 0,049 0,030 0,017 0,006 0,002 0
0 0,4 0 0,012 0,042 0,085 0,138 0,099 0,066 0,039 0,018 0,008 0
0,5 0 0,008 0,030 0,061 0,102 0,149 0,102 0,061 0,030 0,008 0
0,6 0 0,008 0,018 0,039 0,066 0,099 0,138 0,085 0,042 0,012 0
0,7 0 0,002 0,006 0,017 0,030 0,049 0,074 0,106 0,053 0,014 0
0,8 0 -0,001 -0,005 -0,007 -0,006 -0,001 0,011 0,031 0,065 0,018 0
0,9 0 -0,005 —0,017 —0,030 —0,042 -0,050 —0,053 -0,046 -0,024 0,022 0
1,0 0 —0,008 —0,027 -0,052 —0,077 —0,100 -0,117 -0,123 -0,112 —0,076 0
0 0 —0,076 -0,111 —0,120 -0,113 -0,096 -0,074 -0,050 -0,027 -0,007 0
0,1 0 0,022 —0,023 -0,045 -0,051 —0,049 -0,040 -0,028 -0,016 -0,005 0
0,2 0 0,018 0,064 0,031 0,010 —0,001 -0,006 —0,007 -0,005 —0,001 0
25 0,3 0 0,014 0,052 0,105 0,072 0,046 0,028 0,015 0,006 0,002 0
0,4 0 0,011 0,039 0,081 0,134 0,095 0,063 0,037 0,018 0,005 0
0,5 0 0,008 0,028 0,057 0,097 0,143 0,097 0,057 0,028 0,008 0
0,6 0 0,005 0,018 0,037 0,063 0,095 0,134 0.081 0,039 0,011 0
0,7 0 0,002 0,006 0,015 0,028 0,046 0,072 0,105 0,052 0,014 0
0,8 0 —0,001 -0,005 —0,007 —0,006 -0,001 0,010 0,031 0,064 0,018 0
0,9 0 —0,005 —0,016 -0,028 -0,040 —0,049 -0,051 -0,045 -0,023 0,022 0
1,0 0 —0,007 —0,027 -0,050 —0,074 —0,096 —0,113 —0,120 -0,111 -0,076 0
0 0 —0,074 —0,107 -0,115 -0,107 —0,090 —0,069 -0,046 -0,024 —0,007 0
0,1 0 0,022 —0,022 —0,043 —0,049 —0,046 -0,038 —0,027 -0,015 —0,005 0
0,2 0 0,018 0,064 0,030 0,010 -0,001 -0,006 —0,007 —0,005 -0,001 0
0,3 0 0,013 0,050 0,104 0,068 0,043 0,025 0,012 0,005 0,001 0
50 0,4 0 0,011 0,037 0,078 0,054 0,130 0,092 0,090 0,059 0,034 0,016 0,025 0,005 И,007 0
\ 0,5 i 0,007 \ 0,005 0,025 и, 138 * *и,1ю4
\ 0,6 \ 0 \ 0,016 0.034 0.059 О.О9О ' ' . 0,130 0,078 0.037 О 011 у О
/ 0.7 /о / о.оо/ 0.005 0,012 0,025 0,043 0,068 0,104 \ 0.050 \ 0.01з\ 0
/ 0,8 —0,001 —0.005 -0,007 —0,006 —0,001 0,010 0,030 0,064 0,018 0
/ 0,9 0 —0.005 —0,015 —0,027 —0,038 —0,046 —0,049 -0,043 —0.022 0,022 0
1,0 0 —0,007 -0,024 -0,046 -0,069 -0,090 -0,107 -0,115 -0,107 —0,074 0
0 0 -0,073 -0,103 -0,108 -0,099 -0,081 -0,061 -0,040 —0,021 —0,007 0
0,1 0 0,023 —0,020 -0,039 —0,045 -0,042 -0,034 —0,023 —0,013 —0,004 0
0,2 0 0,018 0,064 0,030 0,009 -0,002 -0,007 —0,007 —0,005 —0,001 0
100 0,3 0 0,012 0,047 0,098 0,063 0,038 0,021 0,010 0,003 0,001 0
0,4 0 0,009 0,032 0,070 0,121 0,082 0,052 0,029 0,014 0,004 0
0,5 0 0,005 0,021 0,047 0,083 0,128 0,083 0,047 0,021 0,005 0
0,6 0 0,004 0,014 0,029 0,052 0,082 0,121 0,070 0,032 0,009 0
0,7 0 0,001 0,003 0,010 0,021 0,038 0,063 0,098 0,047 0,012 0
0,8 0 —0,001 —0,005 —0,007 -0,007 -0,002 0,009 0,030 0,064 0,018 0
0,9 0 —0,004 -0,013 —0,023 -0,034 -0,042 -0,045 —0,039 —0,020 0,023 0
1,0 0 —0,007 -0,021 -0,040 -0,061 -0,081 -0,099 -0,108 -0,103 -0,073 0
0 0 -0,071 -0,098 -0,101 -0,090 —0,073 -0,053 —0,034 —0,018 —0,005 0
0,1 0 0,023 -0,018 —0,037 -0,042 -0,038 -0,031 —0,021 —0,012 —0,003 0
0,2 0 0,018 0,063 0,029 0,008 -0,003 -0,007 —0,007 —0,005 —0,001 0
150 0,3 0 0,012 0,045 0,095 0,059 0,034 0,018 0,008 0,003 0,001 0
0,4 0 0,007 0,029 0,065 0,114 0,075 0,047 0,026 0,012 0,003 0
0,5 0 0,005 0,019 0,042 0,077 0,121 0,077 0,042 0,019 0,005 0
0,6 0 0,003 0,012 0,026 0,047 0,075 0,114 0,065 0,029 0,007 0
0,7 0 0,001 0,003 0,008 0,018 0,034 0,059 0,095 0,045 0,012 0
0,8 0 —0,001 —0,005 -0,007 -0,007 -0,003 0,008 0,029 0,063 0,018 0
0,9 0 —0,003 —0,012 -0,021 -0,031 -0,038 —0,042 -0,037 —0,018 0,023 0
1,0 0 —0,005 —0,018 -0,034 -0,053 -0,073 -0,090 -0,101 -0,098 -0,071 0
0 0 -0,070 -0,096 -0,097 -0,084 -0,067 -0,048 -0,031 —0,016 —0,005 0
0,1 0 0,024 -0,017 -0,034 -0,039 -0,035 -0,028 -0,019 —0,011 —0,003 0
0,2 0 0,018 0,063 0,029 0,008 -0,003 —0,007 -0,007 —0,005 —0,001 0
200 0,3 0 0,012 0,044 0,093 0,057 0,032 0,016 0,007 0,003 0,001 0
0,4 0 0,007 0,026 0,060 0,109 0,070 0,043 0,024 0,011 0,003 0
0,5 0 0,004 0,015 0,037 0,070 0,114 0,070 0,037 0,015 0,004 0
0,6 0 0,003 0,011 0,024 0,043 0,070 0,109 0,060 0,026 0,007 0
0,7 0 0,001 0,003 0,007 0,016 0,032 0,057 0,093 0,044 0,012 0
0,8 0 —0,001 —0,005 -0,007 —0,007 -0,003 0,008 0,029 0,063 0,018 0
£
Продолжение табл. II1-3
£
а ₽ о 0,1 0.2 0.3 0,4 0,5 0.6 0,7 0.8 | 0.9 1.0
0,9 1,0 0 —0,003 —0,011 -0,019 -0,028 —0,035 —0,039 -0,034 -0 017 0,024 0
6 —0,005 —0,016 -0,031 -0,048 -0,067 -0,084 —0,097 —0,096 —0,070 0
0 о —0,069 —0,094 -0,093 -0,080 -0,062 —0,044 -0,028 -0,015 —0,004 0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 6 0 024 —0,016 -0,032 -0,036 -0,033 —0,026 —0,018 —0,010 —0,003 0
о 0,017 0,063 0,028 0,007 -0,003 -0,007 —0,007 —0,005 —0,001 0
6 0,011 0,041 0,090 0,053 0,028 0,013 0,005 0,001 0,000 0
250 0 о 0,005 0 003 0,023 0,013 0,055 0,034 0,103 0,065 0,065 0,109 0,038 0,065 0,021 0,034 0,010 0,013 0,003 0,003 0 0
6 0 003 0,010 0,021 0,038 0,065 0,103 0,055 0,023 0,005 0
6 0,000 0,001 0,005 0,013 0,028 0,053 0,090 0,041 0,011 0
о —0 001 —0,005 -0,007 -0,007 -0,003 0,007 0,028 0,063 0,017 0
6 —0 003 —0,010 -0,018 -0,026 -0,033 -0,036 —0,032 —0,016 0,024 0
6 -0,004 —0,015 -0,028 —0,044 -0,062 -0,080 —0,093 —0,094 —0,069 0
о о —0 069 —0,092 -0,089 —0,075 -0,057 —0,041 -0,026 -0,014 -0,003 0
0,1 6 0,025 —0,014 -0,030 —0,034 -0,030 —0,024 —0,016 —0,009 —0,002 0
0 2 6 0,017 0,062 0,028 0,007 -0,003 -0,007 —0,007 —0,005 —0,001 0
0 3 о 0,010 0,039 0,087 0,050 0,025 0,011 0,003 0,000 0,000 0
300 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 о 0,005 0 003 0,020 0,012 0,052 0,030 0,099 0,061 0,061 0,104 0,035 0,061 0,019 0,030 0,009 0,012 0,003 0,003 0 0
6 0 003 0,009 0,019 0,035 0,061 0,099 0,052 0,020 0,005 0
о 0 000 0,000 0,003 0,011 0,025 0,050 0,087 0,039 0,010 0
6 —0 001 —0,005 -0,007 -0,007 —0,003 0,007 0,028 0,062 0,017 0
о —0,002 —0,009 -0,016 -0,024 -0,030 -0,034 —0,030 —0,014 0,025 0
6 —0,003 -0,014 -0,026 -0,041 -0,057 -0,075 —0,089 —0,092 —0,069 0
о о —0 068 —0,089 —0,085 -0,070 -0,053 -0,037 -0,023 -0,012 —0,003 0
0,1 0,2 0,3 ) 0,4 о 0 025 —0,013 —0,029 -0,032 -0,028 -0,022 —0,015 —0,008 —0,002 0
о 0,017 О'062 0,027 0,006 —0,004 -0,008 —0,007 —0,005 —0,001 0
6 0,009 0,038 0,085 0,047 0,023 0,009 0,002 0,000 0,000 0
35( 6 0,004 0,018 0,048 0,094 0,057 0,032 0,017 0,008 0,010 0,018 0,002 0,002 0,004 0 , о
0,5 V 0,002 \ 0,002 0,010 \ 0.008 0,027 \ 0,017 0,057 0,032 0,100 0,057 0,094 у 0,048 1°
/ 0,7 А / 0,000 / о.ооо 0,002 0,009 0,023 0,047 0,085 \ 0,038 \ о,оод\ о
/ 0,8 ° —0,001 —0,005 —0,007 —0,008 —0,004 0,006 0,027 0,062 0,017 0
0,9 0 —0,002 —0,008 —0,015 —0,022 —0,028 —0,032 —0,029 -0 013 0,025 о
1,0 0 —0,003 -0,012 -0,023 -0,037 -0,053 -0,070 -0,085 -0,089 -0,068 0
0 0 -0,067 -0,087 -0,082 -0,067 —0,049 -0,034 -0,021 -0,011 -0,003 0
0,1 0 0,025 -0,013 -0,028 -0,030 -0,027 -0,021 -0,014 -0,008 -0,002 0
0,2 0 0,017 0,062 0,027 0,006 -0,004 -0,008 -0,007 -0,005 -0,001 0
0,3 0 0,009 0,037 0,083 0,046 0,021 0,008 0,002 0,000 0,000 0
400 0,4 0 0,002 0,016 0,045 0,091 0,054 0,030 0,016 0,008 0,002 0
0,5 0 0,001 0,008 0,025 0,053 0,096 0,053 0,025 0,008 0,001 0
0,6 0 0,002 0,008 0,016 0,030 0,054 0,091 0,045 0,016 0,002 0
0,7 0 0,000 0,000 0,002 0,008 0,021 0,046 0,083 0,037 0,009 0
0,8 0 -0,001 -0,005 -0,007 -0,008 -0,004 0,006 0,027 0,062 0,017 0
0,9 0 —0,002 -0,008 -0,014 -0,021 -0,027 -0,030 -0,028 —0,013 0,025 0
1,0 0 —0,003 -0,011 -0,021 -0,034 -0,049 -0,067 -0,082 -0,087 -0,067 0
0 0 -0,066 -0,085 -0,079 -0,063 -0,046 -0,031 -0,019 -0,010 -0,003 0
0,1 0 0,025 -0,012 -0,027 -0,029 -0,025 -0,020 -0,013 -0,007 -0,002 0
0,2 0 0,017 0,061 0,026 0,006 -0,004 -0,008 -0,007 -0,005 -0,001 0
0.3 0 0,009 0,036 0,081 0,043 0,020 0,006 0,001 0,000 0,000 0
450 0,4 0 0,002 0,014 0,042 0,088 0,051 0,029 0,016 0,007 0,002 0
0,5 0 0,001 0,006 0,022 0,050 0,092 0,050 0,022 0,006 0,001 0
0,6 0 0,002 0,007 0,016 0,029 0,051 0,088 0,042 0,014 0,002 0
0,7 0 0,000 0,000 0,001 0,006 0,020 0,043 0,081 0,036 0,009 0
0,8 0 -0,001 -0,005 -0,007 —0,098 —0,004 0,006 0,026 0,061 0,017 0
0,9 0 —0,002 -0,007 -0,113 -0,020 -0,025 -0,029 —0,027 -0,012 0,025 0
1,0 0 -0,003 -0,010 -0,019 -0,031 -0,046 -0,063 -0,079 -0,085 —0,066 0
0 0 -0,066 -0,084 -0,077 -0,061 -0,044 -0,029 -0,018 -0,010 -0,003 0
0,1 0 0,025 -0,012 -0,026 -0,028 -0,024 -0,019 -0,013 -0,007 -0,002 0
0,2 0 0,017 0,061 0,026 0,006 -0,004 -0,008 —0,007 -0,005 -0,001 0
0,3 0 0,009 0,035 0,080 0,042 0,019 0,006 0,001 0,000 0,000 0
500 0,4 0 0,002 0,012 0,039 0,085 0,048 0,025 0,013 0,006 0,002 0
0,5 0 0,000 0,005 0,020 0,047 0,089 0,047 0,020 0,005 0,000 0
0,6 0 0,002 0,006 0,013 0,025 0,048 0,085 0,039 0,012 0,002 0
0,7 0 0,000 0,000 0,001 0,006 0,019 0,042 0,080 0,035 0,009 0
0,8 0 -0,001 -0,005 -0,007 -0,008 -0,004 0,006 0,026 0,061 0,017 0
00 сл 0,9 0 -0,002 -0,007 -0,013 —0,019 -0,024 -0,028 -0,026 -0,012 0,025 0
1,0 0 -0,003 -0,010 -0,018 -0,029 —0,044 -0,061 -0,077 -0,084 -0,066 0
Рис. Ш-10
Пример 111-7. Балка нагружена че-
тырьмя сосредоточенными силами Ря
Р2, Рз и Pt (рис. П1-10). J
Требуется построить эпюры р, Q и
М, если Pt= 50, Р2= 120, Ра= 100,
Р ъ= 30 Т\ Р = 10 м, b= 1,5 м, /31—Ж
/з2== 4, ^зз== 7, laii== 10 м\ cl == 300.
Решение. По условию задачи
₽. = ₽ = -т- = о>1;
₽2 = ₽=-^=0,4;
₽з = ₽=-^ = 0,7;
₽4 = ₽ = ~^ = 1-
а) Для определения ординат рг от
силы Рг из табл. II1-1 берем данные Л
соответствующие а = 300 и |31=|3=О,я
для всех значений рг от g =0 до £= 1.
Умножив каждую ординату соглас-
но формуле (Ш-23) на =„———= =
= 3,333, получим значения рх в рая
личных точках:
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
Pi 5,546 3,630 2,235 1,270 0,653 0,291 0,099 —0,008 —0,121 —0,326 —0,710
Pi 18,485 12,099 7,449 4,233 2,176 0,970 0,330 —0,027 —0,403 — 1,087 —2,366
б) Для определения ординат р2 от силы Р2 берем из табл. Ш-11
данные р2, соответствующие а = 300 и |32= (J = 0,4, для всех значений
р2 от g = 0 до £ = 1. Умножив каждую ординату согласно формуле
(Ш-23) на = ———— = 8, получим значения р2 в различные
bL 1,5- 10
точках:
86
е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
0,546 1,217 1,552 1,619 1,490 1,235 0,924 0,625 0,410 0,351 0,514
Р2 4,368 9,736 12,416 12,952 11,920 9,880 7,392 5,000 3,280 2,808 4,112
б) Для определения ординат р3 от силы Р3 берем из табл. Ш-1
данные р3, соответствующие а = 300 и (J3= ₽ = 0,7, для всех значений
р3 от g = 0 до g = 1. Умножив каждую ординату согласно формуле
(Ш-23) на —— = 6,666, получим значения р3 в различных
точках:
£ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Рв —0,030 0,061 0,228 0,449 0,709 0,989 1,271 1,539 1,774 1,959 2,074
Ра —0,200 0,407 1,520 2,993 4,726 6,593 8,472 10,259 11,825 13,059 18,825
г) Для определения ординат р4 от силы Р4 из табл. Ш-1 берем дан-
ные р4, соответствующие а = 300 и |34= 0 = 1, для значений р4 от g =
— 0 до g = 1. Умножив каждую ординату согласно формуле (Ш-23)
Рл 30 О
на —------------= 2, получим значения р4 в различных точках:
bL 1,5- 10
• е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
р» —0,985 —0,490 -0,293 —0,252 -0,230 —0,088 0,316 1,120 2,467 4,49 7,337
Pt — 1,970 —0,980 —0,586 —0,504 —0,460 —0,176 0,632 2,24oj4,934 8,984 14,674
Пользуясь принципом независимости действия сил, для получения
^£личин р берем алгебраическую сумму р = рг+ рг+ р3+ pt:
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Р 18,883 21,262 20,799 19,674 18.362 17,267 16,826 17,472 19,636 23,764 30,245
Эпюра р построена на рис. II1-10.
Действуя аналогично, находим ординаты Q и М.
Эпюры Q и М построены на рис. III-10.
87
Пример III-8. Балка нагру.
жена четырьмя сосредоточенны-
ми силами Plt Р2, Ps и Р4 (рис.
Ш-11). Требуется построить эпю-
ры р, Q и М, если а — 300; Р1==
= 25, Р2= 50, Р3= 75, Р4= 30 Г;
L — 10 м\ Z31= 0, Z32= 0,3 L ~ з’
Z33= 0,7 L = 7, Za4 = L = 10 м.
Решение. Для этой| задачи
имеем:
Pi = ₽ = ^- = 0;
р = р = Ai =
V2 r L L
p_ = p = h*. = -°-’7 L
гз L L
p. = p ='Л* = _L =
P4 P ‘ L L
I
= 0,3;
= 0,7;
1.
Сначала строим эпюру реак-
тивных давлений р. Для этого
из табл. II1-1 берем данные р, со-
ответствующие а = 300; Pj= (3=0;
(32= (3 = 0,3; (З3= ₽ = 0,7 и р4=
= (3 = 1, для всех значений g от
нуля до единицы.
Для получения величин р взя-
тые из таблицы значения р на ос-
новании формулы (II1-23) умножа-
ем: данные для а = 300; (Зг = 0 на
— ; данные для а — 300; |32 — 0,3
bL
на — ; данные для а = 300;
bL
р
(З3 = 0,7 на — ; данные для а =
bL
= 300; |34= 1 на .
bL
Пользуясь принципом незави-
симости действия сил, найдем ор-
динаты р (табл. II1-4).
Чтобы построить эпюру Q, необходимо из табл. Ш-2 взять данные»
соответствующие а ~ 300; (31= (3 =0; (32= (3 = 0,3; (З3= (3 = 0.'
и |34= (3 = 1, для всех значений j от нуля до единицы.
Для получения величин <2 взятые из таблицы значения Q на осно-
ве
рании формулы (Ш-24) умножаем: данные для а = 300 и pt= 0 на
р ; данные для а = 300 и р2= 0,3 на Р2; данные для а = 300 и р3=
0,7 на Р3; данные для а = 300 и р4= 1 на Р4.
Пользуясь принципом независи-
мости действия сил, найдем ординаты Q
(табл. II1-5).
Для построения эпюры Л4 необхо-
димо из табл. Ш-3 взять значения
дТ соответствующие а = 300; рх =
= р = 0; р2 = р = 0,3; рл = р = 0,7 и
pt= р — 1, в сечениях от j = 0 до
I = к _
Для получения величин Л4 взятые
из таблицы значения М на основании
формулы (Ш-25) умножаем: данные
для а = 300 и р,— 0 на PjL; данные
для а = 300 и р2= 0,3 на PZL; данные
для а = 300 и р3= 0,7 на PaL\ данные
для а = 300 и р4= 1 на Р4Р.
Пользуясь принципом независимости
действия сил, найдем ординаты М
(табл. Ш-6). Эпюры р, Q и М построе-
ны на рис. Ш-11.
Пример 1П-9. Балка нагружена че-
тырьмя сосредоточенными силами Ръ
Рг, Рз и Р4 (рис. III-12). Для данной
балки построены эпюры р, Q, М при
а = 100.
Рис. III-12
На странице 397 в формулах: Х-122 и Х-123 значение QaE< Qac< Qab
и О'1
4Ad считать равным нулю.
Таблица Ш-4
Значения р
Вид балки Участки
0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 1,0
а = 300; ₽ = 0; Л =257; Р1=7-£г DL таож Юм 18,342 11,230 6,167 2,800 0,790 —0,220 —0,575 —0,630 -0,732 —1,225 —2,462
а = 300; ₽ = 0,3; Ра — 507, Pt — р OL Юм _ . 10,370 9,795 8,870 7,695 6,355 4,945 3,545 2,245 1,140 0,305 —0,150
Продолжение табл. 111-4
Вид балки Участки
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Р3 а =300; ₽ = 0,7; — Рз = 757; р3 - р 3 OL . 7,0 . р Юм, —0,225 0,457 1,170 3,367 5,317 7,418 9,532 11,543 13,305 14,692 15,555
в = 300; р=1; — == ЗОТ; р4 = р — uL д. ШНИ Юм —2,955 —1,470 —0,879 —0,756 —0,690 —0,264 0,948 3,360 7,401 13,476 22,011
Р = Pl + Рз + Рз + Pi Р' Г2 Р Р ЖЖЖ Юм 25,532 20,012 15,328 13,106 11,772 11,879 13,450 16,518 21,114 27,248 34,954
Таблица III-5
Значения Q
Вид балки Участки
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
а = ЗС 0; р = 0; 25 7; Qi = QP Р, WWW Юм ’1 —25,000 -10,375 — 1,875 2,525 4,225 4,425 3,975 3,375 2,725 1,775 0
а = 31 )0; ₽ = 0,3;_ 50 7; Qs = Q1 eows 10 м 0 10,050 19,450 27,750 —22,250 -15,200 -9,550 -5,300 -2,450 —0,750 -0,050 0
Продолжение табл. III-5
Вид балки Участки
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
" II н ; в а. 00; 3 = 0,7; 75 7; Q3 = Qi , 7,0 □3 0 0,075 1,125 3,675 7,950 14,325 22,800 33,375 —41,625 -29,175 -15,075 0
жмж Юм
а = 300: ₽= 1; Р4 - 30 Т; Q4 = Q1 [ Юм „ 0 —2,130 —3,270 —4,050 —4,770 -5,310 —5,070 —3,030 2,250 12,450 30,0
11 1 О’ 93 ’i+Qa+Cs'+Q р1 к р Юм . р* —25,000 —2,380 15,430 —20,100 -7,795 3,890 16,405 31,270 —43,730 —24,950 -0,900 30,0
Таблица Ш-6
Значения М
Вид балки Участки
0 0,1 0.2 0 3 0.4 0.5 0,6 0,7 0.8 0,9 1,0
а=ЗОС Р1=2Е ; ₽ = 0; Г; M^MPj. Pf 10 м L 0 —17,250 —23,00 —22,250 18,750 —14,250 -10,250 —6,500 —3,500 —0,750 0
а=30( Р2=5 ); ₽=0,3; 0 Т; Мг = ЛЙ Л0.\Рг Юм _ РгЬ 0 5,000 19,500 43,500 25,000 12,500 5,500 1,500 0 0 0
Продолжение табл. Ш-6
Вид балки Участки
0 0.1 0.2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
« II 1! » 0; Р=0,7; 5 Г; Af3=MP3L tML 0 0 0 2,250 8,250 18,750 37,500 65,250 29,250 7,500 0
жж» Юм r
II _ со О 0; ₽=1; 0 Т; Mt. =~М ШЖШ Юм P.L 0 -0,900 —4,200 —7,800 —12,300 -17,100 -22,500 -26,700 -27,600 —20,700 0
Л4=Л 11+М2+Л43— р> р ь миЫ Юм М4 0 —13,150 —7,600 15,700 2,200 0,100 10,250 33,550 — 1,850 -13,950 0
ГЛАВА IV
РАСЧЕТ БАЛКИ, ЛЕЖАЩЕЙ
НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ ОСНОВАНИИ,
НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ИЗГИБАЮЩИХ
МОМЕНТОВ
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ
ДЕЙСТВИЯ НА БАЛКУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ
ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ (РИС. IV-1)
Пользуясь общими формулами из главы I, выведенными для прока»
вольных нагрузок, получаем общие формулы для сосредоточенны!
изгибающих моментов.
Параметры:
13440 5 а
0 13440 +29а
аг 13440 5а
3 — 13 440 +29а ’ (IV-1)
аг 2560 — 10 а Е Mi ,
"3“— 2048 +а ’ L2 ’
а3 768 + 6а Е/И;
"Тб" — 2048 + а L2 •
Реактивные давления грунта на балку определяем по формулу
(П-16).
Поперечные силы
96
Q = ^(2t- 1)—ioOo. + SaJ + -Ь-S At, +
+ 2о,!Ц^Ч8а,!Ц^+48а,<^1£. (IV-2)
zl «51 *1 J
Изгибающие моменты:
M = ( — (10a, - 5aa + За3) + - 1) - -L (10a, + 3a3) +
( 240 L *
г!;1ф+а:,!Ц^41»,^* +
<51 1
+ 48 a3 j L2 — £ Г₽а/ Mp (IV-3)
где
В = {[8(1 — P2)3 - И - 24Ф=°-5 (0,5 - ₽и)2}. (IV-4)
§ 1. Формулы для сосредоточенного
изгибающего момента Ма, действующего
на балку в произвольном сечении
(рис. IV-2)
Пользуясь общими формулами (IV-1) — (IV-4), получаем:
Параметры:
13 440 В a
0 13440 + 29a
о2 _ 13 440 В a
~3~— 13 440 +29a ’
a, 2560 — 10 a MA
T = 2048 +a ’ L2 ’
a3 768 + 6a Мл
TO = — 2048 + a ’ “ 7.2 ’
(IV-5)
Реактивные давления определяем по формуле (П-16).
Поперечные силы:
97
Q = (2с - 1) —± (iOfll + Зп3) +^MA +
+ 2fli (Lz£JL2 + 8й2 M + 48Оз (±^5Г) L.
1 2! 3! 3 41 J
Изгибающие момента:
М = Ц- (10а1 - 5п2 +З«3) + Г-^G - 1) -
-^(1^. + За.) + ±Мл] Е + 2а, +
+ + 48а.<^5П L«- Г, Мл,
2 4! 3 5! J ₽2 А
где из формулы (1V-4) имеем:
в = -W- !18(‘ - ^3-11 - 24 г°,=0’5 <0’5 - ^21-
§ 2. ТАБЛИЦЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛКИ,
НАГРУЖЕННОЙ СОСРЕДОТОЧЕННЫМ ИЗГИБАЮЩИМ
МОМЕНТОМ, ПРИЛОЖЕННЫМ В ПРОИЗВОЛЬНОМ
МЕСТЕ (РИС. IV-3)
(IV-6)
(IV-7)
Для составления расчетных табл. IV-1, IV-2 и IV-3 используем
формулы (IV-4) — (IV-7). После некоторых их преобразований для
рассматриваемого случая получаем:
Параметры:
( М, 4- ма ! L \21
13 440(1 ГТяП-I8;L — Za)S — Го
д = . —--------------- - —
13 440 + 29а
13440 а Г 1 — 8 1 м
L 48 0 2 J I МА
13 440 + 29 а J ~ZJ
мА
~аО £2 >
(IV-8)
98
40 320 “ {5г[8(L ~Za)S - LSJ - г° 5г" (Т - 41
13 440 +29 а
4„_ Гс^.° 1
а, = [ «3 = 13 440 + 29 _ Л - а2 — 2560— 10 а 1 Q . 2048 +a J Г 768 + 6 а I — 10 • — L 2048 + “J а 1 £2 ф; (iv-9) I МА - МА = (IV-10) 1 мд _ м. -i4- = 03-t4-. (iv-ii)
Подставляя значения а0, alt а2 и а3 из формул (IV-8) — (IV-11) в
формулы (П-16), (IV-6) и (IV-7), получаем:
Реактивные давления:
р=\а0 + 2а^ — 0,5) + 4а2(? — 0,5)2 +
— М. — М,
+ 8а3(£ - 0,5)3} = р . (IV-12)
Поперечные силы:
Q = (2$ - 1) —(Юп, + За3 + 1) +
+ a,G — 0,5)2 + (S — 0,5)3 +
+ 2а3 (Е - 0,5)4} —Д- = <2 -Д-. (IV-13)
Изгибающие моменты:
M = {^(10H,-5a2 + 3a3)+[^-(S-l)-
-11б(Юа1 + ЗЪ3)+ ф + ?|-0-0,5)3 +
+ ф(?-0,5)4+ 4й3£-0,5)*-^ • 1}м, =
= ММА. (IV-14)
Здесь р, Q и М — безразмерные величины, включенные в фигур-
ные скобки формул (IV-12) — (IV-14).
Учитывая действительную ширину балки Ь, расчетные формулы
(IV-12) — (IV-14) для данного вида нагрузки примут следующий
вид:
99
Реактивные давления:
Поперечные силы:
Изгибающие моменты:
Р~Р М* ’ Т/М%- (IV-15)
q = q_^_, Т. (IV-16)
М =~ММА, Т.н (IV-17)
Для безразмерных величин р, Q и М, входящих в формулы (IV-15)—
(IV-17), составлены табл. IV-1, IV-2 и IV-3. . j
Пример IV-1. Балка длиной
L и шириной b = I м нагруже-
на сосредоточенным моментом
МА (рис. IV-4).
Т ребуется построить эпюры
р, Q и М, если а = 200; /2=
= 0,2 L.
Решение. По данным за-
дачи
Рис. IV-4
Рис. IV-5
1 Пользуясь табл. IV-1, IV-2 и IV-3 при а = 200 и р = 0,2, а такаЛ
формулами (IV-15) — (IV-17), находим ординаты р, Q и М.
По полученным ординатам построены эпюры р, Q и М (рис. IV-4)-
100
Пример IV-2. Железобетонная рама опирается на фундаментную
балку, лежащую на сплошном упругом основании (рис. IV-5)*. На
балку со стороны рамы по концам действуют две равные сосредоточен-
ие силы Рх= Р2= 25 Т и два изгибающих момента МА—МВ —
10 Т-лг, по всей длине балка нагружена равномерно распределен-
ной нагрузкой q = 10 Т/м*.
Требуется построить эпюры р, Q и М , если ширина фундаментной
балки b = 1 м\ предварительная высота балки h — 0,5 лц длина балки
д = 5 м\ коэффициент Пуассона грунта р0= 0,4; модуль деформации
грунта .Ео= 5000 Т1м\ модуль упругости материала балки Е —
J 2-106 Т1м\ /31= 0; /32= 5.
Решение. По условию задачи
₽! = ₽ = 0, ₽а = ₽=1.
По формуле (1-27 б) показатель гибкости
т.Е^ЬЬ* 3,14 - 5000 • 1 • 5s nn
a =-----"----=---------------------- = 99 « 10U.
—Ho) 2 10е 1 °’5 - -0,984
12
Пользуясь табл. П-1, П-2 и П-З и формулами (П-ЗЗ), (П-37) и
(П-38) (при а= 100, р = 0), найдем значения ординат pv Qv и
от действия равномерно распределенной нагрузки q = 10 Т!м2, т. е.
е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
pi 16,34 12,92 10,25 8,35 7,21 6,83 7,21 8,35 10,25 12,92 16,34
Qi 0 2,30 3,05 2,65 1,55 0 —1,55 —2,65 —3,05 —2,30 0
Mi 0 0,50 2,00 3,50 4,50 5,00 4,50 3,50 2,00 0,50 0
По табл. Ш-1, Ш-2, Ш-3 и формулам (Ш-23)—(III — 25) (при
о. = 100, р!= р = 0 и р2= р = 1) находим ординаты р2, Q2 и М2 от
действия сосредоточенных сил Рт= Р2= 25 Т, т. е.
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0.5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
₽г 24,06 16,47 10.5S 6,34 3,81 2,97 3,81 6,34 10,53 16,47 24,06
с. —25 -14.95 —8,25 —4.10 — 1,62 0 1.62 4,10 8,25 14,95 25,00
Л12 0 —10,00 -15,75 -18,75 —20,12 —20.50 -20,12 -18.75 15.75 -10,00 0
* Здесь и во всех подобных примерах этой главы предполагается, что рамы
Жестко заделаны в балку.
101
Пользуясь табл. IV-1, IV-2, IV-3 и формулами (IV-15)— (IV-]i)
(при а = 100, |3 = 0 и |3 = 1), находим ординаты р3, Q3 и 7И3 от деИ
ствия изгибающих моментов МА=МВ= 10 Т-м:
£ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0.9 1,0
р» 2,74 1.26 0,11 -0.71 -1.21 -1,37 -1.21 0.71 0,11 1,26 2.74
Qs 0 0,988 1,316 1,152 0,658 0 -0,658 -1,152 -1,316 -0.988 0
м3 — 10 -9,72 -9.12 -8.49 —8,03 —7,86 -8,03 -8,49 -9,12 -9,72 —10
Сложив соответствующие ординаты, получим значения ординат
р, Q и М:
Е 0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
р 43,14 30,65 20.92 13,98 9,71 8,43 9,71 13,98 20,92 30.65 43.14
<3 -25,03 -11,67 —3,88 —0.30 0,59 0 -0.59 0,30 3,88 11,67 25,00
м -10,00 -19.22 -22,87 -23.67 -23,65 -23,36 -23.65 —23,67 -22,87 —19,22 -10,00
По полученным данным на рис. IV-5 построены эпюры р, Q и ЛЬ
Пример IV-3. Дена железобетонная рама, основанная на сплошной
фундаментной балке, лежащей на грунте (рис. IV-6). Из обычного рай-
чета рамной конструкции определено, что действие рамы на балку
состоит из двух сосредоточенных сил, равных 80 Т каждая, и двух
моментов, по величине равных 10 Т-м каждый.
Требуется построить эпюры р, Q и М для данной балки, если шири-'
на фундаментной балки b = 1 м; предварительная высота балки
h — 0,4 м\ длина балки L = 8 м\ модуль деформации грунта Ед
= 1330 Т/м2-, модуль упругости материала балки Е = 2-106 Т/л%\
р1= р2= 80 Т; МА= Мв= 10 Т-м.
102
Решение. Для данной задачи
₽i = ₽ = -V = 0,2; ₽2 = ₽=^ = 0,8.
о о
Пользуясь формулой (1-27 б), найдем показатель гибкости:
_ _ 3,14- 1330 • 1 • 8s ~ 200
(1 - У-о)Е1 (1 _ о,42)2 • 10е • °’4*
♦ ММ
пшш
36.П1
Рис. IV-6
Рис. IV-7
А В
103
По табл. Ш-1, Ш-2, Ш-3 и формулам (Ш-23) — (Ш-25) при
а = 200; fl = 0,2 и fl = 0,8 находим ординаты для Q, и Мъ полу,
ченные в результате действия сосредоточенных сил Pi— Р2= 80 Т.
Посредством табл. IV-1, IV-2, IV-3 и формул (IV-15) — (IV-17)
при тех же а = 200, fl = 0,2 и fl = 0,8 находим ординаты для р2>
Q2 и М2 от действия изгибающих моментов МА = Мв = 10 Т-м.
Сложив соответствующие ординаты, построим эпюры р, Q и Л(
(рис. IV-6).
Пример IV-4. Дана угловая подпорная стенка (рис. IV-7).
Требуется построить эпюры р, Q и М для ее фундаментной плиты,
если угол трения между грунтом и стенкой <p0= 0°; угол внутреннего
трения грунта (нормативный) <р = 30°; коэффициент трения между
грунтом и материалом плиты f — 0,58; объемный вес грунта у =
= 1,8 TIms\ объемный вес железобетона Д = 2,4 Т!мй\ модуль дефор-
мации грунта Ео= 4100 Т1м2\ модуль упругости материала плиты
Е = 2-106 Т1м2-, высота подпорной стенки Н2= 4 м.
Предварительные размеры конструкции стенки: толщина верти-
кальной стенки вверху 6j= 0,12 м\ толщина вертикальной стенки вни-
зу 6 2= 0,25 м; толщина фундаментной плиты h = 0,20 м; ширина
фундаментной плиты L = 2,5 м.
Решение. На единицу длины стенки действуют следующие
силы:
а) активные давления грунта (в Т):
Ri = tg2 (45° — — 'j = 0,3,
1 2 \ 2 /
1,8-0,2(0,2 + 2- 1) t 2 /45о
——^ = 0,132,
2 /
Р3 = 1,82 4,0» t 2 /45О _ 30^\ 4 8
3 2 ^. 2 /
R = 1,8 ' °-2(°-2 + 2 - 4) tg2/45o _30^\ = 0,492;
* Q ° I Q I
б) вес фундаментной плиты (в Т/м2)'.
q = 2,40-0,20-1,00 = 0,48;
в) интенсивность давления грунта на фундаментную плиту (Т/м®):
слева
q'= 1,8-1,0 = 1,8;
справа
104
q"= 1,8-4,0 = 7,2;
г) полная_распределенная нагрузка на плиту (в 7Ли2):
слева
справа
91= <7 + ?'= 2,28;
42= q + q"= 7,68;
д) вес вертикальной части стенки:
р = 2,4 • 0,12 + 0,25 • 4 = 1,776 Т.
2
Распределяя вес стенки (в Т/м2) по ее толщине, получаем
9<=т
-1-77g_ = 7,104.
1 • 0,25
Так как величина q'” близка к qz, то нагрузку на плиту справа
принимаем q'” =qz = 7,68 Т!м2.
Проверка стенки на сдвиг.
Полная вертикальная нагрузка на фундаментную плиту
р = 1-0,4- 1,5-92= 13,80 7.
пол. верт 41 i i и
Сила трения, возникающая между фундаментной плитой и ее ос-
нованием, j
Т = fP = 0,58-13,80 = 8,01 7.
Сдвигающая сила
R = 4,8 4- 0,492 — 0,3 — 0,132 = 4,86 7.
Условие~устойчивости на сдвиг
1,65 > 1,62.
4,86
Проверка стенки на опрокидывание
105
7 1 \ 7 1,5\
0,3 0,2+ — j+2,28- 1 -0,5 + 7,68- 1,5 1 + —
---А--------12---------------------------------------= 2,91 > 1,62.
[ 4 \
4,8 0,2 +—
\ О /
Расчет фундаментной плиты.
Фундаментную плиту рассматриваем как балку шириной b = 1
и длиной L — 2,5 м, лежащую на упругом основании и нагруженную
двумя видами распределенной нагрузки и одним моментом Л1с
(рис. IV-7).
Для расчета фундаментной плиты необходимо предварительно
определить показатель гибкости а:
1—р.2 itEobL3 _ 3,14 4100 1- 2,5» ~
а ~ 1 _ „2 Е7 ~ t 1-0,2» ~
1 — Р-о 2 • 10е -----
12 I
Принимая условно распределенную нагрузку qr, действующую по
всей длине балки, а нагрузку (q2— <Л) на правой ее части, и пользуясь
табл. П-1, П-2, Н-З и формулами (П-33), (II-37) и (П-38), находим
значения ординат р,, Qx, Мг и р2, Q2, Л12 от нагрузок qx и (q2—<7i).
По табл. IV-1, IV-2, IV-3 и формулам (IV-15), (IV-16) и (IV-17) находим
ординаты р3, Qa и М3 от момента Л1С, равного
Здесь Мс — момент от горизонтальных сил, приложенных к верти-
кальной стенке, относительно нейтральной оси сечения плиты. 1
По данным ординатам на рис. IV-7 построены эпюры р, Q и М.
Пример IV-5. Балка нагружена равномерно распределенной на-
грузкой q — 20 Т/м2, сосредоточенной силой Р = 100 Т и изгибающим
моментом = 30 Т-м (рис. IV-8, а).
Требуется построить эпюры р, Q и М, если а = 25; /21= 2 л;
131= 7 м; L — 10 м\ b = 1 м.
Решение. Сначала, пользуясь табл. П-1, П-2 и П-3, строим
эпюры рх, Qj и Л1х от действия равномерно распределенной нагрузки
(рис. IV-8, б). И
Затем, пользуясь табл. II1-1, Ш-2, Ш-З, строим эпюры р2, Сг
и М2 от действия сосредоточенной силы (рис. IV-8, в). Пользуясь
табл. IV-1, IV-2 и IV-3, строим эпюры р3, Q3h М3 от действия сосредо-
точенного изгибающего момента (рис. IV-8, а).
Путем алгебраического сложения одноименных ординат, т. е.
р = Pi+ Р2+ Ps'i Q — Q3 и = ЛД+ Л12+- М3, получим
результирующие эпюры р, Q и М.
На рис. IV-8, а построены эпюры р, Q и М для всей нагрузкИ-|
106
Рис. IV-8
Таблица IV-1
Сосредоточенный изгибающий момент М (рис. 1V-3)
- - мА
Значения р;
Е
а Р 0 0,1 0,2 0,3 о,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
0 0-1,0 7,500 4,920 3,060 1,740 0,780 0 -0,780 -1,740 -3,060 -4,920 -7,500
п 8,759 5,395 3,002 1,363 0,269 -0,494 -1,139 -1,877 —2,922 -4,487 -6,783
25 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 8,751 8,697 8,545 8,253 7,771 7,289 6,997 6,845 6,791 6,783 5^371 5,367 5,297 5,163 4,941 4,719 4,585 4,515 4,469 4,487 3,001 2,999 2,993 2,981 2,962 2,943 2,931 2,925 2,923 2,922 1,365 1,379 1,419 1,495 1,620 1,745 1,821 1,861 1,875 1,877 0,273 0,297 0,363 0,492 0,704 0,916 1,045 1,111 1,135 1,139 -0,490 -0,463 -0,387 -0,241 0 0,241 0,387 0,463 0,490 0,494 -1,135 -1,111 -1,045 -0,916 -0,704 -0,492 -0,363 -0,297 -0,273 -0,269 -1,875 -1,861 -1,821 -1,745 -1,620 -1,495 -1,419 -1,379 -1,365 -1,363 —2,923 -2,925 -2,931 -2,943 -2,962 -2,981 —2,993 -2,999 -3,001 —3,002 —4,469 -4,515 -4,585 -4,719 -4,941 —5,163 -5,297 -5,367 -5,371 -5,395 —6,791 -6,845 —6,997 -7,289 -7,771 -8,253 -8,545 -8,697 -8,751 -8,759
50 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 9,917 9,903 9,797 9,511 8,955 8,037 7,119 6,563 6,277 6,171 6,157 5,829 5,799 5,774 5,642 5,386 4,964 4,542 4,286 4,154 4,083 4,099 2,943 2,943 2,938 2,927 2,905 2,868 2,831 2,809 2,798 2,793 2,793 1,015 1,019 1,046 1,121 1,265 1,501 1,741 1,887 1,962 1,989 1,993 -0,197 -0,191 -0,144 -0,019 0,226 0,630 1,034 1,279 1,404 1,451 1,457 -0,940 -0,933 —0,880 -0,737 -0,459 0 0,459 0,737 0,880 0,933 0,940 -1,457 -1,451 -1,404 -1,279 -1,034 -0,630 -0,226 0,019 0,144 0,191 0,197 -1,993 -1,989 -1,962 -1,887 -1,741 -1,501 -1,265 -1,121 -1,046 -1,019 -1,015 -2,171 —2,164 ! —2,793 -2,793 -2,798 -2,809 -2,831 -2,868 -2,905 -2,927 -2,938 -2,943 -2,943 —2,546 —2,547 —4,099 -4,083 -4,154 -4,286 -4.542 -4,964 -5,386 —5,642 -5,774 -5,799 -5,829 —3,427 —3,440 у -6,157 -6,171 -6,277 —6,563 -7,119 -8,037 -8,955 -9,511 -9,797 —9,903 -9,917 -5,120 —5,148
0 ОЛ 1 1 ,976 \ 1\,948 6,581 6,568 2,820 2,819 ,389 0,396 — 1,021 — 1,009 —1,714 — 1,700 —1,995 —1,983
/ 0,2 11,756 1 , 6,480 ! 2,811 0,446 -0,925 — 1,604 -1,899 -2,114 -2,555 —3.528 \ —5,340
/ 0,3 11,234 6,240 2,790 0,582 -0,695 -1,343 -1,669 -1,978 -2,576 -3,768 -5,862
0,4 10,222 5,773 2,750 0,845 -0,249 -0,836 -1,223 -1,715 -2,616 —4,235 -6,876
0,5 8,548 5,004 2,683 1,280 0,487 0 -0,487 —1,280 -2,683 -5,004 -8,548
ЮС 0,6 6,876 4,235 2,616 1,715 1,223 0,836 0,249 -0,845 —2,750 -5,773 -10,222
0,7 5,862 3,768 2,576 1,978 1,669 1,343 0,695 -0,582 -2,790 -6,240 -11,234
0,8 5,340 3,528 2,555 2,114 1,899 1,604 0,925 —0,446 -2,811 —6,480 -11,756
0,9 5,148 3,440 2,547 2,164 1,983 1,700 1,009 -0,396 —2,819 —6,568 -11,948
1,0 5,120 3,427 2,546 2,171 1,995 1,714 1,021 -0,389 -2,820 -6,581 — 11,976
0 13,758 7,216 2,696 -0,163 -1,728 -2,361 -2,428 -2,293 -2,318 -2,872 -4,314
0,1 13,720 7,199 2,694 -0,153 -1,711 -2,342 -2,411 -2,283 -2,320 -2,889 -4,352
150 0,2 13,456 7,077 2,684 -0,084 -1,595 —2,210 -2,295 -2,214 -2,330 -3,011 -4,616
0,3 12,738 6,747 2,655 0,102 -1,279 -1,851 -1,979 -2,028 -2,359 -3,341 -5,334
0,4 11,340 6,104 2,599 0,466 -0,664 -1,152 -1,364 -1,664 -2,415 -3,984 -6,732
0,5 9,036 5,044 2,507 1,065 0,350 0 -0,350 — 1,065 -2,507 -5,044 -9,036
0,6 6,732 3,984 2,415 1,664 1,364 1,152 0,664 -0,466 -2,599 -6,104 -11,340
0,7 5,334 3,341 2,359 2,028 1,979 1,851 1,279 -0,102 -2,655 -6,747 -12,738
0,8 4,616 3,011 2,330 2,214 2,295 2,210 1,595 0,084 -2,684 -7,077 -13,456
0,9 4,352 2,889 2,320 2,283 2,411 2,342 1,711 0,153 -2,694 -7,199 -13,720
1,0 4,314 2,872 2,318 2,293 2,428 2,361 1,728 0,163 -2,696 -7,216 -13,758
0 15,323 7,758 2,572 -0,655 -2,343 -2,911 -2,781 -2,373 -2,106 -2,402 -3,679
0,1 15,275 7,736 2,570 -0,642 -2,322 -2,887 -2,760 —2,360 -2,108 —2,424 -3,727
0,2 14,949 7,586 2,557 -0,557 -2,178 -2,724 -2,616 -2,275 -2,121 -2,574 -4,053
0,3 14,065 7,179 2,522 —0,328 -1,789 -2,282 -2,227 -2,046 -2,156 -2,981 -4,937
200 0,4 12,34] 6,386 2,453 0,121 -1,031 -1,420 -1,469 -1,597 -2,225 -3,774 -6,661
0,5 9,501 5,080 2,339 0,859 0,219 0 -0,219 -0,859 -2,339 -5,080 -9,501
0,6 6,661 3,774 2,225 1,597 1,469 1,420 1,031 -0,121 -2,453 -6,386 -12,341
0,7 4,937 2,981 2,156 2,046 2,227 2,282 1,789 0,328 -2,522 -7,179 — 14,065
0,8 4,053 2,574 2,121 2,275 2,616 2,724 2,178 0,557 -2,557 -7,586 -14,949
0,9 3,727 2,424 2,108 2,360 2,760 2,887 2,322 0,642 -2,570 -7,736 -15,275
1,0 3,679 2,402 2,106 2,373 2,781 2,911 2,343 0,655 -2,572 -7,758 -15,323
0 16,713 8,227 2,450 -1,096 -2,882 -3,383 -3,072 -2,422 -1,908 -2,003 -3,181
0,1 16,659 8,203 2,447 -1,082 -2,858 -3,356 -3,048 —2,408 -1,911 -2,027 -3,235
0,2 16,281 8,029 2,432 -0,984 -2,692 -3,167 —2,882 -2,310 -1,926 -2,201 -3,613
0,3 15,251 7,555 2,391 -0,716 -2,239 -2,652 -2,429 -2,042 -1,967 -2,675 —4,643
Ill
он
ООО —WOT ЧОЭСО'О'О
ОЧОООюЬЬэСЛСОСО
О OO СЛ Ю 4 NO OO OO и^ОЭ
СООООСОЛ^СОСЛ-ЧОООСО
ООО —^^ОЧОэСОСО
0Ч'£1СЛ-ч1ЧОСО^О-^
OtOGTQ^OO^QlOO —
ЬОЬЭЬЭ — г— о — —* ю ьэ ьэ
Тр». 4* ЬЭ Оэ~ ОЬЭ СО со 4Ь.Ц1
С0^--ЧС0О4ьСЛ00СЛС0~-
О —tOO-^WOMCo-qo
СЛСЛЮОСОСООСО СП -ЧОО
►^О-ЧСОСОСЛООЬЭОСОСО
ОООСО-Ч~ЧСЛ“Ч-ЧСОООО
ОЭЧФЮ^ЮООЭГОСО^
ОСо^^ЧОО^СООЭО
СОООЮО^СООоООЬЭСО
Продолжение табл. IV-1
S3
Таблица IV-2
Сосредоточенный изгибающий момент М (рис. IV-3)
_ МА
Значения Q; Q=Q ——
а ₽ е
0 0.1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,5 0.7 0.8 0,9 1,0
0 0-1,0 0 0,614 1,008 1,244 1,368 1,406 1,368 1,244 1,008 0,614 0
0 0 0,699 1,112 1,324 1,402 1,389 1,308 1,158 0,922 0,557 0
0,1 0 0,699 1,111 1,323 1,402 1,389 1,308 1,159 0,923 0,557 0
0,2 0 0,695 1,106 1,319 1,399 1,389 1,311 1,163 0,928 0,561 0
0,3 0 0,684 1,091 1,306 1,392 1,389 1,318 1,176 0,943 0,572
0,4 0 0,663 1,063 1,281 1,378 1,389 1,332 1,201 0,971 0,593
25 0,5 0 0,628 1,017 1,241 1,355 1,389 1,355 1,241 1,017 0,628 0
0,6 0 0,593 0,971 1,201 1,332 1,389 1,378 1,281 1,063 0,663 0
0,7 0 0,572 0,943 1,176 1,318 1,389 1,392 1,306 1,091 0,684 0
0,8 0 0,561 0,928 1,163 1,311 1,389 1,399 1,319 1,106 0,695 0
0,9 0 0,557 0,923 1,159 1,308 1,389 1,402 1,323 1,111 0,699 0
1,0 0 0,557 0,922 1,158 1,308 1,389 1,402 1,324 1,112 0,699 0
0 0 0,776 1,205 1,396 1,433 1,373 1,253 1,080 0,845 0,506 0
0,1 0 0,775 1,204 1,395 1,433 1,373 1,253 1,081 0,846 0,507 0
0 2 0 0,768 1,194 1,386 1,427 1,373 1,259 1,090 0,856 0,514 0
0,3 0 0,747 1,167 1,362 1,414 1,373 1,272 1,114 0,883 0,535 0
0,4 0 0,707 1,113 1,315 1,387 1,373 1,299 1,161 0,937 0,575 0
50 0,5 0 0,641 1,025 1,238 1,343 1,373 1,343 1,238 1,025 0,641 0
0,6 0 0,575 0,937 1,161 1,299 1,373 1,387 1,315 1,113 0,707 0
0,7 0 0,535 0,883 1,114 1,272 1,373 1,414 1,362 1,167 0,747 0
0,8 0 0,514 0,856 1,090 1,259 1,373 1,427 1,386 1,194 0,768 0
0,9 0 0,507 0,846 1,081 1,253 1,373 1,433 1,395 1,204 0,775 0
1,0 0 0,506 0,845 1,080 1,253 1,373 1,433 1,396 1,205 0,776 0
0 0 0,913 1,371 1,521 1,483 1,341 1,153 0,945 0,713 0,419 0
0,1 0 0,909 1,368 1,519 1,481 1,341 1,155 0,947 0,716 0,423 0
0,2 0 0,897 1,350 1,502 1,472 1,341 1,164 0,964 0,734 0,435 0
К 0,3 0 0.859 1,300 1,459 1,447 1,341 1,189 1,007 0,784 0,473 0
|V< \ О \ 0,7&6 \ 1,203 1 1.373 1,398 1,341 1,238 1,093 у 0,881 у 0,546 / О
г S 10 ?/ 0,5 0,6 0 7 0,8 0,9 1,0 / 0 0 0 0 0 0 / 0,666 0,546 0,473 0,435 0,423 0,419 1,042 0,881 0,784 0,734 0,716 0,713 1,233 1,093 1,007 0,964 0,947 0,945 1,318 1,238 1,189 1,164 1,155 1,153 1,341 1,341 1,341 1,341 1,341 1,341 1,318 1,398 1,447 1,472 1,481 1,483 1,233 1,373 1,459 1,502 1,519 1,521 1,042 1,203 1,300 1,350 1,368 1,371 1 0,666 0,786 0,859 0,897 0,909 0,913 0 0 0 0 0 0
150 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,030 1,027 1,008 0,957 0,856 0,690 0,524 0,423 0,372 0,353 0,350 1,510 1,507 1,481 1,412 1,278 1,057 0,836 0,702 0,633 0,607 0,604 1,625 1,621 1,599 1,539 1,422 1,228 1,034 0,917 0,857 0,835 0,831 1,522 1,520 1,507 1,473 1,406 1,295 1,184 1,117 1,083 1,070 1,068 1,310 1,310 1,310 1,310 1,310 1,310 1,310 1,310 1,310 1,310 1,310 1,068 1,070 1,083 1,117 1,184 1,295 1,406 1,473 1,507 1,520 1,522 0,831 0,835 0,857 0,917 1,034 1,228 1,422 1,539 1,599 1,621 1,625 0,604 0,607 0,633 0,702 0,836 1,057 1,278 1,412 1,481 1,507 1,510 0,350 0,353 0,372 0,423 0,524 0,690 0,856 0,957 1,008 1,027 1,030 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 п 1,132 1,129 1,105 1,042 0,917 0,713 0,509 0,384 0,321 0,297 0,294 1,631 1,712 1,551 1,281 0,993 0,734 0,513 0,294 0
200 и 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,626 1,595 1,510 1,345 1,072 0,799 0,634 0,549 0,518 0,513 1,708 1,681 1,606 1,462 1,223 0,984 0,840 0,765 0,738 0,734 1,549 1,534 1,491 1,408 1,272 1,136 1,053 1,010 0,995 0,993 1,281 1,281 1,281 1,281 1,281 1,281 1,281 1,281 1,281 1,281 0,995 1,010 1,053 1,136 1,272 1,408 1,491 1,534 1,549 1,551 0,738 0,765 0,840 0,984 1,223 1,462 1,606 1,681 1,708 1,712 0,518 0,549 0,634 0,799 1,072 1,345 1,510 1,595 1,626 1,631 0,297 0,321 0,384 0,509 0,713 0,917 1,042 1,105 1,129 1,132 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 г» 1,223 1,736 1,787 1,575 1,253 0,925 0,651 0,436 0,249 0
и 0 Л 1,219 1,192 1,730 1,694 1,783 1,751 1,572 1,554 1,253 1,253 0,928 0,946 0,655 0,687 0,442 0,478 0,253 0,280 0 0
250 СО О 0 0 0 0 0 1,118 0,974 0,736 0,498 0,354 0,280 1,595 1,403 1,086 0,769 0,577 0,478 1,665 1,491 1,219 0,937 0,773 0,687 1,505 1,408 1,250 1,092 0,995 0,946 1,253 1,253 1,253 1,253 1,253 1,253 0,995 1,092 1,250 1,408 1,505 1,554 0,773 0,937 1,219 1,491 1,665 1,751 0,577 0,769 1,086 1,403 1,595 1,694 0,354 0,498 0,736 0,974 1,118 1,192 0 0 0 0 0 0
П родолжение табл. 7V-2
а 3 е _
°1 0,1 | 0.2 0 3 0,4 | 0.5 0,6 | 0,7 | 0,8 0,9 1,0
0,9 о 0,253 0,442 0,655 0,928 1,253 1,572 1,783 1,730 1,219 0
1,0 0 0,249 0,436 0,651 0,925 1,253 1,575 1,787 1,736 1,223 0
о о 1,303 1,828 1,851 1,594 1,227 0,866 0,577 0,372 0,211 0
0,1 0,2 0,3 0,4 0 5 о 1,299 1’823 1,846 1,591 1,227 0,869 0,582 0,377 0,215 0
о 1 268 1,782 1,811 1,571 1,227 0,889 0,617 0,418 0,246 0
о 1,185 1’671 1,714 1,516 1,227 0,944 0,714 0,529 0,329 0
о 1,024 1Д56 1,521 1,408 1,227 1,052 0,899 0,744 0,490 0
300 о 0,757 1,100 1,214 1,230 1.227 1,230 1,214 1,100 0,757 0
0,6 0 0,490 0,744 0,899 1,052 1,227 1,408 1,521 1,456 1,024 0
0 7 о 0,329 0,529 0,714 0,944 1,227 1,516 1,714 1,671 1 у 185 0
0 8 о 0,246 0,418 0,617 0,889 1,227 1,571 1,811 1,782 1,268 0
0,9 1,0 о 0,215 0’377 0,582 0,869 1,227 1,591 1,846 1,823 1,299 0
0 0^211 0,372 0,577 0,866 1,227 1,594 1,851 1,828 1,303 0
Л о 1,375 1,370 1,911 1,908 1,610 1,201 0,812 0,512 0,315 0,179 0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 о 1,904 1,902 1,607 1,201 0,815 0,518 0,322 0,184 0
о 1,337 1’859 1,863 1,584 1,201 0,838 0,557 0,367 0,217 0
о 1,246 1,069 0,777 0,485 1,738 1,757 1,524 1,201 0,898 0,663 0,488 0,308 0
350 0 0 о С 502 1,113 0,724 1,551 1,210 0,869 1,406 1,211 1,016 1,201 1,201 1,201 1,016 1,211 1,406 0,869 1,210 1,551 0,724 1,113 1,502 0,485 0,777 1,069 0 0 0
о 0,308 0,488 0,663 0,898 1,201 1,524 1,757 1,738 1,246 0
6 0,217 0,367 0,557 0,838 1,201 1,584 1,863 1,859 1,337 0
о О' 184 0,322 0,518 0,815 1,201 1,607 1,902 1,904 1,370 0
0 ОД 79 0,315 0,512 0,812 1,201 1,610 1,908 1,911 1,375 0
Q л 1,440 1,435 1,399 1 985 1,957 1,621 1,176 0,763 0,455 0,267 0,152 0
о,1 0,2 0 0 1,978 1,930 1,951 1,909 1,795 1,573 1,618 1,594 1,529 1,402 1,176 1,176 1,176 1,176 0,766 0,790 0 855 0,461 0,503 0 617 0,274 0,322 0,453 0,707 0,157 0,193 0,291 ’ 0,482 0 0 0
\ 0,3 0,4 °0 1,301 \ 1,110 1 1,799 1 1,545 6,982 0,839 [ °
сп
40 ) 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1° 0 0 0 0 0 / 0,796 0,482 0,291 0,193 0,157 0,152 / 1,126 0,707 0,453 0,322 0,274 0,267 1,206 0,839 0,617 0,503 0,461 0,455 1,192 0,982 0,855 0,790 0,766 0,763 1,176 1,176 1,176 1,176 1,176 1,176 1,192 1,402 1,529 1,594 1,618 1,621 1,206 1,573 1,795 1,909 1,951 1,957 1,126 1,545 1,799 1,930 1,978 1,985 0,796 1,110 1,301 1,399 1,435 1,440 0 0 0 0 0 0
450 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,500 1,495 1,456 1,352 1,149 0,815 0,481 0,278 0,174 0,135 0,130 2,051 2,044 1,993 1,854 1,584 1,138 0,692 0,422 0,283 0,232 0,225 2,000 1,994 1,949 1,827 1,591 1,201 0,811 0,575 0,453 0,408 0,402 1,630 1,626 1,600 1,531 1,396 1,173 0,950 0,815 0,746 0,720 0,716 1,153 1,153 1,153 1,153 1,153 1,153 1,153 1,153 1,153 1,153 1,153 0,716 0,720 0,746 0,815 0,950 1,173 1,396 1,531 1,600 1,626 1,630 0,402 0,408 0,453 0,575 0,811 1,201 1,591 1,827 1,949 1,994 2,000 0,225 0,232 0,283 0,422 0,692 1,138 1,584 1,854 1,993 2,044 2,051 0,130 0,135 0,174 0,278 0,481 0,815 1,149 1,352 1,456 1,495 1,500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
500 сл 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,555 1,549 1,508 1,399 1,185 0,833 0,481 0,267 0,158 0,117 0,111 2,112 2,104 2,050 1,904 1,619 1,150 0,681 0,396 0,250 0,196 0,188 2,040 2,033 1,986 1,858 1,609 1,198 0,787 0,538 0,410 0,363 0,356 1,637 1,633 1,606 1,533 1,391 1,156 0,921 0,779 0,706 0,679 0,675 1,130 1,130 1,130 1,130 1,130 1,130 1,130 1,130 1,130 1,130 1,130 0,675 0,679 0,706 0,779 0,921 1,156 1,391 1,533 1,606 1,633 1,637 0,356 0,363 0,410 0,538 0,787 1,198 1,609 1,858 1,986 2,033 2,040 0,188 0,196 0,250 0,396 0,681 1,150 1,619 1,904 2,050 2,104 2,112 0,111 0,117 0,158 0,267 0,481 0,833 1,185 1,399 1,508 1,549 1,555 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Т а б л и ц a IV-3
о»
Сосредоточенный изгибающий момент Af (рис. IV-3)
Значения М\ М = М-МА
а ₽ Е
0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 1,0
0 —1 —0,967 —0,895 —0,770 —0,639 —0,500 —0,361 —0,230 -0,105 —0,033 0
0,1 0 0,033 —0,895 —0,770 —0,639 —0,500 —0,361 -0,230 —0,105 -0,033 0
—0,967
0,2 0 0,033 0,105 —0,770 —0,639 —0,500 —0,361 —0,230 -0,105 —0,033 0
—0,895
0,3 0 0,033 0,105 0,230 —0,639 —0,500 —0,361 —0,230 -0,105 —0,033 0
—0,770
0,4 0 0,033 0,105 0,230 0,361 —0,639 —0,500 —0,361 —0,230 —0,105 —0,033 0
0 0,5 0 0,033 0,105 0,230 0,361 0,500 —0,500 —0,361 —0,230 —0,105 —0,033 0
0,639 —0,105 -0,033
0,6 0 0,033 0,105 0,230 0,361 0,500 -0,361 -0,230 0
0,770 -0,105 —0,033
0,7 0 0,033 0,105 0,230 0,361 0,500 0,639 —0,230 0
0,895 —0,033
0,8 0 0,033 0,105 0,230 0,361 0,500 0,639 0,770 -0,105 0
0,967
0,9 0 0,033 0,105 0,230 0,361 0,500 0,639 0,770 0,895 —0.033 0
\ т.о \° \ 0,033 у 0,105 1 0,230 0,361 0,500 0,639 0,770 0,895 0,967 1
1 1
/ 0 1 —0,962 —0,880 —0,747 —0,610 —0,469 —0,334 —0,209 —0,094 —0,030 0
0,1 0,038
0 —0,962 —0,880 —0,747 —0,610 —0,469 —0,334 —0,209 —0,094 —0,030 0
0,2 0 0,038 0,119 —0,881 —0,749 —0,611 —0,471 —0,335 —0,211 —0,095 -0,030 0
0,3 0 0,037 0,117 0,248 —0,752 —0,616 —0,476 —0,340 —0,214 —0,097 —0,031 0
25 0,4 0 0,036 0,113 0,242 0,376 —0,624 —0,485 —0,348 —0,220 —0,101 —0,032 0
0,5 0 0,034 0,107 0,231 0,362 0,500 —0,500 —0,362 —0,231 —0,107 —0,034 0
0,6 0 0,032 0,101 0,220 0,348 0,485 0,624 —0,376 —0,242 —0,113 —0,036 0
0,7 0 0,031 0,097 0,214 0,340 0,476 0,616 0,752 —0,248 -0,117 —0,037 0
0,8 0 0,030 0,095 0,211 0,335 0,471 0,611 0,749 0,881 -0,119 —0,038 0
0,9 0 0,030 0,094 0,209 0,334 0,469 0,610 0,747 0,880 0,962 0
—0,038
1,0 0 0,030 0,094 0,209 0,334 0,469 0,610 0,747 0,880 0,962 1
0 -1 -0,957 —0,863 -0,725 —0,583 —0,441 —0,309 —0,193 —0,089 —0,027 0
0,1 0,043 —0,863
0 —0,957 —0,725 —0,583 —0,442 —0,309 —0,193 —0,089 —0,027 0
0,2 0,136
0 0,042 —0,864 —0,727 —0,586 —0,445 —0,312 -0,195 —0,090 -0,028 0
0,3 0,041 0,267
0 0,132 —0,733 —0,595 —0,454 —0,321 —0,201 —0,094 —0,029 0
Продолжение табл. IV-3
оо
— £ —
а ₽ 0 0,1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0 8 0,9 1,0
ОЛ <0 0,039 0,125 0,254 0,389 —0,611 —0,471 —0,337 —0,214 —0,101 —0,031 0
50 0,5 0 0,035 0,113 0,234 0,363 0,500 —0,500 —0,363 —0,234 —0,113 —0,035 0
0,6 0 0,031 0,101 0,214 0,337 0,471 0,611 —0,389 —0,254 -0,125 —0,039 0
0,7 0 0,029 0,094 0,201 0,321 0,454 0,595 0,733 -0,267 —0,132 -0,041 0
0,8 0 0,028 0,090 0,195 0,312 0,445 0,586 0,727 0,864 —0,136 —0,042 0,957 0
0,9 0 0,027 0,089 0,193 0,309 0,442 0,583 0,725 0,863 —0,043 0
1,0 0 0,027 0,089 0,193 0,309 0,441 0,583 0,725 0,863 0,957 1
0 —1 —0,950 —0,839 —0,686 —0,534 —0,393 —0,268 -0,162 —0,073 —0,022 0
0,1 о 0,050 —0,839 —0,687 -0,535 —0,394 —0,269 —0,163 —0,073 —0,022 0
—0,950 —0,023
0,2 0 0,049 0,158 —0,842 —0,691 —0,541 —0,400 —0,275 —0,167 —0,076 0
0,3 0 0,047 0,151 0,297 —0,703 —0,556 —0,416 -0,290 —0,179 —0,083 —0,025 с
0,4 0 0,043 0,138 0,275 0,415 | —0,585 —0,448 —0,319 —0,201 —0,096 —0,029 с
100 0,5 0 0,036 0,117 0,238 0,367 0,500 —0,500 —0,367 -0,238 -0,117 —0,036 0
0,6 0 0,029 0,096 0,201 0,319 0,448 0,585 —0,415 —0,275 0,703 —0,297 -0,138 —0,043 0
0,7 0 0,025 0,083 0,179 0,290 0,416 0,556 —0,151 —0,047 0
0,076 0,167 0,275 0,400 0,541 0,691 0,842 —0,049 0
0,8 0 0,023 —0,158 0,839
0,163 0,269 0,394 0,535 0,687 0,950 0
0,9 0 0,022 0,073 —0,050
1,0 0 0,022 0,073 0,162 0,268 0,393 0,534 0,686 0,839 0,950 1
0 -1 —0,943 —0,817 —0,653 —0,495 -0,352 —0,233 -0,139 —0,063 —0,019 0
0,1 0 0,057 —0,943 —0,817 —0,654 —0,496 —0,354 —0,234 —0,140 —0,063 —0,019 0
0,2 0 0,056 0,180 —0,820 —0,660 —0,504 —0,362 —0,242 —0,146 —0,066 —0,020 0
0,3 0,4 0 0 0,053 0,047 0,170 0,152 0,325 —0,675 0,294 —0,524 0,435 —0,565 —0,384 —0,428 0,500 —0,500 —0,262 —0,303 —0,161 —0,192 —0,076 —0,094 —0,023 —0,029 0 0
150 0,5 0 0,038 0,123 0,243 0,369 —0,369 —0,243 —0,123 —0,038 0
0,6 0 0,029 0,094 0,192 0,303 0,428 0,565 —0,435 —0,294 —0,152 —0,047 0
0,7 0,8 0 0,023 0,020 0,076 0,066 0,161 0,146 0,262 0,242 0,384 0,362 0,524 0,504 0,675 —0,325 0,660 —0,170 0,820 -0,053 —0,056 0 0
0 —0,180
8
Продолжение табл, IV-3
а ? 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,9 0 0,019 0,063 0,140 0,234 0,354 0,496 0,654 0,817 0,943 0
-0,057
1,0 0 0,019 0,063 0,139 0,233 0,352 0,495 0,653 0,817 0,943 1
0 —1 —0,937 —0,796 —0,625 —0,460 —0,318 —0,204 —0,119 —0,054 —0,015 1
0,1 0 0,062 —0,938 —0,797 —0,626 —0,462 —0,320 —0,206 —0,120 —0,055 —0,016 0
0,2 0 0,061 0,199 —0,633 -0,471 —0,330 —0,215 —0,127 -0,059 —0,017 0
—0,801
0,3 0 0,057 0,187 0,348 —0,652 -0,497 —0,357 —0,241 —0,146 —0,071 —0,021 0
0,4 0 0,050 0,165 0,310 0,454 —0,546 -0,411 0,5°0 —0,290 —0,184 —0,093 -0,028 0
200 0,5 0 0,039 0,129 0,247 0,372 —0,372 —0,247 -0,129 —0,039 0
—0,500 0,546
0,6 0 0,028 0,093 0,184 0,290 0,411 —0,310 —0,165 -0,050 0
—0,454 0,652 —0,348
0,7 0,8 0 0 0,021 0,017 0,071 0,059 0,146 0,127 0,241 0,215 0,357 0,330 0,497 0,471 —0,187 0,801 —0,057 -0,061 0 0
0,633
—0,199 0,797
0,938
0,9 0 0,016 0,055 0,120 0,206 0,320 0,462 0,626 0
—0.062
1,0 0 0,015 । 0,054 . 0,119 0,204 0,318 0,460 0,625 0,796 0,937 1 1
0 —1 -0,932 -0,778 —0,600 —0,430
0,1 0 0,068 —0,932 —0,779 0,216 —0,601 —0,609 —0,432 -0,443
0,2 0 0,067
—0,784
0,3 0 0,062 0,203 0,368 —0,632 —0,472
0,470
0,4 0 0,054 0,177 0,324 —0,530
250 0,5 0 0,041 0,135 0,251 0,375
0,6 0 0,028 0,093 0,178 0,280
0,7 0 0,020 0,067 0,134 0,222
0,8 0 0,015 0,054 0,111 0,193
0,9 0 0,014 0,049 0,103 0,182
1,0 0 0,014 0,048 0,102 0,180
0 —1 —0,927 —0,763 —0,578 —0,404
0,1 0 0,072 —0,928 —0,764 0,231 —0,579 —0,406 —0,418
0,2 0 0,071 —0,588
—0,769
ЕЗ 0,3 0 0,066 0,216 0,386 —0,614 —0,452
—0,289 -0,180 -0,102 —0,018 —0,014 0
—0,290 —0,182 —0,103 —0,049 —0,014 0
—0,302 —0,193 —0,111 -0,054 —0,015 0
—0,334 —0,222 —0,134 —0,067 —0,020 0
—0,397 —0,280 —0,178 —0,093 —0,028 0
0,500 —0,500 —0,375 0,530 —0,251 —0,135 —0,041 0
0,397 —0,324 0,632 —0,177 —0,054 0
—0,470
0,334 0,472 —0,203 -0,062 0
—0,368
0,302 0,443 0,609 0,784 —0,067 0
—0,216 0,779
0,932
0,290 0,432 0,601 0
-0,068
0,289 0,430 0,600 0,778 0,932 1
—0,263 —0,158 —0,088 —0,043 —0,011 0
—0,265 —0,160 —0,089 —0,043 -0,012 0
—0,278 -0,172 —0,098 —0,049 —0,013 0
—0,314 —0,206 —0,124 —0,064 —0,018 0
122
Продолжение табл. IV-3
а 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,4 0 0,057 0,187 0,337 0,484 —0,384 —0,270 —0,173 —0,093 —0,027 0
—0,516 0,500
300 0,5 0 0,042 0,140 0,255 0,377 —0,377 —0,255 —0,140 —0,042 0
—0,500
0,516 —0,057
0,6 0 0,027 0,093 0,173 0,270 0,384 —0,484 —0,337 0,614 —0,187 0
0,7 0 0,018 0,064 0,124 0,206 0,314 0,452 -0-216 —0,066 0
—0,386 0,769
0,8 0 0,013 0,049 0,098 0,172 0,278 0,418 0,588 —0,071 0
—0,231 0,928
0,9 0 0,012 0,043 0,089 0,160 0,265 0,406 0,579 0,764 0
—0,072
1,0 0 0,011 0,043 0,088 0,158 0,263 0,404 0,578 0,763 0,927 1
0 -1 —0,923 -0,750 -0,559 -0,382 -0,240 -0,140 —0,075 -0,038 -0,009 0
0,1 0 0,076 -0,751 -0,560 -0,384 -0,242 -0,142 -0,076 -0,039 -0,010 0
—0,924
0,2 0 0,074 0,244 -0,571 0,402 -0,397 -0,257 -0,155 —0,087 -0,044 —0,012 0
-0,756
0,3 0 0,069 0,227 -0,433 0,496 —0,504 -0,296 —0,191 —0,114 -0,061 -0,017 0
—0,598
0,4 0 0,059 0,196 0,347 —0,373 —0,262 -0,169 —0,093 —0,027 0
350 0,5 Io 0,043 0,144 0,258 0,379 0,500 -0,500 -0,379 0,504 —0,258 -0,144 ' -0,043 0
0,6 0 0,027 0,093 0,169 0,262 0,373 —0,347 -0,196 -0,059 0
—0,496
0,7 0 0,017 0,061 0,114 0,191 0,296 0,433 0,598 —0,227 -0,069 0
0 —0,402 0,571 0,244 0
0,8 0,012 0,044 0,087 0,155 0,257 0,397 -0,074
-0,756 0,751
0,924
0,9 0 0,010 0,039 0,076 0,142 0,242 0,384 0,560 0
-0,076
1,0 0 0,009 0,038 0,075 0,140 0,240 0,382 0,559 0,750 0,923 1
0 -1 -0,919 -0,735 —0,541 —0,360 -0,220 —0,124 -0,065 -0,035 -0,009 0
0,1 0 0,081 —0,919 -0,736 -0,542 -0,362 —0,223 -0,126 -0,066 —0,036 -0,009 0
0,2 0 0,079 0,257 -0,553 0,417 -0,377 -0,238 -0,141 -0,077 -0,043 -0,011 0
-0,743
0,3 0 0,073 0,240 -0,416 -0,281 —0,180 -0,107 -0,060 —0,017 0
—0,583
0,4 0 0,063 0,206 0,358 0,508 -0,364 -0,255 -0,166 -0,094 -0,027 0
—0,492 0,500
400 0,5 0 0,045 0,150 0,262 0,382 -0,382 -0,262 -0,150 -0,045 0
—0,500
0,6 0 0,027 0,094 0,166 0,255 0,364 0,492 -0,508 -0,358 0,583 -0,206 -0,063 0
0,7 0 0,017 0,060 0,107 0,180 0,281 0,416 -0,240 -0,073 0
—0,417
0,8 0 0,011 0,043 0,077 0,141 0,238 0,377 0,553 0,743 —0,079 0
ND -0,257
Продолжение табл. IV-3
Е
а ₽ а 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,9 0 0,009 0,036 0,066 0,126 0,223 0,362 0,542 0,736 0,919 0
-0,081
1,0 0 0,009 0,035 0,065 0,124 0,220 0,360 0,541 0,735 0,919 0
0 —1 -0,915 -0,725 -0,525 -0,342 —0,203 -0,110 -0,055 -0,031 —0,007 0
0,1 0 0,084 -0,916 -0,726 -0,527 -0,344 -0,205 -0,112 -0,057 -0,032 -0,008 0
0,2 0,082 0,267
0 -0,733 -0,539 -0,360 —0,222 -0,128 -0,069 -0,039 -0,010 0
0,3 0 0,076 0,248 0,429 -0,571 -0,401 -0,267 -0,169 -0,101 -0,058 —0,016 0
0,4 0 0,065 0,212 0,367 0,518 -0,482 -0,355 -0,250 -0,163 -0,094 -0,027 0
450 0,5 0 0,046 0,153 0,265 0,384 0,500 -0,500 -0,384 -0,265 -0,153 -0,046 0
0,6 0 0,027 0,094 0,163 0,250 0,355 0,482 -0,518 -0,367 -0,212 -0,065 0
0,7 0 0,016 0,058 0,101 0,169 0,267 0,401 0,571 -0,248 -0,076 0
—0,429
0,8 0 0,010 0,039 0,069 0,128 0,222 0,360 0,539 0,733 -0,082 0
-0,267
0,916
0,9 0 0,008 0,032 0,057 0,112 0,205 0,344 0,527 0,726 0
—0,084,
1,0 0 0,007 0,031 0,055 0,110 0,203 J 0,342 J 0,525 0,725 0,9/5 / /|
/о 1—1 -0,912 -0,714 -0,511 -0,325 -0,187 -0,097 -0,047 -0,030 -0,006 0
0,1 0 0,087 -0,715 0,278 -0,513 -0,328 -0,189 -0,100 -0,049 -0,031 -0,007 0
-0,913
0,2 0 0,085 -0,525 -0,344 -0,207 -0,116 -0,061 -0,038 -0,009 0
-0,722
0,3 0 0,079 0,259 0,441 -0,559 -0,388 -0,255 -0,160 -0,095 -0,057 -0,015 0
0,4 0 0,067 0,221 0,376 0,527 -0,473 -0,347 -0,245 -0,160 -0,094 -0,027 0
500 0,5 0 0,047 0,158 0,267 0,386 0,500 -0,386 -0,267 -0,158 -0,047 0
-0,500
0,6 0 0,027 0,094 0,160 0,245 0,347 0,473 -0,376 —0,221 —0,067 0
—0,527 0,559
0,7 0 0,015 0,057 0,095 0,160 0,255 0,388 -0,259 -0,079 0
—0,441
0,8 0 0,009 0,038 0,061 0,116 0,207 0,344 0,525 0,722 -0,085 0
-0,278 0,715
0,913
0,9 0 0,007 0,031 0,049 0,100 0,189 0,328 0,513 0
-0,087
1,0 0 0,006 0,030 0,047 0,097 0,187 0,325 0,511 0,714 0,912 1
ГЛАВА V
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ
ПРОГИБОВ И УГЛОВ ПОВОРОТА БАЛКИ,
ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ*
Вес надземной части сооружения, передаваемый на грунт через
фундамент, вызывает напряженное состояние и деформацию в фунда-
менте и в грунте. Деформации фундамента и грунта в свою очередь
вызывают осадку зданий и сооружений в целом, что может вызвать
в некоторых его частях нежелательные деформации. Поэтому при
проектировании и возведении зданий и сооружений следует учитывать
предполагаемые их осадки. Эти осадки должны быть равномерными и
допускаемыми. Равномерные осадки не влияют на прочность соору-
жения. Они в основном могут только нарушить некоторые эксплуата-
ционные и архитектурно-планировочные требования. Для устранения
возможного влияния осадок необходимо повышать планировочные от-
метки сооружения на величину ожидаемой осадки.
Для рационального использования несущей способности естествен-
ных оснований весьма прогрессивным является расчет оснований зда-
ний и сооружений по деформациям. Сущностью этого расчета является
ограничение осадки фундаментов пределами, гарантирующими нормаль-
ную эксплуатацию сооружения.
Расчет оснований зданий и сооружений производится по второму
предельному состоянию (по деформациям), если основание сложено
из нескольких грунтов. По первому предельному состоянию (по не-
сущей способности) расчет производится в случаях, если на основание
передаются регулярно действующие горизонтальные нагрузки (под-
порные стенки и др.), основания ограничены откосами и основания
сложены скальными грунтами**.
Расчет оснований по деформациям производится по формуле
s<snp,
где S — величина деформации основания, определяемая расчетом;
SIip— предельная величина деформации конструкции, определяе-
мая по нормам.
*См. Симвулиди И. А. Расчет инженерных конструкций на упру-
гом основании. «Росвузиздат», 1963.
** СНиП П-Б. 1-62. Госстройиздат, 1962.
126
Величина деформации основания определяется из условия сов-
местной работы сооружения и его основания; при этом допускается
использование теории расчета балок и плит на упругом основании.
Для расчета на деформацию балки, лежащей на упругом основа-
нии, применим дифференциальное уравнение (1-4). Для нахождения
четырех произвольных постоянных интегрирования Do, Dx, D2 и Ds
й четырех входящих в него неизвестных параметров а0, alt а2, as
используем два условия статики, два граничных и четыре контактных
условия.
Для установления контактности балки с основанием используем
четыре дополнительных условия прилегания балки к основанию:
равенство прогибов балки и грунта на левом конце балки; равенство
ординат обеих кривых в середине балки; равенство прогибов балки
и грунта на правом конце балки и равенство третьих производных
обеих функций прогибов в середине балки*.
В результате использования этих условий получены общие расчет-
ные формулы.
Начало координат принимаем на левом конце балки. Ось х направ-
ляем вправо, а ось у вниз.
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА БАЛКИ
И РАМЫ, ЛЕЖАЩИХ НА СПЛОШНОМ УПРУГОМ
ОСНОВАНИИ (РИС. V-1)
Для определения угловых и линейных деформаций конструкции
на упругом основании необходимо заранее знать параметры, которые
определяем по следующим формулам:
h,
hi
l»2
h2
l32________
______hi_______
________hi_____
hi
________ hi
____________hi
L
____________ Рис. V-1
* Симвулиди И. А. Расчет балки иа упругом основании. «Советская
чаука», 1955 и 1958.
127
_ (4125 —49а) Л—6720 2/(a .
0— 13 440 + 38,5а
cg _ (9315 + 87,5а) Л — 6720 Ж« .
3 — 13 440 +38,5а
аг _ (2С —Л)(1280 — а) — 8М>
3 “ 2048 + а
с8 _ (2С —Л)(384 + а) +4/Уа
10 — 2048 +а
(V-1)
Общая формула для определения угловой деформации балки:
---5кГ_322— §0640 1680 f—'l— 1680 f— ?+-
81 L “ \L ) \ L )
+ 3360 (y-—0,5 j4 J + £[ [—420 + 840 (-7-) —
_ 2688 f—— 0,5 Г]—^Г_ 90-^ + 504 (— 'j—
\ £ J J 8! L a \ L J
— 504 f—У + 2688 f— — 0,5 Y1 + E Г, (—---+
\ L } \ L ) J ltibL*\ L L)
I 1 v p Pi ( x___1
21 “ l3i bL\ L L J
+Бг[ЕГ'г f
LJ L Hi J 21
-ЕГ'„ f «2> лЬг1*]+^[3(т)‘-1 ]-ф} • (V-3
Если расчет ведется для полос на упругом основании в условиях;
плоской задачи, то уравнения, по которым определяются угловые
и линейные деформации балки, умножаются на (1 —р2), а уравне-
ния перемещений (осадок) поверхности—на (1—pg).
Общая формула для определения упругой линии балки:
128
—90 + 252/—Y— 168(—Y +
81 [ \ L ) а \ L / \ L ) \ L )
Так как здесь рассматривается плоская задача теории упругости
(плоская деформация), то можно определять не абсолютный, а отно-
сительный прогиб балки, что, однако, не отражается на величинах
усилий в балке и реакциях основания.
Входящие в формулы (V-1) величины А, С и N определяются из
формул (1-П), (1-14) и (1-37), а значения величин Ф и Ж из следующих
формул:
X j f(z)-^2-dz-S J f(Z)l±-^-dz +
lnl l *Ki
+ £ Mi + ZPi—^1; (V-4)
21 6 311 J v
Ж = — [W/L4 — — — -ВД, (V-5)
L« [ 2 16 J V '
где величины К и W определяются из формул (1-17) и (1-25).
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
НАГРУЗОК, КАК УГОДНО РАСПОЛОЖЕННЫХ
НА БАЛКЕ (РИС. V-2)
X
1кг_________
____1Л1_____
________1*1
L
Рис. V-2
129
Для определения параметров а0, аг, а2 и as применим фор^Д
(V-1). Подставляя в формулы (V-2) и (V-3) значения К и Ф из форЯ
(1-17) и (V-4), а также принимая в них Mt= 0 и 7’,= 0, получаем обод
формулы для распределенных нагрузок. е
Общая формула для определения угловой деформации балИ
+ 1680
+ 840 (—— 2688(— — 0,5?! — Г— 90 504
\ L ) \ L / J 8! | а \ [Л
г L 1
-504(-^y + 2688(^--0,5yi--^ £ J f (z)(L-z}dz J
V 7 J ‘Bi
lKl
-^№(L-z)dz
1ы
Й(2)чг|2-
lai
-li^fH-^^dz
lKi
Общая формула для определения упругой линии балки:
= -^-1 — \ —2(—Y + (—Y1 — [21 — 322 (— 1
л£0 I 24 L\ L I \ £ ) \ L / J 8! L \ L Л
_80 640 pL\+ 840(—У — 560(—Y 4- 672[—— 0,5?] J
“ \ £ / \ £ J \ L ) \ L /J
130
dz-S p(2)-^^-dz
K-i
(V-7)
Ниже даются формулы для нескольких частных случаев загруже-
ния балки.
§ 1. Трапецеидальная нагрузка
на произвольном участке длины балки
Для удобства введем следующие обозначения:
с х . р __________ Lz ,р ________ L/
5 — > Phi » гкг
₽« = -у-| и ₽« = -т--
Пользуясь формулами (П-10) — (П-15), для данного случая
(рис. V-3) имеем:
Aci = ^н> Aci = Ас»
f (z) = Г,к [<?н + X (z — ZH)L
‘н
где
1 __ 4k — Ун
Формула для определения угловой деформации балки:
<р = До_[1 _6;2л-4^3] _ -21-Г—322 — 1680; —
я£0 ( 24 81 L *
1680;2 4- 3360 (; — 0,5)41 + — [— 420 + 840; — 2688 (; — 0.5)8] —
J 8!
— -2а- Г— 90 — _^3760 + 504; — 504;2 + 2688 (; — 0,5)"1 —
8! [_ a J
" 4 [3<7н (1 - М2 + XL (1 - Рн)3] (З;2 - 1) + 4- [3?“ <1 “ +
ОО оо
+ XL (1 - рк)3] (З;2 - О + 4” Г₽н [4?н С - М3 + XL (S - ?н)41 -
13J
- -1- Г₽К [ 4?к ($ + рк)8 4 ХА (Е - ₽к)4] - [ 5д„(1 -рн)4 +
+ ХА (1 - рн)в] + -L_ [5<?к (1 _ рк)4 + ха (1 - ₽к)8]1. (Л
IZu J
Формула для определения упругой линии балки:
н = -А£_ (----— 2? + ?) — —[21 — 322; — ^222$ + 840?_
т.Ев I 24 81 [ а
— 560? + 672 (; — 0,5)51 + -^- [7 — 420; + 420? — 448 (; — 0,5)е] _
J 8!
_ +з_ |з — 90' — 5 + 252? — 168?+ 384(; — 0,5)71 — 1
8! L а J
----2- Г 3<7Н (1 - рн)2 + ХА (1 - рн)31 (? - К) +4-[(3<7к (1 - Рк)2 +
+ ХА (1 - рк)8] (? - ?) - -2- [5?н (1 - рн)4 + ХА (1 - рн)5]; +
+ -2- [5gK (1 - рк)4 + ХА (1 - рк)Ь]; + -2- [Г₽н 59н (S - Р„)4 +
I к<£л)
+ ХА (Е - рн)5]----2^ [Г₽к 5<?к (; - рк)4 + ХА (; - рк)8]} . (V.9)
Пользуясь формулами (V-8) и (V-9) при соответствующих измене-
ниях всех или некоторых из следующих величин: qB; qB, и jjF.
легко получаются формулы для любого случая загружения балки
находящейся под действием любой распределенной нагрузки, изменяю-
щейся по линейному закону.
§ 2. Формулы для случая действия
на балку равномерно распределенных
Для определения параметров а0, alt а2 и а3 также применим фор-
>|УЛ0з формул (V-8) и (V-9) получаем формулу для определения уг-
оВой деформации балки:
Л.___——(1 — 6?+ 4?)— —Г— 322— 25222 4- 1680;—
<Р -Ев I 24 ' 8! а
1680? + 3360 (;
[— 420 + 840Е — 2688 (; — 0,5)5] —
__ |_ 90 — 222“ + 504; — 504? + 2688 (В — 0,5)«] +
+[ 2 гы * *4^ - 25« ч, ] -+12 * < 1 - М* -
_ z 91 (1 - ₽.,)4 - -12 ч, (1 - - 2 ?, (1 - (3«2 -1)}. (V-10>
Формула для определения упругой линии балки:
— [— -^-(; — 2? + ?)— -^-[21 — 322; — -2222 $ + 840? —
r.E0 I 24 8! а
- 560? + 672 (; — 0,5)5] + — [7 — 420Е -j- 420? — 448 (; — 0,5)в] —
81
_ -22- [з _ 90; — -^2“ I + 252? — 168? + 384 (; — 0,5)71 +
8! |_ а J
I [vr л VT а ₽к/)41 1 ry zi р «
-2 Qi (l-₽Ki)4] S 2 Qt (1- PHi)2-2 Qi (l-₽Kt)2] - Q j. (V-11)
§ 3. Формулы для случая действия на балку
равномерно распределенной нагрузки q,
расположенной на правом конце балки
(рис. V-5)
132
133
Пользуясь формулами (V-l), (V-10) и (V-11), после их некотоь
преобразований получаем:
Параметры:
’%
M
( (4125 —49а) (1 -?„) + 70 [4 Г°-5 (0,5 -₽„)* -
Gg --
_«з_ [з _ 90? — ? + 252?2 — 168?3 + 384 (? — 0,5)7
" 81 L “
+ [0 - Р„)4 - (1 - Рн)4 в - 2 (1 - рн)2 (?3 -?)]}.
+
(V-14)
ai — |3
13 440 +38,5а
— 2(1 — рн)< + 3 (1 — рн)8] а)
13 440 +38,5а Р’
- М (1280 - а) - 8 [rg-5 (0,5 - М -
<7;
2048 + а
—7(1-₽н)2]«
2048 +а
(9315 + 87,5а) (1-₽в) -70 [4 - Г3’5 (0,5-₽„)
а 2 = 3 --------------------1-------------
+ —
13440 + 38,5а
? — 2(1 — рн)< + 3(1 — ^H)g] а)
13440 +38,5а J9’
0 Рн(1-М (384 +а)+4 [rg 5 (0,5 —fiH) -
2048 +а
2048 + а
<7-
Формула для определения угловой деформации балки:
(V-12)
о
§ 4. Формулы для случая действия'на балку
равномерно распределенной нагрузки q,
расположенной по всей длине балки
(рис. V-6).
Рис. V-6
У
Пользуясь формулами (V-12) — (V-14), получаем:
Параметры:
4125 +38,5а
=------——:— а
0 13 440 + 38,5а 4
да________9315
3 — 13 440 +38,5а
Формула для определения угловой деформации балки:
<p = _2*L(J_(l —6?2 + 4?®) + —[— 420 + 840? —
~Е0 ( 72 8!
— 2688 (? — 0,5)5]).
Формула для определения упругой линии балки
у = _ 2?з + ?4) + _1— [7 — 420? + 420?2 —
л£0 (72 8!
— 448 (? —0,5)«]}. ?
(V-15)
(V-16)
(V-17)
80 640
(1 — 6?2 + 4?3) - — Г- 322 —
24 81 L
— 1680?2 + 3360 (? — 0,5)41 + -^2- [— 420 + 840? — 2688 (? — 0,5)5]|
J
+ 504? - 504?2 + 2688 (? — 0,5)®1 +
а |
а
<Р = ~Т-
яЕ0
«о
а
1680?
а»
8!
+ i [41\н - W3 - (1 - Рн)4 ~ 2 (1 - Р„)2 (З?2 - 1)1] .
Zt: L Hl J i
(V-13)
Формула для определения упругой линии балки:
aL
У=
Яо
24 ч.-2?2 + ?4)-
322,_ 80640, +840;».
а
— 560?34-672 (? —0,5)5
£1
8!
[7 — 420?]+ 420?2 — 448 (? — 0,5)"]
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДЕЙСТВИЯ
НА БАЛКУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ Рг
(РИС. V-7)
134
135
Для определения параметров а0, аг, а2 и а3 применяем фор»(и
(V-1). Пользуясь формулами (1-17), (1-25) и (V-2) — (V-5) получа **
следующее:
Формула для определения угловой деформации балки:
= ---^_(1_6;* + 4?)--М-322 - 8£640 + 1680$ _
7t.Eo (24 ol L а
— 1680;2 -I- 3360 (Е — 0.5)4] + -2s- [— 420 + 840; - 2688 (£ — 0,5)5] _
- _£«_ Г_ 90 — + 504; — 504;2 + 2688 (£ — 0,5)«1 4-
8 L а J
Ч [32 «~<Е Ч <1 ₽•-)' -
- (1-Рз.)(3;2-!)]}• (V-18)
Формула для определения упругой линии балки:
У = (----— (5 — 2;3 -Н‘)--------— [21 — 322; — Е + 840;2 -
т-Е0 (24 81 L а
— 560;3 + 672(; —0,5)5
+ чг I7—420« + 42(Г;2—448 - °>5)в1 -
8!
--25- [з — 90; — -^2- Е + 252'2 — 168;3 + 384 (; — 0,5)71 +
8! |_ а J
+т[2Ч1£(е-^-2тг<1-^е-
-S-^-(l-P3i)(E3-;)l|.
JJ
(V-19)
§ 1. Формулы для случая действия на балку
сосредоточенной силы Р, расположенной
в произвольном месте по длине балки
(рис. V-8)
136
Пользуясь формулами (V-l), (V-18) и (V-19), получаем:
Параметры:
1(4125—49а)+140[8Гр’5(0,5—рз)8—4(1—р3)8+3(1—рз)]а | Р
Со | 13440 + 38,5а J bL ’
I (2?„ — 1) (1280 —«) — 8 [Г°;5 - 1 — (1 — p8)J « | Р
|3 2048 + а } bL ’
( (9315+87,5а)-140[8Г°;5(0,5—₽8)8-4(1-₽з)8+3(1-+8)]а| р
13440 + 38,5а J bL ’
_ ( (2рз — 1) (384 + а) + 4 [Гр*5 • 1 —(1 —р8)] a I р
2048 +a j bL '
Формула для определения угловой деформации балки:
(V-20)
— (1 — 6?2 + 4?3) — —Г— 322 — + 1680S —
т+0 ( 24 V 8! L “
- 1680В2 4- 3360 (? — 0,5)4
+ [_ 420 + 840? — 2688 (? — 0,5)5] —
8!
_ Г_ 90 — + 504? — 504?2 + 2688 (? — 0,5)«1 +
81 I о J
+ -h [ ЗГ₽> (? - рз)2 - (1 - р3)3 - (1 - ₽.) (З?2 -1)] -£-} .
(V.21>
Формула для определения упругой линии балки:
-^-(? — 2?3 + ?4) — — [21 —322? — 80 640-? + 840?2 —
~£0 I 24 ' 8! [ а
560?3 + 672 (? — 0,5)5
+ [7 _ 420? + 420?2 — 448 (? — 0,5)«] —
8!
з _ 90Е — + 252?2 — 168?3 + 384 (? — 0,5)7] +
а
+ т [г₽.(Е “₽з)3“(1 “₽з)Ч “(1 “Рз) (^3~ ] £}• (V’22)
137
Иля определения параметров а0, alt а2 и а3, углов поворота и про-
бов применимы формулы (V-1) — (V-5).
г” формула для определения угловой деформации балки:
§ 2. Формулы для случая действия на балку
одной сосредоточенной силы Р,
расположенной в середине балки (рис. V-9)
Рис. V-9
___5_{— _£°_ (1 _ 6Е2 4- 4Е3) — — Г— 322 — 80640 4- 1680Е —
<Г-£о 1 24 8! L
1680Е2 4- 3360 (Е - 0,5)4
4- _£*_ [_ 420 4- 840Е — 2688 (В — 0,5)5] —
8!
Используя формулы (V-20) — (V-22) и принимая Z3=
получав
параметры:
„ 4125 +91а Р
ао =--------!;
u 13440 +38,5а bL
£з Г 90 53760 504, _ 504Е2 + 2б880 +
8! L “ J
4-—Гб2гв p2i)—32-^(i—p2i)2—
6 L ₽2г bL*
_ s (ЗЕ2 — 1)1} . (V-26)
Q 9315 —52,5а Р
da -- О ------------ . -- .
13 440 +38,5а bL
Формула для определения угловой деформации балки:
а
<P = “V
7tE0
- °’5^ + 47 [8Г₽. <’ - °’5)2 - 4’2 + И ~^} «
Формула для определения упругой линии балки:
aL
у = =-=--
~Е0
(V-23)
+ (1 — 6Е2 4- 4Е3) 4- — 420 4- 840? — 2688 (i
24 8!
(V-24)
а
(Е — 2Е3 + Е4) + [7 — 420? + 420 Е2 — 448 (Е -
^4 8!
«о
«а
- 0.5)6] 4- [8Г₽> (Е - 0,5)3 + ЗЕ - 4Е3] . 1-Й1
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СЛУЧАЯ ДЕЙСТВИЯ
НА БАЛКУ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ МОМЕНТОВ
(РИС. V-10)
Формула для определения упругой линии балки:
= [— -2°-(Е — 2Е3 4- Е4) — -—[21 — 322Е _ £ 4- 840Е2 —
т.Е0 ( 24 8! L “
— 560Е3 4- 672 (Е — 0,5)5
4- ±2- [7 — 420Е 4- 420Е2 — 448 (Е — 0,5)*1 —
8!
[з _ go? — Е 4- 252Е2 — 168Е8 4- 384 (Е — 0,5)7] +
81 L “ J
+ Т [3 Х г»„ <Е - - 32 -Й-Н1 - ММ -
_2JHL(g3_5)ll (V-27)
ы.г И
§ 1. Формулы для случая действия'на балку
сосредоточенного изгибающего момента Мл
38
139
Пользуясь формулами (V-l), (V-26) и (V-27), имеем:
Параметры:
_ ( 420 [8Г°;5 (0,5-За)2 - 4 (1-32)2 + 1]« | МА _
°°“ 1 13 440 +38,5а J М2 ’
fQ 10а—2560 | МА
G1 = I3 2048 + a J ' “ЙТ ’
( 420 [8Г°;5 (0,5—?2)2 — 4 (1-?2)2+1] а) МА
2 I 13440 + 38,5а J 6Z2
/ j л 768 + 6а I МА
°з — 1U 2048 +а J ' ~bU~ ‘
(V-28)
Формула для определения угловой деформации балки:
—— [-----(1 — 652 + 453)--------— Г— 322 + — 64^- + 1680: —
~Е0 I 24 v ’ 8! [ а
— 168052 + 3360 (5 — 0,5)41 + -^ [— 420 + 8405 — 2688 (5 — 0,5)5] -
8!
Г_ 90 — + 5045 — 50452 + 2688 (5 — 0,5)«1 +
8! L а J
+4 [6 ru‘ - -3 <1 - - (3“~1 > ] • (V29)
Формула для определения упругой линии балки:
f----(5 — 2;3 + 54)--— Г21 — 3225— 8-64- 5 + 840с2
л£0 I 24 v 8! [
— 5605® +672 (5 — 0,5)5
+ _^_ [7 — 4205 + 42052 — 448 (5 — 0,5)*]
Гз — 905 — 5 + 25252 — 16853 + 384 (5 — 0,5)’ 1 +
+ -у[ЗГ₽1(5-р2)25-3(1-р2)2 5-(53- 5)]^-} • Я
140
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УГЛОВ ПОВОРОТА
И ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПРОГИБОВ БАЛОК,
ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
§ 1. Таблицы для определения углов поворота
и относительных прогибов балки,
нагруженной равномерно распределенной
нагрузкой q, расположенной
на правом ее конце (рис. V-12)
Для составления расчетных таблиц используем формулы (V-12) —
(V-14).
Подставляя значения параметров а0, аъ а2 и а3 из формул (V-12)
в формулы (V-13) и (V-14), имеем следующее:
Формула для определения угловой деформации балки:
<р = а (— а0 —5— [1 — 6?2 + 4?3] — —— [ —- 322 — 8°64- + 1680? —
1 ° 24 81 I 1
- 1680'2 + 3360 G — 0,5)41 + а2 — [— 420 + 840? — 2688 (? — 0,5)5] —
8!
_ п _L I — 90 — + 504s, — 504s2 + 2688 (5 — 0,5)el +
3 8! [ а J
+ G-M3-(1-Ph)4-2(1-W2(3^-1)]}-^-, (V-31)
гДе a-о, аи а2 и а3— отвлеченные параметры, включенные в фигурные
скобки формул (V-12); произведение показателя
гибкости а на отвлеченные величины, включенные
в фигурные скобки формулы (V-31), обозначим <р.
Тогда
= . (V-32)
г.£0
141
Формула для определения упругой линии балки:
У = а {--(В - 2В3 + В4) — [21 — 322!; — В + 840В»_
— 560В3 + 672 (В — 0,5)5] + [7 — 420Н + 420В2 — 448 (В — 0,5)4L
— -|f- [з — 90В — 44 В 4- 252В2— 168В + 384 (В — 0,5)7] ф-
+ 4- - ₽н)4 - (1 - ₽н)4 £-2(1- ₽„)2 (В3 - В)]) -4 • (V-33)
Произведение показателя гибкости а на отвлеченные величины
включенные в фигурные скобки формулы (V-33), обозначим^. Тогда
У — У
^Ев
(V-34)
Для определения <р и у составлены табл. (V-1) и (V-2).
Значения угла <р в любом сечении по длине балки, соответствующие
фактическим значениям нагрузки q, получаются путем умножения зна-
чений <р, взятых из табл. V-1, на—— , согласно расчетной формуле
т;£0
(V-32).
Ординаты относительных прогибов у по длине балки, соответству-
ющие фактическим значениям нагрузки q, получаются путем умнож ия
значений у, взятых из табл. V-2, на—L
согласно расчетной формуле
71-Ео
Рис. V-13
(V-34). Для иллюстрации пользо-
вания табл. V-1 и V-2 рассмот-
рим несколько примеров.
Пример V-1. На балку, ле-
жащую на упругом основании,
действует по всей длине равно-
мерно распределенная нагрузка
интенсивностью q (рис. V-13)-
Требуется определить уг°л
поворота упругой линии балки
на левом ее конце и построить
эпюру относительных прогибов
балки. Дано: /н= 0; а = ЗООИ
6 = 1 jw; L = 5 м; Ев '
= 300 кПсм\ <7 = 10 Т/м*.
142
р е ш е н и е. По условию задачи
₽ = ₽н = -^- = 0;
=---------= 0,001062; = ——— = 0,531 см.
пЕе 3,14-300 ~£0 3,14-300
Сначала найдем угол поворота на левом конце балки. Пользуясь
табл. V-1 (а = 300 и fl = 0), берем из нее значение <р = 1,864.
Умножив значение <р
получаем значение угла
на—— =0,001062, согласно формуле (V-32)
"£о
поворота на левом конце балки:
<р = ф-2- = 1,864 • 0,001062 = 0,00198.
я£0
Для построения эпюры у из табл. V-2 (а = 300 и fl = 0) берем все
значения для у от£ = 0 до g = 1.
Умножив значения у на = 0,531, согласно формуле (V-34),
г.£0
получаем значения величины у в сечениях от g = 0 до £ = 1:
ъ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
7 0 0,186 0,361 0,508 0,606 0,641 0,606 0,508 0,361 0,186 0
У 0 0,0988 0,1917 0,2698 0,3218 0,3404 0,3218 0,2698 0,1917 0,0988 0
Эпюра «/построена на рис. V-13.
Пример V-2. Балка нагруже-
на равномерно распределенной
нагрузкой на правой ее части
(Рис. V-14).
Требуется определить углы по-
порота упругой линии балки в се-
чениях g = 0, I = 0,5 и I = 1,0
и построить эпюру относительных
Прогибов.
Дано: а = 250, q = 10 Т/м2,
b =:= 1 м, /н=1,4 м, L = 7 м, Ео=
200 кПсм2.
Рис. V-14
143
Равномерно распределенная нагрузка q (рис. V-12)
Таблица V-1
Значения <? = <р——
itfo
I
а 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.5 0,7 0,8 0,9 1,0
0 0,0115 0,0113 0,0102 0,0078 0,0012 0 -0,0012 -0,0078 -0,0102 -0,0113 -0,0115
0,1 0,5762 0,5759 0,574 0,571 0,567 0,562 0,557 0,554 0,551 0,5497 0,5495
0,2 1,0134 1,0132 1,0112 1,009 1,005 0,9998 0,9950 0,991 0,988 0,987 0,986
0,3 1,324 1,324 1,323 1,321 1,317 1,313 1,308 1,305 1,302 1,301 1,301
0,4 1,508 1,508 1,5075 1,506 1,504 1,501 1,497 1,494 1,492 1,491 1,490
1 0,5 1,567 1,567 1,567 1,566 1,565 1,563 1,561 1,559 1,557 1,556 1,556
0,6 1,502 1,502 1,502 1,502 1,501 1,501 1,500 1,499 1,497 1,497 1,497
0,7 1,3121 1,3122 1,3122 1,3123 1,3125 1,3127 1,3128 1,3129 1,3125 1,3123 1,3122
0,8 0,998 0,998 0,999 0,999 0,999 1,000 1,000 1,001 1,001 1,002 1,002
0,9 0,561 0,561 0,561 0,561 0,562 0,562 0,563 0,564 0,564 0,565 0,565
0 0,0230 0,0226 0,0203 0,0155 0,00839 0 —0,00839 -0,0155 -0,0203 -0,0226 -0,0230
0,1 0,590 0,589 0,586 0,580 0,571 0,562 0,552 0,547 0,539 0,537 0,537
0,2 1,027 1,026 1,024 1,018 1,009 0,9996 0,990 0,982 0,977 0,974 0,974
0,3 1,335 1,335 1,333 1,329 1,322 1,313 1,304 1,297 1,292 1,289 1,289
0,4 1,516 1,516 1,515 1,513 1,508 1,501 1,494 1,488 1,483 1,481 1,480
2 0,5 1,572 1,572 1,572 1,570 1,568 1,564 1,559 1,555 1,551 1,549 1,549
0,6 1,504 1,504 1,504 1,503 1,503 1,501 1,500 1,497 1,495 1,494 1,493
0,7 1,312 1,312 1,312 1,312 1,313 1,313 1,313 1,313 1,313 1,312 1,312
0,8 0,997 0,997 0,997 0,998 0,998 1,000 1,000 1,002 1,003 1,004 1,004
0,9 0,560 0,560 0,560 0,560 0,561 0,562 0,563 0,565 0,566 0,567 0,567
0 0,0569 0,0560 0,0503 0,0384 0,0208 0 -0,0208 -0,0384 -0,0503 —0,0560 -0,0569
0,1 0,630 0,629 0,621 1 0,606 „ 0,585 0,561 а 0,538 0,518 0,505 0,499 0,498
I \ ,066 1,065 I 1,059 1,044 1,023 0,999 0,975 0,956 0,943 0,937 0,936
\ \ \ ,368 , 1,368 \ 1,363 | 1,353 | 1,335 1,314 1,292 1,273 1,261 1,255 , 1,254
\ ОЛ \ \ ,541 \ 1 ,540 \ 1,538 \ 1,531 1 1,520 1,503 1,486 1,470 1,459 1,453 / 1.453
(73 / СП со 5 0,5 1,586 1,586
0,6 1,509 1,509
0,7 1,311 1,311
0,8 0,992 0,993
0,9 0,555 0,555
0 0,112 0,110
0,1 0,696 0,694
0,2 1,130 1,128
0,3 1,422 1,421
0,4 1,580 1,579
10 0,5 1,609 1,609
0,6 1,519 1,519
0,7 1,309 1,309
0,8 0,985 0,985
0,9 0,548 0,548
0 0,166 0,163
0,1 0,761 0,757
0,2 1,193 1,190
0,3 1,475 1,473
0,4 1,618 1,617
15 0,5 1,632 1,631
0,6 1,527 1,527
0,7 1,308 1,308
0,8 0,978 0,978
0,9 0,541 0,542
0 0,219 0,215
0,1 0,823 0,818
0,2 1,254 1,250
0,3 1,526 1,523
0,4 1,655 1,653
20 0,5 1,653 1,653
0,6 1,536 1,536
0,7 1,306 1,307
СЛ 0,8 0,971 0,971
0,9 0,535 0,535
1,585 1,509 1,311 0,993 0,556 1,581 1,508 1,312 0,994 0,557 1,576 1,506 1,313 0,996 0,558 1,567 1,503 1,314 0,999 0,561 1,555 1,499 1,314 1,002 0,564 1,543 1,493 1,314 1,005 0,567 1,534 1,487 1,313 1,008 0,571 1,530 1,484 1,312 1,009 0,573 1,529 1,484 1,311 1,009 0,573
0,0993 0,0757 0,0410 0 -0,0410 -0,0757 -0,0993 -0,110 -0,112
0,678 0,648 0,606 0,559 0,513 0,475 0,450 0,438 0,436
1,116 1,087 1,048 0,998 0,952 0,913 0,887 0,875 0,873
1,413 1,392 1,357 1,315 1,272 1,235 1,211 1,199 1,197
1,574 1,561 1,539 1,506 1,472 1,440 1,419 1,408 1,406
1,606 1,600 1,589 1,571 1,548 1,524 1,507 1,499 1,497
1,518 1,516 1,513 1,507 1,498 1,486 1,475 1,469 1,468
1,310 1,311 1,313 1,315 1,316 1,316 1,313 1,311 1,310
0,986 0,989 0,993 0,998 1,004 1,012 1,017 1,017 1,018
0,549 0,551 0,554 0,559 0,565 0,572 0,579 0,583 0,584
0,147 0,112 0,0607 0 —0,0607 -0,112 -0,147 -0,163 -0,166
0,734 0,689 0,627 0,558 0,490 0,434 0,396 0,378 0,375
1,172 1,129 1,068 0,997 0,928 0,871 0,833 0,815 0,812
1,461 1,430 1,379 1,316 1,252 1,198 1,162 1,145 1,142
1,609 1,591 1,558 1,510 1,458 1,412 1,379 1,364 1,361
1,627 1,618 1,601 1,575 1,540 1,506 1,481 1,468 1,466
1,526 1,524 1,519 1,511 1,497 1,479 1,462 1,454 1,452
1,309 1,310 1,313 1,316 1,318 1,318 1,314 1,309 1,309
0,980 0,983 0,989 0,997 1,007 1,017 1,025 1,026 1,027
0,543 0,546 0,551 0,558 0,567 0,577 0,587 0,593 0,595
0,193 0,147 0,080 0 -0,080 -0,147 -0,193 -0,215 -0,219
0,788 0,729 0,648 0,556 0,467 0,393 0,343 0,320 0,316
1,226 1,170 1,089 0,996 0,906 0,831 0,780 0,757 0,753
1,507 1,467 1,400 1,317 1,233 1,163 1,114 1,092 1,088
1,644 1,619 1,576 1,514 1,445 1,384 1,341 1,321 1,317
1,648 1,635 1,613 1,579 1,534 1,488 1,455 1,438 1,435
1,535 1,531 1,525 1,514 1,496 1,472 1,451 1,439 1,436
1,308 1,310 1,313 1,317 Г,320 1,320 1,314 1,309 1,307
0,973 0,978 0,986 0,996 1,000 1,022 1,032 1,035 1,035
0,537 0,540 0,547 0,556 0,568 0,581 0,594 0,603 0,605
Продолясение табл. V-1
а е
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,7 0,8 0,9 1,0
0 0,259 0,255 0,238 0,182 0,098 0,000 -0,098 -0,182 -0,238 -0,255 -0,259
0,1 0,884 0,878 0,840 0,767 0,668 0,565 0,445 0,354 0,292 0,264 0,269
0,2 1,312 1,308 1,278 1,209 1,110 0,995 0,884 0,791 0,729 0,700 0,695
0,3 1,675 1,672 1,652 1,604 1,421 1,318 1,215 1,128 1,068 1,040 1,035
0,4 1,691 1,689 1,677 1,647 1,604 1,617 1,432 1,357 1,304 1,279 1,275
25 0,5 1,674 1,673 1,667 1,652 1,625 1,683 1,627 1,471 1,429 1,409 1,405
0,6 1,644 1,644 1,643 1,638 1,630 1,617 1,496 1,466 1,439 1,424 1,421
0,7 1,304 1,305 1,306 1,309 1,313 1,318 1,322 1,322 1,314 1,308 1,306
0,8 0,964 0,965 0,967 0,973 0,982 0,995 1,011 1,028 1,040 1,043 1,043
0,9 0,528 0,529 0,531 0,535 0,543 0,565 0,591 0,586 0,602 0,613 0,615
0 0,505 0,497 0,447 0,340 0,184 0 -0,184 -0,340 -0,447 -0,497 -0,505
0 1 1,167 1,155 1,084 0,946 0,768 0,547 0,341 0,171 0,056 0,003 —0,006
0,2 1 ’586 1,578 1,522 1,393 1,205 0,990 0,782 0,609 0,492 0,438 0,429
0,3 1,804 1,799 1,762 1,671 1,616 1,324 1,130 0,966 0,854 0,802 0,793
0,4 1,855 1,852 1,831 1,777 1,678 1,634 1,374 1,232 1,132 1,085 1,076
50 0,5 1,770 1,769 1,768 1,731 1,681 1,603 1,497 1,391 1,311 1,272 1,265
0,6 1,682 1,681 1,679 1,672 1,658 1,634 1,494 1,436 1,384 1,35б 1,350
0,7 1,298 1,299 1,301 1,306 1,314 1,324 1,331 1,331 1,316 1,302 1,299
0,8 0,934 0,935 0,939 0,949 0,966 0,996 1,021 1,052 1,076 1,081 1,081
0,9 0,499 0,500 0,503 0,511 0,526 0,547 0,574 0,606 0,637 0,668 0,662
0 0,898 0,883 0,794 0,605 0,328 0 -0,328 -0,605 -0,794 -0,883 -0,898
0 1 1,642 1,619 1,490 1,242 0,908 0,532 1,578 1,332 -3,336 —4,208 —4,461
0,2 2’043 2,028 1,930 1,698 1,363 0,981 0,611 0,304 0,098 0,003 —0,014
0 3 2,181 2,172 2,111 1,953 1,678 1,335 0,988 0,696 0,497 0,404 0,388
0,4 2J24 2,119 2,085 1,994 1,823 1,566 1,278 1,023 0,843 0,768 0,743
100 1 0,5 1,925 1,923 1,906 1,861 1,777 1,641 1,450 1,256 1,112 1,040 1,027
0,6 1,641 1,640 1,637 1,628 1,606 1,566 1,495 1,389 1,291 1,237 1,226
\ 0,7 1,286 1,287 1,291 i 1,301 1,316 1,335 1,350 1,348 1,31 /
\ 0,8 \ 0,884 1 0,885 0,892 0,910 0,939 0,981 1,035 1,093 1,136 1,145 / 1,145
\ к л \ 0 45*2 \ 0,453 0.458 0.472 0,496 0,532 0,580 0,638 0,696 0,737 / 0,744
0 1,212 / 1,191 1,072 0,817 0,443 0 -0,443 -0,817 -1,072 -1,191 -1,212
0,1 2,025 1,994 1,816 1,478 1,024 0,517 0,028 -0,376 —0,648 —0,774 -0,796
0,2 2,408 2,388 2,257 1,943 1,489 0,973 0,474 0,061 -0,216 -0,345 -0,367
0,3 2,479 2,467 2,389 2,181 1,810 1,345 0,877 0,481 0,211 0,085 0,063
0,4 2,332 2,326 2,284 2,169 1,945 1,597 1,204 0,855 0,610 0,493 0,473
150 0,5 2,044 2,041 2,020 1,964 1,856 1,675 1,414 1,147 0,948 0,850 0,832
0,6 1,685 1,684 1,681 1,672 1,647 1,597 1,502 1,352 1,212 1,135 1,121
0,7 1,275 1,276 1,283 1,297 1,319 1,345 1,368 1,364 1,317 1,276 1,267
0,8 0,845 0,847 0,856 0,878 0,916 0,973 1,046 1,126 1,186 1,197 1,196
0,9 0,416 0,417 0,424 0,440 0,470 0,517 0,582 0,662 0,744 0,803 0,813
0 1,469 1,444 1,299 0,990 0,536 0 -0,536 -0,990 -1,299 -1,444 -1,469
0,1 2,342 2,304 2,084 1,670 1,117 0,503 0,088 -0,575 -0,902 -1,055 -1,081
0,2 2,707 2,684 2,526 2,143 1,591 0,9=5 0,351 0,137 -0,472 -0,628 —0,655
0,3 2,718 2,705 2,615 2,369 1,921 1,356 0,786 0,304 0,023 -0,177 —0,203
0,4 2,497 2,491 2,444 2,313 2,049 1,627 1,146 0,718 0,417 0,274 0,249
200 0,5 2,138 2,135 2,111 2,048 1,923 1,707 1,387 1,068 0,812 0,691 0,669
0,6 1,717 1,718 1,716 1,707 1,683 1,627 1,612 1,324 1,146 1,047 1,028
0,7 1,265 1,267 1,276 1,294 1,322 1,356 1,385 1,379 1,317 1,261 1,249
0,8 0,814 0,816 0,827 0,852 0,897 0,965 1,054 1,153 1,227 1,241 1,239
0,9 0,388 0,389 0,396 0,414 0,448 0,503 0,581 0,680 0,785 0,860 0,874
0 1,683 1,654 1,488 1,134 0,614 0 -0,614 -1,134 -1,488 -1,654 -1,683
0,1 2,610 2,565 2,307 1,828 1,193 0,489 0,185 -0,741 -1,113 -1,287 -1,317
0,2 2,957 2,931 2,751 2,310 1,675 0,957 0,303 -0,685 -0,862 -0,893 -0,935
0,3 2,913 2,900 2,803 2,528 2,016 1,367 0,711 0,157 -0,219 -0,395 —0,426
250 0,4 2,629 2,623 2,575 2,435 2,139 1,655 1,100 0,603 0,255 0,089 0,060
0,5 2,213 2,209 2,184 2,116 1,979 1,735 1,365 0,982 0,696 0,565 0,530
0,6 1,742 1,743 1,743 1,737 1,714 1,655 1,525 1,301 1,088 0,969 0,946
0,7 1,256 1,258 1,269 1,291 1,325 1,367 1,402 1,394 1,315 1,246 1,231
0,8 0,789 0,791 0,803 0,831 0,881 0,957 1,061 1,176 1,263 1,277 1,274
Е 0,9 0,365 0,367 0,374 0,394 0,429 0,489 0,578 0,694 0,820 0,911 0,927
Продолжение табл. V-1
Е
а 3 0 0,1 0,2 0.3 0,4 0.5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 1,864 1,832 1,648 1,256 0,680 0 -0,680 -1,256 -1,648 -1,832 -1,864
0,1 2,839 2,788 2,497 1,961 1,254 0,476 0,268 -0,880 -1 291 -1,483 -1,516
0,2 3,168 3,140 2,942 2,452 1,746 0,960 0,186 -0,443 -0,864 -1,061 -1,095
0,3 3,075 3,062 2,961 2,565 2,099 1,377 0,648 0,033 -0,385 -0,581 -0,615
0,4 2,736 2,731 2,684 2,539 2,220 1,683 1,062 0,505 0,116 0,069 -0,102
300 0,5 2,275 2,271 2,244 2,173 2,028 1,761 1,347 0,917 0,596 0,439 0,411
0,6 1,762 1,762 1,764 1,761 1,742 1,683 1,539 1,283 1,036 0,899 0,872
0,7 1,248 1,250 1,263 1,288 1,328 1,377 1,418 1,409 1,313 1,230 1,212
0,8 0,769 0,771 0,783 0,813 0,866 0,960 1,065 1,196 1,295 1,308 1,304
0,9 0,348 0,349 0,356 0,375 0,412 0,476 0,574 0,705 0,850 0,956 0,975
0 2,019 1,984 1,785 1,360 0,737 0 -0,737 -1,360 -1,785 -1,984 -2,019
0,1 3,038 2,982 2,661 2,074 1,306 0,463 0,340 -1,000 -1,443 -1,649 -1,685
0,2 3,349 3,319 3,107 2,574 1,806 0,943 0,117 -0,563 -1,018 -1,230 -1,267
0,3 3,211 3,199 3,096 2,783 2,172 1,388 0,595 0,074 -0,528 -0,741 -0,778
0,4 2,824 2,819 2,776 2,629 2,292 1,709 1,030 0,421 0,004 -0,207 -0,242
350 0,5 2,326 2,322 2,294 2,221 2,070 1,785 1,333 0,861 0,509 0,337 0,307
0,6 1,776 1,777 1,780 1,782 1,767 1,709 1,555 1,269 0,991 0,835 0,805
0,7 1,241 1,243 1,257 1,286 1,332 1,388 1,435 1,423 1,311 1,214 1,192
0,8 0,752 0,754 0,767 0,798 0,854 0,943 1,069 1,214 1,322 1,335 1,330
0,9 0,333 0,335 0,342 0,360 0,397 0,463 0,569 0,713 0,876 0,997 1,019
0 2,153 2,116 1,904 1,451 0,786 0 -0,786 -1,451 -1,904 -2,116 -2,153
0,1 3,212 3,151 2,803 2,170 1,349 0,451 0,403 -1,104 -1 574 -1,793 -1,831
0,2 3,505 3,475 3,251 2,680 1,858 0,937 0,056 0,666 -1,150 -1,376 -1,416
0,3 3,326 3,314 3,213 2,888 2,237 1,398 0,549 0,166 —0,652 -0,880 -0,919
0,4 2,897 2,893 2,853 2,708 2,358 1,735 1,004 0,349 0,110 —0,327 -0,365
400 0,5 2,369 2,365 2,336 2,261 2,106 1,807 1,320 0,811 0,432 0,248 0,216
0,6 1,788 1,789 1,794 1,799 1,790 1,735 1,571 1,257 0,949 0,777 0,744
\ 0,7 \ 1,234 1,237 1,252 1,285 1,336 1,398 1,451 1,437 1,309 1,198 1,173
\ 0,8 \ 0,738 1 0,740 0,763 0,785 \ 0,347 0,843 0,937 1,072 1,229 , 0,720 1 1,347 . 1,359 j 1,352
X 0,9 \ 0 ,32.4 \ 0,32,3 \ 0,330 0,383 0,451 O.5G3 O.S09 1,035 / 1.058
/ о 2,271
/ 0,1 3,367
0,2 3,642
0,3 3,424
0,4 2,957
450 0,5 2,406
0,6 1,797
0,7 1,227
0,8 0,725
0,9 0,312
0 2,375
0,1 3,505
0,2 3,763
0,3 3,508
0,4 3,008
500 0,5 2,439
0,6 1,804
0,7 1,221
0,8 0,715
0,9 0,304
2,232
3,302
3,611
3,413
2,955
2,401
1,798
1,230
0,728
0,313
2,008
2,928
3,377
3,314
2,919
2,372
1,805
1,247
0,741
0,320
1,530
2,254
2,773
2,981
2,778
2,296
1,814
1,283
0,773
0,336
2,334
3,436
3,732
3,498
3,006
2,433
1,805
1,224
0,717
0,306
2,099
3,039
3,489
3,403
2,976
2,402
1,813
1,242
0,731
0,311
1,600
2,328
2,855
3,064
2,841
2,326
1,827
1,281
0,763
0,326
0,829 0 —0,829 —1,530 —2,008 —2,232
1,385 0,439 0,459 -1,195 — 1,688 -1,918
1,903 0,931 0,004 -0,757 -1,266 -1,504
2,296 1,409 0,510 0,247 -0,761 -1,002
2,418 1,760 0,982 0,284 0,203 -0,434
2,138 1,826 1,309 0,766 0,364 0,169
1,811 1,760 1,589 1,248 0,912 0,723
1,339 1,409 1,467 1,450 1,306 1,181
0,833 0,931 1,074 1,243 1,370 1,379
0,370 0,439 0,556 0,724 0,920 1,070
0,867 0 -0,867 -1,600 -2,099 -2,334
1,416 0,427 -0,508 -1,274 -1,788 -2,028
1,943 0,926 0,043 -0,836 -1,368 -1,616
2,350 1,419 0,476 0,319 -0,857 -1,110
2,473 1,783 0,963 0,227 -0,286 -0,529
2,166 1,843 1,299 0,726 0,303 0,099
1,830 1,783 1,606 1,241 0,877 0,673
1,343 1,419 1,483 1,464 1,303 1,164
0,824 0,926 1,076 1,255 1,390 1,398
0,359 0,427 0,549 0,728 0,939 1,102
—2,271
-1,958
-1,545
-1,044
-0,474
0,136
0,687
1,153
1,371
1,096
-2,375
-2,070
-1,660
-1,154
-0,571
0,064
0,633
1,133
1,388
1,131
Решение. По приведенным данным
₽ = ₽н =~ = 0,2;
1
3,14 • 200
0,001592;
-^- = 0,01115 см.
~Е0
9
я£0
Сначала найдем углы поворота упругой линии на левом конце
в середине и на правом конце балки. Пользуясь табл. V-1 (а = 250
и- р = 0,2), берем из нее значения <р£=0 = 2,967, <р£=0 5 = 0,957,
Ф£=1 = — 0,935. Умножив эти значения на —= 0,001592, соглас-
~-Ец
но формуле (V-32) получим значения углов поворота упругой линии
балки:
Фе=0 = Ф£=о — = 2,967 - 0,001592 = 0,004708;
Фе=0 5 = Ф£=о 5-^~ = 0,967 • 0,001592 = 0,001524;
Ф£=1 о = ф£=1 о —= — 0,965 • 0,001592 = — 0,001489. 1
’ kEq
Чтобы построить эпюру у, необходимо полностью взять из табл.
V-2 соответствующие а = 250 и ₽ = 0,2 данные для всех значений Е,
равных от нуля до единицы. Эти данные у согласно формуле (V-34)
умножаем на = 0,1115:
£ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0.5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
~У 0 0,295 0,581 0,836 1.037 1,169 1,229 1,226 1,175 1,096 1.007
У 0 0,0329 0,0648 0v0932 0,1156 0,1303 0,1370 0,1367 0,1310 0,1222 0.1123
Эпюра у построена на рис. V-14.
150
151
П родолжение табл. V-2
а 6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,5 0,7 0,8 0,9 1,0
5 0,5 0 0,159 0,317 0,476 0,633 0,791 0,947 1.102 1,255 1,409 1,562
0,6 0 0,151 0,302 0,453 0,603 0,754 0,904 1,054 1,203 1,354 1,500
0,7 0 0,131 0,262 0,393 0,525 0,656 0,787 0,919 1,050 1,181 1,312
0,8 0 0,099 0,199 0,298 0,397 0,497 0,597 0,698 0,798 0,899 1,000
0,9 0 0,056 0,111 0,167 0,222 0,278 0,335 0,391 0,448 0,505 0,563
0 0 0,0112 0,0218 0,0306 0,0365 0,0386 0,0365 0,0306 0,0218 0,0112 0
0,1 0 0,0696 0,138 0,205 0,268 0,326 0,379 0,429 0,475 0,519 0,563
0,2 0 0,113 0,225 0,336 0,442 0,545 0.642 0.735 0,825 0,913 1,000
0,3 0 0,142 0,284 0,424 0,562 0,596 0,825 0,950 1,072 1,193 1,312
0,4 0 0,158 0,316 0,473 0,628 0,780 0,929 1,074 1,217 1,359 1,499
10 0,5 0 0,161 0,322 0,482 0,642 0,800 0,955 1,109 1,261 1,411 1,561
0,6 0 0,152 0,304 0,455 0,609 0,758 0,908 1,057 1,205 1,352 1,499
0,7 0 0,131 0,262 0,393 0,524 0,556 0,787 0,919 1,050 1,181 1,312
0,8 0 0,099 0,197 0,296 0,395 0,494 0,595 0,695 0,797 0,899 1,000
0,9 0 0,055 0,110 0,165 0,220 0,276 0,332 0,389 0,446 0,504 0,563
0 0 0,017 0,032 0,045 0,054 0,057 0,054 0,045 0,032 0,017 0
0,1 0 0,076 0,151 0,222 0,288 0,347 0,399 0,446 0,487 0,525 0,563
0,2 0 0,119 0,237 0,353 0,463 0,566 0,662 0,752 0,837 0,919 1,000
0,3 0 0,147 0,294 0,439 0,580 0,714 0,843 0,965 1,083 1,198 1,312
0,4 0 0,162 0,323 0,483 0,641 0,794 0,943 1,086 1,226 1,363 1,499
1П 0,5 0 0,163 0,326 0,488 0,649 0,808 0,964 1,116 1,266 1,413 1,560
0,6 0 0,153 0,305 0,458 0,610 0,762 0,912 1,060 1,208 1,354 1,499
0,7 0 0,131 0,262 0,393 0,524 0,655 0,787 0,919 1,050 1,182 1,312
0,8 0 0,098 0,196 0,294 0,392 0,492 0,592 0,693 0,795 0,898 1,000
0,9 0 0,054 0,108 0,163 0,218 0,273 0,329 0,386 0,445 0,504 0,563
0 0 0,0218 0,0423 0,0596 0,071 0,075 0,071 0,0596 0,0423 0,0218 0
0,1 0 0,0822 0,163 0,239 0,308 0,368 0,419 0,462 0,498 0,531 0,563
20 0,2 0 0,125 0,249 0,369 0,482 0,587 0,682 0,768 * 0,849 0,925 1,000
\ 0,3 10 \ 0,153 0,304 0,453 0,597 0.733 0,860 0,980 1,093 1,203 , 1,312
\ ол \ 0 \ 0,165 \ 0,330 0,494 0.654 0,808 0,956 1.098 1.234 1.367 1 1,498
/ 0,5 /» / 0,165 0,330 0,495 0,657 0,817 0,973 1,124 1,271 1,415 1,559
0,6 0 0,134 0,307 0,460 0,613 0,865 0,916 1,064 1,210 1,355 1,498
0,7 0 0,131 0,261 0,392 0,523 0,655 0,787 0,919 1,051 1,182 1,312
0,8 0 0,097 0,194 0,292 0,390 0,489 0,589 0,691 0,794 0,897 1,000
0,9 0 0,053 0,107 0,161 0,215 0,270 0,327 0,384 0,443 0,503 0,563
0 0 0,027 0,052 0,073 0,088 0,093 0,088 0,073 0,052 0,027 0
0,1 0 0,088 0,174 0,255 0,327 0,388 0,438 0,478 0,510 0,537 0,563
0,2 0 0,131 0,261 0,385 0,502 0,607 0,701 0,784 0,860 0,931 1,001
0,3 0 0,157 0,314 0,467 0,613 0,750 0,877 0,994 1,103 1,209 1,312
25 0,4 0 0,169 0,337 0,504 0,666 0,822 0,969 1,108 1,241 1,370 1,498
0,5 0 0,167 0,335 0,501 0,665 0,825 0,981 1,131 1,275 1,417 1,558
0,6 0 0,154 0,309 0,463 0,616 0,769 0,919 1,068 1,213 1,356 1,498
0,7 0 0,131 0,261 0,392 0,523 0,655 0,787 0,919 1,050 1,182 1,312
0,8 0 0,096 0,193 0,290 0,388 0,487 0,587 0,689 0,792 0,896 1,001
0,9 0 0,053 0,106 0,159 0,213 0,268 0,324 0,382 0,441 0,502 0,563
0 0 0,050 0,098 0,138 0,164 0,174 0.164 0,138 0,098 0,050 0
0,1 0 0,116 0,229 0,331 0,416 0,482 0,526 0,551 0,562 0,565 0,564
0,2 0 0,158 0,314 0,460 0,591 0,700 0,789 0,858 0,912 0,958 1,002
0,3 0 0.180 0,359 0,531 0,691 0,833 0,955 1,060 1,150 1,233 1,312
50 0,4 0 0,185 0.370 0,551 0,724 0,884 1,030 1,160 1,278 1,388 1,496
0,5 0 0,177 0,353 0.528 0,699 0,863 1,019 1,163 1,298 1,426 1,553
0,6 0 0,158 0,316 0,474 0,630 0,785 0,937 1,083 1,224 1,361 1,496
0,7 0 0,130 0,260 0,390 0,521 0,652 0,786 0,919 1,051 1,182 1,312
0,8 0 0,093 0,187 0,281 0,377 0,475 0,575 0,679 0,786 0,893 1,002
0,9 0 0,050 0,100 0,151 0,203 0,256 0,312 0,371 0,433 0,498 0,564
0 0 0,089 0,174 0,245 0,292 0,309 0,292 0,245 0,174 0,089 0
0,1 0 0,164 0,320 0,458 0,566 0,638 0,672 0,673 0,649 0,610 0,566
0,2 0 0,204 0,403 0,585 0,739 0,856 0,936 0.981 1,000 1,004 1,003
0,3 0 0,218 0,433 0,637 0,819 0,970 1,086 1,170 1,228 1,273 1,312
0,4 0 0,212 0,423 0,627 0,819 0,989 1,131 1,246 1,338 1,418 1,492
100 0,5 0 0,192 0,384 0,573 0,755 0,926 , 1,081 1,216 1,334 1,441 1,544
0,6 0 0,164 0,328 0,491 0,653 0,812 0,965 1,110 1,243 1,369 1,492
0,7 0 0,129 0,257 0,387 0,518 0,650 0,785 0,920 1,053 1,183 1,312
Сл 0,8 0 0,088 0,177 0,267 0,360 0,455 0,556 0,663 0.774 0,889 1,003
Сл5 0,9 0 0,045 0,091 0,137 0,185 0,237 0,292 0,353 0,420 0,492 0,566
Продолжение табл. V-1
а 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0.5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 0 0,121 0,235 0,330 0,394 0,417 0,394 0,330 0,235 0,121 0
0,1 0 0,202 0,394 0,560 0,685 0,763 0,789 0,771 0,719 0,646 0,567
0,2 0 0,240 0,474 0,685 0,858 0,981 1,053 1,079 1,070 1,041 1 005
0,3 0 0.248 0,491 0,721 0.922 1,080 1,191 1,258 1,291 1,305 1 312
0,4 0 0,233 0,464 0,687 0,894 1,072 1,212 1,314 1,387 1,441 1,489
150 0,5 0 0,204 0,408 0,607 0,799 0,976 1,131 1,259 1,363 1,452 1,535
0,6 0 0,168 0,337 0,505 0,571 0,833 0.989 1,132 1,259 1,376 1,489
0,7 0 0,128 0,255 0,384 0,515 0,648 0,784 0,921 1,055 1,185 1,312
0,8 0 0,085 0,170 0,256 0,346 0,440 0,541 0,650 0,765 6,885 1,005
0,9 0 0,042 0,084 0,127 0,172 0,221 0,276 0,338 0,409 0,486 0,567
0 0 0,146 0,285 0,400 0,478 0,505 0,478 0,400 0,285 0,146 0
0,1 0 0,233 0,454 0,644 0,784 0,865 0,885 0,851 0,775 0,676 0,569
0.2 0 0,270 0,532 0,768 0,955 1,083 1,149 1,159 1,127 1,070 i ,006
0,3 0 0,271 0,538 0,789 1,005 1,170 1,276 1,330 1,342 1,331 1,311
0,4 0 0,260 0,497 0,736 0,955 1,140 1,278 1,371 1,426 1,460 1,485
200 0,5 0 0,214 0,426 0,635 0,834 1,016 1,171 1,293 1,386 1,460 1,527
0,6 0 0,172 0,343 0,515 0,684 0,850 1,008 1,150 1,273 1,382 1,485
0,7 0 0,127 0,254 0,382 0,513 0,647 0,784 0,923 1,058 1,186 1,311
0,8 0 0,081 0,164 0,247 0,335 0,428 0,528 0,639 0,758 0,882 1,006
0,9 0 0,039 0,078 0,118 0,161 0,209 0,263 0,326 0,399 0,482 0,569
0 0 0,168 0,326 0,459 0.547 0,578 0,547 0,459 0,326 0,168 0,
0,1 0 0,260 0,506 0.714 0,866 0,950 0,965 0,917 0,823 0.701 0,570
0,2 0 0,295 0,581 0,836 1,037 1,169 1,229 1,226 1,175 1,096 1,007
0,3 0 0,291 0,577 0,846 1,075 1,244 1,348 1,390 1,385 1,353 1,311
0,4 0 0,263 0,523 0,775 1,005 1,196 1,334 1,418 1,459 1,475 1.482
250 0,5 0 0,221 0,441 0,657 0,862 1,049 1,205 1,322 1,404 1,466 1,520
0,6 0 0,174 0,349 0,523 0,695 0,864 1,024 1,166 1,285 1,387 1,482
0,7 0,8 0 0 0,126 0,252 0,380 0,511 0,645 0,784 0,924 1.060 1,188 1.311
, 0,079 0,159 0,240 0 326 0,417 0,518 0,630 0,752 0.880 / 1.007
\ О»9 \° \ 0,037 0,074 0,112 0,153 0,198 1 0,252 0,315 0.391 у 0,478 1 0,570
1
/ /о / 0.186 0,361 0,508 0,606 0,641 0,606 0.508 0.361 0,186 \ 0
0,1 0,2 0,3 0,4 0 5 о 0.283 0,549 0,774 0,936 1,022 1,032 0,973 0.863 0,722 0,572
о 0,316 0,622 0,894 1,106 1,240 1,297 1,282 1,215 1,117 1,009
о 0,307 0,610 0,893 1,133 1,308 1,408 1,441 1,422 1.372 1,311
о 0,273 0,545 0,807 1,047 1,243 1,381 1,458 1,487 1,488 1,479
300 о 0,227 0,453 0,675 0,886 1,076 1,233 1,345 1,420 1,470 1,512
0^6 0,7 0,8 0,9 о 0,176 0,353 0,529 0,704 0,876 1,038 1,180 1,295 1,391 1,479
о 0,125 0,250 0,380 0,509 0,644 0,784 0,926 1,063 1,189 1,311
л 0^077 0,035 0,155 0,234 0,318 0,409 0,509 0,622 0,747 0,878 1,009
и 0 0,070 0,107 0,146 0,190 0,242 0,306 0,384 0,474 0,572
п о 0,201 0,391 0,550 0,657 0,694 0,657 0,550 0,391 0,201 0
и 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 о 0,302 0,587 0 826 0,996 1,084 1,090 1,021 0,897 0,740 0,573
о 0,334 0,658 0,944 1,165 1,303 1,355 1.331 1,250 1,135 1,010
о 0,321 0,636 0,933 1,183 1,362 1,460 1,485 1,453 1,388 1,311
о 0,282 0,563 0,834 1,082 1,284 1,421 1.492 1,511 1,499 1,476
350 о 0,232 0,464 0,690 0,905 1,099 1,256 1,365 1,432 1,473 1,505
о 0,178 0,356 0,534 0,711 0,886 1,050 1,192 1,304 1.394 1,476
о 0,124 0,075 0,033 0,249 0,376 0,507 0,643 0,784 0,928 1,065 1,191 1,311
о 0 151 0.229 0,312 0,401 0,502 0.616 0,743 0,877 1,010
0 0,067 0,102 0,140 0,183 0,234 0,298 0,377 0,471 0,573
л л 0,214 0,320 0,417 0,587 0,700 0,740 0,700 0,587 0,417 0,214 0
и 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 и о 0,620 0,871 ,1,048 1,138 1,140 1,063 0,935 0,756 0,574
о 0,350 0,689 0,988 1,216 1,356 1,405 1,373 1,280 1,151 1,011
о 0,332 0,660 0,967 1,226 1,409 1,506 1,523 1,480 1,401 1,310
о 0,290 0,577 0,857 1,112 1,319 1.456 1,522 1,532 1.508 1,473
400 0 о 0,237 0,179 0,123 0,472 0,358 0,703 0,538 0,922 0,717 1,119 0,894 1,276 1,061 1,382 1,203 1,443 1,313 1,475 1,398 1,498 1,473
о 0,248 0,374 0,505 0,620 0,785 0,930 1,068 1,192 1,310
л О’,074 0,032 0,148 0,225 0,306 0,395 0,495 0,610 0,740 0,875 1,011
и 0 0,065 0,099 0,135 0,176 0,226 0,290 0,371 0,468 0,574
сл сл
Продолжение табл. [7-2
о LQ 04 О О — О О 04 1О (С ОС'С N LT N О СС С Ь- _ CTJ _ <£> со ш Ю С СС сс: IO О СО ТГ тр СО с ю оо———————о 0 о —
0,9 OiC’tCDNOTT lOCD СО С4 СО xf со г, со CD’сГ 04 Ь- CD — —’ Ь— О СП Г— CD СО СЮ Ь-С4 04 Г- О СП b- CD 04 b- — LO ’чГ тГ СО 04 — ^ГиО 'rf — СО ’ф о о —«—* —«о о о о — —«— —7 о о
СЮ о О 04 CD о 04 О — b- CD О 1D СП LO CD СП Ь- СО —< CLOLOO4S CO4D CD Г— 04 04 CD LQ 04 Г- СО CD ’чГСП СО ID LD тГ СО О Ь^ СО СП СО ID LO хГ СО О Ь- СО о О — ~ ~ О О с С---> о
0,7 OOOh-CONCOCJlO’C b-^C4CD—СПО4ХГ’—’СО — СП —• LO хЬ СП —1 СО О СО С0-ф0ЭЬ-ОС4 00ОП- CD О LOLO СО 04 СП CD 04 CD — хМП LO 04 СП CD 04 о — — — — — — ooo o — — — — — — о" о o'
0,6 СП co СП LO CD Xf 0 LO СП о 04 04 co о CO СП СП CD CO CO -^Г co СП b- O0 OO 04 N C4 co co-< 0 N К CC -- ON’t СЧ b-04 xf LQ LO CO О Г-тг 04 O — — — — — — ООО O — — — — — — ООО
0,5 — LO CO О СП CD — —< СП CD Г"- LO CD CD —’ CO О LO CD CO co 0 LO 'ЧГ CO О ’ГГ CO Г- —’ 04 CO г- ю О CO CD -“2 CO СП CD CO —’ CO СЧ e CO'— C'CD co —' 0 —' —< —-< —’ —’ 0 О О О
О CH CO CD 04 04 —’ O4’*’-’t--’—’C0cDO4r--r- CO СЛ CD CD co CO 04 О О CO N CO О O cD04 О О 04 N С 04 04'-’О ShOcO — — CO 04 ’ СП LO 04 —' —OOOOO O — ^^^OOOOO
0,3 СП —' 0 r-0 CO — CO 04 CD r- CD О CO CO CO CO — CO CO -1 —ОСП'Ь r- 04 СП ’e'xfCDO4Cno4'^’r^'^Cn <D СП 04 СП CO Г- LO CO 04 О CD СП О О CO Г- LQ CO 04 О oo — 0’ 0 0 0 0 0" 0 00 — ^000000
см о 0 CncD 0 0 CH 0 CD CD CO OCDCnb-OCD—LQ'^r — ’C’C —iCCONCD тГ-rfO CD Ь CO СП О1 CC O v cD ^CDr-CDLQxrcOO4 —О xT CD N сЛС П O4_—О oooooooooo 00" 0000’ 0000
о CD LO CO 04 CD — OCO CO — CD СП CD — —’'З’О 04 04 О 04 CO CD СП CO 04 b- CO CO ’'Ф b- LO О CO 04 b- CO 04 CO CO CO 04 04— —О О 04 CO CO CO CO 04— —О О oooooooooo OOOOOOOOOO
о oooooooooo oooooooooo
00. — 04 CO LO CD b- CO СП — 04 CO 1D CD b- CO СП oooooooooo oooooooooo
в 450 500
§ 2. Таблицы для определения углов поворота
и относительных прогибов балки,
нагруженной одной сосредоточенной силой Р,
расположенной в произвольном месте
по длине балки (рис. V-15)
Для составления расчетных таблиц используем формулы (V-20) —
у-22). Подставляя значения параметров а0, а1г а2 и а3 из формул (V-20)
в формулы (V-21 и V-22), получаем следующее:
Формула для определения угловой деформации балки:
Ф = I--------(1 — 6В2 + 4V)---------1 — 322 — + 1680? —
Y ъЕ0 ( 24 v ' 81 L а
— 1680?2 + 3360 (£ — 0,5)4] + -g- [— 420 + 840? — 2688 (£ — 0,5)5] —
_ _£з_ Г 90 _ 2^1 + 504е _ 504^2 + 2688 (5 — 0,5)61 +
о! L а J
+ т [ЗГ₽-G - ₽з)2 - (1 - ₽з)3 - (1 - ₽з) - 1)]} . (V-35)
где а0, alt а2 и а3— отвлеченные параметры, включенные в фигурные
скобки формул (V-20).
Произведение показателя гибкости а на отвлеченные величины,
включенные в фигурные скобки формулы (V-35), обозначим ф. Тогда
Ф = L_. (V-36)
‘kEq ье
Формула для определения упругой линии балки:
----— 2£3-Н4)— [21 — 322? — ^Ц-|-840^-
— 560?3 4- 672 (? — 0,5)51 + [7 — 420£ + 420?2 — 448 (£ — 0,5)в] —
156
157
а, Г 53760 1
— -gf- [3 — 9(H-----— Е + 252^—168В3 + 384 (В — 0.5)7 +
+- V [Г₽,(? - ₽з)3 - (1 - ₽з)3 ? - (1 - ₽8) G3 - В)]} . (V-37)
(V-38)
Произведение показателя гибкости а на отвлеченные величины
включенные в фигурные скобки формулы (V-37), обозначим ~у. Тогда
Р
У = У ——
л£0 Ь
Для ф и у составлены табл. V-3 и V-4. Пользуясь этими таблицами,
можно найти значения величин ф и у в любом сечении балки, загру-
женной сосредоточенным грузом, расположенным в любом месте по
длине балки.
Значения ф по длине балки, соответствующие фактическим значе-
ниям нагрузки q, получаются путем умножения взятых из табл. V-3 зна-
чений ф на величину —Р согласно формуле (V-36).
Чтобы получить ординаты относительных прогибов у по длине
балки, соответствующие фактическим значениям нагрузки Р, необ-
— р
ходимо значения у из табл. V-4 умножить на величину —соглас-
71Е q О
но формуле (V-38).
Рис. V-16
Для иллюстрации пользова-
ния табл. V-3 и V-4 рассмот-
рим несколько примеров.
Пример V-3. Балка нагру-
жена сосредоточенной силой Р|
приложенной от левого конца на
расстоянии /3=0,7 L (рис. V-16).
Требуется определить углы
поворота упругой линии балки
на левом ее конце «рл, на пра-
вом фв и под силой <рс, а так-
же построить эпюру относитель-
ных прогибов балки.
Дано: а = 350; Р = 100; Ео— 300 кПсм\ b = 1 м; L = 5 м.
Решение. По приведенным данным
₽а = ₽ = -^-=0,7.
Чтобы определить углы поворота фл, фс и фв, воспользуемся
табл. V-3. Для этого берем соответствующие а — 350 и fl = 0,7 зна-
чения для фл, фс и фв в сечениях £ = 0; £ = 0,7 и £ = 1,0. Затем ка#'
158
дОе это значение согласно формуле (V-36) умножаем на
100000
3,14 - 300- 100 - 500
Р
ж£0 bL
= 0,512, т. е.
<рл = 5,171 - 0,512 = 2,648;
Фс = 0,245 - 0,512 = 1,254;
<рв = — 2,903 • 0,512 = — 1,486.
Для построения эпюры относительных прогибов балки у из
табл. V-4 берем данные, соответствующие а = 350 и fl = 0,7, для всех
значений у от g =0до^ = 1,0. На основании формулы (V-38) взятые
- - Р 100 000 ,
из таблицы данные у умножаем на & = 3 14 300 1ор- = 1,062 см:
6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1.0
1 0 0,517 1,032 1,540 2,028 2,467 2,807 2,962 2,863 2,617 2,330
У 0 0,549 1,096 1,635 2,154 2,620 2,981 3,146 3,041 2,779 2,474
Р, \Р2 Р5
Эпюра у построена на рис.
V-16.
Пример V-4. Балка, лежа-
щая на упругом основании, на-
гружена тремя сосредоточенны-
ми силами Ръ Р2 и Рй.
Требуется определить углы
поворота упругой линии балки
под заданными силами Ръ Р2 и
Р3, а также построить эпюру от-
носительных прогибов балки
(рис. V-17).
Дано: Ру— 25, Р2= 75, Р3=
= 50 Т; /31= 0; /32= 0,6 L;
4з= L\ b = 1 м\ L = 5 м, а =
= 400; £0= 250 кПсм*.
Р е ш е н и е. По приведенным данным
₽з1 = ₽ = -^- = 0; [₽32 = ₽=-^-=0,6; ₽в = ₽ = -^- = 1,0.
Для определения углов поворотов <рл, <рс и <рв воспользуемся
табл. V-3.
Чтобы определить угол поворота <рл, берем из табл. V-3 данные,
(Соответствующие а = 400 и £ = 0 для значений <рл при fl3j= 0, fl32=
°.6 и ₽33 = 1,0.
159
На основании формулы (V-36) взятые из таблицы значения умно-
жаем: первое —на—— = —-------------- 25 000----= 0,0000637;
т.Е0Ы 3,14 - 250 • 100 500
второе — на ——— 75 000
r.EB bL
Рч
третье — на-----—
и£0 bL
= 0,0001911;
3,14 250 - 100 - 500
------5( —---------= 0,0001274.
3,14 • 250 • 100 - 500
В результате умножения имеем
<₽ А =
15,573 —-----р 5,737—^---2,728 Ps =
кЕ0 bL tiE0 bL tiE0 bL
= — 0,000992 + 0,001096 + 0,000348 = 0,000462.
Для определения угла поворота (рс берем из табл. V-3 данные,
соответствующие а = 400 и £ = 0,6 для значений <рс при р31= 0;
|3з2= 0,6 и р33= 1,0. На основании формулы (V-36) эти данные умно-
Pi Рз
жаем на------1— , -----—- и
т-Ев bL ~ЕВ bL
Ря
£ • и в результате имеем
0,645 - + 5,764 —
<рг = — 3,378 - Р1 ____________ , ______________
эт£0 bL тт£0 bL т.Ев bL
=— 0,0002152 — 0,0001233 + 0,0007343 = 0,000396.
?!
d
Чтобы определить угол берем из табл. V-3 данные, соответ-
ствующие о. — 400 и g = 1,0 для значений <рв при р31= 0, рз2= 0,6
и 6Зз= 1,0. На основании формулы (V-36) взятые из таблицы значения
Pi Рз Рз
умножаем на —-——; ----------— ; ——-— и в результате имеем
r.EBbL r.EabL пЕв bL
= — 2,728 —---------4,978 — Рг 4 15,573 Рз =
itEB bL izEB bL tzEb bL
= — 0,0001738 — 0,0009513 + 0,0019840 = 0,001859.
Для построения эпюры прогибов у из табл. V-4 берем данные, col
ответствующие а = 400 и р31= 0, а = 400 и р32= 0,6; а = 400 и
Рзз= 1,0 Для всех значений у от £ = 0 до £ = 1,0. На основании фор-
мулы (V-38) эти данные умножаем на Р1. = 0,31845 см-,
рз
— 0,95535 см и —£ - = 0,63690 см; в результате имеем таблицу
(стр. 161).
Эпюра у построена на рис. V-17.
160
161
Таблица V-3
Сосредоточенная сила Р (рис. V-15)
Значения у;
_ Р
V r:EBbL
а Р Е
0 0,1 0.2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 —6,288 —6,283 —6,274 —6,264 —6,253 —6,244 —6,237 —6,232 —6,229 —6,228 —6,228
0,1 —5,008 —5,009 —5,009 —5,006 —5,003 —4,999 —4,996 —4,994 —4,993 —4,993 —4,993
0,2 —3,736 —3,737 —3,741 —3,747 —3,751 —3,753 —3,754 —3,755 —3,755 —3,755 —3,756
0,3 —2,473 —2,474 —2,477 —2,486 —2,497 —2,505 —2,511 —2,515 —2,517 —2,518 —2,517
0,4 —1,217 —1,217 —1,220 —1,227 —1,240 —1,254 — 1,264 —1,270 —1.274 —1,276 —1,276
1 0,5 0,032 0,032 0,029 0,024 0,014 0 —0,014 —0,024 —0,029 —0,032 —0,032
0,6 1,276 1,276 1,274 1,270 1,263 1,254 1,240 1,228 1,220 1,217 1,217
0,7 2,517 2,518 2,517 2,515 2,511 2,505 2,497 2,486 2,477 2,474 2,473
0,8 3,756 3,756 3,755 3,755 3,754 3,753 3,751 3,747 3,741 3,737 3,736
0,9 4,993 4,993 4,993 4,994 4,996 4,999 5,003 5,006 5,009 5,009 5,008
1 6,228 6,228 6,229 6,232 6,237 6,244 6,253 6,264 6,274 6,283 6,288
0 —6,326 —6,318 —6,299 —6.278 —6,257 —6,239 —6,224 —6,215 —6,209 —6,205 —6,205
0,1 —5,015 —5,017 —5,017 —5,012 —5,005 —4,998 —4,993 —4,989 —4,986 —4,985 —4,985
0,2 —3,722 —3,724 —3,733 —3,745 —3,752 —3,756 —3,759 —3,761 —3,762 —3,762 —3,762
0,3 —2,446 —2,447 —2,455 —2,473 —2,494 —2,510 —2,521 —2,529 —2,533 -2,535 -2,535
0,4 —1,184 -1,185 — 1,191 —1,205 —1,230 —1,258 —1,278 —1,291 —1,299 —1,302 —1,303
0,5 0,064 0,063 0,059 0,048 0,029 0 —0,029 —0,048 —0,059 —0,063 —0,064
2 0,6 1,303 1,302 1,299 1,291 1,278 1,258 1,230 1,205 1,191 1,185 1,184
0.7 2,535 2,535 2,533 2,529 2,521 2,510 2,494 2,473 2,455 2,447 2,446
0,8 3,762 3,762 3,762 3,761 3,759 3,756 3,752 3,745 3,733 3,724 3,723
0,9 4,985 4,985 4,986 4,989 4,993 4,998 5,005 5,012 5,017 5,017 5,015
1,0 6,204 6,207 6,209 6,215 6,224 6,239 6,257 6,278 6,299 6,318 6,326
0 —6,439 —6,418 —6,373 —6,319 —6,266 —6,222 —6,187 —6,162 —6,143 —6,142 —6,141
5 0,1 —5,038 —5,042 —5,043 —5,030 —5,013 —4,996 —4,982 —4,972 —4.966 —4.564 —4^3
0,2 —3,682 —3,686 Ь —3,708 —3,736 —3,754 —3,765 1 —3,772 —3,777 —3,779у —3,780 / —3,780
—2,367 —2,370 —2,388 —2,433 —2,485 —2,525 —2,553 - 2,572 —2,582 —2,587 —2,587
0,4 —1,086 —1,088 —1,103 —1,139 —1,201 —1,269 —1,319 —1,352 —1,371 —1,379 —1,380
0,5 0,159 0,158 0,146 0,119 0,071 0 —0,071 —0,119 —0,146 —0,158 —0,159
5 0,6 1,380 1,379 1,371 1,352 1,319 1,269 1,201 1,139 1,103 1,088 1,086
0,7 2,587 2,587 2,582 2,572 2,553 2,525 2,485 2,433 2,388 2,370 2,367
0,8 3,780 3,780 3,779 3,777 3,772 3,765 3,754 3,736 3,708 3,686 3,682
0,9 4,963 4,964 4,966 4,972 4,982 4,996 5,013 5,030 5,043 5,042 5,038
1,0 6,141 6,142 6,143 6,162 6,187 6,222 6,266 6,319 6,373 6,418 6,439
0 —6,623 —6,583 —6,492 —6,385 —6,282 —6,193 —6,125 —6,077 —6,049 —6,038 —6,036
0,1 —5,075 —5,083 —5,085 —5,059 —5,025 —4,992 —4,965 —4,945 —4,933 —4,928 —4,927
0,2 —3,616 —3,623 —3,667 —3,724 —3,758 —3,781 -3,795 —3,803 —3,807 —3,809 —3,809
0,3 —2,236 —2,242 —2,279 —2,367 —2,472 —2,549 —2,605 —2,642 —2,662 —2,671 —2,672
0,4 —0,926 —0,930 —0,959 —1,030 —1,154 —1,288 —1,386 —1,451 —1,488 —1,504 —1,506
0,5 0,314 0,310 0,288 0,235 0,140 0 —0,140 —0,235 —0,288 -0,310 —0,314
10 0,6 1,506 1,504 1,488 1,451 1,386 1,288 1,154 1,030 0,959 0,930 0,926
0,7 2,672 2,671 2,662 2,642 2,605 2,549 2,472 2,367 2,279 2,242 2.236
0,8 3,809 3,809 3,807 3,803 3,795 3,781 3,758 3,724 3,667 3,623 3,616
0,9 4,927 4,928 4,933 4,945 4,965 4,992 5,025 5,059 5,085 5,083 5,075
1,0 6,036 6,038 6,049 6,077 6,125 6,193 6,282 6,385 6,492 6,583 6,623
0 —6,805 —6,744 —6,608 —6,449 —6,296 —6,165 —6,064 —5,994 —5,954 —5,936 —5,934
0,1 —5,111 —5,122 —5,126 —5,088 —5,037 —4,988 —4,947 —4,919 —4,901 —4,984 —4,893
0,2 —3,551 —3,561 —3,627 —3,712 —3,763 —3,796 —3,816 —3,828 —3,835 —3,837 —3,837
15 0,3 —2,109 —2,118 —2,172 —2,304 —2,459 -2,574 —2,654 —2,710 —2,740 -2,752 —2,754
0,4 —0,770 —0,777 —0,820 —0,925 —1,110 —1,306 —1,451 —1,547 —1,602 —1,625 — 1,628
0,5 0,465 0,459 0,426 0,347 0,208 0 —0,208 —0,347 —0,426 —0,459 —0,465
0,6 1,628 1,625 1,602 1,547 1,451 1,306 1,110 0,925 0,820 0,777 0,770
0,7 2,754 2,752 2,740 2,709 2,654 2,574 2,459 2,304 2,172 2,118 2,109
0,8 3,837 3,837 3,835 3,828 3,816 3,796 3,763 3,712 3,627 3,561 3,551
0,9 4,893 4,894 4,901 4,919 4,947 4,988 5,037 5,088 5,126 5,123 5,111
1,0 5,934 5,936 5,954 5,994 6,064 6,165 6,296 6,449 6,608 6,744 6,805
0 —6,982 —6,901 —6,722 -6.511 —6.308 —6,137 —6,005 —5,914 —5,861 —5,838 —5,835
0,1 —5,145 —5,162 —5,166 -5,116 —5,049 —4,984 —4,931 —4,893 —4,870 —4,860 —4,859
20 S оэ 0,2 —3,487 —3,500 —3,588 —3,700 —3,768 —3,811 —3,837 —3,853 —3,861 —3,864 —3,864
о
Продолжение табл. V-3
Е
а Р 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0 5 0,6 0,7 0 8 0,9 1,0
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 —1,985 —0.618 0,611 1,747 2,833 — 1,996 -0,627 0,604 -2,068 —0,684 0,561 —2,243 —0,822 0,457 —2,447 —1,064 0,274 —2,598 —1,325 0 —2,705 -1,515 —0,274 -2,776 —1,641 -0,457 —2,815 —1,713 -0,561 —2,831 —1,742 —0,604 —2,833 -1,747 —0,611
20 1,742 2,831 1,713 2,815 1,641 2,776 1,515 2,705 1,325 2,598 1,064 2,447 0,822 2,243 0,684 2,068 0,627 1,996 0,618 1,985
3,864 3,864 3,861 3,853 3,837 3,811 3,768 3,700 3,588 3,500 3,487
4,859 4,860 4,870 4,893 4,931 4,984 5,049 5,116 5,166 5,162 5,145
8,835 5,838 5,861 5,914 6,005 6,137 6,308 6,511 6,722 6,901 6,982
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 -7,157 —5,179 —7,056 —6,832 —6,570 —6,320 —6,109 —5,947 —5,835 —5,771 —5,743 —5,739
—5,200 —5,205 —5,143 —5,060 —4,980 —4,914 —4,868 —4,840 —4,828 —4,826
—3,423 —3,441 —1,877 —0,481 —3,550 —3,690 —3,774 —3,826 —3,858 —3,877 —3,887 —3,890 —3,891
—1.863 —0,471 —1,966 —0,551 —2,183 —0,721 —2,436 —1,021 —2,622 —1,343 —2,754 —1,577 —2,840 —1,732 —2,888 —1,820 —2,907 —1,856 —2,910 —1 862
25 0,752 1,862 0,744 1,856 0,692 1,820 0,564 1,732 0,339 1,577 0 1,343 —0,339 1,021 —0,564 0,721 —0,692 0,551 —0,744 0,481 -0,752 0,471
2,910 2,907 2,888 2,840 2,754 2,622 2,436 2,183 1,966 1,877 1,863
3,891 3,890 3,887 3,877 3,858 3,836 3,774 3,690 3,550 3,441 3,423
4,826 4,828 4,840 4,868 4,914 4,980 5,060 5,143 5,205 5,200 5,179
5,739 5,743 5,771 5,835 5,947 6,109 6,320 6,570 6,832 7,056 7,157
0 0,1 0,2 0,3 —7,984 —5,332 —7,784 —5,374 -7,345 —5,387 —6,839 —5,270 —6,364 —5,112 —5,970 —4,960 -5,673 —4,838 —5,473 —4,753 —5,358 —4,702 —5,310 —4,580 —5,302 —4,576
—3,122 —3,156 —3,372 —3,645 —3,806 —3,901 —3,957 -3,988 —4,003 —4,008 —4,009
—1,292 —1,319 —1,490 —1,908 —2,393 —2,742 —2,983 —3,137 —3,221 —3,254 —3,259
0,4 0,5 0,214 0,194 0,066 —0,252 —0,821 —1,432 —1,868 —2,153 —2,313 —2,378 —2,388
50 1,405 1,390 1,296 1,061 0,641 0 —0,641 —1,061 —1,296 —1,390 —1,405
0,6 2,388 2,378 2,313 2,153 1,868 1,432 0,821 0,252 —0,066 —0,194 —0,214
0,7 0,8 3,259 3,254 3,221 3,137 2,983 2,742 2,393 1,908 1,490 3,372 I 1,319 3,156 / 1,292 3,122
4,009 4,008 4,003 3,988 3,957 3,901 3,806 3,645 ।
\ 4,576 4,580 4,702 4,753 4,838 4,960 1 5,112 5,270 / 5,387 / 5,374 / 5,332
\ 5,302 \ 5.310 5,358 5,473 5.673 5,970 / 6,364 / 6,839 / 7.345 / 7,784 / 7.984
/ ° / —9,452 / —9.057 / —8,208 —7,256 —6,392 —5,699 —5,197 —4,870 \ —4,688 \ —4,613 \ —4,601
0,1 I —5,580 —5,665 —5,701 —5,485 —5.196 —4,924 —4.709 —4,561 —4,474 —4,437 —4,430
0,2 —2,576 —2,642 —3,065 —3,593 —3.888 —4,048 —4,133 —4,173 —4,189 —4,192 —4,192
0,3 —0,306 —0,356 —0,671 -1,456 -2,356 —2,973 —3,381 —3,629 —3,761 —3,811 —3,819
0,4 1,359 1,327 1,108 0,546 —0,489 —1,598 —2,364 —2,851 —3,119 —3,226 —3,242
100 0,5 2,475 2,452 2,296 1,893 1,160 0 —1,160 —1,893 —2,296 —2,452 —2,475
0,6 3,242 3,226 3,119 2,851 2,364 1,598 0,489 —0,546 —1,108 —1,327 -1,359
0,7 3,819 3,811 3,761 3,629 3,381 2,973 2,356 1,456 0,671 0,356 0,306
0,8 4,192 4,192 4,189 4.173 4,133 4.048 3,888 3,593 3,065 2,642 2.576
0,9 4,430 4,437 4,474 4,561 4,709 4,924 5,196 5,485 5,701 5,665 5,580
1,0 4,601 4,613 4,688 4,870 5,197 5,699 6,392 7,256 8,208 9,057 9,452
0 -10,731 —10,145 —8,909 —7,554 —6,360 —5,436 —4,792 —4,389 -4,171 —4,084 —4,070
0,1 — 5,768 — 5,898 —5,963 —5,663 —5,261 —4,889 —4,602 —4,408 —4,295 —4,247 —4,239
0,2 — 2,089 — 2,187 —2,809 -3,577 —3,987 —4,193 —4,286 —4,320 —4,327 —4,325 —4,324
0,3 0,521 0,454 0.011 —1,103 —2,366 —3,196 —3,718 —4,021 —4,175 —4,232 —4,240
0,4 2,278 2,237 1,955 1,204 —0,222 —1,749 —2,771 —3,405 —3,747 —3,882 —3,903
150 0,5 3,312 3,284 3,091 2,576 1,593 0 —1,593 —2,576 —3,091 —3,284 -3,312
0,6 3,903 3,882 3,747 3,405 2,771 1,749 0,222 —1,204 —1,955 —2,237 -2,278
0,7 4,240 4,232 4,175 4,021 3,718 3,196 2,366 1.103 —0,011 —0,454 —0,521
0,8 4,324 4,325 4,327 4,320 4,286 4,193 3,987 3,577 2,809 2,187 2,089
0,9 4,239 4,247 4,295 4,408 4,602 4,889 5,261 5,663 5,963 5,898 5,768
1,0 4,070 4,084 4,171 4,389 4,792 5,436 6,360 7,554 8,909 10,145 10,731
0 —11,871 —11.097 —9,489 —7,766 —6,287 —5,182 —4,442 —3,997 —3,766 —3,675 —3,660
0,1 — 5,911 — 6,087 —6,186 —5,812 —5,312 —4,858 —4,512 —4,283 -4,152 -4,096 —4,087
0,2 — 1,645 — 1,773 -2,589 —3,588 —4,099 —4,334 —4,422 —4,440 —4,432 —4,422 —4,419
0,3 1,233 1,149 0,595 -0,821 —2,408 -3,410 —4.009 —4,340 —4,499 —4,556 —4,564
0,4 3,028 2,984 2,660 1,761 —0,009 —1,886 —3,112 —3,854 —4,247 —4,402 —4,426
0,5 3,980 3,950 3,735 3,141 1,965 0 -1,965 -3,141 —3,735 —3,950 —3,980
200 0,6 4,426 4,402 4,247 3,854 3,112 1,886 0,009 —1,761 —2,660 —2,984 —3,028
0,7 4,564 4,556 4,499 4,340 4,009 3,410 2,408 0,821 —0,595 —1,149 —1,233
0,8 4,419 4,422 4,432 4,440 4,422 4,334 4,099 3,588 2,589 1,773 1,645
0,9 4,087 4,096 4,152 4,283 4,512 4,858 5,312 5,812 6,186 6,087 5,911
1,0 3,660 3,675 3,766 3,997 4,442 5,182 6,287 7,766 9.489 11,097 11,871
О 0 —12,905 -11,945 —9,979 -7,912 —6,184 —4,935 —4,132 —3,672 —3,443 —3,355 —3,341
0,1 — 6,021 — 6,243 —6,381 —5,942 —5,355 —4,828 —4,436 —4,179 —4,035 —3,974 —3,963
250 0,2 — 1,235 - 1,392 -2,398 -3,619 —4,219 —4,472 —4,545 —4,539 —4,511 —4,492 —4,488
Продолжение табл. V-3
а ₽ Е
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0 5 0.6 0,7 0.8 0,9 1 0
0,3 1,855 1,757 1,103 -0,591 —2,473 —3,615 —4,264 —4,603 -4,756 —4,808 —4,816
0,4 3,649 3,604 3,256 2,243 0,189 —2,009 —3,400 —4,223 —4,653 -4,822 —4,849
250 0,5 4,520 4,490 4,256 3,620 2,290 0 —2 290 —3,620 —4,256 —4,490 —4,520
0,6 4,849 4,822 4,653 4,223 3,400 2,009 —0,189 —1,243 —3,256 —3,604 —3,649
0,7 4,816 4,808 4.756 4,603 4,264 3,615 2,473 0,591 -1.103 —1,757 —1,855
0,8 4,488 4,492 4,511 4.539 4,545 4,472 4,219 3,619 2,398 1,392 1,235
0,9 3,963 3,974 4,035 4,179 4,436 4,828 5,355 5,942 6,381 6,243 6,021
1,0 3,341 3,355 3,443 3,672 4,132 4,935 6,184 7,912 9,979 11,945 12,905
0 — 13,856 —12,713 — 10,399 -8,009 -6,060 —4,695 —3,856 —3,399 —3,182 —3,101 —3,088
0,1 —6,104 —6,374 —6,553 —6,055 —5,390 —4,801 —4,370 —4,093 —3,938 —3,872 -3,861
0,2 —0,850 -1,037 —2.229 —3,664 —4,346 —4,607 —4,657 —4,622 -4,572 -4,542 —4,536
0,3 2,407 2,297 1,552 —0,402 —2,556 —3,814 —4,492 —4,823 —4,962 —5,008 —5,014
0,4 4,169 4,126 3,768 2,668 0,356 —2,120 —3,648 —4,531 —4,988 —5,168 —5,197
300 0,5 4,962 4,935 4,712 4,032 2,580 0 —2,580 —4,032 —4,712 —4,935 —4,962
0,6 5,197 5,168 4,988 4,531 3,648 2,120 —0,356 —2,668 —3,768 —4,126 —4,169
0,7 5,014 5,008 4,962 4,823 4,492 3,814 2,556 0,402 —1,552 —2,297 —2,407
0,8 4,536 4,542 4,572 4,622 4,657 4,607 4,346 3,664 2,229 1,037 0,850
0,9 3.861 3,872 3,938 4,093 4,370 4,801 5,390 6,055 6,553 6,374 6,104
1,0 3,088 3,101 3,182 3,399 3,856 4,695 6,060 8,009 10,399 12,713 13,856
0 —14,742 -13,417 —10,764 —8,068 —5,918 —4,462 —3,606 —3,167 —2,971 —2,899 —2,888
0,1 —6,167 —6,484 —6,708 -6,156 —5,420 —4,776 —4,312 —4,019 -3,857 —3,788 -3,777
0,2 —0,487 -0 701 —2,077 -3,722 —4,478 —4,740 —4,761 -4,692 —4,618 —4,576 —4,569
0,3 2,903 2,783 1,954 —0,245 —2,650 —4,005 —4,696 —5,009 -5,130 —5,166 -5,171
0,4 4,607 4,568 4,212 3.048 0,507 —2,219 —3,860 —4,791 —5,268 -5,458 —5,489
350 0,5 5,328 5,303 5,089 4,394 2,841 0 —2,841 —4,394 —5,089 —5,303 —5,328
0,6 5,489 5,458 5,268 4,791 3,860 2,219 —0,507 —3,048 —4,212 —4,568 —4,607
0,7 5,171 5,166 5,130 5,009 4,696 4,005 2,650 0,245 —1,954 —2,783 —2,903
0.8 4,569 ^4,576 4,618 4,692 4,761 4,740 1 4,478 3,722 2,077 / 0,701 / 0,487
1 / /
/ 0,9 1,0 / 3,777 / 2,888 / 3,788 2,899 / 3,857 ! 2,971 4,019 3,167 4,312 3,606 4,776 4,462 5,420 5,918 6,156 \ 8,068 6.708 \ 10,764 6,484 \ 13,417 6,167 14,742
0 —15,573 —14,067 —11,083 —8,095 —5,764 —4,235 —3,378 —2,967 —2,797 —2,738 —2,728
0,1 —6,212 —6,578 —6,849 —6,247 —5,445 —4,753 —4,261 -3,955 —3,787 —3,716 —3,703
0,2 —0,140 —0,383 —1,940 —3,789 —4,613 —4,871 —4,858 -4,752 —4,652 —4,599 —4,589
0,3 3,353 3,223 2,319 -0,113 —2,754 —4,189 —4,881 —5,168 -5,266 —5,293 -5,297
0,4 4,978 4,945 4,601 3,392 0,645 —2,307 —4,045 —5,012 —5,505 —5,703 —5,737
400 0,5 5,632 5,612 5,412 4,713 3,080 0 —3,080 —4,713 -5,412 -5,612 —5,632
0,6 5,737 5,703 5,505 5,012 4,045 2,307 —0,645 —3,392 —4,601 —4,945 —4,978
0,7 5,297 5,293 5,266 5,168 4,881 4,189 2,754 0,113 —2,319 —3,223 —3,353
0,8 4,589 4,599 4,652 4,752 4,858 4,871 4,613 3,789 1,940 0,383 0,140
0,9 3,703 3,716 3,787 3,955 4,261 4,753 5,445 6,247 6,849 6,578 6.212
1,0 2,728 2,738 2,797 2,967 3,378 4,235 5,764 8,095 11,083 14,067 15,573
0 —16,360 —14,675 -11,365 —8,098 —5,600 —4,013 —3,168 —2,794 —2,655 —2,608 —2,600
0,1 —6,243 —6,657 —6,977 —6,330 —5,468 —4,731 -4,216 —3,900 —3,728 —3,654 —3,641
0,2 0,192 —0,078 —1,814 —3,864 -4,751 —4,999 —4,948 —4,804 —4,677 —4,612 —4,601
0,3 3,764 3,628 2,652 —0,009 —2,865 —4,367 —5,050 —5,305 -5,378 —5,395 —5,398
0,4 5,292 5,268 4,945 3,707 0,775 —2,385 —4,205 —5,201 —5,707 —5,915 —5,951
450 0,5 5,886 5,871 5,691 4,999 3,301 0 —3,301 —4,999 —5,691 —5,871 —5,886
0,6 5,951 5,915 5,707 5,201 4,205 2,385 —0,775 —3,707 —4,945 —5,268 —5,292
0,7 5,398 5,395 5,378 5,305 5,050 4,367 2,865 0,009 —2,652 —3,628 —3,764
0,8 4,601 4,612 4,677 4,804 4,948 4,999 4,751 3,864 1,814 0,078 —0,192
0,9 3,641 3,654 3,728 3,900 4,216 4,731 5,468 6,330 6,977 6,657 6,243
1,0 2,600 2,608 2,655 2,794 3,168 4,013 5,600 8,098 11,365 14,675 16,360
0 —17,109 —15,246 —11,617 —8,080 —5,429 —3,798 —2,974 —2,644 —2,537 —2,504 —2,497
0,1 —6,263 —6,726 —7,096 —6,407 —5,488 —4,712 —4,176 —3,852 —3,677 —3,601 —3,587
0,2 0,512 0,216 —1,697 —3,945 —4,890 -5,125 —5,034 —4,849 —4,695 —4,618 —4,605
0,3 4,143 3,999 2,959 0,094 —2,980 —4,539 —5.205 —5,423 -5,471 —5,478 -5,479
0,4 5,559 5,545 5,251 3,999 0,899 —2,453 —4,344 —5,363 —5,882 —6,100 —6,138
500 0,5 6,100 6,090 5,933 5,258 3,507 0 —3,507 —5,258 —5,933 —6,090 —6,100
0,6 6,138 6,100 5,882 5,363 4,344 2,453 —0,899 —3,999 —5,251 —5,545 —5,559
0,7 5,479 5,478 5,471 5,423 5,205 4,539 ’2,980 —0,094 —2,959 —3,999 —4,143
0,8 4,605 4,618 4,695 4,849 5,034 5,125 4,890 3,945 1,697 —0,216 —0,512
0,9 3,587 3,601 3,677 3,852 4,176 4,712 5,488 6,407 7,096 6,726 6,263
о 1,0 2,497 2,504 2,537 2,644 2,974 3,798 5,429 8,080 11,617 15,246 17,109
8
Таблица V 4
Сосредоточенная сила Р (рис. V-15)
_ Р
Значения у ; у = у — —
tzEqO
а ₽ Е
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0 0 —0,6286 -1,257 —1,884 —2,509 —3,134 -3,758 —4,382 —5,005 —5,628 -6,251
0.1 0 —0,501 —1,002 —1,502 —2,003 —2,503 —3,003 -3,502 —4,002 —4,501 —5,000
0,2 0 -0,374 —0,748 —1,122 —1,497 -1,872 —2,248 —2,623 —2,999 —3,374 —3,750
0,3 0 —0,247 —0,495 —0,743 —0,992 —1,242 —1,493 — 1,744 —1,996 —2,248 —2,499
1 0,4 0 -0,122 —0,244 —0,366 —0,489 —0,614 -0,740 -0,867 —0,994 —1,121 -1,249
0,5 0 0,0032 0,0063 0,00903 0,01099 0,0117 0,011 0 0090 0 0063 0,0032 0
0,6 0 0,128 0,255 0,382 0,509 0,635 0,7598 0,883 1,006 1,127 1,249
0,7 0 0,252 0,503 0,755 1,006 1,257 1,507 1,756 2,005 2,252 2,499
0,8 0 0,376 0,751 1,127 1,502 1,878 2,253 2,628 3,002 3,376 3,750
0,9 0 0,499 0,999 1,498 1,997 2,497 2,997 3,498 3,998 4,499 5,000
1,0 0 0,623 1,246 1,869 2,492 3,116 3,741 4,367 4,994 5,622 6,251
0 0 —0,632 -1,263 -1,892 —2,519 —3,144 —3,767 —4,389 —5,010 —5,630 -6,251
0,1 0 —0,502 —1,003 —1,505 —2,006 —2,506 —3,005 —3,505 —4,003 —4,502 —5,000
0,2 0 —0,372 —0,745 —1,119 —1,494 —1,869 —2,245 —2,621 —2,997 —3,373 —3,750
0,3 0 —0,245 —0,490 —0,756 —0,984 —1,235 —1,486 —1,739 —1,992 —2,245 —2,499
0,4 0 —0,118 —0,237 —0,357 —0,478 —0,603 —0,730 —0,858 —0,988 —1,118 —1,248
2 0,5 0 0,0064 0,0126 0,018 0,022 0,023 0,022 0,018 0,013 0,0064 0
0,6 0 0,130 0,260 0,370 0,518 0,645 0,770 0,891 1,011 1,129 1,248
0,7 0 0,254 0,507 0,760 1,013 1,264 1,514 1,763 2,009 2,254 2,499
0,8 0 0,376 0,752 1,129 1,505 1,880 2,256 2,631 3,004 3,377 3,750
0,9 0 0,499 0,997 1,496 1,995 2,494 2,995 3,495 3,997 4,499 5,000
1,0 0 0,621 1,241 1,862 2,484 3,108 3,732 4,359 4,989 5,619 6,281
0 0 —0,643 —1,283 —1.917 —2,546 —3,171 —3,791 —4,409 1 —5,024 / —5,639 / —6,253
5 О Л 0 \ —0.504 —1,008 —1,512 —2,014 —2,515 —3,013 / —3,511 / —4.008 1 —4,504 / —5, ООО
\ О \ —0,368 \ —0,737 —1,110 — 1,484 — 1,861 / —2,238 / —2,615 / —2,903 / —3,371 / — 3, 7Jf>
' 0,3 /о ' —0,237 —0,474 -0,715
5 0,4 0 —0,109 -0,218 —0,330
0,5 0 0,016 0,031 0,045
0,6 0 0,137 0,276 0,412
0,7 0 0,259 0,517 0,775
0,8 0 0,378 0,756 1,134
0,9 0 0,496 0,992 1,490
1 0 0,614 1,229 1,844
0 0 —0,660 —1,315 -1,959
0,1 0 —0,508 —1,016 —1,524
0,2 0 —0,362 —0,726 —1,096
0,3 0 —0,224 —0,449 —0,681
0,4 0 —0,093 —0,187 —0,286
10 0,5 0 0,0313 0,062 0,088
0,6 0 0,151 0,300 0,448
0,7 0 0,267 0,534 0,799
0,8 0 0,381 0,762 1,142
0,9 0 0,493 0,986 1,480
1,0 0 0,604 1,208 1,814
0 0 —0,678 —1,346 —1,999
0,1 0 -0,511 —1,024 -1,535
0,2 0 -0,355 —0,714 —1,081
0,3 0 -0,211 —0,425 —0,648
0,4 0 —0,077 —0,157 —0,243
15 0,5 0 0,046 0,091 0,130
0,6 0 0,163 0,324 0,482
0,7 0 0,275 0,550 0,823
0,8 0 0,384 0,767 1,150
0,9 0 0,489 0,979 1,470
1,0 0 0,593 1,188 1,785
0 0 -0,695 —1,377 —2,039
0,1 0 —0,514 —1,032 —1,546
з; 20 0,2 0 -0,349 —0,703 —1,067
о 0,3 0 —0,199 —0,401 —0,616
0,4 0 —0,062 —0,127 —0.202
-0,961 -0,447 —1,212 -0,570 —1,466 -0,700 —1,722 —0,834 —1,979 —0,970 \ —2,238 -1,107 —2,497 —1,245
0,054 0,058 0,054 0,045 0,031 0,016 0
0,545 0,675 0,797 0,915 1,027 1,137 1,245
1,031 1,285 1,536 1,782 2,022 2,260 2,497
1,511 1,888 2,264 2,639 3,011 3,380 3,749
1,987 2,486 2,987 3,489 3,992 4,497 5,000
2,461 3,082 3,706 4,335 4,970 5,610 6,252
—2,592 —3,216 —3,831 —4,441 —5,047 -5.652 -6,255
—2-028 —2,529 —3,027 —3,522 —4,016 —4,509 —5,002
-1,470 -1,847 —2,226 —2,606 —2,986 —3,367 —3,748
—0,924 -1,175 —1.433 —1,695 —1,960 —2,227 —2,494
—0,395 -0,517 —0,651 —0,793 -0,940 —1,090 —1,241
0,107 0,115 0,107 0,088 0,062 0,031 0
0,590 0,724 0,845 0,955 1,054 1,148 1,241
1,062 1,320 1,571 1,813 2,045 2,271 2,494
1,522 1,901 2,278 2,652 3,022 3,386 3,748
1,975 2,473 2,974 3,478 3,985 4,494 5,002
2,424 3,0396 3,663 4,296 4,940 5,594 6,255
—2,636 —3,259 —3,870 —4,473 —5,070 —5,664 —6,258
-2,041 —2,543 —3,039 —3,533 —4,023 —4,513 —5,000
—1,455 —1,833 —2,214 —2,596 —2,9796 —3,363 —3,747
—0,887 -1,139 —1,400 —1,669 —1,941 —2,216 —2,492
—0,344 —0,465 —0,603 —0,753 —0,911 —1,073 —1,236
0,160 0,170 0,160 0,130 0,091 0,046 0
0,632 0,771 0,892 0,993 1,079 1,160 1,236
1,091 1,353 1,605 1,843 2,066 2,280 2,492
1,533 1,914 2,292 2,666 3,033 3,392 3,747
1,968 2,460 2,961 3,467 3,978 4,491 5,002
2,388 2,999 3,622 4,259 4,912 5,580 6,258
—2,679 —3,301 —3,908 —4,504 —5,092 -5,677 —6,260
—2,055 —2,556 —3,052 —3,543 —4,031 —4,517 —5,000
-1,441 —1,820 —2,202 —2,587 —2,973 —3,360 -3,746
—0,851 -1,103 —1,369 —1,643 -1,923 —2,205 —2,489
-0,295 —0,415 —0,557 —0,716 —0,864 —1,057 -1,231
Продолжение табл. V-4
а 3 е
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
20 0,5 0 0,0609 0,120 0,171 0,208 0,223 0,208 0,171 0,120 0,0609 0
0,6 0 0,175 0,348 0,516 0,674 0,817 0,937 1,030 1,104 1,169 1,231
0,7 0 0,283 0,566 0,845 1,120 1,385 1,638 1,873 2,087 2,290 2,489
0,8 0 0,386 0,773 1,159 1,543 1,926 2,305 2,678 3,043 3,397 3,746
0.9 0 0,486 0,972 1.460 1,951 2,447 2,949 3,457 3,971 4,488 5,000
1,0 0 0,584 1,168 1,757 2,352 2,959 3,581 4,222 4,883 5,565 6,260
0 0 —0,712 —1,407 —2,077 —2,721 —3,343 —3,945 —4,534 —5,114 —5,689 —6,263
0.1 0 —0,518 —1,039 —1,557 —2,067 —2,569 —3.064 —3,553 —4,038 —4,521 —5,004
0,2 0 —0,343 —0,691 —1,054 —1,427 —1,808 —2,192 —2,579 —2,967 -3,356 -3,745
0,3 0 —0,187 —0,378 —0,584 —0,816 -1,069 — 1,338 -1,618 -1,905 -2,195 —2,486
0,4 0 —0,047 —0,098 —0,161 —0,247 —0,366 -0,512 —0,679 —0,857 —1,041 —1,227
25 0,5 0 0,075 0,147 0 211 0,257 0,275 0,257 0,211 0,147 0,075 0
0,6 0 0,186 0,370 0,548 0,714 0,861 0,980 1,066 1,128 1,180 1,227
0,7 0 0,291 0,580 0,868 1,148 1,417 1,670 1,902 2,108 2,299 2,486
0,8 0 0,389 0,778 1,166 1,553 1,937 2,318 2,691 3,054 3,402 3,745
0,9 0 0,483 0,966 1,451 1,940 2,435 2,937 3,447 3,965 4,486 5,004
1,0 0 0,574 1,149 1,729 2,318 2,920 3,541 4,186 4,856 5,551 6,263
0 0 —0,791 — 1,549 —2,258 —2,918 —3,534 —4,115 —4,672 —5,212 —5,745 —6,276
0,1 0 —0,534 — 1,074 —1,607 —2,127 —2,630 —3,120 —3,599 —4,071 —4,540 —5,008
0,2 0 —0,313 —0,637 —0,989 —1,363 —1,748 —2,141 —2,539 —2,939 —3,339 —3,740
50 0,3 0 —0,130 —0,269 —0,436 —0,653 —0,910 -1,197 —1,504 —1,822 —2,146 —2,472
0,4 0 0,021 0,035 0,028 —0,024 -0,138 —0,304 —0,506 —0,731 —0,966 — 1,204
0,5 0 0,140 0,275 0,395 0,481 0,515 0,481 0,395 0,275 0,140 0
0,6 0 0,239 0,474 0,698 0,900 1 066 1,181 1,232 1,240 1,225 1,204
0,7 0 0,326 0,650 0,968 1,275 1,562 1,820 2,036 2,204 2,342 2,472
0,8 0 0,401 0,801 1,201 1,599 1,992 2,378 2,751 3,103 3,427 3,740
0,9 1,0 0 0,468 0,530 0,937 1,063 1,409 1,604 f 1,888 2,161 2,378 2,881 3,400 3,934 4,474 5.008
0 2,742 3,358 4,018 4,727 / 5,484у 6,276
/ 0 / 0 / —0,931 / —1,796 / —2,570 — 3,25! —3,854 —4,397 ' —4,899 \ —5,?>7й \ —5,ВА0\ —
/ 0 1 /0 / —0,560 —1,132 —1,692 —2,226 —2,732 —3,213 —3,676 —4Л27 \ —4,572 \ —5,0\6
/ 0,2 ° —0,259 —0,540 —0,876 —1,251 —1,649 —2,058 -2,474 —2,892 | —3,311 \ —3,730
1 0,3 0 —0,032 —0,080 —0,182 -0,375 —0,644 —0,963 -1,315 -1,685 —2,064 ’ —2,446
0,4 0 0,135 0,259 0,345 0,352 0,245 0,044 -0,219 -0,519 -0,837 —1,161
100 0,5 0 0,247 0,486 0,698 0,854 0,916 0,854 0,698 0,486 0,247 0
0,6 0 0,324 0,642 0,942 1,205 1,406 1,513 1,506 1,420 1,296 1,161
0,7 0 0,382 0,761 1,131 1,483 1,802 2,070 2,264 2,366 2,414 2,446
0,8 0 0.419 0,838 1,257 1,672 2,082 2,479 2,855 3,190 3,471 3,730
0,9 0 0,443 0,888 1,340 1,803 2,284 2,789 3,323 3,884 4,455 5,016
1 0 0,460 0,925 1,402 1,904 2,447 3,050 3,731 4,504 5,369 6,300
0 0 —1,052 —2,008 —2,830 —3,524 —4,111 -4,621 -5,078 —5,505 -5,917 —6,324
0,1 0 -0,580 —1,178 — 1,761 —2,307 —2,814 —3,288 —3,737 —4,172 —4,599 —5,023
0,2 0 —0,211 —0,455 —0,778 —1,159 —1,569 —1,993 —2,424 —2,856 —3,289 —3,722
0.3 0 0.050 0,078 0,030 —0,147 —0,429 —0,776 -1,165 -1,576 -1,997 —2,420
150 0,4 0 0,227 0,439 0,602 0,658 0,554 0,325 0,013 —0,347 -0,729 —1,119
0,5 0 0,331 0,651 0,938 1,151 1,236 1,151 0,938 0,651 0,331 0
0,6 0 0,390 0,773 1,132 1,444 1,673 1,777 1,721 1,559 1,346 1,119
0,7 0 0,424 0,845 1,256 1,644 1,992 2,273 2,451 2,499 2,471 2,420
0,8 0 0,432 0,865 1,298 1,728 2,153 2,563 2,943 3,267 3,510 3,722
0,9 0 0,424 0,851 1,285 1,735 2,209 2,716 3,262 3,845 4,443 5,023
1,0 0 0,407 0,819 1,246 1,703 2,212 2,800 3,494 4,316 5,272 6,324
0 0 -1,160 —2,192 —3,054 —3,754 —4,324 —4,802 -5,222 —5,609 —5,980 —6,346
0,1 0 —0.596 —1,215 -1,817 —2,374 —2,881 —3,349 —3,788 —4,209 -4,621 —5,030
0,2 0 —0,168 —0,378 —0,692 — 1,079 —1,503 —1,941 —2,385 —2,828 —3,271 —3,713
0,3 0 0,121 0,214 0,211 0,044 —0,251 —0,624 —1,044 —1,487 —1,940 -2,396
200 0.4 0 0,302 0,587 0,815 0,911 0,810 0,566 0,204 —0,204 -0,637 -1,079
0,5 0 0,397 0,784 1,132 1,393 1,498 1,393 1,132 0.784 0,397 0
0,6 0 0,442 0,876 1,283 1,635 1,890 1,990 1,894 1,667 1,381 1,079
0,7 0 0,456 0,909 1,353 1,772 2,145 2,440 2,608 2,610 2,517 2,396
0,8 0 0,442 0,885 1,328 1,772 2,210 2,634 3,021 3,335 3,545 3,713
0.9 0 0,409 0,821 1,242 1,681 2,148 2,656 3,212 3,814 4,434 5,030
1,0 0 0,366 0,738 1,124 1,544 2,022 2,593 3,292 4,154 5,187 6,346
0 0 —1,256 —2,356 —3.249 —3,950 —4,502 —4,952 —5,340 -5,694 —6,033 —6,368
250 0,1 0 —0,608 —1,246 —1,865 —2,430 —2,938 —3,400 -3,830 —4,240 —4,640 —5,036
0,2 0 —0,127 —0,307 —0,614 -1,010 —1,447 —1,899 —2,353 —2,806 —3,256 -3,705
Продолжение табл. V-4
а Р £
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
0,3 0 0,183 0,333 0,369 0,208 —0,101 —0,499 —0,944 — 1,413 —1,892 —2,373
0,4 0 0,364 0,711 0,993 1,125 1,026 0,750 0,365 —0,082 —0,557 —1,041
250 0,5 0 0,451 0,892 1,290 1,593 1,717 1.593 1,290 0,892 0,451 0
0,6 0 0,484 0,960 1,406 1,791 2,067 2,166 2,034 1,752 1,405 1,041
0,7 0 0,481 0,960 1,429 1,875 2,272 2,581 2,742 2,706 2,556 2,373
0,8 0 0.449 0,899 1,351 1,806 2,258 2,694 3,090 3,398 3,577 3,705
0,9 0 0,397 0,796 1.206 1,636 2,098 2,606 3,171 3,790 4,429 5,036
1,0 0 0,334 0,673 1,028 1,416 1,866 2,418 3,119 4,012 5,112 6,368
0,0 0 —1,345 —2,505 —3,423 —4,121 —4,654 —5,078 —5,438 —5,766 —6,079 —6,388
0,1 0 —0,617 —1,272 —1,906 —2,478 —2,987 —3,444 —3,866 —4,266 —4,656 —5,043
0,2 0 —0,090 —0,241 —0,544 —0,949 -1,399 —1,864 —2,328 —2,788 —3,243 —3,697
0,3 0 0,238 0,438 0,508 0,351 0,027 -0,392 -0,860 —1,351 —1,850 —2,351
0,4 0 0,416 0,815 1,145 1.308 1,210 0,916 0,502 0,023 —0,486 —1,005
300 0,5 0 0,496 0,980 1,423 1,761 1,901 1,761 1,423 0,980 0,496 0
0,6 0 0,519 1,029 1,507 1,921 2,215 2,313 2,150 1,820 1,421 1,005
0,7 0 0,501 1,000 1,491 1,958 2,377 2,702 2,859 2,789 2,589 2,351
0,8 0 0,454 0,909 1,369 1,833 2,297 2,748 3,153 3,456 3,607 3,697
0,9 0 0,386 0,776 1.177 1,599 2,056 2,564 3,137 3,770 4,425 5,043
1,0 0 0,309 0,623 0,950 1,310 1,734 2,267 2,966 3,884 5,044 6,388
0,0 0 —1,427 —2,640 —3,579 —4,272 —4,786 —5,185 —5,521 —5,826 —6,119 —6,408
0,1 0 —0,625 —1,294 — 1,941 —2,520 —3,028 —3,481 —3,896 —4,289 —4,671 —5,049
0,2 0 -0,054 —0,179 —0,479 —0.894 —1,358 — 1,834 —2,307 —2,773 —3,232 —3,689
0,3 0 0,287 0,533 0,632 0,477 0,137 —0,302 -0,790 —1,297 —1,813 —2,330
0,4 0 0,460 0,903 1,275 1,467 1,370 1,059 0,622 0,116 —0,422 —0,970
350 0,5 0 0,532 1,054 1,534 1,905 2,059 1,905 1,534 1,054 0,532 0
0,6 0 0,548 1,086 1,592 2,029 2,341 2,437 2,246 1,874 1,430 0,970
0,7 0 0,517 1,032 1,540 2,028 2,467 2,807 2,962 2,863 2,617 2,330
0,8 0 0,457 0,916 1,382 1,855 2,331 2,795 3,210 3,510 3,635 3,689
\ 0,0 \о 0,378 1 0,759 1,152 1,568 2,020 2,529 3,108 3,754 4,424 / 5,049
\ \° \ 0,289 \ 0,582 0,887 1,223 1,622 2,136 2,829 3,768 / 4,981 / 6.408
0,0 0 —1,503 —2,765 —3,721 —4,407 -4,901 —5,276 -5,591 —5,878 —6,154 —6,427
0,1 0 —0,630 —1,313 —1,972 —2,556 —3,065 —3,514 —3,923 -4,309 —4,684 —5,054
0,2 0 —0,020 —0,121 —0,418 —0,845 —1,322 —1,810 -2,291 —2,761 —3,223 —3,682
0,3 0 0,332 0,619 0,745 0,589 0.234 -0,224 —0,729 —1,251 —1,780 —2,309
0,4 0 0,497 0,979 1,389 1,606 1,511 1,185 0,727 0,198 —0,364 —0,937
0,5 0 0,563 1,117 1,629 2,028 2,196 2,028 1,629 1,117 0,563 0
400 0,6 0 0,573 1,135 1,664 2,122 2,447 2,543 2,325 1,916 1,434 0,937
0,7 0 0,530 1,058 1,581 2,085 2,543 2,898 3,054 2,928 2,641 2,309
0,8 0 0,459 0,921 1,391 1,872 2,360 2,837 3,264 3,561 3,662 3,682
0,9 0 0,371 0,745 1,131 1,541 1,990 2,498 3,083 3,741 4,424 5,054
1,0 0 0,273 0,549 0,836 1,151 1,527 2,020 2,706 3,662 4,924 6,427
0,0 0 —1,575 —2,882 -3,851 -4,528 -5,002 —5,356 —5,651 -5,922 —6,185 —6,445
0,1 0 —0,635 — 1,329 — 1,999 -2,589 —3,097 —3,542 —3,947 —4,327 —4,696 —5,060
0,2 0 0,012 —0,065 —0.361 -0,799 -1,290 —1,789 —2,277 -2,751 —3,215 —3,675
0,3 0 0,373 0,697 0,847 0,690 0,320 —0,156 —0,676 —1,211 —1,750 —2,290
0,4 0 0,529 1,044 1,487 1,729 1,635 1,296 0,821 0,272 —0.311 —0,905
450 0,5 0 0,588 1,169 1,710 2,135 2,316 2,135 1,710 1,169 0 588 0
0,6 0 0,594 1,177 1,726 2,201 2,539 2,634 2,392 1,949 1,433 0,905
0,7 0 0,540 1,079 1,614 2,134 2,609 2,980 3,137 2,987 2,663 2,290
0,8 0 0,460 0,924 1,398 1,886 2,385 2,876 3,314 3,610 3,687 3,675
0,9 0 0,364 0,733 1,113 1,518 1,963 2,471 3,061 3,731 4,425 5,060
1,0 0 0,260 0,523 0,794 1.089 1,443 1,917 2,594 3,563 4,870 6,445
0,0 0 —1,644 —2,992 —3,971 —4,638 —5,092 —5,425 -5,703 —5,961 —6,213 —6,463
0,1 0 —0,638 — 1,343 —2,023 -2,617 —3,125 —3,568 —3,968 —4,343 —4,706 —5,065
0,2 0 0,044 —0,011 -0,307 -0,757 —1,262 —1,771 —2,266 —2,742 -3,207 —3,668
0,3 0 0,411 0,770 0,942 0,782 0,396 —0,097 —0,630 —1,176 —1,723 —2,271
КПП 0,4 л г* 0 0,556 1,100 1,574 1,838 1,745 1,396 0.905 0,340 —0,261 —0,874
□ио 0,5 0 0,610 1,213 1,779 2,229 2,422 2,229 1,779 1,213 0,610 0
0,6 0 0,613 1,214 1,779 2,270 2,619 2,712 2,448 1,974 1,430 0,874
0,7 л о 0 0,548 1,095 1.641 2,174 2,667 3,053 3,213 3,041 2,682 2,271
0,8 л л 0 0,461 0,926 1,402 1,897 2,406 2,911 3,361 3,657 3,712 3,668
0,9 1 л 0 0,359 0,722 1,098 1,498 1,940 2,448 3,043 3,722 4,427 5,065
1,0 0 0,250 0,502 0,760 1,038 1,371 1,824 2,491 3,471 4,819 6,463
со
§ 3. Таблицы для определения углов поворота
и относительных прогибов балки,
нагруженной одним сосредоточенным моментом Л4Л| 1
действующим в произвольном месте
по длине балки (рис. V-18)
£
Для составления расчетных таблиц используем формулы (V-28)_
(V-30). Подставляя значения а0, а1( а2иа3 из формул (V-28) в формулы
(V-29) и (V-30), получаем:
Формула для определения угловой деформации:
Ф = ^-{------i-d-6? + «»)-------------^[-322- Я
+ 1680Е_1680Е>+ 3360(Е — 0,S)a 1 +
— — г
+-§-[—420 + 840 Е — 2688 (Е — 0.5)5]--1 — 90 —
_ -бз^бо + 504 ? _ 504 £2 + 2688 _ 0 5)6] +
+ -И6 - ₽2) - 3(1 - ₽2)2 - (ЗЕ2 - 1)]} , (V-P9)
где а0, а1г а2 и а3— отвлеченные параметры, включенные в фигур|ь1е
скобки формул (V-28).
174
Произведение показателя гибкости а на отвлеченные величины,
включенные в фигурные скобки формулы (V-39), обозначим <р. Тогда
- МА
= <Р r.EJL* • <V-40>
Формула для определения упругой линии балки:
*=т£-{---------+ а-[21-322Е-
— 80^40. ? + 84ф2 _ 560.3 + 672(Е _ 0 5)Б] + j? _ 42()Е +
+ 420Е2 — 448(Е — 0,5)6]-[3 — 90S-------_|_ 252Е2 — 168£3 +
+ 384(5 - 0,5)7]+ 4 [ЗГ₽„ (? - ₽2)2 - 3(1 - ₽2)2Е + G - S3)]) •
(V-41)
Произведение показателя гибкости а на отвлеченные величины,
включенные в фигурные скобки формулы (V-41), обозначим у. Тогда
_ - мА
У — У r.bE0L •
(V.42)
Для (р и у составлены табл. V-5 и V-6. Пользуясь этими таблицами,
можно найти значения величин <р и у в любом сечении по длине балки,
загруженной сосредоточенным моментом.
Величины <р по длине балки, соответствующие фактическим зна-
чениям сосредоточенного момента МА , находят путем умножения зна-
— МА
чений <р из табл. V-5 на величину согласно формуле (V-40).
Чтобы получить ординаты относительных прогибов у по длине бал-
ки, соответствующие фактическим значениям сосредоточенного момен-
Та МА, действующего по длине балки, необходимо умножить значения
У из табл. V-6 на величину • £ согласно формуле (V-42).
Для иллюстрации пользования табл. V-5 и V-6 рассмотрим не-
сколько примеров.
Пример V-5. Балка, лежащая на упругом основании, нагружена
Двумя сосредоточенными моментами Л4ли Мв, тремя сосредоточенны-
175
ми силами Pi, Р2 и Р3 и распределенной нагрузкой q, расположенной
на правом конце балки (рис. V-19). Требуется определить углы пово;кпа
Фл и Фв (дать формулы для их определения).
Дано-, а = 300; /31= 0; /32— 0,3; /33= L; 1ц— 0; /гг= Ев, Ь'
1Н= 0,4 L- lK= L.
Решение. По приведенным данным имеем:
Psi = ₽ = 4" = °: ₽32 = ₽ = -% = 0,3;
?83 = ₽ = -т- = 1.0; Pai = ₽ = = °’
Р22 = ₽ = -т- = 1>0; ₽н = ₽ = 4“ = °’4;
Рк = Р = = 1-°-
Для определения углов поворота <рл и (рв воспользуемся
табл. V-1, V-3 и V-5, так же как в предыдущих четырех примерах.
По этим таблицам получим формулы, по которым можно определить
углы поворота:
фл = 2,736
— 13,856
<Рв= —0,102
д - 91,686 мА 7 894 - Мв
пЕв лЕ0ЬЬ2 nE0bL2
Pi rEobL +2,407- Ра nEubL + 3,088 - Р3 лЕвЬЕ
. д ^Ео -+-7,894 Мд кЕоМ* + 91,686 мв лЕоЫ2
— 3,088 —------------5,014 - - + 13,856 -f3,r
ъЕ0ЬЬ TzEobL ЛЕОЬЬ
176
in смг-смг-смг-смг- —.со — lOiDNOCOb-COOb-inKi COCOCOCD’T'TfiOlOONCO ©tDlflUW’tfCOCMWOCM О — TfO)©in©0^-CMC CM CM CM CM CO’d’ tO C© CO —• CM b- f- со
cd о CM CM CM см CM CM cm cm cm CMCM 77777 177777 CM CM CM CM CM CM CM CM CM CO CO 77777777777 777
о о ’'fOOcOOOcQOOCOOOcOOOCM cncOCOCO’e-Tt'intnOt^N OOOOOOr-t'-COiOtn^FTj-'cJ* O—•’d-OCOtOCOO’sF — О СМСМСМСМСОТГЮСООООО Г- 00 со
о см см CM CM CM CM CM CM CM CM CM 77777777777 CMCMCMCMCMCMCMCMCMCOCO 77777777777 777
00 — b-omomomotoo CDOOOO’tf’OOxj’OOOCOcO СОСОСО^^ТГШОСООСО C) см см —< — 00000000 см со О — ООГ-ОООЮСМ—< CMCMCMCOcO^lOb-QOOOOO см о о —«со —1 со со о
о см см см см см см см см CM CM CM 77777777777 смсмсмсмсмсмсмсмсмсмсм 77777777777 II— -Il- li-
<^смс^смг-смг-смг-смг- b-COOCMLOOin^OCOb- cc co сом* ююсюкл in COCOCOCO lOCOO^r—1 О —'d'OCiO CMCMCMcOTFtOCOh-CpCOO ого О —о со оо
oo о СМСМСМСМСМСМСМСМСМСМСМ 77777777777 см см см см см см см см см см CM 77777777777 777
О s t^CMr^CMt^-CMO—co —*c© о — cm in co co co in см — c ’d’-rTTj-rTTj-iotoiommi© ’^'^’^tFCOCOcOCOCMCMCM —'CMtOCNeNCL.TCM — COcOCO^F’d’tOOOlOlOiO СО смь» СО О СО оо -»
о CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM смсмсмсмсмсмсмсмсмсмсм см см см
4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 fl H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
л ЕйЫЛ ю omomoiooioomo mins ОСПГ-СОО ЬьОЮ ’t м* м* io ю ю M" м* ooooooooooo О СООСОЮ TMO OOCOOO COTf т+1й ф to тГ Tf О ОО со to ’ГГ Ь” тГ СМ СМ СО
о S о S 9X s =f о смсмсмсмсмсмсмсмсмсмсм 77777777777 смсмсмсмсмсмсмсмсмсмсм 77777777777 см см см 777
II J" 1 CO— Ф Ф CM b-CM Ь CM Г- о—.смшсосооошсм — о Ю LO Ю Ю tn Ю Tf тГ Tt СМСМСМСОСОСОСО’гГ’гГтГ’хГ — CMtoor-cor-оюсм—* т-О ю m о о ш со со со со со о CM to см 1-0 ю со
s о смсмсмсмсмсмсмсмсмсмсм смсмсмсмсмсмсмсмсмсмсм см см см
1 I- 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I I I I I I 17 I । । 1 1 1
s u <H s 1 O’ B5 S СО t^(Mb'(Nb-CMNCMbCMh' NCOOOMinOinOMCCCN to ю io co ю to ’d4 co co co СОСОСОСОТГ-ГГЮЮЮОСО ЮСОО’Ф — О—< О О Ю СОООГ-От^СОСМСМСМ г- см со NON co о О
°S x X । u r s о CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM 77777777777 см см см см см см см см см см см 77 i7777|777 см смсм 777
cu 3" о о n сч OtOOtOQtOOtOOr-—< COcOOOO’d’OO’d’OOOCOcO ФФФФЮМ’^тГСОЙСО OOQOOOOO — —»смсмсм — CM 1О С со Ь со — о со см ООООООГ^Ю’^СОСОСМСМСМ О’d* —* ОО — Ъ- . см со о
<y Q. о CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM TTTTT77T7T7 смсмсмсмсмсмсмсмсмсмсм । । । тт । т । । т со со со ттт
© 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1
СМСОСОООСОООСОООСООО^ lOlOb-CDcOt'-COOr-tOlO h-r-.COiOtO-^^COCOCOCO ’^TF'^tOtOOb-r^-OOOOOO О—’’ГГООШОО’^'—.о ООСОСОЮ’ГГСОСМСМСМСМ 752 778 854
С' CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM CM 77777777777 со со см см см см СМ СМ СМ см см 77777777777 со со со 777
—.co—• Г''- CM h- CM t4» CM Г- CM ini-ON О OO I4-CO О b tnvj COr-COiOtO tF COCOCOCO CMOCMCMCOM'^Ft©l©OCO OCM’rFOOtOOO’d' — О СМ—•ОООЩ'^СОСМСМСМСМ ; о см во смь- со
о CM CM CM CM CM CM CM CM CM cm CM 77777777777 СОСОСМСМСМСМСМСМСМСМСМ 77 177777777 со ф 777
— СМСОтМЛФГ’СООО —'СМСО^ЮСОГ^ОООО —«о
oocoooooco— о о о о о о о о о о —« ООО
в — см ю
7—597
177
6ZI
92.1
СОсОсООО — СОДАОЗОООО
— ND СП — CO СО ND 4 U1 ОЗ СЛ
— bo О w N) о СЛ 05 01 '—
СЛООООСОкА-NDCD— ОЗСЛОО
I । । JLLLLLL1L
CO CO CO О — ND CO Да 03 03 03
ND CO VJ ND О — ДА CO 4 CO ND
03 OO ND CO CO ND О СЛ 4 03 ND
оз — -а ел ел co — — tome
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I— •— к—» к__к к— к—к >—• GO GO СО О ND ДА 03 ДА СО ND ND ЦЦЦЦШ ООО — ND СО -А СО СО ND ND 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 О О — — ND СО ДА СО ND ND ND
ND СЛ ND W 6 — Ч ОО СЛ Ч А ооооооосооосо ОО — — Q0NDNDNDOC0C0O NDA4CONDNDO34 СОООО — СО СО ND — — сооосло А О О СЛ 4 ОО СЛ 4 GO СО 4 000 СЛ ND — ND A OOOCOOCOOGO 4 А СЛ — — СЛ CO CO CD 03 СЛ ЧОО A OCO
^ЧСПСО^] — О CO ND СП ND CH030403NDNDC04AND СЛОО AND — KDUIOCO^I
CO О О CO О О О О О О О СЛСОЧЮСОО—OOOQO О О 4 СО О СО О ОО СО О О
О СО СО о ND ND ND СО — — СО Ф 03 Ч А О Ш О О СО — — СО О Да СО СО СЛ — — СП д^ 4
СЛ о СЛ 9
о о о о о о о — ОООООООООО о о 00*403 ел ДА СО ND — — О ОО ОО о_о О СО 00 4 03 СЛ ДА СО -w
Тинццц »- g 2 и— — ND ND СО Да о>4 : ? - О — О ОО CD ND 03 СРЙдэЬЭ— СЛ СО 4 СО Да 03 Q0gSND<^O^C0ONDND 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 — к— к— ND ND СО Да Щ СЛ о — nd ел OOND 4J ДА »— о со оз — оз О со оз со СО 4 к— Q5 ооазооаз^сослслсо*^ 1 1 1 1 1 1 1 1 ____^tONDNDND 4 4СОФ— СО 03 СО 4 СО 4 СО 03 ОО СЛ 4 ND030N)AAA03 О
Гцишш □оО'-н“^?э?;)^У3Я2 V лоЪ'сЛ— со СО СО ND — 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 »— ND ND СО Да СЛ Да О — ND СЛ ОО ND ОО Да О Ю 4 ND -4 — ДА-4 — ДАООСО-4 фЧ_н-4ф>-44к-ф 1 1 1 1 1 1 1 1 _ — ndndndnd 4 ОО ОО со — со 03 со 4O4C0CT3C0CJ300 4NDCncocOOOND о
11111111111 5 о о — — >= “ * А * а диД^ЬкООО — 00 00 очиислчо>---'кО ОООООО О СЛ 4^ •“ 05 <О • 1 1 1 1 1 1 1 1 1 II — — СО СЛ со СО ОО СЛ ND — О ДА О СО -4 — СЛ GO ND 03 О ел СЛ СО ОО СО 03 О Да ND СО "-4 Q3 1 1 1 1 1 1 1 1 — к— — ND ND ND ND СО Oocoobk) A 030 — GO — COONDcO — ЮОЗОМАСЛОЗСО о N3
"| 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
QO —— — ND СО ДА со со со 4 00 О со со СП СО ND СО О СЛ ^-^-^^-tONDCOCOCOCOCO СО ОЭ СЛ 4 О СП О 4 Да ND ND о СЛ О А ОО ND ел О ДА ОО СО Q3 А О СО A ND СО О СО СО ОО — — — ND ND ND ND CO OO То О — ND 4 — CD — CO — ОО — ООО ДА CO CO 03 co — CO СЛ О GO
Ш.ЦЦЦЦ ~ —^ndndcocondndnd ND ДА ОО О 0 4 ND ОО 03 СЛ А — СО О — 4 00 -А 03 СО СО — СП СЛ ND СЛ СЛ 03 СО 03 03 СО 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 — — — NDNDNDCOCONDNDND СЛ 0340СО ОО СО О 4 СЛ СЛ GO СО СО ND 4 •— СГЗОСЛО А CnA>kNDGOC0030CH—СОСО 1 1 1 1 1 1 1 1 NDNDNDNDNDNDNDND О О — ND ДА оз "со 4 CO 03 CO 03 co ел со ел OOND4 — СЛОО — СЛ О
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 — — NDNDNDCONDNDND — — ЧСоО АСоЬЪ АОСО 4 «AtO^NDkANDkAND-ANDkA оз — оз — оз — оз — ОО — 03 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 — NDNDNDNDCONDNDNDND — О О—Да 4 ND 4 ДА к—о СО СОДаСОДАсО’А'СО^сО^СО 1 1 1 1 1 1 1 1 ND ND ND ND ND ND ND ND ЮюЬ аЪэо 03"kA OOCOOOCOOOCOOOCO Сл
И 1 1 1 1 1 1_ 1 1 1 ьо nd nd со со nd nd — — — — ел ООО ND "4 СО CO ОО Да ND — СО CJ 05 ДА ОО 4 — ОСО — ДА аэозозсоозслсп^слсл — 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 NDNDNDCOCONDNDND-- —— *СЛ Ь<*4 осл ОО 0004 03 СЛ АОСЛОСТЗ— 4 ND ОО СО ОО СОСО1— СЛОСТзС0001\0ДАСЛ 1 1 1 1 1 1 1 1 ND ND ND ND ND ND ND ND ui ел оз 4 co 03 A ND NDCHNDCnC0CnCO03 ООСОСОСЛ — СОСЛ — О
LLLLLLLLLLL СО со 03 rf*. со ND —^7“ о о £ СП 00 ND СО СЛ ОО СО О ОО 4 .-Q 03 ' Q 00 СО СО ОО ОО ND О СО ^ОСОкА-ОСОСЛ — — СЛСО 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 COCOCOCOCONDND — — — — k)ND А*4О ело 4 СЛ Ъ со СОООДАОСЛЮООДАОСЛО Q3COCOOOWACOOAO) LllLJ-ILL NDNDNDCONDNDbOND oo CD CO — 4Q1ND — 404000 — 00 — 4 ND GO СЛ CO — CO 03 о
J-LLLLLLLL1L ДА Сл да СО ND — — ООО 2? Со —о О ND 03 — 4 СЛ Да 2 4 — “ 03 4 СО СО ОО 4 СО О 03 — АСЛОСОСООСЗ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C^kA.kA.CONDNDk—»——- — — О — ND 0100 СО СО СЛ СО ►— — ел а ел ND ОО ел к— 4СОСОДА аз4согодАоазсооосоел 1 1 1 1 1 1 1 1 COCOCOCONDNDNDND ND CO CO О 03 "да ND О cO ND О CO СОДА — ОООЗСЛДАСО о со
1^111111111 сз 05 4^ CJNDND — — ООО J S о° ~ ~° оз да да а^соослозсосооо-^о <OCDND-4ND00 01COCO 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ДА ел ДА CONDND*-—- — — — СОО — ДА GO ND ОО СП ND к— О 4СОООДА — 4Д^ — 4ND4 СО — 44 — СО4 — — 4 СО 1 1 1 1 1 1 1 1 COCOCONDNDNDbO — 4 4 CO CD 03 CO — CO СЛ4СЛОООЗСООЗСО NDOOANDOOcOGO о чэ
N3 ND — О ОО ^о° со— СЛ О 03 ДА СО г-е> 03 U1 со l4J о СО А о ел ю О СО 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 CnCn4ACONDND7^—-—7- — ОО — A4ND ОО ел ND —- О 03—4COCD03C0003—СП 4ФСЛСЛС0403000300 1 1 1 1 1 1 1 1 ►ACOCONDNDNDND — ND 4 CO О 03 CO — CO A4A4U10003CO 03ND0003AAAND о
Продолжение табл. V-5
Продолжение табл. V-5
а '3 Е
0 0,1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0 9 1,0
0 —43,497 —33,693 —24,860 —17,506 -11,775 —7,684 -4,731 —2,962 —2,019 —1,651 —1,594
0,1 —34,159 —34,352 -25,503 -18,115 —12,334 —8,084 —5,172 —3,353 —2,376 —1,992 —1,933
0,2 —26,145 —26,329 —27,433 —19,942 —14,011 —9,584 —6,495 —4,526 —3,447 —3,014 —2,947
0,3 —19,455 —19,625 —20,649 —22,988 —16,807 —12,084 —8,699 —6,480 —5,231 —4,719 —4,637
0,4 —14,088 —14,239 -15,151 —17,252 —20,721 —15,584 —11,785 —9,216 —7,728 —7,104 —7,003
100 0,5 —10,046 —10,172 —10,940 —12,734 —15,753 —20,084 —15,753 —12,734 —10,940 —10,172 —10,046
0,6 —7,003 —7,104 —7,728 —9,216 —11,785 —15,584 —20,721 —17,252 —15,151 —14,239 —14,088
0,7 —4,637 —4,719 —5,231 -6,480 —8,699 —12,084 —16,807 —22,988 —20,649 —19,625 —19,455
0,8 —2,947 —3,014 —3,447 —4,526 —6,495 —9,584 —14,011 —19,942 —27,433 —26,329 —26,145
0,9 —1,933 —1,992 —2,376 —3,353 —5,172 —8,084 —12,334 —18,115 —25,503 —34,352 —34,159
1,0 —1,594 —1,651 -2,019 —2,962 —4,731 —7,684 -11,775 —17,506 —24,860 —33,693 —43,497
0 —56,773 —42,111 —29,113 —18,592 —10,706 —5,218 —1,692 0,362 1,392 1,776 1,834
0,1 —42,850 —43,183 —30,153 —19,563 -11,576 —5,968 —2,322 —0,167 0,932 1,348 1,411
0,2 —31,085 —31,400 —33,273 —22,476 -14,185 —8,218 -4,213 -1,755 —0,448 0,065 0,145
0,3 —21,474 —21,762 —23,472 —27,330 —18,533 —11,968 —7,364 —4,400 —2,749 —2,074 —1,966
0,4 -14,019 —14,267 -15,752 —19,127 -24,621 —17,218 -11,776 —8,103 —5,970 -5,068 —4,921
1 ьо 0,5 —8,720 —8,918 -10,111 —12,865 —17,449 —23,968 —17,449 —12,865 —10,111 —8,918 —8,720
0,6 —4,921 —5,068 -5,970 —8,103 -11,776 —17,218 -24,621 -19,127 -15,752 —14,267 —14.019
0,7 —1,966 —2,074 —2,749 —4,400 —7,364 —11,968 -18,533 —27,330 —23,472 —21,762 —21;474
0,8 0,145 0,С65 —0,448 —1,755 -4,213 —8,218 —14,185 —22,476 —33,273 —31,400 —31,085
0,9 1,411 1,348 0,932 —0,167 —1,232 -5,968 —11,576 —19,563 —30,153 —43,183 -42,851
1,0 1,834 1,776 1,392 0,362 —1,692 —5,218 —10,706 —18,592 —29,113 —42,111 —56,773
0 —69,088 —49,590 —32,541 —19,079 —9,351 —2,907 0,977 3,070 4,038 4,373 4,421
0,1 -50,618 —51,111 —34,009 -20,436 —10,545 —3,907 0,170 2,427 3,506 3,894 3,951
0,2 -35,208 —35,673 —38,415 -24,507 -14,125 —6,907 —2,249 0,498 1,911 2,456 2,541
0.3 —22,857 —23,277 —25,757 —31,292 —20,092 —11,907 —6,282 —2,717 —0,746 -0,060 0,190
0,4 —13,565 —13,922 —16,036 —20,791 —28,446 -18,907 —11,928 —7,218 —4,467 —3,295 —3,102
200 0.5 —7,334 —7,609 —9,252 — 1,300 -19,187 —27,907 —19,187 -13,005 —9,252 —7,609 —7,334
\ и,о —о, 102 i —3,2Уэ —4,467 £ —7,218 —11,928 —18,907 —28,446 —20,791 1 —16,036 —13,922 / —13,565
\ 0,7 0,190 1 —0,060 —0,746 —2,717 —6,282 — 11,907 —20,092 —31,292 / —25,757 / —23,277 / —22,857
/ 0,8 0,9 1,0 / 2,541 3,951 4,421 2,456 3,894 4,373 1,9115 3,506 4,038 0,498 2,427 3,070 —2.249 0,170 0,977 —6,907 —3,907 —2,907 —14,125 — 10,545 —9,351 —24,507 —20,436 —19,079 —38,445\ —34,009 —32,541 —35,673 \ -51,111 —49,590 —35,-208 —50,618 —69,088
0 —80,673 —56,355 —35,344 -19,120 —7,789 —0,649 3,359 5,317 6,114 6,358 6,391
0,1 —57,682 —58,351 —37,265 —20,882 -9,316 —1,899 2.386 4,578 5,635 5,854 5,900
0,2 —38,708 —39,338 —43,027 —26,165 —13,897 —5,649 —0,532 2,362 3,798 4,341 4,426
0,3 —23,751 —24,317 —27,631 —34,972 —21,533 —11,899 —5,397 —1,332 0,902 1,820 1,969
0,4 —12,812 —13,287 —16,077 —22,301 —32,222 —20,649 —12,208 —6,503 —3,152 —1,710 —1,470
250 0,5 —5,801 —6,248 —8,365 —13,152 —20,965 —31,899 —20,965 —13,152 —8,365 —6,248 —5,801
о’б —1,470 —1,710 —3,152 —6,503 — 12,208 —20,649 —32,222 —22,301 —16,077 —13,287 —12,812
07 1,969 1,820 0,902 —1,332 -5,397 —11,899 —21,533 —34,972 —27,631 —24,317 —23,751
0,8 4Л26 4,341 3,798 2,362 —0,532 —5,649 —13,897 -26,165 —43,027 —39,338 —38.708
0^9 5,900 5,854 5,635 4,578 2,386 —1,899 —9,316 -20,882 —37,265 —58,351 —57,682
1’,0 6,391 6,358 6,114 5,317 3,359 —0,649 —7,789 -19,120 —35,344 -56,355 —80,673
о —91,686 —62,562 —37,662 —18,819 —6,075 1,561 5,516 7,206 7,758 7,881 7,894
0,1 —64,194 —65,053 —40,054 —20,999 —7,943 0,061 4,384 6,385 7,150 7,372 7,402
0 9 —41,719 —42,526 —47,228 —27,537 —13,548 —4,439 0,988 3,924 5,325 5,846 5,928
0,3 —24,261 —24,982 -29,186 —38,435 —22,889 —11,939 —4,671 -0,179 2,283 3,301 3.470
0*4 —11,820 —12,420 -15,927 -23,691 —35.966 —22,439 —12,593 —5,922 —1.976 —0,261 0,029
300 0 5 —4,396 —4,840 —7,452 —13,307 —22,780 —35,939 —22,780 —13,307 —7,452 —4,840 —4,396
и, 0 6 0,029 —0,261 —1,976 —5,922 —12,593 —22,439 —35,966 -23,691 —15,927 —12,420 —11,820
и, V 0,7 ЗЛ70 3,301 2.283 —0,179 —4,671 —11,939 —22.889 —38,435 —29.186 —24,982 —24,261
П*Я 5,928 5,846 5,325 3,924 0,988 —4,439 —13,548 —27,537 —47,228 —42,526 —41,719
и, о 0 Q 7/02 7,372 7,150 6,385 4,384 0,061 —7,943 -20,999 —40,054 —65,053 —64,194
U, а 1,0 7,894 7,881 7,758 7,206 5,616 1,561 —6,075 —18,819 —37,662 -62,562 —91,686
о —102,242 —68,323 —39,595 -18,250 —4,247 3,726 7,488 8,813 9,067 9,049 9,039
0,1 —70,266 —71,326 —42,472 —20,859 —6,462 1,976 6,204 7,922 8,443 8,551 8,563
02 —44,339 —45,333 —51,102 —28,685 -13,108 —3,274 2,350 5,248 6,574 7,059 7,137
0,3 —24,461 —25,346 —30,486 —41,729 —24,184 —12,024 —4,074 0,792 3,457 4,572 4,759
04 —10 632 —11,364 —15,624 —24,990 —39,691 —24,274 —13,067 —5,447 —0,905 1,090 1,429
350 0 5 —2,851 —3,387 —6,514 —13,468 —24,629 —40,024 —24,629 —13,468 —6,514 —3,387 —2,851
и,и 0 0 1,429 1,090 —0,905 —5,447 -13,067 —24,274 —39,691 —24,990 —15,624 —11,364 —10,632
и, и 0 7 4’759 4,572 3,457 0,792 —4,074 —12,024 —24,184 —41,729 —30,486 —25,346 —24,461
V, • 0 Я 7 J37 7,059 6,574 5,248 2,350 —3,274 —13,108 -28,685 —51,102 -45,333 —44,339
и, о 0 9 8,563 8,551 8,443 7,922 6,204 1,976 —6,462 —20,859 —42,472 —71,326 —70,266
оо V, «7 1,0 9’,039 9,049 9,067 8,813 7,488 3,726 —4,247 —18,250 —39,595 —68,323 —102,242
00
to - Продолжение табл. V-5
Е
а ₽
0 0,1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
400 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 —112,426 —75,979 —46,639 —24,406 —9,280 —1,261 2,759 5,885 —73,722 —77,249 —47,829 —25,463 —10,151 —1,892 2,367 5,679 8,045 9,465 9,938 —78,821 —82,882 —50,067 —25,374 —8,804 —0,357 3,590 6,660 8,852 10,168 10,606 —83,668 —88,273 —52,087 —25,110 —7,343 1,215 4,773 7,540 1 9,517 10,703 1 \ 1,098 —41,218 —44,591 —54,712 —31,579 —15,193 —5,554 0,085 4,471 7,603 9,483 10,110 —42,584 —46,464 —58,102 —32,500 —14,656 —17,468 -20,515 —29,655 —44,889 —26,216 —13,636 —5,057 —2,332 —4,899 —12,600 —25,436 —43,407 —26,511 —13,616 5,847 3,847 —2,153 -12,153 —26,153 —44,153 —26,153 9,309 7,877 3,578 —3,586 —13,616 -26,511 —43,407 10,195 9,242 6,382 1,616 —5,057 —13,636 —26,216 10,110 9,483 7,603 4,471 0,085 —5,554 -15,193 9,938 9,465 8,045 5,679 2,367 —1,892 -10,151 9,905 9,458 8,118 5,885 2,759 —1,261 —9,280
0,8 8,118 1,616 6,382 9,242 10,195 -16,514 —20,005 —30,481 —47,941 —27,384 —3,586 —12,153 —25,436 —44,889 —31,579 —25,463 —24,406
0,9 9,458 3,57 8 —2,1ЬЗ —12,600 —29,655 —54,712 —47,829 —46,639
450 1,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 9,905 —122,301 —81,394 —48,673 —24,138 —7,789 0 374 7,877 9,309 -0,351 —3,274 —12,042 -26,657 —47,117 3,847 5,847 7,929 5,679 -10,713 —12,321 —28,071 —4,899 —2,332 11,003 9,426 4,595 —3,190 —14,230 —20,515 —17,468 11,392 10,384 7,360 2,319 —4,738 —44,591 —41,218 10,940 10,320 8,458 5,356 1,012 —77,249 —73,722 10,606 10,168 8,852 6,660 3,590 —75,979 —112,426 10,549 10,142 8,921 6,886 4,037
0,6 4^037 —4,572 —13,811 —28,424 —48,321 —28,424 -13,811 -4,572 —0,357 0,374
0,7 6,886 1,012 5,356 8,458 10,320 10,940 —43,738 —48,131 —61,311 —33,277 —4,738 —14,230 —28,071 —47,117 —27,384 —14,656 —8,804 —7,789
0,8 8,921 2,319 —3,190 —12,321 —26,657 —47,941 —32,500 -25,374 —24,138
0,9 1,0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 10,142 10,549 —131,918 —86,559 —50,483 —23,690 —6,179 2,049 5,277 7,788 7,360 10,384 11,392 —15,418 — 19,361 —31,190 —50,904 4,595 9,426 11,003 1,681 —1,601 —11,446 —27,856 -10,713 5,679 7,929 9,972 7,472 —0,028 —12,528 —12,042 —3,274 -0,351 12,589 10,871 5,716 —28,746 —30,481 —20,005 —16,145 12,436 11,379 8,208 2,923 —58,102 —46,464 —42,584 11,598 10,992 9,171 6,138 —50,067 —82,882 —78,821 11,098 10,703 9,517 7,540 —48,673 —81,394 —122,301 11,016 10,657 9,581 7,788
500 0,5 —14,030 —28,505 -50,829 —30,028 —14,902 —4,477 1,891 4,773 5,277
0,6 —3,570 —13,991 -30,365 —52,528 —30,365 —13,991 —3,570 1,215 2,049
0,7 1,891 —4,477 —14,902 —30,028 —50,829 —28,505 —14,030 —7,343 —6,179
\ 0,8 9 581 6,138 2,923 —28,746 —12,528 —27,856 —50,904 —33.277 —25,110 , —23,690
\ 0,9 10,657 9,171 8,208 5,716 —0.028 — 11,446 —31,190 —61,311 —52,087 / —50,483
\ 1,0 \ li'.oio 10,992 1 1 898 11,379 12,436 10,871 12,589 7,472 9,972 —1.601 I.68J 1 —19,36/ 15.4] 8 1 —48,131 / —43,73# / ~ 88,273 / - Аз, 6Ь# / —86,559 /?/ ‘7/Л’
—— 1 — —
I а б ли ца V-6
Сосредоточенный изгибающий момент МА (рис. V-18)
Значения у, у = у ——
а 3 Е
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0.8 0,9 1,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 а —1,280 —1,276 —1,267 —1,260 —1,253 1 248 —2,551 2,547 —3,812 —3,809 —5,066 —5,063 —6,314 —6,312 —7,557 —7,555 —8,796 —8,794 —10,003 —10,032 —11,268 —11,268 —12,504 —12,504
п —2,535 —3,798 —5,054 —6,304 —7,549 —8,790 —10,029 —11,266 —12,504
п —2,520 —3,781 -5,040 —6,292 —7,539 —8,783 -10,024 —11,264 —12,504
а 2 507 —3,762 —5,019 —6,274 —7,525 —8,772 —10,017 —11,260 —12,504
и п —2,426 —2 487 —3,745 —4,997 —6,252 —7,507 —8,759 —10,008 —11,256 —12,504
1 А — Ь243 —1,240 —1,237 —1,236 —1,235 —3,732 —4,979 —6,229 —7,485 —8,742 —9,997 —11,250 —12,504
а —2 480 —3,721 —4,965 —6,212 —7,464 —8,723 —9,984 —11,244 —12,504
А —2,475 —3,714 —4,955 —6,199 —7,449 —8,705 —9,969 —11,236 —12,504
А —2,472 —3,709 —4,949 —6,192 —7,440 —8,695 —9,957 —11,228 —12,504
0 —2,471 -3,708 —4,947 —6,190 —7,437 —8,691 —9,953 —11,223 —12,504
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 п —1,310 1 301 —2,601 2 593 —3,875 —3,868 —5,133 —5,127 —6,378 —6,372 —7,613 —7,609 —8,842 —8,839 —10,065 —10,063 —11,287 —11,286 —12,507 —12,507
А —L284 —1,269 —1,256 — 1,245 —1,237 —1,230 —1,225 —1,222 —1,221 2 569 —3,847 —5,109 —6,358 —7,597 —8,830 -10,057 —11,283 —12,507
и п 2 539 —3^812 —5,079 —6,333 —7,578 —8,815 —10,047 —11,278 —12,507
А 2 513 —3,773 —5,037 —6,298 —7,550 —8,794 —10,034 —11,271 — 12,507
2 и 0 п —2Л92 2 474 —3,740 —3,713 —4,993 —4,958 —6,254 —6,209 —7,514 —7,470 —8,767 —8,734 —10,016 —9,994 —11,262 -11,251 —12,507 — 12,507
А —2,460 —З'б92 —4,930 —6,174 —7,428 —8,696 —9,968 —11,238 —12,507
0 Л —2,450 2 444 —3,678 —3,669 —4,910 —4,898 —6,149 —6,134 —7,399 —7,381 —8,661 —8,640 —9,938 —9,914 —11,223 —11,206 —12,507 —12,507
и 0 —2,442 —3,666 —4,894 —6,129 —7,375 —8,633 —9,906 —11,197 — 12,507
А —1,440 1 477 —2,751 —2,732 —2,672 —4,059 —5,329 —6,567 —7,781 —8,977 —10,162 —11,341 —12,518
к 0 0,1 0,2 и А —4^042 —5,314 —6,555 —7,771 —8,970 —10,157 —11,338 —12,518
00 W и 0 —1,335 —3^990 —5,270 —6,520 —7,742 —8,948 —10,142 —11,331 —12,518
00
Продолжение табл. V-6
1
а ? 0 0,1 0,2 0.3 0,4 0.5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
5 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 —1,298 —1,266 —1,239 —1,217 —1,199 —1,187 —1,180 —1,777 —2,597 —2,533 —2,479 —2,435 —2,401 —2,376 —2,351 —2,356 —3,903 —3,807 —3,725 —3,660 —3,608 —3,571 —3,549 —3,541 —5,195 -5,092 —4,983 —4,895 —4,826 —4,777 —4,747 —4,737 —6,436 —6,370 —6,259 —6,148 —6,062 —6,000 —5,963 —5,951 —7,692 —7,624 —7,535 —7,427 —7,323 —7,249 —7,204 —7,189 —8,911 —8,859 —8,793 —8,712 —8,615 —8,528 —8,476 —8,439 —10,118 —10,083 —10,039 —9,985 —9,921 —9,846 —9,787 —9,767 -11,319 —11,302 —11,280 —11,253 —11.221 -11,183 —11,141 —11,118 —12.518 —12,518 — 12,518 — 12.518 —12,518 —12,518 —12.518 —12,518
10 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —1,547 —1,502 —1,418 —1,344 —1,280 —1,227 —1,184 —1,150 —1,126 —1,112 -1,107 —2,998 —2,958 —2,840 —2,691 —2,564 —2,458 —2,371 —2,304 —2,256 —2,227 —2,218 —4,362 —4,327 —4,224 —4,052 —3,860 —3,700 —3,570 —3,469 —3,397 —3,354 —3,339 —5,650 —5,620 —5,532 —5,386 —5,180 -4,966 -4,792 -4,657 —4,560 —4,502 —4,483 —6,876 —6,852 —6,779 —6,657 —6,487 —6,268 —6,049 —5,879 -5,758 —5,685 -5,661 —8,054 —8,034 —7,976 —7,880 —7,744 —7,570 —7,356 —7,151 —7,004 —6,916 —6,887 —9,197 —9,183 —9,139 —9,067 —8,966 -8,836 —8,676 —8,485 —8,313 —8,209 -8,175 —10,319 —10,309 —10,280 —10,233 —10,165 —10,079 —9,972 —9,845 —9,697 —9,578 —9,538 —11,429 —11,425 -11,410 —11,386 —11,353 -11,309 —11,256 —11,193 —11,119 —11,034 —10,989 —12.536 —12,536 —12,536 —12,536 —12,536 —12,536 —12,536 —12,536 —12,536 —12,536 —12,536
15 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \° —1,692 -1,625 —1,499 —1,388 —1,294 —1,215 —1,152 —1,103 —1,067 —1,046 у —1,039 —3,240 —3,181 —3,003 —2,783 —2,594 —2,436 —2,309 —2,210 —2,140 -—-‘2,097 \ —2,083 —4,657 —4,606 —4,452 —4,196 —3,912 —3,675 —3,484 —3,335 —3,229 —3,165 —3,144 —5,963 —5,919 —5,788 —5,571 —5,266 —4,949 —4,692 —4,493 —4,350 —4,264 —4,236 —7,176 —7,140 —7,032 —6,853 —6,601 —6,277 —5,954 —5,702 —5,522 —5,414 —5,378 —8,319 —8,290 —8,205 —8,062 —7,862 —7,605 —7,289 —6,984 —7,766 6,635 —6,592 —9,411 —9,390 —9,326 —9,220 -9,071 —8,879 —8,643 —8,359 8,102 —7,949 —7,897 -10,471 —10,457 —10,415 —10,344 -10,245 -10,118 —9,961 —9,772 —9,551 —9,374 —9.315 / -11.515 —11,508 —11,487 -11,452 —11,403 —11,339 —11,261 —11,166 —11,056 —11.930 / —10.863 / —12,555 —12 555 -12,555 -12,555 —12,555 - 12,555 —12,555 —12,555 12,555 —12,555 —12.555
/ 0 1° / —1,834 / —3,477 ' —4,947 —6,268 —7,469 —8,576 —9,619 —10.619 \ — 11,599 \ —12,573
0,1 0 — 1.744 —3,398 —4,879 —6.211 —7,421 —8,539 —9,591 -10,601 —11,590 — 12,573
0,2 0 -1,577 —3,163 —4,675 -6,038 —7,279 —8,427 —9,507 —10,545 -11,562 —12,573
0,3 0 -1,431 —2.871 —4,336 -5,751 —7,043 —8,239 —9,368 —10,433 -11,516 —12,573
20 0,4 0 -1,307 —2,621 —3,961 —5.349 —6,712 —7,977 —9,173 —10,324 —11,452 —12,573
0,5 0 —1.204 —2,415 —3,650 —4,932 —6,286 —7,640 —8,922 -10,157 —11,369 —12,573
0,6 0 -1,121 —2,249 —3,400 —4,595 -5,861 —7.224 —8,612 —9,951 —11,266 -12,573
0,7 0 —1,056 -2,119 -3,205 —4,333 -5,530 —6,822 —8,237 —9,702 —11,141 —12,573
0,8 0 -1,010 —2,027 -3,065 —4,146 —5,293 —6,534 —7,897 —9,410 —10,995 —12,573
0,9 0 —0,983 -1,972 —2,982 —4,034 -5,151 —6,362 —7,694 —9,174 —10,828 —12,573
1,0 0 —0,973 -1,953 —2,954 —3,996 -5,104 —6,305 —7,626 —9,096 —10,738 —12,573
0 0 -1,974 —3,710 —5,230 —6,566 —7,753 —8,827 —9,820 —10,763 —11,681 —12,590
0,1 0 —1,863 —3,612 -5,146 —6,495 —7,695 —8,781 —9,786 —10,740 -11,669 —12,590
0.2 0 —1,654 —3,319 —4,893 —6,282 —7,520 —8,643 —9,683 —10,672 -11,636 —12,590
0,3 0 —1,473 —2,955 —4,472 -5,927 —7,228 —8,412 —9,512 —10,559 -11,579 —12,590
0,4 0 —1,319 —2,647 —4,008 —5,429 —6,820 —8,090 —9,273 —10,401 -11,500 —12,590
25 0,5 0 -1,192 —2,394 —3,625 —4,915 —6,295 —7,676 —8,965 —10,197 -11,398 —12,590
0,6 0 —1.090 -2,190 —3,317 —4,500 —5,770 —7,161 —8,583 —9,943 —11,271 —12,590
0,7 0 —1.011 —2,031 —3,078 —4,178 —5,362 —6,664 —8,118 —9,635 —11.118 —12,590
0.8 0 —0,955 -1,918 -2,907 —3,948 —5,070 —6,309 —7,697 —9,271 —10,936 —12,590
0.9 0 —0,921 -1,850 -2,805 -3,810 —4,895 —6,096 —7,445 —8,978 —10,727 —12,590
1,0 0 —0,910 —1,827 —2,770 —3,764 —4,837 —6,024 —7,361 —8,881 —10,616 —12,590
0 0 —2,644 —4,813 —6,561 -7,956 —9,073 —9,981 —10,747 —11,424 —12,056 —12,679
0.1 0 —2,423 —4,622 -6,399 —7,821 —8,964 —9,896 —10,684 —11,383 —12,038 —12,679
0,2 0 —2,012 —4,049 -5.911 —7,416 —8,635 —9,641 —10,500 —11,259 -11,976 —12,679
0,3 0 —1,660 —3,343 —5,098 —6,740 —8,089 —9,215 —10,183 —11,058 -11,874 —12,679
0,4 0 —1,366 —2,754 —4,210 —5,794 —7,323 —8,618 —9,745 -10,765 -11,730 —12,679
50 0,5 0 —1,132 —2,284 —3,497 —4,827 —6,340 —7,852 —9,182 —10,394 -11,546 —12,679
0.6 0 —0,948 -1,913 —2,933 —4,060 -5,355 —6,885 —8,469 —9,924 —11.312 —12,679
0,7 0 —0,805 —1,625 —2,495 —3,464 —4,590 —5,939 —7,581 —9,376 -11.019 — 12,679
0,8 0 —0.703 —1,419 —2,182 -3,038 —4,043 —5.263 —6,768 —8,630 —10.667 — 12,679
0,9 0 —0.641 —1,296 —1,995 —2,783 —3,715 —4,857 —6,280 —8,057 —10,255 —12,679
1,0 0 —0,621 —1,255 —1,932 —2,697 —3,606 —4,722 —6,118 —7,866 —10,034 —12,679
00 сл
8
Продолжение табл. V-6
а 3 Е
0 0,1 0,2 0,3 0.4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
100 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —3,855 —3,421 —2,619 —1,950 — 1,413 —1,008 —0,703 —0,466 —0,296 —0,195 —0,161 —6,772 —6,403 —5,297 —3,954 —2,874 —2,056 —1.439 —0,958 —0,615 —0,409 -0,341 —8,876 —8,571 —7,653 —6,124 —4,483 —3,230 —2,278 —1,537 —1,007 —0,690 —0,584 —10,327 —10.080 -9,338 -8,101 —6,370 —4,644 —3,318 —2,287 —1,550 —1,108 —0,961 -11,283 —11,089 -10,506 —9,534 —8,174 —6,425 —4,676 —3,315 —2,344 —1,761 —1,566 —11,889 —11,741 —11,299 —10,563 —9,531 —8,205 —6,480 —4,748 -3,511 —2,769 —2,522 —12,265 —12,159 —11,842 —11,313 —10,572 —9,619 —8,366 —6,725 —5,196 —4,279 —3,973 —12,508 —12,440 —12,234 —11,891 —11,410 —10,793 —9,976 —8,895 —7,552 —6,446 —6,078 —12,688 —12,654 -12,553 —12,383 —12,146 —11,841 —11,436 —10,899 —10,230 —9,428 —8,994 —12,849 —12,849 —12,849 —12,849 —12,849 -12,849 —12,849 —12,849 —12,849 —12,849 —12,849
150 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —4,936 —4,294 —3,117 —2,155 —1,408 —0,877 —0,496 -0,199 0,012 0,140 0,182 —8,479 —7,942 —6,323 —4,441 —2,895 —1.817 —1.039 —0,434 —0,002 0,258 0,344 —10,842 —10,406 —9,099 —6,921 —4,622 -2,952 —1,731 —0,782 —0,104 0.303 0,439 —12,285 —11,942 —10,912 -9,195 —6,792 —4,451 —2,711 —1,358 -0,391 0,189 0,383 —13,063 —12,800 —12,014 —10,703 —8,867 -6,506 —4,453 —2,309 —0,998 —0,211 0,051 —13,394 —13,201 —12,621 —11,654 —10,301 —8,560 —6,220 —3,817 —2,100 —1,070 —0,726 —13,451 —12,315 —12,908 -12,230 —11,281 -10,060 —8,390 —6,090 —3,912 —2,605 —1,270 —13,356 —13,270 -13,010 —12,578 —11,973 —11,195 -10,116 —8,611 —6,679 —5,070 —4,533 —13,194 -13,151 —13,024 —12,813 —12,516 -12,135 —11,604 -10,857 —9,895 —8,718 —8,076 —13,012 —13,012 —13,012 —13,012 —13,012 -13,012 —13,012 —13,012 —13,012 —13,012 —13,012
200 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 \ 0,7 0 0 0 0 0 г —5,922 —5,075 —3,533 —2,296 —1,366 —0.740 —0,315 \ 0.016 —10,001 —9,304 —7,212 —4,725 —2,844 —1,568 —0,692 —0.011 —12,551 —11,995 —10,328 —7,551 —4,662 —2,662 —1,261 —0.173 —13,942 —13,515 -12,232 —10,093 —7,099 —4,250 —2.201 —0,607 —14,531 —14,213 —13,259 —11,670 —9,445 —6,584 —3,723 — 1,498 —14,609 —14,381 —13,698 —12,560 —10,966 —8,917 —6,068 —3,074 —14,395 — 14,239 — 13,773 —12,995 —11,906 --10,506 —8,506 —5,617 —14,032 —13,935 —13,643 —13,156 —12,475 11,599 —10.323 -8,412 / —13,608 —13,561 —13,419 —13,183 —12,852 —12,427 / —11,802 / — 10,871 / —13,167 —13,167 —13,167 -13,167 —13,167 13,167 —13,167 13 167
1 0,8 0.9 1,0 10 0 0 0,252 0,394 0,441 0,476 0,678 0,865 0 605 | 1,072 1,228 0,531 1,214 1,442 0,092 1,046 1,363 —0,936 0.347 0,775 —2,839 —1,172 —0,617 —5,955 \ —3,863 -3,166 —9,635 \ —8,093 —7,245 —13,167 —13,167 —13,167
о о —6,835 —11,384 —14,065 -15,372 -15,763 —15,606 —15,159 -14,581 —13,954 -13,316
0,1 о —5,785 —10,531 —13,397 —14,868 -15,398 —15,352 —14,991 —14,478 — 13,905 —13,316
0,2 0 —3,887 —7,972 —11,392 — 13,359 -14,306 —14,593 —14,486 —14,169 —13,756 —13,316
0,3 о —2,390 —4,957 -8,051 —10,843 —12,485 —13,327 —13,646 —13,654 —13,509 —13,316
0,4 о —1,293 —2,736 —4,624 —7,320 —9.936 —11,554 —12,468 —12,933 —13,163 —13,316
9КП 0,5 о —0,598 —1,309 —2,361 —4,041 —6,658 —9,275 —10,955 —12,007 —12,718 —13,316
0,6 о —0,153 —0,383 —0,847 -1,762 —3,380 —5.996 —8,692 -10,580 —12,022 —13,316
0,7 о 0,193 0,338 0,330 0,011 —0,831 —2,473 —5,265 —8,359 —10,926 —13,316
0,8 0 0,440 0,853 1,170 1,276 0,990 0,043 —1,924 —5,344 —9,429 —13,316
0 9 о 0,589 1,162 1,675 2,037 2,083 1,552 0,081 —2,785 —7,531 —13,316
1,’о 0 0,638 1,265 1,843 2,290 2,447 2,056 0,749 —1,932 —6,481 —13,316
0 0 —7,691 —12,656 —15,427 -16,624 -16,813 —16,435 —15,785 -15,031 —14,247 —13,458
0,1 о —6,442 —11,652 —14,652 —16,052 —16,410 —16,163 —15,610 —14,927 —14,198 —13,458
0,2 о —4,193 —8,638 —12,327 —14,336 -15,200 —15,347 —15,085 —14,613 —14,049 —13,458
0,3 о —2,445 —5,115 —8,452 —11,476 -13,183 —13,987 —14,209 -14,090 —13,801 —13,458
ол о —1,197 —2,583 —4,526 —7,472 —10,359 —12,083 —12,984 —13,358 —13,454 —13,458
ЧОО 0^5 о —0,451 —1,042 —2,050 —3,824 —6,729 —9,634 —11,408 —12,417 —13,007 —13,458
0,6 о —0,005 —0,100 —0,474 —1,376 —3,099 —5,986 —8,932 —10,876 —12,261 —13,458
0,7 о 0,343 0,632 0,751 0,528 —0,275 —1,982 —5,007 —8,343 —11,014 —13,458
ол о 0,591 1,155 1,627 1,888 1,741 0,878 —1,131 —4,820 —9,266 —13,458
0 9 о 0,739 1,468 2,152 2,705 2,952 2,594 1,194 —1,807 —7,017 —13,458
Со 0 0,789 1,573 2,327 2,977 3,355 3,166 1,969 —0,802 —5,767 —13,458
о о —8,502 —13,841 —16,670 —17,738 —17,721 —17,133 —16,304 —15,405 —14,499 —13,595
0,1 о —7,054 —12,688 —15,792 —17,102 — 17,284 —16,847 —16,126 —15,302 —14,451 —13,595
0,2 о —4,460 —9,229 —13,159 —15 195 -15,973 —15,991 —15,593 —14,993 —14,306 —13,595
0,3 о —2,469 —5,214 —8,772 -12,01 —13,788 —14,563 — 14,706 —14,478 —14,066 —13,595
03 о —1,082 —2,393 —4,379 —7,569 -10,730 —12,564 —13,463 —13,756 —13,729 —13,595
350 o’s о —0,299 —0,766 —1,730 —3,600 —6,797 —9,994 —11,864 —12,829 —13,296 —13,595
0,6 о 0,134 0,162 —0,132 —1,030 —2,865 —6,025 —9,216 —11,202 —12,513 —13,595
о’7 о 0,471 0,883 1,111 0,968 0,194 -1,577 —4,823 -8,881 —11,126 —13,595
0,8 о 0,712 1,398 1,999 2,396 2,378 1,601 —0,435 —4,365 —9,135 —13,595
о’э о 0,856 1,707 2,531 3,252 3,689 3,507 2,197 —0,906 —6,541 —13,595
со Со 0 0,904 1,810 2,709 3,538 4,126 4,143 3,075 0,247 —5,093 —13,595
Продолжение табл. V-6
О Ю Щ Ш LQ Ш Ш Щ IQ 1П Ш Ш —« —• —' —< —< —< —’ —< —’ —। —« —. —< —с —< СХ(ХеХеХСХСХ(Х(ХехеХеХ LniQLQlQ кПсПШтЮЮЩ Ь-Ь-Ь-Ь-Ь-Ь-Ь.ГьГ’’*.^ N NNN bbNb-СО ОО QO СО GO ОО СО ОО Q0 ОО ОО СП СТ) СТ) О) CD СП 0) сП N СО СО СО СО СО СО СО СО cd СО СО cdcdcdcdcdcdcdcdcdcdcQ СО СО СО СО СО СО «О СО СП 177 i777i 17777 i777i7i7i I i i i 177777*
о* о b- -iLQCn-’COLQOO-’L.OCn t ’hSCOOCDCONLOCOO)^ Ь'ФЮССОлОЬ-СЧОО'’? c xFxFxFTFcdcdcX’^CDCDxF 177 i 177 i 1 1 1 - CD DeD И ОС N —' xF CO OCDlQ xF CO xF b- xF О ь- iq ex 00 О xF xF xF xF CO CO —’ 777777 QO CO (X Ю СП ОС xFbco b- co ex CHCD OO ООО ad ID CO IQ 1Q xF ।।1777 xF CD IQ t-A <n i i I 17 11'
00 о co O) CNb-in<-CO’-OOlO (X CD —' b- b- —' lQ CD —СЧСЧСОтГЮФФФСО O0C0—«xFCDcDCXb- b-^CDcO 00 —« CN Ш хГ СП О (X CD QO CD —' xF cD CD Ш IQ LQ LQ xF xF CO —7 об CO О —7 lD LD LQ id xF CO —7 GO I I I I i7 i 1 11 7777 ill1 —3,611 0,717 2,160 1 0 0AC D —< CD —< in 0 m 0 IQ г>гЛ DtXCDxFxFOO—' CM CD S'0 N ~ CO xF 00 О CO b? СЧ § g D CD idlD xF xF (X odcd-?<v.‘ T777777
о b- О —« 00 CM xF 1Q О CO CX CH О OO О b-CD CD CO lQ CO CD CO xF —> CX CO О CO —• GO О (X —’ xF CO Q0 O0 CX b-LQ ОCD co IQ b--~*<~*O —’ CD xF LQ CO b- 00 CD CD*CDcDidcdcXCDxFOcdxF b7cDcDidxFCXCDxF I I I I I I 1 1 Ii7i i i 1 1 b-lQOO b- —< CO —' CO ex CD (X cn co - СОЮСЧ О XF XF —* XF IQ LQ СП CO CO Q b-a^o xFcq ь- enr-ex ex in ex bo OCOIQ b7'b7cDiQ XF COOXF—TJ.’^ 7777777 (1
<0 о CD —ч b CO CD b xF О CO 00 CN (XCOxFb-OlQOxFcO —’ —’ ь^юоосо-' ex ex co o ь7 ь7 cd id co о cd —7 ex xf in 1 1 1 1 1 1 1 1 Q CO —«OOxFCHxFO О CO CO (X (X —’ —'CD X_ СП О IQ xF b-_ (X CH Ю b7 b7 LQ CO 0 CD 0 T 1 11i7 1 1 COxFLQ CX 00 b- OlQ CO —< CD — CNlO CH xF СП Ь-CDlQxF—ООШСЧСПОО b-Ob- CD co XF СП ООО COb-CN bin exioin go об b7 in cd -7 cd 0 cd id cd 777777 1 ।
10 о COb-CDCDb>COCDxrxF(XQ0 (X—’CDCDCDCDCXQO —ixFxF—ilqcDcDCDCXCXQO —'CXxrOOxFCXOCO IQ О CD CO ООО CD IQ CH COb- frlb (X b CO (D 1Л CD 00 CO CD xF —' CD ON О (X xF xF СП ОО*" b7 xF —7 CD (X О 7777711 77777 1 1 LQO— xF О QO CH —< CD —। b. CD CO СЧ CH b CD CO ex b 0 —< co CD CO 0 XT CD COOOCO GO COb ex CD О) CO (X GO СП CO COxFin CH CH bi£ —’ CD (X <-ч С0ЮЮ 77777 1 1
о OOcOCHlQCXCHCDb-—<IQO CD IQ xF —«N(Xb-b- COxFlQCOCXCD—ixFCXOO xFCDxFCDCOCO(Xb- b- ОСП XF cDcOb-COaOb- О cDOOcDQOcD—‘xFCD aoodiQ ex ь7со о —7<x co xf cd od cd ex ь-7 co о -7 7777111 7777111 oexex b-xf co in 0 с?) ь-co со Ф 0 CO CO QO b bCD tF CXCOlDCDGOCHO — Oco XT CD (X ex CD co —« CD xFCOb coxFxf оет)ь7соь7(хо-7сохг^ 7777111
со о xF b 00 CD О CN b CO LQ lQ —' —’coocxcnoooexoco—< QOaOCHO—^xF—«xFCOQOO b-’ cd* co cn xr -7 q -7 cn ex cd 7771II ZHcDQOcDOOlQOOcD •^oaoexcDcDaocn 20Q0lQ(XCnOxFCD x> ь7 xf cn co -7 0 -7 777 ‘ । । СПЬ-CT) CDD-OCDOCDO^-jS iQb-xF b-O—<Q0—< СЧ b xF b- CD£J iQOCX QO b- eX_CO b- b- b- (T)bCNX ex cd <d cn co in cn cd 0 0 ^7 ex co cc 777111 —
сч о CD b OtQ CX —'CD CN b- xF CO —'GOOiQcDOcDin IQ LQ CD CD b GO 0 ОСП CD CD — CD xF b- (X CH xF CD CDcDb- ex -^xF XF —^IQ °0CH OiQ(X(XCn—<CDCN xfcocdlqcnoo — —1-7-7 cd xr 0 id —<00-- 77 1 1 1 1 77711 1 ООО —< b-(Xr^(Xb.cO-^<Cn^'2Jrt CD coco —< COb in inObOD^^ b-O—’ 0 XF CD ex CD —< 00 XF CO -7<xex b-’idoLn -7oo-7r—счс4 777 1 1
о CD •—< IQ CO О (X CD CO O CD —< CD OO CO CD LQ QO CN CO b-CO CH CD IQ xF CD OO — xF CH —' b- О xF О —' CD GO CN CD CD xF CD — CX 1П °0 CD CD O —< CD xF CO О CO CD CDb-’xFCN OOOOO OO OQOxrtXOOOO 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 OlQCD b-OOcDQOCOinCXC^FoC CD—ЧП CO О CD О xF QO —' b- LO 00 OO bb OxFO-LDbC^X - o-7-7 oooidexoooOO1*4*- 7 1 1 1 1
о 00000000000 00000000000 000000000
ох —< ex CO xMQCD b- 00 CD 0 —* ex CO xF in CD b- OOOOOOOOOO-7 oOOOOOOO OOCDO —1 ex CO XF ID CD b^OO.0^^ oo-7 o00000000
й c c: 450 500
ГЛАВА VI
РАСЧЕТ БАЛОК ПЕРЕМЕННОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ И ШАРНИРНО
СВЯЗАННЫХ БАЛОК, ЛЕЖАЩИХ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
§ 1. Расчет многоступенчатого балочного
фундамента на упругом основании
Как известно, фундаменты многих инженерных конструкций и
сооружений рассчитываются как балки, рамы или плиты, лежащи'е.
на упругом основании.
В зависимости от вида и назначения конструкции балочные фун-
даменты проектируются как цельные (постоянного или переменного
поперечного сечения), так и состоящие из отдельно лежащих блоков,
иногда связанных между собой шарнирами.
Если методы расчета балок постоянного поперечного сечения, ос -
нованные как на гипотезе Винклера, так и без нее, получили широкое
развитие, то расчет балок переменного поперечного сечения ввиду
его сложности до настоящего времени не достаточно изучен*.
Имеющееся в настоящее время небольшое число работ, посвященных
этому важному вопросу, не всегда можно использовать, так как рас-
четные формулы, приводимые в них, очень сложны и одновременно
не охватывают всех видов нагрузок.
Ниже приведен расчет многоступенчатого балочного фундамента
на упругом основании (рис. VI-1)**.
Для получения общего решения рассмотрим балку, заделанную
обоими концами и лежащую на упругом основании, у которой закон
изменения момента инерции по длине проявляется в виде ступенчатой
линии (рис. VI-1, а).
Мысленно освобождая концы балки от заделки и одновременно рас-
членяя ее на отдельные балки с постоянными моментами инерции,
получим ряд балок конечной длины и постоянного поперечного сече-
ния. Каждая балка будет находиться под действием заданных нагру-
* Симвулиди И. А. Расчет статически неопределимой балки пере-
менного сечения, лежащей на упругом основании. «Известия высших учебных
заведений», Строительство и архитектура, № 2, 1964.
** Симвулиди И. А. Расчет многоступенчатых балок, лежащих на
Упругом основании. Труды симпозиума. Югославия, Сараево, 1969.
189
Рис. VI-I
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
зок, а также неизвестных поперечных сил Го, Уъ У г, И3, Уп< ^n+i
,и изгибающих моментов 7И0, /И2, Л43, Мп, Мп+1, которые воз-
никают в местах разреза, т. е. по их концам взамен отброшенных час-
тей (рис. VI-1, б) (пренебрегаем влиянием на грунт основания одной
балки на другую в местах мысленного их расчленения и трением балки
off основание).
Полученная таким образом расчетная схема дает возможность
каждую из полученных отдельных балок рассмотреть и рассчитать как
простую балку конечной длины и постоянного поперечного сечения,
лежащую на упругом основании.
Каждую отсеченную балку рассматриваем как тонкий упругий
брус, деформирующийся по длине, а грунт основания под каждой
балкой принимаем разным и рассматриваем как сплошную упругую
среду, характеризуемую модулем деформации и коэффициентом
Пуассона.
Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования
в области упругого основания показывают, что под фундаментной бал-
кой реакции грунта распределяются не всегда равномерно и находятся
в зависимости от характера нагрузки и ее расположения, жесткости
и длины балки, а также от характеристики грунта.
Например, при центрально симметричной нагрузке чем жестче
балка и слабее грунт, тем больше по ее концам по величине ординаты
190
реактивного давления; чем больше гибкость балки и тверже основа-
ние, тем больше по величине ординаты реактивного давления в сред-
ней части балки (под нагрузкой) и меньше по концам.
Используем уравнения (1-2), описывающие характер распределения
реактивных давлений грунта под балками (начало координат берем
на левых концах балок — положительные абсциссы вправо, орди-
наты вниз):
где а<п>, а<п), а<п) и а<п>— неизвестные параметры, величины которых
зависят от жесткости балки, ее длины, модуля деформации упругого
основания, характера нагрузки и от ее расположения.
Приняв реакции основания под каждой балкой по закону (VI-1)
и выразив нагрузки на балках в самом общем виде через функциональ-
ные прерыватели Герсеванова [1]
Чр(|) = ЕГ /("(г) + ЕГ ”z(i) + ЕГ -
-г; 440+^^ + ^ +г; У,;
<•<«+*> = sr ^p1.>)f<"+i)(Z) + ег ;<пН) М!"+1) +
+ ег 4?+.)р?+,) - г’м„ + Пп+1 М„+1 - Г0У„ -
“ ГАп+1У«+‘’
Для каждой балки составляем соответствующее дифференциальное
Уравнение изгиба: >
191
p j di,Ji _
C‘7‘ dx* ~ ~
+ ЕГ '(1)P<0
l3i
/A? -+-SF /!”(*) + УГ "ojM'11 +
hZ l2i
+ Г^ + Г^-Г^ + Г^М,;
Ординаты поперечных сил и изгибающих моментов определяем по
бдим расчетным формулам (1-39) и (1-40).
3 этих
формулах:
, . I____________ПЛ+1
<>= А1п) +-Чг~
(VI-5)
(VI-3)
/(H-f-l)
-^Йп + ^Г^+1)/Г+1>(г) +
+2T »(«+•) Л4р+1' 4-£Г (n+np!n+I)-(-l)<'1+1’[roy,
I 2t l3l
; +гЧ1+1У„+1]-г;м„ + г^+м„+1
и уравнения деформации грунта под балками.
Для нахождения деформации грунта под каждой отсеченной
балкой используем уравнение плоской задачи теории упругости (плос-
кая деформация) (1-18). После четырехкратного интегрирования
уравнений (VI-З) в каждое из них войдут по восемь неизвестных ве-
личин (по четыре параметра и по четыре произвольные постоянные).
Для нахождения этих неизвестных величин для каждой балки ис-
пользуем восемь следующих условий*:
. два условия равновесия;
два граничных условия;
четыре условия контактности балки с основанием:
а) равенство прогибов обеих кривых на левом конце балки;
б) равенство прогибов обеих кривых в середине балки;
в) равенство прогибов обеих кривых на правом конце балки
г) равенство третьих производных обеих функций в середине
балки.
F I d* У n+i
П+И"+1 dx4
В результате использования всех перечисленных выше условий на'
кодим параметры для всех отсеченных балок:
а!1); ЦЙ); с(1); МО; ... ; О(П). а(п). а(п). д^п)- дОН-Ц.
U 1 Z О U 1 ' X ' «5 «3
Формулы для параметров п-й балки имеют вид:
(„)_ (8252-34ап)Л<п) - 13440В<"> ап .
°° ~ 13440 + 29а п '
а(2,г) (5188 + 63а„)Д<)"> + 13440ВЙ*’ “л
i ~ = 13440 + 29ал ’
fl(n) _ л<0"))( 1280 - а„) -8<>ал
3 2048 + а„ 1
4"’ (2С^>- <>)( 384 + ал ) + 4<!) а„
10 2048+ а„ • 1
Для удобства ширину балки принимаем bn = 1л.
1
12 J /,п)(2л^г„ - 2 f fln} (zn) dzn + s л(п)}>
Ф = cln)+ (~1)Я+1 Yn,
J ^(n)(Zn)ZndZ/i_
Ln /(n)
hZ
- S J f ^(Zn)zndzn + S /<«>- S I,
,(л) J
Lki
J((n) = (-l^lVn-v
= _ _L J f^(zn)(Ln- zn)dzn-
n * ,<n)
Hi
- S J f(n)(z„) (L„ - zn) dzn + S +
,(n)
lki
UZ(„)= ’
Ln
Ln
2
,(л)
1Ы
(VI-6)
(VI-7)
(VI-8)
(VI-9)
(—n«+i
Г(П) = Г(п)_Д——
2
\3
~zn
_____' (lz
3! n
±L p
£[,/' J
Z(H)
3
I n
- dzn + ХГо2 M<">-
/
(VI-Ю)
(VI-11)
^-л ,(n) У
2!
/ £ \3 ।
I-2"-4"’ I I (VI-12)
+vr02 ш
193
192
В<п> £(n)
-L [£ J f<">(z„) (L"~Z”>4 dzn -
I ,(л)
Н£
(VI-13)
* ш
_ £ J f^{Zn} dZn + vM<"> -(-—3^--)3 +
4- ур<щ (Ln ~Z^})4
L4
(VI-14)
Ntf> = M'!>,
±L
{Ln 2
Го2 J f^(zn)dzn-
Z<")
(VI-15)
/('!>(z„)dz„ + УГОЬ'’ pw+ K<v
(VI-16)
где n — 1, 2, 3, 4,...
Для определения показателя гибкости а применяем формулы
(1-27) — (1-27в).
В формулах (VI-4) — (VI-16), заменяя всюду п на (и + 1), полу-
чаем значения параметров для п 1 балки. Но так как неизвестные
параметры содержат неизвестные усилия (Уо> Yi.... Уп+1; Мо, ДЦ,
..., 7Ип+1), возникающие по концам смежных балок, то к указанным
выше восьми условиям добавляем следующие условия сопряженнос-
ти* :
а) реактивные давления грунта и угловые деформации балки в
местах мысленного отсечения одной балки от другой должны быть
равны между собой;
б) реактивные давления грунта и угловые деформации балки на
левом конце первой и на правом конце последней балки (в заделках)
должны быть равны нулю.
В результате использования условия а) получаем две системы урав-
нений, а при использовании условия б) — еще четыре дополнитель-
ных уравнения.
* Влиянием на грунт основания одной балки на другую в местах соедине-
ния и трением балки с основанием (с грунтом) пренебрегаем.
194
Первая система уравнений, полученная из условий равенства
активных давлений грунта на балку в местах ее мысленного рас-
членения:
ЛцУо4" 12^14" 13^2 4" £2 14^1o+ Q15^11+Q 2 — Of02*;
(Q 21X14" ^22^2+ Q 23Y 3) 4" 24^14-Q 25^124“ S2 26-^3 — Ф^13\
(VI-17)
(-irXQ^V^ 4- Ц!2Г„ + ^я3Уя+,) + ЙЯ4М„_1 4-
+ £2лВМ„ + £2я6 М„+1 = ф(п-')("+п
Вторая система уравнений, полученная из равенств угловых де-
формаций балки в местах ее мысленного расчленения:
ЯиУ0 4- О12У 1 4" Я13У2 + £)14Л10 4- 4*
+ DieM2 = x02q>2)-q°»;
-(Я2Х 1 4- Я22У2 4" Я23Уз) 4" ^24^1 4" ^25'^2 4"
4-Р2вМ3 = Х13С^>-^12>;
(VI-18)
(- 1)«+’(D„iY„_14- Яя2Ул 4- D„3y„+1) + +
4- Оя5М„ 4- Яя6Мя+1 = Х(п_1)(п+1)ЦГ+,) ~ и(Г,)п-
Уравнения, полученные из условия заделки левого конца балки
и из равенства нулю реактивного давления грунта в том же месте:
(Яи 4- Я13)У0 4- (Ян - Я13)У! 4- - 2Я‘3 -
^15 \ М0 । ( ^12 । О р/ । РГ ^15 \ Mi f /(1) .
з"}1Г + \Тб“+ 1з+ 14 — лев’ (VI-19)
(“11 4- Ш1зХо 4" (“11 — ®1зХ 1 — («15 4- “1«) -д2- 4"
4- (wi5 — ш1в) — — елЛ t>lLi •
Ь1 J
Уравнения, полученные из условия заделки правого конца бал-
ки и из равенства нулю реактивного давления грунта в
-",п+1в)Г.+
—- ( Н(" + ')2 I OW | LT _______________ Н(п + 1)5 м„
' 16 “Г z (п+1)3 "Г 2-'(п-|-1)4 6 ) Ln+1
— ( ^(п-|-|)2 о и и ^(я-ГОз'\ ^«+1__/"/(я-Н)
\ 16 —zn(пн-113 П(П-НМ 3 J L„+1 пр
^Ш(п-н)1 “(п+цзХп 4" (U,(„_|_I)| 4-w(n+I)3 )Yn+1](—I)" 1 4-
(Ш(п-Н)5 —Ш(п+1)6 — (Ш(«-М)5 + Ш(п+1)б) =
^-г^р+,)^+Хп+1-
том же
(VI-20)
195
Пользуясь основными уравнениями (VI-17) — (VI-20), можно п«
шить большое количество разнообразных инженерных задач.
В уравнениях (VI-17) — (VI-20) принято:
= ®„i —ш„3;
^„2 = (“„1 + шпз) + 71(п-1)(„4.1)(“(„4-1)1 + “(„+03 )’
^пЗ = \п-О(п+о(“(л+1)1 “(„+1)3
^„4 — (0)„5--0>„б) ~Г~ '•
&пЪ — (“(„+1)5 + “(„+1)6 ) £л^1+ } (“лБ + “лв) -Ц-
2„в —(“(„+06 “(n+l)s) £л+1
(VI-21)
<%i = (23,816 + 0,155 an)7„;
®„2 = 26,88 f„an;
®„3 = (7,68 + 0,007 an)gn-,
^ni = 0,0\6gnan;
®„б = £„(15,36 + 0,03 a„);
“„e = 0,56 Ina„;
yi __ bnLn рл .
1(„-1)(„+1) bn+1Ln+1 рл+1 ’
*<” = КИ1” + °>«2^(,) -®i3(2C<'> - Л<«>) -
еР+о=[%+1)1 ^,n+,)+%+1)2 £(n+i)+
+“(„+оз (2С(п+1) - ^(л+1)) + “(„+1)4 ^(п+1)];
фГ = V_1)(n+1) &п+1Л„+1[о>(п+1)) Л(п+» +
+ “(„+02 fi(n+1) - “<„+оз (2С<”+1) - Л<"+‘>) -
— “(„+1)4 Nln+n ] — bnLn [о>п1л(п) +
+ wn2B(«) + ®л3(2С<") — Л(«)) + шл^(п)];
Dni ~ ^nl Н"3’ и _1_ И
Dn3 — (H„i 0(л+0^ (n-НН * (п-Н)З ’
Dn3 = \п—1)(п+1)(^(п+Ш ^(п+1)3
(VI-22)
(VI-23)
(VI-24)
(VI-25)
(VI-25)
196
D"> = [(nf—+
\n-l)(«+l) { H(n+1 )2 nrr ____________jj
Ln+1 \ 16 («4-1)3 '++1)4
H(n+1)5 Y|.
3 /]’
D"e ~ ( (~ПГ *” 2#(«+D3 + #(«+1)4
_ ^(«+1)5 \ \n-l)(«+l) .
6 / ^n+l
__ anEnfn?n____________^n-H
("-1)<n+1) “ “n+l^n+l^n+lPn+l “*T’
Иногда удобно пользоваться формулой
X Ьп^пРп
(„_I)(n+1) = bn+1Ln+lpn+l
Eon
£0(п+1)
Нп1 = (163,1952 + 0,0588а„)т„а„;
Нп2 = 45,1584Ъ+;
Нпй = [(80,64 + 0,112ап)(38,4 — 0,03 а„) +
+ (53,76 + 0,048 а„)(38,4 + 0,1 а„)]^;
Я„4 = (2,1504-0,00768
^«6 = 403,2 ТХа«-
Н — ( Н™ I 9 Н 4- Н _____ И"6
ппб — I 16 ^Г1п3 । 1Jnt 6
rr ___ / __ о гт __ 7J __
‘‘ ni ~~ I jg ^“пЗ п т з
Рп = InSn, ,
Р« = 7п ёп\
fn = 2,048 + 0,001 а„;
gn= 13,44 +0,029 а„;
g'n — 13,44 + 0,0385 а„;
(VI-27)
(VI-28)
(VI-28a)
(VI-29)
(VI-30)
(VI-31)
(VI-32)
197
Uin-нп = + яи3(2С<"> —
- Л(«)) + HntN^ + /-/я6ф(^=Гп
[/„(„+,) =[_Я(п+1)1 Л(п+1)_Н(п+1)2 Ж(„+1) +
+ ^(П+1)3 (2С<«+‘> - Л<«+») + Н(п+1)4 лнп+» -
/ Ип+1) \1
~ Я(п+1)5 [ЛГ^Г + Ф^и )]
= [- ^И(1) - + HiS(2W - ДО») +
+ Я14М'> - Н15 + Фр0)]^;
^р+” = Л("+,) + ^(„+1)2 Ж<"+'> + /7(п+1)3 (2С<"+» -
_д(п+о)+я(п+1)4м«п+н(п+1)5 ^+;l^„+a+1.
(VI-33)
(VI-34)
Для определения (У^в используются таблицы (VI-10) или (VI-12)
в зависимости от вида нагрузки, действующей на левой (первой)
отсеченной балке, длиной £т.
Для определения (У^п используются таблицы (VI-9) или (VI-11)
в зависимости от вида нагрузки, действующей на правой (крайней)
отсеченной балке, длиной Ln+1:
УИ'.'” / /'?> \ 1 Нп> / Я?» \
,(п) _ ‘ I ।__________I д___________1 yi I ।____ м I
х =Ln bnL* Ln ) 1 2 " bnLn \ Ln )
/ Ф(п> iz<n) \
Ж(П) = Ц7(п)------р-----------К— . (VI-36)
\ 2 1/
L
fl n
2 j' f(n) (г) -~n^-Z’3 dz—y^ (z) dz-r
/(П) An)
ш 4 Ki .Л
I У (L« v р(л) ( Ln l3i} )3
“ z 2! “f" — * 3!
(VI-371
198
Для определения величин Д("+1); C(”+I); Д'*" |); 1Е*” + Д<п + ”;
/у<я+1); а«+о <о(„+|)1,...,<о(п+1)б; я(п+1)|,..., //(n+Ds; p„+1; дп-н»;
£ +1) необходимо в формулах (VI-5) — (VI-16) и (VI-21)— (VI-32)
всюДУ заменить (и) на (n + 1).
По предложенному выше методу заданную цельную балку нере-
шенного поперечного сечения рекомендуется расчленить на отдель-
ные балки так, чтобы каждая из них стала постоянного поперечного
сечения, лежащей на однородном упругом основании.
В результате этого получается вместо одной балки ряд балок ко-
нечной длины и постоянного поперечного сечения. Поэтому для каж-
дой балки составляем дифференциальное уравнение изгиба, уравне-
ние реактивных давлений грунта на балку и уравнение деформации
поверхности грунта.
Если при выводе расчетных формул для одной цельной балки не-
обходимы четыре условия контактности балки с основанием, то для
расчлененных на п частей балок всего надо 4 п условий контактности
балки с основанием, т. е. для каждой отсеченной балки, так же как
для цельной балки, сохраняются все четыре условия контактности
балки с основанием. Это дает возможность правильно рассчитать
балки как постоянного, так и переменного сечения независимо от их
размеров и грунтовых условий.
Допустим, что имеется балка длиной L — 18 м и шириной b = 1 ж
постоянного поперечного сечения, лежащая на упругом основании
(пространственная задача). Если заданную балку рассчитаем как
цельную, то на протяжении 18 м балка будет иметь только четыре ус-
ловия контактности, что крайне недостаточно.
Если балку мысленно расчленим на 6 равных частей (при сохра-
нении всех правил строительной механики), то всего надо 24 условия
контактности (4 X 6), т. е. каждая отсеченная балка длиной L = 3 м
будет иметь по четыре контактных условия, что и цельная балка (дли-
ной L = 18 ж).
Для того чтобы расчет балки на упругом основании (плоская зада-
ча теории упругости) производить правильно, необходимо, чтобы
~-<7. Если окажется, что-у-> 7, то балку необходимо расчленить
(независимо от того, какого сечения рассчитываемая балка — пере-
менного или постоянного).
При расчете балки постоянного поперечного сечения на однородном
Упругом основании, когда — > 7, необходимо балку расчленить так,
Ь
Чтобы нагрузка на расчлененных балках получилась несимметрично
Расположенной. Особенно это относится к равномерно распределен-
ным нагрузкам*.
‘Симвулиди ИА. Расчет фундаментов на упругом основании.
ВЗИСИ, 1971.
199
В случае когда по всей длине конструкции (балки) грунт неодц
роден, необходимо расчленение конструкции (балки) производит
так, чтобы под отсеченными балками грунт был однородным. Л
Основной расчет балки переменного поперечного сечения по пред,
лагаемому методу сводится к составлению и решению уравнений от-
носительно усилий Уо; .... Уя+1; Мо; Mt.....Mn+t.
После нахождения Yo; .... Уя+1; Мо, М}, ...,Mn+t эти силы н
моменты включаются в состав заданных сил и моментов, действующи^
на соответствующие балки, и каждя балка рассматривается и рассчи-
тывается как простая балка постоянного поперечного сечения, лежащая
на однородном сжимаемом основании.
Если балка переменного поперечного сечения одним или обоими
концами заделана, но не имеет препятствия на вертикальные пере-
мещения, то для расчета такой балки необходимо и достаточно исполь-
зовать уравнения (VI-17) — (VI-20).
Для расчета балки переменного поперечного сечения, у которой
один или оба конца опираются на сосредоточенные несмещающиеся
опоры, необходимо и достаточно также использовать уравнения
(VI -17) —(VI-20). 'Л
Если балка переменного поперечного сечения свободно (со свобод-
ными концами) опирается на упругое основание, то для нахождения
Yо, ..., Yn+l; Мо, Mt, ..., Mn+t необходимо и достаточно использо-
вать уравнения (VI-17) и (VI-18).
Как видно из уравнений и формул (VI-5) — (VI-37) для определе-
ния усилий Уо» Ylt..., Кп+1; Л40, Мг...Мя+1, возникающих в мес-
тах расчленения балки, необходимо знать величины
®Л1....<ояв; 2Л1, - - -. 2лв; ф!,,2). ФГ ”(п+1); I
Hnt,.... НпЧ- Dnt,.... Дя6; (Л(01) ,..., U(nn~'}n;
1/"(я+1»;Ря и Р;.
/1
Величины сол, .... <оя6; Пя1,..., Q„6; ря; р'п; Нп1.Нп1 зависят
только от показателей гибкости (аъ .... ая).
Для облегчения их определения ниже даны таблицы (VI-1) и (VI-2).
составленные по формулам (VI-22); (VI-29); (VI-30) и (VI-31).
Величины t#*-0", Unn+'} и Ф^п-1)("+1) зависят как от пока-
зателей гибкости, так и от величины и характера нагрузок, дейст-
вующих на рассматриваемых балках.
Так как нагрузка на балках может быть произвольной — любого
характера (распределенные нагрузки, сосредоточенные силы и изги-
бающие моменты), то для облегчения определения величин ф!°2)>
Фг'3’, Фз24), . • , Флп-1) ("+1) даны расчетные таблицы: VI-3 и VI-4 -7
для распределенной нагрузки; VI-5 и VI-6 — для сосредоточенной
силы; VI-7 и VI-8 — для изгибающего момента.
200
Т а б л ина N1A
е- со см — о in см си cd ”F cdtfcdtfiocmtfocmgom<oiocd Ш CD Ь- О СП со 00 СМ CD —> CD СМ 00 Ш СМ О ОО CD Ш CD СО СМ Ь~ Ь-Ь-00 СО СО СП СП СМ ’^Fb-CDCM^Fb-OCOinOO^FOcDCO' см см см см см см см см со сососотг^т^ттттсоь-ь-оо
еГ со о г- сп со см сп cd тоооосоюоотюсль-оь-сп Ш CD CD оо 03 СО СП со 03 — — 0 — —СМс01ПЬ-СП1ПСО — — Ь~ Ь-Ь-Ь-СО СО СО СИ — СОШГ-'О^ССШГ-'О^Ф'-'^--* СМ СМ СМ 03 04 03 03 см СО t?3CCCOCO’*’tTf’^^LOLnO(£lb-
9W I QU 1 от-{~ от 1 tf tf tf m tf си см Tf tj- -e mo с о CD CO CD CD CD CD CD b-CD ^F О 00 00 О CO b- LQ О tF Ю CM о о . CM CO тГ Ш — CDCMb-COOCDCMCDCDCOCOCOCDCD 03 03 03 03 03 03 см 03 CO CO^-rFlDCDCDb-b-OOCDOCMcnin
э" 1 кЯ е а tF тМПСО xF CO СП xF CD CD CD Ш tF CO 03 О Ct) CM CDO-^FOOtFOVO—> GO -^F О b- Ш О О О О О о О СИ CH 00 00 b- CD CD 1П 1П 1П tF tF ^F СО СО СО СМ 03 см 03 03 03 03 — — — — — — — — — — — — — — — —
<о е 3 b- CD ОО ’F СИ тГ СО СО CD — CMb-ШсО — О — СМ~1П — Ь^СОСИСП СИ О 03 1П ОО 03 CD 03 со Ш О оо с — — см см in со см ш со — тоосмшспь-^сс —> —«—• CM CM CM СО СО СО tF Ю СС 714
1Q а" TFO) О CD CD TF 03 b~ co г- ссьссо'юососо-’ Щ О CD CO 03 — — co CD СП О Ш Ш 00 О о о — —1 — 04 03 in b-ОСМЮСО — -FbOCC) — COcD’’? 03 03 01CM03CM04 04 03 04 СО со СО СО ’CF ’F ”F Ш Ш CD CD b- 00
СО с а + е 3 О 'F — О — 1П CD b-О CD со CD О Ш СО СО CD СП СО <D ОО СО СО ОО Ь- СМ СМ СО in co — in со in со —> си ос Ш in in tn in CD CD CD со О 03 СО LT — — — —„ — см 04 04 04 278,12 297,93 318,19 «й ftq CO CO b' CD CM CD CD — Ш CC Г О* — CD CM C CD 00 CM b- 04 CO CO tF xF IO 570,53
со к: 3 1 si 3 TF TF СИ 04 — СИ СО b- tF ОО СО xF СС ш со со СМ О СП оо СО ОО ХГ — сс TFTFTFTF^TFCOCOCO 03* 03 03 — in in ш in in in m in m in in ю in 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 —51,64 —51,47 —51,37 —51,33 -51,35 -51,43 —<U 77 -52,34 —.63.18 — c LT J 2
3^ 03 co b- О CO СП b- — ’^F-^rcOO'^Fb-b-’CDCOb-OCD’^F03 CM tF CO CM CO xF CD О b- —< — b-ООШООЬ-СМСМ — CM b- 1П CD CD CD OCMCO’f'iD — OOCDtFCM — — — CM m <D CM О CD CO — — CMcO’^lOcDb-OOCDCDCOCDCnCM — — — — CM
со 3 CM tF in — —’ CM tF b- b- ОЗСОСИ — COCDOO — СП CO b CM in co CO rF О cd CM in — cnmcOCOb-b- — CDlDCT CO CO CO ’F CD co СИ — СИ OOcDlDin’^FrFxFinmcDOC CD CD CD CD О О О — — O4CO^FincDb"0OCDCD — с* _ ——. »—« —4 —< —t .^^₽мСМСМО> 262,42 286,89 312,37
N 3 О Ю О CD CO CM CM CO О О TF — CM in — b- in CO — СП CM 00 b- CD CD — CM Ю 00 — CO 00 CM b- co 00 — — CM in b- 00 b-lDb-COCM-rFCD — CDlO iDOO’^F-rFb-COCDCM — tF ’^FOb-’TF — СЛЮсОСМСМ О CM CO Ш b- CO CM CD О vF — — — — — — CMCMCOCO
Е: 3 00 CD СП CD co CD CD co -rr IQ Щ 1П -rF CO — CO О О CO CO b- tF tF CM СИ CD xF CM CM’^OO’-FCMCM'-Fb'CO—CMOb- 00 СП CH CD CM CO in b-CD lD’'t,COCOCOCOCOCOTFiDb-«OCO tj4 ^F TF in Ш ID ID ID CD b-OOCDO — CMCO'xFlOcDOO — CO — — — — — — — — смсм 258,16
и cd cm in cd in cd in о moinomomoinocDOCDC — CM CM in b- о cm m о cm in b^ о m о in CD ^^^^СМСМСМСМСОСО^тТШ
201
Таблица VI-2
СЧОООСОЮШСОСООЧ—
ои;01Л’’ГоГ'-с^>0''*ю5
OOlCOCOO^COCCWQ'-'1^
со со со ю о
О О СО —• о со
О О 04 О О© rf
СО сч OJ СО СЧ
Г- СО О 04 Г-
со г~ сп о сч ю
и
осч loomomouooiootootoooo
—*СЧСЧЮГ-ОСЧЩГ-ОСЧ1ПОЮ
'СЧСЧСЧСОСО
202
С
§ 2. Таблицы для расчета балки,
нагруженной равномерно распределенной
нагрузкой q (рис. VI-2)
Для составления расчетных таблиц воспользуемся формулой
(VI-25).
Из этой формулы имеем
ф(л->) („+1) = пЛ+1£п+1 ф<”+0 _ bnLn Ф<пп>, (VI-38)
где
Ln
Ф<"> = 4il А("> + <о„2 В(п) + <о„8 (2С(П) - Д(п)) +
। „ ЛГ(Л) „ — ^’) , „ Г *7 (1 /(ЛА5 ..
' V — <Оп1 - '°'!’- 120L6
4{Ln-l^
= (шл1 (1 - ₽н) + <0я2 (1 - Р„)5 -
•'4-(1-₽н)2-^-Г₽н-°'5 (0,5 — рн)41 + шп3[(1 — Ph2) — (1 -Рн)1 +
Уо 24 ° J
+ ®п4 [гРои=°’5(О,5-рн) —^(l-p„)2]}g. (VI-39)
Обозначая Ф„п) безразмерные величины, включенные в фигурные
скобки формулы (VI-39), имеем
203
8
Равномерно распределенная нагрузка q (рис. VI-2) Таблица VI-3
Значения ф(«). ф(л) _ п ’ п ~ Ф<л) . q
a 0 0,1 0,2 0.3 ₽ 0,4 0,5 0,6 0.7 0,8 0,9
0 48,775 53,187 55,535 55,818 54,037 50,192 44,282 36,308 26,270 14,167
25 50,873 55,264 57,659 58,040 56,365 52,544 47,008 39,054 28,593 15,581
50 53,008 57,380 59,822 60,299 58,719 54,906 49,774 41,854 30,970 17,030
100 57,385 61,734 64,271 64,925 63,507 59,656 55,421 47,617 35,885 20,037
150 61,908 66,249 68,882 69,695 68,400 64,443 61,223 53,599 41,016 23,186
200 66,576 70,926 73,655 74,609 73,398 69,266 67,181 59,798 46,362 26,481
300 76,346 80,763 83,685 84,872 83,712 79,021 79,563 72,852 57,700 33,495
350 81,448 85,923 88,942 90,220 89,028 83,952 85,987 79,705 63,693 37,218
400 86,696 91,245 93,961 95,713 94,448 88,920 92,567 86,777 69,500 41,084
450 92,088 96,712 99,942 101,350 99,975 93,924 99,302 94,066 76,323 45,098
500 97,626 102,371 105,685 107,132 105,606 98,905 106,193 101,573 Mug 82,961 / 49,246
а 6 va Х?\ \
Равномерно распределенная нагрузка q (рис. VI-2)
Значения ф<п+'>; ф(л+>) = ф("+').д
а ₽
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0.6 0,7 0,8 0,9
0 48,775 34,607 22,505 12,446 4,792 -1,417 -5,263 —7,044 —6,760 —4,412
25 50,873 35,292 22,280 11,819 3,864 —1,672 —5,492 -7,168 —6,785 -4,390
50 53,008 35,977 22,038 11,154 3,234 -1,893 —5,712 —7,292 —6,815 —4,372
100 57,385 37,348 21,500 9,768 1,964 —2,272 —6,122 —7,540 —6,886 —4,349
150 61,908 38,721 20,892 8,309 0,685 —2,536 -6,492 —7,787 —6,974 -4,341
200 66,576 40,096 20,214 6,777 —0,606 —2,691 —6,823 —8,034 —7,079 —4,348
300 76,346 42,850 18,647 3,495 —3,218 —2,675 —7,367 —8,526 —7,338 —4,417
350 81,448 44,230 17,758 1,744 —4,539 —2,504 —7,580 -8,771 -7,492 —4,474
400 86,696 45,612 17,198 —0,080 —5,871 —2,225 —7,753 —9,016 -7,663 —4,548
450 92,089 46,980 15,768 —1,976 —7,214 —1,836 —7,887 —9,261 —7,851 —4,634
ю 500 97,696 48,380 14,668 —3,946 —8,567 —1,339 —7,981 —9,504 —8,056 —4,745
ф^=ф^д (V4o)
Фц1 ** = <В(п4-1)1 А(П^ Н- С0(я4-1) 2 В("+1>—
- ш(„+п 3 [2С(п+,) -Л(п+,)] -W(„+I), 4 7V(n+,) = Я
г 1
= |<O(n+l) 1 (1-Рн) + СО [Л20”^1— Р”)5-
-(1 — PJ1- •№> < [гГ-S <0.5 — ₽„) —(1 - ₽„)’]} д. (VI-41)
Обозначая Ф„п+1) также безразмерные величины, включенные в фи-
гурные скобки формулы (VI-41), получаем
ф<п+1)==ф(п+1,(?. (VI-42)
Расчетные табл. VI-3 и VI-4 служат для определения величин
Ф(пп) и ф£"+1).
§ 3. Таблицы для расчета балки,
нагруженной сосредоточенной силой Р,
расположенной в произвольном месте
по длине балки (рис. VI-3)
Для составления расчетных таблиц пользуемся формулой (V1-25)-
Из этой формулы имеем
Ф'п) = <оп1 А(п) + соп2 В(п) + <ол3 (2С(П) - Л(п)) 4-
рг *
+ «>„4МП) = <оП1 —-----1- С0п2
4
24LS„
48£*
P<n)(L„-fW)
р(Л) (Ln _ ,(П) \3
2 3 I
206
207
Сосредоточенная сила Р (рис. VI-3)
208
PM (Ln-l^)
= {®я1 + ®n2 (1 - P3)4 - (1 - ₽3) ГГ'5 (0,5 - ₽3)s] +
+ <»лз(2₽з—1) + юн4 [Го3=0’5 (VI-43)
J L'n
Обозначая Ф„л) безразмерные величины, включенные в фигурные
скобки формулы (VI-43), при ширине балки Ьп имеем
Ф<Л)=Ф^-^ (VI-44)
ип^гг
ф'я+п = со(п+1), Л(л+,) +©(я+1)2 В("+1) -со(п+1)3 (2С(п+1) -Л(л+,)) -
— <»(л+1)4 N =|(0(п+1)1 4-СО(п+1)2 "^"(1 —₽3)4 —
- 4г (1 - ₽з) - 4- Г»,=0’5 <0’5 - ₽з)3] - <0(„+1) 3 (2рз - 1) -
4о о
-Ю(л+1)4 [Г^=°’5. (VI-45)
0 b(«+D
Обозначая Фг(л+1) также безразмерные величины, включенные в
фигурные скобки формулы (VI-45), при ширине балки Ьм1 получаем
ФГ’ = Ф1”+,>-^--------- (VI-46)
6(п+1 ) L(n+I)
Для определения Ф„л) и Фл"+1) составлены расчетные табл. VI-5
и VI-6.
§ 4. Таблицы для расчета балки,
нагруженной изгибающим моментом ЛЬ),
действующим в произвольном месте (рис. VI-4)
Рис. VI-4
8-597
209
Для составления расчетных таблиц используем формулу (Vl-25\
Из этой формулы имеем
Ф'"> = шп1 Ам 4- со„2 4- шп3 (2С(П) - Д(п>) 4- =
= ®„i • 0 4- <оп2
Мл(£п-4">)3 Ма
6L® 48L2
- [4- (। - w - ± - ф ф J S о,s - и*] - я
— 2“,,з — ®„<j (VI-47)
Обозначая Ф1пп) безразмерные величины, включенные в фигурные
скобки формулы (VI-47), при ширине балки Ьп имеем
фи>) = фМ) мл }
bnLn
Я
Ф<"+*> = Ю(я+1), Л<п+,)4-Ю(п+1)2 в(п+,)-Ю(„+1)з (2С(п+1)-
Г1 Я
2 R-u-fQ3-
2-Го (0’5 — ₽г)2] 4~ 2(о(п+1)з 4-©(„+!) 4 | 2— • (VI-49)
Обозначая Ф4л+!) безразмерные величины, включенные в фигур-
ные скобки формулы (VI-49), при учете ширины Ья+1 рассматривае-
мой балки имеем J
21<«+Ih л/ЙН-О (
--- Л ) ---------(£>(«+!) 4 Л/ = |
Ф4п+1) = Ф4п+1> ‘ . (VI-50)
Ь«+1£п+1 Д
Для определения Фкп) =ё^Н) и Ф^"+1) = составлены расчет-
ные табл. VI-7 и VI-8.
210
211
сЗ
ЕГ
я:
Сосредоточенный изгибающий момент МА (рис, V1-4)
м'Л1’
Значения Ф<л+1'; ф^+О — ф(л+1)----
П П П , . 9
§ 5. Таблицы для расчета балки,
нагруженной равномерно распределенной
нагрузкой q (рис. VI-5)
Для составления расчетных таблиц воспользуемся формулой
(VI-33). Из этой формулы имеем:
п = [Нп1Ам + Дп2Ж(я) 4- Hn3(2Cw-Aw) 4-
+ HniNin) +Hn5^Ln]bnLn =
= {tfnl(l-₽H)4-
[2Г₽в=°-5 (0,5 — ₽„)4 — (1 — ₽H)4 4-
г P —0 5
+ 1,5(1-₽.)’] + H,„(t-₽.)₽. + Н,„[Г." ' (0,o-M-
--Ui -₽.)*]—^-(1 Aa- <VI’5')
z J J
Обозначая Ulnn~I)n безразмерные величины, включенные в фигур-
ные скобки формулы (VI-51), при ширине балки Ьп имеем
^(«-пл = ^(л-п п qwbnLn (VI-52)
/7" ("+')
п
-Н{п+1)1 Д(п+1) -Я(п+1)2Ж(п+,) 4-Я(„+1)з(2С(п+,)-
- Д(п+1)) 4-Я(п+1) 4iV(n+,)-Н(п+1)5 ( А„(П— 4-
\ °Ьп+1
213
212
Таблица VI-9
Значения U1* !>п; l')n q^ bnLn
a p
0 0,1 0.2 | 0 3 0.4 0.5 0,6 | 0,7 0,8 0.9 1.0
0 —0 6242,70 11098,13 14565,29 16647,19 17340,83 16617,19 14566,29 11098,13 6242,70 0
1 —xz8,28 6118,97 10990,07 14483,38 16596,13 17324,43 16666,19 14612,40 11155,85 6288,21 0
2 —256,647 5995,13 10881,91 14400,38 16544,98 17307,97 16685,14 14658,52 11213,64 6333,79 o
3 —385,158 5871,18 10773,66 14317,28 16493,75 17291,45 16704,07 14704,65 11271,48 6379,43 0
4 —513,794 5747,12 10665,30 14234,09 16442,44 17274,85 16722,95 14750,78 11329,37 6425 15 о
5 —-642,556 5622,95 10556,83 14150,80 16391,03 17258,20 16741,80 14796,93 11387,'32 6470 94 о
10 —1288,24 5000,43 10013,00 13732,95 16132,76 17173,91 16835,50 15027,81 11677,90 6700,90 0
Г5 — 1937,058 4375,14 9^66,63 13312,75 15872,38 17087,98 16928,28 15258,92 11969,87 6932 60 о
20 —2589,00 3747,08 8917,72 12890,18 15609,88 17000,42 17020,16 15490,26 12263,23 7166,02 о
25 —3244,08 3116,24 8366,28 12465,26 15345,28 16911,22 17111,11 15721,83 12557',98 7401,18 0
50 —6565,40 -79,555 5570,91 10305,27 13990,66 16441,08 17552,09 16882,88 14052,46 8603,04 о
75 —9966,98 —3344,75 2711,91 8086,22 12583,54 15931,37 17969,88 18048,86 15581,'34 9848,57 о
100 —13445,79 —6679,40 —2108,34 5808,05 11124,13 15383,06 18364,22 19219,20 17144,42 11138^04 0
125 —17002,86 —10083,56 —3197,43 3470,66 9612,62 14797,14 18734,84 20393,29 18741,45 12471 74 о
150 —20638,16 —13557,26 —6248,00 1073,97 8049,22 14174,57 19081,50 21570,56 20372,24 13849,95 о
175 —24351,72 —17100,58 —9362,65 —1382,10 6434,13 13516,33 19403,94 22750,41 22036j56 15272,96 0
200 —28143,52 —20713,56 —12541 50 -3897,64 4767,54 12823,39 19701 89 23932,27 23734,18 16741 04 о
225 —32013,56 —24396,25 —15784,66 —6472,73 3049,67 12096,74 19975,11 25115,53 25464,90 18251 48 о
250 —35961,86 —28148,71 —19092,25 -9107,46 1280,71 11337,34 20223,33 26299,63 27228,48 19813,57 0
275 —39988,4 —31970,98 —22464,37 — 11801 90 -539,13 10546,16 20446,30 27483,97 29024,72 21418 58 о
300 —44093,19 —35863,13 —25901,14 -14556,15 —2409,66 9724,19 20643,76 28667,96 30853,39 23069 80 о
325 —48276,22 —39825,19 —29402,68 — 17370,28 —4330,67 8872,40 20815,46 29851,01 32714,28 24767*51 0
350 —52537,49 —43857,23 —32969,09 —20244,38 —6301,96 7991,76 20961,13 31032,55 34607 16 26511 99 о
375 —56877,02 —47959,30 —36600,49 —23178,5 —8323,33 7083,25 21080,53 32211,99 36531,81 28303 53 о
400 —61294,79 —52131,45 —40297,00 —26172,83 — 10394,58 6147,83 21173,39 33388,73 38488,02 30142,40 0
425 —65790,80 —56373,73 —44058,73 —29227,34 -12515,51 5186,49 21239,45 34562,19 40475,57 32028 91 о
450 —70365,06 —60686,20 —47885,79 —32342,17 -14685,90 4200,21 21278,46 35731,78 42494 23 33963 31 I о
475 —75017,57 —65068,90 —51778,29 —35517,38 —16905,58 3189,94 21290,17 36896,93 1 44543.79/ QO/ о
□00 —79748,32 —69521,89 —55736,35 —38753,06 — 19174,32 2156,68 21274,31 38057,03 / 46624 ‘03137976,971 0
T a 6 л и w a NX-ХЪ
Значения f7"(n+1); t/"("+1) = ^(rt+lW"+'4+i^+i (рис. V1-5)
a. p ,
0 1 0,1 | 0,2 | 0 3 0,4 0.5 0,6 0 7 0 s 0,9 1,0
0 1 2 3 4 5 10 15 20 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 to 500 ol 0 128,28 256,647 385,158 513,794 642,556 1288,24 1937,058 2589,00 3244,08 6566,40 9966,98 13445,79 17002,86 20638,16 24351,72 28143,52 32013,56 35961,86 39988,4 44093,19 48276,22 52537,49 56877,02 61294,79 65790,80 70365,06 75017,57 79748,32 6242,70 6416,41 6590,4c 6764,59 6938,95 7113,49 7989,15 8859,66 9755,03 10645,26 15169,45 19815,55 24583,83 29474,60 34488,12 39624,68 44884,56 50268,03 55775,43 61406,96 67162,98 73043,72 79049,48 85180,54 91437,19 97819,71 104328,4 110963,5 117725,3 11098,13 11284,12 11470,28 11656,63 11843,16 12029,87 12966,14 13906,93 14852,24 15802,06 20618,86 25548,32 30590,21 35744,31 41010,40 46388,28 51877,70 57478,46 63160,34 69013,12 74946,58 80990,49 87144,65 93408,83 99782,81 106266,4 112859,3 119561,4 126372,4 14566,29 14740,66 14915,17 15089,80 15264,58 15439,49 16316,05 17195,98 18079,26 18965,90 23449,28 28075,84 32664,99 37396,15 42208,72 47102,13 52075,79 57129,10 62261,49 67472,37 72761,14 78127,23 83570,05 89089,00 94683,51 100352,99 106096,85 111914,50 117805,30 16647,19 16794,45 16941,79 17089,22 17236,75 17384,36 18123,74 18865,34 19609,16 20355,19 24118,50 27936,86 31810,01 35737,70 39719,66 43755,66 47845,41 51988,68 56185,19 60434,70 64736,95 69091,68 73498,63 77957,55 82468,17 87030,25 91643,52 96307,74 101022,63 17340,83 17452,69 17564,62 17676,60 17788,65 17900,75 18462,15 19025,04 19589,42 20155,30 23007,48 25898,34 28828,85 31799,99 34810,73 37868,05 40966,91 44110,31 47299,20 50534,56 53817,38 57148,62 60529,25 63969,26 67442,62 70977,29 74565,27 78207,51 81905,00 16647,19 16724,39 16801,63 16878,91 16956,23 17033,59 17421,00 17809,44 18198,88 18589,35 20557,06 22550,52 24569,92 26615,48 28687,39 30785,85 32911,07 35063,24 37242,58 39449,27 41683,53 43945,55 46235,53 48553,68 50900,21 53275,30 55679,16 58111,99 60574,01 14566,29 14611,34 14657,03 14702,44 14747,88 14793,36 15021,19 15249,80 15479,19 15709,34 16871,67 18053,20 19253,84 20473,51 21712,13 22969,62 24245,88 25540,83 26854,40 28186,50 29537,04 30905,94 32293,11 33698,48 35121,96 36563,46 38022,90 39500,19 40995,26 11098,13 11118,33 11138,56 11158,81 11179,09 11199,39 11301,24 11403,69 11506,73 11610,36 12137,31 12678,88 13234,96 13805,42 14390,16 14989,07 15602,02 16228,90 16869,61 17524,03 18192,04 18873,54 19568,40 20276,52 20997,78 21732,07 22479,28 23239,28 24011,98 6242,70 6247,23 6251,78 6256,34 6260,917 6265,51 6288,68 6312,20 6336,08 6360,32 6486,85 6622,22 6766,39 6919,30 7080,90 7251,14 7429,96 7617,32 7813,16 8017,42 8230,06 8451,03 8680,26 8917,71 9163,33 9417,07 9678,87 9948,67 10226,43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
+ Фр+” j bn+iLn+l ={-Я(я+1)(! — ₽„)-
—[2Г3он=°’5(0.5-₽н)^-(1 -₽H)^+ 1,5(1 -pH)«] +
+^(n+l)3 (1 -₽h) Ph + ^(n+1) 4 [Гц11 (0,5-P„)-
~ Y (1 - P-.)2] 12(1- Ph)2 - (1 - P„)4]} <7("+,) bn¥lLn+t.
(VI-53)
’Я
Обозначая (/n<n+1> безразмерные величины, включенные в фигур,
ные скобки формулы (VI-53), при учете ширины fen+1 рассматриваемой
балки имеем
UT+'} = Vn ("+1) VM4. (VI-54)
Для определения 77',л~1)п = Vn"+,) и t7”(n+1) = составлены
расчетные таблицы (VI-9) и (VI-10).
Я
§ 6. Таблицы для расчета балки,
нагруженной сосредоточенной силой Р,
расположенной в произвольном месте
по длине балки (рис- VI-6)
Для составления расчетных таблиц пользуемся формулой (VI-33):
Un ' >” = [Я,„Л"” + Я„Ж"" + Н,„ (2С1”1 - Л“>) + +
216
{Яп1+Л?[2Го‘_°’5(0-5-₽3)3-(1 -₽з)3+ °>75 (1 — ₽з)] +
+ Дя3(2р3- I) + Hni [ГГ°-5 • 1 - (1 - ₽з)] -
--^(1-₽з)₽з|Р(П)- (VI-55)
О J
Обозначая "безразмерныевеличины, включенные в фигурные
скобки формулы (VI-55), имеем:
1)П _ £у(Л—Цп, р(Л) .
(VI-56)
и
С7" (л+1) = [- _ Я(п+1) 1 л(л+1) _ Я(я+1) 2 Ж(Л+» + Я(п+1) з (2С(п+1) _
— А ) +H(n+l)4N —Я(п+1)51—---------Ь Фр )рл+Лп+i—
\6Ьп+1 /J
= {- Я(п+1) , - [2ГРо,=°’5(0,5 - ₽з)3—(1—₽з)3 + 0,75 (1 - Рз)] +
+ 77(п+1) з (2Рз— 1) + H(n+i) 4 [Го • 1—(1 — рз)] +
+ (1 - Рз) (2 - Рз) Рз) Р(пп+1>. (VI-57)
О )
Обозначая Un{n+i^ также безразмерные величины, включенные в
фигурные скобки формулы (VI-57), имеем
уп (л4-1) __ ЦП (п4-1) р(Л-Н)
(VI-58)
Для определения С/^п~1,п = Опр+1) и Unn (n+I) = t4eB составлены
Расчетные таблицы VI-11 и VI-12.
Предложенный метод расчета балки переменного поперечного се-
чения также широко можно использовать и для расчета длинной балки
Постоянного поперечного сечения, шпунтовых стен, свай, работающих
На горизонтальную нагрузку, и других частей сооружений, находя-
щихся с ними в одинаковых условиях.
Ниже приведены решения ряда практических примеров.
217
Значения ,)n.
a
0 0,1 0.2 o,3 0,4
0 —69363,3 —55490,64 —41617,98 —27745,32 —13872,66
1 —69350,18 —55593,51 —41825,76 —28035,83 —14212,64
2 —69337,22 —55696,50 —42033,62 —28326,42 —14552,74
3 —69324,44 —55799,61 —42241,56 —28617,08 —14892,97
4 —69311,83 —55902,83 —42449,57 —28907,82 —15233,33
5 —69299,39 —56006,16 —42657,66 —29198,64 —15573,82
10 —69239,79 —56524,58 —43699,27 —30653,84 —17278,19
15 —69184,49 —57045,86 —44742,81 —32110,93 —18985,81
20 —69133,48 —57570,02 —45788,27 —33569,93 —20696,71
25 —69086,77 —58097,06 —46835,65 —35030,84 —22410,94
50 —68917,57 —60775,13 —52101,25 —42364,47 —31033,36
75 —68855,39 —63524,18 —57414,40 —49747,46 —39744,76
100 —68899,90 —66343,54 —62774,73 —57181.04 —48550,03
125 —69050,81 —69232,51 —68181,85 —64666,46 —57453,97
150 —69307,78 —72190,43 —73635,39 —72204,96 —66461,46
175 —69670,51 —75216,62 —79134,79 —79797,94 —75577,33
200 —70136,68 —78310,40 —84680,21 —87446,20 —84806,46
225 —70711,98 —81471,10 —90270,74 —95151,43 —94153,68
250 —71390,09 —84698,03 —95906,17 —102914,7 —103623,84
275 —72172,69 —87990,53 —101586,14 —110737,3 —113221,81
300 —73059,48 —91347,90 —107310,25 —118620,4 —122952,42
325 —74050,13 —94769,48 —113078,13 —126365,38 —132820,53
350 —75144,33 —98254,59 —118889,41 —134573,36 —142830,99
375 —76341,77 —101802,55 —124743,71 —142645,6 —152988,66
400 —77642,13 —105412,69 —130640,64 —150783,4 —163298,37
425 —79045,09 —109084,32 —136579,84 —158987,96 —173764,99
450 —80550,35 —112816,76 —142560,92 —167260,54 -184393,37
475 —82157,58 —116609,36 —148583,49 —175602,34 —195188,35
500 —83866,47 —120461,41 —154647,21 —184014,71 —206154,79
218
Таблица VI-11
(n_l)n = t/(n-l)n . p(n)
П
0.5 0.6 0.7 0,8 0,9 l.o
0 13872,66 27745,32 41617,98 55490,64 69363,30
—359,52 13549,05 27538,69 41606,14 55762,58 70019,19
—719,28 13225,04 27331,56 41593,93 56034,70 70676,39
—1079,26 12900,65 27123,93 41581,36 56307,00 71334,89
—1439,48 12575,86 26915,79 41568,42 56579,49 71994,71
— 1799,92 12250,68 26707,16 41555,12 56852,15 72655,83
—3605,59 10618,91 25656,47 41483,11 58218,20 75981,11
—5416,98 8977,42 24593,24 41401,90 59588,77 79339,22
—7234,06 7326,28 23517,48 41311,45 60963,83 82730,27
—9056,82 5665,54 22429,17 41211,71 62343,36 86154,32
-18254,99 —2779,92 16799,20 40572,15 69307,23 103772,74
-27591,75 —11455,95 10854,59 39693,73 76379,34 122229,26
—37064,34 —20354,79 4594,49 38570,86 83556,75 141534,61
—46670,01 —29468,68 —1981,91 37197,95 90836.54 161699,49
—56405,99 —38789,86 —8875,44 35569,44 98215,79 182734,60
-66269,55 —48310,57 —16086,94 33679,73 105691,57 204650,67
—76257,91 —58023,05 —23617,23 31523,25 113260,94 227458,40
- 86368,33 —67919,52 —31467,14 29094,41 120920,99 251168,50
—96598,04 —77992,24 —39637,49 26387,63 128668,79 275191,67
—106944,29 —88233,45 —48129,12 23397,33 136501,41 301338,64
— 117404,32 —98635,37 —56942,86 20117,93 144415,93 327820,11
-127975,38 —109190,24 —65079,52 16543,84 152409,42 355246,78
-138654,71 —119890,31 —75539,96 12669,49 160478,95 383629,38
-149439,55 —130727,82 —85324,98 8489,29 168621,60 412978,61
-160327,16 —141695,00 —95435,41 3997,65 176834,44 443305,18
— 171314,76 —152784,10 — 105872,10 —810,99 185114,54 474619,79
—182399,62 —163987,34 —116635,86 —5942,23 193458,98 506933,17
—193578,95 —175296,97 — 127727,52 —11401,64 201864,83 540256,02
-204850,03 —186705,23 —139147,92 —17194,81 210329,17 574599,04
219
'Я
Значения Un ln+l)
л •
а ₽ —
0 0,1 0,2 0.3 0.4
0 —69363 3 —55490,64 —41617,98 —27745,32 —13872,66
1 —70019.19 —55762,58 —41606,14 —27538,69 —13549,05
2 —70676,39 —56034,70 —41593,93 —27331,56 —13225,04
3 —71334,89 —56307,00 —41581,36 —27123,93 —12900,65
4 —71994,71 —56579,48 —41568,42 —26915,79 —12575,86
5 —72655,83 —56852,15 —41555,12 —26707,16 —12250,68 Л
10 —75981,11 —58218,20 —41483,11 —25656,47 —10618,91
15 —79339,22 —59588,77 —41401,90 —24593,24 —8977,42
20 —82730,27 —60963,83 —41311,45 —23517,48 —7326,28
25 —86154,32 —62343,36 —41211,709 —22429,17 —5665,54
50 —103772,73 —69307,23 —40572,151 —16799,20 2779,92
75 —122229,26 —76379,34 —39693,728 —10854,59 11455,95
100 —141534,61 —83556,75 —38570,86 —4594,49 20354,79
125 —161699,49 —90836,54 —37197,95 1981,91 29468,68
150 —182734,60 —98215,79 —35569,44 8875,44 38789,86
175 —204650,67 —105691,56 —33679,73 16086,94 48310,57
200 —227458,40 —113260,94 —31523,25 23617,23 58023,05
225 —251168,50 —120092,10 —29094,41 31467,14 67919,52
250 —275791,67 —128668,79 —26387,63 39637,49 оЛ 77992.24
275 —301338,64 —136301,41 —23397,33 48129,12 88233,45
300 —327820,11 —144415,93 —20117,93 56942,86 98635,37
325 —355246,78 —152409,42 —16543,84 66079,52 109190,24
350 —383629,38 —160478,95 —12669,49 75539,96 119890,31
375 —412978,60 —168621,60 —8489,28 85324,98 130727,82
400 —443305,18 —176834,44 —3997,65 95435,41 141695,00
425 —474619,79 —185114,54 810,99 105872,1 152784,10
450 —506933,17 —193458,98 5942,23 116635,86 163987,34
475 —540256,02 —201864,83 11401,64 127727,53 175296,97
500 —574599,04 —210329,17 17194,81 139147,92 186705,23
220
Таблица VI-12
уп (п+1) _ / :П (П+1) . р(п+1) (рис у) _6)
₽
0.5 0.6 0.7 и,» 0,9 1«0
0 13872,66 27745,32 41617,98 55490 54 69863 30
359,52 14212,64 28035,83 41825,76 55593 51 69350 18
719,28 14552,74 28317,166 42033,62 55696 50 69337 22
1079,26 14892,97 28617.08 42241,56 55799,61 69324 44
1439,48 15233,33 28907,82 42449,57 55902,83 69311 83
1799,92 15573,82 29198,64 42657,66 56006,16 69299 39
3605,59 17278,19 30653,84 43699,27 56524,57 69239.79
5416,98 18985,81 32110,93 44742,81 57045,86 69184.49
7234,06 20696,71 33569,93 45788,27 57570,02 69138,48
9056,82 22410,94 35030,84 43835,65 58997 06 69086,77
18254,99 31033,36 42364,47 52101,25 60775 13 68917,57
27591,75 39744,78 49747,46 57414,40 63524,18 68855,39
37064,34 48550,03 57181,04 1 62774,73 66343,54 68899,90
46670,01 57453,°7 64666,46 68181,85 69232 51 69050,81
56405 99 56461,46 72204,96 73635,39 72190,43 69307,78
66269 55 75578 33 79797,79 79134,97 75216,62 69670,51
76257 91 84806,46 87446,20 84680,21 78310,40 70138,68
86368.33 94153,68 95151,43 90270,74 I 81471,09 70711.98
<5598,04 103623,84 102914,71 95906,17 84698,03 71390,09
1( 6944.29 113221,81 110737,30 101586,14 87990,53 72172,69
117404,32 122952,42 118620,45 107310,24 91347,90 73059,48
127975,38 132820,53 126565,38 113078,13 94769,48 74050,13
138351,71 142830,99 134573,36 118889,41 98254,59 7514,33
149439 55 152988,66 142645,62 124743,71 101802,55 76341,77
16032Z it- 163298,37 150783,41 130640,64 105412.69 77642,13
171314,73 173764,99 158987,97 136579,84 109084,32 79045.09
182399.62 184393,37 167260,54 142560,92 112816,77 80550,35
193578 95 195188,35 175602,37 148583,49 116609,36 82157,58
204850.03 206154.79 184014,71 154647,21 120461,41 83866.47
221
a)
2
L = 21 = 10 м'
5)
W2
~Р72
0
2
ИИ»
L
Эпюра p
o-IS S
построить
Пример VI-1. Железо,
бетонная балка прямо
угольного поперечного се-
чения лежит на упруГом
основании. Балка посере-
дине нагружена сосредо^
точенной силой Р (рИг
VI-7, a). F ‘
Требуется
эпюры р и М.
Дано: Е О=250 кГ/см2-
Ро= 0,3; L = 2/ = 10
b = 1 м\ h = 0,5 м; Е
= 2-106 кГ/см*.
Балку расчленяем на
две равные части (рис
VI-7, б).
Из формулы (1-27, в)
а = —— 38 =
=—1—38 —250-.Х
1—0,32 2 • 105
ХШ3 = 25.
\ 0,5 )
Пользуясь уравнения-
ми (VI-18), имеем
П15Л11 = Х()г[/<,2)-[/1<,,>.
""Я
определения £>15 воспользуемся формулами (VI-27) или
Эпюра M
S
Рис. VI-7
Для
табл. (VI-2).
Из формул (VI-33) имеем
Ио,) = -t/{12) =(НИ+ #„)-£-.
По формуле (VI-28 a)
1
\)2 — I-
Зная величины £)15, Ц(0|), t/f12) и Х02, по уравнениям (VI-18) най-
дем*
М ^12>-^0,)
O16
in н \ р 86155Р/
—11 Л" 13----= 2 252607 — °- 17055Р/.
* Для определения и 012' используем табл. VI-II и VI-12 или
табл. VI-2 [для определения (Нц-{-Н13) и £)16].
222
На рис. VI-7, в построены эпюры р и М. На этих же рисунках пунк-
тирными линиями показаны эпюры р и М, построенные для этой же
балки, но без ее расчленения.
Пример VI-2. Рассчитать вырезанный (b = 1 м) поперечный разрез
ленточного фундамента (рис. VI-8, а). Расчленяя мысленно поперечный
разрез фундамента в местах изменения момента инерции на три отдель-
Р
а)
Рис. VI-8
а)—заданная схема; б)—расчетная схема
ные части и прикладывая в местах разреза соответствующие попереч-
ные силы Уг и Y2, а также изгибающие моменты Л1х и Л12, получим
расчетную схему этого фундамента (рис. VI-8, б).
Рассмотрим частный случай, когда
7-х=== Т-2 ~ 7-з — 7-,
Я — Я — Я — Ч и Чо2 — Tli;< — 1 •
В связи с симметрией конструкции и нагрузки имеем:
Y\ = У2 и Л1Х = М2.
Поэтому вместо четырех уравнений для определения Ух, У2> Afx
и Л12 достаточно использовать только два уравнения.
Пользуясь уравнениями (VI-17) и (VI-18), получим уравнения,
содержащие искомые неизвестные величины:
(Q12 +Q13) Vi + (Q15 -Q16) All = Ф{02);
(7)12 +7>1з) У1+ (7)15-7)16) Ml = ХО277$12) - 77{О1).
223
Решая совместно эти два уравнения, определяем
У1 = У2 и Af1 = Af2.
§ 7. Расчет шарнирно связанных балок,
лежащих на упругом основании
(рис. VI-1OJ*
ГпигПрЛ71,оР У1?' < Дан многостУпенчатый ленточный фундамент
(рис. VI-9, а). Требуется составить в общем виде уравнения для пп
ределения неизвестных сил У,..У, и моментоВ .. , ™4. Расч^
Рис. VI-9
с) — заданная схема
б) — расчетная схема
(VT 1?)ЛИКУ(УВ..™Р“ (РИС- VI'9’ V ”
(212^1 + -Дз^г) + + Ц6М2 = Ф|(02);
— (Й21П + ^22У 2 + £223У3) + £2^! + £225Л12 + £126М3 = ф2(13);
(^31Р2 + + Цз*\) + &3iM2 + П35М3 + £236М4 = Ф3(24>;
— (Фи^З + ^42У4) + ^44^3 + ^45^4 = Ф4<35> J
(О^У, + О)3У2) + + О)6М2 = хо2 - С/(°* >;
— + D22Y2 + D23y3) + D24A1j _|_ £)25ai2 + £)2сЛ1з =
= (/(2з>х1з_(/('.2);
(O3Ir2 +О32У3 4- П33У4) + О34Л12 + DXM3 + O36M4 =U(334} X24 — [Д23>;
- (О41Рз + ад"4) + O44M3 + О45Л14 = [7f 5)z35- /y<34>.
Часто для облегчения конструкции фундамента вместо одного
цельного фундамента постоянного поперечного сечения проектируют
отдельные фундаменты, связанные между собой шарнирами. При
правильном проектировании таких фундаментов можно придать им
наивыгоднейшие размеры, т. е. заставить фундамент работать на мак-
симальную нагрузку и тем самым сделать конструкцию легкой, проч-
ной и экономически выгодной.
Для расчета балок, шарнирно связанных между собой (А40;
д41т..., Мп+1 = 0), необходимо и достаточно использовать уравнения
(VI-17).
Для данного случая эти уравнения упрощаются и имеют вид
£2ИУ0 + П12У1 + П13У2 = Ф}02);
-(£221У, + П22У2 + П23У3) = ФР3);
(VI-59)
(- 1)<п+1> (£2п1У„+1 + £2„2У„ + £2„3У„+1) =Ф<Г‘) (п+1)
Ниже приведены решения ряда практических примеров на опре-
деления неизвестных сил Уо, У1г У2, .... Уп+1. возникающих в шарни-
рах в результате действия одной балки на другую, с использованием
табл. VI-1, VI-3, VI-4, VI-5, VI-6, VI-7 и VI-8.
Пример VI-4. Возьмем две балки, связанные между собой шар-
ниром (рис. VI-11). Каждая из балок нагружена распределенной
нагрузкой.
Дано: ?!= q2= q’, Ьг= L2— 10 м\ br= b2= 1 м; а4= 50, а2= 100;
p(D = 0> р(2)= 0>5
Требуется определить силу Ух, возникающую в шарнире
(рис. VI-11, б)
Решение. Из уравнений (VI-59)
П12Л = Ф$02),
откуда
ф(02)
212
По формуле (VI-38)
Чо2Ь2Ф{2>
’Симвулиди И. А. Составные балки на упругом основании
М.-, «Высшая школа», 1961.
2?1
225
Для нахождения зна-
чения У1 необходимо опре-
делить неизвестные вели-
qjlHbl Т]02, Q12, Ф|П и Ф(2>.
Для определения Q12 вос-
пользуемся формулами
рД-21) и табл. VI-1:
Q12 = (®и + ®1з) +
4* Л 02 (<Т>21 4" ®2з)-
Из табл. VI-1 для oi=
_= 50 имеем:
ь)ц ф- (£>1з — 185,80;
Рис. VI-11
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
ДЛЯ 0,2= 100
<£>21 4- <£>2з = 221,380.
Пользуясь формулой (VI-23) и табл. VI-1, получаем
г, = Лк_ . И_ = _L2° . = о,89.
b2L2 р2 1-10 35,10
Подставляем найденные значения о>ц4- <£>i3, “21+ о>2з и ii02 в форму-
лы (VI-21):
П12= 185,792 4- 0,89-221,380 = 185,792 4- 197,027 = 382,820.
Пользуясь формулой (VI-40) и табл. VI-3, сначала из таблицы на-
ходим значение Ф]0. Для этого из табл. VI-3 для ах= 50 и fl(1)=0 (рав-
номерно распределенная нагрузка по всей длине балки) находим
Ф11’ = 53,008. Из формулы (VI-40)
ФР^ФГ^бз.оов?.
Пользуясь формулой (VI-42) и табл. VI-4, находим значение Ф{2?
Для этого из табл. VI-4 для а2=Ю0 и ₽(2)= 0,5 (нагрузка равномерно
Распределенная и действует на правую половину балки на расстоянии
0,5 L от левого конца) берем значение Ф|2) = — 2,272.
На основании формулы (VI-42)
ф{2) = ф}2) q = — 2,272 q.
Подставляя найденные значения Q12, >]02, Фр и Ф{2) в формулу
Для Fj, найдем
у = -0,89-2,272-53,008 . w _ 550,294 = _ j _
1 382,820 4 382,820
Отрицательное значение означает, что правый конец левой бал-
Ка поддерживается левым концом правой балки силой 1,4409-
227
_______L2=10m______
Рис. VI-12
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
Юм
Пример VI-5. Возьме
ч две балки, связанные MeJ'
ду собой шарниром (D '
VI-12, а).
Дано: L, = L2 = 12 1
b1= b2= I м\ q^. q, ’
45 = 0,21,; Z* = 0,5 L
0.1 = 02= 100. b
Требуется определить
силу Yi в шарнире (РИс
VI-12, 6).
Решение. Поль-
зуясь уравнениями (VI-59)
и (VI-38), имеем
2
У
йха^ФГ
или
у Ф(1<)2> ^М2) ~ Wf’
21г Q12
Из формулы (VI-23)
= _ЬД1_ . pi _ 1 • 10 35,098 = 1 'Я
°2 b2L2 р2 1 - 10 ’ 35,098 “
По формулам (VI-21) и табл. VI-1 для аг= 100
Й12 = 221,380 + 1-221,380 = 442,760.
Из формулы (VI-40) и табл. VI-З для а,= 100; р|,)= 0,2 и fi?n =
Ф1(1) = Ф|° q = (64,271 — 59,656) q = 4,615(7.
Пользуясь формулой (VI-43) и табл. VI-4, для ах = W0;
Р<2) = 0 имеем
ф<2> = ф<2> q = 57,385(7.
Подставляем найденные значенияQ12, т)02, ф(” и ф}2> в формулу для
определения Kj:
у 57^-4.615. ю -Sgr.Zgp ,,91
442,760 442,760 7 7
Пример V1-6. Рассмотрим две балки, связанн ее между собой
шарниром (рис. VI-13).
Дано: Li = 5 м, L2= 10 м; bx= b2 = 1; Р(1) = 100, Р&
= 150 Т; си = аз = 25; ₽(,) = 0,2; ₽(2> = 0,5.
228
Требуется определить
силу У1» возникающую
в шарнире (рис. VI-13, б).
Решение. Пользуясь
уравнениями (VI-59) и
(VI-38), имеем
^С2Ь2бгФ{2) -
Из формул (VI-23),
(VI-44) и табл. VI-1 для
<11= 02= 25
р |Р®
!м Ьм I 5 м 5 м
Рис. VI-13
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
Q12 = (®и + ®13) + t]№ (®21 + со2з) = 168,669 + */2-168,669 = 253,004.
По формуле (VI-44) и табл. VI-5 для сц = 25 и fl01 = 0,2
ф<1> = ф(1) . £() = _ 13 934 . joo .
6x61 1-5
Из формулы (VI-46) и табл. VI-6 для а2 = 25 и |3(2> = 0,5
ф<2> = ф<2) = 46,520 • -
Ьг£г 1 Ю
Подставляем найденные значения т]02, Q12, Ф}* 1’ и Ф[2)в формулу для
определения У у
150 100
0,5 • 1 • 10 • 46,520 -+ 1 • 5 13,934 • -——
у _ _J_____________ 1 10 __________________1 • 5 _
1 ~ 253,004
_ 0,5 - 697,015+ 1393,460 _ 4882,467 = 29 Т
253,004 — 253,004
Пример VI-7. Рассмотрим две балки (погруженные в упругую
среду), шарнирно связанные между собой и нагруженные сосредото-
ченными моментами (рис. VI-14).
Дано: Ьг— b2= 1м; Lx= 10 м, Ь2= Юл«; ai= 0, аг= 200; |3(|) =
= 0,0, р(2)= 1; Л4л = —100 Т-м, Мв= 100 Т-м.
Требуется определить силу Уг, возникающую в шарнире
(рис. VI-14, б).
Решение. Из уравнений (VI-59) и (VI-38)
у ф|02) _
212 212
По формулам (VI-21) и (VI-23) и табл. VI-1 для ах= 0 и = 200
Г, = blL\- . -PL = 1 ' 10 - 27,525_ = 0 6363
102 b2L2 р2 1 • 10 - 43,2574
229
Рис. VI-14
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
Й12 = (“н + ы13) + П02 (“21 + “2з) = 151,994 + 0,6363 297,9252 =
= 151,944 + 189,5698 = 341,5138.
Из формулы (VI-48) и табл. VI-7 для щ = 0 и fl(l> = 0
ф(‘> = ф,(1)._ 206.438 —= 206,438 Т/м2.
1 • 102
По формуле (VI-50) и табл. VI-8 для а = 200 и fj2 = 1
Ф<2) = ф<2> = 159,1949 —=159,1949 Т/м2.
ЬгЦ 1 • 1002
Подставляем найденные значения т|02, Q12, Ф|п и Ф|2) в формул^
для определения
у _ 0,636 • 1 10 159,191 — 1 10 • 206,438
1— 341,5138
101,293 — 206,438 1051,442 о п„с
= ------------- • 1U =----------= —<3,0/6 1 .
341,5138 341,5138
Пример VI-8. Рассмотрим три балки, шарнирно связанные меж-
ду собой (рис. VI-15, а).
Дано: Ьг = 0,5 л; Ь2=\ м\ Ь3=\,Ьм\ L2 — 10 м; L2—5m;
£3 = Ю л; Р(,) = 100; Р<2) = 0; Р(3) = 200 Т; щ = 150; а2 = 100;
а3= 250; ₽(,) = 0,5; 0,3) = 0,3.
Требуется определить силы и Y2, возникающие в шарнирах
(рис. VI-15, б).
Р е ш е н и е. Из уравнений (VI-59)
Й 12^1 +Q 1зГ2 = ФГ;
й 21V1 +й 22^2 ~ Фр3* .
230
/7 1 2 ’ р№ з
L,=Wm К Lj=10m
ф . pl1) Р13)
5 м 5м 1 5 м 1 1 Зм 7м
%
Рис. VI-15
а) — заданная схема
б)—расчетная схема
Решаем совместно эти уравнения:
у а13Ф<13> + а22Ф{02)
2is22i — 22221а
у фГ^ + фР^и
2is22i — й22212
Для определения т)02, His, Q12, Пгз, Q21. Н22 воспользуемся форму-
лами (VI-21); (VI-23) и табл. VI-1:
0,5 • 10 • 39,102 . ,. ,
Пог = . . ' =1,И4;
1 - 5 • 35,098
1 - 5 • 35,098 „
---------------— 0,2463,
1 1,5-10-47,545
Q12 — ((o-jj -|- со13) -}- Пог (M2i "Ь и2з) = 258,757 1,114 • 221,379 =
= 258,754 + 246,616 = 505,370;
й 1з = Пог (ь>21 — (о23) = — 58,460;
Q 21= (ш21 — ®гз) = — 52,478;
Q 22 — (и21 + ь,2з) + П13 (®з1 4“ шзз) — 221,379 4~ 0,246 • 338,883 =
= 227,379 + 83,466 = 304,846;
Q23 = П1з(юз1— ь»зз) = '—0,246 • 51,33 = — 12,6306.
По формуле (VI-38)
ФГ^Пог^гФ^-МаФр;
ФР* = т)1зМ-зФР -Ь2Ь2Ф(22) .
По формулам (VI-44), (VI-46) и табл. VI-5 и VI-6
ф(’> = фр . Z2L = 34,2142 • —;
bih 0,5 • 10
231
ф<2> = ф<2>..£!!1_=о;
b2L2
ф(2)=ф<2)^ = 0;
^2^2
Ф<3> = фр» J^L. = 105,687 • —.
b3L3 1,5 • 10
откуда
ф!02) = п02^2ф!2>-ьл1ф!1> = -0,5 • 10 X
X 34,214----5^— = —3421,40;
0,5 • 10
Фг'3’ = 0,2463-1,5-10-105,687—— = 5201,226.
1,5-10
Подставляем найденные значения П12, й13, й21, П22, Йгз, О’02*
и Ф2'3) в формулы (VI-59) для определения и Y2:
у _ 58,4609 - 5201,226 + 304,846 • 3421,40
1 58,460 • 52,478 — 304,846 505,370 ~
_ 304068,353 + 1043007,912 _ _ 1347076,260 _ _ g 99 7.
3067,934—154060,802 ~ 150992,892 ~ ’
у _ 52,478 3421,40 + 505,370 - 5201,226 _
2 ~ 58,460 52,478 — 304,846 - 505,370 —
= 179550,647 + 2628547,268 _ 2808097,900 _ _ jg 5д
— 150992,892 “ — 150992,892 ~
После определения неизвестных усилий Yo, Ylt Y2, ..., возникающих
в шарнирах, балки освобождаются от связей и свободно лежат на
упругом основании.
При расчете учитывается, что каждая балка, кроме заданных на-
грузок, по концам несет сосредоточенные усилия, возникающие в
шарнирах.
Ординаты реактивных давлений, поперечных сил и изгибающих
моментов определяются по расчетным формулам (П-16), (Ш-12) И
(Ш-13).
Расчет балки, лежащей на сплошном
упругом основании, при одновременном опирании ее
на сосредоточенные опоры*
На практике часто встречаются случаи, когда балка, кроме того,
что она по всей длине опирается на грунт, еще может иметь по концам
или в произвольном месте сосредоточенные опоры.
Предполагается, что балка от грунта не отстает.
232
Ниже рассматриваются такие комбинированные случаи опирания
балки, для которых получены расчетные формулы.
§ 8. Расчет балки, лежащей
на сплошном упругом основании,
оба конца которой опираются
на сосредоточенные опоры (рис. VI-16)
Рассмотрим балку, лежащую на сплошном упругом основании,
оба конца которой одновременно опираются на сосредоточенные опо-
ры. Вследствие этого реактивные давления упругого основания по
концам балки равняются нулю. Поэтому
на левом конце рх=о = 0:
«о— ai+ az— а3= 0;
на правом конце рх L = 0:
«о + а1 “И а2 + аз — 0.
Подставляем значения а0, а1г
а2 и а3 из формул (1-38) в урав-
нения (VI-60):
(VI-60)
Рис. VI-16
с) — заданная схема
б)—расчетная схема
(8252 — 34а) [л + -Д- (Го + Л)] — 13 4405а
b L J )
13 440 + 29а
(5188 + 63а) Гл + -1- (Го + kJ + 13 4405а
3 -------------------------------------
13 440 +29а
Г(2С—Л)+ 1 (1280—а) —8Ма
-3 -Г------------------=!---------------
2048 + а
Г(2С—Л)+ I (384 + а) + 4Na
1 гх bL
(VI-6I)
и
233
(8252 — 34а) | А + -L- (У 0 + У4) | — 13 440Ва
13 440 + 29а
(5188 + 63а) Гд + (Уо + У4)1 + 13 440Ва
4-3-------------1------ь±--------J------------4-
13 440 + 29а
+ 3
(2С — Д) 4- —-----—1 (1280 — а) — 8Na
________________bL J____________________
2048 + а
Г(2С - Д) + Y\r Y° 1 (384 + а) + 4Л'а
4- ю -1----------------!----------------------= 0.
2048 + а
После некоторых преобразований уравнений (VI-61)
получаем
(“и 4- (й1з) -тЛ + (ши — “1з) *77" =
bL bL
=—[((ОцЛ 4- ы12В — СО13 (2С — А) — со14Л/];
(“11 — (£>13) Ls- + (©л 4- со13) =
bL bL
= — [о>иЛ 4- ш12В 4- (О18 (2С — Л) 4- ш14Лг].
Обозначаем Фд и Фв правые части этих уравнений
(Фд = Ф^+,), а Фв = Фк"’) ;
(“11 4- С013) -у- 4- (к»ц — (£»13) —у- — -Фл ;
bL bL
(“и — ®1з) 4т- + (“и + “1з) 44- = — фв
uL bL
(VL62)
и (VI-62I
Я
;
(VI-63)
я
(VI-64)
(VI-65)
(VI-66)
Решаем совместно уравнения (VI-65) и (VI-66) относительно Ко
и Ур
Ко = — ----------[(“и 4- и is) Фд — (©и — а>13) Фв ]; (VI-67)
4соцш13
У t = - ~L - [(<0ц + ®13) Фв - (И„ - ш13) фд ]. (VI-68)
4o>ii“i3
По формулам (VI-67) и (VI-68) можно определить реакции Yo
и Ylt возникающие на балке со стороны опор, установленных по кон-t
нам балки при любой нагрузке, расположенной на ней. После того
как определятся Yo и У1, балка будет рассматриваться как обычна^!
простая балка, лежащая на сплошном упругом основании, нагружен-1
ная, кроме заданных нагрузок, силами Уо и Ylt приложенными по
ее концам.
234
Подставляя найденные значения Yb и Yt в формулы (1-2), (1-38),
(1-39) и (1-40), найдем величину реактивного давления упругого осно-
Бания на балку в произвольном месте, значения поперечной силы
" сечении.
й изгибающего момента в любом
Для иллюстрации ниже
приводим практические при-
зеры комбинированного опи-
рания балки.
Пример V1-9. Балка дли-
ной L и шириной Ь, нагру-
женная одной сосредоточен-
ной силой Р посередине, ле-
жит на упругом основании
п одновременно по концам
опирается на сосредоточен-
ные опоры (рис. VI-17, а).
Требуется определить Y,
Tj и построить
если Р = 100 Т;
b = 1 м; а = 500.
Решение,
формулой (VI-67)
VI-1, VI-5 и VI-6,
о,
эпюру р,
L = 10 м-
Пользуясь
i и табл,
получаем
v bL
т о — —;
+“1з) фл — (“11 — “1з) фв ] =
_________bL________
4 - 258,153 - 312,369
X (570,522 • 9,386 —+
( bL
Ь 54,216-9,386-— 'I =
bL j
= 0,018P.
Вследствие симметричной
нагрузки
1(“и +
Рис. VI-17
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
Уо = У1==0,018Р Т. Рис. VI-18
„ т а) “ заданная схема
1 ШЛЬЗуЯСЬ табл. 111-1, б) — расчетная схема
строим эпюру р (рис. VI-17,6).
Пример VI-10. Балка длиной L и шириной b нагружена одной
сосредоточенной силой Р, приложенной на расстоянии 1Э= 0,3 L от
Левого конца. Эта балка лежит на упругом основании и одновременно
концами опирается на сосредоточенные опоры (рис. VI-18, а).
Требуется определить Уо, Yr и построить эпюру р, если Р = 100 Т;
L ~ 10 лц b *= 1 м, а = 250.
235
Решение. По условию
р = = 0,3.
н L
Пользуясь формулой (VI-67) и табл. VI-1; VI-5 и VI-6, получаем-
Уо =-----——— [(«>н + ®1з) фл — (®и — ®13) фв ] =
4“ц“1з
-----------—----------[338,883 • 105,687 — (—51,33) (— 0, 741)1 х
4- 143,776- 195,106 V М 71 *
X — =------------------[35 815,527 — 38,081] Р =
bL 112 206,631 J
= —0,3188 • 100 = —31,88 Т.
По формуле (VI-68) и табл. VI-1; VI-5 и VI-6
Г, =-----——— [(<ои + (£>13) Фд — (сйп — и18) Фл ] =
4“ц<013
=----П22^ 631 [338,883 (— 0,741) — (—51,33) 105,687] Р = j
= —0,05058 • 100 = —5,058 Т.
Рис. VI-19
с) — заданная схема
б) — расчетная схема
После определения ЕрИ^по табл.
Ш-1 строим эпюру р (pnc.VI-18, б)
Пример VI-11. Балка длиной L и ши-
риной Ь, нагруженная на правой части
равномерно распределенной нагрузкой
q, лежит на упругом основании и одно-
временно обоими концами опирается на
сосредоточенные опоры (рис. VI-19, а).
Требуется определить Yo и и
построить эпюру р, если q = 20 7/л2;
b = 1 м; L = 10 м; 1Н= 0,4; а == 100.
Решение. По условию
р = = 0,4.
r L
Пользуясь формулой (VI-67) и табл.
VI-1; VI-З и VI-4, получаем
^0 — --------- [ (0)11 + 0)1з) Фл --(ШИ Ш1з) Фд] —
4юц Ю13 L >
------—----------[221,379 • 1,964 — (— 52,478) 63,507] q =
4 84,450 • 136,929 1 ' JV
236
= —0,814 • 20 = — 16,290 Т.
По формуле (VI-68) и табл. VI-1, VI-З и V1-4
У1 = — —------- [(“и + ф5 — (“11 — ш1з) фл] =
4“ц ш13 I J
=---------—---------[221,379 • 63,507 — (— 52,478) 1,964] q ==
4 84,450 • 136,929
= — 3,06г? = — 61,20 Т.
Определив У(, и Yr по табл. П-1 и I П-1, строим эпюру р (рис. VI-19).
§ 9. Расчет балки, лежащей
на сплошном упругом основании,
один конец которой опирается
на сосредоточенную опору (рис. VI-20)
Рис. VI-20
Пусть балка, лежащая на сплош-
ном упругом основании, нагружен-
ная произвольными нагрузками, од- =
новременно опирается правым концом ”
на сосредоточенную опору (рис.
VI-20). Для определения неизвест- ["
ной опорной силы воспользуем- у
ся уравнением (VI-64), исключив из
него Уо. Тогда уравнение примет вид
01н (А 4“ —7-') “12^ + ш1з [(2С— Д) + = 0- (VI-69)
\ bL J bL J
Решаем уравнение (VI-69) относительно Yp
Yt =-----------[ш„Д + ш12В + <о13(2С - Д) + ш141У], (VI-70)
“11 + “13
или
У , =-------—Фв. (VI-71)
“11 + “13
Пользуясь формулой (VI-71) и табл. VI-1, VI-3, VI-4, VI-5, VI-6,
VI-7 иУ1-8, можно легко определить Y1 при любом загружении балки.
‘Определив силу реакции Ylt включаем ее в состав заданных сил и
Рассматриваемую балку рассчитываем как балку, лежащую на сплош-
ном упругом основании.
Пример VI-12. Балка длиной L и шириной Ь, нагруженная по
всей длине равномерно распределенной нагрузкой q, лежит на упругом
основании и одновременно правым концом опирается на сосредоточен-
ную опору (рис. VI-21,a).
Требуется определить Yo, YL и построить эпюру р для трех значе-
ний а: а = 0; 300 и 500, если q = 10 Т!м2\ b = 1 м\ L = 10 м.
237
Рис. VI-21
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
Решение. По условию
₽ = 31- = 0.
L
Пользуясь формулой (VI-71) итабт
VI-I и V1-3, получаем: для а = 0
У1 =-----Фв =----------J
“п + “1з В 151.991 *
X 48,775? = — 3,210? = — 32,10 7;
для а = 300
V, - bL (D — 1 10
2 1 “11 + “13 ‘в 381,63 Х
X 76,346? = -2q = — 20 7;
для а = 500
у. bL ф — 1 - 10
1 1 “11 + “13 570,522 Я
X 97,626? = — 1,71? = — 17,10 7. |
Пользуясь табл. П-1 и II1-1, строим
эпюры р для трех значений а (а. = 0;
а = 300 и а =- 500) (рис. VI-21,6).
§ 10. Расчет балки переменного сечении,
иехсегцей на сплошном упругом основании*
Рассмотрим балку длиной L, у которой в произвольном поперечном
сечении момент инерции изменяется скачкообразно (рис. VI-22).
Мысленно разрезая балку в месте изменения момента инерции, полу-
чаем две балки конечной длины и постоянного поперечного сечения,
каждая из которых находится под действием внешних нагрузок Р
моментов, а также неизвестных — поперечной силы Ус и изгибающего
* Симвул иди И. А. Расчет балки переменного сечения, лежа1Ие"
на сплошном упругом основании. III том VI Всемирного конгресса. Канада,
238
пмента Мс- Последние мысленно прикладываются в местах разреза
ь1,;есто отброшенных частей балки.
е Для получения общего решения грунт основания под каждой балкой
отнимается разным и рассматривается как сплошная упругая среда,
для нахождения деформации грунта используется уравнение плос-
кой задачи теории упругости (плоская реформация). Каждая отсе-
Рис. VI-22
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
ченпая балка рассматривается как тонкий упругий брус, деформирую-
щийся по его длине; реакции основания принимаются в виде целой
алгебраической функции третьей степени.
При выводе расчетных формул для каждой балки, кроме условий
равновесия и граничных условий, используются следующие условия
(начало координат первой балки принимаем на левом ее конце, а вто-
рой— на правом)*:
равенство прогибов балки и грунта на левом ее конце;
равенство ординат обеих кривых в середине балки;
равенство площадей, образованных ординатами обеих линий де-
формаций;
равенство третьих производных обеих функций прогибов в сере-
дине балки.
Кроме приведенных контактных условий прилегания балки к
гРунту основания, ставятся условия:
равенство прогибов обеих балок в месте разреза;
равенство углов наклона касательных в месте разреза.
В результате использования этих условий получаются уравнения:
* Если равенство прогибов обеих кривых на левом конце второй балки
заменить равенством прогибов на правом ее конце, то начало координат второй
6алки можно взять на левом ее конце.
239
815Ус + 81вЛ4с = 8,р;
826Ус + 826Л4с = 82р, 01-72)
где Yc— неизвестная поперечная сила в месте разреза;
Мс — неизвестный изгибающий момент в том же месте.
Величины 61Б; 61в; 6 25 и62в, входящие в уравнения (VI-72), зависят
только от характеристики грунта, материала балки и от ее размеров*
Величины 6ip и 62Р зависят как от характеристики грунта, мате
риала балки, ее размеров, так и от вида и величины расположения
нагрузки.
Для определения 615; 61в; 62в; Ь2в; 6 ip и 62Р получены формулы
si5 = + m°3) + (т“ + т°3);
816 = [-7- (4- т22 + 2т23 + т24 + V Ш25 ) ~
— 7" (i т?2 + 2т?3 + < + 4"т?5 )1 >
L/j \ 40 О / J
825 = (^11 + ^1з) -(^22 + d23),
826 = -[Т7 2^13 ^‘®)
+47(^-+2d«+d“+4rd“)]- j
8jp = tqS(2) — S(I),
82P = -[t7(1,+Xt/(2’].
В этих формулах
S'"’ - [т“,Л1"’ + < (2С'"> -Л‘"’)] +
(Vi-73;
д
(VI-74)
Я
1
NM +
L
п
2 I’
/(«)
Ln
- S f f(л> (2) — 3-fZ)3 dz +
/(«)
Ki
+ s M\n} tLn Ц- 2 P™ 1 + — - 2Г")). (VI-75)
' 2! ‘ 3! J 8£„ J '
£/'"> = [dni Л(п) + dn2Bw + dnS(2CW-Aw) + dniN™ + 1
+ d/l5<PLn]bnLn. (VI-76),
* Буквенные обозначения этой главы не связаны с буквенными обозначе-
ниями других глав.
240
ГДС
1
£3
П fM
c(n) f„\ (£д z)a
Дя)
Н1
2!
— 2U7(n)|,
Е<л
£02
7?м
Т?02
Ап}
KL
+ 2 М(£п) (L„ — + 2 Р™
Ч=А₽1_
^2₽2
X = bi £1 Р1
^2 7-2 Рг
т°п1 = (665,643 + 4,796ап + 0,001344а2) (2,048 + 0,001ап);
т°п2 = — (2167,6 + 6,209ап) (2,048 + 0,001 ап) ап;
т®3 = (516,096 + 0,296ап) (13,44 + 0,029ап);
т°п4 = 0,215(13,44 + 0,029ап) ап (2,89 + 0,00624ап) а„;
т°пЪ = 40,32 (13,44 + 0,029ап) (2,048 + 0,001ап) ап-
dnl = (665,643 + 23,89ап + 0,0077а2) ( 2,048 + 0,001 а„);
dnz = — (2167,6 + 15,24ап) (2,048 + 0,001 а„) ап;
2!
dz +
(VI-77)
(VI.78)
dn3 = (516,096 + 0,91ап + 0,000144а2) (13,44 + 0,029а„); j (VI-79)
dnli = (0,215 — 0,00077ап) (13,44 + 0,029ап) ап;
dn5 = 40,32 (2,048 + 0,001ап) (13,44 + 0,029ап) ап.
В формулах (VI-75) — (VI-79) для первой балки п = 1, для второй
балки и = 2.
После совместного решения уравнений (VI-72) для определения
17 и Мс каждую из полученных балок можно рассмотреть и рассчи-
тать как самостоятельную балку конечной длины и постоянного попе-
речного сечения, лежащую на упругом основании и нагруженную,
кроме заданных нагрузок, силой Yc и моментом А4С.
На рис. VI-23 для балки переменного сечения построена эпюра
Реактивных давлений грунта для случая, когда qx = q2 = q\ ai = 25;
= 50; = L2 = £; E01 = Eo2, Et = E2, Ьг = b2\ /ij = 1,26 h2.
Уравнения (VI-72) дают возможность рассчитать большое количе-
ство различных инженерных конструкций, лежащих на грунтовом
ссновании постоянного и переменного сечений, а также и балок, свя-
занных между собой шарнирами.
9-597 241
Рис. VI-23
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
Рассмотрим частный
случай, когда две фунда.
ментные балки связаны
между собой шарниром
Для расчета двух таких
балок необходимо сначала
определить неизвестную
поперечную силу, возни-
кающую в шарнире, и
затем рассмотреть каждую
балку отдельно, независи-
мо друг от друга. Для
этого достаточно в первом
из уравнений (VI-72) ве-
личину Мс приравнять
нулю. Тогда Yc выра-
зится уравнением
YC = ^L. (VI-80)
с 015
Согласно уравнению (VI-80), полученному путем приравнивания
прогибов двух балок в точке их соединения (в шарнире), установлено,
при каких соотношениях величин Д01‘, До2; Д1А1 Д272; bf, b2\ Lt; Lz
и нагрузок расчетные уравнения (V1-59), полученные путем прирав-
нивания реакций под шарнирами, можно рекомендовать для пользо-
вания на практике. Так как рассматривается плоская задача теории
упругости, то отношение длины каждой балки к ширине желательно
брать не больше 7—10 м.
В качестве примера возьмем результаты расчета двух балок, свя-
занных между собой шарниром и опирающихся на разные грунты.
Дано: Lj = 5 м; Lz = 10 м; b± = 1 м; b2 — 1 м; = а2 = 25;
Д1Л = Д2/2; Д01 = 8Д02; Р{" = 100 Т; Р<2) = 150 Т.
Сила Р(1) приложена на расстоянии, равном 1 м от левого конца
первой балки. Сила Р<2> приложена в середине второй балки. а) * * * * * * * *
а) Результаты решения, полученные по уравнении)
(VI-80) (путем приравнивания прогибов)
Поперечная сила, возникающая в шарнире,
Yc = 23,4 Т.
Реактивные давления грунта под шарниром:
справа
р = 13,5 Т/м2,
слева
р = 17,3 Т/м2.
242
Максимальные изгибающие моменты:
под силой
Л4тах = 29 Т • м,
под силой Р<2)
7Итах = 236,9 Т м.
6) Результаты решения, полученные
по уравнениям (VI-59) (путем приравнивания
реакций в шарнирах)
Поперечная сила, возникающая в шарнире,
Yc = 19,7 Т.
Реактивные давления грунта под шарниром:
справа
р = 13,03 Т/м2,
слева
р = 13,03 Т/м2.
Максимальные изгибающие моменты:
под силой Р(|)
Мтах = 29,34 Т м,
под силой Р<2)
Л4тах = 233 Т • м.
В результате решения трех идентичных примеров на рис. VI-24 —
VI-26 построены сравнительные эпюры р, Q и М.
Из приведенных примеров видно, что по формуле, выведенной пу-
тем приравнивания реакций в шарнире, получаются результаты рас-
чета, близкие к результатам, полученным по формуле, путем прирав-
нивания прогибов обеих балок в том же месте.
Если балка, лежащая на упругом основании, каким-либо концом
опирается на сосредоточенную опору, то для определения опорной
реакции также можно воспользоваться формулой (VI-80).
Для примера рассмотрим два случая.
1. Балка правым концом опирается на сосредоточенную опору
(рассматривается только левая балка).
Опорная реакция
у - 21Д = _ 3(1) (VI-81)
1 с 8.. mo + nfi *
16 11 13
2. Балка левым концом опирается на сосредоточенную опору (рас-
сматривается только правая балка).
Опорная реакция
9»
243
Рис. VI-24
-----метод приравнивания реакций pje=L1=Pjr™0; Yc=^»® Т
-----метод приравнивания прогибов Vx=Ll = Чх—О’
а,=300; а,=25; УС = 16,97 Т
Р(^=200 г
Р&=100Т
02Lt
тм М
Lt= 10 м
Lz=Sm
К- од-or eT
Эпюра M
Рис. VI-26
----ыетод прнра ввивания реакций Рх=,/_ =Рх=о:
Yc = —1.064
----метод приравнивания прогибов
П1=а*=200; EOi=l,25EQi; Yc = —1,002 Г
По формулам (VI-81) и (VI-82) получаются заниженные значения
реакций и поэтому в таких случаях рекомендуем пользоваться фор-
мулой (VI-70).
В результате решения большого количества задач установлено,
цто оба метода расчета составных балок на упругом основании можно
широко использовать при расчете ряда инженерных конструкций, свя-
занных между собой шарнирами.
Уравнение (VI-80) можно успешно использовать в том случае,
когда рассматриваются только две шарнирно связанные между собой
балки, лежащие на сплошном упругом основании. Если число шар-
нирно связанных между собой балок, лежащих на упругом осно-
вании, больше двух, то для их расчета надо использовать уравнения
(VI-59). По этому уравнению получаются результаты расчета, близкие
к действительной работе конструкции, при условии, если нет большой
разницы между величинами модуля деформации под каждой балкой и
их длинами Lif L>2, Е3,
ГЛАВА VII
СВАЙНЫЕ РОСТВЕРКИ
(ФУНДАМЕНТЫ)
Свайные ростверки имеют широкое применение в промышленном,
гражданском и жилищном строительстве. Тем не менее до настоящего
времени нет согласованной с практикой теории расчета низких свай-
ных ростверков.
Иногда считают, что грунт, находящийся под основанием роствер-
ка, не участвует в работе поддержания нагрузки, передаваемой от
надземной части сооружения, а всю нагрузку несет свая. В связи с
этим свайный ростверк рассматривают и рассчитывают как простую
или в лучшем случае как неразрезную балку, опирающуюся только на
сосредоточенные опоры. В таком случае расчет дает завышенные зна-
чения как пролетных, так и опорных моментов, что вызывает большой
перерасход арматуры.
На основании экспериментальных работ, проведенных исследова-
тельскими институтами и отдельными учеными, установлено, что в
низких свайных ростверках нагрузка от надземной части сооружения
на грунт передается не только сваями, но и ростверками.
Так, например, М. С. Грутман провел испытание низкого свайного
ростверка при нагрузке 500 Т, получив при этом осадку ростверка
25 мм.
При поддержании этой нагрузки из-под ростверка был выбран слой
грунта, что привело ростверк к дополнительной осадке на 8 мм.
Следовательно, около 25% нагрузки на грунт передавалось через
подошву ростверка.
Экспериментальные работы, проведенные в МИСИ (В. Д. Яблоч-
ков), показывают, что под острием свай и под подошвой ростверка
образуется упругое ядро. Появление упругого ядра под основанием
ростверка свидетельствует о том, что ростверк, так же как и сваи,
принимает участие в передаче части нагрузки от сооружения на
грунт.
В результате полевых исследований свайного ростверка установ-
лено, что нагрузка от сооружения, передаваемая через свайный рост-
верк, может достигнуть 50%.
Таким образом, в низких свайных ростверках грунт под роствер*
ком в пролете между сваями в некоторой степени участвует в поддеР'
жании ростверка, тем самым разгружая сваи.
248
Теоретические исследования автора* подтверждают, что доля учас-
ти ростверка в работе свайного фундамента зависит не только от
качества грунта под его подошвой и под остриями свай, но и от рас-
стояния между сваями в плане, от марки железобетонного ростверка
к его процента армирования, от размеров свай и ростверка, от вида,
величины и расположения нагрузки на ростверке, от вертикального
смещения свай, от общей жесткости всего сооружения.
Правильный учет работы низкого ростверка в работе свайного
фундамента даст возможность установить размеры ростверка, его
процент армирования и распределения арматуры, что является основ-
ным для получения прочной и экономически выгодной конструкции
одно-, двух- и многорядного свайного фундамента.
Проведем теоретические расчеты по определению части нагрузки,
принимаемой сваями и грунтом под ростверком в отдельности.
§ 1. Расчет гибкого низкого свайного
фундамента (ростверка) на несмещающихся
опорах* **
Исследуем совместную работу низкого свайного фундамента с
грунтовым основанием. Для получения общих расчетных формул низ-
кий свайный ростверк рассмотрим как балку переменного сечения,
лежащую на упругом основании, которая одновременно опирается
на ряд несмещающихся сосредоточенных опор (свай), расположенных
на одном уровне (рис. VI1-1, а).
Принимая на промежуточных опорах 1, 2, 3, .... п, п + 1 за лиш-
ние неизвестные изгибающие моменты, путем устройства в опорных
точках шарниров неразрезная фундаментная балка обратится в нес-
колько простых балок. Рассмотрим две произвольно выделенные балки
со смежными пролетами Ln и Ln+1 (рис. VII-1, б).
Если на опоре п мысленно отсечем левую балку пролетом Lh от пра-
вой пролетом £п+1,то получим две балки, на каждой из которых, кроме
заданных нагрузок, по концам действуют неизвестные опорные моменты
Мп-ъ Мп и Л4п+1 и неизвестные опорные реакции Уп-1, Уп; У"п и
Уп+1, заменяющие действия левых и правых отброшенных пролетов
(рис. VII-1, в).
Полученная таким образом расчетная схема дает возможность
каждую из отсеченных балок рассмотреть и рассчитать как простую
балку конечной длины и постоянного поперечного сечения, лежащую
на упругом основании, которая одновременно по концам опирается на
несмещающиеся опоры.
‘Симвулиди И. А. Расчет иеразрезной балки, лежащей на упругом
основании. Известия высших учебных заведений. «Строительство и архитекту-
ра», 1965, № 4.
** Симвулиди И. А. Расчет низкого свайного ростверка. Труды
Седьмого международного конгресса по механике грунтов и фундамеитострое-
нИю. Мексика, 1969.
249
Рис. VII-1
Принимая реакцию под каждой отсеченной балкой согласно урав-
нению (1-2) и выражая нагрузку на каждой отсеченной балке в об-
щем виде через прерыватели Герсеванова, составляем для каждой
отсеченной балки дифференциальное уравнение изгиба*
Д (z„) + 2 г’/(п) М<п) + 2 г'/(п) Р‘п) -
dxL l2i l3i
-r0Mn_1+rLnMn-r0Yn_t-r'LY'n-,
En+Jn+l = 2 Г JX*)’ /=Г+,) M + 2 Г \(„+1) M<"+” +
Mn+l Hl 2i
(VII-1)
+ г Ф+О ₽!"+l1 - г; Mn + mm, - r0 r; -
__r1 Y
L-n+1 1 n+i
и уравнение (1-18) деформации поверхности грунта под каждой балкой-
После четырехкратного интегрирования уравнений (VII—1) в
каждое из них войдет по 12 неизвестных величин (неизвестное
входит в оба уравнения).
* Начало координат обеих балок взято на левых их концах. Положитель-
ные абсциссы направлены вправо, а ординаты — вниз.
250
Для нахождения этих величин кроме вышеперечисленных четырех
условий контакта для каждой отсеченной балки используются еще
дополнительные условия:
а) два условия статики;
б) Два граничных условия по концам балки;
в) вследствие того, что балка является неразрезной (рис. VII-1, б),
касательная к упругой линии у средней опоры п должна быть одина-
ковой для левого и правого пролета, т. е.
C=L„ + = °-
г) в связи с тем, что концы каждой отсеченной балки опираются на
несмещающиеся опоры, реактивные давления грунта в местах рас-
положения сосредоточенных опор (свай) должны быть равны нулю (для
каждой балки получим по два уравнения).
Интегрируя дифференциальные уравнения (VI1-1), выполняя все
вышеперечисленные условия и решая совместно полученные при этом
линейные уравнения, получим теорему о трех моментах для фунда-
ментной балки, лежащей на упругом основании, которая одновременно
опирается на сосредоточенные опоры (сваи)
*(л-1)„ ^л-1 + (*(„_1)л + \п— 1) (n+D ^(„+1,) +
-l” \п—1) (п+1)^п(п+1) ^л+1 = (\n-I) (п+D ^л("+1) 1>П) +
+ (\n-1)(„+1)^("+1,-V<"-1,n)- (VII-2)
Применим основное уравнение (VI1-2). Для этого составим урав-
нения для каждой пары смежных пролетов (как это делается при ис-
пользовании известной теоремы о трех моментах для простой нераз-
резной балки) и затем решим полученные уравнения совместно отно-
сительно опорных моментов Мо\ 7И1; ТИ2, ..., A4n_±; Л4П; 7Ип+1.
Величины /? • R' . R' */? * ТЛЦл+О* 1/(п—Оя
величины - 1)л» Пп(л-Ы)’ An(n+1)’ vn » vn ’
(/(n+on и {/(n-on, входящие в уравнение (VII-2), определяются из
формул:*
^(n-D „ = К^Л1 - #«з) тпа - (Hnl + Нп3) mni + Hn6] -j-; (VII-3)
Я(„_1)п = + Нп3) тп3— (Hnl — HnS) mni + НпЧ] -±- ; (VII-4)
^«(л+1) = [(^п+1) 1 + ^(п+1)з) m(n+l)3 (^+1)1 ^(л+1)з)т(п+1)4 +
+"««,]-г-; (VII-5)
'-n+l
* Для удобства величины LnR{n_ 1)п и in+i^n(n+i) 1СМ- формулы (VII-3)
в (VI1-6)] обозначены LR, а величины Ln R(n^t)n и Rn(n+i) [см. формулы
(VII-4) и (VII-5)] обозначены LR', для которых составлена таблица VII-1.
251
^(„+I) [(^(n+D t ^(л+1)з)т(п+1)3 (^(П-Н) 1 + ^(л+1)з) zn(n+l)4 +
+ ^(п-Н)б] L -
Л-Л+1
V(n—1) п _ С<п—1) п g(n— 1) п R(n— I) п Мп-1) п
п п п п п ’
уп (п-н) _ Сп (л+1) An (n+D Dn (n-J-l) fcn (n-f-l)
n n n n n
Д(п-<)п = (Hni-Hna)mni - (Hnl + mn2-,
8(П-0 n = (Hni _ Hna) mn2 _ (Hni + Hns) mni.
„ _ <ni + ins .
46a'ns
m = ;
4fnlZnS
(VII-7)
VII-8)
(VII-9)
1
тлЧ = ----------
" 26,4 6,3
1
(VII-10)
т^ = 1Г7"
глз
tnl = (0,3207 + 0,002135a„)T„;
In2 = 0,1344an Tn;
tns = (0,0768 + 0,00007an)^;
In4 = 0,00016angn;
-/л2Ж("> -tna(2C{n) -A™)-tniNw] bnLn',
C{n-l}n = [М(л) -/п2Ж<п)+ tn3 (2C<n} -A^)+tniNw] bnL
Для определения величин Я(я+01; Я(п+1)2: - , #(„+i)7.
gn(n-f-l). nn (nfl). (nfl). m • t t 0 Л
n-H ’ on+l ’ Si+1 ’ m(n-H) 1’ ’ m(n+l)4’ l(B+l)l>-> *(п+1)4’ M'
и P„+1 в формулах (VI-29) — (VI-32); (VII-8)-(VII-12) необходимо
всюду заменить n на n + 1.
Величины Hnl, ... , H„7; A^~1,n; ^"~1)n; mni,..., mni', tni,..., tnit
S'n и Pn> как ВИДНО из формул (VI-29) — (VI-32); (VII-8) — (VII-12),
зависят только от показателя гибкости, а величины В(л-|)" и С(п-1),1
—от показателя гибкости, а также от величины, характера нагрузки
и от ее расположения.
Зная Н„.... Нг„ Д'—т„,.................т„; ...
Р/. ЗГ"’: СГ"” - Ч'ж.-.. «ахолим »
^n(n-H) и п0 Уравнению (VII-2) определяем опорные моменты. ’
nt
(VII-11)
(VII-12)
n‘ )
. Л" («+О.
252
Зная опорные моменты, находим опорные реакции:
Гл-, = В'"-0 "-C(nn~I)n тп2 -тпа+ mni-^ ; (VII-13)
У'п = C(ri)nmni-B^nmn2 + mni-^ -тп3 ; (VII-14)
ьл ьл
У/l = ®n+ibl) /П(п+1) 1 ^n+l+ } m(n+l) 2 т(п+1) 3 ~7~
^п+1
+ m,.+r),-^-; (VII-15)
ьл+1
У ____ Гп ("+>) m ___ рП (п+О I Мп
Гп+1 Сл+1 z“(n+l)1 "л т(л+1)2 + т(л+1 4 г
^л+1
-«и» >7“-- (vn-io
ъл+1
Пользуясь полученным уравнением (VI1-2) и формулами (VII-13) —
(VII-16), можно рассмотреть большое количество практических задач
по расчету низких и высоких свайных ростверков и анкерных свай
как постоянного, так и переменного поперечного сечения на неодно-
родном упругом основании, а также однопролетных и одноярусных рам
Таблица VII-1
a Ц t, G LR LR'
0 0,6568 0 1,0322 0 0 0
1 0,66150 0,27539 1,0361 0,0021566 —1 958 —3 581
2 0,66619 0,55104 1,0400 0,0043254 —3 900 —7 157
5 0,68032 1,3796 1,0518 0,010906 —9 638 —17 858
10 0,70394 2,7660 1,0714 0,022120 —18 923 —35648
15 0,72768 4,1590 1,0913 0,033643 —27 887 —53 314
20 0,75151 5,5588 1,1112 0,045472 —36 557 —70 973
25 0,77547 6,9653 1,1314 0,057612 —44 959 —88 622
50 0,89679 14,099 1,2338 0,12292 —83 630 —177 452
75 1,0208 21,400 1,3397 0,19594 —118077 —268 689
100 1,1475 28,869 1,4489 0,27664 —149 540 —363 716
125 1,2768 36,506 1,5615 0,36506 —178 812 —463 465
150 1,4088 44,312 1,6775 0,46116 —206 421 —568 611
175 1,5435 52,285 1,7969 0,56498 —232 735 —679 665
200 1,6808 60,426 1,9195 0,67648 —258 017 —797038
225 1,8209 68,736 2,0456 0,79571 —282462 —921 072
250 1,9635 77,213 2,1750 0,92260 —306 213 —1 052060
275 2,1089 85,858 2,3079 1,0572 —329 384 —1 190 265
300 2,2569 94,671 2,4440 1,1995 —352060 —1 335925
325 2,4076 103,65 2,5836 1,3496 —374 311 —1489260
350 2,5611 112,80 2,7265 1,5072 —396 190 —1 650 477
375 2,7169 122,12 2,8728 1,6727 —417 743 —1 819 775
400 2,8757 131,61 3,0224 1,8458 —439005 —1 997 342
425 3,0371 141,26 3,1755 2,0266 —460 005 —2 183 365
450 3,2012 151,08 3,3319 2,2151 —480 768 —2 378021
475 3,3677 161,07 3,4917 2,4113 —501 315 —2 581487
500 3,5371 171,23 3,6547 2,6152 —521 661 —2793937
253
Таблица уЦ.э
а тп1 тп2 тпз тц4 а(П- 1)П п — 5<л-Ч) л п
0 0,6228 —0,1384 1,0000 1,000 —33 600 —33 600
1 0,61922 —0,13664 1,0140 0,98804 —33 376 —33 881
2 0,61567 —0,13488 1,0279 0,97626 —33 155 —34 160
5 0,60516 —0,12980 1,0680 0,94180 —32 509 —34 976
10 0,58849 —0,12182 1,1331 0,88757 —31 491 —36 279
15 0,57264 —0,11447 1,1941 0,83681 —30 537 —37 514
20 0,55767 —0,10768 1,2517 0,78931 —29 643 —38 689
25 0,54334 —0,10141 1,3062 0,74480 —28803 —39 808
50 0,48141 —0,076142 1,5411 0,55851 —25 275 —44 708
75 0,43152 —0,058295 1,7282 0,41799 —22587 —48 731
100 0,39041 —0,045322 1,8816 0,30924 —20 484 —52 134
125 0,35591 —0,035701 2,0104 0,22338 —18 803 —55085
150 0,32649 —0,028423 2,1204 0,15455 —17 435 —57 691
175 0,30111 —0,022841 2,2158 0,098649 —16 305 —60031
200 0,27899 —0,018497 2,2998 0,052724 —15 360 —62 159
225 0,25951 —0,015082 2,3743 0,014820 —14 562 —64 115
250 0,24226 —0,012381 2,4410 —0,016742 —13 881 —65 930
275 0,22687 —0,010222 2,5013 —0,043147 —13 294 —67 628
300 0,21305 —0,0084799 2,5562 —0,065446 —12 786 —69 226
S25 0,20060 —0,0070734 2,6065 —0,084157 —12 342 —70 740
350 0,18931 —0,0059215 2,6528 —0,099958 —11952 —72 181
375 0,17904 —0,0049936 2,6959 —0,11352 — 11607 —73 558
400 0,16965 —0,0042197 2,7356 —0,12484 —11 301 —74 880
425 0,16105 —0,0035876 2,7726 —0,13438 —11027 —76 152
450 0,15313 —0,0030635 2,8072 —0,14242 —10 781 —77 381
475 0,14584 —0,0026362 2,8400 —0,14933 —10 559 —78 571
500 0,13909 —0,0022743 2,8706 —0,15503 —10 358 —79 726
и других сложных замкнутых систем, полностью или частично погру-
женных в грунт, находящихся под действием произвольных нагрузок.
При расчете низкого свайного ростверка сначала по уравнению
(VI1-2) находим опорные моменты 7ИП; Л4п+1 и затем по форму-
лам (VII-13) — (VII-16) определяем опорные реакции Yn_i, Y'; Y"n
и Уп+1. Здесь
У'П+У"п=Уп.
После нахождения опорных реакций и опорных моментов эти силы
и моменты включаются в состав заданных (известных) сил и моментов
и каждая отсеченная балка рассматривается и рассчитывается как
простая свободно лежащая балка на упругом основании.
Для определения величин тп1, .... mni; tnl,..., /п4; Д^"-1’";
8пП_,)П; ^(П-1)П; ^Мп+» и Яв(п+1) составлены табли-
цы VI1-1 и VI1-2.
В связи с тем, что нагрузки на балках могут быть произвольные —
любого характера (равномерно распределенные нагрузки, сосредото-
ченные силы и изгибающие моменты), то для облегчения определения
величин В,(01); В<12),..., С‘01); С‘12),..., С(п"~Пп составлены
расчетные таблицы VII-3 и VII-4 — для равномерно распределенной
нагрузки; табл. VIП-5 и VI1-6—для сосредоточенной силы.
254
§ 2. Таблица для определения В(пп )п
(равномерно распределенная нагрузка q
на балке, рис. VII-2) (табл. VII-3)
Рис. VII-2
Для составления расчетной таблицы воспользуемся первой фор-
мулой из (VI1-12). Из этой формулы
В(п-п П = л<„) _ Ж(н) _ (2С(п) _ А(п) ) _ tniNw} bnLn =
= Ltd - ₽н) - ~ [2Г£и=0-5 (0,5 - ₽н)‘ - (1 - ₽н)‘ + 1,5 (1 - ₽н)2] -
( 4о
- tns (1 - ₽н) ₽Н - tni [г^0-5 (0,5 - ₽н) - Л (1 - ₽H)2j} q™ bn Ln.
(VII-17)
Обозначая безразмерные величины, включенные в фигур-
ные скобки формулы (V1I-17), получаем
В^п п = В{“~" п q(n} bn Ln. (VII-18)
§ 3. Таблица для определения С(" 1)л
(равномерно распределенная нагрузка q
на балке, рис. VII-2) (табл. VII-4)
Пользуясь второй формулой из (VII-12), имеем
С<пп~" п = kt Л(П) - M(n) + tn3 (2С(Я) - л(п)) + tni Л/(п)] bn Ln =
= Ki (1 - ₽н) - [2r°H=0’5 (°-5 - ₽h)4 - (1 - ₽H)4 +1.5(1- ₽H)2] +
+ tns (1 - ₽H) + tni [Il =0-5 (0,5 - ₽H) —L (1 - Ы} q^ bn Ln.
(VII-19)
Обозначая c*"~1)n также безразмерные величины, включенные в
фигурные скобки формулы (VII-19), получаем
С0-1) П = ^(п-1) П q(n) b„ Ln (VII-20)
255
Равномерно распределенная на
Значения в£п~*)п
п ’ п
₽ 1
а 0 0,1 0,2 0,3 0,4
0 0,65679 0,49822 0,360280 0,24300 0,146350
1 0,65790 0,498602 0,360209 0,242702 0,146048
2 0,65901 0,49868 0,360133 0,242409 0,145746
3 0,66012 0,499373 0,360060 0,242115 0,145444
4 0,66124 0,49976 0,359880 0,241821 0,145142
5 0,66235 0,500143 0,359904 0,241526 0,144839
10 0,66792 0,502070 0,35951 0,240048 0,143328
15 0,67352 0,503996 0,35911 0,238561 0,141815
20 0,67913 0,50592 0,35871 0,237063 0,140300
25 0,68476 0,507849 0,35829 0,23556 1 0,138785
50 0,71322 0,517484 0,35606 0,227883 0,131192
75 0,74215 0,527121 0,35360 0,219972 0,123570
100 0,77156 0,536759 0,35090 0,211825 0,115920
125 0,80146 0,546399 0,34797 0,203442 0,108242
150 0,83183 0,556041 0,34481 0,194823 0,100535
175 0,86269 0,565685 0,34142 0,1859681 0,092800
200 0,89403 0,575330 0,33779 0,1768766 0,085037
225 0,92585 0,588498 0,33393 0,1675491 0,077245
250 0,95815 0,594627 0,32984 0,157585 0,069425
275 0,99093 0,604278 0,32551 0,148186 0,061577
300 1,024198 0,613931 0,32095 0,138150 0,053700
325 1,05794 0,623586 0,316155 0,127877 0,045795
350 1,09217 0,633242 0,311129 0,117369 0,037862
375 1,12688 0,642601 0,30587 0,106624 0,0298999
400 1,16207 0,652551 0,300377 0,095644 0,0219098
425 1,19774 0,662223 0,294652 0,0844269 0,013891
450 1,23389 0,671887 0,28869 0,072974 0,005844
475 1,27052 0,681553 0,282501 0,061285 —0,002231
500 1,30763 0,691221 0,27608 0,049359 —0,010334
256
Таблица VII-3
грузка <z(n) (рис. VII-2)
"<?("’ • bnLn
0,5 0,6 0.7 0,8 o,S 1.0
0,070349 0,014991 —0,019722 —0,033792 —0,027218 0
0,0701981 0,0148759 —0,019764 —0,033769 —0,027174 0
0,070048 0,0147606 —0,019805 —0,033746 —0,0271303 0
0,069898 0,0146455 —0,019847 —0,033723 —0,027087 0
0,069749 0,0145306 -0,0198882 —0,033700 —0,027043 0
0,069601 0,014416 —0,019930 —0,033677 —0,026999 0
0,068868 0,013846 —0,020137 —0,033565 —0,0267834 0
0,068149 0,013280 —0,020346 —0,033455 —0,026569 0
0,067444 0,012720 —0,020553 —0,033347 —0,026357 0
0,066754 0,012164 —0,02076 —0,03324 —0,0261468 0
0,063520 0,009462 —0,021805 —0,03275 —0,025126 0
0,060647 0,0068839 —0,02285 —0,03231 —0,024154 0
0,058136 0,0044306 —0,023905 —0,031923 —0,023233 0
0,055984 0,0021019 —0,024962 —0,031565 —0,022362 0
0,054194 —0,000102 —0,02602 —0,031323 —0,021541 0
0,052765 —0,002182 —0,02709 —0,031106 —0,020769 0
0,051697 —0,004137 —0,02816 —0,03094 —0,020048 0
0,050989 —0,005967 —0,02923 —0,03083 —0,019377 0
0,050643 —0,007672 —0,030313 —0,030790 —0,018755 0
0,050658 —0,009253 —0,031396 —0,030796 —0,018184 0
0,051033 —0,010710 —0,032484 —0,030857 —0,017662 0
0,0517698 —0,01204 —0,03358 —0,309742 —0,017161 0
0,052867 —0,01325 —0,034673 —0,311470 -0,016769 0
0,054326 —0,01433 —0,035775 —0,313755 —0,0163974 0
0,0561448 —0,01529 —0,036881 —0,316596 —0,016076 0
0,0583250 —0,016123 —0,037992 —0,319993 —0,015804 0
0,0608662 —0,01683 —0,039106 —0,323947 -0,015582 0
0,0637682 —0,017417 —0,040226 —0,32846 —0,015411 0
0,0670313 —0,017876 —0,041349 —0,33352 —0,015289 0
257
Равномерно распределенная На
Значения С^п~,,п; С^л~'1>п!а
а Р
0 0.1 0,2 0.3 0.4
0 0,65679 0,684012 0,690586 0,67652 0,641802
1 0,65790 0 685077 0,691672 0,67766 0,643027
2 0,65901 0,686144 0,692759 0,67882 0,644253
3 0,66012 0,687211 0,693848 0,67987 0,645479
4 0,66124 0,688280 0,694937 0,68112 0,646706
5 0,66235 0,689349 0,696027 0,68228 0,647933
10 0,66792 0,694707 0,701489 0,68806 0,654078
15 0,67352 0,70009 0,706973 0,69386 0,660238
20 0,67913 0,70549 0,712478 0,69968 0,666411
25 0,68476 0,710911 0,718005 0,705525 0,672599
50 0,71322 0,738341 0,74595 0,73502 0,703753
75 0,74215 0,766302 0,774455 0,76500 0,735264
100 0,77156 0,794795 0,803485 0,79547 0,767131
125 0,80146 0,823819 0,833052 0,826418 0,799355
150 0,83183 0,853374 0,863156 0,85786 0,831935
175 0,86269 0,883460 0,893797 0,88978 0,864872
200 0,89403 0,914078 0,924975 0,92219 0,898166
225 0,92585 0,945226 0,956689 0,95508 0,931817
Л
250 0,95815 0,976906 0,988941 0,98846 0,965824
275 0,99093 1,00812 1,02173 1,02233 1,000187
300 1,024198 1,041860 1,05505 1,05668 1,034908
325 1,05794 1,07513 1,08892 1,09152 1,069985
350 1,09217 1,108938 1,123316 1,12684 1,10542
375 1,12688 1,143274 1,15825 1,162652 1,14121
400 1,16207 1,17814 1,19373 1,198947 1,17736
425 1,19774 1,213540 1,22974 1,235727 1,21386
450 1,23389 1,249470 1,266282 1,27299 1,250719*
475 1,27052 1,28393 1,30337 1,31075 1,28794
500 1,30763 1,32292 1,34099 1,34898 1,32551
Таблица V1I-4
грузка q™ (рис. VI1-2,
-c(n-nn.qW bnLn
---------------------------------₽
0.5 0,6 0,7 (.8 0.9 1,0
0,586445 0,510444 0,413798 0,29651 0,158577 0
0,587705 0,511855 0,415201 0,29769 0,159301 0
0,588964 0,513268 0,416605 0,29888 0,160026 0
0,590226 0,514681 0,418009 0,300068 0,160732 0
0,591487 0,516095 0,419416 0,301256 0,161478 0
0,592748 0,517510 0,420823 0,302446 0,162206 0
0,599056 0,524596 0,427876 0,308410 0,165854 0
0,605369 0,531703 0,434957 0,314403 0,169522 0
0,611687 0,538831 0,442068 0,32043 0,173208 0
0,618010 0,545979 0,449207 0,32648 0,176914 0
0,649695 0,582023 0,485333 0,35716 0,195731 0
0,681500 0,618577 0,522176 0,38855 0,215027 0
0,713426 0,65564 0,559736 0,420660 0,234803 0
0,745472 0,693215 0,598014 0,453483 0,255058 0
0,777639 0,7312976 0,637010 0,487021 0,275793 0
0,809926 0,769890 0,676723 0,521273 0,297006 0
0,842333 0,808992 0,717153 0,55624 0,318699 0
0,874860 0,848604 0,758301 0,59192 0,340872 0
0,907508 0,888726 0,800166 0,628316 0,363524 0
0,940276 0,929357 0,842748 0,665425 0,386656 0
0,973164 0,970497 0,886048 0,703249 0,410266 0
1,00617 1,012148 0,930065 0,741787 0,434357 0
1,03930 1,054307 0,974800 0,781040 0,458927 0
1,070551 1,096977 1,020252 0,821007 0,483976 0
1,105921 1,1401558 1,066421 0,861688 0,509504 0
1,139411 1,1838444 1,113309 0,903084 0,535512 0
1,173020 1,2280426 1,160913 0,945193 0,562000 0
1.20675 1,2727504 1.209235 0,988018 0,588967 0
1.240602 1,317968 1,258274 1,031557 0,616413 0
259
Таблица VII-5
Сосредоточенная сцла Значения р(п) (рве. VII-3) д(П-1)П _ 3<П-1)П . р(п) п
0 0.1 0,2 0.3 0.4 0,5 0.6 0,7 0.8 0,9 1.0
0 1,68899 1,48255 1,27611 1,069967 0,863232 1 0,65679 0,45035 0,24392 0,03748 —0,16896 —0,3754
1 1,69758 1,48845 1,27945 1,07074 0.862429 0,65575 0,44972 0,24316 0,037006 —0,16887 —0,37469
2 1,706186 1,49436 1,28280 1,071798 0,861621 0,654709 0,44908 0,24239 0,036534 —0,16878 —0,37381
3 1,714801 1,50027 1,28615 1,07286 0,860808 0,65366 0,44845 0,24164 0,03606 —0,16868 —0,37302
4 1,72343 1,50619 1,28950 1,07392 0,859990 0,65252 0,44782 0,24088 0,03559 —0,16859 —0,37223
5 1,73206 1,51211 1,29285 1,074976 0,859168 0^65157 0,44719 0,24012 0,035120 —0,16850 —0,37143
10 1,77538 1,54182 1,30965 1,08024 0,854981 0,646314 0,44410 0,23636 0,03277 —0,16806 —0,36750
15 1,81893 1,57167 1,32649 1,08546 0,850674 0,641026 0,44108 0,23264 0,030428 —0,16762 —0,363591
20 1,86273 1,60166 1,34337 1,090638 0,84624 0,635703 0,43813 0,22894 0,028093 —0,16720 —0,359711
25 1,90677 1,63180 1,36030 1,09577 Я 0,841692 0,630347 0,43525 0,22529 0,02577 —0,16679 —0,35586
50 2,13060 1,78460 1,44566 1,120812 0,817112 0,603070 0,42192 0,20752 0,014255 —0,16491 —0,33702
75 2,36046 1,94097 1,53218 1,14478 0,78949 0,57496 0,41037 0,19060 0,00294 —0,16332 —0,31888
1
100 2,59636 2,10089 1,619857 1,167689 0,75883 0,54602 0,40058 0,17455 —0,00817 —0,16202 —0,30144
125 2,838302 2,26437 1,708699 1,189530 0,72512 0,51625 0,3926 0,15936 —0,01908 —0,16102 —0,28470
150 3,086278 2,43141 1,798702 1,21031 0,68837 0,48565 0,38632 0,14502 —0,0298 —0,16031 —0,26866
175 3,340291 2,60201 1,889869 1,23001 0,64859 0,45421 0,38184 0,13155 —0,0403 —0,15989 —0,25332
200 3,600342 2,77616 1,982197 1,24866 0,60576 0,42195 0,37914 0.11894 —0,0506 —0,15976 —0,23868
225 3,86643 2,95387 2,07569 1,26624 0,55989 0,38885 0,37820 0,10718 —0,0607 —0,15993 —0,22474
250 4,138556 3,13514 2,17034 1,28275 0,51097 0,35493 0,37904 0,09628 —0,0707 —016038 —0,21150
275 4,416719 3,31997 2,26615 1,29819 0,45902 0,32017 0,38165 0,086246 —0,0804 —016113 —0,19896
300 4,700920 3,50836 2,36313 1,31257 0,40402 0,28458 0,38603 0,07707 —0,0899 —016217 —0,18712
325 4,99116 3,70030 2,46127 1,32589 0,34599 0,248156 0,3922 0,06875 —0,0992 —0,16351 —0,17598
350 5,28743 3,89579 2,56057 1,33814 0,28491 0,210904 0,40010 0,061289 —0,1083 —0,16514 —0»16555
375 5,58975 4,09486 2,661029 1,34932 0,22079 0,172820 0,4098 0,05469 —0,1172 —0,16705 —0,15581
400 5,898098 4,29747 2,762653 1,35944 0,153627 0,133906 0,4213 0,04894 —0,126 —0,16926 —0,14677
425 6,212486 4,50365 2,865439 1,36849 0,08342 0,094159 0,43449 0,04406 —0,1344 —0,17177 —0,13843
450 6,532912 4,71338 2,969387 1,376474 0,01018 Л 0,05358 0,44950 0,04004 —0,1428 —0,17456 —0,13079
475 6,859374 4,926668 3,074497 1,38339 я —0,0661 j 0,012173 0,46628 0,036879 —0,1509 —0,17765 —0,12385
500 7,191876 5,14352 3,180769 1,'38925 —0,1454 —0,03007 0,48483 0,034574 —0,15884 —0,18103 —0,11761
261
260
Сосредоточенная сила р
Значения С*п—On.
___________П е
а
0 0.1 0,2 0,3 0,4
0 —0,3754 —0,16896 0,037478 0,243917 0,45036
1 —0,3746 —0,16887 0,037006 0,243155 0,44972
2 —0.3738 —0,16878 0,036534 0,242395 0,44908
3 —0,3730 —0,16868 0,036062 0,241636 * 0,44845
4 —0,3722 —0,168592 0,035591 0,240878 0,44782
5 —0,37143 —0,168502 0,035120 0,240122 0,44719
10 —0,36750 —0,168056 0,032770 0,236362 0,444102
15 —0,36359 —0,167621 0,030428 0,232636 0,441082
20 —0,35971 —0,167198 0,0280935 0,228944 0,43813
25 —0,35586 —0,166787 0,025767 0,225287 0,43525
50 —0,33702 —0,164907 0,014255 0,207516 0,42192
75 —0,31888 —0,163318 0,00294 0,190605 0,41037
100 —0,30144 —0,162022 —0,00817 0,174552 0,40058
125 —0,2847 —0,161018 —0,0191 0,159359 0,39256
150 —0,26866 —0,160307 —0,0298 0,145026 0,38632
175 —0,2533 —0,159888 —0,0403 0,131551 0,38184
200 —0,2387 —0,159760 —0,0506 0,118936 0,37914
225 —0,22474 —0,159926 —0,06074 0,107180 0,37820 я
250 —0,21150 —0,160383 —0,07066 0,09628 0,37904
275 —0,19896 —0,161133 —0,08037 0,08625 0,38165
300 —0,18712 —0,162174 —0,08989 0,077067 0,38603
325 —0,17598 —0,163509 —0,09921 0,068748 0,39218
350 —0,16554 —0,165135 —0,1083 0,061289 0,400104
375 —0,15581 —0,167054 —0,11724 0,054688 0,409798
400 —0,14677 —0,169265 —0,12596 0,048947 0,421262
425 —0,13842 —0,171768 —0,13448 0,044065 0,434497
450 —0,13079 —0,174563 —0,1428 0,040042 0,449503
475 —0,12385 —0,177651 —0,15092 0,036879 0,466280
500 —0,11761 —0,181031 —0,15884 0,034574 0,484828
262
Таблица VII-6
(рис. VI1-3)
?(Л-1)П =c<n-l)n.p(n)
________2_________
0.5 0.6 0,7 0,8 0,9 1.0
0,65679 0,65575 0,654709 0,863232 0,862429 0,861621 1,06967 1,07074 1,0718 1,2761 1,27945 1,2828 1,48255 1,48845 1,49436 1,68899 1,69758 1,70619
0,65366 0,65252 0,65157 0,86081 0,85999 0,85917 1,0729 1,0739 1,0750 1,2861 1,2895 1,2929 1,50027 1,50619 1,51211 1,7150 1,7234 1,73206
0,646314 0,641026 0,635703 0,85498 0,85067 0,84624 1,0802 1,0854 1,09064 1,3096 1,3265 1,3434 1,54182 1,57167 1,60166 1,77538 1,81893 1,8627
0,630347 0,603070 0,57496 0,84169 0,817112 0,78949 1,09577 1,12081 1,14478 1,3603 1,4457 1,5322 1,63180 1,7846 1,94097 1,90677 2,13059 2,36046
0,54602 0,51625 0,48565 0,75883 0,725121 0,68837 1,16769 1,18953 1,21031 1,61986 1,70870 1,79870 2,10089 2,26437 2,43141 2,59636 2,83830 3,08628
0,45421 0,42195 0,38885 0,64859 0,605757 0,55989 1,23001 1,24867 1,26623 1,88987 1,9822 2,0757 2,60200 2,77616 2,95387 3,34029 3,60034 3,86643
0,35493 0,51097 1,28275 2,1703 3,13514 4,13856
0,32017 0,28458 0,248156 0,45902 0,40402 0,34599 1,29819 1,31257 1,32589 2,26615 2,36313 2,46127 3,31997 3,5084 3,7003 4,41672 4,70092 4,99116
0,210904 0,172820 0,133906 0,094159 0,28491 0,22079 0,15363 0,08342 1,33813 1,34932 1,38944 1,36849 2,56057 2,66103 2,76265 2,86544 3,8958 4,0949 4,29747 4,50365 5,28743 5,58975 5,898098 6,21249
0,05358 0,012173 —0,03007 0,01018 —0,0661 —0,1454 1,37647 1,38339 1,38925 2,96939 3,0745 3,18077 4,71338 4,926667 5,14352 6,53291 6,85937 7,191876
263
§ 4. Таблица для определения
(сосредоточенная сила расположенная
в произвольном месте по длине балки,
рис. VII-3) (табл. VII-5)
Для составления расчетной таблицы пользуемся первой формулой
из (VII-12). По этой формуле
В^~1)п = К, А(п) - tn2 Ж(в) - tnS (2CW - Л(п)) - tniNw] х bnLn I
= К* ~тН 2Го’=0'5 (°’5 - ₽з)3- (1 - Рз)3 + 4- (1 - ₽з)] -
— ^3(2₽з — 1)-^[Г₽*=°-5.1-(1-рз)]} Pw . (VII-21)
Обозначая в^~Г)п безразмерные величины, включенные в фигур-
ные скобки формулы (VI1-21), имеем
п _ g(n-i) П р(п) * (VII-22)
§ 5. Таблица для определения С("-1)п
(сосредоточенная сила Р(л), расположенная
в произвольном месте по длине балки,
рис. Vll-З) (табл. VII-6)
Для составления расчетной таблицы воспользуемся второй форму-
лой из (VI1-12). По этой формуле
n = [tni - tn2 ж(п) + tn3 (2С(">-Л(Я)) + tniW(n)] bn Ln =
= Ь1 ~ it [2Г°’=0,5 (0,5 “ ₽з)3 -(1 - ₽з)3 + -4(1 ~ Рз)] +
+ tn3 (2P3 - 1) + tnt [Г₽’=°-5 1 - (1 - ₽3)]} P(n). (VII-23)
Обозначая C(nn—1) ” также безразмерные величины, включенные в
фигурные скобки формулы (VI1-23), получаем
С(п-1) п = g(n-I) П р(п) (VII-24)
264
§ 6. Расчет однопролетных балок,
лежащих на упругом основании
Рассмотрим однопролетную балку АВ постоянного поперечного
сечения с двумя жестко закрепленными концами, лежащую на упру-
гом основании и нагруженную произвольной нагрузкой q. Опреде-
лим в общем виде опорные моменты и опорные реакции.
Пользуясь уравнением (VII-2), имеем
«лвМ, + RMM„ =и\т +Г]-“>;
ЛЪ. + R.B "ч. = - + гГ’)
(VII-25)
Зная нагрузку, действующую на балку, и показатель гибкости а
при использовании формул (VI-33); (VII-3) — (VII-7) или формул
(VI-33); (VII-7) и табл. VI-1; VI-5 —VI-8; VII-1 — VII-6 и решая
совместно уравнения (VI1-25), найдем значения величин МА и Мв.
После определения значений величин Мд и Мв по форму-
лам (VII-13) и (VII-14) находим опорные реакции YА и YB:
Ул = В'°"т„+^;
(VII-26)
YB = C<01> m12 + m14 .
Зная нагрузку, действующую на балку, значения величин MA-t
Мв’, Ya и Yв, легко можно построить эпюры р; Q; М и у.
Если нагрузка на рассматриваемой балке какая угодно, но сим-
метричная, то вследствие симметрии нагрузки и конструкции (балки)
МА = Мв и Ya = YB.
Поэтому для данного частного случая из уравнений (VII-25) и
(VI1-26) получаем
+ у(дв)
В АВ + ВАБ
МА = мв =
Ya = Yb = В\01) (ти — m12) + (mM — т13) .
(VII-27)
По формулам (VII-27) можно легко определить опорные моменты
и реакции на балке постоянного поперечного сечения с двумя заде-
ланными концами, лежащей на упругом основании, при любом симмет-
ричном ее загружении.
Рассмотрим случай, когда балка постоянного поперечного сечения,
лежащая на упругом основании и нагруженная произвольной нагруз-
кой, одним концом жестко заделана, а другим свободно опирается на
сосредоточенную опору. Допустим, что левая опора А имеет жесткую
заделку.
265
Требуется определить опорный момент М. 4
и Ув-
Из уравнения (VI1-2)
+ И"1
или
^(АВ) + у(АВ)
МА =—------------•
РдВ
и опорные реакции
|
Я
(VII-28)
Пользуясь формулами (VII-13) и (VII-14), получаем
(VII-29)
По формулам (VII-28) и (VII-29) можно определить МА, YA и Yв
при любом загружении балки, заделанной одним концом и другим сво-
бодно опирающимся на сосредоточенную опору.
Рассмотрим случай, когда балка, нагруженная произвольной на-
грузкой, лежащая на упругом основании, свободно опирается на
сосредоточенные опоры, т. е. МА=МВ=О.
Тогда из формул (VII-26) или (VII-29) имеем
YA=B^mil-C^mi2-,
YB=C^mu-B^mit.
(VII-30)
Если нагрузка симметричная, то
(VII-31)
§ 7. Расчет свайного ростверка (фундамента),
имеющего на концах консоли
На практике возникают случаи, когда один или оба конца свайного
ростверка имеют консоли. Рассмотрим случай, когда свайный ростверк
имеет консоль на левом конце (рис. VII-4, а).
Для того чтобы заданную конструкцию привести к удобному для
расчета виду, предлагается на опоре А мысленно отсечь консоль от
основной части конструкции и заменить ее соответствующими усили-
ями МА и РА (продольная сила на изгиб мало влияет и поэтому ее не
учитываем).
Для определения МА и РА используем условия
Px=t, = 0; Ух=1, = о.
266
°)
hl, l j ,_
'л )—*~?—t—17
________v -_________.________*_________..________n+1
lo
L П+!
Рис. VII-4
a)'— заданная схема; 6) — расчетная схема
взамен отбро-
(VII-32)
(VII-33)
В результате использования этих условий в общем виде получим
значения опорного изгибающего момента Мл и опорной силы РА,
приложенных на левой опоре основной конструкции
шенной консоли (рис. V1I-4, б):
~(А) л а0 “(Л) О
Рзл УА—-— Уза Ра
м. =-------7—2--------------;
7(Л)7<Л) — о(Л>7(Л)
РЗА У2А Р2А Уза
-(А) „О _ -(А) „О ао1’о
У2А Ра P2A у А—J------
р __L ____________________
А 1о ' 7<Л)7(Л> — п(Л)Т(Л> ’
0 РзА У2А P2A Уза
где
+ + (VII-34)
а0 *0 ’ !
А + + (VII-35)
Входящие в формулы (VII-32) — (VII-35) величины уАА, у{^\
^2л*> Рза и т- д‘ определяются по соответствующим таблицам (глав
II—V).
После определения значений величин МА и РА дальнейший рас-
чет производится путем использования уравнения (VII-2) и фор-
мул (VI-33); (V1I-3) — (VII-7); (VII-13) — (VII-16).
В случае если свайный ростверк на обоих концах имеет консоли,
для определения Мв и Рв (на правом конце) можно также использо-
вать формулы (VII-32) — (VI1-35) при условии, если в них соответ-
ственно всюду заменить А на В, 10 на 1’0, а0 на а0, io на 10' и Ьо на Ь'о.
Расчет свайных фундаментов в основном производят на прочность,
т. е. на действие поперечных сил и изгибающих моментов, величины
267
Из
YB
Рис. VII-5
a) — заданная схема; б) — расчетная схема
и/ У* Yi Y'z
которых в целом зависят
от величины и закона рас,
пределения реактивных
давлений грунта на фун.
дамент (ростверк).
Зная максимальные
значения поперечных сил
изгибающих моментов й
закон распределения реак-
тивных давлений, легко
можно определить размеры
и процент армирования
свайного фундамента.
Поэтому во всех ниже-
приведенных примерах
окончательный расчет сводится к построению эпюр реактивных дав-
лений грунта р, поперечных сил Q и изгибающих моментов М.
Пример VII-1. Дан трехпролетный железобетонный свайный рос-
тверк постоянного поперечного сечения, лежащий на однородном уп-
ругом основании и нагруженный равномерно распределенной нагруз-
кой (рис. VI1-5, а).
Требуется определить опорные моменты и опорные реакции
(рис. VII-5, б).
Дано:
Lt= L2= L3= L = 5 м; Eo= 250 кГ/см\
Е = 2- 10s кПсм2\ р0= 0,35;
Ь2== б3\ h - 0,5 м.
Решение. Пользуясь уравнением (1-27) имеем
1 2500 [ 5 \3 сл
а ------------•------ ----1 «50.
1 — 0,0352 2-108 у о,5 )
В связи с симметрией конструкции и нагрузки Л12= Принимая
также во внимание, что концы ростверка свободны от закрепления,
получаем Л1о= М3= 0.
Пользуясь уравнением (VI1-2) для определения неизвестных
опорных моментов Л1Х= М2, достаточно составить одно уравнение
(«0. + я;2) М, + Rl2 м2 = (k02 и™-и™}+ .
Решаем это уравнение относительно Мг= М2:
м± = м2 = (^^(12)-0О1)) + (^И12)-ИО1)) _
(^01 + ^'02 ^|2) + '“02 ^12
По формуле (VI-28 а)
^-02 = 1-
268
Пользуясь формулами (VII-3) — (VII-6) или табл. VII-1 для зна
чеНия а = 50, найдем
Я01 = — 177 452 у-; R'l2 = — 177 452 -L ;
Т?12 = —83630-U
Для определения C7j01> пользуемся формулой (VI-33). Входящие
в формулу (VI-33) величины Л(|>; Ж(1) • (2С(|) ^(|)); А(|) и
определяем из формул (VI-5) — (VI-16); (VI-35) — (VI-37)
Л(,)=о; С1” =—; К(|)=—Г(|)=—;
ч’ 2 2 384
Д(1) =---А(,)=0; 2С(1) — Л(1) = 0;
640
Ж(,)=-^?;
384
ф<” ф' г =---
Р 24 YjT=l< 24
Подставляем найденные значения Л(1>; Ж<!); (2С(1) —Л(1)); N(r> 1
Ф(Д; К(1) и в формулу (VI-33):
Аналогично
1/<12> = — (н21 + — Я22 — — Н25\ qbL.
1 \ 384 2 24 /
Поэтому для рассматриваемого случая (из-за симметрии нагрузки
и конструкции) имеем
[У<12) —1/‘°” = — 2 + — Hi2----------— Н J qbL.
02 1 1 I и 1 384 24 /
Пользуясь формулами (VI-29) или табл. (VI-2) для значения
а. = 50, находим
Нп = 17 428; Н12= 236 856; Н15 = 649 873.
Тогда
Хо, U\l2) — U\°' > = — 2 (17 428 + -5- • 236 856-— 649 873^ =
02 1 1 \ 384 24 )
= 2 6566qbl = 13 132 qbL.
По формулам (VII-12)
^01> = lziM(1) — ЛгЖ(1> — ^з(2С(1) — Л(1)) — /14А(1)] bL =
269
Пользуясь табл. VII-1 или VII-3 для а = 50, получаем
В<°'> = (о,8968 —14,0986^6/ = 0,7132 gbL.
Вследствие симметрии нагрузки и конструкции
В(°1) = С(О‘)= 07132 qbL.
Подставляя значения Д*01) иб{01) из формул (VII-8) в форму,
лы (VII-7) и пользуясь табл. VII-2, получаем
у(Ш) = _ 2В\01} /п12) = — 2 • 0,7132 X 17428(0,4814 ф
+ 0,0761) qbL = — 13859,61 qbL',
V<12> = _ у{01> = 13859,61 qbL
\йИ’2) — = 27 718 qbL.
Тогда
лд __ лд 13 132 -f- 27 718 qbL 40 830 > г.
/Vij — ГЛ 2--------------------------------------------qbL2 —
— [177 452 + 177 452-f-83 630]-1— 438 283
= — 0,09316 ^L2.
Пользуясь формулами (VII-13) — (VII-16), найдем:
У„ = + «..-£ = В<»" +
+ = [0,7132(0,4814 + 0,0761) + 0,5585 X 0,09316] qbL
= 0,397609 — 0,05202986 = 0,346 qbL',
у; = 0,7132 - 0,5575 + 1,5411-0,0932 = 0,397609 + 0,14363 =
= 0,541 qbL'
У; = 0,397609 + 0,0932-0,9826 = 0,397609 + 0,09157 = 0,489 qbL',
Ух = у; + у; = 0,887 qbL',
У2 = У' + у; = 0,887 qbL',
У3 = 0,346 qbL.
После определения опорных моментов Мг = Л12 = —0,09316 qbP-
и опорных реакций
Уо = 0,848qbL', Y{ = 0,541 qbL', Y\ = 0,489qbL.
270
Г' = 0,489 qbL-, Y"2 = 0,541 qbL\ Y3 = 0,346 qbL
c помощью табл. П-1; П-2; П-З; Ш-1; Ш-2; III-3; IV-1; IV-2 и IV-3
можно построить эпюры p, Q и M.
Пример VII-2. Составим уравнение опорных моментов для че
ТЬ1рехпролетного свайного ростверка постоянного поперечного сече
Рис. VI1-6
ния, лежащего на неоднородном упругом основании, нагруженного
равномерно распределенной нагрузкой q (рис. VII-6, а).
Дано:
200; аз= 300 и а4= 500;
— ^*1— ^"2—
. . — = 0,0846;
Ео2 43,25 8
43,25 2
ai= 25; а2=
61= 62= 63= be
По формулам (VI-28a)
7 _&i Li p'oi
ло2 — j ;
^2 P 02
Xl3 =-------. —
3 51,99 3
Пользуясь уравнением (VII-2), имеем (рис. VII-6, б):
(^02 + + \)2 /?12 ^2 = (>-02 ^,2> - t/J00) + (Z02 - If ”)
я12 Mt + (я;2 + x13 т?23) м2 + х13 /?23м3 = (Х13 и™ -д<|2)) +
+ (x13vr-^I2));
^3 м2 + (Я23 + Х24 м, = (Х24 -1/<23>) + (Х24 V<34> - V^).
271
Подставляя в эти уравнения значения 7?31, ... , 7?^; L'J01',
(Д34); V'011... V'34’ из табл. VI-2; VI-9; VI-10; VII-1; VII-2; VIL3 ’
VII-4 и формул (VI-52); (VI-54); (VII-18); (VII-20) получаем
— (88 622 + 0,0846 • 797 038) Mj — 0,0846 - 258 017 М2 =
= [(x027/1(12,-t/1(01)) + (x02v{12,-v<01,)]£;
— 258 017 Mj — (797 038 + 0,555 • 1 335 925) М2 — 0,555 X
X 352 060 М3 = [(Х13 U™ —+ (Х13 if3» — if2’)] L;
— 352 060 М2 — (1 335 925 + 0,438 • 2 793 937) 7И3 =
= [(Х24 tf4» - С/*23’) + (хм vr - if3’)]
где
1/}01)= (Ян + — Т/12---------- Я J qbl = (8534 + — -58 508 —
1 I 11 1 QRA ОЛ 13 I 4 I 1 ЧЙЛ
------300 952^7..
24 /
_ 1/‘12’ = — [ни + — Я22-------— Н J qbL =
1 2 \ 21 384 24 )
= —(18 660 н—— . 4 060 643---------- • 3832 232^ qbL\
\ 384 24 /
tf 3) = — if3’ - — IЯ31 + — Н32-------— Н J qbL =
2 3 3 384 32 24 )4
= — ( 127 380 + — . 9542 873-------— • 7 097512^ qbL-,
384 24 /
7 7<34) _ (н I 5 И . 1
^3 - ^41 + 384 «42
= —(245366 4-—^— • 28765 901
у<‘,,) = С(01)8(01)_£(01)д(01) = Д---
1 11 11 \ 384
= (0,7755-----. 6,9653j (28 803 — 39 808) qbL;
24
5
24
1 • 16 792095^&L;
/i2)x(гr,-Д!,,1,) qbL^
V(>2) = _ у(12) = С(12) д(,2> _ В(12) s(12> = J /а2) х
X (Д^12) — 8<12)) qbL = (1,6808---А- 60,4262^ (62 159 — 15 360) qbb
272
И23’ = - И23) = Cf> Д<23) - В™ 8'23’ = (f31-------5-132\ X
z 0 <э 0 0 0i о* 3S4 /
x (лГ’— ^)qbL=(2,2569— 94,6714^(69 226—12 786) 9Ы.;
V(34) = C(34) д(34) _ £(34) 8(34) = ( L x ^(34) _ g(34>) =
= f3,537 Г----A- • 171,2256')(79726— 10 358)^6/.
Решая составленные уравнения совместно, найдем значения ве-
личин^!, Л12 и Л43.
§ 8. Расчет анкерных шпунтовых стен
и частей сооружений, работающих
в одинаковых с ними условиях
Пример VII-3. Дана шпунтовая стена (с анкерными закрепления
ми по глубине) переменного поперечного сечения, находящаяся под
действием горизонтальной силы (рис. VI1-7).
Требуется составить уравнения для неизвестных опорных момен-
тов Л4В; Мс и MD и опорных реакций Ул; Y’B\ Y"c; Y"c; Y'D;
yD и Ye.
Грунт по глубине принимаем
неоднородным. Поэтому допуска-
ем, что модуль деформации грунта
в местах установки анкеров по глу-
бине скачкообразно изменяется.
Прежде чем составить уравне-
ния опорных моментов и опорных
реакций, необходимо мысленно
разрезать стенку на уровне по-
верхности земли в сечении А и при-
ложить к оставшейся нижней ча-
сти в сечении А соответствующие
усилия:
М =Р h и Р =РК.
После отсечения верхней части
(консоли) получаем четырехпро-
летную конструкцию на упругом
основании, нагруженную в сечении
4 заранее изгибающим моментом и
сосредоточенной силой.
Рис. VII-
с) — заданная схема
б)—расчетная схема
1С—59
Пользуясь уравнением (VII-2), имеем:
К'вс) Мв + Чс *вс мс = - (1/Г’ + ^’);
Rbc М 1 + (*ВС *BD RCD) МС "Ь 'аС RcD Md = 0;
RcD МС + (RcD + Г'СЕ Rde) MD = 0.
Из формул (VI-33); (VII-7) и (VII-12)
и(™> = (^+2Я'8+н * - v) Т±~;
\ 16 6 / lab
v(^ = c}01) .8|01‘_в|0“л}0,),
где
(VII-361*
сГ = _^_2/13_^)2^-.
Не 13 14 J lab
Значения величин д{01) иб!01) найдем по формулам (VII-8) или из
табл. VI1-2 при соответствующих значениях показателей гибкости
0L1J (12» &3 И G-4-
Из уравнений (VI1-13) — (VI1-16)
Уо = — C|0I)m12 —mls M
Мв
Lab ^-лв
YB = С'"’> - «»> т„ + т„-^-----------
lab L^
Mr
«24 7—;
ьвс
Mr
t^23
h n
YB= —m23-—
LBC
Ус =
LBC
п Л4
Ус = «33
lcd
Mr
Yd = mSi---
lcd
+-«34
LBC
MD
^CD
Mn
«337—
lcd
• Первое уравнение из (VII-36) для данного случая можно представить *
в таком виде:
&АВ МА + (Ялв + ^АС &вс) Мв + Lac Мс = 0.
274
v” \r ^£)
— tn 43 — ; Y E = ты —-,
lDE bDE
где
YB = Yb + Ув; Yc=Yc+Yc; Yd = Yb + Yd.
Для нахождения mu; m12; /п44 пользуемся формулами (VI1-9);
(VII-10) или табл. VII-2.
После нахождения опорных моментов и опорных реакций можно
строить эпюры р; Q; М и у.
Предложенный метод расчета шпунтовых стен применим и для рас-
чета свай на горизонтальную нагрузку, если будет учтена сила (тре-
ния) бокового сопротивления грунта на сваю (пространственная рабо-
та сваи).
Для учета бокового сопротивления
грунта на сваю достаточно модуль де-
формации грунта взять больше дейст-
вительного. Модуль деформации грун-
та целесообразно установить экспери-
ментальным путем.
Пример VII-4. Дана свая постоян-
ного поперечного сечения с анкерны-
ми закреплениями, нагруженная гори-
зонтальной силой (рис. VII-8). Требу-
ется составить уравнения для неизвест-
ных опорных моментов и опорных реак-
ций. Модуль деформации грунта по глу-
бине принимаем разным.
Прежде чем составить уравнения для
опорных моментов, сначала необходимо
сделать мысленно разрез сваи на уро-
вне поверхности грунта в сечении А,
определить неизвестные усилия и затем
приложить их к оставшейся части кон-
Рис. VI1-8
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
струкции.
В связи с тем, что в сечении А нет анкерного крепления, необходимо
мысленно сделать разрез и в сечении В.
Для определения усилий в сечении В используем формулы
(VII-32) — (VII-35).
Зная усилия Мв и Рв по уравнению (VI1-2), составляем искомые
уравнения:
(Rbc + ^-bdRcd) Мс + ^bdRcdMd = —(U[BC> Д-
Rcd Me + (Rcd + ^ce Rde) Mb — 0.
(VII-37)*
• Первое уравнение из (VII-37) для данного случая можно также предста-
вить в виде
RbC Мд + {RbC + ^BD Rcd)Mc + ^BD ^CD =
10»
275
Пользуясь формулами (VI-33); (VII-7) и (VII-12), найдем
\ 16 6 у Lbc
У[ВС) = В{01)^01)-С[0'Ч{01\
где
Д12
~~ ( -JT + 2t13 + *И
\ lb
Мв
LBC
V lb J
^BC
Рис. VI1-9:
a) — заданная схема
б) — расчетная схема
Значения величин Д <°*> и6<01> берем из
табл. VI1-2 или определяем по формулам
(VII-8).
Опорные реакции определяем как в
предыдущемЧпримере.
Пример VII-5. Дана свая с четырьмя
закрепленными анкерными связями, на
которой на'уровне земли в сечении А дей-
ствует изгибающий момент МА (pHC.VII-9).
Требуется определить Мг = Мв, Mz—Mc •
Дано: Еп= 25 кПсл?\ Ео2=200кГ/см\
Eos= 500 кПсм*-, 0.1=25; аг = 200; as=
=500.
По формуле (VI-28а)
, 29,36
02 — 43,25
. 43,25
3 71,19
— = 0,0849;
200
— = 0,243.
500
Пользуясь уравнением (VII-2), имеем:
(%| + \)2^12^2 —
Т?12 + (^?12 + ^13 ^2з) Л12 = 0,
(VII-38)*
Первое уравнение из (VII-38) можно представить в виде
Л0| + (l?oi "Ь \>2 ^12) Mi -|- Х02 /?12 Л4г =0.
276
где
U[m> = 109 444-^-;
,n,. /6,9653 \
B‘0I> = — — + 2,2626 + 0,0576 1 = —(0,4353 + 2,3202) =
= —2,7555-^-;
C}0I) = — — 2,2626 — 0,0576 ) = 1,8849 ;
y<«n = _(£(<») д<01) _c(ong(oU) = _(2>7555.288o3 +
+ 1,8849 • 39808)-^- = — (79366,6665 + 75034,0992) =
Мл
= — 154390,7657—^—;
tf0 + y<0I> = — 44 947 .
Пользуясь табл. VII-1, VII-2, VII-5 и VII-6, получаем:
— (88 622 + 0,0849-797 038) MY— 0,0849-258 017 M2= —44 947 MA,
258 017 Mi+ ( 797 038 + 0,243-2 793 937) M2= 0.
Решаем совместно эти уравнения:
ЛД= 0,2946 Л4Л;
М2= — 0,0515 МА.
Пример VII-6. Дана прямоугольная с жесткими узлами рама
ABCD, нагруженная по верхнему ригелю CD равномерно распреде-
ленной нагрузкой q (рис. VI1-10).
Требуется определить узловые моменты и построить эпюру момен-
тов для всей рамы.
Дано:
Т^= В = 4 м\
/х= ^2= Л= Л= I,h = 0,25 лг,
F — F — F — 1 95
0(АС) ~ 0(CD) ~ ^O(BD) ~
Находим:
кг/см?-, Е0(АВ) = 250 кг! см2.
оо 1—0,167s
“ас ~ “со — “во — —j _0 32-
250
1 —0,167s
АВ= 1—0,3s
0,000135 I 4
0,25
4 \3
. —) «200.
2,1 10» \ 0,25 )
2,1 105
,з
= 0,0001;
277
Пользуясь уравнением (VII-2), имеем:
Rba Mb + (Rba + IbcRac) Ma -J- У вс Rac Me = 0;
Rac Ma + (Rac + KwRcd) Me + ^ad Rcd Md =
= *MCD) +V(2cd>).
Используя табл. VI-1, VI-2, VI-11, VI-12, VII-1, VII-2, VIL3 и
VII-4, формулы (VI-52), (VI-54), (VII-18) и (VII-20), а также решив
уравнения относительно узловых моментов, получим
МА = Мв = 0,0181 pL2; Мс = MD = 0,04674 qL2.
1)
D
0,04874-gl2 0,08674- qLz
0,011 qI2 3
I 0,028qL2
; ^^ггГГПТПТттД
В
0,0181 qL2 0,01 81 qL2
Рис. VII-10:
a) — заданная схема
б) — эпюра моментов
После определения узловых моментов рама становится статически
определимой и легко можно построить эпюры р, Q и М (рис. VII-10).
Пример VI1-7. Дана прямоугольная с жесткими узлами подзем-
ная рама ABCD (рис. VII-11).
Рис. VI1-11
Рис. VI1-12
278
Требуется составить уравнения для определения узловых момен-
тов:
Rba + (Rba + ^-bcRac) + Уве Rac Л4с = 0;
Rac Ма + [Rac + Уао R'cd) Me + ^AdRcdMd = Лдо {U(2CD>+ V(2CD>).
Благодаря симметрии рамы и нагрузки
Мв — Ма и Мс = Мд.
Решая совместно эти два уравнения, найдем узловые моменты, пос-
ле чего рама становится статически определимой и легко можно по-
строить эпюры р, Q и М.
Пример VII-8. Дана многоугольная симметричная подземная
рама (рис. VI1-12).
Требуется составить уравнения узловых моментов.
Пользуясь уравнением (VI1-2), имеем:
Rba Mb + (7?вл + УвеRac) Ма + Уве Rac Мс = — (U\BA) + Vf"4);
Rac Ma + (7?лс + ^-ло Rcd) Me + Уао Rcd Md — 0;
Rcd Me + (Rcd + Усе Rde) Mo + Усе Rde Me =
= Усе(1Лое +уГ>);
Rde Mo + (Rde + ^-.овДев) ME + Уор Ref Me =
= yDF(u<4EF> + v(4EF>) - (u<DE) +
В этих уравнениях из-за симмет-
рии нагрузки и конструкции
Мв = МА и МЕ = Мр,
Решая совместно эти уравне-
ния, найдем неизвестные узловые
моменты.
Пример VII-9. Дана подземная
П-образная рама с шарнирно за-
крепленными концами А и В (рис.
VII-13, а, б).
Требуется составить уравнения
узловых моментов в общем виде и
Решить их.
Для рассматриваемого случая
Уравнение имеет вид
(Ддс + Уао Rcd) Мс + Уао Rcd Md =
= УАВ^+У(1СО)).
Рис. VII-13
279
В связи с тем что, MD~ Мс,
м = м _ +
Рас + *ad + (^cd + Rcd)
Зная Мс и MD, можно построить эпюры р, Q, М и у.
Полученное решение дается в общем виде для любого показателя
гибкости, и поэтому оно применимо как для рамы, показанной на
рис. VII-13, а, так и для рамы, показанной на рис. VII-13, б.
§ 9. Расчет низкого свайного фундамента
(ростверка) на смещающихся опорах
Уравнение (VI1-2) получено из условия, что ни одна свая, входящая
в состав свайного фундамента, не имеет осадку. В зависимости от ха-
рактера, величины и расположения нагрузки на фундаменте, от разме-
ров, количества и расположения свай в плане, от вида конструкций
и жесткости свайного фундамента и надземной части сооружения,
а также от грунтовых условий все сваи или часть из них могут иметь
определенные осадки.
Осадка свай вызывает увеличения нагрузок на ростверке и его
осадку, а иногда и деформацию надфундаментной части сооружения.
Уравнения (VI-17) — (VI-20) позволяют учитывать совместную
работу свай, ростверка, грунта под ростверком, вокруг свайного
ствола и под остриями свай.
Поэтому по ним также можно рассчитать и свайный ростверк как
на несмещающихся, так и на смещающихся опорах.
Рассмотрим однопролетный низкий свайный ростверк с произволь-
ной нагрузкой (рис. VII-14, а).
Совместную работу грунта, ростверка и свай приблизительно
можно представить по схеме (рис. VII-14, б). Под действием внешней
нагрузки на концах ростверка над головками свай, кроме сил Yi
и У2, также возникает пара сил, стремящаяся оторвать концы роствер-
ка от головок свай. Моменты этих пар обозначим Мо и М3.
Определим реакции опор Ух и У2.
Пользуясь уравнениями (VI-17), (VI-19) и (VI-20), имеем
Й12^ + 213Г2 + 214М0 = Ф}02); |
- (D21 Yt + fi22 У2) 4- П26Л43=Ф213); J
^-н^у. + ^м^о-
-(^з1-^зз)^ + ^Л13 = 0.
L3
(VII-39)
(VII-40)
Подставляя значения й12; Qi3; fi2J; й 22; Н26; •••'. Н3ч из
л,ормул 0^'21); (VI-29) и (VI-30) в уравнения (VII-39) и (VII-40)
® решая их_совместно относительно У4 и У2 получаем
[(“21 + “22) + IlS “в! Ф[°2) + 1)02 (“21 - “2з) Ф2*3*
[(“11+“1в)+1)в2(“21+“2з)+“7][(“21+“2з)+1113“в]-Дог(“2Г-“2S)Я (\.ТЦ /Ц)
[(“11+“1з) + 11вг(“21 + “2з)+ “?1 Ф213> + (“21 — “2з) Ф|°2)
V ----- —------------------------------------------------------,
2 [(“11+“1з)+’1вг(“21+“2з)+“? ][( “21+“23) +'’113“sl ^(“и-*“2з)2
где
(ч I Нц — ^13 \
“ы—“is)—z—— ;
\ “17 /
®8 = [ (“81 + “зз) — (®36 — “35) — 1 ~~ И33)
L “37
Ь2^Р2^’
^2 ^2 р2
^JP3
(VII-42)
(VII-43)
Рис. VI1-14
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
В формулах (VI1-43) Р(£> и Р^) — несущие способности свай под
левым и правым концами свайного ростверка; и jR” — норматив-
НЬ1е сопротивления грунта под концами ростверка.
По формулам (VII-41) можно определить давления, оказываемые
°ДНопролетным ростверком на сваи, расположенные по концам рост-
ВеРка при произвольном его нагружении, независимо от значения
величины показателя гибкости а.
280
281
1
(Vll-44j
Рассмотрим ряд частных случаев. Свайный ростверк нагруж
одной сосредоточенной силой Р, расположенной посередине роств/4
ка, и равномерно распределенной нагрузкой по всей длине ростверк"
В обоих случаях для определения и У2 используем формулы (VlI-4 nZ
Из этих формул имеем:
При действии сосредоточенной силы
Ф<2>
Yt = Y2 =----------------!-------------Р(2).
(“11 + “1з)(“21 + “2з) , „
--------------------Ь 2<о21
"°23
При действии равномерно распределенной нагрузки
ф(2>
Yt = Y2 =-----------------------------
(“11 + “1з)(“21 + “2з) . „
--------------------+ 2<ом
2“гэ ЧоЗ
j
qf2} b2L2.
(VII-45)
Рассмотрим случай, когда pf, р2; b2, L2, R” и Р” сохраняют постоян-
ные значения, Р<£} и Р<&) стремятся к бесконечности, т. е. сваи под
нагрузкой не имеют вертикальных смещений.
В данном случае на основании формул (VII-43) т]02 стремится к
бесконечности. Тогда формулы (VII-44) и (VII-45) примут вид
Yi = Y2 = Р<2>; (VII-46)
2(1)21
ф<2)
Л = Л = -^- q™b2L2. (VII-47)
2“з1
В данном случае по формулам (VI1-46) и (VI1-47) опорные реакции
Y± и Y2 определяются из условия, что ни одна опора не смещается.
Зная силу Р, q и показатель гибкости, найдем значения Ух и У2-
Рассмотрим случай, когда несущая способность свай стремится
к нулю (сваи забиты в очень слабом грунте).
В этом случае на основании первой формулы из (VI1-43) величи-
на т]о2 также стремится к нулю и тогда из формулы (VII-45) следует
Ух= У2-> 0. В этом случае имеем обычный ленточный фундамент на
сплошном упругом основании (без свай).
Из вышеприведенных частных случаев видно, что доля нагрузки,
передаваемой ростверком на сваи, зависит от характера и располрже-
ния внешней нагрузки и от значения величин Рсв , Рн и а.
Рассмотрим общий случай (рис. VII-15, а) однопролетного низкого
свайного ростверка с жестко закрепленными концами и с произвольной
нагрузкой (предполагается, что концы ростверка под нагрузкой не
поворачиваются, но могут иметь вертикальные смещения).
Пользуясь уравнениями (VI-17) — (VI-20), имеем (рис. VII-15, о)'
282
Рис. VII-15
а} — заданная схема;
б) — расчетная схема
Й11УО+Й12Г1+Й13Г2+ ф/02’;
—(И 2iKi+ й 22У г+йгз^7 з)+Н 24^1+ S225A42+£226A13==O213^;
#11^0+^12^1+О)3У2 +#14+^о4+154/11Ь D16/H2=X02t/j12> —
-- (#21^1 + #22^2+ D23Y3) + £>24^++ /?25-Л^2+ D2e М3=
= л13#2<23,-иГ;
((on+ to18) +0+ ( ®п+ (о13) Л—(о>15 +
+ “ю) ~~ + (“is — “ю) у^ =
<•1 L1
(“з1 - “зз) У2 + (“31 + “зз) У3 + (“35 - (VII’48)
---“зб) ~ -(“з5 + “зб)“ — О-
ь3---------ь3
(Я1Х + н13) Yo + (Яи - Н13) Ух + Я17 у* +
Ь1
+ Я1в^ = 0;
(^31 - Язз) У 2 + (^31 + ^зз) У3 + 36 +
ьз
+ я37^- = о.
Подставляя значения величин Qu, Qi2, ...,й2в; Dllt ..., D^; к(02),
Л('3): т)01 и т)13 из формул (VI-21) — (VI-30) в уравнения (VII-48)’
11 Решая их относительно неизвестных сил Y0, ..., Y3 и моментов Мо,
283
Л43, найдем их значения. После нахождения вышеназванных вдЯ
вестных можно строить для ростверка эпюры р, Q, М и у.
Рассмотрим двухпролетный свайный ростверк (рис. VII-16 Q1
Пользуясь уравнениями (VII-17) — (VII-20), получаем
(рис. VII-16, 6):
И цПо+ £2 12^1+ И 13Р2+ И 14-М0"Р £2 15^1+ £21 6^2 = Ф1°2\
— (£2 21Н1+ £2 22Р2+ £2 23Рз) Н- £2 24+1 +
+ £2гэЛ12_1-£22бЛ^з= Ф1‘3);
£2 31Г2+ £2 32+з+ £2 33Y 4+ £234^2+ £2 35^2+ £2 36^4 = Фз24);
-(£2 41Рз+242Г4+24зГБ)+а44Мз+ £2 45М4+ £2 46Л45= ф{35);
DnY0 + + О13У2 + П14/И0 + Г>15М1 +
+ D1GM2 = X02H{12) — Ui01);
--- '.^21Y1+ D22Y2-Y D23Y3) + Z)24^1+ П25Л12+
+ г>2бМ3= *13^23) —t412);
D31Y 2+ П32У 3+ D33Y 4+ Оз4Л42+ Z)35Af3 +
+ n36M4= х24пГ - пГ;
— (^41^3+^42^4+7)43У5) + Z)44A13+Z)45Af4+П46Л16 — (VII-49
= X35t/<45>-H<34>;
(®и+ (O13) Уо+ (<ои+ со13) Yt— (со15 +
I \ ! / \ Г\
+ °>ic) — + (W15 — W16) — = 0;
Z-l Li
(”’з1 шзз) ^2 "Р (w3i Ч" шзз) Y3 + (<i>35
— °>зб) ---(°>35 + °>зб) -г- = 0;
^3 ^3
(Нп + ЯИ)УО + (Ни - + Н^ +
+ Я16^ = 0;
(HS1 - H^Y2 + (Я81 + HW)Y3 +
+ #зб—+#37—= 0.
1 *JO г 1 О * J
Ь3 ^3
Подставляя значения й12) ..., £24в; #12. #4б‘> ’Чох» •••• 'HssJ
.... #37; *oi... *35; Ф{02), Ф<35); Ц<12>.+<45)
284
из формул (VI-21) — (VI-33) в уравнения (VII-49) и решая их отно-
сительно неизвестных сил и моментов, найдем долю нагрузки, пере-
даваемую ростверком на сваи.
Рис. VII-16
о) — расчетная схема;
б) — заданная схема
Действуя аналогично при использовании уравнений (VI-17) —
(VI-20), можно составить уравнения для любого числа пролетов рост-
верка при любом закреплении его концов.
ГЛАВА VIII
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРЕНА ЖЕСТКИХ
ЛЕНТОЧНЫХ ФУНДАМЕНТОВ,
УЧЕТ ВЗАИМНОГО ВЛИЯНИЯ БЛИЗКО
РАСПОЛОЖЕННЫХ СООРУЖЕНИЙ НА ИХ КРЕН
И РАСЧЕТ ОГРАЖДАЮЩИХ КОНСТРУКЦИЙ
НА ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРЕНА ЖЕСТКИХ
ЛЕНТОЧНЫХ ФУНДАМЕНТОВ
Многочисленные натурные наблюдения позволили установить,
что величины крена зданий в поперечном направлении всегда в
несколько раз больше, чем в продольном. Поэтому при проектировании
зданий, особенно в условиях слабых грунтов, необходимо назначать
их размеры так, чтобы предполагаемый крен зданий был допустим.
В том случае, когда через фундамент на основание передается
внецентренная нагрузка, фундамент наклоняется в сторону наиболее
нагруженного ребра.
Для определения угла поворота в любом месте прямоугольного
фундамента любой жесткости, находящегося под действием произ-
вольной нагрузки, получена формула (V-2).
На практике часто встречаются случаи, когда необходимо опреде-
лять крен отдельно стоящего эксцентрично нагруженного прямо-
угольного жесткого фундамента.
§ 1. Формула для определения крена,
внецентренно нагруженного произвольной
нагрузкой жесткого ленточного фундамента
(рнс. VIII-1)
Подставляя значение а = 0 в формулу (V-2), получаем формулу,
по которой легко можно определить угол наклона основания жесткого
фундамента с горизонтом при любой внецентренной нагрузке, распо-
ложенной на фундаменте:
286
Шшжжшлжгтпаж
Рис. VIII-1
tge = 2(1~lxo)
7C EB
(VIII-1)
Из формулы (V-l) для a = 0 имеем:
С1 = -£(2С-Л);
Оз=-^(2С-Л).
(VIII-2)
Подставляем значения величин аг и а3 из формул (VIII-2) в фор-
мулу (VIII-1):
1 —р?
tg6 = 1,99---—(2С — Л),
Ео
или
(VIII-3
I — Нп
tgе « 2---— (2С — Л).
Входящие в формулу (VIII-3) величины Л и С определяются из
формул (I-П) и (1-14).
По формуле (VII1-3) можно находить угол наклона основания жест-
кого фундамента с горизонтом при любой внецентренной нагрузке
расположенной на фундаменте.
§ 2. Формула для определения крена,
внецентренно нагруженного сосредоточенным
грузом жесткого ленточного фундамента
(рис. VIII-2)
Пользуясь формулами (1-11) и (1-14) и учитывая, что на фундамент-
ную балку внецентренно действует один сосредоточенный груз, имеем:
л____Р г____ __ Р . j». — _Р_ я
~ bL ' ~ bL? bL L bLPs
287
и
Рис. VIII-2
2С-Л = (2₽,-1).-*-.
Подставляем найденное значение (2С — Л) в формулу (VIII-3):
|ев«2-^-(2₽,-|) Л. (VIII-4)
По формуле (VIII-4) можно определить крен эксцентрично нагру
женного сосредоточенным грузом прямоугольного фундамента.
Формуле (VIII-4) можно придать другой, более простой вид
удобный для пользования. Для этого достаточно выразить р3 чере:
эксцентриситет е.
Из рис. (VIII-2) видно, что q
, L е l3 1
е = /3-^-или — =-f-------г,
или
2“Г=2Т- I = 2₽а — 1,
т. е.
2₽e— 1 =2^-.
Поэтому в формуле (VIII-4) выражение 203— 1 заменяем величи-
ной 2-^-. Тогда
или
tg6-4 1 -“Sr- (VHI-5)
Пример VIII-1. Дан прямоугольный в плане жесткий фундамент
(рис. VIII-3, а).
Требуется определить ожидаемый крен фундамента от действия
на основаниеЗвнецентренной нагрузки.
Дано: полная нагрузка, приведенная к сосредоточенной силе.
Р = 376 Т, которая приложена в точке В с эксцентриситетом е =
=0,25 м. Даны также Дор =318 кПсм\ ро=0,3, L = 2,5 м и b = 7,5 м.
288
Р-376Т
Рис. VIII-3
Решение. Пользуясь формулой (VIII-5), имеем (рис. VI11-3, б):
tgO« 4
1 —Но
Ев
Ре . 1 — 0,3»
-----= 4---------—
Ы? 3180
376 0,25
7,5-2,5*
« 0,0023.
По методу Лалетина для данного примера получаем tgO = 0,0024,
т. е. результаты расчета близко совпадают.
§ 3. Определение модуля деформации
грунта опытным путем*
Одной из основных характеристик грунта является модуль дефор-
мации Ео. В настоящее время существует ряд методов определения
модуля деформации грунта, из которых наиболее распространенными
являются метод определения по данным компрессионных испытаний
и метод определения по данным испытаний грунта жестким штампом.
Метод определения модуля деформации грунта по данным компрес-
сионных испытаний дает слишком заниженное значение, а метод оп-
ределения жестким штампом не всегда можно рекомендовать, особен-
но при расчете упругих фундаментов.
’Симвулиди И. А. Расчет балки на упругом основании без приме-
нения гипотезы Винклера — Циммермана. «Метрострой», 1936, № 4.
289
Для определения значения величины модуля деформации груНТа
под основанием упругого фундамента рекомендуется проводить поле-
вые испытания не жестким штампом, а упругой балкой, которые за.
ключаются в следующем.
На дно котлована, вырытого для устройства фундамента, кладем
швеллерную балку определенной длины и номера (полками верти-
кально), которую посередине нагружаем сосредоточенным грузом (п0
способу испытаний грунта пробной нагрузкой).
Для определения модуля деформации достаточно знать размеры
балки и ее стрелу прогиба от нагрузки.
Длину балки подбираем так, чтобы балка имела достаточную
жесткость, при которой ее концы не будут отставать от грунта. Для
определения необходимой длины балки используем условие
Сц+ az О, (VII1-6)
т. е.
8252 + 71 а + 3 (5188 — 42 а) > О (VII1-7)
или
пЕорЬЬ3 23816
а~ £/(!-$ --аГ
и
3<г 23816 El(l — р2)
55-3,14 ’ Еор-Ь •
откуда
,3 Г £/( 1 — р.2)
L <5,161/ ------1 , (VIII-8)
Для того чтобы концы испытуемой балки не отставали от грунта,
ее длина должна быть не более 5,16 А, но и не менее 3,42 Д, т. е.
3,42 A <L<5,16A, (VIII-9)
где __________
(vn,id
EI — жесткость испытуемой балки;
L — длина испытуемой балки;
b — ширина испытуемой балки;
ро — коэффициент Пуассона грунта;
Дор— ориентировочный модуль деформации грунта.
При определении длины L необходимо заранее ориентировочно за-
даться величиной модуля деформации грунта, немного завышенной
по сравнению с той, которую предполагается получить из испытаний-
Зная жесткость, длину и стрелу прогиба балки от нагрузки, опре-
деляем модуль деформации грунта. Чтобы определить стрелу проги-
ба, рассмотрим балку шириной Ь, нагруженную в середине сосредо-
точенной силой.
290
По условию задачи для того, чтобы балка от грунта не отставала,
прогиб балки и осадка грунта при х = -^-должны быть равны между
собой, т. е.
fe = frp. (VIH-11)
где /о — прогиб балки;
/гр—осадка грунта.
Величина /б, полученная опытным путем из полевых испытаний,
на основании условия (VIII-9) должна равняться величине /гр.
Из формулы (V-25)
/б = -ёЙ; (- 525а0 - 98а2 + 840 (VIII-12)
Подставляем значения aQ и а2 из формулы (V-23) в форму лу (VIII-12):
f aL ( 525 (4125 + 91а) ,
'6 ~ 81 л£0 ( 13440+ 38,5 а +
, 98-3(9315 52,5а) олл) ? рптт
+ ---13440 + 38,5 а-84°] МГ ‘ (VIII-13)
Решая уравнение (VIII-13) относительно Ео, получаем формулу,
по которой опытным путем можно определить модуль деформации
грунта:
£0 = (1,31-£-111,11, (VIII-14)
где Р — сосредоточенная сила, приложенная в середине испытуемой
балки.
§ 4. Учет взаимного влияния близко
расположенных сооружений на их крен
Проблема изучения взаимного влияния близко расположенных
сооружений на их крен представляет большой практический и науч-
ный интерес.
Многочисленные натурные наблюдения и испытания наглядно по-
казывают, что построенные близко друг к другу здания или сооруже-
ния оказывают значительные влияния на перераспределения реак-
тивных давлений грунта под основанием фундаментов. Это вызывает
неравномерные осадки фундаментов и в целом зданий или сооружений,
а вследствие этого их перекос с наклоном друг к другу.
К настоящему времени накоплен обширный материал по натурным
наблюдениям за осадками и кренами элеваторов и других крупных
сооружений, свидетельствующий о том, что при проектировании и
строительстве комплексов зданий и сооружений необходимо учитывать
наличие влияния близко расположенных соседних сооружений.
Ниже изложен метод учета взаимного влияния близко расположен-
ных сооружений на их крен.
291
Рассмотрим две одинаковые балки Л и А2В2, изолированные дпЯ
от друга, а также от всех посторонних воздействий. Если эти балк
лежат на грунтовом основании и нагружены одинаково симметрично1
то они имеют одинаковые симметричные эпюры реактивных давлений
грунта в случае их расположения в одинаковых условиях на одинако-
вых однородных грунтах. Такие балки крена не имеют.
Рассмотрим теперь случай, когда эти же балки лежат на грунтовом
основании впритык по одной прямой, т. е. правый конец первой бал-
ки и левый конец второй балки А2 сливаются в одну точку С. Дав-
ления на грунт под точкой С оказывают одновременно как балка АГВ
так и А2В2. В результате совместного действия обеих балок подточкой
С ординаты реактивных давлений грунта увеличиваются.
Поэтому для сохранения равновесия между заданными силами
и реактивными давлениями грунта происходит плавное перераспре-
деление реактивных давлений грунта под обеими балками, постепенно
уменьшаясь под крайними их концами.
Описанное выше взаимное влияние двух близко расположенных
балок приблизительно можно осуществить приложением в точках
и Аг фиктивных моментов MBl и Мд2 (если балки жесткие, то моменты
можно приложить в произвольных местах балок). Значения величин
этих моментов должны быть подобраны так, чтобы они давали такие
же изменения в реактивных давлениях, какие получаются при вза-
имном влиянии рассматриваемых балок.
В целях получения простого и удобного для практики решения
ограничимся приближенным условием: равенством угловых деформа-
ций на правом конце первой балки и на левом конце второй балки.
Для этого достаточно использовать первое уравнение из системы
уравнений (VI-18), которое для рассматриваемого случая имеет вид
Dl5Mc = V/f12) - U?'\ (VI п-15)
Все выше описанное относится и к зданиям или сооружениям.
Характер деформации грунта под фундаментом зависит от расстоя-
ния между рассматриваемыми зданиями или сооружениями, от вида,
величины и расположения нагрузок, передаваемых от зданий или со-
оружений на фундаменты, от конструкций, размеров фундаментов и
их расположения в плане, а так же от грунтовых условий. Чем меньше
расстояние между двумя рядом выстроенными зданиями или соору-
жениями, тем больше влияния оказывают они друг на друга.
Пример VII1-2. Рассмотрим два одновременно построенных оди-
наковых здания, расположенных близко друг к другу по одной пря-
мой.
Дано: ссг= lj ^2= poi~ ро2= 0,3j jEoj—-
= jE02= 200 кПсм2\ qx= q2= 10 Т1м2.
Требуется определить крен этих фундаментов.
Пользуясь формулами (VI-18), (VI-27), (VI-28a), (VI-33), а также
табл. VI-2, VI-9 — VI-12, находим:
Х02 = 1; {/J»» = -128 q^Li, = 128 q2b2L2,
292
D15= — 2-143111 -J-; — 0,000894 qbL*.
По формуле (VI11-5)
tg = — tg 02 = 4 - 0,000894 g = 0,0001627.
Пример VII1-3. Рассмотрим два одновременно построенных силос-
ных корпуса. Площадь первого АтВ^С^ и второго A2B2C2D2 корпу-
сов в плане
Дк, = ^к, = Д1В1-С1О1= A2B2-C2D2= 21,10-39,50 = 834,45 м2;
нагрузка на каждый силосный корпус
?2= q = 14,39 Т!м2\ Еоср = 145 кПсм2\ р0= 0,3.
Требуется определить крен фундаментных плит обоих силосных
корпусов.
Пользуясь формулами (VI-18), (VI-27); (VI-28a) и (VI-33), а также
табл. VI-2, VI-9 — VI-12, имеем:
Хо2= 1, Q 75;
Mt =-----= —0,019592 qbL* = —0,28192888 bL*.
Пользуясь формулой (VI11-5), найдем
tg 0. = -tgO2 = 4-ЦМ- - °’28192^ bL~- = 0,000708.
ь 1 ь i 1450 bL*
Вышеизложенный метод можно также использовать при опреде-
лении взаимного влияния на грунт нескольких близко построенных
зданий или сооружений, расположенных по прямой линии в один ряд,
как с учетом, так и без учета пригрузок.
Для определения фиктивных моментов, возникающих на близко
расположенных друг к другу зданиях или сооружениях, можно ис-
пользовать уравнения (VI-18), исключив из них силы, возникающие
в местах расчленения балки:
О.аЧ + Dl5Mt + DieM2 = \2U{'*>-U<™
(VIII-16)
DniMn^ + Dn5Mn + Dn6Mn+t =
Зная фиктивные моменты, заданные силы, размеры зданий или
сооружений и грунтовые условия, по формуле (VIII-5) находим крен
рассматриваемых зданий или сооружений.
§ 5. Расчет ограждающих конструкций
на горизонтальные нагрузки*
В различных областях строительной техники широко распростра-
нены сооружения, заглубленные в грунт, и подвергающиеся воздей-
ствию как вертикальных, так и горизонтальных нагрузок. Наиболее
известными из них являются шпунтовые стенки, мостовые опоры, при-
чальные сооружения, опоры линий электропередачи и др.
В связи с большим масштабом строительства важное значение при-
обретает дальнейшее совершенствование их расчета. На основании
многочисленных экспериментальных исследований установлено, что
на несущую способность оснований горизонтально нагруженных
свайных фундаментов достаточное вляние оказывают материал, форма
и размеры подземной части конструкции (сваи), глубина подземной
части сваи, их число, грунтовые характеристики, величина, направ-
ление и место приложения горизонтальных сил.
Существующие до настоящего времени теоретические методы рас-
чета сооружений, воздвигнутых на сваях, не согласуются с данными
практики.
Числовые результаты решения идентичных задач при ис-
пользовании этих методов сильно отличаются между собой. Это объяс-
няется главным образом слабой изученностью условий работы грунта,
окружающего свайный фундамент, и неправильным учетом совмест-
ной работы конструкции с грунтом.
Для работы шпунтовых стен, свай и других подземных конструкций
и сооружений на горизонтальные нагрузки представим их как балоч-
ные конструкции, частично или полностью заглубленные в неоднород-
ный грунт (в упругую среду). Тогда для их расчета можно использо-
вать теорию расчета балок на упругом основании.
Если в балках на упругом основании принимаем одностороннюю
связь между балкой и грунтом основания, то при расчете шпунтовых
стен, свай и других подземных конструкций необходимо учитывать
двухстороннюю связь.
Как известно, модуль деформации грунта в горизонтальном направ-
лении по глубине увеличивается (даже и в однородном грунте) до не-
которой глубины.
Поэтому для правильного расчета шпунтовых стен, свай и дру-
гих подземных конструкций и сооружений необходимо значения ве-
личин модуля деформации грунта принять плавно или приблизительно
ступенчато изменяющимися по глубине.
Для общности расчета шпунтовую стену, сваю и другие конструкции
рассматриваем и рассчитываем как многоступенчатую балочную конст-
рукцию переменного поперечного сечения, частично или полностью за-
• Сим вулиди И. А. Расчет фундаментов на упругом основании.
ВЗИСИ м., 1971.
Симвулиди И. А. Расчет ограждающих конструкций на горизон-
тальные нагрузки. Пятая международная конференция. Испания, г. Мадрид.
1972.
294
губленную в неоднородный грунт (в упругую среду) и работающую на
горизонтальную нагрузку (рис. VIII-4, а)*.
При выводе расчетных формул модуль деформации грунта прини-
маем по глубине в местах изменения моментов инерции шпунтовой
стенки в сечениях 1; 2, п также скачкообразно изменяющимся**
(рис. VIH-4, б).
Расчленяя подземную
часть шпунтовой стенки по
глубине в местах изменения
моментов инерции на п от-
дельных частей балок, полу-
чаем п балок конечной дли-
ны и постоянного поперечно-
го сечения.
В результате приложен-
ных к шпунтовой стенке на
поверхности грунта горизон-
тальной силы Ро и изгиба-
ющего момента Мо (рис.
VIII-4, б) каждая отсеченная
подземная часть балки на-
ходится под действием реак-
тивных давлений грунта.
Первая отсеченная часть на-
ходится под действием сил и
моментов Ро— Мо- Yx и М^,
вторая — под действием Y^,
Y2, ..., Л41 и М2, ...; п — под
Рис. VII1-4:
а} — заданная схема
б) — расчетная схема
действием Уп; Кп+1; Л4П; Л4п+1. Для общности расчета предполагает-
ся, что нижний конец шпунтовой стенки погружен в плотный грунт
и поэтому не может повернуться и переместиться. Здесь Y2, Y2.......
Уп+1; Mf. М2, ..., Afn+i неизвестные усилия, для определения | кото-
рых воспользуемся уравнениями (VI-17)— (VI-20), которые для дан-
ного случая примут следующий вид:
Первая система уравнений, полученная из условий равенства
реактивных давлений грунта на шпунтовую стенку (балкуДв местах
ее мысленного расчленения:
• Расчет сваи иа горизонтальную нагрузку является очень сложной про-
странственной задачей теории упругости. При использовании плоской задачи
теории упругости для расчета свай на горизонтальную нагрузку необходимо
модуль деформации грунта принять больше полагающегося в зависимости от
конфигурации сваи в плане, что даст возможность в некоторой мере учесть
сопротивления грунта, возникающие по боковым поверхностям сваи.
Все изложенное выше относится только к сваям и балкам, лежащим на
Упругом основании, но не к шпунтовым стенкам и другим ограждающим конст-
рукциям.
* • Если шпунтовая стенка по глубине постоянного поперечного сечения,
то от этого порядок расчета в принципе не изменяется, только упрощается
вычислительная часть расчета.
295
£2 цУ0+ £212У1+ £21зУг+ £214Л4О+ £2 i5^i+ £216^2— 0
(-1)^(2^ + йя2у„ + йп3Уп+1) + +
+^пбМп + £2„6Afn+1=0.
(VIII-17)
Вторая система уравнений, полученная из равенств угловых де-
формаций шпунтовой стены (балки) в местах ее расчленения:
ОцУ0+ О12Л+ Г>13У2+ Г>14М0+ #15^1+ О16М2= О,
+ Г„2Г„ + О„3Уп+1) + DniMn^ +
+ Dn5Mn + Dn6Mn+1 = 0.
(VIII-18)
Уравнения, полученные из условия заделки верхнего конца шпун-
товой стены (балки) и из равенства нулю реактивного давления грунта
в том же месте*:
(#н + Я13)У0 + (Яи - Н13)У1 + на +
+ #1в -^ = °-
(ш11 + ш1з)^0 + (“11 — ю1з)^ 1 (“15 + Ш1в) +
+ (®16 — ®1б) 4^ = °’
(ушло:
Уравнения, полученные из условия заделки в грунт нижнего конца
шпунтовой стены и из равенства нулю реактивного давления грунта
в том же месте:
( l)n+1 [(#(n+1)1 #(«+1)3 }Yn + (#(«+1)1 +
+ Я(п+1)3 )М + = 0.
(—1)"+1[(®(п+1)1 —“(„+1)3 )У« + (“(«+1)1 + “(«+1)3 )^n+l] +
+ “(«+1)5 ~ “(«+1)6 ) ~ (“(п+1)5 + “(«+1)6 ) Х
(VII1-20)
X = о.
L«+i
Множители при неизвестных величинах Yo, Уп+1; Мо,..., Мп+1,
* Оба уравнения (VIII-19) одновременно нельзя использовать при расчете
ограждающих конструкций, работающих на горизонтальные нагрузки, но
каждое из них в отдельности (в зависимости от условия закрепления верхнего
конца рассматриваемой конструкции в сечении О) совместно с уравнениями
(VIII-17), (VIII-18) и (VIII-20) может находить широкое применение при расчете
подобных конструкций.
296
входящие в уравнения (VIII-17) — (VII1-20), являются функциями
показателя гибкости и определяются по формулам (VI-21) — (VI-32).
Уравнения (VI11-17) — (VIII-20) являются общими и по ним можно
решать большое количество задач по расчету ограждающих конструк-
ций, встречающихся в строительной практике.
При выводе уравнений (VIII-17) использованы условия равенства
реактивных давлений грунта на шпунтовую стену (балку) во всех мыс-
ленно отсеченных местах. Поэтому, если шпунтовая стена (балка)
мысленно расчленена на п частей, независимо от того, она цельная по
длине или имеет в ряде мест шарнирные соединения, то по уравне-
ниям (VIII-17) можно составить только п — I уравнений.
При выводе уравнений (VIII-18) использованы совместность уг-
ловых деформаций во всех мысленно отсеченных местах. Поэтому
если по глубине забивки шпунтовой стенки (балки) имеются’т шарни-
ров, то для этих сечений условия совместности угловых деформаций
не могут быть удовлетворены. Для данного случая при использовании
уравнений (VIII-18) можно составить только [(п—1) — т] урав-
нений.
Ниже приведена последовательность расчета шпунтовой "стенки
на горизонтальную нагрузку с использованием уравнений (VIII-17) —
(VIII-20) (количество и вид уравнений не зависит от того, шпунтовая
стена или свая (балка) постоянного или переменного сечения).
1. Зная грунтовые условия, материал, из которого изготовлена
шпунтовая стена (балка), и ее предварительные размеры, по форму-
лам (1-27) или (1-27а) для каждой мысленно отсеченной части шпунто-
вой стены (балки) находим показатель гибкости ап.
2. По формулам (VI-23) и (VI-28) находим значения величин
*П(п— 1)(п+о и %(п—i)(n+D Для п = 1, 2; 3, ...
3. По формулам (VI-21); (VI-26), (VI-27) и табл. VI-1 и VI-2 на-
ходим значения величин Qnl, ..., йп6; Dnl, ..., Dn6 для п = 1,
2, ...
4. После определения значений величин йп1, ...,Qn6; Dnl, ..., Dn&
решаем совместно составленную для конкретного примера систему
уравнений относительно неизвестных сил и моментов.
5. Зная Уо. •••, Уп-iJ Мо, ..., Л4П_Х по табл. Ш-1; Ш-2; Ш-3;
IV-1; IV-2; IV-3; V-4; V-6 строим эпюры р; Q-,M и у.
По уравнениям (VIII-17)—(VIII-20) можно рассчитать не только
шпунтовые стены, но и сваи, работающие на горизонтальные нагрузки.
На конкретных примерах рассмотрим составление уравнений для
определения Уо,..., Гп+1 и Мо...Мп+1.
Пример VIII-4. Рассмотрим шпунтовую стену (балку) переменного
поперечного сечения со свободными от закрепления концами, длиной
L, вертикально погруженную в неоднородный грунт и нагруженную
на поверхности грунта горизонтальной силой Ро и моментом Мо
(рис. VIII-5, a). w mi iW
Подземную часть шпунтовой стены (балки) по грунтовым условиям
мысленно делим на четыре части так, чтобы каждая^отсеченная часть
балки имела по всей длине постоянное поперечное сечение (Fo=
= — Ро и Af0= Poh — предполагаются известными) (рис. VIII-5, б).
297
Рис. VIII-5
В результате действия Р
и Мо в местах расчленения
балки возникают шесть неиз-
вестных усилий: Yi, Y2, Л
Л4Х; М2 и М3. Для нахожде-
ния этих неизвестных сил и
моментов необходимо соста-
вить шесть уравнений.
Пользуясь уравнениями
(VIII-17), для рассматривае-
мого частного случая соста-1
вим только три уравнения»
й12^1+ й 13Г2+ И15М1 + 4
+ й хвЛ^г = й цР о— й 14М0;
--(й 21^1+й 22^2+^23X3) + й 24Л++ й 25^2— 0;
й 31X2+ й 32Xз+ й 34^2+ й 35^3= 0.
Пользуясь уравнениями (VIII-18), получаем еще три уравнения]]
^12^1+ ^13^2+ ^15^1+ П167И2 = ОцРо—DltM 0;
— (£*21X1+ £*22У2+ £*23X3)+.D24.M1+ £*257U2 = 0;
П31Х2+ П32г3+ е»з4м2+ d35m3= 0.
Всего получаем шесть уравне-
ний с шестью неизвестными Хх; X2;j
Х3; Mi, М2 и М3.
Решая эти уравнения при за-J
данных конкретных условиях, най-
дем неизвестные усилия.
Присоединяя к найденным уси-
лиям заданную силу Ро и моменИ
Мо, для шпунтовой стены можем}
построить эпюры р\ Q; М и у.
Пример VIII-5. Рассмотрим)
случай, когда верхний конец1
сваи (балки) заделан так, что не'
может повернуться, но может иметь
Рис VIII-6- горизонтальное смещение. НиЖ-
«)-заданная схема НИЙ КОНеЦ СВЭИ (баЛКи) ПреДПО-
б)— расчетная схема лагается свободным от закрепле-
ния (рис. VIII-6, а).
Требуется рассчитать эту сваю.
Дано: Е01; Е02; р 01; р 02; Lx и Е2.
По заданным грунтовым условиям, мысленно расчленяя подзем-
298
ную часть сваи (балки) на две части и используя уравнения (VIII-17) —
(VII1-19), получаем
(Яи - + Я17 + Н16 £ = (Яи + Я13)Р0;
£212Y i+ £214^4 о Д £2 isAlj— Q цР 0;
D12Y х+ D14Mo+ Е>15М1 — 0;
Решая эти уравнения относительно У\; Мо и Mlt можно построить
эпюры р; Q; М и у.
Рассмотрим случай, когда в сечении 1 имеется шарнир, т. е. /И1= О
(рис. VIII-6, б). Для данного случая третье уравнение отпадает и
первые два примут вид:
(Ди - Н13)У, +Н17^ = (Ни + я18)р0;
£212^ 1+ £2 0— £2 и Р о*
Пример VIII-6. Рассмотрим вер-
тикально погруженную в грунт сваю
постоянного поперечного сечения, ра-
ботающую на горизонтальную наг-
рузку (рис. VIП-7, а).
Дано:
Е01 = 52,6; Et2 = 131,57; Д03 =
= 263,14 кПсм2',
Ll =1, L2 = 2; 8 = 0,2 м.
L3 = 2м\ h = 3 м.
Требуется рассчитать данную сваю.
По грунтовым условиям, мыслен-
но расчленяя сваю на три отдельные
части и используя уравнения (VIII-17)
и (VIII-18), составим уравнения для
данного случая (рис. VII1-7, б);
Рис. VII1-7:
о) — заданная схема
6) — расчетная схема
— £2цРо+ И 12^1 Д И13V2+ Qi4A40~t- Qjs-ЛДД Qi6^2— 0;
— Q 21 —И 22^2 Д £2 24^1 Д £2 26^2— 0;
— puP0+ Г>12Г1+ O13r2+ П14Л1о+ РцЛ^Д r»16M2= 0;
-- £>21 Kl- П24Л11-|- I?25^12= 0.
В этих уравнениях Mo и Ро являются известными величинами,
а Yi, Г2; Л4Х и М2— неизвестными. Для нахождения этих неизвестных
величин необходимо заранее определить Qu, ..., Q25l Иц, •••» £*25»
ССз! Лог! Лхэ» ^02 и Л13.
299
a,
Пользуясь формулой (1-27а), найдем значения ах; а2 и а3:
12-3 14 52,6 ( 1 V —' 1-
12 б,142х1оЦ 0,2 ) ~
_ 132 { 2 \з Q[-
а2 — 12к- 2 10. 10 1 ~ 25.
«3 = 12-3,14-^
Зная a,; а,2"и’а3> по формулам (VI-23) и (VI-28) находим:
%2 = ~ЬЬо = °’46’
^i3 = 0,94;
biZ-iPi
4>2^-2Р2
&2^-2р2
^з^-зРз
50.
\>2
= 0,15;
EB2
%* =0,46.
Eos
Используя формулы (VI-21) — (VI-23) и табл. VI-1, получаем:
£2ц== ^i3= — 54,44;
Si2= (<Оц+ со13) + т]о2(со21+ со2з) = 152,44 + 0,46-168,67 - 230,20;
а1з = ’3o2(to2i — ш2з) = —24,78;
^14 = (ш15 °>ie) — 206 • -j— = 206;
^13
^15 — («>2б “I- Ш2б) “7^--(Ш15 + Ш1б) ~Г~ —
= 257-0,46 • Ц- —208,44 = — 149,33;
2ie= = --^-199 = -45,77;
Q 2i=z ^2i ^23 ’= — 53,87;
£2 22= (w21+ со23) + T]13(G)31+ to33) = 168,67 + 0,94-185,80 = 343,32;
2м = Кб -«>26) 77 =-^ = 99,5;
^25 = («>35 + ®3в) ^-(«>25 + «>2б) -1- = 310-^-41= 17,2.
Из формул (VI-26) — (VI-32) и табл. VI-2 имеем:
Оц= Н1Г- Н13= - 69 353;
300
^12— ( Д»+ н13) — Ао2( Н21-\- Н23) =
= 70023 — 0,15-86 155 я» 57 100;
013= —Х02(Я21- я2з) = 0,15-69 087 = 10363;
Ou = Hi6 = 137 548;
п1Б = -Г + -7^Я27 = — (143 105 + 252 606 )= — 162 050;
Die = Н2в-^- = • 109 445 = 8208;
£-2
O2i= Н21— Н23~ —69 087;
р22= (Я21+ я23) - Х13(Я31+ Я33) = 86 155 - 0,15-103 773 =
= 38 419;
Ом = -^ = 1099445- = 54 723;
£-2 ~
о25 = + -г2- яз7 = — -U252 606 + ^-375868^= —212 753.
Подставляем найденные выше значения Qu, ..., Q25; Dllt D25
в уравнения (VIII-17) и (VI11-18):
230,2 Fj— 24,78 Y2— 149,33 ЛД— 45,77 Л42= — 54,44 Po— 2O6Mo=
= — 672,42 Po;
53,87 Yj— 343,32 Y2+ 99,5 ЛД+ 17,2 M2= 0;
57 100 Yi + 10363 Y2 — 162 050 Mi + 8208,38 M2 = —69 353 Po —
— 137 548 Л40= — 481 997 Po;
69 087 Yt— 38 419 Y2+ 54 723 Mj— 212 753 M2= 0.
Решаем эти уравнения относительно Yp, Y2 и ЛТ2:
у1= _ 1.Ю63 Ро; У2= 0,60023 Ро;
М,= 2,6336 Ро; М2= 0,20971 Ро.
По полученным данным можно построить эпюры р- Q; М и у.
Пример VII1-7. Рассмотрим вертикально погруженную в грунт
сваю (балку) постоянного поперечного сечения, имеющую в сечении
шарнир. На верхнем конце сваи приложена горизонтальная сила Ро
(рис. VI11-8).
Требуется рассчитать эту сваю.
Дано:
Р2 — 1, Р2— 2, 7х3— 3 л/, /t —' 3 л/,
Е01= 42,6, Eoz= 132, £'03= 263 кПсм2.
ах=1; а2 = 25; а3=50.
301
По грунтовым условиям сваю (балку) мысленно расчленяем на тпм
отдельные части в сечениях 1 и 2. Пользуясь уравнениями (Vlll-jy?
и (VIII-18), получаем:
Рис. VIII-8:
а) — заданная схема
б) — расчетная схема
И12V1+ й 13 Р 2+ й 15^M1==
= й цР о й цМ 0;
--й 21Vр--й 22 У2~Ь
-р й 24^41= 0;
^12^1+
= DltP 0— О^ЛД.
По формулам (VI-21)—
(VI-32) найдем значения
величин йи, й25;Оц>
.... О25. Зная Qu, ....
составляем уравнения:
230,2 Ух— 24,78 У2—
—149,33 Мг= —672,42 Ро;
53,87 У,— 343,32 ,У2+ 99,5 Мг= 0;
57 100 У±+ 10 363 У2— 162 050 7ИХ= — 481 997 Ро.
Решаем эти уравнения относительно Yz и
Л= — 1,2398 Ро;
У2= 0,53 111 Ро-
Мг= 2,5036 Ро.
Зная значения
ры р; Q; М и у.
величин М0; Ро; YY2 и Mlt можно построить эпю-
Пример VI П-8. Дана
свая, работающая на Го-
ризонтальную нагрузку
(рис. VIII-9, а). Требуется
построить эпюру 714.
Мысленно расчленяем
сваю на три равные части
/1= 4— ^з=-з“-
Принимаем ах= 25; 02^
=• 100 и а3= 300. Пользу-
ясь уравнениями (VII1-1?)
и (VIII-18), получаем (рис-
VIII-9, б):
302
£212^1+ £2i3V2+ £2 15^1+Qi6M2= ЙцРл!
— (£2 21^1+£2 22^2) + £2 24М1+£2 25^2= 0;
D^+ D13Yz+ DieM2= DuPa-,
----- (^212Z1+ D22Y2) + £>24^1+ /225^2= 0.
Используя формулы (VI-21) — (VL32), а также табл. VI-1 и VI-2,
определяем:
У|И = ~р7 = 35,098 = °>8368;
•*11з = 0,675;
\ _ 29,37 25 p 9009.
02 35,098 100 —u'zuyz.
X13= 0,25;
£2u= —53,87;
fii2= 168,699 + 0,8368 221,380 = 353,919;
£213= — 0,8368 52,478 = — 43,9136;
£215= 0,8368 • 420 — 257 = 94,456;
£2,e = — 0,8368 • 180 = —150,624;
£2 21 — — 53;
£2 22= 221 4- 0,675 382 = 478,85;
£2г4= 180;
£225= _ 420 + 0,675 • 934 = 210,45;
Dxl= —69,087;
£»12= 86 155 — 0,2092 • 141 534 = 56 546;
D13= — 0,2092 - 68 900 = — 14413,88;
D15= _ 252 607 — 0,2092 • 651 346 = —388 868;
D16 = 0,2092 • 23 876 = 4994,86.
Действуя аналогично, определяем значения величин
21! Z?22i ^24 И ^25-
Подставляя найденные значения т]02; Л1з’> Ч2; ^1з'. £2ц, ..., £225', Dilt
О25 в уравнения (VIII-17) и (VIII-18), получаем:
353,919^ —43,919 У2 +94,456 ^- — 150,624^ = — 53,87РЛ;
53^ — 478,85 Г2+ 180^1 + 210,45^5- = 0;
303
56 546 Ух 4- 14 414 У2— 388 868 + 4995 = — 69 087 Р J
68 900 У. — 67 775 У2 + 23 876 — 1 139 402^- = 0.
1 2 I I
Решаем совместно эти уравнения:
Ух=— 0,19513 Рл; У2= 0,031168 РА\
М±= 0,15260 Р.1-, М2= — 0,10457 Р.1.
х ’ А ’ * ’ А
Эпюра М построена на рис. VIII-9, б.
Рис. VIII-10
Пример VIII-9. Дана
свая (I = 12 м, F ~
=0,3 X 0,3 м2) постоян-
ного поперечного сече-
ния, работающая на
горизонтальную нагруз-
ку (рис. VIII-10, а).
Требуется построить
эпюру М для случаи,
когда свая мысленно
расчленена на четыре
части.
Пользуясь уравне-
ниями (VIII-17) и
(VIII-18), получаем
(рис. VIII-10, б):
П1г1/1+П1зУ2+П15Л41+П16Л42— £2цР ;
-- (П 21У1+ И 22Р2+ И 23V3) Ч-24-Л41 —|— Q 25^24“ П26-М3= 0;
б^Уг+Пзг^зЧ'ПзйМг+П &М = 0;
£>12Р1+ О1зУ2+ D15M.+ DieMz= DuPa-
—D22Y2-\- D23Y3) + D25M2-\- D2eM3= 0;
^31^2+ П32У3+ П34Л42+ D33M3= 0.
Принимая ax= 25; a2= 100; a3= 300; a4= 500 и пользуясь фор-
мулами (VI-23) и (VI-28a), имеем:
t]02=0,8368; t]13= 0,675; т]24= 0,73;
Хо2=О,2О92; Х,13= 0,225; Х24= 0,438.
Пользуясь формулами (VI-21), (VI-22), (VI-26), (VI-27) и табл-
(VI-1) и (VI-2), найдем значения величин£2П, ....йзб'.Пц,..., D3S. Зная
величины т]02; т]13; т]24; Х02; Х13; А.24;йц, ...,Q3B; Dn, ..., D3S составИ»|
уравнения для рассматриваемого случая:
304
353,919 У± — 43,913 У2 + 94,456 — 150,624 = — 53,87 PA;
53 У, — 478,85 V2 + 34,72 У3 + 180 + 210 — 97,20 = 0;
51,42 У2 +798 У3+ 144^ + 206^ = 0;
56 546У,+ 14 414У,— 388 870 ^-+ 4995 = —69 087Рл;
68900У1 — 67 775У2 + 16439У3 +23 876^-—1 139402^- —
— 420212 — = 0;
I
— 73 060 У2 + 76 145 У3 — 186 761 — — 4 109 627 — = 0.
2 3 I I
Решая эти уравнения относительно Уп ..., У3 и Мг, ..., Л43, полу-
чаем:
У1= ~ 0,19513Рл; М±= 0,15259 РА1\
У2= 0,031418 РА, М2= — 0,010528 РА1\
У3= 0,0039279 РА, М3= — 0,0000083065 Рд1.
Эпюра М построена на рис. VIII-10, б.
§ 6. Расчет высоких свайных
ростверков (фундаментов)
При расчете высоких свайных фундаментов каждую сваю, входя-
щую в состав свайного фундамента, рассматриваем и рассчиты-
ваем как балочную конструкцию переменного поперечного сечения,
находящуюся в неоднородной по глубине упругой среде (в грунте).
В результате взаимодействия между телом фундамента, сваями и грун-
том на головках свай и на ростверке в сечениях А, В, С... возникают
неизвестные горизонтальные и вертикальные составляющие силы Ул;
Ув; Ус; ... ZA, ZB\ Zc ... и изгибающие моменты МА, Мв, Мс ...
В частности, в зависимости от гибкости конструкции, способа за-
делки голов свай, величины, характера и расположения нагрузки
могут возникать или только силы, или только моменты, или одно-
временно те и другие.
Расчет высокого свайного ростверка заключается в определении
неизвестных горизонтальных сил Ул, Ув, Ус... вертикальных сил
ZA, ZB, Zc... и изгибающих моментов МА, Мв, Мс... После определения
этих неизвестных сил и моментов в дальнейшем весь расчет сводится
И—597
305
Рис. VHI-11
к построению эпюр реактивных давлений грунта, действующих на
сваи, поперечных сил Q и изгибающих моментов М для свай и рост-
верка.
При расчете ставится условие, что ни одна свая, входящая в состав
свайного фундамента, не имеет осевого (вертикального) смещения.
Высокий свайный ростверк (фундамент) можно рассматривать и
рассчитывать как одноярусную и многоочковую раму, лежащую на
упругом основании (рис. VIII-11, а), для расчета которой можно
пользоваться общими уравнениями угловых перемещений (Х-114) и
горизонтальных проекций (Х-104), приведенных в главе X.
Для расчета свайного ростверка можно также использовать другой
метод автора — метод расчленения.
Метод расчленения заключается в следующем: рассматриваемую
конструкцию (рис. V1II-11, а) в сечениях А, В, С... расчленяем на
отдельные части и представляем отдельно ростверк (фундамент) и
отдельно сваи (рис. VIII-11, б). Для установления связи между рас-
члененными частями конструкции используем три условия равновесия
статики и совместность угловых и линейных деформаций в рассматри-
ваемых сечениях А, В, С... голов свай и в тех же местах ростверка.
В результате использования вышеперечисленных условий находим
неизвестные силы и моменты.
§ 7. Расчет однопролетного высокого
жесткого свайного ростверка
Рассчитаем свайный фундамент (рис. VIII-12, а). Рассматриваемую
конструкцию расчленяем на две отдельные части, как показано на
рис. VIII-12, б.
Пользуясь уравнениями статики, находим:
— Ma—Mb^ZaL= £ momBPp
Мл + Мв + ZB L = £ тотл Р,.,
Y а + Y в = X! Д- cos 6Z.
(VII1-21)
В уравнения (VIII-21) входят две неизвестные величины YA и Y в,
ие считая ZA и Zb , для определения которых необходимо составить еще
одно дополнительное уравнение.
Для составления дополнительного уравнения необходимо опре-
делить горизонтальные перемещения верхних концов голов свай
и 8 в и затем использовать условие (равенство)
А В
(VII1-22)
(предполагается, что ростверк (фундамент) абсолютно жесткий и поэ-
тому расстояние между точками А и В остается постоянным).
Мысленно принимаем, что верхние части свай АА± и ВВг погружены
в слабый грунт и их модули деформаций
П* 307
Д)(ЛЛ,) Д^ВВ,)
Поэтому
“лл^’вв,^0-
Условимся также, что моду-
ли деформаций грунта Е0(А^ и
и моменты инерции
свай lA Ai и 1В Ва по глубине
на участках А гА2 и ВХВ2
постоянны, но
^(Л1Л2)^^0(В1В2) и ^л,л2^
#= Iв в .
Рассмотрим сваю (балку)
А А 2. Предполагаем, что верх-
ний конец А сваи АА2 жестко
заделан в ростверке (фундамен-
те). Расчленяя сваю (балку) АА2
на две части АА} и AtA2 с по]
стоянными моментами инерции
и с постоянными модулями де-
формации из уравнений (VIII-17)
и (VIII-18), получим
^’Ул. + ^’Мл. = 1 (VIII-2i
О^Ул. + О^Мл, = -П^Мл-О^Ул. | 1
Решаем совместно эти уравнения:
44/11 = [ W D“> ~ D'^ Ма +
+ (2п’ ои>_2и) ги))Гл]>
Yai ~~ йИ’оИ) _ О(Л) Й(Л) [(^и’ £>15’ — Qis’ D\A’) МА +
+ (П{5Л) Ofi4’ - Qtf’ D'^») Ул]
или
MA1=aAMA+bAYA,
At = СЛ + ^Л ^Л’
(VIII-24)
J
(VIII-21
308
a^P^-P^a^ ’
а™р£>-р£>а^ ’
QWp^-sW Dw
-Р<л>аИ> ’
a^p^-s^pM)
Пользуясь первым уравнением из уравнений (VIII-19), имеем:
W + Н{?) УА + (я|Л) -я<Л)) yAi +
(VIII-27)
Подставляем значения Мд и УА из формул (VI П-25) в уравне-
ние (VIII-27):
а® МА + 4Л) УА = О,
(VIII-28)
№ = I—L_ (Н#> + Н\? аА) + сА (н\? -Я|з’)1,
L AAj J
ь
а<РА> = «’ + H{?)+dAl(Htf
ьдл.
После подстановки значения Мд из уравнения (VIII-28) в формулы
(VIП-25) имеем:
(VIII-30)
Зная величины УА и Л4А^, можно приступить к определению 6А
Для удобства при определении &А и &в начало координат возьмем
в точке А2 и В2. Ось z направим вверх, а ось у вправо. Пользуясь урав-
нениями (V-3), [а также см. ниже (Х-4)], имеем
(—У2а^1}МА1 -У ^aiA1, Уза^ УAt) +
309
| laa,
аАА, ‘АЛ,
Подставляя значения МА^; У^ и МА из уравнения (VIII-:
формул (VIII-30) в уравнение (VIII-31), получим:
^А,Аг
аА1А2 ‘а2А2
[ум^А,—У2^А}Мд—(узаА)Уа, ~УУзаА>Уа)Раа,]- (Vlll^jj
28) и
Вд =
I т
+ Ьд^ уЗА1
“(Л)
--У ЗА,
dA CA~^
aM
4Л>
А~аА~^
ам
^Д4,
“АД, ‘а.4,
У2А, X
/ GM) \ _ , (ЛА)
X [ Ьа — аА ——- | + У2а} —-------Раа2 Уза —
\ ам / ам
- . / а<Л> \"11
-- РаА^З^ I ^А — с А - I У А.
\ а(м /JJ
Обозначив КА, величины, включенные в фигурные скобки фор-
мулы (VIII-32) имеем:
?д|
1
(VIII-32)
&д = клгл. (VIII-33)
Если в уравнениях и формулах (VII1-23) — (VIII-33) всюду А;
Ль Л2 заменить В; Bi, В2, то получим значение горизонтального пе-
ремещения головы сваи ВВ2:
8в = Кв Ув- (VIII-34)
Подставляя значения 6Л и бв из формул (VIII-33) и (VIII-34) в
уравнение (VIII-22), получим дополнительное уравнение для опре-
деления неизвестных горизонтальных сил УА и Ув, возникающих в
головках свай в результате действия нагрузок, приложенных на рост-
верке:
^аУа = ^вУв- (VIII-35)
Решаем совместно уравнения (VIII-21), (VIII-28) и (VIII-35); ।
Kr
У А = -------- Е Pi cos 0.,
л КА.+ КВ 1 1
у _ *А
1 В ~ к
Ра
п(А)
аР
с(Л>
аМ
а(В)
ам
мд =
Е Pj COS 0.,
+ Кв 1
------— Е Pi cos ег,
«А + Л’в
К A + Кв
Е P,cos0;..
(VIII-36)
310
Зная величины YA, YB, МА и Мв для каждой мысленно отсеченной
чаСти сваи (балки) и для ростверка, строим эпюры р; Q; М.
В случае если головки обеих свай имеют шарнирные соединения с
ростверком, то в расчетных формулах и уравнениях величина МА при-
равнивается нулю [уравнение (VIH-19) отпадает].
В данном случае формулы (VIII-25) и (VIII-32) упрощаются и
примут вид:
= ъА ya,
= Л'
К А = |Ьа + Уза^ ^л) 4“
I “д,л, 'л.л,
4-----— [ум, Ьа — Ьаал (рзл, ^а + Узл1)]] • (VIII-37)
аЛЛ, lAAt J
Заменяя А, А! и А2 на В, Bi и В2, получаем значение величи-
ны После определения КА и Кв дальнейший ход решения остается
тот же.
Если какая-либо из рассматриваемых свай, допустим АА2, своей
головкой жестко заделана в ростверке, а свая ВВ2 имеет шарнирную
связь с ростверком, то при использовании условия (VIII-22) значения
следует брать по формуле (VIII-32), а КБ— по формуле (VIII-37).
§ 8. Расчет многопролетного высокого
жесткого свайного ростверка
Рассмотрим свайный фундамент, когда верхние концы (головки)
свай жестко заделаны в ростверке (рис. VIII-13, а). Для общности
расчета пусть каждая свая, входящая в состав свайного фундамента,
по глубине имеет переменное поперечное сечение, которое по глу-
бине забивки ступенчато изменяется в сечениях Bj, Ci, Dlt ..,
и А2; В2; С2; В2 ..., оставаясь постоянным в пределах каждой отсе-
ченной части сваи (балки) AAlt АгАг, Л2^з> ДД1> ВХВ2, В2В3, ... (в
частности, сваи по глубине могут быть и постоянного поперечного
сечения).
На тех же уровнях по глубине ступенчато изменяются и модули
Деформации, а также коэффициент Пуассона грунта.
Рассматриваемую конструкцию мысленно расчленяем на несколько
Частей (рис. VIII-13, б). Пользуясь уравнениями статики, имеем:
— 2 Mt — 2 ZL Д 4- 2 Pt h sin = 0,
i=.4 i=B
i=H
2 Д — 2 Pi sin 6(- = o,
i=A
(VIII-38)
i=H
2 Yt — 2 Pi c°s 6,- = o.
311
5) Р р р Р Р р
Рис. VIII-13
В уравнения (VIII-38) входят неизвестные величины Yл; У£; Y с,
• 2Л; ZB, Zc, ... и МА\ Мв, Мс, ..., для определения которых необ-
ходимо составить столько же дополнительных уравнений за вычетом
трех, сколько неизвестных входят в уравнения (VIII-38).
Чтобы составить дополнительные уравнения для нахождения YA',
YB‘ Yc, ... и МА, Мв\ Мс, необходимо заранее определить горизонталь-
ные перемещения (отклонения) верхних концов (голов) свай 6Л; 6^1
6 с; бр, ... и затем использовать условия (равенства)
^в §А‘,6С Sa',6d бл.
(VIII-39).
Условимся, что надземные части свай AAlt ВВг, ССЪ DD± ... по-
гружены в слабый грунт и их модули деформаций
Поэтому
Е — F
0(А4,) — ^ЩВВД
“АЛ, — авВ, — аСС1----0.
Условимся также, что модули деформаций грунта EOiAA,y Е0(ВВ^,
Е^сс^' ••• на Участках AAlt BBlt СС1г ... и АгА2, В±Вг, ... постоянны,
но по величине отличаются друг от друга.
Рассмотрим сваю (балку) АА3, у которой верхний конец (головка)
жестко заделан в ростверке (фундаменте). По заданным грунтовым и
конструктивным условиям сваю АА3 мысленно расчленяем на три
части AAlt А±А2 и А2А3 с постоянными моментами инерции каждая и
постоянными модулями деформаций грунта на тех же уровнях.
Пользуясь уравнениями (V1II-17) и (VIII-18), получаем:
2{f У а, + $з’ У а, + 2'15 ’ МА, + МА, =
= -(2(п’ У а + 2^’ Мл),
2^’Ул. + № У а, - 2^’ МА1 - МА, = 0,
D$» Ул. + D® УА, + МА, + D{? МА, =
= Ya + DW Ma),
D(2? Ya, + Ya, - MA, - MA, = 0.
(VIII-40)
Решаем совместно эти уравнения относительно Ул , Ул, МА и
^А,:
Мл. = I <1|Л| (С|л> С12л> + О|,л> - о|л> О|бЛ|) -
- а'Д (сП + С$л> вй’ - Ой>)|, |Ь41)
Мл, = (<ЙЛ| ( 6|Л| ОЙ1 + Ыл< ей1 - оГ’ ой1) -
- а!Л| (МЛ) ВЙ1 + Ип eg’ - Ал' ей’)1.
312
Q1Q
YAi = {4A> [ b\A> CP (QP - D\?} +
+ blA> сГ» ар - &P cP dP + а{Л) (Dtf C[A> -
-bP Dp)] + dP [&P Cp(Dp —Dp) +
+ Cp b^ № - aA> Dp + a\A> (b[A> D(6A) -
-c<A> nP)]},
WA> ~ ар) -h
+ С]Л» tiA) dP - b{A> Df2A) + а]Л» (cp dP -
-bp ap)] + dp[bpcp(np-
— Dp) + bP Cp Qp-CP bpDP +
+ aP(bP DP-CP DP)]}
или
мЛ1 = яР
MAi = K(3a> d^—K^ d(,A\
v л, =/cP dP +/ср d<A>,
Yas = tiA} d2A} + ftp dp.
В этих формулах
aP=QpDP-DPQp,
b(A} = D$> Dp — D2A} Qp,
C[A'= D%} - D& Qp,
= D$> -Dp D^\
C^A) = D2A) Qp —Q^’ Dp;
d[A) = Qp УА + Qp MA,
d<2A> = Dp Ya + D\? Мл
J
j
ЛГ> = (Cf* Dl,J> + cP DP - oP Op),
_ fi' (c\A' Q(o) 4- C^A) Qp a\A) Qp)-
=-^(Ыл1 z>i? + Й? - яГ> Di?).
(VIII-42) ЛР = 4^- (6P> o!?> + бГ> Ой> - «Р al?), Лр = -L- [6|Л> cP (o|? - ol?) + cPaj? - b'2A) C)A) + ap (cP PP - b{A> 2p)],
^A' = -^T [»!•” cl"’ (DI? - Di?) + ср ЫЛ1 ill? -bP Cp dP + a\A) (bP Dp - cP Qp)],
(VIII-43)
(VIII-44)
(VIII-45)
Д(Л) =(Ь\А' ПР + bP Й<3Л) - а<А) Qp) х
X (СР DP + Ср Dp - «Р D&) - (b{A> +
+ b{? Dp - а[А} D^)(C[A} ПР + СР - ар Dp); (VIII-4^|
(VIII-47)
№ = [ bP cP (Qp - dP) + cP b2A) Qp—
— bP Cp Dp + a[A> (CfA> dP — b[A> Qp)],
[ tiA> (Qp - Dp) + b(tA} Qp -
- ClA> b^ D\? + aP № D\^ - DP)]-
f
(VIII-48)
Пользуясь первым уравнением из (VIII-19), получаем уравне-
ние (VIII-28):
яр Л4л + YA — 0;
где
а{^ = Г + ЯР (/СР Qp -
bAAt L
+ (Яр — Яр) (tfpDp + ЯР ар) ;
k'2a>d№.
(VIII-49)
«Р = [(H\? + ЯР) + (Яр -ЯР)( Dtf> № + КвА} а.Р) +
+ /^UPeP-k12A)d№). (VIII-50)
Подставляем значение M. из уравнения (VIII-28) в формулы
(VIII-43):
314
315
где
MAl = K\A) (№ — K<2A)d$,
Ma, = K^ d^ — K\A) d$,
У a. = № + K(A' d$\
Ya, = K(7A) d2A) + № №,
№ = f Qtf’ - -^- Q J YA = E^ Ya,
\ aAf /
4p* = ( Off’----4^7" Ya = £ЬЛ) Ya.
\ «м’ J
(VIII-51)
хЯ
(VIII-52)
Зная величины МЛ1, Мд*, YAi и Уд*, можно определить 6 д. При
определении 6Л; 6В; бс... Для удобства начало координат берем в точ-
ке А3; В3; С3... Оси z направляем вверх, а оси у — вправо.
Из уравнения (V-3) [или см. ниже (X-4)J для рассматриваемого
случая получаем
S = /---^А’ / _ Мд — у^ LAAYA} + '
laA,A.‘A,Ae 2 2 2 ’ “ Аг/
+-a-a\a;,a, I ?2* Ma’ ~ Ma‘+1л*Л2 (^л’ Ya‘+M] I
A4t A4, L '
(VIII-53)
Подставляя значения MA , Мд , MA, Уд и Уд из уравнения
(VI11-28) и формул (V1II-51) в уравнение (VI1I-53), нападем
8л = «а Уа’ (VHI-54)
где
КА --------[у^ Е^ - ^А) Е^) + у^ (К\А} Е^ +
“Л2 А, 1А, А,
+ МЛ) Е^ )] + ~А'А‘ {у^ (МА} Е^ - К\А) ЕЪА))_
аА, А, 1А, А,
- у^ (№Л) Е^ - Е^) + LAl Аг И» (к)л> еЬЛ) + /<1Л) Е^) +
+ ЙЛ1*,(Е5(Л,ЕЬЛ’+/<№Л))]}+ —^{^Ш!Л)^Л)-К2(Л’£Ьл,)+ I
аАА, ^АА,
316
„(Л)
+ I + № ElA}) + t/Й’]) • (VIII-55)
ам
Если в уравнениях и формулах (VHI-40) — (VIII-55) всюду
A, А> А2, Аз заменить В, Вг, В2, Bs, С, Сь С2, С3, D, Dlt D2, D3, ...,
то получим значения горизонтальных перемещений верхних голов свай
СС3, DD3, ... , которые выразятся уравнениями:
Sb = K(b>Yb,
^c = K(c)Yc,
%d = K(dYd.
(VIII-56)
Подставляя значения бл, <5В, <5С, &D, ... из уравнений (VIII-53)
и (VIII-55) в уравнение (VIII-22), получим дополнительные уравнения
для определения неизвестных горизонтальных сил YA, YB, Yc,
Yd, ... , возникающих в верхних головках свай в результате действия
нагрузок, приложенных на ростверке.
Решая совместно дополнительные уравнения с уравнениями
(VIII-36), найдем неизвестные силы Y А, YB, Yc, YD, ... и изгибающие
моменты МА, Мв, Мс, MD, ... , возникающие в местах заделки свай
в ростверке.
Зная эти силы и моменты, можно отдельно для каждой мысленно
отсеченной сваи (балки) построить эпюры реактивных давлений грун-
та р, поперечных сил Q и изгибающих моментов М.
Чтобы построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов
для ростверка, необходимо, кроме уже найденных сил и моментов,
определить и силы ZA, ZB, Zc...
Для определения неизвестных сил ZA, ZB, Zc, ... необходимо к
первым двум уравнениям из (VIII-38) добавить столько дополнитель-
ных уравнений за вычетом двух, сколько в них имеется неизвестных.
Недостающие уравнения можно получить из рассмотрения условий сов-
местности деформации рассматриваемой конструкции (принимаем
ростверк абсолютно жестким).
Допустим, что свайный рсстверк под нагрузкой из-за упругого
сжатия надземной части сваи опускается и одновременно поворачивает-
ся на бесконечно малый угол.
Учитывая вертикальное смещение и угол поворота ростверка,
составим недостающие дополнительные уравнения*:
’Первых два уравнения из системы (VIII-38) и (VIII-57) могут быть заме-
нены уравнениями (VI1-2) и (VII-3).
317
/1=3 1 У. 1Z 1 /1=3 Е <4=1 I Fa z Fa l 7 n
\|=2 1 а | Lj / 1 FD *
/1=4 Е V=2 Li! /4=4 Е \/=1 ?ч| to |1, N to fa + L' = 0,
/1=5 Е V=2 |2л-| /i=5 £ </=! ^1 to |:ь N to = 0,
/1=5 1 У Li} 1Z 1 /1=6 V=i F I Fa 7 + Fal 7 = 0,
\i=2 1 л 1 n to t to + fh 1
(VIII-57)
где Fa, FB, Fc ... — площади поперечных сечений надземных частей
свай.
Если между сваями и ростверком имеются только шарнирные сое-
динения, то уравнение (VI1I-28) не используется. Одновременно из
формул и уравнений (VIII-40)— (VI1I-53) исключается Мд.
При этом ход решения остается тот же, что и при расчете свайного
ростверка (когда верхние концы (головы) свай заделаны в ростверке),
но гораздо упрощается расчет.
Если в составе высокого свайного фундамента имеются одновремен-
но сваи с жестко заделанными и шарнирно закрепленными головами,
то порядок расчета от этого не изменяется.
Полученные расчетные уравнения и формулы (VIII-28) — (VIII-56)
даны в общем виде и поэтому они справедливы как для жестких, так ।
и для шарнирных соединений голов свай с ростверком.
Расчет высокого и низкого свайных фундаментов, когда верхние
концы свай заделаны в ростверке, можно также производить по фор-
мулам и уравнениям, приведенным в главах VI, VII и X.
Выше дан расчет высокого свайного ростверка на действие слож-
ной нагрузки. При этом рассмотрены только случаи, когда все сваи
под растверком погружены вертикально на определенных допускае-
мых расстояниях между собой. Если все сваи или часть из них пред-
полагается запроектировать наклонными, то для расчета такого свай-
ного ростверка остаются справедливыми расчетные уравнения, полу-
ченные для свай вертикально погруженных в грунт; при этом учесть
углы наклона свай с вертикалью.
ГЛАВА IX
РАСЧЕТ ПЕРЕКРЕСТНЫХ БАЛОК (ПОЛОС)
И СЕТЧАТЫХ ПЛИТ,
ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Перекрестные фундаментные балки и сетчатые плиты находят ши-
рокое применение в строительстве при возведении высоких зданий и
других инженерных сооружений.
Для расчета перекрестных фундаментов высоких зданий в настоя-
щее время нет единой теории. Это приводит к тому, что при необходи-
мости проектирования подобных сооружений приходится упрощать
расчетную схему и поэтому результаты расчета часто получаются не-
верными. Следовательно, разработка практических методов расчета
перекрестных фундаментных балок и сетчатых плит имеет важное
научное и прикладное значение.
Ниже рассмотрим метод расчета перекрестных балок и плит, лежа-
щих как на однородном, так и на неоднородном упругом основании,
нагруженных произвольными нагрузками, при любом варианте за-
крепления концов балок (полос) или плит*.
§ 1. Расчет перекрестных балок (полос)
со свободными концами, лежащих
на упругом основании (рис. IX-1)**
Заданные силы, действующие на перекрестные балки (полосы),
вызывают реактивные давления грунта. Одновременно перекрестные
балки давят друг на друга в узлах их пересечений 11, 21, ... тп. Узло-
вые силы А'ц, N21, ... , Nmn в этих же узлах вызывают на балках, па-
раллельных оси Ох, неизвестные силы Уи; У21, •••» а на балках,
параллельных оси Oz, неизвестные силы У^; У^, •••» ¥'тп'
* При расчете перекрестных балок на упругом основании приходится
Дважды учитывать площади пересечения балок двух направлений.
** С и м в у л и д и И. А. Расчет перекрестных балок, лежащих на упру-
гом основании. Труды симпозиума. Югославия, Сараево, 1969 г.
319
Зависимость между этими силами можно выразить формулой
М1 = ^н + гн,
(IX-1)
N —Y -4-У'
1 * тп 1 тп I ' тп
Прежде чем начать расчет перекрестных балок, сначала необходимо
найти Уи;К21> . Ymn. Для нахождения Уц; У21 , ... , Ymn использу-
ем уравнения (Х-2), (Х-4) и условия совместности линейных дефор-
маций.
Рис. IX-1
Чтобы получить удобное для практики решение, принимаем, что
перекрестные балки в узлах их пересечения не имеют жестких соеди-
нений*. Поэтому, пренебрегая кручением балок, составляем столько
уравнений совместности линейных деформаций, сколько имеется
узлов пересечения балок (полос)**.
* Ставится условие, чтобы оба конца всех перекрестных балок выступали
за пределы контура.
** Условия контактности балок с основаниями используются те же,
что в главе I.
320
Уравнения линейных перемещений балок (полос),
параллельных оси Ох
Уравнения линейных перемещений в узлах с координатами 11,
21, •••> Для балки
“*1**1 ( »(*1) UO V
\ °Н —Ун 1 — Zj Уз(11)х1Ц’
Lxt 1=1
“*i / »(х,) .P(*i)\ _ Z?m 7Х2|> V
—72-----\ °21 У'21 ) — i Уз (Н) X I Ц,
Lx, i=l
(IX-2a)
a i i=m
X1 *1 ( s(*i) У T<m|) xx
To \ °ml У ml / — " У'З (il) x t Ц-
L i=l
*1
Уравнения линейных перемещений в узлах с координатами In,
2п, ..., тп для балки АпВп:
V -<2«> V
Zi УЗ (in) х * tni
i=\
(IX-26)
Если в уравнениях (1Х-2а) и (IX-26) индексы хп всюду заменить ин-
дексами гт, а также Уп; У^р ••• » ^тл заменить 7VU — En, TV2i — У 2v
то получим уравнения для мысленно вырезанных балок (полос),
параллельных оси Ог. Поэтому нет необходимости приводить запись
Уравнений линейных перемещений для балок, параллельных оси Oz.
Учитывая совместность перемещений балок (полос) в узлах их пере-
сечений, получим в самом общем виде систему уравнений, куда войдут
кроме заданных сил и неизвестные силы Уи, У21. ••• > Утп (Рис- IX-1).
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
И, 21, (ml)-.
321
хн ^'Y« + = X
1=1 7=1 4x
хЬГ-Г1),
s" C> л.Y^ + 's C>. =^ir*
i=l /=1 Lz,
X (№> - №>) ,
(IX-3a)
l^y^xYn+'^y^Zm{Ymj-Nm^
1=1 y=l
=с^^1(г'")-е*))-
zm ' '
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами 12,
22, 32..m2.
^Ty^}xYi2+ X
<=1 7=1 Lz,
х W'-rf,1").
1 „ У г/22* У -I- 'у 7/(22» /у м \ аг2 i** v
22 21 £/3 (,2)л-2 Г 12 + - 4,3(27)z2V2y Л'27) "2 X
<=1 У=1 Lz2
xG^»-^’),
(IX-Зб)
X „ *ym t/(m2) y.a -U 1уП и<т2'> (У Л/ 'I — “Zm lZm v
m2 21 У3 (,2) X2 ' 12 4^ 21 y^[mj)z„AY mj mj)----/J- X
z=l /=! b
J 1 zm
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
In, 2п, ... , тп;
322
i—m____ j=n____ a i
i=l /=1 Л2,
ч 'Г , у!.+'2" а<ач (уу - Ny)=х
<=1 /=1
(1Х-Зв)
1 V V I V f/mn>. IV ________ NJ A _ Zm Zm V
'w " &3 (in) xn ' in "I " № ("4) zm V mj **mj) ,2 *
£=1 /=1 Zm
xfy0^) — y°( xn )) .
I Vmn vmn j
В этих уравнениях:
(IX-4)
*= L-“s q‘+s ?™-“>M'+
i! >=-rvH6*- ч.1 ~4'-S--y «>+s Wh". +
zm zm
+ Lzm^~y{iT(\m} ргу
(IX-5)
Уравнения (IX-3a), (IX-Зб) и (IX-Зв) являются общими для расче-
та перекрестных балок и сетчатых плит со свободными концами, лежа-
щих на упругом основании. Пользуясь этими уравнениями, можно
решить большое количество инженерных задач.
В результате совместного решения системы линейных уравнений
(1Х-За), (IX-Зб) и (IX-Зв), найдем неизвестные силы Kln, YZn, ... ,
Утп, возникающие в узлах пересечения перекрестных балок.
После нахождения неизвестных сил к каждой балке в соответствую-
щих местах к заданным силам присоединяем найденные силы. В ре-
зультате этого каждую балку рассматриваем совершенно самостоя-
тельно, как отдельную балку (полосу), лежащую на сплошном упругом
основании.
Если на перекрестные балки действуют только узловые силы
^п", -У21, .... Nтп, то правые части уравнений (1Х-За) — (IX-Зв) рав-
ны нулю и уравнения принимают вид:
323
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координата^
2” С,,Л>+ 2
<=i /=)
S + 2 = о.
(=1 /=1
(1Х-6а)
I=m — ,,
2 у^)Х1 у и + 2 y^^j-^j) = о.
i=i 1 j=i
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
12, 22, 32,..., m2-.
х<2 *2 С^Л2 + 2 Л)г1(у1;—М;) = о,
1=1 /=1
^•22 2 Уз (12) хг ^«2 + 2 Уз (2/) г, (У Ы =
1=1 /=1
(IX-66)
\и2 Уравнен 2 и. + 2 С’>...= °- 1=1 /=1 ия для балок, пересекающихся в узлах с коо| адинатами
1/г, 2п, ... , тп-. 2 Й,« » У,. + 2 14 " ,.. (у и - М;) = 0. 1=1 /=1
^2п ,у’ц(2л> Y- 4-/v’y(2"> (Y — N ) = 0 2а Уз (in) Хп 1 гп- 2j (2/) z2 V 2) ,v2yl v> 1=1 /=1 > (1Х-6в)
^п 2 2 ^)=°-
1=1 1=1
Ниже даны примеры расчета перекрестных балок.
Пример IX-1. Рассмотрим систему из семи связанных между со-
бой перекрестных балок, лежащих на сплошном упругом основании И
нагруженных сосредоточенными силами Л^ц, ..., Nis, приложенными
во всех узлах их пересечения 11, ..., 43, (рис. IX-2). Принимаем, что
324
L = L = L =L =L-
X» x, x, x4 x’
L = L = L = L = Lz.
21 Z% Za Z4
Поперечные сечения этих балок могут быть разными. Грунты под
основаниями каждой балки также допускаются разными.
Рис. IX-2
Требуется составить уравнения для определения значений неиз-
вестных величин Уп, ... , У 43, возникающих в узлах пересечения
балок.
Пользуясь уравнениями (IX-6a), (IX-66) и (1Х-6в), пол Ч. 2 7"т.У.. + 2 Яш,. <Уч-’'<<> - °. 1=1 /=1 учаем:
*21 2 ^3 (11) X ^«1 + 2 ^3 (2/) Z (^2у ^2у) — 1=1 /=1 *81 2 УЙ) х + 2 Ci) X ~ = °’ 1=1 ' /=1 (1Х-6а')
*41 2 <С) х П1 + 2 «S W) г (Г47 - = 0. 1=1 /=1 *12 2 Уз'(й)хУ12+ ^-) = 0, /==1 /=1
х V* 7(22) у. 4- V3 w(22) (Y • N ^ = 0 Z, Уз (12) X1 12+ Z- %(2/)zV2, yv2/7 и> 1=1 1=1 *82 2 ^й) х ^12 + 2 ЗД/) z - ^8;) = 0, 1=1 ]—1 (IX-66')
х V4 7/(42) у. -1- V3 w(42) (Y , N Л = 0 А42 Zj У3 (12) х 1 ’2 Т 2. Уз (4/) г и’ 1=1 /=1
325
jf 4 j.—з
>13 2 + 2 Уз1ш)г(Л;-М>) = 0,
i=l i—\
*23 2 ж Y* + S С/) г ^2, - N2j) = О,
*=1 /='
1=4 _ /=3 , (IX-6B')
>'33 2 f>3 (13)х^13 + 2 ^3 (3/) z (Y3j Nsj) = О,
i=l 1=1
>'43 2 ж Yi3 + 2 уГ(4Л г (^4; - = О.
1=1 1=1
Зная а_ , а, , i, , iz ,b, ,bz , L, , L. , Lar и Ea, , для
балок обоих направлений по формуле (IX-4) найдем значения
Хп, ... , >43 и затем по табл. V-4 найдем величины узипх, •••, Уз\и)2.
являющиеся множителями при неизвестных силах Уп..........У43. Под-
ставляя взятые из таблицы значения величин Уз'с'щх, .... Уз'АЬг......в
уравнения (1Х-6а')—(1Х-6в')и решая их относительно Ун, ... , У
найдем неизвестные силы Yп, ... , У43.
После нахождения неизвестных сил УП, .... У43 в каждой балке в
узловых точках к заданным силам 7VU, ..., присоединяем найденные
силы. В результате этого каждую балку, входящую в состав системы
перекрестных балок, рассматриваем и рассчитываем как простую
балку постоянного поперечного сечения, лежащую на сплошном одно-
родном упругом основании.
Если какие-либо из сил NIU ..., TV43 в узлах балок не приложены,
то из уравнений (1Х-6а') — (1Х-6в') эти силы выпадают, но все урав-
нения остаются действительными.
Пример IX-2. Рассмотрим перекрестные балки, лежащие на уп-
ругом основании и нагруженные сосредоточенными силами Nn, ...,
N3a, приложенными во всех узлах их пересечения 11, 21, ..., 33
(рис. IX-3).
Рис. IX-3
326
Составим в общем виде уравнения для определения неизвестных
величин Yti, ... , У33, возникающих в узлах пересечения балок
11, ... , 33.
Пользуясь уравнениями (1Х-6а) — (1Х-6в), имеем:
у3 у(,,) XJ »3(il)x 1=1 Уи + y’?11’ y3(l7) z /=1 -2V1;) = 0,
^'21 *у у(21) XJ »3(il)x i=1 ytt + y3y<21) Xj »3(2/)z /=1 (^27 -^2;) = 0, (IX-6a")
^31 ^12 у3 й(31) XJ »3(i1) х У Ут 21 (/2) х 1=1 Ун У.2 + + 'v 7<31> Xj y3(3/)z X. ^3(1/) z j=l (^37 -yv3y) = 0. -2Vly) = 0,
^22 № у(22) Xj »3 (12) х 1=1 yi2 + y3 ”y(22) 2j »3(2/)z 7=1 (Y3J -JV2y)=o, (IX-66')
^32 ^13 № у(32) XJ у3 (12) х <=1 у3 7,3) XJ »3 (13) х (=1 yi2 yis + + y3 u(32) Xj y3(3j)z /=1 У^ y(!3) XI yA (l/)z 7=1 (y3j -M») = 0, -(Viy) = 0,
Л23 У ?23) Xj ^з(О) х 1=1 yi3 4- y3 w(23) XJ y3 (27) 2 7=1 (^2/ -ЛГ2У) = 0, (IX 6b")
у3 у(33) X. У3((3)х 1=1 yi3 + V3”y(33) _l »3(37)Z 7=1 (X3i -2V3;) = O.
Зная величины а. , a ix , iz , b , b , Lx , Lz EOx и
xn xn xn лп m n
, по формуле (IX-4) определяем X(1,..., >33 и затем по таол. (V-4)
находим значения величин Уз<11)х... Уз'иог,... После определения
этих величин решаем урав-
нения (1Х-6а") — ЦХ-бв") отно-
сительно неизвестных
Y
зз-
Пример IX-3. Рассмотрим
перекрестные балки, лежащие
на упругом основании (рис.
IX-4). Дано:
I’r. Lx, bz, Lz; £0 (х); ^o(z)’ Р-
Требуется в общем виде со-
ставить уравнения для опре-
деления Уп и Y'n и решить их.
Рис. 1Х-4
327
Пользуясь первым уравнением из системы (1Х-6а),
№ (in + Уз (?i) г(Уц — Р) — 0.
имеем:
о мВ
откуда
7(Ц) р
Уз (11) г г
11 7<и) -i-7?ll>
Ли Уз(п)х т Уз по
Соответственно, на основании формул (IX-1)
У' =р
и г
7(Ц)
_______Уз(И)г__________
1 77(H) । 77(H)
Л11 Уз (11) х Т Уз (Ц) г
Зная показатели гибкости ах и аг по табл. (V—4), найдем значе-
ния Уз(11)х И Уз (II) г-
Пример IX-4. Даны перекрестные балки (рис. IX-5, а—е). Требу-
ется построить эпюры р, М и у.
Пусть
L = L = L = L = Lz = L;
*1 Хг Zi z2 za
ах. = % = % = •••=% = 100;
^ = ^ = ^=- = ^ ₽1 = 0,1; ₽2 = 0,4; ₽3 = 0,9;
Е = F = F — F — F
0(х.) ^0(х,) 0(г,) С0(г2) Е0(г,)’
Л^и = Ni2 — N3i = Л'32 = 0; Nzl = Р', N22 —
Решение. Зная все приведенные выше величины, сначала на-
ходим неизвестные узловые силы Уи, У21, и У'ц, У', ...
Пользуясь уравнениями (1Х-6а) и (IX-66) и формулой (IX-4),
получаем линейные уравнения для всех шести узловых точек:
Уз (11) к Ун + Уз (21) х Y 21 + У3(31) х У31 + Уз (II) г Ун + У3(12) z У12 — 0j
7<2l) v I —(21) v I 7(21) v _1_Т,<21> V г 77(21) V/
Уз (11) х г И "Г Уз (21) х г 21 + Уз (31) х Г 31 + Уз (21) г У21 + Уз (22) г У22 =
_ 7(21) п . 7(21) Р .
— УЗ (21) г Г" -р Уз (22) г "у ,
У3(?1)х Уц + y^(2\)xY2i -Y Уз3(3\)х У31 +Уз3(31)гУ81 + У3(32) г У32 = 0;
Уз (12) х У12 + Уз (22) х У22 + Уз (32) х У32 + Уз Ц1) г Уц + УМ12) г Yi2 = 0j
7(22) v ! 7(22) v 1 7(22) v —(22) v , 7(22) v
Уз (12) X l 12 ~T~ УЗ (22) X Г 22 + УЗ (32) x T32 + Уз (21) z Y2i + Уз (22) г У 22 = |
— 7<22) P _i_7<22> p
— Уз (21) z -Г + Уз (22) z — ,
Уз (12) x У12 + Уз (22) x У22 + У33(32) х У32 + УЗ^З*) г У 31 + Уз3(32) г У 32 = 0.
328
: i
ft
5,0
Эпюра P
Зпюра М
Рис. IX-5
Подставляя в вышеполученные уравнения значения уз'ип х, ...
Уз3(2з2)г, ... из табл. V-4, имеем:
4,455 Уп + 1,296 У21 + 0,443 У31 + 4,455 Уи + 0,443 У12 = 0;
2,789УН + 1,513Уа1 + 1,8ОЗУ31 + 0,443У22 + 4,455У21 = 4.455Р +
+ 0,443 — ;
2
0,444 Уи + 0,324 У21 + 4,455 У31 + 4,455 У31 + 0,443 У32 = 0, 1
4,455 У12 + 1,296 У22 + 0,443 У32 + 0,443 Уи + 4,455 У12 = 0;
2,789 У12 + 1,513 У22 + 1,803 Узг + 0,443 У23 + 4,455 У22 =
= 0,443 Р + 4,455 — ;
0,444 У12 + 0,324 У22 + 4,455 У32 + 0,443 У31 + 4,455 У32 = 0
ИЛИ
8,910 Уц + 1,296 У21 + 0,443 У31 + 0,443 У12 = 0;
2,789 У„ + 5,968 У21 + 2,803 У31 + 0,443 У22 = 2,6705 Р;
0,444 Уи + 0,324 У21 + 8,910 У31 + 0,443 У32 = 0;
8,910 У12 + 2,996 У^ + 0,443 У32 + 0,443 Уп = 0;
2,789 У12 + 5,968 У22 + 1,803 Y& + 0,443 У21 = 2,6705 Р;
0,444 У12 + 0,324 У22 + 8,910 У32 + 0,443 У31 = 0.
Решаем совместно полученные уравнения:
Уп=— 0,114 Р; У21= 0,811 Р; У31 =—0,018 Р;
Лг =,— 0,055 Р; У22 = 0,4204 Р; У32 = — 0,0117 Р.
Зная Уп; Угь . находим У^; У'р ... и затем строим эпюры
р, Q, М и у (рис. IX-5 б, в, г, д, е).
Рис. IX-6
Пример 1Х-5. Даны пе-
рекрестные балки (рис.
IX-6). Требуется опреде-
лить силы Уп; У21; У81‘.
У12; у22 И У32, возникаю-
щие в узлах балок АгВ1 и
А2В2 и силы У'(; У21; У^,;
У;2; У22 и У'2, возникаю-
щие в тех же узлах, но на
балках CjDf, С2О2 и C3Dr
Пусть
330
L = L=LZ = Lz = L = Ц
Xi Xg 2g
a =a =a =a =a = a — 100;
Xi X, z, z2 z,
P1= 0,1; ₽2= 0,4; ₽3= 0,9;
Ex= E = E z = E = E = E-,
Xi Xg zt Z2 Zg
F — F — F — F — F —
о (x,) — C0 (x2) — C0 (z,) — (z2) Z'O (z.)
Решение. Для определения неизвестных величин Hu; Н21;
Fsil ^i2‘. И22 и У32 согласно уравнениям (IX-4), (1Х-6а) и (IX-66)
следовало бы составить шесть уравнений. Но в связи с симметрией
нагрузок
АД = ЛД = Л\2= Л^22= А/31= А/32= Р
и конструкции (конструкция имеет одну ось симметрии) имеем:
У11= У121 У21“ У221 ^31= У32-
Поэтому вместо шести уравнений достаточно составить следующих
три уравнения:
9,353 Уи+ 1,296 Г21+ 0,443 Г31= 4,898 Р\
2,789 Гп+6,411 У21+ 1,803 Г81= 4,898 Р;
0,443 Уи+ 0,324 Г21+ 9,353 У31= 4,898 Р.
Решаем эти три уравнения относительно УД; К21 и У31:
Уи= 0,44055 Р- У21= 0,43483 Р;
Г31= 0,48771 Р;
Пример IX-6. Рассмотрим перекрестные балки (рис. IX-6). Тре-
буется определить силы УД; УД; УД; К12; Угг и Н32, возникающие в
узлах балок А1В1 и А2В2 и силы Н'(; У21; У'31', У'12, У'22 и У32, воз-
никающие в тех же узлах, но на балках C2D2 и C3D3.
Дано:
Nn~ N2l= N3i~ ^12— N22= 1^32— P\
L =L =L =L =L = L\
a = = 100; a = a = a — 400;
Xi X2 21 2g
^Xi = ^хг = ^z, = ^zs = ^z, =
hXl = hXi = hZi = hZt = hZt = h-
p _____p _ p F — F — F — E
C0(x,) — C0 (x2) — ’ 0GM O(Z2) ^0(zs) ^O(Z)’
k = bz'E°^ =4;
331
Pi = 0,1; p2 = 0,4; fl3 = 0,9.
Решение. Пользуясь уравнениями (IX-4), (IX-6a) и (1Х-6б)
имеем:
4 (4,455 Уп + 1,296 У21+ 0,443 У81) + 4,424 Yn + 0,371 У12 = 4,898 р.
4 (2,789 Ги+ 1,513 У21 + 1,803 У31) + 4,424 У21 + 0,371 У22 = 4,898 Р-
4 (0,444 Уи + 0,324 У21 + 4,455 У31) + 4,424 У31 + 0,371 У32 = 4,898 Р
или
22,244 Уи+ 5,184У21+ 0,371 У12+ 1,772 У31= 4,898 Р-
11,156 Уи+ 10,476 У21+ 0,371 У22+ 7,219 У81= 4,898 Р; 'j
1,776 Ги+ 1,296 Y21+ 22,244 У31+ 0,371 У32= 4,898 Р.
Решаем полученные уравнения совместно:
У11= 0,17 Р; У21=0,16Р; У31=0,19Р;
У12 = 0,17 Р; Угг = 0,16 Р; У32 = 0,19 Р;
Y'n = 0,83 Р; У', = 0,84 Р; Y'3l = 0,81 Р;
Г;2 = 0,83 Р; Y'22 = 0,84 Р; У'2 = 0,81 Р.
По полученным данным можно строить эпюры р; Q; М и у.
Пример IX-7. Даны перекрестные балки (рис. IX-6). Требуется
определить силы Уи; У12; У21; У^; У31 и У32, возникающие в узлах
11, 12, 21, 22, 31 и 32 балок AjI^ и А2В2 и силы Уц ; У12 ; У2]; Уа ;
^з. и У32, возникающие в тех же узлах, но действующие на балках
СгТ\; C2D2 и C3D3.
Пусть
TVи = N21 = TV31 = TV]2 = N22 = TV32 ~ P't
Bxt — 1-хг — EZl — LZl = LZl — L‘,
ax, = аХг = 100; aZ1 = aZs = az„ = 400;
Px, — Ex, = EZ1 = Ez, = Ez,;
Po (x,) = £0 (xs) — Eq (Z1) = Eq (Z2) = Eq (г3)’,
hx, = hX2 = 0,5 m; hZ1 = hz, = hz> = 0,317 m.
Решение. Пользуясь уравнениями (IX-4), (IX-6a) и (IX-бб),
получаем*:
4,455УП + 1,296У21 + 0,443 У31 + 4,424Уи + 0,371 У12 = 4.898Р;
2,789У11+1,513У21 + 1,8ОЗУ31 +4,424У21 + 0,371 У22 = 4,898Р;
* Из-за симметрии конструкции и нагрузок Уц = Уц; Ул = У22 и Fsi =
= Уз2- Поэтому составляем только три уравнения.
332
0,444Ги + 0,324У21 + 4,455У31 + 4,424Г31 + 0,371 У32 = 4.898Л
Решаем полученные уравнения относительно неизвестных Уп,
у21....Узг’. Уп, — , ^32 получаем:
= 0.44Р; Г21 = 0,44Р; Г31 = 0,49Р;
У12 = 0,44Р; Г22 = 0,44Р; Г32 = 0,49Р;
Y'n = 0,56Р; Г21 = 0,56Р; Г31 = 0,51Р;
Y'l2 = 0,56Р; Y22 = 0,56Р; Y32 = 0,51Р.
По полученным данным можно строить эпюры р; Q; М и у.
§ 2. Расчет перекрестных балок (полос)
и сетчатых плит, лежащих на упругом основании,
концы которых одновременно опираются
на несмещающиеся сосредоточенные опоры
(рис. IX-7)
Уравнения линейных перемещений балок (полос),
параллельных оси Ох
Уравнения линейных перемещений в узлах с координатами
ml для балки ABf
“*i * lXi (s.Xi ,!>М\ _ V ,,<4) V I „<п> V. _1_
-—— Уп ) — 2j Узапх^и^ Уз(Апг A‘ +
Lx, i=l
। 7<|[) v .
+ № (Bj i Bt,
ax, ( й(х.) „О (Х.П _ 7(21) v .
---~2 \ °21 У21 > — f/3(il) X, Г il -b
LXl i=l
1 *7/(20 v 1 7/(2i) v
+ Уз (Л,) lAt " У3 (Bt) YBi
(!X-7a)
% A /*(*,) у 7<ml>
---------(oml — Ут1 ) — 2j t/3(Zl)
Lxt Z=1
1 v 1 ~v
+ f/з (Л,) У A, + Уз (В,) у Bt-
Уравнения линейных перемещений в узлах с координатами 1л;
2п, ..., тп для балки АпВп:
333
П i= I
। 77*”) v । T,(,n) v
+ У3(Ап)УАп + УЧВп)УВп
( &(*„) _ y° <*„> 'j = T y<2”> у +
2 \ 2n У2« I (‘n~> * ,n^
' '=1
(IX-76)
2йХл.„+
'xn i=l
j-TX'”"* v A-7Smn} v
+ № <v ^„+yw\-
В этих уравнениях Ya, ; YBt, ..., УА/1 и YB^ — силы, возникающие
по концам балок Л17 ..., Лп; BY, ..., Вп в результате их опирания на
сосредоточенные несмещающиеся опоры.
Рис. IX-7
Для нахождения этих сил используем условия равенства нулю
реактивных давлений грунта под всеми концами балок:
п
i=m
)j + LXn X ( Рз (Bn) • Р;
7^вп)
3 (in)
334
где
; = Л у
п ‘хп
3(Bn)
вп) 7(ли)_
(Ип)^3(т)
(IX-8)
(IX-9)
1____________.
~р^Ап>
3(Ап) 3(Вп)
. 0 (х ) -(В ) \
Рз(в„) Рап Рцвп,}>
;-„) о(х )-(д ) \
P3<v ~Рвп РА>Ь
(IX-10)
~^Ап) ^(Вп) _ р.
ЧАп) з(Вп)
° (*„)-( л )
Рвп Г . '
О (х) -(В„)
Ч Г
Подставляя значения YAfi и ¥вп из уравнений (IX-8) и (IX-9) в
уравнения (1Х-7а) и (IX-76), имеем:
Уравнения линейных перемещений в узлах с координатами 11, ...,
ml для балки А^:
a С
Х1 Х1
L2
0
Z(-Vn)l
0
Z(x„)2:
(11)
3
(IX-11)
a„ l
xi
I*
(IX-12 a)
- ym\Xt}) = S « х • Yu +
LX, »=1
Уравнения линейных перемещений в узлах с координатами И, ...,
тп для^балки АпВп:
хп хп <»(*„) „о(*„)\_ V .,<l«> v । т
---~2—IV — У иг )- 2. %(гп)хпрГг« + А(1п)
Lxn '='
- i1'"’) = 's й” >
1
(IX-126)
ах 1Х
хп хп
^х
п
g’V —у^хп'
тп 1-1 тп
335
В этих уравнениях:
> । (7<тп) ~пА"} ___7{mn'1 '
Ил)Рз(Вп’ Уз<Вп> “-л
u{mn}
У3(1п)хпр
;<V
3 (In) T \У-
__ 7Amn) I „
Уз (2n)x’ ^x„
л«’ +(V'”n) o(An) — ulmn) o(An)
(2n)~ {УЗ(Ап)РЗ(Вп) Уз(Вп)Уз(Ап
X Б(Вп) ) n
X рЗ(Вп)} P;
Уз <2«>*np
—IB ) \ —(
X p3(B„)) Рз
n{Bn'1 _7Smn'> y
<Bn>PW y3(An) *
—(A ) \—(B ) 1
Pз(An))Рз(in) j : 0X-13a)
mn> . 7<BJ —7j<mn> v
>(B„) '3<-V Уз<Ап>
+(ад........... .............
' П' ' n' K n* ' n/z X"»/-
r-(mn) “(B„) ~ynn) ~(Bn) \-l
\.УЗ(ВП)РЗ(АП) У3(Ап) Рз(Вп))Р;
+ (v(mn) ~o{A"} -~DAn} \7fBn} 1-
\ Уз (An) Рз (Bn) Уз (Bn) Рз (An ) J Рз (mn)J ’
\ n..
у 3(mn) хпр Уз(тп)х •*„
3 (2n)]> (IX-136)
' ' — (Л )
(1Х-13в)
K(rnn) x — f
xn
, (mn) , ,0 "(mn) 1
(*лПУ3(Лп) ^-\xn)2 'Уз(Вп))-
(IX-14)
Если в уравнениях (IX-12a) — (IX-14) индексы xn заменить всю-
ду индексами zm, а также Г;(, Е',,..., заменить Nu — Yn,
^2i— У2i, то получим уравнения линейных перемещений для мысленно
вырезанных балок (полос), параллельных оси Oz.
Учитывая совместность линейных перемещений балок (полос) в
узлах их пересечения, получим:
уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
i—m f=n
Х11 Z Уз (Zl) хпр + L Уз (V) гпр (У1; ~ ^1у) =
= — т-?1 (yn(z*)-y?i(JC,)) + (КоОг-ХнКщ) х),
^21 X Уз(1\)хn/il+ Xl Уз (2/)z ~ i=l /=1 P ,2 (У2‘ 1/21 )+(-K(2l)z \iK(21)x), (IX-15a)
i=m J=n
>«, s ад,,„/..+ s
1=1 Р у=1
= Д — + СК(т1)г — ^mi^(ml)x)-
*-m
336
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами 12,
по ..., m2'.
* ’ i=m j~n
\г X Уз<й)х ^2 + X Уз<у)г (^У ^y) =
S___1 ‘ 1_«
(t/12(Z,) - ) + (K(12) z — ^12^(12) *)>
u+ X y^n^j- My) =
a *z
Z1 Z1
= 4
i=m
A V yC22)
22 У3(й)*пр
=-------Z* 2 ^ (!/22<Z,)---f/22(Z,>) + (K(22) z------^22^(22) x)» '
(IX-156)
> V »/m2) Y i У ,/m2> (V N \ —
Kmi 2^ Уз(<2)х 2«2 ‘ 2-1 Уз(т/)г Y mj /v mj)
i=i
'm\ —У’т^) + (^<m2)z —
az lz
4.
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
In, 2п...... тп:
i=^m j==n
Xl« Xi Уз (in) Xnp Yin + X Уз(1/)гпр(^У —^у) =
“г, ‘г, { (*л)\ . Ik- 1 М \
—-----?2----\ Ут ) + (А (In )г Л1„Л (1п)х)»
i=m j—n
Кп X Уз(/п)х Ут + X Уз (2/) г (^2; — Л/27) =
fe=l /=®1
= ЛМС -i'”?’) СХ-15В)
i=m i=n
К. S «>.„/<•+ S Слг.<г-/-^=
i=l p /=1
- ‘ (К<™> < - >™ K(M .).
mz
Уравнения (IX-15a) — (1Х-15в) являются общими для расчета
Перекрестных балок (полос)и сетчатых плит, лежащих как на однород-
ном, так и на неоднородном упругом основании, концы которых сво-
бодно опираются на несмещающиеся опоры.
12—597
337
§ 3. Расчет перекрестных балок (полос),
лежащих на упругом основании
с жестко заделанными концами, но не имеющих
препятствия на вертикальные перемещения
(рис. IX-8)*
Рис. IX-8
В этом случае уравнения линейных перемещений балок (полос),
параллельных оси Ох, имеют вид:
Уравнения линейных перемещений в узлах с координатами//, ...,
т\ балки
.=! ₽
xt ^Х1 ( а(х1) хл -.(21) \7 । гл
“72------(<>21 —1/21 )— У У3(Д)х Ги + А(21)*.
п₽
(IX-16)
’ - y°m\Xl)) = Y у™ х У и + к(т1, х.
пр
Уравнения линейных перемещений в узлах с координатами 1Я»
2п,..., тп для балки АпВп.
•Симвулиди И. А. Расчет сложных фундаментов на упругом оснс"
вании. ВЗИСИ. М., 1969 г.
338
( s(*n) _(7)1 ______ у (In) у I IZ
I in yin ) ~ —1 ^3Un)xnpyin + A(m)x.
Z=1
a*n ixn
nlxn f s(xn) ,.0<7)l_ у (2л) у i IZ
72 \ 2л У*« / -J % (,n)xnp^«n + A(2n);
xn i=l
(IX-17)
n *xn ( ..° (*пЦ _ V ,,(mn) V I V
"£2 \ mn Утп ) ~~ 2j Уз (m)*np ‘ л A(mn) x-
xn i=m
В этих уравнениях
(mn) _____~(mn)
Уз(1л)хпр »3(1л)х
. ' Г ~(mn) m(Bn)______________«/Л"Н
+ 7<:п [У2 (Ап1 \Ф2(Й„) Фз(1п) % (Вп) Фз (in))
iT™) (а/^ т<лп)__ (Лл) Ф^я))1- (1Х-18а)
+ Уг (Вп) 1Л2 (Лл)Фз(1п) Т2 ( Ап) Фз (1n)J J ’
(тп) ~{тп) А_п' Г“(тп) (сг'(А'’) __(Г^Б^ т^лИ I
%(2п)хпр= #3 (20)* + Р2 (Ло)И2 (В„)<1)3(2„) ^2 ( В^З (2n)J
. -(тп) (^(Бп) ^(Ап) т^Ап^ ЛХ-186}
+ Уг (Вп) П2 (Лп) Фз <2г) Фг рп)Фз (2nJJ • vA 1б°)
(тп) _ -(тп) - [7<тп> (^А^ ____ч
У3(тп)хпр — Уз(,пп)х "Г Чхп [ У2 (А^ V2 ( В„)Фз (тп) -<
~(Вп) “(Лп) \ 1 “(тп) Г Вл (Лп) _<р(Лп) Т(Вп) 11 (IX-18B)
— Фг ( в„) Фз (тп) J + У2(ВпДФг (лП)Фз(тп) Фг ( Ап) Фз (тп) J]
К(тп) х —
(Лп) ___“(тп) ~(Лп)
2(В„) (Во)Ф2(Лп)
О (*„)
ФВп “
(хп).
1л ’
f-(mn) -(BJ —(тп) Z(Bn) 1 т°
— \У2 (Ап) <Р2(в„) Уг (вп) ’ Ф2(Лл)) ФА
' 1
Т,Хп = -(Лл) “(Вп) _7(Вп) ,7(Лп)
^2(Лп)*2(Вп) 2(Лп) 2(Вп)
(IX-19)
(IX-20)
Если в уравнениях (IX-16) — (IX-20) хп заменить zm, получим
Уравнения линейных перемещений для балок (полос), параллельных
оси Oz.
Учитывая совместность линейных перемещений балок (полос) в
Узлах их пересечения, получаем:
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
21.....ml-.
12*
339
},ni S Уз(/|)х -Hl I L ^(l/Jz (П/ ^tj) —
; /=1 /=1 P
= ^-(y°^-y^Xl}) + (^(»)г -^A(U)x);
i=m j=n
^'21 1j Уз{И)х Hl + X ^3(2;)z (П; =
/=1 P /=1 P
= (!/21(г’’ - г/°21(х,)) + (K(21) г - >.гл(21) z)
(IX-21a)
) v V
ml Zl «3 (in} xnp
Лгпр(^-^) =
a, I,
гт *т
z —
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
12, 22, ..., m2-.
i=m i=n
.*_I -_1
a.
.—^12^(12) л);
zt
> V >/(22)
Л22 Zj Уз (,2)
/=n
X Уз (2j) znp (^2j N2J) —
пр
\ ~(№2<г,>-----------У22Х'}) + (/С(22) z — \»1{{22.} х)',
L г.
(JX-216)
^'т2 Jj Уз (i2) х ^12 + X Уз (mj} г mj ^mj) ~
i= I ₽ /=1 Р
= [УтУ- У^Хт>) + (tf(m2) z-H2tf(m2) Л
340
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
In, 2п, ..., тп:
i=m j—n
^1л X Уз (in) Хпр + X Уз (1/) =
= • (у°п(г,> — У1П + (^C(ln)z — >1„/С(1п) х),
X У ti(2n) Y- 4- У t/(2rt) (Y N Л =
л2п Zj Уз (in) х r in Т — Уз (2/) г V 2j lv2j) ~
Z=1 /=1
°г« ( .,0 (z2) (Хг)\ 1 / w \ V \
-------72-----\Узп —Угп ) +иЧ2л)г ^2пЛ(2п)х),
(1Х-21в)
/=т 7=п
^тп Ъ Уз (in) х Yin + — Уз (mj) z]p У mj mj) =
7=1 /=1
O(zm) 0(хя)\ х .
— д2 \Утп Утп J+(A(mn)z Ьтп1\(тп)х)-
zm
Пользуясь уравнениями (IХ-21а) — (1Х-21в), можно рассчитать
। ерекрестную балку с жестко заделанными концами.
§ 4. Расчет перекрестных балок (полос)
о упруго заделанными концами, лежащих
на упругом основании (рис. IX-8)
Рассмотрим случай, когда все концы перекрестных балок упруго
заделаны, не имеют вертикальных перемещений и свободных поворотов.
В этом случае имеем т + п неизвестных усилий, возникающих в уз-
лах их пересечений и 4 (т + п) неизвестных усилий по концам в мес-
тах закрепления балок, где
п — число балок, параллельных оси Ох,
т — число балок, параллельных оси Оу.
Пользуясь уравнениями линейных перемещений и условиями их
совместности, можно составить столько уравнений, сколько имеется
узлов пересечения перекрестных балок, т. е. т-\-п. Но так как все
концы балок закреплены, то по концам каждой балки еще дополнитель-
но возникают по четыре неизвестных усилия для нахождения которых
необходимо составить 4 (т п) уравнений.
Для составления 4 (т + п) дополнительных уравнений восполь-
зуемся следующими граничными условиями (принимаем, что концы
всех балок упруго заделаны — не имеют вертикальных смещений и
свободного поворота):
1) реактивные давления по концам балок равны нулю;
341
2) углы поворота концов балок являются заданными величинами
(в частности, при абсолютно жестком закреплении концов балок угдц
поворота должны быть приравнены нулю).
Для балки АпВп реактивные давления по концам Ап и Вп выра.
жаются уравнениями:
lj Рз (in) Y in + L [ Рз ( Ап) Ya„ + Рз (Вл) +
+ Р2 $п) МАп + X мв= - р£>,
L £Йй, г,. + L [ЙХ Гл, -I- ч 1 + <1х 22)
, т(вп) м м ~—п{х}
+ Р2 (ап)Мап + Р2 (Вп) Мвп— Рвп '
Решая эти уравнения относительно Y А^ и YBn, имеем:
L*n YAn — т1хп | Z(xn) । + /(xn) i MAn + Лжя) 2-Л4вп +
+ L ‘y-p^Y. 'y-p^ xY- Й
xn I '3 (Bn) Zj Рз (in) 1 in P3 (Bn) <‘n> A 1 ln >’
I t=l
LxnYBn = { Z(x„)8 + ZU)> Мап + ZU>2 • MBn +
4-Л (р(Вл) утр(Лп)У- — п(Лл) h-
' xn \P3P„) ^3(in) z in Рз (An) Zj Рз (in)* in)j •
i=l 1=1
Уравнения угловых перемещений концов балки АПВП
Ct V- I г
vn лгг ।
Lxn
X MBn 4- LXn
ln ln
'n
+ L^.
(IX-23)
имеют рид
(IX-24)
(фл,-Фу = Ф<Х
/ 0 \ — (Bn)
(фв„-фВп) = Ф2(Лл)
^ф(Вп) у I ф(Вп) ]
1 фз(Л„) л« + фз(в„)
Мап + %{ВП)Х
3 ( Bn) ' Увп ф3 (<л) Yin
/=1
+
7В + I ф( Bn' YiД .
« —1 3(/л) 1,1 j
/I
Подставляя значения Yи YBn из формул (IX-23) в уравнения
(IX-24) и решая их относительно МА и Мв имеем:
п п
342
(IX-25)
Подставляя значения МАп и AfB^ из формул (IX-25) в формулы
(IX-23), после некоторых преобразований, получаем:
Dxn + Z х Yin
«=1
£=» 1
(IX-26)
В уравнениях (IX-22) — (IX-26) приняты следующие обозначения
о __________1_______.
'ХЛ“ ^’п)Г%)2-%)1С)2 ’
(IX-27)
[ 4„) 2 4- . 6(Хя) < + > 4)]; I
£>('«) X = п” л • [ *<*п) 1 ( 0 (Х/г) 2 — ©(*„) 2 ^(/П)П1) +
+ Цхп) 2 (©(хл) 1 Я(1Л)"1 — ®(ХЛ) I Мй)П2)] + flXn • LXn (pl (nJn) X
г>(|) °
D(in}x=4^Xn
у — Й(В4 п<Л«И.
Х Рз(/п) Р3(вп)Рз (т)) ’
(®\Х\2Н<Л1) ~®<х }2f
( 'хп'2 ('n)JC ' п>
(н) Ап^
0(^)1 • h(inyX— 0U„>>
+ 71 L (p(Bn) -Р(Ап) ~Р(Вп)
+ TU„ Ьхп I РЗ (Ап) Рз (in) Рз(Ап) Рз (In)
(IX-29)
(IX-30)
343
H<AJ = L
(in)x .
4") р(Л«) _ ф(Лп) рИп) '
(Ап)Рз(Вп) Тз(£П)Рз(Лл)
+ п(в") _фИ«) n(B") L □
+ 1^3 ( В„) Рз (Ап) Фз ( л„) Рз (Вп)j Рз (in) н
H^ = L [ШВп} Ъ(Ап} -w{Bn)
</„)х ЬХп ЩФ3 ( Ал) Рз ( В„) Фз ( Вп) Рз ( Ап)
_л_(~(вп> 7^ ^(Bn) 7(вл) ¥17<лп).
..= п(В«) 7<Л") _-(Лл) . -(Вл)
(Х-}1 РЧАп)РНВп) 2(Лл) -p3(Bny
t, „ = Ъ{Вп} 7^ -7(В«> 7<л*> •
Рг (Вп} Рз (в„) Рз (вп) Р2 (вп) ’
/А» .=п(л») 7(в«) _7(в«) ,7(лл)
(л)1 Рз (Ля) Рз {Ап) Р2(Ап) Рз{Апу
/;\2=п(Л«) .р(Вп) — р(В") р(Лп) .
(л)2 Рг(Вп) Рз (Ап) Р2(Вп)Рз{Ап}'
еГ.). = ф'Х+ ч.(’’'cV'rt,) + <₽'$,) '«,>.).
в<'«> 1 = (В,) + Чх„ (лл) ! + Ф*з (вл) <('л> ! ) ’
е(-.) “ ’Ь. и.) • 'к)' + ?з X •2) •
А п 1 Гл ( (Х)\
0Гл)4 =ах„ • Ч[0(Хл)2 (Фв„ -Фв„ )-
-%2(<)-С,)+(^) -0?„)2-
—®(Ч)з- 0е„)2)];
=<₽2Х> +^(^<4 Z(x„) 1 + фЙ’^ь ).
0(хя) 2 = ф2 (Вп) + ^хп (ф! (Ап) t(Xn) 2 + Ф‘Х) ’ Z(V 2 ‘
0U„) 3 = 'Чхп (фз (Ап) ‘ 1(хп) 1 + ФзВ(Вл) С„) 2 ) ’
0й 4 = % Ч [%. (Фв„ -Ф^„) -е->. К -фУ] +
+ (0<*„) 10<х)л) з — eu j 10<хл)з )];
(IX-31)
(IX-32)
(IX-33)
(IX-34)
(IX-35)
344
{О
Ж)х+^[5ог(е;о1гНЙ;_
- eu„>, «!Х)+ВД„> (%,. x н;&>, - е'”,, )] +
+(»“„> D<»> -+^'3„> D!w.)} <1Х-36а>
( -4°
i/<ln) = J7<>«) । Г 7/1") Ла(>) д/<л„)
3<2л) *пр )Уз(2п)х' £ [^2<Лл> (®(х„) 2 ^(2п) х
I хп
-%, + sC„> (%,. «X - е>;>,, (IX-366)
3 <тл> *пр
г0
у<|я> j______^«_Гу(|л> /е(1) —
»3(т.1)х' L [ У2 (Лп) ^(х„) 2 (тп) х
хп
__0 Я(Вп> \+и{1п} (Q Н{Вп> —0(|)
°(хл)2 П(тп)х) + »2(ВП) ^ (^„) 1 “(ли)» (»„)'
Я(Лл> \1 _|_
(тп) х)\ ~
+ (t/{ln} D Ч-у(1л) D(l) 11.
»3 (Лл) L'(mn) X I t>3 (Вп) и(тт х)[
(1Х-36в)
„(>"«) = I ^п Г „ тп) (q н(Ап) _
»3(1л)х Уз(1п)х^ L [ Уг<.Ап) х у-’(хп)2,‘()п)х
~~ &(хп) 2 Н\)п)х ) + у2 (ВУп) (®(хл) 1 H(lt!)x ~~ ®(х^) 1 х
X С"Л)]+ D^x +«i) • Ч'^)}:
(1Х-36г)
(m«)
Уз <2п) »пр
7(тп) Vxn Г . (тп) /q(D
»3 (2n) х 1" £ [ У2 (Ап) \У(хп) 2
Я(Лл>
(2л)х
— е н(Вл) 1 + y(mn)
^(хп)2 “(2п)х) »2(ВЛ)
Н(Бп> _0<» Я(Лл> '
П(2п)х U(x„)l JJ(2n)x
+(?х х +ЙХ
С,.)Ь
(IX-Збд)
(mn) _ I — (тп) । Vxn Г ..(тп) /rUl) М<Лл> —
Уз(тп)х ~~ | Уз(тп)х г [ У2 (Ап) ^ (»л) 2 (тп) х
р I хп
345
2
Н{В"} \л_1/<тп'> (q н<вп> @0) Н(Лл>
(тп) х) ' У'2 (Вп) \ (Хп) I п (тп) х V(-r„) 1 П (тп) х
.(™)
3 <Лл>
D у<тп> £)<*>
1-'(тп)х * уЗ(Вп) LJ(mn)x
(IX-36e)
К = п
‘\тп)х L
к п
1/(тП)
^(Лп)
%) 4
,.(mn) 0(1) \ I /“("in)
У2(В„) U(xn) 4 ) + ( У3 (Лп)
п
I ,,<тп) Г)(1)
+ У2(В„) Uxn
(IX-37)
Пользуясь условиями совместности линейных перемещений в уз-
лах пересечения балок (полос), имеем:
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
11, 21....ml:
Л11 УЗ (71) xnp
/=П
'Г,?,, -*,/) =
gzi (zi) .ft (z,)\ . z iz ) IZ \
£2 'У11 У*1 7 + (t\(H)z \1 >
Z1
'yym
Й Уз(“,хпр
/=п
'з (2J) znp ^2/ l^ijl —
-^) + (К(21)г->-21^21)х).
(1Х-38а)
<1
i==m / 1 ч
ml (AJ Уз<‘‘)хпр
'з (mi) znp X (Xrnj Nmjl ~
lz,n 7 0 (zm)
£2
^m
Ущ1т ) + (^(ml) z ^'т! ^(ml) х) ‘
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
12, 22, ... , m2:
агг 1г, i,f>(^:)
4 ^21
346
^12
2 2 C/>2np(rV-^v) =
i=i ““ j=i "
- -£“>) + (Km.->„ K„,).
^'22 2 ^3 (22) xnp ^»2 + 2 % (2/) znp (^2/ ^2j) =
= - y^}) + (K(22) г - 4 K(22) x),
(IX-386)
} V t/m2) Y- 4- У t/(m2) (Y ________________________N 1 =
'•m2 2j У 2) r 1 12^ 2d Уз(тП znV m] mjl
i I nP • ;—i "P
“zm zm I ,f> (*„,> |_ ( K~ ____ ) fc2 \
— —72 \Ут2 У m2 (m2) г Лт2 (m2) x) •
Zm
Уравнения для балок, пересекающихся в узлах с координатами
1п, 2п, ... , тп:
ч 2 у'3 ««прг-+ 2
(=1 пр /=1 пр
= (С’ - Л'*’) + («<..,. - К,ш х .
'2 Л «„ у>- + 2 С/> (у‘<
i I ПР J—I “Р
= '-^Г (у^'' ~)+ ~ к«» ->
Z2
(1Х-38в)
2 »‘.7~>«nDr'"+ S
(=1 пр /=1 пр
<гт>
тп
Уравнения (1Х-38а) — (1Х-38в) являются общими для расчета
перекрестных балок с упруго заделанными концами. При помощи
этих уравнений можно рассчитать и сетчатые плиты с произвольно
закрепленными концами при любой нагрузке, расположенной на
347
плите, а также перекрестные балки и плиты, свободно лежащие на
упругом основании.
Эти уравнения учитывают неоднородность грунта под основаниями
балок и плит, а также неодинаковые поперечные сечения рассматри-
ваемых балок и плит. В частности, когда модуль деформации грунта
под балками равен нулю, то по уравнениям (VII-38a) — (VII-38b)
можно рассчитывать обычные перекрестные балки без упругого
основания с заделанными или со свободно опертыми концами.
§ 5. Расчет перекрестных балок с учетом
влияния крутящих моментов*
При больших, особенно при несимметричных нагрузках, пере-
даваемых от надземной части сооружений на железобетонные пере-
крестные фундаменты, в узлах соединения И, 12, 21, 22 (рис. IX-9, а)
Рис. IX-9
—
’Симвулиди И.А. Расчет перекрестных балок с учетом влияния
крутящих моментов. Сборник ВЗИСИ. М., 1971.
348
кроме изгибающих моментов и поперечных сил могут возникнуть и
крутящие моменты значительной величины. Если крутящие моменты
достигают больших величин (см. строительные нормы и правила), то
для восприятия скалывающих напряжений, вызванных крутящими
моментами, в фундаментах необходимо ставить дополнительную арма-
туру. Для правильного подбора арматуры необходимо знать значения
величин крутящих моментов, возникающих в конструкциях.
Рассмотрим перекрестные балки, лежащие на сплошном упругом
основании (рис. IX-9, а) с жесткими узлами 11, 21, 12 и 22, нагружен-
ные произвольными нагрузками.
Рассекая перекрестные балки в узлах 11, 21, 12 и 22 и заменяя от-
сеченные части соответствующими силами и моментами, получаем две-
надцать неизвестных величин (рис. IX-9, б). Для нахождения этих
неизвестных величин составляем двенадцать уравнений:
1) четыре уравнения совместности линейных перемещений в узлах
11, 21, 12 и 22;
2) четыре уравнения совместности угловых перемещений в тех же
узлах;
3) четыре уравнения совместности реактивных давлений грунта
в тех же узлах.
Уравнения совместности линейных перемещений для балок, пере-
секающихся в узлах с координатами 11, 21, 12 и 22, имеют вид:
41 (Уз ап х Уц + {/з1(21) х У21 — Й'ц!) х №д,в, +
+ {/2*(21) x^BtA, ) + {/з'/п) гУц + Уз(Ь) г У12 — У2(11)г WctDt +
I "(И) W7 аС,О,1С,О, (.,0(г) ..0(х)\
-г У2 (12) г Vr D,C, — --------Tj--------\ Ун — Уп Ji
LC,D,
41 (f/32(?i) х УЦ + {/ГЙ ) х У21 У22(II) xWА1 в, + {/Wl) X
X W'b, А,) + Уз2(21 ) г У21 + (/32(22) г У 22 — У^(21) г ^C2 D, +
I T(2D П7 _ aC:D2 lC,D, ( „О (г) ..0 (х)\
+ У2 (22) г W ОгС,-----------~2-------- ( {/21 ----{/21 ) ,
LC2D2
4г ({/31212) х У12 + {/3*(22) х У 22 У2(12) х W'А,Вг + {/2'(И) х X
X W в, Л2) -Т- Уз (Ц) г У и + J/3U2) г У12 У2Ц)) г ^CjD, +
I T.(I2) tv/ 'JClDt lC,D, /..OU) .0(4)
+ У> (12) z Wd,C, — ----~2-------- ( {/12 —{/12 ) ,
LC, D,
‘22 (уз2(12) X У 12 + У32(22) х У 22----- {/2^12) х А,Вг + Уг^!) х X
х 1Ув2Л2) Уз^21) г Уг1 + Уз (22) г У22 — {/^(Л) z Wсг D, +
+ Ж) г WDzC2 = ( yOU) _!/02(.)) _
£с2оа
(IX-39)
349
Уравнения совместности угловых перемещений для балок,
секающихся в узлах 11, 21, 12 и 22.
! ^-11 (фЗ(11) х Уц + Фз‘(21) х У21— Фр'и) х 4~ ф2*(21) х X
X W B1A, ) + Фз^И) г У и 4“ ф) (12) г У12 ф2 (Н» г W C,D, +
I ТЗФ и? aC,D, iClD, /0 (г) 0(х)Х
+ ф2 (12) г ^DjC, =----------- (фи —Ф11 ) ,
LC,D,
^21 (фр?I) У11 + Ф3(21) х У21 ф22(Н) х Н^Лх В, + Ф1<2(21) х X
X Wb,A, ) + Фз (21) г У21 4~ фз2(22) г У 22 ~~ ф2‘(21) г IFc.O, 4"
+да> х (ф« и> _ ф« и>),
lc2d2
^12 (фз U2) X У12 + фз'(222) х У22-Фгцг) х 1^А2В2 4~ ф2(22) х X
X Wb2A2 ) 4~ Фз (U) г У и 4“ фз'(2 2) z У12 — фг'о!) z Wc,D, 4~
+ г WDlCl = -Cf ‘ >С-°- - ф?2<->) ,
LCxB,
^22 (фз (12) х У12 + фз (22) х У22 ф2 (12) X АгВг + ф2 (22) х X
X 1^в2Л2 ) + фз С21) г У21 + Ф32222) г У 22 — Ф^О»!) г Wc2Dt +
+ Ж) 2 WD2Ct = (ф^> - If0#’) .
Lc2D,
Уравнения совместности реактивных давлений грунта
сечениях балок 11,21, 12 и 22:
nepe.
ч
ц
(IX-40)
1
I
в
узл>> ых
“-цУц +^1гУ12 "Ь^зУгг 4" 7ii (Ф1 1 ^ВхА —Ф|2> Wa,b, ) +
4-фР №вхСх-ФРи7С1Вх = Ф1;
_ _ 'я
^21Уг1 У ^ггУгг 4“^гзУ12 4~ 7li (Ф> ’ D,ct — ФР Wc2d,) 4"
4-ФР №ав,-ФР ^В1Л1=Ф2;
_ _ (IX-4D
^з1Уг2 4- ^згУ12 4- ^ззУц 4- 7li (ф! ) №дгвг — ФР И^в2а2 ) 4*
+ Фр Wc2D2 - ф!” Wd, с, = Ф3;
^цУ12 + ^4гУц 4* ^4зУг14“ ^i (ФР Wв2а, — ФР Wа2в2 ) +
+ Фр WCA - ФР Wd,c2 = Ф4.
В этих уравнениях Уи, Г21> У12 и У^ неизвестные силы, приложен-
ные на балках А^! и в узлах с координатами 11, 21, 12, 22:Я
350
W = w 11 W - V - M“C'D' C'D' ^clDt ’ C’D' LCiDi ’
где Л4л,в, > , Ma2b, и Mb2a2—
неизвестные изгибающие моменты для балок АУВ± и А2В2 и крутящие
моменты для балок CjOj и C->D2, a MuClD1\ MuDtCt; M“tDl и MaDiCt —
неизвестные изгибающие моменты для балок C1D1 и С2р2 и крутящие
моменты для балок ALBL и А2В2-
В уравнения (IX-39) — (IX-41) входят двенадцать неизвестных ве-
личин — четыре силы и восемь моментов. Решая совместно эти двена-
дцать уравнений, найдем неизвестные усилия, возникающие в узлах
пересечения перекрестных балок.
В случае, когда перекрестные балки в узлах соединены шарнирами
(т. е. пренебрегаем крутящими моментами), отпадает необходимость
использования уравнений (IX-40) и (IX-41).
Исключая из уравнений (IX-39) крутящие моменты, получаем че-
тыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными силами Уп,
^21 > Р н И И22-
Для окончательного расчета при конкретных условиях задачи мож-
но решить эти уравнения относительно неизвестных сил.
Необходимо отметить, что уравнения (IX-40) справедливы при
условии, если все балки (рис. IX-9) идентично нагружены симметрич-
ными нагрузками, имеют одинаковые длины, высоты и показатели
гибкости.
При совместном использовании уравнений (IX—За, б, в);
(X—104); (X—114) и (X—120) можно легко рассчитать и прост-
ранственные рамные фундаменты (коробчатые фундаменты много-
этажных зданий).
351
ГЛАВА X
РАСЧЕТ РАМ НА УПРУГОМ
ОСНОВАНИИ*
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА РАМ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
лучше использовать метод расчленения или метод сил. Можно
В ^железобетонных конструкциях промышленных зданий и во мно-
гих подземных и надземных сооружениях рамные системы занимаю?
одно из главных мест среди других видов конструкций. Большинство
из этих зданий и сооружений работает как рамы на упругом основании.
В проектной практике часто применяются рамные конструкции
на упругом основании, чрезвычайно разнообразные по их очертаниям
и сложности. Поэтому трудно заранее предугадать, какой из методов
строительной механики лучше использовать для их расчета. Очевидно,
при рассмотрении сложной рамы для расчета ее надземной части целе-
сообразно использовать метод перемещений, а при расчете простой рамы
лучше исполмлпятк датлп ---------- ______ ’•___э также
ПТПЛ11
|--11 I Т Т Г_____U-.-U! I I 1 Г J II Т / V / /
"п
Рис. Х-1
•Симвулиди И. А. Расчет балок на сплошном упругом основании-
«Советская наука», 1958, стр. 287.
рассчитать отдельно балку на упругом основании (нижний ригель) и
независимо от этого раму, а затем учесть совместную деформацию ниж-
него ригеля и верхней части рамы.
Таким образом, в каждом отдельном случае в зависимости от очер-
тания и сложности рамы для расчета необходимо использовать тот
метод, который позволяет проще и быстрее решать поставленную
задачу-
Рассмотрим многократно замкнутую статически неопределимую
раму относительно внутренних усилий, полностью или частично за-
глубленную в упругую среду (рис. Х-1). Если в такой раме, имеющей
п стоек, соединенных с нижним ригелем, у ног стоек сделать разрез,
то получим отдельно незамкнутую в пределах нижнего этажа много-
пролетную раму (без нижнего ригеля) и отдельно балку на упругом
основании [(нижний ригель) рис. X-2I.
Для сохранения равновесия отсеченной рамы и нижнего ригеля в
местах разреза (в сечениях А1г Аг, ..., Дп) к раме у основания стоек
и в соответствующих сечениях к балке необходимо мысленно прило-
жить по три неизвестных усилия, а именно: поперечные силы YAt,
осевые силы XAi и изгибающие моменты MAi (рис. Х-2).
Для установления связи между отсеченной рамой и балкой (ниж-
ним ригелем), кроме других условий, необходимо, чтобы углы пово-
рота и прогибы у ног стоек рамы и в тех же местах балки соответствен-
но были равны:
(<Рл1)Р = (,Рл1)б’
( )р ( )б ’ (Х-1)
(чЛ-КБ
352
353
( У А, )р ~~ ( У А, )б ’
( Уа2 )р = ( У А, )о ’
(ч)г = (ч)»’ Я
где (<рл > ( ^л.) —угол поворота и прогиб у ног стоек рамы;
( Ф» ) , ( уЛ } — угол поворота и прогиб балки (нижнего ригеля'»
\ i /б \ i/б на упругом основании.
Если для обычных рам любой сложности существует ряд точных и
приближенных методов их расчета, то методы расчета рам на упругом
основании разработаны недостаточно. Это объясняется тем, что расчет
нижнего ригеля рамы (балки на упругом основании) является наиболее
трудным и малоизученным разделом строительной механики. Рассмот-
рим нижний ригель, число неизвестных усилий в котором равно Зп
(рис. Х-2).
Из них
п — усилия X. ; X. ; ... ; X, ;
п — усилия УЛ1; YAi; ... ; YA\
п — усилия М. ; М. ; ... ; М. .
711 л, лп
Усилия ХА', ХА^; ... ; ХА незначительно влияют на углы пово-
рота и прогибы нижнего ригеля и поэтому в формулы углов поворота
и прогибов эти силы не входят*.
Если использовать формулы (V-1) — (V-3), (V-32), (V-34), (V-36),
(V-38), (V-40) и (V-42), то уравнения для определения углов поворота
и прогибов в отсеченных местах нижнего ригеля (балки на упругом >
основании) в общем виде примут следующий вид:
Фл, = S + 2 Ф» ’ м, +
ul^ i
+ L 2 P,) + (s мл. + L 2 rj),
₽1) + (v®<’ ац-ихфЙ;’ Гл.)|,
(Х-З)
• Пренебрегаем продольной деформацией нижнего ригеля, поэтому счита-
ется, что точка по направлениям Хдп не смещается.
354
Яд, = Л... Г™ Ч. + 2 MI + L^^'P,) +
1 <l13q U Lt \\ I •
+ (S4SJ.,Ar,i + LX4™Vj}.
(X-4)
ч-sbz F’-7'<’ M‘+L s^1’ N +
+ (2^f мЛ(+г2^гЛ1)}.
1
В этих уравнениях приняты следующие обозначения:
qi — равномерно распределенная нагрузка, приложенная непосред-
ственно на нижний ригель;
М i — сосредоточенный изгибающий момент, действующий непосред-
ственно на нижний ригель;
Pt — сосредоточенная сила, действующая непосредственно иа ниж-
ний ригель;
<р‘лР — угол поворота нижнего ригеля в сечении A t от
' (из табл. V-1);
у(ЛР — значение прогиба нижнего ригеля в сечении А, от
' • (из табл. V-2);
— угол поворота нижнего ригеля в сечении A { от I —-
у т.Е0 и
[ МА.
<7;
- q’L - 1
л£0
Mi >
= 1 (из табл. V-5);
или
\ 5Z.2 ,
— Ml - л Ms *
у' i’ — прогиб нижнего ригеля в сечении A t от --------- = 1 или
“ те£0 bL
МА.
-------— = 1 (из табл. V-6);
п£0 bL
<р*лР — угол поворота нижнего ригеля в сечении А( от (- - = 1
или
у£д — прогиб нижнего ригеля в сечении At от
или
т.Е0Ь
= I (из табл. V-4).
В уравнениях (Х-3) и (Х-4) множители, помещенные за фигурными
скобками, можно также представить и в следующем виде:
1
ъЕ0 bL*
L 1 _ 1
аЕ1 ~ / El \ — ai ’
\ L /
355
1____
r.E0 bL
В2 _ L L
a E I ~ I El \ ai '
“\ L /
где I — погонная жесткость рассматриваемого элемента.
В дальнейшем для удобства величины, помещенные в первые] круг-
лые скобки уравнений (Х-3), умноженные на —, обозначены <p°tj
о о
фл,..... фл..
Величины, помещенные в первые круглые скобки уравнений
(Х-4), умноженные на -Д-, обозначены у°А , у°А , ... , уА . По урав-
нениям (Х-3) и (Х-4) можно рассчитать как раму, так и другие
инженерные конструкции, лежащие на упругом основании любой
сложности*.
Ниже приведены примеры расчета рам.
Пример Х-1. Дана длинная железобетонная рама, лежащая
на упругом основании, вертикальное поперечное сечение которой
показано на рис. Х-3, а.
Требуется построить эпюры моментов и прогибов для всей рамы,
включая и нижний ригель, и эпюру реактивных давлений для нижнего
ригеля АВ.
Дано: р0= 0.3; ц = 0,167; £0= 320 кПсм2\
Е = 2,1 X 10Б кПсм\ b = 1 л; h = 4 м\ L = 4,5 м;
6 = 0,3; Р = 10 Т.
Решение. Рассматриваем вырезанную раму в поперечном на-
правлении длиной b = 1 м (рис. Х-3, а). Для решения этой замкнутой
рамы расчленим ее так, как показано на рис. Х-3, б. Для нахождения
неизвестных МА и Мс используем следующие условия (из-за симмет-
рии ограничимся двумя условиями)**:
1) равенство углов поворота верхнего ригеля CD в узле С и
стойки АС в узле С:
„(cdj _ Uлс).
фс — — фс .
* При выводе формул (Х-3) и (Х-4) принято: положительные нагрузки
направлены вниз, а положительные моменты — против движения часовой стрел-
ки и поэтому при решении числовых примеров необходимо учитывать знаки
нагрузок и моментов (иа рис. Х-3,б силы Yc и YD должны быть направлены
вверх).
** Изложенный ниже прием расчета выбран для более детального раскры-
тия условий совместности перемещений некоторых элементов системы. Если следо-
вать обычным методам строительной механики, можно отделить от балки АВ
раму ACDB, как показано на рис. Х-2, и, например, методом перемещений
выполнять условия (X-1), рассчитав П-образную раму и балку на упругом
основании. Для двухэтажных и более сложных рам лучше использовать какой-
либо из методов строительной механики (метод сил, перемещений, смешанный
метод, метод фокусов, распределения и т. д.). ®
356
Рис. Х-3
2) равенство углов поворота стойки АС в узле А и нижнего ригеля
АВ в узле А:
„(АС) „(АВ)
фл = — фд
Используя универсальную формулу упругой линии балки, легко
найдем:
а) угол поворота верхнего ригеля CD в узле С
(fD) = (2Mc+Md)l _ {Х.5>
V 6£2 /2
В этом уравнении по условию симметрии
357
и поэтому
(CD)
4,(7 ~ 2£2/2 ’ (Х-6)
б) угол поворота стойки АС в узлах С и Л
(Мя + 2МС) ; (Х.7)
(АС) (2Мл + Mc)h . .
фл = -------6£?Л------’ <Х-8)
в) угол поворота нижнего ригеля АВ в узле А.
Пользуясь формулами (Х-3), для данного случая имеем
фГ> = —_ - {— фоЛ) Ма + фгв* Мв + Е фГ> Р} . (Х-9)
Здесь по условию симметрии
|М»| = |«Л|-
Одновременно, заменяя--------!--выражением------------, получаем
т.Е0 bL2 Е3/3а
L_ (Х-10)
Выполняя условия ссС£>) = — (рсАС) и фд*С) = — фА* , имеем
-А£ =-----------------------— (М. 4- 2Л4Г) ;
2Ег/г 6£1/1 \ л‘ с)'
(2М + МС) К = __L ((да Ма £-,л, р|
6£1'1 Е313а
Уда
М,Х Д
з4й; (X-1I)
(АС) _ (2МА + Mc)h МА h 2 + Х ,у |<п
фл----------6£?л-----= WT 3 + 2?. ’ Iх'1 ’
мА __,
> = А А-
/1 L ’
) _ ?3 h
1 Л ’ L ’
Учитывая, что Е111 = £2/2 = Е313 = ЕГ, имеем
(Х-13)
(Х-14)
(Х-15)
'
(Х-16)
МА
2L + h
3L + 2h
ч(А) РВ
(Х-17)
~ + (?й’-7И>)
Определяем показатель гибкости а:
« _ 1Z2L". 38 А (Е)‘ _ 1-°.^ . 38 (ЛА у „ 200
1—Но £ \ 8/ 1—0,32 2 100 000 \ 0,3 )
Пользуясь табл. V-3 и V-5, имеем:
__________3,98 • 10 4,5_____
2-4,5 + 4 .200-4 а й1
3-4,5 + 2-4 2-4,5
= — 1,40 Т • ж;
Из условия статики
= "МО-0,26 = _0 415 т
4
Ма ~ Мс = 0,415 Т.
h
Зная ХА, Хс, МА, Мс и Р, строим эпюры изгибающих момен-
тов М и прогибов у для стоек АС и BD и для верхнего ригеля CD.
Чтобы построить эпюры р, М и у для нижнего ригеля АВ (балки
на упругом основании), на котором в середине действует сосредоточен-
ная сила Р и по концам изгибающие моменты МА и Мв, производим
следующее.
Сначала от всех усилий находим ординаты р, М и у. Для того чтобы
определить ординаты реактивного давления грунта рр от действия
сосредоточенной силы Р, приложенной к нижнему ригелю АВ, необ-
ходимо из табл. Ш-1 для а = 200 и (3 = 0,5 взять значения ординат
Рр — от g = 0 до g = 0,5 (из-за симметрии) и затем каждую из величин
р
умножить на--— 2,223 согласно формуле (Ш-23):
5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
~рр 0,666 0,846 0,987 1,087 1,147 1,167
Рр 1,480 1,880 2,193 2,416 2,549 2,593
358
359
Затем из табл. IV-1 берем значения рм и рм для а = 200; R ,
АВ 1
Af 1
= 0 и р22= 1; согласно формуле (IV-15) умножаем их на
1.4 Мв
= П—~ 0,069 и на -, = 0,069:
1 - 4,5s bL2
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
РМА 15,323 7,758 2,572 —0,655 —2,343 —2,911
~Рмв —3,679 —2,402 —2,106 —2,373 —2,781 —2,911
~рмА + ~рмв 11,644 5,356 0,466 —3,028 —5,124 —5,822
РМА + рмв 0,803 0,370 0,047 —0,209 —0,354 —0,402
откуда
Р = Рр + Рмд + Рмв ’
т. е.
Е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Р 2,283 2,250 2,24 2,207 2,195 2,193
Эпюра р построена на рис. Х-3, в.
Для того чтобы определить ординаты изгибающего момента
от силы Р, необходимо из табл. III-3 для а = 200 и (3 = 0,5 (из-за
симметрии) взять значения ординат Мрот£=0до£ = 0,5 я
каждую из величин умножить на PL — 10 X 4,5 = 45 согла<
формуле (III-25):
5 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Мр 0 0,004 0,015 0,037 0,070 0,114
Мр 0 0,18 0,675 1,665 3,150 5,130
360
Для определения ординат изгибающих моментов от моментов МА
ц Мв, приложенных к нижнему ригелю в точках А и В, необходимо
из табл. IV-3 взять значения ординат Мм и Мм^ для а = 200;
В„. = 0; ₽22 = 1 и согласно формуле (IV-17) умножить их на
X, =1,4 и Л4В=1,4:
£ 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
^А —1 —0,937 —0,796 —0,625 —0,460 —0,318
^мв 0 -0,015 —0,054 -0,119 —0,204 —0,318
ММд + ММВ —1 —0,952 —0,850 —0,744 —0,664 —0,636
МмА + ММв —1,4 —1,333 —1,190 —1,042 —0,930 —0,890
Складываем полученные величины:
Л4 = Мр + ММа + Мм^;
тогда
е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
М —1,4 —1,153 —0,515 0,623 2,220 4,240
Эпюра М для балки (нижнего ригеля) построена на рис. Х-3, г.
Пользуясь табл. V-4 и V-6, находим ординаты прогибов балки АВ.
Для построения эпюры ур из табл. V-4 берем данные, соответствую-
щие а = 200 и 6 = 0,5, для всех значений от £ = 0 до Е = 0,5, и на
Р 10
основании формулы (V-36) умножаем их на ^Е~~ = jQQjg = 0,000995.
Для определения ординат уЛ1^ и ум& от действия изгибающих
Моментов МА и Мв, приложенных в точках А и В, производим то
Ще, что и при определении ур, только пользуемся табл. V-6.
361
е 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Ур 0,00 0,397 0,784 1,132 1,393 1.498
Ур 0,00 0,000395 0,00078 0,00113 0,00139 0,00149
~УмА 0,00 —5,922 —10,001 —12,551 —13,942 —14,531
~Умв 0,00 —0,441 —0,865 —1,228 —1,442 —1.363
А Ум 0,00 —6,363 —10,866 —13,779 —15,384 —15,894
2 ум 0,00 —0,000206 —0,000351 —0,000445 —0,00457 —0,000513
2 + УР 0,00 0,000189 0,00043 0,000685 0,000893 0.000977
Строим эпюру прогибов у — ур + уМл + ум для балки на уп-
ругом основании.
Полная эпюра моментов и прогибов для всей рамы показана на
рис. (Х-3, г) и рис. (Х-3, д).
Пример Х-2. Дана замкнутая прямолинейная рама, лежащая
на упругом основании, одновременно по концам опирающаяся на со-
средоточенные опоры (рис. 4, а).
Требуется построить эпюру М для рамы и эпюру р для нижнего
ригеля. Данные взять из примера Х-1.
Решение. Расчленяя раму на отдельные элементы (рис. Х-4, б),
находим:
М,
_(ДС) _ MAh
2£7
h
МА~Т
3+2JL
h
2 + т
з + гА
-----------= — 0,186 М.;
А----------"
3 + 2т^
2 + ~^ = 1,209^
2£/ 3 4-2 4
4,5
(АВ) 1
4>д =
т.Е0 Ы*
[73,509МА + 4,5 [3,98Р — 8,211УЛ]} =
—Ату [73,509МА +17,91 Р-36,95УЛ}.
362
/4
Эпюра р
\Р
YB
Н*
L
Рис. Х-4
Для определения Уд воспользуемся формулой (VI-67) и табл. VI-1,
VI-5 — VI-8.
Уд = — --------{(wn -t ш1з) ®д — (wn — “is) фв} =
4“11 соц,
- 4 .23,2^. {»7'925 [28>81 4- ~ «*737 ТР- +
+ 159,1949^-] 4-51,473 [28,81 4- 159,1949 ----
— 662,737
Мд
Ы*
(10066,16Р — 39096,8Л4Л} =
363
= — (0,117Р — 0,454Л4л),
т. е.
УА = — (0,1 ПР — 0,454/Ид) .
Подставляем найденное значение YA в формулу для ;«
<р^В) = -^-^7" {73,509 Л4 + 17,91Р— 36,95 [ —(0,117Р —
- 0,454Мл)]} = —L— {56,734 МА + 22.233Р).
7lC q ОLj
Используя условия срд16’ = — фд173’ , имеем
1 -209 тг — Wnr <56’734 Ма +22’233 р)
или
1,209 М . =-----—— (56,734 Мл +22,233 Р);
А ~Е0bL? ' л >'
1,209Л4Л = — -2’1' 108' °-00225 (56,734МА + 22,233 Р);
А 203472 V А >
1,209 МА = — 0,023 (56,734 МА + 22,233 Р);
1,209 МА = — 1,305 МА— 0,511 Р.
Откуда
М . = — °’511Р = — 0,203Р;
А 2,514
Мс = 0,186 • 0,203 Р = 0,038 Р;
Уд =— (0.117Р + 0,454 0.203Р) = — Р(0,117 + 0,092) = — 0,209Р
Пользуясь табл. Ш-1, Ш-3 и IV-1, IV-3, имеем:
/Итах = 0,135 Уд L + 0,114 PL — 0,636 МА = 0,135 • 0,209 Р • 4,5 +
+ 0,114 4,5 Р — 0,636 • 0,203 Р = (0,136 + 0,513 — 0,149) Р 0,5 Р.
На рис. Х-4, в и Х-4, г построены эпюры М и р.
Пример Х-3. Рассмотрим замкнутую прямоугольную раму
(рис. Х-5, а). Построим эпюры моментов и прогибов для всей paMHi
включая и нижний ригель, и эпюру реактивных давлений для нижне-
го ригеля.
Дано: р0= 0,3; р = 0,167; Ео= 320 кГ/см2; Е = 2,1 X 105 кГ/слЛ
b = 1 м\ h = 4 м; стпред = 0,3; q = 2,5 77л2; L = 4,5 м.
Решение. Рассматриваем вырезанную раму в поперечном на”
правлении длиной b = 1 м. Расчленяя раму так, как это показано на
рис. Х-5, б и используя универсальную формулу упругой линии бал-
ки, получаем значения величин:
364
qL* ~
12
Ча-
h
2Ej.il
„ „ у2 h
3 + 2Т’Т
(Х-19)
|Из условия равновесия верхнего и нижнего ригеля, а также стоек
АС и BD имеем:
|Л«л| = |Л«вВ ха=^£-. хс = хл.
Угол поворота левого конца нижнего ригеля для рассматриваемого
случая на основании формул (Х-3) примет вид:
365
фл ' _р i,r2 {ч’зл' Л4д + 4>2в Мв + L [фзл1 У а + фзв' • У в ]}. (Х-20)
71Ио uL /
Пользуясь табл. V-3 и V-5, получаем
Фд^’ =—!—[69.088Л4. + 4,421 MR +4,5 (— 11,871 У. +
203472 1 Л 1 ’ в । \ а 1
+ 3,660 Уя )| =---------(73,509 Л4,— 36,95 У.) =
в>' 203 472 ' А А'
= —— (73,509 М. — 207,842).
В данном случае
/ = /, = 7=7 = 1 ' °’33 = 0,00225 и а = 200.
128 12
На основании условий (Х-1), приравнивая ф^0 и фд45’, т. е.
фд4С) ~ — ф5(4В>, имеем
2,5 • 4,52
+ 12
—-----(73,509 М. —207,842)
203 472 ' А >
3 + 2-4-.
4,5
— 0,015997 (73,509 МА —207,842)
I 4 \
[2 + -4х)МД
или
2,888 МА + 4,218 = — 5,616 МА + 15,879.
Решаем полученное уравнение относительно Л4Д:
МА = П’661 = 1,37 Т м.
А 8,504
Затем определяем Мс, Х'А и Х'с:
2,5 х 4,52
4---— 1,37 х 0,888
4,776
Л4Г — МА
'4-^—0,258 7;
h
Мг — Мл
г - —^-т—— = 0,258 Т.
L h
-11-4-9- = 2,40 Т м;
4.776
М
А ~~
366
После нахождения | Мд | = | Мв | и | Мс | = | MD | строим эпюры
изгибающих моментов и прогибов для всей рамы (включая в нее и
нижний ригель) и эпюру реактивных давлений для нижнего ригеля
(рис. Х-5, в), (рис. Х-5, г).
Пример Х-4. Рассмотрим раму на упругом основании (рис. Х-6, а).
Построим эпюру моментов для всей рамы и эпюру р для нижнего
ригеля.
Рис. Х-6
Дано: ро= 0,3; р = 0,167; £'0= 320 кПсм2-, Е = 2,1 X 105 кПсм2,
b — 1 л«; h = 4 м\ L — 5 л«; бпред= 0,3; Pt = Р2= 15 Т; q = 3 Т/м*-,
Д= /2= /8= /4= /; /31= 1,5 м\ 132— 3,5 м\ а = 250; I = h = 4 м.
Решение. Для рассматриваемой вырезанной в поперечном на-
правлении рамы (рис. Х-6, б) длиной b = 1 м имеем:
У, = Yr = — = — = 6Т;
А в 2 2
QP h м
4 / Ма
мс -----------------= 2,4 - 0,2 МА;
з + гА
367
ГДС)
Фд =
h
2EI
“-й-О^ + '.б).
Для нижнего ригеля
O(CD). 3’4
YA = YB = -^-L=— = 6Т’ 1^| = |Л* |.
Пользуясь формулой (Х-3), получаем
фд'В) = {ф2Л М А + фгв' Мв + L (фзЛ* У А +
~£0 bL2
4- YB + Фз? Pi + Фз? 1 = {58,351МА + 5,854MB |
+ 5 (— 6,243V + 3,974УВ + 1.757P, + 4,808P2)} =
=-----!---{64,205Mi 4- 5(— 2,269 • 6 + 6,565 15)},
160 768
откуда
= Тб07бГ !64’205Л^ + 474,325}.
Используя условия ф}^С) = — ф^лв), имеем
(1,2Л4л + 1,6) = - (64,205Л4д + 474,325)
или
1,2Л4л + 1,6 = —0,0405 (64,205Л4д + 474,325);
1,2Л4д + 1,6 = — 2,60Л4Л — 19,210.
Откуда
.. 20,81 с .оа.
МА =-----:— = — 5,487 • м
3,80
Мс = 2,4+ 0,2 X 5,48 = 3,50 Т-м.
После определения Ма и Мс из условия равновесия верхнего р»"
геля CD находим X и Хс:
м. —м„
ХА = - . с = — 1,98 7;
Л
Мд — Л4„
Хс = —-с- = 1,98 7.
с h
После определения Ма иМс строим эпюры М (рис. VI-6, а).
Пример Х-5. Рассмотрим раму (рис. Х-7, а). Получим уравнения
для определения Ма и Мс.
368
JXaHO*. — 12— 1з— It—
Решение. Пользуясь универсальной формулой упругой линии
балки и общими формулами (Х-3), имеем* (рис. 7, б):
a(CD} Is
(3/ + 2h) Mc + MAh--------= °!
(2Л4д + Mc) h 4-----• q + MA +
+ MB + L Ya + фзд Ув]} = 0,
(Х-21)
где
(CD)
ya = yb = ^^-
Остается теперь решить два
уравнения (Х-21) относитель-
но МА и Мс.
§ 1. Расчет
подземного
сооружения**
Пусть дано подземное пря-
моугольное железобетонное со-
оружение, нагруженное сверху
сплошной равномерно распре-
деленной нагрузкой (собствен-
ным весом земли и надземной
нагрузкой), с боков снаружи —
боковым давлением земли. На
нижнем ригеле приложена про-
извольная нагрузка (рис.
Х-8, а).
* Здесь момент МА направлен
по движению часовой стрелки, а по-
этому для определения в дан-
ных из соответствующей таблицы не"
обходимо поменять знак.
** Симвулиди И. А. Рас-
чет подземных сооружений, как
Рам на упругом основании .^Сбор -
ник ВЗИСИ, М., 1968.
Рис. X-7
13—597
369
Рис. Х-8
Требуется рассчитать раму двумя вариантами.
Первый вариант расчета. Выделяем по высоте в
поперечном направлении отдельный пояс и рассматриваем его как
замкнутую раму длиной b — 1 м (рис. Х-8, а).
Расчленяем раму на отдельные элементы* (рис. Х-8, б).
Верхний ригель рамы рассматриваем как простую балку, лежащую
на двух опорах и нагруженную сверху равномерно распределенной
нагрузкой (собственным весом земли и надземной нагрузкой). На верх-
ний ригель, кроме указанной пролетной нагрузки, по концам действуют
неизвестные усилия Мс\ Md', Хс\ Xd\ Yc и Yd, которые заменяют
действия отброшенных частей на верхний ригель.
Пользуясь универсальной формулой упругой линии балки, находим
(CD)
фс
Из условия статики
1
£2^2
дВ>\
24 J
|A4c| = |Md|;
Yc = Yd=^-', |Xc| = |Xd|.
Рассмотрим стойку АС. Предполагаем, что на стойки АС и BD
действуют активные давления грунта. Так как стойки имеют некоторое
заглубление, то давления на обеих стойках (из-за симметрии) одина-
ковы и распределены трапецеидально.
Для определения углов поворота <р^С) и tp(cAC) также используем
универсальную формулу линии балки и условия статики.
В результате
у __ А / in \
А 6~ (^1а + 2<7га),
Мл—М„ ь
=---Т~-+v<2^ + ^).
п о
(ЛС) 1 ( А . . А3 о _ .1
Фд =-гт-\—(2Ма + Mc) — — (8qia + 7qla) ,
*-'1^1 к в «Зои J
МС) 1 ( h ... , . о . А3 )
Фс = -ГТ----------Г (Ма + 2МС) + {7qia + 8<?1а) — .
с I 6 360 J
(Х-22)
(Х-23)
Здесь qla—интенсивность бокового активного давления грунта на
вертикальную стенку АС или на стенку BD в сечении
С и £>;
= тМё2 (45°—
(Х-24)
* Можно превратить узлы рамы в шарниры, приложив к ним вместо
отброшенных закреплений неизвестные моменты МА\ Мв; Мс и MD или ис-
пользовать другие методы строительной механики.
13*
371
qza— интенсивность бокового активного давления грунта на стен
ку АС или на стенку BD в сечении А и В;
<72а = 7 (А + Ло) tg2 (45°-, (Х-25)
где Ло—приведенная высота;
0 — угол внутреннего трения грунта;
у — объемный вес грунта.
Пользуясь формулами (Х-3), получаем формулу для угла поворота
нижнего ригеля АВ.
{АВ} 1 (ЬГ2Х?-(Л) I -(Л) ЛЛ . <Л> ,л
<Рл =^^-[bL2^(PHiqi + 4>2A-MA + 4>2B-MB +
+ ь[фм • ya + Фзв • (Х-26)
Используя условия, <p(.CD> = —(р<_/1С> и фМС) = — <руШ), а также
условия статики, найдем неизвестные усилия и построим эпюры по-
перечных сил, изгибающих моментов, эпюру прогибов для всей рамы,
включая также нижний ригель и эпюру реактивных давлений грунта
на нижний ригель.
Второй вариант расчета. Выделенную в поперечном
направлении замкнутую раму (рис. Х-8, а) расчленяем на отдельные
элементы (рис. Х-8, в) и рассматриваем отдельно каждый элемент
рамы.
Верхний ригель рассматриваем так же, как в первом варианте
(СО) 1
<РС =7~Г
.. б
/Ис —
С 2
<7 L3
~24
yc = yd=q±\ |Мс1 = |Мо|; |Xc| = |Xd|.
(Х-27)
Принимая приблизительно величину модуля деформации грунта
по глубине постоянной, левую стойку АС можно рассмотреть и рассчи-
тать как балку на упругом основании, одновременно опирающуюся на
Неподатливые опоры А и С. Пользуясь формулами (Х-3), получаем
значения углов поворота <р^С) и <р^ЛС):
(ЛС) > (-<С) ЛЛ I ~<С> лл
-Ма +
4-й ^фзС Хс 4- Фзд (Х'28)
(ЛС) 1 (_(Л> ЛЛ I ~(Л) ЛЛ
<Рл = ". Ф2С • мс + ЧР2Л • МА 4-
+ h [фзс* • хс + Фзл ’Хл ]} (Х'29^
372
Правая стойка BD работает так же, как и левая стойка АС. Поэтому
нет необходимости ее рассматривать.
Нижний ригель работает как балка на упругом основании, и для
определения угла ф^48) применим формулу (Х-26).
Для составления уравнений необходимо, чтобы
= фИС> =-ф<АВ>.
с С А А
§ 2. Расчет тоннеля
со средней отенкой
Дан поперечный разрез тоннеля в виде железобетонной рамы со
средней стенкой (рис. Х-9, а).
Требуется рассчитать данную раму двумя вариантами (рис. Х-9, б).
Расчет будем производить на единицу длины тоннеля, т. е. b = 1 м.
Первый вариант. Расчленяем вырезанную на единицу
длины раму (тоннель) на отдельные части и рассматриваем каждую из
отсеченных частей отдельно (рис. Х-9, в).
Из условий статики вследствие симметрии конструкции и нагрузки
МС| = |Л4О| и yc = yD = -i-(9(CD)Z.-y£). (Х-30)
Пользуясь универсальной формулой упругой линии балки, находим
угол поворота ф’?2’’ верхнего ригеля CD в узле С:
(CD) _ MCL L2 / Ye _ \
Фс - 2£2/2 + 8£2/2 \ 2 3 ) ’
(X-31)
где Ye — неизвестная продольная сила в средней стенке EF\
^(со — равномерно распределенная нагрузка на верхний ригель
(собственный вес земли и надземная нагрузка).
Находим углы поворота ф*^ и ф^ЛС) левой стойки, находящейся
снаружи под действием бокового давления земли.
Принимая боковое давление земли в виде трапеции (рис. Х-9, в)
и пользуясь универсальной формулой упругой линии балки, полу-
чаем формулы (Х-23).
Пользуясь универсальной формулой упругой линии балки, находим
стрелу прогиба верхнего ригеля CD в точке Е:
f(ED' = ^-r(48Mc + 8yEL-5q(CD}L2), (Х-32)
оо4£ 2* 2
Пользуясь общими формулами (Х-3), находим угол поворота
нижнего ригеля АВ:
(АВ) 1 МЛ> ЛЛ . ~(Л) ЛЛ . т Г-(Л) V
4>л =—FT7T ф2л ма + <Р2В Мв+ Е фзл Ya +
TZCqDLT ( L
+ У„ +sC • р.]) • (Х-ЗЗ)
373
Предполагается, что силы Рг= Р2= Ps= Pt= Р и симметрично
расположены по нижнему ригелю.
Пользуясь общими формулами (Х-4), находим прогиб //Л8’ в сере-
дине нижнего ригеля:
+ <£’• 1> + Й?г» + хСр*])- <х'м
374
Для рассматриваемого случая
|МС| = |Л4О ; |Л4Л| = |Л1В|; Ya = Yb- Ye = Yf- Yc=Yd.
Мл—M„ U
%А ~ 7-----1“ ~ (?1а + 292о);
п о
МА — Мг и
Хс =---------------h — (2<71й + q2a).
п о
Используя условия (Х-1) и (Х-2), получаем уравнения для опре-
деления неизвестных величин МА , Мс, Y А и YF.
Из условия q)^CD> = —
WF+-^r^YE-2q(CD>L')==
2£g ^2 48£ g /g
= -rr[—rt^ + 2Alc)+ JE (7<72a+ 891a)l (X-35)
6 360 J
Из условия ф^лс> = — фдЛВ)
/~И> V I
(Фзд Ya +
7^{^Ма + ^Мв + Ь
HCquL/1 у.
-<л> iz , -(Л) XZ I X’ -<Л> П \)
+ Фзв Yf + фзв YB 4- 2 Фзг Pl Д —
1
£i/i
[А(2Мд4-Мс)-
к ь
h9
360
(Х-36)
Из условия f^D} =
(MMe + WiL-^'L'} = -±- +
Зо4£^2^2
I ЛА i Т
4” У2в < Р
Г-//7» iz I _(F)1Z . -(F)1Z . v-(F|nl)
|^4/зл ' Ya ~1~ ^зг 4- Узв YB , S//si
(X-37)
Решая совместно уравнения (X-30); (X-35) — (X-37) с уравнениями
статики, находим неизвестные величины: МА, Мс, YA и YF- После
определения неизвестных величин для данной рамы по табл. П-1—
375
-П-3, 111-1 —111-3, IV-1 —I V-3, V-2, V-4, V-6 легко можно построить
эпюры р, Q, М и у.
Второй вариант. Рассмотрим выделенную в поперечном
направлении замкнутую раму (рис. Х-9, в) и эту же раму, расчлененную
на отдельные элементы (рис. Х-9, г).
Для определения угла поворота верхнего ригеля <p^CD> в узле С и
прогиба ДСО) в середине верхнего ригеля CD в сечении Е справедливы
формулы (Х-31) и (Х-32).
Принимая приблизительно величину модуля деформации грунта
по глубине постоянной, боковые стенки АС и BD рассматриваем как
балки на упругом основании, одновременно опирающиеся на непо-
датливые опоры (стенка АС опирается в точках А и С, а стенка BD —
в точках В и D).
Для определения углов поворота q>(.AC) и используем фор-
мулы (Х-28) и (Х-29).
Нижний ригель работает как
балка на упругом основании, и
для определения угла поворота
<рлЛВ) и прогиба / (рВ> справедли-
вы формулы (Х-33) и (Х-34).
Таким образом, используя ус-
ловия
(CD) (ДС) (ДС) (ДВ)
Фс = “ Фс » фд = — Фд :
(CD) (ДВ)
/ Е -- IР »
а также условия статики (Х-30) и
совместно решая полученные урав-
нения относительно неизвестных
величин Ма, Мс, Yau Yf, полу-
чаем возможность строить эпюры
р, Q, М и у для всей рамы, приме-
няя для этого табл. П-1 — П-З,
III-1 — Ш-З, IV-1 — IV-3, V-2,
V-4 и V-6.
Рис. Х-10
§ 3. Расчет рамы,
опирающейся на
отдельные фундаменты
Рассмотрим П-образную рамУ
(рис. Х-10, а).
Расчленяем эту раму на отдель*
ные элементы (рис. 10, б).
376
Используя универсальную формулу упругой линии балки и одну
из формул (Х-3), находим углы поворота в узлах А и С.
(CD)
Фс
-^-(2Мс + Мо)
Ос2/а
PL2 .
16 ’
’Г-«Ьг<Л,-'+2Л«
^' = -^гг(2Мл + Мс);
OCj/1
(ДВ) 1 г-(Д) )
Используя условия (Х-1), (Х-2) и условия равновесия (yc =
р \
= Yd — —) а также учитывая, что | Md | = | Мс |, получаем
—£----------—— =---------— (МА + 2Л1 с);
6£,/2 1&Е212 4
2 2 (Х-38)
h ,пл, . х 1 (~<А) Л4 , -(л> РЕ )
(2Л4л + Мс) =---------- <Р2Л МА + фзл —- .
Решаем эти два уравнения относительно Ма и Мс. Определив
Ма и Мс, из условия статики находим Хс и Ха После этого по соот-
ветствующим таблицам можно строить эпюры р, Q, M и у для всей
рамы, включая и фундамент.
§ 4. Расчет рамы, нагруженной
по верхнему ригелю CD сосредоточенными силами,
а по нижнему ригелю АВ—произвольными
нагрузками
Замкнутая прямоугольная рама лежит на упругом основании
(рис. Х-11, а). Требуется составить в общем виде уравнения для
определения узловых моментов МА, Мв, Мс и Мо.
Дано: L = I + /1+ 4- Величины 1Х и /2 каждая отдельно или обе
вместе могут быть равны нулю и могут иметь произвольные значения
при соблюдении условия
L = I -к /, + /2.
Расчленяя раму на отдельные элементы (рис. Х-11, б) и пользуясь
универсальной формулой упругой линии балки, находим
угол поворота верхнего ригеля CD в узле С:
Ф(СО) = -L- [(2МС + MD) - 2P(CD) uiVil (ut + 2vf)] + • (X-39)
C vEtf2е 1
Угол поворота верхнего ригеля CD в узле D:
377
Рис. X-ll
(CD) I
+ Mc)-^P(lCD}uivilX
в
X(2u{ + vt)] + -^-.|
(Х-40)
Угол поворота стойки АС
в узле С:
(ЛС) = _^.(2Мс
с 6Е1/1 С '
+ Мд)+-^-. (Х-41)
Угол поворота стойки Л С
в узле А:
+ 2МЛ) + • (Х-42)
Л Я
Угол поворота стойки BD
в узле D:
’»"' = Щ7Г<2Л,^|
+ Ма)+^-- (Х-43)
Л
Угол поворота стойки BD в узле В:
<BD' = WF^Mb + m^ + ^‘ <х'44)
& о^1*1 Л
Относительное линейное смещение конца D ригеля CD:
= -~г(- —c+tMD + - 2 P;CD) v’ 'j • (Х-45)
Горизонтальные смещения стоек АС и BD:
*ас = *bd = йГ- ^Ма ~Mc+Md- Мв). (Х-46)
АС
378
Пользуясь общими формулами (Х-3), в общем виде для любого
показателя гибкости находим:
Угол поворота нижнего ригеля АВ в узле А:
Фд^’ = ^£'bLS {6£22ф£’ У' + Ф^>Жд+ ФмМв +
+ 2ф«Ч + L УА + ФЙ’ Ув + 2 %? pf]j , (Х-47)
Угол поворота нижнего ригеля АВ в узле В
МВ) 1 кг2^“(В> । <S) лл । -(В> ,
Фв = - р ,,а bL 2 фнг 4t + Ф2д Ма + Ф^ Мв +
tzcqu Lt
+ 2 Ф« ’ Mt + L [ф'л> у А + Фз? У в + 2 %? Л]} • (Х-48)
Пользуясь общими формулами (Х-4), находим относительное вер-
тикальное смещение б лв узла В нижнего ригеля:
S 1 -<В) ЛЛ , -<В) .. .
8дв — р hJ 2 Ун1 4i + Угл МА + У2в Мв >
+ 2 У2i Mt + L ^узл УА -|- узв УВА~^>. y3i Pi
-Г— \ьь^ У»1 ‘ qt+ у2А мА + у2В Мв + Ъ у* Ml +
, r r-^iz . — 1 X'— (Л) n 1) /V /1ГЛ
+ L \ y$A A ^ЗВ в 4~ 2 #3i P{ | • (X-49)
В уравнении (X-49)
~l
• _ ^A—
B i
(CD)
i vi>
,<CD)
I Ui
(X-50)
Приравнивая найденные значения углов поворота и линейных сме-
щений
(CD) (AC) (CD) (BD)
Фс =—Фс ’ Фо =— Фо 1
(AC) (АВ) (BD) (АВ)
Фд = — ФД 1 ФВ = — ФВ 1 8ОС = 8ВД-
(Х-51)
получаем всего шесть линейных уравнений, содержащих искомые
неизвестные величины МА, Мв, Мс, MD, 8сл = §DB и 8DC = 8вл •
379
§ 5. Расчет рамы, нагруженной
по нижнему ригелю АВ несимметрично
расположенной силой Р
Рассмотрим замкнутую прямоугольную раму (рис. Х-12, а).
Составим уравнения для определения узловых моментов МА, М
Мс и MD. Расчленяя раму на отдельные части (рис. Х-12, б) и поль-
зуясь универсальной формулой упругой линии балки, находим:
Угол поворота верхнего ригеля CD в узле С*:
Рис. Х-12
+ ф<Л) Р
3
с ЬЬ2/2
4-Л4о)+^£.
(Х-52)
Угол поворота верхнего
ригеля CD в узле D:
«Я
ЬЬ2/2
4- Мс] + (Х-53)
Для определения угловых
и линейных перемещений кон-
цов А, С, В и D стоек АС
и BD, используем формулы
(Х-39) — (Х-46).
Пользуясь общими форму-
лами (Х-3) и (Х-4), получаем:
Угол поворота нижнего
ригеля АВ в узле А:
(АВ) 1 [“(А) м ,
+ Фгв' Мв~г L рр'д1 YaA-
+ ФЗВ Ув +
]
(Х-54)
• В формулах (Х-39) — (Х-44) ВЛС, 6СЛ, BDB, Вв£) и т. д. обозначены ли-
нейные смещения концов стержней CD, DC, СА, АС...
38Q
Угол поворота нижнего ригеля АВ в узле В:
(ЛВ)=--------1
в r.E0bL2
{ф™ Л1л + Мв +
+ '-[ф™Л+Ф™1'в+ <’₽])•
Вертикальное смещение 8вл узла В нижнего ригеля АВ:
<‘ва = ТГТ7IУм Ма+ Угв Мв + L [Уза Уа +
TZLq DL 1_
, ~(В) V I -<В) nil
Ч- Узв ув Ч~У3 Pj| •
(Х-55)
(Х-56)
Приравнивая углы поворота в узлах А, В, С и D и учитывая, что
2Сл = %db и йос = 8вл , получаем:
(2МС + MD) + (2МС + МА) +
£2'2
Ч---6 — IУ гл Ма + Угв мв + L Г Уза Уа +
7i£q(?£ L
+ ^)ув+^в,р]} = 6-^; (Х-5?)
-f— (2Мв+ Мс) + —(2Мо + Мв) -
Eili
6 f-CB) , -<в) лл , Г Г-(В) Х7 I
_р ь72 IУ^а Ч~У2В Мв + Уза Уа Ч~
+ Узв1 У в +уГ р]} = - 6 (Х^58)
(2МА + Мс) + 6 И’ Ма+ ^2В Mb + L te’ Ya +
+ ®^+ф5л’р]) = 6-?у-’ <x-»>
-±- (2MB + M„) + -Л-. M, +
+.L [Й’ Ya + ф£> Y„ + p]) = 6 . (X-60)
[»„ m,+l YA+
тш0 bL L \
+ C Y„ + У? p)] = Soc. («D
381
В этих формулах YA = — Y в= —А ——горизонтальные смещения
стоек АС и BD определяем по формуле (Х-46).
Остается решить совместно уравнения (Х-46), (Х-57) — (Х-61)
относительно неизвестных величин МА, Мв, Мс, MD, ВСЛи SDC. *
§ 6. Расчет рамы, нагруженной
по верхнему ригелю CD равномерно
распределенными нагрузками, а по нижнему ригелю АВ—
произвольными нагрузками (рис. Х-13)}
линии балки, получа-
Составим в общем виде уравнения для определения узловых момен-
тов МА, Мв, Мс и MD. Поль-
зуясь универсальной формулой
упругой
ем:
Угол
геля CD
(CD}
Фс —
поворота верхнего ри-
в узле С:
(2Mc + Md) +
6E2Z2
1 (CD}
24E2/2Z U
-/Hi)2[(/-W -2/2]-(/- |
— 4i)2 [(/-/,ci)2-2/2])
(Х-62)
Угол поворота верхнего ри-
геля CD в узле D:
(CD) I
Фо =-^-(2Mo-
— 7ИС)Н---------- X
24E2Z2Z
-/нг)2 + 4//нг]-(/-^)2х
X[(/-^)2 + 4/Zj+^-
Рис. X-13
(X-63)
Для определения углов по-
ворота и относительных линей-
ных смещений концов А, С, В
и D, стоек АС и BD рамы ис-
382
пользуем формулы (Х-41) — (Х-46). Чтобы определить углы по-
ворота концов А и В нижнего ригеля и относительное линейное
смещение конца В того же ригеля, используем формулы (Х-47) —
(Х-49).
Применяя формулы (Х-41) — (Х-44), (Х-46), (Х-62); (Х-63) и усло-
вия (Х-51), можно составить шесть уравнений с шестью неизвест-
ными МА , Мв, Мс, Mq , и 8со-
§ 7. Расчет рамы, лежащей
на упругом основании, с использованием
метода сил (рис. Х-14)
Рассмотрим замкнутую четырехугольную с жесткими узлами раму,
приведенную в примере (Х-1), для которой определяем узловые мо-
менты МА и Мс (рис. Х-14). Сначала выбираем основную систему,
а затем строим единичные эпюры Хг= 1, Х2= 1 и эпюру Мр, соот-
ветствующую действию силы Р.
Рис. Х-14
В)
В связи с тем, что основную систему принимаем по рис. (Х-14),
то вследствие симметрии имеем два лишних неизвестных Х± и Х2.
Для рассматриваемого случая канонические уравнения принимают
вид
*1'11 + ^2Г12 + Alp — О,
-^ir2i + Х2г22 Агр = 0.
(Х-64)
Пользуясь общими формулами (Х-3) и методом сил (строительной
механики), вычисляем единичные перемещения и перемещения, вызы-
ваемые нагрузкой и упругим основанием:
Ги = 8и + ^) =
/21 = &21 + 8*.) =
r — g □_ g(0) —
'22 — °22 । °22 —
/I3
3EI
‘П \ ?2В — 92Л ) 2-
Е/а
(Угв* ~~ yffi) lfl 2-
Е1а
EI
Е1а
2;
(Х-65)
(Х-66)
(Х-67)
383
— Р с/л> Z2
Л1Р — (фл (р) • Л) 2 = —— 2/г; (Х-68)
р9зА} ?
^2р = Ч’лср) 2 — 2- (Х-69)
Я
Здесь г!!>, 1? и 6g’ — перемещения, вызванные упругим ос-
нованием.
Подставляя значения г1ь г21, r22, Aip и Д2риз формул (Х-65) —
(Х-69) в канонические уравнения (Х-64), получаем:
/г3
3£/
-ф^)~
/г2
2£/
( № + lh 2 u Р^ Р
Ela Ela
/12 , ( <?2В ~ УтР)
2EI Ela
(Х-70)
Ela
Ра Л) Z2
2 + —-------- 2 = 0.
Ela
Решаем совместно эти два уравнения относительно X
3« + А)
v _ (3/ + 2h) h
и Х2:
Р1 ^А}
21+ h. /ф<^) _ф<ла
3Z+2/i 2Z + ?2В Т2Л '
Plh
(3Z + 2/г)
X2 =------------------------------
_(2Z +_ft) ah_ (Л) _ (Л)\
(3Z + 2/1) 21 + ' '
Узловые моменты MA и Mc определяем по формуле
(Х-71)
МА = xlh + Х2 =--------2Т h f Pl----------------
мс = х2 = - — .
31 + 2/г
(Х-72)
Таким образом, методом сил легко можно рассчитать раму, лежа-
щую на упругом основании.
384
§ 8. Метод угловых перемещений для расчета
рамы, лежащей на упругом основании
при одновременном опирании ее на несмещающиеся
сосредоточенные опоры
Для вывода основного уравнения расчета рамы на упругом осно-
вании рассмотрим произвольный узел А сложной рамы со всеми примы-
кающими к нему стержнями, часть из которых лежит на упругом
основании (рис. Х-15).
Допустим, что под действи-
ем нагрузок рассматриваемый п.^ ,
узел А поворачивается против
движения часовой стрелки на / . \
некоторый угол фл. Другие кон-
цы всех стержней, связанные с 1 /
узлом Л, получают угловые пе-
ремещения, а часть из них и ли- £
нейные, поворачиваются также
против движения часовой стрел- .х?
ки на углы <рт; фп; фв... и одно-
временно перемещаются их кон-
цы на &Ат,&Ап и т. д. Рис- х'15
Пусть стержни АВ, AC, AD
и АЕ лежат на упругом основании, а стержни Ат и Ап не лежат
на упругом основании. Начало координат для стержней АВ, АС,
AD, АЕ, Ат и Ап приняты соответственно на левых их концах в уз-
лах А, С, А, Е, т и п и направлены положительно для стержня АВ
тАк.В, для стержня АС от С к Л, для стержня АЕ от Л к Е и т. д.
У элементов АВ, АС и Ат, сходящихся в узле А, на противополож-
ных концах В, С и т имеются жесткие узлы, а у элементов AD, АЕ
и Ап в узлах Е, D и п — шарниры. Принимая все внешние моменты,
приложенные к стержням против движения часовой стрелки положи-
тельными, согласно уравнениям (Х-3) составим формулы угловых пе-
ремещений для элементов, входящих в узел Л.
Угол поворота стержня АВ в узле Л:
<Рд4В') = ——— [фм1 МАв + фгв' Мва — Lab (фал* У а +
"АВ 1АВ
+фй)Ув)]+Ф°А(ЛВ)- (Х-73)
Угол поворота стержня АС в узле А:
ф24с-) = ——-— [ Фгс' Мса + Ф2А1 Мас — Lac (фзс1 У с +фзд' Кд)] +
аАС 1АС
+ Ф°д(А?) • (Х-74)
Угол поворота стержня АЕ в узле Л:
„ 'Г № Мае - Lae Ш Уе + Йа’ Кд)] + <$АЕ)- (Х-75)
аАЕ 1АЕ
385
Угол поворота стержня AD в узле А:
^(аО) = —----;— [фм1 Mad — Lad (фзЛ) У а + фзг? Уд)] + Фа(АО). (Х-76)
aAD IAD '
Так как рассматриваемая рама, лежащая на упругом основании
одновременно опирается на сосредоточенные несмещающиеся^опоры
(сваи), то для учета сосредоточенных опор необходимо составить до-
полнительные уравнения. Для этого используем условия равенства
нулю реактивных давлений грунта в местах устройства несмещающихся
опор. В результате использования этих условий получаем уравнения:
v — п »г,(А0> г । Ма । ^,<лв) Мв
г л — одв пц — Cab т2 + т.3 —-----1- ,
M (X-77)
Yb = Cab m\AB) - Bab ---m[AB} .
Lab Lab
Решая уравнения (X-73) — (X-77) относительно узловых моментов,
после некоторых преобразований имеем:
Мав = Адв (фл ^4 В) — Фв b[ В)) ада Iab + Мав, (Х-78)
где
Мав = Лав [Lab(E[AB) b\AB} - Е™ &Г>) -
- (фГВ) ЬП «ав *ав]; (Х-79)
Мас = А.ас (фдо{лс) — ФсОгЛС)) «ас Iac + Мдс, (Х-80)
где
Мас = Ллс [Lac (Е}ас> а<2АС> - Е^ п{лС)) - (ф°л(лс> а(АС) -
-^c(AC)4AC))aAclAc]; (Х-81)
Мае = Лл£ фд аДЕ 1ае + Мае, (Х-82)
где
Мае = — Лд£ (Тде Е^Е} 4* Фа Л£) «ае 1ае)\ (Х-83)
Mad = &ad фд кдо iad + Mad, (Х-84)
где
Mad = — Лдо (Lad Д|Л£,) + фдAD^ o.ad Iad) (Х-85)
В этих формулах Мдв, МАС, Мае и MAd — узловые моменты от
нагрузок, расположенных на стержнях АВ, АС, АЕ и AD, лежащих
на упругом основании.
Узловые моменты для элементов Ат и Ап, не лежащих на упругом
основании, определяем по уравнениям строительной механики:
386
(g \
2<рл — <pm — 3-)
LAm /
(X-86)
J
Al An — 3 tAn
где
Млт — опорный момент от нагрузки для балки, свободной от
упругого основания, с заделанными концами;
Мап — опорный момент от нагрузки для балки, свободной от
упругого основания, заделанной одним концом и свобод-
но лежащим другим.
Если на горизонтально уложенной балке Ат с заделанными кон-
цами и постоянного поперечного сечения по всей ее длине сверху при-
ложена равномерно распределенная нагрузка q, то изгибающие мо-
менты и поперечные силы выражаются формулами:
(Х-87)
QAm =----
)
Если на той же балке на расстоянии а от узла т и на расстоянии
b от узла А приложена сосредоточенная сила Р, то
РсЬ2 МтА = — .
L2
Al Ат = ,
(Х-88)
п’ Pb^L + 2а) ^тА LS
Pa\L + 2b) С/Лт = L3
Для определения значений величин, входящих в уравнения (Х-78) —
— (Х-85), получаем формулы:
a[AB4^-b[AB^a^ ’
_________1________.
а(ЛС) Ь(АС) _ Ь(ЛС) С(ЛС) ’
(Х-89)
387
+Ж‘ ;
аГ’^’-датГ’ + фЙ’мГ'’', 1
аГ’-да-ИМ^’ + да™!"'; I
.(АВ) ____ -(А) —(А) (АВ) . “(А) (АВ) )
И = ф2В ----------фзА тц 4- ф.}в /Из ,
. (АВ) _ ~АВ) “(В) (АВ) “(В) (АВ)
t>2 — ф2В — фЗА tTli 4" фзв tn\ , J
= САВ (ф^> т2АВ} - ф$ /и!ЛЙ)) -Вав (ф$ т\АВ} -
-Ф^/пГ’).
Е2АВ} = СдвОТ т2АВ} - ф^> тП~ВАВ Ж -
= ~САЕ Жт[АЕ> - т^)-
E2{AD} = CAD - фй> тП) -
-ВАОШгп[^-^тП
тО(АВ) _ 1 Г , .2 v “(А) (АВ) .
Фа . [ оав LAb 2 фп1 ql 4~
“ав 1ав
+ ЕЛвЛ4!™+14гЕа-"Р!ад],
фв,Л°’ =----— I *лвГ1п Е Ф1?> +
аАВ iAB
4-Sq^’ M^ + Lab^ Л!ЛВ)];
0(АС) _ 1 Г , г 2 v —(А) (АС) .
Фа —----------;— [ о ас Lac S Фн» qt 4"
аАС ^АС
ф«« = i [ 6лс Е -,? ?!ад +
аАС 'АС
4-гда Л1Г)4-£асЕ^) рГ>];
(Х-90)
(Х-91)
(Х-92)
(Х-93)
(Х-94)
(Х-95)
(Х-96)
388
[ ьл£ 1Ъ Е да ,Г> +
+ Е ф&” М(АЕ} + Lae Е ф^> P^>],
Ф^> = _1_ [ bAD Lad Е q^ +
aAD lAD
+ Е^> М^’+ЛлоЕф^ P^>];
(Х-97)
Для определения Вдв, Сав, Вае, Сае, Bad, Cad, т\ \ ...,
и т. д. используем формулы (VI1-9) — (VII-12) или табл. VII-1— VII-6.
Найдя значения узловых моментов МДт, МДп, Мдв, Мдс, МДЕ и.
MAD, составим условие равновесия узла А (рис. Х-15).
ЪМД= 0.
Из условия равновесия узла А имеем
3 5
Е 2lAm (2 фд 4- фт)-------(- Е МАт —
Ьдт
— Е 3£дл f фд------7~~~ + Е Мап + Ада (фд &гАВ) —
\ LAn /
— фв &1<АВ)) ядв 1ав + Е/Идв +
4~ Аде (фд &2ЛС) --фс &]ЛС)) Яде Мс +
4- ЕМдс + Дд£ ^2 фд Яд£ 1д£ + ЕМд£ 4"
4“ Адо Ь^10^ фд ядд iad 4” ЕА4д£> = 0.
(Х-98)
Перенеся в правую часть уравнения (Х-98) все слагаемые, в которые
не входят угловые перемещения, и делая некоторые преобразования,
получаем общее уравнение угловых перемещений для рассматриваемо-
го узла А:
2 |^Е 1дт 4—— Е lAn 4- ^Кав 1ав 4" ^Лдс Мс 4_
3 г 3 1
4—— ^Кае 1ае 4—— ^K.ad Iad фд 4~ Е 1Ат Фт 4~
4 4 J
+ ЕТ(дд 1ав фв 4- Е/(дс 1ас фс = 3 Е - 8дт 4“
LAm
+ 4 Е _^L. 8^ + JL (Е Мдт 4-
2 LAn 2
+ Е А4дл4- Е Мдв + Е Мдс 4- Е МдЕ 4* Е Mad),
(Х-99)
389
где
ЛАВ =-------— Е &АВ &2ЛВ> аАВ,
4
К АС ~ 1 4 ЕЛлс&2ЛС) а-Ас,
Кае = 1 3 ЕДлв&1Л£) аАЕ,
Kad = ЕДло^ло: 1 “ad;
К(^ = -^ВЛАВЬ(1А£)аАВ,
^ = ^-ЕАлс&!ЛС)«лс.
(Х-100)
л
'* я
(Х-101)
Для определения значений величин фзл , фзвл фз/1', фзл\ фзв' и
Фз?) используем табл. V-3, а для фм*. ф2в\ ф^1. фгл', Фгв’, фа1
— табл. V-5.
Если элементы АВ, АС, АЕ и АЕ), лежащие на упругом основании
и примыкающие к узлу А, отсутствуют, то из общего уравнения (Х-99),
выведенного для упругого основания, как частный случай, получается
известное из строительной механики общее уравнение угловых пере-
мещений:
(3 г \
S ^Ат Ч-- S кАп I Фл + Е ^Ат tym =
4 /
= ЗЕ-^8лт + ЗЕ-^-Влп + 4-(£^ + Е^лл). (Х-102)
Если в состав рассматриваемого узла А входят только стержни
с жесткими узлами, то уравнение (Х-99) принимает более простой вид
2 (Е 1Ат + Е /Слв 1ав + Е Кас 1ас) фл + Е tAm фт +
+ Е К^ 1ав Фв + Е 1АС фс = 3 Е 8 лт^+ 4- (Е МЛт’+
LAm 2
+ Е м'ав + Е МАС) (Х-ЮЗ)
В уравнения (Х-99) и (Х-103) кроме неизвестных углов поворота
входят и неизвестные линейные смещения узлов.
При расчете рамной конструкции можно составить столько таких
уравнений, сколько узлов имеется в рассматриваемой раме.
Полученное общее уравнение (Х-99) угловых перемещений является
достаточным только для расчета симметричной рамной конструкций,^
нагруженной симметричной нагрузкой (предполагается, что нет вза-.
имных смещений узлов рамы).
390
При наличии взаимных сме-
щений узлов рамы в ней кроме
угловых перемещений возникают
и линейные перемещения, для
нахождения которых необходи-
мо составить столько допол-
нительных уравнений, сколько
имеется в ней взаимных смеще-
ний узлов рамы.
В связи с тем, что рассмат-
риваемая рама лежит на упру-
гом основании и одновременно
опирается на несмещающиеся
С,
"1
QcCj
v Г,-----------------------------
I L
сс,
Ввв,
1-2
Рис. X-16
В,
В Овв,
Q
L,
сосредоточенные опоры, то взаимные смещения узлов рамы могут
быть только горизонтальные (рис. Х-16).
Поэтому для рассматриваемого случая необходимо и достаточно
составить еще дополнительное уравнение горизонтальных проекций.
Общее уравнение
горизонтальных проекций
Производя разрез рамы у основания ее стоек, составим условие
равновесия 2Х = 0в следующем виде (рис. Х-16):
Qcc, — 6 с-'- f фС + фс, — 2 —с-с‘ + QAAl — 6 ЛЛ‘ (фи +
LCCt \ LCCr / LAAt \
+ фЛ - 2 4- QBB1 - 6
LAAt ) LBB1
У В + фв|---
_2 2вв/\ = W
£вв, /
где
Qaax', QBBt. и Qcct — поперечные силы
(в сечениях А, В и С) рассмат-
риваемых как стержни ЛЛХ;
BBi и СС\ с заделанными кон-
цами;
Wt—внешняя нагрузка, действую-
щая перпендикулярно к рас-
сматриваемым стойкам.
Пользуясь уравнениями (Х-99) и
(Х-103), можно рассчитать любую
рамную конструкцию, опертую в уз-
лах нижнего ригеля на сосредоточен-
ные несмещающиеся опоры.
Пример Х-6. Дана двухочковая
рама с жесткими узлами CABDEF
(рис. Х-17).
(Х-104)
от нагрузок разрезанных стоек
Рис. Х-17
391
Требуется составить уравнения угловых перемещений и горизод.
тальных проекций.
Решение. Пользуясь уравнением (Х-103), получаем:
Для узла D:
2 (i'de + Icd ) фо + Icd Фс + Ide ф£ = 3 CD &cd4--7— •
lcd 24
Для узла E:
2 (Ide + Ief 4~ Iae) ф£ + Ide фо + iEF<fF + Iae фл ~
= 3
lAE s .
-J--8ле +
bAE
24
QiLde
24 ‘
Для узла F:
2 (Ief + i’fb) Ф£ + Ief ф£ + ‘ввфв =
3-^-
^BF
ЪВр —
Cfol-EF
24
Для узла С:
2 (l'cD + К AC 1Лс) Фс 4~ ^CDfpD 4~ ft AC IAC фл = 3 C° ScO 4-~
lcd 2
Для узла A:
2 (lAE + KabIab + KacIac) фл + 1аеЧ>е +
I iH1) ; i ж(1) ; „ Q lAE s , MAB , MAC
+ Аля I AB 4>B + Fac Iac Фс = 3 —— Оле Ч-------1--—.
^AE 2 2
Для узла В:
(tBE + К АВ lAB ) Фв + 1влф£ 4- /Сдд 1АВ фл = 3 —— 4-------
lbf 2
Из уравнения (Х-104)
"7 (фс 4- фо) 4- (фл 4- фв) 4- fBF (<рв 4- <pF) =
bCD lae lbf
_ о ‘cd x , 1ЛЕ s . ‘be s
— 2 “72 °CD + -T2 °AE 4“ 72 °BF-
lcd lae ^bf
В этих уравнениях
8CD = 8ЛЕ = 8BF •
392
§ 9. Расчет рамы, лежащей
на сплошном упругом основании,
методом угловых перемещений*
Рассмотрим более сложный случай опирания рамы на грунт, когда
нижний ригель рамы полностью лежит на сплошном упругом основании
(без опирания в узлах на несмегцающиеся опоры).
В этом случае в зависимости от вида конструкции рамы, характе-
ристики грунта, величины, вида и расположения нагрузки все узлы
рамы или часть из них могут иметь или только горизонтальные, или
только вертикальные, или одновременно и те и другие взаимные сме-
щения узлов рамы, или вообще их не иметь.
Предположим, что произвольный узел А сложной рамы со всеми
примыкающими к нему стержнями, часть из которых лежит на сплош-
ном упругом основании, под действием нагрузок поворачивается про-
тив движения часовой стрелки на некоторый угол <рл. Тогда другие
концы всех стержней, связанные с узлом А, получают угловые и ли-
нейные перемещения.
Для определения угловых перемещений узла Л (рис. Х-15), в кото-
ром сходятся стержни Ат, Ап, АВ, АС, АЕ и AD, используем урав-
нения (Х-73) — (Х-76) и (Х-86).
Пользуясь этими уравнениями для элементов на упругом основа-
нии А В, АС, АЕ и АЕ), находим узловые моменты Мав, Мас, Мае
и Mad, а для элементов без упругого основания Ат и Ап моменты Маш
и Мап определяем по формулам (Х-86):
Мав = ^ав (ч>2Б ЧА — Ч>2В Чв) a^iAB + М^, (X-105)
где
Мав = Е°ав {» ф2>(АВ}) Шав +
+ Т.дв[(ф2В) 'рЗЛ1-фгв' фзЛ^Кл + (ф2В* фзв1--фгв' фЗВ*) fll I’ (X-106)
Мдс — Але (фге1 фл — фге'фс) алс Iac + Мдс > (Х-107)
где
Мас = В°ас {(фй> Ф°с<ЛС) -ф£’ Ф°л(ЛС)) «лсМс +
+ Lac [№ ф£> - ф£’ Ф^>) Yc 4- » ф£> - ф£> , (X-108)
МАЕ = ^А 1ае МаЕ' (Х-109)
где
мае = — [фл(Л£) ъАе 1ае + Lae ^ЧзеУе 4- )]» (X-1Ю)
• Сима ул и ди И. А. Расчет инженерных конструкций на упругом
основании. «Высшая школа», М., 1968.
Си мв ул и ди И. А. Расчет рам на упругом основании. Труды второн
международной конференции. Румыния, Бухарест, 1971 г.
39Э
Мло — Фл ^AD + MAD • (Х-111)
где
Мдо ~ <?(Л) [фл( ’ «дд iAD + Lad (фзЛ) Ya + <рзо (Х-112)
Найдя значения узловых моментов, составляем условие равновесия
узла А:
2Мл = 0. (Х-113)
Подставляя найденные значения узловых моментов в уравнения
(Х-113).[после некоторых преобразований получаем уравнение угловы J
перемещений:
[Q о
2 ^Ат + ^Ап + 2 /ДВ1 АВ "Ь 2 1 АС ^АС “Ь ~ 2 I АЕ ^АЕ “Ь
3 1
+ 2 >AD Cioj Фд+ 2 iАт Фт + 2 /дв Фв + 2 /дс Фс =
:= 32-^-8 +А22±2_8
г Ат 1 л г Ап
иАт £ ьАп
+v “C, + +
где
+ 2^+2^ЛС +2^ЛЯ +2^L
(Х-114}
Л°
^_ф(В)а
4 Фгв идв»
л°
аАС —(C)
1ас 4 Фгс аАС’
. _ 1
л°
.(!) “ЛВ — (Л) „
1ав 2 ^2В Oas’
А0
.(1) _^4С-(Л) .
•АС 2 ^2С ^с’
1
1ав
(Х-1151
(Х-116^
(Х-117)’
свдмда2
1
^АС
(Х-.18Л
394
Если в состав рассматриваемого узла Я входят только стержни
с жесткими узлами, то уравнение (Х-114) принимает более простой
вид:
2 [2
^Ат ^АВ + ^ас (дс] + 2 ^Ат
LAn z
+ 2М^ + 2Л4дс). (Х-119)
Для расчета рам общее уравнение угловых перемещений (Х-114)
является достаточным, если нет взаимных смещений узлов рассматри-
ваемой рамы. При наличии взаимных смещений узлов рамы кроме
угловых перемещений в ней возникают и линейные перемещения, для
определения которых необходимо составить столько дополнительных
уравнений, сколько имеется взаимных смещений узлов рамы. Взаимные
смещения узлов рамы могут быть произвольными и поэтому их проще
представить в горизонтальных и вертикальных проекциях.
Дополнительное уравнение
вертикальных проекций*
Для составления дополнительного уравнения вертикальных про-
екций из рамы вырезаем какую-либо промежуточную стойку
(рис. Х-18,о, б) и, используя для нее уравнения (Х-86), (Х-105) —
в)
Рис. Х-18
* Киселев В. А Балки и рамы ва упругом основании. Госстройиздат.
М„ 1936.
395
(X-112), а также одно из условий статики SFf= 0, получаем общее
уравнение вертикальных проекций:
Г , 61‘л г /
S й.л-^-(.
| ВА, Ct \
В ,
AjC'i
L . •
AiCi
Фл +<Рс,
3i . .
Aici
Laic‘i
\c;
L л и
А; С,
Фс'
2b, г\Ч
7^ + S
AtCj_
3i «
Aic
Lu i
Q.
ФХ~
<Элс + “ЛС
(С) -4- го(Л> ^Л I
?2С + ?2C Lac
л
IT
£ае
\ 1- “Л£
9(Л) Фл L И
T2A ))
3i t .
Г A‘B‘
^AjBj
LAiBl
O'
Ч-А.В. .
1 1 AiBt
\b; A
^-^7
ф^ + Фв;
AB
, . v 1aB
(Фл + Фв) —
lab.
+ (q'ao + -^-Фл -^41 = P- <X'12°)
lad )
Первое, второе и третье слагаемые, помещенные в первых фигур-
ных скобках уравнения (Х-120), представляют собой поперечные силы
в элементах Л гС(Л, С', и Л'’С". Четвертое слагаемое в тех же скобках
представляет поперечную силу в элементе АС на упругом основании
с двумя заделанными концами. Пятое слагаемое в тех же скобках пред-
ставляет поперечную силу в элементе АЕ на упругом основании, ког-
да в узле Е имеется шарнир, а узел Л заделан (рис. Х-18, в).
Во вторых фигурных скобках уравнения (Х-120) содержатся те же
величины, но они относятся к элементам с другой стороны разреза
(рис. Х-18, б).
Если при вырезании стойки все стержни оказываются с жесткими
узлами, т. е. если стержни С^Л;,..., СпА'п; С^Л",..., С"Л’; Л^в;,...,
Л\ВП; Л]В”,..., Л"В" отсутствуют, то уравнение (Х-120) принимает
более простой вид:
фж + ф<^
^ + 7^>)~(^ + фс)~Г£
т2С + *?2С ЬАС
396
6i
^(‘Л. В .
флг + Фвг-------7----
ьл. в.
aAB
т(Л) 1 „(В)
Ч2А -Ь <?2A
<?л +
где
+ Фв
1АВ
lab
= P,
(X-121)
Флв (Л) (В)
<?2А + Ч>2Л
фО (дв> + ф0 (ЛВ)
аЛВ 1АВ
^ав
QaC „(С) I „(Л)
?2С + ?2С
О (ЛС) . О (ЛС)
Фс '
аАС 1 АС
lac
(X-122)
^AE ~~
1
—(Л)
Г2А
О (Л£) аАЕ 1АЕ
Фд I
ЬАЕ
AEt
Qad
1
„(Л)
Ъа
ft(AD} aAD 1 AD
Фл /
bAD
+ (фзл1 УА + Фзо
(X-123)
AD
L
1
1
A
В этих формулах Q°ab, Q°ac, Qae и Qad — поперечные силы от на-
грузок свободно лежащих балок на упругом основании, которые
можно вычислить по приведенным ниже формулам:
Q°ab — [($ав + Улв),
Qac = — (Qzc + Уле) .
(Йв = --- ^Л£ + Ул£) .
Qad = (Олв + У°о).
(Х-124)
В формулах (Х-124) первые слагаемые £>5lb, Qac, Оле и <2ло — по-
перечные силы, вызванные нагрузками, действующими непосредственно
на рассматриваемых балках, лежащих на упругом основании; Улв;
У ас, У°ае и V'ad — поперечные силы, вызванные нагрузками, располо-
женными на верхних ярусах, которые через стойки передаются на
нижний ригель.
В уравнениях (X-106), (Х-108), (Х-110), (X-112), (X-122) и (X-123)
У а, Ув, Ус, Уеи Уо — силы, возникающие в узлах А, В, C,D и £ от
нагрузок, если рассматривать стержни как балки с заделанными
концами.
397
Дополнительное уравнение
горизонтальных проекций
Если из уравнения (Х-120) исключить все слагаемые, кроме перво-
го, входящего в первые фигурные скобки, и представить его в гори-
зонтальной проекции, изменив соответственно индексы, то получим
уравнение (Х-104) горизонтальных проекций (рис. Х-18).
Пример Х-7. Рассмотрим замкнутую пря-
моугольную железобетонную раму с жест-
кими узлами ABCD, нагруженную в середи-
не нижнего ригеля АВ сосредоточенной си-
лой Р (рис. Х-19). Требуется определить уз-
ловые моменты МА, Мв, Мс и MD.
Дано: = 1г=1з = 1^=1', Lab — Lac ~
g = Lcd — Lbd = L.
Поэтому — 1ДС — iCD = iBD — i, пока-
затель гибкости a = 200. Вследствие сим-
Рис. Х-19 метрии конструкции и нагрузки рама A BCD
не имеет ни горизонтальных, ни вертикаль-
ных смещений одного узла относительно другого, т. е. ЬАС =0 и 8СО =0.
Между поворотами узлов имеется зависимость, определяемая ра-
венствами <рв = — фл, фо = — Фс-
Поэтому из шести неизвестных величин фл, фв, фс, фо, 8ЛС и 8СО
достаточно определить только две фл и фс.
В связи с этим для решения данной задачи достаточно использо-
вать уравнение (Х-119) угловых перемещений.
Решение. Пользуясь уравнением (Х-119), получаем:
Для узла А:
2 ( ^ас + iав гдв) Фд + /дв ^лв Ув + iAC Фс — — Мдв •
Для узла С:
2 (1ДС + 1С£>) ?С 4" г'лс Фд 4" ^CD =
или после их упрощения
[2(1+М-/Эфл + фо = -1--^.
Зфс + фд = 0.
Решая эти уравнения относительно фд и фс:
„ _ ^дв
рЛ .1 . .(1) 1 I ’
2i 2 ( 1 + j^) — /дд —
О J
МАВ
Фс-------j--------------р: -
6i |^2 (1 -|- jAB) ~~‘jAB —
398
Пользуясь формулами (Х-95) и (Х-96); (Х-106), (Х-115), (Х-117)
[I (Х-118), после некоторых преобразований и упрощений имеем:
МДв
т-т at да-^>
[Ю (9^ -9^)-За] i
[’0 (ч>2Л— 9м)-3“] »
Мас = — Мав = — 2i ( 2ц>а + фс-7~') + ^ас =
\ lac /
10Д<л>
=-------
ю («р^-да-з^
(Зорг) \
2<Рс + фо--— I +
lcd J
10 ( 9м — 9м ) — Зз
Пользуясь табл. V-3 и V-5, получаем:
Мас = — Мав =
» 10 х 3,98__________
10(—69,088 — 4,421) —Зх 200
PL = — 0.0298PL;
Mcd = -Мса = -
__________2 х 3,98___________
10(—69,088 — 4,421)—3 X 200
Зная узловые моменты и силу Р, дей-
ствующую на раму, можно построить эпю-
ры р; Q; М и у.
Пример Х-8. Рассмотрим замкнутую с
прямоугольную с жесткими узлами раму
ABCD, нагруженную по верхнему ригелю
CD равномерно распределенной нагрузкой
q (рис. Х-20). Требуется определить уз-
ловые моменты. д
Дано: /5 =/2 =/3=/4= Л Cab =LAc=
= Lcd— Lbd —L\ ci = 200. Рис. X-20
Пользуясь уравнением (Х-119), имеем:
Для узла А:
с, г- । - • \ । .(о - । Мав
- - (1лс+ 1ав 1ав) "I" 1ав 1ав^в + 1ас Фс — g ’
PL = 0.00595PL.
399
Для узла С:
2 (йс + i’cd) Фс + iACфл + »спфд = -^- •
Из-за симметрии конструкции и нагрузки эти уравнения прини-
мают более простой вид:
I2 С1 + /дв) — /лв] Фл + Фс ---------
о , №
34>e + Vn=-V-
Решаем эти уравнения относительно <рл и <рс:
о мдв qP
247
[2 (1 + /дв)-/^
Фс =
Фл 3 [2(1+/лв)-/^]-1;
I _ дР _мав
____________J 24t 2i <
3 [2(1+/лв)-/^]-1
Из формул (Х-95), (Х-96), (Х-106), (Х-115) — (Х-118) имеем:
м- Фзл+Фзв’ qL?
АВ==^
•Ph — Фгд
_ 36 да + ?<*>)-2 да-да
Фд —
qL?
24i ’
ю да-да-за
4 да-да-12 да+да-
с ю да-да-за
12ода+да-2а
10 Сйд — Фгл) -3*
м м 12 да-да+24да+да-4а
/И с л — Mcd=----------------
а
Мас = — Мав =
qL2
241 ’
24 ’
24
qL*
24
ю да-да-за
Пользуясь табл. V-3 и V-5, получаем:
Мас = -Мав = 120 (~3.660 + И.871)-2 х 200
10 (— 69,088 — 4,421) — 3 X 200
= 0,01838?L2;
лл 12(—69,088 — 4,421)4-24 (—3,660+11,871)—4 X 200
МсА — --1VICD=----------------------------------------Л
10(—69,088 — 4,421)—3 X 200
400
= — 0,046339gL2.
Зная узловые моменты и нагрузку, действующую на раму, можно
строить эпюры р; Q; М и у.
Пример Х-9. Рассмотрим замкнутую
прямоугольную раму ABCD с жесткими
узлами, нагруженную по верхнему риге-
лю CD сосредоточенной силой Р, распо-
ложенной на расстоянии 13 = 0,6 L от ле-
вого узла С (рис. Х-21).
Рассматриваемая рама нагружена не-
симметричной нагрузкой, поэтому в ней
кроме угловых перемещений возникают и
линейные перемещения (взаимные горизон-
тальные и вертикальные смещения узлов).
В задаче всего шесть неизвестных вели-
чин, из них четыре угловых перемещения
<рл, Фв» Фс и Фд» одно горизонтальное
смещение узла овд = 8Лс и одно вертикальное смещение одв = осд.
Для определения этих неизвестных составляем четыре уравнения
угловых перемещений [уравнение (Х-119)]; одно уравнение гори-
зонтальных проекций [уравнение (X-104)] и одно уравнение верти-
кальных проекций [уравнение (Х-121)].
Пользуясь уравнением (Х-119), составляем уравнения угловых
перемещений:
Для узла А:
2 (*лс + >лв 1ав) Фл + *лсФс >ав ^ав Фв — 3 .
Для узла В:
~ , . . . . lBD
2 ( lBD "Ь !'ав ^Ав) Фв + ^ВоФо “Ь iАВ ^АВ <р^==3Т778вд+-Г'-
Для узла С:
„ ,. . „ . , . „ lCD „ „ 1ЛС „ М'гп
2 (*лс icd) Фс + 1лсФл + (соФо = 3 i 6cd + 3 L 8лс-| —-.
С ЛС
Для узла D:
„ {СР „ „ *ВР „ MDC
2 (lco + *во) Фо + ‘вр Фв + 1ср Фс = 3 . <>CD + 3 £ 8ВД-] .
dL)
Пользуясь уравнением (Х-104) горизонтальных проекций, имеем:
(Фл + Фс) + -^Чфв + Фо) = 2 (-^5лс+ •
ЬВО \ ‘'AC ‘'BD /
14—597
401
Из уравнения вертикальных проекций (Х-121) имеем (вырезаем
левую стойку АС)
/~19 ^CD (, о CD \ 1
Qcn------7--- Фс + Фд — 2 ---------- + QaB +
с lcd I lcd J
1- аАВ - (Ф„ + Фв) — = 0.
9$ + 9^’ Lab
Прежде чем решить совместно составленные выше уравнения, не-
обходимо по формулам (Х-88), (Х-106), (Х-108), (Х-115), (Х-117),
(Х-118) и табл. V-3 и V-5 при заданном алв определить значения вели-
чин Мсв, MDC\ Qcd, Qbc> ^Авг МвА, 1ав и Iab'
Пользуясь формулами (Х-106) и (Х-108) для данного случая, имеем:
Мав = Ф<*> - Ф‘Г Ф<? ) 0,352 + (ф£> < -
- фЭТв’) 0,648] PL-,
Мва = Лав [(фзл* фал* — фм* фзл1) 0,352 + (фм* фзл? —
- ф^ да 0,648] PL.
С
12
А
Аналогично можно составить формулы и для M'CD и M'DC.
После определения MCD, Мвс, QCB, QDc> MAB, MBA, jAB и
решаем совместно шесть уравнений с шестью неизвестными <рл, <рв,
Фс, Фд, 5дс и йсд-
( Зная угловые и линейные перемещения, по
О формулам (Х-86), (Х-106) и (Х-108) находим
узловые изгибающие моменты и затем можем
строить эпюры р- Q; М и у.
Пример X-10. Рассмотрим замкнутую
прямоугольную раму с жесткими узлами
ABCD, нагруженную по нижнему ригелю
АВ сосредоточенной силой Р, расположен-
в ной на расстоянии /3= 0,6 L от левого уз-
ла А (рис. Х-22).
В связи с тем, что рассматриваемая рама
нагружена несимметричной нагрузкой, то,
кроме угловых перемещений, в ней также возникают взаимные
вертикальные и горизонтальные смещения узлов. Поэтому для
рамы имеем всего шесть неизвестных величин, из которых четыре
угла поворота <рл, фв, фс и <pD, одно горизонтальное смещение узла
8Вд = &лс и одно вертикальное смещение узла 8дв = всд- Для нахож-
дения этих неизвестных составляем четыре уравнения (Х-119) угло-
вых перемещений, одно уравнение (X-104) горизонтальных проекций И
одно уравнение (Х-121) вертикальных проекций.
Пользуясь уравнением (Х-119), имеем:
А
Р
l3 = 0,6L
к
А
Рис. Х-22
402
Для узла Л:
2 (£ЛС "t iАВ ‘ав) Фл + 1аВ ‘аВ Ч В + ‘АС^С ~ ~ •
Для узла В:
2 (‘во + /ав ‘ав) Фв + >ав ‘ав Фл + ‘bd^d = ~ •
Для узла С:
^АС *С D
2 (‘ас “1“ fco) Фс + ‘ас Фл + ‘clWd = 3 lac ®лс + lcd ^cd
Для узла D:
_ .. , . . , . . „ ‘cd ~ „ ‘bd s
2 (‘bd + 1cd) Фо "Ь ‘bd Фв + 1со Фс = 3 8СД 4- 3 cd.
Используя уравнения горизонтальных проекций (Х-104), полу-
чаем
Г^(Фл + Фс) + 4^-(Фв + Фс) = 2(-^-8лс+-^8во\
‘'AC l'BD \ lAC LBD /
Из уравнения вертикальных проекций (Х-121)
f Фс + Фо — 2
nCD \ bCD J
Зная показатель гибкости , по фор-
мулам (Х-106), (Х-108), (Х-115), (Х-117),
(Х-118), (Х-124) находим значения вели-
чин М'^
^ВА' ^АВ’ /ав и Ав и затем
решаем полученные уравнения относи-
тельно <рл, <рв, <рс, <pD, 8СС и 5ЛС.
Зная угловые и линейные перемещения,
по формулам (Х-86), (Х-106) и (Х-108) на-
ходим узловые изгибающие моменты.
После определения узловых изгибаю-
щих моментов можно построить эпюры р;
Q- М и у.
Пример X-11. Рассмотрим однопро-
летную, трехъярусную симметричную ра-
му, нагруженную по верхнему ригелю рав-
номерно распределенной нагрузкой q (рис.
Х-23).
Вследствие симметрии конструкции и
нагрузки, рассматриваемая рама имеет
14»
+ Ч>в)тН- = О-
ьлв
403
только угловые перемещения, которые попарно имеют между собо"
зависимость в виде равенств: и
Фв = Фь ф? = — фг! Фе = Фз и Фз = — Фв-
Поэтому для рассматриваемой рамы имеем всего четыре неизвест-
ных угловых перемещения <р1, ф2, фз и <р4, для нахождения которых со-
ставляем четыре уравнения угловых перемещений.
Решение. Пользуясь уравнением (Х-119) угловых перемещений
получаем:
Для узла 1:
Л4.'8
2 (1'12 + /ib^ib) Ф1 4” Ч2Ф2 ~Ь АвЧвТв = — -
Для узла 2:
2 0'12 4“ ^гз 4“ ггт) Тг 4“ Ч2Ф1 + ^'гзФз 4" ЦтФ? —
Для узла 3:
4- г'зеФв — 0.
Для узла 4:
2 (г*23 4" 1'34 4“ *зв) Фз + г2зФг 4“ 1В1Ф4 4*
ЛГ
2 (г'з4 4" г4э) Ф4 4“ г'з4Фз 4- ЧоФз ~ ~
Рис Х-24
Заменяя в этих уравнениях <р8 =
= — Фь Ф7 = — Фг, Фв= — Фз и ф5=
= — ф4 и решая их совместно, находим
Ф1. ф2, Фз И ф4.
После определения угловых переме-
щений по формулам (Х-86), (Х-106) и
(Х-108) находим узловые изгибающие
моменты и затем можно построить эпю-
ры р\ Q\ М и у.
Пример X-12. Рассмотрим замкну-
тую прямоугольную подземную раму
с жесткими узлами A BCD, нагружен-
ную по нижнему ригелю АВ двумя рав-
ными, симметрично расположенными со-
средоточенными силами Рх= Р2= ?
(рис. Х-24). $
Нагрузка на верхнем ригеле CD
принимается равномерно распределенной
(вес земли), интенсивностью q.
Боковые давления грунта снаружи на
стенки АС и BD принимаются одинако-
выми и определяются по формуле (Х-25)-
Поэтому вследствие симметрии конст-
рукции и нагрузки рама ABCD не име-
404
ет ни горизонтальных, ни вертикальных смещений одного узла отно-
сительно другого.
Повороты узлов определяются равенствами:
Фв = — фл и <рх> = — <рс.
Поэтому для данной рамы имеется только два неизвестных угловых
перемещения: <рл и фс.
Для определения фл и фс требуется составить уравнения угловых
перемещений в двух вариантах.
Первый вариант решения (рис. Х-24, а). Предпо-
лагается, что по бокам стенок АС и BD действуют одинаковые актив-
ные давления грунта, принимаемые как трапецеидальные нагрузки.
Сверху на ригеле CD принимается равномерно распределенная
нагрузка q; на нижний ригель, рассматриваемый как балка на упругом
основании, действуют две равные симметрично расположенные сосре-
доточенные силы.
Пользуясь уравнением (Х-119) угловых перемещений, имеем:
Для узла А:
2 (‘аС 4" ‘аВ ‘аВ^ *Рл 4" ‘аВ ‘аВ^В 4" 1АС Фс = ~ I “ •
Для узла С:
1(‘ас 4” До) Фс 4~ iAC фл 4- ‘cd^d ~ ~I •
Второй вариант решения (рис. Х-24, б). Элементы
АС, АВ и BD рамы рассматриваем как балки, лежащие на упругом
основании (допускаем, что алс = аВ£)). Модуль деформации грунта По
глубине для данного случая принимаем приблизительно постоянным.
В связи с симметрией рамы и нагрузки здесь также имеем два неизвест-
ных фл и <рс. Для их определения составляем два уравнения угловых
перемещений.
Пользуясь уравнением (Х-119) угловых перемещений, имеем:
Для узла А:
2 Uас ‘ас 4” ‘ АВ ‘ав) Фл 4” 1 АС ‘АС Фс 4“ ‘ АВ ‘аВ Фв = I ~~ •
Для узла С:
/i\ ^СА
2 (‘ас ‘ас 4" До) Фс 4~ iAC iAC Фл 4- ‘cd^d = 1 •
Значения величин, входящих в эти уравнения, jAB, jAC, jM, /(О
и узловые моменты М'.п, M'.r, М' М' определяем из формул (Х-87),
(Х-106), (Х-108), (Х-П5), (Х-117) и (Х-П8).
После определения этих величин в отдельности решаем уравнения
обоих вариантов относительно фл и фс.
405
Зная Фл и фс, находим узловые моменты, после чего можно постро-
ить эпюры р\ Q- М и у.
Пример Х-13. Дана двухочковая подземная рама с жесткими
узлами ABCD (рис. Х-25, а). Пусть на ригели 23 и 34 сверху действует
Рис. Х-25
угловых перемещений, получаем:
Для узла /:
равномерно распределенная на-
грузка q. Снаружи на стенки
12 и 54 действуют одинаковые
боковые давления (рис. Х-25, б).
Вследствие симметрии кон-
струкции и нагрузки рассмат-
риваемая рама не имеет гори-
зонтальных смещений одного
узла относительно другого. Поэ-
тому для данного случая имеем
семь неизвестных величин. Из
них шесть углов поворота срх, <р2,
Фз, ф4> Фб, Фе и одно взаимное
вертикальное смещение узлов
6 32= 6 34“ 6 61= 6 65= 6 .
Для нахождения неизвестных
величин ф1( ф2, Фз, ф4, ф6, Фе и
6 требуется составить шесть
уравнений угловых перемещений
и одно дополнительное урав-
нение вертикальных проекций.
Пользуясь уравнением (Х-119)
2 (Чг + Йе Че) Ф1 4~ J16* Че Фе + Чг Фг = ~ (Мю + ЛД2) .
Для узла 2:
2 (112 + Чз) фг 4“ 42 Ф1 4" 4з Фз = 3 -д------832 4* — (^23 4" Ми) •
Для узла 3:
2 (1'23 + Че + Ч4) Фз + Чз Фг 4" 1'з4 Фе + Че Фе = 0.
Для узла 4:
2 (Ч44~ Чб) Ф4 “t- Ч4 Фз 4~ Чб Фб ~ 3 834 -] й- ( ^43 4~ ЛДз) •
^34 z
Для узла 5:
2 (Чб 4“ /56 Че) Фб 4~ Чб Фе 4* /бР Че Фе = ^54 + ^56)
Для узла 6:
2 (Че 4- Ле Че 4- /56 Че) Фе 4~ Че Фз 4“ /1б' Че Ф1 4“ /56 Че Фб — 9.
406
Для составления дополнительного уравнения вертикальных про-
екций вырезаем левую стойку. Пользуясь уравнением (Х-121), имеем:
<?-'з (ф2 + Фз - 2+ Qie 4- -а“ (Ф1 + ф6) = 0.
*'23 \ Ь32 / (pH) Lle
Таким образом, получено семь уравнений
Зная а16, а56, Ле, /к?, /зв, /V, изгибающие
силы от нагрузок, можно решить
эти уравнения относительно не-
известных углов поворота фь ф2,
Фз, ф4, Фз, Фе и линейного смеще-
ния узловб.
Определив фь ф2, ..., <р6 иб,
находим узловые изгибающие
моменты, после чего можно стро-
ить эпюры р, Q-, М и у.
Пример X-14. Рассмотрим
замкнутую прямоугольную ра-
с семью неизвестными,
моменты и поперечные
Рис. Х-26
му, лежащую на однородном
упругом основании (рис. Х-26, б), имеющую в узлах С и D шар-
ниры.
Требуется определить узловые моменты МА и Мв:
Дано: Мс = MD — 0.
А — ^2 — Л — Л — ^АВ ~~ Lac — Lcd — l-BD
Поэтому iAB — iAC — iCD — iBD i-
Решение даем в общем виде для произвольного значения показате-
ля гибкости а.
Вследствие симметрии конструкции и нагрузки рама ACDB не име-
ет ни горизонтальных, ни вертикальных смещений одного узла отно-
сительно другого. Повороты узлов А и В имеют зависимость в виде
равенства фв = — фл- В связи с этим для решения данной задачи
достаточно использовать уравнение (Х-114) угловых перемещений.
Решение. Пользуясь уравнением (Х-114) для узла А имеем:
2 'дс + 1'ав *ав j Тд + /дв Фв 2 •
Подставляя в это уравнение значения величин Мдв, ]ав и /5й, из
формул (Х-106), (Х-115), (Х-117) и (Х-118), а также решая его отно-
сительно фл, получаем
откуда
407
МЛ PL
Мас — Мав — ,-(А} -(В).
3 ( Т2А — Па ) — а
Рассмотрим теперь случай, когда та же самая рама (рис. Х-26, а)
полностью заглублена в грунт (в упругую среду).
Принимая модуль деформации грунта Ео {АС) = Ео (BD} = EQ {АВ) j
= Ео и используя уравнение (Х-114) для узла А, имеем:
'ав 1лв^ Фл + 'ав 'ав Фв = ~ ^ав
>АС 'ас 1
ИЛИ
{31AC + 4/АЗ 2/ав) <рл = —
Подставляя в это уравнение значения jlAC\ ]ав ; }ав н М дв из формул
(Х-106), (Х-115) — (Х-118), получаем:
Vm>V3A}PL
(27^-ВД* ''
Пользуясь формулами (Х-105) и (Х-106) или (Х-109) и (Х-110),
имеем:
Фл =
с
D
Рис. Х-27
ДЛ) PL
мАС = — М.г. = .
2?<л>-^)
( Пример X-15. Рассмотрим замкнутую пря-
моугольную раму, лежащую на однородном
упругом основании (рис. Х-27), имеющую в
узлах В, С и D шарниры.
Требуется определить МА ^^АС-
Дано: Д = 12 = /3= Л = Л =LAC =
= / = L — L-
^CD BD
AL = Mr = Л4П - - 0.
а с и
Поэтому
' АВ = lAC ~ LCD = lBD = 1‘
Решение даем в общем виде для произвольного значения показате-
ля гибкости а. Для нахождения значений двух неизвестных величин
Л4л и 8ас составим одно уравнение (для узла Л) угловых переме-
щений (Х-114) и одно дополнительное уравнение горизонтальных
проекций (Х-104).
Решение. Пользуясь уравнением (Х-114), имеем:
Для узла А:
(Ч Ч \ ч
~ 'ас + 1лв 'ав}((1а=~^'
'ас •> . МАВ
408
или
, , “ЛС . МАВ
Уравнение горизонтальных проекций имеет вид
Фл-2-^Ч=°
ьлс /
-6-^
lac
фл-24^=о-
lac
или
Мдв
Фл = -^-----
Решаем совместно полученные уравнения:
g__________________________________мав р
АС~ 3(1+2/^)1
И
+1ав )'
Пользуясь формулами (Х-110) и (Х-116), получаем:
1 0(ЛВ) • _ <РзЛ)р£
Мав =-----—- фл' • алв 1ав =-----—-
„(Л) в,(,
?2Л ‘2Л
и
,АВ
аАВ
После определения значений величин М"^ и угол поворота фл
и горизонтальное смещение стойки 8АС определяем по формулам:
2^A}PL
Фл“ (^-зда* ’
?зЛ) PL*
ЬаС~ №ав - МлО i ’
Пользуясь формулой (Х-1 Ю), имеем:
3? lA} PL
М.„ = — Мдг = ————
АВ АС о о (Л)
2аЛВ — 3,Р2Л
Пример Х-16. Рассмотрим замк-
нутую прямоугольную раму ACDB,
лежащую на однородном упругом осно-
вании (рис. Х-28), имеющую в узлах В
и D шарниры.
Определим неизвестные узловые мо-
Рис. Х-28
409
менты МА иЛ4с, а также неизвестные взаимные смещения узлов
и 8cd. *
Дано:
MB=MD= 0;
Л = Л — Д — Л = Д = i-дс ~ ^CD ~ Lbd = L.
Поэтому
lAB lAC lCD — lBD ~ 1'
Решение даем для произвольного значения показателя гибкости
а. Для нахождения МА, Мс, 6ЛС и 6CD воспользуемся уравнениями
(Х-104), (Х-114) и (Х-120).
Решение. Пользуясь уравнением (Х-114), имеем*:
Для узла А:
'%
9 / . , 3 .
2 I 1 АС ' 4 >АВ 1АВ
Для узла С:
Фл + 1АС Фс = 3
я , МАВ
8~+ —
5 I з lCD s
°ЛС ‘ , 8CD
Фс + 1АС Фл — 3 ---
ЬЛС
где М"АВ— изгибающий момент от нагрузки для балки АВ, лежащей
на однородном упругом основании, заделанной одним концом А и
свободно лежащим другим.
Пользуясь дополнительным уравнением горизонтальных проекций
(Х-104), получаем:
= 0.
5ЛС
lac
Из дополнительного уравнения вертикальных проекций
имеем:
Qac-G-^-
ЬАС
(Х-120)
CD
3tCD |
lcd ' Фс . bCD
1АВ
—
ьлв
r । аАБ
АВ "Г
= 0.
'И
а ( • । 3
1АС "Ь ~ lCD
1
Для определения М"^ воспользуемся формулами (Х-95) и (Х-ПО)
(в связи с тем, что нагрузка только на нижнем ригеле, YA = Yв = 0) у
^ав -------~. [фл(АВ) • алв Iab + Lab (фзв* Yb + фзл' Рл)]
Ч2А>
* Примеры X-1, Х-3, Х-5, Х-7, Х-8, X-14 — X-16 легко также можно
решить и по уравнениям (Х-3) и (Х-4).
410
pl
-(Л)
Т2Д
Так как нагрузка на стенке АС отсутствует, то Q'AC = 0.
Для определения поперечной силы воспользуемся фор-
мулой (Х-123):
,°л +да>. у, + да гл) 1 + <а».
lab
В связи с тем, что сила на нижнем ригеле приложена не по краям,
а в его середине, то
~ 1 о (АВ) алв 1ав ’ Р
U . - =-------00 л - ------- =-----------.
Одв ~ -(Л)
СП
Тгд
Подставляя значения М"^, QAC и Q"AB в полученные выше урав-
нения для узла А, в дополнительные уравнения горизонтальных и
вертикальных проекций, после некоторых упрощений имеем:
аАВ , 3 £ДС у!Л) • PL .
' Фс- 2 ‘ LAC 2^-i '
3,5<pc + Фл = 3 4- 4- • ;
’ тс । тл £ЛС • 2 Lcd
ЪАГ
фд +фс—2-^ = 0;
Решаем совместно полученные уравнения относительно неизвест-
ных величин фл, фс, 8ас и 6CD:
3?<л> PL _
2 ( аАВ — V 2а) 1
УзА}РР
Ф<? ’
5лс =_____( Мд*-^)_______-(Д) . pL.
LAC 4 ( aAB — I
ЪСР = ~ 4а)_____ ~(Л) .
LCD б(алв— 7^’)^’
411
Зная фл. фс, олс и oCD, по формулам (Х-86), (Х-109) и (К-1Ю)
найдем значения величин М^, МАС, Мсд и MCD:
Мдв МАС
аАВ + 2 У2Л1
2(“иВ-ад^»
• ч4Л) PL;
Мед — МС[)
аАВ + 2<Р2Л)
2(“лв-ад^’
ф/* • PL.
На практике часто приходится проектировать не только плоские
но и пространственные рамы.
Для расчета пространственной рамы, лежащей на упругом осно-
вании, из рамы мысленно вырезаем пространственный узел А, в ко-
тором (допускаем) сходятся шесть элементов, направленных по осям
координат; часть из них лежит на упругом основании. Вырезанный
узел А должен находиться в равновесии. Для равновесия рассматри-
ваемого узла используем шесть условий равновесия статики:
ЪМХ = 0; 2/И =0; 2Л4 = 0; 2Х = 0; 2У=0 и SZ = 0
В результате использования первых трех условий для [рассма-
триваемого узла получаем три общих уравнения угловых перемеще-
ний.-
Полученные уравнения похожи на общее уравнение угловых
перемещений (Х-114). Однако, в каждое из них входят дополнитель-
ные слагаемые, учитывающие влияния на узел А крутящих и изги-
бающих моментов от тех стержней, входящих в узел А, которые не
лежат в рассматриваемой плоскости.
Для расчета пространственной рамы кроме трех общих уравнений
угловых перемещений необходимо для рассматриваемого узла соста-
вить еще три дополнительных уравнения горизонтальных и вертика-
льных проекций. Для получения дополнительных уравнений исполь-
зуем условия статики:
2Х = 0; ДУ=|0 и 2Z = 0<
Однако при расчете пространственных рам на упругом основании
не всегда есть надобность использовать все три общие уравнения
горизонтальных и вертикальных проекций. Так, например, при реше-
нии конкретной задачи расчета пространственной рамы на упругом
основании, дополнительные уравнения горизонтальных и вертикаль-
ных проекций могут быть использованы только в тех случаях, если
кроме угловых перемещений возникают и взаимные линейные пере-
мещения узлов рамы.
Если ни один узел, входящий в состав пространственной рамы,
не имеет взаимных линейных смещений узлов, то нет необходимости
использовать дополнительные уравнения.
ГЛАВА XI
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕРЫВАТЕЛИ
§ 1. Функциональные прерыватели Герсеванова
и их применение к расчету
строительных конструкций
При расчете инженерных конструкций часто приходится рассмат-
ривать прерывные нагрузки в виде сосредоточенных сил, изгибающих
моментов и распределенных нагрузок.
Ниже изложены основные сведения о прерывных функциях Герсе-
ванова. Из математики известно, что характеристической функцией
/(X) называется функция, равная единице на некотором множестве
Е точек х и равная нулю вне этого множества.
Следовательно, f (х) = 1; если х принадлежит множеству Е и
/ (х) — 0, когда х не принадлежит множеству Е.
Такие функции/(х) известны в теории функций действительного
переменного, которая разлагает их в тригонометрические ряды Фурье
и которая, следовательно, их интегрирует для вычисления коэффи-
циентов Фурье. Интегралы от таких характеристических функций
изучены Лебегом.
Известно, что функция Хависайда У(х) равна нулю для значений
х, не превышающих нуля, и единице для положительных х*. Произ-
водная от У(х) есть дельта-функция Дирака 6 (х), которая использо-
вана Дираком в квантовой механике в 1926 г.
Дельта-функция имеет следующие свойства: она равна нулю при
х^Ои бесконечности при х = 0**, причем принимается, что
4-со
J 8 (х) dx = 1.
—с©
Дельта-функция и ее последовательные производные нашли широ-
кое применение в операционном исчислении, в физике и в строительной
* Гальперин И. Введение в теорию обобщенных функций. Физмат-
гиз, 1954.
** Вандер Поль Б. и Б рем мер X. Операционное исчисление
на основе двустороннего преобразования Лапласа. М., ИЛ, 1952.
413
механике благодаря работам А. Н. Крылова*, Н. М. Герсеванова*»'
Ю. А. Радцига и др.
Операция интегрирования прерывных функций Герсеванова есть
операция единственная по числовому результату, так как она
приводит к вполне определенному числу, будучи чисто геометрической
операцией, нуждающейся в задании интегрируемой разрывной функ-
ции / (х) лишь чисто геометрическим путем.
Но операция дифференцирования прерывных функций есть опера-
ция уже аналитическая, существенно требующая для своего
применения предварительного изображения той или иной аналитичес-
кой формулы дифференцируемой прерывной функции.
И поэтому операция дифференцирования прерывных функций не
единственная, так как по числовому результату она дает совершенно
разные ответы смотря по тому, какой аналитической формулой пред-
варительно была изображена дифференцированная прерывная функ-
ция /(х).
Таким образом, операция дифференцирования прерывных функций
есть операция по существу неопределенная, дающая множественные
числовые результаты, зависящие от предварительного выбора анали-
тической ^формулы.
Если, например, аналитическую формулу представить через ар-
кус-тангенс, как это сделал Н. М. Герсеванов, то здесь можно считать,
что аркус-тангенс есть функция многозначная, разбивающаяся на ряд
не связанных между собой геометрически непрерывных ветвей, i
Н. М. Герсеванов преобразовал совокупность этих ветвей с помощью
гиперболического преобразования —-— и на преобразованной плос-
х—а
кости выбрал для изображения своей разрывной функции куски со-
вершенно различных ветвей и поэтому его аркус-тангенс не совпадает
с классической фундаментальной ветвью аркус-тангенса. Этим и
объясняется, что Н. М. Герсеванов назвал производные прерывных
функций условными или формальными производными.
Как уже известно, функциональные прерыватели представляют
собой некоторые функции, обладающие такими свойствами, что для
одних значений аргумента они равны нулю, а для других единице.
Прерыватели разделяются на односторонние, двусторонние и мгно-
венные.
Односторонним прерывателем*** называется функция, которая при
некотором значении аргумента претерпевает разрыв, а именно: при
всех значениях аргумента, меньших указанного, она равна нулю; при
всех значениях аргумента, больших этого, она равна единице, и при
значении аргумента, равном указанному, функция равна половине.
* Крылов А. Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании.
Л., Изд. АН СССР, 1931.
** Герсеванов Н. М. Труды ВИОСа. Функциональные прерывате-
ли в строительной механике и их приложение к расчету ленточных фундамен-
тов. Госстройиздат, 1933.
*** Герсеванов Н. М. Труды ВИОСа. Функциональные прерывателя
и их применение в строительной механике. Госстройиздат, 1934.
414
Односторонний прерыватель обозначают символом Г с индексом,
показывающим значение аргумента, соответствующего разрыву:
Гс = — lim arctg . (XI-1)
7JCO х — а '
7}->0
Здесь хит] переменные, а — постоянная. Величина х может иметь
какие угодно вещественные значения; величина т] — только отрица-
тельные значения. Если х придадим какое-либо значение и после этого
станем приближать т] к нулю, то на основании (X1-1) при х<а Г„ = 0;
при х>а Га = 1 и при х = а Го =— .
Н. М. Герсеванов функцию Га назвал односторонним прерывателем,
объясняя это следующим: если взять какую-либо функцию (конечную
и непрерывную) /(х), изображающуюся кривой АВ (рис. XI-1) и ум-
ножить ее на Га, то получим новую функцию Га/(х), которая при всех
значениях х < а равна нулю, а при всех значениях х > а равна /(х).
Эта функция изображается ломаной линией CDEB (рис. XI-1).
С геометрической точки зрения (рис. XI-2) функциональным пре-
рывателем называется отношение угла 0 к л. Здесь углом 0 считается
угол, под которым видна загруженная часть балки из точки М. При
этом предполагается, что точка М стремится к совпадению с осью
абсцисс.
На основании изложенного выше*:
Г,——.
к
При х < а
0 = 0 Га = 0;
при х>а
0 = к Го=1.
Здесь
О — lim arctg —-— .
т;<0 х — а
* Руднев В. И. Новейшие методы расчета балок на сплошном упругом
основании и их приложение к расчету диища шлюзов. Сборник № 2. Основания
и фундаменты ВЙОС.
415
Двусторонний прерыватель — функция, которая для всех значений
аргумента, заключающихся между некоторыми двумя его значениями
равна единице, а вне этих пределов равна нулю.
Возьмем два прерывателя Го и в двух точках х = а и х = Ь
(причем а< Ь) и составим их разность Га — Гй. Эту разность Н. М. Гер-
севанов обозначил символом Г* и назвал двусторонним прерывателем,
т. е. двусторонний прерыватель равен разности двух односторонних
прерывателей:
Г* = Га-Г*. (XI-2)
Индексы вверху и внизу прерывателя показывают значения аргу-
ментов, при которых функция дает разрыв, причем вверху дается
большее значение, а внизу меньшее.
Поэтому при х <Z. а или х > b
Г* = 0;
при х > а, но х < 6
Г„ = 1.
Мгновенные прерыватели могут быть первого и второго порядка.
Мгновенным прерывателем первого порядка называется первая про-
изводная от Га, обозначаемая Га :
1 .. Т]
------lim--------!------
* ti<o(x —а)2 + ^г
’l-O
(XI-3)
Функция Га, как это видно из формулы (XI-3), имеет размерность
1/ см.
Мгновенный прерыватель первого порядка равен нулю для всех
значений аргумента х, не равных а; для х = а величина Га равна бес-
конечности. Например, если к балке приложена сосредоточенная сила
Р (кГ) в точке с абсциссой х = а, то Га-Р выражает эпюру нагрузки
от сосредоточенной силы Р.
Поэтому произведение Га-Р имеет измерение нагрузки, т. е. кПсм.
Мгновенным прерывателем второго порядка называется вторая
производная от Га, обозначаемая Г":
Г" = —lim ^-(х~д) -.
л ч<0 [(* — а)2 + VT
(XI-4)
Она также равна нулю для всех значений аргумента, отличных от а.
Таким же образом можно показать, что если на балку действует
сосредоточенный изгибающий момент М в точке с абсциссой х = а,
то произведение Г"аМ будет выражать эпюру нагрузки от этого момента
и иметь то же измерение нагрузки в кПсм.
Правила дифференцирования
прерывных функций по Герсеваиову
Как уже известно, мгновенный прерыватель первого порядка Га
(формула (Х1-3) ) равен нулю для всех значений аргумента х, не рав-
ных а. Для х = а величина Га равна бесконечности. Поэтому если
умножим функцию Г; на какую-либо конечную и непрерывную функ-
цию /(х), то получим тождество
Г0/(х) = Го/(й). (XI-5)
рой 1
рывных функции
ся по
Формула (XI-5) Герсеванова является основной, при помощи кото-
। получаются правила дифференцирования и интегрирования пре-
8НЫХ функций.
Учитывая равенство (XI-5), дифференцирование Га/(х) производит-
правилу дифференцирования произведения двух функций, т. е.
(XI-6)
[ircf(x)r = r;f(x) + rar(x).
Или с учетом формулы (XI-5)
[Га f « = г; t И + Га' Дх). (XI-7)
Действуя аналогично, получим вторую производную от произве-
дения Га/(х):
[га f (%)Г = г; f (х) + г; г (х) = гат (*)• (xi-8)
В формуле (XI-8) в функциях, которые умножаются на мгновенные
прерыватели, необходимо х заменить а.
Тогда формула (XI-8) примет вид
[Го f (х)Г = г; f (a) + г; Г (а) + Га f" (х). (XI-9)
Многократное интегрирование прерывных функций производится
методом Герсеванова по формуле Руднева:
rjW<b-=r.-A_ j +
а
4- Dn.rxn-1 + О„_2 хГ 2 4-----р Dix 4- Do,
(XI-Ю)
где Do, Dlf D2 ... Dn-!— постоянные интегрирования.
Ниже приведены различные примеры и их решения с использова-
нием прерывных функций Герсеванова.
417
416
Решение задач строительной механики
с использованием прерывателей Герсеванова
а) Аналитическое выражение
прерывной нагрузки
Пример XI-1. Дана прерывная нагрузка, показанная на рис. (XI-3)
Требуется выразить ее в аналитической форме.
Решение. Пользуясь прерывателями Герсеванова, имеем:
ф(х) = А х + г! 2 + з 4-Г10 5.
Пример XI-2. Дана прерывная нагрузка (рис. XI-4). Требуется
выразить ее в аналитической форме.
Решение. Используя прерыватели Герсеванова, получаем
ф<х)=г« [9i+-qib_q^ (х - а)]+г; р+г; • Мв
Пример XI-З. Дана прерывная
нагрузка (рис. ХГ5). Требуется
выразить ее в аналитической фор-
ме.
Решение. Применяя преры-
ватели Герсеванова, имеем:
4,и=г^<г>+г;. мс +
+
б) Определение нагрузок, действующих на балну,
по заданным эпюрам моментов
Пример XI-4. Дана эпюра моментов (рис. XI-6, а). Требуется
определить ту нагрузку, которая вызывает данную эпюру моментов
(рис. XI-6, б)
418
Решение. Рассматривае-
мую эпюру моментов выразим
формулой (рис. XI-6, а)
г* q3fi I г' Мс(х~а)
М = го —+ Г„-------у—,
или
лл г г qifl ,
М — Го—g-----Гд-у- +
, г мс (х — а) г мс (х — а)
1 “ Г=^ 1 i ~а •
Искомую нагрузку опреде-
ляем по формуле
, _ <РМ
^(х) — d]fl
Откуда
d2 М „ qa‘
fyx) = dx* = Го<7 Га —g
Мг
Гла-Г^ + Г-^-
г„ Мс(1-а) р, Мс
1 I 1 — а 11 1 — а
или
?(х) = Г0 —Га(^« —
Мс
ш2 Мг
—— г' -____Г" М
2 1 l I —а 1 С
/ —а
Первый член в этой формуле выражает распределенную нагрузку
q на участке от 0 до а; второй член выражает сосредоточенную силу
л Мс
PB = qa—-f—a ’ пРиложеннУю на расстоянии а от начала коорди-
нат в точке В; третий член выражает изгибающий момент Мв = , дей-
ствующий в сечении В; пятый
член выражает сосредоточенную
Л4<.
силу Р —____— в точке С и шес-
' С I —а
той член выражает изгибающий
момент на левом конце балки.
Таким образом, в данном
примере все действующие силы
и моменты выражаются одной
формулой.
Пример XI-5. Дана эпюра
моментов (рис. XI-7, а). Тре-
буется определить ту нагруз-
ку, которая соответствует эпю-
ре моментов (рис. XI-7, б).
Рис. XI-7
Mb=ZTm
419
Решение. Рассматриваемую эпюру выразим формулой
М — Г*-^-х + Г4 2 4-Г*°4,
м = Го -у х - Г4 А х + Г4 2 - Г8 2 - Г8 4 - Г10 4.
Откуда
=Г1----Г"2 —Г' —+ Г'2 —Г”2 + Г"4 —Г’ 4
° 2 4 2 *4 о 1 о Ю
ИЛИ
Ф,.>-г;-|—Н-^+пг-гИ-
Пример XI-6. Дана эпюра моментов (рис. XI-8, а). Требуется оп-
ределить ту нагрузку, которая вызывает эпюру моментов (рис. XI-8, б).
Решение. Выразим рассматриваемую эпюру формулой
М = Г> + гз7 [5 + ± (х - 3)] - Г*° (10 - х),
или
М = Г0х-Г3х + Г3[5 + 4(*-3)]-Г7 [5 + -1(х-3)-
14 J | 4
Откуда
- Г,(10-х) + Г10-(10-X).
^--г;1-г;з-г31+г;5 + г;А_г;(5 + з)-г;^—
420
-r;3 + r;i-r;„i
§ 2. Универсальная формула
упругой линии балки*
Сделаем вывод универсальной формулы упругой линии балки с
применением прерывных функций Герсеванова.
Рассмотрим балку, находящуюся в равновесии под действием сис-
темы сил (рис. XI-9).
Поместив начало координат на левом конце балки (ось1* направля-
ем вправо, а ось у вверх), составим дифференциальное уравнение уп-
ругой линии балки в виде
£/ -g- = 2 г;2. м, + 2 г;з. Pt + 2 г f (z), (xi-i 1)
где М — сосредоточенный момент;
Р — сосредоточенная сила;
f (z) — произвольная сплошная нагрузка;
Г,з£ — мгновенный прерыватель первого порядка;
Г,—мгновенный прерыватель второго порядка;
Г l.Ki — двухсторонний прерыватель;
у — прогиб балки в произвольной точке;
EI — жесткость балки.
* Симвулиди И. А. Общая формула упругой линии балки. Свойст-
ва стали. Сборник № 28. Металлургиздат, 1949.
Симвулиди И. А. Универсальная формула упругой линии балки.
Труды ГПИ. Сборник № 4, 1955.
421
Пользуясь методом интегрирования функциональных прерывателей
после четырехкратного интегрирования получаем:
W" = D3 + ir; уиг+2 г, рг + £г, f f&dz-
2i 3£ Hj J
№)*; (Xi* 12)
^Ki
Ely" = П2 + П3х + 2Гг /И; + УГ, Pdx-l3i) +
2i 3i
+ X rzH. J f(2) (x—z)dz — У J f (z) (x — z) dz- (XI-13)
ZHi lKi
Ety = + Е>гх + 2 Mt (x — /2i) Ц-
zl Л
X]
+s r<M +S 4, f Г «' -^ir- * -
zni
-ХГ, . C 7(g)-~Z)2 dz-, (XI-14)
Ki J 2!
Ely = Do+D1x + D2-^- + D3-^ + ^Vl +
21 o! 2i 2!
+x r,„ ₽. +S n„, f f w * -
-xrz. (XI-15)
Ki J 3!
где Do, Dlt D2 и D3— произвольные постоянные, которые опреде-
ляются из условия опорных закреплений.
Для определения произвольных постоянных рассмотрим общий
случай, когда левый конец балки свободен, т. е. не имеет никаких опор-
ных закреплений (может свободно перемещаться и поворачиваться).
Для данного случая при х = 0:
из уравнения (XI-15)
Do = Е1у0-,
из уравнения (XI-14)
= Elq>0;
из уравнения (XI-13)
О2 = 0;
422
из уравнения (XI-12)
D3 = 0.
Здесь у0 — прогиб на левом конце балки;
(р0 — угол поворота на левом конце балки.
Подставляя значения постоянных коэффициентов Do, Dlt D2 и D3
в уравнения (XI-12) — (XI-15), получаем универсальные формулы:
Поперечные силы:
Сх = -2Г, p,-srz ff(z)dz + srz (f(z)dz. (XI-16)
3i Hi J кi J
l«i 'k1
Изгибающие моменты:
Mx = -2rz Mi-vr, Р4(х-/з£)-2Г, [ f(z)(x-2)dz +
‘it *3i ‘Hi J
l»i
+ 2 J f (z) {x - z) dz. (XI-17)
Угловая деформация балки:
Е/Ф = Е/Фо + 2 г,2. Mt (х - i2i) + 2Pt (*~'з;)2 +
X X
+ £Гг. f f(z)-^^-dz-^rt . f f(z)-^^dz, (XI-18)
hi J 21 ki J 2!
'Hi 'kJ
где
E/ф = EI-^~. (XI-19)
dx
Упругая линия балки:
EIy= Е/уо + Е/ФоХ + 2Г, ^^^+2^.^^^ +
2i 2! 3j jl
+ 2Г,. f 7(Z)J^)Ldz_2rz |f(z)-i^- dz. (XI-20)
‘hi J 3! Ki I 31
'hi lKi
Обозначая для удобства последние два члена формулы (XI-20)
X х
ф (Z) = 2 Г,н1 J f (z) -^=^- dz-^: Гг . J f (г) dz, (XI-21)
^Ki
получаем:
E/y = EIy0 + Е/Фох + 2 Tz Mt +
2i ZI
+ 2 Г, . Pt ~:lai~ + Ф (z). (XI-22)
3z ul
423
В том случае, когда сплошная нагрузка на балке отсутствует
Ф(г) = 0. J ’
Неизвестные у0 и <р0 определяем из условий опорных закреплений
а именно: в том случае, когда балка левым концом заделана, то неиз-
вестные у0 и фо равняются нулю.
Если концы балки свободно
лежат на двух опорах, то у0= О,
а неизвестное ф0 в этом случае оп-
ределяется из условия равенства
нулю прогиба над правой опорой.
Если балка правым концом за-
делана, а левый свободен, тогда
приходится определять оба неизвес-
тных у0 и фо из условий равенства
нулю прогиба и угла поворота на
правом конце балки.
Для нагрузок, показанных на
рис. XI-10, формула (XI-21) имеет
вид (произвольно распределенные
нагрузки).
Ф (г) = Фг (г) + Ф2 (г).
(XI-23)
Здесь
Ф1(г) = £Г,н. J fW J
lHi
__ X' г Гл ^Hi)4
4!
Hi
3. dz-^V^ f f(X)^—^.dz =
3! ki J 31
(x-z)8
' (X —ZKl-)4
qKi~^~
5!
(XI-24)
<Mz) = Srf f f(2)J*=^-dz-Sr , ( f(z) -^—^—dz, (XI-25)
Hl J o! ‘ki I o!
lHi lKi
где
1 ________________________ <7к — <711 .
ф (z) — интенсивность от какой угодно сплошной криволинейном
нагрузки.
Тогда универсальная формула упругой линии балки примет сле-
дующий простой удобный вид:
Ely = Ely, + Е/Фох 4- 2 Г,,. Мг + 2 rZg. Pi+
i V Г Гр (* /Hi)
[^Ki
(X—*Ki)4
4!
। 1 (*—7Hi)®T
+ Xj—J
424
+ х/х~/к^1 + Ф2(г). (XI-26)
э! J
Когда на балку одновременно действуют любые распределенные
нагрузки (изменяющиеся только по линейному закону), сосредоточен-
ные силы и моменты (рис. XI-11), то универсальные формулы —
(XI-16) — (XI-20) принимают вид:
Поперечные силы:
к.(х-/нг) + л£^=^1 +
3i нг L J
+ S г кг (х - ZKi) + Х{ . (XI-27)
Ki |_ ZI
Изгибающие моменты:
Л^ = -£Гг рцх-^-^г +
*2£ з/ ‘Hi 21
+ X + У г. Гок i (x~fKi)a + Xf . (XI-28)
' 3 ] " ZKiL7 21l 3! J V
Угловая деформация балки:
Е7ф = £7Фо + 2Г; Mf(x-Z2£) + vr, +
2l 3j zl
vr Г_ (x—Ini)3 I 1 (* W‘l У Г Г- ^3i^3 I
r‘Hi “5Г“ + г “41] Ч Г7*' 3! +
4-X£(--~1kA41, (XI-29)
Упругая линия балки:
Ely = EIy0 + Е/фоХ + S I\. + v r,s. Pt
425
+2 h - 2 % “+
+ х‘<Л1Г^]- <Х1*>)
Для балки, нагруженной равномерно распределенными нагрузКа.
ми, сосредоточенными силами и моментами (рис. XI-11), универсаль-
ные формулы (XI-16) — (XI-20) принимают вид:
Поперечные силы:
Qjc = 2^Z31 2 Г/н! Qi (X ^Hi) + 2 ^/к{ Qi (x 4ci)- (XI-31)
Изгибающие моменты:
М, = - V Г,„ М, - 2 го, Р, (Z - /„) - V Г,„ ,, +
+2%*1£=4Л. (ХМ2)
Угловая деформация балки:
Ely = EIy0 + V rz2£ Mi (X — Z2i) + V Г, Pi X lirzhi? +
3i 2!
| V Г r (X ^Hj)* К1-Г- „ (X-- lK;)3 VI
+4qi -------------1 Чг qi • (XI’33>
Упругая линия балки:
Ely = EIy0 + Elyox + 2 Г/2г Mi (-~J8i)8 + 2 rz3l- Pi (x~--3i)8- +
3!
+ 2rz Qi{-~lniV -2rz Qi(-x~‘Ki)t. (Xi-34)
Hi 41 lKi 4!
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .... ........... .......................... 3
Введение ........................................................... 4
Глава I. Расчет балки, лежащей на сплошном упругом основании,
методом теории упругости (плоская деформация) ... 6
Вывод общих формул для всех видов нагрузок ... 7
Глава II Расчет балки, лежащей на сплошном упругом основании,
нагруженной распределенными нагрузками ... 19
Общи е формулы для распределенных нагрузок . . . . 19
Формулы для частных случаев загружения балки распреде-
ленными нагрузками......................... ... 21
§ 1. Трапецеидальная нагрузка на произвольном участке
длины балки .... ................. .... 21
§ 2. Равномерно распределенная нагрузка, действующая по
всей длине балки................................... ... 25
§ 3. Равномерно распределенная нагрузка на правом конце
балки................................................... 27
§ 4. Таблицы для расчета балки, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой q, расположенной на правом ее
конце (рис. П-6) ... ................. 31
Глава III Расчет балки, лежащей на сплошном упругом основании,
нагруженной сосредоточенными силами ................................50
Общие формулы для случая действия на балку сосредоточен-
ных сил .................................................50
§ 1. Формулы для расчета балки длиной L и шириной
b = 1 At, нагруженной посередине сосредоточенной силой Р
(рис. II1-2).............................................51
§ 2. Формулы для расчета балки длиной L и шириной
Ь=1 м, нагруженной сосредоточенной силой Р, расположен-
ной в произвольном месте по длине балки (рис. II1-3) 54
§ 3. Таблицы для расчета балки, нагруженной сосредото-
ченной силой, расположенной в произвольном месте по длине
балки (рис. II1-6)...................................... 61
Глава IV Расчет балки, лежащей на сплошном упругом основании,
находящейся под действием сосредоточенных изгибающих
моментов ...........................................................96
427
Общие формулы для случая действия на балку сосредо-
точенных изгибающих моментов (рис. IV-1)................дс
§ 1. Формулы для сосредоточенного изгибающего момента
Л4л, действующего иа балку в произвольном сечении
(рис. IV-2)...............• •.......................... 97
§ 2. Таблицы для расчета балки, нагруженной сосредото-
ченным изгибающим моментом, приложенным в произволь-
ном месте (рис. IV-3) ...............................gg
Глава V. Определение относительных прогибов и углов поворота бал-
ки, лежащей на упругом основании..............................126
Общие формулы для расчета балки и рамы, лежащих иа
сплошном упругом основании (рис. V-1) ..............127
Общие формулы для распределенных нагрузок, как угодно
расположенных на балке (рис. V-2) ...................129
§ 1. Трапецеидальная нагрузка на произвольном участке
длины балки ...........................................131
§ 2. Формулы для случая действия на балку равномерно
распределенных нагрузок <7, (рис. V-4).................132
§ 3. Формулы для случая действия на балку равномерно
распределенной нагрузки q, расположенной на правом конце
балки (рис. V-5) ....................................133
§ 4. Формулы для случая действия на балку равномерно
распределенной нагрузки q, расположенной по всей длине
балки (рис. V-6).......................................135
Общие формулы для случая действия на балку сосредо-
точенных сил PL (рис. V-7).............................135
§ 1. Формулы для случая действия на балку сосредото-
ченной силы Р, расположенной в произвольном месте по
длине балки (рис. V-8) ............................136
§ 2. Формулы для случая действия на балку одной сосредо-
точенной силы Р, расположенной в середине балки (рис. V-9) 138
Общие формулы для случая действия на балку сосредо-
точенных моментов (рис. V 10)..........................138
§ 1. Формулы для случая действия на балку сосредото-
ченного изгибающего момента Л4л в произвольном сечении
(рис. V-11)............................................139
Таблицы для определения углов поворота и относительных
прогибов балок, лежащих на упругом основании .... 141
§ 1. Таблицы для определения углов поворота и относите-
льных прогибов балки, |нагруженной равномерно распре-
деленной нагрузкой q, расположенной на правом ее конце
(рис. V-12)............................................141
§ 2 Таблицы для определения углов поворота и относитель-
ных прогибов балки, нагруженной одной сосредоточенной
силой Р, расположенной в произвольном месте по длине
балки (рис. V-15).....................................
§ 3. Таблицы для определения углов поворота и относитель-
ных прогибов балки, нагруженной одним сосредоточенным
428
моментом Ма , действующим в произвольном месте по длине
балки (рис. V-18).......................................174
Глава VI. Расчет балок переменного поперечного сечения и шарнирно
связанных балок, лежащих на упругом основании . . . 189
§ 1. Расчет многоступенчатого балочного фундамента на уп-
ругом основании ...................................................189
§ 2. Таблицы для расчета балки, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой q (рис. VI-2)..................203
§ 3. Таблицы для расчета балки, нагруженной сосредото-
ченной силой Р, расположенной в произвольном месте по
длине балки (рис. VI-3) .............'................206
§ 4. Таблицы для расчета балки, нагруженной изгиба-
ющим моментом Ма , действующим в произвольном месте
(рис. VI-4)............................................ 209
§ 5. Таблицы для расчета балки, нагруженной равномерно
распределенной нагрузкой q (рис. VI-5) .............213
§ 6. Таблицы для расчета балки, нагруженной сосредото-
ченной силой Р, расположенной в произвольном месте по
длине балки (рис. VI-6).................................216
§ 7. Расчет шарнирно связанных балок, лежащих на уп-
ругом основании (рис. VI-10)............................225
Расчет балки, лежащей на сплошном упругом основании,
при одновременном опирании ее иа сосредоточенные опоры 232
§ 8. Расчет балки, лежащей на сплошном упругом осно-
вании, оба конца которой опираются на сосредоточенные опо-
ры (рис. VI-16).........................................233
§ 9 Расчет балки, лежащей на сплошном’упругом'основании,
один конец которой опирается на сосредоточенную опору
(рис. VI-20)........................................... 237
§ 10. Расчет балки переменного сечения, лежащей на сплош-
ном упругом основании ................................. 238
а) Р езультаты решения, полученные по уравнению (VI-80)
(путем приравнивания прогибов)..........................242
б) Р езультаты решения, полученные по уравнениям (VI-59)
(путем приравнивания реакций в шарнирах)................243
Глава VII. Свайиые ростверки (фундаменты) .........................248
§ 1. Расчет гибкого низкого свайного фундамента (роствер-
ка) на несмещающихся опорах.............................249
§ 2. Таблица для определения (равномерно распре-
деленная нагрузка q на балке, рис. VII-2) (табл. VII-3) . . 255
§ 3. Таблица для определения с(л~1)п (равномерно распре-
деленная нагрузка q на балке, рис. VII-2) (табл. VII-4) 255
§ 4. Таблица для определения В<п~')п (сосредоточенная си-
ла Р(л), расположенная в произвольном месте по длине бал-
ки, рис. VII-3) (табл. VII-5) ..........................264
§ 5. Таблица для определения с!л~1)л (сосредоточенная сила
429
PW, расположенная в произвольном месте по длине балки,
рис. VII-3) (табл. VII-6) ..............................264
§ 6. Расчет однопролетных балок, лежащих на упругом
основании................................................265
§ 7. Расчет свайного ростверка (фундамента), имеющего
на концах консоли ................. . .... 266
§ 8. Расчет анкерных шпунтовых стен и частей сооружений
работающих в одинаковых с ними условиях . . 273
§ 9. Расчет низкого свайного фундамента (ростверка) на
смещающихся опорах .... . . .... 280
Глава VIII. Определение крена жестких ленточных фундаментов, учет
взаимного влияния близко расположенных сооружений на
их крен и расчет ограждающих конструкций на горизонталь-
ные нагрузки ......................................................286
Определение крена жестких ленточных фундаментов 286
§ 1. Формула для определения крена, внецентренно нагру-
женного произвольной нагрузкой жесткого ленточного фун-
дамента (рис. VIII-1) ..................................286
§ 2. Формула для определения крена, внецентренно нагру-
женного сосредоточенным грузом жесткого ленточного фун-
дамента (рис. VIII-2)...................................287
§ 3. Определение модуля деформации грунта опытным путем 289
§ 4. Учет взаимного влияния близко расположенных соору-
жений на их крен..................................... . 291
§ 5. Расчет ограждающих конструкций на горизонтальные
нагрузки.......................................... .... 294
§ 6. Расчет высоких свайных ростверков (фундаментов) 305
§ 7. Расчет однопролетного высокого жесткого свайного
ростверка............................................. 307
§ 8. Расчет многопролетного высокого жесткого свайного
ростверка.............................................. 311
Глава IX. Расчет перекрестных балок (полос) и сетчатых плит, лежащих
на упругом основании...............................................319
1. Расчет перекрестных балок (полос) со свободными конца-
ми, лежащих на упругом основании (рис. IX-1) .... 319
Уравнения линейных перемещений балок (полос), параллель-
ных оси Ох..............................................321
§ 2. Расчет перекрестных балок (полос) и сетчатых плит, ле-
жащих на упругом основании, концы которых одновременно
опираются на несмещающиеся сосредоточенные опоры
(рис. IX-7).............................................333
Уравнения линейных перемещений балок (полос), параллель-
ных оси Ох............................................. 333
§ 3. Расчет перекрестных балок (полос), лежащих на упру-
гом основании с жестко заделанными концами, но не имею-
щих препятствия на вертикальные перемещения (рис. IX-8) 338
§ 4. Расчет перекрестных балок (полос) с упруго заделанными
концами, лежащих на упругом основании (рис. IX-8) . . 341
430
§ 5. Расчет перекрестных балок с учетом влияния крутящих
моментов............................................. • 348
Глава X. Расчет рам на упругом основании......................... 352
Общие формулы для расчета рам на упругом основании 352
§ 1. Расчет подземного сооружения..................... 369
§ 2. Расчет тоннеля со средней стеикой ............... 373
§ 3. Расчет рамы, опирающейся на отдельные фундаменты
(рис. Х-10) ... ... ........... 376
§ 4. Расчет рамы, нагруженной по верхнему ригелю CD
сосредоточенными силами, а по нижнему ригелю АВ — про-
извольными нагрузками ................................ 377
§ 5. Расчет рамы, нагруженной по нижнему ригелю АВ
несимметрично расположенной силой Р....................380
§ 6. Расчет рамы, нагруженной по верхнему ригелю CD рав-
номерно распределенными нагрузками, а по нижнему
ригелю АВ — произвольными нагрузками (рис. X-13) . 382
§ 7. Расчет рамы, лежащей на упругом основании, с ис-
пользованием метода сил (рис. Х-14)....................383
§ 8. Метод угловых перемещений для расчета рамы, лежа-
щей на упругом основании при одновременном опирании
ее на несмещающиеся сосредоточенные опоры . . . 385
Общее уравнение горизонтальных проекций .... 391
§ 9. Расчет рамы, лежащей иа сплошном упругом основании,
методом угловых перемещений............................393
Дополнительное уравнение вертикальных проекций 395
Дополнительное уравнение горизонтальных проекций 398
Глава XI. функциональные прерыватели................. . . 413
§ 1. Функциональные прерыватели Герсеванова и их приме-
нение к расчету строительных конструкций 413
Правила дифференцирования прерывных функций по Герсева-
нову ..................................................417
Решение задач строительной механики с использованием
прерывателей Герсеванова..............................418
а) Аналитическое выражение прерывной нагрузки . 418
б) Определение нагрузок, действующих на балку, по задан-
ным эпюрам моментов...................................418
§ 2. Универсальная формула упругой линии балки . . . 421
Иван Анестович Симвулиди
(профессор, доктор технических наук)
РАСЧЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Научный редактор Т. А. Зубарева
Редактор издательства 3. Г. Овсянникова
Переплет художника В. 3. Казакевича
Художественный редактор Н. К- Гуторов
Технический редактор 3. В. Нуждина
Корректор С. К- Марченко
Т-06425. Сдано в набор 24/VIII-72 г. Подп. к печати 12/IV-73 г.
Формат бОХЭО'Лв. Объем 27 печ. л. Уч.-изд. л. 26.09.
Изд. № ОТ—174/71. Тираж 22 000 экз. Цена 1 р. 14 к.
План выпуска литературы для вузов и техникумов издательст-
ва <Высшая школа* на 1973 г. Позиция № 100
Москва, К-51, Неглиниая ул., д. 29/14,
Издательство <Высшая школа*
Ярославский полнграфкомбинат «Союзполиграфпрома» при Го-
сударственном комитете Совета Министров СССР по делам из-
дательств, полиграфии и книжной торговли. Ярославль, ул. Сво-
боды, 97. Зак. 597.